Lineaire algebra [PDF]

Zitiervorschau

Lineaire algebra de Bruijn, N.G.

Gepubliceerd: 01/01/1958

Document Version Uitgevers PDF, ook bekend als Version of Record Please check the document version of this publication: • A submitted manuscript is the author's version of the article upon submission and before peer-review. There can be important differences between the submitted version and the official published version of record. People interested in the research are advised to contact the author for the final version of the publication, or visit the DOI to the publisher's website. • The final author version and the galley proof are versions of the publication after peer review. • The final published version features the final layout of the paper including the volume, issue and page numbers.

Link to publication

General rights Copyright and moral rights for the publications made accessible in the public portal are retained by the authors and/or other copyright owners and it is a condition of accessing publications that users recognise and abide by the legal requirements associated with these rights. • Users may download and print one copy of any publication from the public portal for the purpose of private study or research. • You may not further distribute the material or use it for any profit-making activity or commercial gain • You may freely distribute the URL identifying the publication in the public portal ? Take down policy If you believe that this document breaches copyright please contact us providing details, and we will remove access to the work immediately and investigate your claim.

Download date: 14. Aug. 2018

.ALGEBRA.

LINE.AIRE

=====================~=====~====

Syllabus van het coliege van Prof. Dr N.G. de Bruijn in 1957- 1958.

~aire

Hoofdstuk I.

§ 1.

verge_lijkingen

em

determinanten.

Combinatoriek.

Tot de combinatoriek

rekent men allerlei problemen over eindige

verzamelingen 7 en.meer in het bijzonder het bepalen van het aantal mogelijke situaties van een gegeven soort.

Een eenvoudig voorbeeld:

Hoeveel verschillende dobbelstenen zijn er mogelijk (we maken een dobbelsteen door de zijvlakken van een kubus met 1 t.e.m. 6 te nummeren; twee dobbelstenen heten "gelijk" als ze, inclusief nummering, gelijkvormig zijn).

(.Antwoord:30.)

In het volgende zullen we enkele eenvoudige combinatorische begrippen bespreken, t.w. permutaties 5 variaties, combinaties.

c~mbinaties

en herhalings-

Voor de determiiantentheorie zijn hiervan slechts ,de

permutaties van belang. Permutaties.

Di t v;oord wordt in drie betekenissen gebruikt: ----------10. Een eeneenduidige afbeelding P van een eindige verzameling

op zichzelf.

Bestaa t die eindige verzameling ui t de getallen

dan zijn de beelden daarvan resp~

P( 1), P(2), ••• , P(n) •

1, 2, •..

9

n ,

Ter onderschei-

ding van de tweede betekenis van het woord permutatie zullen we

P even

een "permutatieafbeelding" noemen. 2°.

Is een eindige verzameling V in een zekere volgorde gerang-

schikt, bijv.

(c, d, b, a, e) ,

(P(.::. L P( dL P(b), P( a), P( e))

is

verzameling. 3°.

weer emrtrangschikking van dezelfde

Deze rangschikking wordt een permutatie van de oude genoemd.

(1, 2, 3, 4, 5, 6). Vaak noemt men elke rangschikking van een eindige verzamelin~

Zo is bijv. V

en is P een permutatieafbeelding, dan

(3, 2,

5, 4, 6, 1) een permutatie van

een permuta tie, zonder da-t er van een "oorspronkelijke

sprake is•

Zo is bijv.

(U~, Gld, Gr. ,N .B., N.H.,

eim permutatie van de provincies van Nederland.

z.,

~angschi~:}"in

··"

Z.H., Ov., Dr.,; o ,Fr.)

Meesta1

zal men de

On, der 2° en· 3° genoemd e b egrl.ppen · nauwe 1'lJ·k s k unnen onderschel· d en, c ·'

2

'1

t

onze eerste kennismaking met V Cioorgaans in een zekere volgorde geschiedt. In de volgende stelling is het onverbchillig welk van de drie begrippen meri gebruikt ~!~!!!~~-! o

n! (

=

o

Het aantal permutaties van n

objecten bedraagt

1. 2. 3· ••o. n).

~~!~;:i~·

We gebruiken het onder 3° genoemde begrip.

plaats heeft men n

mogelijkhede:".

Voor de eerste

Heeft men de eerste plaats eenmaal

2

bezet, dan heeft men voor de tweede :plaats n-1

mogelijkheden.

Heeft

men de eerste twee :plaatsen bezet 9 dan zijn er voor de derde plaats n- 2

mogelijkheden.

Enzo

("Enz.

betekent hier ~

11

voer het bewijs

zelf maar met volledige inductie uit.)

Combinatieso

Zij

geheel getal,

0

V

< k :.n o

vfe reduceren S met de methode van het bewijs van st. 9 tot een gereduceerd stelsel R o

Met precies dezelfde stappen word t

tot een gereduceerd stelsel R

0

, v-raarbij ook weer R

0

door de bekende termen n1::.l te maken.

.Als

S

0

S

0

ui t

gereduceerd R ontstaa-t

slechts de nuloplossin;?,·

p x = 0, ••• ~ pnxn = 0 ~ met 1 1 .cj /=0 9 oooypnfO. Nu is R van de vorm p x =q , •o·~PnXn=~ (or 1 1 1 1 kunnen geen strijdige -;-ergelijkingen bijkomen, want S bevat niet :meor heeft, dan heeft R

dan n

0

de vorm

vergelijkingen).

!lus R is eenduidig oplosbaar, zodat hetzelfde

voor S geldt. Zij omgekeerd S oplossing van S o

Is

eenduidig oplosbaar, en x

1

=

o. 1 , o o.,

xn = dn

x

= c 9 o. o y xn =en do 1 1 een oplossing van S , 0'" 0

= c 1 + d 1 , ••• , xn = en+ dn ook een oplossing van S o Daar S 1 slechts 66n oplossing heeft, is d 1 = o o o = d n = 0. S o heeft dus slc,;11·:s de nuloplossing. is

x

Laat mon uit de mc.trix

Onderdeterminanten.

------------------

~1n)

u11

a an1 nn de i-de rij on de j-de kolom weg, dan ontstaat er weer een vierkanto

lJ

a ..•

onderdeterminant van minor van a. .

De determinant van A .• hoet de • • J_ J Ret getal ( -1 ) l+J det A .. = m.. wordt d8 . :LJ 2J

aanduiden.

matrix die we met A ..

J.J

genoemdo

lJ

~~~!!~~~-g20

Is i

1, ... , n,

een der getallen

dan is

+a. m. J.n 2n (ontwikkeling van de. een rij).

determinant van een matrix naar de elementen van

De overeenkomstige stalling geldt voor ontwikkeling naar

een kolom.

· ~~!~j~.

1°.

Zij bnj

B een n x n =

0

matrix met

voor

Dan zijn in de .som, waarin

j = 1, ••• , n - 1 o

det :B volgens de defini tie geschreven kan

worden, alleen die termen mogelijk ongelijk nul, die de gedaante E(j 1 , ••• , j )b 4 • 1 2 . • • • bnJ··n, met j =n, n ;.J 1 J2 n hebben, waarbij (j 1 , o.,, j.) een permutatie van .

Di t ,betekent, dat is.

n

(j 1 , ••• , jn_ 1 )

E(j , ••q jn_ , n) 1 1

Daar

=

waarbij

det :B, nn

2°.

een permutatie van

E(j , ••• , jn_ ) 1 1

det B

=

(1, .•• , n)

b

nn

is.

( 1, ••• , n- 1)

stellen we nu vast, dat

det B nn

de onderd.eterminant is van b

nn

We keren nu terug tot onze matrix A •

Volgens st. 13

is det A waarbij de matrix P.

J

bepaalde

i

=

det P

+ • o . + det Pn ,

1

ontstaat door in de i-de rij van A .

van de s·telling) alle ol~'>nenten"! B."{k met

te vervangen,

Door in J.eder der P.: s J

de i-de rij

naar bene den te schui ven en de j -do kolom

n- j

komen we tot I

detP. = (..,.1)(n-i).J..(n-j)det J

/

I!

* . Aij

··························-····

\0

• 0.

0

*a .. lJ

k~ j n- i

(voor de e:r:e door 0 plaatsen

plaatsen naar recb".,-

.. _/

Passen we nu 1° toe, dan zien we 9 dat i+j det P. = ( -1 ) a .. det A.. J J.J J.J

a •• m ..

J.J J.J

waaruit het gestelde volgt. Teneinde de stelling ook voor ontwikkeling'naar een kolom te bewijzen, gaan we op de gespiegelde matrix over (vergelijk st. 12). Merk op, dat de minor van a. . in A gelijk is aan de minor van het J.J element in de j-de rij en i-de kolom in de gespiegelde matrix. We kunnen st. 20 o.ao gebruiken om determinanten snel te berekenen. We herleiden de matrix dan eerst door toepassing van st. 17 tot een andere (met dezelfde determinant) die een rij heeft ~marin nog maar

f. 0

een element

staat.

Vervolgens ontwikkelen we naar die rij, waartoe

we dan nog slechts een determinant van een matrix van kolommen behoeven te berekenen.

n ---t

rij-en en

Voor de laatstgenoemde kunnen we weer

hetzelfde precede toepassen.

+ a.J.nmkn = 0 + a nJ..mn k = 0. a1im1k + a2im2k + (Als i=k, dan zijn die sommen blijkens st. 20 gelijk aan ~~!~~::!i> We vormen een matrix B di-e ui t A onstaat door de k-de rij ai1mk1 + ai2mk2 +

van A te vervangen door

ai 1 , ••• , ain

nog gelijk aan de i-de rij van A). ai 1mk 1 + ••. + ainmkn dus

=

detB.

(de i-de rij van B is echter

Blijkens st. 20 is nu

Op B is echter st. 16 van toepassinr,.

det B = 0 • §!:::!!~~~-gg.

Zij

det A

f. 0.

\a11x1 + I

o

J \ an_;x1 +

Hierin is

d

=

det A

9

--

alnxn

+

8.

"b

1

•

\

eenduidig oplosbaar;

is het stelsel

Tian

nn X n

b n

x 1 = d /d, x = d /d, ••• , xn = dn/d. 2 1 2 is de dete:rm.inant van de matrix die ontsL;,at

de op1ossing is en

°

ver~

en kan l!ij",-~ net c~e regel \ran Cramer worden ui tgevoerd). en ale het stelsel d?losbaar is, dan is

het eenduidig opJosbsar.J J?evv~j s '!:."' .... - ..... ..,,,,_••

laat

x

1

40.

(l

=

c , 1

~~~~:~~"

o. o,

dat

::rn == c:n

h~t

stelsel

een op2.o,:;sing sijn.

alle ka:rakteristj_e~:e de-bs:cnina::.ten nul :ziij:n. b.J_

oJl! . c1+

door

,.Yl L.J

j=i

o •


marin

9

A een reeel getal OA

gelijk is aan A keer de afstand

OB

B aan dezelfde kant van 0

lende kant voor

heet nu;Lve

p 3) bi j b

2?

5

oE(i) = E:(i)

+

a.

-(3) 3

E( 2 ), E(3) die niet met 0 (i = 1, 2 1 3) • Dan is er bij elke vector

cr2,c'

(a1,

precies een getallentripel ~(1)

In plaats van strl:iYJ.g

e

3) met ( .

Behoort

? dan behoort

~

( a.1 +

~ + b , en

a 1,

1?

0

a

a ' is er een vector d

-)

te vinden met

a+ -d = -0

-7

Verder veronderstellen we, dat er een afbeelding (z.g. scalaire v: .. rmenigvuldiging) is die a an elk paar een element van R toevoegt ~ -.rfe veronder:;;;tellen, dat

(5) (6)

(7) (8)

A.a+

(A. ++!l )~ !l)~

=

a:, b,

J...., t.t )

~· E

reeel getal 5

A.~ aangeduid.

,. )

.Gn

geldt

->

- a:) -

A. ( -a+ -7 b)

( )1.

( A.

di t element wordt met

( voor alle -+

( ). , ~)

1-.b,

;\.a.+ fl. a,

/, ( !J.

=

?

a

Dan heet R een vectorruimte.

Uit stelling 1 volgt, dat de vectoren in het platte vlak een vector, ruimte vormen, hetzelfdr:o geldt voor de vectoren in de ruimt.e. nog enige voorbeelden Defini tie 2. n- vector.

We ,g----c:n

g

Een ri j tj e van n

reele getallen heet een numeri

(Merk o:p, dat een rijtje van n zameling van n

getallen:

getallen iets anders is dan een ver-

in een rijtje mogen gelijke getallen voorkomen,

en twee rijtjes die slechts in volgorde verschillen, worden als verschil·· lend beschouwd.

Het begri:p "rijtje" kan worden gedefinieerd als : {1 9 2 ~ • • e

afbEelding Van de Verzameling

9

n J

in de Verzameling der reele

getallen). O:ptelling en scalaire vermenigvuldiging definieren we met (a

1

o •• , an) + ( b , o .• , b n) 1 A. ( a , o •• , an)

9

(a1+b19 ( A. a

1

~!:;~~~::~_1·

st. 10) ;

9

an+bn)

A. an) •

•• o ,

De verzameling van alle numerieke

vectorruimte. (het woord

1

00.,

Deze noemen we de numerieke

g

n- vectoren is een.

n- dimensionale vectorruJ£Lte

n- dimensionaal wordt echter pas later gedefinieerd, zie nota tie

Rn •

Een algemener voorbeeld krijgen we door uit te gaan van een willekeurige verzameling V zoeven) o

Rv

Zij

h

=

A.f

en

Ook

=

Rv

n

9

J

van

de verzameling van alle afbeeldingen van V in de Is

verzameling der reele getalleno f + g

(1, ...

(die in :plaa ts treedt van de

f E

Rv'

Rv'

gE

dan schrijven we

als

k

f(v) + g(v)

h(v)

voor alle

vEV,

il.f(v)

k(v)

voor alle

vEV.

als

is een vectorruimteo

Een wat s:pecialer voorbeeld, dat we niet verder uitwerken, is 0 S.. xs_ 1

de verzameling van alle functies die o:p het interval

g

con tinu 2ijn.

Ui t de defini tie van het begri:p vectorruimte ( def o 1) zullen we enkele eenvoudige conclusies trekken.

Uit

lL.;:;

(1), (3) en (4) volgt (zio

syllabus Inl. Wisk.) :

(9)

(Kies nl. een

~ +

ca + b) ca: +

0

_,

o)

0

(

0 )o

=

Ao 0

(12)

=

0

( Jv • 0) • 0

we gens ( 10), dus

-'> 0

weer we gens (1 a, .... b, -c

niet noodzake-

lijk een reeel getal~te vinden is met

§ 4o

Lineaire afhankelijkheid.

We beschouwen een vectorruimte R •

....

~:.:;f~~~!~~-2 o

De vector b

heet 1 i neair afhankelijk van de vectorcn ~ ~ --4 '/1.1 a+ ,,;., a , ~ als er getallen A , o. o, A k zijn met b 1 • :~ 'k • 1 1 ~ -~ We zeggen ook wel, dat b een linec:,=l_r,_t:;_ combinatie is van a , • o • , ::; k o

.... •• o, ak

....

0

'

'

•

(

1

Ret stel vectoren als er een onder te vinden is die lineair afhanke1ijk is van de andere. -?

.

~

c , • o., em

Is di t niet het geval, dan heten

lineair onafhanlkel::Li]fo

1 (Ret woord lineair zullen we gemakshalve vaai~ achterwege laten) o -'>

~!~!!~~~L~ o

1 a

al s er getallen _,

ex c +

do en a an

_.,

c , o •• i em

1 1 -~

1

al s

a

o. o,

1

c t .. 1 1

~:.:;!~~~0

o

ex

o 9

__,

o o + a. c

o

c ,

-

, o.

zijn dan en slechts dan lineair afhankelijk

=

$ m c

_,

m_,

....c

1

,

o

.

••

,

c

0 o

~

a

van

c

....c

+ •

-i= 0 •

+ A c mm ongelijk nul. A.

2 2

o •

1

=

o o o

=

a m

=

0 •

-

is ~en ervan een lineaire m afhankelijk dan -"

combinatie van de overige 9 bijvo

(-1 ) •_,.-c 1 +

zijn, en vol-

0

zijn dan en slechts dan lineair ona:fhanJrelijk

m

+ am em = 0

Zijn

zijn, die niet allemaal

1 Is omgekeerd

....

= A. c + o • o + A. mc m Dus 2 2 1 Hierin is in elk geval de coefficient

c

0

-

a .... c +ooo + a.mcm = 0, en ZlJn niet alle a. 1 s nul. 1 1 is bijY. _· a f 0. Dan is 0' lineai.r in de oyerige ui t te drukke:: 1 1 ( deel q.oor - a. , en vermeerder beide leden met 0' ) o 1

·n

1

Ret tweede deei van st o 5 is ee:'l logi sch gevolg van het eerste

(!r · '

Ter overdenking volgt hier een aantal uitspraken betreffende afhankelijkheid

_,

I. s

g

1 l .. , b a f ·,nanKe_::;_,Jrc van

--?

-)

a , a , dan is 2 3

~

b

ook afhankelijk van

\

22; ~

b afhankelijk is van

De uitspraak dat

a

~

9

1 en afhankelijk is van

~·

afhankelijk is van

--'>

a1

a

betekent niet; 2 a • 2

->

Is een van de vectoren van een zeker stel vectoren de nul vecto-c; dan is het stel afhankelijk.

4°.

Voegt men aan een afhankelijk stel vectoren neg enige vectora~ een onafhankelijk stel cl: ,-; tt

toe 9 dan blijft het een afhankelijk stel 'l

ohafhankelijk als men er enige uit weg laat.

§ 5.

]3asis2.- dimentlie~

We beschouwen weer een vectorruimte R •

~~!~~!~!~_2.

Het eindige stel vectoren

_?asis voor R als elke Vc:Jctor ui t

{~ 19 ••• 9 ~k}

heet een

R van di t stel afhankelijk is.

Niet elke vectorruimtc heeft een basis. L;Ihcllet voorbeili van § I word t een basis gevormd door in dat van

§

:cu~-,_ne:cl. we

(1,

In

2 ana1oog met drie vectoren 9 in de numerieke

o, ... , o), (o,

o, ... , oL ... , (o, o,

o·q

o,

1.)

nemen.

R

n

In het voorbeeld ·Rv V

1,

n- voctorruimte

§ 3) is er echter geen eindige basis als

(zie

niet eindig is.

(afgekort;

!-;1 ,

6.

Definitie

•••

{~ 4

~!3~~~~2~_§.

bE R

1

heet een line air onafhankelijke basis

9

~!)

••• ;

is du1 en slechts dan een l.o. basis o ._;::

:De getE,llmJ.

(b

A _.,

·;

-~A

a

_, o

?

c;.. 1

/, , •• ,

1 A.,

1 )

+

0'.

-:-

I

o

c

vormt.

op precios 88n maniera:Ls l:ineaire combinatie van

te schrij-Hm is. ui tgedrlJ_kt

-;k

l.o. basis) als het een basis vormt en bovendien een ljnc _..;......,_;,.

onafhankelijk stelsel

elke

9

K K

Ak

9

b

waarmee

1

{ ~ , •• , 9-~k}

kan worden

heten de coordinate_n van

b

(l

,r

A • .-)

is

OC:fJ}.S

is J in,

j,_

0'1.8-:':'n,

(-c)

elke b

~

->

r

->

+

fck1 bi +

ak

ui tdrukken :

A. 1mb m J

+

->

~

m

•

0

J

0 •

•

/

dan heeft di t stelsel een oplossing die van de

J

nuloplossing verschilt (Hoofdstuk I, st& 11).

a 1 , ••• ,

m

afhankelijk zouden zijn.

is ortjuist.

7 kunnen we zowel _, ~ J

Op grand van st.

~~!!J~·

f o1 ,

Van elke basis

~

door zo nodig een aantal der

b 1s

-l>

_;.i.lS een de:t b 1 s

••• , bm

eruit

~

b

1

o1

2

9

m~k

als

b~

is een l.o&

·bewi~"" ;_1~

te maken

te laten.

lineair afhangt Van de overiq·e .

J

->

~

o1 , o2 ,

........;.._

~

1:: , •••

k~m

Want elke vector

nag een basis over.

is een lineaire coml::inatie van

als lineaire combinatie van

w~g

-+

bijv,

9

dan houden we na schrappen van R

a's

Is zowel

§~~!!!~~-2·

~

zodat de

5

Ze volt1oen

k=m.

~~!!J~o

U ;+v

die aan h~ stelsel vold~en.

5

a a + o o o + a.kak = 0

ook aan

Er zijn dus getallen

bk

->

••• , bk

9

en die kunnen we ~

r1

schrijven, aangezien

daari:c.

uit te drukken is. We gaan nu onze basis herhaald uitdunnenJ door steeds, wanneer we ·en el!ement aantreffen dat afhangt van ,de andere nog overgebleven basisele-menten, dat

Hoverbodige~ 1

element te schrappe11.•

Op het ogenblik dat er

niets meer te schrappen valt hebben we een l.o. basis bereikt. Ret ui tdunningsproces is ook als volgt ui t te voeren: ->

volgens weg i

b J b ? ' " " ' bk in het oog. Laat' de nulvectoren uit deze rij 1 2 -> we nemen aan, dat zulks al gebeurd i~. Schrap b als die afhsr.c·

kelijk is van

~

b

2

-4

•

Schrap

a~s

b

afhankelij~

die

1 3 (voor zover die nog niet gcschrapt zijn).

is van

---4

-Y

b , b , 1

2

~

o

3

enz.

5

het ·v-olgende principe

zo

dat

Vat achteretm-

->

->

c

k

hiervoor lezen

-· c

~

Dat zo een l. o zijn

c g

1

=

--~)

0

.

0

0

, ,

1 1 ..... ~

o,

o

Schrap

is van

'b

4

~

b

1

en

4

b;

2

als die afhank,· :.-:·.-

basis word t bereikt, berust r

-)

c

n

afhankelijk~

dan is er een

(in het geval dat

1

'

k = i moet mf'7'

2

2E~~~~~~§o

niets over).

-

{ 0~

0)

-;.

A.. 0

A. is

voor alle

nelijk voldaan.

to}

De basis

I=

is (dan blijft er na het schrappe,'

:Oi t treed t slechts op in het geval dat

:Oi t is ook een vectorruimte

Cl

0 }

ooo,

-)

=

0

R

0

er is slechts een element, nl.

~

l 0} ~

Een basis is

0

en

9

(8) van § 3 is ken-

Aan de eisen (1) t.e.m.

0

slechts de vector

R •

:Oeze ruimte noemen we

bevat.

0

9 onjuist in het geval dat te

Formeel gesproken is st.

gBgeven basis slechts

)i

maar een Lo. basis bestaat er

is nl. lineair afhankelijk, want er bestaat een getal o ,

0 ~ met

~~~~~~~~-!2· Als R een basis heeft en bovendien t R0 is, dan heeft tR ook een l.o. basis. In elke lio·rbasis van R is het aantal vectoren hetzelfde.

:Oi t aantal heet de A.:J.J!!..?.l?-Sie van R •

(Als R geen basis bezi t, kennen we aan R de dimensie

Laat R

de dimensie

m- tal vectoren afhankelijk. is

(n>O)

n

hebben.

En als een

Als

R

.aan R de dimensie nul tocc )

slechts uit de nulvector bestaat, kennen we ~~~~~~~~-!! o

toe.

co

Als

m >n

n- tal vectoren

is 9 is elk: onafhankeh.~

.::

dan vormen ze een basis.

~~!~~~·

m_f n

Als m vectoren onafhimkelijk zijn 9 dan is

want er is ergens een basis die ui t

n

......

~

(st. 7)

9

'lrectoren bestaato

onafhankeliJk zijn en geen basis zouden vormen, 9 • • • 9 bn 1 i -7 -'> zou er een vector t zijn dle niet van b 19 o •• 9 bn afhing. I\[et b 19 ••• 9 bn 9 ";; zouden we dan meer dan n onafhankelijke vectoren hebbeno Al s

b

:!~~EE~~!~~~·

:Oe vectoren in het platte vlak (§ 1) vormen een vector···

ruimte met dimensie 2. Uit de eerste alinea van st. 2 en st. nl., dat ~( 1 ), ~( 2 ) een l,o. basis is.

6

volgt

Op dezelfde manier zien we in, dat de vectoren in de ruimte (§ 1) een vectorruimte met dimensie 3 vormen. Ook kunnen we nu inzien, dat de numerieke n- dimensionale vectorruimte

(§ 3) inderdaad de dimensie n heeft.

R

n

Elke vector (a , •• .,a) n

1

is nl. op precies een manier als lineaire combinatie van

o,

(19

0

0

0

o), (o,

9

1 9 09

0

l)

0

9

oL

0

0

1:)

9

(0 9

0

Dit gaat nl. met de co~fficienten Om de eindig- dimensionale doende oru de

R

1

n

~~f~~~~~~-7.

s

(resp" met

vec~:;orruimten

cp(~)

cp( A.~)

E R

o, 1)

9

z6 clat steeds

te schrijve.l,

te bestuderen 9 is het

cp(-;; +b)

v.;

te bekijken< (zie ~:;";. 12).

n = 0 9 1 9 2 9 3, ••• )

eeneenduidige afbeelding 9 ~;·van R op R 1

a ..,

0

en alleen met dezeo

:Oe vectorruimten R en R'

1 ) ,

~

heten isomorf 7 als er een

bestaa t ==

(~ E R

cp(S:) +

9

cp(b)

dan en

A.cp(-;;) ~ Elke lirteaire betrekking in R kan dus i1irect o-p ~\ t wor-den overgebracht ~ is b A. -;; + + A. k~k , dan is

·--")

cp\b

=

==

1 1 A. 1 cp a 1 + o•• + A.k 9,ak).

c-' )

c-' ,

o, o

26o

~~~"!"!~.'~~-].g.

Heeft de vectorruimte R een eindige dimensie

R isomorf met

n

R

een stel getallen qJ (~)

Is

~ +-; = ('a

+

1

C{

1

,

o o •

y 1 ) 'b1

(~) +

qJ

(~)

Defini tie 8.

+ o

(x

1

9

o. o,

xn)

is er precies

0(.1 b 1 + ••

a =

....

0

+ cr. nbn

°

nn )

(c)

( y

=

(

, o oo

9

y n) . 9

dan i s

waa:n:ui:t men afleest dat

9

a 1'

0

0

•

9

a n) + ( y 1 ' • • •

1 .

y n)

=

R1

geldt a, b 9 A _, a E R1 5:> ,

~

-t

van de vectorruimte R heet

....

_,

.... :\

a

R1

E

o

-t

b , • o. 9 bk een aantal vectoren in R, dan is 1 _, _, van alle lineaire combinaties van b , • o • 9 bk e en

_,

Deze heet Laat n

R

numerieke vectorruimte n)

~

~

(di t laatste is een element van

a + b E R1

Zijn

2° o

9

qJ

~

~

lineaire deelruimte.

1, o ••

_a n )

9

als voor alle

b E R1

de verzameling R'

=

te vinden met

Een deel verzameling

Voorbeelden.

j

o o o

a)

Gl(A

-)

a E R1 &

a. n

1

o • ' a n_+ y n)

----------een Jineaire ~lruimte -?

0

-

o o o 9 bn} o Voor elke vector

1 + (an + y n)bn

En

•

0.

( a 1, (J. n) ,

9

9 (~ + "(;) = ( a 1 + Y 1 '

9

{-=b1 ,

cr. 1?

~(~)

= (

uit (daarvoor is de uitspraak triviaal), dan

0

R een loo. basis

We nem~m- nu:

dan is

9

R •

Sluiten we heeft

n

de door

g

1

9

bk

o:rgespannen ruim"ie ..

een natuurlijk getal zijn, en laat R

voorstellen.

n

1

.....:)

b , o o.

gegeven zijn, en laat

R'

Laat getallen

a..

lJ

bestaan ui t alle

(i

=

de

19

•

o.,

n- vectoren

die voldoen aan het stelsel vergelijkingen

+ .a· ·. X= € 0 , _r n n 1

+ a ~!~~~~~~-220

dan is

R1

Is R'

x pn n

0 •

een lineaire deeiruimte van de vectorruimte R,

weer een vectorruimteo

is de dimensie m van R'

Heeft R de eindige dimensie n

ten hoogste gelijk aan n.

Als

m=p.,

9

dan

dan is

R 1 = R.

een vectorruimte is 9 moeten in R 1

Opdat R' I A )

\

I

( 8) gel den.

de relatics

Daaraan is voldaan, omdat de elementen van Hi

ook elementen van R zijn 9 en daarvoor gelden die betrekkingeno Laat R de (eindige) dimensie

H1

een eindige·basis heeft.

niet bestaat is

t0 l

onafhankelijk van

c

1

n

hebben,

We tonen nu eerst aan 9 dat

Kies een vector

....

is.

Kies een

c

3

E R1

1

in . R 1

_,.

(als die

c 2 E B. 1 (~ i_ die onafhankelijk van c l ~;

reeds een basis voor R ). 1

_,

,_,

c :f 0

I{ies een

p 9

is.

so

Di t kan 1'1:iet

.doo.::r- b1ijven gaa:,n, want

vB.ctc.ren z.ijn er niet in R

-

(met

••• , c

Is

dat er in R

afhangt.

m

gevonden. st. 9).

zo

min)

(st? 11).

nte€'~

-'>

-'>

~

....

b-a

c-a

d-a

en vervolgens

_. a

~

b-a

d - -;;

(o~

1'

(0,-19-29-5)

(0,-2,-5,-5,

7) 1)

to~

--i>

~- ~ +

:=

4, 7, -6) 3, o, 6)

"

(b- ~)

+ 2 (b - ~)

( 1 9 o, 4, 7~ -6) (o, 1 ? 3, o, 6) (o, o, 1,-5, 13) (o, o, 1~-5, 13)

In de volgende stap wordt de derde ·f"an de vierde afgetrokken. wordt de hulVeetor 9 en kan vvorden Yieggelaten.

Dit

Het is gemakkelijk in tc

:;;ien, dat het resterende half gereduceerde stelsel -( vgl. opm. 1 na st, in Hfdsto I) lineain;onafhankelijk is

g

ui t

~I

ex. 1 ( 1 ~ 0'

4 7 7 ~ -6) +

cx.2 ( 0

volgt nL achtereenvolgens basis voor R 1

6) +

0'

3 ( 0' 0 5 1 5 -5? -13)

ex.

0

==

-

= 0 5 ex. == 0 5 e:: == 0 • Het is dus een L o o 2 1 3 Evenzo ziet men in, dat we deze basis

a1s

--?

9

R 1u

g

a s 1

Als alle en

-7

d s 1

y

o11 1 +

;_:;_~ t Ft om~m) ~

o o. +

een vector die zowel in

R'

liggeno

.__,

c 1 s .en d 1 s vormen· dus een lineaire onafhankeli jk stel o

de ruimte die ze ops:pannen vormen ze een l oo. basis o vullen met bijvo

-7

~

e 19 o•o; et

s

Y;

is een vector -(

1

die

9

Dus minstens een

cx 1 ~ 1 + o o o + cx.k-;.;:~ + y 1c> 1 + •• o + yhc;h

Dus

o.

).

0

mdm

tot een l.o. basis voor

])eze kunnen we R

)

(st. -14"

In ·::'ln~

Nu vormen

_,.

-.._..

s~

.._.."1 d s

"

-

~

a'~

en e' s- samen een lzo. _basis vocr R 9 de .._.. vormen een l.o. ba.sis voor R' 9 de a's en d's vormen een

_,.

a' sy c'

~

en c's

basis voor R 11

§ 7.

-L-

•

Tie rang van een matrix.

In Reo:fdstuk I hebben we de rang van een als het grootste getal

r

(m x n) --matrix gedefinicord (r x :r) -

mel. de eigenschap dat de matrix een'

f

onderdeterminant bevat met waarde

0.

Er is echter een veel ee:hvcu"liP's:r

definitie mogelijk, die meestal gemakkelijker toepasbaar is.

De equi-

valentie met de oude definitie zal in st. 16 worden aangetoond. Elke kolom van een

(m

x n)- matrix is een

representeert dus een vector in R

ill

lineaire deelruimte--van Stelling 16 o

R n

m- vector.

Elke kolom

De door daze vectoren opgespannen

noemen WE; kortweg de kolo!Jlmenruimte.

De rang van een matrix is· de dimensie van de kolommen-

.~----------

ruimte.

~~!~J~·

Als de matrix slechts uit nullen bestaat is de rang nul 9

evenals de genoemde dimensie.

Dat geval kan dus verder puitE;n beschouwing

blijven. Laat r p

>s

0

de rang zijn 9 en s /

:Beschouwen we p

de dimensie van de kolommenruimte.

kolommen, dan is een ervan een lineaire corrL Lb. tie

van de overige (st. 11).

Daaruit volgt 9 dater ge~n van nul versc:i-:;nde

(p x p) - onderdeterminant ui t deze kolommen kan worden gehaald.

Dus :r

is in de gehele matrix geen van nul verschillende onderdeterminant te vinden waarvan de afmetingen grater dan

s

X

s

zijn.

])us

r

-'> dezelfde als de ru.imte opgespannen door ai, • (li)

weer een o:plossing is 1 en verder dat

.o•;:P

9

elke o:plossing zo kan worden verkregen.

Want als

een o:p-

CIOD!J("1)

'in

lossing is, dan is

het verschil van beide leden is nl. een o:plossing waarbij -?

hetgeen wegens de lineaire onafhankelijkheid van da t ook

De

x

=

o

o

=x =0

o

~(r+1) p ,

•

r o o

o

oo9

=

o

o

•

= ,X

= 0 ;

r+1 n ar im.:pliceert,

o

-(n)

vormen dus een basis voor de oplossingsruimte.

p

7

a , 1

X

-?

Daar ze lineair ~onafhankelijk zijn, vinden we 9 dat de dimensie

n- r

be- ·

draagto ~!~~~~-£~~~j~·

§ 2 verandert

Bij het reductie:proces van Hoofdstuk I,

de rang van de matrix van het stelsel niet, en ook de oplossingsruimto 'blijft dezelfde.

We kunnen ons dus 'be:perken tot een gereduceerd homogc·en

stelsel, hetgeen (na omnummering van de onbekenden)kan worden geschrevon als x1 +

Daar de eerste k is

0

0

1, k+1

X

+

k+1

+ a1n + a2n

2,k+1 xk+1 +

.

0

0

0

0

0

0

+ al lr'., xk+1 + (9J:\.T I

0

0

•

0

•

0

.

+ akn

X

n

X

n

0

9

0

0

0

X

n

0

0

kolommen een basis voor de kolommenruimte zijn,

k=ro Als we een stel waarden voor

xk+

o o o 9 xn kiezen, zijn daarbij 19 x 9 • op precies eon manier z6 te bepalen 9 dat (x , .. o 9 xn) 8en 9 xk 1 1 oplossing wordt (vgl. Hfdst. I ~ 2 9 st. 10). Evenals 'bij het eerste bo-

o.

v:ijr:c 'irerkrijgt men nu een uit

de

n-r

voctoren bestaande loo. basis voor

u~:;lossingsruimte.

~!~~~~~~-~~

deolruimte van

Zij

o

R

n

0

heet lineair als voor alle

a

~--·~--~·---~-

-l

en

b

geldt

f(~ +b)

f(~) + f(b)

=

(In het bijzonder geldt dan 11

zegt men vaak

1°.

Zij 0)

platte vlak (vast punt

3"

aan elke

g

-f.·

a

-?

OB

voegen we in 0

AOB = 90

3 • door 0.

voegen we

3a

voegen we

OB

Afoeelding is

g ~

Il o w o z • a an

~

a "" 0 A

een gelijkbenige driehoek is met tophaek

.

R = R 1 = platte vlako

trekken we een rechte

In R

"orthogonale projectie op

g

r "•

r

Il.w.z. aan

toe 9 waarbij

B het voetpun t i;:J van de loodlijn ui t

r.

4°. Ymarbij

R = R 1 = platte vlako

"spiegeling t.ooVo

cling is

B

z6 ligt, da t

r

r

11,

Rechte -'>

D.w.z. aan

door 0.

Afb'·e·;__

voegen we toe

OA

de middellillodlijn van

r

AB

- ->

OB

is (ligt A op r

9

B =A) o

5° o

Beschouw in de ruimte twee vlakken

Laat R bestaan ui t de vectoren in V Afbeelding is;

_.

OB

Ileze afbeelding is linea.i r.

toe.

R = R' =platte vlako

OAB

1

.......)

a= OA

dan

0

Afbeelding is

--}!>

A op

Onze afoeelding is nvergroting --)

90° 11 (bij afgesproken draaiingszin).

0

~

R 1 = R.

9

toe, z6 dat

L

met

9

R de verzameling van alle vectoren in het

Weer

2°.

"draailng over

=

f( ~ 1) ~-f(1) O)o Lp.v. "lineaire afbeeldirc"

lineaire transformatie.!'.

~~~E~~~~~~l2-· factor

f(O)

9

lJ

(x_,, ••• , ,xn)

1

R = R, R = R • Kies een n m Deze legt een afbeelding vast g

voegen we toe de vector

0 o

OA

in Y

---.:-it

A 'p

(m xn)-matrix me": aan de vector

(y 19 o o., ym)

+ ooo + a

door

ui t de vectoren in W.

B het voetpunt is van de loodlijn ui t

6°o a .. o

R1

"orthogonale projectie op W ", d.w •.z. aan

toegevoegd, waarbij

elementen

5

en W

V

met

x

1n n

y =a x + oo• +a x · m m1 1 mnn 2E~~E~~~~o IoEen v~~c~~~vi,ng in het platte vlak is geen lineaire

t:ransformatie ( want daarbij gaat

...;,)

0

.

-l·

niet in 0

over).

Het verband tl1.ssen

coordinaten van oude en nicuwe vector wordt daar wel door lineaire fo:r·oules gegeven, maar die zijn niet ~1omogeen. l:icr~c,aiTe

. Zij

~1

t, -;

.transformatie" i.p.v. f

Daarom zegt men soms 'ihomoge···:

nlineaire transformatie" •

lineair. Bestaat er een lineaire- betrekking tussen biJv,

in R; dan bestaat de overeenkomstige betrekking tussen

f(~), f(b), f(C') • Eet omgekc9rd.e is echter niet al tijd waar. I

Zij

f

f(S:)

alle vectore.n cl:flB op ten minste ~~n marrier als schreven, is c.te verzan.eling van alle Stelling i

-----:---·--·-

~ern

De

_, a ER

f (;:)

met

kunnen worden rre-· '·~

van de transformatie

~

0 ( dus

=

I ~ E R en f (S:) 0 ) ) . c-o

Bij een lineaire afbeelding van R in R 1

0

kern lineaire d.eelruimtEcn van p_:

rf",SJ)o

R

~

Het 'cr;eJ:l

•

f' ) is de verzameling vnn

heJc beeld van R 'oij

transformatie (of

va:n. d.e

R1

een lineaire afoeelding van R in

zi jn 'oeeld. ·

en de som van hun dimens.;_-

is de dimensi e van R , ·.?

en

_,

o

Als

liggen~

in het 'oecJ.cl

cl

en

"-"

is

bER

f (

dan zijn er vectoren

;~.S: +

laatstgenoemd.e vector l~Lgt weer in he i:; beeldo -'>

fl · 0 = 0 ,

A.a.+

dus

Geef d.e ditnensies van R ._....')

.....

B

9

en

K

.;__)

c , • o o, en

voor R

1

_l.,_

0

c:rva:n.

zijn 9 worcH

9

respo met

_.,. d ->

Dus

d

->

c

ct

zo

dat . f(c

der