Logica polivalenta [PDF]

Zitiervorschau

EB

ENCICLOPEDIA DE BUZUNAR

Seria "SINTEZE"

Biblioteca CeDtre: Univer.itară Timi,oare

111111I 11�11I 1 111i 1 1 �11111111i1l1 111 02169303

Anton Dumitriu

Logica polivalentă Ediţie houă, complet refăcută

şi adăugită de autor cu colaborarea lui

T eodor Stihi

Editura enciclopedică română Bucuresti ,

-

1971

Redaotor: LADISLAU REDLlNGER Tehnoredaotor: OLIMPIU POPA

Coli tipar: 26,5

Tiparnl executat la Combinatul Polignfic "Casa ScInteii" Piata ScInteii nr, 1, BucureVti Republica Socialistă România

Prefata

În anul 1943 am publicat o lucrare purtînd acelaşi titlu ca şi cea de faţă, Logica polivalentă . (care era cursul nos­ tru ţinut la Universitatea din Bucureşti în anul 1942 - 43). Ea s-a bucurat de o bună primire din partea specialiştilor, atît în ţară cît şi în străinătate. Acest lucru s-a datorat probabil şi faptului că, aşa cum scria acad. Gr. C. Moisil ("Revista Fundaţiilor", oct. 19 44), "era singura lucrare de acest fel din literatura universală". În acelaşi an, prof. Enrico Bompiani, membru al Acade­ miei dei Lincei, aflîndu-se în Bucureşti, mi-a propus să publice Logica polivalentă în limba italiană, sub auspiciile instituţiei din care face parte, dar acest proiect nu a putut fi dus la capăt djn cauza evenimentelor care au urmat ime­ diat în Italia. In 1947, planul de traducere era reluat. Traducerea era deja efectuată, dar am oprit publicarea ei din două motil'e: mai întîi, apăruseră între timp o serie de studii de care trebuia neapărat ţinut seama în lucrare şi în al doi­ lea rînd, eu însumi îmi contllrasem o perspectivă mai completă �i mai comprehensivă despre logica polivalentă şi despre lo­ gica matematică în general. Planul unei refaceri a lucrării, îmbogăţirii ei cu noile rezultate obţinute în acest domeniu, urmate de concluzii ma. 5

Logica polivalentă

cuprinzătoare în p erspectiva unor meditaţii mai Endelungate, a putut fi adus la îndep linire abia acum. Două idei au fost directoare în această lucrare: cartea să prezinte, pe cît se poate, întreg materialul informativ, .şi p rin aceasta să fie în mod real un instrument de lucru; expunerea să fie orientată spre concluzia noastră generală, p e care am enunţat-o şi în alte lucrări, că logica nu este o ştiinţă oarecare printre celelalte ştiinţe, ci are un caracter proeminent, caracter p e care logicienii scolastici îl subliniau prin denumirea logicii ca scientia scie ntiarurn, ars artiurn, doctrina do ctrinarurn . Acest rol predominant al logicii faţă de celelalte ştiinţe fusese accep tat şi de gînditorii greci, şi nu fără semnificaţie în fruntea operelor lui Aristotel a fost pus, de primul editor, Andronicus din Rhodos, Organon-ul, adică instrumentul logic . Poate fi extins acest instrument logic, nu în sensul unor ca­ noane sau reguli noi faţă de cele clasice - această posibilitate este neîndoielnică - , ci în sensul sporirii logicităţii gîndirii în comp araţie cu logicita t e a ei clasică? Sistemele logici lor polivalente au în mod real o semnificaţie specifică logică sau nu? Acestor întrebări fundamentale am dutat să le dăm un răspuns în concluziile acestei cărţi . Lucrarea a fost concepută în aşa fel încît să fie accesibilă cititorilor fără a le pretinde o pregătire de specialitate. Pentru aceasta am socotit necesar să facem mai întîi o exp unere intro­ ductivă , care să prezinte modul în care s-a ajuns la concepţia logicii matematice, dînd şi unele indicaţii istorice . D eoarece logicile polivalente sînt ele însele logici matematice, adică se înfăţişează ca sisteme algebrice formale, am expus ideile fundamentale ale construcţiei acestor sisteme, păstrîndu-ne, bineînţeles, în limitele permise de profilul acestei lucrări. Am închinat apoi un capitol sistemului formal al logicii clasice, pentru a a,'ea lin termen de comparaţie şi a se vedea astfel şi modul natural al generalizării logicii clasice, genera­ lizare p e care o repre:intă logicile polivalente . Partea aceasta poate fi considerată deci ca o introducere în logica matematică. După aceasta, exp unerea noastră s-( dezvoltat liber, urmiiri.nd. pe cît s-a putut, ordinea cronoloG

Prefatd

gică a apariţiei logicilor modale *i poliyalente *i aplicaţiile lor în diyerse domenii. In elaborarea lucrării noastre, sub forma aceasta nouă, complet refăcută şi adăugită, am fost ajutat în mod substan­ ţial, prin strîngerea materialului, procurarea bibliografiei, controlul şi verificarea formulelor, de tînărul matematician Teodor Stihi de la Centrul de logică, căruia îi aduc şi pe această cale mulţumirile mele. De asemenea, ţin să mulţumesc pentru ajutorul dat şi tînărului matematician Florin Popescu din colectivul de calcul şi cercetări operaţionale al I.C.P.C.H. ANTO.\" DDIITRIU

1 Introducere. Propoziţia şi modalitatea el

* 1.1. Calculul propoziţional Logica matematică s-a d€zvoltat pe baza cîtorva idei

care în esenţă sînt următoarele : 1. Logica este o ştiinţă pur for mală , "formalul logic"

fiind înţeles "independent de conţinut" *. Putem însă gîndi ceva fără conţinut, şi mai ales putem raţiona cu obiecte fără conţinut, cu e ntităţi p ur formale? Un exe mplu si mplu va arăta că acest lucru este posibil. Fie silogismul cunoscut : "Toţi oamenii sînt muritori; Socrate e om; deci Socrate e muritor". Este evident că acest raţionament se desfăşoară tn baza conţinutului, a se mnificaţiilor concrete pe care le a u conceptele ce intră în j oc şi propoziţiile compuse cu ele. Dar, e uşor să ne convingem, acest silogism este numai un caz particular al următorului raţionament: Toţi a sînt b; c este a; deci c este b. în acest raţionament a dispărut orice semnificaţie a literelor a, b şi e, şi silogismul nostru este o formă pur logică. Astfel de forme logice există în număr nedefinit şi sarcina unei logici for male este de a le desco­ peri şi a le pune în adevărata lor lumină. 2 . Elementul pri mitiv al logici i noi nu e conceptul, aşa cu m era în l ogica tradiţional ă , ci propoziţia . Ideea aceasta a fost aplicată complet p e ntru pri ma dată de

*Nu este vorba aici despre categOl'ia de conţinut a gnoseo­ logiei marxiste, ci despre "conţinut" ca noţiune a logicii formale.

Logica polivalentă

Whitehead şi Russell în lucrarea lor fundamentală Prinei­ pia Mathematica. Actul prin care spiritul ia contact cu realitatea externă este o j udecată, iar formularea ei este o propoziţie . Conceptul nu este decît un reziduu al unei sau al unor j udecăţi, care sînt, astfel , ele mente logice pri­ mitive. D in punct de vedere psihologic, această idee a fost lămurită de L. Brunschvicg în lucrarea sa La modalite du jugement. Există, aşadar, acte simple ale spiritului, de aprehensiune pri mară, care se for mulează în propoziţii. De pildă: "afară plouă" ; "soarele este cald" etc. Acestea vor fi numite de Russell propoziţii atomice sau elementare . Propoziţiile se leagă între ele, formînd fraze, care sînt propoziţii mai complicate, propoziţii moleculare, cum sînt numite de Russell. Cu m sînt alcătuite însă propoziţiile moleculare? Un e xamen, oricît de sumar, arată că ele sînt compuse din propoziţii ato mice legate prin conjuncţii. Spre exemplu : "afară plouă şi ninge"; "dacă plouă, î mi iau umbrela" etc. Cum numărul conjuncţiilor este redus, ur mează că putem stabili anumite tipuri de propoziţii moleculare după conjuncţiile care leagă propoziţiile ato­ mice. Să notăm propoziţiile ele mentare cu literele p, q, r . Pentru conjuncţia "şi" să utilizăm un semn, de exemplu punctul. Atunci a spune că "afară plouă şi ninge" înseamnă a spune o propoziţie de tipul ur mător: .

.

p. q,

adică propoziţia p şi propoziţia q sînt adevărate amîndouă. Tot astfel, dacă pentru expresia "dacă . . . atunci . . . " utilizăm un semn, de pildă ,, => ", propoziţia "dacă plouă, i mi iau umbrela" poate fi socotită ca un caz particular al tipului următor de propoziţie moleculară : p=>q

"Dacă p atunci q", unde p este o propoziţie atomică ca şi q. tn chipul acesta se pot găsi o serie de formule în care ,intră numai litere legate prin semne reprezentînd con­ juncţii; ele Vor fi forme logice pure, în care conţinutul nu apare în nici un fel .

1.2. Valoarea propoziţiilor

3. Utilizarea simbolurilor v a îngădui să se transforme unele formule în altele, cee a ce va fi, în definitiv, un calcul logic, ase mănător calculului algebric . In ceea ce urmează , entităţile care intră în calcule fiind propoziţii, calculul va purta nu mele de "calcul propozi­ ţional". Pre c iziunea care se cîştigă prin aceasta este unul din rezultatele cele m ai importante ale "logicii simbolice".

* 1.2. Valoarea propoziţiilor N e pute m întreba multe lucruri despre o propoz1ţ1e­ s.crie Nicod. Care este materia , forma, interesul ei, chiar frumuseţea ei dar mai înainte de toate acestea, este ea ade­ vărată? Celelalte chestiuni şi le pune spiritul; dar pe acea­ sta din ur mă o pune propoziţia, p€ntru a spune a�a, de la sine"l. Această afirmaţie a logi sticianului francez Nicod fe r efe r ă la logica form �} ă, la o l ogi c ă în care cc nţinutu l pro p c zi ţiilor este eliminat. In acest n:z nu mai poate fi vorba nici de fru­ museţea propoziţiei , nici de intere sul ei etc., ci doar de ade­ vărul sau fal sitatea ei. în aceasta poate con s t a exclusiv, ca­ racteristica unei propoziţii for male . O propcziţie oarecare "q" va fi adevăr at ă sau falsă după cum o vo ro declara, (în cadrul unui sistem) şi la atît se poate reduce tot ce putem spune despre ea. Dacă o propoziţie va fi de clarată adevărată, vom spune că valoarea e i este adevărul; dacă va fi declarată falsă, valoarea ei va fi falsul . Propoziţiile moleculare vor exprima în rlport cU ad e ­ vărul sau falsul propoziţiilor atomice legăturile dintre acestea . De pildă, propoziţia p e care am considerat-o mai înainte, "dacă plouă , î m i iau umb r e la , însea mnă: dacă este ade­ vărată pri ma propoziţie , este adevărată a doua. Sau siro"

,

,

"

1 J eBn Nitod, Les relations de "a/eura el les relalions de seTi8 en logique formelle, În "Revue de Metaphysique et de .Morale",

1924, pp. 577-583.

11

Logica polivalentd

bolic : dacă p este adevărat, atunci q este adevărat. Tot astfel, În cazul propoziţiei moleculare "plouă sau ninge", aVem tot o propoziţie ipotetică : dacă cel puţin una din propozi­ ţiile si mple este adevărată, atunci întreaga propoziţie este adevărată . Simbolic, "p sau q" înseamnă : dacă sau p este adevărat, sau q este adevărat, atunci lIP sau q" este adevărată. Pe scurt, toate formele logice sînt ipotetice in raport cu valoarea propoziţiilor. în logica formală propoziţiile moleculare nu leagă decît valorile eventuale ale propoziţiilor atomice, din care cauză ele apar ca forme ipotetice. Se pune însă problema : pute m noi face abstracţie de sen­ sul propoziţiilor atunci cînd stabilim legături intre valo­ rile lor de adevăr? Iată o chestiune care a fost discutat ă în modul următor de Jean Nicod. Cînd spun: "dacă p este adevărat atunci şi q este ade­ vărat", s-ar părea că nu pot afir ma această consecvenţă intre p şi q decit dacă ţin sea ma de conţinutul acestor pro­ " poziţii, "p" şi "q , şi stabilesc că din adevărul uneia decurge adevărul celeilalte. Totuşi nu este aşa . î ntr-adevăr, este uşor să ne convinge m că există foarte multe propoziţii moleculare al căror adevăr nu depinde decît de ade­ vărul sau falsitate a propoziţiilor componente. De e­ xe mplu, cînd spun propoziţia "p sau q", cu alte cuvinte propoziţia moleculară for mată cu p şi q este adevărată da-că cel puţin una din propoziţii este adevărată, am deter minat valoarea acestei propoziţii moleculare dacă declar numai valorile propoziţiilor p şi q. Propoziţia p poate fi adevărată sau falsă, propoziţia q poate fi, la rîndul ei, adevărată sau falsă; ave m, aşadar, patru combinaţii posibile : 1. pri ma este adevărată şi a doua adevărată i 2. prima este falsă, a doua adevărată; 3. pri ma este adevăraU., a doua falsă; 4. prima este falsă şi a doua este falsă. Deci propoziţia moleculară lIP sau q" este adevărată dacă cel puţin una dintre propoziţii este adevărată. Cu alte cuvinte legătura dintre p şi q, exprimată prin conjuncţia "sau", este adevărată dacă una dintre propoziţii este adevărată sau dacă amîndouă sînt adevărate. 12

1.2. Valoarea propoziţiilor

Iată un tabel care arată această corespondenţă dintre " valorile de adevăr ale lui "p şi " q" şi valorile lui "p sau q"

p

q

p sau q

adevărat fal s adevărat fals

adevărat adevărat fals fals

adevărat adevărat adevărat fals

"

Propoziţia moleculară "p sau q a luat valoarea "fals" numai cînd amîndouă propoziţiile care o co mpun, "p" şi "q", au fost false, fiindcă acest caz e contrar definiţiei. Există , aşadar, astfel d e legături între propoziţii , încît valorile de adevăr ale propoziţiilor co mpuse obţinute în acest mod sînt determinate num ai de valorile propozi­ ţiilor co mponente . Orice ar repnunta propoziţia p, d acă ea e ste adevărată, propoziţia "p sau q" este adevărată. Acelaşi lucru se poate spune şi despre celelalte cazuri : orice ar repreunta propoziţiile p, q , adevărul sau falsi­ tatea unei legături R dintre ele , care se poate scrie "p R q" , depinde nu mai de adevărul sau falsitate a propoziţiilor co mponente. Sensul lor nu intră în nici un fel în determi­ narea legăturii lor. Vo m vedea că astfel de legături au fost studiate de Wittgenstcin �i au fost numite, după Russell, funcţii de ade q "

şi se va citi : "p implică q . Din cele ce am spus pînă acu m rezultă că putem defini implicaţia în felul următor :

p => q = ""' p V q

Df·

Această definiţie mai largă înseamnă : sau p este fals sau q este adevărat ; aşadar, dacă p este adevărat , q este adevărat. Membrul întîi (p) al implicaţiei se nu meşte implicans, iar me mbrul al doilea implicat. Vom reveni, mai departe , asupra sensului implicaţiei . 7. Punctuaţia. Pentru a arăta că un anume semn se referă la o expresie logică întreagă , se închide acea expre­ sie în paranteză . Spre exemplu am scris : p . q = ""' ( '" p V '" q)

pentru a arăta că se mnul prim de negaţie se referă la dis­ j uncţia logică ,, '" p V ,..., q" întreagă . De asemenea se în­ trebuinţează, în acelaşi scop , punctuaţia pentru a despărţi diversele părţi ale unei expresii logice (formule logice) , Principia

46

lI1alhemalica ,

voI . I , p. 9 B .

3.2. Idei primitive

părţi care trebuie luate ca un tot. De pildă , definiţia impli­ uţiei poate fi scrisă cu aj utorul punctelor :

Df.

p => q . = . "'-' p V q

_\ceasta arată că se mnul de definiţie , , = " funcţionează intre întreaga expresie "p ::> q" şi întreaga expresie din dreapt a , '" p V q" . Cînd s-a întrebuinţat deja un punct, pentru a expri ma un al t domeniu pînă unde se întinde puterea unui simbol se întrebuinţează două puncte, apoi t rei etc. Domeniul pe care-l indică un punct e ste pînă la sfîrşitul unei propoziţii moleculare sau pînă la un număr diferit de puncte . 8 . Semnul d e a.serţiune. O propoziţie poate f i afirmată sau numai considerată. De pildă , dacă spunem propoziţia "Cezar a trecut Rubiconul", am afir mat această propoziţie, pe cînd dacă spunem "Cezar a trecut Rubiconul este o propoziţie" , propoziţia nu mai este afir mată, ci nu mai luată în considerare8• In limbajul obişnuit s e recunoaşte i mediat că o prOPIJ­ ziţie este numai luată în considerare după vorbele care o precedă şi care o fac ipotetică : dacă . . . (if so-and-so) . Si mbolul întrebuinţat de Frege pentru ideea de aserţiune ŞI pe care l-a adoptat şi Russell este 1 Dacă scrie m : ,,

,, -

"

.

1- · p însea mnă "p este afirmat" . Dacă însă p1:nem acest semn inaintea unei i mplicaţii, de exe mplu :

f-

p

=>

q, trebuie citit : "este adevăr at că p i m plică q" ; cu alte cuvinte semnul " f-" se referă acum la se mnul ,,=>", iar propoziţiile p şi q sînt numai considerate ; de spre ele nu afirmăm nimic. 9. Inferenţa. Să presupunem că se afirmă propoziţia p şi că se mai afirmă şi propoziţia p => q, adică : .

1- . p 1- . p => q 8

Principia Ma lhemalica ,

yol .

1 , p . 96.

47

LogicG polivalentd

În condiţiile acestea, dacă p este adevărat , şi dacă este adevărat că p implică q, urmează că şi q este adevărat, după definiţia implicaţiei (o propoziţie adevărată nu poate implica una falsă) . Aşadar, din aserţiunile d e mai sus scoatem aserţiune a lui q : 1- . q Se vede dar cum poate servi i mplicaţia russelliană la deducţia unui adevăr. In cazul acesta, şi numai acesta, i mplicaţia are rolul une i deducţii, caz cunoscut şi in logica veche sub nu mele de modus ponens . După cum se vede, o inferenţă este cu totul altceva decît o implicaţie , şi numai într-un caz particular al i mplica­ ţie i , cînd se afirmă şi adevărul primului membru , poate fi ea aplicată. Russell zice că o inferenţă este disoluţia unei i mplicaţii. Niciodată o implicaţie nu este o deducţie, dar poate servi, în cazul cînd e afirmată, la o deducţie ' prin modus ponens.

*

3.3. Functii de adev�r

Pentru a înţelege mai exact ce reprezintă o disjuncţie , o conjuncţie sau o implicaţie logică, să facem să intervină ideea de funcţie , şi anu me aceea de funcţie de adevăr. A m văzut că o propoziţie arbitrară p poate lua două valori de adevăr : falsul şi adevărul . Dacă , in general, ne gindi m la ceea ce înseamnă o funcţie în mate matică, adică o variabilă ale cărei valori depind de valorile altei variabile , putem imagina şi in logică funcţii logice . O funcţie logică va fi o expresie în care vor intra una sau mai multe varia­ bile şi care va deveni de fiecare dată o propoziţie cînd se atribuie variabilelor serr,nificaţii determinate . Din aceas­ tă cauză, Russell a numit funcţiile logice funcţii propo­ ziţionale . 48

3.3. Funcţii de adevăr

Fie de exe mplu expresia "p V q" ; se vede i mediat că aceasta este o funcţie propoziţională cu două argumente , P ŞI q : ((p,q) = p V q Este interesant aici faptul că valoarea de adevăr a funcţie i ( depinde numai de valorile de adevăr ale argu­ mentelor p şi q şi, în nici un fel, de conţinutul lor. într-a­ devăr, după definiţie, ((p,q) este în cazul nostru "p V q" , adică cel puţin unul din argu mente trebuie să fie adevărat. Să presupunem că p este adevărat şi q este fals, atunci definiţia este satisfăcută, "p V q" este adevărată şi tot aşa ((p,q) care o reprezintă. Să presupunem că p este fals şi q este adevărat ; definiţia este satisfăcută şi deci expresia "p V q" este adevărată, aşadar şi ((p,q) . Alt caz ar fi cînd şi p şi q ar fi adevărate amîndouă, deci ((p,q) ar fi iarăşi adevărată. în sfîrşit , dacă p este fals şi q este fals , atunci definiţia lui "p V q" nu este satisfăcută şi ((p,q) este falsă. Aceste rezultate pot fi examinate direct pe un exemplu. Fie disjuncţia logică "afară plouă sau ninge". Funcţia noastră este : p

= afară plouă

q = (afară) ninge ((p,q) = afară plouă sau ninge

=

p V q

Să presupunem : 1) p este adevărat şi q fals (afară plouă , dar nu ninge ) ; propoziţia "afară plouă sau ninge" exprimă un adevăr, ((p,q) este adevărată în cazul acesta ; 2) să pre­ supunem că propoziţia p este falsă şi q adevărată (afară nu plouă , dar ninge ) ; propoziţia "afară plouă sau ninge" expri mă U I I adeYăr, f(p,q) este adevărată ; 3) dacă şi p şi q sînt amîndouă adevărate (adică dacă afară plouă şi ninge simultan) , propoziţia "afară plouă sau ninge" este adevărată, adică ((p,q) este adevărată ; 4) în fine , dacă şi p şi q sînt false , propoziţia "afară plouă sau ninge" nu ex­ primă un adevăr, deci este falsă ca şi ((p,q) , care o repre­ zintă.

Logica polivalenti1 Se poate deci conchide , în general , că dacă avem o disj uncţie logică f(p , q) = P V q, e a este adevărată dacă unul din argu mente este adevărat sau amîndouă şi este falsă numai cînd amîndouă argu mentele sînt false . Este de remarcat aici fap tul că p utem şti cînd Q

funcţie de felul acesta f(p , q) este falsă sau adevărată fără a ne interesa de loc de conţinutul argumentelor.

Valorile de adevăr ale funcţiei depind numai de valorile de adevăr ale argumentelor , fără a face să intervină , în nici un fel , se mnificaţia lor . De aceea Russell a nu mit aceste funcţii funcţii de adevăr. Este evident că şi funcţiile :

p f (p) f(p,q) = p . q =

,....

f(p , q ) = p :::) q sînt funcţii de adevăr , ca şi toate funcţiile în care argumen­ tele sînt propoziţii. Proble m a dacă toate funcţiile din logică si din stiinţă sînt functii de adevăr nu este încă . definiti� soluţionată'. Să s t udiem, odată cu Wit t genstein8 , funcţiile de adevăr. Pentru aceasta vo m nota , pe scurt , adevărul c u A şi falsul cu F. A m introdus pînă acum numai funcţiile de adevăr : negaţia , disj uncţia , conj uncţia şi implicaţi a . Vo m m a i defini două , foarte utilizat e : echiyalenţa şi incompatibili­

tatea.

Două propoziţii vor fi echivalente dacă ele sînt adevărat e sau false în acelaşi timp , adică dacă a u aceeaşi valoare de adevăr . " Semnul de echivalenţă es te ,,= . Aşadar :

f(p , q)

.

=

.

p=q

Df·

7 Lewis , spre exemplu, a con testat această p ărere (C. I. Lewis & C. H. Laoglord , Symbo lic Logic, l I , ed. 1 959, p . 1 47 , 200 , 234 ) . 8 Ludwig Wittgen .. lein, Tracla lus Logico-Phi losophicus, prop .

4. 442 ( E d . Kegan Pau l , London, 1933 ) . Schemele care urmează se da toresc acestu i logician .

50

3.3. Funcţii de adevăr

Inco mpatibilitatea exprimă o funcţie de adevăr în care argu mentele nu pot fi adevărate în acelaşi ti mp, prin ur mare cel puţin unul este fals. Semnul de incompatibi­ litate este " \ " , aşa că putem scrie : f(p , q) = p I q

Df·

Acest semn se va citi : "p inco mpatibil cu q" . Să analizăm acu m aceste funcţii de adevăr . Argu mentul p poate lua valoarea A sau F ; argu mentul q poate lua va­ loarea A sau F. Aceste valori pot fi combinate în ur mătoa­ rele patru moduri : 1 ) p adevărat şi q adevărat (A A ) ; 2) P fals şi q adevărat (FA) ; 3) p adevărat şi q fals (AF) ; 4) P fals şi q fals (FF) . Vom păstra această ordine pentru studiul tuturor func­ ţiilor de adevăr cu două argumente . Dacă luă m acum funcţia de adevăr, de exemplu con­ i uncţia logică f(p, q) = p q , •

este uşor de văzut ce valori de adevăr corespund pentru ea cînd se atribuie unul din aranja mentele de mai sus ale valorilor de adevăr pentru argu mentele p şi q . Putem, astfel, să construi m ur mătorul tabel si mplu, în care se citesc i mediat valorile de adevăr pe linia corespunzătoare fiecărui aranj a ment.

1. A A 2. F A 3. A F 4. F F

A F F F

Vo m putea acu m să scriem pentru toate funcţiile de adevăr definite un ase menea tabel , în care să se vadă i me­ d iat ce valori de adevăr le corespund. Vo m face un singur tabel care să le cuprindă pe toate. 51

Logica polivalentă Mai

întîi, pentru negaţie

ave m :

p \ "' p

I

A F

F A

Pentru celelalte funcţii de adevăr găs i m tabelul următor:

p q \ p V q l p · q \ p :J q\ p = q \ p l q 2. F A 3. A F

A A A

A F F

A A F

A F F

F A A

F F

F

F

A

A

A

1. A A

4.

S-.!. vede că pent.ru fiecare din aceste funcţii de adevăr .;u două argu mente corespund, în ordinea aranjamentelor valorilor de adevăr ale argumentelor, o grupă de valori carac­ teristică fiecăreia . De exemplu , pentru corespunde grupa AAF A, pentru grupa AAAF e t c .

"p :J q"

p V q,

Pute m spune c ă o grupă d i n acestea caracterizează pe deplin funcţia de adevăr corespunzătoare , şi după fiecare p utem recunoaşte ce fel de funcţie particulară ave m . Cîte funcţii d e adevăr c u două argumente putem avea? Cîte grupe de acestea putem face , fiindcă fiecăreia îi va corespunde una . Cu două litere A şi F se pot face aranja mente cu repetiţie in număr de ave m în total Wittgenstein

16

222 = 24

funcţii de adevăr

cu

=

16.

a calculat c ă pentru n argu mente

22n

vo m avea , în m o d analog,

Aşadar ,

două argument e .

funcţii de adevăr

p, q , r, . . . f(p,q,r . . . ) .

Funcţiile noastre nu sînt toate independent e , unele putînd f i expri mate prin altel e . Am văzut că :

p

52

.

q

. =

.

'" ('"'"' p V '"'"' q)

3.3. Funcţii de adevăr

Nicod a arătat că dacă se ia semnul de incompatibilitate ca nedefinit , ca semn primitiv, se pot exprima toate func­ ţiile de adevăr cu două argumente cu ajutorul lui9• Iată, de exemplu , cum se pot defini funcţiile noastre : ,,", p . = . p \ p (p I p) I ( q I q) p . q . = . ( p \ q) \ (p \ q) pVq

.

=

.

p � q = . p I ( q I q) Acestea sînt evidente . De exemplu p I p înseamnă p este fals ; p � q înseamnă p \ ( q \ q) , adică "p este adevă­ rat este incompatibil cu q este fals" etc. Am căutat să analizăm sumar funcţiile de adevăr10 pentru a ne da seama mai bine ce anume înseamnă articula­ ţiile logice între propoziţiile p , q , r. . . Propoziţiile p , q sînt numai considerate , nu se afirmă nimic despre el!:J iar legăturile dintre ele nu determină nimic cu privire la p şi q ; cu alte cuvinte p V q , P q, P � q etc. sînt legi de compoziţie , care consideră argumentele numai în mod ipotetic ; ele nu exprimă relaţii între argumente , ci posi­ bilităţi de co mpoziţie . Să luăm i mplicaţia . Expresia "din p rezultă q" nu traduce exact simbolul ,,�" şi de aici pot rezulta o mulţi me de confuziill. Implicaţia nu este decît o lege de compoziţie care lasă libertatea argumentelor să ia orice valori afară de acelea care ar însemna că primul argument este adevărat şi al doilea fals, după cu m din p V q sau din ", p V q nu rezultă absolut ni mic. Această semnificaţie pe care o atribuie Russell i mplicaţiei trebuie •

•

9 J. Nicod, A reduction in the number of the primi tive propo­ sitions of logic ("Proceedings of the London Mathema tical Society " , voI . XIX, Jan . , 1 91 7) . 10 O analiză m a i completă c ititorul O găseşte în lucrarea noastră Logica nouă , Bucureşti, 1 9t.O. 1 1 Rudolf Carnap scrie : "Că Russell a ales p entru legăt ura dintre prop oziţii caracterizată prin grupa A A F A denum irea . q V P Adică " p sau q i mplică q sau p " . Este legea comutativităţii 1 .4

(.Russell o numeşte a permutării) şi va fi însemnată pe Sc:dr t cu "Perm" (Permutation) .

1.5

f-- : p V (q V r) . ::> . q V ( p V r)

Pp .

Principiul acesta spune : "Dacă sau p este adevărat sau q V r este adevărat , atunci sau q sau p V r este adevărat". Este una din for mele legii asociaţiei logice şi s e numeşte principiul asociaţiei , însemnat pe scurt cu "Assoc". Tot aşa putem scrie :

p V (q V r) . ::> . (p V q) V r 1.6 1- : . q ::> r : ::> : p V q . ::> P V r "Dacă q implică r, atunci p sau q i mplică p sau

Pp .

•

" r .

Cu alte cuvinte, într-o implicaţie poate fi adăugată aceeaşi propoziţie la ambii membri fără să modifice valoarea de adevăr a implicaţiei. Principiul va fi nu mit principiul de însu mare (Summation) şi va fi notat pe scurt cu "Sum" . 1. 7 Dacă p este o propoziţie ele mentară şi '" P este o propoziţie elementară. Pp . 1 . 71 Dacă p şi q sînt propoziţii elementare şi p V q este o propoziţie elementară. Pp . 56

3.5. Consecinţe imediate

Cu alte cuvint e , siste mul for mal al calculului propozi­ ţional din Principia Mathematica, conform celor discutate in cap. 2, se constituie după cu m ur mează. Simbolurile primitive sînt variabilele propoziţionale , precu m şi simbolurile ",,-," (negaţia) , " V " (disjuncţia) , parantezele şi punctele18 • Din ele se pot obţine formule , co mbinîndu-le după următoarele reguli : 1 . O variabilă propoziţională este o formulă. 2 . Dacă A este o formulă , A este de asemenea o formulă. 3 . Dacă A şi B sînt formule , (A V B) este de ase menea o formulă. Parantezele vor putea fi înlocuite prin puncte, aşa cum am arătat mai înainte. Drept axlO me se aleg următoarele cinci for muIe : "'-'

1. 2. 3. 4.

5.

f- : p V p . ::J . p f- : q . ::J . P V q 1- : p V q . ::J . q V P 1 - : p V ( q V r) . ::J . q V (p V r) f- : . q ::J r : ::J : P V q · ::J · p V r ,

în care p ::J q este o scriere abreviată a formulei ""p V q . După cu m a arătat P . Bernays , cele cinci axiome nu sînt independente ; axio ma 4 poate fi dedusă din celelalte (vezi *9.2) şi deci se poate renunţa la e a . Re gulile de infermţă sînt substituţ ia şi modus ponens, care vor fi explicate in cele ce urmează.

*

3.5. Consecinţele imediate ale propoziţiilor primitive

Propoziţiile care ur mează vor fi consecinţe ale propo­ ziţiilor pri m itive . 18 A m numit aici sim boluri primi tive ceea ce Curry ( . 2 ,l.) numeşte indicii ş i operaţii .

57

Logica polivalentă

Demonstraţia lor va cons ta în a arăta că ele se deduc din aceste propoziţii prin una din ur mătoarele metode de deductie. 1. Metoda substitutiei. În orice formulă adevărată (axio mă sau formul i deja de monstrată) se pot înlocui literele prin orice propoziţie simplă sau moleculară cu condiţia ca aceeaşi literă să fie înlocuită pretutindwi în for mulă cu acee a ş i expresie . 2 . Modus ponens . Despre această metodă de inferenţă am mai vorbit . Ea se reduce la for ma următoare : dacă o i mplicaţie între două expresii este adevărată şi dacă primul me mbru al implicaţiei este adevărat , atunci tra­ ge m concluzia că şi me mbrul al doilea este adevărat. Vo m indica după metoda lui Russell sub o formulă modul ei de demonstraţie , aplicarea regulei modus ponens nefiind explicit specificată. Spre exemplu "Taut � p" înseamnă ce devine propop

ziţia "Taut" (principiul tautologiei) cînd se înlocuieşte p cu ....... p. Pentru a ne lămuri mai bine asupra procede u lui , să consideră m un exemplu. Fie propoziţia de demonstrat : Această propoziţie spune : dacă p implică proprIa sa falsitate, atunci p e ste fal s . Procedeul d e monstraţiei v a fi indicat pe scurt, dedesub­ tul acestei propoziţii, cu rezultatul ce ur mează :

[Taut �P]

1- :

-�

p V '" P

.

::J

•

'"

P

(1)

Şi încă :

( 1) . (1. 01 )

1 - : p ::J

""'

P

•

::J

•

""'

P

Adică, dacă substitui m în propoziţia însemnată "Taut", care este :

t-- : p V p · ::J . p, pe p cu ,..... p , căpătă m : '" p V "V p . ::J . "'-' P 58

(1)

3.5. Consecinţe imediate

A doua linie a demonstraţiei este indicată în parantezele ( 1 ) . ( 1 .01) , adică dacă aplicăm lui (1) definiţia ( 1 .01 ) , care este a implicaţie i , ur mează că suma logică "", p V ""'" p poate fi scrisă p ::> p , după cu m '" p V p este scris p ::> p. Ceea ce s-a scris în drept ul acestei paranteze este tocmai propoziţia de de monstrat. A m scris în faţa propoziţiilor primitive se mnul " f-" de aserţiune , fiindcă le-am luat ca axiome , ca propoziţii adevărate. Tot astfel în faţa fiecărei consecinţe adevărate , în faţa fiecărei propoziţii deduse punem semnul "f-" pentru a arăta că este adevărată . 2.01 1- : p ::> "" p • ::> "'" p ��

•

Dacă o propoziţie implică propria sa falsitate , atunci este falsă. Principiul reductio ad absurdum .

ea

Dem.17

� PJ 1- : [ Taut -;;

[(1) . (1 .01 ) ] f-

2.02

f- : q

Dem. [Add :'IJ

•

p V ...... p ::> • '" P

"'-'

::>

( 1)

•

:

•P

p ::> ::>

p

. ",

. ::> .

P

'"

q

(1 )

1- : q . ::> . "" p V q ::>

1- : q .

[(1 ) . (1 . 01) ]

.

P ::> q

O propoziţie adevărată q este impl icată propoziţie p .

2 . 03

f- : p ::> ...... q .

Dem. [Perm

� p, p,

[(1 ) . (1 .01) ] 17

-

q

]

::::J

•

q

::::>

"'-'

P

f- :

"-'

p V "'" q .

f- : p ::>

'"

q.

q

::::>

•

de OrIcare

::::>

q ::>

•

......

""

qV

"'-'

p

(1)

P

l nsemnăm cu "Dem", p e scurt , "dem onstraţia" .

59

Logica polivalentif

2 .04

1- : . p

.

::::>

•

::::>

q ::::> r :

q

:

•

::::>

p ::::> r

•

Dem.

[Assoc ;: :J -

�

f- :

p V (--- q V r)

�

. ::::>

f- : . p

q

•

•

(1)

'""'- q V ( --- P V r)

.

( ( 1) . (1 . 01 ) ]

::::>

.

::::>

::::>

r :

: q.

::::>

P ::::> r

•

Propozi ţ ia 2 . 04 este extrem de importantă . Ea se mai numeşte ş i "principiul comutativ" ("Comm") şi arată că dacă q implică ,., presupunînd p adevărat, atunci p implică ,. dacă q este adevărat. 2 . OS

::::>

1- : . q

,.

•

::::>

:

p ::::> q

. ::::>

::::>

r

'" p V q

.

::::>

•

p

p

•

Dem .

[ Sum /J

f- : . q

[(1) . ( 1 .01 ) ]

f- : . q ::::> r .

�

2 .06

f- : . p

::::>

q .

::::> ,. . ::::>

::::>

:

q ::::>

Dem.

[ Comm

q ::>r , p ::> q, ,, ::>r p,

P

[2 . 05]

:::l

,.

•

::::>

]

::::>

r : . ::::> : . p

f- : . q ::::>

[(1) , (2) ]

r

q,

::::>

:

:

:

,.

p

::::>

. ::::>

f-

q . ::::>

: : q ::::> "

q . ::::> : q

p ::::> q.

::::>

•

---

( 1)

pV r

::::> ,.

::::> ,.

P

•

•

::::>

p

. ::::> ,.

: p ::::> q . ::::>

. ::::>

::::> ,.

•

P ::::>

,.

•

(1) (2)

1 - : · p ::::> q · ::::> : q ::::> " · ::::> · p ::::> "

Ultimul rînd din demonstraţie se obţine prin inferenţă (modus ponens) din prem i sa (2) pe baza formulei adevă­ rate (1) . A mîndouă propoziţiile de mai sus, 2 .05 şi 2 .0 6 , sînt nu mite "principiul silogis mului" (pe scurt " Syll" ) , deoarece silogismul în Barbara derivă din ele. 60

3.5. Consecinţe imediate

:! .Oi

f-- : p

' ::>

[ �J

, PVp

Dem. 1 . 3

De monstraţia înseamnă : în propoziţia 1 . 3 se înlocuieşte cu p şi se capătă exact rezultatul . In continuare , de monstraţiile vor fi , de asemenea, prescurtate , indicînd doar principalele teoreme folosite �i substituţiile mai importante. Lectorul le va putea astfel reconstitui cu uşurinţă. q

2.08

1- , p

::> p

Dem .

[2.05

pVp, p . Taut , 2 .07 q, r

]

o propoziţie se implică singură. Această teore m ă · nu este principiul identităţii. Ea poartă numele de "legea identităţii" ("Id" ) .

2. 1

f-- , "'-' p V p

Dem . [Id . (1 . 01)] 2.11

f-- , p V "'-' p

Dem. [2 .1, Perm)

Cele două teoreme reprezintă principiul terţiului exclus : orice propoziţie este adevărată sau falsă . 2 .12

f-- . p

::>

"'-'

Dem.

[2.11 �JP 2.13

, 1 .0 1

('"'" p)

J

1- · p V ", {"'-' ( ....., pH

Dem.

[ Su m

-

Il,

q,

-

{- ( - r) } , 2 . 1 2 r

- TI ,

p

2 . 11

J 61

Logica polivalentă

2.14

f- . ",-, (

Dem.

[Perm

"'-

p ) => p

:

- ( - - Il) }

2 . 13

,

,

1 .01

]

Teoremele 2 .12 şi 2 .14 reprezintă cele două forme ale principiului dublei negaţii. De monstraţiile teoremelor care urmează se pot face urmînd aceleaşi metode ca pînă acum , aşa încît , de aici încolo, le vom omite1B• 2.15

1- : ""' p => q . => . ""' q => p

2.16

1- : p => q . => . "", q => ""' p

2:1 '7

1- : "'" q => ,....,. p. => . p => q

Teoremele 2 .03, 2 .15, 2 .16 şi 2 .17 sînt for me ale princi­ piului transpoziţiei. Ele arată că dacă o implicaţie este adevărată atunci este adevărată şi i mplicaţia inversă, obţinută transportînd termenii unul în locul altuia şi s chi mbîndu-le semnele . 2.18

1- : ""'" p => p. => . p

Această propoziţie este co mple mentară principiului reductiQ ad absurdum. Ea afirmă că o propoziţie care urmează din propria ei falsitate este adevărată. 2 .2

1- : p . => · p V q

2.21

f- : "'" p . =>

•

p => q

1 8 C ititor u l poate însă verifica, constru ind m a t ricea de adevăr a teoremei respective p e baza indicaţiilor date Î n * 3 . 1 4 , că a ceasta e s t e o "tau t o l o gie" , a d ică o r icare ar f i valo r ile d e adevăr ale variabilelor prop o z i ţionale v a l o area sa este A . Dar s-a arătat că in acest caz e a p o a te fi demons trată î n s is temul l u i \Vhitehead şi Russel l .

62

3.5. Consecinţe imediate

� : p . � . "'- p � q 2.25 1- : · P : V : p V q . � . p 2.24

2.26

1- : . "" p : V :p � q . � . q

� :. p . � : p � q . � . q 2.3 � : P v (q V r) . � . p V ( r V q) 2.31 � : p V (q V r ) . � . ( p V q) V r 2.27

� : (p V q) v r . � . p V (q V r) Propoziţiile 2 . 3 , 2.31, 2 .32 exprimă legea asociativităţii pentru adiţia logică a propoz iţiilor.

2.32

p V q V r . = · ( p V q) V r Df· Această definiţie priveşte numai parantezele , care , după cu m se vede , pot fi desfiinţate sau introduse într-o disiwlC­ ţie logică , fără a modifica ceva. 2.33

� :. q � r . � : p Vq . � . rVp 2.37 1 - : . q � r . � : q V p . � . p V r 2.38 � : . q � r . � : q V p . � . r V p 2.36

Aceste uIti me trei teoreme spun că , dacă o impli­ caţie este adevărată, atunci ea ră mîne adevărată dacă se adună logic la me mbrii ci o propoziţie oarecare p . 2.4

1- : . p . V . p V q � , p V q

2.41

�

.

. q . V · P Vq: � · pV q

1- . . ""'p . V · p � q : � . p � q 2.43 � : . p . � . p � q : � . p � q

2.42

"" ( p V q ) . � "" P 2.46 � : "'- (p V q) . � . "'-' q 2 .47 � : "'-' ( p V q) . � . "'-' p V q 2.48 � : "" (p V q) . � . p V "" q 2.45

�

:

•

63

Logica polivalenti1

2.49

f-- :

2.5 2.51

1- : f-- :

2.52

f-- :

�

(p V q) . :::> . ,,- P V '" q

"-

( p :::> q) . :::>

'"

(p :::> q) . :::> P :::> '" q

'"

(p :::> q) :::> . ...... p :::>

•

""

p :::> q

•

•

�

q

2 . 521 1- : ,..., (p :::> q) . :::> . q :::> p

P :::> q

2.53

t-- : p V q . :::>

2.54

f-- :

2.55

1- : . "'-' p . :::> : p V q :::>

2 . 56

1- : .

"'-

q . :::> : p V q . :::> . p

2.6

f-- : .

......

p :::> q . :::> : p :::> q . :::> . q

2 .61

1- : . p

2 .62

f-- : . p V q . :::> : p :::> q . :::> q

"-

•

p :::> q . :::>

�

•

PVq •

:::>

•

q

q :, : "- p' :::> q . :::> . q •

•

2.621 f-- : . p :::> q . :::> : p V q :::> q •

•

2 .63

f-- : . p V q . :::> : ......, p V q . :::> q

2 .64

1- : · p V q :::> : p V ...... q . :::> . p

2.65

f-- : . p :::> q

2.67

f-- : . p V q .

2.68

f-- : . p

2.69

1 - : . p :::> q . :::>

2 .73

f-- : . p :::> q .

2.74

1- : · q :::> p . :::> : p V q V r · :::> . P v r

2 . 75

f-- : : p V q . :::> : . p . V . q :::> r : :::> . p V r

2 .76

f-- : . p . V . q :::> r : :::> : p V q . :::> . p V r

2.77

1- : . p . :::> . q :::> r :

2.8

f-- : . q V r . :::> : '"'- r V s . :::> . q V s

64

•

:::>

•

q .

:::> :::> :::>

:::>

:

p :::> ......, q :::> •

•

�

p

q : :::> p :::> q

•

•

•

•

q : :::> . P V q q : :::> : q :::> p .

:::>

•

P

: p V q V r . :::> q V r •

:::>

: p :::> q .

:::>

•

P :::> r

3.6. Produsul logic a două propoziţii

2.8 1

1- : : q . => . r => s : => :. p V q . => : p V r . => . p V s 2.82 1 - : . p V q V r . => : p V "" r V s . => . p V q V s 2.83 � : : p . => q => r : => :. p => r => s : => : p => q => s •

•

•

•

•

2.85 � : . p V q => p V r : => : p V . q => r 2.86 1 - : . p => q => p => s : => : p => . q => s •

•

*

•

•

•

•

3.6. Produsul logic a două propoziţii

Am văzut că produsul logic a două propoziţii p şi q conjuncţia logică - inseamnă că "p şi q sînt amîndouă adevărate". Russell nu ia această legătură dintre propoziţii ca propoziţie primitivă , ci o defineşte cu ajutorul disjunc­ ţiei logice :

. "-' ("'-' p V "'-' q)

Df. Principalele teore me ale acestui paragraf sînt următoa­ rele : 3.01

p .q

•

=

� : p . q . => . "-' ("'-' p V "-' q) 3.11 1 "'-' ( "'-' p V "'-' q) => P . q

3.1

•

3.12 3.13

•

",-, p . V · "'-' q · V · p · q 1 - : '" (p . q) => "'-' P V '" q

f--

•

•

3.2

� : "'-' p V "'" q => "- (p . q) f-- : . p => : q => P q

3.21

� :. q . => : p . => . p q

3.22

� : p . q . => . q . p

3.14

•

•

•

•

•

•

•

Propoziţia aceasta exprimă legea co mutativităţii pentru produsul logic. 3.24 � . "'-' (p

•

"-'

p) 65

Logica polivalentă

Propoziţia aceasta expri mă principiul contradicţiei : este fals că o propoziţie este adevărată şi în acelaşi timp falsă.

P

3.26

f--- : p . q �

3.27

f--- : p . q . � . q

•

.

Teore mele 3 .26 şi 3 .27 se nu m e s c "princi p i ul de ficare" , la fel cu 2 .02 , din care au fost deduse .

si mpli­

1 - : . p . q . � . r : � : p ::> q ::> r Această teoremă spune : dacă p şi q i m p l i c ă î mpreună r , atunci p i m p l ică "q i mplică r" . Pe ano a nu m i t a c e s t prin­ cipiu "exportar e " , deoare ce q este scos ( e x por t at ) d i n pro­ dusul p . q.

3.3

3.31

.

•

f--- : . p . ::> . q ::> r : ::> : p . q . ::> . r

Teore ma a c e a s t a e corelatiyu p re c e d c nt e i j Peano o n u m e ş ­ " i mportare " .

te

3 .33 3.3�

1- : p � q . q � r . ::> . P ::> r 1- : q � r . p ::> q . � . p � r

Teore m e l e

3.35

3 .33

f--- : p . p

�

3 .3'1

şi

sînt e xpre s i i a l e

s i l ogi s mulu i .

q .�.q

D a c ă p e s t e adevărat şi în acelaşi t i m p p i m p l i c ă q, a t un c i q e s t e adevărat . Acest principiu va fi numit al aser­ ţiun i i . El e s t e d iferit de inferenţă ( 1 . 1 ) , deoarece aici "p este adevărat" e s t e i p o te t i c ("dae ă") , p c cînd în inferenţă p e s t e ad evărat de fap t .

3.37

f--- : . p . q . ::>

•

r

: � : p . ...... r . � . ......, q

Teorem a e s t c o a l t ă for m ă a principiului transpoziţiei.

3.4

1-

3.41

1- :. p

3.42

f--- : . q ::> r . � : p . q . � . r

3 .43

f--- : . p ::> q . p ::> r . ::> : p . ::> . q . r

66

:

p . q . ::> . p ::> q �

r

.� : p .q .�

•

r

3.7.

Echivalenţ.l

Dacă o propoziţie implică fiecare din alte douii propo­ ziţii, ea implică produsul lor logic. Pe ano a numit acest principiu al ,.compoziţiei".

3.44

f- : . q � p . r � p . � : q V r . � . p

Teorema aceasta e analogii cu 3.43.

3.45

1- : . p

�

q

•

�

: p .r .�.q r •

Principiul acesta arată că se pot "multiplica" logic ambii me mbri ai unei implicaţii şi căpătă m tot o impli­ caţie adevărată dacă prima este adevărată . Tot astfel se putea - cu m am văzut într-o teoremă precedentă ( 1 .6) să se adune logic o propoziţie la cei doi membri ai unci i mplicaţi i . Principiul este nu mit d e Peano "al factorului" . -

3 . 47

f- : . p � r . q � 8 . � : p . q . � . r . 8

Dacă p i mplică r şi q implică 8 , atunci p ŞI q împreună implică r şi 8 î mpreună . Această propoziţie fusese demonstrată încii de Leibniz (pentru c lase , nu pentru propoziţii) , care o numlse "p rae­ clarum theorema" .

3 . 48

f- : . p � r . q � 8 . � : p V q . � . r V s

Teore m a ace asta este analogă c u 3.47, unde se întrebuin­ ţează sume în loc de produs .

*

3.7. Echivalenta

Am întîlni t echivalenţa cînd am vorbit de functii de adevăr. Am văzut că două propoziţii sînt echiv� lente cînd au aceeaşi valoare de adevăr. Si mbolic :

p=q Acest lucru, după cum este evid�nt, nu se întî mplă decît dacă a mîndouă propoziţiile sînt simultan ade\-ârate sau simultan false . De aici rezultă că dacă prima este ade61

Logica polivalentă

vărată, a doua este adevărată şi dacă a doua este adevărată, prima este adevărată ; cu alte cuvinte p implică q ş i simul­ tan q implică p. Ceea ce l-a condus pe Russell să definească echivalenţa prin două implicaţii simultane1o•

4 .01 P = q = . p � q q � p D f· De aici mai urmează că în cazul cînd două propoziţii sînt echivalente se poate substitui una cu cealaltă fără a altera valoarea de adevăr a for mulei în care se face sub­ stituţia . Teoremele următoare sînt de reţinut : •

•

4. 1

1- : p � q - . ''-' q � '" P

4.11

1- : p = q . = . '" p = '" q

•

Aceste două teoreme sînt forme ale principiului trans­ poziţiei.

4.12

1- : p = ......, q . = . q == '" P

4.13

� . p = '" ('" p)

Teorema 4.13 e legea dublei negaţii : o propoziţie este echivalentă cu negaţia negaţiei ei. �

4.15

. r : = : p . '" r . 1- : . p . q . � . ,...., r : = : q . r .

4.2

1- . p

4.21

1- : p === q . ===

4 . 14

1- :. p . q . ::=

�

. '" q

� .

'" P

p •

q === P

4.22

1- : p = q . q = r . � . p = r 4. 24 � : p . = . p . P 4.25 1- : p . = . p V p Ultimele două teoreme exprimă "legea tautologiei" : p este echivalent cu "p sau p" sau cu " p şi p" . în această 1 8 Principia Malhemalica. voI . 1, p . 1 2 0 .

3.7. Echivalenta

diferenţă stă deosebirea fundamentală Între algebra logicii iÎmbolice şi algebra obişnuită . ... 3

1- : p . q = . q .

.. . 31

1- : p V q .

•

::::::::;

•

P

qV p

Aici, în 4.3 şi 4.31, avem exprimată complet legea comu­ tativităţii pentru produsul şi suma logică, pe cînd în 3.22 şi 1.4 această lege era exprimată incomplet (printr-o singură implicaţie) . 1 - : (p q)

4. 33

1- : (p V q) V r . = . p V ( q V r)

•

•

r. =.p

( q . r)

4.32

•

Propoziţiile 4.32 şi 4.33 exprimă �complet legea aSOCIa"! tivităţii produsului şi respectiv a sumei logice. 4.34

p. q. r.

=

.

(p

•

q)

r

•

Df.

Aceasta din urmă este o definiţie folosită la eliminarea parantezelor. ::>

:

p

::>

:

pV r = . qV r

r =. q. r

4.36

f-- :. p = q

4 . 37

f-- :. p = q

4.38

f-- : . p = r . q = s

4.39

f-- : . p = r . q = s . :::> : p V q . = . r V s

4.4

f-- :. p

•

•

•

•

•

•

•

:::>

qV r . = : p

•

: p.q.=. r.s q .V p •

•

r

Propoziţia aceasta (ultimă) exprimă prima formă a legii distributivităţii. Ea seamănă cu operaţia algebrică : p (q + r) 4.4 1

=

p . q + p . r.

f-- : . p. V . q . r : = . p V q . p V r

Aceasta este a doua formă a legii distributivităţii, în raport cu semnul " V ". Nu are corespondent algebric. 69

Logica polivalentll

4 . 42

1- : . p . ==:: : p . q . V . p . ...... q

4.43

1- : . p . :::= : p V q . p V "-' q

4. 4 4

I

4.45

1- : p . -= . p . p V q

1-

:. p . = : p ·V· p . q

Următoarele formule găsi t e de De Morgan.

sînt

corespunzătoare

4.5

� : p . q . :::.::: . ...... (""'- p V '""'-' q)

4.61

f-- :

4.52

1 -- : p . '""-' q . ::::::: .

4.5 ::3

f-- :

'"'"'

( p . '""'-' q) . :::.::: . '"'"' p V q

4.5 4

� :

......

p

4.55

1- :

'"

( ...... p . q) .

4.56

1- :

""'-

p . �� q .

4.57

f-- :

'"'"'

("" p . ...... q)

......

unor

legi

(p . q) . ::= . ...... p V "-' q

. q

==

.

.

( '"'- p V q)

'""-'

......

(p V

=

. pV

==

'""-'

q)

"-'

q

. '"'- (p V q) •

==

. pV q

Formulele care urmează se obtin din cele de m ai sus i me d i a t . Ele arată cum se pot 'transform a i m p l ica ţiile in s u m e sau în n egaţii de produse l o g i c e . =>

==

. "'"' p V q

4.6

f-- : p

4.61

� : ....... (p

4.62

f-- : p

4 . 63

f-- :

"-'

(p => -- q) . = . p

4.64

1- :

......

p

4.65

� : ,....., ( '""-' p

4.66

f-- : ,....., p

70

=>

q.

=>

""�

=>

=>

q) .

==

q. =.

q

•

.......

p V ,....., q •

q

= . pV q

=>

......

. p . ,....., q

q) .

:=

. ,....., p . ...... q

q = . p V "-' q •

3.7. Echivalenţa

�.67

1- : "" ( ..... p ::> ...... q) . == . "" p . q

�. 7

f- : . p ::> q . = : p

;.71

1- : . p

::>

.

::> . P . q

q . == : p . == . p . q

Âceastă ultimă propoziţie este foarte întrebuinţat ă . Ea îngădui e să transformăm oricare implicaţie logică i ntr- o echivalenţă, ceea ce - scrie Russel l - are avanta­ j ul de a asimila, pe cît se poate, logica simbolică cu algebra20• ne

4.7 2 �.7'....� �

1 -- : . p

L :, q . ,

::>

q .

::>

=

: q . = . pVq

: p. = . p . q

Această teoremă este deosebit de i mportantă deoarece arată că un factor adevărat poate fi omis dintr-un produs fără a a ltera valoarea de adevăr a produsului. = .

4.74

f-' : . "" p . ::> : q .

4.76

f- : . p ::> q . p ::> r . = : p . ::> . q . r

4.77

f- : . q

4.78 4.79 4. 8

pVq

::>

p . r ::> p . = : q V r . ::> . P 1 - : . p ::> q . V . P ::J r : = : p . ::J . q V r

f- :. q ::J P . V . r ::::> p : = : q . r . ::J . P f- : p ::> "" p . = . P .... J

4.82

f- : "'" p ::> P . = . P f- : p ::J q . P ::J ,..... q . = . ,..... P

4.83

f- : p ::> q . "" p ::> q . = . q

4.84

1- : . p = q .

4.85

1- : . p = q . ::J : r

4.81

::>

: p ::> r . = . q ::> r ::>

p . = . r:::> q

2 0 Principia Mathematica, voI . 1 , p .

1 26.

71

Logica polivalentii

4.86 4.87

1- : . p = q . :::) : p = r . == . q = r 1 - : . p . q . :::) . r : = : p . :::) . q :::) r : :::= : q . :::) . p :::) r : ;::=: : q . p . :::) . r

Acest ultim principiu include principiile de exportare, importare şi legea comutativităţii.

*

3.8. Propoziţii diverse

5.12

1- : p . q . :::) p = q f-- : p :::) q . V · ,....".. p :::) q 1- : p :::) q . v . p :::) "'" q

5 .13

f-- : p

q .v. q

:::)

P

5.14

f-- : p :::) q . v . q

:::)

r

5.15

1- : p = q V . p ::::::: "'"

5.16

f-- . --..., (p

5.1 5.11

•

:::)

•

::::;;::

q. p

=

q

...... q)

Nu este adevărat că p este echivalent cu q şi în acelaşi t i m p p este echivalent cu '" q .

5.18

1- : p V q · '" (p . q) . :::= . p ;::=: '" q f-- : p = q = . '" (p == '" q)

5.19

f-- . '" (p = ,......" p)

5.17

•

f-- : '" p . "" q . :::) . p = q f-- : . "" (p == q) . = : p . ...... q V . q . ,......" P 5.23 f-- : . p = q . ;::=: : p . q V . '" p . '" q 5.24 1-- : . ,......" (p . q . V . '" p . '" q) . == : p . "-' q . V · q . "" P 5.25 f-- : . p V q = : p :::) q :::) . q 5.21

5.22

•

•

•

•

Propoziţia aceasta arată că am fi putut lua implicaţia ca o idee primitivă deoarece disjuncţia poate fi exprimată cu aj utorul ei. 72

3.8. Propozitii di'l:erse

Russell nu a procedat aşa, fiindcă în cazul acesta ar fi avut nevoie de mai multe propoziţii primitive.

5.3 5.31

1 - : . p . q . :J . r : = : p . q . :J . P . r 1- : . r . p :J q : :J : p . :J . q . r

5.32

r-- : . p

5.33

r-- : . p . q

5.35

1-- : . p :J q . P :J r .

5.36

1- : p . p

. :J .

q=r : - : p. q . =. p . r

:J

=

:J .

r. = : p : p . q . :J

p .

:

q. =. q . p

:J .

�

q

r

_

q

5.41

1- : . p :J . P :J q : = . p :J q r-- : . p :J q :J . P :J r : = : p .

5.42

r-- : : p .

5.44

r-- : : p

::J

5.5

r-- : . p

. ::J

:p

5.501 r-- : . p

. ::J

:q.=. p=q

5.4

r

.

:J .

.

::J .

q .

q

::J

::J

:

::J

r

:

= :. p

. p ::J r .

. ::J :

==

q :J r

. ::J .

q

r

: p . ::J . q . r

q .= . q

5.53

r-- : . p V q V r . :J . s :

5.5 4

1- : . p . q

= . p :V : p . q .

==

.q

5 . 55

1- : . p V q . = . p : V : pV q .

=

.q

5.6 5.61

1- : . p . "-' q . :J . r :

:J .

5.63

1- : . p V q .

5. 7

r-- : . p V r . = . q V r

5.71

r-- : . q :J "" r .

5.74

1- : . p . ::J . q = r

:

5.75

r-- : . r :J "" q : p .

==

.

P .

=

_

:

p ::J s . q ::J s . r ::J s

:p.

qV;

r-- : p V q . "-' q . = . p . '" q 5 . 62 r-- : . p . q . V . '" q : == . p V '" q =

:

p . V . "-' p . q

:J :

:

= : r .V · p = q

p Vq . r . = = : p :J q .

qV r

p . r

.

.

= . P ::J r

: ::J :

p . ......, q

.

= .r 73

B.

Calculul

cu funcţii

* 3.9. Funcţii propoziţionale În capitolul pre ce d e nt am tratat propoziţiile c a pe niş t e între gi , fără a ne interesa dacă a u sau nu o s tructură in­ terioară şi care p o a t e fi ea. Vom considera a cum , şi a ceastă s t ru ctură în calculul care p oartă numele , în

Principia Mathematica, d e "calculul funcţiilor propozi­ ţionale". Numele acestei p ărţi a l ogicii derivă din con­ ceptul fundamental de funcţie propoziţională, p c care îl vom e xp licita în c e l e ce urm eaz ă21. Fie , spre exemplu, propoziţia "Socrate este muritor". In calculul propoziţional a m fi simbolizat-o prin l itera p, deoarece este o propoziţie simplă ( nu include m ai multe A

propoziţii ) . Ceea ce nu sp une nimic c u privire l a alcătui­ rea sa. Ea este alcătuită dintr-un subie ct şi un pre di cat s a u , m ai general , dintr-un i n d ivi d , "Socrate", şi o pro­ prietate , "muritor", şi afirmă că individul are această proprietat e . Dar ş i " P laton e s t e m uritor", ş i "Aristotel e s t e muritor" e t c . ; propoziţii cu a ce e a şi formă, doar individul diferă. Dacă îl notăm în general cu x, forma comună a t uturor a cestora va fi " x este

murit or"

Cum x este considerat aici ca un individ varia b i l , expre­ sia n u mai reprezintă o propoziţie, ci doar un simplu crochiu, .. , u n vas destinat a primi o semnificaţi e22• Russell o numeşte funcţie propoziţional ă , iar pe x - argu­ mentul funcţiei propoziţionale23. 2 1 î n l u crarea l o r , Grundlagen der Nlathematik , voI . I ( 1 934) , Hilbert şi Bernsys l-au num it calcul cu p red icate, ut ilizînd pen tru ceea ce n u m im a ic i funcţie propoz iţională denum irea u e predica t . 2 2 B . Russell, Introduction to mathematical phi losophy, tra d . franceză , p . 1 8 8 . 23 Iată c e scriu autorii Principi i lor : " P r intr-o funcţie p ro p o ­

ziţională înţelegem ceva c a r e c o n ţ ine o variab i lă x ş i exprimă o prop oziţie de îndată ce lui x i se a tribuie o valoare" ( p . l.1 ) .

74

3.9. Funcţii propoziţiona.le

Imprumutînd simbolismul matematic şi notînd cu f proprietatea ("muritor") , e xpresia va putea fi reprezen­ t a t ă p rin

r (x)

.. j

s e va citi " x are proprietatea f" sau pur şi simplu "x .. ste r. Cît eodată privim şi proprietatea ca pe ceva varia­

�)il, putînd lua diverse valori : muritor, raţional etc. _-\tunci utilizăm pentru notare a e i literele alfabe t ului :;recesc cp, y, X, . . . ? (x) Y H reprezenta t o t " x arc proprietatea cp " , însă nici _r şi n i ci ? nu sînt determinat e . O pro p oziţie p o a t e fi adevărată sau falsă. O funcţie propoziţională poate deveni o propoziţie - şi prin aceasta adevărată sau falsă - cînd argumentul x şi proprietatea q:> c a p ă t ă valori determinate . Vom nota, pentru a face distincţie, valorile detel minate pe eare le poat e lua al'gument ul prin a,

b,

c. . .

I ar celc p e care l e poate lua

r,

g,

cp

prm

It . . .

Spre deosebire d e acest e a , x,

y,

z. . .

vor reprezenta indivizi variabili, Iar cp ,

y,

X· . .

proprietăţi variabile. Intr-o funcţie propoziţiona iă determ inată f (x) spre exemplu " x este muritor" - , argumentul poate lua va­ lori pentru care aceasta dev ine o propoziţie adevărată (de exemplu x = Aristotel ) , valori pentru care ea devine o propoz iţie falsă (de exemplu x = Prometeu) , dar în n i c i un eaz valori pentru eare eăpătăm o simplă înşiruire de cuvinte fără sens j de pildă "numărul şapte este muritor" (pentru x = numărul şapte) . Adică trebu i e să ne limităm -

75

Logica polivalentil

la acele valori ale argumentului care o fac să devină o propoziţie cu sens . Acestea formează "domeniul" funcţiei propoziţionale24• Un alt mod de a transforma o funcţie propoziţională dată "f( x) " într-o propoziţie (care poate fi adevărată sau falsă) este cuantificarea , şi anume cuantificarea uniIJer8ală sau generală şi cuantificarea p articulară sau exi8ten­ ţială . Prima se aplică cînd vrem să exprimăm faptul că funcţia devine o propoziţie adevărată pentru fiecare d in indivizii domeniului său , să z icem : a, b, c. . . Pentru aceasta vom SCrle : (x) . f ( x) , ceea ce înseamnă "f(x) pentru toţi x" sau "f(x) întotdeauna". Adică f (a) , f ( b) , f (c) sînt toate adevărate . Cînd sînt în număr finit, aceasta echivalează cu . . .

f (a) . f ( b) . f ( c) . . . asa cum rezultă din modul în care am definit conjuncţia l � gică . Semnul (x) pus în faţa funcţiei ca să indice această transformare se numeşte cuantificatorul uniIJer8al. Cînd cel puţin una din propoziţiile f (a) , f ( b) , f (c) . este adevărată, adică pentru cazul finit cînd . .

f (a) V f (b) V f (c) V . . . Vom scrIe : (3 x) . f ( x) , ceea ce înseamnă evident că "există cel p uţin un care f (x)" sau "f ( x) uneori".

x

pentru

2' Frege asimilează funcţia propoziţională ((x) , unde x poate lua numai valori d in domeniu , cu conceptul. Mulţimea indivi­ zilor a , b, c astfel Încît ((a) , f(b) , ((c) . . să f ie toate p ropoz iţii adevărate formează extensiunea conceptulu i (Grundgesetze der Arithmetik, v o I . 1, Jena, 1 893, § 3) . . . .

76

.

3.10. Idei primitive

Cuantificatorul (3 x) se numeşte existenţial sau p arti­ cular25• Astfel (x) . f (x) şi (3 x) . f (x) nu mai reprezintă n işte funcţii propoziţionale , ci nişte propoziţii . Frin urmare , deşi notat ca o variabilă, x nu mai reprezintă aşa ceva . Acelaşi lucru se petrece în matematică , unde integrala definită

�: f (x) dx este un număr şi nu o funcţie de x . De acee a , în asemenea cazur i , x se mai numeşte variabilă ap arentă sau legată. într-o funcţie propoziţională , f (x) , intervine însă o varia­ bilă reală sau liberă.

*

3.10. Idei primitive

După cum am văzut , calculul cu funcţii se constituie prin analiza mai adîncită a structuri i propoziţiilor , astfel încît e l nu exclude analiza făcută de calculul propozi­ ţiona l , c i , dimpotriv ă , şi-o incorporează în mod natural . î n consecinţă, ide ile primitive de l a care pleacă primul ( *3 .2) sint aici îmbogăţite . Le vom urmări din nou pe toate pentru a avea în faţă un tablou complet al lor . i . Prop oziţii elemer:ttare . Ele apar de fapt în ca1cul sub forma unor variabile c� pot lua drept valori propoziţii elementare . Aceste variablle sînt fie ca în calculul pro25 în logică - după canti tatea sub care este luat subiectul prop o z iţiile se împart în tre i categorii : 1 . singtdare : în care sub iectul este format d intr-un individ singular (de e x . "Aris t o t e l este muritor" ) ; 2 . universale : în care subiec tul este format d in toti indiviz i i u n e i anumite clase ( d e e x . "toţi oamenii sînt muritor i") ; 3 . particulare : în care subiectul este format d intr-o parte a ind iviz ilor u n e i anumite clase (de ex . "unii oamen i sînt muritori") . Analogia d intre acestea § i t ipurile de propoziţii ce se p ot o bţine d intr-o fu ncţie propoz iţiOlfal ă dată este transparentă.

77

[,ogica polivalentă

poziţional , p , q, r etc . , fie cpx, \)Ix, Xx, e tc .28, care , după cum am văzut în * 3 . 9 , reprezintă funcţii propoziţionale variabile ş i iau drept valori tot propozIţi i . Vom num i , după exemplul autorilor mai no i , orice expresie c u care operează calculul nostru , formulă . În a cest sens toate propoziţiile elementare sînt formule . 2 . Negaţia oricăre i formule , notată ca ş i în calculul propoziţiona l prin punerea în faţă a semnului "', este tot o formul ă . Am expl icat deja , În calculul propoziţiona l , care e s t e semnificaţia e i . 3 . D lsjuncţia a două formule (notată V ) este , de ase­ menea , formulă . 4 . Cuantificarea . În sfîrşit, dacă într-o formulă apare o variabilă de indivizi , spre exemplu x, reală sau liberă (vedeţi * 3 .9) - formula putînd fi scrisă atunci sub forma A ( x) -, înseamnă că ea e s te o funcţie propoziţiona) ă avînd drept argument pe x. Aşa , de pildă , p V cpx. In acest caz variabila respectivă poate f i cuantificată într-unul din cele două moduri . Ad ică tol. formule vor fj considerate ( x)

A

(x) şi (3 x) A (x) .

Inţe lesul lor este , po trivit cu înţe lesul celor doi c uant i­ ficator i , "pentru toţi x , A (x)" , şi respectiv "există unii x pentru care A ( x )"27 . O bservaţie . Ap l icînd de două ori operaţia de cuantifi­ care , s e poate ivi următoarea situaţie : formula A ( x) să conţină deja un cuantificator pentru variabila x , ca tn cazu l

( x) . �x V . cp x .

(1 )

Dacă am cuantifica acum variabila liberă x din membrul doi al disjuncţiei , spre exemplu cu cuantificatorul parti­ cular ( 3 x) ( 3 x) : ( x) . �x . V . cpx, 26 Pentru s i m p l ificare vom e l i m in a p ara n t eze le d i n scrierea func ţ i i l ol' propoziţionale în loc de 'll (x) punînd 'll x . 2 7 Formula A ( x) se numeşte în a c e s t c a z domenittl (de acţiune) al cuantificatoru l u i ( x) , respectiv ( � x) .

78

3 . 1 1 . Propoziţii primitive

nu am şti la care d in ce i doi x se referă acest cuantificator . Evităm această confuzie posibilă schimbînd cu y notaţia variabilei x legate sau a cele i l ibere d in (1) . At unc i for­ mu la obţinută în final va fi :

(3 x ) : ( y)

.

O/Y . V . � x

Ş I m C I o confuz ie nu mai este posibilă . Se presupune de obice i că toate formulele s înt construite În fe lul a cesta . Cu aj utorul idei lor primitive de mai sus , exact ca în calculul propoziţional , se pot defini conjuncţia, ilupli­ caţia ş i echivalenţa28 • Adică

=

.

"""'-' ( """'-' p V '" q)

Df·

- conjuncţia :

p . q

- implicaţia :

p -:J q . = . "' p V q

Df·

- echiva lenţa :

p = q . = . p -:J q . q -:J p

Df·

.

Vom nota exact ca în calculul propoziţional despărţirea părţi lor unei formule prin puncte ş i vom util iza semnul de aserţiune "f--" pentru propoziţiile al căror adevăr este postulat (propoziţiile prim itive sau axiomele) sau a l căror adevăr a fos t demons trat (teoreme le) .

* 3.11. Propoziţii primitive Ca ş i calculul propoziţiona l , ce l cu funcţii p leacă de la o serie d e propoziţii primitive . Pe baza lor se demon­ strează apoi teoremele calculului . Mai întîi s e includ printre acestea toate propoz iţiile pri m itive ale calculului propoziţiona l . Prin urmare teore­ mele ce se puteau demonstra acolo se pot demonstra şi C u p r i v i r e 1 ", d d i n i ţ i e , i n g B s înt formule adevărate ale calcululu i cu f un cţ i i , B este , de asemene a , o formulă adevărat ă . S ă t recem acum la demonstrarea a cîtorva asemenea propoziţii adevăra te30•

1- : (x) .

TL

"Dacă

. ( :3 x) . 9x

are loc întotdeaun a , atun ci are

loc

s' i uneor i" .

Demonstratie . Prin subst i tutie în teorema 2 .05 ( Syll) a calculului p ropoz i ţ ional ol; ţinem :

[ Syll - -----.- ----- r;).'];] 1- : : (x) . 9x. :::> . 9Y : :::> (X) . 9X, 97f , ( 3X) . Il ,

q,

r

--

: . ? !I . :::> . ( :3 x) rpx . : :::> : (x) . rpx . :::> . ( 3 x) . (p .r . D i n aceas t ă formulă , prin regula modus ponens , uti l izînd p c r înd a xio m e l e 1 . 8 ş i i . 9 , găs i m teorema Ti .

(x) . rpx . :::= . (3 x) . "-' rpX31 Pcntru dl'monstraţie o vom Împ ărţ i în c e l e două imp l i ­ caţ i i , d i n care , după definiţia 4 . 0 1 , se com pune orice echivalenţă .

T2

f- :

30

"-'

Ord i n c :l , n ! l m er o t area şi d � m () n s t l'a ţ i a

lor

va f i e e a

d i n Hi lbert

�i Beroays, G'rulld !ugell cler .'Ha thrmn t i k , 1 , c d . a I I - a , 1 9 6 8 , § 4 . 31 (x) . (jl .Y r'· p r�z i n tii. n e ţ:!a ţ i a formu l e i ( .r) . ']l x ; a ci i � rl _

- [ ( x) .

yx

. :::>

:

( .1') .

yX

.

:::>

•

.

(x)

yx

Impl ică întot d c a un ct ljix, atunci ,,«x întotd�a. ,,�x întotde L\una" .

una" implică T12

1- : . (x) . t'{J x

T 1 G�\

f-- : . ( x) .

TIGh

f-- : . ( 3x) .

TI7a

f-- : . (x)

.

T17b

f-- : . (,r)

.

:-J

yx

t'{J X =:J P . t'{J X ::J P

. �.

: (3 x) ,

';;' x . :::>

= : ( =:' x) . «x .

t'{J x = yx . yx =::: yx .

==

:

(x)

�

:

(x) .

� :

( ::: x)

•

•

(J x l

.

�),T

. = . P

y X . :::; . p t'{J x . ::= . . ,? x . ==

( x)

.

ljix

. (3 x ) . 1,)1.1;

* 3.13. Teoria tipurilor S-ar părea că , prin ordinea ş i rigoarea introdusă de s imbo l i ca ş i tchnica form a l ă , raţ. ionament ul s-a redus la nişte operaţii atît de s imple şi de elementare încît orice teamă de greşea l ă dispare . Calculel e îşi efectue ază fără greş sarcina , ducîndu-ne infailibil l a rezultat . Totuşi nu 86

3.13 Teoria tipurilor

"'5te aşa . Simbo lurile înseşi pot deveni în orice moment dintr-un aj utor o p iedică prin confuzi ile la care pot d a naştere . Ş i a c e a s t a i m e d iat ce , p ierzînd d in vedere semn i ­ ficaţia logică pe care le-am acordat - o , începem să l e m a­ nevrăm a u to m a t . Astfel , o dată c u edificarea logicii form a le , au apărut in cadrul ei şi primele paradoxe expuse formal . Burali­ Fort i , Cantor , Russ�ll e t c . au cxpus tot a t itea antinolll i i care au zguduit put ernic intreaga teorie , o b l i gînd-o să-ş i i a măsur i l e c uvenite d e se curi tate . Pentru a vedea mai îndeaproape cum stau lucrurile , vom expune unul din aceste paradoxe care întrebuinţează doar notiunea de functie propoz itională s, i a fost g ă s i t de Rus�.dl , ' in 190534. ' Să examinăm un pred ica t oarecare : dacă are propriet a ­ tea exp r i m a t ă d e e l însuşi , vom spune că are proprietatea de a fi predicabi l ; în caz contrar , arc proprietate a de a ti impredicabil. De exemp l u , predicatul "abstract" este e l însuş i abstract , dec i este predicab il ; d i mpotrivă, pred ica­ t u l "mam ifer" nu este el însuşi mam ifer , deci este impre ­ dicab i l . Un predicat are s a u nu proprIetatea p e care o exprimă, este deci predicabil sau impred icahi l , tertium non datur. in particular p re d i ca t u l " i m p r e d i cab i l " trebuie să fie predicabil sau impredicabi l , o a treia pos ib ilitate nu exist ă . Dacă este predicabi l , atunci admite proprietatea expri­ m ată de el însuş i , deci este impredicabil ; dacă este impre­ dicabil , atunci are proprietatea exprimată de el însuşi , deci este pred icabil! Contradicţia apare ş i m a i clar , traducînd în s i mbolis­ t ica calculului cu funcţii acest paradox. Notînd cu Imp predicatul "impredicabi l" , căpătăm o funcţie propozi­ ţ ională care p oate avea drept argumente tot predicate Imp (i./I) . Definiţia sa este Imp (i./I ) = � i./I (i./I) 34

Df·

Pentru aceasta ş i p entru alte paradoxe vez i lucrarea noastră

Soluţia paradoxelor logico-matematice, E d . ştiinţif ică , 1 96 6 , cap . 1 1 1 .

87

Logica polivalentă

",� este impredicabil dacă şi numai dacă � nu are proprie­

tatea �" . Aceasta are loc pentru orice pred icat �, ş i în particular pentru predicatul Imp , adică pentru � = Imp , în care caz ob ţinem : Imp (Imp) =

"-'

Imp ( Imp)

Propoz iţia «"impredicabil" este impredicabil » estc echi­ valentă cu propoziţia «"impredicabil" nu este i mpredi­ cab i l » , ceea ce este absurd . Russ e l l consideră că asemenea paradoxe s înt de natură pur logică ş i se nasc din nesocotirea "principiului cercului vicios" (viciou8 circle principle) . Acesta spune că ceea ce presupune o colecţie luată în t o t a litatea e i nu t rebuie să fie un membru al colecţiei35 • P.red icatul "impredicab il" nu poate fi un membru a l colecţiei predicatelor impredi­ cabile , cu alte cuvinte nu poate fi afirmat despre sine Însuşi . Pentru a asigura respectarea acestui principiu , e l împarte proprietăţile în tipuri, cre înd ceea ce s-a num It teoria tipurilor. In ce cons t ă ea? Russell distinge m a i întîi "indivizii" , adică obiectele care nu s înt proprietăţi (tipul zero) . În cadrul proprietă­ ţilor, el distinge următoarele tipur i : proprietăţile indivi­ zilor (tipul întîi), proprietăţi l e proprietăţilor indivizilor ( t i­ pul doi) etc. Să luăm ca exen plu de mdivid corpurile ; în ca­ zul acesta , "triunghiul ar" , "roşu" sînt proprietăţi de tipul întî i , iar "proprietate spaţială" , "culoare" s înt proprietăţi de tipul doi e t c . Teoria tipurilor afirmă că o proprietate de tipul întîi nu poate să aparţină decît indivizilor (sau să nu le aparţină) ; în nici un caz ea nu poate fi atribuită proprietăţilor de tipul întî i sau de tip superior . O proprie­ tate de tipul doi nu poate să aparţină (sau să nu aparţină) decît proprietăţilor de tipul întîi , nu poate fi atribuită indivizilor , proprietăţilor de t ipul doi sau de tip superior ş .a . m .d . Spre exemplu , dacă a şi b sînt corpuri , propo­ ziţiile "a este triunghiular" , "b este roşu" sînt adevărate sau false şi în orice caz au sens , pe cînd "a este proprietate spaţială", "triunghiular este roşu" s înt lipsite de sens , 3. Principia Malhemalica , voI . I, p . 4 0 .

88

3.14. Consideraţii generale

nu au decit aparenţă de propoziţi i . Asemenea pseudoenun­ ţuri sînt evitate , atribl!ind o proprietate de tipul n doar une ia de tipul n - 1 . In particular , ceea ce este impor­ tant pentru no i , o proprietate nu-ş i poate f i atribuită e i însăşi . Expre s i i c a ...... Iji (Iji) , Întrebuinţată î n defin iţia precedentă , s înt declarate fără sens şi prin urmare excluse . În acest fe l paradoxul "impredicah il" nu mai apare38•

* 3.14. Consideratii

generale

Atît calculul propoziţional b ivalent cît şi cel al func­ ţi ilor propoziţionale s înt , după cum se vede , destul de simple . Din cîteva propoziţii primitive se s coatc întreaga serie de teorem e . Trebuie observat însă că principiile logicii clasice - dubla negaţie , principiul contradicţiei, principiul t erţiului exclus , principiul s i logismului - s înt teoreme în logica b ivalentă , adică propozIţii demonstrat e , n u admise axiomatic , ş i anume următoarele teoreme ale calculului propoziţional : ::J

::J

2 .06

1- : . p ::J q

2.11

(principiul terţiului exclus)

3.�4

1- · p v ...... p 1- . ...... (p . "-' p )

4.13

1- . p = ""' ( ......, p )

(principiul duble i negaţii)

•

: q ::J r .

•

P ::J r

(princip iul silogismului)

(principiul contradicţie i)

36 î n prima ed iţie a Principiilor ( 1 9 1 0) apăreau , p c l îngă dis­ tincţiile d intre tipuri, d istincţii de ordine Între funcţiile propo­ ziţional e , sub numele de "teoria ram ificată a t ipurilor" . Aceste dis t incţii însă îngreuiază mult, dacă nu fac chiar imposibil, pro­ gramul urmărit de Whitehead şi Russe l l , de a exprima cu ajutorul aparatu lui logico-matematic întreaga matematică . Astfel încît ei se văd nevoiţi să introducă o nouă axiomă : axioma de reduc­ tibil itate (axiom of reduci bility) . Aceasta Însă conduce l a n o i paradoxe . î n urma critic ilor aduse de Chwistek ş i Ramsey, autorii Principi i lor au renunţat î n ediţia a doua a acesteia, din 1 9 2 5 , la teoria ramificată a t ipurilor ş i l a axioma de reductibilitate .

89

Logica polivalentd

Cu aj utorul acestui s istem , Russe l i , ca ş i predecesorul său G. Frege , urmărea aşezarea mate maticii pe baze logice , derivarea conceptelor ş i a propoziţiilor acesteia din con­ cepte şi propoziţii logice . lJe a ic i şi nevoia de a asigura atît e conomia cît şi rigoarea s istemuluI � ă u , căci prin e l urma să se c larifice natura concept e lor ş i a raţionamen­ tului matematic. Logica astfel construită diferă fundamental de logica clasică propriu-zisă ş i , în primul rînd , de aceea a l u i Aris­ totel. Intuiţia este elimmată , simbolul căpătînd put ere absolut ă . La început , scrie Hilbert , este semnul. Numai c ă , aşa cum observa ş i Leon Brunschvicg, "în s imbo lul însuşi răm îne totdeauna un reziduu oarecare de intuiţie"37. Caracteristica generală a logic i i , aşa cum o concep Russel l , Hilbert şi ce ilalţi logicieni matematicien i , o constituie e x tensionalismul. Fie că studiază relaţii Între propoziţii , ca în calculul propoziţional , fie că studiază relaţIi Între obiecte şi indivizi , ca în calculul cu funcţi i , o face de fiecare dată luînd în cons iderare în m o d exclusiv aspectul extensional al acestora ş i neglij înd pe cel inten­ sional sau de conţinut. Simplificarea astfel adusă logicii tradiţionale conduce la aşezarea calculului într-o schemă extrem de simplă , schemă care a fost pusă în evidenţă pentru calculul propoziţional de L. Wittgenstein . Să reluăm o funcţie de adevăr e lementară oarecare , de exemplu :

f (p , q)

=

pV q

Fie un caz concret : p

q

=

=

afară plouă (afară) ninge

Ce spune d isj uncţia logică "afară p louă sau ninge"? Nimic altceva decît că , dacă afară p louă , plouă j dacă afară ninge , ninge j dacă afară p louă sau ninge , p louă sau ed.

90

3' L. Brunschvicg, a

Les e lapes de la phi losophie malhematique,

I I I-a , Paris, 1 92 9 , p.

400.

3.14. Consideraţii generale

!linge e t c . Cu a lte cuvÎnt e , funcţi i le de adevăr nu ne pot informa cu n i c i un chip despre lumea exter ioară , e le nu �xpr i m ă nici un comp ortament efectiv . Există însă două �azuri extre me a le func t i i lor d e adevăr . Sint functii de ' adevăr care s înt adevăra te , oricare ar fi v a l o r i l e de a devăr ale argument e l o r ; a l te l e s înt false , orice v a lori de adevăr am atribui argumentelor. De p i l d ă , l un c ţ i a s i rr p l ă

f (p )

"ste

=

p \j '"'"' p

a devărat ă , f i e eă p este a d e v ăr a t , fie tautologie . D i m p o tr i v ă , funcţia

·� s t e o

că

e s t e fa l s ; ea

f (p ) = p . '"" p

fa l s ă , f i e că p e s t e adevăra t , f i e e rt e s t e fa l s j ea e s t e n u m i t ă de vVittgenstein o contradictie38 • Însă iată ce se -întîmp l ă : dacă exa rr: inăm teore m e l e d in Princip ii, date m a i înainte cu n n m erotaţ13 res p c d:iv ă , n e eonv ingem imed iat eă e l e s înt tautologj i . Fie , d e e xemp l u , t e orema

" ste

2 .2

f- : p . � . p V q

Să e omt r u i m tab e l u l res p e c t i v , cum am făcut c înd am stud iat funeţ i i l e de a devăr :

p

q

pVq

A F A F

A A F F

A A A F

[p . I

�

. pV q

A A A A

Teorema p . � . p V q e s t e adevărat ă totdeauna , nu m a i d e p mde de adevărul s a u fa l s ita t e a argumente lor p şi q . :Se poate vedea în acelaşi mod , pentru oricare d in teore m e l e de m a i sus , că s înt tauto lo�i i . Termen i i " t a u tologie" ş i " c o :1 tra d i c ţ ie" , Î n sensul u t i l izat d atorcsc l 'l i WittgeDsteiD (Tracta tus Logico-Phi losophicu� , (.. 4 6 ) . E l e nu s' r d c ră la d q .

=

.

......., ( p

.

......., q)

« "p i m p l i că mate r i a l q" Înseamnă "este fals că p este adevărat şi q fals" 1) . Defin i ţ ia i m p licaţie i str icte a l u i Lewis va f i , între b u in­ ţ înd pentru noţiunea de i m p licaţie strictă , s imbolul ,. -< " , p -< q .

=

.

""' O ( p

. ,......, q) ,

« "p i m p l ică strict q" înseamnă "nu este logic p osib i l (e ste . imposi b i l ) ca p să fie adevărat ş i q fa ls"

1) .

Cu a ceasta , Lewis a firmă că i m p l icaţia strictă conţ ine imp l icaţia materială aşa cum apare în

matica ,

Principia Mathe­

ca pe un sistem parţia l , şi ma i cuprinde o parte

sup l i mentară ,

re la ţ i i le

în

intensiune .

Iată însă care este reforma importantă în sensul nou pe care - l dă Lewis i m p l i caţie i . E l introduce o nouă va loare pentru propoz iţ i i , în afară de adevăr ş i fals :

posibilitatea .

Cu aceasta începe să f ie con s i derată o propoziţie din punc­ tul de vedere al m o d a l ităţ i i ei ş i vom găs i pentru propo­ z i ţ i i mai multe va lori de adevăr. Logica i mp l icaţ i e i stricte

este

prin

u rmare o

logică

po l iva lentă .

97

Logica polivalentcl

Primul care a introdus moda l itatea în ca lculul logic a fost Hugh Mac Colls în anul 1906, pe lucrările căruia se sprij ină , de altfe l , şi Lewis. Mac ColI cons idera , în afară de adevărul şi fa lsitatea une i propoziţii , moda l ităţile j ude­ căţii : "necesitatea" , "realitatea" (adevărul) şi "posibi­ litatea" . După Mac Col I , judecăţile au următoare le pre­ d icate fundamentale : necesar (certain) , imposibil (impos­ sible) , adevărat (true) , fals (false) , variab il (ţ>ariable) . Variab il înseamnă a ic i "nici necesar şi nici imposibil" , adică posibi l adevărat sau posib i l fa ls. Ma i precis , afir­ maţia că este posib i l ca o propoziţie p să fie ade vărată sau fa Isă Înseamnă că este nesigură , "uncertain" . Se vede c ă , spre deoseb ire de sistemul lui RusselI , noţiu­ nile introduse de Mac Col I , şi În legătură cu el de Lewis , corespund şi l imbajului obişnuit. Lewis şi-a num it logica sa , după noţiunea care - i stă la hază , "Sistemul impl icaţie i stricte" (System of s trict implicationp .

*

4.2. Idei primitive (nedefinite)

Ide i le fundamenta le de la care p leacă Lewis pentru a construi sisteme le implicaţie i stricte s înt următoarele : 1 . Propoziţii : p, q, r etc. 2 . Negaţia : '" p , care înseamnă "p este fals" sau "non-p" . 3 . Produsul logic : pq sau p . q (punctul ca semn de des părţire f i ind ut il izat doar cînd termen i i produsului sînt expresii comp lexe) . El are semnificaţia de "p este adevărat şi q este adevărat" sau "p şi q s înt ambe le ade­ vărate" sau simplu "p şi q" . 6 Hugh Mac co n , Sym lo lic Logic and i ls arp lica t ions , L ongman s , L o n d o n , 1 906 . 7 D is c ip o l i i l u i Lew i s au (' d i fieat s isteme a s e m ă n [tIO are ; d e I' x l'm p l u W. Parry, J. E. Ne-L OD e t c . D in c u p r i n s u l acest u i c a p i t o l vom v e d e a e,i e x i s t ă d e f a p t m a i m u l t e s is t e m e a l e i m p l i c a ţ. i e i s t r ic t e .

98

4.3.

Definiţii

4. Posibilitatea sau compatibilitatea cu sine însăşi (self consistency) : O p , care Înseamnă "p este posib i l" sau _.este posib i l ca p să fie adevărat"B . 5 . Echi..,alenţa logică : p = q , care este în ace l aş i t i m p ŞI re l a ţ i a d e def iniţie .

*

4.3. Definiţii

În terme n i i produsu l u i logic ş i a i negaţIe I , Lewis defi­ neşte relaţia pV q: "Cel puţin una d in tre propoz i ţ i i le p şi q fOste adevărată" , adică

1 1 .01 unde

pVq . pV q

=

. .......

( -- p

'"

q)

c it ită "p sau

poate fi

q" .

Impl icaţia strictă este definită c u aj u toru l nega ţ Ie I , posib i l ităţ i i ş i produs u l u i l ogic , aşa elim am menţionat .

l 1 .02 p

-
a )l\a Dacă este necesar , partea stă semnul I va fi închisă

* 6.4.

unei formule în faţa căreia în paranteze .

Constantele .,:, : . , ::,

::::>

, 1\, ::::> C , ( , ) , D

Cum am spus, o teoremă se va recunoaşte după semnul pus înaintea e i , iar o axiomă după semnul "I-t-". Defin iţia va fi indicată de semnul i). in acest paragraf vom da cîteva axiome heytingiene. precum şi teoremel e care se deduc din e l e . Demonstraţia se va face pe baza reguli lor de adjuncţie , modus ponens şi substituţie. Vom indica sub o teoremă modul ei de demonstraţi e , aşa cum s-a procedat şi in celelalte s isteme. Să în ce p e m , aşadar , să scriem lista propoziţi i l or adevărate din logica intuiţionistă , care se referă la constantele anun­ ţate în titlul acestui paragraf (axiome ) .

,,1-"

2 .1

:-t- .a::::>a!\a

2 .11

t- 1- .

a

2.1 2

1- 1-

a ::::> b .

2.13

1- t- . a

216

.

1\ b ::::>

::::>

b 1\ c ::::>

•

•

a 1\ c ::::> b!\ c

b . 1\ . b

::::>

c

.

::::>

•

a ::::> c

6.4. Constantele . , : , :., ::,::l,/\, ::le,

(,J,i).

Acesta este "princ ipiul silogismului". 2 . 14

1-1-- . b ::J a::Jb •

Dacă b este adevărat , atunc i el este implicat de propoziţie a.

OM

ce

2 .1 5 f- f- . aA . a ::J b . ::Jb Dacă a este adevărat şi a i mpl ică b, b este adevărat. 2 . 01

f - . a::Jcb . D

.

a::J b . 1\ . b::Ja

Propoziţia 2 .01 defineşte semnul nou introdus ,,::J c", de ech iva lenţă , şi anume : a spune că două propoziţii a şi b sint echivalente înseamnă a spune că prima i mpl ică pe a doua şi , în acelaşi timp , a doua impl ică pe prima. Este aceeaşi definiţie ca şi în logica russell iană, numai că Heyting utiliZl'ază pentru a pune în evidenţă această dublă implicaţie , dublul semn de implicaţie ::J c". Să considerăm acum şi une le teoreme derivat � din aceste axiome . Demonstraţie:

[2.14 J 1-· a ::J . b ::J a � ::J [2 . 12J 1-. aAb::J . b::Ja .l\b . ::J [2 .15Ja Să urmărim această demonstraţie scrisă in simbol istica lui Heyting. Primul rind reprezintă axioma 2 . 1 4 . în baza axiomei 2.12, care afirmă că membrii unei implicaţii pot fj "inmul­ ţiţi" (conj unc taţi) cu acelaşi factor, în speţă b, aceasta i mplică expresia: aAb::>. b::J a .Ab care va fi deci , conform regu l i i modus ponens, adevărată . Din ultimul membru a l impl icaţiei deduc în baza axiome i 2 .15 propoz iţia a . Atunci principiul silogismului (2.13) ne asigură de impli­ caţia I u i a de către (J A b; deci teorema este demonstrată. %'17

Logica polivalent4

Nu vom face toate demonstraţiile teoremelor ce urmează. De altfel toate sînt destul de simple şi pot fi regăsite de cititor după puţin exerciţiu . 2 .2 1

1 -. a � a

2 .22

1-.a 1\ b ::J b

2 .23

1-.a � b

2 .24

f-- . a � b . 1\ . a::J C � C

2 .25

1-. b . 1\ .a � C

1\ . c � d . � . a1\c � b1\ d

•

•

•

•

a � b1\ c

� a � b1\ c •

Demonstraţie: [2 .14, 2 .12]

1-. b 1\ . a � C

� a � b . 1\ . a � C •

•

::J

•

a � bl\c

(2 .24] 2 .26

•

1-. b � . a � al\ b

Demonstratie: [2 .21 , 2 .14]

f-- .b � .a � a

[2 .14] [(1), (2) , 2 .24]

f-- b � . a � b

2 .27 2 .271

f--

:

(2)

f--.b::J.a � a.1\ .a � b. � .a � al\b

a � .b � C:::JC al\b.::Jc

1- : a::J.b � C : ::JC : b � . a::J G

Demonstraţie: f-[2 .27] [2 .11 , 2 . 13]

a � . b � c : � : a1\ b: � C : � :

:

bl\a � c : � : [2.27] b � . a � G

2 .28

1-. a � C

2 . 281

1-: a � b � : a � . c � b

2.282

1-.a1\. a 1\b � c

218

(1)

.

•

� a1\ b � C •

•

•

�. b � c

•

6.5. Constanta V

Demonstraţie: r2 .27, 2 .12]

r2.15]

f--:a/\ a/\b =:> c :=:> : a/\ :a=:>.b =:>C:=:> : •

b =:> c

1-: a=:>b . 2.291 f-- : b =:> C

=:>:b

) -' .29 2.3

•

=:>

1- a/\b./\ .

=:>c.=:>.a=:>c

: a =:>b .

C

•

=:>

•

=:>

•

a=:> c

a/\.b/\ c

Demonstraţie: :2.2, [2.22 ,

2 .28]

f-- . aAb. I\c. �a

2.12] 1- .al\b./\

(1) (2 )

=:>b/\c

c .

:!1), (2), 2 .24] 1- 2.3 2.31

1-- .a/\ b./\ c

.

=:>

•

b/\

2.32 1- .a/\ . b/\ c . =:> a/\b Demonstraţie: •

a

.

.

/\ c 1\ c

[2.11] f-- .a /\ .b/\c.=:>.bl\c./\a.=:>. cAb./\ a.=:>.[2.3] c/\ .bl\a.=:> . b /\ a . /\ c . =:> [2.31] a/\b ./\ c

�2.31] ;2.11]

•

2.02

1--

2.33

1- a/\ b/\ c � C a/\ c/\b � cb /\a/\ c etc .

2.10

1-'. a

* 6.5.

.

a 1\b /\ c. D.a/\b. /\ c =:>b

. 1\ b =:> c .

Constanta

.

1\ . c

=:>

d .

=:>

•

a �d

v

Vom re da teoremele stabilite de Heyting faţă de semnul " V " de disjuncţie logică , fără a mai scrie şi indicaţi ile demonstraţii lor corespunzătoare , deoarece acestea sint foarte simple. 219

Logica polivalentlf

3.1

1-1- a -:JaVb

3 .11

f- 1- aVb -:J bVa

3.12

f-I- . a -:J e . 1\

.b

3.2

f- . a Vb. V e.

3.21

1- aV. bVe.

-:J

-:J .

-:J.

(;

-:J

. -:J . aV h

C

a V . bV c

aVb. Ve

3 .01

1- . aVbVc. i). aVb. Ve

3.22

1- ava

-:J a

Dfmonstratie:

[2 .21 ,

( : ) (�)

Adică: 2.21

3 .12]

f- . a :::> a

Substituţia 3.12

f- . a -:J a . 1\ . a

:

:::>

.

a

-:J

.a Va

-:J

a

Cum membrul Întîi al impl icaţiei este adevărat, şi al doi lea este adevărat .

.

1\ . c

3.3

1- . a -:J b

3 .31

1- . a -:J b. -:J .

3 .32

1- . a-:J b .

3 .33

1- . aVb -:Jb .

3 .34

1- . a -:J b .

-:J

-:J

a

:::>

d.

:::>

•

aV c

:::>

bV d

1\ C -:J bV d

. aVb -:J b :::>

•

a -:Jb

. a V e -:J bVe

3.35 1- aVbVe-:JbVaVc:JaVcVb etc . 3.4

1- . a 1\ C V . b 1\ C :J . aVb

3 .41

1- . aVb . 1\ C

3 .42

1- . a 1\ b. Ve. :J

3.5

f- . a :J bVe. 1\ . b :J d . 1\

220

•

•

•

-:J

. a 1\ C

o

.

1\

c

. '1-.b 1\ C

. aVe. 1\ . bVe

. C :J

e

.

-:J

. a :J d V

EI

6.6. Constanta.-'

3.51

1- . a =:> bV c

3.6

1-: a V b =:> : a =:> b . =:> b

* 6.6.

A

•

b =:> d

.

•

A .

c

=:> d .

=:>

.

a=:> d

Constanta I

Interesante sint teoremele re feritoare la negaţia ,,1"; ele arată d i ferenţa d intre calculul intuiţion ist şi calculul obişnui t . 4. 1

f- 1- . la=:> a=:> b •

Dacă o propoziţie este fa lsă "Ia" atunci ea implică orice propoziţie "b". 4.11

f- 1- . a=:> b

A . a::J I b

•

•

::JI a

Dacă a implică b ş i in acelaşi timp a imp lică I b.. atunci a este fa lsă . Cu alte cuvinte avem regula cunoscută: dacă d intr-o propoziţie se pot deriva două propoziţii con­ trad ictorii , ea este falsă . 4.01

r- . II aDI (1 a)

4.2

f- . a::J b .::J.1 b::JIQ

Teorema 4.2 exprimă regula transpoziţie i fa ţă de i mpli­ ca ţia a=:> b. 4.21

1- . a =:>1 b. =:>

4 .22

1- . a =:> b

4.23

f- . a A b =:> c .

4.24

f- . a=:> b . 1\ I b .

.

=:>

•

b=:> la

. II a=:> I I b =:>

•

a

Ale=:> I b

=:>

Ia

Dacă a i mpl ică b şi în acelaşi timp b este fal s , atunâ a este fa ls . 4.3

f- . a=:> I I a

Z21

Logica polivalent4

o propoziţie adevărată a implică dub la absurd itate a lui a. Aceasta este "axioma lui Brouwer".

4.31

1- . la ::l III a

4.32

1-. I II a ::l I a

4.4

1- . a 1\ la::lb

·4.41

f-- . a 1\ la . Vb .

4 .42

1- . aVb . 1\ la . ::l b

4.43

1- . Ia::l . I b::l I (a Vb)

4. 4 4

f-- . I (aVb) ::l ela 1\ I b

4.45

1- . aV la .

::l.

::l b

II a::l a

Ce spune această ultimă formulă? Prima parte , anume aV I a, este principiul terţiului exclus ; aşadar , propo­ . 'Z iţia 4 .45 spune: dacă pentru o propoziţie a princ ipiul terţiului exclus este valabi l , atunci este valabilă pentru acea propoziţie I I a ::l a, care este conversa teoremei 4 .3 a axiomei lui Brouwer. 4 .46

1- . 1 aVb . ::l. a::lb

·4.53

1- . I aV I b::lI (al\b)

Vom avea încă c îteva teoreme interesante asupra dublei negaţii: -4 .6

f-- . IIa 1\ II b::l II (a 1\b)

4 .61

1-.I I (a 1\b) ::l IIa 1\ I I b

4. .62

f-- . IIaVII b::l II (aVb)

4 .63

f-- .II (aVb) I\ .laVlla . ::lllaVllb

După cele spuse mai îna inte, condiţialaVlla poate fi înlocuită prin aV la dar nu pri n-Ila::la . -4.7

I- . a::ll (bl\c) .::l. al\b::llc

4 .71

f-- . a::lbV IC .::l . al\C::l b

222

6.7. Axiomele intuiţioniste şi terţiul exclus

In

sfîrşit,

în

ceea ce priveşte terţiul exclus, avem urmă­

toarele teoreme:

�.8

f-- .11 (aV la)

�.81

f--- II (II a�a)

� .82

f--- . aV I a� b

4.83

f--- . aV Ia�I b.�I b

.

�

.

II b

Această formulă arată că principiul terţiului exclus poate fi utilizat totdeauna în demonstraţia unei propoziţii negative16•

4.9

f--- . a� b . �I (aAlb)

4.91

f--- . a V b� 1(1 a Alb)

4.92

f-- .aAb�I( laVlb)

* 6.7.

Axiomele intuiţioniste şi principiul terţiului exclus

Să strîngem la un loc cele

11

axiome intuiţioniste:

2.1

f--- 1- a�aAa

2.11

- aAb� bAa 1- f--

2.12

1- 1- . a� b .� . aAc � bAC

2.13

1- 1- . a� b A . b� c � . a� c

2.14

f--- f---

p.

•

18 Heyting,

52.

.

.

b� . a� b Die formalen Regeln der intuitionistischen Logik. 223

Logica polivalent4 (J A

(J ::::J

2.15

f-- 1-

3.1

r- 1- a -:::J a V b

3.11

.

•

b . ::::J b

1- 1- a V b -:::J bV a

3.12

f-- 1-

4.1

r-f- . i a-:::J . a-:::Jb

·4.11

f- 1- . a

.

a::::J -:::J

c

b

•

•

A

A

.

.

b ::::J C

. ::::J

a -:::J i b

•

•

aV b

::::J i

::::J

C

a

Heyting reuşeşte să arate independenţa acestor axiome printr-un procedeu formulat de P. Bernays17. Noi nu vom face aici aceste demonstraţii , dar vom utiliza , urmărind pe Heyting, acelaşi procedeu pentru a demonstra că in 'sistemul intuiţionist principiul terţiului exclus nu poate fi derivat ca teoremă . Pentru aceasta să considerăm că propoziţiile pot lua tre i valor i : "adevărul" notat cu O, "fals itatea" notată �u 1 şi, în sfîrşit, valoarea une i propoziţii care nu poate fi falsă , dar al căre i adevăr nu e doved it, notată cu 218 • Heyting dă pentru cele patru conective fundamentale nişte matrice , aşa cum am văzut că procedase şi Luka­ siewicz (*5.6) . Scopul său este ca toate teoremele demon ­ .strate să fie , în raport cu aceste matrice , nişte tautologii . Observăm însă, bazîndu-ne ş i pe cele arătate în capitolele anterioare , că pentru a indeplini acest dez iderat este suficient ca : 1. Cele 1 1 axiome să fie toate tautologii . 2. Matricea conjuncţie i să fie astfel defin ită Încît O AO = = O. 3 . Matricea implicaţiei să fie astfel definită incit .{) -:::J b O numai atunci cînd şi b = O. =

Cele tre i reguli nu determină complet matricele. Este iateresant de văzut cum foloseşte Heyting acest grad de libertate În scopul interpretării Într-un anumit fe I a conec• tivelor sale. 17 P.

BeraaY3,

MD;thematica",

11 A.

224

în

Untersuchung des AUII3agenkalkiils der "PI"incipia

"Mathematische Zeitschrift", 25 (1926), p. 305.

HeytÎag, op.

cit., p.

56.

6.7. Axiomele intuiţioniste şi terţiul ezclus

Pentru impl icaţie matricea este următoarea (pe c oloana d in stinga sint trecute valorile antecedentulu i , iar pe rîndu l de sus valorile consecventului) : 2 1 a ::::> b l O o

1

O O

1

2

O

O

0.0 • • • • • • • • • • • 0.0

1 O 2 O Vom încadra special cu linie întreruptă o submatrice a acesteia , şi anume cea care reprezintă valorile impl icaţie i rind atît a . cît şi b iau doar va lorile "adevărat" şi "fals" . C ititorul poate observa că în acest caz e a coincide cu impl ica ţia c lasică . Prin urmare , definiţia matricia lă dată de Heyting implicaţie i este o general izare a cele i c lasice , pentru cazul cînd propoziţiile pot lua tre i valori de adevăr. Am văzut la timpul potrivit că şi Lukasiewicz procedase tot la o astfel de generalizare , dar de pe a lte poziţii . Urmărind această matrice , observăm că a devărul este impl icat de orice (de c i şi de o propoziţie avind valoarea 2) , falsul implică orice (deci şi o propoziţie avînd valoarea 2) . S ingurele cazuri cînd imp l icaţia nu este adevărată rămîn (in afara lui O::::> 1) ce l în care amb i i termeni iau valoarea 2 (şi cînd implicaţia in intregime ia valoarea 2 , cum este , de altfe l , natura l in lumina interpretării pe care am văzut că o dă Heyting aceste i valor i ) şi ce l în care antecedentul ia va loarea 2, iar consecventu l va loarea 1 (falsu l) . Acesta d in urmă este singurul punct in care matricea lui Heyting pentru implicaţie diferă de cea a lui Lukasiewicz . Matricele pentru conjuncţie şi disj uncţie sint : 2 1 1 2 1\ I O V I O

O O 1 .- . . .

2

1

1 1

2 1

O O 1 O

O

1

2

. . . . . . . . . . . . ....

---------_....... . . . . .

2

O

2

2

O

2

În a cest fel , conj uncţia verifică condiţia cerută

2

O 1\ 0= O.

Matricele reprezintă general izări naturale ale conective lor 22�

Logica poliva lentă

clasice corespunzătoare. De a l tfel ele coincid întru totul cu general izările date de Lukasiewicz . Mai deoseb ită poate fi negaţia °

1

1

o

2 1

Aşadar , negaţia intuiţionistă a unei propoziţi i Crlre nu poate fi fa Isă, dar I1ici doved ită adevărată , este o propo­ ziţie falsă . Şi aici IWl.tricea lui Heyting diferă de cea a lui Lukasiewicz . În raport cu aceste matricI: putem ca lcula valoarea de adevăr a oricăre i formule cînd variabile lor propoz i� iona l e a l e acestora l i s - a u atribuit anumite valor i . D e e xemplu, în cazu l primei aXIOme a :J a !\ a ,

atribuind lui a pe rînd valorile 0 , 1 , 2, obtinem mereu valoarea O (adevărat) . O astfel de form u lă , după cum am văzut , se numeşte o ta'�tologie. C ititorul poate proba în acest fel că toate cele 11 axiome sînt tautologi i . Pentru a nu m a i pre lungi această di scuţie , e suficient să spunem că toate cele tre i condiţii enumerate la incepu­ tul acestui paragraf sînt îndeplinite. Prin urmare, orice teoremă intu iţionistă, adică orice formulă demonstrabilă în logica lui Heyting , este o tautologie faţă de matrice le sale trivalente . Rămîne să vedem dacă principiul terţiului exclus , ad ică formula aV I a , este o tautologie . Cînd a ia valoarea 2 , adică este o propozi ţie care nu poate fi falsă , dar a l căre i adevăr nu poate Ii dovedit , ţ inînd seama de matrice l e disjuncţi e i ", i negaţie i , obţine m : 2VI 2=2V l = 2 ş i prin urmare formula care exprimă principiul terţiului exclus nu este o tautologi e , deci nu face parte dintre pro­ poziţ iile adevărate in sistemul lui Heyt ing . Că asemenea propoziţii (ce nu pot f i fa lse, dar niCI dovedite ca adevărate) există Într-adevăr , ne-o probează 226

6.7. Axiomele intuiţioniste şi terţtul exclus

următorul exemplu din matematici, pe care Brouwer l-a găsit În 192519• Scriem dezvoltarea zecimală a numă­ rului 7t 3,1416 . . . ŞI sub e a fracţia zecimală p

=

0,3333 . . .

p e care o Întrerupem îndată ce Înşiru irea de cifre 01234567R9 a apărut În 7t . Dacă acest 9, din prima sec­ venţă de acest fe l care apare in 7t , este a m-a cifră după virgu lă, numărul p poate fi cu uşurinţă calculat, �i anume20 p=

10m - 1 3.10m

Să considerăm atunc i propoz iţia : "p este un număr raţiona 1" pe care s-o notăm prin a. În ipoteza că p nu ar fi raţiona l , dec i I a, ar f i i m posibil ca

p

-

10m - 1 . Prin urmare nici o secvenţă 0123456789 3 . 10m 1

nu apare in 7t. Dar atunc i p reprezintă suma progre­ sIeI geometrice infinite, care, după cum se ştie , este 1/3 ; ceea ce este , de asemenea , o absurditate . Presup u ­ nerea l a a dus I a o contradicţie . D u p ă definiţia negaţiei intuiţion iste (*6. 2) avem dreptul să afirmăm Ila. Pe de altă parte Însă , propoziţia a, adică "p este un număr raţional", nu poate fi demonstrată ca adevărată 18 L. E. J . 8roawer, Intuitionistische Zerlegung mathematischer Grundbegriffe , în "Jahresbericht d er deutschen Mathematischen Vereinigung ", 33 , pp . 251 - 256 . 20 P este în acest caz suma unei p rogresii geome triee finite

227

Logica polivalentă

căci a ceasta ar însemna că put , e m calcula întreg i i k ş i astfe l încît p

=

n

� , Dar atun c i putem fie să indicăm o n

secvenţă 0123456789 ce apare în dezvoltarea l u i 7t, fie să demonstrăm că nici o astfe l de secvenţă nu poate apare . Ceea ce , după cum se ştie , nu e cazu l . P ropoziţia a face parte dintre enunţur i l e cărora Heyting le a cordă valoarea 2 . Ea nu respectă principiul terţiului exclus . Dar se poate observa şi d irect că , deoarece II a este adevărat, pe cînd a nu poate fi demonstrată ca adevă­ rată , din I I a nu vom putea deduceA pe a. Aşa dar , a nu respectă nici " legea dublei negaţii". In logica lui Russel1 prin aceasta înţe lesesem echiva le n ţa 4 . 13

p =""" ( ....... p),

adică o propoziţIe este echiva lentă cu dubla sa negaţie . Echivalenţa poate fi descompusă în două implicaţ i i , care în log ica b ivalentă erau 2 . 12 2 . 14

p ::J ...... ( ...... p) ( p ) ::JP

'"

"-

În logic!! lui Heyting , prima d intre e le poate fi regăsită sub forma teoremei 4 .3 .

1- .

a

::J I

I

a,

adică o propoziţie impl ică dubla sa absurd itate , numită şi ax ioma l u i Brouwe r , pe cînd a doua nu apare pe l ista propoziţiilor adevărate . Aceasta deoarece enunţur i ca cel de mai sus , care au valoarea de adevăr 2, nu respectă , după cum am văzut , acest principiu . Adică , d in absur­ ditatea absurdităţii lor nu se poate deduce adevăru l lor. Pentru formula I I a ::J a, matrice le date de Heyting arată că :

şi deciAca nu poate fi dedusă d in axi ome , nefi ind o tauto­ logie . In general însă , în cazu l une i propoziţii pentru care 228

6.7. Axiomele intuiţioniste şi terţiul exclus

este valab il principiul terţ i u l u i exclus este va labil ş i prin­ c ip iul dublei negaţ i i , aşa cum ne arată teorema 4 .45. Demonstraţ ia pe care am urmăr it-o are un caracter mai mult formal , arătîndu-ne că d in axiomele şi re gul ile admise de Heyting nu se poate deduce pe cale forma lă expresia simbolică a Via. Din fe lul în care a fost efectuat ă , Se poate vedea totuşi că ea conţ ine şi o justificare intuitivă . Să încercăm a ne apropia şi mai mult de o asemenea justi­ ficare . Pentru aceasta trebuie să precizăm , o dată cu Hey­ t ing, faptul că logica intuiţ ionistă tratează în mod exclusiv despre propoziţ i ile matematice iar faptul că poate f i aplicată sau nu in a fara domeniului acestora nu îl preocupă cîtu�i de puţ in pe intuiţ ionist21• Orice propoziţ ie matematică afirmă că o anumită construcţ ie matematică , cu anumite proprietăţ i , a fost efectuată . Această construcţie demon­ strează propoziţ ia . Este evident vorba de o const ruc­ ţie mentală . De pildă , propoz iţia care afirmă ,,2 + 2 = = 3 + 1" e ste de fapt prescurtarea afirmaţiei «Am efec­ tuat construcţiile mentale ind icate de ,,2 + 2" şi de ,,3 + + 1" ş i am găs it că e l e conduc la ace laşi rezultat ))22. Afirmarea une i formule de logică care conţine variab i­ lele propoz iţ ionale a , b, c ... , privită în această nouă interpretare , apare echivalentă cu afirmarea faptului că d i spunem de o metodă de construcţie care prin particula­ rizare (specialization) ne furn izează construcţia cerută de propoziţia ce se obţine înlocuind variabilele propozi­ ţ i on a le a , b, c . . . prin propoziţ i i matematice particulare . De p ildă , afirmarea principiului terţ i u l u i exclus , a V I a, ar insemna că d i spunem de o metodă generală d in care , dată fiind o propoziţie matematică a, prin particularizare să obţinem f ie o demonstraţ ie a lui a, fie o demonstraţ ie a lui I a. Cum o astfe l de metodă nu ne stă la îndemînă , nu putem 'lf irma n ici principiul terţiului exclus . Acest 2 1 A. Heyting,

lntuitionism, p. 9 7 . Ibidem, p . 8. Construcţia mentală apare , aşadar, ca o expe­ rienţă evidentă în s ine . Nu putem intra a i c i în deta l i i asupra subiectu lui, p entru care c i titorul poate c onsulta : S. Koroer, Introducere în filozofia matematici i , Ed . ştiinţifică, 1965, cap. VI şi VII. 22

229

Logica polivalentif

fapt, de a l tfe l , va apare şi mai pregnant în * 6 . 1 2 , urmărind interpretarea pe care Kolmogorov a dat-o calculului intui­ ţionist .

* 6.8. Observaţii asupra calculului propoziţional intuiţion ist Principiul terţiului exclus şi principiul dub l e i negaţii nu sînt singure le legi clasice care îşi p ierd valabi litatea în intuiţionism . Să urmări m pe scurt şi a lte asemenea cazuri . Una d intre legile clasice importante era transpoziţia : 4.1

f-- : p :J q . = . "-' q :J "-' P În logica l u i Heyting găsim teorema :

4.2

f-- . a :J b . :J I b :J I a .

Reciproca e i însă , I b :J l a . :J

.

a

:J b,

nu are loc . De asemenea, echiva lenţa materială 4. 56

f-- : ""-' p . ......., q . = . ,....., (p V q) ,

una din cele două legi ale l u i De Morgan , Îşi are a.na loga e i printre teoremele demonstrate de Heyting , ş i anume : 4.44

f-- . I (a V b) :J C I aAI b,

pe c înd cealaltă lege a l u i De Morgan , 4 . 51

f-- : ......., (p

.

q) . = . "" p A '" q ,

n u m a i este valabi l ă d i n punct d e vedere intuiţionist . Am menţion a t teorema • 4 .53

1- .

I

aV I b :J I (aA b ) ,

dar implicaţia inversă nu are loc . 230

6.9. Calculul cu funcţii inturttonist

o a ltă relaţie importantă este echivalenţa

:- . I I a /\ I I b :::J C I I (a /\ b) , B (x) putem deduce A din B (x)

::::>

::::>

(x) B (x) , iaf

A putem deduce (3 x) B (x)

::::>

A.

Fără îndoială însă , nu toate teoremele c e puteau fi demonstrate în logica bivalentă rămîn valabile a ici . Spre exempl u , orice teoremă de dusă acolo cu ajutorul legii duble i negaţi i , în intuiţionism nu va putea fi demonstrată. De altfe l , Heyting a urmărit ru grijă toate consec inţele ce decurg din lipsa acestui principiu2• • Una d intre e le este faptul că între cei doi cuantificatori - universal şi particular - nu ma i există legătura simplă exprimată prin echivalenţele ( teoremele T2 ' şi T3 d in *3.12) : "'-' ( 3 x) '" (x)

.......

'"

ql

ql

x .

x .

==

=

.

.

(x) !il x

(3 x) !il

x

Aceasta , deoarece în logica intuiţionistă s-a schimbat însuşi înţelesul obişnuit al cuantificator i lor. Fie fx o anu­ mită proprietate matematică , iar D un domeniu de obiecte matematice ce pot avea această proprietate27 • Se va putea afirma (x) fx dacă sîntem în posesia une i metode generale de construcţie , care , odată ce s-a a les un e lement d in D28 , să ne dea prin particularizare f Xo ' Şi se va X o putea afirma (3 x) fx dacă s-a construit un e lement Xo a l lui D , astfe l încît fxo să fie satisfăcut ă . După cum am observat în să ( * 3 . 1 2 , pct. 2) , in calculul de care ne ocupăm nu intervin în nici un fel ind ivizi concre ţ i 2 D • Prin urmare , nu se poate demonstra că o proprietate este particular va lab i lă în sensul propriu-zis al cuvîntului . 2 1 A . Beyting, O n weakened quanlificalion, i n " J ournal ot Symbo l ic Logic", XI (1946) , pp. 1 1 9 - 1 21 . 27 Intuiţionişti i numesc specie (species) o proprietate care se p oate presupune că o au anum ite entităţi matematice tA. BeytiD�, Intuitioni8m , p . 37) . 28 N-am m a i notat ind iviz i i particu"ri cu a, b, c . . . cum con­ venisem in cap. 3 B, p entru a nu-i confunda cu variabilele pro­ p oziţionale d esemnate a ic i prin astfel de l itere . 2 8 D in acest motiv , acest calcul m a i p oartA ş i denumirea de calculul cu funcţii pur, ad ică in care nu se iau in considerare nici un fel de va lori determ inate, pe care variabilele le-ar putea lua .

232

6.9. Calculul

cu

funcţii intuiţionist

Orice demonstraţie este demonstraţia cazului general . G . Gentzen a obţinut în acest sens u n rezultat foarte inte­ resant. Dacă A (x) este o formulă care nu conţine altă variabi lă liberă în afară de x şi dacă formula ( 3 x) A (x) este demonstrabilă în calculul cu funcţii intuiţionist, atunci ( x) A (x) este , de asemenea , demonstrabilăso. Şi acum să urmărim cîteva teoreme ale logicii intuiţio­ niste31 • Demonstraţiile lor sînt perfect asemănătoare celor date în cap . 3 B , * 3 . 1 2 . Ti .

T2 .

f- : ( x) . . I (3 x) . -, ip x f- : (3 x) . (x) . I .. +

I

::!

R. � Il ..t[ o....

1 O O O

I

::!

II

R.

�+

� R. n I .�

�Q;- Il

1 O 1 1

Il + -- ::!

Il --

::! � I R. ..t[ :: I � III R. \1 I C'1 + .�

.�

�o.... Il

1

O

O 1

�

o....

1 ? O ?

8.3. Logica modalităţiloT

Ce observăm? Cînd spre exemplu p şi q sînt 1 (primul rînd d in tabelul de mai sus) , u va treb u i , conform con­ diţiilor (8) sau (9) , să ia , de asemene a , va loarea 1 . Deci îşi pierde caracterul său independent ş i toate probabili­ tăţile celorlalte opera ţ i i logice devin în acest caz perfect determinate doar de va lorile l u i p şi q . Să explicăm semnificaţia semnelor de întrebare ce apar in tab e l . De p i ldă cele din coloana a tre ia . Ele indică faptul că 1n aceste cazuri (cînd p = O) drept u poate fi luat orice număr aflat între O ş i 1. Aceasta nu va influenţa cu nimic asupra valori lor probabilităţilor ce lorla l te ope­ raţ i i . Spre exemplu , d isjuncţia va avea în acest caz pro­ bab i litatea P ([Xi V g Yi)

=

O +

q

-

O

.

u =

q,

care nu depinde decit de q . Aceste nedeterminări marcate prin semnele de întrebare apar numai pentru probab ilităţile p(r-Ci , gYi ) şi P (g Yi , [Xi ) ale operaţie i de selecţie . Celelalte operaţi i logice pe care le-am întîlnit şi în calculul propoziţional s înt perfect determ inate doar de valorile lui p şi q ş i au aceleaşi matrice ca şi în calculul propoziţional b ivalent21 . Prin urmare am regăsit logica b ivalentă ca un caz-limită a logic i i probabi­ l ităţilor .

* 8.3.

Logica

modalităţilor

După cum am observat , c înd p şi

q

i a u doar va lor i l e

1 ş i O , se obţine u n c a z degenerat a l logici i probab ilităţilor

(cazul în care toate operaţi ile logice sînt funcţi i doar de două argumente ; matrice le lor sînt identice cu cele din logica b ivalentă) . După părerea l u i Reichenbach , această situ aţie i-a împiedicat pe logicien ii care construiseră logici polivalente să aj ungă la o asemenea general izare22. 2 1 Vedeţi . 3 .3 . 2 2 I n logica p o l ivalentă a l u i E. ukas iewicz , de p ildă

(cap . 5 ) , operaţiile logice erau funcţii t o t de două argumente , nu de tre i , ca in l og ica prob a b i l ităţilor.

291

Logica polivalent4

Cînd trecem însă de la logica cu două valori de adevăr la cea cu trei ş . a .m . d . , apar cazuri în care valorile opera­ ţi ilor logice nu ma i s înt determinate doar de va lorile p şi q . în aceste cazuri u apare ca un parametru indepen­ dent . Aceasta face ne interesantă construirea unor astfel de logici avînd un număr finit de valori de adevăr. Singura plină de interes rămîne logica probabilităţilor avînd o scală continuă de valori . Şi totuşi , vom vedea , conside­ rarea modalităţilor într-o aSemenea logică ne conduce la un s istem ale cărui matrice au aceeaşi structură cu a logicii ce se obţine În cazul a trei valori de adevăr (n = 2) . Cu s ingura precizare că aceste valori de adevăr nu mai pot fi interpretate ca probabilităţi în sensu l de frecvenţe . Dar să vedem despre ce e ste vorba . Vom defini modal ităţile necesar (Ne) , posibil (Ps) şi imposibil ( Im) ca proprietăţi ale şirurilor de propoziţii . Ş i anume , vom c iti expresia M(f:ei) : "modalitatea şirului (f:eS' . Atunci definiţiile de care am vorbit sînt : [M(f:ei )

Nc] = (:ei)f:ei Df. Df . [M(f:eil = Ps ] = ( 3 :eilfx i · (3 :eilf:ei m = (xilfxi [M(f:eil = I ] Df . Prima ne spune că modalitatea şirului ({xil este necesar, dacă pentru orice :ei ' (Xi este adevărată , cu alte cuvinte dacă toate propoziţiile din şir s înt adevărate . Modalitatea sa este posibil dacă în e l apar atit prepo­ ziţii adevărate , cît şi false 23• î n sfîrşit, modalitatea sa este imposibil dacă toate pro­ poziţiile din şir s înt false . Cînd şirurile pe care le considerăm s înt finite , necesi ­ tatea echivalează cu probabi litatea 1 , imposibilitatea cu probabilitatea 0 , iar posibi litatea cu una oarecare d intre probabilităţile intermediare acestor valori.Cind considerăm Însă şiruri infinite , frecvenţa-limită a unui astfel de şir (deci probabil itatea sal poate să fie 1 fără ca toţi termenii să fie propoziţii adevărate . Necesitatea unui astfel de şir =

13 Aşa cum observă ş i Re ichenb ach , posib ilitatea definită astfel inseamnă doar posibilitate, adică că ea exclude necesitatea (op.

ciI . , p.

292

401 ) .

8.3. Logica modalitdţilor

impune o condiţie mai restrictivă decît aceea ca probabi­ litatea sa să fie 1 . Consideraţii ana loge privind ş i celelalte modalităţi ne duc la concluzia că ele nu pot fi interpretate ca n işte probabilităţi . Totu ş i , tabelele de adevăr ale logici i moda l ităţilor24 sînt perfect identice c u cele a le logicii trivalente obţinute pentru cazul cind numărul propoziţiilor din şiruri este n = 2 (cons iderînd evident În locul celor trei valori de adevăr 1 , � s' i 0 , cele tre i modalităt, i : necesa r ,

2

posibil şi imposibil) . M((Xi} M((Xi} lm

Ne

"'::1

i2 oi

Ps

Ps

Im

Ne

� I >

.t[ '-.; �

� 62 "-�

"--

Ne

Ne

Ne

Ne

Ne

Pa

Pa

Ne

Ne

Im

Im

Ne

Pa

Ne

Ne

Ne

PII

Ps

Pa

Im

Im

Ne

?

Ne

Im

Pa

?

Pa

Im

Im

?

Im

----

-- -- ---

-- ----

-- --- --- --

�

.!

"--

�

----

� oi

'-.;

�

Ne

"'::1 ;:r,

.......

.......

�

�

oi

"--

J[

Ne

Ne

Ne

n

�

-- --

l!l

"--

�

.!

�

�

Pa

Pa

P,

Ne

Im

Im rNe

Im

?

Pa

p,

1----

Pa

--

Im, P" Ne P', Ne lm, Ps Ps, Ne Im, Pa, Ne Im, Pa, Ne 1Pa . Im Im Pa Pa il --

Im

Ne

Im

Im

Im

Ne

Pa

Im

Im

Ne

Ne

?

-- ---

14 Modalităţile p ot fi apl icate tuturor operaţiilor cu ,iruri d e propoziţii: d isj uncţiei, conjuncţici etc . In particular, operaţ iilor de selecţie ((.ei' fIIi) , i (f!fi. (xi ) ' Numai el in ace.te c&2.uri apar

293

Logica polivalentlf

În rîndul din mijloc apar nedeterminările despre care am menţionat că sînt inerente l ogicilor cu un număr finit, m a i mare ca doi , de valori25• C înd şirurile ((xJ şi (gYi ) au modalitatea posibil, compuşii formaţi cu ele pot avea ma i multe modal ităţi, c eea ce corespunde , de fap t , înţele­ sului normal al lucrurilor. Spre exemplu , c înd două eveni­ mente sînt posibile , nu este determinat dacă conjuncţia lor este , de asemenea , posibilă, căci ele ar putea să se excludă reciproc . De asemenea d isj uncţia lor poate fi şi necesară . Dacă , de p i ldă , aruncăm o monedă , este necesar ca sau una sau cealaltă d intre feţele sale să iasă , dar este impo­ s i b i l ca să iasă amîndouă . Definiţi ile modal ităţilor po! f i aplicate şi compuşilor funcţiona l i de forma (Xi ' gYi ' In acest caz însă , termeni i d e rang i , pentru care (Xi este o propoziţie falsă , sînt înIăturaţ.i , căc i pentru e i tab e la de la p . 290 indică un semn de întrebare , compusul individual nema ifiind _o propoziţie şi deci operatorul M neputîndu-se apl ica . ln baza aceste i regul i , modalitatea compusului (Xi ' g Yi poate fi determinată, cu excepţia cazului cînd ({Xi) are modali­ tatea imposibil ( tabela de ma i S U S ) 26 . *

8.4.

Logica ponderii. Noţiuni preliminare

Logica probabi l ităţilor , aşa cum am văzut că este con­ struită , nu presupune în nici un fe l posibilitatea determ iexcepţi i . Cînd spre exemplu ((Xi) conţine doar propoziţii false , deci are m odalitatea impos i b i l , matricele d in paragraful precedent nu dau p entru compusul ([Xi , g y;) nici o yaloare determ inată , fapt însemnat printr-un semn de întrebare. î n logica modal ităţilor e l este, de asemenea , u n caz d e nedeterminare ş i d e aceea a fos t notat prin acelaşi simbol . 25 I n logica probab i lităţilor, cunoaşterea probabilităţi i com­ pusulu i ((Xi , g Yi) ne permitea aflarea probab il ităţi i oricăruia d in ceilalţi compu ş i pe baza formulelor (1 ) - (6) . î n logica modal i­ tăţilor, modalitatea l u i ([Xi ' g Yi) nu determină cu nimic modal ită­ ţile celorlalţi compuş i . 2 8 B. ReicheDbach , op . cit . , p . 405 .

294

8.4. Logica ponderii

nării pentru fiecare propozIţIe în parte a gradului său de adevăr sau probabilitate . Conform interpretării prin frecvenţă a probabilităţii , aceasta nu poate fi atribuită decît �irurilor de evenimente sau propoziţii despre even i­ mente , ceea ce restrînge , fără îndoială, domeniul de aplicaţie a logici i probabi l ităţilor , Reichenbach găseşte însă că o astfel de gradare a ade­ vărului une i propoziţii este cîteodată foarte natura lă , iar principiul dihotomie i , după care no i clasificăm orice afirmaţie în adevărată sau falsă , este doar unul d intre modurile posibile de a proceda . Putem însă apela la o verificare cantitativă , ordonînd fapte �e în raport cu gradul în care satisfac afirmaţia respectivă . In felul acesta putem atribui afirmaţiei un grad de adevăr dep inzînd de fapte le Qbservate . Pentru a înţelege mai b ine , să analizăm urmă­ torul exemp l u . Un ţ i nta ş spune : "Vo i lovi în centru" , După tragere măsurăm distanţa r d intre punctul lovit şi centrul ţ intei ; r reprezintă o măsură a gradului de adevăr Pentru a obtine numa i al afirmatiei făcute de tintas. ' valori cuprinse Între O şi 1 , p� tem tot atît d � bine considera drept măsură :expresia 1 1 + r

_ , _

Se pune aCUm problema construirii une i logici a proba­

b i l ităţilor pentru propoziţiile individuale ; adică, în care locul ş irurilor ( infin ite) de propoziţii îl vor lua propo­ ziţiile indiv iduale . Reichenbach o construieşte pr intr-un transfer fictiv a 1 proprietăţilor ş irurilor de propoziţii, propoziţiilor ind iv iduale. Spre exemplu , vom putea scrie de aici încolo P(a) = p, unde a este o simplă propoziţie ; p va măsura astfel ponderea propoziţiei a . Dar ce semni­ ficaţie probabil istică mai poate avea o asemenea pondere? Reichenbach analizează în amănuntime această chestiune 27 • Valoarea pr incipală a j udecăţi lor d e probah i litate s tă În posibilitatea de a prevedea un fapt. Sub acest aspect unii au privit aplicarea probabilităţilor evenimentului s ingular ca pe un "grad a l aşteptării" (degree of expectation) evenimentului , ceea ce face d in ea Însă o mărime greu de apreciat obiectiv . Aşa cum observă Reichenbach, dacă 27

Ibidem ,

§ 71.

295

Logica polivalentii

putem ajunge să corectăm aprecierea acestei aşteptări la j usta e i valoare , atunci trebuie să existe şi o interpretare a probab i l i tăţ ii independentă de e a . U n al doilea mod d e a privi probabilitatea evenimen­ tului singular stă în enumerarea completă a termenilor unei disjuncţii dintre care nu avem motive să preferăm pe vreunul . Este cazul clasic al zarului perfect, care , oda tă aruncat , poate cădea cu oricare d in cele şase feţe ale sale . Î n sfîrşit, un al treilea mod constă în renunţarea la a defini noţiunea de probabilitate cu aj utorul a ltor concepte ; deci de a o lua printre noţiunile primitive ale teorie i . Cînd spunem , aşadar , că probabil itatea ca un eveniment să aibă loc este p (spre exemplu să apară faţa ,,6" cînd arunc facem o af irmaţ i e cu un înţeles de sine un zar este

�) .

stătător , asemenea înţelesurilor celorlalte noţiuni primi­ tive din logică . Se mai spune că legile probabilităţi i ar constitui o log ică cantitatipă , bazată pe o evidenţă proprie , asemănătoare celei d in logica obişnuit ă . Sus ţinătorii unor astfel de idei sînt J. M. Keynes , H . Jeffreys şi alţi i . Reichenbach respinge însă toate aceste explicaţii . După părerea sa , s ingurul mod p lauzibil de a interpreta noţiunea de probabilitate este frecpenţa . Am văzut însă că acesta se referă nu la un eveniment singular , ci la o clasă întreagă de evenimente . Aşadar , probabilitatea evenimentului singular (sau propoziţiei despre acesta) este un pseudo con­ cept, care trebuie înlocuit printr-un substitut construit în termenii probabilităţilor unor clase . Vom considera cazul individual drept limita unor clase , devenind d in ce în ce mai restrînse . Problema alegeri i acestora , numită. de Reichenbach "problema clasei de referinţă" (tha problam of reference clasa) , este destul de complicată şi nu putem intra aici în detalii. Reţinem doar atît : judecata despre probabilitatea cazului s ingular nu are un înţeles de sine stătător, ci reprezintă un mod eliptic de exprimare. Pentru a-i acorda totuşi un înţeles , ea trebuie tradusă printr-o afirmaţie despre frecvenţă într-un şir de evenimente , în aşa fel încît afirmaţiei despre probabilitatea cazului sin­ gular i se acordă un sens f ictiv, obţinut prin transferul înţelesului de la cazul general la cel particular. Acest mod !96

8.5. 7'autologiile din prima categorie

de a proceda este , după Reichenbach , j ustificabi l , dar nu pentru metive de cunoaştere , ci din motive pragmatice28• Logica obţinută d in logica probabilităţilor prin acest transfer este numită de Reichenbach logica ponderii. Logica ponderii �i logica �irurilor de propoziţii au aceeaşi structură : olceleaşi reguli de calcul şi aceleaşi legi . Cu un cuvint, sînt izomorfe . Aşadar , de aici încolo le vom trata sub numele .omun de logica probabilităţilor .

*

8.5.

Tautologiile logicii probabilit�ţilor. Oeducerea tautologiilor din prima categorie

Constituenţii logici i probabilităţilor (şiruri de propo­ ziţii sau propoziţii simple) vor fi notaţi prin a, b, c etc . Lor l i se aplică operaţiile logice : disjuncţia , conjuncţia , implicaţia şi echivalenţa , precum şi operaţia de selecţie Dotată a ,bZ9• Ele sînt funcţii de adevăr care depind de trei argumente , şi anume de p = P(a) , q = P(b) şi u = P(a , b) ; p , q şi u nu pot avea , după cum am văzut , orice valori , c i doar acelea pentru care sînt îndeplinite condiţiile30 : =

u

b) = 1

=

-

q

P ( ă)

=

1

p

-

( 6 ')

în particular, cînd p şi q iau doar valorile 1 şi O, se obţin probabilită ţile Înscrise în tabela de la *8.2 . Vom putea acum defini tautologiile logicii probabili­ tăţilor în perfectă concordanţă cu tautologiile logicii bivalente (şi cu ale oricărei logici polivalente) . Ele s int acele formule care capătă probabilitatea 1 indiferent de probabil ităţile pe care le iau constituenţii lor . Să urmărim Insă modul specific în care le tratează Reichenbach . Mai întîi el le împarte în două categor ii. Celor d in prima categorie le corespund analoge în logica b ivalentă obiş­ nuită . Numai că , spre deosebire de acestea din urmă, nu -sInt puse sub forma s implă a unor formule de calcul pro­ poziţiona l , ci sub forma unor identităţi ce stabilesc că proba b i l i ta tea une i asemenea formule este 1 . De exemplu : P (a V a)

=

1

A doua categorie de tautologi i exprimă relaţi ile există între d iverse probabilităţi ; de exemplu :

P ( b) = P (a ) • P (a , b) + [ 1

-

ce

P(a) ] P (a , b) •

Ne vom ocupa mai întîi doar de primele , arătînd cum pot fi deduse d in formulele l ' 6 ' şi din tabela de la *8.2 . Orice tautologie a logicii b ivalente conduce la o taut o­ logie a logicii probabi lităţilor ; de pildă : -

P (a . a

298

=

a) = 1

8.5. Tautologiile din prima categorie

Aceasta poate părea evident dacă ţ inem seama de faptul probabilitatea oricărei expresii compuse este 9 fUllcţie de probabilităţile componentelor , funcţie care , aşa CUm o arată tabela de la *8.2 , coincide , în cazul cînd compo­ nentele iau doar valorile 1 şi O, cu funcţia corespunzătoare de adevăr din logica b ivalentă . Noi Însă vom demonstra formula de m a i sus arătînd cu acest prilej de ce trebuie adăugată logicii probabilităţilor condiţia P(a , a) = 1 . în demonstraţie utilizăm , aşa cum am mai spus , ega l ităţile l ' 6 ' , precum şi reguta de substituţie (aşa cum apare ea în orice calcul propoziţional). cii

-

P(a .a)

=

P(a ,a) P(a .a) În P (a ,a)

=

(coni. 2 ')

P(a) . P(a,a) =

=

1

(9')

P(a) '

(10)

1 , substituind pe a cu a . b , obţinem. P(a . b , a . b)

P(a . b , a . b)

=

=

1

P(a . b , a) . P(a . b .a , b) (conf. 2')

Deci produsul din membrul drept este 1 şi cum niei UJIlu) din factori nu poate fi m a i mare ca 1 (fiind vorba de nişte probabilităţi) rezultă : =

P(a . b , a) P(a . b .a , a) Substituinrl în

pr i m a

1

=

1

d in e l e pc b cu

P(a .a , a)

=

a,

rezu ltă

1,

care împreună cu (10) pe baza lui (4') demonstrează tau­ tologia P(a .a

=

a)

=

1

Observăm că , dacă am fi putut înlocui în paranteză cu echivalenta sa a, demonstraţia ar fi fost imediată .

G .G

299

Logica polivalent4

Să studiem atunci in cele ce urmează : Regula înlocuirii expresiilor echil'alente . In logica probabilităţilor această regulă are următorul enunţSl . Dacă formula : (11) P(b = c) = 1 ,este deductibilă, deci o tautologie , putem înlocui b cu c in argumentul oricărei probabilităţi avind valoarea 1 , fără să-i schimbăm valoarea. D6monatraţi6. Vom arăta mai intîi că dacă (11) are loc, atunci P(b) = P(c)

Notăm : P(b) = p , P(c) = q , P(b,c) = u , P(c , b) = v . Atunci din (11) ş i (4') rezultă : 1

-

p

-

(12)

q + 2pu = 1

u = p+q

(13)

2p

Prima condiţie restrictivă ( 7 ) dă u ° avem P(a , b = c) = 1

(20)

Pentru a putea manipula probabil ităţi de tipul a cesteia , adică în care după virgulă apar propoziţii compuse , Reichenbach utilizează următoarea regulă drept adaus la regula de substituţie . Regula IX : Dacă se poate deduce o relaţie între probabi­ lităţile P(x1) , P(x2) . , atunci fiecare Xi din acestea poate . .

301

Logice polivalentd

fi subst itu i t prin a , xi cu cond iţia ca a să f i e în t oate aceste expresi i acela� i . Expre s i ile de forma a ( :IJ ,y) car" pot rezulta d in asemenea substituţ i i vor fi înlocuite prin a :ll , y32 . Apl ic înd această regulă ş i notînd .

P(a ,b ) = p , P(a , c) = q , P(a . b ,c) = u, P(a .c ,b) =

v,

relaţia (20) poate fi scrisă sub forma ( 12) , d i n care , par­ curgînd acelaşi şir de raţionamente , obţinem (19) . (19) , pe baza ega l ităţ i i ( 5 ') , dă

P(b,a) dacă

=

P(c ,a)

P(b) > O ŞI P(c) > O .

C u rezultatele ob ţ inute pînă în prezent rezultă imed iat că dacă (11) are loc , atunci

P(d . b = d .c) P(d V b = d V c)

=

1

=

1

La fel ş i celelalte cond i ţ i i n � cesare aplicăr i i regulei de tnlocu ire33•

S � poate arăta de asemenea - noi n-o vom face - că relaţiile obţinute rămîn va lab ile şi fără condiţii le pe c are le-am pus în cursul demonstra ţ i e i ca anum ite probabilităţi să f i e nenu l e . Reichenbach introduce :

Regula �. Dacă o formulă este der ivabilă pentru atu n c i ea are loc şi pentru P(a) O.

P(a)

>

O,

=

Util izînd regula d e Înlocu ire , S I-'. p o t dcduce a nalogele tuturor tau tolog i i lor d in l og i ca b i va l entă sub forma unor tautolog i i d in prima categor ie . SZ S pre exemplu, inlocuind în proba b i l i tatea P ( b , e) p e b cu .,b obţinem , confo rm acestei regu l i , P ( a . b , c) . 33 Demonstrarea regulei de inlocuire a expresiilor echivalente Intr-o formulă a ca lculului propoz iţional se poate face prin inducţie eompletă i n raport cu numărul de semne din această formulă . t n acest scop, presupunînd b == e, este necesar să p utem arăta că li = a ş i pentru orice d : d . b == d . e , dVb == dVc , d :::J b == d :::J C, b :::J d == e ::J d, ( b == d) == (e == d) (a se vedea , de exemplu , B . Rei­ eII eabach, Elements of Symbo lie Logic, p . 60) .

302

8.6. Tautologiile din a doua categorie

Trebuie remarcat că în logica probabilităţilor e l e nu m a i p ăstrează inţelesul pe care îl aveau î n calcul u l propoziţional clasic, deoarece operaţi ile logice odată cu schimbarea matrice lor de adevăr şi-au schimbat şi semnificaţia . Numa i cînd reducem domeniul de probabilitate la valori le O ş i 1 revin şi e l e la semnificaţia ob işnuită . Rămîne o deosebire în modul de aserţiune . Primele sîn" asertate scriindu-le pur şi simplu . În logica probabili­ tăţilor însă , aceasta se face prin intermediul funcţie i P :

P(a V ă )

=

1 , după cum am văzut .

Diferenţa se poate şterge uşor , introducînd : Regula de aserţiune. O formu lă avînd probabi litatea 1 poate fi asertată , cu excepţia cazului în care simultan are şi probabilitatea O . Astfel toate tautolog i i l e logi c i i b ivalente pot fi asertate In logica probabilităţilor . Nu şi reciproc . Spre exempl u , formu la : a,a

poate fi asertată în logica probabilităţi lor pentru P(a) >0, căci am văzut că P(a ,a ) = 1 . Ea nu apare printre tauto­ logiile calculului propoziţional , unde nu figurează operaţia de selecţie . Vom trece acum la studiul celei de-a doua categori i de tautologii .

* 8.6. Tautologiile din a doua categorie. Negaţia cantitativii

Din a doua categorie fac parte , după cum am văzut, tautologiile ce exprimă relaţii între probabi l ităţi . Pentru a le putea aserta ca ş i pe cele d i n logica b ivalent ă , cum am reuşit să facem cu cele d in prima categorie , ne trebuie un mij loc de a exprima probabilitatea unei propoziţii fări 303

Logica polivalent4

utilizarea simbolului P. Acesta este negaţia cantitativă . Post fşi construise logicile sale polivalente plecind de la o negaţie dată in cazul trivalent de matricea a

- a

(in notaţia lui , tI ' ta ' ta sint valorile de adevăr indexate in ordine crescătoare , � falsul , ta adevărul)". Ea se numeşte ciclică, căc i , după cum se poate observa , are drept efect permutarea circulară a celor trei valori de adevăr. Asertarea lui =

=

fnseamnă atunci, conform liniei a treia din matrice , afir­ marea faptului că a ia valoarea tI (fals) . Asertarea lui

va echivala cu afirmare a faptului că a ia valoarea t2 • In sfil'l}it, asertarea lui

ech ivalează cu afirmarea faptului că a este adevărat. Prin urmare , numărul de negaţii puse în faţa lui a arată însuşi indicele valorii sale de adevăr . într-o logică cu n valori ar fi necesar să intrebuinţăm pînă la n semne de negaţie . I n logica probabilităţilor , cu scara sa continuă de valori, procedeul trebuie puţin modi­ ficat . In:loc să repete numărul semnelor "" , Reichenbach afectează Regaţia , pe care o numeşte cantitativă, de o varia8' E. L. Po�t. lntroduction to a General Theory o( Elementary J ° llrn al _of Mathematics", ,.3 , 1 921 ,

PropOIitions, in "American

pp . 163-185.

304

8.6. Tautologiile din a doua categori4

bilă w, ce poate lua orice val ori între O şi 1 . Vom vede: analogia între w şi numărul de negaţie . Notîndu-şi negaţi: cantitativă aplicată unei propoziţii a prin

r wl a , e l o defineşte pe baza următoarei egalităţi

r q l a = p - w + 8p _ w , unde p reprezintă valoarea P(a) , iar numărul 8 p_' e ste + 1 , O sau - 1 după cum p - w � O, 0 < p - w < ş i respectiv p w = 1 . Efectul acestei negaţi i depind de probabilitatea lui a. Dacă p>w, probabil itatea lu fw l a va fi mai mică decît P(a) ; cind p = w, această pro babilitate sare brusc la 1 , iar dnd p b b 306

8.7. Sistemul 5 al lui Lewi a doua impl icaţie f i ind cea definită prin (4') . Justificare" este i med iată , ţ i nînd seama de definiţ i i le ce lor doui i mp l icaţ i i .

•

8.7.

Sistemul 5 al lui Lewis, din punctul de vedere al calculului probabilit�ţilor

Logicianul a merican N . Rescher35 a arătat cum poat, fi conceput din punct de vedere proba b i l ist un s istem a log i c i i modale , şi a nume s istemul 5 a l l u i L�wis (*4 . 1 2) Pentru a ceasta să presupune m , aşa cum am făcut-o î u l ti mele două p aragrafe , că d ispunem de un m ij loc d determ inare a probabi lităţi i propoz iţii lor (numită în aces caz şi p ondere) . Probab i l i tatea unei propoz iţi i a am notat­ cu P(a) . Vom presupune că , pe l îngă faptul că satisfac re laţ i i le l' 6 ' , această probab i l i tate este astfel ind dacă P(a) 1 , atun c i a este adevărată (a 1) , iar dac P(a) 0, atun c i a este falsă (a 0)36 . (Comparind acest u l t i me două cond i ţ i i cu cele spuse în * 8 . 2 , ajungem l concluzia că ne-am s ituat astfel in cazul In care c lasa d referinţă faţă de care determinăm p o nd erea unei propoziţi este f in i tă) . Sistemele l u i L�wis cons iderau pe lîngă propoz i ţ i i l s i mple ş i moda l ităţ ile acestora : -

=

=

=

"a "a

este necesar" notat este posi b i l" n otat

=

O a O a,

cons iderate l a r îndul lor propoz i ţi i . Rescher def ineşte "Da este adevărată" (adică "a est necesară") prin "probab i l i tatea l u i a este 1" , P(a ) = 1 Î n p lus probab i l itatea P(D 1i) nu poate lua decît valor i i 1 şi O, 36 N. Rescher, A Pro babilistic Approach ta Madai Logic, î n "Act Ph ilosophica Fenniea" , fas e . 1 6 (1963) , pp. 21 5 - 22 6 . 3 6 Cond iţiile impuse astfel l u i P , f i ind m a i restrictive dec' cele d in * 8 . 2 , toate rezultatele demonstrate acolo rămîn valabil şi a ic i (dar nu şi reciproc) .

30

Logica polivalent4

"Posibil itatea" poate fi definită cu aj utorul "neceSI­ tăţii"37 , şi anume

o a drept Dă 38 , prin urmare în limbaj d e probab ilitate e a înseamnă "pro­ babi litatea lui a nu este O" : P(a) =1= 039. Ideea principală pe care Lewis urmărise s-o formalizeze în sistemele sale era , după cum am văzut , impl icaţia strictă. El ajunsese la concluzia că este o implicaţie mate­ rială necesară40. Pe aceasta o utilizează Rescher drept însăşi definiţie a implicaţiei stricte a-< b înseamnă

D (a :::> b ) ,

căci ambele noţiuni "necesitatea" şi "imp licaţia materială" au fost deja expuse în termeni de probabilitate (relaţia :::> a fost definită prin egalitatea (3 ' ) ) . Odată lămurite aceste chestiun i , vom numi o M- tauto­ logie orice formulă d in logica lui Lewis a cărei probabi­ l itate calculată după regulile de ma i sus este 1, indiferent de probabil ităţile pe care le iau variabilele sale propo­ ziţionale4I , şi vom demonstra că aceste M-tautologii coincid exact cu formulele care pot fi deduse in sistemul 5 (*4 .12) . Mai întîi însă vom da cîteva proprietăţi aj ută­ toare expuse sub titlu 1 de regul i . Pentru a exprima faptul că o formulă a este o M-tau­ tologie vom pune în faţa ei semnul IM f-- (semnul de aserţiune precedat de un M) . 37 După cum am văzut, Lewis proceda invers.

38

Vom continua să utilizăm a ic i , ca şi în paragrafele ant er ioa re , p entru negaţie semnul ,,-". 311 N u putem face o c o m p a ra ţ i e d irectI!. Între aceste mo d a l i tl!.ţi definite pentru p ro p o z iţ i i ş i cele propuse de Reichenbach (*8.3) definite p entru ş irurile de p ro p oz iţi i . Totuşi o simplă o b s e rvaţi e ne arată că pe c înd "posibilitatea" lui Reichenbach era , după cum am remarcat, "strictă" , cea definită a ic i nu e strictă (nu exc lude necesitatea) . 40 Vedeţi *4.1 4 . tI Deşi Rescher defineşte M-tautol ogiile Într-un mod diferit, noi l-am preferat p e aces ta , d eoarece este Într-o mai bună COI1cordanţă cu prezentarea de p ină acum a l ogicii probabi l ităţilor. 308

8.7. Sistemul 5 al lui Lewi

Regula 1 . Dacă I M � al :::l a2 , atunci P(al)- c Pd (�) Substituind in ultima formulă � cu ,....

Pd (...... Pa)

::> c

......

Pd obţinem43

Pd ("-' Pd) ,

care este contradictorie . Transpunînd problema în sistemul lui Bocivar , vom considera în locul funcţiei variabile � ana logul său clasic, funcţia variabilă �k şi definiţia proprietăţii Pd va fi : Pd (h) jj �k (�k ) Aici însă, spre deosebire de logica clasică , formula a ::>c a

nu mai este valabilă , căci nu mai e ste o tautologie . In schimb este o tautologie , aşa cum am menţionat , formula a = a, d in care , prin substituţie , obţinem h (h) :=: h (h) sau , utilizind ult ima definiţie , Pd (�k ) == �k (h) , in care substituind h cu

""""

Pd

43

rezultă

(IX ) Dar am arătat că in sistemul lui Bocivar are loc tautologia Pd ("-' Pd)= """" Pd ("-' Pd) a = ...... a . = t a

deci , prm substituţie , Pd ( ....... Pd) = """" Pd ( "-' Pd) . = t Pd ("""" Pd) ; 43 Bocivar observă că aceste substituţii sint posib ile, deoarece

Pd aparţine de fiecare dată domeniului de Tal ori al variabilei relpective

(Asupra unui calcul trivalent,

pp.

218, 21 9) .

343

LogiCa polivalent/!

in virtutea lui (ot)

t Pd ( "'-' Pd) Şi , cum are loc tautologia + a = + ",-, a , rezultă � J

t "'-' Pă ( ...... Pă) Prin urmare , ambele enunţuri , Pă ( "" Pd) şi "'"' Pd ( ...... Pd) , sînt fără sens (afirmaţiile lor exterioare slnt însă false). •

II

Logicianul chinez Moh Shaw-Kwei a demonstrat că nici sistemele polivalente nu sînt scutite de paradoxe44, deşi au s lăbit sau au e liminat complet principiul terţiului exclus. Ş i anume , paradoxe de acelaşi tip cu cel al lui Russell46 pot fi construite în calculal intuiţionist al lui Heyting, in sistemele implicaţiei stricte ale lui Lewis , in calculul m in imal a l lui Johansson etc . Căci proprietăţile pe care ne bazăm cînd vrem să construim asemenea para­ doxe sint îndeplinite in toate s istemele menţionate . Acestea sint în fond legate de faptul dacă implicaţia din sistemul respectiv , pe care s-o notăm spre exemplu prin C, verifică : - princip iul identităţii :

Cpp , legea modUB pon6n8, adică dacă p �i Cpq sint teze, IJ este , de asemenea , o teză şi - una din următoarele reguli de inferenţă : CpCFQ Cp q

" Mob Sbaw-Kwei, LogicaL parado:r;es for manY-IIaLued sys l,ms. (195lt) pp. 37-39.

In "Journal of Symbol ic Logic" X I X

" Vedeţi · 3 .13.

344

9.5.

Logicile polivalente şi paradortele

sau Cp CpCpq CpCpq etc . î n aceste condiţii , un interes deosebit îl prezintă logicile polivalente ale lui Lukasiewicz . In La , s pre e:x:emplu, după cum am observat"8, implicaţia

CCpCpqCpq nu are loc ŞI nici regula de infere Rţă CpCpq Cpq Are loc în schimb CpCpCpq CpCpq ŞI ,

pe baza e i , raţionamentele dezvoltate de Moh Shaw­ Kwei . în general , într-o logică Ln, din formula cu ante­ cedent multipl icat de n 1 ori , -

cp

• . . .

de

CpCpq n

-

1 orI ,

nu se poate conchide la cea cu antecedent multiplicat de n 2 ori . în schimb , de la cea cu antecedent multiplicat de n ori se poate conchide ]a cea cu antecedent multiplicat de n 1 ori . Ca urmare a acestui fapt, paradoxele pot fi fncă construite . Rămîne să se analizeze atunci situaţia logicii cu o infinitate de valori. Dacă ea ar fi lipsită de parado:x:e , ar putea constitui o bază convenabilă pentru dezvoltarea diverselor alte s isteme forma]e"7 . -

-

.. Vedeţi ·5.9. Asemenea incercări au fost deja făcute in teoria axiomatică a mulţimilor. în legătură cu aceasta, a se vedea Th. Skolem, t7

Menlenl6/ar" g"grunde' auf einer Logik miI unendlich vielen Wahr-

345

Logica polivalent4

* 9.6. Aplicarea logicilor cu mai multe valori in studiul schemelor

cu contacte şi relee

C . E . Shannon şi V. 1 . Şestakov au avut ideea de a aplica studiul algebric al logicii cu două valori în analiza schemelor cu contacte şi relee48• Un contact este o lamă metalică mobilă care poate inchide sau deschide un c ircuit. El poate avea deci două poziţii : închis sau deschis . Să- i asociem o variabilă x , care să i a valoarea O dacă contactul este deschis şi valoarea 1 dacă contactul este închis :

x= o

.

x=1

Să considerăm acum două asemenea contacte legate in serie .

x

•

",

y

i

Circuitul alcătuit din ansamblul lor este deschis dacii cel puţin unul din cele două contacte este deschis şi închis dacă amîndouă contactele sint inchise . Lui i se asociază . de as �menea , o variabi lă z, a cărei valoare depinde de valorile pe care le iau variabilele x şi y asociate respectiv heitswerten şi C. C. C 'tan�, Infinite valued logic as a basis for sel Theo/'y, in "Logic, Methodology and Philosophy of S cience", Proc. of the 1 964 Int. Congress, Amsterdam , 1 965. 48 C. E . S it ,nnn, A Symbolic Ana lysis of Relay and Switching Circuits, in "Transaction oI the American Institute of Electrical E ngineers", 57 ( 1 938) , pp. 7 1 3 -723. C ontribuţiile lui V. 1. Şes­ takov se g ăsesc in teza sa de doctorat ţinutli. la Universitatea din Moscova ( 1 93 8) .

346

9.6. Aplicarea la schemele

cu

contacte

celor două contacte d in c ircuit. Şi anume , z va avea valoarea conjuncţiei dintre 3l şi y

Z = 3l · Y valoare dată de matricea de la * 3 . 3 . Montarea î n paralel a celor două contacte ne conduce la un nou circu i t ,

---;1 : � � II---

a cărui variabilă z va avea de data aceasta valoarea dis­ juncţie i d intre 3l şi y

z = 3l V y Intr-adevăr , în acest caz circuitul va f i deschis dacă ambele contacte sînt deschise şi închis atunci cînd măcar unul din ele este închis. Astfel putem studia funcţionarea unui circuit avînd mai multe contacte , legate în serie şi în paralel , construind expresia în care intră variabilele acestor contacte legate , respectiv , prin intermediul conjuncţiei ş i disjuncţiei b ivalente . Să considerăm însă un caz s implu , din care rezultă că această schematizare este prea simplistă şi nu corespunde decît unui caz idea l . Fie anume un aşa-numit contact de transfer, adică un contact a cărui funcţionare poate fi u şor înţeleasă din fi gura următoare

•

•

"

347

Logica polivalentd

El este format din două contacte , 1 şi I I . Lama mediană 'le poate stab ili pe rind . Ea se află sub acţiunea unui -electromagnet . C înd nu circulă curent prin e l , lama aflată în poziţia I stab ile ş te acest contact. C înd facem să treacă curent prin e lec tromagnet , lama va f i atrasă de acesta , mutîndu-se în poziţia I I , desfăcînd primu l contact şi sta­ b i l indu- l pe al doilea . D in aceste mot ive , contactul de tramfer aflat În pr ima poz i ţ ie poartă nume le de "neac­ ţ ionat" , iar aflat în poziţia a doua poartă numele de "acţio­ nat" . Trecerea d intr-o poziţie în cealaltă se face în momentul în care lăsăm să treacă curentul p r in electro­ magnet sau îl Întrerupem . Să obse rvăm Însă că funcţio ­ narea reală a contactului de transfer se face trecînd prin trei poziţii d iferite : poziţia 1, poziţia intermediară 1- 1 1 ş i poziţia I I . î i vom asocia d e c i o var i abi l ă x , putînd lua tre i valori , după cele tre i poz i ţ i i a le contactu lu i , şi anume : o

•

)( = 0

Studiul func ţion ă rii unor asemenea contacte ne conduce , aşa cum a arătat logicianul român Gr . C . Mo is i l , l a studiul algebric al unei logici Lukasiewicz trivalente4t•

4 9 Primul care a util izat o l ogică p ol ivalentă în studiul sche­ melor cu contacte ş i relee a fost tot matematicianul sovietic V. 1. Şestakov ( 1 946) . î ncepînd din 1 954, Gr. C . M o isil, împreună cu colaboratorii săi, au adus contribuţii importante tn acest domeniu . ( Pentru u n s tudiu mai. detal iat şi referinţe b ibl iografice vedeţi lucrarea sa lncercări vechi ,i noi de logică neclaai că.)

10

Concluzii finale

/'

* 10.1.

Distincţia dintre logicile modale şi logicile polivalente

S-a introdus o distincţie intre aşa-numitele logici modale şi logici poliva lente , despre care am pomenit ceva în introducerea aceste i lucrăr i , dar despre care putem vorbi acum în termeni mai precişi . Logica matematică de tip clasic făcea uz de două valori pentru propoziţii : adevărul şi falsul . O astfel de logică s-a numit, cu un termen mai general , o logică standard (Standard logicI) . în opoziţie cu această logică de tip clasi c , care după cum vom vedea apărea unor logicieni mult prea largă , s-au construit logic i non-standard sau neclasice sau încă nechrysippiene , în care de�i ideile se îmbogăţesc , introducîndu-se noi caracterizări pentru pro­ poziţ ii , după cum am văzut, acestea atrag după sine o serie de restricţi i . Vom vedea mai departe cum se explică lucrul acesta . în rezumat , vom putea clasifica sistemele de logică în două categorii : logici standard şi logic i non-standard . Pentru a construi o logică nO'1-standard se pot utiliza 1 R . Ackermann, Introduction to many valued logica, Routlege & Kegan Paul, Loadon-NewYork, 1 967, p. 1 5 .

349

Logica polivalentă

două metode : o primă cale este aceea de a introduce în calculul respectiv , în mod explicit, modalităţ ile ; modali­ t ăţi care vor fi reprezentate ca operatori ai oricăre i formule b i ne formate . Aceşti operatori nu pot fi definiţi utilizînd e xclusiv pe cei din logica standard. De aceea o serie dintre ei sînt consideraţi drept "noţiuni primitive" şi introduşi de la început . Ce ilalţi apar pe măsura dezvoltării calculului şi sînt definiţi cu ajutorul celor "primitivi" (la Lewis, de p ildă - cap . 4 - , o asemenea noţiune primitivă era posibilitatea : O . Celelalte modalităţi - necesitatea , impo­ sibilitatea etc . - erau definite ulterior şi cu ajutorul ei) . Interpretarea intuitivă a modalităţilor, aşa cum apare in gindirea filozofică, fie antică , fie modernă , este destul de greu de clarificat, ş i astfel o serie de rezultate bizare pot să apară , după cum s-a şi văzut , în cadrul logici lor modale . De exemplu , oricare ar fi logica modală , ea impune distincţiei "adevăr-fals" din logica standard o distincţie mai cuprinzătoare , "posibil-non-posibil", astfe l încît pro­ poziţi ile posib ile includ toate propoziţiile adevărate şi unele d in propoziţiile false din logica standard3• Cealaltă cale este aceea a construirii logicilor pol iva­ lente3 , care pleacă tot de la ideea că propoziţiile pot avea .ş i alte valori decit numai adevărul şi falsu l . O astfel de logică non-standard se prezintă ca un calcul în care valorile variabilelor propoziţionale nu se reduc la două , c i pot fi In număr mai mare . Un caz evident , de a descrie mai mult decit tre i valori pentru propoziţi i , este ace la c ind se consideră că o propo­ ziţie poate fi adevărată , falsă sau fără sens. Un calcul trivalent corespunzător va fi construit atunci pentru a Il'eflecta această presupunere'. a

Ibidem, p . 16. Ibirhm, p . 1 7 . , După cum am văzut , sistemul trivalent a l l u i B ocivar (-9.5) era construit p e baza une i asemenea interpretări. I

350

10.1. Logici modale şi logici polivalente

In rezumat , logica matematică poate fi împărţită astfe l : logica matematică �--------�I � I � � � logica non -standard logica standard ____

_ � -1

logici modale

I_� logici polivalente

Se pune în mod firesc problema , care nu este pînă azi rezolvată în mod precis : care este raportul dintre logicile moda le şi logicile pol ivalente? După J . Lukasiewicz , un sistem formal de calcul pro­ poziţional poate fi considerat drept o logică modală dacă printre conectivele lui (definite sau nedefinite) apar doi operatori cu un s ingur argument , unul de posibilitate , pe care J notăm , de exemplu , cu A , şi altul de necesitate . simbo izat prin r , astfe l ca dacă N este negaţia , să ave : - rp implică întotdeauna p , dar nu şi reciproc ; - rp nu este întotdeauna falsă (deci N rp nu este întotdeauna adevărată , adică nu este o teoremă) ; - p implică Întotdeauna Âp , dar nu şi reciproc ; - A p nu este întotdeauna adevărată , deci nu este o teoremă t - rp este echivalentă cu NANp6. Majoritatea sistemelor moda le îndreptăţesc această condiţie , de altfe l destul de largă . Lukasiewicz însuşi construieşte (în studiul citat) un sistem în cadrul acestei definiţi i . Sistemul său are însă o particularitate : toţi functori i utilizaţi pot fi definiţi cu ajutorul unor matrice de adevăr în care propoz iţiile se consideră că iau valori de adevăr, notate cu 1 , 2 , 3 şi 4 (1 = adevărul , 4 = falsul , 2 şi 3 reprezintă posibilitatea în două forme d iferite ) .

�

6 J. Lukasiewicz, A system of modal logic ("Journal o f Computing Systems", voI . 1, nr. 3 , § 1, 1 953 ) . 8 Vedeţi ş i A . N . Prior, Time and Moda lity, Oxford, 1 95 7. pp. 2-3.

351

Logica polivalentă

De altfel el afirmă în mod categoric că toate logicile modale , cel puţin în sensul dat de e l acestora , trebuie să fie polivalente? De aceeaşi părere sînt şi alţi logicien i , ca J . B . Rosser etc . O problemă extrem de importantă este aceea pusă de Lewis (şi alţii) , şi anume că pentru a lămuri noţiunile fundamentale de implicaţie , compatibi litate etc. trebuie să facem apel la relaţii pur intensive , care sînt funcţii de adevăr. Intr-adevăr , după cum observă şi B lanche8, o teorie logică a relaţiilor interpropoziţionale , aşa-zisa teo�i e a funcţiilor de adevăr , trebuie în mod necesar să neglijeze acel neZU8 logic dintre propoziţii , pentru a se sprij ini pe adevărul lor material". Problema rămîne deschisă , fiindcă , de exemplu, J . Dugundj i' a reuşit să arate că sistemele lui Lewis ( toate cele opt : 51-58) nu admit o interpretare polivalentă în sensul lui Lukasiewicz . Aceasta înseamnă că nu se pot construi pentru toţi functorii matrice de adevăr cu urmă­ toarele două proprietăţi : - în cadrul lor propoziţiile să poată lua doar un număr finit oarecare de valori de adevăr, şi - faţă de e le să fie tautologii (adică : formule identic adevărate) acele şi numai acele formule care pot f i demon­ strate în sistemele respective . Rezultatul acesta este asemănător cu acela obţinut de K . Godel pentru calculul propoziţiona l intuiţionist1o• Aşa cum am arătat în capitolul al 5-lea , s istemele lui Lukasiewicz au fost construite pornind tocmai de la o interpretare pol ivalentă . Există dificultăţi serioase tn interpretarea polivalentă a modal ităţilor , care conduc uneori la situaţii foarte greu de admis. D c

F T O

--

implicaţia riguroasă [Ia W. Ackermann] (tt.5) relaţia de antrenare ( 148) implicaţia intuiţionistii [I a Heyting] (237) implicaţia alternativă [Ia Re ichenbach] (306,334) implicaţia la R. Ackermann ( 149) negatia la f.. u kasiewicz (158, 1 74) "posibil itatea" l a f.. ukas iewicz ( 1 58,1 � 6 ) impl icaţia l a f.. u kas iewicz ( 1 61 ,175) impl icaţia la Moisil (260) cuantificatorul particular la f.. u kasiew icz ( 1 67) conjuncţia l ogică la f.. u kasiewicz (168, 1801 cuantificatorul u n iversal la f.. u kasiewicz ( 1 6 8 ) funcţia propozi � ională ( 1 68) disjuncţia la f.ukasiewicz (180) echivalenta la f.. ukasiewicz (182) "dubitativul" la f.. u kasiewicz ( 1 84) functorul l u i Slupecki (188) functorul l u i Rosser şi Turquette ( 1 9 2) lIemnul de apartenenţă ( 208) conjuncţia intuiţionistă [Ia H e y t ing] ( 213), - neclas ică [ l a Bocivar] (340) negaţia intuiţionistă ( 21 3 ) , - ne c lasică [la Boc ivar] ( 34 1 ) dublul semn d e aserţiune ( 21 5) semnul definiţiei la Heyting ( 215) , - la Boc ivar (340) ech ivalenţa la Heyting ( 217) , - clasică [la Bocivar] (340) impl icaţia intuiţionistă ( 239) conjuncţia intuiţionistll. ( 239) diajuncţia intuitionistă (239) echivalenţa l a Griss (256) , concurenţa [la Boc ivarJ (340) "posibil itatea" la Moisil (262) "imposibil itatea" la M o is il ( 2 6 1 ) "necesitatea" la M oisil (262) "contingenţa" la M o isil ( 262) functorul excepţie [la M o is i l J ( 2 ;; 1 ) implicaţia lukasiewiczeană [Ia Mois i l ] (27 1 ) implicaţia de probabil itate la Reichenbach ( 28 1 )

Ne p

388

negaţia l a Reichenbach (286 , 287 , 3 3 3) "necesitatea" la Re ichenbach ( 292) "posibilitatea" la Reichenbach (292)

Simbolurile utilizate in lucrare lm

rwl ­ IM[ &

u ()

" impos ibil itatea" la Reichenbach (292) negaţia cant itativă la Re ichenbach (304) semnul aserţiunii M-tautologiil',,. [Ia Rescher] ( 30B) produsul în logica mecanicii cuantice a lui p , Fevrier (329) negaţia d iametrală în logica mecanici i cuantice a lu i H . R eichenbach (333) suma logică interioară [Ia Bocivar ] (340) ope raţia de reuniune într-o algebră booleană (367) produsul l ogic interior Ila Bocivar] (339) operaţia de intersecţie într-o algebră booleanl ( 367) non-sensul ( 341) "posibil itatea" l a Lukasiewicz (351) "neces itatea" la Lukasiewicz (351) negaţiile logiciIor lukasiewicziene (365)

Index de

nume

A Ackermann, R . , 1�9 , 1 8 8 , 3lt9,

353 Ackermann, W . , lt2, Hlt - H 8 ,

358 A l ban,

P . , 42, 57, 74, 8 3 , 84, 93 , 180, 224, 263 , 3 1 5 , 316 Bernou l l i , J . , 277 Birkhoff, G . , 325, 337 Blanche, R . , H4 , H6 , 1 56., 352 Bocivar, D .A . , 200 , 315 , 33 8 343 , 350 BernaYl,

152

16 1 45 -H8 Andron icoi din Rhodos, 6 Apostp l , P. 357, 377 Ar is tot el , 6 , 1 4 , 1 5 , 2 0 , 21 , 2 2 , 2 6 , 2 9 , 33, 34, 90, 1 5 7 , 1 60 , 1 6 1 , 1 72 , 202 , 203, 207 , 3 7 0 , 371 , 378 , 379, 381

A l exandru d i n Aphrodisias, Anderson, A . R . ,

B Barcan-Ma rcu8. R . , 1 5 3

O., 9 5 , 1 2 5 , 1 27 , 1 29 , 1 34 - 1 3 7 , 235 , 238 , 243 , 244, 357 Belnap, N, D Jr , H5 -H8, 1 50 B e I tram i , E . , 28

Becker,

.

.

-

Bohr , N . , 327 , 330 , 336 Bolya i, 1 . , 28 Bomp ian i ,

E., 5

Boole, G . , 280, 281 , 366 ,

368 209 , 2 1 0 , 21 1 , 21 2 , 227 , 242 , 253 , 258 , 321 , 338 , 357 Brunschvicl':, L . , 1 0 , 2 1 , 22, 90 Bu ra l i-Fort i, C . , 87 Brouwer,

L.E.J. ,

c Cantor, Carnap ,

G . , 87 R., 4 5 , 53, 54 ,

281 ,

3 1 3 , 3H, 3 76

391

Logica polivalentll

Cava il\es, J . , 3 3 , 36 Chang, C . C . , 201 , 3�6 Chwiste k , L . , 89 Chrysippos, 14, 1 6 , 1 7 , 1 8 , 2 6 , 203 , 20� Church, A . , 1 4 7 , 200, 3 1 6 , 338 C icero , 203 , 20� C i UCII , G . , 2 7 7 Corp u t , van der, 3 2 2 Curry, H . , 3 6 , 5 7

D Dan lzig D. , van , 25 7 , 322 Dedek ind , R . , 33 Destouc h e s , J . L . , 32� Dugundj i, J . , 352 Dumitriu , A . , 2�, 33 , .a , 96 , 1 21 , 1 43 , 3 7 2 , 376, 378

E Ei nstein, A . , 28, 2 9 Emch, A . F . , 143, 1 46 Enge l s , F . , 372 Errera , A . , 251 Euclid, 27, 2 8 , 177, 202 Eudem, 1 5 , 1 6

F }o' e rmat, P . , 2 5 , 2�6 Fevrier, P . , 251 , 254 , 3 1 5 , 326 - 330 , 337 Feyerabend , P., 33 7 Feys, R . , 108, 1 23 , 1 2 7 , 1 32 , 1 50 , 1 51 , 1 53 , 1 5� Fine lti, B . d e , 278 , 28'1 Fisher, R . A . , 278

392

Frege , G . , �2 , � 7 , 7 6 , 90 , 370 Freude ntha l , H . , 1 4 6 , 322

G Gentzen, G . , G ibbs, 283

21 3 ,

233,

26�

G i lmore, P . C .

G . , 25� Gl ivenko , V . , 236 Goblot, E . , 22 Godel, K., 3 6 , 3i, 2 1 3 , 238, 240 , 2�2 , 252 Gonseth , F . , 183 , 206 , 207, 329 Griss, G . F . C . , 253 - 25 7

H Hallden , S . , 1 52 , 1 53 Heidegge.·, M . , 21 , 23 Heisenberg, W . , 327, 328 , 331 , 332 , 335 Henle, P . , 155 Herac l i t , 376 Heyting, A . , 208 -258, 2 7 2 , 3 1 5 , 3 1 9 , 321 , 356, 3 5 7 , 362, 384 H ilbert, D . , 30, 32, 33, 4 2 , 7 � , 83 , 84 , 90, 93 , 263, 3 5 7 , 358 Hoo, Tzu-Hua, 189 Husserl, E . , 133

330,

268 , 3�� , 36, 235 ,

1 I os ifescu , M . , 288

J J effreys, H . , 281 , 297 Johansson , 1 . , 245 , 251 , 252, 3'.4

Index de nume

K Ka i l a ,

146 Kant, 1 . , 1 9 , 20 , 1 5 9 , 371 Keynes, J . M . , 281 , 296 Klau s , G . , 3 72 K l e e n e , S . C . , 200 , 2 1 3 , 238 Kolmogorov, A . N . , 230 , 246 251 , 283 Kiirne r , S . , 2 2 9 Kotarb i n s k i , T . , 1 6 2 , 3 7 9 Kre i s e l , G . , 38 Kriv i n e , J .L . , 38

L Ladriere, J . , 37 L a erţi u , D iogene, 17 Lambert , H., 3 1 Langfor d , C . H . , 50 , 95 , 1 0 2 , 1 5 8 , 184, 269, 3 1 9 Lap la c e , 2 7 7 Leibniz, G . W . , 6 7 , 1 60 L emmo n , E . J . , 1 53 L e n i n , V. I . , 373 Lesniews k i , S . , 162, 1 69 L e w i s , C . I .h 5 0 , 9 5 - 1 5 6 , 1 5 7 , 241 , 1 58 , 1 84 , 1 8 5 , 235 , 244 , 245 , 2 5 3 , 307, 308 , 3 1 1 , 31 2 , 319, 320 , 346 , 3 5 2 , 354 Lobacevs k i , N . I . , 2 8 L o o r , D e , 322 Luka siewicz, J . , 1 4 , 1 6 , 2 6 , 8 0 , 1 57 - 209, 225 , 226 , 236 , 238 - 241 , 243 , 2 6 0 , 263 , 2 7 0 , 2 7 2 - 2 7 5 , 3 1 2 , 3 1 9 , 320, 3 2 6 , 3 2 7 , 333 , 345 , 348 , 351 , 3 5 2 , 354, 35 7 , 36 1 , 363, 3 6 4 , 368 L u paş cu , S . , 3 7 6 2 6 - Logica pol!valentă

M Mac C o l I , H . , 98 , 1 5 0 , Marge nau , H . , 337 McKinsey, J . , 101 , 1 2 5 , 2 1 4 , 244 M i h o c , G . , 288 M i s e s , R . von , 280 , 281 , Moh Shaw-Kw e i , 147, 201 , 345 l\fo i s i l , Gr. C . , 5, 1 8 2 , 1 8 6 , 1 9 7 , 201 , 2 5 7 , 259 -275 , 368, 384 Mos towsk'j , A . , 1 84 , 1 98 , 321 Morgan, A . De, 70 , 230 ,

157 213,

287 34.4 , 1 96 , 365 , 201 , 367

N Nage l , E . , 337 N e lson, J . E . , 98 N e uma n n , J. von , 327 , N eyman , J . , 2 78 N ic o d , J . , 1 1 , 1 2 , 1 4 , 53

336

o O ga s a wara , T . , 2 63

O n ice s c u , O . , 2 7 7 , 2 8 4 , 287

278 ,

283 ,

p Pac i u s , J . , . 3 7 1 Parry, W . T . , !l 8 , 1 2 7 , 1 3 3 , 146 Pasch, M . , 31 Peano , G., 4 2 , 55, 64 , 6 6 , 67 P earson , E . , 278 P etrus H is panu s , 19, 23

393

Logica polivalentll

Popescu , F . , 7 Post, E . L . , 1 01 , 1 98 , 1 9 9 , 200 , 304, 3 1 8 , 353 , 355 Prant l , C . , 1 6 Prior, A . N . , 1 35 , 1 53 , 1 85 , 1 89 , 253 , 351 , 356 Putnam, H . , 337

R Rams ey, R . , 89 R eichenbach, H . , 79, 146, 276 314, 315, 326, 338 , 355 Renyi , A . , 2 78 , 283 R i eman n , B . , 28 R escher, N . , 307 , 308 , 311 Robinson, A . , 3 8 Rootselaar, v a n B . , 3 2 2 Ros e , A . , 1 96 , 2 0 1 Rosser, J . B . , 1 5 6 , 192, 1 94 1 97 , 2 0 0 , 201 , 352 Rus s e l l , B . , 9 , 1 0 , 1 7 , 3 2 , 41 97 , 1 0 3 , 1 1 2 , 1 1 3 , 1 41 , 1 4 2 , 1 5 4 , 171 , 1 73 , 1 76 , 1 8 8 , 1 98 , 208 , 2 1 4 , 2 1 5 , 228, 235, 237 , 3 1 7 , 320 , 338 , 342, 344, 377

s Saccheri, G . , 1 7 7 Schaff, A . , 372 Sextus Empiricus, 1 7 Shannon, C . E . , 343 S igwart , Ch . , 2 2 S ikorski , R . , 367 Skolem , Th . , 201 , 345 Slupecki , J . , 1 8 8 , 1 8 9 , 1 98 , 200 Sobocinski, B . , 1 5 1 , 1 53 Sommerfeld , A . , 327 Speranţia, E . , 246

Stihi, T . , 7 Stone, W . , 325, 384

ş Şes takov, V. L , 346, 348

T Tarsk i , A . , 2 9 , 30, 1 5 7 , 1 76, 1 7 8 , 1 9 5 , 1 97 , 2 1 3 , 244, 384, Theodorescu , R., 288 Theophrast, 1 5 , 16 Turquette, A . R . , 158, 1 9 2 , 194, 1 95 , 1 9 7 , 201

v Valpola, C . , 254 Venn , J . , 278 Vredenduin, P . G . ,

144, 254,

w Wa l d , A 2 78 Wavre, R . , 2 1 2 Wajsberg, M . , 1 88 , 1 9 1 , 1 9 5 , 1 9 6 , 1 97 , 2 0 0 , 2 6 7 , 2 6 8 I Whitehead, A . N . , 9 , 1 7 , ,32, H - 94 , 1 0 3 , 1 1 2 , 1 4 1 , 1 98 , 31 6 , 320 W ittgenstein, L . , 1 3 , 50 , 52, 90 , 91 , 372, 375, 378 Wright , G . H . , von , 23, 24, 1 51 , 1 5 3 , 314 .•

z Zaw irski, Z . , 199, 326 Z inoviev , A .A . , 201 , 354

I

Index de materii

A Adaequalio rei el inlellBctus, 370, 3 71 , 372 Anomali i cauzale, 330 , 331 , 337 Asociativitate, 56, 63 , 100, 264 Axioma lui Brouwer, 1 36 , 21 6 , 222, 228 , 245, 253

c Calcul minimal , 245, 251 - 253 Cerc vicio s , 100, 207 ; ( princi­ piul - ) , 88 Complementaritate ) , 335, 336

(princ ipiul

-

Completitudinea (suficienţa) axiomelor, 40, 1 22 , 1 9 5 , 321 Comutativitat'e a , 56, 60, 69, 72, 1 00 , 104, 264

65,

Condiţia verticală a adevărului , 372

Condiţia orizontală a adevăru­ lui, 3 7 2 Consistenţa, 318, 3 1 9 , 320 Construcţie matematică, 229, 254, 258 Contradicţi e , 89, 1 8 3 , 1 8 8 , 257, 3 1 8 , 336 Convenţionalism logic, 3 7 6 , 377 Cuantificarea (în calculul cu funcţii) 76, 78 ; - (în ca lcu­ lul propoziţional ) , 139, 1 6 7 , 1 68 , 197

D Deducţie ( logică) , 1 3 , H, 27, 29 , 30, 31 , 32, 1 1 3 , 140, 1 41 , 1 42 ; - ( logis t ică) , 1 40 DBfiniBndum, 45 , 7 9 DBfiniBns, 45, 79 D e finiţia, 45, 7 9 , 215 Dictum, 1 9 Distributivita t e a , 69, 2 6 4 , 269, 325 393

Logica polivalentii

Domeniu ( d e a cţiune a l u n u I cuantificator) , 78 ; - ( a l u n e i funcţii propoz iţiona l e ) , 76,

I nterpretare,

330 , 3 5 0 , 3 5 2 ,

31 7 , 3 1 8 , 3 2 4 ,

3 5 3 , 3 5 6 , 3 5 8 , 368 ,

9 2 , 93, 2 3 2 , 234 , 3 43

Dubla negaţ i e ( principiul legea - , regu l a - ) , 6 2 , 6 8 , 106,

3 7 , 41 , 1 25 , 1 8 4 ,

1 88 , 234 , 2 4 2 , 243 , 2 4 4 , 245 , 375 ;

-

( l ogică a proba b i l i tăţii) , 280 , 281 ; - (statistică, prin frec­ v e n ţ ă , a proba b i lităţii) , 2 7 9 ,

89,

1 8 2 , 2 2 8 , 2 2 9 , 2 3 2 , 23 7 ,

2 8 2 , 285 , 2 9 5 , 296

250, 272

Izomorf i e ,

3 8 , 297

E Exte n s iu n e , 7 6 , Extensiona l is m ,

96,

1 43 ,

1 56

90

L Legea antilogismu l u i , Lege a l u i P e irc e ,

F

Legile l u i D e Morgan,

Fa l s u l absolut , 3 2 8 , 33 7 Formă nor mală, 358 ; ( con­ junct ivă) , 1 49 ; - ( d i sjunct i ­ vă ) , 1 4 9 Formu lă, 4 6 , 5 7 , 7 8 FuncLor, 1 6 2 -

78 , 230,

2 73

Limba - obiect ,

38

Logica

(complementarităţi i) , 327 - 330 ; (cu o infin itate d e va lori) , 25, 1 90 , 1 9 5 , -

196, 356 ;

G

107

236

199, -

201 ,

285,

( i nductivă) ,

345,

314 ;

( La) ' 1 73 - 1 7 6 , 1 8 2 - 1 8 4 ; (L", ) , 1 8 9 - 1 98 ; (LaE) , 3 2 7 ; - (L3Q) , 330 ; - (T) , 359 ; -

-

Geome trii necu c I idien e ,

28 , 3 1 ,

200

Grad ( d e confirmare ) , ( d e cuplare ) , 289 ; aşteptări i ) , 295

281 ;

(al

-

(matemat i c i i intuiţion i s te fă­ ră nega ţi e ) , 2 5 1 , 253 - 257 ; (modală simetrică genera lă ) , 2 7 3 ; � (modaIă s imetrică normală) , 274 ; (ncchrisip­ p i ană ) , 2 6 , 202, 365 ; (ponderei) , 297 ; (poz itivă) , 263 ; (simbo l ică) , 1 1 , 281 ; (Standard ) , 349 ; (şti i n­ ţă forma l ă ) , 9 , 1 1 , 1 2 , 4 4 , 1 3 4 , 205 , 246 ; - (şt i i nţă a şti inţelor) , 6 -

1 I nd e p e n denţa propoz i ţi lor,

1 1 -'0 ,

1 3 8 , 1 39

I n d iv i d , 74 , 8 8 , I nd u c ţ i e , 314 Intensiu n e , 9 6 , 1 56

396

-

-

92, 97 ,

93, 98,

232 1 55 ,

-

-

Index de materii

M Matrice, 1 74 ;

(normaIă) , 200 ,

355 M e talimbă, 3 8 , 333 Metoda (axiomatică) , 178 ; (matricială sau a matrici lor de ade,văr) , 1 78 , 1 90 Modalitatea (modu8 ş i dictum) 1 9 ; - (afirmativă ş i negat i­ vă) , 132 ; - (comp lexă ire­ ductibilă) , 1 2 5 - 1 2 7 , 153, 1 54 ; - ( î n sens larg) , 23 , 24 ; - (în s e n s relativ ş i ab­ !lolut) , 1 19, 1 20 ; - (proprie

,ş i improprie) , 131 ; (gradul u nei) ,-

134

Model , 37, 1 2 2 , 123, 320 , 321 Moduri (aletice) , 23 ; - (deon­ tice) , 24 ; - (epistemice) , 23 ; - (existenţiale) , 24

Modu8 ponens (regula - , s au

de inferenţă, sau de despărţi­ ) , 16, 48 , 58, 83, 1 0 3 , 1 6 2 ,

re

j1 91 , 1 9 8 , 2 g , 239, 240, 2 6 3 , 302, 317 Modu8 tollens, 16

N Necesaru l ( la Aristote l ) , 21 , 203 ; - (in s istemele impli­ caţiei s tricte ş i c e l e înrudite cu ace s tea) , 119, 133 , 137 , l U -g3 , g 6 , 150, 1 5 2 , 155 ; - ( la Lukas i e w icz) , 159, 1 6 0 , 1 77 , 191 , 204, 205 ; - ( î n ­ tr-o logică modală oareca r e ) ,

351 ; - (la Moi s il) , 275 ; ( la Reichenbach) , 292 Nedeterminatul , 331 N e gaţia ( cuantificatorilor) , 85 ; - (în intu iţionism) , 2 1 0 , 211 , 226, 2(12 ; - (în logici le poli­ valente ) , 354, 358-365 ; ( sceptică, s terilă) , 3 7 2 , 373 Nonsensul (ca va loare de ade­ văr) , 339

o Operaţia de s e l ecţie , 288, 291 , 297

p Paradoxul (în sistemele poli­ valente ) , 344 , 345 ; ( in teoria mulţim i l or) , 2 5 , 208, ("predicabil-impre­ 209 ; d icab i l") , 2 5 , 8 7 , 8 8 , 342 , 343 , 344 Paradoxele ( implicaţ iei mate­ riale ) , 114, 125, 145, 1 8 2 ; ( implicaţiei s tricte ) , 1 4 2 , 143, 1 4 5 , 1 54 Ponderea , 295 , 307 Posibilul ( la Ari s totel ) , 21 , 202, 203 ; - (în s is temele imp li­ catie i stricte ) , 1 1 8 , 1 1 9 , 1 20, 134, 1 5 2 , 1 5 5 ; - {la luka­ siewicz) , 1 58 - 1 61 , 1 6 5 , 1 73 , 174, 1 7 6 - 1 81 ; (într-o logică modală oarecare) , 351 ; - ( l a Reichenbach) , 292

397

LogicG poiil"Glentă Pred icat,

74,

principia

Mathematica

8 7 , 8 8 , 92, 93 ( Prici­ p i i ) , 9, 1 7 , 4 2 - 7 3 , 7 4 , 8 8 , 8 9 , 91 , 9 7 , 103, 1 1 0 , 1 1 1 , a 2 , 1 38 , 1 41 , 1 7 2 , 1 7 7 , 1 9 9 , 224, 31 6 , 3 5 6 Princip iul (contradicţiei ) , 6 6 , 8 9 , 1 0 9 , 1 96 , 251 , 3 5 3 , 376 , S 7 7 , 378, 380 , 381 , 383 ; ( logic, ontologic , psihol ogic a l contradicţiei) , 37 9 ; (de determ inare) , 271 ; (dublei contingenţe) , 275 ; ( ident ităţii) , 1 04 ; (reduc­ tio ad absurdum) , 5 9 , 6 2 , 21 1 , (sil ogismu l u i ) , 6 0 , 356 ; 8 9 , 100, 1 0 7 , 182, 1 8 7 , 2 1 7 , 246 , 258 ; ( terţiului exclus) , 61 , 8 9 , 1 73 , 1 83 , 1 8 8 , 1 96 , 202 , 203 , 204 , 209, 2 1 0 , 2 1 1 , 2 1 2 , 21 3 , 2 2 2 , 223 - 230, 231 , 242, 250, 266, 322, 3 5 8 383 ; - (quartu l u i exclus) , 1 8 3 , 1 8 6 , 269 , 359 , 362 , 364 ; ( m + 1 - l u i exclus) , 196 ; (transpoziţiei sau contra­ poz iţiei ) , 62, 66, 68 ; T ­ princip i i (teo,reme ) , 1 2 3 , 124 Probab il itate (absolută) , 283 286 ; - (relativă sau condi­ ţ ionată) , 283 Produs logic, 45, 65, 69, 98 Propoziţii (atomice sau s imple) , 1 0 , 1 1 , 4'. ; - (compozabile) , 382 ; - (incompozabi l e) , 328; - (moleculare sau compus e ) , t O , 1 1 , 44 ; ( sintetice ) , 343 Prolothetică, 1 69 Punctul (ca s emn de despărţire a formulelC!)r) , 46, 4 7 21 6 -

-

-

-

398

R R e gula (de adjuncţie sau ope­ raţ ia de adjuncţie) , 103, 126, 2 1 5 , 2 1 6 , 320 ; (de a lcă­ tuire a formulelor în calculul propoziţional) , 57 ; (de alcătuire a formu l e l or în cal­ culu l cu funcţ i i ) , 7 7 - 7 9 ; - (de dual itate , 128 ; - (de introducere a cuantificatori­ l or) , 80 , 1 69 ; (înlocuirii expresiilor echivalente) , 301 302, 3 1 0 Relativismul l ogic, 376 Relaţia (de antrenare en/ai­ lement) , 1 4 6 , 1 4 7 , 1 48 , 1 50 ; - (de deduct i b i l itat e , d e in­ ferenţă) , 94, 1 1 5 , 1 4 0 - 150, (de probabil itate) , 1 54 ; 283 Relaţii d e i ncert itud ine, 330 , 333 R e z i dua ţ i a , 2 6 5 , 266, 273 , 276 -

-

-

s Scheme deductive , 264, 272 S i l ogism (categoric) , 1 5 ; ( ipotet ic) , 1 5 , 1 6 , 20 , 1 63 S i s temul (1 , al l u i Lew i s : S1) , ( S2) , 102 ; - (S l°) , 1 08 ; 1 24 , 243 ; - (S3) , 102 , 1 27 , 243 , 244 ; - (S4) , 1 2 9 , 244, 245 ; - (S5) , 136, 24& ; (S6) , 1 52 ; - (S 7 ) , 1 52 ; ( S 8 ) , 1 5 2 ; - (S2°) , 1 53 ; (S3 ) 1 53 ; - (T, a l l u i Feys­ von Wright) , 1 51 ; (S4.°) . 1 53 ; (normal). 355 °

,

-

-

Index de materii

(in calculul propoz iţional i n­

Sofisme (de moda l i ta te) , 1 lt 7 ; (de potrivirtţ) , 1lt 7 Specie, 232, 255 Substituţia (regula , metoda, operaţia de s ubstituţie în calculul c u funcţii) , 51 -83, 1 9 7 ; - (in calculul p ropozi­ ţional intui � ionist) , 2 1 5 , 239 , 240 ; - (în calculul propozi­ ţional al lui L e w is ) , 102 ; ( i n calculul p"opoz i ţional a l l u i Lukasiewicz) , 1 6 2 , 1 63 ; (in calculul propoz iţional a l l u i Moisil) , 263 ; - ( I a R e i­ c henbach) , 301 , 306 ; - (in calculul propoziţional b iva­ l e nt ) , 5 8 Suma logică , 44 , 59, 6 9

tuiţionist) , 224, 226, 228 , 237 ; - (in calculul propoz i­ ţional a l lui Lewis ) , 320 ; ( i n calculul propoz iţiona l al lui Lukasiewicz) , 178, 1 7 9 , 1 83 , 1 95 ; - ( i n calculul pro­ poziţional b ivalent) , 91 , 1 8 8 , 3 0 3 , 3 1 6 , 355 , 356 ; Mtau­ tologie, 308 - 3 1 0 Teorema ( l u i S tone) , 325 , 384 ; - (de reprezentare) , 383 , 384 Teoria ( consecinţelor) , 1 8 , 1 21 ; - (corpusculară ) , 326, 335 ; - (ondulatorie) , 326, 335 ; ( relat ivităţii) , 29 ; - (ramifi­ cată a tipurilor) , 89 Teză, 1 6 2

T

v

Ta uto l ogi e (in calculul cu func­ ţ i i , sau formulă universal validă ) , 92, 287 ; - (in lo­ gica probabil ităţilor) , 298 ; ­ (in calculul p ropoziţional al lui Bocivar) , 341 , 343 , 344 ; -

Valoare de adevăr , 1 3 , 43 , 91 , 94 , 96, 1 73 , 198, 202 , 226, 316 Variab ilă ( l egată ) , 7 7 , 8 1 ; (l ibe ră ) , 7 7 , 82 ; - (pro p o­ z iţional ă ) , 43 , 55, 57 , 7 7 , 8 2 Viitor contingent, 2 0 2 , 207

Bibliografie

B ibl iografia care urmează nu are pretenţia să fie exhaustivă . Ea a fost al cătuită in vederea acelor cititori care ar voi să apro­ fundeze problemele puse i n lucrarea de faţă. P entru o mai bună înţel egere a acestei b ibl iografii l!:m indicat mai întî i l ucrările cu caracter general istoric şi apoi am grupat lucrările i n funcţie de c onţ inutul l or, pe cap itolele care formează cuprinsul acestei cărţi. Lucrări istorice Boche08ki, J. M . ,

Dumitriu, A., Koeale, W. ş i M., KOlarb:08ki, T "

Formale Logik (Freiburg-Miiilchen , ediţi a a I I-a , 1 962) . î n special § 49. Is toria logicii (Bucureşt i , 1 969) . I n spe­ cial cap . XLV. The development of logic (Oxford, 1 962 ) . în special cap . I X , 4 , 5 , şi X I , 3 , Lefons sur / 'histoire de la logi ql.1B (Paris. 1964) . 401

Logica polivalenti!

La capito lul 1

Dlanche, R.,

Drnnschvicg, L . , Poirier, R . , Prior, A . N . ,

von Wright, G.B.,

Raison e t discours (Paris, 1967). Pentru studiul modalităPi a se vedea în special cap . VI . La modalite du j!tgement ( Paris, 1 897) . Logique et modalite (Paris , 1 952) . Formal Logic (Oxford, ediţia a I I-a, 1 962) . Partea a I I I-a a acestei lucrări reprezintă o foarte bună in troducere în logicile modale şi pol ivalente. A n Essay in Modal Logic (Amsterdam, 1 951 ) , una dintre cele ma i imp ortante lucrări moderne·de logică modală.

La capito lu l 2

Dlanche, R., CavaiIIes, l., Domitriu,

A.,

Ladriere, l . , Porte, J . , La cap ito lul 3 1 Carnap, R . , Chnrch, A . ,

Rilbert, D . şi Ackermann, W., Rilbert, D . şi Bernays, P . , Kleene, S. C . , 1

Axiomatique ( Pari s , 1 959) . Axiomatique e t sys teme forme l ( Par is, 1 938) . La struclure axiomatique de la science moderne, "Sc ientia", 1 970. Les limitationa internes des formalismes (Louvain-Paris, 1 957) . Recherches sur la tMorie g�nerale des systemes formels et sur les systemes connecti/s (Louvain-Paris, 1 965 ) . Einfu.hrung i n die Symbo lische Logik (Viena , ediţia a I I-a , 1 960) . Introduction to mathematical logic ( Prin ­ ceton, 1 9 56 ) . Grund::;u.ge der Iheoretischen Logik (Berl in, ed iţia 1 , 1 928 ; e diţia a V-a , 1 967) . Grundlagen der Mathematik (Berlin, ediţia I : voI . I, 1 934 ; voI . I I , 1 938) . Introduction to metamathematies (Amsterdam - Groningen - New York, 1 952 ) .

Toate lucrările date la capitolul 3 sint int roduceri sau tratate importante de logică b ivalentă .

462

Bibliografie

Whitehead, A. N. şi Russell, B.,

(Cambridge, edilia "VoI. 1 , 1 91 0 ; "VoI. I I , 1 91 2 ; voI. I I I , 1 9 1 3 ; e d iţia a I I-a : voI . I în 1 925 , celelalte în 1 92 7) .

Principia Mathematica

1:

*

*

*

în l imba r omână cititorul p oate consult.a : Dumitriu, A., Logica Nouă (Bucure şti, 1940 ) . (Editura ştiinţificii., Logica simbolică E nes cu, Gh., 1 971) . Mihăilescu , E.,

Sisteme

şi

forme

propoziţional

miei, Novikov,

în

calculul

(Editura Acade­

1 966) .

matematică (Edi­ trad. d i n 1. rusă ) . Elemente d e logică matematicet (E d itura didactică şi pedagogică, 1 966) .

P. S.,

Tirnoveanu,

normale

bil'a/ent

In troducere

M.,

În

logica

tura şt iinţifică,

1 963,

L a cap itolul 4

Ackermann, W.,

Begriindung e iner s trengen

Implikation.

"Journal of Symh olic L ogic" , XXI p p . 1 1 3 -1 28 .

( 1 9 56) .

tJ ber d i e Beziehung zwischen strikter und

Ackermann, W.,

s trenger Imp likation , (1 958) ,

Anderson, A. R. şi Belnap, N. D . Jr.,

S.

" D ialectica", B d .

The pure calcu lus 01 enta i /men t,

of

12

213-222 .

Symb.

Logic" ,

XXV I I

"Journ . (1 960) ,

p p . 1 9-52 .

Barcan, R.

Belnap, N.

Feys, R.,

A functional ca/cu lus of first order based

C.,

D.

Jr.,

on s trict implication, "Journ. of S ym b . L ogic" , XI ( 1 94 6) , p p . 1 -1 6 . O încercare de a dezvolta calculul cu funcţii pe baza sistem e lor impl icaţiei stricte . A lorma l ana lysis of entailmen t, "Technical R eport" nr. 7, Office of naval research , C ontract No SA R Nonr - 6 0 9 ( 1 6 ) , New Haven, 1 95 6 . Les logiqu�s noul'elles des modalites, "Re­ vu e Neoscolastique d e philosophie", XL

403

Logica polivalenU!

,.,., R.,

a_pes,

G.

E. ,i

6e..well, M.

Lipite, S .

Leamaon ,

J., A.,

E.

J .,

(193 7 ) , p p . 5 1 7-533 şi XLI (1 938) , p p . 21 7-25 2 . Modal logics ( Edited w ith some comple­ men ta by J. Dop p , Louvain-Paris, 1 965) . Cartea conţine o expunere s istemat ic ă ş i dezvoltată a cercetărilor avînd ca bază sistemele moda le lewisiene 81-8 5 . î n ea c it itorul poate găs i , de asemenea , o b ibliografie cuprinzătoare a lucrArilor din acest domeniu. lntroduction 10 Modal Logic (Londra, 1 968) . A comp leteness theorem i n modal logic, "Journ. of 8ymb. Logic" XXII (1967) , p p . 176-1 86 . Lucrarea reprezintă un punct de vedere comun între s istemele numite moda l e (în speţă s istemul 5 al lui Lewis) ş i c ele p o l ivalente - in care tezele sînt tau­ tologii calculate pe baza unor matrice de adevăr. Numa i că , în interpretarea lui Kripke , une i formu le din 85 ii cores­ punde nu o matrice de adevăr, ci mai multe . New foundations for Lewis modal systems , Journ. of Symb. L ogic", XXI I ( 1 957) , p p . 1 76-1 86 . Symbolic Logic (New York, e diţia 1 1 93 2 , ediţia a I I-a 1 959) . I n cap itol u l VI a l acestei lucrăr i , precum ş i î n appen­ dixele II ş i I I I (ed. a I I-a) , Lewis expune sistemele implicaţiei stricte. Many I'alued and modal systems : an intu­ itive approach, " Ph ilosophical review", LX (1955) , p p . 626-630. Time and modality (Oxford, 1 957) . In special cap itolele I I , I I I şi Appen­ dix B. On many I'a luell systems o/ logic, Ajatus", XXII ( 1 95 9) , p p . 1 1 5-1 5 9 . ..

Lewil, C.

1. şi

lerd, C. K.,

Prior,

A.

N.,

A.

N.,

Saloma.,

A.,

Prior,

Lang­

..

Bibliografie

Enta i lmen t an a deduc i bi li ty " Procee­ dings of the aristotelian society", 1 958--1 959 , p p . 233--25�. Note o n a modal system 01 Feys-I'on Wright. "The j ournal of computing systems . I (1 953) , p p . 1 71 --1 78 .

Smiley, T. J.,

,

SobociDeki, D.,

..

.

La cap itolu l 5

AekermaDD,

Bay, L.

R.,

S.,

Introduction 1 0 many I'a lued LogicB (London -- New YOl·k, 1 967) . O i n troducere de mici proporţii În studiul logici lor p ol ivalente, În special În logic ile Lm ale lui Lukasiewicz. 01 the infinite-I'a lued pre­ "Journ. of Symb. Logic". XXVI I I (1 963) , p p . 77--86. Asupra logicii tril'alente, "Ruch Filo­ zoficzny" , V (1 920) , p p . 1 60--1 7 1 . Philosophische Bemerkungen zur mehr­ wertigen Systemen aes A ussagen k a lkiila. C o m p t es rendus des seances de la 80c ict e des sc iences et des l ettres de Var­ sov i e " , C l a sse I I I , 23 ( 1 930) , p p . 51--77. Articolul a apărut tradus În volumul "Ma terial ismu l dialectic şi ştiinţele m o­ d e rn e " , X I . Die Logik und das Gruna lagenpro b lem , " L e s entretiens de Ziirich sur les Ion de­ ments et la methode des sciences mathe­ mat iqu es" , Ziir ich , 1 941 , p p . 88-1 0 0 . V n terschungen iiber den A ussagenkalkiil. "Comptes rendus des seances de la so­ c iete d e s sciences e t des l e ttres de Var­ sovie " , C lasse III, 23 (1 930) , p p . 30--5 0 . The dependence o f an axiom 01 Lukasiewicz. "Transactions of the american mathema-

Axiomatization

dicate calcu lus,

LDkasiewiez, J., L ukaeiewiez, J.,

"

Lukasiewicz, J.,

Lukasiewiez, J. şi Tarski, A.,

Mereditb,

C.

A.,

405

Logica polivalentlf

MOBtOWIU, A.,

PoRt,

E. L.,

o f ma thematics", XL (1921 ) , p p . 1 63-183 . Comple teness of Lukasiewic:-Ta"ski p"o­ positionai ca leu lus, "Mathematische an­ nalen", C XXI I ( 1 950) , p p . 206-298 . Axiom systems fo" 3-valued logic, "The journal of the London mathematical so­

R08e, A . ,

R08e, A.,

ROle, A. ş i Roner, J . B.,

R088er, J. B . ş i Turquette, A. R., TurqueUe, A. R.,

La capito lu l

GOdel, K., Beyting, A . ,

406

ciety" , XXVI ( 1 9 51 ) , p p . 50-5 8 . Fragments o f many I'alued statemen tcal­ cuIi, "Transactions of the american ma thematical society", LXXX (1 958) , p p . 1 -5 3 .

ManY-l'alued logics (Amsterdam, 1952) . Una d intre cele mai importante lucrări În domeniul l ogicilor pol ivalente . Independent axioms fo" infinite value d logic, "Jour n . of. S ymb. Logic", XXVI I I ( 1 963) , p p . 2 1 7-221 .

6

Brouwer, L. E. J . ,

GOdel, K.,

tical Bociety", LXXXVI I (1958) , p . 54 . A xiomatizability of some many I'aluetl p"edicate ca lcu li, "Fundamenta mathe­ maticae", L ( 1 961 ) , p p . 1 65-1 90 . Introduction to a gene"al theo"y 01 e le­ mentary p"opositions, "American j ournal

H istorical

background, princip les and methods of intuitionism " South-african j ournal of science", X L I X , p p . 139-1 46. Zur in tuitionistischen Arithmetik und Zah­ lentheorie, "Ergebnisse e ines math. Kol­ l oqu iums", B. 4 ( 1 933) , S. 34-3 8 . Eine Interpre tation des intuitionistischs1I Aussagenkalkuls, "Ergebnisse e ines math. Koll oquiums", B. 4 ( 1 933) , S. 39--40. Die formalen Regein der intuitionistische1l Logik, " S itzungsberichte der Preussis­ chen Akademie der Wissenschaften"

Bibliografie

(Physikalische ma thematische 1 930, p p . 4 2 -5 6 .

Klasse) ,

-

BeytiDg, Ao,

Les fondements des mathemat iques, Intui­ tionn isme .

Theorie

(Louvain-Paris,

de

la

demons tra/ion

1 95 5 ) .

Lucrarea cuprinde şi un bogat material informativ cu pr ivi re la cercetările legate in vreun fel de logica intu iţionistă. BeytiDg, Ao,

JobaDSSOD ,

10,

Jn/u itionism - An Introduction (Amster­ dam , ediţia 1 1 95 6 ; ediţia a I I-a 1 966)0 O lucrare de largă iniţiere in matematica şi logica intu iţionistă . Ea este insoţită de o b ibliografie aproape exhaustivă asupra acestui domeniu de cercetări. Der Minimalka lkii l ein reduzierter intui­ t ioniatiacher

Formalismus,

mathematica", I V Prawitz, D o ,

..Compositio

( 1 93 6 ) , pp .

1 1 9 -1 3 6 .

A n in terpreta /ion o f intuitionistic predi­ cale logic in modal logic . .. Contributions to mathematical logic. Proceedings of t h e logic coIloquium Hannover 1 966.

Sehiilte, Ko,

Vol islăndige Systeme modaler und

intui­

(Berl in - Heidelberg - New York , 1 968) .

t io nistiacher Logik

La cap ito lul 7

Moisil,

Gro Co,

Sur la theorie classique de la modalite de,

" Bu l l . math. de la soc. rou­ maine des s e . " ( Bucureşti, t. X I , 1 938, p . 2 35) .

jugemen ls,

Moisil,

Gro Co,

Moisil,

Gro Co,

Logique modale, "D isquisi tiones math. e t phys." (Bucureşti, t. I I , 1 942) . Remarques

sur

la

logique

"Analele Acad . române sccţ. şt.", Seria III , t. XVI p. 975.

du

concep t,

memoriile (1 940-41 ) ,

407

Logica poltvalent4 La capitolul 8

Caruap, R.,

Caruap, R., de Fiuetti, B., Kemeny, J. C., Ouice8CU, O. , Reicheubach,

H.,

Ru_avin, G. 1 . ,

Logical loundatiom 01 probability (Chicago, ediţia a I I-a , 1 960) . Un tratat important asupra probab il ităţi i din punc t de vedere logic. The Continuum 01 inductive me thodll (Chicago , 1 952) . Teoria delia Probabilita , 2 val. (Torino, 1 970) . A logical measure lunetion , "Journ. of Symb. L ogic", XVI I I (1 953 ) , p p . 290-308. Princip iile teoriei probabilităţilor (Bucureşti , 1 969) . The theory 01 pro bability ( Berkeley-Las Angeles , 1 949) . Proba bilitatea logică şi inlerenţele induc­ tive, tradus din l imba rusă în volumul Materialismul dialectic şi ştiinţele moder­ ne, vo I . X I I I ( Bucureşti , 1 970) .

La capitolul 9

BirkhofC, G. ş i vou NeuMaun, J . , Fe­ Destouchea vrier, P., Feyerabeud, P . , -

Nagel, E.,

Putuam, B., Reicheubach,

H.,

MoiBiI, Gr. C.,

408

The logic 01 quan tum mechanics, " An nala o f mathematics " , XXX I I (1 936) , p p . 823-843 . La structure des tMories physiques ( Paris. 1 951 ) . Reichenbach '8 interpretation of quantum mechanics, "Philosophical atudies" , 9 (1 95�" p p . 4 9 --59 . Prolessor Reichenbach on quantum mecha­ nics: a rejoinder, "The journal of p hilo­ sop hy", XL ( 1 946) , p p . 247 -250. Three va ltlei logir, "Ph ilosophical atu­ dies", 8 (1 95 7) , p p . 73-80. Philosophical foundations of quantum m e­ chanics (Berkeley - Los Angeles, 1 944 ) . Funcţionarea reală a schemelor c u contacttl şi relee, I ( Bucure�ti , 1 963) .

BibliografIe

La capitolul 10 Organon, voI. I-IV (Bucureşti, 1 957 1963) . Logica p olivalentă (Bucureşti, 1 943) . An/i-D iihring, Editura P . M . R . , Bucu­ reşt i , 1952 . Caiete filozofice, Editura d e stat p entru l iteratura p ol itică, Bucureşti , 1956

Aristotel, Dumitriu, A., Engels, F., Lenin, V. 1. ,

l.. ukasiewicz,

J.,

Lupattcu, S . , Rescher. N.,

Rescher, N., Zinoviev, A. A.,

A sys/em of modal logic, "Journal o f computing systems", voI . 1 ( 1 953 ) , n r . 3 , p p . 1 1 1-140. Logique e l con/radiclio n ( Paris , 1 947) . Topics in phil080phical Logic (Dordrecht, 1 968) . în special cap . V I dedicat l ogicilor polivalente. Many-valued logic (New York , 1 969) . Philosophical problema of many-valued lo­ gic ( Dordrecht-Holland, 1963).

Tabla de materii

.... .

Prefaţă .

. . . .

. . . .

. .

. . . . . . • . . • . . . . . . . . . • • . . . . • . . • • . • • . •

• •

5

1 Introducere

Propoziţia şi modalitatea ei 1 . 1 . Calculul propoziţional 1 .2 . Valoarea propoziţiilor 1 .3 . Originile calculului propoz iţional 1 . 4 . Modalitatea propoziţiilor 1 .5 . Semnificaţia modalităţii 1 . 6"Ce este logica p ol ivalentă? 1 . 7 . 'Logici modale şi p o l ivalente

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . • . • • • • •

. . . . . . . . . .

. . .

. . . . . . . . • . • • • • • . • .

. . . . . • . . . • . "

• . • • • • •

. . . . . . . . . . . . . . . . • • • . • • •

. . . . . . . . . . . • . . . • . • . • • • . . • . . . . . . .

. . . . • . . . • . . • • . • • • • •

. . . . . . . . . • . . . • . • . • • • . • • •

9

11

14

(Tt' 2i

26

2 Sisteme formale

2 .1 . 2 .2 . 2 .3 . 2 .4 . 2 .5 .

Metoda axiomatică Formal izarea teoriilor deductive Structura axiomatică a unei ştiinţe . C onstrucţia unui sistem formal . C ondiţiile grupului axiomatic 2 . 5 .1 . Necontradicţia axiomelor 2 . 5 .2 . Independenţa axiomelor 2 . 5 . 3 . Suficienţa axiomelor 2 . 6 . Construcţia logic ii ca sistem formal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . • • • . . • • • • . • . • . • . . . • . • • • . • • • • • • • • •

• . . . . . • . • • • • • • • • •

. . . . . . . . • • • . • . • . • • • • •

. . . . . . . • . • • . . . . • • • • • • •

. . . • • . . • . . . . • • • • • •

. . . • . . . . . . . • . . . • • . . •

. . • . . . . . . • . • . • • • . . . • • •

27

30 33 36 38

39

39

40 U

411

3 Logica bivalentă

A. Calculu l propoziţional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 . 1 . Princ i p ia Mathema t ica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 .2 . Idei primitive . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 . :l . Funcţii de adevăr . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 . 4 . Propoz iţii primit ive . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 . 5 . Consecinţele imediate ale propoziţiilor primitive . . . . .

.

3 . 6 . Produsul l ogic a două propoziţii. . . . . . . . . . . . . . . . 3 . 7. E c hivalenţa .................................... 3 . 8 . Propoziţii diverse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . B . Calcu l u ! cu funcţii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 . 9 . :Funcţ i i propoz iţionale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 .1 0 . Idei primitive . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 .11 . Propoziţi i primitive . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 . 1 2 . Consecinţele propoz iţiilor primitive . . . . . . . . . . . . . . . . 3 .1 3 . Teoria tipurilor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 .1 4 . Consideraţii genera l e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4

.

Logica implicaţiei s tricte

I m p l icaţi a stric tă . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . I d e i primitive (nedefinite) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Definiţii ....................................... Propoziţii primitive . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Teoreme ............... ................. ..... 4 . 6 . Impl icaţi a materială . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 . 7 . Relaţia de compat ibil itate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . '4.8. Funcţii modal e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 . 9 . Completarea sistemului 1 . Sistemul 2 . . . . . . . . . . . . . . 4. .1 0 . Modal ităţi compl exe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . �4. . 1 1 . Reducerea modal ităţilor la 1 4 . S i8temu l 4 . . . . . . . . 4 .1 2 . Reducerea modal ităţilor la 6. Sistemul 5 . . . . . . . . . . 4 . 1 3 . Un p ostulat de existenţă . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.1. 4.2. 4 .3 . 4.4. 4.5.

.

.

.

.

.

.

.

4 .1 4 . Implicaţie ş i deductibi l itate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

41 �

42 42 43 48 55 57 65 67 72 i4 74 77 ';9 81 86 89

95 98 99

1 00 1 02 1 09 113 118 1 22 1 25 1 28 1 34 137

HO

4 . 1 5 . C ompletări adu se si stemelor impl icaţiei stricte. Alte sis teme modale , , ,....... 4 . 1 6 . Cons ideraţi i generale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

.

.

•

•

.

.

.

.

. . . . . • . .

.

.

.

.

•

1 50

15�

5 Logicile lui Lukaaiewicz

5 .1 . 5 .2 . 5 .3 . 5 .4 . 5 .5 . 5 .6 .

L ogica modală a lui l.ukas iewicz .............. I de i l e primitive . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Propoziţii modale prim itive . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . C onsecinţele primelor două propoziţii modale . . . . . . Consecinţele celei de-a treia propoziţii modale primitive I ncompatibil itatea prop oziţ i ilor modale primitive in calculul bivalent . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 . 7 . Logica trivalentă . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 .8 . Definiţia noţiuni i de posib i l itate . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 . 9 . Consec inţele definiţiei conceptului de p osibil itate . . 5 .1 0 . Dezvoltarea logic i i trivalente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 . 1 1 . Modal ităţile logici i trivalente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 .1 2 . General izarea logic ii triva lente : l ogicile L m . . . . 5 .1 3 . Alte cercetări . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 .1 4 . Considera ţ i i generale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

157 1 58 1 59 1 61 167 1 71

1 73 1 76 1 78 1 82 1 84 1 89 1 98 202

6 Logica intu iţionistă

6 . 1 . I ntu iţionismu l lui Brouwer 6 .2 . Formal izarea l ogicii intuiţioniste . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 .3 . Regul i d e operaţii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

•

.

.

.

.

.

.

.

6 .4 . Constantele : : . • : : ;:) . /\ . ;:)c . (.) . D . . . . . 6 . 5 . Constanta V 6 .6 . C onstanta -, . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 .7 . Axiomele intuiţioniste �i principiu l terţiului exclus 6 .8 . O bservaţ ii asupra calculului propoziţional intuiţionist 6 .9 . Calculul cu funcţ ii intuiţionist 6 .1 0 . Compararea logic i i intuiţio n iste cu logica b ivalentă 6 .1 1 . Compararea logic i i intu iţioniste cu cea a lui Lewis 6 .1 2 . Logica problemelor a l u i Kolmogorov . . . . . . . . . . . . 6 .1 3 . Alte c ercetări ale şcol ii intui ţioniste 6 .1 4 . Consideraţii generale . . . . •

.

•

.

•

.

.

.

.

•

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

•

.

•

. . . . . • . . . • . • . . . . . .

. . . . . . . • . . . . . .

. . .

. . . . • . . . . . . . • . . . . . . . .

208 212 214

21 6

219 221 223 230 231 234 243

246

251

257

7 Logica modală

7 .1 . Cerc e tările l u i

Gr. C . Moisil . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

259

413

7.2.

7.3. 7.4.

7 .5 .

7.6 . 7.7.

7.8.

Idei primitive ; definiţi i ; functorul S Logica modală generală . .... Imposib i l itatea şi contingenta în l ogica m odală generalii. ......................................... Necesitatea şi p osibilitatea . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Logica modală specială . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Logicile moda le simetrice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Cons ideraţii generale . . . . . . . . . . . . . . " . . . . . . . . . . . . . .

.

.

.

.

.

•

.

.

.

.

.

.

•

. . . • . . . . . . . . . . . . . "

• • .

.

260

262 265

266 268

272 27!o

8 Logica probabilităţilor 8.1 .

Noţiunea de probabi l itate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Constituirea l ogici i probab i lităţilor . . . . . . . . . . . . . . 8 .3 . Logica modal ităţilor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.4. Logica ponder i i. Noţiuni preliminare . . . . . . . . . . . . . . 8.5. Tautologiile logici i probabil ităţilor. Deducerea tautologiilor din prima categorie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 . 6 . Tautologiile din a doua categorie . Negaţia cantitativă 8 . 7 . Sistemul 5 al lui Lewis. din punct u l de vedere al calculului probab il ităţilor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.8. Consideraţii general e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.2.

.

.

.

276 285

291

294

297

303 307

31 2

9 Ap licaţiile logici lor polivalente 9.1 .

9.2 .

9.3 .

9.4.

Introducere . . . . . . . . . . Apl icarea l ogicilor p o l ivalente la stud i u l sistemelor ........................................ formale Aplicarea logicilor pol ivalente în matematică . . . . . . Apl icaţiile logicilor pol ivalente în mecan ica cuantică 9 . 4 . 1 . Logic i l e poliva l ente construite de Paulette Fevrier ................... ..... ......... 9 . 4 . 2 . Logica mecan icii cuantice a lui Hans Reic henbach . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Logicile p ol ivalente ş i paradoxele logice . . . . . . . . . . Aplicarea logic ilor cu mai multe valori în studiul schemelor cu contacte şi relee . . . . . . . . . . . . . . . . .

9.5.

9.6.

.

.

.

10 10.1 .

.

.

.

.

31 5

321

32/. 326

330 338

3la6

Concluzii finale

Distincţia d intre l ogicile modale şi logicile pol ivalente . . . . • .

414

.

.

31 5

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

•

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

•

.

.

.

.

.

.

.

.

.

•

.

349

tO.2. tO.3.

1 0 . r. . 1 0. 5 . 10.6.

Raportul d intre l ogica b ivalentă ş i logicile polivalente ..... ..... . Funcţia negaţiei . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Valori de adevăr 1 0 . r. . 1 . Algebre booleene ş i lukasiewicziene . . . . . . A devăr şi fals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Logicitatea s istemelor pol ivalente Simbo lurile u t ilizo.te în lw:rare . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 ndez de nume . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . lndez de materii Bibliografie . .

.

. . . . . . . . . . . . . . •

. . . . . . . .

. • • • • • • . • • •

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . • . • . •

. . . . . . . . . • . • • • • •

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . • . . • • • •

. . . . . . . . . • . . . . • . . . . . . . . . • . . • • • • • • • • •

353

358

365 366

368

375 387 391 395

�Ol