Losungen zur Aufgabensammlung Technische Mechanik 3-8348-0151-8 [PDF]

Zitiervorschau

Alfred Böge Walter Schlemmer

Lösungen zur Aufgabensammlung Technische Mechanik Unter Mitarbeit von Gert Böge, Wolfgang Böge und Wolfgang Weißbach 13., durchgesehene Auflage Mit 746 Abbildungen Diese Auflage ist abgestimmt auf die 18. Auflage der Aufgabensammlung Technische Mechanik

Viewegs Fachbücher der Technik

Bibliografische Information Der Deutschen Bibliothek Die Deutsche Bibliothek verzeichnet diese Publikation in der Deutschen Nationalbibliografie; detaillierte bibliografische Daten sind im Internet über abrufbar.

1. Auflage 1975 2 Nachdrucke 2., überarbeitete Auflage 1979 1 Nachdruck 3., überarbeitete Auflage 1981 4., durchgesehene Auflage 1981 1 Nachdruck 5., durchgesehene Auflage 1983 6., überarbeitete Auflage 1984 5 Nachdrucke 7., überarbeitete Auflage 1990 1 Nachdruck

8., überarbeitete Auflage 1992 2 Nachdrucke 9., überarbeitete Auflage 1995 2 Nachdrucke 10., überarbeitete Auflage 1999 1 Nachdruck 11., überarbeitete Auflage Juni 2001 12., überarbeitete und erweiterte Auflage April 2003 13., durchgesehene Auflage August 2006

Diese Auflage ist abgestimmt auf die 18. Auflage der Aufgabensammlung Technische Mechanik.

Alle Rechte vorbehalten © Friedr. Vieweg & Sohn Verlag | GWV Fachverlage GmbH, Wiesbaden 2006 Lektorat: Thomas Zipsner Der Vieweg Verlag ist ein Unternehmen von Springer Science+Business Media. www.vieweg.de

Das Werk einschließlich aller seiner Teile ist urheberrechtlich geschützt. Jede Verwertung außerhalb der engen Grenzen des Urheberrechtsgesetzes ist ohne Zustimmung des Verlags unzulässig und strafbar. Das gilt insbesondere für Vervielfältigungen, Übersetzungen, Mikroverfilmungen und die Einspeicherung und Verarbeitung in elektronischen Systemen.

Umschlaggestaltung: Ulrike Weigel, www.CorporateDesignGroup.de Technische Redaktion: Hartmut Kühn von Burgsdorff Druck und buchbinderische Verarbeitung: MercedesDruck, Berlin Gedruckt auf säurefreiem und chlorfrei gebleichtem Papier. Printed in Germany ISBN-10 3-8348-0151-8 ISBN-13 978-3-8348-0151-7

Vorwort zur 13. Auflage Dieses Buch enthält die ausführlichen Lösungen zu den ca. 900 Aufgaben aus der 18. Auflage der Aufgabensammlung zur Technischen Mechanik. Mit dem Lösen einer Aufgabe soll sich der Studierende selbst beweisen, dass er mit den im Unterricht erarbeiteten Gleichungen zielgerichtet umgehen kann. Danach kann er seinen Lösungsweg mit dem im Buch gewählten vergleichen, die Bestätigung für sein Vorgehen finden oder falsche Ansätze erkennen. Er kann nachschlagen, falls er keinen Lösungsweg gefunden hat. Ebenso wird ihm deutlich gemacht, wie notwendig und hilfreich es ist, bei der numerischen Lösung die physikalische Größe als Produkt aus Maßzahl und Einheit zu schreiben. Die übersichtliche Darstellung vieler Lösungsgänge für einzelne Aufgabengruppen ist auch hilfreich beim Entwickeln von PC-Berechnungsprogrammen, z. B. für die Ermittlung von Gleichgewichtskräften im zentralen und allgemeinen Kräftesystem, für die Bestimmung der Stützkräfte an Fachwerkträgern oder für die Dimensionierung torsions- und biegebeanspruchter Getriebewellen. Hinweise, Fragen und Anregungen können an die folgende E-Mail-Adresse gerichtet werden: [email protected] Braunschweig, August 2006

Alfred Böge Walter Schlemmer

Lehr- und Lernsystem Technische Mechanik

• Technische Mechanik (Lehrbuch) von A. Böge • Aufgabensammlung Technische Mechanik von A. Böge und W. Schlemmer • Lösungen zur Aufgabensammlung Technische Mechanik von A. Böge und W. Schlemmer • Formeln und Tabellen zur Technischen Mechanik von A. Böge

1. Statik in der E b e n e Das Kraftmoment (Drehmoment) 8,

1. a) M = FI = 200 N . 0,36 m = 72 Nm

a) M1 = F l l = 220 N. 0,21 m = 46,2 Nm

b) Kurbeldrehmoment = Wellendrehmoment F l = Fa d

b) Das Kettendrehmoment ist gleich dem Tretkurbeldrehmoment:

7

M k =M1 dl Fk~- =/1

FI = F 7 = 200N. 2.0,36m = 1200N 0,12m 2. d 0,2m M= F7 = 7.10SN.~= 700Nm

Fk-

2M1 - 2" 46,2 Nm dl 0,182m =507,7N

c) M2 = Fk ~

= 5 0 7 , 7 N 0,065m2 - 16,5Nm

3, F-M-62Nm l 0,28 in

M = FI

221,4N

4~ M = FI

l

M F

d) Das Kraftmoment aus Vortriebskraft F v und Hinterradradius 12 ist gleich dem Drehmoment M2 am Hinterrad.

396Nm=3,3m 120N

Fvl2=M2

F v - M2 16,5Nm 12 - ~ - 4 7 , t ~ . ~

5, M=F

d 7

F =

2M d

2-860Nm 0,5 m

~,

3440N

6. dl a) M1 = Fu ~ -

Fu=

2M1 2 9 10 " 10 s Nmm - 200 N d~- = 10mm

d: 180 m m 5)/1/2 = F u ~ - = 200 N ' ~ M2 = 18 000 Nmm = 18 Nm

7,

Das Freimachen der Bauteile

a) d l = zl m l / 2 = 15 " 4 m m = 60 m m d2 = z2 roll 2 = 30 9 4 m m = 120 m m d 2, = z 2, m2,/3 = 15 " 6 m m = 90 m m d3 = zsm2'13 = 2 5 " 6 m m = 1 5 0 m m

9. !

/

da b)M1 = F u l l 2 ~ 2M1 Full2 = d l

2 - 120 " 103 Nmm 60 m m = 4000 N

_e,

2M2 d2'

2"240"103Nmm 90 m m

d3 150 m m e) Ms = Fu2'/s T = 5333 N ' ~ M 3 = 4 9 l 0 s Nmm = 400 Nm

/

I

/ 10.

M: = 2,4 9 105 Nmm = 240 Nm =

-e, 7rs

d2 120 m m c) M: = Ful/2 ~ - = 4000 N ' ~ - ~

d) Fu2, / 3

r,

5333 N

Statik

11.

/

I

12.

-i ~.

If,

.~i ,~ ~,',3L~ -~ I ~, I

/

22.

-

~ i ~,

- -

I

13.

14. 23.

r,

r
_- #

250mm 0,4 = 625 m m

_

15,6 rad rr rad - 894'1~ 371. a) MR = 9 5 5 0 ~ = 9550.4~-~ Nm = 23,88 Nm

a _ 15,6 rad _ 2,484 Windungen e) z = 27r 2nrad

MR 2 3 , 8 8 N m = 125,7N b) FR = d-i-2 = 0 , 1 9 m

Backen- oder Klotzbremse l

370.

c) FN = FR - 125,7N _ 2 5 1 , 3 N # 0,5 d) Lageskizze

a) Lageskizze (freigemachter Bremshebel)

/ ~ _ _ ~=

t3

=4

i

]FN I. ZFx

=O:FN#-Fo~

II. Z F y =O:FN-F-FDy III. NM(D) = 0 = F N l t + FN#12 - F l 92

I. Z F x II. Z F y

=O=FN#-FAx =O=FN-FAy-F

III. ~ M(A ) = 0 = FN l 1 + F N # ( / 2 - d ) - F ( l

1 +13)

Reibung

III. F =FN

ll +/1(12 - ~ ) 120ram +0,5.80ram ll + 13 = 251,3N 870mm

F = 46,22 N

I. FAx = F N P = F R = 125,7N II. F A y = F N - F = 251,3 N - 46,22N = 205,1 N FA = ~

y

= 4(125,7 N)2 + (205,1N) 2 = 240,5N

Bei Selbsthemmung mut~ ihre Wirklinie durch den Drehpunkt A veflaufen (Grenzfall, M = 0) oder links davon liegen. Aus der Nhnlichkeit der dunklen Dreiecke ergibt sich: e FR ~=~

~

Fn e=r-ff~N=rp=6Omm'O,l=6mm

e) Die Sttitzkraft

F A am Hebelbolzen ist gleich der Ersatzkraft aus Normalkraft FN und Reibkraft FR:

FA = Fe = 13,4 kN 372. Lageskizze

6

13

(siehe TefllSsung c)

0 Aus Tei115sung d (e = rp) folgt, dag die Selbsthemmung nur vom Geh~iuseradius und der Reibzahl beeinfluf~t wird, also nicht vom Bremsmoment.

374. a) Lageskizze (oberer Bremshebel)

I. X F x

=O=FAx-FN~

n. ZFy =O=FN-F-FAy III. NM(A) = 0 = FN ll - FN P(lz - d ) - F(ll + la)

b) IlL F N = F

l 1 + l3

11 -

p(12

-

~)

8700 mm FN=46'22N 120mm-0,5-80mm

502,6N

I. 2 F x = O = FNA P - Fcx II. EFy = O = F N A - F - F c y IIL E M(c) = 0 = FNA lz -- FNA p ( d _ l~)- F(12 + 13)

FR =FNP = 502,6 N .0,5 = 251,3 N a) I. F A x = F N p = 2 5 1 , 3 N H. FAy =FN - F = 502,6N-46,22 N = 456,4N

FA = ~

y

= X/(251,3 N)2 + (456,4N) 2 = 521N

c) M = F R d = 251,3 N ' O , 1 9 m = 47,75Nm

Mn 47 75.400 d) P = 9550 = ~ k W

= 2kW

III. FNA = F

12 + la lz - u ( ~ - l O

600 mm FNA = 500N 180mm-0,48" 50ram = 1923 N FRA = FNA P = 1923 N. 0,48 = 923,1 N

I. Fox =FNA P = 923,1 N II. Fcy =FNA - F = 1 9 2 3 N - 5 0 0 N = 1423N Fc = F ~ x + F~y = x/(923,1 N)2 + (1423N) 2 = 1696N

373. a) M = F R r ~

FR

M r

80.103Nmm 60mm = 1333N

b) F N _ F ~ _ 1,333kN = 13,33kN P 0,1

b) Lageskizze (unterer Bremshebel)

c) Die Belastung der Geh~iusewelle ist gleich der Ersatzkraft Fe aus Reibkraft und Normalkraft:

Fe = ~

=

X/(13,33kN) 2 + (1,333kN) 2 = 13,4kN

d) Lageskizze (freigemachter Klemmhebel) Die Ersatzkraft Fe aus Normalkraft FN und Reibkraft F a daft am Klemmhebel kein 15sendes (linksdrehendes) Moment hervorrufen, d.h. ihre Wirklinie daft nicht rechts vom Hebeldrehpunkt A liegen.

q ZLI~, L 2 F x = 0 = Fox - F N B u II. E F y =O=FDy + F - F N B III. ZM(D) = 0 =F(12 +la)--FNB 12 --FNB/-t (2d--ll)

III. FNB

F

12 + 13 12 + #(-~ - ll)

600 mm FNB = 500N 180mm+0,48.50mm = 1471N

FRB =FNBP = 1471 N '0,48 = 705,9 N 93

Reibung I. FDx = FNB/g = 705,9 N II. FDy = FN8 - F = 1471 N - 500 N = 971 N FD = X/~Ox +F~y = X/(705,9N)2 + (971 N) 2 = 1200N c) M.4 = F R a d = 923,1 N" 0,16 m = 147,7 N MB =FRB d = 7 0 5 , 9 N ' 0 , 1 6 m = 112,9 Nm d) Mges =MA +MB = 260,6 Nm

Bandbremse 376. 225~ 2~r rad = 3,927 rad a) c~ = 360~--~ b) e ga = e~

= 3,248

c) Lageskizze ~;e (freigemachter Bremshebel) A

e) Sowohl die Normalkr~ifte als auch die Reibkr~ifte sind an den Bremsbacken A und B verschieden grofi, und demzufolge auch die Ersatzkr~ifte FeA und FeB (zeictmen Sie eine Lageskizze der Bremsscheibe mit Welle!). Die Bremsscheibenwelle wird mit der Differenz der beiden Ersatzkr~ifte belastet. F ~ = FX/~A + F ~ 4 =X/(1923 N) 2 + (923,1 N) 2 =2133,1 N Fen = FV/~BB + F~.B = X/(1471 N) 2 + (705,9 N) 2 = 1631,2 N

~M(A) = O = F 2 1 l - F 1 2 F2=F~

lz

500mm 120mm

=150N

~"

lz

625N

d) F1 =F2 eua = 625 N .3,248 = 2 0 3 0 N e) F R = F x - F 2 = 2 0 3 0 N - 625 N = 1405 N

f) M = FR r= 1 4 0 5 N ' 0 , 1 5 m = 2 1 0 , 8 N m

Fw =FeA - F e z = 501,9 N

375. a) L6sungshinweis: Die Bremsscheibe sitzt a u f d e r A n triebswelle des Hubgetriebes. Beim Lasthalten find Antriebs- und Abtriebsseite vertauscht: Das Lastdrehmoment ist das Antriebsmoment M1 = 3700 Nm,das t3ber1 1 setzungsverh~iltnis kehrt rich urn (ir = 7 = 3-~,2)"

a) M = F R r b) a

M2 =Mb =M1 irn

Mb = 3700 Nm- 3-~,2" 0,86 = 93,04 Nm b) M b max = vMb = 3 993,04 Nm = 279,1 Nm c) M b max = FR d ~

377. M 70 Nm FR = 7 = 0,15 m = 4 6 6 , 7 N

270 ~ 9 7r t a d = 4,712 rad 180 ~

e~a = e0,25-4,712

=

3,248

e,Ua c) F1 = FR eUa_ 1 3,248 FI = 466,7 N" 3,248 - 1 = 674,2 N

FR =Md_Xhm,

d) F2 =F1 - F R = 674,2 N - 4 6 6 , 7 N = 207,6 N

FR = 279,1 Nm = 8 7 2 , 3 N 0,32 m

e) F R = F - / ' e # a - 1 It e ua + 1

FR 8 7 2 ' 3 N = 1745N d) FN = ~ - = 0,5

ll eU'Z+ 1 F = F R l eUa_ 1 = 4 6 6 , 7 N

e) Lageskizze

1 0 0 m m 4,248 4 5 0 r a m 2,248

Beide Bremshebel haben tangentialen Drehpunkt. f) Lageskizze (freigemachter Bremshebel)

I. ~ F x = O = F - F N + F l x II. ~ Fy = O = Y y l.t - Fly III. ~M(o ) = 0 = F N lx - F l

It 180ram III. F = F N T = 1745N" ~ =

654,2 N

I. Ftx= FN - F = 1745 N - 6 5 4 , 2 N = 1090,3 N II. Fly = FN # = 872,3 N Fl = ~ / 2 y 94

= X/(1090,3 N) 2 + (872,3 N) 2 = 1396 N

I. N F x = 0 =F2 x - F l x + FDx II. N Fy = 0 = F + F l y + F2y - FDy I. FDx = F i x - F 2 x = FI cos 45 ~ -/;'2 cos 45 ~ Fmx = (674,2 N - 207;6 N)" cos45 ~ = 3 3 0 N

196N

Reibung II. FDy = F + F l y + F z y = F + F I s i n 4 5 ~ + F2 sin45 ~ FDy = 196 N + 674,3 N" sin 45 ~ + 2 0 7 , 6 N" sin 45 ~ FDy = 819,5 N FD = x/F~x + F~y = X/(330N) 2 + (819,5 N) 2 FD = 8 8 3 , 4 N g) Die D r e h r i c h t u n g der Bremsscheibe h a t keinen Einflufi a u f die Bremswirkung. 378. a) c~=

215 ~ 7r rad 180o = 3,752 tad

Fs=F7

f

=

2kN

0,06cm "2~0~-cm = 0 , 0 0 6 k N = 6 N

381. a)

Lageskizze

F G "2f=F"

Roukra

2r

~

u

f cm F=F Gr =3800N'0107 = 2 6 6 N t ~ b) Die Diskussion der Gleichung F = F G fr ergibt fiir kleineren Rollenradius r gr6t~ere Verschiebekraft F.

e va = e 0,18"3'752 = 1,965 b) Lageskizze

380.

'

382. a) siehe LSsung 381 a!

' I. s

x

% ~N;A

=O=FAx-FlCOSal

II. ~-,Fy = O = F 2 + F l s i n a l - F A y - F III. ~,M(A ) = 0 = F 2 / 2 - F l - F1 ll III. 0 = F l l2 - F l - F 1

ev a l eva F I = F - 12 - 11 eva

b) M = Froll 2 = 3 5 N . 0 , 3 4 m = 1 1 , 9 N m 383. dl dl a) MR = F R ~ - = F p ~ - = 3 0 0 0 0 N - 0 , 1 2 "0,025 in = 90 N m

ll

100N"

0 , 0 0 5 cm Fron = FG f = 4 2 0 0 N 9 - 0 , 6 c m =35N

350mm.1,965 90mm - 30ram-1,965

b) Mroll = Frou ~

F1 2215N F 2 = e T S ~ = 1,965 = 1 1 2 7 N c) F R = F I - F 2 = 2 2 1 5 N d) M = F R r = 1 0 8 8 N 9

1127N= 1088N 108,8Nm

384. a) Lageskizze

~,M(D) : 0 = F s i n a

e) I.FAx =F1 c o s a l = 2 2 1 5 N ' c o s 5 5 ~ = 1 2 7 0 N I I . F z y = F 2 + F 1 sin c~i - F FAy= l 1 2 7 N + 2215 N . s i n 5 5 ~ 2841N

f + F cosa r - FG f

FG = F f sin c~ + r c~ a f

+ F~y = ~ / ( 1 2 7 0 N ) 2 + (2841 N) ~ = 3 1 1 2 N eva

-

1

f) M = F r l - 12 - ll eva F=

dl 2

Mroll = 3 0 0 0 0 N . 0,O5 c m . 0 , 0 2 5 m = 75 Nm upcm

F1 = 2 2 1 5 N

FA = ~ A x

f

=F r

F G = 500 N

M(12 - ll eva)

70Nm (90ram - 30mm.1,965)

r l ( e va - 1)

0,1 m . 3 5 0 m m . 0 , 9 6 5

b) siehe Ansatzgleichung in Teill6sung a!

Fcosc~r=FGf

Fsinaf

= f F G - F s i n c~ 3 0 0 0 N - 500 N 9sin 30 ~ r F cos c~ 5,4 cm 500 N ' cos 30 ~

F = 64,36 N

R o l l w i d e r s t a n d [Iqollreibung) 379. a) Lageskizze

5,4 cm "sin 30* + 25 cm 9cos 30 ~ 5,4 cm - 2255 N

i

o

~

~s

r=34,3cm;

d=2r=686mm

385. a) Lageskizze

Krafleckskizze

~M(D ) = 0 = F G sin a 9r - - F G cos 0:. f F G sin a f =r~ = r tan ~ = 5 c m - tan 1,1 o = 0 , 0 9 6 cm b) f = r

tant~ ~

f

tan~= 7

f 0 , 0 9 6 c m = 2 199 ~ c~= arctan 7 = a r c t a n 2,5 c m '

;N e~ F N = F G s i n 4 5 ~ = 1 8 k N - s i n 4 5 ~ = 12,73 kN b) F = 2 F N f = 2 - 1 2 7 3 0 N . 0 ' 0 7 c m = 9 9 0 N 1,8 c m 95

4. Dynamik 0bungen mit dem v, t-Diagramm

413.

7rd~ 4 0 0 . bis 4 0 4 . siehe Aufgabensammlung S. 201 !

d] m t_2,5mm.l~ m 02 = 01 d-~2= 2 ~- ~ j = 3,125 T

Gleichf6rmig geradlinige Bewegung 405. As

km 1500 sm. 1,852 ~ ~ - 7.2-~ i ~ = 14,84

v=At

7rdl

-7- 02= ~ - o l

rrd~

d] m (2,5 m m l 2 m 03 = 01 d~ = 2 T \1,6 mm} = 4,883 ~-

(sm = Seemeile) 406.

As V=At

h sinaAt

40m sin60~

= 1'026 m T

m

A2p

60000 kg

l b) V = 8 A t

631,7 m

631,7 m m 8 . 5 0 r a i n =1'579~mm

415.

lO cm 8m - f f - = 2 , 9 9 8 . 1 0 ~-

a) /Xsl = 02Atl

I

As1

1, 5 " 1 0 9 m 2,998 9 lO s ms

&t

=

(o,1 1 m) 2" 7850 mk~g3

408.

c=A.s~At=~s

414. a) m = V p = A 2 l p ~ l l=

407. m 92 m As = 0,6667 m = 40 0 = A--)-= 138 s mln

c=2,998.10

rrd]

m =4,122 T

5,003 s

At1 =

02

30 km

i

~5zJst--

T 2 A t ~ = ~ h = 40 min

409. As lm m -- = = 0,0833 -wa) v = A t 12min mln

b) As1 = v l At2

b) A t = A s = 3,75m =45rain in 0 0,0833 Tun

At2 = 01

AS1

~dt7 ~'3

~tz

!

/

1~

/

Z~A@'~t~"

t

20kin km 18 T

At2 = 1,11 l h = 6 6 , 6 7 r a i n 410.

c) At3 = Atges - At2 - At4 7rd 2

qv = ~-

4 qv

v ~

4.4,8.102~ 0=

AS2 1 0 k i n 1 At4 = ~ = 30 '~m = ~ h = 20 min

V = Trd2 m m 3819,7 ~ = 1,061 s -

7r (0,4 m) 2

Asges 3 0 k i n Atges = ~ = 18 k m = 1,667h = 100 min

I1

h

411. 2As vat 3"10s~ ~As=~ = v=~ As=30km 412.

rrd 21B

a) V = A l = - l=

4

At3 = 1 0 0 m i n - 66,67 min - 2 0 r a i n = 13,33 min "200" 10-6 s 2

.

7rd 2 lB ~l=

~r(30 cm) 2" 60 cm 4 . 2 5 cm 2

416. .

.

.

9ogien

4A 1696 cm = 16,96 m

fndo

Wagen 2 m u g in der Zeit A t einen u m A s = 2" 50 m = 100m l~ingeren Weg zuriicklegen. AS2 = AS1 + AS

b) o =

- -1

At

~

__ 1 16,96m &t~-- - ~v- - = . i,3 ~

=

13,05min

v2At=vIAt+

As ~

IB 0,6m =0,046 m. ' c ) o = A~ = 13,05 min mln

A t = 0,1 k m 5 km = 0,02 h = 72 s h

96

AS

At=v2_vl

111/11

Dynamik Gleichmhgig beschleunigteoder verz6gerte Bewegung 417.

As =

424.

m

AvAt

6T'12s

2

Vo o t At -

2As

a ) II. vt = ~ -

418.

AvAt

As=

~

2

2As At= Av

419.

2-100m 10 m s

a - ,t 2

18 ~

0,3 T

0,25 s

0,25 s

i

- Oo

m m _ km - 3 , 1 6 7 s = 0 , 8 3 3 3 ~- = 3 ~ -

2-5m

20s

ot = - 2 ,-5 s

2As O o - ( ~ 7 - - Oo)

m

Av

'

-

(Vo + vt ) A t II. A s = - 2

= 36 m

2

AO At

[.a

b) II. i n I .

,~t (~t) ~ m 2 (3,167 T " 2,5 s - 5 m) m a= (2,5 s) 2 0 , 9 3 3 3 s~

Ih

ok,~t..N

2(voAt-As)

a=

425. Av

420. Av

I.a=g=At

Vo

I. ~ = A ~ = a t

II.h=--

Vo A t

It. A s = - 2 -

O~_~t ~

a(At) 2 As= T

b) I. i n l I .

3,3 s ~ ' ( 8 , 8 s) 2 2 =127,8m

o

2

I. A t =

m 40 T m = 4,077 s 9,81

vt g

km

T

vt

vt A t

-t a)

m a) I. V o = a A t = 3 , 3 ~ - . 8 , 8 s = 2 9 , 0 4 m = 1 0 4 , 5 s~

vt =At

m 40 T" 4,077 s b) I I . h = 2 = 81,55m

426. 421.

I. a = g v~

I . a = g = A t Av = AVo t ~ vo A t II. A s = h = ~ - II. in I. Vo = g 2h ~-o ~

~

At=

Vo

v0

II.

2h

IIl.

02 = 2gh IV.

Vo= 2 X / ~ = X / 2 " 9 , 8 1

m~'30m=24,26

Av

Vo

v l

At

At

~

g=

At1

At

Vt a

vt At

O At' t .I

(Vo + vt) At1 2

m~a) I. in III. h

422. Av At

.u

h = vo A t 2 hi

*esamttt~cheh

v~ _ ( 1 2 0 0 m ) 2 = 7 3 3 9 5 m 2g 2-9,81~

Vo 1200 m b) I. A t = g - - = 9- , 8 1 fm i = 122,3 s

70 m 3,6 s m = 108 s 0,18~

c)II. v t = v o - g A t l ;

i n I V . hl=vo A&

g(Atl) =

2

20o + 2h1= (At1) 2 - ~ - At1 g 0

423. v, t-Diagramm s. L6sung 420!

( A t l ) 2 -- 2 4 4 , 6 S" At1 + 2 0 3 9 s2 = 0

I . a = A v = Vo At At II. A s =

II. in I.

Vo At 2

2As ~At=-Oo m2 v~ 1 ~_ _

a=2As

2"0,5m

= 1 _m

s2

Diese g e m i s c h t - q u a d r a t i s c h e GIeichung ftihrt zu zwei Ergebnissen: Att = 8,64 s u n d At2 = 2 3 6 s. B e i d e sind richtig, d e n n n a c h 8,64 s erreicht das G e s c h o s s die H 6 h e v o n 1 0 0 0 0 m b e i m Steigen, u n d n a c h 2 3 6 s befindet es sich b e i m Fallen w i e d e r in 10 0 0 0 m H6he. 97

Dynamik 427. I. a = Av At

a) I. v t = g A t O0

/)t --

I. inII. h = g (~A t ) 2 - + A t = V ~

At

(Vo + ot) A t lI. A s = - 2

O~_At ~

-t

A,-- V

=

a) Nach At aufl6sen, gleichsetzen: I.=II. At=

vt - Vo a

m

- - -

v o + Ot

c) Nach der halben Fallzeit ~ ist der Weg A& (senkrecht schraffiert) zuriickgelegt, die H6he Ah tiber dem Boden entspricht der rechts davon liegenden Trapezfl~iche (waagerecht schraffiert).

~-(30 ~,6 m)2+2.1,1s~.400m

vt = 30,81 m ~- = 110,9 ~ -

b) I.

At=

30 m 3,6 s

1,5 9 2 9 , 7 1 T " 3 , 0 2 9 s

Ah -

=20,44s

m

a

1,5vtAt 4

(Ot + 0,5 Vt) A t 2 2 m

III. Ah

m 30,81 ~

vt - v o

m

b) I. vt = 9,81 ~-- 3,029 s = 29,71 ~-

2 As

vt = x/~o + 2a As 0t =

= 3,029 s

4

- 33,75 m

1,1~

d) wie c) nach v, t-Diagramm 428. v, t-Diagramm s. L6sung 424! Av

].a-

e) Nach A& ist der zurtickgelegte Weg (Dreieck 0-A-B) gleich dem Abstand zum Boden (Trapez A-C-D-B). va g=A'71~ ~

Vo - v t

At At (Vo + vt) At II. As 2 m 1,4m - 0 , 3 T 0,8~m 5

Vo-V t a

a) I. At

b) I I . l = A s =

h

1,375 s

(1,4 m T + 0,3 m T ) 1,375 s

viA& =T ~

h =g(Ati) 2

At,=]/-~-= ~45~mm =2,142s 9,81 7 431. v, t-Diagramm s. L6sung 427!

2

AO

Ot -- Oo

I'a=g=At

l = 1,169 m 429.

At

v~

(vt + Vo) A t 2

II. As

2As Vo = ~ - - vt

v, t-Diagramm s. L6sung 424! m

AV Vo - Vt At At (Vo or) At II. As 2

As

I.a

a) I. = II. vt = ~

+

2As b) II. A t = v o - -or + --

II.h =

Av At

1,5 ~ + 0,3 m

vt A t 2

-

1,5~

2,222 s

432.

= 0,54 s~

Av 2 Vo ~ - = ~ - 7-

I.a=g=

II.h =

2 Po At

t

4

-v0 h z t _ L ~_tJ

At

gAt a) I. vo = 2

m

9,81 ~ - 8 s 2

39,24m

in

b) II. h = 98

2

= 2,222 s

m

1,5 T -- 0,3 T

Vt

2

m m b) I. vo = vt - g A t = 26,02 m _ 9,81 ~-- 1,5 s = 11,31 T

2.2m

430.

I.a=g

+

28m +9'81~'1'5s

m v t = 26,02 ~-

m

V0 0 t At - -

a) I . a =

gAt

39,24 T " 8 s 4

78,48 m

Dynamik 435.

433. Av I. a = A t

v Ata'

Atl =

V

II. ASges = v Atges - As1 - As3 III. As1 =

tT~ As7

vat1

~

IHeli] .I

i) 2

~tr~ ')

ol-~Ato

I. in III. As1 = ~ a

~

V2

II. Asges = V Atges- 2aa - A s 3

AO

2a

OB

OB

I. a = - - = - - - * A t l = - At Atl

V2

vAtges + ASges + AS3 =O

a

II. As = vBAtB --2Asa

v2 - 2aAtgesV + 2a(ASges+ As3) = 0

Ill. Asa =

OBAt I v~ 2 ; l. i n I I I . As~=~aa

In

v 2 - 144 ~ - ' v + 2200 ~22 = 0

4a

a) Ill. in II. As = VBAt B v = 72 m _ 54,63 ~m = 17,37 m ~- = 62,55 k~ m -

2

As+ vw a At B

As + OB --

VB

OB

434. 200 m

Voriib erlegung:

At B =

Atges = 3 A t + 2 Atp

At

At=

a in

0,1 - -

S

S2

=210s

v~

z~t~.-

14

m

1m

b) Talfahrt ~ rechter Trapezfliiche, Auswertung erfolgt in gleicher Weise:

; ~l]illll]l~

Atges - 2 Atp 3

1 s

+

60 min - 6 min 3

AS2 = 2a ;

AtT

A t = 1 8 m i n = 1080s

v~ AS=VTAtT--2As2=VTAtT

=-VT AS § UT a

a

200m 1,5 m/s + = 148,3 S 1,5 m/s 0,1 m/s 2

Teilstrecke As = 6Okm = 2 0 k m 436.

I. a V

V

III. As = v A t - Asl - As2 IV. ASl V. As2 =

vAt~ 2

2al

v&t2 2

v2 2a2

V2

oI~.~dt ~

"-t

=

Av At

v2 At2

v~t2 ~Br~A

II. ASl =Ul At

l ' f~ v,

III. As2 = v2 A t - As3 Die Wege As I (Rechteck) und As2 (Trapez) sind gleichgrotL

L ~

/rHHHHHvz l ~

~_

dt~

v~ IV. AS3 = ~

IV. + V. in Ill. A s = v A t

v2 A t 2 = ~-

02

02

2al

2a2

(Dreieck O-A-B)

a) IV. in III. As2 = v2 A t -

v 2 {\ 2aa2l+aa2l]~ _ v A t + A s = O

o22 v~

2Atala2 V2

V a~ + a 2

I I . = III. vl A t = v2 At - ~a

2a~a2 As +

- - = al +a2

0

v 2 - 2 4 3 m v + 4500~22 = 0 km rfl m v = 121,5 ~- - 101,3 ~- = 20,2 m = 72,71 ~ -

v~ At= 2a(v2-Vl)b) II.

m 2

(55,56 T ) m 2.3,8~(55,56 TM - 5 0 m) m

A S 1 = A s 2 = v I A t = 5 0 ~ - 9 73,1

=

73,1s

s = 3655 m

99

Dynamik 437.

c)

AV 0 I . a = A t - At2

At= Atl + At2 + At3

o At2 =

vat2 2

II. As=vAt~+

I. A h =

As=vAtl+2~

2+6,12mo-408J=0 =

- 3,06

sm+ 20,43 mT

5,426m-0,2~3 m

02- 01

V{~Ate~

A b s t a n d l = As2

L,~ Iff~zr........

I Vz ~ ~z~s~=Zesm~ ..... :::"~:: .......

As3- (v2-vl)At2 2

~

_

l

l. . . . l .

l

As1 vl

a) II. At1

i. aa=Av

02

-

Asl = 2 7 , 7 8 m

'

i n l I I : Ass =

2a

02 -- 0 1 ) 2

III. = IV. As3 -

2a

(02__01)2

Bremsweg As2 (F1/iche l. a 2 = Av

02At1--As2

~) _2 m 2(25 T m .6,25 s- 150m)

V2

-

-

O2

II. a3 = A t

-

-

vAt2 2 m 2

01

At 2

AV

v

II" AS2 = v A t 3 + I. i n I I .

439.

O-B-C-D):

v

(5 m 2

a=2(v2atl-As2)

Z~O

vz (16,67 sin--)2 = 2 a ~ = 2 . 5 TM _

2

(02 - 0 1 ) 2

a

1. a 2 = A t

O-A-D):

S2

6,25 s

01

-

1

v

vat1

s

b) I. A t 2 -

AS

l

II. A s l =

125m 20 m

-

Bremsweg As1 (Fl~iche

IV. As2 = v2 At1 - As3

2 (16,67 T ) O m ~a2a2=16,67~-.ls+-2 "3,5 AS2 = 5 6 , 3 5 m +

/\s2=vAt3

l = As2 - As1 = 56,35 m - 2 7 , 7 8 m = 2 8 , 5 7 m

03

At3 ve

III. As1 = v l A t l

_ _ 441.

V 1 + 02

IV. A s 2 = ~

Av At2

I. ~

t 02 + 03

V. As3 = ~

=g = ~

I1[I I[11[Jt~z~l v~ _

vt

=

At~

0t

II. a2 = At2

Ats

vtAt I

02 -- 01

Ill. As1 =

a) I. A h = a2 ( 0 2 + 0 1 ) ( 0 2 _ 0 1 ) in IV. As2 = 2a2

2

1)22_/)12

2a2

02=~/2a2 Ase + V21=d2.2 ~ . Vm +(1,2 m m

otAt2

IV. As2 =

2

V. As2 = h - As1 ; S u m m e beider Wege = Fallh6he h

02 = 5,426 ~02

b) II. At3 =

-

-

Ot

03

I. A t l = ~ - ;

a3

(02+ inV. As3-

0~) (0~ - 0~) v~ - 0~ 2a3 - 2a3

(5,426 m ~-) 2 -

(0,2

V. As2 = h - ~g-g;

m

2-3;5

II. At2 = ~ ;

m ~-) 2 4,9 m

2 0t

inIII. Asl=~gg; 2 Ot

Ut

100

- 1,742 s

17,37 m ~- = 62,53

As1=vlAtl

A.S3 =

m

440.

I. a = Av

III.

=2,113s

A t = 3 0 s + 2 , 1 1 3 s + 1,742 s = 33,85 s =

438.

II.

v2-03 a3

II. A t 3 -

Ill

5,426m-l,2s m 2 s~

a2

v2 + 2aAtl v - 2aAs=O

v

36m 1,2m =30s

v:-vl 1)2

I. i n I I .

As1 -01 - =

III. A t 1 =

2

v t d u r c h II. u n d IV. ersetzen 2 Ot

in IV. As2 = 2a--~ ~

i n V . einsetzen

in V. einsetzen

2

vt = 2 a 2 As2

Dynamik

V. A s 2 = h -

2--~----~As2 h

AS2 =

(?) 1+

443. =h

Steigen:

18m a2 =

AO

1 + 9,81m/s 2

1 + g-

/mi ~-steigen ~fnl~ ~ bremser~

Vo

1.g= kS = k3;,

=3,545m

40m/s2

II. As1 =

Vo At1 2 in

442.

Vo _ 4 T a) I. A t l = g 9,81 rfl

Oo

I.

g

At~ O t --

I1.

g =

III. A s 1 -

x

x

At1 = 0,4077 s in 4 T " 0,4077 s II. As1 2

O0

At2

x

Vo At~ 2

x

x

x

x

As1 = 0,8155 m

x

Fallen: 0 o +/9 t

IV. As2 = ~ A t 2

x

x

Av At

x b)g

V.

At= 2At~ + Ah 5 Unbekannte:

x

x

At~

At2

vt At2-At~

v t = g ( A h - At1) = 9,81 s~ (0,5 s -- 0,4077 s) Vo

vt

S1 vt = 0,905 m

Die Tabelle zeigt, da~ II. und IV. die gleichen Variablen e n t h a l t e n und daft vo a m h~iufigsten (in I., II., III. und IV.) auftritt.

flbvalrf

c) As2

(abwarts)

vt (At2 + At3 -- At1) 2

rn 0,905 T " 0,3423 s 2

AS2 = 0,1549 m

Folgerung: .

II. und IV. miissen iibrigbleiben, n a c h d e m A t 2 mit Hilfe der anderen substituiert w o r d e n ist. Als erste Variable ist vo zu bestimmen. III. k a n n zun~ichst nicht v e r w e n d e t werden, da sie die V a r i a b l e Sl enthhlt, die in keiner anderen Gleichung auftritt.

Oo

2 Vo

T+At2

~

444. AU

At2=At-

2Vo T;

in II. und IV. einsetzen:

lV" As2

2~o ~ At--- g ~ 1 7 6 127 6 gAt

{

vt=gAt-v~

At2vo~

i n l V . einsetzen:

vr

IlL Sx = Vx A t

Ot -- 120

II. g =

Vy

I.g=sT=k7 oy A t II. h = ~ --

I. At1 = ~-; in V. einsetzen: V. A t =

Waagerechter Wurf

O~.~_dt

Sx

a) III. A t = v-7; in I. und II. eingesetzt: gSx I. o y = - ~ -x

~-)

II.

gAt 2

A ~ =--y- ~ A t - 7 - ) = ~ - - - O o A t

Oy sx h=-2Vx

gSx2 gAt As2 9,81 s ~ . 6 s a) IV. uo = T - ~ = 2 b) II. v t = g A t - v o

60m 6s

19,43 m

m m = 9 , 8 1 ~ g . 6 s - 19,43 m T = 39,43 ~-

I. i n I I . h = ~ - = ~ 2 Vx

g(Sx) 2 ~x

9,81 /lOOm = 0 , 1 9 6 2 m

h = ~ . \ ~ ] o

c) h = A s l + A s 2 v~ III. As1 = 2 g

~1 -t

in 2

(19,43 s ) 2.9,81 m

h = 19,24m + 6 0 m = 79,24 m

19,24m d.h. der Abstand h' betr~igt nut noch ein Viertel des vorher berechneten Abstandes h. 101

Dynamik 445. AO

b) Vx = ~

Oy

I. g = X T = X7

2

2 "9,81 s~

v~

O~-zlt~,~

2h

I.=II. Vy=gAt= ~

-t

Schr~ger Wurf ~

At=

m _/2-4m = 2 7 - V_~S~-m =1,806m 9,81 b) 12 = ll - Sx = 4 m - 1,806 m = 2,194 m a) III. S x = U x A t = v x

Av At

v

Vy At

448.

Av I.g = At

Vyo M

lI.s=VxAt

2

~ - s ~ _

2 Vyo At

o

gleiche Zeit At fiir beide Bewegungen,

446.

~ 1 1 ] -t

~.~_A-'tt~ t ~

Vy = g A t

vy A t

II. h =

2g vy

III. Sx = Vx A t

I. g

(1,329 m) 2

h2 = 0 , 0 9 0 0 m = 9 c m

vy A t

II. h -

2 Ux h2 =

~

2Vyo

I. A t =

2

III. Sx = Vx A t

I.=II.

II. A t = - -

g

s

Vx

2VyO = s g v~ ;

Ox = Vo cosa / einsetzen Vyo = v o s i n a /

g (A 0 2

I. in II. h =

~ A t = ~

2

b)

250m 1 / 2 . 5 0 m 3,6s " i/ 9,81 m = 221,7m

---

a) III. Sx =vx

2 v~ sin a cos a = gs

III. 2 sin a cos a = sin 2 a g$

III. in I. = II. sin2a = - -

gs m ] :X/2X/2X/2X/2X/2X/2X~=V/2.9,Sl~.SOm 2 a = a r c s i n ( ~ 0 ) = a r c s l n ~ " [9'81m/s2"5m\~e~mm2/~

I. V y = g A t = g m

Vy = 31,32 ~-

v = ~ 2+ = 2

X/(69,44rn2 s ) +(31,32 ms ) 2_- 7 6 , 1 8 ~m

L6sung ist as = 83,7 ~ der kleinere Winkel ist die zweite L6sung der goniometrischen Gleichung abet keine L6sung des physikalischen Problems.

v = 274,3 ~ m Vy 31,32 ~tan a = - - = m = 0,4510; Vx 69,44 s-

a = 24,28 ~ 449.

447. v, t-Diagramm s. L6sung 445 ! AO

2a = arcsin 0,218 = 12,6 ~ und 167,4 ~ a = 6,3 ~ und ~2 = 83, 70

V2osin 2 Smax = -

Vy

I. g = At- = A~-

Oo

g

l xgs/~T~ma / _ 9,81____~.90m m = V sin2a - I / sin80 ~ =29,94~-

1)y A t

II. h = - -

2

III. Sx = Vx A t 450.

At in III. mit Hilfe von I. und II. ersetzen: 2h I. V y = g A t ; II. Vy= ~ I.=II. g At = ~ Sx

a)

III. v x

At

~

l l = Sx --

~

12

7

12 = h cot a = 1455,9 m

At= Sx

Ao

2//~h~

Oyo - Oy

I. g = A ~ - =

At

Oy 0 + Oy

Vx=Sx ~ 2 ~

102

=0'6m V 2"~m

i1=13

9m

III. Sx : v x A t

~-5i'"":]

"7"

Dynamik 2h I. = II. vy = Vyo - g A t = ~ - Vyo

2 v,, o ~ (At) 2 - ~ - A t +

=

sina v y = v o s i n a - g A t = V o S l n9a - g ~ [ 2 v o-g-

II.

Vy = g Atges -- Vo sin a in III. einsetzen:

0 III.

At= W

-

Atges )

g

h

2

--

Atges

g h = Vo sin a Atges - g (Atges) 2

in III. eingesetzt: Vo COS (~

III. Sx = ~ f f - - -

h = 100 r e ' s i n 6 0 ~ 15 s

(Vo sin a - X/Vo2 sin 2 a - 2 g h)

9,81 f f ' (15 S)2 2

h = 195,4 m 6OO

ms. cos 7 0 ~ ( 6 0 0 m . sin 7 0 ~ _ --X/(600 m ) 2 . sin270 ~ _ 2" 9,81 ~ " 4 0 0 0 m) 9,81

Sx

Sx= 1558,9 in

Gleichf6rmige Drehbewegung

ll = sx - 1 2 = 1558,9 m - 1455,9 m = 1 0 3 m 453. 451.

u u = ~ dn = n . 0 , 0 3 5 m 9 2 8 0 0 min -1 = 3 0 7 , 9 &

a) Sx:OxAtges:VoCosaAtges

Sx = 100 m . c o s 6 0 ~ 1 5 s

2 ~sx:-

o u = 5,131

~-'%o,

m

~t 454.

Sx = 7 5 0 m

z t 1 n = A--7= 24~-~ = 2 4 . 3 6 0 0 s

v

Vu=2~rn; vy0

Vu = 2 7 r . 6 , 3 8 . 106 m

b)

*7 vy

1 24. 3600 s

464 m s

455.

v u = ~ dn = 7r. 1,65 m " 3 0 0 0 min -1 = 1 5 5 5 0 m .

rain

vu = 259,2 m 456. a) Die Umfangsgeschwindigkeit ou ist gleich der Mittelpunktsgeschwindigkeit VM : I.

Av

Vyo

g = At

At s

X

X

Vu = VM = 25 ~-~ = 25

Oy0 -- Vy

II.

g =

III.

h =

IV.

Vyo =

At

X

X

X

X

X

(Oy0 + Vy) A t 2

Vo sin a

x

X

X

V. Atges + A t = 2 A t s 5 Unbekannte

Vy0

Vy

h

X

X

At s

At

Zielgr6ge h n u r in III. enthalten: H a u p t g M c h u n g ; weitere u n b e k a n n t e Gr6t~en mit Hilfe der anderen Gleichungen ausdriicken. IV. entt~It n u r Vyo u n d k a n n in I., II. u n d III. eingesetzt werden. V. liefert mit I. einen A u s d r u c k fiir A t , der in II. u n d III. eingesetzt wird. I. A t s = At

Vo sin a g 2 Vo sin a g

b) v u = 2 Z r r n = ~ d n vu n = 7rd

103 m 3 , ~ - - 1-~ s

6,944 m

1" = 25,4 m m = 0 , 0 2 5 4 m

6 , 9 4 4 ms 1 7r. 2 8 " 0,0254 m = 3,108 ~ = 186,5 rain -I 1"

457. 7rdn v = 1 ~0 0 0d = -

1000v 7rn

1000.37 mm =47,11 mm 7r-250

458.

~rdn

60000 v nn

v =60000~d=

60000-40 ~-mm=272,8mm

459. a) Vnutz = 2 Vteil 7r$ 2 2 7rs ~ - ( d a - d i ) = 2 ~ - (d2m - d i 2)

inV.: At=2Ats--Atges 2~ Atges

in II., III. einsetzen:

dm=

=

~ ( 4 - 0 0 m m ) 2 + (180mm)2 = 3 lOmm 2

103

Dynamik 7rdn

vu

b) v = 6 0 0 0 0

c) C o a = l z + r

60000 v = 60000 = 1432 min -1 rrda 7r. 4 0 0 3 0 min -1

nl =

0,377 m 0,6m+0,15m

vu

0 , 3 7 7 ms

6ar =12-r

0 , 8 3 7 8 1 = 0 , 8 3 7 8 rsa-~d

6 0 0 0 0 v 6 0 0 0 0 - 3 0 r a i n _ 1 = 1848 rain -1 7rd m - r r - 3 1 0

n2

_

m 0,377 T " 0 , 9 m

A~o 2 7 r r a d = 0 , 5 2 3 6 tad .10_4rad A~ = 12h h - = 1,454 s

Vs -

27r t a d = 1,745 -10 - 3 r a d co2= l h s co3-

Os ll Vu = 12 +---~

d) Strahlensatz:

460. wt-

0,6m-0,15m

tad 0,5027 1 = 0,5027 ~--

0,75 m

Vs = 0 , 4 5 2 4 m ~- = 2 7 , 1 4 m m

27r rad = 1,047 "10 - 1 L ~ 60s 466.

461.

a)

Vul = r i c o = 0 , 0 6 m .18,7 ~1 =

1,122

v~=Vu=~dlnl = l r - 0 , 1 1 1 m . 9 0 0 ~ l .

mm

m v r = 5,231 ~-

m

Vu2 = r 2 c o = 0 , 0 9 m "18,7 ~1 = 1,683 m

vu b)

2v u

(.a) 1 = ~-1 = - ~ 1

=

=313,8 ~m min

2" 5,231m =94,251=94,25 0,111m

Ou3 =r3co = 0 , 1 2 m . 1 8 , 7 ~1 = 2 , 2 4 4 c) i = n~ = d ! ' ~ di 462.

d2 = 0 , 4 4 4 m = 4 4 4 m m

120 m m a) OM = Vu = 3 ~ - "T = 3 3 , 3 3 ~Vu=rrdrl

~ t

n

n

=--

467.

Ou

Ird

a)

1 107,5

rad = 107,5 ~ - -

nM b) i = r/Sc h

As

3600m 4.60s

vu=VM=At

As

d=nz

nsch 1 0 0 m m ' 1 7 7 3 m i n -1 * d l = d2 ~ 9 6 0 min -1

m h~ 15 s - = 54 3600 m

rr.1750 0 , 6 5 4 8 m

Vr=Vu=rcdanM=rr'O,1847m ' 9 6 0 1 = 5 5 7 , 1 m nun

ou 15 m rad c) co = 7 = 0 , ~ 7 4 m = 45,81 - T 464.

468. nl n2

b) d l

d2 dl

d2 i

C) O r = 0 u =

z 0,5 = 0,0625 1 = 3,75 rain -1 a) n = A~- = 8~-

nl 1420 min -1 ~ n2 = ~ - = 3,~ = 4 0 5 ' 7 min -x

320mm 3,~ =91'43mm rrdl

n 1 =

0" 0 , 0 9 1 4 3 m " 1420 1.nun = 4 0 7 , 9

m

Vr = 6 , 7 9 8 •

0,3927 L ~ 469. Zk

Us

c) Vu= c o r = 0 , 3 9 2 7 1 . 5,4 m = 2,121 m

i = Ts = Ukk (z Z~ihnezahlen, u U m d r e h u n g e n ) ;

465.

80O Us = 3 6 ~ = 0 , 2 2 2 2

a) r k

~rn 30

r 92 4 r a d = 2 , 5 1 3 rad 30 s X-

b) Vu=COk r = 2 , 5 1 3 - 1 s ' 0 , 1 5 m = 0 , 3 7 7 m

104

min

m

Or = 9 , 2 8 6 ~-

a) i

A~O _ 7r rad At 8s

d2 dl

dl = 184,7 m m

463.

b) 6:

26m 1 - or- 0 , 2 8 m = 2 9 , 5 6

nsc h = 1773 ~ = 1773 m i n -1 mm

C)

b) A s = I r d z ~

Vu

Vu =7 r d n ~ nsc h = ~

in

33,33 T 1 - =17,11 = 1 0 2 7 r a i n -1 rt " 0 , 6 2 m

Vu 33, 3 3 m . .m b) 6o . r. . 0,31

a)

n~ = 0,111 m . 9 0 0 r a i n -1 d2 = d l n2 225 min -1

z s = 8 5 - 4 = 3 4 0 (fitr vollen Zatmkranz) Zs 0 , 2 2 2 2 93 4 0 uk = Us" ~k = 14 = 5,397

Dynamik 470. i=

nM

dT

//1,2,3

dl,2, 3

474. d2 i. . dl

dT 200 mm d l = nMM' n l = 1500 ~

d2 = 0 , 1 3 3 3 r a m . m i n . 4 5 ~ = mm

200 mm . 40 mm

5

h 350mm Z2=P = 9mm =38,89

1 3 3 , 3 3 min

dl = 0,1333 ram. min- 33,33 ~

.

= 4,444 mm

zl i=~ ~

(Anzahl der Kurbelza = i z : = 5 . 3 8 , 8 9 = 194,4 u m d r e h u n g e n )

475. u =nP~n

6 mm

42

mm 0~=105 4 mm

u P

d3 = 0 , 1 3 3 3 m m . m i n - 78 ~ = 10,40 m m mln 476.

z2z4 9

/ges=

v 7rd

n4

nl =

ZIZ3

_

//4_

180 ~ i n 7 r . 0 , 6 m = 9 5 , 4 9 min -1

z 2 =

477.

~rdn a) v = 1000

na z1g 3 ~

1 . = 1 0 5 m i n -1 nun

u - 1 4 2 0 - = - = 71 m~n: mln mlil

u=sn=0,05 471. o = ou = n d n 4 ~

(z2 Anzahl der Spindelumdrehungen)

H4Z4

1 4 3 0 min -~ - 17- 17 z2 = 9 5 , 4 9 min -1 . 86 - 5 0 , 3 2 ~ 5 0 Z~ilme

1000 v _ 1000.18rain_ 1 7r d n . 25 = 2 2 9 , 2 mJn -1

n

mm b) u = sn = 0,35 ~ - .

229,2 ~ = 8 0 21 m m mln ' min

472. a) i

z2z4 zlz3

60.80 1 5 . 2 0 = 16

nM b) i = ~ ~

nT

nM i

478. 9 6 0 m i n -~ 1 ~ = 6 0 rain -1

C) 0 = O u T = 7 z d T n T = 7r-

0,3 m - 6 0 1 . = 56,55 m . mm mm

473.

~dn 1000

~r'100.630 m 1000 min

197,9

b) u = s n = O , 8 ~ - ' 6 3 0 - ~ l n = 5 0 4

mm

l c:u=At~At=u~--

0,3175 rain = 19,05s

a) v

=

l

160mm 5 4 mm 0

m mm

479.

a) V=Ou=Trdn 22 m 1 2 = _ rrd _ =

rr

'

7 m

zrdn a) v = 1 0 0 0 ~ =

2 ,4 9 4

--=

1 4 9 , 6 r a i n -I

b) v u = rrd2 n = 7r. 0,525 m . 149,6 1 = 246,79 ~in min m Vu=4,113 y Vu 4,113 ~ 1 rad c~ = ~ = 0,2625 m = 15,67 -~ = 15,67 - ~ ~ co~ = ~

4'113m =54,84 = 0,075 m

~M = , ~ d ,

b) s = ~

n

l _ 280mm = 0,1194 mm Atn 7min.335,1m_~n

480. l u=~----~Zxt

1

l

I

U

S//

S ~o

= 5 4 , 8 4 ~rad -At=~rldd

~.280mm-85mm = 5 , 4 3 8 min = 326,3 s 0,25 mm ~ - . 5 5 0 0 mm mm

m

~: 0- - 6 ~ m

8 , 7 2 9 -1 s = 5 2 3 , 7 rain -1

d2 525 m m d) "= - - = = 3,5 l dl 150 m m Kontrolle der Drehzahlen: i = i= 3,50

l At

U

su 4,1 13

1 0 0 0 u _ 1 0 0 0 - 40rain_ 1 nd 7r. 38

v = 335,1 min -1

c) v u = 7rdl n M Ou

n=

Mittlere Geschwindigkeit 481.

nM n

523,7 m i n -t 149,6 min -1

a) Vu = 7rdn = 7r. 0,33 m . 5 0 0 ~ i n = 5 1 8 , 4 mmin= 8 , 6 3 9 m b) o m

As At

2lhz At

2"0,33m'500=5, 60s

5m

105

Dynamik 482. a) Vu =

7rdn = 7r. 0 , 0 9 5 m - 3 3 0 0

1

m

= 984,9 --7 mln mln

Ih

b) Oma

lh 9 n " 3 6 0 ~

At a

o u = 16,41 m

3 6 0 ~ lh

f

a = 180~

2lha

1 " 0,095 m. 3300 60 s

b ) o m = A'-~- =

aVma

a s i n ' / = 12

r 100 mm 3` = arcsin ~ = arcsin 6 0 0 m m

10,45 m

9,6 ~

a = 1 8 0 ~ + 2 " 9,6 ~ = 1 9 9 , 2 ~ 199,2 ~ 20 483.

3 6 0 ~ 9 0,3 m

21hz ~ = At vmat lh=

m_

rain

2Z

7m.60s = 2'4000

1

= 3 6 , 8 9 ~2-:_ = 3 6 , 8 9 m i n -1

111111

Gleichmiigig beschleunigte oder verzfgerte Drehbewegung =0,0525m=52,5mm

486.

L o ~ Aco

cot

I. ~ = A t

484. r 150 mm a) 3' = arcsin 7- = arcsin 12 OUU m m

II. A~0 = - - ~

27 = 151,0 ~

~

In = 4 5 0 m m

rad = 25,13 ~-

rad

125,7 S-' 5 s 47r r a d

50 U m d r e h u n g e n

487.

A t a Zeit fiir K u r b e l d r e h w i n k e l a

a)

0,45 m 0,02419 min 13 n'360 ~

/'/= =

0,02419min

cot=aAt=2'3

tad.15 rad s2 S=34,5-~--

3 0 cot _ 3 0 " 3 4 , 5 = 3 2 9 , 5 ~ i n = 3 2 9 , 5 m i n -1

7T --

cotl b)

m 18,60 m - - l7n

151 ~ 24 ~iin'360~

cot At'

ffn cot=~

Ata a c~ - ~ - = 3~ 6 0 - - ~ a t a = T 3 6 0 0 a 209 ~ = n . 3 6 0 ~ 24 ~ i n ' 3 6 0 ~

Aco At

I.a

1 T = B Zeit flit 1 U m d r e h u n g

d) a t r

125,7r~-

l h = 2 ll sin 3, = 2 " 9 0 0 m m ' sin 14,5 ~

lh C) Oma = a t ~

Ata =

~1 =t

rad m aT = a t = 2 5 , 1 3 -~-"0,1 m = 2 , 5 1 3 s2

cotat c) II. z = 4 ~r

/h

~

125,7 S 5s

I.a= b)

b) s i n 7 = ~

7r.1200 rad 30 s

rad

a = 1 8 0 ~ + 2 3' = 2 0 9 , 0 ~

O~-dt

= 2rrz

7rn a) cot = 3 0

7 = 1 4 , 4 8 ~ ~ 14,5 ~ 3 = 180~

At

=

cot At

L 0 ~ I

t

O~At, At_~

.]-t

I. ot = At---m cotl A t 1 2

II'Atp1=27rz1= 0,01748min I. a t l = ~

0,45 m 2 5 m Omr = 0 , 0 1 7 4 8 r a i n = 5,7 m i n

~ot1 -

(cot,)2 i n I I . eingesetzt:

II. cot1 = ~

27rZl-

2a

= 4 4 7 r rad .2,3 rad.s 2 10 = 17 ~-rad

488. 485. r

lh

a) sin3' = ~ = ~

(s. L 6 s u n g 4 8 4 a u n d c)

a) cot

lrn 30 Aco

r =

106

/2 lh 2 ll

600mm-3OOmm 2 - 900 mm

100ram

b) a

=

30007r 30 co t

-A-t = A - t ' "

314,2 ~cot

At

a

314,2 ~11'2 adsT

= 28,05 s

Dynamik 489. Aco _ co ~ - 602 a = At At

I. II. a : :

w

dIIll

l

%,,

(co' + co )

ou 15 m 1 rad a) co= 7 = 2 , 5 m = 6 ~ = 6 - ~ -

~

III. A~o~ = col A t

b) ACa = 10- 27r rad = 62,83 rad

......

Ol~

At

_

,1 "7

I.

.~ rad

I. A t

al

2 A~oa V. Ata = ~

tad

2,004 s = 150,4 rad V. At3

2 . 4 3 ,~d 98rad

At2=Atges-AG-Ata At2 = 45 s - 20,94 s - 14,66 s = 9,4 s

d) VII. co

~1= hS- = ~

rad , IV. A~o2= co At2 = 6 ~ - " v,'~ s = 56,4 rad

CO

II.

VI. AtPges= 62,83 rad + 56,4 rad + 43,98 rad ACges = 163,2 tad

% = At--~

III. A~o~=

14,66 s

6

490.

Aco

in II. eingesetzt:

36 rad2 w2 s2 rad a a - 2 A~o3 2-43,98 tad = 0,4093 ~ -

II.

Atp = Atp~ - A~o2= 30,1 rad

I.

0,2865 rs~

c) Atp3 = 7 927r rad = 43,98 tad

b) III. A~pl= 90,06 ~-~" 2,004 s = 180,5 tad 150,06 ~ 2

S2

2"62,83rad

6 ~s

30,06 S rad = 2,004 S 15 s-T

tad

d)

36 rad2

2 -62,83 rad = 20,94 s

tad

a

c) II. A~p2

2Ar

III. At1

co~= -26- = ou q -

co~ - 0o2

in I. eingesetzt:

CO2

~rn~ r ad a) co~ = ~ - = 90,06 ~ - rr n2

2 Ar co

III. At1 =

coAta 2

e) F6rderh6he = Umfangsweg der Treibscheibe h = As = r AtPges= 2,5 m" 163,2 rad = 408 m

IV. A~2 = COA t2 V. Ar VI. VII.

=

492.

coat3 2

co, t-Diagramm siehe L6sung 486 ! m

A~ = Atpl + A~o2+ Atp3

at

A t : = A t g e s - At1 - At3 At:=42s-4s-3s= 35s

a) a

ACO cot b) a = A--]- = A~-

a) III., IV., V. in VI. eingesetzt: COA t 1

Ar CO=

~--

r

1 ~ = 2 , 5 1 =25tad__ 0,4m ~ ' s2

COA t 3

+ coat2 +

2

~t = aAt = 7r rad

Ar At1

At3

~ - + At2 + 2

rad

2 s + 3 5 s + 1,5s = 0,0816 ~--

c)

2

rad

rad

,5 ~ - - 10s = 25 --U

rad

m

VM=Vu=cotr= 25 ~ . O , 4 m = lOT

tad

0,0816 S rad b) I. ch = 4s = 0,0204 s-T-

493. w, t-Diagramm siehe L6sung 486!

rad

II. a3 =

0,0816 ~ 3s

0,0272

70 m

~rs

v 3,6 s =64,81 a) cot = 7 = 0,3 m

b) A~ = 27r z = 27r rad. 65 = 408,4 rad

491.

Aco cot cot A t c) I. ~ = A-~- = A--t ; II. A~o = ~ ~

co, t-Diagramm Siehe L6sung 490! I. a l

rad =64,81~-

Aco At

co At1

ACO co II. a3 = ~ - = ~ 3

tad2

Oo A/1

III. A~o~-

2

COAt 3

IV. A~02= COAt2

VI. A~Oges=A~01+A~o2+A~o3

VII.

2 A~ A t = cot

V. A~03=

2

Atges=Atl+At2+At3

(64,81 ~ - ) tad co2t II. in I. ~ = 2 A ~ - 2 . 4 0 8 , 4 r a d - 5,143 d) II. A t = 2 A t p = 2"408,4rado,~ = 12,60s cot 64,81 ~ 107

Dynamik Dynamisches Grundgesetz und Prinzip von d'Alembert 495.

499. o, t-Diagramm siehe L6sung 496!

Fr~

a) Fre s = m a ~

a = ~-

Fre s = t0 kN, da keine weiteren Kr~ifte in Verz6gerungsrichtung wirken

Av Vo I. a . . . . At At

Vo A t II. A s = 2

2As a) II. At = ~

in I. eingesetzt:

og I.

1 0 0 0 0 ks~

(0,05m)~

a=2A s

2"0,1m -0,0125~

m

a = 28000 kg = 0,3571 ~7

b) Fres = m a = 1250- 103 kg. 0,0125 ~ = 15,63 kN

(Kontrolle mit d'Alembert) 500. b) I.a

Av At

a) Fres = m a ~

vo

0o + 0t

oL~-,~t

Vo-Vt

I. = II. A t = ~

Nt/(( in

3,8 T)

2

a

m

0,2632

(Kontrolle mit d'Alembert)

II. A s = - T - - A t

ot =

1000 k s ~ 3800 kg

Fres

Vo-V t At

2As ~ = Vo+V~t

=1 =~

b) I.

vt A t

vt= x/~v~_ 2 a A s

m

a=A~V=At AtVt vt

II. A s = ~ - -

vt

Ill

- 2- 0,3571 ~ " 10 m = 2 , 7 0 2 ~-

o[~_~t~

I. A t = - -a

t

2 ot

II. As = - ~ 2a Vt = ~

496. a) I ' a = "v="~ A t II. As = Vo At

2As

_

501.

= J 2 "0,2632 s~" l m = 0,7255 m

b

mg~

s=~=l ma~

II. i n I . a = 2 A s =

2.2m

=69'44s~

gb a = Sh

b) F = m a = 75 kg- 69,44 s~ = 5208 N

in

9,81 ~/. 0,8 m

=

1.2m

m a = 3,924 ~497. F~es= m a ~

F a =

FG m

Fres

502.

a = ~-

(F-FG)g

(F-FG)g

mg

(65 N - 5 0 N ) . 9 , 8 1 a= 50N

-

FG

I./

in

o

m

T

- 2,943

ma

- Fw-

~g..~ F a = - - - (g sin o : + F w )

498. Lageskizze

m

Krafteckskizze

sin ~ t a n

~=

(....,~ a/~

Fw kgm

a

m

a=gtana=9,81~-.tan18

280000 s2

580000 kg m a = 0,1485-~-

T ma a tane =-- =-- =F G mg g o

40 N 1000kg

30 1000

=0,03

m 0,047-

(9,81 0,03+0,04 /

ill

=3,187~

s"

108

F - Fo sin

F-mgsino:-Fwm

(Kontrolle mit dem Dynamischen Grundgesetz)

Dynamik m

503.

Beschteunigung a = Av 1V m AT = ],25 s = 0,8

L6sung nach d'Alembert |. ~,Fy = O = F - m g - m a

F~F _~

Fu = 9,81 s~ (3000 kg - 1800 kg)

F=m(g+a)

v, t-Diagramm siehe L6sung 496! Av n.

a = A~ =

F u = 15612 N

At

Vo At

III. A s -

At=

2

IlL in II. a

0,8 m s (3000 kg + 1800 kg)

+

Vo

b) L6sung mit dem Dynamischen Grundgesetz:

2 As

Fahrkorb abw~irts: F a l wirkt in Richtung der Beschleunigung; Gegengewicht aufw~rts: FG2 wirkt der Beschleunigung entgegen.

Vo

vg (18 m) 2 m 2 A s - 2 " 4 0 m =4,05 s= 111

F = 11000 kg (9,81 s~-+ 4,057- ) = 152460 N

Fres=FG1-FGe=g(ml

Ansatz nach dem Dynamischen Grundgesetz:

Die resultierende Kraft mul~ die Massen beider K6rper beschleunigen.

F - Y G = m a F = F G + m a = m g + m a = m ( g + a) Fre s =

Fres = m a Fres

,o4

a=

f'

ol,e s i mass osund reibungsfrei bedeutet: Seilkr~ifte F1 und F2 haben gleichen Betrag: F1 = Fe

m~a

m

g(ml-ms)

-

m l + m~

ms)

ml

,~ -1 (vgt. L6sung 504!) - g-m-~ - m~ +1

3000kg 1800kg 1 _ g a = g 3000kg 4 -1800kg - + 1

~2~/rz~ a

K6rper 1 : ~ F y = 0 = F 1 + T1 F c 1 F1 =FG 1 - T 1 = m l g

mla

K6rper 2: ~ F y = 0 = F e F G 2 - T2

a=

9,81 s~ 4 = 2,453

(Kontrolle mit d'Atembert; s. L6sung 504!)

F2 = FG2 +7'2 = mag" + m e a mlg-mla=m2g+mea mea+mla=mlg--meg

506. m2

ml-ms a=g ml+me=g 1 - 0 25

1 - m~l m2

l + - -m l m

a = 1+0125 9 , 8 1 ~ =

5,886

m

7

(Kontrolle mit dem Dyn. Grundgesetz; s. L6sung 505b!)

a) ~M(H) = 0 = F v l l - Fc~ 12

FGl2

505. a) L6sung nach d'Alembert. Trommel: F I = & + Fu I.Fu = F 1 - Fe

Gegengewicht: ~ F y = 0 =F2 + m e a - F G 2 mea=me(g-a)

III. und II. in I. eingesetzt: Fu=ml(g+a) Fu = g ( m l - m e )

= - -

Ii

=

m 0,95m --. l100kg'9,81 s 2,35m

F v = 4362 N XFy = 0 = F h + F v - F G Fh = F 6 - / ; v = 10791N - 4 3 6 2 N = 6429 N

Fahrkorb: ~Fy =0 =FI-FGa -mla II. F l = m l g + m l a =ml(g+a)

III.Fe=meg

F~

me(g-a)

+ a (ml + m s )

b) L6sung nach d'Alembert ZM(H) = 0 = F v l~ + m a h - F G 12 20 m Fole mah Av 3,6 s 3'0868~ Fvl~ ; a-At 1,8s- = m

Fv= ~ ( g l e - a h ) 1 1 0 0 kg Fv = --2,35m

Fv = 3524 N;

(9,81 m

m

.~" 0,95 m - 3,086 72"90,58 m)

F h = F ~ - F v = 7267 N 109

Dynamik 507.

510.

a) 2; Fx = 0 = m a - FRO max m a = F N/20 = FG /20 m g /20 a = --~--

[a ~ } [ I-t = m g d

rad 207r ~ -

2" 0 , 1 2 0 3 N m 1 0 k g "9,81 m . 0 , 0 2 0 m

2,6.60s

0,1226

a = 0,4028 r~ s-

587.

b) M R = Mre s = J a

l a) M r e s = F ~ = J a ~

rad M R = 3 kgm=- 0,4028 ~-

t~

M R = 1,208 N m

B r e m s m o m e n t = restfltierendes M o m e n t Mres A t = J A w

Aco J =

400 N. 40 m rad = 8 " 10 -4 - 2" 10 v k g m 2 s2

ACO cot b) ~ = $ 7 = A~- ~

583.

~ ~rn 30

Mre s A t J= A--~r r . 3 0 0 rad 30 s

100 N m . 100 s = 318,3 k g m 2 1~u T r rad ~

120

rad 107r -g--

Fl a = 2~J

cot = c~Zxt

cot = 8 - 1 0 -4 r a d . 30 s = 2 , 4 . 1 0 -2 tad s s" d c) B r e m s k r a f t F1 aus Mre s = F1 ~ = J a l 2Jal FI= d cot I. a l = A~

cot A t II. A~ = ~

~o,t-Diagramm s. L6sung 4 8 6 !

Dynamik I. A t = ~

al

F = m g sin# + m a + m g tlo cos3

inII. eingesetzt: A ~ = ~

F = m [a + g ( s i n 3 + #o cos~)] m + m 9 o F = 10kg [3,398 ~ 9,81 ~ - ( s m 3 0 + 0,2-cos30~

tad2

2 LOt

5,76 - 10-4 - S2 -

2Atp

2(~mm) rad

F = 100N

rad a~= 11,52 "10 -4 s~-

590.

2 9107kgm 2 911,52-10 -4 s~FI =

m2red

oder mit Energieerhaltungssatz far Bremsvorgang: Erot E = Erot A - lYab

m2red = 5 k g

nl

c) Fre s = FG1 = m l g = 2 kg" 9,81 ~ = 19,62 N tad2

J m t2

lOVkgm 2 . 5 , 7 6 . 1 0 .4 s ~ =

- 576 N

2"5m

588.

F , V

Last:

~o

Fs=mg-ma=mg-mar

~

m~

Fs= T - = m g - m a r 7~=mg

mgr i x = -

_

m_l r ~

r~

,

Ja Fs= 7~Fy=O=Fs +ma-mg

m- l g-

-

m l + J2 - g m l r ~

~~ ] ~ ~

Fres a = rages

d ) / ? r e s = mges a ~ a=

a) Trommel: EM=0 =Fsr-Ja

J+

~ m ~mtg

(0,1 m ) 2

b) rages = m 1 + m2 red = 7 kg

Erot A AS

O=Er~

m ~

0,05 kg m 2

= 576 N

40m

Fa=2As

J2

a) m2 red = r~-2

rad

a

+ J2

= 19,62 N = 2,803 ~7 kg

Wird nach der Kraft F s im Sell w~ihrend des Beschleunigungsvorgangs mit a = 2,803 m/s 2 gefragt, ftihrt ein gedachter Schnitt unterhalb der (eingezeichneten)reduzierten Masse m2 red zum Ziel. Mit dem dynamischen Grundgesetz gilt dann: F S = m 2 red " a

FS = 5 kg" 2,803 m/s 2 FS = 14,015 k g m / s 2 = 14,015 N

mr 2

2500 kg" 9,81 s~ "0,2 m

_ 4 6 8 tad

4 , 8 k g m = + 2500 kg . (0,2 m) 2 -

'

s2

591. a) J =

b) a = a r = 4 6 , 8 r$a2 d . o 2, m _

--

9,361 m s~-

m r2

Vp r 2

7r r 2 s p r 2

2

2

2

~rr4sp

7r(0,15 m) 4 " 0 , 0 0 2 m . 7 8 5 0 kg

m3

J=

c) o = 2 x / 2 a ~ = x/@9,361 ~ . 3 m = 7,494 m 589. a) Mres = EM(M ) = J a - F R o m a x r

...,~1~.~

fROmaxr J

I S 1( 0 ~ '15m)2

= V 2- = I/

b) J =

~

0,1061 m

(R 4 - r 4)

Lg 7r" 0,002 m" 7850 m3 (0,154 _ 0,024) m 4 J= 2

-f-

S•

2

= ~-

m g cos31ao r 2 mr 2 = 2g/10 cos3

a =2-9,81

m (R2 + rZ) = (R ~ - r 2) 7rs p (R 2 + r 2) ?rsp

FRO max r2

a -

i

2

i = 106,1 m m

a= T a r

2 J = 0,012 484 k g m 2

m

Y = 0,012481 k g m 2 (d.h. Bohrung ist vernachl~issigbar)

90 , 2 " c o s 3 0 ~ = 3,398 ~

b) Ere s = Z F x = F - F G s i n 3 - m a F = F o sin 3 + m a + FRo max

i = ~ - F R o max

=

{(0,15m)~+(0,02m)

2

2

= 0,107 m

i = 107mm 121

Dynamik 592.

594. Einteilung: 1 : 1 Vollscheibe 2 : 1 Vollzylinder 3: 1 Vollzylinder davon abziehen: 4 : 1 Zylinder 5 : 1 Bohrung 6 : 6 Bohrungen

Einteitung: Groge Scheibe 1, kleine Scheibe 2,

J= mr2 2

Wellenrest3, Jges =J1 +J2 +Ja;

m=rrpr2h;

mit k = l r p = T r . 7 8 5 0

wird m = kr2h = 24 660 3

kg

=24660~-

r2h (fOr Bauteile

aus

Stahl). Damit k6nnen die Massen zylindrischer K6rper schneller berechnet werden (auch in den folgenden Aufgaben).

950,5 m X 0,06 m 950,5 m X 0,14 m 950,19 m X 0,24 m 950,46 m X 0,14 m 950,1 m X 0,3 m 950,08 m X 0,06 m (Steinerscher Verschiebesatz)

= 24660 ~ a r 2 h; r 10"am

r2

h

m

10-4m 2

10-2m

kg

1

10

100

2

4,932

246,61

2

5

25

2

1,233

15,41

3

1

1

5

0,1233

10-4kgm 2

0,062

593. Einteilung: Aui~enzylinder 1, Innenzylinder 6 2 VoUscheiben 2, 2 Bohrungen 5, Wellenmittelsttick 3, 2 Lagerzapfen 4.

in-

'~

r lO-lm

1

10

2

9,85

3

1

r2 10-2 m2

h lO-lm

100

9

97,0225

J kgm 2

22195

11097,7

957,1

6

148,0 94,7

1

4

0,8

0,64

2-3

5

0,8

0,64

2-0,2 -

6

9,85

97,0225

9

464,3

r2 lO-2m

h lO-lm

2,5

6,25

0,6

92,48

289,00

2,5

6,25

1,4

215,79

674,34

3

0,95

0,9025

2,4

53,42

4

2,3

5,29

1,4

7182,64

2 Bohrungen

5

"0,5

0,25

3,0

- i8,50

-

-

6

0,4

0,16

6"0,6

- 14,21

1,65

2,723

1 2 3

9 2 2,5

81 4 6,25

-

- 483,09 2,31 -

39,81 462,23

~

1/4,622kgm 2 = 1 / 1-~fi'~g =O,1777m=177,7mm

Jges = J 1 - J2 - 3 Ja

-10446,6

r2

24,10 -

595. Einteilung: Vollscheibe 1, Zentralbohrung 2, exzentrische Bohrung 3.

2 Scheiben 2 Zapfen

10 -4 m 2

Js+ml 2 10-2 kgm2

1

c) i =

0,30

r

12 10-2m

a) Jges = 4,622 kg m = b) m = 146,3 kg

0,02

10-2m

l lO-lm

2

tg rn = 24660 ~-~ r2h

r~

m kg

,/6 = 39,81" 10-2 kgm 2

0,74

6,3 -

-21534,5

mr2 2

146,34

mr 2 2

m kg

2.0,2

J =

/ r2 J6 = m6 ~ ~ + l') = 14,21 kg (0,08 + 2,723)" 10-2m2

Jges = J1 + 2J2 +Ja + 2,/4 - 2 J s - J 6 r 2 h (siehe 592.); J =

r lO-lm

['~

Jges = 0,02621 kgm 2

m = 24660 ~

(siehe 592.)

J

r 2

(siehe 592.);

J= m ~-

h 10-2m

m

Js

l

l2

ml 2

kg

10-4 kgm2

10-2m

10--4m2

10-4 kgm2

3 3 3-3

5,9928 0,2959 1,3872

242,71

Js+ml

2

10-4 k g m 2

-

-

+ 242,71

0,592

-

-

-

0,592

4,335

5,5

-

46,298

30,25

41,96

Jges = 195,8 910 .4 k g m 2 = 0,01958 k g m 2 a) Jges = 1116 kg m ~ b) m = 1854 kg

.

/3-

c) l = ] / m = V

b

~ ~

=0,7759m

Einteilung: Nabe 1, Segmentstiick 2

~

ml=rrlp(r2-r])

~

4(t~)

m l = ~r-O,02 m . 7850 ~-~ (0,02 - 0,01252) m 2 ml = 0,1202 kg 122

~-~

Dynamik r 2 + r] (22 + 1,252) 9 1 0 Jl =m ~ = 0,1202 kg 2

-4

m2

, Fw

40N 103kg

m

~rb p ( R 2 - r 2) 6

m 0,04sT

m;

J1 = 0 , 3 3 4 4 . 1 0 -4 k g m 2 m2 =

40kgm 1000kgs 2

312,5m

2 "0,04

(~ Hohlzylinder)

m v2

7r. 0,04 m - 7850 mK~ga- (0,062 - 0,022) m 2 m2 = 6

J to2

r

b) O=~+--~--FwmAs Igl r r 2

ms = 0,5261 kg

I=-T-,

R2 + r2 k g (62 + 22). 10-4 m2 J2 = m2 ~ = 0,5261 2

m 02

0=~

0) 2 = 0 2

r~-

m r r 2 I/2

--~

FwmAS

2.2r 2 mr

J2 = 1 0 , 5 2 . 1 0 -4 k g m 2 Jges = J l +J2 = (0,3344 + 10,52)" 10 -4 k g m 2 Jges = 10,86- 10-4 k g m 2 = 0,001086 k g m 2

v2 2F w

2xs

m+T m

v2 ( m r ) 2Fw l + ~ m

Masse m r flit 4 Riider:

47rdZsp

Energie bei Drehbewegung

mr=

= 7r .(0,9 m) 2 . 0 , 1 m 97850 ~

4

mr = 1997,6 kg

597.

(5 m 2 ~-) As=2.0,04s~

J

( 1,998 t ~ = 320,3 m 2-40t/

1+

7rnl 7r.2800 rad rad wl =~0 -= 3~ s =293,2~600. J 60] - 2 AWrot

60~=

s-

602 = i

145 k g m 2 - (293,2 ~ 4 ) 2 - 2- 1200 000 Nm 145 k g m 2

rad 602 = 263,5 ~-30602

n2 = ~

=

mO2x + j 6 0 2

-~-

2516 1 .

= 2 5 1 6 m i n -1

mln

2

2 Vx

J 2 a) AEro t = ~ ( 6 o 1 6o2) 7rn 1 rad 601 = ~ 0 - = 1007r ~ - ; 2 AEro t 2

~-=

2

~r n2 rad co2 = ~ - = 66,677r ~ -

2 Vx

+~-= gh2

7 h2 = l ~ g = 0 , 7 - ~

2" 2 0 0 0 0 0 Nm

2=

rad 2

co 1 - 6o2

7r2 (1002 - 66,672) ~ -

h2 = 0 , 7

J = 7,295 k g m 2 R 2 + r2

b) J k = O ' 9 J = m

mgh2

mVx 2 m r 2. Vx ~ 2 - + 2-5 r 2 = mgh2

598.

or =

Energie der Kugel an der Ablaufkante = Energie am Startpunkt: m E E = E A ; E E mit Vx = 1,329 s nach L6sung 447 berechnet.

2

2 90,9 J 2 . 0 , 9 - 7,295 kg m 2 m=R2+r 2 =(0,4m)2+(0,38m)2

43,14kg

(1,329 m)2 " -0,126m 9,81 ~-2

Rechnung ohne Kenntnis des Betrages yon 0 x : Kugel fallt wtihrend A t im freien Fall h = l m tief, gleichzeitig legt sie gleichf6rmig den Weg s x = 0,6 m zuriJck. Sx=0x

599. a) E z = E a - Wab m 02

2_ 2 2h 2_ 2 Sx -- 0 x g ----+ 0 x - Sx

0= ?2--F;mAs m v2

AS= - - r

2Fwm

=

1)2

2Fw

(Fw Fahrwiderstand in N j e t Waggonmasse)

g

(weiter wie oben, vorletzte Zeile:)

h2 -0'7gS~2x - 0,7s2x = 0,7 '(0'6 m)2 = 0,126 m 2gh 2h 2.1m 123

Dynamik 601. a) Ez

604.

=Ea +-0

r/mot

Aw=z

J2 6o2

m 1 02

- - 2+

=mlgh

2

b) w = ~

eingesetzt

zrn2 c~ = 30

=/2"2kg'9'81 2

7r- 100 tad 30 s

2 k g + O'05kgm2 (0,1 m) 2

b) Pmot = Mmot 6~ C~176

602.

=

7rnmo t 30 Pmot

Mmo t

09mot

a) EE = E a -+ 0 J1 co2

Jew 2

7r-960 rad rad =32zr-30 s s 1000

+mg(l+7)=3mgl c) M s A t = J 2xw

co~ ( 3 l 2

2 m ( 2 1 ) 2)

-2+~ m~J/, e ~) ~g+

l

J(wl-co2)

=mg(31-I - 2 )

A t = - - Ms

3 =~mgl

= -

-

2

~

raft rad 16kgm2"Tr(4~ --3,333S- ) 79,58 Nm

A t = 0,4211 s

36o2 l 2 3gl 2

9,947 Nm

~. tad ozTr ~-

M s = iMmo t = 8 99,947 Nm = 79,58 Nm

l

2 +~

605.

0.) =

a) Mre s A t = JAco ~

At -

Jco

Mres 2 lad 0 , 8 k g m -33,337r S At = 50Nm = 1,676s

Vu= 2lw= 2l ] f ~ = 2 V ~ -

i=

rad 3,333 7r

AW = 386 J

s~-lm

rn v = 2,368 ~-

b)

21

Tedl b) A ~ = -w- ~At - = 2~z

2rag

wAt

Oezugsebene .~ ........ Z..H!

z=2-2~ ~

rad 33,33 "Tr S - " 1,676 s = 4~r

z = i3,96 Umdrehungen

~2m9

I~~

t w

0

Vu

c) WR =MRA~O = 2~ZMres (MR = Mr.s) WR = 2 " 13,967r r a d ' 50 N m = 4386 J

603. a)

120 min -1

2r~) =mlgh

V= ~ -2- W~

--

960 min -1 - - 8=

7rnl 7r-120 r a d _ 4 7 r r a d c~ = ~ 0 - = 30 s ~-

~e(m~ + le \ 2

i

Ez

= E a + Wzu d) Q = 4 3 8 6 J ' 4 0 1 = 175,5 kJh

Jco~ 2

= 0 + M k A~~

b)Mk=Fr;

A~0 = 27rz

Fliehkraft - - = 2 lrzFr 2 Jw~ z = 4rrF~;

1000 7r rad co = - 3O ~-

33,33

tad 7r

7-

610. a) Vu = rs w = 0,42 m" ~807r ~rad - = 3,519m

3 k g m e ( 3 3 , 337r s-)rade z-

c)

47r-150N.0,4m

M2At=JAw; At =

124

n 1

= 43,63

b) Fz=mrsC~

2 Uu ~-s = l l 0 k g

(3,519 ~-)m2 - 0- , 4=2 m 3 2 4 2

Me

i= n~=~i~k ~ M 2 = i M k

J co2

3 k g m 2 . 33,33 7r ~-~

iMk

0,1 9 150 N- 0,4 m

611.

Fz=mrco 2 = 52,36 s

1300kg-7,2m\

F z = 6 4 1 5 0 0 0 N = 6,415 MN

(2507r ~ _ ) 2 30

N

Dynamik 612. Fz -

m r s 6o2 2

Fz=

m . 2 rm CO2 2~r

b) F r = ~ / F ~ +I;2z=m

2 rm

+

rs=

F z = 1 2 0 k gm. 0l ,r5

~(

m rm CO2 7r

fr = 9OOkg.

. (207r ~d-) 2

Fr = 10,43 kN

m 2+ (123,5 s ~ 2

F z = 75 398 N = 75,4 kN

FG m g gr tan a t = fizz = m v2 = ~v r

613.

a r = arctan ~

9,81 m 9 20 m s~ (4O m) 2 3,6 s

01"

EFy=0=Fs-F

G-F z

h~0~m--]

9,81 ~ )

= arctan

[4"] , a r = 57,82 ~ ~

13= 32,18 ~

F s = m g + mY2 "7~=mo

Fs:m

c) Po =/3 - 7 = 32,18 ~ - 4 ~ = 28,18 ~ /~o = tan0o = tan 28,18 ~ = 0,5357 /2o ~_ 0,5357

g+ T

h =l-lcosa v = ~/2gl (1 - c o s a ) Fs:m

g+

2gl(1-cosa)~ ~ ]=m[g+ 2g(1-cosa)]

F s = m g (3 - 2 cos c0 = 2000 kg. 9,81 ~ (3 - 2 .cos 20 ~ F s = 21986 N = 21,99 kN

616. a) WL der Resultierenden aus F G und F z verl~iuft durch die Kippkante K. FG 2h tan a r = ~zz = I -

614.

+

I. ~ F y = 0 = F R 0 m a x - F G

ii. ZFx = 0 = G - F N I- FR0 max = F N g o = F G II. FN = F z = m r w ~, in I. eingesetzt: g R 0 m a x = mr~21ao = F G

F~=mg~FR~"x

F Gl

Fz

n

30wTr

_~0

m~_l

gm

(Zahlenwertgleichung!) 30 ] / 2 " 9 , 8 1 min_ 1 = 38,61 min -1 n=~~ 3-0,4

mo 2 Ts

mgl

mgl 2h ~

(m

1/glrs v= I: 2h

d

#o

m

i

2.1,35m

m km v = 32,29 ~- = 116,3 ~ -

b) Oberh6hungswinkel c~

'G v - ~ \ , = l

rn v 2 _ v 2 mgr gr

615. v2 c~= arctan }-7 = arctan-

(SO m~2 "3,6 s :

5,615 ~

9,81 m . 200 m

900 kg Fz -

S~..~

tritt zwischen den WL der Kraft F G und der Resultierenden aus F G and F z auf. Fz t a n a =FG

m v2 a) F z = T

g

9,81 ~ ' l , 4 3 5 m - 2 0 0 m

Co= ~r@o 2~o

~

2h

v= m r co212o = m g ~

.

20m

F z : 5556 N

m/

h sin a = 7 ~

h = I sin a = 1,435 m . sin 5,615 ~

h = 0,1404 m = 140,4 m m 125

Dynamik 617. a) 3 = a +"/

~

l 1,5m tan a = - - = = 0,5 2h 2 . t , 5 m a = arctan 0,5 = 26,57 ~

r

z

7rn 30

b) F z = m r s W 2 ;

~=--=

F z = 1100 kg.0,0023 m (6 1

it. 180 rad --=67r-30 s rad] 2

rad s

F z = 898,9 N = 0,8989 kN

~

hi sin 3" = ~ hi 30mm 7 = arcsin ~ - = arcsin 1500 m m 3=a+T=27,71

1,146 ~

~ 'EM(A) = 0 = F B (12 + 12) - (FG + Fz) 12

b) t a n 3 = ~ ' z = m a z = a z mg

g

FB = (FG + F z ) l l = (10,79 + 0,8989) k N ' 0,45 m

m

12 + 12

az = g tan{J = 9,81 ~-. tan 27,71 ~ = 5,153 m $2

1,5 m

F B = 3,507 kN

i)2

ZYy = 0 =FA +FB - F G - F z F A = F o + F z - F B = 10,79 kN + 0,8989 k N - 3 , 5 0 7 kN F a = 8,183 kN

1)= ] / 5 , 1 5 3 s~- 150m = 27,8 m = 100,1 ~ 618.

d)

a) I 3 F y = 0 = F z - F G = ~ s

-rag

2 m 1)o

rs

= mg

~7 s

1)0 = ~ S Do =

~/9,81 s ~ ' 2 , 9 m = 5,334 m = 19,2 FB-

b)E E =EA+0

= 0 = F B ( I 1 + 12) + (FG - F z ) l l (FG - F z ) l a 11+12

(10,79 - 0,8989) kN" 0,45 m 1,5m

F B = 2,968 kN

Epoto + G i n o =Ekinu 2

m Vo mg2rs + 2

~,Fy = O = F A + FB - FG + F z

2

m Ou 2

ouu = 4 g r s + 02o = 4 g r s + grs

Vu= 5x~grs =

r 5 " 9 , 8 1 ~m 7"2,9m

FA = F G - F B - F z FA = 10,79 kN - 2,968 kN - 0,8989 kN = 6,924 kN Beide Sttitzkrtifte sind, wie in der Skizze angenommen, nach oben gerichtet.

Vu _2-i_1,93 m =42,94 - ~ 620.

c) 1)u=

2,/~h ~

2

5grs

2g

2g

h = -1)u - = - -

7rn = 7r. 250 rad = rad 26,18 ~o = 30 3 ~ ~-

h = 2,5 r s = 2,5 92,9 m = 7,25 m

FG

a) t a n a - F z

mg h -mrco 2 =r

619. a) ~M(A ) = 0 = FB(ll + la) - F G I ~ FB - 11 + la

g h-

9,81 s~

602 -

rad 2

(26,18 T - )

h = 0,01431 m = 14,31 m m

F G = m g = 1100 kg" 9,81 N = 10,79 kN

FB = 10,79 kN. 0,45 m 0,45 m + 1,05 m = 3,237 kN ]~Fy = 0 =F A +F B -F

o -'--> F a = m g - F B

FA = 1100 k g ' 9 81 ~ F A = 7554 N = 7,554 kN

126

b) ~ 2 = ~g

-----~ 0 2 =

~/~ rad

w = V 0,1m

3237 N r/=

=9,9045~-

3 0 w = 30- 9,9045 rain-1 = 94,58 min -1 7~

7r

Dynamik

c) tan ]3 - Fz - m r0 (0o2

ro cog

y = Asin A9 = Asin(2~rfAt. 180~ ~r

r?t~!~:

sinA9=A= COO= ~

g

ro tan]3

~ ,

e, Mit den gegebenen Lgngen l und r o kann im Dreieck die cos-Funktion angesetzt werden. rn Jetzt muss tanfl mit Hilfe yon cosfl cos fl = / ausgedr~ckt werden. tan]3 = sin]3 = ~

cos3

9cm =0,321~A9=18,72o 28 cm 180~ 2~rfAt. = 18,72 ~ 18'72~ =0,0261; f = 2.180~ s

T=f=38,46s

622. a) T = A t = 10__ss= 0,4 s z 25

_ 1 ~ - ( ~~

cos]3

b) f = ! = 1 = 2 , 5 1 = At T s

l

2,5 Hz

c) co = 21rf = 2~r. 2,51 = 15,711 ro ~

12

S

r0

ro=~

S

623.

tan 13

y= Asin(21rft)= 30 mm.sin(2~r. 50 sl--2.10-2s ) y = 30 mm. sin (27r)

c ~ 1 7 6

=

y = 30 mm. sin 360 ~ = 30 ram. 0 = 0 (Nulllage)

X/(0,2 m)2 _(0,05 m)2

Vy = Acocos(2n:f t) (00 = 7,117 rad S //0 =

30(00

=

co = 2zcf = 27r. 501 = 100~r 1 S

30.7,117 min_ l = 67,97 min -I

S

Vy = 30 mm. 1001 cos(2~r. 501.2.10-2s)

621.

Vy = 30 mm. 100. lr. 1_. cos (2 ~r) = 9, 425 m S a y = - - y (0 2 = -- 0" (0 2 =

624. Aus dem Bild der harmonischen Schwingung lesen wir ab: Y2 =2yl Asing2 =2Asinqh;

S

0

b

,, 2

~o2 =91+A~0

,

sin (91 + A~o) = 2 sin 91 sin 91 cos Aq~+ cos ~o1sin A9 = 2 sin 9t 1 cosAg+

tangl

II: sin 91

sin A9 sinA9 = 2; tan91 = 2-cosA-----~

= sin 45 ~ = 0,707 = cos 45 ~

sinA9 = 0,707 =0,5468 tan91 = 2 - r 9 2-0,707 91 = 28, 7 ~

sin A9 und cos A9 sind gegebene Gr0fJen, denn es ist sin A9 = sin ( 2 ~ r - ~ ) = sin(2~r ~05s l ~ ~

Damit wird

Yl = A sin 91 = A sin 28, 7 ~ = 40 em. 0, 48 = 19, 2 cm =

)'2 = A sin (91 + A9) = 40 cm. sin (28, 7 ~ + 45~ = = 40 em. sin 73, 7 ~ Y2 = 40 era'0,96 = 38,4 em = 2Yl

127

Dynamik 625.

~m / 6 5kg.s2.m a)T=2~ ~]R - - = 2 ~ ~0,8.10 kg.m = 0'179 s

Mit dem Quotienten aus der Periodendauer fiir beide Schwingungsvorg/inge erhalt man eine Gleichung zur Bereehnung des gesuchten Trfigheitsmoments: T2

b) f = l = 1 = 5, 587! = 5, 587 Hz T 0,179s s c)v~

= A /~-~=0 25 ] 0'~104kgm ~/m ' ~]6,5kgs2m =8'771ms

47r2 3'1 = R J1 und daraus TK2S 4zc2Jl + JKS Jl + "/KS R =j1 7gs-T12 =4,622kgm2 0,82s 2 -0,52s 2 Jr, s 0, 5 2 S2

JKS = 7,21032kg m2

626. m a) Ro = AFGs= ~sg = 225 kg.9,81~ = 10'03"104 N 22.10"3m m f

b)

: T- : ~-~ ~ -

: 2--~~ ] ~ s = 2"-~-~~'22.----~m

fo = 3,317 Hz 627. Fiir hintereinander geschaltete Federn wird die resultierende Federrate R o berechnet aus: 1 1 1 l 1 1.cm 1-cm - +-- =---~ - I= Ro R2+R 2 Rl 2R 2 Rl 190N 60N =0,02193~;

R=MR =MT. MT=Aq~IpG Aq~

= 2n. /-;n-m= 2 n. /15 kg" s2 910-2m ~R0 ~ 45,6 kgm

0,36s

Die Anzahl z der Perioden ist dann: At 60s z. . . . 166,7 T 0,36s 628. T1 = 2 a ' ~ l l ; T2 =2Zr m ~2

'4&2 Bei hintereinander geschalteten Fedem gilt ftir die resultierende Federrate RoI: 2R2

l

2_

FOr parallel geschaltete Federn ist RO2 = R1+R 2 = 3R1 Setzen wir Tl = T2 = T und teilen beide Gleichungen durcheinander, so ergibt sich:

RT 2 2 , 0 1 1 ~ ' 0 , 4 ~2

22s2 2,038.10-3kg m 2

4 zc2

631.

I.

T12=4~'2/1; :::> li= T12g g 4~ 2

T2=4~2'l-Al=4~2(TI2g_Al] g

g ~47C2

T2=~2-4zr:Al=I22sS

) 4"zc2"0'2m-l'55s9,81~

632.

/~""

T 2 _ 4z2.m].3Rl _--.---9 ml. m l : m 2 = 2 : 9 T2 2 2 m2 ' 4ZC2. Rl .m 2

a)T=

629. Die Periodendauer T eines Schwingk6rpers vom Tr~igheitsmoment J betragt beim Torsionsfederpendel

b) f = ~ - = 0,176 Hz

128

32

zc (4 mm) 4. 80000 N 2010, 62 Nmm = 2, 011 kg m 2 32.1000 mm. mm 2 s2 (Beachte: 1 N = 1 kg m/s 2, siehe Lehrbuch, Kap. 4.4.4) Mit der Gleichung fiir die Periodendauer Taus dem Lehrbuch, Kap. 4. I 0.5.1, kann nun das Tr~igheitsmoment berechnet werden:

R 1 + R 2 = " ~ - 1 ='3/{1

T = 2z~.

/p= ~d4

;

R = zcd4 G und mit Gleitmodul G = 80000 N/mm 2 : 32.l

JRS

Ro' = R1R2

Acp '

R

R~

Ffir die Periodendauer T gilt damit: T

630. Die Federrate R des Torsionsstabes ist der Quotient aus dem ROckstellmoment MR und dem Drehwinkel A~o : R = MR / A~o. Mit den in der Festigkeitslehre im Lehrbuch Kapitel 5.8.3 hergeleiteten Beziehungen kann eine Gleichung ffir die Federrate R des Torsionsstabes entwickelt werden:

2n'7=2nl/~8m vg ~9,81~ 1

= 5'674s

) ~ "

~A-

A 1,5 m c) arcsin (2max = arcsin-- = arcsin = 10,8 l 8m

"-

Dynamik cos C%ax = 0,9823

Far Biegetr~iger ist

vo = 4 2 g 1 ( 1 - COSO~mx) = 1,67 m

R = - -F= f

S

2~r d) Es gilt mity = Ymax = A und ~o = - - = T =

27r =1,1071: 5,674s s

48.E.1 ; E = 2,1.107 N / c m 2 l3

I = Iy = 62,7 em 4 F~ir zwei parallel geschaltete Fedem wird die resultierende Federrate:

& = 2R = 2 . 4 8 " .E ' I

amax= A(O2= 1,5m.1,1072. s ~ = 1,838~2 e) Yl = A. sin 2~tl '180~ = 1,5m. sin 2.2,5s. 180 ~ T. ~ 5, 674 s Yl = 0,547 m

= 15800 1'4 cm Damit wird die Eigenfrequenzfo: lo

1 l 15800'102 N m_ fo = ~ 500 kg

1 ~=8,9471 2ff

s

633. Es gilt T1 = 27r/ix/~ und T2 = 2~rq~2/g ; also auch =T I0= -T~ 2

nkrit = 60 fo = 536, 8 min d

' 8944 = ~12

Mit Zl, z 2 als Anzahl der Perioden undAt = 60 s wird

_ z1 .

z2 _ z 1 - 2 0

A-X7, f~ . . . . .

f2 _ z 1 - 2 0 = 0,9844;

637. F~ir Torsionsschwingungen gilt: T = 27rj~ ;

daraus

J Trggheitsmoment,

20 = 189,4 Perioden, zl = 0,1056

j =lpzrr4 b= 2,89 kgm2

R = R o resultierende Federrate

z 2 = z I - 20 = 169,4 Perioden. _ z 1 _ 169,4 = 3,157 H z ,

A-XT- 6os

f2- z2 - 169,4 _ - A ' t - 60s - 2 , 8 2 3 Hz 634. Beim U-Rohr ist die Periodendauer T unabhgngig von der Art der Flfissigkeit (Dichtep), sie ist an ein und demselben Ort nur abh~ingig yon der Lgnge l der FlUssigkeitssaule. T = 2 z r f'~-~/=2~r / 0 , 2 m = 0 , 6 3 4 s ~2g ~ 2 . 9 , 8 1 ~2

RI=G.dl 4 10 l 1

0,81"107 N "54cm4 cmZ 10.25 c m

2, 025.107 Nero

Ebenso berechnet wird R 2 = 10,49 9 107 N c m und R 3 = 3,456 9 107 Ncm. FiJr hintereinander geschaltete Federn gilt: - -1= - - + 1- - + - - 1

Ro

R1R2

1

(

~-=

1 R3

1

1 + 1_._.~.10_7

1

2,025§

3,456)

Ncm

Ro = 1,138.107 N c m = 1,138.105 N m 635. Ep = R A 2 =Eth =mF.CStahlAT

Beachte: R ist die Federrate, Cst~ = 460 J/kg K ist

Damit wird die Eigenperiodendauer To: T~ = 2 ~ r ~ - ~ = 2re 11,138.1052'89 kgm2Nm = 0,0317s

die spezifische W~irmekapazitgt !

RA 2

36,5N.0,122 m 2 m 0,32.10 -2 K 2"mFCstahl 2.0,18kg.460 J kg K Die Periodendauer hat also keinen Einfluss ! AT

636. Fiir die Eigenfrequenz eines Federpendels gilt:

z_l_

1 /-~_

o-F-~/m,

m Masse des Schwingers, R o resultierende Federrate

z.

t . T

60 s . . 0,0317 s

1895

Die EigenfrequenzJ~ dieses Schwingungssystems betr~igt: 1 1 = 3 1 , 5 8 1 = 3 1 , 5 8 Hz f ~ =~'0 = 0,0317s s Die krifisehe Drehzahl nkr entspricht der Anzahl z der Eigenperioden in der Minute: nkr = 60. fo = (60- 31, 58) rain -1 = 1895 rain -~ 129

5. Festigkeitslehre

Inneres Kdiftesystem und Beanspruchungsarten Die L6sungen der A u f g a b e n 6 5 1 - 6 5 6 sind im Ergebnisteil der A u f g a b e n s a m m l u n g angegeben.

Beanspruchung auf Zug der f = [ /

661.

F S

Ozv~

12 0 0 0 N 60mm-6mm

N =33'3mm 2

N 1600 mm 2 N ~ = 2 0 0 ~10_6m

Ozzui

662. F = 2 5 0 0 0 N _ 178,57 m m 2 Serf = Oz zul 140 N mm 2 derf = 15,1 r a m ; d = 16 m m gewNtlt ( N o r m m a g ) oder zusammenfassend: F Oz = ~

4/~F-

/4.25000N

_

= /

17r.4 0 ~

= 15,lmm

F

F 4F rrd2 = 7/.rt d 2

n--T-

d = 16 m m gewg,hlt ( N o r m m a g )

7rnd2Ozvorh

663.

F=

157 m m 2 = 14 130 N

F ez zul

4800N 7 0 mN2.,

68,57mm 2

F ~d2

2~12 / ~

derf

gewiihlt M 1 2 m i t A s = 84,3 m m 2

4

= 26861N

668. F az = S

664.

lr "114" l m m 2 " 3 0 0 Nm 2

4

S p a n n u n g s q u e r s c h n i t t A s = 157 m m 2 Fmax = Oz zul A s = 9 0 & "

10% 9,81

667. ~

Serf=

4"40000 N

dorf V 222(20010~ d e fr = 1 , 2 2 - 1 0 - a m = 1,22 m m d = 1 , 4 m m ausgefiihrt ( N o r m m a g )

F _ 4F ~rd2 ~rd2 T

deft = V n ~ z ~ z z m - V

4F 7rn ( O z ~ l - l p g )

2F rrd 2 / 2" 20 0 0 0 N

d ~ f = 15,96 m m d = 1 6 r a m ausgefiihrt ( N o r m m a ~ )

665. F oz = ff =

F d2 ~ ' n.- T-

4F nerf = ~.d20-z zul

n Anzahl der DrSahte 4 -90000N rr. 1,62 m m 2 . 2 0 0 m~2 = 2 2 4 Drghte

669. Serf=

F 40000N Ozzul - 65 N = 615,4mm2 mm 2

gew~ihlt M 33 m i t A s = 6 9 4 m m 2 666. Oz-

F+FG S

7rd 2 F G = mg = Vpg = Slpg = n ~- lpg ff d 2 F + n "-T- l p g 0"z

7rd 2 n T

n Anzahl der Dr~ihte Dichte des Werkstoffes (7850 kg/m 3 fiir Stahl) Fallbeschleunigung (9,81 m/s2)

oznTr d 2 = 4 F + n r t d 2 l o g d 2 (n Oz rc - n 7rI p g ) = 4 F 130

670. ~

t $I = 2 8 5 0 m m 2

F_ F S Si-4dls

dl =17mm s = 5,6 m m

/'max = ~ zul (SI - 4 d l s) = 140 m ~

J

( 2 8 5 0 m m 2 - 4 ' 17 m m - 5,6 m m )

Fmax = 3 4 5 7 0 0 N = 3 4 5 , 7 k N

Festigkeitslehre 671.

677.

P = F R vR p FR =

az

( F R Riemenzugkraft, OR Riemen-

a) ZM(D ) = 0 =F z 12cos~ - F l l

geschwindigkeit)

FR

p

SR

VRSR

Fll Fz= 12cosa

7350 ~g~

50N-80mm 25mm.cos20 ~

Fz

8m'0,12m'0,006m

Fz

b) tr....h = ~ -

4Fz

= ~

170,3 N

4-170,3 N = 96,4 ~ w. 2,25 m m 2

= rrd 2

N o z = 1,276 m m 2 678. F

672.

F

~z=~=~

Fvorh = azvorh S;

S = 2 9 32,2 9 102 m m 2

F

N Fvorn= 100 nun 2 96 440 m m 2 = 644 kN

3 200 N

N 8 r a m . 2,5 mm2

bert" = s Oz zul =

=

160 m m

679.

673. F 0". . . . h

F

S

nd2

2~-

2F nd 2

2"5000N n-6~--~2=49'74~

N

~~ Sgef=S(b-d) b

674.

FK=pA 7rd 2 FK = P ~ -

b

entweder b = 10 s oder s = ~

FK Kolbenkraft [ 1 bar p Dampfdruck A Zylinderfltiche

=

l0 s

Sgef = ~

N

I

F OZ

S g ef

--

(b - d )

F 10F -;(b - d) b2 - bd

F K = 20 bar- 4 .(0,38 m) 2 = 20.10 s m~" 4 (0'38m)2

( b 2 - b d ) Oz-lOF=O

FB = 1,5 FK

b2 - b d -

1,5 .20.10 s N ~ (0,38m) 2 FB Serf = 16 Ozz--~-~ = 16"60 N mm 2

b0~ =

einsetzen:

[:az

10F=0 O"z

~)

~ -+

§

oz zu~

Serf = 354,4 m m 2 gew~hlt M24 mit A s = 353 m m 2 (ist nur geringfiigig kleiner als Serf)

b err = 12,5 rnm + X/156,25 m m 2 + 2 000 m m 2

berf = 12,5 m m + 46 nun = 58,5 m m gewghlt E l l 60 X 6

675.

tans

13

2 m = 0,5

~ ' ~ 2 ~ :

a = arctan 0,5 = 26,57 ~ f~ 14 = (ll + 12)" sin c~=4m" sin26,57~ = 1,7889 m

~M(A) = 0 = F K 14- E l 2 F12 8 0 0 0 N - 3 m FK

14 -

FN az- S

1,7889--------~ = 1 3 4 1 6 N FK 2"~d~

F

Oz vorh

I~ +12 4 m

S

s (b

Fd) =85'7

iN Xo iN 0,27mm

also Eulerfall (elastische Knickung)

e) F K =

=

906. - 48,7 N

uFs 2 l e tf - ETr2 3,5.60-103N.(1350mm)

2 - 18,47 " 1 0 a m m 4

/eft

2,1 - 105 & '

7r2

905. 4

a) FG =mg = Vpg = 25 0 1 6 N

F~

d e tf =

64 "/eft ~ -

64 ' 18,4

104mm 4

44 m m

~ F y = 0 = F A + F B - 1,2 ~ -

FG

ZM(B) = 0 = - F A l + 1,2 T FA -

1,2FG/1 1,2.25 016N. 2~ 2 92,5 m

1,2 F G FB 2

907.

l~

1,2 2 5 0 1 6 N FA 2

1,5m - 9006 N

Die in der Schubstange wirkende K o l b e n - D r u c k k r a f t betr~igt F s = 24,99 kN (Aufgabe 91.). Damit wird

uFs s2 9006 N = 6004 N

left=

E~r~ =

6. 2 4 9 9 0 N - ( 4 0 0 ram) 2 210000 N - 11575mm4 mm 2

M b max =

FB ll = 6 0 0 4 N" 1,5 m = 9 0 0 6 N m

Weft = MO max 9 0 0 6 " 103 N m m o~ zu~ 120 m~2 = 7 5 " 103 m m 3

4- 6 4 / ~ e f t i ~ 6 - 4 - 11 575 mm4 deft= V @ = __ ~ =22,2mm X-

gew~ihlt I P E 140 m i t Wx = 7 7 , 3 - 103 m m a

s i

4s 4-400mm d 22,2 m m

72 < Xo = 8 9 ,

d.h. es liegt unelastische K n i c k u n g vor (Tetmajerfall). 179

Festigkeitslehre Wie in Aufgabe 905 e r h 6 h t m a n den Durchmesser, hier z. B. a u f d = 25 m m . Damit wird

~ d err = V

4s 1600mm ~'neu = d - = 25 m m

d = 21 m m ausgeftihrt

Fs

X

"~kne u

=

N 295,3 m m 2

24990 N

50,9

(25 mnq) 2 Vv~ - Od vorh

50,9

s i

4s d

4"550mm 21ram

=104,8~105=Xo

Die R e c h n u n g n a e h Euler war (gerade n o e h ) berechtigt; es k a n n bei d = 21 m m bleiben.

N

910.

N 295,3 mm 2

OK

20,7 m m

64

u n d n a c h Tetmajer: OK = 335 -- 0,62

14/64" 8905 mm ~ = [/ 7r

~

a) Od

N = 5,8 mm 2

F

F

F

S

bh

b'3,5b

]/ F --3'5"Udzul=

b~

Vvorh ist n o c h etwas kleiner als verf = 6, d. h. der Durchmesser m u g n o c h etwas erh6ht u n d die Rechn u n g v o n ) k n e u = . . . an wiederholt werden. Mit d = 26 m m ergibt sich Vvorh = 6,3.

gew~ihlt ~

F 3,5b 2

/ 20000 N V3~'~0 ~ =9,8mm ram2

35 • 10;

S = 350 mm 2

hb 3

(35mm).(10mm) /rain = 1--2-= 12

3 - 2917mm4

Hinweis: Der Stab k n i c k t u m die Achse, ftir die das

908. Die Pleuelstange wiJrde u m die (senkrechte) y-Achse knicken, d e n n ganz sicher ist Iy = Imin < I x.

axiale Fl~ichenmoment den kleinsten Wert hat; daher m u g mit I = hb3/12, nicht mit I = bh3/12 gereehnet werden.

1 0 r a m . ( 2 0 m m ) 3 + 3 0 r a m - (15 ram) 3 Imin = 12 = 15104mm 4 (Ix = 9 5 4 1 7 m m 4 , also wesentlich gr6Ber als Imin .)

= V

s X= i

= 2,89 mm

300 mm 2,89 m m

104 > Xo = 89

also elastische K n i c k u n g (Eulerfall):

S=Hb - ( b - s ) h = [40 ' 2 0 - ( 2 0 - 15) ' 3 0 ] m m 2

Err 2 OK = ~k2

S = 650 mm 2 ~176

q/15 104mm 4 i= i/ 650mm2 X- s i

4,82mm

370mm ~ = 76,8 < Xo = 89 (Tetmajerfall):

F S

~ v~

OK Pvorh

=

909.

a~f=

287,4 m~

Imin =

a = 10,5 ~ 13 = 12 cos a

F1 Ii 4 k N " 150 m m F2 = 1 2 c o s a = 1 0 0 m m . c o s l 0 , 5 ~ left = Eft 2

180

N 57,1 m m 2

N 191";6 mm 2 57,1 N = 3,36 mm 2

F

1/-g- 1/2oo0o V~

= 1 / 6 0~

= 18,3mm

h4 a4 Imin = I x = Iy = I D = 1~ = 1~

100mm sins = 550mm = 0,1818

vF2 s 2

N 191,6 m m 2

gewNflt [] 19 • 19 = 11,7

:,

M(A ) = 0 = - F 111 + F213 ;

Vv~

20000 N 350mm2

2

b) od = ~ - = ~

16000N =24,6 N 650mm 2 mm 2

Od vorh - - 24,6 2m2

F S OK oa vorh

F

N =287,4mm 2

oK=335-0,62.x

2,1.10s&-~r 1042

6,1kN

10" 6 1 0 0 N - ( 5 5 0 m m ) 2 210000m--~-~2

8905 m m 4

(I 9 m m ) 4 = 1 0 8 6 0 m m 4 12

Die weitere R e c h n u n g wie u n t e r a) ergibt hier Vvorh = 5 , 4 3 ; also g r 6 g e r als beim Rechteckquerschnitt.

Festigkeitslehre 911. a) ~ M ( D ) = 0 = F 11i - F s

913. a) 1 _ v F s 2 6 " 3 0 . 1 0 3 N . ( 1 8 0 0 m m ) e r r - ETr2 2,1.10sm~.Tr 2

12

2 = 28'1 "104mm4

Fll

4kN.40mm FS = / ~ - - = 28mm b) F K = F s v = 5 7 1 4 N . 3

5714N

--

l-~d

= 17142 N

F K s 2 17142 N . (305 m m ) 2 c) Ierr = E~r2 210000&.~r 2 - 769mm 4

d) I = ~4 (D4 - d ' ) = 6~ [ O ' - (0,8 D) 4 ] = ~4 (D4 - 0 , 4 1 D ' ) ff

4

I=~D

"/T

4

~ derr = [/

4

] / 6 4 "28,1~ 1 0 4 m m 4

~r -'- =

- 48,9 m m

d = 5 0 m m ausgefiihrt X= s : t

4s d

4.1800mm 50ram

144 > Xo = 89

Die R e c h n u n g n a c h Euler war richtig.

7r

(1 - 0,41) = ~ 90 , 5 9 D ' b) M b = F l = 3 0 0 0 0 N" 3 2 0 m m = 9,6 - 106 N m m

D

~ / 6 4 .ier f

~ / 6 4 . 769 mm 4

ea=Vo,~.n=V

0~7~ ~

D = 13 mm ausgef'tihrt;

e)

Mb Mb

12,8 mm ab=

d=10mm

W-=

6Mb

~sh

= h

6

i-o

60Mb

h2-

h3

~ 60/ffOMb-b ~ / 6 0 . 9 , 6 - 1 0 6 N m m herr= V ~ =V 120_N~_~

i = O,25 v/D2 + d 2

= 170mm

111111-

i = 0,25 x/~-32 + 102) m m 2 = 4,1 m m

herr

Serf = ~ ' ~ = 1 7 m m s 305 m m f) X= i- = 4 , 1 m ~ = 7 4 , 4 > Xo;

die R e c h n u n g n a c h Euler war richtig.

912. F_ Aa

a) Odvorh

15000 N s 1 4 5 2 m m 2 - 10,3

2

914. F 40 000 N N =667mm 2 a) A3err = OdzuI 60-trim 2 b) T r 4 0 X 7 m i t

FP b) Pvorh-Trd2H1 m

1 5 0 0 0 N" 8 m m 7r . 4 8 m m . 4 m m - 1 2 0 m m

N Pvorh = 1,66 m m 2 C) X = s = 4 s = 4 " 1 8 0 0 m m = 167 > Xo = 89, also Euler i d3 43 m m

Aa = 804mm 2 da = 32 m m d2=36,5mm; H I = 3,5 m m

c) X= 4_ss = 4 - 8 0 0 m m d3 32 m m --~

4 -- ~_~_

d) l - 6 4 d 3 - 6 4 ( 3 2 m m )

FK d) Vvorh = F

EI~r 2 2 , 1 . 1 0 s s2F

N

mm 2

. ~r ( 4 3 m m ) 4 . z r Z

( 1 8 0 0 r a m ) u- 1 5 0 0 0 N

= 7,2

FR 4 (D2-d2)

= 5774N

4- 5774 N N zr(602 5 0 2 ) m m 2 = 6 , 7 m - m2

g) i = 0,25 V / ~ + d 2 = 0,25 x / ~ 0 2 + 502)ram 2 = 19,5 mm X= s = 8 0 0 r a m t ~ = 41 < Xo, St37 = 105 (Tetmajerfall) h)

aK = 3 1 0 - - 1 , 1 4 . X N o K = 3 1 0 - 1 , 1 4 " 4 1 = 263 - mm 2

_ 1 0 0 > Xo = 89 (Eulerfall) 4

=51472mm 4

El~r 2 = 2 ' l ' 1 0 5 m ~ ' 5 1 4 7 2 m m 4 " n 2 s2F ( 8 0 0 r a m ) 2 . 0 , 4 - 10SN FP

F 15000N e) F R = 3 . s i n 6 0 ~ - 3 - ~

f) Odvorh

FK Uvorh = F

r2 = 1 8 , 2 5 m m

e) merf = T r d 2 H l p z u l

=4,2

4 0 0 0 0 N" 7 n u n 7r.36,5mm.3,5mm.10mNm 2

mer = 70mm f) MRG =F~D =Fr2 t a n ( u + p ' ) ( H a n d r a d wird mit 2 Htinden gedreht: Kdiftepaar mit F1 u n d Wirkabstand D.) d: r2 = ~ - = 18,25 m m P 7 mm 3,49 ~ tan a = 2 lr r----~; a = arctan 27r- 18,25 m m = p' = arctan p' = arctan 0,1 = 5,7~ c~ + p ' = 9,2 ~

N

aK

263 ram2 = ~ = Pvorh = Odvorh 6,7 ~mTm 2

39,3

D = 4 0 000 N - 18,25 m m - tan 9,2 ~ = 3 9 4 m m 300 N 181

Festigkeitslehre 915.

Knickung im Stahlbau

F _50000N=833mm a) A3erf = Odzul 60 N mm 2 b) T r 4 4 •

2

920.

Tragsicherheitsnachweis nach DIN 18800: S = 2 9 1550 m m 2 = 3100 m m 2

mit A3 = 1 0 1 8 m m 2 d3 = 36 m m

9 l.

d2 = 40,5 ram; r2 = 20,25 mm H1 = 3,5 m m 4.1400mm 36mm 156 > X ~ = 89

4s C) ) k - d 3 7(

.

/232.104 m m 4 . ~ - 27,357 m m 3100mm

~

?~K = S_._K..K= 2000 m m = 73,104 i 27,357 m m ~K = ~-K = 73,104 = 0,788 ~'a 92,9

7(

4_

d) I = ~

E .

~

" d3 - ~ - (36 ram) 4 = 82 448 mm 4

Knickspannungslinie c mit a = 0,49

EIT( 2 Vv~

2 , 1 . 1 0 6 Nmm2 . 8 2 4 4 8 m m 4.7(2

s2F

=

- 1,74

(1400 mm) 2 - 5 0 0 0 0 N

FP e) merf - 7(. d2Hlpzul

k = 0,5. [1+ c~ ( ~ K - 0 , 2 ) + ~ ( ] = 0,955

50 000 N - 7 m m 7(.40,5mm-3,5mm.8

N mm 2

met f = 98,2 mm

f) MRG = Fr2 tan (a + p') MRG = 50 000 N " 20,25 m m 9 tan (3,15 ~ + 9,09 ~ mit p' = arctan bt' = arctan 0,16 = 9,09 ~ MRG = 219 650 Nmm MRG = fHan d ll MRG 219 650 Nmm FHan~300N =732mm

li

Abminderungsfaktor x far ~K = 0,788 > 0,2 :

K

1

=

= 0,669

k +4k2-~ 2 N .3100mm 2 = 744kN mm 2 Tragsicherheits-Hauptgleichung F 215kN = 0,432 < 1 x Fpl 0,669.744 kN Fpl = ReS = 240

Die Bedingung der Tragsicherheits-Hauptgleichung ist erfallt. 921.

g) o h =

Mb ,r.a~

;

Mb=FHandli

32 ~

dl =

/eft > 1,5.10 -3 F s 2 = 1,5.10 -3 . 300. 40002 m m 4

FHand li 9 32 ----7( 9 Obzul

di =

~

// 300 N ' 732 mm " 32 N = 33,4 m m 7(' 6 0 - mm 2

916.

p

Entwurfsformel far die Uberschliigige Querschnittsermittlung:

/eft = 720.104ram 4

l =-~4 (O4 - d4 ) deft = ~ D 4 - 64Ierfr~ = ~ ( 1 2 0 r a m ) 4 6 4 " 7 2 0 " 1m 0 4m 4 7 ~ d etf = 88,3 m m

F K _ E I 7(2 Fst

gewahlt d = 90 mm; ~ = 15 mm; S = 4948 m m 2

s2Fst Tragsicherheitsnachweis nach DIN 18800: 1

EI7( 2

Yst

S2Uvorh

10000 N mm 2 . ~7(" (150 ram) 4"7(2 (4500 mm) 2 9 10

i = 0 , 2 5 ~ D 2 + d 2 = 0,25~/(1202 + 9 0 2 ) m m 2 = 37,5 m m ~-K

si,: _ 4000 m m i 37,5 m m

Fst = 1 2 1 1 2 N Halbe Winkelhalbierende des gleichseitigen Dreiecks: 1500 mm WH = - cos 30 ~

1732mm

106,7; ~K -- ~'K _ 106,7 = 1,15 )La 92,9

Knickspannungslinie a (Hohlprofil, warm gefertigt) mit c~ = 0,21 Abminderungsfaktor ,r far ~v: = 1,15 > 0,2 :

Neigungswinkel der Sttitze:

k=0,5.[l+~K-0,2)+~

WH 1732 m m a = arccos - - s = arccos ~ 0 ~ m m m = 67,4 ~

k = 0,5. [1 + 0,21 (1,15- 0,2)+ 1,152]= 1,261

Fges = 3 F s t s i n a = 3 " 12 112 N 9 sin 67,4 ~

K=

Fges = 33 546 N = 33,5 kN 182

k

+

2]

1

1

~

1,261 +41,2612 - 1,152

Festigkeitslehre K = 0,562 N Fpl = ReS = 240 .4948 m m 2 = 1187,52 kN mm x Tragsicherheits-Hauptgleichung: F 300 kN 0,5 0,2 wird

k :0,5 [1+

ZM(A ) = 0 = - F r e s / + Fl2

k = 0,5. [1 + 0,21(0,522 - 0,2)+ 0,5222 ] : 0,67

F = Fresl

K=

212

18kN.2,4m_17,4kN 2.1,24 m

/eft = 0,12 F sk2 = 0,12.17,4.2,82 cm 4

1

1

k + ~/'~ - ~'-K 2

=0,917

0,67+40,672-0,5222

Fp, = Re S = 2 4 0 - ~ m2 . 2850 m m 2 = 684 kN

/eft = 16, 4cm4 = 16,4.104 mm 4 gew~ihlt U80 DIN 1026 mit Iy = 19,4.104mm 4 und S = 1100 mm 2 Tragsicherheitsnachweis nach DIN 18 800: i

,F ./19'4'104mm4 =]~-S--=V ~ =13,280mm

Tragsicherheits-Hauptgleichung: F 380kN 0,606 < 1 K Fpl 0,917. 684 kN Die Bedingung der Tragsicherheits-Hauptgleichung ist efftillt. b)

)~K - s_K _ 2 8 0 0 m m = 210,843 Zy 13,280 m m ~K = ~ ' K = 210,843 = 2,27 )~a 92,9 Knickspannungslinie c mit o~= 0,49.

Y bl _ ~ _

x i ..............

Mit~K = 2,27 > 0,2 wird

k: 0,5 [1+ k : 0,5. [1 + 0,49 (2,27 - 0,2)+ 2,272]: 3,584 184

bl

........ t 2 _ x

Y

Festigkeitslehre

his31

+ 2I slb3 +hi sl(bl

I x +2--=ly 12

l 12

~.2

FN 6428 N N c) o . . . . h = ~ = 2 2 0 0 m m 2 = 2,92 m m 2

+ $2 / 2] 2)

1

Mb Die a l g e b r a i s c h e E n t w i c k l u n g f i h r t zu dem Term: r

.

kl

4 8 4 2 - 1 0 3 N m m _ 91,4 N

d) Obvorh = WI[ =

53 .103rnlrl 3

e) OresZug = Oz+ 0-bz = ( 2 , 9 2 + 9 1 , 4 ) m @

k2

mm 2 =943 N , mm 2

k3

Die N a h e r u n g s r e c h n u n g ergibt b 1 = 147,2 ram. A u s g e f i h r t w i r d b I = 150 ram, also if2/150 x 8.

0 Mb=FNI2-Fqll

Biegung und Zug/Druck A ! 927.

Fq II

12 = ~

=

=0

7,66 kN ' 8 0 0 r a m = 9 5 3 , 4 m m 6 , 4 2 8 kN

oder B

a) ravorh

Fsinoz

_--=-Fq F s i n a S ~d 2

FN F c o s a b) Ozvorh = ~ - = 4 62 Mb

C) O b v o r h = ~ - =

Fsin~.l ;d 3

6 0 0 0 N . sin 20 ~ n. (20 mm) 2 6000N.cos20 ~ 4 "(20mm)2

-

Mb =Fcosa'12-Fsinc~.ll

Y

6,53--N mm 2 17,9 N mm 2

12 =

Fsin~'ll Fcosa

=0

l sins sin50 ~ 1c ~ = 8 0 0 m m cos--50~ = 9 5 3 , 4 m m

929.

6 0 0 0 N" sin 20 ~ 6 0 r a m ~-2 " ( 2 0 m m ) 3

N ob vorh = 156,8 m m 2 N d) OresZug = Oz + Obz = (17,9 + 156,8) m m 2

A1 = 7 - 3 c m 2 = 2 1 cm 2 Az = l ' 4 c m 2 = 4 c m 2 A3= 1 "4cm 2= 4cm 2 A4=b.4cm A= NA = 29cm 2+b.4cm

N

OresZug = 174,7 m m 2

928.

;~ ~

eos0

~ ( ~ s "~-, ~ - ~ "

yl=l,5cm;

Obz + 0bd H FN = F cos a = l 0 k N . cos 50 ~ = 6 , 4 2 8 kN F q = F sin a = 10 k N . sin 50 ~ = 7,66 kN

b) ra vorh

= Fq

,.7][

7660N N 2 2 0 0 m m 2 = 3,48 m m 2

y3=29cm;

ya=33cm

Aus der Spannungsskizze:

qLI

M b = F c o s a " 1 2 - F s i n a "ll -FN 12-Fq ll Mb = 6 4 2 8 N ' 0 , 2 m - 7 6 6 0 N - 0 , 8 m = 4 8 4 2 N m

y:=5cm;

Obd el Obd

e~=HObz+Obd-350mm"

N 150 m~m2 N - 262,5 m m 2 0 0 ram2

M o m e n t e n s a t z for F l i c h e n :

A el =Alyl +Azy2 + A 3 7 3 + b" 4 c m "Y4 (29 cm2 + b ' 4 c m ) e l =Alyl+A2y2+A3y3+b'4cm'y4 29 cm 2 "el + b ' 4 c m "el = Alyl +A2y2 + A 3 Y 3 + b- 4 c m "Y4 b'4cm(y4-el) = 29cmZel-Alyj-A2y2-A3y3 b=

29 cm 2- 26,25 cm - (21 - 1,5 + 4 95 + 4 - 29) cm 3 4 c m ' (33 - 26,25) cm

b = 21,99cm b = 220mm 185

Festigkeitslehre 930.

~ ~

;~

931. A. . . .

lnneres Kraftesystem im Schnitt A B.

FMb< ares Zug = ~ + ~ -

"~ a z u l

Fres = X/Fz2 + Fz2 + 2 Fz: cos a = X/2 Fz2 ( I + cos c0 Fres = Fz ~

F

= 2 0 k N X/2(1 + cos 60 ~ = 34,6 kN

Fle

ares Zug = S + ~ -

Frx = Ere s sin a = 34,6 kN- sin 30 ~ = 17,3 kN

Mb Fry = FresCOS; = 3 4 , 6 k N . c o s 3 0 ~ = 3 0 kN

ares Druek = W -

ZM(B ) = 0 = Fill - F r x 13 - F r y 12

Frxl3+Fryl2 Fs=

F -- S- ~ a z u l

Fie

F

I

S

ares Druck

(17,3 " ~8 + 3 0 " 2 ) k N m 4m - 26,5kN

Ii

Fiir U 120 ist: S = 1 7 0 0 m m 2 b) s

x = 0 =FBx-Fs+Frx

~Fy=O=FBy-Fry

~

FBx = 9 , 2 k N

~

FBy = 30kN

Iy = 4 3 , 2 . 1 0 4 m m 4 el = 16 m m e2 = 39 mm

FB= ~ B x + F~y = 31,4kN c) a z

Fs S

N

Fs 7r 2

azul

n'~d

4Fs n e r f = n d 2 a zzul

=

60 mm ~ 1 le 2 1 450.39. 1 - 1456N + -7(1~ + ~ ) mm 2

F m a x 1 --

4 -26 500 N n.(1,5mm) 2.300 N

=50Drghte

azul

mm 2 Fmax2 d)

M b max =

Fs

14 = Fs (ll - / 3 ) = 26,5 k N ' 4 m = 35,3 kNm

Mb Mb Ob= W = ~7r D4-d = 32 D

60 raN2

-

le 2 1 ~--A

A50.39 ( 43~2~0

1 1 l~)mm 2

=

1499 N

32MbD rr [D 4 -

(9

_D) 4]

32MbD

932.

ab

rrD4(1- ~ )

a) Serf

32/145 ab -

- -

_ 320000/145

rrD 3 3439 10000

F Oz zul

180. 103N - 1286mm 2 140 N mm 2

3439 rrD 3

gewtihlt U 100 mit S = 1350 m m 2

3 / 320Mb max ]~320 Derf = V j , 4 3 9 n . ~bbzul = " 35'3 " 106Nmm 3,439 zr.100 N mm 2 D e fr = 216 mm

F 1 8 0 . 1 0 3 N = 133 N b) a) azvorh = ~-= 1,35 "103mm 2 mm 2

Fley. ~) % l v ~

Iy

s '

l=~+ey=23,5mm;

ausgetiihrt Rohr 216 X 12 DIN 2448 M b max 32 D M b max ff D 4 - d'* - 7r (D 4 d 4 )

M b max

e) ab vorh

-

W

32

ab vorh =

Oar~

180.103N 9 23,5 m m - 15,5 rnm ablvorh = -

D

31,4 kN = 4,08 ~ ( 2 1 6 2 - 1922) ram2 ~m ~ 99,1 ~