Logica traditionala, clasica, modala [PDF]

Zitiervorschau

LOGICĂ traditională / clasică / modală ,

EDITURA FUNDAŢIEI PENTRU STUDII EUROPENE

Str. Emm. De Martonne 1

Cluj-Napoca, România

Director: Ion Cuceu ISBN

-

978 - 973 - 7677 - 63

-

1

Autorul mulţumeşte domnişoarei dr. Mihaela GLIGOR pentru tehnoredactarea computerizată a acestui volum. Copyright: Virgil DRĂGHICI

Prefaţă

Lucrarea de faţă reprezintă, în bună parte, tematica dezvoltată de autor în cadrul cursurilor de Logică simbolică, Logică modală şi Istoria logicii la Facultatea de Istorie şi Filosofie (Departamentul de Filosofie) din cadrul Universităţii "Babeş-Bolyai" Cluj-Napoca. Materialul este structurat pe trei secţiuni: logica tradiţională (Cap. 1), logica clasică (Cap. 2 şi Cap. 3) şi logica modală (Cap. 4 şi Cap. 5). Fiecare capitol poate fi lecturat relativ independent de celelalte, motiv pentru care demonstraţiile unor teoreme au fost reluate în diferite variante. Capitolele sunt însoţite, prin paragrafele aferente, de exerciţii rezolvate şi exerciţii propuse spre rezolvare. Pentru logica moda1ă soluţiile exerciţiilor sunt menţionate la sfârşitul volumului. Elaborarea tematicii acestui volum s-a bazat pe opera 10gico-filosofică a unor importanţi autori contemporani, înainte de toate Hilbert, Ackermann, Gădel, Gentzen, Kleene, Quine, Smullyan, Boolos, Hughes şi Cresswell, Fitting, Kripke, Benthem. Lista bibliografică, aferentă volumului de faţă, conţine atât lucrările care acoperă integral tematica dezvoltată cât şi alte titluri, situate în proximitatea temelor tratate, dar de un nivel superior de complexitate şi care fac obiectul unui alt volum (e.g. teoria recursivităţii, teoria calculabilităţii, diagonalizarea, logica demonstrabilităţii). Lucrarea se adresează înainte de toate studenţilor de la filosofie şi masteranzilor cu specializar·ea Logica şi Filosofia Ştiinţei. Întrucât are caracterul unui manual, ea poate fi consultată cu folos de toţi cei interesaţi de logică.

V.D.

Cuprins

Capitolull. Logica tradiţională Preliminar 1.1. Teoria termenilor logici 1.1.1. Structura termenilor logici 1.1.2. Raporturile dintre termenii logici 1.2. Teoria propoziţiilor categorice 1.2.1. Propoziţii categorice 1.2.2. Clasificarea propoziţiilor categorice 1.2.3. Raporturile logice dintre propoziţiile categorice 1.3. Teoria inferenţei 1.3.1. Inferenţe imediate 1.3.2. Inferenţe mediate (silogismul) 1.3.2.1. Figuri şi moduri silogistice 1.3.2.2. Metode de testare a validităţii silogismelor Exerciţii 1.3.2.3. Moduri silogistice indirecte 1. 3.2.4. Silogistica cu termeni negativi 1.3.2.5. Silogistică modernă (Modelul predicativ Brentano) 1.3.2.5.1. Interpretarea Brentano a propoziţiilor categorice 1.3.2.5.2. Procedeul formelor normale în logica predicatelor monadice 1.3.2.5.3. Modelul Brentano şi tema validităţii 1.3.2.5.4. Completitudinea deductivă a modelului Brentano

1

3 4 4 5 5 6 9 10 14 14 15 25 26 27 32 32 34 38 39

Capitolul 2. Logica clasică a propoziţiilor (LI') 2.1.

Teoria funcţiilor de adevăr 2.1.1. Sintaxa

LI'

2.1.2. Semantica

47

LI'

48

2.1.2.1. Funcţii de adevăr 2.1.2.2. Dualitatea 2.1.2.3. Procedeul matriceal de decizie în

LI'

48 50 51

2.1.2.4. Relaţia de consecinţă semantică 2.1.2.5. Scheme deductive cu operatori ai

LI'

54 55

Exerciţii 2.1.3. Transformări echiveridice în

56 Lp

2.1.3.1. Conceptul echiveridicităţii

1

56

58 59 61 64

2.l.3.2. Operatori fundamentali, operat0l1 derivaţi 2.1.3.3. Completitudine funcţională 2.1.3.4. Demonstraţii de completitudine funcţională Exerciţii 2. 1.4. Procedee de decizie în Lp 2.1. 4. 1. Procedeul matriceal 2.1.4.2. Reductio test 2.1.4.3. Procedeu Quine 2.1.4.4. Formele normale în

65 66 66 68

Lp

Exerciţii 2.1.5. Teoreme fundamentale ale

72 72

Lp

Exerciţii

2.2.

76

Tablourile analitice în Lp 2.2.l. Metoda tablourilor analitice în 2.2.1.1. Concepte 2.2.1.2. Formule ale

Lp

77 77 77

Lp

2.2.l.3. Evaluări booleene. Interpretare. Mulţime saturată 2.2.1.4. Metoda tablourilor analitice în Lp

78 79

2.2.1.5. Tablourile analitice şi forma normală disjunctivă 2.2.1.6. Tablouri analitice pentru mulţimi finite de formule 2.2.2.Corectitudinea şi completitudinea metodei tablourilor analitice în

Lp 2.2.2.2. Completitudinea metodei tablourilor analitice în Lp 2.2.3. Compacitatea în Lp 2.3. Axiomatica Lp 2.2.2.1. Corectitudinea metodei tablouri lor analitice î n

2.3.1. Preliminar 2.3.2. Sistemul axiomatic S 2.3.3. Corectitudinea şi completitudinea sistemului axiomatic Exerciţii 2.4. Deducţia

2.5.

S

naturală în Lp

Lp

84 85 87 88 90 91 94 103 107

2.4.1. Sistemul deducţiei naturale 2.4.2. Corectitudinea şi completitudinea sistemului deducţiei naturale

109 120

2.5.1. Preliminar 2.5.2. Sistemul G 2.5.3. Concepte 2.5.4. Leme şi teoreme 2.5.5. Tablourile analitice şi calculul secvenţial 2.5.6. Lema interpolării (Craig) 2.5.7. Compacitate, satisfiabilitate, consistenţă 2.5.8. Arborii deductivi şi formele normale 2.5.9. Arborii deductivi şi mulţimile Hintikka 2.5.10. Sistemul LK' Exerciţii

123 123 124 125 128 130 131 133 134

Calculul secvenţilor în Lp

II

136 140

2.6.

Rezoluţia în

Lp

2.6.1. Ce este o rezoluţie? 2.6.2. R-demonstraţia şi demonstraţia Gentzen

142 145

2.6. 2.1. Sistemul Gentzen G" 2.6.2.2. Conversia demonstraţiilor 2.6.3. Corectitudinea şi completitudine a metodei rezolutiei

146 150 158

Capitolul 3. Logica clasică a predicatelor (Lp) 3.1. Sintaxa şi semantica 3.1.1. Sintaxa

Lp

3.1.2. Semantica Exerciţii

Lp

160

Lp

3.2.

Tablourile analitice în Lp

3.3.

4 axiomatizată

163 169 170

Exerciţii

3.4.

173

3.3.1. Sistemul Q 3.3.2. Sistemul Hilbert-Ackermann Exerciţii

174 194 203

3.4.1. Teorema lui Herbrand 3.4.2. Rezoluţia în Lp

204 212

Rezoluţia în Lp

Exerciţii

3.5.

/nterpolare şi definibilitate în

218 219

Lp

Capitolul 4. Logica modală propoziţională 4.1.

Sintaxa

L

,

(Lp o)

o

4.1.1. Limbajul logicii modale propoziţionale 4.1.2. Sisteme de logică modală propoziţională Exerciţii

4.2. Semantica

Lp o

4.2.1. S-validitatea formulelor

4.3.

Lp

o

228 228 242 243

4.2.2. Verificarea validităţii formulelor în sistemul modal S5 4.2.3. Cadrele sistemelor modale Exerciţii

250 255 258

4.3.1. Mulţimi maximal consistente de formule 4.3.2. Modele canonice 4.3.3. Completitudinea sistemelor modale Exerciţii

259 26 1 263 269 269

Modele canonice

4.4. Modelefinite

III

Capitolul s. Logica modală a predicatelor (Lpc) 5.1. Preliminar 5.2. Sintaxa Lpc

282

5.2.1. Limbaj ul Lp 5.2.2. Sisteme de logică modală a predicatelor 5.3. Semantica Lp

286

o

286 287

o

5.4. 5.5.

Corectitudinea sistemelor modale QX 5 Bar Completitudinea şi incompletitudinea în Lp

287 o

5.5.1. Comp1etitudinea sistemelor modale QX 5 Bar 5.5.2. Incompletitudinea sistemului modal QX 54

MBar

293 299

5.5.3. Completitudinea sistemelor modale QX 5

301

5.5.4. Incompletitudinea sistemelor QX 54.4 şi QX54.9

303 306

Exerciţii

Soluţiile exerciţiilor

(Lp Lp o) o,

308

Bibliografie Index

318 333

IV

Capitolull

Logica tradiţională Preliminar Considerată în sensul cel mai general, logica tradiţională este teoria inferenţei. Începuturile ei notabile trebuie căutate în opera gânditorului grec Aristotel 1. O dată cu Organon-ul său se pun bazele a ceea ce astăzi numim "silogistică clasică" (asertorică şi modaIă). Această lucrare aristotelică a exercitat o considerabilă influenţă asupra generaţiilor următoare, până în epoca modernă. O dată cu rafinarea conct!ptualizării, determinată de crearea logicii simbolice, în secolul al XIX-lea, s-a deschis posibilitatea re-lecturii silogisticii clasice care, în noua ipostază, favorizată de formalizare şi axiomatizare, devine silogistică modernă 2. 3 Capitolul de faţă nu are în vedere o analiză istorică a silogisticii , ci o elaborare sistematică a logicii tradiţionale, înglobând astfel perfecţionările instrumentarului logicii, păstrându-i însă determinaţiile care o fac să rămână o logică tradiţională. Întrucât teoria inferenţei presupune teoria propoziţiei, iar teoria propoziţiei presupune 4 teOlia termenilor logici, vom trata succesiv, în ordinea complexităţii lor, aceste forme logice . Însă logica nu este interesată de orice fel de inferenţe, ci doar de inferenţele valide, adică de acele inferenţe care conservă în concluzia lor adevărul premiselor. Iar ca o inferenţă să fie validă, ea trebuie să respecte anumite exigenţe, între care există anumite raporturi de dependenţă (derivare). Căutând să explicităm exigenţele fundamentale, cele care le întemeiază pe toate celelalte, ajungem la ceea ce logica numeşte principii logice. Să ne oprim mai întâi la o analiză succintă a acestor principii.

Principiile logice

Investigarea statutului principiilor logice este una foarte complp,xă. Chiar dacă formularea lor este veche (Aristotel, Leibniz), disputele pe această temă continuă şi în zilele noastre. Ca principii logice ele nu pot, fireşte, să fie întemeiate în logică, pentru că în acest caz ar avea un caracter derivat, fiind deduse din alte principii mai generale. Putem, atunci, conchide că sunt construcţii arbitrare, convenţii lingvistice? Modul în care ele funcţionează ca 5 principii ne araLă mai curând contrariul. Iar dacă au un temei, care este acesta? Ne limităm, în consideraţiile de faţă, la a menţiona că principiile logice pot fi formulate atât ontologic (cu referire la obiecte şi proprietăţile lor), cât şi epistemologie (cu referire la propoziţii şi valorile lor de adevăr), rară a le reduce, ca principii logice, la aceste formulări.

I

Aristotel, Orgullolll (Analitica primă).

4

Prin forme logice vom înţelege: termenii logici, propoziţiile logice şi inferenţele.

2

Comp. J. Lukasiewicz, Aristotle's Syllogistic from the Standpoint of Modern Formal Logic, 1951. 3 Penlru o prezentare istorică a temei, comp. Bibliografie. 5

Răspunsurile la această intrebare sunt foarte diferite: comp. B. Russell, Probleme der Philosophie, F.a.M. , 1969, 78-79; M. Heidegger, Der Satz vom Grun d, Pfullingen 1957.

a) Principiul identităţii Principiul identităţii a fost formulat mai întâi de Leibniz, astfel: "Fiecare lucru este ceea ce este. Şi în atâtea exemple câte vreţi, A este A, B este 8,,6. ,.A este A" este fonnularea ontologică a ideii de identitate: prin proprietăţile sale constante, un lucru este el însuşi şi nu altul. Desigur, chiar dacă realitatea este într-o continuă transformare, ea nu poate fi gândită decât prin ceea ce conferă individualitate (şi deci constanţă) entităţiior ei. Ca principiu al identităţii, acesta rămâne un principiu logic, nu ontologic. Iar ca principiu logic, el pretinde, oricărui demers raţional, precizie. Altfel spus, în orice raţionalizare pe care o efectuăm termenii logici trebuie să-şi conserve înţelesul. În caz contrar, din premise adevărate putem obţine concluzii false sau absurde. De exemplu, din propoziţiile "Creionul este verde" şi ,,"Verde" are cinci litere" derivăm, în mod eronat, "Creionul are cinci litere ". Nevaliditatea acestei inferenţe rezidă în faptul că termenul mediu (i.e. "verde") nu şi-a păstrat înţelesul: în prima propoziţie el se referă la o proprietate a unui obiect iar în cea de-a doua la o entitate lingvistică Aşadar, a fost nesocotit principiul identităţii. b) Principiul noncontradicţiei Acest principiu a fost fOlmulat pentru prima dată de Aristotel: "este peste putinţă ca unuia şi aceluiaşi subiect să i se potrivească şi totodată să nu i se potrivească sub acelaşi raport unul şi acelaşi predicat" 7. Ca principiu logic, acesta reclamă exigenţa consistenţei: în acelaşi timp şi sub acelaşi raport o propoziţie nu poate fI adevărată împreună cu contradicţia ei 8. În orice demers pe care-l întreprindem, nu putem include "în acelaşi timp şi sub acelaşi raport", atât propoziţia ,,2 + 2 4" cât şi propoziţia" 2 + 2 "* 4". =

c) Principiul terţului exclus (tertium non datur) Tot lui Aristotel îi revine meritul de a fi formulat pentru prima dată principiul logic al telţului exclus: "Dar nu e cu putinţă nici ca să existe un termen mijlociu între cele două membre extreme ale unei contradicţii, ci despre un obiect trebuie neaparat sau să fie afirmat sau negat fiecare predicat" 9. Dacă principiul noncontradicţiei respinge posibilitatea ca o propoziţie şi contradictoria ei să fie simultan adevărate, principiul terţului exclus respinge posibilitatea ca o propoziţie şi contradictoria ei să fie simultan false. Iată un fragment din Leibniz care lămureşte relaţia dintre aceste două principii, în fmma relaţiei dintre următoarele două formulări: "una, că adevărul şi falsul nu sunt compatibile în aceeaşi propoziţie sau că o propoziţie nu ar putea să fie adevărată şi falsă în acelaşi timp; cealaltă, că opusul sau negaţia adevărului şi falsului nu sunt compatibile, sau că nu există mijlociu între adevărat şi fals, sau că nu se poate ca o

propoziţie să nu fie nici adevărată nici falsă" ta.

Exemple intuitive, elementare, ne arată totuşi că acest principiu nu are extensiunea primelor două, deoarece există situaţii în care între cele două valori de adevăr ale propoziţiilor (adevărat şi fals) trebuie admisă o a treia (nedeterminatul). Chiar Aristotel dă un exemplu de acest gen. De ori câte ori ne referim la evenimente viitor-contingente, cea de-a treia valoare

6 G. 7

6

Leibniz, Nouveaux essais sur [' entendement humain (1708), Flammarion, Paris 1935, IV, II, l.

Aristotel, Metafizica, Editura Academiei R.S.R., Bucureşti, ) 965, IV, 3, 1005 b, 19.

Pentru o analiză a diferitelor expresii ale principiilor logice, comp. N. Rescher, Many-valued logics, McGraw

HiII, 1969.

9 Aristotel, Metafizica, 10

IV, 7, IOllb.

Leibniz, Nouveaux... , IV, II, 1.

2

II. " Pentru propoziţii de genul "Mâine va avea loc o bătălie navală şi "Mâine trebuie admisă " 12. loc o bătălie navală , cea de-a treia posibilitate este admisă: indecizia nu va avea Este uşor de constatat că valabilitatea principiului terţului exclus este sincronă

acceptării ideii semantice a

bivalenţei:

orice propoziţie admite strict una din cele două valori

de adevăr: adevărat sau fals. Exigenţa reclamată de principiul terţului exclus este

coerenţa: în acelaşi timp şi sub acela şi raport o propoziţie logică este adevărată sau falsă, cea de-a treia posibilitate este exclusă. d) Principiul raţiunii suficiente

să nu acceptăm sau respingem vreo propoziţie fără demersul pe care-l întreprindeml3• El exprimă o relaţie de condiţionare între propoziţii. Lingvistic, condiţionările pot fi redate astfel: "dacă p, atunci " " q (condiţionarea suficientă), unde p şi q denotă propoziţii, "dacă nu p, atunci nu q (condiţionarea necesară) sau "p dacă şi numai dacă q" (condiţionarea necesară şi suficientă). Teoriile ştiinţifice sunt interesate înainte de toate de condiţiile suficiente ale adevărului Ca principiul logic, acesta ne cere

a dispune de vreun temei suficient,

în

propoziţiilor lor şi, de aici, exigenţa co nţinută în principiul raţiunii suficiente.

1.1. Teoria termenilor logici Atunci când atribuim o valoare de adevăr unei propoziţii, în raţionările noastre curente, o facem ţinând seamă de modul în care părţile lor constitutive se îmbină. Propoziţia " de exemplu, este adevărată dacă "albastru poate fi spus (i.e. predicat) " despre "cer . caz contrar, propoziţia este falsă. Elementele constitutive ale propoziţiilor

Cerul este albastru,

sunt

termenii.

îp

Insă nu toţi termenii unui limbaj au acelaşi rol în limbajul respectiv. Unii au

atât înţeles de sine stătător, desemnând clase de obiecte, cât ale propoziţiilor. Aceşti termeni se numesc

şi înţeles contextual, fiind părţi

categorematici.

Alţii, în schimb, ajută la " construcţia propoziţiilor, cuantificând, modalizând, conectând etc ("unii", "toţi", "e posibil , " " " " e necesar", "şi , "rară , "sau , "este , ş. a.). Aceşti termeni se numesc " În continuare, în acest paragraf dedicat teoriei termenilor, vom avea în vedere strict

sincategorematici.

teoria termenilor categorematici, predicat logic într-o propoziţiel4.

adică teoria acelor termeni care pot deveni

subiect logic

şi

O remarcă trebuie să facem însă de-ndată. Termenii categorematici nu sunt întotdeauna expresii formate dintr-un singur cuvânt, ci şi construcţii mai complexe, uneori " chiar fraze: ,,radiaţie remanentă , "orchestră de cameră", "număr prim între 6 şi 9 " , compozitorul lucrării "Ruslan şi Ludmila"", etc. În cele ce urmează ne interesează, fireşte, termenii categorematici ca

termeni logici, ca

ireductibilă la exprimarea ei lingvistică

l5

o formă logică distinctă, cu o structură proprie

.

Definiţie. Termenul logic este forma logică elementară care denotă clase de obiecte, respectiv conotă proprietăţi ale lor. II

Cf. Aristotel, Organon.

12 Respingerea validităţii terţului exclus va face carieră În logica intuiţionistă, pentru acele cazuri în care operăm cu mulţimi infinite. Comp. C. Calude, Matemiltici constructive, Ed. Ştiinţifică, Bucureşti, 1 995. 13 Principiul raţiunii suficiente este mai curând un principiu metalogic: nu introduce vreo exigenţă fără de care ândirea nu s-ar putea manifesta, ci exprimă un principiu cuprinzător, valabil în orice demers cognitiv. r, 4 în logica tradiţională această categorie de termeni constituie ,,noţiunile".

I

SUnitatea dintre termenul logic şi unitatea lingvistic!! se numeşte expresie. Orice expresie, care poate fi subiectul

sau predicatul unei propoziţii, are aşadar o dublă dimensiune, logic!! şi lingvistic!!.

3

1.1.1. Structura termenilor logici

În structura oricărui termen logic pot

extensiunea

şi

intensiunea.

fi puse în evidenţă două componente:

Un exemplu simplu ne arată în ce constau ele.

Carte", de

extensiune (sferă) este totalitatea cărţilor" existente. Totodată, "carte" înseamnă totalitatea trăsăturilor pe care le posedă orice obiect care poate fi numit carte. Aceste trăsături se constituie în ceea ce numim intensiunea (conţinutul) exemplu, este un termen logic a cărui

termenului "carte".

Definiţia 1. Extensiunea unui termen logic este componenta structurală care constă în totalitatea obiectelor ale căror proprietăţi formează intensiunea termenului logic. Definiţia 2. Intensiunea unui termen logic este componenta structurală care constă în totalitatea proprietăţilor obiectelor care formează extensiunea termenului logic. cealaltă

Corespondenţa structurală dintre cele două definiţii (i.e. faptul să una se obţine din permutând

termenii "extensiune", "obiect", intensiune" cu "intensiune", " extensiune") se numeşte " Între extensiunea şi intensiunea unui termen putem pune în evidenţă raportul variaţiei

"proprietate",

dualitate.

inverse a extensiunii şi intensiunii (construiţi un exemplu).

1.1.2. Raporturile dintre termenii logici

Distincţia logică dintre extensiune şi intensiune fundamentează distincţia dintre cele două tipuri de raporturi logice: extensionale şi intensionale.

Raporturile extensionale dintre doi termeni logici sunt raporturile dintre clasele la care

se referă, raporturi formulate în termenii incluziune-excluziune. Aceste raporturi extensionale

pot fi exhaustive sau neexhaustive, după cum raportul respectiv epuizează sau nu universul de

discursl6.

1.

Subordonare neexhaustivă.

În acest caz, extensiunea unui tennen S este inclusă în

extensiunea celuilalt (P), rară exhaustivarea universului de discurs (U). (Exemplu: S=aur, P=metal, U =element chimic). 2.

Supraordonare ne exhaustivă (Raportul convers lui 1). neexhaustivă. Extensiunile celor doi termeni au elemente comune, dar şi

3. Intersecţie

elemente diferite şi nu epuizează universul de discurs. (Exemplu: S =număr par, P = număr prim, U=număr natural).

4.

Identitate neexhaustivă.

Extensiunile celor doi termeni coincid, rară a epuiza

universul de discurs (Exemplu: S=2, P=număr par şi prim, U =număr natural).

Intersecţie exhaustivă. Cele două extensiuni au elemente comune dar acoperă Întreg universul de discurs: S=Z+u{O}, P=Z-u{O}, U=Z . 6. Excluziune ne exhaustivă. Cele două extensiuni nu au nici un element În comun şi 5.

nici nu exhaustivează universul de discurs (construiţi un exemplu).

7.

Excluziune exhaustivă.

Nici în acest caz extensiunile nu au elemente comune, dar

epuizează U (Exemplu: organic - neorganic, roşu - nonroşu, etc).

Raporturile intensionale

sunt raporturile dintre termeni considerate din perspectiva

însuşirilor, respectiv dacă termenii respectivi pot figura sau nu simultan ca însuşiri într-un alt termen. Dacă da, atunci raporturile care se stabilesc sunt de

de

opoziţie.

concordanţă, În caz contrar sunt

Deja specificarea făcută mai sus a raporturilor extensionale ne pennite să

deosebim cele două clase de raporturi intensionale (de concordanţă: primele cinci, de opoziţie: ultimele două).

16 Universul de discurs pentru două clase S, P este clasa supraordonată (includentă) claselor în discuţie. "Mamifer" şi "vertebrat" pot avea ca univers de discurs "animal" etc.

4

Remarcă 1. Cele două tipuri de raporturi de exc1uziune (exhaustivă, neexhaustivă) fundanientează două raporturi logice distincte dintre propoziţiile logice: contradicţie şi contrarietate. De aceea raportul de excluziune exhaustivă dintre te mlenii logici se mai

numeşte şi raport de contradicţie, iar cel de exc1uziune neexhaustivă se mai numeşte şi raport de contra rietate. Să vedem mai îndeaproape în ce constă distincţia. Raportul de contrarietate se stabileşte între extensiunile a doi termeni astfel încât

clasele respective nu acoperă Întreg universul de discurs. Aşadar, universul de discurs conţine cel puţin trei clase reciproc exclusive. "Roşu" şi "galben" nu epuizează universul "culoare". Termenii contrari nu pot fi în acelaşi timp predicaţi despre acelaşi obiect (un obiect nu poate fi în acelaşi timp şi roşu şi galben), dar pot fi negaţi (din faptul că un obiect nu este roşu, nu rezultă că este galben, căci poate fi verde, albastru etc). Neputând fi asertaţi simultan despre acelaşi obiect, raportul dintre termenii contrari este fundamentat de principiul logic al noncontradicţiei.

Raportul de contradicţie se stabileşte între două extensiuni care exhaustivează universul de discurs: "roşu - nonroşu", "par - impar", "organic - anorganic" etc. În acest caz, fiecare termen este negaţia celuilalt. Întrucât divid universul de discurs strict în două clase, ei nu pot fi nici asertaţi simultan, nici negaţi simultan despre acelaşi obiect. Motiv pentru care acest raport dintre termenii logici este fundamentat simultan de principiul noncontradicţiei şi de principiul terţului exclus. Remarcă 2. Teoria termenilor logici include şi tema clasificării tennenilor logici, cea a diferitelor reprezentări diagramatice dintre ei sau tema operaţiilor logice cu termeni (diviziune, clasificare, definire etc). Capitolul de faţă nu include şi aceste abordări 17. 1.2. Teoria propoziţiilor categorice 1.2.1. Propoziţii categorice Termenii logici pot figura, În multele lor posibilităţi de conectare, drept componente în structuri mai complexe, numite propoziţii. În acest paragraf nu vom face un inventar al tuturor propoziţiilor, ci vom selecta o clasă de astfel de propoziţii şi o e xplicităm în detenninaţiile ei esenţiale. Clasa avută în vedere este cea a propoziţiilor categorice.

Definiţie. O propoziţie categorică este o structură logico-lingvistică în care se enunţă ceva despre elementele unei clase de obiecte. Exemple de propoziţii categorice: 1 . Toţi studenţii au obţinut rezultate bune. 2. Nici un participant la manifestaţie n-a fost chestionat. 3. Unele cărţi sunt interesante. 4. Unii concurenţi n-au luat premiu. 5. Nigel Kennedy este cel mai strălucit interpret "Vivaldi". 6. John Fogerty n-a cântat cu ,,Rolling Stond'. Structura propoziţiilor categorice este simplă: doi termeni logici sunt corelaţi în aşa fel încât ceva se spune despre ceva. Un termen logic este subiectul logic al propoziţiei, celălalt este predicatul logic. legătura dintre ei se poate face în varii felllri: cu verbele a fi, a avea, cu alte verbe sau pur şi simplu poate fi sublimată (în forma gramaticală a predicatlllui). Însă, dacă din punct de vedere gramatical în structura unei propoziţii categolice pot intra şi alte elemente (adjective, complemente, adverbe etc), sub aspect logic (singurul relevant aici!) o propoziţie categorică conţine strict două elemente: subiectul log ic (S) şi predicatul logic (P).

1.2.2. Clasificarea propoziţiilor categorice Fie şi numai enumerarea de mai sus, putem constata unele deosebiri, logic relevante, între propoziţiile categorice. Atât în propoziţia 1 cât şi în propoziţia 2 subiectul logic a fost 17

Pentru o tratare clară, sistematică a lor, comp. Marga, Stoianovici, Dima, Logica generală, pp. 81-123.

5

luat în considerare (chiar dacă în moduri diferitel) în totalitatea sa. Altfel spus, predicatul logic revine întregii clase denotate de subiect. În ambele cazuri vom vorbi despre propoziţii universale. În propoziţiile 3 şi 4, în schimb, predicatul se referă (revine) unei părţi a clasei denotate de subiectul logic , motiv pentru care aceste propoziţii se numesc particulare. În fine, în cazurile 5 şi 6 clasa denotată de subiectul logic are un singur element; aceste propoziţii se numesc individuale. Această clasificare s-a făcut după criteriul cantităţii, respectiv dacă predicatul revine sau nu întregii extensiuni a subiectului logic. Putem uşor constata că, aplicând acest criteriu, propoziţiile individuale au forma propoziţiilor universale şi deci, în cele ce urmează vor fi incluse în această clasă. După cantitate deosebim aşadar: propoziţii universale şi particulare. Acum, dacă luăm propoziţiile 1, 3 şi 5, pe de-o parte, şi 2, 4 şi 6, pe de alta, vom observa că cele două clase de propoziţii se deosebesc prin următorul fapt: în prima clasă predicatul logic este afirmat despre subiect (i.e. nota respectivă aparţine subiectului logic, indiferent de extensiunea considerată), în cea de-a doua însă, predicatul logic este negat despre subiect. Aşadar, propoziţiile categorice pot fi clasificate şi după criteriul calităţii, în afirmative şi negative. În cele ce urmează nu vom opera distinct cu cele două clasificări, ci cu una singură, făcută simultan după cele două criterii (cantitate şi calitate), astfel: 1. SaP: propoziţii universal afirmative 2. SeP: propoziţii universal negative 3. SiP: propoziţii particular afirmative 4. SoP: propoziţii particular negative Notaţiile din frontul fiecărei clase au următoarea sursă: S şi P sunt elementele structurale ale oricărei propoziţii categorice. a şi i, puse între S şi P (în cazurile 1 şi 3) sunt primele vocale din cuvântul latin affirmo şi ne arată că în ambele cazuri avem propoziţii afirmative (prima universală, a doua particulară). Vocalele e şi o din SeP şi SoP sunt vocalele conţinute în nego şi ne indică faptul că propoziţiile respective sunt negative. Această abreviere notaţională are un avantaj operaţional în analiza raporturilor logice dintre 18. propoziţiile respective Remarcă. Nu întotdeauna în limbajul natural cele patru tipuri de propoziţii categorice au forma de mai sus. Unii S sunt P (SiP) nu exclude, în clasificarea făcută, posibilitatea ca Toţi S să fie P (SaP). însă, dacă o propoziţie particulară este formulată NUY1liJi unii S sunt P, atunci această posibilitate este exclusă. În primul caz avem o propoziţie particulară inclusivă, în cel de-al doilea exclusivă. Adusă la forma uzuală din clasificarea tacută, propoziţia Nurrwi unii S sunt P devine Unii S nu sunt P. Aşa cum propoziţia Numai unii S nu sunt P devine Unii

S sunt P.

Alteori propoziţiile particulare au forma: Numai S sunt P, respectiv Numai S nu sunt Asemenea propoziţii particulare exclusive se pot transforma, echivalent, în propoziţii universale, de aceeaşi calitate, dar în care S şi P îşi schimbă reciproc locul. Ele devin Toţi P sunt S, respectiv Nici un P nu este S.

P.

1.2.3. Raporturile logice dintre propoziţiile categorice

Aşa cum între termenii logici există o serie de raporturi logice, tot astfel între propoziţiile categorice putem pune în evidenţă nişte raporturi specifice. Dacă, de exemplu, propoziţia Toţi stuilenţii sunt prezenţi este adevărată, atunci propoziţiile Unii stuilenţi nu sunt prezenli şi Nici un student nu este prezent sunt false. Aşa cum, dacă propoziţia Unii studenţi nu sunt prezenţi este falsă, propoziţia Unii stuilenţi sunt prezenţi este adevărată etc.

18

Alteori apar doar majusculele corespunzătoare: A, E, 1, 0, cu semnificaţia SaP, SeP, SiP, SoP.

6

Raporturile logice dintre propoziţiile categorice pot fi redate schematic prin

Boethius 19.

SaP

contrarietate

pătratul lui

SeP

s

s u b a

u

b a

e r n a r e

e

r

n a r e

SiP

subcontrarietate

SoP

Aşa cum vom vedea, această reprezentare simplă ne pune în evidenţă o particularitate logic relevantă a acestor raporturi: sub asumpţia adevărului sau falsi tăţii unei propoziţii (din

SoP

SeP

SiP

SiP

SeP

atunci O, O iar 1. Dacă O , atunci (construiţi exemple în limbajul natural, care ilustrează aceste cazuri). Să caracterizăm succint cele 4 tipuri de raporturi logice. =

=

=

=

=

1,

SoP

=

SaP - SaP SoP. l' . SaP:::J ,SaP 2'. ,Sap:::J SaP 3'. Sap:::J -,SaP 4' . -,Sap:::J SaP

Raportul de contradicţie . Se stabileşte între propoziţiile (diagonalele pătratului). Să luăm, ca exemplu, propoziţiile SaP şi

S aP 1, atunci SoP SaP O , atunci SoP 3 . Dacă SoP 1 , atunci S aP 4. Dacă SoP O, atunci SaP t. Dacă

==

2. Dacă

=

=

== = =

=

=

O.

1.

O.

1.

20,

1

S aP 1 şi S aP O

şi

SeP - SiP

cele patru) putem conchide asupra valorii de adevăr a celorlalte propoziţii. Dacă

=

==

Altfel spus, raportul de contradicţie se stabileşte între două propoziţii cantitativ şi calitati v opuse, astfel că ele nu pot fi nici adevărate simultan şi nici false simultan. În coloana din dreapta sunt redate simbolic aceste rapOlturi, unde,,:::J " este implicaţia

2l

-

iar" -," este negaţia . Din expresiile simbolice 1* 4' deducem că în raportul de contradicţie o propoziţie este echivalentă (i.e. are aceeaşi valoare logică) cu negaţia celeilalte. Putem scrie

S aP ",-,SoP echivalent (SaP:::J -,SaP)/I.(,SaP:::J S aP) sau -,SaP", SoP echivalent (,SaP:::J SOP)/I.(SaP:::J ,SaP) . Remarcă. Prin transformarea implicaţiilor din formula (SaP:::J ,SaP) ( ,Sop:::J SaP) în conjuncţii obţinem formula echivalentă ,(S aP /I.-,-,SoP}/I.,(-,SaP ,S aP) , adică (SaP SoP)/I.(Sop v SaP) , formulă care exprimă faptul că raportul de contradicţie este 22,

aşadar:

/1.

/1.

-,

/1.

19 Boethius (480-524). 20,,1" şi ,,0" denotă valorile de

li

adevăr "adevărat" şi "fals".

SoP este falsă" (şi nicidecum negaţia lui S!); n

-,SaP ,p(x) Înseamnă" p(x) este falsă" ele.

Pus în faţa unei expresii, simbolul"," denotă negaţia expresiei respective:

în logica propoziţiilor aceste derivări succ esive se numesc 2.1.3. (din capitolul următor).

7

transformări echiveridice.

înse amnă: "propoziţia

Pentru detalii trimitem la

fundamentat simultan de principiul logic al noncontradicţiei (i.e.

-,(SaP Sop) , 1\

cele două

propoziţii nu pot fi adevărate simultan) şi de principiul logic al terţului exclus (i.e.

SoP v SaP,

cele două propoziţii nu pot

transformarea celeilalte formule,

fi false simultan). Acelaşi rezultat îl obţinem prin

(,SaP Sop) (Sop ....S.., aP) (exerciţiu). =:J

1\

=:J

Raportul de contrarietate. Se stabileşte între propoziţiile universale de calitate opusă: SaP -- SeP. Pe baza unor exemple simple din limbajul natural putem constata că acest raport poate fi caracterizat astfel:

5'. SaP =:J ....S.., eP 6'. -'saP =:J ?

5. Dacă SaP 1, atunci SeP O . 6. Dacă SaP O, atunci SeP ? . 7. Dacă SeP 1, atunci SaP O . 8. Dacă SeP O , atunci SaP = ? . =

=

=

=

=

7'. 8'

==

=

În formulările de mai sus simbolul

,,

?

.

"

SeP =:J ....S.., aP ,SeP =:J ?

exprimă faptul că valoarea de adevăr a

propoziţiei respective nu poate fi asertată, sub asumpţia condiţiei din enunţ. Adică, din faptul

SaP este falsă, nu putem spune ce valoare de adevăr are propoziţia SeP (ea poate nu pot fi adevărate simultan dar pot fi false simultan. În redare simbolică: ....(.., SaP I\SeP) , echivalent ,SaP v ,SeP, echivalent SaP =:J ....S.., eP sau SeP =:J ....S.., aP . că propoziţia

fi falsă sau adevărată). Aşadar, două propoziţii aflate În raport de contrarietate

Cum nu pot

fi adevărate simultan, rezultă că raportul de contrarietate este fundamentat

pe principiul logic al noncontradicţiei.

opusă:

Raportul de subcontrarietate. Se stabileşte SiP şi SoP. Aici vom avea, corespunzător: 9. Dacă SiP = 1 , atunci SoP ? . 10. Dacă SiP O , atunci SoP 1. 1 1 . Dacă SoP 1, atunci SiP ? . 1 2. Dacă SoP O, atunci SiP I . =

=

=

=

=

=

=

între propoziţiile particulare de calitate

9'.

SiP =:J ? .

10* . ,SiP =:J SoP .

Il'.

SoP =:J ?

12' . -,SoP =:J SiP .

Două propoziţii subcontrare nu pot fi false simultan, dar pot

fi adevărate. Adică,

....(.., -,SiP 1\ ....S.., op ) , echivalent ....S..,...., iP v ....S.." oP , echivalent SiP v SoP. Sau, echi valent -,SiP =:J SoP sau ....S.., oP =:J SiP . Raportul de subcontrarietate este fundamentat de principiul

logic al terţului exclus.

Raportul de subalternare.

Acest raport are loc între o propoziţie universală şi

SiP , respectiv SeP şi SoP. Următoarele SaP şi SiP): 13*. SaP =:J SiP . 1 3 . Dacă SaP 1, atunci SiP 1. 14' . -,SaP =:J ? . 14. Dacă SaP O , atunci SiP ? 15* . SiP =:J ? . 15. Dacă SiP 1 , atunci SaP ? 16'. ,SiP =:J ,SaP . 16. Dacă SiP O, atunci SaP O . Propoziţiile SiP şi SoP sunt subalteme propoziţiilor SaP şi, respectiv, SeP, aşa cum SaP şi SeP sunt supraalteme propoziţiilor SiP şi SoP. Aşadar, raportul de subaltemare înseamnă: adevărul �·upraaltemei implică adevărul subalternei, respectiv, falsitatea subalternei implică falsitatea supraalternei. particulara de aceeaşi calitate, adică între

SaP

şi

expresii explicitează acest raport (considerăm doar = =

=

=

Remarcă.

=

=

.

=

=

Două propoziţii contrare pot fi false simultan, aşa cum două propoziţii

fi adevărate simultan. Dacă vrem să vedem în ce caz se întâmplă acest lucru, atunci vom proceda după cum urmează. Din cele 7 tipuri de raporturi extensionale dintre

subcontrare pot

8

termenii logici, dacă renunţăm la distincţia exhaustiv-neexhaustiv (irelevantă aici), rămân doar 5: identitate, subordonare, supraordonare, intersecţie şi opoziţie. Considerăm acum că cei doi tenneni logici avuţi în vedere sunt subiectul (S) şi predicatul (P) unei propoziţii. Desigur, valoarea ei logică depinde de raportul dintre tennenii logici S şi P. Dacă ţinem seamă de toate aceste 5 raporturi dintre tennenii

S şi P, atunci raporturile logice dintre propoziţiile categorice,

din pătratul lui Boethius, pot fi redate, mai nuanţat, prin următorul tabel: Identitate

Subordonare

1 O

1 O 1 O

Supraordonare

SaP SeP SiP SoP

O

Deci, dacă

S şi P se află în raport de identitate,

1

Intersecţie

O O 1 1

Opoziţie

O O 1 1 atunci

O 1 O 1

SaP (adică Toţi S sunt P) este o

propoziţie adevărată, SeP este falsă, SiP este adevărată SoP O etc. E uşor de văzut că toate raporturile mai sus discutate pot fi "citite" pe acest tabel. Mai mult chiar, putem constata că =

două propoziţii contrare pot fi false simultan dacă

S şi P se află în raport

de supraordonare şi

de intersecţie. Caz în care două propoziţii sub contrare pot fi adevărate simultan.

Exerciţii 1. 2.

Argumentaţi că date fiind raporturile de contradicţie şi contrarietate raportul de

subaltemare poate fi dedus.

Argumentaţi că date fiind raporturile de contradicţie şi subcontrarietate raportul de subaltemare poate fi dedus.

3. Comparând raporturile logice din pătratul lui Boethius cu funcţiile de adevăr din determinaţi, în fiecare caz în parte, ce funcţii de adevăr corespund acestor

2.1.2.1.,

raporturi.

Exemplu: Raportul de subaltemare SaP-SiP SaP � SiP (la fel, SeP � SoP ) etc.

este redat

de

funcţia

implicaţie:

1.3. Teoria inferenţei Aşa cum tennenii logici intră în construcţia propoziţiilor, tot astfel propoziţiile participă la constituirea celei mai complexe forme logice: cea a inferenţei. Inferarea ţine de însuşi modul de a fi al fiinţe lor umane ca fiinţe ra[ionale. Facem inferenţe mereu, de la cele curente, cotidiene, până la cele mai complexe, realizate în domeniile excepţionale ale

cercetării ştiinţifice.

Definiţie. Inferenţa este operaţia logică prin care din una sau mai multe propoziţii asumate ca premise obţinem o altă propoziţie numită concluzie. Inferenţele sunt de o mare diversitate. Dacă luăm drept criteriu gradul de generalitate

al concluziei în raport cu premisele, vom deosebi:

inferenţe deductive

inferenţe inductive. valide (i.e. nevalide (i.e. adevărul şi

O altă clasificare o putem face având în vedere dacă inferenţele respective sunt

conservă în concluzie adevărul premiseilpremiselor) sau premiseilpremiselor nu garantează adevărul concluziei). Logica se interesează exclusiv de inferenţele valide. Iar dacă numărul premiselor este cel avut în vedere, atunci deosebim:

inferenţe imediate

(i.e. inferenţe cu o singură premisă) şi

9

inferenţe mediate

(i.e. inferenţe cu

două sau mai multe premise). La aceste din urmă inferenţe ne vom opri în cele ce urmează, cu menţiunea că propoziţiile lor constitutive sunt

propoziţii categorice.

1.3.1. Inferenţe imediate

Toţi studenţii sunt prezenţi este adevărată, Unii dintre cei prezenţi sunt

Dacă ştim, de exemplu, că propoziţia

atunci, rară a face investigaţii empirice, ştim că şi propoziţia este la fel. Adevărul primeia garantează adevărul celei de-a doua. Această operaţie prin care din prima propoziţie am obţinut-o pe cea de-a doua nu este o simplă

studenţi

(SaP)

(PiS) logică, cea a conversiunii. Definiţia 1. Conversiunea este inferenţa imediată prin care dintr-o propoziţie S-P derivăm o altă propoziţie de forma p-s (i.e. termenii logici îşi schimbă locul şi deci şi Juncţ iile). transformare lingvistică, ci o operaţie

Să vedem acum în ce fel se convertesc cele

SaP � PiS ;

aici

�

4 tipuri de propoziţii categorice.

indică operaţia logică

a

conversiunii. Chiar şi din

SaP prin conversiune n-am fi putut PaS, Toţi cei prezenţi sunt studenţi, pentru că această propoziţie nu este întotdeauna adevărată. Şi deci inferenţa făcută ar fi nevalidă. Î nsă dacă SaP este adevărată, atunci şi PiS este adevărată. Premisa SaP se numeşte convertendă iar PiS se numeşte conversă. Î ntrucât în acest caz cantitatea premisei s-a alterat (i.e. din universală am obţinut o particulară), conversiunea se numeşte prin accident (per accidens). SeP� PeS (conversiune simplă) SiP� PiS (conversiune simplă) SoP�? (nu se convertesc) Pe baza unor exemple simple putem să vedem că propoziţiile particular negative nu se convertesc. Aşadar, adevărul unei propoziţii SoP nu poate garanta întotdeauna adevărul conversei ei PoS. Din adevărul propoziţiei Unii oameni nu sunt ingineri nu putem conchide Unii ingineri nu sunt oameni. În schimb, din propoziţia Unii studenţi nu sunt logicieni putem conchide că Unii logicieni nu sunt studenţi. Întrucât nu întotdeauna concluzia este o propoziţie adevărată, vom spune că propoziţiile SoP nu se convertesc. exemplul de mai sus ne putem da seama că din propoziţia adică obţine propoziţia

După cum se vede, prin conversiune obţinem întotdeauna o propoziţie de aceeaşi

SeP

SiP

calitate. Propoziţiile şi se convertesc simplu (în aceste cazuri şi cantitatea se conservă), se converteşte prin accident iar nu se convertesc.

SaP

SaP

SoP

uneori

PaS

Aşa cum din propoziţii adevărate obţinem propoziţii adevărate, tot adevărate obţinem propoziţii adevărate. În logică este astfel din propoziţii

SaP

uneori

PaS

relevantă şi cunoaşterea acestor situaţii. Aşa cum relevant a fost şi răspunsul din paragraful precedent cu privire la situaţiile În care două propoziţii contrare/subcontrare pot fi

false/adevărate simultan. Şi în acest caz răspunsul poate fi dat ţinând seamă de raportul dintre termenii logici şi Pentru aceasta considerăm din nou cele cinci raporturi extensiona1e şi

S P.

determinăm, în fiecare caz în parte, adevărul propoziţiilor

PaS .

Exemplu.

S

P

SaP, PaS, SeP, PeS, SiP, PiS, SaP, SaP cât PaS etc.

Dacă şi sunt în raport de identitate, atunci atât adevărate. În acest caz din propoziţia prin conversiune, obţinem

SaP,

SoP

şi

PaS

sunt

se converteşte (exerciţiu). Tot astfel putem determina cazul în care Gama inferenţelor imediate nu se reduce însă la conversiune. Dacă, de exemplu,

Toţi studenţii sunt bursieri este adevărată, atunci va fi adevărată şi propoziţia Nici un student nu este nebursier. În acest caz vorbim despre o altă operaţie logică, cea a obversiunii. Definiţia 2. Obversiunea este inferenţa imediată prin care dintr-o propoziţie S-P derivăm o altă propoziţie de forma S - P . propoziţia

10

Premisa se numeşte obvertendă iar concluzia obversă. Notaţia S - P are unnătoarea 3 sem nificaţie: în concluzie termenii logici îşi păstrează locul, predicatul este negar iar bara de dea supra întregii expresii înseamnă înlocuirea reciprocă a operatorilor intrapropoziţionali a cu e şi i cu o. Adică: lui

SaP� SeP a în e). SeP�SaP SiP�SoP SoP�SiP

(locul barei de deasupra întregii expresii este preluat de transformarea (explicaţie similară).

Simbolul � indică operaţia logică a

caz în parte). În cazul obversiunii cazuri.

cantitatea

obversiunii (construiţi exemple pentru fiecare

premisei se conservă În concluzie, în toate cele patru

Cele două inferenţe imediate, aplicate succesiv (şi alternativ) asupra unei propoziţii

categorice permit derivarea unor propoziţii de alte tipuri decât cele menţionate mai sus. Să luăm, de exemplu, propoziţia

SaP

şi să aplicăm alternativ cele două operaţii, începând cu

obversiunea. Vom obţine:

SaP�SeP�PeS�PaS �SiP�SoP 4, respectiv PeS şi PaS se numesc contrapuse, iar ultimele două propoziţii Si P şi SoP se numesc inverse. Să le considerăm pe rând. Definiţia 3. Contrapoziţia este inferenţa imediată prin care dintr-o propoziţie S-P derivăm o altă propoziţie de forma P - (S /5) (i.e. obţinem o concluzie al cărei subiect este contradictoriul predicatului premisei). Premisa se numeşte contraponendă iar concluzia contrapusă. Notaţia S / S Propoziţiile obţinute în paşii 3 şi

simbolizează următorul fapt: predicatul concluziei este fie subiectul premisei, fie subiectul

negat al premisei. În primul caz, când concluzia are forma P-S vorbim despre contrapusă parţială, în cel de-al doilea, P - S , de contrapusă totală. Definiţia 4. Inversa este inferenţa imediată prin care dintr-o propoziţie S-P derivăm o altă propoziţie de forma 5 - (p / p) (i. e. obţinem o concluzie al cărei subiect este contradictoriul subiectului premisei). Şi în acest caz notaţia P / P simbolizează faptul că o inversă poate să fie parţială (de - fonna S - P ) sau totaLă (de forma S - P ) (Construiţi exemple). Aşadar, prin aplicarea repetată şi alternativă a conversiunii şi obversiunii putem ob�ine toate propoziţiile adevărate dintr-o propoziţie dată ca adevărată.

SaP�PiS�PoS SaP�SeP �PeS�PaS�SiP�50P SeP�PeS�PaS�SiP�SoP SeP�SaP �PiS�PoS SiP� PiS�PoS SiP�SoP SoP�? 2J D e câte

ori n e vom referi l a termenii logici strict

utiliza, pentru

extensional (i.e. termeni care denotă clase d e obiecte) vom

clasa complementară, o bară deasupra s imbolului respectiv

Înseamnă: "clasa complementară lui P" (adică non

P).

11

- -(S ,M ,p). Aşadar P

(P

negat)

Remarci. 1. Lanţul derivărilor se opreşte atunci când aj ungem la o propoziţie SoP care urmează să fie convertită. 2. În cazul conversiunii simple (SeP şi SiP) propoziţiile obţinute (PeS şi PiS) sunt echivalente cu premisele lor. În cazul conversiunii prin accident avem doar un raport de implica�ie

SaP � PiS .

3. În cazul obversiunii, obvertendele şi obversele sunt propoziţii echivalente. În fine, încheiem acest paragraf cu câteva explicaţii pri vitoare la validitatea

inferenţelor imediate.

Distribuirea termenilor logici Să considerăm, de exemplu, propoziţia

Unii studenţi sunt melomani.

Din această

propoziţie nu putem deriva propoziţia Toţi studenţii sunt melomani. În caz contrar derivarea ar fi nevalidă, deoarece încalcă următoarea cerinţă privitoare la inferenţele deductive: concluzia unei inferenţe deductive nu trebuie să depăşească gradul de generalitate al premisei (premiselor) ei. Gradul de generalitate al concluziei se referă atât la propoziţia ca atare cât şi la termenii logici din care se compune. Derivarea de mai sus ar fi nevalidă atât pentru faptul că dintr-o premisă particulară deducem o concluzie universală, cât şi pentru motivul că termenul logic "studenţi" este considerat parţial în premisă pe când În concluzie el este luat extensional în întreaga lui sferă. Acest din urmă aspect ne interesează în cele ce urmează. În premisa din exemplul de mai sus, despre termenul logic studenţi" vom spune că este " nedistribuit, pe când în concl uzie este distribuit.

Definiţia 5. Un termen logic este distribuit dacă într-o propoziţie este considerat în maxima lui extensiune; în caz contrar el este nedistribuit.

Trebuie să remarcăm de la bun început că această proprietate a unui termen logic se poate afirma sau nega doar în raport cu propoziţia din care termenul logic respectiv face parte ca subiect sau predicat.

Dacă prin ,, + " înţelegem "distribuit" iar prin " - " înţelegem "nedistribuit", atunci S şi P în propoziţiile categorice arată astfel: S+ aP- , S+ eP+ ,

distribuirea termenilor logici

S-iP- , S-oP+ .

Într-o propoziţie universal afirmativă S este distribuit, fapt care rezultă chiar din S sunt P". Însă de aici nu deducem nimic cu privire la extensiunea lui

lectura expresiei "Toţi

P, motiv pentru care

P este

considerat nedistribuit. Explicaţii similare putem găsi şi pentru

celelalte 3 cazuri (exerciţiu). Rezumativ, distribuirea termenilor logici poate fi redată astfel:

1 . Subiectul (S) este distribuit în propoziţii universale.

2. Predicatul (P) este distribuit în propoziţii negative. Echivalent, un termen logic este distribuit dacă

universale sau predicatul unei propoziţii negative.

este subiectul unei propoziţii

Validitatea inferenţelor (imediate şi mediate) presupune respectarea unei privire la distribuirea termenilor logici: un termen logic poate să apară distribuit în

doar dacă a fost distribuit şi în premisa corespunzătoare. simpLă

reguli cu concluzie

O dată formulată această regulă, putem argumenta de ce, de exemplu, conversiunea a propoziţiilor

SaP

şi

SoP

nu este o inferenţă validă. Dacă am face astfel de

conversiuni, atunci am avea:

S+aP- � P+aS- şi S-oP+ � P-oS+ În ambele cazuri se încalcă regula distribuirii termenilor. În primul caz, în concluzie, P apare distribuit, rară a fi distribuit în premisă, în al doilea, S este distribuit în concluzie şi nu este distribuit în premisă.

12

Remarcă. Un tennen logic poate fi distribuit în premisă rară a fi distribuit în concluzie

(daţi exemple).

Propoziţii cu lenneni negativi Aşa cum am văzut din derivările de mai sus, prin aplicarea repetată a conversiunii şi obversiunii obţinem propoziţii în care apar termeni negaţi. Unele din acestea sunt echivalente cu propoziţia iniţială, altele sunt implicate de propoziţia iniţială. Cu toate acestea, dată fiind o propoziţie categorică, anumite prop�z.1ii nu pot fi obţinute din aceasta. Din propoziţia SaP, de exemplu, nu putem obţine inversa SaP (nici reciproc). Motiv pentru care cele două propoziţii sunt considerate independente. Aşadar, dacă vom considera şi propoziţiile cu tenneni negaţi, vom constata că la cele patru tipuri de propoziţii categorice, SaP, SeP, SiP, SaP, se adaugă

încă patru tipuri diferite de propoziţii, inversele celor dintâi: SaP , SeP , SiP , SoP . Fiecare dintre aceste opt tipuri are câte trei propoziţii echivalente. Acestea pot fi găsite exact În modul în care am procedat mai sus: prin aplicarea repetată a conversiunii şi obversiunii. Din SaP, de

SeP , PeS , PaS . -

-

-

Din SeP am obţinut: PeS, PaS şi SaP etc. La fel putem proceda acum cu propoziţia SaP , astfel: SaP�SeP� PeS � PaS , obţinând trei propoziţii echivalente cu SaP . Apoi luăm propoziţia SeP şi procedăm similar etc (exerciţiu). Deosebim, aşadar, în total 32 de exemplu, am obţinut propoziţiile echivalente: -

-

-

propoziţii categorice:

SaP SeP PeS PaS

SeP SiP SaP SoP PeS PoS PaS PiS

SoP SaP SiP SeP PiS PeS PoS PaS

SeP - SiP SaP PeS PiS SiP PaS PoS PiS SaP SaP PoS

-

-

Plima linie a tabelului o reprezintă cele 8 tipUli de propoziţii categorice, iar fiecare coloană conţine propoziţii echivalente. Aşa cum Între cele patru tipuri de propoziţii categorice cu tenneni pozitivi există raporturile desemnate de pătratul lui Boethius, tot astfel putem reprezenta prin acelaşi pătrat logic raporturile dintre propoziţiile cu tenneni negaţi. Numai că, de data aceasta, în colţurile pătratului vom pune aceleaşi propoziţii A, E, 1, dar în care tennenii logici sunt negaţi. Iar dacă vrem să reprezentăm raporturile logice din toate cele 8 tipuri de propozi�ii categorice, atunci reprezentarea va fi un octogon, în vârfurile căruia vom aşeza cele 8 tipuri de propoziţii categorice (plus echivalentele lor) şi vom decupa raporturile corespunzătoare 24 . . Raporturi de contradicţie: între propoziţiile SaP - SoP, SeP - SiP, SaP - So P ,

O

-

-

-

-

SeP - SiP (şi echivalentele lor). Raporturi de contrarietate: SaP - SeP, SaP - SeP, SaP - SeP , SaP- SeP. Raporturi de subcontrarietate: SiP - SoP, Si P-SoP, SiP - SoP , SiP- SoP. Raporturi de subalternare: SaP - SiP, SeP - SoP, SaP-SiP , SeP - SoP, SaP -SiP , SeP - SoP.

-

-

-

Pentru fiecare propoziţie menţionată în această enumerare se consideră toate propoziţiile echivalente cu ea (i.e. întreaga coloană din care face parte).

Exerciţii

1 . De ce propoziţiile SiP nu admit contrapuse?

2. 24

Câte contrapuse admit propoziţiile SaP,

SeP şi SoP?

Din motive tipografice, acest octogon n-a putut fi redat aici. Cititorul poate găsi această reprezentare în E.A.

Hacker, The octogon of opposition, in Notre Dame

Jo umal of Formal Logic, Xv], 3,

13

1 975.

3. De ce propoziţiile particulare nu admit inverse? 4. Derivaţi toate propoziţiile categorice adevărate ce decurg din următoarele propoziţii:

Numai S sunt p, Numai unii S sunt P, Numai unii S nu sunt P.

5. Care sunt propoziţiile categorice al căror adevăr decurge din adevărul propoziţiei

SaP ?

6.

Este dubla obversiune a unei propoziţii identică cu propoziţia iniţială? Dar dubla conversiune? (Argumentaţi ) .

7. Este adev ărală propoziţia d e mai jos?

"Un termen logic este distribuit într-o propoziţie ddacă

contradictori a propoziţiei respective".

25

el este nedistribuit în

1.3.2. Inferenţe mediate (silogismul)

Dacă în cazul inferenţelor imediate concluzia rezlută nemij locit dinlr-o singură premisă, într-o inferenţă concluzia este formulată pe baza a două sau mai multe

mediată

silogismul 26 . Definiţie. Silogismul este inferenţa deductivă mediată prin care din două propoziţii asumate ca premise se deduce o altă propoziţie numită concluzie.

premise. Forma fundamentală a inferenţelor deductive mediate o reprezintă

Exemplu.

MaP SaM

Toate planlele au o structură celulară. Teiul este o plantă. Teiul

are

SaP

o structură celulară.

În structura unui silogism intră, aşadar, trei propoziţii. Însă, nu oricare trei propoziţii

formează un silogism. Primele două propoziţii, premisele silogismului, au un element comun, care le leagă:

plantă.

Acest element comun se numeşte

termen mediu (M)

şi nu apare în

concluzia silogismului. Ceilalţi doi termeni, predicatul primei premise şi subiectul celei de-a

(P), respectiv subiect (S) al concluziei. Aceşti termeni, S termen major (P). Corespunzător, premisa care conţine subiectul concluziei se numeşte premisă minoră (a doua propoziţie din exemplul de mai sus) iar cea care conţine predicatul concluziei (prima premisă) se numeşte premisă majoră. Termenul minor şi cel m ajor se numesc, laolaltă, termeni extremi. Aşadar, Într-un silogism întâlnim trei termeni : S, M şi P, fiecare având strict două ocurenţe (apariţii). doua apar şi în concluzie, ca predicat şi

P,

se numesc

tennen minor

Remarcă.

(S) şi

Ordinea standard în care sunt redate silogi smele în logică este: premIsa

majoră, premisă minoră, concluzie. Aceasta nu înseamnă că în argumentarea curentă ea este

obligatorie. La fel de bine puteam schimba ordinea premiselor păstrând concluzia. Obţineam astfel un silogism echivalent, uneori mai "firesc" decât primul.

1.3.2.1. Figuri şi moduri silogistice Dacă vrem să redăm

schematic silogismul de mai sus, adică să renunţăm la formularea

lui în limbajul natural şi să-i explicităm structura abstractă, atunci schema din dreapta reprezintă exact acest lucru. Însă această schemă silogistică nu acoperă nicidecum toate posibilităţile de construire a silogismelor. Şi aceasta din două motive: în structura unui silogism pot să apară şi alte propoziţii decât cele universal afirmative; în al doilea rând, felurile în care termenii logici se ordonează pot fi altele decât cele din exemplul de mai sus.

25 26

Abreviere pentru "dacă şi numai dacă". Corespunzător, silogistica este teoria silogismului. Aceasta reprezintă nucleul logicii tradiţionale.

14

Exemplu.

Toţi studenţii sunt promovaţi.

Nici un student n-a fost anchetat.

MeP MaS

Unii dintre cei promovaţi n-au fost anchetaţi.

SoP

Dacă avem mai întâi în vedere ordinea termenilor logici într-un silogism, in diferent de tipu l propoziţiilor care-l compun, atun ci, schematic, putem pune în evidenţă următoarele structuri, numite

figuri silogistice:

M-P

P-M

S-M

S-M

S -P

S-P

(1)

M-P

P-M

M-S

M-S

S-P

s-p

(III)

(II)

4

(IV)

În toate aceste cazuri concluzia este aceeaşi, S - P. Deosebirea rezidă în ordinea

poziţia pe care termenul mediu o ocupă în O figură silogistic este deci o structură determinată de funcţia pe care termenul mediu o ocupă În premise. In cadrul fiecărei figuri silogistice deosebim moduri silogistice, deosebite Între ele prin felul propoziţiilor din care se compun (i.e. cantitatea şi calitatea termenilor din premise, ordine care depinde de premise. �

acestor propoziţii) .

Iar dacă luăm în considerare ş i acest aspect, adică tipul propoziţiilor care pot fi

4 figuri silogistice, atunci vom constata că, 4 (cele 4 tipuri de propoziţii care pot fi o premisă) înmulţit cu 4 (cele 4 tipuri care pot fi cealaltă premisă) înmulţit cu 4 (propoziţiile posibile din concluzie) înmulţi t cu 4 (cele patru figuri silogistice). Adică 4 x 4 x 4 x 4 256 . Fireşte, nu toate aceste posibilităţi de construcţie a premise şi concluzie în fiecare mod din cele

teoretic, numărul silogismelor care pot fi construite este destul de mare. Respectiv,

=

silogismelor generează silogisme

valide,

adică silogisme în care din adevărul premiselor

rezultă în mod necesar adevărul concluziei. Logica este interesată înainte de toate de fundamentarea riguroasă a distincţiei

dintre

silogismele valide şi

cele nevalide, prin

formularea unor criterii sau metode de testare şi, aferent, de invenlarierea silogismelor valide.

1.3.2.2. Metode de testare a validităţii silogismelor Pentru testarea validităţii silogismelor avem la îndemână mai multe metode. Ne vom opri, aici, la două dintre ele: una care se bazează pe formularea şi aplicarea regulilor generale ale validităţii silogismelor, iar cealaltă pe reducerea (directă sau indirectă) a silogismelor la silogisme din figura 1, asumate ca valide. Să le considerăm pe rând. 1.

Metoda aplicării regulilor generale

Să vedem mai întâi care sunt regulile generale ale validităţii silogismelor şi cum se

justifică ele.

1. Orice silogism valid conţine strict trei termeni logici: S, M, P.

În reprezentarea schematică acest lucru este evident, din moment ce o astfel de schemă

conţine doar cele trei simboluri. Ca silogisme (i.e. formulate în limbajul natural) pot exista situaţii în care această regulă este încălcată. Date fiind propoziţiile

" Negru " este un cuvânt,

am

putea conchide:

Creionul este un cuvânt.

Creionul este negru,

Evident, concluzia nu

poate fi acceptată şi deci silogismul este nevalid. Aceasta se datorează faptului că termenul medi u,

negru,

are, În cele două premise, sensuri diferite.

În

prima exprimă o proplietate a

creionului, iar în a doua o entitate lingvistică, redată corect prin scrierea acestui cuvânt între ghilimele. Acest silogism nu conţine trei termeni, ci patru (neavând, de fapt, termen mediu). Şi deci aici s-a încălcat principiul logic al

identităţii.

15

2.

Termenul mediu trebuie săfie distribuit în cel puţin U/la dintre premise.

Să considerăm următoarea schemă silogistică:

MiP SaM

Termenul

SiP

mediu este nedistribuit în ambele premise (în cea majoră este subiect de

particulară, în cea minoră este predicat de afirmativă). Vrem ca pe baza celor două premi se să

SiP, SeP. M şi P se află în

formulăm o concluzie. Este posibilă oricare din următoarele situaţii contradctorii: a) Concluzia

SiP poate

fi derivată din cele două premise, în următoru l caz:

S este subordonat lui M (premisa minoră) şi, simultan, S se află în raport de intersecţie cu P. b) Concluzia SeP se poate obţine astfel : considerăm, ca mai sus, cele două raporturi conţinute în premise, şi, simul(an1S se află în raport de opoziţie cu P. raport de intersecţie (premisa maj oră) iar

Întrucât aceleaşi premise permit obţinerea unor concluzii contradictorii, modul în

cauză nu poate fi valid. Sursa nevalidităţii lui este nedistribuirea termenului mediu în cel puţin

M nu corelează în nici un fel extensiunile termenilor S şi P, lăsând deschisă posibilitatea ca în tre aceştia să existe mai multe raportu�7.

una din premise (i.e. termenul mediu extremi,

3. Un termen logic extrem nu poate să apară distribuit în concluzie dacă n-a fost distribuit în premisa corespunzătoare. Să luăm acum următoarea schemă silogistică:

MaP MaS SaP

După cum vedem, în concluzie

S este distribuit, Iară a fi distribuit în premisa minoră

(fiind predicat de afirmativă). Şi în acest caz putem deriva, pe baza adevărului premiselor,

SaP şi SoP. SaP rezultă din raporturi le dintre termeni, conţinute în premi se (respectiv, M este subordonat lui P şi lui S), plus S este subordonat lui P. b) Concluzia SoP rezultă, ca mai sus, din raporturile conţinute în premise plus S şi P se află în două concluzii contradictorii:

a) Concluzia

raport de intersecţie. La

fel, pentru a arăta nevaliditatea unui silogism în care

şi nedistribuit în premisa majoră (Exerciţiu).

P este distribuit în concluzie

4. Cel puţin una din premise trebuie să fie afirmativă (Echivalent: din două premise negative nu se poate deriva în mod valid o concluzie). Dacă ambele premise sunt negative, cei trei termeni logici S, M şi P se află în raport de opoziţie (n-au nici un element comun) şi deci M nu corelează în nici un fel termenii S şi P în

premise. Şi astfel premisele nu pot constitui o raţiune suficientă pentru concluzie.

5. Din premise afirmative rezultă o concluzie afirmativă.

Premisele fi ind afirmative. raportul dintre cei trei termeni logici conţinuţi în premise

este, intensional, unul de concordanţă. Respectiv, extensiunile lor sunt explicitate în forma elementelor

comune acestor trei termeni . Iar din faptul că S şi P au elemente comune cu M nu

putem spune nimic cu privire la elementele lor deosebitoare, dar putem spune cu necesitate ceva cu privire la notele

comune ale lui S şi P.

Şi deci concluzia trebuie să fie afumati vă. Şi

27 Cititorii pot "vizualiza" aceste raporturi. dacă recurg la o reprezentare prin diagrame Euler (exerciţiu). 16

astfel, în virtutea principiului noncontradicţiei, o concluzie negativă nu se poate nicidecum obţine :

6.

Din premise calitativ diferite rezultă o concluzie negativă.

Premisele fiind calitativ diferite (una afirmativă şi una negativă), fiecare conţine un cu termenul mediu. Cea afirmativă exprimă faptul că tennenul extrem pe care-l diferit ort rap conţine are o parte comună cu termenul mediu, iar cea negativă că termenul extrem pe care-l conţine se află în raport de opoziţie cu termenul mediu. Iar din faptul că raporturile termenilor extremi cu termenul mediu sunt diferite putem conchide doar asupra opoziţiei dintre S şi P (deoarece acel termen logic care apare în premisa negativă este separat în totalitatea extensiunii sale de întreaga extensiune comună celuilalt termen şi termenului mediu). Şi astfel putem doar conchide asupra opoziţiei dintre extremi, fapt redat prin concluzia negativă a silogismului . 7. Cel puţin una dintre premise trebuie să fie universală (Echivalent: din două particulare nu se poate deriva În mod valid o concluzie). mise pre

Să presupunem că ambele premise sunt particulare. Avem astfel următoarele trei posibilităţi: a) Ambele premise sunt particular afirmati ve. În acest caz silogismul nu poate fi valid, deoarece termenul mediu nu este distribuit în cel puţin LIna dintre premise (aşa cum cere regula 2). b) Ambele premise sunt negative. Silogismul este nevalid, deoarece încalcă regula 4. c) a premisă este negativă, cealaltă afirmativă. În acest caz concluzia este negativă (pe baza regulii 6) şi deci predicatul concluziei este un termen distribuit. Ca silogismul să fie valid, predicatul concluziei ar trebui să fie distribuit şi în premisa majoră. însă numărul total al termenilor distribuiţi în premise este 1 (i.e. predicatul propoziţiei negative). Şi deci silogismul este nevalid, căci în premise ar trebui să avem doi termeni logici distribuiţi (predicatul concluziei şi termenul mediu).

8.

Din premise cantitativ diferite rezultă o concluzie particulară.

în considerare şi calitatea premiselor, atunci deosebim următoarele trei cazuri : a) Ambele premise sunt afirmati ve. Cum una din premise este universal afimlativă iar cealaltă particular afirmativă rezultă că în premise avem un singur termen logic distribuit: subiectul propoziţiei universal afirmative. În virtutea regulii 2, acesta trebuie să fie tennenul mediu. În acest caz în concluzie S nu poate fi distribuit şi deci concluzia este o propoziţie particulară. b) Ambele propoziţii sunt negative. Nici o concluzie nu poate fi derivată în virtutea regulii 4. c) O premisă este afirmativă şi una negativă. Şi cum o premisă este universală iar una particulară (cE. enunţului regulii) rezultă că numărul total al termenilor di stlibuiţi în premise este 2 (subiectul premisei universale şi predicatul premisei negative). Dintre aceşti doi termeni unul trebuie să fie predicatul concluziei (pentru că premisele fiind diferite calitati v, concluzia este negativă, în virtutea regulii 6, şi deci P este distribuit). Aşadar, subiectul (S) nu poate să fie distribuit în concluzie (cE. regulii 3). Remarcă. În logică propoziţiile negative şi cele particulare sunt considerate " mai slabe" decât cele afirmative şi, respectiv, universale. Pentru acest motiv regulile 6 şi 8 pot fi sintetic exprimate astfel: concluzia urmează partea mai slabă. a dată formulate şi justificate regulile generale ale validităţii silogismelor, inventarierea modurilor valide, proprii fiecărei figuri silogistice, se simplifică. Tot ceea ce trebuie să facem este să testăm, în fiecare caz în parte, dacă modul respectiv respectă sau nu toate cele 8 reguli. Dacă da, atunci este un mod valid. Pentru aceasta considerăm mai întâi

Dacă luăm

17

toate combinaţiile posibile de propoziţii categorice, care pot fi premisele unui mod, redându­ le simbolic (A, E, 1, O) în ordinea standard (i.e. premisă majoră - premisă minoră). Obţinem astfel: AE AO AA AI EO EA EE EI IA IO lE II OA OE OI 00 În fiecare dublet, primul simbol denotă premisa majoră iar al doilea premisa minoră. Acum, considerăm pe rând cele patru figuri silogistice.

Modurile valide ale figurii 1

M-P S-M S-P

Vom lua prima combinaţie de premise, AA, şi vom construi un mod din figura 1 iar apoi verificăm dacă respectă toate cele 8 reguli. Avem, aşadar,

MaP SaM SaP

Formularea concluziei, SaP, s-a facut pe baza faptului că premisele sunt universal afirmati ve. Am presupus că şi concluzia este universal afumativă28 iar acum vom verifica dacă modul astfel obţinut este într-adevăr valid. Prima regulă este respectată (fapt evident în toate cazurile, dat fiind că operăm doar cu scheme silogistice). M este distribuit cel puţin o dată (i.e. în majoră). S este distribuit în concluzie, dar este distribuit şi în premisa minoră. Cel puţin o premisă este universală şi cel puţin una este afumativă. Avem aşadar un mod valid din figura 1: AA I A (i.e. din două premise universal afirmative s-a obţinut o concluzie universal afirmativă) . Trecem acum la următoarea combinaţie de premise:

MaP SeM SeP

Întrucât o premisă este negativă, concluzia formulată este negativă. Am presupus că este SeP. Verificând respectarea celor 8 reguli, constatăm că una din acestea nu este respectată: P apare distribuit în concluzie, dar este nedistribuit în premisa majoră. Şi deci modul este ne valid. În acest fel vom proceda în fiecare caz în parte. După excluderea modurilor nevalide din figura 1 rămân (ca valide !) următoarele patru (exerciţiu): AA I A: BARBARA EA l E: CELARENT AI I 1: DARII El I O: FERlO

AA I 1: BARBARI EA 1 0: CELARONT 28

Este o presupunere al cărei adevăr trebuie testat. Nu Întotdeauna din propoziţii universal afirmative se obţine o concluzie universal afirmativă (comp. figura a III-a).

18

Cuvintele corespunzătoare fiecărui mod valid sunt denumirile mnemotehruce ale acestora 29. Fiecare cuvânt mnemotehnic conţine trei vocale. Succesiunea aceslora în cuvânt d enotă succesiunea: premisă majoră - premisă minoră - concluzie. Primele patru moduri de mai sus sunt modurile valide principale ale figlllii 1. Însă, dacă un astfel de mod are concluzie universală, atunci va fi valid şi modul subaltern, a cărui concluzie esle parliculara (subaltema) concluziei modului principal. Aşadar, fiindcă AA / A este un mod valid, şi modul AA f 1 (BARBARI) este un mod valid. Similar, din validitatea lui CELARENT conchidem asupra validităţii lui CELARONT.

Modurile valide ale figurii a Il-a procedăm similar figurii 1, numai că, de data aceasta, vom avea în vedere structura specifică figurii a Il-a:

P-M S-M S-P

Dacă luăm prima combinaţie de premise,

paM SaM

AA,

vom putea construi modul

SaP

şi vom constata că este un mod nevalid, deoarece M nu este distribuit în cel puţin una din premise. Testând fiecare mod posibil al aceslei figuri şi eliminând modurile nevalide, obţinem, în final, unnătoarele moduri valide ale acestei figuri silogistice (exerciţiu). EA f E: CESARE El i O: FESTINO AE f E: CAMESTRES AO / O: BAROCO EA / O: CESARO AE / O: CAMESTROP

Modurile valide ale figurii a Ill-a Procedând similar, obţi nem unnătoarele moduri valide: AA f 1: DARAPTI IA / 1: DISAMIS AI / 1: DATISI EA I O: FELAPTON OA / O: BOCARDO EI / O: FERISON

Modurile valide ale figurii a IV-a AA f I:

AE

BRAMANTIP

I E: CAMENES

29 Date de Petrus Hispanus (1205- 1 277). 19

lA II: DIMARIS EA / O: FESAPO EI I O: FRESISON AE / O: CAMENOP Aşadar, din cele 256 de moduri teoretic posibile doar 24 de moduri sunt valide, câte 6 în fiecare figură. Din cele 24, 19 sunt moduri principale iar 5 subalteme. Fiind moduri vaii de, toate respectă regulile generale ale validităţii silogismelor. De altfel, aplicarea regulilor generale a constituit metoda prin care aceste moduri au fost explicitate. Însă, găsirea modurilor valide din fiecare figură silogistică o putem face şi altfel: prin aplicarea regulilor specifice figurii respective. Aceste reguli specifice nu se adaugă celor 8 reguli generale, mai sus formulate, ci pot fi deduse şi demonstrate pe baza celor 8.

Reguli specifice modurilor valide din.figura 1

Formularea acestor reguli o putem face, simplu, exarninând ordinea în care se succed vocalele în cuvintele mnemotehnice. Pentru figura 1 aceste reguli sunt: RI. Premisa minoră este afirmativă. R2. Premisa majoră este universală. Demonstraţie a regulii RI (reductio ad absurdum)

Presupunem că premisa minoră este negativă. Rezultă, prin regula generală 6, că în mod necesar concluzia este negativă. Şi deci predicatul concluziei (P) este un termen logic distribuit. În acord cu regula generală 3, ca modul să fie valid P trebuie să fie distribuit şi în premisa majoră, unde ocupă locul şi funcţia predicatului logic. Iar pentru a fi distribuit în maj oră, majora trebuie să fie negativă. Însă din două premise negative, în acord cu regula generală 4, nu putem deriva în mod valid o concluzie. Aşadar, premi sa minoră a unui mod valid din figura 1 nu poate fi negativă; echivalent. este o propoziţie afirmativă.

Demonstraţie a regulii R2.

Din faptul că premisa minoră este afirmativă rezultă că termenul mediu este nedistribuit în această premisă (deoarece M este predicat de afirmativă). Pentru ca modul să fie valid M trebuie neaparat să fie distribuit în premisa majoră (în acord cu regula generală 2). Aşadar, în premisa majoră M trebuie să fie subiectul unei propoziţii universale. Acum, dacă aplicăm aceste reguli specifice, obţinerea moduri lor valide este simplă. Premisa majoră este universală (cf. R2), adică A sau E. Din posibilităţile de combinare ale acestor propoziţii cu toate celelalte 4 tipuri (pentru premisa minoră), adică AA, AE, Al, AO; EA, EE, EI, EO, eliminăm acele combinaţii care nu respectă Rl , adică AE, AO, EE şi EO. Rămân, aşadar, 4: AA , AI, EA, EO, adică premisele modurilor BARBARA, DARII, CELARENT şi FERlO. Pe baza acestor premise formulăm concluziile şi obţinem mai întâi cele 4 moduri valide principale. Apoi adăugăm subalternele lor: BARBARI şi CELARONT.

Reguli specifice modurilor valide din.figura a Il-a

Rl. Una din premise este negativă (echivalent: premisele sunt neomogene calitativ). R2. Premisa majoră este universală. Demonstraţie a regulii Rl.

Cum termenul mediu (M) este predicat în ambele premise, pentru a fi distribuit una din premise trebuie să fie negativă.

Demonstraţie a regulii R2.

O premisă fiind negativă, concluzia este negativă şi deci predicatul (P) este un termen logic distribuit. În acord cu regula generală 3, predicatul (P) trebuie să fie distribuit şi în

20

premisa maj oră unde are locul şi funcţia subiectului logic al pre.misei. Şi deci premisa maj oră trebuie' să fie universală. Aplicând aceste reguli putem afla cu uşurinţă care sunt modurile valide ale acestei figuri (exerciţiu).

Reguli specifice modurilor valide din figura a lll-a

RI. Premisa minoră este afirmativă. R2. Concluzia este particulară. Demonstraţia regulii RJ. (Similară demonstraţie R I Demonstraţia regulii R2.

de la figura 1) (Exerciţiu).

S,

Premisa minoră fiind afirmativă, termenul logic care este predicatul premisei minore, este nedistribuit şi deci nu poate să apară ca distribuit în concluzie (cf. regulii generale 3).

Reguli specifice modurilor din figura a IV-a

Aceste reguli au o formulare condiţională, fiind restricţii relaţionate de următorul fel:

Rl. Dacă premisa majoră este afirmativă, atunci premisa minoră este universală. R2, Dacă premisa minoră este afirmativă, atunci concluzia este particulară. R3. Dacă o premisă este negativă, atunci premisa majoră este universală. Demonstraţia regulii Rl.

Dacă premisa majoră este afirmativă, atunci termenul mediu este nedistribuit (pentru că M este predicat de afirmativă). Şi deci M trebuie să fie distribuit în premisa minoră. Aşadar, premisa minoră trebuie să fie universală (pentru că M este subiect în această premisă, iar subiectul este distribuit doar în propoziţii universale), Demonstraţia regulii R2 (Similară demonstraţiei RI de la figura a III-a) (Exerciţiu).

Demonstraţia regulii R3

Dacă o premisă este negativă, atunci concluzia va fi negativă şi deci P este un termen logic distribuit în concluzie. El trebuie să fie distribuit şi în premisa maj oră (în acord cu regula generală 3), unde ocupă locul şi funcţia subiectului logic. Aşadar, premisa majoră trebuie să fie universală.

Il. Metoda reducerii

Dacă în inventarierea modurilor valide în paragraful precedent am apelat la regulile generale ale validităţii silogismelor, de data aceasta vom avea în vedere relaţiile dintre modurile diferitelor figuri silogistice. Aşa cum am constatat în paragraful dedicat inferenţelor imediate, prin conversiunea unei propoziţii SeP vom obţine o propoziţie PeS, echivalentă primeia. Iar dacă un mod care conţine în concluzie propoziţia SeP este unul valid, atunci va fi valid şi modul care se obţine din primul înlocuind SeP cu PeS. La fel putem spune şi despre premise. Aceste corelaţii care se pot stabili Între moduri îngăduie justificarea validităţii unor moduri asumând ca valide alte moduri. Aristotel a presupus ca valide modurile figurii r, pe , 30 care le-a numit "moduri perfecte , , date fiind următoarele particularităţi: au concluzii de toate cele patru tipuri (A, E, 1, O), termenii extremi (S, P) au în concluzie aceleaşi funcţii pe care le au în premise, structura figurii 1 redă, în esenţă, structura unei demonstraţii. Demonstrarea validităţii unor moduri prin reducerea lor la alte moduri considerate valide se poate face fie ca reducere directă, fie ca reducere indirectă. Să le considerăm pe rând.

30

Aristotel.

Analitica primă, 1,

1,

24 b,

21

II. A. Metoda reducerii directe

Reducerea directă asumă ca valide cele şase moduri din figura 1 (BARBARA, CELARENT, DARII, FERIO, BARBARI şi CELARONT). Demonstrarea validităţii unui mod presupus nevalid (fig. II-IV) înseamnă: a) din premisele modului "nevalid" deducem premisele unui mod valid din fig. 1. b) concluziile celor două moduri sunt identice sau concluzia modului "nevalid" este deductibilă din concluzia celui valid.

Exemplu.

Să demonstrăm validitatea modului "nevalid" FELAPTON (fig. a III-a)

MeP SiM

MeP MaS SaP

SaP

FELAPTON

FERIO

Reducerea lui FELAPTON o facem la FERIO (fig. 1), deoarece premisele majore ale celor două moduri coincid, iar din premisa minoră a lui FELAPTON, prin conversiune prin accident, obţinem premisa minoră a modului FERIO. Cum concluziile celor două moduri coincid, în acord cu exigenţele a) şi b) ale reducerii directe, rezultă că modul FELAPTON este un mod valid. Alteori, pentru a face reducerea directă sunt necesare mai multe operaţii. Să demonstrăm acum validitatea modului CAMESTRES (fig. a II-a).

PaM SeM SeP

�

PaM MeS

>
MaP . Dacă redăm această formulă cu ajutorul variabilelor propoziţionale p, q şi r, obţinem (p 1\ q) => r . însă, în logica

propoziţiilor

această

(...,MaP 1\ MaS) => ..SaP ,

adică

formulă

este

echivalentă

(MaP 1\ MaS ) => SoP

24

cu

("'V 1\ q) => 'P '

adică

(expresia implicati vă a modului

BOCARD O) . Aşadar, dată fiind validitatea modului BARBARA, validitatea modului BOCARD O poate fi justificată pe baza următoarei echivalenţe a logicii propoziţiilor:

[(p 1\ q) � r1 == [(-.r 1\ q) � -.p] ,

expresie care redă simbolic structura demonstraţiei prin reducere la absurd. Remarcă. Pentru demonstrarea validităţii lui BAROCO vom folosi o echivalenţă similară: [(p l\ q) � r] == [(p l\ -,r) � -.q l · Echivalenţele care intervin în acest tip de demonstraţii sunt, aşadar:

[(p 1\ q ) � r] == [(p 1\ -.r) � -.q] == [(-.r 1\ q ) � -'p 1

Exerciţii 1. Este adevărată următoarea propoziţie?

Numărul termenilor distribuiţi în premise este strict mai mare decât numărul termenilor distribuiţi în concluzie.

(Argument.aţi). 2. Să se demonstreze că doar un mod valid din figura 1 admite o concluzie SaP. 3. Să se demonstreze că dacă concluzia unui mod valid este o propoziţie universală, termenul mediu (M) nu poate fi distribuit în premise decât o dată. 4. Ce notă distinctivă are un silogism valid în care doar M este distribuit? 5. Să se demonstreze că modul EI / O este valid în orice figură. 6. Să se demons treze că modul lE / O nu este valid în nici o figură. 7. Ce putem spune despre premisa majoră a unui mod valid în care premisa minoră este negativă? (Argument) 8. De ce într-un mod valid din figurile I şi IV, propoziţiile particular negative nu pot fi premise? 9. Care este modul valid care are următoarea determinaţie: este distribuit în premisă şi nedistribuit în concluzie? 10. Ce putem spune despre premisa minoră a unui silogism valid în care ocupă locul şi funcţia predicatului logic în premisa majoră? 1 1 . Fie două silogisme valide aflate în aceeaşi figură, care au o premisă comună iar celelalte premise sunt în raport de contradicţie. Ce fel de propoziţie este premisa comună? (Argumentaţi). 12. Să se demonstreze că dacă două silogisme au o premisă comună iar celelalte premise sunt în raport de contradicţie, atunci concluziile lor sunt propoziţii particulare. 1 3 . Detenninaţi toate modurile valide care satisfac următoarea condiţie: conţin numai doi termeni distribuiţi fiecare de două ori. 14. Determinaţi modurile valide care satisfac următoarea condiţie: sunt moduri ale aceleiaşi figuri iar premisele lor majore sunt subcontrare. 15. Determinaţi modul valid care corespunde următoarei descrieri: premisa majoră este afirmativă, P este distribuit în concluzie, este nedistribuit în premisa minoră. 1 6 . De ce nu este valid un mod în care premisele admit conversiuni simple iar premi sa majoră este afirmativă? 17. Să se demonstreze prin reducere directă validitatea următoarelor moduri : CESARE (11), FESTINO (11), DARAPTI (ill) , FERISON (ill ) , FESAP O (IV), DIMARIS (IV). 1 8 . Detreminaţi acele formule valide ale logicii propoziţiilor care exprimă reducerea directă a modurilor din exerciţiul 17. 1 9. Să se demonstreze prin reducere indirectă (reductia ad absurdum) validitatea modurilor din figurile III şi IV.

P

P

S

25

20. Să se arate, pe baza echivalenţelor

Lp '

că modurile DARII şi

FERIO

(fig. 1) pot fi

reduse indirect la modurile CAMESTRES, respectiv CESARE (fig. a II-a). 2 1 . Să se arate că modurile CAMESTRES şi CESARE pot fi reduse direct la modul CELARENT (fig. 1).

Indicaţie.

(20 şi 2 1 ).

(MaP SiM b SiP 1\

(DARII) îl redăm prin

(p 1\ q) � r .

De unde, pe

baza echivalenţei [(p l\ q) � r] = [(p l\ -,r) � -,ql obţinem CAMESTRES, din care obţinem apoi, direct, CELARENT. Prin substituţii adecvate de termeni obtinem modul în forma lui standard .

1.3.2.3. Moduri silogistice indirecte

Un mod silogistic se numeşte indirect dacă ordinea termenilor în concluzie este inversată. în unele cazuri, anumite combinaţii de premise pot figura doar în moduri indirecte. Dacă, de exemplu, premisa minoră a unui mod silogistic din figura 1 este universal negativă, atunci, indirect, nu putem construi un mod valid. De altfel, acest lucru este respins chiar de una din regulile specifice acestei figuri: premisa minoră trebuie să fie afirmativă. Dar dacă vom schimba reciproc ordinea termenilor din concluzie, atunci construcţia unui mod valid este posibilă. Din premisele MaP şi SeM putem obţine concluzia PaS. Aşadar, vom obţine modul (MaP 1\ SeM ) =:J PaS , mod valid al fig. 1. Tot în fig 1 premisa majoră poate fi MiP (de ce?) şi astfel obţinem modul valid moduri v ali de indirecte ale fig. 1:

MaP SeM

(MiP SeM ) PaS . 1\

=:J

Avem aşadar următoarele două

MiP SeM

(FAPESMO)

(FRISESOMORUM)

PaS

PaS

Similar putem obţine şi alte moduri indirecte valide în figura 1, prin conversiunea concluziei unui mod direct: Din

MaP SaM

(BARBARA)

obţinem

SaP Din

MeP SaM

MaP SiM

(BARALIPTON)

PiS (CELARENT)

obţinem

SeP Din

MaP SaM

MeP SaM

(CELANTES)

PeS (DARII)

obţinem

SiP

MaP SiM

(DABITIS)

PiS

Remarcă. Există o deosebire între ultimele trei moduri indirecte şi primele două. BARALIPTON,CELANTES şi DABITIS sunt valide şi ca moduri directe. în schimb, FAPESMO şi FRISESOMORUM nu.

26

Similar putem obţine modurile valide indirecte ale figurii a li-a. Şi aici avem un mod a III-a, indirect care nu este valid ca mod direct: FlRESMO (de ce?). Corespunzător, în figura 33 cele două moduri indirecte, nevalide ca moduri directe, sunt FAPEMO şi FRISEMO. Remarcă. Modurile indirecte ale fig. I pot fi transfonnate în moduri valide directe ale fig. a IV-a (corespondenţă indicată de prima consoană din cuvântul rnn emotehnic: BARALIPTON devine BRAMANTIP etc). (Exerciţiu). 1.3.2.4. Silogistica cu tenneni negativi Aşa cum am văzut în cazul inferenţelor imediate, prin aplicarea repetată a conversiunii şi obversiunii putem obţine şi propoziţii care conţin termeni negaţi. Şi astfel, dacă propoziţia iniţială era adevărată, atunci şi propoziţiile derivate sunt adevărate. Şi în cazul inferenţelor mediate întâlnim cazuri similare. Să dăm câteva exemple. a)

-

MaP SaM

Me P SaM

SaP

Se P

b)

-

-

MaP SaM

PaM SaM

SaP

SaP

c)

MaP SaM

M aP Sa M

SaP

SaP

Cum modul BARBARA este un mod valid al figurii I, şi modul obţinut din el prin obvertirea premisei majore şi a concluziei este tot un mod valid (cazul a). Căci dacă nici un M nu este non P şi toţi S sunt M, atunci nici un S nu este non P. În cazul b) premisa majoră a modului BARBARA a fost înlocuită cu contrapusa ei totală (echivalentă), obţinând astfel tot un mod valid. Însă, din modul valid BARBARA, prin substituirea tennenului mediu cu negatul său, M putem obţine, de asemenea, un mod valid (cazul c). Substituirea tennenilor logici în silogistică nu se restrânge însă la substituirea unui tennen arbitrar cu negatul său (sau invers), ci un tennen logic se poate substitui cu un alt tennen logic. Să luăm două exemple. Fie modul valid FELAPTON (fig. a Ill-a) . ,

d)

MeP MaS SaP

-

P eM P aS

-

(MIP ) (PIM)

e)

SaM

-

-

PeM P aS

-

(MIP ) (PI M )

Sa M

În cazul d) din FELAPTON am obţinut un alt mod, tot din figura a lII-a, prin substituirea lui M cu P (MI P ) şi a lui P cu M (PIM). Similar, în e) am făcut ulmătoarele substituţii: MI P şi PI M obţinând, de asemenea, un mod valid. În felul acesta, prin substituţii corecte, din moduri valide obţinem alte moduri valide. ,

Remarcă 1.

Substituţia trebuie să fie corectă, în următorul sens: a) Dacă substituim un termen logic cu un alt termen logic (negat sau nenegat), atunci substituţia trebuie să o facem în toate ocurenţele (apariţiile) tennenului respecti v. Cum în orice mod silogistic valid fiecare tennen are două ocurenţe distincte, tot de două ori îl vom substitui cu noul tennen ales. b) Dacă într-un mod silogistic tennenul pe care vrem să-I substituim apare o dată negat şi o dată nenegat, atunci în substituţie vom ţine seamă de ,jocul" negaţiilor logice.

33

Chiar Aristotel menţionează existenţa modurilor indirecte valide în situaţiile în care ca moduri directe nu sunt vaiide (An. Pr., r, 7 29a), deşi le menţionează doar pe cele din fig. L Celelalte moduri (FIRESMO, FAPEMO, FRISEMO) sunt specificate mult mai târziu, de către lulius Pacius (1 550-1635).

27

Exemplu: PaM SaP

( P IM) (MIP)

MaP So M SaP

SaM

Din primul mod l-am obţinut pe al doilea prin substituţiile indicate în dreapta. Cum în modul iniţial termenul P apare o dată negat şi o dată nenegat, prin substituirea lui P cu M, în premisa minoră în loc de P vom pune M . Similar, cum în oc de M p�em P (a doua

�

substituţie) în concluzie, rezultă că în premisa majoră în loc de M vom pune P . c) Orice termen logic se poate substitui cu orice termen logic, operaţie care poate fi executată simultan pentru toţi cei trei tenneni logici, cu condiţia că modul care rezultă să aibe tot trei termeni logici (Nu putem substitui într-un mod pe S cu P şi atât. În acest caz modul ar avea doar doi termeni logici). denotă clase de obiecte. Întrucât în cele ce urmează operăm cu termeni logici şi negaţiile lor, pentru ca toate derivările de moduri valide să fie logic corecte va trebui să introducem următoarea asumpţie: atât clasele de obiecte

Remarcă 2. Termenii logici, prin definiţie,

desemnate de S, M, P cât şi complementarele lor, S, M ,P trebuie să fie nevide. 34

Echivalent: o dată specificat universul de discurs, excludem posibilitatea ca un termen logic să denote clasa universală (i.e. întreg universul de discurs) sau clasa vidă. Pe baza operaţiei substituţiei termenilor logici şi având în vedere asumpţia menţionată, să vedem acum câteva cazuri de moduri silogistÎce valide care conţin termeni negaţi ? 5 Să presupunem în cele ce urmează că modurile analizate sunt redate în formă implicati vă.

Figura ! 1.

2.

(MaP 1\ SaM ) ::J SaP ; BARBARA (MeP 1\ SaM ) ::J SeP ; CELARENT

Acest mod se obţine din BARBARA prin substituţia

PI P : (MaP 1\ SaM ) ::J SaP ,

echivalent (MeP 1\ SaM ) ::J SeP (prin obvertirea premisei majore şi a concluziei şi eliminarea dublei negaţii, pe baza: complementara complementariei unei clase este clasa însăşi). 3. (MaP 1\ SiM ) ::J SiP ; DARII Modul DARII se poate obţine tot din BARBARA, prin utilizarea echivalenţelor menţionate la reducerea indirectă şi prin substituţii adecvate de termeni logici. Fie următoarea echivalenţă a Lp : [(p 1\ q) ::J r =- [(p 1\ -,r) ::J -,q] . Să presupunem acum că echivalentul stâng,

]

(p 1\ q) ::J r , reprezintă modul BARBARA. Corespunzător, vom avea [(MaP 1\ SaM ) ::J SaP] == [ (MaP 1\ -,SaP) ::J -,SaM ]. Membrul drept al echivalenţei este echivalent, mai departe, cu (MaP 1\ SoP) ::J SoM . Însă premisa majoră a acestui mod, MaP, este echivalentă cu contrapusa ei totală PaM . W ocuind-o în modul astfel obţinut avem: (paM 1\ SaP) ::J SoM . Prin substituţiile P IM şi MI P obţinem (Ma? 1\ SoM ) ::J SaP , echivalent (Ma? 1\ SiM ) ::J Si ? , echivalent (MaP 1\ SiM ) ::J SiP . 34 Cazurile de viditate a unor termeni şi problema validităţii vor fi tratate în paragraful următor. 35

Expunerea de faţă procedează deductiv, în sensul derivării tuturor modurilor (cu termeni negaţi sau nu) din modul valid BARBARA.

28

4.

(MeP 1\ SiM ) ::J SoP ; FERIO

FERIO se obţine din DARII prin substituţia P/ P . 5. (MaP 1\ SaM ) ::J SiP ; BARBARI

6. (MeP 1\ SaM ) ::J SaP ; CELARONT Aceste două moduri sunt subaltemele modurilor BARBARA şi CELARENT.

6 7. (MaP 1\ SaM ) ::J Si? (Si"?)3 ; BARBARIJ Acest mod poate fi derivat din modul BARBARA în felul următor: din concluzia

SaP

a modului BARBARA obţinem, prin derivări succesive, inversa SiP . Şi deci, cum SaP este adevărată, rezultă că şi SiP este adevărată. Am obţinut astfel un mod valid din figura 1 în care în concluzie ambii termeni sunt negaţi, respectiv modul BARBARU. Remarcă. Denumirile acestor moduri aparţin lui A. Menne.37 Întrucât ele sunt legate de nota�a autorului, în cele ce urmează vom prelua această notaţie. Respectiv, de ori câte ori operatorii intrapropoziţionali a, e, i şi o apar cu treme (i.e. li, e, 1, o) vom avea în vedere propoziţiile corespunzătoare: A, E, 1, O în care ambii termeni sunt negaţi. 8. (MeP 1\ SaM ) ::J S ăP ; CELARăNT Acest mod este derivat din CELARENT. Căci SeP, concluzia lui CELARENT, fiind adevărată rezultă că şi SoP (i.e. SăP) este adevărată, deoarece se poate obţine, prin derivări succesive, din SeP. 9. (MaP I\ SeM ) ::J SăP; GARDERONT Demonstrarea validităţii acestui mod o facem pe baza validităţii modului CELARONT şi a următoarei echivalenţe a Lp : [(p 1\ q) ::J r] == [(....,r 1\ q) ::J ....,p] , unde membrul stâng

al

echivalenţei

formalizează

modul

CELARONT.

Avem,

aşadar,

[(Mep 1\ SaM ) ::J SaP] == [ (....,SaP 1\ SaM ) ::J -,MeP ]. Iar membrul drept este echivalent cu (SaP 1\ SaM ) ::J MiP . însă premisa minoră, SaM, este echivalentă cu contrapusa ei totală MaS . Şi deci avem (SaP 1\ MaS ) ::J MiP , echivalent (SaP 1\ MeS ) ::J MaP . De unde, prin substituţiile SIM şi M /S obţinem (MaP 1\ SeM ) ::J Sa? adică (MaP 1\ SeM ) ::J SăP. 10. (MeP 1\ SeM ) ::J Si"?; HELENU Acest mod poate fi obţinut din GARDERăNT prin substituţia P/ P . 1 1 . (MiP 1\ SeM) ::J SăP; LIBERO ,

Modul LIBERă se obţine din FERIO astfel: convertim ambele premise, le schimbăm

reciproc locul, înlocuim concluzia SoP a lui FERIO cu contrapusa ei totală substitutiile: SIP, PlS. i 2. (MoP 1\ SeM ) ::J Si"?; NOVERIJ

PaS

şi executăm

Acest mod se obţine din modul precedent, LIBERă, prin substituţia P/ P . Constatăm aşadar că dacă avem în vedere şi moduri silogistice în care apar tenneni negaţi, atunci numărul acestora creşte. Mai exact, am constatat că numai în figura 1, la cele 6 moduri valide cu termeni pozitivi, se mai adaugă încă 6 moduri valide, în care concluziile au termeni negaţi. În total, aşadar, am obţinut deja, doar în figura 1, 12 moduri valide. Apoi, validitatea unui mod se conservă dacă în locul propoziţiilor care-I compun vom pune inversele

Si P ,

36

A se remarca deosebirea dintre o propoziţie cu termeni negaţi şi negaria unei propoziţii. de exempl u, este o particular afirmativă cu termeni negaţi, pe când negaţia unei propoziţii particulare afirmati ve este o rropoziţie universa] negativă. 1 Alben Menne, Logik und Existenz, Meisenheim, 1 954; comp. şi A. Menne, Einfohrung in die Logik, 5. Aufl, Francke Verlag, Tiibingen u. Basel, 1 993.

29

lor. Procedând astfel obţinem încă 1 2 moduri valide 3 8; în total 24. La acestea se mai adaugă 1 2 moduri valide în care o premisă este inversa premisei iniţiale şi încă 12 moduri vaii de în care cealaltă premisă este inversa premisei iniţiale. Aşadar. numărul total al modurilor valide din figura r este 48. Toate aceste moduri pot fi derivate, aşa cum am procedat mai sus, din umlătoarele 8: BARBARA, CELARENT, DARII, FERIO, GARDERONT. HELENU, LIBERO, NOVERU. Cu toate că numărul modurilor valide este destul de mare, anumite combinaţii de premise nu dau moduri valide: ao, eo, ia, oa 39 şi inversele lor.

Figura a II-a În silogistica cu termeni pozitivi, în figura a Il-a, am găsit 6 moduri valide: CESARE, FESTINO, CAMESTRES, BAROCO, CESARO şi CAMESTROP. Aşa cum am arătat în paragraful precedent, validitatea acestor moduri poate fi demonstrată prin reducerea directă sau indirectă la un mod valid din figura 1. Să vedem acum celelalte 6 moduri valide, care au concluzia cu termeni negaţi, şi cum pot fi ele deduse. 1 . (PeM 1\ SaM ) ::J SoP; CESARO Validitatea acestui mod rezultă din validitatea modului CESARE, deoarece concluzia

SeP admite inversa SoP (exerciţiu). 2. (PaM 1\ SeM ) ::J SoP; CAMESTRO P (similar) 3. (PeM 1\ SeM ) ::J Si'?; HESELU

Acest mod se obţine din HELENU (fig 1) prin conversiunea premisei majore. 4. (PiM 1\ SeM b Sop; LISTERO Se obţine din LIBER O (fig. 1) prin conversiunea premisei majore. 5. (PaM 1\ SaM ) ::J Si'?; GASANUN Demonstrarea validităţii acestui mod o putem face reducându-l la un mod valid din fig. 1. Mai exact, GASANIJN se reduce la HELENlT în felul următor: obvertim premisele,

convertim premisa majoră şi substituim M /M. 6. (PoM 1\ SaM ) ::J SaP; MOSALON Acest mod poate fi redus la LIBERO (fig. 1), astfel: prin contrapoziţie premisa maj oră,

PoM, devine M iP, iar SaM, prin obversiune, devine Se M . Aplicăm apoi sllbstituţia M /M. Similar figurii

r,

numărul total al moduri lor valide din figura a II-a este 48.

Figura a II/-a În silogistica cu teffi1eni pozitivi, în figura a III-a, am descoperit 6 moduri valide: DARAPTI, DISAMIS, DATISI, FELAPTON, BOCARDO, FERISON. Acestor moduri li se adaugă altele 6, în care concluzia are termenii negaţi. 1 . (MaP 1\ MeS) ::J SoP; GALESTO 2. 3. 4. 5. 6.

(MeP 1\ Mes b Si'?; HELESTU (MiP I\ MeSb SoP; LIRES O (MoP 1\ MeS) ::J Si'?; NOVESTD (MaP I\ Mos b Sop; DALOSN O (MeP 1\ MoS) ::J Si'?; DENOSlT

38 BĂRBĂRĂ, CELĂRENT etc. 39 DAvOn jEdOch nIemA.ls fOl g t wA s. 30

Justificarea validităţii lor o putem face, ca mai sus, deducând aceste moduri din moduri anterior demonstrate sau reducându-le la moduri anterior demonstrate (exerciţiu). Şi în acestă figură silogistică vom avea, în total, 48 de moduri.

Figura a IV-a Cele 6 moduri valide din silogistica cu termeni pozitivi erau: BRAMANTIP, CAMENES , DIMARIS, FESAPO, FRESIS ON şi CAMENOP. Acestora li se adaugă următoarele 6 moduri valide, în care concluzia are termenii negaţi. 1 . (PaM 1\ MaSb srp; BRAMANTUP 2. (PaM 1\ MeS) ::J SăP; CAMEN OP 3. 4. 5.

(PaM 1\ MaS ) ::J SăP; BAMALAS (PeM 1\ MeS) ::J Si'?; HESESU (PiM I\ MeS) ::J SoP; LISTES O (PeM 1\ MoS) ::J Si'?; DESTOSNUA

6. Similar celorlalte figuri, în figura a IV -a vom găsi 48 de moduri silogistice valide. (Verificarea validitătii lor: exerciţiu). În total, în cele 4 figuri silogistice vom avea aşadar 4x48 192 moduri valide. =

Remarcă 1. După cum s-a putut constata, dacă luăm în considerare cele 1 92 de moduri valide (şi nu doar pe cele 24 din silogistica cu termeni pozitivi), atunci regulile specifice fiecărei figuri, menţionate în paragraful anterior, nu sunt valabile pentru toate cele 48 de moduri din figura respectivă. Remarcă 2. Prin substituirea termenilor logici, prin aplicarea inferenţelor imediate şi prin considerarea inverselor propoziţiilor, putem proceda deductiv, reducând (sau deducând) unele moduri la (din) altele. Am luat mai sus, ca punct de plecare, doar modul valid BARBARA (fig. 1). Justificarea validităţii unui mod arbitrar este însă greoaie, dat tii nd faptul că există 1 92 de moduri valide. Şi mai dificilă ar fi operarea cu cuvinte nmemotehnice. De aceea e mult mai indicat să considerăm câteva moduri valide şi, corespunzător, să indicăm regulile de derivare ale tuturor celorlalte moduri. Pentru aceasta vom proceda în felul unnător. 1 . Asumăm ca valide următoarele moduri din figura 1: BARBARA, DARII, GARDERONT şi MULADD. Acest din urmă mod este: (MiP 1\ SaM )::J SIP. Alegerea acestor moduri a avut în vedere cantitatea propoziţiilor care compun un mod valid. Avem as tfel, următoarele 4 situaţii: a) Dacă modul a cărui validitate vrem să o demonstrăm are atât premisele cât şi concluzia propoziţii universale, atunci îl reducem la unul dintre cele patru moduri care conţine doar propoziţii universale, adică la BARBARA. b) Dacă modul de demonstrat are premise universale şi concluzia particulară, atunci îl reducem la GARDERONT. c) Dacă premisa majoră este universală iar cea minoră este particulară, atunci concluzia este particulară şi deci vom reduce acest mod la DARll . d) Dacă premisa majoră este particulară iar cea minoră este uni versală, concluzia va fi particulară şi acest mod va fi redus la MULADU. 2. Menţionăm regulile derivării modurilor silogistice, asumată fiind validitatea celor 4 moduri de mai sus: R 1. Orice mod silogistic valid se poate reduce la un mod valid din figura 1 prin conversiunea premiselor e, ii, i, i' şi prin contrapunerea premiselor a, ă, o, o.

31

R2. Orice mod silogistic de figura 1 rămâne valid dacă predicatul premisei majore şi predicatul concluziei sau subiectul premisei minore şi subiectul concluziei sunt termeni logici negaţi simultan. (Ambele operaţii pot fi executate în acelaşi timp). R3. (regula inversiunii). Orice mod si logistic rămâne valid dacă toate cele trei propoziţii care-l compun sunt înlocuite prin inversele lor. R4. Orice mod silogistic cu concluzie a sau ă rămâne valid dacă în locul oricărei concluzii se trec propoziţii i sau r. Similar, dacă concluzia unui mod valid este e sau ii, acesta rămâne valid dacă în locul lui e sau ii se trece oricare din propoziţiile o, ă.

Exemplu.

Vrem să verificăm validitatea următorului silogism:

că toţi S sunt non M iar toţi M sunt P.

Unii non S nu sunt non P, pentru

:(

)

Redat schematic, acesta este următorul mod MaP 1\ SaM ::J SaP . Cum premisele sunt universale iar concluzia este particulară, vom reduce acest mod la GARDERONT. Pentru

(MaP 1\ SeM ) ::J SaP (SăP) ,

aceasta este sufcient să obvertim premisa minoră şi obţinem adică GARDERONT.

Exerciţii

-

--

-

-

1 . Argumentaţi validitatea următoarelor moduri:

�M MaS PaS

fuM MeS

�M SaM

�P MeS

MaP MaS

MaP MoS

SaP

SiP

SaP

SaP

PiS

2. Care din următoarele perechi de premise pot construi moduri valide?

MeP SoM

MoP SaM

PiM SaM

MaP SaM

3. Cons truiţi un mod valid pe baza următoarelor premise:

Nici un S nu este M. Nici un M nu este P.

1.3.2.5. Silogistică modernă (Modelul predicativ Brentano) Silogistica tradiţională, aşa cum a fost ea prezentată în paragrafele anterioare, este teoria silogismului, fundamentată de Aristotel şi perfecţionată conceptual de-a lungul timpului. O dată cu dezvoltarea aparatului formal al logicii simbolice s-a creat însă posibilitatea reinterpretării silogisticii tradiţionale, utilizând concepte noi. Altfel spus, s-a deschis posibilitatea elaborării unor modele ale silogisticii clasice, adică a unor teorii moderne care formalizează / axiomatizează silogistica clasică. În acest paragraf ne vom opri doar la expunerea şi analiza nwdelului predicativ Brentano. 1.3.2.5.1. Interpretarea Brentano a propoziţiilor categorice (sau interpretarea Brentano a propoziţiilor categorice) introduce o "denivelare" în cl as ificare a acestor propoziţii, pe care clasificarea tradiţională nu o include. Pentru o redare formală adecvată a acestei "denivelări" va trebui, mai întâi, să introducem un aparat conceptual, fie el şi rudimentar, al logicii predicatelor. Pentru aceasta,

Modelul predicativ Brentano

32

vom adăuga simbolurilor logicii propoziţionale, utilizate în paragrafele anterioare, două cate gorii de simboluri, simboluri pentru cuantificatori: V " (cuantificatorul univers al: orice, " toţi, fiecare) şi ,, 3 " (cuantificatorul existenţial: există, cel puţin unul, unii) şi simboluri pentru variabile individuale: x. y, z. Cu aceste simboluri putem reda extensiunea unui predicat, P, în raport cu o clasă de elemente. Adică putem spune dacă P se referă la întreaga clasă sau doar la o parte a ei. Exemple: a) Orice x are proprietatea P: Vxp(x) . b) Nici un x n-are proprietatea P:

,3xP(x) . 3xP(x). Unii x n-au proprietatea P: 3xoP(x).

c) Unii x au proprietatea P: d)

'v'xp(x) "pentru orice x p(x)", 03xP(x) "nu există x p(x)", 3xP{x) "există x p(x)" iar 3x--,p(x) "există x non p(x) . x se numeşte variabilă individuală, valorile ei posibile sunt elementele unei clase specificate. Fireşte, între cuantificatorii " V " şi ,, 3 " există anumite corespondenţe care permit transformarea unuia în celălalt. Aceste relaţii sunt pelfect intuitive şi le redăm mai jos: 1. VxP(x) == ,3xoP(x) 2. 3xP(x) == ,Vxop(x) 3. ,Vxp(x) == 3xoP(x) 4. ,3xP(x) == Vxop(x) , unde ,, == " exprimă echivalenţa. Expresiile simbolice din dreapta le vom citi astfel: =

=

=

=

"

Cu aj utorul acestui restrâns aparat formal putem acum reda simbolic cele patru tipuri de propoziţii categorice. "Denivelarea" introdusă prin interpretarea Brentano a propoziţiilor categorice rezidă în următorul fapt: propoziţiile universale sunt redate implicativ (i.e. ipotetic), pe când cele particulare sunt redate conjunctiv. Adică:

SaP: To,ti S sunt P: 'v'x(S(x) => p(x)) : ,3X(S(X)A ,p(x)) SeP: Nici un S nu este P: Vx(S(x) ::J ,p(x)) : ,3x(S(X) A P(X)) SiP: Unii S sunt P: 3x(S(x) A p(x)) SoP: Unii S nu sunt P: 3X(S(X)A ,p(x))

Aşadar, o propoziţie universal afirmativă, de exemplu, devine, în interpretarea Brentano: "Pentru orice x: dacă x este S, atunci x este P", echivalent, "Pentru orice x: S (x) implică

p(x) ". În timp ce o propoziţie particular afirmativă, SiP, devine: "Există x care sunt S

şi P" etc . Fie şi numai din această prezentare rezultă, intuitiv, diferenţa dintre propoziţiile universale şi cele particulare: cele universale sunt enunţuri de nonexistenţă, pe când cele particulare sunt enunţuri de existenţă. Cele universale, vom spune, n-au încărcătură existenţială, pe când cele particulare au Încărcătură existenţială. Această diferenţă poate fi mai bine redată simbolic dacă transformăm, echivalent, expresiile simbolice care redau " propoziţiile universale, înlocuind cuantificatorul " V x" cu ,, 3 x , astfel: Vx(s(xb p(x)) == ,3xo(S(x) => p(x)) (prin echivalenţa 1 de mai sus). Avem apoi

,3xo(S(x) => p(x)) == ,3x(S(x) A ,p(x)) 40. Procedând similar, pentru propoziţiile universal negative vom avea Vx(S(x) => ,p(x)) == ,3x(S(x) A p(x)) . Acestea sunt redate prin expresiile

" simbolice din dreapta enumerării de mai sus4 1 . Caracterul de "nonexistenţă al propoziţiilor universale iese acum clar în evidenţă: propoziţiile universale au formă negativă (pe când cele existenţiale au formă afirmativă). 40 Cf. 2. 1 . 3. 41

Fireşte. şi propoziţiile particulare pot fi redate utilizând cuantificatorul universal şi negaţia (exerciţiu).

33

Remarcă. Modelul Brentano este adesea inventariat sub sigla "modelul Boole­ Brentano", dată fiind asemănarea cu interpretarea Boole a propoziţiilor categorice. În esenţă aceasta este interpretarea Brentano, de mai sus , cu menţiunea că termenii logici S şi P desemnează întotdeauna clasele corespunzătoare. Adică su�t consideraţi strict extensional: SaP: Toti S sunt P: Nu există S care sunt non P: S P 0. SeP: Ni�i un S nu este P: Nu există S care sunt P: SP (t}. SiP: Unii S sunt P: Există S care sunt P: SP *- 0. SoP: Unii S nu sunt P: Există S care sunt non P: SP *- (t}. =

=

Şi în această redare, booleană, propoziţiile universale au formă negativă. Expresia

SP

0, de exemplu, înseamnă: clasa S şi clasa complementară lui P (adică

P ) n-au elemente comune (i.e. intersecţia lor este mulţimea vidă) etc. "Denivelarea" existenţi ală, introdusă de interpretarea Brentano a propoziţiilor categorice, îşi pune incontestabil amprenta asupra validităţii inferenţelor. însă pentru a decide asupra unei formule care redă simbolic o inferenţă dacă este o formulă validă sau nu avem mai Întâi nevoie de un procedeu de decizie. Pentru fragmentul de logică a predicatelor de care 42 ne ocupăm aici , procedeul formelor normale, se recomandă ca un elegant procedeu de decizie. =

1.3.2.5.2. Procedeulformelor normale în logica predicatelor monadice Formele normale în logică sunt de o mare diversitate. Aici ne interesează doar două tipuri : formele normale conjunctive şiformele normale disjunctive. Să le considerăm pe rând.

1. Formele normale conjunctive

Definiţia J. O formulă a este în forma normală conjunctivă (abreviat a) dacă are forma unei conjunc/ii C1 1\ . . . I\ Cn ( n � l ), în care nu apar cuantificatori negaţi iar într-un conjunct arbitrar cuantificatorul existenţial apare cel mult o dată. Orice formulă a logicii predicatelor monadice poate fi transformată într-o formulă 43 echivalentă ei, dar care sati sface cerinţele menţionate în definiţie . Mai întâi vom transforma o implicaţie, folosind disjuncţia şi negaţia, pe baza următoarei echivalenţe: (a => fi) == (...., a v fi), unde a şi fi sunt formule care conţin cuantificatori . Apoi, dacă o

expresie cuantificată apare negată vom utiliza echivalenţele 1-4 din 1 .3.2.5 . 1 . , în aşa fel încât o negaţie să fie situată întotdeauna după cuantificator. În fine, dacă obţinem mai multe expresii cuantificate existenţial iar între ele se află operatorul v , toate aceste expresii pot fi aduse sub acelaşi cuantificator existenţial, dată fiind distributivitatea cuantificatorului existenţial în raport cu disj unc�a: [::Ixp(x) v ::lxQ(x)] == ::Ix(p(x)v Q(x)) . Întrucât în aceste transformări variabilele individuale n-au nici un rol, le vom elimina din formule. O dată adus la forma normală conjunctivă, un conjunct Ci una

din

(i

=

1, . . , n ) poate avea doar .

următoarele forme: l a. ::Ia

42 Acest fragment este logica predicatelor monadice, adica logica acelor formule În care orice simbol pred icativ, S, M, P, este secondat de o singură variabilă individuală, adică: S(x), M(y), P(z). Acestea din urma sunt predicate monadice, s pre deosebire de cele diadice P(x,y), Q(x,z), triadice P(x,y,z), Q(y,y,z) etc. Spre deosebire de alte niveluri ale construcţiei logicii, logica predicatelor monadice este decidabilă. Adid, dată fiind orice formulă exprimată În simbolismul acestei logici, putem spune, de fiecare dată. dacă este o formulă validă sau nu.

43

Pentru detalii tehnice, comp. 2.1 .4.4.

34

lb. lc. unde

a şi

Val v VaZ v ... v Vak ( k � l ) 3 a v V/31 V . . . v V/3m ( m � l ), /3 sunt formule construite din predicate dar care nu conţin cuantificatori .

Cum decidem cu aj utorul formelor normale conj unctive?

Evident, formula a, pe care vrem s-o testăm, este validă dacă şi numai dacă forma ei normală conjunctivă este validă. Iar o conjuncţie este validă dacă şi numai dacă fiecare conjunct al ei este valid. Iar pentru a testa validitatea conjunqiilor stabilim un izomorfism

între cele trei categorii de formule l a - l c şi [om1Ule ale logicii propoziţiilor, pe baza următoarelor reguli: R l a. 3a este validă ddacă a' este validă.

V al v V a2 v ... v Vak

R l b. validă. Rlc. este validă,

este validă ddacă cel puţin o formulă

a; (i

=

1, . . . , k ) este

3a v V/31 v . .. V V/3m este validă ddacă una din disjuncţiile a' v /3; ( j 1, ... , m ) unde a' , a; , a' v /3; sunt formule ale logicii propoziţiilor, izomorfe formu lelor =

corespunzătoare din logica predicatelor monadice.

Aşadar, verificarea validităţii formulei a se reduce la verificarea validităţii formulei corespunzătoare ei din logica propoziţiilor. Exemplul 1. Fie modul DISAMIS (fig. a III-a). Este acesta un mod valid? Vom răspunde la întrebare aplicând procedeul formelor normale (conjunctive). MiP MaS

în formă implicativă

(MiP /\ MaS) :::> SiP

SiP Redăm acum acest mod, pe baza interpretări i Brentano a propoziţiilor care-I compun. Obtinem astfel: ,

a : [3x(M (x) /\ p(x)) /\ Vx(M (x) ::J S(x))] :::> 3x(S(x) /\ p(x))

Întrucât variabilei x nu-i asignăm nici un fel de valori, o eliminăm.

[3(M /\ p) /\ V (M ::J S )) ::J 3(S /\ p)

Pentru a aduce această formulă la fonna normală conjunctivă transfonnăm implicaţia utilizând disjuncţia şi negaţia, astfel:

...,[3(M /\ p) /\ V(M :::> S))v 3(S /\ p)

Transformăm acum negaţia din faţa cuantificatorilor (din primii doi disjuncţi), aplicând echivalenţele 4 şi 3:

V...,(M /\ p) v 3-{M :::> S)v 3(S /\ p)

Cum ultimii doi disjuncţi sunt cuantificaţi existenţial, îi putem aduce sub acelaşi cuantificator şi obţinem forma normală conjunctivă.

ac : V...,(M /\ P) v 3[...,(M :::> S)v (s /\ p))

După cum se vede, forma nomlală conjunctivă a formulei care exprimă modul DISAMIS are un singur conjunct, iar acesta este de forma lc (cu m 1 ) (comutând disjuncţii). Şi deci, în acord cu algoritmul de mai sus, formula care exprimă DISAMIS este validă ddacă formula din logica propoziţiilor, izomorfă acestui conjunct, este o formulă validă. Tot ceea ce trebuie să facem acum este să verificăm dacă formula obţinută din ultima formulă de mai sus, eliminând simbolurile cuantificatori lor şi transformând majusculele în minuscule, este o formulă validă a logicii propoziţiilor, adică =

...,(m /\ p)v ...,(m ::J s)v (s /\ p )

35

Pentru verificarea validităţii acestei formule avem la îndemână mai multe procedee 44. Vom aplica procedeul matricea!. fYI

1 1 1 1 O O O O

11

1 1 1 O O 1 O O 1 1 1 O O 1 O O

m l\ D 1 1 O O O O O O

-,(m l\ n) O O 1 1 1 1 1 1

m :::J s -,(m :::J s) 1S_I\--lL O 1 O 1 O O O O

1 O 1 O 1 1 1 1

1 O O O

formula

1

O O O

1 1 1 1 1

1 1 1

Întrucât coloana finală a matricei conţine o serie omogenă de valori de ,, 1", rezultă că formula este validă. Şi deci şi formula corespunzătoare din logica predicatelor monadice (adică formula care exprimă modul DISAMIS) este o formulă validă.

Exemplul 2. valid?

Fie următorul mod silogistic:

(MoP 1\ SaM ) :::J SoP .

Este acesta un mod

În modelul Brentano acest mod devine: a : [3x(M (x) 1\ -,p(x)) 1\ Vx(S(x) :::J M (x))] :::J :3x(S (x) 1\ -,p(x))

[3(M 1\ -,p) 1\ V(S :::J M)] :::J 3(S /\ -,p) -,[3(M /\ -,p) /\ V(S :::J M )]v 3(S 1\ -,p) -,3(M /\ -,p) v -,V(S :::J M) v 3(S 1\ -,p) V-,(M 1\ -,p) v 3-,(S :::J M) v 3(S 1\ -,p) V-,(M I\ -,p) V 3[---,(S :::J M ) v (S 1\ -,p)] -,(m 1\ -,p)v -,(s :::J m)v (s /\ -,p)

Dacă facem matricea acestei formule (exerciţiu), vom constata că există o situaţie în care formula estefalsă; respectiv pentru m = 1, p = O, s = 0 . Aşadar, formula este nevalidă şi deci nici fonnula a nu este validă şi astfel modul respectiv nu este un mod valid.

2. Formele normale disjunctive Dacă cu aj utorul formelor normale conjunctive putem testa validitatea unei formule, cu ajutorul formelor normale disjunctive testăm nesatisfiabilitatea (inconsistenţa) unei formule. O formulă este nesatisfiabilă ddacă nu este niciodată adevărată.

Definiţia 2. O formulă a este În forma normală disjunctivă (abreviat ad ) dacă are forma unei disjuncţii DI v . . . v Dm ( m � 1 ), în care nu apar cuantificatori negaţi iar într-un disjunct arbitrar cuantificatorul universal apare cel mult o dată. Orice formulă a logicii predicatelor monadice poate fi transformată într-o formulă echivalentă ei şi care satisface cerinţele definiţiei 2. Pentru aceasta procedăm ca la formele normale disjunctive, cu menţiunea că dacă avem mai multe expresii cuantificate universal şi care sunt legate prin conjuncţie, toate aceste expresii pot fi aduse sub acelaşi cuantificator universal, dată fiind distributivitatea acestui cuantificator în raport cu conjuncţia:

(Vxp(x) /\ VxQ(x)) = Vx(p(x) I\ Q(x))

44

Comp. 2. 1.4 .

36

Aşa cum /\ şi v sunt operatori duali (şi V şi 3 sunt operatori duali), tot astfel şi cele două procedee de testare ( a validităţii şi a nesatisfiabilităţii) sunt tot duale. Pe baza acestei proprietăţi putem spune că o dată adusă formula la forma ei normală disjunctivă, un disjunct D . ( j 1, . .. , m ) poate avea doar una din următoarele forme: =

J

2a. 2b. 2c.

Va 3at /\ 3 az /\ ... /\ 3 an (n � l ) V a /\ 3/l1 /\ .. · /\ 3/lp ( p � l )

Cu ajutorul formelor normale disjunctive decidem în felul următor: formula a este bilă ddacă forma ei normală disjunctivă este nesatisfiabilă ddacă fiecare disjunct atisfia nes este nesatisfiabil. Corespunzător, cele trei reguli cu privire la izomorfismul dintre disjuncţii formei normale disjunctive şi formulele corespunzătoare din logica propoziţiilor sunt: R2a. Va este nesati sfiabilă ddacă a* este nesatisfiabilă. R2b.

(k

=

=

Va /\ 3/lJ /\ ... /\ 3/lp

1 . ... , P ) este nes atisfiabilă.

unde

este nesatisfiabilă ddacă cel puţin o formulă

1, . .. , n) este nesatisfiabilă. R2c.

(i

3at /\ 3 az /\ ... /\3an

a* , a; , a* /\ /l;'

este nesatisfiabilă ddacă una dintre conjuncţiile

a;

a* /\ /3;'

sunt formule ale logicii propoziţiilor. izomorfe formu lelor

corespunzătoare din logica predicatelor monadice. Şi deci. verificarea nesatisfiabilităţii

formulei a se reduce a verificarea nesatisjlabilităţii formulei corespunzătoare ei din logica propoziţiilor. Exemplu. Fie următoarea formulă: -,[(PeM /\ MiS) :::> Sop] Să testăm acum nesatisfiabilitatea acestei formule cu aj utorul formelor normale disjunctive. Formula este echivalentă cu PeM /\ MiS /\ -,SaP 45. în interpretarea Brentano aceasta devine:

a : Vx(p(x) :::> -,M (x)) /\ 3x(M (x)/\ S(x)) /\ -,3x(S(x) /\ -,p(x)) V(p :::> ,M ) /\ 3(M /\ S)/\ ,3(S /\ ,p} V(P :::> ,M ) /\ 3(M /\ S) /\ V,(S /\ ,p) [V(P :::> ,M ) /\ V-,(S /\ ,p)]/\ 3(M /\ S) ad : V[(p :::J -,M ) /\ ,(S /\ ,p)] /\ 3(M /\ S) (p :::> ,m) /\ -,(s /\ -.p) /\ (m /\ s )

p m s -,m p :::J ,m 1 1 1 1 O O O O

1 1 O O 1 1 O O

1 O 1 O 1 O 1

O

O O 1 1 O O 1 1

O O 1 1 1 1 1 1

-.p

O O O O 1 1 1 1

s /\-,P -,(s /\ ,p ) m /\ s O O O O 1 O 1 O

1 1 1 1 O 1 O 1

1 O O O 1

O O O

formula

O O O O O O O O

Cum coloana finală conţine o serie omogenă de valori de "O", rezultă că formula este

nesatisjiabilă. Şi deci şi formula a este nes atisfiabilă. 45

-,SOP

indică faptul că propoziţia SaP este cea negată, nu termenul S.

37

Remarcă. Din nesatisfiabilitatea fonnulei -{(PeM /\ MiS) � SaP] conchidem asupra validităţii negaţiei ei: (PeM /\ MiS) � SoP . Într-adevăr, acesta este un mod valid al figurii a IV-a (FRESISON). Aşadar, validitatea unui mod silogistic poate fi testată şi cu aj utorul formelor normale disjunctive: testând nesatisjiabilitatea negaţiei formulei care-l exprimă. 1.3.2.5.3. Modelul Brentano şi tema validităţii Să vedem acum în ce fel interpretarea Brentano a propoziţiilor categorice alterează conceptul tradiţional al validităţii inferenţeloL

a) lnferenţe imediate Putem constata, înainte de toate, că anumite raponuri dintre propoziţiile categorice, redate de pătratul lui Boethius, se păstrează, pe când altele nu. Raportul de contradicţie rămâne valabil:

SaP =. -,SoP : 'v'x(S(x) � p(x)) =. -,3x(S(x) /\-,p(x)) 2. -,SaP =. SaP : -,'v'x(S(x) � p(x)) =. 3xo(S(x) � p(x)) =. 3x(S(x)/\ -,p(x)) 3. SeP =. -,SiP : 'v'x(S(x) � -,p(x)) =. -,3x-,(S(x) � -,p(x)) =. ...,3x(S(x) /\ p(x)) 4. -,SeP =. SiP (similar). 1.

Celelalte relaţii logice sunt suprimate. Raponul de subaltemare, de exemplu, este exprimat prin: 'v'x(S (x) � p(x)) � 3x(S(x) /\ p(x)) echivalent: ,

...,3x(S(x)/\ -,p(x)b 3x(S(x)/\ p(x)) . Verificăm acum, cu ajutorul formelor normale conjunctive, dacă această formulă este validă sau nu . Obţinem 3x(S(x) /\-,p(x)) V 3x(S(x) /\ p(x)), adică 3(S /\ -'P)v 3(S /\ p), respectiv

Şi deci trebuie să vedem dacă formula (s /\ -,p ) v (s /\ p ) este validă. Această formulă este echivalentă cu s /\ (-,p V p ) , echivalent s. însă s nu este o formul ă

3[(S /\ -,p)v (S /\ p)] .

validă, căci este o variabilă propoziţională care poate fi adevărată sau falsă. Şi deci implicaţi a care redă raportul de subaltemare nu este validă. Nevaliditatea acestei inferenţe are ca sursă faptul că dintr-o propoziţie de nonexistenţă (i.e. universală) se conchide asupra unei propoziţii de existenţă (i.e. particulară). Respectiv, nevaliditatea ei rezidă în faptul că S poate fi o clasă vidă. Dacă introducem explicit condiţia nevidităţii lui S, sub forma 3xS(x) atunci validitatea ,

inferenţei se restabileşte:

[-,3x(S(x)/\ -,p(x)}A 3xS(x)] � 3x(S(x)/\ p(x)) [-,3(S /\ -,p) /\ 3S] � 3(S /\ p) -,[-,3(S /\ -,p)/\ 3S]v 3(S /\ p) 3(S /\ -,p) v-,3S v 3(S /\ p) 3[(S /\-,p)v (S /\ p)]v 'v'-,S (s /\-,p)v (s /\ p ) v -,s [s /\ (-,p V P )] v -,s s v -,s

La fel putem arăta că nici formulele care exprimă contrarietatea şi subcontrarietatea nu mai sunt formule valide (exerciţiu). Consideraţiile de mai sus ne arată următorul fapt: rămân valabile acele inferenţe

imediate care exprimă relaţii implicative.

de

echivalenţă; sunt nevalide, în schimb, toate inferenţele

38

Exemplu SaP� SeP�PeS � PaS� SiP� SoP În acest şir deductiv toate propoziţiile universale obţinute din SaP, adică

SaP.

SeP , PeS

şi

Motiv pentru care şi formulele care exprimă aceste Pa S , Î transformări sunt formule valide. La fel putem spune despre particularele SiP şi SoP . n schimb, formula care explimă trecerea de la universal la particular ( PaS �SiP ) nu este o formulă validă. Să arătăm acest lucru . sunt echivalente cu

SaP� SeP ; 'v'x(S(x) :J p(x)) == 'v'x(S(x) :J -'--'p(x)) SaP�PeS ; 'v'x(S(x) :J p(x)) == 'v'x(-,p(x) :J -,S(x)) , căci (S(x) :J p(x)) == (-,p(x) :J --,S(x)) SiP�SoP ; 3.x(-,S(x)t\ --,p(x)) = 3x(-,s(x) t\ --,p(x)) PaS :J SiP ; 'v'x(--'p(xb -,S(x)) :J 3x(--,S(x) t\ --,p(x))

etc. (arătaţi că

această

formulă este nevalidă; ce termen logic trebuie să fie nevid?).

b) Inferenţe mediate Şi aici problema validităţii se nuanţează. Dacă în sil ogistica tradiţională (cu termeni pozitivi), de exemplu, am decupat 24 de moduri valide, de data aceasta (i.e. în modelul Brentano) anumite moduri sunt nevalide. Şi anume, toate acele moduri în care din prermse universale (deci rară încărcătură existenţială) se obţin concluzii particu lare (cu Încărcătură existenţială). Aceste moduri sunt: BARBARI şi CELARONT (fig. 1), CESARO şi CAMESTROP (fig. a II-a); DARAPTI şi FELAPTON (fig. a III-a), BRAMANTlP, CAMENOP şi FESAPO (fig. a IV -a). Toate celelalte 1 5 moduri sunt, în modelul BRENTANO, moduri valide. Iar cu aj utorul formelor normale putem decide asupra validităţii lor (exerciţiu). 1.3.2.5.4. Completitudinea deductivă a modelului Brento.no

Nu toate modelele silogisticii clasice pot fi situate pe acelaşi plan. Unele se caracterizează prin completitudine în raport cu "obiectul" modelat, adică sunt modele care validează toate cele 24 de moduri considerate valide de silogistica clasică. Un astfel de model este cel elaborat de J. Lukasiewicz. Modelul Brentano, de mai sus, nu validează decât 1 5 moduri ale silogisticii clasice, cele care nu derivează concluzii particulare din propoziţii universale. Aşadar, doar în raport cu aceste moduri modelul Brentano este complet. Să vedem, în cele ce urmează, în ce fel cele 15 moduri valide (şi doar acestea) pot li deduse în

acest model.

.

O metodă elegantă de demonstrare a completitudinii acestui model este metodă funcţionează, simultan, ca procedeu de decizie în

antilogismului. Această predicativ Brentano.

metoda modelul

Descrierea acestei metode reclamă conceptele: triadă silogistică şi antilogism. Definiţia 1. Triada silogistică este orice triplet de propoziţii care pot constitui premisele şi concluzia unui mod silogistic (valid sau nevalid). Pentru a alcătui un silogism aceste propoziţii trebuie să îndeplinească trei condiţii: 1 . Să fie propoziţii de tipul A, E, 1, O. 2. Să conţină în total strict trei termeni. 3. Fiecare termen să apară strict de două ori în exact două propoziţii distincte.

Definiţia 2. Antilogismul unui mod silogistic este triada silogistică formată din premisele modului respectiv şi din negaţia concluziei sale. 39

Următoarea echivalenţă metalingvistică fundamentală corelează conceptele de

silogism valid, antilogism şi triadă silogistică. Teorema 1. Un mod silogistic este valid ddacă antilogismul său este o triadă silogistică nesatisfiabilă. Demonstraţie. Fie (P L /\ P 2 ) => P 3 o expresie care redă un mod silogistic valid, unde PL

şi

P2

sunt premi sele iar

P3

concluzia modului considerat. Rezultă că negaţia acestei

expresii redă o formulă nesatisfiabilă. Dar negaţia acestei expresii, adică

--'[( PL /\ P2 ) => P3 ] = --'[--'( PL /\ P2 ) v pJ = [Pl /\ P2 /\ --,pJ

este tocmai antilogismul expresiei de mai sus şi constituie o triadă silogi stică nesatisfiabilă.

Teorema 2. Orice triadă silogistică nesatisjiabilă generează strict trei moduri silogistice valide. Demonstraţie. Din Teorema 1 deducem că din orice triadă silogistică nesatisfiabilă putem obţine un mod valid, conectând implicativ conjuncţia premiselor cu negaţia concluziei. Însă fiecare dintre cele trei propoziţii, P L P3 ' poate fi pusă drept concluzie a unui silogism. -

Luând cele două premise şi negaţia propoziţiei-concluzie din triada nesatisfiabilă respectivă obţinem, succesiv, doar cele trei moduri valide. Aşadar, metoda antilogismului transferă problemn. privitoare la validitatea unui mod

silogistic În problemn. privitoare la condiţiile care determină nesatisjiabilitatea unei triade silogistice. Teorema 3. Modelul predicativ Brentano admite strict 5 triade silogistice nesatisfiabile (echivalent, 15 moduri silogistice valide). Demonstraţie. Vom deosebi mai Întâi cele patru tipuri de triade silogistice, apoi, în

cadrul unui tip anume, vom decupa cele 5 triade silogistice nesatisfiabile. În funcţie de alcătuirea lor din propoziţii cantitativ diferite, deosebim: 1. Va /\ VfJ /\ Vy (toate universale) 2. 3. 4.

3 a /\ 3{3 /\3 y (toate particulare) 3a /\ 3{3 /\ Vr (două particulare şi una universală) 3a /\ VfJ /\ Vy (o particulară şi două universale)

Să le considerăm pe rând. Tipul 1 nu poate genera triade silogistice nesatisfiabile. Explicaţia este următoarea. Cum cuantificatorul universal este distributiv în raport cu conjuncţia, din 1 obţinem,

V(a /\ {3 /\ y) , iar aceasta este o formulă nesatisfiabilă ddacă (a /\ fJ /\ yr , echivalent a* /\ {3' /\ y* este o formulă nesatisfiabilă (prin R2a, 1 . 3.2.5.2). Însă o asemenea formulă nu ,

poate fi nesatisfiabilă, deoarece avem doar propoziţii universale, al căror corespondent (izomorf) în Lp este o implicaţie între două variabile propoziţionale distincte. Matricea acestei conjuncţii va conţine aşadar 23 = 8 linii. Cum numărul de valori de O pentru fiecare din aceste implicaţii, corespunzător celor 8 linii, este 2, vom avea în total maxim 3 x 2 6 valori de O. Aşadar, În cel puţin două linii matricea va conţine valori de 1 , şi deci formula nu poate fi nesatisfiabilă. =

Exemplu

că cele 3 propoziţii universale sunt: Vx(M (x) :::J --'P(x)) , Vx(S(x) :::J p(x)) . Vom avea Vx(M (x) => --,p(x)) /\ Vx(M (x) :::J S(x)) /\ Vx(S(x) :::J p(x)) , echivalent Vx[(M (x) :::J --,p(x)) /\ (M (x) => S(x))/\ (S(x) => p(x))), respectiv Să

presupunem

Vx(M (x) => S(x))

şi

40

V[(M :::J -.p) 1\ (M :::> S) 1\ (S :::> p)] . Prin R2a această formulă fo rmula LI' : (m :::> -.p ) 1\ (m :::> s) 1\ (s :::> p) este nesatisfiabilă. m 1

1 1 1

O O O O

p

s

-.p

m :::> -.p

m :::J s

1 1

O

J

O O

O O

O

1

1 1

1 1 1

O O 1 1

O O

O 1

O 1

O

O O 1

1

1

O

1

1 1 1

1 1 1

1 1

1

1

O

1

s :::> p 1

este nesatisfiabilă ddacă

1\

O O O O 1

1

O

O

1

1

Pentru acest exemplu, în care propoziţiile triadei sunt universale (una negativă şi două

'

afirmative), matricea formulei a* 1\ P" 1\ y conţine 5 de O şi 3 de 1, deci formula nu este nesatisfiabilă. Pentru alte combinaţii de simboluri, m, p, �., constitutive propoziţiilor universale (în care simbolul din consecventul implicaţiei apare negat sau nenegat), numărul valorilor de adevăr de 1 este, fireşte, diferit, însă nu poate fi mai mic decât 2. În mod similar putem argumenta că nici triadele de tipul 2 nu pot fi nesati sfiabile. O astfel de triadă ar fi nesatisfiabilă ddacă cel puţin una din formulele

a* , p' , y'

ar fi

nesatisfiabilă (plin R2b, 1 .3.2.5 .2), însă acest lucru nu se întâmplă, deoarece fiecare fOffilUIă este o conjuncţie de variabile propoziţionale distincte (fiind fOITIlula din Lp izomorfă formulei corespunzătoare cuantificate existenţial), iar o asemenea conjuncţie nu poate fi nesatisfiabilă (de ce?). La fel putem argumenta (prin R2c) că nici triadele de tipul 3 nu pot fi nesatisfiabile. Vom restrânge aşadar analiza la triadele de tipul 4, cele formate dintr-o propoziţie particulară şi două universale.

4. 3a I\ Vf3 I\Vr

Pentru a demonstra teorema 3 trecem la rescrierea formulei 4, utilizând doar cuantificatorul existenţial. Primul conjunct, cuantificatorul existenţial, ne arată că 3 a este o formulă care exprimă o propoziţie particulară, SiP sau SaP. Al doilea şi al treilea exprimă propoziţii uni versale, SaP sau SeP. Cum aceste formule ale triadei exprimă propoziţii diferite, a , f3 şi r vor conţine termeni diferiţi (dar care respectă condiţiile cerute unei triade silogistice). De exemplu, o triadă de tipul 4 poate conţine următoarele categorii de propoziţii: 3a SiP ; ·3(S I\ p) ; particulară

SaP; 3(S 1\ -.p)

; particulară

J[ ( < peM PeM SiM

3(S A -,p)

SoP

-,3(S A -,p) -,3(P A M )

Sap >< PeM SaP PeM

-.,3(S A M )

SeM

b)

În fine,

(FESTINO,

II)

SoP

MeP SaM

PlM MIP ; (CELARENT, 1)

c)

SeM

SeP

Procedând în acest fel, din fiecare triadă silogis tică vom obţine

3 moduri silogistice

valide. Şi deci vom obţine, în total, cele 15 moduri pe care modelul Brentano le validează (exerciţiu).

În fine,

e uşor de văzut că triadele de mai sus formează două clase, una care conţine

triadele de forma IAE (primele

4 grupe), iar cealaltă triada OAA (ultima grupă) .

Aşa cum am văzut în 1 . 3.2.5.3., modelul Brentano nu validează acele moduri care

derivează concluzii particulare (cu import existen�al) din premise universale (fără import existenţi al). Adică din premise care nu exclud posibilitatea ca vreun tennen logic să denote o clasă vidă. Aşa cum validitatea unei inferenţe (implicaţionale) imediate a putut fi restabilită prin introducerea condiţiei de neviditate a unui termen logic, tot astfel şi în cazul infere nţelor medi ate validitatea poate fi restabilită pe această cale. Aşadar, pentru validarea celor

9 moduri

să introducem explicit premisele existenţiale necesare acestei validări. Obţinem astfel o extensie a modelului Brentano prezentat în paragraful 1 . 3.2.5 . 1 . În acest model, cu introducerea condiţiei nevidităţii lui S, adăugată

nevalidate de modelul Brentano va trebui

premiselor moduri lor BARBARA, CELARENT, CESARE, CAMESTRES şi CAMENES, şi modurile

lor

subalteme

sunt

validate.

CAMESTROP,

[Vx(p(x) :J M (x)) A Vx(S(X) :J .M (x)) A 3xS(x)]:J 3x(S(X)A -'P(X)) .

de

exemplu, (Arătaţi

cu

devine: aj utorul

formelor normale că acesta este un mod valid). Apoi, cu condiţia nevidităţii lui condiţia nevidităţii lui

M

P

modul BRAMANTIP devine mod valid, iar cu

sunt validate modurile DARAPTI, FELAPTON şi FESAPO.

Conjugate, toate aceste condiţii formează

Completitudinea deductivă a metoda extinsă a antilogismului. Pe

3S A 3P A 3M .

modelului Brentano extins se poate demonstra prin această cale se poate demonstra exis tenţa a

silogistice nesatisfiabile şi deci existenţe a 24 de moduri silogistice valide.

8 triade

Fie acum P l ' P2 ' P3 propoziţiile unui antilogism. Atunci, ca mai sus, unul dintre

( Pl A P2 ) :J -'P3 . În modelul extins adică ( 3S A 3P A 3M ) :J [( P l A P2 ) :J -'P 3 ] .

silogismele valide va fi de mai sus,

44

introducem condiţiile conjugate

Validitatea fonnulei pe care o exprimă este echivalentă cu nesatisfiabiIitatea negaţiei , expresia de mai sus devine: -, {( 3S A 3P A 3M ) ::J N A Pl ) ::J 'P3] } ' echivalent egată . ei A P3 . :3S A 3P A 3M A Pl A

[(Pl

P2

Ca mai sus, având în vedere cantitatea propoziţiilor, putem avea 4 tipuri diferite de tri ade silogistice. Cele 1 5 moduri si logistice validate de modelul Brentano (extins) au putut fi obţinute din cele 5 triade de tipul 4. Se poate arăta că şi de data aceasta triadele de tipurile 2 şi 3 nu pOl fi nesatisfiabile. Doar triadele de tipul 1, respectiv cele care conţin doar propoziţii universale , suplimentate cu condiţia existenţei (reuniunea celor trei condiţii de neviditate), pot fi, sub anumite condiţii, nesatisfiabile.

Coruiiţiile de nesatisfiabilitate

ale expresiei

3S A 3P A 3M A Va A Vfi A V r

sunt

următoarele: 1. Triada silogistică trebuie să conţină două propoziţii universal afirmati ve şi una universal negativă. 2. Cele două predicate ale propoziţiilor universal afinnative (ambele negate în transcripţie existenţială) să fie diferite. Aceste condiţii sunt satisfăcute doar de următoarele triade:

6.

7.

8.

-,3(P A oM ) -,3(S A M ) -,3(S A M ) -,3(P A -,M ) -,3(S A M ) -,3(M A -,P ) menţionată, 3S A 3P A 3M , din cele 3 triade

-,3(S A -,p) -,3( P A -,S ) -,3( P A -,S )

Cu condiţia corespunzător, 9 moduri valide.

nesatisfiabile obţinem,

Din triada 7, de exemplu, obţinem succesiv:

PaS >< PaM PaS PaM a)

b)

SiM

SiM

MaP MaS SiP

PaS >< SeM PaS SeM

MeP SaM

PoM

SoP

paM >< SeM PaM SeM

PeM SaM

PoM

c)

PoS

PaS

PIM MIP

SaP

SIM MlP PIS SIP PIS

(DARAPTI, III)

(CELARONT, 1)

(CESARO, II)

Similar, din triadele nesatisfiabile 6 şi 8 vom obţine celelalte 6 moduri valide (exerciţiu). În concluzie, modelul Brentano extins este un model complet în raport cu cele 24 de moduri valide ale silogisticii tradiţionale. Metoda antilogismului (cea restrânsă la primele cinci triade şi cea extinsă la următoarele trei) ne oferă totodată un procedeu de decizie pentru acest segment al logicii predicatelor monadice: condiţia necesară şi suficientă a validităţii unui mod este ca antilogismul său să satisfacă condiţiile de nesatisfiabilitate (cele trei condiţii pentru triadele nesatisfiabile din care se obţin cele 1 5 moduri valide ale modelului Brentano, sau cele 2

45

condiţii ale celorlalte triade din care rezultă restul de 9 moduri, validate de modelul extins Brentano). Modul FELAPTON (IlI), de exemplu, în modelul Brentano devine

MeP MaS

....,3(M " p) ....,3(M " ,S)

SaP

3(S " ....,p )

....,3(M " ....,S ) ....,3(S " ....,P) . Antilogismul său este ....,3(M " p) Este uşor de văzut că antilogismul său îndeplineşte cele două condiţii de nesatisfiabilitate. Şi deci este un mod valid.

46

Capitolul 2

Logica clasică a propoziţiilor ( Lp ) Ceea ce numim astăzi "logica clasică a propoziţiilor" ( L ) reprezintă "numitorul

p

comun" al unor perspective diferite de expunere formală a acestui compartiment al logicii simbolice. Capitolul de faţă analizează câteva din aceste moduri de explicitare ale Lp : Teoria

funcţiilor de adevăr (2. 1 ), Tablourile analitice (2.2), Axiomatica (2 .4), Calculul secvenţilor (2.5) şi Rezoluţia (2.6).

(2.3),

Deduc/ia naturală

2.1. Teoria funcţiilor de adevăr 2.1.1. Sintaxa

Lp

Logica propoziţiilor reprezintă partea cea mai simplă a logicii simbolice. Dacă în silogistica tradiţională, aşa cum am văzut în capitolul anterior, ne-am interesat şi de structura internă a unei propoziţii (i.e. structura subiect-predicat), în L această analiză rămâne în afara

p

oricăror consideraţii. Descompunerea unei propoziţii o vom face până la obţinerea unor propoziţii elementare şi nimic mai mult. Dacă, de exemplu, descompunem propoziţia (compusă! ) "Studenţii sunt preocupaţi de logică şi vor obţine rezultate bune" vom obţine propoziţiile elementare Studenţii sunt preocupaţi de logică" şi " Studenţii vor obţine note " bune", rară să mai avem în vedere structura internă a acestor propoziţii elementare. Aşadar, unităţile sintactice nedecompozabile ale L sunt propoziţiile elementare. Din propoziţii

p

elementare, aidoma exemplului de mai sus, putem construi propoziţii compuse de varii feluri. Date fiind propoziţiile elementare "Cluj ul este un oraş transilvan" şi "A venit toamna" putem obţine "Nu a venit toamna", "Clujul este un oraş transilvan sau a venit toamna" , "Dacă Clujul este un oraş transilvan, atunci a venit toamna" etc. Aşadar, asupra propozi ţiilor putem opera în diverse moduri. În primul caz am negat propoziţia dată, în al doilea am conectat disjunctiv cele două propoziţii, iar în cel de-al treilea le-am conectat implicativ etc. Logica simbolică a propoziţiilor nu se interesează însă de conţinutul propoziţiilor (i .e. de ceea ce ele exprimă), ci de relaţiile logice posibile dintre ele. Motiv pentru care recurge la o simbolizare corespunzătoare şi, implicit, la un nou nivel de abstractizare. Pe scurt, limbajul logicii propoziţiilor, L . , conţine următoarele categorii de simboluri (i.e. alfabetul):

p

1 . Simboluri pentru variabile propoziţionale:

p, q,

2. Simboluri pentru operatorii logici : -', /\, V , :=J,

r, . . . ,

P. , P2 " ' "

qj ' q 2 , .. .

..•

3. Simboluri pentru constante: 1 ş i O. Simboluri auxiliare: ), (, ] , [, } , {.

4. J

"Lp " îns eamnă logica simbolică a propoziţiilor, aşa cum este e a expl icitată în limbajul expus. 47

Simbolurile p, q, r, . . . denotă aşadar propoziţii arbitrare; ...., este operatorul unar al 2 negaţiei; /\,V, � sunt, corespunzător, operatorii binari: conjuncţie, disjuncţie, implicaţie ; 1 şi 3 O denotă valorile logice "adevărat" şi "fals,, . Formulă a Lp ' Acest concept va fi definit pe baza unor reguli recursive, reguli care pennit obţinerea de noi formule din cele dej a construite. Prin cele ce urmează, formule arbitrare ale c. '

a, fi, y, . . . , al ' a2

•••

înţelegem, în

p

a) Orice variabilă propoziţională este o formulă a Lp ' b) Dacă a este o formulă a Lp ' atunci ...., a este o formulă a Lp ' c) Dacă a şi fi sunt formule ale Lp ' atunci a o fi este o formuLă a Lp " (unde " o denotă oricare din următorii 10 operatori binari: /\,v,�, c, =, /, J.., +, 32 ,r ] /\ 6 ( q v5 4 ,p )

Numărul liniilor matricei este 2" , unde n reprezintă numărul variabilelor propoziţionale. Numărul coloanelor este dat de numărul operatorilor logici ai formulei plus numărul variabilelor propoziţionale. Vom construi aşadar o matrice (tabel de adevăr) cu 8 linii şi 9 coloane. Pentru a facilita construcţia matricei, putem nota operatorii logici in ordinea executării operaţiilor.

p

q

r

II

'

1 1 1 1

1 1

O

1

O O

O

1

1

O O O O

O O 1 1

O O

O 1

O I

O

1 1 1 1 1

2

1

O I

-::> 3

'4

1 1

O O O O

O 1

O

O

1

1

O

O

1

l

1 1 1 1

V5

/\6

1

1 1

1

O O I

O O O

1 1 1

O

1

I

8 Mentionarea variabilelor, după simbolul " a", nu este necesară. 51

1

I

Completarea interpretărilor variabilelor o facem şi în acest caz după algoritmul mai sus aplicat (în cazul Tabelului lui Wittgenstein), numai că aici avem, corespunzător, coloane, nu linii. Coloana ultimei operaţii menţionate, reprezintă valorile logice ale formulei a ,

/\ 6 '

pentru toate cele 8 interpretări ale variabilelor sale. Aşa cum ne arată matricea, avem o formulă satisfiabilă I realizabilă.

[ (--.p -'q

J, / ] ::J b ]. Să mai luăm un exemplu. Fie fi : Facem, corespunzător, matricea, Iară a mai numerota operatorii logici.

[ (p /\ -,r) q

p q r -,r p /\ -,r (p /\ -,r )/ q 1 1 1 1

O O O O

1 1

1

O

O

O

1

1

O 1 O O O 1 1 1 O l O 1 O 1 O O O 1

of-

O O O O O 1 O l 1 O l O

1

O

O

1 1 1 1 1 1

1

O O O O

-oi

1 1

1 1

--.p

J,

p

-'q (-,p J, -,q ) ::J P

1 1

O O O O O O

fi

1 1 1

1 l 1

1

1

1 1 1 1

1 1 1 1

Cum coloana finală a matricei formulei fi conţine o serie omogenă de valori de 1 , rezultă că fi este o formulă validă.

Formule valide remarcabile ale

Lp

Prezentăm mai jos câteva tautologii remarcabile ale menţionaţi în frontul fiecărei grupe

( /\ )

1.

0.

2.

0.

3. 4. 5.

6. disjuncţia)

. . -,2k

P == p ; k P == -,p ;

.. -,2k +1

=

cu referire la operatOlii

(-,, /\,v,::J,=) În dreptul fiecărei

denumirea uzuală a tautologiei respective în ( -, )

Lp '

0,1,2, . . . ; 1 şi 2 Eliminarea negaţiilor multiple

k

=

0,1,2, . . .

(p /\ p) == p ; idempotenţa conjuncţiei (p /\ q) == (q /\ p) ; comutativitatea conjuncţiei [p /\ (q /\ r )] == [(p /\ q)/\ r] ; asociativitatea conjuncţiei [p /\ (q v r)] == [(p /\ q)v (p /\ r)] ; distributivitatea conjuncţiei

[p /\ (p V q)] == p ; 7 9 absorbţia conjuncţiei [P /\ ( P /\ q)] == (P /\ q) [P /\ (q v -,q)] == p 1 0. (p /\ q) ::J p ; 1 0 - 1 3 atenuarea conj uncţiei 1 1 . (p /\ q) =J q 12. (p /\ q) ::J (p V q) 1 3 . (p /\ q) ::J (P ::J q) 1 4. (p /\ q) == -'(-'p v -,q); 14 şi 15 legile lui De Morgan

7. 8. 9.

formule vom specifica

Lp •

-

52

(în raport cu

15. 16.

(v)

-,(P l\ q) == (--.p v --.q) --.(p --.p ) ; principiul noncontradicţiei

17. 18. 1 9. 20.

conjuncţia) 21 . 22. 23 . 24. 25. 26. 27. 28.

( :J )

1\

(p v p ) p ; idempotenţa disjuncţiei (p v q ) (q v p) ; comutativiatea disjuncţiei [p v (q v r)] == [(p v q)v r] ; asociativitatea disjuncţiei [p v (q r)] [(p v q) (p V r)] ; distributivitatea disjuncţiei ==

==

1\

==

1\

(în raport cu

[p v (p v q)] (p v q) ; 21 -- 23 absorbţia disjuncţiei [p v (p l\ q)]== p [p v (q --.q)] P p :J (p V q) ; 24 şi 25 introducerea disjuncţiei q :J (p v q) (p v q) --.(--'P --.q) ; 26 şi 27 legile lui De Morgan --.(p v q) (--'P --.q ) P v --'P ; principiul terţu1ui exclus ==

==

1\

1\

==

==

1\

p :J P ; reflexivitatea implicaţiei 3 0. [(p :J q) (q :J r )] :J (p :J r ) ; tranzitivitatea implicaţiei 3 1 . [p :J (q :J r )] == [(p q) :J r] ; legea importaţiei / exportaţiei 3 2. [p :J (q :J r )] [q :J (p :J r)] ; permutarea premiselor 33 . [p :J ( p :J q )] (p :J q) ; absorbţia implicaţiei 34. [p :J (q :J r )] == [(P :J q) :J (p :J r)] ; autodistributivitatea implicaţiei 3 5. (P :J q) == (--.q :J --.p) ; 35 -- 3 7 legi ale contrapoziţiei 36. (--'P :J q) (--.q :J p ) 3 7. (P :J --.q) == (q :J --.p ) 38. p :J (q :J p ) ; 3 8 şi 39 paradoxurile implicaţiei 39. --'p :J (P :J q)

2 9.

1\

1\

==

==

==

p :J (--.p :J q) ; exfalso quodlibet (p :J q) :J [(p r) :J q] ; 4 1 -- 44 atenuarea implicaţiei 42. (P :J q) :J [(r :J p):J (r :J q)] 43. ( p :J q) :J [(q :J r) :J (P :J r )] 44. (P :J q) :J [(p V r) :J (q V r )] 45. [p (p :J q)] :J q ; modus ponens 46. P :J [(p :J q) :J q ); modus ponendo ponens 47� p :J [(q :J --.p ) :J --.q] ; 47 şi 48 modus tollendo tollens 48. [(p :J q)1\ --.q ] :J --.p

40.

1\

41.

1\

[(p :J q) I\ (--.p :J q )b q ; dilema constructivă 50 . ( p :J --.p) :J --.p ; 50 52 reductia ad absurdum

49.

--

51.

('P :J P) :J P

53

52. 53.

( == )

[(P ::J q) A (p ::J -,q)] ::J -,p [( P ::J q) ::J p ] ::J P ; legea lui Peirce

P == P ; reflexivitatea echivalenţei 55. (p == q) ::J (q == p); simetria echivalenţei 56. [(p == q) A (q == r)] ::J (p == r) ; tranzitivitatea echivalenţei 57. [p == (q == r )] == [(p == q) == r] ; asociativitatea echivalenţei 58. (p == q) == (op == -,q) ; 58 şi 59 contrapoziţia echivalenţei 59. (-,p == q) == (p == -,q) 60. (p == q ) ::J (P ::J q); 60 şi 61 atenuarea echivalenţei 6 1 . (p == q)::J (q ::J p) 62. -,(p == q) == (-,p == q); respingerea echivalenţei 6 3 . (p == q)== [(p A q)v (-'p A -,q)]; condiţiile de adevăr ale echi valenţei 5 4.

2.1.2.4. Relaţia de consecinţă semantică Pentru explicitarea înţelesului acestui concept să dăm mai întâi un exemplu. Fie următoarele formule ale L : a : (p == q) ,J.. (p A q), f3 : (p A q)::J -,r şi r : p v q . Să prezentăm p în tabelul de mai jos matricea celor trei formule.

p

q

1 1 1

1 1

1 O O O O

O O 1 1

O O

r 1

O 1

O 1

O 1

O

p == q p A q a O O

1 1

1 1

O O O O

O O O O O O

1 1

1 1 1 1

O O

-,r f3

r

O

O

1

1 1 1 1 1 1 1

1 1 1 1 1 1

O 1

O 1

O 1

O O

Pe baza acestei matrice putem observa că de ori câte ori formulele a şi f3 sUnt adevărate şi formula r este adevărată (conversa nefiind valabilă). În acest caz vom spune că formula r este o consecinţă semantică a formulelor a şi f3 . Mai putem constata că de ori câte ori a este adevărată şi f3 este adevărată (reciproca nefiind nici în acest caz

simultan

valabilă). Şi în acest caz vom spune că

f3

este consecinţă semantică a lui

a.

Definifie. Fie ap"" an ' f3 formule ale Lp ' f3 este o consecinţă semantică a formulelor al " ' " aII (simbolic a] ' ..., an F f3 ) dacă pentru orice interpretare a variabilelor propoziţionale care apar în al' ... , an , f3, formula f3 este adevărată de ori câte ori ap . . , an sunt simultan adevărate ( ap ... , an sunt premisele iar f3 este consecinţa lor semantică). .

54

Exerciţii 1 . Se dau următoarele formule ale

Lp :

al : (p == q) ::J (p ::J q) , a2

:

(p 1\ q) ::J (p ::J q) ,

a3 : (p v q) ::J (p 1\ q) , a4 : (p ::J q) ::J [(p 1\ r) ::J q] . Stabiliţi cazurile în care relaţia de consecinţă semantică are loc. 2. Ce putem spune despre relaţia a F fJ dacă fJ este o formulă validă a Lp ? Dar dacă fJ este o formulă nesatisfiabilă? 3. Construiţi o demonstraţie pentru următoarele enunţuri:

a) Dacă F a şi F a ::J fJ , atunci F fJ . b) DacăI= a şi 1= a == fJ , atunci I= fJ . 4 . Argumentaţi că următorul condiţional are loc: Pentru n � 1 : a". . . , an FfJ ddacă al 1\ . . . 1\ an 1= fJ .

2.1.2.5. Scheme deductive cu operatori ai

Lp

Din cele 16 funcţii de adevăr binare, 1 0 pot figura în scheme deductive valide. Celelalte şase (p, q, op , ,q , q' , C ), numite şi funcţii degenerate, nu exprimă propriu-zis corelaţii logice între argumentele lor, motiv pentru care nu pot construi scheme deductive valide. Să considerăm în continuare câteva exemple de scheme valide. Cu aj utorul implicaţiei materiale putem construi următoarele scheme:

p ::J q I!.

p ::J q ,q

q

P

q 1

1

1 O O

O

O 1 1

op

modus tollens

modus ponens

1

O

p ::J q

Verificarea validităţii lor o putem face fie construind o formulă implicativă de genul premise ::J concluzie, pe care-o verificăm cu ajutorul procedeului matriceal, adică [(p ::J q) 1\ p] ::J q , fie o justificărn pe baza matricei (i.e. definiţiei semantice a) implicaţiei. În acest din urmă caz, alegem din matrice liniile care stipulează condiţiile din premisele schemei, adică p 1 şi (P ::J q) 1 , respectiv doar prima linie. Pentru concluzie ne rămâne o singură alegere, q 1 . La fel putem justifica şi modus tollens. =

=

=

În schimb, următoarele scheme sunt nevalide (de ce?):

p ::J q

p ::J q 'I!.

Cu

q

p

q

incompatibilitatea putem construi alte scheme deductive : p/q p

sau

p/q q

55

Exerciţii 1. Se dau uffilătoarele definiţii: Def. 1 . O fOffimlă a Lp este satisfiabilă dacă există două interpretări distincte ale

variabilelor sale astfel încât formula ia, corespunzător, valori logice distincte. Def. 2. O fonnulă a Lp este satisfiabilă dacă există cel puţin o interpretare în care formula este adevărată. Def. 3. O formulă a

Lp

este satisfiabilă dacă formula nu este nesatisfiabilă.

Ce raporturi logice putem stabili între cele trei definiţii? 2. Unele funcţii din tabelul lui Wittgenstein exprimă raporturi de condiţionare (::J, C, =,/\, ,l, şi (p ::::> q)

1 . Conversa acestei teoreme nu este în general valabilă. Formula

p /1. q iar fl2 : P ::::> q . Dacă în locul r şi s, atunci, prin substituţia făcută,

este o formulă validă a L ' Fie fll : p

acestor formule punem, corespunzător, variabilele obţinem formula nevalidă

r ::::> s

a L ' p

simultane a variabilelor propoziţionale PI , . .. , Pn cu formule arbitrare fll " ' " fln ' în să Într-o formulă validă 2. Enunţul teoremei substituţiei conţine ideea substituţiei

a L

p

putem alege orice număr de variabile în vederea substituirii lor, nu neaparat toate. În

formula a de mai sus puteam să-I substituim pe P cu pir şi atât. q putea rămâne q (de altfel, în acest din urmă caz, pu team considera substituţia redundantă a variabilei q cu ea însăşi). 3. Prin substituţie, dintr-o formulă validă a L putem construi o p

infinitate de formule ale L ' Prin teorema substituţiei şi aceste formule vor fi valide, fără a fi p

nevoie să le testăm validitatea. Să luăm acum următorul exemplu. Fie afl : [( p

::::> q) /1. (q / ,r)] ::::> ( p ::::> q), o formulă a L care conţine subformula fJ : P ::::> q . Fie ar : [(--,p v q) /1. (q I-,r )] ::::> ( p ::::> q) formula a/1 de p mai sus în care în locul subformulei fJ am pus formula r : -,p v q . Atunci , cum fl este echivalentă cu r , rezultă că ap

==

ar (exerciţiu). Acesta este înţelesul teoremei înlocuirii, pe

care am utilizat-o în câteva rânduri în paragrafele anterioare

J J,

chiar dacă n-am menţionat-o.

Teorema înlocuirii (echivalenţilor). Dacă fl este o subformulă a lui a (simbolic afl ) iar ar se obţine din înlocuirea a zero sau mai multe ocurenţe ale subformulei fJ În a cu o formulă r, atunci Dacă I=fl == r , atunci I= afl == ar ' Demonstraţie (inducţie pe gradul formulei a).

În demonstraţia acestei teoreme ne limităm la cazul în care în a înlocuim o singură a subformulei fl cu formula r . În felul acesta nu se restrânge nicidecum

ocurenţă

generalitatea teoremei, deoarece, evident, în cazul în care înlocuim zero ocurenţe ale

subformulei fl cu r , atunci ar este tocmai formula a , iar dacă vrem să înlocuim mai multe

II

Comp. Formele normale ÎII L '

p

73

ocurenţe ale lui

j3

cu r în formula

a,

atunci repetăm aplicarea teoremei în varianta pe care-o

demonstrăm. 1 . a nu conţine nici un operator. a este aşadar o variabilă propoziţională, p, subformula j3 este tot p, iar ay este j3 . Cu ipoteza din enunţul teoremei (i.e . 1= j3 == r ), teorema înlocuirii are loc. 2. Presupunem că teorema are loc pentru orice formulă a al cărei grad este mai mic decât n (n � 1) şi arătăm, în pasul inductiv, că teorema are loc şi pentru o formulă a al cărei

grad este Il. În acord cu definiţia conceptului de formulă, a are, în acest caz, una din următoarele forme: a) -,0 ; b) 0 0 8 , unde " o " denotă orice operator binar menţionat în definiţie. În toate aceste cazuri gradul formulelor O şi E este mai mic decât n şi potrivit ipotezei inducţiei, teorema are loc pentru formulele O şi E ; aşadar Dacă 1= j3 == r , atunci 1 . 1= Op == 0r şi 2. 1= Ep == Er

-,0 . Şi deci dacă 1= j3 == y , atunci 1= Op == Oy (prin ipoteza ( op == or ) == ( -'Op == -'Oy )' Şi astfel, dacă 1= j3 == y , alunci I= -'0p == -'0r '

În cazul a) a are forma inducţiei). Însă 1= adică 1=

ap

==

ar '

a are forma 0 0 E . Prin ipoteza inducţiei teorema are loc pentru ° şi E . Şi (Op o 8p ) == (Or o Er) (prin Remarcă 2. 1 .4.3), unde Op o Ep este (0 0 8)p , iar (O o E)y .

În cazul b) astfel obţinem

0r O Ey este

Remarcă. Între substituţie şi înlocuire există următoarele deosebiri : a) Operaţia substituţiei înseanmă substituţia unei I unor variabile propoziţionale cu formule arbitrare ale Lp (nu substituim formule arbitrare cu formule arbitrare!). În cazul înlocuirii, în cazul unei sub formule din fonnula dată punem o formulă arbitrară a Lp (sub asumpţia echivalenţei lor). b) Substituţia unei variabile propoziţionale p cu o fonnulă arbitrară a Lp trebuie realizată în

toate ocurenţele variabilei p; înlocuirea, în schimb, Teorema de normalitate. Pentru n � 1 : Demonstraţie (reductio ad absurdum) a) Dacă

ap . . . , an_p an 1=

j3

atunci

ap . . . , an_1

se poate realiza numeric arbitrar.

al " ' " an_1 , an

1= an

1=

j3

ddacă

1=

al " '" an_1

an ::::>

j3 .

j3 .

::::>

ap . . . , an 1= j3 şi 2 non ap- . . , a _ 1 1= an ::::> j3 . Din 1 deducem că pentru orice " interpretare a variabilelor propoziţionale care apar în al ' . . . , an , j3 are loc: 3. dacă

Presupunem 1 .

al

==

..

.

== an

=

1 , atunci

j3

=

1 (prin definiţie). Din 2 deducem că există o interpretare a

variabilelor formulelor date astfel că 4.

al

== . . . == an _1

=

1 şi 5.

an ::::>

j3 O . Din =

j3 O . Însă 7 contrazice 3, căci dacă an 1 , atunci al == . b) Dacă ap ... , an_1 1= an ::::> j3 , atunci ap . . . , an 1= j3 . Presupunem 1. ap. . . , an_1 1= au ::::> j3 şi 2. non al ' . . . , an 1= j3 . Din an

=

1 şi 7.

=

=

'

interpretare a variabilelor din formulele date avem: 3. dacă an ::::>

j3 1 . Iar din 2 deducem că există o interpretare astfel că 4. =

Însă, sub asumpţia adevărului fonnulelor an

=

1 (din 4) rezultă că

j3

=

al , . . . , an_ 1

1 , ceea ce contrazice 5.

74

al

==

,

an

=

5 deducem 6.

j3

1 şi deci

=

1.

1 deducem că în orice

al ==

==

... == an_1

.. . == an

(din 3) am dedus

=

=

l atunci

1 şi 5.

an ::::>

j3

=

j3 O . =

1 . Cum

·

Corolar. Pentru n � 1 : ai " '" an-i an F P ddacă 1== al :J (. .. an_1 => (an => P).. . ) . Demonstraţie (prin n aplicări succesive ale teoremei de normalitate). Semnificaţia '

ace stui corolar rezidă în aceea că problema referi toare la consecinţele semanti ce ale unei mulţimi de fonnule se reduce la problema ce formule sunt valide .

Teorema ( *). Fie a(pi , . . . , Pn ) o formulă a Lp ' care conţine variabilele propoziţionale ' PI , ... , Pn negate sau nenegate. Fie a formula care rezultă din a prin înlocuirea operatorilor formulei cu dualii corespunzători şi a variabilelor propoziţionale PI , . . . , p" cu · negaţiile lor. Atunci, 1== .a == a' (echivalent: F a == .a ). Demonstraţie. sunt

1\

Este suficient să demonstrăm teorema pentru cazul în care singurii operatori binari şi v , căci utilizând • orice formulă a Lp poate fi exprimată printr-o fomlUlă care

conţine doar aceşti trei operatori (cf. Th. 2, 2. 1 . 3 .4). O dată adusă într-o asemenea formă, pe baza legilor lui De Morgan (15, 2 7)12 negaţia unei formule care conţine operatori binari se deplasează succesiv în interiorul formulei , permutând reciproc operatori binari ai formulei. Utilizând legile eliminării negaţii lor multiple ( 1 , 2) simplificăm formula astfel încât orice variabilă propoziţională a formulei va fi negată cel mult o dată.

Exemplu. Fie a : (p == q) J.. .r . Atunci a' : (.p + .q)1 --"r .

TransfOlmăm formula a într-o formulă echiveridică (şi deci echivalentă) care conţine doar operatorii 1\ , v şi • .

a : ( p == q) J.. -y eq ' U{ p l\ q) v ('p l\ .q)]v . r} eq .[(p l\ q) v (.p l\ .q)JI\ --"r -,(p 1\ q) 1\ .(.p 1\ --.q) 1\ --"r eq (.p v .q) 1\ (--"p V -,-,q) 1\ -,-,r eq eq (.p v .q) 1\ (p V q) 1\ r .

eq

La fel procedăm cu a' . ' a : (-,p + .q)/ --" r eq

-,[(-.p 1\ -,-,q)v (••p I\ .q )]1\ ••r} eq .[(.p 1\ ••q)v (-'-'p I\ .q )Jv -,-,.r eq [.(.p 1\ -,-,q) 1\ .(••p I\ .q )] v -,-,.r [(-,-,p v .-,-,q) 1\ ('-'-'P V •• q)] v .-,-,r eq [(p v -,q) 1\ (-.p v q)]v .r

eq

Această din urmă formulă poate fi mai departe transformată echiveridic, astfel încât '

. Aşadar, [(p v .q) 1\ (.p V q )] v .r eq (p I\'p)v (p 1\ q)v (.p I\ .q)v (q 1\ .q) v .r (p 1\ q) V (.p I\ .q) v . r .

negând formula a , de mai sus, să obţinem exact fOlmula a

Acum, dacă negăm formula a obţinem:

eq

. a : .[(-.p v .q) 1\ (p V q) 1\ r] eq eq .[(.p v .q) 1\ (p V q )]v .r eq .(.p v .q) v .(p v q) v .r eq eq (••p 1\ -,-,q )v (.p I\ .q)v .r eq (p 1\ q) V (-.p 1\ .q) v .r eq a" . Teorema dualităţii. Fie a, P formule ale Lp În care apar variabilele propoziţionale PI , ... , Pn ' negate sau nenegate. Fie a" şi p6 formulele care rezultă din a, respectiv fJ, mlocuind operatorii logici cu dualii corespunzători. Atunci: 12 Cifrele indică formulele corespunzătoare din lista paragrafului

75

2.1 . 2.3.

Dacă 'r=- a, atunci 1== ,a.5 . " 2. DacM" ,a . atunci F, a . 3. Dacă 'r=- a => P , atunci F P" => a" . " 4. Dacă 'r=- a == P , atunci 1== a == pJ . 1.

Demonstraţie. Pentru considerentele menţionate în demonstraţia teoremei precedente, vom considera că singurii operatori binari ai fonnulelor a. p sunt 1\ şi v . 1 . Presupunem f= a . Prin Teorema ( * ) şi exerciţiul 3b din 2. 1 .2.4 rezultă 'r=- -,a* . ,a' ,

însă dacă în această fonnulă validă,

PI

,...•

Pn

substituim simultan variabilele propoziţionale

cu negaţiile lor, atunci obţinem formula

-,a" ,

de asemenea validă (prin teorema

substituţiei). Iar dacă în această formulă eliminăm negaţiile multiple, obţinem formula validă

,a" . Aşadar, 'r=- ,a" . Exemplu. Fie 'r=- a : (p l\ ,q)v [(q I\ ,r)v (--,p v r)J ; atunci 'r=- , a' : ---,{(op v -" q) 1\ [(-,q v ,-,r) 1\ (" P l\ -,r)D; prin Th (*) şi exerc. 3b ( 2. 1 .2.4). 'r=- ,a" : ,{(" P v ,-" q) A [(,-,q v ,-,-,r) 1\ (..,p 1\ ,-,r)D; prin Th substituţiei 'r=- , a" : ---,{( p v ,q ) 1\ [(q V -,r) 1\ (op 1\ r )il ; prin eliminarea negaţiilor multiple " (Verificarea validităţii fonnulei ,a : exerciţiu). 2. (similar). 3. Presupunem antecedentul condiţionalului

contrapoziţi a implicaţiei). Şi deci

'r=- P' => a'

F a => p .

'r=- ,p => ,a (prin -,p şi ,a înlocuim

Şi astfel

(căci dacă în fonnulele

operatorii cu dualii corespunzători şi variabilele propoziţionale cu negaţiile lor, atunci obţinem, prin Th

(*),

exerc 3b. obţinem 1==

'-'P" şi " a" , adică P' şi a* ; de unde, prin " Fp" � a" (prin Th. substituţiei) şi deci 1== P" ::l a

fonnulele echivalente

P' => a* ).

Şi astfel

(eliminarea negaţii lor multiple). 4. (similar).

Exerciţii 1 . Construiţi, pe baza teoremei

al : [(p a: q) / r) 1\ -,r

a2

:

( * ), a"

corespunzătoare unnătoarelor fonnule:

[(p + q) v -,r) (p 1\ q) ==

lX:J : [ (p J.. q)v r ] => [(p I\ q)J-,rJ a 4

:

[(p 1\ q) => r) ct. ,r

2 . Arătaţi că 3. Fie

'r=- , a == a' în fiecare caz în parte.

a : [(p I\ -,q) => (r v ,r))/(p l\ 'p),

arătaţi, cu ajutorul procedeului matriceal că relaţi a condiţională: dacă 'r=- a , atunci loc.

76

a ŞI " 'r=- ,a are

Aplicaţi teorema du ali tăţii fonnulei

2.2. Tablourile analitice În L, 2.2.1. Metoda tablourilor analitice În L ,

2.2.1.1. Concepte Tablourile analitice reprezintă o metodă elegantă de demonstraţie în L ' adecvată p

implementării (ideii) demonstrării automate. Să vedem mai întâi, definiţional, care sunt conceptele fundamentale ale acestei metode.

Definiţia 1 . Un arbore neordonat r[ este simultan: a) o mulţime M de elemente, numite puncte (noduri): x, y, Z, XI ' x2 , b) o funcţie v care asigneazăfiecărui punct X un Întreg pozitiv v{x), numit 1!ivelul lui X . c) o relaţie R{x.y) , definită pe M, cu semnificaţia " X este predecesorul lui y " (" y este succesorul lui X ), cu următoarele proprietăţi: CI ) există un singur punct de nivelul 1 (origine/rădăcină) c2 ) orice alt punct În afară de origine are un singur predecesor. c3 ) pentru orice puncte x,y , dacă y este succesorul lui x , atunci v{y) v{x) + 1 . Definiţia 2. Un punct se numeşte final dacă n-are nici un succesor. Definiţia 3. Un punct se numeşte simplu dacă are strict un succesor. Definiţia 4. Un punct se numeşte joncţiune dacă are doi sau mai mulţi succesori. Definiţia 5. Un drum este orice şir finit sau infinit numărabil de puncte, începând cu originea, astfel încât fiecare termen al şirului (exceptând ultimul, dacă există) este predecesorul celui care urmează. Definiţia 6. O ramură (drum maximal) este un drum al cărui termen ultim este un punct final sau este un drum infinit. Definiţia 7. Un arbore ordonat r[ este un arbore neordonat plus o funcţie (J care asignează fiecărei joncţiuni x un şirCT{x), format din toţi succesorii lui x , dar care nu conţine repetiţii. Definiţia 8. Un arbore se numeşte finit generat dacăfiecare punct are un număr finit de succesori. Definiţia 9. Un arbore se numeşte finit dacă are finit de multe puncte; În caz contrar se numeşte infinit. Definiţia 10. Un arbore se numeşte diadic ordonat dacă orice joncţiune are cel mult doi succesori. .•.

"

=

2.2.1.2. Formule ale L

Definiţia 1. Formulă.

, 1 . Orice

va riabilă propoziţională este o formulă (elementară). 2. Dacă a este o formulă, atunci .a este o formulă. 3. Dacă a şi j3 suntfonnule, atunci ao j3 este o formulă (unde " o " denotă oricare dintre următorii operatori binari ai Lp : A,V, ::::>, /. J.. 13). Definiţia 2. Subformulă imediată a unei formule. 1. Variabilele propoziţionale n-au subformule imediate. 2. .a are ca subformulă imediată pe a . 1 3 Cum

" I

"

este anticonjuncţie iar

" J.. "

este antidisjuncţie, adesea analiza întreprinsă aici o vom limita la

operatorii binari A,V şi ::::> . Aceastll defini�e este Def. 1 din 2 . 1 . 1 . . restrânsă la operatorii menţionaţi.

77

3. Definiţia 3. Subformulă.

atunci

a

are ca subformule imediate pe

a

şi j3.

1. Dacă a este o subformulă imediată a lui j3 sau a este este o subformulă a lui j3 . 2. Dacă a este o subformulă a lui j3 şi fJ este o subformulă a lui este o subformulă a lui r .

identică cu j3, atunci r,

a o j3

a

2.2. 1.3. Evaluări booleene. Interpretare. Mulţime saturată.

Definiţia 1 . Fie r o mulţime arbitrară de formule ale Lp ' Printr-o evaluare a mulţimii r se înţelege o funcţie Evalr de la r la mulţimea valorilor logice {1,O}. Simbolic, Evalr : r � {1,O} Prin funcţia Evalr , în fond, asignăm fiecărui element aE r o valoare de adevăr determinată. În cele ce urmează ne interesează doar acele evaluări în acord cu definiţiile semantice ale operatorilor logici, adică evaluările booleene.

Definiţia 2. O evaluare se numeşte booleană dacă satisface următoarele condiţii (pentru orice formule a , j3 ale Lp ): 1 . •a este adevărată ddacă a este falsă. 2. a 1\ j3 este adevărată ddacă a este adevărată şi j3 este adevărată. 3. a v j3 este falsă ddacă a este falsă şi j3 este falsă. 4. a ::::> j3 este falsă ddacă a este adevărată şi j3 este falsă. Definiţia 3. Două evaluări concordă pe o formulă a dacă a este fie adevărată, fie falsă în ambele evaluări. Definiţia 4. Două evaluări concordă pe o mulţime r de formule dacă ele concordă pe fiecare element al mulţimii r . Definiţia 5. Fie rl � r2 , Evalrl ş i Evalr, evaluările corespunzătoare ale mulţimilor rl şi r2 . Evalr, este o extensie a lui Evalrl dacă cele două evaluări concordă pe mulţimea rl . Definiţia 6. Prin interpretarea unei formule (respectiv mulţimi de formule) înţelegem asignarea de valori de adevăr tuturor variabilelor propoziţionale care apar În formulă (respecti" în mulţimea de formule). (Nr. interpretărilor = 2" , n = nr. variabilelor propoziţionale). Remarcă. Orice interpretare a mulţimii r poate fi extinsă la exact o evaluare booleană a mulţimii r . Definiţia 7. a este o formulă validă a Lp dacă a este adevărată în orice evaluare booleană (echivalent: în orice interpretare). Definiţia 8. a este o formulă satisfiabilă dacă a este adevărată în cel puţin o evaluare booleană. Similar, o mulţime r de formule ale Lp este satisfiabilă dacă există cel puţin o evaluare booleană în care fiecare element al lui r este adevărat (echivalent, dacă orice formulă din r este satisfiabilă). Definiţia 9. a este o formulă nesatisfiabilă dacă a este falsă în orice evaluare booleană. Definiţia 10. Mulţime saturată ( r, ). Fie r. mulţimea tuturor formulelor aaevărate într-o evaluare booleană Eval . Atunci, pentru orice formule a , j3 din r" r, satisface următoarele condiţii:

78

1. 2.

3. 4.

Din mulţimea {a, .a} strict una din formule aparţine lui ddacă a� 1J (a 1\ P)E 1, ddacă aE 1, şi pe 1, . (a v P)E 1, ddacă aE 1, sau PE 1, . (a ::J P)E 1, ddacă ae 1, sau PE 1, .

1, .

[Echivalent .a E 1,

2.2.1.4. Metoda toblourilor analitice ca metodă de demonstrare a validitătii , în

L p

Această metodă are ca sursă scrierile lui Gentzen l4 . Este dezvoltată în forma l6 sistematică a tablourilor semantice prin Beth 15 şi Hintikka . Metoda tablourilor analitice este o variantă elegantă a metodei tablouri lor semantice, dezvoltată de R. Smullyan 1 7 . Metoda rezidă în esenţă în construirea unor tablouri (semantice) prin aplicarea unor reguli, fundamentate de semnificaţiile operatorilor logici menţionaţi. Fiecare operator logic are două reguli, una pentru cazul în care formula care-l conţine este adevărată, cealaltă pentru cazul în care aceasta este falsă. Redăm mai jos aceste reguli.

'0 :

•

•

a

--

a

;

vl

· av p . ' al P '

::J . a ::J P . l ' .al P '

l\ . a I\ P . 1 · a ' P

J,

.p

. •

O·

(a J, p) al P

Lectura acestor reguli este simplă. Să luăm câteva exemple. Coloana de formule din stânga reprezintă situaţiile în care formula de la "numărător" este adevărată ( 1 ), iar cea din dreapta, cazul în care ea este falsă (O). Din "numărător" conchidem (i.e. inferăm) formula de la "numitor". Regula

.a .a

o citim astfel: "Dacă

.a

este o formulă adevărată, atunci

a este o

formulă falsă". Ca regulă de construcţie a tabloului analitic fiind redundantă, vom renunţa la • •

ea.

a

a 1\ f3 a P

,

a

înseamnă: "Dacă

.a

este falsă, atunci putem infera

a". Următoarea regulă,

înseamnă: "Din adevărul conjuncţiei putem conchide asupra adevărului argumentelor

14 G. Gentzen, Untersuchungen liber das logische Schliellen, Mathematische Zeitschrift 39/1935,

176-210, 405-

43 1 .

15 E.J W. Beth, The Foundations ofMathematics, North Holland 1 9 59. 16 17

.J. K. Hintikka, Form and content in quantification theory, Acta Philosophica Fennica, 8/1955, 7-55.

RM. Smullyan, First-Order Logic, Springer-Verlag 1 968.

79

sale", motiv pentru care vom scrie cele două formule, a, conjuncţiei, regula

1\ -.(a P )

,a/,p

,

P

una

sub cealaltă.

putem conchide că a este falsă sau

P

Din falsitate a

este falsă,

alternativă

desemnată de bara pusă între cele două formule. Este uşor de văzut, toate aceste reguli se bazează pe definiţiile semantice ale operatorilor respectivi. La fel de uşor de sesizat este şi faptul că formulele din care inferăm pot fi gnrpate în două clase distincte, astfel : 1 . Dacă adevărul formulei din care inferăm reclamă adevărul ambelor formule de la "numitor" (fapt simbolizat prin situarea celor două formule una sub cealaltă, în cazul operatorilor binari), atunci vom spune că formula respectivă este de tip tl8• Aici includem:

1\ , V o' )

=>0 ' 1 0 ,

t) , la care adăugăm

'o .

2. Dacă adevărul formulei din care inferăm reclamă adevărul (neexclusiv) al unei formule de la "numitor" (fapt simbolizat de bara care desparte cele două formule de sub linie), atunci vom spune că formula este de tip p. Aici includem: Rezumând cele spuse în 1 şi 2, avem:

1. O formulă

a

care inferăm,

este adevărată ddacă

al

şi

a2

al

I\ o ' v ) ,

=» '

/) '

to .

, a2 sunt ambele adevărate (a este formula din

sunt formulele inferate).

2. O formulă p este adevărată ddacă cel puţin una din formulele

f31.f32

este adevărată.

Formulele a se mai numesc şi formule de tip conjunctiv (deoarece adevărul lor reclamă simultaneitatea adevărului formulelor deduse). Iar formulele P se mai numesc şi formule de tip disjunctiv (dată fiind alternativa conţinută în adevărul lor). Cum operăm doar cu două categorii (clase) de formule, vom formula în cele ce urmează doar două reguli de deducţie, una cu referire la formulele de tip a iar cealaltă la formulele de tip p.

a2

Aplicarea succesivă a acestor reguli este suficientă pentru construirea tabloului analitic al unei formule date (sau mulţimi de formule).

Definiţia 1 . Tabloul analitic al unei formule a este un arbore diadic ordonat ale cărui puncte sunt formule. Construcţia unui tablou analitic al lui a demarează cu formula a în origine, din care obţinem un şir de formule prin aplicarea Ra şi R . De exemplu, dacă originea (i.e. formula p dată) este o formulă de tip a, atunci vom adăuga

atunci vom adăuga

alternativ f31

şi

f32

succesiv al

şi

a2 . Iar dacă este o formulă p,

(adică tabloul se despică în două ramuri distincte) .

Dacă originea este tabloul iniţial al lui a, prin aplicarea Ra şi Rp obţinem

extensiuni

succesi ve ale tabloului iniţial.

Definiţia 2. Fie

10.

(q => r)J => {(p v s b [(q => r) v s il 1 . -,y 2. p => (q => r) 3. -,{(p v s) => [(q => r)v sJ} 4. p v s 5. -,[(q => r)v s1 6. -,(q => r) 7. -,s 8. q 9. -,r

-'p

(q => r)

Il.

A 12.

*

P

13. *

s

1 4. -'q

1 6. p *

1 7. s

*

82

15. r

18

.

p

*

1 9.

*

s

În tabloul analitic al fonnulei --,y de mai sus fonnulele 8 şi 9 puteau fi omise din construcţia tabloului. Explicaţia este umlătoarea: fonnula 1 1 reprezintă negaţia fonnulei 6. Aşadar, această ramură se închide cu această formulă, fără a mai fi necesară dezvoltarea tabloului analitic până la obţinerea unor formule elementare sau negaţii ale lor. În acest caz nici fonnulele 8 şi 9 nu mai erau necesare (pentru că sunt formule obţinute din formula 6). La fel, formulele 14- 19 puteau fi omise, deoarece cu fonnula 1 1 ramura din dreapta a tabloului se Închide deja şi deci orice adăugare ulterioară de formule oricăror ramuri care conţin deja fOmlulele 6 şi 1 1 sunt ramuri Închise. Remarcă 2. Cum operăm cu două clase de formule, a şi p, conceptul "mulţime saturată" se poate redefini astfel : 1. Definiţie. O mulţime ls de fonnule ale Lp se numeşte saturată dacă satisface ulmătoarele condiţii: 1 . Pentru orice fonnulă a , strict una din formulele a , --,a aparţine lui fs ' 2. a E fs ddacă a1 E fs şi a2 E ls ' 3 . /3 E Is ddacă /31 E ls sau /32 E fs ' II. Exerciţiu. Să se demonstreze că într-o mulţime satuTată, date fiind condiţiile 1 şi 2, condiţia 3 devine superfluă (adică poate fi dedusă); aşa cum date fiind condiţiile 1 şi 3, condiţia 2 devine superfluă. Remarcă 3. Cum o fonnulă vaLidă este adevărată în orice evaluare booleană, rezultă că o astfel de fonnulă aparţine oricărei mulţimi saturate. Simbolic : avalid E (lr; (i.e. dacă a este validă, atunci aparţine tuturor mulţimilor saturate). Similar, o fonnulă satisfiabilă este una care aparţine cel puţin unei mulţimi saturate. Simbolic: asaris! E Ul: (i.e. a este satisfiabilă dacă este elementul vreunei mulţimi saturate). Observaţie: Dacă Eval este o evaluare booleană, iar r este mulţimea tuturor formulelor adevărate în evaluarea respectivă, atunci f este o mulţime saturată. Aşadar, următoarea echivalenţă are loc: Eval 1, echiv fs este saturată.

Exerciţii

Care din unnătoarele formule sunt fonnule valide ale ajutorul metodei tablourilor analitice. al : ( p ::> q) ::> [(q ::> r) ::> (p ::> r)] a2 : [p 1\ (q V r)] ::> [( p 1\ q) V ( p 1\ r)] a3 : [p v (q 1\ r)] ::> [(p v q) l\ ( p v r)] a4 : [p ::> (q ::> r)] ::> [( p ::> q) ::> (p ::> r)] a5 : q ::> ( p ::> q) a6 : (p ::> q) ::> (--,q ::> --,p) � : --,(q 1\ r)v [( p 1\ q)::> r ] as : [(p I q) ::> --,r] v [ (p t q) v r ] a9 : [(p ::> q) .1\ q] ::> p alo : U(p ::> r) 1\ (q ::> r )] 1\ (p V q)} ::> r ai i : [( p / q) ::> r] 1\ ( p V r) 83

Lp ?

Arătaţi acest lucru cu

a12 : [p ::> (q ::> r)] ::> [( p /\ q) ::> (q /\ r)] a!3 : [(p /\ q) :::J r]::> {( r :::J S b {Is ::> (t ::> v)]::> [(p 1\l) :::J (q :::J v)])} a14 : (P :::J q ) ::> {Iq ::> (r :::J s )] ::> [r ::> (P :::J S)]} 2.2.1.5. Tablourile analitice li/orma normală disjunctivă

Tablourile analitice ne oferă totodată şi o metodă de construire a fonnei normale disjunctive a unei formule a Lp . O formulă a a Lp este în forma normală disjunctivă dacă are forma DJ v ... v D. în care Di (1 ::; i ::; n) este o conjuncţie de variabile propoziţionale nenegate sau negate o singură dată 1 9 . Pentru construirea formei normale disjunctive pe baza tabloului analitic al formulei date procedăm astfel. Considerăm toate ramurile deschise ale unui tablou complet al formulei. Legăm prin conjuncţie toate variabilele unei ramuri aşa cum apar în ramura respectivă (i.e. negate sau nenegate), iar ramurile le reunim disjunctiv. Expresia astfel obţinută este forma normală disjunctivă a formulei avute în vedere. Înainte de a da un exemplu, să explicităm definiţional ideea de "tablou complet" al unei formule. Definiţia 1. O ramură 1( a unui tablou analitic se numeşte completă dacă pentru orice a care apare în 1( . atât al cât şi a2 apar în 1( . şi pentru orice p care apare în 1( . cel puţin una dinformulele /31 ' /32 apare în 1( . Definiţia 2. Un tablou analitic 'T se numeşte complet(at) dacă orice ramură a tabloului este fie închisă. fie completă. Exemplu a : 1 . ...., �(p t q)v .r] ::> (q /\ r)} 2. (p t q)v ....,r 3 . ....,(q /\ r )

4. (p t q ) ""'p

5.

....,r

6.

7.

-,q

A

1 0.

•q

I l.

.r

8 . ....,q 9 . ....,r Toate cele patru ramuri ale tabloului formulei a sunt deschise. Forma normală disjunctivă a lui a va fi aşadar: ad : (....,p /\ .q) v (.p /\ ""'q /\ ....,r )v (.q /\ ....,r) v .r Fireşte, la acelaşi rezultat ajungem prin transformări le uzuale reclamate de procedeul fomlelor normale . •�(p t q)v ....,r] :::J (q /\ r )} = -,{-,[.( p v q)v ...., r] v (q /\ r)} = = {I....,( p v q) v .r ] /\ -,(q /\ r )}= == {I(....,p /\ ....,q )v ....,r ] /\ (....,q v ...., r )} = = [(--.p /\ ""' q /\ .q)v (--.p /\....,q /\.r)v (....,r /\ ....,q) v (....,r /\ -.r)] = = [(....,p /\ ....,q )v (....,p /\ -I q /\....,r ) v (.q /\ .r}v .r] 19

Comp. 2.1 .4.4.

84

Exerciţii

1.

2.

Se dau unnătoarele formule ale Lp al : [ (p J, q ) v .r l => (q l\ r) � : [(p I\ q) / p] I\ [(r v '�'}A (p => q)] aJ : [( p => q) 1\ r]/[(p => .q} v .r] Se cere: Pe baza tablourilor analitice ale fonnulelor al - aJ construiţi fonna normală disjunctivă a acestor formule. Verificaţi rezultatul astfel obţinut cu ajutorul procedeului formelor nonna1e. 2.2.1.6. Tablouri analitice pentru mulţimifinite defol'lnule. Definiţia 1. Fie 1 mulţimea finită de formule {aw.' aJ . Un tablou analitic pentru r

este

un tablou care începe cu

an şi continuă prin aplica rea succesivă a regulilor R"

şi R . p

f.xemplu 1 {(p / q) => r, p 1\ .r, -'q v s} 1 . (p / q) => r 2. p I\ .r 3 . •q v s =

A 4. -.(p / q) 6. p 7. q 8. p 9. -.r

5.

p 1 1 . -.r

A

A 1 2.

-.q

*

r

10.

] 4. -.q *

13.

15. *

s

S

Dacă prin a înţelegem fonnula obţinută prin conjuncţia formulelor din 1 , atunci pe baza tabloului de mai sus putem construi fonna normală disjunctivă a lui a (exerciţiu) 20.

20

Putem construi. fIreşte, de la bun inceput formula

tabloul semantic al lui

2+ 1.

a

a

prin conjuncţia celor trei formule din

1.

Pentru ca

să fie un arbore diadic ordonat (şi nu triadic!) vom asocia cei trei conjuncţi în forma

85

Exerciţii

1 . Este a o fonnulă validă a Lp ? Verificaţi acest fapt cu ajutorul lablourilor analitice şi al fonnelor nonnale. 2. Se dau următoarele mulţimi de fonnule ale L : p I � = {(q t r)v p, p v ---,q, (p lq )l\ p} r2 = {P l-,p ,(q 1\ r) :::::1 -'p} r3 = {(p l\ q)l p , r v ---,s, p :::::1 q} Se cere: 1. Construiţi tabloul analitic al celor trei mulţimi. 2. Pe baza tabloului analitic determinaţi forma normală disjunctivă a fonnulelor al ' a2 , a3 , obţinute, corespunzător, prin conjuncţia formulelor din mulţimile rl ' r2 , r3 • 3. Verificaţi rezultatul astfel obţinut cu ajutorul procedeului formelor nonnale. 4. Sunt al ' a2 , a3 formule valide ale Lp ? Arătaţi acest lucru cu ajutorul tablouri lor analitice. 2.2.1. 7. Tablourile semantice (Hintikka)

În această prezentare punctele arborelui nu sunt formule, ci mulţimi finite de fonnule. Dezvoltarea tabloului se face de fiecare dată exclusiv în funcţie de punctele finale ale acestuia. Construcţia demarează cu punerea mulţimii de fonnule în origine şi continuă cu aplicarea succesivă a următoarelor reguli: Rega : r , a Reg p : r , p

A

r' �1 ,a2

unde fI., P pot să aparţină sau nu lui r 21 . Definiţie. Un tablou semantic se numeşte închis dacăftecare punct final conţine atât o formulă cât şi negaţia ei. Utilizarea acestei variante ca metodă de demonstraţie în Lp este sin)ilară rezultatelor deja prezentate în 2.2. 1 . 1 - 2.2. 1 .6. Să luăm câteva exemple, mai întâi cazul În care mulţimea de formule din origine are un singur element. Fie a : (p v q) :::::1 (q V p). Vom construi un tablou Hintikka pentru -,a , prin aplicarea Reg a şi Reg p . ---,[(p V q) :::::1 (q v p)]

1

p v q , -.(q v p)

I

p v q,-.q, ---'p

p,-.q, ----.p 21

q,-,q,----.p

În elaborarea ei originală (Hintikka) toate multimile de fonnule apar Încadrate.

86

Cum ambele puncte finale conţin atât o fOffilUIă cât şi negaţia ei, tabloul Hintikka al lui este Închis. a este deci o formulă validă a Lp Fie ,8 : [(p => q) 1\ (q => r)] =:J ( p => r)

-,a

•

---,[( p q) (q r)b ( p r)} I (p q)l\(q r), -,(p r) I =:J

1\

=>

=>

=>

=:J

=:J

p =:J q, q => r, ,( p =:J r )

I

p =:J q, q =:J r, p, ,r

p q, p,

p => q, p, ,r, ,q

p, ,r, ,q, ,p

=>

,r, r

p, ,r, ,q,q

Remarcă. Acest tablou semantic poate fi prescurtat trecând direct În origjne mulţimea de formule aflată în rândul trei, respectiv { p =:J q, q =:J r, ,( p =:J r ) } . Căci dacă din adevărul formulelor (premise) p =:J q şi q => r rezultă adevărul formulei (concluzie) p =:J r , atunci mulţimea fOlmată din premise şi negaţia concluziei este nesatisfiabilă. Echivalenţa din LI' care exprimă acest fapt este: [(a 1\ ,8) =:J y] == ,(a 1\ ,8 1\ ,y) . Totul se reduce aşadar la a arăta că mulţimea {a, ,8, -,y} are un tablou Hintikka închis. Exerciţiu. Se dau următoarele formule ale Lp : al : (p => q) => (,q =:J ,p ) a2 : (p =:J q ) => [(q => r) => (p =:J r)] al : [(p => q) 1\ ( p =:J r)] =:J [p =:J (q 1\ r )] a4 : [( p =:J q) =:J ( p =:J r )] =:J [p =:J (q 1\ r)] a5 : [(p I q) =:J q] =:J (r y ,r) a6 : l 0J J, q) / r ] 1\ (q => r) Sunt ele formule valide ale Lp ? Decideţi cu ajutorul tablourilor Hi ntikka. 2.2.2. Corectitudinea şi compIetitudinea metodei tablourilor analitice în 2.2.2.1. Corectitudinea metodei tablourilor analitice în

Lp

Lp

Considerăm mai Întâi un tablou rr şi o interpretare a variabilelor din rr . Definiţia J. O ramură 1{, a tabloului rr se numeşte adevărată în in.terpretarea dată dacă toţi termenii ramurii 1{, iau valoarea logică adevărat în interpretarea dată. Definiţia 2. Un tablou rr se numeşte adevărat Într-o interpretare dată dacă are cel puţin o ramură adevărată în interpretarea respectivă.

87

Lemă. Dacă rr; este o extensie directă a lui rr; , atunci rr; este adevărat în orice interpretare în care rr; este adevărat. Demonstraţia lemei. Presupunem că rr; este adevărat, conţine deci o ramură adevărată 1{, . rr; se obţine din rr; prin adăugarea unui succesor (dacă extensia se face prin aplicarea regulii Ra ) sau a doi succesori (dacă aplicăm regula Rp ) la o ramură 1{ a lui rr; . Avem două cazuri: Cazul 1. Ramura � , cea extinsă, esLe distinctă de 1{I (i.e. de ramura adevărată a lui Î rr; ). n acest caz 'Iz este adevărat, pentru că ramura 1{, este în continuare o ramură adevărată a lui rr; . Cazul 2. Ramura p :> ) [p=>(q:::::> r)J=> [( p =>q):::::> ( p:::::> r)] Ax 3' . (-,p:::::>-,q )=>(q=>p) Axl".

Ax 2* .

25 G. Frege, 8egriffs schrift, eine der arithmetischen nachgebildelen Formelsprache des reinen Denkens, Hale,

1879; în engleză în J. V. Heijenoort (ed), From Frege la Godel, Harvard UP, 1967, 1-82.

26

Cf. J. Lukasiewicz; A Tarski, Untersuchungen liber den Aussagenkalkiil, c,R. Soc. Sci., Varsovie, 23, III,

1930; În engleză În A. Tarski, Logics, Semantics, Metamathematics, Oxford, 1956, cap. IV.

27

J.G.P. Nicod, A reduclion in the number of the primitive propositions of logic, Proc. Camb. Phil. Soc., 19,

1917. Comp. şi Quine, A note on Nicod's postulate, Mind 41; I. Copi. Symbolic Logic, Third ed., Macmillan Co, 1 967, § 8.6.

28

Cf. D. Hilbert şi W. Ackermann, Grundzuge der Ihe oretischen Logik, zw. verb. Aufl, New York, Dover PubL,

1 946, §§ 10-13.

29 S.C. Kleene, Introduclion to Melamathemalics , North-Holland PubL Co, 1 964, § 19.

30 J.B. Rosser, Logicfor Malhemaricians, New York, 1 953. 3 1 Pentru referiri la diferitele axiomatizări, inclusiv indicaţii

istorice, comp. I. Copi Cop. ci!.), A. Church,

Introduction ta Mathemarical Logic, Princeton UP, 1956, A. Heyting, Jntuitionism, 1956. 32

O axiomă este o formulă a limbajului obiect (i.e. a calculului), pe când o schemă de axiomă este un enunţ care

spune că orice formulă care satisface anumite condiţii (i.e. are o anumită formă) este o axiomă.

92

Reguli de deducţie:

MP (de mai sus) şi regula substituţiei Subst a{pJ /31 , . .. , P k //3k ) Sistemele S şi S* se raportează în următorul fel: S· utilizează strict 3 axiome (cele specificate), pe când S utilizează doar scheme de axiome 33. În acest din unnă caz, va fi axiomă a sistemului S orice fonnulă a Lp care are forma menţionată de scheme, deci şi axiomele lui S· . S are, aşadar, o infinitate de axiome. Întrucât în sistemul S regula substituţiei este dispensabilă, singura regulă de deducţie a acestui sistem este modus ponens.

Exemplu de demonstraţie în S Th 1. a::Ja . 1. [a ::J((a ::Ja)::Ja)]::J[(a::J(a ::Ja))::J(a::Ja)] ; Ax2 2 . a::J((a ::Ja)::Ja) ; Axl 3. (a ::J(a::Ja ))::J( a::Ja); 1,2MP 4. a ::J(a::Ja) ; AxI 5. a::J a ; 4,3 MP Exemplu de demonstraţie în S· Th 1*. P::JP 1. P::J(q::Jp) ; Ax 1* 2 . P::J[(q ::J p )::Jp ] ; 1, q / q ::JP 3. [P::J(q::Jr)]::J [( P::Jq )::J(P::Jr)]; Ax 2* 4. {p ::J[(q::Jp )::J rU::Jfip::J(q::Jp )]::J( P::Jr) }; 3, q/q::JP 5. {p ::J[(q::Jp )::Jp]}::Jfip::J(q::Jp )]::J( P::Jp )} ; 4, rlp 6. [P::J(q::Jp )]::J( P::Jp ) ; 2, 5 MP 7. p::JP ; 1 , 6 MP

Simbolurile din dreapta fiecărei linii indică linia / liniile din care s-a obţinut linia respectivă şi regulile corespunzătoare.

P::Jp ,

Dacă în S· teorema demonstrată este este schemă de teoremă34, caz în care

a

a::Ja p, (p /q ) /'J,

în sistemul S, corespunzător,

poate fi oric e fonnulă a Lp:

(p == q b (r v s) etc. Remarcă. Aşa

cum putem uşor constata, utilizarea schemelor de axiome simplifică demonstraţiile într- un sistem, deoarece Subst devine dispens abilă, fără a se pierde nimic, căci are loc: 1- sa ddacă I-s' a , unde ,,1- "înseamnă " a este demonstrabilă" sau" a este teoremă" (Simbolul situat dedesubt indică sistemul axiomatic avut în veder e) . Argument. Presupunem că Dem este o demon straţie a fonnulei cu ajutorul regulii substituţiei axiomele lui deduse din axiomele sistemului lor în

S·

,

S·. Iar

atunci demonstraţia fonn ulei

S,

a în S (i.e. 1- s a ). însă

care intervin în această demonstraţie, pot fi

dacă în Dem se înlocuiesc aceste axiome cu deducţia

a

în S trece în demonstraţia acestei fOlmule în

33 Chiar dacă le vom numi tot axiome, deosebirea este evidentă. 34 Chiar dacă le vom numi În continuare tot teoreme. 93

S·

a în S· (i.e. 's. a) . Dem' poate fi transfonnată într-o demonstraţie Dem", în care Subst se aplică numai axiomelor şi teoremelor obţinute din axiome prin aplicarea acestei reguli (respectiv, Subst se aplică înaintea MP). În acest fel, axiomele care apar în Dem" şi teoremele care apar în Dem" , obţinute prin aplicarea Subst, devin axiome ale sistemului S. Şi deci dacă în Dem" eliminăm formulele asupra cărora s-a aplicat Subst, atunci obţinem o demonstraţie a formulei a înS. Şi deci teoremele celor două sisteme, Sşi S· , coincid. Remarcă. Nu este valabilă îns ă următoarea echivalenţă: al' ... ,an I-sa ddacă al' .. .,an ��. a (aşa cum vom arăta mai jos). Invers, presupunem că

Dem'

este o demonstraţie a formulei

Întrucât "demonstraţia" şi "deducţia" sunt concepte fundamentale ale axiomaticii, să le introducem definiţional.

Definiţia 1. O demonstraţie într-un sistem axiomatic este un şir finit de formule /31' . . . ,/3n, astfel încdt fiecare formulă a şirului este fie o axiomă, fie rezultă din formule anterioare ale şirului prin aplicarea unor reguli de deducţie. Ultima formulă a şirului, f3n' este formula demonstrată (echivalent: f3n este o teoremă; simbolic 1- f3n ). Definiţia 2. O deducţie într-un sistem axiomatic a unei formule dintr-o mulţime de formule {al' ... ' am } este un şir finit de formule /31'. . f3n' astfel încât fiecare formulă a şirului este fie o axiomă, fie o formulă ai (i = 1, .. . , m). fie rezultă din formulele anterioare ale şirului prin aplicarea unor reguli de deducţie. Ultima formulă a şirului, f3n' este formula dedusă din cele m asumpţii (simbolic: ai,·. ·,aml- f3J Demonstrabilitatea este un caz special al deductibilităţii: o formulă a este demonstrabilă dacă a este deductibilă dintr-o mulţime vidă de asumpţii. ·'

Remarcă. Aplicarea al' ...' am are o

asumpţiile

regulii substituţiei într-o deducţie a unei formule restricţie notabilă:

/3 din nu se aplică celor m formule asumpţie.

Explicaţia este unnătoarea. Formulele asumpţie pot fi orice fel de formule: vaIide. nesatisfiabile sau satisfiabile. Dacă î n primele două cazuri determinaţiile "valid", respectiv "nesatisfiabil" se conservă în orice aplicare a Subst. în cel de-al treilea caz aces t lucru nu mai are loc. Fie, de exemplu. formula satisfiabilă (p /\ q)::Jr . Prin aplicarea Subst asupra acestei

( pI p v'p , qI qv.q , r I r /\ .r ) obţinem formula nesatisfiabi lă [(p v.p) A(q v.q)]::J (r /\.r ) . Similar putem construi o formulă validă (exerciţiu). Aplicarea ner estricti vă a Subst într-o deducţie ar valida o deducţie (ilicită) de genulp �. q.

formule

2.3.2. Sistemul axiomatic S Sistemul

S('.::J),

de mai sus, este sistemul obţinut de

si mplificarea sistemului fregean din sistem.

Begriffsschrift.

Axiome: Axl . a::J (/3::J a) Ax2. [a::J (/3::Jr)]::J[(a ::J/3)::J (a::J r)] Ax3. (.a::J. f3)::J (/3::Ja)

94

J.

Lukasiewicz prin

Rămânem în cele ce urmează la acest

Regulă de deducţie: MP (modus ponens) Definiţii. Def. l . avf3=df -,a� 13 Def.2. al\p=df -,( -,av-,f3) Def. 3. a=. f3 =df (a�f3)I\(f3�a)

a,a�p P

Definiţiile, într-un sistem axiomatic, sunt abrevieri. Ele permit înlocuirea unor combinaţii de simboluri cu altele, de obicei mai simple.

Teoreme în sistemul S Th. 1.

Th.

a�a (cf. 2.3.1) 2. -,a�(a�f3) 1. (-'f3�-,a)�(a�f3);Ax 3 2. [(-,13 � -,a) � (a �f3)] �[-,a �((-'13 � -,a)::J (a �f3))]; Axl 3. -,a � ((-,f3 �-,a) � (a �f3)); 1,2 MP 4.{-,a�[(-'f3�-,a)�(a� f3)])�«-,a�(-,f3::J -,a)]�[-,a�(a� f3)]); Ax2 5. [-,a�(-'13 �-,a)]�[-,a� (a� 13)]; 3, 4 MP 6. -,a�(-'f3�-,a);AxI 7. -,a� (a� 13); 5,6 MP

Aceeaşi teoremă poate fi însă demonstrată în mai multe moduri într-un sistem. Logica este interesată de elaborarea acelor metode de demonstraţie care permit o maximă simplificare a demonstraţiei teoremelor. Pentru aceasta adesea sunt utilizate metateoremele. Distincţia dintre o teoremă şi o metateoremă rezidă în următorul fapt: teoremele sunt formule demonstrate strict cu mijloacele sistemului S, şi deci sunt formule ale lui pe când metateoremele sunt aserţiuni a căror demonstraţie depăşeşte aceste mijloace, încluzând şi teze metateoretice intuitive. O astfel de metateoremă este teorema deducţiei 35.

S,

Teorema deductiei (Herbrand)36

Dacă al' .. .' an 1- f3, atunci al'.. . ' an _lI- an�fi . Demonstraţie. Presupunem antecedentul condiţionalului din enunţul teoremei, adică al'. ..,a" 1_ 13· În acord cu definiţia deductibilităţii există deci un şir de formule f31' ...,f3m (unde f3m = 13), care reprezintă deducţia lui 13 din asump�iile al' ...,an• Vom demonstra, prin inducţie pe i ( l:S; i :s; m) că al'.. . ' an- lI -an �f3; . i = 1 . În acest caz deosebim următoarele subcazuri: a) 131 este o axiomă. Pe baza Axl avem f31 �(an ::J fii). De unde, prin MP , obţinem al' ... ,an_1 1- an �Pl· b) fii este oricare din formulele asumpţie al' cu l =f. n . Tot pe baza Ax 1 avem al�(an �al) ; de unde, prin MP, obţinem al' ...' an_lI- an ::J al ' adică al' ...' an_II- an �fii . lS

Fără riscul unei confuzii, le vom numi In continuare teoreme.

36 Cf. 1.

Herbrand, Recherches sur la theorie de la demonstration, Tral'aux de la Soc. des Sci. et des Lettres de

Varsovie. III, VoI. 33, 33-160.

95

c) 131 este formula an. Vom avea, corespunzător, al' ...,a._1 f-an::Jan (prin Th 1), ap ...,an_1 f- an ::J 131. Presupunem acum că ap ..., an_1 f- a. ::J f3j , pentru orice j < i. Deosebim următoarele subcazuri: a) Pi este o axiomă. b) Pi este o formulă asumpţie a" 1"* n . c) Pi este formula an. adică

În aceste SUbCazUl1 pr ocedăm corespunzător celor trei situaţii de mai sus. d) Pi rezultă prin MP din două formule anterioare f3k şi P p

are forma

p (k, < i) unde f3p

Pk ::JPi .

al' ...' an_1 f- an::J 13. şi al'···' an_lI-an::J(f3k ::J f3i)· [an::J(f3k ::J f3.)]::J[(a. ::J P. )::J (an::J 13.)]. De unde, printr-o dublă aplicaţie a MP obţinem al' ...' an_1 f-an::J f3i. Şi deci pentru i = m vom avea al' .. .' an_1 - an ::J Pm ' adică al'· ··' an-lI- an ::JP . Remarcă. În demonstrarea teoremei deducţiei sunt suficiente următoarele resurse Prin ipoteza inducţiei avem:

î nsă, prin Ax2, are loc

teoretice: Ax 1 , Ax2, Th 1 şi MP.

Corolar. Dacă al' ...,a.f- 13,atunci f-al ::J (a2 ::J ... ::J (an ::J f3} ..) Semnificaţia metateoremelor rezidă, în general, în faptul că garantează existenţa unor derivări , Iară ca derivările să fie menţionate explicit. însă utilizarea unei metateoreme în demonstrarea unei teoreme nu face demonstraţia ca atare una metateoretică. Căci dacă se caută o demonstraţie anume, în toate detaliile ei, atunci aceasta poate fi construită din demonstraţia metateoremei corespunzătoare. Căci, conform teoremei deducţiei, de exemplu, dacă 13 este deductibilă din asumpţiile

al' ...,an_l, iar acest lucru poate fi demonstrat presupunând deductibilitatea formulei 13 din cele n asumpţii (într-un şir de formule f3l' ..., f3m) şi construind apoi o deducţie a formulei an ::J 13 din primele n-l asumpţii, înlocuind toate formulele şirului deductiv al lui 13 din ap- .. ,an, respectiv f3i (1:-C::; i::.; m), cu formula an::J f3i şi inserând în acest şir toate acele formule din care an::J f3i rezultă. Iar acest demers se rezumă la considerarea celor patru cazuri posibile, după cum f3i este o axiomă, o formulă asumpţie diferită de an' fonnula an sau f3i rezultă din două formule anterioare ale al' ...,an,

atunci

an::J peste

deductibilă din asumpţiile

şirului prin MP. Adică

f3i

este o axiomă. Înlocuim această formulă cu

an::JPi şi inserăm în şirul deductiv f3i::J(an::JPi) şi f3i. Includem aceste formule înaintea formulei an::J f3i , astfel încât, prin aplicarea MP obţinem tocmai an ::J f3i . b) P este o formulă asumpţie al' cu al "* an. Şi în acest caz procedăm ca în a). c) Pi este formula an. În acest caz în şirul deductiv vom insera toate formulele din care an::J an rezultă, adică Thl de mai sus. d) Pi rezultă prin MP din două formule anterioare f3k şi 13 (k, p < i), astfel că p Pp = f3k ::JPi. În acest caz înaintea formulei a.::J f3i vom pune formulele a.::J f3k şi an ::J(f3k ::J f3i) plus Ax2: [an::J (J3k ::JPi)]::J[(a. ::JP.)::J (an::J f3i)] din care printr-o dublă aplicare a MP obţinem formula an ::J f3i . a)

formulele din care această formulă rezultă, adică:

96

Exemplu.

Th 2:

,a::J(a::J f3).

Utilizând teorema deducţiei demonstraţia acestei

f3: ,a; as 2. ,a::J (,,8::J ,a); Axl 3. ,,8::J ,a; 1,2 MP 4. (,f3::J,a)::J (a::J ,8); Ax3 5. a::J f3; 3, 4 MP Am obţinut, aşadar, ,a 1-- a::J ,8. De unde, prin Th. deducţiei, f-- ,a ::J(a::J ,8). Acum, din demonstraţia teoremei deduc/iei, putem construi o demonstraţie a acestei teoreme, realizată integral cu resursele sistemului S, fără a utiliza teorema deducţiei . Pentru aceasta teoreme se poate face astfel . Deducem mai întâi, din ,a, implicaţia a::J 1.

procedăm în acord cu indicaţiile a)-d) din demonstraţia teoremei deducţiei. Şirul de formule 1-5, de mai sus, sunt fonnulele

,a::J ,8,

fonnule cu fomlulele 1

• .

,a ::J ,a

(1

2 . ,a::J [,a::J (,f3::J *

� i � 5),

,81' ...,,85. Înlocuind

aceste cinci

obţinem:

,a)]

. ,a::J(,,8::J ,a) 4' . ,a ::J[(,f3::J ,a)::J(a::J f3)] 5' . ,a::J(a::J f3) Iar acum trebuie să inserăm în acest şir deductiv formulele l' -5' . Iar acest lucru îl facem în funcţie de ce 3'

toate acele formule care anume este formula

f3j

justifică

(1 � i � 5 )

din şirul deductiv 1-5 .

f31 este formula ,a.

Avem aşadar cazul c), motiv pentru care vom trece succesiv

toate cele cinci formule care alcătuiesc demons traţia formulei l'

f32 este A:â . din

care

, ,a::J ,a

Aici avem cazul a). Vom insera în şirul deductiv

rezultă

formula

2',

adică

(i.e. TI1.

1).

l ' -5' toate formulele

,a::J( ,,8::J ,a)

(Axl)

şi

[,a::J('f3::J,a)]::J[,a::J (,a::J(,,8::J,a))] (Ax 1). De unde, prin MP, obţinem 2' . ,8l se obţine din formulele 1 şi 2 prin MP. Aici avem cazul d). Şi astfel înaintea formulei 3' vom pune următoarele formule: ,a::J,a şi ,a::J(,a::J (,,8::J,a)) plus Ax3: {,a::J[, a::J (,,8::J,a)]}::J[(,a::J,aX,a::J(,,8::J,a))]. De unde, printr-o dublă aplicare a MP , obţinem 3': ,a::J(,,8::J,a). f34 este Ax3. Din nou, avem cazul a). Procedăm similar. Adică inserăm în şirul deductiv

l' -5 "

înaintea

formulei

4'

toate

formulele din

care

ea

rezultă:

Ax3

şi

,f34::J(,a::J ,84): [(,f3::J,a)::J (a::J f3)]::J[,a::J ((,,8::J ,a)::J(a::J f3))].De unde, prin

MP, obţinem 4'

.

,85 se obţine din formulele 3 şi 4 prin MP.

Avem, din nou , cazul d). Şi deci înaintea

formulei 5' vom insera următoarele formule:

,a::J (,,8::J ,a), ,a::J [(,,8::J ,al::J(a::J ,8)] şi {,a::J [(,,8::J,a)::J (a::J ,8m::J IT,a ::J (,,8::J ,a)]::J[,a::J(a::J f3)]) .

Ax2:

unde, printr-o dublă aplicare a lui

MP, obţinem formula de demonstrat, 5' .

Înşiruind toate formulele menţionate mai sus obţinem o demonstraţie a Th2 demonstraţia teoremei deducţiei.

97

De

din

Remarcă 1. Teorema deduc�ei explicitează o corelaţie esenţială între demonstraţii şi deducţii. În demonstraţia unei teoreme este suficient să demonstrăm relaţia corespunzătoare de deductibili tate iar apoi să aplicăm teorema deducţiei. Aşadar, teor ema deducţiei se poate constitui într-o regulă derivată de deducţie, în sensul că, o dată demonstrată, pe baza ei inferăm existenţa unor deducţii I demonstr aţii, r ară construcţia lor efectivă. În fine, o altă metateoremă i mpOltantă este cea privitoare la înlocuirea expresiilor echivalente. /3 == Yf- ap == ar' a, /3,Y sunt formule ale Lp ' /3

Teorema înlocuirii (echivalenţilor): În expresi a de mai sus,

este o subformulă a lui a (i.e.

ap) iar a se ob�ne din a prin înlocuirea a zero sau mai multe ocurenţe ale lui p r

/3

în

formula a cu formula y.

Demonstraţie (inducţie). Fie, în cele ce uIDlează, n gradul formulei ap minus gradul formulei /3. l. n O . În acest caz: P == r �- P =- r . 2. n > O. Presupunem că teorema are loc pentru orice j < n şi vom arăta că are loc şi pentru n. În acest caz ap are forma a ' unde a ' este diferită de /3< iar /3' este o formul ă p p =

,

,

în care

/3

formulei aşadar:

este subformulă. Aşadar,

P*

/3* = /3; (P'

poate fi diferită sau nu de

/3).

Cum gradul

este mai mic decât gradul formulei a o, prin ipoteza inducţiei, teorema are loc; p

P == rr- /3; == /3;.

Considerând acum forma formulei ap, deosebim cele două cazuri:

a) ap are forma

,/3;. În acest caz ar are forma ,/3;. Vom avea:

l. p==y;as

2. P == r f- /3; == P; ; ipot. ind. 3. (/3 == r )::J(/3; == /3;); 2 Th. ded. 4. /3; == /3;; 1, 3 MP 5. Pp == P; f- ,/3; == ,/3;; Th. 33 (mai jos) 6. (P; =- /3;)::J(,P; == ,P;); 5, Th. ded. 7. ,/3; == ,P; ; 4, 6 MP Avem deci /3 =- r f- ,P; == ,/3;,adică /3 == y f- ap == ar' /3; ::JJ sau 2. J::Jp; . ap = Pp ::JJ . Şi deci ar = /3; ::J J

b) ap are forma 1. bl)

l . p==y;as

2. P == Y f-- /3; == /3; ; ipot. ind. 3. (P == Y)::J(/3; == /3;); 2 Th ded 4. /3; == /3;; 1, 3 MP 5. /3; ::J P;; 4, Def. 3, Th. 20 6. /3; ::J P; ; 4, Def. 3, Th. 21 98

7. /3; -::J /3;,j3; -::J8 't-. /3; -::J8; Th. 24 8. ( /3; -::Jj3;) -::J [( /3; -::J8)-::J (j3; -::J8)]; 7, Corol. Th. ded. 9. ( /3; -::J8) -::J ( /3; -::J8); 6, 8 MP 10. /3 ; -::J /3;,j3; -::J8 't-- /3; -::J8; Th. 24. Il. (/3; -::Jj3;) -::J [( /3; -::J8) -::J (j3; -::J8 )]; 10, Corol. Th. ded. 12.(j3; -::J8)-::J (j3; -::J8); 5,11 MP 13.(j3; -::J8)� ( /3; -::J8); 9,12,Th. 27,Def. 3 Şi deci /3 � r't-- (j3; -::J 8)�( /3; -::J8); adică /3= r 1- afl � ar. b2) afl =8-::J/3;.Şi deci ar = 8 -::J/3; 1 6 din bl 7. /3; -::J/3;,8-::Jj3;1-8-::Jj3;;Th.24 8. (/3p -::J/3;) -::J[(8-::Jj3;) -::J(8 -::Jj3;)];7, Corol. Th. ded. 9. (8 /3;) -::J(8-::Jj3;); 5, 8 MP 10. /3; -::J/3;, 8 -::J/3; f- 8-::Jj3; ; Th. 24 Il. ( /3; -::J/3;) -::J[(8-::Jj3;) -::J(8-::J/3; )]; 10, Corol. Th. ded. 12. (8-::J/3;) -::J(8-::J/3;) ; 6, 11 MP 13. (8-::Jj3;)= (8-::J/3;); 9,12,Th 27,Def. 3 Şi deci, a= /3 't-(8-::J /3;)�(8-::J /3;);adică a== /3 r-a fl=ar· -

-::J

Remarcă 2. Demonstraţia de mai sus este o demonstraţie pur sintactică a teoremei înlocuirii. Aşa cum am văzut în 2.1.5 , în teoria funcţiilor de adevăr avem o teoremă similară: teorema (semantică) a înlocuirii (echivalenţilor): Dacă /3 r, atunci afl�ar. De unde deducem j3= r Fafl�ar (de ce?), echivalent 1= (/3�r)-::J(a fl=ar) (prin teorema de normalitate). În cazul în care presupunem demonstrată teorema completitudinii sistemului S, conchidem asupra 1- (j3 � r) -::J( afl � ar). Şi deci /3� r 1- afl�ar. Aşadar,cu presupoziţia menţionată, teorema sintactică a înlocuirii este un rezultat imediat al teoremei semantice a înlocuirii. Th.3. [a-::J(a-::J/3)]-::J(a-::Jj3) 1. a:J(a-::J /3};as 2. a; as 3. a-::J/3; 1,2 MP 4. /3; 2,3 MP Şi deci a:J (a-::Jj3), a 1- /3. De unde, prin aplicarea Th. deducţiei, obţinem a-::J(a-::Jj3) r- a -::J/3. În fine, printr-o nouă aplicaţie a Th. deducţiei, obţinem f- [a -::J (a::J /3)]::J (a::J /3). Rezultatul se putea obţine şi direct din prima deducţie prin aplicarea corolarului acestei teoreme. Th.4. (a-::J/3)-::J[(j3-::Jr)-::J(a-::J r)] 1. a-::Jj3; as ==

99

2. 3. 4. 5.

f3::J Y ; as a; as

13; 1, 3 MP y; 2,4MP

Şi deci, a::Jf3, j3::JY , a l·y. Şi astfel, �·(a::Jf3)::J[(f3::Jr)::J (a::JY)]. Th. 5. a::J(.a::J13) l.a; as 2 . • a; as 3. • a::J (a::J 13); Th. 2. 4. a::J13 ; 2, 3 MP 5. 13; 1, 4 MP Şi deci, a , .a f- 13, şi astfel �- a::J(.a::J 13) (prin corolar). •• a; as -,-,a::J(.a::J ....,....,.,a) ; Th. 2 3. ....,a::J •....,.,a; 1, 2 MP 4. (.a::J....".-,a)::J(....,.,a::Ja); Ax3 5. ....,.a::Ja; 3, 4 MP Th. 7. a::J •....,a (exerciţiu) Th. 8. (a::J j3)::J (""'f3::J....,a) 1. a::J 13; as 2 . ....,.,a::Ja; Th. 6 3. ....,....,a ::J 13; Th. 4, 2, 1 MP 4. j3::J -'-'13 ; Th. 7 5. ....,....,a::J ....,.13 ; Th. 4, 3,4 6. (-,-,a::J....,....,j3b (.13 ::J.a); Ax3 7 . • f3::J.a; 5, 6 MP Şi deci a::J jl f-.f3::J ....,a; de unde, prin th. ded. f- (a::Jj3)::J(.jl ::J .a ). Th.9. (a::J .j3)::J(j3::J.a) (exerciţiu) Th. 10. (.a::Jjl)::J(....,j3::Ja) (exerciţiu) Th. Il. a::J(....,13::J ....,(a ::Jjl)) 1 . a::J [(a::J f3)::J 13] ; din MP plus două aplicaţii ale th. ded. 2. [(a::Jj3)::J j3]::J[(....,j3::J-,(a::J13))]; Th. 8 3. a::J(.f3::J....,(a::J 13)); 1, 2 prin a::J 13, j3::J Y f- a::J y (demonstraţi că

1.

2.

această din urmă deducţie are loc).

(a::J j3)::J[(.a::J jl)::J13] (exerciţiu) 13. [ a::J (jl::Jr)]::J[ p::J(a::J y)] 1 . a::J(jl::J y) ; as 2. 13; as 3. [a::J(j3::Jr)]::J [(a::Jjl)::J(a::Jr)]; Ax2 4. (a::J f3)::J(a::J y); 1, 3 MP 5. jl::J(a::J13); Ax1 6 . a::J 13 ; 2 , 5 MP

Th. 1 2 .

Th.

100

7. a::JY; 6, 4 MP Avem deci a::J (f3::Jy) , 13 1- a::Jr; Aşadar 1- [a::J(f3::J Y)]::Jrft::J(a::Jy)] (corol ar ). Th. 14. (a::Jp)::J [(yv a)::J (yv 13)] 1. a::J 13; as 2. (a::J p) ::J(-'Y::J (a::J f3) }; Ax 1 3. -'Y::J(a::J f3); 1, 2 MP 4. [-'Y::J(a ::Jp)]::J[(-'Y::Jab (-'Y::J13 )]; Ax2 5. (-'Y::Ja)::J(-'Y::J 13 ) ; 3, 4 MP 6. (yv a)::J (yv 13) ; Def. 1 7. Th. 14; 1,6,Th. ded. Th.15. (a::J-,a) ::J-,a (Din Th. 5: a::J (.....,a::J-'( P::J13 )) , Ax2, Th. 9) (exerciţiu) Th. 16. (-,a::Ja)::Ja (exerciţiu) Th. 17. (ava)::Ja; Th. 16, Def. 1 Th. 18. a::J(av 13) (exerciţiu) Th. 19. (avp)::J (f3 V a) (exerciţiu) Th. 20. (a/\p)::J a (exerciţiu) Th. 21. (a/\p)::Jp (exerciţiu) Th. 22. av-,a (exerciţiu) Th. 23. av( 13 vy) f- pv(avy) 1. av(pvy); as 2. ..,a::J (.....,13 ::J y); 1, Def. 1 3. -,P::J (-,a::J y); 2, Th. 13. 4. pv(avy); 3, Def. 1 Th. 24. a:::J P,P::J Y f- a::Jy (exerciţiu) Th. 25. av(13vy) f- (avp)vy 1.av(pvy);as ., ::J(13 vy); Def. 1 2. ....a 3. (pvy):::J (yv 13 ) ; Th. 19 4. -,a::J (yvp); 2, 3 Th. 24 5. av(yv 13) ; 4, Def. 1 6. yv(avp); 5, Th. 23 7. (avp)v y; Th. 19,6, MP Th. 26. (avp)vy f- av(pvy) (exerciţiu) Th. 27. a, 13 1- a/\ 13 1. -,(.....,av..,f3)::J....(., ....a ., v..,p); Th. l 2. (..,av-,p)v....(., .....,av-,p); Def. 1 ., v"""13)) ; 2, Th. 26 3. -,av(-'13 v..,(....a 4. -,av(-,13 v(a /\ 13)) ; 3, Def. 2 5. a::J (f3::J (a /\ 13 )) ; 4, Def. 1

101

6. a; as 7. ,O::J (a.l\,O); 5, 6 MP 8. /3; as 9. a.l\/3; 7,8MP Th. 28. [a::J (,O::Jr)] ::,[ (a.l\/3)::Jy] 1. a::J(/3::Jr); 2. a.l\/3; as 3. a; 2,Th. 20, MP 4. ,O; 2,Th. 21,MP 5. /3::J y; 1,3 MP 6. y; 4, 5 MP Deci, a::J (fi ::Jr),a.1\ ,O f--- y. De unde, printr-o dublă aplicare a Th. ded. obţinem rezultatul. Th. 29. [(a.l\ ,O)::Jr]::J[a::J(/3::Jr)] (e xerciţiu) Th. 30. [a::J(/3::Jr)]= [(a.l\/3)::Jr] (exerciţiu) Th. 31. a= /3,/3= yf--- a==y (exerciţiu) Th. 32. a= -,--,a ( Th. 6, Th. 7,Th. 27, Def. 3) Th. 33. a ,O f--- -,a= -,,0 (exerciţiu) Th.34. av p f--- /3v a (exerciţiu) Th.35. -,(a.l\-,a) ( av -,a,Th. 22, Th. 34, Th. 32,Th. înloc., Def. 2) Th. 36. [(a::J/3).1\ -,p]::J -,a 1. (a::J/3).1\ -,/3; as 2. a::J,O; Th. 20 3. -,p; Th. 21 4. (a::J/3)::J(-,/3::J-,a); Th. 8 5. -,/3::J-,a ; 2, 4MP 6. -,a; 3, 5 MP Şi deci (a::J ,0).1\ -,/3 f--- -,a. De unde, prin th. ded., obţinem Th. 36. Th. 37. -,(av/3) = (-,a.l\-,/3) 1. -,(av p)::J-,(av,O); Th. 1 2. -,(av /3)::J-,(-,--,av-,-.,p); Th. 32, Th. înloc. 3. -,(av/3)::J (-,a.l\-,/3); Def. 2 4. (-,a.l\ -,/3)::J(-,a.l\-,/3); Th. 1 5. (-,a.l\-,/3)::J-,(-,--,av -,-,,0); Def. 2 6. (-,a.l\-,p)::J -,(av/3); Th. 32,Th. înloc. 7. -,(av /3)= (-,a -,/3); 3, 6, Th. 27, Def. 3 Th. 38. -,(a::J/3) = (a.l\---,/3) 1. ---,(a::J/3) == -,(-,av p); Th. 32, Th. înloc., Def. 1 2. -,(-,av/3) == (-,--,a .I\-'p); Th. 37 3. (-,-,a.l\---,/3)= (a .1\-,,0); Th. 32,Th. înloc. 4. -,(a::J p)= (a.l\-,/3); Th. 31. as

==

1'.

102

2.3.3. Corectitudinea şi completitudinea sistemului axiomatic S

Teorema corectitudinii. Dacă f--- a, atunci Fa. Ceea ce trebuie demonstrat este deci faptul că orice formuLă demonstrabiLă În S este o formulă validă a Lp' Demonstrarea teoremei corectitudinii se rezumă la a demonstra unnătoarele: a) Axiomele sistemului S sunt formule valide. b) Regula modus ponens conservă, în concluzie, validitatea premiselor. Demonstraţie. a) Întrucât operăm cu scheme de axiome, a demonstra a) Înseanmă a demonstra că orice formulă de forma axiomei respective este o formulă validă a Lp' Prima axiomă, de exemplu, are forma p::::> (q::::> p) , care este o formulă validă a Lp' Iar orice formulă validă a Lp obţinută prin substituţii corecte din această formulă este, de asemenea, o formulă validă a Lp'

Demonstraţie (contrapoziţie). Presupunem că a( pi / PI'"'' Pk I f3k)' obţinută din a(PI,,,.,Pk) prin substituţiile indicate, nu este validă. Există deci o interpretare Int l a variabilelor propoziţionale din fOffli Ulele f31''''' f3k în care a(PI I A"Pk / f3k) este falsă. Fie acum o interpretare Int 2' similară interpretării Int I cu următoarea clauză: Pi în Int 2 (1 � i � k) ia valoarea formulei f3, în Int l' În acest caz, în Int 2 formula a(PI ,,,., Pk ) = O şi deci nevaLidi7• b) Modus ponens conservă validitatea. Demonstraţia acestui fapt o putem face ca mai sus, la punctul a), arătând că fomlUla [a" (a::::> f3)]::::> f3 este o formulă validă a Lp Prin reductio ad absurdum demonstra�ia lui b) arată astfel. Presupunem că premisele regulii, a şi a::::> f3 , sunt fonnule valide iar /3 nu este validă. Există deci o interpretare Int a variabilelor din f3 astfel că /3 = O în Int. Cum a este adevărată în orice interpretare (fiind formulă validă!), rezultă că (a::::> /3)=0 în Int. Însă acest rezultat contrazice asumpţia validităţii premisei a::::> f3 . Remarcă. O dată demonstrată corectitudinea sistemului, o demonstraţie a consistenţei se poate face cu uşurinţă. Căci dacă prin consistenţa lui S înţelegem că în S nu este demonstrabilă atât o formulă a cât şi negaţia ei, atunci conchidem că: dacă a este demonstrabilă, atunci a este validă (prin th. corect.). Iar dacă a este validă, atunci -,a este nesatisfiabilă (deci nevalidă). De unde, prin contrapoziţie, din th. corectitudinii, deducem că -,a nu este demonstrabilă. Pentru demonstrarea completitudinii sistemului S demonstrăm în prealabil o teoremă care conectează cele două semnificaţii fundamentale: F (validitatea) şi ro. (demonstrabilitatea). Teoremă. Fie a(pl''''' Pk)' Pentru o interpretare Int a variabileLor PI , ..., Pk' fie: •

{Pi'

dacă Pi = 1 în Int -ori' d aca In lnt - P; = O' (1 � i � k) Atunci: p�,..., P: 1.. a'.

Pi = •

•

a =

37 Comp. şi 2.1.5.

103

{a

,

a

d că a= l în lnt -,a, dacă a = O în Jnt

Pentru a sesiza mai uşor conţinutul acestei teoreme, să dăm mai întâi un exemplu. Fie a = PI == P2' Fie In! următoarea interpretare a variabilelor: PI =1 şi P2 = O. În acest caz vom avea P� = PI' P; = 'P2 şi a' =.a. Trebuie demonstrat aşadar, că p�, P; 1- a', adic ă PI''P2 1-·a. Demonstraţie (inducţie pe gradul n al formulei a) a) n = O . În acest caz a este o variabilă propoziţională P, care în Int poate fi adevărat ă sau falsă. Dacă P = 1, atunci p' = P şi a' = P şi deci P 1- p, adică p' 1- p' are loc. Iar dacă P = O, atunci p' =.p şi a' = 'P şi deci 'P 1- 'P, aşadar p' 1- p' are loc. b) n > O. Presupunem că teorema are loc pentru orice j < n (i.e. ipoteza inducţiei) şi trebuie să arătăm că teorema are loc şi pentru n. Cum n > O, formula a poate avea forma .[3 sau [3::::> r. Deosebim aşadar două cazuri: 1 . a = .[3. Cum gradul lui [3 este mai mic decât gradul lui a, teorema are loc pentru [3 (prin ipoteza inducţiei). Deosebim, în continuare, următoarele două subcazuri, după cum [3 este adevărată sau falsă în Int. 1a. j3 = 1. Fiindcă a =.[3, rezultă că a = O. Aşadar, vom avea [3* = [3 şi a' =.a. În acord cu ipoteza inducţiei, avem: 1. Pl ,,,,,Pk 1- [3 2. P� P; 1- [3 3. P; P; 1- .(.[3); 2, Th. 7, MP 4. P; P; 1- .a 5. P; P; 1- a' '

'

'

'0 0 "

' 0 " 0

'00"

'0 0"

1b. P = O. Acum P' =.p, a' = a . A vem, aşadar: 1. P; P; f- P' 2. P; ,..., P; 1- .p 3. P� ..., P; 1- a 4. P� ,... , P; 1- a' 2. a = P ::::> r . Cum gradele formulelor P şi r sunt mai mici decât gradul lui a, prin ipoteza inducţiei teorema are loc pentru aceste formule. Avem, aşadar, P� ,... , P; 1- P' şi P; , ... , P; 1- y'. În acord cu condiţiile de adevăr ale unei implicaţii, deosebim următoarele trei subcazuri: 2a. j3 = O. Şi deci a = 1 . Şi astfel P' =.p, a' = a . Avem deci: l. PI' P; I-.p 2. p;, ... ,p; 1- p::::> y; 1 Th. 2, MP 3. P; ,... , P; 1- a' '00"

,

'00"

2b. Y 1. Şi deci, y' y, a' = a . Şi astfel, 1. P; ,... , P; 1- r 2. p;,oo.,p; 1- p::::> r; 1, Axl, MP 3. P; ,..., P; 1- a' =

=

104

2c .

Avem astfel:

1. 2.

3. 4.

13 = 1 şi r = O. Şi deci 13* = 13. y* =.y iar a" =.a (i.e P� P; f- 13

.

•(13 � y)).

•. . .•

P� , ... , P; f- ·r p; ,... , P; \- .(13 � y); 1,2, Th. 11 MP *

* Pl* "",Pk f- a

Teorema de completitudine. Dacă 1= a. atunci 1,- a. Demonstraţie. Presupunem F a (pp Pk ) Şi deci pentru orice interpretare a variabilelor propoziţionale pp .. , Pk din a, a ia valoarea logică adevărat. Şi deci a* a . În ...•

.

.

=

acord cu teorema de mai sus, avem p; ,... , P: f- a Şi astfel avem. vom avea: a) dacă Pk 1, atunci P; ... , P;_p Pk f- a b) dacă Pk = O, atunci p; , .... P;_p 'Pk f- a De unde, prin teorema deducţiei, obţinem, corespunzător: 1. P; , .. . , P:-I 1-. Pk � a 2 . PI• ,... , Pk- l f- 'Pk � a 3. P;""'P:-l f- a; 1,2 Th. 12, MP Însă şi Pk- l poate fi adevărată sau falsă. Repetând demersul de mai sus, eliminăm succesiv (în k paşi) toate variabilele P; CI � i � k ) şi obţinem, în final, f-a. Remarcă. Laolaltă, cele două teoreme (corectitudinea şi completitudinea) redau ideea coextensivităţii celor două concepte: "formulă validă" şi "formulă demonstrabilă (teoremă) .. în Lp : F a ddacă 1·· a. În sens tare teorema de completitudine include considerarea formulelor asumpţie, =

,

*

Definiţia J. Un sistem axiomatic S se numeşte complet (în sens tare) dacă din al, ...,a)'" 13 rezultă ap an\- 13· Definiţia 2. O formulă 13 a Lp este deductihilă în S dintr-o mulţime r de formule ale L (simbolic n- 13 ) dacă există o mulţime finită de fonnule ap . . . ,an din r, astfel încât p . . .•

ap... ,an

1-

13.

Definiţia 3. O mulţime r de formule ale Lp se numeşte S-inconsistentă dacă există o fonnulă 13 a Lp astfel Încât r 1-. 13 şi r \-.13; în caz contrar se numeşte S-consistentă. Remarcă. Sensul S-inconsistenţei38 din definiţia de mai sus este echivalent cu

următorul: r este S-inconsistentă ddacă \- .(al "... " aJ. Demonstraţie39. Presupunem sensul din De! 3, adică r \- 13 şi r l-'-lj3. Există aşadar ap ..., an E r , astfel că ap ... ,an f- 13 şi ai'. . .,an \-.13. Şi deci al'... ,an f- 13".13 (prin Th. 27). Şi decif- al � (. .. � (an � (13".13 ))... ) (corolar Th. ded.); respectiv, 38

Întrucât în acest parag raf avem în vedere doar sistemul axiomatic in/consistenţă va fi omis. 105

S (....,, � ), simbolul S cu referire la

(al" .. . " aJ � (j3 ,,-.j3) (prin Th. 28). însă în S -{j3" -.j3) este teoremă. Şi deci f- -. (al"..." an) (prin Th. 36 MP). Reciproc (argumentaţi). r

Definiţia 4. O mulţime

1

de formule ale

se numeşte maximal consistentă, dacă are loc: dacă lu{a} este consistentă,

L p

este consistentă şi pentru orice formulă a a Lp atunci aE 1. Lema 1 (Lin.denbaum). Orice mulţime consistentă 1 de formule ale extensie maximal consistentă. Demonstraţie. Considerăm mai întâi o enumerare40 a tuturor fonnulelor

Construim acum un şir de mulţimi 11

11'

Iz ,. .. în felul următor:

L

p

L : p

admite o

a l'az,...

=1

In U {a n}' dacă mulţimea astfel obţinută este consistentă. In' în caz contrar Fie acum 1* = Uli ( i 1,2, . . .). Trebuie să arătăm acum că reuniunea tuturor mulţimilor astfel construite, l' , este consistentă şi maximală. a) 1" este consistentă (reductio ad absurdum). Există aşadar formulele ai, ,...,ai, elin l' şi o formulă j3 astfel încât a ,... ,a. f-j3 şi a., ,... ,a., f- -.j3. Fie m cel mai mic număr astfel încât formulele a ,..., a apartin mulţimii 1m . Şi deci lm este inconsistentă. Însă acest lucru este imposibil, căci lm este una din mulţimile şirului r;, Iz ,... construit astfel încât 11 = 1 este consistentă (prin ipoteză) iar dacă In este consistentă, atunci ln+1 este consistentă. b) 1* este maximală. Căci dacă 1* u{aJ este consistentă, atunci şi In u{aJ este consistentă şi deci an E ln+l. Aşadar, an E 1* . IMI

ln+1

=

=

=

'1

"

'01:

't

1

i

'

Lema 2. Orice mulţime consistentă 1 de formule ale Lp este satisfiabilă. Demonstraţie. Ceea ce trebuie arătat este unnătorul fapt: dacă r este o mulţime consistentă de formule, atunci există o interpretare în care toate formulele din 1 iau valoarea logică adevărat. Prin Lema 1, 1 admite o extensie maximal consistentă 1* . Dacă

a este o formulă elementară (i.e. variabilă propoziţională) care aparţine lui 1', atunci îi asignăm valoarea logică adevărat (i.e. a 1); în caz contrar a O. Vom demonstra, prin inducţie pe gradul unei formule, că în această interpretare următoarea echivalenţă are loc, pentru orice formulă a. =

a

=

1

=

ddacă a E 1*

acest caz formula a este o variabilă propoziţională şi deci rezultatul este imediat (prin construcţia interpretării). n > O. Presupunem că echivalenţa are loc pentru orice fonnulă a al cărei grad, j, este mai mic decât n şi arătăm că ea are loc şi pentru o formulă arbitrară al cărei grad este n. Întrucât operatorii primitivi ai sistemului S sunt negaţia şi implicaţia, vom considera distinct cele două cazuri. n = O. În

39 Este o demonstraţie în sensul Henkin, sens pe care-I vom avea În vedere şi În demonstrarea completitudinii logicii axiomatice a predicatelor (comp. L. Henkin, The compIeteness of the frrst-order functional caIculus,

loumalof SymbolicLogic, 14, 1949, 159-166). 40

Fapt posibil, deoarece limbajul L conţine o mulţime infinit numărabiH\ de simboluri. p

106

a) a are forma ,fi. Şi decij este gradul formulei fi. 1. ,f3 E r' . Rezultă că f3e: r' (prin consistenţa lui r'). Prin ipoteza inducţiei, echivalenţa are loc pentru f3 şi deci f3 O. Şi astfel -,/3 = 1. 2. ,f3e: r" . Rezultă că r' u {,B} este consistentă şi deci f3 E r' . Argument: Presupunem că r' u{,B} este inconsistentă. Rezultă că există o formulă r astfel încât r' f3 f--- r şi r', [3 r- 'r. Şi deci r' f3 f- r" ,r (prin Th. 27). Şi deci r' f- f3 � (y" ,y) (prin Th. Ded.). Şi astfel r' f- -,(,x" ,y) � ,[3 (prin Th. 8) şi deci r" f--- '/3 (Th. 35, MP). Şi astfel r' u {,f3} este consistentă şi astfel ,f3 E r' ceea ce contrazice asumpţia ,f3 e: r'. Însă dacă f3E r ' , atunci f3 = 1 (prin ipoteza inducţiei) şi deci ,f3 = O . =

,

,

,

b) a are forma f3 � r· 1. f3 � rE r ' . În acest caz avem: f3iţ; r' sau YE r ' . Cum f3 şi r au gradele mai mici decât n, prin ipoteza inducţiei avem f3 = O sau r = 1. Şi deci f3 � r = 1 . 2. f3 � ye: r'. Rezultă că r' u {,(f3 � y)} este consistentă şi deci -.(f3 � y) E r' (cf. argumentului a2). Şi deci r' f--- ,(f3 � y). Şi astfel r" f--- f3 ",y (Th. 38). Şi deci r' f- f3 (Th. 20) şi r ' f---,y (Th. 21). Şi astfel f3E r' şi y'l r' (prin ipot. ind.). De unde f3 = 1 şi r = O. Şi astfel f3 � r = O . Şi deci există o interpretare în care toate formulele din r ' sunt simultan adevărate. Aşadar şi formulele din r sunt adevărate în această interpretare (deoarece r "" an)' În acest caz mulţimea al'''''an' ,f3 este consistentă (cr. exerc. 4). Şi deci, prin Lema 2, este satisfiabilă. Adică există o interpretare în care ap ... , an sunt adevărate iar f3 este falsă. Aşadar, non ap ... , an F f3. Exerciţii

1. Să se demonstreze următorul enunţ (sens mai tare al th. corectitudinii): Dacă al''''' an f--- f3, atunci al'''''an F f3. Indicaţie. Plin corol. Th. ded. avem f- (al � ..(an � [3)... ) . De unde, prin Th. 30 obţinem f--- (al""'"aJ � f3 . Şi astfel F (al""'"aJ � f3 (prin th. corect.). De unde, prin th. de normalitate: al",,'"an F f3. Şi deci al''''' an Ff3 (plin exerc. 4 din 2.1.2.4). .

2. Fie a formula r5 � e. Cu presupoziţia completitudinii lui S, demonstraţi că următoarea relaţie are loc: f3:; r f- ap:; ar' Indica,tie. (inducţie pe gradul lui ap). Avem ap = a p � E p iar ar = ar � Ey. Prin ipoteza inducţiei avem a == f3 1- ap:; arşi a == f3 i- EP == Ey . De unde, prin formula vaLidă a 107

(şi deci teoremă prin completitudinea lui S): [(� == Â,.)" (� == 14)]::::>[(� ::::>�) == (Â,. ::::>14)] plus Th. 27, MP obţinem rezultatul. Lp

3. a) Fie HA41 următorul sistem axiomatic: p::::> (p v q) ; Ax3. (pvq)::::> (qv p); (pvp)::::>P ; Ax2. (p ::::>q)::::>[(rv p)::::>(rv q)] . Reguli de deducţie: a,a::::>j3 a(PI"'" Pk) şi Regula substituţiei: MP j3 Ax 1.

Ax4.

Demonstraţi următoarele reguli (derivate) ale sistemului HA: RI ' ava 1_ a Rz. a1avj3 RJ• av j3 1- j3va R4• a::::>/3 1- [(yva)::::> (yvj3)] Rs' a::::>j3 1- [(y::::> a)::::>(y::::>/3)] b) Demonstraţi teorema corectitudinii acestui sistem, în următoarea interpretare aritmetică a sintaxei lui: p, q, r sunt variabile aritmetice care pot lua valorile O sau 1; 'P 1 ddacă p = O; Pv q = pq (produsul aritmetic). Indicaţie. În această interpretare toate formulele demonstrabile (şi numai ele) iau valoarea O. Detaliaţi demonstraţia. =

4. Să se demonstreze uffilătorul enunţ: Dacă non r i- a, atunci ru{-.a} este consistentă. Indicaţie. Presupunem ru{-.a} este inconsistentă. Deci r, -.a i- j3 şi r, -.a 1- -./3. Şi astfel r 1- -.a::::>(/3 ,,-.j3) . Şi astfel r 1- a (contradicţie).

41

HA este sistemul Hilbert/Ackermann, din Grundziige der theoretischen Logik, § 10, obţinut din sistemul WhiteheadlRussell din Principia Mathematica (prima ed.) prin omiterea axiomei care redă asociativitatea disjuncţiei.

108

L p

2.4. Deductia naturală În ,

Spre deosebire de celelalte procedee de demonstraţie, sistemele deducţiei naturale cons tituie un mijloc de decizie care corespunde în mai mare măsură modurilor practice de inferare în argumentarea informală sau în diferitele compartimente ale ştiinţei. Astfel de sis teme sunt construcţii bazate pe acceptarea Iară demonstraţie a câtorva reguli fundamentale, cu ajutorul cărora se construieşte întreg edificiul unui calcul. Primele construcţii de acest gen datează din deceniul patru al secolului 20, prin contribuţiile notabile ale lui G. Gentzen42 şi St. Jaskowski43• Astăzi sistemele deducţiei naturale cunosc o mare diversitate. În cele ce urmează ne vom limita la analiza detaliată a unui astfel de sistem 44. Simbolurile primitive ale sistemului sunt: variabilele propoziţionale p, q, r, ... (cu sau fără indici); operatorii logici -', 1\, v , ::::>, =, 1, parantezele ), (, ], [, }, {. Conceptul de "formulă a calculului propoziţional" este cel din paragrafele anterioare. În sistem vom opera cu două categorii de reguli: regulile structurale, care determină structura unei demonstraţii (directe sau indirecte), şi regulile fundamentale de adăugare de noi termeni şirului de formule care constituie demonstraţia. 2.4.1. Sistemul deducţiei naturale 1. Reguli fundamentale şi reguli structurale

a) Regulile fundamentale de adăugare de noi termeni (formule) sunt scheme deductive de forma premise - concluzie. Adică, date fiind formulele a"... ,a" ( n�l), numite premise (asumpţii), conchidem j3, numită concluzie. Ele au aşadar forma: al

j3

Fiecare operator logic binar din cei menţionaţi mai sus, cu excepţia::::> , este explicitat prin două astfel de reguli, una de introducere iar cealaltă de eliminare. Aceste reguli pot fi construite cu uşurinţă pe baza definiţiei semantice a operatorilor respectivi. Reguli de introducere (1)

Reguli de eliminare (E)

f3

-,a

A '

-,a v -,j3

a alj3

al\j3

, E,.

E '

-,j3

1,.

IA·

alj3

al\j3

a

j3

alj3

a v j3 a

-,a

j3

Ev:

Iv· a v j3

j3

avj3

42

G. Gentzen, Untersuchungen liber das logische Schlie�en, Math. Zeitschr. 39, 1934-35. SI. Jaskowski, On the Rules of Supposition in Formal Logic, Studia Logica, Warszawa, 1, H. 1, 1934. 44 Sistemul de faţă este o variantă a sistemului elaborat de J. Slupecki şi L. Borkowski, Elements Mathemalical Logic and Set Theory, Warszawa, 1967.

43

109

of

a-:::J/3 /3-:::Ja Ia-

a a-:::J/3

aa/3 E,,:

aa/3

a-:::J/3 /3-:::Ja

E:::l

/3

Remarcă. Ordinea premiselor este neimportantă. Acolo unde la "numitor" apar două formule, regulile respective ( E", E,,) concentrează două cazuri distincte. Căci din adevărul echivalenţei, de exemplu, se poate conchide asupra adevărului oricăreia din cele două implicatii. Distincţia introducere-eliminare este motivată astfel: într-o regulă de introducere a unui operator, operatorul respectiv nu apare în premise, iar în cea de eliminare el nu apare în concluzie. Cu excepţia Iv toate regulile sunt perfect intuitive. Dacă, de exemplu, două propoziţii oarecare sunt adevărate, atunci putem conchide asupra adevărului conjuncţiei lor (IA )' aşa cum adevărul conj uncţiei determină adevărul argumentelor ei (E,,) ş.a.m.d. În cazul Iv validitatea este garantată de faptul că premisa fiind adevărată, concluzia este întotdeauna adevărată (este, deci, indiferentă la adăugarea disjunctivă a unei formule arbitrare). b) Regulile structurale Înainte de a formula cele două reguli structurale pentru construcţia unei demonstraţii directe, respectiv indirecte, vom avea în vedere faptul că orice formulă a logicii propoziţiilor poate fi înţeleasă ca având forma din schema următoare: Sch: � -:::J (� -:::J (aJ -:::J -:::J (an -:::J/3)...)) n � O Explicaţia este simplă, e vorba despre o "lectură" a oricărei formule din perspectiva operatorului -:::J. Schema de mai sus nu înseamnă că orice formulă este/are o implicaţie sau că trebuie adusă la o asemenea formă. Dacă operatorul principal 45 al formulei considerate nu este implicaţia, atunci n = O , iar formula este formula /3 din schema de mai sus. Dar dacă operatorul principal este implicaţia, atunci formula are forma r -:::J r5 şi deci r este al. Dacă operatorul principal al lui r5 nu este -:::J, atunci r5 este formula /3. Iar dacă operatorul principal al lui r5 este -:::J , atunci r5 are forma t: -:::J l, în care t: este � iar 1 este /3, dacă operatorul principal nu este -:::J, iar dacă operatorul principal al lui 1 este -:::J, atunci continuăm, raţionând ca mai sus. Analiza se încheie atunci când ajungem la o formulă al cărei operator principal nu este -:::J, adică la formula /3. În cele ce urmează formule" înseamnă configuraţii de simboluri de forma Sch. " ,

•••

,

(DIR) Regula structurală pentru construcţia unei demonstraţii directe 1. Primii n termeni ai şirului care constituie demonstraţia unei formule îi reprezintă formulele asumpţie (premisele) �, .. ,an ale demonstraţiei. 2. a) Orice teoremă deja demonstrată poate fi adăugată ca nou termen al şirului. b) Orice formulă obţinută prin aplicarea celor 9 reguli fundamentale asupra termenilor deja existenţi ai şirului poate fi adăugată demonstraţiei. .

•j

Intuitiv. un operator al unei formule este operatorul principal dacă În evaluarea matricealâ respectivă este ultima care trebuie executată.

110

a

formulei operaţia

3. Demonstraţia directă a unei formule este completă dacă ultimul termen al şirului de formule care constituie demonstraţia este formula f3 .

Regula structuraLă pentru construcţia unei demonstraţii indirecte 1 . a) Primii n termeni ai şirului care constituie demonstraţia unei formule îi reprezintă formulele asumpţie (premise) al " '" an ale demonstraţiei. b) Cel de-al (n + 1) -lea termen al şirului este 'f3 , introdus ca premisă a demonstraţiei indirecte. 2. a) Orice teoremă deja demonstrată poate fi adăugată ca nou termen al şirului. b) Orice formulă obţinută prin aplicarea celor 9 reguli fundamentale asupra termenilor deja existenţi ai şirului poate fi adăugată demonstraţiei. 3. Demonstraţia indirectă a unei formule este completă dacă şirul respectiv de formule conţine atât o formulă cât şi negaţia ei, fapt simbolizat prin *. Dacă există o demonstraţie directă sau indirectă pentru o formulă a, atunci formula respectivă este o teoremă (simbolic: [-- a). (INDIR)

Exemple. Thl . [p ::::> (q ::::> r)b [q ::::> (p ::::> r)] 1. p ::::> (q ::::> r) ; al 2. q; a2 3 . p ; aJ 4. q ::::> r ; 1 , 3, E" 5. r; 2, 4, E" Notaţiile din dreapta fiecărui rând reprezintă: formule premise ( al ' a2 ' a3 ), respectiv paşii din care s-au obţinut formulele prin aplicarea regulii fundamentale specificate. Th2 .

[(p ::::> q) "-,q] ::::> -,p 1. (p ::::> q)" -'q ; al 2 . p; .f3 3. p ::::> q ; 1 , E" 4. oq ; 1, E" 5. q; 2, 3, E" *

Aici avem o demonstraţie indirectă, în pasul 2 formula -,f3 , adică premisa introdusă ca asumpţie specifică acestei demonstraţii. Th 3.

p,

este tocmai

[( p v q) ,, (p v -,q)] ::::> p 1 . (p v q),,(p v -,q); al 2. op ; -,f3 3. p v q ; 1 , E" 4. p v -,q ; 1 , E" 5. q; 2 , 3, Ev 6. p; 4, 5, Ev *

Th4.

[(p ::::> q),, (q ::::> r)] ::::> (p ::::> r) 1. (p ::::> q),, (q ::::> r) ; �

Th4.

111

(variantă)

[(p ::::> q)" (q r)] ::::> ( p ::::> r) 1. (p ::::> q)" (q ::::> r) ; al ::::>

2. p; a2 3 . ....,r ; ....,/3 4. p � q ; I , E A 5. q � r ; 1 , EA 6. q; 2, 4, E:::l 7. r; 5, 6, E:::l

2. p; a2 3. p � q ; 1 , EA 4. q � r ; 1 , EA 5. q; 2, 3, E::> 6. r; 4, 5, E:::l

*

Comparând cele două demonstraţii ale aceleiaşi fOlTIlUle, cea directă şi cea indirectă (variantă) constatăm că orice demonstraţie directă se poate "traduce " în una indirectă, dacă imediat după cele n asumpţii trecem premisa ....,/3 (pasul 3) şi obţinem o contradicţie între formula acestui pas şi ultima formulă din şir (7). Întreaga logică a propoziţiilor poate fi redată cu ajutorul regulii structurale a demonstraţiei indirecte, cea a demonstraţiei directe nefiind totuşi suficientă acestui scop.

Th5. -,(p " q)v [r v (p " q)] 1 . -+,(p "q) v [r v (p " q)ll; ....,/3 2. "",""'(p " q) ; 1 , EL 3 . ....,[r v (p " q)] ; 1, E L 4 . ....,r ; 3, EL 5 . ""'(p " q ); 3 , E L 46

*

Din exemplele de mai sus putem deduce că modul în care executăm demonstraţia depinde de operatorul principal al formulei. Avem două cazuri posibile, după cum operatorul principal este sau nu implicaţia. a) Dacă operatorul principal nu este implicaţia, atunci fie apelăm la teoreme anterior demonstrate, fie recurgem la o demonstraţie indirectă, în care negaţia formulei care trebuie demonstrată se introduce ca premisă a demonstraţiei indirecte. b) Dacă operatorul principal este implicaţia, atunci antecedentul implicaţiei se trece ca premisă a demonstraţiei. Dacă consecventul este tot o implicaţie, atunci procedăm similar, adăugând antecedentul consecventului ca următoarea premisă a demonstraţiei. Procedăm astfel până la explicitarea tuturor premiselor şi continuăm cu demonstraţia directă a formulei (conform algoritmului specificat în regula respectivă), până ajungem la formula /3. Dacă procedând în acest fel demonstraţia directă nu izbuteşte, atunci adăugăm fOffilUla ....,/3 ca premisă a demonstraţiei indirecte şi continuăm până la obţinerea unei contradicţii. !I. Reguli de deducţie derivate In paragraful anterior, 2.3, am operat cu axiome, dar şi cu scheme de axiome, am demonstrat o teoremă, menţionând că demonstraţia rămâne valabilă dacă vom substitui variabilele propoziţionale ale demonstraţiei cu formule arbitrare (în acord cu regula substituţiei), obţinând astfel o schemă de demonstraţie, iar enunţul teoremei obţinut prin substituţii este o schemă de teoremă. Ideea de "schemă de teoremă " rămâne perfect valabilă şi în calculul deducţiei naturale. Să luăm un exemplu simplu. Fie următoarea teoremă a logicii propoziţiilor: Th6: [p � (q � r)] � [(p " q) � r ] . Coloana de formule din dreapta reprezintă schema teoremei Th6, plus schema demonstraţiei. 46

Cele două reguli, corespunzătoare operatorului .1. sunt reguli deri vate; comp. Th. 26 (mai jos). .

1 12

1 . p � (q -::J r ) , al 1 '. a � (p =:J r) ; al 2. P /\ q ; az 2'. a /\ j3 ; az 3'. a , 2', E" 3 .p; 2, E" 4'. 13 , 2 ' , E " 4. q; 2, E" 5. q � r ; 1, 3, E::> S ' . j3 -::J r , 1 ', 3 ', E::> 6. r; 4, 5 E::> 6 '. r , 4', 5', E::> Aşadar, o dată demonstrată o teoremă, putem considera demonstrată orice formulă a logicii propoziţiilor care are forma teoremei respective. Această aserţiune nu este o regulă prin care adăugăm noi termeni unei demonstraţii, ci o regulă prin care dintr-o teoremă (o dată demonstrată) obţinem alte teoreme. Însă,în cazul în care operatorul principal al unei teoreme este implicaţia, atunci, prin constatarea de mai sus, o dată demonstrată teorema, putem conchide că şi schema corespunzătoare este demonstrabilă. Cum operatorul principal al teoremei este � schema va avea următoarea formă (condiţia n � 1 fiind necesară!). Sch T: al � (az � ...=:J (an � p). . .) ; n � 1 Pe baza acestui fapt sunt valide următoarele reguli derivate de deducţie: ,

al

R I. l .

az =:J (. � (an � 13). .·)

; R 1.2.

.•

al az al � (. . . � (an =:J 13 )···)

; ...; R 1.n.

an fJ

Dacă într-o demonstraţie premisele acestor reguli figurează ca termeni (nu contează ordinea) ai şirului de formule corespunzător, atunci putem adăuga Sch T ca un nou termen al şirului, iar printr-o aplicaţie de k-ori (k 1 n ) a E:;, obţinem concluzia regulii respective. Din Th6 de mai sus putem obţine,de exemplu,următoarele două reguli derivate: :=:

....•

a � (p � r)

b)

a) Th7. Th8. Th9.

(p =:J q ) =:J (-,q =:J -,p ) (exerciţiu) (p v q) =:J (-,q � p ) (exerciţiu) [( p =:J r ) /\ (q =:J r )] � [( p v q ) � r] 1 . (p � r ) /\ (q =:J r ) ; al 2. p v q ; az 3. -,r ; -'13 4. p =:J r ; 1 E" 5. q =:J r; 1 E" 6. -'p ; 4. 3 Th7 7. -,q ; 5, 3 Th7 8. p; 2. 7 Th8 *

1 13

r

Th9 ilustrează modul în care teoreme anterior demonstrate pot figura în demonstrarea unei teoreme. Aici, când în pasul 6 am conchis op din paşii 4 şi 3, am avut în vedere schema unei teoreme anterior demonstrate.Conchiderea op în pasul 6 pe baza schemei teoremei Th7 se face printr-o dublă aplicare a E::> asupra fonnulei (p => r ) => (-,r => --.p) , obţinută din schema Th7, premisele p => r (4) şi -,r (3) fiind deja termeni ai demonstraţiei. Pe baza Th7, Th8 şi Th9 putem construi regulile derivate de deducţie corespunzătoare (exerciţiu). În demonstraţii de teoreme în care operatorul principal este echivalenţa ne vom folosi de regula E" , însă în unnătorul fel. Dacă a /3 este o teoremă, atunci vor fi teoreme a => /3 şi /3 => a , caz în care vom demonstra separat cele două fonnule. Exemplu. Să se demonstreze unnătorul enunţ care fundamentează metoda antilogismului: "Dacă într-un silogism valid în locul unei premise vom pune negaţia concluziei, aceasta echivalează cu obţinerea unui nou silogism a cărui concluzie este negaţia premisei înlocuite". Formal exprimat, avem: Th JO. [(p l\ q ) => r] == [(-,r l\ q) => ...,p ]. Avem de demonstrat unnătoarele două implicaţii: b) [(..., r l\ q) => ...,p] => [(p l\q) => r] a) [(p l\ q) => r] :::l [(-,r I\ q) => -,p] 1. (-,r l\ q) :::l op ; al 1 . (p l\ q) => r ; al 2. p q; az 2. -,r I\ q ; az 3. -,r; ...,/3 3. p; ...,/3 4.p; 2 EA 4. -,r ; 2 E" 5. q; 2 E" 5. q; 2 E" 6. -,r q ; 3, 5 1" 6. p q ; 3, 5 1" 7 . --.p ; 1 , 6 E::> 7. r; 1 , 6, E=> ==

1\

1\

1\

*

*

1'h1 1. -,-,p p a) -'-'p => p (eliminarea dublei negaţii) 1. -'-'p ; al 2. ""p ; -,/3 ==

*

b) p => -'-'p (introducerea dublei negaţii) l. p; al 2. -'-'-'p ; -,/3 3. --.p ; E� *

Din a) şi b) obţinem Th1 1 (prin J� ). Aici, din 1 1 a putem construi unnătoa.rea regulă derivată de deducţie, utilă în multe demonstraţii care reclamă eliminarea dublei negaţii: RdE�

-,-,a a

Aplicarea regulii E� ne pennite să omitem într-o demonstraţie, de ori câte ori dorim, orice număr par de negaţii. Pe baza 11 b putem construi, similar,regula introducerii dublei negaţii. RdI� .

a

_ _ _

-,-,a

1 14

Regula introducerii dublei negaţii fundamentează construcţia unor variante ale regulii eliminării disjuncţiei. Rd Ev ,a v 13 a 13

a Demonstraţie (exerciţiu).

Demonstraţie. 1. -,av 13; al 2. a; a2 3. -,-, a ; 2, I� 4. 13 ; 1 , 3 Ev

Sensul intuitiv al acestor reguli este de fapt sensul intuitiv al regulii E v : un argument al disjuncţiei este o consecinţă a acelei disjuncţii şi a contradictoriului celuilalt argument. p == p (e xerciţiu) ThJ3. (-,p v q) == ( p � q) (exerciţiu) Th14. ( p q) == [(p � q)" (q � p )] (exerciţiu) Th15. [p � (q == --,q)] � -.p (exerciţiu) Th16. [(p � q),,-,q] � -.p ( exerciţ iu) Din Th16 obţinem regula modus tollens: a � j3 -,13 RtoU -,a conform căreia negaţia antecedentului unei implicaţii poate fi obţinută din implicaţie şi din negaţia consecventului ei. Având în vedere că formulele din premisele regulii, a şi 13, pot fi negate sau nenegate, putem obţine variante ale acestei reguli derivate (exerciţiu). Th / 7. [p � (q I'nq)] � --,p (Reductio ad absurdum) (exerciţiu). ThlB. (p q ) � (q p) (exerciţiu) Th19. [(p q)/\ (q r )b (p == r ) 1 . (p == q)/\ (q == r) ; al 2. p == q; 1 , EA 3. q == r ; 1, E A 4. p � q ; 2, E E 5. q � p ; 2, E E 6. q � r ; 3, E" 7. r � q ; 3, EE 8. P � r ; 4, 6, Th4 9. r � p ; 7, 5, Th4 10. p == r ; 8, 9, 1" b) [(p == q) /\ q] � P (exerciţiu) Th20 a) [( p = q)" p]� q (exerciţiu); ThJ2.

==

==

==

==

==

Th20 fundamentează

construcţia a două reguli de deducţie derivate pentru echivalenţă. 1 15

a =-

/3 /3

a a) Argumentaţi validitatea acestor reguli. b) Având în vedere faptul că a şi /3 pot fi negate sau nenegate, construiţi alte reguli derivate valide pentru echivalenţă.

( p =- q ) => (,p =- ,q ) 2. ( p =- q ) => [( p l\ r) =- (q l\ r )] 3. ( p =- q ) => [(p r ) =- (q r)] 4. (p =- q ) => [( p => r ) =- (q => r )]

Th2 1. l.

v

v

Th21 reprezintă câteva legi ale extensionalităţii echivalenţei fundamentează regula corespunzătoare a înlocuirii echivalenţilor. Rînloc : : /3 =- r

(exerciţiu) .

Ele

ap =- ar

Prin expresia

ar

înţelegem o formulă care se obţine din formula

ap

prin înlocuirea a

zero sau mai multe ocurenţe ale subformulei

/3 a lui a cu formula r . Exemplu. Dacă a este formula (p => q ) => [(q => r ) => ( p => r )] , /3 este q => r ,q r , atunci ar este: (p => q ) => [(,q r ) => ( p => r)] .

iar r este

v

v

RII. Regula adăugării unei implicaţii unei demonstraţii, pe baza adăugării unei premise Suplimentare. Pe baza acestei reguli, într-o demonstraţie directă sau indirectă din premise date, este admisă introducerea unei fonnule suplimentare aj ca premisă adiţională (Ad) a demonstraţiei.

Dacă din această premi să adiţională şi din premisele date se obţine o formulă implicaţia

aj

=> aj

ai '

atunci

poate fi adăugată ca nou

Aşadar, dacă teorema iniţială er a

termen al şirului care constituie demonstraţia. ThA : al => (a2 => .,. => (an => /3). .. ) , atunci prin RlI

(dacă condiţia este satisfăcută) ur mătoarele două formu le sunt de asemenea teoreme: Th � : al => (a2 => => (a. => (aj => a , în cazul demonstraţiei directe a lui ThA.

i )} ..) Th A2 : al => (a2 => . . . => (a. => ('/3 => (aj => aj m .. ) , '"

ThA .

Fără aplicarea

în cazul demonstraţiei indirecte a

aj => ai în demonstrarea teoremei ThA, doar dacă am fi demonstrat în prealabil fie Th AI ,fie Th A2 ' şi am fi adăugat-o ca termen al demonstraţiei teoremei ThA. Apoi, în această demonstraţie a teoremei ThA aplicam asupra Th AI de n-ori regula eliminării implicaţi ei E::> plus primii n termeni şi obţineam aj => aj Dacă ThA a fost demonstrată indirect, atunci aplicăm asupra Th Az de n + 1 ori regula E::> plus primii n+ 1 tenneni şi obţinem aj => ai '

RII

am fi putut obţine implicaţia

•

Premisa adiţională, laolaltă cu toate formulele din demonstraţie, obţinute cu ajutorul ei, sunt numerotate distinct (dublu numerotate, de exemplu)47. Toate aceste formule dublu numerotate vor fi utilizate strict la obţinerea implicaţiei aj => aj şi nu vor mai fi folosite ulterior în demonstraţie. Implicaţia

aj => ai va fi însă simplu numerotată.

(Într-o demonstraţie

pot să apară mai multe premise adiţionale şi nu doar una). 47

ef. J. Siupecki; L. Borkowski, Elements of Malhematical Logic and Set Theor)', Warszawa, 1 967, 31 .

1 16

Exemplu. Th22. [p � (q l\ r)] � [(p � q) I\ (P =.l r)] 1 . p � (q l\ r) ; al 1 . 1 . p; Ad 1 .2. q 1\ r ; 1 , 1 . 1 . E:;, 1 .3. q; 1 .2. E" 1 .4. r; 1 .2. E" 2. p � q ; 1 . 1 ., 1 .3., RII 3. p � r ; 1 . 1 ., 1 .4. , RII 4. (p � q) l\ (p � r) ; 2, 3 , I" Această regulă derivată, RII, este utilă în multe demonstraţii de teoreme, în sensul că

face complet dispensabil apelul la alte teoreme, anterior demonstrate. Th22, de exemplu, putea fi demonstrată fără a apela la RII, dar prin utilizarea unnătoarelor două teoreme: Th23.

[p � (q 1\ r)] =.l (p � q) 1. p � (q 1\ r) ; al 2. p; az 3. q l\ r ; 1, 2, E:;, 4. q, 3 , E"

Th24.

[p (q A r )] � (p =.l r) =.l

(exercitiu)

Pe baza acestor două teoreme, demonstraţia Th22 arată astfel:

1. 2. 3. 4. 5. 6.

p � (q l\ r) ; al [p =.l (q 1\ r)] � (p =.l q) ; Th23 [ p � (q 1\ r)b (p =.l r) ; Th24 p � q ; 1 , 2 E:;, p � r ; I , 3 E::> (p � q) l\ (p � r) ; 4, 5, I"

Comparând cele două demonstraţii ale Th22 cititorul poate sesiza avantajele utilizării RII. Th25. [(p � q) 1\ (p � r)] =.l [p � (q 1\ r)] (Conversa Th22) (exerciţiu).

RIlI. Regula introducerii negaţiei unei premise arbitrare. Potrivit acestei reguli, dacă prin adăugarea unei premise arbitrare Într-o demonstraţie rezultă atât o fonnulă cât şi negaţia ei, atunci negaţia premisei arbitrare poate fi adăugată ca nou termen al şirului de formule care constituie demonstraţia. Argument. Presupunem că prin introducerea unei premise ai Într-o demonstraţie obţinem formulele reciproc contradictorii aj şi -.aj • Prin regula introducerii conjunctiei ( 1,, ) putem adăuga demonstraţiei şi fonnula aj 1\ -.aj , iar prin regula R1I, de mai sus, putem adăuga şi fonnula ai � {aj 1\ -. aJ Pe baza ThI5 din această fonnulă obţinem formula -. ai ' adică negaţia premisei arbitrare introduse.

Exemple. Th26. -.(p v q) =. (--p 1\ -,q) a) -,(p v q) =.l (--p 1\ -,q) 1 . -,(p v q) ; al 1 . 1 . p; Ad

b) (-,p 1\ -,q) � -,(p v q) 1. -,p 1\ -'q ; al 2. p v q ; -,/3 , E�

117

3. -.p ; 1 EA 4. -'q ; 1 EA 5. q, 2, 3, Ev 6. p, 2, 4, Ev

1.2. p v q ; 1 . 1 . Iv 2. -'p ; 1 . 1 ., 1 , l.2., RllI 2. l . q; Ad 2.2. p v q ; 2. l ., Iv 3. -'q ; 2. l ., 1 , 2.2., RllI 4. -'P /\ -'q ; 2, 3 IA

*

Th26a şi Th26b permit, corespunzător, derivarea unor reguli de deducţie: -, a -,(a v {3) -,{3

I J. .

-,a

_ __ _

-,{3 Aici " ..1. " este operatorul logic al refecţiei, cele două reguli fiind, respectiv, eliminarea rejecţiei şi introducerea rejecţiei. Îl vom folosi în continuare ca abreviere pentru negarea

disjuncţiei.

Th2 7.

-,( P /\ q) = (-,p v -,q) a) -,(p /\ q) => (-,p v -,q) l. -,(p /\ q) ; al 2. -,(-'p v -,q) ; -,{3 3. -,-,p ; 2, EJ. 4. ...,-,q ; 2, EJ. 5. p; 3 E� 6. q, 4 E� 7. p /\ q ; 5, 6 IA

b) (-,p v .q) => -(p /\ q) 1.

-'p v .q ; al 2. p /\ q ; .{3 3. p; 2, EA 4. q; 2, E" 5 •q ; 1, 3 Ev 6 •p ; 1, 4 Ev .

.

*

*

Remarcă. Th2 7a şi b fundamentează, corespunzător, cele două reguli de deducţie derivate pentru negarea conjuncţiei, adică penlru incompatibilitate, ,/" motiv pentru care poate fi construit un tablou al deducţiei naturale în care "f' nu figurează ca regulă fundamentală.

48 : [(p => q) /\ (r => s)/\ (p v r) /\-'(q /\ s)] => [(q => p) /\ (s => r)] l . (p => q) /\ (r => s) /\ (p V r) /\ .(q /\ s); al 2, p => q ; 1 , E" 3. r => s ; I, E" 4. p v r ; 1 , E" 5 . •(q /\ s) ; 1 , E" 6 . •q v --,s ; 5, Th27, RÎnloc 1. 1 . q; Ad l.2. -,s ; 6, 1 . 1. Ev 1 .3 • r ; 3, 1.2., Rtoll 1 .4. p; 4, 1 .3., Ev 7. q => p ; 1 . 1 , 1 .4., RII

Th28 (Legea lui Haubert)

=

.

48 Sau Legea unui s istem închis de teoreme

sau Legea conversiei imp licaţiilor; ef. Slupeeki, Borkowski, 4 1 .

118

2.1. s; Ad 2.2. ,q ; 6, 2.1 , Ev 2.3. 'P ; 2, 2.2., Rtoll 2.4. r; 4, 2.3, Ev 8. S =.l r ; 2. 1., 2.4., RIT 9. (q =.l p) I\ (S =.l r) ; 7, 8 , 1" Th28 fundamentează construcţia unei reguli corespunzătoare de deducţie (exerciţiu). Fonna generalizată la n implicaţii a acestei reguli derivate este următoarea:

al =.l /31 a2 =.l /32

al v a2 v .. . v an ,(./3; 1\ f3J pentru 1 $ i *- j $ n

RIV.

Regula demonstraţiei ramificate cu ajutorul premiselor adiţionale.

al =.l (a2 =.l ... =.l (an =.l /3)... ) este completă dacă un termen al demonstraţiei este o disjuncţie aj v aj şi dacă fonnula /3 se obţine pe baza fiecărei premise adiţionale aj , aj • RlV.2. Demonstraţia indirectă a unei formule al =.l (a2 =.l ... =.l (an =.l /3).. .) este completă dacă ai v aj este un tennen al demonstraţiei şi dacă pe baza fiecărei premise adiţionale ai ' ai ' demonstraţia conţine două fonnule reciproc contradictorii. Argument pentru RlV. l . Dacă pe baza premiselor adiţionale aj , ai se obţine fonnula /3 , atunci, prin RIT, putem adăuga demonstraţiei formulele aj =.l /3 şi ai =.l /3 , care, prin 1" , dau fonnula (ai =.l /3) 1\ (aj =.l /3) . Cum ai v aj este o formulă a demonstraţiei (prin ipoteză), atunci prin Th9, prin dubla aplicare a E::> , obţinem /3 . Argument pentru RIV.2. Dacă pe baza premiselor adiţionale ai ' aj obţinem atât o formulă cât şi negaţia ei, atunci, prin RIll, putem adăuga demonstraţiei formulele ,aj şi ....., aJ. . Însă din a v a.J , fonnulă a demonstratiei, şi ....., a. obtinem, prin Ev , aJ . Aşadar, atât " , aj cât şi ....., ai sunt fonnule ale demonstraţiei şi astfel demonstraţia indirectă este completă. Remarcă. În demonstraţia regulii RIV am presupus introducerea a două fonnule adiţionale aj şi aj • Regula rămâne valabilă, fireşte, pentru orice număr finit de astfel de RIV. l. Demonstraţia directă a unei fonnule

I

fonnule.

1 19

Exemplu (aplicarea RIV. l.) Th29. [( P ::l q ) 1\ (r ::l s )] ::l [(p V r) ::l (q V s)] 1 . (p ::l q ) l\ (r ::l s) ; al 2. p v r ; a2 3. p ::l q ; 1 E" 4. r ::l s ; 1 E" 1. 1 . p ; Ad 1.2. q; 3 E::> 1 .3. q v s ; 1 .2., Iv 2. 1 . r; Ad 2.2. s; 4, 2. 1. E", 2.3. q v s ; 2.2., Iv 5. q v s ; 2, 1 .3., 2.3., RIV. l .

Exemplu (aplicarea RIV.2. ) [(P ::l q) 1\ (r ::l s ) 1\ -,(q V s)]::, -,(p v r) 1 . (p ::l q ) 1\ (r ::l s) 1\ -,(q V s) ; al 2. p v r ; -,/3 3. p ::l q ; l E" 4. r ::l s ; 1 E" 5. -,(q v s) ; 1 E" 1 . 1 . p; Ad 1 .2. q; 1 . 1 . , 3 , E", 1 .3 . q v s ; 1 .2., Iv 2. 1 . r; Ad 2.2. s; 4, 2. 1 . , E::> 2.3. q v s ; 2.2., Iv

Th30.

*

În Th30 introducerea premiselor adiţionale p, q duc la obţinerea formulei q v s (1 .3. şi 2.3.), care contrazice formula 5 a demonstraţiei . Paşii 3, 4 şi 5 concentrează două aplicări succesive ale regulii eliminării conjuncţiei. TII3 ] . Th32. Th33. Th34 .

[p v (q 1\ r)] '" [(p v q ) 1\ (p V r)] [p l\ (q v r)] ", [(p l\ q)v (p l\ r)] [(p v q ) 1\ (r v s )] '" [(p 1\ r) v (p i\ s)v (q 1\ r)v (q i\ s )] [(p l\ q)v (r l\ s)] ", [(p v r) l\ (p v s) i\ (q v r) l\ (q v s)]

Th33 şi Th34 pot fi generalizate ca aplicându-se la disjuncţii şi conjuncţii cu multe elemente. 2.4.2. Corectitudinea şi completitudinea sistemului deducţiei naturale 1. Corectitudinea Teorema corectitudinii. Dacă

� a, atunci 1= a . Altfel spus: orice teoremă a sistemului deducţiei naturale este o formulă validă. Demonstraţia acestei teoreme o facem prin inducţie în raport cu ordi nul (demonstrabil al) teoremei. Pentru n � 1 , orice teoremă a calculului propoziţional are un anumit ordin. Sensul conceptelor "ordinul 1", "ordinuI 2", ... , "ordinul n" este dat de următoarea definiţie.

Definiţie. A. O formulă a este o teoremă de ordinul 1 dacă există o demonstraţie (directă sau indirectă) din premise a formulei a, În care utilizăm doar cele 9 reguli fundamentale pentru adăugarea de noi termeni demonstraţiei (şi deci nu utilizăm niciodată teoreme deja demonstrate). B. O formulă a este o teoremă de ordinul n dacă există o demonstraţie din premise a formulei a, în care utilizăm teoreme de ordinul cel mult 11 - 1 şi dacă a nu este o teoremă de un ordin mai mic decât n. Din sensul conceptului "teoremă" şi din definiţia de mai sus rezultă că ° formulă a este o teoremă ddacă există un număr natural n astfel că a este o teoremă de ordinul n. În cadrul aplicării procedeului inductiv vom proceda indirect, presupunând că a este o teoremă dar nu este o formulă validă. Să detaliem demonstraţia.

120

n = 1 . Vom arăta că toate teoremele de ordinul 1 sunt forumle valide. Presupunem aşadar că a : al => (a2 => . .. => (an => jl)... ) , n z O , este o teoremă de ordinul 1 , dar nu este o formulă validă. Cum a este o teoremă de ordinul 1 , există o demonstraţie indirectă a ei în care sunt utilizate, în adăugarea de noi termeni demonstraţiei, doar cele 9 reguli fundamentale. Adică, în acord cu conceptul demonstraţiei indirecte, din formulele ap ... , an , -,/3 se obtin două formule contradictorii, r şi -, r · ÎnSă, cum a nu este validă (prin presupoziţie), rezultă că există cel puţin o interpretare a variabilelor propozi ţionale din a, astfel Încât a ia valoarea logică fals. Iar acest lucru este posibil doar atunci când al , . . ., an sunt simultan adevărate, iar /3 este falsă. Însă, dacă /3 este falsă, atunci -,/3 este adevărată. Astfel, în această interpretare toate formulele ap , an ' -,jl sunt simultan adevărate. Însă toate cele 9 reguli fundamentale de adăugare de noi tenneni demonstraţiei sunt reguli valide, adică dacă premisele lor sunt simultan adevărate, Într-o anumită interpretare a variabilelor propoziţionale care apar în ele, atunci şi concluzia este În mod necesar adevărată pentru această interpretare. Întrucât toate premisele ap... , a" , -,/3 sunt adevărate în interpretarea considerată, iar cele 9 reguli de adăugare de noi tenneni sunt valide, rezultă că toate formulele demonstraţiei sunt adevărate. însă demonstraţia indirectă a lui a înseamnă existenţa fonnulelor contradictorii, r şi -,r , care sunt deci simultan adevărate, fapt exclus prin definiţia semantică a negaţiei. Deci: dacă a este o teoremă de ordinul 1 , atunci a este o formulă validă. n > 1 : Presupunem că toate teoremele de ordin mai mic decât n sunt formule valide. Aici argumentăm ca mai sus, în pasul iniţial. Presupunem că a este o teoremă de ordinul n şi nu este validă. Există aşadar o demonstraţie indirectă a lui a care generează, din formulele ap , an ' -,jl şi din teoremele de un ordin mai mic decât n, două forumle contradictorii, r şi -,r . Cum a nu este validă, rezultă că există cel puţin o interpretare a variabilelor ei propoziţionale pentru care a este falsă, fapt posibil doar dacă al " '" an sunt adevărate iar /3 este falsă. Dar dacă /3 este falsă, atunci -,/3 este adevărată. În această interpretare deci toate formulele al " ' " an ' -,/3 sunt adevărate. Cum şi toate teoremele de ordin inferior a lui n sunt adevărate (mai mult chiar: întotdeauna adevărate !), iar regulile fundamentale de adăugare de noi tenneni demonstraţiei sunt reguli valide, rezultă că toate formulele obţinute prin aplicarea lor (i.e. tennenii demonstraţiei) sunt adevărate . Însă demonstraţia indirectă a lui a conţine cele două formule contradictorii, r şi --q , care nu pot fi simultan adevărate. Deci dacă a este o teoremă a sistemului deducţiei naturale, atunci a este o fOlmulă validă. Din teorema corectitudinii rezultă consistenţa sistemului deducţiei naturale. Respectiv, în acest sistem nu poate fi demonstrată atât o formulă cât şi negaţia ei. Căci dacă sistemul ar demonstra atât a cât şi -,a , rezultă că ambele sunt formule valide, ceea ce contrazice definiţia semantică a negaţiei . ..•

..•

2. Completitudinea Teorema completitudinii. Dacă 1= a, atunci Altfel exprimat: orice formulă validă a Lp

naturale.

f- a. este o teoremă a sistemului deducţiei

Demonstraţia de aici apelează la conceptul de formă " 1or de adevar fu ncţu .. 49 . 49

Comp. 2. 1 .4.4.

121

normală conjunctivă din teoria

Prin aplicarea câtorva teoreme şi prin aplicarea Rlnloc

5 '

orice formulă a

Lp

poate fi

adusă la forma normală conjunctivă. Prin aplicarea Thll eliminăm negaţiile duble. Prin Th14 şi Thl3 transformăm orice formulă în una echi valentă dar care conţine doar operatorii logici /\ , v şi ' . Prin Th26 şi Th2 7 transformăm formulele astfel obţinute în formule în care negaţia nu neagă operatorii binari /\ şi v . Prin aplicarea Thll vom obţine o formulă construită doar din variabile propoziţionale, negate o singură dată sau nenegate, şi din operatorul /\ sau v . Orice astfel de formulă poate fi transformată, echivalent, în forma ei normală conjunctivă, prin aplicarea Th3 1. Th32. Th33, Th34 (exerciţiu). Aşadar, în sistemul deducţiei naturale următoarea echivalenţă este o teoremă: a == ac

,

unde ac este forma normală conjuncti vă a formul ei

a.

ac are însă forma al /\ az /\ " . /\ an în care ai ( 1 $ i $ n ) este o disjuncţie de variabile propoziţionale nenegate sau negate o singură dată. Un criteriu suficient pentru validitatea formulei ac este ca fiecare ai să conţină cel puţin o variabilă propoziţională Împreună cu '

negaţia ei.

Disjuncţia are aşadar forma:

ai : VI v Vz v " . V Vi V 'Vi V " . V

vm (unde vl " 'vm sunt variabile propoziţionale negate sau nenegate). O astfel de disjuncţie este o formulă validă. Argument. Presupunem că ai este nevalidă. Există aşadar o interpretare a variabilelor propoziţionale din şi

,Vi

ai

astfel încât toţi termenii iau valoarea logică fals. În acest caz atât

Vi

cât

sunt simultan false, contrar definiţiei semantice a negaţiei.

Altfel argumentat. Dacă

nu conţine atât o variabilă propoziţională cât şi negaţia ei,

ai

atunci există o interpretare în care toţi termenii disjuncţiei sunt falşi: dacă o variabilă apare nenegată îi dăm valoarea logică fals, iar dacă apare negată, atunci îi dăm valoarea logică adev ărat. Şi astfel ai este falsă. Deci prezenţa unei variabile nenegate şi negate în ai este

necesară.

Apoi, orice

ai

este demonstrabil în sistemul deducţiei naturale.

Argument. Pe baza Th27,

ai

se poate obţine din forma echivalentă

. /\ ,Vm ) , ( care este o formulă demonstrabilă (demonstraţie indirectă): 1. 'VI /\ ,v2 /\ . . /\ 'Vi /\ ,'Vi /\ " . /\ ,Vm ; '/3 , , VI /\ -'vz /\ ". /\ 'Vi /\ "V, /\

"

.

2.

,Vi ;

3.

"Vi ; *

1 , E" 1,

E"

Iar dacă fiecare Dacă

f---

ai

a == ac '

formulă validă, atunci

este demonstrabil, atunci şi

atunci a

echivalenţei). Şi deci dacă

a

şi

F a,

a =: ac

mai sus,

ac

este demonstrabilă (prin 1,, ). a == ac

este o

sunt semantic echivalente (prin definiţia semantică a

este o formulă validă, atunci şi ac este o formulă validă.

Teorema completitudinii. Dacă 1= a, atunci Argument. Presupunem 1= a . Cum r- a == ac deducem �

ac

(prin Th . corectitudinii). Iar dacă

1-

a .

rezultă că

ac

este validă. Însă, am văzut

este demonstrabilă în sistemul deducţiei naturale. De unde, din f--- a == ac şi (prin Th. 20b).

a

122

f--- ac '

2.5. Calculul secvenţilor în

Lp

2.5.1. Preliminar

Un mijloc elegant de demons trare a validităţii unei fonnule a este o încercare de căutare a unei interpretări care falsifică această fonnulă. Pentru aceasta vom opera cu perechi 50 de ŞilUri finite de formule numite secvenţi . Un secvent este o expresie de fom1a

al ' ···' an ----t PI , f3m ) unde aI '00.,f3m sunt fonnule arbitrare. Fonnulele al" '" an se numesc anteceden/ul secventului, iar ,ol 'o o.,,om se numesc succedentul secventului. Simbolul ,, �" nu este un . .�!

simbol logic (i.e. nu aparţine limbajului obiect al logicii), ci unul metalogic, similar simbolurilor auxiliare ale unui calcul. Adesea, în dezvoltările formale, un secvent va fi redat simbolic prin expresia r � L'! , unde r este şirul de formule � , . .. , an ' iar L'! 131'00" /3m . Dacă r este o mulţime vidă, atunci secventul corespunzător este � L'! . Dacă L'! esle vidă, alunci secventul devine r cât şi L'! sunt vide, atunci secventul este � Sensul intuitiv al unui secvent al'oo" an � 131 " '" Pm este formula

r � . Dacă atât

(al /\ 00. /\ aJ :J (131 v ... v pJ

Dacă antecedenlul este vid atunci fonnula de

mai

sus devine

1 :J

(fiI

v

. .. V

j3J,

131 v . . . v f3m ' Iar dacă succedentul este vid, atunci vom avea (al /\ ... /\ aJ ::J O, echivalent -{al /\ 00' /\ aJ . În fme, dacă antecedentul şi succedenlul sunt vizi, atunci obţinem secventul nesatisfiabil � .

echivalent

Orice formulă poate fi redată printr-un secvent echivalent: secventul al cărui antecedent este vid şi al cărui succedent este fonnula dată. Ceea ce numim astăzi, în tradiţia Gentzen, "calculul secvenţilor" este mai curând o diversitate de sisteme, a căror construcţie are la bază ideile lui Gentzen. Vom prezenta, mai

jos, două astfel de sisteme: G şi LK ' .

2.5.2. Sistemul G Operatorii logici ai acestui sistem sunt:

/\, V , ::J , -, . Fiecăru i operator îi corespund două

reguli de inferenţă (operaţionale), după cum fom1Ula care-l conţine se află în antecedentul sau în

succedentul secventului, adică în stânga (s) simbolului

(/\J r � a /\ p, L'!

r, a /\ 13 � L'!

r � a, j3, L'!

r, a � L'! r, j3 � L'! (vJ

(vJ r � a v p, L'!

r, a v j3 � L'!

5Q

sau în dreapta (d) lui .

r � a, L'! r � p, L'!

r, a, p � L'! (/\ , )

�

Cf. G. Gentzen,

Untersuchungen aber das logische Schliepen, r.

123

II.

r, a � f3, t1.

r, a � t1.

r � t1., a

Cum se poate uşor constata, fiecare regulă de inferenţă are unul sau doi secvenţi, care constituie premisa sau premisele regulii, şi un secvent-concluzie. Formula asupra căreia se aplică regula se n umeşte formulă principală, formulele care rezultă şi sunt introduse în premise se numesc formule laterale, iar celelalte formule, transcrise fără modificări, se numesc formule exterioare. Orice regulă de inferenţă poate fi reprezentată ca un arbore, cu două puncte (dacă are o singură premisă) sau cu trei puncte (dacă are două premise). Prin aplicarea repetată a acestor reguli se obţine un arbore, cu formula iniţială la bază (i.e. în origine) .

2.5.3. Concepte

Definiţia J. Un secvent ap a" � fip... , f3m este falsijicabil (jalsifiabil) dacă există o interpretare In! a variabilelor propoziţionale din al " ' " fim astfel Încât (al /\ . . . /\ aJ :;) (/31 v . v f3J O în Int; echivalent al /\ .. . /\ an /\ .(/31 v . . . v f3J 1. Definiţia 2. Un secvent ap , an � PI ' """ Pm este satisfiabil dacă există o interpretare .•. ,

=

..

=

..•

lnt a variabilelor propoziţionale din al " ' " Pm astfel încât (al /\ /\ aJ :;) (PI v . V PJ l. Definiţia 3. Un secven! al" '" an � fi! ' , . , fim este valid dacă este satisfiabil În orice interpretare. ...

. .

=

.

Din cele spuse mai sus cu privire la cazurile în care r şi t1. pot fi vide, putem formula cu uşurinţă condiţiile în care, în aceste cazuri, un secvent este falsificabil J satisfiabil l valid. Dacă n O, atunci secventul � PI v . . V f3m este falsificabil ddacă formula fiI v . v f3m este =

secvent valid. Dacă m

. .

.

falsificabilă; echi valent, formula =

,(PI v ..

.

V

O, atunci secventu)

pJ este satisfiabilă. În caz contrar este un al " '" an � este falsificabil ddacă al /\ . . . /\ an

este satisfiabilă etc. Definiţia 4. O axiomă a calculului secvenţilor este orice secvent [' � t1. , astfel Încât

[' şi

t1. au o formuLă comună.

Definiţia 5. Un arbore deductiv este o succesiune de secvenţi, începând cu secventul iniţial (pus în origine), astfel încât fiecare punct (nod) se obţine nemijlocit din predecesorul său printr-o singură aplicare a unei reguli de deducţie. Definiţia 6. Un arbore demonstrativ este un arbore deductiv În care fiecare punct final este o axiomă. Definiţia 7. Un arbore contraexemplu este un arbore deductiv în care cel puţin un punct final este un secvent r � t1. , unde r şi t1. conţin variabile propoziţionale distincte (i.e. r � t1. nu este axiomă). Secventul din originea (rădăcina) arborelui deductiv I demonstrativ este concluzia arborelui respectiv. Un secvent este demonstrabil ddacă există un arbore demonstrativ a cărui concluzie este secventul respectiv. Să vedem în cele ce urmează în ce fel conceptele mai sus prezentate sunt operaţionale în calculul secvenţilor.

124

2.5.4. Leme şi teoreme

Lema 1. Orice axiomă este ofonnulă validă a sistemului Gentzen G. Demonstraţie. Mulţimile r /::;. care constituie secventul axiomă au, prin definiţie, o formulă comună. A falsifica un astfel de secvent presupune exis tenţa unei interpretări în care ,

aceeaşi formulă trebuie să fie adevărată şi falsă. Imposibil! Lema 2. Pentru oricare din cele 8 reguli ale siJ·temului

G are loc: o interpretare Int falsifică secventul din concluzia regulii dcfacă Int falsifică cel puţin un secvent premisă; echivalent: Int satisface concluzia ddacă Int satisface toate premisele regulii. Demonstraţie. Demonstraţia constă în verificarea condiţiilor de adevăr ale definiţiei semantice a operatorului fOllllulei principale (pentru fiecare dintre cele 8 reguli). Vom lua ca exemplu regula ( v ). s

(v J

r, a v f3 � /::;.

O interpretare Jnt falsifică secventul din concluzie ddacă Int satisface toate fOllllulele din antecedent, adică toate fOllllulele din r (i.e. satisface r) şi formula a v f3 şi Int falsifică toate formulele din /::;. (i.e. nu satisface /::;. ). însă Int sati sface a v fJ . Din definiţia semantică a '

operatorului " v

",

In! satisface a v f3

dacă

Int satisface a sau dacă In! satisface

f3 . Şi deci

Int falsifică concluzia ddacă: a) Int satisface r şi a şi falsifică /::;. sau b) [nt satisface r şi f3 şi falsifică !:l . însă cele două alternative sunt reprezentate, în regula

v " prin secvenţii din premise.

La fel putem argumenta echivalenţa menţionată în lemă (exerciţiu) . Încercarea de a falsifica secventul din concluzie, aplicată repetat în raport cu regulile sistemului G, permi te, de fiecare dată, să construim demonstraţia unei fonn ule. Să luăm un exemplu. Demonstrarea validităţii fOllllulei a în sistemul G demarează cu formula a în origine. Spre deosebire de metoda tablourilor analitice, în acest caz arborele se construieşte "de jos în sus". Formula de demonstrat apare astfel drept concluzie a aplicării repetate a regulilor de inferenţă, aplicate în vederea găsirii vreunui caz în care fonnula este falsă. Fie a : (p :::> q) :::> (--,q :::> -,p). Demonstrarea validităţii fOllllulei a este un arbore deductiv de următorul gen: (5a)

-'q, p � p

q � q, -'p

(5b)

(4a)

-'q � -'p, p

q,-'q � -'p

(4b)

(3a)

�

q � -'q :::> 'P

(3b)

-'q :::> -'p, p

(2) (1) Cum citim această dezvoltare? FOllllula a este formula aflată la baza arborelui (i.e. în origine). Ea este u n secvent de forma � L'1 , echivalent cu /::;. . Cum operatorul principal al formulei (principale) este :::> , vom

125

aplica regula de inferenţă =:Jd în încercarea de a falsifica această formulă. Vom obţine secventul imediat superior, (2), i.e. premisa acestei reguli . Adică, formula implicativă a este falsă dacă antecedentul este adevărat iar consecventul fals, într-o interpretare oarecare. Însă adevărul antecedentului Înseamnă alternativ: falsitatea lui p sau adevărul lui q, motiv pentru care din (2) obţinem doi secvenţi distincţi, (3a) şi (3b), prin aplicarea (=:J, ). Similar, prin aplicarea =:Jd vom obţine secvenţii (4a) şi (4b), iar prin aplicarea ( 'd ) şi (', ) obţinem (5a) şi (5b).

Însă secvenţii din punctele finale (5a) şi (5b) sunt axiome şi deci nu pot fi falsificaţi (prin Lema 1). Dacă toate ramurile arborelui deductiv se termină cu formule de genul 5a (sau 5b) (i.e. este un arbore dedu ctiv închis), acest lucru este echivalent cu demonstrarea secventului aflat în origine, respectiv, este echivalent cu o demons traţi e de validitate a formulei a. Corespondentul demonstrării secventului aflat în origine este echivalentul unui tablou analitic închis pentru negaţia formulei din origine, prin metoda tablourilor analitice. Ce obţinem însă dacă formula aflată în origine este nevalidă? Construind un arbore pentru formula fi : (p =:J q) =:J (,q =:J p ) vom obţine, în locul secventului 4a, secventu l ,q � p, p , secvent falsificabil pentru asignările p = O , q = O (exerciţiu). În acest caz, în care arborele obţinut are cel puţin un punct final care nu este axiomă, am obţinut un contraexemplu. Similar metodei tablourilor analitice, contraexemplul reprezintă categorii le de asignări pentru care formula dată este falsificabilă. Aşadar, construind un arbore pentru un secvent r � tl. vom obţine una din următoarele două situaţii . 1 . O demonstraţie de validitate a secventului r � tl. , caz în care toate punctele finale sunt axiome. 2. Un arbore în care secvenţii finali nonaxiome pennit construirea evaluărilor în care secventul r � tl. este falsificabil. Aceste două situaţii corespund altemati vei uzuale din L, : o formulă a este ori validă

ori falsificabilă. Exerciţii

Demonstrati în G validitatea următoarelor formule: 1. (� =:J q) =:J [(q =:J r) =:J (p =:J r)]

2. [(p =:J q ) " (q =:J r)] =:J ( p =:J r) Teorema de corectitudine. Dacă un secvent r � A este demonstrabil în G (i.e. G­ demonstrabil), atunci este un secvent valid. Demonstraţie (inducţie pe arbori demonstrativi). 1 . Orice arbore demons trativ cu un singur punct (i.e. o axiomă) este un secvent valid (prin Lema 1).

2a. Presupunem că originea arborelui demonstrativ (p :::> r)] T(p :::> q) , F[(q :::> r) :::> (p :::> r)] T(p :::> q) , T(q :::> r) , F(p :::> r) T(p :::> q) , T(q :::> r), Tp , F I"

T(q :::> r), Tp , Tq , Fr

T(q :::> r), Tp , Fr , Fp

Tp , Fr , Fp , Fq

Tp , Tr , Fr , Fp

Tp , Tq , Fr , Fq

Tp , Tq , Tr , Fr

Arborele deductiv corespunzător este

p � r, p, q

p, r � r , p

p, q � r,q q :::> r, p, q � r

q :::> r, p � r, p p :::> q , q :::> r , p � r

�

(p :::> q) :::> [(q :::> r) :J (p :::> r)]

1 29

p, q, r � r

Corespondenţa structurală dintre cele două construcţii este uşor sesizabilă. Aşadar, o formulă a este o teoremă în G dacă secventul ---t a are o demonstraţie. Prin teorema de corectitudine a sistemului G, a este deci şi o fonnulă validă a L, .

Exerciţii.

Se dau următoarele formule ale

Lp :

(p :J q ) :J (.q :J -,p) a2 : [( P :J q ) /\ (q :J r)b (P :J r) al : [(p :J r) /\ (q :J r)] :J [(p V q ) :J r] a4 : [( p /\ q ) :J r] :J [(P :J r) :J (q :J r)] as : (p :J r) :J [(q :J r) :J (p V q ) :J r] al

:

Construiţi, în fiecare caz în parte, corespunzători. Interpretaţi rezultatele.

tabloul fonnulelor şi

2.5.6. Lema interpolării (Craig) Există mai multe demonstraţii ale acestei leme în

L, .

arborii

În versiunea ei

deducti vi

originală (Craig)

demonstraţia este una constructi vă. Fitting oferă o demonstraţie bazată pe ideea de mulţim e Craig-consistentă şi pe teorema satisfiabilităţii5 1 . R. Smullyan dă o demonstraţie constructiv ă în directă conexiune cu sistemele Gentzen. În cele ce uffilează ne vom referi la acest din urmă caz. Definiţie. O formulă E se numeşte interpolant pentru implicaţia a :J fJ dacă orice

simbol propoziţional din E apare atât în a cât şi în fJ şi dacă a :J E şi E :J fJ sunt formule valide. Remarcă. în acord cu semnificaţia ,, :J ", o formulă poate fi validă şi în oricare din situaţiile: 1 . "a formul ă nesatisfiabilă. 2. fJ formulă validă.

În primul caz interpolantul formulei a :J fJ este O (falsul), în cel de-al doilea este (adevăratul). De ce?

Lema interpolării (Craig). Dacă interpolant.

a :J fJ

este o formulă validă a

Lp '

1

atunci ea are un

Similar interpolantului unei implicaţii, o formulă E esle interpolant pentru secventul orice simbol propoziţional din E apare în cel puţin o fonnulă din [' şi în cel puţin o fonnulă din tl. şi dacă ambii secvenţi [' ---t E şi E ---t tl. sunt valizi. Dat fiind sensul intuitiv al unui secvent [' ---t tl. , adică (al an :J (fiI v . . . v ). [' ---t

tl. dacă

unde ap . .. , au sunt formulele din [' iar

/31> /3m cele din ...•

/\ ... /\ )

tl. ,

/3..

existenţa unui interpolant pentru

secventul valid r ---t tl. este echivalentă cu existenţa unui interpolant pentru fonnula validă (al Dacă operăm cu secvenţi. mai curând decât cu formule ale Lp • aJ :J (/31 v . . . v

/\ ... /\

/3J .

atunci Lema lui Craig are unnătoarea valid, atunci el are un interpolant.

fonnulare echivalentă:

dacă

[' ---t

tl. este un secvent

În demonstraţia pe care Smullyan o face acestei leme utilizează ceea ce autorul numeşte "sisteme Gentzen simetrice". Acestea sunt sisteme de genul sistemului G mai sus prezentat cu următoarea restricţie: în nici una din regulile de deducţie vreo formulă nu poate fi transferată dintr-o parte în alta a simbolului , , ---t " (aşa cum se întâmplă în sistemul G).

51 M. Fitting, First Order Logic and Automated Theorem Proving. Springer-Verlag, New York, 1990. 56. 1 30

Sistemul S astfel obţinut va avea ca axiome orice secvenţi de genul r, a � tl., a ; r,a, -,a � tl. ; r � tl.,a, -,a . Iar În notaţia unifonnă regulile devin, corespunzător:

r, al , a2 � tl.

r � tl., PI , P2

r, a � tl.

r � tl.,a Demonstraţia Lemei lui Craig se rezumă acum l a unnătoarele: 1 . Se arată că orice axiomă are un interpolant. 2. Pentru fiecare regulă de deducţie se arată că dacă fiecare premisă are un interpolant, atunci concluzia are un interpolant. 1. r, a � tl., a are, evident, ca interpolant formula a ; r, a, -,a � tl. O iar r � tl., a, -,a 1 .

2.

A1 Dacă

c

este interpolam pentru

r, al ' a2 � tl. ,

atunci

c

este interpolant şi pentru

A2 Dacă

c

este interpolant pentru

r � tl., /31 ' P2 '

atunci

c

este interpolant şi pentru

r,a � tl. .

r � tl., f3 . 81 Dacă

atunci

cv l

atunci

c 1\ l

� tl.

şi

l

este interpolant pentru

r, P2 � tl. ,

� tl.,al

şi

l

este interpolant pentlU

r � tl., a2 ,

c

este interpolant pentru r, {JI

c

este interpolant pentru

este interpolant pentru r, {J � tl. .

82 Dacă

este interpolant pentru

['

r � tl., a .

2.5.7. Compacitate, satisfiabilitate, consistenţă

Aşa cum am văzut în 2. 1 .2.3, o formulă a

L p

este satisfiabilă dacă este adevărată în

cel puţin o interpretare a variabilelor sale. Similar, o mulţime [' (finită sau infinit numărabilă) de fonnule ale L este satisfiabilă dacă toate fonnule1e sunt simultan satisfiabile. ,

Teorema de compacitate (pentru G). Pentru orice mulţime [' de formule ale Lp are loc: dacă orice submulţime finită a lui [' este satisfiabilă, atunci [' este satisfiabilă. Demonstraţie (reductio ad absurdum). Presupunem că [' este nesatisfiabilă. Rezultă că secventul r � este valid. Şi deci, prin teorema de completitudine (comp. Remarcă 1 , 2.5 .4) există o mulţime finită d e fonnule

{ap . .. , aJ c [' ,

este demonstrabil în G. De unde, prin teorema de corectitudine, rezultă că valid. Ş i deci

{ap ... , ak }

nu este o mulţime satisfiabilă, ceea ce contrazice asumpţia teoremei

de compacitate. Aşadar, r este satisfiabilă. Similar definiţiei S-inconsistenţei din 2.3.3 (Def. in/consistenţei unei mulţimi [' de fonnule ale L

Definiţie. O mulţime

['

de formule ale

p

3)

vom construi un sens

L p

se numeşte G-inconsistentă dacă există o

Acest sens al inconsistenţei este echivalent cu unnătorul: (de ce?).

� {J , pentru orice {J

131

al G­

•

formulă {J a L astfel încât în sistemul G au loc: 1_ r � {J şilp este G-consistentă. 1- ['

ap ... , ak � ap ... , ak � este

astfel încât secventul

['

['

� -,{J , În caz contrar

este inconsistentă dacă

r

Iar

1-

r � f3 Înseamnă că există o mulţime fmită de formule {al " '" aJ 1- al " '" ak � f3 .

din mulţimea

r , aSlfel că Lema satisfiabilităţii (pentru G). Dacă r este o mulţime G-consistentă de formule ale L ' atunci r este satisfiabilă. p Demonstraţie (reductio ad absurdum). Presupunem că r este nesatisfiabilă. Rezultă că secventul r � f3 este valid, pentru orice f3 . De unde, prin teorema de completitudine a sistemului G, există

al ' ... , ak

c

r

astfel că 1- al "

'" ak

� f3 . Cum

f3

poate fi orice formulă

(i.e. construită dintr-o formulă şi negaţia ei) rezultă că r este o mulţime G-inconsistentă52 de formule, contrar asumpţiei . Din această lemă deducem: dacă r este consistentă, atunci secventul r � nu poate fi valid (este deci falsificabil). Lema consistenţei (pentru G). Dacă r este o mulţime satisfiabilă de fonnule ale L ' p

atunci r este consistentă. Demonstraţie (reductio ad absurdum). Presupunem că r este inconsistentă. Şi deci secventul r � f3 este demons trabil, pentru orice f3 . Fie f3 formula p 1\ -'p . Şi deci secventul r � p 1\ -,p este demonstrabil. Aşadar, există � , . .. , ak din r astfel încât

al " '" ak al , ... , ak

� p 1\ -.p este demonstrabil. Prin teorema corectitudinii lui

G

rezultă că secventul

� P 1\ -'p este valid, fapt imposibil, deoarece aceasta ar însemna, echivalent,

nesatisfiabilitatea mulţimii

{al " '" ak }E r

şi deci nesatisfiabilitatea lui r (ceea ce contrazice

ipoteza teoremei ).

Remarcă J . O dată demonstrată Ierna satisfiabilităţii se poate construi o elegantă demonsu'aţie a lemei: Orice mulţime consistentă r de formule ale L admite o extensie p

maximal consistentă 53. Echivalent: Orice mulţime consistentă r de formule ale

L

p

este o

submulţime a unei mulţimi maximal consistente r* Demonstraţie. Dacă r este consistentă, atunci r este satisfiabilă (prin Lema satisfiabilităţii). Există deci o interpretare Int în care toate formulele din r sunt adevărate. Fie r mulţimea tuturor formulelor adevărate în Int. Evident, r este o submulţime a lui r* Vom .

arăta că r* este o mulţime maximal consistentă. 1 . [" este consistentă, căci toate formulele din r* sunt adevărate în Int şi deci r este satisfiabilă. De unde, prin Lema consistenţei deducem 1 . 2 . r* este maximală (reductio ad absurdum). Presupunem că r* nu este maximală. Există deci o mulţime consistentă tl. , astfel că r* c tl. . Cum tl. este consistentă, rezultă că tl. este satistiabilă (prin Lema satisfiabilităţii) şi deci, prin definiţie, există o interpretare Int * în care toate formulele din tl. sunt adevărate. Cum tl. este o extensie proprie a lui r* (i.e. cele

două mulţimi nu coincid), există o formulă a care aparţine lui tl. şi nu aparţine lui r* . Cum a nu aparţine mulţimii r* rezultă că în interpretarea Int a ia valoarea logică fals. Şi deci

-,a este adevărată în Jnt. Şi deci -,aE r* . Cum tl. este o extensie a lui r* , Jnt * satisface orice formulă din tl. şi deci şi formula -,a . Însă JntO satisface toate formulele din tl. şi deci şi formula a, despre care am presupus că aparţine lui tl. şi nu aparţine lui r* . Însă, în acest caz, rezultă că lnr * satisface atât a cât şi -, a , imposibil. Deci r* este maximală. Remarcă 2 . În demonstraţia de mai sus a Lemei de existenţă cu privire la mulţimile maximal consistente s-a utilizat Lema satisfiabilităţii. Demonstraţia dată în 2.3.3 (Lema 1 )

52 Întrucât aiCÎ avem în vedere doar sistemul G , omitem ÎIl cele c e urmează referirea explicită l a G . 53 Comp. Lema 1, 2.3.3.

132

acestei

leme

are

altă

factură.

Demonstraţia

ei

a

fundamentat

demonstrarea

lemei

2, 2.3.3), iar pe baza lemei satisfiabilităţii am construit demonstraţia de

satisfiabilităţii (Lema completitudine.

2.5.8. Arborii deductivi şi formele normale 54 Construcţia unui arbore pentru un secvent unei forme normale a formulei corespunzătoare.

Forma normală conjunctivă.

conjunctive

a formulei

a

ac )

(abrev

Fie

a

a

construim un arbore deductiv pentru secventul

o vom reda, simplu, printr-o formulă

din a. Evident, echivalenţa

a == a,.

pennite, mai departe, construcţia

o formulă a Lp ' Pentru obţinerea formei normale

Vom avea una din cele două situaţii posibile: caz

r --7 �

a

este validă sau

ac : p v -'p ,

este falsificabilă.

--7

a.

În primul

unde p este o variabilă propoziţională

are loc.

În cel de-al doilea caz, vom alege toţi secvenţii

Pp ... , Pn (PI -{PI

a.

nonaxiome

din punctele finale:

ql " '" qm fiecăruia corespunzându-i un conjunct din ac de fonna: t\ p t\ . . . .) ::J (qj v ... v qJ (în acord cu sensul intuitiv al secvenţilor), echivalent t\ .. . t\ pJv qj v . . . V qm ' echivalent 'Pj v ... v -'p" V qj v . . . V qm ' Legăm prin conj uncţie toate aceste formule şi obţinem ac ' --7

'

Exemplu. p � r , p, q

Fie

a : (p ::J r) ::J [(q ::J s) ::J ((p V q) ::J r)]

q � r, p, q

p v q --7 r, p , q

p, s � r , p

pv

q, s � r , p

p, r � r, q

q, S --7 r, p

q, r � r , q

q, r , s � r

p v q, r , S --7 r

p v q, r ->; r, q

q ::J s, p v q --7 r, p

p, r, s � r

q ::J s, p v q , r --7 r p ::J r, q ::J S, p v q --7 r

P ::J r, q ::J S --7 (p v q b r P ::J r --7 (q ::J s) ::J ((p V q) ::J r) --7

(p ::J r) ::J [(q ::J s) ::J ((p V q) ::J r)]

Ceea ce am obţinut mai sus este un arbore deductiv al secv entului --7

a . Din cei

secvenţi puncte-finale doar unul nu este axiomă. Fonna nonnală conjunctivă a fonnulei

ac -'q v --,s v r v p .

a == ac ' putem cu uşurinţă asignări pentru care a. este falsificabilă: q S 1 şi r = p O .

aşadar

=

Cum

=

Exerciţii 1 . Arătaţi,

a.

8

este

să decupăm categorii le de

=

=

cu aj utorul procedeului fonnelor normale, că forma nonnală conjunctivă a

formulei a, ac ' este expresia mai sus obţinută.

2. Argumentaţi direct, pe baza formulei falsificabilă. 54

Comp. 2. 1.4.4.

133

a,

că în interpretarea de mai sus

a.

este

3. Pe baza arborilor deductivi corespunzători, construiţi forma normală conjunctiv ă a următoarelor formule: aJ = [(p ::J q) A (q ::J r)] ::J (P ::J r) a2 [(P ::J q) A (q ::J s ) b (P ::J r) a3 = [(p A q) ::J r] ::J [(P ::J r) ::J (q ::J r)] a4 = ( P ::J q) ::J [(q ::J r) ::J (r ::J s)] as = (p A q) ::J (p ::J q) o=:

a6 = (P ::J q ) ::J [(q ::J r) ::J (P ::J r)]

� = (p A q) ::J [(p ::J q) A r]

Forma normală disjunctivă. Fie disj unctivă a formulei

a.

(J.

o formulă a

Lp '

Pentru a obţine forma normală

(abrev. (Xd ) construim un arbore deductiv pentru secventul

o; --7

. În

acord cu cele spuse În 2.5.1, un astfel de secvent este echivalent cu -,0; , Aşadar, -,a este falsă ddacă a. este adevărată. Ca mai sus, vom construi un arbore deduc tiv pentt-u a --7 şi vom alege toţi secvenţii nonaxiome din punctele finale ale arborelui, PJ , ..., Pn --7 qJ , ... , qm ' fiecăruia corespunzându-i un disjunct din ad de forma:

-'[(Pl A ... A PJ ::J (ql v . . . V qJ] , echivalent

p, A ... A P n A -'qJ A ... A -.qm ' Legăm mai apoi prin disj uncţie toate expresiile astfel construite şi obţinem ad

•

Exemplu. --7

P --7 r

p, q

--7 p v q

--7 p ::J r

[(p v q)A (p ::J r)] ::J -,r --7

Exerciţii 1 . Arătaţi, cu aj utorul procedeului formelor normale, că forma normală disjunctivă a Formulei de mai sus, ad , este expresia astfel obţinută.

2. Pentru formulele aJ - a7 de la exerciţiul 3 de mai sus construiţi, pe baza arborilor deductivi corespunzători, forma normală disjunctivă şi verificaţi rezultatul astfel obţinut cu ajutorul procedeului formelor normale. 2.5.9. Arborii deductivi şi mulţimile Hintikka O altă modalitate de a prezenta un secvent r --7 � este utilizarea unei perechi ( r � ) de mulţimi de fOffi1Ule. În cele ce urmează vom considera doar cazul în care r şi � sunt mulţimi jinite de formule. Fie secventul [(p v q) A (p ::J r)J ::J -.r --7 din exemplul al doilea din 2.5.8. În acest caz ,

r = U(p v q) A (p ::J r)] ::J -.r}, iar � = { � } . Fie acum o ramură deschisă a arborelui deductiv al

134

secve ntului de mai sus. Fie 81 mulţimea tuturor formulelor care apar în antecedentul fiecărui secvent din ramura considerată, iar 82 mu lţimea tuturor fonnulelor care apar în succedentul fiecărui secvent din ramura aleasă. Aşadar, 81 82

= U(p v q ) I\ (P ::J r)] ::J --,r, p} = {(p v q ) I\ ( P ::J r), P ::J r, r}

Din aceste două multimi construim o singură mulţime prin prefixarea tuturor fonn ulelor din 81 cu H

T (adev ărat) şi a tuturor formulelor din 82 cu F (fals), adică:

= {T [(p v q ) " (P ::J r)J ::J --, r, Tp , F(p v q ) " ( p ::J r), F(p ::J r ), Fr} H este o mulţime Hintikka, adică o mulţime care satisface următoarele trei condiţii:

1. 2. 3.

Nu conţine nici o variabilă propoziţională împreună cu negaţia ei. Dacă a E H, atunci a, E H şi a2 E H. Dacă /3 E H, atunci /3, E H sau /32 E H.

Lemă. Orice ramură deschisă a unui arbore deductiv fonnează o mulţime Hintikka. Demonstraţie. Ceea ce trebuie să arătăm este faptul că mulţimea H, aşa cum am construit-o mai sus, este o mulţime Hintikka.

1

are loc.

H nu poate conţine o variabilă propoziţională împreună cu negaţia ei. Căci

orice variabilă propoziţională care apare Într-un secvent apare în orice ramură care conţine secventul respectiv. Iar dacă H ar conţine atât

Tp

Fp, unde p axiomă şi

cât şi

propoziţională, atunci ramura respectivă conţine un secvent

închisă, contrar asumpţiei din lemă.

este orice variabilă este deci o ramură

Pentru demonstrarea validităţii celorlalte condiţii vom considera cele două cazuri distincte, după cum o formulă oarecare

a.

aparţine mulţimii 81 sau

a.

aparţine mulţimii 82 .

Considerăm că aE 81 ; cazul celălal t se tratează similar.

2 tipul a .

are loc. În

Considerăm că

a

aparţine unui secvent

r � 11 , iar Ta este o formulă de r � 11 , prin aplicarea

acest caz a, şi a2 se adaugă succesorului imediat al lui

unei reguli de inferenţă, în felul Uffilător:

TÂ"

a) Dacă a, este de forma

atunci A,

r � 11 . La fel procedăm dacă a2 b) Dacă a, este de forma FÂ"

se adaugă antecedentului. succesorului lui

are forma

atunci A,

T� .

se adaugă succedentului succesorului lui

r � 11 . La fel procedăm dacă a2 are forma F� . Şi deci în ambele cazuri a, şi a2 aparţi n lui H.

3

are loc. Considerăm acum că o formulă a aparţine unui secvent r � 11 ,

o formulă de tip /3 .

În acest caz r � 11

de mai sus:

stâng, iar /32 succesorului drept. Şi aici vom avea cele două cazuri a) Dacă /3, este de forma stâng al secventului

r � 11 .

TÂ"

Dacă şi

atunci A, va

stâng al lui

r � 11 . În

succesorului drept al lui

fi adăugată antecedentului succesorului

/32 este de forma

antecedentului succesorului drept al secventului b) Dacă /3, este de forma FA"

iar Ta este

va avea doi succesori, /3, va fi adăugată succesorului

T� ,

atu nci

�

se va adăuga

r � 11 .

atunci Â, se va adăuga succedentului succesorului

fine, dacă /32 are forma

r � 11 .

Şi deci fie /3" fie /32 aparţine lui H.

1 35

F� ,

atunci

�

se va adăuga succedentului

2.5.10. Sistemul LK · Acest sistem tip Gentzen este de fapt sistemul LK din Untersuchungen . 55, Iară cele 4 reguli de introducere a cuantificatorilor V şi ::3 în antecedentul şi, respectiv, succedentul unui secvent. În construcţia acestui sistem vom găsi două tipuri de reguli: structurale şi operaţionale, la care se adaugă aşa-numita regulă a tăieturii. ..

1.

Regulile structurale

r --7 �

r --7 �

Atenuare At,

At

d

a, r --7 � Contragere

r --7 �, a r --7 �, a,a

a,a, r --7 � Contd

Cont,

r --7 �,a

a, r --7 � Permutare

r --7 �, a, f3, A

r, a, f3, � --7 A Per

Per,

d

r, f3, a, � --7 A 2. Regula tăieturii:

r --7 �, a

r --7 �,f3,a,A

a, A --7 e

Taiet

3. Regulile operaţionale (logice):

a, r --7 � (As )

a A f3, r --7 �

a A f3, r --7 �

a, r --7 � f3, r --7 � (v , )

r --7 �, a r --7 �, f3

f3, r --7 � (A, )

a v p, r --7 �

(A d )

55

r --7 �, p

r --7 �,a (V d )

r --7 �, a v f3 a, r --7 �, f3

(::J, )

r --7 �, a A f3

------

Comp. G. Gentzen, "Untersllchllngen liber das logische Schliel3en", 192-3.

136

(V d )

-----

r --7 �, a v p

r --7 �, a r --7 �, -,a Axiomele acestui sistem sunt orice secvent de forma

a --7 a .

Teorema de corectitudine a sistemului LK' . Orice formulă LK' -demonstrabilă este vaLidă.

Ceea ce trebuie să arătăm sunt următoarele două teze: a) orice axiomă a sistemului LK ' este un secvent valid (trivial !) şi b) dacă toate premisele unei reguli a acestui sistem sunt adevărate într-o interpretare arbitrară Int, atunci şi concluzia regulii este adevărată în interpretarea respectivă. Adică orice regulă conservă adevărul premiselor. Din aceste două teze rezultă că orice formulă deductibilă din axiomele sistemului, prin aplicarea regulilor sale, este o formulă validă. Pentru a demonstra b) putem considera fiecare regulă în parte, argumentând corespunzător în raport cu formula principală conţinută.

Exemplu.

Fie regula (:::), )

r --7 �, a

p, A --7 e

a :::) fJ, r, A --7 �, e Dacă ambele premise ale regulii sunt adevărate, atunci concluzia este adevărată. Echivalent, dacă concluzia este falsă, atunci cel puţin Una din premise este falsă. Pentru orice interpretare Int, concluzia este falsă în Int ddacă In! satisface toate formulele din r şi A plus formula a :::) p şi falsifică toate formulele din � şi e . însă Inţ satisface a :::) P dacă fie Int falsifică falsifică

a, fie Int satisface p . Aşadar, Int falsifică concluzia ddacă: 1 ) fie Int satisface r şi � şi a, 2) fie Int satisface P şi A şi falsifică e , exact ceea ce exprimă secvenţii

din premise.

Remarcă. O deosebire esenţială exislă între teoremele de corectitudine ale sistemelor G şi LK' , în următorul sens. În G este valabilă următoarea echivalenţă: Premise adevărate în In! ddacă concluzie adevărată în Int, adică şi din adev ărul concluziei se poate conchide asupra adevărului premiselor. În schimb, în LK ' este valabil doar condiţionalul: Dacă premisele sunt adevărate în Inl, atunci concluzia este adevărată în In!.

Consistenţa în LK'

Lemă. 1. O mulţime r de formule esle LK' -inconsislentă ddacă există o formulă a astfel Încât ambii secvenţÎ r --7 a şi r --7 -,a sunt LK' -demonstrabili. 56 2. Pentru orice a , secventul r --7 a nu este LK' -demonstrabil ddacă r u {-,a} este consistentă. Demonstraţie. 1 . Bicondiţionalul din 1 înseamnă: l a) Dacă

r

este inconsistentă, atunci există

a

sunt demonstrabili în LK ' . Echivalent, pentru orice (comp. 2.5 .7). 56

Omitem "LK ' _" .

137

r --7 a cât şi r --7 -,a r � f3 este demonstrabil

astfel încât atât

fJ ,

secventul

lb) (conversa lui l a). Dacă există a astfel încât atât r � a cât şi r � -,a sunt demonstrabili, atunci r este inconsistentă. Pentru demonstrarea lui 1 b) presupunem antecedentul condiţionalului, adică ambii secvenţi r � a şi r � -,a sunt demonstrabili şi vom arăta că secventul r � p este demonstrabil, unde

p

este orice formulă. Iată demonstraţia, unde

celor doi secvenţi presupuşi în antecedent:

�

şi

:3xVyQ(x, y, z) . Unele variabile, x şi y în consecventul implicaţiei, sunt "acoperite" de cuantificatorii respectivi, :3 şi V . Fiecare dintre ele are două ocurenţe (apariţii), una ca argument al predicatului Q, iar cealaltă ca simbol care succede imediat cuantificatorului respectiv. x , de exemplu, primul argument al lui Q, mai apare după :3 . în aCest caz vorbim despre ocurenţele Legate ale variabilei x prin cuantificatorul :3 (în consecventul implicaţiei). La fel putem vorbi despre variabila y din consecvent, variabilă legată prin cuantificatorul V , in cele două ocurenţe ale sale. În schimb, x şi y din antecedentul formulei şi z din consecvent sunt ocurenţe Libere ale variabilelor respective. După cum ne arată acest exemplu, o variabilă poate să aibe atât ocurenţe libere cât şi legate în aceeaşi formulă.

Definiţia 6. O ocurenţă a unei variabiLe x este Legată într-o formuLă dacă ea este variabila unui cuantijicator, 'Ix sau :3x , sau este în domeniuL unui cuantijicator, 'Ix sau 3x , în formuLa considerată. În caz contrar, ocurenţa se numeşte liberă. Definiţia 7. O variabilă se numeşte Legată/Liberă într-o formuLă dacă are ceL puţin o ocurenţă Legatălliberă în formuLa dată. Definiţia 8. O formuLă a se numeşte închisă (propoziţie) dacă nu conţine nici o variabilă liberă. Substituţia În Lp

Definiţia 9. Substituţia este o funcţie cr de La mulţimea variabilelor La muLţimea termenilor. SimboLic: er : 'V � 'T , unde 'V este mulţimea variabilelor. Deşi substituţiile sunt funcţii pe variabile, ele pot fi extinse la orice termen. Definiţia 10. Fie er o substituţie. Atunci: 1. er(c) = c 2. er(J (t l ' ... ' tJ) f(cr(:} ), ... , er(t. )) , unde er(ti ) sunt, La rândul Lor, termeni. Putem spune deci că aplicarea funcţiei er asupra unui termen generează un alt termen. Similar, funcţia er poate fi aplicată şi formulelor Lp • În acest caz aplicarea este mai =

complicată, deoarece o formulă poate conţine atât variabile libere cât şi variabile legate, iar substituţia nu trebuie să afecteze ocurenţele variabilelor legate.

Definiţia 1 1 . Fie er o substituţie. Prin er vom înţeLege o substituţie ca substituţia er , exceptând faptuL că nu schimbă variabiLa x . Adică, pentru orice variabilă )' : cr(y ), �aca y :ţ x erx (Y) = x, daca y = x Definiţia 12. Fie er o substituţie. Atunci: 1 . cr(R(t w ., tJ) = R (er{t} ), ... , er{t J) . 2. er(-,a) = -,(er(a)) 3. er{a o p ) = (er(a) o cr(p )) 4. er{Vxa) = Vx{erJa)) x

{

1 62

5.

o{3xa) = 3x(oja))

Exemplu: Fie următoarea formulă a Lp : \ixp(x, y). Fie a(x) a şi a(y) = b . Atunci O"(\ixp(x, y)) = \ix(a,P(x, y)) = \ixp(x, b) . Definiţia 13. Fie a o formulă a limbajului Lp iar t un termen. Atunci t este liber pentru variabila Xi din formula a dacă nici o ocurenţă liberă a lui Xi din a nu se află în domeniul vreunui cuantificator \ixj sau ::Ix}, unde xj este o variabilă din t. Exemplu. Fie termenul f(xp x2 ) şi formulele a : \ix3P(xp xz , x J ::J 3x3QX3 şi fJ : \iX2Q(XI , x2 ) · În formula a termenul f (xi xJ este liber pentru Xl ' de exemplu, nu Însă şi =

'

în formula fJ pentru '

Xl ' Pentru că, în acest din Ulmă caz, variabila x2 din f (Xi ' x2) cade sub

"acoperirea" cuantificatorului universal \ix2 şi devine astfel variabilă legată. Remarcă 1 . Dacă un termen nu conţine nici o variabilă, atunci el este liber pentru orice variabilă în orice formulă. Remarcă 2. Într-o formulă a un termen este liber pentru orice variabilă dacă nici una din variabilele lui t nu este legată în a (construiţi un exemplu). 3.1.2. Semantica Lp În paragraful precedent, Sintaxa Lp , am utilizat câteva concepte ca "termen", formulă", "variabilă liberă" etc., concepte care implică doar proprietăţile gramaticale ale " şirurilor de simboluri. Acestea erau concepte sintactice. Conceptele la care ne vom opri în cele ce urmează depind de semnificaţia şirurilor de simboluri. Acestea sunt concepte semantice, concepte operante doar prin interpretare. Dacă în logica propoziţiilor a interpreta o formulă înseamnă a asigna valori de adevăr variabilelor ei propoziţionale, în Lp interpretarea vizează mai multe categorii sintactice. Mai precis, a elabora o semantică pentru Lp înseamnă a atribui semnificaţie simbolurilor simbolurilor funcţionale şi celor pentru constante. La interpretarea acestor simboluri se adaugă existenţa unui domeniu nevid de elemente, Q , implicat de prezenţa cuantificatorilor. Aceste două determinaţii, domeniul şi interpretarea, laolaltă, alcătuiesc un model pentru limbajul Lp

predicative,

•

Definiţia 1. Un model pentru limbajul Lp este un dubleI M = (Q,l) , unde: 1. Q este o mulţime nevidă, numită domeniul lui M. 2. 1 este o funcţie, numită interpretare, prin care a) oricărui simbol predicativ n-adic R" i se asociază o relaţie n-adică l(R" ) s Q" . În loc de l(R" ) vom scrie, simplu, RI• b) oricărui simbol funcţional n-ar r i se asociază o funcţie l(r ) pe Q, astfel: J' : Q" � Q . c) oricărei constante ai i se asociază un element al din Q .

În fine, fiindcă formulele Lp pot conţine variabile libere, va trebui să interpretăm şi aceste simboluri. Interpretarea unei variabile libere este dată prin funcţia asignare.

Definiţia 2. Asignarea Într-un model M este o funcţie ţi. de la mulţimea variabilelor la domeniul Q . Simbolic: f.i : 0/ � Q . Dacă dispunem de o interpretare şi o asignare, aşa cum au fost mai sus definite, atunci valoarea oricărui termen poate fi calculată. Adică, datfiind un model M = (Q, ll şi o asignare ţI., fiecărui termen t i se asociază o valoare (,ţi , astfel: 163

1. pentru orice simbol constantă: c" P Ci 2. pentru orice variabilă x: x' ·P xP 3 . pentru orice simbol funcţional f : (f(t 1 , , t. ))',P = f ' (t:-P , . . . , t�,ţJ ) Remarcă. Dacă un tennen este închis, atunci valoarea lui nu depinde de asignări. Defin iţia 3. Fie x o variabilă iar ţl şi v două asignări în M. ţl şi v se numesc x-variante (x-alternative) dacă ţl şi v asignează aceleaşi valori oricărei variabile cu excepţia posibilă a lui x. Definiţia 4. Fie M (Q, l) un model pentru limbajul Lp iar ţl o asignare în acest model. Fiecărei formule a îi asociem o valoare de adevăr [al'P , 1 sau O, astfel: 1 . [R (tp .. , t Jl 'P = 1 ddacă (t:·P , ... , t�.P ) E R' , unde R(tl"'.,t. ) este oformulă elementară. Exemplu. Fie Q = {1 ,2,3}. Prin Q 2 vom înţelege mulţimea tuturor cuplurilor de elemente, care pot fi construite cu elementele din Q . Adică Q2 = {(l,l), (1,2), ( 1,3), (2,1), (2,2), ( 2,3), (3,1), (3,2), (3,3)}. Dacă prin R' vom înţelege relaţia ,,,+ .

3. Fie următoarea propoziţie a limbajului Lp :

\ix1\ix2 {R(xl' x2 ) ::J ::Ix) [R(xl X:!) R(X:! , x2 )D· '

/\

Determinaţi valoarea de adevăr a acestei propoziţii în următoarele două modele: M I = (R, » , unde R reprezintă mulţimea numerelor reale şi M 2 = ( z+ , > ) . 4. Fie următoarea formulă a limbajului Lp : Q{ g{x, y), c). Determinaţi valoarea logică a acestei formule în următorul model: M = ( Z+ , �,x,l ) . Demonstraţii de validitate în Lp

Exemplul 1. Să se demonstreze că următoarea formulă a limbajului r: \ix(a ::J p) ::J (a ::J \ixp) ; x nu apare liberă în a . Demonstraţie (reductio ad absurdum) Prin definiţie, o formulă este validă dacă este

Lp este validă:

adevărată în toate modelele lui Lp . Presupunem că r nu este o formulă validă. Rezultă că există un model M = (Q, l) al

1 67

li mbajului Lp în care r nu este adevărată. Există deci o asignare

f.L

în

M (il,l) =

în care

r

este falsă, adică

1 . [Vx(a ::J f3} ::J (a ::J Vxf3n·p = O , echivalent aVx(a ::J f3}]'.P ::J [a ::J Vxf3]'·p ) = O , cf. Def. 4(3), adică 3. [Vx(a ::J f3)J.P = 1 şi 4. [a ::J Vxf3J-P = O Din 4 deducem 5. [a ]'.P = 1 şi 6. [Vxf3J -P = O . Din 6 deducem că există o asignare v x-variantă 2.

a asignării Din

ţi, astfel că 7.

(f3]'-" O ; cf. Def. 4(4) . =

8. [at = 1 , pentru orice asignare v x-variantă a asignării ţi (deoarece x nu a , prin restricţie). Din 7 şi 8 deducem 9. [a ::J f3]'.v O . Însă din 2 deducem

5 deducem

apare liberă în

10. [a ::J f3rv

contrazice 9.

=

=1,

pentru

orice

asignare v x-vari antă a lui

Remarcă Formula

r este validă doar cu restricţia menţionată:

ţi

(prin Def.

4(4»,

rezul tat care

,,x nu apare li beră în

a ". Pe baza

unui exemplu simplu vom arăta de ce este necesară o asemene restricţie. Mai exact, vom arăta că rară o astfel de restricţie fonnula

r este nevalidă.

a şi f3 din formula r sunt fonnule arbitrare ale Lp , presupunem urmează că a şi f3 sunt formula elementară p(x). În aces t caz fonnula r este r * : Vx(p(x} ::J p(x)} ::J (p(x) ::J Vxp(x)) Cum

Aici x apare

liberă în antecedentul consecventului (încalcă deci restricţia!). r * este nevalidă. Adică există un model M = (il,l; în care

Vom arăta că

în cele ce

r * nu este

adevărată.

M1(ill'l) , în care domeniul conţine un il2 are două elemente, a, b. Transformăm

Vom considera succesiv două modele, unul, singur element, acum fonnula

a, iar celălalt, M2(il2,l; , în care

r * în acord cu semnificaţia cuantificării pe domenii fini te, adică:

Vxp (x) eq [p(aJl\ p(a2} 1\ .. . l\ p(aJ] . În primul caz obţinem:

ri *

:

[P(a ) ::J P(a}]::J [P(a) ::J P(a)] P, formula nu poate fi falsă.

Într-un astfel de model, indiferent de interpretarea lui Ce se întâmplă însă cu

Y2

*

:

M ( il2, lI ? Transfonnăm formula, ca mai sus, şi obţinem: �P(a} ::J P(a}] 1\ [P(bb P(b m ::J [P(a} ::J (P(a) 1\ P(b }}] r * în

2

Această fonnulă am obţinu t- o din antecedentu l consecventului (i.e. fonnula

r *, prin transfonnări echiveridice, astfel încât în

a

în care x apare liberă) pentru

(Ia fel de bine puteam alege b!). Poate fi

x am luat valoarea a

Y2 * falsă în M 2 ?

categorii de asignări de valori de adevăr pentru P(a} şi P(b) pentru care implicaţia (i.e. Y2 *) să fie falsă. Acestea sunt:

Este suficient să găsim acele formulele elementare

p(a} = l şi P(b} = O .

M 2 ' construind funcţia interpretare ( l ) şi găsind două elemente astfel încât unul are proprietatea p' iar celălalt nu. Explicităm modelul

168

Dacă P' = "prim", atunci a = 3 şi b 4 . În acest model M2({3,4}, prim; , r2 * este falsă (verificarea: exerciţiu). Exemplul 2. Demonstraţi validitatea următoarei fonnule a limbajului Lp : 15 : Vx(a(x) => .o(x)) :J (Vxa(x) :J Vx.o(x)) Reductio ad absurdum. Presupunem că 15 este nevalidă. Există deci un model M ( Q, l) şi o asignare ţi în M astfel încât =

=

[vx(a(xb .o(x)) ::::> (Vxa(x) :J Vx.o(x))J 'P = O , echivalent ijvx(a(x) :J .o(x))]" P :J [(Vxa(x) :J Vx.o(x))]" P ) O , echivalent ijvx(a(x) :J .o(x))]'"P ::::> ijvxa(x)]'·P :J [Vxp(x))'"P )) = O , adică 1. [Vx(a(x) => p(x))J"P 1 şi II. [Vxa(x )J"P = 1 şi III. [VxP{x)J"P O Din 1, [Vx(a(x) :J p(xm·p = 1 , deducem [a(x) ::::> P(x)y.v 1 pentru orice asignare v (x­ variantă a asignării ţi); echivalent ija(x))'"" :J [,B(x))'-" ) 1 , pentru orice asignare v (x-variantă a lui ţi). Din II, [Vxa(xH·P 1 , deducem [a(x)y.v 1 , pentru orice asignare v (x-variantă a lui ţi). Din 1 şi II deducem [,B(x)y-" 1 , pentru orice asignare v (x-variantă a lui ţi). Din III, [Vxp(xH'P = O , deducem că există o asignare v (x-variantă a lui ţi), astfel că [,B(x)J"v O , ceea ce contrazice deducţia de mai sus, conform căreia [,B(x)r 1 , pentru orice asignare v (x-variantă a lui ţi). Exemplul 3. Vxa(x) :J a(x It ) ; t este orice termen liber pentru x în a(x) . Demonstraţie. Presupunem că formula este nevalidă. Fie M = (Q,l ; şi f..I. o asignare în M. Presupunem că a(x It ) este falsă în asignarea f..I. în M. Aşadar, [a(x J t )l"P O . Fie v o asignare x-variantă a lui f..I. , astfel că XV t ·P . În acest caz [a(x)J"" = O , prin Lemă , şi deci [Vxa(x)J"P 0 (ef. Def. 4(4». =

=

=

=

,

=

=

=

=

=

=

=

=

'

=

Exerciţii 1.

Demonstraţi validitatea următoarelor formule ale limbajului Lp : YI : Vx(a(x) ::::> .o(x)b (3xa(xb 3xp(x)) r2 : VxQ(xb 3xQ(x) r3 : 3x(a(x) v p(x)) = (3xa(x)v 3xp(x)) r4 : (Vxa(x)/\ Vxp(x)b Vx(a(x)v p(x)) r5 : Vx(a(x) /\ p(x)) :J (Vxa(x) v Vxp(x)) 2. Construiţi modele în care următoarele formule nu sunt adevărate: 151 : Vx(p(x)v Q(x)) :J (Vxp(x)v VxQ(x)) 152 : (Vxp(xb VxQ(x)) => Vx(p(x) :J Q(x)) 3. Este validă următoarea formulă a limbajului Lp ? Vx(a(x) /\ p(x}b Vx a(x) 4. Să se demonstreze următoarea aserţiune a Lp : a este o formulă validă ddacă - , a nu este satisfiabilă.

169

3.2. Tablourile analitice în Lp Metoda tablourilor analitice în Lp este un analogon al metodei corespunzătoare din logica propoziţiilor. Formulele logicii propoziţiilor, aduse într-o notaţie uniformă, se constituie, am văzut, în două tipuri distincte: formule a şi formule p. Şi în Lp avem o notaţie similară, în raport cu care formulele cuantificate şi negaţiile lor se grupează în formule l' (universale) şi formule J (existenţiale), astfel:

tip

tip

tip

tip

formule 1': Vxa ; --,3xa ;

(t) : a(xlt} l' (t} : --,a(xlt)

formule 15: 3xa ; --,Vxa ;

15

l'

(t) : a(x It} l5(t} : --,a(xlt} a (x It}

--,a(x It}

Expresiile simbolice şi denotă instanţieri (exemplificări) ale formulelor respective, obţinute prin substituirea variabilei x din cu un termen În vederea expunerii modului în care metoda tablourilor analitice este operantă în Lp vom recurge la o mică modificare a limbajului logicii predicatelor. Mai precis, vom adăuga limbajului Lp , prezentat în cadrul Lp , o nouă categorie de numite

parametri.

a

t.

Sintaxei

constante,

L;. vom înţelege aşadar Lp reunit cu mulţimea infinit numărabilă a parametrilor. Aşadar, L; Lp u {Par} . Simbolurile pentru parametri vor fi p,q, r, .. , PP P2 'oo . . Prin

=

.

Utilizarea parametrilor este o practică curentă în matematică. Demonstrată fiind, de exemplu, o teoremă de forma putem conchide asupra existenţei a ceva care este În acest caz nu vom utiliza, pentru desemnarea acelui "ceva", un simbol deja utilizat, cu o semnificaţie strict detenninată (cunoscută), ci vom spune simplu: "fie un astfel de x care este nume introdus în urma demonstraţiei enuntului de O asemenea constantă existenţă se numeşte Aşa cum pentru formulele a şi p aveam regulile corespunzăloare, tot astfel în t:; vom avea, pentru formulele l' şi 15, regulile respective. r . Rr : sau ( ; unde t este termen � h'IS aI I Im ' b aJu ' l Ul' Lp , chiar ŞI.

3xa,

a . "

"p" , parametru.

3x a ,

--,3xa Vxa a xl t ) --,a (xl t )

7 "t }

a.

--

p

nou

Orlce

'

mc

+

un parametru sau un termen care conţine parametri . 15 Ro : � ( sau ; ( ) ' unde este un parametru 12 {j P Sensul restricţiei din regula Ro este următorul. Presupunem că într-o demonstraţie

)

--,Vxa 3xa a (xl p ) --,a x/ p 3xP(x}

nou .

p

3xP(x}

matematică expresia este o teoremă. O dată demonstrată propoziţia putem deci conchide asupra existenţei unui care are proprietatea şi spunem: "fie un astfel de x' . Dacă în decursul demonstraţiei şi expresia este o teoremă, vom spune "fie q un astfel de x". În acest al doilea caz nu putem folosi încă o dată parametrul deoarece a fost angajat în primul enunţ de existenţă şi nu ştim dacă acel care este are atât proprietatea cât şi proprietatea

x

3xQ{x}

x

Q.

12

p

P

p, p

p

deja P

Prin introducerea parametrilor vom avea, corespunzător, formule I ară parametri (pure), cele specificate În

3. 1 . \ , şi formule cu parameui.

170

Altfel spus, restricţia din Ro înseamnă: un parametru din

.c;; nu poate fi introdus prin

aplicarea regulii Ro dacă el a fost dej a introdus printr-o aplicare a regulii Ro ' însă dacă parametrul respectiv a fost deja introdus într-o formulă prin aplicarea regulii Rr asupra unei formule universale, atunci el poate fi din nou utilizat prin aplicarea regulii Ro asupra altei formule (existenţiale). În acest din urmă caz explicaţia este simplă: o dată demonstrată

\ixp(x) ,

p(t} , orice

orice

propoziţia termen închis, chiar şi un putem conchide asupra unde t este parametru. În acest caz P are loc despre t. Cum nu este "unul anume" , el poate fi din nou utilizat prin aplicarea regulii Ro asupra unei propoziţii În practica rezolvării de exerciţii regula Ro poate fi aplicată într-o formă mai "lastă" .

t

:3xQ(x} .

În sensul că restricţia cerută de această regulă, "p este un parametru nou", admite alternativa următoarelor 3 condiţii simultan satisfăcute: 1 . nu apare în formula b (din care facem deducţia

2.

O(p}). p p n-a fost introdus anteri or printr-o regulă Ro '

3. nici un parametru introdus anterior printrt-o regulă Ro nu apare în b.

Exemplu. Demonstrăm că formula a de mai jos este o formulă validă a

Lp .

\ix(p(x} ::::> Q(x}) => (\ixp(x} ::::> \ixQ(x)} -,(\ix(p(x) ::::> Q(x)) ::::> (\ixp(x} ::::> \ixQ(x) )) ( 1 ) , Ra \ix(p(x} ::::> Q(x}} . .(\ixp(x} ::::> \ixQ(x)) (1), Ra 3 4. \ixp(x) (3 ), Ra 5. -NxQ(x) (3 ) , R a 6. -,Q(p} (5) , Ro 7. p(p} (4) , Rr (2), Ry 8. p(p) => Q(p) a:

1. 2.

A 9.

-,p(p)

*

10.

Q(p)

(8 ) , Rp

*

Coloana din dreapta indică paşii corespunzători din care s-a obţinut formula respectivă, prin aplicarea regulii specificate. În pasul 6, este formula obţinută din

-,Q(p) -,\ixQ(x}, unde p este un parametru nou. În pasul 7, p(p) se obţine din fonnula l' din 4, prin aplicarea regulii Ry . Întrucât formula este unive rsală, P este valabil despre orice termen închis, deci şi despre parametrul p, deja utilizat. Formula din pasul 8, p(p} ::::> Q(p}, se obţine din 2, tot prin aplicarea regulii Rr ' formula t5 (existenţială)

După cum se poate observa cu uşurinţă, demonstraţia cu ajutorul metodei tablourilor analitice în Lp este similară demonstraţiei din logica propoziţiilor. Respecti v, o formulă a a

.c;; este o formulă validă în Lp dacă tabloul analitic al negaţiei ei, -,a , este unul închis. Mai a este o formulă validă în Lp • La acelaşi rezultat se putea aj unge

sus am arătat că formula

171

construind tabloul analitic al lui -,a ŞI In alt fel . Respectiv, în pasul 4 puteam pune prin aplicarea Rr asupra pasului 2, după care ramificam tabloul astfel obţinut.

p(p) :J Q(p) ,

Sau aplicam regula Rr înaintea aplicării regulii Ro ş.a.m. d. Aceasta înseamnă că regulile tabloului sunt în sensul că suntem cei care alegem formula căreia îi aplicăm o reguLă sau alta. Tot noi suntem cei care putem utiliza o formulă de mai multe ori prin aplicarea unei reguli sau putem omite aplicarea unor reguli în cazul în care tablou l analitic se închide mai repede (adică nu la nivelul unei formule elementare). Pe scurt, regulile sunt non-deterministe pentru că ne spun ce putem face, nu ce trebuie să facem. Spre deosebire de logica propoziţiilor, în 4. , deşi formula pe care o demonstrăm este validă (i.e. există un tablou închis pentru -,a ) se întâmplă ca acest rezultat să nu poată fi atins întotdeauna. Sursa acestui fapt o reprezintă regula Rr ' Căci, de exemplu, dacă pe aceeaşi

non-deterministe,

noi

:3x--oR(x) cât şi formula 'ţIzR (z), prin aplicarea asupra formulei existenţiale pu tem continua construcţia tabloului adăugând -,R (p ) , unde

ramură a tabloului analitic avem atât formula Ro

p este un parametru nou, iar prin aplicarea repetată a Rr asupra formulei universaLe putem adăuga succesiv R (tJ R(t2 ) , . . unde t. , t2 ,. . . sunt termeni închişi diferiţi de p din 4 . Evident, în acest caz, deşi există un tablou închis pentru -, a , acest lucru nu poate fi obţinut. ·,

În cazuri le reLativ simpLe, inspiraţia ne face să dobândim rezultatul. Simi lar Logicii propoziţiilor, în câteva indicaţii ne ajută la o construcţie mai uşoară şi mai rapidă a tabloului analitic. Ordinea în care aplicăm cele patru reguli este (de preferinţă !) următoarea: Ra , Ro ' Rr ' Rp . Şi în vom întâlni teoreme similare teoremelor din logica propoziţiilor.

Lp

Lp

Redăm mai jos, rară demonstraţie, două dintre cele mai importante. Teorema corectitudinii. a

Orice formulă a 4. demonstrabilă cu ajutorul metodei tablourilor analitice este o formulă validă a Lp • Teorema completitudinii. Orice formulă validă a Lp este o formulă demonstrabilă ajutorul metodei tablourilor analitice. cu

Simultan, cele două teoreme admit echi valenţa (şi deci substituirea reciprocă a) conceptelor "demonstrabil" şi "valid". (aplicaţii ale metodei tablourilor analitice în 1 . Să se demonstreze că unnătoarea formulă este o formulă validă în

Exemple

Lp )

:3x(p(x)v Q(x)) :J (:3xp(X) :J :3xQ(x)) 1 . --{:3x{p(x)v Q(x)) :J (:3xp(x) :J :3xQ(x))} 2. :3x(p(x)v Q(x)) 3. -,(3xP(x)v :3xQ(x)) 4. -,3xP(x) 5. -'3xQ(x) 6. p(p)v Q(p) , din 2, Ro , p nou 7. -,p(p) 8. -,Q(p) al

9.

p(p) *

:

10.

Q(p) *

172

Lp

2. Este unnătoarea fonnulă o fonnulă validă în Lp ?

az : 3xVyR{x, y) ::> Vy3xR{x, y)

---,{3xVyR {x, y) ::> Vy3xR{x, y)} ( 1), R" 3xVyR(x, y) C I ), R" 3. -Ny3xR {x, y) (2), Ro 4. VyR(P, y) (4), R 5. R(P, p) y 6. -,3xR{x,q) (3), Ro 7. -,R{p,q) (6), R y (4), R 8. R{p, q) y 1. 2.

*

În acest exemplu p şi q (culese bold) reprezintă cei doi parametri , distincţi, introduşi asupra formulelor 2 şi 3 . prin două aplicaţii succesive ale

Ro

Exerciţii 1 . Să se demonstreze, cu ajutorul metodei tablourilor analitice, validitatea / nevaliditatea următoarelor formule:

: 3x(P{x) .I\ Q{x)) ::> (3xP{x) .I\ 3xQ{x)) 3x{P{x) ""Q(x)) (3xP{x) .I\ 3xQ{x)) 3x{P{x) ::> Vxp(x)) a4 Vx3yVz3w{ R {x, y)v -,R{w, z)) p{y )) as 3y{3xP{x) a6 Vy{Vxp{x) :J p{y)) a7 VxP{x) :J 3xP{x) as -,3yP{y) :J Vy{3xP{x) ::> p{y)) a9 Vx{p{x) .I\ Q(x)) ::> (Vxp(x)v VxQ{x)) alO : (Vxp{x) .I\ VxQ{x)) ::> Vx{p{x) v Q{x) ) al i : 3x{P{x).I\ Q(x)) :J (3xP(x) v 3xQ{x)) al Z 3xP{x) v Vxp{x) al3 3x(P{x) v Q{x)) = (3xP(x)v 3xQ{x)) al4 Vx{p{x ) :J Q(x)) ::> (3xP{x) ::> 3xQ(x)) a1S : (VxP{x) :J VxQ{x)) :J Vx{p{x) :J Q{x)) al6 Vx{p{x) v Q{x)) :J (Vxp(x) v VxQ{x)) an : (Vxp(x) v \fxQ(x)) ::> Vx{p{x) v Q{x)) al

a2 a3

:

::>

:

:

:

:J

:

:

:

:

:

:

:

:

2. Pentru fonnulele nevalide construiţi modele în care sunt false.

1 73

3.3. Lp axiomatizată

Sisteme axiomatice ale Lp 3.3.1. Sistemul Q de logică a predicatelor, prezentat mai jos, se obţine adăugând Sistemul axiomatic sistemului axiomatic S de logică a propoziţiilor, din 2.3.2., "ingredientele" specifice logicii predicatelor. Mai exact, el conţine cinci şi două reguli de deducţie. Ax 1 .

Q

scheme de axiome a ::> (p ::> a) Ax 2. [a ::> (13 ::> r)] ::> [(a ::> p) ::> (a ::> r)] Ax 3. (-,a ::> -,p) ::> (p ::> a) Univ J. Vxa(x) ::> a(x / t) 13; t este orice termen liber pentru x în a(x) Univ 2. Vx(a ::> p) ::> (a ::> Vxf3) ; x nu apare liberă în a Reguli de deducţie a, a ::> p

Modus Ponens (MP)

p

a

Regula generalizării universale (Gen) Celor trei definiţii ale lui existenţial. Def

S,

din

2.3.2.,

Vxa

li se adaugă definiţia cuantificatorului

3 : 3xa(x) =df -,Vx-.a(x) Exemple de axiome. Pentru Univ 1: VxR(x) ::> R(x) , Vxp(x) ::> p(c ) , Vx[Q(x, y)::> p(x )] ::> (Q(z, y) ::> p(z)) . Pentru Univ 2: Vx(p(y) ::> R(x, z)) ::> (p(y) ::> VxR(x, z)), Vx(3zQ(z)::> p(x, y)) ::> (3zQ(z) ::> Vxp(x, y)). Teoreme ale sistemului Q. Thl. a(x/ y) ::> 3xa 1 . Vx-. a ::> -,a(x/ y) ; Univ 1. 2. -,-,a(x / y) ::> -,Vx-.a ; 1, Lp 14 3. a(x/ yb 3xa ; 2, Lp ' Def 3 .

Th2.

Vxa ::> 3xa 1 . Vxa ::> a ; Univ 1. 2. a ::> 3xa ; Th1. 3. Vxa ::> 3xa ; 1 , 2 Lp

Th3. Vx(a ::> p) ::> (Vxa::> P) 1 . Vx(a ::> p) ::> (a ::> P) ; Univ 1. 13

Notaţia

"a(x/t)" are următoarea semnificaţie:

în formula

a, care conţine variabila liberă (a

conţine şi alte variabile) se substituie această variabilă (în toate ocurenţele ei!) cu un termen substituţia este clară vom scrie, simplu,

14

Notaţia " Lp

"

a(t) sau a).

t.

x

poate

(Acolo unde

indică faptul că la baza transformării unei (unor) formule din pasul (paşii) anteriori stă o

formulă validă (şi deci o

teoremă) a logicii propoziţionale

fată este vorba despre contrapoziţie:

şi care cel mai adesea este subînteleasă. În cazul de

(a ::> p) (-,p ::> -, a) . ==

174

2. (a � p) � (.p � .a) ; Lp

3 . • a � :3x.a ; Thl 4. (.p � .a) � (.p � ::Jx-,a) ; 3, Lp (a � p) � [(r � a) � ( r � P)] + Subs t 5. (a � p) � (.p � :3x.a) ; 2, 4 Lp 6. (a � p) � (-.:3x.a � ••p) ; 5 Lp 7. 8.

(a � P) � (Vxa � p) ; 6 , De! :3 , Lp Vx(a � p) � ("Ix a � P); 1 , 7 Lp

Th4. Vx(a � p) � (Vxa � VxP) 1. Vx(a � p) � (Vxa � p) ; Th3 2. Vx(Vx(a � P) � ("Ix a � p)) ; 1 ,

Gen

3. Vx(Vx(a � p) � (Vxa � p)) � [Vx(a � p) � Vx(Vxa � P)] ;

Univ 2.

4. Vx(a � p) � Vx(Vxa � p) ; 2, 3 MP 5. VX(Vxa � p) � (Vxa � Vxp) ; Univ 2. 6. Vx(a � P) � (Vxa � Vxp) ; 4, 5 MP Th5. (a � p) � (Vxa � Vxp)

(exerciţiu)

TM. Vx(a == p) � (Vxa == VxP) 1 . ((a == p) � (a � p)) ; Lp 2. Vx((a == p) � (a � p)); 1 Gen 3 . Vx(a == p) � Vx(a � p) ; 2, Th4, MP 4. Vx{a == P) � (Vxa � Vxp) ; 3 , Th4, Lp 5. (a == p) � (fJ � a) ; Lp 6. Vx(a == p) � (VxP � Vxa) ; Se parcurg paşii 2-4 în raport cu 5.

7. Vx(a == p) � ("Ix a == Vxp) ; 4, 6,

Lp

Vxa(x) == Vya(y) ; unde a(x) şi a(y) sunt similare (i.e. diferă strict prin faptul că ocurenţele libere ale lui x în formula a(x) sunt exact ocurenţele libere ale lui y în formula a(y) . Formulele Vxa(x) şi Vya{y) se numesc variante alfabetice legate. 1 . Vxa � a ; Univ 1 2. Vy(Vxa � a) ; 1 Gen 3. Vy(Vxa � a) � (Vxa � Vya) ; Univ 2 4. Vxa � Vya ; 2, 3 MP 5. Vya � a ; Univ 1 6. Vx(Vya � a) ; 5, Gen 7. Vx(Vya � a) � (Vya � Vxa) ; Univ 2 8. Vya � Vxa ; 6, 7 MP 9. Vxa == Vya ; 4, 8 Lp Th7.

17 5

-,3xa :J Vx-.a 1 . Vx-.a :J Vx-. a ; Lp 15 2. -,-,Vx-.a :J Vx-,a ; Lp 3. -,3xa :J Vx-.a ; 2 Def :3

Th8.

Vx-. a :J -,3xa l. Vx-.a :J -,-,Vx-.a ; Lp 2. Vx-,a :J -.:3xa ; 1 Def :3

Th9.

ThlO.

-.3xa == Vx-.a , Th8, Th9,

Lp

Thl l.

Vxa = -,:3x-.a ; ThlO,

Def :3

Th12.

-.Vxa == :3x-.a

Lp ,

(exerciţiu).

Teorema deducţiei Spre deosebire de teorema deducţiei din

L ' p

în logica predicatelor aplicarea teoremei

deducţiei reclamă o restricţie anume. determinată de următorul fapt: este adevărat. pentru orice fomlUlă a . că a I-Vxa , dar nu întotdeauna are loc l- a :J Vxa . Prin teorema de corectitudine a sistemului Q (pe care o vom demonstra mai jos), dacă 1- a :J Vxa atunci 1== a :J Vxa . însă a :J Vxa nu este o formulă validă a Lp . Există aşadar un •

M = (a,l) şi o asignare Jl în M în care fonnula este falsă. Fie, ca exemplu, a = p(x) . Fie M = ({a, b}, l) , f1e xll = a şi [p(x)I"Il = l . Fie xV = b ( v este o x-variantă a lui Jl ) şi [p(x)Y'v = 0 . În acest caz vom avea [Vxp(x)1'"11 O şi deci non 1== p(xb Vxp(x) . Nefiind validă. fonnula nu este demonstrabilă (i.e. nu este teoremă a sistemului Q). Definiţie. Fie r o mulţime de formule ale Lp • Fie aE r. Fie /31 ' /3n o deducţie din r , plus justijicareafiecărui pas al deducţiei. in această deducţie /3; depinde de a dacă: J. /3, este formula a ( /3; se justifică prin apartenenţa la r) sau 2. /3; este o consecinţă directă, prin MP sau Gen, a unor formule precedente ale şirului deductiv, unde cel puţin una din aceste formule precedente depinde de a. Exemplu. a, Vxa :J r 1- Vxr /31 : a ; as /32 : Vxa ; 1 Gen /33 : Vxa :J r ; as /34 : r ; /32 ' /33 MP /35 : Vxr ; /34 Gen Aici, /31 (adică a) depinde de a (ef. def.); /32 depinde de /31 ; /33 depinde de Vxa :J r (ef. def.); /34 depinde de a şi de Vxa :J r iar /35 depinde de a şi de Vxa :J r . model

=

. . .•

1

5 " Lr : prin logica predicatelor, adică implicaţia din 1 este o instanţiere în logica predicatelor a formulei vaJide a :J a . "

1 76

Teorema deducţiei. Fie r . a 1-P cu restricţia: nici o aplicare a Gen vreunei formule care depinde de a nu cuantifică o variabilă liberă din a . Atunci r l- a � P . Remarcă. Mai uzual, restricţia din această teoremă poate fi astfel formulată: în deducţia r , a l- P regula Gen, în nici o aplicaţie a ei, nu cuantifică vreo variabilă liberă din

a . În acest caz r 1- a � p . Fireşte, dacă a n-are nici o variabilă liberă (i.e. este formulă inclUsă), atunci dacă r , a I--P , atunci r l-a � P . (prin inducţie). Presupunem că există o deducţie a formulei P din r ,

Demonstraţie n formule:

PI ' ... , P. , ultima formulă, P. , fiind formula dedusă, p . Pentru a obţine rezultatul, r 1- a � P prin inducţie se arată că r f-- a � pj , pentru orice i � n . Avem a , care conţine

,

de considerat următoarele cazuri: 1 . pj este o axiomă. Rezultatul este imediat, căci

pj � (a � pj )

este Ax 1 .

2. Pi E r ; similar.

3. pj = a . Atunci, r

1-

a � Pj ' pentru că a � a este deductibilă în sistemul Q.

j,k < i, astfel că Pk fJj � pj . Prin ipoteza inducţiei, relaţia are loc pentru orice indice mai mic decât i. Aşadar, vom avea r 1- a � Pj şi r 1- a � (Pj � Pj )' pentru că, în acest din urmă caz, Pj pj este Pk iar k < i. Şi astfel vom avea 4. Există

=

�

'

r l- a � Pj ' prin Ax2 şi o dublă aplicare a MP_ 5. Există j< i, astfel că pj VXPj ' Avem aici două subcazuri : a) Pj nu depinde de a . În acest subcaz vom arăta mai întâi că dacă r , a I- Pj , atunci n - Pj ' Argument. Presupunem antecedentul acestui condiţional: r , a 1- Pj ' Există, aşadar, un şir de formule ale deducţiei Pl ,... , Pm = Pj ' astfel că Pj nu depinde de a . Presupunem (i.e. ipoteza inducţiei) că expresia condiţională din enunţ are loc pentru orice k < m. Dacă P, este o axiomă sau dacă Pj E r , atunci r 1- Pj ' Iar dacă Pj rezultă din formule anterioare ale şirului, prin aplicarea celor două reguli de deducţie, atunci fiindcă Pj nu depinde de a , nici aceste formule nu depind de a . Iar fiindcă aceste formule sunt deductibile doar din r (prin ipoteză), rezultă că şi Pj este deductibilă doar din r . însă din r 1- Pj obţinem r 1- VXPj (prin Gen), adică r I-pj însă pj � (a � pj ) este demonstrabilă (fiind Ax 1). Şi astfel r 1- a � pj , prin MP. b) x nu este o variabilă liberă a formulei a . Atunci , prin Univ 2 vom avea 1- Vx(a � Pj ) � (a � VXPj ) ' însă r 1- a � Pj (prin ipoteză) şi deci r 1- Vx(a � Pj ) prin Gen. De unde, prin MP, obţinem r 1- a � VXPj ' adică tocmai [' l-a � f3j . Pentru i = n vom avea n a � p" , adică r 1-- a � p . =

'

Remarcă.

necesară.

Restricţia din formularea problemei deducţiei este Să arătăm acest lucru printr-un exemplu simplu. Prin regula a I-Vxa . De aici nu putem conchide 1- a � Vxa (am văzut mai sus că aceasta nu este o formulă validă) pentru că aplicarea Th. deducţiei în acest caz nu este permisă. Într-adevăr, dată fiind acum Vxa , în Q putem deriva a (din 1 şi MP) . Şi deci au loc a I-Vxa şi Vxa 1- a ; de unde conclUdem că formula a este ca formula Vxa . Şi deci dacă regula am transcrie-o în formă implicati vă, ar trebui redată astfel:

Gen.

Univ la fel de tare

Gen

Vxa � Vxa .

177

Exercitii. Să se demonstreze că: 1 . Vx� , Vx(a � f3) [- Vxf3 . 2. Vx(a � f3 ) , :3xa 1-- 3xf3 . Reguli de deducţie derivate În Q Aceste reguli se numesc "derivate" deoarece ele pot fi Într-un sistem axiomatic. Aşadar, utilizarea lor nu este neparat necesară, însă aplicaţiile lor simplifică adesea demonstraţiile.

deduse

RdJ.

; x nu apare liberă în a

a � Vxf3

Demonstraţie. 1 . a f3 ; as 2. Vx(a � f3) ; 1 Gen 3. Vx{a � f3 ) � (a � Vxf3) ; Univ 2 (x nu apare liberă în a) 4 . a � Vxf3 ; 2 , 3 MP �

Rd2.

(regula particularizării) Demonstraţie.

Vxa(x) a(t)

; t este liber pentru x în a(x)

Vxa{x) ; as 2. Vxa{x} � a(t ) ; Univ 1 3. a{t) ; 1, 2 MP

1.

Rd3.

(regula generalizării existenţiale)

a(t ) 3xa{x)

; t este liber pentru x în a(x)

Demonstraţie. l . a{t) ; as 2. Vx--o a{x) � -,a(t); Univ J 3. a{t } � -,Vx--o a{x} ; 2 contrapoz. 4. a(t ) � :3xa(x} ; 3, Def :3 5. 3xa{x) ; 1 , 4 MP Regula li" Această regulă redă simbolic o practică curentă de raţionare în matematică. Dacă, de exemplu, am demonstrat că există un element x care are o proprietate P (i.e. am demonstrat 3xP(x}), atunci vom spune: fie a un astfel de obiect încât P(a ) . Aceasta nu Înseamnă că P este valabil despre orice a, deşi ceea ce am făcut este o alegere arbitrară 16. Demonstraţia o vom face însă în continu are într-un asemenea mod încât formula demonstrată nu conţine simbolul a, adică demonstraţia nu implică nicidecum alegerea arbitrară de mai sus.

Ro" 16

Comp.

3xa(x} a{a)

RO , din 3.2. 178

Exemplu.

Să se demonstreze că din formulele 3x(a(x) � ,o(x}) şi Vxa(x) formul a

3x,o(x) poate fi dedusă.

l . 3x(a(x) � ,o(x)) ; as 2. Vxa(x) ; as

3.

a(a ) � ,o(a ) ; 1 pentru

4. a(a ) ; 2 Rd2

un a

arbi trar astfel că a(a) � ,o(a) are loc.

5. ,o(a} ; 4, 3 MP

6. 3x,o(x) ; 5 Rd3 (gen. ex.) 7. 3x(a(x) � ,o(x)) , Vxa(x) l- 3x,o(x)

Remarcă

Rl5'

1 . Regula este dispensabilă în următorul sens: orice fonnulă demonstrabilă cu ajutorul acestei reguli este demonstrabilă şi fără ea. Să vedem acum cum arată exerciţiul din exemplul de mai sus fără aplicarea l . Vxa(x} ; as

RJ' .

2. V.x--.,o(x) ; as

3.

a(x) ;

1

Rd2

4. -,,o(x) ; 2 Rd2 5. -,(a(x) � ,B(x)) ; 3 , 4

Lp

6. Vx-{a(x) � ,o(x)) ; 5 Gen 7. Vxa(x) , Vx-,,o(x} f- v.x--.(a(xb ,o(x)) ; 1 -6

8. Vxa(x)

f-

V.x--.,o(x) � V.x--.(a(x) � ,o(x}) ; 7, Th. ded.

9. Vxa(x)

f--

-,V.x--.(a(xb ,o(x}) � -,V.x--.,o(x) ; 8,

Lp

(contrapo z)

1 0. Vx a(x) f- 3x(a(x) � ,o(x)) � 3x,o(x) ; 9 Def 3 1 1 . 3x(a(x} :=> ,o(x)) , Vxa(x)

f- 3x,o(x) ;

10 Aşa cum în metoda tablourilor semantice regula R l5 cerea precauţii cu privire la aplicarea ei, tot astfel reclamă câteva restricţii: l . Atunci când dintr-o formulă de genul 3xa(x) derivăm a(a ) , de exemplu, a trebuie să fie o constantă nu se aplică niciodată asupra unei variabile libere dintr-o formulă de 2. Regula forma 3xa(x) , asupra căreia s-a aplicat regula

Remarcă 2 .

Rl5'

nouă. Gen

deja

R l5' .

Să ilustrăm modul în care restricţia 2 este încălcată, respectiv: din Vx3yP(x, y) se

deduce (eronat!) 3yVxP(x, y} .

1. Vx3yP(x, y ) ; as 2. 3yP(x, y) ; 1 Rd2

3.

P(x, a) ; 2

Rl5'

4. VxP(x, a ) ; 3 Gen 5. 3yVxP(x, y); 4 Rd3

6 . Vx3yP(x, y ) f- 3yVxP(x, y ) ; 1 , 5

Gen

Eroarea conţinută în acest şir deductiv rezidă în faptul că regula s-a aplicat x din formula cuantificată existenţial, din pasul 2, căreia, în pasul 3, i s-a

variabilei libere aplicat dej a

Rl5' .

179

Teorema echivalenţei

Teorema echivalenţei. Dacă f3 este o subformulă a formulei a iar a ' rezultă din a prin înlocuirea a zero sau mai multe ocurenţe ale lui f3 printr-o formulă r şi orice variabilă liberă din f3 şi r . care este o variabilă legată a lui a. apare în lista Yp-- " Yk ' atunci 1-

VYp···. VYk (jJ == y) => ( a == a ').

Demonstraţie

ocurenţă a formulei

(inducţie pe gradul lui a ). În cazul în care nu este înlocuită nici o atunci a ' este formula a iar teorema este o instanţiere a formulei

f3 .

valide Yl => (Y2 == r2 ) ' Dacă f3 este identică cu a. iar această ocurenţă a lui f3 este înlocuită prin r . atunci ceea ce trebuie demonstrat este: VYl ..... VYk (jJ == y) => (jJ == y) ; rezultat derivabil

Univ

prin 1 . În fine, considerăm că f3 '* a şi cel puţin o ocurenţă a lui f3 este înlocuită cu r . Presupunem că teorema are loc pentru o formulă al cărei grad este mai mic decât gradul lui a . 1. a este o formulă elementară a 4 . Şi deci nu există o subformulă f3 '* a a formulei a. 2 . a este formula -, b . Fie a ' formula -, b '. Prin ipoteza inducţiei, are loc 1- VYl ... ·' VYk (f3 == y) => ( a == a ') (prin f- VYI ' ' '·' VYk (jJ == y) => ( b == b ') . Şi astfel are loc şi

echivalenţa (Yl == Y2 ) == (-' Yl == -, yJ . 3. a este formula b => t: . Fie a ' formula b ' => t: '. Prin ipoteza inducţiei are loc I - Vyl '' '' ' VYk (f3 == y) => ( b == b ') şi I- Vyp ... , VYk (jJ == y) => ( t: == t: ). Şi deci, 1- VYl , ... , VYk (jJ == y) => [( b == b ') 1\ ( t: == t: ')]. însă, în logica propoziţiilor '

11-

[( b == b ') 1\ ( t: == t: ')] => [( b => t: ) == ( b ' => t: ')]. Şi deci, VYp .. ·, VYk (jJ == yb [( b => t: ) == ( b ' => t: ')] (prin tranzit

=» ;

i .e.

1- VY P"" VYk (jJ == y) => ( a == a ') . a este formula Vxb . Fie a ' formula Vxb '. Prin ipoteza inducţiei are loc I- VYI '"" VYk (jJ == y) => ( b == b '). Şi deci 1- VYp ... , VYk (jJ == y) => VX ( O == b ') (prin Univ 2) (căci x nu apare liberă în VYl "' " VYk (jJ == y) ; fiindcă, în caz contrar, x ar fi liberă în f3 sau r şi, fiindcă este variabilă legată în a , x ar fi una din variabilele Yl Yk şi astfel n-ar fi liberă în VY1 , ... , VYk (jJ == y) . însă f-- Vx( o == b ') => ( VX b == Vxo ') (Th6). Şi astfel, ca mai sus, I- VYI '"" VYk (jJ == y) => ( VXb == Vxb ') adică 1- VYP"" VYk (jJ == y) => ( a == a ').

4.

"

' "

,

Corolar J (Teorema înlocuirii echivalenţilor) 1 . Dacă 1- f3 == r , atunci 1- a == a '. 2. Dacă 1- f3 == r şi 1- a , atunci 1- a ', unde

echivalenţei.

a, f3 , r , a ' sunt formule din Teorema

Acest corolar rezultă din teorema echivalenţei. Tot teorema echivalenţei permite derivarea următorului corolar.

Corolar 2 (Schimbarea variabilelor legate)

f3(x) strict prin faptul că ocurenţele libere ale lui x din f3(x) sunt exact ocurenţele libere ale lui Y din f3(y ) , iar a ' se obţine din a înlocuind una sau mai multe ocurenţe ale formulei Vxf3(x) prin Vyf3(y) , atunci 1- a == a ' Demonstraţie. Th 7 plus Th înlocuirii. Dacă

Th

Vxf3(x)

13.

este o subformulă a lui

a

(Vxa{x) => f3) == 3y(a(y) => f3) ; Y

similare.

180

iar

f3(y)

diferă de

nu este liberă în

f3,

iar

a(x)

şi

a{y)

sunt

(Vxa(x) � ,8b 3y(a(y) � ,8) Vxa(x} � ,8 ; as 2. -,3y(a(y} � ,8) ; as 3. Vy-{a(y} � ,8) ; 2, Th 1 0 4. Vy(a(y} 1\ -,,8) ; 3, Lp ' Corol. 1 5 . a(y) 1\ -,,8 ; 4 Rd2 6. a(y} ; 5, Lp 7. Vya(y} ; 6, Gen 8. Vxa(x} ; 7, Th 7 9. ,8 ; 1, 8 MP 10. -,,8 ; 5, Lp I l . ,8 1\ -,,8 , 9, 10, L p 1 2. (Vxa(x) � ,8) , -,3y(a(y} � ,8} 't--- ,8 1\ -,,8 ; 1 - 1 1 1 3. (Vxa(x) � ,8} 't--- -,3y(a(y) � ,8} � ( ,8 1\ -,,8); 12, Th. ded. 14. (Vxa(x) � ,8} 't--- 3y(a(y} � ,8} ; 13, Lp 15. 't--- (Vxa(x} � ,8} � 3y(a(y} � ,8} ; 1 4, Th. ded.

a.

1.

3y(a(y} � ,8} � (Vxa(xb ,8} 3y(a{y} � ,8} ; as 2. Vxa(x}; as 3. a{a} � ,8 ; 1 Ro' 4. a{a } ; 2 Rd2 5. ,8 ; 3, 4 MP 6. 3y(a(y}� ,8) , Vxa{a} 't--- ,8 ; 1-5 17 7. 't--- 3y(a(y} � ,8} � (Vxa(x) � ,8} ; 6, Reg. ded. aplicată de două ori. Th 13 rezultă din a şi b prin Lp • b.

1.

Th 14. (3xa(xb ,8) == Vy(a(y} � ,8} ; y

nu este liberă în

,8 ,

iar

a(x}

şi

a(y}

sunt

nu este liberă în

,8,

iar

a(x}

şi

a(y)

sunt

similare.

Demonstraţie (similar, exerciţiu).

Th 15. (,8 � Vxa(x)} == Vy(,8 � a(y}) ; y similare. a.

(,8 � Vxa{x)} � Vy(,8 � a(y}) 1. ,8 � Vxa(x} ; as 2. -,Vy(,B � a(y}} ; as 3. 3y--,(,8 � a(y)) ; 2, Th 1 2 4 . 3y(,B I\ -,a(y)} ; 3, Lp 5. ,8 1\ -,a{a ) ; 4, Ro'

17 Comp. Remarcă 1, Regula O· 181

f3 ; 5, Lp 7. Vxa{x) ; 1, 6, MP 8. --.a(a) ; 5 , Lp 9. a{a) ; 7, Rd2 1 0. a(a) I\--.a(a) ; 9, 8, Lp I l . f3 => Vxa(x) , --.Vy(f3 => a(Y)) 1-- a(a) l\ --. a(a) ; 1- 1 0 1 2. f3 => Vxa(x)l- -,Vy(f3 => a{ y)) => ( a(a) 1\ -, a(a) ); l i , Th. ded. 1 3 . f3 => Vxa(x) 1-- Vy(f3 => a(y)) ; 12, Lp 14. 1-- (f3 => Vxa(x)) => Vy(f3 => a(y)) ; 1 3 Th. ded 6.

b. 1. 2. 3. 4. 5.

6. 7.

Th

Vy(f3 => a(y)) => (f3 => Vxa{x)) Vy(f3 => a{y)) , as f3 ; as f3 => a(a) ; 1 , Rd2 a(a) ; 2, 3 MP Vxa(x) ; 4, Gen Vy(f3 => a(y)) , f3 1-- Vxa{x) ; 1-5 1--Vy(f3 => a(y)) => (f3 => Vxa(x)) ; 6, Th. ded aplicată de două ori 16.

(f3 => 3xa{x)) == ::ly(f3 => a(y)) ; y

nu este liberă în

f3 ,

iar

a(x)

şi

a(y)

sunt

similare.

Demonstraţie (similar, exerciţiu). Formele normale prenexe

Definiţie. O formulă a a Lp este în forma normală prenexă dacă a are forma Q1 X1 ".QnXna' , unde QjXj sunt cuantificatori, iar a' este o formulă care nu conţine cuantificatori. Q1 X1 ' ... ' Qnxn fonnează prefixul, iar a' matricea formulei a. Teorema formei normale prenexe. Orice fomzulă a a Lp poate fi adusă la o formă normală prenexă f3, echivalentă ei. Demonstraţie (inducţie pe gradul k al fonnulei a ) . Demons trarea acestei teoreme presupune indicarea unui procedeu efectiv de obţinere a formei normale prenexe a fonnulei a . Dacă k = O , atunci f3 = a . Presupunem acum că a are gradul n şi că pentru orice formulă al cărei grad k este strict mai mic decât n (i.e. k < n) putem construi forma ei normală prenexă f3 . 1 . Presupunem că a este --.y. Atunci, prin ipoteză, putem construi o formulă ţJ , care este forma normală prenexă a fonnulei y şi r == ţJ . Şi deci --.y == --.ţJ (prin Lp )' Şi deci a == --.ţJ . Şi astfel, prin Th 10, Th 12 şi Th înloc. echival. putem construi o formulă f3 în forma normală prenexă, astfel că --.ţJ == f3 şi deci a == f3 . 2. Presupunem acum că a are forma y => ţJ . Prin ipoteza inducţiei putem construi formulele r' şi ţJ' în forma normală prenexă, astfel că r == r' şi ţJ == ţJ' . Din faptul că

182

(r" :::J 0'. ). Prin Th 13-16 şi Th. Înlocuirii echival. mutăm formulelor r" şi 0'* în faţa formulei implicative şi obţinem

(Y :::J 0') = (r" :::J 0'. ) deducem cuantificatorii din prefixul formula

a=

fJ în forma normală prenexă, astfel că a == fJ .

3.

a

este fonllula

prenexă astfel că normală prenexă.

y = y* .

Vxy . Prin ipoteza inducţiei, există o formulă y' în forma normală Şi deci Vxy == Vxy* , adică a = Vxr" . Însă vxi este în forma

Exemplu. Fie a formula: ::Jxo::Jz(p{x) :::J Q(y, z)) :::J Vy(p(y):::J -NxQ(x, z))

Vx[-,::Jz(p(x) :::J Q(y, Z)) :::J Vy(p(y) :::J -,VxQ(x, z))] ;

formulă obţinută din

aplicarea Th 14.

a

prin

Vx[Vz-,{p(x) :::J Q(y, z)) :::J Vy(p(Y) :::J -,VxQ(x, z))] ; Th 10, Lp ' Th înloc Vx::Jz *[(-,{p(x):::J Q{y, z'))):::J Vy(p(y) :::J -,VxQ(x, z))); Th 1 3 (pentru respectarea restricţiei impuse de teoremă, întrucât Z apare liberă în consecventul Vy(p(y) :::J -,VxQ(x, z)) , redenumim variabila cuantificată, z, din formula Vz-,(p(x) :::J Q(y,z)) în z' ; schimbând variabilele legate).

Vx::Jz'Vy'[-,(p(x) :::J Q(y , z')b (p{y') :::J -,VxQ(x, z))]; Th. 15 (cu redenumirea y ' , ca mai sus). Vx::Jz'Vy'[-,{p(x) :::J Q{y, z')):::J (p(y') :::J ::JxoQ(x,z))]; Th. 12 Vx::Jz'Vy*[-,{p(x) :::J Q {y , Z · )) :::J ::Jx{p{y'):::J -,Q(x, z))]; Th 1 6, se aplică consecventului

variabilei y în

implicaţiei din parantezele drepte.

Vx::Jz'Vy*::Jx"[-,{p(x):::J Q {y, Z' )):::J (p{y') :::J -,Q(x", z))]; Th 16 variabilei legate x, în x· , din consecvent). Exerciţii. Aduceţi următoarele formule ale

Lp

(cu

redenumirea

la forma normală prenexă.

1 . Vx(p(x) :::J Q(x, y)) :::J (::Jyp(y):::J ::JzQ(y, z)) 2. -,Vx(::Jyp(x, y):::J Q(x, z)) :::J ::Jz(p(x, z)/\ -,VyQ(y, x))

Forme normale Skolem Dacă din limbajul Lp al logicii predicatelor de ordinul Întâi el iminăm simbolurile pentru constante şi pentru expresii funcţionale şi reţinem doar mulţimea infinit numărabilă a simbolurilor predicative, atunci pentru formulele acestui limbaj (fie el Lp ) putem construi o fomlă normală prenexă specială, în care toţi cuantificatorii cuantificatorii universali, numităfonnă nonnală Skolem.

existenţiali preced toţi

Teorema formei normale Skolem. Orice formulă a a Lp admite o formă normaLă Skolem, fJ, astfeL că f- a ddacă f- fJ . Demonstraţie (inducţie pe rangul lui a). Vom pune în evidenţă un procedeu efectiv de

construcţie a formei normale Skolem a unei formule date. Considerăm în cele ce urmează o formulă arbitrară a adusă deja în forma normală prenexă. Prin rangul r al unei formule a înţelegem numărul cuantificatorilor universali din a care preced cuantificatorii existenţiali. Dacă r O , atunci formula este deja în forma normală Skolem. Presupunem că pentru orice rang mai mic decât r se poate construi forma normală Skolem a formulei a . Fie r rangul lui a . a are aşadar forma: 3x" . .. , ::Jxn VufJ{xl , xn ' u , astfel încât singurele variabile libere din =

)

,• • •

183

P sunt cele specificate: XI '000' x. ' u o Fie r+1 un simbol predicativ n + l-adic care nu apare în a o Fie acum al : :3xl '0oo,:3x. [( V uP (x"ooo, x.,u ) ::J p.+1 (xpooo, x. ' u) ::J VUp·+1 (XI ,.00' x. ,u)]o Atunci următoarea relaţie are loc: f- a ddacă f- al o Presupunem f- al o În demonstraţia formulei al înlocuim toate ocurenţele formulelor elementare r +I (ZI 'OOo, z.,w) cu P* (Zl 'ooo, z. , w) 1 8, unde P* se obţine din P prin înlocuirea

tuturor variabilelor legate, dar care au ocurenţe libere în demonstraţie, prin variabile noi (care nu apar în demonstraţie) şi obţinem:

:3xp ooo,:3x. [( V ufl* (Xl ' o oo, x. ' u) ::J pO(xpoo o, x. ' u) ::J Vup' (Xl ' ooo, x. ' u ) ] o Însă prin înlocuirea variabilelor legate, prin Corol. 2, Th. echival, din această formulă, obţinem din nou,

:3xpooo, :3x. [( Vufl(xpoo., x.' u)::J p(xpooo, x. ' u) ::J Vup(xi '0 00' x. ' u )]o Însă Vufl(xl '0oo, x.,U )::J P(xpooo, x. , u) este Univ 1 şi este deci demonstrabilăo Şi astfel obţinem f- :3xpooo, :3x. V up(XI ' o 0 0' X. ,u ) , adică f- a (prin Tho înloco echivaI.) Presupunem f- ao Prin Ro' obţinem Vup(al '0oo, an , u) . însă f- Vurl ::J [VU(rl ::J r2 ) ::J VUr2 ] , pentru orice 'Yt" r2 (cf. exerc 1, § Tho Ded o plus Tho ded)o Aşadar, obţinem (Vup(al 'ooo, a. , u ) ::J r+l (al '00o,a. , u)) ::J Vup "+I (al 'ooo, a. ,u) (prin MP)o De unde, prin Rd3, :3xl '0oo, :3x. [( Vup(xi '000' x. ' u) ::J p.+1 (xpooo, x. ' u ) ::J Vup n+ 1 (Xl 'ooo, x.' u)], adică al o Forma normală prenexă a lui al este o formulă a2 de forma :3xl 'ooo,:3x., :3u QI ZI '000, Qs z,.Vvr , unde r n-are cuantificatori iar QI ZI '000' Qszs este prefixul formulei p o Evident, a2 are rangul mai mic cu o unitate decât a o însă, prin teorema formei normale, al a2 o Însă f- a ddacă f-aj O Şi deci f- a ddacă 1- a2 o Prin ipoteza inducţiei, putem construi o foonă normală Skolem pentru a2 , care este şi formă normală Skolem pentru ao Exempluo Fie a : VxVy:3z r(x, y , z) , unde r nu conţine cuantificatorio al : 1 . Vx(Vy:3zr(x, y , z) ::J p(x)) ::J Vxp(x), unde p(x) nu apare în r Construim forma normală prenexă a formulei al : 20 :3x[Vy:3zr(x, y , z) ::J p(x)] ::J Vxp(x)} ; Th 1 3 3 0 :3x{:3y[:3zr(x, y, z)::J p(x)] ::J Vxp(x)}; Th 1 3 40 :3x{:3yVz[r(x, y , z) ::J p(x)] ::J Vxp(x)} ; Th 14 5 0 :3xVy{Vz[r(x, y , z ) ::J p(x)] ::J Vxp(x)}; Th 1 4 6 0 :3xVy:3z{(r(x, y , z) ::J p(x)) ::J Vxp(x)} ; Th 13 7 . :3xVy:3zVv{(r(x, y, z)::J p(x)) ::J p(v)} ; Th 1 5 Repetăm acum aceste operaţii în raport cu formula nou obţinută o Fie o(x, y, Z, v) matricea formulei de mai sus (i . eo (r(x, y , zb p(x)) ::J p(v) o Fie acum Q un simbol predicativ diadic care nu apare în o o :3x[Vy[:3zVvo(x, y, z, v)::J Q(x, Y)] ::J VyQ (x, y)] :3x:3y [( :3zVvo(x, y, Z, v) ::J Q(x, y) ::J VyQ(x, y) ]; Th 1 3 :3x:3y :3zVv ([o(x, y , z, v b Q(x, Y)] ::J VyQ(x, y) ; Th 1 3, Th 14 ==

18

Pentru substituţia unei formule elementare a Lp cu

o

formulă arbitrară a Lp compo

1 84

303020' rego a30

3x:3y3z'li v'liw([§(x, y, z, vb Q(x, y )] ::J Q(x, w)) ; Th 1 5. a este: 3x:3y:3z'liv'liw([« y(x, y, Z ) ::J p(x)b p{v )) ::J Q(x, Y )] ::J Q(x, w))

Şi deci forma normală Skolem a formulei

Remarcă.

Dată fiind formula a, am construit mai întâi formula al după cum urmează. Întrucât prexiful formulei a (aflată deja în forma normală prenexă) nu începe cu un cuantifica tor ,, :3 ", avem, corespunzător n O şi deci vom considera un predicat monadic P(x) care nu apare în formula r şi construim astfel al . Întrucât al are forma echivalentului stâng din Th 1 3 , prin aplicarea acestei teoreme obţinem, corespunzător, formula din 2, în care, în locul " 'Ii " apare ,, :3". Apoi, în primul condiţional din formula care succede cuantificatorului existenţial (i.e. formula din acolade) considerăm cuantificatorul universal " 'liy ca prefixând formula j3 (Le. =

"

:3zy(x, y, z ) . Condiţionalul are, din nou, forma echivalentului stâng din Th 13. De unde, prin aplicarea Th 13 asupra acestui condiţional obţinem formula din 3. Acum, formula care succede cuantificatorului ,, 3y " din primul condiţional din formula 3 (adică fonnula :3z r(x, y,z) ::J p(x) are forma echivalentului stâng din Th 14. De unde, prin aplicarea Th 1 4 asupra acestui condiţional obţinem formula din 4 , prin schimbarea lui ,, :3z " cu 'liz ". însă în " 4 domeniul cuantificatorului ,,:3x " este o formulă de forma echivalentului stâng din Th 1 4 (i.e. formula din acolade). Ş i deci încă o aplicaţie a acestei teoreme asupra formulei din acolade transformă cuantificatorul ,, :3y " în " 'liy ". Apoi, printr-o nouă aplicare a Th 13 asupra formulei din acolade, din 5, obţinem formula din 6, al cărei prefix este prefixul formulei a în care primul 'Ii devine :3 . Iar formula din acolade, din 6, are forma echivalentului stâng al Th 15. De unde, prin aplicarea Th 15 scoatem cuantificatorul universal din subformula 'lixp(x) în prefix şi redenumim variabila x, pe care o leagă acest cuantificator, în v (deoarece x apare liberă în y(x, y, z ) ::J p (x) . Obţinem astfel formula din 7, al cărei rang este cu o unitate mai

mic decât rangul formulei a . Această formulă, fie a2 , este în forma normală prenexă, în care n 1 şi astfel considerăm acum un predicat diadic, Q(x, y) , care nu apare în § şi repetăm =

algoritmul de mai sus, obţinând, în fine, forma normală Skolem a formulei

a.

Corectitudinea şi completitudinea sistemului axiomatic Q Teorema corectitudinii. Dacă f-- a, atunci 1= a. Ceea ce trebuie demonstrat este următorul fapt: axiomele sunt formule valide ale Lp iar cele două reguli de deducţie conservă în concluzie adevărul premi selor.

Demonstraţie.

Demonstrarea validităţii axiomelor.

Demonstrarea validităţii axiomelor Ax l-Ax3 este cea din 2.3.3. cu menţiunea că formulele considerate sunt formule ale logicii predicatelor, deoarece, aşa cum am văzut în 3. 1 .2., aceste formule pot fi doar adevărate sau false într-un model M şi o asignare J.l în M, iar regulile de adevăr ale operatorilor logici ai logicii propozi�ilor sunt înglobate în 4 (logica predicatelor fiind o extensie a logicii propoziţiilor). Univ 1: 'lixa(x) ::J a(x/ este liber pentru x în a(x) (comp. exemplul 3 din 3 . 1 .2.).

t) ; t

Univ

2:

'lix(a ::J j3) ::J (a ::J 'lixj3) ; x nu apare liberă în a (comp. exemplul 1 din

3 . 1 .2.).

1 85

Demonstrarea validităţii regulilor de deducţie Trebuie arătat că orice fonnulă obţinută prin aplicarea unei reguli de deducţie conserv ă în concluzie validitatea premisei (premiselor). Modus ponens. Dacă a şi a ::J fJ sunt fonnule valide atunci fJ este validă, fapt ce rezultă imediat din regulile semantice ale operatorului ::J . Gen. Fie a(x) o fonnulă arbitrară a Lp care conţine variabila liberă x. Fie M = (n, 1) un model arbitrar. Presup unem că a(x) este adevărată în M. Atunci, prin definiţie [a(xH·)J = 1 pentru orice /1 în M. Respectiv, dacă /1 este o asignare arbitrară iar V este o x-variantă a lui

[a(xH'v 1 , pentru orice V (x-variantă a lui /1 ). Şi deci [Vxa(xH·)J = 1 , pentru orice /1 . Cum M este un model arbitrar, rezultă că Vxa(x) este adevărată în orice model (i.e. /1 , atunci

=

validă) (Şi reciproca poate fi similar argumentată) . Remarcă. Dacă a(x) este fonnula de mai sus, atunci

universală

(Dacă

Vxa(x) este închiderea ei

x nu este liberă în a , atunci Vxa(x)= a (x}). Prin închidere universală a

unei fonnule a Lp înţelegem, în general, prefixarea fonnulei respective cu cuantificatori universali pentru toate variabilele ei libere. În acord cu cele spuse mai sus avem: a este

validă ddacă închiderea ei universală este validă.

Completitudinea sistemului axiomatic Q

Lema 1. Orice instanţiere a a unei formule valide a Lp este o teoremă a sistemului Q. Demonstraţie. a rezultă deci dintr-o formulă validă fJ a Lr prin substituţie. Fie S

sistemul axiomatic (corect şi complet) de logică propoziţională din 2.3.2. Prin teorema de completitudine, fJ este o teoremă a lui S. Există deci o demonstraţie a acestei fonnule în S. În această demonstraţie facem aceleaşi substituţii de formule ale logicii predicatelor pentru variabilele propoziţionale ca acele substituţii făcute în obţinerea lui a din p , iar pentru toate celelalte variabile propoziţionale din demonstraţie, care nu apar în fJ , punem fomlUle arbitrare. Şirul de fonnule care rezultă este o demonstraţie a fonnulei a . E uşor de constatat, această demonstraţie nu utilizează decât schemele de axiome 1-3 şi MP.

Lema 2. Dacă non r ' .a (unde .a este o formulă închisă), atunci sistemul Q', obţinut din Q prin adăugareaformulei a ca o nouă axiomă, este consistent. Demonstraţie (contrapoziţie). Presupunem că sistemul Q' este inconsistent. Rezultă că există o fonnulă fJ , astfel încât 't- Q' fJ şi 't- ct.fJ . însă [ - Q' fJ ::J (.fJ ::J . a) (prin Lema 1 , deoarece este o instanţiere a formulei valide a Lp : q ::J (.q ::J p ) . Şi astfel 't-Q,.a (printr-o dublă aplicare a MP). Şi deci a 't- Q .a (fiindcă 't- Q,-,a , iar Q' este Q plus a). Cum .a este o formulă închisă (prin presupoziţie), rezultă că şi a este o formulă Închisă. Şi astfel , prin Teorema deducţiei, f- Q a ::J -, a . însă f- (a ::J .a) ::J .a , prin Lema 1. Şi deci, ca mai Q sus, 't- Q -,a , ceea ce contrazice ipoteza lemei . Simi lar, dacă non 't- a , atunci Q' (Le. Q plus -,a ) este un sistem consistent. Q Definiţie. Un sistem axiomatic Q este (sintactic) complet ddacă pentru orice formulă închisă a are loc: r' Q a sau f- Q -,a . Lema lui Lindenbaum. Orice sistem axiomatic Q admite o extensie consistentă şi completă Q* . Demonstraţie. Considerăm mai întâi o listă a tuturor fonnulelor închise ale sistemului Q, fie acestea al ' a2 ,... . Definim apoi un şir de sisteme Qo ' Q) , Q2 în felul unnător: ''''

1 86

{k = Q Qn+1 = Q" u an+1 ' dacă sistemul astfel obţinut este consistent (Le. non f- Q. , an+1 ) Qn +1 = Qn în caz contrar. Fie acum Q' = uQi (i = 0,1,2, . ..) a) Q' este consistent. Demonstraţia se rezumă la a arăta că toate sistemele Qj sunt consistente (pentru că '

orice demonstraţie de inconsistenţă, fiind un şir finit de formule, este o demonstraţie în vreun

Q) .

Inducţie 1 . Qo (= Q) este consistent (prin asumpţie) 2. Dacă Qn este consistent, atunci Q'+I este consistent, deoarece Qn+1 se obţine din Q. prin adăugarea formulei an+ l , cu condiţia că ,an 1 nu este

demonstrabilă în Q

• .

b)

d este complet.

De unde, prin Lema 2, obţinem rezultatul.

+

Aceasta rezultă din definirea sistemelor Qj ' căci pentru orice formulă închisă aj+ l , dacă ,ai+! nu este demonstrabilă În Qj ' atunci ai+1 se adaugă ca o nouă axiomă sistemului

Qj şi se obţine Qi+1 .

Formulele sistemului Q şi deci şi formulele extensiilor Q sunt formule ale aceluiaşi

Cp = Lp u C , unde C este o mulţime infinit numărabilă de constante noi (i.e. care nu apar în Lp ). Fie Q + sistemul Q ale cărui formule sunt formule ale 4 . a) Q + este consistent.

limbaj

Lp •

Fie acum

Reductio. şi

Dacă Q+ ar fi inconsistent, atunci ar exista o formulă fJ astfel încât

f-Q' ,fJ . Şi deci

\- ' Q

f-Q' fJ

fJ 1\ ,fJ . Această demonstraţie conţine un număr finit de constante şi

de variabile individuale. Înlocuim fiecare constantă din demonstraţie cu o variabilă care nu + apare în demonstraţie. În fel ul acesta axiomele sistemului Q devin axiome ale sistemului Q iar regulile de deducţie îşi conservă aplicabilitatea. Şi deci ceea ce obţinem prin înlocuirea de mai sus este o demonstraţie în Q a unei formule de genul fJ' 1\ -,fJ' , unde fJ' este formula fJ în care nu apar cons tante din C . Şi deci şi sistemul Q ar fi inconsistent.

+ este OJ -complet 1 9 + Fie al (Xi, 1 a2 (Xi, � . . . o enumerare a tuturor formulelor sistemului Q , în care apare cel b) Q

mult o variabilă liberă. Considerăm acum o ordonare a acestor variabile, astfel încât Xi� este variabilă liberă a formulei acum formula: unde

cj."

am ' dacă am

are o variabilă liberă; în caz contrar fie Xi = XI ' Fie �

m)

rm = ,VXi� am (Xi� ) :::> -,ajcj

este o constantă nouă, neconţinută în formulele

constantele

c j, , ... , C j.,� '

ai, , ... , ajm

şi este diferită de toate

Fie O; = Q+ , fie Q: = Q; u {rp . . . , rJ , fie Q;' = Q1- u{rl ' r2" '.} . a) Q:r

este consistent.

19 Comp. Definiţie (mai jos). 1 87

Trebuie să arătăm că fiecare

Inducţie.

Q; (i = 0,1,2, . . .) este consistent.

1 . o: este consistent (prin ipoteză).

Q: este consistent, atunci Q:+I Q:+I = Q: U {Yn+l } .

2. Dacă

Demonstrăm 2 prin

inconsistent. Avem aşadar 1 . Q:+ I \- O (i .e. în

2. Q:+I

este consistent; unde

reductia. Presupunem că sistemul Q:

Q:+I

este demonstrabilă o formulă

O)

este consistent iar

Q:+I

20 .

\-

,o f- O :::J (-,O :::J e ) , unde C este o formulă arbitrară (prin Lema 1). f- 'Yn+ l ; unde C este formula ' Yn+ adică 1 , [ ,Vxi.+' an+1 (xi.+, ) , an+1 (c).+, )] 5. Q: , Yn+ 1 \- 'Yn+ 1 6. Q: f- Yn +1 :::J 'Yn+1 ( Yn+1 fiind o formulă închisă) 7 . Q: f- 'Yn+l ; prin (O :::J ,O) :::J ,o şi MP, adică Q: f- , [ ,Vxi.+' an+1 (Xi.. ) , an+1 (c).+, )] , respectiv în Q: este demonstrabilă o formulă de forma '['CI :::J 'C2]' echi valent Q: f- 'CI c2 ' ceea ce implică Q: f- 'CI (prin ('CI cJ :::J ,cI ) şi Q: f- c2 (prin (,CI c2 ) :::J c2 ) ; ceea ce înseamnă 8. Q: f- ,Vxi.+, an+1 (Xi.., ) şi 9. Q: f- an+ 1 (c)J 10. Q: f- an+1 (xq ) ; 9 , deoarece constanta c) , nu apare în formulele r; , ... , Yn .+ este o variabilă care nu apare în demonstraţia formulei an+1 k·.+, ) în Q: . 1 1 . Q: f- VXpn+I (Xq ); 10, Gen + 12. Qn 1-' Vx,. a'+l lx. ); 1 1 , Th 7, � 3 . Q:+I 4. Q:+I

este

'

:::J

,

:::J

1\

1\

1\

n+1

'

iar

xq

',,+1

rezultat care contrazice 8. Şi cum toate Q; sunt consistente, rezultă că sis temul

Q� este, + consistent. Q� este însă o extensie consistentă a sistemului Q . Şi deci, Lindenbaum , Q� admite o extensie maximal consistentă, fie aceasta Q ' . Th. Xo satisfiabilităţii. a este adevărată în M = (n,l) ddacă f-Q+ a .

de asemenea, prin

Lema lui

Trebuie să arătăm, aşadar, că există un model M astfel încât echivalenţa dintre adevărul unei formule a în M şi demonstrabilitatea formulei a în sistemul Q' are loc.

Remarcă.

Fie, în cele ce urmează, M = (il,t) un model Herbrand, adică un model în

care domeniul il esle mulţimea infinit numărabilă a tuturor termenilor închişi iar 1 este funcţia identitate (i.e. pentru orice termen închis t are loc: t ' = t )21 . Cum într-un asemenea 20

motive tipografice sistemul În care se face demonstra pa este menţionat În frontul simbolului " f21 Din Comp. 3.1 .2.

1 88

"

.

model asignările şi substituţiile coincid, vom avea, pentru orice termen

(ti )"}J (u(ti ))' . Iar =

ti (închis sau nu):

ceea ce obţinem în urma acestor operaţii este întotdeauna un termen

închis. La fel stau lucrurile şi cu formulele Lp Dacă, de exemplu, a este formula elemen tară p(tl ' ... , tJ , atunci (p (tJ ' .. " tJ) "}J p' (t;,}J , , ,. , t�·}J ) . Respectiv, (u(p(tl ,, . , tn )))' (P(u(t, ), . ", ,u(tn )))' P' ((u(t , ))' ,,,., (u(t. ))' ) , şi deci P' (t:'!' ,. " , t;,'!' ) = P' ((u(t, ))' , (u(tJ)' ), unde termenii argumente t;,}J , echivalent (u(tJ)' sunt termeni Închişi, Şi astfel şi formulele elementare care-i conţin sunt formule Închise, fiind •

=

=

=

,

,,.,

astfel adevărate sau false în modelul M

=

(n,z)

(i.e. valoarea lor de adevăr în M depinde doar

de funcţia 1 a modelului), Pentru formulele elementare

[p(t, , ,,. , tn n,}J

=

1 ddacă

1-

Q

p(tl '.",tJ vom considera în cele ce um1ează că + P(t:-}J ,,,.,t�,}J ) şi va trebui să arătăm că această echivalenţă are loc

pentru orice formulă. Însă cum toate teoremele sistemului este suficient să demonstrăm echivalenţa:

Q+ sunt teoreme ale sistemului Q'

a este adevărată în M (n, l) =

ddacă

I-Q. a .

Presupunem că echivalenţa teoremei are loc pentru orice formulă al cărei grad este mai mic decât gradul formulei a şi arătăm că ea are loc şi pentru a . 1 . Teorema are loc pentru formulele elementare (prin ipoteza făcută mai sus), 2. a) Formula a are forma .fJ

.fJ

=

1 ddacă

fJ O =

ddacă

(prin compl. sint.). b) Formula a are forma

non 1- Q fJ

(prin ipoteza inducţiei) ddacă

1-

Q· .fJ

fJ ::J r . fJ 1 şi r O ddacă 1- Q fJ şi non 1- Q r (prin ipot. ind.) 1- ,.r (prin compl. sint.) ddacă 1- ' -{J3 y) (prin ddacă 1- fJ şi Q Q Q fJ ::J (. r ::J .(fJ ::J r)) şi MP. Şi deci fJ ::J y= 1 ddacă non 1- .(j3 ::J r) Q (contrapoz) ddacă I- fJ ::J r(prin compl. sint.), Q c) Formula a are forma VxfJ . Fie a formula VXi am (Xi. ) , Şi deci X Xi iar fJ este am (Xi ) . . . . 1 . Dacă a este adevărată în M, atunci 1- ' a. Q Reductia. Presupu nem că a este adevărată şi non 1- ' a. Rezultă că Q I- Q a (prin compl. sint.), adică I- Q •Vxi. aJxJ. însă, prin rm , ob�nem �.-.aJx. J . însă Vxi• am (Xi. ) (i.e. formula a ) este adevărată (prin presupoziţie), Şi astfel este adevărată În M şi formula aJcjJ (prin Exemplul 3, 3 . 1 .2), Şi deci I- . aJxJ , ceea ce contrazice ideea Q fJ ::J r O =

ddacă

=

=

::J

=

.•

.

consistenţei sistemului

QI .

2. Dacă

1-

Q a, atunci a

este adevărată în M,

Reductia. Presupunem că

1_

Q' a şi a O =

în M. Din falsitatea formulei

a , adică Vxi• aJx,J, în modelul Herbrand M = (il, t) conchidem că există un termen t E il , astfel încât am (Xi� I t ) este falsă (comp , Remarcă 3 . 1 .2), însă 1- Vxi• am (Xi ) (prin presupoz) , . Q

1 89

f- ' am (xi I t ) (prin Univ. m Q

Şi deci

1). Aşadar, formula

am (Xi. It ) este adevărată În

ipot. ind), ceea ce contrazice propria-i falsitate, mai sus obţinută. Cum echivalenţa teoremei are loc pentru Q ' , rezultă că ea are loc pentru pentru Q.

M (prin

Q+ şi deci

Corolar (completitudinea sistemului Q). Dacă F a , atunci f-Q a. Demonstraţie (reductio). Cum orice formulă este validă/demonstrabilă dacă şi numai

dacă închiderea ei universală este vaIidă/demonstrabilă, e suficient să considerăm doar formulele închise. Fie, aşadar, a o formulă validă închisă. Presupunem non f- Q a, atunci prin adăugarea formulei

-,a ca o nouă axiomă la sistemul Q obţinem un sistem Q' consistent

(prin Lema 2). Şi deci următoarea echivalenţă are loc (prin teorema l'o -satisfiabilităţii)

-,a este adevărată în

M=

(0.,l) ddacă

f-

Q -,a

a este o formulă validă, a este adevărată în M (0., l) . Imposibil, a şi -,a nu pot fi simultan adevărate Într-un model. Şi deci a este o teoremă a sistemului Q. Însă, cum

=

Corolar (Teorema LăwenheimlSkolem). Dacă a este satisfiabilă, atunci a este Xo satisfiabilă. Demonstraţie. Presupunem că a este satisfiabilă. Există deci un model M în care a este adevărată. Cum pentru un model M are loc: a 1 ddacă -,a = O , rezultă că a şi -,a nu pot fi simultan adevărate. Şi deci, dacă a este satisfiabilă, atunci a este consistentă. Şi astfel, prin Th. Xo -satisfiabilităţii, a este Xo -satisfiabilă. Remarcă. Demonstraţia de mai sus a completitudinii sistemului axiomatic Q este o =

demonstraţie tip Henkin22• Aceste demonstraţii se bazează pe construcţia unor mulţimi consistente şi deci satisfiabile de formule ale Lp , aşa cum, Într-o formă simplificată, am procedat în demonstrarea completitudinii în logica propoziţiilor (comp. 2.3.3). Prezentăm, mai jos, o altă demonstraţie de completitudine (tip Henkin) a sistemului axiomatic Q. De data aceasta vom utiliza mecanismul teoretic din 2.3.3.

Completitudinea sistemului axiomatic Q (variantă) Prin Lp vom înţelege în continuare un limbaj al logicii predicatelor, similar celui descris În 3. 1 cu următoarea menţiune: mulţimea '1' a termenilor logici conţine doar variabile individuale. Extindem acest limbaj în limbajul L:ţ Lp U C unde C este o mulţime infinit =

{CI ' C2 , . . . }. Corespunzător, formulele .c;. vor conţine ca argumente şi Univ J, de exemplu, are acum forma Vxa � a(x It), unde t este orice variabilă y sau orice constantă C E C . Similar, Th. 1 are acum forma a(x It) � :3xa , Dacă t este o constantă C E C , atunci vom avea a{c) � :3xa (unde X este o variabilă care nu apare în a ) etc. Fie Q+ sistemul axiomatic Q, dar ale cărui formule sunt formule ale .c;. . Lemă. Dacă Q este consistent, atunci Q+ este consistent. Demonstraţie (contrapoziţie). Presupunem că sistemul Q + este inconsistent. Există deci o formulă a+ astfel încât f- ' a+ şi Q numărabilă de constante elemente ale mulţimii

22

Comp,

L.

C.

Henkin, The completeness of the first-order functional calculus,

1 4/ 1 949, 1 59-166.

190

The Joumal

of Symbolic Logic,

demonstraţie este un şir finit de formule. demonstraţia în un nurriăr finit de constante. fie acestea Alegem acum n variabile individuale din

Ci i

•...,

Ci•

•

Q+

a formulei

a+ 1\ -.a+

va conţine

şi un număr finit de variabile individuale.

Q, şi care nu apar x. , . . . , x . Înlocuim acum, corespunzător, fiecare constantă ck care apare în demonstraţia formulei a+ 1\ -.a+ , cu variabila xk din şirul ales (il � k � in ) . Această înlocuire transfoffilă axiomele sistemului Q+ în axiome ale sistemului Q. Fie a formula care rezultă din formula a+ în unna acestei înlocuiri. E clar, în acest fel demonstraţia formulei a+ 1\ -.a+ din sistemul Q+ trece în demonstraţia formulei a 1\ -.a în sistemul Q. Şi astfel sistemul Q este inconsistent. Demonstrarea Lemei lui Lindenbaum este, în esenţă, cea din 2.3.3. însă, în logica

în demonstraţia fonnulei

a+ 1\ -.a+ .

Lp •

în care este constmit sistemul

Fie acestea

. 'II

'1

'

,

predicatelor această demonstraţie reclamă anumite precauţii. Respectiv, din faptul că o formulă de forma 't!xa nu aparţine unei mulţimi maximal consistente r trebuie să putem conchide că o fOffilUIă a(x / c) , unde C E C , nu aparţine mulţimii r . însă acest lucru nu are loc pentru orice mulţime maximal consistentă de formule, moLiv pentru care, în cele ce urmează, vom avea în vedere doar mulţimi OJ -complete.

Definiţie. O mulţime de formule � se numeşte OJ -completă dacă are loc: dacă formulele a(x/ c) aparţin mulţimii �. pentru orice constantă C E C . atunci şi formula 't!xa aparţine mulţimii �. Echivalent: Dacă formula 't!xa nu aparţine mulţimii �, atunci există o constantă C E C astfel Încât a(x / c) nu aparţine mulţimii �. Remarcă. Uneori ideea OJ -completitudinii apare exprimată astfel : dacă o formulă de forma 3xa aparţine mulţimii � , atunci există o constantă C E C , astfel încât formula a(x/ c) este un element al mulţimii � (sens care rezultă din definiţia de mai sus). Lema llti Lindenbaum (variantă). Orice mulţime Q+ - consistentă � de formule admite o extensie maximal Q+ -consistentă şi OJ -completă r . astfel Încât � � r 23. Demonstraţie. Mulţimea de formule ale L� este infinit numărabilă şi deci putem presupune o ordonare a lor în lista: al ' a2 , a3 , Considerăm că toate formulele din � sunt închise 24. Alcătuim apoi un şir infinit de mulţimi de fonnule �O ' �I ' �2 ' " în modul indicat mai jos. Plecând de la mulţimea � , construim mai întâi şirul �� , �IO ' ��, astfel: �� = � ��+ I = �no U {a(x / c ) � 't!xa} dacă cea de-a (n + l ) -a formulă din listă este 't!xa ; unde c este prima constantă a şirului cI ' c2 '... care nu apare nici în 't!xa , nici în formulele din K� . �nt = � , dacă cea de-a (n + l ) -a formulă din listă are altă formă logică. Fie acum �o = u�o (i = 0,1,2, . . . ) 1. Fiecare din mulţimile �o este Q+ -consistentă. Argument (inducţie). .••

•

..

.•. ,

,

23 Comp. 2.3.3.

24

Fapt care nu restrânge generalitatea demonstraţiei, căci dacă admitem ca

�

să conţină variabile libere, atunci

înlocuim toate constantele (diferite între ele) , care apar în aceste fonnule, cu variabile (diferite între ele).

191

a) Mulţimea ��

=�

este Q+ -consistentă (prin presupoziţie).

b) Dacă mulţimea �� este Q+ -consistentă, atunci şi ��+ I este Q+ -consistentă. Cazul în care cele două mulţimi coincid este evident. Să considerăm celălalt caz, în care

��+I

=�nou{a(xlc)::JVxa}. Presupunem

că ��+I este Q+-inconsistentă. Rezultă

că există o fonnulă fJ astfel încât

1. �no' a(xlc)::JVxa 2. �o n ' a(x I c)::J 'v'xa

'rfJ şi

f- --'fJ, respectiv

a(xlc)::JVxa f-fJl\--,fJ; Lp �� f- (a(xl c)::J Vxa)::J (fi l\--,fJ) ; Th. ded. �� f- (a(xl Y}::JVxa)::J (fi 1\ .fJ); din 4, prin înlocuirea

3. �no' 4.

5.

constantei

C din a(xl c)

cu o variabilă y care nu apare anterior în nici o fonnulă.

6. 7.

Vy[(a(xl y}::J Vxa)::J (fi l\.fJ)) ; 5, Gen Ll"o 'r :3y(a(x I y)::J Vxa)::J (f3 1\ .fJ) ; 6, prin Th 14, MP. 8. �� 1- (Vya(x I y)::JVxa)::J (fi 1\ --,f3); 7, prin Th 13, Th. Înloc. �� f-

9. tYa f- fJl\.fJ; 8, Th 7, MP. Şi astfel, din presupoziţia Q+ -inconsistenţei mulţimii tYa+

1

a rezultat Q+ -inconsistenţa

mulţimii �� . De unde, prin contrapoziţie, rezultă b).

Remarcă. Trecerea de la 4 la 5 este perfect justificată, deoarece prin înlocuirea într-o demonstraţie a unei constante cu o variabilă nouă axiomele se transformă în axiome iar regulile de deducţie îşi conservă valabilitatea. Şi deci dacă este deductibilă o formulă care conţine o variabilă c, atunci este deductibilă şi formula obţinută prin înlocuirea constantei cu o nouă variabilă. Mulţimea �o este Argument. Dacă �o

2.

mulţimi, care ar

fi Q+

Q+ ar

-consistentă. fi Q+ -inconsistentă, ar exista o submulţime finită a acestei

-inconsistentă. însă, am văzut mai sus, acest lucru nu este posibil,

deoarece toate mulţimile �o sunt Q+ -consistente. Acum, constmcţia şirului de mulţimi de formule �1'�2'�3'''' are loc exact ca în cazul logicii propoziţionale. Respectiv, construită fiind mulţimea �n' mulţimea � 1 se obţine prin

an+l,

adăugarea la � ' a formulei

n

n+

dacă rezultatul obţinut este o mulţime Q+ -consistentă; în

caz contrar cele două mulţimi, �n 1 şi �n' coincid. Fie r

=

+ U�j(i = 0,1,2, ...) , adică r este mulţimea tuturor mulţimilor �O'�I'�2"'"

Acum, demonstrarea Mulţimea

Lemei lui Lindenbaum se

desfăşoară ca în logica propoziţiilor.

r este aşadar maximală şi Q+ -consistentă. M ai mult, r este

Respectiv, dacă toate formulele lui r . Echivalent, dacă

Vxa

a(xl c}

aparţin mulţimii r , atunci şi fomlUla

nu aparţine lui

r,

atunci există

CEC

OJ-completă.

Vxa aparţine a(x/ c) nu

astfel încât

este în r .

Argument. Presupunem că Vxa� r . Rezultă că .VXaE r (prin ma ximalitatea lui r). Presupunem că Vxa este a n-a formulă a şirului considerat. În acest caz, pentru o

constantă

CEC,

formula

a(x I c)::J Vxa

aparţine mulţimii �no (în acord cu construcţia acestei

192

r. Din faptul că formulele a{x!c):::> Vxa şi -,v xa r rezultă că -.a{x!C)E r şi astfel a{x!c)t: r.

mul(imi) şi deci apaI1ine mulţimii aparţin lui

Teorema satisfiabilităţii. Orice mulţime Q+ -consistentă de formule .1 este Xo satisfiabilă (i.e. satisfiabilă în domeniul numerelor naturale). Demonstraţie. Demonstraţia esle similară celei aferente din logica propoziţiilor 25, i.e.

aceasta rezidă a a arăta că echivalenţa dintre adevărul unei formule şi apartenenţa ei la o mulţime consistentă are loc. În acord cu Lema lui Lindenbaum, mulţimea Q+ -consistentă .1 admite o extensie maximal Q+ -consistentă şi

r. Va trebui să arătăm că pentru orice a are loc: a=l ddacă aE r

m -completă

Inducţie (pe gradul formulei a ) l .Cazul n= O. Considerăm toate formulele elementare care aparţin mulţimii r şi le atribuim valoarea logică adevărat; cele care nu aparţin acestei mulţimi le asignăm valoarea logică fals. 2.Cazul n > O. Formula a are una din unnătoarele forme: -.fl, p:::> r sau Vxfl. Presupunem că teorema are loc pentru fl şi r , al căror grad este strict mai mic decât gradul lui a (ipoteza inducţiei) şi arătăm că ea are loc şi pentru a . a) a are forma -.f3 -.fl= 1 ddacă f3 =O (prin definiţia semantică a -.) ddacă f3t: r (prin ipoteza inducţiei) ddacă -.f3E r (prin max lui r). b) a are forma fl:::> r f3:::>r=1 ddacă f3=0 sau r=l (def. sem. a :::» ddacă pt: r sau rEr (prin ip. ind.) ddacă f3:::> rE r. c) a are fmUla Vxfl.

1 . Presupunem că VxaE r. Şi deci f3{x! c )E r, pentru orice CEC (prin

MP). Însă gradul formulelor f3{x! )

c este strict mai mic decât gradul lui a şi deci toate aceste formule sunt adevărate (prin ipoteza inducţiei). Însă, în acest caz, şi formula VxfJ este adevărată (în acord cu semantica formulelor cuantificate universal). Aşadar, are loc: Dacă Vxf3 El, atunci VxJ3 = 1 . 2. (Conversa lui 1). Dacă Vxf3 1, atunci Vxf3El. Prin contrapoziţie obţinem: Dacă Vxflt: 1, atunci Vxf3=O. Presupunem că Vxf3t: r. Există deci un cE C astfel încât fJ{x!c)t: 1 (prin m-completitudinea lui r). Şi deci f3{x!c)=O (prin ipoteza inducţiei). Şi astfel V xf3=O.

Univ.

1 şi

=

Teoremă. Dacă non f-Q> a, atunci -.a este Xo -satisfiabilă. Demonstraţie. Presupunem că non 1,- Q+ a . Rezultă că {-.a} este Q+ -consistentă (în

Q+ -.-.a, adică f- Q+ a, ceea ce contrazice asumpţia nondemonstrabilităţii formulei a). De unde, prin Teorema satisfiabilităţii, -.a este X o -satisfiabilă. Teorema de completitudine a sistemului Q+. Dacă Fa, atunci 1;;+ a .

caz contrar

f-

Demonstraţie. Dacă a este o fonnulă validă, atunci negaţia ei, -.a, este nesatisfiabilă. Şi deci a este Q+ -demonstrabilă (rezultat obţinut din Teorema de mai sus). 2S

Comp. 2.3.3, Lema 2.

193

Din faptul că teoremele sistemului completitudinea sistemului axiomatic Q.

Q sunt teoreme ale sistemului Q + rezult ă

3.3.2. Sistemul Hilbert-Ackermann Logica predicatelor, aşa cum a fost ea elaborată de Hilbert şi Ackermann în Grundzuge. .. 26 , utilizează unnătoarele categorii de simboluri: p, q, r, .. , Pp P2 , (simboluri .

.•.

x, y, Z, . . . , x'l x 2 (simboluri pentru variabile individuale), p{x) , Q{x, y), R{xl'x2, x3) , (simboluri pentru predicate)27, la care se adaugă simboluril e operatorilor logici: -',I\,V ,:::> ,==, V,3. Formulă a Lp

pentru variabilele propoziţionale),

' ••

• • •

a) b) c) d)

Orice variabilă propoziţională este o formulă. Orice simbol predicativ (secondat de variabile individuale) este o formulă. Dacă a este o fonnulă, atunci -,a este o formulă. Dacă a şi j3 sunt formule, astfel încât nici o variabilă individuală nu apare simultan legată în una şi liberă în cealaltă, atunci a v j3, a /\ j3, a:::> f3 şi a == j3 sunt formule. e) Dacă a{x) este o formulă în care variabila individuală x apare liberă, atunci \i xa(x) şi 3.xa{x) sunt formule.

Sistemul uN

A xiome.

AI' {p p):::> P V

�. p:::> (pv q) �. {pv q):::> (qv p) A4. {p:::> q) :::> [(rv p):::> (rv q)] �. \i xp{x):::> p{y) 3xP{x) Reguli de deducţie. a) Regulile substituţiei

al. Dacă a este o fOffilUIă care conţine o variabilă propoziţiona1ă p iar j3 este o formulă arbitrară, atunci p poate fi înlocuită cu j3 în formula a , cu următoarele condiţii: înlocuirea se face în toate ocurenţele variabilei p iar cele două formule, a şi j3, n-au variabile individuale comune. a2. Dacă a este o formulă care conţine o variabilă individuală liberă x, atunci x poate fi înlocuită cu o altă variabilă individuală y, cu următoarele condiţii: înlocuirea se face în toate ocurenţele lui x în fonnula a iar variabila y nu apare legată în a . a3. Dacă a este o formulă iar P este un simbol predicativ n-adic care apare în a , atunci P poate fi înlocuit î n a cu o formulă j3 care are cel puţin n variabile libere. Înlocuirea ,

se face astfel: fie

Zp...

, zn+k

26

27

Zp . . , Zn n variabile alese din p(wl'''' ' wJ este o ocurenţă arbitrară a lui P în formula

(k 2O) variabilele libere din j3 fie

toate variabilele libere din j3 . Dacă

,

.

f. C Hilbert şi Ackermann, Grundziige der theoretischen Logik, New York, Dover PubJ., 1946.

Strict vorbind, pentru variabile propozi!ionale Hilbert şi Ackermann utilizează majusculele latine, pentru variabilele predicative majusculele latine cu argumente şi câteva categorii de simboluri ale alfabetului gotic pentru diferite categorii de metavariabile. Simbolismul adoptat aici este simbolismul uzual al lucrării noastre,

tocmai pentru o mai uşoară conexiune a acestor rezultate cu cele din capitolele precedente.

194

p{wp"" W,} cu P{wp"" wn' zn+ "I '" Zn+k )' Substituţia trebuie să satisfacă următoarele condiţii: înlocuirea lui P cu p se realizează în toate ocurenţele lui P în a iar a şi p nu au variabile individuale în comun. a

, atunci înlocuim

b) Modus ponens (MP) c) Reguli pentru cuantificatori ci. Dacă a:J p{x) este o fonnulă arbitrară, astfel că x este variabilă liberă în p şi nu apare deloc în a , iar y este variabila x sau o altă variabilă care nu apare liberă în a sau nu apare deloc în p{x), atunci formula a:J VyP{y) poate fi dedusă. Schematic: a:J p{x) a:J Vyp{y) c2. Sub aceleaşi restricţii din ci, din

Schematic:

j3( x) ::J a ::Ixp{x) ::J a

p{x) :J a se poate deriva ::I xp{x)::J a.

d) Regula redenumirii variabilelor legate.

Dacă Într-o formulă a variabila individuală x este variabilă legată, atunci x poate fi înlocuită cu o variabilă arbitrară y, cu următoarele condiţii: înlocuirea se face în toate ocurenţele legate ale variabilei x (i.e. în cuantificator şi în întreg domeniul său) iar y este fie o variabilă nouă în a , fie apare în a dar ca variabilă legată printr-un cuantificator al cărui domeniu nu se intersectează cu domaniul cuantificatorului iniţial.

E xemplu. a: VxQ{x, y) ::J ::IzR{y, z)

Variabila legată x din antecedentul formulei a poate fi redenumită cu z, deoarece deşi z apare în a, apare ca variabilă legată prin cuantificatorul existenţial, al cărui domeniu nu interferă cu cel al cuantificatorului universal. Remarcă. Sistemul M este o extensie a sistemului HA de logică a propoziţiilor, format din primele 4 axiome plus regula MP şi regula substituţiei pentru variabile propoziţionale. Operatorii primitivi sunt, şi v, redarea primelor 4 axiome cu ajutorul ::J fiind doar o formă abreviată28• Regulile de deducţie ale sistemului M sunt cele expuse de autori dar cu corecţii le ulterioare reclamate de incorecta lor formulare în primele două ediţii ale lucrării GrundzUge. . . 29 •

Teoreme şi reguli de deducţie derivate ale sistemului Rtf'

Regula c�

a{x) Vya{y)

a{x); as a{x):::> [a{x)v-,(pv-p)]; 1 prin � 3. a{x)v -,(p v,p) ; 1 , 2 MP 1.

2.

282 Cf. Hi1bert; Ackermann, op. cit., Cap.

1, § 10.

9 Cf. A. Church, Introduction to Math. Logic, Princeton, 1956, 289 nota 459; G.T. Kneebone, Malhematical

Logic and the Foundation of Mathematics, London, 1963, 66.

195

4. -,(pv -,p)va{x); 3 prin � 5. {pv -,p)�a{x) ; 4 , Lp 6. (pv -,p )�Vya{y); 5 el 7. pv -,p; Lp 8. Vya{y) ; 6, 7 MP Remarcă. În paşii

5 şi 7

am

indicat" L ", ceea ce înseamnă: orice teoremă a logicii

p

propoziţiilor (echivalent, p rin corectitudinea Lp: orice formulă validă a Lp) poate fi utilizată

demonstraţiile din ILR propoziţiona1ă).

în

Regula d*

(întrucât M

este o extensie a unui sistem axiomatic de logică

Vxp{x)�p(y) Vyp{ y)�p{x)

1 . Vxp{x)� p{y); as 2. Vxp{x)�p{z) ; 1 , a2 3. Vyp{y)� p{ z) ; 2, d 4. Vyp{y)� p{x) ; 3, a2 Th.

1.

Th. 2.

Th.

3.

Th. 4.

Vx{p{x)v --,p{x)) 1. pv-'p ; Lp 2. p{x)v -,p{x); 1 al 3. Vx{p{x)v -,p{x)) ; 2 c: Vxp{x)�::::Ixp{x) (�, �, Lp) Vx{pv p{x))� (pv Vxp{x)) 1. Vy{ pv p{y))�(pv p{x)); �, a3, d' 2. Vy{pv p{y))�{-,-,pv p{x) ); 1 , Lp 3. Vy{p v p{ y) )� ( -,p � p{x)); 2, Lp 4 . [Vy{pv p{ Y))I\-,p]�p{x); 3, Lp 5 . [Vy{pv p{y)) /np]�Vxp{x); 4 , c 6. Vx{p v p{x))� ( pv Vxp{x)) ; 5 Lp' d. Vx{p� p{x)) �(p�Vxp{x)) (Th. 3, p/-'p)

Th.5. P Th.

6.

�Vx{pv p{x)) (exerciţiu)

Vx{pv p{x)) == (pv Vxp{x)) 1. Vyp{ y)� p{x); �, d' 2. (p v Vyp{y))� (pv p{x)); 1 prin a3 196

3. (pv Vxp{x))�(pv p(x)); 2, d 4. (pv Vxp(x))� Vx(pv p(x)); 3, c De unde, prin Th. 3 obţinem Th. 6. 7.

Th.

l.

2.

3. 4. 5. 6.

7. 8.

Vx(p(x)�Q(x))�(Vxp(x)�VxQ(x)) Vy(p(y)�Q{y))�(p(x)�Q(x));din As p(xb [Vy{p{y) �Q{y))�Q{x)]; 1 prin Lp: [p�{q� r)]== [q�( p � r)] Vyp{y)� p{x) ; prin � Vyp{y)�[Vy(p{y)�Q(y))�Q{x)] ; 3, 2 Lp [VyP{y) /\Vy{p(Y)�Q{Y))]�Q{x) ; 4 Lp: [p�(q�r)]==[{p/\q)�r] [Vxp{x)1\ Vx{p{x)� Q{x))]� Q{x); 5, d [Vxp{x)/\Vx(p{x)� Q{x))]� \fxQ(x); 6, c \fx{p{x)�Q(x))�(Vxp{x)�VxQ(x)); 7; prin echiv. Lp din 5. 3.xp(x)==-,vX"""'lP{x) b) 3xoP{x)==-,vxp{x) ""'l (x) == \fxp{x) c) -,:::lX"P d) -,:::lxp{x) == \fx-.p{ x)

Th. 8. a)

(exerciţii)

\fx{p{x)�Q{x))�{:::lxp{x)�3.xQ{x)) (p(x)�Q{x))�(-,Q{x)�-,p{x)) ; Lp, al \fx[(p{x)�Q(x)b (-,Q(x)� -,p(x))]; 1 , < Vx(p{x) �Q(x)b Vx{-,Q(xb -,p{x)); 2, Th. 7 \fx{p{x)�Q(x))�(Vx-.Q{x)�\fx-.P(x)) ; 3, Th. 7, Lp (VX"""'lQ{x)�VX"""'lP{x)) == (-,\fx-.P{x)�-,Vx-.Q{x)); Lp' al 6. -,\fx-,p(x)=:::lxp{x); -,VX"""'lQ{x)=:::lxQ{x); Th. 8 a 7. Vx{p{x) �Q{x))�(:::lxp{x) �:::lxQ{x)); 5, Înloc. Echival.

Th. 9.

1. 2. 3. 4. 5.

10.

Th.

Vx{p{x)==Q(x))�(:::lxp{x)==:::lxQ{x)) a(x)�p(x) :::lx a(x)�:::lxp(x)

Rd

(exerciţiu)

Th.1l.

Vx{p(x)/\Q{x))=={VxP{x)/\\fxQ(x)) (exerciţiu)

Th.

\fx(p(x)= Q(x))�(Vxp{x)= VxQ{x))

12.

\fx(p(x)v Q{x))�(\fxP(x)v 3yQ(y)) 1 . \fx{-'p(x) � Q(x)) � (3X"""'lP{x) �3xQ(x)); Th. 9, p{x)/-,p{x) ""'l {x)v 3.x Q{x)); 1, Th. 8 d, Lp 2. \fx(p{x)v Q{x))�(-,:::lX"P

Th.

13.

197

3. Vx(p(x)v Q(x)):::> (VxP(x)v3xQ(x)) ; 2, Th. 8 c 4 . Vx(p(x)v Q(x)):::> (\fxp(x)v 3yQ(y)); 3, Reg. d Consistenţa şi completitudinea sistemului axiomatic Rtf' Consistenţa sistemului Rtf'

Ceea ce trebuie arătat este următorul lucru: nu există nici o formulă /3 a Lp astfel încât în sistemul HR sunt demonstrabile ambele formule, /3 şi -'/3. Demonstraţia consistenţei acestui sistem Hilbert şi Ackermann o fac printr-o interpretare aritmetică a entităţilor sintactice ale sistemului: p, q, r. . . sunt aici variabile aritmetice care iau valoarea 1 sau O. pv q este produsul aritmetic p. q; 'P O dacă p = 1 şi Din expresiile cuantificate eliminăm cuantificatorii, iar simbolurile 'P = 1 dacă p =O. predicative sunt considerate, aidoma variabilelor propoziţionale, variabile aritmetice care pot lua valorile 1 sau O. Pe baza acestei interpretări aritmetice putem arăta că toate formulele a demonstrabile în system (i.e. loate teoremele) au o proprietate comună: iau constant valoarea O (abreviat: ido (a) ) A arăta acest lucru se reduce la a arăta că toate axiomele au această proprietate şi că orice formulă obţinută din axiome cu ajutorul regulilor de deducţie are această proprietate. De exemplu, prima axiomă Al: (p v p) ::::J p, în notaţia neabreviată -,(p v p)v p , devine --.p. p şi care are valoarea O. Aşadar, ido (Al) . La fel celelalte (exerciţiu). Regula de deducţie MP în notaţia neabreviată: din a şi -,av /3 se obţine fJ, conservă în concluzie proprielatea ido a premiselor. Presupunem că ido(a) şi ido (-,av /3) . De aici deducem idl(-,a) (i.e. dacă a ia constant valoareaO, atunci -,a ia constant valoarea 1). Şi deci valoarea formulei -,a v f3 este identică cu valoarea formulei fJ (deoarece 1· /3 = f3). Însă, cum ido(-, av /3) rezultă că ido(j3)· Prin interpretarea de mai sus, regulile substituţiei al şi a3 ilustrează substiluţia din logica propoziţiilorJo. a2 şi d nu afectează în nici un fel o formulă în interpretarea aritmetică, iar el şi c2 conservă, trivial, proprietatea ido. Cu aceasta consistenţa sistemului ILR poate fi astfel argumentată: întrucât două formule, din care una este negaţia celeilalte, nu pot avea simultan valoarea O, rezultă că în sistemul M nu poate fi demonstrată atât o formulă cât şi negaţia ei. Şi deci M este consistent. =

.

Completitudinea sistemului u.R

Hilbert şi Ackermann deosebesc două sensuri în care se poate defini completitudinea unui sistem axiomatic: 1. Sistemul este complet dacă demonstrează toate formulele valide. 2. (Un sens "mai tare"). Sistemul este complet dacă prin adăugarea la axiomele sistemului a unei formule nedemonstrabile în sistem consistenţa sistemului se deconslruieşte. Să ne oprim mai întâi la sensul 2. Teoremă. Sistemul H� este incomplet în sensul 2. Demonstrarea acestei teoreme se rezumă la indicarea unei formule a care, în interpretarea aritmetică mai sus menţionată, are proprietatea ido, dar care nu este teoremă a 30

Comp. 2.3.3.

198

sistemului. O astfel de formulă este a: 3. xp(x):J \fxp(x). (Cum uşor se poate constata, această formulă este constant adevărată doar pentru un domeniu format dintr-un singur element). Pentru demonstrarea faptului că a nu este teoremă a sistemului HA' Hilbert şi Ackermann indică un procedeu de transformare a formulelor logicii predicatelor în formule ale logicii propoziţiilor. Dacă domeniul cuantificării conţine n elemente (este deci finit), atunci transformăm cuantificatorii astfel: a) \fxp(x)==[P(1)/\P(2)/\... /\P(n )] b) 3.xp(x) == [P(l) v P(2)v . . .v P(n)]; il = {1,2, .. . , n}, după care înlocuim expresiile P(i) cu variabile propoziţionale distincte. Fie, în cele ce urmează, il = {1,2} .

Lemă. Orice formulă demonstrabilă în H� devine, prin transformarea de mai sus, o formulă validă a logicii propoziţiilor.

Demonstrarea acestei leme se reduce la a arăta că prin transformarea de mai sus axiomele devin formule valide ale logicii propoziţiilor iar regulile de deducţie conservă în concluzie validitatea premiseIor. hiomele Ar - A4 sunt deja fOlmule valide ale Lp • Axioma �: \fxp(x) :J p(y). Din A; obţinem, prin închiderea ei universală, \fy(\fxp(x) :J p(y)). Transformăm această formulă în acord cu echivalenţa a) de mai sus şi obţinem (\fxP(x) :J P(l))/\(\fxP(x):J P(2)), echivalent [(P(l)/\ P(2)) :J P(l)]/\ [(P(l) /\P(2)):J P(2)], respectiv [(p/\q) :J p]/\ [( p /\ q):J q] , formulă validă a logicii propoziţiilor. hioma At; (exerciţiu). Regulile sistemului. a l şi a3 conservă validitatea (pe baza teoremei substituţiei din logica propoziţiilor), căci după transformare ele pot fi redate ca formule ale logicii propoziţiilor. Regulile a2 şi d, prin transformare, repetă formulele. În cazul regulii b) modus ponens deosebim: 1. Formulele care apar în această regulă nu conţin variabile libere. În acest caz regula îşi păstrează forma şi deci prin transformare obţinem aplicaţii ale acestei reguli în logica propoziţiilor. 2. Formulele care apar în această regulă conţin variabile libere. În acest caz vom construi închideri le lor universale, caz în care regula îşi pierde forma, obţinându-se o nouă \fxa(x) regulă: \fx(a(x)::J ,B(x)) \fx,B(x) respectiv, a(l)/\a(2) Pr/\ P2 (a(lb p(l ))/\(a(2)::J ,8(2)) (p, :J q, )/\(P2 :J q, ) qr /\q2 Însă, formula {(PI /\P2 )/\[(PI :J qJ/\ (P2 :J q2)il:J (ql /\ q2 ) este o formulă validă a Lp (exerciţiu).

Regula c el

a:J B{x} a:J \fy,B(y)

; x este liberă în P şi nu apare în a

199

Deosebim din nou două cazuri, după cum a conţine sau nu variabile libere. 1. a nu conţine variabile libere. Considerăm închiderea universală a pre ffiIsel, \fx{a�.8{x)) şi obţinem (a�.8(1))I\{a�.8{2)), echivalent a::> (P{1) 1\.8{2)) . Prin transformarea concluziei obţinem acelaşi rezultat. 2. a conţine variabile libere (similar). c2 (exerciţiu)

Şi deci: orice formulă deductibilă În H� este, prin transformarea de mai sus, o formulă validă a logicii propoziţiilor. Însă formula a: 3xP{x)�Vxp{x), pentru .Q = {1 ,2}, devine (p v q)�(p I\q ) , fo rmulă nevalidă a Lp' Şi deci, prin contrapoziţie din Lemă, a nu este o formulă demonstrabilă în HA'

. Însă a are proprietatea ido' Şi deci

Teoremă.

HA'

este incomplet în sensul specificat de

În schimb, în sistemul axiomatic HA' este complet în primul sens: orice formulă validă a Lp esle teoremă a sistemului HA' 31. Teorema de completitudine. Dacă 1= a. atunci 1- a . Demonstraţie. Aşa cum am văzul în 3.3.1., pentru orice formulă a Lp se poate construi o formulă în forma normală Skolem, astfel încât ori ambele formule sunt deductibile, ori nici una nu este deductibilă într-un sistem axiomatic al Lp. Aşadar, pentru demonstrarea teoremei de completitudine a sistemului HA' este suficient să arătăm că orice formulă validă a Lp, aflată în forma ei normală Skolem, este demonstrabilă în HA' . Presupunem că formula de mai jos este o formulă de acest gen: 3xl .. . 3xk VYI ···\fyla(x". . . , xk; y,,· .. , YI) Fie ho' x" ...} mulţimea infinit numărabilă a variabilelor individuale. Din elementele acestei mulţimi formăm k-tupli de elemente şi ordonăm aceşti tupIi în raport cu suma crescătoare a indicilor, iar la sume egale îi vom ordona lexicografic. Cel de-al n-lea k-tuplu îl vom scrie (x." x., ,... , x ) iar .8. va fi formula .8n : a(x., , ... , x ; X(._I)/+'I X(._I)/+2 ,. .. , x.l) Avem, aşadar: .81 : a{xo,. . ., x o' xo ; xl' x2 . . XI) .82 :a{xo''''' XO, XI; XI+I, XI+2,,,, X2/) .83: a{xo"" , XI' XO; X21+I' X 2I+2"" X31) etc. Trebuie să observăm că variabilele aflate după ";" sunt diferite atât de variabilele care stau în faţa acestui simbol, cât şi de toate variabilele individuale care apar Într-o formulă .8m (m < n). Celelalte variabile, x" , ... , x ' apar, toate, deja în fonnulele .8m (m < n). Apoi, prin r. vom înţelege disjuncţia formulelor .81 ,.. . .8 , ., pentru orice n: r. :.81 v ... v.8" Formulele r. sunt constituite din formule elementare (i.e. simboluri de variabile propoziţionale sau simboluri predicative care au ca argumente variabile individuale), formule elementare care apar şi în r n+l' rn+2 ,... . ••

••

·,

••

31

Prima demonstra�e de completitudine a logicii axiomatizate a predicatelor aparţine lui K. GOdel (Die Vollstiindigkeit der Axiome des logischen Funk tionenkalkiils, Monatshefte for Math. u. Physik, 27/1930), pentru un sistem axiomatic similar. Demonstraţia dată aici este· varianta Hilbert-Ackermann (Grundzii.ge ) a demonstraţiei gOdeJiene.

...

200

Fie o. fonnula care rezultă din r. prin prefixarea acesteia cu cuantificatori universali pentru toate variabilele libere ale fonnulei r Fiecărei fonnule Y. îi asociem o fonnulă r: din logica propoziţiilor. Înlocuim, aşadar, în r. toate fonnulele elementare (cu excepţia variabilelor propoziţionale) cu variabile propoziţionale, astfel încât unor simboluri predicative distincte să le corespundă variabile propoziţionale distincte. Obţinem, aşadar, un şir de formule r: , iz ,, . Cum uşor se poate observa, fiecare 'Y; rezultă din l prin regula a 1. În raport cu formula r: vom avea, alternativ, unnătoarele cazuri: 1. Există un n, astfel că r: este o formulă validă a logicii propoziţiilor. 2. Nu există n, astfel că r: este o formulă validă a logicii propoziţiilor. Cazul 1. În acest caz fonnula 3x1" .3xk VYI" . Vy,a(xp" ., x k; Y'I " . , y,) este o teoremă a sistemului M Întrucât r. rezultă din r: prin regula substituţiei al iar o. rezultă din r. prin aplicarea regulii c:, este sufficient să arătăm, pentru orice n, că următoarea implicaţie este o teoremă a sistemului M : o. ::> 3xl . . . 3xkVyl" .Vy,a(xl"'" xk; YI"'" y ,) (Inducţie pe n). �= VXO VX,l ,· Vx,a(xo'·"' x O;X'I '''' X' ) (pentru că � se obţine din Yl'iar Îl este fJl de mai sus). însă formula VY"l .Vy la (zl''''' Zk; YI''''' y J:::l 3x1" .3xkVYl,,· Vy,a(x'l '''' xk ; YI"'" y,) este demonstrabilă în M printr-o multiplă aplicare a axiomei � şi a tranzitivităţii implicaţiei. De unde, prin substituţie ( Zi / xo ) obţinem: VY,l ,V · y,a(xo'·"'xo; Yl ... , y,)::> 3xl,,·3xkVy,l ,· Vy,a(xl ,, ,., x k; Yl''''' y/). Cum Xo este variabilă liberă în antecedenlul implicaţiei, prin aplicarea regulii c2 asupra formulei de mai sus obţinem: 3xoVYI·" Vy,a(xo'·'" xo; YI'''·' y,)::> 3x1,,·3xkVYl·" Vy,a(xp" ., xk; YP"·' Yl) însă din �, prin Th. 2 şi MP, obţinem 3xoVxl." Vx,a(xo' '· " xo; Xp" ,. Xl ), care este antecedentul fonnulei precedente. Şi deci, prin tranzitivitatea implicaţiei obţinem: 01 ::> 3x1,,·3xk VYl,,· Vy,a(xl ,, ., Xk; YI ,, , ., y,). Presupunem acum că are loc: . y,) 0._1::> 3xl" .3xkVYl,,· Vy,a(xl''''' xk; Yp . ·, şi vom arăta că implicaţia are loc şi pentru n. o. : VXOVxl·" Vx.,r. , adică o. : VxO Vxl ". VX)r._l v fJJ respectiv, o.: VxOVxl ." Vx.I(Y._l v a(x n,,,, ., x.,; X(._l)'+P"" x.,)) . Însă, aşa cum am văzut mai sus, variabilele X(._)l I+1 ,,,. , xn, nu apar în rn-l• Şi astfel, prin Th. 6, obţinem: 0n ::> VXo",VX(._)I '(rn-l vVX( ._)I '+l" .Vxn,a(xn,,,, ., x., ; X(._l)'+l , , ., Xn,)) Redenumim acum variabilele legate x(n_l)'+"I '" x., în yp" ., y, şi obţinem o. ::> Vxo"' VX( ._)l ' (r.-I v VY"l .Vy,a(x., , , . , x", ; Y'I ''·' y,)) Şi deci această implicaţie este o teoremă a sistemului M Însă, printr-o repetată aplicare a Th. 13, obţinem: • .

.

,

201

0. :J Vxo ...VX(n_I), r._1 v 3xl··.3xk VYI···Vy,a(XI"'" Xk; Yl"'" Y, ) , respectiv, 0n :J 0._1 V 3xl···3xkVYI···Vy,a(xl"'" Xk; Yl"'" y, ) . Însă, prin ipoteza inducţiei are loc: 0.-1 :J 3xl ...3xk VYI . . ·Vy,a(x1 , ... , xk; Y1 , ... , y, ) . Şi deci: 0. :J 3xl· ..3xk VYI· ..Vy,a(xl"'" xk; Yl''''' yJ

Cazul 2. În acest caz formula 3xl . ..3xkVYI ...Vy,a(xl'''''xk;yl'''''Y') nu este o formulă validă, căci dacă domeniul de indivizi este mulţimea numerelor naturale, atunci pot fi indicate predicate care, substituite simbolurilor predicative ale formulei, transformă formula într-o expresie falsă. Demonstraţie.

Presupunem deci că nu există n, astfel că r: este o formulă validă a logicii propoziţiilor. De data aceasta r: va fi construită astfel: r: rezultă din r. prin înlocuirea simbolurilor predicative n-adice (care au ca argumente xo' xl'x2 ,... ) prin variabile propoziţionale. Înlocuirea are loc astfel: p(xo) este înlocuit prin Po, p(xl ) prin 1;, Q(XI'X2, xJ prin QI23 ş.a.m.d. În orice formulă r:+1 apar toate variabilele din r: şi apar şi

altele. Variabilele propoziţionale care apar în toate formulele r: le enumerăm în aşa fel încât să aibe sens să vorbim despre prima, a doua, ş.a.m.d. Această enumerare poate fi făcută astfel încât mai întâi sunt enumerate toate variabilele propoziţionale din rl', apoi adăugăm variabilele nou apărute în y; etc. Întrucât nici una din formulele r: nu este o formulă validă a logicii propoziţiilor, variabilele propoziţionale care apar într-o formulă r: pot fi înlocuite prin valorile de adevăr "adevărat" şi "fals", astfel încât r: este o formulă falsă. Vorbim aşadar despre un set de valori care satisface -, r: . Pentru fiecare -, r: există, fireşle, numai un număr finit de astfel de seturi diferite; în totalitatea lor însă există un număr infinit de astfel de seturi (căci seturile care se referă la formulele -, r; cu indice diferit sunt, evident, diferite). Asignărn acum fiecăreia dintre infinit de multele variabile propoziţionale, într-un mod univoc, valorile "adevărat" sau "fals". Dacă primei variabile propoziţionale îi este asignată valoarea "adevărat" în infinit de multele seturi care satisfac -, r: ' atunci îi atribuim valoarea de adevăr "adevărat"; în caz contrar, fals". Vom considera în continuare numai acele seturi " în care prima variabilă propoziţională a fost înlocuită cu valoarea ei. Dacă în aceste seturi cea de-a doua variabilă apare infinit de multe ori cu valoarea "adevărat", atunci îi asignăm această valoare; în caz contrar îi asignărn valoarea logică fals. În acelaşi fel este fixată valoarea de adevăr a următoarelor variabile, considerându-se de fiecare dată numai acele seturi în care variabilele propozi�ionale precedente au deja valorile fixate. Dacă se înlocuiesc variabilele propoziţionale cu valorile asignate lor, atunci toate formulele r: devin simultan expresii false. Definim acum anumite predicate numerice care vor fi substituite simbolurilor predicative care apar în a(xl"'" xk; Yl"'" y, ) . Dacă apare, de exemplu, simbolul predicativ triadic PC , , ), atunci în r: vom avea P;,.i2.i,. Definim acum predicatul numeric corespunzător