Livre Electromagnetisme [PDF]

Zitiervorschau

Tables des mati` eres Avant-propos

v

1 R´ esum´ e d’´ electromagn´ etisme

I

Electrostatique 1. 2. 3. 4.

3

Champ et potentiel ´electrostatique . . . Th´eor`eme de Gauss . . . . . . . . . . . . Dipˆole ´electrostatique . . . . . . . . . . . Conducteurs en ´equilibre ´electrostatique

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L d e m a h o M II

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Magn´ etostatique 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7.

III

i f t o 1

D´efinition . . . . . . . . . . . . . . . . . Loi de Biot et Savart . . . . . . . . . . . Sym´etries et invariances . . . . . . . . . Lignes de champ . . . . . . . . . . . . . Equations locales de la magn´etostatique Relation de passage . . . . . . . . . . . . Dipˆole magn´etique . . . . . . . . . . . .

17

Induction ´ electromagn´ etique

Ondes ´ electromagn´ etiques 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 1. 2. 1.

19 19 19 21 21 23 23

25

1. Forces de Laplace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2. Induction ´electromagn´etique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

IV

5 11 12 13

27 28

31

D´efinitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ´ Equations de Maxwell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Potentiels vecteur et scalaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ´ Equations de propagation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Structure d’une onde ´electromagn´etique plane progressive . . . . . . . . . . Onde ´electromagn´etique plane progressive monochromatique (O.EM.P.P.M) Polarisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Conducteur parfait . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . R´eflexion sous incidence normale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Dipˆole de Hertz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . i

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33 33 34 35 35 35 38 41 41 43

2. Moment dipolaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3. Cadre d’´etude . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4. Champ ´electromagn´etique rayonn´e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 Exercices classiques d’´ electrostatique et de magn´ etostatique 1. Champ ´electrostatique cr´e´e par un segment charg´e . . . . . . . . 2. Champ cr´ee par un disque en son axe . . . . . . . . . . . . . . . 3. Calcul du champ en utilisant le th´eor`eme de Gauss . . . . . . . ´ 4. Etude d’une distribution cylindrique de charge . . . . . . . . . . 5. Conducteur - Condensateur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6. Fil infini . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7. Spire circulaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8. Sol´eno¨ıde . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9. Dipˆole ´electrostatique - dipˆole magn´etique . . . . . . . . . . . .

43 43 43

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47 47 47 47 48 48 50 50 51 51

magn´ etostatique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

55 55 56 57 62 63 65 67 69

4 Pb : Haut parleur 1. Analyse pr´eliminaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2. Etude du dispositif mobile : bobine membrane . . . . . . . . . . . . . . . . .

77 77 78

5 Corrig´ e : Haut parleur 1. Analyse pr´eliminaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2. Etude du dispositif mobile : bobine membrane . . . . . . . . . . . . . . . . .

81 81 81

6 Pb : Roue de Barlow 1. Loi de Lenz, loi de Faraday . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2. Roue de Barlow . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

85 85 86

7 Corrig´ e : Roue de Barlow 1. Loi de Lenz, loi de Faraday . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2. Roue de Barlow . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

89 89 90

8 Pb : Moteur synchrone 1. Le sol´eno¨ıde . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2. Production d’un champ tournant . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3. Entraˆınement de la pi`ece mobile . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

95 95 96 97

3 Corrig´ e des exercices classiques d’´ electrostatique et 1. Champ ´electrostatique cr´e´e par un segment charg´e . . 2. Champ cr´ee par un disque en son axe . . . . . . . . . 3. Calcul du champ en utilisant le th´eor`eme de Gauss . ´ 4. Etude d’une distribution cylindrique de charge . . . . 5. Fil infini . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6. Spire circulaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7. Sol´eno¨ıde . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8. Dipˆole ´electrostatique - dipˆole magn´etique . . . . . .

de . . . . . . . . . . . . . . . .

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M.Lotfi

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i f t o

9 Pb : Moteur asynchrone 1. Stator de la machine asynchrone : production d’un champ tournant 2. Entraˆınement du rotor de la machine asynchrone . . . . . . . . . . 3. Couple ´electromagn´etique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4. Puissance et rendement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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99 99 100 101 102

10 Pb : Propagation d’une onde m´ ecanique 103 1. Propagation d’une onde dans une corde . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103 2. Onde longitudinale dans un barreau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105 11 Pb : Propagation d’une onde ´ electromagn´ etique dans le vide

107

i f t o

12 Corrig´ e : Propagation d’une onde ´ electromagn´ etique dans le vide 13 Pb : Propagation d’une onde ´ electromagn´ etique dans 1. Conductivit´e d’un m´etal . . . . . . . . . . . . . . . . . ´ 2. Equations de Maxwell dans un m´etal . . . . . . . . . . 3. Effet de peau dans le m´etal . . . . . . . . . . . . . . .

109

un m´ etal 113 . . . . . . . . . . . . 113 . . . . . . . . . . . . 114 . . . . . . . . . . . . 115

L d e m a h o M 14 Corrig´ e : Propagation d’une onde ´ electromagn´ etique dans 1. Conductivit´e d’un m´etal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ´ 2. Equations de Maxwell dans un m´etal . . . . . . . . . . . . . 3. Effet de peau dans le m´etal . . . . . . . . . . . . . . . . . .

un . . . . . .

m´ etal 117 . . . . . . . 117 . . . . . . . 119 . . . . . . . 120

15 Pb : Propagation d’une onde ´ electromagn´ etique dans un plasma 123 1. Dynamique d’un plasma libre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123 2. Propagation d’ondes dans un plasma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124

16 Corrig´ e : Propagation d’une onde ´ electromagn´ etique dans un plasma 127 1. Dynamique d’un plasma libre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127 2. Propagation d’ondes dans un plasma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128

17 Pb : Effet Faraday dans un plasma 131 ´ 1. Equation de dispersion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131 2. OPPM Circulaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132 3. OPPM Rectiligne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132 18 Corrig´ e : Effet Faraday dans un plasma 135 ´ 1. Equation de dispersion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135 2. OPPM Circulaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136 3. OPPM Rectiligne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139 Annexe

141

A Op´ erateurs math´ ematiques

143

Op´ erateurs math´ ematiques 143 1. Expressions des op´erateurs dans divers syst`emes de coordonn´ees . . . . . . . 143 2. Formules des op´erateurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144 iii

M.Lotfi

L d e m a h o M

i f t o

AVANT-PROPOS

i f t o

Le r´esum´e de cours et les probl`emes pr´esent´es dans ce livre sont le fruit de plusieurs ann´ees d’enseignement dispens´e aux ´etudiants du cycle de pr´eparation a` l’agr´egation de physique, aux ´etudiants des classes pr´eparatoires aux grandes ´ecoles et aux ´etudiants de la licence a` l’Ecole Normale Sup´erieure de Marrakech. Il s’agit d’un cours d’´electromagn´etisme et d’ondes ´electromagn´etiques. Notre souci au cours de la r´edaction de cet ouvrage a ´et´e de trouver un outil efficace pour aider les ´etudiants a` bien pr´eparer leurs concours, sachant que lors de la pr´eparation des concours on aura besoin seulement de l’essentiel du cours et des probl`emes bien choisis pour se mettre dans les conditions des concours.

L d e m a h o M

L’ouvrage est form´e d’un r´esum´e de cours portant sur l’´electrostatique, la magn´etostatique,

l’induction ´electromagn´etique et les ondes ´electromagn´etiques. Il contient aussi des exercices classiques d’´electrostatique et de magn´etostatique, de neuf probl`emes r´esolus tir´es de concours, ces probl`emes traitent les connaissances n´ecessaires de l’´electromagn´etisme et des ondes, et d’une annexe qui rassemble les op´erateurs math´ematiques utilis´es dans diff´erents syst`emes de coordonn´ees.

La premi`ere partie traite des exercices d’´electrostatique et de magn´etostatique concer-

nant les distributions classiques de charges et de courant telles que : fil infini, spire, plan, cylindre, sph`ere, sol´eno¨ıde et dipˆoles. Les probl`emes qui traitent l’induction ´electromagn´etique sont : • Roue de Barlow : traite le ph´enom`ene d’induction pour le cas d’une roue qui peut jouer le rˆole d’un g´en´erateur ou r´ecepteur;

• Moteur synchrone : traite le principe de production d’un champ tournant pour faire tourner un aimant qui donnera un moteur synchrone; • Moteur asynchrone : traite le principe de fonctionnement d’un moteur asynchrone pour montrer sa diff´erence avec le moteur synchrone; • Haut parleur : traite le principe de fonctionnement d’un haut parleur ´electrodynamique. Les probl`emes qui traitent la propagation des ondes dans diff´erents domaines sont : • Propagation d’une onde m´ecanique : traite la propagation d’une onde dans une corde; v

• Propagation d’une onde ´electromagn´etique dans le vide; • Propagation d’une onde ´electromagn´etique dans un m´etal; • Propagation d’une onde ´electromagn´etique dans un plasma; • Effet Faraday dans un plasma : traite la propagation d’une onde ´electromagn´etique dans un plasma avec la pr´esence d’un champ magn´etique permanent.

Cet ouvrage s’adresse bien sˆur aux ´etudiants du cycle de pr´eparation a` l’agr´egation, aux ´etudiants du premier cycle universitaire mais aussi a` ceux des classes pr´eparatoires et aux ´etudiants pr´eparant le concours d’entr´ee au CRMEF. Nous esp´erons qu’il leur sera une aide pr´ecieuse dans leur effort de compr´ehension de cette branche de la physique.

L d e m a h o M

M.Lotfi

vi

i f t o

1 R´ esum´ e d’´ electromagn´ etisme

L d e m a h o M

1

i f t o

L d e m a h o M

i f t o

Part I

L d e m a h o M Electrostatique

3

i f t o

L d e m a h o M

i f t o

Electrostatique

1. 1.1.

R´esum´e d’´electrostatique

Champ et potentiel ´ electrostatique Loi de Coulomb

Soient q1 et q2 deux charges ponctuelles plac´ees dans le vide (figure 1). q2

→ − ur

M r q1 P Figure 1:

i f t o

La force ´electrostatique exerc´ee par q1 sur q2 est donn´ee par la loi de Coulomb :

L d e m a h o M → − f 1/2 =

− avec → ur =

1.2.

1 q1 q2 → − ur 2 4πε0 r

−−→ PM PM

Champ ´ electrostatique

1.2.1. Charge ponctuelle

Soit q une charge ponctuelle plac´ee en un point P . → − Si on place une autre charge q0 en un point M alors cette derni`ere va subir la force F de la part de q telle que : −−→ ! → − q PM F = q0 − → 3 4πε0 kP−Mk → − On dit que q cr´ee un champ ´electrostatique E au point M tel que : → − E =

−−→ q PM q 1 → − = ur − − → − − → 4πε0 kP Mk3 4πε0 kP Mk2

→ − E s’exprime en V/m (Volt/m`etre) Donc la force ´electrostatique exerc´ee sur q0 est donn´ee par : → − → − F = q0 E Remarque : Analogie ´ electrom´ ecanique Champ gravitationnel → − → − ur G = − Gm r2

⇐⇒ ⇐⇒ 5

Champ ´electrostatique q → − ur 4πε0 r 2 M.Lotfi

R´esum´e d’´electrostatique

Electrostatique

D’o` u les analogies : La masse m −G

⇐⇒ ⇐⇒

La charge q 1 4πε0

1.2.2. Distribution discr` ete de charges

Le champ ´electrostatique cr´ee par un ensemble de N charges ponctuelles en point Mest donn´e par : −−→ N Pi M → − 1 X qi −−→ E (M) = 4πε0 i=1 kPi M k3 1.2.3. Distribution volumique de charges

i f t o

dq(P ) La densit´e volumique de charges en un point P est d´efinie par ρ(P ) = dτ . (P ) dq(P ) est la charge contenue dans le volume ´el´ementaire dτ (P ) entourant P (figure 2).

M

L d e m a h o M dτ

P

V

Figure 2:

Le champ ´electrostatique cr´ee par une distribution volumique de charges en un point M est donn´e par : ZZZ −−→ → − PM 1 ρ(P ) −−→ dτ (P ) E (M) = 4πε0 V kP Mk3

1.2.4. Distribution surfacique de charges

dq(P ) La densit´e surfacique de charges en un point P est d´efinie par σ(P ) = dS(P . ) dq(P ) est la charge contenue dans la surface ´el´ementaire dS(P ) entourant P (figure 3). Le champ ´electrostatique cr´ee par une distribution surfacique de charges en un point M est donn´e par : ZZ −−→ → − 1 PM E (M) = σ(P ) −−→ dS(P ) 4πε0 Σ kP Mk3

1.2.5. Distribution lin´ eique de charges

) La densit´e lin´eique de charges en un point P est d´efinie par λ(P ) = dq(P . dl(P ) dq(P ) est la charge port´ee par la longueur ´el´ementaire dl(P ) centr´ee sur P (figure 4).

M.Lotfi

6

Electrostatique

R´esum´e d’´electrostatique

M

ds P

Σ Figure 3:

M

L d e m a h o M dl

Γ

P

i f t o

Figure 4:

Le champ ´electrostatique cr´ee par une distribution lin´eique de charges en un point M est donn´e par : Z −−→ → − 1 PM E (M) = λ(P ) −−→ dl(P ) 4πε0 Γ kP Mk3

1.3.

Sym´ etrie et invariance

1.3.1. Sym´ etrie

Soit D une distribution de charge. On dit que D pr´esente un plan de sym´etrie Π si et seulement si : • Π est un plan de sym´etrie g´eom´etrique

• ∀ P et P ′ deux points, de la distribution D, sym´etriques par rapport a` Π on a ρ(P ) = ρ(P ′ ) (ou σ(P ) = σ(P ′), λ(P ) = λ(P ′ ) ou q(P ) = q(P ′ )) Le plan de sym´etrie de la distribution de charges est aussi un plan de sym´etrie pour le champ ´electrostatique (figure 5). D’o` u → − → − =⇒ E (M) = symΠ ( E (M ′ )) M ′ = symΠ (M) D’o` u les r´ esultats : → − → − • E // (M) = E // (M ′ ) 7

M.Lotfi

R´esum´e d’´electrostatique

Electrostatique

→ − E (M ′ ) → − E // (M ′ )

→ − E (M) → − E // (M)

→ − M′ E ⊥ (M ′ )

P′

M P

→ − E ⊥ (M)

D Π Figure 5:

→ − → − • E ⊥ (M) = − E ⊥ (M ′ )

i f t o

• En un point M appartenant au plan de sym´etrie d’une distribution de charges le champ ´electrostatique est contenu dans ce plan.

L d e m a h o M 1.3.2. Antisym´ etrie

On dit que D pr´esente un plan d’antisym´etrie Π⋆ si et seulement si : • Π⋆ est un plan de sym´etrie g´eom´etrique

• ∀ P et P ′ deux points, de la distribution D, sym´etriques par rapport a` Π⋆ on a ρ(P ) = −ρ(P ′ ) (ou σ(P ) = −σ(P ′ ), λ(P ) = −λ(P ′ ) ou q(P ) = −q(P ′ ))

Le plan d’antisym´etrie de la distribution de charges est aussi un plan d’antisym´etrie pour le champ ´electrostatique (figure 6). D’o` u → − → − M ′ = symΠ⋆ (M) =⇒ E (M) = −symΠ⋆ ( E (M ′ )) → − E (M) → − E // (M)

→ − ′ M ′ E ⊥ (M )

M → − E // (M ′ )

→ − E (M ′ )

P′

P

D Π⋆ Figure 6:

D’o` u les r´ esultats :

M.Lotfi

8

→ − E ⊥ (M)

Electrostatique

R´esum´e d’´electrostatique

→ − → − • E // (M) = − E // (M ′ ) → − → − • E ⊥ (M) = E ⊥ (M ′ )

• En un point M appartenant au plan d’antisym´etrie d’une distribution de charges le champ ´electrostatique est perpendiculaire a` ce plan. 1.3.3. Invariance

On dit qu’une distribution de charges est invariante par translation suivant ∆(u) si et seulement si toute translation selon ∆ (c.`a.d ∀u) laisse invariante D. → − Ce qui donne E ind´ependant de u. D est invariante par rotation autour de ∆(α) si et seulement si toute rotation autour de ∆ (c.`a.d ∀α) laisse invariante D. → − Ce qui donne E ind´ependant de α. Exemple :

i f t o

• cylindre infini (ou de hauteur tr` es grande devant le rayon) uniform´ ement charg´ e Invariance par translation suivant Oz d’o` u E(r, θ, z) = E(r, θ) Invariance par rotation selon θ d’o` u E(r, θ) = E(r)

L d e m a h o M • Sph` ere uniform´ ement charg´ ee Invariance par rotation selon θ d’o` u E(r, θ, ϕ) = E(r, ϕ) Invariance par rotation selon ϕ d’o` u E(r, ϕ) = E(r)

1.4.

Potentiel ´ electrostatique

La circulation ´el´ementaire du champ ´electrostatique est donn´ee par : → − − δC = E .d(→ r)=

q 1→ q 1 − − − e r . [dr → e r + rd(→ e r )] = dr 2 4πε0 r 4πε0 r 2   q 1 = −d + cte 4πε0 r

On d´efinit le potentiel ´electrostatique cr´ee par une charge q par : V (M) =

q 1 4πε0 r

Cas d’une distribution discr`ete de N charges : V (M) =

N 1 X qi 4πε0 i=1 Pi M

Cas d’une distribution volumique de charges : ZZZ ρ(P ) 1 dτ (P ) V (M) = 4πε0 V PM 9

M.Lotfi

R´esum´e d’´electrostatique

Electrostatique

Cas d’une distribution surfacique de charges : ZZ 1 σ(P ) V (M) = dS(P ) 4πε0 Σ P M Cas d’une distribution lin´eique de charges : 1 V (M) = 4πε0

Z

Γ

λ(P ) dl(P ) PM

Propri´ et´ es : → − − → • dV = − E .dM −−→ → − → − • E = −grad V on dit que E d´erive d’un potentiel V → − • La circulation de E entre deux points A et B est : Z B → − → E .d− r = V (A) − V (B) A

L d e m a h o M • Pour un contour C ferm´e on a :

I

C

− → → E .d− r =0

i f t o

→ − On dit que E est a` circulation conservative. On exprime la conservation de la circulation du champ ´electrostatique sous la forme locale en ´ecrivant : − → − − →→ rot E = 0

1.5.

Lignes de champ et surfaces ´ equipotentielles

1.5.1. Lignes de champ

Une ligne de champ est une courbe est tangent et orient´e dans le mˆeme Math´ematiquement c’est l’ensemble → − −−→ E (M) ∧ dOM = 0

− → telle que en chacun de ses points M le vecteur E (M) → − sens que E (M). des points M tels que : → − −−→ ou E (M) = a dOM (a = cte > 0)

On peut expliciter ces deux ´equations dans diff´erents syst`emes de coordonn´ees sous la forme : • Coordonn´ees cart´esiennes :

dx Ex

=

dy Ey

=

dz Ez

• Coordonn´ees cylindriques :

dr Er

=

rdθ Eθ

=

dz Ez

• Coordonn´ees sph´eriques :

dr Er

=

rdθ Eθ

=

r sin θdϕ Eϕ

Remarque : → − En un point M ne passe qu’une seule ligne de champ sauf si E n’est pas d´efini en ce point ou nul. L’ensemble des lignes de champ qui s’appuient sur un contour ferm´e est appel´e tube de champ ´electrostatique. M.Lotfi

10

Electrostatique

R´esum´e d’´electrostatique

1.5.2. Surfaces ´ equipotentielles

Une surface ´equipotentielle Σ est l’ensemble des points tels que le potentiel est constant. Math´ematiquement : Σ = {M/V (M) = cte} Propri´ et´ e: Les lignes de champ sont perpendiculaires aux surfaces ´equipotentielles et sont orient´ees dans le sens des potentiels d´ecroissants.

2. 2.1.

Th´ eor` eme de Gauss ´ Enonc´ e

i f t o

→ − Le flux du champ ´electrostatique E a` travers une surface ferm´ee Sf est ´egale au rapport de la charge se trouvant a` l’int´erieur de Sf et ε0 . ZZ → − → − Qint

E .d S = ε0 Sf

L d e m a h o M → − − Par convention d S = dS → n (M) est orient´e vers l’ext´erieur.

2.2.

Formulation locale du th´ eor` eme de gauss

ZZZ ZZ → − → − Qint ρ = dτ

E .d S = ε0 ε0 Sf

Or d’apr`es la formule d’Ostrogradsky on a ZZZ ZZ → − → − → −

E .d S = div E dτ V

Sf

avec V le volume entour´ e par Sf RRR  → − Alors V div E − ερ0 = 0 Ainsi

→ − ρ div E = ε0

C’est la forme locale de l’´equation de Gauss appel´e aussi ´equation de Maxwell-Gauss. ´ ´ Equation de Poisson - Eequation de Laplace −−→ → − → − On a div E = ερ0 et E = −grad V −−→ Donc div(−grad V ) = ερ0 −−→ Or div(grad f ) = ∆f (∆f est le lapacien de f ) 2.3.

D’o` u l’´equation de Poisson : ∆V +

ρ =0 ε0

11

M.Lotfi

R´esum´e d’´electrostatique

Electrostatique

En absence de charges (ρ = 0) V v´erifie l’´equation de Laplace : ∆V = 0 En r´egime stationnaire, la solution de l’´equation de Poisson pour une distribution de charges D finie et a` condition de prendre V (∞) = 0 est : 1 V (M) = 4πε0

P ǫD

ρ(P ) dτ (P ) PM

ˆ le ´ Dipo electrostatique

3. 3.1.

ZZZ

D´ efinition

i f t o

On appelle dipˆole ´electrostatique le syst`eme constitu´e de deux charges ponctuelles oppos´ees −q et q situ´ees en deux points N et P distants de a et tels que a = NP soit tr`es petite devant les autres distances envisag´ees (figure 7).

L d e m a h o M M

z

P a 2

O

r

θ

a 2

N

Figure 7:

3.2.

Moment dipolaire

Le moment dipolaire d’une distribution de charges, telles que : → − p =

N X −−→ qi ON i

PN

i=1 qi

= 0, est d´efini par

i=1

Dans le cas d’un dipˆole ´electrostatique le moment dipolaire est donn´e par : −−→ → − p = q NP Le moment dipolaire s’exprime en C.m (Coulomb. m`etre). M.Lotfi

12

Electrostatique

3.3.

R´esum´e d’´electrostatique

Champ et potentiel cr´ ee par un dipˆ ole ´ electrostatique

Dans l’approximation dipolaire c’est-`a-dire en un point M tel que OM = r ≫ a le potentiel et le champ ´electrostatiques cr´ees par un dipˆole sont : → − − p .→ r V (M) = 4πε0r 3 − − − − → − 3 (→ p .→ r )→ r −→ p r2 E (M) = 4πε0 r 5 3.4.

Lignes de champ et surfaces ´ equipotentielles d’un dipˆ ole z

lignes de champ ´equipotentielles

axe du dipˆole

L d e m a h o M

i f t o

→ − p

zone du dipˆole o` u l’approximation dipolaire n’est pas valable (trop pr`es du dipˆole)

Figure 8:

4. 4.1.

´lectrostatique Conducteurs en ´ equilibre e D´ efinition

Un conducteur est un milieu ayant des charges libres a` se d´eplacer. Par exemple dans les conducteurs m´etalliques ces charges sont les ´electrons et dans les ´electrolytes ces charges sont des ions. Un conducteur est en ´equilibre ´electrostatique si les charges libres n’ont pas un mouvement d’ensemble. 13

M.Lotfi

R´esum´e d’´electrostatique

4.2.

Electrostatique

Propri´ et´ es d’un conducteur en ´ equilibre ´ electrostatique

4.2.1. Champ ` a l’int´ erieur du conducteur

Le champ ´electrostatique a` l’int´erieur d’un conducteur en ´equilibre ´electrostatique est nul : → − → − E int = 0 4.2.2. Densit´ e volumique de charge

La densit´e volumique des charges est nulle dans un conducteur en ´equilibre ´electrostatique : ρ=0

i f t o

S’il existent des charges en exc`es elles vont se r´epartir sur la surface du conducteur. 4.2.3. Potentiel ´ electrostatique

Le potentiel ´electrostatique est uniforme sur tout le conducteur en ´equilibre ´electrostatique. Vint = cte

L d e m a h o M On dit que le volume du conducteur est ´equipotentiel. 4.2.4. Th´ eor` eme de Coulomb

Au voisinage imm´ediat d’un conducteur en ´equilibre ´electrostatique le champ ´electrostatique est normal a` la surface au point consid´er´e et vaut : → − σ− E (M) = → n (M) ε0

Avec : σ la densit´e surfacique de charges a` la surface du conducteur; → − n (M) la normale a` la surface sortante du conducteur vers l’ext´erieur au point consid´er´e. 4.3.

Th´ eor` eme des ´ el´ ements correspondants

Deux ´el´ements C1 et C2 de deux conducteurs en ´equilibre ´electrostatique n’ayant pas le mˆeme potentiel sont dits correspondants si toutes les lignes de champ partant de l’un arrivent sur l’autre. Th´ eor` eme : Les charges port´ees par deux ´el´ements correspondants sont oppos´ees. Q1 = −Q2 4.4.

Condensateur

4.4.1. D´ efinition

Un condensateur est l’ensemble de deux conducteurs en ´equilibre ´electrostatique en influence ´electrostatique ”totale”1 . Les deux conducteurs sont appel´es les armatures du condensateur. 1

toutes les lignes de champ partant du conducteur 1 arrive sur le conducteur 2

M.Lotfi

14

Electrostatique

R´esum´e d’´electrostatique

4.4.2. Capacit´ e d’un condensateur

C’est sa capacit´e a` emmagasiner les charges elle est d´efinie par : C=

Q1 V1 − V2

Avec : Q1 : la charge port´ee par l’armature 1; V1 : le potentiel de l’armature 1; V2 : le potentiel de l’armature 2. Pour calculer la capacit´e d’un condensateur on suit les ´etapes suivantes :

i f t o

1. On calcule le champ ´electrostatique entre les armatures, en g´en´eral en appliquant le th´eor`eme de Gauss. → − 2. On calcule la circulation de E entre les armatures telle que : Z 2 − → − → V1 − V2 = E .d l

L d e m a h o M 1

3. On calcule la charge sur l’une des armatures. 4. On d´eduit C =

Q1 V1 −V2

´ 4.4.3. Energie emmagasin´ ee dans un condensateur

L’´energie ´electrostatique emmagasin´ee dans un condensateur est donn´ee par : Ee =

1 Q2 1 1 = Q1 (V1 − V2 ) = C (V1 − V2 )2 2 C 2 2

15

M.Lotfi

L d e m a h o M

i f t o

Part II

L d e m a h o M Magn´ etostatique

17

i f t o

L d e m a h o M

i f t o

Magn´etostatique

1.

R´esum´e de magn´etostatique

D´ efinition

On d´efinit le champ magn´etique par son action sur une particule de charge q anim´ee − d’une vitesse → v , cette action repr´esente la force de Lorentz : → − → − − F = q→ v ∧B D’apr`es cette d´efinition on peut d´eduire que le vecteur champ magn´etique est un pseudovecteur, son sens d´epend de l’orientation de l’espace. On dit aussi qu’il est axial.

2.

Loi de Biot et Savart

Pour une distribution lin´eique de courant le champ magn´etique s’´ecrit : → − µ0 B (M) = 4π

I

−−→ → − PM Idl ∧ −−→ kP Mk3

i f t o

Pour une distribution surfacique de courant le champ magn´etique s’´ecrit :

L d e m a h o M ZZ −−→ → − µ0 → PM − B (M) = j s (P ) ∧ −−→ dS(P ) 4π kP Mk3

Pour une distribution volumique de courant le champ magn´etique s’´ecrit : ZZZ −−→ PM → − µ0 → − j (P ) ∧ −−→ dτ (P ) B (M) = 4π kP Mk3

On peut donner d’une mani`ere g´en´erale la loi de Biot et Savart sous la forme : ZZZ −−→ → − → − µ0 PM B (M) = d C (P ) ∧ −−→ 4π kP Mk3

→ − Avec d C l’´el´ement de courant donn´e par :

→ − → − • Dans le cas d’un distribution lin´eique de courant : d C = Idl → − → − • Dans le cas d’une distribution surfacique de courant : d C = j s dS → − → − • Dans le cas d’une distribution volumique de courant d C = j dτ → − − − • Dans le cas d’une seule charge q ayant la vitesse → v on a d C = q → v

3. 3.1.

Sym´ etries et invariances Sym´ etries

3.1.1. Plan de sym´ etrie

Soit D une distribution de courant. On dit que D pr´esente un plan de sym´etrie Π si et seulement si : 19

M.Lotfi

R´esum´e de magn´etostatique

Magn´etostatique

• Π est un plan de sym´etrie g´eom´etrique • ∀ P et P ′ deux points, de la distribution D, sym´etriques par rapport a` Π on a dI(P ) = symΠ dI(P ′ ) Le plan de sym´etrie de la distribution de courant est plan d’antisym´etrie pour le champ magn´etique (figure 9). D’o` u → − → − M ′ = symΠ (M) =⇒ B (M) = −symΠ ( B (M ′ )) → − B (M) → − B // (M) M′

→ − B ⊥ (M ′ )

M P′

P

→ − B ⊥ (M)

→ − → − B // (M ′ ) B (M ′ )

L d e m a h o M D

Π

Figure 9:

i f t o

D’o` u les r´ esultats :

→ − → − • B // (M) = − B // (M ′ )

→ − → − • B ⊥ (M) = B ⊥ (M ′ )

• En un point M appartenant au plan de sym´etrie d’une distribution de courants le champ magn´etique est perpendiculaire a` ce plan.

3.1.2. Plan d’antisym´ etrie

Soit D une distribution de courant. On dit que D pr´esente un plan de d’antisym´etrie Π⋆ si et seulement si : • Π⋆ est un plan de sym´etrie g´eom´etrique • ∀ P et P ′ deux points, de la distribution D, sym´etriques par rapport a` Π⋆ on a dI(P ) = −symΠ⋆ dI(P ′)

Le plan de sym´etrie de la distribution de courant est plan de sym´etrie pour le champ magn´etique (figure 10). D’o` u → − → − =⇒ B (M) = −symΠ⋆ ( B (M ′ )) M ′ = symΠ⋆ (M) D’o` u les r´ esultats : → − → − • B // (M) = B // (M ′ ) M.Lotfi

20

Magn´etostatique

R´esum´e de magn´etostatique

→ − B (M ′ ) → − B // (M ′ )

→ − B (M) → − B // (M)

→ − M′ B ⊥ (M ′ )

P′

M P

→ − B ⊥ (M)

D Π⋆ Figure 10:

→ − → − • B ⊥ (M) = − B ⊥ (M ′ )

i f t o

• En un point M appartenant au plan d’antisym´etrie d’une distribution de courants le champ magn´etique est contenu dans ce plan.

L d e m a h o M 3.2.

Invariance

→ − Lorsqu’une distribution de courant est invariante par translation ou par rotation, B ne d´epend pas de la variable correspondante.

4.

Lignes de champ

Une ligne de champ est une courbe tangente au champ magn´etique en chacun de ses points et elle est orient´e dans le mˆeme sens que le champ. c’est l’ensemble des points M tels que → − −−→ → − B (M) ∧ dOM = 0 On appelle tube de champ l’ensemble des lignes de champ qui s’appuient sur un contour ferm´e.

5.

Equations locales de la magn´ etostatique

→ − 5.1. Flux de B → − Le flux de B a` travers une surface S est d´efini par ZZ → − → − Φ= B .d S S

Pour une surface ferm´ee Sf on a

ZZ → − → −

B .d S = 0 Sf

→ − On dit que B est a` flux conservatif. La conservation du flux s’exprime aussi d’une mani`ere locale sous la forme : → − div B = 0 21

M.Lotfi

R´esum´e de magn´etostatique

5.2.

Magn´etostatique

→ − Circulation de B - Th´ eor` eme d’Amp` ere

5.2.1. D´ efinition

→ − La circulation de B sur un contour entre C et D est d´efini par Z

D

− → − → B .d l

C

5.2.2. Th´ eor` eme d’Amp` ere

→ − La circulation de B le long d’un contour ferm´e C est ´egale au produit de µ0 et le courant traversant une surface qui s’appuie sur C appel´e courant enlac´e. I

− → − → B .d l = µ0 Ienlac´e C

i f t o

Remarque : Pour calculer Ienlac´e on oriente le contour C d’une mani`ere arbitraire et a` l’aide de la r`egle de la main droite on d´etermine le sens positif des courant traversant une surface s’appuyant sur C.

L d e m a h o M 5.2.3. Th´ eor` eme d’Amp` ere local

Le th´eor`eme d’Amp` ere sous sa forme locale s’´ecrit : − → − − →→ rot B = µ0 j

→ − 5.3. Potentiel vecteur A → − → − Le potentiel vecteur A est reli´e au champ B par

→ − − − →→ B = rot A

5.4.

´ Equation de Poisson de la magn´ etostatique

→ − → − → − ∆ A + µ0 j = 0 La solution de l’´equation de Poisson par analogie avec l’´electrostatique s’´ecrit : → − µ0 A (M) = 4π

ZZZ → − j (P ) dτ (P ) PM

→ − Et d’une mani`ere g´en´erale on peut d´efinir le potentiel A par : → − µ0 A (M) = 4π M.Lotfi

ZZZ

22

D

→ − d C (P ) PM

Magn´etostatique

6.

R´esum´e de magn´etostatique

Relation de passage

− ` la travers´e d’une surface portant une distribution de courant surfacique → A j s on a → − → − → − − B 2 (M + ) − B 1 (M − ) = µ0 j s ∧ → n 12 M + point se trouvant dans le milieu 2 au voisinage de M M − point se trouvant dans le milieu 1 au voisinage de M → − n 12 la normale a` la surface au point M consid´er´e orient´ee du milieu 1 au milieu 2.

7. 7.1.

ˆ le magn´ Dipo etique D´ efinition

i f t o

On appelle dipˆole magn´etique une boucle de courant mod´elis´ee par une spire parcouru par un courant I telle que la dimension de la sprie est n´egligeable devant les autres dimensions consid´er´ees. 7.2.

Moment magn´ etique

L d e m a h o M Le moment magn´etique d’un dipˆole magn´etique est d´efini par − → → − M=IS

→ − − Avec S = S → n le vecteur surface du dipˆole. Remarque : On peut d´efinir d’une mani`ere g´en´erale le moment magn´etique d’une distribution de courant → − d’´el´ement de courant d C par Z − → 1 −→ → − M= OP ∧ d C (P ) 2 D 7.3.

Champ et potentiel cr´ ees par un dipˆ ole magn´ etique

On se place ici dans l’approximation dipolaire pour laquelle on a r≫R

axe du dipˆole

M

r

R I

Figure 11:

avec R le rayon du dipˆole magn´etique. r la distance o` u se trouvant le point M o` u on calcule le champ et le potentiel (figure 11). 23

M.Lotfi

R´esum´e de magn´etostatique

Magn´etostatique

7.3.1. Potentiel vecteur

− → − − → − r µ0 M ∧ → er → − µ0 M ∧ → = A (M) = 3 2 4π r 4π r 7.3.2. Champ

− →− → − → − →− → − → → − µ0 3(M.→ r )− r − r2M µ0 3(M.→ e r )− er−M B (M) = = 4π r5 4π r3 7.3.3. Lignes de Champ

Les lignes de champ d’un dipˆole magn´etique dans l’approximation dipolaire sont repr´esent´ees sur la figure (12). z axe du dipˆole

L d e m a h o M

i f t o

− → M

zone du dipˆole o` u l’approximation dipolaire n’est pas valable (trop pr`es du dipˆole)

Figure 12:

M.Lotfi

24

Part III

L d e m a h o M

i f t o

Induction ´ electromagn´ etique

25

L d e m a h o M

i f t o

Induction ´electromagn´etique

1. 1.1.

R´esum´e d’induction

Forces de Laplace D´ efinition

Un circuit C filiforme parcouru par un courant i est plac´e dans une zone o` u r`egne un → − champ magn´etique B subit la force de Laplace : → − FL=

I

C

→ − → − id l ∧ B

Dans la cas volumique la force de Laplace s’´ecrit : → − FL=

I

C

1.2.

− → − → j ∧ B dτ

Travail des forces de Laplace

1.2.1. Cas g´ en´ eral

L d e m a h o M

i f t o

lors d’un d´eplacement ´el´ementaire du circuit C le travail des forces de Laplace est : δw = iδΦc

→ − avec δΦc est le flux coup´e : c’est le flux de B a` travers la surface balay´ee par C pendant son d´eplacement entre t et t + dt (figure 13).

Surface balay´ee par C

C `a l’instant t

C `a l’instant t + dt Figure 13:

→ − B permanent → − Dans le cas o` u B est permanent on a

1.2.2. Cas de

δw = idΦ → − Avec Φ est le flux de B a` travers une surface qui s’appuie sur C. → − d Φ est la variation du flux du flux entre les instants t et t + dt. 27

M.Lotfi

R´esum´e d’induction

1.2.3. Cas de

Induction ´electromagn´etique

→ − B permanent et I stationnaire Wi→f = I (Φf − Φi )

c’est le th´eor`eme de Maxwell → − W est ind´ependant du chemin suivi alors F L d´erive d’une ´energie potentielle Ep = −IΦ + cte d’o` u

−−→ −−→ → − F L = −gradEp = −I gradΦ

1.2.4. R` egle du flux maximum

→ − Dans une position d’´equilibre stable du circuit C le flux de B , a` travers une surface qui → − s’appuie sur B , est maximum. 1.3.

Effet d’un champ magn´ etique sur un dipˆ ole

1.3.1. Cas d’un champ uniforme

L d e m a h o M

i f t o

→ − Dans le cas d’un d’un champ B e uniforme son effet sur le dipˆole se r´eduit a` un couple de moment → − − → → − Γ = M ∧ Be − → → − Avec M = I S le moment dipolaire du dipˆole.

1.3.2. Energie potentielle

→ − L’´energie potentielle d’interaction d’un dipˆole avec un champ B e s’´ecrit : − →→ − Ep = −M. B

1.3.3. Cas d’un champ non uniforme

→ − Dans le cas d’un dipˆole plac´e dans un champ B e non uniforme la r´esultante appliqu´ee par → − Be −−→ − →→ −  → − F = grad M. B e

´lectromagn´ Induction e etique

2. 2.1.

D´ efinition

On appelle Induction ´electromagn´etique l’apparition d’un courant ´electrique ou d’une force ´electromotrice dans uns circuit ne contenant pas de g´en´erateur. Deux cas particuliers se pr´esentent pour avoir de l’induction : 2.1.1. Induction de Lorentz

→ − Circuit en mouvement dans un champ B permanent (ind´ependant du temps). Pour calculer la force ´electromotrice qui apparaˆıt dans le circuit dans ce cas on peut utiliser → − la circulation du champ ´electromoteur E m : I − → − → E m . dl e= circuit

M.Lotfi

28

Induction ´electromagn´etique

R´esum´e d’induction

→ − → − → − → − ∂A → − Em = − +− v ∧B =→ v ∧B ∂t → − Car le champ magn´etique est ind´ependant du temps est donc le potentiel vecteur A est aussi ind´ependant du temps. → − v est la vitesse du circuit dans le r´ef´erentiel d’´etude. 2.1.2. Induction de Neumann

Circuit fixe dans un champ magn´etique variable variable. Pour calculer la force ´electromotrice qui apparaˆıt dans le circuit dans ce cas on peut utiliser → − la circulation du champ ´electromoteur E m : I − → − → e= E m . dl circuit

→ − → − → − → − ∂A → ∂A − Em = − + v ∧B =− ∂t ∂t → − − Car le circuit est fixe donc → v = 0

L d e m a h o M 2.2.

Lois de l’induction

2.2.1. Loi de Faraday

i f t o

On peut calculer la force ´electromotrice qui apparaˆıt dans un circuit dans le cas de Lorentz ou de Neumann en utilisant la loi de Faraday : e=−

dΦ dt

→ − Avec Φ le flux du champ magn´etique B a` travers une surface qui s’appuie sur le circuit. 2.2.2.

Loi de Lenz

Le courant induit qui apparaˆıt dans un circuit tend, par ses effets, a` s’opposer a` la cause qui lui a donn´e naissance. 2.3.

Auto et mutuelle induction

2.3.1. Auto induction

→ − Un courant i(t) dans un circuit C cr´ee un champ magn´etique propre B p qui aura pour flux a` travers une surface qui s’appuie sur le circuit : ZZ I → − − → → − → − Φp = Bp (M).d S (M) = A p (M).d l C

et → − µ0 i A p (M) = 4π Donc Φp =

µ0 4π

− I → dl(P ) C PM

! − → − I I → dl (P ) dl (M) i PM C C 29

M.Lotfi

R´esum´e d’induction

Induction ´electromagn´etique

Qu’on peut ´ecrire sous la forme : Φp = Li avec

− → − I I → µ0 dl (P ) dl (M) L= 4π C C PM est l’inductance propre du circuit a comme unit´e le Henry (H). L est toujours positive, pour le cas d’un circuit rigide L = cte. Donc la force ´electromotrice qui apparaˆıt par auto induction dans un circuit rigide est : dΦp di ep = − = −L dt dt

2.3.2. Mutuelle induction

i f t o

Dans le cas de deux circuits plac´es l’un a` cˆot´e de l’autre alors le courant du circuit 1 a un flux a` travers le circuit 2 et vice-versa. Tel que : Φ1→2 = M1−2 i1 et Φ2→1 = M2−1 i2

L d e m a h o M avec

− → − I I → µ0 dl 1 dl 2 M = M1−2 = M2−1 = 4π C1 C2 r12 est appel´e coefficient d’inductance mutuelle (M peut ˆetre positif ou n´egatif). √ On montre que |M| < L1 L2 Dans le cas de deux circuits rigides et fixes l’un par rapport a` l’autre M = cte. La force ´electromotrice qui apparaˆıt dans le circuit 1 par exemple, circuit rigide fixe par rapport au circuit 2, est donn´e par : dΦp1 dΦ2→1 di1 di2 e1 = − − = −L1 −M dt dt dt dt L’´energie emmagasin´ee dans les deux circuits est donn´ee par : 1 1 W = L1 i21 + L2 i22 + Mi1 i2 2 2 2.4.

Courants de Foucault

Un conducteur m´etallique volumique plac´e dans un champ magn´etique variable ou mis en mouvement dans un champ magn´etique permanent est le si`ege de courants volumiques qu’on appelle courants de Foucault. Ces courants correspondent au mouvement des ´electrons libres dans des trajectoires ferm´ees → − → − a` l’int´erieur du conducteur tel que la loi d’Ohm microscopique est v´erifi´ee : j = γ E Remarque : Lors des r´esolutions des probl`emes d’induction ´electromagn´etique on fait une ´etude ´electrique dans laquelle on calcule la force ´electromotrice e et une ´etude m´ecanique o` u → − on aura besoin de la force de Laplace F L appliqu´ee sur un circuit filiforme parcouru par un courant i dans un champ magn´etique : I → − → → − − F L = i dl ∧ B M.Lotfi

30

Part IV

L d e m a h o M

i f t o

Ondes ´ electromagn´ etiques

31

L d e m a h o M

i f t o

Ondes ´electromagn´etiques

1.

R´esum´e d’ondes ´electromagn´etiques

D´ efinitions

• On appelle onde tout ph´enom`ene physique d´ecrit par une fonction S(M, t) qui d´epend des coordonn´ees d’espace et du temps. • Une onde est dite plane si on peut trouver un syst`eme de coordonn´ees cart´ esiennes tel que S(M, t) d´epend d’une seule coordonn´ee cart´esienne et du temps. • Une surface d’onde est l’ensemble de points M d´efini a` un instant t par {M/S(M, t) = cte} Pour une onde plane les surfaces d’onde sont des plans.

i f t o

• Une onde plane progressive (O.P.P) est onde plane qui se propage dans un sens bien d´etermin´e.

L d e m a h o M 2.

´ Equations de Maxwell

Les ´equations de base de l’´electromagn´etisme dans le vide, en pr´esence de charges et de courants, sont les quatres ´equations de Maxwell : → − ρ Maxwell-Gauss : div E = ε0

→ − Maxwell-flux : div B = 0

;

→ − − ∂B − →→ Maxwell-Faraday : rot E = − ∂t

→ −! → − ∂ E → − − → Maxwell-Amp` ere : rot B = µ0 j + ε0 ∂t

;

Avec :

• ρ est la densit´e volumique de charge : ρ =

dq dτ

P → − → − − • j la densit´e volumique de courant : j = k ρk → vk − ρk est la densit´e de charges mobiles de type k qui ont une vitesse → vk ` ces ´equations de Maxwell s’ajoute la force de Lorentz : A → → − − → → − − FL=q E + v ∧ B La relation qui exprime la conservation locale de la charge ´electrique se d´eduit de ces ´equations : ∂ρ → − + div j = 0 ∂t 33

M.Lotfi

R´esum´e d’ondes ´electromagn´etiques

3. 3.1.

Ondes ´electromagn´etiques

Potentiels vecteur et scalaire D´ efinition

→ − les potentiels vecteur A et scalaire V Sont reli´es au champ ´electromagn´etique par → − −−→ → − ∂A E = −grad V − ∂t

→ − − − →→ B = rot A

→ − A et V ne sont pas uniques d’o` u on ajoute une condition de jauge, la jauge de Lorentz est : → − 1 ∂V div A + 2 =0 c ∂t 3.2.

Equations de Poisson

i f t o

On peut montrer, a` l’aide des ´equations de Maxwell et la jauge de Lorentz, les ´equations de Poisson : → − → − 1 ∂2 A → − △ A − 2 2 = −µ0 j c ∂t

L d e m a h o M △V −

1 ∂2V ρ =− 2 2 c ∂t ε0

Les solutions des ´equations de Poisson donnent la d´efinitions des potentiels retard´es cr´ees par une distribution finie D en un point M a` un instant t :
ZZZ ρ P, t − P cM 1 dτ (P ) V (M, t) = 4πε0 PM P ∈D

→ − µ0 A (M, t) = 4π

− ZZZ → j P, t − PM P ∈D

o` u

PM c

3.3.

PM c




dτ (P )

est le temps de retard dˆ u a` la propagation de l’onde pour aller du point P au point M.

A.R.Q.P

L’Approximation des R´egimes Quasi-Stationnaire ou Quasi-Permanent (A.R.Q.S ou A.R.Q.P) consiste a` n´egliger le temps de retard P cM devant un temps caract´eristique de → − l’´evolution de ρ(P, t) et j (P, t) par exemple devant la p´eriode. Ce qui nous permet d’´ecrire : ZZZ ρ (P, t) 1 V (M, t) = dτ (P ) 4πǫ0 PM P ∈D

→ − µ0 A (M, t) = 4π

ZZZ → − j (P, t) dτ (P ) PM P ∈D

M.Lotfi

34

Ondes ´electromagn´etiques

4.

R´esum´e d’ondes ´electromagn´etiques

´ Equations de propagation

→ − On les ´etablit, par exemple dans la cas de E , en calculant −  −−→ → − → − − → − →→ rot rot( E ) = grad(div E ) − ∆ E

et en utilisant les ´equations de Maxwell : M. G

→ − → − ∇. E =

ρ ε0

;

M. Φ

→ − → − ∇. B = 0

− → − → → − → − → − → − → − ; M. A ∇ ∧ B = µ0 j + c12 ∂∂tE M. F ∇ ∧ E = − ∂∂tB q avec : c = µ01ε0 ≃ 3.108 m.s−1 la c´el´erit´e de l’onde ´electromagn´etique dans le vide. Dans le cas du vide les ´equations de propagation s’´ecrivent : → − → − → − 1 ∂2 B → − 1 ∂2 E → − → − ∆E − 2 2 = 0 et ∆B − 2 2 = 0 c ∂ t c ∂ t Les solutions de ces ´equations s’´ecrivent dans le cas d’une onde plane se propageant selon z: S(M, t) = f+ (z − ct) + f− (z + ct)

L d e m a h o M S = Ex , Ey , Ez , Bx , By ou Bz avec

i f t o

• f+ (z − ct) : est une O.P.P se propageant dans le sens des z croissants avec la c´el´erit´e c • f− (z + ct) : est une O.P.P se propageant dans le sens des z d´ecroissants avec la c´el´erit´e c

5.

Structure d’une onde ´ electromagn´ etique plane progressive

− Consid´erons une O.P.P qui se propage selon une direction → u. On peut montrer a` l’aide des ´equations de Maxwell que : → − − → − • E ⊥→ u on dit que E est transverse → − − → − • B ⊥→ u on dit que B est transverse → → − − → − • B = u ∧c E

6. 6.1.

Onde ´ electromagn´ etique plane progressive monochromatique (O.EM.P.P.M) D´ efinitions

C’est une onde qui s’´ecrit sous la forme :   → − −−→ S(M, t) = S0 cos ωt − k .OM + ϕ0

Avec

35

M.Lotfi

R´esum´e d’ondes ´electromagn´etiques

Ondes ´electromagn´etiques

• S0 l’amplitude de l’onde • ω sa pulsation → − − − • k = k→ u le vecteur d’onde, → u vecteur unitaire de la direction de propagation • ϕ0 la phase a` l’origine des temps et de l’espace. •

k 2π

=

1 λ

: nombre d’onde

• λ la longueur d’onde L’onde s’´ecrit en notation complexe :  → − −−→ S(M, t) = S 0 exp i ωt − k .OM

L d e m a h o M 6.2.

Relation de dispersion

i f t o

C’est la relation entre k et ω on l’´etablit en injectant l’onde dans l’´equation de propagation tel qu’on a → − → − ∇ ≡ −i k

et

∂ ≡ iω ∂t

d’o` u

→ − ∆ = ∇ 2 ≡ −k 2

et

∂2 ≡ −ω 2 ∂t2

Dans le cas du vide pour une onde se propageant dans le sens des z croissants on a : k = ωc Remarque : → − dans le cas g´en´eral le vecteur d’onde k peut ˆetre complexe. → − La partie r´eelle de k est le terme responsable de la propagation, la partie imaginaire est le terme responsable de l’att´enuation. → − Dans le cas o` u k est imaginaire pur on n’a pas de propagation.

6.3.

Vitesse de phase

On d´efinit un plan de phase par les points M, a` un instant donn´e t, tel que la phase → − −−→ Φ(M, t) = ωt − k .OM + ϕ0 = cte La vitesse de phase est la vitesse des plans de phase d´efinie par vϕ =

ω Re(k)

Un milieu est dit non dispersif si sa vitesse de phase est ind´ependante de ω. M.Lotfi

36

Ondes ´electromagn´etiques

6.4.

R´esum´e d’ondes ´electromagn´etiques

Vitesse de groupe

L’O.EM.P.P.M n’a pas d’existence physique car elle est illimit´e dans le temps et dans l’espace. D’o` u pour d´ecrire une onde r´eelle on utilise la notion de paquet d’ondes qui est la somme de plusieurs O.EM.P.P.M. La vitesse de groupe est la vitesse de l’enveloppe du paquet d’ondes formant l’onde r´eelle consid´er´ee, elle est donn´ee par dω vg = dRe(k) 6.5.

´ Energ´ etique

´ 6.5.1. Energie ´ electromagn´ etique

La densit´e volumique d’´energie ´electromagn´etique est d´efinie par : → − 2 → − 2 1  1  uem = ε0 Re( E ) + Re( B ) 2 2µ0

i f t o

La valeur moyenne de uem peut ˆetre donn´ee par → → −  −  − → − → − 2 − 2 1 1 → 1 → 1 Re B . B ⋆ = ε0 E + < uem >= ε0 Re E . E ⋆ + B 4 4µ0 4 4µ0

L d e m a h o M L’´energie ´electromagn´etique contenue dans un volume V est ZZZ Wem = uem dτ V

´ 6.5.2. Energie c´ ed´ ee

La puissance volumique c´ed´ee a` un milieu est d´efinie par − → − → Pvc´ed´ee = j . E

L’´energie c´ed´ee a` un volume V pendant une dur´ee dt est : ZZZ − → − → Wc´ed´ee = j . E dτ dt V

´ 6.5.3. Energie rayonn´ ee

Vecteur de Poynting

→ − → − Re( E ) ∧ Re( B ) → − π = µ0 Le vecteur de Poynting moyen peut ˆetre donn´e par → 1 − → −  − = Re E ∧ B ⋆ 2µ0

La puissance ´electromagn´etique rayonn´ee a` travers une surface S ferm´ee est : ZZ → − − Prayonn´ee = → π . dS S

37

M.Lotfi

R´esum´e d’ondes ´electromagn´etiques

Ondes ´electromagn´etiques

L’´energie ´electromagn´etique rayonn´ee a` travers une surface S ferm´ee entre t et t + dt est : Wrayonn´ee

ZZ → − − = → π . d S dt S

´ 6.5.4. Equation de conservation de l’´ energie

` l’aide d’un bilan ´energ´etique ou a` l’aide des ´equations de Maxwell on peut montrer A l’´equation de conservation de l’´energie − − → − ∂uem → − → + ∇.→ π + j .E = 0 ∂t

7. 7.1.

Polarisation D´ efinition

i f t o

Une onde ´electromagn´etique est dite polaris´ee si et seulement si le point A d´efini par −−→ → − MA = E (M, t) d´ecrit une courbe invariante.

L d e m a h o M 7.2.

´ Etats de polarisation d’une OEMPPM

Soit une OEMPPM se propageant dans le vide, dans le sens des z croissants tel que son champ ´electrique s’´ecrit : Ex = E0x cos(ωt − kz + ϕx ) o` u E0x > 0 → − o` u E0y > 0 E Ey = E0y cos(ωt − kz + ϕy ) Ez = 0 Soit :

ϕ = ϕy − ϕx

On cherche la relation entre Ex et Ey qui donne en g´en´eral une ´equation d’une ellipse. Pour −−→ → −−→ → − d− A E d´eterminer le sens de parcours de l’ellipse on calcule MA ∧ dM = E ∧ et `a partir du dt dt − →

r´esultat on peut d´eduire le sens de ddtE qui donne le sens de parcours de la courbe. On regarde la partie sup´erieure de la courbe (ellipse ou cercle) et on regarde si le sens de parcours va vers la main droite c’est une polarisation droite si vers la main gauche c’est une polarisation gauche. On r´esume sur la figure 14 les diff´erents ´etats de polarisation selon la valeur de ϕ. • 0 < ϕ < π : polarisation elliptique droite • −π < ϕ < 0 : polarisation elliptique gauche • ϕ=

π 2

et E0x = E0y : polarisation circulaire droite

• ϕ = − π2 et E0x = E0y : polarisation circulaire gauche • ϕ = 0 : polarisation rectiligne type I • ϕ = π : polarisation rectiligne type II M.Lotfi

38

Ondes ´electromagn´etiques

R´esum´e d’ondes ´electromagn´etiques

y

E0y=E0x

E0x x

y E0y

y

ϕ = π2 Polarisation circulaire droite

E0y

E0x x π 2

E0x x 0 0. 4.1.

Quelle est la direction du champ ´electrostatique en tout point M de l’espace?

4.2. Montrer que la valeur du champ ´electrostatique ne d´epend que de la distance r entre M et l’axe du cylindre.

i f t o

4.3. En utilisant le th´eor`eme de Gauss et en pr´ecisant la surface utilis´ee, calculer le champ dans les deux cas : • r>R

L d e m a h o M • r 0, il est en ´equilibre ´electrostatique plac´e dans le vide et est suffisamment ´eloign´e de toute autre distribution de charges pour que l’on puisse n´egliger toute influence. − − → On pourra utiliser les coordonn´ees sph´eriques habituelles (r, θ, ϕ) et on notera (→ e r, → e θ, − e ϕ) la base locale de ces coordonn´ees. M.Lotfi

48

´ Electromagn´ etisme

´ Electrostatique - magn´etostatique

D´ecrire comment les charges ´electriques de ce conducteur, en ´equilibre ´electrostatique, vont elles se r´epartir. Justifier clairement la r´eponse. 5.2.1.

En analysant les sym´etries et les invariances de la distribution de charges d´eduire d’une part les composantes non nulles du champ ´electrique et d’autre part les coordonn´ees → − d’espace dont d´epend E . 5.2.2.

´ Etablir l’expression du champ ´electrique en tout point M de l’espace. Repr´esenter → − graphiquement le module | E | en fonction des coordonn´ees d’espace.

5.2.3.

Quelle est la valeur du champ ´electrique en r = R1− et en r = R1+ . Quel r´esultat retrouve-t-on ainsi ?

5.2.4.

Trouver l’expression du potentiel V cr´ee par le conducteur C1 en tout point de l’espace sachant que le conducteur (C1 ) est port´e au potentiel V0 .

5.2.5.

i f t o

D´efinir une ´equipotentielle et donner l’´equation des ´equipotentielles pour le conducteur (C1 ) et tracer l’allure de deux ´equipotentielles V11 et V12 telles que V11 > V12 ( on n’oubliera pas de mettre V11 et V12 sur le sch´ema). 5.2.6.

L d e m a h o M 5.3.

Condensateur sph´ erique

On suppose maintenant que le conducteur (C1 ) est entour´e d’un autre conducteur (C2 ) de rayon int´erieur R2 , de rayon ext´erieur R2ext et de mˆeme centre O (figure 12) .

R2ext

R2

C1

C2

Figure 1: Conducteurs sph´ erique en ´ equilibre ´ electrostatique.

On rappelle que le conducteur (C1 ) est port´e au potentiel constant V0 > 0. On note Q1 la charge totale de (C1 ) et Q2 la charge totale de (C2 ). Un milieu isolant assimilable au vide s´epare (C1 ) de (C2 ). On note : • Qext ` la surface ext´erieure de (C2 ); 2 la charge a • Qint ` la surface int´erieure de (C2 ); 2 la charge a ext • Q2 = Qint 2 + Q2 .

5.3.1.

Donner la d´efinition d’un condensateur. 49

M.Lotfi

´ Electrostatique - magn´etostatique

5.3.2.

´ Electromagn´ etisme

En appliquant le th´eor`eme de Gauss, d´eterminer la relation entre Q1 et Qint 2 .

En utilisant l’expression du champ ´electrostatique calcul´ee a` la question 5.2.3.d´eduire la diff´erence de potentielle des deux conducteurs en fonction de Q1 , R1 , R2 et ε0 .

5.3.3.

5.3.4.

Rappeler la d´efinition de la capacit´e C d’un condensateur.

5.3.5.

D´eduire l’expression de la capacit´e C du condensateur sph´erique de la figure 12.

On rappelle que la densit´e volumique ωe d’´energie ´electrostatique dans le vide et dans les conducteurs est d´efinie par ωe = 21 ε0 E 2 . On suppose d´esormais que Qext 2 = 0. 5.3.6. D´ eterminer l’expression de ωe en tout point de l’espace. En d´eduire l’´energie ´electrostatique We du condensateur cylindrique.

i f t o

En utilisant l’expression de l’´energie ´electrostatique retrouver l’expression de la capacit´e C du condensateur. 5.3.7.

Que devient l’expression de C si les rayons des armatures sont tels que R2 = R1 + δR avec δR ≪ R1 ? Conclure.

5.3.8.

L d e m a h o M 6.

Fil infini

Soit un fil infini parcouru par un courant I.

6.1. Calculer, en appliquant la loi de Biot et Savart, le champ magn´etique cr´ee en un point M a` une distance r du fil.

6.2.

Calculer le champ magn´etique en M en appliquant le th´eor`eme d’Amp` ere.

6.3.

Donner la topographie des lignes de champ.

6.4.

Calculer le champ magn´etique cr´ee lorsque l’´epaisseur du fil est non n´egligeable.

7.

Spire circulaire

7.1. Calculer le champ magn´etique cr´ee par une spire, parcourue par un courant I, en un point M de son axe. 7.2.

Donner la topographie des lignes de champ.

7.3. D´eduire le champ cr´ee par les bobines d’Helmholtz. Il s’agit de deux spires identiques parall`eles parcourues par un mˆeme courant circulant dans le mˆeme sens, ces deux spires ´etant ´eloign´ees l’une de l’autre d’une distance d figure 2. On cherche le champ en un point M de l’axe des deux spires. On fixe l’origine sur l’axe `a ´egale distance des deux spires. M.Lotfi

50

´ Electromagn´ etisme

´ Electrostatique - magn´etostatique

d I

I α2

R α1

O

M

2

1 Figure 2:

8.

Sol´ eno¨ıde

i f t o

Soit un sol´eno¨ıde form´e de N spires identiques, de mˆeme axe Oz, parcourues par un mˆeme courant I, dans le mˆeme sens. Le sol´eno¨ıde est de longueur L.

L d e m a h o M 8.1.

Calculer le champ magn´etique cr´ee par le sol´eno¨ıde en un point M de son axe.

8.2.

D´eduire le champ magn´etique cr´ee par un sol´eno¨ıde infini.

8.3.

Calculer le champ magn´etique cr´ee par le sol´eno¨ıde infini en tout point de l’espace.

9.

9.1.

ˆ le ´ ˆ le magn´ Dipo electrostatique - dipo etique

Dipˆ ole ´ electrostatique

9.1.1. Doublet ´ electrostatique - Moment ´ electrique p d’un dipˆ ole

On consid`ere un ensemble de N charges ponctuelles qi situ´ees aux points Si dans un volume fini V , telles que N X qi = 0 i=1

On d´esigne par

→ − p =

N X −→ qi OS i i=1

le moment dipolaire de cette distribution, suppos´e non nul, O ´etant un point fixe appartenant a` V . V´erifier que l’expression du moment dipolaire de cette distribution est ind´ependante du choix de l’origine O. 9.1.1.a.

En d´eduire le moment dipolaire d’un doublet form´e de deux charges ponctuelles (−q) en N et (+q) en P avec (q > 0). 9.1.1.b.

9.1.2. Potentiel scalaire ´ electrostatique V (M )

Les charges ponctuelles (−q) et (+q) d’un doublet sont plac´ees respectivement aux points 51

M.Lotfi

´ Electrostatique - magn´etostatique

´ Electromagn´ etisme

N(0, 0, − a2 ) et P (0, 0, + a2 ) du rep`ere (Oxyz) (figure 12). − − − Soit M un point de coordonn´ees sph´eriques (r, θ, ϕ). (→ e r, → e θ, → e ϕ ) sont les vecteurs de base du syst`eme de coordonn´ees sph´eriques. −−→ − On pose r1 = NM, r2 = P M, r = OM et → r = OM. M(r, θ, ϕ)

z r2

P a 2

O

+q r θ

r1

a 2

N

−q

Figure 3:

i f t o

Exprimer le potentiel ´electrostatique V (M) cr´e´e par le doublet, au point M, en fonction de q, r1 et r2 . 9.1.2.a.

L d e m a h o M

´ Etablir son expression Vd (M), pour un point M ´eloign´e du doublet r ≫ a, en → − − fonction de r, r et → p. 9.1.2.b.

9.1.3. Champ ´ electrostatique

−−→ Montrer que gradM

−−→ − → − → et gradM (→ p .− r ) s’expriment en fonction de r, → r ou − p. → − 9.1.3.b. D´ eduire du potentiel Vd (M) du dipˆole, le champ ´electrostatique E (M) sous la forme :  →  − − − → − 1 k 1 (− p .→ r )→ r − r2→ p E (M) = 4πε0 r5 9.1.3.a.

1 r3




o` u k1 est un facteur num´erique que l’on calculera.

→ − D´eterminer les composantes (Er , Eθ , Eϕ ) du champ E (M) en coordonn´ees sph´eriques. → − − 9.1.3.d. La direction du champ en M est rep´ er´ee par l’angle β = (→ e r , E (M)). Quelle est alors la relation entre les angles β et θ ?   9.1.3.e. Calculer, dans le plan (yOz) limit´ e au domaine θ ǫ 0, π2 l’angle θ1 correspondant → − a` un champ E (M) parall`ele `a l’axe Oy. 9.1.3.c.

´ 9.1.4. Equipotentielles et lignes de champ 9.1.4.a. Qu’appelle-t-on surfaces ´ equipotentielles ? Donner leur ´equation en coordonn´ees polaires pour ce dipˆole.

Qu’appelle-t-on lignes de champ ? Donner leur ´equation en coordonn´ees polaires.   9.1.4.c. Tracer, dans le plan (yOz) limit´ e au domaine θ ǫ 0, π2 , l’allure de deux lignes ´equipotentielles (V1 > 0 et V2 > V1 ) et de deux lignes de champ. 9.1.4.b.

M.Lotfi

52

´ Electromagn´ etisme

9.1.5.

´ Electrostatique - magn´etostatique

Action d’un champ ´ electrique ext´ erieur uniforme Ee

→ − On applique dans l’espace un champ ext´erieur E e . → − → − → − 9.1.5.a. Exprimer en fonction de p et de E e , la force r´ esultante F et le moment du → − couple Γ s’exer¸cant sur le dipˆole. 9.1.5.b. Rappeler la definition de l’´ energie potentielle ´electrostatique U d’une charge ponctuelle q. 9.1.5.c.

D´eduire l’´energie potentielle ´electrostatique d’un dipˆole.

´ Etudier l’´equilibre et la stabilit´e du dipˆole dans un champ ´electrostatique. D´eduire sur l’effet d’un champ ´electrostatique uniforme sur un dipˆole.

9.1.6.

9.2.

Le dipˆ ole magn´ etique

9.2.1. Spire circulaire de courant - Moment magn´ etique m de la spire

i f t o

On consid`ere une spire plane circulaire, d’axe Oz, de rayon R parcourue par un courant stationnaire d’intensit´e I. On posera : z = OMa (figure 4 ).

L d e m a h o M z

Ma M(r, θ, ϕ) r

θ

O

C

ϕ

y

x

Figure 4:

9.2.1.a.

− et → e Z.

− Donner l’expression du moment magn´etique → m de cette spire en fonction de R, I

D´eterminer, a` l’aide de la loi de Biot et Savart, l’expression du champ → − magn´etique B (Ma ), cr´e´e par cette spire, en un point Ma (z) de son axe de r´evolution. → − → − 9.2.1.c. En d´ eduire le champ magn´etique B (O) au centre O de la spire et B (z) en un point Ma (z) de l’axe Oz tel que z ≫ R. → − 9.2.2. Potentiel vecteur magn´ etique A (M) → − 9.2.2.a. Donner l’expression du potentiel vecteur A (M), cr´ e´e par la spire de courant, de → − moment magn´etique m, en un point M(r, θ, ϕ) ´eloign´e a` la distance r = OM ≫ R de la −−→ − spire. (On l’explicitera en fonction de OM, OM et → m). 9.2.1.b.

53

M.Lotfi

´ Electrostatique - magn´etostatique

´ Electromagn´ etisme

En d´eduire les composantes (Ar , Aθ , Aϕ ) du potentiel vecteur en coordonn´ees sph´eriques. → − 9.2.3. Champ magn´ etique B (M) −−→
−−→ 1 OM 9.2.3.a. Montrer que gradM OM = k2 OM u k2 est un facteur num´erique que l’on 3 o` d´eterminera. −  −→  −  → −−→ − → m m , rotM ( OM en fonction de OM, OM, → m et expliciter 9.2.3.b. Expliciter : divM OM −  → m sachant que : ∆M OM → − → − → − −−→ div(f G ) = f div( G ) + G .grad(f ) −−→ − − → − −→ → −→ → rot(f G )
= f rot( G ) + grad(f ) ∧ G 1 ∆M OM =0 9.2.2.b.

9.2.3.c.

i f t o

´ Etablir l’expression du champ magn´etique au point M sous la forme : ! −−→ " → − → − µ0 −−→ m.OM B (M) = − gradM 4π OM 3

L d e m a h o M

En d´eduire les composantes (Br , Bθ , Bϕ ) du champ en coordonn´ees sph´eriques. → − 9.2.4. Action d’un champ magn´ etique ext´ erieur B e − → → − Un dipˆole magn´etique, de moment magn´etique M est plac´e dans le champ magn´etique B e produit par la spire de courant pr´ec´edente. − → → − 9.2.4.a. Formuler, en fonction de M et B e , l’´ energie potentielle d’interaction Ep et la −−→ → − → − force F = −grad Ep subie par le dipˆole sous l’action du champ B e . − → −e , est plac´e au point M sur l’axe 9.2.4.b. Le dipˆ ole de moment magn´etique M = −M→ z a → − Oz de la spire a` une distance OMa = z. Exprimer la force F (z) subie par le dipˆole en Ma en fonction de µ0 , I, R et z. 9.2.3.d.

Quel est le travail W0 , que doit fournir un op´erateur ext´erieur, pour amener ce dipˆole de la position z = z0 jusqu’au centre O de la spire ? √ µ MI u 9.2.4.d. Montrer que, si z0 = 2 2R, le travail s’exprime par la relation W0 = k3 0R o` k3 est un facteur num´erique que l’on d´eterminera. 9.2.4.c.

M.Lotfi

54

3 Corrig´ e des exercices classiques d’´ electrostatique et de magn´ etostatique

L d e m a h o M 1.

i f t o

Champ ´ electrostatique cr´ e´ e par un segment charg´ e y

+a P

y

O

x

θ

M

x

−a

Figure 1:

1.1. L’axe Ox est un axe de sym´etrie de la distribution des charges. Or le point M appartient a` cet axe alors le champ ´electrostatique appartient a` cet axe. → − −e E (M) = E(M)→ x → − − − On a E (M) est port´e par → e x on va calculer seulement la composante selon → ex Donc Z a −−→ → 1 λ P M .− ex E(M) = dy 3 4πε0 −a P M Z a λ cos θ 1 dy E(M) = 4πε0 −a P M 2 55

´ Electrostatique - magn´etostatique

´ Electromagn´ etisme

Or y = x tan θ alors dy = x cosdθ2 θ En y = −a on a θ = −α et en y = +a on a θ = +α tel que sin α = √ PM =

x cos θ

d’o` u

donc λ E(M) = 4πε0

Z

α

xdθ cos2 θ cos θ 2 2 −α cos θ x

λ 1 E(M) = 4πε0 x

On d´eduit

1.2.

a + x2

a2

→ − E (M) =

Z

α

cos θdθ −α

a λ 1 → − √ ex 2 2 2πε0 x a + x

Dans le cas d’un fil ” infini ” on a a → ∞ d’o` u

L d e m a h o M → − E (M) =

λ 1→ − ex 2πε0 x

Champ cr´ ee par un disque en son axe

2.

i f t o

z

M

αz

→ −e r

P r → − e

O

θ

Figure 2:

2.1.

L’axe Oz est un axe de sym´etrie de la distribution des charges et passe par M d’o` u → − −e E (M) = E(M)→ z

→ − On va calculer seulement la composante de E (M) selon l’axe Oz. On a −−→ −−→ → − 1 σ P MdS 1 σ P Mrdrdθ d E (M) = = 4πε0 P M 3 4πε0 P M3 ZZ −−→ → ZZ → − σ P M.− e z rdrdθ σ cos αrdrdθ 1 → − = E (M). e z = 3 4πε0 PM 4πε0 P M2 M.Lotfi

56

´ Electromagn´ etisme

´ Electrostatique - magn´etostatique

Or on a P M 2 = r2 + z2 Alors

cos α = √

et

σz E(M) = 4πε0

Z

2π

Z

dθ

0

R

0

z + z2

r2

rdr 3

(r 2 + z 2 ) 2

On d´eduit que   → − 1 σz 1 → − E (M) = −√ ez 2 2 2ε0 |z| R +z Pour un plan infini on a R → ∞ alors

2.2.

→ − σ → − E (M) = ez 2ε0

3.

pour

z>0

i f t o

Calcul du champ en utilisant le th´ eor` eme de Gauss

• Cylindre infini uniform´ ement charg´ e en surface La distribution des charges est invariante par translation selon z et par rotation selon θ donc → − → − → − E (M) = E (r, θ, z) = E (r) − − − − Les plans (M, → e r, → e θ ) et (M, → e r, → e z ) sont des plans de sym´etrie de la distribution des → − charges donc E (M) appartient a` leur intersection d’o` u

L d e m a h o M → − −e E (M) = E(M)→ r

On choisit comme surface ferm´ee de Gauss le cylindre de mˆeme axe que le cylindre charg´e, de rayon r et de hauteur h figure 3. z

R

S1

r

h

S2

Figure 3:

D’apr`es le th´eor`eme de Gauss on a ZZ → − → − Qint

E .d S = ε0 Sf 57

M.Lotfi

´ Electrostatique - magn´etostatique

avec

´ Electromagn´ etisme

ZZ ZZ ZZ ZZ → − → − → − → − → − → − → − → − E .dS1 + E .dS2 + E .d Sl

E .d S = S1

Sf

S2

Sl

→ − − Avec S1 la surface de la base 1 telle que d S 1 = rdrdθ→ ez → − → − S2 la surface de la base 2 telle que d S 1 = −rdrdθ e z → − − Sl la surface lat´erale telle que d S l = rdθdz → er → − → − Puisque E (M) est port´e par e r alors ZZ Z → − → −

E .d S = Sf

h

z=0

Z

2π

E(r) r dθdz = 2πrhE(r)

θ=0

Pour calculer Qint on distingue les deux cas : – cas r > R RR Dans ce cas on a Qint = S σdS = σ2πRh Donc on d´eduit → − σR → − E (M) = er rε0

L d e m a h o M – cas r < R Dans ce cas Qint = 0 Alors

D’o` u finalement

i f t o

→ − → − E (M) = 0

( → − − σR → E (M) = rε e r , r > R; 0 → − → − E (M) = 0 , r < R.

La discontinuit´e observ´ee pour r = R est due au mod`ele de la distribution surfacique des charges qui n’a pas d’existence physique.

• Sph` ere uniform´ ement charg´ ee en surface.

La distribution des charges est invariante par rotation selon θ et par rotation selon ϕ donc → − → − → − E (M) = E (r, θ, ϕ) = E (r) − − − − Les plans (M, → e r, → e θ ) et (M, → e r, → e ϕ ) sont des plans de sym´etrie de la distribution → − des charges donc E (M) appartient a` leur intersection d’o` u → − −e E (M) = E(M)→ r

On choisit comme surface ferm´ee de Gauss la sph`ere de mˆeme centre que la sph`ere charg´ee et de rayon r figure 4. D’apr`es le th´eor`eme de Gauss on a ZZ → − → − Qint

E .d S = ε0 Sf M.Lotfi

58

´ Electromagn´ etisme

´ Electrostatique - magn´etostatique

→ − eθ

→ − er

r

R O

Figure 4:

→ − − Avec d S = r 2 sin θdθdϕ→ e r d’o` u ZZ Z → − → −

E .d S = Sf

π θ=0

Z

2π ϕ=0

L d e m a h o M Pour calculer Qint on distingue les deux cas :

– cas r > R RR Dans ce cas on a Qint = S σdS = σ4πR2 Donc on d´eduit → − σR2 − er E (M) = 2 → r ε0 – cas r < R Dans ce cas Qint = 0 Alors

D’o` u finalement

i f t o

E(r)r 2 sin θdθdϕ = 4πr 2 E(r)

→ − → − E (M) = 0

( → − 2→ − E (M) = rσR r > R; 2ε e r , → − → −0 E (M) = 0 , r < R.

La discontinuit´e observ´ee pour r = R est due au mod`ele de la distribution surfacique des charges qui n’a pas d’existence physique. • Sph` ere uniform´ ement charg´ ee en volume La distribution des charges est invariante par rotation selon θ et par rotation selon ϕ donc → − → − → − E (M) = E (r, θ, ϕ) = E (r) −e , → − → − → − Les plans (M, → etrie de la distribution r e θ ) et (M, e r , e ϕ ) sont des plans de sym´ → − des charges donc E (M) appartient a` leur intersection d’o` u → − −e E (M) = E(M)→ r 59

M.Lotfi

´ Electrostatique - magn´etostatique

´ Electromagn´ etisme

On choisit comme surface ferm´ee de Gauss la sph`ere de mˆeme centre que la sph`ere charg´ee et de rayon r. D’apr`es le th´eor`eme de Gauss on a ZZ → − → − Qint

E .d S = ε0 Sf → − − Avec d S = r 2 sin θdθdϕ→ e r d’o` u ZZ Z → − → −

E .d S = Sf

π

θ=0

Z

2π

E(r)r 2 sin θdθdϕ = 4πr 2 E(r) ϕ=0

Pour calculer Qint on distingue les deux cas : – cas r > R RRR Dans ce cas on a Qint = ρdτ = ρ 34 πR3 V Donc on d´eduit → − ρR3 − E (M) = 2 → er 3r ε0

L d e m a h o M – cas r 6 R Dans ce cas Qint = ρ 43 πr 3 Alors

D’o` u finalement

i f t o

→ − ρr → −e E (M) = r 3ε0

( → − E (M) = → − E (M) =

ρR3 → − e r, 3r 2 ε0 ρr → −e , r 3ε0

r > R; r 6 R.

• Plan infini uniform´ ement charg´ e La distribution de charges est invariante par translation selon x et selon y donc → − → − → − E (M) = E (x, y, z) = E (z)

− − − − Les plans (M, → e x, → e z ) et (M, → e y, → e z ) sont des plans de sym´etrie de la distribution des → − charges donc E (M) appartient a` leur intersection, d’o` u → − −e E (M) = E(M)→ z On choisit comme surface de Gauss le parall´el´epip`ede sym´etrique par rapport au plan charg´e, sa base sup´erieure est centr´ee en M figure 5. d’apr`es le th´eor`eme de Gauss on a ZZ → − → − Qint

E .d S = ε0 Sf

→ − −e Seule les int´egrales sur les bases sont non nulles car E (M) = E(M)→ z D’o` u ZZ ZZ ZZ → − → − → − → − → − → −

E (M).d S = E (M).dS1 + E (M ′ ).dS2 Sf

M.Lotfi

S1

S2

60

´ Electromagn´ etisme

´ Electrostatique - magn´etostatique

z y x M

M′

Figure 5:

i f t o

→ − → − − − Avec d S 1 = dxdy → e z et d S 2 = −dxdy → ez ′ Or M et M sont deux points sym´etriques par rapport au plan de sym´etrie de la → − distribution des charges et E est perpendiculaire a` ce plan pour les deux points M et M ′ alors → − → − E (M ′ ) = − E (M)

L d e m a h o M D’o` u

ZZ ZZ → − → −

E (M).d S = 2 E(M)dxdy = 2E(M)S Sf

S1

Avec S la surface de la base du parall´el´epip`ede. Or Qint = σS alors → − σ → − ez pour E (M) = 2ε0

z>0

• fil infini uniform´ ement charg´ e La distribution de charges est invariante par translation selon z et par rotation selon θ donc → − → − → − E (M) = E (r, θ, z) = E (r) − − − − Les plans (M, → e ,→ e ) et (M, → e ,→ e ) sont des plans de sym´etrie de la distribution des r

θ

charges donc

r

z

→ − −e E (M) = E(M)→ r

On choisit comme surface ferm´ee de Gauss le cylindre d’axe le fil, de hauteur h et de rayon r. D’apr`es le th´eor`eme de Gauss on a ZZ → − → − Qint

E .d S = ε0 Sf → − − Avec d S = rdθdz → e r d’o` u

ZZ → − → −

E .d S = 2πrhE(r) Sf

Or Qint = λh alors

→ − E (M) = 61

λ → − er 2πrε0 M.Lotfi

´ Electrostatique - magn´etostatique

4.

´ Electromagn´ etisme

´ Etude d’une distribution cylindrique de charge

− − − − 4.1. Les plans (M, → e r, → e θ ) et (M, → e r, → e z ) sont des plans de sym´etrie de la distribution → − des charges donc E (M) appartient a` leur intersection d’o` u → − −e E (M) = E(M)→ r 4.2. La distribution des charges est invariante par translation selon z et par rotation selon θ donc → − → − → − E (M) = E (r, θ, z) = E (r)

i f t o

4.3. On choisit comme surface ferm´ee de Gauss le cylindre de mˆeme axe que le cylindre charg´e, de rayon r et de hauteur h. D’apr`es le th´eor`eme de Gauss on a ZZ → − → − Qint

E .d S = ε0 Sf

L d e m a h o M avec

ZZ ZZ ZZ ZZ → − → − → − → − → − → − → − → −

E .d S = E .dS1 + E .dS2 + E .d Sl S1

Sf

S2

Sl

→ − − Avec S1 la surface de la base 1 telle que d S 1 = rdrdθ→ ez → − → − S2 la surface de la base 2 telle que d S 1 = −rdrdθ e z → − − Sl la surface lat´erale telle que d S 1 = rdθdz → er → − → − Puisque E (M) est port´e par e r alors ZZ Z → − → −

E .d S = Sf

h

z=0

Z

2π

E(r) r dθdz = 2πrhE(r)

θ=0

Pour calculer Qint on distingue les deux cas :

• cas r > R RRR Dans ce cas on a Qint = V ρdτ = ρπR2 h Donc on d´eduit → − ρR2 → −e E (M) = r 2rε0 • cas r 6 R Dans ce cas Qint = ρπr 2 h Alors

D’o` u finalement

M.Lotfi

→ − ρr → − E (M) = er 2ε0 ( → − E (M) = → − E (M) =

ρR2 → − e r, 2rε0 ρr → − e r, 2ε0

62

r > R; r 6 R.

´ Electromagn´ etisme

´ Electrostatique - magn´etostatique

−−→ → − 4.4. On sait que E = −gradV → − → − Or E = E er alors • cas r > R ρR2 dr d’o` u dV = −Edr = − 2rε 0 V =−

ρR2 ln(r) + cte1 2ε0

• cas 6 R 2 ρr dV = −Edr = − 2ε dr d’o` u V = − ρr + cte2 Or pour r = 0 on a V = 0 alors cte2 = 0 4ε0 0 2

2

ln(R) + cte1 = − ρR et par continuit´e en r = R on a − ρR 2ε0 4ε0 2

d’o` u cte1 = − ρR + 4ε0

ρR2 2ε0

ln(R)

i f t o

4.5. Seul le calcul de Qint change par rapport au cas o` u la distribution est uniforme. dans le cas o` u r > R on a Z R ZZZ ρ0 ρ0 r 2 dr = 2πhR2 Qint = ρ0 (r/R)rdrdθdz = 2πh R 3 0

L d e m a h o M

→ − ρ0 R2 → − d’o` u E (M) = 3ε er 0 r dans le cas o` u r 6 R on a ZZZ Z r ρ0 ρ0 ′ ′ r ′2 dr ′ = 2πhr 3 Qint = ρ0 (r/R)r dr dθdz = 2πh R 3R 0 → − d’o` u E (M) =

5.

ρ0 − r2→ er 3Rε0

Fil infini

z

P z O I

r

α M

Figure 6:

63

M.Lotfi

´ Electrostatique - magn´etostatique

´ Electromagn´ etisme

5.1. On a la distribution des courants est invariante par translation selon z et par rotation selon θ d’o` u → − → − → − B (M) = B (r, θ, z) = B (r) → − − − − Le plan (M, → e r, → e z ) est un plan de sym´etrie donc B (M) est port´e par → e θ . On calculera → − → − seulement la composante de B selon e . θ

On a

d’o` u

−−→ − −e Or P M = r → e r − z→ z − − → − − donc → e z ∧ P M = r→ eθ d’o` u

→ − −−→ → − µ0 Id l ∧ P M d B (M) = 4π P M3  → − −−→ → Id l ∧ P M .−e θ → − → µ0 − dB . e θ = 4π P M3  −−→ → − Z +∞ Idz → e z ∧ P M .−e θ µ0 B(M) = 4π −∞ P M3

L d e m a h o M µ0 B(M) = 4π

Z

+∞

−∞

µ0 B(M) = 4π

P M = cosr α rdα dz = cos 2α

z r

Idz

Z

+∞

−∞

r → − −e e θ .→ θ P M3

i f t o

r Idz P M3

On a et tan α = donc pour z = −∞ on α = − π2 et pour z = +∞ on α = + π2 d’o` u Z π µ0 + 2 rdα r cos3 α B(M) = I 4π − π2 cos2 α r 3 Z π µ0 I + 2 B(M) = cos αdα 4π r − π2 → − µ0 I → − B (M) = eθ 2π r

5.2.

On a d’apr`es la question 5.1. → − − B (M) = B(r)→ eθ

On choisit comme contour ferm´e d’Amp` ere un cercle passant par M centr´e sur le fil et de rayon r. d’apr`es le th´eor`eme d’Amp`ere on a I − → − → B .d l = µ0 I

→ − − − Or d l = rdθ→ e θ et B(r)→ e θ alors

M.Lotfi

B(r)2πr = µ0 I 64

´ Electromagn´ etisme

´ Electrostatique - magn´etostatique

d’o` u

5.3.

→ − µ0 I → −e B (r) = θ 2πr Les lignes de champ sont des cercles centr´es sur le fil figure 7.

I

L d e m a h o M Figure 7:

5.4.

i f t o

soit a le rayon du fil, la densit´e volumique du courant qui traverse le fil est I − → − − j = j→ e z = 2→ ez πa

RR → − − → car I = j .d S Par application du th´eor`eme d’Amp`ere on a

B(r)2πr = µ0 Ienlac´e

• cas r > a Dans ce cas Ienlac´e = I d’o` u

• cas r 6 a 2 Dans ce cas Ienlac´e = πr 2 j = I ar 2 d’o` u

6.

→ − µ0 I → − eθ B (r) = 2πr

→ − µ0 Ir → − B (r) = eθ 2πa2

Spire circulaire

6.1. Puisqu’on cherche `a calculer le champ en point sur l’axe, la seule variable dont d´epend → − B est z donc → − → − B (M) = B (z) 65

M.Lotfi

´ Electrostatique - magn´etostatique

´ Electromagn´ etisme

M α z O P

Figure 8:

i f t o

L’axe (Oz) est un axe d’antisym´etrie de la distribution des courants, et puisque M appartient a` cet axe alors → − −e B (M) = B(M)→ z

L d e m a h o M On a

µ0 B(M) = 4π

→ − −−→ Id l ∧ P M → .− ez 3 P M spire

I

→ − −−→ − −e + z → −e alors Or d l = Rdθ→ e θ et P M = −R→ r z → − −−→ − −e d l ∧ P M = R2 dθ→ e z + Rzdθ→ r donc I µ0 I R2 dθ B(M) = 4π spire P M 3

Or P M =

R sin α

donc

µ0 I sin3 α B(M) = 4π R

soit

6.2.

I

spire

dθ =

µ0 I sin3 α 2R

→ − µ0 I sin3 α → µ0 I R2 − → − B (M) = ez= ez 2R 2 (R2 + z 2 )3/2

voir figure 9

→ − → − 6.3. Soient B 1 (M) le champ magn´etique cr´ee par la bobine 1 et B 2 (M) celui cr´ee par la bobine 2. → − → − → − On a B (M) = B 1 (M) + B 2 (M) Or → − µ0 I −e B i (M) = sin3 αi → z 2R avec R R q et sin α = sin α1 = q 2
2
2 R2 + z + d2 R2 + z − d2

M.Lotfi

66

´ Electromagn´ etisme

´ Electrostatique - magn´etostatique

z

Figure 9:

d’o` u

L d e m a h o M 7.

i f t o

" 
#− 32 "
#− 32   d 2 d 2 z+2 z−2 → − µ0 I B (M) = 1+ + 1+ 2  2R  R R2

Sol´ eno¨ıde

dz

α

O

α2 α1

P

M

z

Figure 10:

7.1. Soit n = NL le nombre de spire par unit´e de longueur. Les propri´et´es d’invariance et de sym´etrie sont les mˆemes que pour une spire donc le champ → − B (M) est parall`ele a` l’axe et ne d´epend que de la position du point sur l’axe : → − −e B (M) = B(z)→ z La tranche entre, z et z + dz ,d’´epaisseur dz du sol´eno¨ıde est parcourue par une intensit´e ´el´ementaire dI = nIdz elle cr´ee donc le champ ´el´ementaire : dB =

µ0 nIdz sin3 α 2R

avec tan α = PRM et on a P M = OM − OP = OM − z donc z = OM − tanR α 67

M.Lotfi

´ Electrostatique - magn´etostatique

´ Electromagn´ etisme

d’o` u dz =

R dα sin2 α

alors

µ0 nI R µ0 nI sin3 α 2 dα = sin αdα 2R 2 sin α et en int´egrant entre α1 et α2 on obtient dB =

→ − µ0 nI − B (M) = (cos α1 − cos α2 ) → ez 2 7.2.

Pour un sol´eno¨ıde infini on a α1 = 0 et α2 = π d’o` u → − − B = µ0 nI → ez

i f t o

7.3. Le syst`eme est invariant par translation le long de Oz : on utilisera les coordonn´ees cylindriques et donc : → − → − B (M) = B (r, θ)

L d e m a h o M

La section du sol´eno¨ıde est circulaire, le syst`eme est donc invariant par rotation selon θ donc → − → − B (M) = B (r)

Le plan perpendiculaire a` l’axe Oz et passant par M est un plan de sym´etrie donc le champ magn´etique est perpendiculaire a` ce plan d’o` u → − → − − B (M) = B (r)→ ez

On peut alors appliquer le th´eor`eme d’Amp`ere. l

r2

r1

R

z

Figure 11:

On choisit comme contour ferm´e d’Amp`ere un rectangle dans un plan contenant Oz et constitu´e de deux parall`eles a` Oz distants de r1 et r2 de l’axe Oz. D’apr`es le th´eor`eme d’Amp`ere on a I → − → − B (M).d l = µ0 Ienlac´e M.Lotfi

68

´ Electromagn´ etisme

´ Electrostatique - magn´etostatique

→ − seules les circulations de B sur les parall`eles a` Oz sont non nulles donc I − → − → B .d l = B(r1 )l − B(r2 )l Pour Ienlac´e on distingue les trois cas : • r1 < r2 < R Ienlac´e = 0 donc B(r1 ) = B(r2 )

i f t o

Le champ a` l’int´erieur du sol´eno¨ıde est uniforme, il est ind´ependant de r. d’o` u → − − B int = µ0 nI → ez • R < r1 < r2

L d e m a h o M Ienlac´e = 0

d’o` u B(r1 ) = B(r2 ) le champ magn´etique a` l’ext´erieur est uniforme est ind´ependant de → − r on va le noter avec B ext .

• r1 < R < r2

Ienlac´e = nlI

d’o` u

Or Bint = µ0 nI alors

8.

8.1.

B(r1 )l − B(r2 )l = (Bint − Bext ) = µ0 nlI → − → − B ext = 0

ˆ le ´ ˆ le magn´ Dipo electrostatique - dipo etique

Dipˆ ole ´ electrostatique

8.1.1. Doublet ´ electrostatique - Moment ´ electrique p d’un dipˆ ole

8.1.1.a.

On a

X −→ X −−→ X −−→ qi OS i = qi OO ′ + qi O ′S i i

′

i

i

P

Or O ind´ependante de la sommation et i qi = 0 alors P − P →′ −−→′ u i qi O = ( i qi ) OO d’o` X −→ X −−→ qi OS i = qi O ′S i i

i

−→ −−→ → − 8.1.1.b. On a p = q1 OP − q ON alors

−−→ → − p = q NP 69

M.Lotfi

´ Electrostatique - magn´etostatique

´ Electromagn´ etisme

M(r, θ, ϕ)

z r2

P a 2

+q r

O

θ

r1

a 2

N

−q

Figure 12:

8.1.2. Potentiel scalaire ´ electrostatique V (M )

8.1.2.a.

On sait que

q 1 −q q 1 + = V (M) = V1 (M) + V2 (M) = 4πε0 P M 4πε0 NM 4πε0



L d e m a h o M soit

8.1.2.b.

q V (M) = 4πε0

On a



1 1 − r2 r1



i f t o

1 1 − PM NM



−−→ −−→ −→ a− − P M = OM − OP = r → er− → ez 2

d’o` u

r

a2 − ar cos θ 4 dans l’approximation dipolaire on a a ≪ r, par un d´eveloppement limit´e d’ordre 1 on obtient PM =

r2 +

 12    a a a2 cos θ P M = r 1 + 2 − cos θ ≃r 1− 4r r 2r

soit

de mˆeme on obtient

d’o` u

 1 1 1 a
= = 1 + cos θ a PM r 2r r 1 − 2r cos θ  1 1 a = 1− cos θ NM r 2r V (M) =

Or alors

M.Lotfi

q a cos θ 4πε0 r 2

→ − − − − p .→ r =→ p .r → e r = qar cos θ → − − p .→ r V (M) = 4πε0 r 3 70

´ Electromagn´ etisme

´ Electrostatique - magn´etostatique

8.1.3. Champ ´ electrostatique

8.1.3.a.

On a

  − −− −→ → 1 3− 3− gradM = − 4→ e r = − 5→ r 3 r r r

et

−−→ → −−→ − − −e gradM (− p .→ r ) = gradM (pr cos θ) = p cos θ→ e r − p sin θ→ θ − − −e alors Or → p = p cos θ→ e r − p sin θ→ θ −−→ → − − gradM (− p .→ r)=→ p

8.1.3.b.

On sait que −−→ −−→ → − E (M) = −gradM V = −gradM

d’o` u

→  − − p .→ r 4πε0 r 3

L d e m a h o M → − 1 E (M) = − 4πε0

soit



−−→ 1 1 −−→ → − − − p .→ r +→ p .→ r gradM 3 gradM − 3 r r

  − − − → − 1 1→ (3→ p .→ r )→ r − E (M) = − p − 4πε0 r 3 r5

d’o` u

→ − E (M) =

avec k1 = 3 8.1.3.c.



i f t o

 →  − − − 1 k 1 (− p .→ r )→ r − r2→ p 4πε0 r5

On a

− − − − − (→ p .→ r )→ r = pr cos θ→ r = pr 2 cos θ→ er

et

→ − − −e p = p cos θ→ e r − p sin θ→ θ

donc

8.1.3.d.

Er = 2p cos 3θ 4πε0 r Eθ = p sin θ3 4πε0 r E =0 ϕ

→ − − On a β = (→ e r , E (M)) donc

tan β =

Eθ Er

d’apr`es les formules de Er et Eθ on obtient tan β =

1 tan θ 2

71

M.Lotfi

´ Electrostatique - magn´etostatique

8.1.3.e.

´ Electromagn´ etisme

On a θ1 + β1 =

π 2

d’o` u

et

tan β1 =

1 tan θ1 2

(tan θ1 )2 = 2

´ 8.1.4. Equipotentielles et lignes de champ 8.1.4.a.

Une surface ´equipotentielle est une surface o` u le potentiel est constant.

On a V (M) = cte d’o` u

Σ = {M, V (M) = cte}

q a cos θ = cte 4πε0 r 2 d’o` u l’´equation des surfaces ´equipotentielles r 2 = k cos θ avec k est une constante.

i f t o

Une ligne de champ est la courbe telle que en chacun de ses points le champ → − → − ´electrostatique E est tangent et elle est orient´ee dans le mˆeme sens que E . Les lignes de champ sont d´efinies par dr rdθ r sin θdϕ = = Er Eθ Eϕ 8.1.4.b.

L d e m a h o M d’o` u

rdθ r sin θdϕ dr = = 2 cos θ sin θ 0

alors

dr 2 cos θdθ 2d(sinθ) = = r sin θ sin θ ainsi l’´equation des lignes de champ est

et

ϕ = cte

r = k ′ sin2 θ

avec k ′ est une constante. 8.1.4.c.

8.1.5.

L’allure est sur la figure 13

Action d’un champ ´ electrique ext´ erieur uniforme Ee

Les deux charges subissent la r´esultante → − → − → − F = q E e (P ) − q E e (N) → − → − → − Or E e est uniforme alors E e (P ) = E e (N) d’o` u → − → − F = 0 8.1.5.a.

Le moment du couple appliqu´e sur le dipˆole est → − −→ → − −−→ → − −−→ → − Γ = OP ∧ q E e + ON ∧ q E e = q NP ∧ E e

D’o` u

M.Lotfi

→ − → − − Γ =→ p ∧ Ee 72

´ Electromagn´ etisme

´ Electrostatique - magn´etostatique

z

axe du dipˆole

V1 V2 → − p

zone du dipˆole o` u l’approximation dipolaire n’est pas valable (trop pr`es du dipˆole)

Figure 13:

8.1.5.b.

U(M) = qV (M)

L d e m a h o M 8.1.5.c.

i f t o

L’´energie potentielle ´electrostatique U d’une charge ponctuelle q est donn´ee par

L’´energie potentielle ´electrostatique d’un dipˆole est

Ud = qV (P ) − qV (N) = q [V (P ) − V (N)]

Dans l’approximation dipolaire la distance entre P et N est tr`es petite devant les autres distances, d’o` u −→ −−→ −−→ −−→ −−→ −−→ −−→ → − Ve (P ) − Ve (N) = OP .gradVe (O) − ON.gradVe (O) = NP .gradVe (O) = −NP . E e d’o` u

8.1.6.

−−→ → − → − − Ud = −q NP . E e = −→ p .E e

→ − Soit α l’angle entre E e et le dipˆole

donc

Ud = −pEe cos θ

d’o` u

dUd =0 dθ  2  d Ud >0 dθ2 θ=0

Or

⇒

θ = 0 ou θ = π

et



d2 Ud dθ2