Logica si teoria argumentarii [PDF]

Zitiervorschau

This

is

an

introduction to the so-called General Logic:

an

introduction, not a scientific treatise, because it does not present original theories in ali the main fields of the classical and modern logic; anyway, it's

not a short and easy initiation for beginners , but it leads the reader far enough in the fields which this book deals with. The frrst chapter contains a logical and philosophic analysis of some essential

concepts

-

such

as

inference,

argumentation,

demonstration,

induction and deduction, truth and validity a. s. o. The next three chapters

explore the labyrinth of the apriori systems of deductive inferences, made of molecular a nd compl ex propositions revealing the importance of the logical ,

form and the total irrelevance of aU intuitive and psychological elements in the foundation of the analytical vaJidity. The last three chapters bring the reader back on the solid and familiar ground of the aposteriori inferences,

which do not offer absolute certainty, but increase the plausibility of our beliefs - either when, starting from individual facts, we are looking for general statements, based on inductive, analogical and probabilist inferences, or when we try to convince an interlocutor who has doubts about our statements.

Dan Crăciun

Logică -

SI ,

tf!!oria argulDentării

(*)

EDITURA TEHNICĂ Bucureşti, 2000

Copyright @ 2000, S.C. Editura TEHNICĂ S.A. Toate drepturile asupra acestei ediţii sunt rezervate editurii. Adresă:

S.C. Editura TEHNICĂ S.A. 1

Piaţa Presei Libere

33 Bucureşti, România cod 71341

Coperta colecţiei: AI\'DREI l\1ĂNESCU

Procesare P.c.: MARIANA GHEORGHIŢ.4. Coperta: VLAD OANCEA SORANA GRIGORAŞ

Bun de tipar: 15.10.2000; Coli de tipar: 17,5 C.Z.U: 16 ISBN 973-31-1518-5 Tipărit SEMNE

PREFATĂ,

Capodoperele

unor

muzicieni

geniali,

precum

Bach,

Vivaldi, Mozart sau

Beethoven se cântă şi în zilele noastre, copleşindu-ne prin perfecţiunea lor inegalabilă, pe care suntem siguri că o vor preţui şi secolele următoare. Desigur, nu toţi contemporanii

noştri ştiu să se bucure de frumuseţea muzicii clasice, mulţumindu-se

cu

genuri minore - în

care se pot întruchipa câteodată şi teme inspirate, dar care, cel mai adesea, au menirea să ne

distreze. Iar muzicienii de avangardă ai timpuri lor noastre se străduiesc să exploreze noi forme de expresie, pe care, deocamdată, le poate gus ta un public foarte restrâns, ce-şi face

din cultura muzicală o preocupare dominantă. Atât genurile minore, cât şi mu zica de avangardă se schimbă de la o generaţie la alta şi poartă peceţi stilistice diferite de la un

spaţiu cultural la altul. Muzica denumită, de loc întâmplător, «clasică» rămâne mereu aceeaşi, păstrându-şi nealterată forma desăvârşită pe care i-au dat-o creatorii săi geniali.

Încremenirea partiturii nu exclude însă, ci provoacă d i ferenţe , cât e odată izbitoare, ale interpretării. Muzica vie, cântată pe scenă este, de fiecare dată, în funcţie de talentul,

dibăcia şi inspiraţia interpretului, o altă întruchipare a forme i invariante,

însernne le in c onfundabile ale personalităţii sale.

ce poartă

Dar ce legătură au toate acestţa cu o carte de logică? Ce poate fi mai îndepărtat de arta prţn excelen ţă, în care intuiţia şi sentimentul par să excludă orice componentă abstract­ teoretică, decât o ştiinţă aridă, în care accentul se pune exclusiv pe raţiune, �cându-se în mod deliberat şi sistematic abstracţie de sentiment şi intuiţie? Şi totuşi, la o privire mai

atentă, se descoperă că tumultul pas iunilor muzicale se exprimă în anum ite forme canonice, de strictă rigoare în capodoperele preclasice şi clasice, muzica fiind, de la Pitagora şi Platon

încoace, un analog al matematicii în lumea sun etelor. Pe de altă parte , în ariditatea ei

caracteristică, logica încearcă să elimine t oate componentele emoţionale, în afară de

pasiunea arzătoare' faţă de adevăr şi r aţ i un e, ale cărei forme pure stâm esc, celor deprinşi să le contemple, real e satisfacţii estetice.

aici. Şi în l og i că există un repertoriu clasic, mereu actual Î n viaţa de toat e zilele, gândurile noastre se arti culează în

As�mănările nu se opresc

însă prin m

�iera de interpretare

.

forme ceva iilai uşurele, ştiute fiind nu după partitură, ci «după ureche», pe care le fredonăm

spontan, fără a şti prea bine ce facem - ceea ce nu-i împied i că pe unii dintre noi să producă

şi să comunice idei extrem de interesante şi de bine argumentate. Există, pe de altă parte, şi

teorii logic e foarte sofisticate, pe care le cunosc şi de care se interesează cercuri res trâns e de specialişti în domeniu . Între aceste două extreme - logi c a spontană a bunului simţ şi teoriile

de maximă performanţă - se aşează un sistem de forme şi structuri logice fundamentale, atât de bine formulate şi demonstrate de minţi strălucite, încât prea puţine elemente esenţiale din

alcătuirea lor mai pot fi modificate. Ele pot fi însă prezentate în stiluri diferite - ceea ce şi

justifică apariţia mereu reluată a unor noi lucrări menite să în �ţi ş eze unui public nici larg,

dar nici exclusivist cun oştinţ ele de bază ale logic i i, în care, pe de o parte, gândirea vie îşi găseşte formele structurante şi de la care pornind, pe de altă parte, se pot elabora teoriile logice ultra-sofisticate, rezervate expertizei sa v an te.

6

LOGICĂ ŞI TEORIA ARGUMENTĂRII

În această arie tematică se înscrie

cartea d-Iui Dan Crăciun. S pecial izat în logica şi

filosofia limbajul u i moral - domeniu în care

a pub licat mai multe studii interesante şi o lucrare bine apr eciată , Pretexte metaetice (1997) - autorul ne propune acum o introducere în logic ă şi teoria argumentării. O introducere, căci nu abordează toate d ome niile de bază ale l ogicii clasice şi moderne, ci se concentrează numa i asupra teoriei logi ce a propoziţ iilor şi asupra temelor principa le din logica tra diţională. O introducere, deoarece se adresează unui cititor p res upus a nu avea, la pun ctul zero al le cturii, nici un fel de cunoşt inţe anterioare despre logică, dar nu o intro ducere elementară, întrucât cititorul este călăuzit destul de departe în domen iile abordate: până la expunerea axiomatică în logica propoz iţiil or sau pânii la abordarea silogisticii cu m ij loa cele calcul ului c u predicate. Pe scurt, autorul propune un reuşit manual univer sitar, în care acce n tul se pune pe cunoşt inţele de bază, fără a fi evitate însă şi unele aspecte mai difi cile, care dep ăşe sc intenţiile celor care vor să-şi facă doar o idee aproxim ativ ă despre logică, mulţumindu-i însă pe cititorii dornici de o re alii iniţiere în studiul formal al inferenţel or deductive sau inductive. Scrisă cu multă limpezime şi bine ord o nată, această lucrare poate fi un instrument foarte util în predarea şi învăţarea logicii - pr ivită nu ca un scop în sine, ci mai aies ca exersare şi potenţare a abilităţilor intelectuale de care avem nevoie în practi ca argumentării. După analiza logic o - filoso fi că din primul c apito l a unor concepte e s en ţia le precum infe ren ţă, raţionament şi demonstr aţie , indu cţi e şi de ducţie, ade văr şi validitate etc., în urm ătoarele trei capito le textul îl poartă pe c it itor prin l ab irintul construcţiilor a priori ale in ferenţelor deductive, cu propoziţii compuse şi cu propoziţ ii c omplex e , accentuând importanţa formei logice şi lipsa de relevanţă a oricăror componente intuitive , psih olog ice în stabil irea criteriilor de v aliditate analitică. Ultimele trei capitole îl readuc pe c itit or pe solul rezistent al raţion ame ntelor a posteriori, care nu întemeiază certitudini absolute, dar sporesc plauzib ili tatea ideilor pe care le su sţine m - fie atunci când, pornind de la fapte s ingular e, urmărim să desprinde m din cu noaşterea lor nişte enunţu ri universale, ap e lând la inferenţe in d uct ive, ana l ogice sau probab il iste, fie atunci când în cer căm să con vin gem un interlocutor ce are ob ie cţii sau rezerve faţă de ideile noa stre. Il u strările suge sti ve , e xplicaţiile clare şi concise, dar niciodată e lipti c e , precum şi aplica ţiile atent selectate îl invită pe cititor să exerseze el însuşi diferite forme de raţi onament, dobân din d (nu totdeauna fără efort) o triplă sa tisfacţie : în primul rând, aceea de a înţelege structurile formale, bazate pe reguli ri guro s demonstrate, ale gândirii sale spontane; în al doilea rând, cunoaşterea unor forme de raţionament la care gândirea vieţii cotidiene recurge destul de rar sau de l oc, iar atunci când se aventurează în desfăşurarea lor, o face cu multă nesiguranţă; în sfărşit, cunoaşterea mecanismelor inferen ţiale vicioase ce stau la baza unor erori în demon stra ţie şi arg umentare , sofisme şi paralogisme de care, odată avertizat, nu va ma i fi niciodată păcălit . În concl uzie, dl. profesor Dan Cr ăciun ne propun e o partitură bine aleasă din repertori u l clasic al logicii şi o interpretare de luat în seamă. Acad. Alexandru Surdu

CUVÂNT ÎNAINTE_

Acest manual este destinat unei categorii largi de cititori - elevi din clasele superioare de liceu, studenţi, profesori, speci al iş ti în diferite domenii - care doresc o iniţiere . destul de aprofundată în cunoaşterea teoretică a unor principii, legi şi reguli de bază ale raţionării corecte. Care este utilitatea acestei iniţieri? I ată o întrebare ce tinde să le elimine treptat pe toate celelalte, întru izbânda pragmatism care nu poate fi decât nepractic şi păgubitor atunci când devine obsesiv şi dogmatic. Charles Sanders Peirce, întemeietorul pragmatismului american - devenit între timp una dintre filosofiile dominante ale lumii 1 contemporane - aprecia că "fiecare pas important în ştiinţă a fost şi o lecţie de 10gică". Tot pragmatistul Peirce nota că s-ar putea scrie o carte despre principiile călăuzitoare ale raţiunii - carte despre care "trebuie să recunoaştem că nu ar fi de nici un folos unui om a cărui gândire este desfăşurată în întregime spre subiecte p racti ce şi a cărui activitate se desfăşoară urmând cărări temeinic bătătorite. Problemele care se prezintă în faţa unui asemenea intelect sunt chestiuni de rutină pe care acesta a învăţat să le mânuhiscă odată pentru totdeauna la însuşirea profesiunii. Dacă însă cineva se aventurează într-un domeniu nefamiliar, sau într-unul în care rezultatele sale nu sunt verificate continuu de experienţă, chiar, şi int�lectul cel mai vi guros . îşi va pierde deseori orientarea şi îşi va cheltui eforturile care nu-l apropie de scopul său, ba mai mult, îl poartă pe un drum greşit. El e s e ca un vapor în largul măr i i, la bordul căruia nu se află nimeni priceput în regulile na � gaţiei Într-un asemenea caz, un studiu general al principiilor călăuzitoare ale raţionării ar fi socot t cu siguranţă folositor. [sub!. ns. D.C.)"z , Oricui urmăreşte numai foloase imediate şi palpabile, indiferent de ce natură, parcurgerea (nu peste tot lejeră) a aces tui manual de logică nu-i poate fi de nici un folos. Manualul se adresează acelora pentru care inteligenţa nu este doar un instrument subordonat celorlalte facultăţi omeneşti, ci şi o componentă axială a personalită ţ ii aptă şi dornică de satisfacţii intrinseci, dobândite prin adâncirea cunoaşterii. .

.

unui

ÎI\fdirecţii t t i

.

.

.

,

Cherles Sanders Peirce, Fixarea convingerii, trad. rom. Delia Marga, în val. «Fi l osofia americană 2

clasiCă», Ali Educational, Bucureşti, 2000, p. 85.

ibidem, p. 88.

LOGICĂ ŞI TEORIA ARGUMENTĂRII

8

Cât desp re foloase, fie-ne îngăduite câteva comparaţi i . Acelora care doar merg pe

stradă şi, cel mult, aleargă după autobuz sau după câinele scos la plimbare, cunoştinţele

c

ştiinţifi e despre dinamica al ergării nu le pot fi chiar de nici un folos. Celui care vrea să doboare, însă, un record într- o prob ă de alergare, ace ste

cunoştinţe îi sunt indispensabile.

Un ş ofer amator nu trebuie să cunoască în amănunt prin cipiile constructive şi funcţionale

ale automobilu lui pe care îl conduce (de şi astfel de cun oştinţe nu-i strică, ci îi pot fi câteodată f oarte utile) .

Un driver

de r aliu sau de pistă, pentru care contează fiecare CP sau

kmIh în plus, nu se poate în să lipsi de cunoaşterea temeinică a maşinii cu care trebuie să se contopească.

Tot astfel, oricui îşi petrece viaţa în orizontul mă rg init al probleme lor coti diene,

logi ca spontană a «bun ului simţ», solid ancorată în «ev i denţe» sensibile şi în prejudecăţile

conştiinţei comune, îi este prea de ajuns. Cui însă valorile spirituale nu-i sunt in diferente,

logi ca îi poate fi de folos în mai adânca înţelegere şi în mai pr i ceputa ordonare a unor

cunoştinţe diverse. Acestora, manualul de faţă le-ar fi suficient. Celor care aspiră la o

perfonnanţă oarecare într-o activitate de cercetare teoret i că, stu diul logicii le este nu numai

util, ci necesar - din motiv e care, s p erăm, vor reieş i de Ia sine în ev idenţă în pagini le care

urmează. Acestora din unnă, manuahil pe care îl pro p unem nu le-ar fi suficient, el având

lim i tele unei introduceri în logica ge nerală. Bibliografia de la sfârşitul

volumului poate fi un în acele domen ii

ghid util în aprofu ndarea cunoştinţelor expuse aici, ca şi pentru iniţie rea

al e l o gicii pe care nu ne-am propus să le abord ăm în expunerea noastră.

O ultimă remarcă: spuneam că acest manual este destinat unei categorii largi de

cititori, indi fe rent de specializarea lor pro fesională. Nu există, din fericire, o logică pentru

ingineri, alta pentru medici, alta pentru jurişti sau p oli tici eni etc., chiar dacă fiecare domeniu are particularităţile sale tem a tice şi metodologice. Logica are privilegiul universalităţii, fiind, în mai mare măsură chiar decât matematica sau metafizica, teritoriul fonnelor «canonice» şi «ecumenice» ale raţiunii , în care hotarele dintre discipline şi specialităţi se estompează - dar nu spre a ne pierde în vorb ăria confuză şi superfici ală a diletanti smului, ci spre a desc i fra condiţiile gândirii clare şi pre cis e a indiferent cărui subiect.

De ce este importa nt acest lucru? Iată răspunsul unui mare filosof al secolului XX,

Ludwi g Wittgenstein: "ceea ce se poate spune în genere se poate 3 ce nu se p oate vorbi trebuie să se tacă".

spune clar; iar despre ceea

Am scris această carte în speranţa unui plus de claritate şi concizie în expunerea unor cunoşt i nţe de b ază în dome ni u l logicii generale, la un nivel elementar şi mediu de difi cultate.

Cititorul nu are în faţă un tratat, în care se expun pe larg şi în profunzime idei

mai mult sau mai puţin ori gin a l e, ci un manual de iniţiere, menit să uşureze primii paşi în

lo gică şi teoria argumentării . Eu însumi am făcut ace ş ti paşi sub îndrumarea unor eminenţi

profes ori , printre care îi amintesc cu d eos eb ită consid eraţie pe Alexandru Surdu, Gheorghe Enes cu , Petre Bieitz ş i Draga n Stoian ovici, ale căror lucrări stau Ia baza multora dintre

ideile expuse în cele ce unnează.

Autorul

Ludwig Wittgenstein, TraClalllS Logico-Phi/osophicus. trad. rom. Alexandru Surdu, Humanitas, Bucureşti, 1991, p. 35

CUPRINS-

1.

ADEVĂR ŞI VALIDITATE . . . .. ... . . . . 13 1.1. Scurt istoric 13 1.2. Inferenţă şi raţion am ent ........................................................................................... 17 ..

... ................ . .

.

.............. ......... ..........

. .... .......... .......

................................................... ..... . ......... ............. ..............................

'

1.3. Inducţie şi deducţie ................................................................................................. 21 1.4.

Adevăr şi v ali ditate ................................................................................................. 22

1.4.1. Câteva consideraţi i mai degrab ă filosofice as upra adevărului ..................... 22

1.4.2. Adevărul ca valoare logică a propoziţiilor . .

. ..... .

1.5.

1.4.3. Valid it ate a ca proprietate logică a inferenţelor ..

. ... .

.. ......... .

.. . .

. . 27

.. .

.. ........ . .. .... ..

..

. .... .

.

... .

. . ..

. ....... .

29

Principiile clasice ale lo gicii ................................................................................... 32 1.5.1. Prin c ip iul identităţii ..................................................................................... 32 1.5 2 Principi ul non contradicţie i ......................................................................... 34 1.5.3. Prin cipiul terţului exclus .............................................................................. 35 .

-

.

1.5.4. Principiul raţiunii suficiente .

2.

.

. . ..........

LOGICA PROPOZIŢIILOR .

..

.

.. .

.. .

..

. ..

.... .

.

....... .

.

. .. .

.

.....

.......

.. .

....

.

.

..

... ... .

. .... .

. .. . . .

.. ... . . ... . .....

..

.

.. ..

.

.... ....

.. ..

.. ...

.

.

.. . .. . . .

. .

.. ... .

. 36 ..

. . . ..

..

. 39

.. .......... .

2.1. Prppoziţii şi enunţuri ... . . . .. . . . . .. . . 39 . . . . . .. . .. . . . . .. . .. . . . 41 2.2. Tipuri de propoziţii 2.3. Pr:Opoziţii simple şi propoziţii compuse . . . . . . . .. . . .. . .. 4 3 2.4. «\tocabularul» logici i propoziţiilor com puse . . . . . . . . .. .... .... ........ .... . .......... ...... ........ . ... 44 2.5. Negaţia .. ... . . .. ...... . ... ... . . . . .. . " ............................................ 46 .. .. ... . ... . .

.

.. ... ... . . ... . ...

...... . ... . . . ..

. ....

.

.. .

....

.

.

..... .

.

. . .... ...

..

2.6. Propoziţii compuse conjunctive 2.7. Propozi ţii compuse disj unctive 2.8.

Funcţii de adevăr

.

..

.. .. .... . . . .

.

.

..

.

.

.

..

.. .... . .. . .

...

.

. ..

.

..... . . .

.... .. ... . . . . ..

... ...

... ...

..... . . ..... ...

... .

...

. ..

.......

... ....

..... ............. .. .

.... . . .. ............ ... .... .......

..... ...

.

. .

.

..

. ... .

.

.

..

..

. .

.

.. . . . ........

.

...... .

. . .. .

..

. 47

.. 49

..... . .. . ... . . ...

.

.

..

. . . .. .. . . 50

.

.

.

.

. . . ..

. ..

...... . ..... ..... ....

.

. ..

. ..

.......... .......

.. ....... . .. ...... .. .

.....................

. . . ..

..... .

.

....... ...

...... ... .

..

.. ........ ......... .. . ...

.

. ...

2.9. Propozjţii compuse condiţionale .................. . ......... .... ........................... .... .......... .... 5 0

2.10. Propoziţii compuse bicondiţionale .

.

.. ...

.

.

. . . ..

.... . .... .. . ..

..

.. .

.

.... . .... . . ....

..

... ..... . .

..... . .

... . 53 .

2.11. Alte tipuri de propoziţii compuse .......... ... ... ....... ..... .... .... .. . . .. . . ........ . ....... . . .... . . .. .... 54

2.12. Utilizarea parantezel or .............................................. :........................................... 56 2.13. Relaţii de echivalenţă intre operato ii propoziţionali r

.. .

.

..

...

..

. . ...

. ... . .

.... .

.

..

.. ... 58

.....

...

.

metoda matricial ă . . . . .. 62 .. . . 2.15. Fonnule tautolog ice inconsistente şi con t in gente ................................................. 65

2.14. Calculul functiilor de adevăr prin ,

.. .

.... .... . ... . . .

.. ...... ..

......

LOGICĂ ŞI TEORlAARGUMENTĂRlI

10

2.16. Calculul funcţiilor de adevăr prin reducerea progresivă a variabilelor. ........ ..... 67 ..

2.17. Alte echivalenţe logice

..

în calculul propoziţional .................................................. 71 2.18. Forme normale in calculul propoziţional..... .... . ....... ... .... ....... . ...................... . 72 2.18.1. Ce sunt formele normale ? ........... . ........... .... . . .... .. ... .... ......... ...... ..... 73 2.18.2. Proprietăţi ale formelor n orm al e................................................................ 74 2.18.3. Cum se decide cu ajutorul formelor normale ............................................. 74 2.18.4. Cum se aduce o expr esie propoziţională la forma norm ală ....................... 75 2.19. Relaţii logice intre expresii propoziţionale.............. .. .... .. . .... ........ . ........ ..... . . . 78 2.20. Testarea matricială a validităţii raţionamentelor. . . .. .. ... ... . . .... . . . ...... . . ... . .. . 80 2.21. S cheme elementare de deducţie............................................................................. 83 2.22. Testarea va l idităţii raţionamentelor cu ajutorul schemelor e lem entare de deducţi e ........................................................................................ 86 2.23. Axiomatizarea logicii propoziţiilor ... ..... ... . ... ... . ... . . .. . .... .. . ...... ... .. 91 .

.

.

.

.

...

.

.

. . ..

.

3.

.

.

.

LOGICA TRADIŢIONALĂ A TERMENILOR ..

.

. . .. .. .

.

. ..

..

.

.

...

.

.

.

...

.. ......

.. .. ...

. .

.

.

. . ...

. .

..

.

..

.

.

.... .

.

. . . . .. .. . . . . . . .. .. .... . 97

....

. .

.

.

. . ..

..

..

..

3.1. Un alt gen de raţionamente ...................................................................................... 97

3.2. Termeni şi noţiu ni .. ................. :................................................................................ 98

3.3. Conţinutul şi sfera noţiunilor ................................................................................... 99

Tipuri de no ţiuni .................................................................................................... 100 3.5. RaporrJri extensionale între noţiuni ...................................................................... 102 3.6. Defmiţia 104 3.6.1. Structura definiţiei . . . . . . ... . :.............................. : ...................... 104 3.6.2. Regulile defmiţiei .. .. . . . . . . . .. . . .. .. .. . . ... . . . . . . . . ... . .. . .. . . 105 3.:5.3. Tipuri de defmiţii . .. . . .. . .. . . ........ . .. . .. . . .. . . . . . . . .. .. .... . 107 3.7. Clasificarea . . . . . ... . . . . .. . . . . . .... . .. . . . . . . . ..... . .. . . . . . .... . .. .. 109 3.8. Diviziunea . ..... . .. ... . . . . .. .. ... . .. . .. . . . . .. . . . . . .. . .. .. . . . . . . .. . 111 3.9. Structura şi clasificarea propoziţiilor catego ri c e de predi caţ i e .. . .. . .. ..... . . . 112 3.10. " Opoziţia" propoziţiilor categor ice ..................................................................... 114 3. I 1. Distribuţia te rmeni lor în propoziţiile catego ri ce .................................................. 119 3.12. Inferenţe imediate cu pro po ziţii cat eg o rice ......................................................... 120 3.12.1. Conversiune a . .. .. . ...... .. .. . . .. . .. . .. . . ..... . . ... . . . . ...... ........... . .......... 121

3.4.

....................................................... .........................................................

.

..

. .. ..

.

. .

.

.. . .....

.

... . .

. ..... . ....

. ..

.. .

. ..

..

.

. .

.

.. . .

.

. .

...... ...

.. . ......

.....

.

.

.

. .

..

. .

.. ...

.. .. .

.... .. . . ...

. ..

....

.. . . .. . .

. . ...

. . . .

...

.

.

. ..

.. .

. . .

.

...... ..

.. .

.

.

.. . ....

. .. .

. .

. ... ....

..

..

. .

....... .... .. .. .. .. .

....... .. .

...... .

..

.

..

.

.

..

...

..

.

.

3.12.2. Obyersiunea ............................................................................................. 123

3.12.3. Ap licaţii ale conversiunii şi obversiunii... ... .. ... . . . ... .. . . . . ... .

. .. . .

.

. . .

.. .. ....... 123

...

.

3.13. Structura silogismului categoric .......................................................................... 126

3.14. Figuri şi moduri si lo gi s tice .................................................................................. 127 3.15. Legile generale ale silogismului ..... . .... ........ ... ... . ... . . . . .. .. .... ..... . ... . . . ... .. 128 .

.

.

.

.

.. .

.

.

.

. .

.. .

.

3.15.1. Legi ref eri toare la distribuir ea termenilor ................................................ 128

3.15.2. Legi referitoare la calitatea premise lor şi a conc luziei ............................ 131

3.15.3. Legi referitoare la cant itatea prem iselor şi a concluzi e i .......................... 132 3. I 6. Dem on straţia mod ur ilor s i lo gi stice valide ........................................................... 133 .

3.16.1. Mo durile valide În figura 1. ........ . . ... . ...... ... .... .. ...... .... . ..... .... . .. .... . . ... 134 .

.

.

3.16.2. Moduri valid e În figura a II-a ................. .... ....... .

.

...

.

. ..

.. ... . ... . . . . .

.

3.16.3. Moduri sil ogi stice valide în figura a III-a .............. . .. .... . ... . .

. ..

3.16.4. Moduri si l ogi stice valide în figura a IV·a . .. ... .... . .... . .. . ..

3.17. Reducerea figurilor «imperfecte» . . ..... .. . .. .. ..

..

.

.

.

.

.. . . . . .

....

.

.

. .

..

.

.. .

... .... ... .....

.

. ....... . ... 136

. . ... .

.. ....

.

.

.. .

.. ...

... 137 .

. . . 139

. ........... .. ..

. ..

.

..... ... ..

...

.. . 141 .

3 .1 7 .1. Reducerea directa .................................................................................... 141 3.17.2. Reducerea in directă . . .... . ........ .. . .

.

..

.

.. ......

... . .... .. .. .

.

...

.. .

.....

.

.

... ....

..

........

..

....

144

11

Cuprins 3.18.

Forme eliptice şi fonne compuse de raţionament silogistic ................................. 145 146 3.18.2. Polisilogismul şi soritul ......... .. .. .. .. . .. .. . ........ ... .... .. . ... ... .. ... . . . . ... 146 3. 18.3. E pich er ema .. . ... . ... . . .. .. .. . .... .. .. ... .......... . . . .. . . ... .. ... ... . . .. � . .. .. . ..... . 147 3.18.1. En ti mem a ................................................................................................. ..

..

..

. .

.

.

.

...

.. .

.

.

.

.

.

.

.

..

. .

..

. .

.

.

4. LOGICA M ODERN Ă A PREDICATELOR . ... .. .. .. .. .. .... .. .......... ....... . ...... .... .... . . . 149 ..

.

.

.

.

4.1. Vocabularul logi ci i pred ica t elor ............................................................................ 150

4.2. Valoarea logică a schemelor predicative ............................................................... 152

4.3. Câteva proprietăţi ale cuantorilor ........:................................................................. 154 4.3.1. Relaţii de echivalenţă între cuantori.... .

. .. . . .. . ...... . ....... . . .. . . . .

... .

.. ... .

.

.

..

.

. . . . ..

... ... 154

4.3.2. Raporturile cuantorilor cu conjuncţia şi disjuncţia .... .. . .. .. . . .. . . .... ..... ... .. 155 .

.

4.4. Problema dec i z iei în lo gica predicatelor ............................................................... 15 7

4.4.1. Forme pre ne x e ............................. :............................................................. 157

4.4.2. Decizia cu ajutorul formelor prenexe .. .... . ... ... ..... .. . ... ... .... . . .. . ..... .. . . . 159 Legi ale logicii c lasi ce în logi c a predicatelor .... . . . .... . .. ...... .... .... . . .. .... .. .. . 163 4.5.1. Transcrierea propoziţiilor categorice în limbajul logicii predicatelor .. . . . 163 4.5.2. Conversiunea propoziţiilor cat egorice .. . .... . .. . .... .. .. ...... .... . . .... .. .. . ... 164 4.5.3. Demons trar ea mo dur i lor si logi stice valide în logica predi catelor ............. 167 .

4.5.

.

.

..

. . . .

.

.

. .

.

.

...

.

.

.

. ... .

. ..

.

5.

LOGICA INFERENŢELOR PROBABILE

.

.

.

. .. . ...... . . .. .

.

.

.

.

.

.

.

....

..

. . .. . . .. .... . ... .... . .. . . ... .. .. . .

.

.. . . .

..

173

5.1. Specificul inferenţe!vr ind ucti ve ........................................................................... 175 5.2. In d uc ţia com p l et ă ... ........ . ... . ... .... . . ... ... . .. ......... . . ... .. . . . . .... . .... . .. . .. ...... . .. .. . .. 176 5.3. Inducţia in c om pletă (amplificatoare) . .. ..... . ..... .. .... . .. ..... .. ... . .. . .. ... . .. ... .... ... . 177 5.4. Indu c ţia enumerativă ............................................................................................. 178 5.5. lnducţia ştiinţifică. Metode de c ercetare inductivă.... . .. ... ... .. . .. .. . .. . .. .. .. .. . .. 180 5.5.1. Metoda concordanţei . .. . . .... ... . . . .... ... .... . .... .... . .... . .. ..... .... .. .. ... .. .. . 182 5.5.2. Metoda di fer en ţei....................................................................................... 184 .

. .

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

..

.

.

. . .

.

...

.

..

.. .

.

. .

.

..

.

.

. ..

.

....

.

.

.

. .

.

.

.

...

5.5.3. Metoda variaţiilor concomitente ................................................................ 185 5.5.4. 1-fetoda resturilor ....................................................................................... 186

5.5.5. I n du cţie , ob s erv aţ ie şi ex periment ............................................................. 188 5.5.6. Trăsături comune metodelor inductive................... ; ................................... 189

5.5.7. Alte reguli şi cri ter ii de

5.6. Raţionamente st at i stice şi

v alid itate ale inducţiei sistematice ... .. . ... ... .. . .. .. .. 190 inferenţe inductive . .. ......... .. .... . . .... . .. .. . .. .. .. ... ... .. .. ... 192 .

..

.

.

.

.

.

5.7. An a l'ogi a ..... ............ ....................... . .. . .............. ... ... ....... ......................................... 195

5.8. Verificarea i po tezelor . .. . . . . . .. . ... ... 5 1 , 2 => 6

sau

Expresia

B

�

C

este demons trată

Într-o de d u cţ i e ale căre i prem ise iniţiale sunt A l . A2, . . , , An, dacă C este l o g i c implicată de to at e aceste premise şi d e (sau plus) B . Exemplul

4

F i e raţi onamentu l : S o sesc cu trenul (P ) şi nu întârziu (l q) s a u telefonez ( 1') . Dacă telefonez (r), amnci n e Întâlnim în oraş (s) s au mergem la Ion (t). Deci, dacă eu Întârziu ( q ), atunci dacă nu ne întâlnim în oraş (l s), î n s e am n ă că mergem la Ion (l).

Iată

c um se prezi ntă transcris în formule acest r aţ i on am en t

componente atom ice, al cărui tab e l de adevăr ar avea 25

(1)

1.

(2)

2.

(1)

3.

(3 )

4.

(3)

5.

( 1'; 3 )

p l\ (l q v r) l' -7 (s v t) lq v r

P1

q

Ps

=

3 2 d e linii !

P2 1 (S)

llq

4 (L. 1 )

6.

l'

3 , 5 (TP)

( 1 , 2, 3)

7. 8.

2, 6 (PP )

(4)

svt ls

( 1 ,2, 3 ,4)

9.

( 1 , 2 , 4)

1 0.

( 1 , 2 , 3 , 4)

11.

t

ls � t q � ( l s � t)

Ps

4, 7 (TP) 9 (ed) 4, 9 (ed)

cu c in ci

90

LOGICĂ ŞI TEORlA ARGUMENTĂRII

C o n clu zi a raţ i on amentului este întemeiată întrucât cele două premise i n i ţia l e c o n duc la t dacă, mai Întâi q şi apoi dacă 1 s, adică cele două premise suplimentare, detaşate pri n regula c o ndiţi o n ări i .

Exerciţii 1. Demonstraţi, utilizând sch em e l e elementare de deduc ţi e, validitatea următoarelor raţionamente: a)

p�q p /\ r lqvs

c)

pvq q � (r /\ s) tvlr

d)

s v

s� lt lt b)

lp � q q�r r� ls

l s � ( t v u) (t v u) � v

1t

l r� t q� lr

(s v p) � r

q�r

lp � v 2. (Radu J. B o gdan ) Un tată fiind Întrebat dacă doi dintre fiii lui, Ion şi Petrică, sunt gemeni, răspunde: "Dacă Ion este mai mare decât Vasile, atunc i Mihai e st e mai mic decât Radu. Dacă Ion şi Petrică s unt gemen i , atunci Ion este mai mare dec ât Vasile. Dar Mihai nu-i mai mic dec ât Radu. " Cel care a pus întrebarea co nc h ide : "Deci, Ion şi Petrică nu sunt gemeni . " A raţi o nat, o are, c orect ? 3. (Radu J. B o gd an ) În tr- o excursie, trei p rieten i - A, B ş i C - neavând unde să doarmă, s-au culcat fiecare pe câte o bancă d i n tr- un p arc . B ăn c i l e erau pro a sp ăt v op s i te şi, d in această cauză, a doua zi stare a J or vestimentară s tâm ea râsul . A şi B râd e au fi ec are de as pectul celorlalţi, neb ăn u i n d că la rândul lor ar putea fi d e râs. C îşi dă seama însă că hainele îi sunt murdare de vopsea, raţionând astfel: "Dacă eu nu sunt m u r d ar de vopsea, atunci văzând c ă A râde, B ar trebui să-şi contro l eze ţinuta. În să A râde, i a r B nu-şi contro lează ţin uta. Deci, eu sunt murdar de v o psea . " Este corect raţio n am entul lui C?

91

Logica propoziţiilor

2.23 . Axiomatizarea logicii p ropoziţiilor

Până acum, logic a pro poziţiilor a fost expusă Într-o modalitate «algebrică» - adică s-au formulat problemele şi s-au indicat procedee de rezolvare independent de sistemul general al propoziţiilor logice . Logica propoziţiilor poate fi expu să ca sistem logic ş i prin metoda axiomatică. Un sistem axiomatic poate fi intuitiv, dacă în construcţia l ui se ţine seama de înţelesul expresiilor, operându-se cu ele pe baza acestui înţeles, sau fonnalizat, dacă se face abstracţie de conţi nutul expres ii lor, operându-se num a i cu form a lor grafi că, în virtutea unor reguli pur formale. Un sistem axiomatic se c onstru i eşte astfel: (i) se dă l ista de s e mn e ; (ii) s e dau re gu li le de formare a formulelor, alcătuite d in formulele date ca elementare; (iii) se dă lista de postulate; (iv) se dau regulile de deducţie. Conceptele principale al e unui si stem axi omatic sunt: • definiţia - o p ropozi ţie sau o formulă prin care unele expresii sunt i ntr odu s e pe baza altora (altfel spus, sunt «redu se;> la expresii date iniţi a l ; • axioma - o propoziţie (formulă) luată drept adevărată rară demonstraţie în sistemul formal consi derat; s p re deosebire de concepţia tra d i ţ io n a lă, «axioma» are un sens r e l at iv la sistem, nu trebuie să fie n e ap ărat un adevăr pr i n sine evident, în o rice context r aţiona l ; • regula - o propoziţie cu aj utorul căreia d i n propoziţii dat e se pot obţine prin dedu cţ ie alte prop ozi ţi i; • teorema - orice propoziţie (formulă) dedusă din axiome pe baza regu li l or de d ed u cţ i e . D e fi n i ţ i il e i niţi a le , axiomele şi regulile iniţiale (la eventual, şi 'anumite convenţii) fo rm e ază clasa postulatelor.

care

se

pot

a dău ga,

Sistemul axiomatic nu este numai un mod de organizare sistematică a ştiinţei, ci >şi un mij loc de decizie - adică unele fo rm u l e sunt d em onstrate ca tauto l ogii , contingente sau inconsistente prin corelarea l o r logică cu anumite propoziţii iniţiale (axiome, defi n i ţi i) . Printre cele mai cunoscute sisteme axiomatice de logică a propoziţiilor se numără cele elaborate de Frege, Russell, Church, Lukasiewicz, Nicod. Forma clasică este aceea expusă de H i l b e r t şi A c k e r m a n n , din care prezentăm, cu titlu ilustrativ, câteva din elem e nte le de bază. Operatori primitivi :

presc urtare a

formulei

disjunc�e şi negaţie.

l

v,

l ; se util izează şi i mp li caţia p -7 q , dar numai ca C ei l al ţi operatori sunt reduşi prin definiţii la

p v q.

92

LOGICĂ ŞI TEORIA ARGUMENTĂRII

Lista de simboluri : p, q, r, ... sunt variabile propoziţionale; v,

1 sunt ope ratorii p rimitivi sau de bază;

î , J, sunt operatori introduşi prin definiţie; A, B , e, . .. sunt metavariabile, ce exprimă atât variabile propoziţionale,

� , 1\, t-7,

cât şi formule mai complexe.

Reguli

de formare

Variabilele propoziţionale sunt formule. (ii) Dacă A este o formulă, atunci 1 A este de asemenea o formulă. (iii) Dacă A ş i B sunt formule, atunci A v B, A 1\ B, A + B, A (i)

A H B , A î B , A J, B

sunt d e asemenea fonuule.

---4

B,

Definiţii

df. df. df. df. df.

1 p ---7 q H 1 p v q 2 p 1\ q H 1 ( l p v 1 q) 3 (p � q) H 1 [ 1 (1 p v q) 4 P î q H 1p v 1 q 5 p J, q H 1 (p v q)

v

1 (1 q v p) ]

Axiome

(p v p) ---7 P Ax2 P ---7 (p v q) Ax 3 (p V q) ---7 ( q v p ) AJ4 (p ---7 q) ---7 [ ( r v p ) ---7 (r v q) J

Ax !

Reguli de deducţie I.

Regula detaşării (modus ponens): dacă este dovedit A şi dacă este d ov edi t A ---7 B, atunci e st e dovedit B (separat, detaşat de A). Simbolic: A, A ---7 B � B , unde � arată că partea dreaptă se deduce din cea stângă.

II.

Regula substituţie;: într-o formulă A, o variabilă propoziţională a. poate fi substituită cu o formulă oarecare �, cu con d i ţi a ca variabila a. să ·fie înlocuită pretut i n de n i unde apare (în formula A) cu formula �.

Simbolic: 0. 1 � (se citeşte " a. se substituie cu W') Exemplu: Fie formula (p 1\ q) ---7 ( q 1\ p). Se c ere să se efectueze substituţia plq 1\ r. Vom obţine [ (q 1\ r) 1\ q ] ---7 [ q 1\ (q 1\ r) ] . Se introduc apoi reguli derivate, corespunzătoare axi om e l or.

93

Logica propoziţiilor III. Regula idempotenţei disjuncţiei:

demonstraţie:

AvA�A

1.

(p v p) -4 p

Ax l

2.

(A v A) -4 A AvA A

1 p/A

3.

4.

ipoteză 2 , 3 (I)

IV. Regula adiţiunii: A � A v B

d em on straţie :

1.

AX2

2.

p -4 (p V q) A -4 (A v B )

3.

A

ipoteză

4.

AvB

2, 3 (1)

Regula comutativităţii disjuncţ iei: A v B

V.

d em onstraţi e :

1. 2.

3. 4.

l p/A, q/B

=>

BvA

(pv q) -4 (q V p) (A v B) -4 (B v A)

AX3

AvB BvA

ipoteză

1 p/A, q/B

2, 3 (1)

VI. Regula extinderii disjunctive a termenilor implicaţiei (disjuncţia

a

consecventului cu o formulă se deduce din di sj un cţ i antecedentului cu acea form ul ă) : A -4 B � (C v A) -4 (e v B).

d em o nstraţi e :

1. 2. 3. 4.

(p-4 q) -4 [ (r v p ) -7 (r Ax4 v q) ] (A -4 B) -4 [(C v A) 1 plA,q/B,rlC -4 (Cv B) ] ipoteză A -4 B 2, 3 (1) (C v A) -4 (C v B)

2�ntinuare vom prezenta doar c âteva teoreme, dintre cele mai simpl e, pentru a-l aj uta pe c it itor să se familiarizeze Întrucâtva cu modul în care decurge demonstr e a lor În cadrul s i stemu lu i axiomatic. o propoziţie care implică p ro pri a contradictorie este T.I În

ar

dem.

falsă (principiul reducerii la absurd).

1.

(p v p) -4 p

Ax l

2.

(l p v l p) -4 l p (p -4 1 p) -4 1 p

1 . p/l p

3.

2. df 1

LOGICĂ ŞI TEORlA ARGUMENTĂRII

94

T.2 AX2

2.

p � (p v q) p � (p v p)

1.

(p v q) � (q v p)

Ax 3

3.

( l p v l q) � ( l q v l p) (p � l q) � (q ---7 1 p)

1 . p/l p, q/l q 2. df. 1

1.

(p ---7 q) ---7 [ (r v p) ---7 (r v q)]

Ax4

l.

dem.

1.

qlp

T.3 dem.

2.

TA

d em

.

2. 3.

(p ---7 q) � [( 1 r v p) ---7 ( 1 r v q)]

(p � q ) � [ (r ---7 p ) ---7 (1' ---7 q ) ]

r/l r

1.

2. df. 1

(clasica lege a identităţii)

T.5 1.

dem.

(p

�

q) � [(1" ---7 p ) � (1' ---7 q)]

2.

[(pvp) � p] � [(P ---7

3.

(p v p) ---7 P [(p � (p v p )]

4. 5.

p � (p v p )

6.

p�p

---7

(pvp)) ---7 (p � p)]

(p ---7 p)

T. 4 1 . p/pvp,

qlp rlp ,

AXI

2, 3

(I)

T2 .

4, 5

j3 îi c orespunde formu l a : Fmu

3x [ Fx 1\ Vy(Gy -1 Hyx) ]

-1

'lty [ Gy -1 3x (Fx 1\ Hyx) ]

Prima etapă se închei e construind n egaţia implica/iei date spre verificare:

l Fmu

3x [ Fx 1\ Vy ( Gy -1 Hyx) ]

1\

l 'lty [ Gy -1 3x (Fx Hyx) ] 1\

II. Se transform ă fiecare m emb ru al c o nj u nc ţ ie i de mai sus în forma p r en exă :

a) 3.x [ Fx 1\ \ty ( Gy -1 Hyx) ] H 3x\ty [ Fx 1\ (Gy -1 Hyx) ] 0)

l 'lty [ Gy -1 3x (Fx 1\ Hyx) ] H 3y l [ GY -1 3x (Fx 1\ Hyx) ] H 3y [ Gy 1\ l 3x (Fx 1\ Hyx) ] H 3y [ GY I\ \tx l CFx 1\ Hyx) ] H

3y\tx [ Gy

/\

l (Fx

1\

Hyx) ]

(cf. LL. 3 )

(cf. L.6) (cf. LLA) (cf. LL. 1 6)

Logica modernă a predicatelor

161

sau nu o conj uncţie inconsistentă - căci dacă ne gaţ ia schemei predicative de verificat se dovedeşte inconsistentă (cotradicţi e lo gică, în toate cazurile fal să), rezultă prin demonstraţie indirectă, pe baza principiului terţului exclus, că schema predicativă iniţială este în toate cazuri l e adevărată ( l e g e logică sau tautologie); dacă nu, atunci este o funcţie contin gen tă . În acest scop, trebuie parcurse următoarele etape: III . În continuare se testează dacă formele prenexe astfel obţinute formează

a) În fiecare din formele p renex e se elimină cuan torii, c ee a ce duce la obţinerea unor scheme pred icative deschise. •

•

•

Eliminarea cuantorului universal ia forma trecerii de la formula VxFx la formula Fy, printr-o inferenţă lo g ic validă de forma: dacă este adevărat că oricare ind i vid x (x E U) are însuş irea F, atunci este adevărat şi că un individ oarecare y din e x ten s i u n e a lui U are această însuşi r e .

Elim inarea cuantorului existenţial ia forma trecerii de la formula

3xFx la Fy; ac easta nu mai este o inferenţă validă, ci nu m ai pro b ab i l ă sau p l au z ib i l ă : nu putem afirma cu c e rt i tu dine, dar putem presupune că y este tocmai acel x (din extensiunea lui U) despre care 3.xFx ne spune că exi stă, având propri etatea F. Ordinea eliminării cuantorilor nu este oarecare . Dacă formula dată c o nţi ne doi cuantori existenţiali, care l ea g ă fiecare altă variabilă

individuală, de forma 3x3yFxy, la reliterare se vor folosi li t ere distincte (Fuv) ; în schimb, la eliminarea cuan t or i l o r universali - cu co n diţ i a necapt u rări i unor variabile l i bere - rel iterarea este indiferentă . Din acest motiv, eliminarea cuantorilor şi re l i t e rarea încep cu cuantorii existenţi al i . Aplicând aceste reguli , transformăm formele prenexe a ş i � în scheme

predicative deschise.

a) 3x Vy [ Fx /\ (Gy � Hyx) ] H Vy [ Fu

� ) 3 y 'llx [ Gy

H Fu /\

/\

/\

(Gy � Hy u) ] H

Gv � Hvu

1 (Fx /\ Hyx) ] H Vx [ Gv /\ 1 (Fx /\ Hvx) ] H H Gv /\ 1 (Fu /\ Hvu)

b) După tran sformarea formelor prenexe în scheme deschise, asupra lor se aplică procedeul deciziei prescurtate:

[ Fu

/\

(Fu /\

(Gv � Hv u ) ]

/\

)

/\

1 � Hvu

(Fu /\

[ Gv /\

1 (Fu Hvu) ] [ 1 /\ 1 (Fu /\ Hvu)] Hvu ) /\ 1 (Fu /\ Hvuî /\

162

LOGICĂ ŞI TEORIA ARGUMENTĂRII •

� nu poate fi adevărată decât dacă toţi membrii conj uncţiei sunt adevăraţi ; deci, în mod obligatoriu Gv 1 ; întreaga schemă se reduce =

la valoarea logică a lui •

în a, G v 1 este antecedentul implicaţiei care, conform R.7 se reduce la valoarea logică a lui Hvu, iar întreaga schemă predicativă se reduce =

la conj uncţia Fu •

l (Fu 1\ Hvu) (ef. R. I);

1\

Hvu;

or, întreaga formulă este o contradicţie logică - deci conj uncţia

formelor prenexe a şi � este inconsistentă; întrucât această conj uncţie coincide cu negaţia implicaţiei iniţiale, rezultă că această implicaţi e (şi inferenţa pe care o reprezintă) este validă.

Exerciţii 1. Să

se aducă la formele prenexe următoarele formule :

a) l (3x Fx /\ Vx Gx) ---7 3x (Fx Gx)

b) 3x Vy Fx,y ---7 Vx 3y l Fx,y

/\

c) 3y (3z Fy, z ---7 Vx Fx,y) v Vx l 3z Fx,z d) Vx (3y Fx,y 1\ Gx) ---7 (3y Fy /\ Gx) 2. Arătaţi dacă următoarele formule sunt sau nu legi logice:

a) b) c) d)

Vx Fx ---7 3x Fx [ Vx Fx ---7 3y Gy ] ---7 [ l 3y Gy ---7 l Vx Fx ]

[ Vx Fx ---7 3y GY ] ---7 [ Vy l GY ---7 l 3x l Fx ]

3x (Fx /\ Gx) H [ 3x Fx /\ 3x Gx ]

3. Să se determine prin metoda formelor prenexe dacă următoarele inferenţe sunt sau nu val ide: a) Orice pătrat este un romb; deci, cine desenează pătrate, desenează romburi . b) Oricine a j ucat şi fotbal şi ten is preferă tenisul. Există Însă unii oameni care au j ucat tenis şi nu preferă ten isul , deci, unii dintre cei care au j u cat ten is n-au j ucat fotbal . c) Există o problemă de matematică pe care o rezolvă orice absolvent de l iceu; prin urmare, orice absolvent de liceu rezolvă cel puţin o probl emă de matematică.

Logica modemă a predicatelor

163

d) Pentru orice număr x există un număr y astfel încât, dacă diferenţa dintre x şi 5 este mai mică decât y, atunci diferenţa dintre x şi 7 este mai mică decât 3 . e) Dacă există în Bucureşti o femeie cu un frate la Braşov, atunci există un bărbat în Braşov cu o soră în Bucureşti .

f) Dacă există un singur om care este mai înalt decât orice om, atunci există un om care este mai înalt decât el însuşi. g) Dacă în lot nu există sportivi competitivi, atunci nici unul dintre membrii lotului participanţi la Olimpiadă nu este competitiv. Cei medal iaţi la Olim p i ad e sunt însă competitivi şi, deci, dacă vreunul din membrii lotului participanţi la Olimpiadă a fost medaliat, atunci în lot există sportivi competitivi .

4 . 5 . Legi ale logicii clasice în logica predicatelor Multe, dacă nu toate legile logicii clasice se regăsesc şi sunt demonstrate în logica modernă a pr ed i c at elo r - exi stând, Însă, şi neconcordanţe între cele două modalităţi de elaborare a ceea ce am denumit, cu un termen generic, logica termenilor.

4 . 5. 1 .

Transcrierea propoziţiil or categorice în limb aj ul logicii predicatelor

Cele p atru tipuri de propoziţii categorice pot fi exprimate simbolic în l imbajul sp e c ific al logicii moderne a predicatelor. Astfel, vom valida următoarele definiţii sau «traduceri»:

T.I T.2 T.3 T.4

SaP =df Vx (Sx � Px) SeP =df 'ix (Sx

�

1 Px)

SiP =df :3x (Sx 1\ Px)

SoP =df :3x (Sx 1\ 1 Px)

Aceste traduceri nu surprind, din păcate, foarte exact toate nuanţele enunţării propoziţiilor categorice în limbajul natural . Astfel, dacă luăm propoziţia universal afirmativă "Toţi studenţii sunt politicoşi" şi îi stabilim obversa "Nici un student nu este nepoliticos" în limbajul simbolic al logicii clasice se observă deosebirea dintre cele două p rop oziţii : SaP o� Se 1 P. În limbajul logicii predicatelor, atât propoziţi a SeP cât şi obversa propoziţiei SaP au exact aceeaşi formulă: Vx ( Sx � 1 Px).

164

LOGICĂ ŞI TEORIA ARGUMENTĂRII Cu toate acestea, formulele

T. l - TA realizează o traducere destul de

fidelă pentru a permite utilizarea metodelor de decizie din logica predicatelor pentru verificarea validităţi i inferenţelor cu propoziţii categorice (ceea ce este cu deosebire folositor în cazul poiisilogismelor cu multe linii, a căror corectitudine

reducere la absurd).

este foarte greu de verificat cu metodele logicii clasice, fie acestea grafice sau prin

4.5.2.

Conversiunea propoziţiilor categorice

În afară de faptul că obversele nu-şi găsesc în limbajul logicii predicatelor

conversiunea propoziţii lor categorice. În logica predicatelor, trecerea de la premise

o expresie simbol ică distinctă, alte dificultăţi se ivesc în ceea ce priveşte

un iv e rsale (care pot fi universal adevărate chiar dacă U este o mulţime vidă) la concluzii existenţiale (care pot fi adevărate numai dacă U este nevid) nu se poate face direct. Putem afirma, de exemplu, "Oricare dintre regii Elveţiei trebuie să ştie să căl ărească", fără a enunţa

o

imposibilitate logică sau o absurd itate. Nicidecum

oarecare sau anume x, care este regele Elveţiei, afară de cazul în care ar fi

nu putem extrage în să din această afirmaţie vreo propoziţi e adevărată referitoare la un

dovedită drept adevărată o propoziţie existenţială care să certifice că "Există cel puţin un x care este regele Elveţiei" - ceea ce nu este cazu l .

(i) Iată de c e conversiunea p e r accidens a propoziţii lor universale afinllative nu se poate demonstra direct în logica predicatelor. Conform T. 1 şi T.3, SaP c-7 P i S s-ar nota simbolic astfel: Vx ( Sx -7 Px)

-7

3x (Px 1\ Sx)

Aducem formula dată la forma prenexă, eliminăm cuantori i, substituim schemele predicative deschise cu variabile propoziţionale şi analizăm prin metodele de

decizie

din

calculul

transfonnate.

Vy (Sy

-7

Py)

-7

3y (Py

Vy 3y [( Sy -7 Py)

-7

1\

propoziţional

Sy) H

(Py 1\ Sy)] H

1 Sy v Py) -7 (Py 1\ Sy)] H Vy 3y [ 1 ( 1 Sy v Py) v (Py 1\ Sy)] H

valid itatea

1\

astfel

(reliterare)

(aducerea cuantori lor în faţă)

Vy 3y [ (

Vy 3y [ (Sy

formulei

1 Py) v (Py 1\ Sy)]

(cf.

D. 1 )

(ef.

D. l )

Prin substituirea schemelor deschise cu vari abile propoziţionale obţinem:

(s 1\ l p ) v (p

1\

s) H (s 1\ l p ) v (s I\ p )

Logica modernă a predicatelor

165

Este o formă normală disjunctivă (f. n. d.) care, după cum se vede, este o expresie contingentă. Ce se întâmplă dacă încercăm, după modelul din paragraful anterior, o demonstraţie indirectă? În acest scop, scriem negaţia implicaţiei date şi o aducem la forma prenexă.

\iy (Sy � Py) A l:3y (Py A Sy) f-t \iy ( Sy � Py) A \iy 1 (Py A Sy) f-t \iy ( 1 Sy v Py) A \iy ( 1 Py v 1 Sy) \iy [ ( 1 S y v Py) A ( 1 Py v 1 Sy) ] (l s v p ) A ( l s v 1 p )

(cf. LL.4) (cf. D. I şi L.9)

Am obţinut de această dată o f. n. c. care, de asemenea, este o funcţie realizabilă contingentă. Conversiunea per accidens a propoziţiilor categorice universale afirmative se poate demonstra dacă şi numai dacă introducem în demonstraţia de mai sus încă o premisă suplimentară, prin care să precizăm explicit că sfera lui S nu este vidă: 3x Sx. Demonstraţia se desfăşoară acum astfel, pornind de la următoarea implicaţie: [ "dx (Sx -7

Px) A 3x Sx ] � 3x (Px A Sx)

În continuare, nu mai reliterăm, deoarece în cazul de faţă nu s-ar produce nici o clarificare necesară, ci s-ar introduce numai un pas inutil în demonstraţie. Construim negaţia formulei asupra căreia-trebuie să decidem şi o aducem la forma prenexă. "dx (Sx -7 Px)

A 3x Sx A 1 3x (Px A Sx) f-t f-t\ix (Sx � Px) A 3x Sx A "dx 1 ( Px A Sx) f-t f-t \ix 3x [(Sx -7 Px) A Sx A 1 (Px A Sx) ] Substituim schemele predicative deschise cu variabile propoziţionale şi obţinem formula:

(s -7 p) A S A 1 (p A s) f-t ( 1 s v p) A S A ( 1 p v 1 S) Aplicăm metoda reducerii progresive a variabilelor.

Hj

H2

dacă p = 1

dacă p

=

O

�

( 1 S v 1 ) A S A (O v 1 S) 1 A (S A l s)

( 1 S v O) A S A ( l v 1 S) ( l s A S) A 1 O O

�

1 66

LOGICĂ ŞI TEORlA ARGUMENTĂRII

Întrucât negaţia formulei iniţiale este inconsistentă, rezultă că, astfel îmbogăţită cu o premisă existenţială, conversiunea per accidens a fost demonstrată ca lege logică. (ii) Demonstraţia directă a conversiunii propoziţiilor universale negative, de forma SeP c-� PeS, nu întâmpină dificultăţi. Avem de demonstrat nu o implicaţie, ci o echivalenţă logică:

'l7'x (Sx � 1 Px) f-7 'l7'x (Px � 1 Sx)

Cum ech ivalenţa logică este o dublă implicaţie reciprocă, va trebui să demonstrăm pe rând cele două implicaţii .

a) 'l7'x (Sx � 1 Px) -7 'l7'x (Px � 1 Sx) f-7

f-71 'v'x (Sx -7 1 Px) v 'v'x (Px � 1 Sx) f-7 f-7 3x 1 (Sx � 1 Px) v 'v'x (Px � 1 Sx) f-7 f-7 3x 'v'x [1 ( Sx -7 1 Px) v (Px � 1 Sx) ]

Prin substituirea schemelor deschise cu variabile propoziţionale, obţinem:

1 (s -7 1 p) v (p � l s) f-7 (s /\ p) v 1 p v l s

dacă p == 1

H2

(s /\ 1 ) v O v 1 s s v O v ls sv ls 1

(s /\ O) v 1 v 1 s 1 13) 'l7'x (Px � 1 Sx) -7 'v'x (Sx � 1 Px) f-7 f-71 'v'x (Px � l Sx) v 'v'x (Sx � l Px) f-7 f-73x 1 (Px � 1 Sx) v 'v'x (Sx � 1 Px) f-7 f-73x Vx [ 1 (Px -7 1 Sx) v (Sx -7 1 Px) ] dacă p = O

Prin substituirea schemelor deschise cu variabile propoziţional e, obţinem:

1 (p -7 1 s ) v ( s � 1 p) f-7 (p /\ s) v l s v l p

HI

dacă p = 1

=>

H2

dacă p == O

=>

( 1 /\ s) v 1 s v O s v ls v O 1 (O /\ s) v 1 s v 1 1

D e vreme ce ambele implicaţi i sunt legi logice, rezultă că echivalenţa de demonstrat este validă.

Logica modernă a predicatelor

167

(iii) Demonstraţia directă a conversiunii propoziţiilor particulare afir­ mati v e este şi mai simplă. Conversiunea SiP c� PiS este, în logica predicatelor, tot

o echivalenţă, de forma:

3x (Sx /\ Px) H

3x (Px /\ Sx)

care se aduce imediat la forma prenexă:

3x [(Sx /\ Px) H (Px /\ S-x) ]

Apl icând comutativitatea conj uncţiei, echivalenţa este evidentă.

4.5.3. Demonstrarea modurilor silogistice valide în logica predicatelor

Problemele, dificultăţile, neconcordanţele ş i metodele de soluţionare a lor, pe care le-am întâlnit la demonstrarea validităţii conversiunii propoziţiilor categorice în logica predicatelor, se regăsesc întrutotul atunci când aplicăm regulile din l o gi c a predicatelor pe n tru verificarea modurilor silogistice valide. În a i nt e de a prezenta câteva demonstraţii ilustrative, să spunem de la început că, în logica predicatelor, se pot demonstra direct numai 15 moduri silogistice : B a rb a ra, Celarent, D a rii şi Fe ri o în figura 1; Ce s a re, Camestres, Festino şi Baroca în fi gura a II-a; D is am i s, Datisi, Bocardo şi Ferisoll în fig ur a a li-a; Camenes, Dimaris şi Fresisoll în figura a IV -a. Lipsesc, după cum se poate observa, toate modurile în care din premise universale se ex trag concluzii particulare. La fel ca şi în cazul conversiunii per accidens, se poate face, totuşi, o demonstraţie indirectă şi a «validităţii condiţionate» a acestor moduri subalteme (,ex %'Ae�e , ',�f., l; insuşi d'fer:ite ,t9,: y " . e' f�llonament, dolJâ;,r; , '

7

' . ... ., '., ' . , ' frlr,',totd e auna ffr� �f,�rtJ . ' �::@�'::�tri�'I�, t ' �ati s facţie : in. pri?�&U�( , " ��Jl(t't ·grţ�.�a de a Înţ�/ege', . . ���i:ro,ctlJr�l.e0 forma 'e, ba�at� ',pe ' . ,re,g uli . riguros demonstrate, , rii sdie SpoAtt�ne;' in ale gât.EH 'ţI'l doilea rând, c,"" noaşterea unor fo rme de raţiona ment fa care yând irea vieţii ' coiidien� n;�ţurge d esţ�.I . de ra r sau , de " 'I'()'c � . ,i a r a�tu·n c : c â n d s � , ,." . ,: ;y; e tu��a;�ă , � )rl �esfaşur�rea \ �I:< ·If.$P" Q fac:;e'� '�lI'i. ·nlultă n�sigu� ,,(

�:� r

"�iţ:��!1ţ�;, ·in 'şfârşU,' , ţu noaşţi;:'r:ea �;:" :' ''r�fiGj?�se 'c eiN��ai

.', i [, �;dii�C� O i s R)(e l �.r, ', ' i n ferenţial e : , ; � ,Ia baza unor o '0:: �$1, r i! i n " ; ��rtH) n st:-a ţ i e ş i " , Erfg u m e D t�ir�;, s o fi s m e ş i " ' para'ogismâ!, de care, odată avert i z a t, : ' n u va m a i fi niciodată pă'(ă�it. �

ISBN 9 7 3-3 1 - 1 5 1 8-5

UnilieriiitarJa