Lineamenti di matematica 1 978-88-268-9048-7 [PDF]
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Italian Pages 642 Year 2011
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- Marzia Re Fraschini
- Gabriella Grazzi
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MARZIA RE FRASCHINI - GABRIELLA GRAZZI
algebra algebra e e geometria geometria 11 ISBN 978-88-268-9048-7 Edizione 1 2 2011
3 4 2012
5 6 2013
7 8 2014
9 10 2015
: Roberto Invernici : Domenico Gesmundo, Mario Scalvini : Ufficio Tecnico Atlas : Vavassori & Vavassori : GIERRE, Bergamo : Grafica Veneta - Trebaseleghe (PD) Il materiale illustrativo proviene dall'archivio iconografico Atlas. L'editore eÁ a disposizione degli aventi diritto non potuti reperire. Il presente volume eÁ conforme alle disposizioni ministeriali in merito alle caratteristiche tecniche e tecnologiche dei libri di testo. Con la collaborazione della Redazione e dei Consulenti dell'I.I.E.A.
Ogni riproduzione del presente volume eÁ vietata. Le fotocopie per uso personale del lettore possono essere effettuate nei limiti del 15% di ciascun volume dietro pagamento alla SIAE del compenso previsto dall'art. 68, commi 4 e 5, della legge 22 aprile 1941 n. 633. Le riproduzioni effettuate per finalitaÁ di carattere professionale, economico o commerciale o comunque per uso diverso da quello personale possono essere effettuate a seguito di specifica autorizzazione rilasciata da AIDRO, Corso di Porta Romana n. 108, Milano 20122, [email protected] e sito www.aidro.org Q 2011 by ISTITUTO ITALIANO EDIZIONI ATLAS 24123 Bergamo - Via Crescenzi, 88 - Tel. (035) 249711 - Fax (035) 216047 - www.edatlas.it
Presentazione Premessa Un testo di Matematica deve avere alcune caratteristiche didattiche indispensabili: l
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deve stimolare la lettura e per questo deve essere scritto in un linguaggio chiaro, semplice, accattivante e soprattutto comprensibile per uno studente di 14-15 anni; deve far capire perche gli strumenti della matematica sono indispensabili nell'affrontare e risolvere problemi; deve essere ricco di esempi, dai piuÁ semplici che servono per imparare ad usare formule o comprendere concetti, a quelli meno immediati nei quali le formule e i concetti "si applicano"; deve essere ricco di esercizi, opportunamente graduati e non banali, che stimolino il ragionamento e la riflessione; deve utilizzare tutti gli strumenti che la tecnologia moderna mette a disposizione per apprendere; deve mettere in grado lo studente di autovalutare la propria preparazione, in modo da renderlo consapevole delle proprie abilitaÁ e competenze.
Struttura: un'opera mista L'opera eÁ dedicata al Primo Biennio e si compone di due volumi cosõÁ articolati: l
Volume 1: Algebra, Geometria, Statistica
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Volume 2: Algebra, Geometria, ProbabilitaÁ
In piena aderenza con le disposizioni ministeriali l'opera Lineamenti di Matematica eÁ un'opera mista in quanto propone partendo dal sito www.edatlas.it molti materiali on line ad integrazione e completamento dei volumi a stampa. In particolare, per ogni capitolo, sono disponibili in rete: l l
ulteriori esercizi di Algebra; il laboratorio di informatica, con esercitazioni con Excel, Derive, Wiris, Cabri e GeoGebra, che completano la trattazione teorica degli argomenti;
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le schede storiche e di approfondimento sui temi fondamentali trattati nel Primo Biennio;
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esercizi tratti dalle Gare di Matematica di diverse competizioni;
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la rubrica Matematica e realtaÁ, con problemi collegati all'esperienza quotidiana dello studente, che presentano situazioni concrete che i ragazzi di questa etaÁ possono trovarsi a dover affrontare; questi problemi si rifanno anche al progetto PISA per la valutazione delle competenze in ambito matematico degli studenti di 15 anni; le attivitaÁ per il recupero con relativa scheda di autovalutazione, organizzate per aree tematiche; la rubrica Math in English con esercizi di matematica in lingua inglese.
Oltre a questi materiali, in modo particolare per la parte di Geometria, sono proposte le immagini in .jpeg da utilizzare con la Lavagna Interattiva Multimediale (LIM).
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Impostazione didattica Nella stesura di questo testo si eÁ cercato di rispondere a tutte le esigenze indicate nella premessa; si eÁ quindi volutamente usato un linguaggio semplice, che tuttavia ha i requisiti del rigore imposto dalla disciplina e che tiene conto della progressiva maturazione matematica dello studente. Nella presentazione di ogni tema nulla eÁ dato per scontato; ogni domanda, ogni problema, ogni richiesta, ha una risposta motivata e le diverse aree tematiche si intersecano per contribuire a formare una conoscenza globale della disciplina. Nella trattazione teorica si evidenzia la presenza di numerosi esempi svolti ed esercizi di verifica della comprensione per l'accertamento delle conoscenze man mano acquisite. Significativi sono i riferimenti agli errori piuÁ comuni, che spesso i ragazzi commettono nello svolgimento degli esercizi, e l'aggancio della Matematica alla realtaÁ, nel quale gli studenti ritrovano i concetti appresi applicati a situazioni di vita reale. Importante eÁ anche la scheda riassuntiva che si trova al termine di ogni capitolo e che ha il duplice scopo di fissare i contenuti piuÁ importanti e di servire come ripasso rapido.
Esercizi In ogni volume sono presenti diverse tipologie di esercizi: l
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di comprensione, spesso in forma di test a risposta multipla, per verificare le conoscenze teoriche senza le quali ogni applicazione eÁ impossibile; di applicazione, sotto forma di esercizi e problemi da svolgere, per sviluppare capacitaÁ logicodeduttive, acquisire nuove abilitaÁ di calcolo, sviluppare abilitaÁ nella scelta delle procedure piuÁ adatte a risolvere un problema; di approfondimento e di sintesi per gli studenti piuÁ capaci che vogliono mettersi alla prova con esercizi piuÁ complessi.
Ogni capitolo di esercizi si conclude con la proposta di una scheda di autovalutazione per l'accertamento delle abilitaÁ, che possono essere usate dallo studente per testare il proprio livello di apprendimento e per la preparazione alle verifiche sommative, dal docente come verifiche formative.
Per lo studente Allo studente che si accinge ad "usare" questo testo vogliamo dare un consiglio: i testi di Matematica sono uno strumento per apprendere e per costruire la propria formazione, non si usano solo per la parte che riguarda gli esercizi. Per questo motivo devi leggere con attenzione la parte teorica, provare a svolgere da solo gli esempi dopo averli letti almeno una volta, e quando incontrerai quella che abbiamo chiamato verifica di comprensione, non saltarla, ma rispondi alle domande, fai gli esercizi che ti vengono proposti e se le tue risposte non sono corrette, domandati perche hai sbagliato. Risolvi sempre gli esercizi della scheda di autovalutazione, attribuisciti il punteggio con onestaÁ e verifica il tuo livello di apprendimento; incontrerai cosõÁ meno difficoltaÁ quando affronterai le verifiche in classe.
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Tema CAPITOLO 1: Insiemi e funzioni Matematica e realtaÁ 1. Il concetto di insieme 2. Come rappresentare un insieme 3. Sottoinsiemi di un insieme 4. Le operazioni con gli insiemi 4.1 L'operazione di intersezione 4.2 L'operazione di unione 4.3 L'insieme differenza 4.4 Le proprietaÁ delle operazioni fra insiemi Approfondimenti La partizione di un insieme 5. Il prodotto cartesiano fra insiemi 5.1 La definizione e la rappresentazione Approfondimenti Il prodotto cartesiano e i diagrammi ad albero 6. Problemi con gli insiemi 7. Le funzioni 7.1 Relazioni e funzioni 7.2 Come si rappresenta una funzione 7.3 Il prodotto di funzioni I concetti e le regole ESERCIZI Test finale
CAPITOLO 2: Gli insiemi N e Z 10 11 13 15 16 16 18 19 20 21 22 22
24 24 26 26
Matematica e realtaÁ 1. I numeri naturali 1.1 Che cosa sono i numeri naturali 1.2 Le operazioni in N 1.3 La potenza 1.4 La divisibilitaÁ e i numeri primi 2. I numeri interi 2.1 Che cosa sono i numeri interi 2.2 Le operazioni in Z Approfondimenti Il legame tra N e Z I concetti e le regole ESERCIZI Test finale
CAPITOLO 3: Gli insiemi Q e R 37 38 38 38 42 43 46 46 47 50 52 328 344
31 31 35 306 326
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Matematica e realtaÁ 1. I numeri razionali assoluti 1.1 Che cos'eÁ un numero razionale 1.2 La scrittura di un numero razionale Approfondimenti Il legame tra N e Qa 2. Le operazioni in Qa 3. Il calcolo percentuale e le proporzioni 4. I numeri razionali relativi 4.1 I numeri razionali relativi e le operazioni 4.2 La potenza in Q 4.3 Riepilogo 5. I numeri reali 5.1 Che cos'eÁ un numero reale 5.2 La continuitaÁ di R 5.3 I valori approssimati e le operazioni con i numeri reali 5.4 Lo schema finale 6. Il piano cartesiano e il grafico di una funzione I concetti e le regole ESERCIZI Test finale
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53 54 54 56 58 59 61 64 64 65 67 68 68 69
70 74 75 78 346 374
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Il laboratorio di informatica
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Il laboratorio di informatica
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Il laboratorio di informatica
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La scheda storica Gli sviluppi della teoria degli insiemi
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La scheda storica Alla conquista dei numeri
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Esercizi dalle Gare di matematica
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Esercizi dalle Gare di matematica
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La scheda I numeri primi e altro
Problemi di Matematica e RealtaÁ (OCSE PISA)
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Problemi di Matematica e RealtaÁ (OCSE PISA)
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Esercizi dalle Gare di matematica Problemi di Matematica e RealtaÁ (OCSE PISA)
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AttivitaÁ di recupero tema 1 Math in English
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Introduzione alla logica
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Tema CAPITOLO 1: Monomi e polinomi Matematica e realtaÁ 1. Il calcolo letterale e le espressioni algebriche 2. I monomi 2.1 La definizione e le caratteristiche 2.2 Le operazioni con i monomi 2.3 Le espressioni con i monomi 2.4 M.C.D. e m.c.m. fra monomi 3. I polinomi 3.1 La definizione e le caratteristiche 3.2 Il polinomio come funzione e il principio di identitaÁ 4. Le operazioni con i polinomi 4.1 Addizione e sottrazione 4.2 Moltiplicazione e divisione per un monomio 4.3 Il prodotto di due polinomi 4.4 Le espressioni con i polinomi 5. I prodotti notevoli 6. La divisione fra polinomi 6.1 Il quoziente e il resto 6.2 La divisibilitaÁ fra polinomi e il teorema del resto 6.3 La regola di Ruffini I concetti e le regole ESERCIZI Test finale
80 81 82 82 84 90 92 94 94 95 96 96
CAPITOLO 2: La fattorizzazione dei polinomi
CAPITOLO 3: Le frazioni algebriche
Matematica e realtaÁ 1. Che cos'eÁ la fattorizzazione 2. Il raccoglimento a fattor comune 2.1 Il raccoglimento totale 2.2 Il raccoglimento parziale 3. Il riconoscimento di prodotti notevoli 4. Il trinomio caratteristico 5. La ricerca dei divisori di un polinomio 6. Sintesi sulla scomposizione 7. M.C.D. e m.c.m. tra polinomi I concetti e le regole
Matematica e realtaÁ 1. Rapporti fra polinomi 2. La semplificazione delle frazioni algebriche 3. L'addizione e la sottrazione 4. La moltiplicazione e la divisione 5. Le espressioni con le frazioni algebriche I concetti e le regole
145 148
128 132 133 135
ESERCIZI Test finale
460 484
ESERCIZI Test finale
435 458
119 120 120 120 121 124 126
136 136 139 141 143
98 101 102 103 109 109 113 114 117 376 433
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Il laboratorio di informatica
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Il laboratorio di informatica
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Il laboratorio di informatica
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La scheda storica Gli sviluppi dell'algebra
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Esercizi dalle Gare di matematica
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Esercizi dalle Gare di matematica
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Problemi di Matematica e RealtaÁ (OCSE PISA)
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Problemi di Matematica e RealtaÁ (OCSE PISA)
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AttivitaÁ di recupero tema 2 Math in English
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Esercizi dalle Gare di matematica
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Problemi di Matematica e RealtaÁ (OCSE PISA)
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Tema
Tema
CAPITOLO 1: Le equazioni
CAPITOLO 2: Le disequazioni
Matematica e realtaÁ 1. Le identitaÁ 2. Le equazioni 2.1 La definizione e le caratteristiche 2.2 I diversi tipi di equazioni 3. I principi di equivalenza 3.1 Equazioni equivalenti 3.2 Il primo principio di equivalenza 3.3 Il secondo principio di equivalenza 4. Le equazioni numeriche intere 4.1 Il grado di un'equazione 4.2 Le equazioni lineari 5. Le equazioni numeriche frazionarie 6. Le equazioni letterali 7. Particolari equazioni di grado superiore al primo 8. Equazioni e problemi I concetti e le regole
150 151 151
ESERCIZI Test finale
486 527
151 153 155 155 156 157 160 160 161
Matematica e realtaÁ 1. Disuguaglianze e disequazioni 1.1 Le disuguaglianze e le loro proprietaÁ 1.2 Le disequazioni 2. Le disequazioni lineari intere 3. Le disequazioni frazionarie 4. Disequazioni non lineari 5. I sistemi di disequazioni Approfondimenti Le equazioni e le disequazioni con i moduli I concetti e le regole ESERCIZI Test finale
CAPITOLO 1: La statistica descrittiva 179 179 179 180 182 185 188 190
192 195 529 551
164 167 172 174 178
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Matematica e realtaÁ 1. L'indagine statistica 1.1 Fenomeni collettivi e caratteri 1.2 Le distribuzioni di frequenze 2. La rappresentazione grafica Approfondimenti Ideogrammi e cartogrammi 3. La sintesi dei dati 3.1 Che cosa vuol dire sintetizzare i dati 3.2 Le medie ferme 3.3 Le medie lasche 4. Le misure di dispersione 4.1 Il campo di variabilitaÁ 4.2 Lo scarto quadratico medio e la varianza Approfondimenti I coefficienti di variazione I concetti e le regole ESERCIZI Test finale
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197 198 198 200 203 206 207 207 208 213 219 219 220 223 225 553 570
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Il laboratorio di informatica
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Il laboratorio di informatica
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Il laboratorio di informatica
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Le schede storiche Le equazioni e il metodo della falsa posizione e I problemi di Tartaglia
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Esercizi dalle Gare di matematica
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Problemi di Matematica e RealtaÁ (OCSE PISA)
La scheda storica PercheÂnasce e come si sviluppa la statistica
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Problemi di Matematica e RealtaÁ (OCSE PISA)
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AttivitaÁ di recupero tema 4 Math in English
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Esercizi dalle Gare di matematica
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Problemi di Matematica e RealtaÁ (OCSE PISA)
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AttivitaÁ di recupero tema 3 Math in English
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Tema CAPITOLO 1: I primi elementi e i triangoli Matematica e realtaÁ 1. Il linguaggio della geometria 2. I primi assiomi 3. Semirette, segmenti e angoli 4. Il concetto di congruenza 4.1 La definizione e gli assiomi della congruenza 5. Poligoni e triangoli 5.1 Spezzate e poligoni 5.2 I triangoli 6. La congruenza nei triangoli 7. Le proprietaÁ del triangolo isoscele 8. Relazioni tra lati e angoli di un triangolo I concetti e le regole
250 253
ESERCIZI Test finale
573 591
228 229 232 233 237 237 242 242 243 245 248
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CAPITOLO 2: Parallelismo e perpendicolaritaÁ nel piano Matematica e realtaÁ 1. Rette perpendicolari 2. Rette parallele 3. PerpendicolaritaÁ e parallelismo nei poligoni I concetti e le regole
262 266
ESERCIZI Test finale
593 603
255 256 258
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CAPITOLO 3: Le isometrie e i quadrilateri Matematica e realtaÁ 1. Trasformazioni geometriche e isometrie 1.1 Il concetto di trasformazione 1.2 Le isometrie 2. Quadrilateri e parallelogrammi 2.1 I quadrilateri 2.2 I parallelogrammi 3. Parallelogrammi particolari 4. Il trapezio 5. La corrispondenza di Talete I concetti e le regole
268 268 270 276 276 277 279 281 283 285
ESERCIZI Test finale
605 619
267
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Il laboratorio di informatica
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Il laboratorio di informatica
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Il laboratorio di informatica
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La scheda di approfondimento Le illusioni ottiche e la scheda storica La storia della geometria
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Esercizi dalle Gare di matematica
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Problemi di Matematica e RealtaÁ (OCSE PISA)
La scheda di approfondimento La topologia e l'anello di MoÈbius
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Esercizi dalle Gare di matematica
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Problemi di Matematica e RealtaÁ (OCSE PISA)
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Esercizi dalle Gare di matematica
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Problemi di Matematica e RealtaÁ (OCSE PISA)
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Tema CAPITOLO 4: La circonferenza e i poligoni Matematica e realtaÁ 287 1. I luoghi geometrici, la circonferenza e il cerchio 288 2. Posizioni reciproche di rette e circonferenze 292 3. Angoli alla circonferenza e angoli al centro 294 4. Poligoni inscritti, circoscritti e regolari 297 5. Punti notevoli dei triangoli 302 I concetti e le regole 304 ESERCIZI Test finale
622 632
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Il laboratorio di informatica
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Le schede di approfondimento Un po' di topologia: il punto eÁinterno o esterno? e La tassellatura del piano
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Esercizi dalle Gare di matematica
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Problemi di Matematica e RealtaÁ
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AttivitaÁ di recupero tema 5 Math in English
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Tema Insiemi e insiemi numerici
Q I
CAPITOLO
Insiemi e funzioni
Obiettivi l
riconoscere insiemi e saperli rappresentare
l
saper utilizzare i simboli del linguaggio insiemistico
l
operare con gli insiemi
l
acquisire il concetto di funzione
l
saper riconoscere funzioni invertibili
MATEMATICA E REALTAÁ Franco e Anna sono due ragazzi che, come te, frequentano il primo anno di una scuola superiore. Nella scuola che frequentano, ogni anno si organizza un corso di teatro alla fine del quale viene rappresentata una commedia. I due ragazzi sono i registi e devono assegnare le parti ai tre protagonisti che sono: un commissario di polizia incaricato di indagare sull'omicidio di un noto scrittore, la moglie dello scrittore e un amico, entrambi sospettati di aver commesso il delitto. Dopo le prime audizioni vengono selezionati: Andrea e Luca per la parte del commissario Lucia, Angela e Marta per la parte della moglie Filippo e Matteo per la parte dell'amico. In quanti e quali modi si possono formare le terne di personaggi? Dopo aver acquisito i contenuti del capitolo, potrai dare tu stesso una risposta a questa domanda (leggi poi la risposta alla fine del capitolo). Lavorare con gli insiemi eÁ utile per analizzare molti problemi e dare loro una struttura nei campi piuÁ diversi del mondo reale. Qualche esempio. Nel Parlamento italiano, in una determinata legislatura, ci sono i partiti che stanno al governo e quelli che stanno all'opposizione; nell'ambito di ciascuna delle due aree, ciascun gruppo politico puoÁ essere considerato un sottoinsieme della propria area, riconoscibile anche dal posto occupato nell'aula parlamentare; questi gruppi, non avendo persone che appartengono contemporaneamente a due diversi schieramenti, formano una partizione dell'area. Ciascuna persona ha un proprio gruppo sanguigno e solo quello e quindi l'insieme degli esseri umani potrebbe essere classificato in base al proprio
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Tema 1 - Cap. 1: INSIEMI E FUNZIONI
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gruppo; cosõÁ come, poiche ogni essere umano eÁ nato in un particolare anno, un'ulteriore distribuzione in sottoinsiemi della popolazione terrestre potrebbe proprio essere fatta in base a questo criterio. In campo medico, l'insieme dei sintomi che un paziente accusa consente di eliminare una serie di malattie e di tenerne presente solo altre in modo da indagare in una particolare direzione; in un'azienda i costi e i ricavi vengono attribuiti a particolari voci del conto economico che, insieme allo stato patrimoniale, contribuisce alla determinazione del bilancio annuale su cui l'azienda deve pagare le tasse. Conosci sicuramente il gioco di battaglia navale. Lo schema nel quale si disegnano le navi eÁ una tabella che si puoÁ immaginare come la combinazione di due insiemi, uno numerico che indica le colonne, uno di lettere che indica le righe; ogni casella eÁ individuata da una coppia del tipo (lettera, numero) e una nave risulta colpita se la coppia individua una casella nella quale si trova una nave o parte di essa. Mettere in relazione gli elementi di due insiemi eÁ un'altra operazione fondamentale che si fa quotidianamente: ogni studente con la propria classe, ogni cittadino italiano con il propio codice fiscale, ogni auto con la propria targa, ogni cittaÁ italiana con il proprio C.A.P., ogni libro pubblicato con la propria Casa Editrice e cosõÁ via. Ma perche l'uomo, in qualunque situazione, ha questa esigenza di raggruppare, classificare, stabilire relazioni? Il mondo, nella sua globalitaÁ, eÁ qualcosa di estremamente complesso e per conoscerlo, studiarlo, viverci, eÁ necessario ridurre questa complessitaÁ; uno dei metodi eÁ proprio quello di stabilire relazioni tra oggetti, in modo da comprenderne le somiglianze e le diversitaÁ. Potremmo sintetizzare quanto detto in uno slogan, un po' matematico ma non troppo: classificare, mettere in relazione sfida alla complessitaÁ
1. IL CONCETTO DI INSIEME
Gli esercizi di questo paragrafo sono a pag. 306
Consideriamo i seguenti gruppi di oggetti: A: i giocatori di calcio che hanno vinto il Pallone d'oro; B: i cantanti italiani famosi. GiaÁ a livello intuitivo si nota che, mentre gli oggetti del gruppo A sono individuabili in modo certo, su quelli del gruppo B si possono avere molti dubbi in quanto non eÁ sufficientemente chiaro che cosa si intende per "famosi": un cantante puoÁ essere ritenuto famoso da alcune persone ma non da altre che magari nemmeno lo conoscono. In matematica, per indicare un raggruppamento di oggetti di qualsiasi natura, individuabili in modo certo mediante un criterio oggettivo si usa la parola insieme.
CHE COS'EÁ UN INSIEME
Costituiscono quindi un insieme: l
le cittaÁ italiane
l
le lettere dell'alfabeto internazionale
l
i poligoni
l
le rette che giacciono su un piano assegnato.
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Tema 1 - Cap. 1: INSIEMI E FUNZIONI
11
Non costituiscono un insieme: l
le grandi cittaÁ europee
l
i fiumi piuÁ lunghi d'Italia
l
i ragazzi simpatici della tua scuola.
In ciascuno di questi ultimi casi, infatti, non esiste un criterio oggettivo che indichi quali sono le cittaÁ piuÁ grandi, i fiumi piuÁ lunghi, i ragazzi simpatici. Per indicare che un elemento a appartiene ad un insieme A si usa il simbolo 2 e si scrive: a 2 A. Lo stesso simbolo barrato indica che quell'elemento non appartiene all'insieme: a 62 A Il criterio in base al quale si costruisce un insieme rappresenta la proprietaÁ caratteristica degli elementi dell'insieme. Per esempio, relativamente all'insieme A delle persone che hanno vinto il premio Nobel per la pace possiamo dire che: l
la proprietaÁ caratteristica eÁ avere vinto il premio Nobel per la pace
l
l'elemento Nelson Mandela 2 A
l
l'elemento Francesco Totti 62 A.
Gli insiemi si indicano con le lettere maiuscole dell'alfabeto: A B C .......... Gli elementi di un insieme con le lettere minuscole. Per gli insiemi numerici si usano lettere particolari: N: numeri naturali Z : numeri interi Q: numeri razionali
LA PROPRIETAÁ CARATTERISTICA
Diciamo poi che un insieme eÁ: n finito se eÁ possibile elencare tutti i suoi elementi;
INSIEMI FINITI, INFINITI, VUOTI
n infinito se non eÁ possibile elencarli tutti. Sono per esempio finiti: l l'insieme dei componenti di una famiglia l l'insieme dei numeri interi compresi fra 100 e 1000000 (anche se l'operazione eÁ lunga, eÁ tuttavia possibile fare un elenco completo). Sono invece infiniti: l l'insieme N dei numeri naturali l l'insieme dei punti di una retta l l'insieme dei rettangoli che hanno la base lunga 10cm. PuoÁ anche capitare che un insieme non abbia elementi; si dice in questo caso che l'insieme eÁ vuoto; per indicare che un insieme eÁ vuoto si usa il simbolo 1 oppure il simbolo f g . Sono per esempio vuoti gli insiemi: l
dei numeri interi negativi che sono maggiori di 3;
l
degli insegnanti della tua scuola che hanno piuÁ di 90 anni;
l
delle capitali europee che hanno meno di 100 abitanti.
Diciamo infine che due insiemi sono uguali se sono formati dagli stessi elementi. Sono per esempio uguali: l l'insieme delle vocali della parola terra e quello delle vocali della parola mare; infatti entrambi hanno come elementi le lettere a, e; l l'insieme dei rettangoli che hanno la base di 5cm e l'insieme dei rettangoli che hanno l'altezza di 5cm; infatti in un rettangolo la base e l'altezza possono scambiarsi i ruoli.
12
Tema 1 - Cap. 1: INSIEMI E FUNZIONI
INSIEMI UGUALI
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VERIFICA DI COMPRENSIONE 1. Barra con una crocetta quelli che ritieni siano insiemi: ¬ i gatti con due code le persone di sesso maschile di una data associazione ® i ragazzi belli della tua classe ¯ i tuoi compagni di classe ° i professori bravi. 2. Per ciascuno dei seguenti casi, inserisci il simbolo adatto scegliendolo fra 2 e 62. Sia A l'insieme delle lettere dell'alfabeto italiano: a. c ::: A b. x ::: A c. z ::: A
d. j ::: A
3. Le vocali delle parole che seguono formano insiemi uguali, tranne in un caso. Quale? a. sasso
b. babbo
c. nababbo
d. mano
e. viola.
2. COME RAPPRESENTARE UN INSIEME Per individuare un insieme occorre definire in modo preciso quali sono i suoi elementi; questo puoÁ essere fatto in diversi modi.
Gli esercizi di questo paragrafo sono a pag. 306
Mediante rappresentazione tabulare o per elencazione In questo caso si elencano tutti gli elementi dell'insieme, separandoli con una virgola e racchiudendoli in una coppia di parentesi graffe. Per esempio: l
l
l'insieme A dei primi quattro mesi dell'anno si indica cosõÁ: A fgennaio, febbraio, marzo, aprileg l'insieme B delle lettere della parola cassa si indica cosõÁ: B fc, a, sg
Osserva che le lettere a, s pur essendo ripetute piuÁ volte nella parola, devono essere scritte una volta sola.
L'ordine con cui vengono scritti gli elementi di un insieme non ha importanza: fc, a, sg eÁ la stessa cosa di fa, s, cg oppure fs, c, ag.
Mediante rappresentazione caratteristica In questa modalitaÁ si mette in evidenza la proprietaÁ caratteristica degli elementi dell'insieme; all'interno di una coppia di parentesi graffe si indicano: l
il nome generico con cui si vogliono rappresentare gli elementi dell'insieme;
l
una barra verticale che si legge tali che
l
la proprietaÁ caratteristica.
Per esempio: l
l
l'insieme A dei pezzi degli scacchi si rappresenta cosõÁ: A fa j a e un pezzo degli scacchig e si legge "A eÁ l'insieme degli elementi a tali che a eÁ un pezzo degli scacchi" l'insieme B delle rette che sono parallele a una data retta r si rappresenta cosõÁ: B fb j b e una retta parallela a r g
Spesso, per scrivere la proprietaÁ caratteristica degli elementi di un insieme numerico si usano dei simboli che sono propri della matematica; ad esempio: l
per indicare i numeri naturali x che sono minori di 10 si scrive di solito cosõÁ: fx 2 N j x < 10g
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Il simbolo } < } significa "minore"; il simbolo } } significa "minore oppure uguale". La scrittura fx 2 Q j
5 < x < 2g
indica l'insieme dei numeri razionali compresi fra 5 e 2; si tratta di un insieme infinito.
Tema 1 - Cap. 1: INSIEMI E FUNZIONI
13
specificando nella prima parte della scrittura che x eÁ un numero naturale
x 2 N e nella seconda che eÁ minore di 10
x < 10. L'insieme che viene indicato nella prima parte della rappresentazione ci dice in sostanza dove dobbiamo andare a prendere gli elementi per formare quel particolare insieme; esso si dice insieme ambiente o anche insieme universo. L'insieme ambiente del precedente esempio eÁ N. L'insieme ambiente si deduce dalla proprietaÁ caratteristica che definisce l'insieme; alcune volte la sua dichiarazione eÁ esplicita (si dice per esempio x 2 N, x 2 Q), altre volte eÁ sottintesa. Per esempio, l'insieme delle vocali non necessita di specificare che l'insieme ambiente eÁ quello dell'alfabeto perche sia l'alfabeto italiano che quello internazionale hanno le stesse vocali; eÁ invece necessario indicare l'ambiente nel caso dell'insieme delle consonanti perche l'alfabeto internazionale ha delle consonanti in piuÁ rispetto a quello italiano.
Mediante i diagrammi di Eulero-Venn
INSIEME AMBIENTE Figura 1
a.
Un insieme puoÁ essere rappresentato in modo grafico racchiudendo i suoi elementi all'interno di una linea chiusa non intrecciata e indicando, normalmente al suo esterno, il nome dell'insieme. Per esempio: l
l
in figura 1a puoi vedere la rappresentazione mediante un diagramma di Eulero-Venn dell'insieme A delle vocali in figura 1b la rappresentazione dell'insieme B dei numeri interi compresi fra 2 e 3, estremi inclusi.
b.
ESEMPI 1. Rappresentiamo nei modi possibili i seguenti insiemi. a. L'insieme A dei divisori di 20. Mediante elencazione: A f1, 2, 4, 5, 10, 20g Mediante proprietaÁ caratteristica: A fx 2 N j x divide 20g Mediante diagramma di Eulero-Venn (vedi figura). b. L'insieme P dei numeri pari. P eÁ un insieme infinito e quindi la rappresentazione migliore eÁ quella caratteristica: P fx 2 N j x e parig oppure P fx 2 N j x 2n, n 2 N g Tuttavia, essendo semplice la regola con cui si generano i numeri pari, sono possibili anche le altre due modalitaÁ di rappresentazione: mediante elencazione: P f0, 2, 4, 6, 8, 10, 12, :::::g mediante diagramma di Eulero-Venn (vedi figura). In entrambi i casi i puntini di sospensione indicano che l'elenco continua indefinitamente. c. L'insieme D dei numeri razionali maggiori di 3. L'insieme eÁ infinito e, per quanto detto in precedenza, si puoÁ rappresentare solo mediante proprietaÁ caratteristica: D f x 2 Q j x > 3g
14
Tema 1 - Cap. 1: INSIEMI E FUNZIONI
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2. Dato l'insieme A f0, 3, 7, 18g, rappresentiamolo negli altri modi possibili. Poiche non eÁ possibile individuare una proprietaÁ che accomuna gli elementi di questo insieme, non eÁ conveniente usare la rappresentazione caratteristica (si potrebbe solo dire che A eÁ l'insieme degli x che sono uguali a 0, 3, 7, 18); eÁ invece possibile rappresentare l'insieme con un diagramma di Eulero-Venn (vedi figura).
VERIFICA DI COMPRENSIONE 1. La rappresentazione mediante proprietaÁ caratteristica dell'insieme A f3, 4, 5, 6g eÁ: a. A fa 2 N j 3 < a < 6g
b. A fa 2 Q j 2 < a < 7g
c. A fa 2 Q j 3 a 6g
d. A fa 2 N j 3 a 6g
2. Completa elencando gli elementi dei seguenti insiemi: a. A fx 2 Z j 3 < x 5g b. B x 2 N j x e una cifra del numero 3782
A f:::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::g B f:::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::g
3. Quali delle seguenti frasi individuano la proprietaÁ caratteristica dell'insieme A f0, 6, 12, 18, 24, ::::::::::g? a. i multipli di 3
b. i multipli pari di 3
c. i multipli di 6
d. i sottomultipli di 90
4. Rappresenta mediante la proprietaÁ caratteristica i seguenti insiemi:
a.
b.
3. SOTTOINSIEMI DI UN INSIEME Consideriamo l'insieme B dei divisori di 15, cioeÁ l'insieme B f1, 3, 5, 15g; consideriamo poi l'insieme A dei numeri naturali minori di 20. Se rappresentiamo A e B con un diagramma di Eulero-Venn, ci accorgiamo che per rappresentare B basta circondare con una linea chiusa alcuni elementi di A, cioeÁ ogni elemento di B eÁ anche elemento di A (figura 2); diciamo allora che B eÁ un sottoinsieme di A o anche che B eÁ contenuto in A.
Gli esercizi di questo paragrafo sono a pag. 309 Figura 2
Dati due insiemi A e B, si dice che B eÁ un sottoinsieme di A, e si scrive B A, se tutti gli elementi di B appartengono anche ad A. Quando, come in questo esempio, A contiene anche altri elementi oltre a quelli di B, si dice che B eÁ un sottoinsieme proprio di A; in sostanza B eÁ un sottoinsieme proprio di A se B non esaurisce gli elementi di A: PuoÁ capitare tuttavia che A non abbia altri elementi oltre a quelli di B, il che equivale a dire che i due insiemi hanno gli stessi elementi, oppure che B non Q ISTITUTO ITALIANO EDIZIONI ATLAS
SOTTOINSIEMI PROPRI O IMPROPRI
Tema 1 - Cap. 1: INSIEMI E FUNZIONI
15
abbia elementi. In questi casi si dice che B eÁ un sottoinsieme improprio di A. Per esempio: l
l
l
La scrittura B A significa che B eÁ sottoinsieme proprio di A. La scrittura B A significa che B eÁ sottoinsieme proprio o improprio di A.
se A eÁ l'insieme dei poligoni e B eÁ l'insieme dei triangoli, allora B eÁ un sottoinsieme proprio di A percheÂ, oltre ai triangoli, esistono altri poligoni (figura 3a) se A eÁ l'insieme delle vocali della parola ciao e B eÁ l'insieme delle vocali della parola miao, allora B eÁ un sottoinsieme improprio di A perche A e B sono uguali (figura 3b) se A eÁ l'insieme delle cifre del numero 13975 e B eÁ l'insieme delle cifre pari dello stesso numero, allora B eÁ un sottoinsieme improprio di A perche eÁ l'insieme vuoto (figura 3c).
Un insieme A ha sempre due sottoinsiemi impropri: l'insieme A stesso e l'insieme vuoto. Figura 3
a.
b.
c.
VERIFICA DI COMPRENSIONE 1. Siano A fx 2 N j 4 x 30g e B fx 2 N j 2 x 31 e x e multiplo di 4g. Indica quali fra le seguenti relazioni sono vere: a. A B b. B A
2. L'insieme B fb 2 Z j a. A fa 2 Z j
c. 6 2 A
d. 6 2 B
e. 12 62 B
2 < b 5g eÁ un sottoinsieme di: b. A fa 2 N j a < 8g
1 a 8g
c. A fa 2 Z j a < 5g
d. A fa 2 Z j a >
2g
4. LE OPERAZIONI CON GLI INSIEMI Con gli insiemi, cosõÁ come con i numeri, si possono eseguire delle operazioni; basta fissare le regole che, dati due insiemi A e B, indichino come selezionare i loro elementi per costruire un terzo insieme C. Le principali operazioni con gli insiemi si chiamano: intersezione unione differenza.
Gli esercizi di questo paragrafo sono a pag. 311
4.1 L'operazione di intersezione Consideriamo gli insiemi A f0, 4, 8, 19, 22g
16
B f4, 12, 16, 19g
Tema 1 - Cap. 1: INSIEMI E FUNZIONI
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nei quali abbiamo sottolineato gli elementi in comune, cioeÁ quelli che sono uguali nei due insiemi. Se fissiamo come regola di operazione quella che seleziona gli elementi in comune otteniamo l'insieme C f4, 19g Diciamo che C eÁ l'intersezione degli insiemi A e B.
Figura 4
Intersezione di due insiemi A e B eÁ l'insieme C i cui elementi appartengono sia ad A che a B. Per indicare che C eÁ l'intersezione di A e B si scrive: C A\B Nel caso precedente quindi A \ B eÁ l'insieme C f4, 19g. Poiche l'intersezione fra insiemi eÁ ancora un insieme, per rappresentarla si puoÁ usare, a seconda della convenienza, una qualsiasi delle modalitaÁ di rappresentazione che abbiamo visto nel secondo paragrafo. In particolare, per quanto riguarda la rappresentazione grafica con il diagramma di Eulero-Venn, si rappresentano i due insiemi mediante due linee chiuse che si intersecano e si indicano nella parte comune gli elementi dell'intersezione; in figura 4 abbiamo rappresentato l'intersezione fra gli insiemi A e B dell'esempio precedente. EÁ poi evidente che l'insieme definito da A \ B e quello definito da B \ A sono lo stesso insieme; si esprime questo fatto dicendo che l'intersezione fra insiemi eÁ commutativa. Inoltre: l
se B A, allora A \ B B (figura 5)
l
A\11
l
1 \ 1 1.
Figura 5
Un'operazione eÁ commutativa se cambiando l'ordine dei termini si ottiene lo stesso risultato. Nel caso dell'intersezione tra insiemi: A\B B\A
PuoÁ capitare che due insiemi non abbiano elementi in comune, come per esempio nel caso degli insiemi: A f1, 2, 3, 4g
e
INSIEMI DISGIUNTI Figura 6
B f7, 8, 9g
La rappresentazione con il diagramma di Eulero-Venn (figura 6) mette in evidenza che l'intersezione dei due insiemi eÁ l'insieme vuoto. Diciamo in questo caso che i due insiemi sono disgiunti: A\B 1
!
A e B disgiunti
ESEMPI 1. Un'urna contiene delle biglie colorate di vetro e di plastica; sia A l'insieme delle biglie che sono rosse, B l'insieme delle biglie che sono nere, C l'insieme delle biglie che sono di vetro, D l'insieme delle biglie che sono di plastica. Allora: l
A\C
eÁ l'insieme delle biglie di vetro che sono rosse
l
B\D
eÁ l'insieme delle biglie di plastica che sono nere
l
A\B
eÁ l'insieme vuoto, quindi A e B sono disgiunti
l
A\D
eÁ l'insieme delle biglie di plastica che sono rosse.
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Tema 1 - Cap. 1: INSIEMI E FUNZIONI
17
2. Siano A fx 2 Z j
5 x 20g e B fx 2 Z j calcoliamo la loro intersezione.
1 x 35g;
Figura 7
Gli elementi che appartengono ad entrambi gli insiemi sono i numeri interi compresi fra 1 e 20, estremi inclusi (per comprendere meglio osserva la figura 7 anche se non eÁ in scala). Possiamo allora scrivere l'insieme intersezione mediante proprietaÁ caratteristica nel seguente modo: A \ B fx 2 Z j 1 x 20g
Figura 8
3. Siano A fa, e, ig e B fa, e, i, o, ug; in questo caso A eÁ un sottoinsieme proprio di B e quindi ogni elemento di A eÁ anche elemento di B. La loro intersezione eÁ dunque l'insieme A stesso (figura 8): A\B A
4.2 L'operazione di unione Consideriamo di nuovo gli insiemi A f0, 4, 8, 19, 22g
B f4, 12, 16, 19g
e fissiamo come regola di mettere nell'insieme C tutti gli elementi di A e tutti gli elementi di B scrivendo una volta sola quelli comuni; otteniamo cosõÁ l'insieme:
12, 16 C 0, 4, 8, 19, 22 , elementi di A
Figura 9
elementi di B senza ripetizioni
Diciamo che C eÁ l'unione degli insiemi A e B (figura 9).
Unione di due insiemi A e B eÁ l'insieme C i cui elementi appartengono ad A oppure a B. Per indicare che C eÁ l'unione di A e B si scrive: C A[B La rappresentazione dell'unione mediante il diagramma di Eulero-Venn non differisce da quella usata per rappresentare l'intersezione; questa volta peroÁ l'insieme C eÁ quello che comprende tutti gli elementi sia di A che di B. L'operazione di unione ha proprietaÁ simili a quelle dell'intersezione: l
eÁ commutativa, cioeÁ A [ B B [ A;
l
se B A, allora A [ B A (figura 10)
l
A[1A
l
1 [ 1 1.
Figura 10
ESEMPI 1. Siano A fx j x eÁ una vocale di alberog e B fx j x eÁ una vocale di
Figura 11
fioreg. Essendo A fa, e, og e B fi, o, eg, l'unione eÁ l'insieme C fa, e, o, i g. Osserviamo che gli elementi o, e che sono in comune ai due insiemi sono stati indicati una sola volta. In figura 11 la rappresentazione mediante il diagramma di Eulero-Venn.
18
Tema 1 - Cap. 1: INSIEMI E FUNZIONI
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2. Siano A fx 2 N j x < 30g e B fx 2 N j 10 < x < 63g; si ha che
Figura 12
(osserva la figura 12 per comprendere meglio) A [ B fx 2 N j x < 63g
3. Sia A l'insieme dei quadrilateri, B l'insieme dei parallelogrammi, C quello dei rettangoli. Osserviamo che un rettangolo eÁ anche un parallelogramma, un parallelogramma eÁ un quadrilatero, quindi la rappresentazione dei tre insiemi con un diagramma di Eulero-Venn eÁ quella in figura 13. Possiamo quindi dire che: l
l
Figura 13
poiche C eÁ un sottoinsieme sia di B che di A, allora: C [B B e C [AA poiche B eÁ un sottoinsieme di A, allora: B [ A A.
4.3 L'insieme differenza Consideriamo gli insiemi A fa, e, i, o, ug
Figura 14
B fa, b, c, d, e g
la cui rappresentazione con un diagramma di Eulero-Venn eÁ in figura 14. Se prendiamo tutti gli elementi di A che non appartengono anche a B otteniamo l'insieme: fi, o, ug. Se prendiamo tutti gli elementi di B che non appartengono anche ad A otteniamo l'insieme: fb, c, d g. Con questa regola abbiamo definito una nuova operazione alla quale diamo il nome di differenza. La differenza fra l'insieme A e l'insieme B eÁ l'insieme C che ha per elementi gli elementi di A che non appartengono a B: C A B GiaÁ dall'esempio introduttivo si vede che la differenza fra insiemi non eÁ commutativa perche A B e B A sono due insiemi diversi; occorre dunque prestare attenzione all'ordine nel quale vengono scritti i due insiemi. Quando B eÁ un sottoinsieme di A, allora l'insieme differenza A B viene anche detto insieme complementare di B rispetto ad A (figura 15); l'insieme complementare si indica in uno dei seguenti modi: C A B dove il simbolo C sta per "complementare", il pedice A indica rispetto a quale insieme si calcola il complementare e B eÁ l'insieme del quale si vuole trovare il complementare BA
dove B significa complementare di B e il pedice A indica l'insieme rispetto al quale si calcola il complementare
B
qualora non sia necessario precisare l'insieme rispetto al quale calcolare il complementare.
INSIEME COMPLEMENTARE
Figura 15
Ad esempio: l
l'insieme dei numeri pari eÁ complementare dell'insieme dei numeri dispari rispetto all'insieme N;
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Tema 1 - Cap. 1: INSIEMI E FUNZIONI
19
l
l'insieme delle consonanti eÁ complementare dell'insieme delle vocali rispetto all'insieme delle lettere dell'alfabeto.
ESEMPI 1. Sono dati gli insiemi: A fx j x e una lettera della parola camerag, B fx j x eÁ una lettera della parola cassettag. Per calcolare A
BeB
A conviene rappresentare i due insiemi per elencazione:
A fc, a, m, e, r g Si ha subito che:
A
B fc, a, s, e, t g B fm, r g
B
A fs, t g
2. Sia A l'insieme delle lettere della parola giocare e sia B l'insieme delle lettere
Figura 16
dalla parola raggio; calcoliamo A B. Rappresentiamo dapprima per elencazione i due insiemi: A fg, i, o, c, a, r, e g
B fr, a, g, i, o g
L'insieme differenza eÁ A
B fc, e g.
Inoltre, essendo B un sottoinsieme di A, A
B BA (figura 16).
3. Riprendiamo l'urna dell'esempio 1 relativo all'intersezione: A fbiglie rosseg
B fbiglie nereg
C fbiglie di vetrog
D fbiglie di plasticag.
Si ha che: l
A
BA
B
AB
l
A
C fbiglie rosse che non sono di vetrog
C
A fbiglie di vetro che non sono rosseg
l
B
D fbiglie nere che non sono di plasticag
D
B fbiglie di plastica che non sono nereg
4.4 Le proprietaÁ delle operazioni fra insiemi Abbiamo visto che le operazioni di unione e intersezione sono commutative mentre non lo eÁ l'operazione di differenza. Evidenziamo nelle seguenti tabelle le principali proprietaÁ dell'unione e dell'intersezione; esse possono essere facilmente dimostrate con l'aiuto dei diagrammi di Eulero-Venn: PROPRIETAÁ DELL'INTERSEZIONE commutativa associativa
A\B B\A
A \ B \ C A \
B \ C
distributiva rispetto all'unione
A \
B [ C
A \ B [
A \ C
PROPRIETAÁ DELL'UNIONE commutativa associativa
A[B B[A
A [ B [ C A [
B [ C
distributiva rispetto all'intersezione
A [
B \ C
A [ B \
A [ C
Valgono poi le seguenti leggi di De Morgan che semplificano a volte l'esecuzione di alcune operazioni: prima legge:
A\B A[B
seconda legge:
A[B A\B
20
Tema 1 - Cap. 1: INSIEMI E FUNZIONI
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APPROFONDIMENTI LA PARTIZIONE DI UN INSIEME Nelle classi prime di una scuola eÁ prevista un'ora alla settimana obbligatoria di insegnamento di una lingua straniera a scelta fra inglese, francese, spagnolo e tedesco; al momento della lezione gli studenti si dividono in gruppi e ciascuno si reca nel laboratorio linguistico relativo alla lingua prescelta. Se consideriamo l'insieme A degli studenti di prima della scuola e gli insiemi B1 , B2 , B3 , B4 degli studenti che frequentano i vari corsi di lingua, abbiamo che (figura 17): l
l l
l
ogni insieme Bi (dove i 1, 2, 3, 4 ha almeno un allievo altrimenti l'insegnamento della lingua corrispondente verrebbe sospeso;
Figura 17
gli insiemi Bi sono sottoinsiemi propri di A; gli insiemi Bi sono a due a due disgiunti perche se un ragazzo segue, ad esempio, il corso di francese, non puoÁ seguire contemporaneamente quello di tedesco; l'unione degli insiemi Bi daÁ l'insieme A.
Quando si verifica una situazione come quella descritta si dice che i sottoinsiemi Bi costituiscono una partizione dell'insieme A. Dato un insieme A e considerati n suoi sottoinsiemi propri Bi , si dice che i Bi costituiscono una partizione dell'insieme A se si verificano le seguenti condizioni: 1. nessuno dei Bi eÁ vuoto; 2. sono a due a due disgiunti; 3. la loro unione daÁ l'insieme A. Per esempio: l
l
nell'insieme A delle lettere dell'alfabeto, il sottoinsieme delle vocali e quello delle consonanti non sono vuoti, sono disgiunti e la loro unione forma l'insieme A; essi costituiscono quindi una partizione di A nell'insieme A degli studenti di un Istituto, i sottoinsiemi che hanno per elementi gli alunni di una certa classe costituiscono una partizione di A; infatti in ogni classe ci sono alunni, se un alunno appartiene ad una classe non puoÁ appartenere ad un'altra (cioeÁ i sottoinsiemi sono disgiunti), l'unione degli alunni di tutte le classi forma l'insieme A.
Non costituiscono invece una partizione: l
nell'insieme A degli studenti di una classe, i sottoinsiemi degli studenti che allo scrutinio del I quadrimestre sono insufficienti in una particolare materia; questi sottoinsiemi non sono in generale disgiunti perche uno studente puoÁ appartenere sia al sottoinsieme degli insufficienti in Inglese che a quello degli insufficienti in Matematica; inoltre la loro unione non daÁ di solito l'insieme A, perche vi sono alunni che non hanno nemmeno un'insufficienza.
VERIFICA DI COMPRENSIONE 1. Dati gli insiemi A f7, 8, 9, 10, 11g e B f10, 11, 12, 13, 14g, determina A [ B, A \ B, A
B, B
A.
Gli elementi che appartengono ad entrambi gli insiemi sono .................; quelli che appartengono solo ad A sono ............; quelli che appartengono solo a B sono ............ Quindi a. A [ B f::::::::::::::::::::::::::::::::g
b. A \ B f::::::::::::::::::::::::::::::::g
c. A
d. B
B f::::::::::::::::::::::::::::::::g
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A f::::::::::::::::::::::::::::::::g Tema 1 - Cap. 1: INSIEMI E FUNZIONI
21
2. L'intersezione degli insiemi A fx 2 Z j x < 10g e B fx 2 Z j x > 2g eÁ: a. fx 2 Z j
2 x 10g
b. Z
c. fx 2 Z j
1 x 9g
d. 1
3. Sono dati gli insiemi A e B tali che A B; completa le seguenti relazioni tenendo presenti anche le leggi di De Morgan: a. A [ A ::::::::
b. B \ B ::::::::
c. B
A ::::::::::
5. IL PRODOTTO CARTESIANO FRA INSIEMI
d. A \ B ::::::::::
Gli esercizi di questo paragrafo sono a pag. 316
5.1 La definizione e la rappresentazione Il prodotto cartesiano fra due insiemi eÁ un'operazione un po' diversa da quelle descritte in precedenza. Per comprendere il suo significato consideriamo la seguente situazione. In una gara di tiro al piattello sono iscritte 4 persone e le regole prevedono che ad ogni concorrente, quando eÁ il suo turno, venga assegnato uno dei 3 fucili a disposizione. In quali modi si possono combinare le coppie concorrente-fucile? Indichiamo con A l'insieme degli iscritti alla gara (rappresentati da lettere minuscole dell'alfabeto) e con B quello dei fucili (rappresentati con i simboli f1 , f2 , f3 ): A fa, b, c, d g B ff1 , f 2 , f 3 g Non eÁ difficile individuare le modalitaÁ di abbinamento: concorrente concorrente concorrente concorrente
a: b: c: d:
a, f1 b, f1 c, f1 d, f1
a, f2 b, f2 c, f2 d, f2
a, f3 b, f3 c, f3 d, f3
Per risolvere questo problema abbiamo associato, uno alla volta, ad ogni elemento dell'insieme A tutti gli elementi dell'insieme B; le coppie che abbiamo ottenuto costituiscono un nuovo insieme che rappresenta il prodotto cartesiano fra A e B. Dati due insiemi A e B non vuoti, si chiama prodotto cartesiano A B (e si legge "A per B" oppure "A cartesiano B") l'insieme formato da tutte le coppie ordinate tali che il primo elemento appartiene all'insieme A e il secondo all'insieme B. Si ha cioeÁ che A B f
x, y j x 2 A e y 2 Bg
Il prodotto cartesiano di un insieme per se stesso, oltre che con il simbolo A A, si indica anche con A2 .
Se uno dei due insiemi eÁ vuoto si conviene poi di porre: A11
1A1
e anche
111
Il prodotto cartesiano puoÁ essere raffigurato in diversi modi. Se A fa, b, c g e B f1, 2g allora A B si puoÁ rappresentare: n mediante l'elenco delle coppie ordinate Si combina il primo elemento di A con tutti gli elementi di B, il secondo ele-
22
Tema 1 - Cap. 1: INSIEMI E FUNZIONI
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mento di A con tutti gli elementi di B e cosõÁ via fino ad esaurire gli elementi di A: A B
a, 1,
a, 2,
b, 1,
b, 2,
c, 1,
c, 2
n mediante un diagramma a frecce Si rappresentano i due insiemi con un diagramma di Eulero-Venn e si tracciano degli archi orientati che escono dagli elementi del primo insieme e finiscono sugli elementi del secondo, evidenziando in questo modo le coppie ordinate (figura 18). Non conviene usare questo tipo di rappresentazione quando gli insiemi A e B hanno piuÁ di tre o quattro elementi percheÂ, in questo caso, il numero di archi da tracciare potrebbe compromettere la chiarezza del risultato.
Figura 18
Figura 19
n mediante una tabella a doppia entrata Si costruisce una tabella nella quale si riportano gli elementi dei due insiemi come indicato in figura 19: gli elementi del primo insieme sulla prima colonna, quelli del secondo sulla prima riga. Le caselle in corrispondenza di ogni incrocio riga-colonna sono gli elementi del prodotto cartesiano A B. n mediante un diagramma cartesiano Si considerano due semirette orientate (dette assi cartesiani), perpendicolari e aventi l'origine in comune; eÁ consuetudine disegnare queste rette una orizzontale e l'altra verticale. Si riportano gli elementi del primo insieme sulla semiretta orizzontale e quelli del secondo sulla semiretta verticale come in figura 20. Tracciando le parallele agli assi dai punti che rappresentano gli elementi dei due insiemi si ottengono i punti del piano che rappresentano le coppie ordinate del prodotto.
Figura 20
ESEMPI 1. Un'agenzia di viaggi deve organizzare dei voli per collegare fra loro alcune cittaÁ. Se le cittaÁ di partenza costituiscono l'insieme P fRoma, Parigi, Londrag e quelle di arrivo l'insieme A fMadrid, Milanog, quali sono tutte le possibili linee di collegamento? Per rispondere a questa domanda, calcoliamo P A f(Roma, Madrid), (Roma, Milano), (Parigi, Madrid), (Parigi, Milano), (Londra, Madrid), (Londra, Milano)g. Oltre all'elenco delle coppie ordinate, la rappresentazione forse piuÁ significativa per questo esempio eÁ quella mediante una tabella a doppia entrata. E se dovessimo invertire le cittaÁ di arrivo con quelle di partenza? Calcoliamo A P f(Madrid, Roma), (Madrid, Parigi), (Madrid, Londra), (Milano, Roma), (Milano, Parigi), (Milano, Londra)g. Le coppie ottenute con il prodotto A P non sono le stesse di quelle ottenute con il prodotto P A perche gli elementi delle coppie sono in ordine diverso: il volo (Roma, Madrid) non eÁ la stessa cosa del volo (Madrid, Roma). Il prodotto cartesiano fra insiemi non gode dunque della proprietaÁ commutativa; cioeÁ, dati A e B, A B 6 B A Q ISTITUTO ITALIANO EDIZIONI ATLAS
Tema 1 - Cap. 1: INSIEMI E FUNZIONI
23
Figura 21
2. Dato l'insieme A f1, 2, 3g, calcoliamo A A. Come metodo di rappresentazione usiamo il diagramma cartesiano (figura 21). Le coppie con gli elementi uguali, che in figura sono evidenziati in colore rosso, si chiamano coppie diagonali.
APPROFONDIMENTI IL PRODOTTO CARTESIANO E I DIAGRAMMI AD ALBERO Fra i vari modi di rappresentare un prodotto cartesiano vi eÁ anche quello che utilizza un diagramma ad albero. Se riprendiamo l'esempio 1 precedente il prodotto P A si puoÁ rappresentare come in figura 22. La prima diramazione ha come nodi gli elementi dell'insieme P (3 rami); da ciascuno di questi nodi si dipartono altri due rami, tanti quanti sono gli elementi dell'insieme A. I possibili collegamenti si ottengono seguendo ogni possibile percorso.
Figura 22
VERIFICA DI COMPRENSIONE
1. Di due insiemi A e B si sa che A B
a, a,
a, b,
a, c ,
b, a,
b, b,
b, c ,
c, a,
c, b,
c, c . Completa indicando quali sono gli elementi dei due insiemi: A f:::::::::::::::g
B f:::::::::::::::g
Che cosa puoi concludere relativamente ad A e a B?
2. Un insieme A ha 5 elementi; un insieme B ne ha 4; quanti sono gli elementi del prodotto cartesiano A B? a. 10
b. 20
c. 9
d. non si puoÁ sapere se non si conoscono i due insiemi
3. Il prodotto cartesiano A B ha 36 elementi. Quanti sono, nell'ordine, gli elementi di A e quelli di B? a. 6 e 6
b. 12 e 3
c. 4 e 9
d. non si puoÁ sapere a priori
6. PROBLEMI CON GLI INSIEMI Ti proponiamo ora alcuni problemi per la risoluzione dei quali eÁ necessario servirsi delle operazioni che abbiamo visto sugli insiemi.
Gli esercizi di questo paragrafo sono a pag. 318
I problema Da una indagine fatta su un gruppo di 100 famiglie di una certa cittaÁ eÁ risultato che 60 di esse fanno i loro acquisti nel supermercato #, che 35 comprano nel
24
Tema 1 - Cap. 1: INSIEMI E FUNZIONI
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supermercato $ e che di queste 20 fanno acquisti in entrambi i supermercati. Ci chiediamo: a. quante famiglie non frequentano alcuno dei due supermercati b. quante frequentano solo il supermercato # c. quante solo il supermercato $. Per risolvere il problema indichiamo con % l'insieme universo costituito dalle 100 famiglie intervistate, con A l'insieme delle famiglie che si servono da X, con B l'insieme di quelle che si servono da Y. Evidentemente A e B sono sottoinsiemi di U ed inoltre non sono disgiunti visto che 20 famiglie fanno acquisti sia da X che da Y. La rappresentazione con un diagramma di Eulero-Venn di questi insiemi eÁ in figura 23a. Possiamo dire che 20 elementi appartengono a A \ B, quindi, poiche l'insieme A ha 60 elementi, all'insieme A B appartengono 40 elementi e poiche B ha 35 elementi, all'insieme B A appartengono 15 elementi (osserva la figura 23b in cui abbiamo indicato nei vari insiemi il numero di elementi). Allora gli elementi che appartengono all'insieme U
A [ B (la parte colorata in azzurro) sono 100
40 20 15 25. Rispondiamo ora alle domande: a. 25 famiglie non fanno acquisti ne in X ne in Y b. 40 famiglie acquistano solo da X e non da Y c. 15 famiglie acquistano solo da Y e non da X.
Figura 23
a.
b.
II problema Un negozio ha effettuato una vendita promozionale di pantaloni, maglioni e camicie che aveva in magazzino e, al termine della vendita, ha rilevato i seguenti dati: l nel negozio sono entrate 337 persone l 25 di esse hanno comprato sia maglioni che pantaloni che camicie l 81 hanno comprato solo pantaloni l 12 hanno comprato solo pantaloni e maglioni l 66 hanno comprato almeno maglioni e camicie l 36 hanno comprato solo camicie l 152 hanno comprato dei maglioni l 20 persone non hanno comprato nulla. Ci a. b. c.
Figura 24
chiediamo: quante persone hanno comprato solo pantaloni e camicie quante persone hanno comprato dei pantaloni quante persone hanno comprato pantaloni e camicie.
L'insieme universo eÁ costituito dalle 337 persone che sono entrate nel negozio; abbiamo poi i sottoinsiemi di U delle persone che hanno comprato pantaloni (insieme P), delle persone che hanno comprato maglioni (insieme M) e delle persone che hanno comprato camicie (insieme C). Poiche ci sono persone che hanno comprato piuÁ di un tipo di oggetti, dobbiamo disegnare i tre insiemi P, M e C in modo che si intersechino fra loro (figura 24a). Cominciamo col dire che (segui la figura 24b): l poiche  25 persone hanno comprato tutti e tre i capi di abbigliamento, nella zona di intersezione dei tre insiemi (in giallo) ci sono 25 elementi; l se 81 persone hanno comprato solo pantaloni, scriviamo il numero 81 nella zona di P che non interseca gli altri insiemi (in rosa); Q ISTITUTO ITALIANO EDIZIONI ATLAS
a.
b.
Tema 1 - Cap. 1: INSIEMI E FUNZIONI
25
l
l
l l
l
l
le persone che hanno comprato solo pantaloni e maglioni occupano la zona di intersezione degli insiemi P e M che non eÁ occupata anche dall'insieme C, in questa zona (in verde) scriviamo quindi il numero 12; delle persone che hanno comprato almeno maglioni e camicie fanno parte anche quelle che hanno comprato pantaloni, quindi da 66 dobbiamo sottrarre 25 e scrivere il risultato, 41, nella zona di intersezione di M e C non occupata da P (in blu); scriviamo poi 36 nella zona occupata da C e non da P e da M (in marrone); se 152 persone hanno comprato maglioni, per sapere quale numero assegnare alla zona occupata solo da M (in arancio) dobbiamo calcolare l'espressione 152
12 25 41 74; le 20 persone che non hanno fatto acquisti si trovano nella zona di U non occupata da M, P e C (la zona esterna ai tre insiemi, in azzurro); in definitiva, poiche in totale 337 persone hanno visitato il negozio, nella zona rimasta libera, cioeÁ quella di intersezione di P e C non occupata da M (in grigio) si trovano 337
20 81 12 25 74 41 36 48 persone.
Rispondiamo ora alle domande: a. 48 persone hanno comprato solo pantaloni e camicie b.
81 12 25 48 166 persone hanno comprato dei pantaloni c.
48 25 73 persone hanno comprato pantaloni e camicie. III problema In un gioco televisivo a cui partecipa un gruppo di 18 persone si devono costruire delle coppie alle quali viene affidato un compito da risolvere. Calcoliamo quanti possibili coppie si possono costituire.
Figura 25
Indichiamo con A fa, b, c, d, ::::::g l'insieme delle 18 persone; l'operazione che ci aiuta a risolvere questo problema eÁ il prodotto cartesiano. Da A A dobbiamo peroÁ scartare tutte le coppie che contengono due elementi uguali (evidentemente la stessa persona non puoÁ comparire due volte); inoltre coppie come per esempio
b, c e
c, b devono essere considerate la stessa coppia (figura 25). 18 18 18 Il numero di coppie eÁ quindi dato dall'espressione: 153. 2 Con 18 persone si possono formare 153 possibili coppie.
7. LE FUNZIONI
Gli esercizi di questo paragrafo sono a pag. 320
7.1 Relazioni e funzioni Nell'enunciare la proprietaÁ caratteristica di un insieme si usano frasi del tipo «x eÁ un poligono», «x eÁ multiplo di 3», cioeÁ frasi in cui la lettera x rappresenta un generico elemento dell'insieme e "essere un poligono" oppure "essere multiplo di 3" rappresenta la proprietaÁ che accomuna tutti gli elementi di quell'insieme. Frasi di questo tipo si chiamano proposizioni aperte e si dice che x rappresenta la variabile della proposizione. Le proposizioni aperte sono dunque quelle frasi che contengono delle variabili, cioeÁ dei termini che possono assumere valori diversi appartenenti ad un certo insieme detto dominio della proposizione, e che possono essere vere o false a seconda del valore assunto da queste variabili.
26
Tema 1 - Cap. 1: INSIEMI E FUNZIONI
INSIEMI E PROPOSIZIONI APERTE
Una proposizione eÁ una frase di senso compiuto della quale si puoÁ dire se eÁ vera o se eÁ falsa. Q ISTITUTO ITALIANO EDIZIONI ATLAS
Per esempio, nella proposizione aperta: l «x e Á un poligono», la variabile x ha come dominio l'insieme A delle figure geometriche del piano e diventa una proposizione vera se x eÁ triangolo oppure quadrato, diventa una proposizione falsa se x eÁ cerchio; l «x e Á multiplo di 3», la variabile x ha come dominio l'insieme N e diventa una proposizione vera se x eÁ 12 oppure 45, diventa una proposizione falsa se x eÁ 10. Una proposizione aperta puoÁ anche avere due variabili ed in questo caso serve a stabilire un legame tra gli elementi x appartenenti a un insieme A e gli elementi y appartenenti a un insieme B; per esempio:
Dominio di una proposizione aperta eÁ l'insieme dei valori che si possono attribuire alle variabili in modo che la proposizione che ne risulta sia vera oppure falsa. L'insieme dei valori che la rendono vera si chiama insieme di veritaÁ.
«x eÁ multiplo di y» dove A e B coincidono con l'insieme N. Anche in questo caso ci sono alcune coppie
x, y che rendono vera la proposizione, come per esempio
4, 2 oppure
30, 5, e altre che la rendono falsa, come per esempio
7, 3 oppure
15, 8. Degli elementi
x, y che rendono vera la proposizione aperta si dice che sono in relazione. Una proposizione aperta serve dunque a: l caratterizzare gli elementi di un insieme l mettere in relazione gli elementi di due insiemi, non necessariamente distinti. Ma gli elementi di due insiemi si possono mettere in relazione in molti modi, alcuni dei quali rivestono particolare importanza in matematica. Vediamo dapprima alcuni esempi. I esempio Consideriamo l'insieme A degli studenti di una classe che devono svolgere il test di ingresso di matematica all'inizio dell'anno scolastico e l'insieme B dei numeri naturali. Supposto che ogni domanda del test sia valutabile con un punteggio nullo se la risposta eÁ sbagliata, con punteggio 1 se la risposta non eÁ stata data, con punteggio 5 se eÁ stata data in modo esatto, ad ogni studente che affronta il test viene associato un solo numero naturale che eÁ il risultato della somma dei punteggi ottenuti. Ad ogni elemento x di A eÁ quindi associato un solo elemento y di B. Viceversa, puoÁ capitare che due studenti abbiano conseguito lo stesso punteggio o che nessuno studente abbia conseguito punteggio 0 o 80 o 95. La rappresentazione sagittale della relazione «x ha conseguito il punteggio y» con x 2 A e y 2 B, eÁ in figura 26 dove abbiamo rappresentato per semplicitaÁ un numero limitato di studenti. In una relazione di questo tipo ad ogni elemento di A, nessuno escluso, eÁ associato un solo elemento di B ma non eÁ richiesto il viceversa, quindi piuÁ elementi di A potrebbero avere come corrispondente lo stesso elemento di B; si tratta percioÁ di una relazione del tipo molti a uno.
Figura 26
II esempio Nelle gare di tiro con l'arco ogni arciere si trova su una pedana in corrispondenza della quale c'eÁ un bersaglio che deve essere colpito: ad ogni arciere corrisponde un solo bersaglio e, viceversa, ogni bersaglio puoÁ essere colpito da un solo arciere. Q ISTITUTO ITALIANO EDIZIONI ATLAS
Tema 1 - Cap. 1: INSIEMI E FUNZIONI
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In questo caso, allora, ad ogni elemento dell'insieme A eÁ associato un solo elemento dell'insieme B e viceversa; la relazione «x deve colpire il bersaglio y» eÁ quindi rappresentata da una corrispondenza di tipo uno a uno (figura 27).
Figura 27
III esempio Ai caselli autostradali passano numerose auto ogni giorno; se indichiamo con A l'insieme dei caselli aperti della barriera di Milano sull'autostrada dei Laghi e con B l'insieme delle auto che vi transitano in una certa ora di un certo giorno (figura 28), il tipo di relazione che si stabilisce fra A e B eÁ del tipo uno a molti (un casello, molte auto). Corrispondenze di questo tipo si verificano in molte situazioni: ad ogni casa farmaceutica si possono associare i medicinali che produce, ad ogni classe di una scuola gli studenti che ne fanno parte, ad ogni regione i Comuni che le appartengono e cosõÁ via.
Figura 28
IV esempio Una situazione sicuramente piuÁ caotica si ha quando la relazione fra gli elementi di un insieme A e quelli di un insieme B eÁ del tipo molti a molti come in figura 29. Questo schema di corrispondenza potrebbe per esempio essere adatto a descrivere la multiproprietaÁ: una persona potrebbe avere piuÁ multiproprietaÁ su appartamenti diversi e viceversa, ogni appartamento puoÁ avere piuÁ proprietari.
Figura 29
Gli schemi che abbiamo visto nei diversi esempi si riconducono ad alcuni tipi fondamentali che sono riassunti nella figura 30. Di tutti questi casi i primi due sono i piuÁ significativi in matematica; se vogliamo descriverli in modo piuÁ dettagliato dobbiamo dire che: l
l
l
da un elemento di A esce solo un arco che va verso un elemento di B; in altre parole non ci sono elementi di A dai quali escono piuÁ archi; non esistono elementi in A dai quali non esce alcun arco; in altre parole, da tutti gli elementi di A, nessuno escluso, esce un arco; sugli elementi di B possono arrivare uno o piuÁ archi ed eventualmente possono anche esserci elementi ai quali non arriva alcun arco. Figura 30
molti a uno
uno a uno
uno a molti
Situazioni di questo tipo si identificano dicendo che la relazione che mette in corrispondenza gli elementi dei due insiemi eÁ una funzione. Si dice funzione una corrispondenza tra gli elementi di due insiemi A e B che ad ogni elemento di A associa uno e un solo elemento di B.
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Tema 1 - Cap. 1: INSIEMI E FUNZIONI
molti a molti
Una funzione si indica normalmente con il simbolo f e, per indicare che la corrispondenza va da A verso B, si scrive f :A!B Q ISTITUTO ITALIANO EDIZIONI ATLAS
Di una funzione si dice anche che eÁ una corrispondenza univoca. Una funzione f si esprime di solito mediante una proposizione aperta che specifica in che modo gli elementi del primo insieme, che vengono di solito indicati con x, sono legati a quelli del secondo, che vengono di solito indicati con y. Relativamente ai quattro esempi introduttivi, possiamo dire che sono funzioni: l
«x ha conseguito il punteggio y» (I esempio)
l
«x deve colpire il bersaglio y» (II esempio).
Non sono funzioni le relazioni degli altri due esempi. Quando A e B sono insiemi numerici, spesso la funzione che associa gli x 2 A agli y 2 B si puoÁ esprimere mediante un'espressione di tipo algebrico; per esempio: per indicare che l'elemento y eÁ il quadrato dell'elemento x si scrive:
l
y x2
per indicare che l'elemento y eÁ il doppio dell'elemento x, aumentato di 1, si scrive: y 2x 1
l
PiuÁ in generale si scrive
y f
x
dove f
x eÁ l'espressione algebrica che esprime il legame tra x e y. Inoltre, poiche di solito la funzione f esprime in che modo gli elementi y sono legati agli elementi x, cioeÁ in che modo y dipende da x, si dice che: l
x rappresenta la variabile indipendente della funzione
l
y la variabile dipendente.
Dell'elemento y 2 B che resta associato a un elemento x 2 A si dice che eÁ l'immagine di x; a sua volta, l'elemento x prende il nome di controimmagine dell'elemento x (figura 31). Per esempio, nella funzione y x 3 , dove supponiamo che x sia un numero naturale: l
8 eÁ l'immagine di 2 e 2, a sua volta, eÁ la controimmagine di 8
l
125 eÁ l'immagine di 5 e 5, a sua volta, eÁ la controimmagine di 125.
Consideriamo la relazione rappresentata in figura 32a: di essa non possiamo dire che eÁ una funzione perche ci sono degli elementi di A che non hanno l'immagine in B; tuttavia, se consideriamo l'insieme A 0 , privato di tali elementi, il legame tra A 0 e B diventa una funzione (figura 32b). Diciamo che l'insieme A 0 eÁ il dominio della funzione. Anche nell'insieme B ci sono elementi che non hanno legami con gli elementi di A 0 ; possiamo peroÁ identificare l'insieme B 0 degli elementi che sono associati a qualche x di A 0 attribuendogli il nome di codominio della funzione (figura 32c).
Figura 31
DOMINIO E CODOMINIO DI UNA FUNZIONE
Figura 32
a. Q ISTITUTO ITALIANO EDIZIONI ATLAS
b. A0 eÁ il dominio di f
c. B 0 eÁ il codominio di f
Tema 1 - Cap. 1: INSIEMI E FUNZIONI
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Dominio di una funzione f : A ! B eÁ l'insieme degli x che hanno immagine in B; codominio di f eÁ l'insieme delle immagini.
Figura 33
Per esempio: l
se A f1, 2, 3, 4g e B f 1, 0, 1, 2g, la funzione «y eÁ il precedente di x», che si puoÁ scrivere nella forma y x 1, con x 2 A e y 2 B (figura 33), ha come dominio l'insieme A 0 f1, 2, 3g e come codominio l'insieme B 0 f0, 1, 2g.
ESEMPI 1. Consideriamo le relazioni rappresentate dai seguenti diagrammi a frecce (figura 34).
a.
b.
c.
d.
e.
Figura 34
I casi a. e b. rappresentano delle funzioni perche da ogni elemento di A esce un solo arco verso un elemento di B; il caso c. non rappresenta una funzione perche l'elemento 8 non ha immagine in B; i casi d. ed e. non rappresentano delle funzioni perche da alcuni elementi di A escono piuÁ archi verso elementi di B.
2. Sia A l'insieme dei numeri interi e sia B l'insieme dei numeri interi
Figura 35
positivi o nulli; la relazione «y eÁ il quadrato di x» eÁ una funzione perche ogni numero intero, nessuno escluso, ha per quadrato uno ed un solo numero intero positivo o nullo (osserva la figura 35 nella quale abbiamo rappresentato solo qualche elemento). Tale funzione si puoÁ rappresentare con la scrittura y x 2 e si ha ad esempio che f
2 4
f
3 9
f
7 49
f
1 1
f
0 0
3. Sia A l'insieme dei punti di una retta r e sia B l'insieme dei punti di
Figura 36
una retta s incidente a r ma non perpendicolare. Consideriamo la relazione che ad ogni punto P di r associa il punto Q di s ottenuto tracciando la perpendicolare da P su s (osserva la figura 36). Poiche ad ogni punto P resta associato uno ed un solo punto Q, la relazione stabilita eÁ una funzione.
30
Tema 1 - Cap. 1: INSIEMI E FUNZIONI
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Poniamoci adesso la seguente domanda: se una relazione f : A ! B eÁ una funzione, la relazione inversa, che ha B come dominio e A come codominio e che si indica con il simbolo f 1 , eÁ anch'essa una funzione? In generale dobbiamo rispondere di no perche puoÁ darsi che la corrispondenza da B verso A non sia univoca, cioeÁ puoÁ darsi che non tutti gli elementi di B abbiano una immagine in A (figura 37a) o che ne abbiano piuÁ di una (figura 37b).
Una funzione eÁ invertibile se eÁ una corrispondenza biunivoca.
Figura 37
a.
LA FUNZIONE INVERSA
b.
Tuttavia se ogni elemento di A ha una sola immagine in B e ogni elemento di B ha una sola controimmagine in A, la corrispondenza che si stabilisce eÁ di tipo 1 a 1. Di relazioni di questo tipo si dice che rappresentano corrispondenze biunivoche. In questi casi anche f 1 eÁ una funzione e della funzione f si dice che eÁ invertibile.
7.2 Come si rappresenta una funzione
Figura 38
Uno dei modi per rappresentare una funzione eÁ il diagramma a frecce che abbiamo utilizzato finora; ma ci sono altre modalitaÁ che a volte sono piuÁ convenienti. Questi altri metodi si basano sulla considerazione che le coppie
x, y formate da un elemento x 2 A e dal suo corrispondente y 2 B sono elementi del prodotto cartesiano A B e ne costituiscono un sottoinsieme. Per rappresentare una funzione si puoÁ quindi usare uno qualsiasi dei metodi che abbiamo visto per il prodotto cartesiano. Per esempio, se A fx 2 N j 0 x 5g e B fy 2 N j 1 x 8g e f eÁ la funzione definita dall'espressione y x 1, possiamo rappresentare f , oltre che con il solito diagramma a frecce, anche in uno dei seguenti modi: l
l
per elencazione delle coppie
x, y :
0, 1;
1, 2;
2, 3;
3, 4;
4, 5;
5, 6 con un diagramma cartesiano (figura 38).
Anche se eÁ possibile, non eÁ peroÁ di solito conveniente rappresentare una funzione con una tabella a doppia entrata.
7.3 Il prodotto di funzioni Considera la seguente situazione: nei mondiali di Formula 1 di un certo anno ogni pilota ha la propria auto con cui correre i vari Gran Premi; ogni auto, a sua volta, appartiene a una certa Scuderia. Indichiamo con A l'insieme dei piloti, con B quello delle auto, con C quello delle Scuderie; chiamiamo poi f la funzione che ad ogni pilota associa la propria auto e g la funzione che ad ogni auto associa la Scuderia di appartenenza (figura 39). Applicando la funzione f , ad Q ISTITUTO ITALIANO EDIZIONI ATLAS
Figura 39
Tema 1 - Cap. 1: INSIEMI E FUNZIONI
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ogni pilota corrisponde un'auto alla quale, a sua volta, applicando la funzione g, corrisponde la propria Scuderia. Mediante l'applicazione in successione prima della f e poi della g, abbiamo cosõÁ costruito una nuova funzione ( nella quale ad ogni pilota possiamo far corrispondere la Scuderia per cui corre. Per esempio, nel campionato 2010, ai piloti Alonso e Massa si puoÁ far corrispondere la Ferrari, a Button e Hamilton la McLaren, a Vettel e Webber la Red Bull e cosõÁ via. In questo esempio il codominio della funzione f eÁ diventato il dominio della funzione g. Poiche questa situazione si presenta in diverse occasioni, eÁ necessario darle un significato preciso. Data una funzione f : A ! B, se il codominio B di f diventa il dominio di un'altra funzione g, cioeÁ g : B ! C, per gli elementi y 2 B che sono immagini di elementi x 2 A nella f possiamo scrivere y f
x. Per gli elementi z 2 C che sono immagini di elementi y 2 B possiamo scrivere z g
y. Avendo supposto che il codominio di f coincida con il dominio di g, altrimenti non eÁ possibile parlare di funzione, possiamo sostituire l'espressione di y nella funzione z e scrivere z g
f
x. Vale a dire che possiamo pensare di associare ad ogni elemento x 2 A gli elementi z 2 C che sono immagini degli y 2 B. Nasce quindi una nuova funzione k che associa ad ogni x 2 A un elemento z 2 C (figura 40): k:A!C z k
x. La funzione f, pur essendo scritta per seconda, eÁ quella che viene applicata per prima. In sostanza viene applicata per prima la funzione scritta piuÁ a destra e poi quella immediatamente a sinistra.
Si dice che la funzione k eÁ il prodotto delle due funzioni f e g e si scrive kgf intendendo con questra scrittura che la funzione g eÁ applicata agli elementi individuati dalla funzione f. Si dice anche che la funzione k eÁ composta delle due funzioni f e g. Figura 40
ESEMPI 1. Sia f : Z ! Z , definita dalla relazione y x 2 e sia g : Z ! Z , definita dalla relazione z 2y
4.
In questo caso il dominio di g (l'insieme Z ) eÁ il codominio di f (l'insieme Z ). Possiamo allora considerare la funzione k : Z ! Z dove k g f . Si ha ad esempio che
32
Tema 1 - Cap. 1: INSIEMI E FUNZIONI
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l
l
f
1 1 2 3 quindi k
1 2
g
3 2 3
42
f
1 1 2 1 quindi k
1 2.
g
1 2 1
4
Figura 41
2
La funzione z si ottiene allora sostituendo l'espressione x 2 al posto di y nell'espressione di z (figura 41): z 2
x 2 4.
2. Sia f : Z ! Z , definita dalla relazione y x 2 , e sia g : Z ! Z , definita dalla relazione z y
Figura 42
8.
In questo caso il dominio della g non coincide con il codominio della f. Infatti gli y che sono immagini degli x nella f sono solo i numeri interi positivi che costituiscono un sottoinsieme P di Z (figura 42). Allora per poter considerare la funzione g f eÁ necessario considerare P come dominio di g. In questo caso l'equazione della funzione g f eÁ z x 2 8.
3. EÁ anche possibile comporre una funzione f con se
Figura 43
stessa. Sia ad esempio f : Z ! Z , definita dalla relazione y x 3. Se la applichiamo due volte otteniamo (figura 43): f f :Z !Z
z
x 3 3
cioeÁ z x 6.
VERIFICA DI COMPRENSIONE 1. Fra un insieme A e un insieme B eÁ stabilita una relazione R che lega i loro elementi. In quale dei seguenti casi R eÁ una funzione? a. ci sono elementi di A che non hanno immagine in B; b. tutti gli elementi di A hanno una sola immagine in B; c. tutti gli elementi di A hanno almeno una immagine in B; d. l'insieme delle controimmagini eÁ un sottoinsieme proprio di A.
2. Le seguenti relazioni sono tutte funzioni da A verso B che soddisfano le seguenti caratteristiche: ¬ ogni elemento di A ha una sola immagine in B; ogni elemento di B ha una sola controimmagine in A e l'insieme delle controimmagini coincide con A;
® non esistono elementi di A che non hanno immagine in B e non esistono elementi di B che non hanno controimmagine in A; Q ISTITUTO ITALIANO EDIZIONI ATLAS
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¯ ogni elemento di A ha una sola immagine in B e ogni elemento di B ha una sola controimmagine in A. Sono funzioni invertibili: a. tutte
b. solo la e la ¯
c. la ¬, la e la ¯
d. solo la ¯
3. Date le funzioni f
x 3x e g
x x 2 1 entrambe definite in Z ; la funzione f g eÁ uguale a: a. 3
x 2 1
2
b.
3x 1
c. 3x
x 2 1
d. 3x x 2 1
Sul sito www.edatlas.it trovi... l
il laboratorio di informatica
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la scheda storica Gli sviluppi della teoria degli insiemi
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Á (OCSE - PISA) i problemi di Matematica e Realta
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Á di recupero le attivita
Considerati i seguenti insiemi A fAndrea, Lucag B fLucia, Angela, Martag
La risposta al quesito iniziale
C fFilippo, Matteog le terne (commissario, moglie, amico) sono gli elementi del prodotto cartesiano A B C; eÁ quindi possibile formare 12 terne diverse di personaggi.
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I concetti e le regole Gli insiemi e la loro rappresentazione La parola insieme indica un raggruppamento di oggetti di natura qualunque pensati come un unico ente; gli oggetti che formano un insieme sono i suoi elementi. Un insieme eÁ finito se si possono elencare tutti i suoi elementi; infinito in caso contrario. Un insieme che non ha elementi si dice vuoto. Un insieme si puoÁ rappresentare: l per elencazione scrivendo l'elenco dei suoi elementi all'interno di una coppia di parentesi graffe l mediante proprieta Á caratteristica indicando la frase che individua quali sono gli elementi dell'insieme l graficamente mediante un diagramma di Eulero-Venn.
I sottoinsiemi Si dice che eÁ un sottoinsieme di un insieme se tutti gli elementi di sono anche elementi di e si scrive . In particolare se in ci sono altri elementi oltre a quelli di , allora eÁ un sottoinsieme proprio di e vale la relazione ; se in non ci sono altri elementi oltre a quelli di allora . L'insieme stesso e l'insieme vuoto sono i sottoinsiemi impropri di .
Le operazioni fra insiemi l
l
l
Intersezione: \ eÁ l'insieme i cui elementi appartengono contemporaneamente sia ad che a . Se l'intersezione fra due insiemi eÁ vuota, i due insiemi si dicono disgiunti. Unione: [ eÁ l'insieme i cui elementi appartengono ad oppure a , quindi anche ad entrambi.
Differenza:
eÁ l'insieme degli elementi di che non appartengono a .
Nel caso particolare in cui eÁ un sottoinsieme di , dell'insieme
si dice che eÁ il com-
plementare di rispetto ad e si indica con uno dei seguenti simboli: C o .
La partizione di un insieme Si dice che si esegue una partizione di un insieme se si possono ripartire gli elementi di in sottoinsiemi tali che: l nessuno dei sia vuoto l l'intersezione fra due qualsiasi di essi sia l'insieme vuoto l l'unione di tutti i dia l'insieme .
Il prodotto cartesiano Dati due insiemi e si definisce poi il prodotto cartesiano come l'insieme i cui elementi sono tutte e sole le coppie ordinate
, dove eÁ un qualunque elemento di e eÁ un qualunque elemento di . Il prodotto cartesiano fra insiemi si puoÁ rappresentare elencando tutte le coppie che si vengono a formare oppure mediante un diagramma a frecce, mediante una tabella a doppia entrata, mediante un diagramma cartesiano oppure mediante un diagramma ad albero.
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Tema 1 - Cap. 1: INSIEMI E FUNZIONI
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Le funzioni dice funzione una corrispondenza tra gli elementi di un insieme e quelli di un insieme in modo che ad ogni elemento di sia associato uno e un solo elemento di . Una funzione puoÁ quindi essere: l una corrispondenza univoca: ad ogni e Á associato un solo l una corrispondenza biunivoca: ad ogni e Á associato un solo e, viceversa, ad ogni eÁ associato un solo . Le corrispondenze biunivoche sono le sole funzioni invertibili.
corrispondenza univoca
corrispondenza biunivoca
Una funzione k eÁ il prodotto di altre due funzioni f e g, e si scrive k g f , quando la funzione g eÁ applicata agli elementi generati dalla funzione f . La funzione g, anche se eÁ scritta per prima nel prodotto, eÁ quella che viene applicata per seconda.
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Tema 1 - Cap. 1: INSIEMI E FUNZIONI
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CAPITOLO
Gli insiemi N e Z
Obiettivi l
Á dei numeri naturali e dei numeri interi conoscere le caratteristiche e le proprieta
l
saper operare con i numeri naturali e interi
l
saper utilizzare le tecniche del calcolo aritmetico anche in contesti reali
l
Á delle operazioni conoscere e saper applicare le principali proprieta
l
Á comprendere il significato di potenza, calcolare potenze e saperne applicare le proprieta
l
risolvere espressioni nei diversi insiemi numerici
MATEMATICA E REALTAÁ In un episodio dei Simpson, Homer, che, essendo un personaggio di cartone animato, eÁ abituato a muoversi in un ambiente bidimensionale, si trova improvvisamente trasferito nella terza dimensione diventando anche lui tridimensionale. Fra le tante scene, tutte realizzate in computer grafica, gli autori si sono divertiti a inserire formule e relazioni matematiche fra le quali la seguente 178212 184112 192212 che eÁ assolutamente falsa. Infatti 178212 eÁ un numero pari, 184112 eÁ un numero dispari, quindi la somma di questi due numeri eÁ dispari; ma 192212 eÁ pari e, ovviamente, un numero pari non puoÁ essere uguale a un numero dispari. Tuttavia, se provi a calcolare la prima parte con una calcolatrice e del risultato ottenuto trovi la radice dodicesima, ottieni proprio 1922. Ovviamente c'eÁ qualcosa che non quadra; dopo aver studiato i contenuti di questo capitolo, sarai probabilmente in grado di dare una risposta a questo dilemma; in ogni caso, la soluzione si trova al termine del capitolo. Per ora possiamo anticipare che il ragionamento da seguire si trova nel concetto di operazione e nelle modalitaÁ di esecuzione delle operazioni con i numeri.
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Tema 1 - Cap. N Z
1. I
Gli esercizi di questo paragrafo sono a pag. 328
1.1 Che cosa sono i numeri naturali primi numeri che un bambino impara ad usare sono i numeri naturali; in tutto il mondo, tranne forse in qualche remota tribuÁ primitiva, tutti sanno fare i conti con questi numeri in apparenza cosõÁ "facili" da poter essere insegnati fin dai primi anni di scuola. Se a una persona qualunque chiediamo che cos'eÁ un numero naturale, probabilmente otterremo come risposta un elenco del tipo 1, 2, 3, 4, 5, 6, .................. e solo qualcuno in questo elenco ci metterebbe anche lo zero. In effetti non eÁ facile dire che cos'eÁ un numero naturale; qualche matematico ha anche sostenuto che non eÁ necessario dare una definizione di numero naturale perche questa eÁ insita nell'essere umano. Leopold Kronecker (18231891), illustre matematico tedesco, era solito affermare nelle sue lezioni "Dio ha creato i numeri naturali, tutto il resto eÁ opera dell'uomo". Altre correnti di pensiero sostengono invece che sia possibile dire con precisione che cos'eÁ un numero naturale. In questo capitolo noi seguiremo il pensiero di Kronecker perche dare una definizione di numero naturale non eÁ cosa semplice e comporta conoscenze che attualmente non abbiamo. Diciamo dunque che i numeri naturali sono quelli che formano l'elenco illimitato e a tutti noto 0
1
2
3
4
5
6
7
L'insieme dei numeri naturali si indica con la lettera N, mentre con il simbolo N0 si indica l'insieme dei numeri naturali privato dello zero. Di N si dice che eÁ un insieme a base decimale perche per scrivere qualunque numero si usano le dieci cifre da 0 a 9.
:::::::::::::
L'insieme N si puoÁ rappresentare su una semiretta orientata, cioeÁ una semiretta sulla quale si sia fissato un verso di percorrenza (figura 1). Scelto un segmento a di lunghezza arbitraria, a partire dall'origine della semiretta riportiamo piuÁ volte tale segmento su di essa in modo consecutivo. Associamo all'origine della semiretta il numero 0 e ad ognuno dei punti venutisi in questo modo a determinare sulla semiretta, un numero naturale progressivo. Figura 1
La corrispondenza fra N e i punti della semiretta eÁ una funzione perche ad ogni n corrisponde un solo punto P. Non eÁ peroÁ una corrispondenza biunivoca perche ci sono punti della semiretta che non rappresentano numeri naturali.
L'ordine con cui si presentano i numeri naturali sulla retta ci permette anche di stabilire quando un numero naturale eÁ maggiore o minore di un altro: n diciamo che a eÁ minore di b, e scriviamo a < b, se il punto corrispondente ad a viene prima del punto corrispondente a b sulla semiretta e reciprocamente: n diciamo che a eÁ maggiore di b, e scriviamo a > b, se il punto corrispondente ad a viene dopo del punto corrispondente a b sulla semiretta.
1.2 Le operazioni in N Dati due numeri naturali a e b, il numero c a b eÁ il numero naturale che si ottiene contando b unitaÁ verso destra a partire da a :
Tema 1 - Cap. N
Z
ADDIZIONE
Q ISTITUTO ITALIANO EDIZIONI ATLAS
369
numeri a e b si chiamano addendi, il numero c si dice somma di a e b; l'operazione che si esegue si chiama addizione. La somma di due numeri naturali eÁ sempre un numero naturale; diciamo allora che l'addizione eÁ un'operazione interna all'insieme N. L'addizione fra numeri naturali gode delle seguenti proprietaÁ: n eÁ commutativa, cioeÁ a b b a
5775
4 3 2 4
3 2
n eÁ associativa, cioeÁ
a b c a
b c
Dati due numeri naturali a e b, il numero c a b, se esiste, eÁ il numero che, addizionato a b daÁ a; esso si ottiene contando b unitaÁ verso sinistra a partire da a:
10
LA SOTTRAZIONE
46
Il numero a si chiama minuendo, il numero b sottraendo, il numero c eÁ la differenza tra a e b; l'operazione che si esegue si chiama sottrazione. Nel dare indicazioni su come si esegue una sottrazione, abbiamo evidenziato che il numero c puoÁ anche non esistere, come illustra il seguente esempio:
5
7?
La sottrazione a b tra due numeri naturali eÁ possibile solo se a eÁ maggiore oppure uguale a b (si scrive: a b).
La sottrazione, al contrario dell'addizione, non eÁ un'operazione interna a N.
La sottrazione fra numeri naturali, quando eÁ possibile, non eÁ ne commutativa ne associativa, ma gode della seguente proprietaÁ: n proprietaÁ invariantiva della sottrazione: la differenza tra due numeri a e b non cambia se ad entrambi si aggiunge o si toglie uno stesso numero (in modo che l'operazione sia comunque possibile): a
b
a k
a
k
b k
b
k
Le proprietaÁ viste sono molto utili per eseguire rapidamente i calcoli, soprattutto nel calcolo mentale; per esempio: l
IL CALCOLO RAPIDO
25 13 7 25
13 7 25 20 45
Q ISTITUTO ITALIANO EDIZIONI ATLAS
Tema 1 - Cap. N Z
l l l
3 " "! 3 ; " "! 3 ;
" "! 3 ; 3; 3#; 43; $ 43; "; # ; #
"5 43 "5
43 " 3
4!
" 3 "
5;
";;
4! " " 4
5; 4 #; 4 44
Una moltiplicazione tra numeri naturali eÁ un modo abbreviato di scrivere una somma di addendi tutti uguali tra loro: ab
significa
LA MOLTIPLICAZIONE
a|{z} a :::: a b volte
248
Se c a b, i numeri a e b si dicono fattori, il numero c eÁ il prodotto di a e b; l'operazione che si esegue si chiama moltiplicazione. L'operazione di moltiplicazione ci permette di definire il concetto di multiplo. Si dice che un numero naturale a eÁ multiplo di un numero naturale b secondo n se a b n. Per esempio: l
poiche 5 4 20
!
20 eÁ multiplo di 5 secondo 4 20 eÁ multiplo di 4 secondo 5.
ma anche
Essendo un'addizione abbreviata, la moltiplicazione eÁ un'operazione interna a N e gode delle stesse proprietaÁ dell'addizione:
Ogni numero naturale a eÁ multiplo di se stesso secondo 1 ed eÁ multiplo di 1 secondo se stesso: a1a 0 eÁ multiplo di ogni numero naturale a secondo 0: a00
n eÁ commutativa, cioeÁ a b b a
5445
n eÁ associativa, cioeÁ
a b c a
b c
5 3 2 5
3 2
Vale inoltre la seguente proprietaÁ: n proprietaÁ distributiva rispetto all'addizione e, quando si puoÁ eseguire, alla sottrazione:
a b c
a c
b c e c
a b c a c b
La proprietaÁ reciproca viene detta di raccoglimento: a c b c c
a b
Per esempio: l
2 5 4
2 4
5 4 8 20 28 l
6
8
5 6 8
6 5 48
30 18
Dati due numeri naturali a e b, con b 6 0, il numero c a : b, se esiste, eÁ il numero che, moltiplicato per b eÁ uguale ad a: a:bc
se e solo se
LA DIVISIONE
cb a
Il numero a si chiama dividendo, il numero b divisore, il numero c si dice quoziente; l'operazione eÁ la divisione. Come per la sottrazione, il numero c puoÁ anche non esistere; per esempio: 15 : 4 ?
perche non esiste un numero naturale che, moltiplicato per 4 daÁ come prodotto 15.
L'esistenza di c eÁ garantita solo se a eÁ multiplo di b.
Tema 1 - Cap. N
Z
La divisione, al contrario della moltiplicazione, non eÁ un'operazione interna a N. Q ISTITUTO ITALIANO EDIZIONI ATLAS
, divisione fra numeri naturali, quando eÁ possibile, non eÁ ne commutativa ne associativa, ma gode delle seguenti proprietaÁ: n proprietaÁ invariantiva della divisione: il quoziente tra due numeri a e b non cambia se entrambi vengono moltiplicati per uno stesso numero non nullo: a : b
a k :
b k Se poi a e b hanno un divisore comune h allora si puoÁ anche scrivere: a : b
a : h :
b : h Per esempio:
l l
12 : 4
12 5 :
4 5 60 : 20 3 180 : 45
180 : 9 :
45 : 9 20 : 5 4
n proprietaÁ distributiva (solo a sinistra) della divisione rispetto all'addizione e alla sottrazione (se queste operazioni sono possibili in N):
Distributiva a sinistra significa che l'operazione di divisione agisce sui numeri posti alla sua sinistra.
a b : c
a : c
b : c Per esempio:
l
15 20 : 5
15 : 5
20 : 5 3 4 7
l
27
12 : 3
27 : 3
12 : 3 9
45
La divisione non eÁ peroÁ distributiva a destra, per esempio: 60 :
12 3 60 : 15 4
non eÁ uguale a
60 : 12
60 : 3
non sono uguali
!
5 20 25
Anche le proprietaÁ della moltiplicazione e della divisione sono utili nel calcolo rapido; osserva gli esempi: l
8 12 25 8 12 5 5
8 5
12 5 40 60 2400
l
165 : 15
150 15 : 15
150 : 15
15 : 15 10 1 11
l
IL CALCOLO RAPIDO
175 8
100 75 8
100 8
75 8 800
75 2 4 800
150 4 800 600 1400
La divisione intera Qualunque siano i numeri naturali a e b, con b 6 0, si puoÁ dimostrare che esistono e sono unici due naturali q e r tali che: abqr
con
0r 4
5 > 0
2 < 6
2>
7
7
3
2.2 Le operazioni in Z Le regole per eseguire le operazioni fra numeri interi ti sono note dai tuoi studi passati; rivediamole in sintesi.
L'addizione e la sottrazione La somma di due numeri interi si esegue in modo diverso a seconda se i numeri sono concordi o discordi. La somma di due numeri concordi si ottiene addizionando i valori assoluti dei due numeri e attribuendo al risultato lo stesso segno degli addendi. Per esempio:
5
7
la somma fra i valori assoluti eÁ 5 7 12 e i due numeri sono positivi:
5
7 12
4
3
la somma fra i valori assoluti eÁ 4 3 7 e i due numeri sono negativi:
4
3 7
In Z l'addizione: l e Á commutativa l e Á associativa l ha 0 come elemento neutro l ogni numero intero possiede l'opposto: ad esempio, l'opposto di 2 eÁ 2
La somma di due numeri discordi si ottiene facendo la differenza fra i valori assoluti dei numeri (il maggiore meno il minore) e attribuendo al risultato il segno del numero che ha valore assoluto maggiore. Q ISTITUTO ITALIANO EDIZIONI ATLAS
Tema 1 - Cap. N Z
Per esempio:
12
8
la differenza fra i valori assoluti eÁ 12 8 4, il numero con valore assoluto maggiore ha segno positivo, dunque
12
8 4
26
15
la differenza fra i valori assoluti eÁ 26 15 11, il numero con valore assoluto maggiore ha segno negativo, dunque
26
15 11
La differenza a b di due numeri interi eÁ il numero c che, addizionato a b restituisce a; si calcola facendo la somma del primo con l'opposto del secondo. Poiche ogni numero intero ha il suo opposto, la sottrazione si puoÁ sempre eseguire in ; essa rappresenta l'operazione inversa dell'addizione. Per esempio:
9
3
9
3 6
5
7
5
7 2
Poiche ogni sottrazione puoÁ essere trasformata in una addizione, si parla in generale di somma algebrica. L'addizione e la sottrazione sono operazioni interne a Z .
La moltiplicazione e la divisione Il prodotto fra due numeri interi non nulli si esegue moltiplicando i valori assoluti dei due numeri e attribuendo al risultato il segno indicato nella tabella a lato; quindi: l
l
l
se i due numeri sono concordi il loro prodotto ha segno positivo
4
9 36
3
5 15 se i due numeri sono discordi il loro prodotto ha segno negativo
2
8 16
3
4 12 se invece uno dei due numeri o entrambi sono uguali a zero, il loro prodotto eÁ uguale a zero
5 0 0 0
3 0 000
La divisione a : b tra due numeri interi si puoÁ eseguire solo se il valore assoluto di a eÁ multiplo del valore assoluto di b. In questo caso il quoziente c a : b eÁ un numero intero che ha: l
per modulo il quoziente dei moduli di a e b,
l
segno negativo se i due numeri sono discordi,
l
segno positivo se sono concordi.
Per esempio: l
24 :
6 4 l
38 :
2 19
l l
12 :
3 4 non esiste il quoziente di
15 :
4.
+
±
+
+
±
±
±
+
In Z la moltiplicazione: l e Á commutativa l e Á associativa l ha 1 come elemento neutro l e Á distributiva rispetto all'addizione.
La moltiplicazione eÁ un'operazione interna in Z , la divisione non lo eÁ.
La potenza Una definizione analoga a quella data in N per il simbolo an puoÁ essere data anche in Z : Se a eÁ un numero intero e n eÁ un numero naturale, con n > 1, l'espressione an rappresenta il prodotto di n fattori uguali ad a; inoltre valgono ancora le relazioni a1 a e a0 1 mentre continua a non avere significato la scrittura 00 .
Tema 1 - Cap. N
Z
Q ISTITUTO ITALIANO EDIZIONI ATLAS
Di conseguenza: n se a eÁ un numero positivo, il valore della potenza eÁ ancora positivo qualunque sia l'esponente: 4
5
2 32
3 81
Infatti il prodotto di numeri positivi eÁ sempre positivo. n se a eÁ un numero negativo, il segno della potenza dipende dall'esponente: l
l
2
5 25
se n eÁ pari si ha un numero positivo: se n eÁ dispari si ha un numero negativo:
5
2
32
an
4
2 16 3
3
27
Infatti il prodotto di un numero pari di numeri negativi eÁ sempre positivo, il prodotto di un numero dispari di numeri negativi eÁ sempre negativo.
positivo se n pari
segno di a se n dispari
Anche per le potenze ad esponente naturale di numeri interi valgono le proprietaÁ analoghe a quelle che abbiamo visto in N.
L'uso delle parentesi nelle espressioni algebriche Sai giaÁ che per espressione si intende una serie di numeri legati fra loro dai simboli di operazione. Se l'espressione coinvolge numeri relativi, si chiama espressione algebrica. Nella scrittura di un'espressione algebrica compaiono necessariamente molte parentesi, dovute sia alla necessitaÁ di dare prioritaÁ ad alcune operazioni, sia alla necessitaÁ di evitare confusione fra il segno di operazione e il segno proprio del numero. Per esempio:
2
3 f
4
3
2
1
7
5g
6.
Sappiamo peroÁ che ogni sottrazione puoÁ essere trasformata in una addizione; quindi si puoÁ riscrivere l'espressione in questo modo:
2
3 f
4
3
2
1
7
5g
6. Si puoÁ semplificare questa scrittura se si conviene di sottointendere i simboli di addizione e di abolire le parentesi che racchiudono i numeri; in questo modo l'espressione diventa: 2
3 f 4 3 2 1
7
7
7 5g 6.
3
3
Un'altra convenzione adottata eÁ quella di sopprimere il segno davanti ad un numero positivo, quando cioÁ non generi indecisioni di calcolo. Questo fatto semplifica la scrittura di un'espressione quando compaiono anche operazioni di moltiplicazione. Per esempio l'espressione 2
f
3
6
8
5
3
2
1
4g
con le convenzioni adottate si puoÁ scrivere cosõÁ: 2
f3 6 8 5
3
2
1 4g.
Le leggi di monotonia e di cancellazione Le uguaglianze e le disuguaglianze fra numeri interi (e anche fra numeri naturali) godono di alcune proprietaÁ che vengono dette leggi di monotonia. n Prima legge. Se ai due membri di un'uguaglianza o di una disuguaglianza si aggiunge (o si toglie) uno stesso numero, la relazione rimane vera.
a>
0 e 6 0
POTENZE CON ESPONENTE NEGATIVO
Riassumendo, possiamo dare una definizione piuÁ completa di potenza in questo modo. Dato un numero razionale ed un numero intero 6 0, si dice potenza esima di , e si scrive : l
LA DEFINIZIONE COMPLETA DI POTENZA
il prodotto di fattori uguali ad se 2
il numero stesso se 1 1 l il numero se < 0 e 6 0 Si pone poi 0 1 se 6 0 e non si attribuisce significato alla scrittura 0 0 . l
Vediamo adesso alcuni esempi nei quali si devono applicare le proprietaÁ delle potenze.
ESEMPI 1.
"
2 3
3 #2 " 2# 4 2 2 2 3 3
2 3
2.
3
3
2
:
32
2 3
n
5
2
4
3 :
3
2 6 8 2 2 2 2 2 2 3 3 3 3 3
68 2
2 3
0
1
1 o0 1 4
3
3
4 2
Osserviamo che l'espressione racchiusa all'interno della parentesi graffa, che eÁ diversa da 0, eÁ elevata a potenza 0; essa vale quindi 1. 1 5 5 6 6
3
3
3
3 : 1
3
3.
"
3 4
66
65
1
3
1 3
2 #3 " 2 2# 3 6 " 0 # 3 4 4 3 3 4 3 3 4 4 4 3 4 4 3
6 0 4 3 3 3 3 4 4 4 4 Tema 1 - Cap. 3: GLI INSIEMI Q
ER
64
2 2 3 4 16 4 3 9
Q ISTITUTO ITALIANO EDIZIONI ATLAS
4.
"
18 5
8 :
8" <
6 5
8 #3 " 5 :
24
3
18 5
:
1
9 # 8 = 3 ( 3 5 : 24 ; 6 1
20
3 :
3 :
3
5.
"
9 4
6 :
9 4
3 4
6 #
:
6
3 4
8
5 #4 " 2 #6 1 : 3
1
8 3 5 4
3 :
3 : 24
1 8
1 3
12
2 4
8
3 :
:
1
12 5 )4 1 : 3
3
3
6
12
1 8
"
"
24 2012
18 5 3
18 5 1
3
7
5 6 1
5 6 1
16
7 #2
#14
14
3
3 :
3 30 1
4.3 Riepilogo La conoscenza delle proprietaÁ delle operazioni eÁ di fondamentale importanza sia per comprendere il calcolo algebrico che svilupperemo nelle aree tematiche successive, sia per evitare banali errori di calcolo; riteniamo allora utile riassumere in una tabella le proprietaÁ delle quattro operazioni fondamentali. OPERAZIONE
CARATTERISTICHE E PROPRIETAÁ l l
Addizione
l l
l
Sottrazione l
l l
Moltiplicazione
l l l
l
Divisione
l l
eÁ un'operazione interna a qualsiasi insieme numerico eÁ commutativa e associativa ha elemento neutro: 0 eÁ invertibile in e e l'operazione inversa eÁ la sottrazione eÁ un'operazione interna a e , non sempre eÁ possibile in e possiede la proprietaÁ invariantiva eÁ un'operazione interna a qualsiasi insieme numerico eÁ commutativa e associativa eÁ distributiva rispetto all'addizione e alla sottrazione ha elemento neutro: 1 eÁ invertibile in 0 e l'operazione inversa eÁ la divisione eÁ un'operazione interna a , non sempre eÁ possibile in e possiede la proprietaÁ invariantiva eÁ distributiva solo a sinistra rispetto all'addizione e alla sottrazione
Q ISTITUTO ITALIANO EDIZIONI ATLAS
Tema 1 - Cap. 3: GLI INSIEMI Q
ER
67
VERIFICA DI COMPRENSIONE 1. L'espressione 4 3
a.
3 4 b.
5 :
3 4
3 4
2. Semplificando l'espressione a. 2
6
b.
6
2
6
"
eÁ uguale a: 11 4 c. 3 1 2
3 #
c.
2
1 2
2
d.
1 2
4 : d.
4 3 1 2
4
1 2
si ottiene:
6
3. Semplifica la seguente espressione applicando dovunque eÁ possibile le proprietaÁ delle potenze: ("
1
4 3 # 5 1 7 : 6 6 6
8 3 )5 che eÁ approssimato per eccesso. Dato un numero reale e indicati con 0 e 00 rispettivamente un valore approssimato per difetto e per eccesso di , si chiama intervallo di indeterminazione la differenza 00 0 .
INTERVALLO DI INDETERMINAZIONE
Per esempio, se 1,135791113::::::: (il numero si ottiene scrivendo la successione dei numeri dispari dopo la virgola), allora: l
essendo 1,135 < allora 1,135 eÁ un valore approssimato per difetto di
l
essendo 1,136 > allora 1,136 eÁ un valore approssimato per eccesso di
l
l'intervallo di indeterminazione eÁ in questo caso 1,136
1,135 0,001.
Lavorando con i valori approssimati dei numeri reali si introducono inevitabilmente degli errori. Dato un numero reale e un suo valore approssimato , si chiama: l
l
ERRORE ASSOLUTO E RELATIVO
errore assoluto il modulo delle differenza fra e : errore assoluto = j j errore relativo il rapporto tra l'errore assoluto e il modulo del numero : j j errore relativo = j j
Per esempio, se 2,158302839 (anche se con molte cifre decimali, si tratta di un numero razionale) e 2,158, allora: l
l'errore assoluto eÁ uguale a:
j2,158302839
l
l'errore relativo eÁ uguale a:
j2,158302839 2,158j 0,00014031::: 2,158302839
2,158j 0,000302839
Se il numero eÁ razionale, l'errore assoluto e quello relativo, essendo il rapporto fra numeri razionali, si possono valutare con esattezza anche se le cifre decimali sono molte; ma se il numero eÁ irrazionale questo non si puoÁ fare. Per esempio, p se 2 e 1,41, i due errori sono rappresentati dalle espressioni: p 2 1,41 p p errore assoluto = 2 1,41 errore relativo = 2 p tuttavia, visto che di 2 si puoÁ valutare solo un valore approssimato, non eÁ possibile dire con esattezza quanto valgono queste espressioni. Si ricorre allora ad una stima dell'errore. p Considerando ancora come esempio il numero irrazionale 2, seguiamo questo ragionamento. Q ISTITUTO ITALIANO EDIZIONI ATLAS
Tema 1 - Cap. 3: GLI INSIEMI Q
ER
71
p Poiche 12 1 e 22 4, possiamo dire che 2 eÁ compreso fra 1 e 2 e scriviamo p 1< 20
a 2
significa che la lettera a puoÁ assumere solo valori positivi (a > 0), ma non uguali a 2 (a 2). n Il simbolo posto tra due relazioni matematiche, sta ad indicare che, affinche l'intera espressione possa essere considerata vera, almeno una delle relazioni deve essere vera. Per esempio, se scriviamo a1
a>3
significa che la lettera a puoÁ assumere indifferentemente il valore 1 o un qualsiasi valore maggiore di 3. Accanto a questi useremo altri due simboli che prendono il nome di . n Il quantificatore universale, il cui simbolo eÁ e che si legge per ogni, normalmente eÁ legato agli elementi di un insieme: x R
si legge per ogni x appartenente a R
indica che x puoÁ essere un qualsiasi numero reale. Per esempio, se scriviamo: x2 0
x R
significa che il quadrato di un numero x eÁ positivo o nullo qualunque sia il valore reale di x.
168
Tema 3 - Cap. 1: LE EQUAZIONI
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n Il quantificatore esistenziale, il cui simbolo eÁ e che si legge esiste, anch'esso legato agli elementi di un insieme: x R
si legge esiste un x appartenente a R
indica che nell'insieme R si riesce a trovare almeno un elemento x che abbia le caratteristiche richieste. Per esempio, se scriviamo: x R
tale che
9
'
x14
significa che in R si riesce a trovare un numero che sommato a 1 daÁ 4.
ESEMPI 3ax x a L'equazione eÁ intera e ha dominio D R. Trasportiamo i termini con la x al primo membro e i termini noti al secondo: 3ax x a Avere due termini in x non permette di risolvere l'equazione, ma possiamo fare un raccoglimento a fattor comune: x 3a 1 a () Per trovare la soluzione dobbiamo dividere entrambi i membri per 3a 1 e, se vogliamo applicare correttamente il secondo principio di equivalenza, dobbiamo imporre che questo fattore sia diverso da zero; quindi: 1 a l se 3a 1 0, cioe Á a , l'equazione ha soluzione x 3 3a 1
1 ; in questo caso non si puoÁ dividere per 3 1 3a 1 ma possiamo vedere come si trasforma l'equazione () sostituendo al posto di a : 3 1 x 3a 1 a diventa x 0 che eÁ un'equazione impossibile. 3 Riassumendo: 1 a l se a :S 3 3a 1 l
l
dobbiamo adesso chiederci che cosa accade quando a
se a
1 : S 1. 3
. a 1x a2 1 L'equazione eÁ intera e ha dominio D R. Essa eÁ giaÁ scritta in forma tale da consentire di determinare la sua soluzione. EÁ bene peroÁ scomporre il polinomio al secondo membro per facilitare i calcoli. a 1x a 1a 1
(.)
Il coefficiente di x eÁ a 1 e, se vogliamo dividere entrambi i membri per questo fattore, dobbiamo essere sicuri che non sia nullo. Dunque: l
se a 1 0, cioeÁ se a 1, possiamo dividere entrambi i membri dell'equazione per a 1 ottenendo: a 1x a 1a 1 a1 a1
Q ISTITUTO ITALIANO EDIZIONI ATLAS
da cui, semplificando
x a 1. Tema 3 - Cap. 1: LE EQUAZIONI
169
l
Se a 1 0, cioeÁ se a 1, non possiamo dividere, percioÁ non ci rimane che vedere cosa succede nell'equazione (.) quando, al posto di a, si sostituisce il valore 1: a 1x a 1a 1
diventa
0x 02
cioeÁ
0x 0.
EÁ il caso in cui sia il coefficiente di x che il termine noto dell'equazione sono nulli. Quindi l'equazione eÁ indeterminata.
Riassumendo: l l
/
se a 1 se a 1
S a 1
S R.
3x a x a 1x a 2a 2 L'equazione eÁ intera e ha dominio R. C'eÁ peroÁ il parametro a al denominatore: l
condizione iniziale sul parametro a 0.
Svolgendo i calcoli otteniamo:
23x a x a a 1 x 2a 2a
Possiamo moltiplicare entrambi i membri per 2a avendo supposto a 0: 2a
23x a x a a 1 x 2a 2a 2a
6x 2a x a a ax
ax 5x 2a
Raccogliamo x a fattor comune al primo membro: x a 5 2a
(/)
Discutiamo adesso su a 5. l
Se a 5 0, cioeÁ se a 5, possiamo dividere per tale fattore ottenendo: a 5x 2a a5 a5
l
diventa
Riassumendo:
l l
0
2a . a5
Se a 5 0, cioeÁ se a 5, non possiamo dividere; sostituiamo 5 al posto di a nell'equazione (/): xa 5 2a
l
x
se a 0, 5 : S
2a a5
0 x 25
cioeÁ
0 x 10
che eÁ impossibile.
se a 0 : l'equazione perde significato se a 5 : S 1.
a aa 1 1 2 x1 x 1 x1 L'equazione eÁ frazionaria; per determinare il dominio scomponiamo in fattori il secondo denominatore: a aa 1 1 x 1 x 1x 1 x1
170
Tema 3 - Cap. 1: LE EQUAZIONI
Q ISTITUTO ITALIANO EDIZIONI ATLAS
C.d.E.
x 1 0 x 1 0
*
Non ci sono condizioni iniziali sul parametro. Eseguiamo i calcoli ed eliminiamo i denominatori: x 1x 1
ax 1 aa 1 x1 x 1x 1 x 1x 1 x 1x 1
ax a a2 a x 1
ax x 1 a2
xa 1 a 1a 1 Discutiamo adesso su a 1. l
l
Se a 1 0, cioeÁ a 1 l'equazione ha soluzione x a 1. Se a 1 0, cioeÁ a 1 l'equazione diventa 0 x 2 0 cioeÁ 0x 0 ed eÁ indeterminata, vale a dire che l'insieme delle soluzioni coincide con il dominio, cioeÁ con l'insieme R 1, 1 .
Non sappiamo peroÁ se il valore trovato per x eÁ accettabile, perche per qualche valore di a potrebbe assumere il valore 1 o il valore 1, esclusi da D. Dobbiamo quindi procedere al della soluzione trovata, a 1, con i valori 1 e 1 per determinare quali valori del parametro vanno esclusi. l
l
a 1 1
se
a 0
a 1 1
se
a 2
La soluzione trovata eÁ quindi accettabile se a 0 a 2. Riassumendo: l
l
l
1
se a 1, 0, 2 : S a 1
se a 1 : S R 1, 1
(equazione indeterminata)
se a 0 a 2 : S 1
(il valore trovato non eÁ accettabile).
b1 1 x1 bx 1 x x x 1 C.d.E.: x 0 x 1
Condizioni iniziali sul parametro: Svolgiamo i calcoli: bxx 1
l
b 0.
xb 1 bx 1 bx 1 bxx 1 bxx 1 bxx 1
bx x 0 l
* 5
bx x bx b bx b
x b 1 0 0 b1
Se b 1
x
Se b 1
x00
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x0 l'equazione eÁ indeterminata. Tema 3 - Cap. 1: LE EQUAZIONI
171
La soluzione trovata non eÁ peroÁ accettabile percheÁ esclusa dal dominio e si deve concludere che, se b 1 l'equazione eÁ impossibile. Riassumendo: l l l
se b 0, 1 : S 1
se b 0 : l'equazione perde significato se b 1 : S R 1, 0 .
VERIFICA DI COMPRENSIONE L'equazione
xa a x ha dominio: x x2 a1
R 1
R 0, 1, 2
R 0, 1
. L'equazione ax a 1 di dominio R : ha sempre soluzione ha soluzione
a1 a
a1 se a 1 a
/ L'equazione a2 1x a 1a 2 di dominio R : eÁ indeterminata se a 1 eÁ determinata se a 0
Qual eÁ la sola affermazione falsa?
R 0, 2
ha soluzione
a1 se a 0 a
ha soluzione
a1 se a 0 a 1. a
eÁ impossibile se a 1 eÁ indeterminata se a 2.
0 Un'equazione di dominio D R 1 ha forma normale 3x 2 a 0. Completa: la soluzione eÁ x :::::::::::::::::::::::
la condizione di accettabilitaÁ eÁ: ..........................
Di conseguenza, il valore di x trovato: eÁ accettabile per qualsiasi valore di a eÁ accettabile solo se a 5
eÁ accettabile solo se a 0 eÁ accettabile solo se a 2.
2
Consideriamo l'equazione x 5x 4 0 che eÁ di secondo grado in forma normale; se scomponiamo il polinomio al primo membro otteniamo x 1 x 4 0
8:1
Risolvere questa equazione significa chiedersi per quali valori di x il prodotto dei due fattori x 1 e x 4 eÁ uguale a zero. Ma il prodotto di due numeri a e b eÁ zero se e solo se almeno uno di essi eÁ uguale a zero. Vale cioeÁ la seguente regola: 88 '"
Legge di annullamento del prodotto: ab 0
172
se e solo se
$$ ) $(#
' +#'#((#
a0
Tema 3 - Cap. 1: LE EQUAZIONI
b0 Q ISTITUTO ITALIANO EDIZIONI ATLAS
Allora, visto che al variare di x nell'insieme dei numeri reali i fattori x 1 e x 4 rappresentano dei numeri, il loro prodotto saraÁ zero se e solo se x10
x40
x1
x4
$ % +
% "
' 0 0
Siamo quindi ricondotti a risolvere due equazioni di primo grado, dalle quali ricaviamo che deve essere L'equazione data ha quindi come insieme delle soluzioni S 1, 4 . Questo metodo di risoluzione di un'equazione di grado superiore al primo si puoÁ applicare a tutte le equazioni di grado n 2 ridotte in forma normale a condizione di saper scomporre il polinomio al primo membro in fattori di primo grado.
1 2 3 0
Considerata dunque un'equazione nella forma E x 0, per trovare le sue soluzioni si procede in questo modo: l l
si scompone il polinomio E x in fattori tutti di primo grado
10
20 30 3 1, 2, 3
si risolvono le equazioni che si ottengono annullando ciascun fattore della scomposizione.
L'insieme S delle soluzioni eÁ quello che ha per elementi le radici di ciascuna equazione.
ESEMPI 3x 2 6x
3x 2 6x 0
Riduciamo in forma normale e scomponiamo
per la legge di annullamento del prodotto deve essere da cui ricaviamo che
x0 x2
3xx 2 0
3x 0 x 2 0
quindi S 0, 2 .
. 5x 2 80 0
L'equazione eÁ giaÁ in forma normale; dividiamo entrambi i membri per 5 e scomponiamo in fattori
x 2 16 0
x 4x 4 0
per la legge di annullamento del prodotto deve essere: cioeÁ
x40 x40
x 4 x 4
quindi
S 4, 4 .
L'equazione x2x 1 1 alle due equazioni x1
2x 1 1
Infatti il prodotto di due numeri eÁ 1 in infiniti modi diversi; potrebbe essere x
1 3
e
2x 1 3
oppure
x
2 5
e 2x 1
Attenzione agli errori
5 2
e cosõÁ via. Per risolvere l'equazione si procede in questo modo: x2x 1 1 0
2x 2 x 1 0
x 12x 1 0
e applicando la legge di annullamento del prodotto: x 1 0 2x 1 0 Q ISTITUTO ITALIANO EDIZIONI ATLAS
x 1 x
1 . 2 Tema 3 - Cap. 1: LE EQUAZIONI
173
VERIFICA DI COMPRENSIONE L'equazione x 2 9 0:
si scompone in: :::::::::::::::::::::::::::::::::::::: 0
ammette come insieme delle soluzioni: S :::::::::::::::::::::::::
. L'equazione che ha come insieme delle soluzioni S 3, 1, 0 eÁ: x 3x 1 0
x 3x 1 0
x x 3x 1 0
8:
n Calcolare l'area di un rettangolo sapendo che il perimetro eÁ24cm e un lato eÁ il doppio dell'altro. Un problema di questo tipo si dice perche la soluzione, se esiste, eÁ certa. Nel nostro caso, la soluzione eÁ anche semplice da trovare: l l
l
x x 3x 1 0
+#- )" ' ( )"$",("6"
il semiperimetro eÁ 12cm se un lato eÁ doppio dell'altro, le dimensioni del rettangolo sono di 4cm e 8cm quindi l'area del rettangolo eÁ 32cm2 .
n Calcolare quanto si puoÁguadagnare investendo in Borsa una somma pari a E 10 000. Un problema di questo genere perche una eventuale soluzione, a causa delle imprevedibili oscillazioni della Borsa, la si puoÁ determinare solo in termini di probabilitaÁ e non eÁ certa. In questa sede ci occupiamo solo dei problemi del primo tipo, e vedremo che troveremo nelle equazioni un utile strumento di risoluzione. Vediamo un primo esempio dal quale dedurremo considerazioni di carattere piuÁ generale. Una ditta presenta uno dei propri prodotti in due tipologie: la versione base, al costo unitario di E 300, e la versione lusso, al costo unitario di E 500; vende complessivamente 200 pezzi con un ricavo di E 82800. Per una corretta gestione del magazzino, l'azienda sa di non poter rimanere con meno di 40 pezzi per ogni tipologia; se prima della vendita aveva 150 pezzi della versione base e 135 pezzi della versione lusso, il magazzino deve essere rifornito?
" ( ,(# ' +#- )
Per poter dare una risposta al quesito posto dal problema dobbiamo calcolare quanti pezzi di ciascun tipo sono stati venduti. Se indichiamo con x il numero di pezzi venduti della versione base, avendo venduto in totale 200 pezzi, il numero di pezzi venduti della versione lusso eÁ 200 x. E' evidente che, per il significato che ha, x puoÁ solo assumere valori interi positivi e minori di 200.
Il ricavo della vendita eÁ quindi di Euro: 300x 500200 x
per la versione base
Tema 3 - Cap. 1: LE EQUAZIONI
/11
200
per la versione lusso
La somma di queste due quantitaÁ corrisponde a quanto la ditta ricava complessivamente, cioeÁ E 82800.
174
",# !"#$
Q ISTITUTO ITALIANO EDIZIONI ATLAS
Possiamo quindi impostare l'equazione: 300x 500200 x 82800 il cui dominio eÁ l'insieme degli x N tali che: 0 x 200
Risolvendola troviamo che:
x 86
La soluzione trovata appartiene al dominio, quindi possiamo dire che sono stati venduti: l 86 pezzi della versione base l 200 86 114 pezzi della versione lusso In magazzino rimangono quindi: 150 86 64 pezzi della versione base l 135 114 21 pezzi della versione lusso l
Il magazzino deve quindi essere rifornito di almeno 19 pezzi della sola versione lusso. Le equazioni sono uno degli strumenti piuÁ efficaci per risolvere problemi e l'esempio appena visto ce ne ha dato una prova. Conviene allora soffermarci sul percorso che abbiamo seguito e che, in generale, rappresenta una procedura efficiente per la loro risoluzione.
6#,
% + ")+#,(
",# !"#$ '" $ +#- )
n La prima cosa da fare eÁ per individuare che cosa si deve trovare; a volte l'enunciato eÁ esplicito a tale riguardo, altre volte eÁ necessaria un'analisi piuÁ approfondita perche le richieste non sono subito evidenti. Gli errori che spesso si commettono sono proprio dovuti ad una poco attenta lettura del testo. n Bisogna poi in modo che vengano messe in evidenza le relazioni suggerite dal problema. Se il problema eÁ di natura geometrica, eÁ opportuno costruire anche la figura che rispetti i dati.
n La fase piuÁ delicata eÁ quella della ; non sempre eÁ subito evidente che cosa conviene considerare come tale. Di solito l'aver scritto in modo corretto i dati puoÁ dare delle indicazioni; a volte le richieste stesse del problema suggeriscono che cosa sia meglio indicare con x (o con un'altra lettera a seconda della convenienza). n Scelta l'incognita, si deve stabilire qual eÁ il suo . Il dominio dipende sempre dal problema ed in genere eÁ un sottoinsieme, proprio o improprio, di un insieme numerico. n Successivamente si deve che rappresenta il problema in forma matematica. Spesso basta riscrivere le relazioni suggerite dal problema in funzione dell'incognita scelta; altre volte, specie se si tratta di problemi di natura geometrica o ad essa riconducibili, occorre riconoscere proprietaÁ di figure e applicare teoremi.
9 modello algebrico
n Risolta l'equazione occorre & (o le soluzioni se sono piuÁ di una) del problema. Spesso, poi, avere trovato il valore dell'incognita non significa avere risolto il problema; nell'esempio precedente, una volta trovato il valore di x abbiamo dovuto stabilire quale versione del prodotto fosse da produrre per rifornire il magazzino. Occorre allora ritornare al primo punto e rispondere alle richieste. PuoÁ inoltre capitare che l'equazione sia indeterminata, ed allora ogni valore del dominio eÁ soluzione del problema, oppure che sia impossibile, e in questo caso si deve concludere che il problema non ha soluzioni. Q ISTITUTO ITALIANO EDIZIONI ATLAS
Tema 3 - Cap. 1: LE EQUAZIONI
175
ESEMPI 2 dei libri che ha in magazzino; dall'inventario 3 fatto alla chiusura risulta che in negozio rimangono ancora 264 libri. Quanti libri c'erano inizialmente?
Una libreria, in occasione delle feste natalizie, vende i Seguiamo il percorso indicato ai punti precedenti: l
l
l
l'obiettivo del problema eÁ calcolare il numero di libri presenti inizialmente in libreria 2 i dati ci dicono che: i libri venduti sono i di quelli iniziali 3 dopo la vendita rimangono 264 libri poniamo uguale a x il numero di libri presenti inizialmente in libreria, con x N.
Per scrivere l'equazione che eÁ il modello del problema ragioniamo cosõÁ: 2 2 i libri venduti sono x, quindi i libri rimasti sono x x e questa quantitaÁ equivale a 264 libri. L'equa3 3 Á zione e quindi la seguente: x
2 x 264 3
e risolvendola si ottiene
x 792
La soluzione eÁ accettabile percheÁ appartiene al dominio del problema ed in questo caso rappresenta anche la risposta al problema: inizialmente in libreria c'erano 792 libri.
. In un trapezio isoscele, avente il perimetro di 34cm, la base minore eÁ metaÁ della base maggiore la quale, a sua volta, supera di 11cm il lato obliquo. Qual eÁ l'area del trapezio? Il problema eÁ di natura geometrica e la figura deve essere costruita rispettando il piuÁ possibile i dati, quindi un trapezio con i lati obliqui congruenti e la base DC che sia la metaÁ di AB ( ). Facciamo inoltre notare che per indicare la misura di un segmento si pone di solito una trattino sopra alle lettere che lo identificano; per esempio, per indicare che un segmento AB ha una lunghezza di 4 metri si scrive AB 4. l
l
l
1 AB AB BC 11 perimetro 34 2 Incognita: il segmento CD eÁ espresso in funzione di AB, il quale, a sua volta, eÁ espresso in funzione di Dati:
CD
BC e tutte le misure sono espresse in centrimetri; conviene dunque porre BC x, con x numero reale positivo. 1 Riscriviamo i dati in funzione dell'incognita: AB x 11 CD x 11 2
Il perimetro deve essere uguale a 34, quindi il problema eÁ formalizzato dall'equazione: 1 11 x 11 34 x5 x x|{z} x |{z} |{z} 2 |{z} BC
AD
AB
CD
I lati del trapezio misurano quindi:
BC AD 5
AB 16
CD 8.
Per trovare la misura dell'area ci serve l'altezza che possiamo trovare applicando il teorema di Pitagora al triangolo ADH : 16 8 DH 52 42 3 essendo AH 4 si ha che 2 16 8 3 Di conseguenza: area 36cm2 2
176
Tema 3 - Cap. 1: LE EQUAZIONI
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VERIFICA DI COMPRENSIONE La somma di un numero con la sua metaÁ eÁ uguale al doppio del numero stesso diminuito di 4. Indicando con x il numero, l'equazione che formalizza il problema eÁ: x
1 x 2x 4 2
x
1 x 24 2
x
1 x 2x 4 2
x
1 x 2x 4 0 2
. Il triplo di un numero x, aumentato di 1, eÁ uguale alla somma del numero stesso con il suo doppio aumentato di 1. L'equazione modello del problema eÁ: ................................ Risolvendo si ottiene .......................................................... Di numeri x reali che soddisfano queste condizioni ce ne sono: uno solo
due
nessuno
infiniti
Sul sito www.edatlas.it trovi... l
il laboratorio di informatica
l
le schede storiche 9 e ;
l
gli esercizi dalle Gare di matematica
l
Á (OCSE - PISA) i problemi di Matematica e Realta
l
Á di recupero le attivita
Indicato con t il tasso di interesse annuo percentuale, l'interesse I su una t somma di denaro C si calcola con la formula I C . 100
La risposta al quesito iniziale
Nel nostro caso l'interesse eÁ pari a 18000 15000 3000 (Euro), C corrisponde a E 15000, quindi possiamo scrivere l'equazione 3000 15000
t 100
la cui soluzione eÁ t 20 L'amico ha dunque applicato un tasso del 20% che, in base alla legge italiana, eÁ un tasso usuraio. Q ISTITUTO ITALIANO EDIZIONI ATLAS
Tema 3 - Cap. 1: LE EQUAZIONI
177
I concetti e le regole
Una identitaÁ eÁ l'uguaglianza fra due espressioni algebriche che eÁ verificata qualunque siano i valori, appartenenti al dominio delle due espressioni, che vengono attribuiti alle variabili. Un'equazione eÁ l'uguaglianza fra due espressioni algebriche che eÁ verificata solo quando le sue variabili assumono particolari valori; tali valori sono le sue soluzioni o radici. In base al numero di soluzioni, un'equazione puoÁ essere: l determinata se ha un numero finito di soluzioni; l indeterminata se ha un numero infinito di soluzioni; l impossibile se non ha soluzioni. Un'equazione si dice poi: l intera se i denominatori non contengono l'incognita, frazionaria in caso contrario; l numerica se l'unica lettera e Á l'incognita, letterale se contiene anche altre lettere.
Due equazioni sono equivalenti se hanno le stesse soluzioni. Per passare da un'equazione di dominio D ad un'altra ad essa equivalente si applicano due principi di equivalenza: l primo principio: sommando ai due membri di un'equazione una stessa espressione di dominio D si ottiene un'equazione equivalente a quella data l secondo principio: moltiplicando i due membri di un'equazione per una stessa espressione di dominio D e non nulla si ottiene un'equazione equivalente a quella data. Conseguenze di questi due principi sono le seguenti: l si puo Á spostare un termine da un membro all'altro cambiandogli segno l due termini uguali in due membri diversi si possono elidere l si puo Á scrivere un'equazione intera in forma normale trasportando tutti i termini al primo membro l se i due membri dell'equazione hanno un fattore comune numerico non nullo, questo puo Á essere semplificato l si possono cambiare i segni a tutti i termini di un'equazione l si possono eliminare i denominatori dell'equazione moltiplicando entrambi i membri per il loro m:c:m:
Grado di un'equazione intera Ex 0 eÁ il grado del polinomio Ex. Un'equazione di primo grado, o equazione lineare, assume quindi la forma ax b 0. Per risolvere un'equazione lineare si applicano i due principi di equivalenza e: l
l l
se a 0, la soluzione eÁ
b a
se a 0 e anche b 0 l'equazione eÁ indeterminata, ovvero ha infinite soluzioni se a 0 e b 0 l'equazione eÁ impossibile.
Per risolvere un'equazione Ex 0 dove Ex eÁ un polinomio di grado superiore al primo, si deve: l l
scomporre Ex in fattori tutti di primo grado:
applicare la legge di annullamento del prodotto: da cui si ricavano le soluzioni
178
Tema 3 - Cap. 1: LE EQUAZIONI
x ax bx c 0
x a0 x b 0 x c 0 xa xb xc
Q ISTITUTO ITALIANO EDIZIONI ATLAS
CAPITOLO
Le disequazioni
Obiettivi l
l
Á delle disuguaglianze conoscere le proprieta risolvere disequazioni di primo grado intere e frazionarie essendo consapevoli dei procedimenti utilizzati
l
risolvere sistemi di disequazioni
l
risolvere disequazioni non lineari mediante scomposizione in fattori
MATEMATICA E REALTAÁ Luca sta tornando da scuola con lo scooter e si accorge che non ha quasi piuÁ carburante nel serbatoio. Si ferma quindi a un distributore dove il benzinaio gli dice che dovrebbe anche aggiungere almeno mezzo chilo di olio che costa E 16,28 al chilo. Luca guarda nel portafoglio e si accorge di avere solo E 25; visto che deve anche fermarsi a comprare un libro che gli serve e che costa E 12, si chiede quanti litri di benzina al massimo puoÁ mettere nel serbatoio se il costo della benzina eÁ E 1,40 al litro. Questa volta si tratta di risolvere un problema di disuguaglianze e, al termine del capitolo, troverai la risposta.
529
1.1 Le disuguaglianze e le loro proprietaÁ Quando nei precedenti capitoli abbiamo scritto relazioni del tipo 3 o a 1, abbiamo sostanzialmente espresso delle condizioni di non uguaglianza fra due espressioni e . Se alcune volte ci basta chiedere che due quantitaÁ siano diverse, altre volte ci interessa specificare meglio in che direzione si sviluppa questa non uguaglianza, perche se non eÁ uguale a , allora si possono verificare due possibili situazioni: Q ISTITUTO ITALIANO EDIZIONI ATLAS
Tema 3 - Cap. 2: LE DISEQUAZIONI
179
n che sia maggiore di e in simboli si scrive
oppure n che sia minore di e in simboli si scrive
EÁ abbastanza frequente trovarsi a dover risolvere disuguaglianze di questo tipo nella vita reale, anche in situazioni molto semplici.
Le disuguaglianze tra numeri Cominciamo ad analizzare le proprietaÁ delle disuguaglianze fra numeri che, nel seguito, verranno indicati con , , , . n Se a due numeri disuguali aggiungiamo uno stesso numero, otteniamo due numeri disuguali nello stesso verso:
Per esempio: 4 7 93
4373 9434
infatti infatti
7 10 5 1
n Se due numeri dello stesso segno (quindi entrambi positivi o entrambi negativi) sono disuguali, i loro reciproci sono disuguali nel verso opposto: 1 1 1 1 Per esempio: 5 8 5 8 3 4 1 2 4 3 2 n Se si moltiplicano due numeri disuguali per uno stesso numero positivo si ottiene una disuguaglianza dello stesso verso:
per ogni positivo
Per esempio: 6 9 2 3
6595 2 6 3 6
infatti infatti
Attenzione: questa proprietaÁ non eÁ piuÁ vera se a e b sono discordi. Per esempio: 3 5 1 1 ma non eÁ maggiore di 3 5 Ricorda le proprietaÁ di monotonia studiate nei capitoli sui numeri.
30 45 12 18
n Se si moltiplicano due numeri disuguali per uno stesso numero negativo si ottiene una disuguaglianza di verso opposto:
Per esempio: 4 7 8 3
per ogni negativo 4 3 7 3 8 2 3 2
infatti infatti
12 21 16 6
n Dall'ultima proprietaÁ discende poi che se due numeri sono disuguali in un verso, i loro opposti sono disuguali nell'altro, perche questo equivale a moltiplicarli per 1:
Per esempio: 12 3 15 8
12 3 15 8
1.2 Le disequazioni Una disequazione eÁ una relazione della forma
oppure
nella quale si chiede per quali valori della variabile l'espressione assume valori maggiori oppure minori dell'espressione .
180
Tema 3 - Cap. 2: LE DISEQUAZIONI
Q ISTITUTO ITALIANO EDIZIONI ATLAS
Per le disequazioni valgono considerazioni analoghe a quelle che abbiamo fatto per le equazioni: n il dominio di una disequazione eÁ l'insieme dei valori che puoÁ assumere la variabile, abitualmente indicata con n l'insieme delle soluzioni eÁ costituito da tutti i valori di che rendono vera la disuguaglianza n due disequazioni che hanno le stesse soluzioni si dicono equivalenti n una disequazione eÁ intera se le espressioni e sono di tipo polinomiale, eÁ frazionaria se ci sono anche delle frazioni algebriche i cui denominatori contengono l'incognita: 3 1 3 eÁ frazionaria 3 2 4 eÁ intera 2 n una disequazione eÁ in forma normale se eÁ scritta in questo modo: 0
oppure
0
n il grado di una disequazione intera in forma normale eÁ il grado del polinomio al primo membro. In questo capitolo impareremo a risolvere le disequazioni di primo grado (o lineari) e quelle che ad esse si possono ricondurre. Per determinare le soluzioni di una disequazione si applicano le proprietaÁ delle disuguaglianze che dai numeri si estendono in modo naturale alle espressioni. Primo principio. Se ai due membri di una disequazione si aggiunge una stessa espressione avente lo stesso dominio, si ottiene una disequazione equivalente a quella data e dello stesso verso:
eÁ equivalente a
Secondo principio. Se si moltiplicano i due membri di una disequazione per uno stesso numero positivo , si ottiene una disequazione equivalente a quella data e dello stesso verso: e
0
eÁ equivalente a
I PRINCIPI DI EQUIVALENZA
A
B
n AC BC n kA kB se k 0 n kA kB se k 0
Se si moltiplicano i due membri di una disequazione per uno stesso numero negativo , la disequazione che si ottiene eÁ equivalente a quella data solo se si cambia anche il verso: e
0
eÁ equivalente a
Le conseguenze di questi due principi sono le seguenti: l
si possono spostare termini da un membro all'altro cambiando loro il segno: 5 4 2 7
l
eÁ equivalente a
5 2 7 4
si possono dividere i due membri di una disequazione per uno stesso numero rispettando il secondo principio: 3 3 > 6
dividendo per 3, eÁ equivalente a
1>2
10 5 > 15
dividendo per 5, eÁ equivalente a
2 1 < 3
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Tema 3 - Cap. 2: LE DISEQUAZIONI
181
l
si possono cambiare i segni ai termini dei due membri di una disequazione ma bisogna cambiare anche il verso perche questa operazione equivale a moltiplicare per 1 che eÁ un numero negativo: 6 3 < 4 5
l
diventa
6 3 > 5 4
se nella disequazione ci sono denominatori numerici, si puoÁ trasformare la disequazione in modo da avere coefficienti interi moltiplicando per il fra i denominatori: 1 3 4 1 2 3 6
diventa
6
3 1 23 4 6 6 6
3 1 23 4
Una disequazione frazionaria, che ha quindi dei denominatori con l'incognita, non si puoÁ invece trasformare in una disequazione intera eliminando i denominatori perche essi hanno un segno che cambia a seconda del valore di . Per esempio: eÁ equivalente a
1 1 2 0 1
ma non eÁ equivalente a
1 1 2 0
1 0 1
Attenzione agli errori
In generale quindi: si possono eliminare i denominatori numerici moltiplicando per il loro mcm, mentre non si possono eliminare i denominatori con l'incognita.
VERIFICA DI COMPRENSIONE 1. Tenendo presenti le proprietaÁ delle disuguaglianze, inserisci il simbolo appropriato "" oppure "". a. 5 8
c. 7 5
e.
4 1 5
5 2 8 2 1 1 7 5 4 3 1 3 5
b. 4 2
4 3 2 3
d. 9 3
f. 6 10
6 10
1 1 9 3
2. Considerata la disequazione 1 3 4 5, scrivi quella che ottieni eseguendo su di essa le operazioni indicate: a. moltiplica entrambi i membri per 4 c. dividi entrambi i membri per 2 e. sottrai a entrambi i membri
b. somma ad entrambi i membri 5 d. cambia i segni ai due membri. f. moltiplica entrambi i membri per 3
Mediante l'applicazione dei principi di equivalenza e tenendo presenti le considerazioni precedenti, una disequazione lineare intera si puoÁ sempre ricondurre alla sua forma normale 0
oppure
0
531
con 0
Per trovare le sue soluzioni basta trasportare il termine al secondo membro e poi dividere entrambi i membri per .
182
Tema 3 - Cap. 2: LE DISEQUAZIONI
Q ISTITUTO ITALIANO EDIZIONI ATLAS
Risolviamo per esempio la disequazione 2 nio : l
svolgiamo dapprima i calcoli:
1 3 72 1 di domi-
2 2 3 14 7 5 2 14 7
l
l
l
trasportiamo i termini in al primo membro e i termini noti al secondo: 5 14 7 2 9 5 poiche il coefficiente di eÁ negativo, cambiamo segni e verso:
9 5
dividiamo per 9 che, essendo positivo, lascia invariato il verso della dise5 quazione: 9
& ' Á negativo conviene prima cambiare i segni ai termini della disequazione, cambiando di conseguenza anche il verso.
La disequazione eÁ dunque verificata da tutti i numeri reali che sono minori di 5 . 9 Per rappresentare l'insieme delle soluzioni scriveremo quindi
5 9
Gli insiemi che rappresentano le soluzioni di una disequazione, salvo casi particolari, si esprimono mediante relazioni della forma:
oppure
LA RAPPRESENTAZIONE DELLE SOLUZIONI
dove e sono numeri reali. Insiemi di questo tipo si chiamano intervalli. L'insieme delle soluzioni di una disequazione si puoÁ anche rappresentare graficamente sulla retta dei numeri reali; la convenzione grafica che useremo eÁ la seguente: l
l
l
useremo una linea continua in corrispondenza dell'intervallo delle soluzioni, lasciando tratteggiata la parte di retta che non interessa metteremo un pallino pieno quando anche il punto estremo dell'intervallo fa parte delle soluzioni non metteremo nessun pallino quando l'estremo non fa parte delle soluzioni.
Per esempio: l
5 l'insieme , soluzione della precedente disequazione, viene rappresen9 tato cosõÁ:
Intervallo eÁ l'insieme dei numeri reali che soddisfa ad una delle seguenti relazioni: x a numeri maggiori di a x b numeri minori di b a x b numeri compresi fra a e b, estremi esclusi Quando si vuole indicare che sono compresi anche i valori a e b si usano le scritture
l
l'insieme
5 viene rappresentato cosõÁ: 8
x a
x b
a x b
ESEMPI 1. 3 2 1 1 2 Svolgiamo i calcoli e trasportiamo i termini in al primo membro della disequazione, i termini noti al secondo Q ISTITUTO ITALIANO EDIZIONI ATLAS
Tema 3 - Cap. 2: LE DISEQUAZIONI
183
3 2 2 1 2
3 3
1
Figura 1
L'insieme delle soluzioni eÁ costituito dall'intervallo dei numeri reali che sono minori di 1 ( ).
2.
1 3 1 2 1 3 2 2 3 In questa disequazione ci chiediamo per quali valori di l'espressione al primo membro assume valori che sono minori oppure uguali a quelli assunti dall'espressione al secondo membro. Si tratta quindi di risolvere sia la disequazione che l'equazione . La procedura di calcolo eÁ peroÁ la stessa e conviene quindi risolvere insieme le due relazioni. Riduciamo i due membri allo stesso denominatore:
2 1 9 3 1 2 2 1 6 6
Liberiamo la disequazione dai denominatori moltiplicando per 6 e svolgiamo i calcoli: 2 2 2 9 3 3 2 2 2 Cambiamo i segni moltiplicando per 1:
2 3 9 1
10
L'insieme delle soluzioni eÁ rappresentato graficamente in figura 2 dove, come stabilito, abbiamo indicato con un pallino pieno il fatto che 10 appartiene all'insieme delle soluzioni.
3.
10
Figura 2
1 1 1 3 2 7 1 2 2 Eseguiamo i calcoli e liberiamo la disequazione dai denominatori: 1 6 2 7 14
6 7 1 12 14
0 1
I termini in hanno somma zero e quindi la disequazione si eÁ trasformata in una disuguaglianza che eÁ falsa per ogni valore di . L'insieme delle soluzioni eÁ quindi l'insieme vuoto: 1.
4. 1 2 3 5 1 8 Svolgiamo i calcoli: 2 2 1 3 15 2 8
2 3 1 15 8
0 8
In questo caso la disequazione si eÁ trasformata in una disuguaglianza che eÁ vera per ogni valore assegnato alla variabile . L'insieme delle soluzioni eÁ quindi l'insieme : .
VERIFICA DI COMPRENSIONE 1. Scegli fra quelle indicate la disequazione equivalente a quella data nei seguenti casi: ¬ 4
4
® 4
1 2 0 3
¬ 2 1 0
1 2 3
® 2 1 3
c. 4 6 0
¬ 3 2 0
3 2 0
® 2 6 0
a. 3 12 b.
184
Tema 3 - Cap. 2: LE DISEQUAZIONI
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2. Scegli fra quelli indicati l'intervallo delle soluzioni delle seguenti disequazioni: a. 4 0
¬ 4
0
b. 2 3 0
¬
3 2
c. 1 3 2
¬
3. La disequazione a. 3
1 3
® 4
3 2 1 3
®
2 3
® 1
1 2 ha come soluzione l'intervallo: 2 3 b. 3
c. 3
d. 3
Abbiamo giaÁ evidenziato che in una disequazione frazionaria non si possono, in generale, eliminare i denominatori perche di essi non si conosce il segno. Vediamo allora come procedere su un esempio. 2 2 1 3 3
Consideriamo la disequazione nella quale dobbiamo porre
535
3
e svolgiamo dapprima i calcoli in questo modo: l
trasportiamo tutti i termini al primo membro:
l
riduciamo tutto allo stesso denominatore:
l
svolgiamo i calcoli al numeratore:
2 2 1 0 3 3 2 3 2 0 3 2 1 0 3
Osserviamo adesso che il segno di una frazione dipende dal segno dei polinomi che stanno al numeratore e al denominatore: se sono concordi la frazione eÁ positiva, se sono discordi la frazione eÁ negativa. Possiamo allora studiare separatamente il segno del numeratore e quello del denominatore e ricercare in quali intervalli vi eÁ concordanza di segno e in quali vi eÁ discordanza. Vediamo allora quando il binomio 2 1 eÁ positivo (eÁ poi evidente che dove non eÁ positivo e non si annulla saraÁ negativo): l
2 1 0
se
1 2
Vediamo quando il denominatore eÁ positivo: l
30
se
3
Per confrontare i segni dei due polinomi eÁ utile servirsi di una tabella di segni che costruiamo in questo modo: n disegniamo la retta dei numeri reali (in orizzontale), riportiamo su di essa i valori che rappresentano gli estremi degli intervalli che sono soluzioni delle Q ISTITUTO ITALIANO EDIZIONI ATLAS
Tema 3 - Cap. 2: LE DISEQUAZIONI
185
1 e, da 2 ognuno di questi punti, tracciamo una linea verticale che suddivide idealmente la retta in zone; tracciamo una linea doppia in corrispondenza dei valori che sono esclusi dal dominio, nel nostro caso 3 ( )
disequazioni analizzate, nel nostro caso
3 e
Figura 3
a.
n riportiamo in ciascun intervallo individuato la variazione dei segni del numeratore su una stessa linea ( ) n riportiamo allo stesso modo la variazione dei segni del denominatore ( 3c).
b.
Analizziamo adesso zona per zona il segno del quoziente (figura 3d ): l
quando 3, numeratore e denominatore sono entrambi negativi, quindi la frazione eÁ positiva
l
se
l
quando
l
1 , il numeratore eÁ negativo e il de2 nominatore eÁ positivo, quindi la frazione eÁ negativa 3
quando
1 , il numeratore si annulla quindi la frazio2
ne vale zero l
c.
3 la frazione non ha significato
d.
1 , numeratore e denominatore sono entrambi positivi, quindi la 2 frazione eÁ positiva. quando
Le soluzioni della disequazione sono i valori di che rendono positiva la fra2 1 zione ; l'insieme delle soluzioni eÁ quindi formato dai numeri reali che 3 appartengono al primo o al secondo degli intervalli dove abbiamo ottenuto un segno , cioeÁ 1 3 2
Ricordiamo che nella scrittura x a x b il simbolo significa che x puoÁ appartenere al primo intervallo oppure al secondo.
Questa procedura di risoluzione di una disequazione frazionaria puoÁ essere cosõÁ riassunta: n dopo aver posto le condizioni di esistenza si portano tutti i termini della disequazione al primo membro
"! PROCEDURA DI RISOLUZIONE
n si riducono tutte le frazioni allo stesso denominatore e si svolgono i cal 0 o 0 coli in modo da arrivare alla forma n si studiano separatamente i segni di e di n si riporta la variazione dei segni di ciascun polinomio in una tabella n si costruisce il segno della frazione n si scelgono gli intervalli delle soluzioni in base al verso.
186
Tema 3 - Cap. 2: LE DISEQUAZIONI
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Negli esempi che seguono utilizzeremo sempre questa procedura.
13 16 percheÂ: 8 9
Devi poi stare attento a non sbagliare l'ordine dei numeri da riportare sulla retta dei numeri reali; in caso di dubbio puoi eventualmente riferirti ai valori decimali oppure eseguire il prodotto incrociato.
l
13 9 16 8
l
13 1,625 8
16 1,7 9
e 1,625 1,7
ESEMPI $
3
1
2 3 1
C.d.E.:
0
Trasportiamo tutti i termini al primo membro e svolgiamo i calcoli: 3 1 2 3 10
3 1 2 3 0
4 0
Conviene cambiare segno al numeratore e quindi cambiamo anche il verso della disequazione: Poiche il numeratore eÁ un numero positivo, la disequazione eÁ verificata se
2.
0.
4 0
3 2 2 1 4 2 Scomponiamo il secondo denominatore e trasportiamo tutti i termini al primo membro: 3 0 2 2 1 22 1
C.d.E:
1 2
Calcoliamo il fra i denominatori e svolgiamo i calcoli: 2 3 42 1 0 22 1
2 7 0 22 1
Moltiplichiamo per 2 entrambi i membri in modo da eliminare tale fattore dal denominatore: 2 7 0 2 1 Per sapere quando la frazione eÁ negativa, studiamo il segno del polinomio al numeratore e di quello al denominatore andando a ricercare quando il numeratore eÁ positivo o nullo (una frazione eÁ uguale a zero se eÁ nullo il numeratore) e quando il denominatore eÁ positivo: 2 7
l
2 7 0
l
2 1 0
1 2
Costruiamo la tabella dei segni:
Poiche vogliamo che la frazione sia negativa o nulla, dobbiamo scegliere gli intervalli con il segno meno e il valore che annulla il numeratore; la disequazione eÁ quindi verificata se:
Q ISTITUTO ITALIANO EDIZIONI ATLAS
1 2
2 7
Tema 3 - Cap. 2: LE DISEQUAZIONI
187
Ricordiamo di nuovo che 2 10 3
non eÁ equivalente a
Attenzione agli errori
2 3 0
2 3 0. 3
ma eÁ equivalente a
In una disequazione frazionaria non si possono eliminare i denominatori.
VERIFICA DI COMPRENSIONE $ La disequazione
3 2 eÁ equivalente a: 1
a. 3 2 1
b. 2 1 3
c.
3 2 1 1
d.
3 2 1 1 1
2. Spiega perche le seguenti disequazioni sono tutte equivalenti fra loro: 7 4 0 2 3
4 7 0 3 2
3. La soluzione della disequazione
4 7 0 2 3
7 4 0 3 2
3 4 1 1
a. si ottiene costruendo la tabella dei segni delle seguenti disequazioni:
¬ 3 4 1 e 1 1 b. eÁ verificata se: 4 ¬ 1 3
3 4 1 e 1 0
1
5 2
®
® 2 5 0 e 1 0
5
1 2
La regola dei segni che abbiamo imparato ad usare per risolvere le disequazioni frazionarie ci puoÁ servire anche per risolvere disequazioni di grado superiore al primo, a condizione che, una volta scritta la disequazione nella forma 0 oppure 0, il polinomio si possa scomporre nel prodotto di fattori di primo grado. Per esempio, per risolvere la disequazione
¯ 0
4 3
538
2 4 0 possiamo procedere cosõÁ: l
l
l
scomponiamo il polinomio al primo membro:
2 2 0
studiamo il segno di ogni fattore del prodotto: 2 0 se 2 2 0 se 2 costruiamo la tabella dei segni e determiniamo il segno del prodotto:
188
Tema 3 - Cap. 2: LE DISEQUAZIONI
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l
poiche vogliamo che il prodotto 2 2 sia positivo, scegliamo gli intervalli delle soluzioni con il segno : 2 2
Il metodo seguito puoÁ essere generalizzato ad una qualunque disequazione 0
oppure
0
e il procedimento di risoluzione eÁ il seguente: LA PROCEDURA DI RISOLUZIONE
n si scompone il polinomio in fattori di primo grado n si studia il segno di ogni fattore n si costruisce la tabella dei segni n si determina il segno del polinomio in ogni intervallo individuato n si individua l'insieme delle soluzioni. Il metodo, per il momento, non puoÁ essere applicato se non si puoÁ scomporre nel modo indicato.
ESEMPI $ 2 4 3 0 Scomponiamo il polinomio usando la regola del trinomio caratteristico:
1 3 0
Studiamo il segno di ogni fattore del prodotto: l
10
se
1
l
30
se
3
Costruiamo la tabella dei segni:
Poiche stiamo ricercando i valori che rendono negativo il prodotto, l'insieme delle soluzioni eÁ costituito dall'intervallo 1 3.
2. 2 0 Possiamo dare una risposta immediata a questo esercizio se osserviamo che qualunque numero, elevato a potenza pari, eÁ sempre positivo o nullo. Allora la disequazione data eÁ verificata per ogni reale escluso lo zero dove si annulla; l'insieme delle soluzioni eÁ dunque 0.
3. 4 2 4 1 0 Il polinomio al primo membro eÁ un quadrato; possiamo allora riscrivere la disequazione nella forma 2 1 2 0 Con un ragionamento analogo a quello fatto al precedente esercizio, possiamo dire che la disequazione non eÁ mai verificata perche un numero, elevato al quadrato, non puoÁ essere negativo. Dunque 1. Q ISTITUTO ITALIANO EDIZIONI ATLAS
Tema 3 - Cap. 2: LE DISEQUAZIONI
189
VERIFICA DI COMPRENSIONE 1. La disequazione 3 2 1 si risolve costruendo la tabella dei segni delle disequazioni: a. 1
e
3 2 1
b. 1 0
e
c. 1
e
3 2 0
d. 0
3 2 1
e
3 1 0
2. La disequazione 2 0: si risolve studiando il segno di: .......................... e .......................... la tabella dei segni eÁ: l'insieme delle soluzioni eÁ ..........................
Se hai giaÁ studiato le proprietaÁ dei triangoli, sai che con tre segmenti di lunghezza 5cm, 10cm e 8cm puoi costruire un triangolo ( ), mentre con tre segmenti di lunghezza 5cm, 10cm e 4cm non ci riesci ( ); questo perche in ogni triangolo ciascun lato deve essere minore della somma degli altri due e contemporaneamente maggiore della loro differenza e la seconda serie di segmenti non soddisfa questa condizione: 10 5 15 e 4 eÁ minore di 15
ma
10 5 5
e
540
4 non eÁ maggiore di 5
Figura 4
a.
b.
Quando si vuole che due o piuÁ disequazioni siano verificate contemporaneamente si scrivono le due relazioni una sotto l'altra racchiudendole in una parentesi graffa e di esse si dice che sono in . Per esempio, se due lati di un triangolo sono lunghi 5cm e 10cm, per indicare che la misura del terzo lato deve contemporaneamente essere minore di 10 5 e maggiore di 10 5 possiamo scrivere cosõÁ: 15 10 5 cioeÁ 5 10 5 Per conoscere quali valori puoÁ assumere in modo che entrambe le disequazioni siano soddisfatte ci serviamo di una tabella, che chiamiamo tabella delle soluzioni, che costruiamo in questo modo (vedi le tabelle a pagina successiva): n disegniamo la retta dei numeri reali e riportiamo su di essa i numeri che rappresentano gli estremi degli intervalli soluzioni di ogni disequazione, nel nostro caso i numeri 5 e 15;
190
Tema 3 - Cap. 2: LE DISEQUAZIONI
Q ISTITUTO ITALIANO EDIZIONI ATLAS
n per ciascuna disequazione disegniamo una semiretta che rappresenta l'intervallo delle soluzioni ( ): - la prima ha origine in 15 e si sviluppa verso sinistra
1 eÁ 15
- la seconda ha origine in 5 e si sviluppa verso destra
2 eÁ 5
Le due disequazioni sono verificate contemporaneamente nella zona dove si intersecano le due linee delle soluzioni, nel nostro caso nell'intervallo 5 15 ( ). Dunque il terzo lato del triangolo deve avere una lunghezza compresa tra 5 e 15 centimetri. Riassumendo:
n scrivere due o piuÁ disequazioni in sistema significa trovare i valori dell'incognita che soddisfano contemporaneamente tutte le disequazioni; n l'insieme delle soluzioni eÁ quindi dato dall'intersezione delle soluzioni di tutte le disequazioni; n per trovare questo insieme si costruisce la tabella delle soluzioni.
ESEMPI 8
> < 3. 4 0 > >3 > : 2 0 4
Risolvendo le tre disequazioni otteniamo:
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Tema 3 - Cap. 2: LE DISEQUAZIONI
191
8 1 > > > > 2 < 4 > > > > : 3 8
1 2 3
Costruiamo la tabella delle soluzioni: 1 4. 2
Il sistema eÁ verificato se
VERIFICA DI COMPRENSIONE $ In un sistema di due disequazioni intere, una delle disequazioni ha per soluzione ; dell'insieme delle soluzioni di tale sistema si puoÁ dire che: a. eÁ l'insieme b. eÁ l'insieme vuoto c. eÁ l'insieme che si ottiene risolvendo l'altra disequazione.
2. Il sistema
10 0
eÁ verificato:
a. se 0 oppure 1
b. se 1
c. se 0 1
d. per nessun valore di .
APPROFONDIMENTI EQUAZIONI E LE DISEQUAZIONI CON I MODULI Ricordiamo che il valore assoluto o modulo di un numero eÁ il numero stesso considerato senza il suo segno. Tuttavia, poiche abbiamo identificato i numeri assoluti con quelli positivi, possiamo dire che il valore assoluto di un numero reale ha questo significato:
se 0
se 0
Poiche lo zero non ha segno, il valore 0 puoÁ essere attribuito indifferentemente al primo o al secondo caso; noi lo abbiamo associato al primo. Un analogo significato si deve attribuire al modulo di un'espressione. Per esempio: 2
se 2 0 cioeÁ
2 2
2
se 2 0
2
se 2
2
se 2
Per poter risolvere un'equazione o una disequazione nelle quali l'incognita si trova in un'espressione che fa parte di un modulo, eÁ necessario togliere il simbolo di modulo, distinguendo il caso in cui il suo argomento eÁ positivo o nullo da quello in cui eÁ negativo. Vediamo come si deve procedere attraverso degli esempi.
192
Tema 3 - Cap. 2: LE DISEQUAZIONI
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Le equazioni Risolviamo l'equazione
5 2 2 4
Per poter togliere il modulo dobbiamo conoscere il segno del binomio 5 2 : 5 2 5 2 2 5
2 5 2 se 5
se
Possiamo quindi dire che l'equazione eÁ equivalente ai due sistemi: 8 8 > >
: : 5 2 2 4 2 5 2 4 Risolvendo le due equazioni troviamo: 8 2 > >
> : 3 2
8 2 > >
> : 1 3
3 2 1 2 eÁ maggiore di e eÁ minore di , ciascuna soluzione soddisfa il proprio sistema e le so2 5 3 5 1 3 luzioni sono entrambe accettabili: , . 3 2 PoicheÂ
Le disequazioni Risolviamo la disequazione
3 1 2 5 4
Studiamo il segno dell'argomento del modulo: 3 1 3 1 3 1
1 3 1 se 3
se
La disequazione eÁ quindi equivalente ai due sistemi: 8 1 8 > > >
> 4 : 3 1 2 5 4 9 Secondo sistema:
8 , c la loro differenza eÁ l'angolo c che si n Dati due angoli c ad c come nel caso ottiene sovrapponendo con un movimento rigido del loro confronto (figura 29).
Figura 29 Sottrazione di angoli
c ed un numero naturale non nullo, si dice multiplo di c Dato un angolo c che si ottiene facendo la somma di angoli congruenti secondo l'angolo
MULTIPLI E SOTTOMULTIPLI
c (in figura 30 l'angolo c eÁ multiplo di c secondo il numero 4). Si dice ad c eÁ sottomultiplo di c secondo . Il multiplo di un qualunque ananche che
golo secondo zero eÁ l'angolo nullo. Figura 30
Figura 31
c la semiretta che, uscendo dal In particolare, si dice bisettrice dell'angolo vertice, divide l'angolo in due parti congruenti (figura 31, osserva che per inb abbiamo posto su di essi lo stesso b e dicare la congruenza dei due angoli simbolo).
Ora che abbiamo imparato ad operare con gli angoli possiamo dare qualche altra definizione: n si dice angolo retto ciascuno dei due angoli in cui un angolo piatto eÁ diviso dalla sua bisettrice (figura 32a)
ANGOLI PARTICOLARI E PROPRIETAÁ
Figura 32a angoli retti
n due angoli la cui somma eÁ un angolo piatto si dicono supplementari (figura 32b di pagina seguente) n due angoli la cui somma eÁ un angolo retto si dicono complementari (figura 32c)
240
Tema 5 - Cap. 1: I PRIMI ELEMENTI E I TRIANGOLI
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n due angoli la cui somma eÁ un angolo giro si dicono esplementari (figura 32d )
Figura 32
n un angolo minore di un angolo retto si dice acuto (figura 32e) n un angolo convesso maggiore di un angolo retto si dice ottuso (figura 32f ); un angolo ottuso eÁ quindi maggiore di un angolo retto e minore di un angolo piatto. b. angoli supplementari
c. angoli complementari
d. angoli esplementari
e. angolo acuto
f. angolo ottuso
Relativamente agli angoli si possono poi enunciare le seguenti proprietaÁ. n Somme o differenze di angoli congruenti sono congruenti. n Angoli supplementari di uno stesso angolo o di angoli congruenti sono congruenti.
Figura 33
Infatti essi sono la differenza fra un angolo piatto (in figura 33 l'angolo oppure l'angolo ) e l'angolo dato , quindi sono differenze di angoli congruenti. Analogamente: n Angoli complementari o esplementari di uno stesso angolo o di angoli congruenti sono congruenti. Conseguenze immediate delle precedenti considerazioni sono le seguenti: n angoli opposti al vertice sono congruenti Infatti, facendo ancora riferimento alla figura 33, gli angoli e sono opposti al vertice e congruenti perche supplementari dello stesso angolo . n metaÁ di angoli congruenti sono congruenti.
VERIFICA DI COMPRENSIONE 1. La differenza fra due segmenti e eÁ il segmento nullo; di essi si puoÁ dire che: a. b. c. 2. Determina il valore di veritaÁ delle seguenti proposizioni: a. la somma di segmenti e la somma di angoli sono operazioni commutative
V
F
b. un angolo ottuso puoÁ essere sia concavo che convesso
V
F
c. un angolo ottuso eÁ diviso dalla sua bisettrice in due angoli acuti
V
F
d. la somma di due angoli acuti eÁ sempre un angolo acuto
V
F
e. la differenza di due angoli ottusi eÁ sempre un angolo acuto.
V
F
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Tema 5 - Cap. 1: I PRIMI ELEMENTI E I TRIANGOLI
241
5.1 Spezzate e poligoni PiuÁ segmenti, uno consecutivo all'altro, costituiscono una linea che prende il nome di spezzata o poligonale; in particolare, la spezzata si dice intrecciata se almeno due dei suoi lati non consecutivi si intersecano (figura 34).
&( Figura 35
Figura 34
Una spezzata puoÁ essere (figura 35): l
chiusa, se il primo estremo coincide con l'ultimo
l
aperta, se il primo estremo e l'ultimo sono punti diversi.
Figura 36
Una spezzata chiusa non intrecciata divide il piano in due regioni, una finita (in colore giallo in figura 36) e l'altra illimitata (in colore azzurro nella stessa figura). Si chiama poligono la figura formata da una poligonale e dalla parte finita di piano da essa delimitata. Un poligono eÁ quindi formato dai punti della poligonale e dai punti della regione ad essa interna che si dicono percioÁ punti interni. I vertici e i lati della poligonale sono anche i vertici e i lati del poligono; la poligonale si dice anche contorno del poligono. Osserva adesso i poligoni in figura 37. Nel primo caso, presi due punti qualunque A e del poligono (interni o del suo contorno), il segmento appartiene per intero al poligono stesso; nel secondo caso, vi sono alcuni segmenti che appartengono al poligono, ma ve ne sono alcuni che non vi appartengono per intero, come per esempio il segmento . Diciamo allora che: un poligono si dice convesso se il segmento che ha per estremi due suoi punti qualsiasi appartiene interamente al poligono; si dice concavo se esistono almeno due punti tali che il segmento che li unisce non appartiene interamente al poligono.
DEFINIZIONE DI POLIGONO
POLIGONI CONCAVI E POLIGONI CONVESSI
Figura 37
Nel seguito, quando parleremo genericamente di poligono, intenderemo sempre un poligono convesso; quando vorremo indicare un poligono concavo lo specificheremo di volta in volta. In un poligono convesso chiamiamo: n angolo interno ciascun angolo che ha vertice in un vertice del poligono e che ha per lati le semirette dei lati del poligono uscenti da quel vertice (figura 38a di pagina seguente); n angolo esterno ciascun angolo adiacente ad un angolo interno (figura 38b); ad ogni vertice del poligono si possono associare due angoli esterni, che sono congruenti perche opposti al vertice;
242
Tema 5 - Cap. 1: I PRIMI ELEMENTI E I TRIANGOLI
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n corda ogni segmento che unisce due qualsiasi punti del contorno del poligono che non appartengono allo stesso lato (figura 38c ); n diagonale ogni corda che unisce due vertici non consecutivi. In genere poi, quando si parla di senza specificare altro si intende sempre un angolo interno. Figura 38
a.
b.
c.
I poligoni prendono nomi diversi a seconda del numero dei lati, che comunque non possono essere meno di tre; abbiamo quindi n il triangolo che ha tre lati n il quadrilatero che ha quattro lati n il pentagono che ha cinque lati n l'esagono che ha sei lati, e cosõÁ via.
5.2 I triangoli Un triangolo eÁ un poligono che ha tre lati. Esso si individua con le lettere dei suoi vertici, si scrive per esempio (figura 39); spesso poi, visto che anche un angolo si indica con tre lettere, per differenziare le due scritture si eÁ soliti porre un piccolo triangolo al di sopra di tali lettere; si scrive ad esempio: d
per indicare l'angolo di vertice
per indicare il triangolo di vertici , , .
Figura 39
Nel seguito parleremo spesso di angoli e lati opposti gli uni agli altri; per capire che cosa si intende con questi termini, osserva ancora la figura 39; in essa: b n il lato eÁ opposto all'angolo ;
b n il lato eÁ opposto all'angolo ;
b n il lato eÁ opposto all'angolo .
Possiamo fare una prima classificazione dei triangoli in base ai lati; chiameremo:
CLASSIFICAZIONE DEI TRIANGOLI IN BASE AI LATI
n scaleno un triangolo che ha tutti i lati disuguali (figura 40a di pagina seguente); n isoscele un triangolo che ha due lati congruenti; i lati congruenti si dicono anche lati obliqui, il terzo lato si chiama base (figura 40b); n equilatero un triangolo che ha tutti i lati congruenti (figura 40c). Q ISTITUTO ITALIANO EDIZIONI ATLAS
Tema 5 - Cap. 1: I PRIMI ELEMENTI E I TRIANGOLI
243
Figura 40
a. triangolo scaleno
b. triangolo isoscele
c. triangolo equilatero
Inoltre si dice (figura 41): n bisettrice relativa ad un angolo interno del triangolo sia la semiretta bisettrice dell'angolo, sia il segmento di bisettrice che ha un estremo nel vertice dell'angolo e l'altro sul lato opposto a tale vertice; n mediana relativa ad un lato del triangolo il segmento che unisce un vertice con il punto medio del lato opposto. Figura 41
VERIFICA DI COMPRENSIONE 1. Un poligono eÁ: a. l'insieme dei punti interni ad una spezzata chiusa b. l'insieme dei punti che appartengono ad una poligonale chiusa c. l'insieme dei punti che appartengono alla regione finita di piano delimitata da una poligonale chiusa compresi quelli della poligonale stessa d. l'insieme dei punti che appartengono ad una spezzata chiusa non intrecciata.
2. Con riferimento alla figura a lato, si puoÁ dire che: a. b. c. d.
eÁ una diagonale del poligono eÁ una corda del poligono eÁ una mediana del triangolo eÁ una mediana del triangolo .
V
F
V
F
V
F
V
F
3. Relativamente alla stessa figura, completa le richieste. a. Individua almeno un poligono concavo. d come angolo. b. Indica almeno un poligono che ha c. Fra i segmenti disegnati, indica quali sono corde per il poligono . d. Fra i segmenti disegnati, indica quali sono corde ma non diagonali per il poligono .
244
Tema 5 - Cap. 1: I PRIMI ELEMENTI E I TRIANGOLI
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Possiamo sicuramente dire che due triangoli sono congruenti se hanno ordinatamente congruenti i tre lati e i tre angoli, ma la congruenza si puoÁ accertare anche con un numero inferiore di confronti. Sicuramente non basta verificare la congruenza solo degli angoli: in figura 42 i triangoli e hanno gli angoli congruenti a due a due, ma non sono evidentemente congruenti; dovremo quindi necessariamente considerare anche qualche lato. Le regole fondamentali che stabiliscono quali lati e quali angoli bisogna considerare per essere certi della congruenza di due triangoli sono tre e prendono il nome di criteri di congruenza. Primo criterio di di congruenza dei triangoli. Due triangoli sono congruenti se hanno due lati e l'angolo tra essi compreso ordinatamente congruenti (figura 43).
& ) ordinatamente
Figura 42
Figura 43
: 8
e > , allora l'angolo , b grande, cioeÁ b > b e b > .
250
Tema 5 - Cap. 1: I PRIMI ELEMENTI E I TRIANGOLI
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In ogni triangolo ciascun lato eÁ minore della somma degli altri due e maggiore della loro differenza.
DISUGUAGLIANZE TRIANGOLARI Figura 53
Con riferimento alla figura 53 possiamo dire che
e che
e che
e che
Quest'ultima proprietaÁ eÁ di grande aiuto per stabilire se, dati tre segmenti, eÁ possibile costruire con essi un triangolo. Per esempio, se consideriamo i segmenti , , di figura 54, ci accorgiamo che con essi non eÁ possibile farlo perche eÁ maggiore della somma di con .
Figura 54
Inoltre si puoÁ dimostrare che: n un triangolo non puoÁ avere piuÁ di un angolo retto o piuÁ di un angolo ottuso. Infatti se un triangolo avesse due angoli retti o due angoli ottusi, la loro somma sarebbe uguale o maggiore di un angolo piatto, contrariamente a quanto abbiamo dimostrato nell'esempio. n gli angoli alla base di un triangolo isoscele sono acuti. Infatti gli angoli alla base di un triangolo isoscele sono congruenti e, visto che un triangolo non puoÁ avere piuÁ di un angolo retto o ottuso, essi dovranno essere acuti. Le proprietaÁ dei triangoli che abbiamo visto, ci permettono di classificare i triangoli anche in base agli angoli: chiameremo
CLASSIFICAZIONE DEI TRIANGOLI IN BASE AGLI ANGOLI
n acutangolo un triangolo che ha tutti gli angoli acuti (figura 55a); n ottusangolo un triangolo che ha un angolo ottuso (figura 55b); n rettangolo un triangolo che ha un angolo retto (figura 55c). Figura 55
a.
b.
c.
I triangoli isosceli possono essere sia acutangoli che ottusangoli che rettangoli (figura 56 di pagina seguente), mentre un triangolo equilatero, avendo tre angoli congruenti, puoÁ solo essere acutangolo. E' evidente che nei triangoli isosceli ottusangoli e rettangoli solo l'angolo al vertice puoÁ essere ottuso oppure retto. Q ISTITUTO ITALIANO EDIZIONI ATLAS
Tema 5 - Cap. 1: I PRIMI ELEMENTI E I TRIANGOLI
251
Figura 56
triangolo isoscele acutangolo
triangolo isoscele ottusangolo
Nel caso del triangolo rettangolo:
triangolo isoscele rettangolo Figura 57
l
i lati che formano l'angolo retto si dicono cateti
l
il lato opposto all'angolo retto si dice ipotenusa (figura 57).
Inoltre, visto che all'angolo maggiore sta opposto il lato maggiore, possiamo dire che l'ipotenusa eÁ maggiore di ciascuno dei cateti.
VERIFICA DI COMPRENSIONE 1. Si hanno a disposizione tre segmenti che hanno le lunghezze indicate; stabilisci in quali casi si puoÁ costruire un triangolo con essi: a. 5cm, 10cm, 4cm
SI
NO
b. 8cm, 15cm, 12cm
SI
NO
c. 19cm, 7cm, 13cm.
SI
NO
2. Un triangolo ha l'angolo di vertice di ampiezza 120 ; il lato di lunghezza maggiore eÁ: a.
b.
c.
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252
Tema 5 - Cap. 1: I PRIMI ELEMENTI E I TRIANGOLI
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I concetti e le regole Termini primitivi e assiomi I termini primitivi della geometria euclidea sono punto, retta e piano e di tali termini non si deve percioÁ dare una definizione. Le loro caratteristiche sono tuttavia indicate implicitamente da una serie di assiomi, proposizioni delle quali si stabilisce la veritaÁ a priori. Gli assiomi della geometria euclidea indicano: l
l
l
l'appartenenza di oggetti geometrici ad altri oggetti geometrici: ± due punti dello spazio appartengono ad una sola retta ± tre punti non allineati appartengono ad un solo piano ± se due punti di una retta appartengono a un piano, la retta stessa appartiene al piano la possibilitaÁ di fissare un ordinamento dei punti su una retta orientata e di stabilire che qualsiasi retta: ± eÁ illimitata ± contiene infiniti punti la possibilitaÁ di ripartire i punti di un piano in due regioni distinte mediante una retta in modo che, per passare da una regione all'altra, occorre necessariamente intersecare la retta
la possibilitaÁ di trasportare segmenti e angoli nel piano conservando lunghezze e ampiezze. Le proprietaÁ degli oggetti geometrici che si possono dedurre dagli assiomi sono invece dei teoremi e per accertarne la veritaÁ occorre condurre la loro dimostrazione. l
Segmenti e angoli I termini primitivi e gli assiomi consentono di dare le prime definizioni. l
l
Segmento AB eÁ la parte di retta delimitata dai punti A e B che sono gli estremi del segmento; due segmenti sono consecutivi se hanno un estremo in comune, sono adiacenti se sono consecutivi e appartengono alla stessa retta.
segmenti consecutivi
segmenti adiacenti
Angolo eÁ ciascuna delle due parti in cui un piano viene diviso da due semirette aventi l'origine in comune; tali semirette costituiscono i lati dell'angolo. L'angolo che non contiene il prolungamento dei lati eÁ convesso, quello che li contiene eÁ concavo. Due angoli sono consecutivi se hanno il vertice e un lato in comune e se gli altri due lati si trovano da parti opposte rispetto a quello comune, sono adiacenti se sono consecutivi e se i lati non comuni appartengono alla stessa retta. Due angoli convessi sono opposti al vertice se i lati del primo sono i prolungamenti di quelli del secondo.
angolo convesso
angolo concavo
angoli consecutivi
angoli adiacenti
angoli opposti al vertice
La congruenza Due figure F1 e F2 sono congruenti, e si scrive F1 F2 , se esiste un movimento rigido mediante il quale ogni punto di F1 si sovrappone ad uno e un solo punto di F2 . Attraverso la relazione di congruenza si puoÁ definire: l
la lunghezza di un segmento come la caratteristica comune ai segmenti fra loro congruenti
l
l'ampiezza di un angolo come la caratteristica comune agli angoli fra loro congruenti.
In particolare abbiamo chiamato: l
punto medio di un segmento il punto che lo divide in due parti congruenti
l
bisettrice di un angolo la semiretta uscente dal vertice che lo divide in due angoli congruenti.
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Tema 5 - Cap. 1: I PRIMI ELEMENTI E I TRIANGOLI
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I poligoni /! poligono eÁ la parte di piano delimitata da una poligonale chiusa; un poligono eÁ convesso se qualunque segmento che unisce due punti interni appartiene interamente al poligono, concavo in caso contrario. Un poligono di tre lati si chiama triangolo. poligono convesso
poligono concavo
La congruenza dei triangoli Si puoÁ riconoscere la congruenza di due triangoli in base ad alcuni criteri: l primo criterio: i due triangoli devono avere ordinatamente congruenti due lati e l'angolo fra essi compreso l secondo criterio: i due triangoli devono avere ordinatamente congruenti un lato e i due angoli ad esso adiacenti l terzo criterio: i due triangoli devono avere ordinatamente congruenti i tre lati.
I criterio
II criterio
III criterio
La classificazione dei triangoli I triangoli si possono classificare: l in base ai lati in: ± triangoli scaleni, se hanno i tre lati disuguali ± triangoli isosceli, se hanno due lati congruenti ± triangoli equilateri, se hanno tutti i lati congruenti l
in base agli angoli in: ± triangoli acutangoli, se tutti gli angoli sono acuti ± triangoli ottusangoli, se uno degli angoli eÁ ottuso ± triangoli rettangoli, se uno degli angoli eÁ retto.
Possiamo inoltre affermare che: ± in un triangolo isoscele gli angoli opposti ai lati congruenti sono congruenti ± in un triangolo equilatero tutti gli angoli sono congruenti fra loro.
Relazioni fra lati e angoli di un triangolo In un triangolo valgono le seguenti relazioni fra lati e angoli: l ogni angolo esterno e Á maggiore di ciascuno degli angoli interni ad esso non adiacenti l al lato maggiore sta opposto l'angolo maggiore e, reciprocamente, all'angolo maggiore sta opposto il lato maggiore l ciascun lato e Á minore della somma degli altri due e maggiore della loro differenza.
254
Tema 5 - Cap. 1: I PRIMI ELEMENTI E I TRIANGOLI
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CAPITOLO
Parallelismo e perpendicolaritaÁ nel piano
Obiettivi l
costruire e riconoscere rette perpendicolari, trovare distanze
l
costruire e riconoscere rette parallele
l
valutare la somma degli angoli interni ed esterni di un poligono
l
conoscere e saper applicare criteri di congruenza relativi ai triangoli rettangoli
MATEMATICA E REALTAÁ Ci si puoÁ chiedere dove e quando nella nostra vita abbiamo mai incontrato delle rette perpendicolari o parallele, o addirittura quando ci eÁ capitato di incontrare delle rette. Una retta probabilmente non l'abbiamo mai vista, ma del resto, a pensarci bene, non abbiamo nemmeno mai visto un triangolo; in geometria un triangolo eÁ una figura del piano, quindi bidimensionale e percioÁ non ha spessore, eppure per sapere quanti metri di barre di ferro sono occorsi per costruire la torre Eiffel, bisogna lavorare sui triangoli. Le figure geometriche sono necessariamente degli oggetti astratti e questa eÁ la loro caratteristica migliore, perche sapere come si calcola il perimetro o l'area di un triangolo ci permette di calcolare quanto ferro si eÁ usato per costruire la torre Eiffel (figura 1a), ma anche quanto eÁ vasta l'area racchiusa dal triangolo industriale di cui abbiamo parlato nel capitolo precedente. Anche se l'oggetto geometrico retta non esiste nella realtaÁ, abbiamo a che fare con la nozione di perpendicolaritaÁ e di parallelismo praticamente in ogni momento della nostra vita. Se lasciamo cadere un oggetto, questo cade perpendicolarmente al suolo, se guardiamo la linea lungo la quale si uniscono due pareti, abbiamo a che fare con un segmento che eÁ perpendicolare al pavimento, cosõÁ come la maggior parte dei mobili che abbiamo in casa ha una struttura nella quale gli spigoli opposti sono paralleli e quelli consecutivi sono perpendicolari; le finestre, le porte, molti oggetti costruiti dall'uomo hanno a che fare con la perpendicolaritaÁ e il parallelismo. Q ISTITUTO ITALIANO EDIZIONI ATLAS
Figura 1a
Tema 5 - Cap. 2: PARALLELISMO E PERPENDICOLARITAÁ NEL PIANO
255
I binari del treno, in un tratto rettilineo, ci ricordano due rette parallele e le traversine sono ad essi perpendicolari (figura 1b); le corde di una chitarra sono parallele; i disegni dei tessuti scozzesi sono un abile intreccio di fili rettilinei di diversi colori, alternativamente paralleli e perpendicolari fra loro (figura 1c). Lo sviluppo urbanistico di una cittaÁ spesso prevede strade fra loro parallele e altre che si intersecano in modo perpendicolare (figura 1d). La simmetria che si riscontra in molte forme della natura (figura 1e) contempla, come vedremo meglio nella prossima area tematica, l'idea di perpendicolaritaÁ e di parallelismo. Conviene allora studiare bene questi concetti perche ci aiutano a comprendere meglio il mondo in cui viviamo.
Figura 1b
Figura 1
c.
d.
Due rette che appartengono allo stesso piano si dicono complanari; poiche due punti definiscono una e una sola retta, ne consegue che due rette complanari distinte non possono avere piuÁ di un punto in comune. Due rette che si intersecano definiscono sempre quattro angoli che sono congruenti a due a due in quanto opposti al vertice (figura 2). Se capita che gli angoli sono tutti congruenti tra loro, allora si dice che le rette sono perpendicolari (figura 3). Due rette sono perpendicolari se, incontrandosi, formano quattro angoli tra loro congruenti; ciascuno di questi angoli eÁ un angolo retto.
e.
Figura 2
DEFINIZIONE DI RETTE PERPENDICOLARI
Figura 3
Per indicare che due rette e sono perpendicolari si scrive ? . Nelle figure indicheremo poi l'angolo retto con il simbolo . Si dimostra poi che: n la perpendicolare condotta per un punto a una retta data esiste sempre ed eÁ unica.
256
Tema 5 - Cap. 2: PARALLELISMO E PERPENDICOLARITAÁ NEL PIANO
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La relazione di perpendicolaritaÁ fra rette ci permette di dare nuove definizioni. n Da un punto del piano tracciamo la perpendicolare ad una retta (figura 4a); il punto di intersezione delle due rette si dice piede della perpendicolare da su o anche proiezione ortogonale di su . n Consideriamo un segmento e siano 0 e 0 le proiezioni ortogonali di e su (figura 4b); il segmento 0 0 si dice proiezione ortogonale di su . Figura 5
Figura 4
a.
b.
n In genere, quando si parla di distanza, si intende il percorso minimo che si deve fare per raggiungere un luogo partendo da un altro. Osservando che il percorso piuÁ breve che unisce due punti eÁ il segmento che li congiunge, chiameremo dunque distanza fra due punti il segmento che ha per estremi tali punti. Se abbiamo un punto e una retta, il segmento di perpendicolare eÁ il segmento di minima lunghezza che congiunge con ; qualunque altro segmento infatti, essendo l'ipotenusa di un triangolo rettangolo, eÁ maggiore di (figura 5); rappresenta allora la distanza del punto P dalla retta r.
Figura 6
a.
n Consideriamo adesso un segmento e tracciamo la perpendicolare passante per il suo punto medio (figura 6a); la retta perpendicolare ad un segmento nel suo punto medio si dice asse del segmento. L'asse di un segmento ha la proprietaÁ che ogni suo punto eÁ equidistante dagli estremi del segmento stesso (figura 6b). Infatti, preso un punto sull'asse di un segmento , i triangoli e sono congruenti per il primo criterio (spiega percheÂ) e quindi . n Dato un triangolo, si dice altezza relativa ad un lato il segmento di perpendicolare condotto dal vertice opposto su quel lato (figura 7a).
b.
Devi prestare attenzione a come tracciare l'altezza di un triangolo percheÂ, a differenza della mediana e della bisettrice che sono sempre interne al triangolo, l'altezza puoÁ anche essere esterna: in figura 7b e in figura 7c puoi vedere alcuni esempi.
Attenzione agli errori
Figura 7
a. Q ISTITUTO ITALIANO EDIZIONI ATLAS
b.
c.
Tema 5 - Cap. 2: PARALLELISMO E PERPENDICOLARITAÁ NEL PIANO
257
In generale, l'altezza, la mediana e la bisettrice relative ad un lato di un triangolo sono tre segmenti diversi (osserva la figura 8); nel triangolo isoscele, invece, l'altezza e la mediana relative alla base e la bisettrice dell'angolo al vertice coincidono. Vale infatti il seguente teorema.
Figura 8
Teorema. In ogni triangolo isoscele la bisettrice dell'angolo al vertice eÁ anche mediana e altezza.
VERIFICA DI COMPRENSIONE 1. Due rette si intersecano; si puoÁ dire che: a. b. c. d.
se uno degli angoli che si vengono a formare eÁ acuto, le rette non sono perpendicolari se uno degli angoli che si vengono a formare eÁ retto, anche gli altri lo sono se uno degli angoli che si vengono a formare non eÁ retto, ce n'eÁ almeno uno che eÁ ottuso se uno degli angoli che si vengono a formare non eÁ retto, ce n'eÁ almeno uno che eÁ acuto.
V
F
V
F
V
F
V
F
V
F
V
F
V
F
V
F
V
F
V
F
V
F
V
F
2. Se e sono due punti distinti dell'asse di un segmento , allora: a. b. c. d.
e , ma, in generale, 6 solo se e si trovano alla stessa distanza dal segmento e
3. In un triangolo qualsiasi: a. b. c. d.
le altezze cadono sempre internamente alla relativa base la mediana uscente da un vertice cade sempre internamente al lato opposto la bisettrice di un angolo cade sempre internamente al lato opposto se tutte le altezze cadono internamente alla propria base, il triangolo non puoÁ essere ottusangolo.
Se due rette complanari non sono incidenti diciamo che sono parallele (figura 9). Due rette si dicono parallele se non si intersecano o se sono coincidenti. Per indicare che due rette e sono parallele scriveremo k . E' peroÁ evidente che questa definizione, essendo le rette illimitate, non consente di stabilire se due rette sono o no parallele; si ricorre allora ad un criterio che si basa sul confronto di alcuni angoli. Prima di enunciarlo dobbiamo fare qualche considerazione.
Figura 9
Figura 10
Quando una retta incontra altre due rette e , si vengono a formare otto angoli che, per la posizione che occupano, prendono a coppie nomi diversi (figura 10); si dicono: n alterni interni coppie di angoli come e 0 oppure e 0 n alterni esterni coppie di angoli come e 0 oppure e 0
258
Tema 5 - Cap. 2: PARALLELISMO E PERPENDICOLARITAÁ NEL PIANO
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n corrispondenti coppie di angoli come e 0 , e 0 , e 0 , e 0 n coniugati interni coppie di angoli come e 0 oppure e 0 n coniugati esterni coppie di angoli come e 0 oppure e 0 La retta prende il nome di trasversale. I nomi dati alle coppie di angoli richiamano la loro posizione rispetto alle due rette e b e alla trasversale : l
l
l
l
l
alterni significa che si trovano da parte opposta rispetto alla trasversale corrispondenti che occupano una posizione analoga rispetto alle due rette e b e alla trasversale, ad esempio al di sotto delle rette e a destra della trasversale coniugati che stanno dalla stessa parte rispetto alla trasversale interni che si trovano (almeno in parte visto che l'angolo eÁ una parte di piano illimitata) all'interno della zona delimitata dalle due rette esterni che si trovano all'esterno di tale zona.
Possiamo adesso enunciare il seguente teorema. Teorema. Se due rette, tagliate da una tasversale, formano una coppia di angoli alterni interni che sono congruenti, allora sono parallele. La dimostrazione di questo teorema segue un ragionamento per assurdo che possiamo cosõÁ sintetizzare:
LA DIMOSTRAZIONE PER ASSURDO
n si nega la tesi dicendo che eÁ falsa; n la falsitaÁ della tesi consente di fare alcune deduzioni; n tali deduzioni entrano ad un certo punto in contrasto con una delle ipotesi del teorema, con un assioma o con un teorema precedentemente dimostrato; n poiche le ipotesi, gli assiomi ed i teoremi sono proposizioni vere, esse non possono essere contemporaneamente false; n l'unico presupposto errato eÁ quindi quello di avere supposto che la tesi sia falsa; n se la tesi non puoÁ essere falsa, allora eÁ vera. Veniamo adesso alla dimostrazione del teorema. Hp.
0
Th.
kb
(figura 11)
Figura 11
Dimostrazione. Supponiamo quindi che le rette e b non siano parallele e cioeÁ che si incontrino in un punto . Si viene cosõÁ a formare il triangolo di cui l'angolo eÁ angolo esterno perche eÁ formato da un lato del triangolo (il lato ) e dal prolungamento dell'altro (il lato ). Per il teorema dell'angolo esterno, noi sappiamo che eÁ maggiore di ciascuno degli angoli interni ad esso non adiacenti, quindi > 0 . Nelle ipotesi era peroÁ stato detto che 0 . Siamo quindi giunti ad una contraddizione e possiamo concludere che la tesi eÁ vera e cioeÁ § che k . Q ISTITUTO ITALIANO EDIZIONI ATLAS
Tema 5 - Cap. 2: PARALLELISMO E PERPENDICOLARITAÁ NEL PIANO
259
Abbiamo dunque trovato un modo per verificare se due rette sono parallele: se formano una coppia di angoli alterni interni congruenti, allora sono parallele. La verifica del parallelismo di due rette si puoÁ fare anche attraverso altre coppie di angoli; vale infatti il seguente criterio (segui la figura 12). Criterio generale di parallelismo. Due rette sono parallele se, tagliate da una trasversale, formano: n angoli alterni congruenti, oppure n angoli corrispondenti congruenti, oppure n angoli coniugati supplementari. Figura 12
angoli alterni interni (congruenti)
angoli corrispondenti (congruenti)
Questo criterio ci daÁ anche il modo di costruire la retta parallela a una retta che passa per un punto assegnato. Dobbiamo distinguere due casi: l l
angoli coniugati (supplementari) Figura 13
se appartiene a , la retta coincide con se non appartiene a basta tracciare una trasversale qualsiasi che passa per , e tra tutte eÁ comodo tracciare la perpendicolare a (figura 13); poi, sempre per , la retta perpendicolare a ; si ha cosõÁ che, formando angoli alterni interni congruenti perche retti, le due rette e sono parallele.
L'unicitaÁ della parallela non si puoÁ peroÁ dimostrare e deve essere assunta come assioma. A9. Dati una retta e un punto , la parallela a per eÁ unica. Questo eÁ il piuÁ famoso assioma della geometria euclidea ed eÁ noto come il quinto postulato di Euclide. Da Euclide in poi, i matematici di tutti i secoli si sono accaniti per trovare una dimostrazione di questa affermazione, senza peraltro riuscirci; oggi si sa che che essa eÁ indimostrabile e che eÁ corretto assumerla come assioma. Il criterio di parallelismo enunciato puoÁ essere invertito diventando una proprietaÁ delle rette parallele. Se due rette parallele e vengono tagliate da una trasversale, allora:
L'ASSIOMA DELL'UNICITAÁ DELLA PARALLELA
Figura 14
n gli angoli alterni (interni oppue esterni) sono congruenti n gli angoli corrispondenti sono congruenti n gli angoli coniugati (interni oppue esterni) sono supplementari. In particolare possiamo dire che se una trasversale eÁ perpendicolare a , allora eÁ perpendicolare anche a (figura 14).
260
Tema 5 - Cap. 2: PARALLELISMO E PERPENDICOLARITAÁ NEL PIANO
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La relazione di parallelismo tra rette gode inoltre della proprietaÁ transitiva (figura 15): l
se una rette eÁ parallela a una retta e eÁ parallela a una retta , allora anche eÁ parallela a .
Consideriamo adesso due semirette fra loro parallele; si possono presentare i seguenti casi: l
l
Figura 15
k
e k
!
k
esse si trovano entrambe nello stesso semipiano definito dalla retta che passa per le loro origini e si dice allora che sono parallele e concordi (figura 16a) si trovano in semipiani opposti rispetto alla retta che passa per le loro origini e si dice allora che sono parallele e discordi (figura 16b). Figura 16
a.
b.
Quando due angoli e 0 hanno i lati ordinatamente paralleli, si possono presentare le seguenti situazioni:
ANGOLI CON I LATI A DUE A DUE PARALLELI
n entrambi i lati sono paralleli e concordi (figura 17a), i due angoli sono allora congruenti; n entrambi i lati sono paralleli e discordi (figura 17b); anche in questo caso i due angoli sono congruenti; n due lati sono paralleli e concordi e gli altri due sono paralleli e discordi (figura 17c); i due angoli sono allora supplementari. Figura 17
a. sono congruenti
b. sono congruenti
c. sono supplementari
VERIFICA DI COMPRENSIONE 1. Due rette tagliate da una trasversale formano una coppia di angoli coniugati interni tali che la loro somma eÁ inferiore ad un angolo piatto. Le due rette: a. non si intersecano b. si intersecano dalla parte dei due angoli considerati c. si intersecano da parte opposta rispetto ai due angoli considerati. Qual eÁ la risposta corretta? Q ISTITUTO ITALIANO EDIZIONI ATLAS
Tema 5 - Cap. 2: PARALLELISMO E PERPENDICOLARITAÁ NEL PIANO
261
2. Due rette parallele e tagliate da una trasversale formano un angolo di ampiezza 52 (figura a lato); degli altri angoli che si vengono a formare si puoÁ dire che: a. misurano tutti 52 b. una metaÁ misura 52 e l'altra metaÁ misura 128 c. non si puoÁ conoscere la misura degli altri angoli.
3. Per disegnare due rette parallele fai scorrere una squadra lungo una riga che rimane fissa come in figura a lato. Questo procedimento: a. eÁ corretto perche due rette perpendicolari ad una stessa retta sono fra loro parallele
V
F
b. sarebbe corretto anche appoggiando la squadra lungo l'ipotenusa
V
F
c. eÁ corretto solo se si appoggia la squadra lungo un cateto.
V
F
Le proprietaÁ del parallelismo ci permettono di trovare altre importanti proprietaÁ dei triangoli enunciate dai teoremi che seguono. Teorema. In ogni triangolo ciascun angolo esterno eÁ congruente alla somma degli angoli interni ad esso non adiacenti. Hp.
eÁ un triangolo
Th.
Dimostrazione.
(figura 18)
SECONDO TEOREMA DELL'ANGOLO ESTERNO
Figura 18
Disegnato il triangolo , consideriamo l'angolo esterno e, dal vertice , tracciamo la semiretta parallela ad . Per le proprietaÁ del parallelismo abbiamo che: l
l
perche angoli alterni interni rispetto alle parallele e ta gliate dalla trasversale
perche angoli corrispondenti rispetto alle stesse parallele taglia te dalla trasversale .
Allora
ovvero
, .
§
Questa proprietaÁ precisa la relazione che avevamo individuato nel precedente capitolo fra l'angolo esterno di un triangolo ed i suoi angoli interni: non solo l'angolo esterno eÁ maggiore di ciascuno degli angoli interni non adiacenti, ma eÁ proprio congruente alla somma di tali angoli; d'ora in poi quando parleremo di , ci riferiremo a questo secondo teorema che esprime una relazione piuÁ precisa fra gli angoli di un triangolo rispetto a quello precedente.
262
Tema 5 - Cap. 2: PARALLELISMO E PERPENDICOLARITAÁ NEL PIANO
Q ISTITUTO ITALIANO EDIZIONI ATLAS
Teorema. La somma degli angoli interni di un triangolo eÁ congruente ad un angolo piatto. Hp. eÁ un triangolo Dimostrazione.
Th.
SOMMA
DEGLI ANGOLI INTERNI
DI UN TRIANGOLO E DI UN POLIGONO
Figura 19
Per il precedente teorema (riferisciti ancora alla figura 18) sappiamo che . Se ai due membri di questa relazione aggiungiamo l'an
otteniamo l'uguaglianza , cioeÁ golo , . che §
Questa seconda proprietaÁ ci permette di fare alcune considerazioni.
angolo retto
n Gli angoli acuti di un triangolo rettangolo sono complementari. Infatti se dall'angolo piatto, somma degli angoli interni del triangolo, togliamo l'angolo retto, troviamo ancora un angolo retto (figura 19).
Figura 20
n La somma degli angoli interni di un poligono convesso di n lati eÁ congruente a n 2 angoli piatti. Infatti, se congiungiamo i vertici del poligono con un qualunque punto interno , otteniamo triangoli (figura 20); la somma degli angoli interni di questi triangoli eÁ angoli piatti; se da questa somma togliamo gli angoli di vertice , che equivalgono a 2 angoli piatti, abbiamo 2 angoli piatti. Il valore trovato equivale alla somma degli angoli in colore verde nella figura ed eÁ quindi congruente alla somma degli angoli interni del poligono.
Figura 21
n La somma degli angoli esterni di un poligono convesso eÁ sempre congruente a due angoli piatti. Infatti la somma degli angoli interni piuÁ quella degli angoli esterni vale angoli piatti (figura 21); se da questa somma togliamo quella degli angoli interni troviamo:
2 2 2. n Se due triangoli hanno due angoli ordinatamente congruenti, hanno congruente anche il terzo angolo. Essi sono infatti congruenti per differenza di angoli congruenti.
Figura 22
Quest'ultima considerazione ci permette di enunciare un ulteriore criterio di congruenza dei triangoli (figura 22). Quarto criterio di congruenza dei triangoli. Due triangoli sono congruenti se hanno due angoli e il lato opposto ad uno di essi ordinatamente congruenti. Se consideriamo quest'ultimo criterio e il secondo che abbiamo visto nel precedente capitolo, possiamo affermare che: due triangoli sono congruenti se hanno due angoli e un lato ordinatamente congruenti. Osserviamo ora che, se due rette non sono parallele, la distanza di un punto di una di esse dall'altra varia al variare del punto scelto (figura 23a di pagina seguente); se le rette sono parallele invece tale distanza rimane sempre la stessa Q ISTITUTO ITALIANO EDIZIONI ATLAS
DISTANZA FRA DUE RETTE PARALLELE
Tema 5 - Cap. 2: PARALLELISMO E PERPENDICOLARITAÁ NEL PIANO
263
(figura 23b). Basta infatti osservare che i triangoli e sono congruenti perche per il quarto criterio di congruenza: in essi infatti si ha che
Figura 23
perche alterni interni, per la proprietaÁ riflesangoli retti, siva. Possiamo allora dare la seguente definizione. Si chiama distanza fra due rette parallele la distanza di un punto qualunque di una di esse dall'altra.
a.
Abbiamo visto nel precedente capitolo che, per stabilire se due triangoli sono congruenti, possiamo ricorrere ai criteri di congruenza che, a seconda dei casi, ci indicano quali sono le coppie di elementi che dobbiamo confrontare. Nel caso particolare dei triangoli rettangoli, questi criteri si semplificano perche questi triangoli hanno tutti un angolo retto e gli angoli retti sono tutti congruenti fra loro. Possiamo quindi enunciare i criteri di congruenza dei triangoli rettangoli in questo modo: Teorema. Due triangoli rettangoli sono congruenti se hanno ordinatamente congruenti:
b.
I CRITERI DI CONGRUENZA PER I TRIANGOLI RETTANGOLI
n i due cateti (figura 24a), oppure n un cateto e un angolo acuto (figura 24b, c), oppure n l'ipotenusa ed un angolo acuto (figura 24d), oppure n l'ipotenusa ed un cateto (figura 24e).
Figura 24
a.
b.
d.
e.
c.
VERIFICA DI COMPRENSIONE 1. Di un triangolo rettangolo qualsiasi si puoÁ dire che: a. uno degli angoli acuti misura 30
V
F
b. se uno degli angoli acuti misura 30 , l'altro misura 60
V
F
264
Tema 5 - Cap. 2: PARALLELISMO E PERPENDICOLARITAÁ NEL PIANO
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c. se il triangolo eÁ anche isoscele, i suoi angoli acuti misurano 45
V
F
d. non eÁ possibile che uno degli angoli acuti misuri 60 .
V
F
2. La somma degli angoli interni di un poligono di lati vale: a. 360 se 4
V
F
V
F
V
F
a. hanno i cateti congruenti
V
F
b. hanno gli angoli acuti congruenti
V
F
c. oltre all'angolo retto hanno due elementi qualsiasi ordinatamente congruenti
V
F
d. oltre all'angolo retto hanno due elementi qualsiasi ordinatamente congruenti, di cui almeno uno deve essere un lato.
V
F
b. 450 se 5 c. 360 per qualsiasi valore di 3.
3. Di due triangoli rettangoli si puoÁ affermare che sono congruenti se:
Sul sito www.edatlas.it trovi... l
il laboratorio di informatica
l
gli esercizi dalle Gare di matematica
l
Á (OCSE - PISA) i problemi di Matematica e Realta
l
Á di recupero le attivita
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Tema 5 - Cap. 2: PARALLELISMO E PERPENDICOLARITAÁ NEL PIANO
265
I concetti e le regole
Due rette sono perpendicolari se intersecandosi formano quattro angoli fra loro congruenti, quindi retti. La perpendicolare ad una retta r condotta da un punto P (appartenente o no a r) esiste sempre ed eÁ unica. Il concetto di perpendicolaritaÁ permette di introdurre le seguenti definizioni: l distanza di un punto P da una retta r e Á il segmento di perpendicolare condotto da P su r; l asse di un segmento e Á la retta ad esso perpendicolare passante per il suo punto medio; ogni punto dell'asse eÁ equidistante dagli estremi del segmento. Relativamente ai triangoli vale poi la seguente proprietaÁ: l in ogni triangolo isoscele l'altezza e la mediana relative alla base e la bisettrice dell'angolo al vertice coincidono.
rette perpendicolari
distanza di un punto da una retta
asse di un segmento
Due rette sono parallele se coincidono oppure se non si intersecano. Una proprietaÁ delle rette parallele eÁ che, tagliate da una trasversale, formano: l angoli alterni congruenti l angoli corrispondenti congruenti l angoli coniugati supplementari. Viceversa, per stabilire se due rette sono parallele basta verificare che esse formino con una trasversale: una coppia di angoli alterni congruenti, oppure l una coppia di angoli corrispondenti congruenti, oppure l una coppia di angoli coniugati supplementari. l
Relativamente ai triangoli: l ciascun angolo esterno e Á congruente alla somma dei due angoli interni ad esso non adiacenti l la somma degli angoli interni e Á congruente a un angolo piatto l due triangoli sono congruenti se hanno due angoli e un lato ordinatamente congruenti. Relativamente ai poligoni convessi: la somma degli angoli interni eÁ uguale a n 2 angoli piatti (con n uguale al numero dei lati del poligono) l la somma degli angoli esterni e Á sempre uguale a due angoli piatti (anche per il triangolo). l
Relativamente agli angoli: l due angoli che hanno entrambi i lati paralleli e concordi oppure paralleli e discordi sono congruenti l due angoli che hanno una coppia di lati paralleli e concordi e l'altra paralleli e discordi sono supplementari.
Poiche tutti i triangoli rettangoli hanno almeno un angolo congruente, quello retto, si puoÁ concludere che due triangoli rettangoli sono congruenti se hanno ordinatamente congruenti due elementi, di cui almeno uno deve essere un lato; in particolare: l i due cateti l l'ipotenusa e un cateto l un cateto e un angolo acuto l l'ipotenusa e un angolo acuto.
266
Tema 5 - Cap. 2: PARALLELISMO E PERPENDICOLARITAÁ NEL PIANO
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CAPITOLO
Le isometrie e i quadrilateri
Obiettivi l
riconoscere trasformazioni del piano e individuarne gli invarianti
l
operare con le principali isometrie nel piano
l
l
individuare le caratteristiche dei quadrilateri con particolare riguardo ai parallelogrammi e ai trapezi Á della corrispondenza parallela di Talete conoscere e applicare le proprieta
MATEMATICA E REALTAÁ Tagliamo una mela, una pera, un limone, osserviamo una foglia di alloro, una foglia d'acero e una foglia di felce; guardiamo un granchio, un uccello in volo, un insetto e infine il corpo umano e poi andando in giuÁ verso l'infinitamente piccolo, una cellula, un virus, un cromosoma, un atomo.
Sembra che la natura abbia seguito un disegno ricorrente nel dare forma ai suoi figli. Tutto si corrisponde, ogni metaÁ eÁ uguale all'altra, fai girare un limone tagliato a metaÁ quando nessuno ti guarda e non ti sapranno dire se lo hai ruotato oppure no perche ciascuno lo ritroveraÁ uguale a se stesso. La foglia della felce sembra riprodurre la sua forma in scala ridotta in ogni sua diramazione; un nido d'api eÁ formato da tante celle tutte della stessa forma che si ripetono identiche. Q ISTITUTO ITALIANO EDIZIONI ATLAS
Tema 5 - Cap. 3: LE ISOMETRIE E I QUADRILATERI
267
Lo stesso accade nel regno animale e persino l'uomo, l'essere piuÁ straordinario nella catena evolutiva, ha una sua metaÁ uguale all'altra. Forse eÁ per questo, chissaÁ, che l'uomo crea spesso simboli e oggetti uguali nelle loro metaÁ o che si riproducono in modo identico: piatti rotondi, scatole quadrate, bicchieri conici. Gli artisti in special modo, che siano pittori, scultori o architetti, sanno sfruttare in modo assai speciale le bellezze che possono nascere da forme e relazioni particolari (nelle figure la Sagrada Familia di Barcellona e un quadro del pittore e achitetto M.C.Esher). Il matematico, come l'artista, non puoÁ restare indifferente alle manifestazioni della natura e cerca di studiarle, di capire quali sono le regole comuni che si nascondono dietro alla simmetria del corpo umano, dell'insetto, di un cromosoma, della ripetitivitaÁ continua delle celle di un alveare e dei petali di un fiore, per poi ricostruirle nei suoi oggetti di uso piuÁ o meno quotidiano. Qualcuno di noi va in piscina almeno due volte alla settimana, olimpionica naturalmente; probabilmente tutti hanno visto almeno una volta nella vita una partita di calcio e magari anche piuÁ di una; pochi forse sono appassionati di pugilato, ma il wrestling eÁ in crescita; e chi non ha mai mangiato quelle fantastiche tavolette di cioccolato a mattonelle o non si eÁ mai deliziato nel dare morsi a un bel gelato di quelli col biscotto! E la teglia delle lasagne della nonna? Hai mai costruito un aquilone quando eri piccolo? Bastano due asticelle di legno messe in croce (adesso che conosciamo un po' di geometria dovremmo dire che le disponiamo perpendicolarmente una all'altra), un po' di carta velina colorata e il gioco eÁ fatto. Quadrati, rettangoli, rombi, forse non ci abbiamo mai pensato, ma anche queste figure fanno parte della nostra vita; e allora cerchiamo di capire come sono fatte e che caratteristiche hanno.
TRASFORMAZIONI GEOMETRICHE E ISOMETRIE 1.1 Il concetto di trasformazione
605 Figura 1
Ai bambini piace colorare e in molti album ritroviamo spesso disegni fatti a metaÁ come quello in figura 1 nei quali bisogna completare il disegno riproducendo la stessa immagine prima di colorare. Senza saperlo il bambino associa a ciascun punto del disegno giaÁ fatto quello che lui stesso riproduce sul foglio; se gli chiediamo perche lo disegna cosõÁ, probabilmente ci diraÁ che lo deve fare uguale ma dall'altra parte. Per realizzare il suo disegno, il bambino ha applicato un concetto geometrico associando in modo biunivoco i punti della figura rappresentata sul libro ai punti della figura che lui stesso ha disegnato.
268
Tema 5 - Cap. 3: LE ISOMETRIE E I QUADRILATERI
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Questa operazione di associazione ha un nome e si chiama trasformazione geometrica. Si chiama trasformazione geometrica ogni corrispondenza biunivoca fra i punti di un piano.
DEFINIZIONE DI TRASFORMAZIONE GEOMETRICA
In sostanza si ha una trasformazione geometrica quando viene data una regola che ad ogni punto del piano ne associa un altro 0 che appartiene ancora al piano; per esempio, la regola potrebbe essere la seguente (segui la figura 2a): l
si considera una retta del piano
l
da ogni punto si traccia la perpendicolare a che la incontra in
l
da parte opposta rispetto ad si prende su tale perpendicolare un punto 0 tale che sia 0 2.
In base a questa stessa regola, possiamo trovare la corrispondente di una qualsiasi figura geometrica. Nella figura 2b abbiamo trovato il segmento 0 0 che corrisponde al segmento applicando la trasformazione ai suoi estremi e , e il triangolo 0 0 0 che corrisponde al triangolo . Figura 2
a.
b.
Osserviamo che, in questo secondo caso, il trasformato del punto eÁ ancora
0 ; si dice che eÁ un rispetto alla trasformazione. I punti del piano che hanno per trasformati se stessi si dicono punti uniti. In generale, un elemento qualsiasi eÁ un elemento unito se ha per trasformato se stesso.
GLI ELEMENTI UNITI
Una trasformazione geometrica, essendo una corrispondenza biunivoca tra punti di un piano eÁ una funzione; per indicare che un elemento 0 eÁ il corrispondente di un elemento si usa quindi una notazione di tipo funzionale e si scrive 0 f
Riferendoci alla trasformazione del precedente esempio, indicando con f la regola stabilita, scriviamo che: 0 0 f
4
4
0 0 0 f
per indicare che il segmento 0 0 eÁ il trasformato del segmento per indicare che il triangolo 0 0 0 eÁ il trasformato del triangolo .
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Tema 5 - Cap. 3: LE ISOMETRIE E I QUADRILATERI
269
Quando si esegue una trasformazione geometrica eÁ possibile che ci siano delle caratteristiche di una figura che rimangono invariate nella sua trasformata. Se consideriamo per esempio la trasformazione in figura , ci accorgiamo che le lunghezze dei segmenti sono cambiate ( e 0 0 non sono congruenti), ma le ampiezze degli angoli sono rimaste le stesse (l'angolo eÁ congruente all'angolo 0 0 0 ).
GLI INVARIANTI Figura 3
Se in una trasformazione geometrica c'eÁ una una caratteristica che non subisce mutamenti, si dice che quella caratteristica eÁ un invariante della trasformazione.
1.2 Le isometrie Tra tutte le trasformazioni che si puoÁ immaginare di costruire, particolare importanza rivestono quelle che ad ogni segmento ne associano un altro ad esso congruente; queste trasformazioni si chiamano . Si dice isometria la trasformazione geometrica che ad ogni coppia di punti e di un piano associa i punti 0 e 0 dello stesso piano in modo che il segmento sia congruente al segmento 0 0 . Di due figure che si corrispondono in una isometria si dice che sono isometriche. Ci sono infiniti modi di realizzare un'isometria: basta che la regola stabilita per associare i punti del piano sia una corrispondenza biunivoca che mantenga invariate le lunghezze dei segmenti che si corrispondono. Tutte queste regole si possono peroÁ ricondurre a quattro tipi fondamentali che prendono il nome di: l
simmetria assiale
l
simmetria centrale
l
traslazione
l
rotazione.
DEFINIZIONE DI ISOMETRIA
Nelle isometrie la lunghezza dei segmenti eÁ un'invariante.
Vediamole una alla volta.
La simmetria assiale Consideriamo una retta ed un punto del piano (figura ). Da tracciamo la semiretta perpendicolare a e chiamiamo il loro punto di intersezione; su , nel semipiano opposto a quello di , prendiamo un punto 0 tale che 0 . Diciamo che P 0 eÁ simmetrico di P rispetto alla retta r ; tale retta diventa quindi l'asse del segmento 0 . Se il punto appartiene alla retta , diciamo che il suo simmetrico eÁ ancora stesso. Ad ogni punto del piano eÁ quindi possibile associare il suo simmetrico rispetto alla retta e tale associazione, essendo una corrispondenza biunivoca, eÁ una trasformazione geometrica. Diamo quindi la seguente definizione. Si dice simmetria assiale la trasformazione che, data una retta , associa ad ogni punto del piano il suo simmetrico rispetto a .
Figura 4
DEFINIZIONE DI SIMMETRIA ASSIALE
La retta prende il nome di asse di simmetria; due figure che si corrispondono in una simmetria assiale si dicono simmetriche rispetto a .
270
Tema 5 - Cap. 3: LE ISOMETRIE E I QUADRILATERI
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Per esempio: n per trovare la simmetrica di una retta basta prendere due punti su , trovare i loro simmetrici e disegnare la retta 0 che passa per tali punti (figura 5a); n per trovare il simmetrico di un angolo, basta scegliere un punto su ogni lato dell'angolo e trovare i simmetrici di tali punti e del vertice (figura 5b); n per trovare il simmetrico di un triangolo, basta trovare i simmetrici dei suoi vertici (figura 5c). Figura 5
a.
b.
c.
La simmetria assiale, come tutte le trasformazioni, eÁ una funzione e si indica con il simbolo dove eÁ l'asse di simmetria; per indicare che un elemento del piano eÁ associato ad un elemento 0 nella simmetria di asse scriveremo 0
Si puoÁ dimostrare che la simmetria assiale eÁ un'isometria e che, di conseguenza, due segmenti che si corrispondono sono sempre congruenti cosõÁ come due angoli (figura 6). Conseguenza di cioÁ eÁ che due figure che si corrispondono in una simmetria assiale sono sempre congruenti. Altre caratteristiche fondamentali della simmetria assiale sono le seguenti: i punti che appartengono all'asse di simmetria sono punti uniti perche ognuno corrisponde a se stesso (figura 7a)
l
una retta che eÁ perpendicolare all'asse di simmetria ha per corrispondente se stessa ed eÁ quindi una retta unita (figura 7b)
l
In questa figura: K r
K B r
A BD r
AC KD r
KC r
KAC KBD r
ACT BDT
Figura 6
se una retta forma un angolo con l'asse di simmetria, anche la sua corrispondente forma lo stesso angolo (figura 7c).
l
Figura 7
Figura 8
a.
b.
c.
Osserva adesso la figura 8; se consideriamo la simmetria di asse e cerchiamo la simmetrica della figura , troviamo ancora la figura . Diciamo allora che eÁ asse di simmetria per F. Q ISTITUTO ITALIANO EDIZIONI ATLAS
Tema 5 - Cap. 3: LE ISOMETRIE E I QUADRILATERI
271
Tra le figure geometriche che conosciamo solo alcune possiedono un asse di simmetria: l
un segmento ha per asse di simmetria il suo asse (figura 9a)
l
un angolo ha come asse di simmetria le sua bisettrice (figura 9b) un triangolo ha un asse di simmetria solo se eÁ isoscele; in questo caso l'asse eÁ la retta della bisettrice dell'angolo al vertice (figura 9c)
l
un triangolo equilatero, essendo isoscele su tutti e tre i lati, ha tre assi di simmetria coincidenti con le rette delle tre bisettrici (figura 9d ).
l
Figura 9
a.
b.
c.
d.
VERIFICA DI COMPRENSIONE 1. Con riferimento alla figura 10 completa le seguenti uguaglianze:
Figura 10
a.
:::::::::::::: b.
:::::::::::::: c.
:::::::::::: d.
:::::::::::::: e.
:::::::::::::: f.
:::::::::::
2. E' dato un quadrilatero che giace interamente in uno dei due semipiani definiti dalla retta (figura 11); della simmetria assiale avente per asse la retta si hanno le seguenti informazioni:
Figura 11
Dopo aver disegnato il simmetrico di , individua il valore di veritaÁ delle seguenti proposizioni: 4
4
a.
V
F
b. il triangolo eÁ unito nella simmetria di asse
V
F
c. il triangolo eÁ unito nella simmetria di asse
V
F
d. il segmento eÁ unito nella trasformazione.
V
F
Figura 12
La simmetria centrale Consideriamo un punto in un piano e sia un altro punto qualsiasi dello stesso piano; tracciamo la retta e su questa, da parte opposta di rispetto ad , consideriamo il punto 0 tale che 0 (figura 12). Diciamo che P 0
272
Tema 5 - Cap. 3: LE ISOMETRIE E I QUADRILATERI
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eÁ simmetrico di P rispetto al punto O il simmetrico di eÁ il punto stesso. Ad ogni punto del piano eÁ quindi possibile associare il suo simmetrico rispetto ad un punto fissato; tale associazione, essendo una corrispondenza biunivoca, eÁ una trasformazione geometrica. Diamo quindi la seguente definizione. DEFINIZIONE DI
Si dice simmetria centrale di centro la trasformazione che ad ogni punto del piano associa il suo simmetrico 0 rispetto ad .
SIMMETRIA CENTRALE
Il punto prende il nome di centro di simmetria; due figure che si corrispondono in una simmetria centrale si dicono simmetriche rispetto a tale centro. In figura 13 puoi vedere come costruire la simmetrica di una retta, di un angolo, di un poligono. Figura 13
a.
b.
c.
La simmetria centrale si indica con il simbolo dove eÁ il centro di simmetria; per indicare che un elemento del piano ha come corrispondente un elemento 0 scriviamo 0
Si puoÁ dimostrare che anche la simmetria centrale eÁ un'isometria e che quindi due segmenti che si corrispondono, cosõÁ come due qualsiasi figure geometriche, sono sempre congruenti (figura 14). Altre caratteristiche fondamentali della simmetria assiale sono le seguenti: due segmenti o due rette che si corrispondono sono sempre paralleli (puoi riferirti ancora alla figura 14)
l
c'eÁ un solo punto unito: il centro della simmetria, ogni altro punto ha per simmetrico un punto diverso, tutte le rette che passano per il centro sono unite
l
Se adesso osservi la figura 15 e di ciascuna delle due figure cerchi la simmetrica rispetto al punto evidenziato, ritrovi la figura stessa. Diciamo allora che le due figure possiedono un centro di simmetria.
In questa figura: D O
B DE O
AB 4
O
BCA DFE
Figura 15
Figura 14
a. Q ISTITUTO ITALIANO EDIZIONI ATLAS
4
EDF O
ABC
0 0 k
b.
Tema 5 - Cap. 3: LE ISOMETRIE E I QUADRILATERI
273
Tra le figure geometriche che abbiamo studiato finora solo il segmento ha un centro di simmetria che eÁ il suo punto medio (figura 16).
Figura 16
VERIFICA DI COMPRENSIONE 1. Con riferimento alla figura 17, stabilisci se sono vere o false le seguenti uguaglianze; correggi quindi quelle false in modo che diventino vere: a.
V
F
b.
V
F
c.
V
F
d.
V
F
e.
V
F
Figura 17
2. Con riferimento alla stessa figura, determina il valore di veritaÁ delle seguenti proposizioni: a. eÁ un segmento unito
V
F
b. eÁ un segmento di punti uniti
V
F
c. k
V
F
d.
V
F
La traslazione Consideriamo un segmento orientato , cioeÁ un segmento sul quale si sia fissato un verso di percorrenza (figura 18); un segmento orientato si dice anche vettore e viene indicato con uno di questi simboli
~
I VETTORI NEL PIANO
Figura 18
Per individuare un vettore nel piano occorre indicare: n la sua direzione, cioeÁ la retta cui appartiene
n il suo verso, che indica il senso di percorrenza n la sua intensitaÁ o modulo, che rappresenta la lunghezza del segmento . Se due vettori hanno la stessa direzione, lo stesso verso e la stessa intensitaÁ si dice che sono equipollenti. Consideriamo allora un vettore ~ e associamo ad ogni punto del piano cui ! appartiene ~ il punto 0 in modo che il vettore 0 sia equipollente a ~ (figura 19); in pratica, a partire da , riportiamo il vettore ~ e consideriamo come corrispondente di il secondo estremo 0 di questo vettore. Il punto P 0 si dice traslato del punto P del vettore ~ v. La corrispondenza cosõÁ costruita eÁ biunivoca ed eÁ quindi una trasformazione geometrica. Si dice traslazione di vettore ~ la trasformazione che ad ogni punto del piano associa il suo traslato 0 mediante il vettore ~.
274
Tema 5 - Cap. 3: LE ISOMETRIE E I QUADRILATERI
Figura 19
DEFINIZIONE DI TRASLAZIONE
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Il vettore ~ si dice vettore di traslazione. Per traslare una figura si deve traslare ogni suo punto del vettore ~; in figura 20 abbiamo costruito le figure traslate di un segmento, di una retta, di un triangolo. Figura 20
a.
b.
c.
La traslazione si indica con il simbolo ~, scrivendo in basso a destra del simbolo il vettore ~ di traslazione. Per indicare che una figura 0 eÁ associata ad una figura nella traslazione di vettore ~ scriveremo 0 ~
Anche la traslazione eÁ un'isometria e quindi due figure che si corrispondono in questa trasformazione sono congruenti. La traslazione ha le seguenti proprietaÁ che puoi riconoscere anche osservando la figura 20 precedente: l
i segmenti e le rette che si corrispondono sono paralleli
l
non ci sono punti uniti
l
ci sono peroÁ infinite rette unite: tutte quelle che hanno la stessa direzione del vettore di traslazione.
In questa figura: P v~
A QR v~
BC v~ ADC PSR
La rotazione Non solo i segmenti, anche gli angoli possono essere orientati; nella figura 21 eÁ orientato in senso orario, l'angolo eÁ orientato in senso antiol'angolo rario.
Figura 22
Figura 21
a.
b. a.
Consideriamo adesso un angolo orientato come quello in figura 22a e un punto ; preso un punto qualsiasi (distinto da ), tracciamo la semiretta e la semiretta di origine che formi con un angolo congruente a e su di essa prendiamo il punto 0 tale che sia 0 (figura 22b). Il punto 0 si dice ruotato del punto P rispetto al centro O dell'angolo . La corrispondenza fra i punti ed i punti 0 eÁ biunivoca ed eÁ quindi una trasformazione geometrica. Q ISTITUTO ITALIANO EDIZIONI ATLAS
b.
Tema 5 - Cap. 3: LE ISOMETRIE E I QUADRILATERI
275
Si dice rotazione di centro O e ampiezza la trasformazione che ad ogni punto del piano associa il punto 0 ruotato di rispetto ad di un angolo orientato . Il punto prende il nome di centro di rotazione, l'angolo si dice ampiezza della rotazione. Quindi, per definire una rotazione, si devono assegnare sia il punto, che assume la funzione di centro di rotazione, sia l'angolo, che assume la funzione di ampiezza della rotazione; non eÁ possibile assegnare solo il centro o solo l'ampiezza. La rotazione di centro e ampiezza si indica con il simbolo , , scrivendo come indici in basso a destra del simbolo il centro e l'angolo di rotazione; per indicare che una figura 0 eÁ associata ad una figura nella rotazione di centro e ampiezza scriveremo 0 ,
Anche la rotazione eÁ un'isometria; di conseguenza due figure che si corrispondono in questa trasformazione sono congruenti.
DEFINIZIONE DI ROTAZIONE
In questa figura: F O ,
C DF O ,
AC O ,
ACB DFE
VERIFICA DI COMPRENSIONE 1. Ad un segmento si applica una traslazione di un vettore ~ assegnato ottenendo il segmento ; si puoÁ dire che: a. e sono paralleli b. e sono entrambi perpendicolari al vettore ~ c. la retta eÁ unita nella traslazione d. la retta eÁ una retta di punti uniti.
V
F
V
F
V
F
V
F
2. Una rotazione eÁ completamente individuata se sono assegnati: a. b. c. d.
l'angolo di rotazione il centro di rotazione il centro e l'angolo di rotazione la distanza fra un punto ed il suo corrispondente.
2. QUADRILATERI E PARALLELOGRAMMI
Gli esercizi di questo paragrafo sono a pag. 611
2.1 I quadrilateri Ricordiamo che un quadrilatero eÁ un poligono che ha quattro lati (figura 23); in esso
Figura 23
n i vertici e , e si dicono opposti, cosõÁ come i lati e , e n i vertici che appartengono ad uno stesso lato si dicono consecutivi, per esempio e oppure e sono consecutivi n i lati che hanno un vertice in comune sono consecutivi, per esempio e n gli angoli i cui vertici sono opposti si dicono opposti, per esempio sono op e posti gli angoli
276
Tema 5 - Cap. 3: LE ISOMETRIE E I QUADRILATERI
Q ISTITUTO ITALIANO EDIZIONI ATLAS
n gli angoli che hanno un lato in comune si dicono adiacenti a quel lato; per e e sono adiacenti al lato , gli angoli esempio gli angoli sono adiacenti al lato .
Figura 24
Fra tutti i quadrilateri convessi sono particolarmente importanti per le loro proprietaÁ i parallelogrammi e i trapezi; studieremo quindi soprattutto le caratteristiche di questi quadrilateri utilizzando sia le proprietaÁ della congruenza sia le proprietaÁ delle isometrie che abbiamo visto nel precedente capitolo.
2.2 I parallelogrammi Consideriamo un quadrilatero convesso che costruiamo in questo modo: prendiamo due punti e e un punto del piano che assumiamo come centro di simmetria, troviamo i simmetrici del punto e del punto rispetto ad e congiungiamo nell'ordine i punti , , , e (figura 24). Il quadrilatero cosõÁ ottenuto ha quindi un centro di simmetria; diamo allora la seguente definizione. Si dice parallelogramma un quadrilatero convesso che ha un centro di simmetria. Essendo una figura simmetrica, il parallelogramma ha alcune proprietaÁ che derivano immediatamente dalle proprietaÁ della simmetria centrale e che possiamo cosõÁ enunciare. Ogni parallelogramma ha: n i lati opposti paralleli Infatti, nella simmetria di centro , corrisponde a e quindi k , corrisponde a e quindi k (figura 25a);
DEFINIZIONE DI PARALLELOGRAMMA
LE PROPRIETAÁ DEL PARALLELOGRAMMA
n i lati opposti congruenti Infatti la simmetria centrale, essendo un'isometria, trasforma un segmento in un altro ad esso congruente e quindi e (figura 25b); n gli angoli adiacenti supplementari Infatti, avendo dimostrato che i lati opposti sono paralleli, due angoli adiacenti sono anche coniugati interni (figura 25c); n gli angoli opposti congruenti Infatti tali angoli si corrispondono in una simmetria centrale: (riferisciti ancora alla figura 25c); e
n le diagonali che si incontrano nel punto medio Infatti il loro punto medio eÁ il centro della simmetria (figura 25d ). Figura 25
a.
b.
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c.
d.
Tema 5 - Cap. 3: LE ISOMETRIE E I QUADRILATERI
277
Alcune di queste proprietaÁ possono essere invertite e diventano un criterio per stabilire se un quadrilatero eÁ un parallelogramma. COME RICONOSCERE
Un quadrilatero eÁ un parallelogramma se:
SE UN QUADRILATERO EÁ UN PARALLELOGRAMMA
n ha i lati opposti paralleli, oppure n ha i lati opposti congruenti, oppure n ha gli angoli adiacenti supplementari, oppure n ha gli angoli opposti congruenti, oppure n ha le diagonali che si incontrano nel punto medio, oppure n ha una coppia di lati opposti congruenti e paralleli. Vediamo come si applicano questi criteri.
ESEMPI 1. Disegniamo un parallelogramma , prendiamo un punto sul lato e un punto sul lato in modo che sia . Vogliamo dimostrare che il quadrilatero eÁ un parallelogramma. Hp.
eÁ un parallelogramma
Figura 26
Th.
eÁ un parallelogramma
(figura 26)
Dimostrazione. Sappiamo che:
perche lati opposti del parallelogramma
per ipotesi
per differenza di segmenti congruenti
Inoltre k perche segmenti che appartengono ai lati e del parallelogramma . Allora il quadrilatero ha una coppia di lati opposti congruenti e paralleli ed eÁ percioÁ un parallelogramma. Un altro modo di dimostrare il teorema eÁ il seguente (ti invitiamo a completare la dimostrazione): indicato con il centro di simmetria del parallelogramma dato (osserva ancora la figura 26), possiamo scrivere che:
::: perche ...........
:::
perche ...........
quindi eÁ un parallelogramma perche ha un centro di simmetria. I parallelogrammi, per definizione, hanno un centro di simmetria, ma non hanno alcun asse di simmetria. E' quindi sbagliato affermare che le bisettrici sono assi di simmetria, come si puoÁ vedere bene nella figura 27.
278
Tema 5 - Cap. 3: LE ISOMETRIE E I QUADRILATERI
PARALLELOGRAMMI E ISOMETRIE Figura 27
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VERIFICA DI COMPRENSIONE 1. Dato il parallelogramma in figura 28, stabilisci quali delle seguenti relazioni sono vere: a.
V
F
b.
V
F
c.
V
F
d.
V
F
e. f.
V
F
V
F
V
F
g. eÁ bisettrice dell'angolo di vertice
2. Del quadrilatero in figura 29 si sa che eÁ verificata una delle
Figura 28
Figura 29
ipotesi che seguono:
¬ ® ¯
k e e
k
e
.
In quali casi si puoÁ affermare che eÁ un parallelogramma?
3. PARALLELOGRAMMI PARTICOLARI
Gli esercizi di questo paragrafo sono a pag. 613
Fra tutti i parallelogrammi ve ne sono alcuni che presentano delle caratteristiche in piuÁ rispetto ai parallelogrammi comuni: il rettangolo, il rombo e il quadrato. Vediamo come possiamo definirli e quali sono le loro peculiaritaÁ.
Il rettangolo Si chiama rettangolo un parallelogramma che ha tutti gli angoli congruenti (figura 30).
DEFINIZIONE DI RETTANGOLO Figura 30
In base a questa definizione possiamo dire che, poiche gli angoli adiacenti di un parallelogramma sono supplementari e due angoli supplementari e congruenti sono retti, gli angoli di un rettangolo sono tutti retti. Come tutti i parallelogrammi, il rettangolo ha i lati opposti congruenti e paralleli e gode di tutte le altre proprietaÁ dei parallelogrammi; in piuÁ ha la seguente proprietaÁ: n un rettangolo ha le diagonali congruenti. Basta infatti osservare che i triangoli e sono congruenti perche rettangoli con i cateti congruenti (figura 31) e che quindi .
Figura 31
Per riconoscere se un quadrilatero eÁ un rettangolo bisogna innanzi tutto verificare che si tratti di un paralleogramma in uno dei modi visti nel paragrafo precedente; stabilito cioÁ si puoÁ controllare che: l
ci sia almeno un angolo retto (in questo modo anche gli altri sono retti)
oppure l
le diagonali siano congruenti.
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Tema 5 - Cap. 3: LE ISOMETRIE E I QUADRILATERI
279
Il rombo Si chiama rombo un parallelogramma con tutti i lati congruenti (figura 32).
DEFINIZIONE DI ROMBO Figura 32
Un rombo possiede tutte le proprietaÁ di un parallelogramma; inoltre: n un rombo ha le diagonali che sono fra loro perpendicolari e bisettrici degli angoli opposti. Basta infatti osservare che i triangoli e sono isosceli (figura
) cosõÁ come i triangoli e e che, essendo e le mediane di tali triangoli, esse sono anche altezze e bisettrici. Per riconoscere se un quadrilatero eÁ un rombo bisogna innanzi tutto verificare che si tratti di un parallelogramma; successivamente si puoÁ procedere in uno qualsiasi dei seguenti modi: l
verificare che ci siano due lati consecutivi congruenti
l
verificare che le diagonali siano tra loro perpendicolari
l
verificare una diagonale sia bisettrice degli angoli a cui si riferisce.
Figura 33
Il quadrato Si dice quadrato un parallelogramma che ha tutti i lati congruenti e tutti gli angoli congruenti (figura 34).
DEFINIZIONE DI QUADRATO Figura 34
Dalla definizione si deduce che un quadrato eÁ contemporaneamente un rettangolo e un rombo; di conseguenza, oltre a tutte le proprietaÁ dei parallelogrammi, avraÁ anche tutte le proprietaÁ dei rettangoli e dei rombi e cioeÁ (figura 35): n le diagonali sono congruenti, sono perpendicolari, sono bisettrici degli angoli. Per riconoscere se un quadrilatero eÁ un quadrato, dopo aver verificato che si tratta di un parallelogramma, abbiamo allora le seguenti possibilitaÁ:
Figura 35
n verificare che ci siano due lati consecutivi congruenti e che ci sia un angolo retto n verificare che le diagonali siano congruenti e perpendicolari n verificare che le diagonali siano congruenti e che una di esse sia bisettrice degli angoli ai quali si riferisce. Anche i parallelogrammi particolari che abbiamo studiato, come tutti i parallelogrammi, hanno un centro di simmetria che eÁ il punto d'incontro delle diagonali; hanno peroÁ qualche caratteristica in piuÁ. l
l
l
Il rettangolo ha come assi di simmetria le rette che passano per i punti medi dei lati opposti (figura 36a di pagina seguente)
RETTANGOLI, ROMBI, QUADRATI E ISOMETRIE
Il rombo ha come assi di simmetria le rette delle diagonali (figura 36b) Il quadrato, essendo contemporaneamente un rettangolo e un rombo, ha quattro assi di simmetria: le rette che passano per i punti medi dei lati opposti e le rette delle diagonali (figura 36c).
280
Tema 5 - Cap. 3: LE ISOMETRIE E I QUADRILATERI
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Figura 36
a.
b.
c.
VERIFICA DI COMPRENSIONE 1. Due segmenti e si intersecano nel punto medio; il quadrilatero : a. b. c. d. e.
eÁ un rombo se eÁ un quadrato se eÁ retto eÁ un rettangolo se l'angolo eÁ un rettangolo se in nessun caso puoÁ essere un quadrato.
V
F
V
F
V
F
V
F
V
F
2. Un parallelogramma ha solo due assi di simmetria e . Completa scegliendo, fra quelle indicate, la frase corretta: a. se e sono le rette delle diagonali, il parallelogramma eÁ: ¬ un quadrato un rettangolo
® un rombo
b. se e passano per i punti medi dei lati opposti, il parallelogramma eÁ: ¬ un quadrato un rettangolo ® un rombo c. qualunque siano e , il parallelogramma non puoÁ mai essere: ¬ un quadrato un rettangolo ® un rombo
4. IL TRAPEZIO
Gli esercizi di questo paragrafo sono a pag. 616
Un altro quadrilatero che eÁ interessante studiare (lo vediamo anche nella forma dei tetti di alcune case) eÁ il trapezio che definiamo in questo modo. Un trapezio eÁ un quadrilatero che ha due lati paralleli. I lati paralleli di un trapezio si dicono basi, gli altri due lati si dicono obliqui; si dice inoltre altezza del trapezio la distanza fra le due basi (figura 37). I trapezi si possono classificare in relazione alle caratteristiche dei lati obliqui; in particolare (figura 38 di pagina seguente): l
se i lati obliqui sono disuguali il trapezio si dice scaleno
l
se sono congruenti si dice isoscele
l
DEFINIZIONE DI TRAPEZIO
Figura 37
se uno dei lati obliqui eÁ perpendicolare alle basi il trapezio si dice rettangolo.
Il trapezio non ha particolari proprietaÁ se non quelle che derivano dall'avere due lati paralleli: Q ISTITUTO ITALIANO EDIZIONI ATLAS
Tema 5 - Cap. 3: LE ISOMETRIE E I QUADRILATERI
281
Figura 38
trapezio scaleno
trapezio isoscele
trapezio rettangolo
n gli angoli adiacenti a ciascuno dei lati obliqui sono supplementari. Infatti (osserva ancora la figura 38) essi sono in ogni caso coniugati interni:
e
Se invece il trapezio eÁ isoscele, e solo in questo caso, si evidenziano alcune proprietaÁ:
LE PROPRIETAÁ DEL TRAPEZIO ISOSCELE
n gli angoli adiacenti a ciascuna base sono congruenti (figura 39a); n le diagonali sono congruenti (figura 39b); n la retta che passa per i punti medi delle basi eÁ asse di simmetria (figura 39c). Figura 39
a.
b.
c.
Tutte queste proprietaÁ possono essere invertite, vale a dire che, per riconoscere se un trapezio eÁ isoscele, oltre ad applicare la definizione e quindi verificare che i lati obliqui sono congruenti, basta verificare che: n gli angoli adiacenti ad una base siano congruenti, oppure n le diagonali siano congruenti, oppure n la retta che passa per i punti medi delle basi sia asse di simmetria.
VERIFICA DI COMPRENSIONE 1. Di un trapezio si puoÁ dire che: a. se ha un angolo retto, ne ha almeno un altro
V
F
b. gli angoli adiacenti ad un lato obliquo sono supplementari
V
F
c. gli angoli adiacenti ad una base sono supplementari
V
F
d. se eÁ isoscele ha le diagonali congruenti
V
F
e. se eÁ isoscele le diagonali si intersecano nel punto medio
V
F
f. ha come asse di simmetria la retta che passa per i punti medi delle basi
V
F
g. se eÁ isoscele ha come centro di simmetria il punto d'intersezione delle diagonali
V
F
h. se eÁ isoscele ha come asse di simmetria la retta che congiunge i punti medi dei lati obliqui.
V
F
282
Tema 5 - Cap. 3: LE ISOMETRIE E I QUADRILATERI
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5. LA CORRISPONDENZA DI TALETE Consideriamo un fascio di rette parallele, cioeÁ un insieme di rette tutte parallele tra loro, e tagliamole con due trasversali come in figura . Tra i punti , , , , .... in cui la prima trasversale incontra le parallele del fascio e i punti 0 , 0 , 0 , 0 .... in cui la seconda trasversale incontra le stesse rette, si viene a stabilire una corrispondenza biunivoca che si chiama corrispondenza parallela di Talete. Per tale corrispondenza vale il seguente teorema.
Gli esercizi di questo paragrafo sono a pag. 617 Figura 40
Teorema (della corrispondenza di Talete). Dato un fascio di rette parallele, tagliato da due trasversali, se sulla prima trasversale si individuano due segmenti congruenti, allora anche i loro corrispondenti sulla seconda trasversale sono congruenti. Hp. k k k k :::::
Th. 0 0 0 0
(figura 41)
Figura 41
Dimostrazione. Tracciamo i due segmenti e paralleli alla trasversale 0 ; i quadrilateri 0 0 e 0 0 , avendo i lati opposti paralleli, sono dei parallelogrammi, quindi 0 0 e 0 0 . Consideriamo adesso i triangoli e ; essi hanno:
per ipotesi
perche angoli corrispondenti delle rette parallele e tagliate dalla trasversale
perche angoli corrispondenti delle rette parallele e tagliate dalla trasversale
I due triangoli sono congruenti per il secondo criterio ed in particolare . Allora 0 0 , 0 0 , , quindi, per la proprietaÁ transitiva della congruenza, 0 0 0 0 . § Questo teorema eÁ importante per le sue conseguenze applicate ai triangoli: l
l
se dal punto medio di un lato di un triangolo si traccia la parallela ad un altro lato, questa interseca il lato opposto nel suo punto medio (figura 42a): se e k allora
LE CONSEGUENZE DEL TEOREMA DI TALETE
se si congiungono i punti medi di due lati di un triangolo, il segmento che si ottiene eÁ parallelo al terzo lato e congruente alla sua metaÁ (figura 42b): 1 se e allora k e 2 Figura 42
a. Q ISTITUTO ITALIANO EDIZIONI ATLAS
b.
Tema 5 - Cap. 3: LE ISOMETRIE E I QUADRILATERI
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VERIFICA DI COMPRENSIONE 1. Un fascio di rette parallele eÁ tagliato da due trasversali come in figura
Figura
. Si puoÁ dire che: a. 0 0
V
F
b. se allora 0 0 0 0
V
F
c. se 0 0 0 0 allora
V
F
d. se 0 0 allora e formano angoli congruenti con le rette del fascio.
V
F
2. Il triangolo della figura eÁ stato ottenuto congiungendo i punti
Figura
medi dei lati del triangolo . Si puoÁ dire che: a. il perimetro di eÁ la metaÁ del perimetro di
V
F
b. i lati di sono paralleli ai lati di
V
F
c. se eÁ isoscele di base , eÁ isoscele di base .
V
F
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Tema 5 - Cap. 3: LE ISOMETRIE E I QUADRILATERI
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I concetti e le regole Trasformazioni geometriche Una trasformazione geometrica eÁ una corrispondenza biunivoca tra i punti del piano; essa viene stabilita assegnando una legge (che eÁ una funzione) che indica i modi in cui i punti si corrispondono. In una trasformazione chiamiamo: l
punti uniti i punti che hanno per trasformati se stessi
l
invarianti le caratteristiche delle figure che non cambiano dopo l'applicazione della trasformazione.
Le isometrie Le trasformazioni che lasciano invariate le lunghezze dei segmenti si dicono isometrie. Le isometrie fondamentali sono: l
l
l
l
la simmetria assiale, definita rispetto ad una retta r (l'asse di simmetria), che ad ogni punto P di un piano associa il punto P 0 che si costruisce in questo modo: ± si traccia da P la perpendicolare a r che la incontra in H ± si prende su di essa il punto P 0 nel semipiano opposto rispetto a P tale cha sia P 0 H PH la simmetria centrale, definita rispetto ad un punto O (il centro di simmetria), che ad ogni punto P di un piano associa il punto P 0 che si costruisce in questo modo: ± si traccia la retta OP ± si prende il punto P 0 sulla semiretta di origine O opposta rispetto a P tale che sia P 0 O PO la traslazione, definita da un vettore ~ v , che ad ogni punto P di un piano associa il punto P 0 che eÁ il secondo estremo del vettore ~ v quando il primo estremo coincide con P
la rotazione, definita assegnando un punto O (il centro di rotazione) ed un angolo orien 0 abbia lo stesso tato , che ad ogni punto P associa il punto P 0 tale che OP OP 0 e POP orientamento e la stessa ampiezza di .
I parallelogrammi Un parallelogramma eÁ un quadrilatero che ha un centro di simmetria e quindi possiede le seguenti proprietaÁ: l ha i lati opposti paralleli e congruenti l ha gli angoli opposti congruenti e gli angoli adiacenti supplementari l le diagonali si incontrano nel punto medio.
Condizioni per individuare un parallelogramma Per riconoscere se un quadrilatero eÁ un parallelogramma, oltre ad applicare la definizione, si puoÁ verificare che abbia una delle seguenti caratteristiche: l i lati opposti paralleli l una coppia di lati opposti congruenti e paralleli l i lati opposti congruenti l le diagonali che si incontrano nel punto medio l gli angoli opposti congruenti oppure quelli adiacenti supplementari.
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Tema 5 - Cap. 3: LE ISOMETRIE E I QUADRILATERI
285
I parallelogrammi particolari l
% rettangolo eÁ un parallelogramma con gli angoli retti; le sue diagonali sono congruenti
l
Il rombo eÁ un parallelogramma con i lati congruenti; le sue diagonali sono perpendicolari e bisettrici degli angoli
Il quadrato eÁ un parallelogramma con i lati congruenti e gli angoli retti e che quindi, riunendo in seÁ le caratteristiche del rettangolo e del rombo, ha le diagonali congruenti, perpendicolari e bisettrici degli angoli. Le medesime proprietaÁ possono essere invertite per riconoscere se un parallelogramma eÁ un rettangolo, un rombo oppure un quadrato.
l
I parallelogrammi e le isometrie Tutti i parallelogrammi hanno un centro di simmetria ma, se non sono parallelogrammi particolari, non hanno assi di simmetria. I soli a possedere assi di simmetria sono: l
il rettangolo, che ha per assi le rette perpendicolari a due lati opposti e passanti per il loro punto medio
l
il rombo, che ha come assi le rette delle diagonali
l
il quadrato, che ha come assi quelli del rombo e quelli del rettangolo.
Il trapezio Un trapezio eÁ un quadrilatero che ha una coppia di lati paralleli che si dicono basi; i lati non paralleli si chiamano lati obliqui. Se capita che: l
i lati obliqui sono disuguali, il trapezio eÁ scaleno
l
i lati obliqui sono congruenti, il trapezio eÁ isoscele
uno dei lati obliqui eÁ perpendicolare alle basi, il trapezio eÁ rettangolo. In un trapezio isoscele gli angoli adiacenti alle basi sono congruenti e anche le diagonali sono congruenti.
l
La corrispondenza di Talete Se un fascio di rette parallele interseca una trasverale r nei punti A, B, C, ..... e una trasversale s nei punti A 0 , B 0 , C 0 , ...., fra i due insiemi di punti si stabilisce una corrispondenza biunivoca che si chiama corrispondenza parallela di Talete. In tale corrispondenza, a segmenti congruenti sulla prima trasversale corrispondono segmenti congruenti sulla seconda trasversale. Le conseguenze di questo teorema applicate ai triangoli sono le seguenti: l se per il punto medio di un lato si traccia la parallela ad un altro lato, questa taglia il terzo lato nel suo punto medio l il segmento che unisce i punti medi di due lati e Á parallelo al terzo lato e congruente alla sua metaÁ.
286
Tema 5 - Cap. 3: LE ISOMETRIE E I QUADRILATERI
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CAPITOLO
La circonferenza e i poligoni
Obiettivi l
comprendere il concetto di luogo geometrico
l
Á della circonferenza e del cerchio conoscere le proprieta
l
stabilire posizioni reciproche di circonferenze e rette e di circonferenze tra loro
l
Á riconoscere angoli alla circonferenza e angoli al centro e conoscere le loro proprieta
l
l
riconoscere poligoni inscritti e circoscritti a una circonferenza con particolare riferimento ai triangoli e ai quadrilateri individuare i punti notevoli di un triangolo
MATEMATICA E REALTAÁ La maggior parte delle strade urbane ed extraurbane ha una linea (continua o tratteggiata) che separa le due corsie nei due sensi di marcia; le superstrade e le autostrade hanno delle linee tratteggiate che separano una corsia dall'altra per ogni senso di marcia. Se volessimo spiegare ad un operaio come dipingere le strisce dovremmo dirgli di mantenere sempre la stessa distanza dai bordi della carreggiata o da una corsia all'altra se ce n'eÁ piuÁ di una. Da un punto di vista geometrico, i punti che appartengono a una linea di separazione fra due corsie hanno la caratteristica di essere equidistanti dai bordi della carreggiata; non solo, possiamo anche dire che questi punti sono anche i soli ad avere questa proprietaÁ nello spazio delimitato dalla strada (figura 1). Una linea di separazione di due corsie puoÁ quindi essere definita dicendo che eÁ l'insieme di tutti e soli i punti che sono equidistanti dai bordi della carreggiata. La locuzione tutti e soli eÁ di fondamentale importanza perche sottolinea che non esistono punti dell'insieme che non abbiano la proprietaÁ indicata e che non esistono altri punti al di fuori di quelli dell'insieme che ce l'abbiano. Q ISTITUTO ITALIANO EDIZIONI ATLAS
Figura 1
Tema 5 - Cap. 4: LA CIRCONFERENZA E I POLIGONI
287
Nella nostra esperienza quotidiana sono tanti gli oggetti con cui abbiamo a che fare che sono caratterizzati dal possedere una certa proprietaÁ. Se vogliamo descrivere una palla diciamo che eÁ rotonda e con tale termine intendiamo che i punti che stanno sulla sua superficie esterna sono tutti alla stessa distanza da un centro. La forma circolare eÁ la piuÁ frequente sia in natura che negli oggetti prodotti dall'uomo (in figura 2 la sezione di un limone e in figura 3 una galassia a spirale circolare). La maggior parte degli oggetti di uso quotidiano richiama la forma circolare: piatti, bicchieri, bottiglie, pentole, tavoli; la piuÁ grande invenzione dell'uomo eÁ stata la ruota. La forma circolare presenta indubbiamente molte caratteristiche interessanti: l il poter rotolare senza strisciare limita gli attriti e riduce le difficolta Á di movimento l una forma che e Á simmetrica per eccellenza (oltre ad un centro di simmetria vedremo che esistono anche infiniti assi di simmetria) puoÁ essere messa in qualunque posizione, non presenta problemi di incastro ed eÁ relativamente semplice da produrre l in un cerchio si possono inserire delle forme poligonali e, viceversa, in molte forme poligonali si possono inserire dei cerchi.
Figura 2
Figura 3
I gioiellieri, per esempio, applicano il principio dell'inscrittibilitaÁ nell'incastonatura delle pietre in un supporto a cestello come quello in figura 4: la pietra, che viene di solito tagliata in modo da assumere sezioni di forma poligonale, viene inserita fra i due cerchi e fissata ripiegando la parte eccedente dei filamenti. Figura 4
1.
Gli esercizi di questo paragrafo sono a pag. 622
Un luogo geometrico eÁ l'insieme di tutti e soli gli oggetti della geometria che soddisfano una certa caratteristica che viene normalmente espressa da una proprietaÁ . In particolare: un luogo di punti eÁ l'insieme di tutti e soli i punti che godono della proprietaÁ p.
DEFINIZIONE DI LUOGO
Un luogo di punti eÁ quindi una figura geometrica F i cui punti hanno le seguenti caratteristiche: l
tutti i punti di F, nessuno escluso, soddisfano p
l
non ci sono altri punti oltre a quelli di F che soddisfano p.
288
Tema 5 - Cap. 4: LA CIRCONFERENZA E I POLIGONI
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Alcuni esempi di luoghi geometrici che giaÁ conosciamo sono: n l'asse di un segmento: luogo dei punti che sono equidistanti dagli estremi del segmento (figura ) n la bisettrice di un angolo: luogo dei punti che sono equidistanti dai lati dell'angolo ( 5b). Figura 5
a.
b.
Consideriamo adesso una circonferenza; tutti sappiamo che per costruirla dobbiamo fissare la punta di un compasso sul foglio e, mantenendo costante l'apertura, considerare la traccia disegnata dalla mina del compasso. Quello che abbiamo in questo modo costruito eÁ l'insieme di tutti e soli i punti che mantengono invariata la distanza dal punto dove eÁ stato puntato il compasso; la circonferenza eÁ dunque un luogo di punti. Si chiama circonferenza il luogo dei punti del piano che hanno distanza costante da un punto fisso assegnato detto centro.
DEFINIZIONE DI CIRCONFERENZA Figura 6
La distanza costante si chiama raggio (figura 6), quindi ogni segmento che unisce il centro con un qualsiasi punto della circonferenza eÁ un raggio; i raggi di una circonferenza sono tutti segmenti fra loro congruenti. Ogni segmento che passa per il centro e che ha come estremi due punti della circonferenza si chiama diametro; il diametro ha quindi lunghezza doppia del raggio. Si chiama cerchio l'insieme dei punti di una circonferenza e dei suoi punti interni.
DEFINIZIONE DI CERCHIO Figura 7
La circonferenza costituisce quindi il contorno del cerchio. E' poi evidente che due circonferenze o due cerchi sono congruenti se e solo se hanno raggi congruenti. Queste figure hanno poi caratteristiche che le rendono uniche nell'ambito delle figure geometriche. n Hanno un centro di simmetria che eÁ il centro della circonferenza (figura 7a). n Hanno infiniti assi di simmetria rappresentati dalle rette che passano per il centro (figura 7b).
a.
n Sono unite in ogni rotazione attorno al centro O. La circonferenza ed il cerchio sono quindi le figure simmetriche per eccellenza e questa loro caratteristica ci permetteraÁ di individuare altre proprietaÁ.
Le izioni per individuare una circonferenza Per individuare in modo unico una circonferenza eÁ sufficiente assegnare un punto che sia il centro ed un segmento che sia il raggio; ma si possono anche Q ISTITUTO ITALIANO EDIZIONI ATLAS
b.
Tema 5 - Cap. 4: LA CIRCONFERENZA E I POLIGONI
289
assegnare due punti di cui uno sia il centro e l'altro un punto della circonferenza: il segmento da essi definito eÁ il raggio e ci troviamo nella condizione precedente. EÁ anche possibile costruire una circonferenza che passi per tre punti A, B e D, a condizione che essi non siano allineati, seguendo questa procedura (figura 8): l
si tracciano i segmenti AD e BD
l
si costruiscono i loro assi che si intersecano in C.
Tale punto eÁ equidistante da A, da B e da D ed eÁ quindi il centro della circonferenza; uno qualunque dei segmenti CA, CB, CD ne eÁ raggio. Figura 8
Figura 9
Se invece i tre punti A, B e D sono allineati, gli assi dei segmenti AB e BD sono paralleli; non eÁ quindi possibile individuare il centro e la circonferenza non esiste (figura 9). Questo ragionamento ci porta ad enunciare il seguente teorema. Per tre punti non allineati passa una e una sola circonferenza. Figura 10
Elementi che si possono individuare in una circonferenza e in un cerchio Chiamiamo arco la parte di circonferenza delimitata da due suoi punti. Chiamiamo corda il segmento che ha per estremi due punti di una circonferenza. In figura 10 la parte di circonferenza in rosso eÁ un arco, il segmento in blu eÁ una corda.
Figura 11
Per indicare l'arco che ha per estremi i punti A e B si scrive AB. Della corda AB che corrisponde all'arco AB si dice che sottende l'arco. Un caso particolare si ha quando la corda che sottende l'arco eÁ un diametro; in tal caso si parla di semicirconferenza. Inoltre la parte di cerchio delimitata da una semicirconferenza e dal diametro che la individua si chiama semicerchio (figura 11).
Figura 12
Chiamiamo angolo al centro un angolo che ha il vertice nel centro della circonferenza (figura 12). I lati di un angolo al centro intersecano la circonferenza in due punti individuando un arco; si dice che l'angolo insiste su quell'arco. Facendo riferimento alla figura 12, l'angolo insiste sull'arco AB.
290
Tema 5 - Cap. 4: LA CIRCONFERENZA E I POLIGONI
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Un arco di una circonferenza e la corda che lo sottende delimitano una parte di circonferenza che prende il nome di segmento circolare a una base (figura 13a); la parte di cerchio delimitata da due corde parallele costituisce invece un segmento circolare a due basi (figura 13b). Si chiama infine settore circolare la parte di cerchio deliminata da due raggi (figura 13c). Figura 13
a.
b.
c.
Le corde di una circonferenza godono di alcune proprietaÁ.
LE PROPRIETAÁ DELLE CORDE
n Se due corde sono congruenti, gli archi e gli angoli al centro ad esse corrispondenti sono congruenti (figura 14a). Infatti questi elementi si sovrappongono in una rotazione di centro O e am piezza AOC.
n Se dal centro di una circonferenza si traccia la retta r perpendicolare ad una corda AB, questa retta eÁ asse della corda, dimezza i due archi che la sottendono ed eÁ bisettrice di ciascuno dei due angoli al centro che insistono su tali archi (figura 14b). Infatti la retta r eÁ asse di simmetria della figura. n Corde congruenti hanno la stessa distanza dal centro (figura 14c). Infatti i triangoli ABO e CDO sono congruenti e hanno quindi congruenti anche le rispettive altezze. Figura 14
COD AB CD a. AOB
b.
c. OK OH AB CD
VERIFICA DI COMPRENSIONE 1. Determina il valore di veritaÁ delle seguenti proposizioni. a. I punti di una corda rappresentano un sottoinsieme dei punti di una circonferenza. b. I punti di un arco rappresentano un sottoinsieme dei punti di una circonferenza. c. Due corde AB e CD di una circonferenza che non si intersecano individuano sempre un segmento circolare a due basi. d. Ogni angolo al centro di una circonferenza insiste su un solo arco. Q ISTITUTO ITALIANO EDIZIONI ATLAS
Tema 5 - Cap. 4: LA CIRCONFERENZA E I POLIGONI
V
F
V
F
V
F
V
F
291
2. Dati in un piano quattro punti A, B, C, D a tre a tre non allineati si puoÁ dire che: a. esiste sempre una circonferenza che passa per tre qualunque di essi
V
F
b. non puoÁ esistere una circonferenza che passa per i quattro punti
V
F
c. esistono infinite circonferenze che passano per due di essi
V
F
d. esiste sempre una circonferenza che ha centro in C e passa per A e per B.
V
F
3. Un triangolo OAB ha un vertice nel centro O di una circonferenza e gli altri due sono punti della circonferenza. Quali delle seguenti affermazioni sono vere? a. Il diametro perpendicolare al lato AB lo interseca nel punto medio. b. Qualunque diametro che interseca AB eÁ perpendicolare ad AB. c. L'asse del lato AB passa per il centro della circonferenza. d. L'angolo di vertice O eÁ congruente all'angolo di vertice A.
Gli esercizi di questo paragrafo sono a pag. 624
Circonferenze e rette
Figura 15
Data una circonferenza ed una retta ci chiediamo quali siano le situazioni che si possono presentare quando vogliamo determinare la loro intersezione. Considerato che una circonferenza e una retta non possono avere piuÁ di due punti in comune, consideriamo una circonferenza di centro C e raggio r , una retta s e tracciamo dal centro C di la perpendicolare CH a s. Si presentano le seguenti situazioni: n il segmento CH eÁ maggiore del raggio della circonferenza (figura 15a). In questo caso la retta e la circonferenza non hanno punti di intersezione e si dice che la retta eÁ esterna alla circonferenza;
a.
n il segmento CH eÁ congruente al raggio della circonferenza (figura 15b). Allora la retta e la circonferenza si intersecano in un punto, la retta si dice tangente alla circonferenza ed il punto di intersezione si dice punto di tangenza. Una retta tangente ad una circonferenza eÁ dunque perpendicolare al raggio nel punto di tangenza. Questo fatto ci suggerisce il modo di tracciare la retta tangente ad una circonferenza in un suo punto P: basta tracciare il raggio CP e considerare la perpendicolare a tale raggio in P. Quindi per indicare che una retta eÁ tangente ad una circonferenza, basta dire che la retta eÁ perpendicolare al raggio nel punto di tangenza;
b.
n il segmento CH eÁ minore del raggio della circonferenza (figura 15c). La retta e la circonferenza si intersecano in due punti distinti e si dice che la retta eÁ secante rispetto alla circonferenza. Vogliamo evidenziare ora una proprietaÁ delle rette tangenti che risulta particolarmente utile nelle applicazioni.
292
Tema 5 - Cap. 4: LA CIRCONFERENZA E I POLIGONI
c.
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Teorema. Se da un punto P esterno ad una circonferenza si mandano le tangenti alla circonferenza stessa, i segmenti di tangente sono congruenti e la semiretta di origine P che passa per il centro eÁ bisettrice dell'angolo formato dalle tangenti. Hp. PA eÁ tangente alla circonferenza PB eÁ tangente alla circonferenza Dimostrazione.
Figura 16
Th. PA PB BPC APC
Tracciamo i raggi nei punti di tangenza che sono perpendicolari alle rispettive tangenti (figura 16). I triangoli APC e BPC sono rettangoli e di essi sappiamo che: AC CB
perche raggi
CP CP
per la proprietaÁ riflessiva della congruenza
Avendo l'ipotenusa ed un cateto ordinatamente congruenti, i due triangoli so BPC. no congruenti e in particolare PA PB e APC §
Figura 17
a.
Circonferenze e circonferenze Due circonferenze non possono avere piuÁ di due punti di intersezione altrimenti coincidono (infatti per tre punti passa una e una sola circonferenza), quindi si possono presentare le seguenti situazioni.
b.
n Le circonferenze non hanno punti di intersezione e allora sono esterne una all'altra oppure interne una all'altra. l
l
Il primo caso, circonferenze esterne, eÁ caratterizzato dal fatto che la distanza tra i centri eÁ maggiore della somma dei raggi (figura 17a); il secondo caso, circonferenze interne, eÁ caratterizzato dal fatto che la distanza tra i centri eÁ minore della differenza tra i raggi (figura 17b). Un caso particolare di questa situazione si ha quando i due centri coincidono (figura 17c); si dice che le due circonferenze sono concentriche.
c.
n Le circonferenze hanno un solo punto di intersezione e allora sono tangenti internamente oppure esternamente. l
l
Se due circonferenze sono tangenti esternamente, la distanza tra i centri eÁ congruente alla somma dei raggi (figura 17d);
d.
se due circonferenze sono tangenti internamente, la distanza tra i centri eÁ congruente alla differenza tra i raggi (figura 17e).
In entrambi i casi, le due circonferenze hanno in comune la retta tangente t condotta per il loro punto d'intersezione; la retta t eÁ quindi perpendicolare alla retta dei centri.
e.
n Le due circonferenze hanno due punti di intersezione e si dice che sono secanti. In questo caso, poiche congiungendo i due centri con uno dei punti di intersezione si viene a creare un triangolo, possiamo dire che, per le relazioni sulle disuguaglianze triangolari, la distanza tra i centri eÁ minore della somma dei raggi e maggiore della loro differenza (figura 17f ).
f.
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Tema 5 - Cap. 4: LA CIRCONFERENZA E I POLIGONI
293
VERIFICA DI COMPRENSIONE 1. In una circonferenza di centro O e raggio r sono disegnate due corde AB e CD la cui distanza dal centro eÁ rappresentata da due segmenti di lunghezza rispettivamente h e k. Si puoÁ dire che: a. se AB CD allora h k
V
F
b. AB CD 4r
V
F
c. se AB > CD allora h > k < COD allora h > k. d. se AOB
V
F
V
F
a. se esiste almeno un punto A s tale che sia OA < r, allora la retta s eÁ secante rispetto a
V
F
b. se non esistono punti di s la cui distanza da O eÁ minore di r, allora la retta s eÁ esterna oppure tangente a
V
F
c. se A eÁ un punto di s e OA r, allora s eÁ tangente a
V
F
d. se s eÁ tangente a , i punti di s distano dal centro di un segmento congruente a r.
V
F
2. Nel piano sono assegnate una retta s e una circonferenza di centro O e raggio r.
3. Di due circonferenze e rispettivamente di centri O e O e di raggi r e r con r > r , si puoÁ dire che: a. sono tangenti internamente se OO r r
V
F
b. sono tangenti esternamente se OO > r r
V
F
c. sono secanti se OO < r r
V
F
d. sono interne se OO < r r .
V
F
3.
Gli esercizi di questo paragrafo sono a pag. 627
Consideriamo un angolo che abbia il vertice su una circonferenza ed i cui lati siano secanti oppure uno secante e l'altro tangente alla circonferenza (figura 18). Si dice angolo alla circonferenza un angolo che ha il vertice sulla circonferenza ed i lati o entrambi secanti oppure uno secante e l'altro tangente (o entrambi tangenti) alla circonferenza.
DEFINIZIONE
DI ANGOLO ALLA
CIRCONFERENZA
Figura 19
Figura 18
a. a.
b.
L'intersezione di un angolo alla circonferenza con la circonferenza stessa determina un arco e si dice che l'angolo alla circonferenza insiste su quell'arco insiste sull'arco AB in colore, l'angolo EPD insiste (in figura 19 l'angolo AVB
sull'arco EP in colore).
294
Tema 5 - Cap. 4: LA CIRCONFERENZA E I POLIGONI
b.
Q ISTITUTO ITALIANO EDIZIONI ATLAS
% alcuni casi puoÁ non essere immediato individuare l'arco su cui insiste un angolo alla circonferenza, soprattutto quando uno dei lati eÁ tangente alla circonferenza. Se sei in difficoltaÁ, immagina che i lati dell'angolo siano delle barriere; se ti trovi all'interno dell'angolo, nelle immediate vicinanze del vertice, le barriere ti consentono di vedere solo una parte di circonferenza, impedendoti di vedere quella rimanente. La parte che puoi vedere eÁ l'arco su cui insiste l'angolo. Angoli come quelli in figura 20 non sono angoli alla circonferenza: il primo ha un lato tangente ma l'altro non eÁ secante, il secondo ha un lato secante ma l'altro lato non eÁ ne tangente ne secante.
Attenzione agli errori
Figura 20
a.
b.
che insiste su un arco Consideriamo adesso un angolo alla circonferenza AVB
Figura 21
AB e tracciamo le semirette che hanno origine nel centro della circonferenza e ottenuto eÁ un angolo al che passano per i punti A e B (figura 21); l'angolo ACB
centro. Possiamo allora stabilire una corrispondenza fra un angolo alla circonferenza e l'angolo al centro che insiste sullo stesso arco; osserviamo che tale corrispondenza eÁ solo univoca e non biunivoca perche ci sono infiniti angoli alla circonferenza che hanno come corrispondente lo stesso angolo al centro (figura 22). Fra gli angoli alla circonferenza ed i corrispondenti angoli al centro sussiste una importante relazione espressa dal seguente teorema. Teorema. Ogni angolo alla circonferenza eÁ la metaÁ del corrispondente angolo al centro. eÁ un angolo alla circonferenza Hp. AVB
eÁ il corrispondente angolo al centro ACB
Figura 22
1 ACB Th. AVB 2
Dimostrazione. una angolo alla circonferenza e sia ACB il corrispondente angolo al Sia AVB e tracciamo centro. Supponiamo che il centro C sia interno all'angolo AVB
il diametro VD (figura 23a di pagina seguente). eÁ un suo angolo esterno, quindi: Il triangolo ACV eÁ isoscele e ACD AVC VAC 2AVC ACD
eÁ un suo angolo esterno, quindi: Anche il triangolo BCV eÁ isoscele e BCD BVC CBV 2BVC BCD
Q ISTITUTO ITALIANO EDIZIONI ATLAS
Tema 5 - Cap. 4: LA CIRCONFERENZA E I POLIGONI
295
Figura 23
a.
Di conseguenza: ovvero
b.
c.
2AVC 2BVC BVC 2 AVC 2AVB ACB
1 ACB. AVB 2
Un'analoga dimostrazione puoÁ essere condotta nel caso in cui C sia esterno al (figura 23b) oppure appartenga a uno dei suoi lati (figura 23c). § l'angolo AVB Facciamo alcune considerazioni relative alle conseguenze di questo teorema.
n Abbiamo osservato che ogni angolo al centro ha infiniti angoli alla circonferenza che gli corrispondono; in base al teorema appena dimostrato, ciascuno di questi angoli eÁ la metaÁ dell'angolo al centro corrispondente. Questo significa che gli angoli alla circonferenza che insistono sullo stesso arco sono tutti congruenti fra loro (rivedi la figura 22).
Figura 24
n Allo stesso modo, gli angoli alla circonferenza che insistono su archi congruenti sono fra loro congruenti perche lo sono i rispettivi angoli al centro. n Consideriamo un angolo alla circonferenza che insiste su un arco pari ad una semicirconferenza, il suo angolo al centro corrispondente eÁ un angolo piatto (figura 24). Possiamo allora dire che un angolo alla circonferenza che insiste su una semicirconferenza eÁ retto.
VERIFICA DI COMPRENSIONE 1. Nella figura 25 A, B, C e D sono punti della circonferenza e BP eÁ tangente alla circonferenza; si puoÁ dire che: e DCB insistono sullo stesso arco e sono a. gli angoli ACB quindi congruenti b. se gli archi AB e BC sono congruenti, allora BDC BAC ACB ADB
insistono sullo stesso arco e quindi e ACB c. gli angoli PBC sono congruenti BDC BAC perche insistono tutti sull'arco BC d. PBC
V
F
V
F
V
F
V
F
Figura 25
Figura 26
2. Relativamente alla figura 26 dove la retta r eÁ tangente alla circonferenza, quali delle seguenti relazioni sono vere? a.
b.
c.
d. #
e.
f. #
296
Tema 5 - Cap. 4: LA CIRCONFERENZA E I POLIGONI
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4.
Gli esercizi di questo paragrafo sono a pag. 628
Presi n punti su una circonferenza (con n > 2) eÁ sempre possibile: l
l
disegnare il poligono che ha per vertici tali punti (figura 27a) tracciare da questi punti le tangenti alla circonferenza e considerare il poligono che ha come sostegno dei lati queste rette (figura 27b). Figura 27
a.
b.
Nel primo caso diciamo che il poligono eÁ inscritto nella circonferenza, nel secondo caso che eÁ circoscritto. Un poligono si dice inscritto in una circonferenza se tutti i suoi vertici sono punti della circonferenza; la circonferenza si dice circoscritta al poligono.
DEFINIZIONE DI POLIGONO INSCRITTO E DI POLIGONO CIRCOSCRITTO
Un poligono si dice circoscritto ad una circonferenza se tutti i suoi lati sono tangenti alla circonferenza; si dice anche che la circonferenza eÁ inscritta nel poligono ed il raggio si chiama apotema del poligono. Data una circonferenza eÁ quindi sempre possibile sia inscrivere che circoscrivere un poligono con un qualsivoglia numero di lati. Viceversa, eÁ abbastanza evidente che, dato un poligono qualsiasi, non eÁ sempre possibile inscriverlo oppure circoscriverlo ad una circonferenza; basta osservare i poligoni nella figura 28 per rendersene conto. Figura 28
a.
b.
c.
Si tratta dunque di definire i criteri in base ai quali sia possibile inscrivere o circoscrivere un poligono ad una circonferenza. Vediamo quali caratteristiche devono avere questi poligoni.
Figura 29
Poligoni inscrittibili Consideriamo un poligono qualsiasi e tracciamo gli assi di due lati consecutivi; sia O il loro punto di intersezione (figura 29). Q ISTITUTO ITALIANO EDIZIONI ATLAS
Tema 5 - Cap. 4: LA CIRCONFERENZA E I POLIGONI
297
Sappiamo che esiste una e una sola circonferenza di centro O che passa per i punti A, B, C, quindi, affinche il poligono sia inscrittibile, anche i segmenti OD e OE devono essere congruenti ai raggi OA, OB, OC; questo capita solo se anche gli assi dei lati DC e DE passano per O. Possiamo quindi concludere che:
Figura 30
un poligono eÁ inscrittibile in una circonferenza se gli assi dei suoi lati si incontrano tutti nello stesso punto (figura 30).
ligoni circoscrittibili Considerato un poligono qualsiasi, tracciamo le bisettrici di due suoi angoli consecutivi che si incontrano in O (figura 31). Poiche i punti della bisettrice sono equidistanti dai lati dell'angolo, i segmenti OK , OH, OR (che sono perpendicolari ai rispettivi lati) sono tutti congruenti fra loro ed esiste percioÁ una circonferenza di centro O che eÁ tangente ai lati EA, AB, BC. Affinche questa circonferenza sia tangente anche ai lati CD e DE, occorre che le distanze di O da questi lati siano congruenti ai precedenti segmenti OK , OH, OR; questo accade solo se anche le bisettrici degli altri angoli del poligono si incontrano in O. Possiamo quindi concludere che:
Figura 31
Un poligono eÁ circoscrittibile ad una circonferenza se le bisettrici dei suoi angoli si incontrano tutte nello stesso punto (figura 32). Figura 32
Questi due teoremi possono essere invertiti diventando proprietaÁ dei poligoni inscritti e circoscritti: n gli assi dei lati di un poligono inscritto in una circonferenza si incontrano in uno stesso punto che, essendo equidistante dai vertici del poligono, eÁ il centro di tale circonferenza (figura 33a); n le bisettrici degli angoli di un poligono circoscritto ad una circonferenza si incontrano in uno stesso punto che, essendo equidistante dai lati del poligono, eÁ il centro di tale circonferenza (figura 33b). Figura 33
a.
b.
Il caso particolare dei quadrilateri Dimostriamo la seguente proprietaÁ. Un quadrilatero inscritto in una circonferenza ha gli angoli opposti supplementari.
298
Tema 5 - Cap. 4: LA CIRCONFERENZA E I POLIGONI
I QUADRILATERI INSCRITTI
Q ISTITUTO ITALIANO EDIZIONI ATLAS
Infatti, se congiungiamo il centro con due vertici opposti del quadrilatero, per e CDA sono rispetesempio A e C, (figura 34), gli angoli alla circonferenza ABC
Figura 34
concavo e convestivamente la metaÁ degli angoli al centro corrispondenti AOC so (gli angoli che si corrispondono sono evidenziati nello stesso colore); poiche i due angoli al centro formano un angolo giro, quelli alla circonferenza formano un angolo piatto e quindi i due angoli di vertici B e D sono supplementari. Analogamente, anche gli angoli di vertici A e C sono supplementari. Questa proprietaÁ si puoÁ invertire diventando un utile criterio per stabilire se un quadrilatero eÁ inscrittibile in una circonferenza: Criterio di inscrittibilitaÁ di un quadrilatero. Un quadrilatero eÁ inscrittibile in una circonferenza se i suoi angoli opposti sono supplementari. Dimostriamo adesso la seguente proprietaÁ. I QUADRILATERI CIRCOSCRITTI
Se un quadrilatero eÁ circoscritto ad una circonferenza la somma di due lati opposti eÁ congruente alla somma degli altri due. Infatti, se consideriamo i punti di tangenza (figura 35), abbiamo che AP AQ, BQ BR, CR CS e DS DP. Di conseguenza, i segmenti che formano i lati AB e DC sono congruenti a quelli che formano i lati AD e BC; quindi AB DC AD BC.
Figura 35
Anche questa proprietaÁ si puoÁ invertire e diventare un criterio per stabilire se un quadrilatero eÁ circoscrittibile ad una circonferenza: Criterio di circoscrittibilitaÁ di un quadrilatero. Un quadrilatero eÁ circoscrittibile ad una circonferenza se la somma di due lati opposti eÁ congruente alla somma degli altri due. Come conseguenza di questi criteri abbiamo che (figura 36): l
l
l
un rettangolo si puoÁ sempre inscrivere in una circonferenza, ma non si puoÁ circoscrivere un rombo si puoÁ sempre circoscrivere ad una circonferenza, ma non si puoÁ inscrivere un quadrato si puoÁ sempre sia inscrivere sia circoscrivere ad una circonferenza. Figura 36
a. Q ISTITUTO ITALIANO EDIZIONI ATLAS
b.
c.
Tema 5 - Cap. 4: LA CIRCONFERENZA E I POLIGONI
299
poligoni regolari DEFINIZIONE DI POLIGONO
Un poligono si dice regolare se ha tutti i lati e tutti gli angoli congruenti.
REGOLARE
% triangolo equilatero e il quadrato sono quindi i poligoni regolari di tre e quattro lati, ma si possono costruire poligoni regolari con un qualsivoglia numero di lati; in figura 37 abbiamo rappresentato il pentagono, l'esagono e l'ettagono regolari. Figura 37
a.
b.
c.
I poligoni regolari hanno numerose proprietaÁ:
LA PROPRIETAÁ
n sono sempre sia inscrittibili che circoscrittibili a una circonferenza e le due circonferenze hanno lo stesso centro (figura 38 )
DEI POLIGONI REGOLARI
n i poligoni con un numero pari di lati hanno come centro di simmetria il centro della circonferenza inscritta (o circoscritta visto che le due circonferenze hanno lo stesso centro); non hanno invece un centro di simmetria i poligoni con un numero dispari di lati (figura 39)
Figura 38
Figura 39
C eÁ centro di simmetria
C non eÁ centro di simmetria
n ciascun poligono regolare ha diversi assi di simmetria rappresentati dalle rette bisettrici degli angoli interni; inoltre i poligoni che hanno un numero pari di lati hanno per assi di simmetria anche le rette assi dei lati (figura 40). Figura 40
a.
300
b.
c.
Tema 5 - Cap. 4: LA CIRCONFERENZA E I POLIGONI
d.
Q ISTITUTO ITALIANO EDIZIONI ATLAS
I poligoni regolari vengono spesso utilizzati nei problemi di tassellatura del piano (tassellare un piano significa ricoprirlo mediante dei poligoni non sovrapposti in modo che non vi siano spazi vuoti), per esempio per eseguire pavimentazioni, mosaici, composizioni artistiche. Le figure piuÁ semplici da comporre sono i quadrati (le piastrelle dei pavimenti hanno spesso questa forma), ma si possono usare anche triangoli equilateri oppure esagoni; non eÁ possibile invece usare solo pentagoni (figura 41).
LA TASSELLATURA DEL PIANO
Figura 41
a
b.
c.
d.
Tieni presente infatti che in ogni punto gli angoli dei poligoni devono ricoprire un angolo di 360 . Allora, poiche i triangoli equilateri hanno gli angoli interni di 60 , i quadrati li hanno di 90 e gli esagoni li hanno di 120 , si riesce sempre con questi poligoni a formare un angolo giro; i pentagoni hanno invece gli angoli interni di 108 e tre di essi non raggiungono 360 mentre quattro li superano.
VERIFICA DI COMPRENSIONE 1. Di un poligono si sa che le bisettrici dei suoi angoli si intersecano tutte in un punto P; una sola delle seguenti affermazioni eÁ esatta, individuala motivando la scelta: a. il poligono eÁ inscrittibile in una circonferenza che ha centro in P b. il poligono eÁ circoscrittibile ad una circonferenza di centro non precisato c. il poligono eÁ circoscrittibile ad una circonferenza di centro P d. il poligono eÁ sia inscrittibile che circoscrittibile ad una circonferenza di centro P.
2. Un quadrilatero eÁ formato dall'accostamento di due triangoli ret-
Figura 42
tangoli aventi l'ipotenusa in comune come in figura 42; completa le seguenti proposizioni: a. eÁ inscrittibile in una circonferenza perche ................................. b. il diametro della circonferenza ad esso circoscritta eÁ il segmento ............................... c. eÁ circoscrittibile ad una circonferenza solo se ..........................
3. Determina il valore di veritaÁ delle seguenti proposizioni. a. Un poligono eÁ regolare se ha tutti i lati congruenti
V
F
b. Un poligono regolare ha tutti gli angoli congruenti.
V
F
c. Tutti i poligoni regolari possono essere sia inscritti che circoscritti ad una circonferenza.
V
F
d. Tutti i poligoni regolari hanno un centro di simmetria.
V
F
e. Tutti i poligoni regolari hanno assi di simmetria.
V
F
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Tema 5 - Cap. 4: LA CIRCONFERENZA E I POLIGONI
301
5. Abbiamo visto che, se un poligono non ha caratteristiche precise, non si riesce in generale ad inscriverlo o circoscriverlo ad una circonferenza; non sempre infatti gli assi dei lati o le bisettrici degli angoli passano per uno stesso punto. Il triangolo invece eÁ una figura particolare in cui eÁ sempre possibile sia inscrivere che circoscrivere una circonferenza; si dimostra infatti che valgono le seguenti proprietaÁ.
Gli esercizi di questo paragrafo sono a pag. 630 Figura 43
n Gli assi dei lati di un triangolo passano per uno stesso punto O che si chiama circocentro (figura 43). Ogni triangolo puoÁ quindi essere inscritto in una circonferenza e il centro di tale circonferenza eÁ il punto di intersezione degli assi dei lati del triangolo; da qui il nome di circocentro dato a questo punto. n Le bisettrici degli angoli interni di un triangolo passano per uno stesso punto O detto incentro (figura 44).
Figura 44
Il punto O eÁ equidistante dai lati del triangolo ed esiste percioÁ una circonferenza con centro in O e raggio OH che passa anche per i punti F e K. Tale circonferenza eÁ quindi inscritta nel triangolo; da qui il nome di incentro (centro della circonferenza inscritta) dato al punto O. n Le altezze di un triangolo passano per uno stesso punto P detto ortocentro (figura 45). Il nome di ortocentro dato al punto O deriva dal greco orthos (che significa retto riferito agli angoli) e, nel caso del triangolo, sta ad indicare il punto di intersezione delle perpendicolari condotte dai vertici, cioeÁ delle altezze.
Figura 45
n Le mediane di un triangolo si incontrano in un punto G detto baricentro; esso divide ciascuna mediana in due parti delle quali quella che ha un estremo nel vertice eÁ doppia dell'altra (figura 46 : AG 2GM; BG 2GN; CG 2GS). Il circocentro, l'incentro, l'ortocentro e il baricentro, per le loro particolari caratteristiche, si dicono punti notevoli del triangolo. In un triangolo qualsiasi, circocentro, incentro, ortocentro e baricentro sono punti distinti; quindi la circonferenza inscritta e quella circoscritta ad un triangolo non hanno lo stesso centro. Nel triangolo equilatero invece, visto che altezze, mediane, assi dei lati e bisettrici degli angoli coincidono, i punti notevoli coincidono in un unico punto; le circonferenze inscritta e circoscritta ad un triangolo equilatero sono dunque concentriche, a conferma anche del fatto che un triangolo equilatero eÁ un poligono regolare.
Figura 46
VERIFICA DI COMPRENSIONE 1. Siano la circonferenza circoscritta e la circonferenza inscritta in un triangolo ABC; si puoÁ dire che: a. il centro di eÁ il punto di intersezione delle altezze del triangolo b. il centro di eÁ il punto di intersezione delle bisettrici degli angoli del triangolo
302
Tema 5 - Cap. 4: LA CIRCONFERENZA E I POLIGONI
V
F
V
F
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c. e sono sempre circonferenze concentriche d. e sono circonferenze concentriche solo se ABC eÁ equilatero.
V
F
V
F
V
F
V
F
V
F
V
F
2. Determina il valore di veritaÁ delle seguenti proposizioni relative ad un triangolo ABC. a. b. c. d.
Il baricentro eÁ sempre interno al triangolo. L'ortocentro eÁ un punto esterno se il triangolo eÁ ottusangolo. Il baricentro divide ciascuna mediana in due parti congruenti. Se ABC eÁ rettangolo, il circocentro appartiene all'ipotenusa.
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Tema 5 - Cap. 4: LA CIRCONFERENZA E I POLIGONI
303
I concetti e le regole luoghi geometrici Un luogo geometrico eÁ l'insieme di tutti e soli gli oggetti geometrici che hanno una stessa proprietaÁ p; in particolare, si parla di luogo di punti quando gli oggetti sono dei punti. Fra i luoghi di punti ricordiamo: l l'asse di un segmento: luogo dei punti equidistanti dagli estremi del segmento l la bisettrice di un angolo: luogo dei punti equidistanti dai lati dell'angolo.
La circonferenza e il cerchio La circonferenza eÁ il luogo dei punti equidistanti da un punto fisso che si chiama centro; la distanza dal centro comune a tutti i punti eÁ il raggio. Il cerchio eÁ invece il luogo dei punti che hanno distanza dal centro minore o uguale al raggio; esso eÁ quindi la figura convessa che ha come contorno la circonferenza. Queste figure sono le figure simmetriche per eccellenza perche hanno: l un centro di simmetria: il centro della circonferenza l infiniti assi di simmetria: qualunque retta che passa per il centro. Si dimostra poi che per individuare una circonferenza sono necessari e sufficienti tre punti non allineati.
Elementi di una circonferenza In una circonferenza si possono individuare alcuni elementi: l le corde, sono i segmenti che hanno per estremi due punti della circonferenza; la corda che passa per il centro si chiama diametro l gli archi, sono le parti di circonferenza delimitate da due suoi punti l gli angoli al centro, sono gli angoli che hanno il vertice nel centro della circonferenza. Si verifica che: l ad archi congruenti corrispondono corde e angoli al centro rispettivamente congruenti l corde che hanno uguale distanza dal centro sono congruenti e viceversa.
Posizioni reciproche di rette e circonferenze In uno stesso piano, una retta e una circonferenza non possono avere piuÁ di due punti in comune; indicata con la distanza del centro della circonferenza dalla retta e con il raggio si ha che la retta: l e Á secante se < l e Á tangente se l e Á esterna se > Relativamente alle rette tangenti si puoÁ inoltre dire che: l ogni retta tangente e Á perpendicolare al raggio nel punto di tangenza l se da un punto esterno ad una circonferenza si conducono le due rette ad essa tangenti, i segmenti di tangenza sono congruenti e la retta che unisce il punto esterno con il centro eÁ bisettrice dell'angolo formato dalle due tangenti.
Angoli alla circonferenza e angoli al centro Ciascun angolo che ha il vertice sulla circonferenza e per lati due semirette secanti oppure una semiretta secante e l'altra tangente si dice angolo alla circonferenza.
304
Tema 5 - Cap. 4: LA CIRCONFERENZA E I POLIGONI
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Ad ogni angolo alla circonferenza corrisponde un angolo al centro che ha il vertice nel centro della circonferenza e insiste sullo stesso arco su cui insiste . L'angolo al centro eÁ sempre il doppio del corrispondente angolo alla circonferenza; di conseguenza, tutti gli angoli alla circonferenza che insistono sullo stesso arco sono fra loro congruenti. In particolare, angoli che insistono su una semicirconferenza sono retti.
Poligoni inscritti e circoscritti Un poligono si dice: l inscritto in una circonferenza se tutti i suoi vertici sono punti della circonferenza; la circonferenza, a sua volta, si dice circoscritta al poligono. Condizione necessaria e sufficiente affinche un poligono sia inscrittibile in una circonferenza eÁ che gli assi dei suoi lati si intersechino in uno stesso punto che eÁ il centro della circonferenza l circoscritto a una circonferenza se tutti i suoi lati sono tangenti alla circonferenza che, a sua volta, si dice inscritta nel poligono; il raggio della circonferenza eÁ l'apotema del poligono. Condizione necessaria e sufficiente affinche un poligono sia circoscrittibile ad una circonferenza eÁ che le bisettrici dei suoi angoli si intersechino in uno stesso punto che eÁ il centro della circonferenza. Relativamente ai quadrilateri valgono poi le seguenti proprietaÁ: l un quadrilatero e Á inscrittibile in una circonferenza se e solo se gli angoli opposti sono supplementari l un quadrilatero e Á circoscrittibile a una circonferenza se e solo se la somma di due lati opposti eÁ congruente alla somma degli altri due.
Poligoni regolari Un poligono si dice regolare se ha tutti i lati e tutti gli angoli fra loro congruenti. Se un poligono eÁ regolare, allora: l ha tanti assi di simmetria quanti sono i suoi lati l ha un centro di simmetria solo se ha un numero pari di lati l e Á sempre inscrittibile e circoscrittibile a una circonferenza e le due circonferenze inscritta e circoscritta hanno lo stesso centro.
Punti notevoli dei triangoli In ogni triangolo: l gli assi dei lati si intersecano in uno stesso punto chiamato circocentro che e Á il centro della circonferenza circoscritta al triangolo l le bisettrici degli angoli si intersecano in uno stesso punto chiamato incentro che e Á il centro della circonferenza inscritta nel triangolo l le altezze si intersecano in uno stesso punto chiamato ortocentro l le mediane si incontrano in uno stesso punto detto baricentro; il baricentro divide ciascuna mediana in due parti delle quali quella che contiene il vertice eÁ doppia dell'altra. Il triangolo eÁ quindi il solo poligono che eÁ sempre sia inscrittibile che circoscrittibile a una circonferenza.
circocentro
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incentro
ortocentro
baricentro
Tema 5 - Cap. 4: LA CIRCONFERENZA E I POLIGONI
305
ESERCIZI CAPITOLO
Insiemi e funzioni
NSIEMI E RAPPRESENTAZIONE
la teoria eÁ a pag. 11 e 13
1 Tutte le frasi che seguono rappresentano criteri oggettivi per individuare un insieme, tranne una. Individuala e spiega percheÂ. a. I tuoi compagni di scuola il cui cognome inizia per A. b. I fiumi che scorrono in Italia. c. Gli insegnanti giovani della tua scuola. d. Le cittaÁ che distano meno di 50km da Milano. 2 Quali delle seguenti proprietaÁ sono caratteristiche per un insieme? a. Essere capoluogo di provincia in Italia. b. Essere magri. c. Essere un attore che ha vinto un Oscar. d. Essere un compagno allegro. e. Essere cittaÁ italiana il cui nome inizia per R. f. Essere iscritto nelle liste elettorali di un comune. g. Essere un numero naturale piccolo. 3 L'insieme fx j 3 < x < 10g eÁ ben caratterizzato? Motiva la risposta. 4 Per indicare che un elemento a appartiene ad un insieme A si usa la scrittura: a. a A b. a 2 A c. a A d. a 3 A 5 Quali delle seguenti scritture sono corrette per rappresentare l'insieme vuoto? a. 1
b. f1g
c. f0g
d. f g
6 Barra la casella giusta per indicare se i seguenti insiemi sono finiti (F), infiniti (I), vuoti (V). a. I numeri pari. b. I giorni della settimana. c. Gli studenti della tua scuola che hanno superato l'Esame di Stato con un punteggio maggiore di 95. d. Le persone che vanno in vacanza su Marte. e. L'insieme dei punti di una circonferenza. f. L'insieme dei lati di un esagono. g. L'insieme dei numeri dispari maggiori di 5. h. L'insieme dei numeri naturali compresi fra 5 e 200. 7 L'insieme delle lettere della parola terrazze eÁ: a. ft, e, r, r, a, z, z, e g b. ft, e, r, a, z, e g
306
Tema 1 - Cap. 1: INSIEMI E FUNZIONI
c. ft, e, r, a, z g
F
I
V
F
I
V
F
I
V
F
I
V
F
I
V
F
I
V
F
I
V
F
I
V
d. ft, r, z g
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8 In quale dei seguenti casi l'insieme eÁ uguale all'insieme ? a. fSandro, Paolag fPaola, Sandrog b. fx 2 N j 2 x 10g c. A fp, s, r, a, o, z, ig
B fx 2 Q j 2 x 10g
B fx j x eÁ una lettera della parola «spazio»g
9 Dato l'insieme A f4, 8, 12, 16, 20, 24g, indica, fra quelle elencate, la proprietaÁ che caratterizza i suoi elementi: a. x j x eÁ un numero pari b. x j x eÁ un multiplo di 4 minore di 24 c. x j x eÁ un numero pari e multiplo di 4 d. x j x eÁ un numero pari maggiore di 4 e minore di 26 e. x j x eÁ un multiplo di 4 minore di 28 e maggiore o uguale a 4 f. x j x eÁ un multiplo di 4 maggiore di 4 e minore di 28.
10 Stabilisci se le seguenti frasi definiscono un insieme e, in caso affermativo, indica gli elementi che gli appartengono. a. I numeri pari maggiori di 4 e minori di 20. b. Le persone che ti telefoneranno domani. c. I capoluoghi di provincia della Puglia. d. L'insieme delle lettere della parola "libro". 11 Dopo aver stabilito se i seguenti insiemi sono finiti o infiniti, rappresenta per elencazione quelli finiti. a. I numeri naturali maggiori di 10. b. I divisori di 20. c. I multipli di 6. d. I numeri pari compresi tra 14 e 32. e. I numeri dispari divisori di 24. f. I numeri razionali compresi fra 8 e 10. 12 Confronta i tre insiemi A fx j x eÁ una vocale della parola «vuotare»g, B fx j x eÁ una vocale della parola «uova»g e C fx j x eÁ una vocale della parola «nuotare»g. Gli insiemi dati sono tutti uguali? Fra essi ce ne sono di uguali? 13 Stabilisci se gli elementi indicati fanno parte o no degli insiemi specificati, usando il simbolo appropriato. a. Inter, b. Roma,
A fx j x eÁ squadra di calcio italiana di serie Ag
A fx j x eÁ capoluogo di provincia italianog
5, 4 d. Londra,
N fx j x eÁ numero naturaleg
e. balena,
A fx j x eÁ un mammiferog
c.
f.
5,
A fx j x eÁ cittaÁ italianag
Z fx j x eÁ un numero interog.
14 Traduci le seguenti frasi nel linguaggio simbolico degli insiemi: a. Il numero
12 appartiene all'insieme dei numeri interi. p b. Il numero 20 non appartiene all'insieme dei numeri interi.
c. Il numero 2,24 appartiene all'insieme dei numeri razionali. d. Il numero
212 eÁ un numero intero. p e. Il numero 37 non eÁ un numero naturale.
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Tema 1 - Cap. 1: INSIEMI E FUNZIONI
307
Rappresenta i seguenti insiemi nei modi che conosci. 15
ESERCIZIO GUIDA L'insieme dei punti cardinali. l
l
l
Mediante elencazione: fNord, Sud, Est, Ovestg Mediante proprietaÁ caratteristica: fx j x e un punto cardinaleg
Mediante diagramma di Eulero-Venn:
16 L'insieme delle vocali della parola elementare. 17 L'insieme delle lettere della parola vocabolario. 18 L'insieme dei numeri naturali minori di 8. 19 L'insieme dei numeri naturali compresi fra 2 e 14, estremi esclusi. 20 L'insieme dei numeri pari minori di 20. 21 L'insieme dei primi 10 numeri dispari. 22 L'insieme dei numeri primi minori di 30. 23 L'insieme dei primi 10 numeri primi. 24 L'insieme delle note musicali. Rappresenta i seguenti insiemi nel modo piuÁadatto. 25
ESERCIZIO GUIDA L'insieme A dei numeri razionali compresi fra 1 e 2, estremi inclusi. Fra due numeri razionali qualsiasi sono compresi infiniti altri numeri e non eÁ possibile elencarli tutti; la rappresentazione piuÁ adatta eÁ quindi quella mediante la proprietaÁ caratteristica: A fx 2 Q j
1 x 2g
26 L'insieme dei numeri interi maggiori di 15. 27 L'insieme dei numeri naturali compresi fra 10 e 2. 28 L'insieme delle stagioni. 29 L'insieme dei numeri dispari compresi fra 10 e 38. 30 L'insieme delle persone nate in Italia. 31 L'insieme delle ragazze della tua classe. 32 L'insieme dei files contenuti nel disco fisso del tuo computer.
308
Tema 1 - Cap. 1: INSIEMI E FUNZIONI
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33 L'insieme dei libri della biblioteca scolastica. 34 L'insieme degli elefanti rosa. 35
ESERCIZIO GUIDA Elenca gli elementi dei seguenti insiemi e rappresentali poi con un diagramma di Eulero-Venn: a. A fx 2 Z j
5 < x < 8g
b. B fx 2 N j x eÁ un divisore di 30g.
Rappresentiamo per elencazione i due insiemi: A f 4,
3,
2,
1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7g
B f1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 30g Nella rappresentazione grafica dobbiamo tener presente che gli elementi 1, 2, 3, 5, 6 appartengono ad entrambi gli insiemi; dovremo quindi disegnare due linee chiuse che si intersecano e mettere questi elementi nella parte comune. 36 Elenca i primi cinque elementi dei seguenti insiemi: a. fx 2 N j x 5n, con n 2 Ng b. B fx 2 N j x n2 , con n 2 Ng Puoi elencarli tutti? PercheÂ? 37 Rappresenta negli altri modi conosciuti l'insieme A fx 2 N j 0 < x < 5g.
38 Rappresenta in altri modi il seguente insieme A:
39 Qual eÁ la proprietaÁ caratteristica dell'insieme A f3, 6, 9, 12, 15, 18g? 40 Determina la proprietaÁ caratteristica dell'insieme A f1, 2, 5, 10g. 41 Rappresenta l'insieme dei numeri naturali divisibili per 7. Che tipo di insieme eÁ? 42 Rappresenta l'insieme A 1 , 1 , 1 , 1 , 1 con un diagramma di Eulero-Venn; considera poi 4 9 16 25 36 1 l'insieme B x j x 2 con n 2 N e 1 < n < 7 . Cosa deduci confrontando gli insiemi A e B? n
SOTTOINSIEMI DI UN INSIEME
la teoria eÁ a pag. 15
l
l
sottoinsieme A B A B A
A A
B B A
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Tema 1 - Cap. 1: INSIEMI E FUNZIONI
309
43 Un insieme eÁ sottoinsieme proprio di . PuoÁ capitare che: a. qualche elemento di appartiene a ; b. tutti gli elementi di appartengono ad ; c. c'eÁ qualche elemento di che non appartiene ad ; d. c'eÁ qualche elemento di che non appartiene a .
V
F
V
F
V
F
V
F
44 Traduci in simboli le seguenti frasi: a. l'insieme contiene propriamente un insieme ; b. l'insieme C eÁ un sottoinsieme di un insieme A; c. l'insieme A eÁ un sottoinsieme proprio di un insieme D. 45 L'insieme A flunedõÁ, martedõÁ, mercoledõÁg eÁ sottoinsieme di qualche altro insieme B. Scrivi qualche esempio di insieme B e rappresentali graficamente entrambi. 46 Se A e B sono due insiemi tali che A B e B A, che cosa si puoÁ dire di A e B? 47 Se a. b. c.
A fx 2 N j 2 x 6g quali fra i seguenti sono sottoinsiemi di A? B fx 2 N j x e pari e 0 < x < 4g C fx 2 N j 2 < x < 6g D fx 2 Q j 3 x 5g
48 Siano A l'insieme delle consonanti della parola "pino" e B l'insieme delle consonanti della parola "panna". Che cosa puoi dire di A e B? E' corretto affermare che A eÁ sottoinsieme di B? In caso di risposta affermativa, di che tipo di sottoinsieme si tratta? 49 Rappresenta l'insieme A dei numeri naturali compresi tra 5 e 20. Scrivi i sottoinsiemi di A formati dai numeri pari e poi da quelli dispari. Questi sottoinsiemi sono propri o impropri? 50 Dati i seguenti insiemi: A fx j x eÁ una lettera della parola «volare»g; B fx j x eÁ una vocale della parola «asse»g; C fx j x eÁ una lettera della parola «colare»g; indica quali delle seguenti relazioni sono vere: a. A C
b. B A
c. C B.
parig e 51 Rappresenta con un diagramma di Eulero-Venn i due insiemi A fx 2 N j 4 x 50 e x e B fx 2 N j 2 x 51 e x e multiplo di 4g. Dopo aver stabilito se B A, indica quali fra le seguenti scritture sono vere: a. 35 2 A b. 6 2 B c. 16 B d. 4 62 A e. f4, 6g A 52 Dato l'insieme A f1, 3, 5, 7, 9g determina il sottoinsieme i cui elementi sono i numeri pari di A. EÁ un sottoinsieme proprio? 53 Data la retta r e fissato un punto A su di essa, considera l'insieme dei punti di r che seguono A e quello dei punti di r che precedono A. Cosa rappresentano questi insiemi rispetto all'insieme dei punti della retta? 54 Dato l'insieme A fx 2 N j x < 30g, determina i seguenti suoi sottoinsiemi: a. i numeri pari b. i numeri dispari c. i multipli di 5. 55 Dato l'insieme A f1, 2, 3g, scrivi tutti i suoi sottoinsiemi propri ed impropri. 56 Scrivi tutti i sottoinsiemi di A fa, e, i, o, ug formati da tre elementi.
310
Tema 1 - Cap. 1: INSIEMI E FUNZIONI
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57 Dati gli insiemi fbianco, rosso, verde, giallog, fbianco, rossog, C fverdeg, stabilisci quali delle seguenti scritture sono corrette, e correggi poi quelle scritte in maniera errata: a. B 2 A
b. bianco A
d. rosso 2 A
e. fbiancog A
c. C A
f. fbianco, rossog 2 A
58 Considera l'insieme A fa, b, c, d g; quali delle seguenti affermazioni sono vere e quali false? Motiva la tua risposta: V F a. a 2 A V F b. d A V F c. 1 A V F d. A fa, b, c, dg V F e. fag A 59 Verifica, usando i diagrammi di Eulero-Venn, che se A B e B C, allora A C. 60 Dati gli insiemi A fa, b, c, dg, B fb, c, e, f g, C fa, b, cg, stabilisci quali delle seguenti scritture sono vere e quali sono false: a. A B b. A C c. C A d. B A e. 1 B f. fcg A. 61 Considera gli insiemi: A f1, 2, 3, 4g, B f1, 2g, C f2, 5g, quali delle seguenti affermazioni sono vere e quali false? Motiva la tua risposta. V F a. A B V F b. B C V F c. B C V F d. B A V F e. C 6 A 62 Considera gli insiemi A e B che seguono e stabilisci quale delle seguenti relazioni eÁ verificata:
¬ A B,
A B,
® A B,
¯ A B,
° A B,
± A 6 B.
a. A fx j x eÁ una lettera della parola videog
B fx j x eÁ una lettera della parola doveg
c. A fx j x eÁ un numero dispari minore di 15g
B fx j x eÁ un numero pari minore di 16g
b. A fx j x eÁ un numero naturale divisore di 60g B fx j x eÁ un numero naturale divisore di 30g
d. A fx j x eÁ una vocale della parola melog
B fx j x eÁ una vocale della parola velog
LE OPERAZIONI CON GLI INSIEMI
la teoria eÁ a pag. 16
l
Intersezione: A \ B A B
l
Unione: A [ B A B
l
Differenza: A B A B complementare B A BA B A A B C A B
l
la partizione A A A
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Tema 1 - Cap. 1: INSIEMI E FUNZIONI
63 Se , allora eÁ un sottoinsieme di . E' vera o falsa questa affermazione? Giustifica la tua risposta. 64 Di due insiemi e si sa che e . Quale fra le seguenti scritture eÁ esatta? a.
b.
c.
d.
65 Se f2, 16, 24g, f2, 8, 16g, C f2, 8, 16, 24g, quali fra le seguenti relazioni sono corrette? a. B \ C B
b. A [
B \ C B
66 Se A B A, puoi dire che: a. A B b. A [ B B
c. B [ C C
d.
A \ B C
c. A \ B 1
d. A B
67 Dati i seguenti insiemi: a. fx 2 N j x < 5g
b. fx 2 N j 7 x < 20g
c. fx 2 N j x 5g
scegli fra i seguenti i loro complementari rispetto a N:
¬ fx 2 N j x < 7 e x > 20g ¯ f x 2 N j x 5g
fx 2 N j x < 7 e x 20g ° fx 2 N j x < 12g
d. fx 2 N j x 12g
® f x 2 N j x > 5g ± fx 2 N j x 12g
68 Qualunque siano gli insiemi A e B, entrambi sottoinsiemi di un insieme universo U, l'insieme definito dall'operazione A [ B eÁ uguale all'insieme definito dalla relazione: a. A \ B
b. A [ B
c. A \ B
d. A [ B
69 Qualunque siano gli insiemi A e B, entrambi sottoinsiemi di un insieme universo U, l'insieme definito dall'operazione A \ B eÁ uguale all'insieme definito dalla relazione: a. A [ B
b. A [ B
c. A \ B
d. A [ B
70 Considerato l'insieme A dei laghi italiani, siano Bi i sottoinsiemi di A in ciascuno dei quali poniamo i laghi che appartengono alla stessa regione. Spiega perche i Bi non costituiscono una partizione di A.
71
ESERCIZIO GUIDA Sia A fx 2 Z j 5 x < 12g e siano B fx 2 Z j C fx 2 Z j 0 < x 7g; calcola: a. B \ C
b. B [ C
c. C A B
2 x < 5g,
d. C A C
Gli insiemi B e C sono sottoinsiemi di A; per facilitare l'individuazione degli elementi che appartengono agli insiemi richiesti, costruiamo un diagramma di Eulero-Venn: a. B \ C fx 2 Z j 1 x 4g b. B [ C fx 2 Z j
2 x 7g
c. Il complementare di B eÁ: C A B f 5, d. Il complementare di C eÁ: C A C f 5,
4, 4,
3, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11g 3,
2,
1, 0, 8, 9, 10, 11g
72 Trova in N il complementare dei numeri dispari. 73 Dati N e l'insieme A fx 2 N j x < 10g, trova il complementare di A rispetto ad N.
Tema 1 - Cap. 1: INSIEMI E FUNZIONI
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74 Considera gli insiemi fx j x eÁ una lettera della parola agricoltoreg e B fx j x eÁ una lettera della parola agricolturag; determina, aiutandoti anche con un diagramma di Eulero-Venn, l'insieme unione e l'insieme intersezione. 75 Dati gli insiemi A f1, 3, 4, 7, 9g, B f1, 4, 7g, C f3, 5, 6, 8, 9g, determina a. A [ B
b. A [ B [ C
c. A \ B
d. A \ C
e. B \ C
76 Dati gli insiemi A f0, 1, 2, 3, 4, 5g e B f3, 5, 7, 9g, indica la loro proprietaÁ caratteristica, rappresenta i due insiemi con un diagramma di Eulero-Venn e calcola A \ B. 77 Dati gli insiemi A fx 2 Z j 28 x 50g e B fx 2 Z j 32 < x 53g, calcola A \ B e rappresentalo mediante la proprietaÁ caratteristica dei suoi elementi. 78 Dati gli insiemi A fa, b, d, eg e B fb, e, f , rg rappresenta i due insiemi con un diagramma di Eulero-Venn e calcola A [ B. 79 Dati gli insiemi A fx 2 N j 2 x 100g e B fx 2 N j 50 x < 200g, calcola A [ B e rappresentalo mediante la proprietaÁ caratteristica. 80 Dati A fx j x eÁ una lettera della parola «Alberto»g e B fx j x eÁ una lettera della parola «tasse»g, calcola la loro intersezione e la loro unione. 81 Sia A fx j x eÁ un abitante di Rietig e B fx j x eÁ un abitante del Laziog, rappresenta A [ B e A \ B. 82 Dati A f4, 5, 6, 7g, B {2, 3, 4, 7g e C f5, 6g, rappresenta nei modi che conosci A [
B [ C, A \
B [ C, B [
A \ C,
A \ B \ C. 83 Rappresenta con un diagramma di Eulero-Venn almeno una possibilitaÁ nella quale fra gli insiemi A, B, C valgano le seguenti relazioni: a. B A
B 6 C
c. A C
A[B C
b. A 6 C
B 6 C
B \ C 6 1
84 Dati A fx 2 N j x eÁ un numero parig, B fx 2 N j x eÁ un multiplo di 4g e C fx 2 N j x eÁ un multiplo di 3g rappresenta: a. A \ B b. A [ B c. A [
B \ C d. A \ B \ C 85 Considera l'insieme A fx 2 N j 4 < x < 30g e i sottoinsiemi B e C formati rispettivamente dai multipli di 4 e di 6. Rappresenta B [ C e B \ C. 86 Dati A fx 2 N j x eÁ un numero pari minore di 10g e B fx 2 N j x eÁ un divisore di 7g, determina la loro unione e la loro intersezione. 87 Dati A fx j x eÁ un ragazzo della tua classe piuÁ alto di Mariog, B fx j x eÁ un ragazzo della tua classe piuÁ basso di Mariog, quali delle seguenti scritture eÁ corretta? a. A \ B fMariog
b. A \ B 1
88 Sia A l'insieme degli alunni delle classi prime della tua scuola; indica con B l'insieme dei ragazzi della scuola che praticano almeno uno sport e con C quello dei ragazzi che hanno la sufficienza in matematica. Stabilisci che cosa rappresentano i seguenti insiemi: a. A \ B b. B \ C c. A \
B [ C d. A \
B \ C 89 Dati gli insiemi: A fx 2 N j x < 6g a. A \ B
b. A [
B \ C
d.
A [ C \ B
e. A \ B
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B f0, 2, 8, 16g
C f1, 2, 3g,
calcola:
c.
A \ C [ B
f. A [ B Tema 1 - Cap. 1: INSIEMI E FUNZIONI
90 Dati f3, 4, 5g, f4, 6g, C f8g, D f3, 4, 5, 8, 9g, E 1, F N (N insieme dei numeri naturali), ricopia le seguenti tabelle sul quaderno e completa, scrivendo gli elementi degli insiemi richiesti: \
91
A
B
C
D
E
F
[
A
A
B
B
C
C
D
D
E
E
F
F
A
B
C
D
E
F
ESERCIZIO GUIDA Dati gli insiemi A fx 2 N j 2 x < 8g e B fx 2 N j 5 x 9g, calcoliamo A Elenchiamo gli elementi dei due insiemi: Dunque: A B
B f2, 3, 4g
A f8, 9g
A f2, 3, 4, 5, 6, 7g
BeB
A.
B f5, 6, 7, 8, 9g.
da A abbiamo tolto gli elementi 5, 6, 7 che appartengono anche a B. da B abbiamo tolto gli elementi 5, 6, 7 che appartengono anche a A.
92 Dati gli insiemi A delle carte di fiori di un mazzo da gioco e B delle figure dello stesso mazzo, calcola e rappresenta con un diagramma di Eulero-Venn gli insiemi A B e B A. 93 Sia P l'insieme dei numeri pari e M l'insieme dei multipli di 3. Quali sono gli elementi di P
M e di M
P?
94 Sia A l'insieme dei numeri pari minori di 20 e B l'insieme dei multipli di 4 minori di 30. Calcola e rappresenta nel modo che preferisci gli insiemi A B e B A. 95 Sia A l'insieme delle persone di nazionalitaÁ italiana e sia B l'insieme delle persone residenti in Calabria. Dopo aver calcolato A B, specifica se l'insieme ottenuto eÁ il complementare di B rispetto ad A. 96 Dato l'insieme A f3, 8, 9, 14, 15, 18g ed il sottoinsieme B di A dei multipli di 2, calcola A
B.
97 Dimostra, servendoti dei diagrammi di Eulero-Venn, che, qualunque siano gli insiemi A e B, A
A B A \ B. 98 Scegli fra quelle indicate l'operazione che individua la parte evidenziata:
314
a.
¬ A\B
A[B
b.
¬ B\C
B [ C
c.
¬ A
A
B \ C
Tema 1 - Cap. 1: INSIEMI E FUNZIONI
® A
B
¯ B
A
A [ C
A
®
B \ C
A
¯ B
B [ C
®
B [ C
A
¯
A [ B
C
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99 Dati fx j x eÁ un triangolog, B fx j x eÁ un triangolo isosceleg, C fx j x eÁ un triangolo rettangolog, scrivi la proprietaÁ caratteristica che definisce i seguenti insiemi e poi rappresentali con un diagramma di Eulero-Venn: a. A \ B
b. A [ B
c.
A [ B \ C
d.
A \ B \ C
e. A [ B [ C
100 Considerando come insieme ambiente quello delle carte da gioco, siano: A l'insieme i cui elementi sono individuati dalla proprietaÁ caratteristica p : «essere una figura», B l'insieme i cui elementi sono individuati dalla proprietaÁ caratteristica q : «essere una figura di cuori», C l'insieme i cui elementi sono individuati dalla proprietaÁ caratteristica r : «essere una carta di fiori». Dopo aver rappresentato i tre insiemi con un diagramma di Eulero-Venn calcola: a. A \ B
b. A [ B
c. A \ C
d. A \ B \ C
e. C
f. A
A
B
parig, C fx 2 N j 2 x 15g, scrivi le pro101 Dati A fx 2 N j x < 12g, B fx 2 N j x 12 e x e prietaÁ caratteristiche che definiscono i seguenti insiemi: a.
A [ B [ C
b.
A \ B [ C
c. A \
B [ C
a. 9 2 A [ B
b. B C
c. 5 2 A \ B
Dopo averli rappresentati per elencazione, indica quali delle seguenti scritture sono vere: d. B
A \ B [ C
a: V; b: F; c: F; d: V
102 Traduci in simboli le parti tratteggiate dei seguenti diagrammi di Eulero-Venn:
a.
b.
c.
d.
103 Considera il diagramma della figura; dopo aver riprodotto il disegno sul tuo quaderno colora la parte che rappresenta: a.
A [ B
d.
A \ C
C B
b.
A \ C [ A e. C B
C \ B
c.
C [ B
C
f.
A [ B [ C
104 Indicati con E l'insieme dei punti evidenziati in figura, con H l'insieme dei punti della retta r e con K quelli della retta s, descrivi con linguaggio insiemistico la figura indicata. 105 Dati A e B con A B, completa le seguenti uguaglianze: a. A [ A :::::::::::::
b. B :::::::::::::
c. A \ A :::::::::::::
d. A :::::::::::::
dove con il simbolo A si intende il complementare del complementare di A.
e. 1 :::::::::::::
106 Sono dati l'insieme N ed il suo sottoinsieme P dei numeri pari. Completa le seguenti uguaglianze: a. P [ N :::::
b. P \ N :::::
c.
P \ N \ P :::::
d.
P \ P [ N :::::
e.
P \ P [ 1 :::::
f.
P [ P \ N :::::
g.
P [ P [ 1 :::::
h.
P [ N [ P :::::
107 Sono dati gli insiemi A fx 2 N j x 10g, B fx 2 N j 7 x 12g; su un insieme C si hanno poi le seguenti informazioni: B \ C f7, 8g, C B f5, 6g. Determina gli elementi degli insiemi: a. C
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b. A \ C
c. B [ C
Tema 1 - Cap. 1: INSIEMI E FUNZIONI
315
108 Sia ! fx 2 N j 4 x 40g e siano A e B i sottoinsiemi di U costituiti rispettivamente dai numeri pari e dai numeri dispari. Determina e rappresenta: a. C U A
b. C U B
d. C U
A [ B
e. U
A
c. C U
A \ B f. U
B
Fra gli insiemi individuati ce ne sono di uguali? 109 Se A eÁ un insieme formato da 7 elementi e B eÁ formato da 8 elementi, puoi dire da quanti elementi eÁ formato A [ B ? Per effettuare questo calcolo eÁ corretto addizionare il numero degli elementi di A con quelli di B ? Costruisci degli esempi appropriati. 110 Di tre insiemi A, B, C si sa che hanno rispettivamente 25, 24 e 18 elementi; si sa inoltre che A \ B ne ha 12, che B \ C ne ha 8, che A \ C ne ha 3 e che A [ B [ C ne ha 47. Qual eÁ il numero di elementi di 3 A \ B \ C?
APPROFONDIMENTI 111
ESERCIZIO GUIDA Dato l'insieme I fx 2 N j 0 x 10g, considera gli insiemi S1 fx j x eÁ un numero naturale pari 10g ed S2 fx j x eÁ un numero naturale dispari < 10g. In che relazione stanno con I questi due insiemi? Costituiscono una sua partizione? Riscriviamo gli insiemi dati in forma estensiva per vedere meglio i loro elementi, allora I f0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10g; S1 f0, 2, 4, 6, 8, 10g ed S2 f1, 3, 5, 7, 9g.
Osservandoli possiamo concludere che S1 e S2 sono sottoinsiemi propri di I. Inoltre, poiche sono disgiunti e la loro unione eÁ I stesso, essi ne costituiscono una partizione. 112 Data una retta r e due suoi punti, come puoi costruire una partizione dell'insieme formato dai punti di r ? 113 Indica almeno un modo per operare una partizione dei seguenti insiemi: a. insieme delle carte da gioco b. insieme dei numeri di telefono dei tuoi conoscenti c. insieme degli studenti di una scuola d. insieme dei cittadini italiani e. insieme dei libri di testo scolastici.
114 Stabilisci se i sottoinsiemi S1 fx 2 N j 30 x 50g ed S2 fx 2 N j x 30g costituiscono una partizione dell'insieme I fx 2 N j x 50g. Motiva la risposta. 115 Dato l'insieme T fx j x eÁ un poligono di tre latig, considera i tre sottoinsiemi formati dai triangoli ottusangoli, dai triangoli acutangoli e dai triangoli rettangoli. Hai costruito una partizione di T ?
IL PRODOTTO CARTESIANO FRA INSIEMI
la teoria eÁ a pag. 22
l
prodotto cartesiano A B A B A B
316
Tema 1 - Cap. 1: INSIEMI E FUNZIONI
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116 Dati gli insiemi e non vuoti, definisci l'insieme C A B; se a eÁ un elemento dell'insieme A e b eÁ un elemento dell'insieme B, indica quali fra le seguenti scritture sono corrette: a. A C
b.
a, b 2 C
c.
a, b C
d. f
a, bg C
e.
a, b 2 A \ B
f.
a, b 2 A [ B
117 Sia A fx 2 N j x 4g, dell'insieme A2 si puoÁ dire che: a. b. c. d.
eÁ l'insieme f0, 1, 4, 9, 16g definisce il prodotto cartesiano A A ha 16 elementi ha 25 elementi.
V
F
V
F
V
F
V
F
118 Il prodotto cartesiano A B eÁ l'insieme vuoto se: a. entrambi gli insiemi A e B sono vuoti b. almeno uno dei due insiemi eÁ vuoto c. uno dei due insiemi ha come unico elemento il numero zero d. almeno uno dei due insiemi ha fra i suoi elementi il numero zero. Ci sono risposte corrette fra quelle date? Se sõÁ, quali? 119 Se gli elementi di A B sono 54 e quelli di B 2 sono 81, da quanti elementi eÁ formato l'insieme A? a. 6 b. 8 c. 9 d. non si puoÁ stabilire. 120 Se ad un torneo di calcio partecipano quattro squadre, il numero degli incontri, fra le gare di andata e quelle di ritorno, eÁ: a. 6
b. 12
c. 15
d. 8
121 Esistono casi in cui A B B A? Se sõÁ, quali?
122
ESERCIZIO GUIDA Dati gli insiemi A f1, 2g e B f 3, 8g, determina il loro prodotto cartesiano completando il diagramma in figura, ed elenca gli elementi di tale prodotto. Per elencare gli elementi di A B, il primo elemento della coppia deve appartenere ad A, il secondo a B: (1, .....) (....., .....) (2, .....) (....., .....)
123 Dati A f4, 5, 7g e B f2, 4, 5, 6, 7g calcola A B e rappresentalo nei modi che conosci. 124 Dati gli insiemi A dei multipli di 3 minori di 16 e B dei divisori di 8, dopo aver rappresentato i due insiemi nel modo che ritieni piuÁ opportuno, verifica che A B 6 B A. 125 Dato A B f
a, 7,
b, 7g, scrivi l'insieme A e l'insieme B. 126 Dati A fx j x eÁ un multiplo di 5 e x < 4g e B fx j x eÁ dispari e x < 7g, calcola A B. 127 a. Dati A fx, yg e B ft, vg calcola A B e conta gli elementi che lo formano. b. Dati C fxg e D fa, b, cg calcola C D e conta gli elementi che lo formano. c. Conta gli elementi di A B dell'esercizio 123. Cosa puoi dedurre da questi tre esempi? C'eÁ una relazione fra il numero degli elementi di A e di B e quello degli elementi di A B ? Q ISTITUTO ITALIANO EDIZIONI ATLAS
Tema 1 - Cap. 1: INSIEMI E FUNZIONI
317
128 Se ha 5 elementi, da quanti elementi possono essere costituiti e ? (Suggerimento: pensa in quanti modi puoi ottenere 5 come prodotto di due fattori) 129 Se ha 6 elementi, che cosa si puoÁ dire di e di ? 130 Dato f(Carlo, Lucia), (Carlo, Anna), (Mario, Lucia), (Mario, Anna), (Beppe, Lucia), (Beppe, Anna)g, determina e . 131 Dato l'insieme fx 2 N j x eÁ dispari e x < 10g, calcola A2 . 132 Dati gli insiemi A fx 2 N j x eÁ pari e x 20g, B fx 2 N j x eÁ divisibile per 4 e x 20g, e C f1, 2g, calcola
A \ B C e
A [ B C. 133 Dati gli insiemi A f3, 4, 5g, B f3, 4g, C f2, 6g, calcola: a. C
A \ B
b.
A
B
A \ C
c.
A
B
A \ B
PROBLEMI CON GLI INSIEMI
d. C
A [ B la teoria eÁ a pag. 24
134
ESERCIZIO GUIDA In una classe di 20 alunni, 10 amano la matematica, 14 amano l'italiano. Di essi 8 amano entrambe le materie. Servendoti dei diagrammi di Eulero-Venn, calcola quanti non amano ne l'italiano ne la matematica. Per rispondere a tale domanda, visualizziamo la situazione con un diagramma di Eulero-Venn. Se gli alunni che amano la matematica sono 10 e di questi 8 amano anche l'italiano, allora gli alunni che amano solo la matematica sono 2. Analogamente quelli che amano solo l'italiano sono 14 8, cioeÁ 6. Gli alunni che amano la matematica o l'italiano sono 16, cioeÁ gli elementi di M [ I, allora sottraendo questo numero da quello degli alunni che fanno parte della classe, otteniamo 4 che eÁ la soluzione del problema.
135 Ad una festa di compleanno partecipano 35 ragazzi. Di questi 18 bevono spremuta di pompelmo e 20 bevono aranciata. Fra questi 10 bevono entrambe le bibite. Visualizza la situazione mediante i diagram7 mi di Eulero-Venn e deduci quanti ragazzi non hanno bevuto alcuna delle due bibite. 136 Una scuola media superiore organizza due corsi di recupero, il primo di inglese a cui partecipano 30 studenti, il secondo di matematica a cui partecipano 36 alunni. Qual eÁ il numero totale degli alunni sa50 pendo che tali corsi si svolgono in orari diversi e che 16 alunni li frequentano entrambi? 137 Ad una festa ci sono 21 ragazze, di esse 6 indossano jeans, 9 calzano le ballerine, 8 non indossano jeans 2 e nemmeno calzano le ballerine. Quante ragazze indossano i jeans con le ballerine? 138 Un gruppo di 25 turisti viene sorpreso da un violento acquazzone durante un'escursione; 5 di essi hanno una mantella impermeabile ma non l'ombrello, 8 hanno solo l'ombrello e 10 non hanno ne l'una ne l'altro. Quanti turisti sono stati cosõÁ previdenti da portare sia la mantella impermeabile che l'ombrello? 2
139 Dei commessi di un grande negozio di abbigliamento, 15 sono addetti al reparto femminile, 14 a quello 24 maschile e 5 possono servire in entrambi i reparti. Quanti sono in totale i commessi?
318
Tema 1 - Cap. 1: INSIEMI E FUNZIONI
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140 Da un'indagine compiuta tra i ragazzi di etaÁ compresa fra i 15 e i 18 anni eÁ risultato che il 10% non ha il cellulare, il 60% ha un cellulare di tipo , il 42% ha un cellulare di tipo . Se i ragazzi intervistati sono 180 1 500, quanti hanno due cellulari? 141
ESERCIZIO GUIDA Alla festa dell'uva che si tiene ogni anno nella piazza di un paese ci sono gare e divertimenti per tutti. Quelli che attraggono maggiormente le persone sono la corsa nei sacchi, il tiro con l'arco, l'albero della cuccagna. Si sa che: l
in piazza sono arrivate 4000 persone
l
200 persone si sono cimentate in tutte e tre le gare
l
60 hanno solo tirato con l'arco
l
320 hanno fatto solo la corsa nei sacchi
l
300 hanno fatto solo la corsa nei sacchi e sono saliti sull'albero della cuccagna
l
in 300 hanno tirato con l'arco e sono saliti sull'albero della cuccagna
l
l'albero della cuccagna eÁ quello che ha avuto il successo maggiore, con 1400 persone
l
complessivamente 410 persone hanno tirato con l'arco.
Ci chiediamo: a. quante persone hanno fatto la corsa nei sacchi b. quante hanno fatto una sola gara c. quante persone non hanno fatto gare d. quante hanno fatto almeno due gare. Indichiamo con l'insieme delle persone che hanno fatto la corsa nei sacchi, con l'insieme di quelle che hanno tirato con l'arco, con C l'insieme di coloro che sono saliti sull'albero della cuccagna. Con riferimento alla figura, indichiamo in ogni zona il numero di persone che vi appartegono e che si possono dedurre dai dati del problema: l
200 eÁ il numero di elementi di A B C
l
60 eÁ il numero di elementi che fanno parte solo di B e non anche di altri insiemi
l
320 eÁ il numero di elementi che fanno parte solo di A e non anche di altri insiemi
l
l
l
l
l
Se 300 hanno fatto solo corsa nei sacchi e albero della cuccagna, scriviamo 300 nella zona rappresentata da A C B. Se complessivamente 300 persone hanno tirato con l'arco e sono saliti sull'albero della cuccagna, allora B C ha 300 elementi e quindi sono 100 le persone che appartengono a B C A 1400 sono saliti sull'albero della cuccagna, quindi nella zona che riguarda solo C e non gli altri due insiemi dobbiamo inserire 1400 300 200 100 800 elementi Analogamente, se 410 persone complessivamente hanno tirato con l'arco, ce ne saranno 410
60 100 200 50 che appartengono alla zona definita da
A \ B C
Da ultimo, se 4000 persone sono andate in piazza, quelli che non hanno fatto gare dei tre tipi sono 4000 meno la somma di tutti i valori inseriti nelle diverse zone, cioeÁ 2170.
Puoi adesso rispondere alle domande.
a: 870; b: 1180; c: 2170; d: 650
142 La maggior parte dei 1400 alunni di una scuola frequenta abitualmente la palestra, la biblioteca e l'aula computer. Di essi si sa che: l 150 hanno frequentato tutti e tre i locali, l 180 hanno frequentato aula computer e palestra, Q ISTITUTO ITALIANO EDIZIONI ATLAS
Tema 1 - Cap. 1: INSIEMI E FUNZIONI
319
240 hanno frequentato aula computer e biblioteca, 250 hanno frequentato palestra e biblioteca, l 650 hanno frequentato l'aula computer, l 400 hanno frequentato la palestra, l 350 hanno frequentato la biblioteca. Rappresenta la situazione con un diagramma di Eulero-Venn e stabilisci: a. quanti alunni non hanno frequentato alcuna delle tre sale b. quanti hanno frequentato solo la palestra c. quanti hanno frequentato solo l'aula computer. l l
520, 120, 380
143 Un fornitore di merende ad una scuola di 300 alunni effettua una indagine per stabilire quale merce deve preparare. Egli trova che abitualmente: l 70 prendono il panino al prosciutto l 90 prendono il panino al salame l 100 prendono la brioche l 40 prendono sia il panino al prosciutto che quello al salame l 30 prendono sia il panino al prosciutto che la brioche l 35 prendono sia il panino al salame che la brioche l 10 prendono tutte e tre le merende. Calcola: a. quanti alunni mangiano solo il panino al prosciutto b. quanti alunni mangiano solo il panino al salame 10, 25, 45 c. quanti mangiano solo la brioche. 144 Da un sondaggio effettuato sui 1200 studenti di una scuola eÁ emerso che gli sport maggiormente seguiti sono calcio, pallavolo e pallacanestro. l 320 seguono tutti e tre gli sport l 440 si interessano di pallacanestro e pallavolo l 360 seguono calcio e pallavolo l 400 seguono calcio e pallacanestro l 40 si interessano solo di calcio l 500 seguono pallavolo l 600 seguono pallacanestro. Determina quanti ragazzi seguono solo pallacanestro e quanti solo pallavolo. Quanti ragazzi si interessano di calcio e di pallacanestro ma non di pallavolo e quanti infine non hanno interesse verso nessuna 80, 20, 80, 500 di queste attivitaÁ sportive. 145 Da una indagine statistica condotta su un campione di 1000 famiglie circa le loro vacanze in un particolare anno eÁ risultato che 300 sono state solo al mare in Italia, 100 solo in montagna in Italia, 430 hanno fatto viaggi all'estero, 130 sono state sia al mare che in montagna che all'estero, 20 sono state al mare e all'estero ma non in montagna, 50 all'estero e in montagna ma non al mare, 60 al mare e in montagna ma non all'estero. Stabilisci: a. quante famiglie non sono andate in vacanza b. quante sono state complessivamente al mare o in montagna a: 110; b: 660; c: 790 c. quante non hanno fatto vacanze in Italia in montagna.
LE FUNZIONI
la teoria eÁ a pag. 26
l
f A B funzione corrispondenza univoca f
320
Tema 1 - Cap. 1: INSIEMI E FUNZIONI
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l
f
corrispondenza biunivoca
146 Una funzione eÁ una relazione fra due insiemi e che: a. ad un elemento di associa un elemento di b. ad un elemento di associa un solo elemento di c. ad ogni elemento di associa uno ed un solo elemento di d. ad ogni elemento di associa almeno un elemento di . 147 Rappresentano una funzione: a. le corrispondenze biunivoche b. le corrispondenze molti a uno che esauriscono l'insieme di partenza c. le corrispondenze univoche d. le corrispondenze molti a molti che esauriscono l'insieme di partenza. 148 Data una relazione R , la sua inversa R 1 eÁ certamente una funzione se: a. R eÁ una corrispondenza univoca b. R eÁ una corrispondenza biunivoca c. R eÁ una corrispondenza uno a molti d. R eÁ una corrispondenza molti a molti. 149 Di una funzione f : A B si sa che eÁ invertibile; si puoÁ dire che: a. tutti gli elementi di B hanno piuÁ di una controimmagine in A b. tutti gli elementi di B hanno una sola controimmagine in A c. f A B e f 1 B A d. f A B.
V
F
V
F
V
F
V
F
150 Date le funzioni g : x ! x 1 e h : x ! x 2 , la funzione f g h ha espressione: a.
x 12
b. x 2 1
c. x 2
x 1
d. x 2 x 1
151
ESERCIZIO GUIDA Individua quali fra le seguenti proposizioni aperte esprimono delle funzioni indicandone il dominio e il codominio: a. «y eÁ la metaÁ di x» con x, y 2 Q b. «y eÁ l'importo delle tasse che x deve pagare» con x che appartiene all'insieme dei contribuenti e y2Q c. «y eÁ multiplo di x» con x, y 2 N d. «x eÁ la capitale di y» con x che appartiene all'insieme delle cittaÁ europee e y che appartiene all'insieme degli Stati europei. a. Ogni numero razionale x ha una sola metaÁ y e ogni numero y eÁ il corrispondente di un solo x; si tratta quindi di una funzione che ha come dominio Q e come codominio Q. b. Ogni contribuente deve pagare la sua tassa; ci possono essere piuÁ persone che pagano uguali importi e anche persone che non pagano nulla. Si tratta comunque di una funzione che ha come dominio l'insieme dei contribuenti e come codominio un sottoinsieme di Q. c. Ogni numero x ha infiniti multipli e questa relazione non eÁ quindi una funzione. d. Non tutte le cittaÁ europee sono capitali dello Stato a cui appartengono; anche questa relazione non eÁ una funzione.
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Tema 1 - Cap. 1: INSIEMI E FUNZIONI
152 Osserva i diagrammi delle seguenti figure. Quali fra le corrispondenze rappresentate sono funzioni?
153 Osserva la funzione rappresentata nella figura. Qual eÁ l'immagine di 1? E di 3? Qual eÁ la controimmagine di 6?
154 Osserva la figura. Elenca le coppie della corrispondenza. Si tratta di una funzione? PercheÂ?
155 Nell'insieme fx 2 N j 0 < x 8g eÁ definita la corrispondenza rappresentata nel seguente diagramma cartesiano. Dopo aver verificato che si tratta di una funzione stabilisci: a. qual eÁ l'immagine di 5 b. quali sono le controimmagini di 4 c. esistono elementi che non hanno controimmagini?
Trova il dominio delle seguenti funzioni, dove si suppone che x e y appartengano agli insiemi indicati. 156
ESERCIZIO GUIDA a. y x 2
con x, y 2 N
b. y x
2
con x, y 2 N
c. y
1 x
con x, y 2 Q
a. La funzione associa ad ogni numero naturale il suo quadrato. Poiche di ogni numero si puoÁ determinare il quadrato, che eÁ ancora un numero naturale, il dominio eÁ l'insieme N b. Affinche la sottrazione tra x e 2 dia come risultato un numero naturale, la variabile x deve assumere valori maggiori o uguali a 2; il dominio di questa funzione eÁ quindi l'insieme A fx 2 N j x 2g 1 indica il reciproco del numero x; poiche ogni numero ha un reciproco, tranne lo x zero, il dominio di questa funzione eÁ l'insieme A fx 2 Q j x 6 0g.
c. L'espressione
157 a. y x 2 1
x, y 2 Z
158 a. y x 4
x, y 2 N
b. y
x x
1
x, y 2 Q
b. y x
5
x, y 2 N
Tema 1 - Cap. 1: INSIEMI E FUNZIONI
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Per ognuno degli esercizi che seguono, dato l'insieme A, dominio della funzione f indicata, determina il codominio. 159
ESERCIZIO GUIDA A f1, 2, 3g
f
x 3x 1,
x2A
Se x vale 1, il corrispondente valore y vale
3 1 1, cioeÁ 4 Se x vale 2, y vale 7.
Se x vale 3, y vale 10. Il codominio eÁ dunque l'insieme f4, 7, 10g. 1 x 2
160 A f0, 2, 4, 6g
f
x
161 A f 3,
2, 0, 5, 6g
f
x x 1,
162 A f 2,
1, 0, 1, 2g
f
x
x2A x2A
1 2 x 3, 2
f
x 2x 2
163 A f0, 1, 2, 3, 4g
4,
1,
x2A x2A
Per ognuna delle figure degli esercizi che seguono, determina quali rappresentano funzioni; individua poi quali sono invertibili. 164
ESERCIZIO GUIDA Si tratta di una funzione perche da ogni elemento di A esce un solo arco verso un elemento di B. La corrispondenza non eÁ peroÁ biunivoca (c'eÁ un elemento in B a cui non arrivano archi), quindi la funzione non eÁ invertibile.
165
166
167
168
169
170
171 Rappresenta con un diagramma cartesiano le seguenti funzioni: a. y 2x
1
b. y x 2
c. y 7
x
con x 2 A, y 2 B, A fx 2 N j 2 x 5g, B fy 2 N j 0 y 10g
con x 2 A, y 2 B, A fx 2 N j 0 x 3g, B fy 2 N j 0 y 5g
con x 2 A, y 2 B, A fx 2 N j 0 x 5g, B fy 2 N j 2 y 7g
172 Una relazione tra due insiemi A e B definisce le coppie
x1 , y1 e
x2 , y2 con y1 6 y2 e x1 x2 ; si tratta di una funzione? PercheÂ? Q ISTITUTO ITALIANO EDIZIONI ATLAS
Tema 1 - Cap. 1: INSIEMI E FUNZIONI
173 Data la funzione f : N f0g ! Z espressa dalla relazione matematica y i seguenti elementi hanno delle immagini ed eventualmente quali sono: a. x 1 f
x ::::: b. x 2 f
x ::::: c. x 3 f
x ::::: d. x 5 f
x ::::: e. x 8 f
x ::::: f. x 10 f
x :::::
x 2
5 x
, stabilisci quali fra
174 Considera l'insieme delle seguenti coppie ordinate
x, y e verifica che la corrispondenza che associa x a y eÁ una funzione: f
0, 3,
1, 5,
2, 7,
3, 9,
4, 11,
5, 13, :::::g
Sai trovare l'espressione y f
x che esprime y in funzione di x ? 175
ESERCIZIO GUIDA La relazione che associa ad ogni punto di una circonferenza la sua proiezione su una retta r ad essa esterna eÁ una funzione? Di che tipo? Osserva che ad ogni punto sulla circonferenza, tracciando la perpendicolare a r, corrisponde un solo punto sulla retta, ma che ad un punto sulla retta corrispondono due punti sulla circonferenza o nessun punto, quindi .................
176
ESERCIZIO GUIDA Sono date le funzioni f che ad ogni numero razionale associa il suo doppio e g che ad ogni numero razionale associa il suo quadrato. Costruiamo le funzioni f g e g f . La funzione f associa ad ogni x il suo doppio:
La funzione g associa ad ogni x il suo quadrato:
x ! 2x
x ! x2
Il prodotto f g indica che prima si applica g e poi si applica f , quindi di un numero x prima si fa il quadrato e poi si calcola il doppio di quello che si eÁ ottenuto: f g : x ! 2x 2 Il prodotto g f indica che prima si applica f e poi si applica g, quindi di un numero x prima si fa il doppio e poi si calcola il quadrato di quello che si eÁ ottenuto: 2
g f : x !
2x 4x 2
177 Date le funzioni f e g indicate di seguito, trova le funzioni f g e g f :
324
a. f : x ! x 2 5
g:x!x
b. f : x ! 9
g : x ! 2x 1
x
c. f : x ! 3x 1
g : x ! x2
d. f : x ! 3 x 2
g : x ! x2
4
1
Tema 1 - Cap. 1: INSIEMI E FUNZIONI
f g
x
2 4 5; g f :
x 2 5
4
f g : x ! 9
2x 1; g f : x ! 2
9 x 1 f g : x ! 3x 2 1; g f : x !
3x 12 2 2 3 1 1 ; gf :x ! 3x f g:x ! x 2 2 Q ISTITUTO ITALIANO EDIZIONI ATLAS
178 Data la funzione f : N N definita dalla relazione y x 3 e la funzione g : N Z definita dalla resi, z x 17 lazione z y 20, eÁ possibile costruire la funzione k g f ? 179 Date le funzioni f : x x 5 e g : x 3 x, verifica che il prodotto g f ed il prodotto f g non danno luogo alla stessa funzione composta. 180 Nella classe I B gli alunni sono tutti di statura diversa l'uno dall'altro e l'insegnante di educazione fisica vuole disporli in ordine crescente di altezza. Considera gli insiemi: A fx j x eÁ un alunno della I Bg B fy j y eÁ il numero che esprime l'altezza degli alunni di I Bg C fz j z eÁ il numero di posto nella filag e le relazioni f : A ! B definita da «x ha statura y» e g : B ! C definita da «y corrisponde al posto z». Puoi dire che f e g sono funzioni? Se consideri la relazione k : A ! C definita da «x occupa il posto z» si, si puoi dire che k g f ? 181 Ad una mostra canina vengono premiati gli esemplari piuÁ belli per ciascuna razza fra quelle presenti. Considera gli insiemi A fx j x eÁ un cane presente alla mostrag B fy j y eÁ il padrone di un caneg C fz j z eÁ una medaglia assegnatag. Le relazioni f : A ! B definita da «y eÁ padrone di x» e g : B ! C definita da «y vince la medaglia z» sono funzioni? La relazione k : A ! C definita da «x vince la medaglia z» eÁ una funzione? Se si, puoi f e una funzione, g no dire che k g f ? 182 In uno stadio si sta disputando la finale dei 100 metri piani. Considera gli insiemi A fx j x eÁ il numero di una corsiag B fy j y eÁ un atleta che partecipa alla finaleg C fz j z eÁ il posto nella classifica della corsag e le relazioni f : A ! B definita da «y corre nella corsia x» e g : B ! C definita da «y si eÁ classificato al posto z», f e g sono funzioni? Che cosa puoi dire di k g f ? entrambe funzioni, g f : A ! C
Soluzioni esercizi di comprensione 3 no, non eÁ definito l'insieme ambiente
4 b.
6 a. I, b. F, c. F, d. V, e. I, f. F, g. I, h. F
7 c.
9 e.
43 a. V, b. V, c. F, d. V
44 a. A B, b. C A, c. A D
46 A B
47 a. proprio, b. improprio
63 vera
64 c.
65 a. c., d.
68 c.
69 a.
116 b., d.
117 a. F, b. V, c. F, d. V
118 a., b.
119 a.
120 b.
146 c.
148 b.
149 a. F, b. V, c. V, d. F
1 c.
67 a.
2 a., c., e., f.
¯, b. , c. ®, d. ° 147 a., b., c.
8 a.
5 a., d.
66 c.
121 A B 150 b.
Sul sito www.edatlas.it trovi... l
l
!
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Tema 1 - Cap. 1: INSIEMI E FUNZIONI
325
Testfinale 1 Stabilisci se sono vere o false le seguenti affermazioni. a. Le classi che alla seconda ora del lunedõÁ hanno educazione fisica formano un insieme. b. Se un insieme ha 8 elementi, ogni suo sottoinsieme proprio ha un numero di elementi variabile da 0 a 8. c. Se un insieme ha 5 elementi, ogni suo sottoinsieme ha un numero di elementi variabile da 0 a 5. d. Se , esiste almeno un elemento di che non appartiene a .
V
F
V
F
V
F
V
F
V
F
V
F
V
F
V
F
0,25 punti per ogni risposta Stabilisci se sono vere o false le seguenti affermazioni. a. Se \ allora . b. Se [ allora . c. Se ha 5 elementi e ha 8 elementi, allora ha almeno 3 elementi. d. Se ha 6 elementi e ha 10 elementi, allora [ ha 16 elementi. 0,25 punti per ogni risposta Sono dati gli insiemi f 2 j 3g e f 2 j 5g. Dopo aver costruito il prodotto , indica quante sono le coppie
, per le quali: 1 punto a. < b. c. 20 Rappresenta prima per elencazione e poi con un diagramma di Eulero-Venn gli insiemi una lettera della parola farmacista una lettera della parola farmacia j e e j e Stabilisci poi quale relazione esiste fra essi. 0,5 punti Rappresenta con un diagramma di Eulero-Venn gli insiemi f 2 j 3g, f 2 j 2g, f 2 j 4 10g; calcola poi: 0,5 punti per a.
[ \ b. \ \ c. \ [ ogni esercizio In un gruppo di 60 ragazzi, 20 non hanno ne il motorino ne la bicicletta, 10 hanno la bicicletta e 3 di questi hanno anche il motorino. Quanti ragazzi hanno il motorino e quanti hanno solo il motorino e non la bicicletta? 1 punto Siano , e rispettivamente gli insiemi degli studenti di una scuola che giocano a pallone, giocano a tennis, sciano; di tali insiemi si sa che: l gli studenti che praticano almeno uno sport sono 233 l gli studenti che giocano a pallone ma non sciano sono 90 l gli studenti che sciano ma non giocano ne  a tennis ne a pallone sono 63 l gli studenti che giocano solo a tennis sono 35 l gli studenti che giocano a pallone e a tennis ma non sciano sono 8 l gli studenti che sciano ma non giocano a pallone sono 78 l gli studenti che praticano tutti e tre gli sport sono 12. Calcola: a. quanti studenti giocano solo a pallone b. quanti studenti giocano a pallone e sciano ma non giocano a tennis 0,5 punti per c. quanti complessivamente giocano a ciascuno dei tre sport. ogni risposta
326
Tema 1 - Cap. 1: INSIEMI E FUNZIONI
Q
Considerata la funzione espressa dalla relazione 4, con e numeri naturali, completa le seguenti proposizioni: a. il dominio della funzione eÁ l'insieme f::::::::::::::::g b. l'immagine di 4 eÁ ................. c. l'immagine di 10 eÁ ..................... d. la controimmagine di 10 ....................... e. la controimmagine di 1 eÁ .................. 0,30 punti per ogni risposta
Date le funzioni f : ! 3 e g : ! 1, trova le funzioni f g e g f .
1 punto
Soluzioni a. V; b. F; c. V; d. V a. V; b. F; c. V; d. F a. 14; b. 4; c. 0 f , a, r, m, c, i, s, t ; f , a, r, m, c, i ; a. ; b. 1; c. 33, 30 a. 82; b. 18; c. pallone: 120; tennis: 70; sci: 108 a. 2 j 4 ; b. 0; c. 6; d. 14; e. 5
f g : ! 3
1; g f : ! 3 1
Esercizio
1
2
3
4
5
6
7
8
9
Punteggio Valutazione in decimi
Q
Tema 1 - Cap. 1: INSIEMI E FUNZIONI
327
ESERCIZI CAPITOLO
Gli insiemi N e Z
I
la teoria eÁ a pag.
In N le operazioni hanno le seguenti caratteristiche: Á un'operazione interna, e Á commutativa e associativa Addizione: e Á un'operazione interna, e Á commutativa, associativa, distributiva rispetto all'addizione e Moltiplicazione: e alla sottrazione Á un'operazione interna, vale la proprieta Á invariantiva Sottrazione: non e Á un'operazione interna, valgono la proprieta Á invariantiva e quella distributiva (ma solo a Divisione: non e sinistra) rispetto all'addizione e alla sottrazione.
Á: L'operazione di elevamento a potenza gode delle seguenti proprieta a n a m a nm an : am an m
a n a nm
m
con
nm
n
a b a n b n n
a : b a n : b n
1 Il numero a eÁ multiplo del numero b secondo n; si puoÁ dire che: a. b eÁ un divisore di a b. n eÁ un divisore di a c. a eÁ un divisore di b d. a eÁ un divisore di n e. a eÁ anche multiplo di n secondo b.
V
F
V
F
V
F
V
F
V
F
2 Individua fra quelli dati il valore corretto di ciascuna espressione: a. b. c. d.
34 33 78 : 72 2
43 4 4
63 :
62
3 76 45 6
37 710 46 665
312 74 49 64
3 Stabilisci quali delle seguenti uguaglianze sono vere e quali sono false: a. 23 25 235 215 c. 35 36 311
b. 44 54 : 24
4 5 : 24 6 9 d.
73 :
72 1
4 E' la stessa cosa dire che due numeri sono primi oppure che sono primi tra loro? Fai degli esempi che aiutino a chiarire il concetto.
328
Tema 1 - Cap. 2: GLI INSIEMI N
EZ
Q ISTITUTO ITALIANO EDIZIONI ATLAS
Il M:C:D: fra due numeri naturali a e b: a. eÁ il piuÁ grande fra i divisori comuni ad a e a b b. eÁ il piuÁ piccolo fra i divisori comuni ad a e a b c. eÁ il prodotto dei divisori comuni ad a e a b d. si calcola facendo il prodotto dei divisori comuni ad a e a b con il minimo esponente e. si calcola facendo il prodotto dei fattori primi comuni ad a e a b con il minimo esponente. Scegli le risposte corrette. 6 Il m.c.m. fra due numeri naturali a e b eÁ: a. il piuÁ grande fra i multipli comuni ad a e a b b. il piuÁ piccolo fra i multipli comuni ad a e a b c. il prodotto dei divisori comuni e non comuni ad a e a b d. si calcola facendo il prodotto dei fattori primi comuni e non comuni ad a e a b con il minimo esponente e. si calcola facendo il prodotto dei fattori primi comuni e non comuni ad a e a b con il massimo esponente. Scegli le risposte corrette. 7 Un numero naturale n eÁ divisibile per a e per b; si puoÁ dire che n eÁ divisibile per: il prodotto a b il m:c:m
a, b il M:C:D:
a, b Delle precedenti risposte sono vere: a. nessuna b. tutte
c. solo la
d. tutte tranne la
8 Determina quali delle seguenti espressioni rappresentano elementi di N: a. 5 7 12 b. 3 8 1 c. 3 20 8 e. 7 5 14 f. 25 : 5 2 g. 3 4 : 2 9 Stabilisci quali delle seguenti sono operazioni possibili in N : a. 0 7 b. 13 13 c. 5 10 d. 10 : 5
e. 7 : 14
d. 6 4 : 7 h. 27 : 4 3 f. 1 4
g. 0 3
10 Applicando opportunamente le proprietaÁ commutativa e associativa, calcola in modo rapido il risultato delle seguenti addizioni: a. 128 16 32 24 b. 37 59 133 61 c. 44 46 85 155 d. 136 44 28 32
e. 14 17 16 23
f. 91 37 53 19
11 Esegui le seguenti operazioni applicando la proprietaÁ distributiva della moltiplicazione rispetto all'addizione e alla sottrazione: a.
12 6 9 b.
14 8 4 c.
11 5 6 6 d.
5 14 7 9 e.
81 3 14 f.
20 23 2 g.
8 17 2 20 h.
15 6 7 12 12 Nelle seguenti uguaglianze riconosci le proprietaÁ applicate ad ogni passaggio e calcola poi in modo rapido: a. 15 7 8 3 15 7 3 8 15
7 3 8 b. 7 4 2 5
7 4
2 5 c. 134 72
134 2
72 2 d. 124 : 4
124 : 2 :
4 : 2 e. 96 : 8
80 16 : 8
80 : 8
16 : 8 Q ISTITUTO ITALIANO EDIZIONI ATLAS
Tema 1 - Cap. 2: GLI INSIEMI N E Z
329
f.
36 42 70 : 2
36 : 2
42 : 2
70 : 2 g. 448 : 14
140 3 28 : 14
140 140 140 28 : 14 h. 612 135 96
610 2
130 5
90 6 i. 134 9 134
10 1 134 10 134 1 13 Completa la seguente tabella inserendo in ogni casella il risultato dell'operazione solo se questa eÁ possibile in N :
15
12
8
16
16
4
30
5
24
1
7
11
86
68
:
:
Inserisci al posto dei puntini il numero naturale mancante. 14 25 ::::: 32
14 ::::: 68
29 ::::: 38
15 ::::: 63 91
::::: 14 78
::::: 25 36
16 27 ::::: 74
::::: 12 93
14 ::::: 60
17 28
::::: 12
65
::::: 24
32
::::: 18
18 :::::
6 29
:::::
18 43
:::::
24 65
19 27
::::: 12
14
::::: 9
:::::
15 9
20 12 ::::: 60
15 ::::: 135
16 ::::: 80
21 ::::: 8 152
::::: 9 117
::::: 12 84
22 3 ::::: 36
8 ::::: 72
::::: 5 235
23 72 : ::::: 4
81 : ::::: 27
210 : ::::: 14
24 ::::: : 9 24
::::: : 12 31
::::: : 54 36
25 24 : ::::: 8
::::: : 15 7
144 : ::::: 18
Traduci in espressioni aritmetiche le seguenti frasi e calcola poi il loro valore. 26 Aggiungi a 72 il prodotto fra 7 e 8.
[128]
27 Sottrai al prodotto di 7 e 4 il quoziente di 36 e 12.
[25]
28 Moltiplica la differenza di 17 e 8 per la somma di 2 e 3.
[45]
29 Al quoziente di 138 e 3 sottrai il prodotto di 2, 5, 3.
[16]
30 Al doppio di 25 sottrai il triplo di 12 e quindi moltiplica il risultato per 3.
[42]
31 Moltiplica la somma di 5 e 8 per 2 e sottrai al risultato 10.
16
330
Tema 1 - Cap. 2: GLI INSIEMI N
EZ
Q ISTITUTO ITALIANO EDIZIONI ATLAS
32 Dividi la somma di 12, 7 e 8 per 9 e al risultato aggiungi il prodotto di 4 e 3.
15
33 Dopo aver sottratto 13 da 28 e moltiplicato il risultato per 4, aggiungi 20 e dividi tutto per 16.
5
Calcola il valore delle seguenti espressioni. 34 1
15 : 3 7
10 2 : 4 :
2 4
2 5 : 2
35 f17
1
f
25 2 2 : 4
12 : 6g
2 36 : 6
5 3
36 f5 2
7 37 f7
4 2g :
60 : 12 3 2 6
18
10 : 2 3 7 : 23
2 5
3 2
38 51 : 17
f
2 16
4 3 :
12 : 3 1
39 72 : 7 8 15 3
9
7
40 f
6 4
9 :
7 2
18 5
12
41 f20 3 4 3 7 2 42 5
3 8
5 4
43 f17
3 5
4 2g :
50 : 10
44 180
f135
92
49 f36
25 8
1
31
10
9 5
6
2 8g
13
22
6 : 2 3
4g
4 5 15 7
51 2 15 :
127
5 13 156 : 2 280 : 7
25 4g
[6]
95 : 19g : 9
15
13 3 : 3 5 19 : 19
3 19
25 8 28 2 :
35 3 112 : 4
79 4 :
178
8
8 11 :
283
8 25
5 11g
5 4g
58
51 f
5 28 5 5 8
9
19 : 16g
20 : 4
2 :
5 8 5 8 5 2 6g
40 3
11 : 1
5 16 5
3
4 25 5 8
5 11
120
117
30 6
5g
5 8 5 10 6 :
80 : 4
52
28 17 12 : 51 12 4 : f92
8 25 8 1 : 101 7 8 : 8
15
15 16 16
25 4 :
25 24 2 24 : 81g f182
34 6 42 : 3 : 25 12 100g
50 f190
318 : 6
53 f21
141
10
2
50g :
6 9 2
5 15 : f
65 3
8 83 : f
400
48 f
25 28 192 13
3 2
3 10g : 7
1 f
4 5 5
45 f161
27 3 7 3 63 : 9 : 180
47
312 96 5
0
5 : 5g 0 7
4 7 : 28
11 1
5 10
46
121 : 11 120 : 5
78
2 11g
1
11g : 11
f4
28 : 7 4 :
6 5 : 15
7
3
5 15 : 3
3 4 80 :
4 4
15 5 4
7
2
3 59
17 18
4 : 3
18
12 25 7 9 : 33g
20
19g : f39
138
25 12 3 9 : 3g 21
CORREGGI GLI ERRORI In alcuni dei seguenti esercizi, ma non in tutti, sono stati commessi degli errori; individuali e correggi. 54 125
342 729
14
125 342
125 729
125 14
55 47
3 4 6
47 3
47 4
47 6 56 75 24 57 142
63
36
28
75 24
28
142
63
36
28
28
58 27 18 14 18 14 27 59 62 47
28 62
Q ISTITUTO ITALIANO EDIZIONI ATLAS
28 47 Tema 1 - Cap. 2: GLI INSIEMI N E Z
331
24 3
4 2 27
4 2 27 6
15 75 : 5
15 : 5
75 : 5 62 0 :
4 8
2 10
63
80 : 5 2 80 :
5 2 64
23
8 : 0 15 : 0 15
65 1 :
3 4 12
66 Completa calcolando, quando eÁ possibile, 32 ::::: 40 ::::: 6 00 ::::: 0 ::::: 1 122 ::::: 75 :::::
il valore delle potenze indicate: 25 ::::: 30 ::::: 3 1 ::::: 33 ::::: 8 2 ::::: 78410 :::::
67 Trova l'esponente k affinche siano vere le seguenti uguaglianze: 3k 81 46k 46 2k 256 3k 9 k k k 8 512 16 1 5k 625 2 2 Calcola applicando le proprietaÁ delle potenze. 68
ESERCIZIO GUIDA 316 : 38 32 316
8
32 38 32 382 310
69 24 26 : 210
34 35 : 36
70 2518 : 256 : 259 3 4 2 0 71
72 :
73
75 : 73
73 : 72 3 2 2
53 :
52
5 3 3 2 2 0 72
32
32
30 :
33
34
35 n o2 2 4 5 2 3 2 2
73 9 : 9 : 9 n o2 n o0 2 4 2 2 5
23 :
24 23 :
23 74 3 2 2 4 2 4 75
132
135 :
133 :
132
34 24 54 :
33 23 53 h i2 4 2
23 33 :
610 :
22 32 h i 3 2 3 4 2 2 2 5 5
3 5
3 5 :
3 5 :
154 2 3 4 2
2 32 7
2 32 7 :
2 32 7 : 126
76
ESERCIZIO GUIDA
n o 4 5 4 2 2 2
82 :
42
23 :
43 Trasforma prima in potenze del 2 in questo modo: Applica ora le proprietaÁ delle potenze. o2 n o3 2 2 2 3 2 2 2 3 2 3 2 3
77 9 3 27 : 3 9 3 n 2 o0 2 4 3 2 4 3 2 2 4 2 78
2 8 : 4 :
4 2
4 8 n
332
Tema 1 - Cap. 2: GLI INSIEMI N
EZ
1; 27 253 ; 73 724 ; 56
n o 2 4 2 5 4 2 2 2
23 :
22
23 :
26
1; 30 98 ; 1 214 ; 152 1; 126
24
310 24 Q ISTITUTO ITALIANO EDIZIONI ATLAS
Sapendo che a 23 34 52 7, calcola applicando le proprietaÁdelle potenze.
ESERCIZIO GUIDA a :
2 33 7
23 : 2
34 : 33
52
7 : 7 22 3 52 4 3 25 300
a :
23 32 7
a :
34 5
a :
22 33 7
a :
2 33 52 7
82 a :
23 52
a :
22 5 7
83
28 34 53 7 : a
2 4 34 52 73 : a
84
23 35 54 72 : a
24 34 53 7 11 : a
225; 280 150; 12 567; 810 160; 98 525; 110
Calcola il valore delle seguenti espressioni applicando dove eÁ possibile le proprietaÁdelle potenze. 23
53 54 :
52 53 :
22 1 2 33
43 : 42 3 : 7
23 2 32
72 7 : 7 50 2
22 32 13 : 7 : 7 23 n o2 3 5
52 23 3 23 6
23 7 32 5
78 : 77 2 : 24 3 2
310 : 36
38 : 33 : 312 17
22 3 11 3 2
44 42 : 49 : 218
5 72 10 : 22
22 3 32 24
0 : 1242
13 : 13 2
2 5 3 52 : 12 27 : 25
662 : 112 22 :
20 5 : 22
53 52 :
3 52 40 0 2
10 5 32 : 2 32 5
62 52 :
30 11 9 : 32 : 3
22
132 2
33 23 13 : 12 3 24 : 23 55 : 52 : 5 :
73 : 72
32 12 : 22 n 0 o 2 0 3 3 3 2
2
: 315 :
37
52 25 3 :
5 3 115 2 1 2 2 : 64 : 4 : 4 2 3
33 32 : 37 : 35 18 :
38 : 35 : 32
25 2 5 22 : 10 1 : 5 2
3 22 5 23 : 22 3
24 : 23 64 : 62 2 : 7 22 2 2
63 23 : 43 :
104 : 54 7 34 :
33 32 3
83 82 : 82
23 33 :
144 : 12 : 43 : 23 :
25 : 24
85
36 : 34 86 13
25 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99
2
2
100 52 : 5 3
22 5 5 13 : 2 3
7 22 2 4 3 2 2 4 3 0 2 5
54 :
53 :
52 101 43
42 :
43
33 :
32
34 102 3
52 : 5 3 5 10
22 : 2 5 2 7 14 23 3 103 72 :
22 3 5 3 2
34 33 : 36 2
19 3 6 1 2 37:7 104 23 32 :
5 23 23
8 3 22
25 : 23 2 105 24 : 22
3 22 2 2 6 2
2 6 15 7 : 5 7 : 14 4 Q ISTITUTO ITALIANO EDIZIONI ATLAS
Tema 1 - Cap. 2: GLI INSIEMI N E Z
5 2 20 25 5 35 4 1 2 7 6 5 27 1 [64] 0 [72] 25 20 13 9
333
Trova tutti i multipli di 12 che sono minori di 135. Trova: a. il sottomultiplo di 32 secondo il numero 4; b. il sottomultiplo di 144 secondo il numero 6; c. il multiplo di 14 secondo 7. Scomponi in fattori primi i seguenti numeri. 832
724
1260
3425
297
3200
648
3136
3402
2916
2376
988
4350
9625
20499
1188
2792
4809
7298
12314
112
ESERCIZIO GUIDA Troviamo tutti i divisori del numero 360. Scomponiamo innanzi tutto il numero in fattori primi:
360 23 32 5
Scriviamo uno schema nel quale nella prima riga riportiamo le successive potenze di 2 fino a 23 , nella seconda riga le successive potenze di 3 fino a 32 e cosõÁ via fino ad esaurire i fattori della scomposizione: 20 30 50
21 31 51
22 32
23
1 1 1
cioeÁ
2 3 5
4 9
8
Moltiplichiamo adesso tutti i numeri della prima riga per tutti quelli della seconda e riportiamo poi la terza riga: 1 3 1 5
9
2
6
18
4
12
36
8
24
72
Ripetiamo la stessa procedura e moltiplichiamo: 1 3 9 2 6 18 4 12 36 8 24 72 5 15 45 10 30
90 20 60 180 40 120 360
Riordinando, i divisori di 360 sono: 1 2 3 4 5 6 8 9 10 12 15 18 20 24 30 36 40 45 60 72 90 120 180 360 113 Trova tutti i divisori dei seguenti numeri: 72 84 384 520 324 114 Calcola M:C:D: e m:c:m: fra i seguenti gruppi di numeri: a. 18, 96 b. 9, 108 c. 24, 64 d. 14, 35, 21
e. 36, 108, 117
f. 700, 75, 300
a: 6, 288; b: 9, 108; c: 8, 192; d: 7, 210; e: 9, 1404; f: 25, 2100
115 Utilizzando la scomposizione in fattori primi, stabilisci se il numero 17640 eÁ divisibile per 196, 72, 343, 80. divisibile per 196 e 72 116 Utilizzando la scomposizione in fattori primi, stabilisci quali fra le seguenti coppie di numeri sono primi fra loro: a: e c: a. 117, 112 b. 147, 96 c. 572, 245
334
Tema 1 - Cap. 2: GLI INSIEMI N
EZ
Q ISTITUTO ITALIANO EDIZIONI ATLAS
Risolvi i seguenti problemi. In un campanile vi sono tre campane. Una campana batte un tocco ogni 5 secondi, la seconda batte un tocco ogni 6 secondi, mentre la terza lo batte ogni 8 secondi. Se esse battono insieme il primo tocco, 120 secondi dopo quanti secondi ne batteranno insieme un altro? Un grosso proprietario terriero ha nelle proprie stalle molte mucche. Egli vorrebbe conoscerne il numero esatto ma non ha tempo per contarle. Gli hanno peroÁ detto che sono meno di 900 e che dividendole in 841 gruppi di 3, 4, 5, 7 e 8 ne avanza sempre 1. Quante sono le mucche? Un fiorista si accorge che una pianta acquatica, coltivata in una vasca, raddoppia la sua superficie in una settimana. Dopo 4 settimane la vasca eÁ interamente ricoperta. Dopo quante settimane la vasca eÁ piena per un quarto? Dopo quante settimane eÁ vuota per metaÁ? della vasca? Se inizialmente la pianta occupava una superficie di 2m2 , qual eÁ la superficie 2 settimane; 3 settimane; 32m2
120 Considera il sottoinsieme S1 di A f15, 16, 25, 78, 120, 60, 80, 100g formato dai numeri divisibili per 4: considera poi il sottoinsieme S2 di A formato dai numeri divisibili per 5. Dopo aver calcolato S1 \ S2 , puoi dire che gli elementi dell'insieme ottenuto sono divisibili per 20? 121 Considera i due numeri 64 e 24. Indica con A l'insieme dei divisori di 64 e con B l'insieme dei divisori di 24. Cosa rappresenta l'insieme A \ B ? Se fra gli elementi di tale insieme scegli il piuÁ grande, come lo chiami? 122 Considera gli insiemi A e B che hanno per elementi rispettivamente i multipli di 8 e quelli di 3 escluso lo 0. Cosa rappresenta l'insieme A \ B ? Se fra gli elementi di tale insieme scegli il piuÁ piccolo, come lo chiami? 123 Se fra due o piuÁ numeri naturali il minore di essi eÁ divisore degli altri, esso eÁ il M.C.D. dei numeri assegnati; se il piuÁ grande fra i numeri dati eÁ multiplo di tutti gli altri, allora esso eÁ il m.c.m. di quelli assegnati. In quali casi puoi usufruire di queste considerazioni per calcolare il m.c.m. o il M.C.D. fra i seguenti gruppi di numeri? 75, 25, 250, 150;
36, 6, 72, 18;
17, 34, 7, 68;
15, 25, 30, 50.
124 Tre negozi che si trovano affiancati hanno ciascuno una insegna luminosa lampeggiante; la prima si accende ogni 8 secondi, la seconda ogni 12 secondi, la terza ogni 6 secondi. Se si accendono contemporaneamente alle 18.40 per la prima volta, a che ora si riaccendono insieme per la sesta volta? 18:42 125 Dei quattro fornitori di un ristorante il primo passa ogni 2 giorni, il secondo ogni 3 giorni, il terzo ogni 4 ed il quarto ogni 5. Se si incontrano tutti insieme il 3 di marzo, quando si incontreranno di nuovo? 2 Maggio]
126 Per raggiungere una localitaÁ sciistica sono disponibili una funivia e un autobus. La funivia parte ogni 15 minuti e l'autobus ogni 40 minuti. Se partono insieme all'apertura delle piste, dopo quanto tempo ripar2 ore tiranno di nuovo insieme? 127 Fra gli elementi dell'insieme A f2, 3, 4, 5, 7g stabilisci quali, sostituiti al posto di x nella seguente espressione, la rendono calcolabile in N. Successivamente calcola il valore che essa assume in corrispondenza di ciascuno di essi.
x
43 3x 2
5
x
3
43, 66, 154
128 Puoi stabilire, senza eseguire la sostituzione, che, per ogni numero x 2 N, la seguente espressione assume valore 1. PercheÂ? 3
x 7 32 :
x 46 Q ISTITUTO ITALIANO EDIZIONI ATLAS
Tema 1 - Cap. 2: GLI INSIEMI N E Z
335
I
la teoria eÁ a pag.
129 In quale fra le seguenti situazioni puoÁ essere necessario ricorrere ai numeri dell'insieme Z ? a. Misurare la temperatura di un liquido. b. Esprimere il numero dei tuoi compagni di classe. c. Esprimere l'anno di nascita del Faraone egiziano Ramses. d. Esprimere l'attivo e il passivo di un conto corrente bancario. e. Esprimere l'etaÁ di una persona. f. Misurare le depressioni o le altitudini terrestri. 130 Se a e b sono due numeri interi, allora: a. se a b, i due numeri hanno lo stesso valore assoluto b. se a > b, il valore assoluto di a eÁ maggiore del valore assoluto di b c. se a eÁ il successivo di b, allora a > b d. se il valore assoluto di a eÁ maggiore di quello di b e se i due numeri sono concordi, allora a > b e. se il valore assoluto di a eÁ maggiore di quello di b e se i due numeri sono negativi, allora a < b. 131 Barra vero o falso: a. la somma di due numeri positivi eÁ un numero positivo b. la somma di due numeri negativi eÁ un numero negativo c. la somma di due numeri discordi eÁ sempre negativa d. la differenza fra due numeri discordi ha sempre il segno del primo addendo e. il quoziente fra due numeri negativi eÁ negativo f. la somma di due numeri eÁ zero quando i due numeri sono discordi g. il prodotto di due numeri eÁ zero se almeno uno di essi eÁ zero h. il quoziente di due numeri eÁ zero se eÁ uguale a zero il divisore. 132 Individua quali fra le seguenti relazioni sono vere: a. j10j 10 b. j 9j < 0 d.
4
3 g.
5
j 15j
i.
5
V
F
V
F
V
F
V
F
V
F
V
F
V
F
V
F
V
F
V
F
V
F
V
F
V
F
V
F
V
F
V
F
V
F
V
F
V
F
V
F
6 1
133 Barra vero o falso: a. la somma di due numeri opposti eÁ sempre uguale a zero b. la somma dei valori assoluti di due numeri opposti eÁ sempre uguale a zero c. la differenza dei valori assoluti di due numeri opposti eÁ sempre uguale a zero d. la differenza dei valori assoluti di due numeri concordi eÁ sempre uguale a zero e. il prodotto di due numeri concordi eÁ sempre positivo f. il segno del prodotto di due numeri discordi dipende dai valori assoluti dei due numeri g. il segno della differenza di due numeri discordi dipende dai valori assoluti dei due numeri.
134 Disponi su una retta orientata i seguenti numeri appartenenti a Z: 4, 5, 1, 7, 11, 3, 2
336
Tema 1 - Cap. 2: GLI INSIEMI N
EZ
Q ISTITUTO ITALIANO EDIZIONI ATLAS
135 Indica il valore assoluto dei seguenti numeri relativi:
2,
136 Scrivi gli opposti dei seguenti numeri: 1, 7, 2, 7, 3, 5,
2
1 3,
7, 1,
3,
7
1, 2,
4,
5
1 3
137 Inserisci il simbolo corretto scegliendo tra < e >: 15:::
5
8:::
16::: 2 7:::0
4
9:::
12
8::: 10
3:::0
0:::
1::: 1
4
138 Scrivi in ordine crescente i seguenti numeri relativi: a. 10, 7, 11, 2, 4, 5 b. 12, 14, 2, 3, 1, 0, 4 139 Scrivi in ordine decrescente i seguenti numeri relativi: a. 3, 2, 1, 5, 7, 8 b. 11,
10,
8,
1,
0,
4,
7
140 Scrivi almeno due numeri interi che hanno le seguenti caratteristiche: a. sono concordi e minori di 2 b. sono discordi e minori di 8 c. sono concordi e maggiori di 4 d. sono discordi e maggiori di 9. 141 Stabilisci se esistono due numeri interi che hanno le seguenti caratteristiche: a. sono concordi e minori di 0 b. sono discordi e maggiori di 0 c. sono discordi e maggiori di 3 d. sono discordi e minori di 1 e. sono opposti e maggiori di 7.
142 Esegui le seguenti addizioni: a.
9
5
1
b.
4
3
9
c.
10
4
6
d.
7
3
1
e.
4
15
7
1
f.
2
18
8
7
143 Esegui le a.
2 c.
8 e.
4
sottrazioni indicate nei seguenti esercizi:
1 b.
6
2
3 d.
12
9
1 f.
7
2
144 Esegui le seguenti operazioni, togliendo prima le parentesi: a. 5
2 4 3 b. 7
5 2 10 c. 1
4 1 5 d. 3
4 1 6 145 Calcola le somme algebriche indicate di seguito: a. 4 7 3 2 b. 5 7 3 2 c. 1 2 3 7 d. 7 4 9 1 e. 10 13 5 2 f. 24 10 4 9 1 g. 5 6 3 2 8 h. 7 4 3 2 1 6 Q ISTITUTO ITALIANO EDIZIONI ATLAS
Tema 1 - Cap. 2: GLI INSIEMI N E Z
337
Completa la tabella inserendo in ogni casella il risultato dell'operazione:
1
4
6
3
12
15
9
27
42
0
25
5
0
3
Completa la tabella inserendo in ogni casella il risultato dell'operazione:
c
2
3
0
4
5
a
bc
bc
a
a
b c
c
a
b
b
c
a
6
2
7
1
1
0
3
2
1
4
6
5
6
3
8
7
Inserisci al posto dei puntini il numero intero mancante: a.
14
::::: 8 b.
12
::::: 5 c.
:::::
4 12 d.
:::::
6 2
e. 2 f.
:::::
2 5
::::: 4 g.
:::::
4 6 h.
3
::::: 8
Calcola il valore delle seguenti espressioni con addizioni e sottrazioni. 149
1
2 5
150 12
5
151
3
2 1
152 5
1 3 4 7
3 4
4
26
2
34
153
6 1 10 154
1
256
3 4
5
10 4
156
32
157
4
2 7 4
158
58
159 160
5
5 7
12
3
1 3
155
1
8
5
2
1
1
6
8
3 2
4 1
2
3
5
6
10 1
1
1 2
6 3
4 5
4 9
23 3
1
8
3
1
1 4
5
4 2
3 11 2 3
5 1
0
3 2
3 2
1 4
3 9
2 6
3 8
4 1 2
4 5
8
12 3 1 1
4 5
2 18 8 5
13 Tema 1 - Cap. 2: GLI INSIEMI N
EZ
9
23 10 23 6
Q ISTITUTO ITALIANO EDIZIONI ATLAS
Calcola il valore delle seguenti espressioni togliendo le parentesi in una sola volta.
ESERCIZIO GUIDA cambia i segni nella parentesi quadra diventa
1
2
4
diventa
2 3 1
1
2423
15
cambia i segni nella parentesi tonda
162
1 3
2
9
13
5
2
163
2
11 7
164
f
5 1
7 4
165
3
2 12
2
34
3 4
1 2
15
5 8
2 13
9
7 24
12
6
13
0
6 7g
15
4 3
0
8
166 3
f2 7
2 4 8
15 9
14 1g
4
2 1
8 167 8 3 1
4 6
2 6 14
8 19 1
4 3 9 168 12
9 24 32
17 24 1
8 12 15 1
24 5 19 2
14 16 4 5
6 7 14 169 3 12 5 13 10
3 24 27
36 18 9 13
21 13 7 49 18
22 25 13 52 14
12 6 171
27 36
172 46 19
33 15 26 17 14 6
32 20 7 14
19 22 170 27
12
25 1 5 24 56 45 8
173 Calcola i seguenti prodotti: a.
3
2
b.
4
3
c.
1
4
d.
5
2
e.
1
2
3
f.
2
3
4
h.
1 2
2 1
i.
7 4
2
a.
10 :
2
b.
4 :
2
c.
49 :
7
d.
28 :
7
e.
20 :
4
f.
6 :
3
g.
36 :
12
h.
45 :
5
i.
60 :
12
g.
4 2
1
1
1
174 Esegui le seguenti divisioni:
175 Inserisci al posto dei puntini il numero intero mancante: a.
9
::::: 108 b.
3
::::: 48 d.
32 :
::::: 4 f.
18 :
::::: 9
c.
:::::
8 104 g.
::::: :
3 7
176 Determina quali delle seguenti espressioni rappresentano elementi di Z : a. 72
b.
25 36 : 8
c. 4
3
d.
27 4 : 3
e.
4 9
f.
47 3 : 25
g.
64 32
h.
80
84 19 : 5
Q ISTITUTO ITALIANO EDIZIONI ATLAS
13
4 25 92 4
i.
70
9 6 2 :
8
Tema 1 - Cap. 2: GLI INSIEMI N E Z
Stabilisci senza svolgere calcoli se le seguenti uguaglianze sono vere o false: a. 42 8 36 42
8 36 b. 27 32 4 27
32 4 c. 12
5
12
5
12 5 d. 135 216 73 94
135 216
73 94 e. 24 36 48 18
24 48
36 18
V
F
V
F
V
F
V
F
V
F
178 Completa la tabella inserendo in ogni casella il risultato dell'operazione:
c 0
2
3
4
5
6
2
7
3
1
1
0
2
1
4
6
5
6
3
8
7
a
bc
bc
a
b
a
c
a
b c
a b
c a
Risolvi i seguenti problemi. 179 Un aereo vola a quota 6400m; a causa di un vuoto d'aria deve scendere di 1200m, ma risale poi di 1325m. Se la localitaÁ dove deve atterrare si trova a 920m sul livello del mare, di quanto deve scendere? [5605m]
180 L'escursione termica rappresenta la differenza tra la temperatura massima e la temperatura minima raggiunta in una certa localitaÁ. Se l'escursione eÁ di 8 C e la temperatura massima eÁ stata di 5 C, qual eÁ la 3 C temperatura minima registrata? 181 Il conto corrente di Luca eÁ in rosso di E 800 a causa di una spesa imprevista; fortunatamente egli riceve il pagamento di una fattura di E 2 350 che deposita subito in Banca. Dopo il pagamento di alcune bollette, il saldo del suo conto corrente eÁ di nuovo in rosso di E 100. Qual eÁ l'importo delle bollette? [E 1 650] 182 Un titolo in Borsa vale E 235; le fluttuazioni modificano il suo valore di giorno in giorno nel seguente modo: il primo giorno aumenta di E 10, il secondo ne perde 45, il terzo ne perde ancora 12, il quarto guadagna E 20 e il quinto guadagna ancora E 8, il sesto giorno non muta il suo valore e il settimo giorno guadagna E 6. Qual eÁ il valore del titolo alla fine della settimana e di quanto ha modificato il suo valore [E 222, perde E 13] rispetto a quello iniziale? Calcola il valore delle seguenti espressioni. 183 1
70
36
25
16 5 30
184 f 14 3 9 2
2 185 25
3
17 2
13 12 : 13 3 2
12
186
6 3
2 4 :
3 4
2
14 6
2
48
15g
1
35
4 :
5 3
2 8
1 2
5
1
0
1 3 2 :
5.
5
187 f5 9 :
2 1
7 1 :
1 5 8g :
5 1 3 1.
188 5 6
3 8 4
6 3 2 :
11 6 2 3
2
1 189 f 28 :
4
7 6 :
4 190 42
340
f 5
2
5
3
2
18 : 2g
12 3
Tema 1 - Cap. 2: GLI INSIEMI N
EZ
4
8
5
2 5 3
2
1
6 :
3 15
3g f3 2 6
5
1
3g : 44
6 44
Q ISTITUTO ITALIANO EDIZIONI ATLAS
191 Se il prodotto di tre numeri concordi eÁ negativo, che cosa si puoÁ dire del segno di ciascun fattore? 192 Se il prodotto di tre numeri eÁ negativo, che cosa si puoÁ dire del segno di ciascun fattore? 193 Se il prodotto di n numeri eÁ positivo, i fattori negativi sono in numero pari o dispari? 194 In quali casi il prodotto di due numeri consecutivi eÁ positivo? Quando eÁ negativo? Quando eÁ nullo? 195 Quale valore devi attribuire ad a affinche ciascuno dei seguenti prodotti sia nullo? 3
a 1; 3
2a 4; 2a
4 2;
a 1
a 2; 5
2 a
196 Calcola le seguenti potenze:
4
2
2
5
6
2
3
1
1
12
6
0
3
1
1
7
197 Calcola il valore delle seguenti espressioni, enunciando le proprietaÁ via via applicate: 2 2 3
24
26
43
42 a.
3
3
3
3 5 3 b.
4 :
4
24 :
22
115 :
112
26 :
26
3 3 c.
25 :
5 2 3
d. 5
202 :
42 2
3 0
43 :
13 0
1 3
122 :
62 3
2 2
198 Completa inserendo al posto dei puntini il termine mancante: 4 ::: 6
2:::
25
29
42
4:::
43 a.
3
3
3 6 b.
5
:::::3
34
:::::2
:::::6
4
3 ::: 8 c.
7 :
7
7
25 :
2:::
22
4::: :
45
24
3
Trasforma in un'espressione le seguenti frasi e trovane poi il valore. 199 Il prodotto di 3 con il suo opposto, il tutto aumentato della diferenza tra 5 e 200 La differenza tra al quadrato.
8.
4
10 e l'opposto della sua metaÁ, il tutto moltiplicato per la differenza tra 2 e 1 elevata
201 Il quoziente della potenza terza di
5
8 diviso la potenza terza di 4, il tutto diviso per il quadrato di
2. 2
202 Il quadrato di 3 moltiplicato per il cubo di
203 204 205 206 207 208
2, il tutto diviso il prodotto tra
3 e 4.
Calcola applicando le proprietaÁ delle potenze. n o5 o3 n 3 2 2 5 2 3
8
2
2 :
2 :
8 n o2 3 2 4 3 5 5 2 3 4
162
164 :
163
2
2 :
2 2 2 4 2 2 6 2 4 2 5 4 5
53 :
53
52 :
53
5 :
5 :
5
5 :
5 n o6 n o3 2 3 5 2 8 5 6 7
21 :
21
21 :
21 n o6 4 5 4 2 2
3 :
3 :
3 n o4 2 5 2 3 0 2
2
2
2 :
2
Q ISTITUTO ITALIANO EDIZIONI ATLAS
Tema 1 - Cap. 2: GLI INSIEMI N E Z
6
4 2 ; 1 162 ;
2
5
52 ;
8
21 1 1
341
Calcola applicando le proprietaÁ delle potenze, tenendo presente che le basi hanno lo stesso valore assoluto ma non lo stesso segno. 209
ESERCIZIO GUIDA 4
5
2
a.
3
3 :
3
Le potenze di questa espressione non hanno la stessa base, quindi non sarebbe possibile applicare le proprietaÁ delle potenze; tuttavia, poiche qualunque numero elevato a potenza pari diventa positivo e 4 4 2 2 quindi
3
3 e anche
3
3 , possiamo considerare l'espressione data equivalente alla seguente: 4 5 2
3
3 :
3 37 3 6 3 4 6 5 b.
2 :
2
2 :
2 5
3
24
Possiamo riscrivere l'espressione in questo modo:
2 :
2
2 :
2
18
Questa volta l'esponente delle potenze con basi negative eÁ anche dispari e non si puoÁ procedere come nel caso precedente; conviene allora valutare prima il segno del risultato finale e considerare poi positive tutte le basi: 5
2 eÁ positivo
3
2 eÁ negativo
2
24
eÁ positivo
2
18
eÁ positivo
Il risultato dell'espressione eÁ quindi un numero negativo; possiamo allora semplificare l'espressione data in questo modo: 25 : 23 224 : 218 28 E' quindi possibile applicare le proprietaÁ delle potenze se si tiene conto preventivamente del segno dei singoli fattori. 5
6
7
6
210
2
2 :
2 3 6 3
211 5 : 5
5
4
2
3 33 : 92 5 2 2
7
7 :
74
2
3 :
3
3 2 4 2 6
3
3 32 :
3
24 ; 34 ; 3 56 ; 310 ;
75
Calcola il valore delle seguenti espressioni applicando dovunque eÁpossibile le proprietaÁdelle potenze. 2 3 4 2
8 22 32
56 : 54 30 212
5
5 :
5 0 2 3 2 213 3 :
3 2 5
3
2 : 3
3 3 214 6 8
10 :
2 3 : 11
215 2
3 1 2 216 f5 8 217 3
10
4 2 5
2
4
2
2
f5
3 2 5
2
5 4 .
2 4 :
3 5
2
3 12 :
4
8 : 2 6
2 24 8 14 6
20 1 22
3
4 3g
28 2
5 3
2 4g
3 5 4 2 :
5
3 20 40 7
4
2
2
218
10 : f5
2
5 2
15 13 10
2
16 9 1g
2
3 23
2 3 2
3
3
90 :
2
5
2 : 5 219
7
2 n o3 2 5 3 2 2 1 2 220 2
3 50 :
2
5 7 : 25 2
13 :
13 :
3 70 n 2 o 0 2 4 2 221 5 6
3 8 4
6 3 2 :
11 6 2 :
5 6 3
1 2 4 h i2 2 2 2 2 2 0 222 7
4 13
6 2 1
5 7 :
8 2 6 :
3 h i h i 0 223
342
3 2
2
8
1
2
3
0
2
1
Tema 1 - Cap. 2: GLI INSIEMI N
2
EZ
4
3
6
1
3
2 4
2
3 0 8 27 20 1 [impossibile]
2
80
Q ISTITUTO ITALIANO EDIZIONI ATLAS
224
10 :
2
1
11 22 3 5 2 6 :
3 7 33 : 32 2 225 5 3 2
4 2 3 1
3 7 2 3 10 3 4 :
4 9
8
8
2
3
226
2
9
3
12 : 3 4 f5
2 4
3 2 4 6 :
5 5 6 2 5
2 3g n o3 2 2 2 2
3 4 2 :
5 3 10
22 3 : 3 2 3 :
7 8 2 3 1 1
3 6 3 227 228 f3 2 8
5 3
1 0 2
10 : 2 4
3 5
2 :
10 6
2
3g :
4 8 1
[1]
229 Applica la prima legge di monotonia alle seguenti uguaglianze e disuguaglianze: 35 2 8 431 2 7 5 52 6 2
1 >
2
3 230 Applica la seconda legge di monotonia alle seguenti uguaglianze e disuguaglianze:
8 2 2
3 5 7 12 2453 7
2
4 >
3
3
6 8
2 < 12 5 2> 3 231 Scrivi al posto dei puntini quale delle due leggi di monotonia eÁ stata applicata in ciascuna delle seguenti uguaglianze e disuguaglianze, come illustrato nell'esempio: 12 5 2 5 ! 12 8 2 2 prima legge: si aggiunge 3 ad entrambi i membri 4
3 2 14 ! 10 2 12 ................................................................................ 268 ! 16 16 ................................................................................ 7 5 > 12 4 ! 4 < 16 ................................................................................
3
6 >
2
2 ! 54 > 12 ................................................................................ 232 Applica la legge di cancellazione alle seguenti uguaglianze e disuguaglianze:
6 2
4 >
4 1
4 32 4 4 8 4
2
12 8 < 6 2 8 25
2
5 > 25 12 2
7 4 8 4 5 4
12 3 : 2 120 : 4
5 17 3
8 >
12
8 4
9 5 < 3
9
2
6
4 <
4
2
9
4
6 3 4 >
4
7
Soluzioni esercizi di comprensione
, b. , c. , d.
1 a. V, b. V, c. F, d. F, e. V
2 a.
6 b., e.
7 b.
130 a. V, b. F, c. V, d. F, e. V
131 a. V, b. V, c. F, d. F, e. F, f. F, g. V, h. F
132 a., c., i
133 a. V, b. F, c. V, d. F, e. V, f. F, g. F
3 a. F, b. V, c. F, d. V
5 a., e.
129 a., c., d., f.
Sul sito www.edatlas.it trovi...
esercizi tratti dalle gare di matematica
Á i problemi di Matematica e realta
Q ISTITUTO ITALIANO EDIZIONI ATLAS
Tema 1 - Cap. 2: GLI INSIEMI N E Z
343
Testfinale 1 Completa la tabella inserendo in ogni casella il risultato dell'operazione solo se questa eÁ possibile in N :
3
4
7
2
8
12
0
1
6
3
3
5
10
14
20
18
13
17
1
0
4
2
:
0,5 punti Calcola applicando le proprietaÁ delle potenze: 2 10 2 3 : 66 68 : 63 : 611 63 6 : 64 a.
1 punto
2 4 3 7 3 2 4 5 2 2 : 3 3 b. 3 3 : 3 3
L'espressione 218 218 eÁ uguale a: b. 418 a. 236
1 punto
c. 219
d. 436
0,5 punti
Completa la tabella inserendo in ogni casella il risultato dell'operazione solo se questa eÁ possibile in Z :
3
2
8
2
8
4
0
1
1
3
4
10
15
16
8
:
0,5 punti Scegli fra quelli indicati il numero k N che rende vere le seguenti uguaglianze: k 52 3 54 510 a. 3 b. 2 c. 1 d. 0
2k : 27 : 25 22
a. 4
Calcola applicando le proprietaÁ delle potenze: 5 3 2 3 2 28 : 25 a. 2 : 2 0 b. 63 : 62
344
5
:
63
6
: 610
Tema 1 - Cap. 2: GLI INSIEMI N
EZ
b. 6
c. 1
d. 0
0,5 punti 0,5 punti
1 punto 1 punto
Q
Semplifica le seguenti espressioni in Z :
2 2 2 a. 4 2 5 2 8 : 6 3 2 5 2 3 22
1 punto
2 3 4 2 b. 3 4 1 2 6 3 5 6 2 2 1 3 2
1 punto
Un tale gioca ogni giorno a "Win for life" spendendo 2 E al giorno; dopo 15 giorni vince E 60 e decide di aumentare la giocata giornaliera portandola a E 4. Continua a giocare ogni giorno per 40 giorni e, finalmente, vince E 150. Riprende a giocare i suoi soliti E 4 al giorno dopo 90 giorni in cui non riesce piuÁ a vincere, decide di smettere. Qual eÁ la sua situazione a quel punto? 1,5 punti
Soluzioni
2
7
5
12
21
10
16
16
24
1
7
0
0
6
2
9
15
24
14
140
200
234
306
0
4
0
:
31 1
2
a. 36; b. 27
:
0 7
c.
13
3
2
22
10
2
12
16
4
2
0
1
1
0
17
3
22
52
7
9
248
368
c.;
Esercizio
30
6
a. 2 ; b. 65
a.
1
2
3
4
a. 16; b. 9
5
6
perde E 340
7
8
Punteggio Valutazione in decimi Q
Tema 1 - Cap. 2: GLI INSIEMI N E Z
345
ESERCIZI CAPITOLO
Gli insiemi
I RAZIONALI ASSOLUTI
la teoria eÁ a pag.
1 Indica se le seguenti affermazioni sono vere o false. a. Ogni frazione individua un solo numero razionale. b. Ogni numero razionale puoÁ essere scritto in forma di frazione in un unico modo. c. L'insieme delle frazioni eÁ uguale all'insieme dei numeri razionali. d. L'insieme dei numeri razionali assoluti eÁ infinito. e. Tra l'insieme delle frazioni e l'insieme Qa esiste corrispondenza univoca. f. 0 (zero) eÁ il primo numero razionale assoluto. 2 Indica se le seguenti affermazioni sono vere o false. a. La somma di due numeri razionali dipende dalla scelta della frazione che li rappresenta. b. La divisione eÁ un'operazione interna a Q0 . c. La somma di n numeri razionali assoluti eÁ zero solo se ciascun addendo eÁ zero. d. Il prodotto di n numeri razionali assoluti eÁ zero solo se eÁ zero ciascun fattore del prodotto. e. Se il prodotto di n numeri razionali eÁ zero, almeno uno dei fattori eÁ zero. f. Il prodotto e il quoziente di due numeri razionali assoluti dipendono dalla frazione scelta per rappresentare ciascuno di essi. a c e sono equivalenti se: b d a. ac bd b. ad bc
V
F
V
F
V
F
V
F
V
F
V
F
V
F
V
F
V
F
V
F
V
F
V
F
3 Le frazioni
c. a d b c
2 4 Indica quali fra le seguenti frazioni sono equivalenti a : 3 4 4 6 8 a. b. c. d. 9 6 9 27
e.
12 9
d.
f.
a c d b 8 12
g.
11 33
5 Dopo aver ricordato quando due frazioni sono equivalenti, considera le seguenti proposizioni: le frazioni 7 e 5 appartengono a gruppi di equivalenza diversi 8 6 le frazioni 4 e 5 appartengono allo stesso gruppo di equivalenza 12 15 le frazioni 4 e 6 rappresentano lo stesso numero razionale 6 8 ¯ ad ogni gruppo di equivalenza appartengono infinite frazioni che rappresentano lo stesso numero razionale. Di esse si puoÁ dire che: a. sono tutte vere b. sono tutte vere tranne la ® c. solo la ¯ eÁ falsa
346
Tema 1 - Cap. 3: GLI INSIEMI
ER
Q ISTITUTO ITALIANO EDIZIONI ATLAS
6 Riferendoti alla rappresentazione di Qa su una semiretta orientata r, stabilisci se le seguenti proposizioni sono vere o false: V F a. a due frazioni equivalenti corrisponde lo stesso punto su r 4 V F b. al numero 1,3 e al numero corrispondono punti diversi 3 V F c. ai numeri 0,01 e 0,01 corrisponde lo stesso punto 1 corrisponde lo stesso punto. V F d. ai numeri 0,05 e 20 7 Barra vero o falso. a. Se un numero decimale eÁ periodico, ha un numero illimitato di cifre decimali. b. Qualunque frazione che daÁ origine a un numero decimale finito ha per denominatore un numero divisibile per 5. c. Qualunque frazione decimale ha per denominatore un numero che eÁ una potenza di 10. d. Qualunque frazione decimale, una volta ridotta ai minimi termini, ha per denominatore un numero che nella sua scomposizione contiene solo potenze del 2 o del 5. e. Se nella scomposizione del denominatore di una frazione ridotta ai minimi termini compare una potenza del 3, la frazione daÁ origine ad un numero decimale periodico.
V
F
V
F
V
F
V
F
V
F
8 Senza eseguire le divisioni, individua fra le seguenti frazioni quali danno luogo a numeri decimali finiti e quali a numeri periodici: 25 b. 7 c. 7 d. 21 e. 13 f. 8 g. 9 a. 6 14 8 12 7 5 15 9 Associa ad ogni numero decimale la propria frazione generatrice:
¬ 2,3 a.
41 18
1,4
® 2,27
¯ 1,06
b. 35 33
c. 7 3
d. 7 5
10 Stabilisci se le seguenti coppie di frazioni sono equivalenti: 10 16 ; 3 12 ; 1 6 ; 65 39 ; 15 24 8 30 6 36 25 15
12 60
5 30
11 Stabilisci quali fra le seguenti frazioni sono equivalenti fra loro: 3 12 9 3 16 2 15 36 32 10 5 18 4 9 12 12 12 8 20 48 24 40 20 24 12 Inserisci il termine mancante in modo che le due frazioni date siano equivalenti fra loro: 6 :::: ; :::: 12 ; 14 21 ; 8 :::: ; 25 :::: 54 18 8 16 :::: 9 15 45 15 12 13 Scrivi almeno tre frazioni che siano equivalenti a ciascuna di quelle date: 4 3 13 9 26 12 24 8 7 8 11 14 7 9 12 9 Riduci ai minimi termini le seguenti frazioni. 14
910 ; 1820
1120 ; 384
Q ISTITUTO ITALIANO EDIZIONI ATLAS
1170 ; 1320
135 ; 81
54 126
Tema 1 - Cap. 3: GLI INSIEMI
ER
347
15
3465 ; 1980
31200 ; 15210
1870 ; 170
126 ; 147
85 102
16
300 24 ; 100 4
15 9 ; 75
100 36 ; 10 6
50 2 ; 50 10
70 2 70 20
Riduci i seguenti gruppi di frazioni allo stesso denominatore. 4, 1, 2 1, 3, 7 2, 5, 1 17 5 3 9 2 4 8 9 3 6 4, 3 ,1 5, 9, 8 3, 1,2 18 7 14 9 5 15 8 6 5, 5, 5 2 , 4 , 5 3, 1 , 1 19 2 6 9 2 4 27 81 6 Riduci le frazioni dei seguenti gruppi allo stesso denominatore dopo averle eventualmente semplificate. 3 , 7 , 11 2 , 9 , 13 4, 1, 1 20 2 4 22 14 8 4 5 2 3 21
3 3 2 , , 8 2 3
7 5 4 , , 11 121 22
2,
1 3 , 5 10
22
5, 8, 1 3 6
17 , 1 , 3 15 10 24
4, 8, 4 5 6 10
Stabilisci se eÁ possibile ridurre le frazioni elencate di seguito ad avere il denominatore indicato. 23
ESERCIZIO GUIDA a.
3 4
b. 7 9
denominatore 20
denominatore 24
a. Poiche 20 eÁ multiplo di 4 la riduzione eÁ possibile e si applica la proprietaÁ invariantiva: 3 35 15 . 4 45 20
b. poiche 24 non eÁ multiplo di 9 la riduzione non eÁ possibile. 24
2 denominatore 15 5
1 denominatore 48 6
25
3 denominatore 25 7
4 denominatore 130 5
26
1 denominatore 38 2
6 denominatore 33 9
27
8 denominatore 27 12
8 denominatore 32 12
d
Scrivi sotto forma di numero decimale le seguenti frazioni. 7 11 3 21 32 1422 28 , , , , , 10 10 100 102 103 105 29
348
4 , 1000
6 , 200
97 , 103
82 , 104
Tema 1 - Cap. 3: GLI INSIEMI
1348 , 102 ER
2725 104 Q ISTITUTO ITALIANO EDIZIONI ATLAS
Trasforma le seguenti frazioni in numeri decimali. ** , 15 , 13 , 63 , 1, 45 , 27 , 30 4 2 25 20 50 8 16
91 80
31
2, 9
17 , 6
41 , 27
18 , 14
19 , 24
6, 13
5, 11
4 17
32
7, 5
8, 3
24 , 12
7, 8
21 , 23
14 , 15
18 , 50
25 32
Dopo averle eventualmente semplificate, stabilisci se le seguenti frazioni danno origine a numeri decimali finiti o periodici; trova poi il numero decimale corrispondente. 33
ESERCIZIO GUIDA 7 12
poiche 12 22 3,
la frazione daÁ luogo ad un numero periodico misto.
34
36 , 7
43 , 8
40 , 6
4 , 30
25 , 60
3 , 12
3 , 8
13 25
35
17 , 6
9 , 12
4 , 22
16 , 38
8 , 92
28 , 56
11 , 12
35 45
36
3 , 14
7 , 5
28 , 21
72 , 15
14 , 35
29 , 35
13 , 6
1 , 8
95 38
37
8 , 30
6 , 22
9 , 5
3 , 6
5 , 14
38 , 19
7 , 20
1 , 4
14 35
Trasforma nella frazione corrispondente i seguenti numeri decimali. 38 0,21;
5,32;
53,2;
98,74;
0,03;
0,0005
39
2,3;
0,45;
3,012;
6,213;
8,285714;
6,81
40
0,7;
14,5;
8,73;
18,3;
1,714285;
0,0001
41 0,01;
1,9;
17,34;
0,25;
2,5;
45,37
Confronta le seguenti coppie di frazioni e inserisci correttamente il simbolo o >. 42
ESERCIZIO GUIDA 12 15 :::: 7 8 Confrontiamo le due frazioni mediante il prodotto incrociato: 12 15 . Poiche 96 eÁ minore di 105, possiamo concludere che 7 8
12 8 96
43 3 ..... 5 2 6
13 ..... 11 11 13
7 ..... 12 8 13
8 ..... 5 3 4
44 5 ..... 26 5
15 ..... 28 7 4
14 ..... 17 5 3
11 ..... 2 6
Q ISTITUTO ITALIANO EDIZIONI ATLAS
15 7 105
Tema 1 - Cap. 3: GLI INSIEMI
ER
349
45 Scrivi i seguenti numeri razionali assoluti in ordine crescente: 1 3, 4, 1, 7 ; b. 25 , 1 , 1, a. , 2 4 5 6 10 3 5 c. 15 , 7
4, 5
12 7
46 Scrivi i seguenti numeri razionali assoluti in ordine decrescente: 4 3 , 1 , 2, 8 ; b. 15 , 20 , 3 , a. , 8 7 25 3 14 14 4
5, 3
18 15
c.
2 , 5
1 , 2
1 , 3
5, 6
4 , 5
9; 10
d. 3 , 8
6 ; 13
d.
9 , 8
12 , 2
3
36 , 45
2,
1, 3
20 , 8
12 , 5
10 , 9
13 , 6
21 15
47 Scrivi in ordine crescente i seguenti numeri decimali senza trasformarli in frazione: a. 0,71
1,48
2,3
1,7
1,7
2,3
2,35
1,47
1,472
b. 8,41
0,3
0,312
0,31
4,2
8,39
8,28
8,396
4,2
LE OPERAZIONI IN Qa
la teoria eÁ a pag.
48 Nell'insieme dei numeri razionali assoluti sono operazioni interne: a. l'addizione
b. la sottrazione
c. la moltiplicazione
d. la divisione
3 5 1 Á e: 4 8 6 c. 18
d. nessuno dei precedenti
49 Il :c:m: che deve essere calcolato per eseguire a. 24;
b. 48
a c normalmente si eseguono prima le opportune semplificazioni e poi si eseb d gue il prodotto. Si puoÁ semplificare: V F a. solo a con b e c con d V F b. a puoÁ essere semplificato sia con b che con d V F c. c si puoÁ semplificare solo con b V F d. a si puoÁ semplificare con tutti gli altri numeri.
50 Per eseguire il prodotto
3 1 : equivale a: 4 2 3 1 3 b. 2 a. 4 2 4 1 4 equivale a: 52 L'espressione 1 5 4 1 a. b. 5 20 51 L'espressione
c.
4 1 3 2
d. nessuna delle precedenti
c.
5 4
d. nessuna delle precedenti
53 Se moltiplichi due numeri razionali assoluti minori di 1, cosa puoi dire del loro prodotto? 54 Se moltiplichi due numeri razionali maggiori di 1, cosa puoi dire del loro prodotto? 55 Se moltiplichi due numeri razionali assoluti a e b tali che a > 1 e b 1, puoi dire qualcosa sul loro prodotto?
350
Tema 1 - Cap. 3: GLI INSIEMI
ER
Q ISTITUTO ITALIANO EDIZIONI ATLAS
56 Esegui le seguenti addizioni ed eventualmente semplifica il risultato ottenuto: 3 5 7 3 4 6 1 1 5 3 4 4 8 8 5 5 5 2 2 2 57 Esegui le seguenti addizioni dopo aver ricondotto le frazioni allo stesso denominatore; semplifica poi eventualmente il risultato ottenuto: 1 3 4 1 3 1 4 3 1 1 2 4 5 6 8 2 5 2 4 58 Esegui le seguenti sottrazioni ed eventualmente semplifica il risultato ottenuto: 5 3 6 4 5 1 2 8 2 1 6 6 7 7 3 3 3 5 5 5 59 Esegui le seguenti sottrazioni dopo aver ricondotto le frazioni allo stesso denominatore; semplifica poi eventualmente il risultato ottenuto: 9 1 15 7 1 1 1 5 1 3 4 6 8 6 2 3 4 6 60 Esegui le seguenti addizioni e sottrazioni: 3 1 5 2 6 2 4 2 8 5 10 15
61 62 63 64 65 66 67 68 69 70
4 2 1 9 3 6
7 4 7 8 5 20
Semplifica le seguenti espressioni. 25 1 2 1 5 12 2 3 8 24 3 1 7 1 1 4 2 6 3 4 5 6 17 3 9 11 4 16 8 8 5 10 3 5 1 1 1 2 4 2 3 6 1 1 1 1 1 3 2 2 3 2 4 6 3 4 2 5 1 2 1 3 2 1 2 5 6 3 5 2 5 5 4 " # 2 1 1 1 1 3 1 2 2 3 6 3 4 3 4 # " 1 13 7 1 3 2 1 11 1 3 5 15 4 2 4 6 5 6 " # 7 5 1 1 13 5 31 3 1 2 3 4 3 6 9 36 ( " #) 5 7 21 4 9 5 7 11 5 2 4 20 3 10 4 20 30 15
Q ISTITUTO ITALIANO EDIZIONI ATLAS
Tema 1 - Cap. 3: GLI INSIEMI
5 6 [3]
19 40
7 4
11 3
5 4 0
8 15
4 6 5 ER
351
71
72
73
74
) 4 6 2 2 5 7 1 1 * 5 11 55 11 12 20 4 12 " # 3 5 1 1 1 2 3 2 1 7 1 2 4 2 3 2 3 4 3 4 8 24 ( # " ) 5 9 93 35 11 23 3 1 1 2 2 4 8 2 4 2 3 24 4 " # 3 1 1 3 5 1 1 1 5 7 3 1 4 3 5 4 2 3 6 10 10
1 10
1 2 0
43 5
75 Esegui le seguenti moltiplicazioni: 3 12 7 20 8 15 10 21
12 15 5 6
9
76 Esegui le seguenti divisioni: 5 : 10 9:1 3 9 2 4
8 : 12 5
5 : 15 6
5 12
1 4 8
7 : 14 11 22
77 Metti il termine che manca al posto dei puntini: 3 ::: 1 7 ::: 2 ::: 1 1 4 12 2 6 ::: 3 ::: 4
5 ::: 0 9 :::
78 Metti il termine che manca al posto dei puntini: 5 15 2 3 9 1 ::: 5 3 : : : 4 ::: 3 4 ::: 2 ::: 6 4
1 ::: 3 : 2 ::: 10
79 80 81
82
Semplifica le seguenti espressioni. 11 1 2 10 1 6 9 4 2 11 9 4 2 3 1 1 4 11 2 3 4 6 3 9 6 1 12 1 1 7 3 1 1 12 : 1 : : 4 7 7 6 4 2 4 4 49 " # " # 71 1 15 4 12 : 31 1 1 1 21 4 4 1 8 : : 6 4 4 12 9 29 4 2 4 5 3 2 5 5 7
19 8 20 3 1 55 251 12 2 23 3 15 3 5 2 2 2 5 6 3 5 15 60 " # (" # ) 3 1 1 9 2 48 51 1 1 3 32 6 1 84 : : 7 21 3 4 16 7 7 8 2 4 5 2 3 5 10 " # 1 6 41 49 : 7 16:6 5 11 85 7 3 : 4 : : 5 5 7 9 3 8 4 6 18 83
352
0 3 8 5 7 3
Tema 1 - Cap. 3: GLI INSIEMI
ER
1 1 7
11 18
Q ISTITUTO ITALIANO EDIZIONI ATLAS
86
87 88 89 90
91 92
("
5 5 2 3 4
) # 2 1 3 2 5 3 1 1 2 : 4 3 2 5 3 3 4 2 4
3 2
1 11 21 5 93 1 1 4 6 : : : 2 2 36 12 2 4 4 2 31 " # 1 13 71 5 2 1 6 5 5 1 5 14 : 4 4 8 8 2 4 5 30 4 10 5 1 1 1 11 1 7 12 2 7 8 5 1 19 : : 5 15 30 8 5 40 5 15 30 5 2 10 2 ( ) 2 2 1 11 1 7 12 2 7 5 5 10 1 : : 5 15 45 8 5 40 5 15 30 4 2 9 3 ( ) 4 3 5:13 41 1:11 1 3: 4 :9 1 : 1 5 15 6 3 4 3 3 4 8 2 5 7 14 2
0 0 1
10 3
2 3
ESERCIZIO GUIDA 5 3 5 0,3 0,5 0,2 1,6 1,5 4 3 4
Trasformiamo prima di tutto i numeri decimali in frazione: 1 3 5 3 2 5 16 1 15 2 4 3 9 10 4 9 10
Semplifichiamo le frazioni ottenute: 13 5 11 5 53 2 4 3 3 5 4 3 2
Prosegui da solo.
93
94 95 96 97 98 99
"
5 1,6 9
# 2 : 1 0,16 0,63 : 0,45 4 0,6 3 15
5 12
3
2 2 5 1 27 0,75 0,5 : 1 0,25 : 0,4 0,5 : 0,5 4 9 3 4 25 2 1 0,111 0,25 6 0,5 [0] 1,1 : 0,83 11 4 1 1 10 1,5 1,6 0,5 0,6 3,3 1,6 1 0,16 0,125 : 3 4 2 9 1 53 1,6 0,5 0,75 0,16 0,083 3,3 0,83 3 2 4 8 26 0,6 : 3,75 : 1,6 0,083 0,75 : 1,6 0,083 0,75 : 0,16 0,6 15 5 h i 8 0,75 0,6 0,83 : 12,5 2,4 0,6 0,25 0,8 0,3 : 1,2 1 : 0,16 0,25 10 5 2
Q ISTITUTO ITALIANO EDIZIONI ATLAS
Tema 1 - Cap. 3: GLI INSIEMI
ER
353
100
ESERCIZIO GUIDA
1 12 1 1 : 1 4 7 7 6 7 3 1 1 12 : 4 2 4 4 49
Si tratta di una frazione a termini frazionari; svolgiamo prima di tutto le due espressioni al numeratore e al denominatore: 1 123 1 : 7 3 1 7 24 24 4 6 : 41 7 7 6 7 7 6 49 49 7 7 3 15 5 12 1 1 1 12 1 1 12 1 12 : 4 1 49 41 49 4 4 4 49 4 4 49 4 49 Trasformiamo la frazione doppia in una frazione semplice e completiamo il calcolo: 24 : 15 24 49 8 49 49 49 15 5 4 1 3 5 3 7 4 3 : 5 6 4 8 2 4 9 2 101 12 1 9 10 : 9 5 3 5 4 8 3 10 4 " # 1 5 2 1 1 1 7 5 1 : 3 6 5 10 2 30 15 3 5 102 5 9 9 31 25 63 1 2 8 16 15 12 20 2 7 31 5 31 : 2 2 4 4 8 4 2 19 1 1 5 1 1 5 8 4 2 8 5
2 7 103
1 1 3 1 : 1 2 2 4 : 2 2 5 3 5 11 121 104 (" # ) 3 5 1 1 3 2 7 : 3 2 4 2 3 20 5 4 1 8 : 511 10 15 9 6 2 3 14 1 3 105 : 7 15 10 10 3 1 7 1 5 2 10 4 11 3 11 2 3 1 1 1 1 1 1 1 6 2 4 1 3 : 2 3 3 3 7 6 7 20 6 106 6 : 7 7 51 4 5 15 1 2 5 1 1 2 1 11 3 5 4 2 3
354
Tema 1 - Cap. 3: GLI INSIEMI
ER
12 5
8 5
1 2
3
2
1 2
Q ISTITUTO ITALIANO EDIZIONI ATLAS
1 7 4 1 1 1 3 :5 1 5 3 5 2 3 21 107 : 2 1 3 1 1 1 1 4 2 4 2 3
7 20
9 4 1,5 0,5 0,3 9 1,5 0,2 5 3 108 11 1,2 : 0,2 2 12
12 17
1 0,3 0,06 0,6 3,3 0,8 1,2 2 109 5 1 2,6 0,5 1 0,625 2,4 : 0,3 0,25 4 6
6 25
5 0,3 1,75 31 110 8 0,36 0,53 1,35 0,416 5 2 3 1 1 1 3 6 1 6 7 1,5 : 3 6 2 3 7 2 10 5: 111 4 : 27 3 0,5 1 3 1 0,5 1 4 3 2 0,5 1,5 : 0,16 7 0,75
26
1 2
Calcola le potenze indicate. 2 4 3 3 2 3 112 4 3 5 2 3 0 1 2 5 1 113 1 2 2 3 4 Semplifica applicando le proprietaÁ delle 2 3 0 2 2 2 ; 114 5 5 5 " #2 2 0 1 1 1 : 115 ; 7 7 7 " #0 " #3 3 2 4 1 1 1 : 116 6 6 6 Semplifica 1 2 117 2 3
5 1 2 1 1 3 6
0 3 2 4 2 1 3
1 5 4 2 3 6 2 4
potenze. 6 2 7 3 3 3 : 4 4 4 3 " 2 #6 13 5 5 5 : 3 3 3 4 " 5 #2 " 7 #2 2 2 2 : 3 3 3
" # 5 2 ; 3 5 4 " # 3 1 ; 25 7 9
le seguenti espressioni che contengono anche potenze. 2 3 3 2 1 1 : 1 4 3 4 6
Q ISTITUTO ITALIANO EDIZIONI ATLAS
Tema 1 - Cap. 3: GLI INSIEMI
1 ;1 36
ER
12 5
355
"
3 2 # &3 3 1 118 : 1 2 8 2 2 9 8" 2 2 2 #2 2 = < 2 1 1 1 1 3 : 1 119 1 1 5 : 2 5 6 2 5 ; 120
121
("
122
123 124 125
126
127
128
23 : 12 3 2
52 4 3
2 i 4 0,75 0,6 : 0,3 26 0,3 1,7 1 5 1,083 : 33 : 2,3 6 9
Tema 1 - Cap. 3: GLI INSIEMI
ER
5 3
(" ) 2 # 2 3 17 2 1 3 23 2 32 32 : 3 17 13 5 22 36 3 10 5 2 10 6 30 4 3 9 8 2 2 " 2 2 !#2 = < 17: 2 3 3 2 1 3 11 3 : : 1 ; 9 9 :5 16 5 15 3 5 8 4 3 2 5 11 1 : 1 1 0,4 1,8 : 1,3 0,16 : 0,83 4 2 4 3 " #2 2 2 2 4 4 2 3 22 1 1,8 0,5 : 0,5 2 0,6 2,25 11 : 5 5 5 12 2 7 3 7 2 5 : :3 :2 :3 2 14 2 7 12 2 3 10 4 1 2 : 8 15 9 3 " # 3 3 3 1 3 22 4 79 2 5 2 : 2 1 5 3 2 5 1 " # 4 5 3 6 3 1 1 4 3 : 3 1 : 12 8 2 3 2 2 1 1 4 1 2 7 1 2 3 5 6 3 15 11 5 2 1 1 3 2 2 5 :5 1 3 6 3 2 3
h
1 10
1
# 2 ) 3 1 5 1 2 10 5 1 1 1 : 1 2 3 2 3 3 3 6 2 2
9 4 1,5 0,5 0,3 9 1,5 0,2 5 3 129 11 1,2 : 0,2 22 12
356
2 " 2 #0 2 11 7 10 10 10 : : 20 4 7 7 7
130
7 9
11 12
2 3
1 10
1 40
5 8
1 5
1 5
6 17
16 27
Q ISTITUTO ITALIANO EDIZIONI ATLAS
3 7 * 0,25 0,4 0,5 2,75 1,250,5 0,2 4 12 131 14 1,6 3 1 0,6 : 2 3 0 12 3 1 " 2 #0 1 B4 3 C 3 2 1 3 3 C 132 B @ 1 2 1 3A 7 7 7 2 3 8
1 5
2
32 23 5 2 2 6 12 : 4 3 7 2 6 7 3 7 2 133 1 :6 4 5 7 5 11 7 20 4 2
0
IL CALCOLO PERCENTUALE E LE PROPORZIONI
la teoria eÁ a pag.
134 Il 15% di E 128, approssimato al centesimo di euro eÁ uguale a: a. 19,20 b. 853,33 c. 1,92 d. nessuno dei precedenti 135 Su un prezzo di E 78 eÁ stato praticato uno sconto di E 19,50. La percentuale di sconto eÁ pari al: a. 16% b. 18% c. 20% d. 25% 136 Considerata la proporzione : c : d indica quali fra quelle elencate di seguito sono ancora proporzioni: a. b : a c : d b. d : c b : a c. a : c b : d d. d : b a : c e. a k : b k c k : d k 137 Il quarto proporzionale dopo i numeri 3, 5, 9 eÁ: a. 1 b. 25 c. 5
d. 15
138 Il medio proporzionale fra 8 e 18 eÁ: a. 6 b. 9
d. 144
c. 12
139 Il 5% del 10% di una quantitaÁ x eÁ uguale a: a. 50% di x b. 0,5% di x c. 0,05% di x
d. nessuno dei precedenti
140
ESERCIZIO GUIDA Calcoliamo il 5% di 2720: 5 5 Ricordiamo che questa percentuale corrisponde alla frazione ; dobbiamo quindi calcolare i 100 100 di 2720: 5 2720 136 100
Q ISTITUTO ITALIANO EDIZIONI ATLAS
Tema 1 - Cap. 3: GLI INSIEMI
ER
357
141 Calcola le seguenti percentuali: 3% di 72 5% di 275 15% di 595 10% di 220 0,7% di 84; 0,2% di 134
7% di 84 1,3% di 72 1,2% di 1500
12% di 214 2,5% di 275 3,2% di 2486
142 Calcola " conoscendo la sua parte percentuale: 130 eÁ il 5% di " 9 eÁ il 20% di " 75 eÁ il 3% di " 33 eÁ il 15% di " 60 eÁ il 2,5% di " 360 eÁ lo 0,6% di " 15 eÁ il 3,2% di " 94 eÁ l'1,6% di " 36 eÁ lo 0,45% di " 1 eÁ il 2,5% di " [2 600; 45; 2 500; 220; 2 400; 60 000; 468,75; 5 875; 8 000; 40] 143 Completa inserendo il tasso percentuale, eventualmente approssimato al centesimo: 24 eÁ il .....% di 600 52 eÁ il .....% di 208 35 eÁ il .....% di 315 112 eÁ il .....% 448 120 eÁ il .....% di 384 115 eÁ il .....% di 460 36 eÁ il .....% di 400 738 eÁ il .....% di 3690 4%; 25%; 11,11%; 25%; 31,25%; 25%; 9%; 20%
Risolvi i seguenti problemi sulle percentuali. 144 Chiara va a comprare un vestito, ma eÁ incerta su due modelli che le piacciono molto; decide quindi di acquistare quello che costa di meno. Il prezzo del primo modello eÁ di E 160, quello del secondo di E 215 ma ha uno sconto del 30% perche eÁ l'ultimo capo rimasto. Quale dei due acquisteraÁ Chiara? [il secondo ad un prezzo di E 150,50]
145 Un vasetto di maionese di una nota marca contiene il 70% di olio di semi di girasole e il 9,5% di uova fresche pastorizzate con tuorlo. Se il contenuto del vasetto eÁ di 250ml, qual eÁ il contenuto delle due so[olio: 175ml; uova: 23,75ml] stanze? 146 Carlo e Anna si siedono al tavolo di un bar per un aperitivo. Carlo vorrebbe bere un negroni che costa E 6, Anna un analcolico che costa E 3,5. I due insieme hanno solo E 10; saranno sufficienti se il ser[si, il totale eÁ E 9,975] vizio al tavolo eÁ pari al 5% del conto? 147 In una classe di 30 alunni, la componente femminile eÁ il 20%. Il 25% della componente maschile gioca a 6 pallacanestro. Calcola quanti sono i giocatori di pallacanestro. 148 Al termine dell'anno scolastico il Ministero della Pubblica Istruzione ha comunicato che, in media, nella secondaria superiore sono stati respinti il 12% degli alunni. Se una scuola di 1 200 alunni rispecchia 144; 1056 esattamente questa media, quanti sono i respinti e quanti i promossi? 149 Due fratelli decidono di comperare un immobile del valore di E 360 000; se il primo contribuisce alla 58,33% spesa con E 210 000, a quale percentuale di proprietaÁ ha diritto? 150 Ad un concorso sono iscritti 500 partecipanti ma se ne presentano soltanto 360; fra questi solo 234 vengono dichiarati idonei. Calcola la percentuale dei partecipanti e, fra questi, quella degli idonei sia rispet72%; 46,8%; 65% to al totale degli iscritti, sia rispetto a quelli che si sono presentati. 151 Gli ottoni cosiddetti binari sono costituiti da una lega di rame e zinco in diverse percentuali. Una presenza di zinco variabile fra il 10% e il 20% viene usata in bigiotteria perche in questo caso l'ottone eÁ molto plastico e ha una colorazione simile all'oro; percentuali maggiori di zinco danno alla lega caratteristiche di maggiore resistenza e questi ottoni vengono usati per realizzare tubi, laminati ed oggetti vari. Un artigiano crea gioielli di bigiotteria usando un tipo di ottone che ha il 16% di zinco e oggetti per l'arredo con un ottone al 36% di zinco. Calcola quanto zinco e quanto rame sono contenuti in ciascuno dei seguenti oggetti: a. una collana del peso di 152g b. un braccialetto del peso di 36g c. un portavaso del peso di 1,2kg d. un portagiornali del peso 800g. [a. 24,32g zinco e 127,68g rame; b. 5,76g e 30,24g; c. 432g e 768g; d. 288g e 512g]
358
Tema 1 - Cap. 3: GLI INSIEMI
ER
Q ISTITUTO ITALIANO EDIZIONI ATLAS
152 Oggi il prezzo della benzina verde al litro eÁ salito da E 1,36 a E 1,40. Qual eÁ il tasso percentuale di 2,94% rincaro? 153 Per rinnovare la patente, un'agenzia di pratiche automobilistiche applica una tariffa di E 63 a cui si devono aggiungere E 27 per la visita medica. Se poi si vuole andare senza appuntamento bisogna aggiungere un 5% al totale precedente. Quanto viene a costare in questo caso il rinnovo della patente? [E 94,50]
154 I residenti nel comune di Vattelapesca al 31 dicembre 2009 erano 81 432 con un aumento di 810 unitaÁ 0,01% rispetto a fine 2008. Qual eÁ stato l'aumento percentuale? 155 Una ditta su ogni somma che, a vario titolo, versa ad un suo collaboratore, trattiene il 5% per un fondo pensione e, sulla somma residua, l'8% per un'assicurazione che copre cure mediche. Quale percentuale 87,4% della somma percepita il dipendente incassa realmente? 156 In un laboratorio chimico vengono preparati 162kg di una soluzione concentrata al 22,8%, il che significa che il 22,8% di questa soluzione eÁ la parte di soluto, il rimanente eÁ quella di solvente. Quanti chi[125,064kg] logrammi di solvente vi sono contenuti? 157 Per aprire un conto corrente depositi E 2 100; dopo un mese ne depositi ancora 3 000 e dopo un altro mese altri 5 000. Il tasso annuo di interesse sui depositi di quella Banca eÁ del 2,5% e gli interessi vengono corrisposti ogni quadrimestre. Qual eÁ il saldo del conto corrente dopo il primo quadrimestre se non hai [E 10 157,08] mai fatto prelievi? 158 Un rappresentante ha una percentuale del 4,5% sul fatturato mensile delle vendite. Ai nuovi clienti egli offre la merce che propaganda con uno sconto dell'1%. Nel mese appena passato egli ha venduto merce per un importo di E 32 500 ai suoi clienti abituali e E 18 600 a quelli nuovi. Sulla somma effettivamente percepita egli paga poi le tasse con una aliquota del 36%. Quale somma gli rimane? [E 1466,32]
159 Da un'indagine di mercato, condotta su un campione di 1 500 persone, eÁ risultato che il 18% non ha mai pagato con una carta di credito, un bancomat o una carta prepagata; il 35% usa solo le carte (di credito, bancomat o prepagata) e i rimanenti usano, in diverse proporzioni, tutte le forme di pagamento. Di quest'ultimo gruppo peroÁ, il 40% non usa le carte prepagate. Quante sono le persone che, complessivamente, usano le forme elettroniche di pagamento e quante quelle che non usano le carte prepagate? [1230; 282]
Trova il termine incognito delle seguenti proporzioni. 160
ESERCIZIO GUIDA x : 12 24 : 8 Applicando la proprietaÁ fondamentale ricaviamo che
161 3 : x 4 : 12
1 : 3 8 :x 9 2 15
162 2 : 7 x : 21
5:x2: 1 5 1 2 :x 1: 5 3 2
163
1 1 3
:5 3
1 1 :x 4
Q ISTITUTO ITALIANO EDIZIONI ATLAS
x
12 24 36 8 9; 36 5 6; 1 2 15 5 ; 16 6
Tema 1 - Cap. 3: GLI INSIEMI
ER
359
2 5 164 " : 1,2 1 : 3 9 1 4 1 165 2 :" : 1 3 3 2 3 166 1 " : " 1 : 4
1 : " 3,2 : 2
4 6 9
2,3 : " 3,8 : 2,1
(applica la proprietaÁ dello scomporre)
1 : 3 2 " : " 2 4 1 1 169 " :" :3 6 8 168
" 14 : 14 " : 7
170 Calcola il medio proporzionale fra i seguenti numeri: 12 e 3 3 e 27 18 e 72 3 27 e 50 2
75 3 e 8 2
11 ; 1 3
5 ; 35 8 27
3 8; 3 4 6; 1 5 23 4 ; 14 23
3 " : " 15 : 5 3 : 1 "1 :" 4 9 4
167 8 " : " 12 : 6
2 32 e 9 25
36 e 4 5 20 e 12 3
171 Applicando opportunamente le proprietaÁ del comporre e dello scomporre, trova i valori dei termini incogniti nelle seguenti proporzioni: a. " : # 5 : 2 sapendo che " # 14 " 10, # 4 b. " : # 7 : 3 sapendo che " # 20 " 14, # 6 c. " : # 8 : 5 sapendo che "# 6 " 16, # 10 d. " : # 11 : 9 sapendo che "# 8 " 44, # 36 e. " : # 9 : 7 sapendo che " # 32 " 18, # 14 Risolvi i seguenti problemi sulla proporzionalitaÁ. 4 172 La somma di due numeri eÁ 26 e il loro rapporto eÁ . Quali sono i due numeri? 9
[8,18]
173 Una ditta compra 80q di merce e paga E 57,60; quanto deve preventivare per comprare alle stesse con[E 79,20] dizioni 110q di quella merce? 174 Quando si fanno delle interviste telefoniche 2 volte su 10 la persona chiamata si rifiuta di rispondere e 3616 riappende il telefono. Su 4520 chiamate, quante persone risponderanno alle domande? 175 Una ricetta per fare il pane daÁ queste indicazioni: 800g di farina 0,30g di lievito di birra 3,5dl di acqua 0,5dl di olio 2 cucchiaini di sale Se si utilizza 1,5kg di farina come si modificano le dosi degli altri ingredienti? [0,56g lievito, 6,56dl acqua, 0,94dl di olio, meno di 4 cucchiaini di sale]
176 Il rapporto fra i laureati in medicina e i laureati in ingegneria in un certo anno eÁ stato di 7 a 3 e i laureati quell'anno nelle due facoltaÁ sono stati 840. Quanti si sono laureati in medicina e quanti in ingegne[588 in medicina, 252 in ingegneria] ria? 177 In una biblioteca ci sono complessivamente 12 000 libri. Il rapporto fra i libri di autori italiani e di autori stranieri eÁ di 5 a 7, mentre, tra i libri di autori stranieri, il rapporto fra quelli di lingua inglese e gli altri eÁ di 2800 3 a 2. Quanti sono i libri di autori non italiani e non di lingua inglese?
360
Tema 1 - Cap. 3: GLI INSIEMI
ER
Q ISTITUTO ITALIANO EDIZIONI ATLAS
I NUMERI RAZIONALI RELATIVI
la teoria eÁ a pag.
178 Riferendoti alla rappresentazione di Q su una retta orientata, rispondi alle seguenti domande: a. Se a e b sono due numeri discordi ed a si trova a sinistra dell'origine, dove si trova b? b. Se a e b sono due numeri concordi ed a si trova a sinistra dell'origine, dove si trova b? Puoi dire se a precede o segue b? c. Se a e b sono due numeri concordi ed a si trova a destra dell'origine ed inoltre si sa che a > b dove si trova b? 4 1 7 8 179 L'espressione , togliendo le parentesi, equivale a: 5 2 4 5 a.
4 1 7 8 5 2 4 5
b.
4 1 7 8 5 2 4 5
c.
4 1 7 8 5 2 4 5
d.
4 1 7 8 5 2 4 5
180 Indica se le seguenti affermazioni sono vere o false: a. La somma di due numeri razionali discordi eÁ sempre uguale a zero. b. La somma di n numeri razionali eÁ zero solo se ciascun addendo eÁ zero. c. La somma di due numeri discordi eÁ sempre negativa. d. Il prodotto di due numeri concordi eÁ sempre positivo. e. Il prodotto di n numeri razionali concordi ha sempre lo stesso segno dei suoi fattori. f. La somma di n numeri concordi ha sempre lo stesso segno dei suoi addendi. 181
2 5
3
eÁ uguale a:
a.
125 8
b.
125 8
c.
8 125
d.
V
F
V
F
V
F
V
F
V
F
V
F
8 125
182 Supposto che a e b siano numeri razionali, stabilisci quali fra le seguenti uguaglianze sono vere e quali sono false: 4 a. a3 a0 1 2 6 b. a3 b 3 ab
c. a1
1 a
se a 0 3
d. a5 : a2 a 1 e. a2 : a3 a5
V
F
V
F
V
F
V
F
V
F
Scrivi gli opposti di ciascuno dei seguenti numeri razionali relativi. 2 3 3 184 4 183
112 7
0,3
0,07
15,309
15 11 112 415
0,01
0,03
7,13
13 14
185 Indica il valore assoluto dei seguenti numeri: 7 7; 5; ; 0,01. 0,3; 2,6; 4 Q ISTITUTO ITALIANO EDIZIONI ATLAS
Tema 1 - Cap. 3: GLI INSIEMI
ER
361
186 Scrivi il valore assoluto dei seguenti numeri, tenendo presenti le condizioni segnate a fianco. (Ad esempio 5 con 5 eÁ uguale a 5; per tali valori infatti 5 eÁ negativo). a. 2
c. 3
con
>2
con
> 3
b. 1
d. 2
con
1
con
> 2
187 Scrivi i seguenti numeri razionali in ordine crescente: 3 1 3 25 9 17 a. , , , , , 5 2 10 3 5 10 1 4 7 1 15 b. , , 1, , , , 6 5 8 3 4
188 Scrivi i seguenti numeri razionali in ordine decrescente: 9 11 12 7 1 1 a. , , , , , , 10 6 35 5 10 9 b. 4,
7 , 8
9 , 2
37 , 10
4 , 5
45 , 9
15 8
1 , 30
8 , 3
4 , 25
3
3 , 10
4
Scrivi i seguenti numeri in ordine crescente senza trasformarli in frazione. 189 0,06
0,1
0,88
0,83
0,061
0,837
0,1
0,8
190 5
1,6
4,91
4,913
1,7
1,55
4,936
1,5
0,032
0,03
191 0,3
0,3
0,32
0,023
0,02
Esegui le seguenti addizioni. 1 192 1 0,3 2,3 2 3 5 193 0,12 1,5 1,3 4 6 194 3,2 6,8 4,1 2,7 0,4 1 7 195 1,6 0,3 2 0,5 2 12 3 196 0,5 0,4 0,2 0,6 2 1 197 1,25 2,75 0,5 0,8 2
198 199 200 201
362
Esegui le seguenti sottrazioni. 5 1 1 5 0,7 0,3 0,2 6 6 9 2 1 3 3 1 2 4 5 10 1 5 0,375 1 0,8125 4 2 8 3 3 2 1 5 4 4 Tema 1 - Cap. 3: GLI INSIEMI
ER
0,033
7 6 9 44 8,2
7 12
14 9
7 10
13 18
1 4 21 16 3 5 Q ISTITUTO ITALIANO EDIZIONI ATLAS
202
203 204 205 206 207
208 209 210 211
212 213 214 215
216
) 5
1 8
1 10
1 20
Calcola le seguenti somme algebriche. 2 1 1 1 5 1 3 2 3 5 0,4 5 3 3 2 2 1 6 5 3 2 1 3 1,5 0,25 1,6 2 6 5 3 2 5 2 1 3 127 1 3 1 3 5 3 2 4 5 2 2 2 3 20 3 1 17 1 1,6 1 0,4 3 2 0,6 4 2 2 6 1 1 71 2 1 3 11 1 1,3 3 5 3 2 5 2 2 30
11 8
1 5 323 60 9 31 60 5 3
Calcola il valore delle seguenti espressioni togliendo le parentesi in una sola volta. 9 15 13 4 4 31 9 8 17 34 8 5 4 2 30 25 1 15 1 1 3 3 1 2 20 4 12 2 2 4 2 3 1 5 2 2 5 1 6 5 4 4 3 6 5 5 2 2 3 1 2 1 3 2 1 2 3 3 5 2 4 5 2
3 8 0 1 3 3 4
Calcola il valore delle seguenti espressioni contenenti anche moltiplicazioni. 1 1 2 1 3 2 3 4 1 1 2 3 3 2 2 4 5 3 2 13 1 1 2 114 1 13 2 1 4 2 6 2 4 2 3 4 3 2 6 8 35 1 2 5 12 1 10 3 1 6 5 2 0,6 1 28 4 5 7 3 5 3 7 7 14 2 8 " # 1 1 1 5 5 4 1 5 5 1 1 0,4 1 27 4 2 3 6 7 4 3 11 6 " # " # 2 1 1 1 37 15 5 3 3 8 20 1 2 1 35 2 1 1 24 5 4 2 4 8 2 8 3 4 2 3 11 5 3
Calcola il valore delle seguenti espressioni contenenti anche divisioni. 7 13 5 20 5 1 1 217 : : 3 12 6 12 4 2 2 1 1 7 7 3 4 1 : 12 218 : 15 6 5 12 10 Q ISTITUTO ITALIANO EDIZIONI ATLAS
Tema 1 - Cap. 3: GLI INSIEMI
1 2 2 3 ER
363
2 3 1 : 1 1 3 219 : 3 3 4 4 10 " # 63 7 1 1 25 4 : 220 : : 1 80 16 3 8 72 5 " # 13 : 1 2 1 7 3 : 2 1 : 1 3 2 221 5 5 2 3 2 5 15
222 223 224 225 226
227
228 229
230
2 9 4 3 9
Calcola il valore delle seguenti espressioni; nelle espressioni a termini frazionari, la linea di frazione principale eÁ stata evidenziata con una linea di spessore maggiore. ( " # ) 4 1 3 7 13 4 52 19 1 5 1 1 5 5 8 5 20 15 6 5 26 2 2 5 1 5 1 21 1 1 4 1 2 3 2 3 1 1 4 3 7 2 20 4 11 5 5 5 1 1 1 3 3 1 6 1 0 : : 2 2 4 16 2 4 8 7 5 3 2 2 9 1 2 20 0,3 1 : 1 1 : 4 199 5 3 5 5 10 3 " # 57 3 1 4 2 1 3 11 1 5 8 : 1 1 1 : 3 7 4 8 2 8 4 7 2 3 4 8 ( " #) 1 9 5 17 1 4 3 31 4 1 4 4 10 4 2 4 2 2 5 2 5 " # 5 5 1 7 11 4 1 1 3 1 11 2 1 0,6 : 1 1 6 4 2 4 12 4 3 6 3 4 12 ( " ) " # # 7 3 1 1 3 5 1,5 9 3 73 1 11 0 2 : : 1 2 2 14 2 2 4 2 4 2 2 ( ) 3 21 7 1 57 1 103 1 1 : 10 : 1 2 1 1 8 3 4 6 4 3 6 3 29
Calcola il valore delle seguenti espressioni che contengono anche numeri decimali. 1 3 4 1,6 3 17 231 0,75 1,75 0,16 0,0416 : 1 0,3 5 2 8 4 12 ( ) 1 1 0,25 : 1 0,2 11 232 1 0,2 : 1,6 0,1 0,6 9 2 3 3 9 233
234
n
364
impossibile]
1 0,375 2 0,125 0,0625 10 1 0,075 : 0,5 0,3 1,16 1,25 4 13 4
0,4
h
io 0,16 0,2 0,6 1,5 1,6 0,5 1,25 : 1 0,13 1,6 1 1,5 0,6 0,83 : 0,83 2,75 1,875 : 0,625
Tema 1 - Cap. 3: GLI INSIEMI
ER
16 45
1 3 5 11
Q ISTITUTO ITALIANO EDIZIONI ATLAS
Sviluppa le seguenti potenze con esponente positivo. 235
ESERCIZIO GUIDA 3 1 3
2 2 5
3 2
5
4 1 2
Ricordiamo la regola: l se l'esponente della potenza e Á pari, la potenza ha segno positivo l se l'esponente della potenza e Á dispari, la potenza ha il segno della sua base. Di conseguenza: 3 1 1 3 27 3
236
3 4
237
2 3
238
1 3 2 5
239
7 3 1 8 4 2
6
2
2 1 9 5 1 10
3
2 2 4 5 25
5 3 243 2 32
4 3 2 3 5 2 2 3 4 3 5 2 3 3 1 5 2 8 4 4 2 1 3 5 2 10
4 1 1 2 16
0 5 8 4 5 2 2 10 7 1 3 9 5 1 5 3 3 6 2
Sviluppa le seguenti potenze con esponente negativo. 240
ESERCIZIO GUIDA 3 1 2
2 2 3
3
1
Una potenza ad esponente negativo eÁ uguale alla potenza di esponente positivo dell'inverso della base; di conseguenza: 3 1 2 2 1 3 1 2 3 9 3 1 1 2 8 2 3 2 4 3 3 241
1 2
6
242 32 243
7 1 5 3
2
4 2 3 4 1 2 1 3 3 3 2 10 5
1 3 5 2 1 3 4 1 5 1 2 6 12
7 4
2
41
1 1 2 3
1
33
2 3 5 4 6
Semplifica le seguenti espressioni contenenti anche potenze. " #2 #2 " 10 1 1 1 5 1 1 2 7 2 : 3 244 1 2 1 8 4 9 3 16 4 3 5 5 3 ( " # ) " # 2 2 1 5 1 3 1 8 1 3 245 3 2 : 3 1 3 3 2 4 16 3 9 8 Q ISTITUTO ITALIANO EDIZIONI ATLAS
Tema 1 - Cap. 3: GLI INSIEMI
0 1 4 ER
365
#1 3 " 2 2 3 5 1 5 246 1 2 10 2 2 " # 2 2 3 2 1 357 1 3 27 5 1 247 3 2 4 4 8 2 8 3 3 9 8 " #2 2 3 = < 3 1 3 5 1 5 4 248 : 1; : 1 2 4 2 4 16 8 3
3 1 1: 5 2
8" <
249 :
3 4 1 10 5 2
1 15
8 8 3 4 3
94 2 2 #2 2 2 = 2 1 9 5 9 2 : 2 1 ; 3 5 5 2 10 3 10
8 5
# 2 ) 2 25 1 2 4 1 4 : 2 1 1 1 12 5 3 3 9 3 250 " # 2 2 1 5 1 1 25 7 1 1 1 : 2 3 2 4 2 2 12 4 6
251
("
"
821 3 5 4
2 # 11 5 5 12
7 1 3 8 5 10
40 1 3
88
3 1 5 3 1 1 : 4 12 6 4 2 3 1 4 3 1 8 2 5 7 4
[0]
Calcola il valore delle seguenti espressioni applicando le proprietaÁ delle potenze. 252
ESERCIZIO GUIDA 5 3 6 536 2 1 1 1 1 1 1 : 2 2 2 2 2 4
253
254
255
256
257
258
366
2 #5 " 3 #2 0 1 : 1 2 2 " # " 2 3 2 4 6 #1 1 1 1 1 4 4 4 4 9 8" 2 4 2 #3 9 = " 3 #2 < 5 5 5 5 5 : : : 6 6 6 ; 6 6 " 2 #5 " 2 4 #2 7 1 1 1 5 : : 5 5 5 9 8" 10 6 #2 " 8 3 #= 11 < 7 7 7 : 3 7 : : ; : 3 3 3 7 3 9 8 9 8" 4 2 3 #2 = 4 = 0
b. 0 < x < 10
c. 0 x 10
d. x < 10
366 Completa. a. In un problema si indica con x un numero intero; il suo successivo eÁ .............. b. Se x rappresenta la lunghezza di un segmento, la lunghezza di un segmento che eÁ la sua metaÁ si indica con ........... c. Se si vuole dividere il numero 10 in due parti e una di esse si indica con x, l'altra si indica con ............. d. Se x eÁ un numero, il suo doppio diminuito di 3 eÁ ................ e. Se x eÁ il perimetro di un rettangolo e un lato misura 8, l'espressione che rappresenta l'altro lato eÁ .................. f. Se il prodotto di due numeri eÁ 24 e uno eÁ x l'altro eÁ ............... g. Se di un numero si sa che supera di 8 il doppio di un altro numero x, l'espressione di questo numero eÁ ............... 367 Due angoli sono uno il triplo dell'altro; si vuole conoscere l'ampiezza dei due angoli. Per risolvere questo problema: a. le informazioni sono sufficienti b. mancano informazioni c. il problema eÁ impossibile. 368 Due angoli complementari sono uno il triplo dell'altro; si vuole conoscere l'ampiezza dei due angoli. Per risolvere questo problema: a. le informazioni sono sufficienti b. mancano informazioni c. il problema eÁ impossibile. 369 Di un rettangolo si conosce la misura dell'area e quella di un lato; si vuole trovare il suo perimetro. Per risolvere questo problema: a. le informazioni sono sufficienti b. mancano informazioni c. il problema eÁ impossibile. 370 Tre persone, che indichiamo con A, B e C, si mettono insieme per aprire un ristorante. A contribuisce con un capitale doppio di B che, a sua volta, mette a disposizione un capitale triplo di C meno E 2000. Se per aprire il ristorante servono E 94000 e se si indica con x il capitale di C, il modello del problema eÁ: a. 10x 94000 6000 b. 10x 4000 94000 c. 10x 6000 94000
514
Tema 3 - Cap. 1: LE EQUAZIONI
Q ISTITUTO ITALIANO EDIZIONI ATLAS
371
ESERCIZIO GUIDA Si deve dividere una pezza di stoffa lunga 54m in tre parti tali che ogni parte superi la precedente di 2,5m; quanto eÁ lunga ciascuna parte? Costruiamo un modello grafico del problema sostituendo alla pezza di stoffa un segmento ; tale segmento deve essere diviso in tre parti e quindi prendiamo internamente ad esso i punti C e D. Il problema ci chiede di determinare le lunghezze dei segmenti AC, CD e DB. Esprimiamo i dati del problema in funzione del modello che abbiamo costruito: AB 54
CD AC 2,5
DB CD 2,5
Poiche il segmento DB eÁ espresso in funzione di CD e CD, a sua volta, eÁ espresso in funzione di AC, sembra conveniente indicare con x la misura del segmento AC; poniamo dunque AC x. L'incognita x rappresenta la misura di un segmento che, a sua volta, eÁ una parte di un segmento che ha una lunghezza di 54m; il dominio di x eÁ quindi l'insieme dei numeri reali positivi minori di 54: 0 < x < 54 Riscriviamo i dati in funzione dell'incognita scelta: CD AC 2,5 x 2,5
DB CD 2,5
x 2,5 2,5 x 5
Il segmento AB eÁ dato dalla somma delle sue parti, quindi possiamo scrivere che x5 AB |{z} x x 2,5 |{z} |{z} AC
CD
DB
Ma la lunghezza di AB eÁ 54m, quindi l'equazione modello del problema eÁ la seguente: x x 2,5 x 5 54
e risolvendola si ottiene
x 15,5
Poiche 15,5 eÁ compreso fra 0 e 54, la soluzione trovata eÁ accettabile, ed eÁ AC 15,5m. Non abbiamo peroÁ ancora risposto alla domanda del problema perche dobbiamo ancora calcolare le lunghezze degli altri due segmenti; avremo cosõÁ che: CD x 2,5 15,5 2,5 18 DB x 5 15,5 5 20,5 Le lunghezze delle parti della pezza di stoffa sono quindi 15,5m, 18m e 20,5m. Possiamo anche controllare di non aver commesso errori: sommando le tre parti dobbiamo ottenere l'intero pezzo di stoffa, cioeÁ 54m: 15,5 18 20,5 54 372
ESERCIZIO GUIDA Un numero sommato alla sua metaÁ daÁ per somma tre volte il numero stesso diminuito di 10; qual eÁ il numero? Indichiamo il numero da trovare con x; non essendoci indicazioni sul tipo di numero, scegliamo l'insieme piuÁ vasto e diciamo che x 2 R.
Q ISTITUTO ITALIANO EDIZIONI ATLAS
Tema 3 - Cap. 1: LE EQUAZIONI
515
Scriviamo l'equazione modello del problema: Risolvendola otteniamo che deve essere
x
1 x 3x 2
10
x 20 3
373 Trova tre numeri consecutivi sapendo che la loro somma eÁ 75.
[24, 25, 26]
374 Un numero eÁ la metaÁ di un altro e la loro somma eÁ 375. Quali sono i due numeri?
250; 125
375 Trova quel numero tale che il suo doppio aumentato di 4 sia uguale alla sua metaÁ diminuita di 3 . 4 376 La differenza fra i quadrati di due numeri consecutivi eÁ 101. Quali sono i due numeri?
19 6
[ 50, 51]
377 Sommando 5 al doppio di un numero intero si ottiene la sua metaÁ diminuita di 1. Calcola il numero. 4
378 Sottraendo 7 dalla metaÁ di un numero e aggiungendo il triplo del numero alla differenza trovata, si ot0 tiene l'opposto di 7. Trova il numero. 379 Trova il numero tale che, togliendo il suo doppio dal suo triplo, dia il numero stesso aumentato di 5. impossibile
380 Suddividi il numero 15 in due parti in modo che, aggiungendo 10 alla prima, si ottenga un numero che 3, 12 superi la seconda parte di 1. (Suggerimento: se eÁ il primo numero, il secondo eÁ 15 381 Suddividi il numero 30 in due parti tali che, togliendo 8 dalla prima parte e 12 dalla seconda, si otten13, 17 gano numeri uguali. 382 Se dividiamo 15 per un numero otteniamo come quoziente 2 e come resto 1. Quanto vale ? 7 (Suggerimento: dire che diviso daÁ come quoziente q e come resto r significa dire che q b r a) 383 Se ai 3 di un numero si aggiunge 5 e se il numero cosõÁ ottenuto si divide per 4, si ottiene 6 come quo2 ziente e 2 come resto. Qual eÁ il numero? 14 384 Determina un numero sapendo che, se dividiamo il suo doppio per 5 si ottiene come quoziente 10 e impossibile come resto il prodotto di 2 con il numero stesso. 385 Determina due numeri sapendo che differiscono di 7 e che dividendoli fra loro ottieni 3 come quoziente 2, 9 e 3 come resto. 386 Determina un numero tale che togliendo 27 dal quadrato del suo triplo si ottenga il quadrato del triplo 2 del suo successivo. 3 19 387 Determina due numeri pari consecutivi sapendo che, sommando i del maggiore con i del minore, 2 4 4, 6 si ottiene 28. 3 388 Determina due numeri pari consecutivi sapendo che i del primo superano di 4 il secondo. 12, 14 2 389 La somma di due numeri naturali eÁ uguale a 12; sapendo che il triplo del primo numero supera il doppio [8; 4] del secondo di 16 unitaÁ, calcola i due numeri. 390 La somma di due numeri appartenenti all'insieme R eÁ 14; sapendo che il primo di essi eÁ uguale alla som[4,4; 9,6] ma di 3 con la metaÁ del triplo dell'altro, calcola i due numeri.
516
Tema 3 - Cap. 1: LE EQUAZIONI
Q ISTITUTO ITALIANO EDIZIONI ATLAS
2 3 391 Determina un numero sapendo che la sua metaÁ eÁ uguale alla somma fra i suoi e i suoi , diminuita di 3 5 30 23. 392 Determina due numeri dispari consecutivi in modo che, togliendo 1 dal primo e aggiungendo 1 al seimpossibile condo, si ottengano due quantitaÁ uguali. 393 In un numero di due cifre il numero delle unitaÁ eÁ il quadruplo di quello delle decine; se si invertono le 28 cifre si ottiene un numero che supera il primo di 54. Individua il numero. (Suggerimento: se eÁ il numero delle decine, 4 eÁ quello delle unitaÁ e il numero si puoÁ scrivere come 10 4) 394 In una frazione il numeratore eÁ uguale al doppio del denominatore piuÁ 2; inoltre la loro differenza e Á 8 uguale a 5. Qual eÁ la frazione? 3
395 Determina il numeratore di una frazione, sapendo il denominatore eÁ uguale al numeratore aumentato 7 7 di 7 e che aggiungendo 3 alla frazione si ottiene . 2
396 Alessandro ha 2 anni piuÁ di Ivano e tutti e due insieme hanno 20 anni. Calcola l'etaÁ dei due amici. 9, 11
1 397 Luca, visto che nelle sue librerie non ha piuÁ spazio per nuovi acquisti, decide di liberarsi prima di di 3 tutti i suoi libri e poi di 1 di quelli rimasti. Se dopo lo spoglio ne ha ancora 560, quanti libri aveva Luca? 9 945
398 Laura va a denunciare il furto del portafogli subito in una metropolitana molto affollata. Ricorda che prima di uscire di casa aveva contato il denaro e che aveva in tutto E 520; inoltre sa che aveva banconote da E 50 e da E 20 e che il numero delle banconote del secondo tipo erano 2 di meno rispetto a quelle del primo. Fortunatamente aveva messo la metaÁ delle banconote da E 50 nella tasca interna della borsa, salvandole cosõÁ dal furto. Quante banconote aveva di ciascun tipo e quanto denaro eÁ riuscita a salvare? 8 da E 50; 6 da E 20; E 200
399 Al mercatino del libro usato, Marco compra un libro d'arte, rivendendolo subito dopo per E 54; se ha E 50 guadagnato l'8% sul prezzo di acquisto, quanto costava il libro? 400 Carla ha comprato del pane di grano duro per seÁ e una uguale quantitaÁ di pane integrale per l'amica 4 Daria; se il pane integrale costa i del primo e in tutto ha speso E 12,15, qual eÁ la somma che le deve 5 Daria? [E 5,40] 401 Alla scuola materna quest'anno ci sono 44 iscritti che vengono suddivisi nelle tre classi dei pulcini, dei cuccioli e dei passerotti. Il gruppo dei pulcini ha due bambini in meno del gruppo dei cuccioli che, a sua volta, ne ha 4 in meno del gruppo dei passerotti. Quanti bambini ci sono in ogni classe? [12, 14, 18] 402 Un'azienda agricola decide di vendere il latte direttamente al consumatore; mette quindi due distributori automatici accanto al cancello di ingresso, uno che eroga mezzo litro a E 0,60 e l'altro un litro a E 1; alla fine della giornata in cassa ci sono E 172 e complessivamente sono stati venduti 204 litri di latte. Quanti [80 da mezzo litro, 124 da un litro] prelievi da mezzo litro e quanti da un litro sono stati fatti? 403 Sabato sera in una discoteca sono stati venduti 2000 biglietti; il biglietto d'ingresso ha un costo di E 15 prima dell'una e di E 12 dopo tale orario; se in totale sono stati incassati E 27492, quante persone sono 836 entrate nella discoteca dopo l'una? Q ISTITUTO ITALIANO EDIZIONI ATLAS
Tema 3 - Cap. 1: LE EQUAZIONI
517
404
ESERCIZIO GUIDA Un fruttivendolo vende due tipi di arance: quelle piuÁ piccole a E 1,80 al kg, quelle piuÁ grandi a E 2,60 al kg. Avendone avanzate piccole quantitaÁ dei due tipi, decide di mischiarle ottenendone complessivamente 20kg e di venderle a E 2,00 al kg ed il risultato di questa operazione gli fa guadagnare E 5,60 in meno di quello che avrebbe guadagnato vendendole separatamente. Quanti chilogrammi dei due tipi di arance aveva prima di mischiarle? Completa i suggerimenti:
Dati del problema:
costo al kg del primo tipo di arance: .................. costo al kg del secondo tipo di arance: ............... peso complessivo delle arance mischiate: ............... perdita sul guadagno della vendita separata: ...................
Scelta dell'incognita:
Dominio di :
Relazioni del problema:
Equazione modello del problema:
eÁ la quantitaÁ di arance del primo tipo quindi ........................ eÁ la quantitaÁ di arance del secondo tipo
........................... guadagno con la vendita separata: 1,80 2,60
20 guadagno dopo la mescola dei due tipi: 2 20 40 1,80 2,60
20
40::::::::::::
8kg del primo tipo e 12 del secondo
405 Il mercoledõÁ lo zaino di Luca eÁ piuÁ pesante di quello di Paolo e i due zaini pesano complessivamente 15,5kg. Se Luca daÁ a Paolo il suo libro di matematica, che pesa un chilo e mezzo, lo zaino dell'amico 9kg viene a pesare mezzo chilo piuÁ del suo. Quanto pesava inizialmente lo zaino di Luca? 406 Ad una festa sono presenti 32 persone. Il numero dei ragazzi invitati da Carla, che eÁ la festeggiata, supera 17 di 3 il numero delle ragazze invitate. Quanti ragazzi sono intervenuti alla festa? 407 L'allenatore di una squadra di calcio ha calcolato che per vincere il campionato deve totalizzare 29 punti nelle ultime 13 partite. Nell'ipotesi che la squadra non subisca mai sconfitte e ricordando che ogni vittoria 8 fa guadagnare 3 punti e ogni pareggio 1 punto, trova quante partite dovraÁ vincere la squadra. 408 Luca e Andrea partecipano ad una gita; il primo ha con seÁ E 99 e l'altro E 145. Dopo che ciascuno ha pagato la propria quota, che eÁ la stessa per tutti, Andrea si trova con il triplo di quello che ha Luca. E 76 Quanto eÁ costata la gita? 409 Otto negozianti di una stessa strada costituiscono un fondo di E 13625 per addobbare la via nel periodo natalizio e per abbellirla con fiori in primavera. Cinque di essi contribuiscono con la stessa somma; dei rimanenti tre il primo versa E 2000 in piuÁ della quota dei primi cinque, il secondo la metaÁ del terzo e [1500, 3500, 875, 1750] infine il terzo la metaÁ del primo. Quanto ha versato ciascun negozio? 410 In un laboratorio artigianale si dipingono ceramiche a mano; in due settimane di cinque giorni lavorativi si devono consegnare un certo numero di piatti da tavola, ma, essendo il decoro particolarmente ricco, tutti i giorni se ne producono tre in meno del prestabilito; se dopo otto giorni di lavoro mancano da fare [180] 60 piatti, quanti sono in tutto i piatti da consegnare? 411
ESERCIZIO GUIDA Se tu chiedessi a Claudia quanti anni ha, ti risponderebbe cosõÁ: «Se fossi piuÁ vecchia di 6 anni supererei i 40 di tanti anni quanti in realtaÁ me ne mancano». Quanti anni ha Claudia? Oggi Claudia ha anni, fra 6 anni ne avraÁ 6; a quell'epoca la sua etaÁ
6 sarebbe uguale a 40 37 anni piuÁ gli anni di cui oggi eÁ al di sotto, cioeÁ 40 . Allora l'equazione eÁ ........
518
Tema 3 - Cap. 1: LE EQUAZIONI
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412
ESERCIZIO GUIDA La nonna fa una proposta ad Alberto. Lei gli porraÁ delle domande e gli regaleraÁ E 1 per ogni risposta esatta, mentre gliene toglieraÁ mezzo per ogni risposta sbagliata. Alberto accetta la sfida e dopo 20 domande riceve dalla nonna E 8. A quante domande Alberto ha risposto esattamente e a quante ha dato la risposta sbagliata? Se le risposte esatte sono , quelle errate sono..........; rispondendo esattamente a domande, Alberto guadagna......... e rispondendo erratamente a......... domande, perde..........; l'equazione da impostare eÁ dunque.......... [12, 8]
413 Un amico chiede a Giovanni, il quale alleva polli e conigli, quanti animali ha in totale e quanti sono di una razza e quanti dell'altra. Giovanni gli risponde cosõÁ: «Nel cortile fra polli e conigli ci sono 40 teste e 28, 12 104 zampe, calcola tu il numero di polli e quello dei conigli». Tu sai farlo? (Suggerimento: i polli hanno due zampe, i conigli ne hanno quattro, quindi se eÁ il numero dei polli, quello dei conigli eÁ 40 ; calcola adesso il numero complessivo di zampe in funzione di ) 414 Su un'aia ci sono complessivamente 92 animali tra galline e conigli. Dopo l'irruzione di un cane randagio che mangia 4 galline e 5 conigli, sull'aia si contano solo 232 zampe. Quante galline e quanti conigli 54; 38 c'erano inizialmente sull'aia? 415 Un allenatore deve dividere la sua squadra di 45 atleti in due gruppi in modo che, aggiungendo 15 giocatori al primo gruppo e togliendone 8 al secondo, si ottengano due gruppi con un ugual numero di gio11, 34 catori. Da quanti atleti eÁ costituito ciascun gruppo? 416 Mario e Carlo si sfidano in una gara di atletica che consiste in tre prove a tempo e nella quale Mario vince con un vantaggio complessivo di 33 secondi; nella prima Mario ha totalizzato un tempo pari a 2 5 7 di quello di Carlo, nella seconda di quello di Carlo e nell'ultima i mentre Carlo ha impiegato 3 4 9 sempre lo stesso tempo. Quali sono stati i tempi dei due amici nelle tre prove? [Carlo: 108s; Mario: 72s, 135s, 84s]
417 Una vacanza di una settimana per persona in camera doppia ha un certo costo ma, se si prenota almeno tre mesi prima, si ha uno sconto a persona di E 80; il soggiorno in camera singola costa il 15% in piuÁ di quello in doppia e, inoltre, non si ha diritto allo sconto anche prenotando per tempo. Tre amici, una coppia e un single, hanno prenotato quattro mesi prima e per questa vacanza spendono complessiva[single: E 989; coppia: E 1560] mente E 2 549. Quanto spendono la coppia e il single? 418 Una cantina vinicola vende direttamente al pubblico e, nella settimana che precede il Natale, decide di fare un'offerta su un particolare tipo di Chianti. Su un acquisto di un cartone da 12 bottiglie si ha diritto ad uno sconto del 10%; su un acquisto di 2 cartoni, sul secondo si ha diritto ad un ulteriore sconto del 3%, quindi complessivamente uno sconto del 13%; infine, su un acquisto di 3 cartoni, sul terzo si ha uno sconto ulteriore del 2%. Se un cliente acquista tre cartoni e spende E 220,08, qual eÁ il prezzo di ogni [E 7] bottiglia? 419 Determina l'importo che il signor Rossi aveva sul suo conto prima di prelevare in tempi successivi due 1 3 di quella depositata e l'altra pari a del rimanente. Si sa che, dopo questi due 2 5 E 1000 prelievi sono rimasti E 200.
somme: una pari ad
1 del suo contenuto e da un'altra 1 del suo contenuto, entrambe contengono la 4 5 stessa quantitaÁ di vino. Prima di questa operazione le due botti contenevano in totale 3410 litri. Quanti litri conteneva ciascuna botte? 1760, 1650
420 Se da una botte si toglie
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Tema 3 - Cap. 1: LE EQUAZIONI
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421 Calcola quanti anni hanno Carlo e Giulio, sapendo che fra loro ci sono 3 anni di differenza, che Carlo eÁ 9, 12 il piuÁ piccolo e che, insieme, hanno 21 anni. 422 Per costruire il percorso di uno slalom si deve piantare nella neve una serie di paletti a cm di profon2 ditaÁ. Calcola , sapendo che ciascun paletto, dopo un primo colpo di martello penetra nel terreno per i 7 1 della profonditaÁ da raggiungere, dopo il secondo colpo penetra per della parte rimasta, con il terzo 5 35cm colpo penetra degli ultimi 20cm. 423 Una maestra ha 17 alunni e li vuole dividere in due gruppi in modo che il secondo gruppo abbia un numero di bambini doppio di quello del primo. Calcola il numero di alunni che fanno parte del primo impossibile e del secondo gruppo. 1 424 Due recipienti pieni contengono complessivamente 37,2 litri di acqua. Se si toglie dal piuÁ grande del 4 1 contenuto e dal piuÁ piccolo del contenuto, i due recipienti hanno la stessa quantitaÁ di liquido. Qual eÁ 5 la capacitaÁ di ciascun recipiente? 19,2; 18 425 Nello scaffale di un negozio ci sono 33 sciarpe, bianche, rosse e gialle. Le bianche sono 5 meno di quelle rosse e 2 piuÁ di quelle gialle. Calcola quante sono le sciarpe di ciascun colore. gialle 8; rosse 15; bianche 10
426 Sara, Elena e Claudia devono fare una relazione utilizzando un capitolo di un libro di storia dell'arte che eÁ di 45 pagine. Decidono di dividersi il numero delle pagine in modo che Sara ne studi un numero doppio rispetto a quello di Elena e che Claudia legga 5 pagine in piuÁ di Elena. Quante pagine leggeranno 20; 10; 15 rispettivamente Sara, Elena e Claudia? 7 1 dei biglietti venduti in un certo giorno sono stati biglietti ferroviari, bi12 6 glietti per traghetti e i 120 restanti sono stati biglietti di aereo. Quanti biglietti ha venduto l'agenzia in totali 480, ferroviari 280, traghetti 80 totale e per ogni tipo?
427 In una agenzia di viaggi i
428 Un cliente dice al fiorista: "Vorrei un mazzo di 20 fiori composto da rose, margherite e iris in modo che il numero delle rose sia doppio di quello delle margherite che a sua volta deve superare di 4 il numero 12; 6; 2 degli iris". Quante rose, margherite e iris utilizzeraÁ il fiorista? 429 Se si domanda a Giorgio: "Quanti CD possiedi?", lui risponde: "Se ne avessi 3 in meno, la loro metaÁ sarebbe uguale al numero di CD che effettivamente possiedo diminuito di 12". Quanti CD possiede Gior21 gio? 430 Uno studio commercialista, negli ultimi tre anni, ha aumentato la sua clientela del 50% ogni anno. Se oggi i suoi clienti sono 1422, quanti erano tre anni fa e quanti sono quelli nuovi acquisiti nell'ultimo [632; 474] anno? 431 Giulia vuole programmare per tempo lo svolgimento degli esercizi di matematica per le vacanze estive. 1 1 Se a giugno svolge del numero totale degli esercizi e a luglio degli esercizi rimanenti, in agosto do3 4 vraÁ eseguirne ancora 32. Quanti esercizi di matematica Giulia deve svolgere complessivamente durante le vacanze? 64 1 3 432 In una lezione di un corso di informatica, degli iscritti studia il sistema operativo Windows, impara 4 8 5 studia Word, 2 studenti risultano assenti. Quanti sono gli iscritti al corso? ad usare Excel, 32 16 433 Un capitale complessivo di E 27000 viene investito in tre fondi diversi , e C che hanno un rendimento annuo rispettivamente del 2%, del 3,5% e del 5%. La somma investita nel fondo B eÁ tripla di quella
520
Tema 3 - Cap. 1: LE EQUAZIONI
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investita nel fondo ; in C viene investita la parte restante del capitale. Dopo un anno i tre fondi hanno prodotto un interesse complessivo pari a E 900. Quale capitale eÁ stato investito in ciascun fondo? in A : E 6000, in B : E 18000, in C : E 3000
434 Due pilastri di cemento armato poggianti su di una platea in calcestruzzo esercitano su di essa una pres2 sione di 0,2 kg/cm2 ; sapendo che la platea ha una superficie di 700 cm2 e che i pilastri pesano uno 5 dell'altro, calcola il peso di ogni pilastro. (Suggerimento: la pressione eÁ il rapporto fra il peso e la superficie) [100 kg; 40 kg]
435
ESERCIZIO GUIDA La somma di due segmenti eÁ 23cm e la loro differenza eÁ 7cm. Quanto sono lunghi i due segmenti?
Scriviamo i dati del problema:
AB CD 23; AB
CD 7
Scegliamo l'incognita; in questo caso indicare AB oppure CD con x eÁ del tutto equivalente e anche la risoluzione del problema puoÁ essere fatta in modi diversi. Di seguito proponiamo due possibili risoluzioni. I metodo
II metodo
Poniamo AB x
Poniamo CD x
Dalla prima relazione ricaviamo che eÁ
Dalla seconda relazione ricaviamo che eÁ
CD 23
AB 7 x
x
L'equazione modello del problema eÁ allora la relazione del secondo dato: x |{z} AB
x 23
7 x |{z} |{z}
23 x 7 |{z} CD
23 x 7
Quindi:
!
CD
AB
Risolvendola troviamo:
Risolvendola troviamo: x
L'equazione modello del problema eÁ la relazione del primo dato:
x 15
AB 15cm e CD 8cm
7 2x 23 Quindi:
436 Calcola le lunghezze di due segmenti sapendo che uno eÁ
!
x8
CD 8cm e AB 15cm
1 dell'altro e che la loro differenza eÁ 81cm. 10
9cm; 90cm
437 438 439 440
1 Calcola la lunghezza di due segmenti, sapendo che quella del primo eÁ di quella del secondo e che la 3 loro somma eÁ 8cm. 2cm; 6cm 2 Determina le dimensioni di un rettangolo, sapendo che la base eÁ dell'altezza e che la loro somma eÁ 3 10a. 4a; 6a 1 dell'angolo al vertice, calcola la misura degli Gli angoli alla base di un triangolo isoscele misurano 4 angoli del triangolo. 30 ; 30 ; 120 7 L'angolo esterno adiacente all'angolo alla base di un triangolo isoscele eÁ i di questo. Calcola l'ampiez5 za degli angoli del triangolo. 75 ; 75 ; 30
2 441 La somma delle misure di due angoli consecutivi eÁ 150 e un angolo eÁ i dell'altro. Determina le am3 piezze dei due angoli. 60 ; 90 Q ISTITUTO ITALIANO EDIZIONI ATLAS
Tema 3 - Cap. 1: LE EQUAZIONI
521
442 Il rapporto fra la misura di uno degli angoli alla base di un triangolo isoscele e quella dell'angolo al ver3 54 ; 54 ; 72 tice eÁ . Calcola la misura degli angoli del triangolo. 4 443
ESERCIZIO GUIDA In un triangolo ABC, il lato BC supera di 1cm il lato AB mentre AC eÁ il quadruplo di AB meno 3cm. Se il perimetro del triangolo eÁ di 16cm, quanto eÁ lungo ciascun lato? Disegniamo un triangolo ABC e analizziamo il problema.
Dati:
BC AB 1
AC 4 AB
3
perimetro 16
Incognita: visto che le misure dei segmenti BC e AC sono espresse in funzione della misura di AB, conviene porre AB x. Tenendo presente che rappresenta la misura di un segmento, x deve essere un numero reale positivo. Riscriviamo i dati in funzione dell'incognita:
BC x 1 AC 4 x
3
Il perimetro, che eÁ la somma dei lati del triangolo, deve essere uguale a 16; otteniamo quindi l'equazione x | 4x 3 16 x{z 1} |{z} |{z} AB
BC
AC
dalla cui risoluzione otteniamo che eÁ x 3.
Di conseguenza:
AB 3cm
BC 4cm
AC 9cm.
Sembra dunque che il problema abbia soluzione; osserviamo peroÁ che con segmenti di queste lunghezze non eÁ possibile costruire il triangolo. In base alle disuguaglianze triangolari, infatti, il lato AC non eÁ minore della somma AB BC, che eÁ di 7cm. Dobbiamo concludere quindi che il problema non ha soluzione. 5 444 Un triangolo ABC ha il perimetro di 37cm; di esso si sa che il lato AB eÁ i del lato BC e che questo 4 supera di 2cm il lato AC. Quanto misurano i lati del triangolo?
AC 10cm, BC 12cm, AB 15cm
1 445 In un triangolo il primo lato eÁ triplo del secondo, che a sua volta eÁ del terzo. Determina la misura dei 5 lati del triangolo, il cui perimetro misura 270cm. [30cm; 150cm; 90cm : impossibile] 446 Un rettangolo ha il perimetro di 36m; se si raddoppia l'altezza e si lascia inalterata la base si ottiene un 12m; 6m quadrato. Quali sono le dimensioni del rettangolo? 447 Determina la misura dei lati di un trapezio isoscele, sapendo che il perimetro eÁ 441cm, il lato obliquo eÁ i 4 della base minore e che la base maggiore eÁ doppia del lato obliquo. 5
[105cm; 84cm; 168cm]
448 Se si aumenta di 3cm il lato di un quadrato Q si ottiene un altro quadrato la cui area eÁ il doppio di quella [6cm] di Q, aumentata di 9cm2 . Quanto misura il lato di Q? 3 449 Determina la misura dei lati di un triangolo sapendo che il primo eÁ i del secondo, che il terzo supera di 2 20cm; 30cm; 60cm : impossibile 10cm la somma degli altri due e che il perimetro eÁ 110cm. 4 450 La somma delle diagonali di un rombo eÁ 28cm e di esse si sa che quella maggiore eÁ i della minore. 3 [40cm] Calcola il perimetro del rombo.
522
Tema 3 - Cap. 1: LE EQUAZIONI
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451 Determina la misura dei lati di un rettangolo, sapendo che il loro rapporto 5 eÁ e che il perimetro eÁ 44cm. 6
[10cm; 12cm]
452 Data la figura a lato, calcola le aree del quadrato e del triangolo, sapendo 3 che il loro rapporto eÁ e che la loro somma eÁ 100cm2 . 2
60cm2 ; 40cm2
1 1 453 Determina la misura dei lati di un triangolo ABC, sapendo che il lato BC eÁ sia di AB che di AC, ed 3 2 inoltre che il perimetro eÁ 60cm. 10cm; 20cm; 30cm : impossibile
454 Determina le misure di ciascuno dei lati di un parallelogramma, sapendo che il perimetro eÁ 160cm e che 30cm; 50cm un lato supera l'altro di 20cm. 455 Determina le ampiezze di tre angoli consecutivi, sapendo che la loro somma eÁ un angolo piatto, che il 60 ; 30 ; 90 secondo eÁ metaÁ del primo ed il terzo eÁ il triplo del secondo. 456 Determina le ampiezze degli angoli acuti di un triangolo rettangolo, sapendo che uno supera di 10 i
3 4
32 ; 58
del doppio dell'altro.
4 1 1 del secondo, il secondo eÁ del terzo e il quarto eÁ della somma 3 3 3 del secondo con il terzo. Calcola le ampiezze degli angoli del quadrilatero. 72 , 54 , 162 , 72
457 In un quadrilatero il primo angolo eÁ i
5 458 Il perimetro di un rettangolo eÁ 52a; se si aggiunge all'altezza 2a si ottengono i della base. Calcola l'a9 144a2 rea del rettangolo. 5 459 Determina le misure della base e dell'altezza di un triangolo isoscele, sapendo che l'altezza supera i 6 della base di 10cm e che la loro somma eÁ 98cm. [48cm; 50cm]
460 In un triangolo rettangolo la somma dei due cateti eÁ 34m e la loro differenza eÁ 14m. Trova l'area del 120m2 ; 60m triangolo e il suo perimetro. 461 In un triangolo scaleno il lato maggiore supera di 18m il minore e la loro somma supera di 6m il doppio del terzo lato. Sapendo che il perimetro del triangolo eÁ di 114m, quanto misurano i tre lati del triangolo? 30m; 36m; 48m
3 462 In un rombo il rapporto delle diagonali eÁ e la loro differenza eÁ di 4cm. Calcola l'area e il perimetro del 4 rombo. 96cm2 ; 40cm
5 dell'altezza ai 4 della 7 3 semibase si ottiene un segmento lungo 16cm. Trova la misura della lunghezza del lato obliquo del triangolo. 70cm
463 In un triangolo isoscele l'altezza supera di 14cm la semibase. Se si sottraggono i
8 464 In un triangolo ABC l'angolo esterno di vertice C eÁ uguale agli dell'angolo di vertice B, e quest'ultimo 3 eÁ la metaÁ dell'angolo di vertice A. Quanto misurano gli angoli del triangolo? [problema impossibile] (Suggerimento: ricorda che in ogni triangolo ciascun angolo esterno eÁ uguale alla somma dei due angoli interni ad esso non adiacenti)
465 Determina, su un segmento di lunghezza `, un punto P che divide il segmento stesso in due parti tali che la differenza fra i quadrati costruiti su di esse sia equivalente alla quarta parte del quadrato di lato `. (Suggerimento: ricorda che "equivalente" significa avere la stessa area) 5 3 8
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Tema 3 - Cap. 1: LE EQUAZIONI
`;
8
`
523
466 In un trapezio ABCD rettangolo in A e in D, la base minore AB eÁ
1 di AD e AD eÁ i 2 della base maggiore 4 3
1 1 AB 3a. Calcola le misure dei lati del CD. Tra tali lati sussiste anche la relazione
AD DC 2 2 p trapezio. 2 41 AD 8 a, DC 4a; AB 2 a; CB a 3 3 3
2 AB e AC supera BC di 3a. Se si prolunga AC di un 3 7 segmento CD x, si ottiene un nuovo triangolo ABD nel quale DB x. Determina il valore di x 3 in modo che il perimetro del triangolo ABD superi quello di ABC di 5a. x 19 a
467 Di un triangolo ABC si sa che AB 2a, BC
10
468 Determina perimetro ed area di un rettangolo ABCD, sapendo che la base AB eÁ 5 AB 7 BC 115cm 2 3
per i lati vale la relazione:
3 dell'altezza BC e che 5 [18cm; 30cm]
469 Il perimetro di un triangolo isoscele eÁ 180cm. Calcola l'area del triangolo sapendo che la misura della 1200cm2 base supera di 30cm quella del lato obliquo. 470 La differenza delle lunghezze delle dimensioni di un rettangolo eÁ 30cm. Sapendo che la misura della 5 140cm; 1000cm2 base eÁ i di quella dell'altezza, calcola il perimetro e l'area del rettangolo. 2 3 471 Calcola le misure degli angoli di un quadrilatero sapendo che il primo angolo eÁ i del terzo, il secondo 4 5 eÁ il doppio del primo ed il quarto eÁ i del terzo. 4 (Suggerimento: la somma degli angoli interni di un poligono eÁ uguale a tanti angoli piatti quanti sono i 60 ; 120 ; 80 ; 100 lati meno due)
ESERCIZI DI SINTESI E APPROFONDIMENTO Stabilisci per quali valori del parametro a le seguenti equazioni sono equivalenti. 472
ESERCIZIO GUIDA xa2
x10
La seconda equazione ha soluzione x 1; per essere equivalente a questa, anche la prima equazione deve avere la stessa soluzione. Allora il valore 1, sostituito al posto di x nella prima equazione deve rendere vera l'uguaglianza 1 a 2. Risolvendo l'equazione in a cosõÁ ottenuta troviamo che deve essere a 3. 473 2x a 3
2x 2
a 1
474 ax x 1
2x 1
a 3
x
a 0
475
a 1x 476
3x
5x4
1a 6
3x
5x4 16
a 1
477 Dati i polinomi P1
x 3
x 1 4x 5 e P2
x x 3 4
3x 2 5 determina per quali valori di x si ha che P1
x P2
x e calcola il valore che essi assumono in corrispondenza del valore trovato per x. 17 x
524
Tema 3 - Cap. 1: LE EQUAZIONI
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478 Dati i polinomi
P1
f
2 2 2g
3
e
P2
35
1 2:
a. determina per quali valori di essi sono uguali; b. determina per quali valori di si ha che P1
eÁ il doppio di P2
. 479 Dati i polinomi
P1
5
2 5 4 19 6 4
1 2 4
2 P2
1
1 2
e
3
1
2 2: 2 43 31
a. determina per quali valori di essi sono uguali; b. determina per quali valori di essi sono opposti. 480 Dopo aver risolto l'equazione 3 dei seguenti valori del parametro : 1, 481 Dopo aver risolto l'equazione
1
spondenza dei seguenti valori di b: 0, 482
1 4 1 17
7
2 0, determina l'insieme delle soluzioni in corrispondenza 1, 3, 0, 3 . 2
1; 5; 1; nessuna soluzione; 0
2bx
3b 1x, determina l'insieme delle soluzioni in corri 0; nessuna soluzione;
1 1 , 1, . 4 2
1; 5
1 6
ESERCIZIO GUIDA Nell'equazione x 3k 5 0 di incognita x determiniamo il valore del parametro k in modo che essa ammetta soluzione 1. Possiamo pensare di calcolare la soluzione dell'equazione e di imporre che essa sia uguale ad 1:
3k
51
x 3k
3k 6
!
5 !
k2
Questo metodo eÁ peroÁ laborioso se l'equazione risulta complessa da risolvere. Possiamo allora procedere in un altro modo. Se 1 deve essere soluzione dell'equazione data, tale valore sostituito all'incognita la deve soddisfare: 1
cioeÁ
3k 5 0
6
3k 0
Risolvendo l'equazione ottenuta otteniamo di nuovo k 2. 483 Tenendo presente l'esercizio svolto precedente, determina il valore del parametro k nell'equazione kx 2 3k in modo che essa: a. ammetta soluzione
1 2
1;
b. ammetta infinite soluzioni;
6 9k
c. non ammetta alcuna soluzione.
0
Calcola per quale valore del parametro le seguenti equazioni nell'incognita x ammettono le soluzioni a fianco indicate. 484 3x
2 485
3
kx 5 7x
kx x 6 4
1
2x
7 kx 5 k 1 2
486
x
1
487
k
1x 2k 1
Q ISTITUTO ITALIANO EDIZIONI ATLAS
3kx
x1
4
x0
x2 x
1
6 9k 5 6
k 0
Tema 3 - Cap. 1: LE EQUAZIONI
525
Determina per quale valore del parametro a le seguenti divisioni hanno il resto assegnato. 488
+x +
2x a :
x 2
489
2x 4
7x 3 ax 2 x 6 :
x
490
2y 2
3ay a2
491
z 3
az 2
492
y 4 2y 2
a :
a
a 3z :
z 3y 3 a
1
2y a
y :
y
2
R0
20
R2
0
R3
3
R2
1
R
1
1
Determina il valore del parametro k in modo che i seguenti polinomi siano divisibili per i binomi indicati. 493
k 1x 3 494 2kx 3 495
k
3kx 2 2
k
4
k 2x k 4x 5 3
k 1x 2
496 3x 3
1x
1
4
x 4x 3 k
6k 1x 2 2
k 3x 4
x2 1
x
12 5 3
x1 4
5 24
2
14
Soluzioni esercizi di comprensione 1 a. F, b. V, c. F, d. V
2 d.
4 a. D, b. ID, c. D, d. IP
5 b., d.
6 d.
7
31 a. V, b. F, c. F, d. V
32 a. V, b. V, c. V, d. F
33 b., d.
34 c., d.
52 a. I, b. II, c. I, d. I, II
53 a., c., d.
54 b.
55 b.
56 d.
57 c.
58 d.
162 a.
163 c.
164 f.
165 e.
230 a. V, b. F, c. V, d. F, e. F, f. F
231 a.
233 a. a 6 0, b. a 6 2, c. a 6 1, d. a 6
3 ^ a 6
324 c. 363 b., a. x 366 a. x 1, b. , c. 10 2 368 a.
x, d. 2x
1 3, e. x 2
®, b. ¬, c. ¬
2, e. a 6
¬ c., a., ® b.
232 a.
1 ^ a 6 0, f. a 6 1 ^ a 6 0
325 d.
326 c.
364 b. 24 8, f. , g. 2x 8 x 369 a.
365 b. 367 b. 370 c.
Sul sito www.edatlas.it trovi...
esercizi tratti dalle gare di matematica
Á i problemi di Matematica e realta
526
Tema 3 - Cap. 1: LE EQUAZIONI
Q ISTITUTO ITALIANO EDIZIONI ATLAS
Testfinale 1 Indica quali fra le seguenti equazioni ammettono soluzione e quali no negli insiemi numerici specificati a fianco: a. 3 0
in
b. 2 1 c. 3 8
in in
d. 7 8
in
0,25 punti per ogni esercizio
Risolvi le seguenti equazioni numeriche intere:
5 22
a.
2 5
2 5 5
1 2 b.
3
2 1 4
5 6
61 4
10
1
0,5 punti per ogni esercizio
6
Risolvi le seguenti equazioni numeriche frazionarie: a. 3 4 2 2 b.
2 2 2
5
2
3
2 2 2 4 2 2
4 2
4
0
1 punto per ogni esercizio
Risolvi e discuti le seguenti equazioni letterali: a. 2
1
b.
2 2 1 1
c.
2 2 2 2
0,5 punti 1 punto 1,5 punti
Una maestra, accompagnata da due genitori e da un bidello, porta i suoi 28 bambini a visitare lo zoo cittadino. Un biglietto d'ingresso per gli adulti costa i 4 di un biglietto per i bambini; se la maestra spende in tutto 3 E 200, quanto costa ciascun biglietto? 1,5 punti In un trapezio rettangolo l'altezza eÁ uguale alla base maggiore che, a sua volta, eÁ il quadruplo di quella minore. Se il perimetro del trapezio eÁ 84m, quant'eÁ la sua area? 1,5 punti
Q
Tema 3 - Cap. 1: LE EQUAZIONI
Soluzioni 1 ha soluzione: a., c., d.; non ha soluzione: b. 3 ; b. 1 a. 20 5 a. 6 ; b. 2 non accettabile: 1 7 1 ; se 1 : 1, se a. se 6 1 : 1 n o b. se 6 1 ^ 6 0 ^ 6 1 : 1 ; 2 2 1
1:
se 0 _ 1 l'equazione perde significato; se 1 : 1 2 2
1 4 c. se 6 0 ^ 6 1 : ; 4 4 1 se 0 : se
f0g;
1 :1 4
adulti: E 8, bambini: E 6 area 360m2
1
Esercizio
2
3
4
5
6
Punteggio Valutazione in decimi
Tema 3 - Cap. 1: LE EQUAZIONI
Q
ESERCIZI CAPITOLO
Le disequazioni
ISUGUAGLIANZE E DISEQUAZIONI
la teoria eÁ a pag. 179
Á: n Le disuguaglianze numeriche godono delle seguenti proprieta l
se a b
allora
c R : a c b c
l
se a b
allora
c 0 : a c b c
l
se a b
allora
c 0 : a c b c
n In ogni disequazione: l
Á spostare un termine da un membro all'altro cambiando il suo si puo segno
3x 2 3 2
2 3x 3 2
l
si possono moltiplicare o dividere i due membri per un numero positivo mantenendo lo stesso verso
8x 6
4x 3 dividi per 2
l
si possono moltiplicare o dividere i due membri per un numero negativo cambiando verso alla disequazione
9x 3
3x 1
dividi per 3
1 Supposto che sia vera la disuguaglianza a b, con a, b numeri reali concordi, riscrivi quella che si ottiene operando nel modo indicato: a. moltiplica entrambi i membri per 4 b. somma ad entrambi i membri 2 c. considera la relazione fra i reciproci dei due numeri d. considera la relazione fra gli opposti dei due numeri. 2 Se a e b sono due numeri reali positivi tali che a b, allora: 1 1 a. a b b.
11 a b
c.
a
solo se a e b sono minori di 1 b
Q ISTITUTO ITALIANO EDIZIONI ATLAS
Tema 3 - Cap. 2: LE DISEQUAZIONI
V
F
V
F
V
F
529
d. a b 0 e. se c d f. a n b n
allora ac bd n N0
c, d R
V
F
V
F
V
F
3 La disequazione 4 x 1 3x eÁ equivalente a (sono possibili piuÁ alternative): a. x 4 1 3x 4 Nella disequazione
b. x 4 1 3x
c. 4x 3
d. 3x 1 4 x
x x1 1 : 2 3 4
a. non si possono eliminare i denominatori perche sono negativi b. si possono eliminare i denominatori moltiplicando entrambi i membri per 12 ottenendo 6x 4x 1 3 c. si possono eliminare i denominatori moltiplicando entrambi i membri per 12 ottenendo 6x 4x 1 3 d. si possono eliminare i denominatori moltiplicando entrambi i membri per 12 ottenendo 6x 4x 1 3 e. si possono eliminare i denominatori moltiplicando a sinistra per 6 e a destra per 4 ottenendo 3x 2x 1 1
V
F
V
F
V
F
V
F
V
F
5 Riscrivi le disuguaglianze proposte dopo aver eseguito le operazioni indicate: 1 5 2 1 b. 6 2
moltiplica entrambi i membri per 2
c. 5 7
aggiungi 8 ad entrambi i membri
d. 1 3 4
dividi entrambi i membri per 3
e. 8 2
dividi entrambi i membri per 2
a.
moltiplica entrambi i membri per 2
6 Stabilisci se le seguenti coppie di disuguaglianze sono equivalenti giustificando le risposte: a. 7 3 c.
1 1 1 4 4
e. 4 2
7 3
b. 2 5
2151
1 1 1 1 4 4
d. 3 0
3 0
4 2
f. 2 3 4
1 4
7 Stabilisci quali fra le seguenti disequazioni sono equivalenti a 6x 1 0: a. 6x 1
b. 6x 1
c. 6x 1 0
d. 6x 1
8 Stabilisci quali fra le seguenti disequazioni sono equivalenti a 7x 1 20: a. 7x 21
b. 21 7x
c. 1 7x 20
9 Stabilisci quali fra le seguenti disequazioni sono equivalenti a a. 5x 7 3
530
b. 5x 7 1 3
Tema 3 - Cap. 2: LE DISEQUAZIONI
d. 1 7x 20
5x 7 1: 3
c. 5 x 1 7 3 3
d. 5x 7 1 Q ISTITUTO ITALIANO EDIZIONI ATLAS
10 Stabilisci quale fra le seguenti disequazioni eÁ equivalente a a. 3x x 1 0
b.
3x x 1 0 xx 1
c.
3 x
1
1 0: x
3x x 1 0 x1
d. 3x 1 0
Individua fra le seguenti disequazioni quali sono impossibili e quali sono verificate per ogni x R. 11
ESERCIZIO GUIDA a. 3x 2 3x La disequazione data eÁ equivalente a 2 0 che non eÁ mai vera. Quindi essa eÁ impossibile. b. 2x 1 2x 3 Svolgendo i calcoli al secondo membro ed eliminando i termini uguali si ottiene 2x 1 2x 6
che eÁ sempre vera
1 6
Dunque la disequazione data eÁ verificata x R. 12 a. 5x 3 5x 13 a.
7 1 x 3 7x 4 2 2
b. 2x 3 2x
c. 7 4x 4x 6
d. x 4 x 5 4
b. 4x 1 4x 1
c. 13x 1 7x 6 6x
d. 2x 3 2x 5
LE DISEQUAZIONI LINEARI INTERE
la teoria eÁ a pag. 182
Á equivalente a: n La disequazione ax b e l
x
b a
se a 0
l
x
b a
se a 0
14 Indica quali fra i seguenti numeri appartengono all'insieme delle soluzioni della disequazione 4x 2 : f. 1 g. 4 h. 3 a. 1 b. 2 c. 0 d. 1 e. 1 3 2 4 15 L'insieme delle soluzioni della disequazione 4 6x 0 eÁ l'intervallo: b. x 3 c. x 2 d. x 3 a. x 2 3 2 3 2 16 Scegli la risposta corretta fra quelle elencate. La disequazione a 3x 1 ha soluzione:
¬ se a 2 :
a. x 1
b. x 1
c. x 1
se a 5 :
a. x 1 2
b. x 1 2
c. x 1
® se a 0 :
a. x 0
b. x 1 3
c. x 1 3
Q ISTITUTO ITALIANO EDIZIONI ATLAS
Tema 3 - Cap. 2: LE DISEQUAZIONI
531
6x4 5
17 La disequazione a. 3x
eÁ equivalente a:
b. 3x
10
c. 6x 20
10
d. nessuna delle precedenti
18 Completa inserendo l'insieme delle soluzioni al posto dei puntini. Indicato con S l'insieme delle soluzioni della disequazione ax b 0, allora: a. se a 0 b 0
S :
b. se a 0 b 0
S :
c. se a 0 b 0
S :
d. se a 0 b 0
S :
e. se a 0 b 0
S :
f. se a 0 b 0
S :
Rappresenta sulla retta dei numeri reali i seguenti intervalli. 19 x 2
x 1
20 1 x 2
21 3 x 0 x 1
2 x
22 x 1 1 x 2
2 x 0 0 x 1
x0
1 1 x 2 3
0 x 2
3 x0 4
0 x 1 2x3 1 x 2 x 1
Risolvi le seguenti disequazioni e rappresenta le soluzioni sulla retta dei numeri reali. 23
ESERCIZIO GUIDA a. 6x 3 2x
9
Trasportiamo i termini con la x al primo membro e i termini noti al secondo: 6x
2x
9
3
4x
12
Poiche il coefficiente di x eÁ positivo possiamo dividere entrambi i membri per 4 e ottenere una disequazione dello stesso verso: 4x 4
12 4
x
3
Rappresentiamo l'intervallo delle soluzioni sulla retta dei numeri reali: b. 2
7x 5x
8
Trasportiamo i termini con la x al primo membro e i termini noti al secondo: 7x
5x
8
2
12x 10
Cambiamo i segni moltiplicando entrambi i membri per 1 e cambiamo anche il verso della disequazione: 12x 10
532
Tema 3 - Cap. 2: LE DISEQUAZIONI
Q ISTITUTO ITALIANO EDIZIONI ATLAS
Dividiamo entrambi i membri per 12 : x
10 12
x5 6
Rappresentiamo l'intervallo delle soluzioni sulla retta dei numeri reali: 24 x
2 0;
3x 0;
25 1 x 2;
x5
4;
26 0 x 3;
5
x 4;
27
3x
7x 0;
28
1 x 1; 5
6 0;
x
7 3x 3x
5 1
60
1x0 3
2 x 0; 3
7x 3
29 3 x 1; 4
35
30 25 5x;
1 2
x 1; 2
x1 1 3 3
2 3
x 5; 3
7x0 3
31 x 32
5 1; 2 2 3 x 7; 2 2
2x
7x;
60
7
12x
1 x 3 1 2
1 8;
Risolvi le seguenti disequazioni. 33 5x
1x 2
10x 2;
x 4 ; x 8 3
3 x 1
34 x 3x 1 3;
41 x 3x 1 7
35 2xx 1 x2x 1 12;
x 2 3x 1 3x 5
x 3; x 0
2
2
36 x 1 3x xx 2;
x 1 x 2 6x
37 43x 2 52x 1 3;
3x 4 2x 3 5x 1 7x
38 232 x 1 2 5x 2 0;
73x 4 1 2x 4 3x 1
39
ESERCIZIO GUIDA
x 4; x 2 x 1; x 1 8 3 14 x ;x 11 3 x 2; x 6 5
21 3x x 1x 2 x x 3 4 La disequazione comporta anche il simbolo di uguaglianza, ma la procedura di calcolo eÁ la stessa: 2 6x x 2 2x x 2 x 2 3x 4 Cambiamo segni e verso e risolviamo: 3
5x 3x 4
2x 4
2x 4
x 2 x 1 2
2
40 x 2 x 2 8 x 2 x 2 x 6 Q ISTITUTO ITALIANO EDIZIONI ATLAS
Tema 3 - Cap. 2: LE DISEQUAZIONI
533
41 3x 2
1 5x
42 x 2 x 1
2
43 x 1x
1
2 6 3x 2 5 x 2
x 2
1x 2 1 2x x 2x
x 1 x
1
2 x
3
2x 2 2x 4
44 x 45
2
x 2 3x
3 x 2 9
x 1 10 1 x 2
2 x 3 x 6 1 1
2x
x 6
15
x 0
ESERCIZIO GUIDA 3x 1 1 2x 3 2x 4 1 4 2 3 4 12
33x 1 62x 3 42x 4 3 12 12 12
3x 21 8x 13
moltiplichiamo per 1, ricordando di cambiare verso alla disequazione 46 5x
1
3
5
47 3x 1 2 48 x
6x 3 x; 2 5
2
49 3 x 4
x
2x
2x 4
2;
1 1 4 x; 3 3
2 50 x 1 3x 1 5 4
x3 1 2
3
7x 3 x ; 6 3
1 31
2
x 3
1
3 5
1
3
x
2
11x 8
11x 8
2 3
x 10
x x 9 9
S R; S 1
x
2x 3
1 x 4; 51 2x 1 5 3 3
1 1 x 1x 2 xx 1 1 3 6 3
52 x 1 3x 2 1 x 2 2x 5 ; 3 4 2 12
1 2x 3 2x 1 1 x 4 2
53 1 2 54
1 x 3
x1 2
534
x 3; x 3 4
x 3; x 3 8
x 4
2 1 1 1 x 1 3x x 2 x 2 2 2
2 3x 2
x 3 1x 3 1 2x 3 3 56 x 3 1 1 x 3 5 2 2
3x 1x 3 x 32x 1 9 x 2 5 x 2 2 5x 7 4 3 6 12 4 2 Tema 3 - Cap. 2: LE DISEQUAZIONI
x 1 ; x 20 4
1 1 1 1 1 7 x x 3x 3 2 2 3 3 2
3 3 55 x 1 xx 1 1 3x 2 1 x 1 3 5 3
57
7 ;x1 4
x 8 ;x 2 15 7
5 x 2 2 4x 6 4
2 1 x 2 ; 4
8 11
1 x ;S 1 2
2x 1 1 3x 4 1 x 3 2
xx
x
x 6
1 x x 3
x 2 1x 2 2
x1 6
x 31 5
x 8
x 1
Q ISTITUTO ITALIANO EDIZIONI ATLAS
58
x 2
2
2
2x 2
x 4
2 2
59 x x
3
2
2
x 2 1 7 x 2 1 x 3 4 2
x
2 3 2x 1 3 x x 3 1 3x 2 1 2 4
1
x 5
CORREGGI GLI ERRORI 60 3x 0 62
1 x0 6
64 3 x 0
61 2x 3 0
x3
63
x6
1 x0 5
LE DISEQUAZIONI FRAZIONARIE
2 3
x 5
65 4x 8 0
x3
x
x2
la teoria eÁ a pag. 185
Per risolvere una disequazione frazionaria data nella forma l
studiare il segno di Ax
l
studiare il segno di Bx
l
costruire la tabella dei segni
l
determinare l'intervallo (o gli intervalli) delle soluzioni.
Ax Ax 0 oppure 0 si deve: Bx Bx
66 La disequazione 3x 1 2 5 0 eÁ equivalente a: x x a. 2x 1 0 b. 2x 1 0 c. 2x 1 0 x
d. 2x 1 0 x
67 La disequazione x 1 0 ha per soluzione gli intervalli: x3 a. x 1 x 3
b. x 1 x 3
c. 1 x 3
d. x 1 x 3
68 La disequazione 2x 1 0 ha le stesse soluzioni della disequazione (sono possibili piuÁ risposte): a.
1 0 2x 1
b.
1 0 2x 1
c.
1 0 1 2x
d. 1 2x 0
69
ESERCIZIO GUIDA 3x 1 4 1 2x x La disequazione ha dominio R 0.
Q ISTITUTO ITALIANO EDIZIONI ATLAS
Tema 3 - Cap. 2: LE DISEQUAZIONI
535
3x 1 2x
Trasportiamo tutti i termini al primo membro:
4 x
10
Facciamo il denominatore comune ed eseguiamo i calcoli indicati ricordando che non possiamo eliminare i denominatori: 3x 1 8 2x 0 x 7 0
2x 2x Studiamo il segno del numeratore e del denominatore ponendo ciascuno di essi maggiore di zero: l
x
l
70
2x 0
x7
x0
Tabella dei segni (ricordiamo di mettere una linea doppia in corrispondenza dello zero che eÁ escluso dal dominio):
Poiche stiamo ricercando i valori di x che rendono positiva la frazione, dobbiamo concludere che la soluzione eÁ individuata dagli intervalli: x0 x7 70
2 0 x
x
71
6x 4 0 x1
5 2x 0 4 3x
72
2x 3 1 x1 2
x
73
x2 0 x 1
x 3 0 x1
74
3x x
x 2 x5
75
x3 4 x 1
x5 1 2 2x
76
x x1
1 4
x
3 5
2x 1 6 x x
1 2x 1
4 x1 3 x2 2 x1
x2x 3 78 2x 1 79 2x 3 80
2x
81
2 5x 1
536
1 3
1 x
1 3 7
xx 1 77 x1
3 0 1
x
5 1
2x
1
2 x 2 1 1 3x 1 x1
1 x x2
4x
Tema 3 - Cap. 2: LE DISEQUAZIONI
1x
7 ;x0 x1 3
x
2 1
2
1 x 3
x 7; x
x
x 2
4x 31 x
1
2x
2 ; 3
2 x 1; x
x 2x 1 1 2x
3
5 4 x 2 3
1 x
10
1
x
x
0
1 2x 2 x 1
3 x 4 2x 1
x 0; x 1
4x 2x 1
7 1x ; 3
1 x1
3 ; 5
3x1
5 x0
4 1 x 5 2
1 x
5
x 3
5 1 x ;x 4 2
x
1; x
x 1 x 4; x 0
x2 3 x2
2x 2 6x 1 3x 4x
5
1 x 0; x
2 4x 12x
1x
2
7 ;x0 25
Q ISTITUTO ITALIANO EDIZIONI ATLAS
2
82
x 2 x
4
1 x1 x
0 x 3 1 S R 1, 3
6x 1 2x 1 6x 83 3x 1 x1 3x 2 4x 1 84 1
3x 2 4 3x 3 x2 x2
85
5x 2 3x 1 x
86
3x 1 x 1 5 2x 1 2x 1
87
6x 3 x1
88
1 x 1 3 2x
89
x 2 3x 4 x 2 7x 12
x
2x 3x
1 2x
2 x
x 1 x0 6
x
1 x 5 2 12
1 x 13 23
x 1 2x 2 4 4 2x 2x 3 2 2x
6
2
1
3 x 2 2
3 x 4 _ 4 x 6
(Suggerimento: dopo aver posto le opportune condizioni, semplifica la prima frazione) 90
x3 5 x x1 x1
91
x3 x2 4x 2
x x2
x x2
2 2x 3 x2 4
x 3x 1 x 3x 7 2x 3 3x
93 2x 1 2x 1 2x 1 92
94
97 98 99 100
1 x 1 5
1 x x
4 x
4x 1 x
21 13x 5x 5
4 2x 5 x 1
1
1
2
S R 1 2
8
x 1
x
Q ISTITUTO ITALIANO EDIZIONI ATLAS
S 1
2x 2 5 x 1 x 1 1 x 2 8 x x1 2 2x 2 2 6x 2 2 x 5 2x 5 2x 5 5 2x 1 3x 3 6x 2 x4 x 1 1 x x 1 x 1 x 1 x 2 x 3 x2 1 x2 x 2 x 1 x1 x 3 x 1 x2 x 2 x 2 2x 4 x 2
95 x 96
x
1 1
0 x 1 2x
1
x 2 x5 15 2
1 x 1
1x
1 4
2x 9 2
Tema 3 - Cap. 2: LE DISEQUAZIONI
537
101
3 x
1
x 1
1 3x 4 102 2 x 103 1 3 x
3 1x
x2 1 3
1
1 x
3x
x2 x x : x2 9 x 3
1 2x 3 1 x
x3 2 1 6
1 3 x
3x 1 2x 6
x 1
2x 1 x
1 3
x0 x 9 2
x
7 x3 3
CORREGGI GLI ERRORI 104
2 0 x
106
x2 0 x 1
x2
x 2 x 1
105
x
107
3 2 x x1
2x
1 0
x 1 x1 2
3x
ISEQUAZIONI NON LINEARI
1 2x
la teoria eÁ a pag. 188
Per risolvere una disequazione intera di grado superiore al primo si deve: l
svolgere i calcoli trasportando tutti i termini al primo membro
l
scomporre in fattori di primo grado il polinomio al primo membro
l
studiare il segno di ogni fattore del prodotto
l
costruire la tabella dei segni
l
determinare l'intervallo (o gli intervalli) delle soluzioni.
Á scomponibile in fattori di primo grado, non e Á possibile per il momento Se il polinomio al primo membro non e risolvere la disequazione.
x2 0 3x 1
108 Gli insiemi delle soluzioni delle disequazioni versi? Spiegare il motivo. 109 La disequazione x 2 a. x 2
c. x
x 23x
1 0 sono uguali o di-
4x 4 0 ha soluzione: b. x 2
110 Per risolvere la disequazione a. x x 3 4 2
e
4 3x e poi x
x2
c. R 3x 4
d. R
2
eÁ conveniente riscriverla nella forma: b. x 2 3x 4 0 e poi x 1x
2x 2 3x
4 0
d. in nessuno dei precedenti modi
111
ESERCIZIO GUIDA 2x 2 1
x
Trasportiamo tutti i termini al primo membro:
538
Tema 3 - Cap. 2: LE DISEQUAZIONI
2x 2 x
10
Q ISTITUTO ITALIANO EDIZIONI ATLAS
Scomponiamo il polinomio:
x 12x
Studiamo il segno di ogni fattore:
x10 2x
10
1 0 se
x
1 1 x 2
se
Costruiamo la tabella dei segni:
Poiche vogliamo che il prodotto sia minore di zero, cioeÁ negativo, scegliamo l'intervallo 112 x 1x
2 0
x 3x 7 0
113 x 2 3x 0
5x
x2 0
114 9x
23
xx
1x 2 0
4 0
x 2 5x 6 0
116 x 2 10x 21 0
2x 2 x
117
1. 2
1 x 2; x 7 x 3 x
115 x 2 8x 7 0
1x
x
3 x 0; 0 x 5
2 x 1; x 3 x 4
7 x 1; 3 x 2 x 7 x 3; 1 x 1 2
10
ESERCIZIO GUIDA x 2 10x 25 0 Possiamo riscrivere la disequazione in questo modo
2
x 5 0
Osserviamo che un quadrato eÁ sempre positivo se la base eÁ diversa da zero, cioeÁ nel nostro caso se x 5. L'insieme delle soluzioni eÁ quindi R 5. S R 1 ; S 1 2 1 x 2; 1 x 1 3x 2 1 0 3 8x 2 8x 2 0 S 3; S 1 2 xx 1 2 x 1 x 2 ; x 1 x 2 3 2 2 x 6 12 x 1 x 1; x 0 x 8 2x 2 4 2 3 x 3 3 1 1 x0 7 x 1 5x x 2 x 4; 3 4 4 1 4x 2 x 2 1 x0 x 4; 8x0 3 4 2 4x 1 3 3 7 x 2; x 5 x 1 x 1 x1 0 8 9 4 2 2
118 4x 2 4x 1 0
9x 2
119 3x 2 7x 2 0 120 x 2
6x 9 0
121 2 x 1 3x 0 122 123 124
x 2 2x 1 5 0 3 4 12 3x
1 2
x
2
x 2
125 2x 126
1x 2
13 x 2 19
4 4
1 x2 3 6
1
2
x1 15 2 2
3x x
1 x
Q ISTITUTO ITALIANO EDIZIONI ATLAS
1 2
1
12x 4 0
x 2x 3 x2 4 2
3 2
x0 x 5; 6
Tema 3 - Cap. 2: LE DISEQUAZIONI
5 x1 2
539
I SISTEMI DI DISEQUAZIONI
la teoria eÁ a pag. 190
127 Il sistema
A x 0 B x 0
equivale a:
a. Ax 0 B x 0
b. Ax 0 B x 0
128 Se S1 e S2 sono gli insiemi delle soluzioni delle due disequazioni di un sistema, il sistema ha per soluzione: a. S1 S2
b. S1 S2
129 Una delle disequazioni di un sistema ha per soluzione l'insieme vuoto; del sistema si puoÁ dire che ha per soluzione: a. l'insieme R; b. l'intersezione degli insiemi soluzione delle altre disequazioni; c. l'insieme vuoto; d. l'unione degli insiemi soluzione delle altre disequazioni. 130 Una delle disequazioni di un sistema ha per soluzione l'insieme R; del sistema si puoÁ dire che ha per soluzione: a. l'insieme R; b. l'intersezione degli insiemi soluzione delle altre disequazioni; c. l'insieme vuoto; d. l'unione degli insiemi soluzione delle altre disequazioni.
131
ESERCIZIO GUIDA 8 > > < 2x
> > :x 1 3
1
3x 1 2
x1 3
Risolviamo la prima disequazione:
4 x
1 3x 1
Risolviamo la seconda disequazione: x 3 x5 Il sistema eÁ quindi equivalente a: x1
x
1
4x 2x 2
3x 1 4
x5
x1
S1 S2
Costruiamo la tabella delle soluzioni:
L'insieme delle soluzioni eÁ l'intersezione dei due insiemi S1 e S2 ed eÁ quindi verificata nell'intervallo: 1x5
132
540
7x 0 4x 5 3x
1
32x 1 2x 3x 2 7
Tema 3 - Cap. 2: LE DISEQUAZIONI
3
2 x 0; 7
9 x 3 4
Q ISTITUTO ITALIANO EDIZIONI ATLAS
1 2 2 5x 0
133
(
3x
134
7x 4 0 4 7x
x
8 x1 2x 3 > < 2 3 135 > : 3x 4 1 x 2 2 ( x 4 x 12 2 4 136 5x 0 8 x1 x 2 > 50 > < 3 2 137 > > : x 3 x 1 1 x 3 2 5 2 8 > < 2x 1 2x 4 138 > : 2x 1 2x 1 8x 1 3 9 9 8 x 2 x 1 2x 1 > < 5 3 10 139 > x 1 3x 4 x : x 3 6 2
8 < 2x 5 2x 4 0 2 140 : 2 x 1 x 1 x 2 x 2 8 3 2x 0 > > < 1 4x 1 2x 141 > > :x 1 3
8 x 0 > > > < x2 x2 1 2x 142 3 5 15 > > > : 3x 1 9 x
8 1x 0 > > > < 2 x 1 x 3x 3 143 > > > :x x 2 5 Q ISTITUTO ITALIANO EDIZIONI ATLAS
8 < 2x 1 0 3x 0 : x 30 8
> < 4 3 2 > > : 1 x 7 1 1 x 4 3 3
x 22; x 1
8 < x 1 5x 4 5 2 7 14 : 2x 4 5x 7 18 5x
S R; S 1
8 2 8 > > > 3 x 1 2x 1 3 < > > 1 x 1 x 1 1 1 x 1 > : 2 10 5 5
8 1 3x x x 1 > > < 4 3 6 > 3 3 1 > : x1 x 1 1 x2 x 2 2 2 4
8x x > > > 2 3 < 1x 2x 1 3 > > >1 1 1 : x x 2 3 4 8 1 x 9 3 > > >
> > : 2 x 2 xx 4 8 2 1 2 1 x2 5 2 > x x 1 2 x > > > 3 2 6 > < 3x 1 0 > 2 > > > 1 x 2 x 1 1 > : 1x2 3 3 3
3 x 0; S 1 2
x 15 ; x 0 4
1 x 1; x 14 2
Tema 3 - Cap. 2: LE DISEQUAZIONI
541
8 8 x 2 2 x 1 > > 3 x 1 > > > > > >
x 22 x 4 x 2 > > > > 2 > : 2 > : x 2 1 x x 2 35 x 3 3 8 x 6 2x 9 5 2 > > 1 x > > 3 2 6 3 > < 2 145 2x 1 1 2x 1 2x x 2 x > 5 > > > > : 9x 8 1 3x 12 x 4 2 4 8 x 2 x 2 x 2 2 > > >
4 > > 22 4 > < 146 3 x 2 5x 3 5x 16 > 1 > > 2 4 4 > > > : x 1x 2 x x 1 2 8 3 x 1 3x 1 1 x x 3 > > > < 5x 2 0 147 > >x4 x3 > : 2x 3 3 4 12 8 2 2 > 2 1 1 2 > > x x
2 x 1 > > 3 3 9 > > > < x 1 10 x 148 > > 2 4 > > > > > > : x 4 1 x 1 1 3 2 6
8 3x 1 x 1 1 > > > 4 3 4 > > < 2 x 1 3 1 149 5 x 2 x 3 > > 2 2 2 > > > : 2x 3 1 25x 1 x 1x 2 x 1 xx 3x 3 150
5 x 0; 1 x 2 5
x
29
S 6
x4 3
1 x2 2
x 3
ESERCIZIO GUIDA
8x3 >
:
1 30 x2
Risolviamo ogni disequazione del sistema: I disequazione x3 0 x1
542
di dominio
R 1
Tema 3 - Cap. 2: LE DISEQUAZIONI
Q ISTITUTO ITALIANO EDIZIONI ATLAS
x30
se
x
x
se
x1
10
3
Tabella dei segni:
3x1
S1
II disequazione 1 x2
30
1
3x 6 0 x2
3x 5 0
se
x
5 3
x20
se
x
2
3x 5 0 x2
di dominio
R 2
Tabella dei segni:
x
5 3
2 x
S2
Tabella delle soluzioni del sistema:
L'insieme delle soluzioni del sistema eÁ costituito dagli intervalli:
151
8 3x > >
> :
x
x
9
0
8 x 1 > > < 4 5x 0 152 > >1 x 2 : 5x
8 3x 1 > 1 < 3x 153 > 2x 6 : x 7 8 x2 3 > >
2 > : 2 x 2 1 4x 6 1 x 3 6 3
Q ISTITUTO ITALIANO EDIZIONI ATLAS
3x
2
8 2x 3 > > < x1 0
5 x 9; 3 x 3 2
> > : 3 1 x 8 1 > >
> : 8x 5 1 3 2x x 8 x1 > >
> : 3x 4 1 3x 2 x 2 8 3 x > > < x 0 > 2 > :x
5 x1 3
x
5x2 x 9;S 1 4
Tema 3 - Cap. 2: LE DISEQUAZIONI
543
CORREGGI GLI ERRORI 155
1 x
x0 20
x1 x2
156
2x 0 x30
x x
157
5x 0 2x 1 0
(
158
8 1 >
:
1 0 x1
APPROFONDIMENTI
x1 x2
3 x 2
x5 1 x 2
x
x0 x 1
x0
2 3
1 x5 2
Á equivalente a: n L'equazione Ax Bx e
Ax 0 Ax Bx
Ax 0 Ax Bx
Á equivalente a: n La disequazione Ax Bx e
Ax 0 Ax Bx
Ax 0 Ax Bx
Risolvi le seguenti equazioni con i moduli. 159
ESERCIZIO GUIDA 3 1
4x 2x 1 5x 1 4x
Studiamo il segno dell'argomento del modulo: L'equazione eÁ quindi equivalente a: 8 >
: 3 1 4x 2x 1 5x
Risolviamo l'equazione del primo sistema: 31
4x 2x 2 5x
1
4x
8 >
: 3 4x
11x 6
4x 1
1 2x
1 4 1 se x 4 se x
1 5x
x 6 11
6 non soddisfa la condizione x 1 , la soluzione trovata non eÁ accettabile. Poiche 11 4 Risolviamo l'equazione del secondo sistema: 3 4x
544
1 2x 2 5x
Tema 3 - Cap. 2: LE DISEQUAZIONI
3x 4
x
4 3 Q ISTITUTO ITALIANO EDIZIONI ATLAS
4 1 Poiche soddisfa la condizione x , la soluzione trovata eÁ accettabile. 3 4 L'insieme delle soluzioni eÁ quindi: S 4 3 160 6 x 3x
3 x 2 x 1
161 7x 2 12
2x 1
162 2x 3 x 2
1
163 1 3 x 5x
3 2x
164 x 1 2x 3
6x 1 3 4x 2
165 2x 1 5x
3x 5 x 1
166 2 3x
1 2x
2 x 1 21
167 x 10 2x 9
3 2x x 5
168 2x 2 x 8x 1
1 x 3 2 6
x 1 x
x 23x 2 4 x 1
5x
S 3; S 1 S 10 , 2 ; S 0 7 " # S 5, 1 ; S 3 , 1 3 7 S 1 ; S 10 , 6 2 3 S 2; S 2 , 3 5 S 1 ;S 1 7 S 1; S 1 , 3 9 11 S 1 ;S 1 3 S 3 ; S 15, 9 5
Risolvi le seguenti disequazioni con i moduli. 169
ESERCIZIO GUIDA x 4 x 3x 7 Segno dell'argomento del modulo:
x
4
x4
se x 4
4x
se x 4
La disequazione eÁ quindi equivalente ai due sistemi: x4 x4 4 x x 3x 7 x 4 x 3x 7 Risolvendo il primo sistema si ottiene: x4 x4
x 11 x 11 Risolvendo il secondo sistema si ottiene: x4 x4
x 1 3x 3
S1 1
S2 :
L'unione dei due insiemi eÁ ancora l'insieme S2 , quindi la disequazione eÁ verificata se Q ISTITUTO ITALIANO EDIZIONI ATLAS
x 1
x 1.
Tema 3 - Cap. 2: LE DISEQUAZIONI
545
170 6 171 3x 172 1
3
8x x 4 4 x 2 x
2x 9 x
1 4
x x 2 3x 2x 3 4x 0
173
x 1 3 2x 1 4 3 12
1 x 4 x 2 2
174
3 x 5x 1 1 4 2
3
175 2 7x x 3x 1 176
x 1 x 5;x 7 9
2 x 3x 4
2x 9 5 x 1 4 3 6
4 2 x x 5
x x 3 3 7x 1 1 4 2
1
1 2
S R; x 1 14 x 4 ; 1 x 3 3 S R; x 0
x 1 x 7 ; x 23 17 13 9 3 S 1; x 2 x 19 ; S 1 11
ROBLEMI DI NATURA ALGEBRICA 177 Sommando un numero intero al triplo del suo successivo si ottiene un numero maggiore di 27. Quali [i numeri interi maggiori di 6] possono essere i numeri interi che soddisfano a questa condizione? 178 Di un numero si sa che la sua metaÁ sommata alla sua terza parte non supera il suo doppio diminuito di 3. Quali sono questi numeri? 18 maggiori o uguali a
7
179 La quarta parte di un numero diminuita della metaÁ del suo precedente eÁ un numero non negativo. Quali [i numeri minori o uguali a 2] sono i numeri cercati? 180 La somma di due numeri pari consecutivi non nulli non eÁ maggiore della metaÁ del secondo aumentata di [2, 4; 4, 6; 6, 8; 8, 10; 10, 12] 16. Quali possono essere i due numeri? 181 Sono dati due numeri dispari consecutivi; la somma del minore di essi con il quadruplo del maggiore non supera il numero pari immediatamente precedente il minore di essi aumentato di 37. In che modo possono essere scelti i due numeri affinche siano verificate queste condizioni? [7, 9; 5, 7; 3, 5; 1, 3]
182 Poiche 2n rappresenta un numero pari e 2n 1 rappresenta un numero dispari, la disequazione 2n 2n 1, che eÁ vera per qualsiasi numero naturale n, ci dice che un numero pari eÁ sempre minore di un numero dispari. Dov'eÁ l'errore? 183 Di un numero reale x si sa che la sua metaÁ, aumentata della terza parte del numero stesso aumentato di 5, eÁ maggiore della sesta parte del numero stesso. In quale insieme dei numeri reali puoÁ essere scelto x. 5 x 2
184 La somma di due numeri pari consecutivi non eÁ minore di 7 mentre la differenza fra il doppio del maggiore e la metaÁ del minore diminuita di 3 non supera 5. Quali possono essere i due numeri? [non esistono numeri con queste caratteristiche]
185 Un insegnante di matematica un po' bizzarro non dice mai esplicitamente i voti che i suoi studenti prendono nelle interrogazioni, ma li comunica sotto forma di indovinello; se lo studente risolve il quesito il suo voto viene aumentato di mezzo punto, altrimenti viene diminuito della stessa quantitaÁ. Quali sono i voti massimi che andranno sul registro dei seguenti studenti sapendo che A risolve il quesito, mentre B e C non lo risolvono?
546
Tema 3 - Cap. 2: LE DISEQUAZIONI
Q ISTITUTO ITALIANO EDIZIONI ATLAS
7 A. Il tuo voto, diminuito di 1, non supera i della sua metaÁ. 4 B. 11 del tuo voto, aumentato di 3, eÁ comunque minore di quello che ha preso il tuo compagno a cui 9 ho dato il massimo possibile. C. Se sommiamo i voti dei tuoi compagni che ho appena interrogato, ai quali ho dato il massimo pos1 [8,5; 4; 6] sibile, puoi star certo che il doppio del tuo meno non eÁ superiore. 2
ROBLEMI DI NATURA GEOMETRICA 186 Un triangolo equilatero ha il lato di 15cm; un secondo triangolo equilatero deve avere un perimetro che 2 supera di almeno 12cm i del perimetro del primo. La misura del lato del secondo triangolo puoÁ essere 3 inferiore a quella del lato del primo? Quali valori puoÁ assumere la misura del lato del secondo triangolo? [maggiore o uguale a 14cm]
187 Dei lati di un triangolo si sa che il primo eÁ il doppio del secondo diminuito di 3cm, il secondo eÁ la metaÁ del terzo. Se il perimetro non puoÁ essere superiore a 102cm, fra quali valori possono variare i tre lati del lato1 : minore o uguale di 39cm; lato2 : minore o uguale di 21cm; lato3 : minore o uguale di 42cm triangolo? 188 Un trapezio ABCD rettangolo in A e D ha la base minore AB congruente al lato AD e questi due seg3 menti sono entrambi congruenti ai della base maggiore CD. Quanto devono misurare i lati congruenti 7 [inferiore o uguale a 15m] del trapezio affinche il suo perimetro non superi 90m? 3 189 In un triangolo isoscele gli angoli alla base sono ciascuno minore dei dell'angolo al vertice. Fra quali 4 tra 0 e 54 ampiezze possono variare gli angoli alla base del triangolo? 190 In un triangolo equilatero ABC di lato 10cm, una semiretta uscente dal vertice A incontra il lato BC in un punto P. Che lunghezza puoÁ avere il segmento BP se l'area del triangolo APC deve essere maggiore dei 2 dell'area del triangolo ABP? 3
[tra 0cm e 6cm]
191 In un triangolo rettangolo un cateto eÁ 3 dell'altro; quale puoÁ essere la misura del cateto maggiore se 2 2 l'area del triangolo deve essere minore dei dell'area di un quadrato, il cui lato eÁ il doppio del cateto 9 [maggiore di 2cm] maggiore, diminuita di 5cm2 ? 4 3 dell'altra; un quadrato ha un'area che eÁ uguale ai dell'area del 3 2 rombo. Indicata con 2x la lunghezza della diagonale minore del rombo, fra quali valori puoÁ variare x se x 2,25m il perimetro del rombo non puoÁ superare quello del quadrato diminuito di 3m?
192 Le diagonali di un rombo sono una i
193 Uno dei lati di un rettangolo eÁ 7 dell'altro; si sa che il perimetro eÁ minore di 40m e che la sua area eÁ 3 maggiore di 21m2 . Tra quali valori possono variare le dimensioni del rettangolo? [tra 3m e 6m; tra 7m e 14m]
PROBLEMI NEL MONDO REALE 194 Alla piscina comunale chi pratica nuoto libero puoÁ usufruire di due diverse tariffe orarie: E 8 per i non soci, E 3 per i soci con obbligo di tessera annuale di E 120. Dopo quante ore risulta conveniente la sedopo 24 ore conda alternativa? Q ISTITUTO ITALIANO EDIZIONI ATLAS
Tema 3 - Cap. 2: LE DISEQUAZIONI
547
195 Investendo una certa somma ad un interesse del 3%, si ottiene di piuÁ che investendo E 15000 al 3,5%. maggiore di E 17500 Quale potrebbe essere la prima somma investita? 196 Carlo eÁ in vacanza a sciare e, dovendo comprare lo skipass, deve scegliere fra l'abbonamento settimanale che costa E 190 e quello giornaliero che costa E 42. Per quanti giorni dovrebbe sciare affinche gli almeno 5 convenga scegliere quello settimanale? 197 In una serie di prove di allenamento un atleta ha rilevato i tempi, misurati in secondi, relativi alla corsa dei 100 metri piani: 10,5 11,0 9,8 10,3 12,0. Qual eÁ il tempo massimo che deve [inferiore a 12,4 secondi] avere affinche la media dei suoi tempi sia inferiore a 11 secondi netti? 198 Paola, durante una vacanza invernale in montagna, noleggia un paio di sci e di scarponi. Il noleggiatore offre due possibilitaÁ: una quota fissa onnicomprensiva di E 100 fino ad un massimo di 10 giorni, oppure una cifra fissa di E 10 per l'assicurazione della merce piuÁ una quota di E 15 al giorno per il noleggio. dopo 6 giorni Dopo quanti giorni diventa conveniente la prima forma di pagamento? 199 Elisa decide di fare una passeggiata con la sua mountain-bike. Quanta strada deve percorrere affinche a meno di 16km metaÁ percorso abbia fatto piuÁ dell'intera strada meno 8km? 200 Si deve costruire un recinto di forma rettangolare in modo che un lato sia pari al triplo dell'altro aumentato di 1m. Come si deve scegliere il lato minore se la rete da utilizzare non supera 26m? minore o uguale a 3m
201 Una delle linee produttive di un'azienda produce trapani di un certo tipo che sono rivenduti ai negozi a E 120 l'uno. I costi fissi di produzione ammontano a E 50 000 ogni settimana e il costo di produzione di ogni trapano eÁ di E 76. Quanti trapani devono essere prodotti settimanalmente per non andare in peralmeno 1137 trapani dita? 202 Un agente di commercio, uscendo di casa al mattino verso le otto, deve visitare due negozi e ; il negozio dista 120km da dove si trova ora mentre il negozio dista 86km dal negozio . Tornando a casa deve poi percorrere altri 130km. Tenendo presente che in ogni negozio rimane 1 ora, quale ve[almeno 84km/h] locitaÁ media deve tenere se vuole tornare a casa verso le due del pomeriggio? 203 Emanuele si reca nel reparto articoli sportivi di un grande magazzino per acquistare una racchetta da tennis. Egli peroÁ non vuole spendere piuÁ di E 360. Ognuno dei prezzi esposti sulle racchette deve essere scontato del 25% e la cifra ottenuta viene aumentata dell'IVA pari al 20%. Fra quali prezzi Emanuele inferiori a E 400 puoÁ orientarsi per scegliere la sua racchetta?
SERCIZI DI SINTESI E APPROFONDIMENTO 204
ESERCIZIO GUIDA Determina per quali valori del parametro k, l'equazione 3x k
1 0 ha soluzione positiva.
1k . La soluzione dell'equazione eÁ x 3 I valori di k che la rendono positiva sono quindi le soluzioni della disequazione:
205 Determina per quali valori del parametro ! l'equazione 4x 2k
1k 0 3
k 1
3 0 ha soluzione negativa. k 3 2
206 Determina per quali valori del parametro k l'equazione kx 2k 1 0 ha soluzione positiva o nulla.
548
Tema 3 - Cap. 2: LE DISEQUAZIONI
k 1 k0 2
Q ISTITUTO ITALIANO EDIZIONI ATLAS
207 Determina per quali valori del parametro a l'equazione 3a
a 1x 2 ha soluzione negativa o nulla.
208 Determina i valori del parametro a in modo che l'equazione ax presa fra 1 e 1. 209 Determina per quali valori di x il polinomio Ax x 2 1 polinomio B x x 2
a2x
1x 2 3
3 1 abbia soluzione com
1 a 1 4 2
4x assume valori maggiori o uguali di quelli del
5.
x 2 x 5 2
210 Determina per quali valori del parametro a 2 R l'equazione a 2x 10 ha come soluzione un numero che soddisfa le seguenti condizioni: a 2 a. eÁ positivo a
b. eÁ minore di 3 c. eÁ compreso fra 1 e 7. 211 Determina per quali valori del parametro a 2 R l'equazione a
c. una soluzione maggiore di quella dell'equazione 3x 4 0.
k 1 k 2
213 Siano Ax
x
1 2
x e B x
k 1
1;
c. una soluzione sia compresa fra
k 0 k 2
2 e 0. 1 x 3
1; trova per quali valori di x si verifica che: x
3 7
x 27 5
x 3 x3 11 7
a. Ax B x b. Ax 2B x
2 0 determina il valore del parametro k 2 R in modo che:
a. una soluzione sia negativa; b. una soluzione sia maggiore di
4 a8 7
a1 a 4 3 a 5 4 1 x 13 10
b. una soluzione compresa fra 2 e 2
1x k
1x 2a 3 ammette:
a. una soluzione minore di 1
212 Nella seguente equazione k
2 a 4 3
3
c. Ax Bx 1.
214 Ricordando il significato di soluzione di una disequazione, per quali valori del parametro b la disequab 3 zione x 2b 5 0 ammette fra le soluzioni il valore 1? 215 Nella disequazione 2x
7a 8 0, determina i valori del parametro a 2 R in modo che: a 8 7 a 6 7 a 24 7
a. ammetta fra le soluzioni il valore 0 b. ammetta fra le soluzioni il valore
1
c. ammetta fra le soluzioni il valore 8. Q ISTITUTO ITALIANO EDIZIONI ATLAS
Tema 3 - Cap. 2: LE DISEQUAZIONI
549
216 Per quali valori di a il quoziente della divisione 3a4 a3 quoziente di 6a3 a2 5a 3 : 2a 1?
14a2
4a 8 : a2
4 eÁ maggiore del a 5 2
217 Sia Ax il quoziente della divisione 3x 3 11x 2 14x 8 : x 2 e sia B x il quoziente della divisione 3x 2 2x 4x 3 1 : x 1; determina per quali valori di x si ha che Ax B x . 5 x 1 218 Nella seguente equazione 2kx
3 k x1
k determina il valore del parametro k 2 R in modo che: k
a. la soluzione sia positiva
3 k
k 1 k 1
b. la soluzione sia minore di quella dell'equazione x 2 3x 2
k 2
c. la soluzione sia compresa fra 1 e 1. 219 Determina per quali valori del parametro reale k l'equazione 1 luzione: a. uguale a 1 2
kx 2 2x k3
x 1 1 x2 3 . x x1 x2 x
220 Stabilisci per quali valori del parametro a l'equazione x a x a. non negativa
x ammette so-
k 5 8 1 3 k k 2 7 k 6 11
b. non maggiore di 5 c. doppia di quella dell'equazione
1
3 5a 1 ammette soluzione: 2x
a 1 3
b. compresa fra 1 e 5 c. che appartiene all'insieme delle soluzioni della disequazione 3x 4 0.
7 a 1 a 19 9
Soluzioni esercizi di comprensione 1 a. 4a 4b, b. a 2 b 2, c.
1 1 , d. a b a b
2 a. V, b. F, c. V, d. V, e. V, f. V
3 b., c.
4 a. F, b. F, c. V, d. V, e. F
15 c.
16
¬ b., a., ® c.
14 a., c., e., f., g. 17 b.
b b 18 a. 1, b. x , c. R, d. x , e. x 0, f. x 0 a a
66 d.
67 a.
68 a., c.
108 sono uguali
109 d.
110 b.
127 b.
128 a.
129 c.
130 b.
Sul sito www.edatlas.it trovi... l
esercizi tratti dalle gare di matematica
l
Á i problemi di Matematica e realta
l
il recupero relativo al Tema 3
l
la rubrica Math in English con alcuni esercizi in lingua inglese
550
Tema 3 - Cap. 2: LE DISEQUAZIONI
Q ISTITUTO ITALIANO EDIZIONI ATLAS
Testfinale Risolvi le seguenti disequazioni. 1 2
3x
4
4x
2
2x 1 x
2
2 x 4
2x 2 x
1
2
3x
2x 5 10x 1 3 2 3
x 1
3
x
1
x
0,5 punti
19 x 2 6
0,5 punti
3 2x 5 2x 1
1 punto
2 1 x
1 punto
Risolvi i seguenti sistemi di disequazioni. 8 11x 1 > < 3x 2 4 >1 5 :
x 3 4
x 1 2 2 8 1x 2x 1 > > > >2 > < 6 2x 1 2x > > > > > :1 x 0 1x Risolvi l'equazione con i moduli:
1 punto
1,5 punti
j4
Risolvi la disequazione con i moduli:
5x j x 1 2 2 jx
1 punto
1j 3x
1,5 punti
Determina per quali valori reali del parametro b l'equazione 2x 3b x1 a. positiva e minore di 1 b. negativa oppure maggiore di 3.
Q
1 2x 2 5b ammette soluzione: x x2 x 2 punti
Tema 3 - Cap. 2: LE DISEQUAZIONI
Soluzioni 1 1 0 1 _ 8 2 3 01 9
2 7 , 9 12 8 3 4
a.
1 4
1 ; b. 5
1
Esercizio
2
2 _ 7
3
1 ^ 6 5
4
5
1 3
6
7
8
9
Punteggio Valutazione in decimi
Tema 3 - Cap. 2: LE DISEQUAZIONI
Q
ESERCIZI CAPITOLO
La statistica descrittiva
'INDAGINE STATISTICA
la teoria eÁ a pag.
1 Dopo aver detto di che cosa si occupa la statistica, spiega il significato dei seguenti termini: a. carattere b. modalitaÁ c. popolazione d. campione e. unitaÁ statistica f. campionamento. 2 Una distribuzione di frequenze eÁ: a. la corrispondenza fra il carattere oggetto dell'indagine e le sue modalitaÁ b. la corrispondenza che ad ogni carattere studiato associa il numero di individui della popolazione che possiedono quel carattere c. una funzione che ad ogni modalitaÁ del carattere associa la sua frequenza. 3 Completa le seguenti affermazioni. a. Si parla di variabile statistica se ................... b. Si parla di mutabile statistica se .................. 4 Associa il tipo a ciascuno dei seguenti caratteri: a. il numero di esami sostenuti all'universitaÁ da una popolazione di studenti eÁ un carattere ...................... b. la marca di auto vendute da una concessionaria eÁ un carattere ...................... c. il peso di una persona eÁ un carattere ...................... d. il colore degli occhi eÁ un carattere ......................... 5 Indica quali fra le seguenti indagini statistiche devono essere compiute sull'intera popolazione e quali possono essere fatte su un campione: a. promossi e respinti di una scuola b. efficacia di un farmaco contro il mal di testa c. iscritti alle varie facoltaÁ universitarie d. fatturato delle aziende italiane nei vari settori merceologici e. scelte degli italiani sui luoghi di vacanza. 6 In una tabella di frequenze, le frequenze relative delle tre modalitaÁ del carattere rappresentato sono nel l'ordine 1 , 2 , 3 ; si puoÁ dire che: V F a. eÁ il numero totale delle osservazioni V F Á Á b. 1 e la frequenza assoluta della prima modalita V F c. 1 2 3 1 d.
1 2 3 1.
Q ISTITUTO ITALIANO EDIZIONI ATLAS
V
Tema 4 - Cap. 1: LA STATISTICA DESCRITTIVA
F
553
7 Dopo aver spiegato il significato dei termini e , stabilisci quali delle seguenti distribuzioni sono mutabili e quali variabili statistiche: a. le moto vendute a seconda della marca b. la lunghezza dei neonati alla nascita c. i tempi impiegati da un campione di persone per recarsi al luogo di lavoro d. il numero di lingue conosciute da un gruppo di accompagnatori turistici.
8
ESERCIZIO GUIDA In un ospedale viene condotta un'indagine sul numero di nati ogni mese e sulle cause dei decessi in un fissato periodo. I caratteri studiati sono due: la natalitaÁ e la mortalitaÁ. Nel primo caso la popolazione eÁ quella dei bambini nati nell'ospedale, nel secondo eÁ quella delle persone decedute. Le modalitaÁ con cui si presenta il carattere natalitaÁ sono i mesi dell'anno e si tratta di una mutabile statistica. Le modalitaÁ con cui si presenta il carattere mortalitaÁ sono le cause che hanno prodotto i decessi e possono essere: infarto, tumore, malattie polmonari, incidente automobilistico, ecc.; anche in questo caso si ha a che fare con una mutabile statistica.
9 Indagine: numero di iscritti per ogni facoltaÁ universitaria in Italia. 10 Indagine: tipologia di attivitaÁ sportive praticate dagli studenti di una scuola. 11 Indagine: lunghezza delle viti prodotte in un ciclo produttivo in una azienda. 12 Indagine: numero di interrogazioni complessivamente sostenute da uno studente in un anno scolastico. 13 Indagine: in una Regione, tipologia dei mezzi di trasporto per recarsi a scuola. 14 Indagine: regione italiana preferita dagli italiani per le vacanze estive. 15 Indagine: tipologia di vacanza preferita dagli italiani. 16 Indagine: in Italia, etaÁ dei giovani alla prima assunzione. 17 Indagine: nei Paesi europei, costo di un biglietto della metropolitana.
18
ESERCIZIO GUIDA Dei 15 passeggeri di un aereo privato si sa che hanno la seguente nazionalitaÁ: italiana, tedesca, francese, francese, italiana, italiana, spagnola, francese, italiana, spagnola, spagnola, italiana, tedesca, spagnola, italiana. Costruisci la relativa tabella delle frequenze assolute e relative. Il carattere che si deve studiare eÁ la nazionalitaÁ che si presenta secondo queste modalitaÁ: italiana, francese, spagnola, tedesca.
Tema 4 - Cap. 1: LA STATISTICA DESCRITTIVA
Q ISTITUTO ITALIANO EDIZIONI ATLAS
Per costruire la tabella delle frequenze basta contare quante persone hanno quella nazionalitaÁ; la colonna delle frequenze relative si ottiene dividendo ciascuna frequenza assoluta per il totale delle osservazioni:
Italiana
6
6 0,4 15
Francese
3
3 0,2 15
Spagnola
4
4 0,267 15
Tedesca
2
2 0,133 15
! "#$
Si tratta di una mutabile statistica. 19 I pesi di un campione di 18 compresse a base di vitamina C espressi in grammi sono i seguenti: 4,2
3,9
4
4,2
4,1
4,2
4,3
4,1
4,2
4,3
4
4,1
4,2
4,1
4,2
4
4,3
4,2
Costruisci la distribuzione di frequenza.
La durata in ore di un campione di 20 batterie eÁ la seguente: 8,5 7,5 6,5 8,0 8,5 7,5 8,5 6,5 7,0 8,0 6,5 7,0 8,0 6,8 8,0 6,8 7,5 6,5 8,0 7,0 Costruisci la distribuzione di frequenza.
Ad un esame universitario i 20 studenti che lo hanno superato hanno ottenuto i seguenti voti: 22
25
18
27
25
22
30
30
18
25
27
28
27
22
25
24
28
25
26
25
Costruisci la distribuzione di frequenza.
ESERCIZIO GUIDA Viene condotta una indagine su un gruppo di 30 persone per sapere quanto spendono annualmente per l'abbigliamento; i dati (in euro) rilevati sono i seguenti: 1500
780
2400
650
1820
615
820
540
1800
2200
740
830
920
400
1150
1000
800
700
580
750
960
870
570
980
750
1300
1280
2000
610
690
Organizza i dati in una tabella di frequenze e trova poi le frequenze relative. Osserviamo subito che, poiche un dato eÁ diverso dall'altro, conviene fissare delle fasce di spesa nelle quali inserire ciascun rilevamento; poiche il valore piuÁ basso eÁ 400 e quello piuÁ alto eÁ 2400, cioeÁ l'intervallo dei valori eÁ 2400 400 2000, conviene fissare 8 fasce di ampiezza 250 a partire da 400. Esse sono quindi:
400 650 1400
1650
650
900
1650
900
1900
1150 1900
1150 2150
1400 2150
2400
Contando il numero di osservazioni che cadono in ogni classe (ricorda che per come le abbiamo in-
Q ISTITUTO ITALIANO EDIZIONI ATLAS
Tema 4 - Cap. 1: LA STATISTICA DESCRITTIVA
dividuate l'estremo sinistro eÁ incluso, quello destro eÁ escluso tranne nell'ultima classe) otteniamo la tabella delle frequenze assolute alla quale possiamo aggiungere la colonna delle frequenze relative: %
400 650
6
6 0,2 30
650
900
11
11 0,367 30
900
1150
4
4 0,133 30
1150
1400
3
3 0,1 30
1400
1650
1
1 0,033 30
1650
1900
2
2 0,067 30
1900
2150
1
1 0,033 30
2150
2400
2
2 0,067 30
! "#$
23 Una indagine statistica su un campione di 50 bambini che frequentano la prima classe delle scuole elementari e relativa al loro peso corporeo ha fornito i seguenti dati (espressi in kg): 27,5
32,5
28,9
30,2
30,1
28,2
29,5
31,2
27,3
30,0
31,1
33,0
35,2
32,7
28,4
30,7
29,4
25,6
26,5
31,5
32,3
30,0
30,5
35,7
32,4
33,3
29,2
30,5
30,8
31,4
27,9
29,8
28,5
31,6
32,0
30,2
37,1
32,6
34,0
34,0
36,1
31,3
29,8
34,1
32,6
34,7
33,6
29,8
30,6
31,5
Dopo aver analizzato i dati, costruisci una distribuzione di frequenze per classi di ampiezza 2kg. 24 I seguenti dati (in Euro) si riferiscono alle spese giornaliere registrate da una famiglia nel mese di novembre: 50
70
65
100
55
70
100
0
55
100
50
30
80
65
40
90
40
30
60
80
65
50
50
40
70
60
0
40
55
50
Costruisci la distribuzione di frequenze per classi di ampiezza a tua scelta (valuta se eÁ piuÁ opportuna una ampiezza fissa oppure variabile).
LA RAPPRESENTAZIONE GRAFICA
la teoria eÁ a pag.
Indica quali sono le modalitaÁ grafiche piuÁ adatte a rappresentare i dati delle seguenti indagini statistiche:
Tema 4 - Cap. 1: LA STATISTICA DESCRITTIVA
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a. b. c. d.
variazione del tasso di interesse sui mutui in un anno; suddivisione delle aziende nei settori merceologici; numerositaÁ della popolazione europea nei decenni del secolo scorso; distribuzione dei redditi delle famiglie i cui figli frequentano l'universitaÁ.
Stabilisci il valore di veritaÁ delle seguenti proposizioni. In un istogramma: le altezze dei rettangoli sono sempre proporzionali alle frequenze; le altezze dei rettangoli sono proporzionali alle frequenze solo se le basi dei rettangoli sono uguali; le aree dei rettangoli sono uguali alla frequenza assoluta del carattere.
V
F
V
F
V
F
Rappresenta graficamente mediante un diagramma a rettangoli la seguente tabella relativa al numero di occupati come lavoratori dipendenti nei vari settori di attivitaÁ in una certa cittaÁ. &
Agricoltura
Industria
Commercio
Altro
200
900
950
380
'
La seguente tabella riporta i dati relativi alla superficie delle terre emerse (in migliaia di km2): %
Europa
Asia
Africa
Americhe
Oceania
Antartide
& '
10521
44311
30288
42042
8945
13200
Dopo aver calcolato la distribuzione percentuale costruisci il relativo diagramma circolare.
Da una indagine statistica su un campione di 5000 ragazzi e 5000 ragazze di etaÁ compresa fra i 10 e i 16 anni sulle attivitaÁ sportive svolte, sono emersi i seguenti risultati (un individuo potrebbe praticare piuÁ di una attivitaÁ sportiva) : &'
( )
Calcio
3200
Tennis
1050
895
Atletica
629
1580
2570
2476
Altro
605
1312
Nessuno sport
596
1720
Sci
** 58
Rappresenta con un diagramma a rettangoli i dati della tabella in ciascuno dei due casi. La seguente tabella indica la distribuzione percentuale in Italia delle centrali elettriche per tipologia. Costruisci il diagramma a torta. % +
Termoelettriche
Idroelettriche
Eoliche
Geotermiche
70,5
23,8
4
1,7
La tabella di pagina seguente riporta la produzione di vino in un certo anno in alcuni paesi europei. Rappresenta i dati con un diagramma a rettangoli. Costruisci poi la tabella delle frequenze relative ed il corrispondente diagramma a torta. Q ISTITUTO ITALIANO EDIZIONI ATLAS
Tema 4 - Cap. 1: LA STATISTICA DESCRITTIVA
+
Germania
Francia
Italia
Grecia
Portogallo
Spagna
9500
64000
64000
5000
3500
24000
, - *. )/
La seguente tabella indica la variazione percentuale del consumo di carne bovina negli ultimi sei mesi del 2000 in alcuni paesi europei a seguito dell'infezione della "mucca pazza". Rappresenta graficamente i dati. +
Germania
Italia
Spagna
Grecia
Portogallo
Francia
Austria
Belgio
G.B.
+
50%
42%
35%
30%
25%
20%
15%
10%
3%
La tabella che segue rappresenta il rendimento percentuale di un titolo azionario in una serie di anni successivi; rappresenta l'andamento del titolo in un diagramma cartesiano: " 0*
2001
2002
2003
2004
2005
2006
2007
2008
2009
2010
5%
7%
10%
8%
3%
1,5%
0,5%
6%
2%
1%
Da un'indagine condotta su un campione di 10000 famiglie relativamente a dove hanno intenzione di passare le prossime vacanze estive eÁ emerso quanto segue: '
1
mare Italia
3412
monti Italia
594
viaggio culturale Italia
635
mare estero
2943
monti estero
983
viaggio culturale estero
1265
casa propria
168
Costruisci le colonne delle frequenze relative e percentuali. Rappresenta graficamente i dati con un grafico a rettangoli distanziati. Al gioco del Lotto si sono registrate per 150 volte le estrazioni del primo numero sulla ruota di Milano, ottenendo i seguenti risultati: * 1
[1-15]
[16-30]
[31-45]
[46-60]
[61-75]
[76-90]
31
21
19
29
30
20
Costruisci le colonne delle frequenze relative e percentuali. Rappresenta graficamente i dati con un istogramma. Esaminando 100 pagine dattiloscritte si sono riscontrati i seguenti numeri di errori per pagina: 35 pagine con 1 errore; 25 pagine con 2 errori; 18 pagine con 3 errori; 12 pagine con 4 errori; 4 pagine con 6 errori e le rimanenti senza errori. Rappresenta la distribuzione di frequenza relativa ed assoluta degli errori per pagina. Costruisci il grafico delle frequenze. Secondo una indagine eseguita dall'Automobile Club Italiano, su un campione di 100 intervistati risulta che ad insegnare loro la tecnica di guida sono stati:
2 .
"*
+
(
+
3
"
56
11
15
1
2
6
9
Tema 4 - Cap. 1: LA STATISTICA DESCRITTIVA
Q ISTITUTO ITALIANO EDIZIONI ATLAS
a. Costruisci la distribuzione di frequenze assolute e relative. b. Definisci se il carattere eÁ di tipo qualitativo o quantitativo. c. Rappresenta i dati graficamente. 38 Nella tabella seguente eÁ rappresentata l'evoluzione delle assunzioni nelle imprese sociali, cioeÁ imprese che producono beni o servizi di utilitaÁ sociale, per livello di istruzione (dati in forma percentuale). # Laurea
18,4
23,0
24,5
Diploma
25,2
26,3
26,7
Qualifica professionale
38,3
35,4
39,2
Nessuna formazione specifica
18,1
15,3
9,6
! "#$
Rappresenta graficamente i dati scegliendo la modalitaÁ che consente il miglior confronto. Da un'indagine della SocietaÁ Italiana di Pronto Soccorso risulta che 50 volte su 100 chi si reca al pronto soccorso torna subito a casa, 25 volte su 100 rimane in osservazione qualche ora, 20 volte su 100 viene ricoverato con una degenza breve di 1 giorno, ma solo 3 volte si verificano casi di autentica necessitaÁ con ricovero di 2-3 giorni e solo 2 di effettivo pericolo di vita con ricovero e degenza piuÁ lunga. Dopo aver costruito la distribuzione di frequenza, rappresenta graficamente il fenomeno con un diagramma circolare. Un campione estratto dalla popolazione degli abitanti di una cittaÁ ha dato la seguente composizione: %*'
[0-20]
(20-40]
(40-60]
Oltre 60
29%
32%
24%
15%
Sapendo che il campione ha ampiezza 5000, calcola le frequenze assolute di ogni classe. 1450; 1600; 1200; 750
In una indagine condotta in una scuola, il campione di 180 studenti rappresenta il 20% della popolazione dell'istituto ed eÁ cosõÁ suddiviso: % %*'
1a
2a
3a
4a
5a
28%
20%
18%
17%
17%
Calcola: il numero degli studenti della scuola; il numero di studenti del campione nelle varie classi. Rappresenta poi con un diagramma a torta la composizione del campione.
[900] 50, 36, 32, 31, 31
Secondo una previsione relativa all'occupazione per settori, nel 2020 in Italia l'agricoltura occuperaÁ il 6,3%, l'industria il 27,3% e i servizi il 66,4% della popolazione lavorativa. Una indagine del 2002, sempre relativa all'occupazione per settori, ha prodotto le seguenti percentuali: Agricoltura 7%, Industria 32%, Servizi 61%. Rappresenta le due distribuzioni su uno stesso grafico con un diagramma a rettangoli distanziati. Nella seguente tabella sono riportati i dati sulla produzione di olio di oliva in vari paesi nel 2008. + 4 - *. /
Spagna
Italia
Grecia
Turchia
Libia
Tunisia
Marocco
597
435
330
97
10
121
41
Costruisci la distribuzione percentuale e rappresenta graficamente i dati nel modo che ritieni piuÁ opportuno. Q ISTITUTO ITALIANO EDIZIONI ATLAS
Tema 4 - Cap. 1: LA STATISTICA DESCRITTIVA
44 La produzione annua di una fattoria eÁ indicata nella seguente tabella: ' di ' 4 - 1/
Frumento
Orzo
Patate
Mais
Segale
Avena
1200
875
2590
6090
500
450
Calcola la produzione percentuale e rappresenta i dati con un diagramma circolare.
Percentuale di immatricolati a corsi di laurea negli anni accademici da 2001/02 al 2007/08 per 100 diplomati di scuola secondaria nell'anno scolastico precedente.
Spesa media effettiva in Euro sostenuta dalle famiglie per servizi per l'istruzione.
Richieste di asilo politico pervenute ed evase a partire dal 2003 al 2009.
Mezzi di trasporto per raggiungere localitaÁ turistiche, composizione percentuale. Posto uguale a 12000 l'ampiezza del campione, determina le frequenze assolute.
Il diagramma a lato rappresenta i dati ISTAT del censimento del 2001 relativi alle persone occupate per settore economico (valori percentuali). Sapendo che la popolazione era di 20 993 732 persone calcola le frequenze assolute di ogni modalitaÁ.
Tema 4 - Cap. 1: LA STATISTICA DESCRITTIVA
Q ISTITUTO ITALIANO EDIZIONI ATLAS
Avendo a disposizione i seguenti dati specifici del settore Credito: Credito, assicurazioni, intermediazioni monetarie e finanziarie 691 595 addetti Informatica e attivitaÁ connesse, ricerca e sviluppo 364 422 addetti AttivitaÁ professionali e di consulenza, immobiliari e di noleggio 996 664 addetti calcola poi le corrispondenti frequenze percentuali.
LA SINTESI DEI DATI
la teoria eÁ a pag.
Dati numeri x1 , x2 , :::::, x x1 x2 ::::: xn n
l
Á la media aritmetica semplice e
M
l
Á la media geometrica semplice e
MG
l
Á la media quadratica semplice e
MQ
l
Á la media armonica semplice e
MA
p n x1 x2 :::: xn
r x12 x22 ::::: xn2 n n 1 1 1 ::::: x1 x2 xn
Á il termine, se esiste, cui corrisponde la massima frequenza. La moda di una distribuzione di frequenza e Á il termine che, disposti i dati in ordine crescente (o decrescente), occupa il posto cen La mediana e trale.
50 Relativamente alla media aritmetica fra dati numerici si puoÁ dire che: a. coincide sempre con una delle osservazioni b. eÁ sempre un numero positivo c. il segno dipende dai dati.
V
F
V
F
V
F
51 Considerati i numeri 6, 4, 8, 7, 5, associa a ciascuno dei seguenti valori la voce corretta. a. 5,83
b. 6
¬ media quadratica
c. 5,65
media geometrica
d. 6,16
® media aritmetica
¯ media armonica
La moda di una distribuzione: esiste sempre ed eÁ unica esiste sempre anche se non eÁ unica Qual eÁ la risposta esatta?
puoÁ anche non esistere.
La mediana di una distribuzione: esiste sempre ed eÁ unica esiste sempre anche se non eÁ unica Qual eÁ la risposta esatta?
puoÁ anche non esistere.
Determina il valore di veritaÁ delle seguenti proposizioni: la somma degli scarti dalla media aritmetica eÁ sempre nulla la somma degli scarti dalla mediana eÁ sempre nulla Q ISTITUTO ITALIANO EDIZIONI ATLAS
Tema 4 - Cap. 1: LA STATISTICA DESCRITTIVA
V
F
V
F
c. la somma degli scarti dalla mediana eÁ minima d. la somma dei quadrati degli scarti dalla media aritmetica eÁ minima. 55 Determina il valore di veritaÁ delle seguenti proposizioni: a. la media geometrica eÁ il valore che sostituito ai dati non altera il loro prodotto b. la media geometrica eÁ il valore che sostituito ai dati non altera la radice -esima della somma c. la media aritmetica eÁ il valore che sostituito ai dati non altera la loro somma. 56 Dati i seguenti valori 3 5 9 2 5 2 a. la moda eÁ rappresentata dal numero: b. la mediana eÁ rappresentata dal numero:
5
V
F
V
F
V
F
V
F
V
F
3
¬ 3 ¬ 2
9 4
® 5 ® 3
57 Un gruppo di 5 amici decide di acquistare sci e scarponi nuovi: calcola quanto hanno speso in media se E 513 la spesa di ciascuno, in Euro, eÁ stata di: 345, 500, 650, 700, 370. 58 Le votazioni conseguite da uno studente nelle prove scritte di matematica sono 6, 7, 6,5 e 5; quelle conseguite nelle prove orali sono 7 e 7,5. Calcola la media delle prove scritte, quella delle prove orali e la media fra i due valori ottenuti. Verifica poi che tale media eÁ diversa da quella che ottieni calcolando la media aritmetica fra i voti scritti e quelli orali. Giustifica questo fatto nel caso generale. 6,125; 7,25; 6,6875; 6,5
59 Calcola la media aritmetica della seguente distribuzione: (
2
4
6
8
10
1
8
12
20
24
18
(Suggerimento: moltiplica ciascuna modalitaÁ per la frequenza corrispondente, somma i valori ottenuti e dividi per il totale delle osservazioni) 6,78 Due piastre di lamiera, di forma quadrata, hanno il lato rispettivamente di 4cm e 9cm. Trova il lato che devono avere le due piastre se si vuole che esse siano uguali e che la lunghezza del 6,5 perimetro totale delle due piastre rimanga invariata. Che media hai usato? PercheÂ? Trova il lato che devono avere le due piastre se si vuole che esse siano uguali e che la loro superficie 6,96 totale rimanga invariata. Che media hai usato? PercheÂ? Due scatole a forma di parallelepipedo hanno le dimensioni, rispettivamente, di 4, 5, 6 e 4, 5, 8 centimetri. Trova la misura dello spigolo che deve avere ciascuna scatola se si vuole che abbiano entrambe 4,93; 5,43 forma cubica, mantenendo il volume iniziale. Che media hai usato e percheÂ? Trova la moda e la mediana della seguente distribuzione statistica che riguarda il numero di volte che un gruppo di ragazzi sono stati interrogati in una certa materia: 2 .
2
3
4
5
6
7
8
1
10
15
20
28
18
12
4
Il prezzo in decine di Euro di un articolo in 200 punti vendita eÁ descritto dalla seguente tabella:
+
4
6
8
9
11
12
13
fi
20
19
30
25
31
40
35
Calcola il prezzo medio, la moda, la mediana.
9,675; 12; 11
Tema 4 - Cap. 1: LA STATISTICA DESCRITTIVA
Q ISTITUTO ITALIANO EDIZIONI ATLAS
64 Durante una gara di corsa di 60 metri piani si sono rilevati i seguenti dati: *' - /
10,9
11,1
11,2
11,4
11,6
11,7
12
1
3
8
12
6
4
1
Determina il tempo medio, la moda e la mediana.
11,4; 11,4; 11,4
Di un gruppo di individui si eÁ rilevato il numero di scarpe ed i dati sono nella seguente tabella: '
38
39
40
41
42
43
fi
1
4
5
2
1
1
Calcola media, moda, mediana.
40,07; 40; 40
La seguente tabella indica il numero di reti segnate dai giocatori di una squadra di calcio durante l'ultimo campionato. .
1
2
3
4
6
14
2
1
4
1
1
1
Calcola media, moda, mediana.
4; 3; 3
In un gruppo di ginnaste di livello agonistico si eÁ rilevato che l'etaÁ di inizio dell'attivitaÁ eÁ distribuita nel modo seguente: $
4
5
6
7
8
9
10
11
12
* .
1
6
11
4
6
4
0
2
1
Calcola la media aritmetica, la media quadratica, la media armonica, la mediana e la moda. In base ai dati rilevati su questo gruppo, a quale etaÁ eÁ piuÁ opportuno iniziare l'attivitaÁ per raggiungere in ginnastica 7; 7,3; 6,6; 8; 6; 6 un livello agonistico? Un sondaggio condotto su 1000 italiani relativo al gradimento di un certo programma televisivo ha dato i seguenti risultati. Il programma eÁ piaciuto: ( *
(
% 5 5
+
+
54
182
419
226
119
Rappresenta i dati nel modo che ritieni piuÁ significativo e determina il valore modale. In cinque cittaÁ italiane denominate nella tabella , , , , in una settimana per infrazioni al Codice della Strada: % *
230
88
116
67
si eÁ rilevato il numero di multe comminate
324
Rappresenta graficamente i dati e trova il numero medio di multe comminate, la moda e la mediana del! 165; moda ; ! la distribuzione. Di un gruppo di individui si eÁ rilevata l'altezza e si eÁ ottenuta la seguente distribuzione per classi: "
[136-140] [141-145] [146-150] [151-155] [156-160] [161-165] [166-170] [171-175] [176-180] 2
7
20
32
56
40
25
12
Determina l'altezza media. Q ISTITUTO ITALIANO EDIZIONI ATLAS
1 ! 158,7
Tema 4 - Cap. 1: LA STATISTICA DESCRITTIVA
563
71 La seguente tabella riporta il numero di giorni di giacenza in magazzino di alcuni pezzi di una produzione aziendale: 6 . '
[0-1]
(1-3]
(3-5]
(5-10]
(10-20]
35
40
23
18
19
Calcola media, classe modale, classe mediana. X Sapendo che ! 4 e 10, determina "1 e 3 della seguente distribuzione:
"1
2
5
11
12
2
5
3
1
1
4,51; 1
3; 1
3
"1 1; 3 1
In un campione di studenti di una scuola secondaria superiore si eÁ rilevato che il peso eÁ distribuito nel modo seguente: + *
[45-50]
(50-55]
(55-60]
(60-65]
(65-70]
(70-75]
(75-80]
10
16
32
45
20
25
12
Calcola la media aritmetica, la media quadratica, la media armonica, la classe mediana e la moda. In base a questo campione, a quale classe appartiene il peso medio di uno studente di scuola superiore? 62,875; 63,386; 61,829; 60
65; 60
65
Nel reparto pediatrico di una clinica viene effettuata una indagine statistica relativa al tempo impiegato dai bambini sotto i 5 anni per consumare il pasto di mezzogiorno. Si trova che 5 bambini impiegano un tempo inferiore ai 10 minuti, 53 bambini un tempo compreso fra 10 e 20 minuti, 26 bambini un tempo compreso fra 20 e 30 minuti ed infine 8 bambini un tempo superiore a 30 minuti fino ad un massimo di 40 minuti. Costruisci la distribuzione di frequenza e calcola quanto tempo, in media, impiega un bam 19 minuti bino a consumare il suo pasto. Il grafico che segue rappresenta la percentuale di bambini e ragazzi di etaÁ inferiore ai 18 anni che hanno entrambi i genitori che lavorano (dati riferiti a due anni particolari).
Determina: la moda relativa alle due distribuzioni (anno 2000 e anno 2008) la variazione percentuale della popolazione nei due periodi a confronto e rappresentala poi graficamente. Quale area geografica ha avuto la variazione percentuale maggiore? Italia Centrale Considera la tabella di pagina seguente, che riporta in minuti il tempo occorso a 55 impiegati per svolgere lo stesso lavoro:
Tema 4 - Cap. 1: LA STATISTICA DESCRITTIVA
Q ISTITUTO ITALIANO EDIZIONI ATLAS
2 *'
0
* *'.
30
30
10
50
50
15
70
70
25
100 5
Dopo aver aggiunto una o piuÁ opportune colonne alla tabella, calcola la media ponderata dei dati ad essa relativi. Di questi dati puoi considerare la moda? 48,6 Al quesito "Perche ti sei iscritto a questa scuola superiore?" un gruppo composto da 290 studenti ha cosõÁ risposto: Spinto dai genitori
28
Non ho trovato lavoro
3
Preparazione universitaÁ/lavoro
163
Materie interessanti
25
Diploma qualsiasi
24
Consiglio degli insegnanti
33
Altro
14
Costruisci la distribuzione di frequenza e rappresenta l'indagine graficamente. Qual eÁ il valore centrale piuÁ significativo in questo caso? PercheÂ? La durata di 12 batterie d'emergenza eÁ, in ore, la seguente: 12,6
11,8
11,1
11,3
11,6
11,8
11,3
11,9
13,3
11,8
11,3
Trova: la durata media del lotto di batterie; il valore modale; la durata !, in ore, tale che il 50% delle batterie abbia durata inferiore a !.
25,1 12,9
11,3 e 11,8
11,8
In un sondaggio effettuato in 10 supermercati della cittaÁ di Milano, si eÁ trovato che il costo in Euro di 1kg di pasta eÁ: 1,77
1,98
1,64
1,70
1,68
1,78
1,71
1,69
1,66
1,77.
Calcola la media aritmetica, la media quadratica e la media armonica di tali prezzi. Verifica poi che la somma dei quadrati degli scarti dalla media aritmetica eÁ minore della somma dei quadrati degli scarti dalle altre due medie. 1,738; 1,740; 1,733 Lo scorso anno una azienda ha emesso 19274 fatture, ciascuna di importo # inferiore a E 100000, cosõÁ distribuite: , - *. $ /
0#1
203
5 # 25
4281
45 # 65
6184
75 # 100
799
1#5
750
25 # 45
5074
65 # 75
1983
Rappresenta la situazione nel modo che ritieni piuÁ opportuno e determina: la classe modale e il valore modale del fatturato; il valore medio delle fatture; qual eÁ l'intervallo nel quale si concentra il 50% delle fatture di minor importo. Q ISTITUTO ITALIANO EDIZIONI ATLAS
65; E 55
45
Tema 4 - Cap. 1: LA STATISTICA DESCRITTIVA
0
E 41143
42355
LE MISURE DI DISPERSIONE
la teoria eÁ a pag.
Data una distribuzione statistica: Á e Á la differenza fra il valore piuÁ grande e quello piuÁ piccolo osservati. il campo di variabilita Si dice scarto quadratico medio la media quadratica degli scarti dalla media aritmetica e si ha che: s X 2
xi M l nel caso di dati semplici n
l
v uX 2 u fx i M fi X t fi
nel caso di dati ponderati con pesi fi
Á anche calcolare con la formula: Si dice varianza il quadrato dello scarto quadratico medio; si puo X 2 xi l 2 M2 n
81 Studiare la variabilitaÁ di un'insieme di dati di una distribuzione significa: a. vedere quante osservazioni sono positive e quante sono negative b. vedere quante osservazioni superano un certo valore e quante ne sono al di sotto c. vedere in che misura si discostano i dati da un valore stabilito esprimendo la valutazione mediante un numero d. valutare gli scarti da un valore stabilito. Quale delle precedenti ti sembra la definizione piuÁ corretta? Il campo di variabilitaÁ di una serie di dati eÁ: la differenza fra l'ultimo dato ed il primo la differenza fra il valore piuÁ grande e quello piuÁ piccolo la semisomma del valore piuÁ grande con quello piuÁ piccolo la differenza della media dei dati dal valore piuÁ grande. I primi 5 classificati di una corsa campestre hanno ottenuto i seguenti tempi (approssimati al minuto): 2h 10m
2h 18m
Il campo di variabilitaÁ eÁ:
2h 9 m
2h 15m
2m
2h 8m
3m
6m
10m
Indicando con ! la media aritmetica di una serie di dati e con ! la mediana, lo scarto quadratico medio eÁ: la media aritmetica dei valori assoluti degli scarti da ! la media geometrica degli scarti da ! la media quadratica degli scarti da ! la media aritmetica degli scarti da ! . La varianza dei seguenti numeri 44,56 6,67
5, 7, 12, 4, 1, 15 27,67
Lo scarto quadratico medio dei seguenti numeri 2, 20,96 4,58 3,23
Tema 4 - Cap. 1: LA STATISTICA DESCRITTIVA
4,
eÁ uguale a: 5,26. 8,
10, 15 74
eÁ uguale a:
Q ISTITUTO ITALIANO EDIZIONI ATLAS
87 Determina il campo di variabilitaÁ delle seguenti successioni di dati: a. 10; 8; 5; 24; 16; 13; 18; 8; 32; 25; b. 17; 14; 18; 13; 25; 8; 10; 25; 16; 17; c. 0,75; 1,74; 3,85; 7,1; 8,4; 0,15; 3,68; 4,52.
27 50
12,25
88 I dati di una rilevazione statistica sono stati raggruppati nelle seguenti classi: [0-5)
[5-8)
[8-10)
[10-12)
[12-16)
[16-20)
[20-30]
Calcola il campo di variabilitaÁ dei dati considerando i valori centrali di ogni classe.
22,5
89 Nel palazzo in cui abita Maria, vivono altre 5 famiglie che, secondo i dati pubblicati dal comune, denunciano un reddito annuo in Euro di: 70000, 60000, 100000, 20000, 35000. Se il reddito di Maria eÁ di E 45000, qual eÁ il reddito medio delle famiglie considerate? Calcola successivamente gli scarti dalla media. reddito medio : E 55000; scarti in Euro : 15000, 5000, 45000,
35000,
20000,
10000
90 Dodici misurazioni successive dello spessore di una lamina di metallo hanno condotto ai seguenti risultati espressi in millimetri: 3,2
3,1
3,0
3,5
3,1
3,2
3,1
2,8
3,1
3,3
3,2
Calcola il campo di variabilitaÁ e lo scarto quadratico medio di tale distribuzione.
3,3
0,7; 0,166
91 Rappresenta graficamente nel modo piuÁ opportuno la seguente distribuzione di frequenze: *
1
2
3
4
5
6
7
1
12
15
16
25
18
10
5
Calcola poi la media aritmetica, la moda, la mediana della distribuzione e lo scarto quadratico medio. ! 3,71; moda 4; mediana 4; 1,66
Una ditta, che deve acquistare una macchina per produrre tondini in ferro, deve effettuare la sua scelta fra due offerte. La decisione viene affidata ad un controllo di qualitaÁ che rileva i dati relativi ai diametri dei tondini su un campione di 100. La tabella riporta i dati relativi alle misurazioni per le due macchine contraddistinte dalle lettere e . 7* **
9,75
9,80
9,85
9,90
9,95
10,0
10,5
Frequenza di
0
9
26
30
26
9
0
Frequenza di
2
4
20
48
20
4
2
Dopo aver disegnato il diagramma di questa distribuzione, calcola la media ponderata, lo scarto quadratico medio e il coefficiente di variazione. Quale delle due macchine garantisce una maggiore affidabilitaÁ? 0,0557, $ 0,0056 ; 0,0968, $ 0,0098 Un insegnante vuole valutare la variabilitaÁ dei voti conseguiti da un gruppo di 5 studenti che indicheremo con , , , , e che rischiano di avere la sospensione del giudizio finale al termine dell'anno scolastico. Essi hanno conseguito i seguenti voti:
7
5
4
5
6
5
3
5
4
5
6
5
5
5
3
4
5
6
6
7
4
4
3
6
6
5
5
6
5
5
4
5
6
5
5
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Tema 4 - Cap. 1: LA STATISTICA DESCRITTIVA
Dopo aver verificato che la media aritmetica eÁ uguale per tutti gli studenti, determina per ogni studente lo scarto quadratico medio ed indica quelli che presentano la variabilitaÁ massima e minima. 1,195; 0,535; 1,309; 1,069; 0,535
94 Calcola lo scarto quadratico medio della distribuzione del peso in grammi di 40 confezioni di un certo prodotto: ' . ** 1
286
288
291
294
298
3
7
10
14
6
! 292,2; 3,54
La tabella seguente indica la distribuzione dei voti presi da uno studente universitario nel corso di laurea in Economia:
18
23
25
26
28
30
1
2
2
8
4
7
1 ! 25,5; 2 8
Calcola media e varianza della distribuzione. Calcola media e scarto quadratico medio della seguente distribuzione:
[10-25)
[25-50)
[50-100)
[100-250]
68
18
3
1
! 25,17; 20,18
Calcola media e varianza della seguente distribuzione:
[5-9)
[9-13)
[13-17)
[17-21)
[21-25]
2
4
6
11
9
! 17,625; 2 22,61
Calcola lo scarto quadratico medio della seguente distribuzione della variabile % che rappresenta la lunghezza delle sbarre di acciaio di una produzione industriale: .) *
[20,32-20,34)
[20,34-20,36)
[20,36-20,38)
[20,38-20,40)
[20,40-20,42]
7
14
27
19
17
1
0,024
Due famiglie, che indicheremo con e , hanno registrato le entrate mensili (in Euro) e i dati raccolti sono riassunti nella seguente tabella: *
.
*
'
*.
.
.
.
3000
5000
4200
3900
4500
4000
4600
5400
3800
4300
5000
7000
4000
3700
3800
3800
4800
4500
4200
6000
4100
3900
5100
6800
Determina quale delle due famiglie ha avuto la variabilitaÁ maggiore.
957,83; 932,25
Un gruppo di studenti misura il peso di un oggetto usando due bilance e . I dati ricavati (in grammi) sono riportati nella seguente tabella: *
' *
1
1
3,5
3,4
3,6
3,2
3,4
3,6
3,3
3,5
3,5
3,2
Determina qual eÁ la bilancia piuÁ affidabile.
Tema 4 - Cap. 1: LA STATISTICA DESCRITTIVA
0,133; 0,147 Q ISTITUTO ITALIANO EDIZIONI ATLAS
101 Una azienda che deve acquistare una apparecchiatura per misurare resistenze elettriche riceve due offerte. Prima di decidere quale acquistare, l'azienda effettua delle prove ottenendo i seguenti risultati (in Ohm): *
prima
13,5
13,6
seconda
13,4
13,3
terza
13,5
13,5
quarta
13,3
13,4
quinta
13,4
13,2
Determina quale delle due macchine presenta la minor variabilitaÁ.
0,075; 0,141
Un insegnante di fisica fa eseguire ai suoi studenti, divisi in gruppi di lavoro, alcune misurazioni di un'asta. Ogni gruppo esegue 4 misurazioni e riporta i dati rilevati (in cm) in una tabella: 2 . ''
22 . ''
o
35,8
2o
35,6
o
2
3o
35,2
3o
35,5
o
1
o
4
o
1
222 . ''
35,3
4
1
o
2, . ''
35,5
o
35,3
o
1
35,6
o
2
35,6
2
35,8
35,9
3o
35,4
3o
35,7
35,3
o
35,6
o
35,3
4
4
Determina quale gruppo presenta la minor variabilitaÁ fra i dati e quale la maggiore. I 0,22; II 0,25; III 0,08; IV 0,23
Completa la tabella seguente sapendo che: la media aritmetica eÁ ! 22 e che la moda eÁ 9. Successivamente calcola la deviazione standard.
3
3
5
16
21
32
2
2
4
39 3
1
9; 34; 12,496
& *'
quantitativo discreto; qualitativo; quantitativo continuo; qualitativo
V, V, F, V
mutabile; variabile; variabile; variabile
F, V, V
F, F, V
V, F, V, V
V, F, V
®,
, ®, ¯, ¬
Sul sito www.edatlas.it trovi... l
Á i problemi di Matematica e realta
l
il recupero relativo al Tema 4
l
la rubrica Math in English con alcuni esercizi in lingua inglese
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Tema 4 - Cap. 1: LA STATISTICA DESCRITTIVA
Testfinale 1 Considera la seguente distribuzione di frequenze che riguarda la professione di un gruppo di individui iscritti ad un club: Occupazione
Avvocato Medico Commerciante
Frequenza
3
6
Artigiano
Impiegato
Imprenditore
Libero professionista
7
25
8
16
15
Da essa si deduce che: a. l'indagine eÁ stata condotta su una popolazione: ¬ non nota; di 100 individui; ® di 80 individui. b. la frequenza relativa dei medici eÁ: ¬ 0,075; 6; ® 13,33. c. la frequenza relativa degli impiegati rispetto a quella degli imprenditori eÁ: ¬ uguale; maggiore; ® minore.
0,25 punti per ogni risposta
I dati che seguono rappresentano le etaÁ delle persone che hanno acquistato un biglietto per un concerto: 40, 53,
35, 56,
42, 46,
38, 37,
55, 29,
36, 24,
24, 31,
28, 41,
32, 42,
48, 50,
68, 48,
48, 27,
33, 22,
20, 60,
24, 59,
62, 55,
48, 44.
51,
Costruisci la tabelle delle frequenze assolute e relative organizzando i dati per classi di ampiezza a tua scelta. 1 punto La seguente tabella riporta il fatturato mensile di un'azienda, in migliaia di Euro, relativo all'anno 2009: Mese
Gen
Feb
Mar
Apr
Mag
Giu
Lug
Ago
Set
Ott
Nov
Dic
Fatturato
350
425
385
412
392
503
495
128
473
512
365
488
Dopo aver determinato la tipologia del carattere dell'indagine, rappresenta graficamente la distribuzione mediante un diagramma a rettangoli. 0,75 punti La seguente distribuzione di frequenze rappresenta la spesa media mensile in Euro per i soli generi alimentari sostenuta da un gruppo di famiglie di 4 persone aventi reddito complessivo mensile inferiore a E 4000: Classi di spesa 0
200
Frequenza 3
200 300
56
300 400
124
400 450
278
450 500
312
500 550
358
550 600
426
600 700
385
700 1000
128
Rappresenta la distribuzione con un istogramma.
570
Tema 4 - Cap. 1: LA STATISTICA DESCRITTIVA
2 punti Q
Dati i seguenti valori 15 18 17 16 8 9 ¬ 12,509 a. la media aritmetica eÁ: ¬ 13,199 b. la media geometrica eÁ: ¬ 12,509 c. la media armonica eÁ: ¬ 13,833 d. la media quadratica eÁ:
® ® ® ®
13,833 15,272 13,199 12,509
83 12,509 14,370 14,370 0,5 punti per ogni risposta
Per studiare l'insorgere di una certa malattia a seconda dell'etaÁ viene selezionato un gruppo di 100 malati che hanno contratto la malattia nelle fasce di etaÁ indicate nella seguente tabella: EtaÁ Frequenza
[20 30)
[30 40)
[40 50)
[50 60)
[60 70]
10
30
30
20
10
Calcola l'etaÁ media in cui eÁ ipotizzabile che insorga la malattia ed il relativo scarto quadratico medio. 2 punti Le misurazioni della massa di un corpo eseguite con una bilancia di precisione hanno dato i seguenti esiti espressi in grammi: 15,123 15,124 15,123 15,119 15,124 15,125 15,123 15,124 15,127 Calcola il campo di variabilitaÁ e la deviazione standard. 1 punto Nello studio della variabilitaÁ sui pesi e sulle altezze di un gruppo di individui si eÁ trovato che il peso medio di una persona adulta di sesso maschile eÁ di 78,54kg con una deviazione standard di 5,64kg, mentre l'altezza media dello stesso gruppo eÁ di 1,73m con una deviazione standard di 0,12m. C'eÁ piuÁ variabilitaÁ fra i pesi o fra le altezze? 0,5 punti
Q
Tema 4 - Cap. 1: LA STATISTICA DESCRITTIVA
571
Soluzioni 1 a.
®* b. ¬* c.
Ipotizzando classi di ampiezza 8 anni: Classi
Fr. assoluta
Fr. relativa
28
6
0,171
28 36
6
0,171
36 44
7
0,2
44 52
8
0,229
52 60
5
0,143
60 68
3
0,086
TOTALE
35
1
20
mutabile rettilinea
Altezze rettangoli:
a.
0,015 0,56
1,24
5,56
6,24
7,16
8,52
3,85
0,43
, b. ¬, c. ¬, d. ®
M 44 anni; 11,36 anni campo di variabilitaÁ: 8 103 g; 0,002 CVpesi 0,0718; CValtezze 0,0694; c'eÁ piuÁ variabilitaÁ fra i pesi
1
Esercizio
2
3
4
5
6
7
8
Punteggio Valutazione in decimi
572
Tema 4 - Cap. 1: LA STATISTICA DESCRITTIVA
Q ISTITUTO ITALIANO EDIZIONI ATLAS
ESERCIZI CAPITOLO
I primi elementi e i triangoli
IL LINGUAGGIO DELLA GEOMETRIA E I PRIMI ASSIOMI
la teoria eÁ a pag.
1 termini primitivi della geometria sono oggetti geometrici: a. di cui eÁ necessario dare una definizione precisa b. che sono l'astrazione di oggetti concreti c. che eÁ necessario introdurre ma che non devono essere definiti d. non necessari ma che si introducono per facilitare lo studio di questa disciplina. 2 I termini primitivi della geometria euclidea sono: a. punto e retta b. retta e piano c. punto, retta e piano d. punto, segmento e angolo. 3 Una retta eÁ la linea che passa fra due punti. Questa frase puoÁ essere considerata una definizione di retta? EÁ possibile dare una definizione di retta? Motiva adeguatamente la tua risposta. 4 Un assioma eÁ: a. una proposizione che si assume vera a priori b. una affermazione evidente che si deduce dall'osservazione della realtaÁ c. una proposizione che occorre dimostrare d. una proposizione accettata da tutti. 5 Barra vero o falso. a. Due punti sono sempre allineati. b. Tre punti sono sempre allineati. c. Tre punti sono allineati se appartengono alla stessa retta. d. Tre punti definiscono sempre un piano. e. Quattro punti individuano sempre un solo piano.
V
F
V
F
V
F
V
F
V
F
6 Considera queste affermazioni: a. tre punti non allineati definiscono sempre un piano b. una retta ed un punto che non le appartiene definiscono sempre un piano. Spiega perche queste due proposizioni sono equivalenti.
7 Considera tre punti A, B, C su una retta r e un punto P fuori r. Quante rette passano per P e per uno dei punti A, B, C ? Q ISTITUTO ITALIANO EDIZIONI ATLAS
Tema 5 - Cap. 1: I PRIMI ELEMENTI E I TRIANGOLI
573
8 Disegna una retta r e un punto A che non le appartiene. Quante sono le rette che passano per A e intersecano r ? 9 Dei punti di una retta orientata r si sa che A precede B ma segue C, D segue B, E precede D ma segue B. Qual eÁ l'ordine con cui si susseguono i punti su r? 10 Due rette che si intersecano definiscono sempre un piano. Sai dare una motivazione di cioÁ in base agli assiomi studiati? Nei seguenti diagrammi di Eulero-Venn gli insiemi r, s, t rappresentano i punti di tre rette complanari; A, B, C sono punti. Per ogni situazione costruisci il relativo disegno. 11
ESERCIZIO GUIDA La retta r e la retta s hanno per intersezione il punto A che non appartiene a t; la retta s e la retta t hanno in comune il punto B che non appartiene alla retta r; inoltre le rette r e t non hanno punti di intersezione, quindi sono parallele. Il disegno che ne risulta eÁ quindi il seguente:
12
13
14
15
Nei seguenti diagrammi di Eulero-Venn r, s, t rappresentano tre rette complanari; A, B, C, D dei punti. Stabilisci quali delle seguenti situazioni hanno senso e quali no. 16
574
17
Tema 5 - Cap. 1: I PRIMI ELEMENTI E I TRIANGOLI
Q ISTITUTO ITALIANO EDIZIONI ATLAS
18
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20
21
22
23
Descrivi le figure dei seguenti esercizi. 24
ESERCIZIO GUIDA Sono date quattro rette a, b, r, s delle quali si sa che a eÁ parallela a b e r eÁ parallela a s; la retta a interseca le rette r e s rispettivamente in D e in A, la retta b interseca le rette r e s rispettivamente in C e in B.
25
EMIRETTE, SEGMENTI E ANGOLI
26
la teoria eÁ a pag.
27 Dopo aver dato la definizione di segmenti consecutivi e segmenti adiacenti, determina quali tra le seguenti proposizioni sono vere e quali sono false: V F a. due segmenti consecutivi sono anche adiacenti Q ISTITUTO ITALIANO EDIZIONI ATLAS
Tema 5 - Cap. 1: I PRIMI ELEMENTI E I TRIANGOLI
575
b. c. d. e.
due segmenti adiacenti sono anche consecutivi l'intersezione di due segmenti consecutivi eÁ uno degli estremi dei due segmenti l'unione di due segmenti adiacenti eÁ ancora un segmento l'unione di due segmenti consecutivi eÁ ancora un segmento.
V
F
V
F
V
F
V
F
28 Un angolo eÁ: a. la parte di piano delimitata da due rette b. la parte di piano delimitata da due semirette c. la parte di piano delimitata da due semirette aventi l'origine in comune.
29 Il segmento AB della figura a lato eÁ formato da 4 segmenti congruenti ad AC. Qual eÁ fra quelli segnati il punto medio di AB? Indica inoltre quali delle seguenti congruenze sono vere: 3 1 c. CP AB a. AP 2AC b. AQ AB 4 3 30 Riconosci quali fra i seguenti segmenti sono consecutivi:
a.
b.
c.
d.
31 Riconosci quali fra i seguenti segmenti sono adiacenti:
a.
b.
c.
d.
32 Disegna un segmento AB, un suo consecutivo BC ed il segmento CD adiacente a BC. I segmenti AD e AC come sono fra loro? 33 Dati quattro punti nel piano a tre a tre non allineati, quanti segmenti eÁ possibile ottenere unendoli due a due? Negli esercizi che seguono, costruisci il disegno basandoti sulle descrizioni ed eventualmente rispondi alle domande. 34 Tre rette a, b, c si intersecano a due a due in modo che a \ b P, a c R, c b Q. Una quarta retta d interseca la retta a in S e la b in F, ma non interseca la C. 35 Due segmenti AB e CD appartengono alla stessa retta r e sono tali che la loro intersezione eÁ vuota. Un terzo segmento PQ eÁ tale che il punto P appartiene ad AB ed il punto Q appartiene a CD. Determina AB PQ, CD PQ.
576
Tema 5 - Cap. 1: I PRIMI ELEMENTI E I TRIANGOLI
Q ISTITUTO ITALIANO EDIZIONI ATLAS
36 Sono dati due segmenti consecutivi AB e BC ed una retta r passante per B che non ha altri punti in comune con i segmenti dati. Siano P e Q due punti di r situati da parte opposta rispetto a B. Traccia i segmenti AP, AQ, CP, CQ. Elenca tutte le coppie di segmenti consecutivi che ci sono nella figura ottenuta. Vi sono coppie di segmenti adiacenti? Se sõÁ, quali? 37 La retta r divide il piano in due semipiani 1 e 2 . Sia A 1 , B 2 e C 2 . Quali segmenti, fra i possibili, intersecano r ? 38 Considera quattro punti A, B, C, D su una retta r. Quanti segmenti sono definiti da questi punti? Quante semirette? 39 Dati tre punti A, B, C non allineati, traccia il segmento AB e prendi un punto M sul suo prolungamento oltre B; traccia poi il segmento AC e prendi un punto P su di esso. Come sono i segmenti AB e BM, AP e PC ? Come sono i segmenti AB e AC, AM e AP ?
40 Nei seguenti angoli, indica il nome degli elementi evidenziati in rosso. 41 Osserva i disegni e stabilisci quali angoli sono concavi e quali sono convessi. a.
b.
c.
42 Osserva la figura seguente ed associa a ciascun elemento uno dei seguenti termini: angolo convesso, angolo giro, angolo concavo, angolo nullo, angoli adiacenti, angoli consecutivi, angoli opposti al vertice.
a.
e.
b.
f.
c.
g.
d.
h.
i.
43 Indica quali degli angoli in figura sono consecutivi e quali sono anche adiacenti.
a.
b.
Q ISTITUTO ITALIANO EDIZIONI ATLAS
c.
d.
Tema 5 - Cap. 1: I PRIMI ELEMENTI E I TRIANGOLI
577
44 Indica in quali delle seguenti figure gli angoli indicati sono opposti al vertice.
a.
b.
c.
d.
Negli esercizi che seguono, costruisci il disegno basandoti sulle descrizioni ed eventualmente rispondi alle domande. c e cd c hanno soltanto il vertice in comune. Un terzo angolo efb ha il vertice in comune con i 45 Due angoli ab c ed il lato f appartiene all'angolo cd. c Quanti angoli si precedenti angoli, il lato e appartiene all'angolo ab
vengono a formare nella figura cosõÁ costruita? Ci sono fra questi coppie di angoli consecutivi? E coppie di angoli adiacenti?
c e cd. c Considera un punto P ab, c un punto Q cd c e disegna il 46 Disegna due angoli opposti al vertice ab segmento PQ. Considera le diverse posizioni in cui puoi disegnare i punti P e Q e rispondi alle domande: a. in quanti punti il segmento PQ interseca i lati dei due angoli?
c e B eÁ l'insieme dei punti di cd, c in quale caso PQ appartiene all'inb. se A eÁ l'insieme dei punti di ab sieme A B ?
IL CONCETTO DI CONGRUENZA
la teoria eÁ a pag.
47 Sono dati gli angoli , , ; si puoÁ dire che: a. se , allora
V
F
b. se e sono supplementari di , allora
V
F
c. se < , allora < 2
V
F
d. se , allora < 2
V
F
e. se e sono complementari, allora
V
F
f. se e > , allora
V
F
V
F
V
F
V
F
V
F
V
F
V
F
48 Completa le seguenti proposizioni in modo che risultino vere. a. Un angolo retto eÁ la metaÁ di ..................................... b. Due angoli sono supplementari se ............................ c. Due angoli sono complementari se ........................... d. Due angoli la cui somma eÁ un angolo giro si dicono ................ 49 Barra vero o falso. a. Un angolo acuto eÁ minore di un angolo retto. b. Un angolo ottuso eÁ maggiore di un angolo piatto. c. Un angolo acuto eÁ minore di un angolo ottuso. d. Il doppio di un angolo acuto eÁ sempre ottuso. e. Un angolo acuto eÁ sempre convesso. f. Un angolo ottuso eÁ sempre concavo.
578
Tema 5 - Cap. 1: I PRIMI ELEMENTI E I TRIANGOLI
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50 Dati i tre segmenti in figura, disegna il segmento somma e il segmento differenza di AB con CD e disegna il multiplo di EF secondo il numero 4.
51 Dato un segmento AB disegna i segmenti:
2AB;
1 AB ; 2
5 AB. 3
3AB;
Individua tra le seguenti figure quale rappresenta in modo corretto la descrizione data. 52 Disegna un segmento AB e, sul suo prolungamento, dalla parte di B, prendi un punto P tale che PB 2AB.
a.
b.
c.
53 Disegna due segmenti consecutivi ma non adiacenti AB e BC e congiungi i loro punti medi M e N; sulla retta di MN, dalla parte di M, prendi poi un punto P tale che PM MN.
a.
b.
c.
54 Di due segmenti AB e BC adiacenti si sa che AB 2BC; siano M il punto medio di BC e N il punto medio di AC. Quali relazioni sussistono fra AB e MC, fra AN e BC, fra NM e AC? Esercizi di dimostrazione. 55
ESERCIZIO GUIDA Considera i segmenti adiacenti AB, BC, CD tali che AB BC CD. Sia M il punto medio del segmento BC. Dimostra che AM MD. Scriviamo prima le ipotesi del teorema: Hp.
AB BC CD BM MC
per indicare che M eÁ punto medio di BC
Scriviamo la tesi: Th.
AM MD
Scriviamo la dimostrazione:
AB CD
per ipotesi
BM MC
per ipotesi
AB BM CD MC Quindi Q ISTITUTO ITALIANO EDIZIONI ATLAS
perche somme di segmenti congruenti
AM MD. Tema 5 - Cap. 1: I PRIMI ELEMENTI E I TRIANGOLI
579
1 56 Dei segmenti AB e BC adiacenti si sa che il segmento BC AB. Indicato con M il punto medio di AB, 4 dimostra che AM eÁ il doppio di BC. 57 AB e BC sono due segmenti adiacenti; indicato con M il punto medio di AB e con N il punto medio di 1 BC, dimostra che MN AB BC . 2
58 Per ciascuno dei seguenti angoli disegna il complementare e il supplementare: a.
b.
c.
59 Dai una descrizione delle seguenti figure geometriche: a.
b.
c.
c con cd c e l'angolo multiplo di 60 Dati gli angoli in figura disegna l'angolo somma e l'angolo differenza di ab b secondo il numero 5. rs
61 Individua tra le seguenti figure quale rappresenta in modo corretto la descrizione data. d e traccia una semiretta VC uscente dal vertice e interna all'angolo; considera i Disegna un angolo AVB punti P, Q, R rispettivamente sui lati VA, VB, VC in modo che VP VQ e VR 2VP. a.
b.
c.
62 Possiamo dire che due angoli consecutivi sono sempre adiacenti? Viceversa eÁ vero che due angoli adiacenti sono sempre consecutivi? Giustifica le tue risposte. c , quale frazione di angolo piatto eÁ il suo complementare? E il suo supplemen63 Dato un angolo ab 3 tare?
Tema 5 - Cap. 1: I PRIMI ELEMENTI E I TRIANGOLI
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4 64 Un angolo eÁ del suo adiacente. Esprimi l'ampiezza dei due angoli per mezzo di una frazione dell'an5 golo piatto. 65 Due angoli consecutivi sono uno il triplo dell'altro e le loro bisettrici formano un angolo ampio . De3 h i termina l'ampiezza dei due angoli. 6
,
2
1 1 66 Due angoli consecutivi sono rispettivamente e di angolo piatto. Qual eÁ la frazione di angolo piatto 3 4 del supplementare della loro somma? 5 12
Esercizi di dimostrazione. 67
ESERCIZIO GUIDA c ed il suo consecutivo bc, c disegna le loro bisettrici r ed s. Dimosta che rs b 1 ac. c Dati l'angolo ab 2 Completa le ipotesi e la tesi. Hp.
b ::::::: ar
Th.
b ::::::: bs
b ::::::: rs
Completa lo svolgimento della dimostrazione. c b 1 ab rb 2 b ::::::: bs
perche r eÁ bisettrice perche .....................
c bc c :::::::::: b bs b :::::::::: :::::::::: 1 ab b rb rs 2 68
ESERCIZIO GUIDA Disegna due angoli adiacenti e traccia le loro bisettrici. Dimostra che l'angolo formato da tali bisettrici eÁ retto. b ::::::: b 1 Hp. ar Th. rs 2 b ::::::: bs Dimostrazione. b 1 ::::: rb 2
b bs b b rb rs
e
b 1 ::::: bs 2
quindi .................................
c e bc, c tali che il primo sia il doppio del secondo, indica con r la bisettrice di 69 Dati gli angoli consecutivi ab c Dimostra che ar c e che rc c b bc b ab. ab. c e bc c e sia r la bisettrice del primo angolo. Dimostra che vale la re70 Considera gli angoli consecutivi ab c b ac c bc. lazione 2rc
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Tema 5 - Cap. 1: I PRIMI ELEMENTI E I TRIANGOLI
POLIGONI E TRIANGOLI
la teoria eÁ a pag.
71 Fra i poligoni disegnati in figura, quali sono quelli concavi e quali quelli convessi?
a.
b.
c.
d.
72 Completa le seguenti definizioni: a. un triangolo eÁ isoscele se ............................ b. un triangolo eÁ equilatero se ........................ c. un triangolo eÁ scaleno se ............................
73 Con riferimento al poligono ABCDE in figura: a. indica l'angolo interno di vertice E b. indica l'angolo esterno di vertice B c. traccia la corda che congiunge i punti medi dei lati AB e CD d. traccia le diagonali uscenti dal vertice D e. costruisci il poligono che ha vertici nei punti medi dei suoi lati. 74 Disegna un poligono convesso ABCD e indica: a. quali lati sono consecutivi a BC b. qual eÁ l'angolo esterno di vertice D c. qual eÁ la corda che unisce i punti medi dei lati AB e CD d. qual eÁ il punto d'intersezione delle diagonali e. quali sono gli angoli interni adiacenti al lato AD f. qual eÁ l'angolo interno che ha per lati le rette sostegno di BC e AB. 75 Nel triangolo ABC in figura disegna: a. la mediana relativa al lato AC d b. la bisettrice dell'angolo CAB
c. la bisettrice di uno degli angoli esterni di vertice B.
76 Del triangolo ABC in figura individua: a. l'angolo compreso fra i lati AB e AC b. gli angoli adiacenti al lato BC c. l'angolo esterno di vertice C d d. il lato opposto all'angolo CAB e. l'angolo opposto al lato AC.
77 Disegna un triangolo isoscele ABC di base AB e traccia: a. le mediane relative ai due lati congruenti b. la bisettrice dell'angolo formato dalla mediana uscente dal vertice A con la base AB c. le bisettrici degli angoli esterni di vertici A e B e indica con D il loro punto di intersezione.
Tema 5 - Cap. 1: I PRIMI ELEMENTI E I TRIANGOLI
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LA CONGRUENZA NEI TRIANGOLI
la teoria eÁ a pag.
l
Primo di congruenza dei triangoli: due triangoli sono congruenti se hanno ordinatamente congruenti due lati e l'angolo fra essi compreso.
l
di congruenza dei triangoli: due triangoli sono congruenti se hanno ordinatamente congruenti un lato e i due angoli ad esso adiacenti.
l
di congruenza dei triangoli: due triangoli sono congruenti se hanno i tre lati ordinatamente congruenti.
78 Due triangoli sono congruenti in base al primo criterio. Di essi si puoÁ dire che: a. hanno due lati e l'angolo fra essi compreso ordinatamente congruenti, ma non si puoÁ dire nulla sugli altri lati e angoli b. hanno tutti gli elementi (lati e angoli) ordinatamente congruenti c. hanno solo due lati e l'angolo fra essi compreso ordinatamente congruenti e gli altri elementi sono diversi. 79 Nella figura a lato gli elementi congruenti sono stati indicati con lo stesso simbolo; stabilisci se i triangoli che seguono sono congruenti e in base a quale criterio a. AMC e BMD b. AMF e BME In conseguenza di cioÁ che hai risposto ai due precedenti quesiti puoi concludere che: V F c. AC DB V F Á d. M e il punto medio di CD d V F e. AB eÁ la bisettrice di CAF V F f. AF AC 80 In base al terzo criterio di congruenza dei triangoli si puoÁ dedurre che: a. se due triangoli hanno tre lati ordinatamente congruenti, allora anche i tre angoli sono ordinatamente congruenti b. tutti i triangoli equilateri sono fra loro congruenti c. se due triangoli hanno tre angoli ordinatamente congruenti, allora anche i tre lati sono ordinatamente congruenti d. se due triangoli equilateri hanno una coppia di lati ordinatamente congruenti, allora sono congruenti e. se due triangoli isosceli hanno la base e un lato ordinatamente congruenti, allora sono congruenti. Q ISTITUTO ITALIANO EDIZIONI ATLAS
Tema 5 - Cap. 1: I PRIMI ELEMENTI E I TRIANGOLI
V
F
V
F
V
F
V
F
V
F
583
81
ESERCIZIO GUIDA Dato il triangolo ABC con BC AB, traccia la bisettrice dell'angolo di vertice B che incontra in D il lato AC e prendi un punto P su BC in modo che sia BP AB. Dimostra che AD DP. Costruiamo la figura del problema facendo attenzione a disporre le lettere sui vertici del triangolo in modo che il lato BC sia maggiore del lato AB. Scriviamo poi le ipotesi e la tesi del teorema indicando contemporaneamente sulla figura gli elementi congruenti (completa le parti mancanti). d Hp. ABD
(per indicare che BD eÁ bisettrice)
BP
Th. AD Per dimostrare la congruenza dei segmenti AD e DP dobbiamo individuare due triangoli, uno che ha come lato AD e l'altro che ha come lato DP, che abbiano qualche possibilitaÁ di essere congruenti; tali triangoli sono ADB e DBP che abbiamo evidenziato in colore azzurro. Di essi sappiamo che: AB
per ipotesi
BD eÁ congruente a se stesso per la proprietaÁ riflessiva della congruenza d per ipotesi ABD quindi ...............................
82
ESERCIZIO GUIDA Disegna un triangolo ABC, prendi un punto D sul lato AB e un punto E sul lato AC in modo che d ed i segmenti DK ed EK. Dimostra che EK DK . AD AE; traccia poi la bisettrice AK dell'angolo CAB Costruiamo la figura e scriviamo l'ipotesi e la tesi del teorema: Hp. AD
Th. EK KD
d EAK
Devi ricordare adesso di segnare le ipotesi sulla figura ponendo lo stesso simbolo sugli elementi congruenti: per esempio due trattini d e KAD. d sui segmenti AE e AD e un archetto sugli angoli EAK
Cerca adesso di individuare due triangoli, uno che abbia come lato EK e l'altro che abbia come lato DK, che, in base alle ipotesi individuate sulla figura, abbiano la possibilitaÁ di essere congruenti; tali triangoli sono EAK e ............ Di essi sai che: AE
per ...................
AK d EAK
per ................... perche ..............
In base al ............. criterio di congruenza dei triangoli essi sono congruenti e quindi ............
584
Tema 5 - Cap. 1: I PRIMI ELEMENTI E I TRIANGOLI
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es. 83
83 Disegna un segmento AB, trova il suo punto medio M e traccia una qualunque retta r per M; su tale retta prendi, da parte opposta rispetto a M, i punti P e Q in modo che PM QM. Dimostra che AQ PB. (Suggerimento: ricorda che due angoli opposti al vertice sono congruenti)
84 Disegna un triangolo ABC; prolunga il lato CB oltre C di un segmento CP AC ed il lato AC oltre C di d CQP d. un segmento CQ CB. Congiungi i punti P e Q e dimostra che ABC es. 85
85 Disegna un segmento MN e prendi un punto O del piano che non appartiene alla retta di MN; traccia poi le semirette MO e NO di origini M e N e prendi un punto P sulla semiretta MO da parte opposta di O rispetto a M in modo che PO MO e un punto Q sulla semiretta NO da parte opposta di O rispetto a N tale che QO NO. Dimostra che PQ MN.
c di vertice V; prendi un punto A sul lato a ed un punto B sul lato b in 86 Disegna un angolo convesso ab modo che VA VB; prendi poi un altro punto C sul lato a ed un altro punto D sul lato b in modo che VC VD; congiungi A con D e B con C e dimostra che i segmenti AD e BC sono congruenti.
87
ESERCIZIO GUIDA Disegna un angolo convesso di vertice V e traccia la sua bisettrice r ; prendi un punto qualsiasi P su r e da tale punto traccia due semirette a e b che formino angoli congruenti con r e che incontrino i lati dell'angolo in R e in S. Dimostra che i triangoli VPR e VPS cosõÁ ottenuti sono congruenti. Costruiamo la figura del teorema e scriviamo ipotesi e tesi. d ::::::::::::: Hp. RVP d :::::::::: RPV
Th. VPR VPS
Consideriamo i triangoli VPR e VPS :
d ::::::::::: RVP
perche ...........
VP :::::::::::::
perche ...........
d ::::::::::: RPV
perche ...........
I triangoli VRP e VSP sono dunque congruenti per il ................... criterio di congruenza.
88 Disegna un angolo convesso di vertice V e prendi un punto A su un lato e un punto B sull'altro in modo che VA VB; dal punto A traccia una semiretta che incontra l'altro lato dell'angolo in un punto P e d dal punto B traccia un'altra semiretta chiama con l'angolo VAP;
es. 88
d sia conche incontra l'altro lato in Q in modo che l'angolo VBQ gruente ad . Dimostra che AP BQ.
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Tema 5 - Cap. 1: I PRIMI ELEMENTI E I TRIANGOLI
89 Disegna un triangolo ABC e traccia la mediana AM; traccia poi dal vertice B una retta esterna al triangolo che formi con BC un angolo cond e indica con S il punto di intersezione di questa semigruente ad ACB
es. 89
retta con il prolungamento di AM. Dimostra che MS AM.
d DEF, d FDE; d BAC d 90 Dei triangoli ABC e DEF si sa che AC DE, ACB dimostra che le bisettrici CP del primo triangolo (P AB) ed EQ del secondo triangolo (Q DF) sono anch'esse congruenti.
91
ESERCIZIO GUIDA Due triangoli isosceli hanno ordinatamente congruenti il perimetro e la base. Dimostra che sono congruenti. Hp. AB AC A B A C AB AC BC A B A C B C BC B C
Th. ABC A B C Se dal perimetro del primo triangolo togliamo la base e dividiamo per 2 il segmento ottenuto, troviamo il lato obliquo; se facciamo la stessa cosa nel secondo triangolo troviamo ancora il lato obliquo. Ma poiche i perimetri e le basi sono congruenti, anche i lati obliqui lo sono perche differenza di segmenti congruenti. Quindi i due triangoli sono congruenti per il ................................. 92 Due triangoli isosceli ABC e DBC sono uniti per la base BC come nella figura a lato. Traccia il segmento AD e dimostra che i triangoli ABD e ACD sono congruenti. Che cosa rappresenta il lato AD per gli d e BDC d? angoli BAC
es. 92
93 I segmenti AB e BC sono adiacenti e sono congruenti; costruisci un triangolo equilatero ABD sul segmento AB e un triangolo equilatero BCE sul segmento BC in modo che i punti D ed E si trovino in semipiani opposti rispetto alla retta AC. Dimostra che sono congruenti i triangoli ADC e ACE. (Suggerimento: i triangoli ABD e BCE sono congruenti perche .........., d e BCE) d quindi sono congruenti anche gli angoli DAB
LE PROPRIETAÁ DEL TRIANGOLO ISOSCELE
la teoria eÁ a pag.
Á isoscele se ha due lati congruenti; la sua proprieta Á e Á di avere gli angoli adiacenti alla base Un triangolo e Á isoscele si puo Á far vedere che: congruenti. Per dimostrare che un triangolo e l
ha due lati congruenti, oppure
l
ha due angoli congruenti.
586
Tema 5 - Cap. 1: I PRIMI ELEMENTI E I TRIANGOLI
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94 Condizione necessaria e sufficiente affincheÂun triangolo sia isoscele eÁche abbia due angoli congruenti. Enuncia i due teoremi che esprimono la condizione necessaria e la condizione sufficiente specificando quali sono l'ipotesi e la tesi di ognuno. 95 In un triangolo ABC la mediana AM eÁ congruente al lato AB. E' possibile che il triangolo ABC sia isoscele?
96
ESERCIZIO GUIDA Disegna un triangolo isoscele ABC di base BC e traccia le mediane BD e CE. Dimostra che tali mediane sono congruenti. Hp. AB :::::::::::::
Th. ::::::::::::::::::::::::::
AD :::::::::::: AE :::::::::::: Considera i triangoli BEC e CDB e ricorda che se dividi due segmenti congruenti in due parti congruenti ottieni quattro segmenti che sono.................. 97 Due triangoli isosceli ABC e ACD hanno in comune la base AC. Dimostra che BD eÁ bisettrice di ciascuno dei due angoli di vertici B e D.
es. 99
98 Dimostra che se unisci i punti medi dei lati di un triangolo equilatero, ottieni ancora un triangolo equilatero. 99 Dimostra che, se si prolungano i lati di un triangolo equilatero, solo da una parte e nello stesso senso, di tre segmenti congruenti, si ottiene ancora un triangolo equilatero. Se esegui la stessa costruzione con un triangolo isoscele, ottieni ancora un triangolo isoscele? 100 Dato un triangolo ABC qualsiasi, prendi sui suoi lati due segmenti congruenti AM ed AN (M AB, N AC ). Sulla retta MN, esternamente al triangolo, prendi due segmenti MT e NS tra loro congruenti. Dimostra che i due triangoli MAT e ANS sono congruenti.
es. 100
101 In un triangolo isoscele ABC di vertice A, traccia le bisettrici BP e CQ degli angoli alla base. Dimostra che BP CQ e che BQ CP. 102 Disegna un triangolo ABC isoscele di base BC e traccia la bisettrice dell'angolo di vertice A; prendi poi un punto S su tale bisettrice e traccia i segmenti BS e CS. Dimostra che: d ACS d a. ABS d b. la semiretta AS eÁ bisettrice anche dell'angolo BSC.
es. 102
(Suggerimento tesi b.: dalla congruenza dei triangoli ABS e ACS segue d ASC, d quindi........) che ASB
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Tema 5 - Cap. 1: I PRIMI ELEMENTI E I TRIANGOLI
587
ESERCIZI RIASSUNTIVI SUI CRITERI DI CONGRUENZA DEI TRIANGOLI 103
ESERCIZIO GUIDA c di vertice O, prendi due punti A e B sul lato a e poi due punti C e D sul lato b in Disegna un angolo ab modo che OA OC e OB OD; traccia i segmenti BC e AD e chiama F il loro punto di intersezione. c Dimostra che OF eÁ la bisettrice dell'angolo ab. Scrivi le ipotesi e la tesi del teorema. Hp.
.............
Th.
.............
Per dimostrare la tesi devi seguire questi passi: a. dimostrare che i triangoli AOD e COB sono congruenti; b. dimostrare che i triangoli AFB e CFD sono congruenti; c. dimostrare che i triangoli OAF e OCF sono congruenti. 104 Dimostra che due triangoli sono congruenti se hanno ordinatamente congruenti un lato, un angolo ad esso adiacente e la bisettrice di tale angolo. 105 Dato il triangolo ABC, isoscele di base BC, considera su AB ed AC i segmenti AE e AF fra loro congruenti e su BC i segmenti BS e CT fra loro congruenti. Le rette FS ed ET si intersecano in O. Dimostra
che: STO ed FEO sono triangoli isosceli. 106 Dato un triangolo ABC isoscele sulla base BC, prolunga i suoi lati dalla parte di A di due segmenti congruenti AE ed AF (E retta AC, F retta AB). Prolungata la base di due segmenti congruenti HB e CK, dimostra che EH FK e che le rette di EH e FK si incontrano nel punto O appartenente alla bisettrice b dell'angolo A. 107 Dato il triangolo ABC, prolunga il lato AC di un segmento AE AB ed il lato AB di un segmento AD AC. Detto F il punto di intersezione fra le rette ED e BC, dimostra che il triangolo EFB eÁ isoscele d e che A appartiene alla bisettrice dell'angolo EFB.
108 Dato un triangolo isoscele di base BC, dal vertice A ed esternamente al triangolo, conduci due semirette r e s che formano angoli acuti congruenti con AB e AC. Su queste prendi due segmenti congruenti AH e AK (H r, K s). Detta P l'intersezione di HC con BK, dimostra che: a. KC HB; b. KB HC ; d c. P appartiene alla bisettrice dell'angolo BAC. 109 Disegna un triangolo isoscele ABC di vertice A e prolunga i lati congruenti dalla parte di A; scegli due punti D ed E su tali prolungamenti in modo che AD AE (D appartiene al prolungamento di AC, E appartiene al prolungamento di AB). a. Congiungi B con D e C con E e dimostra che DB CE. b. Prolunga i segmenti DB e CE fino a che si incontrano in P e dimostra che il triangolo PBC eÁ isoscele. c. Traccia la semiretta AP e dimostra che i triangoli ADP e AEP sono congruenti. (Suggerimento tesi b.: per dimostrare che PBC eÁ isoscele puoi seguire due strade: far vedere che PC PB usando i triangoli PEB e PDC oppud PBC) d re che PCB
Tema 5 - Cap. 1: I PRIMI ELEMENTI E I TRIANGOLI
es. 109
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RELAZIONI FRA LATI E ANGOLI DI UN TRIANGOLO
la teoria eÁ a pag.
In ogni triangolo: l
Á maggiore degli angoli interni ad esso non adiacenti ciascun angolo esterno e
l
Á opposto l'angolo maggiore se due lati sono disuguali, al lato maggiore e
l
Á opposto il lato maggiore se due angoli sono disuguali, all'angolo maggiore e
l
Á minore della somma degli altri due e maggiore della loro differenza. ciascun lato e
110 Barra vero o falso. a. Un triangolo non puoÁ avere piuÁ di un angolo ottuso. b. Un triangolo puoÁ avere due angoli retti. c. Un triangolo puoÁ avere piuÁ di due angoli acuti. d. In un triangolo isoscele gli angoli alla base possono essere ottusi. e. In un triangolo isoscele l'angolo al vertice non puoÁ essere ottuso. f. Un triangolo rettangolo puoÁ essere isoscele. g. In un triangolo rettangolo l'ipotenusa eÁ il lato maggiore. h. In un triangolo rettangolo non ci possono essere angoli ottusi.
V
F
V
F
V
F
V
F
V
F
V
F
V
F
V
F
111 Sono dati tre segmenti AB, CD e EF tali che AB 3CD e CD 2EF. EÁ possibile costruire un triangolo con tali segmenti? Giustifica la tua risposta. d < ACB d? 112 Nel triangolo ABC si ha che AB 3 BC. EÁ possibile che sia CAB 4
113
ESERCIZIO GUIDA Considera un triangolo ABC isoscele sulla base BC ed un punto P su AC. Dimostra che BP PC. Hp.
.............
Th.
.............
d eÁ minore dell'angolo PCB; d in base Nel triangolo BPC l'angolo PBC alla terza proprietaÁ ricordata ......................
114 Dimostra che in ogni triangolo ciascuno dei segmenti in cui viene diviso un lato dalla bisettrice del suo angolo opposto eÁ minore del lato del triangolo ad esso consecutivo. d eÁ maggiore di PAB d per il teorema dell'an(Suggerimento: Osserva che APC d PAC d e quindi golo esterno, quindi ........................ Analogamente APB
es. 114
.......................)
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Tema 5 - Cap. 1: I PRIMI ELEMENTI E I TRIANGOLI
es. 115
115 Dato un triangolo ABC, sia P un punto di AB, Q un punto di BC, R un punto di AC. Dimostra che il perimetro del triangolo PQR eÁ minore del perimetro del triangolo ABC. (Suggerimento: In base alle disuguaglianze triangolari, PR < AP AR; analogamente per gli altri lati del triangolo PQR. Sommando membro a membro le tre relazioni ottieni la tesi). 116 Sia P un punto interno a un triangolo ABC ; tracciati i segmenti PA e PB, dimostra che: d ACB d a. APB b. AP PB < AC CB.
Soluzioni esercizi di comprensione 1 c.
2 c.
3 no, no
4 a.
5 a. V, b. F, c. V, d. V. e. F
27 a. F, b. V, c. V, d. V, e. F
28 c.
47 a. V, b. V, c. V, d. F, e. F, f. F
49 a. V, b. F, c. V, d. F, e. V, f. F
71 concavi, a., d.
78 b.
79 a. II criterio, b. I criterio, c. V, d. V, e. F, f. F
80 a. V, b. F, c. F, d. V, e. V
95 no
110 a. V, b. F, c. V, d. F, e. F, f. V, g. V, h. V 111 no, i segmenti non soddisfano le disuguaglianze triangolari 112 no, al lato maggiore eÁ opposto l'angolo maggiore
Sul sito www.edatlas.it trovi... l
esercizi tratti dalle gare di matematica
l
Á i problemi di Matematica e realta
Tema 5 - Cap. 1: I PRIMI ELEMENTI E I TRIANGOLI
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Testfinale 1 Due segmenti AC e DB hanno come intersezione il segmento DC non nullo; si puoÁ dire che: a. i due segmenti sono consecutivi b. gli estremi dei due segmenti sono allineati c. i due segmenti sono adiacenti d. i due segmenti appartengono alla stessa retta ma non sono adiacenti.
V
F
V
F
V
F
V
F
0,5 punti Con riferimento alla figura a lato, completa le seguenti proposizioni: a. AC e CD sono segmenti ............................................. b. BQ e BC sono segmenti ............................................. c. C eÁ il punto medio del segmento ................................. d. s e r sono rette .......................................................... sono ........................... e ABP e. gli angoli convessi QBC e PBC sono .......................................... f. gli angoli ABP
1 punto
I segmenti AB e BD appartengono alla stessa retta, AB eÁ il quadruplo di BD e D AB; il punto M eÁ il punto medio di AB e il punto N eÁ il punto medio di MD. Individua fra le seguenti le relazioni vere: a. MD 1 AB 4
b. DB 2MN
c. AB 8MN
d. MD 1 AB 2 1 punto
Un angolo retto e un angolo che eÁ la quinta parte di un angolo piatto sono consecutivi. Qual eÁ l'ampiezza dell'angolo somma? 1 punto Due angoli consecutivi sono complementari. Qual eÁ l'ampiezza dell'angolo formato dalle loro bisettrici? 1 punto I due triangoli in figura hanno congruenti gli elementi evidenziati con lo stesso simbolo. Ci sono, fra le seguenti, affermazioni vere? a. Non sono congruenti. b. Gli elementi dati non sono sufficienti per poter dire se sono congruenti. c. Sono congruenti per il secondo criterio. d. Sono congruenti per il primo criterio.
1 punto
DEF, Di due triangoli ABC e DEF sai che sono isosceli rispettivamente di basi BC ed EF ed inoltre che ABC BC EF. Puoi dire che: a. i due triangoli sono congruenti per il primo criterio b. i due triangoli sono congruenti per il secondo criterio c. i due triangoli sono congruenti per il terzo criterio d. non si puoÁ sapere se i due triangoli sono congruenti. 1 punto Q
Tema 5 - Cap. 1: I PRIMI ELEMENTI E I TRIANGOLI
triangolo ABC in figura eÁ isoscele di base BC e M e N sono i punti medi dei lati obliqui. Puoi dire che (giustifica le tue risposte): V F a. il triangolo AMN eÁ isoscele V F b. il triangolo BMN eÁ isoscele V F c. il triangolo BMN eÁ congruente al triangolo CMN V F d. il triangolo BNC eÁ congruente al triangolo BMC. 2 punti
Di un triangolo ABC si sa che AB < CB, quale delle seguenti relazioni eÁ vera? b>C b < Bb b > Bb b b a. A b. Bb < C c. A d. A
Di a. b. c. d.
0,5 punti
un triangolo ABC si sa che AB 25cm, AC 30cm, BC 52cm. Puoi dire che: il triangolo esiste e l'angolo maggiore eÁ quello di vertice B il triangolo non esiste il triangolo esiste e l'angolo maggiore eÁ quello di vertice A il triangolo esiste e l'angolo minore eÁ quello di vertice C.
V
F
V
F
V
F
V
F
1 punto
Soluzioni a. F, b. V, c. F, d. V a. adiacenti, b. consecutivi, c. BD, d. incidenti, e. opposti al vertice e congruenti, f. adiacenti e supplementari a. V, b. V, c. V, d. F
7 di angolo piatto 10
MetaÁ dell'angolo retto eÁ vera solo la d. b. a. V, b. F, c. V, d. V
a. a. F, b. F, c. V, d. V
1
Esercizio
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Punteggio Valutazione in decimi
Tema 5 - Cap. 1: I PRIMI ELEMENTI E I TRIANGOLI
Q
ESERCIZI CAPITOLO
Parallelismo e perpendicolaritaÁ nel piano
RETTE PERPENDICOLARI
la teoria eÁ a pag.
l
Due rette sono perpendicolari se incontrandosi formano angoli retti.
l
Á la retta ad esso perpendicolare condotta per il suo punto medio e ha la proprieta Á L'asse di un segmento e Á che ogni suo punto e equidistante dagli estremi del segmento.
l
In un triangolo isoscele l'altezza relativa alla base coincide con la mediana relativa allo stesso lato e con la bisettrice dell'angolo al vertice.
1 Sono dati una retta e un punto che non le appartiene; descrivi come si deve procedere per tracciare da la retta perpendicolare a . Spiega il significato dei seguenti termini: a. proiezione ortogonale di un punto su una retta b. proiezione ortogonale di un segmento su una retta c. distanza di un punto da una retta . 3 Barra vero o falso. a. La proiezione di un segmento su una retta eÁ sempre minore del segmento dato.
V
F
b. La proiezione di un segmento su una retta eÁ sempre minore o congruente al segmento dato.
V
F
c. La distanza di un punto da una retta eÁ il segmento di minor lunghezza che unisce il punto con la retta.
V
F
V
F
b. eÁ la retta perpendicolare al segmento che passa per il suo punto medio
V
F
c. ha come caratteristica che i suoi punti hanno tutti una comune distanza dagli estremi del segmento
V
F
d. ha come caratteristica che ciascuno dei suoi punti eÁ equidistante dagli estremi del segmento.
V
F
V
F
b. l'altezza relativa al lato coincide con la mediana relativa allo stesso lato e con la bisettrice dell'angolo di vertice
V
F
c. la mediana relativa al lato coincide con l'altezza relativa allo stesso lato
V
F
d. la bisettrice dell'angolo di vertice coincide con la bisettrice dell'angolo di vertice .
V
F
4 L'asse di un segmento: a. eÁ la retta che passa per il punto medio del segmento
5 Barra vero o falso. Dato un triangolo isoscele di base : a. l'altezza relativa al lato coincide con la bisettrice dell'angolo di vertice
Q ISTITUTO ITALIANO EDIZIONI ATLAS
Tema 5 - Cap. 2: PARALLELISMO E PERPENDICOLARITAÁ NEL PIANO
593
6 Data la retta ed il punto , traccia da la perpendicolare alla retta nei seguenti casi.
a.
b.
c.
d.
7 Trova la proiezione ortogonale 0 del punto sulla retta nei seguenti casi.
a.
b.
c.
d.
8 Traccia la proiezione 0 0 del segmento sulla retta nei seguenti casi.
a.
b.
c.
d.
9 Riferendoti alla figura a lato, individua le proiezioni dei punti e e dei segmenti e sulla retta .
10 Per ognuno dei seguenti triangoli disegna le tre altezze e specifica se esse cadono internamente o esternamente al triangolo.
a.
b. Tema 5 - Cap. 2: PARALLELISMO E PERPENDICOLARITAÁ NEL PIANO
c. Q ISTITUTO ITALIANO EDIZIONI ATLAS
11
ESERCIZIO GUIDA Disegna un triangolo qualsiasi e traccia l'altezza ; prolunga poi di un segmento . Dimostra che i triangoli e sono isosceli. Cosa puoi dire dei triangoli ed ? Scriviamo le ipotesi e la tesi del teorema. Hp. ?
Th. isoscele
isoscele
Completa la dimostrazione. Considera i triangoli e . Essi hanno
per................
in comune percheÂ...........
quindi i triangoli considerati sono congruenti per ............... e in 4
particolare ; eÁ quindi isoscele. 4
Analogamente puoi procedere per dimostrare che eÁ isoscele. La conclusione eÁ che i due triangoli e sono congruenti perche ............... In un triangolo l'altezza relativa a un lato eÁ anche bisettrice dell'angolo a cui si riferisce; dimostra che il triangolo eÁ isoscele ed ha per base tale lato. 13 Disegna due segmenti consecutivi e e traccia i loro assi indicando con il loro punto di intersezione. Dimostra che . 14 Per un punto della bisettrice di un angolo convesso di vertice traccia la perpendicolare alla bisettrice stessa che incontra i lati dell'angolo in e . Dimostra che eÁ punto medio di . 15 Disegna un triangolo isoscele di base ; traccia l'asse del segmento che interseca la retta di in . Dimostra che eÁ isoscele e specifica qual eÁ la sua base. es. 13
16
es. 14
es. 15
ESERCIZIO GUIDA Dimostra che le bisettrici di due angoli opposti al vertice sono perpendicolari. Hp.
b b
b b
Th.
?
Indichiamo con gli angoli formati dalla bisettrice con le rette e e con quelli formati dalla bisettrice con le stesse rette: tutti gli angoli sono congruenti tra loro, cosõÁ come tutti gli angoli . Inoltre la somma di tutti gli angoli 4 4 eÁ congruente a .................., quindi eÁ congruente a ................. e percioÁ le rette e sono perpendicolari. Q ISTITUTO ITALIANO EDIZIONI ATLAS
Tema 5 - Cap. 2: PARALLELISMO E PERPENDICOLARITAÁ NEL PIANO
17
ESERCIZIO GUIDA traccia la semiretta perpendicolare ad e la semiretta Disegna un angolo convesso , perpendicolare ad . Dimostra che, a seconda di come sono state tracciate le semirette e , e sono congruenti oppure supplementari. gli angoli Le perpendicolari richieste possono essere tracciate in diversi modi; osserva i disegni: nei primi due, e sono congruenti perche ..........., nel terzo sono supplementari perche ........... gli angoli
18 Per gli estremi e della base del triangolo isoscele , traccia le perpendicolari e ai lati obliqui. Indicato con il loro punto di inter. sezione, dimostra che eÁ la bisettrice dell'angolo
es. 18
19 Dato il triangolo isoscele di vertice , prolunga i lati congruenti dalla parte della base e traccia le bisettrici degli angoli esterni che si sono venuti a formare. Indicato con il loro punto di intersezione, dimostra che eÁ perpendicolare a .
RETTE PARALLELE
la teoria eÁ a pag.
n Due rette sono parallele se e solo se, tagliate da una trasversale, formano: l
una coppia di angoli alterni congruenti
l
una coppia di angoli corrispondenti congruenti
l
una coppia di angoli coniugati supplementari.
n Due angoli che hanno entrambi i lati paralleli e concordi oppure paralleli e discordi sono congruenti; due angoli che hanno una coppia di lati paralleli e concordi e l'altra paralleli e discordi sono supplementari.
Sono dati una retta e un punto che non le appartiene; descrivi come si deve procedere per tracciare da la retta parallela a . Sono dati una retta e un punto : a. l'unicitaÁ della perpendicolare per eÁ un assioma solo se appartiene a b. l'unicitaÁ della perpendicolare per eÁ un teorema per qualsiasi c. l'unicitaÁ della parallela per eÁ un assioma per qualsiasi d. l'unicitaÁ della parallela per eÁ un assioma solo se non appartiene a . Qual eÁ la frase corretta?
Tema 5 - Cap. 2: PARALLELISMO E PERPENDICOLARITAÁ NEL PIANO
Q ISTITUTO ITALIANO EDIZIONI ATLAS
Una retta eÁ perpendicolare ad una retta che, a sua volta, eÁ perpendicolare a una retta ; le rette e : a. sono parallele b. sono perpendicolari c. non sono neÁ parallele neÁ perpendicolari. 23 Considera le rette e tagliate dalla trasversale come nella figura a lato in cui abbiamo numerato gli angoli che si vengono a formare. Dai il nome appropriato alle seguenti coppie di angoli: a. 1 e 5: ..................
b. 2 e 8: ...................
c. 3 e 6: ..................
d. 4 e 6: ...................
e. 1 e 7: ..................
f. 1 e 8: ...................
g. 3 e 7: ..................
h. 4 e 5: ...................
es. 23
24 Il criterio generale di parallelismo afferma che due rette tagliate da una trasversale sono parallele se: a. si vengono a formare coppie di angoli alterni interni b. gli angoli coniugati interni sono congruenti c. si vengono a formare coppie di angoli corrispondenti congruenti d. si vengono a formare coppie di angoli corrispondenti supplementari.
25 Data la retta e il punto traccia la parallela alla retta passante per .
a.
b.
c.
d.
26 Tra le seguenti coppie di rette individua quelle parallele.
a.
b.
c.
d.
27 Dato il triangolo , traccia la parallela al lato passante per il punto .
a. Q ISTITUTO ITALIANO EDIZIONI ATLAS
b.
c.
d.
Tema 5 - Cap. 2: PARALLELISMO E PERPENDICOLARITAÁ NEL PIANO
Date le seguenti coppie di rette parallele segna nella prima figura gli angoli alterni interni e nella seconda gli angoli corrispondenti:
Individua l'angolo alterno dell'angolo : a.
b.
c.
30 Individua l'angolo corrispondente dell'angolo : a.
b.
c.
31 Individua l'angolo coniugato dell'angolo : a.
32
b.
c.
ESERCIZIO GUIDA Disegna un triangolo qualsiasi , traccia la mediana e prolungala di un segmento . Dimostra che eÁ congruente e parallelo ad . Hp. ::::::::::
Th. ::::::::::
::::::::::
k :::::::::::
Osserva la figura: i triangoli e sono congruenti per il ...................... criterio di congruenza (spiega percheÂ) e quindi e poiche questi angoli sono alterni :::::::: ; inoltre interni rispetto alle rette e tagliate dalla trasversale .........
Tema 5 - Cap. 2: PARALLELISMO E PERPENDICOLARITAÁ NEL PIANO
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33
ESERCIZIO GUIDA Disegna un triangolo isoscele di base e traccia dal vertice la parallela al lato ; traccia poi l'altezza del triangolo e prolungala fino ad incontrare in la parallela. Dimostra che il triangolo eÁ isoscele. Hp. :::::::::::::
Th. ::::::::::
k :::::::::: ? :::::::::: d ::::::: L'altezza di un triangolo isoscele eÁ anche ............... quindi d :::::: Le rette e sono parallele, quindi d :::::: Per la proprietaÁ transitiva della congruenza c di vertice e prendi un punto sul 34 Disegna un angolo convesso lato ed un punto sul lato ; da traccia la parallela al lato e da traccia la parallela al lato ; queste parallele si incontrano in . Dimostra che i triangoli ed sono congruenti.
35
es.
ESERCIZIO GUIDA d da un punto del lato traccia la perpendicolare ad ; diseDisegna un angolo acuto ; d che incontra in ; da traccia infine la perpendicolare gna poi la bisettrice dell'angolo ad . Dimostra che il triangolo eÁ isoscele. Hp. ? :::::::::::::
Th. ::::::::::
d :::::::::: ? ::::::::::::: Osserva la figura: le rette e sono entrambe perpendicolari d eÁ alteralla semiretta e quindi sono .................; l'angolo no interno dell'angolo ...............; quindi .............. 36 Dato un triangolo qualsiasi, traccia la semiretta bisettrice dell'angolo di vertice e prendi su di essa un punto ; da traccia la parallela al lato che incontra la retta di in (prolunga se necessario). Dimostra che il triangolo eÁ isoscele.
es.
37 Disegna due rette parallele e traccia una trasversale; individua una coppia di angoli alterni (interni oppure esterni) e traccia le loro bisettrici. Dimostra che tali bisettrici sono parallele. 38 Disegna due rette parallele e traccia una trasversale; individua una coppia di angoli corrispondenti e dimostra che le bisettrici di questi angoli sono parallele. Q ISTITUTO ITALIANO EDIZIONI ATLAS
Tema 5 - Cap. 2: PARALLELISMO E PERPENDICOLARITAÁ NEL PIANO
PERPENDICOLARITAÁ E PARALLELISMO NEI POLIGONI
la teoria eÁ a pag.
Á congruente alla somma dei due angoli interni ad esso non adian Ogni angolo esterno di un triangolo e centi. Á un angolo piatto. n La somma degli angoli interni di un triangolo e n Quarto criterio di congruenza dei triangoli. Due triangoli sono congruenti se hanno ordinatamente congruenti due angoli e il lato opposto a uno di essi. n Due triangoli rettangoli sono congruenti se hanno ordinatamente congruenti: l
i due cateti
l
un cateto e un angolo acuto
l
l'ipotenusa e un angolo acuto
l
l'ipotenusa e un cateto.
39 Ciascun angolo esterno di un triangolo: a. eÁ maggiore di ciascuno degli angoli interni non adiacenti b. eÁ uguale alla somma di due angoli interni qualsiasi c. eÁ sempre ottuso d. non eÁ mai retto.
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40 Completa le seguenti proposizioni in modo che risultino vere. a. Gli angoli acuti di un triangolo rettangolo sono ................. b. La somma degli angoli interni di un poligono eÁ ................. c. La somma degli angoli esterni di un poligono eÁ ................. 41 Due triangoli rettangoli sono congruenti se hanno ordinatamente congruenti: a. due lati qualsiasi b. un lato e un angolo acuto c. i due angoli acuti d. l'ipotenusa e l'angolo retto.
42
ESERCIZIO GUIDA Disegna due rette parallele e traccia una trasversale; individua una coppia di angoli coniugati (interni o esterni) e dimostra che le bisettrici di questi angoli sono perpendicolari. Hp. :::::::::: ::::::::::
Th. :::::::::: ? ::::::::::
:::::::::: :::::::::: Osserva la figura in cui abbiamo considerato una coppia di angoli coniugati interni che abbiamo indicato con 2 e 2; sappiamo che questi angoli sono supplementari, quindi 2 2 ::::::::::, allora :::::::::: Visto poi che la somma degli angoli interni di un triangolo eÁ .....................................
Tema 5 - Cap. 2: PARALLELISMO E PERPENDICOLARITAÁ NEL PIANO
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43
ESERCIZIO GUIDA Di un triangolo si sa che l'angolo esterno di vertice eÁ conb Dimostra gruente alla somma dell'angolo b interno e dell'angolo . che il triangolo eÁ isoscele di vertice . :::::::::: :::::::::: Hp.
Th. ::::::::::::::::::::
, ; per Per semplificare il ragionamento poniamo . ipotesi l'angolo esterno ::::::::::::::::::::, quindi Ma per il teorema dell'angolo esterno 44
:::::: ed il triangolo eÁ isoscele di base .
ESERCIZIO GUIDA
Nel triangolo isoscele di vertice , traccia l'altezza relativa al eÁ metaÁ dell'angolo di vertice . lato . Dimostra che l'angolo
Hp. :::::::::: ::::::::::
Th. :::::::::: ::::::::::
:::::::::: ? :::::::::: Traccia l'altezza , che, oltre ad essere altezza, eÁ anche .......... e quin e risultano.......... di gli angoli I triangoli e sono entrambi rettangoli e hanno l'angolo
sono congruenti perche ........................................ Quindi e in comune, quindi gli angoli ................
45 Disegna un triangolo rettangolo in e traccia l'altezza relativa all'ipotenusa. Dimostra che i triangoli e hanno gli angoli ordinatamente congruenti a quelli del triangolo .
es.
46 Dato un triangolo rettangolo in , da un punto di traccia la retta parallela a che incontra il lato in . Dai vertici del triangolo manda le perpendicolari alla retta . Dimostra che ogni triangolo che si viene in questo modo a formare ha gli angoli congruenti a quelli del triangolo dato. 47 Disegna un triangolo isoscele e, dal punto medio della base, traccia le perpendicolari ai lati obliqui. Dimostra che i segmenti di perpendicolare sono fra loro congruenti.
es.
48 Disegna un triangolo isoscele di vertice , prendi un punto sulla base e traccia la retta ad essa perpendicolare; indica con il punto in cui tale perpendicolare incontra la retta del lato e con quello in cui incontra la retta del lato (prolunga i lati se necessario). Dimostra che il triangolo eÁ isoscele. (Suggerimento: l'altezza relativa alla base eÁ parallela a )
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Tema 5 - Cap. 2: PARALLELISMO E PERPENDICOLARITAÁ NEL PIANO
49 Disegna un triangolo qualsiasi , traccia la bisettrice dell'angolo di vertice e da un punto qualunque del lato la parallela ad che interseca in la retta del lato (prolunga se serve). Dimostra che il triangolo eÁ isoscele. 50 Dato il triangolo rettangolo in , prolunga il cateto , oltre , di un segmento ed il cateto , oltre , di un segmento ; traccia l'altezza relativa all'ipotenusa e prolungala fino ad incontrare in . Dimostra che: a. i triangoli e sono congruenti b. i triangoli e sono isosceli c. eÁ punto medio di . (Suggerimento b.: gli angoli in cui l'altezza del triangolo divide l'angolo retto sono congruenti agli angoli in e in del triangolo perche ........ Osserva adesso gli angoli di vertice e segna con lo stesso simbolo quelli congruenti perche opposti al vertice; puoi concludere che, per la ::::: e :::::) proprietaÁ transitiva della congruenza,
51 Disegna un triangolo e traccia la mediana (prolungala oltre ); dimostra che le distanze dei vertici e dalla retta della mediana sono congruenti. 52 Disegna un triangolo in cui l'angolo di vertice eÁ il triplo dell'angolo di vertice ; traccia l'asse del lato che incontra il lato in . Dopo aver tracciato il segmento , dimostra che i triangoli e sono isosceli. eÁ l'an(Suggerimento: ricorda la proprietaÁ dell'asse, ::::::; golo esterno del triangolo , quindi .........................)
es.
Soluzioni esercizi di comprensione 3 a. F, b. V, c. V
4 a. F, b. V, c. F, d. V
5 a. F, b. V, c. F, d. F
21 c.
22 a.
23 a. corrispondenti, b. alterni esterni, c. coniugati interni, d. alterni interni, e. alterni esterni, f. coniugati esterni, g. corrispondenti, h. coniugati interni 24 c.
39 a. V, b. F, c. F, d. F
41 a. V, b. V, c. F, d. F
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esercizi tratti dalle gare di matematica
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Á i problemi di Matematica e realta
Tema 5 - Cap. 2: PARALLELISMO E PERPENDICOLARITAÁ NEL PIANO
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Testfinale 1 Un triangolo eÁ ottusangolo; si puoÁ dire che: a. l'altezza uscente dal vertice dell'angolo ottuso cade internamente al triangolo b. l'altezza uscente dal vertice di uno degli angoli acuti cade internamente al triangolo c. le mediane uscenti dai vertici degli angoli acuti cadono internamente al triangolo d. la bisettrice dell'angolo ottuso cade esternamente al triangolo.
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0,5 punti Se per un punto P di un lato di un triangolo isoscele si traccia una retta parallela alla base si ottiene: a. ancora un triangolo isoscele b. un triangolo isoscele solo se P eÁ il punto medio del lato c. un triangolo equilatero. Motiva la tua risposta. 0,5 punti Un poligono convesso: a. puoÁ avere due angoli ottusi b. non puoÁ avere piuÁ di tre angoli acuti c. puoÁ avere quattro angoli acuti d. deve avere almeno un angolo acuto. 1 punto Un triangolo isoscele ha gli angoli alla base di ampiezza ; gli angoli esterni adiacenti alla base: a. sono congruenti b. sono ampi 2 c. sono sempre ottusi d. la loro somma eÁ sempre maggiore di un angolo piatto e minore di un angolo giro. 1 punto EÁ dato un triangolo ABC in cui la bisettrice dell'angolo esterno di vertice C eÁ parallela al lato AB. Dimostra che il triangolo eÁ isoscele sulla base AB. 2 punti In un triangolo ABC l'angolo di vertice A eÁ doppio dell'angolo di vertice B; prolunga il lato AB dalla parte di B eÁ la quarta parte di un angolo retto, qual eÁ l'ampiezza degli angoli di un segmento BD BC. Se l'angolo ABC del triangolo ACD?
2 punti
Stabilisci se sono vere o false le seguenti affermazioni motivando adeguatamente le tue risposte. a. Le altezze relative a due lati di un triangolo cadono nel punto medio del lato; si puoÁ concludere che il triangolo eÁ equilatero. b. La somma degli angoli interni di un poligono eÁ 900 ; si puoÁ concludere che il poligono ha 5 lati. c. La somma degli angoli esterni di un poligono eÁ 360 ; il poligono puoÁ avere solo 4 lati. 3 punti
Q
Tema 5 - Cap. 2: PARALLELISMO E PERPENDICOLARITAÁ NEL PIANO
603
Soluzioni 1 a. 5 b. 6 c. 5 d. 6 a. a. 5 b. 5 c. 6 d. 6 a. 5 b. 6 c. 5 d. 5 ECB per ipotesi DCE percheÁ alterni interni CBA ECB percheÁ corrispondenti, quindi CAB CBA ed il triangolo eÁ isoscele CAB DCE
, il triangolo BCD eÁ isoscele e, per il teorema dell'angolo esterno, BDC , CAB ; di conse ABC 8 4 16 11 . guenza ACD 16 a. V, perche il triangolo eÁ isoscele su due basi ed eÁ percioÁ equilatero. b. F, ne ha 7 perche 7 2 180 900 . c. F, percheÁ in tutti i poligoni la somma degli angoli esterni eÁ un angolo giro.
1
Esercizio
2
3
4
5
6
7
Punteggio Valutazione in decimi
604
Tema 5 - Cap. 2: PARALLELISMO E PERPENDICOLARITAÁ NEL PIANO
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ESERCIZI CAPITOLO
Le isometrie e i quadrilateri
la teoria eÁ a pag.
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Á una corrispondenza biunivoca fra i punti di un piano. Una trasformazione geometrica e Á In particolare, un'isometria e la trasformazione che fa corrispondere ad un segmento AB il segmento A B tale che AB A B . Á l'asse del segmento PP . Un punto P e un punto P si dicono simmetrici rispetto ad una retta r se r e Si dice simmetria assiale di asse r la trasformazione che associa ad ogni punto P del piano il punto P simmetrico di P rispetto a r. Á il punto Dato un punto O nel piano, un punto P e un punto P si dicono simmetrici rispetto ad O se O e medio del segmento PP . Si dice simmetria centrale di centro O la trasformazione geometrica che associa ad ogni punto P il suo simmetrico rispetto ad O. ~ la trasformazione che ad ogni punto P associa il punto P in modo che il Si dice traslazione di vettore v ~. segmento orientato PP sia equipollente al vettore v Si dice rotazione di centro O e ampiezza la trasformazione che ad ogni punto P associa il punto P tale . che OP OP e che POP
1 Data una retta , considera la corrispondenza che ad ogni punto del piano associa il punto 0 che si ottiene con una delle regole elencate di seguito. a. Si traccia da la parallela alla retta e si prende su di essa il punto 0 che dista 5cm da . b. Si traccia da la perpendicolare alla retta che la incontra in e si prende su tale perpendicolare, nello stesso semipiano che contiene , il punto 0 , diverso da , in modo che sia 0 PH. c. Si traccia da P una retta che forma un angolo di 45 con r e che la interseca in S; si prende poi il punto P tale che sia P S SP. Spiega perche solo la b. eÁ una trasformazione geometrica. 2 Dopo aver definito la simmetria assiale, completa le seguenti proposizioni: a. I punti uniti di una simmetria assiale sono ....................... b. Le rette unite sono ........................... c. Se una retta eÁ parallela all'asse di simmetria, la sua trasformata .................. d. Se una retta eÁ incidente all'asse di simmetria, la sua trasformata ................. e. Le rette unite di una simmetria assiale sono le rette ..................................... f. In una simmetria di asse r, P r P e P r P . I punti P e P sono ..........., quindi la simmetria assiale eÁ ........... g. In una simmetria assiale sono invarianti ....................... Q ISTITUTO ITALIANO EDIZIONI ATLAS
Tema 5 - Cap. 3: LE ISOMETRIE E I QUADRILATERI
605
3 Indica in quali casi le due figure si corrispondono nella simmetria di asse :
a.
b.
c.
4 Con riferimento alla figura a lato, trova gli elementi richiesti nella simmetria di asse : a. ::::
b. BN ::::
c. r a ::::
d. r ::: t b g. r ::: ar
b :::: e. r sa
f. r ::: NBK
h. r AK ::::
i. r ::: K
5 Dati nel piano un punto O e un punto P, il punto P 0 eÁ il corrispondente di P nella simmetria di centro O se: a. PO P 0 O b. i punti P, O, P 0 sono allineati e PP 0 PO c. PP 0 2PO d. se O appartiene al segmento PP 0 e PP 0 2PO. Quale fra le precedenti definizioni eÁ corretta? 6 Barra vero o falso. a. Due rette che si corrispondono in una simmetria centrale sono parallele. b. Il centro di simmetria eÁ l'unico punto unito. c. La simmetria centrale eÁ una trasformazione involutoria. d. In una simmetria centrale l'ordinamento dei punti eÁ invariante. e. Una simmetria centrale non ammette rette unite. 7 Determina il valore di veritaÁ delle seguenti proposizioni, giustificando le tue risposte. a. Due rette che si corrispondono in una traslazione sono parallele. b. Se due rette sono parallele esiste sempre almeno una traslazione nella quale si corrispondono. c. Due rette che si corrispondono in una traslazione possono anche essere secanti. d. Una traslazione di vettore non nullo non ha punti uniti. e. Una traslazione di vettore non nullo non ha rette unite. f. La traslazione eÁ una trasformazione involutoria. 8 In una rotazione di centro O e ampiezza : a. se , la rotazione coincide con una traslazione 2 b. se 2, la rotazione coincide con la trasformazione identica , la rotazione coincide con una simmetria assiale 2 d. se , la rotazione coincide con la simmetria di centro O.
c. se
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Tema 5 - Cap. 3: LE ISOMETRIE E I QUADRILATERI
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F
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9 Riproduci i seguenti disegni sul quaderno e costruisci i simmetrici dei poligoni rispetto alla retta indicata.
a.
b.
c.
10 Osserva le seguenti figure e completa le relazioni.
a.
b.
c.
M r ::::::::::::::::
r C :::::::::::::
r ::::::::::::: EC
MN r :::::::::::::
r AD ::::::::::
r AC :::::::::::::
:::::::::: r BAC
CR r :::::::::::
r ::::::::::: AEC
r r :::::::::::::::::
r ::::::::: PCQ
r ::::::::::: FCA
11 Fra le lettere in stampatello maiuscolo dell'alfabeto italiano, quali presentano un asse di simmetria? 12 Esistono cifre del nostro sistema di numerazione che presentano assi di simmetria? Quali? 13 Individua gli assi di simmetria delle seguenti figure.
Q ISTITUTO ITALIANO EDIZIONI ATLAS
Tema 5 - Cap. 3: LE ISOMETRIE E I QUADRILATERI
607
14 Stabilisci quali delle rette disegnate sono assi di simmetria per le figure indicate.
15 Disegna un triangolo ABC isoscele di base BC e costruisci il suo corrispondente A 0 BC nella simmetria avente per asse la retta BC. Dimostra che AA 0 eÁ bisettrice degli angoli di vertice A e A 0 . 16 Disegna un triangolo scaleno ABC, traccia l'altezza relativa al lato AB e trova il suo simmetrico rispetto alla retta dell'altezza. Descrivi poi le caratteristiche: a. dei triangoli CAA 0 e CBB 0 b. dei triangoli CAB 0 e CA 0 B. 17 Nel poligono della figura a lato i punti P e Q sono uniti in una simmetria di asse r ed il segmento PQ eÁ parallelo ad AB. Determina la posizione di r e quindi il trasformato A 0 B 0 C 0 D 0 del poligono. Rispondi adesso alle seguenti domande: a. AB k A 0 B 0 ? b. A 0 AD? c. se Q eÁ il punto medio di BC, lo eÁ anche di B 0 C 0 ? 18 Dagli estremi della base AB di un triangolo isoscele ABC , traccia le perpendicolari ai suoi lati obliqui. Esse si intersecano in un punto O. Dimostra che CO eÁ asse di simmetria del triangolo. (Suggerimento: traccia la retta CO; basta dimostrare che CO eÁ bisettrice dell'angolo al vertice del triangolo)
19 Costruisci il simmetrico rispetto al punto O di ciascuna delle figure disegnate di seguito.
a.
b.
c.
d.
20 Nei disegni di pagina seguente sono rappresentate due figure F ed F 0 che si corrispondono nella simmetria centrale di centro O; completa le relazioni indicate.
608
Tema 5 - Cap. 3: LE ISOMETRIE E I QUADRILATERI
Q ISTITUTO ITALIANO EDIZIONI ATLAS
a.
b.
c.
R O ::::::::::::::::
NP O :::::::::::::
O BC ::::::::::::
B O ::::::::::::::::
O :::::::::: LSN
::::::::: O CAB
O D :::::::::::::::
O BO ::::::::::::
:::::::::: O ABC
O ::::::::::::: COB
TR O :::::::::::::
O OC ::::::::::::
21 Disegna un triangolo ABC e costruisci il suo simmetrico rispetto al vertice A. Elenca le coppie di segmenti paralleli della figura. 22 Disegna un poligono ABCD e trova il suo simmetrico rispetto al punto medio M del lato AB. Ci sono elementi uniti nella trasformazione? 23 Osserva il poligono in figura a lato e costruisci il suo simmetrico rispetto al punto O. Ci sono punti uniti? Ci sono segmenti uniti?
es. 23
24 Ci sono lettere dell'alfabeto italiano, in stampatello maiuscolo, che hanno centri di simmetria? Se sõÁ, quali? 25 Ci sono cifre del nostro sistema di numerazione che hanno un centro di simmetria? Se sõÁ, quali? 26 Un triangolo puoÁ avere un centro di simmetria? 27 Due angoli opposti al vertice si corrispondono in una simmetria centrale? Se sõÁ, quale? 28 Determina il centro di simmetria delle seguenti figure e stabilisci se esistono assi di simmetria.
a.
b.
c.
d.
29 Dopo averla riprodotta sul tuo quaderno, trova la corrispondente di ciascuna figura di pagina seguente nella traslazione del vettore indicato. Q ISTITUTO ITALIANO EDIZIONI ATLAS
Tema 5 - Cap. 3: LE ISOMETRIE E I QUADRILATERI
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a.
b.
c.
30 Osserva il disegno ed applica ad esso la traslazione del vettore indicato; alla figura ottenuta applica di nuovo la stessa traslazione; quello che ottieni eÁ un disegno ornamentale chiamato "greca". La figura ottenuta presenta centri oppure assi di simmetria?
31 Date due rette parallele e s, prendi un punto P su r e un punto Q su s. Esiste una traslazione nella quale le due rette si corrispondono in modo che Q sia il corrispondente di P? Se sõÁ, di quale vettore? 32 Disegna due rette parallele. Tenendo presente quello che hai ottenuto nell'esercizio precedente, in quanti modi puoi far corrispondere queste rette con una traslazione? 33 Riproduci sul quaderno le figure che seguono e, per ognuna di esse, trova la corrispondente nella rotazione di centro O e ampiezza assegnate.
a.
2
b.
2
34 Osserva il disegno nella figura a lato. Ciascuno dei triangoli che vedi eÁ ottenuto per successive rotazioni di ampiezza pari ad un angolo retto del triangolo ABC attorno ad un punto O. Dopo aver determinato dove si trova il punto O, scrivi con notazione funzionale i corrispondenti degli elementi segnati in rosso nel triangolo ABC.
c.
4
es. 34
35 Operando con successive rotazioni puoi ottenere graziosi disegni. Riporta sul tuo quaderno le figure che seguono e per ciascuna di esse esegui le rotazioni che ti vengono indicate: a. esegui quattro rotazioni successive in senso orario di ampiezza pari ad un angolo retto attorno ad O;
610
Tema 5 - Cap. 3: LE ISOMETRIE E I QUADRILATERI
Q ISTITUTO ITALIANO EDIZIONI ATLAS
b. esegui dodici rotazioni successive in senso antiorario di un angolo pari ad 1 di angolo retto 3 attorno ad O; c. esegui quattro rotazioni successive in senso orario di un angolo pari ad un angolo retto attorno ad O.
a.
b.
c.
36 I segmenti AB e BC sono consecutivi e congruenti. Esiste una rotazione che fa corrispondere i due segmenti? Se sõÁ, quale? Ce n'eÁ solo una? c e bc c e traccia le loro bisettrici. In quale rotazione esse si corrispon37 Disegna due angoli consecutivi ab dono?
la teoria eÁ a pag.
Á un quadrilatero convesso che ha un centro di simmetria; esso gode delle seguenti parallelogramma e Á: proprieta l
ha i lati opposti paralleli e congruenti
l
ha gli angoli opposti congruenti
l
ha gli angoli adiacenti a ciascun lato che sono supplementari
l
ha le diagonali che si incontrano nel loro punto medio.
Viceversa, se un quadrilatero l
Á precedenti, oppure verifica una delle proprieta
l
ha una coppia di lati opposti contemporaneamente congruenti e paralleli
Á un parallelogramma. allora il quadrilatero e
38 Del quadrilatero in figura si puoÁ dire che:
es. 38
a. eÁ concavo perche l'angolo di vertice B eÁ ottuso
V
F
b. il lato AD eÁ opposto al lato BC
V
F
d eÁ adiacente solo all'angolo ADC d c. l'angolo DAB
V
F
d. i vertici A e C, B e D sono opposti.
V
F
39 Riferendoti alle proprietaÁ dei parallelogrammi, spiega percheÂ: a. i lati opposti sono congruenti b. i lati opposti sono paralleli c. gli angoli opposti sono congruenti d. le diagonali si intersecano nel loro punto medio. Q ISTITUTO ITALIANO EDIZIONI ATLAS
Tema 5 - Cap. 3: LE ISOMETRIE E I QUADRILATERI
611
40 Di un quadrilatero si sa che: a. ha due lati opposti congruenti b. ha due lati opposti paralleli c. ha due angoli opposti congruenti d. ha due angoli adiacenti supplementari. Spiega perche in nessuno di questi casi possiamo essere sicuri che il quadrilatero sia un parallelogramma.
41
ESERCIZIO GUIDA Dimostra che se si prolungano i lati di un parallelogramma nello stesso senso di quattro segmenti congruenti, gli estremi di questi segmenti costituiscono un nuovo parallelogramma. l
l
Considera dapprima i triangoli PAQ e RCS: essi sono congruenti perche ..........; in particolare PQ :::::::::: Considera poi i triangoli SPD e QBR: essi sono congruenti perche ..........; in particolare PS ::::::::::
Allora il quadrilatero PQRS eÁ un parallelogramma perche ..........
42 Disegna un segmento AB e traccia dai suoi estremi due semirette opposte che formano angoli congruenti con AB; traccia poi una retta qualunque che passa per il punto medio M di AB e che incontra tali semirette in P e in Q. Dimostra che il quadrilatero APBQ (traccia i segmenti PB e AQ) eÁ un parallelogramma.
es. 42
43 Dato un triangolo ABC, prolunga il lato AC di un segmento AS AC ed il lato AB di un segmento AT AB. Che tipo di quadrilatero eÁ STCB ? Giustifica la tua risposta. 44 Date due rette parallele r ed s, considera una qualunque trasversale t che le incontra rispettivamente in A e B. Per O, punto medio di AB, traccia un'altra trasversale v che incontri r in C ed s in D. Dimostra che: a. O eÁ centro del segmento CD b. AD eÁ congruente a BC.
45 Dato un parallelogramma ABCD, prolunga la diagonale AC di due segmenti AF e CE fra loro congruenti e la diagonale DB di due segmenti BT e DS fra loro congruenti. Dimostra che FTES eÁ un parallelogramma.
es. 44
es. 45
46 Dato un triangolo ABC, prolunga la mediana AO di un segmento OD OA; siano poi E e F due punti di BC equidistanti dagli estremi di tale lato. Dimostra che il quadrilatero AEDF eÁ un parallelogramma. 47 Dato un parallelogramma ABCD, considera i punti medi M ed N di AD e BC. Dimostra che il segmento AN eÁ congruente al segmento MC. (Suggerimento: i segmenti AM e NC sono ................., quindi il quadrilatero ANCM eÁ .................)
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Tema 5 - Cap. 3: LE ISOMETRIE E I QUADRILATERI
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48 I parallelogrammi ABCD e DCSR hanno il lato DC in comune e si trovano da parte opposta rispetto a DC. Dimostra che il quadrilatero ABSR eÁ anch'esso un parallelogramma. Considera poi il caso in cui i due parallelogrammi si trovano dalla stessa parte rispetto a DC; il quadrilatero ABSR eÁ ancora un parallelogramma? 49 Dato un parallelogramma ABCD, prendi un punto E su AD e un punto F su BC in modo che sia DE BF. Dimostra che AC ed EF si tagliano a metaÁ. (Suggerimento: dimostra dapprima che AFCE eÁ un parallelogramma) e sia R la sua intersezione con la 50 Dato un parallelogramma ABCD, traccia la bisettrice dell'angolo BAD e sia S la sua intersezione con la retta AB. Dimoretta DC. Traccia quindi la bisettrice dell'angolo BCD stra che BD ed RS si bisecano e che i triangoli BRA e SCD sono congruenti.
P
la teoria eÁ a pag.
Á un parallelogramma con gli angoli retti; la sua caratteristica e Á quella di avere le diagonali n rettangolo e congruenti. Á un parallelogramma con i lati congruenti; la sua caratteristica e Á quella di avere le diagonali n Un rombo e perpendicolari e che sono bisettrici degli angoli a cui si riferiscono. Á un parallelogramma con gli angoli retti e i lati congruenti; esso ha dunque le diagonali n Un quadrato e congruenti, perpendicolari fra loro e bisettrici degli angoli a cui si riferiscono.
51 Dopo aver definito un rettangolo e specificato quali sono le sue proprietaÁ, indica quali fra le seguenti ipotesi consentono di affermare che un quadrilatero eÁ un rettangolo: a. avere almeno due angoli retti b. essere un parallelogramma con un angolo retto c. avere almeno tre angoli retti d. avere le diagonali congruenti e che si bisecano e. avere le diagonali congruenti f. avere i lati opposti paralleli e i lati consecutivi perpendicolari. 52 Di un rettangolo si puoÁ dire che: a. ha piuÁ di due assi di simmetria c. non ha assi di simmetria
b. ha due assi di simmetria ai quali appartengono i vertici d. ha due assi di simmetria perpendicolari fra loro.
53 Dopo aver definito un rombo e specificato quali sono le sue proprietaÁ, indica quali fra le seguenti ipotesi consentono di affermare che un quadrilatero eÁ un rombo: a. avere i lati congruenti b. essere un parallelogramma con i lati consecutivi congruenti c. avere le diagonali perpendicolari d. avere le diagonali perpendicolari e che si bisecano e. essere un parallelogramma con le diagonali che sono bisettrici degli angoli. 54 Dopo aver definito un quadrato e specificato quali sono le sue proprietaÁ, indica quali fra le seguenti ipotesi consentono di affermare che un quadrilatero eÁ un quadrato: a. avere almeno tre angoli retti e due lati consecutivi congruenti b. avere le diagonali congruenti e perpendicolari c. avere le diagonali congruenti, perpendicolari e che si bisecano d. avere gli angoli retti e le diagonali perpendicolari e. avere gli angoli retti e le diagonali congruenti f. avere le diagonali congruenti, perpendicolari e bisettrici degli angoli. Q ISTITUTO ITALIANO EDIZIONI ATLAS
Tema 5 - Cap. 3: LE ISOMETRIE E I QUADRILATERI
613
55 Quali fra le seguenti proposizioni non individuano un quadrato? a. Essere un rettangolo con i lati congruenti. b. Essere un parallelogramma con due lati consecutivi congruenti. c. Essere un quadrilatero con le diagonali congruenti e perpendicolari. d. Essere un parallelogramma con le diagonali congruenti dove una di esse biseca gli angoli a cui eÁ riferita. 56 Barra vero o falso. In un parallelogramma: a. le diagonali sono bisettrici degli angoli b. le diagonali sono assi di simmetria c. le rette passanti per i punti medi dei lati opposti sono assi di simmetria d. i lati opposti si corrispondono in una traslazione che ha come vettore uno degli altri due lati.
V
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57 Completa le seguenti proposizioni. a. Un parallelogramma ha ...... assi di simmetria. b. Un rettangolo ha ...... assi di simmetria che sono ................ c. Un rombo ha ...... assi di simmetria che sono ................ 58 In un quadrato si ha che: a. gli assi dei lati sono assi di simmetria b. tutte le rette che passano per il suo centro sono assi di simmetria c. le diagonali e gli assi dei lati sono assi di simmetria d. nella simmetria rispetto a una diagonale tutti i vertici sono punti uniti.
59 Disegna due segmenti congruenti che si intersecano e congiungi i loro estremi. Come devono esser disegnati tali segmenti per avere un rettangolo? 60 Due triangoli rettangoli congruenti hanno l'ipotenusa in comune e si trovano in semipiani opposti rispetto alla retta dell'ipotenusa. Spiega in quale caso si ottiene un rettangolo e percheÂ. 61 Date due rette ed s incidenti in O, prendi su r da parte opposta rispetto ad O due segmenti congruenti OA ed OB, ed analogamente su s prendi i segmenti OC ed OD congruenti fra loro e ad OA. Dimostra che ADBC eÁ un rettangolo. 62
ESERCIZIO GUIDA Dimostra che il quadrilatero che ha per vertici i punti di intersezione delle bisettrici di un parallelogramma eÁ un rettangolo. Osserva che, poicheÁ gli angoli opposti di un parallelogramma sono congruenti, le loro bisettrici li dividono in angoli a loro volta congruenti (nella figura abbiamo indicato con lo stesso simbolo gli angoli che sono congruenti) ed inoltre le bisettrici di due angoli opposti sono ................., quindi il quadrilatero PQRS eÁ un ................. Gli angoli adiacenti a ciascun lato di un parallelogramma sono supplementari e quindi le loro metaÁ sono ...................; allora il triangolo ARB eÁ ................... e quindi ...................
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Tema 5 - Cap. 3: LE ISOMETRIE E I QUADRILATERI
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63 Considera un rettangolo ABCD e, a partire da A e nello stesso senso, prendi sui suoi lati i segmenti fra loro congruenti AE, BF, CG, DH. Di che natura eÁ il quadrilatero HEFG? 64
ESERCIZIO GUIDA Sfruttando le proprietaÁ dei rettangoli, dimostra che la mediana AM relativa all'ipotenusa di un triangolo ABC rettangolo in A eÁ congruente a metaÁ dell'ipotenusa stessa. Prolunga la mediana AM di un segmento MD congruente ad AM; il quadrilatero che ottieni congiungendo gli estremi dell'ipotenusa con D eÁ un............... e ricordando le proprietaÁ di tale quadrilatero ...............
65 Sia ABCD un parallelogramma e sia ABEF il suo simmetrico rispetto alla retta del lato AB; sfruttando la simmetria della figura, dimostra che il quadrilatero DCEF eÁ un rettangolo. Quali caratteristiche deve avere il parallelogramma ABCD affinche il quadrilatero DCEF sia un quadrato?
66 Dimostra che, se da un punto della bisettrice di un angolo convesso si tracciano le parallele ai suoi lati, si ottiene un rombo. 67 Dimostra che ogni diagonale divide un rombo in due triangoli isosceli congruenti. 68 Disegna un rombo ABCD e prolunga la diagonale BD di due segmenti congruenti BS e DT. Di che natura eÁ il quadrilatero ASCT ? 69 Per i vertici di un rombo ABCD traccia le parallele alle diagonali. Che quadrilatero ottieni? Quali sono i suoi assi di simmetria? 70 Prolunga il lato AB di un rombo ABCD, dalla parte di B, di un segmento BS AB. Congiungi S con C e dimostra che BSCD eÁ un parallelogramma e che il triangolo ACS eÁ rettangolo. 71 Considera un rettangolo e dagli estremi di ciascuna delle diagonali traccia le perpendicolari alle diagonali stesse. Dimostra che il quadrilatero ottenuto eÁ un rombo. 72 Considerando il simmetrico di un triangolo equilatero rispetto alla retta di uno dei suoi lati ottieni un parallelogramma particolare. Quale? In che relazione sono i suoi angoli?
73 Dimostra che tracciando le bisettrici degli angoli di un rettangolo si forma un quadrato. 74 Dato un quadrato ABCD, prolunga i suoi lati, nello stesso verso, di quattro segmenti congruenti fra loro: AE BF CG DH. Dimostra che EFGH eÁ anch'esso un quadrato. 75 Sui lati di un quadrato, ed esternamente ad esso, costruisci quattro triangoli equilateri. Dimostra che il quadrilatero che si ottiene congiungendo i loro vertici eÁ ancora un quadrato. 76 E' dato un quadrato ABCD; per il punto O di intersezione delle diagonali conduci due rette fra loro perpendicolari. Dimostra che i punti in cui tali rette incontrano i lati del quadrato sono i vertici di un altro quadrato. 77 Dato il quadrato ABCD, prendi un punto P sul prolungamento di DC dalla parte di C; prolunga poi BC, dalla parte di B, di un segmento BQ DP e dimostra che il triangolo APQ eÁ rettangolo e isoscele. Q ISTITUTO ITALIANO EDIZIONI ATLAS
Tema 5 - Cap. 3: LE ISOMETRIE E I QUADRILATERI
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78 Sui lati del rettangolo ABCD, presi come ipotenusa, ed esternamente ad esso si costruiscono quattro triangoli rettangoli isosceli. Dimostra che i vertici di tali triangoli formano un quadrato.
la teoria eÁ a pag.
Á un quadrilatero che ha due lati paralleli. n trapezio e Á un trapezio che ha i lati obliqui congruenti; esso gode delle seguenti proprieta Á: n Un trapezio isoscele e l
ha gli angoli adiacenti alle basi congruenti
l
ha le diagonali congruenti.
79 Le rette a e b della figura a lato sono parallele; individua tutti i possibili trapezi e, tenendo presenti le congruenze evidenziate, indica quali sono scaleni, isosceli o rettangoli. 80 Di un trapezio si puoÁ dire che: a. gli angoli adiacenti a ciascun lato obliquo sono supplementari b. gli angoli opposti sono supplementari c. se c'eÁ un angolo retto, anche quello ad esso opposto eÁ retto d. non puoÁ esserci un solo angolo retto e. se gli angoli adiacenti ad una base sono congruenti, anche gli altri due angoli lo sono. 81 In un trapezio: a. il punto di intersezione delle diagonali eÁ centro di simmetria b. la retta che congiunge i punti medi delle basi eÁ asse di simmetria solo se il trapezio eÁ isoscele c. non esistono centri di simmetria d. la retta che congiunge i punti medi dei lati obliqui eÁ asse di simmetria solo se il trapezio eÁ rettangolo.
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es. 83
82 Dimostra che in un trapezio isoscele gli angoli opposti sono supplementari. 83 In un trapezio rettangolo ABCD (A e D vertici degli angoli retti), la base minore AB eÁ la metaÁ della base maggiore DC che, a sua volta, eÁ congruente alla diagonale BD. Dimostra che il triangolo DBC eÁ equilatero. 84 Disegna un triangolo isoscele ABC di vertice A e traccia le mediane BM e CN. Dimostra che il quadrilatero BNMC eÁ un trapezio isoscele. 85 Dato un triangolo ABC, conduci le bisettrici degli angoli di vertici A e B che incontrano i lati opposti in D e in E. Dimostra che se il quadrilatero ABDE eÁ un trapezio, allora ABC eÁ isoscele di base AB. 86 Dimostra che un trapezio eÁ isoscele se: a. ha le diagonali congruenti, oppure b. ha gli angoli adiacenti ad una base che sono congruenti.
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Tema 5 - Cap. 3: LE ISOMETRIE E I QUADRILATERI
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la teoria eÁ a pag.
l
In una corrispondenza di Talete, se due segmenti su una trasversale sono congruenti, anche i loro corrispondenti sull'altra trasversale sono congruenti.
l
Se dal punto medio di un lato di un triangolo si traccia la parallela ad un altro lato, questa interseca il terzo lato nel suo punto medio.
l
Á parallelo al terzo lato e congruente alla sua Il segmento che unisce i punti medi di due lati di un triangolo e Á. meta es. 87
87 Relativamente ai segmenti della figura a lato, si puoÁ dire che: a. se AB CB allora A 0 B 0 C 0 B 0 b. se BC EF allora B 0 C 0 E 0 F 0 c. se EF GF allora E 0 F 0 G 0 F 0 d. se AD DG allora A 0 D 0 D 0 G 0 e. CE C 0 E 0 f. se AD 2BC allora A 0 D 0 2B 0 C 0 g. se CE 2EF allora C 0 E 0 2E 0 F 0
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88 Completa le seguenti proposizioni riferendoti alla figura a lato nella quale si sa che AP PB :
es. 88
a. se PQ k BC, allora AQ :::::::::::: b. se AQ QC, allora PQ :::::::::: c. se PQ k BC, allora PQ :::::::::::: 89 Con riferimento alla figura, completa le relazioni che seguono: a. NR k :::::
es. 89
b. AC k :::::
c. NM :::::
d. RM :::::
e. perimetroMNR ::::: perimetroABC f. NMRC eÁ un .....................
90
ESERCIZIO GUIDA Stabilita una corrispondenza parallela di Talete fra due rette r ed r 0 , tale che associ al segmento AB il segmento A 0 B 0 , dimostra che al punto medio M di AB corrisponde un punto M 0 che eÁ il punto medio di A 0 B 0 . Traccia da M la parallela ad AA 0 che incontra la retta r 0 in M 0 . Per il teorema della corrispondenza di Talete, poiche per ipotesi AM MB, anche.......... Quindi M 0 eÁ il punto medio di A 0 B 0 .
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Tema 5 - Cap. 3: LE ISOMETRIE E I QUADRILATERI
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es. 92
91 E' dato un trapezio; dopo aver spiegato perche la congiungente i punti medi dei lati obliqui eÁ parallela alle basi, dimostra che tale retta divide a metaÁ ciascuna diagonale. 92 Dimostra che, unendo i punti medi dei lati di un quadrilatero qualunque, si ottiene un parallelogramma. (Suggerimento: traccia la diagonale AC e applica il teorema della corrispondenza di Talete ai triangoli ADC e ABC
es. 93
93 E' dato un triangolo ABC; dal punto medio M del lato AB traccia la parallela al lato BC che incontra AC in N e prolungala di un segmento ND MN. Dimostra che MDCB eÁ un parallelogramma il cui perimetro eÁ la somma del lato AB con il doppio del lato BC. 94 Dimostra che se conduci le perpendicolari alla base di un triangolo isoscele dai punti medi dei lati congruenti e tracci l'altezza relativa alla base, questa viene divisa in quattro segmenti fra loro congruenti.
es. 94
95 Disegna un triangolo ABC qualsiasi e traccia la mediana AM; indica poi con P il punto medio del lato AC e con Q il punto medio del lato AB. Dimostra che AM e PQ si incontrano nel loro punto medio.
Soluzioni esercizi di comprensione
5 d.
b f. BNK , g. br, b h. HK , i. K 4 a. H, b. NB, c. b, d. s, e. bt,
7 a. V, b. V, c. F, d. V, e. F, f. F
8 a. F, b. V, c. F, d. V
38 a. F, b. V, c. F, d. V
51 b., c., d., f.
52 d.
53 a., b., d., e.
54 a., c., d., f.
55 b., c.
56 a. F, b. F, c. F, d. V
58 a. V, b. F, c. V, d. F
80 a. V, b. F, c. F, d. V, e. V
81 a. F, b. V, c. V, d. F
3 a., c.
6 a. V, b. V, c. V, d. V, e. F
87 a. F, b. V, c. F, d. V, e. F, f. F, g. V
1 88 a. AQ QC, b. PQ k BC, c. PQ BC 2 1 1 1 89 a. NR k AB, b. AC k MR, c. NM BC, d. RM AC, e. perimetro MNR perimetroABC , 2 2 2 f. parallelogramma
Sul sito www.edatlas.it trovi... l
esercizi tratti dalle gare di matematica
l
Á i problemi di Matematica e realta
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Tema 5 - Cap. 3: LE ISOMETRIE E I QUADRILATERI
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Testfinale 1 In una simmetria assiale di asse r si ha che r P P ; del segmento PP puoi dire che: a. eÁ parallelo a r b. interseca r c. eÁ perpendicolare a r d. non se ne puoÁ stabilire la posizione rispetto a r.
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1 punto In una simmetria centrale di centro O si ha che O P P e O Q Q ; si puoÁ dire che: a. PQ QP b. PQ QP c. P Q PQ d. PP QQ 1 punto In una traslazione di vettore ~ v un triangolo ABC ha come corrispondente un triangolo RPQ in modo che sia ~v A R, ~v B P, ~v C Q; si puoÁ dire che: V F a. i lati del triangolo RPQ sono paralleli ai corrispondenti lati del triangolo ABC V F b. i segmenti BP e CR sono paralleli fra loro e al vettore ~ v c. i vertici corrispondenti dei due triangoli si succedono entrambi nello stesso ordine (orario oppure V F antiorario) V F d. PQ e BC appartengono ad una stessa retta parallela a ~ v. 1 punto In una rotazione di centro O e ampiezza si ha che O , P Q e O , Q P ; si puoÁ dire che: a. PQ Q P b. PP QQ Q OP c. POQ
QOQ d. POP
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1 punto
Le rette r e s sono parallele; siano A e B due punti di r, C e D due punti di s, presi nello stesso ordine. Completa le seguenti proposizioni. Il quadrilatero ABDC eÁ: a. un parallelogramma se ............................. b. un trapezio isoscele se .............................. c. un trapezio rettangolo se ........................... d. un rettangolo se ....................................... e. un quadrato se ......................................... 1,5 punti f. un rombo se ............................................. Un quadrilatero che ha: a. una coppia di lati opposti paralleli e congruenti eÁ ¬ un parallelogramma un trapezio isoscele Q
®
nessuno dei precedenti
Tema 5 - Cap. 3: LE ISOMETRIE E I QUADRILATERI
619
b. le diagonali che si bisecano e sono congruenti eÁ ¬ un parallelogramma qualsiasi un rettangolo
®
un rombo
c. le diagonali congruenti e perpendicolari eÁ ¬ un parallelogramma qualsiasi un rombo
®
un quadrato 1 punto
Per ciascuna delle seguenti proposizioni completa scegliendo la proposta esatta (sono possibili piuÁ risposte): a. le diagonali non sono assi di simmetria nel ¬ rettangolo rombo ® parallelogramma qualsiasi b. le diagonali sono assi di simmetria nel ¬ rettangolo rombo
®
parallelogramma qualsiasi
c. la retta che congiunge i punti medi di due lati paralleli ed opposti eÁ asse di simmetria nel ¬ trapezio isoscele rettangolo ® rombo d. il parallelogramma che ha quattro assi di simmetria eÁ ¬ il rombo il rettangolo ® il quadrato
1 punto
Sul lato AC del triangolo ABC fissa il punto P in modo che sia PC 1 ; traccia da P la parallela al lato AB che AP 4 interseca il lato BC in Q. Si puoÁ dire che: a. QC 1 BC 4
V
F
b. BQ 4QC
V
F
c. BC 5 BQ 4
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F
d. AP BQ se ABC eÁ isoscele di base AB
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e. PC 1 QC 4
V
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f. BQ 1 QC 4
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V
F
1,5 punti
In un triangolo ABC : a. il segmento che unisce i punti medi dei lati AB e AC eÁ parallelo a BC b. il segmento che congiunge i punti medi dei lati AC e BC eÁ congruente alla metaÁ di AB c. la retta che passa per i punti medi dei lati AB e AC eÁ parallela ad AC d. la retta che passa per il punto medio di AC e per un punto di AB eÁ sempre parallela a BC 1 punto
620
Tema 5 - Cap. 3: LE ISOMETRIE E I QUADRILATERI
Q
Soluzioni 1 a. F, b. V, c. V, d. F a. V, b. V, c. V, d. F a. V, b. F, c. V, d. F a. F, b. F, c. V, d. F a. AB CD, b. AC BD AB CD, c. AC s BD s, d. AC s BD s, e. AC s BD s AB AC, f. AB AC CD a.
¬, b. , c. ®
a.
¬ ®, b. , c. ¬ , d. ®
a. F, b. V, c. V, d. V, e. F, f. F
a. V, b. V, c. F, d. F
Esercizio
1
2
3
4
5
6
7
8
9
Punteggio Valutazione in decimi
Q
Tema 5 - Cap. 3: LE ISOMETRIE E I QUADRILATERI
621
ESERCIZI CAPITOLO
La circonferenza e i poligoni
I LUOGHI GEOMETRICI, LA CIRCONFERENZA E IL CERCHIO
la teoria eÁ a pag.
n Si chiama circonferenza il luogo dei punti del piano che hanno la stessa distanza da un punto fisso detto Á il raggio della circonferenza. centro; tale distanza e Á la parte di piano delimitata da una circonferenza; un cerchio e Á il luogo dei punti che hanno n Cerchio e distanza dal centro minore o uguale al raggio. n In una circonferenza: l
Á centro di simmetria il centro e
l
Á asse di simmetria ogni retta per il centro e
l
ogni corda viene dimezzata dal raggio ad essa perpendicolare
l
corde congruenti hanno la stessa distanza dal centro e viceversa
l
angoli al centro congruenti sottendono corde congruenti e viceversa.
1 Un luogo di punti eÁ: a. l'insieme dei punti che possiedono una proprietaÁ p b. l'insieme dei punti che soddisfano una proprietaÁ p in modo che nessun altro punto la soddisfi c. l'insieme dei punti che possiedono solo una data proprietaÁ p d. una qualunque linea formata da punti. es. 3 2 Dopo aver dato la definizione di circonferenza e di cerchio, spiega il significato dei seguenti termini: a. corda e diametro b. segmento circolare a una e a due basi c. settore circolare d. arco e angolo al centro. 3 Con riferimento alla figura indica se le seguenti proposizioni sono vere o false: V F a. il punto O eÁ un punto della circonferenza V F b. CB eÁ una corda eÁ un angolo al centro V F c. COB d. BAD eÁ uno dei due archi individuati dai punti D e B.
V
es. 4
F
4 Osserva la figura e completa assegnando il nome corretto alle parti indicate: a. la parte in arancio eÁ un ..........
b. la parte in verde eÁ un .............
c. la parte in giallo eÁ un .............
622
Tema 5 - Cap. 4: LA CIRCONFERENZA E I POLIGONI
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5 Barra vero o falso. a. Ogni diametro di una circonferenza eÁ anche una corda. b. Ogni corda di una circonferenza eÁ anche diametro. c. Un angolo al centro di una circonferenza eÁ sempre convesso. d. Due punti su una circonferenza individuano sempre due archi che sono sottesi dalla stessa corda. 6 Una circonferenza eÁ individuata in modo unico se sono dati: a. il centro e il raggio b. il centro ed un punto che le appartiene c. una corda qualsiasi d. gli estremi di un diametro e. tre punti non allineati f. quattro punti non allineati g. due punti.
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7 Completa le seguenti proposizioni relative ad una circonferenza: a. angoli al centro congruenti insistono ....................... b. se due archi sono disuguali gli angoli al centro corrispondenti .......................... c. la corda che ha lunghezza maggiore eÁ ..................... d. se due corde hanno diversa distanza dal centro allora ........................
es. 8
8 Di una circonferenza si sa che ha centro su una retta r e che ha come corda un segmento AB come in figura. Come puoi disegnare la circonferenza? 9 Disegna una circonferenza e prendi su di essa tre punti E, F e G in modo che
es. 9
le corde FE e FG siano congruenti. Come sono gli archi EF e GF ? Se M eÁ il punto medio dell'arco FE e N eÁ il punto medio dell'arco FG, come sono i triangoli MEF e NFG ?
10
ESERCIZIO GUIDA Da un punto P di una circonferenza escono due corde. Dimostra che se esse formano angoli congruenti con il diametro che passa per P, allora sono anch'esse congruenti. Viceversa, dimostra che se le corde sono congruenti, la bisettrice dell'angolo da esse formato passa per il centro della circonferenza. Per la prima parte della dimostrazione considera gli archi sottesi dalle due corde.
Per la seconda parte osserva che ABP eÁ isoscele e che quindi la bisettrice eÁ anche mediana e altezza. 11 Sui raggi CA e CB di una circonferenza di centro C si prendono due punti D ed E in modo che sia CD CE. Dimostra che DE eÁ parallelo ad AB. Q ISTITUTO ITALIANO EDIZIONI ATLAS
Tema 5 - Cap. 4: LA CIRCONFERENZA E I POLIGONI
623
12 Dimostra che se un diametro eÁ asse di due corde AB e CD di una circonferenza, queste sono parallele. Dimostra inoltre che in questo caso gli archi
es. 12
AC e BD sono fra loro congruenti. 13 Considera su una corda AB di una circonferenza di centro C, due punti R ed S equidistanti dai suoi estremi. Dimostra che CR CS. 14 Prolunga una corda AB di una circonferenza, di due segmenti congruenti EA e BD. Congiungi E e D con il punto medio M di uno dei due archi determinati dalla corda. Dimostra che il triangolo EMD eÁ isoscele. 15
ESERCIZIO GUIDA Da un punto P di una circonferenza di centro C traccia due corde qualsiasi PA e PB e indica con M e N i loro punti medi; traccia il raggio CP e indica con R il suo punto medio. Dimostra che MR RN. Traccia i raggi CA e CB e considera il triangolo PAC : il segmento MR congiunge i punti medi dei lati AP e PC ed eÁ quindi congruente a .................; analogamente, nel triangolo PCB il segmento RN eÁ congruente a ......................., quindi .........................
16 Considerate due corde congruenti PQ ed RS di una circonferenza che non si intersecano (i punti P, Q, R, S si susseguono nell'ordine), indica con T e V i punti di intersezione fra la circonferenza e la retta che unisce i punti medi M e N delle due corde. Dimostra la congruenza dei segmenti PT, VS e TQ, VR. (Suggerimento: puoi dimostrarlo sia utilizzando i criteri di congruenza dei triangoli, sia considerando la simmetria rispetto all'asse della corda QR o PS ) 17 In una circonferenza di centro O eÁ data una corda AB; prolunga tale corda dalla parte di B di un segmento BC congruente al raggio e traccia la semiretta CO che incontra la circonferenza oltre O nel punto eÁ triplo dell'angolo ACO. D. Dimostra che l'angolo AOD
OSIZIONI RECIPROCHE DI RETTE E CIRCONFERENZE
la teoria eÁ a pag.
l
l
l
La retta tangente ad una circonferenza ed il raggio passante per il punto di tangenza sono fra loro perpendicolari. Se da un punto P esterno ad una circonferenza si conducono le rette tangenti, i segmenti di tangente Á bisettrice dell'angolo formato dalle tangenti. sono congruenti e la retta che congiunge P con il centro e Se due circonferenze sono tangenti internamente o esternamente la tangente comune nel punto di interÁ perpendicolare alla retta dei centri. sezione e
18 Completa le seguenti proposizioni motivandole ogni volta. Se una retta e una circonferenza hanno: a. un punto in comune, allora sono ..................... e la distanza della retta dal centro eÁ ..................... b. nessun punto in comune, allora sono .............. e la distanza della retta dal centro eÁ ..................... c. due punti in comune, allora sono .................... e la distanza della retta dal centro eÁ .....................
624
Tema 5 - Cap. 4: LA CIRCONFERENZA E I POLIGONI
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19 Barra vero o falso. a. Se una retta eÁ tangente ad una circonferenza, allora il raggio nel punto di tangenza eÁ perpendicolare alla retta. b. Da un punto P esterno ad una circonferenza di centro C si conducono le tangenti ed il segmento CP: i segmenti di tangenza sono congruenti a CP. c. Da un punto interno ad una circonferenza si possono condurre solo rette secanti. d. Per un punto che appartiene ad una circonferenza si possono condurre solo rette tangenti. 20 Sono dati una circonferenza di centro O e un punto P. ¬ Se P 2 , allora si puoÁ dire che: a. esiste una sola retta tangente passante per P b. la tangente eÁ perpendicolare al diametro perpendicolare ad OP c. P eÁ il punto della tangente che ha minore distanza da O
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Se P 2= , allora si puoÁ dire che: a. esistono due rette tangenti per P b. i segmenti di tangente sono congruenti c. PO eÁ la bisettrice dell'angolo al centro formato dai raggi passanti per i punti di tangenza. 21 Dagli estremi di un diametro si conducono le rette tangenti alla circonferenza; tali rette sono: a. perpendicolari b. parallele c. incidenti ma non perpendicolari. Dai la risposta corretta dando motivazione della tua scelta. 22 I segmenti di tangente condotti ad una circonferenza da un punto esterno sono congruenti al raggio. Il quadrilatero da essi formato con i raggi nei punti di tangenza eÁ: a. un rombo b. un quadrato c. un rettangolo d. un quadrilatero senza nessuna caratteristica particolare. Dai la risposta corretta dando motivazione della tua scelta. 23 Completa le seguenti proposizioni in modo che risultino vere. Due circonferenze si dicono: a. esterne l'una all'altra se ........................ b. tangenti esternamente se ....................... c. secanti se .............................................. d. tangenti internamente se ....................... e. interne l'una all'altra se ........................ f. concentriche se ...................................... 24 Indicata con d la distanza fra i centri di due circonferenze e con a e b i rispettivi raggi (con a > b), indica qual eÁ la posizione reciproca delle due circonferenze nei seguenti casi: a. b. c. d.
d d d d
ab >a b a b >ab
e
d M:C:D: m:c:m: %
uguale diverso minore maggiore minore o uguale maggiore o uguale valore approssimato (leggi circa uguale a) massimo comune divisore minimo comune multiplo percentuale simbolo di congiunzione (leggi e) simbolo di disgiunzione (leggi o)
Simboli insiemistici 1
CB A f A B f :AB f 1 f g
simbolo di appartenenza (non appartiene si indica con il simbolo =) insieme vuoto simbolo di unione tra insiemi simbolo di intersezione tra insiemi simbolo di inclusione stretta tra insiemi (il primo eÁ un sottoinsieme proprio del secondo) simbolo di inclusione larga tra insiemi (il primo eÁ un sottoinsieme proprio o improprio del secondo) insieme complementare di A rispetto all'insieme B (si indica anche con il simbolo A) prodotto cartesiano tra insiemi quantificatore universale (leggi per ogni) quantificatore esistenziale (leggi esiste) negazione del quantificatore esistenziale (leggi non esiste)
funzione da A verso B funzione inversa di f prodotto delle funzioni f e g (primi si applica g e poi f )
Simboli numerici N Z
insieme dei numeri naturali: insieme dei numeri interi:
Q
insieme dei numeri razionali:
R
insieme dei numeri reali:
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N0 insieme dei numeri naturali privato dello zero Z0 insieme dei numeri interi privato dello zero Z insieme degli interi positivi Z insieme degli interi negativi Qa insieme dei razionali assoluti Q0 insieme dei razionali privato dello zero Q insieme dei razionali positivi Q insieme dei razionali negativi R0 insieme dei numeri reali privato dello zero R insieme dei reali positivi R insieme dei reali negativi SIMBOLI
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addendo:
termine di un'addizione.
algoritmo:
sequenza ordinata e finita delle operazioni da compiere per raggiungere un obiettivo.
approssimazione:
sostituzione di un valore numerico, non noto o non trattabile con uno strumento di calcolo, con un altro valore; i metodi di approssimazione sono i seguenti: - per difetto: si eliminano le cifre decimali da un certo posto in poi lasciando invariate quelle precedenti - per eccesso: si eliminano le cifre decimali da un certo posto in poi aumentando di una cifra l'ultima cifra decimale considerata - per intervallo: indica due valori entro i quali eÁ compreso il valore numerico dato. Un numero si approssima per troncamento a una certa cifra decimale quando si considera sempre il suo valore approssimato per difetto; si approssima per arrotondamento quando si considera la sua approssimazione per difetto quando la cifra decimale successiva eÁ minore di 5, per eccesso quando eÁ maggiore o uguale a 5.
ascissa:
in un riferimento cartesiano ortogonale nel piano eÁ il primo numero della coppia che individua un punto; si indica con la lettera e rappresenta la distanza (con segno) del punto dall'asse delle ordinate.
base di numerazione:
numero di simboli necessari per rappresentare un qualsiasi numero; la base di numerazione decimale usa come simboli le dieci cifre da 0 a 9.
binomio:
polinomio costituito da due monomi.
campione:
sottoinsieme estratto da un insieme piuÁ vasto (popolazione) il cui studio diretto eÁ impossibile o poco agevole.
codominio:
data una funzione f : A B, eÁ il sottoinsieme di B formato dagli elementi che hanno almeno una controimmagine in A.
commutativa:
proprietaÁ delle operazioni; un'operazione si dice commutativa in un insieme A se, per ogni coppia di elementi di A, l'ordine degli operandi non cambia il risultato dell'operazione: a b b a.
concordi:
numeri che hanno lo stesso segno.
controimmagine:
data una funzione f : A B, controimmagine di un elemento y B eÁ il valore x A che ha come immagine y.
coordinate:
coppia (o terna) ordinata di numeri che in un sistema di riferimento nel piano (o nello spazio) individua uno e un solo punto.
corrispondenza:
sottoinsieme del prodotto cartesiano tra due insiemi i cui elementi si individuano in base a una precisa legge.
corrispondenza biunivoca:
corrispondenza che si esprime mediante una legge che che ad ogni elemento di un insieme A associa uno ed un solo elemento di un insieme B e viceversa; si tratta di una corrispondenza 1 1.
corrispondenza univoca:
corrispondenza che si esprime mediante una legge che ad ogni elemento di un insieme A associa uno ed un solo elemento di un insieme B.
costante:
quantitaÁ che mantiene inalterato il suo valore.
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determinante: (di matrice quadrata)
se la matrice ha ordine due eÁ la differenza tra il prodotto dei termini lungo la diagonale principale e il prodotto dei termini lungo la diagonale secondaria.
diagramma cartesiano:
rappresentazione grafica nel piano che esprime il legame tra due variabili.
diagramma di Eulero-Venn:
rappresentazione grafica di un insieme mediante una linea chiusa non intrecciata all'interno della quale si rappresentano gli elementi dell'insieme. ragionamento che, a partire da alcune premesse supposte vere (le ipotesi), consente di accertare la veritaÁ di un'affermazione (tesi). > espressione riconducibile alla forma f
< --- 0; risolvere una disequazione significa determinare l'insieme dei valori di che rendono vera la disuguaglianza ottenuta.
dimostrazione: disequazione:
discordi:
numeri che hanno segni opposti.
disgiunti:
due insiemi la cui intersezione eÁ l'insieme vuoto.
distributiva:
proprietaÁ che riguarda due operazioni; si dice che l'operazione eÁ distributiva rispetto all'operazione se: .
divisione intera:
equazione:
si esegue tra due numeri interi e ; in informatica il quoziente intero di : si indica con il simbolo DIV ; il resto della divisione con il simbolo MOD. Per esempio: 17 DIV 5 3 e 17 MOD 5 2. uguaglianza tra due espressioni, funzioni delle stesse variabili; risolvere un'equazione significa trovare i valori delle incognite che rendono uguali le due espressioni.
equivalenti:
si dice di due equazioni o disequazioni che hanno le stesse soluzioni.
espressione:
insieme di lettere o numeri legati tra loro da simboli di operazione.
fattore:
termine di una moltiplicazione.
fattorizzare:
scomporre un numero o un polinomio in fattori.
frazione algebrica:
rapporto tra due polinomi.
frazione decimale:
frazione il cui denominatore eÁ una potenza del 10.
funzione:
legge che ad ogni elemento di un insieme A fa corrispondere uno e un solo elemento di un insieme B.
grandezze omogenee:
insieme di elementi tra i quali si possono fissare criteri di confronto e regole di somma.
identitaÁ:
uguaglianza vera per ogni valore del dominio attribuito alle variabili che in essa compaiono.
immagine:
data una funzione f
x , eÁ l'elemento che viene associato a x nella corrispondenza.
incommensurabili:
due grandezze omogenee che non hanno un sottomultiplo comune.
insieme di definizione (dominio): relativo a una funzione f
x , eÁ il piuÁ grande insieme in cui eÁ possibile eseguire tutte le operazioni indicate nell'espressione f
x .
intervallo:
sottoinsieme non vuoto dei numeri reali che assume la forma a < x < b, x > a, x < b; se gli estremi sono esclusi l'intervallo si dice aperto, se sono inclusi si dice chiuso.
ipotesi:
in un teorema, cioÁ che si suppone essere vero.
matrice:
insieme di m n elementi, ordinati in righe e colonne, secondo due indici.
media:
valore che si puoÁ sostituire ai dati senza alterare la valutazione del fenomeno.
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modello:
rappresentazione semplificata di una situazione reale che tiene conto di tutti e soli gli elementi che sono utili a descrivere il problema.
modulo:
in questo testo si considera sinonimo di valore assoluto.
monomio:
espressione algebrica in cui non compaiono operazioni di addizione e sottrazione e gli esponenti delle lettere sono numeri naturali.
notazione scientifica:
scrittura di un numero in forma sintetica a 10k , dove 1 a < 10 (in pratica a ha una sola cifra non nulla prima della virgola).
ordinata:
in un riferimento cartesiano ortogonale nel piano eÁ il secondo numero della coppia che individua un punto; si indica con la lettera y e rappresenta la distanza (con segno) del punto dall'asse delle ascisse.
ortogonale:
in questo testo si considera sinonimo di perpendicolare.
parametro:
in un'espressione, una lettera che ha un valore fisso, anche se non noto a priori.
polinomio:
somma algebrica di monomi.
popolazione:
il piuÁ vasto insieme di elementi su cui eÁ possibile svolgere un'indagine statistica.
primo:
un numero che eÁ divisibile solo per se stesso e l'unitaÁ; due numeri si dicono primi tra loro se il loro M:C:D: eÁ uguale a 1.
principio di identitaÁ dei polinomi: principio secondo il quale due polinomi, funzioni delle stesse variabili, si considerano identici se assumono valori uguali per gli stessi valori attribuiti alle variabili. problema deterministico:
un problema che, se ha soluzione, eÁ certa.
problema non deterministico:
un problema la cui soluzione puoÁ essere data certa solo in termini probabilistici.
proporzione:
uguaglianza tra due rapporti.
proporzionalitaÁ diretta:
tra due insiemi di grandezze x e y sussiste quando esiste un numero k non nullo tale che y kx.
proporzionalitaÁ inversa:
tra due insiemi di grandezze x e y sussiste quando esiste un numero k non nullo tale che xy k.
riferimento cartesiano ortogonale: sistema di riferimento nel piano (o nello spazio) costituito da due (o tre) rette orientate mutuamente perpendicolari, sulle quali eÁ stato fissato un sistema di ascisse; ogni punto viene individuato da una coppia (o da una terna) ordinata di numeri reali. tesi:
in un teorema, cioÁ che si vuole dimostrare essere vero.
trinomio:
un polinomio formato da tre monomi.
univoca:
sinonimo di a un solo valore (vedi corrispondenza univoca).
valore assoluto:
valore assoluto di un numero x eÁ il numero stesso se questo eÁ positivo o nulx
se x 0
x
se x < 0
lo, il suo opposto se eÁ negativo: x
.
variabile:
quantitaÁ non nota che puoÁ assumere tutti i valori appartenenti a un certo insieme.
zero:
elemento neutro dell'addizione; relativo ad una funzione, valore dell'ascissa del punto di intersezione del suo grafico con l'asse delle x.
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