Linearne diferencijalne jednadzbe 9536098636 [PDF]

Zitiervorschau

ClP - Katalogizacija u publikaciji Nacionalna i sveučiliina biblioteka, Zagreb UDK 517.9 (075.8) AGANOVIĆ, Ibrahim Linearne diferencijalne jednadžbe: uvod u rubne probleme /lbrahim Aganović, Krelimir Veselić. - 2. izd. - Zagreb: ELEMENT, 1997. - 264 str. : ilustr. ; 24 cm Kazalo. ISBN 953·6098-63·6 l. Veselić, Krelimir 970303156

Ibrahim Aganović

Profesor Prirodoslovno-matematičkog fakulteta Sveučilišta u Zagrebu

Krešimir Veselić

Profesor Univerziteta uHagenu

LINEARNE DIFERENCIJALNE JEDNADŽBE

Uvod

U

rubne probleme

Drugo izdanje

Zagreb, 1997

®

Prof. dr. Ibrahim Aganović, Prof. dr. Krešimir Veselić, t 997.

Urednik

Prof. dr. Neven Elezović

Recenzenti Doc.

dr. Mladen Jurak

I Prof. dr. Branko Najmao I Prof. dr. Zvonimir Tutek

Korektor Doc.

dr. Mladen Jurak

1991 Mathematics, Subject Classification: 35-01

NalcJadnik

ELEMENT, Zagreb

Cru!!i, slog i prijelom

ELEMENT, Zagreb

TISak SPIRIDION BRUSINA, Donja Lomnic:a

Nijedan dio ove knjige ne smije se preslikavati nili umnažati na bilo koji način, bez pismenog dopuštenja nakladnika

IZ PREDGOVORA 1. IZDANJU

Ova knjiga namijenjena je u prvom redu studentima matematike. U njoj je izlože­ na teorija rubnih problema za osnovne jednadžbe matematičke fizike: običnu linearnu diferencijalnu jednadžbu 2. reda te Laplaceovu i valnu jednadžbu provođenja. Naše izlaganje ograničeno je na tzv. klasičnu teoriju. Budući se radi o standardnom sadržaju, nismo citirali posebnu literaturu. Spome­ nut ćemo samo neke od knjiga koje su na nas neposredno utjecale, a koje preporučamo i čitatelju: R. Courant, D. HUbert, Methoden der Mathematischen Physik, Springer-Verlag, Berlin, 1968. F. John, Partial Differential Equations, Springer-Verlag, 1978. S.G. Mihiin, Linejnye uravnenija v častnyh proizvodnyh, Vysšaja škola, Moskva, 1977. V.S. V ladimirov, Equations of Mathematical Physycs Marcel Dekker, INC, New York, 1971. PREDGOVOR 2. IZDANJU U ovom izdanju učinjene su manje promjene u 1 . glavi, te je dodana nova glava (o klasifikaciji jednadžbi 2. reda) . Napravljena je također nova numeracija iskaza i primjedbi, te primjera i zadataka. Za korisne primjedbe zahvaljujemo prof. Z. Tuteku (PMF, Zagreb) i prof. A Suhadolcu (Fakulteta za matematiko in fiziko, Ljubljana) . U

Zagrebu, prosinca 1996.

Autori

SADRZˇ AJ

1.Obicˇna diferencijalna jednadzˇ ba . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1

1.1.Ravnotezˇ a napete zˇ ice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1

1.2.Rubni problem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6

1.3.Greenova funkcija . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

13

1.4.Singularni rubni problem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

22

2.Laplaceova jednadzˇ ba . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

25

2.1.Integral po mnogostrukosti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

25

2.2.Teorem o divergenciji . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

35

2.3.Kontaktno polje . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

43

2.4.Ravnotezˇ a napete membrane . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

46

2.5.Rubni problemi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

51

2.6.Integralne reprezentacije . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

61

2.7.Harmonijske funkcije . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

71

2.8.Vanjski rubni problemi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

76

2.9.Fourierovi redovi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

83

2.10.Ortogonalni sustavi funkcija . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103 2.11.Sturm-Liouvilleov problem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108 2.12.Sferne funkcije . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115 2.13.Cilindricˇne funkcije . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127 2.14.Potencijali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135 2.15.Metoda integralnih jednadzˇ bi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149 3.Jednadzˇ ba provodenja . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158 3.1.Nestacionarno provodenje topline . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158 3.2.Rubni problemi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159 3.3.Princip maksimuma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162 3.4.Poissonova formula . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165 3.5.Fourierova metoda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171

4.Valna jednadzˇ ba . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175 4.1.Male oscilacije . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175 4.2.Rubni problemi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177 4.3.Dalembertova formula . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179 4.4.Teorem jedinstvenosti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 188 4.5.Kirchoffova i Poissonova formula . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192 4.6.Fourierova metoda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 197 5.Klasifikacija jednadzˇ bi 2. reda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202 5.1.Lokalna klasifikacija . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202 5.2.Karakteristike i Cauchyjev problem. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 206 DODATAK 1. Cauchyjev problem za obicˇnu linearnu diferencijalnu jednadzˇ bu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 216 1.1.Sustav jednadzˇ bi 1. reda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 216 1.2.Jednadzˇ ba 2. reda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 220 DODATAK 2. Linearne integralne jednadzˇ be . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 223 2.1.Uvod . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 223 2.2.Degenerirane jezgre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 226 2.3.Male jezgre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 229 2.4.Neprekidne jezgre bliske degeneriranima . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232 2.5.Neprekidne jezgre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 233 2.6.Slabo singularne jezgre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 234 2.7.Integralne jednadzˇ be na prostoru po dijelovima neprekidnih funkcija . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 238 2.8.Integralne jednadzˇ be na hiperboli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 239 DODATAK 3. Svojstvene vrijednosti i funkcije simetricˇnih integralnih operatora . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 243 3.1.Uvod . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 243 3.2.Konstrukcija ekstremalnih svojstvenih vrijednosti za neprekidne simetricˇne jezgre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 244 3.3.Razvoj po svojstvenim funkcijama . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 248 3.4.Ekstremalna svojstva svojstvenih vrijednosti . . . . . . . . . . . . . . . . 252 6.Kazalo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 255

1. Obicna diferencijalna jednadzba

1.1. Ravnoteza napete zice Osnovno svojstvo materijalnog tijela ili kontinuuma lezi u cinjenici, da sila kojom dva njegova komada djeluju jedan na drugog ovisi samo o polozaju njihovog kontakta, a ne o samim dijelovima; zato se ta sila naziva kontaktnom. Neka interval 0 l na x -osi predstavlja polozaj tanke zice, napete civijom npr. kao na gitari. Oznacimo s a x kontaktnu silu u tocki x 2 0 l , tj. silu kojom dio x l djeluje na dio 0 x ; tada dio 0 x djeluje na dio x l silom a x . Ta sila je uzduzna ili longitudinalna, tj. paralelna je x -osi; naziva se napetost zice. U daljnjem c´emo se cesto pozivati na zakon ravnoteze sila: ako je tijelo u ravnotezi, ukupna sila koja na njega djeluje jednaka je nuli. Neka je x1 x2 2 0 l , x1  x2 ; ukupna uzduzna sila na dio x1 x2  jednaka je a x2   a x1  , pa prema zakonu ravnoteze vrijedi a x2   a x1  = 0

1

a = const:

2

tj. Dakle, u promatranom slucaju napetost zice je konstanta, jednaka uzduznoj kontaktnoj sili a l  0 koja djeluje na kraju x = l . Umjesto civijom, zica se moze horizontalno napeti utegom sl. 1.1. Ako je tezina utega T0  0 , napetost je a = T0 , tj. neposredno je zadana; time se omoguc´uje bazdarenje napetosti realizirane civijom. O

l x T0

g = ubrzanje teze

Sl. 1.1.

Razmotrimo sada zicu koja slobodno visi x -os ima smjer ubrzanja sile teze. Ona je takoder napeta, ovaj put svojom tezinom. Oznacimo s T x1 x2  tezinu komada 1

x1 x2  . Ukupna uzduzna sila na taj komad jednaka je a x2  prema zakonu ravnoteze imamo a x2  a x1  + T x1 x2  = 0:

Stavljajuc´i npr. x1 = x , x2 slobodan! dobivamo

=

l i uzimajuc´i u obzir da je a l a x

iz toga slijedi da je a x



=

a x1  + T x1 x2  , pa

3 =

0 kraj x

=

l je

T x l;

4

0 za x 2 0 l:

5

Ako je o kraj x = l objesen uteg tezine T0  0 , onda umjesto 4 imamo a x = T x l + T0 pa je a x

0 za x 2 0 l:



Ako je zica homogena s gustoc´om mase T x1 x2  = g x2 x1  , pa imamo a x

6

=



7

masa jedinice duljine zice, onda je



x + T0 :

gl

8

Tezina objesene zice je specijalan slucaj uzduzne linijske sile, rasporedene po zici s gustoc´om I x  0 , x 2 0 l ; ukupna linijska sila na komad x1 x2  je tada

Z

x2

I [  d[ :

9

x1

Ukupna sila na taj komad je

Z

a x2 

x2

a x1  +

I [  d[

10

x1

pa iz zakona ravnoteze imamo a x2 

Z

x2

a x1  +

I [  d[

=

0:

11

x1

Stavljajuc´i x1

=

x , x2

=

l dobivamo a x

Z

l

I [  d[ ;

=

12

x

iz toga slijedi 5. Ako pored linijske sile na zicu djeluje i kontaktna sila a l = T0 onda imamo Z



0,

l

a x

=

I [  d[ ;

T0 +

13

x

tada vrijedi 7. Razmotrimo sada uzduzno napetu zicu, podvrgnutu djelovanju vanjske poprecne ili transverzalne sile, tj. sile koja je okomita na x -os. Pretpostavit c´emo da je ta sila paralelna fiksiranoj ravnini i da je slaba tj. mnogo manja od napetosti. Npr., ako je teska zica horizontalno napeta, onda je poprecna sila njena tezina, pa gornja pretpostavka znaci da je tezina zice mala u usporedbi s tezinom utega kojim je ostvarena

napetost. Prirodno je pretpostaviti da se pod utjecajem slabe poprecne sile zica slabo malo deformira, tj. da njen ravnotezni polozaj lezi u ravnini vanjske sile i da se malo razlikuje od neperturbiranog polozaja intervala 0 l . Tocka x 2 0 l prijede deformacijom u tocku P x = x u x 2 R2 , gdje je u x progib tocke x . Progib je mali u slijedec´em smislu: ju xj  l 14

ju

xj

0

1

15

za svako x 2 0 l . Primijetimo da je prva od tih nejednakosti posljedica druge: buduc´i je zica u tocki x = 0 ucvrsc´ena, vrijedi u x = 0 , pa je

Z

u x

x

u0 [  d[ ;

=

16

0

iz toga i 5 dobivamo

ju xj ?

Z

l

ju

0

0

[ j d[

? l  max ju j  l 0

17

:

Primijetimo takoder slijedec´e: ako je zica na kraju x = l napeta utegom sl. 1.1, taj kraj se ponasa prema progibu kao da je ucvrsc´en, tj. vrijedi u l = 0 ; to je neposredna posljedica pretpostavke da je poprecna sila mala u usporedbi s tezinom utega. Uzimajuc´i u obzir 15, za element duljine luka deformirane zice dobivamo ds = 1 + ju0 xj2  2 dx  dx 1

18

pa zakljucujemo da mali progib ne uzrokuje istezanje zice. _

Oznacimo s p x kontaktnu silu u tocki P x , tj. silu kojom dio P xP l deformi_

rane zice djeluje na dio P 0P x . Eksperimentalno je dobro provjerena ova osnovna pretpostavka: ako je deformacija napete zice mala, kontaktna sila p x u tocki P x ( x 2 0 l ) jednaka je po modulu napetosti a x i paralelna je tangencijalnom vektoru zice u toj tocki sl. 1.2. Oznacivsi poprecnu komponentu kontaktne sile s q , imamo u

q(x) p(x) x

u(x)

x

Sl. 1.2.

q x

=

a xu0 x:

19

Ta veza kontaktne sile i progiba s opc´enitijeg stanovista zove se zakon ponasanja u promatranom modelu.

_

Ukupna poprecna kontaktna sila na dio P x1 P x2  deformirane zice jednaka je q x2  q x1  . Neka je f x gustoc´a poprecne linijske sile sila po jedinici duljine

_

koja djeluje na zicu; tada je ukupna linijska poprecna sila na dio P x1 P x2  jednaka

Z

_

x2

f [  d[

x1

Ukupna poprecna sila na dio P x1 P x2  je q x2 

Z

x2

q x1  +

:

20

f [  d[

x1

pa prema zakonu ravnoteze imamo q x2 

Z

x2

q x1  +

f [  d[



=

21

0

x1

Stavljajuc´i npr. x1

=

x , x2

=

:

22

l , dobivamo

Z

q l

:

l

f [  d[

q x +

=

0

x

23

Iz toga slijedi lokalni ili diferencijalni oblik zakona ravnoteze q0 x + f x

=

0





x 2 0 l

24

koji je ekvivalentan uvjetu 22. Uvrstavajuc´i 19 u 24, dobivamo diferencijalnu jednadzbu koju zadovoljava ravnotezni progib: a xu0 x0

+

f x

=

0

:

25

Ako se zica nalazi u nekom sredstvu koje se elasticno opire njenoj deformaciji, onda pored zadane linijske sile f , na nju djeluje i linijska poprecna sila s gustoc´om b xu x , gdje je b x 0 koeficijent elasticnosti sredstva. U ovom slucaju umjesto 23 i 24 imamo respektivno

Z

q l

l

f [

q x +

b [ u [  d[

x

q0 x

b xu x + f x

=

0

b xu x + f x

0



=



26 27

a umjesto 25 dobivamo jednadzbu a xu0 x0

=

0



28

koju c´emo nazivati jednadzbom ravnoteze. To je obicna diferencijalna jednadzba 2. reda za funkciju u ; funkcije a i b su njeni koeficijenti, a f je slobodni clan. Jednadzba je homogena ako je f = 0 , inace je nehomogena. Jednadzba 28 je linearna: ako su za dane koeficijente a i b  funkcije u1 i u2 rjesenja homogene jednadzbe, tj. au1 0 0

bu1

=

0



au2 0 0

onda je i njihova linearna kombinacija u = c1 u1 + c2 u2



bu2

=

0



29 30

gdje su c1 i c2 proizvoljni realni brojevi, takoder rjesenje homogene jednadzbe: au0 0

bu = 0:

31

Svako rjesenje jednadzbe 28 je ravnotezno ili stacionarno stanje. U primjerima koji slijede navodimo jos nekoliko modela koji se opisuju jednadzbom 28. Kao i u slucaju zice, o ravnoteznom stanju uvodimo pretpostavke koje su, naravno, ostvarene samo priblizno. Primjer 1.1. Uzduzna deformacija tankog stapa. Pretpostavimo da x -os prolazi tezistima poprecnih presjeka tankog homogenog stapa. Neka na stap djeluje slaba uzduzna sila, koja je na svakom poprecnom presjeku raspodijeljena tako da joj je ukupni moment u odnosu na teziste presjeka tj. u odnosu na x -os jednak nuli; primjer takve sile je tezina vertikalno postavljenog rotacionog stapa. Prirodno je pretpostaviti da se u opisanim uvjetima poprecni presjek stapa uzduzno translatira iz nedeformiranog polozaja x 2 0 l u deformirani polozaj P x = x + u x , gdje je u x mali pomak. Oznacimo s q x uzduznu kontaktnu silu u tocki x , tj. silu kojom dio P x P l djeluje na dio P 0 P x . Neka je f gustoc´a uzduzne linijske sile vanjska sila po jedinici duljine stapa. Iz zakona ravnoteze slijedi jednadzba 24. Eksperimentalni zakon ponasanja (Hookeov zakon) ima oblik 19, gdje je a = ES;

32

ovdje je E = const  0 Youngov model, a S povrsina poprecnog presjeka S = const za cilindricni stap. Ako je stap tako tanak da se moze smatrati jednodimenzionalnim tijelom, opisani model podudara se s uzduzno napetom zicom. U tom slucaju uzduznu kontaktnu silu nazivali smo napetosc´u i odredili smo je neposredno pomoc´u zakona ravnoteze; uzduzna deformacija nas nije zanimala jer smo kod razmatranja poprecne deformacije napeto stanje uzimali kao "nedeformirano". Primjer 1.2. Torzija tankog kruznog stapa. Neka centralna os tankog homogenog cilindricnog stapa kruznog presjeka lezi na x -osi. Neka na stap djeluje slab uzduzni zakretni moment tj. moment paralelan x -osi. Pretpostavit c´emo da se tada poprecni presjek stapa na mjestu x 2 0 l zakrene oko x -osi za mali kut u x . Oznacimo s q x uzduzni kontaktni zakretni moment u tocki x , tj. moment kojim dio P x P l djeluje na dio P 0 P x . Neka je f gustoc´a uzduznog linijskog zakretnog momenta vanjski moment po jedinici duljine stapa. Ako je tijelo u ravnotezi, rezultanta zakretnih momenata koji na njega djeluju jednaka je nuli zakon ravnoteze momenata. Iz toga slijedi jednadzba 24. Eksperimentalni zakon ponasanja ima oblik 19 gdje je a = P R4 S =2; 33 ovdje je P

=

const:  0 modul smicanja, a R radijus poprecnog presjeka.

Primjer 1.3. Provodenje topline kroz tanki stap. Neka os tankog homogenog stapa lezi na x -osi. Neka se na stap izvana prenosi slab toplinski fluks. Oznacimo s u x temperaturu poprecnog presjeka na mjestu x 2 0 l , a s q x kontaktni toplinski fluks na tom mjestu, tj. toplinu koja se u jedinici vremena prenosi s dijela x l na dio 0 x . Neka je f gustoc´a linijskog toplinskog fluksa vanjska toplina koja se u

jedinici vremena prenosi na jedinicu duljine stapa . Ako je provodenje topline u tijelu stacionarno (neovisno o vremenu), ukupni toplinski fluks (toplina po jedinici vremena) koji se na njega prenosi jednak je nuli (zakon stacionarnog provodenja topline). Iz toga slijedi jednadzba 24 . Eksperimentalni zakon ponasanja (Fourierov zakon) ima oblik 19 , gdje je a = N S; 34 ovdje je N 0 koeficijent provodenja, a S povrsina poprecnog presjeka  S za cilindricni stap, N = const: za homogeni stap .

=

const:

1.2. Rubni problem U daljnjem koristimo standardnu oznaku C k O k 2 N za skup svih realnih funkcija na otvorenom skupu O  Rn , n 2 N , koje imaju neprekidne derivacije do reda k ukljucivo; C k O¯ je skup svih funkcija iz C k O , kojih derivacije do reda k ukljucivo imaju neprekidna prosirenja na O¯ . Umjesto C 0 pisemo C , npr. CO = C 0 O . Ukoliko ne bude drukcije naglaseno, u daljnjem c´emo pretpostavljati da je a 2 C 1 0 l



b 2 C0 l

f

2 C0 l 

a

0 na 0 l

te da vrijedi

1 2

3

0 na 0 l:

b



4

Primijetimo da pretpostavka 3 iskljucuje slucaj zice koja slobodno visi, jer je tada al = 0 . Uz pretpostavke 1 –3 svako rjesenje u 2 C 2 0 l jednadzbe 1.28 pripada klasi C 2 0 l . Rjesenja ima beskonacno mnogo opc´e rjesenje sadrzi dvije proizvoljne konstante, v. Dodatak 1.2 . Nas c´e zanimati rjesenje koje predstavlja ravnotezno stanje sa zadanim rezimom na krajevima x = 0 i x = l ; ti rezimi opisuju se rubnim uvjetima. Odredivanje rjesenja koje zadovoljava rubne uvjete zove se rubni problem zadac´a . Vratimo se primjeru transverzalno opterec´ene napete zice. Ako su krajevi ucvrsc´eni civijom ili utegom, rubni uvjeti glase ovako: u0

=

0

ul

=

0:

5

U slucaju provodenja topline kroz stap ti uvjeti znace da se krajevi stapa odrzavaju pomoc´u nekog vanjskog regulatora na temperaturi od 0 ; umjesto na 0 moz  e se kraj odrzavati na bilo kojoj temperaturi pa ima smisla rubni uvjet u0

= c0



6

gdje je c0 zadani broj. U daljnjem radi jednostavnosti govorimo samo o rubnom uvjetu na kraju x = 0 . Da bi uvjet 6 u slucaju c0 6= 0 imao smisla i za napetu zicu, moramo napetost realizirati bez ucvrsc´enja kraja x = 0 . To postizemo npr. tako, da kraj x = 0

vezemo za nerastezljivu nit bez tezine mnogo duzu od zice koju uzduzno napnemo pomoc´u utega ili civije. Uvjet 6 realiziramo fiksiranjem kraja x = 0 na visini c0 ; taj uvjet zove se Dirichletov, geometrijski ili kinematicki. Umjesto zadavanja progiba u 0 , mozemo zadati vrijednost vanjske transvenzalne kontaktne sile q 0 koja realizira taj progib. Npr. ako je zica napeta pomoc´u niti vezane za kraj x = 0 i ako se na taj kraj objesi uteg tezine c1 , onda imamo rubni uvjet q 0

= c1 :

7

Primijetimo da analogan uvjet na kraju x = l glasi q l = c1 . U slucaju provodenja kroz stap uvjet 7 znaci da je reguliran toplinski fluks kroz presjek x = 0 . Uzimajuc´i u obzir zakon ponasanja 1.19, iz 7 dobivamo u0 0

= c2 

8

gdje smo stavili c2 = c1 =a 0 ; taj uvjet zove se Neumannov, prirodni ili dinamicki. Ako je zica napeta pomoc´u niti vezane za kraj x = 0 i ako se taj kraj veze za poprecno elasticno pero s koeficijentom elasticnosti N  0 , onda imamo rubni uvjet q 0 = N u 0:

N u l . Pomoc´u 1.19 dobivamo

Analogan uvjet na kraju x = l glasi q l =

E0 u 0 = 0

u0 0

gdje smo stavili E0

=

9

10

N =a 0 ; to je Robinov rubni uvjet.

Primjer 2.1. Homogena zica ucvrsc´ena je na kraju x = 0 i horizontalno napeta pomoc´u niti vezane na kraj x = l  i utega mase M  0 ; kraj x = l je slobodan. Odredit c´emo ravnotezni progib u polju sile teze sl. 1.3. Linijska sila je tezina, pa je f = g , gdje je  = const: gustoc´a mase masa jedinice duljine zice. Jednadzba ravnoteze glasi 00 Mu + g = 0: 11 Iz toga slijedi u0 x u x



= 

=

x + C1 

12

x2 + C1 x + C2 

13

M

2M

gdje su C1 i C2 konstante. Iz rubnih uvjeta u 0

slijedi C1

=

l M , C2

 =

=

=

u0 l = 0

0

14

0 pa dobivamo u x

=



2M

Opc´i rubni uvjet na kraju x = 0 glasi

xx

2l:

15

O x

l g u gM

Sl. 1.3.

D u0 0

E u 0 = c

16

gdje su D , E i c zadane konstante i

D E

D+E

0



17

0:

Analogno na kraju x = l imamo

J u0 l + G u l = d

18

gdje su J , G i d zadane konstante i

J G

J

0

+

G



19

0:

Ako je c = 0 , uvjet 16 je homogen, inace je nehomogen. Uvjeti 16 i 18 su linearni. Kao sto c´emo vidjeti, uz prirodne pretpostavke 17 i 19 oni osiguravaju jedinstvenost ravnoteznog stacionarnog stanja. Primjer 2.2. U slucaju b = 0 , rubni problem 1.28, 16, 18 rjesava se formulom. Radi jednostavnosti razmotrit c´emo homogene rubne uvjete c = d = 0 . Neka je u rjesenje problema. Iz 1.28 slijedi u0 x

1 a x

=

Z

u x

x

= 0

Z

x

C1 a x

f K  dK + 0

d[ a [

Z

[

20

Z

d[ a [

x

f K dK + C1

0

0

+

gdje su C1 i C2 konstante. Uvrstavajuc´i to u 16 i 18, dobivamo D C1 E C2 = 0 a 0

J a l

+

G

Z

l 0



d[ C1 + G C2 a [

=

J a l

Z

l

f [  d[

+

0

G

Z

l 0

21

C2

d[ a [

Z 0

22 l

a K  dK :

23

To je linearni sustav za nepoznanice C1 i C2 ; determinanta sustava je '=

1 DG a 0

+

1 EJ a l

+

EG

Z

l 0

d[ : a [

24

Razlikujemo dva slucaja: i E + G  0 . Tada je '  0 , pa sustav ima jedinstveno rjesenje C1 C2  ; rubni problem ima jedinstveno rjesenje 21.

ii E = G = 0 . Tada je ' = 0 , pa sustav ili nema rjesenja ili rjesenje nije jedinstveno. Rubni uvjeti su u0 0 = u0 l = 0 25 tj. radi se o slucaju kad su oba kraja slobodna. Ako rjesenje postoji, iz 22 odnosno 23 slijedi C1 = 0 26

Z

odnosno

l

f x dx = 0:

27

0

Obratno, ako vrijedi 27, onda je za svako C2 funkcija

Z

Z

[ d[ u x = f K dK + C2 28 0 a [ 0 rjesenje rubnog problema. Prema tome, rubni problem ima rjesenje ako i samo ako vrijedi 27; u tom slucaju rjesenja ima beskonacno mnogo i dana su formulom 28 tj. rjesenje je odredeno do na aditivnu konstantu. Buduc´i su poprecne kontaktne sile na krajevima jednake nuli, uvjet 27 znaci da je ukupna poprecna sila koja djeluje na zicu jednaka nuli. Ako je taj uvjet ispunjen, ravnotezni polozaj je odreden do na kruti pomak cijele zice; zato proizvoljnost konstante C2 nema fizikalno znacenje. x

Pri izvodu jednadzbe ravnoteze pretpostavili smo malu deformaciju. Pokazat c´emo da je dobiveno rjesenje u Primjeru 2.2 u skladu s tom pretpostavkom. Radi jednostavnosti ogranicit c´emo se na rubne uvjete u 0 = u0 l = 0: 29 Tada je Zl 1 0 u x = f [  d[ : 30 a x x Neka je a1

Imamo

=

min a x:

Z l

? l xmax 20l

f [  d[



x

Iz 30 i 31 slijedi

ju0 x j ? al 

31

x2 0 l

jf x j

j j



32

:

max f x :

1 x2 0 l

33

j j

Prema tome, ako je vanjska sila dovoljno mala (preciznije: l max f a1 ), deformacija je mala. To svojstvo rubnog problema zove se korektnost. Ako je b = 0 , rjesenje rubnog problema opc´enito se ne moze zapisati formulom.

6

Teorem 2.1. Ako je b rjesenje.

6

=

0 , rubni problem (1.28), (16), (18) ima najvise jedno

Dokaz. Neka su u1 i u2 rjesenja i u funkcija u zadovoljava uvjete

= u1

u2 . Zbog linearnosti problema

au  bu = D u 0 E u0 = J u l + G ul = 0

0

34 35 36

0 0 0:

0

0

Pomnozimo li jednadzbu 34 sa u i integriramo po 0 l , dobivamo

Z

l

au  u dx + 0

0

Z

l

0

0

bu2 dx = 0

37

ili, nakon parcijalne integracije u prvom clanu lijeve strane,

Z

l

au 2 + bu2  dx + a0u 0u0 0

0

alu0 lul

0

=0

:

38

Razlikujemo cetiri slucaja: i E J  0 . Izracunamo li u0 iz 35 i u0l iz 36 i uvrstimo u 38, dobivamo Zl au0 2 + bu2 dx + DE a0u0 20 + GJ alu2 l = 0: 39 0 Svi sumandi na lijevoj strani su nenegativni, pa je svaki od njih jednak nuli:

Z

l

2

=

0

40

bu2 dx

=

0

41

=

0

42

=

0:

43

au0 dx 0

Z

l 0

Iz 40 slijedi u0

= 0 , tj.

D 2 a0u0 0 E G alu2 l J

u = const:

44

Iz 35 slijedi u0 = 0 , a iz 44 u = 0 , tj. u1 = u2 . Slucajevi ii E G  0 i iii D G  0 analiziraju se analogno. iv E = G = 0 . Tada je u00 = u0l = 0 . Iz 39 slijedi 40 i 41, iz 40 dobivamo 44, a iz 41 slijedi

Z

l

u2 0

b dx = 0:

45

Zbog i pretpostavke b = 0 , b je pozitivno bar na nekom intervalu, pa je 6

Z

l

b dx  0:

Iz 45 i 46 slijedi u = 0 , tj. u1

0

= u2 .

Q.E.D.

46

U gornjem dokazu u slucajevima i– iii nismo koristili pretpostavku b 6= 0 . Ti dokazi dakle vrijede i za b = 0 . Pretpostavka b 6= 0 ima odlucnu ulogu u slucaju iv; prema Primjeru 2.2 znamo da za b = 0 jedinstvenost nema mjesta. Uvjeti 1 i 2 mogu se oslabiti na razne nacine. Ovdje c´emo razmotriti slucaj kad neka od funkcija a , a0 , b i f ima u tocki x0 2 0 l konacan skok prekid 1. vrste; primijetimo da je zbog 1.13 u modelu zice funkcija a nuzno neprekidna. Iz 1.26 slijedi da je u tocki x0 kontaktno djelovanje neprekidno, ali zbog 1.19 funkcija u mozda nema 1. derivaciju u0 ima mozda prekid 1. vrste. Umjesto jednadzbe 1.28 koja mozda ne vrijedi u tocki x0  imamo samo uvjete neprekidnosti funkcije u i kontaktnog djelovanja q = au0 : 0

au 

u x0 + 0  u x0  0 = 0 x0 + 0  au0  x0  0 = 0

47 48

To su uvjeti transmisije; problem transmisije ukljucuje, naravno, i rubne uvjete. Rjesenje problema pripada klasi C 0 l  C 2 0 x0   C 2 x0 l ; ako je a neprekidno u x0 , rjesenje pripada klasi C 1 0 l  C 2 0 x0   C 2 x0 l . Primjer 2.3. Zica je sastavljena od dvaju homogenih komada 0 x0  x0 l s linijskim gustoc´ama mase 1 i 2 i napeta horizontalno utegom mase M  0 ; oba kraja su ucvrsc´ena. Odredimo ravnotezni polozaj zice u polju sile teze. Gustoc´a linijske sile ima u tocki x0 skok: 1 g 0 ? x  x0 f x = 49 2 g x0  x ? l: Jednadzba ravnoteze glasi ovako:

gMu gMu

00 00

x x

= =

x 2 0 x0  x 2 x0 l:

g 2 g 1

50 51

Uzimajuc´i u obzir rubne uvjete u 0 = u l = 0 , iz 50 i 51 dobivamo 1 x u0 x =  +C 52 M 2 1 x u x =  + Cx 53 2M za x 2 0 x0  , 2 x u0 x =  +D 54 M 2 u x =  x2  l2  + D x  l 55 2M za x 2 x0 l ; ovdje su C i D konstante. Uvrstavajuc´i to u uvjete transmisije 47 i 48, dobivamo za C i D sustav CD

=

x0 C + l  x0 D

=

1

 2

M 1

 2

2M

56

x0 x20 +

2

2M

l2 :

57

Iz toga nalazimo

8    ux =   :

C

=

D

=

pa imamo

2 1x

2M



2

2M

+



2l 2M 2l 2M

1

1

x2  l2 +

2

2Ml

2l

2M

2

2Ml

1



2

2Ml 2l

2M



x20 +

1

2

M

58

x0 

59

x20 

x20

+

1



2Ml

1

2

M 2

x20





x

x 2 0 x0 

x  l

x 2 x0  l:

x0

60

Primjer 2.4. Tanki cilindricni stap sastavljen je od dva homogena dijela 0 x0  i x0  l s koeficijentima provodenja a1 i a2 , respektivno. Krajevi x = 0 i x = l podrzavaju se na temperaturi u = 0 . Odredimo stacionarnu temperaturu stapa, ako je linijska gustoc´a vanjskog toplotnog fluksa f = 1 . Jednadzba stacionarnog provodenja je a1 u00 x = 1 x 2 0 x0  61 a2 u00 x = 1 x 2 x0  l: 62 Uzimajuc´i u obzir rubne uvjete u0 = ul = 0 i uvjete transmisije 47 i 48, kao u prethodnom primjeru dobivamo

8     ux =   :



1 2 a1 l2  x20  + a2 x20 x + x 2a1 2a1 a2  a21 x0 + 2a21 l

x 2 0 x0 



1 a1 l2  x20  + a2 x20  x2  l2  + x  l 2a2 2a2 x0 a2  a1  + 2a1 a2 l

x 2 x0  l:

63

Zadatak 2.5. Dokazite teorem jedinstvenosti za problem transmisije. Zbog linearnosti rubnog problema, rubni uvjeti se mogu homogenizirati. Neka funkcija v zadovoljava uvjete 16 i 18 i neka je u1 = u  v . Uvrstivsi u = u1 + v u 1.28, 16 i 18, dobivamo au01 0  bu1 + f 1 = 0 64 0 D u1 0  E u1 0 = 0 65 0 J u1 l + G u1 l = 0 66 gdje je f 1 = f + av0 0  bv: 67

Funkcija u je rjesenje problema 1.28, 16, 18, ako i samo ako je funkcija u1 rjesenje problema 64–66. Prema tome, bez smanjenja opc´enitosti mozemo ubuduc´e pretpostaviti da su rubni uvjeti homogeni. Zadatak 2.6. Odredite linearnu funkciju koja zadovoljava uvjete 16 i 18.

1.3. GREENOVA FUNKCIJA

13

Do sada smo vanjsku silu na žicu opisivali gustoćom sila na interval bila jednaka

(Xl,X2)

Stavimo l i

imamo pa ukupnu vanjsku silu na

f tako da je ukupna vanjska ,

1:2f(X) dx.

(1)

F(x) = lXf e s) ds,

(2)

f(x) = F'(X),

(Xl,X2) možemo izraziti kao razliku F(X2) - F(Xl)'

(3) (4)

Sila (4) je općenitij a nego (1); pokazat ćemo to na važnom primjeru koncentrirane sile, koja nema gustoću. Kažemo da funkcij a F opisuje silu (djelovanje) intenziteta =I koncentriranu u tocKi xo E I) , ako je

Fo O,

(O,

F(x) = { FoO,, XX >�xo, (5) xo. Prema (4), ukupna sila na žicu jednaka je F(/) F(O) = Fo. (6) S druge strane, uzmemo li bilo koji interval (Xl,xz), takav da je udaljenost točke Xo od (xt ,xz) veća od nule, dobivamo (7)

Time se opravdava naziv koncentrirana sila. Pokažimo da ta sila nema gustoću. Zaista, ako je gustoća, onda je =I (8)

f

f(x) = O, X Xo.

S druge strane je

(9)

a to je protuslovlje, jer integral funkcije koja iščezava svuda osim u jednoj točki jednak je nuli. Dakle, pretpostavljena funkcija (gustoća) ne postoji. Primijenimo princip ravnoteže na komad uzimajući u obzir da na taj komad, osim kontaktne i vanjske elastične sile, djeluje i linijska sila (4). Dobivamo

f

(Xl, X2), q(xz) - q(Xl) - LX2 bu dx + F(x2) F(xt} O. =

(10)

1. OBIČNA DIFERENCIJALNA JEDNADŽBA

14

(11) q(X2 )-q(xl)-1XlXI budx = O, (12) q(X2 )-q(Xl )-1XlXl budx+Fo = O, (11) X2 X2= x, (13) q(x)-b(x)u(x) = O, x"# Xo. q= aul ( a(x)ul(x»)'-b(x)u(x) = O, x"# Xo. (14) Xo ( 15 ) u(Xo-O)= u(xo +O). ( 12) XI,X2 xo, q(xo -O)-q(xo +O)= Fo, (16) UI(XO-O)-UI(XO+O)= aR(Xoo ) . ( 1 7) u točki koncentracije vanjskoga linijskog djelovanja derivacija 1'tlV1IOteŽnOg stanja (progiba) ima konačan skok. e Zbog

(5) iz toga slijedi

Derivirajući

po

i stavljajući

Iz toga i zakona ponašanja

U točki

dobivamo

slijedi

progib je neprekidan:

Uzmemo li u

limes kad

---jo

dobivamo

ili

Vidimo da

Prema tome, u slučaju koncentriranog dj lovanja, za ravnotežno stanje vrijede jednadžbe ( 14), ( 15) i ( 17). Odgovarajući rubni prob­ lem uključuje, naravno, i rubne uvjete. Rješenje problema pripada, očigledno, klasi

C( [O , m n C(2)( [0 , xo] ) n C(2)( x[ o,� ). Primjer 3.1. a = 1 , b = O. Fo = 1 ( O, l) kraj Uli (x) = O, X < Xo, u(O) = O, Uli (x) O, x>xo, u'( l ) O, u(xo-O) -u(xo +O)= O, ul(xo-O) ul(xo +O) = 1. ( 18)-(21) u(x) x < xn, B u(x) = , x>Xo, Iz (22)-(25) = 1 , B= Xo u(x)= { xxn, , Neka je sila koncentrirana u točki xo E slobodan. Imamo ove uvjete:

Iz

dobivamo

gdje su A i B konstante.

Zadatak3.2.

Odredimo ravnotežno stanje ako je vanjska i ako je lijevi žice učvršćen, a desni

Ax,

slijedi A

,

pa imamo

(18) (19) (20) (21) (22)

(23)

(24) (25)

(26)

Dokažite teorem jedinstvenosti za slučaj koncentriranog djelovanja.

15

1.3. GREENOVA FUNKCrJA

M,

Zadatak 3.3. Žica je sastavljena od dvaju homogenih komada jednake duljine s linijskim gustoćama i i napeta horizontalno utegom mase a u sredini opterećena utegom mase ; oba kraja su učvršćena. Odredite ravnotežni progib.

gtMt gz

Rješenje. Jednadžba ravnoteže glasi ovako:

u"(x) = -Mgt' x< 2l ' ull(x) = Mgz' x> 2'l Iz toga i robnih uvjeta u(O) =u(l) =O dobivamo 1 gl x2+ex, { x2' gdje su e i D konstante. Iz (15) i (17) za e i D dobivamo sustav e+D = M4Ml (gt +3 gz), e D = Mt + l (gt - gz), -

2M 2M

(27) (28) (29)

-

2M

-

odakle nalazimo

(30) (31) (32) (33)

Pretpostavimo da je ili

b#O

ili

ll+o>O

(34)

G(x, x (O, (x,x') ....... G(x,x'), x,x' (0,1) (35) zove se Greenova funkcija. Pokazat ćemo da ta funkcija postoji (zbog (34) ona je jedinstvena). Neka su Ut i Uz linearno neovisna rješenja jednadžbe (au')' - bu =O na (0,1). (36) Tada je svako rješenje te jednadžbe oblika u =Alllt +A2uz, . (37) gdje su Al i Az konstante (v. Dodatak 1.2). Odredimo sva rješenja koja zadovoljavaju robni uvjet au'(O) -llu(O) =o. (38)

i označimo s l) rješenje rubnog problema u slučaju kad je u točki x' ) , E E I) koncentrirano jedinično linijsko djelovanje. Preslikavanje

x'

(O,

E

1. OBIČNA DIFERENCIJALNA JEDNADŽBA

16

Uvrstimo li (37) u (38), dobijemo

(39) alA, + a2A2 =O, gdje je (40) al =aui(O) - (:3Ul(O), a2 au�(O) -(:3U2(0). Bar jedan od brojeva (40) je različit od nule, jer bi iz uvjeta al =a2 =O i pretpostavke a + (:3 O slijedilo =

>

(41)

Ul i U2 nije moguće (v. Dodatak 1 .2). Ako je a2 A2, Al -(42) al (43) U =A2 (- :� Ul + U2) ,

a to zbog linearne neovisnosti funkcija onda je

al i= O,

=

pri čemu je (zbog linearne neovisnosti)

Ako je

a2 i= O, onda je

- -ala2 Ul + U2 i= O.

(44)

(4S) (46) pri čemu je (47) Prema (43) odn. (46) svako rješenje koje zadovoljava uvjet (38) ima oblik

(48) =Cv, gdje je v jedno fiksno netrivijalno (tj. v i= O) rješenje koje zadovoljava (38), a C konstanta. Analogno zaključujemo da svako rješenje koje zadovoljava uvjet yut(l) + Du(/) O (49) ima oblik u =Dw, (SO) gdje je jedno fiksno netrivijalno rješenje koje zadovoljava (49), a D konstanta. Uzimajući u obzir gornje zaključke vidimo da Greenova funkcija nužno ima oblik (x) G(x, x) -- {Cv (Sl) Dw(x),, OO

(78)

O

( O, l) .

Dokaz.

( O, l) .

G(x,x')

Neka je Tada je

u

rješenje rubnog problema

(63)-(65)

u slučaju

f(x)

=

u(x) II G(x,x') dx', II u(x) dx = II l' G(x, x') dx' dx. =

S druge strane,

1,

(79) (80)

iz jednakosti

(au')' - bu + 1 = O

II dx - ll (au')'u

dobivamo

U

=

ili (pretpostavljajući npr. f3 >

O, y

>

O

dx +

(81)

II bu2 dx,

i uzimajući u obzir

(82)

(64) i (65))

t u dx t(au'2 + bu2) dx + � a(l)u2 (l) + � u'2 (0) O. (83 ) y � � (80) ( 83 ) II II G(x, x') dx' dx O. (84) 3.2 G x'x' (O, l) , iz (84) (78). ( 69) f O f =I O , (78)) u (x) II G(x,x')f(x') dx' O. (85 ) ako je f nenegativno i različito od nule, rješenje problema (63)-(65) je pozitivno. (34).) iz ( 69) korektnost. (86) u'(x) = II :x G(x,x') . f(x') dx', lu'(x) 1 � Jot I aax G(x,x') llt(x') 1 dx' � � ( (87) lt(x) l ) Jotlaax G(x,x')ldx', . =

Iz

i

p

slijedi

>

>

Prema Korolaru O.E.D. Formula

Ako je

�

funkcija

E

ima isti znak za sve

pa

slijedi

omogućuje neke opće zaključke o rješenju rubnog problema. i

onda je (zbog =

>

Drugim riječima, ako linijska sila djeluje u jednom smjeru, taj isti smjer ima i progib; preciznije, (Zaključak vrijedi, naravno, uz pretpostavku Drugo važno svojstvo koje slijedi

max

xE[O,l]

je

Imamo

21

].3. GREENOVA FUNKCIJA ili

max lt(x) l , lu'(x) 1 ::;;; h xE[O,�

gdje smo stavili h = max xE[O,�

Dakle, ako je f malo (tj. (mala deformacija).

max lt I

Jt o

la8x G(x, x') I

(88) dx' .

(89)

malo), onda je i rješenje rubnog problema malo

Zadatak 3.6. Dokažite da rješenje rubnog problema ovisi monotono o gustoći linijskog djelovanja. Rješenje. Neka je -(au�)' + bUl = fl , (90) (91) -(au�)' + bU2 = Iz, uz iste rubne uvjete. Oduzimajući (91) od (90) dobivamo (92) - (a(ul - U2 )')' + b(Ul - U2 ) = ft - Iz· Prema (69) iz toga slijedi

Ut (x) - U2 (X) = Jt G(x, x')(jt (x') - Iz(x')) dx'. o Iz (93) i (78) zaključujemo: ako je ft > Iz , onda je Ut > U2 . Zadatak 3.7. Neka za gustoću f vrijedi ili f � O ili f ::;;; O . rješenje rubnog problema tada ovisi monotono o koeficijentu b . Rješenje. Neka je -(au;)' + btut = f, - (au�)' + b2 u2 = f,

( 93 ) Dokažite da

(94) (95)

uz iste rubne uvjete. Oduzimajući (95) od (94) dobivamo

(96)

- (a (Ut - U2 )')' + blUt - b2 u2 = O,

ili Označimo s (97) slijedi

Gt

odn.

G2

(97)

Greenovufunkciju jednadžbe (94) odn. (95). Prema (69) iz

Ut (x) - U2 (X) = Jt Gt (x, x')(b2 (x') - bt (x'))U2 (x') dx' o =

10/11 Gt (x, x')G2 (x', x")(b2 (x' ) - bt (x'))f (x") dx'

Iz toga zaključujemo: ako je

bl � b2 , onda je Ut ::;;; U2

za f

� O i Ut � U2

dx".

za f

(98)

::;;; O .

Zadatak 3.S. Definirajte Greenovu funkciju i dokažite Teorem 3.3 za problem transmisije.

1. OBIČNA DIFERENCIJALNA JEDNADŽBA

22

u ovoj točki ćemo razmatrati slučaj kad je narušen uvjet (2.3) i kad funkcija ima prekid na kraju intervala (0 , 1). Tada su jedan ili oba kraja intervala (O, l) singularne točke jednadžbe ravnoteže. Ograničit ćemo se na najvažniji slučaj kad se radi o regularnom singularitetu: pretpostavljat ćemo da su funkcije a i b analitičke na intervalu (O, l) , te da u točki x = O (x = l) funkcija a ima nultočku 1. reda, a funkcija b pol najviše 1. reda. Neka je

b

xr(x) , r(O) i- O, 1 (x) = xs J gdje su funkcije r i s analitičke na (O , l) i regularne u x jednadžbe (v. Dodatak 1.2) za jednadžbu ravnoteže su al = a, a2 = - a,

a(x) b x)

(

=

gdje je

a

=

-

s(O) ) ( r(O)

(O , l)

linearno neovisna rješenja oblika

(2)

= o. Korijeni karakteristične

1/2

Ako 2a nije cijelo, homogena jednadžba (aw') ' - bw = ima na

(1)

(3)

(4)

O

(5)

Wl(X) = Xa(1+C1X+.. .) W2(X) = x-O:(1+dlx+...). Ako je 2a cijelo, jednadžba (5) ima na (O , l) rješenje (6) i rješenje oblika

,

(6) (7)

(8) W2(X) = cowl (x) ln x+x-a(do +d1x+...) , do i- O. Ako je s(O) = O , tj. a O , lako se dobiva (pomoću (Dodatak 1.2.13)) da je Co i- O . Prema tome, u okolini točke x = O jedno rješenje je ograničeno (regularno) a drugo neograničeno (singularno). Isti zaključak vrijedi i za nehomogenu jednadžbu (1.28).

=

Rubni uvjet sastoji se u zahtjevu regularnosti (ograničenosti) rješenja, a govorimo o singularnom rubnom problemu. Na regularnom kraju zadaje se obični rubni uvjet. Ako je npr. kraj x l regularan, rješenje rubnog problema pripada klasi C(2)((0, m . Primjer 4.1. Razmotrimo slučaj b = O . Neka je kraj x = O singularan, a kraj x l regularan. Tada je a (x) = xr(x) , r(O) i- O , r(z) i- o. Neka je u rješenje

=

=

problema. Iz (2.20) slijedi

1 Cl - r Jr [/(� 1/) d1/+ r ' x (x) o x (x) � d� u(x) = x�r(�) J /(1/) d1/ - Cl x�rd � +C2, o ( )

u '(x)

=

11

11

(9) (10)

23

1.4. SINGULARNI RUBNI PROBLEM

gdje su Cl i e2 konstante. Prvi član na desnoj strani je ograničen:

. ' max lf(x) l · l. Ijx l � rds� loS f (fj) dfj I xE[O,� mm r(x) xE[O,� �

f: (f:)

Funkcija

x

je neograničena:

f-'-+

Jx I -s r( s ) ds

1

ds I Jx sr( s)

JI -

(11)

(12)

(lnl - Inx) , (13) max r(x) x S - max r(x) xE[O,� xE[O,� pa je nužno e = O . Ako je u rubnom uvjetu na desnom kraju 6 > O , dobivamo l

u(x) =

1

>-

ds

7'

1

ix l a(dss) JroS f (fj) dfj + 6a(l) Jto f (fj) dfj . y

(14)

Ako je 6 = O (tj. rubni uvjet na desnom kraju Neumannov), dobivamo nužni uvjet t (15) f (x) dx= O, Jo a rješenje je određeno do na aditivnu konstantu: (16)

Ako je i desni kraj singularan, onda je a(x) = x( l - x)p(x) , p(O) =I O , p( l) =I O . Kao i prije, imamo X (17) U' (x) = - x(l - )p(x) f ( fj ) dfj + x(l )p(x) gdje je Cl konstanta. Stavljajući .

l

�

;

= � (� + l � x) , � I X x l f (fj) dfj = 1 f ( fj) dfj + i f (fj) dfj,

,

x(l x)

zapišimo (17) ovako:

1 1 ( )d u'(x) = -lxp(x) r Jo f fj fj l(l - x)p(x) _

1

II

e1

(18) (19)

iXf( fj) dfj l

l(l - x)p(x) o f ( fj ) dfj + x(l - x)p(x)

•

(20)

1.

24

Iz toga slijedi, za Xo

lxO u(x) xxo ll + x =

1

l

l

E

fi

OBJtNA DIFERENCIJALNA JEDNADŽBA

ji

llxO x lX Xn

(O, l) , ds 1 ( )d + (l s )p( s ) I f (rJ) drJ spe s ) Jo f rJ rJ l ds 1 t ( )d +C f rJ rJ t s(/ - s )p(s ) + C2 , (1 - s )p( s ) Jo

(2 1 )

gdje je C2 konstanta. Lako se pokazuje da su prva dva člana na desnoj strani ogra­ ničene funkcije. Treći i četvrti član su neograničeni, osim u slučaju kad je Cl = O

11f (x) O. Rješenje je određeno do na aditivnu konstantu: i i xO x ll ll f n ds j ( )d + u(x) spes ) Jo f rJ rJ x (1- s)p(s) f (rJ) drJ + C2• dx =

=

l

1

l

x

TeOl'em 4.1. Ako je

l

(22)

(23)

b ::j: O, singularni rubni problem ima najviše jedno rješenje.

Dokaz. Neka je npr. kraj x = l regularan. Neka su ul i U2 rješenja. Funkcija w = ul - U2 zadovoljava jednadžbu (aw')' - bw = O (24)

na (0, 1). rubni uvjet

yw' (I ) + 6w(l) = O i regularna je u x = O . Množeći (24) s w te integracijom po (x, 1). x dobivamo' 1 (aw'w)(l) - (aw'w)(x) - (aw' 2 + bw2 ) d s = O.

1

Funkcija w je oblika (6), a iz toga slijedi

xw' (x)

�

O, x

Uzimajući u obzir (1), iz (26) i (27) dobivamo

11(a� 2 + bw2)

�

O.

dx - a(/)w'(I )w(l)

(25)

E

(O, l) , (26) (27)

=

O.

(28)

w = O , tj. Ul = u2. O.E.D. Za singularni rubni problem definira se Greenova funkcija i dokazuje formula (3.69) na isti način kao u regularnom slučaju. Iz toga (kao i u regularnom slučaju) slijedi

2.

Laplaceova jednadžba

e Rr (ji A-4eA Riftakvasu homeomorfni , ako postoji neprekidna bijekcija da je preslikavanje h -I: A -4 (j također ne­ prekidno; preslikavanje h je tada homeomorfizam skupova (j i A . Skup S e Rn (n 2) je r-di menzi onalna mnogostrukost il iploha u Rif (1 � r � n) , ako za svako S postoji okolina V e Rn takva da je skup A = V n S homeomorfan nekom području (otvorenom povezanom skupu) (j e Rr ; ako je h (j -4 A odgovarajući homeomorfizam, onda se par (tJ, h) zove karta 1 , lokalna parametrizacija ili lokalni h

=

Skupovi (j

(hl , h2 , . . . , hn):

�

x E

:

koordinatni sustav na mnogostrukosti S . Familija karti atlas mnogostrukosti S , ako je

PI

=

{( tJa , ha )

: a E

I} je (1)

aEl

Mnogostrukost dimenzije r = 1 odn. r = n 1 zove se krivulja odn. hiperploha. Iz definicije neposredno slijedi da je n -dimenzionalna mnogostrukost u otvoren skup (i obratno). Iz formalnih razloga skup izoliranih točaka bez gomilišta smatramo O -dimenzionalnom rnnogostrukošću. Otvoren skup na mnogostrukosti S je n S , gdje je otvoren skup u Pomoću otvorenih skupova na običan način (tj. kao u ) definiramo gomilište i zatvarač skupa na S , zatvoren skup na S te unutrašnjost, vanjšti nu i granicu skupa na S . Mnogostrukost S (dimenzije r > O ) u je glatka ili diferencijabi lna, ako ima atlas PI koji se sastoji od glatkih karti, tj. parametrizacija (tJ, h) sa ovim svojstvima: (i ) h je glatko, tj. h E C(1) (tJ), (ii ) za svako q = (ql, q2, ... , qr) E (j matrica -

Rif V

1 Nekad ćemo skup A

Rif

V

Rif.

Rn

' = (8���)) i=1,2,...,n;j=1,2, .

h (q )

. .

,r

(2)

ili preslikavanje h nazivati karto� (oko točke x).

25

2. LAPLACEOVA JEDNADŽBA ima (puni) rang r . Ako je h E e(k)(U) za svako (U,h) E id, kažemo da je S klase

e(k) (S E e(k»).

Najjednostavniji primjer glatke mnogostrukosti je otvoren skup u Rn . Odgovara· juća parametrizacija je npr. h(x) = X; ta mnogostrukost je klase e(oo) Neka je U e Rr područje, 1 � r < n i q>j E e(l)(U), j = 1 , 2, . . . , n - r . Neka je skup A e Rl! definiran jednadžbama •

x" = !Pk_r(XI,X2,... ,xr), k = r + 1 , r + 2, . .. , n,

tj. A

(3)

= {x E Rl! : XI< = !Pk _r(Xt,X2, ... ,xr), (XI,X2,... ,Xr) E U, k r + 1 , r + 2 ... ,n }.

,

(4)

Lako se pokazuje da je A glatka r ·dimenzionalna mnogostrukost; njena glatka para· metrizacija je h(Xt,X2,... ,Xr) = (XI,X2,." ,Xr,fPl(Xt.X2,... ,Xr),.. . (S)

... , q>n-r(Xt ,X2,... ,Xr))' Dokazat ćemo da je svaka gl�tka r ..J.imenzionalna mnogostrukost S lokalno dana jednadžbama oblika (3). Neka je X(O) E S , (U,h) karta oko X(O) i q(O) = h-1{x(O»). Iz uvjeta ( ii) slijedi da je bar jedan od minora reda r matrice (2) različit od nule, npr. h;(q(O») det (8 =F O. (6) 8q j' .. IJ= 1. 2.... " Prema Teoremu o inverznoj funkciji postoje okoline U e U i Ul e Rr točke q(O) odn. točke (x\O),x�O), ,X�O») za koje je preslikavanje (hl,h2, ... ,hr) di/eomorfizam, tj. bijekcija i g = (h l,h2,... ,hr)-I E (C( l)(U1),. Neka je (7) CPic = hr+1c g, k = 1, 2, . , n - r. Očigledno je !Pk E e( l)(Ul) Sad se lako pokazuje da je preslikavanje Ul 3 (XI,X2,... ,Xr) - (Xl,X2,... ,X,,!Pl(Xl,X2,... ,Xr), ... (S) ... CPn-r(X l,X2,... ,xr)) glatka parametrizacija skupa A = h{ U) . Specijalno, glatka ( n - 1) -dimenziona1na mnogostrukost (hiperploha ) dana je lokalno jednadžbom oblika

)

.

•

.

.

..

O

Neka je uz gornje oznake funkcija g : UJ X Rn-r - U definirana formulom

(9)

(10)

To preslikavanje je glatko; osim toga za q E U imamo g(h(q)) = g (hl(q), h2 (q), ... ,hr(q)) = q, tj. goh id 2 na U . Neka je pored karte (U,h) zadana (oko iste točke X(O) ) i glatka karta (O, h) i neka je skup fl definiran analogno skupu U . Neka je

cl) =

2

i d j e oznaka za identično preslikavanje.

h- loh fl :

_

U.

(11)

27

2. .1 INTEGRAL PO MNOGOSTRUKOSTI za tjE fl imamo

Budući su funkcije g i h glatke, to je i funkciju /

(12)

glatko. Analogno vrijedi i za inverznu .

- 1 = h-lo h : U -+ fl.

Prema tome, preslikavanje ( 1 3) je difeomorfizam skupova fl i U 3:

( 1 3)

- 1 E C( 1)(U). ( 14) n O ) Neka skup SeR ima ovo svojstvo: za svako x( E S postoje okolina VeRn i funkcije Ji E C(1) (V) \ i = 1, 2, . . . , n - r ( 1 � r < n ) takve da je rang matrice E c(1)(fl),

( 8J�::0)))

jednak n -r i da je

(15)

j=I,2 ,n-r; j=I,2.... ,n •...

vns= {XE V:Ji (X) = 0, i = 1, 2, . . . , n -r} .

Bar jedan minor matrice (1 5) reda n -r različit je od nule, npr. det

(

)

8Jj(X(0) ) . #O. 8xj i=I,2 ....,n-r; j=1.2.... ,n-r

(16) (17)

Pomoću Teorema o implicitnojfunkciji zaključujemo da postoji okolina (jeRr točke . ' dInstvene ' (xl(O)'X2(O), ... , Xr(O)) 10kOl 'ma (j ' e Rn-r tocvke (Xr(O+)I'X(rO+)2' ... , Xn(O) ) , te Je funkcije ({Jj: (j (j ' , ({JjE C(1)( (j) , j = 1, 2 , . . . , n -r , takve da je -+

_ x(kO) -({Jk-r (xI(O), x2(O), ... , Xr(O) ) , k -r +l , r +2 , . . . , n i za svako (XI, X2, '" , xr ) E (j , Ji (XI , X2, ..., X,, ({J l (XI, X2, ... , Xr), ... , ({Jn-r (XI, X2, ... , Xr )) = 0, i = 1 , 2, . . . , n -r. Dakle, ako je V dovoljno malo, skup S n V je zadan jednadžbama Xk = ({Jn-k (XI, X2, ... , Xr ) , (XI, X2, ... , xr ) E (j , k = r +1, r +2, . . . , n. Drugim riječima, skup S je glatka mnogostrukost; kažemo da je ona lokalno

jednadžbama

i = 1 , 2, . . . , n - r.

(18 )

(19) (20)

dana

(21 ) Vrijedi i obrat te činjenice, jer se npr. jednadžbe (3) mogu napisati u obliku (21 ) . Specijalno, skup S E Rn je glat ka hiperploha, ako i samo ako za svako x(O) E S postoje okolina VeRn i funkcija JE C(!) (V), tako da vrijedi 4 Ji(X) = 0,

(

)

8J(X(0) ) 8J(x(0) ) 8J(X(0) ) gradJ(x(O)) _ #0, , ... , ' 8Xl 8X2 vns = {XE V:J(x) = O}.

3

4

8Xn

U teoriji apstraktnih glatkih mnogostrukosti to svojstvo se postulira. Funkcija gradI(x) =

(�. �

•. . .•

�) zove

se

gradijent realne funkcije I .

28

2. LAPLACEOVA JEDNADŽBA

Kao primjer glatke hiperplohe razmotrimo sferu u ishodištu; to je skup

S" = Polusfera

Rl!

radiusa

{xE Rl! : xi + � + . . . + X; = l}.

1,

s centrom u

(22) (23)

(i = 1 , 2, . . . , n)

zadana je kartom

±(1 - xi - � - . .. Xi2- l Xi2+ l xi + . . . + xL + x7+t + . . . + X; < 1 .

Xi

=

_

_

..

.

_

2 /2

xn ) 1 ,

(24)

x

Budući da svaka točka E S" pripada bar jednoj polusferi (23), skup karti (24) je atlas sfere S" . S druge strane, već samo dvije karte, npr. st". i S; pokrivaju "gotovo ". cijelu" sferu S,, : ostaje nepokriven "zanemariv skup"

{ xE S" : xi + � + ... + X;-I = 1,

XI!

=

O} .

(25)

Taj skup j e (n - 2 ) -dimenzionalna mnogostrukost. U tom smislu sfera s e može po,:­ kriti čak s jednom kartom. Radi jednostavnosti razmotrimo slučaj n = 3 . Neka je (tt,cp) E n) x (0, Z1r ) i

(O,

h( tt,cp) =

(sin {tcas cp,sin tt sin cp, cos tt).

(26)

To preslikavanje je parametrizacija sfere S3 bez zanemarivog skupa - polumeridijana � tt � n, cp = (sl. 2.1 ) . Na taj način sfera S3 je do na zanemariv skup po­ krivena jednom kartom. U daljnjem pod zanemarivim skupom na r -dimenzionalnoj (r > mnogostrukosti S podrazumijevamo skup K e S koji je zatvarač (preciz­ nije S -zatvarač) mnogostrukosti dimenzije manje od r . Općenitije, skup K e S je

O

O

O)

zanemariv na S ako je njegov presjek s proizvoljnim kompaktom u Rl! konačna unija skupova od kojih je svaki S -zatvarač mnogostrukosti dimenzije manje od r .

Sl. 2.1.

O), .

Neka je S glatka r -dimenzionalna mnogostrukost (r > (tJ, h ) glatka karta oko točke X E S i q = h - 1 ( ) . za svako i = 1 , 2 , . . ,r postoji interval Ii E R takav da za ; E lj vrijedi ( Qt,Q2 " .. ,qi-l , ;,qi+ l ,...,q,) E (j, Funkcija; -+ h(ql,Q2,'" , Qi-h;,Qi+ l , .. . ,qr) , ; E h .je glatka krivulja, a zove se

x

29

2.1. INTEGRAL PO MNOGOSTRUKOSTI

qi -koordinatna linija ktoz točku x. Vektor ah(q) /aqi je tangencijalni vektor qi­ koordinatne linije u točki x. Prema uvjetu (ii) vektori ah( q) . ( 27 ) uJ;l q; ' l = 1 , 2, . . . , r su linearno neovisni; oni razapinju r -dimenzionalni podprostor TxS u RII, koji se zove tangen cijalni prostor mnogostrukosti S u točki x (sl. 2. 2). --

Sl. 2.2.

Pomoću svojstva ( 1 4) lako se pokazuje da tangen cijalni prostor ne ovisi o para­ Gramova matrica vektora5 ( 27 ) je h (q) . ah (q» . G(q) = aaq; ( 28) aqJ' ..IJ=I ,2,...,' Primijetimo da je 6

(

metrizaciji.

)

( 29 )

Pokazuje se da je

detG > O.

(30)

U slučaju hiperplohe vrijedi

2

ah } II

detG= L ;=1

ahI aqn_1 Vektori ( 27 ) određuju u prostoru TxS

{ � Ai ah(q) uq, L..J

-J;l .-

:

ah�_1 ohiH 0%-1

6

O�

Aj � 1, . = 1 , 2, . .. , r } . }

a. b označava skalarni produkt vektora a, b E Kn, a· b L:::aib;. T

=

označava transpoziciju matrice.

(31)

(kao bridovi) paralelotop

;=1 Volumen tog paralelotopa je broj D(q) = (detG(q»1/2. 5

ahil aqn-l

n

1=1

(3 2)

(33)

30

2. LAPLACEOVA JEDNADŽBA

Volumen paralelotopa kojeg (kao bridovi) određuju vektori . -8h(q) -(34 ) 8qi dqi , = 1,2,... , r zove se element r -dimenzionalne površine mnogostrukosti S i označava s dS: dS = D(q) dq = D(q) dql dq2 . .. dqr. (35) Neka je funkcija J : S - R neprekidna i ograničena. Ako je mnogostrukost S pokrivena jednom kartom h) , pri čemu je skup Rr ograničen, a funkcije h i 8h/ 8qj, j = 1,2, . . . , r ograničene na integral funkcije J po mnogostrukosti S definira se formulom (36) lt dS = L(J o h) (q)D(q) dq. l

((j,

(j,

(j e

((j,

Pokažimo da (36) ne ovisi o parametrizaciji. Neka je pored h) dana i (glatka) parametrizacija (U,h) i neka je «1> = h-lo h. Tada je h = ho «1>, pa lako dobivamo h' = (h'o «1»«1>'. (37 ) Zbog (29) imamo DCii) = ( det((h'(q)fh'(q)) ) 1/2 12 (38) = (det((h'o «1>f(q)(h' o «1»(q)) ) / .I det «1>'(q) 1 = (Do «1»(q) I det«1>'(q) 1 pa pomoću Teorema o zamjeni varijabli dobivamo h(J o h) (q) D(q) dq = h(J o ho «1»(q) (Do «1»(q) I det4>'(q)I dq '

(39 )

L(J o h) (q) D(q) dq. U općem slučaju integral definiramo pomoću dekompozicije jedinice. U daljnje� radi jednostavnosti pretpostavljamo da mnogostrukost S ima konačan atlas {( hi ) : i = 1,2, . . . , k} , pri čemu su skupovi Rl! ograničeni, a funkcije hi i 8hi/ 8qj, j = 1,2, . .. , r ograničene na Pokazuje se7 da postoje neprekidne funkcije ai : S - R, O � ai � 1, i = 1,2, . .. , k , takve da je nosač8 funkcije ai sadržan u S i = hi((ji ) i da je =

(ji.

k

L i =1

Uzimajući u obzir da je J(x) = 7

8

ai (X)

k

L j=!

(ji,

(ji e

=1

za svako x E S.

aj (x)J (x)

za svako x E S,

V. npr. L. Schwartz, Analyse MOIthematique l, Hermann, Paris, 1967. Nosač funkcije na S je S -zatvarač skupa na kome je ta funkcija različita od nule.

(40)

(4 1)

31

2.1. INTEGRAL PO MNOGOSTRUKOSTI

integral defini ramo formulom

r f dS = L l ai dS. ls ;:1 ls. k

(42)

Pokazuje se da (42) ne ovisi o atlasu i dekompoziciji. Ako je K e s zanemari v skup,

očigledno je

rf dS = r f dS. (43) ls lS\K Definicija (42) ostaje valjana za ograničenufunkciju f kojaje neprekidna svuda osim na zanemarivom skupu. Integral (42) ima obična svojstva integrala po otvorenom skupu u Rn. Specijalno,

ako je S unija (do na zanemariv skup) disjunktnih mnogostrukosti S1, Sz, ..., Sp onda je •

(44)

Integral (45) je r -dimenzionaina površi na mnogostrukosti S. Iz definicije neposredno slijedi da je r (46) S I l f dSl � sup s lfl·I I· s Ako je r = n, (35) je element volumena dV = dxl dx2 ... dxn u Rn; broj (45) je tada volumen otvorenog skupa S e Rn i jednak je integralu

1 dV 1

dxl dx2 ... dxn·

(47)

Ako je r = 1, (35) je element duljine kri vulje S i označava se obično s ds ; (45) je tada duljina kri vulje S. Ako je x h(q) , q E ( a, b) parametrizacija te krivulje, onda je ds lb I h'(q) 1 dq. (48) I SI

1

Ako je r = n - l , (45) je površina hfperplohe S. Neka je glatka karta te hiperplohe dana jednadžbom (49)

Radi se o parametrizaciji hi(X1,X2, ... ,Xn-l) hn(xJ,xz, ... ,xn-d

1, 2, ... , n -1 ; X i, cp(X"Xz, ... ,xn-d,

(50)

32

2. LAPLACEOVA JEDNADŽBA

pa imamo 1

O 1

O O

O

O

1

O h'

==

8fP 8fP

8xI 8X2

(5 1 )

8fP 8Xn_1

te matrice su (do na permutaciju dvaju redaka) trokutaste; Submatrice reda pomoću Binet-Cauchyjevog teorema dobivamo (uzimajući u obzir (29»

n-l

Koordinatni sustav svako q E 17:

(52 ) (17, h)

je ortogonaian, ako su vektori (27) orotogonalni za (53)

Tada je (54)

gdje je9

1

8h ( ) H; (q) = 8q.

�

I

==

(t ( It=t

8hlt(:) 8q.

))

2 1/2

Površina sfere. Izračunat ćemo površinu sfere S {x E Rn:xi +� + . ..� =R2} . Sfemi koordinatni sustav na R n \ {O} definiran je formulama lO XI h d8t , ... , 8n_., r) rsin 8n_1 sin 8n-2 sin €h sin 81, X2 h2(8t, ... , 8n-h r) rsin 8n-1 sin 8n-2 sin €h cos 8t, sin 8.J cos €h, X3 = h3(8., ... , 8n-1, r) rsin8n-1

(55 )

Primjer 1.1.

==

==

. • .

==

==

• • •

==

(56 )

. • •

(5 7 )

Xn-I = hn-t(8t, ... , 8n-hr) == rsin8n_t cos8n-2 , Xn = h" (8t, , 8n-1, r) == r COS 8n_t, r E (O, oo) , 81 E (0,2.n), €h, 8.J, .. . , 8n_1E (O, n) . • • •

X2

9 lal označava normu vektora a E Rn, lal = (a. a)I/2. 10 II slučaju = 3 koristimo oznake tp = � - 81 , n

=r sin il sin tp, Xl =rcos il.

(}

= 8:z, pa imamo XI = r sin ilcos tp ,

33

2.1. INTEGRAL PO MNOGOSTRUKOSTI

Za fiksirano r= R to preslikavanje je pararnetrizacija sfere.(56). Naime, iz (57) lako dobivamo formule xi+�+···+X; R2 cos OI= x2 (xi+�) -1/2, sin O}= X}(xi+�) -1/2 , (58) cos lh= x3(xi+�+�) -1/2,

,

cos On_I= xn(xi +�+.. . +X;)-1/2. Iz toga zaključujemo da je nepokriven skup {xE S : XI = O, X2 � O}, (59) koji je zanemariv. Submatrice reda n 1 matrice (h(.. ,R»' su (do na permutaciju dvaju redaka) trokutaste; pomoću Binet-Cauchyjevog teorema dobivamo det«h'(OI,. '" On_I,R»Th'(OI,"" On_I,R» (60) . n-2 Un-l smn-3 Un-2 .. .SIn n_ 2 = (Rn-l sm Vl ) , pa imamo dS -�- l dSn, (61) gdje je (62) dSn = sinn-2 0,,-1 sin,,-3 On-2 .. . sin lh dO,,_1 ... dlhdOI element površine jedinične sfere (22). Površina sfere (56) je (63) I SI = Rn-I ISnl, gdje je oO' r (.1< dSn IS" I = S. dS= Jr Jo Jo o (64) n-2 [:rc n-2 2 / r sinkO dO . = 2n II sink O dO = 2n II 2

-

Ll

J

•

Ll

)

( Jo

Jo

Vrijedi formula

•

k+1 ' r 1< 2 ) ( / 1 smk e de -_ ..fi -2- . 2 k +2 ' o r( •

-2-)

gdje je r oznaka za gama-funkciju, definiranu za t > O formulom II e-A At-IdA. ret) = Tako dobivamo

100

(65)

(66) (67)

II V. npr. H. Kraljević, S. Kurepa, Matematička analiza 4/1, Tehnička knjiga, Zagreb, 1986. Gama-funkcija je generalizacija faktorijela: vrijedi r(t + 1) tr(t) i za k E N, r(k + 1) k!. =

=

2. LAPLACEOVA JEDNADŽBA

34

Primjer 1.2.

Volumen kugle. Izračunat ćemo volumen kugle K = {x E R" : xi + � + . . . + x� < R2} .

(68)

Preslikavanje (57) je (do na zanemariv skup {O} )parametrizacija kugle (68) . Imamo

IKI = gdje je

i dV = lJ{ . . 1J{ 12Jt iR D(Ot,...,On-hr)dr dO\ ...dOn_h .

D(Ot, ... , On-l,r) = I dethl(OI,...,O,,-hr) I ·

(69)

(70)

Pomoću pravila za deriviranje determinante 12 lako provjeravamo da deth' (01, . ., On-l, r) ne ovisi o 01, pa možemo odmah staviti OI = O , što olakšava računanje. Dobivamo n-3 II II II · n-2 U,, II D(llUJ,"" Un-h (71 ) r) = rJI- l sm -l sm Un-2 ... sm U2, pa imamo .

•

IKI

[2Jt t Jo JI) JI) Jo = [R Jo J[s. dS, = r... r

•

,n-l sinn-2 On-l sinn-3 On- ... sin (h dr dOl ... dOn-l 2

,n-l dr

(72)

ili

IKI =

�n RnlSnl·

(73)

Primjedba 1.1. Kažemo da je r -dimenzionalna mnogostrukost povezana, ako nije unija dviju disjunktnih r -dimenzionalnih mnogostrukosti. Ako nije povezana, ona je (uz naše pretpostavke) Iwnačno povezana, tj. unija konačnog broja disjunkt­ nih povezanih r-dimenzionalnih mnogostrukosti (lwmponenta povezanosti). Realna funkcija je po dijelovima neprekidna na mnogostrulwsti S , ako je neprekidna svuda osim na nekom zanemarivom skupu K, na kome ima (konačan) limes po svakoj kom­ ponenti povezanosti skupa S \ K. Neprekidna funkcija na e RF je po dijelovima glatka (po dijelovima klase C( l » ), ako su joj derivacije po dijelovima neprekidne na Mnogostrulwst S je po dijelovima glatka, ako ima atlas ul sa ovim svojstvima:

(j

(j.

a) za svako h) E ul funkcija h je po dijelovima glatka (po dijelovima klase C( l » ) i u točkama neprekidnosi h' ima puni rang;

((j,

b) u točkama prekida limes matrice h' po proizvoljnoj komponenti povezanosti (na kojoj je hl neprekidno)ima puni rang.

Definicija integrala (42) ostaje nepromijenjena i uz pretpostavku da je mnogos­ tru/wst S po dijelovima glatka. 12 Derivacija determinante jednaka je sumi determinanti koje se jz originalne dobivaju deriviranjem po jednog stupc±(x'). (3) i (8) dobivamo

na r ± ,

1 INoh;!1

( 12) ( 13)

na r±.

Ako r \( r+ U r -) nije zanemariv skup n a r, onda j e n a tom skupu Vn Iz (9), (10) i ( 13) slijedi

=O

(sl. 2.5).

Sl. 2.5.

( 14) Ana10gan je dokaz za integral derivacije Primjedba 2.1.

rk (

uz

odgovarajuću pretpostavku (7)).

Formula (6) ostaje valjana i uz pretpostavku da je hiperploha

r po dijelovima glatkil. Vanjska normala je tada definirana svuda osim na nekom

zanemarivom skupu i po dijelovima je neprekidna. Ako je a vektorsko polje 1 5 , onda se funkcija . d lv a

zove divergencija polja lS

a.

Polje je sinonim za funkciju.

aaj L...J ­ =� a i

i",l X Iz Gaussove formule neposredno slijede ovi teoremi.

( 15)

2. LAPLACEOVA JEDNADŽBA

38 Teorem 2.2. (o divergenciji) Ako je a

E

(C(Jl ( a) Y' onda je

10 a V j div d =

Teorem2.3. (o gradijentu) Ako je

10

f

E

a· vdS.

( 16)

COl( a) , onda je 16

gradfdV =

j f dS

V .

(17)

Pomoću formule ( 16) izračunat ćemo divergenciju vektorskog polja u općim or ­ togona nim i koordinatama.

f {Vb S 6 +O} familija okolina to čke XO na S, sa svojstvom lim b_O d(Vb) = O. Teorem 2.4. (o lokalizaciji) Neka je funkcija

mnogostrukosti S i neka je

e

:

:

S

-+

R neprekidna na g latkoj

-+

17

( 1 8)

Tada je

( 19) Dokaz. Integracijom jednakosti

f(xO) =f(x)+f(xO) - f(x) po Vb dobivamo JV/jlf(xO) =l/(X) dS+ 1. (t (XO) -f(x)) dS.

(20) (21)

Iz toga slijedi

(22) V(xO) - '�b,l. f(x) dvl � '�/j,l.lf(XO) -f(x)1 dS. Neka je e > O i > O takvo da 6 < povlači lf(xO) - f(x) 1 < e za svako x V/j. Tada za 6 < imamo 60

60

60

E

(23)

n R XO t qO h- (xO).

Q.E.D. Neka je vektorska funkcija a neprekidno diferencijabilna u okolini točke (tj. ai E C(tl, i 1 ,2 , .'" n ), ( O', h) ortogonalan sustav na toj okolini i Neka je P{) kocka u o' s bridom > i s centrom u : P

6 O /j= (ql-Z6,qt+Z6) °

°

X ''' X

qO (oqn-z6,qn+26) °

E

(24)

16 Integral vektorske funkcije definiran je kao vektor kome su komponente (u kanonskoj bazi) integrali kom�nenata. 1 d(V) je dijametar skupa VeR", d(V) sup lx YI ==

x,rEV

2.2. TEOREM o DIVERGENCIJI

39

V6 = hep,, ) je okolina točke XO Prema ( 19) vrijedi 18: (div a o h)(qO) = (diva)(xO) = lim l vI" I iV6f div a(x)dV ili. zbog ( 16). f a . vdS. (diva o h)(qO) = lim l vI" I ifJV6 Skup

•

(25)

6-+0

(26)

6-+0

Uzimajući u obzir ( 1.54) dobivamo

(27) 1 V61 = iPAf (H1H2· · . Hil)(q)dq, lVb a ' v dS = t li=qr ( HlHz " . Hi- tH;+t . . . Hn (a o h)qJ (ql , q2 , ' ' ' ' q;- t . qf +%, q + h '" ,qn) (HlHz · "Hi-1Hi+1 . . ·Hn (a o h)qi ) (2 8) ( qt , qz, . . . , qi- ll qf - % , qi+h ' . . , qll » ) dql , ' . ,dqi_ l, dqi+ l, . . , dqll ' gdje je (a o h )q; komponenta vektora (a o h ) u smjeru vektora (29) eqi = H1i aahq; ' Iz (27) i (2 8) dobivamo I V" I = (H1H2 · · · Hn)(;đ ) · on , (30) n1 a aoh aql, (H1H2 , , ·Hi- 1 Hi+ I , , ·Hn( )qi)(;t) l8V6 a ' dS = L ;=1 2 ( (3 1 ) +: ; (HI H2 . . . H;- IHi+ l . . . Hn (a o h )q;)(;ć ») . o n , q gdje su ;Il , ;t i ;ć neke točke područja Pil . Uvrštavajući (30) i (31) u (26) i uzimajući u obzir da ;",;t,;ć kad o O, dobivamo formulu n diva oh = HH, 21' " H " f::: qi (H,H2 · "Hi- 1 (a oh)q,Hi+ I · · ·Hn) . (32) Neka je realna funkcija U neprekidno diferencijabilna u okolini točke x" Rn . Imamo (grad oh)qi (qO) = (grad uoh)(qO)·eqi(qO) = (grad uoh)(qO)' H; (1q 0,

Iz (4) tada slijedi

x

E

O.

grad a (x) = 0,

tj .

a

const.

(7) (8)

(9)

Izotropnost je ekvivalentna pretpostavci ( 1 0) 1jJ(x, k) = ak; specijalno, za x E 80 imamo 1jJ(x, v(x» = av(x). (11) Prema tome, ako j e membrana izotropno napeta, kontaktna sila na rubu (kojom se realizira napetost) okomita je na rub i modul joj je konstanta (jednaka napetosti a ). Razmotrimo sada longitudinalno i izotropno napetu membranu, podvrgnutu dje­ lovanju poprečne (transverzalne) vanjske sile. Pretpostavit ćemo da je ta sila slaba, tj. mala u poređenju s napetosti. Pod utjecajem te sile membrana se slabo (malo) deformira. Točka x E O prijeđe deformacijom u točku P(x) = (x, u(x») E R3 , gdje je u(x) progib točke x . Progib je mali u smislu I grad u(x) I « 1 za svako x E O,

( 12)

iz čega (analogno kao kod žice) zaključujemo da je lu(x) I « diamO. (13) Zaključujemo također da mali progib ne uzrokuje istezanje membrane. Označimo s p(x, k) , x E O , k e Sz , kontaktnu silu u deformiranoj membrani, a s q(x, k) njenu poprečnu komponentu (poprečnu kontaktnu silu). Neka je cp gustoća vanjske poprečne površinske sile koja djeluje na membranu. Iz zakona ravnoteže za svaki dio D e O dobivamo Neka je

J8D

q(x, v(x»

ds +

10 q>(x) dS = O.

a = [a;]i=I,2 , al(x) = q(x, ei ) .

Prema Teoremu 3.3 zaključujemo da u O vrijedi div a + cp = O, q(x, k) = a(x) . k, k E Sz .

( 14) (15) ( 16) ( 1 7)

48

2. LAPLACEOVA JEDNADŽBA

Analogno slučaju žice, zbog malosti deformacije valjana je ova pretpostavka: kontakt­ na sila p(x, k) je po modulu jednaka napetosti a i paralelna tangencijalnom vektoru membrane u u točki P(x) , u poprečnoj ravnini određenoj vektorom k (sl. 2.10). Iz toga slijedi

q(x) . - . . .___=--...:.. P(x) .

u(x) x X,

k

Sl. 2.10.

x) = a grad u (x)

a(

( 18)

.

Uvrštavajući to u ( 16) dobivamo za progib jednadžbu ravnoteže ( 19) - Au = f u O, gdje smo stavili cp I a f . Jednadžba ( 19) zove se Laplaceova (taj naziv se nekad koristi za homogenu jed­ nadžbu, tj. slučaj f = O, dok se u slučaju f =/: O jednadžba zove POissonova). Jednadžba ( 19) j e parcijalna (funkcija U se javlja pod znakom parcijalne derivacije ) , 2. reda i linearna. Isti nazivi ostaju i za slučaj kad je SJ e Jednadžbe ( 14), ( 16) i ( 17) zajedničke su za sve ravnotežne procese u materijalnom tijelu (kontinuumu); procesi se razlikuju samo po kinematičkom (geometrijskom) polju u koje se promatra i po interpretaciji dinamičkih polja q ili a i cp . Jednadžba koja daje vezu dinamičkog polja a i kinematičkog polja u je zakon ponašaIjl a u danom procesu. Taj zakon ima oblik ( 18) za sve linearne ili linearizirane modele u kojima se pretpostavlja da je proces slaba (mala) perturbacija nekog neperturbiranog stanja. Prema tome, uz neke pretpostavke o izotropnosti, /cinematičkopolje stacionarnog linearnog (lineariziranog) procesa zadovoljava Laplaceovu jednadžbu. Ovdje je riječ o skalarnim procesima, u kojima su polja q, cp i u skalame (realne) funkcije. Međutim, po vanjskom obliku jednadžbe ( 14), ( 16) i ( 17) vrijede i za vektorske procese (v. Zadatak 3.1).

Rn .

Provođenje topline. U ovom slučaju geometrijsko polje je tempe­ je gustoća površinskog fluksa topline, tj. toplina koja se (u jedinici vremena) prenosi s pozitivne na negativnu stranu jedinične površine orijentirane je­ diničnim vektorom k ; cp je gustoća volumnog fluksa topline, tj. toplina koja se (u jedinici vremena) prenosi na jedinicu volumena tijela. Jednadžba ( 14) je zakon topli­ nske ravnoteže , dok je (18) Fourierov zakon; a je koeficijent provođenja topline. Primjer 4.1.

ratura u ; q(x, k)

Primjer 4.2. Difuzija. Geometrijsko polje je koncentracija u jedne komponente u smjesi dva fluida, tj. kvocjent mase promatrane komponente u jedinici volumena smjese i gustoće mase smjese; q odn. cp je gustoća površinskog odn. volumnog fluksa

49

2.4. RAVNOTEŽA NAPETE MEMBRANE

mase komponente. Jednadžba ( 14) je zakon održanja mase komponente, ( 1 8) je zakon difuzije, a je koeficijent difuzije.

Primjer 4.3. Potencijalni tok inkompresibilnogfluida. Polje q odn. cp je gustoća površinskog odn. volumnog20 fluksa mase fluida. Jednadžba ( 1 4) je zakon održanja mase fluida. Vektorsko polje a (20) v = --,

g

g

gdje je = const gustoća mase, zove se brzina fluida. Prema ( 16) brzina zadovoljava jednadžbu kontinuiteta (21) div v = cp.

g

Potencijalnost gibanja označava da brzina ima potencijal u , tj. da je (22) v = grad u. (Ta jednadžba je analogon zakona ponašanja ( 18)). Iz (2 1) i (22) za potencijal do­ bivamo Laplaceovu jednadžbu ( 19), gdje je t = - cp / g . Ako u području toka nema izvora, potencijal zadovoljava homogenu Laplaceovu jednadžbu (23) Au = o . Primjer 4.4. Tokfluida kroz poroznu sredinu. I u ovom slučaju vrijede jednadžbe (20) i (21). Geometrijsko polje je pritisak fluida p . Umjesto (22) imamo Darcyjev

zakon

K

g

v = - ( g - gradp) . tJ.

(24)

Ovdje je g volumna sila po jedinici mase fluida (npr. ubrzanje teže); konstanta tJ. odn. K je viskoznost fluida odn. permeabilnost porozne sredine. Ako je polje g potencijalno, tj. g = - grad i ako stavimo K (25) u = - Ii + p) ,

V

(gV

imamo jednadžbe kao u prethodnom slučaju.

Primjer 4.5. Potencijalno elektrostatičko polje. Polje q odn. cp je gustoća povr­ šinskog odn. volumnog fluksa električnog naboja. Jednadžba ( 14) je zakon održanja naboja. Vektorsko polje E = -4Jta ( 26)

zove se električno polje. Prema ( 1 6) polje E zadovoljava jednadžbu div E = 4Jtcp. (27) Potencijalnost označava da polje E ima potencijal u , tj. da je E = - grad u. ( 28) To je u ovom modelu zakon ponašanja. Za potencijal u imamo jednadžbu ( 1 9), t = 4Jtcp . 20

Gustoća-volumnog f1uksa mase zove se nekad intenzitet izvora.

2. LAPLACEOVA JEDNADŽBA

50

Primjer 4.6. Eliptička jednadžba. Ako proces u području 'l e Rn nije homogen i izotropan, umjesto ( 18) imamo opći linearni zakon ponašanja (29) o(x) == a (x) grad u(x) ,

gdje je

a(x)

matrica ( a = const ako je tijelo homogeno); u komponentama je . Oj (X) =

Umjesto (7) imamo uvjet ili

aij (x) !:. t j=

J

l

i= 1

,

2, ... , n.

a(x)k . k > O,

n

L a;j(x)k;kj > O

iJ=l

'

za \Ix E

O, k E Rn , k :/= O.

(30)

(31)

(32)

U svakom konkretnom slučaju taj uvjet ima jednostavnu interpretaciju. Npr., u slučaju provođenja on znači da toplina prelazi s toplijeg na hladnije tijelo. Umjesto ( 19) imamo jednadžbu (33) - div(a (x) grad u (x» = qJ(x) , ili (34) Uvjet (31) znači da je jednadžba (33) eliptička. Općenitija eliptička jednadžba je (35) - div(a (x) grad u (x» + b(x) u(x) = qJ(x). Npr. takvu jednadžbu zadovoljava ravnotežni progib napete membrane, koja se nalazi u nekom sredstvu. Član - b(x) u(x) predstavlja gustoću površinske sile kojom sredstvo djeluje na membranu, b(x) > O je koeficijent elastičnosti sredstva. Ako je tijelo homogeno, a i b su konstante.

Primjer 4.7. Ravnoteža elastičnog tijela. Ako na elastično tijelo O e R3 ne djeluje vanjska sila, ono se nalazi u tzv. prirodnom ili nedeformiranom stanju. Pod utjecajem slabe vanjske sile ono se malo deformira. Točka x E Q prijeđe u položaj P(x) ; vektor u(x) = P(x) - x je pomak točke x . Neka je q(x, k) odn. qJ(x) gustoća površinske odn. volumne sile. Iz zakona ravnoteže sUa slijedi da za svako D C C O vrijedi

[ q(x,

JaD

x»

v(

dS + JD[ qJ(x) dV = O.

(36)

Iz toga dobivamo (v. Zadatak 3.1) div o + qJ = 0,

(37)

gdje je (38)

2.5.

51

RUBNI PROBLEMI

tenzor 21 naprezanja. Zakon r:avnoteže momenata zahtijeva da je i u/cu,pni moment (u odnosu na pol O ) sila koje djeluju na proizvoljni dio D c c O jednak nuli. Prema tome imamo (39) [x, q(x, v(x» ] + [x, lP(x)] dV = O.

/00

ln

dS

(38) iz toga lako dobivamo da je matrica a(x) simetrična: a;j (x) = ap (x) , i,j = 1 , 2, 3. (40) Linearni zalwn ponašanja (Hookeov zalwn) je neposredna generalizacija zakona (30): 3 aUk . 1 (41) l ,] = , 2 , 3 alj '" L..... aljki 8. Xl k ,/=1 Pretpostavljat ćemo da je tijelo homogeno; tada su koeficijenti elastičnosti aljki kons­ tante. Svojstvo (40) i pretpostavka izotropnosti materijala reduciraju broj koeficijenata elastičnosti od 81 na dva 22 : to su Lameovi Iweficijenti A i 1' ; zakon (41) glasi Uzimajući u obzir (37) i

'

.

.

3

alj 21.tEjj + A Olj L Eu , i, j = 1, 2, 3, n=1

gdje je

1 Elj = -2

, i,j = 1 , 2, 3

tenzor deformacije. Za koeficijente A Uvrštavajući (42) u gdje je

(37)

i

l'

(43)

vrijedi

A > O , I.t > O. dobivamo Lameovu jednadžbu za ravnotežni pomak: - (A + ll) grad div u - I.t� = lP , 3

�=

(42)

L Auj . ej. 1=1

(44) (45) (46)

Kao i u slučaju napete žice, uz zadanu napetost i gustoću površinske sile jednadž­ ba ravnoteže membrane (4.19) ima beskonačno mnogo rješenja u području O . Nas će zanimati rješenje kojim je opisan ravnotežni progib uz zadani režim na rubu; taj režim se opisuje rubnim uvjetom. Ako je na rubu zadan progib membrane, imamo

Dirichletov uvjet 21

22

Tenzo,. je

u=g

na r =

drugi naziv za linearni operator (matricu).

ao,

V. npr. M. E. Gurtin, An Introduction to Continuum Mechanics, Academic Press, New York, 1 981.

(1)

2. LAPLACEOVA JEDNADŽBA

52

gdje je g zadana funkcija na r ; npr., ako je membrana učvršćena na rubu, onda je g =

O.

Ako je na rubu zadana gustoća transverzalne kontaktne (linijske) sile, onda

imamo Neumannov uvjet

(2)

q(x, v(x)) = X(x) , x E r ili, zbog (4.17) na

a· v = X

(3 )

r,

gdje je X zadana funkcija na r ; npr., ako je membrana slobodna na rubu, onda je X =

O.

Uzimajući u obzir

(4.18), pišemo Neumannov uvjet u obliku

ili

a grad u . v = X,

(4)

{Ju - = h {Jv

(5)

na

r,

gdje smo stavili h = XI a . Mješoviti uvjet g1asi u = g na r1 ,

{Ju {Jv

(6)

= h na r2,

gdje su rh r2 e r hiperplohe, rl n r2 = 0 i

I't u r2

učvršćen odn. slobodan, onda je g = h =

Ako na rub pored zadane transverzalne

O.

= r ; ako je na rl odn. r2 rub

sile gustoće X djeluje i elastična sila s koefieijentom elastičnosti �(x) �

O

(�

=I- O) ,

imamo Robinov uvjet

q(x, v(x)) = X(x) - �(x) u(x) , x E r,

(7)

{Ju - +cu = h na r ' {Jv

(8)

ili

gdje smo stavili c = �/a . Primijetimo da su rubni uvjeti

(1), (5), (6) i (8)

linearni.

Neka je tijelo O sastavljeno od dva područja 0 ( 1) i 0(2) sa zajedničkom granicom (sl. 2. 11). Neka je u O(i} koeficijent provođenja topline jednak ai , a temperatura

ro Ui (i =

1, 2) .

Imamo jednadžbe

Sl. 2. 11.

( 9)

S3

2.5. RUBNI PROBLEMI

Pretpostavit ćemo da je temperatura neprekidna na ro , tj. Ul = U2 na ro .

( 10)

Iz principa toplinske ravnoteže neposredno slijedi da je aU ( 1 1) al aUl = a2 2 na rl). v av a Jednakosti ( 10) i ( 1 1 ) su uvjeti transmisije; oni su također lineami. Pored ( 10) i ( 1 1) imamo, naravno, i rubne uvjete na rl i r2 . Određivanje rješenja utplaceove jednadžbe koje zadovoljava neki od rubnih uvjeta zove se rubni problem (Dirichietov , Neumannov, itd.). Formulacija rubnog problema diktira pretpostavke o glatkoći (regularnosti) rješenja, tj. o klasi funkcija u kojoj se rješenje traži. za zadane funkcije f , g, c i h pretpostavljamo da su neprekidne. Tada je za Dirichletov problem prirodna klasa C(2) (Q) n C(Q) . za Neumannov problem mogla bi se uzeti klasa C(2) (Q) n c( l ) (Q) ali, kako se pokazuje, ta klasa je preuska. Razlog je u činjenici da uvjet (5) ne Zahtijeva postojanje svih derivacija funkcije u u točki x E r , već samo derivacije u smjeru normale, tj. limesa lim (grad u(x') . v(x) ) . ( 12) xl_x

Pokazuje se, međutim, da i takva interpretacija nije dovoljno općenita. Zato ćemo pretpostavljati postojanje limesa ( 12) samo po normali u točki x , tj. limesa lim

x' _.'!' x' e {x-J.v(x),J.>O}

(grad u (x' ) · v(x)).

(13 )

Da bi osigurali neprekidnost te funkcije na r , pretpostavljat ćemo da je konvergencija ( 13) uniformna po x E r . Tim zahtjevom definirana je klasa funkcija N(Q) koje imaju regularnu normalnu derivaciju na r . Rješenje Neumannovog problema tražimo u klasi C(2) (Q) n N(Q) . Uz gornje pretpostavke govorimo o klasičnim rješenjima rubnih problema. Kao i u slučaju obične diferencijalne jednadžbe, prvi korak u teoriji rubnih prob­ lema su teoremi jedinstvenosti rješenja. Lema 5.1.

Zajunkcije u, v E C(2) (Q) vrijedi 1. Greenovaformula

i Au . v = j ;: vdS i -

dV

Dokaz.

grad u . grad v dv.

Parcijalnom integracijom dobivamo [ a 2u vdV = [ � au v dV Ja ax'l Ja ax; aXi

( )

[ au

av Vo d Ja ax; ax; Na prvi član desne strane primijenimo Gaussovu formulu: _

( ) = Jr[ au

[ � au v Ja ax; ax;

dV

ax;

VVj

dS.

( 14 )

(15 ) ( 16)

2. LAPLACEOVA JEDNADŽBA

54 Iz

( 15) i (16)

slijedi

Ic Au · v d V JO

L JIOc 8x�

i=l

( 14).

O.B.D.

v dV

r

i ou L n

==

a iz toga

82

n

==

r 8x;

V'Vi

-

;=!

odn. v

Stavljajući u

(14) v = 1

Korolar 5.2.

Za funkciju u E C (2l (Q)

1

-

-

u

Korolar 5.3. Za junkcije .

v

u,

-

O

- dV,

vrijede jednaJwsti

1 1 grad u l 2

Zamjenjujući u ( 14) funkciju nakost od ( 14), dobivamo

i=l

( 17)

u , dobivamo ovaj

I Au dV = ( 8u 10 1r 8v

Au · u dV +

I (Au l",

==

dS

OV L" l o°Ux; OXj dS,

d V :=

( 18)

l :: u

dS.

(19)

s v i obratno, i oduzimajući tako dobivenu jed­

v E C(2l (Q) vrijedi 2. Greenova!ormula

A . u) d V = v

1(

8u

Jr ov

v v- o

8v

u) dS.

(20)

Ako za rješenje rubnog problema pretpostavimo nešto veću regularnost nego u originalnoj postavci, pomoću jednakosti ( 19) lako dokazujemo njegovu jedinstvenost.

Teorem 5.4. Dirichletov problem

ima najviše jedno rješenje Dokaz. Neka su vrijedi

-Au :::: ! u Q,

(21 )

u = g na r

(22)

u E C(2) (Q) .

ul , u2 E C(2l (Q) rješenj a i nekaje Aw

==

w =

Jednakost

( 19) za funkciju

w

W ==

Ul -UZ '

Zbog l inearnosti

O u O,

(23)

O na r.

(24)

glasi

lo

(grad w)2 dV

==

O.

Iz toga slijedi da je grad w = O u Q , tj . aw/ 8x; = O u O , i = tome je w = const. Zbog (24) je w = O , tj .

Ut Uz.

(25) =

1 , 2,

. . .

, n .

Prema

5S

2.5. RUBNI PROBLEMI

Ako Neumannov problem l:1u =J u Q, Bu = na r Bv h ima rješenje u E C(2) (Q), onda je Teorem S.S.

(26)

-

laj

dV +

(27)

i h dS = O.

(28)

Svaka takva dva rješenja problema (26), (27) razlikuju se za konstantu. Dokaz. Uvjet (28) slijedi neposredno iz formule (18). Neka su U t , u2 rješenja i neka je w = ul U2 ' Imamo

E

C(2)(Q)

-

I:1w = O u Q, Bw

(29)

= O na r.

(30)

Jednakost ( 19) za funkciju w i ovog puta ima oblik (25), pa je w = const, tj. Ut const. O.E.D. Interpretacija nužnog uvjeta ravnoteže (egzistencije rješenja Neumannovog rub­ nog problema) (28) je jednostavna: tvrdi se da je rezultantno djelovanje na tijelo Q jednako nuli. Ta činjenica je sadržana i u zakonu ravnoteže. Teorem jedinstvenosti za Dirichletov problem u klasi C(2) (Q) n C( Q) dokazat će­ mo u točki 7 nakon što ustanovimo neka važna svojstva rješenja Laplaceove jednadžbe. Neumannov problem u klasi C(2) (Q) n N( Q) razmotrit ćemo u točki 15. Proučavajući rubne probleme za običnu diferencijalnu jednadžbu, poslije teorema jedinstvenosti dokazali smo egzistenciju rješenja i korektnost problema. U slučaju Laplaceove jednadžbe (kao i drugih parcijalnih diferencijainih jednadžbi) pitanja eg­ zistencije i korektnosti su mnogo teža i zahtijevaju kompliciranija sredstva; tome je posvećena točka 15. Za neka specijalna područja rubni problemi se mogu riješiti analitički (točke 9-13). U konkretnim slučajevima vrlo je korisno pomoću plauzibilnih pretpostavki pojed­ nostavniti formulaciju rubnog problema. Primjeri su nižedimenzionalne aproksimacije (modeli) procesa u tankom području. Jednostavan slučaj je skalami proces u cilindru Q gdje je Q e R2 područje. Neka je visina cilindra mala « diam Q ) i neka je n� bazama Q iQx zadan Neumannov uvjet; neka je na BQ zadan npr. Dirichletov uvjet. Imamo problem -

U2 =

x (O, h) ,

x {O}

(h

{h}

- l:1u = J u Q x (O, h), u = g na BQ x [O,h], Bu

8 X3

= h - na Q x {O} ,

Bu

= h+ na Q x {h} .

x [O, hl (3 1 )

(32) (33)

2.

56

UPLACEOVA JEDNADŽBA

Integrirajući jednadžbe (31 ) i (32) po visini cilindra i uzimajući u obzir (33), dobivamo -

t !: JIho U(Xt , X2 , X3) dx3 = JIho ! (Xt , X2,X3) dx3 + h+(Xt , X2) 1=1

,

- h-(Xt , xz), (Xt , X2) E 0,

lh U(Xl , X2 , X3 ) dx3 = lh g(XJ , XZ , X3 ) dx3 , (XI , X2) E a�.

(34)

(35)

Zbog neprekidnosti rješenje se po visini malo mijenja. Zato ćemo za dvodimenzional­ nu aproksimaciju rješenja problema (31)-(33) proglasiti funkciju %' koja ne 'ovisi o varijabli X3 i koja zadovoljava jednakosti (34) i (35); za %' imamo problem 2 a2 %, ' = F u 0, (36) Bxt

- tt %'

=

G na BO,

(37)

gdje smo stavili F(Xt , X2) =

� (lh! (X1 ,X2 , X3 ) dx3 + h+(XJ , X2) - h- (Xh X2») , (Xt , X2) E 0,

(38)

(39 ) Tako smo trodimenzionalni problem (31)-(33) u tankom sloju reducirali na dvo­ dimenzionalni (36), (37). Primijetimo da je definicija aproksimativnog rješenja u kontradikciji s lokalnim (diferencijalnim) Zakonom (avnoteže, tj. s jednadžbom (31). Jednadžba (34) osigurava zadovoljavanje zakona ravnoteže samo za komade oblika cl) x (O, h), cl) C O ; to je u ovom slučaju smisao aproksimacije. Zadatak S.l. Formulirajte i dokažite teoreme jedinstvenosti u klasi C(2)(O) za

a) mješoviti, b) Robinov i e) transmisijski problem. Rješenje. a) Problem ima najviše jedno rješenje. Dokaz je isti kao u Teoremu 1. b) Problem ima najviše jedno rješenje. Dokaz. Zbog uvjeta � = -cw formula (19) za funkciju w glasi

I I grad wl2 dV + Ir CMl- dS = O.

(40)

Iz toga slijedi (zbog pretpostavke c � O ) da je grad w = O u 0 , tj. w = const. Iz neprekidnosti i pretpostavke e ::/= O slijedi da je e > O bar na nekom otvorenom skupu r t C r ; iz (40) slijedi w = O na rl . pa dobivamo w = O . e) Neka je, npr., Ul = O na rl , i= 1,2; tada problem ima najviše jedno rješenje. Dokaz. Ako su (� , r4) , j = 1, 2 rješenja i Wj = uf - ut , i = 1 , 2 , imamo Aw, = O u Qi, (41) W;

= O na C,

(42)

57

2.5. RUBNI PROBLEMI

(43) OW2 ow! a l ov = a2 ov na ro.

(44)

Primijenjujući na Wl i W2 formulu ( 19), dobivamo Wl ! grad wl ! 2 dV = v Wl dS,

f i

Cz

f�

�

�,

! grad W2 ! 2 dV = -

(45)

°W2 18 w2 dS. ro

v

(46)

Množeći (45) s a, a (46) s a2 i uzimajući u obzir (43) i (44), nakon zbrajanja dobivamo I grad w2 1 2 dV = O. al ! grad wl l 2 dV + a2 (47)

f

�,

Iz toga slijedi Wl = W2

f

�

O.

Zadatak 5.2. Formulirajte Dirichletov, Neumannov i mješoviti uvjet i dokažite teoreme jedinstvenosti (u klasi e(2l (Q) ) za eliptičku jednadžbu (4.38 ) . Rješenje. Pretpostavljamo da je aij E Cl (Q) , b E C( Q) , b � O . Dirichletov, Neumannov odn. mješoviti uvjet glase respektivno ovako: (48) u = g na r, v a grad u . = X na r, (49)

u, v E div(a grad u) . v dV =

za funkcije

la

i njene posljedice:

1 a grad u

. V·

v dS -

la

a grad u . grad v dV

1 div(a grad. u) dV = 1 a grad u . dS, 1 div(a grad u)u dV + la a grad u · grad u dV = 1 a grad u · r

Q

Ako su U" U2

(50)

u = g na ri , a grad u · v = x na r2 . 2 e( l (Q) imamo 1. Greenovuformulu

E

v

(5 1 )

(52) v·

u dS.

(53 )

e2 (Q) rješenja i W = Ul - U2 , formula (53 ) za funkciju W glasi

Iz toga dobivamo

la

bw1 dV +

la

a grad w . grad w dV

a grad W · grad w = O u Q, bw2 = O u Q.

O.

(54 )

(55)

( 56)

Iz (55) i (4.31 ) slijedi grad w = O ili w = const. Ako je uvjet Dirichletov ili mješoviti, zaključujemo da je w = O , tj. da problem ima najviše jedno rješenje. Zbog (56) isti

2. LAPLACEOVA JEDNADŽBA

58 je zaključak i za Neumannov problem u slučaju nužni uvjet

b i= O ; ako j e b = O , iz (52) slijedi

lo cp dV + l xdS

==

(57)

O,

a svaka dva rješenja se razlikuju za konstantu.

Zadatak 5.3. Formulirajte Dirichletov, Neumannov i mješoviti uvjet i dokažite 2 teoreme jedinstvenosti u klasi (C( ) (0) )3 za Lameovu jednadžbu (4.45).

Rješenje.

Dirichletov, Neumannov i mješoviti uvjet glase respektivno ovako:

uav

= g na r,

== X na r, ' = X na r2 . == g na r l ,

av u a Eij(U) ( BU;BXJ + BUJBXi ) aij{u) A. j u + 2Ileij(U) , i,j u, v L tlu + (A. + l ) vdV L div a(u) 1r a(u)v. vdS - iLj= 1 1.o aij(u) Bt/i a � aj u) Bv; Bv;Bx' +Oji(U) BVjBx) (a u) i C j / C Z x B , ij=1 jj=1 = � aiJCu) Z ( BVBXji + BBv.� ) � O';j(u) Ej (V) A. u v + Eij(U) Eij(v). Greenovu formulu r tlu + (A.. + ll) u) . v Jrr a(u)v· v dS Jo - 1,o (A. v + iL./=l Eij(U)E;j(V)) u r (Iltlu + (A. + ll) u) = Jrr a(u)v dS, Jo . dana je formulama (4.42) i (4.43) . Imamo

Matrična funkcija

_

-

=

Za

E

Di div

1 2

'

1 , 2, 3.

(58) (59) ( 60)

(61) (62)

(C(2}(0))3 lako dobivamo

( Il

grad div u)

. v dV

.

3

==

x,

Zbog simetrije tenzora �

.

L..J

(Il

(63)

imamo

� J

= L..J

J

Iz (63) i (64) dobivamo 1.

dVo

1

J

3

"=

l

=

1

div

.

div

21l

(64)

21l

dV =

grad div

div u · div

3

3

dVo

Stavljajući 11 = ( 1 , O, O) , (0, 1 , O) , (O, 0, 1) , odn. II = grad div

dV

(65)

dobivamo

(66)

2.5. RUBNI PROBLEMI

59

Jr (ll�u + (A + Il) grad div u) . u dV = 1. (A(diV U)2 + 2Il lJ=tl fB(U)) dV (67) Q

Q

Neka su u ( 1 ) i u(2) rješenja i w = u(1) - u(2) . Pomoću formule (67) za funkciju w , zaključujemo da je (68) fiiw) = O , i,j = 1, 2, 3, ili

(69)

aW1 aW2 + aX2 aX1

Iz toga lako dobivamo

=

aW2 aW3 aW3 aW1 = = + + aX3 aX2 aX1 aX3

O.

(70)

a2W3 a2W2 a2W2 a2W3 a2W1 a2W1 O a� - ax� - a� - ax� - axT - ax� - .

(71)

W1 (x) = a1 + b2X3 - b3X2,

(72)

_

Iz (70) i (71) slijedi

_

_

_

W2(X) = a2 + b3X1 - b1X3 , W3(X) = a3 + b1X2 - b2X1 ,

_

_

(73)

(74)

gdje su ai i bi konstante. Stavljajući a = (a 1 , a2, a3) i b = (b1 , b2, b3) imamo (75) w(x) = a + [b, x] . Funkcija oblika (75) zove se mali krutipomak. Ako je uvjet Dirichletov odn. mješoviti, imamo W = O na r odn. r1 , a iz toga i (75) slijedi a = b = O tj. W = O ; dakle, problem ima najviše jedno rješenje. Ako je uvjet Neumannov, iz (66) slijedi nužni uvjet { cp dV + X dS = O, (76)

J

Q

l

'

r

a svaka dva rješenja razlikuju se za mali kruti pomak.

Izvedite jednodimenzionalni model skalarnog procesa u tankom g x (O, l) , g e R2 , malog poprečnog presjeka (diam g «: 1 ), ako je na omotaču zadan Neumannov, a na bazama npr. Dirichletov uvjet. Rješenje. Imamo problem - �u = f u g x (O, l), (77) + (78) u = g- na g x {O} , u = g na g x {l}, Zadatak 5.4.

štapu, tj . u cilindru

au = na ag ov

h

x

(0, 1) .

(79 )

2. LAPLACEOVA JEDNADŽBA

60

Iz (77)-(79) slijedi

:32 JQf U(X"X2, X3 ) dxl dx2 = 1Q f(X" X2 , X3 ) dxl dx2

J8Q l U(XI , X2, O) dxl dx2 = l g-(Xl , X2) dxl dx2, l U(XI ,X2 ' l) dxl dx2 l g+ (XI ,X2) dxl dx2 ·

h(XI , X2 , X3 ) dxl dx2 ,

+

=

(80)

(81) (82)

Jednodimenzionalna aproksimacija rješenja problema (77)-(79) je funkcija 0/1

koja ne ovisi o varijablama Xl i X2 i koja zadovoljava jednakosti (80)-(82); za 0/1 imamo problem -0/1" = F na (O, I), (83) 0/1 (0) =

gdje smo stavili

F(X3 ) G-

=

G- , 0/1 (/) = G+ ,

(84)

I�I (l f(Xl , X2 , X3) dxl dx2 + J8Q h(XJ ,X2 , X3 ) ds) ,

(85)

l g-(XI , X2) dxl dx2 , G+ l g+ (XI ,X2) dxl dx2· =

(86)

Zadatak S.S. Odredite progib napete membrane (u polju sile teže) koja ima oblik kružnog prstena 0 = { ( e,

2

(26) R - ( 1 - 2 1n R , n = 2. 4' Iz (22), (24) i (26) zaključujemo da integral (21) konvergira apsolutno. Ako je tf okolina točke E , iz gornjeg neposredno slijedi da konvergira integral

x Rn

{

)

L I1/Jn(l x - yl )l dVy.

(27)

f E C(tf) , konvergira integral (28) L lf(y)1/Jn(I X-yD I dVy­ Prema tome, ako je f E C( Q) , dobro je definirana funkcija x - iof(Y)1/Jn(l x - yI ) dVy, x E Q. (29) Teorem 6.3. Za funkciju u E C(2) (Q) vrijedi integralna reprezentacija u(x) fr (a��) 1/Jn( IX - yI )-u(y) :v 1/Jn( lx -y I )) dSy (30) - 10 Au(Y)1/Jn(l x - yI ) dVy, x E Q Dokaz. Neka je x E Q . f > O. K(x , ) Q . Primijenimo 2. Greenovu for­ mulu (5.20) na funkcije u(y) i 1/Jn( l x - YI ) u području Q, Q \ K(x , f) . Uzimajući u obzir da je Ay1/J" (I x yI ) O Q, . dobivamo f Au(Y)1/J" (Ix -yi) dVy ifJ, fr (a��) 1/J,, (l x -YD - u(y) :v 1/J,,(lx-YD) dSy (31 ) fi&K(x,t) ( a�(Y) 1/Jn(l x-yI ) u(y) � 1/J,,(lx-Y D) dSy, Također, ako je

f

=

25

ee

=

U

=

+

25

uV

Ay označava Laplaceov operator po varijabli y .

uV

65

2.6. INTEGRALNE REPREZENTACIJE

gdje v označava jedinični vektor vanjske normale u varijabilnoj točki y E OQE ' Uzmimo u toj jednakosti limes kod t - O . Budući da je Au E C( O) , imamo lim

f au(y) - 'I/1n( lx - yI ) dVy lfa Au(y) - 'I/1n ( lx - yI ) dVy. =

..... 0 la,

(32)

Prvi integral na desnoj strani u (3 1 ) ne ovisi o t . Dalje imamo, uzimajući u obzir (5.18) i (1.73), o (y) 'I/ � 1n ( lx - y I ) dSy laK{x,e) uV u dSy � 1 'I/1I1(t)/ = 'I/1n (E) I Au(y) I d V uV laK(x,E) lK(x,e) (33)

If

l

l

f � l

f

�

t

m� l au l n(n 2) ' n > 2 m� l au l ' l ln E I ' E2 , n = 2.

{�

� mQ� IAuI I 'l/1n (t) I IK(x, E) I

Desna strana u toj nejednakosti teži nuli (kod E - O ) , pa imamo o (y) lim � 'I/111( lx yI) dSy = O. ..... 0 lfJK(x,e) uV Pomoću Teorema o srednjoj vrijednosti integrala dobivamo

f

f

u (y)

laK(x,.) =

- 'I/1� ( E )

�

uV

'I/1n ( lx y I ) dSy

f u(y) dS = -'I/1�(E)U(yE ) loK(x, E) / , laK(x,.)

gdje je Ye neka točka na oK(x, E ) . Uzimajući u obzir (1.63) i (6) , dobivamo

f

�

u(y) 'I/1n ( lx - Y I ) dSy = u(y. ). uV laK(x,E) Zbog neprekidnosti, u(ye) - u(x) , t - O , pa imamo

f

(34)

(35 )

( 36)

( 37 ) � 'I/1n ( lx yI) dSy = u(x). elimO laK(X,E) u(y) uV Iz ( 31), ( 32), (34) i (37) slijedi (30) . O.E.D. Ako je u točki x E O koncentrirano jedinično djelovanje, onda je ravnotežno stanje oblika y - '1/111 ( Ix - y I ) + w(x, y), y :j: x, (38) gdje je y - w(x, y) rješenje homogene jednadžbe (39) ay w(x,y) = O, y E O. Označimo s G(x, y) ravnotežno stanje ( 38) koje na oO zadovoljava homogeni Di­ richietov uvjet: G(x, y) = 'I/1n ( lx - yI) + w(x, y), y E O , y :j: x, (40) G(x, y) = O, Y E oO. (4 1 ) ....

2. LAPLACEOVA JEDNADŽBA

66

Tako definirana funkcija '

(42) (x, y) G(x, y) , x,y E Q , x ::fi Y zove se Greenovafunkcija Dirichletovog problema. Funkcija w očigledno zadovoljava -+

uvjet

(43) w(x, y) = - t/',,( Ix - y I ) , y E aQ . Prema tome, za svako x E Q funkcija w je rješenje specijalnog Dirichletovog prob­

lema (39), (43). Kao i u slučaju obične diferencijalne jednadžbe, pomoću Greenove funkcije možemo riješiti opći Dirichletov problem.

Za x E Q neka je w(x, · ) E C(2}(Q) rješenje Dirichletovog prob­ lema (39), (43) i neka je G definirano formulo!Pf (40). Tada za funkciju u E C (2)(Q) vrijedi integralna reprezentacija Teor-em 6.4.

u(x) = Dokaz.

-

Ir :v G(x,y)u(y) dSy - L G(x, y)AU(y) dVy,

Pomoću 2. Greenove fonnule (5.20) dobivamo

L AU(y)W(X, y) dVy Ir (a��) w(x, y) =

ili O ==

:

x E Q.

)

u(y) v W(X,y» dSy,

Ir (a��) w(x, y) - u(y) :v w(x, y») dSy k .Au(y)w(x, y) dVy. -

(44)

(45)

(46)

Zbrajajući tu jednakost s reprezentacijom (30) i uzimajući u obzir (41), dobivamo (44). Korolar 6.S.

Ako je u E C(2) (Q) rješenje Dirichletovog problema - Au = f u Q , u = g na r,

onda je u(x) = -

Ir :v G(x,y)g(y) dSy + L G(x, y)f (y) dVy

(47) (48)

Reprezentacija (48) predstavljaformulu za rješenje problema (47) (uz pretpostav­ ku da taj problem ima dovoljno regularno rješenje i da za područje Q postoji dovoljno regularna Greenova funkcija). Time je rješavanje općeg Dirichletovog problema (47) u danom području Q svedeno na određivanje Greenove funkcije tog područja, tj. na rješavanje specijalnog Dirichletovog problema (39), (43). Valja naglasiti da ta činje­ nica nema osobito praktično značenje, jer za proizvoljno Q opći i specijalni pr:oblem bitno se ne razlikuju. Ipak, ako je područje Q dovoljno simetrično i ako mu se gra­ nica sastoji od dijelova hiperravnina i sfera (pravaca i kružnica za n = 2 ), Greenova . funkcija se lako određuje metodom zrcaljenja.

2.6. INTEGRALNE REPREZENTACIJE

67

Primjer 6.2. Greenova funkcija za kuglu. Neka je odnosu na sferu 8K(0, R) :

x* inverzna točka za x =I- O u

(49) x* IRx 2l2 x. x O. Primijetimo da x E K(O, R) , x =I- O , povlači x* f/. K(O, R) i Ix * 1 Metoda zrcaljenja zasniva se n a ovoj činjenici: za x =I- O , x f/. 8K(0, R) , funkcije 8K(0, R) su proporcionalne. To slijedi iz sličnosti ytrokutalx O:xyY I , iy Ox yIx*(sl.-Y2.12): I , y E oni imaju zajednički kut s vrhom u O, a iz (49) * dobivamo I x* 1 R (50) R = �' -+

-+

oo ,

-+

-+

tj. proporcionalnost stranica koje zatvaraju taj kut. Zato je

Ix* -YI R Ix -yi � ' lx - Y I 1�l lx* - yI·

ili

(51 ) (52)

=

x*

Sl. 2.12.

x =I- O , Y E 8K(0, R) , iz toga slijedi' tp,, (lx -YI ) = tp" ( I�I Ix* -YI ) , ili tp,,( lx - yi ) - tp" ( �I Ix* YI ) o.

Za

=

xE x fl.ytpn (W Ix* -YI ) yE x G(x,y) = tpn(lx - yI) - tp" ( 1�l lx* -YI ) , x =I- O.

(5 3 ) (54)

Sdruge strane, za K(O, R) K(O, R) , =I- O, vrijedi = O za (jer f/. K(O, R) ). Uzimajući u obzir (40) i (41), zaključujemo da lijeva strana u (54) predstavlja (za =I- O ) Greenovu funkciju za kuglu K(O, R) :

x·

( 55)

2. LAPLACEoVA JEDNADŽBA

68 Dalje imamo

l:i Ix* - Y I = lxi R R

( �lxi )

RZ

(

2

+

( C Y 2 = RZ + X� I )

a to je dobro definirano i za

x = O.

2x . y

(

) 1 /2 �) X · Y lx i

)IP

2

,

(56)

Prema tome imamo

G(x, y) ; 'P. ( lx - y I ) - 'P. Funkcija

lyl Z - 2

(

' ( + Cx l R2 � ) - 2x . y

f) .

(57)

(57) je simetrična i nenegativna: G(x, y) = G (y, x) , G(x, y) � O

za x, y E K(O,R) , x ::f. y . Može se pokazati da to svojstvo ima i Greenova funkcija proizvoljnog područja Ll . Reprezentacija je v(y) =

(44) za kuglu ima teorijsko značenje. Vanjska normala na y/R , pa iz (57), uzimajući u obzir (6), dobivamo RZ - lxl 2 [} (58) E K(O, R), y E [}K(O, R) . - [}v G(x, y) = S,,! R lx - y l n ' X I Funkcija (58) zove se Poissonova jezgra; označavat ćemo je s .)(:(x, y) : [}K(O, R)

.)(:

(x, y) =

RZ Ix!Z IS,, ! R lx y lll '

(59)

Koro.ar 6.6. Ako je u E C(2) (K(0, R)) i flu = O u K(O, R) , onda vrijedi repre­ zentacija (Poissonova formula)

u(x) =

[ .)(: (x, y )u(y) dSy , x E K(O, R). J8K(O,R)

(60)

Jezgra .)(: ima ova svojstva:

flx')(:(x, y) = O .)(:(x , y) � O

Svojstvo

[ .)(:(x, y) dSy J8K(O,R)

(63)

dobivamo iz

(60)

==

1

za za za

stavljajući

x E ')(:(O, R), y E [}.)(:(O, R) , x E K(O, R) , y ::f. x, x E K(O, R) u = 1.

.

(61) (62) ,(63)

Dokazat ćemo da formula (60) daje rješenje Dirichletovog problema (za kuglu) klase C(K(O, R)) . Jedinstvenost takvog rješenja bit će dokazana u slijedećoj točki.

2.6. INTEGRALNE REPREZENTACIJE

69

8K(0,R) . Tadafunkcija (64) u(x) Jr (O,R) X(x,y)g(y) dSy zadovoljava u kugli K(O,R) jednadžbu tlu O (65) i za svako x E 8K(0,R) uvjet lim u (x) g(x' ) . (66) Dokaz. Jednakost (65) slijedi (6 1 ) . Za E > ° neka je > ° takvo da y,x E 8K(0,R) , Iy - x'l < povlači Ig(y) - g(x') I < E/2. Neka je Ig(y) I � C za svako y E 8K(0, R ) . Koristeći ( 62) i (63), za x E K(O,R) , x E 8K(0, R ) dobivamo ocjenu l u(x) - g(x') I � Jr1Y-x' I6 Ix dSy- yl n ' Za Iy - x l � i l x -x l � {j /2 imamo (68) l x - YI I (x - x) - (y - x )1 � I l x - x'I - ly - x' l l Iy - x'l - l x - xl � {j - % %, 1 (69 ) � ({j/21 )n ' Iz ( 67 ) i ( 69 ) slijedi (70) IU(x) - g(X)1 � 2E + 2CR2R({j/- 2)l xln2 ' Za dovoljno malo {JI > ° i l x - x I � {JI , drugi član na desnoj strani manji je od E /2, pa za l x - xl � min({j/2,{jd imamo l u (x) - g(x ) 1 � E . Teorem 6.7.

g

Nekajefunkcija neprekidna na =

8K

=

=

x-x' (xEK(O,R))

{j

{j

iz

I

{j

=

=

=

Primjedba 6.8. Iz gornjeg dokaza vidi se da je svojstvo ( 66) lokalno; drugim riječima, ako g ima prekide, rubni uvjet je zadovoljen u svakoj točki neprekidno­ sti funkcije g. Zato ima smisla Dirichletov problem s po dijelovima neprekidnom funkcijom g . Funkcija (64) predstavlja tada generalizirano rješenje. Zadatak 6.3. Dokažite da integral

r JK(O,R) I xl a dV

konvergira za

a




SL 2.13.

O ; nekaje x!

(Xl , -X2 ) .

Sl. 2.14.

Imamo (sl. 2.13): G(x,y ) =

(

)

1 R 1 ln � - ln 2n: x x l i I " - yI R 1 1 - ln - zn: ln . ( Ixl l xl ) * - yI

(

)

(72)

b) Promatramo četvrtinu kruga xr + � < R2 , Xl , X2 > O ; neka je x!' = ( -Xl , X2 )

Imamo (sl. 2.14):

G(x, y) =

( - � (ln + � ( 2 -�( 2n:

1 1 ln 2n: IX YI _

ln

ln

ln

1 1 1

�

Ixl lx

_

YI

)

) )

R Ixl l (x' ) * - y I R - ln Ixl l(xll ) * - y I R - ln x x ! l i " + YI . - ln

)

.

(73)

Zadatak 6.5. Napišite formulu (64) za n = 2 pomoću polarnih varijabli (sl. 2.15).

Rješenje.

2.7. HARMONIJSKE FUNKCIJE

71

Sl. 2.]5.

u(r, ep ) =

R2 r2 [ 21< 2n Jo R2 + r2 2Rr cos( l

_

_

( )d ep' ep) g ep' ep' . _

(74)

(j e Rn , ako je Teorem 7.1. Ako je funkcija u harmonijska na otvorenom skupu (j e Rn , onda je u C( oo)(tJ) . Dokaz. Neka je x E (j i neka je K(O, R) tJ, x E K(O , R) . Tada je u E C(2) (K(O, R)) , pa prema Poissonovoj formuli (6.60) imamo Funkcija u je harmonijska u E C (2) (tJ) i Au = O u tJ.

na (ili u) otvorenom skupu

E

cc

(1) u(x) = [ � (x, y)u(y) dSy. J8K(O,R) za y E 8K(0, R) jezgra (6.59) ima u točki x sve derivacije, pa to vrijedi i za funkciju (1).

n (j e R

Teorem 7.2. (Teorem srednje vrijednosti) Neka je {j otvoren skup. Ako je funkcija u harmonijska na tJ, onda za svako x E i svaku kuglu K(x, R) {j vrijede formule (svojstva srednje vrijednosti)

[ u dS, �I Rn - Sn I J8K(x,R) u(x) = � I [ u dVo -;;- S i JK(x,R) u(x) =

ee

(2)

(3)

n

Dokaz.

Prema (6.59) i (6.60) za svako x' E K(x, R) vrijedi u(x')

=

I

R2 - lx' - x l 2 [ u(y) dSy• J8K(X,R) Sn l R lx' - y l n

(4)

2. LAPLACEOVA JEDNADŽBA

72

Specijalno, to vrijedi za x!

=

u

x , pa dobivamo (2). za svako {! E (O, R ) imamo 1

(x) = n l (! - iSn I

ili (uzimajući u obzir (1.61 ))

(!1I-I ISlIlu(x) =

1

8K(I.U)

1"

aK(I,u)

u ls.f u dS =

u

dS,

(5)

(x + (!v){!n-1dS,

(6)

(y rf f udV, n lo ls. lK(I,R) ja u harmoni na otvorenom skupu e i različita od konstantAkoe, onaje funkci na skupu nema ekstjskarema. Dokaz. (-u) gdje je v =

Rn

x)1 {! . Integracijom po varijabli {! E (O, R) dobivamo u(x + {!v){!n - 'dS d{! =

'Sn lu(x) =

(7)

a iz toga (3) .

Teorem 7.3.

II

(j

(j

Rn

Ako funkcija u prima u nekoj točki minimum, onda funkcija prima toj točki maksimum. Zato je dovoljno razmotriti slučaj maksimuma. Neka je (8 ) M = sup u(x) E R, IeU

(jM = {x E (j : u(x) = M} Pretpostavimo da je (jM neprazno. Zbog neprekidnosti funkcije ren II (j : ako niz x(k) E (jM teži točki x(O) E (j , onda je (x(O ) lim = M, .

u »

k-oo

tj. x((J) E (jM . Neka je x E (jM i K(x, R) M imamo O = M - (x) =

-u

u

u(y)

u(X(k» )

u

(9) skup (jM je zatvo­ (10)

ee (j . Prema (3) za harmonijsku funkciju

,f

-f!,

R Sn lK(I,R)

u(y)

(M

- u(y))

dVo

( 11 )

Zbog M � i z toga slijedi M = za svako y E K(x, R) , tj. K(x, R) e (jM ' Prema tome skup (jM je i otvoren u (j , pa je (jM = (j . To znači da je konstanta, što je protivno pretpostavci, pa zaključujemo da je (jM prazno. Q.E.D. Primijetimo da su u gornjem dokazu korišteni samo neprekidnost i svojstvo sred­ nje vrijednosti, a ne harmoničnost funkcije ta činjenica bit će od značaja u dokazu Teorema 7.7.

u

u; Akoprijemfunkci ja u drugim riječima,har­za moni j ska u području ona svoje ekst r eme a na svako vrijedi u u u Dirichletov pro-6.u blem ima najviše jedno rješenje u u g na r, Korolar 7.4. (Princip maksimuma)

xE g

g,

r

min ::::; (x) ::::; max . r

Korolar 7.S.

r

= f u g,

E C(2) (g)

==

n

C( g) .

E c(2) (g) n C(g) ag ;

( 12)

(13)

( 14)

2.7. HARMONIJSKE FUNKCIJE

73

Dokaz.

Neka su U l , Uz E c(Z){O) n C(O) rješenja problema. Funkcija w = je harmonijska u O i jednaka nuli na r . Prema Korolaru 7.4 imamo O � w(x) � O , tj. w = O .

Ul - Uz

Neka je funkcija U C(2)(0) C(O) harmonijska U Tada vrijedi lu(x) I lul . xEQ Dokaz. u(x) lul , -u(x) -u) lul , ( E

Korolar 7.6.

O.

n

� max

m�

( 15 )

r

Prema Korolaru 7.4 za x E O imamo � max u � max

( 16)

r

r

� max(

17 )

� max

r

r

a iz toga slijedi ( 15). O.E.D. Ako je U E C(2)(0) n C(O) rješenje Dirichletovog problema AU = O U O, U = na r , prema ( 15 ) vrijedi m� � mtx

lu l

g

(18) (19)

Ig l ·

(20)

korektnost Neka je Rn otvoren skup i neka i, tj.jskanekau za svako i svakofunkcija u C( vrijiedima svojstTadavo jesrednje funkcivrijajuednost harmoni h Dokaz. C(Ji) , h u u -h, uh u u h AkoormnoniznaUk ,svakoj k zatvorenoj harmoni jiskiu hfunkcij a jena lotimvorenom skupu konvergi r a uni f kugl onda es u tog niza harmonijska funkcija u Dokaz. Teoremu o integraciji u(x) k_oo k_oo nlS" I JK(x,R) [ Uk j I k(x,R) u u u To svojstvo označava

problema (18), ( 19).

tf e

Teorem 7.7. (obrat Teorema sreduje vrijednosti) E tf) x E tf K(x, R) e e tf (2).

tf .

Prema Teoremu 6.7, z a proizvoljnu kuglu B c c tf postoji funkcija E koja je harmonijska u B i koja zadovoljava uvjet = na 8B . Budući pa za funkcije i imaju svojstvo srednje vrijednosti, irna ga i funkcija w = nju vrijedi zaključak ( 12) (v. primjedbu iza dokaza Teorema 7.3). Budući je w = O na 8B, vrijedi w = O u B , tj. = u B . Dakle, funkcija je harmonijska u svakoj kugli, pa je harmonijska u tf .

tf

Teorem 7.S.

tf .

=

1 ; 2, . . .

tf,

Prema uniformno konvergentnog niza funkcija i prema Teoremu 7.2, za svako x E tf i svako K(x, R) e e tf vrijedi =

lim Uk(X)

=

=

lim

dS

Rit

R" S"

(21)

dS,

tj. funkcija ima svojstvo srednje vrijednosti. Prema Teoremu 7.7 funkcija harmonijska.

je

2. LAPLACEOVA JEDNADŽBA

74

Korolar 7.9. Ako niz harmonijskih funkcija Uk E C( O), k = 1, 2, . . . konvergira uniformno na r = ao, onda je njegov limes harmonijska funkcija na O .

Dokaz. Zbog Korolara 7.6, za svako x E Q vrijedi !Uk (X) - Ul(x) I � max lUk - Uli , k, 1 = 1, 2, r

. . .

(22)

,

pa iz Cauchyjevog kriterija slijedi da niz Ub k = 1 , 2 , konvergira uniformno na O . Q.E.D. Neka je x(O) E Rn i funkcija U harmonijska u K(x(O) , R) \ {x(O)} . Tada kažemo da je x(O) singularitet funkcije u . Singularitet je uklonjiv, ako postoji A E R takvo da je funkcija . . .

ilex) =

{ A,u(x),

(23)

harmonijska u K(x(O) , R) . Očigledno je da je u nekoj okolini uklonjivog singula­ riteta funkcija ograničena. Singularitet x = O fundamentalnog rješenja 1J111(lx l ) je

neuklonjiv.

Teorem 7.10. Neka je x(Ol E

RII singularitet harmonijske funkcije u u (x) O, x x(O) x 1J111(l _ x(O) I ) --+

--+

.

i neka (24)

Tada je x(O) uklonjivi singularitet.

C(K(x(O), Rd) , Rl < R , har­ aK(x(O) , Rd . Neka je w = Ut u ;

Dokaz. Prema Teoremu 6.7 postoji funkcija u l E

monijska u imamo Za

K(x(Ol, Rd

i takva da je

w=O

e > O neka je

Ul

=

na

U

na

-

aK(x(O) ,R).

(25)

v; (x) = e1J1n ( lx _ X(O) ! ) ± w(x).

Vrijedi (bez smanjenja općenitosti možemo pretpostaviti da je Rl < 1 )

za O < O < Rl i x E

aK(x(O) , o)

v; (x) =

Vrijedi Neka je Oo

v;

>O

na

imamo

e1J1l1 (o) ± w(x) 1J111( 0 ) (e ± =

w(x) 1J1n (lx _ x(O) I )

> O,

aK(x(O) ,Rt).

--+

Ot) < Rl takvo da za svako

I w(x) I 1J111 ( 0 )


O , o < Oo , vrijedi

e, x E aK(x(o) , o).

(30)

2.7. HARMONIJSKE FUNKCIJE Tada iz (28) za svako {J

>

75

O , {J < lJn , slijedi

(31) aK(x(°l , {J) . su harmonijske u prstenu {J < lx - x(O) I < R l , pa prema Korolaru 7.4 iz

v; > O na

Funkcije v; (27) i (31) slijedi ili, zbog (26),

-E1J.'n (lx - x(O) 1) < w(x) < E1J.'n (lx - xo l) , {J < Ix - x(O) 1 < R l . Zbog proizvoljnosti E iz toga slijedi w(x) = O za svako x =J. x(O) , tj. u K(x(O) , R) \ {xo} . O.E.D.

( 33 ) = Ul na

Očigledno je da se u gornjem teoremu uvjet (24) ne može oslabiti. Specijalno, ako je ;; ograničeno u nekoj okolini singulariteta, taj singularitet je uklonjiv. S harmonijskim funkcijama u g e R2 povezan je Cauchy - Riemannov sustav

ov

ax = ay' Gy = ax r = ag povezano i neka je u , v E C( l ) (g) au

( Xl x, X2 y ) . Neka je =

=

au

ov

(34)

rješenje sustava (34). Za svaku zatvorenu i povezanu orijentiranu krivulju prema (2.61) dobivamo

JU L

Iz toga slijedi da je u

dx - v dy =

g

-

rJlntr ( au axov)

+ 8y dobro definirana funkcija

l/>(x, y) = 1

(x,}')

(xo ,}'o)

dx dy = O.

gdje se integrira po bilo kojoj orijentiranoj krivulji koja spaja točke Lako se pokazuje da je l/> E C(1)(g) i da vrijedi =

e

g

(36) (37 )

u dx - v dy,

al/> u al/> ax � , ay

L

(35)

(xo, Yo ) i (x,y) . (38)

- v.

Uzimajući u obzir (35) i (34), zaključujemo da je l/> harmonijska funkcija u g . Iz (34) zatim slijedi da su i funkcije u i v harmonijske; one su harmonijski konjugirane. Sustav (34) je ekvivalentan svakoj od jednakosti

v(x,y) u(x,y) Neka je u E

C( l )(g)

=

=

l 1

(x,}')

(xo ,}'o) (x,}') (xo ,}'o)

au

-ay

ov

8y

au

dx + - dy

ax

ov

dx - - dy.

ax

'

(39)

(40)

rješenje Neumannovog problema

l1u = O u

g,

�� = h

na r.

(41)

2. LAPLACEOVA JEDNADŽBA

76

(x, y) E r ; integrirajući u (39) po r , pomoću (2.59) dobivamo x) au Tx au Ty ds = 1 (....y) au ds = 1 (x.y) h ds. v(x,y) = 1 ( .y - + ay ax (X",)'o) (XO,)'o) av (X{l'yo)

(

Neka je

)

(42)

Prema tome funkcija v , harmonijski konjugirana funkciji u , zadovoljava Dirichletov uvjet v = g na r, (43)

g(x, y) = 1

gdje je

(x.y)

(xo,)'o)

(44)

h ds.

Obratno, ako harmonijska funkcija v zadovoljava uvjet (43), onda je funkcija (40) rješenje problema (41). Na taj način, ako je n = 2 Neumannov problem se reducira na

Dirichletov.

Dobro je poznato da su uvjeti (34), (35 ) nužni i dovoljni da bi funkcija u(x, y) + bila holomorfna funkcija kompleksne varijable z = x + iy u području Q .

iv(x, y)

Teorem 8.1. Neka je funkcija u harmonijska u okolini beskonačnosti 26 u R" ,

n > 2 , i neka

u(x)

Tada postoji konstanta e > vrijedi

-

O , l x i oo . (1) O takva da za svako x (iz neke okoline beskonačnosti) -ot

1

l u(x) I � e

I I au(x) ax;

�e

1

Ix l n - 1

'

i = 1 , 2, .

(2)

.. , n.

Dokaz. Neka je funkcija u harmonijska u vanjštini kugle K(O, R) i neka je Kelvinova transformacija funkcije u (v. Zadatak 2.2):

x" R,, -2 u(x) , RZ X ,, * 2 Ix I Ix* 1 2 ' je harmonijska u K(O, R) \ {O} (v. (2.55)). Imamo u * (x* ) (n - 2) -1: u (x) O x* O. R" 15,,1 1/J (\x* i) u * (x* )

Funkcija u"

.. -

=

_

26

Okolina beskonačnosti u Rn je vanjština kugle.

, -

(3)

u* (4)

(5)

2.8.

77

VANJSKI RUBNI PROBLEMI

Prema Teoremu 7.10 iz toga slijedi da je funkcija u* (nakon proširenja na točku x* = O ) harmonijska u K( 0, R) , pa je u nekoj okolini ishodišta ograničena zajedno sa svojom derivacijom. Iz (4) slijedi

R"-2 U (X) = Ixl "- 2 U * (X* ) , x* = R2 IxX1 2 ' au(x) = R" -2(n 2) � u* (x* ) + R" � au * (x* ) aXi lx i" lx i " axi * * - 2R"� x. au (x ) . Ixl"+2 � L...J J ax� J Uzimajući u obzir da je lXii � lxi , 1:1" < x l!-' , iz toga dobivamo (2) i (3). I _

(6)

_

1=1

(7) O.E.D.

Na isti se način dokazuje

Teorem S.2. Neka je funkcija u harmonijska u okolini beskonačnosti u

u (x)

ln lxi

- O , Ixl - oo.

R2 i neka (8)

Tada je funkcija u ograničena (u nekoj okolini beskonačnosti) i ima limes u beskona­ čnosti; postoji konstanta e > takva da za svako x (iz neke okoline beskonačnosti) vrijedi

O

I I

au(x) e � aXi Ix1 2 '

l = 1, 2. .

(9)

za funkciju u koja je definirana u okolini beskonačnosti u R" kažemo da je regularna u beskonačnosti, ako zadovoljava uvjet (1) u slučaju n > 2 , odnosno ako je ograničena (u nekoj okolini beskonačnosti) u slučaju n = 2 . Prema Teoremu 8.2 za regularnost harmonijske funkcije u slučaju n = 2 dovoljan je slabiji uvjet (8). Primijetimo da je u slučaju n > 2 fundamentalno rješenje 1J111 (lx i) regularno u besko­

=

načnosti. U ovoj točki pretpostavljat ćemo da je r aQ povezano; tada je Ql = tr neograničeno područje. Ovdje ćemo proučavati rubne probleme u području Ql ; to su vanjski rubni problemi. Pored rubnog uvjeta na r , u ovom slučaju zadaje se i ponaša­ nje rješenja u beskonačnosti, tj. za veliko lx i . Kao što ćemo vidjeti, konzistentan uvjet je regularnost u beskonačnosti. 27 Teorem S.3. Ako je funkcija u E e(Ql ) harmonijska u

načnosti, onda je

Dokaz. Neka je Q

sup l u l e

o,

Ql i regularna u besko­

l ul . � max r

K( OjR) . Prema Korolaru 7.6 imamo max l u l � max lul + max lul , x E K(O, R) \ Q. l u(x) I � rU8K(o,R) r 8K(O,R)

27

Izuzetak je problem potencijalnog optjecanja za inkompresibilni fluid (v. Zadatak 2).

(10) (11)

2. LAPLACEovA JEDNADŽBA

78 U slučaju n

>

2 , zbog regularnosti vrijedi max lul - O , R -

8K(O,R)

oo.

( 12)

Iz (11) i (12) slijedi ( 10). U slučaju n = 2 pretpostavimo (bez smanjenja općenitosti) da je ° E Q . Neka je Kl(O, RI ) cc Q i neka je u* (x*) Kelvinova transformacija funkcije u prema KI (O,Rd : ( 13) {14} Transformacijom ( 14) krivulja r prelazi u krivulju r* , a područje Ql u područje Qi = Intr* . Funkcija u* je (zbog ograničenosti) harmonijska u Qj i klase C(Q�) , pa prema Korolaru 8.3 imamo lu*{x* ) 1 � max lu* l , x* E Q;. (15)

r·

Iz toga, zbog ( 13), slijedi { lO}.

Korolar 8.4. Vanjski Dirichletov problem

-!lu = f u Ql, u = g na r, u regularno u beskonačnosti, ima najviše jedno rješenje u klasi C(2) (Ql ) n C( Ql) . Ako je u rješenje problema { 16}-{18} za f = O , onda prema (10) vrijedi sup lul � max Ig l ,

Ot

r

( 16) ( 17) ( IS)

(19)

što predstavlja korektnost vanjskog Dirichletovog problema.

Teorem 8.S. Ako je n = 2 i ako je funkcija u E C(2)(Qd harmonijska u Ql i regularna u beskonačnost� onda vrijedi 28 f 8u (20) dS = O. Jr 8v

Dokaz. Nekaje Q CC K(O,R) (za svako dovoljno veliko R ). Prema jednakosti (5.l8), primjenjenoj na područje K(O, R) \ Q , dobivamo j 8U la 8u - - dS + ( 2l ) - dS :: O. 8v 8v r 8K(O,R) Dalje imamo la 8u - dS � max I grad u l - 2n:R. (22) 8K(O,R) 8K(O,R) 8v 28

Na r funkcija v označava (kao i do sada) vanjsku normalu područja Q .

79

2.8. VANJSKI RUBNI PROBLEMI Zbog regularnosti i Teorema 8.2 postoji konstanta e

R ) vrijedi

max I grad u l �

8K(O,R)

[ J

Iz (22) i (23) slijedi

Iz (21) i

e

R2

> o takva da (za dovoljno veliko '

(23)

au � 21re dS R . av 8K(O,R)

(24) slijedi (20).

(24 )

'"

Ako je n = 2 i ako vanjski Neumannov problem !lu = O u at , au = h na r, av u regularno u beskonačnosti, 2 ( ) E e ima rješenje u (a1 ) , ondaje h dS = O. Korolar S.6.

(25) (26) (27)

fr

Teorem S.7. Ako je funkcija u E e(2) (a1 ) harmonijska u beskonačnosti, onda vrijedi au u dS + I grad ul 2 dV = O, Jr a v o, gdje smo stavili

[

1.

o,

mo

Dokaz.

1.

(28) al

[

2 I grad uj 2 dV = lim R _oo JK(O,R)\Q I grad ul dV.

i regularna u (29) (30)

Premajednak:osti (5.19), primjenjenoj na područje K(O, R) \ a , dobiva-

[ J

_

K(O,R)\Q

Dalje imamo

I grad u l 2 dV

fr -auv u dS + 1 ra

=

1

au dS. -u av 8K(O,R)

(31)

au u dS m I grad m lul ul , ax (32) ax ' I Sn IRIt-I • v � 8K(O,R) a 8K(O,R) 8K(O,R) Zbog regularnosti i Teorema 8.1 odn. 8.2 postoji konstanta e > O takva da (za dovoljno

veliko R ) vrijedi

max lul �

8K(O,R)

{

max I grad ul �

8K(O,R)

R�Ž ' e,

{

e

gr ,

n>2 n = 2, n>2 n = 2.

(33) (34)

80

Iz (32)-(34) slijedi

la8K(O,R)

pa dobivamo

au -u dS ""� av

r Rlim --> oo J8K (O

Iz (31) i (36) slijedi (29).

{

2.

LAPLACEoVA JEDNADŽBA

n>2 n = 2,

(35)

au u dS = O.

,R) av

(36)

Korolar 8.8. Akoje n = 2, svaka dva rješenja vanjskog Neumannovogproblema razlikuju se za konstantu; ako je n > 2, problem ima najviše jedno rješenje.

Neka su Ul i rješenja u w = Ul Prema (29) vrijedi r I grad wl2 dV = O. (37) Jf.2 r Iz toga slijedi da je grad w = O, tj. w = const. U slučaju n > 2 iz regularnosti slijedi Dokaz.

U2

- U2 .

w = O.

Zadatak 8.1. Formulirajte i dokažite analogone Teorema 6.3, 6.4 i 6.7 za harmo­ nijsku funkciju u gl , regularnu u beskonačnosti. Zadatak 8.2. Problem optjecanja formulira se ovako:

AU O II gl, aU = a · v nar,

(38) (39) (40)

av

gradu(x) - O , Ixl - oo. Ovdje je a E Rn . Dokažite slijedeće tvrdnje za rješenje u : a) za svako x E gl i svako K(x, R) g vrijedi ::::r:J

rJ8K(x,R) u dS = e Rn-l ,

gdje je e konstanta (neovisna o R ) . b) Vrijedi reprezentacij a

)

(x - y) . a dV , x E gl. (42) l (x - y) . v u ) dS (y + n l lx y JQ lx _ y ln Jr Postoji K > O takvo da za svako x (iz neke okoline beskonačnosti) vrijedi u(x) = const + v(x} , Iv(x) I � K Ixl1n-l ' (43)

u(x) = 1 l ISn e)

(e

(41)

+

r

_

{x} I � K /x1/n l. = 1 , 2, . . . , n. d) Svaka dva rješenja problema (38)-(40) razlikuju.se za konstantu.

I

au aXj

'

(44)

81

2.8. VANJSKI RUBNI PROBLEMI

Rješenje. a)

Imamo: au :n u(x + 'Rv) dS =: 'Rn -l d dS Rn 1 u(X + 'Rv) dS. v dR Js. u o ,R) s. n. J8K(x S druge strane vrijedi au au dS a . v dS = O dS = ' Jr J8K(x,R) ov Jr ov pa je u(X + 'Rv) dS = O,

l

r

r

r

! Jsr.

ili

r

r

=

1s. u(x + 'Rv) dS = C(x).

Iz toga slijedi

Uzimajući limes kad 'R (48) slijedi (41). b) Imamo:

grad C(x) =: -+

oo ,

(45) (46) (47) (48)

1s. grad u(x + Rv) dS.

zbog (40) dobivamo grad e

(49) O , tj. e =

=:

fr (-�: 1/Jn( lx - yI) + u :v 1/Jn( lx - YI») dS, �u : + r ( 1/Jn ( lx - y I) - u 1/Jn( lx - yI)) dS, J8K(X,R)

cons! .

Iz

u(x) =

uV

rJ&K(x,R) �u 1/Jn ( lx _ y I) dS

Prema (41) dobivamo DaJje imamo:

uV

r)8K(X,R) u : 1/Jn ( lx - yI) dS uV

uV

=

=

1/Jn('R)

1/J� ('R)

rJ8K(x,R) �u dS

r u dS J&K (x ,R)

fr �: 1/Jn C lx - y I) dS fr a ' v ' 1/J,,( lx - yI) dS ==

r grady 1/Jn(lx k

O.

uV

==

e - Isn I '

-

y I ) dV = _ kr a lx' (x_ y(n ) dV; fr U-;:)a 1/Jn( lx - y I) dS =: fr (x y) .n v u dS. r uV r Ix - y I Iz (50)-(54) slijedi (42). =a·

_

(50) (51) (52) (53)

(54)

2. LAPLACEOVA JEDNADŽBA

82 e)

za

lxi > 2 m�x Iy l

o

imamo

lx - Y I � I � I - Iy l ! � lxi 1

2 � � Ixl '

� lxi I�I , =

(55) (56)

v

K

II (x� yyl) .n u dS I � Ixln-1 ' 1. I Jro alx· (x--y ly)n l . � � Ixln -

(57)

r

dv

Iz

(42), (57) i (58) d)

slijedi

Neka su Ul i

U2

(43).

Analogno dokazujemo (44).

rješenja,

w = Ul

Aw = O aw = O

u

ov

Primjenjujući

K(O,R)\Q

Prema

(43) i (44)

imamo

· l lID R - oo Iz

(62) i (64)

2

slijedi

a iz toga grad w

r

la

JQJ I

8K (O,R)

(60) -jo

(61)

oo .

dobivamo

=

dV

aw 1 � w dS � R uV 8K(O,R)

pa je

(59)

O , lxi

-jo

(5.19) na w i K(O,R) \ O, I grad w l

01 ,

U2 . Imamo

na r,

grad w(x)

1 la

(58 )

(

la

aw -w dS.

(62)

) ISn l ,

(63)

8K(O,R) o V

const

+

K

Rn- l

aw -w dS = O. ov 2

grad wl dV

=

O , w = const, Ul - U2 = const.

O,

.

(64)

(65)

83

2.9. FOURJEROVI REDOVI

Razmotrimo Laplaceovujednadžbu u R2 \ {O} . U polarnim varijablama (s polom u O), jednadžba glasi (v. Zadatak 2.1) 02 1 a au (r ) + 12 u2 O. (1)

-;: ar ar

r Oep

Odredit ćemo netrivijalna (tj. različita od nule) rješenja koja imaju separirani oblik: u(r, ep) = &l(r) . cI>(ep). (2) Ovdje su &l i CI> funkcije (različite od nule) na (O, oo) i (-oo, oo) , respektivno, pri čemu je funkcija CI> periodična s periodom 2n; : CI> ( ep + 2n;) = CI> ( ep). (3) Uvrštavajući (2) u (1) dobivamo jednadžbu 1 1 . . ili

-r (rffl'(r»)' cI>(ep) +

&l(r) cI>"(ep) = O,

r (r&l (r» cI>"(ep) . = cI>(ep) &l(r) I

I

(4) (5)

Lijeva i desna strana u toj jednadžbi su funkcije različitih varijabli, pa su nužno jednake istoj konstanti }.. . Prema tome imamo jednadžbe

r(rffl' (r»)' }"&l(r) = O, cI>/(ep) + }.. cI> (ep) = O.

(6) (7)

Vrijednosti parametra }.. za koje jednadžba (7) ima netrivijalna ( 2Jl-periodična) rje­ šenja zovu se svojstvene vrijednosti; odgovarajuća rješenja zovu se svojstvenefunkcije. Za negativno }.. rješenja jednadžbe (7) su hiperboličke funkcije, a one su neperiodič­ ke. Prema tome svojstvene vrijednosti su nužno nenegativne. Za }.. = O periodičko rješenje je konstanta. za }.. > O rje§enja jednadžbe su funkcije sin ..ffx i cos ..ffx ; iz uvjeta periodičnosti (3) slijedi d, je ..ff prirodni broj ili nula. Prema tome, postoji prebrojivo m9ogo svojstvenih vrij�dnosti }..,. = n2 , n = O, 1, 2 , . . . . Odgovarajuće svojstvene funkcije su 1 , cosnep sinnep n = 1, 2, . . . . Lako se provjeravaju ova svojstva ortogonalnosti svojstvenih funkcija ( n, m = 1, 2, . . . ) :

jn cos nep . cos mep dep = { O, �

�

n # m, n=m#�

l: cos nep . sin mep dep = O,

(8)

(9)

2. LAPLACEOVA JEDNADŽBA

84

1-1< sm mp · smmq:> dq:> = { 1< •

•

O, 3t,

n = m. = A" = n2 su funkcije

( 10)

n Linearno neovisna rješenja jednadžbe (6) za A r" i rza n > O, odnosno 1 i ln r za n = O. Prema tome, tražena rješenja jednadžbe (1) su funkcije 1, ln r, r" cosnq:>, r" sin nq:>, r- n cos mp , r-n sin ncp, n = 1, 2, . . . . ( 1 1) Razmotrimo Dirichletov problem za krug: hu = O u K(O, R), (12) u = g na 8K(O, R), ( 13) gdje je g neprekidna 2Jt-periodička funkcija na R . Pretpostavimo da se rješenje tog problema može napisati u obliku reda funkcija (11) koje su regularne u r = O : oo u( r, q:» = ao + L r" (Air cos nq:> + Bn sin mp). n= 1

(14)

an = Rn An , bn Rn Bn , n = 1, 2, . . . .

( 15)

Iz formalnih razloga definiramo nove koeficijente

Tada je

()

r n (an cos nq:> + bn sm . nq:» . li u(r, q:» = ao + � ( 16) L....J n= l Pokazat ćemo da su svi koeficijenti an i bn odredeni rubnim uvjetom (13). Imamo u(R, q:» = g( q:» , (17) tj.

g( q:»

oo

+ L (an cosn

. ( k = 0, 1, 2 , . . . ) i integrirajmo od -3t do 3t . Uz lio

pretpostavku da red ( 18) konvergira uniformno, dobivamo

i: g( dIP = � i: cos kq:> dIP + � (an i: cosn + � (an 1 1< cos n

dIP + bn 1 sin n

dq:» . 1< oo

_n

_n

( 19)

(20)

2.9.

85

FOURIEROVI REDOVI

Zbog svojstava ortogomilnosti (8)-(10) na desnim stranama tih jednakosti poništavaju se svi sumandi osim d ep = ao !r za k = O, (21)

� l:

ak u

( 19) i

u

(20) . Iz toga dobivamo

J� cos2 kep dep = ak !r

za k =F O

(22) (23)

1 j1t g(1J1) cosn1J1 d1J1 , !r 1 j1t bn = g(1J1) sin n1J1 d 1J1 . !r

an =

-

(24)

1t

(25)

_ Jr

Tako definirani brojevi an . bn • n = 0, 1, 2, . . . zovuseFourierovi koejicijenti funkcije g, a odgovarajući trigonometrijski red oo ao + L...J '"' . nep a cosnep b sm (26)

+ n n n=1 zove se Fourierov red funkcije g . U formulama (24) i (25) integraciju po intervalu 2

(- !r, !r) možemo (zbog periodičnosti) zamijeniti integracijom po bilo kojem intervalu duljine 2!r . Uvrštavajući (24) i (25) u (26). dobivamo formalno rješenje problema (12), ( 13):

u(r, ep) = 2�

l: g(1J1) d1J1 + *; (jr x x

J� g(1J1)(cos n1J1 cos nep

1 j 1t 1 oo d 1J1 + g( 1J1) -1t !r

+ sin n1J1 sinnep)

n j 1t n( d . -1t cos ep - 1J1 )g( 1J1) 1J1 (27) Metoda kojom smo dobili to rješenje zove se Fourierova metoda. Ostaje nam oprav­ danje te metode, tj. dokaz da je funkcija (27) rješenje problema. Za ep E [-!r, !r] , O � r � {! < R imamo

=

� (ii) r

li (jr J� cos n(ep - 1J1)g(1J1) d1J1 1

Geometrijski red

�

2 w,� Igl '

(� r .

(28)

(29)

2. LAPLACEOVA JEDNADŽBA

86

konvergira Uer je e/R < 1 ), pa prema Weierstrassovom kriteriju red na desnoj strani u (27) konvergira apsolutno i uniformno na krugu K(0, e) . Zato smijemo zamijeniti poredak sumacije i integracije, pa za O � r < R imamo n 1 11< 1 oo (30) u(r, cp) = -n (-2 + L R- cos n( cp - lJ! )) g( lJ! ) dlJ!- 1< n=1 To možemo pisati u obliku 1< n . 1 1 oo u(r, cp) = -n 1 Re -2 + L Rr e,n(cp - 1jJ) g( lJ! ) dlJ! . (31) n= l -1


! (x) - Sn (X» 2 dx


O ). Neka je y = m/l , !(y) = f (ly/.7t') . Funkcija ! je 2.7t'-periodična i njoj je pridružen Fourierov red

�+L (an cos ny + bn sin ny) . n oo

(82)

=] Prema tome, funkciji f je pridružen Fourierov red

ao

oo

'2 + "" L.J n=]

(an cos n-m- + bn sm. n-m- ) . 1

1

(83)

2. LAPLAcEoVA JEDNADŽBA

94

za koeficijente imamo

lC I (y) J-lC -) 1t: l(y n: J J-III (x)

an = -n:1

cos ny dy

bn = -1

sin ny dy

tj.

-ff

an = l1

cos

nm: dx ,

JI I x nn:x n: I nm: n: n: J_ II x bn JI I (x) nm: 1

n:

_I

1

1 = l

[ , - dx, ( ) cos I . ( ) sm

-

l

. -[ dx,

sin -[- dx.

(84) (85)

(86)

U tim formulama integraciju po intervalu (-I, l) možemo zamijeniti integracijom po bilo kojem intervalu duljine 21 . Naravno, Fouri_erov red (83) pridružen je po dijelovi­ ma neprekidnoj funkciji I i u slučaju kad je ona definirana samo na segmentu [ - Z, fj . Ako je funkcija definirana na segmentu [O, � , možemo joj pridružiti Fourierov redpo

kosinusima

Jo

nm: 2 t an + � nm: L....J an cos , an = l I (x) cos -Z- dx n=1 i Fourierov red po sinusima . nm: , bn = 2 t I (x) sin nm: " L....J bn sm -- dx. Z l n=) "2

Jo

oo

(87)

(88)

Naravno, za redove (83), (87) i (88) vrijede analogoni Teorema 9.6-9.1 1 i Korola­ ra 9.5 i 9.10. Pomoću Teorema 9.6 odnosno 9.11 i Korolara 9.5 možemo opravdati Fourierovu metodu u mnogo slučajeva. Primjer 9.1.

Neumannov problem za krug. Riješit ćemo problem ! � (r au ) + 1 a2u = O u K( O, R) , r ar ar acp2 au = h na aK (O, R) .

Pretpostavljamo da je funkcija tražimo u obliku

h po dijelovima klase C(2) oo

u(r, cp) = L n=) oo

h( cp) = L n=) Iz toga slijedi da su brojevi

(90)

i 2n: -periodična. Rješenje

(�r (an cos ncp + fln sin ncp ).

Rubni uvjet daje

(89)

i (an cos ncp + fln sm ncp) .

(91)

(92 )

(93)

95

2.9. FOURIEROV[ REDOVI Fourierovi koeficijenti funkcije h . Prema tome formalno rješenje problema glasi

(94) gdje je an = Imamo

.!. K

[21< h(

k

ep) cos mp d ep , bn =

.!.

K

[2:r h(

k

ep) sin nep dep.

(95)

(96) Prema Korolaru 9.10 red na desnoj strani konvergira, pa red (94) konvergira prema Weierstrassovom kriteriju uniformno na Prema Korolaru 7 . 9 red (94) je harmonijska funkcija u (i neprekidna na Formalne prve i druge derivacije tog reda glase:

aK(O,R). K(O, R)).

K(O,R)

au ( r, ep) = I:oo CRr ) n- I (an cos nep + bn sin nep), (97) ar n=l oo n au r, ep) I:R (� (-an sin nep + bn cos n ep ), (98) ) aep ( n=l a2u (r, ep) I:oo (n 1) ( Rr r -2 (an cos nep + bn sin nep), (99) R ar2 n=l oo aep2u r, ep) = I:nR ( 100) C ir ( -an cos nep - bn sin mp). a 2( n=1 Redovi na desnim stranama konvergiraju uniformno na K(0, R) : ako s a� i b� odno­ sno a� i označimo Fourierove koeficijente funkcije odnosno hil imamo npr. 1

-

,

h'

b� (v. dokaz Teorema 9.6)

oo InR (ir (-an cos nep bn sin nep) 1 I: n=1 oo � I: nR( l an l + I bn l ) � I: R( l a� 1 + I b� 1 ) n=l OO R (a� + b�a) � I: ;; ( l a� 1 + I b� 1) � R n=l

( 101 )

oo

(�:, r · (t. 1

a

r I

96

2. LAPLACEOVA JEDNADŽBA

a prema Korolaru 9.5 red na desnoj strani konvergira. Prema tome redovi (97)-(100) predstavljaju derivacije funkcije u i vrijedi u E C(2) (K(O, R») . Dalje imamo

(all cos n rp + b" sin nrp) !� (R, rp) f: ,,=1 =

( 102)

,

pa je prema Teoremu 9.6 zadovoljen uvjet (90). Pokazuje se da je funkcija (94) rješe­ nje problema (89), (90) i uz pretpostavku da je h neprekidno. Ako je h po dijelovima neprekidno, funkcija (94) predstavlja generalizirano rješenje (v. Primjedbu 6.8). Zadatak 9.2. Odredite formalno rješenje ovog Dirichletovog problema za pravo­ kutnik P = (O, a) x (O, b) ;

u(O, y)

=

u(x, O)

=

{PU + (Pu 8x2 u ( a , y) O =

= o·

P,

u

( 103)

za O � x � a, O � Y � b,

u(x, b) = g(x) , O � x � a. Pretpostavlja se da je g(O)

Rješenje.

=

(105 )

ge a ) = O .

Odredimo rješenja jednadžbe ( 103) koja su separiranog oblika

X(x) . y(y) . Dobivamo ili

gdje je

(104)

( 106)

X"(X)Y(y) + X(x)yll (y) X" (x) X(x)

=

A = const. Imamo jednadžbe

yll (y) - y(y)

X" + yll

-

( 1 07)

O,

A,

( 108)

AX = O, A Y O.

Rubni uvjeti (104) daju

X(O)

=

=

X(a)

Y(O)

=

=

(109) ( 110) (111)

O,

( 1 12)

O.

A

Svojstvene vrijednosti problema (109), ( 1 1 1) (vrijednosti parametra za koje prob­ lem ima netrivijalna rješenja) su (nnja)2 , a svojstvene funkcije (odgovarajuća rješenja)

A"

X,,(x)

.

=

Svako rješenje problema ( 1 10), ( 1 12) (za

sin

nm a

A = An ) je oblika

mr:y y,, (y) = A" sh ,

a

( 113)

( 1 14)

2.9.

FOURIEROVI REDOVI

gdje je An konstanta. Rješenje postavljenog problema tražimo u obliku

( 1 15)

n:n:x sh mfb . L.,An SlO g(x) = � -. a a n=1

( 1 16)

oo

Uvjet (105) daje

-

n:n:x sh -. � Xn (x) Yn (y) = An SlO u(x, y) = L., ' mry L a a n= 1 n= oo

1

Iz toga slijedi da je An sh(mfb/a) Fourierov koeficijent funkcije

sima. Prema tome je

An =

2

la

g, razvijene po sinu­

n:n:x

b g(x) sin - dx. a a sh n: o

( 1 17)

Formalno rješenje je dano formulama ( 1 15) i (1 17).

Odredite formalno rješenje a) Dirichletovog problema za vanjštinu kruga; b) Dirichletovog problema za kružni prsten; c) Dirichletovog problema za kružni isječak; d) općeg Dirichletovog problema za pravokutnik. Zadatak 9.3.

Rješenje.

a) Rješenje tražimo u obliku

gdje je ro radijus kruga. Iz uvjeta dobivamo

(118) (119 )

u(ro, cp ) = g( cp )

(120)

b) Rješenje tražimo u obliku

n ( r ) � ro (an cosncp + bn s + f c:r ( cncosncp + dn sin ncp ) , n= 1

ao + bo ln r + u(r, cp ) = 2" 2"

oo

gdje su ro i rl unutrašnji odn. vanjski radijus prstena. Iz uvjeta

u(ro, cp ) = go( cp ) , u(rl ' cp ) = gl ( cp )

.

lO

ncp ) ( 121) (122)

2.

98

LAPLACEOVA JEDNADŽBA

dobivamo Oo =

( 123)

=

(124)

bo

a za n > O ,

an = bn = en dn =

re j ,.ft (�� O 1) j1r ,.ft rO 1 ) j rl - ro j1r

Jr

1,

Jr( 111

�

-11:

_

Jr( 111 (I

�

-11: 11:

111 )

(g(l (rp) rg

- gl (rp)1"';) cos nrp drp , gl ( rp)1"';)

(go ( rp) rO

( 125)

sin nrp drp,

( 126)

(go (rp)1"'; - gl (rp) rO ) cos nrp drp,

( 127)

-11:

(go ( rp) 1"'; l � r11l O ) -Jr

gl (rp ) rO ) sin nrp drp.

Jr( r11l

e) Odredimo regularne harmonijske funkcije u isječku O � koje su separiranog oblika u(r, rp) R(r) . 4>(rp)

r < ro ,

(128) O < rp
2, na S je potpun, ako Fourierov red ( 17) proizvoljne funkcije f E .ye konvergira u srednjem funkciji f , tj. ako je • • •

lim S k--+ oo l it - kli

= O,

(28)

gdje je Sk definirano s ( 18). Jednakost (28) pišemo uvjetno u obliku

oo

f = L a;'Pj.

(29)

;=1

Pringer 10.3. Sustav trigonometrijskih funkcija. Prema Teoremu 9.9, sustav sin kx , cos kx , k = 1, 2, . . . je potpun na intervalu ( - Jr, Jr) . Teorem 10.4. Ortogonalan sustav 'pt , Cj>2 , E .ye vrijedi Parsevalova jednakost

svako f

•

•

•

na S je potpun, ako i samo ako za

oo

;= 1

gdje su al , a2 , . . . Fourierovi koeficijenti funkcije f . Dokaz.

Iz (19) i (28) slijedi (30). Obratno, iz (30) i (19) slijedi (28).

(30)

107

2.10. ORTOGONALNI SUSTAVI FUNKCIJA

Zadatak 10.4. Neka je f, g E X i neka su aj odn. bj , i = 1, 2, . . . Fourierovi koeficijenti funkcije f odn. g po potpunom ortogonalnom sustavu ({Il , rpz, . na S . Dokažite da tada vrijedi poopćena Parsevalova jednakost .

oo

(j , g) = L a;b; 11({I;11 2 .

(31)

i=l

Rješenje.

.

Prema (30) imamo oo

I lt + g l l 2 = L (ai + bl )2 1I ({1d I 2 ,

(32)

;=1 oo

I lt - g l 1 2 = L (ai - �I? l ! ({Ii I ! 2 .

(33)

1=1

Oduzimajući te jednakosti dobivamo (31). Korolar 10.5. Ako funkcije f, g E Je imaju iste Fourierove koeficijente po pot­ punom ortogonalnom sustavu ({Il , rpz, na S, onda je f = g. . . .

Teorem 10.6. Da bi ortogonalan sustav 'pl , rpz , . . na S bio potpun, nužno je i dovoljno da se svaka funkcija f E Je može u srednjem po volji točno aproksimirati superpozicijom funkcija tog sustava, tj. da za svako E > O postoje prirodni broj k i brojevi al , a2 , . . , ak, takvi da vrijedi .

.

k

I lt - L ai({l;J 1 ;=1

(34)

< E.

Dokaz. Nužnost uvjeta (34) je očigledna; dokažimo dovoljnost. Neka je Sk definiran s (18). Prema Teoremu 10.3 vrijedi

,

k

I lt - Sk H � I lt L ai({l; II · -

(35)

;=1

Iz (34) i (35) lako zaključujemo da vrijedi (28). Q.E.D. Neka je funkcija (! ograničena. neprekidna i pozitivna na S . Svi rezultati o orto­ gonalnom sustavu ostaju valjani. ako se umjesto (1) uzme skalamiprodukt s težinom

(! :

(j, g) =

1 (!(x)f(x)g(x) dS.

U tom slučaju govorimo o ortogonalnosti odn. potpunosti s težinom

(36) fl .

2. LAPLACEOVA JEDNADŽBA

108

Primjenom Fourierove metode na Laplaceovu jednadžbu dolazimo do problema svojstvenih vrijednosti za običnu diferencijalnu jednadžbu. U slučaju polarnih varijabli

to je bila jednadžba (9.7) ; u općem slučaju pojavljuje se jednadžba oblika (a(x)uJ (x) Y - b(x)u(x) + AU(X)U(x) = O, (1) gdje su a, b i U zadane funkcije na segmentu [O , � , a A parametar. Pretpostavljamo da je (v. 1.1.2) (2) a E C{l) ( [o, m , a(x) > O, x E [O, � ,

b E C( [O, m, b(x) � O, U E C([O, m, u(x) > 6, x E (0, 1) . Uz jednadžbu (1) dolaze rubni uvjeti 31 (v. 1.1.2) ad(O) (3u(O) = O, yuJ(l) + h u( l) = O,

gdje je

a, {3, y, h � O , a + {3 > O ,

Y

+

h > O.

(3) (4)

(5) (6) (7)

Vrijednost parametra A za koju (homogeni) rubni problem (1), (5), (6) ima netri­ vijalno (tj. različito od nule) rješenje, zove se svojstvena vrijednost, a odgovarajuće rješenje svojstvena funkcija; određivanje svojstvenih vrijednosti i svojstvenih funkcija zove se Sturm-Liouvilleov problem. Kao što znamo (v. 1.2), uz pretpostavke (2) i (3), svojstvene funkcije (kao i sva rješenja jednadžbe (1») pripadaju klasi C(2) ([O , �) . Teorem 1 1.1.

tivne. Dokaz.

Svojstvene vrijednosti Sturm-Liouvilleovog problema su nenega­

Zaključak slijedi neposredno iz Teorema 1.2.1 (o jedinstvenosti rješenja rubnog problema).

Teorem 1 1 .2. Svakoj svojstvenoj vrijednosti Sturm-Liouvilleovog problema od­ govara (do na faktor) samo jedna svojstvena funkcija. Dokaz. Neka svojstvenoj vrijednosti A odgovaraju svojstvene funkcije u i v . Iz

uvjeta

ad(O) - (3u(O) = O, avJ(O) - (3v(O) = O i pretpostavki (7) slijedi

(8) (9)

vJ(O)u(O) - d(O)v(O) = o. (10) Lijeva strana te jednakosti je Wronskijan rješenja u i v (uzet u točki x = O ); prema tome funkcije u i v su linearno ovisne (v. Dodatak 1.2). 31 Primijetimo da uvjeti (5), (6) ne obuhvaćaju uvjet periotiičnosti (9.3).

2.1 1. S11JRM-LIOUVILLEOV PROBLEM

109

Teorem 1 1.3. Svojstvene funkcije Sturm-Liouvilleovog problema, koje odgova­ raju različitim svojstvenim vrijednostima, ortogonalne su s težinom {! na intervalu (O, l) .

Dokaz. Neka su J.. i II svojstvene vrijednosti, a u i v odgovarajuće svojstvene funkcije. Tada je (11) (au' ) ' bu + J.. {!U = O, ' ' ( 12) (av ) - bv + Il{!V = O. Pomnožirno prvu jednakost s v , a drugu s u , oduzmimo dobivene jednakosti i razliku integrirajmo po intervalu (O, I) :

11(au')'v

(av' ) ' u dx + (J.. - ll)

11 (!UV dx

=

O.

( 13)

Parcijalnom integracijom u prvom integralu dobivamo

a(l) (u' (l)v(l) - u(l)v' (l)) - a(O)(u' (O)v(O) - u(O)v' (O)) + (J.. - ll) Iz rubnih uvjeta

slijedi (zbog(7) )

au' (O) - (3u(O) = o , av' (O) - (3v(O) = o ,

11 (!uv dx.

yu' (l) + Du(l) = O, yV' (I) + Dv(l) = O,

. u' (O)v(O) - u(O)v' (O) = O, u' (l)v(l) + u(l)v' (l) = O,

pa iz ( 14) dobivamo

(J.. - ll)

ili

11 {!uv dx

= o,

101 (!UV dx = O.

( 14) ( 15 ) ( 16)

( 17) ( 18) ( 19) (20)

Zadatak 11.1. Dokažite ove tvrdnje: a) Nula je svojstvena vrijednost ako i samo ako je ili b = (3 = D = o ; u tom slučju svojstvena funkcija je konstanta. b) Svojstvena vrijednost J.. koja odgovara svojstvenoj funkciji u dana je formu­ lom J (au'2 + bu2) dx + a(O)u' (O)u(O) - a(l)u' (l)u(l) J.. = ( 21 ) I

�

lo (!U2 dx

c) Ako je ili a = O i y D = O ili y = O i a(3 = O , i ako je al = min a , bl = min b , {!l = max {! , onda svojstvene vrijednosti nisu manje od (2a( + (lb1 ) /{!j (l .

2. LAPLACEOVA JEDNADŽBA

1 10

Rješenje.

a) Zaključak slijedi iz Teorema 1.2.l. b) Iz jednadžbe (1) dobivamo množenjem s u i integracijom:

['

t (l 2 t 2 Jo (aul)lu dx Jo bu dx + A Jo U dx = O. -

(22)

Parcijalnom integracijom u prvom integralu dobivamo

a(l)u'(l)u(l) - a(O)u'(O)u(O) a iz toga slijedi (21) . c ) Iz (21) slijedi

Ako je

a=O

A (tj.

11(au/2 + bu2 ) dx + A 11 (lU2 dx = o,

J�(au/2 + bu2 ) dx Jo DU2 dx u(O) = O ) imamo

_

-

I

u (x)

�

= lX

(23)

a t J� U'2 dx + b t J� u2 dx Dl Jo u2 dx

(24)

u'es ) ds .

(25)

t

Pomoću Cauchyjeve nejednakosti dobivamo

u2 (x)

ili

Ako je

�

x Jt U'2 ( S ) ds , o u'2 (x) dx,

(26)

lt u2 ( s ) ds � � l'

(27)

lt U/2(X) dx � l' u2 (x) dx.

y = O (tj. u(l) = O ) imamo

u(x) =

�

11

(28)

u'es ) ds,

(29)

pa opet dobivamo (28). Iz (24) i (28) slijedi navedena ocjena. Pokazat ćemo kako se rješavanje Sturm-Liouvilleovog problema formalno svodi na rješavanje neke transcendentne jednadžbe. Neka su v(x; A) i w(x; A ) rješenja jednadžbe ( 1 ) koja zadovoljavaju ove početne uvjete (30) V(O; A) = 1 , J (O; A) = O, W(O; A) = O , w'(O; A) = 1 . (31) Ta rješenja su linearno neovisna (njihov Wronskijan je različit od nule). Funkcija (32) u(x; A ) av(x; A) + fJw(x; A)

=

zadovoljava jednadžbu (1) i uvjet (5) . Iz (6) dobivamo y(fJw'(l; A) + av'(l; A » + c5 (fJw(l; A ) +

av(l; A»

=

O.

(33)

2.1 1 .

111

STURM-LIOUVILLEOV PROBLEM

Svaka (nenegativna) nultočka J... te jednadžbe je svojstvena vrijednost (i obratno); odgovarajuća svojstvena funkcija dana je formulom (32). Primjer 11.2. Riješit ćemo Sturm-Liouvi11eov problem

Uli + J... u =

O, u(O) = O , u'(l) + u(l) = O.

Lako nalazimo

v(x; J... ) = cos VJ:.x , w(x; J... ) = Jednadžba (33) glasi cos VJ:.I +

);:

sin VJ:.x.

� sin VJ:.I, = O,

v J...

ili

(34) (35) (36)

(37) (38)

Stavljajući

II

= 1.(X imamo (39)

.

Neka su III < 112 < . . pozitivne nultočke te jednadžbe (sl. 2.25). Svojstvene vrijed­ nosti su tada At = (llk /l) 2 , a svojstvene funkcije Uk (X) = sin(llkx!J) , k = 1, 2, . . . Kao što vidimo, postoji beskonačan niz svojstvenih vrijednosti, bez konačnih gomi­ lišta. Ovaj zaključak vrijedi i u općem slučaju, a dokazuje se pomoću integralnih

jednadžbi.

Sl.

.25.

Teorem 11.4. Skup svojstvenih vrijednosti Sturm-Liouvilleovogproblemajepreb­ rojiv i nema konačnih gomilišta.

Dokaz.

Napišimo jednadžbu (1) u obliku

(au')' - (b + U) u + (J... + l)uu = O. Očigledno je b + U i= O, pa za jednadžbu (au')' - (b + e)u = O,

(40) (41)

112

LAPLACEOVA JEDNADŽBA

2.

uz rubne uvjete (5) i (6) postoji Greenova funkcija Teoremu 1.3.3, slijedi jednakost

Gl (x,y)

(v. 1 . 1.3). Iz ( 40) , prema

(42) u(x) = (A + 1) l' G1 (x,y)g(y)u(y) dy. (42) slijedi ( 40) , pa je problem ( 1 ), (5), (6) ekvivalentan integralnoj

Obratno, iz jednadžbi (42). Tu jednadžbu možemo napisati u obliku

i f.Up(x) = l K(x, y)rp (y) dy ,

gdje je

( 43 )

1 (44) rp(x) = Vg (x)u(x) , f.l = A + 1 ' K(�, y) = Vg(x)g(y)GI (x , y). Jezgra K je nedegenerirana, simetrična i neprekidna na [O, � x [O, � , pa jednadžba (43) ima prebrojiv skup svojstvenih vrijednosti f.ll � f.l2 � gomilišta (v. Dodatak 3). Iz toga slijedi zaključak teorema. Teorem 11.S.

uvjet

Neka funkcija f

E C(2) ( [O, � )

• • •

, koji nema konačnih

zadovoljava rubne uvjete (5) i (6) i

(45) I (a(x)f ' (x))' - b(x)f(x) 1 � e Vg (x) , x E (O, l), gdje je e > O konstanta (ako je g (O) , g (l) :f:. O, taj uvjet je automatski zadovoljen). Tada je (46) Vg (x)f (x) = L ak Vg(X) Uk (X), k==1 gdje su uk , k = 1, 2, . . . svojstvenefunkcije Sturm-Liouvilleovogproblema (J), (5), (6) koje odgovaraju svojstvenim vrijednostima Al < A2 < . . . , a brojevi ak . k = 1 , 2 , . . . Fourierovi koeficijenti funkcije f po sustavu svojstvenih funkcija: J� g(x)uk(x)f (x) dx ak (47) Jol g (x)u;(x) dx ' Red na desnoj strani u (46)konvergira apsolutno i uniformno na [O, � . oo

Dokaz. Očigledno je .

Neka je

h = -« af')' - (b + g)! ).

h E C ([O, � ) , p a uz oznake iz dokaza prethodnog teorema vrijedi f (x) = l' Gl (x, y)h(y) dy .

Tu jednakost možemo napisati u obliku

h(y) dy. Vg(x)f(x) = l,o K(x, y) r::r: :\ v g (y) .

(48 ) (49) (50)

113

2.1 1 . STURM-UOUVILLEOV PROBLEM

Zbog ( 4S ) funkcija hl..fo je ograničena i neprekidna na (O, l) , a budući je jezgra K simetrična, prema Hilbert-Schmidtovom teoremu (v. Dodatak 3) iz (SO) slijedi jednakost oo

V(!(x)/(x) = L Ut fPt (x) , t=1

(S l)

J� �/(x)fPt (x) dx Jol fP; (x) dx

(S 2)

gdje je

Ut =

i gdje red na desnoj strani konvergira apsolutno i uniformno na [O, � . Uzimajući u obzir da je fPt = ..foUt , dobivamo zaključak teorema. O.E.D. Primijetimo da u slučaju kad je (! ( O) , (!(l) :/= O, jednakost (46) možemo pisati jednostavnije: oo

I(x) = L atut (X). t=l

(S3)

Pomoću Teorema l 1.S dokazat ćemo potpunost sustava svojstvenih funkcija. Teorem 1 1.6. Sustuv svojstvenih funkcija Sturm-Liouvilleovog problemu je pot­ pun s težinom (! na intervalu (O, l) . Dokaz. Radi jednostavnosti ograničavamo se na slučaj a = y = O (tj. na rub­ ne uvjete u(O) = u(/) = O ) i (!(O), (!(l) > O . Razmotrimo Fourierov red funkcije I E đF (O, l) po sinusima. Neka je (!l = max (! ; prema Teoremu 9.1 1, za proizvoljno e > O postoji parcijalna suma gE tog reda za koju vrijedi 1 /2 l 2 (f (x) - gE(x» dx < e (S4)

Tada je

)

(1

(SS) Funkcija gE je klase C( OO) ([O, � ) i poništava se u točkama x = O i x = . 1 . Označimo sa Sk k-tu parcijalnu sumu Fourierovog reda funkcije gE po svojstvenim funkcijama Sturm-Liouvilleovog problema. Prema prethodnom teoremu postoji prirodni broj ko , takav da za k > ko vrijedi

Iz toga dobivamo za

max jge (x) xE[O,�

l ige - Skl i
ko . Pomoću nejednakosti trokuta (10.9) dobivamo I ! - St i l = II(J - gE) + (gE - St ) I � II! - gE Ii +

(S7) l igE - St i l ·

(S8)

2. LAPLACEOVA JEDNADŽBA

114

Uzimajući u obzir (55) i (57), za k > /4J imamo . I lt

�

Skl i < E,

(59)

pa zaključak slijedi iz Teorema 10.6. Zadatak 11.3. Dokažite Teoreme 11.1 i 1 1.3 za problem svojstvenih vrijednosti (60) Au + AU = O u g, (61) u = O na r ag , gdje je g Rn ograničeno područje. Rješenje. Pomnožirno (60) s u i integrirajmo dobivenu jednakost po g . Parci­ jalnom integracijom i primjenom Teorema o divergenciji dobivamo fg I grad ul2 O , b � O , e > O na (O, l) . Umjesto uvjeta (5) imamo sada uvjet regularnosti (ograničenosti) rje­ šenja. Odgovarajući problem svojstvenih vrijednosti je singularni Sturm-Liouvilleov

problem.

Teorem 11.7. Za singularni Sturm-Liouvilleov problem vrijede zaključci Teore­

ma 11.1-11 . 6 32•

Dokaz. Zaključci Teorema I L l i 1 1 .3-11.6 dobivaju se na isti način kao u regu­ larnom slučaju. Pri tome se koristi ova činjenica za svojstvenu funkciju u : (71) xu' (x) - O , x - O (v. Dodatak 1). Ako su u i v svojstvene funkcije koje odgovaraju istoj svojstvenoj vrijednosti, onda iz Liouvilleove funnule (v. Dodatak 1) za xo,x E (O, l) dobivamo (72) a (x) ( u(x)v' (x) - u' (x)v(x)) = W(xo)a(xo) , gdje je W Wronskijan rješenja u i v . Funkcija a je oblika a (x) = xr(x ) , r(O) � O . Uzimajući u (72) limes kad x - O , zbog (71) i ograničenosti funkcija u i v dobivamo W(xo) = O ; iz toga slijedi zaključak Teorema 1 1.2 .

Laplaceova jednadžba u R3 \ {O} u sfernim koordinatama (s polom u O ) glasi 8 ? 8u 1 8 . 8u 1 82 u ( (s 0 ) + 0 )+ ( 1) 8r 8r sin 0 8 0 80 sin2 O 8cp2 = (v. Zadatak 2.1) . Odredit ćemo rješenja koja imaju separirani oblik u(r, O, cp) = R(r) . Y(O, cp), ( 2) (3) Y(O, cp) = P(cos O) . «I>(cp).

m

32

Uvjet (45) je ovdje relevantan i u slučaju kad je e(O) , e(l) -I O .

2. LAPLACEOVA JEDNADŽBA

116

Ovdje su R , P i CI> funkcije na (O, oo ) , ( - 1, 1) i ( - oo , oo) , respektivno, pri čemu je CI> 2n-periodična: CI> ( q:> + 2n) = CI> ( q:» . (4)

( )Y

a (sm. B aY ) R + 1 a2yR = 0, e ae ae sin2 e a 2 a . ay 1 a2y ) 1 e ae (sm e ae ) + sin2 e aq:>2 lT = A ,

Uvrštavanjem (2) u (1) dobivamo 1 d dR r2 + sin dr ili 1 (r2R')' -- = - sin R

dr

(

(5)

q:>

(6)

gdje je A konstanta. Prema tome imamo jednadžbe

(?R')' - AR = 0,

(7)

a . e ay + 1 a2y + A Y = O. e ae } sin2 e a 2

1 (sm sin ae

(8)

q:>

Uvrštavanjem (3) u (8) dobivamo

a (sm. e ap)cI> + 1 a2cI>P + AP · CI> = 0, ae ae sin2 e a 2 d ( 1 cI>" sm dP) + sm2 = - Ci) = sm de P de

1 sin B

ili

.

gdje je

tJ.

(9)

q:>

II {7

.

II {7

1 A.

.

(10)

tJ. ,

II (7

konstanta. Dakle, imamo jednadžbe

cI>" + cI> = 0, sin e ie (sin e � ) + A sin2 ep tJ.

Iz (4) i (11) slijedi da je

tJ.

(11)

P = O.

tJ.

(12)

= m2 , m = 0, 1, 2, . . . .

( 13 )

Odgovarajuća rješenja su funkcije ( 14) cos mq:> , sin mq:> , m = 0, 1, 2, . . . . Napišimo jednadžbu (12) u varijabli x = cos uzimajući u obzir ( 13 ) imamo

e;

(( l - � )P'(x))' + (A -

m2

(15) )P(x) = O. l _ x2 Ta jednadžba ima regularne singularne točke x = - 1 i x = 1 . Nas će zanimati

e

e

harmonijske funkcije oblika (2), (3) koje su regularne na poluosima = ° i = n . Zato ćemo jednadžbu (15) razmatrati kao singularni Sturm-Liouvilleov problem. Razmotrimo najprije slučaj m = O . Tada imamo (( l - �)P'(x))' + AP(X) = O. ( 16) To je Legendreova jednadžba. Pokažimo da su brojevi

A = n(n + 1) , n = 0, 1 , . . . .

(17)

2.12.

SFERNE FUNKCIJE

117

svojstvene vrijednosti problema ( 16) i da su odgovarajuće svojstvene funkcije Legen­

dreovi polinomi, definirani Rodriguesovom formulom

( 18) Primijetimo da je Pn polinom n-tog stupnja. Neka je Wn (x) = (.x2 - l) n . Derivira­ njem dobivamo ( 19) W�(X) = 2nx (� - lt -1 ili, množeći s xZ - 1 ,

(� - l) W� (x) = 2nx Wn (x) .

(n {;z (n : ) (� _ l) (k) w�n+z-k}(x) n(x�n+ ) (x) (n l)w�n) (x)) ,

Derivirajući tu jednakost

+ 1) puta, dobivamo (pomoću Leibnitzove fonnule)

1

= 2

l

+

ili

(20)

+

((1 - � ) (w�n) (x)) ' ) ' + n(n + l)w�n) (x) = O.

(21 ) (22)

Navodimo prva četiri Legendreova polinoma: 3

Po (x) = 1 , P (x) = x , Pz (x) = 2� - 2 ' ,

3 5 P3 (X) = 2� - 2x.

1

(23) (24)

Grafovi tih polinoma prikazani su na sl. 2.26.

:

___________

I

I I I I I

P2

J! ) I p,

I

-I, -

.J : I I I I

i

I

_ _ _ _ _ _ _ _ __

:l ,I I I I I

� i �----------J

l-i ___________

i

I I I I I

-J Sl. 2.26.

Prema Teoremu 11.7 sustav Po , PJ , . . . je ortogonalan (s težinom 1) na intervalu ( - 1 , 1) :

( 25 )

2. LAPLACEOVA JEDNADŽBA

118

f po tom sustavu dani su formulom I 1 a" = I P,,11 2 J- 1 f (x)P,,(x) dx,

Fourierovi koeficijenti funkcije

gdje je

IIP"I! =

(1

l

)

1 �(x) dx

(26)

1 /2

(27)

(28) Funkcija (x2 - 1)" ima nultočke ± l reda n , pa njene derivacije do reda n - l imaju te iste nultočke. Zato u gornjoj formuli prvi član na desnoj strani iščezava. Produžimo li s parcijalnom integracijom još n - l puta,dobivamo

liP" 11 2 = 22n (�! )2 (- 1)" 111 !: (� - 1)" (� - 1)" dx. .

Zbog jednakosti

(� - l)" = dxd2n2n (? + . . . ) = (2n) ! , imamo 1 I P,,1 I 2 22n (�! )2 ( � 1 )"(2n)! 1 1 (� - 1)" dx. Supstitucijom x = cos (J dobivamo /2 IIP,, 1I 2 2 2n(2n - ;2' (n + 1) r sin2n+1 (J d(J . d2n dx2n

(29)

(30) (31)

,'

(32) n. Jo Parcijalnom integracijom dobivamo za integral na desnoj strani rekurentnu formulu, iz koje slijedi 1 O konstanta, onda za svako m = 1 , 2, . . . njen Fourierov red po sustavu pridruženih Lagendreovih funkcija l": , n = m, m + 1 , . . . konvergira apsolutno i uniformno na segmentu [- 1 , 1] i suma mu je jednaka f . Teorem 12.6. Ako funkcija f

l!

E

Uzimajući u obzir ( 14) i (65), zaključujemo da su tražena rješenja jednadžbe (8) funkcije (92) p: cos mqJ , p: sin mqJ , m = 0, 1 , . . . , n = m, m + 1 , . . . . Uvodeći sfernefunkcije (93) y::,( B , qJ ) p: (cos B) cos mqJ, m , (cos = ) sin (94) mqJ, y; ( B qJ) p: B možemo sustav (92) zapisati u obliku Y::' , n = O, 1, 2, . . . , m - n, - n + 1 , . . . , n . (95) Te funkcije su ortogonalne na jediničnoj sferi:

r y::,y;::' dS = lro 2Jr lr y::,( B, qJ)Y;::' ( B, qJ) sin B dB dqJ = O

lS3

o

(96)

ako je ili n :/= nl ili m :/= m' . Norma funkcije Y::' je

("4;t V 2ii:+! '

m = O,

l

(97)

2.1t (n + I m ) ! m :/= O. 2n + 1 (n - lm! ) ! ' Pokazuje se da su za dano n = O, 1 , . . . funkcije (95) homogeni harmonijski polinomi stupnja n na jediničnoj sferi i da čine bazu u prostoru takvih polinoma; drugim riječi­ ma, svaki homogeni harmonijski polinom stupnja n na jediničnoj sferi je superpozicija sfemih funkcija Y::' , - n � m � n . Uvrštavajući (65) u (7), dobivamo jednadžbu (r2R' (r)Y n(n + l)R (r) = O.

(98)

2. LAPLACEOVA JEDNADŽBA

126

Njena (linearno neovisna) rješenja su funkcije

(99) r", r- (n+ l ). Prema tome, harmonijske funkcije oblika (2), (3) su r"r,:' (e, tp) , r- (n+ l) r,:' (e , tp ) , n = 0, 1, 2, . . . , -n � m � n. (100) To su kugline funkcije; pomoću njih rješavaju se rubni problemi za kuglu . Primijetimo da su za m = O funkcije (100) ahija/no simetrične (tj. neovisne o varijabli tp ): (101) r"Pn (cos e), n ) (102) r- ( + l Pn(COS e). Primjer 12.6. Riješit ćemo ovaj Dirichletov problem:

Au = O u K(O, 1), u(l , e, tp ) = cos2 e , O � e � lt.

(103) ( 104)

Rubni uvjet je aksijalno simetričan; pretpostavimo da je i rješenje aksijalno simetrično i da se može prikazati u obliku funkcija (101): oo

u(r, e) = L en r"Pn (COS e).

(105 )

,,=0

Rubni uvjet daje cos2 e = ili

,?-

oo

L e"p,,(cos e),

(106)

,,=0 oo

L e"p,, (x) .

=

(107)

,,=0

Iz toga pomoću (23) dobijemo

en = O pa imamo

za

n :j:. 0, 2,

u(r, e) = 31 (1 - r) + r2 cos2 e.

Zadatak 12.7. Riješite Neumannov problem za kuglu

Rješenje.

Funkciju

au (R, e) = cos e. ar

(UO)

K(O,R) , ako je (111)

u tražimo u obliku oo

u(r, e) = L e" r"p,, (cos e).

(112)

u(r, e) = r cos e.

( 1 13)

,,=0

Dobijemo

(108) (109)

127

2.1 3. QLINDRIĆNE FUNKCIJE

Zadatak 12.S. Riješite vanjski Neumannov problem za kuglu K(O, R) . ako je

8u

Rješenje. Funkciju

8r

. 2 lJ (R, e) = sm .

( 1 14 )

u tražimo u obliku oo

(115 )

n=()

Iz rubnog uvjeta pomoću (23) i (24) dobijemo

2R2 R4 u(r, e) = - + - ( 3 cos2 lJ - l). 3r 9r3

( 116)

Zadatak 12.9. Riješite Dirichletov problem za sferni sloj 1 < r < 2. ako je

Rješenje.

u(l, B) = 2"1 cos B , u( 2, B) = 1 + cos 2B. Funkciju u tražimo u obliku u(r, B)

=

oo

I )Cnr" + Dnr-n-1 )Pn(cos B). n=O

Iz rubnih uvjeta pomoću (23) j (24) dobijemo 1 8 32 u(r, � ) 43 (1 ;1 ) + 14 - r)Pl (cos B) + (� 93

1 3")P2 (cos lJ) . r

( 1 17) ( 1 18)

(119)

Laplaceova jednadžba u R3 \ {O} u cilindričnim varijablama glasi 1 8 8u 1 82u 82u (1) )+ (e{2 8{2 8{2 2 8z2 = ° e 8rp2 + (v. Zadatak 2.1). Odredit ćemo rješenja te jednadžbe koja imaju separirani ob/ik (2) u(e, rp, z) = U(e,z) · (rp), U (e, z) = R(e) · Z(z). (3) OVdje su R, i Z funkcije na (O, oo ) , ( - oo , oo ) i ( - oo , oo ) . respektivno, pri čemu je 2.n:-periodična: ( rp + 2.n:) = ( rp). (4) Uvrštavanjem ( 2) u (1) dobivamo ili

!� (e 8U ) + U 11 82U = 0, e 8e 8e {22 + 8z2 82U 1 - " U =

=

/-"

(5) (6)

2. LAPLACEOVA JEDNADŽBA

128

gdje je tl ko�tanta. Prema tome imamo jednadžbe «II" + tl«ll = O ,

2 U � (U IJ U ) + U2 IJ z2U - tl U = O. IJU IJU IJ

Iz (4) i (7) slijedi da je

tl = n2 , n = 0, 1 , 2, . . . .

(7)

(8) (9)

Odgovarajuća rješenja jednadžbe (7) su funkcije

cos mp, sin mp, n == 0, 1 , 2, . . . . Uvrštavajući (3) u (8) i uzimajući u obzir (9), dobivamo 1 " Zli (z) n2 - 2 O, (UR (U» +

UR(U)

ili

gdje je

( )) UR(O) (OR O - 02 1

A

"

n2

Z (z) =

U

ZI/ (z) - Z (z)

==

=

-A ,

konstanta. Prema tome imamo jednadžbe

Zli - AZ

= O,

(OR'(O» ' + ( A U - -)R(U) = O. O Jednadžba ( 14) ima u točki O = O regularni singularitet. Razmotrimo najprije slučaj A � O . za A = O jednadžba ( 14) glasi n2

za n > O i za n = O . Neka je

dobivamo jednadžbu ili

(12) (13) ( 14)

(15)

1 , ln O

(17)

A > O . Uvodeći novu varijablu

i novu nepoznatu funkciju

( 1 1)

(UR'(U»' - -R(U) = O U n2

Njena rješenja su

( 10)

x = oVi.

x y(x) = R( JI)' (xy' ) ' + (x -

n2

) x y = O,

(16)

( 18) (19) (20) (21)

2.13.

129

QLINDRIčNE FUNKCIJE

To je Besselova jednadžba; njena rješenja se zovu cilindrične funkcije. Regularno rješenje te jednadžbe ima oblik (22) y(x) = x"( /1{) + alx + . . . ) , /1{) # O (v. Dodatak 1). Izostavljajući izračunavanje koeficijenata /1{), al , . . . , pokazat će­ mo da jednadžbu (2 1) zadovoljava cilindrična funkcija 1. vrste ili Besselova funkcija n -tog reda, definirana formulom ( x ) n+2k ( _ l )k (23) Jn (x) L 2: k=() r(n + k + l)r(k + 1) Lako se provjerava (pomoću Dalembertovog kriterija) da red na desnoj strani konver­ gira apsolutno za svako x , pa je (23) cijela analitička funkcija. Dalje imamo :x?J: (x)+ xJ� (x) n2Jn (x) � l k 2k)(n + 2k - 1) + n + 2k - n2 ) ( ::) n+2k = L.t ( - ) «n +r(n + k + l)r(k + 1) 2 k=0 ( - 1)k 4k( n + k) ( :: ) n+ 2k k=() r(n + k + l)r(k + 1) 2 ( x ) n+2k ( _ l)k

=

oo

= f:

oo

= 4 L r(n + k)r(k) ,1;= 1

=4

oo

( _ l ) k+ 1

2:

tt r(n + k + 1)r(k + l)

( x ) n+2k+2 2:

_ 1 )k .� ( x ) n+2k = -il L.t r(n + k(+ l)f(k = -:x?Jn(x). + 1) 2:

(24) k=O Drugo (tj. linearno neovisno o Jn ) rješenje jednadžbe (21) je singularno i ima oblik 1 oo (25) Kn (X) = A nIn (x) lnx + xn L Bnkxk, = k O gdje su A n i Bnk neke konstante i BIlO # O (v. Dodatak 1). Linearno neovisna rješenja jednadžbe (14) (za n = O, 1 , 2, . . . ) su funkcije (26) Jn(eVI), Kn (eVI). Razmotrimo jednadžbu (14) na intervalu (0, 1), l E (O, oo ) , uz rubni uvjet R(l) = O. (27) Odredimo vrijednosti parametra A za koje problem (14), (27) ima netrivijalno re­ gularno rješenje; to je singularni Sturm-Liouvilleov problem. Prema Teoremu 11.7 taj problem ima prebrojiv skup svojstvenih vrijednosti; te vrijednosti su nenegativne, jednostruke i nemaju konačnog gomilišta. Iz ( 16) i (17) zaključujemo da nula ni­ je svojstvena vrijednost. Prema (26) svojstvenoj vrijednosti A odgovara svojstvena funkcija Jn ( eVI) (primijetimo da za n > O vrijedi Jn(O) = O ) . Iz (27) slijedi uvjet (28) Jn (lVI) O.

=

2. LAPLACEOVA JEDNADŽBA

130

Obratno, ako je x realno pozitivno rješenje jednadžbe Jn(x) O, (29) onda je }., = (x/l) 2 svojstvena vrijednost. Prema tome, ako s Xn ! < Xn2 < označi­ mo pozitivne nultočke funkcije J,. , svojstvene vrijednosti problema ( 14),(27) dane su formulom (30)

=

...

(31 ) Na sl. 2.28 prikazani s u grafovi funkcija Jo i J1 ; prve tri nuItočke funkcije ove vrijednosti: Xol 2,4048,Xo2 5,5201,Xo:i 8,6537 .

=

=

=

Jo

imaju

---x

Sl.

2.28.

Prema Teoremu 1 1.7 funkcije (31) su ortogonalne na intervalu (O, I) s težinom (32)

Fourierovi koeficijenti funkcije f « (} ) po sustavu mulom

Jn «(!Xnj/l),j

= 1 , 2, ... dani su for­ (33)

gdje je

I !Rnjll

=

(1

I

(!1;

(7 )

)

2 (}

= 0,

(35)

2

= O.

(36)

-

Xnj d(}

1 /2

(34)

Izračunat ćcmo normu (34). Funkcija (31) zadovoljava jednadžbu

« (}R�jY + (}.".j (} a funkcija RnA ( U )

=

Jn « (} ..;f) jednadžbu « (}R�A Y + (A (}

-

� )Rnj � )RnA lJ

2.13. CILINDRIĆNE FUNKCIJE

131

Pomnožimo ( 35 ) s ( 36) J.. 1= integrirajmo po intervalu (O, l) oduzmimo dobivne jednakosti; nakon parcijalne integracije imamo

Anj' ( oJ URnjRnAdU = LR�p-)RAnnAj(l)

RnA '

S Rnj'

J..

(37)

x = IVJ: , J� (Xni)Jn (X) ( 38 ) 11 n (!l.l xn} ) Jn ( !l.l X) dU - X� Xnj X - Xnj Uzimajući u toj jednakosti limes kad X ....... Xnj, dobivamo (pomoću L'Hospitalovog teorema) ili, stavljajući

O

n T /;!'J

_

.

+

.

( 39 )

Iz Teorema 1 1.5, 11.6 i 1 1.7 slijede ovi zaključci. Teorem 13.1. Ako funkcija f E e(2) ([O, � ) zadovoljava uvjete

f Cl)

2 = 0, I ( ef '(u) )' - n-f U (u) 1 � e.;e,

( 40)

gdje je e > ° konstanta, onda je

.;ef (u )

oo

= 2: j"",l .;eanln (tXni) '

(4 1)

Red na desnoj strani konvergira aposlutno i uniformno na intervalu [O, � . Teorem 13.2. Sustav

nom e .

Jn( UXnjjl) , j = 1 , 2 , . . . je potpun na intervalu (O, l) s teži­

Linearno neovisne harmonijske funkcije oblika (2), ( 3 ) , koje su regularne u cilin­ dru ° � < l i koje se poništavaju Jla omotaču e l , prema ( 10) ,( 13) i (3 1 ) imaju oblik � cos n rp · e I (42) e7u ,

U

= ·Jn (X ' ) COSntp · X' sin nrp · e' ·Jn ( ;J e) , sin nc.p · n 0, 1, . . . , j = 1 , 2, . x_1'

.

.

.

Primjer 13.1. Dirichletov problem za cilindar. Riješit ćemo ovaj problem:

!J.u u(l, rp , z) u ( e cp , O) cp , h)

, u(U,

= ° [O, l) x [0, 2,,) x (O, h), = 0, = 0, = g(e , cp) . II

( 43 )

(44) ( 45 ) ( 46 )

(47)

2. LAPLACEoVA JEDNADŽBA

132

Ovdje je g( e , q;) zadana funkcija, 2n'-periodič�a u varijabli rješenje može prikazati u obliku reda funkcija (42).(43):

q; . Pretpostavimo da se

� � + Dnje- � ) Jn (X;'' e) . (48) L...t )Anj cosnq; + Bnj sinnq; ) ( Cnje u( e , q;,z) = � L n=0 j=1 Iz (46) slijedi Cnj = -Dnj . pa imamo -

I

(49)

(50) Iz toga, pomoću relacija ortogonalnosti (9.8)-(9.10) i (32). dobivamo

1 t , 2rI: flg( e, q; )Jn (Xnj ) cos nq;dq;de , (51) l fl .n:IIRnj I l2 sh Jo Jo 1 (X (52) eg( e, q;)Jn lnj fl) sin nq;dq;de . Bnj = 2rl: ' ' O i 0 .n:IIRniI1 2 sh Jo Jo Red (49) s koeficijentima (51),(52) predstavlja formalno rješenje. Ako je npr. g E C(2) ([O, � x [0, 2.n:] ) i (53) ge l, q; ) = O, : ( e �! ( e, q;)) g(e , q;) � Cve, e gdje je C > O konstanta, pomoću Teorema 13.1 dokazuje se da vrijedi (50), tj. da funkcija (49) zadovoljava uvjet (47) ; pomoću Korolara 7 .9 zaključujemo da je ta A nj

=

\

-�

\

funkcija harmonijska;

Prelazimo na slučaj A. < O . Uvodeći u (14) novu varijablu i novu nepoznatu funkciju

X = (r/-A.

(54) (55)

dobivamo jednadžbu

(56) Lako provjeravamo da je njeno regularno rješenje Besselova funkcija n-tog reda s imaginarnim argumentom: n oo X n+2k . (57) In(x) = i1 Jn( ix) = L r k 1 r k (n + + l) ( + l) ( 2 ) k=O

()

2.13.

133

CiLINDRiČNE FUNKCIJE

Regularno rješenje jednadžbe (14).je

R ( g ) = In (g�) .

(58) Prema (10), (13) i (58), linearno neovisne harmonijske funkcije oblika (2), (3), koje su regularne u cilindru O � g < l, O < z < h i koje se poništavaju na bazama z = O i z = h , imaju oblik cos n

2 , O � y ( t) � 2 , t E [0, 00).

/

(4)

(5) (6)

(7)

(8)

2.

136

1

LAPLACEOVA JEDNADŽBA

2

Sl. 2. 29.

> O i x E Q neka je W. (x) = l 1J1,, (lx -y I ) y ( Ix : YI ) f (y) dVo (9) ZaJx - YI < E imamo y � - YI / E) = O , pa podintegralna funkcija nema singulariteta u Q . Zato je W. E C(1)(Q) i vrijedi ! W.(x) = 1 ! (1JI..(lx -yl)y ( I : YI ) ) f (y) dV , x E Q. (10) Za dovoljno malo E

X

i

i

Dalje imamo

W(x) - W.(x) = 1 ( 1 - Y ( I : Y I )) 1JI,, (lx - yl)f (y) dVo Za lx - Y > 2E vrijedi 1 - Y (lx - yi / E ) = O, pa za x E Q dobivamo I W(x) - W.(x) = J1[x-yl 2 n-2 m x lfl ' l ln E I E za n = 2. i

gdje je

(24)

Q

_

Iz (22)-(24) slijedi

{

_

fi

'

af (y) dVo aw (x) = - 1Jln (lx - yl)f (y) v;(y) dS + 1Jln (lx - yl)� aY; lr lo

(25)

ux;

Prvi integral na desnoj strani predstavlja funkciju klase C(oo ) (Q) , a drugi (prema Lemi 14.1) funkciju klase C{ l )(Q) ; zato je E C(2)(Q) . Neka je E �(Q) ; za E Q prema integralnoj reprezentaciji (6.30) imamo

W

pa vrijedi

ili 34

v

v(x) = - la 1Jln ( lx -y I ) �v(y) dV,

x

(26)

la f(x) v(x) dV = 1f(x) dVx 1 1Jln (lx -yI) �v(y) dVy, 1f(x) v(x) dV = la �v(y) dVy 1f(x) 1Jln (lx -yI) dVx = - 1 �v(y) W(y) dVo

(27)

(28)

Nakon parcijalne integracije na desnoj strani dobivamo

laf(x) v(x) dV = 1 �W(y) . v(y) -

d V,

(29 )

a iz toga (prema Lemi 14.2) jednakost (21). 34

Ovdje smo u nepravom integraJu zamijenili poredak integracije; v. (Dodatak 2.6.18) i (Dodatak 2.6.19).

2 . 14. POTENCIJALI

139

Teorem 14.4. Postoji broj dovoljno velike kugle vrijedi

za n > 2 i

I

>

e

O,

O,

E Rn

koje leži izvan

I W(x) I � Ixlne-2

W(x) - 1JI2 ( lx i )

za n = 2 . Dokaz. Neka je R > Iyl < R < Ix l /2 , pa imamo

takav da za svako x

Q

lx -

e

(30)

fol (Y) dvl � I�I

K(O, R) i lx i >

2R .

(31) za

y

YI � lxi - Iy l > I�I .

E

Q vrijedi (32)

Iz (1) i (32) slijedi (30) za n > 2 . za n = 2 iz (1) dobivamo I W(x ) - 1JI2 ( lx i )

Vrijedi

fol (Y) dV I � 2� 1 k (Y) ln IX I�I YI I dV. YI YI

I

lx � lx i + y l < lxi + R , lx - � lx i

pa imamo

IYI > Ixl - R,

lx i ln ln lx i < ln -lx i Ix I + R < Ix - y Ix 1-R' Koristeći nejednakost ln ; < ; - 1 , dobivamo

-I

I

ln -:-:'--'--

I

ili, zbog x l - R > x l / 2 , In

Dalje imamo ln

2R ' lx i g Jxl _ R
-g lx i lx i + R > - g lx i + R = - ln Ixl

Iz (36), (38) i (39) slijedi

n=2 i

R

(33)

u

beskonačnosti; štoviše, W tada

2. LAPLACEOVA JEDNADŽBA

140

U daljnjem pretpostavljamo da je hiperploha r = aa povezana (zbog ograniče­ nosti područja a ona je i zatvorena, tj. kompaktna) i da je ( 41 )

r E C(2) .

, U tangencijalnom prostoru T"T točke x E r odaberimo ortonormiranu bazu {gl , g2 , ' . . , gn -I } tako da sustav (lokalni reper) I:x = {x ; gJ , g2 , . . . . . . , gn -! , v(x)} ima pozitivnu orijentaciju. Za y E Rn neka je n -I

(42)

;= 1 za dovoljno malo d > O i x E r neka je ox,d = r n K(x, d) . (43) Uzimajući u obzir kompaktnost hiperplohe r , lako zaključujemo da postoji do > O takvo da je za svako x E r skup ox,du karta na r , zadana u sustavu I:x jednadžbom rtn = tp (rt/ ) , rt' = (rtl , rt2 , · · · , rtn- I ). (44) I n Ovdjeje tp E C(2) (Tx.dn ) , gdjeje 't"x,du c R - projekcija karte ox,du na prostor x+Txr . Očigledno je a tp (45) i = 1, 2, . . . , n - 1 . tp (O) = �(O) = O , urti

Prema Teoremu srednje vrijednosti, za rt' E 't"x,du imamo

�

..

a tp a2 tp i = 1 , 2, . l n ( rt') = L..J a 'n. a'n . ( rt/ ) rtj , ' /1 a 'n, j= l ·,f " J gdje je rt' E 't"x,do . Zbog kompaktnosti r vrijedi a2 tp O < "o = sup max J:l 'n" J:l '1 1 ( rt ) < oo. _

xE r

Iz (46) i (47) slijedi

. !

.tEiz�

;,j:l.2. ..n-1

!:; 1

u . , ,u . "

l,

'!

(47)

, ,,. n l ,

(rt' ) � "0(n - l ) 1 /2 I rt' I ,

i = 1 2,

I grad tp ( rt/ ) I � " I rti l ,

(46)

, -

(48)

(49)

gdje je " =

Dalje imamo I

/ ' fI

tp ( rt ) = o J

"

d tp dr

(rftTI ) rt'

(n 1) "o .

dr =

' / ' fI l

Jo

grad tp

(50) (51)

(TftTI ) . ftTI rt'

. rt' d , r

(52)

2.14. POTENCIJALI pa za 1J' E

yE

'l'x ,do

dobivamo

Lema 14.6.

ax,d

141

vrijedi

(53) Postoje brojevi a

>

O i d E (O , do) , takvi da za svako x E

r

i

(54) (55 )

Dokaz. Neka je y E ax ,do Imamo •

v; (y) =

::i ( 1J' )

i = 1 , 2, . . . , n - 1 , (l + j grad cp( 1J' ) j z ) 1 /z ' 1

vn (y) = (1 + j grad cp( 1J ) j 2) l / · Z ' Iz (48) i (56) dobivamo j v;(y) j � 1(0 j 1J' j , i = 1 , 2 , . . . , n - L Neka je O < d < min do, . Tada za y E

ax,d

iz (49) dobivamo

{ �}

j grad cp( 1J' ) I � 1 .

Iz (57) i (60) slijedi 1 - vn (y) � (1 + I grad cp( 1J'W ) l /Z - 1 � j grad cp( 1J' ) IZ � j grad cp( 1J' ) I , pa zbog (49) imamo 1 - vn (y) � 1( 11J' I ­ Iz (58) i (62) slijedi (54). Iz (57 ) i (60) slijedi (55). Lema 14.7.

( 56 )

(57) (58 )

(59) (60) (61) (62)

Za svako x E r, iE ax,d i x' = {x + }.. v(x) : }.. E R} vrijedi I (x' - y) . ( v(y) - v(x)) I � a lx' - ylZ , ( 63 ) (I x - y) . v(Y) 1 � lx' - xl + b lx - y lZ , (64)

gdje je b = a + 1(/2 . . Dokaz. Iz (54) i nejednakosti

11J' 1 � lx' - y j

slijedi (63). Dalje imamo I (x' - y) . v(Y ) 1 � lx' - yl l v(Y) - v(x) I + I (x' - y) . v(x) I � lx' - yl l v(Y) - v(x) I + lx - x l + I cp( 1J' ) I · Uzimajući u obzir (54), (53) i (65) dobivamo (64).

(65) (66)

2.

142 Lema 14.8.

Dokaz.

Postoji broj

C >

O,

LAPLACEOVA JEDNADŽBA

takav da za svako n vrijedi

.i / 8:(Y) 1/Jn ( lx' -yI) , dS


!

1x' - yll - YI ,, -l

pa dobivamo Iz toga slijedi

( 105)

%.

(106)

I U�2)(x') - U�2)(x)1 :;;;; Cl . lx' - xl,

( 107) (108)

%

lx' - x l < min { , 2� } ' 1

Iz (99), ( 109) i ( 110) slijedi neprekidnost funkcije Uo u točki x . Za x' (93) i (80) imamo

) 1i04)

1 Uo(x') = U(x' ) + l lt(x),

( 109)

E

( 110)

r prema

( 1 1 1)

Uo(x') - Uo(x) = U(x') - U(x).

( 112)

lim U(x') = U(x) ,

( 113)

,, -, .t' Er

tj. neprekidnost direktne vrijednosti na r . za x' E g prema (80) imamo Uo(x') = U(x') + It(x) ,

( 114)

2.14.

147

POTENC[JALf

pa pomoću (111) dobivamo

y� U(x') "' EO

tj. formulu (91). Za x'

E

=

Uo(x) - IJ(x)

=

�

U(x) - IJ(X)'

gl imamo Uo(x') = U(x'),

pa pomoću (111) dobivamo

�i� U(x') = Uo(x)

"' E O,

=

Teorem 14.11. Postoji broj dovoljno velike kugle vrijedi

e

>

�

(117)

takav da za svako x E Rn koje leži izvan

o,

I U(x) 1

(116)

U(x) + IJ(x) ,

tj. formulu (92). O.E.D. Slično Teoremu 14.4 dokazuje se ovaj

( 1 15)

�

e

( 1 18)

Ixl n - 1 •

Primjedba 14.12. Potencijal U je regularan u beskonačnosti; štoviše, U opada

brže od 1j lx l n -2 .

*

*

*

Lako se pokazuje da je formulom (3) funkcija V(x) dobro definirana i za x E r i da vrijedi ovaj Teorem 14.13.

Funkcija V je neprekidna na Rn .

Za x E r i x' E Rn \ r definirano je

o�)� (x' ) 1 lI(Y) o�x) 1J1n( lx' - yI ) =

lI(Y) (y'

dS

1 r - x) · v(x) dS ( 119) · n lx' yI ISn l Jr lx' - y l - l Analogno potencijalu dvostrukog sloja, pokazuje se da je formulom (11 9) dobro defi­ nirana i funkcija OV , oV (120) x x) = (x) , x E r. � ov ov(x) --+ = _

_

( )

To je direktna vrijednost normalne derivacije potencijala jednostrukog sloja.

Teorem 14.14. Funkcija V pripada klasi N(g) n N(gl ), tj. ima regularnu nor­ malnu derivaciju (oVjov)- odn. (oVjov)+ iznutra odn. izvana na r (v. 5.) i za

2. LAPLACEOVA JEDNADŽBA

148

x

E r

vrijede formule

(�:) (x) BVBv (x) i1 e(x) , =

(121)

+

( BVBv ) + (x) = BVBv (x) - i1 e(x) .

(122)

Direktna vrijednost normalne derivacije je neprekidna na r . Dokaz.

Neka j e

x

E r , x! E RII i

Ut (x') (B��) ) (x') + UI/(x') , e; Uli ( 1 [ e(Y) y - ) (v(x) - v(y)) . . Ut(x') = _ r -yl ISIII J lx' ,,-t lx' - YI = + AV X : A Ul , O < < d. Ut x ( ) x. Ut(x') = Upl(x') + �2)(x'), �1 e(Y) I (y - . (v(x) - v(y)) ' ISIII � -yl"lx' - y ! 1 e(Y)n- I (y (v(x) - v(y)) ' _ [ l r !SIII J \"iix" x' yl lx' -yi ' !Ul (x') - Ut(x)! � ! U�I)(xJ)1 + I UlI)(x) 1 + !Ul2)(x') - uf\x) I , (55 ) i (63) ! u�1)(x')! � 2a/;:t ! m�! e ! 'd, ! Uil )(x)! � 2a1;:t ' m�x ! e! ' d, !Uil ) (x') I < �, ! UI(I) (x) I < 4 ' 14.10, U�z) I U?l(x') - �2)(x) 1 � Cz lx' -xl , Iz ( 128), (130) ( 131) C2 O UI (X') UI (X) x x' x, ( 123) Ul (x') BV x x' x. Bv (x) + UI/(x)

gdje je

potencijal dvostrukog sloja s gustoćom x!

Dokazat ćemo da je Neka je točki

imamo

dS

.

kao funkcija na {x! Napišimo u obliku

lJ

( 124)

E R} , neprekidna u

gdje je

dS

x!)

a, J

(123)

dS

- x!) .

( 125) (126) ( 127)

Imamo

Pomoću

(128)

dobivamo

(129)

pa za dovoljno malo d dobivamo

E

Slično kao z a funkciju

gdje je pa iz

>

u dokazu Teorema

konstanta.

dobivamo

-+

-+

i

uniformno po

( 130)

dobivamo

( 131)

slijedi

E r,

uniformno po

-+

E r,

-+

( 132) ( 133)

2.15.

149

METODA INTEGRALNIH JEDNADŽBI

+ (8V)(8V) (x) + U: (x) . (x) + U; (x) = U1 (x') - 8 v 8v

S druge strane, iz

( 132) i (123) dobivamo također

( 134)

Uzimajući u obzir (91) i (92), iz ( 134) dobivamo formule (121) i (122) ; neprekidnost direktne vrijednosti normalne derivacije je posljedica tih formula. O.E.D. Slično Teoremu

14.4 dokazuje se i ovaj

Teorem 14.15. Postoji broj dovoljno velike kugle vrijedi

e

> O, takav da za svako x E Rn koje leži izvan

l V(x) I

�

e

( 135)

.

Ix l n- 2

za n > 2 i ( 136)

za n = 2 .

V

Primjedba 14.16.

n = 2 i fr (! dS = o , beskonačnosti.

Primjedba 14.17. je Lema

V

V

Za 2 potencijal je regularan u beskonačnosti. Ako je je također regularno u beskonačnosti; štoviše, tada trne u

n>

Za teoriju potencijala dvostrukog i jednostrukog sloja odlučna Za teoriju je dovoljna

14.6, koja utvrđuje neprekidnost normale po Lipschitzu.

neprekidnost normale po Holderu:

I v(x) - v(Y) 1

� all1T, O < a � 1.

To svojstvo može se osigurati i pretpostavkom slabijom od

(41).

(137)

Primjedba 14.18. Formule (91) i (92) oqn. (121 ) i (122) vrijede i uz pretpos­ tavku da je funkcija f-l odn. {! neprekidna u točki x i po dijelovima neprekidna na r \ {x} .

u ovoj točki dokazujemo egzistenciju rješenja Dirichletovog i Neumannovog pro­ blema za Laplaceovu jednadžbu. Dokaz se zasniva na teoriji potencijala izloženoj u prethodnoj točki i (v. Dodatak 2) . r = 8g C(2) .

je

teoriji integralnih jednadžbi povezano i klase Uz pretpostavku t E C(I) (g) (f E C( l) (gd)

Pretpostavljat ćemo da

Laplaceova jednadžba - tlu = t g ( gt ) može se homogenizirati pomoću volumnog potencijala W ; kako je W E c( l ) (Rn ) , dobiva se za homogenu jednadžbu Dirichletov odn. Neumannov uvjet s ne­

u

prekidnom desnom stranom. jednadžbu:

Zato u daljnjem proučavamo probleme za homogenu

tlu = O

u

g,

u=g

na r,

(1)

2.

tSO

LAPLACEOVA JEDNADŽBA

(unutrašnji Dirichletov problem), (2) Au = O U 01 , U = g na r , u regularno u beskonačnosti (vanjski Dirichletov problem), Bu Au = O u O , = h na r (3) Bv (unutrašnji Neumannov problem) i = h na r, u regularno u beskonačnosti !lu = O U 0 1 , (4) (vanjski Neumannov problem). Pretpostavljamo da je g, h E qr) . Pretpostavimo da se rješenje u Dirichletovog problema može prikazati u obliku

;�

potencijala dvostrukog sloja s nekom gustoćo� /l :

fr :

�

/l (Y)

(5) 1J!,, ( lx - yI ) dS + B (Y) Ix - 2 'gdje je u slučaju unutrašnjeg problema ( 1) a = O (v. Primjedbu 14.12). Iz (14.91) i ( 14.92) zaključujemo da gustoća /l zadovoljava integralnu jednadžbu

u(x) =

/l ex) =

za unutrašnji problem odn. - /lex) =

za vanjski problem, gdje je

fr K(x, Y)/l{Y)dS - 2g(x), x

fr K(x, Y)/l(Y)dS - 2g(x) +

a

e

r

(6)

, xer

(7)

2 (x - y) · v(y)

K(x, y)

lx - YI"

IS" I

(8)

Pretpostavimo da se rješenje u Neumannovog problema može prikazati u obliku potencijala jednostrukog sloja s nekom gustoćom (l :

u(x) =

fr e(Y) 1J!II ( lx - yl )dS.

(9)

Iz ( 14 . 121) i (14.122) zaključujemo da gustoća e zadovoljava integralnu jednadžbu

i K"' (x, y)e(y)dS - 2h(x) , x E r fr K* (x, y)e(y)dS - 2h(x), x E r

- fleX) =

za unutrašnji problem odn. e (x) =

za vanjski problem, gdje je

K• (x, y)

= K(y, x) . = IS2;, I (y -lxx) YI. v(x) "

(10)

(11) (12)

_

Prema ( 14.64), za x, y E r dobivamo 2 I(x y ) . v(Y) 1 I K(x, y) I � SII I I lx YI " _

�

b b lx - Y l 2 = lx - YI " lx _ yl"-2 '

(13)

2.15.

METODA INTEGRALNIH JEDNADŽBI

151

iz čega slijedi da je na hiperplohi r funkcija K jezgra sa slabim singularitetom. Pre­ ma tome, za jednadžbe (6), (7), (10) i (11) vrijede Fredholmovi teoremi, pri čemu su jednadžbe (6) i (11) odn. (7) i (10) adjungirane. U daljnjem ćemo pokazati da one imaju rješenja, koja (uz nužne uvjete) po formulama (5) i (9) generiraju rješenja problema (1) (4).

-

Ako je E > O dovoljno malo, skupovi r;= = {z E Rn : z = x ± E V(X), x E r} (14) su glatke zatvorene hiperplohe; normala na r;= u točki z = x ± E V(X), x E r, paralelna je vektoru v(x) . Dokaz. U dovoljno maloj okolini Ox,1i točke x E r hiperploha r ima u lo­ kalnom reperu �x parametrizaciju 1Jn = cp( 1J' ) , gdje je cp E e( 2) ('Tx,Ii) ' Ako su Si , i = 1, 2, , n koordinate točke z = y + E V(y), y E Ox,1i U �x , imamo Lema 15.1.

...

�( 1J' ) (15) Si = 1Ji - E (1 l g::'d ( ) 2) 1 /2 ' i = 1, 2, o o . , n - l, + CP 1J' I l (16) Sn = cp ( 1J' ) + E (1 grad +I cp( 1J' ) I 2) 1 /2 . Ako je E dovoljno malo, matrica a2 cp {Jij E (17) (O) � 1J. 1J, i';=1,2, ... ,n-1 je regularna, pa iz (15) zaključujemo da su u nekoj okolini ishodišta definirane funkcije X;( s' ) klase e(l ) , i = 1, 2, . . . , n - l , takve da je (18) 1Ji = Si + EXi ( S' ), i = 1, 2, . . . , n - 1. Uvrštavajući to u (16), dobivamo (19) Sn = cp( s' ) + E1jJ ( S' ), I gdje je 1jJ klase e( ) . Zatvorenost hiperplohe rt je evidentna. Lako se dobiva da je grad 1jJ(0) = O , pa je normala na rt u točki (O, O, , O, 1jJ(0)) paralelna s v(x) . Analogan je dokaz za r; . O.E.D. . U daljnjem v(z), z E r;= označava vanjsku normalu (u odnosu na Intr;= ).

( -

)

o

Lema 15.2.

onda je

o

.

Ako .je u E N(Q) odn. u E N(Q 1 ) i w E C(Q) odn. w E C(Qt}, lim0 { w(z)

......

Jr:

au au (z)dS = { w(x)( ) 'f (x)dS. a Jr av v

Dokaz. Za dovoljno malo E > O imamo

I

(20)

(1 + grad cp( S ' ) =fE grad 1jJ( S'W ) I /2 = (1 + I grad cp( s'W ) I /2 (1 =fE � ( S' )), , (21) gdje je