Logika i teoria mnogości: ujęcie systematyczno-historyczne [PDF]

Zitiervorschau

Kazimierz Trzęsicki

Logika i teoria mnogości Ujęcie systematyczno-historyczne

Białystok 2001

2

Spis treści

Spis treści Przedmowa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

0. O logice

........................................................ 9

0.1. Nazwa „logika” . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 0.2. Podstawowe pojęcia i problemy logiki . . . . . . . . . . . . 11 0.2.1. Pojęcie zdania i prawdziwości . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 0.2.2. Pojęcie wynikania semantycznego, syntaktycznego i rachunku logicznego . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

1. Klasyczna logika zdań

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

1.0. Założenia klasycznego rachunku zdań . . . . . . . . . . . . 19 1.1. Tautologie i zdania logicznie prawdziwe . . . . . . . . . 20 1.1.1. Pojęcie spójnika . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 1.1.2. Alfabet języka klasycznej logiki zdań . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 1.1.3. Definicja zdania (wyrażenia poprawnie zbudowanego logiki zdań) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 1.1.3.1. Zdanie w notacji standardowej . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 1.1.3.2. Notacja łukasiewiczowska . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 1.1.3.3. Indukcyjny charakter definicji zdania . . . . . . . . . . . . . . 28 1.1.4. Model i prawdziwość . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 1.1.5. Tautologia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 1.1.6. Wybrane tautologie klasycznej logiki zdań . . . . . . . . . . . 40 1.1.7. Tablice semantyczne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 1.1.8. Elektronowa interpretacja spójników zdaniowych . . . . 56 1.1.9. Tautologia a zdanie logicznie prawdziwe . . . . . . . . . . . . . 58 1.1.10. Spójniki prawdziwościowe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

1.1.11. Funkcjonalna pełność . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64 1.1.12. Postacie normalne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

1.2. Wynikanie syntaktyczne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71 1.2.1. 1.2.2. 1.2.3. 1.2.4. 1.2.5.

Dowód w rachunku zdań . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71 Operacja konsekwencji . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71 Twierdzenie o dedukcji . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75 Sprzeczne i niesprzeczne zbiory zdań . . . . . . . . . . . . . . . . . 78 Maksymalne niesprzeczne zbiory zdań . . . . . . . . . . . . . . . 83

1.3. Wynikanie syntaktyczne a wynikanie semantyczne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89 1.3.1. Pełność rachunku zdań . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89 1.3.2. Wynikanie semantyczne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91 1.3.3. Reguły, schematy i prawa logiki . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94

1.4. Systemy logiki zdań . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100 1.4.1. Aksjomatyczny system rachunku zdań . . . . . . . . . . . . . . 101 1.4.2. Dedukcja naturalna . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103 1.4.3. Rachunek sekwentów . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109

2. Klasyczna logika predykatów

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115

2.1. Język rachunku predykatów . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115 2.1.1. 2.1.2. 2.1.3. 2.1.4. 2.1.5. 2.1.6. 2.1.7.

Dziedzina . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115 Stałe i zmienne indywiduowe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119 Litery funkcyjne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120 Definicja termu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120 Litery predykatowe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122 Definicja formuły . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123 Podstawialność . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128

2.2. Klasyczny rachunek predykatów . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131 2.2.1. Dowód w rachunku predykatów . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131

4

Spis treści

2.2.2. 2.2.3. 2.2.4. 2.2.5. 2.2.6.

Niesprzeczność rachunku predykatów . . . . . . . . . . . . . . . 140 Twierdzenie o dedukcji . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144 Tablice semantyczne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148 Dedukcja naturalna . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153 Rachunek sekwentów . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155

2.3. Model i prawdziwość . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157 2.3.1. Pojęcie interpretacji . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158 2.3.2. Definicja modelu i spełniania . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158 2.3.3. Reguły rachunku predykatów a prawdziwość . . . . . . . 179

2.4. Pełność rachunku predykatów . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 186 2.5. Twierdzenia interpolacyjne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 196

3. Definiowanie 3.0. 3.1. 3.2. 3.3. 3.4.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 205

Pojęcie definiowania . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 205 Definiowanie liter predykatowych . . . . . . . . . . . . . . . . . 206 Definiowanie stałych indywiduowych . . . . . . . . . . . . 210 Definiowanie liter funkcyjnych . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 215 Definiowalnośc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 218

4. Systemy sformalizowanie i arytmetyka

. . . . . . . . . . . 229

4.1. Pojęcie systemu sformalizowanego . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 229 4.2. Liczby naturalne i indukcja . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 239 4.2.1. Aksjomatyka Peano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 239 4.2.2. Indukcja matematyczna . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 244 4.2.3. Definicja indukcyjna . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 250

5. Algebra zbiorów

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 253

5.0. Początki teorii mnogości . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 253 5.1. Zbiór i element zbioru . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 255

5.2. Równość zbiorów . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 260 5.3. Zawieranie się zbiorów . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 265 5.4. Operacje na zbiorach . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 267 5.4.1. Dopełnienie zbioru . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 267 5.4.2. Suma zbiorów . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 269 5.4.3. Iloczyn zbiorów . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 271 5.4.4. Różnica i różnica symetryczna zbiorów . . . . . . . . . 273 5.4.5. Związki między działaniami teoriomnogościowymi 274 5.4.6. Uogólnione suma i iloczyn zbiorów . . . . . . . . . . . . . 275 5.5. Aksjomaty algebry zbiorów . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 280

6. Produkty kartezjańskie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 289 6.0. Pojęcie produktu kartezjańskiego zbiorów . . . . . . . . . . 289 6.1. Relacja . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 296 6.1.1. Pojęcie relacji . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 296 6.1.2. Relacja zwrotna i przeciwzwrotna . . . . . . . . . . . . . . . . 300 6.1.3. Relacje symetryczna, przeciwsymetryczna i antysymetryczna . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 301 6.1.4. Relacja przechodnia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 303 6.1.5. Relacja równoważności . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 305 6.1.6. Rachunek relacji . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 317

6.2. Funkcja . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 320 6.2.1. Pojęcie funkcji . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 320 6.2.2. Funkcja odwrotna . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 326 6.2.3. Superpozycja funkcji . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 329 6.2.4. Obrazy i przeciwobrazy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 332 6.3. Uogólnione produkty kartezjańskie . . . . . . . . . . . . . . . . . . 345

7. Moce zbiorów . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 347 7.1. Zbiory równoliczne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 347 7.2. Zbiory przeliczalne i nieprzeliczalne . . . . . . . . . . . . . . . . . 354

6

Spis treści

7.3. Arytmetyka liczb kardynalnych . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 362 7.4. Zbiory mocy continuum. Zbiór potęgowy . . . . . . . . . . . 371

8. Uporządkowanie zbiorów . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 379 8.1. Zbiory uporządkowanee . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 379 8.2. Zbiory liniowo uporządkowane . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 392 8.2.1. Relacje liniowo porządkujące . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 392 8.2.2. Podobieństwo zbiorów liniowo uporządkowanych . 394 8.2.3. Uporządkowanie liniowe gęste . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 398 8.2.4. Uporządkowanie liniowe ciągłe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 400 8.3. Zbiory dobrze uporządkowane . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 402 8.3.1. Relacje dobrze porządkujące . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 402 8.3.2. Porównywanie liczb porządkowych . . . . . . . . . . . . . . . 404 Bibliografia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ??? Indeks rzeczowy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ??? Aneks: Projekt MIZAR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 413

PRZEDMOWA Niniejsza „Logika i teoria mnogości” jest wykładem w ujęciu systematyczno-historycznym. Zarówno logika jak i teoria mnogości mają głębokie korzenie filozoficzne. Dobra intuicja jednego i drugiego, logiki i teorii mnogości, nie może więc obyć się bez wskazania uwikłania historycznego w określony kontekst filozoficzny. Nie tylko to i nie tylko fakt, że zarówno logika jak i teoria mnogości są dyscyplinami podstawowymi zdecydowało o łącznym ich ujęciu. Książka podzielona jest na dwie zasadnicze części. Pierwsza poświęcona jest logice. Druga zaś teorii mnogości. W części pierwszej korzysta się z pewnych podstawowych pojęć teoriomnogościowych, choć w sposób systematyczny są one wprowadzone dopiero w części drugiej. Wystarczającą intuicję tych pojęć, jak można przyjąć, wynosi się już ze szkoły średniej. W części poświęconej teorii mnogości, można już za to korzystać z aparatury pojęciowej logiki. Takie podejście pozwala na pokazanie zastosowania logiki w dziedzinie matematyki. Dzięki temu staje się jasne, że to, co się na prawdę dzieje w matematyce jest takie, jak to opisuje logika. To podejście implicite zakłada jednak większą jasność niektórych podstawowych pojęć teoriomnogościowych (mianowicie tych, które są wykorzystane w wykładzie logiki) niż pojęć logicznych. Część pierwsza, część poświęcona logice, w pewnym stopniu jest zbieżna z treścią moich „Elementów logiki dla humanistów”1 . Obecna książka skierowana jest do innego czytelnika. Mam w niej na uwadze osoby, dla których znajomość elementów logiki i teorii mnogości jest niezbędna jako podstawa dalszych studiów. W związku z tym zmianie 1

Zob. Trzęsicki [1994].

8

Przedmowa

lub usunięciu uległy niektóre fragmenty. Dodane zostały nowe rozdziały np. rozdziały poświęcone tablicom semantycznym. Zmieniona jest notacja. Część druga, część poświęcona teorii mnogości, obejmuje klasyczną problematykę teoriomnogościową tak, jak ona jest ujęta np. w książce H. Rasiowej „Wstęp do matematyki współczesnej”2 . We „Wstępie . . . ” logika jest rozważana po teorii mnogości. W „Logice . . . ” jest odwrotnie: wykład teorii mnogości poprzedzony jest wykładem logiki. W początkowych fragmentach wykładu dowody w teorii mnogości są w pełni sformalizowane. Dzięki temu wyraźne staje się użycie aparatury pojęciowej logiki. Stopniowo rezygnuje się jednak ze wskazywania tych elementów dowodu, które stają się w pełni oczywiste i mogą być uznane za domyślne. Dzięki temu zapisy dowodów stają się coraz bliższe zwykłej praktyce matematycznej. Od tego sposobu postępowania czynione są odstępstwa w wypadkach, w których dochodziłoby do zbytniej komplikacji. Pierwszeństwo w stosunku do wszystkich elementów koncepcji publikacji dawane jest bowiem jasności wykładu.

2

Zob. Rasiowa [1979].

0. O LOGICE 0.1. NAZWA „LOGIKA” Słowu „logika” przysługuje kilka znaczeń. Mówi się o logice wydarzeń, o logicznym postępowaniu i o logicznym myśleniu. W tych kontekstach znaczenia słowa „logika” są analogiczne. W analogii tej zawarte jest przekonanie, że logiczne myślenie możliwe jest tylko w świecie, w którym panuje pewien ład zarówno w tym, co się dzieje w rzeczach, jak i w postępowaniu ludzi. Postępowanie zaś może być logiczne, gdy myślenie jest logiczne i świat wydarzeń jest logiczny. Świat, ten realny, jest logiczny a ten tworzony i współtworzony przez człowieka powinien być logiczny, tzn. nie być chaosem, a być kosmosem w tym znaczeniu, jakie słowu „kosmos” nadano u początków europejskiej cywilizacji naukowej w starożytnej Grecji, a więc że cechuje go ład i harmonia. Rozwój informatyki i informatyzacja stwarzają sytuację, dla której trudno szukać jakiejś analogii w dziejach cywilizacji i kultury. Obok świata natury pojawił się wytworzony przez człowieka świat wirtualny. W życiu ludzi umiejętność poruszania się w nim zdaje się nabierać większego znaczenia niż sprawność radzenia sobie ze światem natury. Ten wirtualny świat, aby człowiek się w nim nie zagubił, musi być kosmosem, czyli musi być logiczny. W tworzeniu takiego świata pomaga znajomość logiki. Jeszcze nie tak dawno dla człowieka liczyło się przede wszystkim to, co działo się w jego bliższym otoczeniu. Jeszcze nie tak dawno można było powtórzyć za Dziennikarzem z „Wesela”: „Ja myślę, że na waszej parafii / świat dla was aż dosyć szeroki”. Dziś, paradoksalnie, wydaje się, że zaczynamy zależeć przede wszystkim od proce-

10

0. O LOGICE

sów globalnych. Uwikłani w pajęczynę Internetu łatwiej znajdziemy wzajemne zrozumienie, gdy będziemy logiczni. Informatyka dostarcza technologii przetwarzania informacji. Logika jest zaś tego teorią. Logiczne badania informacji mają za przedmiot nie tylko statyczną reprezentację wiedzy, lecz także dynamiczne procesy jej przetwarzania3 . Generalizując, w nowej epoce, epoce społeczeństwa informacyjnego i globalnego, logika jako umiejętność, czyli sztuka, a tym samym jako i nauka – bo bez niej sztuka logiki będzie ślepa – zdaje się nabierać większego znaczenia niż miała kiedykolwiek. Żyjemy w epoce, w której to, co już zauważał Cyprian Kamil Norwid staje się bardziej aktualne niż kiedykolwiek. „Pracować musisz” – głos ogromny woła Nie

z

potem lub

dłoni

twego

t w e j,

g r z b i e t u,

(Bo prac początek, doprawdy, jest nie tu); „Pracować musisz z potem twego CZOŁA!”4 Każda praca ma swoją logikę. Łamanie jej zasad czyni ją mniej efektywną. Praca intelektualna wymaga intelektualnej logiki, czyli logiki świadomej. Tę świadomość ma wyrażać logika jako teoria rozumowania i teoria efektywnego komunikowania się (ludzi). Słowo „logika” etymologicznie wywodzi się od greckiego przyη (logike), który jako przydawka dołączany był do miotnika λoγικ´ dwóch greckich rzeczowników ε`πιστ η´µη (episteme) i τ ε´χνη (techne). Pierwszy z tych rzeczowników znaczy tyle co łacińskie scientia i polskie „nauka”, drugi rzeczownik tłumaczony jest na łacinę jako ars, co po polsku oddajemy przez „sztuka” lub „umiejętność”. Z czasem η przybrał postać rzeczownika. grecki przymiotnik λoγικ´ η 5 pochodzi od rzeczownika λ´ oγoζ (logos). RzeSamo słowo λoγικ´ czownik ten mógł oznaczać rozum i to, co w rozumie powstaje, a więc 3 Jest to przedmiot logiki dynamicznej. Zob. np. http://www-csli.stanford.edu /csli/projects/cogsci9495-benthem.html. 4 Zob. Norwid C. K., Praca (fragm.). 5 Arystoteles (384–322 p.n.e.), ojciec logiki, to co logiczne (w sensie współ-

0.1. POJĘCIE LOGIKI

11

myśl i to, w co myśl musi się przyoblec, aby mogła być wyrażona i zakomunikowana, a więc słowo. Prawa logiki są powszechne, to znaczy, że stosują się do wszystkich bez wyjątku rozumowań niezależnie od tego, jakiej dziedziny przedmiotowej rozumowania te dotyczyłyby i niezależne od tego, kto i kiedy je przeprowadza. Są również konieczne, to znaczy, że rozumowania z nimi niezgodne są niepoprawne. Powszechność i konieczność praw logiki jest wyzwaniem dla informatyków, od których oczekuje się wytworzenia sprzętu i stworzenia oprogramowania takich, aby można było wprząc komputery w procesy rozumowania, aby stały się inteligentne6 . Zasadniczym pojęciem logiki jest pojęcie wynikania jako pewnego rodzaju stosunku między zdaniami, a w szczególności we wnioskowaniu jako stosunku między przesłankami a wnioskiem: między tym, co jest dane w rozumowaniu, a tym, co jest wynikiem rozumowania. Jednak nawet gdyby było tak, że wszystko, co z danych zdań wynika (logicznie), daje się wyprowadzić za pomocą „mechanicznych” wzorów – co jest prawdą przynajmniej w wypadku logiki klasycznej – to okazuje się, że mimo tego nie jest możliwe podanie ogólnej (czyli stosującej się do każdego wypadku) „mechanicznej” procedury znajdowania odpowiedzi na każde pytanie, czy dane zdanie wynika z określonych zdań. Czy w takim razie jest możliwa sztuczna inteligencja7 dorównująca ludzkiej?8 Ponadto, okazuje się, że nie można określić takiego zasobu wiedzy, z której wynikałaby reszta prawd. Nie jest więc możliwy superkomputer, z którego bazy danych możnaby wyprowadzić wszystczesnym), określał słowem α ` ναλυτ ικ´ oζ (analytikos), czyli jako dowodowe, lub używał w tym celu frazy „wynikający z przesłanek”. Zaś greckie „logiczne” służyło mu do określenia tego, co prawdopodobne lub też tego, co poznawcze. 6 Łacińskie intelligentia znaczy: pojętność. Jest to zdolność rozumienia otaczającej sytuacji i umiejętność znajdowania właściwych i celowych reakcji. 7 Pomysłodawcą terminu „sztuczna inteligencja” (artificial intelligence - AI) jest John McCarthy. Rok 1956 wskazywany jest jako data narodzin tej dyscypliny. 8 Twórcy informatyki tacy jak Alan Turing i Norbert Wiener wierzyli, że komputery prześcigną zdolności człowieka chociażby w takich dziedzinach jak gry strategiczne i dowody matematyczne. Pod koniec lat 50-tych Herbert Alexander Simon (laureat nagrody Nobla w dziedzinie ekonomii w 1978 r.) zapowiadał, że w ciągu 10 lat komputer zdeklasuje człowieka np. w grze w szachy.

12

0. O LOGICE

kie prawdy o jakiejś bogatej dziedzinie (zawierającej arytmetykę liczb naturalnych)9 . Logika rozstrząsa takie i inne pytania odnoszące się do ludzkiego intelektu. Znajomość logiki, tej starożytnej nauki, jest więc ważna dla zrozumienia możliwości i ograniczeń informatyki, kształtującej cywilizację współczesnego świata i wyznaczającej perspektywy rozwoju i postępu w nowym, trzecim tysiącleciu. Jak już w latach 60-tych zauważał to McCarthy „It is reasonable to hope that the relationship between computation and mathematical logic will be as fruitful in the next century as that between analysis and physics in the last. The development of this relationship demands a concern for both applications and for mathematical elegance.”10 Już dla Arystotelesa drugim, obok wynikania, głównym tematem logiki była definicja. W teorii mnogości problem poprawności definicji pojęć ujawnił się w związku z paradoksami – poprawne rozumowania prowadziły do sprzecznych wniosków. Współczesna teoria definicji radzi sobie skutecznie z problemami w naukach formalnych. W sytuacjach praktycznych doświadczamy wielorakich kłopotów wynikłych z pomieszania pojęć. Znajomość zasad definiowania jest więć pożyteczna i przydatna każdemu. Tu nie tylko przedstawiona będzie logiczna teoria definicji, lecz również przy okazji wprowadzania pojęć będzie się zwracało uwagę na to, że spełnione są wszystkie warunki poprawnego definiowania. 0.2. PODSTAWOWE POJĘCIA I PROBLEMY LOGIKI 0.2.1. Pojęcie zdania i prawdziwości Logikę interesuje język głównie, choć nie jedynie, jako narzędzie przekazu informacji, a więc w jego funkcji symbolicznej (informa9 Fakt ten udowodniony przez Kurta G¨ odla posłużył słynnemu matematykowi sir Rogerowi Penrose jako przesłanka tezy, że nie jest możliwe symulowanie na komputerze świadomych procesów myślowych. 10 Zob. McCarthy [1963], s. 69. Rozsądnie jest mieć nadzieję, że w nowym stuleciu związek między informatyką a logiką matematyczną okaże się równie owocny, jak w ubiegłym między analizą a fizyką. Kształtowanie tego związku wymaga uwzględnienia zarówno zastosowań jak i matematycznej elegancji. – tłumaczenie moje

0.2. PODSTAWOWE POJĘCIA I PROBLEMY LOGIKI

13

cyjnej). Z tego względu mówiąc o zdaniu ma się na uwadze przede wszystkim zdanie oznajmujące w sensie gramatycznym. Przez zdania rozumiemy wszystkie i tylko te wyrażenia, które nadają się do formułowania twierdzeń (wiedza w sensie obiektywnym) lub przekonań (wiedza w sensie subiektywnym). Poprawana metodologicznie definicja zdania możliwa jest, gdy określony jest język, czyli gdy zdefiniowany jest zbiór symboli (słownik języka) i zasady budowy (reguły syntaktyczne11 ) jego wyrażeń (poprawnie zbudowanych). Zdanie to każdy i tylko element wyróżnionej klasy wyrażeń (poprawnie zbudowanych). O zdaniu mówimy, że jest prawdziwe, gdy w rzeczywistości jest tak jak to zdanie głosi. Zdanie jest zaś fałszywe, gdy w rzeczywistości nie jest tak jak zdanie to głosi. PRZYKŁADY12 11 Przez semiotykę rozumie się logiczną teorię języka. Za Ch. Morrisem [1938] wyróżnia się:

1. syntaktykę, która opisuje stosunki między znakami; 2. semantykę – rozważa ona związki między znakami a rzeczywistością, do której te znaki odnoszą; 3. pragmatykę – jej przedmiotem są relacje między znakami a ich użytkownikami. 12 W średniowieczu semiotycy wyróżniali odmienne sposoby użycia wyrażeń, czyli supozycje. Nazwa użyta jest w supozycji naturalnej (suppositio naturalis), gdy zastosowana jest na oznaczenie każdego przedmiotu, do wskazania którego może być użyta, jak np. nazwa „człowiek” w zdaniu: Człowiek jest śmiertelny. Nazwa użyta jest w supozycji przedmiotowej (suppositio personalis), gdy zastosowana jest na oznaczenie jednego przedmiotu, do wskazania którego może być użyta, jak np. nazwa „człowiek” w zdaniu: Pod drzewem stał człowiek. Nazwa użyta jest w supozycji formalnej (suppositio formalis), gdy zastosowana jest do wskazania gatunku, jaki tworzą wszystkie przedmioty, do wskazania których może być użyta, jak np. nazwa „człowiek” w zdaniu: Człowiek pojawił się na ziemi kilkaset tysięcy lat temu. Wyrażenie użyte jest w supozycji materialnej (suppositio materialis), gdy zastosowane jest do wskazania samego siebie, jak np. nazwa „człowiek” we frazie: Jak np. nazwa „człowiek”. Użycie wyrażenia w supozycji materialnej zaznaczamy

14

0. O LOGICE

Zdanie 2 + 2 = 4.

jest prawdziwe, zaś zdanie 2 + 2 = 5.

jest fałszywe.




Powyższe określenia prawdziwości i fałszywości zdań są potocznym sformułowaniem klasycznej koncepcji prawdy. Klasyczne pojęcie prawdy jest pojęciem relacyjnym (nie należy tego mylić z relatywizmem13 w zakresie rozumienia prawdy). Jest to korespondencyjna koncepcja prawdy; tzn. to, czy zdanie jest prawdziwe, czy nie, zależy wyłącznie od stanu rzeczy, ze względu na który dane zdanie orzekamy. Nie zależy więc np. od innych zdań prawdziwych, co biorą pod uwagę zwolennicy koherencyjnej koncepcji prawdy. Nie zależy też od pożytków, jakie można mieć uznając dane zdanie za prawdziwe, co akcentują zwolennicy koncepcji pragmatycznej. Zwykle gdy mówimy, że zdanie jest prawdziwe, nie dodajemy ze względu na jaki «świat» jest ono prawdziwe. Domyślnie przyjmujemy, że jest to świat realny, otaczająca nas rzeczywistość. Gdy jednak mówimy o prawdziwości lub fałszywości zdań niekoniecznie mając na uwadze świat realny – a tak tu będziemy postępować – trzeba stworzyć jego substytut, chociażby w postaci jakiegoś czysto abstrakcyjnego konstruktu. Taki konstrukt będziemy nazywać modelem. biorąc to wyrażenie w cudzysłów. W niniejszej książce będzie szereg odstępstw od zasady brania w cudysłów wyrażeń użytych w supozycji materialnej. Zasada ekonomii nakazuje zastosowanie tylko tyle środków wyrazu, ile jest to konieczne, aby tekst był zrozumiały i jednoznaczny dla tego, do kogo jest adresowany. Zgodnie z tą zasadą cudzysłowy opuszczane będą wszędzie tam, gdzie ich brak nie będzie źródłem jakichś wątpliwości, co do sposobu rozumienia. W szczególności nie ma potrzeby brania w cudzysłów, jeśli używamy nazwy rodzaju wyrażenia, czyli gdy piszemy, że podajemy np. przykłady zdań. Podobnie, gdy używamy zwrotów w rodzaju: nazywamy, określamy. 13 Relatywizm – ujmując rzecz po prostu – uzależnia prawdziwość zdania od tego, kto to zdanie wypowiedział. Może tu chodzić o zależność np. od klasy społecznej (marksizm), płci (feminizm). Prawda ma być względna.

0.2. PODSTAWOWE POJĘCIA I PROBLEMY LOGIKI

15

Prawdziwość i fałszywość to wartości logiczne zdań. Stoimy na stanowisku dwuwartościowości; tzn. przyjmujemy, że zdania są bądź prawdziwe, bądź fałszywe. Nie dopuszczamy więc istnienia zdań, które nie są ani prawdziwe, ani fałszywe. Założenie dwuwartościowości nie jest powszechnie przyjmowane przez logików. Pierwszymi byli Jan Łukasiewicz14 a obok niego Emil Post15 , którzy rozważali logikę o większej niż dwie liczbie wartości logicznych. Motywacje były różne. Łukasiewicz nawiązał do słynnego problemu zdań o przyszłych zdarzeniach przygodnych sformułowanego jeszcze przez Arystotelesa, który rozstrząsa kwestię, czy przysługiwanie wartości logicznej zdaniu stwierdzającemu, że jutro odbędzie się bitwa morska jest równoważne uznaniu tezy determinizmu, czyli – mówiąc swobodnie – przekonaniu, że każde zdarzenie przyszłe jest przesądzone „od początku świata”. Post kierował się intuicjami kombinatorycznymi. Logiki wielowartościowe znajdują zastosowanie właśnie w kombinatoryce, algebrze i w kwestiach technicznych16 . Oprócz dopuszczenia większej niż dwie wartości logicznych można również stanąć na stanowisku, że są zdania, którym nie przysługuje żadna wartość logiczna. Jest tak np. w wypadku tych, którzy odmawiają znaczenia, czyli sensu semantycznego niektórym wyrażeniom, będącym zdaniami z punktu widzenia reguł budowy wyrażeń, czyli syntaktyki17 . Wnioskowanie to pośrednie uzasadnianie, czyli uzasadnianie poprzez odwołanie się do uprzednio uznanych zdań. Wnioskowanie służy więc do poszerzania naszej wiedzy obiektywnej, czyli systemów wie14

Zob. Łukasiewicz [1920], [1930], [1941], [1961]. Z polskich logików tworzeniem systemów logik wielowartościowych zajmowali się też B. Sobociński oraz J. Słupecki. 15 Zob. Post [1921]. 16 Oczywiście, zasadnicze znaczenie ma logika dwuwartościowa. Warto tu wspomnieć, że te kwestie już w latach 50-tych podejmował H. Greniewski [1959]. 17 Inną kwestią jest ilość wartości logicznych logiki intuicjonistycznej i logik modalnych. W wypadku logiki intuicjonistycznej w 1935 r. St. Jaśkowski udowodnił, że adekwatny byłby dla niej tylko system z nieskończoną ilością wartości logicznych. Operatory modalne zaś zwykle rozpatruje się jako spójniki, które nie są prawdziwościowe i logiki te nadbudowywane są nad innymi systemami logiki np. dwuwartościowej.

16

0. O LOGICE

dzy, poprzez odwołanie się do zdań już należących do tych systemów oraz do wzbogacania naszej wiedzy subiektywnej, czyli naszych przekonań, na podstawie już żywionych przekonań. Inną ważną rolą wnioskowania jest porządkowanie wiedzy. Wiedza nie jest (nie powinna być) prostym nagromadzeniem zdań. Zdania składające się na system wiedzy są (powinny być) jakoś uhierarchizowane i uporządkowane. Dokonuje się tego z uwzględnieniem stosunku uzasadniania zachodzącego między tymi zdaniami. Przesłanki we wnioskowaniu to zdania skądinąd uznane bądź jako takie założone. Stanowią one punkt wyjścia wnioskowania. Wniosek zaś jest zdaniem, które we wnioskowaniu zostaje uznane. Na to, by wnioskowanie było poprawne konieczne jest żeby między jego przesłankami a wnioskiem zachodził stosunek uzasadniania. Szczególnym rodzajem stosunku uzasadniania jest stosunek wynikania. Zdania, z których jakieś zdanie wynika nazywamy jego racjami, a zdanie, które wynika z jakichś zdań nazywamy ich następstwem. Wnioskowania, w których prawdziwość przesłanek gwarantuje prawdziwość wniosku – czyli gdy nie jest możliwy taki stan rzeczy, aby przesłanki były prawdziwe a wniosek fałszywy – to wnioskowania, w których wniosek wynika (logicznie) z przesłanek. Są to wnioskowania dedukcyjne. Teoria wynikania logicznego jest zasadniczym zagadnieniem logiki. Podstawowym działem logiki jest więc teoria wnioskowań dedukcyjnych. 0.2.2. Pojęcie wynikania semantycznego, syntaktycznego i rachunku logicznego G. W. Leibniz (1646–1716) był pierwszym myślicielem, który w sposób wyraźny sformułował koncepcję logiki jako rachunku18 . Pierwszym logikiem, który podjął pomysł Leibniza był G. Frege 18 Nie bez związku z tym pozostaje fakt, że Leibniz stworzył model maszyny liczącej, która była ulepszeniem maszyny Pascala, tzw. Pascaliny. Maszyna Leibniza oprócz dodawania i odejmowania „potrafiła” mnożyć i dzielić (ok. 1674 r.). Sprawny egzemplarz maszyny Leibniza znajduje się w bibliotece w Hanowerze. Leibniz stworzył system liczbowy oparty na 0 i 1 i był pomysłodawcą maszyny

0.2. PODSTAWOWE POJĘCIA I PROBLEMY LOGIKI

17

(1848–1925). Prace Fregego, z których podstawową jest „Begriffsschrift, eine der arithmetischen nachgebildete Formelsprache des reinen Denkens” [1879] (Ideografia), dały właściwy początek współczesnej logice formalnej19 , którą można uznać za częściową realizację idei Leibniza. W XVIII wieku wydawało się jeszcze – głosił to Kant – że logika, którą stworzył Arystoteles jest tak wszechstronnie i doskonale zbudowana, że prawie niczego już do niej nie można dodać. We współczesnej logice formalnej za jedno z podstawowych zadań uznaje się wskazanie i uzasadnienie reguł wynikania syntaktycznego, czyli reguł operacji «rachunkowych» na wyrażeniach, lub – wypowiadając się swobodnie – reguł operowania znakami tak, aby reguły te wiernie odwzorowywały rzeczywisty, semantyczny stosunek wynikania. Chodzi więc o to, by związki między ideami były odwzorowane przez zależności między znakami tych idei, stąd termin, którym Frege posłużył się w tytule swojej pracy: ideografia. Inną kwestią jest, by idee te przystawały do rzeczywistości, by związki między ideami odwzorowywały związki między przedmiotami. W wykładzie wskazanej problematyki należy zatem określić pojęcie wynikania semantycznego i podać jego definicję. Trzeba także opisać reguły wynikania syntaktycznego. Reguły wynikania syntaktycznego mają być takie, żeby jakieś zdanie-wniosek wynikało syntaktycznie z jakiegoś zbioru zdań-przesłanek wtedy i tylko wtedy, gdy wynika ono z tego zbioru semantycznie. Teza stwierdzająca taki fakt jest treścią twierdzeń określanych jako twierdzenia o pełności. Dla wstępnego zrozumienia o co chodzi, gdy mówimy o wynikaniu semantycznym i syntaktycznym oraz o tym, żeby oba te rodzaje wynikania były zgodne, rozważmy analogiczny problem arytmetyki. liczącej bazującej na tym systemie. Pomysł ten jednak nie został zrealizowany. Leibniz zauważał, że maszyna liczy, chociaż Pitagoras wierzył, że liczenie jest sprawnością człowieka. Więcej, pisał, że nie jest to właściwe dla wybitnego człowieka tracić godziny jak niewolnik, kiedy liczenie może spokojnie przekazać komukolwiek, jeśli tylko użyje się maszyny. Przy okazji zauważmy, że najbardziej powszechnym urządzeniem stosowanym do liczenia było liczydło. Jego historia datuje się od V w. p.n.e. Jego pomysłodawcami byli Chińczycy. 19 Język rachunków logicznych jest rodzajem pisma ideograficznego, którego najprostsze znaki odpowiadają znaczeniom wyrazów lub nawet zwrotów języka potocznego.

18

0. O LOGICE

Co czynimy, aby podać sumę jakichś liczb? Otóż zapisujemy wskazane liczby w systemie dziesiętnym, a następnie stosując znane ze szkoły reguły pisemnego dodawania znajdujemy ich sumę. Oczywiście, nie jest to jedyny sposób obliczania sumy liczb. Możemy je „zapisać” na liczydle i stosując reguły rachowania na liczydle – które to reguły nie każdy zna – obliczyć ich sumę. Podobnie będzie w wypadku nowoczesnych «liczydeł», jakimi są komputery. Choć w tym wypadku reguły liczenia sprowadzają się do umiejętności wybrania odpowiedniego programu i umiejętności zapisania liczb. Pozostańmy jednak przy naszym przykładzie pisemnego sumowania liczb. Zauważmy, że na to, by móc stosować reguły pisemnego dodawania, musimy zapisać sumowane liczby w systemie dziesiętnym. Zapisując te liczby w systemie rzymskim nie będziemy potrafili ich pisemnie zsumować. Zapisując zaś te liczby w systemie dwójkowym – który ma większe techniczne znaczenie niż system dziesiętny – musimy stosować inne reguły rachunkowe niż te, które stosujemy w wypadku systemu dziesiętnego. Reguły pisemnego dodawania są więc zależne od języka, w którym zapisujemy sumowane liczby. Są to bowiem reguły operowania symbolami, przypominają zatem np. reguły gry w szachy, które to reguły mówią, jak można zmieniać pozycje figur i pionów na szachownicy. Reguły pisemnego dodawania są tak dobrane, aby stosując je otrzymać rzeczywistą sumę dodawanych liczb. Gdyby ktoś zamiast tych reguł zastosował inne reguły, np. mnożenia, to wyrachowana liczba może nie być rzeczywistą sumą tych liczb. W analogii pomiędzy sumowaniem a wynikaniem rzeczywista suma liczb ma być odpowiednikiem tego, co określamy jako wynikanie semantyczne, zaś suma wyrachowana zgodnie z regułami pisemnego dodawania odpowiednikiem tego, co określamy jako wynikanie syntaktyczne. Analogia ta pozwala zrozumieć co miał na myśli Leibniz, gdy w związku ze swoją koncepcją rachunku logicznego mówił o czasach, w których „. . . dwaj filozofowie, ilekroć powstanie spór, nie będą inaczej rozprawiać, aniżeli dwaj rachmistrze. Wystarczy, jeśli wezmą pióra do ręki, zasiądą do tablic i jeśli jeden drugiemu powie

0.2. PODSTAWOWE POJĘCIA I PROBLEMY LOGIKI

19

(używając, jeśli chcecie, przyjacielskiego zawołania): Calculemus (Porachujmy)!20 ”. Dla rachunków arytmetycznych trzeba było wynaleźć specjalny język. Jak wiadomo uczyniono to w Indiach a Europejczycy przejęli go od Arabów, dlatego też system dziesiętny nosi miano arabskiego. Język naturalny chociażby dlatego, że dające się określić związki między jego wyrażeniami w sposób jednolity nie odwzorowują związków zachodzących między liczbami, nie nadaje się do tego, aby ustalać dla niego reguły rachowania. Podobnie brak jednolitych związków między nazwami liczb w systemie notacji rzymskiej uniemożliwił stworzenie rachunku arytmetycznego na bazie tej notacji. Podobnie rachunki logiczne wymagają specjalnego języka, bo – między innymi z tych samych powodów, co w wypadku arytmetyki – i dla tych rachunków język naturalny nie nadaje się. Wspomniany wyżej Leibniz głosił ideę uniwersalnego języka graficznego, characteristica universalis 21 . O jego przekonaniu o znaczeniu wyboru symboli dla poznania naukowego może świadczyć stwierdzenie, że „wszelkie odkrycia w matematyce zawdzięcza swemu udoskonalonemu stosowaniu symboli, a jego wynalazek rachunku różniczkowego był dlań właśnie tego przykładem22 .” Macfarlane, kontynuator badań Boole’a, De Morgana i Jevons’a, zauważa: „The reason why Formal Logic has so long been unable to cope with the subtlety of nature is that too much attention has been given to pictorial notations. Arithmetic could never be developed by means of the Roman system of notations; and Formal Logic cannot be developed so long as Barbara is represented by C, 20

: M,

:T;

Zob. Leibniz [1890], t. 7, s. 198–201. Warto zauważyć, że przeszkód w realizacji swojej idei upatrywał w braku chętnych do współpracy (por. list z 1714 r. , Leibniz [1840], s. 703). W liście pisanym na dwa lata przed śmiercią mówi, że gdyby się mniej rozpraszał lub był młodszy, bądź miał wsparcie w dobrze usposobionym młodym człowieku, to ma nadzieję dałby jakąś próbkę języka nieskończenie różnego od dotychczas zaprojektowanych, ponieważ same jego symbole prowadziłyby myśl, a błędy, oprócz tych dotyczących faktów, miałyby źródło w błędach rachowania (por. Leibniz [1840], s. 701. 22 Zob. Couturat [1901], s. 84–85. 21

20

0. O LOGICE

or even by the simpler spicular notation of De Morgan. We cannot manipulate data so crudely expressed; because the nature of the symbols has not been investigated, and laws of manipulation derived from their general properties.”23 Ze względu na to, że rachunek zależy od wyboru języka, a więc m.in. słownika i reguł syntaktycznych, ponadto – co ma istotne znaczenie – od wyboru reguł samego rachunku, czynimy odróżnienie między logiką a rachunkiem logicznym, w szczególności między logiką zdań a rachunkiem zdań. Jedna i ta sama logika może być bowiem opisywana różnymi rachunkami24 .

23

Zob. Macfarlane [1879], s. 32. Rachunek arytmetyczny różni się od logicznego, czyli krócej, rachowanie różni się od dowodzenia. Cztery różnice są wyraźne. (1) W arytmetyce mamy do czynienia z liczbami a w logice ze zdaniami. (2) Reguły rachowania są bardziej ścisłe niż reguły dowodzenia. (3) Procedury rachunkowe zwykle prowadzą do końcowego wyniku (są rozstrzygalne, rekursywne) lub mogą go osiągnąć za pomocą dobrze opracowanych metod aproksymacji. Procedury dowodowe często nie prowadzą do ostatecznego rezultatu (są nierozstrzygalne, nie rekursywne, chociaż rekursywnie przeliczalne), istotnie niezupełne w wypadku teorii liczb i teorii mnogości, a w teorii dowodu ponadto nie mamy jasnej koncepcji metod aproksymacyjnych. (4) Procedury rachunkowe są efektywne, zaś dla dowodów często zdarza się nawet w wypadku teorii rozstrzygalnych, że metoda rozstrzygania nie jest praktycznie wykonalna. Rachując wyjątkowo coś skracamy. W dowodach skróty są zasadą, gdy odwołujemy się do intuicji rozumienia, doświadczenia i podobnych zasad. Por. Wang H. [1963], s. 1. 24

1. KLASYCZNA LOGIKA ZDAŃ 1.0. ZAŁOŻENIA ZDAŃ

KLASYCZNEGO

RACHUNKU

Rozważymy teraz problem rachunku dla logiki zdań20 . Logika zdań jest logiką języka, którego najprostsze, wewnętrznie nieanalizowalne elementy to zdania i w którym z tych zdań – określanych jako proste lub atomowe – i ze specjalnych wyrażeń zwanych spójnikami oraz znaków interpunkcyjnych, którymi są nawiasy, konstruowane są wszystkie pozostałe wyrażenia poprawnie zbudowane tego języka – zdania złożone. W języku zdaniowym wszystkie elementy znaczeniowe wiążące te zdania ze sobą są więc wyrażalne przez spójniki zdaniowe. Takim językiem nie jest ani język naturalny, ani żaden z języków różnych systemów wiedzy. W takim sensie język logiki zdań jest fikcyjny. Zasady logiki zdań stosują się jednak do wszystkich języków o tyle, o ile abstrahujemy od wewnętrznej złożoności ich zdań prostych. Rozważanie logiki zdań jest użyteczne zarówno teoretycznie jak i dydaktycznie. Rachunek dla logiki zdań jest bowiem fragmentem bogatszego rachunku dla logiki języka, w którym wyróżnia się elementy składowe zdań – będzie to rachunek predykatów. Klasyczna 20

Rachunek zdań jest powszechnie uważany za polską specjalność. J. Woleński [1985] podaje następującą anegdotę. Gdy A. Tarski spotkał się po raz pierwszy z E. Postem (było to zapewne w roku 1939 lub 1940) sugerował mu, że jest jedynym logikiem, który uzyskał ważne wyniki w rachunku zdań, a nie ma nic wspólnego z Polską. Na to Post miał rzec: „O nie, urodziłem się w Białymstoku, a to jest miasto we wschodniej Polsce.” (zob. s. 84) W życiorysie E. Posta podaje się, że urodził się w Augustowie.

22

1. KLASYCZNA LOGIKA ZDAŃ

logika zdań to logika języka, którego wszystkie spójniki są prawdziwościowe i ponad to przyjmuje się dwie wartości logiczne: prawdę i fałsz. 1.1. TAUTOLOGIE I ZDANIA LOGICZNIE PRAWDZIWE Określimy teraz czysto formalnie język rachunku zdań. Podamy więc alfabet tego języka i reguły konstrukcji wyrażeń poprawnie zbudowanych: zdań. Zdania budujemy, aby mówić o pewnej rzeczywistości, o jakimś świecie. W logice matematycznej takim «światem» jest abstrakcyjny konstrukt: model. Będzie on tak zbudowany, aby ujmował interesujące nas aspekty odnoszenia zdań do świata. Ściśle określony «świat», model, umożliwi definicję prawdziwości zdania (w modelu). Pojęcie prawdziwości zdania jest pojęciem semantycznym. Naszym celem jest wskazanie czysto syntaktycznych własności owych zdań, a więc tych własności ich kształtu, budowy, które są charakterystyczne dla zdań prawdziwych we wszystkich modelach. Wyróżnimy pewną klasę zdań, które będziemy określali jako tautologie. Pojęcie tautologii będzie więc pojęciem syntaktycznym. Ustalimy związek pomiędzy byciem tautologią a byciem zdaniem prawdziwym we wszystkich modelach. 1.1.1. Pojęcie spójnika W każdym języku istnieją różne sposoby tworzenia zdań ze zdań. Służyć temu celowi mogą różne wyrażenia (w gramatyce nazywane spójnikami i partykułami), zestawienie zdań (połączenie zdań składowych wraz z użyciem – w języku mówionym – stosownej intonacji – a w języku pisanym – odpowiedniej interpunkcji). Spójnik to każde i tylko takie wyrażenie, które łącznie ze zdaniem bądź zdaniami tworzy zdanie. PRZYKŁADY Spójnikami są np.: „nieprawda, że. . . ”, „konieczne jest, że . . . ” oraz „. . . lub . . . ” i „. . . oraz . . . ”. Spójnikiem nie jest: „. . . jest”.


1.1. TAUTOLOGIE I ZDANIA LOGICZNIE PRAWDZIWE

23

Zdania, z których dany spójnik tworzy zdanie to argumenty tego spójnika. Spójniki dzieli się ze względu na ilość ich argumentów. Wyróżniamy więc spójniki jednoargumentowe, dwuargumentowe itd. Zdania, które otrzymujemy w wyniku dopisania zdania lub zdań do spójnika to zdania złożone. Zdania proste to zdania, które nie są złożone, czyli w których nie występują spójniki. PRZYKŁADY Zdaniami prostymi są: 2 + 2 = 4.

Trójkąt ma trzy boki. Zdaniami złożonymi są: Nieprawda, że 2 + 2 = 4. Jeżeli czworokąt ma cztery boki równe, to ma dwa kąty równe.




1.1.2. Alfabet języka klasycznej logiki zdań Alfabet A języka klasycznej logiki zdań jest zbiorem następujących przedmiotów (symboli): (I) p0 , p1 , . . ., (II) ¬, (III) ⇒, ∨, ∧, ⇔, (IV) ), (. Zbiór wszystkich skończonych ciągów elementów A to A∗ . Elementy A∗ to słowa nad alfabetem A. p0 , p1 , . . . to litery zdaniowe. Intuicyjnie reprezentują one zdania proste, czyli zdania, w których nie występują spójniki. Stąd też nazywane są atomami. Dopuszczamy by zdań tych było tyle, ile jest liczb naturalnych, czyli przeliczalnie nieskończenie wiele. W teoretycznych rozważaniach przyjmujemy, że litery zdaniowe są niezłożonymi znakami. Zwykle jako liter zdaniowych używać będziemy liter: p, q, r, . . .. ¬ jest spójnikiem jednoargumentowym. Nazywamy go negacją 21 . 21

Łacińskie nego znaczy: przeczę.

24

1. KLASYCZNA LOGIKA ZDAŃ

Spójniki: ⇒, ∨, ∧, ⇔ są dwuargumentowe. Nazywamy je, odpowiednio: implikacją 22 , alternatywą, koniunkcją i równoważnością. W wypadku implikacji jej pierwszy argument nazywamy poprzednikiem a drugi następnikiem. Nawiasy: ) – nawias prawy, ( – nawias lewy, pełnią funkcję znaków interpunkcyjnych. Znaki te w naszym języku logiki zdań są niezbędne dla jednoznacznego zapisu wyrażeń tego języka. Zwykle dla wygody – w tym celu, aby napis był bardziej czytelny – stosuje się też nawiasy innych kształtów: ], [; }, {. 1.1.3. Definicja zdania (wyrażenia poprawnie zbudowanego logiki zdań) 1.1.3.1. Zdanie w notacji standardowej Z elementów powyżej opisanego słownika (alfabetu) budujemy zdania. Zdania są jedynymi poprawnie zbudowanymi wyrażeniami języka logiki zdań. DEFINICJA ZDANIA Niech α i β będą dowolnymi skończonymi ciągami symboli alfabetu języka logiki zdań, czyli α i β są elementami A∗ (α, β ∈ A∗ ). (I) litery zdaniowe są zdaniami; (II) jeżeli α jest zdaniem, to ¬α jest zdaniem; (III) jeżeli α, β są zdaniami, to (α ⇒ β ), (α ∨ β ), (α ∧ β ), (α ⇔ β ) są zdaniami; (IV) nie ma innych zdań oprócz liter zdaniowych oraz tych wyrażeń, które są skończonymi ciągami symboli23 spełniającymi warunki (II) i (III). 22 Spójnik ten określany jest również jako implikacja materialna dla odróżnienia od implikacji formalnej. Termin „implikacja formalna” używany jest na oznaczenie implikacji, której warunkiem koniecznym poprawności i sensowności jest zachodzenie związku formalnego między poprzednikiem a następnikiem. 23 Pojęcia użyte w definicji zdania: ciągu, skończonego ciągu, najmniejszego zbioru należą do teorii mnogości, tam też podane są ich definicje.

1.1. TAUTOLOGIE I ZDANIA LOGICZNIE PRAWDZIWE

25

Warunek (IV) można zastąpić warunkiem równoważnym: (IV)’ zbiór zdań jest najmniejszym zbiorem skończonych ciągów symboli spełniających warunki (I) – (III). Zbiór wyrażeń poprawnie zbudowanych, w tym wypadku zdań, jest podzbiorem A∗ . PRZYKŁADY Zdaniami są: p0 , p4 , p5 , ¬p0 , (p5 ∨ p0 ), (¬(p0 ∧ p5 ) ∨ p0 ). Zdaniami nie są: (p0 ), ¬(p0 )¬(p5 ) ∨ (p0 ), ¬(p0 p5 ) ∨ (p0 ), (p0 ∨ p1 ) ∧ (p0 ∨ p1 ) ∧ (p0 ∨ p1 ) ∧ . . ..
Skończony ciąg α elementów słownika jest zdaniem wtedy i tylko wtedy, gdy łącznie spełnione są następujące warunki: 1. Pierwszym wyrazem ciągu α jest litera zdaniowa, albo spójnik negacji albo nawias lewy. 2. Po literze zdaniowej albo nie następuje nawias prawy, albo następuje nawias prawy albo następuje spójnik dwuargumentowy. 3. Po nawiasie lewym następuje litera zdaniowa, albo spójnik negacji albo nawias lewy. 4. W α występuje tyle samo spójników dwuargumentowych, co nawiasów lewych i co nawiasów prawych. 5. W każdym miejscu w α, w którym znajduje się nawias lewy zaczyna się odcinek ciągu taki, że liczba wystąpień nawiasów lewych jest równa liczbie wystąpień nawiasów prawych, a w najkrótszym tego rodzaju odcinku liczby te są równe liczbie wystąpień spójników dwuargumentowych. Podana charakterystyka daje podstawę dla automatyzacji sprawdzania, czy dany ciąg α jest zdaniem. PRZYKŁADY Ciąg ((p0 ⇒ p1 ) ∧ p2 ) ⇔ ((p3 ∨ (p1 ⇒ ¬p2 )))

26

1. KLASYCZNA LOGIKA ZDAŃ

nie spełnia warunku 5. Zauważmy bowiem, że w odcinku zaczynającym się lewym nawiasem występującym bezpośrednio po równoważności, dla którego zachodzą założenia warunku 5, czyli ((p3 ∨ (p1 ⇒ ¬p2 )))

nawias lewy i nawias prawy występują po trzy razy, zaś spójniki dwuargumentowe występują tylko dwa razy. Zdaniem jest (((p0 ⇒ p1 ) ∧ p2 ) ⇔ (p3 ∨ (p1 ⇒ ¬p2 ))).




Język rachunku zdań jest przykładem języka formalnego. Zbiór wszystkich wyrażeń poprawnie zbudowanych języka formalnego zostaje ustalony decyzją twórcy tego języka. Zazwyczaj podaje się: (I) zbiór symboli (alfabet, słownik) (II) zbiór reguł konstrukcji. Znajomość interpretacji, czyli przyporządkowania znaczeń wyrażeniom, jest zbyteczna dla określenia zbioru wyrażeń poprawnie zbudowanych. Język formalny, taki jak język rachunku zdań, mogłaby w pełni przyswoić sobie maszyna, np. komputer. Język formalny jest zwykle tak opisany, że dane wyrażenie poprawnie zbudowane tego języka może być zbudowane, w sensie procesu konstrukcji, w jeden i tylko jeden sposób24 . Tak jest w wypadku wyżej opisanego języka logiki zdań. PRZYKŁADY Niech wyrażeniem poprawnie zbudowanym będzie każdy skończony ciąg symboli: ∇, ♦ rozpoczynający się od symbolu: ∇. Taki język jest językiem formalnym. Niech wyrażeniem poprawnie zbudowanym będzie każdy sensowny ciąg elementów słownika języka polskiego. W tym wypadku o poprawności budowy przesądzają reguły semantyczne. Tak określony język nie jest więc językiem formalnym25 .
24

Dział syntaktyki zajmujący się problemem konstrukcji wyrażeń to tektonika. Gdyby udało się sformalizować język polski, to istniałaby możliwość komputerowego sprawdzania poprawności wyrażeń. 25

1.1. TAUTOLOGIE I ZDANIA LOGICZNIE PRAWDZIWE

27

Wyrażenia poprawnie zbudowane – w wypadku języka rachunku zdań – zdania, są przedmiotami abstrakcyjnymi. Reprezentantem wyrażenia poprawnie zbudowanego jest konkretny napis (lub dźwięk). Dwa napisy (dźwięki) mogą być reprezentantami tego samego wyrażenia. Istnienie wyrażenia nie jest uwarunkowane aktualnym istnieniem konkretnych napisów (dźwięków), ani naszymi możliwościami zapisu. Pozwala to mówić zarówno o wyrażeniach, których zapis przekracza fizyczne możliwości człowieka jak i o językach mających nieskończenie wiele wyrażeń. Mówimy tu o możliwości w takim samym sensie, jak w arytmetyce liczb naturalnych, gdzie dysponujemy dziesięcioma cyframi, gdy mówimy, że za ich pomocą, tworząc skończone ciągi możemy zapisać nazwę dowolnej liczby naturalnej. Pisać będziemy mniej nawiasów niż wynikałoby to z definicji zdania. Za zbędne uważamy nawiasy zewnętrzne, czyli zamiast: (α) piszemy: α. Jeżeli spójnik dwuargumentowy s1 wiąże mocniej niż spójnik dwuargumentowy s2 , to zamiast (αs1 β)s2 γ piszemy αs1 βs2 γ ; podobnie, zamiast αs2 (βs1 γ) piszemy αs2 βs1 γ . Przyjmujemy, że spośród spójników dwuargumentowych najmocniej wiąże koniunkcja, następnie alternatywa a po niej implikacja i równoważność. Jeżeli spójniki s1 i s2 wiążą z jednakową mocą, to zamiast αs1 (βs2 γ) możemy pisać αs1 βs2 γ . Jest to tak zwana zasada wiązania na lewo. Zwykle dla większej czytelności pozostawiamy więcej nawiasów niż to wynikałoby z zasad opuszczania nawiasów. Ponadto, można używać nawiasy innych kształtów: {, }; [, ]. Gdy wyrażenie α chcemy ująć w nawias, to piszemy: [α], jeśli w α występują: (, ). Piszemy zaś {α}, gdy w α występują: [, ]. Nasze zasady używania i opuszczania nawiasów nie różnią się w jakiś istotny sposób od zasad znanych z arytmetyki szkolnej. Na użytek definicji zdania przyjęliśmy umowę, że litery greckie „α”, „β ”, . . ., ewentualnie z indeksami, oznaczają dowolny ciąg symboli. Teraz odstępujemy od tej umowy. Liter greckich „α”, „β ”, . . . będziemy używać – jeżeli nie powiemy inaczej – tylko na oznaczenie zdań. Zauważmy, że litery „α”, „β ”, . . . nie są zdaniami, lecz nazwami zdań. Podobnie jest w wypadku konstrukcji z tych liter i spójników.

28

1. KLASYCZNA LOGIKA ZDAŃ

„¬α” jest nazwą zdania, które powstaje ze zdania α poprzez napisanie przed nim spójnika negacji. „αsβ ” jest nazwą zdania złożonego ze zdania α jako lewego argumentu i zdania β jako prawego argumentu spójnika s. Wyrażenia „α” i „¬α” należą do języka, którym mówimy, a nie do języka, o którym mówimy, czyli należą do metajęzyka. Wyrażenia te nie są zdaniami metajęzyka. Są w nim nazwami zdań języka, o którym mówimy (w metajęzyku). Nazw języka naturalnego używamy na kilka sposóbów, w różnych supozycjach26 . Na przykład nazwy „człowiek” możemy użyć do wskazania jakiegoś jednego określonego człowieka, gdy mówimy „pod drzewem stał człowiek”. Podobnie liter „α”, „β ”, . . . możemy użyć np. do wskazania zdań, o których była wcześniej mowa, wówczas oznaczają one te właśnie zdania, odpowiednio, „α”, „β ”, . . .. Nazwy generalne mogą być użyte do wskazania każdego przedmiotu, posiadającego cechy, które określa treść danej nazwy. Na przykład nazwy „człowiek” możemy użyć do wskazania człowieka i tylko człowieka, np. gdy mówimy „człowiek ma prawa, które przysługują mu z natury”. Treść nazw „α”, „β ”, . . . wyczerpuje się w tym, że mogą być one użyte do wskazania zdań i tylko zdań (jeśli nie powiemy inaczej). Możemy ich użyć na oznaczenie dowolnych zdań. Na przykład gdy mówimy: w zdaniu α⇒α

poprzednik jest równokształtny z następnikiem, to mamy na uwadze dowolne zdanie α. Tak użyte litery „α”, „β ”, . . . są zmiennymi, których zakresem zmienności jest zbiór zdań. Mówimy, że są to zmienne metaprzedmiotowe. Wyrażenia zbudowane wyłącznie z liter „α”, „β ”, . . . oraz spójników i nawiasów mogą oznaczać każde zdanie, które można otrzymać przez wpisanie w miejsce poszczególnych liter „α”, „β ”, . . . jakichś zdań. O wyrażeniach takich mówimy, że są to schematy zdaniowe. 26

Szerzej na ten temat zob. Trzęsicki [2000], s. 46–47.

1.1. TAUTOLOGIE I ZDANIA LOGICZNIE PRAWDZIWE

29

Język, którym mówi się o logice nie różni się istotnie od języka naturalnego, w naszym wypadku polskiego. W zasadzie różnica ta sprowadza się do tego, że jest tu wiele słów – są to terminy specyficzne logiki – których na co dzień nie używamy. Język logiki jest językiem uniwersalnym, w tym sensie, że nie zależy od języka narodowego, którym się mówi o logice. Podobnie jak język arytmetyki jest wspólny wszystkim, którzy mówią o arytmetyce, choć każdy mówi o niej jakimś językiem narodowym. (DEF. spójnika głównego) Spójnikami głównymi w zdaniach: ¬ α, α ⇒ β , α ∨ β , α ∧ β , α ⇔ β są spójniki, odpowiednio: negacji, implikacji, alternatywy, koniunkcji i równoważności. Zdania te skrótowo określamy jako, odpowiednio: negację, implikację, alternatywę, koniunkcję i równoważność. 1.1.3.2. Notacja łukasiewiczowska27 Z semiotycznego i informatycznego punktu widzenia – ze względu na ekonomię środków wyrazu – interesujące jest pytanie o możliwość języka bez znaków interpunkcyjnych, nawiasów. Otóż taką notację wynalazł Jan Łukasiewicz28 . Okazuje się, że w wypadku, gdy wszystkie spójniki są prefiksami (czyli gdy pisane są przed swoimi argumentami) lub gdy wszystkie spójniki są sufiksami (czyli gdy pisane są po swoich argumentach) możliwe jest wyeliminowanie nawiasów. W wypadku wyżej opisanego języka prefiksem jest spójnik negacji, zaś: ∨, ∧, ⇒, ⇔ są infiksami (czyli spójniki te pisane są między swoimi argumentami)29 . 27

Notacja ta w literaturze anglojęzycznej zwykle określana jest jako polska. Łukasiewicz ([1931], s. 165) podaje, że zasady symboliki beznawiasowej opracował w 1924 r. O pisaniu spójników przed argumentami mówił na początku lat dwudziestych Chwistek. Jak pisze Woleński ([1985], s. 93) symbolika beznawiasowa to coś więcej niż samo pisanie spójników przed argumentami, stąd nie ma konfliktu pomiędzy uznaniem, że twórcą symboliki beznawiasowej, zwanej także polską, jest Łukasiewicz i tym, że pomysł pisania spójników przed argumentami pochodzi od Chwistka. 29 Przy okazji zauważmy również możliwość zastosowania znaków interpunkcyjnych o innym niż nawiasy kształcie i innych zasadach stosowania. W takiej roli używa się na przykład kropek. Zob. Quine [1940]. Dominacja notacji nawia28

30

1. KLASYCZNA LOGIKA ZDAŃ

SŁOWNIK (I) p0 , p1 , . . . (II) N (III) C, A, K, E

litery zdaniowe spójnik jednoargumentowy spójniki dwuargumentowe

DEFINICJA ZDANIA (WYRAŻENIA POPRAWNIE ZBUDOWANEGO LOGIKI ZDAŃ) Niech α i β będą dowolnymi ciągami symboli. (I) litery zdaniowe są zdaniami; (II) jeżeli α jest zdaniem, to Nα jest zdaniem; (III) jeżeli α, β są zdaniami, to Cαβ , Aαβ , Kαβ , Eαβ są zdaniami. (IV) nie ma innych zdań oprócz liter zdaniowych oraz tych wyrażeń, które można w skończonej ilości kroków skonstruować wedle punktów (II) i (III). Litery: N, C, A, K, E są spójnikami, odpowiednio: negacji, implikacji, alternatywy, koniunkcji i równoważności. Wszystkie one są prefiksami. Zdaniu: (p0 ∨ p1 ) ∧ p0 odpowiada zdanie w notacji Łukasiewicza: KAp0 p1 p0 a zdaniu: p0 ∨ (p1 ∧ p0 ) – Ap0 Kp1 p0 . Daje się wskazać prostą metodę, która pozwala stwierdzić, czy dany skończony ciąg symboli jest zdaniem w notacji Łukasiewicza. Niech α będzie dowolnym skończonym ciągiem elementów słownika. KRYTERIUM Ł α jest zdaniem wtedy i tylko wtedy, gdy spełnione są łącznie wszystkie poniższe warunki:

(I) ostatnią literą ciągu jest litera zdaniowa, (II) ilość symboli spójników C, A, K, E (nie liczymy symbolu N) w ciągu α jest o 1 mniejsza od liczby występujących symboli liter zdaniowych, sowej być może związana jest z przyzwyczajeniami, jakich nabywamy na lekcjach matematyki w szkołach.

1.1. TAUTOLOGIE I ZDANIA LOGICZNIE PRAWDZIWE

31

(III) w każdym odcinku zaczynającym się od jednego z symboli C, A, K, E (nie bierzemy pod uwagę symbolu N) ich ilość, licząc do końca napisu, jest o co najmniej 1 mniejsza od liczby występujących w tym odcinku symboli liter zdaniowych. Kryterium Ł daje podstawę dla prostego rachunku pozwalającego obliczyć, czy dany napis α jest zdaniem w notacji Łukasiewicza. Symbolowi N przyporządkowujemy liczbę 0, symbolom C, A, K, E liczbę (−1), zaś symbolom liter zdaniowych liczbę 1. (I) pod ostatnim symbolem skończonego ciągu α piszemy liczbę przyporządkowaną temu symbolowi, (II) pod (k + 1)-szym symbolem – licząc od końca napisu – podpisujemy liczbę uzyskaną przez dodanie liczby przyporządkowanej temu symbolowi do liczby podpisanej pod k -ty symbol napisu. α jest zdaniem w notacji Łukasiewicza wtedy i tylko wtedy, gdy w ciągu liczbowym utworzonym zgodnie z podanymi regułami

1. w żadnym miejscu nie pojawia się liczba mniejsza lub równa 0, 2. początkowym wyrazem ciągu jest liczba 1. Pokażmy wpierw, że gdy α jest zdaniem, to pod początkowym symbolem α podpisane jest 1. Zauważmy, że w wypadku, gdy α zbudowane jest tylko z jednej litery zdaniowej, to pod początkowym (i jedynym) symbolem piszemy 1. Niech β i γ będą zdaniami i niech pod początkowymi symbolami będzie podpisane 1. Pod początkowym symbolem Nβ będzie podpisane 1. Pod początkowym symbolem ciągu αβ będzie podpisane 2. Zatem pisząc przed tym ciągiem któryś ze spójników dwuargumentowych uzyskamy ciąg, pod którego początkowym symbolem będzie podpisane 1. Pokażemy teraz, że jeżeli pod początkowym symbolem α jest podpisane 1, to α jest zdaniem. Jeżeli α jest ciągiem jednowyrazowym, to tym wyrazem może być tylko litera zdaniowa. Litera zdaniowa jest zaś zdaniem. Załóżmy, że w wypadku wszystkich ciągów o długości równej lub mniejszej niż k jest tak, że jeżeli pod ich pierwszymi wyrazami jest pod pisane 1, to ciągi te są zdaniami. Niech α jest ciągiem o długości większej niż k . Jeżeli jest to ciąg mający więcej niż jeden

32

1. KLASYCZNA LOGIKA ZDAŃ

wyraz, to jego pierwszym wyrazem nie może być litera zdaniowa, bowiem wówczas pod pierwszym wyrazem mogłaby być podpisana tylko liczba większa niż 1. Jeżeli pierwszym wyrazem jest N, to pod przedostatnim wyrazem musi być 1. Zgodnie z założeniem jest to zdanie. Pisząc N przed zdaniem uzyskujemy zdanie. Niech teraz pierwszym wyrazem będzie któryś ze spójników dwuargumentowych. Zatem pod przedostatnim wyrazem musi być podpisane 2. We fragmencie ciągu liczbowego poprzedzającym 2 musi wystąpić 1. Bierzemy fragment β ciągu począwszy od wyrazu, pod którym jest podpisana pierwsza 1 poprzedzająca nasze 2 a skończywszy na ostatnim wyrazie α. Zgodnie z założeniem β jest zdaniem. Fragment γ ciągu α, pod którego pierwszym wyrazem jest podpisane 2 do ostatniego wyrazu poprzedzającego 1 jest również zdaniem, bowiem przeprowadzając dla niego opisaną wyżej procedurę pod jego pierwszym wyrazem uzyskamy 1. Nasz spójnik dwuargumentowy łączy więc dwa ciągi γ i β , które są zdaniami. Ciąg α jest więc również zdaniem. PRZYKŁAD Napis: CCCpCqpCCCNrCsNtCCrCsuCCtsCtuv Cwv jest zdaniem. Mamy bowiem: CCCpCqpCCCNrCsNtCCrCsuCCtsCtuv Cwv30 1 2 3 4343 2 3 4 5 54 54434 545434543432121




Na podstawie kryterium Ł można skonstruować reguły „mechanicznego” przekładu zdań w notacji Łukasiewicza na zdania w zwykłej notacji. Mianowicie, (I) gdy pierwszym symbolem napisu α jest N, czyli gdy napis ma postać Nβ , to piszemy: ¬ β ; (II) gdy pierwszym symbolem napisu jest jeden z symboli C, A, K, E, to jako lewy argument symbolu, odpowiednio: ⇒, ∨, ∧, 30 Zdanie to może być jedynym aksjomatem systemu aksjomatycznego rachunku zdań z regułą odrywania (jeżeli α i Cαβ , to β ) oraz reguła podstawiania [jeżeli α, to α(pi /β ), gdzie α(pi /β) jest zdaniem uzyskanym ze zdania α przez jednoczesne wpisanie zdania β w miejsce każdego wystąpienia litery zdaniowej pi , i ∈ N.]. O systemach aksjomatycznych będzie mowa w dalszej części książki.

1.1. TAUTOLOGIE I ZDANIA LOGICZNIE PRAWDZIWE

33

⇔ bierzemy odcinek napisu α począwszy od drugiego symbolu

taki, że ilość symboli C, A, K, E jest w tym odcinku dokładnie o 1 mniejsza od liczby symboli liter zdaniowych; a jako prawy argument bierzemy pozostały odcinek ciągu α; uzyskany napis umieszczamy w nawiasach; (III) z odcinkami uzyskanego napisu zawierającymi tylko symbole N, C, A, K, E (i symbole liter zdaniowych) postępujemy według reguł (I) i (II). Każdy najdłuższy taki napis zastępujemy przez napis uzyskany przez zastosowanie tych reguł. Postępowanie to kontynuujemy tak długo, aż dostaniemy napis nie zawierający symboli N, C, A, K, E. PRZYKŁAD Przetłumaczmy zdanie CCCpCqpCCCNrCsNtCCrCsuCCtsCtuv Cwv 1. (CCpCqpCCCNrCsNtCCrCsuCCtsCtuv ⇒ Cwv) 2. ((CpCqp ⇒ CCCNrCsNtCCrCsuCCtsCtuv) ⇒ (w ⇒ v)) 3. (((p ⇒ Cqp) ⇒ (CCNrCsNtCCrCsuCCtsCtu ⇒ v)) ⇒ (w ⇒ v))

4. (((p ⇒ (q ⇒ p)) ⇒ ((CNrCsNt ⇒ CCrCsuCCtsCtu) ⇒ v)) ⇒ (w ⇒ v))

5. (((p ⇒ (q ⇒ p)) ⇒ (((Nr ⇒ CsNt) ⇒ (CrCsu ⇒ CCtsCtu)) ⇒ v)) ⇒ (w ⇒ v))

6. (((p ⇒ (q ⇒ p)) ⇒ (((¬ r ⇒ (s ⇒ ¬ t)) ⇒ ((r ⇒ Csu) ⇒ (Cts ⇒ Ctu))) ⇒ v)) ⇒ (w ⇒ v)) 7. (((p ⇒ (q ⇒ p)) ⇒ (((¬ r ⇒ (s ⇒ ¬ t)) ⇒ ((r ⇒ (s ⇒ u)) ⇒ ((t ⇒ s) ⇒ (t ⇒ u)))) ⇒ v)) ⇒ (w ⇒ v))




1.1.3.3. Indukcyjny charakter definicji zdania Definicja zdania jest definicją indukcyjną. Najogólniej rzecz biorąc ten sposób definiowania polega na wskazaniu pewnej klasy (zbioru) przedmiotów (prostych). Może to być klasa skończona, np.

34

1. KLASYCZNA LOGIKA ZDAŃ

jednoelementowa, której jedynym elementem jest „|”; a może to być również jakaś klasa nieskończona, np. jak ma to miejsce w wypadku definicji zdania. Ponadto podane są reguły budowy obiektów złożonych oraz może być wyróżniona pewna klasa przedmiotów, które jedynie służą do «budowy» obiektów złożonych. Przedmioty te same nie należą do definiowanej klasy obiektów. W wypadku języka rachunku zdań są nimi spójniki i nawiasy. Reguły budowy obiektów złożonych są pewnego rodzaju przepisami określającymi, jaki dokładnie jeden obiekt powstanie, gdy do budowy zostaną użyte określone obiekty. Np. mając obiekt „|” oraz operację konkatenacji, czyli operację dopisywania symbolu „|” po prawej stronie danego obiektu, możemy skonstruować obiekty: |, ||, |||, . . . . Czysto formalnie reguły konstrukcji obiektów złożonych można opisać – jak to uczyniliśmy definiując zdanie – jako uporządkowane pary, których pierwszym członem są pewne ciągi przedmiotów zaś drugim jakiś jeden obiekt. Istotnym warunkiem jest to, żeby danemu ciągowi obiektów jako pierwszemu elementowi pary przyporządkowany był co najwyżej jeden obiekt jako drugi element pary. Definicje indukcyjne pozwalają na drodze wnioskowania, określanego jako wnioskowanie przez indukcję (matematyczną), dowodzić własności obiektów spełniających warunki definicji. Liczby naturalne możemy pojąć jako elementy zbioru wszystkich obiektów: |, ||, |||, . . .. Na to, aby dowieść, że każda liczba naturalna ma jakąś własność W wystarczy pokazać – jest to znany ze szkoły średniej schemat wnioskowania – że (I) własność ta przysługuje obiektowi: |; oraz (II) jeżeli przysługuje obiektowi α, to przysługuje obiektowi: α|. Podobnie, aby dowieść, że każde zdanie ma jakąś własność W wystarczy pokazać, że (I) każdej literze zdaniowej przysługuje własność W ; oraz (II) jeżeli α i β mają własność W , to ¬α, α ⇒ β , α ∨ β , α ∧ β , α ⇔ β mają własność W .

1.1. TAUTOLOGIE I ZDANIA LOGICZNIE PRAWDZIWE

35

Mówimy tu o wnioskowaniu przez indukcję ze względu na długość zdania. Wszelkich własności zdań będziemy dowodzić na drodze wnioskowania indukcyjnego. (DEF. dł(α)) Długość zdania α oznaczać będziemy dł(α). Długość zdania definiujemy indukcyjnie ze względu na jego budowę następująco. Niech α i β będą zdaniami = 1, jeżeli α jest literą zdaniową, (I) dł(α) (II) dł(¬α) = 1 + dł(α), (III) dł(αsβ) = 1 + dł(α) + dł(β), gdzie s jest spójnikiem dwuargumentowym. 1.1.4. Model i prawdziwość W modelu każde zdanie proste powinno być bądź prawdziwe, bądź fałszywe. Interpretacja (określenie znaczeń zdań w modelu) polega na przyporządkowaniu poszczególnym zdaniom prostym znaczenia jednego z terminów: „prawda”, „fałsz”. Pomijając nieistotne detale możemy model po prostu utożsamić z jakimś podzbiorem M zbioru S liter zdaniowych. Jeżeli litera zdaniowa pn należy do podzbioru M zbioru S , to będziemy przez to rozumieć, że pn jest prawdziwe w modelu M. Gdy pn nie należy do M, to będziemy przez to rozumieć, że pn jest fałszywe w modelu M. Prawdziwość i fałszywość zdań złożonych określa się zaś ze względu na prawdziwość i fałszywość zdań składowych. Zamiast mówić, że zdanie jest prawdziwe w modelu będziemy też mówić, że jest spełnione w modelu. Do zapisania, że zdanie α jest prawdziwe w modelu M używać będziemy specjalnego oznaczenia: M |= α31 . (DEF. M |= α) Niech M będzie podzbiorem zbioru S liter zdaniowych (M ⊆ S).32 α jest prawdziwe (spełnione) w modelu M (M |= α) wtedy i tylko wtedy, gdy: 31

Symbol „|=” w sensie, w jakim tu jest użyty, po raz pierwszy pojawia się w: S. C. Kleene [1956]. 32 A ⊆ B (A jest podzbiorem B ) wtedy i tylko wtedy, gdy każdy element A jest elementem B . W szczególności każdy zbiór jest swoim podzbiorem.

36

1. KLASYCZNA LOGIKA ZDAŃ

(I) jeżeli α jest literą zdaniową, to M |= α

wtedy i tylko wtedy, gdy α ∈ M;

(II) jeżeli α jest zdaniem ¬ β , to M |= α

wtedy i tylko wtedy, gdy nie jest tak, że M |= β ; (III) jeżeli α jest zdaniem β ⇒ γ , to M |= α

wtedy i tylko wtedy, gdy nie jest tak, że M |= β lub jest tak, że M |= γ ; (IV) jeżeli α jest zdaniem β ∨ γ , to M |= α

wtedy i tylko wtedy, gdy M |= β lub M |= γ ;

(V) jeżeli α jest zdaniem β ∧ γ , to M |= α

wtedy i tylko wtedy, gdy M |= β i M |= γ ;

(VI) jeżeli α jest zdaniem β ⇔ γ , to M |= α

wtedy i tylko wtedy, gdy (M |= β wtedy i tylko wtedy M |= γ ). Użytych w definicji spójników fraz języka naturalnego: „nie jest tak, że”, „lub”, „i”, „wtedy i tylko wtedy, gdy” nie możemy zastąpić symbolami: ¬, ⇒, ∨, ∧, ⇔. Gdybyśmy tak postąpili, to popełnilibyśmy błąd w definiowniu zwany bezpośrednim błędnym kołem, idem per

1.1. TAUTOLOGIE I ZDANIA LOGICZNIE PRAWDZIWE

37

idem. Powyższych warunków nie możemy więc zapisać «krócej» np. zamiast (VI) pisząc jeżeli α jest zdaniem β ⇔ γ , to M |= α ⇔ (M |= β ⇔ M |= γ ). Spójniki: ¬, ⇒, ∨, ∧, ⇔ w języku polskim będą odczytywane za pomocą wyrażeń, odpowiednio: „nieprawda, że . . . ”, „ jeżeli . . . , to . . . ”, „ . . . lub . . . ”, „. . . i . . . ”, „. . . wtedy i tylko wtedy, gdy . . . ”. W języku polskim np. zdanie „Jan jest studentem” zaprzeczamy raczej mówiąc ”Jan nie jest studentem” niż mówiąc „Nieprawda, że Jan jest studentem”. Zaprzeczenia raczej nie stawiamy na początku zdania, lecz poprzedzamy nim orzeczenie. Stoicy zwracali uwagę, że zaprzeczenie zdania tworzy się przez umieszczenie przed tym zdaniem znaku negacji zdaniowej. Odróżniali oni zaprzeczenie zdania od poprzedzenia znakiem negacji pewnych części zdania. Rozumienie zdania α ⇒ β budziło już spory w starożytności i średniowieczu. Filon Megarejczyk (ok. 300 r. przed Chr.) pierwszy określił je jako zdanie, które jest fałszywe tylko wtedy, gdy poprzednik (α) jest prawdziwy a następnik (β ) jest fałszywy, i które jest prawdziwe we wszystkich pozostałych trzech wypadkach. Tak rozumianą implikację określa się jako implikację materialną. Różnił się tu od swojego mistrza, Diodorosa Kronosa, który jako warunek konieczny poprawności i prawdziwości implikacji postrzegał istnienie związków formalnych między poprzednikiem a następnikiem implikacji (implikacja formalna). Diodoros zapoczątkował tym spory na temat rozumienia implikacji. W szkole megarejsko-stoickiej podano jeszcze inne rozumienia, między innymi – jest to antyczna postać implikacji ścisłej – jako zdania, które jest prawdziwe, gdy negacja jego następnika jest niezgodna z poprzednikiem. O żywości tych sporów świadczy epigramat Kalimacha, bibliotekarza w Aleksandrii w II w. przed Chr.: „Kraczą już kruki na dachach, które implikacje są trafne”. Pierwszej próby systematycznego opracowania implikacji formalnej dokonał, tworząc systemy implikacji ścisłej, filozof i logik amerykański C. I. Lewis [1932]. W języku potocznym spójnikiem implikacji łączymy zdania pozostające ze sobą w jakiegoś rodzaju związku. Można wskazać przynajmniej cztery rodzaje związków.

38

1. KLASYCZNA LOGIKA ZDAŃ

W zdaniu „ jeżeli na ciało działa niezrównoważona siła, to ciało porusza się ruchem jednostajnie przyśpieszonym” pomiędzy tym, na co wskazuje poprzednik (na ciało działa niezrównoważona siła), a tym, na co wskazuje następnik (ciało porusza się ruchem jednostajnie przyśpieszonym), istnieje związek przyczynowo-skutkowy. W zdaniu „ jeżeli dzisiaj jest poniedziałek, to jutro będzie wtorek” pomiędzy tym, na co wskazuje poprzednik (dzisiaj jest poniedziałek), a tym, na co wskazuje następnik (jutro będzie poniedziałek) istnieje związek strukturalny. Taka jest struktura czasu. W zdaniu „ jeżeli kierujesz samochodem, to powinieneś posiadać prawo jazdy” pomiędzy tym, na co wskazuje poprzednik (kierujesz samochodem), a tym, na co wskazuje następnik (powinieneś posiadać prawo jazdy) istnieje związek tetyczny, czyli związek powstały z ustanowienia. W zdaniu „ jeżeli 2 + 2 = 4, to 2 + 2 = 4” pomiędzy tym, na co wskazuje poprzednik (2 + 2 = 4), a tym, na co wskazuje następnik (2 + 2 = 4) istnieje związek wynikania (logicznego). Podane przez nas reguły konstrukcji implikacji nie wykluczają połączenia tym spójnikiem jakichkolwiek zdań, a więc nawet takich, w wypadku których nie potrafilibyśmy wskazać jakiegoś rodzaju związku. Ponadto, reguły rozumienia implikacji są takie, że takiemu zdaniu możemy przypisać wartość logiczną. Możliwa jest więc konstrukcja zdania „ jeżeli Białystok jest miastem wojewódzkim, to Warszawa jest stolicą Polski”. Zdanie to jest ponadto prawdziwe. Otóż zwykły użytkownik języka skłonny byłby kwestionować te ustalenia z powodu niedostrzegania związku między tym, że Białystok jest miastem wojewódzkim, a tym, że Warszawa jest stolicą Polski. Warto jednak zauważyć, że fakt, iż nie dostrzega się związku nie oznacza, że związku nie ma. Czasem jednak łączymy zdania, o których wiemy, że nie ma między nimi żadnego związku treściowego, np. mówiąc: jeśli rozwiążesz to zadanie, to mi kaktus na dłoni wyrośnie33 . Zauważmy również, że w wypadku, gdy mamy zdania, o których wiemy, że oba są fałszywe, to raczej powiemy: 33

Por. Tarski [1994], s. 27.

1.1. TAUTOLOGIE I ZDANIA LOGICZNIE PRAWDZIWE

39

gdyby . . . , to . . . niż jeśli . . . , to . . . . Stoicy zdanie α∨β skłonni byli rozumieć w sensie alternatywy wykluczającej (rozłącznej), czyli takie zdanie byłoby prawdziwe wtedy i tylko wtedy, gdy dokładnie jeden z jego członów, α albo β , byłby prawdziwy. Piotr Hiszpan (XIII w.) stwierdza, że dla prawdziwości alternatywy potrzeba, by jeden z członów był prawdziwy, a dla fałszywości, by fałszywe były oba człony. Zdecydowanym zwolennikiem takiego rozumienia alternatywy (niewykluczającej, nierozłącznej) był Burleigh (XIV w.), który zwraca uwagę na to, że zdanie takie wynika z każdego ze swych członów; z tego więc wynika, że jeśli oba człony są prawdziwe, to alternatywa jest prawdziwa. Tu podany warunek prawdziwości zdania o postaci alternatywy rozstrzyga na rzecz niewykluczającego rozumienia alternatywy. Nie znaczy to – jak będzie można łatwo zauważyć przy okazji dyskusji nad spójnikami – żeby nie było możliwe rozważanie logiki ze spójnikiem alternatywy rozłącznej. W języku potocznym słówko „lub” rozumiemy raczej w sensie alternatywy nierozłącznej. Jednak dyskusje wykazują, że w wypadku, gdy słowem „lub” połączymy zdania, z których o przynajmniej jednym z góry wiadomo, że jest prawdziwe, to skłonni jesteśmy kwestionować prawdziwość zdania złożonego. Jest tak w wypadku zdań: „Warszawa jest stolicą Polski lub Białystok jest stolicą Polski”, „1 + 1 = 2 lub 2 + 2 = 4”. Jak się wydaje jest to jednak raczej wynikiem tego, że zdania, o którym wiemy, że jest prawdziwe nie zwykliśmy łączyć z jakimś zdaniem (być może również prawdziwym) słowem „lub”, niż skutkiem rozłącznego rozumienia tego słowa. Podobnie jak w wypadku innych spójników dwuargumentowych, w szczególności implikacji, nie ograniczamy też możliwości łączenia słowem „lub” zdań ze względu na związki treściowe między nimi. Podobnie jak w wypadku implikacji należy zauważyć, że fakt niedostrzegania związku, nie oznacza braku tego związku. Już stoicy określali koniunkcję jako zdanie prawdziwe wtedy i tylko wtedy, gdy oba argumenty spójnika, α i β , są prawdziwe. Takie same warunki prawdziwości formułowali logicy średniowieczni.

40

1. KLASYCZNA LOGIKA ZDAŃ

Słówko „i” jest jednym z wielu możliwych słów języka polskiego używanych do wypowiedzenia koniunkcji. Ze względów stylistycznych stosujemy je zamiennie ze słowem „oraz”. W niektórych kontekstach do tego celu musimy użyć słówka „a”. Na przykład nie powiemy „Jan czyta gazetę i Zosia gotuje obiad”, lecz powiemy „Jan czyta gazetę, a Zosia gotuje obiad”. Również w wypadku koniunkcji nie nakładamy żadnych ograniczeń na zdania, które łączymy tym spójnikiem. Równoważność wypowiadamy za pomocą frazy „wtedy i tylko wtedy, gdy”. Problemy związane z użyciem tej frazy są analogiczne do tych, jakie mamy z frazą „ jeśli . . . , to . . . ”34 . Sam termin „równoważność”, inaczej niż jest to w wypadku pozostałych nazw spójników zdaniowych, ma inne specyficzne znaczenia35 . Symbole: ¬, ⇒, ∨, ∧, ⇔ są symbolami języka logiki zdań, a więc należą do języka, o którym mówimy. Z punktu widzenia języka, którym mówimy są one pewnego rodzaju przedmiotami, o których się mówi. Symbole te nie należą do języka, którym pisany jest ten tekst. Symboli tych i wyrażeń z nich zbudowanych używamy wyłącznie jako «cytatów», jako «przytoczeń» symboli i wyrażeń języka, o którym mówimy. Symboli tych nie możemy użyć jako wygodnych skrótów dla spójników języka, którym mówimy. Nie możemy więc zastąpić, np. „ jeżeli. . . , to. . . ” i „wtedy i tylko wtedy, gdy” przez, odpowiednio: ⇒, ⇔. W naszym tekście o języku rachunku zdań symbole i wyrażenia tego języka występują w supozycji materialnej, czyli na oznaczenie samych siebie. Jeżeli istnieje taka potrzeba, to użycie wyrażenia w supozycji materialnej jest zwykle zaznaczane za pomocą cudzysłowu. (DEF. prawdziwości zdania) Zdanie α jest (logicznie) prawdziwe wtedy i tylko wtedy, gdy α jest prawdziwe we wszystkich modelach; czyli gdy: dla każdego M ⊆ S , M |= α. Tam, gdzie będzie istniała obawa nieporozumień, że „prawdziwe” (bez odnoszenia do jakiegoś modelu) będzie brane w znaczeniu „praw34 35

W sprawie rozumienia spójników zdaniowych zob. Tarski [1994], s. 20–33. Szerzej na ten temat przy okazji omawiania relacji równoważności.

1.1. TAUTOLOGIE I ZDANIA LOGICZNIE PRAWDZIWE

41

dziwe w świecie realnym”, zamiast o prawdziwości zdania będziemy mogli mówić o jego logicznej prawdziwości. 1.1.5. Tautologia Pojęcie zdania logicznie prawdziwego jest pojęciem semantycznym. Przedmiotem semantyki są relacje między znakiem a rzeczywistością (do której ten znak odnosi). Zależy nam na syntaktycznym scharakteryzowaniu pojęcia zdania logicznie prawdziwego. Przedmiotem syntaktyki są relacje między znakami. Chcemy więc znaleźć takie własności zdań jako wyrażeń, które dałyby się opisać w kategoriach relacji między znakami bez odwoływania się do relacji między znakami a rzeczywistością i które wyróżniałyby zdania logicznie prawdziwe. Zdanie jest skończonym ciągiem symboli, a więc w jego skład wchodzi skończona ilość liter zdaniowych. Dla każdego zdania można zatem wskazać taki początkowy skończony odcinek ciągu S liter zdaniowych, w którym znajdują się wszystkie litery występujące w tym zdaniu. Niech p0 , p1 , . . . , pn będzie ciągiem liter zdaniowych, wśród których znajdują się wszystkie litery zdaniowe występujące w α. Każdej literze zdaniowej przyporządkowujemy jeden z symboli: f , t. To, czym są te symbole nie jest ważne. Zakładamy o nich jedynie, że są różne. (DEF. wartości logicznej) f i t to wartości logiczne 36 . (DEF. interpretacji) Niech v0 , v1 , . . . , vn będzie ciągiem symboli f i t. Ciąg ten to interpretacja. W ramach logiki zdań interpretacja liter zdaniowych wyczerpuje się więc w określeniu ich wartości logicznej. (DEF. wartości logicznej zdania) Wartość logiczną zdania α dla interpretacji v0 , v1 , . . . , vn określamy (rekursywnie) następująco: (I) jeżeli α jest literą zdaniową pm , to wartością logiczną zdania α jest vm ; 36

„f ” jest literą z angielskiego słowa „false” (fałsz), a „t” – „true” (prawda).

42

1. KLASYCZNA LOGIKA ZDAŃ

(II) wartości logiczne zdań złożonych obliczamy zaś zgodnie z poniżej podanymi tabelkami wartości logicznych: β t f

β t t f f

¬β f t

γ t f t f

β∨γ t t t f

β∧γ t f f f

β⇒γ t f t t

β⇔γ t f f t

PRZYKŁAD Zdanie: p1 ∨ (p0 ∧ ¬ p2 )

dla interpretacji: f, t, t, t

przyjmuje wartość t.




Zauważmy, że jedyna istotna różnica formalna pomiędzy określeniem prawdziwości zdań w modelu a definicją wartości zdania polega na tym, że modeli jest nieskończenie wiele (dokładnie tyle, ile jest podzbiorów zbioru liter zdaniowych, czyli 2N , 2N = c37 ) zaś ilość interpretacji jest skończona. Interpretacji o długości n jest tyle, ile jest n wyrazowych ciągów liter t i f , czyli 2n . (DEF. tautologii) Zdanie α jest tautologią 38 , co oznaczamy: α39 , wtedy i tylko wtedy, gdy α dla dowolnej interpretacji v0 , v1 , . . . , vn przyjmuje wartość t. (DEF. kontrtautologii) Zdanie α jest kontrtautologią wtedy i tylko wtedy, gdy α dla dowolnej interpretacji przyjmuje wartość f . 37

Użyte tu oznaczenia są objaśnione w części poświęconej teorii mnogości. Greckie τ α` υ τ oλoγ´ια znaczy tyle, co „powtarzanie tego, co już zostało powiedziane”. Termin „tautologia” w znaczeniu „zdanie prawdziwe w każdym modelu” (a więc w znaczeniu innym niż tu przyjęte) został wprowadzony do logiki przez Wittgensteina [1921]. 39 Symbol „ ” pojawia się u G. Fregego [1879]. Jego użycie, takie jak współcześnie, ma miejsce w: S. C. Kleene [1934], J. B. Rosser [1935]. 38

1.1. TAUTOLOGIE I ZDANIA LOGICZNIE PRAWDZIWE

43

Pytanie, czy zdanie jest tautologią jest rozstrzygalne. TWIERDZENIE 1. Problem, czy zdanie jest tautologią, jest rozstrzygalny, czyli w wypadku dowolnego zdania klasycznej logiki zdań można w skończonej ilości kroków dać odpowiedź na pytanie, czy zdanie to jest, czy też nie jest tautologią. DOWÓD Niech α będzie zbudowane z n różnych liter zdaniowych (litery te mogą występować wielokrotnie). Zgodnie z definicją tautologii należy wziąć taki początkowy fragment ciągu liter zdaniowych, w którym mieszczą się wszystkie litery zdaniowe występujące w α. Zauważmy jednak, że dla interpretacji nie różniących się na miejscach, odpowiadających literom zdaniowym występującym w α, wartości logiczne α też się nie różnią. Pod uwagę wystarczy zatem wziąć te i tylko te interpretacje, które różnią się na miejscach odpowiadających literom zdaniowym występującym w α. Ponieważ w α występuje dokładnie n różnych liter zdaniowych i mamy dokładnie dwie wartości logiczne, zatem takich interpretacji jest 2n . Problem, jaka wartość logiczna przysługuje zdaniu α dla danej interpretacji jest rozstrzygalny. Wartość logiczną zdania α dla zadanej interpretacji ustalamy w m krokach, gdzie m jest liczbą spójników występujących w zdaniu α. Ilość spójników określamy tak, że każde wystąpienie spójnika (każdy symbol) liczymy osobno. W celu określenia wartości logicznej zdania dla danej interpretacji korzystamy z tabelek wartości logicznych. Szczegóły takiego postępowania opiszemy niżej jako metodę wprost. 40 40 Do wskazania końca dowodu używany będzie kwadracik. P. Halmos w autobiografi pisze, że jego nieśmiertelnymi zasługami są pomysły skrótu i symbolu typograficznego. Wymyślił „iff” jako skrót dla „if and only if”, ale nie jest pewny, czy rzeczywiście był pierwszy. Z całą pewnością zaś jego pomysłem jest używanie kwadraciku do wskazywania końca, zwykle końca dowodu. Zauważa, że obok często używanej nazwy „tombstone” jeden z życzliwych autorów określił ten znak jako „halmos”. Zob. P. R. Halmos [1985], s. 403.

44

1. KLASYCZNA LOGIKA ZDAŃ

(DEF. metody wprost) W celu znalezienia metodą sprawdzania wprost odpowiedzi na pytanie, czy zdanie jest tautologią: 1. określamy wszystkie możliwe układy wartości logicznych zdań prostych, z których zbudowane jest dane zdanie; porządkujemy je np. alfabetycznie według zasady pi wyprzedza pi+1 a t wyprzedza f; 2. rozpatrujemy kolejne układy wartości pod każdą literą zdaniową podpisując wartość logiczną, jaka przysługuje mu dla rozpatrywanego układu; 3. tam, gdzie pod argumentami jakiegoś spójnika znajdują się podpisane wartości logiczne, określamy zgodnie z tabelkami wartość logiczną zdania zbudowanego za pomocą tego spójnika i wartość tą podpisujemy pod tym spójnikiem; postępowanie to kontynuujemy tak długo, aż zostanie podpisana wartość logiczna pod spójnikiem głównym rozpatrywanego zdania; 4. zdanie jest tautologią wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdego układu wartości – określonego zgodnie z pkt. 1 – pod spójnikiem głównym tego zdania znajduje się litera t. PRZYKŁAD Zdanie: [p ∧ (p ⇒ q)] ⇒ q

jest tautologią. Musimy rozważyć cztery wypadki: {t, t}, {t, f }, {f, t}, {f, f }. I. [p∧(p⇒q)]⇒q t t t t t t t

II.

1.1. TAUTOLOGIE I ZDANIA LOGICZNIE PRAWDZIWE

45

[p∧(p⇒q )]⇒q t t f f f f t

III. [p ∧(p ⇒q)]⇒q f f t t t f t

IV. [p ∧(p ⇒q )]⇒q f f f f t f t


Zauważmy, że nie jest konieczne wypisywanie liter t i f w różnych wierszach. Metodę można stosować pisząc je na jednej lini. Opisany sposób znajdowania metodą sprawdzania wprost odpowiedzi na pytanie, czy zdanie jest tautologią, jest uciążliwy. W praktyce zwykle korzystniej jest stosować metodę sprawdzania niewprost41 . Metoda niewprost, podobnie jak metoda wprost, ma charakter czysto «mechaniczny», tzn. stosując ją do dowolnego zdania postępujemy krok po kroku zgodnie z podanymi regułami. Nie są to 41 Metodę sprawdzania wprost oraz metodę niewprost określa się jako metodę zero-jedynkową a to dlatego, że zamiast liter „t” i „f” zwykle stosowano „1” i „0”. Metoda ta jest dziełem E. Schr¨ odera. J. Łukasiewicz w [1951], s. 82 twierdzi, że metoda ta była wynaleziona przez Ch. S. Peirce’a około 1885 r.

46

1. KLASYCZNA LOGIKA ZDAŃ

jedyne metody tego rodzaju. Taki sam charakter ma opisana tu metoda tablic semantycznych. Ponadto zauważmy, że zawsze możemy zastosować szczególną procedurę, na jaką zezwala budowa zdania, o które pytamy się czy jest tautologią. Najogólniej rzecz biorąc, metoda dowodzenia niewprost jakiejś tezy τ z jakichś przesłanek P polega na tym, że jako założenie bierze się zaprzeczenie τ , czyli dołącza się je do przesłanek P . τ jest dowiedzione, jeżeli z tego założenia, czyli z zaprzeczenia τ oraz przesłanek P udaje się wywnioskować zdania, które nie mogą być współprawdziwe. Takimi zdaniami są np. zdania, z których jedno jest negacją drugiego42 . (DEF. metody niewprost) W celu sprawdzenia metodą niewprost, czy zdanie jest tautologią postępujemy następująco: 1. pod spójnikiem głównym danego zdania piszemy literę f ; 2. jeżeli pod spójnikiem napisana jest jakaś litera, to rozważamy tyle wypadków (przez powtórzenie danego „rysunku”), ile zgodnie z tabelkami wartości logicznych jest możliwych sposobów podpisania liter t i f pod argumenty tego spójnika; każdy taki wypadek rozważamy oddzielnie; gdy podpisujemy wartość logiczną pod jakąś literą zdaniową, to wartość tę podpisujemy pod każde wystąpienie tej litery zdaniowej; opisaną procedurę przeprowadzamy dla każdego wypadku z osobna aż do momentu, gdy 2.1. pod jakimś spójnikiem lub literą zdaniową pojawią się litery t i f, lub 2.2. wyczerpane zostaną wszystkie możliwości i pod każdą literą znajduje się jedna z liter t lub f ; 42

Ten sposób dowodzenia u Arystotelesa nazywa się απαγωγη (odprowadzenie, sprawdzenie), stąd określenie: dowód apagogiczny. Scholastycy zaś stosowali określenie reductio ad impossibile (sprowadzenie do niemożliwości), reductio ad absurdum (sprowadzenie do niedorzeczności); jak również: reductio indirecta, reductio contradictionem.

47

1.1. TAUTOLOGIE I ZDANIA LOGICZNIE PRAWDZIWE

3. zdanie jest tautologią wtedy i tylko wtedy, gdy w każdym wypadku otrzymanym zgodnie z pkt. 2 stwierdzamy, że pod jakimś spójnikiem lub jakąś literą zdaniową podpisane zostały obie litery t i f. PRZYKŁAD Zdanie: (p ⇒ q) ⇒ ( ¬ p ⇒ ¬ q)

nie jest tautologią. (p ⇒q)⇒(¬p ⇒¬q ) f t f t f f t f t t


Inne przykłady zastosowania metody niewprost znajdujemy poniżej. 1.1.6. Wybrane tautologie klasycznej logiki zdań Nim udowodnimy twierdzenie ustalające związek między pojęciem tautologii a pojęciem zdania logicznie prawdziwego, rozważmy przykłady tautologii43 . 1. [(¬p ⇒ q) ∧ (¬p ⇒ ¬q)] ⇒ p Sprawdzenie metodą niewprost: 43 Prawa logiki są powszechne, znaczy to m.in., że korzystamy z nich w naszych rozumowaniach o logice. Przykładowe tautologie są podstawą zasad rozumowania stosowanych w dowodach tu formułowanych twierdzeń.

48

1. KLASYCZNA LOGIKA ZDAŃ

[(¬p ⇒q)∧(¬p ⇒¬q)]⇒p f t f t t f f t f t t t t t t t t t t t t f f

Zdanie: [(¬p ⇒ q) ∧ (¬p ⇒ ¬q)] ⇒ p

jest tautologią. 2. (p ⇔ q) ⇔ [(p ⇒ q) ∧ (q ⇒ p)] Sprawdzenie metodą wprost: (p⇔q)⇔[(p⇒q)∧(q⇒p)] t t t t t t t t t t t t (p⇔q )⇔[(p⇒q )∧(q ⇒p)] t f t f f t f f t f f t (p ⇔q)⇔[(p ⇒q)∧(q⇒p )] f t f t t f f t f f f t

1.1. TAUTOLOGIE I ZDANIA LOGICZNIE PRAWDZIWE

(p ⇔q )⇔[(p ⇒q )∧(q ⇒p )] f f f f f f t t t t t t

Zdanie: (p ⇔ q) ⇔ [(p ⇒ q) ∧ (q ⇒ p)]

jest tautologią. 3. (p ⇒ q) ⇒ (¬q ⇒ ¬p) Sprawdzenie metodą niewprost: (p⇒q )⇒(¬q ⇒¬p) f t f t t f t f t t t f f

Zdanie (p ⇒ q) ⇒ (¬q ⇒ ¬p)

jest tautologią. 4. (¬q ⇒ ¬p) ⇒ (p ⇒ q) Sprawdzenie metodą niewprost: (¬q ⇒¬p)⇒(p⇒q ) f t f t t f f t t t t f f

49

50

1. KLASYCZNA LOGIKA ZDAŃ

Zdanie: (¬q ⇒ ¬p) ⇒ (p ⇒ q)

jest tautologią. 5. ¬(p ⇒ q) ⇒ (p ∧ ¬q) Sprawdzenie metodą niewprost: ¬(p⇒q )⇒(p∧¬q ) f t f f f t f f t f f t f t t

Zdanie: ¬(p ⇒ q) ⇒ (p ∧ ¬q)

jest tautologią. 6. (p ∧ ¬q) ⇒ ¬(p ⇒ q) Sprawdzenie metodą niewprost: (p∧¬q )⇒¬(p⇒q ) f t f t t t t f t t t f f

Zdanie: (p ∧ ¬q) ⇒ ¬(p ⇒ q)

jest tautologią. Na podstawie powyższych tautologii można zauważyć, że tautologiami są również:

1.1. TAUTOLOGIE I ZDANIA LOGICZNIE PRAWDZIWE

51

7. (p ⇔ q) ⇔ [(p ⇒ q) ∧ (¬p ⇒ ¬q)] 8. (p ⇔ q) ⇔ [(¬q ⇒ ¬p) ∧ (¬p ⇒ ¬q)] 9. ¬(p ⇒ q) ⇔ (p ∧ ¬q) Tautologią jest także 10. (p ⇔ q) ⇔ [¬(p ∧ ¬q) ∧ ¬(¬p ∧ q)] Tautologią zaś nie jest: 11. (p ⇔ q) ⇔ [(p ⇒ q) ∧ (¬q ⇒ ¬p)]. 1.1.7. Tablice semantyczne Metoda zero-jedynkowa wprost pozwala w wypadku dowolnego zdania rozstrzygnąć, czy jest ono tautologią, czy też nie jest. Jest to jednak metoda, która wymaga wykonania bardzo wielu operacji.44 Zrozumiałe jest więc poszukiwanie bardziej efektywnych sposobów znajdowania odpowiedzi na pytanie, czy zdanie jest tautologią. Jednym z nich jest metoda tablic semantycznych. Metodę tablic semantycznych stworzył w latach 1954-55 Beth. Stąd używa się też terminu „tablice semantyczne Betha”. Istnieje wiele ujęć tej metody. Wyróżnia ją nie tylko sprawność, lecz również uniwersalność. Metoda ta, w odróżnieniu od metody zero-jedynkowej, ma zastosowanie – oczywiście, po stosownym uzupełnieniu – w rachunku predykatów. Oprócz logiki klasycznej wykorzystywana jest także w innych logikach, jak np. logiki modalne i logika intuicjonistyczna. Stosowany wyżej sposób podpisywania liter t i f łatwo opisać za pomocą prostych reguł. Np. dla spójnika negacji byłyby to następujące reguły: 44

Na przykład, gdy w zdaniu jest dokładnie sześć (różnych) liter zdaniowych, mamy 64 układy wartości. Jeżeli jest ich dziesięć, to takich układów jest już 1024. Angielski logik Charles Lutwidge Dodgson (1832–1898), bardziej znany pod swym literackim pseudonimem Lewis Carroll jako autor np. „Alicji w krainie czarów”, wymyślił problem żaby. Dla rozwiązania tej zagadki należy rozważyć zdanie z osiemnastoma (różnymi) literami zdaniowymi. Gdyby chcieć metodą zero-jedynkową szukać odpowiedzi na pytanie, czy zdanie to jest tautologią, trzeba wziąć pod uwagę 262 144 układy wartości.

52

1. KLASYCZNA LOGIKA ZDAŃ

W kolumnie I znajduje się schemat konstrukcji, do której stosujemy regułę, zaś w kolumnie II - wynik zastosowania odpowiedniej reguły. I 1.

...

II

¬ α

...

...

¬ α

. . .

. . .

t

t

...

f

2.

...

¬ α

...

...

¬ α

. . .

...

. . .

f

f t

3.

...

¬ α

...

...

¬ α

. . . t

4.

...

t

¬ α

...

...

f

¬ α

. . . f

...

. . .

...

. . . f t

Podobne reguły można by podać dla pozostałych spójników. Litery t i f wskazują wartość logiczną, którą przybiera określone zdanie. Może to być zdanie, o które pytamy się, czy jest tautologią,

1.1. TAUTOLOGIE I ZDANIA LOGICZNIE PRAWDZIWE

53

a może to być zdanie będące jego zdaniem składowym. Zauważmy, że zamiast pisać litery t i f moglibyśmy pisać zdania, które mają przybierać odpowiednią wartość logiczną wpisując je w tablice, powiedzmy, w prawą część te, którym ma być przyporządkowana litera f , a w lewą te, którym ma być przyporządkowana litera t. W wypadku stosowania metody niewprost możliwe jest dalsze usprawnienie. Do tablic wpisujemy zdania składowe rozważanego zdania. Na tej idei oparta jest metoda tablic semantycznych sprawdzania tautologiczności zdań. Podane zostaną reguły budowy pewnych konstrukcji, które są rysunkiem schematycznym drzewa postawionego pniem do góry. Konstrukcje te będziemy nazywali tablicami semantycznymi. Górę drzewa tworzy jego korzeń. Na dole są liście. Odcinki łączące korzeń z liśćmi to gałęzie. Drzewo, które ma więcej niż jedną gałąź, rozdziela się, rozgałęzia. Drzewo ma tyle gałęzi, ile ma liści. Odcinek powyżej rozgałęzień to pień. korzeń

pień

liść

liść

liść

(DEF. tablicy semantycznej) Tablica semantyczna to drzewo ze zdaniami. Zdanie może znajdować się po lewej, bądź po prawej stronie gałęzi. Zdania znajdujące się na pniu znajdują się na każdej gałęzi.

54

1. KLASYCZNA LOGIKA ZDAŃ

(DEF. relacji leżenia poniżej) Niech α jest innym (jako napis) napisem niż β 45 . Zdanie α leży poniżej zdania β wtedy i tylko wtedy, gdy od zdania β można „przejść” do zdania α poruszając się wyłącznie w dół odcinkami. Stosunek leżenia poniżej jest więc tego rodzaju, że jeżeli α leży poniżej β , a β leży poniżej γ , to α leży poniżej γ (czyli, stosunek ten jest przechodni). (DEF. gałęzi) Gałęzią nazywamy każdą taką największą klasę zdań (jako napisów) ze zbioru zdań użytych w konstrukcji drzewa, że pomiędzy dowolnymi dwoma elementami tej klasy α i β zachodzi stosunek leżenia poniżej, czyli bądź α leży poniżej β , bądź β leży poniżej α. O zdaniach tworzących gałąź mówimy, że leżą na tej gałęzi. (DEF. gałęzi sprzecznej) Gałąź jest sprzeczna (zamknięta) wtedy i tylko wtedy, gdy dla pewnego zdania α po obu stronach, prawej i lewej, odcinków wskazujących stosunek leżenia poniżej na danej gałęzi są napisy równokształtne z α. Fakt, że gałąź jest sprzeczna zaznaczamy pisząc kreskę poziomą na końcu tej gałęzi (na poziomie najniżej leżącego zdania). (DEF. gałęzi otwartej) Gałąź, która nie jest zamknięta jest otwarta. (DEF. tablicy zamkniętej) Tablica jest zamknięta wtedy i tylko wtedy, gdy zamknięte są wszystkie gałęzie tworzące tę tablicę. (DEF. tablicy otwartej) Tablica, które nie jest zamknięta jest otwarta. Będziemy mieli dwa rodzaje reguł. Takie, które wymagają tylko dopisania jednego odcinka pod każdą gałęzia, na której znajduje się badane zdanie; oraz takie, które wymagają dopisania dwóch odcinków pod każdą gałęzią, na której znajduje się badane zdanie. Te ostatnie reguły powodują rozgałęzienie. W wypadku metody zero-jedynkowej wprost postępujemy „z dołu do góry” – przypisujemy wartości literom zdaniowym, a następnie obliczamy wartość logiczną zdania. Metoda tablic semantycznych 45

Mogą to być napisy równokształtne.

1.1. TAUTOLOGIE I ZDANIA LOGICZNIE PRAWDZIWE

55

oparta jest na strategii „z góry do dołu” – rozpoczynamy od wartości logicznej zdania, dochodząc do wartości logicznych liter zdaniowych. Reguły tworzenia tablic semantycznych są regułami analitycznymi – zdaniu złożonemu przyporządkowują jego części składowe. Zaczynamy zawsze od spójnika głównego. Zdanie składowe może mieć wartość t lub f . W zależności od tego piszemy je po, odpowiednio, lewej lub prawej stronie odcinka. Dla każdego spójnika potrzebujemy dwóch reguł: jedna mówi jak postępować ze zdaniem znajdującym się po lewej, a druga jak postępować ze zdaniem znajdującym się po prawej stronie gałęzi. Będziemy więc odróżniali reguły lewostronne (L) i prawostronne (P ). Będziemy mieli następujące reguły: ¬L, ¬P , ∧L, ∧P , ∨L, ∨P , ⇒ L, ⇒ P , ⇔ L, ⇔ P . Fakt zastosowania reguły √ do danego zdania zaznaczać będziemy pisząc przy tym zdaniu . √ nie bierze się pod uwagę w dalszej konstrukcji Zdań oznaczonych drzewa: informacja w nich zawarta została wykorzystana do rozbu√ dowy drzewa. Zdania oznaczone to zdania martwe, zdania nieoznakowane tak to zdania żywe. (DEF. tablicy zakończonej) Tablica jest zakończona wtedy i tylko wtedy, gdy jest (a) zamknięta lub (b) jedynymi żywymi zdaniami na niej są litery zdaniowe. Konstrukcję tablicy prowadzimy tak długo aż otrzymamy tablicę zamkniętą lub, gdy jedynymi żywymi zdaniami będą litery zdaniowe. W wypadku logiki zdań tablica zawsze będzie miała skończoną ilość elementów. Ponadto będzie binarna, tzn. rozgałęzienie dokonuje się na dokładnie dwie gałęzie.

¬L

√

REGUŁY ¬α · · ·

α

Reguła stosuje się do zdania ¬α, znajdującego się po lewej stronie gałęzi. Ta strona reprezentuje wartość t. Jeśli zdanie ¬α ma wartość

56

1. KLASYCZNA LOGIKA ZDAŃ

t, to jaką wartość ma α? Oczywiście, α ma wartość f . Zatem piszemy α po prawej stronie na końcu każdej już istniejącej otwartej gałęzi, znajdującej się poniżej ¬α (jako napisu). ¬P

α

¬α · · ·

√

Reguła ta stosuje się do zdania ¬α, znajdującego się po prawej stronie gałęzi. Strona ta reprezentuje wartość f . Jeśli zdanie ¬α ma wartość f , to jakie jest zdanie α? Oczywiście, zdanie α ma wartość t. Zatem piszemy α po lewej stronie na końcu każdej już istniejącej otwartej gałęzi, znajdującej się poniżej ¬α (jako napisu). √

∧L

α∧β · · · α β

Reguła ta stosuje się do zdania α ∧ β , znajdującego się po lewej stronie gałęzi. Zdanie α ∧ β ma wartość t, a więc zarówno α jak i β mają wartość t. Oba te zdania, α i β , piszemy więc jedno pod drugim na przedłużeniu drzewa po lewej stronie każdej otwartej gałęzi, znajdującej się poniżej α ∧ β (jako napisu). ∧P

1.1. TAUTOLOGIE I ZDANIA LOGICZNIE PRAWDZIWE

57

Reguła ta stosuje się do zdania α ∧ β , znajdującego się po prawej stronie gałęzi. Strona ta reprezentuje wartość f . Zdanie α ∧ β ma wartość f , gdy α ma wartość f lub gdy β ma wartość f . W celu zapisania tego faktu do każdej już istniejącej otwartej gałęzi, znajdującej się poniżej zdania α ∧ β (jako napisu) dopisujemy dwie gałęzie. Po prawej stronie na końcu jednej piszemy α a na końcu drugiej β . ∨L

Reguła ta stosuje się do zdania α ∨ β , znajdującego się po lewej stronie gałęzi. Zdanie takie ma wartość t, zatem wartość t ma zdanie α lub wartość t przysługuje zdaniu β . W celu zapisania tego faktu do każdej już istniejącej otwartej gałęzi, znajdującej się poniżej α ∨ β (jako napisu) dopisujemy dwie gałęzie. Po lewej stronie na końcu jednej piszemy α a na końcu drugiej β . ∨P

Reguła ta stosuje się do zdanie α ∨ β , znajdującego się po prawej stronie gałęzi. Zdanie takie ma wartość f , zatem wartość f przysługuje zdaniu α i wartość f przysługuje zdaniu β . Zatem po prawej stronie na końcu każdej już istniejącej otwartej gałęzi, znajdującej się poniżej α ∨ β (jako napisu) piszemy jedno pod drugim α i β .

58

1. KLASYCZNA LOGIKA ZDAŃ

⇒L

Reguła ta stosuje się do zdania α ⇒ β , znajdującego się po lewej stronie gałęzi. Zdanie takie ma wartość t, zatem α ma wartość f lub β ma wartość t. Nasze drzewo będzie się więc rozgałęziać. Do każdej już istniejącej otwartej gałęzi, znajdującej się poniżej α ⇒ β (jako napisu) dopisujemy dwie gałęzie. Na końcu po prawej stronie jednej z nich piszemy α a po lewej stronie drugiej piszemy β . ⇒P

Reguła ta stosuje się do zdanie α ⇒ β , znajdującego się po prawej stronie gałęzi. Zdanie takie ma wartość f , zatem α ma wartość t, a β ma wartość f . Na każdej otwartej gałęzi, znajdującej się poniżej α ⇒ β (jako napisu) piszemy po lewej stronie α, a po prawej β . ⇔L

1.1. TAUTOLOGIE I ZDANIA LOGICZNIE PRAWDZIWE

59

Reguła ta stosuje się do zdania α ⇔ β , znajdującego się po lewej stronie gałęzi. Zdanie takie ma wartość t, zatem wartość t przysługuje zarówno zdaniu α jak i zdaniu β lub wartość f mają zdania α i β . Drzewo będzie się więc rozgałęziać. Do każdej już istniejącej otwartej gałęzi, znajdującej się poniżej α ⇔ β (jako napisu) dopisujemy dwie gałęzie. Po lewej stronie jednej z nich piszemy jedno pod drugim α i β i tak samo po prawej stronie drugiej z nich. ⇔P

Reguła ta stosuje się do zdania α ⇔ β , znajdującego się po prawej stronie gałęzi. Zdanie takie ma wartość f , zatem zdaniu α przysługuje wartość t a zdaniu β przysługuje wartość f lub odwrotnie, zdanie α ma wartość f a zdanie β ma wartość t. Drzewo będzie się więc rozgałęziać. Do każdej już istniejącej otwartej gałęzi, znajdującej się poniżej α ⇔ β (jako napisu) dopisujemy dwie gałęzie. W wypadku jednej z nich piszemy po lewej stronie α a po prawej β , a w wypadku drugiej z nich odwrotnie, piszemy po prawej α a po lewej β . Podane reguły są tego rodzaju, że stosują się do dwóch dowolnych skończonych zbiorów zdań: jednego zapisanego po lewej, a drugiego zapisanego po prawej stronie pnia. Konstrukcję uzyskaną dla danych zbiorów zdań nazywamy tablicą semantyczną lub drzewem analitycznym tych zbiorów. Reguły odnoszące do poszczególnych spójników mogą być stosowane w dowolnej kolejności. Z formalnego punktu widzenia kolejność nie ma znaczenia, czyli – inaczej mówiąc – odpowiedź na pytanie, czy dla danych zbiorów zdań – jednego zapisanego po lewej a drugiego zapisanego po prawej stronie pnia – drzewo jest zamknięte nie zależy

60

1. KLASYCZNA LOGIKA ZDAŃ

od tego, w jakiej kolejności stosujemy poszczególne reguły. Od ich kolejności zależy jednak kształt drzewa, w szczególności jedne drzewa mogą być większe (w sensie ilości gałęzi) od innych. Zależy nam na możliwie najmniejszym drzewie. Uzyskaniu takiego drzewa sprzyja stosowanie reguły o charakterze pragmatycznym, a mianowicie: reguły nierozgałęźne stosujemy przed regułami rozgałęźnymi. Mając dwa zbiory zdań Γ i Σ, możemy pytać, czy istnieje interpretacja taka, że wszystkie zdania z Γ mają wartość t, a wszystkie zdania z Σ mają wartość f . Odpowiedź na to pytanie uzyskamy konstruując tablicę semantyczną. Na początku konstrukcji po lewej stronie piszemy wszystkie zdania z Γ, a po prawej stronie wszystkie zdania z Σ. Jeżeli uzyskamy tablicę zamkniętą, to taka możliwość jest wykluczona. Jeżeli zaś tablica będzie otwarta, to taka możliwość istnieje. Interpretację, dla której to zachodzi określamy biorąc pod uwagę jedną z otwartych gałęzi. Wszystkim literom zdaniowym znajdującym się na tej gałęzi, jeśli znajdują się po stronie lewej przypisujemy wartość t, a gdy znajdują się po prawej przypisujemy wartość f . Literom zdaniowym, które nie występują na branej pod uwagę gałęzi przypisujemy dowolną z wartości t i f . Dla tak określonej interpretacji wszystkie zdania ze zbioru Γ mają wartość t, a wszystkie zdania ze zbioru Σ mają wartość f . Pokażemy, że tablica semantyczna nie jest zamknięta wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje interpretacja taka, że wszystkie i tylko zdania ze zbioru Γ, zapisane po lewej stronie pnia przyjmują dla tej interpretacji wartość t a wszystkie i tylko zdania ze zbioru Σ, zapisane po prawej stronie pnia przyjmują wartość f . Wpierw dowiedziemy tezy: jeżeli tablica semantyczna jest otwarta, to istnieje interpretacja taka, że wszystkie i tylko zdania ze zbioru Γ, zapisane po lewej stronie pnia przyjmują dla tej interpretacji wartość t a wszystkie i tylko zdania ze zbioru Σ, zapisane po prawej stronie pnia przyjmują wartość f . W każdym rozważanym tu wypadku będziemy brali pod uwagę interpretację I taką, że wszystkim literom zdaniowym znajdującym się na pewnej otwartej gałęzi – oznaczmy ją GI – jeśli znajdują się po

1.1. TAUTOLOGIE I ZDANIA LOGICZNIE PRAWDZIWE

61

stronie lewej przypisujemy wartość t, a gdy znajdują się po prawej przypisujemy wartość f . Literom zdaniowym, które nie występują na branej pod uwagę gałęzi przypisujemy dowolną z wartości t i f . Nasze twierdzenie będzie wnioskiem z twierdzenia głoszącego, że dla interpretacji I wszystkie zdania znajdujące się po lewej stronie gałęzi GI przyjmują wartość t, a wszystkie zdania znajdujące się po prawej stronie GI przyjmują wartość f . Nasza teza zachodzi dla wypadku, gdy elementami Γ i Σ są tylko litery zdaniowe. Z założenia tablica jest otwarta, a więc żadna z liter zdaniowych nie występuje zarówno po prawej jak i po lewej stronie. Dla interpretacji I litery znajdujące się po lewej stronie przyjmują wartość t, a litery znajdujące się po prawej stronie przyjmują wartość f. Niech nasza teza zachodzi dla zdań o długości nie większej niż k . Niech elementami Γ i Σ będą teraz zdania o długości (k + 1). Jeżeli elementem Γ będzie zdanie ¬α, to zdanie α znajdzie się po prawej stronie. Zgodnie z założeniem dla interpretacji I przyjmuje ono wartość f , zatem zdanie ¬α przyjmuje wartość t. Podobnie będzie, gdy ¬α będzie elementem Σ. Tym razem α przyjmie wartość t, a więc ¬α przyjmie wartość f . Jeżeli elementem Γ będzie zdanie α ⇒ β , to otwarta będzie gałąź, po prawej stronie której znajduje się α lub otwarta będzie gałąź, po lewej stronie której znajduje się β . Zgodnie z założeniem α dla interpretacji I przyjmuje wartość f lub β dla tej interpretacji przyjmuje wartość t. Zatem dla interpretacji I zdanie α ⇒ β przyjmuje wartość t. Niech teraz zdanie α ⇒ β będzie elementem Σ. Zdanie α znajdzie się po lewej, a zdanie β po prawej stronie gałęzi. Zgodnie z założeniem dla interpretacji I zdanie α przyjmuje wartość t, a zdanie β przyjmuje wartość f . Zdanie α ⇒ β dla interpretacji I przyjmuje wartość f . Podobnie pokazuje się zachodzenie naszej tezy dla pozostałych spójników. Teraz pokażemy, że zachodzi teza: jeżeli istnieje interpretacja – oznaczmy ją I – taka, że wszystkie zdania ze zbioru Γ, zapisane po lewej stronie pnia przyjmują dla tej interpretacji wartość t a wszystkie zdania ze zbioru Σ, zapisane po prawej stronie pnia przyjmują wartość f , to tablica semantyczna jest otwarta.

62

1. KLASYCZNA LOGIKA ZDAŃ

Dla dowodu pokażemy, że istnieje otwarta gałąź – oznaczmy ją GI – taka, że dla interpretacji I wszystkie zdania znajdujące się po jej lewej stronie przyjmują wartość t, a wszystkie zdania znajdujące się po jej prawej stronie przyjmują wartość f .

Sytuacja jest prosta w wypadku, gdy elementami Γ i Σ są wyłącznie litery zdaniowe. Załóżmy, że teza zachodzi dla zdań o długości nie większej niż k . Pokażemy, że zachodzi dla zdań o długości (k + 1). Jeżeli zdanie ¬α należy do zbioru Γ, to α piszemy po stronie prawej. Jeżeli zaś ¬α należy do Σ, to α piszemy po stronie lewej. Jeżeli α ⇒ β należy do Γ, to α piszemy po stronie prawej jednej gałęzi, zaś β po stronie lewej drugiej gałęzi. Odpowiednio postępujemy z pozostałymi spójnikami. Uzyskujemy dwa zbiory zdań Γ’ i Σ’, których elementami są zdania nie dłuższe niż k . Dla tych zbiorów, zgodnie z założeniem, zachodzi teza dowodzonego twierdzenia, czyli istnieje taka otwarta gałąź, że wszystkie zdania przyjmują wartość odpowiadającą stronie, na której się znajdują. Jeżeli istniała interpretacja taka, że dla tej interpretacji wszystkie zdania z Γ przyjmowały wartość t, a wszystkie zdania z Σ wartość f , to dla tej interpretacji również zdania z Γ’ przyjmują wartość t a zdania z Σ’ przyjmują wartość f . Zgodnie z założeniem dla zbiorów Γ’ i Σ’ istnieje otwarta gałąź a z tego wynika, że również taka gałąź istnieje dla Γ i Σ. W szczególnym wypadku może być tak, że zbiór Γ jest pusty, a zbiór Σ ma dokładnie jeden element. Pytanie o to, czy może być tak, że wszystkie zdania z Γ mają wartość t, a wszystkie zdania z Σ mają wartość f jest wówczas pytaniem o to, czy możliwa jest interpretacja taka, że zdanie z Σ ma wartość f . Pytanie to jest więc pytaniem o to, czy ten jedyny element Σ jest tautologią. Zdanie α jest tautologią wtedy i tylko wtedy, gdy zamknięta jest tablica semantyczna ze zdaniem α jako zdaniem początkowym znajdującym się po prawej stronie pnia. W wypadku, gdy zbiór Γ jest jednoelementowy, a zbiór Σ jest pusty pytanie o możliwość interpretacji takiej, że wszystkie zdania z Γ mają wartość t, a zdania z Σ mają wartość f jest pytaniem o to, czy zdanie będące jedynym elementem Γ jest kontrtautologią. Zdanie α jest kontrtautologią wtedy i tylko wtedy, gdy zamknięta

1.1. TAUTOLOGIE I ZDANIA LOGICZNIE PRAWDZIWE

63

jest tablica semantyczna ze zdaniem α jako zdaniem początkowym znajdującym się po lewej stronie pnia. Zauważmy, że podane reguły analizy zdań są tego rodzaju, że w wyniku ich zastosowania uzyskujemy zdanie lub zdania prostsze niż zdanie, do którego reguły są stosowane, a ponadto zdanie, do którego zastosowano odpowiednią regułę staje się martwe, czyli nie może być przedmiotem ponownego zastosowania któreś z reguł. Proces budowy tablicy semantycznej zawsze więc będzie mógł być zakończony. W szczególności, w wyniku stosowania reguł otrzymamy litery zdaniowe. Oznacza to nic innego, jak tylko to, że rozstrzygalny jest problem, czy mając skończony zbiór zdań języka rachunku zdań możliwa jest taka interpretacja żeby każde z tych zdań miało wskazaną dla niego wartość logiczną. Jeżeli zostaną wyczerpane wszystkie możliwości stosowania podanych reguł i tablica jest zamknięta to taka możliwość jest wykluczona. Jeżeli zaś tablica pozostaje nie zamknięta (gdy chociaż jedna gałąź nie jest zamknięta), to wówczas możliwe jest jednoczesne przysługiwanie wskazanych wartości wszystkim zdaniom zbioru zdań będącego przedmiotem analizy. Ażeby wskazać interpretację, dla której to ma miejsce, wystarczy wziąć pod uwagę jedną z nie zamkniętych gałęzi i literze zdaniowej przypisać wartość t, gdy litera ta znajduje się po lewej stronie, a wartość f , gdy litera ta znajduje się po prawej stronie gałęzi. W wypadku liter zdaniowych występujących w zdaniu, a nie występujących na rozważanej gałęzi, wystarczy wziąć dowolną literę t lub f .

PYTANIE: Czy tautologią jest zdanie ((p ∧ (q ∨ r)) ⇒ ((p ∧ q) ∨ (p ∧ r)))?

TABLICA SEMANTYCZNA

64

1. KLASYCZNA LOGIKA ZDAŃ

Zdanie ((p ∧ (q ∨ r)) ⇒ ((p ∧ q) ∨ (p ∧ r)))

jest tautologią. PYTANIE: Czy możliwa jest taka interpretacja, by zdaniu ¬(p ⇔ q) przysługiwała wartość f w wypadku, gdy zdaniom (p ⇔ ¬(q ⇔ r)) i r przysługuje wartość t? Problem ten można w sposób równoważny sformułować następująco: Czy tautologią jest zdanie (((p ⇔ ¬(q ⇔ r)) ∧ r) ⇒ ¬(p ⇔ q))?

Z tego zdania po zastosowaniu właściwych reguł otrzymalibyśmy zdania, od których rozpoczynamy konstrukcję.

TABLICA SEMANTYCZNA

1.1. TAUTOLOGIE I ZDANIA LOGICZNIE PRAWDZIWE

65

ODPOWIEDŹ: Wykluczona jest interpretacja taka, żeby zdaniom (p ⇔ ¬(q ⇔ r)) i r przysługiwała wartość t a zdaniu ¬(p ⇔ q) przysługiwała wartość f (lub, równoważnie, zdanie (((p ⇔ ¬(q ⇔ r)) ∧ r) ⇒ ¬(p ⇔ q))

jest tautologią). PYTANIE: Czy tautologią jest zdanie ((p ⇒ q) ⇒ (¬p ⇒ ¬q))?

TABLICA SEMANTYCZNA

ODPOWIEDŹ:

66

1. KLASYCZNA LOGIKA ZDAŃ

Zdanie ((p ⇒ q) ⇒ (¬p ⇒ ¬q))

nie jest tautologią. Zdanie ((p ⇒ q) ⇒ (¬p ⇒ ¬q)) przyjmuje wartość f dla interpretacji takiej, że p przyjmuje wartość f a q wartość t.
Metoda tablic semantycznych zwykle jest sprawniejsza niż metoda zero-jedynkowa wprost. Tak, czy owak liczba operacji rośnie wykładniczo w zależności od długości zdania. Choć więc problem, czy zdanie jest tautologią jest rozstrzygalny, to jednak nie jest on praktycznie rozstrzygalny w tym sensie, że oczekiwanie na wynik traci sens w perspektywie nie tylko życia człowieka. Metoda zero-jedynkowa jest algorytmem, działającym w czasie wykładniczym. Oznacza to np., że gdyby wykonanie jednej operacji trwało jeden chronom (10−43 s.), to wykonanie 2n operacji dla n = 200 przekracza czas życia człowieka, a dla n = 500 przekracza wiek wszechświata. Podzielenie zadania i wykonywanie go przez wiele komputerów też sprawy nie rozwiązuje. Zawsze można wskazać takie n, żeby mimo wykorzystania wszystkich istniejących maszyn czas wykonania zadania przekraczał z góry zadaną granicę. Tradycyjnie problem obliczeniowy uważa się za praktycznie rozwiązywalny, gdy istnieje stała k taka, że dla n danych algorytm wymaga wykonania co najwyżej nk operacji. O takich algorytmach mówi się, że działają w czasie wielomianowym. Jak na razie nie udało się znaleźć takiego algorytmu dla rozstrzygania, czy dane zdanie jest tautologią. 1.1.8. Elektronowa interpretacja spójników zdaniowych46 Rachunek zdań znalazł interesujące zastosowanie techniczne w maszynach matematycznych. Wartości logiczne zdań złożonych w za46 W akademickim podręczniku logiki o takiej interpretacji pisał H. Greniewski [1955]. Warto tu wspomnieć, że H. Greniewski jeszcze jako doktor stanął na czele Grupy Aparatów Matematycznych w Instytucie Matematyki w Warszawie. Pierwszym znaczącym osiągnięciem tej grupy była budowa maszyny ARR w 1954. Był to pierwszy polski komputer użytkowy (a nie tylko eksperymentalny).

1.1. TAUTOLOGIE I ZDANIA LOGICZNIE PRAWDZIWE

67

leżności od spójnika i wartości logicznych zadań-argumentów można interpretować jako opis działania pewnych układów elektronowych. Weźmy układ, który ma wejścia p1 , p2 , . . . , pn oraz jedno wyjście. Układ taki można graficznie przedstawić następująco:

Przyjmuje się, że każde z wejść może znajdować się w jednym z dwóch stanów. Są to dwa rozróżnialne stany fizyczne. Mogą nimi być np. pary: impuls, brak impulsu; napięcie v1 , napięcie v2 (v1 = v2 ). Stany te można oznaczać: 0, 1. Ponadto zakłada się, że układy te działają bezczasowo, tzn. że stan wyjścia nie zależy od czasu przetwarzania danych na wejściu, a jedynie od stanów wejść. Takie układy to sieci logiczne. Związki między wartościami logicznymi zdań-argumentów a wartością logiczną zdania złożonego opisywane są przez tablicę. Sieć logiczna realizuje tablicę, jeśli mając na wejściu wartości przyporządkowane zdaniom-argumentom, na wyjściu ma stan odpowiadający wartości logicznej zdania złożonego. Układami (sieciami) podstawowymi są sieci realizujące tablice negacji, alternatywy i koniunkcji. Zasadniczym problemem teorii sieci logicznych jest określenie zasad budowy sieci złożonych z układów podstawowych, realizującej dowolną zadaną tablicę. Jest to tzw. problem syntezy sieci logicznych. Sprowadza się on do podania odpowiadającego danej tablicy zdania rachunku zdań zbudowanego za pomocą spójników negacji, alterna-

68

1. KLASYCZNA LOGIKA ZDAŃ

tywy i koniunkcji. Dla takiego zdania konstruuje się sieci z układów podstawowych, np. dla zdania (p ∨ ¬q) ∧ (¬p ∨ q)

możemy mieć następującą sieć:

Okazuje się, że jest nieskończenie wiele sieci zbudowanych z układów podstawowych, które realizują daną tablicę. W związku z tym kolejnym ważnym problemem jest znalezienie takiego rozwiązania, które spełnia pewne dodatkowe warunki. Głównie chodzi o warunek minimalizacji elementów podstawowych. Taka jest istota tzw. problemu minimalizacji sieci. Problem ten nie jest w ogólności rozwiązany. Prostym problemem związanym z sieciami logicznymi jest określenie zdania dla zadanej sieci. Innym problemem jest budowa sieci, której elementy podstawowe oparte są na binegacji (zdaniu złożonemu przysługuje wartość t wtedy i tylko wtedy, gdy obu jego zdaniom-argumentom przysługuje wartość f 47 ) albo dysjunkcji Sheffera (zdaniu złożonemu przysługuje wartość f wtedy i tylko wtedy, gdy obu jego zdaniom-argumentom przysługuje wartość t48 ). Z teorii sieci logicznych wywodzi się teoria sieci neuronowych znajdujących zastosowanie, np. w biologii. 47 48

Por. rozdz. „Spójniki prawdziwościowe”. Por. rozdz. „Spójniki prawdziwościowe”.

1.1. TAUTOLOGIE I ZDANIA LOGICZNIE PRAWDZIWE

69

1.1.9. Tautologia a zdanie logicznie prawdziwe TWIERDZENIE 2. (O PEŁNOŚCI). α wtedy i tylko wtedy, gdy |= α, czyli α jest tautologią wtedy i tylko wtedy, gdy α jest logicznie prawdziwe.

DOWÓD Wpierw udowodnijmy, że jeżeli α, to |= α,

(A) a następnie, że (B)

jeżeli |= α, to α.

Niech α będzie zdaniem, którego wszystkie litery zdaniowe znajdują się wśród (n + 1) liter: p0 , p1 , . . . , pn . (A) Pokażemy, że jeżeli α nie jest prawdziwe w jakimś modelu, to istnieje interpretacja taka, że α dla tej interpretacji przyjmuje wartość f. Weźmy dowolny model M. Niech vM0 , vM1 , . . . , vMn będzie interpretacją taką, że vMm = t wtedy i tylko wtedy, gdy pm jest elementem M (pm ∈ M), czyli vMm = f wtedy i tylko wtedy, gdy pm nie jest elementem M (pm ∈ M). Pokażemy, że M |= α wtedy i tylko wtedy, gdy α dla interpretacji vM0 , vM1 , . . . , vMn przyjmuje wartość t.

Dowodzić będziemy przez indukcję ze względu na długość zdania. W wypadku, gdy α jest literą zdaniową, to zgodnie z określeniem interpretacji vM0 , vM1 , . . . , vMn stwierdzamy, że M |= α wtedy i tylko wtedy, gdy α przyjmuje wartość t. ZAŁOŻENIE INDUKCYJNE: Niech M |= β wtedy i tylko wtedy, gdy β dla interpretacji vM0 , vM1 , . . . , vMn przyjmuje wartość t oraz

70

1. KLASYCZNA LOGIKA ZDAŃ

M |= γ wtedy i tylko wtedy, gdy γ dla interpretacji vM0 , vM1 , . . . , vMn przyjmuje wartość t.

(A¬) Niech α będzie zdaniem: ¬β . (A¬1) Niech M |= α. Z definicji |= dostajemy, że nie zachodzi M |= β . Z założenia indukcyjnego otrzymujemy, że zdanie β dla interpretacji vM0 , vM1 , . . . , vMn przyjmuje wartość f , a zatem zdanie α (¬β ) dla tej interpretacji przyjmuje wartość t. (A¬2) Niech α dla interpretacji vM0 , vM1 , . . . , vMn przyjmuje wartość t. A więc β przyjmuje wartość f . Z założenia indukcyjnego wynika więc, iż nie zachodzi M |= β , a zatem zachodzi M |= α (¬β ). (A⇒) Niech α będzie zdaniem: β ⇒ γ . (A⇒1) Niech nie zachodzi M |= α. Z definicji |= wynika, że zachodzi M |= β oraz że nie zachodzi M |= γ . Korzystając z założenia indukcyjnego dostajemy, że β dla interpretacji vM0 , vM1 , . . . , vMn przyjmuje wartość t zaś γ dla tej interpretacji przyjmuje wartość f . Z tego więc dostajemy, że dla interpretacji vM0 , vM1 , . . . , vMn zdanie α (β ⇒ γ ) przyjmuje wartość f . (A⇒2) Niech α dla interpretacji vM0 , vM1 , . . . , vMn przyjmuje wartość f . Pokażemy, że nie zachodzi M |= α. Mamy bowiem, że β dla tej interpretacji przyjmuje wartość t zaś γ przyjmuje wartość f . Korzystając z założenia indukcyjnego dostajemy, że zachodzi M |= β a nie zachodzi M |= γ , a więc nie zachodzi również M |= α (β ⇒ γ ). W wypadku koniunkcji postępujemy podobnie jak w wypadku negacji, zaś w wypadku alternatywny podobnie jak w wypadku implikacji. Z równoważnością możemy postępować jak z negacją, czyli zakładać, że M |= β ⇔ γ a następnie zakładać, że dla interpretacji vM0 , vM1 , . . . , vMn zdanie β ⇔ γ przyjmuje wartość t. Możemy również postępować jak w wypadku implikacji, czyli zakładając wpierw, że nie zachodzi M |= β ⇔ γ a następnie zakładając, że dla interpretacji vM0 , vM1 , . . . , vMn zdanie β ⇔ γ przyjmuje wartość f . Teraz dowodzimy, że (A)

jeżeli α, to |= α,

1.1. TAUTOLOGIE I ZDANIA LOGICZNIE PRAWDZIWE

71

Załóżmy więc, że α. Gdyby nie zachodziło |= α, to istniałby model M taki, że α nie byłoby w nim prawdziwe. Zgodnie z powyższym dla interpretacji vM0 , vM1 , . . . , vMn zdanie α przyjmowałoby wartość f , a to przeczyłoby założeniu. Zatem α jest prawdziwe we wszystkich modelach, czyli |= α. Aby dowieść, że (B)

jeżeli |= α, to α

pokażemy, że jeżeli α dla jakiejś interpretacji przyjmuje wartość f , to istnieje model taki, że α nie jest w tym modelu prawdziwe. Niech v0 , v1 , . . . , vn będzie dowolną interpretacją. Niech Mv będzie modelem takim, że pm ∈ Mv wtedy i tylko wtedy, gdy vm = t. Twierdzimy, iż α dla interpretacji v0 , v1 , . . . , vn przyjmuje wartość t wtedy i tylko wtedy, gdy Mv |= α. Fakt ten może być dowiedziony przez indukcję w analogiczny sposób jak dowodziliśmy, że M |= α wtedy i tylko wtedy, gdy α dla interpretacji vM0 , vM1 , . . . , vMn przyjmuje wartość t. Zauważmy jednak, że vMm = t wtedy i tylko wtedy, gdy vm = t. Fakt ten jest więc oczywistym wnioskiem z powyższego. Załóżmy, że |= α. Gdyby istniała interpretacja v taka, że α dla tej interpretacji nie przyjmowałoby wartości t, to α nie byłoby prawdziwe w modelu Mv , a to przeczyłoby założeniu. Zatem α dla wszystkich interpretacji przyjmuje wartość t, czyli α. Dowiedzione twierdzenie pozwala zastąpić semantyczne pojęcie logicznej prawdziwości syntaktycznym pojęciem tautologiczności. Twierdzenie to umożliwia nam opuszczenie dowodu, że zdanie jest logicznie prawdziwe jeżeli wiadomo, że jest ono tautologią. Jest to wypadek analogiczny do rachunków arytmetycznych, gdy opuszczamy dowód, że np. liczba wyrachowana w pisemnym dodawaniu jest sumą liczb, których nazwy zapisane w języku systemu dziesiętnego były obiektami pisemnego dodawania. Po prostu wystarczyło raz dowieść, że reguły rachowania zawsze prowadzą do (rzeczywistej) sumy.

72

1. KLASYCZNA LOGIKA ZDAŃ

Ponieważ rozstrzygalny jest problem, czy zdanie jest tautologią, więc na podstawie twierdzenia o pełności jest jasne, że również rozstrzygalny jest problem, czy zdanie jest logicznie prawdziwe. 1.1.10. Spójniki prawdziwościowe (DEF. spójnika prawdziwościowego) Spójnik prawdziwościowy to spójnik taki, że wartość logiczna zdania złożonego zbudowanego za pomocą tego spójnika jest wyznaczona przez wartości logiczne zdań-argumentów tego spójnika. Na to, aby określić wartość logiczną zdania „nieprawda, że α” wystarczy znać wartość logiczną zdania α. Fraza „nieprawda, że . . . ” jest spójnikiem prawdziwościowym. Przykładem dwuargumentowego spójnika, który nie jest prawdziwościowy może być spójnik „z tego, że . . . wynika, że . . . ”. Wartość logiczna zdania „z tego, że α wynika, że β ” jest określona w wypadku, gdy α jest prawdziwe a β jest fałszywe; zdanie to wówczas jest fałszywe. W pozostałych możliwych wypadkach układów wartości zdań α i β , wartość logiczna zdania złożonego nie jest określona przez wartości logiczne zdań-argumentów. Spójnik implikacji jest prawdziwościowy, nie należy go więc mylić z omówionym spójnikiem49 . Spójniki: ¬, ⇒, ∨, ∧, ⇔ są spójnikami prawdziwościowymi. 49 W fundamentalnym dla współczesnej logiki dziele B. Russella i A. N. Whiteheada Principia Mathematica, którego pierwszy tom ukazał się w 1910 r. wyrażenie „α ⇒ β ” jest odczytywane jako „z α wynika β ”. Oczywiście prowadzi to do paradoksów, tautologią jest bowiem zdanie: (α ⇒ β) ∨ (β ⇒ α) – znaczyłoby to, że dla dowolnych dwóch zdań choć jedno z nich musiałoby wynikać z drugiego. Jako reakcja przeciw tej interpretacji powstają systemy implikacji ścisłej Lewisa (1918). Implikacja ścisła definiowana jest następująco: α ≺ β =df ¬M (α ∧ ¬β),

gdzie M znaczy: „ jest możliwe, że”. Spójnik implikacji ścisłej miałby wiernie odwzorowywać stosunek wynikania – zdanie złożone zbudowane za pomocą tego spójnika miałoby być prawdziwe wtedy i tylko wtedy, gdy między poprzednikiem a następnikiem tej implikacji zachodziłby stosunek wynikania. Systemy implikacji ścisłej dały początek próbom budowy systemów ze szczególnie rozumianym spójnikiem implikacji.

1.1. TAUTOLOGIE I ZDANIA LOGICZNIE PRAWDZIWE

73

(DEF. równości spójników) Dwa spójniki są (ekstensjonalnie) równe, wtedy i tylko wtedy, gdy zawsze dla tych samych zdań-argumentów wartość logiczna zdań złożonych zbudowanych za pomocą tych spójników jest taka sama. Można obliczyć, że są dokładnie cztery (teoretycznie możliwe) ekstensjonalnie różne jednoargumentowe spójniki prawdziwościowe. Takich spójników dwuargumentowych jest szesnaście. Ogólnie, jest n 22 ekstensjonalnie różnych n-argumentowych spójników prawdziwościowych (n = 1, 2, 3, . . .). Spośród teoretycznie możliwych spójników prawdziwościowych wzięliśmy pod uwagę tylko pięć. Decyzja na taki wybór podyktowana jest tym, że spójniki te: (1) wystarczają do wypowiedzenia wszystkich teoretycznie możliwych spójników prawdziwościowych; (2) umożliwiają zręczne stylistycznie formułowanie zdań, które budujemy w języku ze spójnikami prawdziwościowymi, jak np. ma to miejsce w języku matematyki klasycznej. Okazuje się bowiem, że na to, by zachodziło (1), można by wziąć jeszcze mniej spójników. Wyjaśnijmy intuicyjnie, co to znaczy, że jakiś spójnik można wyrazić za pomocą innych spójników. Weźmy dla przykładu spójnik dwuargumentowy ↓ taki, że zdanie złożone zbudowane za pomocą tego spójnika ma wartość t wtedy i tylko wtedy, gdy obu zdaniom-argumentom przysługuje wartość f . (DEF. ↓) Spójnik ↓ jest charakteryzowany przez następującą tabelkę wartości logicznych: β t t f f

γ t f t f

β↓γ f f f t

Na odczytanie spójnika ↓, określanego jako binegacja, jednoczesne zaprzeczenie lub funktor Łukasiewicza, znajdujemy wyrażenie „ani

74

1. KLASYCZNA LOGIKA ZDAŃ

. . . , ani . . . ”. Takie bowiem znaczenie musimy przypisać temu wyrażeniu choćby w takich zwrotach języka polskiego jak: „ani słychu, ani widu o nim”, „ani mnie to grzeje, ani ziębi”. Kierując się wyłącznie intuicją znaczeń wyrażeń języka polskiego zauważmy, iż zamiast powiedzieć, np. „ani Jan zdolny, ani pracowity”50 możemy z zachowaniem myśli zawartej w tym zdaniu powiedzieć „Jan nie jest zdolny i nie jest pracowity”. Różnica pomiędzy obu zdaniami jest tylko różnicą stylu. Rekonstruując i uogólniając przykład stwierdzamy, że zdanie „ani α, ani β ” jest równoważne zdaniu „nieprawda, że α i nie prawda, że β ”. Łatwo również obliczyć, że spójnik ↓ przyporządkowuje zdaniu złożonemu α ↓ β taką samą wartość logiczną, jaka przysługuje zgodnie z tabelkami dla negacji i koniunkcji zdaniu ¬α ∧ ¬β . Problem wyrażenia jakiegoś n-argumentowego spójnika prawdziwościowego s przez inne spójniki polega więc na tym, żeby znaleźć zdanie zbudowane za pomocą tych innych spójników i (niekoniecznie wszystkich i niekoniecznie tylko) zdań-argumentów spójnika s takie, aby dla każdej interpretacji wartości logiczne tego zdania i zdania zbudowanego za pomocą spójnika s były takie same.

1.1.11. Funkcjonalna pełność Nim pokażemy, że wszystkie teoretycznie możliwe spójniki prawdziwościowe dadzą się wyrazić za pomocą tylko trzech spójników: negacji, alternatywy i koniunkcji, podajmy twierdzenie, z którego będziemy korzystać w dowodzie tego faktu. Niech α/β/ oznacza, że β jest odcinkiem ciągu symboli α. TWIERDZENIE 3 (O ZASTĘPOWANIU). Niech α i β będą zdaniami i niech α/β/. Jeżeli β ⇔ γ , to α/β/ ⇔ α/γ/. Twierdzenie to głosi, że jeżeli w zdaniu α zastąpimy, będący zdaniem, występujący w nim ciąg symboli β ciągiem symboli γ takim, 50

Zgodnie z frazeologią języka polskiego powiemy: „Ani Jan nie jest zdolny, ani nie jest pracowity”. Podobnie jest w wypadku innych spójników języka rachunku zdań – w zależności od kontekstu mogą być wyrażane inaczej niż to ustaliliśmy jako sposób ich odczytywania.

1.1. TAUTOLOGIE I ZDANIA LOGICZNIE PRAWDZIWE

75

że zdania β i γ są równoważne ( β ⇔ γ ), to otrzymamy zdanie α/γ/ równoważne zdaniu α ( α/β/ ⇔ α/γ/). DOWÓD Dowodzić będziemy przez indukcję po konstrukcji zdania α. Niech α będzie zdaniem β . Po zastąpieniu β przez γ otrzymamy zdanie γ . Ponieważ z założenia β ⇔ γ , więc α/β/ ⇔ α/γ/. ZAŁOŻENIE INDUKCYJNE: Niech dla α1 , jeżeli β ⇔ γ , to α1 /β/ ⇔ α1 /γ/. Ponadto α2 ⇔ α2 , co jest oczywiste. (¬) Jeżeli α jest zdaniem ¬α1 a β ⇔ γ , to na podstawie założenia indukcyjnego mamy, że dla dowolnej interpretacji wartość logiczna α1 /β/ jest taka sama, jak wartość logiczna α1 /γ/. Zatem dla dowolnej interpretacji wartość logiczna ¬α1 /β/ jest taka sama, jak ¬α1 /γ/, czyli α/β/ ⇔ α/γ/. Dla wszystkich spójników dwuargumentowych postępujemy podobnie. Rozważmy więc tylko wypadek alternatywy. (∨) Jeżeli α jest zdaniem α1 ∨ α2 a β ⇔ γ , to na podstawie założenia indukcyjnego dla dowolnej interpretacji wartość logiczna α1 /β/ jest taka sama, jak wartość logiczna α1 /γ/. Zatem dla dowolnej interpretacji wartość logiczna α1 /β/ ∨ α2 jest taka sama, jak wartość logiczna α1 /γ/ ∨ α2 , czyli α/β/ ⇔ α/γ/. Podobnie postępujemy, gdy α jest zdaniem α2 ∨ α1 . TWIERDZENIE 4 (O FUNKCJONALNEJ PEŁNOŚCI). Zbiór spójników {¬, ∨, ∧} jest funkcjonalnie pełny, czyli dla dowolnego zdania α, w którym występują tylko spójniki prawdziwościowe istnieje jemu logicznie równoważne zdanie β ( α ⇔ β ), w którym występują tylko spójniki: ¬, ∨, ∧. DOWÓD Niech dany będzie n-argumentowy spójnik prawdziwościowy s. Niech spójnik ten będzie charakteryzowany przez następującą tabelkę wartości logicznych:

76

1. KLASYCZNA LOGIKA ZDAŃ

α1

α2

...

αn

s(α1 , α2 , . . . , αn )

v11 ... v1j ... n v12

v21 ... v2j ... n v22

... ... ... ... ...

vn1 ... vnj ... n vn2

v1 ... vj ... v2n

Dowodzić będziemy przez indukcję po długości zdania α. Budować będziemy takie zdanie α równoważne zdaniu α, w którym występują tylko spójniki: ¬, ∨ i ∧. Rozważmy wpierw wypadek, gdy α jest zdaniem, w którym występuje tylko spójnik s (wszystkie argumenty spójnika s są literami zdaniowymi). W wypadku, gdy wszystkie wartości v1 , . . . , vj , . . . , v2n , jakie przyjmuje α są równe f , to jako α bierzemy koniunkcję wszystkich występujących w α liter zdaniowych i ich negacji. Zdanie to dla dowolnej interpretacji przyjmuje wartość f . Jest zatem równoważne zdaniu α. Niech teraz dla jakiegoś układu wartości v1j , v2j , . . . , vnj zdanie α przyjmuje wartość t. Dla każdego układu wartości v1j , v2j , . . . , vnj (j = 1, . . . , 2n ), dla którego α przyjmuje wartość t bierzemy koniunkcję liter zdaniowych pi , gdy vij przyjmuje wartość t i ¬pi , gdy vij przyjmuje wartość f . Koniunkcja ta przyjmuje wartość t wtedy i tylko wtedy, gdy litera zdaniowa pi przyjmuje wartość vij , (i = 1, . . . , n; j = 1, . . . , 2n ). Alternatywa wszystkich takich koniunkcji jest równoważna zdaniu α. ZAŁOŻENIE INDUKCYJNE: Niech β1 , . . . βn będą zdaniami takimi, że istnieją równoważne im zdania, odpowiednio, βi , . . . , βn zbudowane tylko za pomocą spójników: ¬, ∨, ∧. Niech α będzie zdaniem s(β1 , . . . , βn ). Postępujemy podobnie jak w wypadku, gdy argumentami s były litery zdaniowe. Tym razem jednak zamiast liter zdaniowych bierzemy zdania β1 , . . . , βn i ich negacje. Korzystając z założenia indukcyjnego i tw. 3 stwierdzamy, że uzyskane konstrukcje są równoważne zdaniu α. Można pokazać, że WNIOSEK

1.1. TAUTOLOGIE I ZDANIA LOGICZNIE PRAWDZIWE

77

Każdy ze zbiorów spójników {¬, ∨}51 , {¬, ∧}, {¬, ⇒} jest funkcjonalnie pełny. W dowodzie wystarczy skorzystać z równoważności: (α ∧ β) (α ∨ β) (α ⇒ β) (α ∨ β) (α ⇒ β) (α ∧ β)

⇔ ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ ⇔

¬(¬α ∨ ¬β) ¬(¬α ∧ ¬β) (¬α ∨ β) (¬α ⇒ β) ¬(α ∧ ¬β) ¬(α ⇒ ¬β).

Żaden inny dwuelementowy zbiór zawierający tylko spójniki: ¬, ∨, ∧, ⇒, ⇔ nie jest funkcjonalnie pełny. W tym celu wystarczy pokazać, że TWIERDZENIE 5. Zbiory: {∨, ∧, ⇒, ⇔}, {¬, ⇔} nie są funkcjonalnie pełne. DOWÓD Aby pokazać, że zbiór {∨, ∧, ⇒, ⇔} nie jest funkcjonalnie pełny przez indukcję po długości zdania dowodzimy, że każde zdanie zbudowane wyłącznie za pomocą spójników ∨ i ∧ oraz ⇒ i ⇔ (a także, oczywiście, liter zdaniowych) dla interpretacji takiej, że wszystkie litery zdaniowe przyjmują wartość t przyjmuje wartość t. Niech α będzie dowolnym zdaniem, w którym występują jedynie spójniki: ∨, ∧, ⇒, ⇔. 1. Jeżeli α jest literą zdaniową, to α ma wartość t. 2. Niech β i γ przysługuje wartość t. Gdy α jest zdaniem postaci β∨γ , wówczas α przysługuje wartość t. Podobnie, gdy α ma postać β ∧ γ , β ⇒ γ lub β ⇔ γ . Stwierdzamy więc, że dla zdania ¬p nie istnieje zdanie jemu logicznie równoważne zbudowane wyłącznie 51

Twierdzenie o funkcjonalnej pełności zbioru spójników {¬, ∨} – przyjętych jako pierwotne w Principia Mathematica Russella i Whiteheada – podał E. Post w swojej dysertacji doktorskiej obronionej na Columbia University w 1920 r. i później opublikowanej, Post [1921].

78

1. KLASYCZNA LOGIKA ZDAŃ

za pomocą spójników alternatywy i koniunkcji oraz implikacji i równoważności. Aby dowieść, że zbiór {¬, ⇔} nie jest funkcjonalnie pełny, wystarczy pokazać, że każde zdanie α zbudowane przy użyciu tylko spójników negacji i równoważności przyjmuje wartość t tyle samo razy, ile razy przyjmuje wartość f albo przyjmuje te wartości parzystą liczbę razy52 . Faktu tego dowodzimy przez indukcję po długości zdania. Litery zdaniowe przyjmują wartość t tyle samo razy, ile razy przyjmują wartość f . Niech α i β spełniają założenia. Wypadek zdania ¬α jest prosty. Jeżeli α przyjmuje wartość t tyle samo razy, ile razy przyjmuje wartość f , to tak samo jest w wypadku ¬α. Jeżeli α przyjmuje wartość t parzystą liczbę razy, to z faktu, że liczba wszystkich interpretacji jest parzysta wynika, że α również parzystą liczbę razy przyjmuje wartość f , zatem tak samo jest w wypadku ¬α. Gdy α przyjmuje wartość t tyle samo razy, ile razy przyjmuje wartość f i podobnie jest dla β , to – ponieważ wszystkich interpretacji jest parzysta liczba – zdanie α ⇔ β przyjmuje wartości t i f parzystą liczbę razy. Gdy dla zdania α ⇔ β istnieje więcej niż dwie (różne) interpretacje, to dla tych interpretacji zarówno α jak i β przyjmują wartość t( lub f ) parzystą liczbę razy. Z tego wynika, że również α ⇔ β przyjmuje wartość t( lub f ) parzystą liczbę razy. Zbiór {¬, ⇔} nie jest funkcjonalnie pełny, bowiem za pomocą spójników z tego zbioru nie skonstruujemy np. zdania, które przybiera wartość t trzykrotnie, jak jest to w wypadku zdania p ⇒ q . Okazuje się, że sam spójnik ↓ (ani . . . , ani . . . ) wystarcza dla konstrukcji zdań logicznie równoważnych zdaniom zbudowanym za pomocą jakichkolwiek (nawet tylko dających się pomyśleć) spójników prawdziwościowych53 . Pokazano również, że taką samą własność 52 Wypadek, gdy nie przyjmuje jednej z wartości – inaczej mówiąc – gdy przyjmuje ją 0 razy traktujemy jako wypadek wystąpienia tej wartości parzystą liczbę razy. 53 Ch. S. Peirce w nie opublikowanym artykule z ok. 1880 r. (A Boolean Algebra with One Constant, Collected Papers, IV, §§12–20, s. 13–18) określił język z jedną tylko stałą, którą możemy uznać za dwuargumentowy spójnik „ani . . . , ani . . . ”. Peirce nie podał jednak ścisłego dowodu, że zbiór{↓} jest funkcjonalnie pełny.

1.1. TAUTOLOGIE I ZDANIA LOGICZNIE PRAWDZIWE

79

ma także spójnik zwany kreską Sheffera, oznaczany |, a odczytywany „albo nie . . . albo nie . . . ”54 . Spójnik ten jest charakteryzowany następującą tabelką: β t t f f

γ t f t f

β|γ f t t t

Dla ciekawości dodajmy, że oprócz „ani . . . , ani . . . ” i „albo nie . . . albo nie . . . ” żaden inny co najwyżej dwuargumentowy spójnik sam jeden nie wystarcza dla wypowiedzenia wszystkich pozostałych spójników prawdziwościowych55 . 1.1.12. Postacie normalne Zdania o postaci opisanej w dowodzie twierdzenia o funkcjonalnej pełności mają szczególną budowę. Taką budowę mają zdania o postaci normalnej dysjunkcyjnej (alternatywnej). (DEF. postaci normalnej dysjunkcyjnej) Zdanie α ma postać normalną dysjunkcyjną (alternatywną) wtedy i tylko wtedy, gdy α jest koniunkcją zdań, z których każde jest literą zdaniową lub literą zdaniową poprzedzoną spójnikiem negacji, albo α jest alternatywą takich koniunkcji. PRZYKŁAD Zdaniem o postaci normalnej dysjunkcyjnej jest: (p ∧ r) ∨ (p ∧ q ∧ ¬r).
54

Ch. S. Peirce w nie opublikowanym artykule z 1902 r. (Collected Papers, IV,

§265, s. 216) pokazał, że wszystko, co można wypowiedzieć za pomocą spójnika „ani . . . , ani . . . ” można wyrazić używając tylko „albo nie . . . albo nie . . . ”. Dowód, że zarówno spójnik ↓ jak i spójnik | same wystarczają dla wypowiedzenia wszystkich zdań zbudowanych za pomocą spójników ¬ i ∨ został podany w 1912 r. przez H. M. Sheffera (1883–1964), który nie znał prac Peirce’a. Zob. Sheffer [1913]. 55

Twierdzenie to udowodnił E. Żyliński [1925].

80

1. KLASYCZNA LOGIKA ZDAŃ

(DEF. postaci normalnej koniunkcyjnej) Zdanie α ma postać normalną koniunkcyjną wtedy i tylko wtedy, gdy α jest alternatywą zdań, z których każde jest literą zdaniową lub literą zdaniową poprzedzoną znakiem negacji, albo α jest koniunkcją takich alternatyw. PRZYKŁAD Zdaniem o postaci normalnej koniunkcyjnej jest: (p ∨ ¬p ∨ q) ∧ (p ∨ ¬q).
Z dowodu twierdzenia o funkcjonalnej pełności wynika, że każde zdanie klasycznej logiki zdań daje się przedstawić w postaci normalnej dysjunkcyjnej. Dla każdego zdania sformułowanego w języku klasycznej logiki zdań można skonstruować jemu logicznie równoważne zdanie o postaci alternatywnej normalnej oraz jemu logicznie równoważne zdanie o postaci koniunkcyjnej normalnej. Konstrukcja takich zdań może być przeprowadzana przez zastępowanie zdań składowych, z których jest zbudowane dane zdanie α w kolejnych krokach według podanych wzorów (zdanie po lewej stronie znaku równości zastępowane jest przez zdanie po jego prawej stronie) = (α ⇒ β) ∧ (β ⇒ α) Krok 1. α ⇔ β Krok 2.

Krok 3. Krok 3’.

α⇒β ¬¬α ¬(α ∨ β) ¬(α ∧ β) α ∨ (β ∧ γ) α ∧ (β ∨ γ)

= = = = = =

¬α ∨ β α ¬α ∧ ¬β ¬α ∨ ¬β (α ∨ β) ∧ (α ∨ γ) (α ∧ β) ∨ (α ∧ γ)

Krok 3 stosujemy w wypadku konstrukcji zdania o postaci normalnej koniunkcyjnej, zaś Krok 3’ – w przypadku konstrukcji zdania o postaci normalnej dysjunkcyjnej. Do konstrukcji postaci normalnych można wykorzystać drzewa analityczne. W wypadku postaci normalnej dysjunkcyjnej konstruujemy drzewo zapisując po lewej stronie zdanie, którego normalną postać dysjunkcyjną chcemy znaleźć. Dla każdej gałęzi bierzemy koniunkcję,

1.2. WYNIKANIE SYNTAKTYCZNE

81

której wszystkimi i tylko członami są litery zdaniowe znajdujące się po lewej stronie i negacje liter zdaniowych znajdujących się po prawej stronie tej gałęzi. Alternatywa takich koniunkcji, dających się skonstruować dla wszystkich i tylko gałęzi takiego drzewa analitycznego, jest zdaniem o normalnej postaci dysjunkcyjnej równoważnym zdaniu α. W wypadku postaci normalnej koniunkcyjnej konstruujemy drzewo zapisując po prawej stronie zdanie, którego normalną postać koniunkcyjną chcemy znaleźć. Dla każdej gałęzi bierzemy alternatywę, której wszystkimi i tylko członami są litery zdaniowe znajdujące się po prawej stronie i negacje liter zdaniowych znajdujących się po lewej stronie tej gałęzi. Koniunkcja takich alternatyw, dających się skonstruować dla wszystkich i tylko gałęzi takiego drzewa analitycznego, jest zdaniem o normalnej postaci koniunkcyjnej równoważnym zdaniu α. Dla danego zdania α może być więcej niż jedno jemu równoważne zdanie o postaci normalnej dysjunkcyjnej i więcej niż jedno jemu równoważne zdanie o postaci normalnej koniunkcyjnej. Zdanie o postaci normalnej koniunkcyjnej jest tautologią wtedy i tylko wtedy, gdy na każdą alternatywę zdań będącą członem koniunkcji składa się jakaś litera zdaniowa pi oraz ¬pi , a więc gdy wszystkie człony koniunkcji są tautologiami. Zauważmy, że zdanie o postaci normalnej dysjunkcyjnej jest kontrtautologią wtedy i tylko wtedy, gdy alternatywę tworzą koniunkcje takie, że w każdej z nich występuje jakaś litera zdaniowa pi oraz ¬pi , a więc gdy wszystkie człony alternatywy są kontrtautologiami. 1.2. WYNIKANIE SYNTAKTYCZNE Celem naszym jest skonstruowanie rachunku takiego, żeby stosunek wynikania ze względu na reguły tego rachunku – będzie to wynikanie syntaktyczne – wiernie odwzorowywał rzeczywisty, czyli semantyczny stosunek wynikania. Zdefiniujemy teraz wynikanie syntaktyczne i udowodnimy kilka twierdzeń, które będą potrzebne w dowodzie uogólnionego twierdzenia o pełności, z którego prostym wnio-

82

1. KLASYCZNA LOGIKA ZDAŃ

skiem jest teza, że stosunek wynikania syntaktycznego pokrywa się ze stosunkiem wynikania semantycznego. 1.2.1. Dowód w rachunku zdań (DEF. reguły odrywania MP)56 Podstawową regułą syntaktyczną (operacją na napisach) będzie reguła odrywania (MP, modus ponens): ze zdań α i α ⇒ β wyprowadzalne jest zdanie β . Zdanie α daje się wyprowadzić ze zdań β i γ za pomocą reguły odrywania, gdy γ jest zdaniem β ⇒ α. (DEF. dowodu) Niech Σ będzie dowolnym (skończonym lub nieskończonym) zbiorem zdań. α wynika syntaktycznie (daje się wyprowadzić z, ma dowód z, jest konsekwencją) Σ, co oznaczamy: Σ α, wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje taki skończony ciąg zdań α0 , α1 , . . . , αn , że α = αn oraz dla każdego i, 0 ≤ i ≤ n, spełniony jest jeden z warunków: (I) αi jest tautologią, (II) αi należy do Σ, (III) istnieją j, k < i takie, że αi daje się za pomocą reguły odrywania wyprowadzić ze zdań αj i αk . Ciąg α0 , α1 , . . . , αn nazywamy dowodem z Σ zdania α. Ilość zdań-wyrazów ciągu dowodowego nazywamy długością dowodu. Zdania ze zbioru Σ nazywamy założeniami (dowodu z Σ). Dowody zapisujemy w postaci kolumny wierszy dowodowych, na które składać się będą: (I) kolejny numer zdania, (II) zdanie oraz 56

Sformułowanie reguły odrywania znajduje się w logice stoików – systemie logicznym, który powstał w III w. p.n.e. w Grecji. Zaliczona została do sylogizmów hipotetycznych niedowodliwych. W średniowieczu nadano jej nazwę: modus ponendo ponens albo krótko: modus ponens.

83

1.2. WYNIKANIE SYNTAKTYCZNE

(III) wskazanie racji, dla których to zdanie można dołączyć do dowodu. (1) Będziemy pisali „tautologia”, jeżeli dołączone zdanie jest tautologią. (2) „Założenie” piszemy w wypadku, gdy zdanie to należy do zbioru Σ. (3) Jeżeli zdanie będzie uzyskane w wyniku użycia reguły odrywania, będziemy pisali „MP” oraz numery wierszy dowodowych, w których znajdują się zdania, do których reguła ta została zastosowana. PRZYKŁAD Pokażemy że zdanie a < c ma dowód ze zbioru {a < b ∧ b < c ⇒ a < c, a < b, b < c}; czyli że {a < b ∧ b < c ⇒ a < c, a < b, b < c} a < c57 .

1. 2. 3. 4. 5. 6. 7.

a < b ⇒ (b < c ⇒ ((a < b ∧ b < c ⇒ a < c) ⇒ a < c)) a 0 ⇒ x + a > 0).

Regułę dołączania dużego kwantyfikatora stosujemy wówczas, gdy na podstawie y > 0 ⇒ (x > 0 ⇒ x + y > 0)

uznajemy y > 0 ⇒ ∀x.(x > 0 ⇒ x + y > 0).

Warunek nałożony na poprzednik (ϕ) implikacji, do której następnika (φ) dołączamy duży kwantyfikator jest istotny. Na podstawie y > 0 ⇒ (x > 0 ⇒ x + y > 0)

nie możemy uznać y > 0 ⇒ ∀y.(x > 0 ⇒ x + y > 0)58 .

Regule opuszczania małego kwantyfikatora odpowiada rozumowanie, gdy na podstawie ∃x.(0 < x ∧ x ≤ y) ⇒ 0 < y

uznajemy 0 < x ∧ x ≤ y ⇒ 0 < y.

Sposób rozumowania odpowiadający regule dołączania małego kwantyfikatora możemy zastosować do 0 < x ∧ x ≤ y ⇒ 0 < y. 58 W tym wypadku kolidowałoby to z regułą podstawiania. Mianowicie zgodnie z tą regułą za zmienną wolną y moglibyśmy podstawić dowolną liczbę dodatnią i stosując regułę odrywania otrzymalibyśmy: ∀y.(x > 0 ⇒ x + y > 0). Podstawiając zaś dowolną liczbę za zmienną x, lub po prostu wiążąc ją dużym kwantyfikatorem otrzymujemy zdanie fałszywe. Tymczasem formuła: y > 0 ⇒ (x > 0 ⇒ x + y > 0) jest spełniona.

2.2. KLASYCZNY RACHUNEK PREDYKATÓW

135

Warunek nałożony na następnik (φ) implikacji, do której poprzednika (ϕ) dołączamy mały kwantyfikator jest istotny. Na podstawie x ≥ 0 ⇒ (y > x ⇒ y > 0)

nie możemy uznać ∃x.(x ≥ 0) ⇒ (y > x ⇒ y > 0).

DEFINICJA DOWODU W RACHUNKU PREDYKATÓW Formuła ϕ ma dowód ze zbioru Σ formuł języka rachunku kwantyfikatorów – co zapisujemy: Σ ϕ – wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje skończony ciąg formuł ϕ0 , ϕ1 , . . ., ϕn taki, że ϕn = ϕ,

gdzie „=” jest skrótem dla „ jest równokształtne z” oraz dla każdego i (0 ≤ i ≤ n) spełniony jest jeden z warunków (I) ϕi jest elementem Σ, (II) ϕi jest tautologią (języka rachunku predykatów), (III) ϕi jest aksjomatem (teorii) identyczności, (IV) istnieją ϕj , ϕk takie, że ϕk = ϕj ⇒ ϕi ; j, k < i, (V) istnieją ϕk , k < i, oraz term t i zmienna v takie, że t jest podstawialne za v w formule ϕk i ϕk (v/t) = ϕi , (VI) istnieje ϕk , k < i, takie, że ϕk = φ ⇒ ∀v.ψ oraz ϕi = φ ⇒ ψ , (VII) istnieje ϕk , k < i, takie, że ϕk = φ ⇒ ψ i zmienna v nie występuje jako zmienna wolna w φ oraz ϕi = φ ⇒ ∀v.ψ , (VIII) istnieje ϕk , k < i, takie, że ϕk = ∃v.φ ⇒ ψ oraz ϕi = φ ⇒ ψ , (IX) istnieje ϕk , k < i, takie, że ϕk = φ ⇒ ψ i zmienna v nie występuje jako zmienna wolna w ψ oraz ϕi = ∃v.φ ⇒ ψ . Podana definicja dowodu jest jedną z możliwych definicji. Istnieją inne jej równoważne w tym sensie, że niezależnie którą z tych definicji

136

2. KLASYCZNA LOGIKA PREDYKATÓW

zastosujemy dowód z danego zbioru formuł będą miały te same zbiory formuł58 . (DEF. tezy rachunku predykatów) Formuły mające dowód z pustego zbioru formuł to tezy rachunku predykatów. PRZYKŁADY Formuła ∀x.P x ⇒ P x

ma dowód z pustego zbioru formuł, czyli ∀x.P x ⇒ P x.

DOWÓD 1. ∀x.P x ⇒ ∀x.P x 2. ∀x.P x ⇒ P x

tautologia (O∀; 1)

Zauważmy, że dla dowolnej zmiennej v i dowolnej formuły ϕ analogicznie można dowieść, że59 T1. ∀v.ϕ ⇒ ϕ. Zamiast dowodzić poszczególnych formuł będziemy więc podawali schematy dowodów. Z takiego schematu będzie można otrzymać dowód każdej formuły o schemacie formuły podanej jako teza. Dowód z pustego zbioru formuł ma formuła ϕ ⇒ ∃v.ϕ

czyli jest ona tezą rachunku predykatów, a więc zachodzi T2. ϕ ⇒ ∃v.ϕ. DOWÓD 1. ∃v.ϕ ⇒ ∃v.ϕ

tautologia

58 Po raz pierwszy pełny sformalizowany system rachunku predykatów został przedstawiony przez Fregego w 1878 r., a opublikowany w [1879]. 59 Zauważmy, że mówiąc tu o dowolnej zmiennej v mamy na uwadze to, że zakresem zmiennej metaprzedmiotowej „v ” jest zbiór wszystkich symboli zmiennych języka rachunku predykatów. A więc może to być dowolna zmienna: x0 , x1 , . . .. Podobnie, gdy mówimy o dowolnej formule: ϕ może być dowolną formułą, jaką daje się skonstruować w tu określonym języku rachunku predykatów.

2.2. KLASYCZNY RACHUNEK PREDYKATÓW

2.

ϕ ⇒ ∃v.ϕ

137

(O∃; 1)

Zastosowanie reguły podstawiania będziemy wskazywali podając numer wiersza dowodowego, w którym dokonuje się podstawienia oraz zmienną i podstawiany za nią term. T3. ∀v.ϕ ⇒ ϕ(v/t), jeżeli term t jest podstawialny za v w ϕ. DOWÓD 1. ∀v.ϕ ⇒ ∀v.ϕ 2. ∀v.ϕ ⇒ ϕ 3. ∀v.ϕ ⇒ ϕ(v/t)

tautologia (O∀; 1) (2; v /t) jeżeli term t jest podstawialny za v w ϕ.

T4. ϕ(v/t) ⇒ ∃v.ϕ, jeżeli term t jest podstawialny za v w ϕ. DOWÓD 1. ∃v.ϕ ⇒ ∃v.ϕ 2. ϕ ⇒ ∃v.ϕ 3. ϕ(v/t) ⇒ ∃v.ϕ

tautologia (O∃; 1) (2; v /t) jeżeli term t jest podstawialny za v w ϕ.

Zrezygnujemy z przeprowadzania dowodów ściśle według definicji. Zwykle takie dowody są długie i nieprzejrzyste. Krótsze, a dla znających podstawowe prawa i reguły logiki prostsze są dowody, w których korzysta się z tych praw i reguł. Pisząc w wierszu dowodowym nazwę tezy wskazujemy, że dowód formuły znajdującej się w tym wierszu przebiega według schematu dowodu tezy, na którą się powołujemy. Korzystać będziemy również z praw logiki zdań – jest oczywiste, że stosują się one do dowodów w rachunku predykatów – może to być wskazywane przez podanie nazwy zastosowanego prawa lub jego treści. Zauważmy, że w zasadzie od samego początku nasze twierdzenia o logice dowodzone z pominięciem opisu zastosowanych środków logicznych. Zresztą w metateorii stosować musimy środki, które nie koniecznie były przedmiotem naszych rozważań teoretycznych. Ten sposób postępowania, że dowód przeprowadzany jest tak, aby intuicja logiczna tego, do kogo skierowany jest tekst, wystarczała dla stwierdzenia poprawności dowodu, jest powszechnie praktykowany

138

2. KLASYCZNA LOGIKA PREDYKATÓW

przez matematyków. W dowodzie pojawiają się różnego rodzaju luki, czasem sygnalizowane zwrotami w rodzaju: „łatwo zauważyć”, „prosto wynika”, „ jest oczywiste”. Wielkość luk zależy od adresata. Gdy tekst skierowany jest dla osób o mniejszym doświadczeniu matematycznym, np. studentów, luka będzie mniejsza niż gdy skierowany będzie do środowiska specjalistów w danej dziedzinie. Matematycy stosują się do swoistego „gentelmen agreement” nakazującego autorowi rzetelne uzupełnienie luki, gdy domaga się tego adresat. Czasem przy próbie uzupełnienia luki okazuje się, że dowód jest niepoprawny. Bywa, że znajduje się dowód poprawny. Pierre de Fermat (1601–65) ograniczył się do stwierdzenia na marginesie książki: „dowód mam, ale za mało tu miejsca, by go zapisać”. Trudno zgodzić się z tym na tle dzisiejszej wiedzy na temat słynnego Wielkiego Twierdzenia Fermata (równanie xn + y n = z n , n > 2, nie ma rozwiązania w liczbach naturalnych). Mimo zaangażowania się wielu bardzo wybitnych i mniej wybitnych matematyków, mimo wysokich nagród i ewentualnej sławy, znaleziony po 350 latach dowód wymaga środków, którymi nie dysponował Fermat. T5. ∃v1 .∀v2 .ϕ ⇒ ∀v2 .∃v1 .ϕ DOWÓD 1. ∀v2 .ϕ ⇒ ϕ 2. ϕ ⇒ ∃v1 .ϕ 3. ∀v2 .ϕ ⇒ ∃v1 .ϕ 4. ∃v1 .∀v2 .ϕ ⇒ ∃v1 .ϕ 5. ∃v1 .∀v2 .ϕ ⇒ ∀v2 .∃v1 .ϕ

T1 T2 (SYLL; 1,2) (D∃; 3) (D∀; 4)

T6. ∃v.(ϕ ∧ ψ) ⇒ (∃v.ϕ ∧ ∃v.ψ ) DOWÓD 1. ∃v.ϕ ⇒ ∃v.ϕ 2. ϕ ⇒ ∃v.ϕ 3. ∃v.ψ ⇒ ∃v.ψ 4. ψ ⇒ ∃v.ψ 5. (ϕ ∧ ψ) ⇒ (∃v.ϕ ∧ ∃v.ψ)

tautologia (O∃; 1) tautologia (O∃; 3) ( α⇒γ β⇒δ α ∧ β ⇒ γ ∧ δ ; 2,4)

139

2.2. KLASYCZNY RACHUNEK PREDYKATÓW

6.

∃v.(ϕ ∧ ψ) ⇒ (∃v.ϕ ∧ ∃v.ψ)

(D∃; 5)

T7. t ≡ t DOWÓD 1. x ≡ x 2. t ≡ t

aksjomat Id1 (1; x/t).

Teza T7 głosi, że identyczność jest zwrotna. T8. (t ≡ t1 ) ⇒ (t1 ≡ t) DOWÓD 1. [(x ≡ x1 ) ∧ (x ≡ x)] ⇒ (x1 ≡ x) 2. {[(x ≡ x1 ) ∧ (x ≡ x)] ⇒ (x1 ≡ x)} 3. 4. 5. 6.

⇒ {(x ≡ x) ⇒ [(x ≡ x1 ) ⇒ (x1 ≡ x)]} (x ≡ x) ⇒ [(x ≡ x1 ) ⇒ (x1 ≡ x)] (x ≡ x) (x ≡ x1 ) ⇒ (x1 ≡ x) (t ≡ t1 ) ⇒ (t1 ≡ t)

aksjomat Id3 tautologia (MP; 1,2) aksjomat Id1 (MP; 4,3) (5; x/t, x1 /t1 )

Teza T8 głosi, że identyczność jest symetryczna. T9. (t ≡ t1 ) ⇒ [(t1 ≡ t2 ) ⇒ (t ≡ t2 )] DOWÓD 1. [(x1 ≡ x) ∧ (x1 ≡ x2 )] ⇒ (x ≡ x2 ) 2. {[(x1 ≡ x) ∧ (x1 ≡ x2 )] ⇒ (x ≡ x2 )} 3. 4. 5. 6.

⇒ {(x1 ≡ x) ⇒ [(x1 ≡ x2 ) ⇒ (x ≡ x2 )]} (x1 ≡ x) ⇒ [(x1 ≡ x2 ) ⇒ (x ≡ x2 )] (x ≡ x1 ) ⇒ (x1 ≡ x) (x ≡ x1 ) ⇒ [(x1 ≡ x2 ) ⇒ (x ≡ x2 )] (t ≡ t1 ) ⇒ [(t1 ≡ t2 ) ⇒ (t ≡ t2 )]

aksjomat Id3 tautologia (MP; 1,2) T8 (SYLL; 3,4) (5; x/t, x1 /t1 , x2 /t2 )

Teza T9 głosi, że identyczność jest przechodnia.




A oto niektóre ważniejsze prawa, schematy i reguły klasycznej logiki predykatów. Rozumiemy je analogicznie do praw, schematów i reguł rachunku zdań. ϕ/∀v.ϕ – reguła generalizacji

140

2. KLASYCZNA LOGIKA PREDYKATÓW

∀v.ϕ ⇒ ϕ(v/t)60 , jeśli term t jest podstawialny za v ϕ(v/t) ⇒ ∃v.ϕ61 ,

jeśli term t jest podstawialny za v

∀v.ϕ ⇒ ∃v.ϕ ∀v1 .∀v2 .ϕ ⇔ ∀v2 .∀v1 .ϕ ∃v1 .∃v2 .ϕ ⇔ ∃v2 .∃v1 .ϕ ∃v1 .∀v2 .ϕ ⇒ ∀v2 .∃v1 .ϕ62

Kwantyfikatory a spójnik negacji – prawa De Morgana ¬∀v.ϕ ⇔ ∃v.¬ϕ ¬∃v.ϕ ⇔ ∀v.¬ϕ

Kwantyfikatory a spójnik implikacji ∀v.(ϕ ⇒ φ) ⇒ (∀v.ϕ ⇒ ∀v.φ) ∀v.(ϕ ⇒ φ) ⇒ (∃v.ϕ ⇒ ∃v.φ)

Kwantyfikatory a spójnik koniunkcji ∀v.(ϕ ∧ φ) ⇔ (∀v.ϕ ∧ ∀v.φ) ∃v.(ϕ ∧ φ) ⇒ (∃v.ϕ ∧ ∃v.φ)

Kwantyfikatory a spójnik alternatywy 60

Teza ta tradycyjnie określana jest jako dictum de omni. Teza ta tradycyjnie określana jest jako dictum de singulo. Teza ta głosi, że na to aby dowieść zdania egzystencjalnego stwierdzającego istnienie przedmiotu spełniającego określony warunek, wystarczy określić przedmiot, który ten warunek spełnia. Takie dowody zdań egzystencjalnych nazywa się dowodami efektywnymi. Zdania egzystencjalnego można również dowieść (korzystając z prawa De Morgana) przez sprowadzenie do niedorzeczności zdania stwierdzającego, że żaden przedmiot nie spełnia danego warunku. Takie dowody nie dają jednak na ogół sposobu konstrukcji przedmiotu spełniającego warunek, nie są więc efektywne. 62 Warto tu zauważyć, że prawem nie jest ∀v2 .∃v1 .φ ⇒ ∃v1 .∀v2 .φ. 61

Prawdziwe nie jest zdanie

∀x.∃y.(x < y) ⇒ ∃y.∀x.(x < y),

czyli prawdziwe nie jest zdanie: jeżeli dla każdej liczby istnieje liczba od niej większa, to istnieje liczba taka, która jest większa od każdej liczby.

2.2. KLASYCZNY RACHUNEK PREDYKATÓW

141

(∀v.ϕ ∨ ∀v.φ) ⇒ ∀v.(ϕ ∨ φ) ∃v.(ϕ ∨ φ) ⇔ (∃v.ϕ ∨ ∃v.φ)

Kwantyfikatory a spójnik równoważności – prawa ekstensjonalności ∀v.(ϕ ⇔ φ) ⇒ [∀v.(ϕ ⇒ φ) ∧ ∀v.(φ ⇒ ϕ)] ∀v.(ϕ ⇔ φ) ⇒ (∀v.ϕ ⇔ ∀v.φ) ∀v.(ϕ ⇔ φ) ⇒ (∃v.ϕ ⇔ ∃v.φ).

2.2.2. Niesprzeczność rachunku predykatów Wiele pojęć i twierdzeń metalogiki predykatów nie bardzo różni się w swoim sformułowaniu – ale, oczywiście, nie w treści – od pojęć i twierdzeń, których definicje i dowody podaliśmy dla logiki zdań. Ma to miejsce np. dla pojęcia sprzeczności. (DEF. sprzecznego zbioru formuł) Zbiór formuł jest sprzeczny wtedy i tylko wtedy, gdy z tego zbioru ma dowód dowolna formuła. (DEF. niesprzecznego zbioru formuł) Zbiór formuł jest niesprzeczny wtedy i tylko wtedy, gdy nie jest sprzeczny. W wypadku rachunku zdań nie było możliwe mówienie o sprzeczności zdania prostego. Znaczenia zdań były bowiem całkowicie charakteryzowane przez przysługujące im wartości logiczne. Inaczej jest w wypadku rachunku predykatów, w którym analizujemy zdania w ich wewnętrznej strukturze. Oczywiście, zdanie ϕ jest sprzeczne, gdy sprzeczny jest zbiór {ϕ}. (DEF. formuły wewnętrznie sprzecznej) Formuła ϕ jest wewnętrznie sprzeczna (wewnętrznie kontradyktoryczna) wtedy i tylko wtedy, gdy sprzeczny jest zbiór {ϕ}. Zdaniami wewnętrznie kontradyktorycznymi są np. wszystkie zdania postaci ∃x.[P (x) ∧ ¬P (x)]. Teoria rozumiana jako zbiór formuł taki, że każda formuła mająca dowód z tego zbioru jest jego elementem, czyli tezą (zbiór zamknięty

142

2. KLASYCZNA LOGIKA PREDYKATÓW

na operację konsekwencji) powinna być niesprzeczna. Rachunek logiczny, jako zbiór formuł mających dowód z pustego zbioru formuł, aby wart był rozważania, musi być niesprzeczny63 . Chodzi więc o to, by zbiór jego tez – formuł mających dowód z pustego zbioru (formuł) – nie był równy zbiorowi wszystkich formuł języka tego rachunku, czyli żeby dla dowolnego ϕ nie było prawdą, że: ϕ. W celu dowiedzenia niesprzeczności rachunku predykatów wystarczy: 1. znaleźć takie przyporządkowanie formuł języka rachunku predykatów zdaniom języka rachunku zdań (taką interpretację formuł języka rachunku predykatów w zbiorze zdań języka rachunku zdań), żeby zachowana była negacja, czyli jeżeli formule ϕ przyporządkowane jest zdanie α, to formule ¬ϕ przyporządkowane jest zdanie ¬α (jeżeli formuła ϕ interpretowana jest jako zdanie α, to formuła ¬ϕ interpretowana jest jako ¬α); 2. pokazać, że niesprzeczny jest zbiór wszystkich zdań przyporządkowanych tezom rachunku predykatów. Gdyby zbiór tez języka rachunku predykatów był równy zbiorowi wszystkich jego formuł, to sprzeczny byłby zbiór zdań, które przyporządkowane są zgodnie z pkt. 1 i 2 tezom rachunku predykatów. Jeżeli więc pokażemy niesprzeczność tego zbioru zdań, to tym samym dowiedziemy niesprzeczności rachunku predykatów. Opisany sposób dowodzenia niesprzeczności ma szersze zastosowanie. Analogicznie dowodzić można niesprzeczności różnych zbiorów. Taki dowód wymaga jednak, by niesprzeczny był zbiór formuł, w którym interpretujemy (syntaktycznie) zbiór formuł, którego niesprzeczności dowodzimy. Uzyskany wynik jest więc zależny od niesprzeczności innego zbioru formuł. Jest to więc wynik relatywny. Mó63

Logicy – z różnych zresztą powodów – zainteresowali się systemami, w których tezami mogą być jakieś zdanie i jego zaprzeczenie. Powstały różne systemy logik parakonsystentnych. Na przykład St. Jaśkowski stworzył tzw. dyskusyjny rachunek zdań. Zob. Jaśkowski [1948]. Jednak również w wypadku tych „sprzecznych” systemów nie może mieć miejsce przepełnienie, tj. zbiór tez nie może pokrywać się ze zbiorem wszystkich wyrażeń poprawnie zbudowanych.

2.2. KLASYCZNY RACHUNEK PREDYKATÓW

143

wimy wówczas o relatywnej niesprzeczności jednego zbioru formuł ze względu na niesprzeczność innego zbioru formuł. Wpierw dowiedziemy niesprzeczności klasycznego rachunku predykatów dla języka bez predykatu identyczności. Rachunek zdań jest niesprzeczny, bowiem – jak wiemy – nie każde jego zdanie jest tautologią. Otóż, aby udowodnić niesprzeczność rachunku predykatów dla języka bez predykatu równości, wystarczy pokazać, że wszystkim tezom tego rachunku przyporządkowane są (musi to być przyporządkowanie powyżej omówionego typu, a więc zachowujące negację) wyłącznie tautologie języka rachunku zdań. TWIERDZENIE 164 . Rachunek predykatów dla języka bez predykatu identyczności jest niesprzeczny. DOWÓD Niech h będzie odwzorowaniem zbioru formuł języka rachunku predykatów w zbiór zdań języka rachunku zdań takim, że (I) (II) (III) (IV) (V) (VI) (VII) (VIII)

h(ϕ) h(¬ϕ) h(∀v.ϕ) h(∃v.ϕ) h(ϕ ∨ φ) h(ϕ ∧ φ) h(ϕ ⇒ φ) h(ϕ ⇔ φ)

= = = = = = = =

p gdy ϕ jest formułą atomową ¬h(ϕ) h(ϕ) h(ϕ) h(ϕ) ∨ h(φ) h(ϕ) ∧ h(φ) h(ϕ) ⇒ h(φ) h(ϕ) ⇔ h(φ)

Przez indukcję po długości dowodu w rachunku predykatów (dla języka bez predykatu równości) pokażemy, że odwzorowanie h tezom rachunku predykatów przyporządkowuje tylko tautologie języka rachunku zdań. Niech ϕ będzie dowolną tezą języka rachunku predykatów. Niech ciąg 64 Pierwszy dowód niesprzeczności rachunku predykatów został opublikowany w 1928 r. przez matematyków niemieckich D. Hilberta i W. Ackermanna. Podany tu dowód w istocie nie odbiega od tamtego dowodu.

144

2. KLASYCZNA LOGIKA PREDYKATÓW

ϕ0 , ϕ1 , . . ., ϕn (= ϕ)

będzie dowodem tej tezy. Z definicji dowodu, ϕ0 jest tautologią języka rachunku predykatów. Należy więc pokazać, że tautologie języka rachunku predykatów „tłumaczone” są przez h na tautologie języka rachunku zdań. Tautologie języka rachunku predykatów są – w myśl definicji – formułami otrzymanymi z tautologii języka rachunku zdań przez podstawienie w miejsce liter zdaniowych formuł języka rachunku predykatów. Dla każdej formuły ϕ istnieje zdanie α języka rachunku zdań takie, że formuła ϕ może być otrzymana z α przez podstawienie w miejsce liter zdaniowych formuł atomowych i formuł postaci: ∀v.φ, ∃v.φ. Oczywiście, podstawienie to odbywa się jednocześnie i zgodnie z zasadą, że za te same litery podstawia się te same formuły. Otóż, jeżeli ϕ jest tautologią, to α też jest tautologią. Tautologie języka rachunku predykatów przez opisane podstawienie otrzymuje się bowiem tylko z tautologii języka rachunku zdań. Odwzorowanie h jest tego rodzaju, że formule ϕ przyporządkowuje zdanie, które można otrzymać ze zdania α przez podstawienie w miejsce liter zdaniowych zdań zbudowanych wyłącznie za pomocą litery zdaniowej p (i, oczywiście, spójników oraz nawiasów). Jeżeli α jest tautologią, to i to zdanie jest tautologią. Bowiem jeżeli w tautologii języka rachunku zdań w miejsce liter zdaniowych za te same litery jednocześnie podstawimy te same zdania zbudowane tylko za pomocą litery p, to otrzmamy tautologię języka rahunku zdań. ZAŁOŻENIE INDUKCYJNE: Niech h(ϕi ), dla i ≤ k , będzie tautologią języka rachunku zdań. Pokażemy, że h(ϕk+1 ) jest tautologią języka rachunku zdań. Gdy ϕk+1 jest tautologią języka rachunku predykatów, to h(ϕk+1 ) jest tautologią języka rachunku zdań. Niech więc ϕk+1 będzie otrzymane przez zastosowanie reguły MP do formuł ϕj , ϕj ⇒ ϕk+1 . Ponieważ z założenia indukcyjnego h(ϕj )

2.2. KLASYCZNY RACHUNEK PREDYKATÓW

145

oraz h(ϕj ⇒ ϕk+1 ) są tautologiami języka rachunku zdań, więc również h(ϕk+1 ) jest tautologią języka rachunku zdań. Wypadek zastosowania każdej z pozostałych reguł jest jeszcze krótszy. Zauważmy bowiem, że gdy któraś z tych reguł jest zastosowana do ϕj , to h(ϕj ) = h(ϕk+1 ). A więc, ponieważ z założenia indukcyjnego h(ϕj ) jest tautologią języka rachunku zdań, to i h(ϕk+1 ) jest tautologią tego języka. TWIERDZENIE 2. Rachunek predykatów z identycznością jest niesprzeczny. DOWÓD Formuły języka rachunku predykatów z predykatem identyczności odwzorowujemy w zbiór zdań języka rachunku zdań w taki sam sposób, jak to było w dowodzie twierdzenia 1. Tym razem oprócz tautologii języka rachunku zdań pojawia się jeszcze litera zdaniowa p. Zatem zbiór tez rachunku predykatów z identycznością zostaje odwzorowany w zbiór wszystkich i tylko zdań, które mają dowód przy zastosowaniu jedynie reguły odrywania ze zbioru tautologii języka rachunku zdań zbudowanych za pomocą litery p (oraz nawiasów i spójników języka rachunku zdań) uzupełnionego o literę p (tylko w tym miejscu jest więc inaczej niż wypadku twierdzenia poprzedniego). Warunkiem wystarczającym niesprzeczności tez rachunku predykatów z identycznością jest niesprzeczność zbioru Cn{p}, gdzie Cn jest operacją konsekwencji dla rachunku zdań. Zbiór Cn{p} ma model. Modelem tym jest mianowicie zbiór {p} (i każdy inny podzbiór liter zdaniowych zawierający literę p). Z uogólnionego twierdzenia o niesprzeczności dla rachunku zdań mamy, że zbiór Cn{p} jest niesprzeczny. 2.2.3. Twierdzenie o dedukcji Twierdzenie o dedukcji dla rachunku predykatów w swoim sformułowaniu różni się od twierdzenia o dedukcji dla rachunku zdań tylko pewnym zastrzeżeniem spowodowanym tym, że w rachunku predykatów – inaczej niż w rachunku zdań – oprócz zdań wyrażeniami poprawnie zbudowanymi są również formuły nie będące zdaniami.

146

2. KLASYCZNA LOGIKA PREDYKATÓW

TWIERDZENIE 3. (O DEDUKCJI). Niech ϕ będzie zdaniem (φ nie musi być zdaniem). Σ ∪ {ϕ} φ

wtedy i tylko wtedy, gdy Σ ϕ ⇒ φ.

DOWÓD Dowód tego twierdzenia przebiega w analogiczny sposób jak w wypadku rachunku zdań, jest jednak bardziej złożony. We fragmencie, w którym dowodzimy, że jeżeli Σ ∪ {ϕ} φ, to Σ ϕ ⇒ φ trzeba rozważyć zastosowanie reguł rachunku predykatów. Niech γ1 , γ2 , . . ., γn

będzie dowodem formuły φ ze zbioru Σ ∪ {ϕ}. γ1 może być elementem zbioru Σ∪{ϕ}, tautologią języka rachunku kwantyfikatorów lub aksjomatem teorii identyczności. Dowód, że formuła ϕ ⇒ φ ma dowód ze zbioru Σ niczym w istocie nie różni się od analogicznego wypadku w dowodzie twierdzenia o dedukcji dla logiki zdań.

ZAŁOŻENIE INDUKCYJNE: Jako założenie indukcyjne przyjmujemy, że ze zbioru Σ istnieje dowód formuły ϕ ⇒ γi , i ≤ k . W dowodzie tezy indukcyjnej ograniczymy się do pokazania jak postępujemy w wypadku reguły podstawiania oraz reguł dołączania (D∀) i opuszczania (O∀) dużego kwantyfikatora. (Reguła podstawiania) Niech γk+1 będzie otrzymane przez podstawienie termu t na miejsce zmiennej v w γi , czyli γk+1 = γi (v/t). Niech ψ1 , ψ2 , . . ., ψm (= ϕ ⇒ γi ) będzie dowodem ze zbioru Σ formuły ϕ ⇒ γi . Z założenia twierdzenia o dedukcji ϕ jest zdaniem, czyli nie zawiera zmiennych wolnych, zatem (ϕ ⇒ γi )(v/t) = ϕ ⇒ γi (v/t). Dowód ϕ ⇒ γk+1 ze zbioru Σ uzyskamy dopisując ϕ ⇒ γi (v/t) jako kolejny wyraz do ciągu ψ1 , ψ2 , . . ., ψm , czyli dopisując formułę otrzymaną przez zastosowanie do ψm reguły podstawiania.

2.2. KLASYCZNY RACHUNEK PREDYKATÓW

147

(D∀) Pokażemy, że jeżeli γk+1 zostało otrzymane przez zastosowanie reguły D∀ do γi , to ze zbioru Σ istnieje dowód dla ϕ ⇒ γk+1 . Niech γi = ξ ⇒ λ i niech γk+1 = ξ ⇒ ∀v.λ. Z tego wynika, że ξ nie zawiera zmiennej v jako wolnej. Z założenia indukcyjnego dostajemy, że ze zbioru Σ istnieje dowód dla ϕ ⇒ γi , czyli dla ϕ ⇒ (ξ ⇒ λ). Niech ψ1 , ψ2 , . . ., ψm [= ϕ ⇒ (ξ ⇒ λ)] będzie tym dowodem. Aby uzyskać dowód formuły ϕ ⇒ γk+1 , czyli formuły ϕ ⇒ (ξ ⇒ ∀v.λ), do ciągu ψ1 , ψ2 , . . ., ψm dopisujemy następujące wyrazy (m+1). (m+2). (m+3). (m+4). (m+5).

[ϕ ⇒ (ξ ⇒ λ)] ⇒ (ϕ ∧ ξ ⇒ λ) ϕ∧ξ ⇒ λ ϕ ∧ ξ ⇒ ∀v.λ (ϕ ∧ ξ ⇒ ∀v.λ) ⇒ [ϕ ⇒ (ξ ⇒ ∀v.λ)] ϕ ⇒ (ξ ⇒ ∀v.λ)

tautologia (MP; m, m+1) (D∀; m+2) tautologia (MP; m+3, m+4)

Zauważmy, że do wiersza (m+2) można było zastosować regułę dołączania dużego kwantyfikatora ponieważ: 1. z założenia twierdzenia o dedukcji ϕ jest zdaniem, a 2. ξ nie zawiera v jako zmiennej wolnej. γk+1 (= ξ ⇒ ∀v.λ) zostało uzyskane z γi (= ξ ⇒ λ) przez zastosowanie reguły D∀, co było możliwe tylko w wypadku, gdy ξ nie zawiera v jako zmiennej wolnej. (O∀) Niech γk+1 będzie otrzymane przez zastosowanie reguły opuszczania dużego kwantyfikatora do γi (= ξ ⇒ ∀v.λ), czyli γk+1 (= ξ ⇒ λ). Niech ψ1 , ψ2 , . . ., ψm [= ϕ ⇒ (ξ ⇒ ∀v.λ)] będzie dowodem ze zbioru Σ formuły ϕ ⇒ γi . Dowód ze zbioru Σ formuły ϕ ⇒ (ξ ⇒ λ) uzyskujemy dopisując do ciągu ψ1 , ψ2 , . . ., ψm następujące wyrazy (m+1). (m+2). (m+3). (m+4). (m+5).

[ϕ ⇒ (ξ ⇒ ∀v.λ)] ⇒ (ϕ ∧ ξ ⇒ ∀v.λ) ϕ ∧ ξ ⇒ ∀v.λ ϕ∧ξ ⇒ λ (ϕ ∧ ξ ⇒ λ) ⇒ [ϕ ⇒ (ξ ⇒ λ) ϕ ⇒ (ξ ⇒ λ)

tautologia (MP; m, m+1) (O∀, m+2) tautologia (MP;m+3, m+4)

Dowód tezy jeżeli Σ ϕ ⇒ φ, to Σ ∪ {ϕ} φ

148

2. KLASYCZNA LOGIKA PREDYKATÓW

przebiega w sposób nieistotnie różniący się od analogicznego fragmentu dowodu twierdzenia o dedukcji dla rachunku zdań: do dowodu ϕ ⇒ φ ze zbioru Σ dopisujemy jako kolejne wyrazy ciągu ϕ – jest to element zbioru Σ ∪ {ϕ} – oraz φ – co uzyskujemy stosując regułę odrywania. Kiedy mamy dowód φ ze zbioru Σ, a dowodzimy ϕ ze zbioru Σ i w ciągu dowodowym pojawia się φ, to dowód ϕ możemy „skrócić” zastępując fragment ciągu będący dowodem φ powołaniem się na to, że φ ma dowód z Σ. W szczególnym wypadku może to być powołanie się na już udowodnione tezy (formuły mające dowód z pustego zbioru formuł). Twierdzenie o dedukcji daje dodatkową możliwość „skracania” – pozwala na wykorzystywanie dowodu λ ⇒ ξ ze zbioru Σ dowodem ξ ze zbioru Σ ∪ {λ}, i na odwrót. Korzystając ze wskazanych „skrótów” w opisie dowodu, w niczym nie naruszamy jego istoty, czyli nie zmieniamy jego definicji. PRZYKŁAD T10. ∀x.(P x ⇒ Qx) ⇒ (∃x.P x ⇒ ∃x.Qx). DOWÓD 1. ∀x.(P x ⇒ Qx) ⇒ (P x ⇒ Qx) 2. ∀x.(P x ⇒ Qx) P x ⇒ Qx65 3. Qx ⇒ ∃x.Qx 4. ∀x.(P x ⇒ Qx) P x ⇒ ∃x.Qx 5. ∀x.(P x ⇒ Qx) ∃x.P x ⇒ ∃x.Qx 6. ∀x.(P x ⇒ Qx) ⇒ (∃x.P x ⇒ ∃x.Qx)

T3 (Tw. o dedukcji; 1) T4 (SYLL; 2, 3) (D∃; 4) (tw. o dedukcji; 5)


Założenie, że poprzednik implikacji – do której stosujemy twierdzenie o dedukcji – jest zdaniem jest istotne. W wyżej przeprowadzonym dowodzie twierdzenia o dedukcji było ono wykorzystane, gdy rozważaliśmy zastosowanie reguły podstawiania oraz reguły dołączania dużego kwantyfikatora. Na przykładzie – będzie to przykład odnoszący się do reguły podstawiania – pokażemy, że jego zignorowanie 65

Jeżeli nie prowadzi to do nieporozumienia zamiast: {ϕ1 , . . . , ϕn } φ piszemy: ϕ1 , . . . , ϕn φ

2.2. KLASYCZNY RACHUNEK PREDYKATÓW

149

prowadzi do niepożądanych konsekwencji; do możliwości otrzymywania fałszywych wniosków z prawdziwych przesłanek. PRZYKŁAD Niech Σ będzie teorią nierówności > (⊆ × ). Zatem prawdą jest, że 1. Σ x > 2 ⇒ x > 1. Przejście od (1) do (2) 2. Σ ∪ {x > 2} x > 1 nie jest uprawnione. Stosując regułę generalizacji otrzymamy bowiem 3. Σ ∪ {x > 2} ∀x.(x > 1). Ponowne zastosowanie twierdzenia o dedukcji daje 4. Σ x > 2 ⇒ ∀x.(x > 1). Teraz podstawiamy za zmienną wolną x stałą, powiedzmy 3. Dostajemy 5. Σ 3 > 2 ⇒ ∀x.(x > 1). Ponieważ 6. Σ 3 > 2, więc stosując M P dostajemy 7. Σ ∀x.(x > 1). (7) nie jest prawdziwe.




Nie otrzymamy fałszywych wniosków z prawdziwych przesłanek, gdy zmienną „x” potraktujemy jako zmienną ustaloną. Tak też postępujemy w wypadku nauk formalnych, jak np. matematyki, kierując się regułami dowodów założeniowych65 . Nie podejmując szerszej dyskusji nad tą kwestią dodajmy jedynie, że dopóki jakaś ze zmiennych ustalonych znajduje się po lewej stronie symbolu „ ”, to funkcjonuje ona w obrębie tego fragmentu dowodu, tak jakby była to stała, czyli 65

W sprawie reguł dowodów założeniowych zob. np. Batóg [1986], s. 128–132.

150

2. KLASYCZNA LOGIKA PREDYKATÓW

wykluczone jest wiązanie takiej zmiennej kwantyfikatorami i podstawianie za nią. W sytuacji, gdy wszystkie wyrażenia z taką zmienną znajdą się po prawej stronie znaku „ ”, zmienna ta traci swój charakter zmiennej ustalonej i staje się zmienną wolną, czyli może być wiązana kwantyfikatorami i dopuszczalne jest stosowanie do niej reguły podstawiania. Trzymając się tych zasad dowieść można schematu tez postaci T10. T10’. ∀v.(ϕ ⇒ ψ) ⇒ (∃v.ϕ ⇒ ∃v.ψ) DOWÓD 1. ∀v.(ϕ ⇒ ψ) ⇒ [ϕ(v/v1 ) ⇒ ψ(v/v1 )] 2. 3. 4. 5. 6. 7.

∀v.(ϕ ⇒ ψ) ϕ(v/v1 ) ⇒ ψ(v/v1 ) ψ(v/v1 ) ⇒ ∃v.ψ ∀v.(ϕ ⇒ ψ) ϕ(v/v1 ) ⇒ ∃v.ψ ∀v.(ϕ ⇒ ψ) [ϕ(v/v1 )](v1 /v) ⇒ ∃v.ψ ∀v.(ϕ ⇒ ψ) ϕ ⇒ ∃v.ψ ∀v.(ϕ ⇒ ψ) ∃v.ϕ ⇒ ∃v.ψ ∀v.(ϕ ⇒ ψ) ⇒ (∃v.ϕ ⇒ ∃v.ψ)

T3 gdzie v1 nie występuje w ϕ ⇒ ψ (Tw. o dedukcji; 1) T4 (SYLL; 2, 3) (4) (D∃; 5) (tw. o dedukcji; 6)




W dowodzie stosowaliśmy twierdzenie o dedukcji nie zakładając, że formuła ∀v.(ϕ ⇒ ψ) jest zdaniem. Występujące w niej zmienne traktowane były jako „zmienne ustalone”. Pomiędzy logiką zdań a logiką predykatów zachodzą istotne różnice. Dla rachunku zdań – co zostało pokazane – istnieje ogólna metoda, która w wypadku dowolnego zdania w z góry dającej się określić ograniczonej liczbie kroków pozwala znaleźć odpowiedź «tak» lub «nie» na pytanie, czy zdanie to jest tautologią. Rachunek zdań – jak to mówimy – jest rozstrzygalny. Twierdzenie o rozstrzygalności nie zachodzi dla rachunku predykatów. Church, korzystając z wyników G¨ odla pokazał, że nierozstrzygalna jest każda teoria wyrażona w języku rachunku predykatów, który zawiera przynajmniej jedną literę funkcyjną o liczbie argumentów nie mniejszej niż 1, bądź przynajmniej jedną literę predykatową o liczbie argumentów nie mniejszej niż 2 [Church, 1936]. Nie istnieje więc żadna ogólna metoda, która w wypadku dowolnej formuły pozwalałaby w ograniczonej liczbie kro-

2.2. KLASYCZNY RACHUNEK PREDYKATÓW

151

ków dać odpowiedź „tak” lub „nie” na pytanie, czy ta formuła ma dowód (w szczególności, z pustego zbioru formuł). Nie znaczy to jednak, by jakaś teza rachunku predykatów nie miała (skończonego) dowodu, byłoby to przecież sprzeczne z definicją tezy rachunku predykatów. Dla dowolnej tezy w skończonej liczbie kroków, choć w nie dającej się z góry określić ich liczbie, znajduje się odpowiedź na pytanie, czy formuła ta jest tezą rachunku predykatów. To, że po n krokach nie znajdujemy odpowiedzi „tak” nie przesądza, że nie znajdziemy jej w kolejnym, (n + 1)-szym kroku. Zaś gdy liczba kroków nie jest z góry przesądzona nie możemy dać odpowiedzi „nie”. Mówi się, że rachunek predykatów jest półrozstrzygalny: istnieją ogólne procedury, jak np. dowód, które w wypadku, gdy formuła jest tezą w skończonej liczbie kroków pozwalają na znalezienie odpowiedzi „tak”. Rachunek predykatów nie jest rozstrzygalny. Nie znaczy to, by nie były rozstrzygalne pytania o to, czy formuła jest tezą w wypadku niektórych klas formuł, np. rozstrzygalne jest pytanie, czy formuła jest tautologią rachunku kwantyfikatorów (bo rozstrzygalne jest pytanie, czy zdanie jest tautologią). Podobnie jest w wypadku formuł, w których występują co najwyżej trzy jednoargumentowe litery predykatowe. W tym wypadku korzystać można z tzw. diagramów Venna.

2.2.4. Tablice semantyczne W wypadku rachunku zdań – korzystając z definicji tautologii – podaliśmy metody dowodzenia tautologiczności zdań, w szczególności metodę tablic semantycznych. Powstaje pytanie o możliwość takiej metody dla rachunku predykatów. Chodzi więc o uogólnienie metody tablic semantycznych na rachunek predykatów. Uczynimy to dla języka, który nie zawiera liter funkcyjnych. Wszystkie zasady konstrukcji drzewa oraz reguły przyjęte dla metody tablic semantycznych dla rachunku zdań (słowo „zdanie” zastępujemy słowem „formuła”; zamiast „prawdziwe” piszemy „spełnione”, a zamiast „fałszywe” – „niespełnione”) uzupełniamy o następujące reguły specyficzne dla rachunku predykatów.

152

2. KLASYCZNA LOGIKA PREDYKATÓW

(∃L)

Reguła ta stosuje się do formuły ∃v.ψ zapisanej po lewej stronie gałęzi. Formuła ∃v.ψ jest spełniona wtedy i tylko wtedy, gdy dla pewnej stałej c spełniona jest formuła ψ(v/c). Fomułę tą zapisujemy po lewej stronie na każdej gałęzi, na której znajduje się analizowana formuła ∃v.ψ . Stała indywiduowa c musi być stałą, która nie występuje na gałęziach, na których dopisujemy formułę ψ(v/c). Do danej formuły regułę tę stosujemy tylko raz. Jest to reguła jednokrotna. √ Fakt jej zastosowania zaznaczamy za pomocą . (∃P )

Reguła ta stosuje się do formuły ∃v.ψ zapisanej po prawej stronie gałęzi. Formuła ∃v.ψ nie jest spełniona wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdej stałej c nie jest spełnione ψ(v/c). Formułę ψ(v/c) piszemy po prawej stronie każdej gałęzi, na której znajduje się ∃v.ψ . Stała c jest dowolna. Ponieważ bez względu na to, jaką weźmiemy stałą c nie jest spełnione ψ(v/c), więc reguła ta może być stosowana wielokrotnie. Fakt jej zastosowania oznaczamy . (∀L)

2.2. KLASYCZNY RACHUNEK PREDYKATÓW

153

Reguła ta stosuje się do formuły ∀v.ψ zapisanej po lewej stronie gałęzi. Taka formuła jest spełniona wtedy i tylko wtedy, gdy dla dowolnej stałej c spełnione jest ψ(v/c). Formułę ψ(v/c) zapisujemy po lewej stronie każdej gałęzi, na której znajduje się ∀v.ψ . Stała c jest dowolna. Ponieważ bez względu na to, jaką weźmiemy stałą c spełnione jest ψ(v/c), więc regułę tę możemy stosować wielokrotnie. Fakt jej zastosowania zaznaczamy pisząc . (∀R)

Reguła ta stosuje się do formuły ∀v.ψ zapisanej po prawej stronie gałęzi. Formuła taka nie jest spełniona wtedy i tylko wtedy, gdy dla przynajmniej jednej stałej c nie jest spełnione ψ(v/c). Formułę ψ(v/c) piszemy po prawej stronie każdej gałęzi, na której znajduje się ∀v.ψ . Stała c nie może wystąpić wcześniej na żadnej gałęzi, na której dopisujemy ψ(v/c). Regułę tę stosujemy tylko raz. Fakt jej zastosowania √ zaznaczamy za pomocą . To, że reguły ∀L i ∃P mogą być wielokrotnie stosowane powoduje, że tam, gdzie z tych reguł korzystamy proces konstrukcji drzewa nie jest ograniczony. Jest więc inaczej niż w wypadku rachunku zdań, gdzie dane zdanie tylko raz mogło być przedmiotem analizy. Struktura zdania w języku rachunku zdań i formuły (w języku rachunku predykatów) jednoznacznie wskazują na to, jaka reguła może być użyta do ich analizy. W wypadku reguł zdaniowych jednoznacznie określony jest wynik analizy. Tak nie jest w wypadku reguł ∃L i ∀P oraz ∀L i ∃P . Dla ∃L i ∀P formalnie wykluczone jest użycie niektórych stałych. Zaś dla ∀L i ∃P to, której stałej użyjemy nie jest w ogóle wyznaczone przez formalne reguły konstrukcji drzewa.

154

2. KLASYCZNA LOGIKA PREDYKATÓW

Tablica semantyczna jest zamknięta wtedy i tylko wtedy, gdy analizowana formuła jest tezą lub z formuł znajdujących się po lewej stronie wynikają formuły znajdujące się po stronie prawej. Dla każdej tezy lub wynikania istnieje więc taki skończony zbiór stałych, dla których tablica jest zamknięta. Jednak z góry nie potrafimy określić wielkości tego zbioru. Fakt ten jest równoważny półrozstrzygalności rachunku predykatów. Fakt, że na danym etapie konstrukcji tablica semantyczna tezy (wynikania) nie jest zamknięta nie przesądza, że w kolejnym kroku to nie nastąpi. Nie wiemy bowiem z góry jak wielka ma być konstrukcja. Ponadto, formalne reguły konstrukcji umożliwiają również tworzenie dla tez (wynikania) niekończących się niezamkniętych tablic. Na przykład, mając po stronie lewej formułę postaci ∀φ wystarczy ograniczyć się do stosowania tylko reguły ∀L – jest to reguła wielokrotna a stałych mamy nieskończenie wiele. Powyższe uwagi o regułach dają podstawę następującemu zaleceniu w sprawie konstruowania tablicy semantycznej: mając do wyboru analizę formuły, do której stosuje się jedna z reguł ∀L lub ∃P i analizę formuły, do której stosuje się jedna z reguł ∀P lub ∃L, jako pierwszą analizujemy formułę, do której stosuje się jedna z reguł ∀P lub ∃L. Wyniki konstrukcji tablicy semantycznej mogą być następujące: 1. tablica jest zamknięta; na każdej gałęzi po lewej i prawej stronie występuje jakaś jedna i ta sama formuła, czyli – jak to mówimy – na każdej gałęzi ma miejsce sprzeczność; 2. istnieje co najmniej jedna gałąź, na której nie wystąpiła sprzeczność, a ewentualne stosowanie reguł ∀L i ∃P (powtarzalnych) nie może do takiej sprzeczności doprowadzić, jak na przykład wówczas, gdy na gałęzi pozostało tylko stosowanie do jakiejś formuły reguły ∀L (lub ∃P ) i miały miejsce wszystkie wypadki stosowania tej reguły z użyciem stałych już wykorzystanych na tej gałęzi; 3. istnieje co najmniej jedna gałąź, na której nie wystąpiła sprzeczność i nie mamy podstaw by twierdzić, że stosowanie re-

155

2.2. KLASYCZNY RACHUNEK PREDYKATÓW

guł ∀L i ∃P w jakimś momencie nie doprowadziłoby do sprzeczności. W wypadku 1 twierdzimy, że pytanie o istnienie dowodu danej formuły z danego zbioru formuł ma odpowiedź pozytywną. W wypadku 2 zaś, że ma odpowiedź negatywną. Wypadek 3 pozostawia to pytanie nierozstrzygniętym. Wszystkie pozostałe kwestie budowy tablicy rozwiązujemy, stosując się do zasad konstrukcji tablic semantycznych wskazanych dla zdań (w zasadach opisanych dla rachunku zdań, słowo „zdanie” zastępujemy słowem „formuła”). PRZYKŁADY Pytanie Czy ∀x.(P x ⇒ Qx), ∀x.P x ∀x.Qx? TABLICA SEMANTYCZNA ∀x.(P x ⇒ Qx)
∀x.P x
P a ⇒ Qa Pa

√

∀x.Qx Qa

Pa

√

Qa

ODPOWIEDŹ Prawdą jest, że: ∀x.(P x ⇒ Qx), ∀x.P x ∀x.Qx. PYTANIE Czy ∀x.(P x ⇒ Qx), ∀x.Qx ∀x.P x? TABLICA SEMANTYCZNA ∀x.(P x ⇒ Qx)


156

2. KLASYCZNA LOGIKA PREDYKATÓW

∀x.Qx
P a ⇒ Qa Qa

√

∀x.P x Pa

√

Pa

Qa

ODPOWIEDŹ Nie jest prawdą, że: ∀x.(P x ⇒ Qx), ∀x.Qx ∀x.P x. Tablica nie może zostać zamknięta. Zauważmy bowiem, że pozostaje tylko stosowanie reguły ∀L do zdania ∀x.(P x ⇒ Qx) lub do zdania ∀x.Qx. Kontynuując konstrukcję na kolejnych gałęziach dopisywać będziemy po lewej stronie tylko P c ⇒ Qc i Qc, a po lewej stronie tylko P c, gdzie c jest dowolną stałą.


2.2.5. Dedukcja naturalna Podobnie jak w wypadku rachunku zdań, mamy różne ujęcia rachunku predykatów, które są bliskie intuicjom, jakimi kierujemy się stosując logikę w dowodach. Tu przedstawimy system nadbudowany nad systemem dowodów założeniowych. W mocy pozostają wszystkie reguły dowodzenia oraz wszystkie reguły pierwotne, jakie przyjęliśmy dla rachunku zdań z tym, że słowo „zdanie” zastępujemy słowem „formuła”. Dochodzą tylko reguły specyficzne dla rachunku predykatów. Są nimi reguły dołączania i opuszczania kwantyfikatorów, małego i dużego.

REGUŁY PIERWOTNE RACHUNKU PREDYKATÓW

2.2. KLASYCZNY RACHUNEK PREDYKATÓW

157

(D∀) Reguła dołączania dużego kwantyfikatora Z .... ψ ∀v.ψ

jeżeli v nie jest zmienną wolną w żadnej formule z Z , gdzie Z jest zbiorem założeń, z których dowodzone jest ψ . (O∀) Reguła opuszczania dużego kwantyfikatora ∀v.ψ

∀v.ψ

∀v.ψ

ψ

ψ(v/v1 )

ψ(v/c)

(D∃) Reguła dołączania małego kwantyfikatora ψ

ψ

ψ(c)

∃v.ψ

∃v.ψ(v1 /v)

∃v.ψ(c/v)

(O∃) Reguła opuszczania małego kwantyfikatora ∃v.ψ ψ(v/cv1 ,...,vn )

gdzie cv1 ,...,vn to stała zależna od v1 , . . . vn . v1 , . . . vn są wszystkimi i tylko zmiennymi wolnymi występującymi w ∃v.ψ . A uczynić jasną ideę stałej, o której mowa w regule (O∃) rozważmy wpierw przykłady. Zdanie ∃x.x + 3 = 5

jest prawdziwe. Na jego podstawie, zgodnie z regułą (O∃), dochodzimy do wniosku 2 + 3 = 5.

Formuła

158

2. KLASYCZNA LOGIKA PREDYKATÓW

∃x.x + y = 5

jest dla dowolnego y spełniona w zbiorze liczb całkowitych, a więc prawdą jest, że ∀y.∃x.x + y = 5. Tym razem w miejsce x nie możemy wpisać jakiejkolwiek nazwy liczby całkowitej. Powiedzmy bowiem, że wpisaliśmy 2. Mamy więc 2 + y = 5. Ta formuła nie jest jednak spełniona dla dowolnego y , a więc nie jest prawdą, że ∀y.2 + y = 5. Stała c, która wpisujemy w miejsce x zależy teraz od wartości y . Możemy więc przyjąć c(y) + y = 5. Ta formuła jest spełniona dla dowolnego y . Prawdą bowiem jest, że ∀y.(5 − y) + y = 5.

Mówiąc o stałej zależnej od zmiennych wolnych występujących w formle mamy na uwadze stałą, której wartość zależy od wartości, jakie przyjmą te zmienne. PRZYKŁADY (I)

∀v.(φ ⇒ ϕ) ∀v.φ ⇒ ∀v.ϕ

Dowód wprost 1. ∀v.(φ ⇒ ϕ) 2. ∀v.φ 3. φ ⇒ ϕ 4. φ 5. ϕ 6. ∀v.ϕ

zał. zał. O∀; 1 O∀; 2 (MP; 3,4) (D∀; 5)

2.2. KLASYCZNY RACHUNEK PREDYKATÓW

(II)

159

¬∃v.φ ¬φ

Dowód niewprost 1. ¬∃v.φ 2. ¬¬φ 3. φ 4. ∃v.φ (1, 4)–sprzeczność

zał. zał. dow. niewprost zasada podwój. negacji.; 2 D∃; 3

(III)

¬∃v.φ ∀v.¬φ

Dowód wprost 1. ¬∃v.φ zał. reg. z przykł. II; 1 2. ¬φ 3. ∀v.¬φ D∀; 2
2.2.6. Rachunek sekwentów Rachunek sekwentów dla logiki predykatów jest nadbudowany nad rachunkiem sekwentów dla logiki zdań. Obowiązują więc wszystkie reguły i zasady, które zostały ustalone dla zdaniowego rachunku sekwentów z tym, że w sformułowanich tych reguł i zasad słowo „zdanie” zastępujemy słowem „formuła” (zamiast α, β, γ . . . używamy liter ψ, φ, ϕ, . . .). Do tego dochodzą nowe reguły. Tu podamy reguły dla rachunku sekwentów bez predykatu równości. (DEF. termu wyróżnionego) Niech φ będzie formułą a t1 , t2 , . . . , tn – termami. Jeśli istnieje formuła ψ i n różnych co do kształtu zmiennych wolnych v1 , v2 , . . . , vn takich, że φ jest to ψ(v1 /t1 , v2 /t2 , . . . , vn /tn ),

czyli φ jest równokszatłtna z formuła otrzymaną z ψ przez jednoczesne podstawienie w miejsce zmiennych wolnych v1 , v2 , . . . , vn termów,

160

2. KLASYCZNA LOGIKA PREDYKATÓW

odpowiednio, t1 , t2 , . . . , tn (φ = ψ(v1 /t1 , v2 /t2 , . . . , vn /tn )), to dla każdego i (1 ≤ i ≤ n) otrzymane w wyniku tego podstawienia wystąpienie termu ti w formule ψ(v1 /t1 , v2 /t2 , . . . , vn /tn ) nazywa się wyróżnionym w φ lub – jak skrótowo mówimy – term ti jest wyróżniony w φ. (DEF. termu w pełni wyróżnionego) Term t jest w pełni wyróżniony w formule φ wtedy i tylko wtedy, gdy każde wystąpienie t w φ jest wyróżnione. Fakt wyróżnionego wystąpienia termów t1 , t2 , . . . , tn w formule φ może być wypowiedziany (mniej precyzyjnie), zapisem formuły ψ jako ψ(v1 , v2 , . . . , vn ) a formuły φ jako ψ(t1 , t2 , . . . , tn ).66 W formule φ term t jest w pełni wyróżniony ze względu na formułę ψ i zmienną v wtedy i tylko wtedy, gdy w formule ψ nie występuje term t i φ = ψ(v/t). Pytamy się o wyróżnione wystąpienia termów w formule φ. Odpowiedź na to pytanie zależy zarówno od wyboru formuły ψ jak i zmiennych wolnych, przez podstawienie za które z ψ może być otrzymana formuła φ. Samo pytanie ani nie wskazuje formuły ψ , ani nie wskazuje zmiennych wolnych, za które w tej formule możemy dokonywać podstawień. PRZYKŁADY 1. Formułę x(y + 1) − 23 = 2(y + 1)

można otrzymać przez podstawienie w formule xz − 23 = 2(y + 1)

w miejsce zmiennej z termu (y + 1). Zatem term ten jest wyróżniony. 2. Ze wzgędu na formułę xz − 23 = 2z i zmienną z term y + 1 jest w pełni wyróżniony w formule x(y + 1) − 23 = 2(y + 1). 66

Naturalnie, w φ mogą też być inne wystąpienia termu ti . Ma to miejsce wówczas, gdy formuła ψ zawiera ten term.

2.2. KLASYCZNY RACHUNEK PREDYKATÓW

161

Formułę tę otrzymamy podstawiając y + 1 w miejsce zmiennej z w formule xz − 23 = 2z . REGUŁY KWANTYFIKATOROWE L∀:

P∀:

φ(t), Γ ∆

; ∀v.φ(t/v), Γ ∆

Γ ∆, φ

,

Γ ∆, ∀v.φ

gdzie t jest dowolnym termem, a v nie pojawia się w dolnym sekwencie jako zmienna wolna. Formuły φ(t) i φ to formuły boczne, a ∀v.φ(t/v) [∀v.φ] to formuła główna. W regule P∀ zmienna wolna v jest zmienną własną tej reguły. Zauważmy, że w wypadku reguły L∀ nie każde wystąpienie termu t musi być wyróżnione. L∃:

φ, Γ ∆

;

∃v.φ, Γ ∆

P∃:

Γ ∆, φ(t)

,

Γ ∆, ∃v.φ(t/v)

gdzie v nie pojawia się w dolnym sekwencie jako zmienna wolna, a t jest dowolnym termem. Formuły φ(t) i φ to formuły boczne, a ∃v.φ(t/v) [∃v.φ] to formuła główna. W regule L∃ zmienna wolna v to zmienna własna tej reguły. W regule P∃ nie koniecznie każde wystąpienie t jest wyróżnione. Warunek, że zmienna własna nie powinna występować w dolnym sekwencie w regułach P∀ i L∃, to ograniczenie na zmienną własną dla tych dwóch reguł.

162

2. KLASYCZNA LOGIKA PREDYKATÓW

PRZYKŁAD P∃ P¬ P∀ L¬ P⇒

Fx Fx F x ∃x.F x ∃x.F x, ¬F x ∃x.F x, ∀y.¬F y ¬∀y.¬F y ∃x.F x ¬∀y.¬F y ⇒ ∃x.F x




2.3. MODEL I PRAWDZIWOŚĆ Naszym celem, tak jak w wypadku logiki zdań, jest porównanie wynikania syntaktycznego, a więc wynikania według reguł rachunku predykatów z wynikaniem rzeczywistym. Tak jak w wypadku logiki zdań musimy więc określić pojęcie wynikania rzeczywistego, czyli podać definicję wynikania semantycznego dla logiki predykatów. 2.3.1. Pojęcie interpretacji Logika zdań i logika predykatów różnią się znacznie pojęciami modelu i prawdziwości w modelu. Istota i sama idea tego, czym są model i prawdziwość w modelu pozostają jednak te same. W wypadku języka logiki zdań wyrażenia były zbudowane z symboli zdaniowych (zdań prostych), których znaczenia były całkowicie charakteryzowane przez wartości logiczne. Dlatego też pojęcie modelu było stosunkowo proste. Teraz na język składają się między innymi stałe indywiduowe, litery funkcyjne oraz litery predykatowe. Dla określenia ich znaczeń musimy dysponować dziedziną, w której będą przedmioty indywiduowe – indywidua – oraz n-argumentowe funkcje (n = 1, 2, . . .) określone w zbiorze indywiduów, czyli w zbiorze uniwersalnym i n-członowe relacje (n = 1, 2, . . .) zachodzące pomiędzy elementami zbioru uniwersalnego. Przyporządkowanie stałym indywiduowym, literom funkcyjnym i literom predykatowym, odpowiednio, indywiduów, funkcji i relacji nazywamy interpretacją.

2.3. MODEL I PRAWDZIWOŚĆ

163

Interpretacja to – mówiąc po prostu – przyporządkowanie dokładnie jednego znaczenia przedmiotom pewnego rodzaju, jakimi są wyrażenia językowe. 2.3.2. Definicja modelu i spełniania (DEF. modelu) Modelem jest para (U, I), gdzie U jest zbiorem uniwersalnym a I funkcją, która n-argumentowym literom predykatowym przyporządkowuje n-członowe relacje, n-argumentowym literom funkcyjnym przyporządkowuje n-argumentowe funkcje określone w U , stałym indywiduowym przyporządkowuje zaś elementy zbioru U . (DEF. modelu języka) Jeżeli L jest językiem o sygnaturze {P0 , P1 , . . ., Pn , F0 , F1 , . . ., Fm , a0 , a1 , . . ., aq }, to modelem tego języka będzie M M =(U, R0 , R1 , . . ., Rn , G0 , G1 , . . ., Gm , x0 , x1 , . . ., xq ),

gdzie I(Pi ) = Ri , 0 ≤ i ≤ n; I(Fi ) = Gi , 0 ≤ i ≤ m; I(ai ) = xi , 0 ≤ i ≤ q . W wypadku języka rachunku zdań nie było mowy o indywiduach. Teraz wartość logiczna zdania zależy – mówiąc swobodnie – od tego o jakim przedmiocie jest to zdanie. Chcemy podać ścisłą definicję prawdziwości zdania w modelu. Chcemy więc wiedzieć, co to znaczy, że zdanie ϕ jest prawdziwe w modelu M. Oczywiście, jeżeli zdanie ϕ jest zdaniem postaci: ¬φ, to ϕ jest prawdziwe, gdy φ jest fałszywe. Tak samo prawdziwość zdania ϕ jest wyznaczona przez wartości logiczne zdań φ i ψ , tak jak to było w wypadku rachunku zdań, gdy ϕ jest zdaniem postaci: φ ∨ ψ , φ ∧ ψ , φ ⇒ ψ lub φ ⇔ ψ . Zdanie ϕ może być jednak zdaniem postaci: ∀v.φ lub ∃v.φ, a φ nie musi być zdaniem. W takiej sytuacji nie możemy po prostu mówić o wartości logicznej φ. Pytanie o wartość logiczną φ jest bezpodstawne. Pytanie takie bowiem zakładałoby, że φ jest zdaniem. Dla formuły φ, w której jedyną zmienną wolną jest zmienna v , ma jednak sens pytanie Czy formuła φ jest prawdziwa w modelu M, gdy mówi ona o a?

164

2. KLASYCZNA LOGIKA PREDYKATÓW

Jeżeli dla każdego przedmiotu należącego do U odpowiedź ta będzie pozytywna, to możemy powiedzieć, że zdanie ∀v.φ jest zdaniem prawdziwym w modelu M. Jeżeli będzie pozytywna chociaż o jednym przedmiocie, to będziemy mogli powiedzieć, że zdanie ∃v.φ jest prawdziwe w modelu M. Jeżeli zaś znajdziemy taki przedmiot, dla którego odpowiedź będzie negatywna, to powiemy, że zdanie ∀v.φ jest fałszywe. A gdy okaże się negatywna dla wszystkich przedmiotów, to powiemy, że zdanie ∃v.φ jest fałszywe. Na pytanie Czy φ jest prawdziwe, gdy mówi o przedmiocie a? będziemy znajdować odpowiedź biorąc pod uwagę budowę formuły φ. I tak np., gdy φ będzie postaci ¬ ψ , to φ będzie prawdziwe o przedmiocie x, gdy ψ będzie o tym przedmiocie fałszywe. Podobne będzie w wypadku pozostałych spójników zdaniowych. Może jednak być tak, że φ jest formułą postaci ∀v1 .ψ lub ∃v1 .ψ a w ψ będą występowały dwie zmienne wolne v i v1 . W takim wypadku problem, czy φ o x jest prawdziwe w modelu M komplikuje się. Pytanie o prawdziwość ϕ zaczyna zależeć od odpowiedzi na pytanie Czy formuła ψ jest prawdziwa w modelu M, jeżeli ψ mówi o parze elementów a i b z U ? Proces ten można kontynuować. Okazuje się więc, że w wypadku języka rachunku predykatów pojęcie prawdziwości zdania w modelu zakłada inne pojęcie, a mianowicie pojęcie prawdziwości w modelu formuły ze zmiennymi wolnymi v0 , v1 , . . ., vn , gdy znaczeniami tych zmiennych są, odpowiednio: x0 , x1 , . . ., xn . Chcemy znajdować odpowiedź na pytanie, czy formuła jest prawdziwa, gdy mówi o przedmiotach x0 , x1 , . . ., xn ze względu na formuły składające się na daną formułę, czyli ze względu na jej podformuły. Zauważmy, że w podformule zmiennymi wolnymi mogą być zmienne, które nie są zmiennymi wolnymi w formule. Np. jedyną zmienną wolną w formule: x > 0 ⇒ ∃y.(0 < y < x)

jest zmienna x. Podformułą tej formuły jest 0 < y < x.

166

2. KLASYCZNA LOGIKA PREDYKATÓW

podamy w trzech krokach. 1. Wartość termu t(v0 , v1 , . . ., vn ) dla ciągu: x0 , x1 , . . ., xn – wartość tę będziemy oznaczać: t[x0 x1 . . .xn ] – określa się następująco (I) jeżeli t = vi , to t[x0 x1 . . .xn ] = xi ; (II) jeżeli t jest stałą indywiduową c, to jako t[x0 x1 . . .xn ] bierzemy interpretację stałej c w modelu M; (III) jeżeli t = F t1 t2 . . .tm , gdzie F jest m-argumentową literą funkcyjną, to t[x0 x1 . . .xn ] = G(t1 [x0 x1 . . .xn ]. . .tm [x0 x1 . . .xn ]), gdzie G jest interpretacją litery funkcyjnej F w modelu M. 2. Niech φ(v0 , v1 , . . ., vn ) będzie formułą atomową postaci P t1 . . .tm , gdzie P jest m-argumentową literą predykatową a t1 (v0 v1 . . .vn ), . . ., tm (v0 v1 . . .vn )

są termami. Formuła φ jest spełniona przez x0 , x1 , . . ., xn wtedy i tylko wtedy, gdy Rt1 [x0 x1 . . .xn ]. . .tm [x0 x1 . . .xn ],

gdzie R jest interpretacją predykatu P w modelu M. Piszemy więc M |= P t1 . . .tm [x0 x1 . . .xn ]

jeżeli Rt1 [x0 x1 . . .xn ]. . .tm [x0 x1 . . .xn ].

3. Niech ϕ będzie formułą, której wszystkie zmienne wolne i związane znajdują się w ciągu: v0 , v1 , . . ., vn . (I) Jeżeli ϕ jest postaci: ¬φ, φ∨ψ , φ∧ψ , φ ⇒ ψ , φ ⇔ ψ , to spełnianie ϕ w modelu M przez ciąg: x0 , x1 , . . ., xn określamy zgodnie ze znaczeniem, jakie nadaliśmy spójnikom zdaniowym: ∨, ∧, ⇒, ⇔. Np. gdy ϕ jest postaci ¬φ mamy M |= ϕ[x0 x1 . . .xn ]

2.3. MODEL I PRAWDZIWOŚĆ

167

wtedy i tylko wtedy gdy nieprawda, że M |= φ[x0 x1 . . .xn ]. (II) Jeżeli ϕ ma postać ∀vi .φ, gdzie i ≤ n, to M |= ϕ[x0 x1 . . .xn ]

wtedy i tylko wtedy, gdy M |= φ[x0 x1 . . .xi−1 xxi+1 . . .xn ]

dla dowolnego x(∈ U , dla dowolnego indywiduum). (III) jeżeli ϕ ma postać ∃vi .φ, gdzie i ≤ n, to M |= ϕ[x0 x1 . . .xn ]

wtedy i tylko wtedy, gdy M |= φ[x0 x1 . . .xi−1 xxi+1 . . .xn ]

dla pewnego x(∈ U , dla jakiegoś indywiduum). TWIERDZENIE 4. Niech term t będzie taki, że wszystkie występujące w nim zmienne znajdują się w ciągu: v0 , v1 , . . ., vl . Jeżeli dla każdego i takiego, że vi występuje w termie t ciągi x0 , x1 , . . ., xn (l ≤ n) oraz y0 , y1 , . . ., ym (l ≤ m) są takie, że xi = yi , to t[x0 x1 . . .xn ] = t[y0 y1 . . .ym ]. DOWÓD Dowodzić będziemy przez indukcję po długości termu. (I) Termy proste (niezłożone) to zmienna i stała. Jeżeli term jest zmienną, czyli t = vi , to na podstawie definicji dostajemy, że t[x0 x1 . . .xn ] = xi , a t[y0 y1 . . .ym ] = yi . Zatem na podstawie założenia, że xi = yi mamy t[x0 x1 . . .xn ] = t[y0 y1 . . .ym ]. Jeżeli term jest stałą, czyli t = c, to zgodnie z definicją wartości termu jest, że t[x0 x1 . . .xn ] = t[y0 y1 . . .ym ]. ZAŁOŻENIE INDUKCYJNE: Niech termy t1 , t2 , . . ., tk będą takie, że zachodzi dla nich dowodzone twierdzenie, czyli dla 1 ≤ i ≤ k

168

2. KLASYCZNA LOGIKA PREDYKATÓW

ti [x0 x1 . . .xn ] = ti [y0 y1 . . .ym ].

(II) Teraz rozważymy wypadek termu złożonego. Niech t = F t1 t2 . . .tk . Niech G będzie interpretacją w modelu M litery funkcyjnej F . Zatem zgodnie z definicją wartości termu t[x0 x1 . . .xn ] = G(t1 [x0 x1 . . .xn ]. . .tk [x0 x1 . . .xn ]) t[y0 y1 . . .ym ] = G(t1 [y0 y1 . . .ym ]. . .tk [y0 y1 . . .ym ])

Na podstawie założenia indukcyjnego mamy, że G(t1 [x0 x1 . . .xn ]. . .tk [x0 x1 . . .xn ]) = G(t1 [y0 y1 . . .ym ]. . .tk [y0 y1 . . .ym ]).

A zatem t[x0 x1 . . .xn ] = t[y0 y1 . . .ym ].

TWIERDZENIE 5. Niech formuła ϕ będzie taka, że wszystkie występujące w niej zmienne znajdują się w ciągu: v0 , v1 , . . ., vl . Jeżeli dla każdego i takiego, że vi jest zmienną wolną w formule ϕ ciągi x0 , x1 , . . ., xn (l ≤ n) oraz y0 , y1 , . . ., ym (l ≤ m) są takie, że xi = yi , to M |= ϕ[x0 x1 . . .xn ]

wtedy i tylko wtedy, gdy M |= ϕ[y0 y1 . . .ym ].

DOWÓD Dowodzić będziemy przez indukcję po długości formuły. Rozpoczynamy od formuł prostych. (I) Niech ϕ będzie formułą postaci t1 ≡ t2 . Korzystając z poprzedniego twierdzenia mamy, że t1 [x0 x1 . . .xn ] = t1 [y0 y1 . . .ym ] t2 [x0 x1 . . .xn ] = t2 [y0 y1 . . .ym ].

Na podstawie tych równości i definicji spełniania następujące kolejne stwierdzenia są równoważne M |= (t1 ≡ t2 )[x0 x1 . . .xn ] t1 [x0 x1 . . .xn ] = t2 [x0 x1 . . .xn ] t1 [y0 y1 . . .ym ] = t2 [y0 y1 . . .ym ] M |= (t1 ≡ t2 )[y0 y1 . . .ym ],

2.3. MODEL I PRAWDZIWOŚĆ

169

czyli ostatecznie M |= (t1 ≡ t2 )[x0 x1 . . .xn ]

wtedy i tylko wtedy, gdy M |= (t1 ≡ t2 )[y0 y1 . . .ym ].

(I’) Niech ϕ będzie formułą atomową postaci P t1 t2 . . .tk . Niech R będzie interpertacją litery predykatowej P w modelu M. Korzystając z poprzedniego twierdzenia mamy, że dla 1 ≤ i ≤ k ti [x0 x1 . . .xn ] = ti [y0 y1 . . .ym ]. Zatem Rt1 [x0 x1 . . .xn ]. . .tk [x0 x1 . . .xn ]

wtedy i tylko wtedy, gdy Rt1 [y0 y1 . . .ym ]. . .tk [y0 y1 . . .ym ].

Ponieważ M |= ϕ[x0 x1 . . .xn ]

wtedy i tylko wtedy, gdy Rt1 [x0 x1 . . .xn ]. . .tk [x0 x1 . . .xn ]

a M |= ϕ[y0 y1 . . .ym ],

wtedy i tylko wtedy, gdy Rt1 [y0 y1 . . .ym ]. . .tk [y0 y1 . . .ym ],

więc M |= ϕ[x0 x1 . . .xn ]

wtedy i tylko wtedy, gdy M |= ϕ[y0 y1 . . .ym ].

ZAŁOŻENIE INDUKCYJNE: Niech formuły φ i ψ będą takie, że zachodzi dla nich dowodzone twierdzenie, czyli M |= φ[x0 x1 . . .xn ] wtedy i tylko wtedy, gdy M |= φ[y0 y1 . . .ym ], M |= ψ[x0 x1 . . .xn ] wtedy i tylko wtedy, gdy M |= ψ[y0 y1 . . .ym ]. (II) (¬) Niech ϕ będzie formułą postaci ¬φ. Zgodnie z definicją spełniania

170

2. KLASYCZNA LOGIKA PREDYKATÓW

M |= ¬φ[x0 x1 . . .xn ]

wtedy i tylko wtedy, gdy nie zachodzi M |= φ[x0 x1 . . .xn ].

Na podstawie założenia indukcyjnego M |= φ[x0 x1 . . .xn ] wtedy i tylko wtedy, gdy M |= φ[y0 y1 . . .ym ]. Zatem M |= ¬φ[x0 x1 . . .xn ] wtedy i tylko wtedy, gdy M |= ¬φ[y0 y1 . . .ym ].

Dla spójników dwuargumentowych ⇒, ∨, ∧, ⇔ rozważamy formuły zbudowane z φ i ψ . Dowody pomijamy ponieważ przebiegają, jak w wypadku negacji (¬), zgodnie z definicją prawdziwości zdania w modelu. (∀) Niech ϕ będzie postaci ∀vi .φ. Na podstawie definicji spełniania M |= ∀vi .φ[x0 x1 . . .xn ]

wtedy i tylko wtedy, gdy dla dowolnego x(∈ U , dla dowolnego indywiduum ze zbioru uniwersalnego) M |= φ[x0 x1 . . .xi−1 xxi+1 . . .xn ]. Korzystając z założenia indukcyjnego mamy, że dla dowolnego x(∈ U) M |= φ[x0 x1 . . .xi−1 xxi+1 . . .xn ]

wtedy i tylko wtedy, gdy M |= φ[y0 y1 . . .yi−1 xyi+1 . . .ym ].

Z tego wynika, że dla dowolnego x(∈ U) : M |= φ[x0 x1 . . .xi−1 xxi+1 . . .xn ] wtedy i tylko wtedy, gdy dla dowolnego y(∈ U) : M |= φ[y0 y1 . . .yi−1 yyi+1 . . .ym ].67 67

Zauważmy, że skorzystaliśmy z prawa:

∀v.(ϕ ⇔ φ) ⇒ (∀v.ϕ ⇔ ∀v1 .φ(v/v1 )), jeżeli v1 nie występuje w formule φ.

2.3. MODEL I PRAWDZIWOŚĆ

171

Zatem M |= ∀vi .φ[x0 x1 . . .xn ] wtedy i tylko wtedy, gdy M |= ∀vi .φ[y0 y1 . . .ym ].67

Analogicznie przebiega dowód w wypadku kwantyfikatora egzystencjalnego (∃).67 Niech ϕ będzie formułą, której wszystkie zmienne wolne znajdują się w ciągu: v0 , v1 , . . ., vm zaś wszystkie zmienne wolne i związane znajdują się w ciągu: v0 , v1 , . . ., vn . Będziemy mówli, że ciąg przedmiotów: x0 , x1 , . . ., xm spełnia ϕ w modelu M,

M |= ϕ[x0 x1 . . .xm ] wtedy i tylko wtedy, gdy dla jakiegoś ciągu: xm+1 , . . ., xn lub – co zgodnie z twierdzeniem 5 na jedno wychodzi – dla dowolnego ciągu: xm+1 , . . ., xn

M |= ϕ[x0 x1 . . .xm xm+1 . . .xn ]. (DEF. prawdziwości zdania w modelu) Zdanie ϕ jest wtedy i tylko wtedy, gdy

prawdziwe w modelu M,

M |= ϕ[x0 x1 . . .xn ] dla pewnego ciągu: x0 , x1 . . ., xn lub – co w świetle twierdzenia 5 na jedno wychodzi – dla dowolnego ciągu: x0 , x1 , . . ., xn przedmiotów z U (dowolnego ciągu indywiduów ze zbioru uniwersalnego). (DEF. modelu zdania) M jest modelem zdanie ϕ jest prawdziwe w modelu M.

zdania ϕ wtedy i tylko wtedy, gdy

Zgodnie z powyższymi ustaleniami terminologicznymi następujące stwierdzenia są równoważne 67

Korzystamy z tego, że

67

W dowodzie korzystać będziemy z

∀v1 .ϕ(v/v1 ) ⇔ ∀v.ϕ(v/v1 )(v1 /v).

∀v.(ϕ ⇔ φ) ⇒ (∃v.ϕ ⇔ ∃v1 .φ(v/v1 )), jeżeli v1 nie występuje w formule φ,

oraz z

∃v1 .ϕ(v/v1 ) ⇔ ∃v.ϕ(v/v1 )(v1 /v).

172

2. KLASYCZNA LOGIKA PREDYKATÓW

zdanie ϕ jest prawdziwe w modelu M, zdanie ϕ jest spełnione w modelu M,

M jest modelem zdania ϕ. Przytoczona definicja prawdy pochodzi od A. Tarskiego (po raz pierwszy była opublikowana w 1933 r.68 ).

W związku z regułą podstawiania w dalszych rozważaniach przydatne będą dwa kolejne twierdzenia. TWIERDZENIE 6. Dla dowolnego modelu M i dowolnych termów t, t0 takich, że wszystkie występujące w nich zmienne znajdują się w ciągu: v0 , v1 , . . ., vn

jeżeli t0 [x0 x1 . . .xn ] = xi , i ≤ n, to t[x0 x1 . . .xn ] = t(vi /t0 )[x0 x1 . . .xn ].

DOWÓD Dowodzić będziemy przez indukcję po długości termu t. (I) W wypadku termu t będącego stałą indywiduową jego wartość nie zależy od x0 x1 . . .xn , zatem zachodzi teza dowodzonego twierdzenia. Gdy term t jest zmienną vj , to t[x0 x1 . . .xn ] = xj zmienna. Gdy j = i, to t[x0 x1 . . .xn ] = xi , a t(vi /t0 ) = t0 . Z załóżenia twierdzenia zaś t0 [x0 x1 . . .xn ] = xi , więc t(vi /t0 ) = xi . ZAŁOŻENIE INDUKCYJNE: Niech termy t1 , t2 , . . ., tm będą takie, że zachodzi dla nich dowodzone twierdzenie, czyli gdy t0 [x0 x1 . . .xn ] = xi , to tj [x0 x1 . . .xn ] = tj (vi /t0 )[x0 x1 . . .xn ],

1 ≤ j ≤ m.

68 Nieformalne przedstawienie wyników tej pracy oraz uzupełnienie nowymi wynikami zwłaszcza o charakterze filozoficznym i metodologicznym zawiera rozprawa A. Tarski [1944].

2.3. MODEL I PRAWDZIWOŚĆ

173

(II) Niech t będzie termem F t1 t2 . . .tk . Niech G będzie interpretacją litery funkcyjnej F w modelu M. Mamy F t1 t2 . . .tm [x0 x1 . . .xi . . .xn ] = = F t1 t2 . . .tm [x0 x1 . . .xi−1 t0 [x0 x1 . . .xn ]xi+1 . . .xn ].

Z definicji wartości termu w modelu F t1 t2 . . .tm [x0 x1 . . .xi−1 t0 [x0 x1 . . .xn ]xi+1 . . .xn ]

jest równe G(t1 [x0 x1 . . .xi−1 t0 [x0 x1 . . .xn ]xi+1 . . .xn ]. . . . . .tm [x0 x1 . . .xi−1 t0 [x0 x1 . . .xn ]xi+1 . . .xn ]).

A to z kolei na podstawie założenia indukcyjnego jest równe G(t1 (vi /t0 )[x0 x1 . . .xn ]. . .tm (vi /t0 )[x0 x1 . . .xn ]). Zaś G(t1 (vi /t0 )[x0 x1 . . .xn ]. . .tm (vi /t0 )[x0 x1 . . .xn ])

jest równe F t1 (vi /t0 ). . .tm (vi /t0 )[x0 x1 . . .xn ].

Ponieważ na podstawie definicji podstawiania termów za zmienne mamy, że F t1 t2 . . .tm (vi /t0 )

jest równe F t1 (vi /t0 )t2 (vi /t0 ). . .tm (vi /t0 ).

Zatem ostatecznie F t1 t2 . . .tm [x0 x1 . . .xn ] = F t1 t2 . . .tm (vi /t0 )[x0 x1 . . .xn ].

TWIERDZENIE 7. Dla dowolnego modelu M i dowolnych formuły ϕ oraz termu t takich, że (I) wszystkie zmienne występujące w formule ϕ i termie t znajdują się w ciągu: v0 , v1 , . . ., vn oraz (II) term t jest podstawialny w formule ϕ w miejsce zmiennej vi , gdy

174

2. KLASYCZNA LOGIKA PREDYKATÓW

t[x0 x1 . . .xn ] = xi ,

to M |= ϕ[x0 x1 . . .xn ]

wtedy i tylko wtedy, gdy M |= ϕ(vi /t)[x0 x1 . . .xn ]. DOWÓD Dowodzić będziemy przez indukcję po długości formuły. (I) Niech ϕ będzie formułą atomową postaci P t1 t2 . . .tm . Niech R będzie interpretacją litery predykatowej P w modelu M. Z definicji spełniania w modelu mamy, że M |= P t1 t2 . . .tm [x0 x1 . . .xn ]

wtedy i tylko wtedy, gdy Rt1 [x0 x1 . . .xn ]t2 [x0 x1 . . .xn ]. . .tm [x0 x1 . . .xn ].

Korzystając z twierdzenia 6 dostajemy, że Rt1 [x0 x1 . . .xn ]t2 [x0 x1 . . .xn ]. . .tm [x0 x1 . . .xn ].

wtedy i tylko wtedy, gdy Rt1 (vi /t)[x0 x1 . . .xn ]t2 (vi /t)[x0 x1 . . .xn ]. . .tm (vi /t)[x0 x1 . . .xn ].

Z kolei Rt1 (vi /t)[x0 x1 . . .xn ]t2 (vi /t)[x0 x1 . . .xn ]. . .tm (vi /t)[x0 x1 . . .xn ]

wtedy i tylko wtedy, gdy M |= P t1 (vi /t)t2 (vi /t). . .tm (vi /t)[x0 x1 . . .xn ].

Ponieważ na podstawie definicji podstawiania P t1 t2 . . .tm (vi /t) jest tym samym, co P t1 (vi /t)t2 (vi /t). . .tm (vi /t), więc M |= P t1 t2 . . .tm [x0 x1 . . .xn ]

wtedy i tylko wtedy, gdy M |= P t1 t2 . . .tm (vi /t)[x0 x1 . . .xn ].

ZAŁOŻENIE INDUKCYJNE: Niech formuły φ i ψ będą takie, że zachodzi dla nich dowodzone twierdzenie. Należy pokazać, że twierdzenie to zachodzi również dla formuł z nich złożonych zbudowanych za pomocą spójników zdaniowych i kwantyfikatorów.

2.3. MODEL I PRAWDZIWOŚĆ

175

(II) (¬) Niech ϕ będzie formułą postaci ¬φ. Z definicji spełniania w modelu mamy, że M |= ¬φ[x0 x1 . . .xn ]

wtedy i tylko wtedy, gdy nie zachodzi M |= φ[x0 x1 . . .xn ].

Z założenia indukcyjnego zaś M |= φ[x0 x1 . . .xn ].

wtedy i tylko wtedy, gdy M |= φ(vi /t)[x0 x1 . . .xn ].

Na podstawie powyższego M |= ¬φ(vi /t)[x0 x1 . . .xn ]

wtedy i tylko wtedy, gdy M |= ¬φ[x0 x1 . . .xn ].

Zatem, mając na uwadze, że ¬φ to ϕ mamy M |= ϕ[x0 x1 . . .xn ]

wtedy i tylko wtedy, gdy M |= ϕ(vi /t)[x0 x1 . . .xn ].

(∨) Niech ϕ będzie formułą postaci φ ∨ ψ . Z definicji spełniania w modelu mamy, że M |= φ ∨ ψ[x0 x1 . . .xn ]

wtedy i tylko wtedy, gdy M |= φ[x0 x1 . . .xn ] lub M |= ψ[x0 x1 . . .xn ].

Z założenia indukcyjnego M |= φ[x0 x1 . . .xn ]

wtedy i tylko wtedy, gdy M |= φ(vi /t)[x0 x1 . . .xn ],

a M |= ψ[x0 x1 . . .xn ]

176

2. KLASYCZNA LOGIKA PREDYKATÓW

wtedy i tylko wtedy, gdy M |= ψ(vi /t)[x0 x1 . . .xn ].

Ponieważ z definicji spełniania M |= φ(vi /t)[x0 x1 . . .xn ] lub M |= ψ(vi /t)[x0 x1 . . .xn ] wtedy i tylko wtedy, gdy M |= (φ ∨ ψ)(vi /t)[x0 x1 . . .xn ],

więc M |= (φ ∨ ψ)[x0 x1 . . .xn ]

wtedy i tylko wtedy, gdy M |= (φ ∨ ψ)(vi /t)[x0 x1 . . .xn ].

Ponieważ zaś φ ∨ ψ to ϕ, więc ostatecznie M |= ϕ[x0 x1 . . .xn ]

wtedy i tylko wtedy, gdy M |= ϕ(vi /t)[x0 x1 . . .xn ].

Analogicznie postępujemy w wypadku pozostałych spójników zdaniowych, czyli: ∧, ⇒, ⇔. (∀) Niech ϕ będzie formułą postaci ∀vj .φ. Z definicji spełniania w modelu mamy, że M |= ∀vj .φ[x0 x1 . . .xn ]

wtedy i tylko wtedy, gdy dla dowolnego przedmiotu x ze zbioru uniwersalnego U M |= φ[x0 x1 . . .xj−1 xxj+1 . . .xn ]. Na podstawie tego, że term t jest podstawialny w formule ϕ (∀vj .φ) w miejsce zmiennej wolnej vi wnosimy, że ciągi x0 , x1 . . ., xi , . . ., xj−1 , x, xj+1 , . . ., xn

oraz x0 , x1 , . . ., t[x0 x1 . . .xj−1 xxj+1 . . .xn ], . . ., xj−1 , y, xj+1 , . . ., xn

różnić się mogą jedynie na j -tej pozycji. Z twierdzenia 5 mamy więc, że M |= ∀vj .φ[x0 x1 . . .xn ]

wtedy i tylko wtedy, gdy

2.3. MODEL I PRAWDZIWOŚĆ

177

M |= ∀vj .φ[x0 x1 . . .xi−1 t[x0 x1 . . .xn ]xi+1 . . .xn ].

Z założenia indukcyjnego M |= φ[x0 x1 . . .xi−1 t[x0 x1 . . .xn ]xi+1 . . .xn ]

wtedy i tylko wtedy, gdy M |= φ(vi /t)[x0 x1 . . .xn ].

Ostatecznie zatem M |= ∀vj .φ[x0 x1 . . .xn ]

wtedy i tylko wtedy, gdy M |= (∀vj .φ)(vi /t)[x0 x1 . . .xn ].

Analogicznie postępujemy w wypadku ∃. WNIOSEK Niech zmienna vj nie występuje w formule ϕ. Niech w ciągu v0 , v1 , . . ., vn występują wszystkie zmienne formuły ϕ oraz zmienna vj . Dla dowolnych modelu M oraz zmiennej vi , 0 ≤ i ≤ n M |= ϕ[x0 x1 . . .xn ]

dla dowolnych x0 , x1 . . ., xn

wtedy i tylko wtedy, gdy M |= ϕ(vi /vj )[x0 x1 . . .xn ]

dla dowolnych x0 , x1 , . . ., xn .

DOWÓD Niech dla dowolnego ciągu: x0 , x1 . . ., xn zachodzi M |= ϕ[x0 x1 . . .xn ]

i niech dla pewnego ciągu a0 , a1 , . . ., an nie zachodzi M |= ϕ(vi /vj )[a0 a1 . . .an ]. Na podstawie powyższego twierdzenia nie zachodzi M |= ϕ[b0 b1 . . .bn ], gdzie bk = ak dla k = i, bi = aj . Otrzymujemy więc sprzeczność z założeniem. Niech teraz dla dowolnego ciągu: x0 , x1 , . . ., xn zachodzi M |= ϕ(vi /vj )[x0 x1 . . .xn ]

i niech dla pewnego ciągu: a0 , a1 , . . ., an nie zachodzi

178

2. KLASYCZNA LOGIKA PREDYKATÓW

M |= ϕ[a0 a1 . . .an ].

Na podstawie powyższego twierdzenia nie zachodzi M |= ϕ(vi /vj )[b0 b1 . . .bn ], gdzie bk = ak dla k = j, bj = ai . (DEF. fałszywości zdania w modelu) Zdanie jest fałszywe w modelu M lub, M jest modelem zdania ¬ϕ wtedy i tylko wtedy, gdy ϕ nie jest prawdziwe w modelu M. (DEF. prawdziwości) Zdanie jest (logicznie) prawdziwe wtedy i tylko wtedy, gdy jest ono spełnione (prawdziwe) w dowolnym modelu. To, że zdanie ϕ jest (logicznie) prawdziwe oznaczamy: |= ϕ. (DEF. modelu zbioru zdań) M jest modelem zbioru zdań Σ wtedy i tylko wtedy, gdy M jest modelem każdego zdania ze zbioru Σ. Zauważmy, że termin „model języka L” znaczy coś innego niż „model zbioru Σ zdań języka L”. By M było modelem zbioru Σ zdań języka L konieczne jest, aby M dało się opisać jako model języka L. M nie musi zaś być modelem jakiegoś zbioru Σ zdań języka L. Aby M nie było modelem Σ wystarczy, że przynajmniej jedno ze zdań z Σ nie jest prawdziwe w M (jest fałszywe w M). (DEF. wynikania semantycznego ze zdania) Zdanie ϕ wynika semantycznie ze zdania φ (symb.: φ |= ϕ) wtedy i tylko wtedy, gdy każdy model zdania φ jest modelem zdania ϕ; czyli φ |= ϕ

wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdego M: jeżeli M |= φ, to M |= ϕ. (DEF. wynikania semantycznego ze zbioru zdań) Mówimy, że zdanie ϕ wynika semantycznie ze zbioru zdań Σ (symb.: Σ |= ϕ) wtedy i tylko wtedy, gdy każdy model zbioru Σ zdań jest modelem zdania ϕ; czyli Σ |= ϕ

wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdego modelu M: jeżeli M |= Σ, to M |= ϕ.

2.3. MODEL I PRAWDZIWOŚĆ

179

Można zauważyć, że TWIERDZENIE 8. Dla dowolnego zbioru Σ zdań oraz dowolnych zdań ϕ i φ Σ ∪ {ϕ} |= φ wtedy i tylko wtedy, gdy Σ |= ϕ ⇒ φ. DOWÓD Niech Σ ∪ {ϕ} |= φ oraz niech nie zachodzi Σ |= ϕ ⇒ φ. Zatem istnieje taki model M, że M |= Σ i nieprawda, że M |= ϕ ⇒ φ. Na to, aby nie zachodziło M |= ϕ ⇒ φ konieczne jest, żeby M |= ϕ oraz nieprawda, że M |= φ. Z tego wynika, że M |= Σ∪{ϕ} oraz nieprawda, że M |= φ. A to przeczy założeniu. Niech teraz Σ |= ϕ ⇒ φ oraz nieprawda, że Σ ∪ {ϕ} |= φ. Istnieje zatem taki model M, że M |= Σ ∪ {ϕ} oraz nieprawda, że M |= φ. Jest to więc model Σ oraz spełnione jest w nim ϕ, zatem nie jest spełnione w nim ϕ ⇒ φ, a to przeczy założeniu, które jest równoważne temu, że każdy model zbioru Σ zdań jest modelem zdania ϕ ⇒ φ. TWIERDZENIE 9. (SEMANTYCZNA ZASADA WYŁĄCZONEGO ŚRODKA) Jeżeli ϕ jest zdaniem, to dla dowolnego modelu M M |= ϕ lub M |= ¬ϕ. DOWÓD Niech ϕ będzie zdaniem i niech nie zachodzi M |= ϕ. Niech wszystkie zmienne występujące w ϕ znajdują się w ciągu: v0 , v1 , . . ., vn . Zatem dla pewnego ciągu przedmiotów: x0 , x1 . . ., xn nie zachodzi M |= ϕ[x0 x1 . . .xn ]. W takim razie dla tego ciągu zachodzi M |= ¬ϕ[x0 x1 . . .xn ], czyli na podstawie definicji prawdziwości zdania w modelu mamy M |= ¬ϕ. TWIERDZENIE 10. (SEMANTYCZNA ZASADA NIESPRZECZNOŚCI) Dla dowolnego modelu M i dowolnego zdania ϕ

180

2. KLASYCZNA LOGIKA PREDYKATÓW

bądź nie zachodzi M |= ϕ, bądź nie zachodzi M |= ¬ϕ. DOWÓD Niech zachodzi M |= ϕ. Niech wszystkie zmienne występujące w ϕ znajdują się w ciągu: v0 , v1 , . . ., vn . W takim razie dla dowolnego ciągu przedmiotów: x0 , x1 . . ., xn mamy, że M |= ϕ[x0 x1 . . .xn ]. Wykorzystujemy teraz założenie niepustości zbioru uniwersalnego i na jego podstawie wnioskujemy, że istnieje ciąg przedmiotów taki, że ϕ jest spełnione w modelu M. A zatem istnieją x0 , x1 , . . ., xn takie, że nie zachodzi M |= ¬ϕ[x0 x1 . . .xn ]. W takim razie nie zachodzi M |= ¬ϕ.

Semantyczna zasada wyłączonego środka głosi, że z dwóch zdań, z których jedno jest negacją drugiego, co najmniej jedno jest prawdziwe. Zaś semantyczna zasada niesprzeczności o takich zdaniach głosi, że oba zarazem nie są prawdziwe. Sformułowania takie stanowią zwykle komentarz do znanych tautologii, odpowiednio: α ∨ ¬α; ¬(α ∧ ¬α). Praktyka ta nie jest całkiem poprawna. Aby stwierdzić to zauważmy choćby różnicę w dowodzeniu: inaczej przebiegało wykazywanie tautologiczności, a inaczej przebiegał dowód naszych twierdzeń. Istota różnicy polega na tym, że w wypadku tautologii nie korzystamy z pojęć prawdy i spełniania, zaś w wypadku dowodów zasad semantycznych pojęcia te pełnią istotną rolę. Na zbiór uniwersalny U nie nałożyliśmy żadnego warunku. Zbiór ten może być skończony i może być nieskończony. Celem lepszego zrozumienia definicji spełniania i większej intuicyjności znaczeń kwantyfikatorów załóżmy, że zbiór U jest skończony, że ma dokładnie n elementów. Niech a0 , a1 , . . ., an będą wszystkimi tymi elementami69 . Na podstawie definicji spełniania stwierdzamy, że 1. 69

(U, I) |= ∀v.φ Jeśli istnieje taka potrzeba wzbogacamy język o stosowne stałe induwiduowe.

2.3. MODEL I PRAWDZIWOŚĆ

181

wtedy i tylko wtedy, gdy (U, I) |= φ(v/a1 ) ∧ φ(v/a2 ) ∧ . . . ∧ φ(v/an ) (U, I) |= ∃v.φ

2.

wtedy i tylko wtedy, gdy (U, I) |= φ(v/a1 ) ∨ φ(v/a2 ) ∨ . . . ∨ φ(v/an ).

Korzystając z tych dwóch faktów, dla dowolnego zdania φ (formuły nie zawierającej zmiennych wolnych) możemy skonstruować zdanie Φ nie zawierające kwantyfikatorów takie, że dla dowolnej interpretacji I (U, I) |= φ

wtedy i tylko wtedy, gdy (U, I) |= Φ. Φ nie zawiera żadnych zmiennych, ani wolnych ani związanych i – oczywiście – kwantyfikatorów. Φ zbudowane jest ze zdań otrzymanych z formuł atomowych przez wpisanie stałych w miejsce zmiennych. Zdania te, zdania atomowe, uznajemy za różne jeżeli zbudowane są z różnych liter predykatowych lub różnych liter funkcyjnych, bądź w jednym zdaniu na i-tym miejscu występuje inna stała niż w drugim. Możemy przyjąć, że zdaniom atomowym interpretacja I przyporządkowuje bądź wartość t, bądź wartość f . Takich interpretacji różniących się tylko przyporządkowaniem tych wartości zdaniom atomowym jest nie więcej niż 2m , gdzie m jest liczbą różnych takich zdań. Możemy teraz stosować metody opracowane dla rachunku zdań. W zależności od tego, czy dla wszystkich 2m „interpretacji” nasze zdanie przyjmie wartość t, czy też choć raz przyjmie wartość f , będziemy mogli twierdzieć, że zdanie to jest, odpowiednio, prawdziwe w dowolnej n-elementowej dziedzinie lub, że nie jest prawdziwe (jeżeli nie jest prawdziwe w n-elementowej dziedzinie, to tym samym nie jest prawdziwe).

PRZYKŁADY 1. Zdanie (∀x.P x ⇒ ∀x.Qx) ⇒ ∀x.(P x ⇒ Qx)

182

2. KLASYCZNA LOGIKA PREDYKATÓW

nie jest prawdziwe, bo nie jest ono prawdziwe w dziedzinie dwuelementowej. W tym celu wystarczy pokazać, że tautologią nie jest [(P a ∧ P b) ⇒ (Qa ∧ Qb)] ⇒ [(P a ⇒ Qa) ∧ (P b ⇒ Qb)]. 2. Prawdziwe nie jest również zdanie (∃x.P x ∧ ∃x.Qx) ⇒ ∃x.(P x ∧ Qx).

Nie jest ono prawdziwe w dziedzinie, w której są przynajmniej dwa elementy. Pokazać bowiem można, że tautologią nie jest [(P a ∨ P b) ∧ (Qa ∨ Qb)] ⇒ [(P a ∧ Qa) ∨ (P b ∧ Qb).]

3. Prawdziwe nie jest zdanie ∀x.∃y.P xy ⇒ ∃y.∀x.P xy .

Nie jest ono prawdziwe w dziedzinie dwuelementowej. Tautologią nie jest bowiem [(P aa ∨ P ab) ∧ (P ba ∨ P bb] ⇒ [(P aa ∧ P ba) ∨ (P ab ∧ P bb)].




Zauważmy, że istnieją zdania, które nie są spełnione tylko w dziedzinie nieskończonej, czyli zdania warunkiem koniecznym fałszywości których jest nieskończoność dziedziny. Zdanie ∀x.xRf (x) ∧ ∀x.¬xRx ∧ ∀xyz.(xRy ∧ yRz ⇒ xRz)

nie jest prawdziwe w żadnej dziedzinie skończonej. Niech a będzie elementem dziedziny. Niech f 0 (a) = a, f n (a) = f f n−1 (a), n ∈ N. Pokażemy, że wszystkie wyrazy ciągu a, f (a), f f (a), . . .

są parami różne. Przede wszystkim zauważmy, że jeżeli m < n, to f m (a)Rf n (a). Ponieważ ∀x.¬xRx, więc dla dowolnych m, n(m = n): f m (a) = f n (a).

2.3. MODEL I PRAWDZIWOŚĆ

183

Oczywiście fakt, że zdanie może być prawdziwe tylko w wypadku, gdy dziedzina jest nieskończona nie pociąga za sobą prawdziwości tego zdania w dowolnym modelu z nieskończoną dziedziną. W wypadku rozważanego zdania wystarczy dobrać takie rozumienie litery predykatowej R, aby nie był spełniony przynajmniej jeden z członów koniunkcji. Może tak być, gdy R zinterpretujemy jako równość. Nieskończoność dziedziny jest warunkiem koniecznym prawdziwości naszego zdania. Skończoność dziedziny jest warunkiem wystarczającym jego fałszywości. W takim razie skończoność dziedziny jest warunkiem wystarczającym prawdziwości jego negacji, czyli wystarcza na to, aby prawdziwe było zdanie ∃x.¬xRf (x) ∨ ∃x.xRx ∨ ∃xyz.(xRy ∧ yRz ∧ ¬xRz). Warunkiem koniecznym fałszywości tego zdania jest nieskończoność dziedziny.

2.2. KLASYCZNY RACHUNEK PREDYKATÓW

179

2.3.3. Reguły rachunku predykatów a prawdziwość Udowodnimy teraz kilka twierdzeń pokazujących niezawodność reguł rachunku predykatów. Pokazane więc zostanie, że biorąc jako przesłanki formuły spełnione w jakimś modelu i korzystając wyłącznie z reguł rachunku predykatów, określonych w definicji dowodu w tym rachunku, jako wniosek otrzymamy formułę spełnioną w tym modelu. TWIERDZENIE 11. Niech wszystkie zmienne wolne formuły ϕ znajdują się w ciągu v0 , v1 , . . ., vn . Jeżeli ϕ jest tautologią języka rachunku predykatów lub aksjomatem teorii identyczności, to dla dowolnego modelu M i dowolnego ciągu przedmiotów x0 , x1 , . . ., xn M |= ϕ[x0 x1 . . .xn ]. DOWÓD Niech ϕ będzie tautologią jeżyka rachunku kwantyfikatorów. Istnieje zatem tautologia języka rachunku zdań taka, z której ϕ jest otrzymane przez wpisanie formuł, powiedzmy, ϕ1 , ϕ2 , . . . , ϕm w miejsce liter zdaniowych – jednocześnie za tę samą literę tej samej formuły. Zauważmy, że ϕ zbudowane jest tylko za pomocą spójników zdaniowych z formuł ϕ1 , ϕ2 , . . . , ϕm . Zatem zgodnie ze znaczeniami spójników zdaniowych ϕ będzie spełnione w modelu M dla ciągu przedmiotów [x0 x1 . . .xn ] bez względu na to, czy ϕi , 1 ≤ i ≤ m będzie, czy też nie będzie spełnione w modelu M dla ciągu przedmiotów [x0 x1 . . .xn ]. W wypadku aksjomatów identyczności zauważmy, że Id1 wynika bezpośrednio z definicji spełniania. Id2 jest wnioskiem z tw. 4, a Id3 wnioskiem z tw. 5. TWIERDZENIE 12. Niech wszystkie zmienne wolne formuł ϕ i φ znajdują się w ciągu v0 , v1 , . . ., vn . Dla dowolnego modelu M i dowolnego ciągu przedmiotów x0 , x1 , . . ., xn

180

2. LOGIKA PREDYKATÓW

jeżeli M |= (ϕ ⇒ φ)[x0 x1 . . .xn ]

oraz M |= ϕ[x0 x1 . . .xn ],

to także M |= φ[x0 x1 . . .xn ].

DOWÓD Niech dla modelu M oraz ciągu x0 , x1 , . . ., xn zachodzi M |= (ϕ ⇒ φ)[x0 x1 . . .xn ]

oraz M |= ϕ[x0 x1 . . .xn ].

Zgodnie z definicją spełniania mamy, że gdy M |= (ϕ ⇒ φ)[x0 x1 . . .xn ], to jeżeli M |= ϕ[x0 x1 . . .xn ],

to M |= φ[x0 x1 . . .xn ].

Zatem dostajemy, że M |= φ[x0 x1 . . .xn ].

WNIOSEK 1. Niech wszystkie zmienne wolne występujące w formułach ϕ i φ znajdują się w ciągu v0 , v1 , . . ., vn . Dla dowolnego modelu M: jeżeli dla dowolnego ciągu x0 , x1 , . . ., xn zachodzi M |= (ϕ ⇒ φ)[x0 x1 . . .xn ]

oraz dla dowolnego ciągu x0 , x1 , . . ., xn zachodzi M |= ϕ[x0 x1 . . .xn ], to dla dowolnego ciągu x0 , x1 , . . ., xn zachodzi

2.2. KLASYCZNY RACHUNEK PREDYKATÓW

181

M |= φ[x0 x1 . . .xn ].

WNIOSEK 2. Niech wszystkie zmienne wolne występujące w formułach ϕ i φ znajdują się w ciągu v0 , v1 , . . ., vn . Jeżeli dla dowolnych modelu M i ciągu x0 , x1 , . . ., xn zachodzi M |= (ϕ ⇒ φ)[x0 x1 . . .xn ]

oraz dla dowolnych modelu M i ciągu x0 , x1 , . . ., xn zachodzi M |= ϕ[x0 x1 . . .xn ], to dla dowolnych modelu M i ciągu x0 , x1 , . . ., xn zachodzi M |= φ[x0 x1 . . .xn ]. W szczególności, gdy ϕ i φ są zdaniami mamy jeżeli |= ϕ ⇒ φ i |= ϕ, to |= φ. Zatrzymajmy się chwilę nad sposobem wnioskowania zastosowanym przy otrzymywaniu obu wniosków. Otóż przesłanka, w tym wypadku twierdzenie 12, było – najogólniej to ujmując – postaci ∀v1 , v2 .(ϕ ⇒ φ)

na tej podstawie wnioskowaliśmy, że ∀v1 .(∀v2 .ϕ ⇒ ∀v2 .φ).

Tak – pomijając szczegóły – otrzymaliśmy wniosek 1. Wniosek 2 został otrzymany w analogiczny sposób z wniosku 1. Podobne wnioski jak z twierdzenia 12 w analogiczny sposób będziemy mogli otrzymać z dowodzonych niżej twierdzeń o regułach rachunku predykatów. TWIERDZENIE 13. Niech wszystkie zmienne wolne formuły ϕ znajdują się w ciągu v0 , v1 , . . ., vn . Niech term t będzie podstawialny w formule ϕ w miejsce zmiennej vi i niech wszystkie zmienne wolne formuły ϕ(vi /t) znajdują się w ciągu v0 , v1 , . . ., vm . Dla dowolnego modelu M jeżeli dla dowolnego ciągu przedmiotów x0 , x1 , . . ., xn

182

2. LOGIKA PREDYKATÓW

M |= ϕ[x0 x1 . . .xn ],

to także dla dowolnego ciągu przedmiotów x0 , x1 , . . ., xm M |= ϕ(vi /t)[x0 x1 . . .xm ]. DOWÓD Rozważmy wpierw wypadek, gdy zmienna vi nie występuje w termie t. Niech dla dowolnego ciągu x0 , x1 , . . ., xn M |= ϕ[x0 x1 . . .xn ]. Jeżeli dla jakiegoś modelu M i ciągu x0 , x1 , . . ., xm nie zachodzi M |= ϕ(vi /t)[x0 x1 . . .xm ], to na podstawie twierdzenia 5 nie zachodzi to również dla ciągu x0 , x1 , . . ., xm , . . ., xk ; m, n ≤ k . Z założenia zmienna vi nie występuje w termie t, więc na podstawie twierdzenia 7 dla ciągu x0 , x1 , . . ., xi−1 , t[x0 x1 . . .xk ], xi+1 , . . ., xk

nie zachodzi M |= ϕ[x0 x1 . . .xi−1 t[x0 x1 . . .xk ]xi+1 . . .xn . . .xk ].

A zgodnie z twierdzeniem 5 nie zachodzi M |= ϕ[x0 x1 . . .xi−1 t[x0 x1 . . .xk ]xi+1 . . .xn ],

co przeczy założeniu, że dla dowolnego ciągu x0 , x1 , . . ., xn M |= ϕ[x0 x1 . . .xn ]. W wypadku, gdy zmienna vi występuje w termie t bierzemy zmienną vl taką, która nie występuje ani w formule ϕ, ani w termie t. Z definicji podstawiania jest jasne, że formuła (ϕ(vi /vl ))(vl /t)

jest równokształtna z formułą ϕ(vi /t).

Niech wszystkie zmienne wolne formuły ϕ(vi /vl ) znajdują się w ciągu v0 , v1 , . . ., vq . Na podstawie powyższego jeżeli dla dowolnego ciągu x0 , x1 , . . ., xq zachodzi M |= ϕ(vi /vl )[x0 x1 . . .xq ],

2.2. KLASYCZNY RACHUNEK PREDYKATÓW

183

to dla dowolnego ciągu x0 , x1 , . . ., xm zachodzi M |= (ϕ(vi /vl ))(vl /t)[x0 x1 . . .xm ],

co w związku z równokształtnością (ϕ(vi /vl ))(vl /t)

z ϕ(vi /t)

daje, iż dla dowolnego ciągu x0 , x1 , . . ., xm zachodzi M |= ϕ(vi /t)[x0 x1 . . .xm ]. Na podstawie wniosku z twierdzenia 7 mamy jednak, że dla dowolnego ciągu x0 , x1 , . . ., xn zachodzi M |= ϕ[x0 x1 . . .xn ]

wtedy i tylko wtedy, gdy dla dowolnego ciągu x0 , x1 , . . ., xq zachodzi M |= ϕ(vi /vl )[x0 x1 . . .xq ]. Ostatecznie więc jeżeli dla dowolnego ciągu x0 , x1 , . . ., xn zachodzi M |= ϕ[x0 x1 . . .xn ], to dla dowolnego ciągu x0 , x1 , . . ., xn zachodzi M |= ϕ(vi /t)[x0 x1 . . .xm ]. TWIERDZENIE 14. Niech wszystkie zmienne wolne występujące w formułach ϕ i φ znajdują się w ciągu v0 , v1 , . . ., vn . Dla dowolnego modelu M i dowolnego ciągu x0 , x1 , . . ., xn jeżeli M |= (ϕ ⇒ ∀vi .φ)[x0 x1 . . .xn ], to M |= (ϕ ⇒ φ)[x0 x1 . . .xn ]. DOWÓD Niech dla dowolnego modelu M i dowolnego ciągu x0 , x1 , . . ., xn zachodzi M |= (ϕ ⇒ ∀vi .φ)[x0 x1 . . .xn ]. Niech dla pewnego modelu M i ciągu x0 , x1 , . . ., xn nie zachodzi M |= (ϕ ⇒ φ)[x0 x1 . . .xn ]. Zatem z definicji spełniania mamy, że

184

2. LOGIKA PREDYKATÓW

M |= ϕ[x0 x1 . . .xn ]

i nieprawda, że M |= φ[x0 x1 . . .xn ]. Z tego jednak wynika, że nie zachodzi M |= ∀vi .φ[x0 x1 . . .xn ],

a w konsekwencji, że nie zachodzi M |= (ϕ ⇒ ∀vi .φ)[x0 x1 . . .xn ],

co przeczy założeniu. TWIERDZENIE 15. Niech wszystkie zmienne wolne występujące w formułach ϕ i φ znajdują się w ciągu v0 , v1 , . . ., vn . Dla dowolnych modelu M i ciągu x0 , x1 , . . ., xn jeżeli M |= (ϕ ⇒ φ)[x0 x1 . . .xn ]

i zmienna vi nie występuje jako zmienna wolna w ϕ, to M |= (ϕ ⇒ ∀vi .φ)[x0 x1 . . .xn ]. DOWÓD Niech dla dowolnego [x0 x1 . . .xn ]

M |= (ϕ ⇒ φ)[x0 x1 . . .xn ]

i niech zmienna vi nie występuje jako zmienna wolna w ϕ. Gdyby istniał ciąg x0 , x1 , . . ., xn taki, że nie jest prawdą, iż M |= (ϕ ⇒ ∀vi .φ)[x0 x1 . . .xn ], to na podstawie definicji spełniania byłoby prawdą, że M |= ϕ[x0 x1 . . .xi−1 xi xi+1 . . .xn ]

oraz dla pewnego x nie byłoby prawdą, że M |= φ[x0 x1 . . .xi−1 xxi+1 . . .xn ].

Z założenia mamy, że M |= (ϕ ⇒ φ)[x0 x1 . . .xi−1 xxi+1 . . .xn ].

Zatem z definicji spełniania

2.2. KLASYCZNY RACHUNEK PREDYKATÓW

185

jeżeli M |= ϕ[x0 x1 . . .xi−1 xxi+1 . . .xn ],

to również M |= φ[x0 x1 . . .xi−1 xxi+1 . . .xn ].

Ponieważ zaś nie jest prawdą, że M |= φ[x0 x1 . . .xi−1 xxi+1 . . .xn ],

więc nie jest prawdą, że M |= ϕ[x0 x1 . . .xi−1 xxi+1 . . .xn ].

Ponieważ jednak ciągi x0 , x1 , . . ., xi−1 , xi , xi+1 , . . ., xn

oraz x0 , x1 , . . ., xi−1 , x, xi+1 , . . ., xn

nie różnią się na miejscach zmiennych wolnych formuły ϕ, więc na podstawie twierdzenia 5 M |= ϕ[xx1 . . .xi−1 xi xi+1 . . .xn ]

wtedy i tylko wtedy, gdy M |= ϕ[x0 x1 . . .xi−1 xxi+1 . . .xn ].

Otrzymujemy zatem sprzeczność bowiem nie może zarazem być tak, że M |= ϕ[xx1 . . .xi−1 xi xi+1 . . .xn ]

i nieprawda, że M |= ϕ[xx1 . . .xi−1 xi xi+1 . . .xn ]. Dowody dwu kolejnych twierdzeń pomijamy jako, ze przebiegają one podobnie jak dowody, odpowiednio, twierdzenia 14 i 15. TWIERDZENIE 16. Jeżeli M |= ∃vi .ϕ ⇒ φ, to M |= ϕ ⇒ φ. TWIERDZENIE 17. Jeżeli M |= ϕ ⇒ φ i zmienna vi nie występuje jako zmienna wolna w φ, to M |= ∃vi .ϕ ⇒ φ.

186

2. LOGIKA PREDYKATÓW

Korzystając z twierdzeń 11 – 17 udowodnimy interesujące nas twierdzenie o niezawodności reguł rachunku predykatów. TWIERDZENIE 18. Dla dowolnych modelu M, zbioru zdań Σ i zdania ϕ jeżeli Σ  ϕ oraz M |= Σ, to M |= ϕ. DOWÓD Dowodzić będziemy przez indukcję po długości dowodu zdania ϕ ze zbioru Σ. Niech ϕ1 , ϕ2 , . . ., ϕn będzie dowodem zdania ϕ(= ϕn ) ze zbioru Σ. Niech wszystkie zmienne występujące w formułach ϕ1 , ϕ2 , . . ., ϕn znajdują się w ciągu v0 , v1 , . . ., vm . Pokażemy, że dla dowolnego ϕi , 1 ≤ i ≤ n, i dowolnego ciągu x0 , x1 , . . ., xm zachodzi M |= ϕi [x0 x1 . . .xm ]. Jeżeli tak będzie, to ponieważ ϕi jest zdaniem będzie również prawdą, że M |= ϕi . Zgodnie z definicją dowodu ϕ1 może być (a) elementem Σ, a wówczas z założenia dla dowolnego ciągu x0 , x1 , . . ., xm M |= ϕ1 [x0 x1 . . .xm ]

(b) tautologią lub aksjomatem teorii identyczności, a wówczas na podstawie twierdzenia 11 również dla dowolnego ciągu x0 , x1 , . . ., xm M |= ϕ1 [x0 x1 . . .xm ].

ZAŁOŻENIE INDUKCYJNE: Niech dla i ≤ k < n : M |= ϕi [x0 x1 . . .xm ]

dla dowolnego ciągu x0 , x1 , . . ., xm . Gdy ϕk+1 jest elementem zbioru Σ, tautologią lub aksjomatem teorii identyczności, to mamy wypadek taki sam jak w sytuacji i = 1. Gdy ϕk+1 jest otrzymane przez zastosowanie jakiejś reguły rachunku kwantyfikatorów, to na podstawie odpowiedniego – ze względu na zastosowana regułę – twierdzenia 12 – 17 mamy, że dla dowolnego ciągu x0 , x1 , . . ., xn M |= ϕk+1 [x0 x1 . . .xm ].

2.4. PEŁNOŚĆ RACHUNKU PREDYKATÓW

187

2.4. PEŁNOŚĆ RACHUNKU PREDYKATÓW Nim przystąpimy do uogólnionego twierdzenia o pełności udowodnijmy pomocnicze twierdzenie. LEMAT (Twierdzenie o niewyróżnianiu przez logikę stałych indywiduowych)66 Niech żadne wystąpienie stałej indywiduowej c nie znajduje się w zasięgu działania jakiegokolwiek kwantyfikatora wiążącego zmienną v . Jeżeli  ϕ, to  ϕ(c/v), gdzie ϕ(c/v) jest formuła otrzymaną z ϕ przez wpisanie zmiennej v w każde miejsce, w którym występuje stała indywiduowa c.66 DOWÓD Niech ϕ0 , ϕ1 , . . ., ϕn [= ϕ(c)] będzie dowodem ϕ(c). Niech v będzie zmienną, która w żadnym miejscu, w którym występuje c w ϕi , 0 ≤ i ≤ n, nie znajduje się w zasięgu działania jakiegokolwiek kwantyfikatora i nie jest zmienną związaną w ϕi , 0 ≤ i ≤ n. Mamy udowodnić, że ϕ(c/v) jest tezą rachunku kwantyfikatorów. Udowodnimy więcej, a mianowicie, że każdy wyraz ciągu ϕ0 (c/v), ϕ1 (c/v), . . ., ϕn (c/v) jest tezą rachunku kwantyfikatorów. Dowodzimy przez indukcję po długości ciągu. ϕ0 jest tautologią lub aksjomatem teorii identyczności, zatem tak samo jest w wypadku ϕ0 (c/v).

ZAŁOŻENIE INDUKCYJNE: Niech dla i(≤ k) tezą rachunku kwantyfikatorów będzie ϕi (c/v). Pokażemy, że ϕk+1 (c/v) jest tezą rachunku kwantyfikatorów. ϕk+1 może być tautologią lub aksjomatem teorii identyczności, wówczas – podobnie jak dla i = 0 – ϕk+1 (c/v) jest tezą rachunku kwantyfikatorów. 66

Twierdzenia o niewyróżnianiu (neutralności) stałych pozalogicznych wyraźnie zostały sformułowane przez A. Grzegorczyka [1961]. 66 Można podać ścisłą indukcyjną definicję tej procedury. Zob. np. T. Batóg [1986], s. 124.

188

2. LOGIKA PREDYKATÓW

Niech ϕk+1 będzie otrzymane przez zastosowanie reguł rachunku kwantyfikatorów do wyrazów poprzedzających. Rozpocznijmy od MP. W takim razie istnieją j, l(≤ k) takie, że ϕl = ϕj ⇒ ϕk+1 . Zgodnie z założeniem indukcyjnym tezami rachunku kwantyfikatorów są zarówno ϕj (c/v) jak i ϕl (c/v). Ponieważ ϕl (c/v) = ϕj (c/v) ⇒ ϕk+1 (c/v), więc ϕk+1 (c/v) jako wynik odrywania od tez rachunku kwantyfikatorów jest tezą rachunku kwantyfikatorów. Rozważmy jeszcze zastosowanie reguły dołączania dużego kwantyfikatora. Niech więc ϕj = φ ⇒ ψ , j ≤ k , a ϕk+1 = φ ⇒ ∀v1 .ψ , gdzie v1 nie występuje jako zmienna wolna w φ. ϕj (c/v) = φ(c/v) ⇒ ψ(c/v). Z założenia v = v1 , zatem stosując regułę dołącznia dużego kwantyfikatora do ϕj (c/v) dostajemy φ(c/v) ⇒ ∀v1 .ψ(c/v), co na podstawie założenia indukcyjnego jest tezą. Formuła ta jest równokształtna z (φ ⇒ ∀v1 .ψ)(c/v), czyli ϕk+1 (c/v) jest tezą rachunku kwantyfikatorów. Pomijamy rozważanie pozostałych reguł. WNIOSEK Niech stała c nie występuje w żadnej formule ze zbioru Σ. Jeżeli Σ  ϕ, to Σ  ϕ(c/v), jeżeli Σ  ϕ, to Σ  ∀v.ϕ(c/v), gdzie v jest zmienną, która w żadnym miejscu, w którym występuje c nie znajduje się w zasięgu działania jakiegokolwiek kwantyfikatora wiążącego tę zmienną. DOWÓD Niech ϕ0 , . . ., ϕn (= ϕ) będzie dowodem ϕ ze zbioru Σ. Bierzemy te i tylko te wyrazy ciągu ϕ0 , . . ., ϕn (= ϕ), które są elementami Σ. Niech są to ψ0 , . . ., ψk . Oczywiście {ψ0 , . . ., ψk }  ϕ. Zatem  ψ0 ∧ . . . ∧ ψk ⇒ ϕ. Na podstawie twierdzenia o niewyróżnianiu stałych indywiduowych mamy  (ψ0 ∧. . .∧ψk ⇒ ϕ)(c/v). Ponieważ w żadnej z formuł ψ0 , . . ., ψk nie występuje stała c, więc mamy  ψ0 ∧. . .∧ψk ⇒ ϕ(c/v). Korzystając z tego, że {ψ0 , . . ., ψk } ⊆ Σ dostajemy Σ  ϕ(c/v). Dołączając duży kwantyfikator do  ψ0 ∧ . . . ∧ ψk ⇒ ϕ(c/v)

2.4. PEŁNOŚĆ RACHUNKU PREDYKATÓW

189

mamy  ψ0 ∧ . . . ∧ ψk ⇒ ∀v.ϕ(c/v)

Rozumując podobnie jak powyżej mamy Σ  ∀v.ϕ(c/v).

Zdanie ∃x.ϕ jest prawdziwe w modelu M, gdy dla pewnego indywiduum spełnione jest ϕ. W języku mamy stałe indywiduowe. Możemy więc pytać, czy wśród tych stałych indywiduowych jest nazwa tego induwiduum, dla którego zachodzi ϕ. Można powiedzieć, że ta stała induwiduowa «świadczy» o prawdziwości ∃x.ϕ. (DEF. zbioru świadków) Niech Σ będzie zbiorem zdań języka L. Niech C będzie pewnym zbiorem stałych tego języka. C jest zbiorem świadków dla Σ wtedy i tylko wtedy, gdy dla dowolnej formuły ϕ języka L, zawierającej nie więcej niż jedną zmienną wolną, powiedzmy x, istnieje stała c(∈ C) taka, że Σ  ∃x.ϕ ⇒ ϕ(c)66 . c jest «świadkiem» zachodzenia Σ  ∃x.ϕ. Stała c to stała Henkina. Σ ma świadków w języku L wtedy i tylko wtedy, gdy w L dla Σ istnieje

zbiór świadków. TWIERDZENIE 19. (UOGÓLNIONE TWIERDZENIE O PEŁNOŚCI)66 Niech Σ będzie dowolnym zbiorem zdań języka L. Σ jest niesprzeczne wtedy i tylko wtedy, gdy ma model. DOWÓD Fakt, że Σ mające model jest niesprzeczne wynika w prosty sposób z twierdzenia 18 oraz semantycznej zasady niesprzeczności. 66

Czasem dla prostoty, gdy nie będzie wątpliwości, o co chodzi zamiast ϕ(x/c) będziemy pisali ϕ(c). 66 Twierdzenie to zostało dowiedzione przez G¨ odla [1930]. Tu przytoczony dowód podał Henkin [1949] i ma ono szersze zastosowanie niż pierwotny dowód G¨ odla. Możliwość takiego uogólnienia zauważona była już przez Malcewa [1936].

190

2. LOGIKA PREDYKATÓW

Dowód części twierdzenia mówiącej, że jeśli Σ jest niesprzeczne, to ma model jest technicznie złożony. Przeprowadzamy go metodą Henkina, a więc w sposób analogiczny do dowodu odpowiedniej części podobnego twierdzenia dla rachunku zdań. Przypomnijmy, że w wypadku rachunku zdań «tworzywem», z którego budowany był model były litery zdaniowe. W wypadku rachunku predykatów takim tworzywem będą stałe indywiduowe. Stałe indywiduowe wystąpią więc w podwójnej roli: jako pewne obiekty i jednocześnie, choć z poziomu językowego, jako nazwy klas tych obiektów. Dowód tego, że jeżeli Σ jest niesprzecznym zbiorem zdań, to ma model będzie się składał z trzech części. W części A określimy pewien język L∗ bogatszy od języka L o zbiór C stałych Henkina. Na to, aby zbiór termów mógł być «tworzywem» dziedziny interpretacji potrzeba dostatecznej ilości termów. Może się zdarzyć, że do zbioru Σ należy formuła ∃v.ϕ oraz dla dowolnego termu t do Σ należy również ¬ϕ(v/t). Potrzebna jest więc stała c – świadek – taka, że ϕ(v/c). Następnie skonstruujemy niesprzeczny zbiór Σ∗ zdań języka L∗ taki, że C jest jego zbiorem świadków. W dziedzinie każde zdanie jest prawdziwe, bądź fałszywe. Konstrukcja dzedziny wymaga więc rozszerzenia zbioru Σ∗ do zbioru maksymalnego niesprzecznego T . W części B skonstruujemy model języka L∗ , a więc określimy interpretację jego stałych indywiduowych, liter funkcyjnych oraz liter predykatowych. Z kolei w części C pokażemy, że tak określony model języka L∗ jest modelem zbioru zdań T . Ponieważ zbiór Σ jest podzbiorem zbioru T , więc ograniczenie tego modelu do wyrażeń języka L będzie modelem zbioru Σ. (A) Niech C będzie zbiorem stałych indywiduowych nie występujących w języku L. Niech tych nowych stałych indywiduowych będzie tyle, ile jest formuł języka L, czyli że możliwe jest wzajemnie jednoznaczne przyporządkowanie formuł języka L i stałych ze zbioru C (stałych Henkina). Niech L∗ będzie językiem otrzymanym przez dodanie do słownika języka L wszystkich stałych indywiduowych ze zbioru C .

2.4. PEŁNOŚĆ RACHUNKU PREDYKATÓW

191

Wszystkie formuły języka L∗ , w których występuje co najwyżej jedna zmienna wolna możemy ustawić w ciąg nieskończony ϕ0 , ϕ1 , . . .ϕi , . . ., np. stosując metodę wykorzystaną już w dowodzie lematu Lindenbauma dla języka rachunku zdań; czyli ustalając kolejność poszczególnych symboli, z których zbudowane są formuły języka L∗ i porządkując rozważane formuły „alfabetycznie”67 . Określmy teraz wstępujący ciąg zbiorów zdań języka L∗ Σ = Σ0 ⊆ Σ1 ⊆ . . .

oraz ciąg stałych ze zbioru C d0 , d1 , . . .

takie, że Σi+1 = Σi ∪ {∃xi .ϕi ⇒ ϕi (di )}; gdzie xi – (jedyna) zmienna wolna formuły ϕi , jeżeli w niej zmienna wolna występuje, a xi = v0 w wypadku przeciwnym.

Przez indukcję po długości ciągu zbiorów Σ0 , Σ1 , . . . pokażemy, że zbiory te są niesprzeczne. Σ0 jest niesprzeczne z założenia niesprzeczności zbioru Σ.

ZAŁOŻENIE INDUKCYJNE: Niech zbiór zdań Σi będzie niesprzeczny. Gdyby ϕi było zdaniem, to wówczas ∃xi .ϕi ⇔ ϕi ,

a ponieważ ϕi ⇒ ϕi

jest tautologią, więc zbiór Σi ∪ {ϕi ⇒ ϕi }

jest niesprzeczny na podstawie założenia indukcyjnego o niesprzeczności Σi . 67

Dla prostoty rozważamy tylko języki, które mają przeliczalnie wiele formuł. Zyskując na prostocie tracimy na ogólności. Dowodzone twierdzenie zachodzi jednak dla wszystkich języków rachunku predykatów niezależnie od tego, ile mają one formuł.

192

2. LOGIKA PREDYKATÓW

Niech w ϕi występuje zmienna wolna. Gdyby zbiór Σi+1 był zbiorem sprzecznym; czyli gdyby sprzeczny był zbiór Σi ∪ {∃xi .ϕi ⇒ ϕi (di )}, to mielibyśmy Σi  ¬[∃xi .ϕi ⇒ ϕi (di )].

Korzystając z logiki zdań dostajemy Σi  ∃xi .ϕi ∧ ¬ϕi (di ).

Ponieważ stała di nie występuje w Σi , więc na podstawie na wstępie udowodnionego lematu mamy Σi  ∀xi .[∃xi .ϕi ∧ ¬ϕi (xi )]. Z tego dostajemy Σi  ∀xi .∃xi .ϕi ∧ ∀xi .¬ϕi (xi ), Σi  ∃xi .ϕi ∧ ¬∃xi .ϕi .

Co dowodzi sprzeczności zbioru Σi i przeczy założeniu indukcyjnemu. ∞


Σi . Zbiór Σ∗ jest niesprzeczny. Gdyby istniał z Niech Σ∗ = i=0 niego dowód zdania sprzecznego, to wobec faktu, że zbiory zdań Σi tworzą wstępujący ciąg musiałby to być dowód z któregoś z tych zbiorów, co nie jest możliwe w świetle wyżej udowodnionego faktu niesprzeczności wszystkich zbiorów Σi .

3. DEFINIOWANIE 3.0. POJĘCIE DEFINIOWANIA W języku pierwszego rzędu, czyli w języku rachunku predykatów tak jak go opisaliśmy, definiować można litery predykatowe, stałe indywiduowe i litery funkcyjne. W naszych rozważaniach ograniczymy się przede wszystkim do definicji, które znaczenia symboli definiowanych charakteryzują w języku teorii, a więc szczegółowiej rozważymy wypadek wprowadzania nowych symboli jako wygodnych skrótów dla złożonych wyrażeń74 . Przez teorię będziemy tu rozumieli dowolny zbiór formuł języka pierwszego rzędu domknięty na reguły wynikania, czyli taki zbiór, do którego należą wszystkie i tylko te formuły, które mają w nim dowód. W szczególności takim zbiorem jest zbiór formuł prawdziwych przy jakiejś interpretacji tego języka, czyli zbiór zdań prawdziwych w określonym modelu75 . Tam, gdzie mówi się o modelu teorii zwykle ma się na uwadze zdania, czyli formuły nie zawierające zmiennych wolnych. Każdej formule odpowiada zdanie, które z niej otrzymujemy poprzez poprzedzenie jej kwantyfikatorami ogólnymi wiążącymi wszystkie występujące w niej zmienne wolne. Teoria może być określona przez podanie jej aksjomatów. Wówczas elementami teorii są wszystkie i tylko te formuły, które mają 74

Warto odnotować, że po raz pierwszy reguły definiowania zostały sformułowane przez polskiego logika Stanisława Leśniewskiego [1931]. 75 Zbiór wszystkich formuł prawdziwych w jakiejś dziedzinie jest domknięty na reguły wynikania. Jest tak dlatego, że wynikanie syntaktyczne zachowuje stosunek wynikania semantycznego (twierdzenie o pełności) – z prawdziwych formuł nie można poprawnie udowodnić zdania fałszywego.

206

3. DEFINIOWANIE

dowód z jej aksjomatów. Aksjomat to więc element pewnej wyróżnionej klasy zdań (formuł) określonego języka. Mając jakąś teorię, np. scharakteryzowaną jako zbiór wszystkich i tylko zdań prawdziwych w określonej dziedzinie, można pytać się o jej aksjomatyzowalność, czyli taki zbiór zdań-aksjomatów, z którego dałoby się udowodnić wszystkie i tylko formuły składające się na tę teorię. Zwykle chodzi o to, aby rozstrzygalne było pytanie, czy jakieś zdanie jest aksjomatem. Na zbiór aksjomatów można też nakładać inne warunki, np. skończoność. 3.1. DEFINIOWANIE LITER PREDYKATOWYCH REGUŁA DEFINIOWANIA LITER PREDYKATOWYCH Niech T będzie teorią, zaś P (n + 1)-argumentową literą predykatową nie należącą do języka tej teorii. Równoważność P v0 . . .vn ⇔ ϕ

na gruncie teorii T jest poprawną definicją (n + 1)-argumentowej litery predykatowej P wtedy i tylko wtedy, gdy (a) w formule (atomowej) P v0 . . .vn żadna ze zmiennych v0 , . . ., vn nie występuje więcej niż jednokrotnie, czyli vi = vj , jeśli i = j , 0 ≤ i , j ≤ n; (b) ϕ jest formułą języka teorii T (czyli nie występuje w niej litera predykatowa P ); (c) zmienne występujące w ϕ jako wolne znajdują się wśród zmiennych v0 , . . ., vn (odwrotnie nie musi zachodzić). W tradycyjnej terminologi P v0 . . .vn określa się jako definiendum a ϕ jako definiens. PRZYKŁAD Z artytmetyki znamy literę predykatową „≤”. W języku, w którym występują litery predykatowe „ 0). Pod uwagę bierzemy pierwsze, licząc od lewej, wystąpienie termu F -prostego. W miejsce tego termu wpisujemy zmienną v , która nie występuje w rozważanej formule. W wyniku otrzymujemy P l−1 t0 . . .tm . Formułę P l t0 . . .tm zastępujemy teraz przez ∃v.ϕ(t0 . . .tn v) ∧ P l−1 t0 . . .tm . Procedurę powtarzamy tak długo, aż otrzymamy formułę, w której nie występuje litera funkcyjna F . Z formułami złożonymi postępujemy według wzorów: 1. (¬ψ) = ¬ψ  , 2. (ψ ∨ χ) = ψ  ∨ χ , 3. (psi ∧ χ) = ψ  ∧ χ , 4. (psi ⇒ χ) = ψ  ⇒ χ , 5. (psi ⇔ χ) = ψ  ⇔ χ , 6. (∀v.ψ) = ∀v.ψ  , 7. (∃v.ψ) = ∃v.ψ  . Teraz należy pokazać, że na gruncie teorii T ’ formuła φ jest równoważna formule φ’. Pokażemy więc, że tezą teorii T ’ jest φ ⇔ φ . Faktu tego dowodzimy indukcyjnie. Wpierw przez indukcyję po liczbie wystąpień litery F pokażemy, że teza zachodzi dla formuł atomowych, a następnie przez indukcję po stopniu złożoności formuły pokażemy, że dla dowolnej formuły φ na gruncie teorii T ’ ma miejsce równoważność φ ⇔ φ . Rozpoczynamy od pokazania, że interesująca nas równoważność zachodzi dla formuł atomowych. W wypadku, gdy w formule atomowej φ nie występuje litera F , to φ = φ, a więc zachodzi dowodzona równoważność. 

ZAŁÓŻENIE INDUKCYJNE: Niech na gruncie teorii T  zachodzi równoważność

3.3. DEFINIOWANIE LITER FUNKCYJNYCH

221

1. P k t0 . . .tm ⇔ (P l t0 . . .tm ) . Korzystajć z założenia indukcyjnego pokażemy, że interesująca nas równoważność ma miejsce dla formuły 2. P k+1 t0 . . .tm . Zgodnie z wyżej opisaną procedurą 3. (P k+1 t0 . . .tm ) = ∃v.ϕ(t0 . . .tn v) ∧ P k t0 . . .tm . ???????????????????????????????? Podobnie jak w wypadku liter predykatowych i stałych indywiduowych również dla liter funkcyjnych zachodzi twierdzenie o nietwórczości. Głosi ono TWIERDZENIE 9. (O NIETWÓRCZOŚCI ZDEFINIOWANYCH LITER FUNKCYJNYCH) Jeżeli na gruncie teorii T z identycznością (D)

∀v0 , . . ., vn .[ϕv0 . . .vn F v0 . . .vn ]

jest poprawną definicją (n + 1)-argumentowej litery funkcyjnej F , zaś formuła φ nie zawiera litery F oraz jest twierdzeniem teorii T  wyrażonej w języku teorii T wzbogaconym o literę funkcyjną F i powstałą z teorii T przez dołączenie do niej jako aksjomatu formuły (D), to formuła φ jest twierdzeniem teorii T . DOWÓD Oczywiście – podobnie jak to miało miejsce w wypadku poprzednich twierdzeń o nietwórczości – wykorzystane zostaną wyniki twierdzenia o eliminowalności. ????????????????? Z powyższego twierdzenia, podobnie jak w wypadku litery predykatowej i stałej indywiduowej, prosto dostajemy WNIOSEK Jeżeli na gruncie teorii T z identycznością

222

3. DEFINIOWANIE

∀v0 , . . ., vn .[ϕv0 . . .vn F v0 . . .vn ]

jest poprawną definicją litery funkcyjnej F i teoria T jest niesprzeczna, to niesprzeczna jest teoria T  wyrażona w języku teorii T wzbogaconym o literę funkcyjną F powstała z teorii T przez dołączenie do niej jako aksjomatu formuły (D). 3.4. DEFINIOWALNOŚĆ O definicjach mówiliśmy dotychczas tylko jako o sposobie wprowadzania nowych symboli. Zastosowanie nowych symboli w rozwijaniu teorii traktowaliśmy jako sposób na prostsze, zręczniejsze i krótsze wypowiedzenie pewnych twierdzeń. Twierdzenia o eliminowalności zdefinowanych symboli upoważniały nas do równoważnego traktowania teorii z definicjami i teorii bez definicji. Problem definowania daje jednak również okazję do postawienia pytania o definiowalność. Chodzi o to, czy w wypadku «gotowej» teorii nie jest czasem tak, że niektóre jej symbole dają się zdefinować przez pozostałe symbole. Pytanie to jest dla nas ważne z wielu powodów. Dlatego, że najprościej badać własności teorii bez zbędnych elementów, a takimi są symbole, które można wprowadzić za pomocą definicji. A także i dlatego, że interesujące są same związki między treściami (pojęciami), które danym symbolom w teorii przysługują. Możliwość pokazania związków definicyjnych pozwala wyróżnić terminy (pojęcia) pierwotne, czyli terminy (pojęcia), z których żadne nie definiuje się przez pozostałe. Związki te są analogiczne do związków wynikania między zdaniami. Pytanie o terminy (pojęcia) pierwotne jest analogiczne do pytania o niezależne aksjomaty teorii; czyli aksjomaty, z których żaden nie daje się dowieść z pozostałych. Opis aksjomatyki teorii można uprościć pomijając aksjomaty, które są zależne (od pozostałych). Podobnie można uprościć opis aparatury pojęciowej teorii redukując pojęcia pierwotne do tych, z których żadne nie definiuje się przez pozostałe. Możliwość zdefiniowania pewnych pojęć przez inne rzuca światło na ich uszeregowanie. Pojęcia, za pomocą których można określić inne, są to pojęcia jak gdyby «mocniejsze».

3.4. DEFINIOWALNOŚĆ

223

Analogia pomiędzy definiowalnością a wynikaniem ma miejsce również w wyróżnieniu pojęcia definiowalności semantycznej i pojęcia definiowalności syntaktycznej. W powyższej wypowiedzi wyraża się to w równoległym traktowaniu pojęć i symboli. Jeżeli bowiem jakaś litera jest poprawnie zdefiniowana (syntaktycznie) na gruncie teorii T , to jej interpretacja w modelu teorii T będzie wyznaczona przez interpretację symboli, za pomocą których została ona zdefiniowana (definicja semantyczna). Tak samo, jeżeli jakiś obiekt modelu teorii T jest interpretacją jakiegoś wyrażenia języka teorii T (definicja semantyczna), to do języka tej teorii można wprowadzić symbol (definicja syntaktyczna), którego interpretacją w tym modelu teorii T będzie ten obiekt. W naszych rozważaniach ograniczymy się do definiowalności liter predykatowych. Problematyka definiowalności pozostałych symboli (pojęć) jest analogiczna. Twierdzenie o niesprzeczności głosi, że jeżeli jakaś formuła ϕ wynika syntaktycznie z jakiegoś zbioru formuł Σ, to również z tego zbioru zdań wynika ona semantycznie; czyli jeżeli Σ ϕ, to Σ |= ϕ. Przez kontrapozycję tego twierdzenia mamy, że jeżeli jakaś formuła ϕ nie wynika semantycznie z jakiegoś zbioru Σ, to równiez nie wynika syntaktycznie z tego zbioru; czyli jeżeli nieprawda, że Σ |= ϕ, to nieprawda, że Σ ϕ. Twierdzenie to umożliwia dowodzenie niezależności (braku wynikania) jakiejś formuły ϕ od jakiegoś zbioru Σ, w szczególności niezależności jakiegoś aksjomatu od pozostałych aksjomatów77 . Znajduje się model Σ, w którym ϕ nie jest spełnione. Na tej podstawie wnioskuje się, że ϕ nie wynika syntaktycznie z Σ. Twierdzenie o pełności głosi, że jeżeli jakaś formuła ϕ wynika semantycznie z jakiegoś zbioru Σ, to również wynika syntaktycznie z 77

Metoda ta została zastosowana w rozwiązaniu słynnego problemu niezależności (od pozostałych aksjomatów) piątego aksjomatu geometrii euklidesowej (aksjomatu głoszącego, że przez dany punkt można przeprowadzić dokładnie jedną prostą równoległą do danej prostej). W 1871 r. wskazana została taka interpretacja aksjomatów geometrii Euklidesa, że wszystkie oprócz piątego były prawdziwe. Tym samym rozwiązany został spór trwający ponad dwa tysiące lat.

224

3. DEFINIOWANIE

tego zbioru; czyli jeżeli Σ |= ϕ, to Σ ϕ. Przez kontrapozycję dostajemy, że jeżeli jakaś formuła ϕ nie wynika syntaktycznie z jakiegoś zbioru Σ, to również nie wynika semantycznie z tego zbioru; czyli jeżeli nieprawda, że Σ ϕ, to nieprawda, że Σ |= ϕ. Pokazuje to, że metoda dowodzenia niezależności formuł (aksjomatów) od jakiegoś zbioru (aksjomatów) Σ oparta o kontrapozycję twierdzenia o niesprzeczności jest metodą, która daje się stosować w dowolnym wypadku: niezależnie od tego, o jaką formułę i o jaki zbiór chodzi. Zawsze bowiem, gdy nie ma wynikania syntaktycznego nie ma i wynikania semantycznego. Metoda Padoa dowodzenia niedefiniowalności jest metodą analogiczną do metody dowodzenia niezależności formuł tyle, że w odniesieniu nie do formuł, a liter i w odniesieniu nie do wynikania, a do definiowania78 . Metoda ta, najogólniej biorąc, polega na wskazaniu dwóch interpretacji (modeli) danej teorii T takich, że w jednej i drugiej (odpowiednio, jednym i drugim) interpretacje każdego symbolu są takie same zaś symbol P – o którego definowalność pytamy się – ma różne interpretacje. Gdyby na gruncie teorii T była możliwa poprawna definicja litery P , to nie byłoby możliwe istnienie takich modeli teorii T , które różnią się tylko interpretacją litery P . Metoda ta, podobnie jak metoda dowodzenia niewyprowadzalności, jest metodą dającą się stosować w dowolnym wypadku: niezależnie od tego, o jakie pojęcie i o jaki zbiór pojęć chodzi. Fakt ten ma podstawę w kontrapozycji twierdzenia, że jeżeli nie ma modeli teorii różniących się tylko interpretacją litery P , to litera ta jest definiowalna. Powyższym uwagom nadamy teraz ścisłą postać. 78

Metoda ta została zastosowana w pracy Padoa [1900]. Ścisłego sformułowania metody Padoa dokonał A. Tarski.

3.4. DEFINIOWALNOŚĆ

225

Podstawą dla określenia pojęcia jawnej definiowalności syntaktycznej litery predykatowej jest reguła definiowania liter predykatowych. (Podobnie jest w wypadku pojęcia jawnej definiowalności syntaktycznej liter funkcyjnych i stałych indywiduowych. O tym jednak tu – zgodnie z zapowiedzią – mówić nie będziemy.) DEFINIOWALNOŚĆ SYNTAKTYCZNA (n + 1)-argumentowa litera predykatowa P jest jawnie definiowalna syntaktycznie w teorii T wtedy i tylko wtedy, gdy T ∀v0 , . . ., vn .[P v0 . . .vn ⇔ ϕ],

gdzie (a) w formule (atomowej) P v0 . . .vn żadna ze zmiennych v0 , . . ., vn nie występuje więcej niż jednokrotnie, czyli vi = vj , jeśli i = j , 0 ≤ i , j ≤ n; (b) w formule ϕ nie występuje litera P ; (c) zmienne występujące w ϕ jako wolne znajdują się wśród zmiennych v0 , . . ., vn (odwrotnie nie musi zachodzić). Skrótowo mówiąc, termin jest jawnie definiowalny syntaktycznie w teorii, gdy pewna jego definicja jest twierdzeniem tej teorii lub – co na jedno wychodzi – pewne twierdzenie tej teorii jest jego definicją. (n + 1)-argumentowa litera predykatowa P jest niejawnie definiowalna syntaktycznie w teorii T wtedy i tylko wtedy, gdy T ∪ T  ∀v0 , . . ., vn .[P v0 v1 . . .vn ⇔ P  v0 v1 . . .vn ],

gdzie T  jest zbiorem wszystkich formuł uzyskanych z twierdzeń teorii T przez zastąpienie litery P w każdym miejscu, w którym ona występuje przez literę P  , a P  jest literą, która nie występuje w twierdzeniach teorii T . Mówiąc po prostu, niejawna definiowalność syntaktyczna oznacza, że znaczenie (syntaktyczne) symbolu P zostało w teorii T jednoznacznie wyznaczone przez konteksty, w których litera P występuje w teorii T , czyli przez twierdzenia tej teorii. PRZYKŁAD

226

3. DEFINIOWANIE

Dla bliższego zrozumienia o co chodzi, gdy mówimy o niejawnym definiowaniu rozważmy analogiczny problem, jakim jest wyznaczenie znaczeń niewiadomych przez układ równań. Układ równań liniowych x + 2y = 4 2x + y = 5

ma dokładnie jedno rozwiązanie, mianowicie x = 2; y = 1. (Tym, co jest jednoznacznie wyznaczone jest para: x(= 2) i y(= 1); lub – w interpretacji geometrycznej w układzie kartezjańskim – punkt przecięcia się prostych określonych przez równania). Konteksty, w których x i y wystąpiły jednoznacznie wyznaczyły wartości x i y . Układ 2x + 3y = 11 4x + 6y = 22

nie wyznacza dokładnie jednych wartości x i y spełniających te równania (równania te są zależne). Nawet gdy ograniczymy się do rozwiązań w liczbach naturalnych mamy dwa rozwiązania: 1. x = 4, y = 1; 2. x = 1, y = 3.
Pojęcia definiowalności semantycznej uzyskamy zastępując w charakterystyce pojęcia definiowalności syntaktycznej symbol „ ” przez „|=”. DEFINIOWALNOŚĆ SEMANTYCZNA (n + 1)-argumentowa litera predykatowa P jest jawnie definiowalna semantycznie w teorii T wtedy i tylko wtedy, gdy T |= ∀v0 , . . ., vn .[P v0 . . .vn ⇔ ϕ],

gdzie (a) w formule (atomowej) P v0 . . .vn żadna ze zmiennych v0 , . . ., vn nie występuje więcej niż jednokrotnie, czyli vi = vj , jeśli i = j , 0 ≤ i, j ≤ n; (b) w formule ϕ nie występuje litera P ; (c) zmienne występujące w ϕ jako wolne znajdują się wśród zmiennych v0 , . . ., vn (odwrotnie nie musi zachodzić).

3.4. DEFINIOWALNOŚĆ

227

Mówiąc po prostu definiowalność semantyczna ma miejsce wtedy i tylko, gdy w każdym modelu teorii T interpretacje P i ϕ są równe jedna drugiej. (n + 1)-argumentowa litera predykatowa P jest niejawnie definiowalna semantycznie w teorii T wtedy i tylko wtedy, gdy T ∪ T  |= ∀v0 , . . ., vn .[P v0 v1 . . .vn ⇔ P  v0 v1 . . .vn ],

gdzie T  jest zbiorem wszystkich formuł uzyskanych z twierdzeń teorii T przez zastąpienie litery P w każdym miejscu, w którym ona występuje przez literę P  , a P  jest literą, która nie występuje w twierdzeniach teorii T . Mówiąc po prostu niejawna definiowalność semantyczna ma miejsce wtedy i tylko, gdy nie ma modeli teorii T różniących się tylko interpretacją litery P . Na podstawie twierdzeń o niesprzeczności i pełności stwierdzamy, że TWIERDZENIE 10. Litera predykatowa P jest na gruncie teorii T jawnie (niejawnie) definiowalna syntaktycznie wtedy i tylko wtedy, gdy na gruncie tej teorii jest jawnie (niejawnie) definiowalna semantycznie. Można pokazać, że TWIERDZENIE 11. Jeżeli litera predykatowa P jest jawnie definiowalna syntaktycznie (semantycznie) w teorii T , to jest niejawnie definiowalna syntaktycznie (semantycznie) w teorii T . DOWÓD Ograniczymy się tylko do definowalności syntaktycznej. Niech T  będzie zbiorem wszystkich formuł uzyskanych z twierdzeń teorii T przez zastąpienie wszystkich wystąpień (n + 1)-argumentowej litery predykatowej P przez literę P  (P  nie występuje w twierdzeniach teorii T ). Niech w teorii T litera P będzie jawnie definiowalna syntaktycznie i niech ϕ będzie tą definicją. Zgodnie z określeniem jawnej

228

3. DEFINIOWANIE

definiowalności syntaktycznej litera P nie występuje w ϕ. Ponieważ twierdzeniem teorii T jest P v0 v1 . . .vn ⇔ ϕ, więc zgodnie z określeniem T  do T  należy P  v0 v1 . . .vn ⇔ ϕ. W takim razie na podstawie prawa [(α ⇔ β) ∧ (β ⇔ γ)] ⇒ (α ⇔ γ) P v0 v1 . . .vn ⇔ P  v0 v1 . . .vn , czyli ma miejsce niejawna definiowalność syntaktyczna litery P . WNIOSEK 1. Jeżeli litera predykatowa P jest jawnie definiowalna syntaktycznie (semantycznie) w teorii T , to jest niejawnie definiowalna semantycznie (syntaktycznie) w teorii T . Przez kontrapozycję tego wniosku mamy WNIOSEK 2. Jeżeli litera predykatowa nie jest niejawnie definiowalna semantycznie (syntaktycznie) w teorii T , to nie jest też jawnie definiowalna syntaktycznie (semantycznie) w teorii T . Wniosek ten – w związku z wyżej podanym rozumieniem niejawnej definiowalności semantycznej – daje podstawę dla metody Padoa: jeżeli istnieją modele teorii T różniące się tylko interpretacją litery P , to litera ta nie jest jawnie definiowalna syntaktycznie w teorii T . PRZYKŁAD Metodę Padoa można zilustrować na analogicznym przykładzie układu równań liniowych. Zauważając, że zarówno x = 1, y = 3; jak i x = 4, y = 1 spełniają układ równań 2x + 3y = 11 4x + 6y = 22

tym samym pokazujemy, że stosując zwykłą procedurę rozwiązywania układu równań liniowych (procedurę syntaktyczną) nie wyznaczymy dokładnie jednej wartości pary: x, y .


3.4. DEFINIOWALNOŚĆ

229

TWIERDZENIE 12. (BETHA) Jeżeli litera predykatowa P jest niejawnie definiowalna syntaktycznie (semantycznie) w teorii T , to jest jawnie definiowalna syntaktycznie (semantycznie) w teorii T . DOWÓD Niech (n+1)-argumentowa litera predykatowa P będzie niejawnie definiowalna w teorii T . Zgodnie z określeniem niejawnej definiowalności syntaktycznej zachodzi T ∪ T  ∀v0 , . . ., vn .[P v0 v1 . . .vn ⇔ P  v0 v1 . . .vn ], gdzie T  jest zbiorem wszystkich formuł uzyskanych z twierdzeń teorii T przez zastąpienie litery P w każdym miejscu, w którym ona występuje przez literę P  , a P  jest literą, która nie występuje w twierdzeniach teorii T . Na podstawie twierdzenia o zwartości istnieją skończone podzbiory Σ(⊆ T ) i Σ (⊆ T  ) takie, że Σ ∪ Σ P v0 v1 . . .vn ⇔ P  v0 v1 . . .vn . Niech w Σ i Σ nie występują zmienne wolne. Zgodnie z regułami rachunku predykatów dołączając do języka stałe: c0 , c1 , . . ., cn

mamy Σ ∪ Σ P c0 c1 . . .cn ⇔ P  c0 c1 . . .cn .

Niech σ będzie koniunkcją wszystkich zdań z Σ, a σ koniunkcją wszystkich zdań ze zbioru Σ , zatem mamy σ ∧ σ  P c0 c1 . . .cn ⇔ P  c0 c1 . . .cn . Z tego dostajemy σ ∧ σ  P c0 c1 . . .cn ⇒ P  c0 c1 . . .cn .

Zgodnie z prawami rachunku zdań jest to równoważne σ ∧ P c0 c1 . . .cn σ  ⇒ P  c0 c1 . . .cn . Zauważmy, że litera P występuje tylko po lewej, a litera P  tylko po prawej stronie symbolu . Na podstawie lematu Craiga istnieje formuła interpolacyjna nie zawierająca liter P i P  , w której w szczegól-

230

3. DEFINIOWANIE

ności występują wszystkie stałe c0 , c1 , . . ., cn . Zaznaczmy ten ostatni fakt pisząc Θ(c0 c1 . . .cn ). Θ(c0 c1 . . .cn ) jest taka, że 1. σ ∧ P c0 c1 . . .cn Θ(c0 c1 . . .cn ) 2. Θ(c0 c1 . . .cn ) σ ⇒ P  c0 c1 . . .cn . Z (1) mamy 3. σ P c0 c1 . . .cn ⇒ Θ(c0 c1 . . .cn ). Ponieważ P nie występuje w Θ(c0 c1 . . .cn ), więc z (2) dostajemy 4. σ Θ(c0 c1 . . .cn ) ⇒ P c0 c1 . . .cn . W σ nie występują stałe c0 , c1 , . . ., cn , więc na podstawie reguł rachunku predykatów mamy 5. σ P v0 v1 . . .vn ⇔ Θ(v0 v1 . . .vn ). Ponieważ σ ∈ T , więc ostatecznie 6. T P v0 v1 . . .vn ⇔ Θ(v0 v1 . . .vn ). Twierdzenie to – mówiąc po prostu – głosi, że jeżeli jakieś pojęcie jest jednoznacznie określone przez konteksty, w których występuje, to istnieje jego jawna definicja syntaktyczna, czyli w teorii istnieje formuła jemu równoważna spełniająca wszystkie warunki nałożone na jego poprawną jawną definicję. WNIOSEK 1. Jeżeli litera predykatowa P jest niejawnie definiowalna syntaktycznie (semantycznie) w teorii T , to jest jawnie definiowalna semantycznie (syntaktycznie) w teorii T . Przez kontrapozycję tego ostatniego wniosku dostajemy WNIOSEK 2. Jeżeli litera predykatowa P nie jest jawnie definiowalna semantycznie (syntaktycznie) w teorii T , to nie jest niejawnie definiowalna syntaktycznie (semantycznie) w teorii T . Wniosek ten głosi więc, że jeżeli wykażemy, iż nie istnieje taka formuła ϕ (spełniająca wszystkie warunki nałożone w określeniu jawnej definicji semantycznej), której interpretacja w każdym modelu teorii

3.4. DEFINIOWALNOŚĆ

231

T byłaby równa interpretacji litery P w tym modelu, to nie istnieje

niejawna syntaktyczna definicja tej litery, czyli znaczenie (syntaktyczne) litery P nie jest jednoznacznie określone w teorii T . Wniosek ten daje podstawę dla uznania ogólności metody Padoa. Twierdzenie będące «złożeniem» obu twierdzeń poprzednich, 11 i 12, określane jest jako twierdzenie Craiga79 . TWIERDZENIE 13. (CRAIGA) Litera predykatowa P jest niejawnie definiowalna syntaktycznie (semantycznie) w teorii T wtedy i tylko wtedy, gdy jest jawnie definiowalna syntaktycznie (semantycznie) w teorii T .

79

Craig dowiódł tego twierdzenia w [1957a].

4. SYSTEMY SFORMALIZOWANE I ARYTMETYKA 4.1. POJĘCIE SYSTEMU SFORMALIZOWANEGO Dążność do jasności wypowiedzi i pewności twierdzeń jest celem nauki od samych jej początków. Ponad wątpliwość cele te w najwyższym stopniu udało się osiągnąć naukom dedukcyjnym. Odpowiedź na pytanie, jak należy postępować, aby w możliwie najwyższym stopniu zrealizować ten ideał, jak w wypadku wszystkich innych nauk, tak i w wypadku logiki i matematyki, daje metodologia nauk dedukcyjnych, a w szczególności metodologia matematyki80 Swoją szczególną pozycję nauki dedukcyjne zawdzięczają wynalezieniu systemu dedukcyjnego. Aksjomatyczne ujęcie teorii nie jest czymś nowym. Historycznie pierwszym systemem aksjomatycznym była geometria matematyka greckiego Euklidesa (ok. 365– ok. 300 p.n.e.). Stanowiła ona podsumowanie trzystu lat działalności matematyków greckich i zarazem fundament dalszego rozwoju matematyki. Sam Euklides pozostawał jeszcze pod wyraźnym wpływem Platona, założyciela Akademii i uważał, że nauka nie ma nic wspólnego z praktyką. Za Platonem uznawał też metodę aksjomatyczną za właściwą dla matematyki. Konstrukcja ksiąg Elementów, rozpoczynanie od definicji pojęć swoistych oraz właściwych postulatów i aksjomatów wyraźnie wskazuje na wpływ Arystotelesa i jego metodologii wyłożonej w Analitykach wtórych. 80 Por. Tarski [1994], s.123–124; a na temat związków z terminami „metalogika”, „metamatematyka” i podobne zob. s. 147 oraz przypisy. Termin „metamatematyka” został wprowadzony przez D. Hilberta na oznaczenie badań nad systemami sformalizowanymi. Najważniejszymi zagadnieniami metamatematyki są: niesprzeczność, zupełność i rozstrzygalność teorii.

230

4. SYSTEMY SFORMALIZOWANE I ARYTMETYKA

Przez prawie 2200 lat, do XIX w., jego wykład geometrii, Elementy, były powszechnie używanym podręcznikiem81 . Dla matematyków i nie tylko dla nich, były wzorem. Stanowiły paradygmat matematyki82 . Dla Euklidesa geometria miała być nauką opisującą realną przestrzeń. Jej aksjomaty były traktowane jako prawdy intuicyjnie oczywiste, których nawet nie powinno się dowodzić czy uzasadniać. Była to „la science de la v´erit´e” (Poincar´e). Jej twierdzenia oceniane zaś były w kategoriach prawdy i fałszu83 . Istotny postęp nastąpił dopiero po 1890 r., gdy postać systemu aksjomatycznego uzyskały arytmetyka, dzięki pracom włoskiego matematyka Peano84 i geometria, co było osiągnięciem Hilberta85 . Pojęcie systemu aksjomatycznego podlegało zmianom86 . Na samym początku aksjomaty były zdaniami uznanymi za intuicyjnie oczywiste. Zawierały one pojęcia pierwotne, czyli pojęcia niezdefiniowane. Miały one być intuicyjnie jasne. Znaczenia tych pojęć były charakteryzowane przez aksjomaty. Współczesne rozumienie systemu aksjomatycznego określa się jako system sformalizowany. Pierwsze próby formalizacji podjął Frege. Jego podstawowe dzieło logiczne Begriffsschrift, eine der arithmetischen nachgebildete Formelsprache des reinen Denkens (1879) zawierało pierwszy w dziejach sformalizowany system aksjomatyczny, jakim był implikacyjno-negacyjny rachunek 81

Liczbą wydań i tłumaczeń Elementy ustępują tylko Biblii. Matematyka była wzorem nauki dla racjonalizmu kartezjańskiego. Wspomnijmy tutaj choćby prace filozoficzne pisane more geometrico jak np. najważniejszy traktat B. Spinozy Ethica ordine geometrico demonstrata. „Tak matematycznej postaci filozofia nie miała ani przed Spinozą, ani po nim”. – zob. Tatarkiewicz [1970], t. II, s. 71. 83 Zmiana poglądów nastąpiła w związku z powstaniem systemów geometrii nieeuklidesowych. Od tego czasu geometria przestała być nauką «empiryczną» i stała się nauką abstrakcyjną. 84 Mamy tu na uwadze pracę zbiorową, której redaktorem i głównym autorem jest Peano, Formulaire de math´ ematiques, Torino 1895-1908. Dodajmy jeszcze, że zasługą Peano jest stworzenie bardzo wygodnej i przejrzystej symboliki logicznej i matematycznej, która z niewielkimi zmianami – wprowadzonymi głównie przez Russella – przetrwała do dziś. 85 Mamy tu na uwadze jego słynne dzieło Grundlagen der Geometrie, Leipzig-Berlin, 1899. 86 W sprawie metodologicznego punktu widzenia zob. Ajdukiewicz [1960]. 82

4.1. POJĘCIE SYSTEMU SFORMALIZOWANEGO

231

zdań. Jeśli w początkach aksjomatyzacja sprowadzała się w zasadzie do wskazania pewnych zdań-pewników nie wymagających dowodzenia, pozostawiając resztę intuicji poprawności, to współcześnie intuicyjność została wyeliminowana całkowicie, jedyne co potrzebne to umiejętność rozróżniania napisów jako równokształtnych, bądź nierównokształtnych. Pierwszym etapem formalizacji teorii będzie więc formalizacja języka tej teorii. Teorie matematyczne formułowane są zwykle w języku naturalnym. Korzysta się z jego słownictwa, uzupełniając je jedynie o specyficzne terminy, które są zwykle tworzone według jego norm słowotwórczych. Do tego dochodzą wygodne symbole, umożliwiające krótki i przejrzysty zapis. Wyrażenia buduje się zgodnie z zasadami gramatycznymi. Ocena poprawności językowej należy do kompetencji użytkownika tego języka jako języka codziennego. W wypadku języka sformalizowanego zadany jest słownik poprzez wskazanie wszystkich i tylko «wyrazów», symboli podstawowych, a gramatyka opisana jest «przepisami», regułami na tworzenie wyrażeń poprawnie zbudowanych: ciąg elementów słownika jest poprawnie zbudowanym wyrażeniem danego języka wtedy i tylko, gdy jest utworzony zgodnie z tymi regułami.87 Reguły są tego rodzaju, że ich stosowanie wymaga tylko umiejętności identyfikacji wyrażeń równokształtnych. Z zasady słownik składa się ze znaków stałych logicznych, symboli nazwowych (stałych i zmiennych), liter predykatowych, liter funkcyjnych oraz nawiasów jako znaków interpunkcyjnych. W słowniku wyróżnia się stałe specyficzne teorii, czyli symbole na pojęcia pierwotne formalizowanej teorii. Reguły gramatyczne są różnie opisywane. Bada się różne gramatyki formalne. Fakt, że system ma charakter formalny i że rozwijając go ignorujemy znaczenie wyrażeń nie oznacza, że wypowiedzi matematyczne są pozbawione treści. „Jeśli ktoś przy konstruowaniu nauki zachowuje się tak, jak gdyby nie rozumiał znaczenia terminów tej nauki, to nie jest to jednoznaczne z odmawianiem tym terminom jakiegokolwiek 87

Gdy kontekst wskazuje, że chodzi o wyrażenie poprawnie zbudowane i jest jasne o jaki język chodzi, mówi się po prostu o wyrażeniu.

232

4. SYSTEMY SFORMALIZOWANE I ARYTMETYKA

sensu. Zdarza się, co prawda, że budując pewną teorię dedukcyjną, nie przypisujemy jej terminom określonego znaczenia i odnosimy się do nich jak do symboli zmiennych. [. . . ] Ale sytuacja tego rodzaju [. . . ] zdarza się tylko, gdy dysponujemy kilkoma modelami czy interpretacjami dla systemu aksjomatycznego tej nauki, a więc jeśli mamy szereg możliwości przypisania konkretnego znaczenia terminom występującym w tej nauce, ale [. . . ] żadnej z tych możliwości nie chcemy wyróżnić. Taki natomiast system formalny, dla którego nie potrafilibyśmy podać ani jednego modelu, przypuszczalnie nikogo by nie interesował88 .” Opisując język, w zbiorze wyrażeń wydziela się zdania. Spośród zdań wyróżnia się aksjomaty, które bez dowodu przyjmowane są jako twierdzenia danego systemu. Nie wymaga się, by zdania te były intuicyjnie oczywiste, jak to miało miejsce w wypadku niesformalizowanego systemu aksjomatycznego. Aksjomaty specyficzne to te aksjomaty, które wyróżniają dany system sformalizowany spośród innych systemów sformalizowanych. Są one odpowiednikami aksjomatów niesformalizowanego systemu aksjomatycznego. Pozostałe aksjomaty są aksjomatami przyjętego systemu logiki. Określenie zasad i reguł dowodzenia jest następnym etapem formalizacji teorii. Intuicja poprawności rozumowań zostaje zastąpiona przez reguły wyprowadzania twierdzeń. Dowód formalny to zwykle skończony ciąg formuł danego języka, które są bądź (specyficznymi) aksjomatami rozważanej teorii, bądź tezami przyjętej logiki, bądź dają się z nich wyprowadzić za pomocą przyjętych reguł dowodzenia. Zdanie, dla którego istnieje dowód formalny to twierdzenie. Aksjomaty logiczne i reguły dowodzenia to aparat logiczny systemu sformalizowanego. Dla stwierdzenia poprawności dowodu wystarcza umiejętność identyfikowania wyrażeń równokształtnych, czyli wyrażeń nie różniących się kształtem. Odrzucając z teorii sformalizowanej jej aksjomaty specyficzne otrzymujemy pewien formalny system logiczny. W systemie tym mamy aksjomaty i reguły dowodzenia. Możemy więc tę «resztę» traktować jak system sformalizowany. W naturalny sposób nasuwa się 88

Zob. Tarski [1994], s. 135.

4.1. POJĘCIE SYSTEMU SFORMALIZOWANEGO

233

pytanie, czy taki system pozwala udowodnić wszystkie i tylko tezy logiczne. Na to pytanie daje odpowiedź jedno z najważniejszych twierdzeń logiki matematycznej udowodnione przez K. G¨ odla w 1930 r. Odpowiedź ta jest pozytywna w wypadku teorii elementarnych. Teorie elementarne to zaś takie teorie, które nie zawierają zmiennych wyższych typów, czyli zmiennych, których wartościami mogą być przedmioty nie będące indywiduami, jak zbiory indywiduów, relacje w zbiorze indywiduów, relacje w klasie zbiorów indywiduów itd. W teorii sformalizowanej wyraźnie wskazane są również reguły definiowania89 . Intuicja poprawności definicji zostaje zastąpiona przez reguły formalne. Pojęcia pierwotne scharakteryzowane są przez aksjomaty, wszystkie inne pojęcia wprowadzane są na drodze definicji. Możliwość formalizacji systemu ma znaczenie teoretyczne, w szczególności dla metamatematycznych badań systemów aksjomatycznych. Dla tych celów wystarcza zwykle sam opis formalizacji. W praktyce z zasady nie spotykamy się z wykładem w pełni sformalizowanych teorii, co najwyżej – i to zwykle jako ilustracja – z jakimś fragmentem. Powodem tego jest niezwykła rozwlekłość i nieczytelność dla zwykłego czytelnika tak wyłożonej teorii90 . Mając jakąś teorię (zbiór wszystkich i tylko zdań prawdziwych w określonej dziedzinie) możemy pytać się, czy teoria ta daje się zaksjomatyzować, czy jest aksjomatyzowalna. Czy możliwe jest wybranie spośród jej zdań takich, z których dadzą się udowodnić wszystkie i tylko pozostałe zdania prawdziwe? Okazało się – dowiódł tego G¨ odel – że bogatsze teorie (te które zawierają arytmetykę liczb naturalnych) nie są aksjomatyzowalne. Biorąc jakikolwiek zestaw zdań taki, że można rozstrzygnąć, czy dane zdanie jest aksjomatem nie zbudujemy systemu, którego zbiór twierdzeń byłby równy zbiorowi zdań prawdziwych teorii. Teoria sformalizowana taka, że dla dowolnego zdania (formuły nie zawierającej zmiennych wolnnych) sformułowanego w języku tej teorii ono, bądź jego negacja jest twierdzeniem teorii to teoria zupełna. 89 Jak już wcześniej była o tym mowa, formalizacja definiowania jest osiągnięciem Stanisława Leśniewskiego. 90 Por. przypis na s. 140, Tarski [1994].

234

4. SYSTEMY SFORMALIZOWANE I ARYTMETYKA

Jeśli tak nie jest, to jest to teoria niezupełna. W teorii niezupełnej są zdania nierozstrzygalne, czyli takie formuły bez zmiennych wolnych, że ani one ani ich negacje nie są twierdzeniami. Każde zdanie w dziedzinie jest prawdziwe lub fałszywe. Teorie sformalizowane zawierające arytmetykę liczb naturalnych są niezupełne. Taka jest treść twierdzenia G¨ odla (w postaci wzmocnionej przez Rossera). Twierdzenie to należy do największych odkryć w dziedzinie filozoficznych podstaw matematyki. Wynika z niego również wiele ważnych twierdzeń metamatematycznych, np. dotyczące dowodów niesprzeczności. G¨ odel 91 ogłosił te twierdzenia w 1931 r. a udowodnił w 1930 r. . Alfred Tarski mając na uwadze wyniki G¨ odla odnoszące się do formalizacji teorii pisał: „(. . . ) zastąpienie dawnego psychologicznego pojęcia dowodu przez nowe pojęcie o charakterze czysto formalnym było niewątpliwie jednym z wielkich osiągnięć współczesnej logiki. Jednakże miało w sobie zalążek przyszłej klęski”92 . John Barrow żartobliwie komentując twierdzenie o niezupełności mówił: „Ponieważ religia jest tym, co wymaga wiary w niedowiedlną prawdę, więc matematyka jest jedynym systemem intelektualnym zdolnym dowieść, że jest religią”93 . Aksjomaty charakteryzują pojęcia pierwotne. Pozostałe pojęcia definiowane zgodnie z określonymi zasadami. Można zapytać się, czy charakterystyka pojęć w danej teorii jest tak «mocna», że nie dają się one inaczej rozumieć niż w sposób przez nas zamierzony. Teoria, dla której taka sytuacja miałaby miejsce to teoria kategoryczna. Okazuje się, że geometria euklidesowa płaszczyzny jest teorią kategoryczną. Każde dwie interpretacje tej teorii różnią się nieistotnie. Teorie kategoryczne mają duże znaczenie dla nauki, są one jednak matematycznie nieciekawe. Najciekawsze, z uwagi na zastosowania, są teorie niekategoryczne, dopuszczające wiele istotnie różnych interpretacji i to w dość odległych dziedzinach wiedzy. Teoretycznie każdy układ reguł konstrukcji wyrażeń, reguł definiowania, reguł dowodzenia i aksjomatów jest systemem sformalizowanym. Nie każdy system sformalizowany wart jest jednak badania. 91

Istnieje wiele popularnych ujęć tego twierdzenia, np. Mostowski [1945]. Zob. Tarski [1984], s. 9-30. 93 Tłumaczenie moje: Since religion is what demands the belief in unprovable truth, mathematics is the only intellectual system able to prove that it is a religion. 92

4.1. POJĘCIE SYSTEMU SFORMALIZOWANEGO

235

Podstawowym warunkiem tego, by uznać go za interesujący jest, aby był niesprzeczny, czyli zbiór jego twierdzeń nie może się pokrywać ze zbiorem wszystkich zdań dających się zbudować w języku tego systemu. Niesprzeczność jest jednym z warunków formalnych. Inne warunki mają charakter nieformalny i oparte są o intuicje matematyczne. Po prostu, dobry matematyk czuje, czy dana problematyka jest interesująca, czy też nie. Idea formalizmu w matematyce pojawiła się w związku z programem Hilberta 94 . Chodziło o zbudowanie teorii sformalizowanej obejmującej całą matematykę i udowodnienie jej niesprzeczności. Dowód niesprzeczności musiałby być niepodważalny, a więc przeprowadzony za pomocą bardzo prostych środków logicznych. Program Hilberta załamał się w związku z twierdzeniem G¨odla, że dowód niesprzeczności teorii zawierającej arytmetykę liczb naturalnych można przeprowadzić jedynie na gruncie teorii matematycznej zawierającej w sposób właściwy teorię, której niesprzeczność chcemy udowodnić. W szczególności dowód niesprzeczności arytmetyki liczb naturalnych zawiera tę teorię i jeszcze inne twierdzenia95 . Teoria musi być niesprzeczna. Należy to wykazać. W związku z twierdzeniem G¨odla zrezygnowano z absolutnych dowodów niesprzeczności na rzecz względnych dowodów. Polegają one na tym, że dowodzi się niesprzeczności teorii, zakładając niesprzeczność innej. Teoria, o której się zakłada, że jest niesprzeczna, to teoria intensywnie badana, w której nie wykryto sprzeczności. Na tego rodzaju teorię nadaje się np. arytmetyka liczb naturalnych. Przekonanie o jej niesprzeczności potwierdzają wielowiekowe badania i doświadczenia. Mając ustalony zbiór aksjomatów i reguł dowodzenia można się pytać o ich niezależność, czyli o to, czy jedne z nich nie są wyprowadzalne z drugich. 94 Dawid Hilbert przedstawił swoje idee w 1904 r. Poważne prace rozpoczął dopiero od 1920 i prowadził je ze swoimi współpracownikami P. Bernaysem, W. Ackermanem i J. von Neumanem. Idąc za Kantem za podstawową została uznana intuicja przestrzeni. Odwołanie się do formy, kształtu napisów miało być ostateczne. 95 W zmodyfikowanej wersji idei dowodu niesprzeczności mówi się o prostszych środkach, co nie koniecznie ma oznaczać, że są to słabsze środki.

236

4. SYSTEMY SFORMALIZOWANE I ARYTMETYKA

Systemy równoważne pod względem środków dowodowych to systemy, które nie różnią się zbiorem swoich twierdzeń. System jest najprostszy pod względem środków dowodowych, gdy każdy inny jemu równoważny system ma więcej aksjomatów i reguł dowodzenia. Mając ustalony zbiór pojęć pierwotnych można pytać się, czy jedne z nich nie są definiowalne za pomocą pozostałych. Można pytać się, czy jakieś zasady definiowania nie są zbyteczne. Systemy równoważne pod względem środków wyrazu to systemy, który nie różnią się zasobem definiowalnych pojęć. System jest najprostszy pod względem środków wyrazu, gdy każdy inny jemu równoważny system ma więcej pojęć pierwotnych i reguł definiowania. Można pytać o najprostszy system równoważny danemu zarówno pod względem środków dowodowych jak i środków wyrazu. Odpowiedź na takie pytanie ma zwykle znaczenie metamatematyczne. Praktycznie jest tak, że zwykle przedstawiany system nie jest systemem najprostszym. Są tego powody natury pragmatycznej. Na przykład czasem kosztem zwiększenia liczby aksjomatów uzyskuje się ich większą przejrzystość. 4.2. PROBLEM ROZSTRZYGALNOŚCI Ważnym problemem metamatematyki jest pytanie o rozstrzygalność systemu, czyli o istnienie efektywnej metody pozwalającej dać odpowiedź na pytanie, czy dane zdanie jest, czy też nie jest twierdzeniem teorii. Pytanie to jest ważne również praktycznie96 . Pytanie jest rozstrzygalne wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje metoda, która pozwala znaleźć pozytywną lub negatywną odpowiedź na to pytanie. Metoda ta musi być efektywna, czyli pozytywna lub negatywna odpowiedź na pytanie musi być uzyskiwalna w skończonej ilości kroków (operacji). Metoda ta musi być mechaniczna, czyli dać się jednoznacznie opisać za pomocą skończonego ciągu słów i (lub) symboli. Metoda, której nie można w ten sposób określić, nie dałaby się przedstawić jako program dla jakiegokolwiek istniejącego lub 96

Elementarny wykład problematyki rozstrzygalności znajduje się w: Grzegorczyk [1957], zob. również R. Murawski [1990], [1991].

4.2. PROBLEM ROZSTRZYGALNOŚCI

237

tylko teoretycznie możliwego komputera (pewnego urządzenia technicznego). Mechaniczność metody oznacza bowiem, że jej stosowanie nie jest zależne od umiejętności myślenia matematycznego tego, kto tę metodę stosuje. Elementem pojęcia rozstrzygalności jest nie tylko to, że w skończonej ilości kroków można znaleźć odpowiedź twierdzącą na dane pytanie, ale i to, że – w wypadku, gdy poprawna odpowiedź jest odpowiedzią negatywną – również w skończonej, dającej się z góry określić ilości kroków można znaleźć odpowiedź przeczącą. W wypadku teorii rozstrzygalnej, gdy znany jest sposób rozstrzygania, to znajdowanie odpowiedzi na pytanie, czy jakieś zdanie jest twierdzeniem, jest czynnością «mechaniczną». Problem jest nierozstrzygalny, gdy nie istnieje żadna taka metoda, która pozwalałaby w skończonej ilości operacji znajdować pozytywne i negatywne rozwiązania tego problemu. Logik amerykański Alonzo Church [1935] dowiódł – przy założeniu jego tezy, że efektywność opisywalna jest przez obliczalność97 – że nie ma efektywnej metody rozwiązywania pewnej klasy problemów elementarnej teorii liczb. Był to pierwszy wynik tego rodzaju. Church [1936] również dowiódł, że nierozstrzygalny jest rachunek predykatów. Kurt G¨ odel [1931] pokazał, że każda teoria zawierająca arytmetykę liczb naturalnych jest nierozstrzygalna. W szczególności nierozstrzygalna jest sama arytmetyka liczb naturalnych. Okazuje się, że nie można wskazać żadnego takiego sposobu, dzięki któremu w skończonej ilości kroków znajdowalibyśmy pozytywną lub negatywną odpowiedź na każde pytanie dotyczące liczb naturalnych. Przykładem ułatwiającym zrozumienie pojęcia rozstrzygalności jest pytanie o przynależność jakiejś danej liczby do określonego ciągu liczb (to, jaka liczba jest wyrazem ciągu daje się stwierdzić w skończonej ilości kroków). Pytanie jest na pewno rozstrzygalne, gdy ciąg liczb, o przynależność do którego pytamy, jest skończony: w skończonej ilości kroków będzie można wymienić wszystkie wyrazy tego ciągu, a następnie w skończonej ilości kroków – zawsze można jako 97

Zob. teza Churcha.

238

4. SYSTEMY SFORMALIZOWANE I ARYTMETYKA

ilość graniczną przyjąć ilość wyrazów ciągu – stwierdzić, czy liczba, o którą pytamy się jest elementem tego ciągu. Pytanie takie będzie rozstrzygalne także w wypadku nieskończonego ciągu, którego kolejne wyrazy są większe od poprzednich: zawsze dla danej liczby będzie można wskazać skończony odcinek tego ciągu, w którym to odcinku liczba ta jest lub jej w ogóle w ciągu nie ma. Nie jest jednak tak w wypadku dowolnego ciągu nieskończonego. Nie istnieje bowiem żadna ogólna metoda znajdowania odpowiedzi na pytanie, czy dana liczba nie jest wyrazem danego ciągu liczb. Chociaż zawsze w skończonej ilości kroków można znaleźć odpowiedź pozytywną – po prostu sprawdzając kolejne wyrazy ciągu, to jednak w ten sposób nie uzyskamy nigdy odpowiedzi negatywnej, że jakaś liczba nie jest wyrazem danego nieskończonego ciągu. W ten sposób bowiem postępując nigdy nie możemy mieć pewności, czy dana liczba nie jest kolejnym wyrazem badanego ciągu. W takim wypadku mówi się o półrozstrzygalności. Pytanie jest półrozstrzygalne wtedy i tylko wtedy, gdy (I) w skończonej ilości kroków (operacji) możemy znaleźć na nie odpowiedź, jeśli jest to odpowiedź pozytywna, bądź (symetrycznie) (II) w skończonej ilości kroków (operacji) możemy znaleźć na nie odpowiedź, jeśli jest to odpowiedź negatywna. Półrozstrzygalny jest rachunek predykatów: jeżeli formuła jest twierdzeniem, to ma dowód. Wszystkie dowody możemy uporządkować w ciąg nieskończony. Dowód danego twierdzenia musi znajdować się w tym ciągu na określonym miejscu. Jeżeli jednak formuła nie jest twierdzeniem, to nie mamy możliwości stwierdzenia, że w tym ciągu nie ma jej dowodu: fakt, że do n-tego miejsca żaden wyraz ciągu nie jest jej dowodem nie wyklucza przecież, że dowód może znajdować się na (n + 1)-szej pozycji. Można pokazać, że rozstrzygalne jest pytanie, czy dany ciąg symboli jest zdaniem języka klasycznej logiki zdań. Pojęcie rozstrzygalności jest niezwykle ważne. Wyznacza ono granicę między tym, co daje się zmechanizować, a więc tym, w czym człowieka może zastąpić jakaś maszyna – komputer, a tym, co wymaga

4.2. PROBLEM ROZSTRZYGALNOŚCI

239

twórczego umysłu. Podany opis metody rozstrzygania nie jest precyzyjny. Przytoczone określenie ma na celu tylko przybliżenie pojęcia rozstrzygalności. Nie zamierzamy tu bowiem podać formalnej jego definicji. Nie precyzujemy bliżej pojęcia metody: «kroków», które wolno stosować. Matematycy podawali różne definicje metody oparte na różnych intuicjach. W każdym wypadku chodziło jednak o uniezależnienie trybu postępowania i wykonywania poszczególnych czynności od umiejętności matematycznych wykonawcy. Można wyróżnić zasadnicze trzy idee. Jedni dążyli do uściślenia pojęcia przepisu przez podanie reguł postępowania, z jakich przepisy mogą się składać. W ten sposób powstało pojęcie algorytmu 98 . Drudzy za punkt wyjścia brali pojęcie maszyny. Metoda rozstrzygania istnieje, gdy można skonstruować (teoretycznie) maszynę, która po dostarczeniu jej formuły i wykonaniu skończonej liczby czynności zasygnalizuje odpowiedź na pytanie, czy ta formuła jest lub czy nie jest twierdzeniem. Ideę takiej maszyny realizuje np. maszyna Turinga. Trzecie wreszcie pojęcie metody rozstrzygania chciano wyrazić za pomocą elementarnych operacji arytmetycznych na liczbach naturalnych. Działania arytmetyczne, np. dodawanie, są ściśle określone, pojęcie metody zostanie więc sprecyzowane. Z tych dążeń wyłoniły się dział arytmetyki liczb naturalnych zwany teorią funkcji rekurencyjnych oraz pojęcie funkcji obliczalnej. Już w 1936 r. A. Church wysunął hipotezę, że każde postępowanie efektywne daje się opisać za pomocą funkcji obliczalnych. Wszystkie stworzone dotąd definicje efektywnej metody, zarówno korzystające z pojęcia algorytmu jak i maszyny Turinga, dają się opisać za pomocą funkcji obliczalnych. Hipoteza wysunięta przez Churcha nosi 98

Słowo „algorytm”, po łacinie „algorithmus” wywodzi się z połączenia greckiego „arithm´ os” – liczba oraz „algorism” oznaczającego w średniowieczu sztukę rachowania przy zastosowaniu zapisu arabskiego. Słowo „algorism” miałoby zaś pochodzić od nazwiska perskiego matematyka Muhameda ibu-Musy al-Chorezmi, który opisał zasady takiego rachunku. Od słów al jabr zawartych w tytule jednego z jego dzieł miałby zaś pochodzić termin „algebra”.

240

4. SYSTEMY SFORMALIZOWANE I ARYTMETYKA

nazwę tezy Churcha. Nie jest możliwy jej dowód. Mogłaby zaś zostać obalona, gdyby znaleziono metodę intuicyjnie efektywną i nie dającą się opisać za pomocą funkcji obliczalnych. Jak dotychczas nie ma to miejsca. Inaczej mówiąc, teza Churcha stwierdza, że pojęcie funkcji obliczalnej wyczerpuje intuicyjną treść pojęcia metody efektywnej99 . 4.3. AUTOMATYZACJA DOWODZENIA Pojawienie się komputerów i rozwój informatyki zrodziły nowe zagadnienia formalizacji. Najprościej mówiąc postawiony został problem wykorzystania «myślących maszyn» do uprawiania matematyki (i nie tylko matematyki). Pociągnęło to za sobą nawet problem zmian w tak zdawało się dobrze ustalonych pojęciach jak pojęcie dowodu (matematycznego). Aktualnie zastosowanie komputerów do wspomagania rozumowań stanowi przedmiot intensywnych badań. Świadczy o tym m.in. wielość konferencji i powstanie specjalnie temu zagadnieniu poświęconych periodyków, jak np. Journal of Automated Reasoning. Obok osiągnięc teoretycznych ważne są wyniki praktyczne. Za pomocą automatycznych systemów dowodzenia przeprowadzono dowody twierdzeń o znacznym stopniu złożoności, nawet takich, z którymi człowiek nie potrafił sobie poradzić100 . Rozpoczęto od logiki zdań101 . Chociaż rachunek zdań jest rozstrzygalny, to jednak problemem jest algorytm, który pozwalałby znajdować odpowiedź w «sensownym» czasie. Okazuje się, że w wypadku ogólnym znane są tylko algorytmy o takiej złożoności obliczeniowej, że czas wykonania operacji wzrasta wykładniczo w zależności od liczby liter zdaniowych. 99 Obszerna informacja na dyskutowany temat znajduje się w Stanford Encyclopedia of Philosophy pod hasłem „The Church-Turing Thesis”, http://setis.library.usyd.edu.au/stanford/entries/church-turing/. Oprócz samej tezy i jej historii, podane są przykłady typowych błędnych jej rozumień w filozofii umysłu oraz obszerna bibliografia. 100 Zob. np. Altucher, Panangaden [1990], Wos et al. [1990]. 101 Za pierwszą pracę z tej dziedziny uznaje się artykuł Newella, Shawa i Simona [1957].

4.3. AUTOMATYZACJA DOWODZENIA

241

Rachunek zdań nie jest wszak wystarczającym narzędziem dowodzenia. Problem dowodzenia w rachunku pierwszego rzędu podjęli Wang, Davis, Putnam i Prawitz102 . Duże uznanie zyskała zaproponowana przez Robinsona reguła rezolucji 103 , mająca podstawę w twierdzeniu Herbranda. Dużym wzięciem cieszy się metoda tablic semantycznych. Idea automatycznego wspomagania dowodzenia nie jest nowa. Pomysły takie mieli już Pascal i Leibniz a nawet wcześniejsi autorzy. Współczesne projekty idą bądź w kierunku tworzenia programów komputerowych sprawdzających poprawność dowodu przeprowadzonego przez człowieka (proof-checker), bądź – więcej – w kierunku programów dowodzących twierdzenia zapisane w języku formalnym (prover). W pierwszej połowie 1960 r. Paul Abrahams [1963] zastosował program Lisp dla maszynowej weryfikacji dowodów. Program nazywał się Proofchecker i „był przede wszystkim nastawiony na weryfikację dowodów podręcznikowych, tj. dowodów przypominających te, które normalnie ukazują się w podręcznikach i periodykach”. Abrahams nie odniósł sukcesu. Jak zauważył, jeśli „komputer miałby sprawdzać dowody książkowe słowo po słowie, to musiałby być daleko bardziej inteligentny niż jest to możliwe na obecnym etapie sztuki programowania”104 . Dlatego, jak pisze Abrahams, „użytkownik musi wytworzyć ścisły, tj. całkowicie sformalizowany dowód, o którym sądzi, że przedstawia zamiar autora dowodu książkowego, a następnie użyć komputer do sprawdzenia tego ścisłego dowodu”105 . Dalej Abrahams zauważa, że „zaprogramowanie komputera dla sprawdzenia ścisłego dowodu jest zadaniem trywialnym; jednakowoż, zadaniem trywialnym nie jest wytworzenie takiego dowodu z dowodu książkowego”106 . 102

Por. Elspas, Levitt, Waldinger i Waksman [1972]. Zob. Robinson [1965]. 104 „a computer were to check a textbook proof verbatim, it would require far more intelligence than is possible with the current state of the programming art”. 105 „the user must create a rigorous, i.e. completely formalised proof that he believes represents the intent of the author of the textbook proof, and use the computer to check this rigorous proof”. 106 „it is a trivial task to program a computer to check a rigorous proof; however, it it not a trivial task to create such a proof from a textbook proof”. 103

242

4. SYSTEMY SFORMALIZOWANE I ARYTMETYKA

Konstrukcja programu, który będzie sprawdzał poprawność podręcznikowych dowodów bez udziału człowieka, który przekłada je na język formalny, została poważnie wybrana po raz pierwszy przez Simona [1988]. Tę samą drogę wybrał też C. Zinn [1998], [1999]. Formalizacja dowodu jako punkt wyjścia automatycznego sprawdzania jego poprawności została wybrana przez van Benthem-Jutting [1977]. W języku aut-qe został sformalizowany cały podręcznik Landaua „Grundlagen der Analysis”. W podobnym duchu w Polsce realizowany jest projekt MIZAR107 . Formalizacja dowodu dokonywana jest w języku możliwie bliskim temu, w którym jest on zapisywany w podręcznikach108 . 4.4. LICZBY NATURALNE I INDUKCJA Dla matematyki, oprócz teorii mnogości, zasadniczne znaczenie ma teoria liczb naturalnych. Przedstawimy system aksjomatyczny arytmetyki liczb naturalnych. Następnie przedmiotem rozważań uczynimy indukcję matematyczną. Zasługuje ona na szczególną uwagę jako ważny sposób rozumowania matematycznego. Z arytmetyką pozostaje również w związku definicja indukcyjna. 107

MIZAR jest pomysłem Andrzeja Trybulca, a w białostockim środowisku uniwersyteckim prace nad nim trwają od lat 70-tych, czyli już ponad 20 lat. Aktualnie grupa skupiona wokół inicjatora ma swoich członków w wielu krajach świata (np. Kanada, Japonia, Chiny, Holandia, Niemcy) i koncentruje się na tworzeniu biblioteki artykułów MIZAR-owych. Liczy ona już ponad 300 tekstów. (Idea biblioteki matematycznej ma prekursora w osobie G. Peano. Wydając Formulaire de math´ ematiques miał nadzieję zapisać, korzystając ze swojego języka symbolicznego, wszystkie znane twierdzenia matematyczne różnych dziedzin matematycznych. Pierwsze wydanie Formulaire ukazało się w 1895, a ostatnie – piąte – w 1908. Łącznie zapisanych zostało ponad 4000 twierdzeń.) Prace nad MIZAR-em prowadzone są zgodnie z zasadą „doświadczenie, nie tylko doktryna” – ENOD (experience, not only doctrine termin wprowadzony przez G. Kreisela. W tym wypadku znaczy to, że każdy pomysł jest wpierw implementowany i sprawdzany przez pomysłodawcę. Zaś po zaakceptowaniu przez innych użytkowników staje się częścią projektu. To podejście, ENOD, dotyczy zarówno języka jak i biblioteki. Zob. The Mizar Home Page – http//mizar.uw.bialystok.pl 108 Oczywiście, to podejście nie wyklucza możliwości «czytania» dowodów podręcznikowych. Niezbędny jednak wówczas byłby program tłumaczący język podręcznikowy na język MIZAR.

4.4.1. AKSJOMATYKA PEANO

243

4.4.1. AKSJOMATYKA PEANO Aksjomatyczne ujęcie arytmetyki liczb naturalnych zostało podane przez Giuseppe Peano. Pokazał on, że całą arytmetykę liczb naturalnych można wyprowadzić z pięciu aksjomatów. Mimo późniejszych licznych modyfikacji i prób udoskonaleń, współczesne aksjomatyki nie różnią się istotnie i powszechnie o systemach tych mówi się jako o arytmetyce Peano 109 . Pojęciami pierwotnymi będą N – zbiór liczb naturalnych, „1” to stała indywiduowa – oznacza liczbę 1. „S ” jest jednoargumentową literą funkcyjną – „Sx” oznacza następnik x. Dla zapisania aksjomatów użyjemy pojęć teoriomnogościowych110 . AKSJOMAT I

1 ∈ N,

AKSJOMAT II

∀x ∈ N.(¬Sx = 1),

AKSJOMAT III

∀x ∈ N.∃y ∈ N.∀z ∈ N.[(y = Sx) ∧ (z = Sx ⇒ y = z)],

AKSJOMAT IV

∀x, y, z ∈ N.[(Sy = x ∧ Sz = x) ⇒ y = z],

AKSJOMAT V. ZASADA INDUKCJI

A ⊆ N ⇒ {[(1 ∈ A) ⇒ ∀x.(x ∈ A ∧ Sx ∈ A)] ⇒ ⇒ N ⊆ A}.

109 Aksjomatykę arytmetyki liczb naturalnych podał również Richard Dedekind. Zawarł ją w pracy Was sind und was sollen die Zahlen? [1888]. Sprawą nierozstrzygnięta pozostanie, kto jest autorem aksjomatyki Peano i komu należy przypisać priorytet. Por. w tej sprawie Murawski [1985] oraz [1986], s. 71–87. 110 Liczby naturalne definiuje się w teorii mnogości. Pomysł takiego postępowania pochodzi od Fregego, Die Grundlagen der Arithmetik. Obecnie powszechne jest ujęcie zaproponowane przez von Neumanna [1923], s. 199-208: liczby naturalne to zbiory zdefiniowane indukcyjnie: 1 = ∅, SX = X ∪ {X}. Mamy więc: ∅; {∅}; {∅, {∅}}; {∅, {∅}, {∅, {∅}}}; . . .. Identyfikujemy je, odpowiednio, z 1, 2, 3, 4, . . .. Ci matematycy, którzy chcieli zredukować całą matematykę do arytmetyki liczb naturalnych, nadawali tym liczbom szczególną pozycję. Leopold Kronecker (1823–1891), jeden z nauczycieli akademickich Cantora, na zebraniu w Berlinie w 1886, wypowiedział słynne słowa: „Liczby naturalne stworzył dobry Bóg, wszystko inne jest dziełem ludzkim.” (Die ganzen Zahlen hat der liebe Gott gemacht, alles andere ist Menschenwerk.)

244

4. SYSTEMY SFORMALIZOWANE I ARYTMETYKA

(MATEMATYCZNEJ) Aksjomat (I) głosi, że 1 jest liczbą naturalną; (II) – że 1 nie jest następnikiem żadnej liczby naturalnej; (III) – że każda liczba naturalna ma dokładnie jeden następnik będący liczbą naturalną, czyli S jest funkcją w zbiorze N; (IV) – że liczba naturalna może być następnikiem co najwyżej jednej liczby, czyli relacja odwrotna do S jest funkcją. Aksjomaty (III) i (IV) łącznie stwierdzają, że S jest funkcją wzajemnie jednoznaczną określoną w zbiorze liczb naturalnych N. Szczególną rolę pełni aksjomat (V) – zasada indukcji matematycznej. Głosi on, że jeżeli jakiś podzbiór A zbioru liczb naturalnych N jest tego rodzaju, że liczba 1 jest jego elementem i dla każdego elementu A następnik tego elementu jest elementem zbioru A, to elementami zbioru A są wszystkie liczby naturalne (wszystkie elementy zbioru N). Podany układ aksjomatów wystarczająco dla potrzeb matematyki charakteryzuje pojęcia arytmetyczne. Za pomocą jego pojęć pierwotnych można zdefiniować wszystkie inne interesujące matematyka pojęcia arytmetyczne. W arytmetyce przyjęło się, żeby zmienne, których zakresem jest zbiór liczb naturalnych oznaczać literami: n, m, k , . . . , ewentualnie, gdy istnieje taka potrzeba, stosuje się jeszcze indeksy liczbowe. W arytmetyce Peano definiujemy stałe indywiduowe, oznaczające liczby naturalne, którymi są kolejne następniki 1. Zgodnie z regułą definiowania stałych indywiduowych trzeba pokazać, że każda liczba naturalna ma dokładnie jeden następnik. O tym mówi aksjomat III. Mamy więc: 2 = S1, 3 = S2, . . .. 0 nie jest tu wskazane jako liczba naturalna. Dla niektórych 0 jest liczbą naturalną. Jest tak w wypadku np. Tarskiego111 . Podobnie Frege. Definiuje on 0 następująco: „pojęciu przysługuje liczba 0, gdy nie podpada pod nie żaden przedmiot. Jednakże na miejsce zera weszło tu równoznaczne chyba słowo ‘żaden’ i dlatego lepsze będzie sformułowanie takie: pojęciu przysługuje liczba 0, gdy dla każdego a 111

Zob. Tarski [1994], s. 84–85.

4.4.1. AKSJOMATYKA PEANO

245

jest prawdą, że a pod to pojęcie nie podpada”112 . Hilbert wskazując liczby naturalne zaczyna od 1. To, czy 0 jest, czy nie jest wskazywane jako liczba naturalna jest sprawą intuicji poszczególnych autorów i wiąże się z ich ujęciem liczby naturalnej. Zauważmy jednak, że zero jest bardzo późnym «wynalazkiem». Nie dysponowali nim jeszcze Rzymianie. Nie ma rzymskiego symbolu na liczbę 0. Zera nie znali Grecy, którym tak wiele zawdzięcza matematyka. Zero wynaleziono w Indiach, stamtąd Arabowie przekazali je średniowiecznej Europie i do dzisiaj korzystamy z tego, używając systemu dziesiętnego. Dodajmy nadto, że do XIX w. była jeszcze powtarzana (np. w Logice Ch. Sigwarta) tradycyjna definicja liczby, siegająca jeszcze do Platona, jako wielości jednostek powstających z dodawania. Nie podpadały pod nią ani 0 ani 1. Dodawanie definiuje się indukcyjnie w następujący sposób. (DEF. +) Dla każdego n, m ∈ N: (D+1)

n + 1 = Sn,

(D+2)

n + Sm = S(n + m).

„+” jest literą funkcyjną. Zgodnie z regułą definiowania liter funkcyjnych udowodnić trzeba, że dla dowolnych liczb n i m istnieje liczba n + m oraz że jest jednoznacznie określona, czyli że jeżeli o1 = n + m i o2 = n + m, to o1 = o2 . Mówi o tym tw. 1. TWIERDZENIE 1 Definicja dodawania (DEF. +) określa dokładnie jedną wartość (n + m) dla dowolnych liczb naturalnych n i m. DOWÓD Tezy dowodzimy stosując zasadę indukcji. Niech n będzie dowolną liczbą naturalną. Niech A będzie zbiorem takich liczb naturalnych m, dla których jednoznacznie określona jest suma (n + m). Suma (n + 1) jest jednoznacznie określona w (D+1) jako Sn. Zatem 1 jest elementem A. 112

Zob. Frege G., O pojęciu liczby, cyt. za Murawski [1986], s. 176-177.

246

4. SYSTEMY SFORMALIZOWANE I ARYTMETYKA

ZAŁOŻENIE INDUKCYJNE: Niech k będzie elementem A. Mamy pokazać, że Sk należy do A. Z założenia indukcyjnego jednoznacznie określona jest suma (n + k). Jednoznacznie określony jest następnik każdej liczby jednoznacznie określonej, zatem jednoznacznie określone jest S(n + k). Korzystając z równości (D+2) mamy, że jednoznacznie określona jest wartość (n + Sk). Zatem z tego dostajemy, że Sk należy do A. Do zbioru A należy 1 i jeżeli należy k , to należy Sk . Zbiór A spełnia więc warunki zasady indukcji i na jej podstawie każda liczba naturalna jest elementem A. Dla danego n i dowolnej liczby naturalnej m określona jest wartość (n+m). Ponieważ n jest dowolną liczbą naturalna, więc mamy, że dla dowolnych n i m jednoznacznie określona jest wartość (n + m). Iloczyn liczb naturalnych definiuje się podobnie jak sumę korzystając z definicji indukcyjnej. (DEF. ·) Dla każdego n, m: (D·1)

n·1 =n

(D·2)

n · Sm = (n · m) + n.

Symbol „·”, podobnie jak „+”, jest literą funkcyjną. Zgodnie z regułą definiowania liter funkcyjnych dowieść trzeba, że dla dowolnych liczb naturalnych n i m istnieje n · m i że jest dokładnie jedna taka liczba. Udowodnimy, że TWIERDZENIE 2 Dla dowolnej pary liczb n i m jednoznacznie określona jest wartość n · m. DOWÓD Niech n będzie dowolną liczbą naturalną. Niech A będzie zbiorem takich liczb naturalnych m, dla których jednoznacznie określony jest iloczyn (n · m). Z warunku (D·1) mamy, że jednoznacznie określone jest (n · 1), a więc 1 jest elementem A. ZAŁOŻENIE INDUKCYJNE: Niech k będzie elementem A.

4.4.2. INDUKCJA MATEMATYCZNA

247

Korzystając z założenia indukcyjnego i z tego, że suma liczb naturalnych jest jednoznacznie określona, na podstawie (D·2) – n · Sk = (n · k) + k – mamy, że jednoznacznie określony jest iloczyn (n · Sk). Zatem Sk należy do A. Zbiór A spełnia wszystkie warunki aksjomatu indukcji, więc każda liczba naturalna m jest jego elementem. Dla danego n i dowolnej liczby naturalnej m jednoznacznie określona jest wartość (n · m). Ponieważ n jest dowolną liczbą naturalna, więc mamy, że dla dowolnych n i m jednoznacznie określona jest wartość (n · m). Korzystając z dodawania i mnożenia definiujemy inne operacje i relacje. Na przykład za pomocą dodawania definiujemy relację mniejszości. Liczba naturalna m jest mniejsza od liczby naturalnej n, m < n, wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje liczba naturalna k taka, że m+k = n, czyli: (DEF. −1): (1 + a)n ≥ (1 + na). DOWÓD Dla n = 1 mamy 1. (1 + a)1 = (1 + a), zatem zachodzi 2. (1 + a)1 ≥ (1 + 1·a).

4.4.3. DEFINICJA INDUKCYJNA

253

Załóżmy (założenie indukcyjne), że dla pewnego k : 3. (1 + a)k ≥ (1 + ka). Ponieważ 4. (1 + a)k+1 = (1 + a)k ·(1 + a), to korzystając z złożenia indukcyjnego i faktu, że 5. a > −1 mamy 6. (1 + a)k+1 ≥ (1 + ka)·(1 + a). Ponieważ 7. (1 + ka)·(1 + a) = 1 + (k + 1)a + ka2 , a 8. [1 + (k + 1)a] ≤ [1 + (k + 1)a + ka2 ], więc 9. (1 + a)k+1 ≥ [1 + (k + 1)a].




4.4.3. DEFINICJA INDUKCYJNA Definiowanie przez indukcję jest najbardziej charakterystyczną cechą arytmetyki liczb naturalnych116 . Ten sposób definiowania ma jednak szerszy zakres zastosowań. Stosowaliśmy go w rachunkach logicznych, definiując indukcyjnie zdania, termy i formuły. W najprostszym wypadku definicji indukcyjnej chodzi o określenie ciągu elementów jakiegoś zbioru X , czyli funkcji f , która mając za argument liczbę naturalną przyporządkowuje jej dokładnie jeden element zbioru X , tj. f : N → X . Bezpośrednio podaje się znaczenie f (1). Następnie związuje się znaczenie f (n) ze znaczeniami f (m), dla m < n. Zakłada się, że te zależności jednoznacznie określają f (n), jeśli tylko dane są wszystkie f (m), dla m < n. PRZYKŁADY 116

Zob. Kuratowski, Mostowski [1978], s. 103–107.

254

4. SYSTEMY SFORMALIZOWANE I ARYTMETYKA

1. Według powyższego sposobu definiujemy n!. W tym wypadku zbiór X = N. 1! = 1, (n)! = (n − 1)! · n.

2. Definicję zdania w języku rachunku zdań można przedstawić tak, żeby podpadała pod powyższy wzór definiowania indukcyjnego. Niech s będzie jednym z symboli: ∨, ∧, ⇒, ⇔ . Odpowiednikiem zbioru X jest tym razem klasa wszystkich podzbiorów skończonych ciągów elementów słownika tego języka. Zbiór wszystkich i tylko liter zdaniowych to zbiór przyporządkowany liczbie 1. Liczbie n(∈ N) przyporządkowywany jest zbiór f (n), którego elementami są: ¬α ∈ f (n) wtedy i tylko wtedy, gdy α ∈ f (n − 1), (αsβ) ∈ f (n) wtedy i tylko wtedy, gdy α ∈ f (i), β ∈ f (k) a i + k = (n − 1).


Bardziej ogólna od wyżej opisanej jest definicja indukcyjna z parametrem. Tym razem liczbom naturalnym i elementom zbioru A – zbioru parametrów – przyporządkowywane są elementy zbioru X . Podane jest znaczenie f (1, a), gdzie a ∈ A. Znaczenie f (n, a) określane jest przez znaczenia f (m, b), dla wszystkich m takich, że m < n i wszystkich b(∈ A). PRZYKŁAD Definicja sumy liczb naturalnych jest definicją indukcyjną z parametrem. W tym wypadku A = N, X = N.
Definicja litery funkcyjnej jest poprawna, gdy spełnione są warunek istnienia i warunek jedyności. Aby pokazać, że definiowanie przez indukcję jest uprawnione należy więc udowodnić, że ten sposób definiowania gwarantuje spełnienie obu warunków. Mówi o tym kolejne twierdzenie. TWIERDZENIE 3 Niech A będzie dowolnym zbiorem (zbiór parametrów). Niech X będzie dowolnym zbiorem niepustym. Niech g : A → X oraz h : X ×

4.4.3. DEFINICJA INDUKCYJNA

255

A × N → X będą dowolnymi funkcjami. Istnieje dokładnie jedna funkcja f : A × N → X , spełniająca następujące dwa warunki:

1. ∀x ∈ A.[f (x, 0) = g(x)], 2. ∀x ∈ A.∀n ∈ N.[f (x, n + 1) = h(f (x, n), x, n)]. Twierdzenie to pozostawiamy bez dowodu. Jak uogólnieniu podlega zasada indukcji, tak podobnie można też uogólnić definiowanie na zbiory dobrze ufundowane.

5. ALGEBRA ZBIORÓW 5.0. POCZĄTKI TEORII MNOGOŚCI Teoria mnogości, czyli teoria zbiorów zawdzięcza swe powstanie matematykom XIX w., którzy dążyli do ugruntowania analizy matematycznej i zbadania jej podstawowych pojęć. Pod tym kątem pisane były prace Dedekinda i Du Bois-Reymonda. Początki teorii znajdujemy już w pracach Boole’a, jednak właściwym twórcą teorii mnogości jako odrębnej dyscypliny matematycznej jest Georg Cantor122 . Opublikował on szereg prac poświęconych pojęciu zbioru, podał definicje i twierdzenia teorii mnogości, które do dziś tworzą jej podstawy. Przez wieki niezależnie od siebie rozwijały się pojęcie zbioru i nieskończoności. Zasługą Cantora jest połączenie ich w jednej teorii. To on stworzył teorię mnogości. Jest ona dziełem jednego człowieka. Tym historia teorii mnogości różni się od historii innych działów matematyki. Rozwój większości z nich to długi proces ewolucji idei i zaangażowania wielu matematyków, którzy czasem prawie jednocześnie dokonywali odkryć. Prace Cantora spotykały się z niezrozumieniem i opozycją nawet tak wybitnych matematyków jak np. Gauss. Uważał on, że pojęcie nieskończoności, którego teorią jest w szczególności teoria zbiorów, nigdy nie wejdzie w skład pojęć matematycznych. Miał to być tylko sposób mówienia. Henri Poincare przewidywał, że teoria zbiorów przez przyszłe pokolenia będzie postrzegana jako „choroba, przez którą trzeba było przejść”. Stwierdzenia te były łagodne 122

Georg Ferdinand Ludwig Philip Cantor (1845–1918) urodził się w Sankt Petersburgu. Ojciec był duńskim Żydem wyznania protestanckiego, matka Dunką wyznania rzymsko-katolickiego. Po opuszczeniu w dzieciństwie Rosji, Cantor do końca życia mieszkał w Niemczech. Był profesorem prowincjonalnego Uniwersytetu w Halle. Podstawowe prace ogłaszał w Mathematische Annalen w latach 1879–1893.

260

5. ALGEBRA ZBIORÓW

w porównaniu z działaniami podjętymi przez Kroneckera, jednego z nauczycieli Cantora123 . Zwalczał on Cantora nie przebierając w środkach i na wszelkich płaszczyznach, nawet jego samego, podobno nazywając go „deprawatorem młodzieży”124 . Uniemożliwił mu pracę na prestiżowym Uniwersytecie Berlińskim. Cantor przechodził nerwowe załamania. Od 1884 r. przez resztę życia leczył się psychiatrycznie. Nieskończoności obawiali się matematycy starożytnymi. Na przykład Grecy odrzucali liczby niewymierne, bo wiązało się to z nieskończonością. Czyniono to z powodu paradoksów z nią związanych, na które już wskazywał Zenon z Elei (ok. 490 – ok. 430 p.n.e.). Wśród współczesnych Cantorowi byli jednak i tacy matematycy, którzy od razu zrozumieli znaczenie i rolę teorii mnogości. Należeli do nich Mittag-Leffler, Weierstrass i wieloletni przyjaciel Cantora Richard Dedekind. Szerszą akceptację Cantor zaczął znajdować na przełomie wieków. Na Kongresie Matematycznym w Zurichu w 1897 r. prace Cantora spotkały się z najwyższym uznaniem wielu, w tym Hurwitza i Hadamarda. W 1904 Cantor został członkiem Londyńskiego Towarzystwa Matematycznego oraz Towarzystwa Naukowego w G¨ottingen. W pierwszych latach XX w. teoria mnogości przechodzi kryzys. Prace Cantora owiane były duchem mistycyzmu. Szukając filozoficznych uzasadnień zbiorów nieskończonych, odwoływał się do metafizyki i teologii. Wyniki zaś interpretował w duchu religijnym. Zresztą i odwrotnie: Cantor znalazł wiernych czytelników i odbiorców swoich idei właśnie wśród filozofów i teologów. To zaś narażało na możliwość wejścia w konflikt z ortodoksją katolicką. Cantor musiał np. szukać rozwiązań, które uchroniłyby go przed podejrzeniami o tendencje panteistyczne. W swoich rozważaniach o zbiorach kierował się intuicyjnym pojęciem zbioru. Takie niesprecyzowane pojęcie okazało się zawodne w wypadku bardziej subtelnych rozważań. Na przykład nie było jednoznacznej odpowiedzi na pytanie, czy istnieje zbiór wszyst123

Cantor studiował w Berlinie, gdzie jego nauczycielami byli najwięksi matematycy tamtych czasów, m.in. Kronecker i Weierstrass. 124 Interesujące, że jezuici zastosowali jego teorię do dowodu istnienia Boga i Świętej Trójcy. Cantor, który sam był wybitnym teologiem, zdystansował się od tych „dowodów”.

5. ALGEBRA ZBIORÓW

261

kich zbiorów. W konsekwencji pojawiły się antynomie, czyli rozważania intuicyjnie poprawne prowadzące jednak do sprzeczności125 . Jednak – powtarzając za Whiteheadem – a contradiction is not a failure, it’s an opportunity126 . Kryzys został opanowany w 1904 r. przez Zermelo (i jego kontynuatorów) dzięki sformułowaniu systemu aksjomatycznego. Ujęcie zaproponowane przez Zermelo a kontynuowane przez Fraenkla, Johna von Neumana i innych, zrodziło nowe problemy, z których wiele pozostaje nierozwiązanych do dziś. Wątpliwości budzi np. aksjomat wyboru, który umożliwia konstrukcję «patologicznych» zbiorów. Pierwsze ćwierćwiecze XX w. jest okresem tryumfu teorii mnogości, jej metod i pojęć. Ważny wkład w rozwój teorii mnogości wnieśli matematycy polscy. Na przykład wydana w 1912 r. książka Wacława Sierpińskiego Zarys teorii mnogości była jednym z pierwszych podręczników tej dziedziny w literaturze światowej. Zgodnie z planem wyznaczonym przez organizatorów Polskiej Szkoły Matematycznej, przede wszystkim Janiszewskiego, jej prace koncentrowały wokół teorii mnogości. „Fundamenta Mathematicae”– pismo tej szkoły – stało się światowym organem teorii mnogości. Tu głównie zajmiemy się fragmentem teorii mnogości dającym się przedstawić w oparciu o intuicyjne pojęcia zbioru i elementu zbioru (czyli na gruncie «naiwnej» teorii mnogości), tak zwaną algebrą zbiorów (rachunkiem zbiorów)127 . Badać będziemy operacje na zbiorach. 125

Chronologicznie pierwszą antynomią, znaną już Cantorowi w 1895 r., jest rozumowanie podane w [1897] przez włoskiego matematyka Burali-Forti. Opiera się ono na pojęciu zbioru wszystkich liczb porządkowych. Sądzi się, że Cantor paradoks ten odkrył sam w 1885 r. i pisał o nim w liście do Hilberta w 1886 r.. W 1899 r. Cantor odkrył paradoks zbioru wszystkich zbiorów. Ostateczna antynomia oparta na podziale zbiorów na te, które są i te, które nie są swoimi elementami, podana została przez Russella (i niezależnie przez Zermelo). W liście z 16 czerwca 1902 r. do Fregego, Russell pisał o skonstruowaniu antynomii w oparciu o aksjomaty z Grundgesetze der Arithmetik [1893]. Zdaniem Fregego paradoks Russella podważył całą matematykę. 126 Sprzeczność nie jest nieszczęściem, jest okazją. 127 Algebra zbiorów została ugruntowana przez matematyka angielskiego G. Boole’a. Pierwsza jego praca z tej dziedziny ukazała się w 1854 r. Wiele twierdzeń z algebry zbiorów znał wcześniej Leibniz (XVII w.).

262

5. ALGEBRA ZBIORÓW

5.1. ZBIÓR I ELEMENT ZBIORU Pojęcia zbioru i elementu zbioru są jednymi z podstawowych pojęć matematyki. Teoria mnogości, czyli teoria zbiorów, obok logiki zakładana jest przez wszystkie dyscypliny matematyczne. Terminy i twierdzenia teorii mnogości wykorzystywane są w prawie każdej nauce. Jest narzędziem innych działów matematyki. Z podstawowych intuicyjnych pojęć i twierdzeń teorii mnogości korzystaliśmy w pierwszej części książki, części poświęconej logice. G. Cantor pisze: „Pod pojęciem ‘rozmaitości’ (Mannigfaltigkeit) czy ‘zbioru’ (Menge) rozumiem mianowicie ogólnie każdą wielość (jedes Viele), która może być pomyślana jako jedność (als Eines), tj. każdy ogół (Inbegriff) określonych elementów, które na mocy pewnego prawa mogą być złączone w jedną całość”128 . Podane przez Cantora określenie, jako postulat charakteryzujący pojęcie zbioru określa się mianem pewnika abstrakcji lub pewnika definicyjnego 129 . Do pojęcia zbioru dochodzimy abstrahując od konkretu, czyli jednostkowości przedmiotów. Stos kamieni jest przedmiotem konkretnym130 . Zbiór, którego wszystkimi i tylko elementami są kamienie z tego stosu jest obiektem abstrakcyjnym131 . Stos kamieni jako obiekt fizyczny, ma własności fizyczne takie, jak np. masa. Zbiór, którego kamienie z tego stosu są elementami nie jest przedmiotem fizycznym, a zatem nawet pytanie o jego własności fizyczne nie jest pytaniem poprawnie postawionym. Kamienie ze stosu kamieni nie są elementami stosu, tylko jego częściami. 128 Zob. Murawski [1986], s. 157. Oryginalny tekst jest następujący: Unter einer ‘Menge’ verstehe ich allgemein jedes Viele welches sich als Eines denken l¨ asst, d.h. jeden Inbegriff bestimmter Elemente, welcher durch ein Gesetz zu einem Ganzen verbunden werden kann. Cantor [1883a], zob. Cantor [1932] s. 204. 129 W języku angielskim używa się określenia comprehension axiom. 130 Przez przedmiot konkretny rozumiemy rzecz, czyli przedmiot fizyczny, osobę lub coś, co sobie jako takie wyobrażamy. Na przykład Wołodyjowski jest przedmiotem konkretnym. 131 Przedmioty abstrakcyjne to cechy, stosunki (relacje), zjawiska, stany itp.

5. ALGEBRA ZBIORÓW

263

W języku potocznym słowo „zbiór” używane jest w znaczeniu dystrybutywnym, czyli abstrakcyjnym, zatem w tym znaczeniu, jakie ma ono w teorii mnogości, oraz w znaczeniu kolektywnym, zwanym też mereologicznym, czyli znaczeniu, w którym stos kamieni jest zbiorem. W wypadku dystrybutywnego znaczenia słowa „zbiór”, przedmioty, które się na zbiór składają są jego elementami. W wypadku kolektywnego znaczenia słowa „zbiór”, przedmioty, które składają się na niego są jego częściami. Zbiór w sensie kolektywnym to agregat lub konglomerat. Liczność zbioru (w sensie dystrybutywnym) jest określona przez to, ile elementów ma ten zbiór. Zbiór, którego elementami są wszystkie i tylko kamienie z pewnego stosu kamieni ma tyle elementów, ile kamieni składa się na ten stos kamieni. O liczności agregatu, jakim jest stos kamieni nawet trudno mówić: liczba jego części zależy od «głębokości» podziału. Mogą to być najprościej dające się wydzielić kamienie, ale mogą to też być części tych kamieni132 . Ei

264

5. ALGEBRA ZBIORÓW

elementem danego zbioru. Z punktu widzenia języka znaczy to, że zbiory pojmowane są jako zakresy nazw ostrych, czyli takich, że dowolny przedmiot jest albo nie jest ich desygnatem133 . Przykładem nazwy ostrej jest „dziecko Jana” – dowolny przedmiot jest albo nie jest dzieckiem Jana. To, czy ktoś jest, czy nie jest dzieckiem Jana nie zależy ani od stanu wiedzy kogokolwiek, ani nie podlega jakiejkolwiek gradacji spowodowanej ewentualnymi wątpliwościami, co do stanu faktycznego. W związku z językiem naturalnym i pojawiającymi się możliwościami stosowania m.in. narzędzi informatycznych pojawiła się potrzeba opisu zakresów nazw nieostrych. Są to takie nazwy, co do których reguły języka nie przesądzają, czy pewne przedmioty są, czy też nie są ich desygnatami. Przykładem nazwy nieostrej jest „dziecko”134 . Ktoś, kto kwestionowałby użycie tej nazwy do wskazania siedmiolatka naruszałby reguły języka polskiego. Podobnie narusza te reguły ktoś, kto tę nazwę zastosowałby do dwudziestolatka. Jednak reguły języka polskiego nie przesądzają, czy czternastolatek to dziecko, czy nie. Innym przykładem nazwy nieostrej jest „młody”. W wypadku nazw nieostrych nie jest więc tak, że dowolny przedmiot jest albo nie jest ich desygnatem. Formalny opis ich zakresów jako zbiorów wymaga zatem nowego rozumienia samej przynależności elementu do zbioru. W wypadku zbioru rozmytego przynależność elementu do zbioru podlega gradacji, przyjmując wartości z przedziału [0, 1]135 . Szuka się też innych rozwiązań, jak np. w wypadku koncepcji zbiorów przybliżonych. W teorii klasycznej – takiej, jaka tu jest rozwijana – przyjmuje się, że dowolny przedmiot jest albo nie jest elementem danego zbioru. To rozstrzygnięcie nie wyczerpuje jednak wszystkich problemów sposobu rozumienia przynależności do zbioru. Natura elementów zbioru może być dowolna. W szczególności 133

Desygnat nazwy to każdy i tylko przedmiot, do którego wskazania nazwa może być użyta zgodnie z regułami języka. Zakres nazwy to zbiór jej desygnatów. 134 Jako nazwa nierelatywna, a więc nazwa, która służy do wskazania elementu pewnej grupy wiekowej. Nazwa „dziecko” może być wzięta w zanczeniu relatywnym, jak wówczas, gdy mówimy, że Piotr jest dzieckiem Jana. Dzieckiem w sensie nierelatywnym jest każdy człowiek w pewnym okresie swego życia, a mianowicie wówczas, gdy jest w wieku dziecięcym. Dzieckiem Jana jest się, albo się nim nie jest i nie zależy to od wieku. 135 Zob. Zadeh [1965].

5. ALGEBRA ZBIORÓW

265

same mogą być zbiorami136 . O takich elementach zbiorów, które same nie są zbiorami można mówić jako o praelementach. Istnienie takich obiektów nie jest jednak konieczne dla teorii mnogości. Wystarczy przyjąć, że istnieje przynajmniej zbiór pusty. Zbiór ten może być elementem innego zbioru. Dalej zbiór pusty i zbiór, którego elementem jest zbiór pusty mogą być elementami innego zbioru itd. Ta konstrukcja nie pozwala na stworzenie zbioru, którego on sam byłby elementem. W ogóle nie jest możliwa konstrukcja zbioru, którego elementem byłby obiekt, w którego konstrukcji korzystałoby się z tego konstruowanego zbioru. Metoda konstrukcji zbiorów kolejnymi krokami najogólniej rzecz biorąc polega na tym, że 1. każdy obiekt utworzony w kroku K ze zbiorów utworzonych w krokach wcześniejszych niż K jest zbiorem; 2. nie ma żadnych innych zbiorów niż utworzone, na którymś kroku. Ta idea konstrukcji zbiorów kolejnymi krokami jest ważna dla właściwego pojęcia zbioru, jakie ma się na uwadze w teorii mnogości. Stosowanie intuicyjnych pojęć zbioru oraz bycia elementem zbioru jest ograniczone i w wypadku bardziej zaawansowanych rozważań musi zostać zastąpione przez pojęcia ściśle określone137 . Dokonuje się tego na gruncie aksjomatycznej teorii mnogości. Pierwszą taką teorię stworzył Ernest Zermelo [1908]. Wielkich liter z początku alfabetu: A, B, C, . . ., w razie potrzeby z indeksami, używać będziemy jako zmiennych, których wartościami są zbiory. 136 W takich wypadkach zamiast o zbiorze zwykło się mówić o klasie zbiorów lub rodzinie zbiorów. Od strony formalnej tak rozumiana „klasa” i „rodzina” znaczą to samo co „zbiór”. 137 I tym samym dochodzi do zerwania ze zdroworosądkowym ich pojmowaniem. Jak jednak zauważa Irving Copi: „To a greater or lesser degree, every scientific advance marks some departure from the common sense that preceded it.” – W większym lub mniejszym stopniu, każde osiągnięcie naukowe wskazuje na odejście od sensu zdroworozsądkowego, na którym było oparte (Copi [1979], s. 195). Wszak wciąż „. . . among all the mathematical theories, it is just the theory of sets that requiers clarification more than any other.” – spośród wszystkich teorii matematycznych właśnie teoria mnogości wymaga wyjaśnień bardziej niż każda inna (Mostowski [1979], s. 3).

266

5. ALGEBRA ZBIORÓW

Wielkich liter z końca alfabetu: X , Y, Z , w razie potrzeby z indeksami, używać będziemy jak nazw pewnych wyróżnionych zbiorów (przestrzeni). Małych liter z początku alfabetu: a, b, c, . . ., w razie potrzeby z indeksami, używać będziemy jako nazw elementów zbiorów. Małe litery z końca alfabetu: x, y, z , w razie potrzeby z indeksami, będą używane jako zmienne, których wartościami są elementy zbiorów138 . Przedmioty (indywidua), które tworzą zbiór to jego elementy. Fakt, że przedmiot a jest elementem (należy do) zbioru A zapisujemy a∈A

„∈” jest dwuargumentową literą predykatową139 . To, że a nie jest elementem (nie należy do) zbioru A, ¬(a ∈ A), możemy zapisać a ∈ A. 138 Jest to umowa na użytek teorii mnogości. W jej aplikacjach możliwe są inne konwencje. Na przykład w geometrii elementarnej zwyczajowo przyjęło się wielkimi literami oznaczać punkty a małych używać na oznaczenie figur, czyli zbiorów punktów. 139 Znak „∈” został wprowadzony w 1889 przez G. Peano. Taka informacja podawana jest na stronie internetowej University of St. Andrews. Peano użył jej we wstępie do I tomu Formulaire de math´ ematiques [1895]. Sam wstęp datowany jest
στ ι (być). na 1894 r. Symbol ten pochodzi od pierwszej litery greckiego słowa ´ W tradycyjnej ontologii wyróżnia się podmiot (P ) i atrybut (A). Rozpoznanie podmiotu i jego atrybutu jest podstawową czynnością poznawczą. Mówimy, że P jest A wówczas i tylko, gdy atrybut A przysługuje podmiotowi P . Ten pod
στ ι. Niech y stawowy związek wyraża więc słowo „ jest” a po grecku właśnie ´ będzie zmienną, której zakresem są przedmioty dowolnej kategorii ontologicznej. Niech Z(y) będzie zbiorem wszystkich i tylko przedmiotów, dla których y może być znakiem. Niech E(Z(y)) będzie skrótem dla „element zbioru y -ków”. Bycie elementem zbioru y -ków jest atrybutem. Zatem to, że przedmiotowi x przysługuje atrybut bycia elementem zbioru y -ków możemy zapisać x
E(Z(y)).

Te dwa znaki „
E w teorii mnogości zostały sprowadzone do jednego ∈. Roman Suszko mówi o wzorze

x ∈ Z(y) ⇔ x
y

jako o naczelnej zasadzie teorii mnogości. Zob. Suszko [1965], s. 54–56.

5. ALGEBRA ZBIORÓW

267

Oczywiście, używać będziemy również nawiasów. Zasady ich użycia nie różnią się istotnie od zasad stosowanych w rachunku predykatów. Nasz język jest w istocie językiem rachunku predykatów (pierwszego rzędu) z identycznością. Gdybyśmy wprowadzili jednoargumentową literę predykatową „. . . jest zbiorem”, to moglibyśmy operować tylko stałymi i zmiennymi indywiduowymi: a, b, . . . ; x0 , x1 , . . .. Byłby to jednak mniej czytelny zapis. Rozwijając teorię zbiorów będziemy wzbogacać język o użyteczne symbole. Będziemy definiowali stałe indywiduowe, litery predykatowe i litery funkcyjne zgodnie z zasadami definiowania tych rodzajów symboli opisanymi w rozdziale o definiowaniu. Podawane będą również zasady co do mocy wiązania. Zbiór charakteryzujemy ekstensjonalnie wskazując jego elementy. Nazwy elementów wpisujemy w nawiasy sześcienne. Zbiór, którego wszystkimi i tylko elementami są a0 , a1 , . . . , an to zbiór {a0 , a1 , . . . , an }

lub, gdy są to przedmioty at przyporządkowane elementom zbioru T {at : t ∈ T }. Warto tu zauważyć, że przedmiot (indywiduum) różni się od zbioru, którego jest on jedynym elementem: a jest jedynym elementem zbioru {a}. Zbiór charakteryzujemy intensjonalnie podając formułę z jedną zmienną wolną, którą to formułę spełniają wszystkie i tylko elementy tego zbioru lub – jak to zwykle będziemy mówili – podając własność, którą mają wszystkie i tylko elementy tego zbioru. {x : φ(x)}

to zbiór wszystkich tych i tylko tych przedmiotów, dla których prawdą jest, że są φ (lub – jak mówimy – które mają własność φ)140 . 140

Nie mówimy tu, że φ wyznacza zbiór. Mówimy jedynie, że za pomocą φ charakteryzujemy wszystkie i tylko elementy pewnego zbioru. Por. przypis do

268

5. ALGEBRA ZBIORÓW

Znaków „{” oraz „}” używaliśmy jako znaków interpunkcyjnych. Teraz nawiasy te występują w roli operatora tworzącego nazwę zbioru141 . Operator ten nazywa się operatorem abstrakcji lub znakiem abstrakcji. Istnieje wiele odmian jego użycia. Pisze się np. {x|φ(x)}, Aby zapisać, że mamy na uwadze tylko przedmioty ze zbioru A, które spełniają φ piszemy {x ∈ A : φ(x)}. Zapis {x · y|x ∈ X ∧ y ∈ Y }

oznacza zbiór, którego wszystkimi elementami są iloczyny z pierwszym czynnikiem, będącym elementem zbioru X i z drugim czynnikiem, będącym elementem zbioru Y . Operator abstrakcji został wprowadzony przez Fregego [1893]. Jego nazwa pojawia się w Principia Mathematica, gdzie stosowany x)φ(x)” oznacza zbiór taki, że jest symbol: ˆ. „(ˆ y ∈ (ˆ x)φ(x) ⇔ φ(y). Inny symbol był używany przez Fregego, a jeszcze inny przez Peano. Czasem zależy nam na charakterystyce ekstensjonalnej zbioru scharakteryzowanego intensjonalnie, np. równanie jest charakterystyką intensjonalną zbioru pierwiastków tego równania. Rozwiązać równanie to tyle, co scharakteryzować ten zbiór ekstensjonalnie. aksjomatu podzbiorów. Wprowadzenie do języka teorii mnogości oznaczenia {x : φ(x)} wymaga pokazania, że istnieje zbiór A taki, że ∀x.[x ∈ A ⇔ φ(x)] (do tego celu trzeba skorzystać z aksjomatu podzbiorów) oraz że jest dokładnie jeden (tu korzystamy z definicji równości zbiorów). 141 Taki symbol wprowadził G. Cantor w [1895], s. 481. Pisał: Unter einer ‘Menge’ verstehen wir jede Zusammenfassung M von bestimmten wohlunterschiedenen Objecten m unserer Anschauung oder unseres Denkens (welche die ‘Elemente’ von M genannt werden) zu einem Ganzen. In Zeichen dr¨ ucken wir dies so aus:

M = {m}.

– Przez ‘zbiór’ rozumiemy każde zebranie w całość M określonych, dobrze odróżnionych przedmiotów m naszego oglądu lub naszych myśli (które nazywane są ‘elementami’ M ).

5.2. RÓWNOŚĆ ZBIORÓW

269

5.2. RÓWNOŚĆ ZBIORÓW O zbiorach A i B powiemy, że są ekstensjonalnie równe wtedy i tylko wtedy, gdy mają te same elementy, czyli – inaczej – nie różnią się swoimi elementami. Zbiory, które są równe, są ekstensjonalnie równe. (T1) Jeżeli zbiory A i B są równe (=), to mają te same elementy: (A = B) ⇒ ∀x.(x ∈ A ⇔ x ∈ B). DOWÓD142 Z aksjomatu identyczności ID3 mamy 1. A = B ⇒ x ∈ A ⇒ x ∈ B . Podobnie 2. B = A ⇒ x ∈ B ⇒ x ∈ A. Po dołączeniu dużego kwantyfikatora z 1 i 2, odpowiednio, otrzymujemy 3. A = B ⇒ ∀x.(x ∈ A ⇒ x ∈ B), 4. B = A ⇒ ∀x.(x ∈ B ⇒ x ∈ A). Z 3 i 4 i z tego, że identyczność jest symetryczna mamy 5. A = B ⇒ ∀x.(x ∈ A ⇔ x ∈ B). Powstaje pytanie, czy jeżeli zbiory są ekstensjonalnie równe, to są równe. Pozytywna odpowiedź na to pytanie nie wydaje się być intucyjnie oczywista. Zbiór mieszkańców Warszawy jest ekstensjonalnie równy zbiorowi mieszkańców stolicy Polski. Czy jednak zbiory te są równe? Gdyby rozumieć zbiory w sposób intensjonalny, to ich równość zależałaby nie tylko od ich elementów (ekstensji), lecz również od sposobu określenia (intensji). Na gruncie rachunku predykatów 142 Dowody twierdzeń rachunku zbiorów przeprowadzamy metodą dowodów założeniowych. Jako założenia dowodu mogą być brane tezy rachunku predykatów oraz definicje i wcześniej udowodnione twierdzenia rachunku zbiorów. Korzystamy nie tylko z reguł pierwotnych, lecz również z tych reguł, które są intuicyjnie oczywiste. Nie będziemy tych reguł nazywać. Zwykle wskazywane będą tylko wiersze dowodowe, do których reguły są stosowane. Odpowiedni komentarz będzie zamieszczany między wierszami dowodowymi (ze względów typograficznych).

270

5. ALGEBRA ZBIORÓW

z identycznością z ekstensjonalnej równości zbiorów nie wynika ich równość. Teorię mnogości uprawia się przyjmując aksjomatycznie, że ekstensjonalna równość zbiorów pociąga za sobą równość zbiorów. Takie, ekstensjonalne, ujęcie zbioru jest prostsze. Konsekwencją jest jednak konieczność uznania tezy, że cechy koekstensywne143 , są tożsame. Zasada ekstensjonalności 144 głosi, że jeżeli dwa zbiory są ekstensjonalnie równe, mają te same elementy, to są równe, czyli mają te same własności: ∀x.(x ∈ A ⇔ x ∈ B) ⇒ (A = B). A zatem: (DEF. =)

(A = B) ⇔ ∀x.(x ∈ A ⇔ x ∈ B),

czyli zbiory są równe wtedy i tylko wtedy, gdy mają te same elementy. Symbol „=” to dwuargumentowa litera predykatowa. Wprowadzamy skrót „=”: ¬(A = B) ⇔ A = B .

Przyjmujemy, że symbole „=” i „=” wiążą słabiej niż symbole operacji na zbiorach145 . Dla dowolnych zbiorów A, B, C : zwrotność, (T1) A = A symetryczność, (T2) (A = B) ⇒ (B = A) (T3) [(A = B) ∧ (B = C)] ⇒ (A = C) przechodniość, czyli relacja równości zbiorów146 jest zwrotna, symetryczna i przechodnia. 143

Cech c1 jest koekstensywna z cechą c2 wtedy i tylko wtedy, gdy każdemu wystąpieniu cechy c1 towarzyszy wystąpienie cechy c2 i na odwrót, czyli każdemu wystąpieniu cechy c2 towarzyszy wystąpienie cechy c1 . Inaczej mówiąc nie ma obiektów, które miałyby jedną z tych cech, a drugiej nie miały. 144 Zob. aksjomat równości zbiorów. 145 O symbolach tych będzie mowa później. 146 W sensie ścisłym o relacji mówi się w kontekście zbiorów, na których jest określona. Wszelkie «relacje» między zbiorami winny być zrelatywizowane do jakiejś rodziny zbiorów, bowiem – będzie o tym jeszcze mowa – nie ma zbioru wszystkich zbiorów.

5.2. RÓWNOŚĆ ZBIORÓW

271

Udowodnimy tylko (T3). DOWÓD Z definicji równości zbiorów mamy: 1. (A = B) ⇔ ∀x.(x ∈ A ⇔ x ∈ B), 2. (B = C) ⇔ ∀x.(x ∈ B ⇔ x ∈ C). Z (1) i (2) dostajemy: 3. [(A = B) ∧ (B = C)] ⇔ [∀x.(x ∈ A ⇔ x ∈ B) ∧ ∀x.(x ∈ B ⇔ x ∈ C)]. Tezą rachunku predykatów jest: 4. [∀x.(x ∈ A ⇔ x ∈ B) ∧ ∀x.(x ∈ B ⇔ x ∈ C)] ⇒ ∀x.(x ∈ A ⇔ x ∈ C), więc z 3 i 4: 5. [(A = B) ∧ (B = C)] ⇒ ∀x.(x ∈ A ⇔ x ∈ C). Ponieważ z definicji równości zbiorów: 6. (A = C) ⇔ ∀x.(x ∈ A ⇔ x ∈ C), więc ostatecznie: 7. [(A = B) ∧ (B = C)] ⇒ (A = C). Zbiór pusty, ∅147 , to zbiór, który nie ma żadnego elementu. Nie ma takiego przedmiotu, który posiadałby jakąś własność φ i jej nie posiadał. Byłby to więc zbiór {x : φ(x) ∧ ¬φ(x)}, lub, mając na uwadze to, że każdy przedmiot jest równy samemu sobie, a więc, że nie ma przedmiotów, które nie byłyby równe sobie: {x : ¬x = x}

Dowód, że taki zbiór istnieje możliwy jest dopiero po przyjęciu aksjomatów148 . 147 Andr´e Weil (1906–1998), jeden z członków grupy matematyków, kryjących się pod pseudonimem Nicolas Bourbaki, w autobiografi sobie przypisuje wprowadzenie tego symbolu. Symbol ten pochodzi z norweskiego alfabetu, który to język Weil znał jako jedyny spośród bourbakistów. 148 Korzystać trzeba z aksjomatu istnienia oraz z aksjomatu różnicy.

272

5. ALGEBRA ZBIORÓW

Dla wykazania jedyności tego zbioru trzeba pokazać, że jeżeli A = {x : ¬x = x} i B = {x : ¬x = x}, to A = B .

Niech 1. A = {x : ¬x = x}, 2. B = {x : ¬x = x}. Na podstawie symetryczności równości zbiorów i 2 mamy: 3. {x : ¬x = x} = B Z 1 i 3 mamy: 4. A = {x : ¬x = x} ∧ {x : ¬x = x} = B Z przechodniości równości zbiorów i z 4 ostatecznie dostajemy: 5. A = B . (DEF. ∅)

∅ = {x : ¬x = x},

co inaczej możemy zapisać: ∅ = {x : x = x}.

Symbol „∅” to stała indywiduowa. Zbiór pusty pełni w teorii mnogości rolę podobną do tej, którą 0 pełni w algebrze149 . W algebrze zbiorów przyjmuje się, że zbiory rozważane w ramach określonej dyscypliny – w której algebra zbiorów jest stosowana – są tego rodzaju, że wszystkie ich elementy są elementami pewnych zbiorów150 . Dla określonej klasy zbiorów taki zbiór jest tylko jeden. Zbiór ten, X , to przestrzeń (zbiór pełny lub zbiór uniwersalny). X możemy zdefiniować przez własność, którą posiadają wszystkie i tylko jego elementy. Byłby to więc zbiór: {x : φ(x) ∨ ¬φ(x)}, lub, mając na uwadze to, że każdy przedmiot jest równy samemu sobie: 149

Pojęcie zbioru pustego występuje już w średniowieczu w XIII i XIV wieku. Zajmowano się wówczas analizą wyrażeń, które określają byty nie istniejące. 150 Nie twierdzimy tym samym, że istnieje jakiś taki zbiór, że wszystkie elementy jakiegokolwiek zbioru byłyby elementami tego zbioru.

5.3. ZAWIERANIE SIĘ ZBIORÓW

273

{x : x = x}.

(DEF. zbioru uniwersalnego, X )

X = {x : x = x}.

Symbol „X ” to stała indywiduowa151 . Zgodnie z regułą definiowania stałych indywiduowych należy pokazać, że istnieje zbiór X i że jest dokładnie jeden. Podobnie jak w wypadku zbioru pustego ∅ istnienie zbioru pełnego X wymaga odwołania się do aksjomatów152 , zaś dowód jego jedyności przebiega analogicznie do dowodu jedyności zbioru pustego ∅. Czasem, w szczególności w rozważaniach nad relacjami i funkcjami, przyjmuje się istnienie więcej niż jednego zbioru uniwersalnego (każdy z nich jest jedynym zbiorem uniwersalnym, który oznacza dana stała indywiduowa). Na oznaczenie tych zbiorów, jak już była mowa, używa się wielkich liter z końca alfabetu: X , Y, Z (w razie potrzeby z indeksami). 5.3. ZAWIERANIE SIĘ ZBIORÓW153 Zbiór A jest podzbiorem B , A ⊆ B 154 , wtedy i tylko wtedy, gdy każdy element zbioru A jest elementem zbioru B : (DEF. ⊆)

(A ⊆ B) ⇔ ∀x.(x ∈ A ⇒ x ∈ B).

Symbol „⊆” to dwuargumentowa litera predykatowa. Gdy A nie jest podzbiorem B , to piszemy: 151

Zamiast zajmować się wszystkimi indywiduami i określać, które z nich wchodzą w zakres rozważanej teorii, wygodniej jest z góry ograniczyć się do tych przedmiotów. Ten zbiór przedmiotów, zbiór uniwersalny, to dziedzina rozważanej teorii. Na przykład dziedziną arytmetyki jest zbiór liczb. Pojęcie dziedziny teorii (zbioru uniwersalnego) wprowadził do logiki De Morgan. Jest ono późniejsze od pojęcia zbioru pustego. 152 Korzystamy z aksjomatu istnienia. 153 Relacje, o których tu będzie mowa jako pierwszy wyczerpująco zbadał matematyk francuski J. D. Gergonne (1771–1859). Zauważmy – o czym już była mowa przy okazji relacji równości zbiorów – że ponieważ nie ma zbioru zbiorów, w sensie właściwym o relacjach między zbiorami można mówić, mając zawsze na uwadze jakąś rodzinę zbiorów. 154 W tym samym znaczeniu co „⊆” bywa używany też symbol „⊂”.

274

5. ALGEBRA ZBIORÓW

A ⊆ B .

Zbiór A zawiera się w zbiorze B wtedy i tylko wtedy, gdy zbiór A jest podzbiorem zbioru B . Relacja ⊆ to relacja zawierania się zbiorów lub inaczej relacja inkluzji. Zbiór A jest właściwym podzbiorem zbioru B wtedy i tylko wtedy, gdy każdy element A jest elementem B i są elementy B , które nie są elementami A: (DEF. ⊂)

(A ⊂ B) ⇔ ∀x.(x ∈ A ⇒ x ∈ B)∧∃x.(x ∈ B ∧x ∈ A)155 .

Zauważmy, że A ⊂ B ⇔ [(A ⊆ B) ∧ (A = B)],

czyli A jest właściwym podzbiorem B wtedy i tylko, gdy A jest podzbiorem B i A jest różne od B . Zbiór A jest nadzbiorem zbioru B wtedy i tylko wtedy, gdy każdy element zbioru B jest elementem zbioru A: (DEF. ⊇)

(A ⊇ B) ⇔ ∀x.(x ∈ B ⇒ x ∈ A).

Zauważmy, że A ⊇ B ⇔ B ⊆ A.

Symbol „⊇” to dwuargumentowa litera predykatowa156 . Gdy A nie jest nadzbiorem B , to piszemy: A ⊇ B . Zbiór A jest właściwym nadzbiorem zbioru B , A ⊃ B 157 , wtedy i tylko wtedy, gdy każdy element B jest elementem A i są elementy A, które nie są elementami B : (DEF. ⊃)

(A ⊃ B) ⇔ ∀x.(x ∈ B ⇒ x ∈ A) ∧ ∃x.(x ∈ A ∧ x ∈ B).

Zauważmy, że A ⊃ B ⇔ [(A ⊇ B) ∧ (A = B)], 155 156 157

Zob. uwagę w sprawie stosowania symbolu „⊆”. W tym samym znaczeniu co „⊇” używany bywa symbol „⊃”. Zob. uwagę w sprawie stosowania symbolu „⊇”.

5.3. ZAWIERANIE SIĘ ZBIORÓW

275

czyli A jest nadzbiorem B wtedy i tylko wtedy, gdy B jest podzbiorem A i A jest różne od B . Przyjmujemy, że symbole „⊆”, „⊆”, „⊂”, „⊇”, „⊇”, „⊃” wiążą słabiej niż wszystkie symbole operacji na zbiorach. Dla dowolnych zbiorów A, B, C : – (T1) A ⊆ A (T2) [(A ⊆ B) ∧ (B ⊆ A)] ⇒ (A = B) – (T3) [(A ⊆ B) ∧ (B ⊆ C)] ⇒ (A ⊆ C) – (T4) (A = B) ⇒ [A ⊆ B) ∨ (B ⊆ A)].

zwrotność, antysymetryczność, przechodniość,

DOWÓD Dowiedźmy tylko antysymetryczności ⊆. Na podstawie definicji ⊆: 1. A ⊆ B ⇔ ∀x.(x ∈ A ⇒ x ∈ B). Podobnie: 2. B ⊆ A ⇔ ∀x.(x ∈ B ⇒ x ∈ A). Z 1 i 2 otrzymujemy: 3. [(A ⊆ B) ∧ (B ⊆ A)] ⇔ [∀x.(x ∈ A ⇒ x ∈ B) ∧ ∀x.(x ∈ B ⇒ x ∈ A)]. Tezą rachunku predykatów jest: 4. [∀x.(x ∈ A ⇒ x ∈ B) ∧ ∀x.(x ∈ B ⇒ x ∈ A)] ⇒ ∀x.(x ∈ A ⇔ x ∈ B). Z 3 i 4 dostajemy: 5. [(A ⊆ B) ∧ (B ⊆ A)] ⇒ ∀x.(x ∈ A ⇔ x ∈ B). Ponieważ z definicji równości zbiorów: 6. (A = B) ⇔ ∀x.(x ∈ A ⇔ x ∈ B), więc z 5 i 6 ostatecznie otrzymujemy: 7. [(A ⊆ B) ∧ (B ⊆ A)] ⇒ (A = B). Na podstawie definicji zbioru pustego i zawierania się zbiorów mamy: (T5) ∅ ⊆ A,

276

5. ALGEBRA ZBIORÓW

czyli zbiór pusty jest podzbiorem każdego zbioru. Ponadto: (T6) A = ∅ ⇒ A ⊆ ∅, czyli żaden zbiór w sposób właściwy nie zawiera się w zbiorze pustym lub – inaczej – żaden zbiór niepusty nie zawiera się w zbiorze pustym. Możemy zauważyć, że (T7) A ⊆ X , czyli każdy zbiór zawiera się w przestrzeni; oraz (T8) A = X ⇒ X ⊆ A, czyli przestrzeń w sposób właściwy nie zawiera się w żadnym zbiorze lub – inaczej – przestrzeń nie jest podzbiorem żadnego zbioru różnego od przestrzeni. 5.4. OPERACJE NA ZBIORACH 5.4.1. Dopełnienie zbioru Dopełnieniem (uzupełnieniem) zbioru A jest zbiór −A, którego elementami są wszystkie i tylko te elementy przestrzeni, które nie są elementami A: (DEF. −)

−A = {x ∈ X : ¬x ∈ A},

co możemy też zapisać: −A = {x ∈ X : x ∈ A},

lub ∀x.[x ∈ −A ⇔ ¬x ∈ A].

Symbol „−” to jednoargumentowa litera funkcyjna. Przyjmujemy, że wiąże najmocniej ze wszystkich symboli operacji na zbiorach Zamiast pisać: −(−A) piszemy też: − − A. Charakteryzując zbiór intensjonalnie mówimy o własności, którą posiadają wszystkie i tylko elementy tego zbioru. Następuje utożsamienie zbioru z własnością. Dopełnienie zbioru można więc utożsamiać z brakiem własności, która ten zbiór wyznacza.

5.4. OPERACJE NA ZBIORACH

277

Dla dowolnego zbioru A: P1 P2 P3 P4

−(−A) −∅ −X A⊆B

= = = ⇔

A X ∅ −B ⊆ −A.

Dowiedźmy tylko P1. Nosi ono nazwę prawa podwójnego uzupełnienia. DOWÓD Z definicji dopełnienia zbioru mamy: 1. ∀x.[(x ∈ −A) ⇔ ¬(x ∈ A)]. Podobnie: 2. ∀x.[(x ∈ −(−A)) ⇔ ¬(x ∈ −A)]. Teraz opuszczamy kwantyfikatory w 1 i 2. Dostajemy więc: 3. (x ∈ −A) ⇔ ¬(x ∈ A), 4. (x ∈ −(−A)) ⇔ ¬(x ∈ −A). Z 3 otrzymujemy: 5. (x ∈ A) ⇔ ¬(x ∈ −A). Z 4 i 5 otrzymujemy: 6. (x ∈ A) ⇔ (x ∈ −(−A)). Dołączając w 6 duży kwantyfikator mamy: 7. ∀x.[(x ∈ A) ⇔ (x ∈ −(−A))]. Z definicji równości zbiorów: 8. A = −(−A) ⇔ ∀x.[(x ∈ A) ⇔ (x ∈ −(−A))]. Z 7 i 8 dostajemy więc: 9. −(−A) = A. Przeprowadzając dowód zwykle dokonujemy «przeskoków». Czynimy to wówczas mianowicie, gdy wynikanie kolejnego wiersza z porzednich jest oczywiste. To, co jest oczywiste dla jednych nie musi być oczywiste dla innych. Pojęcie oczywistości zrelatywizowane jest

278

5. ALGEBRA ZBIORÓW

więc do tych, do których dany tekst, dowód, argumentacja są skierowane. Tu – mając na uwadze kształcenie wiedzy i sprawności logicznych – zwykle dowody są bardziej szczegółowe niż byłoby to konieczne dla samego wykładu omawianych treści. Zauważmy, że bez jakiejś szkody dla możliwości stwierdzenia poprawności dowodu możnaby opuścić dwa początkowe wiersze naszego ostatniego dowodu. Moglibyśmy więc dowód rozpocząć od wierszy 3 i 4, przyjmując jako oczywistą regułę opuszczania dużego kwantyfikatora. Podobnie pominięte mogłoby być odwołanie się do definicji równości zbiorów. Dowód możnaby więc zakończyć na wierszu 6. W miarę wykładu będziemy co raz więcej kroków pomijać jako oczywistych. Nasze dowody będą stawać się mniej szczegółowe. 5.4.2. Suma zbiorów Sumą zbiorów A i B jest zbiór A ∪ B , którego elementami są wszystkie i tylko te przedmioty, które są elementami zbioru A lub są elementami zbioru B : (DEF. ∪)

(A ∪ B) = {x ∈ X : x ∈ A ∨ x ∈ B}.

W sposób równoważny możemy to wyrazić: ∀x.[x ∈ (A ∪ B) ⇔ (x ∈ A) ∨ (x ∈ B)].

Zauważmy, że x ∈ (A ∪ B) ⇔ (x ∈ A) ∧ (x ∈ B).

Operacją sumowania teorimnogościowego rządzą następujące prawa. Dla dowolnych zbiorów A, B , C : (T1) (T2) (T3) (T4) 158

A∪B = B ∪A A ∪ (B ∪ C) = (A ∪ B) ∪ C ∅∪A =A A∪A =A

przemienność, łączność, ∅ – element neutralny ∪158 , idempotencja ∪158

Element a jest elementem neutralnym operacji f jeśli dla dowolnego x:

f (x, a) = x. 158

– – – –

Element a jest idempotentny dla operacji f jeśli f (a, a) = a.

5.4. OPERACJE NA ZBIORACH

(T5)

A∪X =X

–

279

X – element jednostkowy ∪159 .

Udowodnimy tylko (T2). DOWÓD Z definicji sumy teoriomnogościowej zachodzą kolejne równoważności: 1. x ∈ [A ∪ (B ∪ C)] ⇔ [x ∈ A ∨ x ∈ (B ∪ C)], 2. [x ∈ A ∨ x ∈ (B ∪ C)] ⇔ [x ∈ A ∨ (x ∈ B ∨ x ∈ C)]. Tezą rachunku logicznego jest: 3. [x ∈ A ∨ (x ∈ B ∨ x ∈ C)] ⇔ [(x ∈ A ∨ x ∈ B) ∨ x ∈ C]. Ponownie korzystając z definicji sumy teoriomnogościowej mamy: 4. [(x ∈ A ∨ x ∈ B) ∨ x ∈ C] ⇔ [x ∈ (A ∪ B) ∨ x ∈ C], 5. [x ∈ (A ∪ B) ∨ x ∈ C] ⇔ x ∈ [(A ∪ B) ∪ C]. Korzystając z przechodniości ⇔ ostatecznie dostajemy: 6. x ∈ [A ∪ (B ∪ C)] ⇔ x ∈ [(A ∪ B) ∪ C]. W związku z łącznością ∪, zapisując sumę skończonej liczby zbiorów możemy opuścić nawiasy. W jakiejkolwiek kolejności byśmy sumowali, to zawsze otrzymamy ten sam wynik. Ponadto, dla dowolnych zbiorów A, B , C , D: A ⊆ A ∪ B, (T6) B ⊆ A ∪ B, (T7) A ⊆ C ∧ B ⊆ C ⇒ A ∪ B ⊆ C, (T8) A ⊆ B ∧ C ⊆ D ⇒ A ∪ C ⊆ B ∪ D, (T9) A ⊆ B ⇔ A ∪ B = B. (T10) Dowiedźmy tylko (T10). DOWÓD Ograniczmy się do dowodu tego, że 159

Element a jest elementem jednostkowym operacji f jeśli dla dowolnego x:

f (x, a) = a.

280

5. ALGEBRA ZBIORÓW

A ∪ B = B ⇒ A ⊆ B.

Tezą rachunku predykatów jest: 1. (x ∈ A ∨ x ∈ B ⇔ x ∈ B) ⇒ (x ∈ A ⇒ x ∈ B). Korzystając z definicji sumy teoriomnogościowej dostajemy: 2. (x ∈ A ∪ B ⇔ x ∈ B) ⇒ (x ∈ A ⇒ x ∈ B). Na podstawie definicji zawierania się zbiorów dostajemy: 3. (x ∈ A ∪ B ⇔ x ∈ B) ⇒ (A ⊆ B). Z kolei korzystając z definicji równości zbiorów: 4. (A ∪ B = B) ⇒ (A ⊆ B). 5.4.3. Przecięcie zbiorów Przecięciem (przekrojem, iloczynem) zbiorów A i B jest zbiór A∩B taki, którego elementami są wszystkie i tylko te przedmioty, które są elementami zbioru A i które są elementami zbioru B : (DEF. ∩)

(A ∩ B) = {x ∈ X : x ∈ A ∧ x ∈ B}.

W sposób równoważny możemy to wyrazić: ∀x.[x ∈ (A ∩ B) ⇔ (x ∈ A) ∧ (x ∈ B)].

Symbol „∩” to dwuargumentowa litera funkcyjna. Zauważmy, że x ∈ (A ∩ B) ⇔ (x ∈ A) ∨ (x ∈ B).

Operacją mnożenia zbiorów rządzą następujące prawa. Dla dowolnych zbiorów A, B , (T1) A ∩ B = B ∩ A (T2) A ∩ (B ∩ C) = (A ∩ B) ∩ C (T3) ∅ ∩ A = ∅ (T4) A ∩ A = A (T5) A ∩ X = A Udowodnimy tylko (T2). DOWÓD

C:

– – – – –

przemienność, łączność, ∅ – element jednostkowy ∩, idempotencja ∩, X – element neutralny ∩.

5.4. OPERACJE NA ZBIORACH

281

Z definicji przecięcia zbiorów zachodzą kolejne równoważności: 1. x ∈ [A ∩ (B ∩ C)] ⇔ [x ∈ A ∧ x ∈ (B ∩ C)], 2. [x ∈ A ∧ x ∈ (B ∩ C)] ⇔ [x ∈ A ∧ (x ∈ B ∧ x ∈ C)]. Tezą rachunku logicznego jest: 3. [x ∈ A ∧ (x ∈ B ∧ x ∈ C)] ⇔ [(x ∈ A ∧ x ∈ B) ∧ x ∈ C]. Ponownie korzystając z definicji przecięcia dostajemy: 4. [(x ∈ A ∧ x ∈ B) ∧ x ∈ C] ⇔ [x ∈ (A ∩ B) ∧ x ∈ C], 5. [x ∈ (A ∩ B) ∧ x ∈ C] ⇔ x ∈ [(A ∩ B) ∩ C]. Korzystając z przechodniości ⇔ ostatecznie mamy: 6. x ∈ [A ∩ (B ∩ C)] ⇔ x ∈ [(A ∩ B) ∩ C]. W związku z łącznością ∩, zapisując przecięcie skończonej liczby zbiorów możemy opuścić nawiasy. W jakiejkolwiek kolejności byśmy brali przecięcie, to zawsze otrzymamy ten sam wynik. Ponadto, dla dowolnych zbiorów A, B , C , D: A ∩ B ⊆ A, (T6) A ∩ B ⊆ B, (T7) A ⊆ B ∧ A ⊆ C ⇒ A ⊆ B ∩ C, (T8) A ⊆ B ∧ C ⊆ D ⇒ A ∩ C ⊆ B ∩ D, (T9) A ⊆ B ⇔ A ∩ B = A. (T10) Dowiedźmy tylko (T10). DOWÓD Ograniczmy się do dowodu tego, że A ∩ B = A ⇒ A ⊆ B.

Niech 1. A ∩ B = A. Z 1 na podstawie definicji równości zbiorów: 2. x ∈ (A ∩ B) ⇔ x ∈ A. Z definicji przecięcia zbiorów:

282

5. ALGEBRA ZBIORÓW

3. x ∈ (A ∩ B) ⇔ (x ∈ A ∧ x ∈ B). Z 2 i 3 mamy: 4. (x ∈ A ∧ x ∈ B) ⇔ x ∈ A. Tezą rachunku logicznego jest: 5. [(x ∈ A ∧ x ∈ B) ⇔ x ∈ A] ⇒ (x ∈ A ⇒ x ∈ B). Z 4 i 5 dostajemy: 6. x ∈ A ⇒ x ∈ B . Z definicji zawierania się zbiorów i 6: 7. A ⊆ B . O dwóch zbiorach A i B mówimy, że są rozłączne, A ⊇⊆ B , wtedy i tylko wtedy, gdy żaden element jednego ze zbiorów nie jest elementem drugiego, czyli: (DEF. ⊇⊆)

(A ⊇⊆ B) ⇔ ¬∃x.(x ∈ A ∧ x ∈ B).

Zauważmy, że: (A ⊇⊆ B) ⇔ (A ∩ B = ∅).

5.4.4. Różnica i różnica symetryczna zbiorów Różnicą zbiorów A i B jest zbiór A \ B , którego elementami są wszystkie i tylko te elementy zbioru A, które nie są elementami zbioru B: (DEF. \)

(A \ B) = {x ∈ X : x ∈ A ∧ ¬x ∈ B}.

W sposób równoważny możemy to wyrazić: ∀x.[x ∈ (A \ B) ⇔ (x ∈ A) ∧ ¬(x ∈ B)].

Symbol „\” to dwurgumentowa litera funkcyjna. Dla dowolnych zbiorów A, B , C , D: A \ B ⊆ A, (T1) (T2) A ⊆ B ∧ C ⊆ D ⇒ A \ D ⊆ B \ C, (T3) C ⊆ D ⇒ A \ D ⊆ A \ C, (T4) A ⊆ B ⇔ A \ B = ∅.

5.4. OPERACJE NA ZBIORACH

283

Różnicą symetryczną zbiorów A i B jest zbiór A . B , którego elementami są wszystkie i tylko te elementy zbioru A, które nie są elementami zbioru B oraz wszystkie i tylko te elementy zbioru B , które nie są elementami zbioru A: (DEF. . )

(A . B) = [x ∈ X : (x ∈ A ∧ ¬x ∈ B) ∨ (¬x ∈ A ∧ x ∈ B)].

Równoważnie możemy to zapisać: ∀x.[x ∈ (A . B) ⇔ (x ∈ A ∧ ¬x ∈ B) ∨ (¬x ∈ A ∧ x ∈ B)]. Symbol „ . ” to dwuargumentowa litera funkcyjna.

Zauważmy, że (A . B) = (B . A).

5.4.5. Związki między działaniami teoriomnogościowymi Operacja dopełnienia pozostaje w następujących związkach z innymi działaniami teoriomnogościowymi. Dla dowolnego zbioru A i przestrzeni X 160 : (T1) −A = X \ A, (T2) A ∪ −A = X , (T3) A ∩ −A = ∅. Dla dowolnych zbiorów A i B : (T4) −(A ∪ B) = −A ∩ −B, (T5) −(A ∩ B) = −A ∪ −B, (T6) A \ B = A ∩ −B, (T7) A \ B = −(−A ∪ B). Równości (T4) i (T5) to prawa De Morgana (rachunku zbiorów). Dla dowolnych zbiorów A, B i przestrzeni X : (T8) A ⊆ B ⇔ A ∩ −B = ∅, (T9) A ⊆ B ⇔ −A ∪ B = X . 160 Twierdzenia T2 i T3 można by nazwać, odpowiednio, teoriomnogościowym prawem wyłączonego środka i teoriomnogościowym prawem (nie)sprzeczności. Istnieje ścisły związek między tymi (i innymi) prawami rachunku zbiorów a odpowiednimi prawami rachunku zdań: odrzucenie tych drugich wiąże się z zakwestionowaniem tych pierwszych.

284

5. ALGEBRA ZBIORÓW

Następujące prawa ustalają związki między dodawaniem a mnożeniem zbiorów. Dla dowolnych zbiorów A, B i C : A ∩ (A ∪ B) = A, (T10) (T11) (A ∩ B) ∪ B = B, (T12) A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C), (T13) A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C). Równości (T10) i (T11) to prawa absorpcji (pochłaniania). Równość (T12) to prawo rozdzielności dodawania względem mnożenia. Równość (T13) to prawo rozdzielności mnożenia względem dodawania. Związki między różnicą a sumą określają następujące prawa. Dla dowolnych zbiorów A i B : A ∪ (B \ A) = A ∪ B, (T14) (T15) A ⊆ B ⇒ A ∪ (B \ A) = B. Kolejne prawo pozwala określić przecięcie za pomocą różnicy. Dla dowolnych zbiorów A i B : (T16) A \ (A \ B) = A ∩ B. Między różnicą a dodawaniem i mnożeniem zbiorów zachodzą następujące związki. Dla dowolnych zbiorów A, B , C : (T17) A \ (B ∪ C) = (A \ B) ∩ (A \ C), (T18) A \ (B ∩ C) = (A \ B) ∪ (A \ C). Równości (T17) i (T18) to prawa De Morgana (dla różnicy). Można postawić pytanie, ile daje się uzyskać zbiorów z danych n zbiorów stosując do nich operacje dodawania, mnożenia i odejmowan nia. Dowodzi się, że jest to liczba skończona i wynosi 22 161 . 5.4.6. Uogólnione suma i przecięcie zbiorów 161

Zob. Kuratowski, Mostowski [1978] s. 39.

285

5.4. OPERACJE NA ZBIORACH

Dotychczas omawialiśmy działania teoriomnogościowe na skończonej liczbie zbiorów. Sumę i przecięcie można uogólnić na dowolną rodzinę zbiorów. Niech X będzie niepustą przestrzenią (X = ∅). Niech (At )t∈T będzie rodziną podzbiorów przestrzeni X , gdzie T jest zbiorem (indeksów). PRZYKŁAD Niech przestrzenią będzie zbiór liczb naturalnych N. Niech T będzie zbiorem {1, 2, 3, 4, 5}. Niech (At )t∈T = {n ∈ N : t < n}.

Rodzinę zbiorów (At )t∈T tworzą następujące zbiory: A1 = {2, 3, . . .}; A2 = {3, 4, . . .}; A3 = {4, 5, . . .}; A4 = {5, 6, . . .}; A5 = {6, 7, . . .}.

Gdybyśmy jako T wzięli zbiór liczb naturalnych, to rodzina (At )t∈T miałaby nieskończenie wiele elementów. Jej elementami byłby wszystkie zbiory (dla każdego n ∈ N): An = {(n + 1), (n + 2), . . .}.






Sumą uogólnioną zbiorów rodziny (At )t∈T jest zbiór t∈T At (lub
{At : t ∈ T }), którego elementami są wszystkie i tylko te przedmioty, które są elementem przynajmniej jednego ze zbiorów (At )t∈T .

(DEF.




)

∀x.{(x ∈



At ) ⇔ ∃t∈T (x ∈ At )}.

t∈T

Przecięciem uogólnionym zbiorów niepustej rodziny (At )t∈T jest   zbiór t∈T At (lub {At : t ∈ T }), którego elementami są wszystkie i tylko te przedmioty, które są elementami każdego ze zbiorów rodziny (At )t∈T .

286

5. ALGEBRA ZBIORÓW

(DEF.



∀x.{(x ∈

)



At ) ⇔ ∀t∈T (x ∈ At )}.

t∈T

W wypadku, gdy zbiór T jest skończony, T = {1, 2, . . . , n}, to 

At = A1 ∪ A2 ∪ . . . ∪ An ,

t∈T



At = A1 ∩ A2 ∩ . . . ∩ An .

t∈T

W wypadku, gdy T = N, czyli gdy T jest zbiorem liczb naturalnych piszemy: ∞ 

An

zamiast

An ,

n∈N

n=1 ∞ 



An

zamiast



An .

n∈N

n=1

Omówimy teraz niektóre własności uogólnionych sumy i przecięcia. Dla dowolnej rodziny zbiorów (At )t∈T , dla każdego t ∈ T : (T1) At ⊆



At ,

t∈T

(T2)



At ⊆ At ,

t∈T

(T3) At ⊆ A ⇒

 t∈T

At ⊆ A,

5.4. OPERACJE NA ZBIORACH

(T4) A ⊆ At ⇒ A ⊆



287

At ,

t∈T

(T5)



At ∪

t∈T

(T6)





Bt =

t∈T

At ∩

t∈T

 t∈T



(At ∪ Bt ),

t∈T

Bt =



(At ∩ Bt ).

t∈T

Udowodnijmy tylko własność (T4). DOWÓD Przeprowadzimy dowód niewprost. Niech więc 1. ∀t ∈ T.(A ⊆ At ), 2. A ⊆



t∈T

At .

Z definicji zawierania się zbiorów i z 2 mamy, że dla pewnego a: 3. a ∈ A ∧ ¬a ∈



t∈T

At .

Z tego 4. a ∈ A, oraz 5. ¬a ∈

 t∈T

At .

Z 5 i definicji uogólnionego przecięcia dostajemy: 6. ∃t ∈ T.¬a ∈ At . Z 1 mamy: 7. ∀t ∈ T.(a ∈ A ⇒ a ∈ At ). Z 4 i 7 zaś dostajemy: 8. ∀t ∈ T.(a ∈ At ). Korzystając z prawa De Morgana stwierdzamy sprzeczność między wierszami 6 i 8.

288

5. ALGEBRA ZBIORÓW

Związki między uogólnionymi sumą i przecięciem a relacją inkluzji ustalają następujące twierdzenia. T ):

Dla dowolnych rodzin zbiorów (At )t∈T i (Bt )t∈T oraz każdego t(∈

(T7) (At ⊆ Bt ) ⇒

 t∈T

(T8) (At ⊆ Bt ) ⇒





(At ∩ Bt ) ⊆

t∈T

(T10)

 t∈T

 t∈T

Bt ,

t∈T



Bt ⊆



At ⊆

At ∩

t∈T

At ∪

Bt ,

t∈T

t∈T

(T9)



At ⊆



Bt ,

t∈T



(At ∪ Bt ).

t∈T

Kolejne twierdzenia określają związki między dodawaniem i przekrojem a uogólnionymi sumą oraz przecięciem. Dla dowolnej rodziny zbiorów (At )t∈T i dowolnego zbioru A: (T11) A∪



At =

t∈T

(T12) A∩



A∪



At =

A∩

 t∈T



(A ∩ At ),

t∈T

At =

t∈T

(T14)

(A ∪ At ),

t∈T

t∈T

(T13)





(A ∪ At ),

t∈T

At =



(A ∩ At ).

t∈T

Udowodnijmy tylko własność (T14), ograniczając się do:

5.4. OPERACJE NA ZBIORACH



A∩

At ⊆

t∈T



289

(A ∩ At ).

t∈T

DOWÓD Niech 1. x ∈ (A ∩

 t∈T

At ).

Z 1 oraz definicji przecięcia i uogólnionego przecięcia 2. x ∈ A ∧ ∀t ∈ T.x ∈ At . Z tego 3. ∀t ∈ T.(x ∈ A ∧ x ∈ At ). Z definicji przecięcia więc 4. ∀t ∈ T.x ∈ (A ∩ At ). Zatem z definicji uogólnionego przecięcia 5. x ∈



t∈T

(A ∩ At ),

co kończy dowód. Związki między różnicą a uogólnionymi sumą i przecięciem ustalają dwa pierwsze uogólnione prawa De Morgana (dla różnicy), zaś dla dopełnienia – dwa kolejne uogólnione prawa De Morgana (dla dopełnienia). Dla dowolnej rodziny (At )t∈T i dowolnego zbioru A: (T15) A\



At =

t∈T

(T16) A\



−

 t∈T

(A \ At ),

t∈T

At =

t∈T

(T17)





(A \ At ),

t∈T

At =

 t∈T

(−At ),

290

5. ALGEBRA ZBIORÓW

(T18) −



At =

t∈T



(−At ).

t∈T

Twierdzenia (T17) i (T18) są konsekwencjami, odpowiednio, (T15) i (T16). 5.5. AKSJOMATY ALGEBRY ZBIORÓW W powyższych rozważaniach dotyczących algebry zbiorów przyjmowano jako pewniki niektóre własności zbiorów i pewne rozumienie bycia elementem zbioru. Te założenia znajdują jawne sformułowanie w następujących czterach aksjomatach algebry zbiorów. Stanowią one system aksjomatów algebry zbiorów. (I) AKSJOMAT RÓWNOŚCI ZBIORÓW (EKSTENSJONALNOŚCI)162 . Jeśli zbiory A i B nie różnią się swoimi elementami, to zbiory A i B są równe. (II) AKSJOMAT SUMY. Dla dowolnych zbiorów A i B istnieje zbiór, którego elementami są wszystkie i tylko elementy zbioru A i elementy zbioru B . (III) AKSJOMAT RÓŻNICY. Dla dowolnych zbiorów A i B istnieje zbiór, którego elementami są wszystkie i tylko elementy zbioru A, które nie są elementami B . (IV) AKSJOMAT ISTNIENIA. Istnieje co najmniej jeden zbiór. Aksjomaty te nie obejmują wszystkiego tego, co dla potrzeb matematyki wystarczająco charakteryzowałoby pojęcie zbioru. Zwykle oprócz podanych wyżej czterech aksjomatów przyjmuje się jeszcze kolejne trzy. Wszystkie te aksjomaty pochodzą od E. Zermelo. (V) AKSJOMAT PODZBIORÓW (WYRÓŻNIANIA). Dla każdego zbioru X i każdej formuły φ z jedną zmienną wolną, której zakresem jest zbiór X istnieje zbiór, którego elementami są wszystkie i tylko elementy zbioru X , które spełniają φ. 162

Por. z zasadą ekstensjonalności.

5.5. AKSJOMATY ALGEBRY ZBIORÓW

291

Naiwna intuicja zbioru mogłaby nas skłaniać do przyjęcia aksjomatu mocniejszego, a mianowicie aksjomatu głoszącego, że dla dowolnej własności (formuły) istnieje zbiór wszystkich i tylko tych przedmiotów, które tę własność posiadają (lub, odpowiednio, zbiór przedmiotów spełniających formułę). Twórca teorii mnogości, Cantor, przynajmniej w początkowym okresie, wierzył w prawdziwość takiego aksjomatu. W jego pracy [1883] znajdujemy zdanie „Istnieje zbiór X złożony ze wszystkich obiektów x spełniających φ(x).” Okazuje się jednak, że taki aksjomat prowadzi do sprzeczności (antynomii). Jest tak np. w wypadku antynomii Russella. φ(x) ⇔ (x jest zbiorem) ∧ (x ∈ x). Niech R = {x : φ(x)},

czyli R = {x : x jest zbiorem ∧ x ∈ x}.

Jeśli przyjmiemy, że każda własność wyznacza zbiór, to R jest zbiorem. Zasadne staje się więc pytanie, czy R jest elementem R. Z definicji R mamy, że R ∈ R ⇔ R ∈ R, co jest ewidentną sprzecznością163 . Aksjomat wyróżniania pozwala z każdego zbioru wyróżnić podzbiór jego elementów posiadających określoną własność. W szczególności zapewnia istnienie zbioru pustego. Zbiór ten zawiera się w każdym zbiorze, ponieważ można go wyróżnić z każdego zbioru, a mianowicie jako {x ∈ A : ¬x = x}. (VI) AKSJOMAT ZBIORU POTĘGOWEGO. Dla każdego zbioru X istnieje zbiór 2X , zwany zbiorem potęgowym zbioru X , którego elementami są wszystkie i tylko podzbiory zbioru X . Zbiór potęgowy bywa oznaczany „P(X)” – od angielskiego 163 Antynomia ta po raz pierwszy została opublikowana w dodatku do książki Fregego Grundgesetze der Arithmetik, t. 2 [1903]. Zainteresowanego czytelnika odsyłam do: Murawski [1986]. Zob. „List do G. Fregego”, s. 221–222; oraz – stanowiący odpowiedź – „List do B. Russella”, s. 203–204.

292

5. ALGEBRA ZBIORÓW

Power lub też „C(X)” – od Cantora. Aksjomat ten pozwala tworzyć dowolnie duże zbiory. (VII) AKSJOMAT WYBORU (PEWNIK WYBORU). Dla każdej rodziny zbiorów niepustych i rozłącznych istnieje zbiór, który z każdym ze zbiorów z tej rodziny ma jeden i tylko jeden wspólny element. Pewnik wyboru należy do chyba najbardziej dyskutowanych aksjomatów. Zajmuje on dość specyficzną pozycję w systemie teorii mnogości. Używany był dość wcześnie, m.in. przez Cantora, który jednak nie czuł, że wymaga on szczególnego traktowania. Po raz pierwszy wprost wspomniał o nim Peano [1890] w związku z problemem rozwiązania układu równań różniczkowych. W 1902 wyraźnie zastosował go Beppo Levi. Wprost został sformułowany dopiero przez Zermelo w 1904 r. w dowodzie twierdzenia Zermelo, że każdy zbiór może być dobrze uporządkowany. Stąd bywa nazywany pewnikiem Zermelo. ´ Emile Borel pokazał, że pewnik wyboru jest równoważny twierdzeniu Zermelo. Z jednej strony okazuje się być niezbędny do dowodu wielu intuicyjnie prawdziwych twierdzeń. Z drugiej strony za jego pomocą dowodzi się wielu twierdzeń nieintuicyjnych, jak np. twierdzenie Banacha-Tarskiego o paradoksalnym rozkładzie kuli163 . Wielu matematyków przyjmuje go więc z nieufnością. Uważa się, że dowody oparte na pewniku wyboru mają inną naturę niż bez jego zastosowania. Jest tak dlatego, że pewnik ten postuluje istnienie zbioru bez podania metody jego skonstruowania, tj. ma charakter nieefektywny. Dlatego w wielu podręcznikach teorii mnogości dowody z użyciem pewnika wyboru są specjalnie oznakowane. Fakt przyjmowania go jako aksjomatu jest również zaznaczany w nazwie danego systemu aksjomatycznego. Na przykład ZFC to system aksjomatyczny Zermelo-Fraenkla z aksjomatem wyboru (Choice – ang.: wybór). Niesprzeczność aksjomatu wyboru udowodnił G¨ odel [1940]. Niezależność aksjomatu wyboru od pozostałych aksjomatów teorii mnogości dowiedziona została w 1964 r. przez Cohen’a [1966]. Istnieje ogólniejsza wersja aksjomatu 163 Do roli pewnika wyboru w dowodach twierdzeń szczególną uwagę przywiązywał Sierpiński. Począwszy od 1918 opublikował wiele prac poświęconych tej kwestii. Zob. Sierpiński [1975].

5.5. AKSJOMATY ALGEBRY ZBIORÓW

293

wyboru, która nie wymaga rozłączności zbiorów. Postuluje się istnienie funkcji, która każdemu elementowi rodziny niepustych zbiorów przyporządkowuje ich element. Ta funkcja to funkcja wyboru. Istnieje wiele twierdzeń równoważnych pewnikowi wyboru164 . Zasadą alternatywną do pewnika wyboru jest aksjomat determinacji sformułowany przez Jana Mycielskiego i Hugona Steinhausa [1962]. Aksjomaty (I)–(VII) są zależne. Na przykład, można pominąć aksjomat algebry zbiorów o istnieniu różnicy. Wynika on z aksjomatu podzbiorów. Aksjomatyczne ujęcie teorii mnogości zostało równocześnie i niezależnie od siebie zaproponowane w 1908 r. przez Zermelo i Russella. Ujęcia te różnią się istotnie. Zermelo wyeliminował antynomie, ograniczając rozmiar zbiorów. Ich źródła upatrywał w pewniku abstrakcji 165 : ∃x.∀y.[y ∈ x ⇔ φ(y)].

Pewnik ten dopuszcza istnienie zbiorów (x) przedmiotów (y ) o dowolnej cesze φ. W szczególności mogą to być „bardzo duże” zbiory, jakimi są zbiór wszystkich zbiorów i zbiór wszystkich zbiorów, które nie są swoimi elementami. Zermelo w miejsce pewnika abstrakcji przyjął aksjomat wyróżniania: ∀z.∃x.∀y.[y ∈ x ⇔ y ∈ z ∧ φ(y)].

Teraz przyjmuje się istnienie zbiorów (x) przedmiotów (y ) o dowolnej cesze φ, ale tylko tych przedmiotów, które są elementami jakiegoś zbioru (z ). Russell w Principia Mathematica zaproponował (rozgałęzioną) teorię typów, która zakładała nieskończoną hierarchię zbiorów wyznaczoną przez ogół własności. Nie były możliwe klasy zbiorów o własnościach mieszanych, tzn. takich, które przysługiwałyby zarówno przedmiotom jak i zbiorom tych przedmiotów. Rozwiązanie Russella 164

Szerzej na ten temat zob. Jech [1973] oraz Rubin i Rubin [1963]. W sprawie innego stanowiska w kwestii motywów, którymi kierował się Zermelo zob. Murawski [1995], s. 171. 165

294

5. ALGEBRA ZBIORÓW

zmodyfikowali Chwistek i Ramsey proponując uproszczoną teorię typów. Koncepcja typu, antycypowana przez Schr¨ odera i Fregego, była przez Russella uznana za naturalną i zgodną ze zdrowym rozsądkiem. Oba rozwiązania, Zermelo i Russella, znalazły licznych zwolenników. Do lat pięćdziesiątych większe wzięcie miało ujęcie Russella. Dzisiaj standardem są rozwiązania oparte na propozycji Zermelo. Obie koncepcje, Russella i Zermelo, miały pewne wady, usunięte przez innych jeszcze w latach dwudziestych, w szczególności w wypadku aksjomatyki Zermelo przez Fraenkla i Thoralfa A. Skolema. System ten oznacza się ZF lub – gdy dołączony jest aksjomat wyboru (Axiom of Choice) – ZFC. Inną propozycję przedstawił John von Neumann (1924). W wyniku jej rozwoju powstała teoria mnogości von Neumanna-G¨ odla-Bernaysa zwykle oznaczana GB. Można tu wspomnieć jeszcze o systemie Morse’a (1956) teorii mnogości i o koncepcji Wilhelma Ackermana. Mówi się o niekantorowskiej teorii zbiorów166 . Najnowsze pomysły wiążą się z dociekaniami matematyków czeskich związanych z Peterem Vopˇenką167 . Do podejścia Russella nawiązują propozycje Quine’a168 . Jego system, oznaczany NF, łączy rozwiązanie Zermelo ograniczenia istnienia zbiorów z ideą Russella – odrzucenia niektórych wyrażeń jako niepoprawnych. Powyżej podana aksjomatyka Zermelo teorii mnogości nie jest przedstawiona w języku formalnym. Podamy inną wersję aksjomatyki Zermelo zgodną ze współczesnymi wymogami formułowania systemów aksjomatycznych. Jest to system dedukcyjnie bardzo mocny: na tym systemie w zasadzie może być oparta cała współczesna matematyka. 166

Zob. Cohen, Reuben [1967]. Zob. Vopˇenka, Hajek [1972], Vopˇenka [1979]. Zdaniem Vopˇenki teza o istnieniu aktualnej nieskończoności to dogmat współczesnej teorii mnogości. Matematycy nie tylko wierzą w ten dogmat. Usiłują go narzucić też innym. W świecie realnym zaś nie ma aktualnie nieskończonych zbiorów. Pojęcie takiego zbioru nie ma więc sensu fenomenologicznego. Teoria zależy zatem od ustaleń formalnych i one stają się jedynym kryterium poprawności. To właśnie jest prawdziwym źródłem trudności teorii mnogości. 168 Zob. Quine [1937], [1940]. 167

5.5. AKSJOMATY ALGEBRY ZBIORÓW

295

JĘZYK Językiem teorii mnogości jest język rachunku predykatów z identycznością z dwoma literami predykatowymi: Z – jednoargumentowa; ∈ – dwuargumentowa. Intuicyjnie rzecz biorąc Z rozumiemy: . . . jest zbiorem; a ∈:

. . . jest elementem . . . .

System ten oparty jest na rachunku predykatów z identycznością. Aksjomatami specyficznymi są: (I) AKSJOMAT EKSTENSJONALNOŚCI ∀x, y.[Z(x) ∧ Z(y) ∧ ∀z.(z ∈ x ⇔ z ∈ y) ⇒ x = y].

(II) AKSJOMAT PARY ∀x, y.∃z.[Z(z) ∧ ∀u.(u ∈ z ⇔ u = x ∨ u = y)].

Aksjomat ten głosi, że dla każdych dwóch przedmiotów istnieje zbiór, którego elementami są te i tylko te przedmioty. (III) AKSJOMAT WYRÓŻNIANIA . . . ∀x.{Z(x) ⇒ ∃y.[Z(y) ∧ ∀z.(z ∈ y ⇔ z ∈ x ∧ φ(z))]},

gdzie φ(z) jest dowolną formułą nie zawierającą y jako zmiennej wolnej. Aksjomat wyróżniania jest schematem zdań, które otrzymujemy wstawiając w miejsce φ(z) konkretne formuły, które oprócz zmiennej wolnej z mogą zawierać też inne zmienne wolne (za wyjątkiem y ). Zmienne te wiążemy kwantyfikatorem ogólnym. Kropki znajdujące się na początku schematu, „. . .”, wskazują na miejsce dla kwantyfikatorów wiążących te zmienne. (IV) AKSJOMAT ZBIORU POTĘGOWEGO ∀x.{Z(x) ⇒ ∃y.[Z(y) ∧ ∀z.(z ∈ y ⇔ Z(z) ∧ ∀u.(u ∈ z ⇒ u ∈ x))]}.

296

5. ALGEBRA ZBIORÓW

(V) AKSJOMAT SUMY ∀x.{Z(x) ∧ ∀y.(y ∈ x ⇒ Z(y)) ⇒ ∃z.[Z(z) ∧ ∀y.(y ∈ z ⇔ ∃u.(u ∈ x ∧ y ∈ u))]}.

Aksjomat ten głosi, że dla każdej rodziny zbiorów x istnieje jej suma, tzn. taki zbiór z , którego elementami są wszystkie i tylko te przedmioty, które należą do co najmniej jednego elementu rodziny zbiorów x. (VI) AKSJOMAT WYBORU ∀x.{[Z(x) ∧ ∀y.[y ∈ x ⇒ Z(y) ∧ ∃z.(z ∈ y)] ∧ ∀y, u.(y ∈ x ∧ u ∈ x ⇒ y = u ∨ ¬∃v.(v ∈ y ∧ v ∈ u))] ⇒ ∃w.{Z(w) ∧ ∀y.[y ∈ x ⇒ ∃z.(z ∈ y ∧ z ∈ w ∧ ∀v.(v ∈ y ∧ v ∈ w ⇒ v = z))]}}.

(VII) AKSJOMAT NIESKOŃCZONOŚCI ∃x.{Z(x) ∧ ∃y.[Z(y) ∧ ¬∃z.(z ∈ y) ∧ y ∈ x] ∧ ∀y.[y ∈ x ⇒ ∀z.[Z(z) ∧ ∀u.(u ∈ z ⇔ u = y) ⇒ z ∈ x]]}.

Biorąc symbol „∅” na oznaczenie zbioru pustego, a „{y}” jako zbiór, którego jedynym elementem jest y , aksjomat (VII) można zapisać znacznie krócej: (VII’) AKSJOMAT NIESKOŃCZONOŚCI ∃x.[Z(x) ∧ ∅ ∈ x ∧ ∀y.(y ∈ x ⇒ {y} ∈ x)].

Na podstawie tego aksjomatu stwierdzamy istnienie zbioru, którego elementami są: ∅, {∅}, {{∅}}, . . ..

6. ILOCZYN KARTEZJAŃSKI 6.0.

POJĘCIE ILOCZYNU ZBIORÓW

KARTEZJAŃSKIEGO

Podstawowym pojęciem dalszych rozważań jest operacja tworzenia pary uporządkowanej przedmiotów. Wprowadzenie go wymaga – zgodnie z regułami definiowania – wykazania, że dla danych przedmiotów istnieje dokładnie jeden przedmiot będący parą uporządkowaną tych przedmiotów. TWIERDZENIE 1. Dla dowolnych przedmiotów a i b (niekoniecznie różnych) istnieje dokładnie jeden zbiór {{a}, {a, b}}. DOWÓD Mając przedmiot a możemy utworzyć zbiór {a}, którego jedynym elementem jest a. Mając przedmioty a i b (niekoniecznie różne) na podstawie aksjomatu pary możemy utworzyć zbiór {a, b}, którego elementami będą tylko a i b. Korzystając ponownie z aksjomatu pary ze zbiorów {a} i {a, b} możemy utworzyć zbiór {{a}, {a, b}}, którego elementami będą tylko {a} i {a, b}. Stwierdzamy więc istnienie zbioru {{a}, {a, b}}. Taki zbiór utworzony z przedmiotów a i b i jako swoich elementów zbiorów {a} i {a, b} jest dokładnie jeden, bowiem: Z definicji równości zbiorów mamy: 1. {{a}, {a, b}} = {{c}, {c, d}} ⇔ [({a} = {c})∧({a, b} = {c, d})]∨[({a} = {c, d}) ∧ ({a, b} = {c})],

296

6. ILOCZYN KARTEZJAŃSKI

2. {a} = {c} ⇔ a = c, 3. {a, b} = {c, d} ⇔ (a = c ∧ b = d) ∨ (a = d ∧ b = c), Z 2 i 3 mamy: 4. ({a} = {c}) ∧ ({a, b} = {c, d}) ⇔ (a = c) ∧ [(a = c ∧ b = d) ∨ (a = d ∧ b = c)]. Z własności identyczności dostajemy: 5. (a = c) ∧ [(a = c ∧ b = d) ∨ (a = d ∧ b = c)] ⇒ [(a = c) ∧ (b = d)]. Z 4 i 5 dostajemy: 6. ({a} = {c}) ∧ ({a, b} = {c, d}) ⇒ [(a = c) ∧ (b = d)]. Z definicji równości zbiorów: 7. [({a} = {c, d}) ∧ ({a, b} = {c})] ⇔ (a = c = d) ∧ (a = b = c). Z własności identyczności 8. (a = c = d) ∧ (a = b = c) ⇒ (a = c) ∧ (b = d). Z 7 i 8 mamy: 9. [({a} = {c, d}) ∧ ({a, b} = {c})] ⇒ (a = c) ∧ (b = d). Z 1, 6 i 9 dostajemy: 10. {{a}, {a, b}} = {{c}, {c, d}} ⇒ (a = c) ∧ (b = d). Z definicji równości zbiorów: 11. (a = c) ∧ (b = d) ⇒ {{a}, {a, b}} = {{c}, {c, d}}. Z 10 i 11 dostajemy: 12. {{a}, {a, b}} = {{c}, {c, d}} ⇔ (a = c) ∧ (b = d). Zgodnie z regułami definiowania możemy więc wprowadzić dwuargumentową literę funkcyjną: (. . . , . . .). (DEF. pary uporządkowanej)140 (a, b) = {{a}, {a, b}}. 140

Taką definicję pary uporządkowanej sformułował Kuratowski [1921]. Pokrewną podał Wiener [1914].

6. ILOCZYN KARTEZJAŃSKI

297

(a, b) to para uporządkowana, której poprzednikiem jest a i której następnikiem jest b.

Pary uporządkowane są równe wtedy i tylko wtedy, gdy równe są ich poprzedniki i równe są ich następniki. Inne niż tu podana konstrukcje teoriomnogościowe spełniające warunek: (a, b) = (c, d) ⇔ (a = c ∧ b = d) zwykle nie różnią się od niej własnościami. Są to własności wynikające z tego warunku. W wypadku tu podanej konstrukcji para uporządkowana (a, b) jest rodziną dwóch zbiorów {a} i {a, b}. Przecięciem tych zbiorów jest zbiór jed
noelementowy, którego jedynym elementem jest a, czyli (a, b) = {a}. Jest to jedna ze szczególnych własności wynikająca z samej konstrukcji. Indukcyjnie możemy zdefiniować pojęcie krotki (n-tki) uporządkowanej. (DEF. krotki (n-tki) uporządkowanej) Dla przedmiotów a1 , a2 , . . . , an−1 , an , (n ≥ 2): (a1 , a2 , . . . , an1 , an ) = ((a1 , a2 , . . . , an−1 ), an ). ai to i-ty człon n-tki uporządkowanej: (a1 , a2 , . . . , ai , . . . , an−1 , an ). (a1 , a2 , . . . , an−1 , an )

to uporządkowana n-tka o współrzędnych a1 , a2 , . . . , an−1 , an .

Wykażemy poprawność naszej definicji n-argumentowej litery funkcyjnej: (. . .1 , . . .2 , . . . , . . .n ). TWIERDZENIE 2. N -tka uporządkowana przedmiotów a1 , a2 , . . . , an jest jednoznacz-

nie określona. DOWÓD Istnienia n-tki uporządkowanej przedmiotów:

298

6. ILOCZYN KARTEZJAŃSKI

a1 , a2 , . . . , ak , ak+1 , . . . , an

dowodzimy indukcyjnie. W tw. 1 wykazaliśmy, że istnieje para uporządkowana. Zakładamy, że istnieje zbiór uporządkowany k -członowy. Niech będzie to zbiór (a1 , a2 , . . . , ak ). Zgodnie z tw. 1 istnieje para uporządkowana ((a1 , a2 , . . . , ak ), ak+1 ). Zgodnie z definicją n-tki uporządkowanej jest to (a1 , a2 , . . . , ak , ak+1 ). Na tej podstawie istnieje zbiór (a1 , a2 , . . . , an ). Również indukcyjnie dowiedziemy, że dla danych przedmiotów a1 , a2 , . . . , an zbiór (a1 , a2 , . . . , an ) jest dokładnie jeden.

Na podstawie tw. 1 nasza teza zachodzi dla n = 2. ZAŁOŻENIE INDUKCYJNE: Niech 1. (a1 , a2 , . . . , ak ) = (b1 , b2 , . . . , bk ) ⇔ a1 = b1 ∧ a2 = b2 ∧ · · · ∧ ak = bk . Zgodnie z definicją n-tki uporządkowanej: 2. (a1 , a2 , . . . , ak , ak+1 ) = ((a1 , a2 , . . . , ak ), ak+1 ), 3. (b1 , b2 , . . . , bk , bk+1 ) = ((b1 , b2 , . . . , bk ), bk+1 ). Z 2 i 3 dostajemy: 4. (a1 , a2 , . . . , ak , ak+1 ) = (b1 , b2 , . . . , bk , bk+1 ) ⇔ ((a1 , a2 , . . . , ak ), ak+1 ) = ((b1 , b2 , . . . , bk ), bk+1 ).

Na podstawie tw. 1 5. ((a1 , a2 , . . . , ak ), ak+1 ) = ((b1 , b2 , . . . , bk ), bk+1 ) ⇔ [(a1 , a2 , . . . , ak ) = (b1 , b2 , . . . , bk ) ∧ ak+1 = bk+1 ]. Z założenia indukcyjnego 1 i 5: 6. ((a1 , a2 , . . . , ak ), ak+1 ) = ((b1 , b2 , . . . , bk ), bk+1 ) ⇔ [a1 = b1 ∧ a2 = b2 ∧ · · · ∧ ak = bk ∧ ak+1 = bk+1 ]. Z 4 i 6: 7. (a1 , a2 , . . . , ak , ak+1 ) = (b1 , b2 , . . . , bk , bk+1 ) ⇔ [a1 = b1 ∧ a2 = b2 ∧ · · · ∧ ak = bk ∧ ak+1 = bk+1 ]. Zgodnie z zasadą indukcji: 8. (a1 , a2 , . . . , an ) = (b1 , b2 , . . . , bn ) ⇔ [a1 = b1 ∧a2 = b2 ∧· · ·∧an = bn ].

6. ILOCZYN KARTEZJAŃSKI

299

Iloczynem kartezjańskim, inaczej produktem kartezjańskim zbiorów X i Y jest zbiór X ×Y wszystkich i tylko par uporządkowanych (x, y) takich, że x ∈ X i y ∈ Y , czyli: (DEF. ×)

X ×Y = {(x, y) : x ∈ X ∧ y ∈ Y}.

Dla dowolnych zbiorów X i Y istnieje zbiór wszystkich par uporządkowanych dających się utworzyć z elementów zbioru X jako poprzedników i elementów zbioru Y jako następników tych par: {(x, y) : x ∈ X ∧y ∈ Y}. Zbiór ten jest jednoznacznie określony. Nasza definicja jest więc poprawną definicją dwuargumentowej litery funkcyjnej „×”. Iloczynem kartezjańskim, inaczej produktem kartezjańskim zbiorów X1 , X2 , . . . , Xn jest zbiór X1 ×X2 × · · · ×Xn wszystkich i tylko n-tek uporządkowanych (x1 , x2 , . . . , xn ) takich, że xi ∈ Xi , czyli: (DEF. ×) Xi , i ≤ n}.

X1 ×X2 × · ×Xi × · ×Xn = {(x1 , x2 , . . . , xi . . . , xn ) : xi ∈

Dla dowolnych zbiorów X1 , X2 , . . . , Xn istnieje zbiór wszystkich n-tek uporządkowanych, dających się utworzyć z elementów zbiorów X1 , X2 , . . . , Xn , takich, że i-tym członem n-tki jest element zbioru Xi , i ≤ n. Zbiór ten jest też jednoznacznie określony. W matematyce iloczyny kartezjańskie pełnią doniosłą rolę. Jest to jedno z podstawowych działań na zbiorach. Zbiór punktów płaszczyzny (zbiór liczb zespolonych) jest produktem kartezjańskim zbioru  liczb rzeczywistych przez siebie: ×. O iloczynie kartezjańskim, nieraz z korzyścią dla lepszego rozumienia, możemy mówić używając języka geometrii. Elementy zbioru X1 × X2 × · · · × Xn nazywamy punktami, zbiory X1 , X2 , . . . Xn osiami współrzędnych. W wypadku punktu (a, b), b to rzędna, a a to odcięta. Gdy n = 2, mamy punkty na płaszczyźnie, w wypadku gdy n = 3, mamy do czynienia z punktami w przestrzeni 3-wymiarowej. Ogólnie możemy mówić o punktach w przestrzeni n-wymiarowej141 . 141 To ujęcie stanowi podstawę geometrii analitycznej, która swoje powstanie zawdzięcza właśnie Kartezjuszowi (Descartes). Przy okazji zauważmy, że możliwość «przełożenia» naszego myślenia na obiekty geometryczne jest ważnym instrumen-

300

6. ILOCZYN KARTEZJAŃSKI

TWIERDZENIE 3. Niech Xi będzie zbiorem mi -elementowym, i ≤ n. Zbiór X1 ×X2 × · · · ×Xn

jest zbiorem (m1 ·m2 · . . . ·mn )-elementowym. DOWÓD Dowodzić będziemy przez indukcję. Niech i = 2. Zbiór X1 ma m1 elementów. Mamy zatem m1 par uporządkowanych różniących się poprzednikiem. Jako drugi człon, następnik, może wystąpić każdy z elementów zbioru X2 . Ponieważ elementów tych jest m2 , więc możemy utworzyć m1 ·m2 par uporządkowanych. ZAŁOŻENIE INDUKCYJNE: Niech dla n = k zbiór X1 ×X2 × · · · ×Xk ma m1 · m2 · . . . ·mk elementów. Tyle będzie też zbiorów uporządkowanych (k + 1)-elementowych nie różniących się na pierwszych k miejscach. Zbiór Xk+1 ma mk+1 elementów. Każdy z tych elementów może wystąpić jako (k + 1)-szy element zbioru uporządkowanego. Mamy zatem (m1 ·m2 · . . .·mk )·mk+1 (k +1)-elementowych zbiorów uporządkowanych. Zgodnie z zasadą indukcji zbiór X1 ×X2 × · · · ×Xn ma (m1 ·m2 · . . . ·mn ) elementów. Niektóre własności iloczynu kartezjańskiego są analogiczne do własności iloczynu arytmetycznego. Zachodzą np. prawa rozdzielności. Dla dowolnych zbiorów X1 , X2 , Y : T1. (X1 ∪ X2 ) × Y = X1 × Y ∪ X2 × Y , T2. Y × (X1 ∪ X2 ) = Y × X1 ∪ Y × X2 , T3. (X1 \ X2 ) × Y = X1 × Y \ X2 × Y , tem ułatwiającym rozumienie. Jest to sprawa psychologii myślenia, że łatwiej pojmujemy pojęcia geometryczne i łatwiej rozumiemy zależności i związki geometryczne niż np. pojęcia związane z liczbami i zależności między liczbami. Stąd w wykładzie wielu przedmiotów ważna rola grafów, wykresów, zestawień, tabel i ilustracji wszelkiego rodzaju. Według jednego z kierunków filozofi matematyki, formalizmu, intuicja przestrzeni miałaby być podstawą intuicji matematycznej. Według innej z koncepcji, a mianowicie intuicjonizmu, taka źródłowa intuicja matematyczna miałaby swoje podstawy w intuicji czasu.

6. ILOCZYN KARTEZJAŃSKI

301

T4. Y × (X1 \ X2 ) = Y × X1 \ Y × X2 . Spełnione są też prawa rozdzielności iloczynu kartezjańskiego względem przecięcia teoriomnogościowego. Dla dowolnych zbiorów X1 , X2 , Y : T5. (X1 ∩ X2 ) × Y = (X1 × Y) ∩ (X2 × Y), T6. Y × (X1 ∩ X2 ) = (Y × X1 ) ∩ (Y × X2 ). Iloczyn kartezjański jest operacją monotoniczną względem stosunku zawierania. Dla dowolnych zbiorów X1 , X2 , Y , jeśli Y = ∅, to: T7. (X1 ⊆ X2 ) ⇔ (X1 × Y ⊆ X2 × Y) ⇔ (Y × X1 ⊆ Y × X2 ). Iloczyn kartezjański nie jest przemienny. PRZYKŁAD A × B = B × A ⇔ A = B ∨ A = ∅ ∨ B = ∅.

Udowodnimy tylko: A × B = B × A ⇒ A = B ∨ A = ∅ ∨ B = ∅.

DOWÓD Z definicji iloczynu kartezjańskiego mamy: 1. ∀x, y.[(x, y) ∈ A × B ⇔ x ∈ A ∧ y ∈ B], 2. ∀x, y.[(x, y) ∈ B × A ⇔ x ∈ B ∧ y ∈ A]. Z definicji równości zbiorów: 3. A × B = B × A ⇔ ∀x, y.[(x, y) ∈ A × B ⇔ (x, y) ∈ B × A]. Korzystając z twierdzenia o dedukcji, do założeń możemy dołączyć poprzednik implikacji, której dowodzimy (dowód zakończy się, gdy jako wiersz dowodowy uzyskamy następnik tej implikacji). Zatem jako założenie możemy przyjąć: 4. A × B = B × A. Z 3 i 4 dostajemy:

302

6. ILOCZYN KARTEZJAŃSKI

5. ∀x, y.[(x, y) ∈ A × B ⇔ (x, y) ∈ B × A]. Opuszczając kwantyfikator w 1, a następnie w 2 i 5 mamy: 6. (x, y) ∈ A × B ⇔ x ∈ A ∧ y ∈ B, 7. (x, y) ∈ B × A ⇔ x ∈ B ∧ y ∈ A, 8. (x, y) ∈ A × B ⇔ (x, y) ∈ B × A. Z 6, 7, 8 dostajemy: 9. x ∈ A ∧ y ∈ B ⇔ x ∈ B ∧ y ∈ A. Opuszczając w 9 równoważność mamy: 10. x ∈ A ∧ y ∈ B ⇒ x ∈ B ∧ y ∈ A. A z tego: 11. x ∈ A ∧ y ∈ B ⇒ x ∈ B, 12. x ∈ A ∧ y ∈ B ⇒ y ∈ A. Z 11 mamy, że 13. y ∈ B ⇒ (x ∈ A ⇒ x ∈ B) a z 12, że 14. x ∈ A ⇒ (y ∈ B ⇒ y ∈ A). W 13 podstawiając z w miejsce x dostajemy: 15. y ∈ B ⇒ (z ∈ A ⇒ z ∈ B). W 14 podstawiając z w miejsce y dostajemy: 16. x ∈ A ⇒ (z ∈ B ⇒ z ∈ A). Do 15 i 16 możemy dołączyć mały kwantyfikator. W wyniku dostajemy: 17. ∃y.y ∈ B ⇒ (z ∈ A ⇒ z ∈ B), 18. ∃x.x ∈ A ⇒ (z ∈ B ⇒ z ∈ A). Z 17 i 18 mamy: 19. ∃x.x ∈ A ∧ ∃y.y ∈ B ⇒ (z ∈ A ⇒ z ∈ B) ∧ (z ∈ B ⇒ z ∈ A). Z tego zaś:

6.1. RELACJA

303

20. ∃x.x ∈ A ∧ ∃y.y ∈ B ⇒ (z ∈ A ⇔ z ∈ B). Teraz do 20 dołączamy duży kwantyfikator i mamy: 21. ∃x.x ∈ A ∧ ∃y.y ∈ B ⇒ ∀z.(z ∈ A ⇔ z ∈ B). Ponieważ 22. ¬A = ∅ ⇔ ∃x.x ∈ A, 23. ¬B = ∅ ⇔ ∃y.y ∈ A, a 24. A = B ⇔ ∀z.(z ∈ A ⇔ z ∈ B), więc 25. ¬A = ∅ ∧ ¬B = ∅ ⇒ A = B. 25 jest równoważne: 26. A = B ∨ A = ∅ ∨ B = ∅.




6.1. RELACJA 6.1.1. Pojęcie relacji142 Słów „stosunek” i „zależność”, „związek” i „relacja” używamy w podobnym znaczeniu. Mówimy np. o stosunku większości między liczbami, o zależności między objętością a ciśnieniem, o związku pracy z płacą. Tu pozycja terminu „relacja” będzie formalnie wyróżniona – definicje i twierdzenia będą mówić o relacji. (DEF. relacji dwuczłonowej) Relacją dwuczłonową w iloczynie X ×Y , gdzie X i Y są zbiorami, jest każdy podzbiór zbioru X ×Y . 142 Teoria relacji została zapoczątkowana przez De Morgana i Peirce’a. Ich prace rozwinął Schr¨ oder w [1895] i w monumentalnym przedsięwzięciu Vorlesungen u ¨ber die Algebra der Logik [1890–1905], którego ostatnia część wyszła już po śmierci. Trzeci tom Vorlesungen u ¨ber die Algebra der Logik „do dziś jest jedynym wyczerpującym ujęciem algebry relacji” (zob. Tarski [1994]). W latach czterdziestych sam Tarski zbudował aksjomatyczną teorię relacji dwuczłonowych.

304

6. ILOCZYN KARTEZJAŃSKI

W wypadku, gdy relacja jest podzbiorem X ×X , czyli gdy jest podzbiorem X 2 będziemy mówili, że jest to relacja binarna w zbiorze X. Niech R będzie relacją dwuczłonową. Zamiast (x, y) ∈ R będziemy pisać xRy a czytać: x jest w relacji R z y . PRZYKŁADY 1. Niech N będzie zbiorem liczb naturalnych. Podzbiór W (⊆ N × N) jest relacją niewiększości w zbiorze liczb naturalnych wtedy i tylko wtedy, gdy: (n, m) ∈ W ⇔ (n ≤ m). Jest to relacja w zbiorze N. 2. Niech X będzie przestrzenią. Zbiór In (⊆ X × X ) taki, że dla dowolnych A, B(⊆ X ): (A, B) ∈ In ⇔ A ⊆ B

jest relacją inkluzji. Jest to relacja w zbiorze X .




(DEF. relacji n-członowej) Relacją n-członową w iloczynie X1 ×X2 × · · · ×Xn , gdzie Xi są zbiorami, i ≤ n, jest każdy podzbiór zbioru X1 ×X2 × · · · ×Xn . Zbiór wszystkich i tylko i-tych członów n-członowej relacji R to i-ta dziedzina relacji R, czyli

(DEF. Di (R))

Di (R) = {xi : (x1 , x2 , . . . , xi . . . , xn ) ∈ R}.

W wypadku relacji dwuczłonowej o 1-szej dziedzinie mówimy, że jest to dziedzina lub lewa dziedzina. Jest to zbiór D(R) poprzedników par uporządkowanych (x, y) należących do relacji R, czyli: (DEF. D(R))

D(R) = {x : (x, y) ∈ R}.

W wypadku relacji dwuczłonowej o 2-giej dziedzinie mówimy, że jest to przeciwdziedzina lub prawa dziedzina. Jest to zbiór D∗ (R) następników par uporządkowanych (x, y) należących do relacji R, czyli:

6.1. RELACJA

(DEF. D∗ (R))

305

D∗ (R) = {y : (x, y) ∈ R}.

Polem relacji R, C(R)), jest teoriomnogościowa suma wszystkich dziedzin relacji R, czyli zbiór: C(R) = D1 (R) ∪ D2 (R) ∪ · · · ∪ Dn (R),

(DEF. C(R))

gdzie n to liczba członów relacji R. PRZYKŁADY 1. Niech l będzie prostą. M (⊆ l × l × l) jest relacją leżenia między wtedy i tylko wtedy, gdy dla dowolnych punktów A, B, C(∈ l): (A, B, C) ∈ M ⇔ A/B/C , czyli punkt B leży między punktami A i C . Relacja leżenia między jest relacją trójczłonową. Jest to relacja w zbiorze l. Zbiór ten jest jej pierwszą, drugą i trzecią dziedziną oraz polem. 2. Niech P (⊆  ×  ×  × ) będzie relacją taką, że dla dowolnych x, y, z, t(∈ ): (x, y, z, t) ∈ P ⇔ xy = zt . Relacja P jest relacją czwórczłonową. Jest to relacja w zbiorze . Wszystkimi jej dziedzinami jest . Zbiór ten jest również polem tej relacji.
Należy pamiętać – o czym już była mowa – że w opisie relacji nie należy pomijać iloczynu kartezjańskiego, którego jest ona podzbiorem. TWIERDZENIE 4. Niech Xi będzie zbiorem mi -elementowym, i ≤ n. W iloczynie X1 ×X2 × · · · ×Xn

istnieje dokładnie 2

m1 ·m2 ·...·mn

relacji n-członowych.

DOWÓD Według tw. 3 zbiór X1 ×X2 × · . . . · ×Xn ma (m1 ·m2 · . . . ·mn ) elementów. Istnieje więc dokładnie 2m1 ·m2 ·...·mn jego podzbiorów.

306

6. ILOCZYN KARTEZJAŃSKI

W teorii mnogości na mocy zasady ekstensjonalności zbiory, które mają te same elementy traktujemy jako równe. Na mocy tej zasady, w szczególności, również relacje, które nie różnią się swoimi elementami uznajemy za równe. W wypadku dziedziny pozamatematycznej oznacza to, że np. związek małżeński, bez względu jak byśmy go określili, utożsamiamy ze zbiorem takich par ludzi, że poprzednik pary jest małżonkiem następnika tej pary. W dziedzinie matematycznej np. podzielność utożsamiamy ze zbiorem takich par liczb naturalnych, że następnik pary jest podzielny przez poprzednik pary: (2, 4), (3, 6), (4, 16), . . ..

Podzielność jest relacją w zbiorze liczb naturalnych, czyli jest podzbiorem zbioru N×N. Bycie elementem zbioru, ∈, jest relacją. Jest to zbiór: {(x, A) : x ∈ A ∧ A ⊆ X }. Inaczej mówiąc para (x, A) jest elementem tej relacji wtedy i tylko wtedy, gdy x ∈ A. Relacją jest też inkluzja, ⊆. Jest to zbiór: {(A, B) : A ⊆ B ∧ A ⊆ X ∧ B ⊆ X }. Inaczej mówiąc, para (A, B) jest elementem tej relacji wtedy i tylko wtedy, gdy A ⊆ B . Relacja leżenia na prostej jednego punktu między dwoma innymi jest relacją trójczłonową. Utożsamiamy ją ze zbiorem trójek uporządkowanych punktów x1 , x2 , x3 leżących na prostej takich, że: (x1 , x2 , x3 ) wtedy i tylko wtedy, gdy x1 leży na prostej między punktami x2 i x3 . Dwuczłonowe relacje można przedstawiać w postaci grafu. Na rysunku znajdują się nazwy przedmiotów pozostających w relacji. Fakt zachodzenia relacji między określonymi przedmiotami zaznaczany jest przez połączenie nazw tych przedmiotów strzałkami w taki sposób, że przedmioty x i y pozostają w relacji R wtedy i tylko wtedy, gdy poruszając się od x zgodnie z kierunkiem wskazywanym przez strzałkę dojdziemy do y . Na przykład relacja podzielności w zbiorze {1, 2, 3, 4, 5, 6} ma następujący graf:

6.1. RELACJA

307

6.1.2. Relacje zwrotna i przeciwzwrotna Dwuczłonowa relacja R (⊆ X ×X ) w zbiorze X jest zwrotna, REF, wtedy i tylko wtedy, gdy każdy element zbioru X jest w tej relacji do siebie, czyli: (DEF. REF)

∀x ∈ X .(xRx).

Fakt, że R jest zwrotna zapisujemy: R ∈ REF. Dla każdego zbioru X istnieje i jest dokładnie jedna relacja: ∆X = {(x, x) : x ∈ X }. ∆X to przekątna w zbiorze X.

Można zauważyć, że relacja R(⊆ X × X ) jest zwrotna wtedy i tylko wtedy, gdy ∆X ⊆ R. Dwuczłonowa relacja R (∈ X ×X ) w zbiorze X jest przeciwzwrotna, IRREF, wtedy i tylko wtedy, gdy: (DEF. IRREF)

∀x ∈ X .¬(xRx).

To, że R jest przeciwzwrotna zapisujemy: R ∈ IRREF.

308

6. ILOCZYN KARTEZJAŃSKI

Zauważmy, że R ∈ REF ⇒ ¬R ∈ IRREF,

lub, co jest równoważne: R ∈ IRREF ⇒ ¬R ∈ REF.

Relacje w zbiorze X ×X mogą być zwrotne, przeciwzwrotne lub ani zwrotne i ani przeciwzwrotne. PRZYKŁADY 1. Relacja ≤ w zbiorze liczb rzeczywistych  jest zwrotna: ∀x ∈ .(x ≤ x).

2. Relacja < w zbiorze liczb rzeczywistych  jest przeciwzwrotna: ∀x ∈ .¬(x < x).

3. Niech R będzie relacją w zbiorze liczb naturalnych N taką, że: xRy wtedy i tylko wtedy, gdy w systemie dziesiętnym nazwa liczby x ma dokładnie dwie takie same cyfry co nazwa liczby y.

Relacja R nie jest zwrotna. Nie zawsze zachodzi między liczbą a nią samą – choćby liczby mające trzy lub więcej cyfr mają więcej cyfr wspólnych. Nie jest też przeciwzwrotna – w wypadku liczb dwucyfrowych zachodzi między liczbą a nią samą.
6.1.3. Relacje symetryczna, przeciwsymetryczna i antysymetryczna Dwuczłonowa relacja R (⊆ X ×X ) w zbiorze X jest symetryczna, SYM, wtedy i tylko wtedy, gdy: (DEF. SYM)

∀x, y ∈ X .(xRy ⇒ yRx).

Fakt, że R jest symetryczna zapisujemy: R ∈ SYM.

Dwuczłonowa relacja R (⊆ X ×X ) w zbiorze X jest przeciwsymetryczna 143 , ASYM, wtedy i tylko wtedy, gdy: 143

Relacje przeciwsymetryczne określane są też jako asymetryczne.

6.1. RELACJA

(DEF. ASYM)

309

∀x, y ∈ X .(xRy ⇒ ¬yRx).

Fakt, że R jest przeciwsymetryczna zapisujemy: R ∈ ASYM. Dwuczłonowa relacja R (⊆ X ×X ) w zbiorze X jest antysymetryczna 144 , ANTYSYM, wtedy i tylko wtedy, gdy: (DEF. ANTYSYM)

∀x, y ∈ X .(xRy ∧ yRx ⇒ x = y).

Fakt, że R jest antysymetryczna zapisujemy: R ∈ ANTYSYM. Zauważmy, że jeżeli R = ∅, to 1. R ∈ SYM ⇒ ¬R ∈ ASYM, lub równoważnie 2. R ∈ ASYM ⇒ ¬R ∈ SYM, 3. R ∈ ASYM ⇒ R ∈ ANTYSYM145 . Inaczej mówiąc: 1’, 2’. SYM ∩ ASYM = ∅, 3’. ASYM ∩ ANTYSYM = ASYM. Zbiór relacji symetrycznych i antysymetrycznych zarazem jest niepusty: SYM ∩ ANTYSYM = ∅. Do zbioru tego należy np. relacja identyczności Id: 4. Id ∈ SYM ∩ ANTYSYM. Są relacje antysymetryczne, które nie są przeciwsymetryczne, jak np. relacja niewiększości w zbiorze liczb rzeczywistych ≤. Relacje mogą być symetryczne, przeciwsymteryczne, antysymetryczne i mogą nie być ani symetryczne, ani przeciwsymetryczne, ani antysymetryczne. 144 Relacje antysymetryczne nazywane są też nawpółprzeciwsymetrycznymi lub słabo antysymetrycznymi. 145 W wypadku relacji przeciwsymetrycznych warunek xRy ∧yRx nie jest spełniony dla żadnego x i y , zatem prawdą jest, że dla każdego x i y zachodzi xRy ∧ yRx ⇒ x = y .

310

6. ILOCZYN KARTEZJAŃSKI

PRZYKŁADY 1. Niech R będzie relacją w zbiorze liczb naturalnych taką, że: xRy wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje różna od 1 liczba naturalna będąca podzielnikiem liczby x i liczby y . Relacja R jest syme-

tryczna. Relacja ta nie jest przeciwsymetryczna i nie jest antysymetryczna. 2. Relacja < w zbiorze liczb naturalnych jest przeciwsymetryczna: ∀x, y.(x < y ⇒ ¬y < x).

Relacja ta nie jest symetryczna i nie jest antysymetryczna. 3. Relacja ≤ w zbiorze liczb naturalnych nie jest ani symetryczna, ani nie jest przeciwsymetryczna. Nie jest symetryczna, bo gdy x = y i x ≤ y , to nie prawda, że y ≤ x. Nie jest też przeciwsymetryczna, bo xRx i ¬x ≤ x. Relacja ta jest antysymetryczna. 4. Niech R będzie relacją w zbiorze liczba naturalnych taką, że: nRm wtedy i tylko wtedy, gdy w zapisie dziesiętnym w n występuje cyfra „1” a w m cyfra „2”.

Relacja ta nie jest symetryczna, np. 31R23 i nieprawda, że 23R31. R nie jest też przeciwsymetryczna i nie jest antysymetryczna: 21R12 i 12R21, a nieprawda, że 21 = 12. 6.1.4. Relacja przechodnia Dwuczłonowa relacja R (⊆ X × X ) w zbiorze X jest przechodnia (TRANS) wtedy i tylko wtedy, gdy (DEF. TRANS)

∀x, y, z ∈ X .(xRy ∧ yRz ⇒ xRz).

Fakt, że relacja R jest przechodnia zapisujemy: R ∈ TRANS. PRZYKŁAD Relacja inkluzji ⊆ jest przechodnia.




6.1. RELACJA

311

Zauważmy, że jeśli R jest przeciwzwrotna i przechodnia, to jest przeciwsymetryczna, czyli TWIERDZENIE 5. IRREF ∩ TRANS ⊆ ASYM. DOWÓD Dowodzimy niewprost. Niech R będzie relacją przeciwzwrotną, przechodnią i niech nie będzie asymetryczna, czyli 1. ¬xRx, 2. xRy ∧ yRz ⇒ xRz , 3. ¬∀x, y.(xRy ⇒ ¬yRx). Z 3 na podstawie praw De Morgana mamy: 4. ∃x, y.(xRy ∧ yRx). Z tego dla pewnych a i b: 5. aRb ∧ bRa. Z 2 dostajemy: 6. aRb ∧ bRa ⇒ aRa Z 5 i 6 mamy: 7. aRa. Na podstawie 1 zaś: 8. ¬aRa, co kończy dowód, ponieważ 7 i 8 są sprzeczne. Relacja symetryczna i przechodnia nie musi być zwrotna, czyli: TWIERDZENIE 6. SYM ∩ TRANS ⊆ REF. DOWÓD

312

6. ILOCZYN KARTEZJAŃSKI

Mamy pokazać, że z symetryczności i przechodniości relacji nie wynika jej zwrotność146 . Tego rodzaju dowód jest możliwy przez podanie (kontr)przykładu, tj. wskazanie relacji, która jest symetryczna i przechodnia, a nie jest zwrotna. Niech R będzie relacją w zbiorze liczb naturalnych taką, że: n i m pozostają w tej relacji wtedy i tylko wtedy, gdy są liczbami

parzystymi. Relacja ta jest symetryczna: ∀n, m ∈ N.(nRm ⇒ mRn),

i przechodnia: ∀n, m, l ∈ N.[(nRm ∧ mRl) ⇒ nRl],

a nie jest zwrotna, np. liczba 3 nie jest w tej relacji sama do siebie: ¬3R3. 6.1.5. Relacja równoważności Trudno przecenić znaczenie relacji równoważności w matematyce i nie tylko w matematyce. Na jej olbrzymią rolę w różnych dziedzinach matematycznych pierwszy zwrócił uwagę Frege. Relacja równoważności daje podstawę do tworzenia pojęć abstrakcyjnych147 . Relacja dwuczłonowa R (⊆ X × X ) jest relacją równoważności, EQ, w zbiorze X wtedy i tylko wtedy, gdy jest to relacja: ∀x ∈ X .(xRx) zwrotna, 1. ∀x, y ∈ X .[xRy ⇒ yRx] symetryczna, 2. 3. ∀x, y, z ∈ X .[(xRy ∧ yRz) ⇒ xRz] przechodnia;

czyli: 146 Wydawać by się mogło, że symetryczność i przechodniość pociągają zwrotność. Z symetryczność mamy bowiem, że gdy xRy , to yRx, a z tego z kolei przechodność pociąga xRx. Rozumowanie to jest tylko pozornie poprawne. 147 Terminu „równoważność” użyliśmy już zajmując się logiką zdań. Teraz występuje on w znaczeniu różnym od poprzedniego. Nie są to jednak wszystkie znaczenia tego słowa, w jakich występuje ono w tekstach logicznych i matematycznych. Por. Tarski [1994], s. 100–101.

6.1. RELACJA

(DEF. EQ)

313

EQ = REF ∩ SYM ∩ TRANS.

Fakt, że przedmioty x i y pozostają w relacji równoważności będziemy zapisywali: x≈y . Inaczej mówiąc, symbolu „≈” używać będziemy na oznaczenie jakiejkolwiek relacji równoważności. Zauważmy, że Id jest relacją równoważności. Id ∈ REF ∩ SYM ∩ TRANS, czyli Id ∈ EQ. Równość jest najmniejszą relacją równoważności, czyli jeżeli R ∈ EQ, to Id ⊆ R. Zauważmy, że Id = {(x, x) : x ∈ X }. Zatem Id jest najmniejszą relacją zwrotną. Ponieważ Id jest relacją równoważności, więc jest również najmniejszą taką relacją. Nie każda relacja równoważności jest relacją identyczności. PRZYKŁADY 1. Relacją równoważności jest relacja w zbiorze liczb naturalnych taka, że liczby x i y pozostają w tej relacji wtedy i tylko wtedy, kiedy różnica x − y jest liczbą całkowitą. 2. Relacja równoległości prostych na płaszczyźnie euklidesowej jest relacją równoważności.
Niech ≈ będzie relacją równoważności w zbiorze X . Zbiór x≈ , którego wszystkimi i tylko elementami są te przedmioty ze zbioru X , które są w relacji ≈ z x to klasa równoważności (abstrakcji, ekwiwalencji) relacji ≈ wyznaczona przez x lub o reprezentancie x; czyli: (DEF. x≈ )

x≈ = {y ∈ X : x≈y}.

Przestrzeń ilorazowa X / ≈ to zbiór wszystkich i tylko klas abstrakcji relacji równoważności ≈, czyli: (DEF. X /≈ = {x≈ : x ∈ X }. Zbiór reprezentantów dla relacji równoważności ≈ o polu C to każdy podzbiór C , który ma dokładnie jeden element wspólny z każdą klasą abstrakcji tej relacji równoważności. Istnienie zbioru reprezentantów wynika z aksjomatu wyboru. W wielu wypadkach bez odwołania się do niego nie umiemy tego dowieść.

314

6. ILOCZYN KARTEZJAŃSKI

PRZYKŁADY 1. Klasą abstrakcji relacji równoległości w zbiorze wszystkich prostych na płaszczyźnie euklidesowej wyznaczoną przez pewną prostą jest zbiór wszystkich i tylko prostych do niej równoległych. Fakt ten daje podstawę do utworzenia pojęcia równoległości. 2. Relacja posiadania tylu samo cyfr w nazwie w systemie dziesiętnym jest relacją równoważności w zbiorze liczb naturalnych. Klasą abstrakcji tej relacji wyznaczoną przez daną liczbę naturalną jest zbiór wszystkich i tylko tych liczb, których nazwy w systemie dziesiętnym mają tyle samo cyfr. Dzięki temu mamy pojęcie liczby n-cyfrowej. Np. klasą abstrakcji wyznaczoną przez liczbę 11 jest zbiór {10, 11, 12, . . . , 99}. Jest to klasa liczb dwucyfrowych.
Można zauważyć, że TWIERDZENIE 7. Niech ≈ będzie relacją równoważności w niepustym zbiorze X . Klasa x≈ jest niepusta, czyli: ∀x.∃y.(y ∈ x≈ ). DOWÓD Z definicji x≈ : 1. y ∈ x≈ ⇔ x≈y . Z tego mamy: 2. x ∈ x≈ ⇔ x≈x. Z 2 dostajemy: 3. x≈x ⇒ x ∈ x≈ . Dołączając duży kwantyfikator mamy: 4. ∀x.[x≈x ⇒ x ∈ x≈ ]. Z tego dostajemy 5. [∀x.(x≈x)] ⇒ [∀x.(x ∈ x≈ )].

6.1. RELACJA

315

Z założenia relacja ≈ jest zwrotna, czyli 6. ∀x.(x≈x) Z 5 i 6 mamy: 7. ∀x.[x ∈ x≈ ]. Z tego dostajemy 8. ∃x.[x ∈ x≈ ]. TWIERDZENIE 8. Dwie klasy abstrakcji relacji równoważności ≈ są bądź równe, bądź rozłączne; czyli: ∀x, y.(x≈ = y≈ ∨ x≈ ∩ y≈ = ∅).

DOWÓD Dowód przeprowadzimy metodą niewprost, czyli jako założenie przyjmiemy zaprzeczenie dowodzonej tezy. 1. ¬∀x, y.(x≈ = y≈ ∨ x≈ ∩ y≈ = ∅). Na podstawie prawa De Morgana mamy: 2. ∃x, y.¬(x≈ = y≈ ∨ x≈ ∩ y≈ = ∅). Wykorzystując prawo De Morgana o zaprzeczaniu alternatywy dostajemy: 3. ∃x, y.(¬x≈ = y≈ ∧ ¬x≈ ∩ y≈ = ∅). Opuszczając dwukrotnie mały kwantyfikator mamy: 4. ¬a≈ = b≈ ∧ ¬a≈ ∩ b≈ = ∅. Opuszczając koniunkcję dostajemy: 5. ¬a≈ = b≈ , oraz 6. ¬a≈ ∩ b≈ = ∅. Z definicji równości zbiorów:

316

6. ILOCZYN KARTEZJAŃSKI

7. (¬a≈ = b≈) ⇔ ∃x.[(x ∈ a≈ ∧ ¬x ∈ b≈) ∨ (¬x ∈ a≈ ∧ x ∈ b≈ )].

Z 5 i 7 mamy: 8. ∃x.[(x ∈ a≈ ∧ ¬x ∈ b≈ ) ∨ (¬x ∈ a≈ ∧ x ∈ b≈ )]. Opuszczając mały kwantyfikator stwierdzamy, że dla pewnego c: 9. (c ∈ a≈ ∧ ¬c ∈ b≈) ∨ (¬c ∈ a≈ ∧ c ∈ b≈). Z definicji zbioru pustego: 10. (¬a≈ ∩ b≈ = ∅) ⇔ ∃x.(x ∈ a≈ ∧ x ∈ b≈ ). Z 10 i 6 mamy: 11. ∃x.(x ∈ a≈ ∧ x ∈ b≈ ). Opuszczając w 11 mały kwantyfikator otrzymujemy: 12. d ∈ a≈ ∧ d ∈ b≈. Opuszczając w 12 koniunkcję mamy: 13. d ∈ a≈ , oraz 14. d ∈ b≈. Na podstawie definicji klas równoważności z 13 oraz 14 dostajemy, odpowiednio: 15. d≈a, oraz 16. d≈b. Z symetryczności relacji ≈ i 15 mamy: 17. a≈d. Z przechodniości relacji ≈ oraz 16 i 17: 18. a≈b. Z przechodniości ≈: 19. c≈a ∧ a≈b ⇒ c≈b.

6.1. RELACJA

317

Tautologią jest: 20. a≈b ⇒ [(c≈a ∧ a≈b ⇒ c≈b) ⇒ ¬(c≈a ∧ ¬c≈b)]. Z 18, 19 i 20 mamy: 21. ¬(c≈a ∧ ¬c≈b). Z symetryczności ≈: 22. a≈b ⇒ b≈a. Z 18 i 22 23. b≈a Z przechodniości ≈: 24. c≈b ∧ b≈a ⇒ c≈a. Tautologią jest: 25. b≈a ⇒ [(c≈b ∧ b≈a ⇒ c≈a) ⇒ ¬(¬c≈a ∧ c≈b)]. Z 23, 24 i 25 mamy: 26. ¬(¬c≈a ∧ c≈b). Z 21 i 26 przez dołączanie koniunkcji: 27. ¬(c≈a ∧ ¬c≈b) ∧ ¬(¬c≈a ∧ c≈b). Z 27 na podstawie praw De Morgana: 28. ¬[(c≈a ∧ ¬c≈b) ∨ (¬c≈a ∧ c≈b)]. Z 9, korzystając z definicji klas równoważności mamy: 29. (c≈a ∧ ¬c≈b) ∨ (¬c≈a ∧ c≈b). Wiersze 28 i 29 są sprzeczne. Twierdzenie 7 pokazuje, że dla każdego obiektu ze zbioru, na którym określona jest relacja równoważności, istnieje klasa abstrakcji wyznaczona przez ten obiekt, a twierdzenie 8 gwarantuje jedyność klasy abstrakcji wyznaczonej przez ten obiekt. Spełnione są więc oba warunki definicji stałej indywiduowej: istnienia i jedyności. Mówimy tu o definicji przez abstrakcję. Utworzone pojęcia to pojęcia abstrakcyjne. Jednym, bodajże najważniejszym pojęciem abstrakcyjnym jest

318

6. ILOCZYN KARTEZJAŃSKI

pojęcie liczby. W dalszej części będziemy je wprowadzać jako klasy abstrakcji. Na tej drodze tworzone są też pojęcia w dziedzinach pozamatematycznych. Barwa to klasa abstrakcji relacji równobarwności, np. czerwień to klasa równobarwności wyznaczona przez przedmiot czerwony. Chwila to klasa zdarzeń równoczesnych. TWIERDZENIE 9. Niech ≈ będzie relacją równoważności w zbiorze X . Każdy element X należy do jakiejś klasy abstrakcji relacji ≈, czyli: ∀x ∈ X .∃y ∈ X .(x ∈ y≈ ).

DOWÓD Pokażemy, że każdy element zbioru X należy do klasy wyznaczonej przez ten element. Tym samym pokażemy, że dla każdego elementu X istnieje klasa abstrakcji, do której ten element należy. Z definicji klasy abstrakcji relacji ≈: 1. ∀x, y.(y ≈ x ⇔ y ∈ x). Z tego: 2. ∀x.(x ≈ x ⇔ x ∈ x). Z tego: 3. ∀x.(x ≈ x) ⇒ ∀x.(x ∈ x). Relacja ≈ jest zwrotna więc z założenia: 4. ∀x.(x ≈ x). Z 3 i 4 mamy: 5. ∀x.(x ∈ x). (DEF. podziału logicznego) Podziałem logicznym zbioru X (zbiór dzielony) jest klasa zbiorów P taka, że każdy element P (człon podziału) jest niepusty (warunek niepustości), elementy te są parami rozłączne (warunek rozłączności) oraz każdy element zbioru X jest elementem przynajmniej jednego elementu P (warunek zupełności); czyli

6.1. RELACJA

1. 2. 3.

319

A ∈ P ⇒ A = ∅, niepustość A, B ∈ P ⇒ [(A = B) ∨ (A ∩ B = ∅)], rozłączność ∀x ∈ X .∃A ∈ P.(x ∈ A). zupełność

TWIERDZENIE 10. Zbiór klas abstrakcji relacji równoważności w zbiorze X jest podziałem logicznym zbioru X . Twierdzenie to jest bezpośrednią konsekwencją twierdzeń 7–9 i definicji podziału logicznego. TWIERDZENIE 11. Niech P będzie podziałem logicznym zbioru X . Relacja R taka, że xRy ⇔ ∃A ∈ P.(x, y ∈ A)

jest relacją równoważności w zbiorze X . Klasami równoważności relacji R są wszystkie i tylko elementy P . Udowodnijmy tylko przechodniość R. Przeprowadzimy dowód niewprost. DOWÓD Niech dla pewnych a, b, c: 1. aRb i 2. bRc, oraz 3. ¬aRc. Z 1 i definicji R mamy, że dla pewnego A: 4. a ∈ A ∧ b ∈ A. Podobnie z 2 i definicji R dla pewnego B : 5. b ∈ B ∧ c ∈ B . Z 4 i 5 mamy: 6. b ∈ A ∧ b ∈ B .

320

6. ILOCZYN KARTEZJAŃSKI

Z założenia zbiory są parami rozłączne albo równe, więc mamy, że 7. A = B . Z 5 i 7 dostajemy: 8. c ∈ A. Na podstawie 4 i definicji R: 9. aRc. Wiersze 3 i 9 są sprzeczne. Przyporządkowanie każdemu elementowi zbioru klasy abstrakcji wyznaczonej przez ten element to przekształcenie kanoniczne. Z punktu widzenia teorii obiekty równoważne na gruncie tej teorii nie są w niej odróżnialne. Można więc zastąpić je klasami obiektów równoważnych. Przy przejściu od elementów zbioru do klas abstrakcji relacja równoważności zostaje zamieniona na relację równości. Ten sposób postępowania jest metodą stosowaną w matematyce szczególnie wtedy, gdy wprowadza się nowe obiekty matematyczne. Jest to metoda identyfikacji elementów równoważnych. Podamy przykłady takiego postępowania. PRZYKŁADY I. Niech R będzie relacją w zbiorze par liczb naturalnych, czyli R ⊆ [(N × N) × (N × N)] taką, że (m1 , n1 )R(m2 , n2 ) ⇔ [(m1 + n2 ) = (m2 + n1 )]. R jest relacją równoważności.

(A) R jest zwrotna. Prawem arytmetyki liczb naturalnych jest: 1. (m1 + n1 ) = (m1 + n1 ). Zgodnie z definicją relacji R mamy więc: 2. (m1 , n1 )R(m1 , n1 ), co dowodzi zwrotności.

6.1. RELACJA

322

6. ILOCZYN KARTEZJAŃSKI

co dowodzi przechodniości R. Opisana relacja dzieli zbiór par liczb naturalnych na klasy abstrakcji. Te klasy abstrakcji nazywa się liczbami całkowitymi. Inaczej mówiąc, liczba całkowita to klasa abstrakcji powyżej opisanej relacji równoważności w zbiorze par liczb naturalnych. Elementami (1, 1), klasy abstrakcji wyznaczonej przez parę (1, 1), są wszystkie pary (n, m) takie, że n = m, czyli: (m, n) ∈ (1, 1) ⇔ m = n.

Ta klasa abstrakcji wyznacza liczbę całkowitą 0. Klasy (m, n) takie, że m > n i m = n + k , k = 1, 2, . . . wyznaczają liczby całkowite dodatnie, odpowiednio, 1, 2, . . .. Gdy m < n i n = m+k , k = 1, 2, . . ., to klasy te wyznaczają liczby ujemne, odpowiednio: −1, −2, . . .. W zbiorze liczb całkowitych, czyli w zbiorze klas abstrakcji relacji R [⊆ ((N × N) × (N × N))] definiuje się różne działania. Dodawanie (+) definiuje się następująco: (m1 , n1 ) + (m2 , n2 ) = (m1 + m2 , n1 + n2 ). Zauważmy, że tego samego znaku „+” użyliśmy po obu stronach równości w różnych znaczeniach. Po lewej stronie jest to znak definiowanej operacji dodawania liczb całkowitych. Po prawej stronie równości jest to znak dodawania liczb naturalnych, tak jak ta operacja określona jest w aksjomatyce Peano. Fakt użycia tego samego symbolu w różnych znaczeniach nie przeszkadza w rozumieniu definicji dlatego, że kontekst jego użycia jednoznacznie wskazuje znaczenie. Podobna uwaga odnosi się do definicji mnożenia. Mnożenie liczb całkowitych definiowane jest przez następującą równość: (m1 , n1 )·(m2 , n2 ) = (m1 m2 + n1 n2 , m1 n2 + n1 m2 ). Dla wykazania poprawności definicji liter funkcyjnych „+” oraz „·” jako symboli dodawania i mnożenia liczb całkowitych, trzeba dowieść, że wynik operacji nie zależy od wyboru reprezentantów klas

6.1. RELACJA

323

abstrakcji: bez względu na wybór reprezentantów tych samych klas abstrakcji każdy wynik wykonania operacji będzie reprezentantem tej samej klasy abstrakcji. Działania te mają takie same własności jak opowiednie działania w zbiorze liczb naturalnych. II. Tą samą metodą, jaką zdefiniowane zostały liczby całkowite, definiuje się liczby wymierne. Są to również klasy abstrakcji relacji równoważności. Niech Z będzie zbiorem liczb całkowitych, a Z ∗ niech będzie zbiorem liczb całkowitych bez 0, czyli: Z ∗ = Z \ {0}. Niech R będzie podzbiorem iloczynu kartezjańskiego (Z × Z ∗ ) × (Z × Z ∗ ) takim, że (c1 , d1 )R(c2 , d2 ) ⇔ c1 d2 = c2 d1 . Relacja R jak wyżej zdefiniowana jest relacją równoważności. Pokażemy tylko, że jest przechodnia. R jest przechodnia.

Niech 1. (c1 , d1 )R(c2 , d2 ) oraz 2. (c2 , d2 )R(c3 , d3 ). Z tego odpowiednio mamy, że 3. c1 d2 = c2 d1 oraz 4. c2 d3 = c3 d2 . Z praw mnożenia liczb całkowitych z 3 i 4 mamy, odpowiednio: 5. c1 d2 d3 = c2 d1 d3 oraz 6. c2 d3 d1 = c3 d2 d1 . Z 5 i 6 otrzymujemy: 7. c1 d2 d3 = c3 d2 d1 .

324

6. ILOCZYN KARTEZJAŃSKI

Ponieważ z założenia 8. d2 = 0, więc z 7 na podstawie praw mnożenia liczb całkowitych mamy: 9. c1 d3 = c3 d1 . Zgodnie z definicją R mamy zatem: 10. (c1 , d1 )R(c3 , d3 ), czyli R jest przechodnia. Opisana wyżej relacja dzieli zbiór par liczb całkowitych na klasy abstrakcji. Te klasy nazywa się liczbami wymiernymi. Inaczej mówiąc, liczba wymierna to klasa abstrakcji relacji równoważności R w zbiorze Z × Z ∗ . Klasy c1 , d1  i c2 , d2  wyznaczają tę samą klasę abstrakcji wtedy i tylko wtedy, gdy c1 d2 = c2 d1 . Klasę abstrakcji wyznaczoną przez parę (c, d) oznacza się c/d. W zbiorze liczb wymiernych, czyli w zbiorze klas abstrakcji relacji R [⊆ ((Z × Z ∗ ) × (Z × Z ∗ ))] określa się różne działania.

Dodawanie (+) definiuje się następująco: (c1 , d1 ) + (c2 , d2 ) = (c1 d2 + c2 d1 , d1 d2 ).

Mnożenie liczb wymiernych definiowane jest przez następującą równość: (c1 , d1 )·(c2 , d2 ) = (c1 c2 , d1 d2 ). Dowodzi się, że wyniki dodawania i mnożenia liczb wymiernych nie zależą od wyboru reprezentantów klas abstrakcji: dla reprezentantów tych samych klas abstrakcji wynik jest reprezentantem tej samej klasy. Spełnione są więc warunki poprawności definicji liter funkcyjnych „+” i „·”. Działania te mają takie same własności jak opowiednie działania w zbiorze liczb naturalnych (i całkowitych). Liczby rzeczywiste, tak jak całkowite i wymierne, konstruowane są na drodze abstrakcji.
6.1.6. Rachunek relacji148 148

Mówić będziemy o rachunku dla relacji dwuczłonowych.

6.1. RELACJA

325

Relacja pusta w zbiorze X nie zachodzi między żadnymi elementami tego zbioru: ∀x, y ∈ X .(¬xRy). Taka relacja istnieje na mocy istnienia zbioru pustego i jest dokładnie jedna. (DEF. relacji pustej w X ) R jest pusta wtedy i tylko wtedy, gdy jest zbiorem pustym, czyli R = ∅. Relacja pełna w zbiorze X zachodzi między wszystkimi elementami X : ∀x, y ∈ X .(xRy). Taka relacja istnieje i jest dokładnie jedna. (DEF. relacji pełnej w X ) R jest pełna w X 149 wtedy i tylko wtedy, gdy R = X × X . Sumą relacji R i R1 w zbiorze X jest relacja R2 taka, że x jest w relacji R2 z y wtedy i tylko wtedy, gdy x jest w relacji R z y lub gdy jest w relacji R1 z y , czyli: R2 = R ∪ R1 . Dla dowolnych relacji ich suma istnieje i jest dokładnie jedna. (DEF. sumy relacji) ∀x, y ∈ X .[x(R ∪ R1 )y ⇔ (xRy ∨ xR1 y)]. Iloczynem relacji R i R1 w zbiorze X jest relacja R2 taka, że x jest w relacji R2 z y wtedy i tylko wtedy, gdy x jest w relacji R z y i gdy jest w relacji R1 z y , czyli: R2 = R ∩ R1 . Dla dowolnych relacji istnieje ich iloczyn i jest dokładnie jeden. (DEF. iloczyn relacji) ∀x, y ∈ X .[x(R ∩ R1 )y ⇔ (xRy ∧ xR1 y)]. Negacją relacji R w zbiorze X jest relacja R taka, że x jest w relacji R z y wtedy i tylko wtedy, gdy x nie jest w relacji R z y , czyli negacją relacji jest jej dopełnienie do relacji pełnej: R = (X × X ) \ R. Dla dowolnej relacji istnieje jej negacja i jest dokładnie jedna. (DEF. negacji relacji) ∀x, y ∈ X .[xR y ⇔ ¬xRy]. Zauważmy, mając na uwadze rozumienie relacji jako zbioru, że wprowadzone wyżej pojęcia odpowiadają, odpowiednio, zbiorowi pustemu, zbiorowi pełnemu a suma relacji, iloczyn relacji, negacja relacji odpowiadają operacjom na zbiorach, odpowiednio, sumie teoriomnogościowej, przecięciu i dopełnieniu zbioru. Te operacje byłoby łatwo uogólnić na relacje n-członowe. Inaczej jest w wypadku kolejnych pojęć: brak takich prostych odpowiedniości. 149

Nie wprowadzamy specjalnego oznaczenia na relację pełną.

326

6. ILOCZYN KARTEZJAŃSKI

Konwersem relacji (relacją odwrotną) R w zbiorze X jest relacja R−1 taka, że x jest w relacji R−1 z y wtedy i tylko wtedy, gdy y jest w relacji R z x, czyli: (x, y) ∈ R−1 ⇔ (y, x) ∈ R. Dla dowolnych relacji istnieje ich konwers i jest dokładnie jeden. Na tej podstawie z regułą definiowania liter funkcyjnych możemy wprowadzić literę funkcyjną „−1 ”. (DEF. konwersu relacji,

−1

) ∀x, y ∈ X .[xR−1 y ⇔ yRx].

Konwersem relacji < jest > i na odwrót: konwwersem > jest , a relacją odwrotną do > jest t}. ( – zbiór liczb rzeczywistych, Z – zbiór liczb całkowitych.) Pt∈T At jest zbiorem wszystkich funkcji f :  → Z takich, że dla każdego t (∈ ) zachodzi f (t) ∈ At . Do zbioru Pt∈T At należy np. funkcja f zdefiniowana jak następuje: f (t) = [t] + 2, gdzie [t] jest największą liczbą całkowitą mniejszą od t. Przestrzeń euklidesowa m-wymiarowa jest m-krotnym iloczynem kartezjańskim zbioru  przez siebie, czyli jest to m .
Iloczyn kartezjański dwóch zbiorów A1 i A2 jako zbiór par uporządkowanych elementów tych zbiorów nie jest tym samym, co uogólniony iloczyn kartezjański zbiorów A1 i A2 . Elementami uogólnionego iloczynu są bowiem ciągi dwuelementowe, których pierwsze wyrazy są elementami A1 a drugie elementami A2 . Ponieważ jednak istnieje wzajemnie jednoznaczne przyporządkowanie jednych drugim, od strony czysto formalnej nie ma potrzeby rozróżniania między nimi. Znajduje to również wyraz w zastosowanych oznaczeniach – zarówno parę uporządkowaną jak i ciąg dwuelementowy oznaczamy: (a1 , a2 ).

6.3. UOGÓLNIONY ILOCZYN KARTEZJAŃSKI

355

Zamiast mówić o uogólnionym iloczynie kartezjańskim zbiorów (At )t∈T będziemy też mówili po prostu o iloczynie kartezjańskim zbiorów (At )t∈T .

7. MOCE ZBIORÓW 7.1. RÓWNOLICZNOŚĆ ZBIORÓW Pojęcie równoliczności zbiorów, czyli równości mocy zbiorów jest jednym z najważniejszych pojęć teorii mnogości. Systematyczne badania tego pojęcia rozpoczął Cantor w artykule z 1878 r. Termin „moc” Cantor wziął od Steinera. Pierwsza jego publikacja na ten temat pochodzi z 1874 r. Artykuł ten oznacza narodziny teorii mnogości. Rozważa w nim przynajmniej dwa rodzaje nieskończoności. Wcześniej wszystkie nieskończone zbiory rozpatrywane były jako tego «samego rozmiaru». Pojęcie nieskończoności pojawiło się już jednak w dociekaniach Bolzano. W jego wydanych w 1851 Paradoxien des Unendlichen znajdujemy zaczątki współczesnej teorii zbiorów. Praca ta jednak była mało znana. Najprościej rzecz ujmując równoliczne są te pary zbiorów, których elementy dadzą się pogrupować parami po jednym z każdego z tych zbiorów i to tak, że żaden element nie powtarza się i każdy należy do jakiejś pary, jak to ma miejsce w wypadku zestawienia palców dłoni prawej z palcami dłoni lewej. Pojęcie równoliczności jest więc uogólnieniem na dowolne zbiory elementarnego pojęcia równej liczebności zbiorów skończonych. Jest to jedno z najważniejszych charakterystycznych pojęć teorii mnogości. (DEF. równoliczności zbiorów, ∼) Zbiory X i Y są równoliczne, X ∼ Y , wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje funkcja różnowartościowa f : X → Y przekształcająca zbiór X (zbiór argumentów) na Y (zbiór wartości). Funkcja f to funkcja ustalająca równoliczność. PRZYKŁADY

356

7. MOCE ZBIORÓW

1. Zbiór {1, 2, 3} jest równoliczny ze zbiorem {2, 4, 6}. Funkcja f określona wzorem f (x) = 2x ustala równoliczność tych zbiorów. 2. Funkcja f (x) = 2x ustala równoliczność zbioru liczb naturalnych ze zbiorem parzystych liczb naturalnych.
(DEF. zbioru skończonego) Zbiór skończony to zbiór równoliczny ze zbiorem {1, 2, . . . , n}, dla pewnego n ∈ N. Zgodnie z naszą definicją zbiór skończony to zbiór, którego liczba elementów jest równa liczbie naturalnej. Liczba elementów zbioru równa jest liczbie naturalnej n wtedy i tylko wtedy, gdy zbiór ten jest równoliczny ze zbiorem {1, 2, 3, . . . , n}, gdzie n jest pewną liczbą naturalną n ∈ N. (DEF. zbioru nieskończonego) Zbiór nieskończony to zbiór, który nie jest skończony. Cantor [1886] definiował zbiór nieskończony jako „określoną i we wszystkich częściach stałą wielość, która jest większa od każdej skończonej liczby”146 . Zauważmy, że zbiór mający skończoną liczbę elementów jest równoliczny ze zbiorem skończonym mającym tę samą liczbę elementów. Pojęcie równoliczności jest uogólnieniem na wszystkie zbiory pojęcia równej liczebności zbiorów skończonych. W wypadku zbioru nieskończonego istnieją takie jego podzbiory właściwe, które są z nim równoliczne. Inaczej mówiąc zbiory nieskończone są refleksywne 147 . Fakt refleksywności zbiorów nieskończonych znany był od dawna. Proklos Diadochus (410–485) zauważył, że średnica dzieli koło na dwie równe części. „Jeżeli jednak za pomocą jednej średnicy powstają dwa półkola i jeżeli przeprowadzić przez środek nieskończenie wiele średnic, to okaże się, że półkoli będzie dwa razy więcej niż nieskończenie wiele”. Galileusz stwierdzał, że zbiór kwadratów liczb naturalnych 146 . . . ein in allen Teilen festes, bestimmtes Quantum, das offenbar gr¨osser zu nennen ist als jede endliche Anzahl – zob. Cantor [1932], s. 404. 147 Dowód tego faktu wymaga skorzystania z pewnika wyboru.

7.1. RÓWNOLICZNOŚĆ ZBIORÓW

357

daje się wzajemnie jednoznacznie odwzorować na zbiór liczb naturalnych. Ta paradoksalna własność była jednym z powodów obaw przed zbiorami nieskończonymi148 . Bolzano wykorzystał pozytywnie fakt, że zbiory nieskończone są równoliczne z pewnymi swoimi podzbiorami. Zdefiniował on mianowicie zbiór nieskończony jako zbiór równoliczny z jakimś swoim pozbiorem właściwym. Bolzano był więc prekursorem stworzonej kilkadziesiąt lat później przez Cantora teorii zbiorów nieskończonych. Własność, że zbiór nieskończony można wzajemnie jednoznacznie odwzorować w jego podzbiór właściwy wykorzystał również Peirce dla sformułowania definicji klasy skończonej i klasy nieskończonej. Tak rozumianą nieskończoność określa się jako nieskończoność w sensie Dedekinda149 . Zbiory nieskończone w sensie Dedekinda są nieskończone. Pojęcie zbioru skończonego (a pośrednio i nieskończonego) zdefiniowaliśmy, korzystając z pojęcia liczby naturalnej. Pojęcie to potraktowaliśmy jako pierwotne w stosunku do pojęcia zbioru skończonego. Możliwe jest jednak inne podejście. Pojęcie liczby naturalnej może zostać zdefiniowane na gruncie teorii mnogości w języku z identycznością. Na przykład definiujemy klasę zbiorów jednoelementowych jako takich i tylko takich zbiorów A, dla których spełnione są dwa warunki: 1. ∃x.(x ∈ A), 2. ∀x, y.[(x ∈ A ∧ y ∈ A) ⇒ x = y]. Klasę zbiorów dwuelementowych tworzą zbiory A spełniające dwa warunki: 1. ∃x, y.[(x ∈ A ∧ y ∈ A) ∧ x = y], 2. ∀x, y, z.[(x ∈ A ∧ y ∈ A ∧ z ∈ A) ⇒ (x = y ∨ x = z ∨ y = z)]. Podobnie definiuje się klasy trzy–, cztero– itd. –elementowe. Zbiór skończony możemy zdefiniować jako taki i tylko taki zbiór, który nie jest równoliczny z żadnym ze swoich właściwych podzbiorów. Przy 148 149

Szerzej na ten temat zob. Murawski [1995], s. 162–164. Zob. Dedekind [1888].

358

7. MOCE ZBIORÓW

takim podejściu możemy zdefiniować pojęcie liczby naturalnej: liczba naturalna to klasa skończonych zbiorów równolicznych. Mając pojęcie liczby naturalnej możemy zdefiniować wszystkie pozostałe liczby: całkowite, wymierne, rzeczywiste itd. Posiłkując się aksjomatem nieskończoności (istnieje zbiór, który ma nieskończenie wiele elementów) możemy ugruntować arytmetykę a następnie całą matematykę150 . TWIERDZENIE 1. Jeśli zbiór A jest nieskończony i A ⊆ B , to zbiór B jest też nieskończony, czyli nadzbiór zbioru nieskończonego jest nieskończony. DOWÓD Niech A będzie zbiorem nieskończonym i niech A ⊆ B . Dowodzić będziemy niewprost. Niech więc B będzie zbiorem skończonym n elementowym. Istnieje więc wzajemnie jednoznaczne odwzorowanie f zbioru B na zbiór {1, 2, . . . , n}, f : B → {1, 2, . . . , n}. Niech g będzie odwzorowaniem takim, że g(x) = f (x), dla x ∈ A. Z faktu, że f jest odwzorowaniem wzajemnie jednoznacznym i że A ⊆ B wynika, że g jest też wzajemnie jednoznaczne. A z tego, że A jest podzbiorem B wynika, że g jest odwzorowaniem zbioru A w zbiór {1, 2, . . . , n}, czyli w zbiór o liczbie elementów mniejszej lub równej n. Zgodnie z definicją zbioru skończonego zbiór A byłby więc skończony, a to przeczy założeniu. Korzystając z prawa logiki zdań: (α ∧ β ⇒ γ) ⇒ (¬γ ∧ β ⇒ ¬α),

z tw. 1 otrzymujemy następujący wniosek: WNIOSEK Jeżeli A jest zbiorem skończonym i B ⊆ A, to B jest też zbiorem skończonym. 150

Podstawowe idee takiego podejścia pochodzą od Fregego i zawarte są w jego dziele Die Grundlagen der Arithmetik [1884]. Systematycznie i wyczerpująco zostały zaś zrealizowane przez Whiteheada i Russella w Principia Mathematica [1910–1913].

7.1. RÓWNOLICZNOŚĆ ZBIORÓW

359

TWIERDZENIE 2. Jeśli zbiór A jest nieskończony, a zbiór B jest skończony, to zbiór A \ B jest zbiorem nieskończonym. DOWÓD Niech A będzie zbiorem nieskończonym a B skończonym. Gdyby zbiór A \ B był zbiorem skończonym, to istniałoby wzajemnie jednoznaczne odwzorowanie f zbioru A \ B na {1, 2, . . . , n}, dla pewnego n. Ponieważ z założenia B jest zbiorem skończonym, więc podobnie istnieje wzajemnie jednoznaczne odwzorowanie tego zbioru na zbiór {1, 2, . . . , m}, dla pewnego m. Niech h będzie odwzorowaniem takim, że
h(x) =

f(x), n + g(x),

jeśli x ∈ (A \ B), jeśli x ∈ B .

Odwzorowanie h jest wzajemnie jednoznacznym odwzorowaniem zbioru (A∪B) na zbiór {1, 2, . . . , n+m}. Zbiór (A∪B) jest więc zbiorem skończonym. Zbiór A jest podzbiorem tego zbioru. Zgodnie z wnioskiem z poprzedniego twierdzenia zbiór ten jest zbiorem skończonym, a to przeczy założeniu, że A jest zbiorem nieskończonym. TWIERDZENIE 3. Zbiór liczb naturalnych N jest nieskończony. DOWÓD Niech N będzie zbiorem skończonym. Niech dla pewnego n zbiór ten będzie równoliczny ze zbiorem A(= {1, 2, . . . , n}). Zbiór B(= {1, 2, . . . , n, (n+1)}) nie jest równoliczny ze zbiorem A. Niech f : N → A będzie wzajemnie jednoznacznym odwzorowaniem zbioru N na A. Ponieważ B ⊂ N, więc odwzorowanie f |B : B → A jest wzajemnie jednoznacznym odwzorowaniem zbioru B w podzbiór właściwy zbioru A. Zważywszy na to, że A jest właściwym podzbiorem zbioru B , funkcja f |B odwzorowuje wzajemnie jednoznacznie zbiór B w swój podzbiór właściwy, a to nie jest możliwe w wypadku zbioru skończonego, jakim jest zbiór B .

360

7. MOCE ZBIORÓW

TWIERDZENIE 4. Dla dowolnych zbiorów X , Y i Z mają ności: X ∼ X, 1. (X ∼ Y ) ⇒ (Y ∼ X), 2. 3. [(X ∼ Y ) ∧ (Y ∼ Z)] ⇒ (X ∼ Z),

miejsce następujące zależzwrotność, symetryczność, przechodniość.

DOWÓD Funkcją ustalającą równoliczność zbioru z samym sobą jest przekształcenie identycznościowe f (x) = x. Relacja ∼ jest więc zwrotna. Niech X ∼ Y . Istnieje zatem przekształcenie różnowartościowe f zbioru X na Y . Przekształcenie f −1 jest przekształceniem różnowartościowym przekształcającym Y na X . Dowodzi to symetryczności ∼. Niech X ∼ Y i Y ∼ Z . Istnieje więc przekształcenie różnowartościowe f przekształcające X na Y i istnieje przekształcenie różnowartościowe g przekształcające Y na Z . Złożenie tych przekształceń g◦f jest przekształceniem różnowartościowym zbioru X na Z . Relacja ∼ jest więc przechodnia. Zgodnie z tw. 3 relacja ∼ jest relacją równoważnosci. Relacja ta dzieli zbiory na klasy zbiorów równolicznych. Każda klasa zbiorów równolicznych z danym zbiorem jest niepusta (wynika to z faktu zwrotności relacji równoliczności) oraz istnieje tylko jedna taka klasa (wynika to z symetryczności i przechodniości). Spełnione są więc formalne warunki poprawności definicji stałej indywiduowej. Własność wspólna wszystkim i tylko zbiorom równolicznym to liczba ich elementów. Stała ta będzie więc nazwą tej liczby. (DEF. liczby kardynalnej, mocy zbioru) Klasa abstrakcji relacji równoliczności to liczba kardynalna lub moc zbioru 151 . Klasę abstrakcji relacji równoliczności wyznaczoną przez zbiór X 151 Z intuicyjnego punktu widzenia lepszy byłby termin liczność zbioru. Jak w tym wypadku widać decyzje terminologiczne matematyków niekoniecznie kierowane są najprostszymi intuicjami.

7.1. RÓWNOLICZNOŚĆ ZBIORÓW

361

oznaczamy X 152 . Z definicji mamy, że zbiory X i Y są jednakowej mocy wtedy i tylko wtedy, gdy są równoliczne, czyli: (X = Y ) ⇔ (X ∼ Y ). W wypadku n-elementowego zbioru za jego moc przyjmujemy liczbę n. Zbiór ma 0 elementów wtedy i tylko wtedy, gdy jest pusty, czyli: A = 0 ⇔ A = ∅. Dla wypowiedzenia tego samego możemy używać jednego z określeń: zbiory są równoliczne; zbiory są tej samej mocy; zbiory mają tę samą liczbę kardynalną. Liczby kardynalne wprowadza się do teorii mnogości przyjmując aksjomat istnienia liczb kardynalnych. Termin „liczba kardynalna” nie jest nieodzowny. Dla wypowiedzenia tego wszystkiego, gdzie występuje termin „liczba kardynalna” wystarczyłby termin „równoliczność”. Wiele twierdzeń teorii mnogości zyskuje na przejrzystości, gdy są formułowane jako twierdzenia o liczbach kardynalnych. Z tego powodu celowe jest wprowadzenie liczb kardynalnych. Cantor posługiwał się pojęciem liczby kardynalnej już w 1878 r. Zdefiniował je w Beitr¨ age zur Begr¨ undung der transfiniten Mengenlehre [1895]. W pracy tej czytamy: „Każdemu zbiorowi przysługuje [. . . ] pewna określona ‘moc’ [. . . ], którą nazywamy też ‘liczbą kardynalną’. ‘Mocą’ albo ‘liczbą kardynalną’ M nazywamy pojęcie ogólne [. . . ], które z pomocą naszej zdolności aktywnego myślenia [. . . ] bierze swój początek ze zbioru M w ten sposób, że abstrahuje się od własności jego różnych elementów m i od porządku, w jakim są dane. Wynik tego podwójnego aktu abstrakcji, liczbę kardynalną albo moc M , oznaczamy przez M. 152 Cantor określał moc zbioru jako jego własność, która pozostaje po abstrahowaniu od jakości elementów zbioru i od ich porządku. Dwie kreski nad nazwą zbioru mają wyrażać ideę tej podwójnej abstrakcji.

362

7. MOCE ZBIORÓW

Ponieważ z każdego pojedyńczego elementu m, kiedy abstrahuje się od jego własności, powstaje ‘jedynka’ [. . . ], więc liczba kardynalna M jest sama określonym zbiorem, który składa się z samych jedynek i który istnieje w naszym umyśle jako odbicie intelektualne albo projekcja danego zbioru M 153 ”. Pojęcie równoliczności i klasy abstrakcji tej relacji pozwoliło skonstruować ogólne pojęcie liczby obejmujące zarówno zero jak i liczby kardynalne zbiorów nieskończonych. Zauważmy bowiem, że na gruncie rozumienia liczby jako powstającej z dodawania nie zdefiniowano zera. Również przy takim podejściu każda liczba winna być parzysta albo nieparzysta, stąd, jak zauważał Arystoteles, nie są możliwe liczby nieskończone, bo byłyby one zarazem parzyste i nieparzyste. Leibniz uznawał zbiory nieskończone, nie godził się jednak na liczby nieskończone. 7.2. ZBIORY PRZELICZALNE I NIEPRZELICZALNE (DEF. zbioru przeliczalnego) Zbiory przeliczalne to te i tylko te zbiory, które są skończone lub równoliczne ze zbiorem liczb naturalnych N154 . Mówiąc obrazowo zbiory przeliczalne to takie zbiory, których elementy można „ustawić” w skończony lub nieskończony ciąg: a1 , a2 , . . .. Ciąg bowiem definiujemy jako funkcję określoną na zbiorze liczb naturalnych. Z definicji przeliczalności wynika, że wszystkie zbiory przeliczalne nieskończone są jednakowej mocy, a mianowicie są tej samej mocy, co zbiór liczb naturalnych. Moc nieskończonych zbiorów przeliczalnych oznacza się ℵ0 155 . 153

Zob. Murawski [1986], s. 158. Pojęcie przeliczalności pochodzi od Cantora. Sam termin pojawił się w jego artykule z 1883 r. 155 Znak ℵ (czyt.: alef jest pierwszą literą alfabetu hebrajskiego. Symbol ten wprowadził Cantor. Symbol ℵ0 czyt.: alef-zero. Cantor zdecydował się na litery alfabetu hebrajskiego, bo uznał, że inne alfabety są zbyt wykorzystywane. Jego liczby zasługiwały na coś szczególnego. Alef miało wskazywać na nowy początek. 154

7.2. ZBIORY PRZELICZALNE I NIEPRZELICZALNE

363

TWIERDZENIE 5. Niepusty zbiór A jest przeliczalny wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje funkcja f : N → A przekształcająca zbiór liczb naturalnych na zbiór A. DOWÓD Wpierw pokażemy, że jeżeli A jest zbiorem przeliczalnym, to istnieje funkcja f : N → A. Niech A będzie zbiorem skończonym {a1 , . . . , an }. Funkcja f określona wzorem:
f (x) =

ax an

dla x ≤ n, dla x > n.

przekształca zbiór N na zbiór A. Gdy A jest nieskończonym zbiorem przeliczalnym, czyli zbiorem równolicznym z N, to z definicji równoliczności istnieje funkcja przekształcająca N na A. Teraz pokażemy, że jeżeli istnieje funkcja f : N → A, przekształcająca zbiór liczb naturalnych na zbiór A, to A jest przeliczalne. W tym celu wystarczy pokazać, że wówczas istnieje funkcja różnowartościowa przekształcająca N na A. Jeżeli A jest skończone to z definicji jest przeliczalne. Do rozważenia pozostaje więc wypadek, gdy A jest nieskończone. Niech f : N → A będzie funkcją przekształcającą zbiór N na zbiór A. Mamy więc nieskończony ciąg elementów A: (f (1), f (2), . . . , f (n), . . .). Weźmy funkcję g : N → A określoną następująco: Sama litera ℵ ma wiele odniesień w kulturze żydowskiej i w kabale. Tu warto wspomnieć – o czym już była mowa – że ojciec Cantora był duńskim Żydem wyznania protestanckiego.

364

7. MOCE ZBIORÓW

g(x) =

 f (1)  

dla x = 1,

  f (n)

gdzie n jest najmniejszą liczbą taką, że dla każdego i, 1 ≤ i < m, f (n) = g(i), dla x = m.

Funkcja g jest różnowartościowa i przekształca N na A, zatem A jest zbiorem równolicznym ze zbiorem liczb naturalnych, czyli A jest przeliczalne. TWIERDZENIE 6. Podzbiór zbioru przeliczalnego jest zbiorem przeliczalnym. DOWÓD Niech A będzie zbiorem przeliczalnym i niech B ⊆ A. Jeżeli B jest zbiorem skończonym, to jest zbiorem przeliczalnym. Niech B będzie zbiorem nieskończonym. Z założenia istnieje funkcja różnowartościowa f : N → A przekształcająca zbiór N na A. Funkcję g : N → B przekształcającą N na B definujemy następująco: g(x) =

 f (x)  

gdy f (x) ∈ B ,

  f (k)

gdzie k jest najmniejszą liczbą taką, że f (k) ∈ B , gdy f (x) ∈ B .

Funkcja g przekształca N na B . Korzystając więc z twierdzenia porzedniego otrzymujemy, że B jest zbiorem przeliczalnym. TWIERDZENIE 7. Suma skończonej liczby zbiorów przeliczalnych jest zbiorem przeliczalnym. DOWÓD Niech A1 , . . . , An będą zbiorami przeliczalnymi. Dowodzimy przez indukcję. Niech n = 2. Niech f : N → A1 funkcją przekształcającą zbiór N na A1 , a g : N → A2 niech przekształca N na A2 . Funkcja h : N → A1 ∪ A2 zdefiniowana następująco:

7.2. ZBIORY PRZELICZALNE I NIEPRZELICZALNE


h(x) =

f (m) g(m)

365

dla x = 2m − 1, dla x = 2m.

przekształca N na A1 ∪ A2 . Zgodnie z tw. 5 zbiór A1 ∪ A2 jest przeliczalny. ZAŁOŻENIE INDUKCYJNE: Niech dla n = k suma A1 ∪ · · · ∪ Ak będzie zbiorem przeliczalnym. Z założenia indukcyjnego istnieje funkcja f : N → A1 ∪ · · · ∪ Ak przekształcająca zbiór N na zbiór A1 ∪ · · · ∪ Ak . Zbiór Ak+1 jest przeliczalny, więc istnieje funkcja g : N → Ak+1 przekształcająca N na Ak+1 . Funkcję h : N → A1 ∪ · · · ∪ Ak ∪ Ak+1 przekształcającą N na A1 ∪ · · · ∪ Ak ∪ Ak+1 otrzymujemy w podobny sposób jak w wypadku n = 2. WNIOSEK Zbiór Z liczb całkowitych jest przeliczalny. DOWÓD Zbiór liczb naturalnych N i zbiór liczb całkowitych ujemnych Z− są zbiorami przeliczalnymi. Z tego, że Z = Z− ∪ {0} ∪ N na podstawie udowodnionego twierdzenia mamy, że Z jest przeliczalny. TWIERDZENIE 8. Iloczyn kartezjański skończonej liczby zbiorów przeliczalnych jest zbiorem przeliczalnym. DOWÓD Niech A1 , . . . , An będą zbiorami przeliczalnymi. Jeżeli choć jeden ze zbiorów Ai , 1 ≤ i ≤ n, jest pusty, to pusty jest iloczyn kartezjański A1 × A2 × · · · × An . Zatem jest przeliczalny. Niech więc wszystkie zbiory Ai , 1 ≤ i ≤ n, będą niepuste. Dowodzić będziemy przez indukcję. Niech n = 2. Niech f : N → A1 ) i g(: N → A2 będą funkcjami przekształcającymi N na, odpowiednio, A1 i A2 . Zdefiniujemy funkcję h : N → A1 × A2 przekształcającą N na A1 × A2 .

366

7. MOCE ZBIORÓW

Wśród par uporządkowanych (f (m), g(n)); m, n ∈ N, są wszystkie i tylko elementy iloczynu A × B . Ustawmy je w następującą tablicę:

(f (1), g(1)),

(f (1), g(2)),

(f (1), g(3)),

...

(f (1), g(n)),

...

(f (2), g(1)),

(f (2), g(2)),

(f (2), g(3)),

...

(f (2), g(n)),

...

(f (3), g(1)),

(f (3), g(2)),

(f (2), g(3)),

...

(f (3), g(n)),

...

.. .

.. .

.. .

..

.. .

..

(f (m), g(1)),

(f (m), g(2)),

(f (m), g(3)),

...

(f (m), g(n)),

...

.. .

.. .

.. .

..

.. .

..

.

.

.

.

Przekształcenie h : N → A1 × A2 zbioru N na A1 × A2 definujemy stosując metodę przekątniową. Pary uporządkowane (f (m), g(n)) takie, że m + n = k tworzą (k − 1)-szą przekątną powyższej tablicy. Kolejnym liczbom naturalnym przyporządkowujemy kolejno pary składające się na pierwszą, drugą, . . . , k -tą przekątną. Kolejność w ramach każdej przekątnej jest wyznaczona wzrastaniem parametru m w parze (f (m), g(n)). W ten sposób mamy:

7.2. ZBIORY PRZELICZALNE I NIEPRZELICZALNE

h(1)

=

(f (1), g(1))

h(2)

=

(f (1), g(2))

h(3)

=

(f (2), g(1))

h(4)

=

(f (1), g(3))

h(5)

=

(f (2), g(2))

h(6)

=

(f (3), g(1))

h(7)

=

(f (1), g(4))

.. .

.. .

.. .

367

pierwsza przekątna

druga przekątna

trzecia przekątna

Każda para (f (m), g(n)) jest obrazem jednej liczby naturalnej. Zatem funkcja h : N → A1 × A2 przekształca zbiór N na zbiór A1 × A2 . Zgodnie z tw. 5 zbiór A1 × A2 jest przeliczalny. ZAŁOŻENIE INDUKCYJNE: Niech dla n = k , A1 × A2 × · · · × Ak będzie zbiorem przeliczalnym. Pokażemy, że zbiór A1 × A2 × · · · × Ak × Ak+1 jest zbiorem przeliczalnym. Zauważmy, że zbiór A1 × A2 × · · · × Ak × Ak+1 jest równoliczny ze zbiorem (A1 × A2 × · · · × Ak ) × Ak+1 . Weźmy bowiem funkcję f : (A1 × A2 × · · · × Ak ) × Ak+1 → A1 × A2 × · · · × Ak × Ak+1 zdefiniowaną następująco: f (((a1 , . . . , ak ), (ak+1 ))) = (a1 , . . . , ak , ak+1 ). Funkcja f jest różnowartościowa i przekształca zbiór (A1 × A2 × · · · × Ak ) × Ak+1 na zbiór A1 × A2 × · · · × Ak × Ak+1 . Zbiór A1 × A2 × · · · × Ak z założenia indukcyjnego jest przeliczalny. Mamy więc iloczyn dwóch zbiorów przeliczalnych. Wcześniej wykazaliśmy, że taki zbiór jest przeliczalny. WNIOSEK156 156

W artykule z 1878 r. Cator dowiódł, że liczby wymierne oraz że skończone i

368

7. MOCE ZBIORÓW

Zbiór liczb wymiernych Q jest przeliczany. TWIERDZENIE 9. zbiorów, Niech (An )n∈N będzie przeliczalną rodziną przeliczalnych  tj. przeliczalne są wszystkie zbiory An (n ∈ N). Zbiór n∈N An jest przeliczalny. DOWÓD A przekształDla każdego zbioru An istnieje funkcja fn : N →  n cająca zbiór N na An . Dla każdego elementu zbioru n∈N An istnieją ∈ N) takie, że element ten jest obrazem fn (m). Funkwięc n (∈ N) i m (  cję f : N × N → n∈N An przekształcającą zbiór N × N na n∈N An definiujemy następująco: f ((n, m)) = fn (m). Zbiór N × N jest przeliczalny. Istnieje więc funkcja g : N→ N × N przekształcająca zbiór N na N × N. Funkcja f ◦ g : N → n∈N An przekształca zbiór N na   n∈N An . Zbiór n∈N An jest zatem przeliczalny.

TWIERDZENIE 10. Niech X będzie zbiorem przeliczalnym. Zbiór wszystkich skończonych ciągów elementów zbioru X jest zbiorem przeliczalnym. DOWÓD ZbioNiech An będzie zbiorem wszystkich ciągów n-wyrazowych. ∞  An . Z rem wszystkich skończonych ciągów elementów X jest zbiór n=1 n definicji zbiór An jest równy zbiorowi A . Skończone iloczyny kartezjańskie zbiorów przeliczalnych są przeliczane, więc An jest zbiorem przeliczalnym. Przeliczalna suma zbiorów przeliczalnych jest przeli∞  An jest przeliczalny. Ostatecznie mamy, że czalna, zatem zbiór n=1 zbiór wszystkich i tylko skończonych ciągów elementów zbioru przeliczalnego jest przeliczalny. WNIOSEK Zbiór wszystkich wielomianów jednej zmiennej o współczynnikach wymiernych jest przeliczalny. przeliczalne iloczyny kartezjańskie zbioru liczb wymiernych przez siebie mają tę samą moc i że jest to najmniejsza moc nieskończona.

7.2. ZBIORY PRZELICZALNE I NIEPRZELICZALNE

369

DOWÓD Każdemu ciągowi można wzajemnie jednoznacznie przyporządkować ciąg (a0 , a1 , . . . , an ) jego współczynników. Zbiór liczb wymiernych jest przeliczalny. Zbiór wszystkich skończonych ciągów elementów zbioru przeliczalnego jest przeliczalny, więc zbiór wszystkich wielomianów jednej zmiennej o współczynnikach wymiernych jest przeliczalny. WNIOSEK157 Zbiór wszystkich liczb algebraicznych jest przeliczalny. DOWÓD Liczby algebraiczne to pierwiastki wielomianów o wymiernych współczynnikach. Zbiór W wszystkich wielomianów jednej zmiennej o współczynnikach wymiernych jest przeliczalny, więc istnieje funkcja f : N → W przekształcająca N na W . Obrazem liczby n jest f (n) – pewien wielomian. Wielomiany mają skończoną liczbę pierwiastpierwiastków wielomianu ków. Niech An będzie zbiorem wszystkich  f (n). Zbiór wszystkich pierwiastków to n∈N An . Jest to suma przeliczalnej rodziny skończonych zbiorów. Taka suma jest zbiorem przeliczalnym. Ostatecznie więc mamy, że zbiór liczb algebraicznych jest przeliczalny. (DEF. zbiór nieprzeliczalny) Zbiór nieprzeliczalny to zbiór, który nie jest przeliczalny. TWIERDZENIE 11158 . Zbiór liczb rzeczywistych z przedziału < 0, 1 > jest nieprzeliczalny. DOWÓD Pokażemy, że nie istnieje ciąg, którego wyrazami są wszystkie liczby rzeczywiste z przedziału < 0, 1 >. Niech (cn )n∈N będzie ciągiem 157

Twierdzenie to dowodzi Cantor w artykule z 1874 r. Autorem tego twierdzenia jest Cantor. W dowodzie w artykule z 1874 r. korzystał z pojęcia zagnieżdżonych przedziałów. Mniej złożony, współczesny sposób dowodzenia ma swoje podstawy w jego artykule z 1891 r. 158

370

7. MOCE ZBIORÓW

takim, że 0 ≤ cn ≤ 1. Przedział < 0, 1 > oznaczmy < a0 , b0 >. Spośród przedziałów < 0, 13 >, < 13 , 23 >, < 23 , 1 > wybierzmy taki, do którego nie należy c1 . Powiedzmy, że będzie to przedział < a1 , b1 >. Mamy, że b1 − a1 = 13 . Z przedziałem < a1 , b1 > postępujemy podobnie jak postępowaliśmy z przedziałem < a0 , b0 >, dzieląc go na trzy równe przedziały i wybieramy spośród nich jeden taki, do którego nie należy c2 . Niech będzie to przedział < a2 , b2 >. Zauważmy, że b2 − a2 = 312 , a nadto < a2 , b2 >⊆< a1 , b1 >. Ogólnie biorąc, mając przedział < an−1 , bn−1 >, n ≥ 2, taki, że cn−1 ∈< an−1 , bn−1 >, 1 bn−1 − an−1 = 3n−1 , < an−1 , bn−1 >⊆< an−2 , bn−2 >

wyznaczamy przedział < an , bn > spełniający warunki: cn ∈< an , bn >, b n − an =

1 3n

i < an , bn >⊆< an−1 , bn−1 >.

Określony zostaje ciąg przedziałów (< an , bn >)n∈N taki, że dla każdego n (∈ N) zachodzą nierówności: 0 ≤ an ≤ an+1 < bn+1 ≤ bn ≤ 1. Ciągi (an )n∈N i (bn )n∈N są więc monotoniczne i ograniczone, zatem są lim (bn − an ) = 0. zbieżne. Jednocześnie bn − an ≤ 31n . Wynika stąd, że n=∞ lim lim W konsekwencji n=∞ an = n=∞ bn = c. c jest liczbą rzeczywistą z przedziału < 0, 1 >. c należy do każdego z przedziałów < an , bn > jest więc różna od każdego cn . Dla dowolnego ciągu (cn )n∈N istnieje więc liczba rzeczywista c, która do niego nie należy, zatem zbiór liczb rzeczywistych z przedziału < 0, 1 > jest nieprzeliczalny. Z tego, że podzbiór zbioru przeliczalnego jest zbiorem przeliczalnym przez kontrapozycję mamy, że TWIERDZENIE 12. Jeżeli A jest zbiorem nieprzeliczalnym i A ⊆ B , to również B jest zbiorem nieprzeliczalnym.

7.3. ARYTMETYKA LICZB KARDYNALNYCH

371

WNIOSEK Zbiór  wszystkich liczb rzeczywistych jest zbiorem nieprzeliczalnym. WNIOSEK Zbiór wszystkich liczb niewymiernych jest zbiorem nieprzeliczalnym. DOWÓD Zbiór liczb rzeczywistych jest sumą zbioru liczb wymiernych i liczb niewymiernych. Zbiór liczb wymiernych jest przeliczalny. Gdyby więc zbiór liczb niewymiernych był przeliczalny, to zbiór liczb rzeczywistych jako suma dwóch zbiorów przeliczalnych byłby przeliczalny. A zatem zbiór liczb niewymiernych jest nieprzeliczalny. WNIOSEK Zbiór wszystkich liczb przestępnych jest nieprzeliczalny. DOWÓD Liczby przestępne 159 to liczby rzeczywiste, które nie są algebraiczne. Zbiór liczb algebraicznych jest przeliczalny. Zbiór liczb przestępnych jest więc nieprzeliczalny. 7.3. ARYTMETYKA LICZB KARDYNALNYCH Dla liczb kardynalnych można zdefiniować działania dodawania, mnożenia i potęgowania w taki sposób, że są one równoważne odpowiednim zwykłym definicjom arytmetycznym. Chodzi więc o to, że gdy brane pod uwagę są liczby naturalne, to wyniki działań na tych liczbach zgodnie z tymi definicjami są takie same, jak w wypadku wyników zgodnie z odpowiednimi zwykłymi działaniami arytmetycznymi. 159 Istnienie liczb przestępnych wykazał matematyk francuski Liouville w 1851 r. W 1873 r. Cantor pokazał, że zbiór wszystkich liczb przestępnych nie jest przeliczalny, a mianowicie, że jest mocy continuum (o tej mocy będzie mowa w dalszej części).

372

7. MOCE ZBIORÓW

Działania, o których mowa są funkcjami. Zgodnie z zasadami definiowania pojęć funkcyjnych będziemy musieli wykazać istnienie wartości (dla tych argumentów, dla których funkcja jest określona) oraz jednoznaczność. (DEF. sumy liczb kardynalnych) Liczba kardynalna m jest sumą liczb n1 i n2 : m = n1 + n2

wtedy i tylko wtedy, gdy zbiór mocy m rozkłada się na sumę dwóch rozłącznych zbiorów, z których jeden ma moc n1 a drugi n2 . TWIERDZENIE 13. Dla każdych dwóch liczb kardynalnych n1 i n2 istnieje i jest jednoznacznie określona ich suma n1 + n2 . DOWÓD Niech A1 = n1 a A2 =n2 . Niech a1 = a2 (np. a1 = ∅, a2 = {∅}). Niech B1 = {a1 } × A1 a B2 = {a2 } × A2 . Zbiory B1 i B2 są rozłączne i równoliczne odpowiednio z A1 i A2 . Mamy więc B1 ∪ B2 = n1 + n2 . TWIERDZENIE 14. Dodawanie liczb kardynalnych jest przemienne i łączne, czyli dla dowolnych liczb kardynalnych n1 , n2 , n3 : n1 + n2 = n2 + n1 , n1 + (n2 + n3 ) = (n1 + n2 ) + n3 . DOWÓD Niech A = n1 + n2 . Zatem dla pewnych A1 i A2 takich, że A1 ∩A2 = ∅ mamy: A1 = n1 , A2 = n2 . Ponieważ suma teoriomnogościowa jest przemienna, więc A = A2 ∪ A1 . Z tego mamy A = n2 + n1 . W podobny sposób dowodzi się łączności dodawania liczb kardynalnych. (DEF. iloczynu liczb kardynalnych) Liczba kardynalna m jest iloczynem liczb kardynalnych n1 i n2 , tj.: m = n1 · n2

7.3. ARYTMETYKA LICZB KARDYNALNYCH

373

wtedy i tylko wtedy, gdy każdy zbiór mocy m jest równoliczny z iloczynem kartezjańskim A1 × A2 zbiorów A1 i A2 takich, że A1 = n1 i A2 = n2 , czyli: A1 · A2 = A1 × A2 .

TWIERDZENIE 15. Dla dowolnych liczb kardynalnych m i n istnieje i jest jednoznacznie określony ich iloczyn m · n. DOWÓD Dla każdych dwóch zbiorów istnieje ich iloczyn kartezjański. Iloczyn kartezjański zbiorów jest równoliczny z każdym iloczynem kartezjańskim zbiorów, jeśli tylko równoliczne są odpowiadające sobie zbiory. Bowiem jeżeli Ai ∼ Bi , 1 ≤ i ≤ n, to A1 × A2 × · · · × An ∼ B1 × B2 × · · · × Bn . Moc dowolnego zbioru, w szczególności zbioru będącego iloczynem kartezjańskim zbiorów jest jednoznacznie określona. Zatem iloczyn dwóch liczb kartezjańskich jest jednoznacznie określony. Definicja iloczynu dla liczb kardynalnych jest zgodna z arytmetycznym pojęciem iloczynu. Gdy na poziomie intuicyjnym chcemy wyjaśnić, czym jest np. 3 · 4, to mówimy o trzech grupach po cztery elementy: ile trzeba kupić zeszytów dla trójki dzieci, jeśli każde potrzebuje cztery zeszyty? Myślimy tu więc o liczbie elementów zbioru A × B , gdzie A ma trzy elementy, a B ma cztery. TWIERDZENIE 16. Mnożenie liczb kardynalnych jest przemienne, łączne i rozdzielne względem dodawania liczb kardynalnych, czyli dla dowolnych liczb kardynalnych n1 , n2 , n3 zachodzą następujące równości: n1 · n2 = n2 · n1 , n1 · (n2 · n3 ) = (n1 · n2 ) · n3 , n1 · (n2 + n3 ) = n1 · n2 + n1 · n3 . DOWÓD W dowodzie przemienności i łączności wystarczy skorzystać z następujących wzorów:

374

7. MOCE ZBIORÓW

A × B ∼ B × A, A × (B × C) ∼ (A × B) × C ,

W dowodzie rozdzielności mnożenia względem dodawania korzystamy z następujących dwóch faktów: A1 × (A2 ∪ A3 ) = A1 × A2 ∪ A1 × A3 , (A2 ∩ A3 = ∅) ⇔ [(A1 × A2 ) ∩ (A1 × A3 ) = ∅]. N -krotny iloczyn m · m · m · · · oznaczamy mn , czyli: n

A = An .

Uogólniając ten przykład przyjmujemy następującą definicję: (DEF. potęgi liczby kardynalnej) Liczba kardynalna m jest potęgą o zasadzie n i wykładniku p, tj. m = np , wtedy i tylko wtedy, gdy każdy zbiór mocy m jest równoliczny ze zbiorem AB , gdzie A = n a B = p, czyli: (A)B = (AB ).

TWIERDZENIE 17. Dla dowolnych liczb kardynalnych n i p istnieje i jest jednoznacznie określona ich potęga np DOWÓD Dla dowolnych liczb kardynalnych n, n1 , p, p1 , jeżeli istnieją zbiory A, A1 , B, B1 , których mocami są odpowiednie liczby kardynalne, to istnieją jednoznacznie określone zbiory AB i A1 B1 . Z faktów, że A ∼ A1 i B ∼ B1 wynika, że AB ∼ A1 B1 . Zatem wartość potęgi liczb kardynalnych jest jednoznacznie określona, czyli jeżeli n = n1 i p = p1 , to np = n1 p1 . Zauważmy, że dla liczb kardynalnych nie definiujemy działań odejmowania, dzielenia i pierwiastkowania odwrotnych do, odpowiednio, dodawania, mnożenia i potęgowania. TWIERDZENIE 18.

7.3. ARYTMETYKA LICZB KARDYNALNYCH

375

Dla dowolnych liczb kardynalnych n, p i q: 1. np + q = np · nq , 2. (n · p)q = nq · pq , 3. (np )q = npq , 4. n1 = n, 5. 1n = 1. DOWÓD Niech A będzie zbiorem mocy n i niech zbiory B1 i B2 są rozłączne i niech ich moc wynosi, odpowiednio, p i q. Rozpocznijmy od dowodu faktu 1. Z rozłączności B1 i B2 mamy, że zbiór B1 ∪ B2 ma moc p + q. Z tego zbiór AB1 ∪B2 ma moc np + q . Na podstawie tego, że (B1 ∩ B2 = ∅) ⇒ (AB1 ∪B2 ∼ AB1 × AB2 )

jest on równoliczny ze zbiorem AB1 ×AB2 . Moc tego zbioru zaś wynosi np · nq . Dla dowodu faktu 2 korzystamy z tego, że

(A × B1 )B2 ∼ (AB2 × B1 B2 ). Moc zbioru (A×B1 )B2 wynosi (n·p)q . Zaś moc (AB2 ×B1 B2 ) wynosi nq · p q .

Faktu 3 dowodzi się w oparciu o wzór: (AB1 )B2 ∼ AB1 ×B2 . Moc zbioru (AB1 )B2 wynosi (np )q . Zaś moc zbioru AB1 ×B2 wynosi np q . W dowodzie faktu 4 odwołujemy się do wzoru: A{a} ∼ A, a w wypadku 5 do wzoru: {a}A ∼ {a}.

Niektóre własności operacji na liczbach kardynalnych nieskończonych różnią się od własności tychże operacji na liczbach skończonych. Na przykład dla ℵ0 zachodzą następujące fakty:

376

7. MOCE ZBIORÓW

1. ℵ0 = ℵ0 + 1 = ℵ0 + 2 = ℵ0 + 3 = . . . = ℵ0 + ℵ0 , 2. ℵ0 = 1 · ℵ0 = 2 · ℵ0 = 3 · ℵ0 = . . . = ℵ0 · ℵ0 , 3. ℵ0 = ℵ10 = ℵ20 = ℵ30 = . . . . Fakt 1 wynika z faktu, że suma zbiorów przeliczalnych jest zbiorem przeliczalnym (tw. 7). Dla dowodu 2 korzysta się również z twierdzenia 7 i – w wypadku równości ℵ0 = ℵ0 · ℵ0 – z twierdzenia 8, że iloczyn kartezjański skończonej liczby zbiorów przeliczalnych jest zbiorem przeliczalnym. Z tego samego twierdzenia korzystamy dla dowodu 3. Zdefiniujemy relacje nieostrej i ostrej nierówności. Relacje te oznaczymy symbolami znanymi z arytmetyki: ≤ i ℵ0 ∧ B ≤ ℵ0 ⇒ A \ B > ℵ0 .

DOWÓD Niech A nie będzie zbiorem przeliczalnym, a B niech będzie zbiorem przeliczalnym. Zbiór A\B nie jest przeliczalny. Gdyby bowiem był przeliczalny, to przeliczany jako suma zbiorów przeliczalnych byłby zbiór (A \ B) ∪ B . Ponieważ zaś A ⊆ [(A \ B) ∪ B], więc A jako podzbiór zbioru przeliczalnego byłby przeliczalny. A to przeczy założeniu o nieprzeliczalności A. Zbiór przeliczalny może być skończony albo mocy ℵ0 . Rozważmy wpierw wypadek, gdy B = ℵ0 . Zbiór przeliczalny możemy zawsze różnowartościowo odwzorować w zbiór nieprzeliczalny, więc istnieje różnowartościowe przekształcenie f : B → (A \ B) zbioru B w zbiór A \ B . Mamy zatem następujące zależności:

384

7. MOCE ZBIORÓW

f (B) ⊆ A \ B ,

f (B) = ℵ0 ,

B ∩ f (B) = ∅.

Zbiór B ∪ f (B) jako suma zbiorów mocy ℵ0 jest mocy ℵ0 . Istnieje więc różnowartościowe przekształcenie g : B ∪ f (B) → f (B) odwzorowujące B ∪ f (B) na f (B). Zbiór A jest sumą dwóch rozłącznych zbiorów: A \ (B ∪ f (B) i (B ∪ f (B), bowiem A = [A \ (B ∪ f (B)] ∪ (B ∪ f (B)). Korzystając z tego określmy przekształcenie h : A → A w następujący sposób:
h(x) =

x g(x)

dla x ∈ A \ (B ∪ f (B)), dla x ∈ B ∪ f (B).

Przekształcenie h jest różnowartościowe. Niech x1 = x2 . Jeśli x1 , x2 ∈ A \ (B ∪ f (B)), to h(x1 ) = x1 a h(x2 ) = x2 , więc h(x1 ) = h(x2 ). Jeśli x1 , x2 ∈ B ∪ f (B), to h(x1 ) = g(x1 ), h(x2 ) = g(x2 ) a g(x1 ) = g(x2 ), ponieważ g jest przekształceniem różnowartościowym. Dlatego też h(x1 ) = h(x2 ). Jeśli x1 ∈ A \ (B ∪ f (B)), a x2 ∈ B ∪ f (B), to h(x1 ) = x1 (∈ A\(B∪f (B)), a h(x2 ) = g(x2 )(∈ f (B)). Zbiory A\(B∪f (B)) i f (B) są rozłączne, zatem h(x1 ) = h(x2 ). Przekształcenie h odwzorowuje zbiór A na zbiór A \ B . Zachodzą bowiem następujące równości: h(A) = h(A \ (B ∪ f (B))) ∪ h(B ∪ f (B)) = (A \ (B ∪ f (B))) ∪ g(B ∪ f (B)) = ((A \ B) ∩ (A \ f (B))) ∪ f (B) = = ((A \ B) ∪ f (B)) ∩ ((A \ f (B)) ∪ f (B)) = = (A \ B) ∩ A = A \ B .

Przekształcenie h ustala więc równoliczność zbioru A i zbioru A \ B . Wynika stąd, że A \ B jest zbiorem tej samej mocy co A, czyli (A \ B) = A.

Niech teraz B będzie skończonym podzbiorem nieprzeliczalnego zbioru A. Istnieje zatem przeliczalny nieskończony zbiór B1 taki, że B ⊆ B1 ⊆ A. Wówczas A \ B1 ⊆ A \ B ⊆ A. Ponieważ A \ B1 = A, więc na podstawie twierdzenia Cantora-Bernsteina mamy, że A \ B = A.

7.4. ZBIORY MOCY CONTINUUM

385

WNIOSEK 1. Zbiór wszystkich liczb niewymiernych jest mocy continuum, czyli ( \ Q) = c.

DOWÓD Zbiór wszystkich liczb niewymiernych to zbiór  \ Q, gdzie  to zbiór liczb rzeczywistych, a Q to zbiór liczb wymiernych. Zbiór Q jest zbiorem mocy ℵ0 . Zbiór  jest mocy c. Zatem zbiór wszystkich liczb niewymiernych jest mocy continuum. WNIOSEK 2. Zbiór wszystkich liczb niewymiernych dowolnego niepustego przedziału jest mocy continuum, czyli (a, b) = c,

gdzie a < b; a, b ∈ . DOWÓD Rozumujemy analogicznie jak w dowodzie wniosku 1. Zbiór wszystkich liczb rzeczywistych dowolnego niepustego przedziału jest mocy continuum, a zbiór wszystkich liczb wymiernych tego przedziału jest mocy ℵ0 , zatem zbiór wszystkich liczb niewymiernych tego przedziału jest mocy continuum. TWIERDZENIE 24. Zbiór wszystkich funkcji f : N → {0, 1}, czyli zbiór wszystkich ciągów (an )n∈N takich, że dla każdego n ∈ N: an ∈ {0, 1} jest zbiorem mocy continuum. DOWÓD Niech A będzie zbiorem wszystkich ciągów (an )n∈N o wyrazach należących do zbioru {0, 1}. Na zbiorze A określmy funkcję g : A →  w następujący sposób:

386

7. MOCE ZBIORÓW

  ∞ an   ,   n=1 2n ∞  g((an )n∈N ) = an  1 +  n,  n=1 2 

gdy an = 0 dla nieskończenie wielu n, gdy an = 0 dla skończenie wielu n lub an = 0 dla każdego n ∈ N.

Funkcja g jest różnowartościowa162 . Wynika stąd, że A = g(A). Ponadto mamy163 , że {x ∈  : 0 < x < 1} ⊆ g(A). Z tego wynika, że g(A) = c. A w konsekwencji A =c. WNIOSEK 2ℵ0 = c.

Można pokazać, że dla c zachodzą następujące fakty: 1. c = c +1 =c+2 =c +3 = . . . c +ℵ0 = c + c, 2. c = 1 · c = 2 · c = 3 · c = . . . = ℵ0 · c = c · c, 3. c = c1 = c2 = c3 = . . . cℵ0 , 4. c = 2ℵ0 = 3ℵ0 = 4ℵ0 = . . . ℵ0 ℵ0 = cℵ0 . Dla stwierdzenia prawdziwości 1 zauważmy, że jeżeli m ≤ c, to c ≤ c + m ≤ c + c. Zbiór wszystkich liczb rzeczywistych dodatnich jest mocy c, podobnie jest w wypadku wszystkich liczb rzeczywistych ujemnych. Ponieważ zbiór liczb rzeczywistych jest mocy c, więc jest jasne, że c + c = c. Korzystając z twierdzenia Cantora Bernsteina mamy: m ≤ c ⇒ (c + m) = c. 162 Faktu tego nie będziemy tu dowodzić. Dowód znajduje się np. w: Sierpiński [1925], s. 148. 163 Twierdzenie to również można znaleźć w wyżej podanej książce na str. 148.

7.4. ZBIORY MOCY CONTINUUM

387

Dla stwierdzenia zachodzenia równości 2 zauważmy, że c · c = 2ℵ0 · 2ℵ0 ,

zaś 2ℵ0 · 2ℵ0 = 2ℵ0 +ℵ0 .

Ponieważ ℵ0 + ℵ0 = ℵ0 ,

więc c · c = 2ℵ0 ,

czyli c · c = c.

Dla stwierdzenia równości 3 korzystamy ponownie z faktu, że 2ℵ0 = c. Mianowicie mamy, że cℵ0 = (2ℵ0 )ℵ0 .

Ponieważ (2ℵ0 )ℵ0 = 2ℵ0 ·ℵ0 ,

a ℵ0 · ℵ0 = ℵ0 ,

więc cℵ0 = 2ℵ0 ,

czyli cℵ0 = c.

Dla wykazania równości 4 korzystamy z twierdzenia Cantora-Bernsteina. Wykorzystujemy mianowicie fakt, że ℵ0 ℵ0 ≤ cℵ0 .

Zauważmy paradoksalny charakter równości: c·c=c

i równości pochodnych (równości 3). Równość ta udowodniona już przez Cantora stwierdza – ujmując rzecz geometrycznie – równoliczność zbioru punktów płaszczyzny ze zbiorem punktów na prostej.

388

7. MOCE ZBIORÓW

Poszukiwania liczb kardynalnych będących mocami podzbiorów  zbioru liczb rzeczywistych zrodziły pytanie, zagadnienie continuum 164 : czy każdy podzbiór zbioru  jest albo przeliczalny, albo

mocy continuum? Jest to równoważne pytaniu o nieprzeliczalny podzbiór zbioru  nierównoliczny z tym zbiorem, czyli jest to pytanie o liczbę m taką, że ℵ0 < m < c. Inaczej mówiąc, przyjmując, że ℵ0 < ℵ1 oraz że dla dowolnej liczby m takiej, że ℵ0 ≤ m ≤ c

bądź ℵ0 = m,

bądź m = ℵ1

to jest to pytanie o to, czy: ℵ1 = c.

Problem continuum został postawiony przez Cantora165 . Odpowiedź twierdząca, czyli że ℵ1 = c to hipoteza continuum. Taką twierdzącą odpowiedź dawał Cantor. W 1940 r. G¨ odel pokazał, że hipoteza continuum nie może być źródłem sprzeczności teorii mnogości. Cohen pokazał, że hipoteza ta jest niezależna od pozostałych aksjomatów teorii mnogości166 . 7.5. ZBIÓR POTĘGOWY (DEF. funkcji charakterystycznej) Funkcja f : X → {0, 1} ze zbioru X do zbioru {0, 1} to funkcja charakterystyczna podzbioru zbioru X 167 . 164 Właściwe sformułowanie wymaga pojęcia mocy liczby porządkowej. Pojęcie to zostanie wprowadzone później. To sformułowanie jest jemu równoważne (na gruncie określonego systemu teorii mnogości). 165 Zob. Cantor [1878] §8. 166 Zob. Cohen. [1963], [1964], [1966]. 167 Funkcje charakterystyczne wprowadził de la Vall´ee Poussin.

7.5. ZBIÓR POTĘGOWY

389

Zbiór wszystkich funkcji charakterystycznych to {0, 1}X . Niech A ⊆ X . Funkcja fA : X → {0, 1} określona wzorem:
fA (x) =

1 dla x ∈ A, 0 dla x ∈ A

jest funkcją charakterystyczną podzbioru A zbioru X . TWIERDZENIE 25. Dla dowolnego X zbiór wszystkich i tylko podzbiorów zbioru X jest równoliczny ze zbiorem {0, 1}X . DOWÓD Pokażemy wpierw, że odwzorowanie określone wzorem: g(A) = fA , gdzie A ⊆ X

jest przekształceniem różnowartościowym zbioru wszystkich podzbiorów zbioru X na zbiór {0, 1}X , czyli zbiór wszystkich funkcji charakterystycznych podzbiorów zbioru X . Niech f będzie dowolną funkcją należącą do {0, 1}X . Przeciwobrazem zbioru {1} wyznaczonym przez tę funkcję, czyli zbiorem wszystkich elementów zbioru X , dla których f przyjmuje wartość 1 jest zbiór A: A = {x ∈ X : f (x) = 1}. Można zauważyć, że f jest funkcją charakterystyczną zbioru A, czyli f = fA . Zatem g(A) = fA = f , co dowodzi, że g jest przekształceniem na zbiór {0, 1}X . W celu pokazania, że g jest przekształceniem różnowartościowym załóżmy, że A ⊆ X, B ⊆ X i A = B . Istnieje więc element x (∈ X ) taki, że x ∈ A i x ∈ B albo x ∈ A i x ∈ B . Weźmy pod uwagę pierwszą z tych możliwości. Wówczas fA (x) = 1 a fB (x) = 0. Stąd fA = fB , czyli g(A) = g(B). Ostatecznie stwierdzamy zatem, że funkcja g ustala równoliczność rodziny wszystkich podzbiorów zbioru X i zbioru {0, 1}X .

390

7. MOCE ZBIORÓW

Powyższe twierdzenie nasuwa ideę, aby zbiór wszystkich i tylko podzbiorów zbioru X oznaczać 2X . Zbiór 2X to zbiór potęgowy zbioru X. Udowodnione było, że zbiór {0, 1}N jest mocy continuum. Na podstawie powyższego twierdzenia mamy więc, że WNIOSEK 1 Zbiór wszystkich podzbiorów zbioru liczb naturalnych jest mocy continuum, czyli: 2N = c .

WNIOSEK 2 Jeśli zbiór X jest nieskończonym zbiorem przeliczalnym, to rodzina jego wszystkich podzbiorów jest zbiorem mocy continuum, czyli X = ℵ0 ⇒ 2 X = c . DOWÓD Niech X = ℵ0 . Istnieje więc funkcja różnowartościowa f : N → X przekształcająca N na X . Przyjmując dla każdego A (⊆ N), g(A) = f (A) określamy funkcję g : 2N → X N przekształcającą 2N na X N . Funkcja f przekształca N na X , zatem każdy podzbiór zbioru X jest wyznaczonym przez funkjcę f obrazem pewnego zbioru A (⊆ N). Teraz pokażemy, że funkcja g jest różnowartościowa. Niech A ⊆ N, B ⊆ N, i A = B . Istnieje więc takie n, które należy do tylko jednego z tych zbiorów. Niech n ∈ A, n ∈ B . Wynika stąd, że f (n) ∈ f (A) i f (n) ∈ f (B). Gdyby bowiem f (n) ∈ f (B), wówczas istniałaby liczba naturalna m (∈ B ) taka, że f (n) = f (m). Stąd, wobec różnowartościowości f , mielibyśmy n = m, co jest niemożliwe, bo n ∈ B , a m ∈ B . Udowodniliśmy więc, że f (A) = f (B), skąd wynika, że g(A) = g(B). Funkcja g jest bijekcją, ustala więc równoliczność zbiorów 2N i X

2 .

TWIERDZENIE 26 (CANTORA). Dla każdego zbioru X :

7.5. ZBIÓR POTĘGOWY

391

X < 2X .

DOWÓD168 W wypadku, gdy X = ∅ istnieje tylko jeden podzbiór zbioru X , a mianowicie zbiór ∅. Ponieważ 2∅ = 1, więc zachodzi dowodzona teza. Niech teraz X = ∅. Biorąc funkcję g : X → 2X określoną wzorem: g(x) = {x}

mamy różnowartościowe odwzorowanie zbioru X na rodzinę jednoelementowych podzbiorów zbioru X . Zgodnie z definicją mocy zbiorów mamy więc, że X ≤ 2X . Niech dla pewnego zbioru X (= ∅) istnieje niepusty podzbiór A (⊆ X ) taki, że A ∼ 2X . Istnieje zatem różnowartościowa funkcja f : A → 2X przekształcająca A na 2X . Dla każdego x ∈ A, f (x) jest podzbiorem zbioru X , czyli elementem zbioru 2X , f (x) ∈ 2X . Niech Z = {x ∈ A : x ∈ f (x)}153 . Z definicji zbioru Z mamy, że dla każdego x (∈ A): (x ∈ Z) ⇔ (x ∈ f (x)).

Wiemy ponadto, że Z ⊆ X . Ponieważ f przekształca A na 2X , każdy podzbiór zbioru X jest wartością funkcji f dla pewnego x (∈ A), w szczególności istnieje a (∈ A) takie, że Z = f (a). Pytamy teraz, czy a ∈ Z , czy też a ∈ Z . Jeśli a ∈ Z , to a ∈ f (a) (= Z ). Jeżeli natomiast a ∈ Z , to a ∈ f (a) (= Z ). W każdym wypadku otrzymujemy sprzeczność. Zatem żaden niepusty podzbiór zbioru X nie jest równoliczny ze zbiorem 2X , w szczególności X nie jest równoliczny z 2X . Ostatecznie więc mamy, że X < 2X . Twierdzenie Cantora pozwala konstruować coraz większe liczby 168

W dowodzie tego twierdzenia Cantor użył po raz pierwszy tzw. rozumowanie przekątniowe. 153 Przedstawmy sobie zbiór X × X jako kwadrat. Weźmy pod uwagę zbiór {(x, y) : y ∈ f (x)}. Zbiór f(x) jest rzutem na oś rzędnych tych punktów tego zbioru, których odciętą jest x. Zbiór Z jest zaś rzutem tych punktów przekątnej kwadratu, czyli zbioru {(x, x) : x ∈ X}, które nie są elementami zbioru {(x, y) : y ∈ f (x)}. Jeżeli (x, x) ∈ {(x, y) : y ∈ f (x)}, to x ∈ f (x), lecz x ∈ Z . Jeżeli zaś (x, x) ∈ {(x, y) : y ∈ f (x)}, to x ∈ f (x)}, lecz x ∈ Z .

392

7. MOCE ZBIORÓW

kardynalne. Biorąc zbiór potęgowy zbioru uzyskujemy zbiór większej mocy niż moc zbioru, którego zbiór potęgowy wzięliśmy. Procedura ta może być kontynuowana bez ograniczeń. Weźmy np. zbiór N liczb naturalnych. Kolejne zbiory są większej mocy niż zbiory je poprzedzaN

jące: N, 2N , 22 , 22

N

2

, . . .. Korzystając z twierdzenia Cantora mamy:

ℵ0 = N < 2N = c < 22N < . . ..

Otrzymujemy w ten sposób nieskończenie wiele liczb kardynalnych. Z twierdzenia Cantora wynika, że nie istnieje zbiór Z wszystkich zbiorów. Gdyby istniał, to rodzina wszystkich podzbiorów zbioru Z byłaby jego podzbiorem, czyli 2Z ⊆ Z . Wynikałoby z tego, że zbiór 2Z byłby równoliczny z pewnym podzbiorem zbioru Z , a to w świetle twierdzenia Cantora nie jest możliwe. Fakt, że nie istnieje zbiór wszystkich zbiorów nie oznacza, że nie możemy mówić np. o prawach rachunku zbiorów, a więc czymś co odnosi się do wszystkich zbiorów. Po prostu możemy i musimy mówić o rodzinie wszystkich zbiorów, tyle tylko, że w świetle twierdzenia Cantora ta rodzina nie jest zbiorem. Wprowadzamy pojęcie klasy jako szersze niż pojęcie zbioru. Mianowicie, każdy zbiór jest klasą, lecz nie odwrotnie, nie każda klasa jest zbiorem. Dzięki temu możemy mówić o klasie wszystkich zbiorów, klasie wszystkich liczb kardynalnych. Te klasy nie są zbiorami. Mają one jednak pewne własności zbiorów. Dzięki temu unikamy sprzeczności. Twierdzenie Cantora daje podstawę do pytania o liczby «pośrednie» między liczbą kardynalną m a liczbą kardynalną 2m . Teza, że nie ma takich liczb nosi miano uogólnionej hipotezy continuum 154 .

154

Zob. poprzedni przypis w sprawie sformułowania zagadnienia continuum.

8. UPORZĄDKOWANIE ZBIORÓW 8.1. ZBIORY UPORZĄDKOWANE Zbiory, z którymi mamy do czynienia w praktyce naukowej rozważając jakąś dziedzinę to nie tylko proste nagromadzenie obiektów. Zwykle między tymi obiektami zachodzą różnego rodzaju stosunki, w szczególności obiekty te są jakoś uporządkowane, np. między liczbami zachodzi stosunek większości. Tak jest zresztą nie tylko w dziedzinach matematycznych, np. w zbiorze ludzi określony jest stosunek bycia potomkiem. Rola i znaczenie uporządkowania stały się źródłem teorii porządków. Cantor, który był nie tylko twórcą ogólnej teorii mnogości, lecz także teorii zbiorów uporządkowanych, pojmował ją jako teorię abstrahującą od jakości przedmiotów tworzących zbiory, ale nie od ich porządku. Ideę tę wyrażała pojedyńcza kreska w oznaczeniu typu porządkowego. (DEF. relacji porządkujących) Relacja R jest relacją porządkującą zbiór X wtedy i tylko wtedy, gdy jest zwrotna, przechodnia i antysymetryczna, czyli wtedy i tylko wtedy, gdy 1. ∀x ∈ X.(xRx), zwrotność, 2.

∀x, y, z ∈ X.[(xRy ∧ yRz) ⇒ xRz],

przechodniość,

3.

∀x, y ∈ X.[(xRy) ∧ (yRx) ⇒ (x = y)],

antysymetryczność,

czyli R ∈ REF ∩ TRANS ∩ ANTYSYM155 . 155

Przez niektórych autorów relacje spełniające warunki 1–3 określane są jako relacje częściowo porządkujące.

8.1. ZBIORY UPORZĄDKOWANE

393

Warunki, o których mowa w definicji możemy równoważnie zapisać następująco, odpowiednio: 1. IX ⊆ R, 2. R ◦ R ⊆ R, 3. R ∩ R−1 ⊆ IX . Zamiast xRy , gdy R jest relacją porządkującą, piszemy: x ≤ y i czytamy: x jest zawarte w y lub też: y zawiera x. Należy tu zauważyć, że relacje porządkujące to pewna klasa relacji. Relacja, która należy do tej klasy, czyli jest relacją porządkującą, może mieć jeszcze inne własności niż wskazane w definicji relacji porządkującej. (DEF. zbioru uporządkowanego) Gdy R(⊆ X ×X) jest relacją porządkującą, to mówimy, że R porządkuje zbiór X , a para uporządkowana (X, R) to zbiór uporządkowany. Należy pamiętać, że uporządkowanie nie jest własnością samego tylko zbioru; jeden i ten sam zbiór może być uporządkowany przez różne relacje. PRZYKŁADY 1. Niech R będzie niepustą rodziną podzbiorów zbioru X . Relacja inkluzji ⊆ porządkuje zbiór R. Dla dowolnych podzbiorów A, B, C zbioru X mamy bowiem: A ⊆ A (zwrotność), A ⊆ B ∧ B ⊆ C ⇒ A ⊆ C (przechodniość), A ⊆ B ∧ B ⊆ A ⇒ A = B (antysymetryczność). 2. Zbiór N wszystkich liczb naturalnych uporządkowany jest przez relację podzielności | (∀n, m ∈ N.[n|m ⇔ ∃k ∈ N.(k · n = m)]; czyli n|m wtedy i tylko wtedy, gdy n jest dzielnikiem m). Dla dowolnych liczb naturalnych n, m, k prawdą jest, że: n|n (zwrotność), (n|m ∧ m|k) ⇒ n|k (przechodniość), (n|m ∧ m|n) ⇒ n = m (antysymetryczność). 3. Relacja ≤ niewiększości porządkuje dowolny niepusty zbiór liczb rzeczywistych.

394

8. UPORZĄDKOWANIE ZBIORÓW

Dla dowolnych liczb rzeczywistych x, y, z prawdą jest, że: x ≤ x (zwrotność), x ≤ y ∧ y ≤ z ⇒ x ≤ z (przechodniość), x ≤ y ∧ y ≤ x ⇒ x = y (antysymetryczność). 4. Relacja porządku prefiksowego porządkuje zbiór słów. Niech A będzie dowolnym zbiorem a A∗ niech będzie zbiorem wszystkich i tylko skończonych ciągów elementów A (słowem nad A). Ciąg pusty, słowo puste, to ε. Złożeniem słów w1 [= (a1 , . . . , an )] i w2 [= (b1 , . . . , bm )] jest słowo w1 w2 [= (a1 , . . . , an , b1 , . . . , bm )]. Słowo w jest prefiksem słowa u, w ≤ u, wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje słowo w1 takie, że u = ww1 . Zauważmy, że relacja ≤ (⊂ A∗ × A∗ ) (porządek prefiksowy) jest: (a) zwrotna – każde słowo jest swoim prefiksem, (b) antysymetryczna – jeśli w jest prefiksem u, a u jest prefiksem w, to zgodnie z definicją mamy: u = ww1 oraz w = uu1 . Z tego u = (uu1 )w1 . Ponieważ składanie jest łączne, więc u1 w1 = ε, a z tego u1 = ε oraz w1 = ε. Ostatecznie mamy: u = w. (c) przechodnia – przechodniość ≤ wynika z łączności składania słów. 5. Relacja porządku leksykograficznego nad (A, ≤) porządkuje A. Niech ≤ (⊆ A × A) będzie porządkiem. Niech dla w = (a1 , . . . , ai , . . . , an ), w(i) = ai . Relację (⊆ A∗ × A∗ ) definujemy następująco. Dla każdego w, u(∈ A∗ ): w jest prefiksem u lub istnieje i takie, że w(i) < u(i) i dla każdego j < i, zachodzi w(j) = u(j). Relacja to relacja porządku leksykograficznego nad (A, ≤) indukowana przez ≤. Relacja porządku leksykograficznego jest zwrotna, bo każde słowo jest swoim prefiksem, Dla pokazania antysymetryczności załóżmy, że w u i u w. Jeżeli w jest prefiksem u, to nie istnieje i takie, że u(i) < w(i), zatem u jest prefiksem w. A więc w = u. Jeżeli u jest prefiksem w, to sytuacja jest analogiczna do poprzedniej.

395

8.1. ZBIORY UPORZĄDKOWANE

Pozostaje do rozważenia wypadek, gdy zarówno w nie jest prefiksem u, ani u nie jest prefiksem w. Niech więc istnieje i takie, że w(i) < u(i) oraz dla każdego j , jeżeli j < i, to w(j) = u(j). Ponadto niech istnieje i1 takie, że u(i1 ) < w(i1 ) oraz dla każdego j , jeżeli j < i1 , to u(j) = w(j). Z tego mamy, że i = i1 . Nie jest jednak możliwe, aby w(i) < u(i) i u(i) < w(i). Wykluczone jest więc, że w nie jest prefiksem u i u nie jest prefiksem w. Ostatecznie mamy więc, że jeżeli w u i u w, to w = u. Pozostaje jeszcze do udowodnienia przechodniość relacji porządku leksykograficznego, . Niech w u i u v . Rozważymy wszystkie możliwości, wynikające z definicji . (a) Niech w będzie prefiksem u a u prefiksem v . Z założenia wynika, że w jest prefiksem v , a zatem w v . (b) Niech w będzie prefiksem u a dla u i v istnieje takie i, że u(i) < v(i) oraz dla każdego j < i, u(j) = v(j). W opisanej sytuacji może być tak, że w jest prefiksem v , a wówczas w v . Jeżeli w nie jest prefiksem v , to w(i) < v(i) i dla każdego j < i, w(j) = v(j), a wówczas ww v . (c) Niech dla w i u istnieje i takie, że w(i) < u(i) i dla każdego j < i, w(j) = u(j). Niech u będzie prefiksem v . W tym wypadku mamy, że w(i) < v(i) i dla każdego j < i, w(j) = v(j). Zatem w v . (d) Ostatnia możliwość to wypadek, gdy dla w i u istnieje i takie, że w(i) < u(i) i dla każdego j < i, w(j) = u(j) oraz dla u i v istnieje takie i1 , że u(i1 ) < v(i1 ) oraz dla każdego j < i1 , u(j) = v(j). Niech i2 będzie niemniejszą z liczb i oraz i1 . Mamy, że w(i2 ) < v(i2 ) oraz dla każdego j < i2 , w(j) = v(j). Zatem w v . Na podstawie a–b relacja jest przechodnia.



(DEF. ≺, poprzedzania) x ≺ y , x poprzedza y (x, y ∈ X ) w zbiorze uporządkowanym (X, ≤) wtedy i tylko wtedy, gdy x ≤ y ∧ x = y , czyli ∀x, y ∈ X.[(x ≺ y) ⇔ (x ≤ y) ∧ ¬(x = y)]. Jest to poprawna definicja litery predykatowej „≺”. TWIERDZENIE 1

396

8. UPORZĄDKOWANIE ZBIORÓW

Jeżeli relacja ≤ porządkuje zbiór X , to relacja ≺ jest przeciwzwrotna i przechodnia w X , czyli ≤∈ REF ∩ TRANS ∩ ANTYSYM ⇒≺∈ IRREF ∩ TRANS. DOWÓD Wpierw wykażmy przeciwzwrotność ≺. Niech ≤ będzie relacją porządkującą w zbiorze X . Z definicji relacji porządkującej: 1. (x ≤ x). Z definicji ≺ mamy: 2. (x ≺ x) ⇔ [(x ≤ x) ∧ ¬(x = x)]. Z 1 i 2 dostajemy 3. ¬(x = x) ⇒ (x ≺ x). Ponieważ 4. x = x, więc z 3 i 4 mamy 5. ¬(x ≺ x). Teraz wykażemy przechodniość ≺. Załóżmy, że 1. x ≺ y ∧ y ≺ z . Z 1 i definicji ≺ mamy 2. x ≤ y ∧ y ≤ z . Z przechodniości ≤ i 2 dostajemy 3. x ≤ z . Z przeciwzwrotności ≺ i 1 mamy 4. ¬(x = y), oraz 5. ¬(y = z). Z 2 dostajemy

8.1. ZBIORY UPORZĄDKOWANE

397

6. x = z ⇒ z ≤ y . Zatem z 2, 6 i antysymetryczności ≤ mamy 7. x = z ⇒ y = z . Z 5 i 7 dostajemy 8. ¬(x = z). Z 3 i 8 na podstawie definicji ≺ ostatecznie 9. x ≺ z . LEMAT 1 Jeżeli relacja R jest przeciwzwrotna i przechodnia, to jest przeciwsymetryczna, czyli R ∈ IRREF ∩ TRANS ⇒ R ∈ ASYM. DOWÓD Niech R będzie przeciwzwrotna i przechodnia. Dowodzić będziemy niewprost. Założymy więc, że R nie jest przeciwsymetryczna. Zatem dla pewnych a i b zachodzi: 1. aRb ∧ bRa, W związku z przechodniością R mamy: 2. aRa. Co zaprzecza przeciwzwrotności R. TWIERDZENIE 2 Jeżeli relacja ≺ jest przeciwzwrotna i przechodnia w zbiorze X , to relacja ≤ zdefiniowana następująco: ∀x, y ∈ X.[(x ≤ y) ⇔ (x ≺ y) ∨ (x = y)]. porządkuje zbiór X , czyli jest zwrotna, przechodnia i antysymetryczna. ≺∈ IRREF ∩ TRANS ⇒≤∈ REF ∩ TRANS ∩ ANTYSYM. DOWÓD Z definicji ≤ dla każdego x mamy:

398

8. UPORZĄDKOWANIE ZBIORÓW

1. x ≤ x ⇔ x ≺ x ∨ x = x. Ponieważ 2. x = x, więc 3. x ≤ x. Wykazaliśmy zwrotność ≤. Pokażemy teraz, że ≤ jest przechodnia. Niech 1. ¬x ≺ x. Z definicji ≤ mamy 2. [(x ≺ y) ∨ (x = y)] ∧ [(y ≺ z) ∨ (y = z)]. Z tego 3. [(x ≺ y) ∧ (y ≺ z)] ∨ [(x = y) ∧ (y ≺ z)] ∨ [(x ≺ y) ∧ (y = z)] ∨ [(x = y) ∧ (y = z)]. Z własności ≺ 4. [(x ≺ y) ∧ (y ≺ z)] ⇒ (x ≺ z). Ponadto 5. [(x = y) ∧ (y ≺ z)] ⇒ (x ≺ z). 6. [(x ≺ y) ∧ (y = z)] ⇒ (x ≺ z). 7. [(x = y) ∧ (y = z)] ⇒ (x = z). Zatem z 3 oraz 4, 5, 6 i 7 dostajemy: 8. (x ≺ z) ∨ (x = z), czyli 9. x ≤ z . Pozostaje wykazać antysymetryczność ≤. Niech 1. x ≤ y ∧ y ≤ x. Zgodnie z definicją ≤

8.1. ZBIORY UPORZĄDKOWANE

399

2. (x ≺ y ∨ x = y) ∧ (y ≺ x ∨ y = x). Z tego mamy 3. [(x ≺ y) ∧ (y ≺ x)] ∨ [(x = y) ∧ (y ≺ x)] ∨ [(x ≺ y) ∧ (y = x)] ∨ [(x = y) ∧ (y = x)]. Korzystając z przecisymetryczności ≺ mamy: 4. [(x = y) ∧ (y ≺ x)] ∨ [(x ≤ y) ∧ (y = x)] ∨ [(x = y) ∧ (y = x)]. Z czego dostajemy: 5. (x = y) ∧ (y = x). Zatem 6. x = y . (DEF. elementu maksymalnego) x0 (∈ X ) jest elementem maksymalnym w zbiorze uporządkowanym (X, ≤) wtedy i tylko wtedy, gdy w zbiorze X nie poprzedza on żadnego elementu, a więc gdy nie istnieje x (∈ X ) takie, że x0 ≺ x (x0 ≤ x ∧ x0 = x) czyli: ¬∃x ∈ X.(x0 ≺ x), lub ¬∃x ∈ X.(x0 ≤ x ∧ x0 = x).

Zauważmy, że pojęcie elementu maksymalnego jest pojęciem relacyjnym, tzn. jakiś przedmiot jest elementem maksymalnym ze względu na jakiś zbiór uporządkowany. Inaczej mówiąc, definiujemy tu jednoargumentową literę predykatową (możemy wprowadzić specjalny symbol). PRZYKŁADY 1. Niech R będzie rodziną podzbiorów zbioru X , zawierającą zbiór X (X ∈ R). Relacja ⊆ porządkuje R. W zbiorze R istnieje dokładanie jeden element maksymalny. Dla dowolnego podzbioru A zbioru X w wypadku, gdy X ⊆ A, to A = X . 2. W zbiorze uporządkowanym (N, |), gdzie n|m rozumiemy: n jest dzielnikiem m – nie ma elementów maksymalnych. Dla dowolnego n (∈ N): n|2n i n = 2n, czyli dla dowolnego n: n ≺ 2n.

400

8. UPORZĄDKOWANIE ZBIORÓW

3. Niech ≤ (⊆ N × N) będzie relacją w zbiorze liczb naturalnych zdefiniowaną jak następuje: ∀m, n ∈ N.(n ≤ m ⇔ m|n), gdzie n|m rozumiemy: n jest dzielnikiem m. Tak określona relacja ≤ porządkuje zbiór liczb naturalnych, a każda liczba pierwsza jest elementem maksymalnym. W zbiorze (N, ≤) istnieje więc nieskończenie wiele elementów maksymalnych.  (DEF. elementu największego) x0 jest największym elementem zbioru uporządkowanego (X, ≤) wtedy i tylko wtedy, gdy x0 poprzedza każdy element zbioru X , czyli gdy ∀x ∈ X.(x ≤ x0 ). Pojęcie elementu największego jest pojęciem relacyjnym. TWIERDZENIE 3 W zbiorze uporządkowanym (X, ≤) istnieje co najwyżej jeden element największy. Element największy jest maksymalny. DOWÓD Pokażmy wpierw, że istnieje co najwyżej jeden element największy. Niech dla x∗0 i x0 zachodzą: 1. ∀x ∈ X.(x ≤ x∗0 ), 2. ∀x ∈ X.(x ≤ x0 ). Z 1 mamy 3. x0 ≤ x∗0 . Az2 4. x∗0 ≤ x0 . Z 3 i 4 oraz antysymetryczności ≤ mamy 5. x0 = x∗0 . Pozostaje wykazać, że element największy jest elementem maksymalnym. Niech x0 będzie elementem największym, czyli niech

8.1. ZBIORY UPORZĄDKOWANE

401

1. ∀x ∈ X.(x ≤ x0 ). Z 1 na podstawie prawa De Morgana 2. ¬∃x ∈ X.(x0 ≤ x ∧ x = x0 ). Zgodnie z definicją x0 jest elementem maksymalnym. PRZYKŁAD Niech R będzie rodziną podzbiorów zbioru X zawierającą X . X jest elementem największym w zbiorze uporządkowanym (R, ⊆).  Pojęciami dualnymi do pojęć elementu maksymalnego i największego są pojęcia, odpowiednio, elementu minimalnego i najmniejszego. Są one również pojęciami relacyjnymi. (DEF. elementu minimalnego) x0 (∈ X ) jest elementem minimalnym w zbiorze uporządkowanym (X, ≤) wtedy i tylko wtedy, gdy w zbiorze X nie poprzedza go żaden element, a więc gdy nie istnieje x (∈ X ) takie, że x ≺ x0 (x ≤ x0 ∧ x0 = x), czyli; ¬∃x ∈ X.(x ≺ x0 ), lub ¬∃x ∈ X.(x ≤ x0 ∧ ¬x0 = x).

PRZYKŁADY 1. Niech R będzie rodziną podzbiorów zbioru X zawierającą zbiór ∅ (∅ ∈ R). Relacja ⊆ porządkuje R. W zbiorze R istnieje dokładnie jeden element minimalny. Dla dowolnego podzbioru Y zbioru X w wypadku, gdy Y ⊆ ∅, to Y = ∅. 2. W zbiorze uporządkowanym (N, |), gdzie n|m – n jest podzielnikiem m, istnieje dokładnie jeden element minimalny, mianowicie 1. Dla żadnego n (∈ N): n|1 i n = 1, czyli nie ma n takiego, że n ≺ 1. 3. W zbiorze uporządkowanym (N \ {1}, ≤), gdzie n ≤ m ⇔ m|n (m|n – m jest dzielnikiem n) istnieje nieskończenie wiele elementów minimalnych: są nimi wszystkie liczby pierwsze. Niech p będzie liczbą pierwszą. Dla żadnego n (∈ N \ {1}): n|p i n = p, czyli dla żadnego n (∈ N \ {1} : n ≺ p. 

402

8. UPORZĄDKOWANIE ZBIORÓW

(DEF. elementu najmniejszego) x0 jest najmniejszym elementem zbioru uporządkowanego (X, ≤) wtedy i tylko wtedy, gdy poprzedza on każdy element zbioru X , czyli gdy ∀x ∈ X.(x0 ≤ x).

TWIERDZENIE 4 W zbiorze uporządkowanym (X, ≤) istnieje co najwyżej jeden element najmniejszy. Element najmniejszy jest minimalny. Dowód powyższego twierdzenia przebiega podobnie jak dowód analogicznego twierdzenia o elemencie największym. PRZYKŁADY 1. Niech R będzie rodziną podzbiorów zbioru X zawierającą zbiór pusty ∅. ∅ jest elementem najmniejszym w zbiorze uporządkowanym (R, ⊆). 2. W zbiorze uporządkowanym (N, |), gdzie n|m – n jest podzielnikiem m, elementem minimalnym jest 1. Dla każdego n (∈ N): 1|n i n = 1, czyli dla każdego n: 1 ≺ n. (DEF. zbioru dualnego) Niech (X, R) będzie zbiorem uporządkowanym. Zbiór (X, R−1 ) jest zbiorem dualnym do (X, R). Dowodzi się, że zbiór dualny (X, R−1 ) do zbioru uporządkowanego (X, R) jest zbiorem uporządkowanym. Porządek R−1 to porządek dualny do R. Element maksymalny (największy) w (X, R) jest minimalny (najmniejszy) w (X, R−1 ). Podobnie minimalny (najmniejszy) w (X, R) staje się maksymalnym (największym) w (X, R−1 ). TWIERDZENIE 5 Niech (X, ≤) będzie zbiorem uporządkowanym i niech A ⊆ X . Zbiór (A, ≤|A), gdzie ≤|A jest relacją ≤ zredukowaną do zbioru A, jest zbiorem uporządkowanym. Twierdzenia tego dowodzi się prosto korzystając z własności ≤ i definicji relacji zredukowanej do zbioru A.

8.1. ZBIORY UPORZĄDKOWANE

403

(DEF. elementów porównywalnych) O dwóch elementach x, y (∈ X ) zbioru uporządkowanego (X, ≤) mówimy, że są porównywalne wtedy i tylko wtedy, gdy x ≤ y ∨ y ≤ x. (DEF. elementów nieporównywalnych) O dwóch elementach x, y (∈ X ) mówimy, że są nieporównywalne wtedy i tylko wtedy, gdy nie są porównywalne. (DEF. łańcucha) Niech A (⊆ X ) będzie podzbiorem zbioru uporządkowanego (X, ≤). A jest łańcuchem wtedy i tylko wtedy, gdy ∀x, y ∈ A.(x ≤ y ∨ y ≤ x), czyli łańcuch to każdy taki podzbiór uporządkowanego zbioru X , którego dowolne dwa elementy są porównywalne. (DEF. antyłańcucha) Niech A (⊆ X ) będzie podzbiorem zbioru uporządkowanego (X, ≤). A jest antyłańcuchem wtedy i tylko wtedy, gdy ∀x, y ∈ A.[¬(x ≤ y) ∧ ¬(y ≤ x)], czyli antyłańcuch to każdy taki podzbiór uporządkowanego zbioru X , którego dowolne dwa elementy nie są porównywalne. PRZYKŁADY 1. Zbiór {2, 4, 8, . . . , 2n , . . .} jest łańcuchem w zbiorze uporządkowanym (N, |). 2. Zbiór {3, 5, 7, . . . , } liczb pierwszych jest antyłańcuchem w zbiorze uporządkowanym (N, |).  (DEF. ograniczenia górnego) Niech A (⊆ X ) będzie podzbiorem zbioru uporządkowanego (X, ≤). Element x0 (∈ X ) jest ograniczeniem górnym zbioru A wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdego x (∈ A) prawdą jest, że x ≤ x0 , czyli: ∀x ∈ A.(x ≤ x0 ), czyli gdy każdy element zbioru A jest zawarty w x0 . (DEF. ograniczenia dolnego) Niech A (⊆ X ) będzie podzbiorem zbioru uporządkowanego (X, ≤). Element x0 (∈ X ) jest ograniczeniem dolnym zbioru A wtedy i tylko wtedy, gdy

404

8. UPORZĄDKOWANIE ZBIORÓW

∀x ∈ A.(x0 ≤ x).

czyli gdy x0 jest zawarty w każdym elemencie zbioru A. PRZYKŁADY 1. Niech (N, ≤) będzie zbiorem liczb naturalnych uporządkowanych przez relację ≤. Ograniczeniem górnym zbioru {2, 4, 5} jest każda liczba x taka, że 5 ≤ x. 2. Niech (N, ≤) będzie zbiorem liczb naturalnych uporządkowanych przez relację ≤. Ograniczeniem dolnym zbioru {2, 4, 5} jest każda liczba x taka, że x ≤ 2.  TWIERDZENIE 6 (LEMAT KURATOWSKIEGO-ZORNA155 ) Niech (X ≤) będzie zbiorem uporządkowanym. Jeżeli w zbiorze X dla każdego łańcucha A (⊆ X) istnieje ograniczenie górne, to w X istnieje element maksymalny. Dowód lematu przeprowadzony będzie z wykorzystaniem twierdzenia Zermelo o dobrym uprządkowaniu zbioru. Podamy go więc po dowodzie twierdzenia Zermelo156 . (DEF. supA, A) Niech (X, ≤) będzie zbiorem uporządkowanym. Niech A (⊆ X ) będzie podzbiorem zbioru X . Kresem górnym zbioru A, A lub supA, jest – jeśli istnieje – element najmniejszy w zbiorze wszystkich ograniczeń górnych zbioru A. (DEF. infA, A) Niech (X, ≤) będzie zbiorem uporządkowanym. Niech A (⊆ X ) będzie podzbiorem zbioru X . Kresem dolnym zbioru A, A lub infA, jest – jeśli istnieje – element największy w zbiorze wszystkich ograniczeń dolnych zbioru A. PRZYKŁAD 155

Twierdzenie to pierwszy udowodnił Kuratowski [1922], s. 89. Zorn pierwszy wykazał doniosłą rolę tego twierdzenia w zastosowaniach [1935]. Dowód lematu Kuratowskiego-Zorna wymaga zastosowania pewnika wyboru (i jest mu równoważny na gruncie aksjomatów ZFC.). 156 Oczywiście, w dowodzie twierdzenia Zermelo nie może być wykorzystywany żaden wynik oparty na lemacie Kuratowskiego-Zorna.

8.1. ZBIORY UPORZĄDKOWANE

405

1. Niech R będzie niepustą rodziną wszystkich podzbiorów niepustego zbioru X . Rozważmy zbiór uporządkowany (R, ⊆). Niech (At )t∈T będzie klasą elementów R indeksowaną elementami zbioru T . sup(At )t∈T =




At

t∈T

inf(At )t∈T =



At

t∈T



(DEF. kraty) Niech (X, ≤) będzie zbiorem uporządkowanym. (X, ≤) jest kratą wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdej pary elementów zbioru X istnieją kres górny i kres dolny. (DEF. kraty zupełnej) Niech (X, ≤) będzie zbiorem uporządkowanym. (X, ≤) jest kratą zupełną wtedy i tylko wtedy, gdy każdy podzbiór zbioru X ma kres górny i kres dolny. Kraty cieszą się specjalnym zainteresowaniem matematyków. Teoria krat jest ważnym działem matematyki. Teoria ta ma wiele interpretacji i przez to wiele zastosowań. PRZYKŁADY 1. Niech R będzie niepustą rodziną podzbiorów niepustego zbioru X taką, że

1. A, B ∈ R ⇒ A ∪ B ∈ R, 2. A, B ∈ R ⇒ A ∩ B ∈ R. Dla każdej pary A, B elementów R istnieją: 1. kres górny: A ∪ B , 2. kres dolny: A ∩ B . Zbiór uporządkowany (R, ⊆) jest kratą.



2. (P (X), ⊆) jest kratą zupełną. Dla rodziny zbiorów A[⊆ P (X)]   kresem górnym jest A, a kresem dolnym jest A, gdy A = ∅ lub ∅, gdy A = ∅.

406

8. UPORZĄDKOWANIE ZBIORÓW

(DEF. funkcji monotonicznej) Niech (X, ≤X ) i (Y, ≤Y ) będą zbiorami uporządkowanymi. Funkcja f : X → Y jest monotoniczna wtedy i tylko wtedy, gdy ∀x, y ∈ X.[x ≤X y ⇒ f (x) ≤Y f (y)]. TWIERDZENIE 7 (O punkcie stałym – Knaster-Tarski) Niech (X, ≤) będzie kratą zupełną i niech f : X → X będzie funkcją monotoniczną. Funkcja f ma najmniejszy punkt stały, tj. istnieje a0 (∈ X) takie, że 1. f (a0 ) = a0 oraz 2. dla każdego a1 (∈ X), jeśli f (a1 ) = a1 , to a0 ≤ a1 . DOWÓD Niech A = {x ∈ X : f (x) ≤ x} i niech a0 = A. Z określenia A mamy, że dla każdego x(∈ A) zachodzi a0 ≤ x. Z monotoniczności f dostajemy, że dla każdego x(∈ A) zachodzi f (a0 ) ≤ f (x) ≤ x. Ponieważ a0 jest największym ograniczeniem dolnym A, to f (a0 ) ≤ a0 . Z tego i monotoniczności f dostajemy, że f (f (0 )) ≤ f (a) . Stąd f (a0 ) ∈ A. Ponieważ a0 jest dolnym ograniczeniem A, więc a0 ≤ f (a0 ). Ostatecznie mamy a0 = f (a0 ). a0 jest najmniejszym punktem stałym, bowiem dla każdego x takiego, że f (x) = x zachodzi x ∈ A oraz a0 ≤ x.

Twierdzenie o punkcie stałym ma liczne zastosowania. (DEF. relacji quasi-porządkujących) Niech R ⊆ X × X . R jest relacją quasi-porządkującą zbiór X wtedy i tylko wtedy, gdy jest zwrotna i przechodnia. W wypadku, gdy relacja R (⊆ X × X ) jest relacją quasi-porządkującą zbiór X mówimy, że R quasi-porządkuje X , a o parze (X, R) mówimy, że jest zbiorem quasi-uporządkowanym. PRZYKŁAD Niech F będzie zbiorem figur geometrycznych na płaszczyźnie. Niech M (⊆ F × F ) będzie relacją taką, że aM b wtedy i tylko wtedy,

8.1. ZBIORY UPORZĄDKOWANE

407

gdy istnieje odwzorowanie figury a(∈ F ) w figurę b(∈ F ), zachowujące kształt i wielkość figury a. Relacja M jest quasi-porządkiem.  TWIERDZENIE 8157 Niech (X, R) będzie zbiorem quasi-uporządkowanym. Niech ≈ będzie relacją dwuczłonową w X określoną następująco: x ≈ y ⇔ (xRy ∧ yRx). 7.1. Relacja ≈ jest relacją równoważności w X . Niech dla każdego x, y (∈ X ): ||x||≈ ≤ ||y||≈ ⇔ xRy .

7.2. Relacja ≤ w zbiorze X/ ≈ (wszystkich klas równoważności relacji ≈ w X ) porządkuje zbiór X/ ≈. DOWÓD Dla dowodu 7.1. korzystamy z tego, że R jest quasi-porządkująca, więc z definicji jest zwrotna, czyli: 1. xRx. Z definicji ≈ mamy: 2. x ≈ x ⇔ (xRx ∧ xRx). Z 1 i 2 dostajemy: 3. x ≈ x, czyli ≈ jest zwrotna. Relacja ≈ jest symetryczna. Z definicji ≈ mamy: 1. x ≈ y ⇔ (xRy ∧ yRx). Z rachunku predykatów: 2. (xRy ∧ yRx) ⇔ (yRx ∧ xRy). Z definicji ≈ 3. yRx ∧ xRy ⇔ y ≈ x. 157

Twierdzenie to udowodnił Schr¨ oder (1980 r.).

408

8. UPORZĄDKOWANIE ZBIORÓW

Z 1, 2 i 3 mamy: 3. (x ≈ y) ⇔ (y ≈ x). Dla dowodu przechodniości ≈ wykorzystujemy przechodniość R. Niech 1. x ≈ y ∧ y ≈ z . Z definicji ≈ mamy: 2. xRy ∧ yRx ∧ yRz ∧ zRy . Z 2 dostajemy: 3. xRy ∧ yRz oraz 4. zRy ∧ yRz . Z przechodniości R mamy więc: 5. xRz oraz 6. zRx. Z 5 i 6 dostajemy: 7. xRz ∧ zRx Korzystając z definicji ≈ mamy: 8. x ≈ z . Relacja ≈ jest więc relacją równoważności w zbiorze X . Dla dowodu 7.2. pokażmy wpierw, że relacja ≤ jest poprawnie zdefiniowana. Trzeba więc udowodnić, że bez względu na to, jakie weźmiemy przedmioty x1 , y1 : (x1 ∈ ||x||≈ ∧ y1 ∈ ||y||≈ ) ⇒ [(||x||≈ ≤ ||y||≈ ) ⇔ (||x1 ||≈ ≤ ||y1 ||≈ )]. Wpierw pokażemy, że (x1 ∈ ||x||≈ ∧ y1 ∈ ||y||≈ ) ⇒ [(||x||≈ ≤ ||y||≈ ) ⇒ (||x1 ||≈ ≤ ||y1 ||≈ )].

Niech

8.1. ZBIORY UPORZĄDKOWANE

1. x1 ∈ ||x||≈ , i 2. y1 ∈ ||y||≈ . Zgodnie z definicją klas abstrakcji mamy więc: 3. x1 ≈ x, 4. y1 ≈ y . Z 4, korzystając z symetryczności ≈ mamy: 5. y ≈ y1 . Niech teraz 6. (||x||≈ ≤ ||y||≈ ). Zgodnie z definicją ≤ z 6 otrzymujemy: 7. x ≈ y . Korzystając z przechodniości ≈ z 3 i 7 mamy: 8. x1 ≈ y . Korzystając z 5 i 8 oraz z przechodniości ≈ dostajemy: 9 x1 ≈ y1 , czyli, zgodnie z definicją ≤ mamy: 10. (||x1 ||≈ ≤ ||y1 ||≈ ). Teraz pokażemy, że (x1 ∈ ||x||≈ ∧ y1 ∈ ||y||≈ ) ⇒ [(||x1 ||≈ ≤ ||y1 ||≈ ) ⇒ (||x||≈ ≤ ||y||≈ )].

Niech 11. ||x1 ||≈ ≤ ||y1 ||≈ . Na podstawie definicji ≤ mamy: 12. x1 ≈ y1 . Z 3 na podstawie symetryczności ≈ dostajemy: 13. x ≈ x1 .

409

410

8. UPORZĄDKOWANIE ZBIORÓW

Z 12 i 13 na podstawie przechodniości ≈: 14. x ≈ y1 . Z 14 i 4 z przechodniości ≈ mamy: 15. x ≈ y . Zgodnie z definicją ≤ otrzymujemy: 16. ||x||≈ ≤ ||y||≈ . Udowodnimy teraz, że relacja ≤ porządkuje zbiór X/ ≈. Z definicji ≤ mamy: 1. ||x|| ≤ ||x|| ⇔ xRx. a ponieważ ze zwrotności R 2. xRx, więc 3. ||x|| ≤ ||x||, czyli relacja ≤ jest zwrotna. Dla wykazania przechodniości ≤ wykorzystamy założenie o przechodniości R. Niech 1. ||x|| ≤ ||y|| ∧ ||y|| ≤ ||z||. Z definicji ≤ mamy: 2. xRy ∧ yRz . Z przechodniości R 3. xRz . Z definicji ≤ więc, 4. ||x|| ≤ ||z||. Pozostało do wykazania, że ≤ jest antysymetryczna. Niech 1. ||x|| ≤ ||y|| ∧ ||y|| ≤ ||x||.

8.2.1. RELACJE LINIOWO PORZĄDKUJĄCE

411

Z definicji ≤ 2. xRy ∧ yRx. Z definicji ≈ mamy 3. x ≈ y . Z tego na podstawie własności klas abstrakcji mamy: 4. ||x|| = ||y||, czyli ≤ jest antysymetryczna. 8.2. ZBIORY LINIOWO UPORZĄDKOWANE 8.2.1. RELACJE LINIOWO PORZĄDKUJĄCE (DEF. relacji liniowo porządkujące) Relacja ≤ porządkująca zbiór X jest relacją linowo porządkującą zbiór X wtedy i tylko wtedy, gdy jest spójna, czyli ∀x, y ∈ X.(x ≤ y ∨ y ≤ x). Relacje liniowo porządkujące zbiór X są zwrotne, przechodnie, antysymetryczne i spójne158 . Gdy R(⊆ X × X) jest relacją linowo porządkującą zbiór X , to mówimy, że R liniowo porządkuje zbiór X , a para uporządkowana (X, R) to zbiór liniowo uporządkowany lub łańcuch. Jeśli (X, R) jest zbiorem liniowo uporządkowanym i gdy xRy oraz x = y , to mówimy, że x poprzedza y . PRZYKŁADY 1. Łańcuchem, czyli zbiorem liniowo uporządkowanym jest (R, ≤), gdzie R jest zbiorem liczb rzeczywistych, a ≤ jest relacją niewiększości. 2. Niech P będzie rodziną wykresów relacji y ≥ xn , gdzie n ∈ N. Jest to zbiór 158

Pojęcie zbioru liniowo uporządkowanego Cantor wprowadził później niż zbioru dobrze uporządkowanego. Miało to miejsce w jego pracy [1895].

412

8.2. ZBIORY LINIOWO UPORZĄDKOWANE

{(x, y) : y ≥ xn , n ∈ N}.

Relacja inkluzji ⊆ liniowo porządkuje ten zbiór159 . 3. Niech (X, ≤) będzie zbiorem liniowo uporządkowanym. Porządek leksykograficzny nad (X, ≤) jest porządkiem liniowym.  TWIERDZENIE 9 Niech (X, ≤) będzie zbiorem linowo uporządkowanym i niech A ⊆ X . Para (A, ≤|A) jest zbiorem liniowo uporządkowanym. Dowód jako prosty pomijamy. Niech (X, ≤) będzie zbiorem liniowo uporządkowanym. Element największy, czyli x0 (∈ X) takie, że: ∀x ∈ X.(x ≤ x0 ) nazywamy też elementem ostatnim. Niech (X, ≤) będzie zbiorem liniowo uporządkowanym. Element najmniejszy, czyli x0 (∈ X) takie, że: ∀x ∈ X.(x0 ≤ x) nazywamy też elementem pierwszym. TWIERDZENIE 10 Niech (X, ≤) będzie niepustym skończonym zbiorem liniowo uporządkowanym. W (X, ≤) istnieją element pierwszy i element ostatni. DOWÓD Dowodzimy przez indukcję po liczbie elementów zbioru X . Gdy X0 (⊆ X) będzie zbiorem jednoelementowym twierdzenie jest oczywiste. Ten jedyny element spełnia warunki definicyjne elementu pierwszego i elementu ostatniego. ZAŁOŻENIE INDUKCYJNE: Niech Xk (⊆ X) będzie zbiorem k -elementowym i niech w (Xk , ≤|Xk ) będą elementy pierwszy (x1 ) i ostatni (xk ). Niech Xk+1 (⊆ X) będzie (k + 1)-elementowym nadzbiorem Xk , czyli Xk ⊆ Xk+1 . Niech Xk+1 \ Xk = {ak+1 }. Faktem jest, że (Xk , (≤|Xk+1|X ) k ) = (Xk , ≤|Xk ). 159

Zwykle relacja inkluzji tylko porządkuje rodziny zbiorów.

8.2.1. RELACJE LINIOWO PORZĄDKUJĄCE

413

Zatem jeżeli: xk+1 ≤|Xk+1 x1 ,

to xk+1 jest elementem pierwszym zbioru (Xk+1 , ≤|Xk+1 ), jeżeli zaś tak nie jest, to xk+1 spełnia wszystkie warunki definicyjne pierwszego elementu tego zbioru. Całkiem analogicznie jest w wypadku elementu ostatniego. Ostatecznie więc stwierdzamy, że w zbiorze liniowo uporządkowanym (Xk+1 , ≤|Xk+1 ) istnieją elementy pierwszy i ostatni. Na podstawie indukcji skoro liniowo uporządkowany zbiór jednoelementowy posiada elementy pierwszy i ostatni i jeżeli zbiór k -elementowy posiada elementy pierwszy i ostatni, to zbiór (k + 1)-elementowy też posiada elementy pierwszy i ostatni, to dowolny niepusty skończony zbiór liniowo uporządkowany (X, ≤) posiada elementy pierwszy i ostatni. 8.2.2. Podobieństwo zbiorów liniowo uporządkowanych (DEF. )160 Niech (X, ≤) i (X1 , ≤1 ) będą zbiorami liniowo uporządkowanymi. (X, ≤)  (X1 , ≤1 ), wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje bijekcja f : X → X1 taka, że ∀x, y ∈ X.[x ≤ y ⇔ f (x) ≤1 f (y)], czyli zbiory (X, ≤) i (X1 , ≤1 ) są podobne (izomorficzne) wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje bijekcja, która zachowuje porządek. PRZYKŁAD 1. Rozważmy zbiór P wszystkich przedziałów (0, a), gdzie a ∈ . Relacja ⊆ porządkuje liniowo ten zbiór. Zbiór  jest liniowo uporządkowany przez relację ≤. Zbiory (P, ⊆) i (, ≤) są podobne. Funkcja f : P →  taka, że f ((0, x)) = x jest bijekcją oraz ∀x, y ∈ P.[x ⊆ y ⇔ f (x) ≤ f (y)].  160

Pojęcie izomorfizmu należy do najważniejszych pojęć logicznych i ma zastosowanie w wielu działach matematyki.

414

8.2. ZBIORY LINIOWO UPORZĄDKOWANE

Bezpośrednio z definicji izomorfizmu wynika, że TWIERDZENIE 11 Jeżeli (X, ≤) i (X1 , ≤1 ) są izomorficznymi zbiorami liniowo uporządkowanymi, to zbiory X i X1 są równoliczne, czyli (X, ≤)  (X1 , ≤1 ) ⇒ X = X 1

Zauważmy, że nie musi zachodzić sytuacja odwrotna, a mianowicie zbiory równoliczne nie zawsze są izomorficzne. Zbiory (N, ≤) i (N, |), gdzie n|m znaczy: n jest dzielnikiem m, nie są podobne. Zbiór (N, |) nie jest nawet liniowo uporządkowany. TWIERDZENIE 12 Niech (X, ≤) i (X1 , ≤1 ) będą zbiorami liniowo uporządkowanymi i niech istnieje bijekcja f : X → X1 taka, że ∀x, y ∈ X.[x ≤ y ⇒ f (x) ≤1 f (y)]. Zbiory (X, ≤) i (X1 , ≤1 ) są izomorficzne, czyli (X, ≤)  (X1 , ≤1 ). DOWÓD Mając na uwadze definicję izomorfizmu, wystarczy udowodnić, że ∀x, y ∈ X.[f (x) ≤1 f (y) ⇒ x ≤ y].

Dowodzić będziemy niewprost. Niech więc dla pewnych a, b(∈ X): 1. f (a) ≤1 f (b) i 2. ¬a ≤ b, Z 2 i spójności ≤ mamy: 3. b ≤ a, Z 3 i założenia twierdzenia dostajemy: 4. f (b) ≤1 f (a). Z 2 i ze zwrotności ≤: 5. a = b.

8.2.1. RELACJE LINIOWO PORZĄDKUJĄCE

415

Z 5 i faktu, że f jest różnowartościowa: 6. f (a) = f (b). Z 1 i 4: 7. f (a) = f (b). 6 i 7 są sprzeczne. TWIERDZENIE 13 Jeżeli (X, ≤), (X1 , ≤1 ) i (X2 , ≤2 ) są zbiorami liniowo uporządkowanymi, to: 1. (X, ≤)  (X, ≤), 2. (X, ≤)  (X1 , ≤1 ) ⇒ (X1 , ≤1 )  (X, ≤), 3. (X, ≤)  (X1 , ≤1 ) ∧ (X1 , ≤1 )  (X2 , ≤2 ) ⇒ (X, ≤)  (X2 , ≤2 ). DOWÓD Dla dowodu zwrotności relacji , czyli faktu 1 wystarczy zauważyć, że funkcja tożsamościowa, IX , jest bijekcją i spełnia warunek z poprzedniego twierdzenia. Dla dowodu symetryczności  zauważmy, że gdy (X, ≤)  (X1 , ≤1 ),

to istnieje bijekcja f : X → X1 , funkcja różnowartościowa przekształcająca zbiór X na X1 . Funkcja f −1 odwrotna do bijekcji jest również bijekcją. Dla dowodu naszej tezy należy więc tylko pokazać, że bijekcja ta zachowuje porządek, czyli że dla wszystkich x1 , y1 (∈ X1 ) gdy x1 ≤1 y1 , to f −1 (x1 ) ≤ f −1 (y1 ). Niech dla x1 , y1 (∈ X1 ): 1. x1 ≤1 y1 . Z faktu, że funkcja f jest odwzorowaniem zbioru X na X1 mamy, że istnieją x, y ∈ X takie, że 2. f (x) = x1 ,

416

8.2. ZBIORY LINIOWO UPORZĄDKOWANE

3. f (y) = y1 . Z założenia, że (X, ≤)  (X1 , ≤1 ) i definicji izomorfizmu oraz 1 mamy: 4. x ≤ y . Z własności funkcji odwrotnej mamy: 5. x = f −1 (x1 ) oraz 6. y = f −1 (y1 ). Z 5 i 6 na podstawie 4 dostajemy: 7. f −1 (x1 ) ≤ f −1 (y1 ). Na podstawie poprzedniego twierdzenia (X1 , ≤1 )  (X, ≤). Dla dowodu, że relacje  jest przechodnia korzystamy z tego, że złożenie bijekcji jest bijekcją. Niech f będzie bijekcją X na X1 , a g – X1 na X2 . Odwzorowanie g◦f jest bijekcją X na X2 . Z założenia dla f i g spełnione są następujące warunki: ∀x, y ∈ X.[x ≤ y ⇔ f (x) ≤1 f (y)], ∀x1 , y1 ∈ X1 .[x1 ≤1 y1 ⇔ g(x1 ) ≤2 g(y1 )].

Wynika z nich, że x ≤ y ⇒ g◦f (x) ≤2 g◦f (y),

co kończy dowód. Relacja  jest relacją równoważności w rodzinie wszystkich zbiorów liniowo uporządkowanych. Dzieli zatem tę rodzinę na klasy izomorficznych (podobnych) zbiorów liniowo uporządkowanych. Dla każdego zbioru liniowo uporządkowanego istnieje jego typ porządkowy (klasa zbiorów do niego podobnych nie jest pusta: przynajmniej on sam do niej należy) oraz jest tylko jeden (jedyność wynika z symetryczności i przechodniości podobieństwa zbiorów). Spełnione są więc formalne warunki poprawności definicji stałej indywiduowej. Jak wprowadziliśmy pojęcie mocy zbioru tak analogicznie możemy

8.2.1. RELACJE LINIOWO PORZĄDKUJĄCE

417

wprowadzić pojęcie typu porządkowego. Typ porządkowy zbioru A oznaczany jest zazwyczaj: A161 . (DEF. typu porządkowego) Typ porządkowy zbioru to klasa wszystkich i tylko zbiorów liniowo uporządkowanych podobnych (izomorficznych) do tego zbioru. Typ porządkowy zbioru liniowo uporządkowanego (A, R) oznaczamy: A. Bezpośrednio z definicji mamy więc: A = B ⇔ A  B.

PRZYKŁADY 1. Typ n-elementowego zbioru liniowo uporządkowanego to n. 2. Typ zbioru liczb naturalnych uporządkowanych przez relację niewiększości (≤) to ω . 3. Typ zbioru liczb całkowitych ujemnych uporządkowanych przez relację niewiększości (≤) to ω ∗ . 4. Typ zbioru liczb wymiernych uporządkowanych przez relację niewiększości (≤) to η . 5. Typ liczb rzeczywistych uporządkowanych przez relację niewiększości (≤) to λ.  8.2.3. Uporządkowanie liniowe gęste (DEF. gęstego porządku liniowego) Zbiór liniowo uporządkowany (X, ≤) jest zbiorem liniowo uporządkowanym gęsto wtedy i tylko wtedy, gdy ∀x, y ∈ X.[(x ≤ y ∧ x = y) ⇒ ∃z ∈ X.(z = x ∧ z = y ∧ x ≤ z ∧ z ≤ y)]. Korzystając z symbolu ≺ (∀x, y ∈ X.[(x ≺ y) ⇔ (x ≤ y) ∧ (x = y)]), definicja liniowego porządku gęstego może być sformułowana krócej, a mianowcie przez warunek: ∀x, y ∈ X.[x ≺ y ⇒ ∃z ∈ X.(x ≺ z ∧ z ≺ y)]. 161

Zob. wstęp do 8.1.

418

8.2. ZBIORY LINIOWO UPORZĄDKOWANE

TWIERDZENIE 14 Niech (X, ≤) i (X1 , ≤1 ) będą podobnymi zbiorami liniowo uporządkowanymi. Jeżeli zbiór (X, ≤) jest uporządkowany gęsto, to również uporządkowany gęsto jest zbiór (X1 , ≤1 ). DOWÓD Niech x1 , y1 ∈ X1 i niech x1 ≺1 y1 . Z założenia twierdzenia istnieje zachowująca porządek bijekcja f : X → X1 . Funkcja odwrotna do f , f −1 , jest również bijekcją zachowującą porządek. Mamy więc f −1 (x1 ) ≺ f −1 (y1 ). Ponieważ porządek w (X, ≤) jest gęsty, więc istnieje z(∈ X) takie, że f −1 (x1 ) ≺ z ≺ f −1 (y1 ). Niech f (z) = z1 . Dla z1 zachodzi x1 ≺1 z1 ≺1 y1 . Zatem porządek (X1 , ≤1 ) jest gęsty. Zauważmy, że dla każdego zbioru liniowo uporządkowanego gęsto istnieje klasa zbiorów z nim izomorficznych (zbiór liniowo uporządkowany gęsto jest izomorficzny sam ze sobą), a ponadto taka klasa jest tylko jedna (wynika to z faktu, że relacja podobieństwa zbiorów jest symetryczna i przechodnia). Spełnione są więc formalne warunki poprawności definicji stałej indywiduowej. (DEF. typu porządkowego gęstego) Klasa zbiorów izomorficznych ze zbiorem liniowo uporządkowanym gęsto (X, ≤) to typ porządkowy gęsty wyznaczony przez zbiór (X, ≤). (DEF. przekroju zbioru) Niech (X, ≤) będzie zbiorem liniowo uporządkowanym. Przekrój zbioru X to każda para (X1 , X2 ) zbiorów X1 (⊆ X) i X2 (⊆ X), spełniających następujące warunki: 1. X1 ∪ X2 = X , 2. X1 ∩ X2 = ∅, 3. ∀x ∈ X1 , x2 ∈ X2 .(x1 ≺ x2 ) Zbiór X1 to dolna klasa przekroju, a zbiór X2 to górna klasa przekroju. Przekrój (X1 , X2 ) jest właściwy wtedy i tylko wtedy, gdy oba zbiory X1 i X2 są niepuste (X1 = ∅, X2 = ∅). PRZYKŁAD

8.2.1. RELACJE LINIOWO PORZĄDKUJĄCE

419

1. Każda para zbiorów ({1, 2, . . . , n}, {n+1, n+2, . . .}) jest przekrojem zbioru N liczb naturalnych. {1, 2, . . . , n} to klasa dolna przekroju, a {n + 1, n + 2, . . .} to klasa górna przekroju.  (DEF. skoku) Przekrój (X1 , X2 ) daje skok wtedy i tylko wtedy, gdy klasa dolna X1 ma element ostatni a klasa górna X2 ma element pierwszy. PRZYKŁAD 1. Każdy przekrój ({1, 2, . . . , n}, {n + 1, n + 2, . . .}) zbioru N liczb naturalnych daje skok.  TWIERDZENIE 15 Zbiór liniowo uporządkowany (X, ≤) ma typ gęsty wtedy i tylko wtedy, gdy żaden przekrój nie daje skoku. DOWÓD Wpierw pokażemy, że gdy zbiór jest liniowo uporządkowany w typ gęsty, to żaden przekrój nie daje skoku. Dowodzimy niewprost. Niech (X, ≤) będzie zbiorem liniowo uporządkowanym w typ gęsty i niech (X1 , X2 ) będzie przekrojem dającym skok. Zbiór X1 ma więc element ostatni. Niech będzie to x1 . X2 ma element pierwszy. Niech będzie to x2 . Z definicji przekroju x1 ≺ x2 . Z faktu, że porządek ≤ jest gęsty mamy, że istnieje x takie, że x1 ≺ x ≺ x2 . Z tego więc x ∈ X1 i x ∈ X2 . To przeczy założeniu, że para (X1 , X2 ) jest przekrojem zbioru X , w szczególności temu, że X1 ∪ X2 = X . Pokażmy teraz, że jeżeli żaden przekrój nie daje skoku, to zbiór liniowo uporządkowany (X, ≤) ma typ gęsty. Będziemy dowodzić niewprost. Niech więc (X, ≤) nie ma typu gęstego. Istnieją zatem x1 i x2 takie, że x1 ≺ x2 i dla żadnego x nie jest prawdą, że x1 ≺ x ≺ x2 . Niech X ∗ = {x : x ≺ x1 } a X2 = {x : x2 ≺ x}. Para (X1 , X2 ) jest przekrojem zbioru X takim, że x1 jest elementem ostatnim w zbiorze X1 , a x2 jest elementem pierwszym w zbiorze X2 . Przekrój ten daje skok, co przeczy założeniu. 8.2.4. Uporządkowanie liniowe ciągłe

420

8.2. ZBIORY LINIOWO UPORZĄDKOWANE

(DEF. luki) Przekrój daje lukę wtedy i tylko wtedy, gdy w przekroju (X1 , X2 ) klasa dolna X1 nie ma elementu ostatniego, a klasa górna X2 nie ma elementu pierwszego. PRZYKŁAD X1 = {x ∈ √ Rozważmy zbiór Q √liczb wymiernych. Niech √ √Q : x < 2}, a X1 = {x ∈ Q : 2 > x}. Para ({x : x < 2}, {x : 2 < x}) √ √ jest √ przekrojem, bowiem ({x : x < 2} ∪ {x : 2 < x}) = Q a ({x : √ √ x < 2} ∩ {x : 2 < x}) = ∅. Ponieważ 2 ∈ Q przekrój (X1 , X2 ) daje

lukę.



(DEF. zbioru liniowo uporządkowanego w sposób ciągły) Zbiór liniowo uporządkowany (X, ≤) jest liniowo uporządkowany w sposób ciągły wtedy i tylko wtedy, gdy żaden przekrój właściwy nie daje luki. PRZYKŁAD Zbiór  wszystkich i tylko liczb rzeczywistych liniowo uporządkowany przez relację niewiększości ≤, (, ≤), jest zbiorem liniowo uporządkowanym w sposób ciągły162 .  TWIERDZENIE 16 Niech (X, ≤) i (X ∗ , ≤∗ ) będą podobnymi zbiorami liniowo uporządkowanymi. Jeżeli (X, ≤) jest liniowo uporządkowany w sposób ciągły, to również (X ∗ , ≤∗ ) jest zbiorem liniowo uporządkowanym w sposób ciągły. DOWÓD Niech (X, ≤) oraz (X ∗ , ≤∗ ) będą podobnymi zbiorami liniowo uporządkowanymi. Niech nadto (X, ≤) będzie uporządkowany w sposób ciągły. Zgodnie z definicją zbiór jest liniowo uporządkowany w sposób ciągły, gdy ma typ porządkowy gęsty i żaden przekrój nie daje 162

Fakt ten jest równoważny zasadzie ciągłości Dedekinda, będącej jednym z aksjomatów teorii liczb rzeczywistych.

8.2.1. RELACJE LINIOWO PORZĄDKUJĄCE

421

luki. (X, ≤) ma zatem typ gęsty. Na podstawie twierdzenia 13 zbiór (X ∗ , ≤∗ ) ma więc również typ gęsty. Pozostaje zatem tylko pokazać, że żaden przekrój zbioru (X ∗ , ≤∗ ) nie daje luki. Faktu tego dowodzimy niewprost. Niech więc przekrój (X1∗ , X2∗ ) (X1∗ , X2∗ ⊆ X ∗ ) daje lukę. Zatem X1∗ ma element ostatni lub X2∗ ma element pierwszy. Niech odwzorowanie f : X → X ∗ ustala izomorfizm. W zbiorze f −1 (X1∗ ) nie ma elementu ostatniego. Gdyby bowiem x1 (∈ f −1 (X1∗ )) było elementem ostatnim, to f (x1 ) byłoby elementem ostatnim w zbiorze X1∗ . Podobnie w zbiorze f −1 (X2∗ ) nie ma elementu pierwszego. Gdyby bowiem x2 (∈ f −1 (X2∗ )) było elementem pierwszym, to f (x2 ) byłoby elementem pierwszym w zbiorze X2 . A to przeczy założeniu, że przekrój (X1∗ , X2∗ ) daje lukę. Gdyby przekrój (f −1 (X1∗ ), f −1 (X2∗ )) dawał lukę, to przeczyłoby to założeniu, że zbiór (X, ≤) jest liniowo uporządkowany w sposób ciągły. Na podstawie powyższego twierdzenia można mówić o typach porządkowych ciągłych. Jest to bowiem własność zachowywana przez izomorficzne zbiory liniowo uporządkowane w sposób ciągły. Dla każdego zbioru uporządkowanego w sposób ciągły istnieje klasa zbiorów z nim izomorficznych (ze zwrotności relacji podobieństwa zbiorów) oraz taka klasa jest tylko jedna (z symetryczności i przechodniości podobieństwa). Fakty te dają podstawę do wprowadzenia stałych indywiduowych na oznaczenie poszczególnych typów. (DEF. typu porządkowego ciągłego) Typ porządkowy ciągły to klasa izomorficznych zbiorów liniowo uporządkowanych w sposób ciągły. 8.2.5. Arytmetyka typów porządkowych Dla typów porządkowych, analogicznie jak dla liczb kardynalnych, możemy określić działania wykazujące podobieństwo do zwykłych działań arytmetycznych. TWIERDZENIE 17 Dla dowolnych zbiorów liniowo uporządkowanych (X, ≤) i (X1 , ≤1 ): (X, ≤)  (X1 , ≤1 ) ⇔ (X, ≤−1 )  (X1 , ≤−1 1 ), czyli

422

8.2. ZBIORY LINIOWO UPORZĄDKOWANE

jeżeli zbiory liniowo uporządkowane są izomorficzne, to izomorficzne są również ich konwersy. DOWÓD Zauważmy wpierw, że konwers relacji liniowo porządkującej, jest relacją liniowo porządkującą. Niech f : X → X1 będzie funkcją ustalającą izomorfizm zbiorów liniowo uporządkowanych (X, ≤) i (X1 , ≤1 ). Pokażemy, że funkcja ta ustala również izomorfizm zbiorów liniowo uporządkowanych (X, ≤−1 ) i (X1 , ≤−1 1 ). W tym celu wystarczy zauważyć, że zgodnie z definicją izomorfizmu dla każdego x, x1 (∈ X): (x1 ≤ x) ⇔ (f (x1 ) ≤1 f (x)). Korzystając z definicji konwersu otrzymujemy: (x ≤−1 x1 ) ⇔ (f (x) ≤−1 1 f (x1 ).

Ta równoważność dowodzi, że f ustala izomorfizm (X, ≤) oraz

(X1 , ≤1 ).

Ponieważ dla każdej relacji (dwuczłonowej) istnieje jej konwers (warunek istnienia) oraz mając na uwadze powyższe twierdzenie (warunek jedyności) możemy wprowadzić pojęcie funkcyjne odwrotnego typu porządkowego. (DEF. typu porządkowego odwrotnego, ∗ ) Typem porządkowym odwrotnym do typu porządkowego α zbioru liniowo uporządkowanego (X, ≤) jest typ porządkowy α∗ zbioru liniowo uporządkowanego (X, ≤−1 ). ∗

jest jednoargumentową literą funkcyjną.

Zauważmy, że (α∗ )∗ = α.

Fakt ten wynika z tego, że konwers konwersu relacji R jest równy relacji R, w szczególności konwersem konwersu ≤ jest ≤. PRZYKŁADY 1. n∗ = n – wynika to z faktu, że każde dwa skończone zbiory równoliczne są podobne.

8.2.1. RELACJE LINIOWO PORZĄDKUJĄCE

423

2. Typ porządkowy odwrotny do ω (typ zbioru liczb naturalnych uporządkowanych przez relację niewiększości, (N, ≤) to typ zbioru (N, ≥), czyli (N, ≥) = ω ∗ . w∗ jest typem porządkowym zbioru ujemnych liczb całkowitych

z relacją niewiększości. Można zauważyć, że ω = ω ∗ . Wynika to z tego, że w zbiorze (N, ≤) nie ma elementu ostatniego, a takowy jest w zbiorze ujemnych liczb całkowitych (z relacją niewiększości).  Można pokazać, że η∗ = η,

i λ∗ = λ.

TWIERDZENIE 18 Dla dowolnych typów porządkowych α i β można znaleźć zbiory liniowo uporządkowane (X, ≤) i (X1 , ≤1 ) takie, że (X, ≤) = α, (X1 , ≤1 ) = β , oraz X ∩ X1 = ∅ .

DOWÓD Zauważmy, że każdy zbiór (A, ≤) jest podobny do zbioru (A × {n}, ≤× ); gdzie n ∈ N oraz dla każdego x, y(∈ A): (x, n) ≤× (y, n) ⇔ x ≤ y . Zbiory X × {1} i X1 × {2} są rozłączne, czyli: X × {1} ∩ X1 × {2} = ∅. Jeżeli (X, ≤) ma typ porządkowy α, to zbiór (X × {1}, ≤×) ma też typ porządkowy α. Jeżeli (X1 , ≤1 ) ma typ porządkowy β , to i (X1 ×{2}, ≤× 1 ) ma typ porządkowy β . Ponadto X ×{1}∩X1 ×{2} = ∅.

424

8.2. ZBIORY LINIOWO UPORZĄDKOWANE

TWIERDZENIE 19 Niech X ∩X1 = ∅, X2 ∩X3 = ∅ oraz niech (X, ≤), (X1 , ≤1 ) (X2 , ≤2 ), (X3 , ≤3 ) będą zbiorami liniowo uporządkowanymi. {[(X, ≤)  (X1 , ≤1 )] ∧ [(X2 , ≤2 )  (X3 , ≤3 )]} ⇒ [((X ∪ X2 ), ≤∗ )  ((X1 ∪ X3 ), ≤∗1 )],

gdzie: ∀x, y ∈ (X ∪ X2 ).[(x ≤∗ y) ⇔ [(x ≤ y) ∨ (x ∈ X ∧ y ∈ X2 ) ∨ (x ≤2 y)]; ∀x, y ∈ (X1 ∪ X3 ).[(x ≤∗1 y) ⇔ [(x ≤1 y) ∨ (x ∈ X1 ∧ y ∈ X3 ) ∨ (x ≤3 y)]163 .

DOWÓD Niech f : X → X1 i f1 : X2 → X3 ustalają izomorfizm odpowiednich zbiorów. Funkcja f ∗ : (X ∪ X2 ) → (X1 ∪ X3 ) zdefiniowana następująco:

f ∗ (x) =

  f (x) 

f1 (x)

jeśli x ∈ X jeśli x ∈ X2

ustala izomorfizm: ((X ∪ X2 ), ≤∗ )  ((X1 ∪ X3 ), ≤∗1 ).

Zauważmy bowiem, że jest to odwzorowanie wzajemnie jednoznaczne zbioru X ∪ X2 na zbiór X1 ∪ X3 . Ponadto odwzorowanie f ∗ zachowuje porządek. Omówienia wymaga jedynie wypadek, gdy x ≤∗ y i x ∈ X , a y ∈ X2 . Otóż zauważmy, że wówczas f (x) ∈ X1 , a f (y) ∈ X3 . Zaś zgodnie z definicją ≤∗1 mamy, że f (x) ≤∗1 f (y). 163

Zauważmy, że definicje relacji ≤∗ i ≤∗1 są poprawne. Nie ma bowiem potrzeby pisania: x, y ∈ X ∧ x ≤ y i podobnie w pozostałych wypadkach. Chodzi bowiem o to, że zgodnie z założeniami twierdzenia ≤⊆ X × X . Zatem członami relacji ≤ mogą być tylko elementy X .

8.2.1. RELACJE LINIOWO PORZĄDKUJĄCE

425

Korzystając z obu powyżej udowodnionych twierdzeń pierwszego stwierdzających istnienie, a drugiego wykazującego jedyność możemy wprowadzić pojęcie funkcyjne sumy typów porządkowych. (DEF. sumy typów porządkowych, +) Sumą typów porządkowych α i β , α + β , jest typ porządkowy γ , γ = α + β , zbioru liniowo uporządkowanego (X2 , ≤2 ), γ = (X2 , ≤2 ) takiego, że (X, ≤) = α, (X1 , ≤1 ) = β , X ∩ X1 = ∅ , X2 = X ∪ X1 ,

oraz dla dowolnych x, y(∈ X2 ):

(x ≤2 y) ⇔ [(x ≤ y) ∨ (x ≤1 y) ∨ (x ∈ X ∧ y ∈ X1 )].

Zauważmy, że suma typów porządkowych nie zależy od wyboru zbiorów liniowo uporządkowanych, a jedynie od ich typów. Relacja liniowo porządkująca sumę zbiorów liniowo uporządkowanych określona jest tak, że najpierw występują elementy pierwszego członu sumy, przy czym zachowany jest porządek tych elementów, a następnie występują elementy drugiego członu sumy również z zachowaniem porządku. W wypadku zbiorów skończonych suma typów porządkowych pokrywa się z sumą liczb naturalnych. Dla sumy typów porządkowych zachodzi prawo łączności: (α + β) + γ = α + (β + γ). Elementem neutralnym jest typ porządkowy 0. Mamy: α + 0 = α = 0 + α. Dla typów porządkowych nie zachodzi prawo przemienności, np. ω + 1 = 1 + ω . Ponieważ ω+1 = ω , więc ω+1 jest typem zbioru liczb naturalnych. Typ porządkowy ω + 1 jest typem porządkowym zbioru mającego element ostatni. Jest to więc typ porządkowy różny od typu porządkowego liczb naturalnych.

426

8.2. ZBIORY LINIOWO UPORZĄDKOWANE

TWIERDZENIE 20 Niech (X, ≤), (X1 , ≤1 ), (X2 , ≤2 ), (X3 , ≤3 ) będą zbiorami liniowo uporządkowanymi. {[(X, ≤)  (X1 , ≤1 )] ∧ [(X2 , ≤2 )  (X3 , ≤3 )]} ⇒ [((X × X2 ), ≤× )  ((X1 × X3 ), ≤× 1 )],

gdzie: ∀(x, y), (x1 , y1 ) ∈ (X × X2 ).[(x, y) ≤× (x1 , y1 ) ⇔ {[(y ≤2 y1 ) ∧ ¬(y = y2 )] ∨ [(y = y1 ) ∧ (x ≤ x1 )]}; ∀(x, y), (x1 , y1 ) ∈ (X1 × X3 ).[(x, y) ≤× (x1 , y1 ) ⇔ {[(y ≤3 y1 ) ∧ ¬(y = y1 )] ∨ [(y = y1 ) ∧ (x ≤1 x1 )]}163 .

DOWÓD Niech (X, ≤), (X1 , ≤1 ), (X2 , ≤2 ), (X3 , ≤3 ) będą zbiorami liniowo uporządkowanymi i niech f : X → X1 będzie odwzorowaniem izomorficznym. Podobnie niech izomorfizmem będzie f1 : X2 → X3 . Dla udowodnienia tezy wystarczy wskazać odwzorowanie izomorficzne f × : (X × X2 ) → (X1 × X3 ). Jest nim funkcja określona jak następuje: f × ((x, y)) = (f (x), f1 (y)).

Korzystając z udowodnionego twierdzenia możemy wprowadzić pojęcie funkcyjne iloczynu typów porządkowych. (DEF. iloczynu typów porządkowych, ·) Iloczynem typów porządkowych α i β , α · β , jest typ porządkowy γ zbioru liniowo uporządkowanego (X2 , ≤× ) takiego, że α = (X, ≤), 163

Dla lepszego zrozumienia relacji liniowo porządkującej iloczyn kartezjański, skorzystajmy z jego przedstawienia geometrycznego. Mianowicie, iloczyn kartezjański dwóch zbiorów pojmujemy jako zbiór punktów płaszczyzny w układzie kartezjańskim, gdzie rzędną są elementy drugiego członu iloczynu, a odciętą elementy pierwszego członu. Punkty te porządkujemy w ten sposób, że w wypadku punktów mających różne rzędne ten jest wcześniejszy, którego rzędna jest wcześniejsza. Zaś w wypadku punktów o równych rzędnych, ten jest wcześniejszy, którego odcięta jest wcześniejsza.

8.3.1. RELACJE DOBRZE PORZĄDKUJĄCE

427

β = (X1 , ≤1 ),

oraz X2 = X × X1 ,

a dla każdego (x, y), (x1 , y1 )(∈ X2 ): [(x, y) ≤2 (x1 , y1 )] ⇔ {[(y ≤1 y1 ) ∧ (y = y1 )] ∨ [(y = y1 ) ∧ (x ≤ x1 )]}.

Iloczyn typów porządkowych nie zależy od wyboru zbiorów, lecz jedynie od ich typów. W wypadku zbiorów skończonych iloczyn typów porządkowych jest zgodny z iloczynem liczb naturalnych. PRZYKŁAD λ · λ to typ porządkowy płaszczyzny, której punkty są uporządkowe w wyżej opisany sposób.

Dla iloczynu typów porządkowych zachodzi prawo łączności, czyli: (α · β) · γ = α · (β · γ). Ponadto α · 1 = 1 · α = α, α · 0 = 0 · α = 0. Mnożenie, podobnie jak dodawanie, nie jest przemienne. Na przykład ω · 2 = 2 · ω . Mamy bowiem 2 · ω = {1, 2} × N = ω , a ω · 2 = N × {1, 2} = ω + ω . Mając zdefiniowane mnożenie możemy w prosty sposób zdefiniować potęgowanie typów porządkowych jako wielokrotne mnożenie tego samego typu przez siebie. Potęgę o wykładniku naturalnym definiuje się indukcyjnie: α0 = 1, αn+1 = αn · α. Zauważmy, że dla typów porządkowych brak podstaw do wprowadzenia ogólnej relacji ≤. 8.3. ZBIORY DOBRZE UPORZĄDKOWANE 8.3.1. RELACJE DOBRZE PORZĄDKUJĄCE

428

8.2. ZBIORY LINIOWO UPORZĄDKOWANE

(DEF. dobrego ufundowania) Zbiór uporządkowany (X, ≤) jest dobrze ufundowany (regularny) wtedy i tylko wtedy, gdy w X nie istnieje zstępujący ciąg elementów, tzn. gdy nie istnieje różnowartościowa funkcja f : N → X taka, że dla każdego n(∈ N) zachodzi f (n+1) ≤ f (n). Zstępujący ciąg elementów X to nieskończony ciąg a0 , a1 , . . . taki, że ∀i ∈ N.(ai+1 ≤ ai ∧ ai+1 = ai ). TWIERDZENIE 21 Zbiór uporządkowany (X, ≤) jest dobrze ufundowany wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdego niepustego A(⊆ X) istnieje element minimalny. DOWÓD Niech (X, ≤) będzie zbiorem dobrze ufundowanym. Załóżmy, że A(⊆ X) nie ma elementu minimalnego. Indukcyjnie zdefiniujemy funkcję f . Niech f (0) będzie dowolnym elmentem A. Załóżmy, że f jest określone dla wszystkich k(≤ n) i że dla każdego k mamy f (k + 1) < f (k). Jako wartość f dla argumentu n + 1 wybieramy taki element zbioru A, że f (n + 1) < f (n). Taki element istnieje, bowiem A nie ma elementu minimalnego. Zdefiniowaliśmy zatem zstępujący ciąg elementów zbioru X . A to jest sprzeczne z założeniem dobrego ufundowania zbioru X . Zatem każdy niepusty podzbiór zbioru dobrze ufundowanego ma element minimalny. Załóżmy, że (X, ≤) nie jest dobrze ufundowany. Zgodnie z definicja istnieje więc nieskończony zstępujący ciąg elementów X , f : N → X . Weźmy zbiór, którego elementami są wszystkie i tylko wyrazy tego ciągu. Zbiór ten jest podzbiorem X i nie ma elementu minimalnego. Z tego mamy, że gdy każdy niepusty podzbiór zbioru (X, ≤) ma element minimalny, to zbiór X jest dobrze ufundowany. PRZYKŁADY 1. Niech F będzie rodziną zbiorów skończonych. F , ⊆) jest porządkiem dobrze ufundowanym. 2. Zbiór ({0, 1}∗ , ) z porządkiem leksykograficznym indukowanym przez porządek (0 ≤ 1) nie jest dobrze ufundowany. Ciąg

8.3.1. RELACJE DOBRZE PORZĄDKUJĄCE

429

. . . 0k+1 1 0k 1 . . . 1,

gdzie 0k jest k -wyrazowym ciągiem, którego wyrazami są wyłącznie 0. tworzy nieskończony ciąg zstępujący.



(DEF. relacji dobrze porządkującej) Relacja ≤ (⊆ X × X) liniowo porządkująca zbiór X jest relacją dobrze porządkującą zbiór X wtedy i tylko wtedy, gdy jest dobrze ufundowana. Parę uporządkowaną (X, ≤) taką, że relacja ≤ dobrze porządkuje X nazywa się zbiorem dobrze uporządkowanym 163 . Arytmetyczna zasada indukcji może być uogólniona w tym sensie, że miejsce liczb naturalnych – zbiór liczb naturalnych ze zwykłą relacją niewiększości jest zbiorem dobrze uporządkowanym – zajmuje dowolny zbiór dobrze ufundowany. Uogólnienie to pozwala na wyrażenie w terminach arytmetyki definicji, które zwykle są wyrażane w teorii zbiorów. Zasada indukcji noetherowskiej 1164 Zasadę te sformułujemy w postaci schematu wnioskowania. TWIERDZENIE 22 Niech (X, ≤) będzie porządkiem dobrze ufundowanym. Następujący schemat wnioskowania jest niezawodny. 1. A ⊆ X 2. ∀x, y ∈ X .{[(x ≤ y ∧ x = y) ⇒ x ∈ A] ⇒ (y ∈ A)} A=X

DOWÓD Niech X \A = ∅. Niech x0 (∈ X \A) będzie elementem minimalnym. Zatem 163 Pojęcie zbioru dobrze uporządkowanego pochodzi od Cantora. Pojawia się ono w jego pracy [1883] §3. 164 Emmy Noether (1882–1935) uznawana jest za najwybitniejszą matematyczkę. Jej ojciec Max Noether (1844–1921) był uniwersyteckim profesorem matematyki.

430

8.2. ZBIORY LINIOWO UPORZĄDKOWANE

∀y.[(y ≤ x0 ∧ y = x0 ) ⇒ y ∈ A].

Z założenia twierdzenia (pkt. 2) wynika ∀y ∈ X .{[(y ≤ x0 ∧ y = x0 ) ⇒ y ∈ A] ⇒ (x0 ∈ A)}.

A zatem x0 ∈ A, co jest sprzeczne z faktem, że x0 ∈ X \ A. Ostatecznie więc A = X . Indukcja noetherowska jest najsilniejszą ze znanych zasad indukcji. Podane tu jej sformułowanie nawiązuje do aksjomatu V arytmetyki Peano. Możliwość wnioskowania indukcyjnego ze względu na elementy zbioru jest zasadniczą własnością zbiorów dobrze uporządkowanych. Zasada ta w odniesieniu do tych zbiorów określana jest jako zasada indukcji pozaskończonej. Z indukcji pozaskończonej korzystał niejawnie już Cantor. Samo sformułowanie zasady należy do Hessenberga [1906]. Gentzen korzystał z niej w dowodzie niesprzeczności arytmetyki165 . Użył jej w postaci znacznie ograniczonej, która może być wyrażona w arytmetyce166 . Zasadę indukcji pozaskończonej można podać w sformułowaniu, które nie różni się co do formy od ZI4’ indukcji, o której była mowa w części poświęconej arytmetyce. Zasada indukcji pozaskończonej 2 Niech (X , ≤) będzie zbiorem dobrze uporządkowanym. Niech φ będzie formułą określoną na elementach zbioru X . Następujący schemat wnioskowania jest niezawodny. 165 166

Gentzen [1936], [1938]. Zasada ta ma postać

∀y.{∀x.[x ≺ y ⇒ A(x)] ⇒ A(y)} ⇒ ∀x.A(x),

gdzie „A” jest formułą arytmetyczną a ≺ jest arytmetycznie definiowalnym dobrym porządkiem liczb naturalnych. Ta zasada jest ograniczona dwojako. Po pierwsze, nie mówimy o zbiorach i używamy jej dla pokazania, że wszystkie liczby naturalne spełniają arytmetyczną formułę A. Po drugie, ograniczamy się do szczególnego dobrego porządku, który może być określony w arytmetyce dla liczb naturalnych.

8.3.1. RELACJE DOBRZE PORZĄDKUJĄCE

431

1. φ spełnione jest dla pierwszego elementu X 2. dla każdego y(∈ X ), jeżeli φ spełnione jest dla każdego z(∈ X ) takiego, że z ≤ y i z = y , to y również spełnia φ, φ spełnione jest dla każdego elementu X .

Jak można było uogólnić na zbiory dobrze uporządkowane zasadę indukcji, tak też można uogólnić metodę definiowania. Mówimy tu o definicji przez indukcję noetherowską i podobnie w odniesieniu do zbiorów dobrze uporządkowanych stosowane jest określenie: definicja przez indukcję pozaskończoną. Jej możliwość wynika z zasady indukcji noetherowskiej. Przykładem zastosowania jest definicja potęgowania liczb porządkowych. PRZYKŁAD α0 = 1 αβ+1 = αβ · α.



Typowa definicja przez indukcję pozaskończoną zawiera trzy warunki: 1. A0 = A, 2. Aξ+1 = F (Aξ ), 3. Aλ =



ξ X . DOWÓD Lematu Kuratowskiego-Zorna

8.3.2. PORÓWNYWANIE LICZB PORZĄDKOWYCH

447

Niech (X, ≤) będzie zbiorem uporządkowanym, w którym każdy łańcuch ma ograniczenie górne. Pokażemy, że w X jest element maksymalny. Niech Y ≤ X . Niech dobrze porządkuje zbiór Y – na mocy twierdzenia Zermelo taki porządek istnieje. Przez indukcję noetherowską zdefiniujemy monotoniczną funkcję f : Y → X . Niech A = {f (x) : x ≺ y}, gdzie y ∈ Y . Z założenia indukcyjnego A jest łańcuchem, ma więc ograniczenie górne a. Jeśli a ∈ X \ A, to przyjmujemy f (y) = b, gdzie b

????? dokonczyc