L'indagine del mondo fisico [PDF]

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G. TORALDO DI FRANCIA

L'INDAGINE DEL MONDO FISICO

EINAUDI

Negli ultimi anni Giuliano Toraldo di Francia ha sempre piu accentuato il suo interesse per i problemi filosofici della scienza e per la critica dei fondamenti. Vindagine del mondo fisico rappresenta in un certo senso la sintesi di queste ri­ cerche. Convinto che l'epistemologia sia inscindibile dalla scienza concreta alla quale si riferisce, l'autore ha usato una formula nuova. Espone i principi della scienza fisica intrecciando continuamen­ te con essi la riflessione critica e filoso­ fica. I problemi epistemologici vengono via via introdotti e discussi contestual­ mente con la scienza che li genera. Alcu­ ni fondamentali, come quelli della validi­ tà delle teorie, dell'infe.renza induttiva, della spiegazione causale, della�probabili­ tà, del ruolo dell'osservatore, della realtà degli oggetti fisici, vengono affrontati e ripresi piu volte, a mano a mano che le conoscenze fisiche si allargano e si appro­ fondiscono. In un primo capitolo introduttivo vie­ ne presentato il metodo della fisica, quale si è sviluppato da Galileo in poi. Il secon­ do capitolo tratta la fisica classica dei fe­ nomeni reversibili, dalla meccanica new­ toniana all'elettromagnetismo alla relati­ vità. I fenomeni irreversibili, dalla ter­ modinamica classica alla meccanica stati­ stica vengono affrontati nel terzo capito­ lo, con particolare riguardo al problema fisico e filosofico del tempo. Il quarto ca­ pitolo contiene la microfisica, dai modelli classici dell'atomo, alla meccanica quan­ tistica, ai nuclei, alle particelle. Viene so­ prattutto approfondito il problema dei

fondamenti della meccanica quantistica e della loro critica. Il quinto capitolo infine dà un'esposizione sintetica della moder­ na cosmologia. Il volume contiene un'estesa biblio­ grafia relativa alle moderne speculazioni di filosofia e storia della scienza. Il livel­ lo non è strettamente elementare, ma il testo è perfettamente affrontabile da chiunque abbia le nozioni scientifiche delle scuole medie superiori. L'autore ha posto particolare cura nello spiegare nel modo piu chiaro tutto ciò che andrebbe anche di poco al di là.

Giuliano Toraldo di Francia è Professore Ordìnario di Fisica Superiore all'Università di Firenze e Direttore dell'Istituto di Ricerca sul­ le Onde Elettromagnetiche del Consiglio Na­ zionale delle Ricerche. È membro del Consiglio Superiore della Pubblica Istruzione. Dal I967 è stato Presidente della Società Italiana di Fi­ sica e attualmente è Vice Presidente della So­ cietà Italiana di Logica e Filosofia della Scienza. Ha al suo attivo piu di un centinaio di lavori in diversi campi della fisica, che vanno dall'ottica all'elettronica quantistica, alle onde elettroma­ gnetiche, alla critica dei fondamenti. È autore di un trattato sulle Onde elettromagnetiche (Zanichelli, I956) e di un trattato sulla Diffra­ zione della luce (Boringhieri, I958). Presso Ei­ naudi ha pubblicato anche, nel I978, Il rifiuto, considerazioni semiserie di un fisico sul mondo di oggi e di domani. Gli è stata conferita la me­ daglia Thomas Young dalla Physical Society Britannica e la medaglia C.E.K. Mees dall'Opti­ cal Society of America.

In sopraçoperta una fotografia di Elsa Garmire.

Una limpida riflessione critica e filosofica sui principi della scienza fisica, da Galileo a oggi: la meccanica newtoniana, l'elettromagnetismo, la relatività, la termodinamica classi­ ca, la meccanica statistica, il problema del tempo, la micro­ fisica, la moderna cosmologia.

NUOVA BIBLIOTECA SCIENTIFICA EINAUDI 53.

G. Toraldo di Francia

L'INDAGINE DEL MONDO FISICO

Giulio Einaudi editore

Copyright© 197 6 Giulio Einaudi editore s.p.a., Torino

Seconda edizione riveduta

Indice

p. XI

Prefazione

XUI

Prefazione alla seconda edizione r.

Il metodo della fisiea

ll

2.

15

3.

23 28

4. 5.

33

6.

37 42

7.

l.

3

8. 9.

44 48

lO.

55 61

Il. 12 .

68 74

13 . 14 .

78

15 .

n.

83 85 90 94 98 103 107 110 114 119 123 127 131 l :�4 139 146

Introduzione Che cos'è la fisica Fondamenti del metodo Valore del metodo Definizione operativa Il linguaggio della fisica Osservabili o costrutti teorici? Quante sono le grandezze fisiche! Precisione delle misure Limiti di validità delle leggi fisiche Schema generale del procedimento della fisica classica Le funzioni matematiche usate in fisica Le unità di misura Dimensioni delle grandezze fisiche Teorie, ipotesi, modelli

La fisiea del reven;ibile l.

Divisioni della fisica classica La velocità e l'accelerazione ;�. Moti curvilinei 4. Leggi della dinamica 5. Lavoro ed energia 6. Gl'invarianti 7. L'azione a distanza 8. Esistono le cariche magnetiche 'l 9. Il concetto di campo 10 . L 'elettromagnetismo l l. E quazioni di Maxwell 12 . Le onde eiettromagnetiche 13 . Po1arizzazione dei mezzi materia] i 14 . Riflessione, rifrazione, dispersione 15 . Lenti e immagini 16 . Teoria fisica della visione

2.

Indi eu p.

1 52 155

17 . Come vediamo realmente: l H. Interferenza e diffrazione

160

19. La relatività galileiana

165

:W. 21. 22 . 23 . 24. 25 . 26 .

169 176 17H

1 H:l 190

La relatività eii1Htei11iana

Contrazione di luughezze e d ilat azion e eli tempi La trasformazione di Lorentz

Velocità limite, passato, futuro Invarianza delle h•ggi ch•lla fisica La gravitazione

La relati,·ità generaiP 27. Conseguenze della rlatività ge11erale 28 . Le teorie fisiche 29 . Ricchezza del rapporto uomo-11at nra

19:1 197 202 208

Il!.

J,a fi�iea dl'll'inPn'r:>ibik

22H

l. 2. 3. 4.

231

5.

23.5 240 247

6. 7. H.

252

9.

221 223 225

Reversibilità e irreversibilità Temperatura P calorP Gas perfetti Calore, lavoro ed c•nergia interua

Calori specifici e trasformazio11i dei gas Recondo pri11cipio rlella termodinamiea

La non liuearit.à cl ello sviluppo dc•lla tc·nnocl i JJHJJtica c•lassica L'entropia

La teoria cinetica 10. La probab i l ità

Il. L ,informazio11e 12 . Informazione e probabilità 13 . Trasmissione dell'iu formazionc

259 269 274 279

14. Mact·ostati e mierostati 15 . L'irreversibilità statistica 16 . Il tempo ha una fr. Ma rendiamoci conto che era difficile per Galileo nel seicento esprimersi nel modo opposto, anche se non fosse stato del tutto convinto che la natura avesse davvero una sua lingua indipendente dall' osservatore. Io sarei d'accordo con Gey­ monat, quando dice che ( 2> (( il richiamo alla matematica resta per lui un canone metodologico ; la giustificazione di questo canone non lo interessa ed è quindi lasciata nel lontano sfondo del dibattito. Voler leggere nel Saggiatore qualcosa di piu, volervi vedere un rinvio a un platonismo matematico, rischia di farci travisare il nucleo piu vivo dell'opera >> . Ma comunque stiano le cose, cioè qualunque sia stata la metafisica di Galileo, mi sembra che la migliore giustificazione che oggi si possa dare del canone metodologico sia quella già detta : nella sterminata multiformità delle parole che la natura pronuncia l'os­ servatore sceglie quelle che sa intendere. Siamo cosi arrivati naturalmente a un altro aspetto essenziale del metodo della fisica, che deriva direttamente dall'insegnamento galileiano. Si tratta precisamente della formulazione delle domande sotto forma quantitativa. Il fisico deve in sostanza riuscire a far cor­ rispondere ai fenomeni e alle grandezze naturali dei numeri. Si intro­ duce cosi il concetto di misura. Vorrei notare, a questo riguardo, che oggi noi, a causa di un'edu­ cazione plurisecolare, possiamo anche vedere estremamente natu­ rale il fatto che le domande debbano essere poste in forma quanti­ tativa, ma è certo che nel seicento questo rappresentò un salto enorme, di grandissima importanza. Dice giustamente Koyré : (( È curioso : duemila anni prima Pita­ gora aveva proclamato che il numero è l'essenza stessa delle cose, e la Bibbia aveva insegnato che Dio aveva fondato il mondo sopra "il numero, il peso, la misura" . Tutti l'hanno ripetuto, nessuno l'ha creduto. Per lo meno, nessuno fino a Galileo l'ha preso sul serio. Nessuno ha mai tentato di determinare questi numeri, questi pesi, queste misure. Nessuno si è provato a contare, a pesare, a misurare. O piu esattamente, nessuno ha mai cercato di superare l 'uso pratico ll ) . Vedi per es. : A . c. CROMB IE, Da S. Agostino a Galileo, Feltrinell i , Milano 1 9 70, pp. 333-34 ; C. F. VON WEIZSA CKER, Die Einheit der Natur, Hanser, Miinchen 1 9 7 1 , p. 1 1 3 . 12 > L. OEYMONAT , Galileo Galilei, Einaudi, Torino 1 957, p. 1 3 7 .

3.

F ondamenti del metodo

21

del numero, del peso, della misura nell'imprecisione della vita quo­ tidiana - contare i mesi e le bestie, misurare le distanze e i campi, pesare l'oro e il grano - per farne un elemento del sapere preciso » < 1>. A questo proposito si potrebbe confrontare l'opera di Galileo con quella di Francesco Bacone. Probabilmente la ragione principale che impedi a questo pensatore di divenire il fondatore della scienza empirica moderna fu la sua totale incomprensione del ruolo che in essa deve avere la matematica. Si potrebbe osservare come l'affermazione di dover far corrispon­ dere dei numeri alle grandezze naturali non rappresenti fedelmente il pensiero di Galileo. Infatti egli parla piuttosto di >, anziché di numeri. Ma si noti che (per l'appunto proprio a quei tempi) Descartes metteva la geometria sotto forma quantitativa, scoprendo la geometria analitica. Se Gali­ leo avesse fatto uso del metodo della geometria analitica, avrebbe potuto parlare di equazioni algebriche al posto dei cerchi, linee e triangoli. Riportare le cose alla forma geometrica significava ripor­ tarle, sia pure implicitamente, all'aspetto quantitativo, o perlomeno a un aspetto che era riconducibile immediatamente alla forma quan­ titativa. Nel corso dei secoli successivi, e specialmente nel nostro, l'esclu­ sività dell'aspetto quantìtativo nella fisica si è un po' attenuata e i concetti si sono evoluti. Ma attenti a non cadere in un curioso equi­ voco nel quale cadono alcuni, affermando che la concezione gali­ leiana dell'universo è stata abbandonata o deve essere abbandonata. Secondo me, le cose stanno in questi termini. La fisica si è allonta­

nata dallo stretto qnantitativismo, esattamente nella ·rnisum in cui la stessa ·rnaternatica ha cessato di essere puramente lo studio della quan­ tità . Ma la matematica non ha mai cessato e non cessa tuttora di essere la base irrinunciabile del metodo della fisica < 2>. Inoltre va (l l A . KOYRÉ, Dal mondo del pressappoco all"w,ive!'80 della precis,ione, Einaud i , 'forino 1 967, p . 97. Vedi anche A . c . CRO M B I J, 52, pt. 2, 1 43 ( 1 9 6 1 ) . < 2 l Come dice Bunge: , almeno i l concetto di insieme apparirà nell'enunciato d i qualsiasi legge, cosicché in fondo non v i sono leggi n o n matemati!'he •> (M. B l'NOE, SC'ientifìc Research, I, Springer, Berlin 1 967, p. :�4:� ) .

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1.

I l metodo della fisica

osservato che, se è vero che, specialmente oggi, vi è nella fisica ben di piu che puri numeri e relazioni fra di essi (per esempio simmetrie) è pure vero che per arrivare a ideare o scoprire, per studiare o veri­ ficare questo di piu, bisogna sempre passare attraverso alle misure e ai numeri. Punto centrale di questo secondo aspetto del metodo è quindi la corrispondenza fra i numeri da una parte e le grandezze o i feno­ meni naturali dall'altra. Tale corrispondenza si realizza in pratica mediante la misura o misurazione 0). Come si effettua una misura ? Riservandoci di tornare fra breve sul concetto di misura, prendiamo il caso pin semplice : la misura di una lunghezza. Per prima cosa si deve istituire l'unità di misura. Per far questo si sceglie un regolo materiale e si conviene che rap­ presenti l'unità di lunghezza. Dopo di che, con un noto metodo ele­ mentare, si riporta questo regolo sull'oggetto di cui si vuoi misurare la lunghezza e si registra il numero di volte intere e frazionarie che il regolo entra nella dimensione considerata. Supponendo che questo concetto sia chiaro ed inequivoco (vedremo in seguito che non lo è del tutto) , il numero che cosi si ottiene rappresenta la misura o il valore della lunghezza di quel dato oggetto. Il fatto importante che caratterizza la fisica è che le relazioni che intercorrono tra le grandezze naturali possono essere ricondotte a relazioni tra i numeri che rappresentano le loro misure. Uno po­ trebbe credere che si tratti semplicemente di una maniera di carat­ terizzare gli oggetti : un certo oggetto pesa tanto, è lungo tanto, dura tanto, e cosi via. Ma la grande scoperta consiste invece nell'aver tro­ vato che tra questi numeri vi sono delle relazioni aritmetiche, o in genere matematiche, costanti in un senso che chiariremo al pa­ ragrafo seguente e al cap. rv, § 21. Se nell'esempio del grave che ( l ) Per un'esposizione dei criteri formali, a cui deve soddisfare questa corrispon­ denza per poter essere assunta a misura, vedi per esempio : R. CARNAP, I fondamenti filosofici della fisica, Il S aggiatore, Milano 1 9 7 1 , capp. VI-IX ; c. G. HEMPEL, La forma­ zione dei concetti e delle teorie nella scienza empirica, Feltrinelli, Milano 1 970, pp. 79 sgg. ; M. BU�GE, Scientific Research, I I , Springer, New York 1 967, p. 194. Noi non avremo bisogno di queste considerazioni , che del resto sono abbastanza intuitive, e pertanto ci esimeremo dal presentarle.

4.

Valore del metodo

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cade liberamente si segnano da una parte gli spazi percorsi (misu­ rati con una certa unità di lunghezza) e dall'altra i tempi impiegati a percorrerli (anche essi misurati con una data unità di tempo) , ci si accorge che i numeri che esprimono le misure degli spazi percorsi risultano proporzionali ai quadrati dei numeri che rappresentano le corrispondenti misure dei tempi. Dire che lo spazio è proporzio­ nale al quadrato del tempo è dunque maniera abbreviata per signi­ ficare che i numeri di un certo insieme (le misure degli spazi) sono proporzionali ai quadrati dei numeri di un altro insieme (le misure dei tempi corrispondenti) . Del metodo di Galileo abbiamo cosi messo in chiaro i due aspetti piu salienti : l ) la formulazione delle domande in forma semplice, con i soli parametri veramente essenziali, e 2 ) la formulazione quan­ titativa, avendo per risultato dei numeri che possono essere messi in relazione matematica fra loro. In realtà vedremo (al § 10 di que­ sto capitolo ) che nel metodo della fisica di oggi c'è qualcosa di piu di questo ; qualcosa, che Galileo aveva forse intuito, ma senza attri­ buirgli tutta l'importanza che ha.

4. Valore del metodo. Parliamo adesso di una caratteristica essenziale del metodo che abbiamo esposto. Si tratta del suo indiscutibilmente ottimo funzio­

namento. Al metodo di Galileo possono essere rivolte e sono state rivolte molte obiezioni : esso potrebbe non avere autentico valore gnoseo­ logico e non avvicinarci all'intima ragione delle cose. Ogni fisico può essere pronto ad accettare, entro certi limiti, simili osservazioni ; l l> Che i numeri di un insieme siano proporzionali a quelli di un altro significa che i secondi si ottengono moltiplicando ordinatamente i primi per uno stesso numero, detto costante di proporzionalità. l2 > Che si possa fare a meno della misura, scrivendo semplicemente una propor· zione come, per es. : s2 fs 1 = t�fti è un'illusione. Ciò equivale infatti a prendere per unità d i misura rispettivamente s1 e t 1 .

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I.

Il metodo della fisica

purchè non si intenda dedurne conseguenze assurde, come quella che il metodo sia privo di qualsiasi valore. Il fatto strabiliante è che, per la prima volta dopo la scoperta della matematica, è stato introdotto un metodo i cui risultati hanno valore intersoggettivo ! Si potrà discutere (e si è discusso) quanto si vuole sul valore del consenso nelle teorie scientifiche. Ma sta il fatto che dopo Galileo nessun uomo sensato che abbia voluto rendersi conto spassionatamente delle esperienze, può essere disposto ad ammettere che (dentro i limiti di cui parleremo ) un corpo che cade liberamente non percorra spazi proporzionali ai quadrati dei tempi. La principale ragione per cui questa intersoggettività è stata spesso misconosciuta è che si è creduto che la fisica potesse o volesse risolvere un gran numero di problemi che, invece, non può risolvere, perchè escono dal suo campo Ol. I problemi che col metodo della fisica si possono risolvere sono di una categoria molto ben delimi­ tata, che andremo sempre meglio definendo nel seguito . Uno è libero di pensare che i risultati ottenuti siano di tipo molto modesto. Ma in compenso deve prendere atto che sono risultati sicuri. E questo non è poco, specialmente quando si pensi che altre discipline che affrontano problemi apparentemente piu profondi e fondamentali sono ben lungi dal raggiungere l'intersoggettività. La fisica è in grado di prevedere con certezza che a certi fenome­ ni, caratterizzati da certi numeri, sono connessi certi altri fenomeni, caratterizzati da certi altri numeri. Ma che cos'è questa certezza � No n è la certezza apodittica in senso aristotelico-kantiano, cioè quella che ha il carattere di necessità logica o meglio di necessità a priori. N on vi sono proposizioni apodittiche in fisica e non vi pos­ sono essere. Si tratta naturalmente del vetusto problema del valore dell'indu­ zione. Il dubbio espresso tante volte, e in particolare, in forma

(l> A volte, con molta leggerezza, si accusano i fisici di non aver interesse per tali problemi. Si tratta di un equivoco. Per esempio, supponiamo che un tale, preoccu­ pato della crisi economica, si rechi da un medico, nelle ore di visita, dalle 14 alle 16, e gli esponga il suo problema. Se il medico lo congederà bruscamente, non potrà dire che i medici non s' interessano di problemi economici. Dovrà solo riconoscere che se la scienza medica può guarire le crisi di fegato, non può sanare le crisi economiche.

4.

Valore del metodo

25

ehiarissima, da Hume, è assolutamente ineliminabile. Il fatto che il sole sia sorto la mattina cento, mille volte non dà affatto la cer­ tezza apodittica che sorga anche domani. Nulla da eccepire. Eppure nessuno si alza presto la mattina per soddisfare la curiosità di vedere se sorge il sole. Perché"? Già Hume aveva notato che si può giustificare il procedimento induttivo ricorrendo al postulato dell'uniformità della natura. Ma il concetto è piuttosto vago e merita di essere analizzato a fondo. Inoltre la fisica stessa ci ha insegnato che troppe volte si sono fatte rientrare nell'esigenza dell'uniformità della natura proposizioni che i fatti hanno dimostrato false. Dovremo tornare (cap. rv, § 2 1 ) e soffermarci a lungo sul pro­ blema generale del processo induttivo. Qui ci limiteremo a enun­ ciare una forma ristretta di postulato di uniformità della natura, che è alla base di tutta la fisica. Si tratta dell'invarianza spazio-temporale . In parole semplici si può enunciare il postulato dell'invarianza spazio-temporale cosi :

I fenomeni fisici si svolgono in un dato luogo a una data epoca esattamente come, a parità di condizioni, si svolgerebbero in qualsiasi altro luogo e in qualsiasi altra epoca . L'importanza di questo postulato va ben al di là della fisica in senso stretto . Esso è una condizione necessaria affinché possiamo vivere. Infatti quando io cammino, parlo, mangio, devo fidarmi che la natura fisica ( compreso il mio corpo) si comporti oggi in questo luogo come si è comportata in passato in altri luoghi. A dire il vero, per la vita di tutti i giorni è solo necessario che sia rispettato il postulato in un intorno spazio-temporale limitato attorno a noi. L'estensione a tutto l'universo è una generalizzazione scientifica dovuta a Galileo. Quest'ultimo ebbe addirittura gravi difficoltà a convincere alcuni studiosi del suo tempo del fatto che le leggi fisiche sono le stesse sugli astri come sulla Terra. Quello che è importante notare è che il postulato dell'invarianza spazio-temporale, unito al precetto galileiano di far dipendere i feno­ meni da pochi parametri essenziali e controllabili, ha portato in fisica addirittura al superamento del procedimento classico dell'in­ duzione. Basta studiare correttamente come cade un solo sasso per

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1.

Il metodo della fisica

dedurne come cadono e cadranno tutti i sassi (I l . È queRto un aspetto della fisica che molti ancora ignorano. La fisica non adopra affatto il tradizionale procedimento induttivo . I suoi esperimenti sono sostanzialmente unici. Quando si ripete piu volte un certo esperi­ mento è solo per migliorare la precisione o per fare una statistica, non per controllare l'ormai scontatissima uniformità della natura. Abbiamo parlato di postulato. Che valore possiamo dare ad esso da un punto di vista epistemologico � Uno potrebbe essere tentato di dire che la validità del postulato è dimostrata dal fatto che tutti i fenomeni fisici osservati l'hanno sempre rispettato. Ma, ahimè, ciò equivarrebbe a giustificare il pro­ cedimento induttivo con un ragionamento induttivo ! Si riaffacce­ rebbe minaccioso lo spettro di Hume. Sembra piuttosto che si possa parlare di una struttura della nostra mente. Probabilmente non si tratta dell'a priori kantiano, con i suoi caratteri di necessità ed immutabilità. Si tratta piuttosto di una di quelle strutture, che secondo l'epistemologia genetica ( 2 > si formano e si sviluppano nel fanciullo al contatto con la realtà, sulla quale egli opera. A questo proposito mi sembra che si possa consentire con quanto giustamente osserva Popper (a) : >. L'interpretazione soggettivistica dell'invarianza spazio-tempo­ rale potrebbe essere avvalorata dal fatto che tutte le volte che qual­ cuno ha visto o creduto di vedere resuscitare un morto non ha affatto pensato a una non uniformità della natura, ma a un miracolo, cioè a un intervento extranaturale ! D'altra parte l'interpretazione oggettivistica è possibile anch'essa per il fatto che i miracoli non (l) Veramente ciò avviene nella fisica a misura d'uomo e superiore. Nella micro. fisica le cose cambiano notevolmente. È per questo che non siamo ancora in grado di discutere a fondo il procedimento induttivo. Lo faremo quando avremo a disposi­ zione tutte le conoscenze fisiche necessarie. J. PIAGET, Introduction à l'épistémologie génétique, Presses Univ. , Paris 1 950. (S) K . POPPER, Conoscenza oggettiva, Armando, Roma 1 9 75, p. 45.

4.

Valore del metodo

27

twvengono correntemente e che nessun miracolo è stato mai docu­ mentato in modo tale da convincere tutte le persone di buon senso. In altre parole è lecito supporre che il nostro postulato soggettivo sia basato su un reale comportamento oggettivo della natura. Ma non potremo mai provarlo. Comunque stiano le cose, non posso terminare senza esprimere la mia opinione che, per questo riguardo, le leggi della logica e del­ la matematica non siano affatto privilegiate rispetto a quelle della thìica. Per dire che 2 + 2 4 io devo interrogare me stesso e fare un'esperienza interna ( lJ, sia pure abbastanza rapida. Fino ad oggi tutte le volte che ho fatto questa esperienza ho avuto la medesima risposta. E so che lo stesso è avvenuto ai miei simili. Ma chi mi può aRsicurare che domani, facendo la stessa esperienza interna, non tro­ veremo tutti una risposta diversa da quella di oggi� Chi mi dà la e(lrtezza che l'uomo, approdando su Marte, non cominci a pensare ehe sia 2 + 2 5 � Nessuno può darmi questa certezza. Si tratta sol­ tanto di una fede e di un conseguente postulato. In altre parole l'asserire che le proposizioni della matematica so­ no analitiche, cioè il dire con Leibniz che sono vere « in tutti i mondi possibili >> non ci aiuta, perché fra i mondi possibili ci dovrebbero essere, a rigore, anche quelli in cui l'uomo pensa diversamente =

=

(z>.

( t l Questo naturalmente al livello dell'aritmetica intuitiva. In una teoria forma­ lizzata (che, fra l'altro, potrebbe essere anche tale da ammettere 2 + 2 ,P 4) il pro­ blema si sposta dal livello dei contenuti al cosiddetto l ivello sintattico, ma rimane Hostanzialmente lo stesso. L 'esperienza non riguarda piu la teoria ma la metateoria eioè quel contesto nel quale la teoria stessa costituisce l' oggetto di studio . Per esempio, per convincermi che il sistema formale adottato non è contraddittorio, devo fare una esperienza. E che il risultato di essa sia sempre lo stesso mi è garantito soltanto dal postulato dell'invarianza della ragione umana. P. W. Bridgman si spinge piu in là e afferma addirittura > (P. w. BRIDGMAN, La critica operazionale della scienza, Boringhieri, Torino 1969, p. 149).

30

I.

Il metodo della fisica

viscerale di cui molti altri lo hanno fatto oggetto, appigliandosi a tutta una serie di equivoci per criticarlo. Per trattare adeguatamente l'argomento sarebbe necessaria una lunga discussione e mi limiterò a chiarire qualche punto. Prima di tutto cominciamo col dire che non si pretende affatto di bandire tutti i concetti intuitivi di lunghezza, tempo, ecc. ; ci si deve limitare ad osservare che la lunghezza, il tempo ecc. diventano grandezze fisiche soltanto quando si sia indicato come misurarle. Io ho indubbiamente anche un concetto di bellezza e ne posso parlare ; ma la bellezza non è una grandezza fisica, perchè non so misurarla. In secondo luogo si tenga presente che difficoltà e grossi equivoci possono nascere quando, come spesso s i fa, non ci si limiti alle gran­ dezze fisiche ma si affermi che tutti i concetti della fisica o addirittura della scienza, debbano essere definiti in termini operativi. Che cosa sono i concetti fisici� A volte si adopera il termine per designare certi tipi di oggetti generali della fisica, come corpo solido o liquido. Non v'è dubbio che questi possano essere definiti, ove lo s i voglia, mediante i valori di certe grandezze misurate su di essi ( elasticità entro certi limiti, viscosità entro certi limiti ecc. ) . Ma sta il fatto che queste definizioni, a differenza di quelle delle grandezze fisiche, hanno scarsissima importanza. Ed è per questo che nessuno si commuove per il fatto che il vetro possa essere classificato fra i solidi o fra i liquidi, a seconda di come suoni la definizione. Natu­ ralmente le cose diventano piu difficili quando l'oggetto è un atomo, un nucleo, un fotone. Questo argomento sarà approfondito in se­ guito ( cap. IV, § 1 ) . A volte c i si è riferiti a certe proprietà che, a prima vista, pos­ sono sembrare puramente qualitative, come quando si dice : Questo oggetto è verde. �fa tali proprietà possono benissimo specificarsi mediante misure. Invece di dire che un oggetto è verde, si potrebbe benissimo dire che il suo coefficiente di riflessione ( numero , risultato di una misura) ha un certo andamento al variare della lunghezza d'onda della luce ( l)_ I l) Veramente, poiché qui s i tratta dell'impressione soggettiva di colore, bisogna dire che le coordinate tricromatiche della luce che viene dall'oggetto sono comprese

5.

D efinizione operativa

31

Se non l o s i f a di solito è perché non n e vale l a pena ( 1>. A volte infine si è generata una disperata confusione applicando il termine concetto fisico ad enti matematici che si adoprano nella fisica teorica, per esempio alla cosiddetta hamiltoniana o al vettore di stato, di cui parleremo a proposito della meccanica quantistica (cap. IV). Il vettore di stato non è una grandezza fisica (per carità) e non si può misurare. È, a seconda del contesto, un vettore nello spazio hilbertiano o una funzione di alcune variabili, cioè un ente matematico e fa parte dell' algoritmo della meccanica quantistica di cui parleremo a suo tempo. I numeri si adoperano per fare i calcoli anche in fisica. Ma a chi verrebbe in mente di dire che i numeri sono concetti fisici� Quanto alla pretesa di definire operativamente addirittura tutti i concetti della scienza in generale, essa è certamente eccessiva ed è abbastanza facile il criticarla. Come si può definire operativamente l'homo sapiens o una crisi economica ? Ma torniamo alle grandezze fisiche. Un'obiezione che viene spesso sollevata a proposito della defini­ zione operativa delle grandezze fisiche concerne quelle grandezze che vengono ordinariamente misurate misurandone altre e poi fa­ cendo delle operazioni matematiche sulle misure ottenute. Queste operazioni con carta e matita fanno parte anch'esse delle operazioni che danno il nome e il senso al metodo operativo � Ad alcuni questa conclusione non sembra accettabile. Di solito ci si cava d'impaccio distinguendo fra grandezze fisiche primarie e grandezze fisiche seconontro certi limiti. È un dettaglio tecnico che aggiungiamo per la precisione. Ma qui non ha importanza. (l) Si tratta in sostanza di linguaggio. Come dice Carnap : : sia piu ricco di quello defi­ nito operativamente è ovvio . È piu ricco, ma anche molto piu nebuloso ! Il fatto che un'esplicazione valga soltanto relativamente a un dato contesto aiuta a comprendere come, anche al di dentro della Htessa fisica, si possano cambiare le esplicazioni e quindi i concetti via via che cambiano le teorie ( 1>. Nessuna meraviglia quindi che il > di Newton non sia esattamente la stessa cosa che il > di Einstein. Una distinzione importante che non tutti coloro che lavorano uanclum e di explanans (vedi per es. M. BUNGE, Scientific Research, II, Springer, New York 1967, p. 3). Non mi occuperò di quest'ultima forma di spiegazione ; ritengo ehe non abbia un importante contenuto epistemologico, almeno da quando è stato riconosciuto che, a differenza da quanto avveniva in un non lontano passato : corrisponde come estensione il singolo indi­ viduo Sole. Anzi un'intensione perfettamente ammissibile può avere addirittura estensione vuota. Per esempio l'intensione > ha oggi estensione vuota. Si possono creare quante intensioni si vuole ; basta che siano con­ cetti non contraddittori (rispetto alle leggi della logica e a quelle note della fisica) . Ma spesso è tutt'altro che facile accertare le rispet­ tive estensioni. Fra l'altro per accertare un'estensione è necessario quasi sempre ammettere per scontata una buona dose di teoria. Per esempio Frege parlava delle intensioni : > e > alle quali corrisponde la stessa estensione (vale a dire il pianeta Venere ). È chiaro che per fare questa identificazione bisogna conoscere la teoria del moto dei pianeti ( o un'equivalente di essa) . Ma c'è qualche cosa di piu importante. Per poter affermare una certa estensione bisogna ammettere la distinguibilità e la permanenza degl'individui di cui ci si occupa. Tutto ciò va bene in matematica, ma purtroppo non va nella fisica moderna ! Vedremo ciò a propo­ sito delle particelle elementari. Ma anticipiamo subito un risultato sconcertante che chiariremo al cap. IV, § 7 : mentre è vero , per ( l ) La distinzione (presente parzialmente già in Leibniz o addirittura presso gli stoici) fu proposta all'attenzione degli scienziati da un lavoro fondamen tale di Frege del 1892 ripubblicato in G. FREGE, Logica e Aritmetica, Boringhieri, Torino 1965, p. 374. Frege parlava di senso e significato (Sinn und Bedeutung), altri parlano di

connotazione

e

denotazione.

7.

Osservabili o costrutti teorici �

37

IINempio, che > e > hanno l a stessa estensione, la proposizione : - l'intensione « la particella i ncidente >> e l'intensione > hanno la stessa esten­ H i one è una proposizione indecidibile ( 1>. -

7.

Osservabili o costrutti teorici ? A questo punto è bene cominciare a parlare di una questione molto cara soprattutto ad alcuni empiristi logici, questione che ha fatto versare fiumi d'inchiostro. Nella scienza si adoprerebbero, oltre a quelli della logica e della matematica, due tipi di termini. I termini o8servativi e i termini teorici. I primi si riferirebbero a oggetti o pro­ prietà immediatamente osservabili, mentre i secondi si riferirebbero a costrutti teorici, non direttamente osservabili. La distinzione non è mai stata estremamente chiara ed ha avuto interpretazioni diverse da parte di diversi autori. Si ha l'impressione 1•.he perfino alcuni dei suoi proponitori ne abbiano via via attenuato i l significato e l'importanza (2) . Altri, a quanto mi sembra, sono arri­ vati addirittura alla conclusione che si tratta di una questione ana­ l oga a quella del sesso degli angeli ( 3> . Diciamo subito che, fedeli a quanto piu volte ripetuto, qui ci occupiamo soltanto della fìsica e del suo metodo. Tralasciamo per­ tanto di esaminare se e quale significato la distinzione fra termini osservativi e termini teorici possa avere in altre scienze. E necessa­ riamente ci atterremo a una brevità che potrà anche essere consi­ derata eccessiva da chi conosce quante siano le ramificazioni del problema. In fisica il quesito si articola sostanzialmente in due sottoquesiti ; (ll

Cioè non si può dimostrare né la sua verità né la sua falsità. CARNAP, I fondamenti filosofici r/ella fisica, il Saggiatore, Milano 197 1 , p. 3 2 1 . (K. POPPER, Conoscenza oggett·iva, Armando, Roma 1975, pp. 53 e 101). Per esempio Popper afferma : « l'usuale distinzione fra "termini osservativi" [o "non teorici") e "termini teorici" è errata, poiché tutti i termini sono teorici in qualche grado, quantunque alcuni siano più teorici di altri» (K. POPPER, Conjectures anrl Refutations, Harper & Row, New York 1965, p. 1 19 ) .

I.

42

I l metodo della ftsica

8.

Q'uante sono le grandezze fisiche ? Una difficoltà che spesso viene notata è quella che una medesima grandezza fisica può avere diverse definizioni operative equivalenti. Per esempio una lunghezza può essere definita mediante la misura con un regolo o con la triangolazione ottica, o con un radar. Il punto di vista sostenuto da Bridgman è che ogni diverso gruppo di operazioni definisca una diversa grandezza fisica. Allora l'eguaglianza delle misure ottenuta con diversi metodi va interpre­ tata come una legge fisica che lega queste grandezze. Questo modo di vedere non incontra grande favore tra i fisici, a causa della sua scarsa praticità. Se lo accettassimo, dovremmo avere un numero enorme di grandezze fisiche, magari con nomi diversi, e lo sforzo mnemonico diventerebbe insostenibile. Un altro punto di vista, abbastanza generalmente accettato gra­ zie alla sua apparente funzionalità, è quello secondo il quale una grandezza fisica è definita dalla classe di tutte le sue possibili defi­ nizioni operative ( 1). Tanto per intendersi, parleremo in questo caso di definizione operativa generalizzata. È un atteggiamento che pra­ ticamente tutti i fisici adottano, il piu delle volte senza dichiararlo esplicitamente. Esso sembra rispondere perfettamente al buon senso, eppure bisogna stare attenti. La cosa non è cosi semplice ! Quando dico che la larghezza di questo tavolo è 2 m, che la distanza della Terra dal Sole è di 149 milioni di km e che la distanza fra gli atomi contigui in un dato reticolo cristallino è di 10-8 cm, parlo della stessa grandezza fisica� Si noti che né la distanza della Terra dal Sole, né l'interdistanza fra gli atomi possono misurarsi con un regolo. La cosa va vista cosi. La larghezza del tavolo può misurarsi in molti modi, per esempio col regolo o con una triangolazione ottica. Nella classe dei possibili modi di misura ce n'è almeno uno ( quello della triangolazione ottica) che vale anche per misurare la distanza IIl

E . AGAZZI,

Temi e problemi di filosofia della fisica, Manfredi, Milano 1969, p. 1 28.

8.

Quante sono le grandezze fisiche�

43

'rerra-Sole. D'altro canto il metodo del confronto diretto ( regolo ) �-> i può applicare fino a distanze relativamente piccole e, mediante un microscopio, a distanze piccolissime. A questo punto posso co­ minciare a misurare le dimensioni degli oggetti anche mediante la diffrazione di onde elettromagnetiche o di particelle ; e questo è il metodo che vale fino alle distanze interatomiche ( diffrazione di rag­ gi X, diffusione di neutroni) . regolo

tria. ngola.zione ottica.

diffrazione

microscopio Figura 3

Allora il quadro che ci si presenta è quello della Fig. 3, nella quale abbiamo schematicamente rappresentato con diagrammi di Eulero-Venn < 1> varie classi di procedimenti di misura delle lun­ ghezze. Ciascuna classe contiene tutti i metodi di misura che per lunghezze comprese in un certo intervallo danno identici risultati. Cosi una classe contiene i metodi validi per milioni di km, un'altra i metodi validi per distanze dell'ordine del metro e cosi via. L'impor­ tante è che queste classi abbiano a due a due un'intersezione non vuota, cioè una parte a comune. In questo caso sembra possibile, procedendo da una classe all'altra, effettuare i necessari raccordi delle unità di misura e definire la grandezza fisica mediante la classe che risulta dalla riunione di tutte le classi rappresentate. ( l ) Ogni cerchio rappresenta simbolicamente una classe e i punti interni ad esso rappresentano gli elementi della classe. L'area comune a due cerchi rappresenta l'intersezione delle due classi, cioè l'insieme degli elementi che appartengono ad am­ bedue.

r.

44

I l metodo della fisica

Questo procedimento è apparentemente molto semplice e inno­ cente. Quando esso è consentito, può essere molto conveniente prendere come definizione operativa generalizzata della grandezza fisica la riunione di tutte le classi in Fig. 3, ovvero la classe che comprende tutti quei procedimenti che appartengono almeno ad una classe della Fig. 3. Tuttavia risulta che il necessario raccordo attraverso alle inter­ sezioni non è sempre possibile. Di ciò si hanno esempi cospicui nel passaggio dalla macrofisica alla microfisica. Tanto per fissare le idee, diciamo subito che ci sono dei procedimenti che danno lo stesso ri­ sultato quando sono applicati alla misura del diametro di una palla di biliardo, mentre danno risultati differenti quando sono applicati alla misura del diametro di uno stesso atomo. Per l'atomo bisogna dunque rassegnarsi ad accettare l'affermazione che, in generale, di­ versi procedimenti equivalenti nella fisica classica misurano gran­ dezze diverse. Dunque il problema della definizione operativa delle grandezze fisiche è molto complicato < 1>. Dovremo tornare sull'argomento quando avremo sviluppato al­ cuni altri concetti. 9.

Precisione delle misure. Tutti sanno che usando un comune metro, diviso in cm, e mm, non è possibile misurare le distanze con la precisione del millesimo di millimetro ( che si chiama micrometro o a volte micron e si indica con flm) . Lo si può fare con un metro campione associato a un buon microscopio, ma anche in questo modo non si potrà raggiungere, per esempio, una precisione dell'ordine di 10-8 cm. E cosi via. Sembra che il giudizio comune su questi fatti si esprima nel modo (l) Una discussione piu precisa si trova in M. L. DALLA CHIARA SCABIA e G. TORALDO A Logical Analysis of Physical Theories, in > , 3, l ( 1 9 73).

DI FRANCIA,

9.

Precisione delle misure

45

HPguente. Esiste un numero reale a ( con infinite cifre decimali) che rappresenta la misura vera o esatta ; ma ogni volta che cerchiamo di raggiungere questa verità, cioè ogni volta che eseguiamo pratica­ mente una misura, la grossolanità del nostri mezzi introduce un t!-rrore a noi sconosciuto . N oi troviamo un certo numero a, che t•hiamiamo il valore della grandezza, e possiamo soltanto dire che la misura vera a è compresa fra a-s e a + s, ovvero

( l. l)

a - s :::;; a :::;; a + s .

dove s rappresenta un piccolo numero positivo. Ora è chiaro, per chi ha capito il perchè della definizione opera­ t,iva delle grandezze, che l'espressione « la misura vera a >>, essendo a un numero reale, non ha nessun significato in fisica ed è quindi da t\vitare < 1l . Una formulazione piu adeguata è la seguente < 2 l . Qualunque pro­ nedimento di misura non fornisce un numero reale a, ma un inter­ 'l >allo continuo di numeri, di cui a- s e a+s sono gli estremi inferiore e superiore < 3l. Solo convenzionalmente si dice che la misura vera può eHsere dovunque in questo intervallo e che s rappresenta l'errore del metodo di misura. In realtà ciò significa soltanto che, se si ripete la misura con uno stntmento che abbia una s molto piu piccola, il nuovo

�intervallo pu6 cadere dovunque all'interno del vecchio intervallo < 4l .

11l Dice giustamente Weizsacker « > (c. F. WEIZS ACKER, Die Einheit der Natur, Hanser, Miinchen 1 9 7 1 , p. 1 63). A volte, parlando di queste cose, si ha l'im· pressione che pochi si rendano conto di quanto è grande l ' infinito e quanto piccolo è lo zero ! 12 ) Si veda a questo proposito, anche per la bibliografia, E. A. B. COLE, Perception und Operation in the De{inition of Observable, in >, 8, 155 ( 1 9 73). 13l Nella pratica di laboratorio si sogliono fare più misure, ripetute, per una stessa grandezza. In tal caso non tutti i numeri dell'intervallo sono equivalenti. Ad essi è associata una distribuzione di probabilità. Nella cosiddetta teoria degli errori di misura si studia tutto ciò. Ma questi particolari tecnici non hanno molta importanza per quello che vogliamo dire ora. Piuttosto osserviamo che l'intervallo di numeri può anche essere infinito. Ciò avviene in alcuni casi particolari in cui si dice, per esempio, che la misura risulta 2 a. In tal caso l'intervallo va da a a oo. Nella discussione ci atterremo al caso tipico di e finita. 1 4l Naturalmente se ciò non avviene, diremo semplicemente che il nuovo stru-

46

1.

Il metodo della fisica

Con linguaggio piu adeguato dovremmo dire che e non rappre­ senta l'errore, ma la precisione del metodo di misura o dell'appa­ recchio di misura. Ma, una volta capito il concetto, non v'è nulla di male a continuare a parlare di errore, come effettivamente fanno spesso i fisici. A volte si dice convenzionalmente che il valore della grandezza misurata è a, a meno di e. Converremo poi di scrivere :

(I.2)

misura = a± e .

Notiamo che la specificazione di e deve accompagnare sempre esplicitamente o implicitamente la menzione di una misura. Ci si esime dalla specificazione esplicita quando ( come nella maggior parte dei casi) quella implicita è perfettamente chiara. Per esempio, quando si dice che la distanza fra due località è 342 km, s'intende di solito che sia 342 . 5 ± 0.5 km (o 342 ±0.5 a seconda delle convenzioni). Si conviene che quando una misura dà il risultato a± e , si possa anche scrivere a±e' con e' > e (1). Il risultato a±e dà piu informazione del risultato a±e', perchè dal primo consegue il secondo e non vice­ versa. Per questo si ha di solito convenienza a prendere per e il valore piu piccolo possibile fra quelli consentiti dagli strumenti a disposizione. E fra due apparecchi di misura sarà pili pregiato quello che ha la e piu piccola. Ogni procedimento di misura, quando sia dettagliatamente de­ scritto (cioè quando si siano specificati anche gli apparecchi usati per effettuarlo ) , comporta un valore di e, a volte prevedibile, a volte determinabile sperimentalmente. Va da sé allora che le classi rap­ presentate schematicamente nella Fig. 3 dipendono anche da e. Ognuna di esse contiene tutti risultati identici a meno di una e pre­ fissata. Cambiando e, in generale, può cambiare anche il contenuto della classe. Dovremo tornare su questo tipo di considerazioni ( § 11 di questo capitolo ) . mento definisce una diversa grandezza fisica. Qui e nel seguito escludiamo i cosiddetti errori sistematici. In sostanza questi ultimi non sono che errori nell'applicazione delle regole operazionali stabilite (dovuti per esempio ad errata costruzione, o taratura, o impiego degli strumenti). Ol La convenzione fatta può apparire molto arbitraria. In realtà essa sarà giusti­ ficata da quello che vedremo al prossimo paragrafo.

9.

Precisione delle misure

47

V'è un caso che sembra fare eccezione a quanto detto fin qui. Si t,mtta del caso in cui la misura consiste in un conteggio. Per esempio Hi può trattare delle particelle contenute in una determinata zona tldlo spazio. Il risultato è un numero intero, apparentemente esatto ; i tlfatti un numero intero è anche un numero reale. In realtà vedremo ( t•ap. rv, § 2 2 ) quando parleremo delle particelle elementari, che nemmeno in questo caso le cose sono cosi semplici come sembrano. 'l'uttavia nella fisica classica si può benissimo ammettere che quando Hi esegue un conteggio il risultato sia un numero intero con s = 0. Dobbiamo ora soffermarci un momento su un tipo di misura molto comune, che ha assunto grandissima importanza soprattutto nella fisica moderna. Si tratta del caso in cui di una grandezza fisica H i riesce a misurare (o si vuole specificare) soltanto l'ordine di gran­ dezza. Ricordiamo il concetto con alcuni esempi. I numeri 3 120 000 , •1 750, 0.08 possono scrivers i rispettivamente 3.12 · 106 , 4.75 · 103, H · 10- 2 e hanno rispettivamente gli ordini di grandezza 10 6 , 103, 10- 2 • Un numero viene quindi rappresentato come il pro dotto di un nu­ mero compreso fra l e 10, moltiplicato per una potenza di lO ; questa ultima rappresenta l'ordine di grandezza. Quello che conta e che misura l'ordine di grandezza è l'esponente che si deve dare al lO. Si tratta quindi per convenzione di un numero intero. Si dice poi che una grandezza fisica ha l'ordine di grandezza del numero che ne esprime la misura ( con una conveniente unità di misura) . La misura sarebbe piu precisa, naturalmente, qualora s i desse l'intero logaritmo in base 10 del numero, anzichè soltanto la parte intera. Fatto sta che l ) a volte non si sa misurare di piu che l 'ordine ùi grandezza e 2 ) a volte non si vuole specificare piu dell'ordine di grandezza. Quest'ultimo caso è estremamente interessante e merita una ri­ flessione. Perché, pur possedendo una determinata quantità d'infor­ mazione, si sceglie di darne di meno ? In gran parte ciò dipende dal fatto che la natura stessa c'invita a farlo ; p ili conosciamo la strut­ tura dell'universo fisico e piu riconosciamo l'importanza dell'ordine di grandezza. Vedremo questo in dettaglio nei capitoli seguenti, ma accenniamo già al concetto fondamentale. L'universo ci appare ,'l trutturato in diversi livelli qualitativamente diversi ( per esempio :

1.

48

Il metodo della fisica

universo, sistemi di galassie, galassie, sistemi solari, stelle e pianeti, molecole, atomi, nuclei, particelle elementari) . Quello che distingue un livello dall'altro è l'ordine di grandezza. Forse si può dire che questo fatto giustifica l 'intuizione di Hegel, ripresa da Engels, per cui la quantità, nella sua graduale variazione, si trasforma (a un determinato punto nodale) in qualità. Va da sé che la scelta del lO e delle sue potenze è contingente e dipende, sostanzialmente dal fatto che abbiamo dieci dita. Se ne avessimo dodici, avremmo una numerazione duodecimale e la base sarebbe 12 < 1>. 10 .

Limiti di validità delle leggi fisiche. Siamo ora in grado di introdurre un concetto che fa parte essen­ ziale del metodo della fisica. Probabilmente era stato intuito anche da Galileo, ma è certo che solo in tempi piu recenti ne è risultato chiaro il ruolo centrale e necessario. Abbiamo già insistito sull'aspetto quantitativo del metodo della fisica. Le leggi della fisica consistono in relazioni matematiche che si trovano sussistere costantemente fra le misure delle varie gran­ dezze che intervengono in un fenomeno. Tanto per fare un esempio, esaminiamo la piu semplice legge fisica che si possa presentare. Con­ sideriamo due grandezze A e B che intervengono in un fenomeno e le loro rispettive misure a e b. Se si trova per via sperimentale che i numeri a, b sono costantemente legati dalla relazione (1.3) si dice che questa equazione costituisce una legge fisica. ( I ) Sarà bene accennare qui a un'importante convenzione matematica, usata anche in fisica, in cui la base è variabile e tende all'infinito (o a zero ). Se una funzione /(n) tende all'infinito al tendere di n all'infinito e (da un certo valore di n in poi) si ha nk-e < j/(n)j < nk+- oo in modo che sia 1/nk -e > j/(n)j > 1Jnk+•, si dice che j(n} è dell'ordine di lJnk e si scrive /(n) = O ( l jnk).

lO.

Limiti di validità delle leggi fisiche

49

Notiamo incidentalmente che l'esempio da noi scelto non è cosi i n Rolito e banale come potrebbe sembrare. In realtà esso include eome casi particolari tutte le fondamentali leggi di con8ervazione della fisica che vedremo in seguito . In questi casi A e B rappresen­ tano la stessa grandezza prima e dopo che è avvenuto un qualche fenomeno. Per esempio può trattarsi della massa prima e dopo che (\ avvenuta una reazione chimica . .Ad ogni modo diciamo subito che le considerazioni che facciamo valgono, con facili modifiche, per tutte le leggi della fisica, anche di forma molto diversa. Faremo ora vedere che l'enunciato tradizionale (I.3) è molto inge­ nuo e fuorviante. Infatti è doveroso domandarsi con quale procedi­ mento si può stabilire che vale la ( I. 3 ) . Evidentemente si deve cominciare con l'effettuare le operazioni di misura di A e di B. Ma sappiamo ormai che esse, lungi dal for­ nirci due numeri reali a, b, ci forniranno sempre due intervalli a' ± Ea , b' ±Eb , intendendosi con Ea , eb le precisioni dei relativi strumenti di misura. Quanto ai valori a' e b ' ,quasi mai li troveremo esattamente eguali. In realtà il fisico non controlla se risulta a' = b', ma esamina come Rtanno fra loro gli intervalli a' ± Ea e b' ± Eb . Consideriamo un inter­ vallo E = ib'-a' l +Ea + Eb (Fig. 4 ) che, come è evidente, è il minimo

a'

b'

j.---- E

------1

Figura 4

intervallo che comprende ambedue gli intervalli di partenza. Si dice che il risultato della misura è compatibile con la legge (I.4) ovvero che a è eguale a b a meno d i E ( 1>. ( l ) Tutto ciò è molto semplificativo. In realtà come già abbiamo accennato si effettuano più misure , si fanno poi delle medie e delle statistiche eli errore. Ma questi dettagli tecnici non hanno importanza per la comprensione del concetto fondamentale.

50

L

I l metodo della fisica

Dissipiamo subito un dubbio che potrebbe sorgere osservando la Fig. 4, nella quale di proposito abbiamo disegnato i due intervalli di misura addirittura non parzialmente sovrapposti. È certo che dai risultati delle misure si potrebbe ricavare una legge piu precisa della ( 1.4). Per esempio nel caso della Fig. 4 si potrebbe porre k = b'-a', E = ea + Eb e scrivere la nuova legge a = b - k ± E. Essa è piu precisa della ( 1 . 4 ) perché la sua E è piu piccola. Ma ciò non infirma la vali­ dità della (1.4) Quasi sempre, come vedremo, i l fisico si riferisce alla legge piu precisa fra quelle consentite dalle sue misure, in modo che i due intervalli di misura della Fig. 4 risultino almeno parzialmente so­ vrapposti. Ma non è necessariamente cosi in tutti i casi. Ad ogni modo sarà bene mettersi in testa una volta per sempre che, mentre una relazione del tipo ( 1.4) ha la forma legittima che può assumere l'enunciato di una legge fisica, la ( I . 3 ) , che invece esprime l'eguaglianza di due numeri reali, risultati di due misure, non può avere alcun significato fisico ( 2> . La specificazione dei limiti di validità della legge, che viene for­ nita dichiarando la precisione E con cui è stata verificata, fa parte integrante ed essenziale del metodo della fisica. In nessun lavoro di fisica serio può essere enunciata una legge come (I.3) senza l'indi­ cazione dei limiti di validità. Per meglio dire, tale indicazione può anche essere omessa (ed effettivamente lo è in molti casi), ma sol­ tanto quando : l) si tratti di legge ben nota della quale tutti cono­ scono i limiti entro i quali è stata verificata, oppure 2 ) quando, trat­ tandosi di legge nuova, dal contesto risulti chiaro a chi ha familiarità con gli strumenti adoperati nella misura, quale è stata la precisione raggiunta . L'assimilazione di questi concetti può comportare per molti un mutamento molto profondo di atteggiamento nei riguardi della fisi-

(1>.

( l) Precisamente la (I.4) asserisce che, se si ripetono le misure con precisioni c�, f�, molto più piccole delle Ea , Eb , i due intervalli saranno necessariamente compresi entro un intervallo di estensione totale 2e. Naturalmente uno ha ben diritto eli attribuire alla (I.3) un significato meta· fisico. Ma tutto quello che ne consegue non fa più parte della fisica. E, soprattutto, non può avere valore intersoggettivo.

lO.

Limiti di validità delle leggi fisiche

51

ca. Ciò è spesso dovuto a un tradizionale equivoco che vuole la fisica strettamente assimilata alla matematica nel metodo, anzichè sempli­ cemente associata ad essa dalla sua posizione di utente. N on di rado l'equivoco nasce e prende radici a causa di un errato insegnamento della fisica nelle scuole secondarie. Come conseguenza di questo equivoco uno potrebbe essere ten­ tato di affermare che le leggi della fisica non sono mai esatte o non sono mai sicure. L'errore sta nel riferirsi alla legge (1.3) che non fa parte della fisica. Essa non è esattamente verificata e non potrà mai esserlo. Ma la legge fisica ( I. 4 ) rappresenta invece un enunciato esatto ed esattamente verificabile. Non è affatto una relazione insi­ cura. Se dedotta con procedimento fisico corretto, essa esprime una verità. Precisamente la proposizione sintetizzata dalla ( I.4) dice che

tutte le volte che si effettuano certe misure con certi apparecchi si tro­ vano due numeri a, b che differiscono fra toro meno di e. È una propo­ sizione vera proprio nel senso piu rigoroso e moderno della parola chiarito da Tarski (1>. È difficile vedere che cosa vi sia di epistemo­ logicamente insoddisfacente in questo enunciato (2 >. Deve essere chiaro anche che, quando un fisico enuncia la legge piu precisa che gli consentono le sue misure, oltre ad asserire quanto in essa è contenuto, dichiara implicitamente che non si sente assolu­

tamente di affermare che cosa risulterebbe facendo le misure con preci­ sione migliore, cioè con una e ' < e. Dunque sicurezza al di dentro dei limiti fissati, estrema modestia al di fuori di quei limiti. Naturalmente può avvenire, anzi è spesso avvenuto, che l'affi( l) Vedi per es.

della semantica, in

A. TARSKI,

La concezione matematica della verità e i fondamenti

(a cura di), Semantica e filosofia del linguaggio, Il Sag­ giatore, Milano 1 969, p. 25. Oppure M. L. DALLA CHIARA, Logica, !sedi, Milano 1974, p. 65. < 2 ) Dice Popper : > ( K. POPPER, Gonjectures anrl Refutations, Harper & Row, New York 1965, p. 2 3 1 ). D 'accordo. Ma il merito di Tarski sta proprio nel­ l'averci liberato da quel concetto vago e metafisica ! Meglio una minuscola, modesta ma sicura, che una maiuscola vaga, non accertabile (e piuttosto inutile ). L. LINSKY

52

1.

I l metodo della fisica

narsi dei mezzi sperimentali e il conseguente miglioramento delle precisioni abbiano suggerito di abbandonare una legge già stabilita ed universalmente riconosciuta, per formularne un'altra. Ragionia­ mo sul nostro esempio semplicissimo, rappresentato dalla (1.4 ) . Sup­ poniamo che essa rappresenti la legge piu precisa consentita dai mezzi a disposizione. Può dartli che quando i mezzi sperimentali si perfezionano e arrivano a consentire una precisione piu spinta c'< c, si trovi che non vale a= b ± c' . Si è costretti a trovare un'altra rela­ zione fra a e b, che valga a meno di c'. Per esempio supponiamo che si trovi ( 1.5)

a = f( b ) ± c '

dove f(b) è un'opportuna funzione d i b . Quando si presentava questa situazione si diceva in passato (e purtroppo si sente dire anche oggi) che l'affinamento dei mezzi speri­ mentali aveva permesso di dimostrare che la legge a = b era fals a o era stata confutata, mentre la legge a = f(b) era probabilmente quella vera. Questo atteggiamento è assurdo. La legge a = b non poteva mai essere vera, perchè come abbiamo detto, non ha significato fisico, e altrettanto dicasi della legge a = f(b). In realtà la legge a = b ± c continua a d essere vera anche dopo l'affinamento dei mezzi speri­ mentali. Nessun progresso della fisica potrà mai smentire che a ri­ sulti eguale a b a meno di c, come non potrà mai smentire che a risulti eguale a f(b) a meno di c ' . Molto spesso ai piu significativi progressi della fisica si è dato il nome di rivoluzioni, intendendosi con questo che si rinnegava un { l) Ciò significa, come è noto, che s i è assegnata una corrispondenza univoca fra i valori di b di un certo intervallo e i valori di f. Di solito si fa questo indicando un certo numero di operazioni matematiche (algoritmo) da compiere su b. Per esempio, nel caso semplicissimo discusso subito dopo la (1.4), si ha f(b) = b - k e l'operazione da compiere su b è la sottrazione della costante k. Tuttavia l'insieme di tutte le pos­ sibili funzioni è molto più ampio di quello delle funzioni calcolabili. È questo un interessantissimo problema, alla soluzione del quale hanno contribuito soprattutto A. Church. S. C. Kleene, K. Gode!, J. Herbrand, A. M. Turing, E. L. Post. Vedi per es. S. C. KLEENE, Computability, in S . MORGENBESSER (a cura di), Philosophy of Science Today, Basic Books, London 1 967, p. 36 ; H. HERMES, Enumerabilità, decidi­ bilità, computatibilità, Boringhieri, Torino H J 75. Riprenderemo l'argomento al § 1 2 di questo capitolo.

lO.

Limiti di validità delle leggi fisiche

53

pat-�sato di errore per abbracciare una nuova e almeno possibile ve­ È semplicemente uno sbaglio di prospettiva basato sull'ingenua Hupposizione che le leggi del tipo (1.3) possano avere un 1ptalsiasi significato fisico e possano pertanto rappresentare una verità. A questo proposito è curioso notare che, anche chi assume questo Lipo di atteggiamento, non di rado poi è costretto a smentire se stesso. Per esempio prendiamo il caso di un ingegnere, convinto che la relatività e la meccanica quantistica abbiano dimostrato la non v�Llidità della meccanica newtoniana. Ebbene, costui, quando dovrà progettare le parti meccaniche di un'automobile, applicherà proprio la meccanica newtoniana, perchè in realtà è convinto che, per le e (•,he intervengono in quel caso, la meccanica newtoniana è perfetta­ mente valida. Argomenti di questo tipo possono procurare al fisico l'accusa di a vere una visione strumentalistica della scienza (I). Ma basta riflettere Hu quello che abbiamo detto sopra per rendersi conto di quanto è �mperficiale questa accusa. Un enunciato come quello contenuto nella ( 1.4) ha valore conoscitivo ! . E non si tratta soltanto della rispondenza a un criterio formale 1li verità, come quello già menzionato. Si tratta di qualche cosa di molto piu concettuale. Torniamo infatti alla legge scoperta da La­ voisier, secondo la quale la massa totale dei reagenti prima e dopo una reazione chimica è eguale. Ebbene oggi la relatività c'insegna che ciò non è vero in assoluto. Se si fanno le misure con estrema precisione, si deve trovare che in una reazione esotermica si perde r ità.

< 1 l Torneremo su questo argomento (cap. n, § 29). Ad ogni modo per una discus­ Hione dello strumentalismo, vedi per esempio K. R. POPPER, Scienza e filosofia, Einaudi, Torino 1 969, pp. 27 sg. < 2 > Secondo la visione strumentalistica una legge come la (1.4) o la (1.5) sarebbe Holtanto uno strumento per inferire da una certa serie di dati altri dati. Come acuta­ mente osserva Suppes : significa questo : è possibile trovare per ciascuna An un numero a� compreso fra an-Bn e an+sn , in modo che f1 (a�) risulti esattamente eguale a zero. A rigore quindi la ( !.6) non è verificata nel senso matematico corrente, ma l o è nel senso convenzionale specificato. Il fisico dirà che la legge che regge il feno­ meno è rappresentata dalla ( !.6) dentro le precisioni en . Per rendere visibile la cosa, facciamo l'esempio del caso di due grandezze A 1 , A 2 • Riportiamo in un grafico i· valori ottenuti dalle misure; quelli a 1 di A 1 in ascisse e quelli a2 di A 2 in ordinate (Fig. 5 ) .

Figura 5

a. ,

Da ciascun punto cosi ottenuto si facciano partire i segmenti ± s1 paralleli alle ascisse e ±s2 paralleli alle ordinate. Se i punti sono abbastanza fitti, tutte le crocette cosi ottenute individuano una stri­ scia. I punti a1 = a� e a2 = a� che soddisfano l 'equazione f1 ( a1 , a2 ) = O devono stare dentro questa striscia, ovvero la curva rappresentata dall'equazione f1 (au a2 ) = O deve essere contenuta nella striscia ( 1). È evidente che la f1 non è necessariamente la sola funzione che so d­ disfa le condizioni volute. In generale ve ne sono mille altre che vanno perfettamente bene < 2>. Esiste tutto un insieme G di funzioni delle variabili an, ciascuna delle quali risponde allo scopo. Tale insie­ me dipenderà evidentemente dalla classe F dei fenomeni studiati, e pratica indicherà un certo numero di operazioni da compiere sulle an . La (1.6) dice che il risultato dovrebbe essere zero. < 1 > In realtà questi concetti sono solo intuitivi e non del tutto rigorosi. Essi ver­ ranno ripresi e precisati quando parleremo dell'induzione in generale (cap. rv, § 2 1 ) . Tanto per fare un esempio estremamente semplice, se va bene j (an ) , in gene­ 1 rale va bene anche la funzione /2 (an) definita da /2 (an) = / 1 (an) + y con y sufficiente­ mente piccola.

ll.

Schema generale del procedimento della fisica classica

57

dalle precisioni en con cui si misurano le An . Per questo indicheremo simbolicamente l'insieme con G(F, en ) · La /1 è un elemento di G e ciò si indica simbolicamente con (I.7) Nella Fig. 6 l' estensione dell'insieme G è rappresentata simbolica­ mente con un diagramma di Eulero-Venn.

Figura 6

La scelta di /1 fra tutte quelle contenute in G ha interesse pra­ tico, ma non teorico. Di solito si sceglie la forma piu semplice ( l ) o piu comoda o piu elegante. Questi criteri sono giustificatissimi, ma non lo è affatto la relazione che a volte si vuole supporre che esista tra i criteri stessi e il contenuto di verità della formula. A volte, con una punta di umorismo, i fisici dicono che una formula è tanto piu vera quanto piu è semplice. Ma sanno benissimo che non è cosi. La verità fisica è rappresentata dall'espressione completa (I. 7 ) , cioè dal fatto che /1 appartiene all'insieme delle funzioni che passano dentro la striscia (2). ( l ) Non è facile dire che cosa significa piu semplice, se a tale espressione si vuoi dare un significato oggettivo. Il riferirsi alla semplicità del calcolo è grossolano antro­ pomorfismo ; la natura non fa calcoli. Sul concetto di semplicità vedi per es. : M. BUNGE, The Myth of Simplicity, Prentice-Hall, Englewood Cliffs (N.J.) 1 9 6 3 ; K. POPPER, Logica della scoperta scientifica, Einaudi, Torino 1 9 70, cap. vn ; K. WALK, Simplicity Entropy and Inductive Logic, in J. HINTIKKA e P. SUPPES (a cura di), Aspects of Induc­ tive Logic, North-Holland, Amsterdam 1 966, p. 66. l 2l La striscia ha senso visivo in due dimensioni, come nella Fig. 5. In tre dimen­ sioni diventa uno strato. Nel caso generale si dovrà parlare di 'Ìperstriscia, ma non vi dovrebbe essere difficoltà a capirne il significato intuitivamente.

58

1.

I l metodo della fisica

Supponiamo ora di raffinare gli apparecchi di misura e di otte­ nere delle precisioni e� tali che sia per tutte (I.8) Inoltre supponiamo o di lasciare inalterata la classe dei fenomeni considerati o di ampliarla con altri fenomeni non prima inclusi. Sim­ bolicamente diremo che consideriamo una nuova classe F', tale che

F k. F '

( I.9)

e che F è una sottoclasse di F' . L'insieme delle funzioni possibili diverrà G( F' , e� ) . È chiaro che questo insieme non potrà essere piu largo cioè contenere piu elementi del vecchio. Infatti tutto ciò che può accadere è che alcune funzioni che an davano bene prima non vanno piu bene ora. Pertanto avremo ora un sottoinsieme di quello precedente. Scriveremo simbolicamente (!.10)

G(F' , e�) ç;_ G( F , en) .

Il fisico, in base ai criteri detti, sceglierà nel nuovo insieme una fun­ zione f2 (an) e dirà che la legge fisica è rappresentata da ( I.ll) a meno delle precisioni e� . Simbolicamente dovremo scrivere ( !.12) Potrà darsi che sia f1 = f2 , ma in generale si è costretti a scegliere una funzione piu complicata, come scrittura, di quella precedente. È evidente ora che, se passiamo a precisioni migliori e� e a una classe piu ampia di fenomeni F", l'insieme delle funzioni possibili in generale si restringerà e avremo ( !.13)

G( F",

e

� ) ç;_ G( F ' , e� ) .

In questo nuovo insieme il fisico sceglierà una funzione fa , per la quale scriveremo ( ! .14)

fa( an) E G( F", e�)

e cosi potremo continuare.

l l.

Schema generale del procedimento della fisica classica

59

L 'errore in cui molti ancora incorrono consiste nel ritenere che, una volta assegnata e mantenuta fissa la classe F:

l ) Esista necessariamente u n insieme limite G0(F) tale che ( !.15)

G0(F)

=

lim G(F, en) .

••....o

2 ) L'insieme limite G0 contenga come unico elemento una ben determinata funzione f( an ) · Si esprime tutto ciò dicendo che, se le misure fossero esatte, ver­ rebbe fuori l'unica legge vera ( ! .16 )

f(an) = 0 .

Probabilmente non ha alcun senso parlare di en -o, come risulterà particolarmente chiaro quando studieremo la meccanica quantisti­ ca. Ma in ogni caso dovrebbe apparire evidente che non abbiamo affatto bisogno di aspettare la fine dei secoli, quando raggiungeremo en O, prima di enunciare delle proposizioni vere. La ( I. 7 ) è vera, la ( ! .1 2 ) è vera e cosi via. E, proprio perchè ciascuna di queste proposizioni esprime una verità, il chiamarla una legge approssimata non è molto opportuno. Se con questo si vuoi significare che sono sottointese delle en , la cosa è ovvia. Le en fanno parte essenziale della teoria. Piuttosto, quello che può accadere, e accade spesso, è che, an­ dando avanti nella successione en :;::: e� :;::: e� , si arrivi a delle fn =1- O, per l e quali non è possibile trovare alcuna funzione f ( an) che vada d'accordo con l'esperienza. Si dice che l'insieme G(F, e) è vuoto e simbolicamente si scrive =

. • .

(1.17 )

G(F, en )

=

0

.

Si hanno allora due pos sibili vie di us cita :

l ) Si riconosce che per en ::;: fn i fenomeni dipendono anche da altre grandezze Bn , da cui non dipendevano per en > fn . ( Nel lin­ guaggio comune si dice che ne dipendevano in modo insensibile ). In tal caso non c'è che da tener conto anche delle Bn e metter si alla caccia di funzioni f(an , bn) e d'insiemi di funzioni che dipendono anche da esse. La cosa riesce in innumerevoli casi.

60

r.

Il metodo della fisica

2 ) Si è costretti ad ammettere che non esistano nemmeno delle funzioni f ( an , bn) dipendenti da nuove grandezze Bn oltre che dalle An e che soddisfino i dati sperimentali. In tal caso si dice che il feno­ meno, al di sotto di i!n , non avviene piu in modo deterministico e bisogna cercare nuovi tipi di leggi (v. la meccanica quantistica al cap. rv). L e discussioni precedenti ci dimostrano che le definizioni ope­ rative generalizzate delle grandezze fisiche e le formulazioni delle leggi della fisica sono S � :!·ettamente interdipendenti e danno luogo a una sorta di circolarità, alla quale bisogna prestare attenzione. Prima di tutto è chiaro che la formazione delle classi di opera­ zioni equivalenti per la misura di una data grandezza (Fig. 3) di­ pende da un certo numero di leggi fisiche già note. Il dire che l'ope­ razione A e l ' operazione B (al di dentro di un certo ambito di valori) danno lo stesso risultato a meno di E equivale ad enunciare una legge come la ( I . 4 ) . E poichè sappiamo che, quando le misure si raffinano e E va diminuendo, può venire il momento in cui la (I.4) non è piu verificata, dobbiamo rassegnarci all'eventualità che due classi con­ tigue della Fig. 3 si restringano e cessino di avere un'intersezione non nulla. In tal caso quella che era una sola grandezza si scinde neces­ sariamente in due grandezze diverse. Per esempio, oggi possiamo misurare una massa sia ponendola su una bilancia, sia misurando l'accelerazione impressale da una data forza e otteniamo il medesi­ mo risultato. Il giorno che queste misure dessero risultati differenti, dovremmo riconoscere che la massa gravitazionale e quella inerziale sono grandezze diverse. Ma le classi dei procedimenti di misura possono anche allargarsi, quando si comincia a considerare qualche complesso di operazioni che prima non era stato indagato ; allora due grandezze che erano diverse possono diventare la stessa grandezza ! Basta per questo che si scopra una legge del tipo ( I .4 ) che prima era ignota. Diamo due esempi importanti. La legge di Einstein E0 mc2 ( che vedremo al cap . n, § 24) dice in sostanza che l ' energia di un sistema può misurarsi con la bilancia, come pure che la mastm può misurarsi con l 'energia che fornisce quando si annichila. Allora perchè non =

12.

Le funzioni matematiche usate in fisica

61

dire che l' energia e la massa sono la stessa grandezza ? Ancora, con­ sideriamo la legge di Planck E = hv ( che vedremo al cap. IV, § 5 ) . Essa dice che l a frequenza può misurarsi misurando un'energia e viceversa. Non sono aHora la stessa grandezza � In questi due casi si preferisce di solito mantenere la distinzione fra le grandezze e par­ lare di leggi fisiche che le legano. È una convenzione possibile, ma è solo una convenzione. Come conclusione di tutto il discorso ci sembra di poter affer­ mare quanto segue. Da un punto di vista rigoroso sarebbe bene dire che ogni diverso complesso di operazioni di misura definisce una grandezza fisica diversa. Per ragioni pratiche conviene valersi di alcune leggi del tipo (1.4) per raggruppare sotto lo stesso nome molte grandezze diverse . Ma bisogna tener presente che è possibile far que­ sto in un certo modo, soltanto in un determinato periodo storico in cui si sono raggiunte certe precisioni s e si sono considerati certi tipi di operazioni. Anche cosi vi è una larga dose di arbitrarietà e di con­ venzionalità nello scegliere le grandezze identiche e quelle diverse, t endendo di solito al conservatorismo. Si badi bene però di non trarre da questo la conclusione che tutta la fisica è convenzionale. Quello che abbiamo visto comportare arbi­ trarietà è solo una parte del linguaggio della fisica. Il linguaggio è per sua natura convenzionale , ma ncn lo sono necessariamente i con­ tenuti che esprime. Sul convenzionalismo dovremo tornare al cap. n,

§ 29.

12. Le funzioni matematiche ttsate in fisica. Abbiamo detto che nell'insieme delle possibili funzioni che espri­ mono una legge, il fisico sceglie quella che gli sembra piu adatta ai suoi scopi. B isognerà ora chiarire meglio con quali criteri avviene questa scelta e che forma assumono generalmente le funzioni della fisica. Come abbiamo già accennato, una funzione f(au a , , an) delle 2 è assegnata quando a ciascuna scelta dei valori variabili a1 , a , a , n • • •

2

• • •

62

1.

Il metodo della fisica

di a1 , a2 , , an in un certo dominio corrisponde uno e un sol valore di f. Si noti che in questa definizione generale si prescinde dall'even­ tuale assegnazione di una regola mediante la quale, partendo dai valori di au a2 , , an si possa calcolare il valore di f. Quello che si desume dall'esperienza è solo l'esistenza di una corrispondenza uni­ voca fra i valori delle an e il valore della f. Tale corrispondenza nel caso di una sola variabile può essere espre ssa, per esempio, mediante un grafico, qualora la precisione che tale metodo consente sia suf­ ficiente. Ma fino dal tempo di Galileo ci si è abituati a pensare che la fun­ zione debba essere necessariamente rappresentata da una regola di calcolo ; precisamente si pensa che si debbano prescrivere alcune operazioni matematiche da effettuare sulle an per ricavare il valore della f. Sarà bene sottolineare ancora una volta che, anche se questo si rende indispensabile perchè la mente umana non ha mezzo mi­ gliore per dominare la funzione, è del tutto arbitrario pensare che quelle operazioni e quei calcoli siano necessariamente insiti nella natura delle cose ( 1>. Le piu semplici operazioni che possiamo compiere sono quelle algebriche dell'addizione e della moltiplicazione donde, generaliz­ zando, si arriva ai polinomi. Ricordiamo queste cose con un esempio. N el caso di due variabili au a2 , l'espressione • • •

• • •

( !.18) è un polinomio. Ciascun addendo, o termine, è il prodotto di una costante o coefficiente ( kt ) e di potenze delle variabili. Sommando gli esponenti delle variabili che compaiono in un dato termine si ha il grado di quel termine. Cosi nella ( !.18) il primo termine è di primo grado (o lineare) , il secondo termine è di terzo grado e l'ultimo ter­ mine è di quarto grado. Si chiama grado del polinomio il grado piu ( l ) Con linguaggio moderno si direbbe che, mentre la natura ci presenta le sue funzioni sotto forma estensionale, noi tendiamo a metterle sotto forma intensionale. È vero che si può pensare alla fondazione insiemistica della matematica, nella quale le funzioni vengono identificate con la loro estensione. Tuttavia il fisico è abituato a pensare una funzione soprattutto come una regola di calcolo. In parole semplici ripe­ tiamo che la natura non ha bisogno di fare calcoli ; i calcoli li facciamo noi !

12.

Le funzioni m atematiche usate in fi sica

63

elevato che hanno i suoi termini. Il polinomio ( 1 .18) è di quarto grado . L'importanza dei polino mi in fisica è fondamentale. Esiste infatti un teorema di Weierstrass, che vale per una classe molto estesa di funzioni, praticamente per tutte quelle che compaiono in fisica. In parole povere il teorema dice che una qualunque funzione f si può, in un certo dominio, approssimare quanto si vuole mediante un poli­ nomio Pm di grado m sufficientemente elevato. Questo mostra che, una volta stabilite le precisioni en , qualunque legge della fisica, in un opportuno intervallo di valori delle variabili, può rappresentarsi mediante un polinomio. E infatti per moltissime leggi elementari si usano polino mi. Precisamente si fa uso di polino mi, quando il grado e il numero dei termini di essi possa essere abbastanza piccolo. Nel caso invece che si debba ricorrere a polinomi di grado elevato e di scrittura ingombrante, si preferisce cercare forme piu sintetiche, che fanno uso di radici quadrate (l) di funzioni trigonometriche, di espo­ ' nenziali, di logaritmi, e cosi via . Per chi conosce il calcolo infinitesimale, o almeno ne ha sentito parlare, può sembrare strano che si sia ammesso che tutte le leggi della fisica siano rappresentate mediante funzioni come nella ( I.6). Si potrebbe fare un discorso molto lungo, che ci porterebbe molto lontano e che, a questo punto, rischierebbe di essere assai poco illu­ minante. Preferiamo illustrare con un esempio concreto il fatto che, anche quando nell'espressione di una legge si usano i simboli del calcolo infinitesimale, la legge elementare si esprime in una forma del tipo ( I.6). Faremo vedere che cosa intendiamo per elementare. C l) Naturalmente d i quest'ultime ci si può liberare molto spesso semplicemente elevando al quadrato i due membri di un'equazione. ( 2 ) La limitazione a polinomi con pochi termini risponde a un criterio metodolo­ gico che tutti i fisici ritengono sano e che si esprime più o meno cosi : bisogna sce­ gliere la forma matematica che contiene il minimo numero possibile di costanti da aggiustare con l'esperienza. Ma attenzione ! Si incorre in un errore logico se non si distingue fra costanti aggiustabili e costanti aggiustate ; infatti il numero di queste ultime dipende unicamente da una convenzione di scrittura. Si consideri per esempio, il polinomio con infiniti termini x - x3f(l · 2 · 3) + x5j(l · 2 · 3 · 4 · 5) . . . ; esso contiene infiniti coefficienti k. Ma la matematica c'insegna che tale polinomio (o serie) vale sin x . Quando si adotta questa forma d i scrittura, si pensa di solito che la funzione non contenga alcuna costante !

&4

I.

Il metodo della fisica

In un caso che si verifica assai di frequente, due delle grandezze

An sono in realtà una medesima grandezza A misurata in due luoghi

(o istanti) diversi e altre due grandezze individuano questi due luo­ ghi (o istanti) in un opportuno sistema di coordinate. Per esempio i due luoghi siano rappresentati dai due punti P, P' (Fig. 7 ) e vengano individuati misurando le loro distante x, x' o

p

pl

1:=: _x x'� Figura 7

(ascisse) da un medesimo punto O (origine) preso sulla loro retta. Si misuri la grandezza A nel punto P trovando il risultato a e nel

punto P' trovando il risultato a ' . Molto spesso l'esperienza sugge­ risce che, se i punti P, P' non sono molto distanti, la differenza a' -a sia proporzionale a x' -x, es sendo la costante di proporziona­ lità dipendente dal luogo e dalle altre grandezze. Vale quindi

( 1.19 ) dove x caratterizza il luogo e le a1 , a2 , , a, ( che ancora indicheremo brevemente con an) sono le misure di altre grandezze che inter­ vengono nel problema (l)_ Supponiamo che le An le cui misure compaiono nella funzione f( x, an) non dipendano da x, cioè dal luogo in cui vengono misurate. Si pone tuttavia il problema : come va scelta la x che compare nella f� È l'ascissa di P, di P' o di un punto intermedio � Di solito ci si cava d 'impaccio prendendo la distanza fra P e P', cioè la differenza x' -x, che chiameremo �x, cosi piccola che la f(x, an) vari insensibilmente nel passare da x = x a x = x' e possa essere considerata costante in tutto l'intervallo �x < 2l . Allora, tanto •••

C l) È chiaro che questa relazione, posta nella forma O, è del tipo (I.6).

· (x' - x) =

a' - a - f(x, a1 , a2,

••• ,

C2l Cosi face nd o si ammette un'ip o tesi di cont inui tà che traduce l'antic a

sima

natura non facit saltus.

a,.) ·

mas· La j non salta bruscamente di valore nel passare da un

12.

Le funzioni matematiche usate in fisica

65

per fissare le idee, intenderemo con x l'ascissa x del punto P. Chia­ mando �a la differenza a'-a scriveremo la ( 1.19) cosi ( 1.2 0 ) Questa è quella che u n fisico chiama legge elementare del fenomeno ( che, naturalmente, sarà verificata solo fino a una data precisione) . Ora ci s i può domandare quale sia i l valore d i � x che pos siamo considerare abbastanza piccolo. Evidentemente esso è diverso volta a volta e dipende dalle precisioni di tutte le misure. Questa man­ canza di univocità d'interpretazione della ( 1.20) torna scomoda. Per fortuna la si può eliminare, valendosi di un concetto e di una nota­ zione del calcolo infinitesimale. Prima di tutto dividiamo ambedue i membri della (1.20) per �x, scrivendo ( 1.21)

�a = f(x, an) . �x

A questo punto dimentichiamoci per un momento l' interpretazione fisica e seguiamo il ragionamento del matematico. Il matematico, quando si trova dinanzi ad espressioni del tipo �af �x, dove l'incre­ mento �a di una a, funzione di x, è diviso per il corrispondente incremento �x di x, si domanda se, quando �x e �a tendono a zero, il rapporto tende a un determinato limite. Quando questo avviene, tale limite s'indica con d ajdx e si chiama derivata di a rispetto a x . La definizione di derivata può allora simbolicamente scriversi

(1.22}

�a da . = lim d x Ax_,.o �x

Sostituendo questa derivata al primo membro della (1.21) si con­ viene di scrivere

( 1.23)

da dx

= f( x, an ) .

punto a un punto �nolto vicino. Naturalmente diremo ch e questa ipotesi è giusti­ ficata soltanto nel caso che le conseguenze che se ne traggono vadano d'accordo con l'esperienza. ( l ) In realtà la notazione dafdx si dovrebbe usare quando a dipende soltanto da x e non anche da altre variabili an come abbiamo ammesso. Kel nostro caso si dovrebbe parlare di derivata parziale e scrivere èa.fòx. Ma questo è un dettaglio tecnico che i n questo momento n o n ci interessa.

I.

66

I l metodo della fisica

Con locuzione tutt'altro che rigorosa, ma efficace, si suol dire che i piccoli incrementi ila e lix sono diventati gl'incrementi infinite­ simi da e dx. Che significato può avere questa notazione matematica in fisica ? Come si fa a parlare di lix �o quando le precisioni delle misure sono sempre finite ? Ebbene, la (!.23) è soltanto una espressione conven­ zionale del fatto che, al di dentro delle precisioni di cui disponiamo, la ( !.20) è valida per qualsiasi valore di lix piu piccolo di un certo valore che non c'interessa specificare. La notazione è comoda, ma guardiamo di non dimenticarne la convenzionalità. Supponiamo ora di voler calcolare la differenza a' -a quando i punti P, P' non sono molto vicini, ovvero quando x' -x non è molto piccolo. Per far questo suddividiamo il segmento compreso fra P e P' in tanti segmenti abbastanza piccoli mediante i punti inter­ medi P I , P2 , , Pk di ascisse xi, x2 , , xk < 1>. Supponiamo che sia 1 x < x < x2 < . . . < xk Gl'infinitesimi attuali furono banditi dalla matematica quando L. A. Cauchy, C. Weierstrass e altri grandi scienziati dell'ottocento posero l'analisi su basi rigorose . Solo recentemente, al principio degli anni 1960 gl'infinitesimi hanno riottenuto diritto di cittadinanza, grazie all'analisi non standard, sviluppata da A. Robinson.

13.

Le unità di misura

69

operazioni di carattere molto differente. Vedremo alcuni esempi di ciò nel seguito. Ma, fedeli al nostro proposito di illustrare i concetti essenziali riferendosi ad esempi particolarmente significativi e tra­ lasciando la multiformità dei dettagli tecnici, teniamo in mente il caso della misura di una lunghezza. Si riporta un regolo sulla lun­ ghezza da misurare e si conta quante volte intere e frazionarie il primo è contenuto nella seconda. Se si va a indagare fino in fondo con spirito critico, ci si convince che anche questo semplicissimo procedimento, noto a tutti i bam­ bini, solleva un gran numero di delicate questioni e di difficoltà ( 1> . Ma noi qui prescinderemo da esse. Quello che ci interessa è ricordare che nessuno dubita che si possa dire con sicurezza, per esempio : que­ sto tavolo è largo 181 ± 1 cm. Che cos'è il regolo di cui abbiamo parlato ? Evidentemente in que­ sto, come in altri casi , si sceglie una grandezza dello stesso tipo di quella da misurare e la si rappresenta mediante un oggetto ma­ teriale, che, per cosi dire, la personifica. Il regolo è proprio questo oggetto materiale e la sua lunghezza è l'unità di misura. Spesso, un po' troppo sbrigativamente, ma senza generare grandi inconve­ nienti, si dice che il regolo stesso è l'unità di misura. Il problema di scegliere le unità di misura e i relativi campioni è molto importante e pieno di complicazioni. Ad esso si sono dedi­ cate e si dedicano molte commissioni internazionali da piu di un secolo. Noi ci limiteremo qui ad alcune osservazioni. Prima di tutto va sottolineata la completa libertà di cui gode chi sceglie l'unità di misura e quindi l 'arbitrarietà alla quale va sog­ getta tale scelta. Fino a che non si approfondiscono molto le cono-

Per esempio il regolo deve essere rigido, indeformabile, non soggetto a pertur­ bazioni e cambiamenti quando si muove e cosi via. La definizione precisa d i ciascuna di queste proprietà porta ad aporie e circoli viziosi. Molto è stato scritto sull'argo­ mento. Se ne trova un buon riassunto in A. GRUNBAUM, Philosophical Problems of Space and Time, Reidel, Dordrecht 1 973, cap. I. < 2 > Precisamente si tratta dei casi in cui la grandezza da misurare è dotata di quella forma di additività che consente di determinare quante unità di misura si devono sommare per riprodurla. Si parla in questo caso di grandezze estensive, mentre altre grandezze si chiamano intensive. Non mi pare che questa distinzione, un po' vecchietta, abbia molta importanza concettuale. Ma ha importanza pratica, nel senso che è utile sce­ gliere come grandezze fondamentali delle grandezze estensive.

70

I.

Il metodo della fisica

scenze, specialmente nella microfisica, non sembra che ci siano in natura oggetti privilegiati, non contingenti, sempre eguali a se stessi da assumere come campioni. Di questa arbitrarietà si è appro­ fittato presso quasi tutti i popoli civilizzati per scegliere le prime unità a misura di uomo. Si pensi per esempio alla lunghezza, misu­ rata a volta a volta in braccia, piedi, palmi, pollici, passi ecc. Con questa scelta le proprietà degli oggetti che usualmente ci circondano e con i quali abbiamo a che fare vengono misurate con numeri non troppo lunghi, cioè con poche cifre prima e dopo la virgola. Risultano questi infatti gli ordini di grandezza delle cose a livello umano. Tuttavia a questo stadio si aveva un grosso inconveniente. Le misure antropometriche non sono univoche, precise e riproducibili e hanno dato luogo nei diversi paesi o regioni a un'incredibile varietà di sistemi diversi. Toccò alla rivoluzione francese iniziare l 'unificazione, affidandone lo studio nel 1790 a una commissione composta da J. C. Borda, A. Condorcet, G. L. Lagrange, P. S. Laplace e G. Monge. Si arrivò cosi al sistema metrico decimale, che, dopo molte vicissitudini, fu adottato da moltissimi paesi. Dove non arrivò la rivoluzione e dove era già avanzato il pro­ cesso d'industrializzazione, cioè nei paesi anglosassoni, si rimase an­ corati a sistemi meno razionali e piu scomodi. Solo recentemente si è aperta la possibilità che anche tali paesi si allineino sul sistema decimale. Comunque la diversità dei sistemi di misura riguarda l'uso corrente e le applicazioni pratiche. Invece nella fisica è stato adot­ tato universalmente il sistema metrico decimale. Tale sistema ha avuto la sua piu recente codificazione nel sistema internazionale (SI ) di unità adottato nel 1960 ( 1) . Fondamentali sono le unità della meccanica, il metro (m), il chi­ logrammo (kg) e il secondo (s), che danno origine al cosiddetto sistema M.K.S. Molto spesso, specialmente nella microfisica, si ado­ perano come fondamentali dei sottomultipli del metro e del chilo­ grammo e si adotta il sistema centimetro ( cm), grammo (g), secondo ( s ) (l) Vedi per es. York 1 9 7 1 .

B.

CHISWELL e

E . c . M.

GRIGG, SI Units, John Wiley & Sons, New

13.

Le unità di misura

71

o sistema C.G.S. Per non complicare le cose ci atterremo sempre nel seguito a tale sistema. Come abbiamo notato, la scelta delle unità di misura e dei loro campioni è stata molto arbitraria ( l), Col progredire delle conoscenze fisiche ci si è accorti che esistono varie possibilità di campioni natu ­ rali molto piu stabili e ben riproducibili di quelli scelti a misura d'uomo. Per esempio le lunghezze d'onda e le frequenze di al cune righe spettmli emesse da certi atomi possono essere note oggi con precisione sbalorditiva, e, per quanto si sa, sono immutabili. Cosi si è giunti ad assumere come campione di lunghezza la lunghezza d'onda di una certa riga emessa dal gas nobile Kripton ( isotopo 8°Kr) , nel senso che si è stabilito che il metro sia eguale a 1 650 763.73 volte tale lunghezza d'onda. Si è stabilito poi che il secondo sia pari a 9 192 631 770 volte il p eriodo della radiazione emessa in una deter­ minata transizione del metallo alcalino Cesio (isotopo 1 33 Cs ). Per la massa potrebbe essere vantaggioso assumere come campione la mas­ sa di una determinata particella elementare (per esempio protone, elettrone). Ma la precisione con cui si possono determinare tali masse non è ancora tale da consigliare questa operazione. Per questo si rimane per ora ancorati al campione di chilogrammo costituito da un blocco di platino-iridio custodito presso il Bureau International des Poids et Mesures a Sèvres. Una considerazione non priva di interesse che discende da questa ricerca di unità naturali è che noi siamo decisamente contingenti, ben lontani da ciò che in natura è fisso e costante. O siamo troppo grandi (per esempio le nostre dimensioni e la nostra massa rispetto a quelle degli atomi e delle particelle) o troppo piccoli (per esempio si pensi alla velocità da noi naturalmente raggiungibile rispetto alla velocità della luce) . È forse questa contingenza fondamento essen­ ziale della nostra singolare natura ? A tutta prima sembrerebbe a chiunque che le unità di misura ( l ) Com'è noto, il metro avrebbe dovuto essere la quarantamilionesima parto del meridiano terrestre. Ma ciò comportava che ogni nuova e più precisa misura geode­ tica del meridiano aveva come conseguenza il cambiamento del metro. Fin dal 1 875 si è rinunciato a tale procedimento, cominciando a confrontare il meridiano con il metro, anzichè il metro con i l meridiano.

72

1.

Il metodo della fisica

dovessero essere tante quante sono le grandezze che compaiono in fisica e che fossero indipendenti le une dalle altre. Se le cose stessero cosi, si tratterebbe di una ben grave complicazione. Infatti le gran­ dezze della fisica sono molte e bisognerebbe sempre disporre dell'in­ tero campionario . Inoltre, come vedremo, per ogni legge, anche ele­ mentare, della fisica dovremmo imparare e ritenere a memoria un numero, magari con molte cifre decimali. Come conseguenza, quasi nessuno potrebbe ricordare l'espressione precisa di molte leggi im­ portanti. Fortunatamente la forma concreta che si dà alla maggior parte delle leggi della fisica consente una notevole semplificazione, della quale si approfitta largamente. Abbiamo detto che la principale e piu semplice forma nella quale si presentano (o meglio si scelgono) le funzioni dèlla fisica è rap­ presentata dai polinomi con piccolo numero di termini. Ora un poli­ nomio con un solo termine ( quando concernesse per esempio due grandezze A, B) esprimerebbe una legge fisica del tipo k 1 ab = 0 e sarebbe ben poco utile, perchè esigerebbe semplicemente che fosse o a o b eguale a zero . Molto piu importante invece è un polino mio con due termini, che semplifichiamo con (1.27) avendo supposto che intervengano nel fenomeno quattro grandezze A, B, O, D. Due o piu di esse potrebbero anche essere eguali ; per esempio se A fosse eguale a B, al posto di ab si dovrebbe scrivere a2• Possiamo nella ( 1. 2 7 ) dividere ambedue i termini per ku porre -k2/k1 = k e scrivere ( I.28)

ab = kcd .

Effettivamente, a parte il numero dellè grandezze interessate, che può variare, questa è la forma nella quale si presentano moltissime leggi elementari della fisica. La cost:::mte moltiplicativa o coefficiente k dipende evidentemente dalla scelta delle unità di misura. Infatti, una volta stabilita la validità della ( 1.28) con un dato valore di k, si pensi per esempio di dimezzare l 'unità di misura di A. È chiaro che nella (1.28), il valore

13.

Le unità di misura

73

di a raddoppia e pertanto la legge rimane valida soltanto se si rad" doppia il valore di k. È evidente dunque che tutto ciò che si può desumere dallo studio sperimentale è che il prodotto ab è proporzionale al prodotto cd. La costante di proporzionalità k dipende dalla nostra scelta delle unità di misura e non ci è in nessun modo imposta dalla natura. È bene rendersi conto chiaramente del fatto che le leggi elementari della

fisica esprimono solo delle proporzionalità, mai delle eguaglianze < 1>.

Supponiamo ora che quando si stabilisce sperimentalmente la legge ( !.28) le unità di misura delle grandezze A, B, C siano già state fissate e che rimanga da scegliere quelle per D. Ebbene, si sceglie la unità di D in modo che risulti k 1, cioè che si possa scrivere =

( !.29)

ab = cd .

È evidente l'utilità pratica di questo accorgimento. È molto facile ricordare la ( !.29), mentre ricordare la ( 1.28) esigerebbe di tenere a memoria il valore numerico di k, per esempio sapere che k è eguale a 0.2461. Sarebbe assai scomodo fare questo sforzo per tutte le leggi elementari della fisica. Inoltre, tutte le volte che il progresso tecnico consentisse di fare misure più precise bisognerebbe rivedere il valore di k o aggiungere altre cifre decimali alla sua espressione. È chiaro che per poter applicare il metodo testè descritto bisognerà stabilire in modo piu o meno arbitrario le unità di misura di alcune grandezze di partenza. Soltanto allora ci si potrà valere delle leggi della fisica per scegliere le unità di misura delle altre grandezze in modo da far sparire i coefficienti k nelle equazioni del tipo ( !.28) e passare alla forma (!.29) < 2 >. Come abbiamo già detto, in meccanica si scelgono come gran(I) Con l 'ovvia eccezione delle leggi d 'invarianza, che esprimono l'eguaglianza dei valori di una stessa grandezza i n due posti o istanti diversi. Inoltre notiamo che nella microfisica s'incontrano a volte rapporti fra grandezze omogenee (per esempio rapporto fra la massa del protone e dell'elettrone) che sono costanti non dipendenti dalle unità di misura, Con locuzione che spiegheremo fra breve, si dice che non ranno dimensioni e che sono numeri puri. Purtroppo a tutt'oggi queste costanti non sono eliminabili (cioè non è possibile dedurle da una regola) . Non c'è che sforzarsi di ricordarle. 12 ) Si dice a volte che in questo modo si ottiene un sist.ema di unità di misura

coerente.

L

74

I l metodo della fisica

dezze di partenza la lunghezza, la mas sa e il tempo, fissando per esse (nel sistema C.G.S. ) le unità di misura : centimetro, grammo, secondo. Queste s i chiamano unità fondamentali ( ll , mentre si chia­ mano unità derivate quelle scelte come l'unità di D nella ( 1.29) per far tornare k l. Vedremo vari esempi concreti di unità derivate. Purtroppo questo metodo cosi facile e comodo non è applicabile alla totalità dei cas i ; ed è immediato rendersi conto del perché. Una volta fissate le tre unità fondamentali, una legge fisica che leghi la lunghezza, la massa e il tempo con una quarta grandezza, può servire per scegliere l'unità di quest'ultima. Due leggi fisiche siffatte possono servire per scegliere le unità di una quarta e di una quinta grandezza e cosi via. In generale vediamo che con N leggi fisiche possono risultare fissate le unità di N +3 grandezze. Ma che accade se si scopre che le N +3 grandezze sono legate da un'ulteriore legge fisica, non compresa nelle N considerate? Non c'è niente da fare : in quest'ultima legge dovrà comparire un coeffi­ ciente k, del quale bisognerà accettare il valore imposto dall'espe­ rienza. In questo caso i fisici sogliono dire che k è una costante universale. Questo nome pomposo è piuttosto infelice. Esso può mascherare il fatto che le eguaglianze del tipo ( 1.29) sono fabbricate da noi e non imposte dal mondo fisico. L'esperienza fornisce soltanto delle pro­ porzionalità e pertanto ogni legge fisica ha la sua brava costante uni­ versale ! Usare questo nome soltanto per i k delle leggi fisiche sco­ perte per ultime può essere fuorviante. =

14.

Dimensioni delle grandezze fisiche. Non sarà male illustrare con un esempio particolarmente sem­ plice la tendenza che si ha a dimenticare la convenzionalità del me­ todo, fino a supporre insite nella natura delle cose alcune relazioni l l l G. GAMOW in Physics Logic and History, Plenum Press, New York 1970, p. 203, le chiama scherzosamente >, volendo fra l'altro sottolineare la loro pomposa convenzionalità.

14.

Dimensioni delle grandezze fisiche

75

che non l o sono affatto . Consideriamo i l caso elementare della rela­ zione fra lunghezza e superficie. Il fatto che in questo caso la relazione fra le due grandezze si possa scoprire per via speculativa (matematica ), anziché sperimen­ tale, non ha molta importanza per quello che vogliamo dire e lo ignoreremo . Procedendo da fisici, ritagliamo nel cartone tutta una serie di figure piane simili (per esempio triangoli equilateri ). Pesando i cartoni ci convinceremo che (a meno della precisione di misura) la superficie della figura risulta proporzionale alla seconda potenza della lunghezza di segmenti omologhi sulle varie figure (per esempio dei lati dei triangoli equilateri). Potremo scrivere ( !. 30 )

s = kl2

dove s indica la misura della superficie e l la misura della lunghezza. La costante k dipende dalla scelta delle unità di misura, dalla forma delle figure e dai segmenti misurati su di esse. Abbiamo la possi­ bilità di far sparire il k, cioè di porlo uguale a l soltanto per figure ben determinate. Ebbene si è ritenuto che la cosa piu comoda da fare fosse sce­ gliere per unità di misura della superficie il quadrato che ha il lato eguale all'unità di lunghezza. In questo modo risulta per la super­ ficie s di un quadrato di lato l ( !.31) La scelta fatta è certamente razionale e consigliata da molti validi motivi, ma non è affatto necessaria. Niente vieta di prendere per unità di misura la superficie di un cerchio di raggio unitario ; e in tal caso la ( !.31) varrebbe per i cerchi di raggio l. Comunque, se si fa la scelta del quadrato, la costante k scompare soltanto quando si tratta di quadrati. Per il cerchio di raggio l si deve introdurre un k = n, per il triangolo equilatero di lato l un k = VS/4, e cosi via. Qualora si scegliesse per unità il cerchio di raggio unitario, il n scomparirebbe per il cerchio, ma ricomparirebbe per il quadrato, in quanto si avrebbe s = l2fn. Il pregiudizio che la forma usuale ( !.31) per i quadrati sia neces­ saria nasce di solito fin dai primi anni di scuola, a causa di un ma-

76

I.

Il metodo della fisica

!accorto insegnamento. Purtroppo la nomenclatura usualmente e universalmente accettata non aiuta affatto a compiere riflessioni critiche. Infatti si arriva, come è noto, a fare confusione fra il qua­ drato e la seconda potenza, dicendo elevare al quadrato. Bisogne­ rebbe assolutamente far notare ai ragazzi nelle scuole che, se per avventura si fosse scelto per unità di superficie il cerchio di raggio unitario, si direbbe elevare al cerchio. Per assurdo si potrebbe addi­ rittura pensare che se Galileo fosse esistito prima di Euclide e avesse preso eguale a l il coefficiente t g che lega la caduta di un grave alla seconda potenza del tempo impiegato, oggi si potrebbe dire elevare

a cad�tta ! C'è un'ulteriore convenzione linguistica che torna molto utile al fisico, ma che richiede qualche considerazione critica. La illustre­ remo anch'essa con l'esempio semplicissimo della ( 1.31 ) . Vogliamo che questa equazione rimanga sempre valida comunque si scelga l'unità di misura della lunghezza. Se si raddoppia l'unità di misura della lunghezza, è chiaro che si dovrà quadruplicare l'unità di misura della superficie ; se si triplica la prima, si dovrà moltiplicare per 9 la seconda e cosi via. Si dice allora che la superficie ha le dimensioni della seconda potenza di una lunghezza. Allo stesso modo si dirà che il volume ha dimensioni della terza potenza di una lunghezza. E analogamente si procederà con le varie grandezze che incontreremo. Alcune grandezze che risultano non dipendere dalla scelta delle unità di misura si chiamano adimensionali. Si dice che la loro mi­ sura è espressa da un numero puro. Per esempio la misura di un an­ golo in radianti ( rapporto fra l'arco di circonferenza sotteso dall'an­ golo e il raggio ) non dipende evidentemente dall'unità della lun­ ghezza o di altra grandezza fisica. Allora l'angolo è una grandezza adimensionale. Questa convenzione delle dimensioni è molto utile per i controlli. Infatti è evidente che i due membri di un'equazione che esprime una legge fisica devono avere le stesse dimensioni. Altrimenti la legge, anziché avere validità generale, sarebbe verificata soltanto per una particolare scelta delle unità di misura, ciò che è assurdo. In questo modo si riesce spesso a colpo a vedere se una data legge è ammissi-

14.

Dimensioni delle grandezze fisiche

77

bile o è decisamente errata. Per esempio si vede che l 'enunciato : >, è decisamente errato ; infatti la seconda potenza di una lunghezza dovrebbe essere eguale alla terza potenza di una lunghezza. Ma attenzione ! Anche in questo caso è facile lasciarsi trascinare dalle parole e dimenticare la convenzionalità del linguaggio usato. Per esempio a volte si dice in modo molto sbrigativo : « la superficie è il quadrato di una lunghezza >>, oppure : >. Guai a intendere alla lettera queste affermazioni ! Si arriva a convincers i che esse implichino qualcosa di sostanziale, insito nella natura delle cose in fisica è frequentissimo, ma a questo uso non corrisponde sempre un'accezione chiara e univoca. Nei suc­ cessivi capitoli di questo libro vedremo una continua illustrazione di quello che s'intende per teoria fisica. Ma già da ora facciamo alcune utili distinzioni e chiariamo alcuni equivoci. La forma p ili precisa di teoria è quella assiomatica, mutuata dalla matematica < 1>. A rigore bisogna disporre di un lingtwggio formale, di un certo numero di proposizioni primitive, dette assiomi, dalle quali per mezzo di determinate regole di derivazione si deducono tutte le altre proposizioni valide della teoria. Il linguaggio deve essere inter­ pretato mediante regole di corrispondenza con gli oggetti e i feno­ meni fisici, in modo che almeno alcune proposizioni derivate siano suscettibili di essere verificate con l'esperienza. Tuttavia le teorie della fisica hanno di solito caratteristiche molto meno stringenti < 2>. Soprattutto, come già abbiamo detto, ci si con­ tenta del linguaggio corrente, limitandosi a precisare in modo rigo­ roso l'uso di alcuni termini. Gli assiomi possono assumere forme diverse. Alcuni hanno la forma di enunciati di leggi fisiche del tipo ( 1.6). Le regole di derivazione sono quelle della logica classica e quelle date dalla matematica. Anche le proposizioni derivate pos­ sono avere la forma ( 1 . 6 ) . L'esperienza definisce i l dominio di validità della teoria e vedre­ mo piu precisamente a suo tempo come questo può avvenire. La teoria viene accettata dalla comunità dei fisici solo quando si sia (l) Vedi per es. L. HENKIN, P. SUPPES, A. TARSKI (a cura di), The Axiomatic Method, North Holland, Amsterdam 1 9 59 ; J. D. SNEED, The Logical Structure of Mathematical Phys ics, Reidel, Dordrecht 1 97 1 . < 2> L'assiomatizzazione delle teorie della fisica era i l sesto dei famosi ventitré pro­ blemi posti da H ilbert al Congresso Internazionale di Matematica a Parigi nel 1900. Come dice Bunge, il problema rimane ancora largamente aperto, nonostante impor­ tanti tentativi (D. Hilbert, C. Carathéodory, A. Reichenbach, J. von Neurnann, J. C. C. McKinsey, A. S. Wightman) (M. BUNGE, Philosophy of Physics, Rcidel, Dordrccht 1973, cap. vu).

15.

Teorie, ipotesi. modelli

79

accertato che ha un dominio di validità sufficientemente ampio, cioè tale da includere almeno tutte le esperienze note. Quest'ultimo con­ cetto non è forse molto preciso, ma di solito non crea soverchie diffi­ coltà. Fino a che non si è proceduto a questa verifica, è molto me­ glio parlare di ipotesi, piuttosto che di teoria. Ma come abbiamo già notato, l'uso ordinario non è sempre cosi preciso. A questo proposito bisogna fare un'osservazione importante. A volte fra gli assiomi si trovano, accanto a proposizioni che effettiva­ mente vengono utilizzate per dedurne conseguenze sperimentali, affermazioni indipendenti e inutili, la cui verifica o confutazione viene rimessa a uno stadio futuro e piu avanzato della fisica. Un esempio tipico viene fornito dalla cosiddetta teoria elastica della luce, in auge nei primi decenni dell'ottocento, secondo la quale le onde luminose avrebbero dovuto essere onde meccaniche in uno speciale mezzo elastico. Quello che l'esperienza verificava a quei tempi era soltanto che si trattava di una propagazione ondosa, che ubbidiva a certe equazioni. La natura rneccanica delle onde era cosa da accer­ tarsi in futuro, per esempio trovando il sistema di osservare il mezzo materiale in cui le onde si propagavano e misurandone gli sposta­ menti dall'equilibrio. Evidentemente anche in casi come questo sa­ rebbe molto meglio parlare di ipotesi anziché di teoria. L'importante è che chi sente parlare di teoria elastica della luce abbia ben pre­ sente che si tratta di cosa ben diversa dalla teoria elettromagnetica della luce. Quest'ultima fu a suo tempo un'ipotesi di Maxwell, ma venne confermata dalle esperienze di Hertz, le quali contempora­ neamente smentirono l ' ipotesi elastica. Una menzione speciale merita l'uso della parola > in fisica < 1> . Essa viene impiegata spessissimo sia dai filosofi della scien­ za, sia, e ancor piu, dai fisici, in contesti molto diversi. Inoltre il suo significato ha avuto una rapida evoluzione di cui non tutti sembrano l ll Avvertiamo che il concetto di modello ha nella logica moderna un'accezione completamente diversa (forse si potrebbe dire d iametralmente opposta ! ) da quella che generalmente ha i n fisica. Inoltre, a differenza da quest'ultima, si tratta di un'acce­ zione ben precisa introdotta soprattutto per merito di A. Tarski. Nel leggere un'opera di filosofia della scienza bisogna fare attenzione tutte le volte che l'autore parla d i modelli . Bisogna capire se il contesto è quello logico o quello ordinario della fisica.

r.

80

I l metodo della fisica

rendersi conto. Per questo possono coesistere significati molto diffe­ renti che generano una certa confusione. L'accezione primitiva di modello è probabilmente quella di ripro­ duzione materiale di un sistema fisico in scala ridotta o aumentata, avente lo scopo di renderne piu accessibili l'osservazione e lo studio. Cosi, per esempio, il mappamondo è un modello della Terra ; e tutti avranno visto dei modelli di cristalli, in cui gli atomi sono rappre­ sentati da palline di diverso colore, disposte in modo da riprodurre la struttura del cristallo. Modelli di questo tipo vengono largamente usati nella tecnica ( da ingegneri, architetti, ecc.) ed esiste su di essi una cospicua mole di teoria. Ma i fisici, quando parlano di modello , non si riferiscono di solito alla vera e propria riproduzione materiale, si riferiscono piuttosto a una riproduzione ideale e concettuale, a una visualizzazione pura­ mente interiore < 1>. L'esempio storico piu importante di questa accezione è costituito dal modello planetario dell'atomo. Quando fu creato tale modello e per alcuni anni successivi, si poté pensare a una riproduzione sia pure ideale, ma fedele della realtà. L'atomo non era visibile soltanto perché era troppo piccolo, ma ingrandendolo, doveva trasformarsi in un sistema di > visibili, localizzabili, aventi una certa forma, ecc., come avviene per i corpi ordinari che ci circondano. I guai vennero quando si cominciò a capire che le cose non sta­ vano cosi. Le particelle microscopiche ( subatomiche) non hanno le stesse proprietà dei corpi macroscopici con i quali abbiamo familia­ rità ; farsene un'idea intu,itiva o visiva vuol dire falsare la realtà. A questo punto il concetto di modello subi una trasformazione. Si cominciò a pensare che esso non indicasse una copia necessariamente fedele della realtà, bensi un sistema fittizio visualizzabile, che ci aiu­ tasse in qualche modo a rappresentare la realtà non visualizzabile. Ma una volta persa la perfetta similitudine con la realtà, era ine­ vitabile che il modello subisse un'ulteriore evoluzione e diventasse puramente astratto. E infatti nella fisica contemporanea delle parti­ celle, un modello è quasi sempre un modello matematico, che non ha !l )

Vedi :

M. BUNGE,

Method, Model and Matter, Reidel, Dordrecht 1973.

15.

Teorie. ipotesi, modelli

81

molto a che fare con l a visualizzazione. N on è una vera e propria

teoria perché si è lungi dall'aver dimostrato che va d'accordo con tutti i fatti sperimentali noti. E spesso non è nemmeno un'ipotesi, perché si sa bene che descrive al piu un aspetto particolare della realtà, rimanendo scollegato e forse addirittura in contraddizione con le teorie precedenti, già acquisite . Si tratta molto spesso di uno strumento avente soprattutto valore ettristico. Come abbiamo accennato, di questa evoluzione del modello in fisica non si tiene sempre conto. Si insiste sulla grande importanza del concetto, senza darsi la briga di riconoscere quanto esso sia nebuloso e confuso . N on sono pochi coloro che affermano con una certa enfasi che il fisico ragiona soltanto su dei modelli. Ma le inter­ pretazioni che essi stessi danno di questa affermazione possono es­ sere le piu disparate. Si va dalla posizione kantiana per cui noi ragio­ niamo sui fenomeni, restandoci inconoscibile la cosa in sé, alla posi­ zione materialistica dialettica per cui la nostra conoscenza rispecohia bensi la realtà, ma necessariamente solo in modo parziale, perché la realtà è inesauribile. Io credo che, nella situazione che si è venuta a creare, la parola >, quasi sempre inutile, sia il piu possibile da evitare. (l ) H. R. Post (Atti del V Congresso Internazionale di logica, metodologia e fìlosofw della scienza, London, Ontario, 1 9 75) parla in questo caso di >.

Capitolo secondo

La fisica del reversibile

l.

Divisioni della fisica classica. Nelle presentazioni piu tradizionali della fisica si suole prima di tutto distinguere fra fisica classica e fisica moderna. Di solito la fisica classica viene suddivisa in meccanica, termologia, acustica, ottica, elettromagnetismo, mentre la fisica moderna include la relatività, la meccanica quantistica, la fisica atomica e nucleare, la fisica delle particelle. Queste suddivisioni piuttosto vecchiotte hanno soprat­ tutto un significato storico, mentre il loro valore concettuale è oggi assai dubbio. Infatti, si è ormai sicuri che non esistono reparti stagni nella fisica e che tutto è collegato con tutto. Naturalmente non si può senz'altro rinunciare alla divisione in capitoli nell'esposizione di una qualsiasi disciplina. Ciò deriva so­ stanzialmente dal fatto che il procedimento naturale del nostro pen­ siero è diacronico e non sincronico ovvero è necessariamente carat­ terizzato da acquisizioni successive nel tempo anziché simultanee. Di questa diacronia si può ragionevolmente far uso in due modi diversi. O si espone il contenuto della disciplina attenendosi soprat­ tutto alla cronologia storica, oppure s i effettua la suddivisione in base a certe omogeneità concettuali che aiutino la comprensione. Com'è ovvio, si tratta allora di una classificazione che dipende molto piu dal nostro modo di ragionare che dall'intrinseca natura del­ l'oggetto. Ma come potrebbe essere altrimenti � Comunque, anche accettato quest'ultimo modo di procedere, come noi faremo, rimane un largo margine di libertà e di opinabilità nella scelta dei criteri di suddivisione. Sarà pertanto superfluo sotto­ lineare che quelli qui adottati non sono gli unici possibili. Alla divisione fra fisica classica e fisica moderna sostituiremo quella fra macrofisica e microfisica. La microfisica si occupa della

84

n.

La fisica del reversibile

struttura delle molecole, degli atomi, dei nuclei, delle particelle e delle interazioni fra questi enti. Per la sua trattazione adeguata è necessaria la meccanica quantistica. La macrofisica si occupa invece degli oggetti di dimensioni molto piu grandi delle molecole, per esempio degli oggetti a misura di uomo. Di solito per la descrizione dei fenomeni fisici a questa scala sono sufficienti le leggi della fisica classica, cioè quelle del tipo discusso precedentemente ( cap. I, § 10). Ma sarà bene avvertire che vi sono alcune eccezioni (laser, s1tper­ conduttività) cioè casi in cui la comprensione di fenomeni macrosco­ pici esige una trattazione quantistica. I fenomeni della macrofisica possono concettualmente distin­ guersi in due categorie ben diverse : quelli reversibili e quelli irre­

versibili. Si osservi un film proiettato all'indietro. Supponiamo che il film rappresenti un treno in marcia. A prima vista non noteremo nulla di terribilmente eccezionale. Tutti abbiamo visto qualche volta una locomotiva che spinge i vagoni, anziché trainarli. Da questo solo fatto non potremo certo concludere che il film è proiettato alla ro­ vescia. Infatti stiamo osservando un fenomeno reversibile, ovvero un fenomeno che può svolgersi indifferentemente in un senso o nel senso opposto. Ma supponiamo che la locomotiva s ia a vapore. Osserveremo allora il vapore < 1> che si forma nell'aria e rientra nella ciminiera. A colpo decideremo che il film va alla rovescia. Abbiamo infatti osservato un fenomeno irreversibile, che va nel senso sbagliato. I fenomeni della meccanica e dell'elettromagnetismo sono rever­ sibili, e verranno trattati per primi, mentre sono irreversibili quelli della termodinamica, che verranno affrontati in un successivo capi­ tolo. L'acustica non è che una parte della meccanica e l'ottica non è che una parte dell'elettromagnetismo e non meritano trattazione separata . !l l In realtà i l vapore d'acqua è invisibile. Quando s i dice che si vede il vapore s'intende parlare delle minute goccioline di acqua in cui il vapore si condensa al con­ tatto con l'atmosfera più fredda. Q ueste costituiscono il fumo bianco che si vede. > . Se questo è stato sempre vero, oggi lo è in modo impressionante. Quale bambino moderno non sa che cos'è la velocità molto prima di saper leggere un orologio ? Naturalmente il problema è far corrispondere alla nozione intui­ tiva di velocità un preciso procedimento di misura. La cosa non è impossibile, anche se tutt'altro che comoda. l'orecchio e prima dell'occhio. Ciò che avviene in questi organi di senso e nella psiche di chi percepisce appartiene alla fisiologia e alla psicologia rispettivamente. Ma ciò non significa che alcuni fisici o biofisici non si occupino anche di questi interessantissimi argomenti. È tradizionale parlare impropriamente di spazio percorso, anziché di lunghezza o distanza percorsa. ( 2 ) J. PIAGET, L'epistemologia genetica, Laterza, Bari 1 9 7 1 , p. 1 5.

86

II.

L a fisica del reversibile

Innanzitutto si stabilirà un'unità di misura e un campione di velocità mediante un carrello (Fig. 8) munito di regolatore, che si

Figura 8

muove lungo una rotaia. Una velocità doppia sarà definita mediante un altro carrello identico che si muova su una rotaia solidale col primo. E cosi per il triplo, quadruplo, eccetera. Non è difficile imma­ ginare anche misure frazionarie. È evidente l'assoluta non praticità del sistema. Ma dal punto di vista concettuale l'unica cosa importante è sapere che è possibile definire la velocità come grandezza primitiva, non necessariamente riferita ad altro. Se ora si va a misurare qual' è la distanza l percorsa in un tempo t da uno dei nostri carrelli che ha velocità v, si scopre che vale la legge fisica ( II . l)

l = kvt .

Lo spazio percorso è proporzionale al prodotto della velocità per il tempo impiegato. Come sempre, la costante k dipende dalle unità di misura. Ebbene, applicando il procedimento già discusso, si sceglie l'unità di misura della velocità in modo che risulti : k = l. Avremo allora ( II.2 )

l = Vt .

L'unità di velocità sarà quella che in un secondo fa percorrere un (l) D'ora innanzi nello scrivere le leggi fisiche sottintenderemo il cte, senza espli­ citarlo. Ma il lettore dovrebbe ormai sapore che l'e c'è sempre, anche se a volte non interessa specifioarne l' entità.

2.

La velocità e l' accelerazione

87

cm. Si chiamerà cm al s, e verrà indicata convenzionalmente con cmjs o con cm · s-1. A questo punto è facile, guardando la ( II.2), essere indotti ad affermare che la velocità è una lunghezza divisa per un tempo. Abbiamo già messo in guardia sull'assoluta convenzionalità di que­ sta espressione. Essa non riflette nulla di intrinseco agli enti fisici cui si riferisce. Che poi, una volta istituita la convenzione, sia piu comodo misu­ rare la velocità misurando l e t e quindi facendo il rapporto l jt, anziché ricorrendo alla praticamente impossibile misura diretta me­ diante i carrelli, è un'altra questione. Vedremo in seguito anche altri esempi di questo procedimento. Si ha una grandezza fisica A la cui diretta definizione operativa è possibile, ma porta a grosse difficoltà pratiche e a una scarsa preci­ sione nelle misure. Allora, una volta scoperta una legge fisica che lega A ad altre grandezze B, G . . ( e che naturalmente vale a meno di una certa .s), si assume la legge stessa come definizione di A . Si scrive cioè una equazione come la (II.2) esatta ( senza la .s). Tale equazione cessa dunque d i esprimere una legge fisica e diventa una pura definizione ( ma pur sempre definizione operativa, natural­ mente). No n vi è nulla di criticabile in questo procedimento, purché si stia bene attenti a non equivocarne il s ignificato (l)_ Fin qui abbiamo tacitamente ammesso che la velocità fosse co­ stante, cioè non variasse durante il tempo t. Se essa varia durante l'intervallo t, è chiaro che ljt ci dà solo la velocità media lungo il percorso. In ciascun piccolo intervallo t:.l del percorso si avrà una velocità diversa che si otterrà dividendo t:.l per il tempo f:.t impie­ gato a percorrerlo. Piu saranno piccoli t:.l e M e piu saremo sicuri che, dentro le nostre precisioni, la velocità potrà considerarsi co.

< 1 l È interessante ricordare l'opinione diametralmente opposta a quella qui pre­ sentata, espressa da B. RUSSELL (J principi della matematica, Newton Compton Ita­ liana, Roma 1 9 7 1 , p. 7 09 ) : >. Il pensiero di una cosi alta autorità, sia pure espresso nel lontano 1903, non fa che sottolineare il divario che c'è fra la mentalità e il metodo del fisico e quelli del matematico.

88

n.

La fisica del reversibile

stante nell'intervallo. Come abbiamo spiegato se si passa addirittura al limite per !::.l e !::.t tendenti a zero, si scrive ( II.3)

v=

dl

dt

.

Si dice che la velocità è la derivata dello spazio rispetto al tempo. Nel moto uniforme la velocità è costante e vale la ( II.2 ) . Ma que­ sto è solo un caso particolare. In generale vale la ( II.3 ) ; v è diversa da istante a istante e si parla di moto vario. Nel moto vario interessa di sapere con che rapidità v varia o sta variando a un dato istante. La grandezza relativa è l'accelerazione. Ho proprio l'impressione che anche dell'accelerazione un bam­ bino moderno ha un'idea intuitiva abbastanza chiara. Ma non starò a ripetere ragionamenti analoghi a quelli fatti per la velocità. Pas ­ siamo subito a dire che l'accelerazione s i definisce mediante l a velo­ cità e il tempo scrivendo ( II.4 ) L'accelerazione è quindi il rapporto fra l'incremento della velocità e il tempo durante il quale si produce tale incremento ; ovvero è la derivata della velocità rispetto al tempo. Essa si misura in ( cmjs)js ovvero in cmjs 2 o cm · s-2 , come suol dirsi brevemente. Poiché per le ( II.3 ) e ( II.4) risulta che l'accelerazione è la deri­ vata della derivata dello spazio rispetto al tempo, si dice anche che è la derivata seconda dello spazio rispetto al tempo. Simbolicamente si suole scrivere (II.5) Quando l è dato a priori come funzione di t, la matematica in­ segna a calcolare la derivata prima v e la derivata seconda a. È ovvio che per un moto uniforme l'accelerazione è nulla, cioè

a = O.

S e tutti i moti che si presentano direttamente in natura fossero uniformi, il cammino della fisica sarebbe stato molto piu agevole. Invece il moto naturale che per primo ha attirato l'attenzione

2.

La velocità e l'accelerazione

89

e la curiosità degli scienziati è il moto di caduta dei gravi, che non è affatto uniforme. Precisamente Galileo scopri che il moto è acce­ lerato, con accelerazione costante. Si dice che si tratta di un moto uniformemente accelerato. La relativa accelerazione si chiama acce­ lerazione di gravità, si indica generalmente con g ed ha il valore di g = 981 cmfs 2 (I) . La legge di gravità, come si vede, è molto semplice. Ma non fu affatto agevole scoprirla. Prima di tutto, essendo il moto molto rapido, è estremamente difficile effettuare misure di una certa precisione senza disporre di apparecchiature abbastanza moderne. Galileo ricorse all'ingegnoso espediente di usare piani inclinati, lungo i quali il moto è ancora uniformemente accelerato, ma con accelerazione minore. In secondo luogo c'è la resistenza dell'aria che complica tutto e maschera il fatto essenziale che l'accelerazione di gravità è identica per tutti i corpi. Come è noto, un pezzo di carta cade piu lentamente di una palla di ferro. Galileo capi appunto che si trattava di un parametro secondario che si doveva eliminare se si voleva giungere alla legge fondamen­ tale. Bisogna considerare la caduta dei gravi nel vuoto e non nel­ l'aria. Ora è degno di meditazione il fatto che Galileo non poteva compiere l'esperienza nel vuoto, perché non ne aveva i mezzi ; ma arrivò egualmente alla legge giusta per via d'intuizione e di una felice estrapolazione. Se si lascia cadere un grave partendo dalla quiete, poiché la sua velocità aumenta di g ogni secondo, è chiaro che dopo t secondi esso avrà raggiunto la velocità ( II.6 )

V = gt .

Riportiamo quest'ultima legge nel grafico di Fig. 9 dove in ascissa si pone il tempo t e in ordinata la velocità v raggiunta. Si otterrà la retta O V. In un piccolo intervallo di tempo D.. t , in cui la velocità è v, lo spazio percorso è D.. l = v D..t. Questo prodotto non è altro che l 'area (I) Non si tratta di una costante universale. Infatti il suo valore varia da luogo luogo sulla Terra e diminuisce allontanandosi dalla superficie terrestre.

a

II.

90

La fisica del reversibile

v

v

gt

l l

, v l

l l

--'1 11t :l l

o

Figura 9

A

B

H

t

del rettangolo ABCD indicato in figura. Lo stesso ragionamento si può ripetere per tutti gl'intervalli !lt in cui si può dividere l'inter­ vallo totale OH, costruendo su ciascuno il relativo rettangolo . La somma di tutti i !ll cosi ottenuti ci darà lo spazio totale percorso. D'altra parte la somma delle aree di tutti i rettangoli sarà eguale all'area del triangolo OH V. La base del triangolo è t, l'altezza gt, pertanto avremo (II.7)

s

=

f gt2 •

Abbiamo cosi eseguito un integrale. Lo avremmo potuto eseguire valendosi delle regole dell'analisi matematica, a partire dalla (II.6). Ma per evitare di utilizzare conoscenze di questo tipo abbiamo appli­ cato un metodo grafico. Esso è in sostanza anche il metodo che applicava Galileo. 3.

Moti curvilinei. I moti di cui ci siamo occupati fin qui sono moti rettilinei. Il mobile percorre una retta e la sua velocità ha sempre la medesima direzione. Questo è naturalmente un caso particolare. Per trattare

3.

Moti curvilinei

91

qualche caso piu generale dobbiamo ora introdurre i vettori, cwe degli enti matematici, capaci di descrivere grandezze fisiche che hanno una direzione ( spostamenti, velocità, accelerazioni, forze, ecc. ) . Un vettore è rappresentato da un segmento orientato AB ( Fig. 10) . Esso ha una lunghezza, una direzione e un verso, da A

Figura l O

a B, indicato generalmente da una freccia. L a lunghezza o modulo del vettore è proporzionale alla misura (numero) della grandezza da rappresentare. Se per esempio, si tratta di una velocità, si prende il segmento AB tanto piu lungo quanto maggiore è il valore di v. La direzione e il verso del vettore coincidono con la direzione e il verso della velocità. Per i vettori si può istituire un'algebra, analogamente a quanto si fa per i numeri reali. Si ha cosi il calcolo vettoriale. A noi interessa solo ricordare due cose di quest'algebra.

// Figura l l

Prima d i tutto due vettori ( l) u, v s i dicono eguali quando hanno eguali il modulo, la direzione e il verso. N on interessa quindi se i relativi segmenti rappresentativi coincidono o meno (Fig. ll ) ovvero se hanno o no lo stesso punto di partenza. In secondo luogo ricordiamo che la somma di due vettori u, v è per definizione la diagonale w del parallelogramma costruito sui due Si usa rappresentare i vettori con simboli in grassetto. I relativi moduli sono in carattere normale.

92

11.

La fisica del reversibile

lati u, v ( Fig. 12) . Questa definizione non è cervellotica. Essa è stata scelta per l'ottima ragione che le grandezze vettoriali che si usano di solito in fisica si sommano proprio in questo modo, come risulta dall'esperienza.

u

/

/

/

/

/

/

/

/

/

/

/

Figura 12

Il piu semplice esempio di ciò è rappresentato dagli spostamenti. Consideriamo un uomo che si trovi sulla coperta di una nave nel punto A (Fig. 13 ) . Dopo un certo tempo, se l'uomo sta fermo sulla coperta egli si troverà in B, per effetto del moto della nave. Ora supponiamo invece che la nave stia ferma e l'uomo cammini sulla coperta in modo da arrivare, dopo lo stesso tempo, in C. Ebbene se i due moti avvengono contemporaneamente, l'uomo alla fine si tro­ verà nel punto D, ottenuto sommando i due vettori AB e A C che rappresentano i due spostamenti. ....

.... ._______;: , _ :..._ __.,;; _ - - - - --- -

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l

Figura 13

Allo stesso modo si sommano le velocità, le forze, ecc. Com'è noto, a volte s' individuano i punti dello spazio riferendosi a un sistema di assi cartesiani ortogonali xyz (Fig. 14). Un tale sistema può anche servire per individuare i vettori. Dato un vet­ tore v, lo si riporta a partire dall'origine O; le coordinate del suo estremo P si chiamano componenti del vettore e si indicano con

3.

_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _

z

�

J,'

Moti curvilinei

/ ' �� vz

93

x

Figura 14 Vx , Vy , Vz .

Si può anche dire che le componenti del vettore sono l e sue proiezioni ortogonali sugli assi coordinati. Una conseguenza importante dell'aver introdotto il punto di vista vettoriale è che un moto può considerarsi veramente uniforme, soltanto quando v è costante anche in direzione. Altrimenti si ha un moto vario, anche se il modulo di v rimane costante. ·

Figura 1 5

Per esempio si consideri il caso di un mobile che si muova con velocità di modulo costante lungo una traiettoria circolare ( Fig. 15 ) N el punto A la velocità sarà v A , nel punto B sarà vB . Ebbene queste velocità sono differenti perché hanno direzione differente. Ripor­ tiamo a partire da A un vettore AD eguale a vB , si vede che il pas.

94

u.

La fisica del reversibile

saggio da vA a vB si effettua aggiungendo a vA il vettore CD (o quello eguale A E ) . Poiché si aggiunge costantemente qualcosa a vA , si ha evidentemente una accelerazione. Questa si chiama accelerazione cen­ tripeta perché è diretta verso il centro. Con un ragionamento infini­ tesimale U l si trova che l'accelerazione centripeta è data da ( II.8)

v2 a=­ r

dove v rappresenta il modulo di v (cioè il numero di cm fs ) e r il raggio della circonferenza. È ovvio che un'accelerazione centripeta si avrà tutte le volte che il moto è curvo, anche se non si tratta proprio di circonferenza. 4.

Leggi della dinamica. La meccanica di Galileo è ancora in massima parte al livello della

cinematica. Si studiano le caratteristiche dei moti prescindendo dalle loro cause. Lo studio dei moti in relazione alle circostanze che li cau­ sano s i chiama dinamica. Essa è dovuta sostanzialmente a New­ t ò n ( 2> . Questa tradizionale distinzione solleva i n realtà una quantità di difficili problemi. Fra l'altro il concetto di causa è tutt'altro che chiaro nella fisica moderna (v. cap . IV , § 20 ). Come vedremo, si tende a sostituire all'idea di un divenire causale piuttosto il concetto di struttura del mondo fisico. Comunque, r imandando ad altre occa­ sioni questa discussione critica, ci atterremo qui per semplicità alla esposizione tradizionale. ( l i L'arco di circonferenza AB è eguale alla velocità v, moltiplicata per il tempo 6.t necessario a percorrerlo. Dividendo l'arco v 6,.t per il raggio r della circonferenza si ottiene l'angolo al centro . C 2> Qui naturalmente ad Eraclito si contrappone Parmenide con la sua opinione che ciò che è, è immobile, non è generato e non ha fine.

11.

l 04

La fisica del reversibile

Con l'energia abbiamo visto un primo caso di una grandezza, il cui concetto intuitivo e la cui definizione operativa non sono molto perspicui, ma che risulta di grande importanza a posteriori, una volta riconosciuta la sua proprietà generale d'invarianza. In questi casi è decisamente opportuno rinunciare all'inutile rigorismo che vorrebbe tutte le grandezze come primarie e definite operativamen­ te. È molto meglio lasciare da parte l'estetica e parlare di grandezze secondarie, le cui misure sono definite attraverso alla misura di altre grandezze e all'esecuzione di alcune operazioni matematiche. Un caso importante di questo tipo è quello della quantità di moto. La quantità di moto p di un corpo di massa m, animato da velo­ cità v è definita da

p = mv .

( II.21)

Si noti subito che si tratta di una grandezza vettoriale fra cartesiani e leibniziani su quale dovesse essere la piu appropriata misura della forza, propendendo gli uni per mv e gli altri per mv2 t Ma i tempi non erano abbastanza maturi perché si potesse vedere a pieno la superiorità, per cosi dire gerarchica, delle grandezze che si conservano rispetto alla altre. A confronto di queste costruzioni astratte risultava molto piu intuitivo ed accettabile il concetto di cat�sa diretta dei fenomeni. E la forza newtoniana si presentava pro­ prio come la causa diretta del moto . La conservazione dell'energia meccanica discende dalla seconda legge della dinamica F = ma ed è praticamente ad essa equivalente. Anche la conservazione della quantità di moto può avere un'espres­ sione in termini di forze. Si tratta precisamente della terza legge della dinamica, o principio di azione e reazione, che già abbiamo menzionato. Ad ogni azione corrisponde una reazione eguale e con­ traria. Quando due corpi A e B si urtano, se A esercita la forza F su B, B a sua volta esercita la forza -F su A. Si può dimostrare facilmente che da questo principio e dal secondo segue la conserva­ zione della quantità di moto. Si noti infine che la legge d'inerzia (prima legge della dinamica) può essere anche considerata come conseguenza della conservazione della quantità di moto . Consideriamo ora una massa m che occupa un piccolo volume e ruota attorno al punto O ( Fig. 18) mantenendosi alla distanza r da esso. Se v è la velocità della massa ( naturalmente perpendicolare al raggio ), si chiama momento della quantità di moto o piu brevemente momento angolare di m rispetto ad O il prodotto mvr. ( l ) Vedi

M. JAMMER,

Storia del concetto di forza, Feltrinelli, Milano 1971, p. 177.

II.

106

La fisica del reversibile

l

,'

,

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(,_/\ l \

',,

',

... .. _ _ _ _ _ _ _ _ _

'

_,

l

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. . . l l l l l l

Figura 1 8

Generalizzando, supponiamo di avere un corpo esteso C che ruota attorno a un asse, di cui O rappresenta la traccia. Scomponiamo il corpo in tante piccole zone di massa m1 , m2 , , mu poste alle distanze ru r2 , , ru e animate dalle velocità Vu v2 , . . . , Vn rispettivamente. Si chiama momento angolare K del corpo C rispetto all'asse la somma di tutti i momenti angolari delle zone elementari in cui è scomposto, vale a dire •••

• • •

( II.23)

n

K = .2 mi vi ri . l

L'esperienza insegna che anche il momento angolare si conserva. La cosa è molto piu nota al livello intuitivo di quanto non si creda. Quando un sistema fisico ruota, se le masse si avvicinano all'asse di rotazione la rotazione diventa piu veloce, mentre rallenta quando se ne allontanano . Si pensi per esempio al tuffatore nei mo­ menti in cui si raggomitola o s i distende, alla pattinatrice quando allarga o chiude le braccia, all'acqua di una vasca quando va avvi­ cinandosi allo scarico ( mulinello ) ecc. Ma c'è di piu. Il momento angolare va considerato come una grandezza vettoriale, alla quale si attribuisce la direzione dell'asse di rotazione. Ed è proprio questa grandezza vettoriale che si con­ serva, in modulo e direzione. Si pensi alla trottola, al giroscopio, ai proiettili d'artiglieria ( ai quali s'imprime una rotazione per conser­ vare invariata la direzione dell'asse). Classicamente si suol ricavare la conservazione del momento an­ golare come conseguenza delle leggi della dinamica o, se si vuole, come conseguenza della conservazione della quantità di moto e del-

7.

L' azione a distanza

107

l'energia. Effettivamente ciò è possibile fino a che si dia la defini­ zione ( II.23 ) . :Ma oggi si s a ( e l o vedremo al cap . IV, § 1 1 ) che l e particelle ele­ mentari hanno un momento angolare perfettamente misurabile (spin) e non definibile mediante la ( II.23 ) . Quello che si conserva è la somma degli spin e dei momenti angolari definibili mediante la ( II.23). Risulta allora evidente che il momento angolare è una grandezza di carattere fondamentale e primario . La sua conservazione rappre­ senta una delle grandi leggi della natura. In conclusione, si può dire che oggi la meccanica è ancora basata su tre leggi fondamentali . Ma esse non sono le tre leggi classiche, bensi le tre leggi di conservazione dell'energia, della quantità di moto e del momento angolare.

7.

L'azione a distanza. Il concetto intuitivo della forza come causa immediata del moto sembra implicare che l'azione della forza stessa si esplichi per diretto contatto, come quando sospingiamo un corpo, o che esiga comunque l'intermediario di un agente materiale (corda, bastone) che tra­ smetta via via la forza da una sua parte a quella immediatamente successiva, senza interruzioni di continuità O> . Stranamente toccò proprio a N ewton scoprire che le cose non stanno necessariamente cosi. Infatti N ewton, enunciando la legge della gravitazione universale, dette il primo esempio di azione a di­

stanza.

La legge dice che tutte le masse si attraggono fra loro e che pre­ cisamente due masse m1 , m2 , poste alla distanza r, esercitano l'una I l ) Ciò corrisponde alla massima scolastica : nihil agit in distans nisi prius agit in medium. Per la storia si veda M. B. RESSE, Forze e campi. Il concetto di azione a distanza nella storia della fisica, Feltrinelli, Milano 1 9 74.

108

n.

L a fisica del reversibile

sull'altra una forza di attrazione data da ( II.24) dove G rappresenta una costante che, nel sistema C.G.S. ha il valore ( 6 .673±0 . 003) · 10-8• Alla gravitazione universale è dovuta prima di tutto la caduta dei corpi pesanti. Essi cadono perché la Terra, con la sua massa li attrae. Se indichiamo con M la massa della Terra e con m quella del corpo che cade, applicando la ( ILIO) si vede che l'accelerazione è data da Ffm = G M fr2• Essa è dunque indipendente da m ed è eguale per tutti i corpi, alla superficie della Terra (cioè alla stessa distanza r dal centro della Terra) come aveva enunciato Galileo. Come si vede, questo fatto notevolissimo dipende dall'essere eguali la massa che compare nella ( ILIO ) (massa inerziale) e quella che compare nella ( IL24) (massa gravitazionale). Non s i tratta affatto di cosa evidente a priori, ma è stata confermata fino ad oggi con esperienze di gran­ dissima precisione. Il grande successo della ( II.24) fu l'arrivare a spiegare perfetta­ mente il moto dei corpi celesti. Grosso modo si può dire che la Luna continua a muoversi lungo la sua orbita, approssimativamente cir­ colare, perché la forza di attrazione della Terra fa equilibrio alla forza centrifuga. E lo stesso vale per il moto della Terra attorno al Sole. Ma dalla ( II.24) consegue ben piu di questo. Da essa, per mezzo del calcolo, si possono ricavare in primo luogo le leggi complete di Keplero per il moto dei pianeti attorno al Sole, e poi successiva­ mente le entità delle perturbazioni che gli uni esercitano sugli altri, fino a precisioni sbalorditive. In che modo si esercita la forza di attrazione di un corpo su un altro � A questo proposito N ewton dichiarò che non era riuscito a scoprirne la causa e che non faceva ipotes i (hypotheses non fingo). ( l) Si tratta d i una costante universale. Essa è inevitabile, perché l e unità d i misura della forza, della massa e della lunghezza sono già state fissate. ( 2 ) A volte, facendo violenza alla storia, si è voluto attribuire a Newton un atteg-

7.

L 'azione a distanza

109

Ma sta il fatto che la ( II.24) rappresenta una legge di azione a di­ stanza, che ha resistito . a tutti i tentativi fatti in passato di spie­ garla per mezzo di un fluido interposto ( etere) o di meccanismi piu complicati. Ma una cosa è veramente importante : che la ( II.24) renda conto perfettamente di tutti i fenomeni gravitazionali O> . Co­ mincia cosi ad affermarsi nella fisica un atteggiamento che avrà im­ portanza decisiva sul suo sviluppo, fino ai nostri giorni. Oggi la legge di azione a distanza, sia pure con una precisazione che verrà fatta nella meccanica quantistica, è la regola. I corpi ma­ teriali sono composti di particelle atomiche e queste agiscono fra loro a distanza. Fra queste azioni a distanza ha importanza grandissima quella elettrica. La relativa legge fu enunciata da Coulomb piu di un secolo dopo la ( Il.24), ma ha praticamente la stessa forma. Come è noto, un corpo può essere carico elettricamente. Due corpi carichi o si attraggono o si respingono. Risulta da questo che esistono due specie di carica elettrica, dette convenzionalmente posi­ tiva e negativa. Due cariche di segno contrario si attraggono, mentre due cariche dello stesso segno si respingono. La legge di Coulomb poste afferma che la forza che si esercita fra le due cariche e nel vuoto alla distanza r l'una dall'altra, è data da

Q1 Q2 ,

F

( 11.25) Ponendo k ( II.26)

=

=

k Q1�2 • r

1, si può scrivere

F

=

Q1Q2 rz

giamento metodologico generale che egli non aveva. Per esempio, in ottica egli ne fece, eccome, di ipotesi ! Tuttavia i l fallimento di tutti i suoi tentativi per escogitare un'ipotesi ragionevole che spiegasse la gravitazione universale e la sua conseguente rinunzia sono stati a parer mio determinanti nel portare all'atteggiamento moderno per il quale le ipotesi del tipo in questione possono avere grande utilità euristica (e a volte anche portare su strada sbagliata), ma non sono necessarie per sviluppare la fisica. ( l l Non si vuoi negare che sarebbe bello sapere qualche cosa di più sulla gravita­ zione. Si afferma che la (ll.24) rappresenta già di per sé una conoscenza importante riguardo al mondo fisico. Per un'analisi critica di come Newton sia arrivato alla legge della gravitazione universale vedi : J. B, COHEN, Newton's Theory vs. Kepler's Theory and Galileo's Theory in Y. ELKANA (a cura eli) , The Interaction between Science and Philosophy, Humanities Press, Atlantic Highlands (N.J.) 1 974, p. 299.

IL

1 10

La fisica del reversibile

avendo con questo fissato l'unità di misura della carica elettrica. Precisamente l'unità di carica è quella che, posta alla distanza di un cm da una carica identica, la respinge con la forza di una dine. La chiameremo unità G.G.S. elettrostatica. A questo punto possiamo renderei conto dell'utilità della conven­ zione di chiamare positiva e negativa le due specie di elettricità. Bisogna per questo stabilire che nella ( II.26) il segno positivo per F indichi repulsione e il segno negativo attrazione . .Allora basta ese­ guire il prodotto Q 1 Q2 tenendo conto dei segni delle due cariche e applicando l'ordinaria regola per il segno del prodotto, per avere il risultato corretto. Ma vi è anche di piu di questo . Supponiamo che un corpo sia stato caricato con la carica Q1 .Allora esso esercita su una carica Q2 posta alla distanza r la forza F data dalla ( II.26). Se ora immettiamo nel corpo anche una carica - Q 1 , questa eserciterà su Q2 la forza -F. La forza risultante sarà nulla. Ma si può 9-ire anche che al corpo abbiamo dato in totale la carica Q1 -Q1 = O. La forza è nulla perché la carica totale è nulla. In analogia con le due grandi leggi ( II.24) e ( II.26 ) è stata anche enunciata una legge di Coulomb, magnetica, facendo in realtà una ammissione non molto giustificata. I fenomeni di attrazione e repulsione che si manifestano fra i corpi magnetizzati furono attribuiti in origine a delle cariche ma­ gnetiche positive e negative, analoghe alle cariche elettriche. Due cariche magnetiche M1 , M2 s i respingono o si attraggono con la forza : •

( II.27)

F

=

MI M2 r2

avendo con questo definito implicitamente l'unità di misura. 8.

Esistono le cariche magnetiche ? La ( II.27) rappresenta un caso veramente interessante di legge fisica. Paradossalmente si dice spesso che essa sarebbe perfetta­ mente corretta e verificata, se le cariche magnetiche esistessero ; ma

8.

Esistono le cariche magnetiche Y

111

si aggiunge che purtroppo non esistono ! Prendiamo l'occasione dalle cariche magnetiche per accennare a un problema che si presenta con­ tinuamente nella fisica moderna : quello dell'esistenza di certi oggetti fisici, che presentano solo alcune manifestazioni e non tutte le mani­ festazioni che di solito caratterizzano l'esistenza degli ordinari og­ getti che ci circondano. Vediamo un po' di chiarire questa questione. L'esperienza dimo­ stra che, anche se si vuole ammettere che le cariche magnetiche esistano, si è costretti a constatare che quelle positive si presentano sempre associate ad altrettante cariche negative e viceversa. Per esempio consideriamo un ago magnetico ( quello che nella bussola si orienta verso il nord). Esso porta a un'estremità delle cariche posi­ tive e all'altra estremità delle cariche negative (Fig. 19a) . Se lo spez�------. + �------� +

a.)

-'�----�'! -'�----�1! b) Figura 1 9

ziamo in un punto intermedio (Fig. 19b) troveremo due aghi magne­ tici, ciascuno con le cariche positive a un'estremità e le cariche negative all'altra. No n si riesce mai a caricare positivamente o nega­ tivamente tutto un corpo, come avviene per l'elettricità. Si tratta dunque di un fenomeno molto diverso. Vedremo tra breve perché il fenomeno è diverso e ne daremo un'interpretazione. Ma ora domandiamoci : che significa l'equazione ( II .2 7 ) � Come la si verifica sperimentalmente? Basta fare l'esperienza come nella Fig. 20. Due lunghi aghi mac A

+o �------� +

+a �------� +

Figura 20

1 12

II.

La fisica del reversibile

gnetizzati presentano le due estremità B e C in prossimità l'una dell'altra, mentre le altre due estremità A e D sono molto distanti fra loro. Ebbene, si trova che B e C interagiscono fra loro come è sancito dalla ( II.27), in maniera tanto piu precisa quanto piu A e D sono lontane e si può quindi trascurare la loro azione. Ma allora, se la ( II.27) è in qualche modo verificabile sperimen­ talmente, che significato può avere l'asserzione che le cariche ma­ gnetiche non esistono ? Essa significa solo che le cariche magnetiche non sono separabili, come lo sono quelle elettriche. A tutt'oggi non è certo che si possano individuare monopoli ma­ gnetici, cioè particelle cariche di un solo segno magnetico . Ma tutto ciò non si potrebbe anche esprimere dicendo che esistono degli enti che hanno certe proprietà analoghe a quelle delle cariche elet­ triche, mentre non hanno la proprietà di essere separabili ? Effetti­ vamente il pretendere che qualcosa per esistere debba essere sepa­ rabile potrebbe essere frutto di un pregiudizio o quanto meno di una convenzione . È chiaro che questa questione è collegata intimamente col pro­ blema già discusso dei termini teorici < 3>. Ed è questo il momento migliore per parlare di un'idea nota col nome di Ramsey . Non possiamo qui entrare in dettagli tecnici. In sostanza tutte le volte che in una teoria compare un termine teorico, esso dovrebbe essere sostituito con una variabile generica x e alla teoria stessa dovrebbe < I l Diciamo '' a tutt'oggi >>, perché in realtà i monopoli magnetici sono stati ipo­ tizzati da Dirac fino dal 19 3 ! . Alcuni ricercatori hanno anche annunciato di averli trovati. Ma quasi certamente si trattava di un errore. ( 2 ) È interessante a questo proposito quanto scrive A. A. Zinov'ev, un autore non certo idealista, a proposito dell'esistenza degli oggetti : > ( A . A. ZINov ' Ev, Foundations of the Logical Theory of Scientific Know­ ledge, Reidel , D ordrecht 1 973, p. 1 9) . < 3 > Dice Quine : > (w. v. QUINE, Existence, in Physics Logic and History, a cura di W. Yourgrau e C. A. D. Breck, Plenum Press, New Vork 1 9 70, p. 95). F . P. RAMSEY, I fondamenti della matematica, Feltrinelli, Milano 1 964.

8.

Esistono le cariche magnetiche ?

1 13

premettersi l'espressione : . Dice Oarnap ( 1) : < 2 >. Quello che Oarnap dice dell'elettrone potrebbe ripetersi pari pari per le cariche magnetiche. Ma secondo me, in accordo con l'opinione già espressa che non esistano termini puramente osservativi, le stesse identiche cose pos­ sono ripetersi per , che si pretende siano appunto puramente osservativi < a> . I fisici hanno generalmente dell'elettrone un'idea molto vicina a quella sopra descritta. Per questo l'enunciato di Ramsey sfonda una porta aperta. Invece va riconosciuto che diversa è l'idea che essi si fanno delle cariche magnetiche, che dicono fittizie. Io credo che in qualche misura si tratti di linguaggio (4). Ma poiché è di solito con­ veniente attenersi al linguaggio corrente, diremo senz'altro che le cariche magnetiche sono enti fittizi. i l ) R. CARNAP, I fondamenti filoso(ìci rlella fisica, Il Saggiatore, Milano 1 9 7 1 , p. 3 14. 1 2 ) Per un'ottima discussione del punto di vista di Ramsey vedi anche J. D . SNEED, The Logical Structure of Mathematical Physics, Reidel, Dordrecht 1 97 1 , capp. III e IV. 13> Quando si assume questo atteggiamento il problema comincia vagamente a ricordare il comportamento di quello scolaro che riassunse la questione america cosf : « L'Iliade e l'O dissea non furono scritte da Omero, ma da un altro uomo che aveva lo stesso nome>>. 14) Per meglio dire, si tratta del grado di impegno antologico che uno sceglie. In ogni caso un'intensione perfettamente ammissibile non lo impegna ad escludere che l'estensione sia vuota. Come dimostra Quine nel bellissimo saggio On what there is, > (w. v. QUINE, From a Logical Point of View, Harvard Univ. Press, Cambridge [Mass.] 1 9 53, p. 1 2 ) .

1 14

n.

La fisica del reversibile

Se mai, si può fare qualche considerazione interessante sull'uso dell'analogia, che rappresenta un potente mezzo d'indagine fisico. Si può supporre che per i fenomeni elettrici si sarebbe prima o poi arrivati alla legge di Coulomb, anche indipendentemente dalla legge della gravitazione di Newton. :Ma per i fenomeni magnetici � È diffi­ cile non pensare che qui l'analogia con una grande legge universale, che aveva conosciuto solo successi, abbia spinto a forzare alquanto la stessa evidenza dei fatti . Con l a ( II.26) e ( II.2 7 ) saremmo usciti ormai d a quelle che clas­ sicamente si chiamano le leggi della meccanica. Infatti l'elettricità e il magnetismo costituiscono tradizionalmente un altro capitolo. :Ma questo retaggio storico è oggi decisamente superato e non corri­ sponde ad alcunché di concettualmente importante. Come vedremo nella microfisica, i corpi materiali sono costituiti prevalentemente da particelle cariche elettricamente e sono proprio le interazioni fra queste cariche elettriche che, nella maggioranza dei casi, risultano responsabili delle forze che si esercitano fra i corpi stessi. Che significato ha allora dire che le forze elettriche non sono meccaniche, mentre lo sarebbero quelle gravitazionali'? Si tratta di una pura convenzione, che oggi è meglio abbandonare per ragioni di chiarezza.

9. Il concetto di campo. L'idea della pura e semplice azione a distanza non ha mai soddi­ sfatto a pieno la mente di molti scienziati . Nel settecento si era già abbastanza avveduti da seguire l'esempio di Newton e da non affer­ mare cose non suffragate dalla esperienza. Ciononostante molti pen­ savano a una qualche forma di tensione o di pressione nel mezzo interposto, che trasmettesse l'azione fra due corpi. :Ma che senso può avere questo se fra i due corpi c'è lo spazio vuoto ? Oggi, col senno del poi, possiamo affermare che, se è pregiudizio metafisico ammettere necessaria fra i due corpi la presenza di �n mezzo materiale del tipo usuale, è anche pregiudizio metafisico am-

9.

115

I l concetto di campo

mettere che lo spazio vuoto non possa avere che proprietà geometriche ed escluda pertanto qualsiasi proprietà fisica. Per superare questa posizione ci volle quasi un secolo di lavoro teorico e sperimentale. Si suole ( con ragione) attribuire a M. Faraday < 1> il merito di aver compiuto i primi passi decisivi nella direzione che oggi riteniamo giusta. È noto a tutti il fenomeno della limatura di ferro che, disposta su un cartone in presenza di un magnete e scossa leggermente, s i dispone i n caratteristiche figure. Ciascun frammento d i ferro s i ma­ gnetizza e si orienta. Si formano delle specie di catene. Poiché in questo modo l'estremo negativo di un frammento viene a trovarsi affacciato all'estremo positivo del frammento che lo segue, essi s i attraggono e la catena diviene quindi adatta a trasmettere una forza. Faraday ammise che questo fenomeno di polarizzazione avve­ nisse nello spazio, anche vuoto, quando si manifestano fenomeni magnetici, e che un fatto analogo avvenisse per i fenomeni elet­ trici. Nei corpi materiali è facile dire che cos'è la polarizzazione, e lo vedremo fra breve. N el vuoto, se non si vogliono fingere ipotesì , bisogna limitarsi a dire che esistono delle linee di forza, lungo le quali s i trasmette l'azione. Che cosa poi siano precisamente le linee di forza dal punto di vista fisico è molto difficile dirlo, anche se cer­ tamente molti studiosi le concepirono per lungo tempo come qualche cosa di analogo a dei fili che partivano da un corpo ed erano attac­ cati all'altro (Fig. 21 ).

Figura 2 1 (I)

Por u n buon inquadramento storico filosofico della questione si veda

Faraday as a Natural Philosopher, Univ. of Chicago Press, 1 9 7 1 .

J.

AGASSI,

ll6

II.

La fisica del reversibile

Al giorno d'oggi le linee di forza non sono molto di piu che una comoda espressione linguistica. Ma errerebbe chi credesse che un linguaggio appropriato non avesse una profonda influenza sullo svi­ luppo della scienza. E quello delle linee di forza è un caso tipico, molto istruttivo. Il linguaggio e la semplice rappresentazione intui­ tiva creati da Faraday ebbero importanza decisiva per gli sviluppi ulteriori. Oggi le cose si presentano nel modo seguente. Si consideri il caso di due cariche elettriche A, B una positiva e una negativa, come quelle della Fig. 21. Una carica positiva C posta in un punto dello spazio intermedio subisce una forza F che è la risultante di una repulsione da parte di A e un'attrazione da parte di B. Ebbene, si dice che fra A e B sussiste un campo elettrico, inten­ dendosi con questo che una carica elettrica, posta in un qualsiasi punto dello spazio circostante O>, subisce una forza. Poiché con questo stiamo introducendo una nuova grandezza fisica, dobbiamo dire come facciamo a misurarla. Allo scopo ci si riferisce all'unità di carica positiva. Precisamente si definisce come intensità del campo elettrico (o piu semplicemente come campo elet­ trico) in un punto la forza a cui risulta soggetta l'unità di carica positiva quando è posta in quel punto. Il campo elettrico, che generalmente si indica con E, è ovvia­ mente un vettore. Visualmente una regione dello spazio in cui esiste un campo elettrico va rappresentata come nella Fig. 22. In ciascun punto è definito il vettore E. Una linea di forza è una linea che in

di

forza

Figura 22

( l) Naturalmente il campo si estende fino all'infinito. Ma a grande d istanza da A e B diviene insensibile.

9.

Il concetto di campo

117

ogni suo punto ha la stessa direzione del vettore, ovvero è tangente al vettore E in quel punto. Con ovvi cambiamenti si possono definire il campo magnetico, il campo gravitazionale e le loro linee di forza. A questo punto si possono ripetere le solite considerazioni rela­ tive alla definizione operativa, e purtroppo, bisogna essere anche preparati a ribattere le solite critiche. Il campo elettrico è una gran­ dezza fisica, perché si è stabilito un modo inequivoco di misurarlo < 1>. Con questo non si vuole affatto negare il diritto a chiunque di pen­ sare che vi sia sotto una realtà profonda e inspiegata, sulla quale la definizione operativa non ci illumina. Si vuole soltanto dire che si può benissimo cominciare a fare della fisica seria, anche senza aspettare il giorno radioso in cui qualcuno ci spiegherà che cos'è il campo. Se avessimo dovuto aspettare quel giorno, oggi non avrem­ mo la radio e la televisione ! Come vedremo, il comportamento del campo elettrico e magnetico fu completamente chiarito da Maxwell con le sue celebri equazioni. Maxwell fu molto influenzato dalle idee di Faraday. Non era affatto un assertore del formalismo agnostico e per molto tempo cercò di inquadrare la sua teoria in una visione meccanicistica < 2>. Ma sta il fatto che i suoi posteri giudicarono veramente importante (e quanto importante ! ) solo la teoria astratta del campo elettromagnetico e non i concetti vagamente intuitivi e meccanicistici ai quali Maxwell si appoggiò per trovarla o per giustificarla. Hertz lo disse esplicita­ mente : e una scoperta che rende simmetriche la ( II.29) e la ( II.30). Bisogna invece attendere ( l) In generale, se il filo fa con H un angolo moltiplicata per sin ex .• < 2 > Il grande trattato in cui Maxwell dette la del 1 873.

ex.

l 'espressione (II . 2 1 ) deve essere

forma definitiva della sua teoria

è

124

n.

La fisica del reversibile

Einstein e la teoria della relatività per scorgere la completa ragio­

nevolezza della ( II.31). Il punto centrale del contributo di Maxwell può cogliersi in que­ sto modo. Si consideri un filo rettilineo (Fig. 26) percorso dalla cor­ rente I e interrotto da un condensatore, cioè da due placche metal-

I

�

o

P, �e;,P,

Figura

26

I

� ·

liche piane P1 , P2 affacciate. Via via che scorre la corrente la placca P1 andrà sempre piu caricandosi positivamente e la placca P2 nega­ tivamente. Le cariche sulle due placche daranno origine a un campo elettrico E interno al condensatore, diretto da P1 a P2 , la cui inten­ sità andrà aumentando. In un circuito l che abbracci la corrente a distanza dal condensatore nascerà la forza magnetomotrice .M, data dalla tii.30 ). Ma che accadrà in un circuito come l' che si trovi in corrispondenza del condensatore? Dovrà dirsi che in esso non vi è forza magnetomotrice, dato che non è attraversato da corrente� Maxwell intui che le cose dovevano andare esattamente allo stesso modo per l' che per l. Questa ipotesi è stata confermata in mille modi attraverso ai risultati che se ne ricavano. Si noti che l'area racchiusa da l' non è attraversata da corrente, ma da un campo elettrico, il cui flusso va aumentando. E se fosse proprio questo flusso elettrico che va aumentando, a generare la forza magnetomo­ trice in l ' � Si avrebbe allora analogia con la ( II .29) che stabilisce che un flusso magnetico che aumenta genera una forza elettromo­ trice. Se si fanno i conti, si trova che il ritmo con cui aumenta il flusso elettrico if>E attraverso l' per effetto della corrente continua I è dato da ( II.32 )

d if>E _ 4 I n dt -

·

ll.

E quazioni di Maxwell

125

Ricavando I da questa equazione e sostituendo nella ( II.30), si ottiene ( II.33 ) Allora, seguendo Maxwell, diremo che in l e in l' si genera la stessa forza magnetomotrice .At,; in l essa è causata dalla corrente vera I, mentre in l' è generata dalla cosiddetta corrente di spostamento. Quest'ultima non è altro che una variazione del flusso elettrico attraverso all'area abbracciata da l'. In generale, potremo considerare un circuito attraverso alla cui area passa della corrente vera e della corrente di spostamento. I loro effetti si sommeranno. Combinando la ( II.30) e la (II.33) avremo dunque (II.34) Ricordiamo ora che non esistono cariche magnetiche vere. Per­ tanto, se, in analogia con la corrente elettrica, definiamo una cor­ rente magnetica K, dovuta al moto delle cariche magnetiche, sarà sempre K = 0 . Allora non commetteremo errore se scriveremo la ( II.29) nella forma (II.35) La ( II.34) e la ( II.35), che rivelano un alto grado di simmetria fra il campo elettrico e il campo magnetico, sono in sostanza le equa­

zioni di Maxwell.

In realtà, per ragioni cui accenneremo tra breve, le equazioni di Maxwell sogliono darsi per circuiti infinitesimi, in una forma che per essere compresa esige familiarità col calcolo differenziale. N on rite­ niamo utile entrare qui in queste complicazioni, dato che si tratta puramente di forma matematica ( sia pure la piu adatta per molte applicazioni), mentre la sostanza fisica è perfettamente rappresen­ tata dalle ( II.34) e ( II.35 ) . Esse dicono che una corrente elettrica vera o di spostamento, genera attorno a sé un campo magnetico del tipo di quello della Fig. 23, mentre una corrente magnetica, vera

1 26

II.

La fisica del reversibile

o di spostamento, genera attorno a sé un campo elettrico, essendo il verso opposto rispetto al primo caso. La conseguenza piu importante che si trae dalle equazioni di Maxwell è che un campo elettromagnetico variabile nel tempo si propaga.

L' Figura

27

L a cosa può vedersi cosi. Consideriamo un'antenna elettrica cioè un filo rettilineo (Fig. 2 7 ) percorso da una corrente I alternata. Ciò significa che la corrente scorre alternativamente in un verso e nel verso opposto. Lungo un circuito come l, che abbraccia la corrente, nascerà un campo magnetico H, anch'esso alternato. Allora il flus so magnetico che attraversa il circuito l ' andrà continuamente variando e di con­ seguenza nascerà lungo l ' un campo elettrico E, anch'esso alternato. Come conseguenza, il circuito l" è attraversato da un flusso elettrico variabile e nascerà lungo di esso un campo magnetico alternato, e cosi via. Il campo elettromagnetico si propaga quindi a distanza dali'antenna. Questo concetto è molto semplice. Il fare invece una precisa ana­ lisi quantitativa del fenomeno è piu complicato. Si consideri il circuito l. Per calcolare il campo H lungo di esso non basta applicare la semplice legge di Biot e Savart (II.28). Infatti l'area abbracciata da l non è attraversata solo dalla corrente vera I, ma anche dalla corrente di spostamento dovuta al campo elettrico E generato lungo l'. E analoghe considerazioni possono farsi per gli al­ tri circuiti. Si capisce di qui che questa concatenazione, per cui gli

12.

Le onde elettromagnetiche

127

effetti influiscono sulle cause, complica molto le cose ed esige mezzi d'indagine matematica p ili potenti di quelli che abbiamo fin qui ado­ perato . Precisamente bisogna scrivere le equazioni di Maxwell per circuiti infinitesimi ed applicare metodi del calcolo differenziale. I l risultato piu importante al quale si perviene in questo modo è che il campo elettromagnetico attorno all'antenna segue bensi le alternanze della corrente che lo genera, ma con un ritardo propor­ zionale alla distanza dall'antenna. Precisamente in un punto posto a distanza r dall'antenna ciascuna alternanza si verifica dopo che è trascorso un tempo t = r fc da quando è avvenuta la corrispon­ dente alternanza nell'antenna. Ciò significa evidentemente che il

campo elettromagnetico si propaga con velocità c. Ora il valore della costante c che entra nelle leggi dell'elettro­ magnetismo classico si può ricavare facendo misure sui relativi feno­ meni e risulta c = 3.10 1 0 cmfs. Poiché tale valore coincide con quello della velocità di propagazione della luce nel vuoto (l) , misurato diret­ tamente in altri modi, Maxwell fu indotto a formulare l'ipotesi che la luce fosse costituita da oscillazioni del campo elettromagnetico. Nacque cosi la teoria elettromagnetica della luce, che ha avuto or­ mai irrefutabili conferme.

12. Le onde elettromagnetiche. Qualunque variazione del campo elettromagnetico che si verifichi in un punto si propaga, raggiungendo punti sempre piu lontani. Una forma molto importante di variazione nel tempo è quella sinusoidale o armonica. Il moto armonico è un movimento di va e vieni, di cui esempi tipici sono le oscillazioni di un pendolo o le vibra­ zioni di un diapason. Se si rappresenta in un grafico la grandezza a che varia armonicamente in funzione del tempo, si ottiene la curva

c

(l ) Risulta anche che ha le dimensioni di una velocità, cioè di una lunghezza divisa per un tempo. Il valore piu preciso di noto oggi è

c

c = (2.997924562 ± 0.0000000 1 1 ) · 101 0 cmfs .

n.

128

La fisica del reversibile

della Fig. 28, che rappresenta appunto una sinusoide. Quando la corrente nell'antenna esegue un'oscillazione sinusoidale, si generano le onde elettromagnetiche propriamente dette. Lungo un raggio, cioè lungo una retta perpendicolare all'antenna, il campo assume la forma rappresentata nella Fig. 29. Il campo elettrico e il campo a

Figura 28

magnetico sono in ogni punto prependicolari fra loro e perpendico­ lari al raggio. La configurazione rappresentata nella figura si sposta in blocco lungo il raggio con velocità c. È evidente allora che in qualsiasi punto fisso del raggio il campo elettrico e il campo magne­ tico eseguono oscillazioni armoniche. È anche evidente la corrispon­ denza col concetto intuitivo di onde ( per esempio con le onde del mare). À ----+1

�

•

raggio

Figura 29

Il numero di oscillazioni che in ciascun punto vengono compiute in un secondo si chiama frequenza e si indica con v. La durata di ciascuna oscillazione completa si chiama periodo e si indica con T. È evidente che sarà ( II.36)

l V =p ·

La distanza fra due creste successive dell'onda (Fig. 29) si chiama lunghezza d'onda e si indica con À. Una facile riflessione porta a rico-

12.

Le onde elettromagnetiche

129

noscere che la lunghezza d'onda è lo spazio percorso dall'onda du­ rante un periodo. Pertanto

c l. = cT = - .

( II.37)

11

Poiché c è una costante, l'onda può essere caratterizzata o mediante la sua lunghezza d'onda o mediante la sua frequenza. L'estensione della gamma delle onde elettromagnetiche oggi co­ nosciuta è sbalorditiva. Si va dalle onde radio piu lunghe, di parec­ chi km di lunghezza d'onda, ai raggi y piu energetici con lunghezze d'onda anche molto più piccole dei miliardesimi di cm (Fig. 30). onde

radio

mlcroonde

infrarosso

visibiLe uLtravioletto raggi X e y

Figura 30

Le onde luminose, cioè quelle onde elettromagnetiche che sono capaci di eccitare il nostro senso della vista, occupano una parte incredibilmente piccola di tutto questo spettro. Si va grosso modo da ). = 7 · 10-5 cm per il rosso a ). = 4 · 10-5 cm per il violetto. Due punti come A e C (Fig. 29) che a un dato istante si trovino ciascuno su una cresta dell'onda si chiamano in fase. Essi si trove­ ranno anche a un medesimo istante ciascuno in un solco dell'onda o, in generale, a una medesima distanza da una cresta. Si dicono invece in opposizione di fase due punti come A e B che a un dato istante si trovino uno su una cresta e uno in un solco dell'onda. In una propagazione ondosa esistono, in generale, delle superficie i cui punti vibrano tutti con la stessa fase, cioè arrivano tutti con­ temporaneamente al massimo o al minimo. Queste superficie d'onda sono l 'analogo spaziale dei ben noti cerchi concentrici che si gene­ rano alla superficie di uno specchio d'acqua quando vi si getta un sasso.

1 30

n . I�a fisica del reversibile

Come esempio indichiamo nella Fig. 31 alcune superficie d'onda (punteggiate) generate da un'antenna di lunghezza finita. A grande distanza dall'antenna le onde tendono a diventare sferiche con­ centriche. /

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Figura 31

Le linee ortogonali alla superficie d'onda si chiamano raggi. Nel caso delle onde sferiche concentriche i raggi sono evidentemente le rette che partono dal centro comune. A volte si considerano onde piane. Si può trattare, per esempio, di onde generate da una sorgente cosi lontana che, nella zona che c'interessa, la curvatura della superficie sferica è insensibile, tanto che esse appaiono piane. Nel caso di onde piane (Fig. 32) i raggi sono rette parallele. Par-

raggi

onde piane Figura 32

13.

Po1arizzazione dei mezzi materiali

131

lare d i un fascio di raggi paralleli è l o stesso che parlare d i onde piane. Il campo elettromagnetico si propaga lungo i raggi. Ma non si tratta puramente di un fenomeno cinematico, come quello illustrato nella Fig. 29. Dalle equazioni di Maxwell discende anche che le onde elettromagnetiche trasportano energia, nel senso che si deve spen­ dere energia per generarle e che tale energia si può ricuperare inte­ gralmente a distanza, dove arrivano le onde. Il principio di conser­ vazione dell'energia rimane perfettamente valido, purché all'energia meccanica si aggiunga anche quella elettromagnetica. Quando si genera l'onda elettromagnetica si trasforma dell'energia, per esem­ pio energia meccanica, in energia del campo. Questa viaggia con l'onda e può essere recuperata a distanza. Ebbene, l'energia elet­ tromagnetica viaggia lungo i raggi. 13.

Polarizzazione dei mezzi materiali. Tutti sanno che i corpi materiali sono costituiti di atomi e mole­ cole. Riservandoci di tornare (al cap . rv) sul significato di questi concetti, ricordiamo che un atomo è costituito da un nucleo centrale, elettricamente positivo, e da una nuvola di elettroni che lo circonda . ' ' • '

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Figura 3 3

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Figura 34

La nuvola di elettroni assume una configurazione grosso modo sfe­ rica e il nucleo sta al centro (Fig. 33). Quando l'atomo è sottoposto a un campo elettrico, il nucleo subisce una forza in direzione del campo, mentre gli elettroni subiscono una forza in senso opposto. Il risultato è che l'atomo si deforma alquanto (Fig. 34) e che il nucleo

132

II.

La fisica del reversibile

non ne occupa piu il centro. In complesso potremo dire che la carica positiva si sposta un po' verso destra e quella negativa un po' verso sinistra. Si dice che l'atomo si è polarizzato e si comporta come un

dipolo elettrico. Quando il campo elettrico oscilla, gli spostamenti delle cariche nell'atomo seguono queste oscillazioni. Poiché, come abbiamo detto a suo tempo, una corrente elettrica non è altro che uno spostamento di cariche, l'atomo diviene sede di una corrente oscillante e si com­ porta come una piccola antenna, ovvero emette un'onda elettroma­ gnetica sferica < 1>. Supponiamo ora che un'onda elettromagnetica incidente arrivi su un corpo materiale (Fig. 35). Ciascun atomo del corpo viene ' ' ' '

' onda. Incidente \l l l , l l , l

: l

Figura 35

costretto ad oscillare e a diffondere quindi un'onda sferica. In questa situazione il campo elettromagnetico che si osserva sarà quello com­ plessivo, costituito dall'onda incidente e da tutte le onde diffuse. Il fenomeno è apparentemente complicatissimo . In realtà un'indagine matematica di questo fenomeno dimostra che il campo complessivo si comporta come un'unica onda, analoga a quella incidente, ma che viaggi a velocità minore. Precisamente, mentre l'onda incidente ha, come sappiamo, la velocità c, l'onda complessiva ha la velocità v = cjn, dove n è un numero che si chiama (I) La. descrizione del fenomeno che abbiamo fatta è classica, mentre alle dimen­ sioni atomiche dovremmo usare la meccanica quantistica. Tuttavia qualitativamente i risultati non cambierebbero.

13.

Polarizzazione dei mezzi materiali

133

indice di rifrazione del mezzo. Per il vetro, in un caso tipico, risulta n = 1 .55, per l'acqua n = 1.34, per l'aria n = 1.00029. La propaga­ zione nell'aria avviene quindi praticamente come nel vuoto. Anche il campo magnetico può dar luogo a fenomeni di polariz­ zazione, quantunque con un meccanismo molto diverso. I C ....-----. D H ,

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,tf F '

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A '---+-I

Figura 36

Si consideri una spira quadrata di filo conduttore (Fig. 36) per­ corsa da corrente I e immersa in un campo magnetico H uniforme, parallelo a due lati AB, CD della spira. Ricordando quanto detto a proposito della ( II.31 ) , si deduce che i lati A C e BD saranno sog­ getti a due forze F, F' opposte e perpendicolari al piano della figura, mentre nessuna forza agirà sui lati AB, CD. La spira tenderà quindi a ruotare e a disporsi in un piano perpendicolare ad H. Quando sarà arrivata in tale posizione si arresterà, perché le forze elettrodina­ miche tenderanno ad allargarla, ma non piu a farla ruotare. Si vede allora che la spira tende ad orientarsi in un campo magnetico, come l'ago di una bussola. Precisamente la spira equivale a un ago ma­ gnetico perpendicolare al suo piano (e si può dimostrare che la forma quadrata non è essenziale ; una spira circolare ha lo stesso compor­ tamento) . Anche il campo magnetico creato dalla corrente che flui­ sce nella spira risulta perfettamente analogo a quello cui dà luogo un piccolo magnete, o dipolo magnetico. Questo risultato indusse A.mpère ad avanzare un'affascinante ipo­ tesi, secondo la quale i corpi magnetici contengono all'interno minu­ scole spire nelle quali circola in permanenza della corrente. Queste

1 34

n.

La fisica del reversibile

spire atomiche sono di solito orientate a caso e distruggono l'una l'effetto dell'altra. Ma quando il corpo è immerso in un campo ma­ gnetico esterno, le correnti si orientano ed è come se si avessero tanti magnetini allineati, i cui effetti si sommano. Il corpo allora è polarizzato magneticamente o magnetizzato. Oggi si sa che l'ipotesi di Ampère è molto vicina alla verità, anche se non la rispecchia nel dettaglio, come vedremo quando par­ leremo dello spin. Per ora diciamo che l'ipotesi dei magnetini che si orientano è perfettamente valida. La polarizzazione magnetica di solito ha un'intensità molto mo­ desta, per cui il comportamento dei corpi materiali nei riguardi delle onde elettromagnetiche è condizionato praticamente soltanto dalla polarizzazione elettrica. Fanno eccezione i materiali ferromagnetici, nei quali la polarizza­ zione può raggiungere valori elevatissimi ed anche conservarsi in assenza di campo magnetico esterno. Si hanno in quest'ultimo caso i ben noti magneti permanenti.

14.

Riflessione, rifrazione, dispersione. Quando un'onda elettromagnetica, diciamo luminosa, arriva alla superficie levigata di un corpo omogeneo, provenendo dal vuoto o dall'aria, succedono alcuni fenomeni interessanti. Una parte del­ l'energia incidente viene rimandata indietro in un' onda riflessa, una parte entra nel corpo come onda rifratta e una parte viene assorbita, cioè viene immagazzinata dal corpo e sparisce come energia lumi­ nosa ( mentre il corpo, naturalmente, si riscalda ) . Quando l'assorbimento è cosi forte che l'energia non esce piu nemmeno in piccola parte, il corpo si chiama opaco. Altrimenti è trasparente. Questi fatti sono conosciuti sperimentalmente da lun­ ghissimo tempo e la loro teoria può essere sviluppata perfettamente in base alle equazioni di Maxwell. Noi ammetteremo noto dall'esperienza che i detti fenomeni av-

14.

Riflessione, rifrazione, dispersione

135

vengono e ne dedurremo alcune modalità. Sia SS (Fig. 37) la super­ ficie di un mezzo trasparente, per esempio vetro. La superficie SS, che supporremo piana, divide dunque l'aria dal vetro. Supponia­ mo che su SS incida, provenendo dall'aria, un'onda piana parallela a SS, cioè un fascio di raggi perpendicolari a SS. s

aria l

_.:

vetro

l

À :..... raggi

onda mcidente

s

onda rifratta

Figura 3 7

L 'onda riflessa torna nell'aria ed avrà quindi la stessa velocità e la stessa lunghezza d'onda À dell'onda incidente. Diversamente vanno le cose per l'onda rifratta. Essa si propa­ gherà con la velocità cjn ; per la ( 1!.37), si vede che la sua lunghezza d'onda A.' dovrà essere (II.38) dove n rappresenta l 'indice di rifrazione. Pertanto la lunghezza d'onda nel vetro sarà piu piccola che nel­ l'aria. Siamo ora in grado di predire come avverrà il fenomeno quando l'onda incidente è obliqua rispetto a SS (Fig. 38). Può sem­ brare intuitivo che nei punti ABGD in cui vi sono creste dell'onda incidente vi debbano essere anche creste dell'onda riflessa e del­ l'onda rifratta. Allora le cose dovrebbero andare come è mostrato nella figura. In realtà questo non è del tutto esatto. Rigorosamente si deve dire solo che punti come ABGD, che sono in fase per l'onda incidente, devono anche esserlo per le altre due onde. Ma poiché il risultato non cambierebbe, rinunciamo al rigore per la semplicità.

136

n.

La fisica del reversibile ,.

ond.a rifLessa

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In questo passo Galileo afferma in sostanza che le leggi fisiche risultano le stesse per chi le sperimenta in un laboratorio fisso e per chi le sperimenta in un laboratorio in moto rettilineo uniforme (rela­ tività galileiana). Naturalmente Galileo si riferisce ai fenomeni che erano noti al suo tempo, cioè in sostanza ai fenomeni meccanici. Come si fa a verificare un simile enunciato� Per farlo in forma quantitativa, bisogna prima di tutto saper misurare con una certa precisione delle coordinate spaziali e dei tempi. Supporremo dunque di paragonare un laboratorio o sistema fis­ so K con un laboratorio o sistema K' in moto rettilineo uniforme. L'osservatore in K userà un sistema di coordinate cartesiane x, y, z, con l'origine O fissa (.Fig. 59), mentre l'osservatore in K' si riferirà y

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z

-

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K

z' Figura 59

K'

1 62

n.

La fisica del reversibile

a un sistema cartesiano x ' , y' , z', con l'origine 0' fissa rispetto a lui e quindi in moto rettilineo uniforme con velocità v rispetto a K. Senza perdere in generalità potremo supporre che gli assi x e x ' coincidano ( cioè scorrano l'uno sull'altro ) e che y, y' e z, z' si man­ tengano rispettivamente paralleli. I due osservatori dispongono cia­ scuno di un orologio (perfetto) . Gli orologi vengono accordati in modo che segnino l'istante t = O al momento in cui 0' passa per O. La distanza di O' da O a un generico istante t sarà dunque pari a vt. Supponiamo ora che in un punto P dello spazio si verifichi un evento istantaneo (per esempio lo scoppio di una bomba ). L'osser­ vatore in K dirà che l'evento si è verificato nel punto x, y, z al­ l'istante t, mentre l'osservatore in K ' dirà che l'evento si è verificato nel punto x ' , y', z' all'istante t ' . Sussiste evidentemente la relazione

( II.44)

X' = X - Vt y' = y z' = z t' = t .

Questo sistema di equazioni costituisce quella che oggi si chiama la trasformazione di Galileo. Il nome deriva in realtà da concetti che, come vedremo, maturarono solo tre secoli dopo Galileo . Nel seicento sarebbe sembrato assurdo scrivere un sistema di equazioni cosi ovvie come le ( II.44) e dare ad esso un nome pomposo. Vediamo che cosa comporta la trasformazione di Galileo nei ri­ guardi delle leggi della meccanica. Supponiamo che il punto P si muova, cioè occupi posizioni di­ verse in tempi diversi ( con continuità). Allora x, y e z saranno fun­ zioni di t. L'osservatore in K misurerà una velocità V, le cui com­ ponenti saranno ( II.45)

dy Vy = dt '

dz

Vz �� dt

mentre l'osservatore in K' misurerà una velocità V' data da ( II.46)

dy'

Vy = dt' l

'

, dz' Vz = dt' .

19.

La relatività galileiana

1 63

In queste ultime equazioni potremo scrivere t al posto di t' , in virtu dell'ultima delle (II.44 ) . Allora, tenendo conto anche delle prime tre delle ( II.44 ), avremo d(x - vt) dx d(vt) = d t - dt dt dz dy V' V' = y dt ' z - dt ·

Vx' = ( II.47)

È facile convicersi che ( l ) d(vt)jdt = V, per cui, paragonando con le (II.45 ), otteniamo

(II.48) Queste sono le equazioni di trasformazione della velocità nel pas­ saggio da un sistema all'altro. I due osservatori non ottengono lo stesso risultato misurando la velocità di P. La velocità pertanto non è invariante per trasformazione di Galileo. La cosa è ovvia anche senza ricorrere alla matematica. Dunque per ottenere V' da V, biso­ gna togliere la velocità v nella direzione dell'asse x. Poiché v è costante, ne consegue che se V è costante, lo è anche V'. Pertanto la legge di inerzia, se è valida per K, è valida anche per K'. Un corpo non soggetto a forze si muove di moto rettilineo uniforme sia in K, sia in K'. Passiamo all'accelerazione. Essa sarà a per K e a ' per K'. Biso­ gnerà fare la derivata della velocità rispetto al tempo, utilizzando le (II.48). Poiché v è una costante, la sua derivata è nulla, come è facile vedere < 2>. Si ottiene allora subito ( II.49)

d V� dt'

Tutte le componenti dell'accelerazione sono invarianti. Pertanto l'accelerazione è invariante ; K e K' misurano la stessa accelerazione per P. (l) Infatti, durante il tempo dt la grandezza vt aumenta di v dt. Dividendo per dt L'aumento di v dm·aHLe il tempo dt è zero e, dividendo per dt, si ottiene

si ottiene i l risultato scritto. ancora zero .

1 64

11.

La fisica del reversibile

Supponiamo ora di sottoporre un corpo di massa m a una forza F. Se F è misurata, per esempio, con un dinamometro a molla, sia l'osservatore in K sia quello in K' vedranno la stessa estensione della molla e misureranno la stessa forza. N e consegue che la seconda legge della dinamica, se ha la forma F = ma per K, ha la stessa for­ ma F' = m' a' per K' (anzi risulta pure che m = m ' , cioè la massa è

invariante ). Se le forze sono misurate col dinamometro sopraddetto, risulta anche che, se per K vale la legge dell'azione e reazione, essa vale anche per K'. Dunque le tre leggi della meccanica e pertanto tutta la mecca­ nica classica sono invarianti per trasformazione di Galileo. N on è quindi possibile rivelare con esperienze di meccanica, compiute den­ tro un sistema, se il sistema è fisso o si muove di moto rettilineo uniforme. Ma allora che senso ha dire che un sistema è fisso e che un altro è in moto rettilineo uniforme'? Nell'ambito della meccanica non c'è modo di verificare queste affermazioni. Ciononostante Newton rimase attaccato al concetto di spazio assoluto e di tempo assoluto. Secondo tale concezione, che continuò ad essere condivisa da molti < 1>, esiste uno spazio immoto, indipen­ dente dall'osservatore, rispetto al quale i corpi si muovono o stanno fermi. Similmente il tempo scorre al di fuori di noi con un ritmo inesorabile, indipendente dal sistema nel quale lo si misura. Una volta di pili la figura di N ewton dà luogo a interessanti osser­ vazioni. Newton affermava l'esistenza della quiete e del moto asso­ luti proprio nel momento in cui scriveva delle leggi che sono iden­ tiche per chi sta fermo e per chi si muove ( di moto rettilineo uniforme) , cioè leggi che rendono impossibile accertare con mezzi meccanici chi si muove e chi sta fermo. (l) Con importanti eccezioni, come quella del Vescovo Berkeley, che sottopose a critica efficacissima lo spazio e il tempo assoluti. Ma il Berkeley, se ebbe influenza determinante su parecchi filosofi, assai poca ne ebbe sui fisici. Personalmente, e pro­ prio come fisico, ritengo importante l'opera di Berkeley e ho visto con molto piacere la nota di K, POPPER, A Note on Berkeley as Precursor of Mach and E-instein, in Con ­ jetcures and Rejutations, Harper & Row, New York 1 9 64, p. 1 66.

20.

La relatività einsteiniana

1 65

Si è discusso a lungo sull'importanza che un pregiudizio metafi­ sico può avere avuto sulla scelta di Newton < 1>. Certo è che le sue idee furono accettate e largamente condivise dai suoi successori, nonostante che scienziati del calibro di Huygens e di Leibniz le avessero controbattute con argomenti molto seri. In particolare Leibniz ebbe una concezione molto moderna, riportando l'idea di spazio a quella di relazione fra le cose materiali. 20.

La relatività einsteiniana. La nascita dell'elettromagnetismo e la sintesi maxwelliana sem­ brarono dare ragione alla concezione assolutistica di N ewton. Notiamo che la relatività galileiana non afferma che rispetto ai moti rettilinei uniformi sono invarianti tutte le grandezze fisiche; afferma invece che sono invarianti le leggi generali, che le legano. Del resto ciò risulta ovvio esaminando le ( II.48). La velocità non è in variante (e pertanto non sono invarianti la quantità di moto, l'energia cinetica, ecc. ) . Ma la meccanica può basarsi tutta su tre assiomi in cui compare solo l'accelerazione, oltre alla forza e alla massa, e pertanto le sue leggi generali sono invarianti. Diversa è la situazione per le equazioni di Maxwell. In esse (cioè nelle leggi generali) compare in modo essenziale la velocità c, cioè la velocità della luce. Se vale la trasformazione di Galileo, le equa­ zioni di Maxwell non sono invarianti < 2>. In particolare, misurando (l) A chi sostiene che l'accoglimento di principì metafisici può essere utile per l'indagine del ricercatore non farà male riflettere sulla posizione rispettiva di New ton e di Berkeley. Newton, che parlando di Dio asserisce : >,

conclude per l 'assolutezza dello spazio. Berkeley è per

lo

spazio

relativo

perché

. Vedi M. JAMMER,

Storia del concetto di spazio,

Feltrinelli, M ilano

1 966, p. 99. (2 ) Per esempio possiamo immaginare con Einstein un osservatore che viaggi in­ sieme con un'onda elettromagnetica alla velocità

c.

Esso vedrebbe un campo sinusoi­

dale statico, che è incompatibile con le equazioni d i Maxwell.

1 66

II.

La fisica del reversibile

la velocità della luce in un sistema, si potrebbe dedurre se il sistema è in quiete o s i muove. Il problema matematico dell'invarianza si presentava parallela­ mente a quello fisico dell'etere. Maxwell aveva dimostrato che la luce è una propagazione on dosa di carattere elettromagnetico, ma era chiara l'analogia con i feno­ meni ondosi meccanici, noti anteriormente ( onde sismiche, onde sonore, onde superficiali nei liquidi, ecc. ). Alla base di tutti questi fenomeni sta l'esistenza di un mezzo continuo del quale le particelle materiali oscillano . Pertanto in tutti questi casi esiste una sostanza materiale rispetto alla quale ha senso dire se ci muoviamo o se stiamo fermi. Rispetto al sistema in cui si propagano le onde è per­ fettamente lecito specificare se l'osservatore è in quiete o in movi­ mento . Allora ci si chiese : in che mezzo si propagano le onde elettroma­ gnetiche? È escluso che sia uno dei mezzi materiali usuali, poiché le onde elettromagnetiche si propagano anche nel vuoto ( 1). Fu per questo escogitata una speciale sostanza, l'etere. L'etere doveva es­ sere molto diverso dalle altre sostanze materiali. Doveva essere tanto tenue da penetrare in tutti i corpi e doveva essere capace di trasmettere le vibrazioni luminose. E poiché le vibrazioni luminose sono trasversali, cioè perpendicolari alla direzione di propagazione, l'etere doveva addirittura avere una proprietà dei corpi solidi. Il problema di rivelare il moto di un osservatore rispetto all'etere era intimamente collegato a quello di scoprire se e in qual modo la velocità della luce si componeva con quella dell'osservatore. Poiché la velocità della luce è terribilmente elevata rispetto a quella con cui si poteva muovere l'osservatore, si ricorse al moto della Terra nello spazio . Rispetto al sistema solare la sua velocità è di 30 kmjs. Si tratta di una velocità diecimila volte piu piccola di quella della luce. Purtuttavia si poteva sperare di rivelarla. (l) È curioso notare che questo problema risale nientemeno che al seicento, cioè all'epoca in cui Torricelli creò i l vuoto. I suoi contemporanei furono i primi a mera­ vigliarsi che la luce si trasmettesse attraverso il vuoto. Vi fu una polemica al riguardo e molti affermavano che Torricelli non aveva prodotto il vuoto proprio perché la luce vi si trasmetteva attraverso.

20.

La relatività einsteiniana

167

È ciò che si propose di fare A. A. Michelson, realizzando con E. W. Morley nel 1887 una celebre esperienza interferometrica, ripe­ tuta successivamente con sempre migliore precisione. Risultò che la velocità della luce non si compone con quella della Terra O>. In qualunque direzione si propaghi la luce rispetto al moto della Terra, la sua velocità è la stessa. La via d'uscita dalle difficoltà fu trovata da A. Einstein nel 1905. Ma vanno notati almeno due fatti che non hanno solo un'importanza storica. Il primo fatto è che Michelson per molti anni dopo la sua esperienza continuò a credere nell'etere. Il secondo è che Einstein, com'egli stesso ebbe a dichiarare, non fu affatto spinto a elaborare la sua teoria dall'esperienza di Michelson. Eppure si trattò di una esperienza che molti considerarono cruciale per la relatività ! Per ora ci limitiamo a segnalare questi fatti, riservandoci di di­ scuterli quando parleremo delle teorie fisiche in generale. La relatività galileiana non si applica a qualsiasi moto, ma sol­ tanto al moto rettilineo uniforme. Se la nave di cui parla Galileo si trovasse· su mare agitato e fosse sottoposta a rullio e a beccheggio, è evidente che l'osservatore si accorgerebbe di non stare fermo. In un tale sistema non sarebbero valide le semplici leggi della mecca­ nica newtoniana. Dobbiamo pertanto concludere che esistono dci sistemi di rife­ rimento rispetto ai quali valgono le leggi della meccanica newto­ niana e dei sistemi rispetto ai quali non valgono. I primi sogliono chiamarsi sistemi inerziali < 2>. La relatività galileiana consiste nell'affermazione che un sistema che si muove di moto rettilineo uniforme rispetto a un sistema iner­ ziale è inerziale. La Terra è un sistema inerziale soltanto quando non si vada al di là di una certa precisione nelle misure. Ciò è dovuto alla rotazione 1 1 > Come è necessario, qui stiamo notevolmente semplificando ed abbreviando. In

realtà si cercò d'interpretare i l risultato dell'esperienza anche in modo diverso, con ipotesi

ad hoc

come quella di Lorentz-Fitzgerald , di cui parleremo, o quella che la

Terra trascinasse con sé l'etere. Doveva trattarsi di un trascinamento

totale

e non par­

ziale, come molto tempo prima aveva proposto Fresnel per spiegare altri fenomeni. 1 2)

Il concetto di sistema inerziale fu introdotto da L. Lange nel 1 885. Vedi

M. JAMMER,

Storia del concetto di 8pazio,

Feltrinelli, Milano 1 966, p. 1 23.

n.

1 68

La fisica del reversibile

del nostro pianeta attorno al suo asse. La cosa può essere messa in evidenza mediante il pendolo di Foucault. Dalla meccanica newto­ niana consegue che un pendolo, una volta messo in moto, oscil­ la in un piano fisso. Invece un pendolo sulla Terra appare oscillare in un piano che ruota lentamente in senso contrario alla rotazione terrestre. Si suol dire che un sistema inerziale deve conservare il suo orientamento rispetto al cielo delle stelle fisse < 1>. Comunque le osser­ vazioni suggerite da Galileo non erano di tale precisione da rive­ lare la non inerzialità del sistema terrestre. Einstein < 2 > comincia con l'estendere il principio di relatività. ai fenomeni elettromagnetici, postulando che « le stesse leggi dell'elet­ trodinamica e dell'ottica siano valide per tutti i sistemi di riferi­ mento per cui valgono le equazioni della meccanica )> . Oggi questo primo postulato si enuncia cosi < 3> :

l ) In tutti i sistemi inerziali valgono l e stesse leggi fisiche. A questo postulato Einstein ne aggiunse un secondo che è quello dell'invarianza della velocità della luce : 2 ) La luce si propaga nello spazio vuoto sempre con una definita

velocità c che è indipendente dallo stato di moto del corpo emit­ tente. È facile vedere che, se è valido questo secondo postulato, il concetto di contemporaneità o simultaneità diventa relativo, in quanto dipende dal sistema nel quale si trova l'osservatore. Infatti si consideri la nave di Galileo. In un punto del ponte equidistante dalla prua e dalla poppa si accenda una lampada. Per chi sta sulla ( l)

Inutile dire che anche questo ha senso e si può controllare solLanto fino a

una certa precisione. In assoluto n o n ha senso, fra l'altro, perché le stelle si muovono l'una rispetto all'altra.

( 2 ) Una bella esposizione elementare della teoria di Einstein si troverà in M. BORN, La sintesi einsteiniana, Boringhieri, Torino 1 969. Su Einstein esiste, come è naturale, un'enorme bibliografia. Ma si veda G. J. WHITROW (a cura di), Einstein, the 211an and his Achievements, Dover, New York 1 9 6 7 ; c. LANczos, The Einstein Decade, Academic Press, New York 1 9 74. \3 ) Per la storia va ricordato che il postulato generale era stato enunciato da

Poincaré nel l !!04. Einstein non n e era a conoscenza, e in ogni caso Poincaré non aveva saputo trarne gli sviluppi che ne trasse Einstein.

21.

La trasformazione di Lorcntz

1 69

nave la luce metterà lo stesso tempo per raggiungere la prua e la poppa. Pertanto per tale osservatore i due eventi : A = (arrivo della luce a prua) e B (arrivo della luce a poppa) sono contemporanei. Per un osservatore fermo a terra invece, mentre la luce viaggia, la prua fugge dinanzi ad essa mentre la poppa si avanza verso di essa. Pertanto si avrà prima l'evento B e poi l'evento A. Se ne conclude che due eventi che sono contemporanei per chi sta sulla nave non lo sono in generale per chi sta a terra. Einstein capi che bisognava rivedere il concetto di tempo, abban­ donando il tempo assoluto, newtoniano. Bisognava rendersi conto con metodologia operativa di come si misura il tempo e di come si sincronizzano gli orologi nei diversi sistemi inerziali. Fu questa la chiave che consenti di aprire la porta della relati­ vità e di arrivare a costruire tutta la mirabile teoria. Ma noi qui abbandoneremo l 'originario procedimento einsteinia­ no. Giudichiamo piu opportuno passare a una presentazione piu generale, resa possibile dalle brillanti idee introdotte da H. Min­ kowski qualche anno dopo . =

21.

La trasformazione di Lorentz. Lo spazio e il tempo sono certamente enti fisici di carattere par­ ticolare, e in un certo senso, privilegiato, rispetto a tutti gli altri. Infatti per descrivere un qualsiasi fenomeno fisico è necessario spe­ cificare luoghi e tempi nei quali si svolge. Questa natura singolare dello spazio e del tempo ha sempre attratto l 'attenzione degli scien­ ziati e dei filosofi, che li hanno considerati o come un substrato nel quale è calata la realtà ( Newton) o come un substrato nel quale noi caliamo la realtà ( Kant). Lo spazio e il tempo newtoniano sono assoluti e non dipendono dall'osservatore. Per lo spazio si credette di trovare questo riferi­ mento assoluto nell'etere. Un corpo si muove o sta fermo rispetto all'etere. Due eventi distanti nel tempo possono aver luogo in uno stesso punto dell'etere.

1 70

n.

La fisica del reversibile

Sparito l'etere, cominciò ad essere evidente ciò che era stato sospettato da molti, che cioè non avesse senso parlare di due eventi che avvengono nello stesso luogo in tempi diven;i, se non facendo riferimento a un dato sistema nel quale si osserva. Se dò appunta­ mento a uno per domani in questa stessa stanza, intendo forse dire nello stesso luogo in assoluto� N o perché la Terra si sposta lungo la sua orbita e domani questa stanza sarà molto lontana da qui. Posso fissare l'appuntamento fra un anno esatto. La Terra avrà rias­ sunto la posizione che ha oggi nel sistema solare ; ma quest'ultimo si muove nella Galassia ! La Galassia poi si muove rispetto alle sue consorelle e cosi via. Dunque, allo stato delle nostre conoscenze, l'identità assoluta di luogo in tempi diversi non ha significato fisico. Quando Einstein mostrò che viceversa non ha senso assoluto nemmeno la contemporaneità in luoghi diversi, cominciò ad appa­ rire evidente prima di tutto che vi è una certa simmetria fra lo spazio e il tempo e inoltre che essi sono molto pili intimamente colle­ gati fra loro di quanto si era pensato precedentemente. È facile di qui cominciare a immaginare con Minkowski che lo spazio-tempo o cronotopo sia un continuo unico, non separabile nella parte spaziale e in quella temporale, se non rispetto a un dato osser­ vatore. Alla considerazione dei punti dello spazio va sostituita quella degli eventi dello spazio-tempo, ciascuno individuato dalle quattro coordinate x, y, z, t. Pertanto lo spazio-tempo è un continuo quadri­

dimensionale.

Qual'è la trasformazione fra le quattro coordinate che deve ese­ guirsi nel passaggio dal sistema inerziale K al sistema inerziale K' della Fig. 59 � La trasformazione di Galileo ( II.44) è una trasformazione lineare, nella quale cioè le coordinate compaiono tutte alla prima potenza. Questo fa ricordare un tipo molto importante di trasformazione lineare di coordinate, precisamente quello che si ha quando si ruota di un dato angolo il sistema di riferimento. Per semplificare, riferiamoci a uno spazio bidimensionale rappre­ sentato dal piano della Fig. 60. Tale spazio sia riferito agli assi cartesiani x, y. In altre parole, ogni punto P del piano è individuato dalle sue coordinate x e y. Si passi ora a un nuovo sistema di assi

21.

La trasformazione di Lorentz

yr

171

p

x

- - - - -.:--=--1 - - - ;(r1 \Y' y: l x Figura 60

x ' , y ' , ottenuto dal precedente mediante l a rotazione d i u n angolo ex in senso antiorario. Il punto P in tale sistema avrà le coordinate x', y' date da O> x' = x cos ex + y sin ex ( II. 50) y' = - x sin ex + y cos ex . Dunque x' e y ' risultano ciascuna una combinazione lineare di x e y. Ci farà comodo notare che questa trasformazione lascia invariante l'espressione x2 +y2• In altre parole si ha ( come è facile verificare) x'2+y' 2 = x2 +y 2 • La cosa è evidentemente necessaria, dato che la detta espressione rappresenta il quadrato della distanza di P dal­ l'origine O e che tale distanza non varia con la rotazione degli assi. Se dallo spazio bidimensionale si passasse a quello tridimensio­ nale si troverebbe che, cambiando l'orientamento degli assi, le nuove coordinate x', y' e z' risulterebbero opportune combinazioni lineari delle vecchie x, y, z. Non stiamo a scrivere tali formule in generale ma ci limiteremo a un caso particolare. Supponiamo che gli assi x, y siano quelli della Fig. 60 e che pertanto l'asse z sia perpendi< 1> Ci risparmiamo di svolgere le facili considerazioni da cui discendono le formule e invitiamo il lettore a prenderle per buone. Invece il lettore che ne avesse bisogno farà bene a rinfrescare la sua conoscenza dei simboli trigonometrici. Dato l'angolo a: , si costruisca s u d i esso u n qualsiasi triangolo rettangolo

A �:

ABC. S i definisce allora

BCJAB, cos a: = ACJAB, tan a: = BCJAC. Risulta evidentemente tan a: = sin iX . jcos a: e, per il teorema di Pitagora, sin2 a: + cos2 a: = l. Prendendo queste due ultime equazioni come un sistema con le due incognite sin a: e cos a: e risolvendo, risu lta

sin a: =

anche sin

a: = tan a:j\h + tan2 a:

e cos a: =

1/Vl + tan2 a: .

1 72

n.

La fisica del reversibile

colare al piano della figura. Si ruoti il sistema di un angolo IX attorno a z. È chiaro che le nuove coordÌnate x ' , y ' saranno quelle indicate in figura, mentre z ' coinciderà con z. In altre parole la trasfor­ mazione sarà espressa dalle due equazioni ( II.50 ) e dalla terza equa­ zione z ' = Z. Se ora passiamo a uno spazio a quattro dimensioni, dovremo aggiungere un asse t, perpendicolare a x, a y e a z. È chiaro che non possiamo avere una rappresentazione intuitiva del sistema, ma possiamo senza difficoltà generalizzare la matematica. Fra l'altro possiamo concludere che se il sistema ruota di un angolo IX nel piano xy, la trasformazione sarà rappresentata dalle due equazioni (II.50 ), piu le due equazioni z ' = z e t ' = t. Ricordate queste nozioni, torniamo alla trasformazione di Gali­ leo (II.44) e domandiamoci : potrebbe la trasformazione da sostituire ad essa rappresentare proprio una rotazione del sistema di assi di riferimento x, y, z, t? La prima delle (II.44 ) suggerisce che, se cosi è, la rotazione av­ venga nel piano x, t. Rappresentiamo tale piano nella Fig. 61, pen­ sando che gli assi y e z siano ambedue perpendicolari ad esso.

o Figura 61

Si noterà che al posto di t abbiamo posto l'espressione et. Ciò per due ragioni. Prima di tutto è bene che le coordinate siano omogenee fra loro e pertanto bisogna dare alla quarta coordinata le dimensioni di una lunghezza, come avviene per le altre tre. In secondo luogo risulta che rispetto a quella che potremo chiamare una scala natu­ rale, noi misuriamo abitualmente il tempo con unità di misura

21.

La trasformazione di Lorcntz

1 73

troppo grandi (l) . Tutto diventa piu armonico e simmetrico se si prende per unità di misura del tempo il tempo che la luce impiega a percorrere un cm. È precisamente ciò che avviene se a t sosti­ tuiamo et. Allora applicando la ( II.50) dobbiamo avere la trasformazione ( 11.51)

x' = x cos IX + et sin IX et' = - x sin IX + et cos IX y' = y z' = z .

Supponiamo che questa sia la trasformazione giusta ed esami­ niamo il moto del punto O' della Fig. 59. Nel sistema K' tale punto rappresenta l'origine e per esso sarà costantemente x ' = O. Rispetto al sistema K, 0 ' si muove con la legge x = vt. D'altra parte dalla prima delle ( II. 51), ponendo x' = O si ottiene x = - et tan IX. Pertanto s i deve avere ( 11.52)

v c

- tan IX = ­

e in questo modo potremo determinare l'angolo IX. Ora ricordiamoci della ragione per cui vogliamo cambiare la tra­ sformazione di Galileo, cioè dei postulati di Einstein. Supponiamo che, quando O ' passa per O, in O venga accesa una lampada. La luce si propagherà in tutte le direzioni, in particolare lungo l'asse x. Per l'osservatore K la luce all'istante t avrà raggiunto le due ascisse x = et e x = - et. Complessivamente potremo scrivere x2- c2 t 2 = O ; infatti la soluzione di questa equazione dà proprio X = ± ct. Per l'osservatore K', in base al secondo postulato di Ein­ stein, la luce all'istante t ' avrà raggiunto i punti x' = ± et ' e potremo scrivere x'2 - c2 t ' 2 = O. Allora potremo dire che, affinché la trasfor­ mazione vada bene, è necessario che lasci invariante l'espressione

x2 - c2 t 2 . (l)

Ciò di solito è conveniente perché le

nostre

velocità sono quasi sempre estrema­

mente piccole. Facciamo una cosa analoga, come dice il fisico J_ A. Wheeler, quando di una strada misuriamo la larghezza in metri e la lunghezza in chilometri.

(2) a*l

x'2 - c2t'2 = x2 - c2 t2 ; a(x2 - c2 t2) con a costante. Ma se fosse fra K e K' che non sembra accettabile.

In realtà non sarebbe strettamente necessario che fosse

basterebbe, per esempio, che fosse

x'2 - c2 t'2

si verrebbe a istituire una asimmetria

=

n.

1 74

La fisica del reversibile

Purtroppo la ( II.51) non lascia invariata la differenza x2 - c2t2 , come si potrebbe verificare. Ma ricordiamoci che essa, essendo una rotazione, lascia invariata la somma x2 +c2 t 2 , cioè il quadrato della distanza del punto di coordinate x, et dall'origine. Allora nell'espres­ sione che stiamo esaminando sarebbe bene poter cambiare il segno di t2• Per far ciò non basta, purtroppo, cambiare il segno di t, per­ ché ( - t)2 = t 2 • La difficoltà è analoga a quella dinanzi alla quale si trovarono i matematici del Rinascimento per la risoluzione delle equazioni algebriche di grado superiore al primo. Purtroppo non esistono nu­ meri reali il cui quadrato sia negativo . La difficoltà fu risolta intro­ ducendo accanto all'unità reale l l'unità immaginaria < 1> i, tale che

i2 = ( - i) 2 = - 1

e

i( - i) = (- i ) i = l .

Ebbene, questa unità immaginaria ci aiuta anche nel caso presente. Prendiamo per quarta coordinata, al posto di et, l'espressione ict . Allora le (II.51) diventeranno

x' = x cos IX + ict sin a ict' = - x s in IX + ict cos a y' = y z' = z .

( II. 53)

Al posto della ( II.52 ) troveremo - i t an IX = vjc, ovvero, moltiplican­ do ambo i membri per i

.v

tan iX = � - .

(II. 54)

c

( l) Si osservi che l'unità immaginaria non è molto più immaginaria dell'unità reale ! Si tratta di un ente matematico astratto sul quale si opera mediante certe regole con­ venute. L'importante è che con i

numeri complessi, costituiti da una parte reale più

una parte immaginaria (cioè un numero di volte l'unità immaginaria) si può istituire un'algebra

perfettamente

coerente,

che contiene come caso particolare quella dei

numeri reali. (2) Naturalmente si può condurre i l ragionamento anche senza allontanarsi dal

Relatività, Boringhieri, Torino 1964, p. 1 37). In effetti si tende oggi ad usare nelle discussioni relativistiche tutte grandezze reali. Con ciò il cronotopo viene ad assumere una metrica pseudoeuclidea, inquantoché nel teorema di Pitagora non si ha soltanto somma di quadrati, ma anchA differenza

campo dei numeri reali (cfr. per es. A. EINSTEIN,

(come in x2 - c2 t 2 ) .

21.

La trasformazione di Loren tz

l75

Esprimendo sin DC e cos DC mediante tan DC, otteniamo ( II. 55)

.

i(vjc)

l

Sin DC = --;:='=====::;. ' Vl- v�jc2

Sostituendo nelle (II.53) e facendo qualche ovvia semplificazione si arriva a scrivere

x - vt -Vl - v 2 fc2 y' = y z' = z t - ( v jc2 ) x t' = Yl - v 2 fc2 x' =

( II. 56)

.

Queste equazioni costituiscono la celebre trasformazione di Lo­ rentz < 1> . Esse, quando v è trascurabile rispetto a c, ci danno di nuovo la trasformazione di Galileo ( come è facile verificare). Ciò doveva es­ sere, dato che per le ordinarie velocità la trasformazione di Galileo va benissimo d'accordo con l'esperienza < 2 >. Inoltre le ( II.56) assi­ curano l'invarianza dell'espressione x2 - c2 t 2 (o, piu in generale, di x2 +y2+z2-c2t2), cioè il rispetto del secondo postulato di Einstein. Vedremo, in qual modo esse consentono di soddisfare anche il primo postulato di Einstein.

(l) H. A. Lorentz aveva dato questa trasformazione un anno circa prima di Ein· stein, ma le attribuiva un significato puramente formale. Einstein, che del resto non conosceva il lavoro d i Lorentz, dette invece una mirabile derivazione fiRica della tra· ' sformazion e stessa . (2) Si osservi che per un veicolo che si muova alla cospicua velocità di 1000 k m all'ora i l rapporto vfc è ancora inferiore a u n milionesimo. Ci s i convince subito che è impresa quasi disperata in tal caso mettere in rilievo la differenza fra la trasformazione di Lorentz e quella di Galileo.

·

1 76

n.

La fisica del reversibile

22.

Oontraz'iune di lunghezze e dilatazione di tempi. Si consideri un regolo parallelo all'asse x che sia fisso in K', cioè viaggi con esso alla velocità v rispetto a K. Un osservatore in K' misuri le ascisse degli estremi del regolo , trovando i valori x� e x� . Concluderà che la lunghezza del regolo è L ' = x�-x� . Altrettanto po­ trà fare l'osservatore in K, trovando la lunghezza L = x2 -x1 • Ma attenzione ! Dato che il regolo si muove rispetto a K, le due ascisse x1 e x2 dovranno essere misurate allo stesso istante. Dovrà natural­ mente trattarsi dello stesso istante per K, cioè di uno stesso valore di t. Poniamo che sia per esempio l'istante t = O. Ponendo t = O nella prima delle (II.56 ), si ottiene e Facendo la differenza si ottiene subito ( II.57)

L = L'

R

- · �

Dunque l'osservatore in K troverà per il regolo la lunghezza L' moltiplicata per il fattore v'l - v2 ;c2. Tale fattore è sempre minore di l ( tanto piu quanto piu è grande v). Allora l'osservatore avrà l'impressione che, per effetto del moto, il regolo s i contragga nella detta proporzione. È questa la contrazione già postulata da H. A . Lorentz e G. F. Fitzgerald come ipotes i ad hoc per spiegare l'esito negativo dell'esperienza di Michelson. Ora essa non è più una stra­ nissima proprietà dei corpi materiali , bensi una eonseguenza del­ l'analisi operativa della misura delle lunghezze e dei tempi. Supponiamo ora che due eventi successivi si verifichino in K', per esempio in 0'. Vosservatore in K' registrerà per essi gl'istanti t� e t� e concluderà che sono separati dall'intervallo di tempo

T' - t2' - tl' ' -

Il punto 0 ' ha x' = O. Ponendo x' = O nella prima delle (II.56) s i ottiene x = vt ( come era ovvi o ) . Sostituendo questo valore di x nel-

22.

Contrazione di lunghezze e dilatazione di tempi

177

l'ultima delle ( II.56), si arriva a scrivere con facile semplificazione t' = tVl - v2 /c2 • Quindi se t 1 e t 2 sono gli istanti misurati da K, s i ha t1 = t{jVl - v 2 fc2 e t2 = t�/Vl - v�fc 2 • Facendo la differenza s i trova l'intervallo d i tempo T = t2 - tu quale appare a K ( II.58)

T'

Dunque all'osservatore fisso nel sistema nel quale si svolgono gli eventi , l 'intervallo di tempo appare piu corto. Viceversa per l'osser­ vatore rispetto al quale il sistema nel quale si svolgono gli eventi s i muove, il tempo diviene piu lungo. È questo il famosissimo feno­ meno della dilatazione relativistica dei tempi. Gli eventi di cui ci siamo occupati possono essere costituiti sem­ plicemente dall'arrivo delle lancette dell'orologio di K' su determi­ nate posizioni del quadrante. Pertanto l'osservatore in K vedrà che l'orologio di K' ritarda rispetto al suo . Questo fatto, che a prima vista appare incredibile, ha avuto mol­ teplici conferme, anche quantitative. La piu bella è quella relativa alle particelle f.L (o muoni ) prodotti dai raggi cosmici. Una particella primaria di alta energia arriva dagli spazi cosmici e incontra gli strati densi dell'atmosfera terrestre. A un'altezza di una decina di km incontra il nucleo di un atomo dell'atmosfera e ne provoca la disintegrazione. Fra i prodotti di tale disintegrazione si trovano alcuni mesoni 1t ( o pioni). Queste particelle sono instabili ; la loro vita media, accertata in laboratorio , è di 2,6 · lo-R s . Durante questo tempo non possono andare molto lontano . Anche nel caso limite in cui viaggiassero alla velocità della luce CI>, potrebbero al massimo percorrere alcuni metri, dopo di che decadrebbero. I pioni decadendo danno luogo a muoni ; anch'essi sono instabili e la loro vita media, misurata in laboratorio, quando sono prossimi alla quie­ te, è di 2,2 · 10- 6 s. Nel caso l imite in cui viaggiassero alla velocità della luce, in tale tempo percorrerebbero alcune centinaia di metri. Trattandosi di vita media, non si può escludere che alcuni arrivino a terra, ma sarebbero pochissimi rispetto al numero di quelli partiti. < 1 > Vedremo tra breve che è impossibile che vadano più veloci.

n.

1 78

La fisica del reversibile

Ora l'esperienza mostra che a terra ne arrivano molti di piu di quanti ne dovremmo aspettare secondo questo ragionamento. È come se i muoni che viaggiano ad alta velocità vivessero piu a lungo che quando sono prossimi alla quiete. Facendo esperienze a varie altezze sul livello del mare e contando ogni volta i muoni in arrivo, si dimostra che la loro vita media, per chi sta fermo, appare proprio dilatata nella proporzione voluta dalla ( II.58). Numerose altre esperienze confermano la validità di tale rela­ zione. Il tempo misurato da un orologio fisso in K' si chiama tempo proprio di K'. Esso è il tempo piu breve fra quelli che diversi osser­ vatori misurano intercorrere fra gli eventi che si svolgono in uno stesso luogo di K'. Per la ( II.58) il tempo proprio T di un sistema xr si ottiene dal tempo t misurato da un sistema K rispetto al quale K' si muove con velocità v, con la relazione T

( II.59)

=t

R 2

- ·

Il tempo proprio è evidentemente invariante. 23.

Velocità limite, passato, futuro. Consideriamo tre sistemi di riferimento inerziali K, K1 , K2 ( Fig. 62) e supponiamo che K1 si muova di velocità uniforme v1 K

o

Figura 62

23.

Velocità limite, passato, futuro

1 79

rispetto a K, mentre K2 si muova di velocità uniforme v2 rispetto a K1 • Ci domandiamo : con che velocità v si muoverà K2 rispet­ to a K� È chiaro che nella meccanica di Galileo c Newton la ri­ sposta è v = v 1 + v 2 Ricordiamo che secondo la ( II.54) il sistema K1 è ruotato nel cronotopo rispetto a K di un angolo cx1 tale che tan cx1 = i( v1 fc), men­ tre K2 è ruotato rispetto a K1 di un angolo cx 2 tale che tan cx2 = i(v2fc). Si tratta di trovare l'angolo cx = cx1 + cx2 di cui K2 è ruotato rispetto a K, dopo di che calcoleremo v mediante la relazione tan cx = i(vfc). Ora in trigonometria si dimostra la relazione : •

tan ( cx1 + cx2 ) = ( tan cx1 +tan cx'/.)/( 1 - tan cx1 tan cx2 )

•

Sostituendo in questa equazione le espressioni testè ricordate e sem­ plificando, si giunge subito a scrivere ( II.60)

v=

vl + v2 2.

l + vl v2fc

Questa importante relazione ci dice come si compongono le velocità. È evidente che quando v1 e v2 sono piccole rispetto a c, si torna alla formula di Galileo e Newton. Ma via via che le velocità au­ mentano, il denominatore del secondo membro cresce e diviene sem­ pre piu importante. Il risultato è sempre minore di v1 +v2 • Ci si convince facilmente che componendo due velocità minori di c non si arriva mai a raggiungere o a superare c. Precisamente si ottiene v = c soltanto se è v1 = c oppure v2 = c. Allora, se pensiamo che per un oggetto materiale, qualsiasi velo­ cità si possa raggiungere soltanto partendo da zero ed aggiungendo via via nuova velocità, si conclude che c'è una velocità limite non raggiungibile e non oltrepassabile da nessun oggetto materiale. In realtà non è mai stato trovato sperimentalmente che un oggetto o particella possa andare piu veloce della luce ( lJ. ( l) L'esistenza di una grandezza fisica che ha un limite superiore n o n raggiungi­ bile ha fatto meravigliare e meditare molti. Qualcuno ha voluto trarne profonde con­ seguenze filosofiche. Pochi purtroppo si rendono conto che essa è conseguenza del modo arbitrario e innaturale i n cui viene definita l a velocità, come grandezza derivata, cioè come rapporto fra lo spazio percorso e il tempo impiegato a percorrerlo. Se si adotta

180

n . La fisica del reversibile

Una bella conferma della regola di composizione delle velocità viene dall'esperienza di A. H. L. Fizeau (1851 ) sulla propagazione della luce nei mezzi in movimento. In realtà il risultato di tale espe­ rienza può spiegarsi anche con un'opportuna ipotesi di trascina­ mento dell'etere, proposta molto prima da Fresnel. Non si tratta quindi di un esperimento cruciale per la relatività. L'esperienza di Fizeau consiste nel far propagare la luce in seno a un fluido tra­ sparente d'indice di rifrazione n, che si muove con velocità v nella direzione della propagazione. Poiché la velocità in seno al fluido è cfn, la sua velocità rispetto a un osservatore fisso dovrebbe essere secondo la teoria classica pari a (cfn) +v. Invece si trova il valore cfn+(1 -1/n2 ) v. Ne consegue che il trascinamento da parte del mezzo fluido è solo parziale. Applicando la ( II .60) si ha per la velocità somma il valore (cfn+v)f( 1 + vfcn), che, a meno di termini molto pic­ coli (non misurabili) può scriversi ( l)

(cfn+ v)/(1 + vfcn) = cfn +v(1-1fn2 )-v2 fcn . Essendo l'ultimo termine trascurabile, si ha coincidenza col risultato trovato sperimentalmente. Torniamo ora ad occupar ci di questioni riguardanti il tempo . la definizione più

naturale della velocità come grandezza primitiva, da noi data me­ n , § 2), le cose cambiano. Per

diante dei carrelli che scorrono l'uno sull'altro (cap.

coloro che conoscono un po' più di matematica di quella che generalmente richie­

diamo per la lettura di questo testo facciamo la seguente considerazione. Si ponga

(II.54) ex = i Vfc, da cui vfc = tanh ( V/c). La V cosi definita non è altro che la v. La legge (spe­ rimentale) del moto uniforme risulta allora essere l = et tanh ( Vfc), anziché la (II. 2). Le velocità V s i sommano n e l modo naturale V = V1 + V2 e possono aumentare fino all'infinito. Quando è V = oo , si ha l = et. La luce, con questa definizione, ha velocità infinita. Si badi bene che sto soltanto mostrando che l a relatività è esprimibile in una lingua diversa da quella corrente, non che il suo contenuto potrebbe essere diverso.

nella

velocità primitiva misurata coi carrelli. Quando è piccola coincide con

Ma, chi sa perché, vi sono difficoltà a riconoscere anche la possibilità d i questa lingua diversa. Per esempio Popper dice che, se per definizione facessimo obbedire alle velo­ cità le ordinarie leggi dell'addizione, esse non potrebbero più essere definite mediante

Conjectures and Refutations, Harper & Row, 1 965, p. 2 1 2 ) . < 1> È nota dall'algebra l a formula l - a2 = ( l + a)( l - a). Se a è molto piccola rispetto all'unità, tanto da poter trascurare a 2 al primo membro, scriveremo l = = ( l + a )( l - a ) da cui l f ( l + o ) = ( l - o). Ponendo a = vfcn, si ottiene il risultato

misure empiriche e il nostro calcolo non si applicherebbe più alla realtà empirica. (K. POPPER,

del testo.

23.

Velocità limite, passato, futuro

181

Abbiamo detto che l a contemporaneità d i due eventi è relativa al sistema dal quale si osservano. Possiamo ora domandarci : dati due eventi A, B esiste sempre un sistema rispetto al quale Rono contem­ poranei? Se in un sistema risulta A successivo a B esiste un sistema in cui sia B successivo ad A ? Indichiamo con xA , tA e con xB , tB le coordinate dei due eventi misurati in K, con x� , t� e x� , t� quelle misurate in K'. Per l'ultima delle (II.56) si ha ( 11.61)

t� =

tA - (vjc2 ) xA v'f=-v2 Jc2

Supponiamo che B segua A in K, cioè che sia ( 11.62) È possibile che sia t�-t� < 0 cioè che A segua B in K ' ? Esprimendo t� e t� con le (II.61) i l nostro problema diviene subito quello di sapere se è possibile che sia tB - (vjc2 ) xB < tA - (vjc2 )xA , ovvero

( II.63) Poiché [vjc [ < l si vede che la cosa è impossibile se [xB -xA l < c(tB-tA ), cioè se la distanza spaziale fra A e B è minore dello spazio che la luce può percorrere durante il tempo tB - tA . Poiché la luce è velo­ cità limite, si dice che, se un segnale emesso da < 2> A può raggiun­ gere B, non è possibile l'inversione della successione < a>. A volte si dice anche che se A può essere causa di B, allora A precederà B in qua­ lunque sistema. È chiaro che questo enunciato va d'accordo con il concetto intuitivo di causa. Dovremo tornare su tale concetto ( cap. rv, § 2 0) , ma nella forma intuitiva esso esige appunto che se A è causa di B, un qualche cosa partito da A possa raggiungere B ; ( l l È comodo i n questi ragionamenti limitarsi a considerare il piano le altre due coordinate (y e z) non variano.

x,

t.

Tanto

< 2 > Si rammenti sempre che stiamo parlando di eventi e non di punti dello spazio

ordinario.

Naturalmente, se invece !xs - xA ! > c(t - t ) , l'inversione è possibile ed esiste B A A e B risultano contemporanei.

anche un sistema in cui

182

II.

La fisica del reversibile

e, d'altra parte, è assurdo che in qualche sistema l'effetto preceda la causa. Rappresenti O (Fig. 63) l'evento io-ora, cioè il luogo in cui mi trovo, all'istante presente. Le due rette x = et e x = - et dividono il piano x, et in quattro regioni. La regione tratteggiata al di sopra

�-'� et

x=-ct

1

l

Linea di universo x=ct

=. "'""'

x

Figura 63

di O rappresenta il mio futuro potenziale, in quanto comprende gli eventi a ciascuno dei quali potrei partecipare, pur di viaggiare a un'opportuna velocità v < c in un'opportuna direzione. La regione tratteggiata al di sotto di O rappresenta il mio possibile passato, cioè tutti gli eventi ai quali avrei potuto partecipare pur trovan­ domi ora in O. Le regioni non tratteggiate sono assolutamente fuori della mia presente portata in quanto né io posso adesso influenzare gli eventi che vi si svolgono, nè tali eventi possono influire su di me adesso. Come esempio, si consideri la stella IX Centauri, la piu vicina al sistema solare. Essa dista da noi circa quattro anni luce, ovvero la sua luce impiega quattro anni a raggiungerei. Ebbene io oggi non ho nessun mezzo ( nemmeno teorico ) di influenzare un evento che avverrà su IX Centauri fra due anni. Per la medesima ragione un evento svoltosi su IX Centauri due anni fa non può in alcun modo influenzare me ora.

24.

l nvarianza delle leggi della fisica

183

Se a x e et aggiungiamo una terza dimensione y, la regione trat­ teggiata diventa un cono di rotazione attorno all'asse et. Se aggiun­ giamo una quarta dimensione z, si ha un ipercono, non intuibile visivamente. Si suole di solito parlare semplicemente di cono del passato e di cono del futuro. Io nella mia vita percorro una linea di universo, che viene dal cono del passato, passa per O e va nel cono del futuro. La superficie conica che limita le regioni descritte si chiama cono di luce. Essa è l'insieme degli eventi percorsi dalla luce che arriva in O o che viene emessa da O. L'equazione di tale superficie è

x2 + y 2 +z2 = 02 t 2 .

Il passato, il futuro e il cono di luce sono concetti invarianti, in quanto non mutano per trasformazione di Lorentz, ovvero quando da un osservatorio K si passa a un osservatorio K ' . 24.

Invarianza delle leggi della fisica. Occupiamoci ora del principio di relatività per cui le leggi della fisica dovrebbero essere le stesse in tutti i sistemi inerziali. Torniamo per un momento allo spazio a tre dimensioni e consi­ deriamo in esso un corpo di massa m, soggetto alla forza F. Per la seconda legge della dinamica il corpo acquisterà un'accelerazione, tale che F = ma. Se prendiamo tre assi cartesiani ortogonali x, y, z, possiamo scomporre i vettori nelle loro componenti (proiezioni sui tre assi). Allora la legge dà luogo alle tre equazioni : Fx = max , Fy = may , Fz = maz . Se ora facciamo compiere alla terna di assi di riferimento una rotazione attorno all'origine, in modo da cambiarne l'orientamento, le componenti Fx , ax ecc. dei vettori cambieranno evidentemente di valore, secondo precise leggi (dette di covarianza), che dipendono dagli angoli di cui sono ruotati gli assi. Non stiamo qui a descrivere dettagliatamente tali leggi ma è ovvio che esse sono le stesse leggi di trasformazione a cui vanno soggette le coor­ dinate di un punto P. Infatti le coordinate di P non sono altro che le componenti del vettore OP, che va dall'origine O degli assi a P.

1 84

n.

La fisica dle reversibile

Le componenti dei vettori variano, ma la legge F = ma, essendo una legge vettoriale, concerne enti che non dipendono in alcun modo dall'orientamento degli assi e rimarrà invariata. Poniamoci questo curioso problema. Costruiamo un vettore F' che ha le prime due componenti eguali a Fx e Fy e la terza compo ­ nente eguale alla temperatura T del corpo sul quale agisce la forza. Potrebbe la legge F' = ma rappresentare una legge fisica� No, per­ ché mentre Fx e Fy obbediscono alla legge di covarianza delle compo­ nenti di un vettore e variano quindi come le componenti ax , ay dell'accelerazione, T rimane invariante quando ruotano gli assi e non può variare come az . Allora la legge F' = ma avrebbe una forma diversa a seconda di come scegliamo gli assi di riferimento . Ma ciò è assurdo perché il comportamento del mondo fisico non può dipen­ dere da come noi scegliamo gli assi. N e concludiamo che le leggi fisiche devono essere esprimibili con veri vettori, cioè con vettori le cui componenti presentino la necessaria trasformazione al variare degli assi di riferimento. Viceversa, se una legge fisica è espressa mediante un'eguaglianza fra vettori ( veri vettori), possiamo stare tranquilli che essa rimane la stessa comunque sia orientato l'osservatore. Queste considerazioni sono banali finché si resta nello spazio a tre dimensioni, dato che un vettore in esso è direttamente intuibile come segmento orientato, senza passare attraverso l e sue tre com­ ponenti. Diverso è il caso per il cronotopo. In esso possiamo pensare che esistano dei vettori, ch e ora chiameremo quadrivettori ; ma non pos­ siamo vederli. Possiamo soltanto studiarli considerando le loro quat­ tro componenti. Per sapere se quattro numeri ( misure di grandezze fisiche) rappresentano un quadrivettore bisognerà sincerarsi se han­ no rispetto alle rotazioni degli assi la necessaria covarianza. In questo modo (e solo in questo modo) riusciamo a riconoscere dei quadrivettori nel cronotopo. Una legge espressa mediante un'egua­ glianza fra quadrivettori è invariante per rotazione degli assi. Ora noi sappiamo che il passaggio da un sistema inerziale a un altro corrisponde semplicemente a una certa rotazione degli assi nel cro­ notopo ( trasformazione di Lorentz). Ne concludiamo che le leggi

24.

Invarianza delle leggi della fisica

1 85

della fisica, se scritte in forma quadrivettoriale, sono invarianti nel passaggio da un sistema inerziale a un altro. E pertanto il principio di relatività verrà soddisfatto se riusciremo a scrivere tutte le leggi della fisica in tale forma. Questo programma è perfettamente realizzabile. Non possiamo purtroppo svilupparlo in dettaglio, ma accenneremo ad alcune con­ clusioni salienti che se ne traggono. Un quadrivettore di fondamentale i mportanza si ottiene nel modo seguente. Consideriamo la quantità di moto p = mv di una particella di massa m che si muove con velocità v . Ci domandiamo se è possibile che le tre componenti Px , py , Pz della quantità di moto costituiscano le prime tre componenti di un quadrivettore. Si trova subito che non è possibile. Infatti s i ha evidentemente (II.64) dove dx, dy, dz rappresentano gl 'incrementi delle coordinate della particella durante il tempo d t, cosicché Vx =dxfdt, Vy =dy fdt, Vz =dzfdt. Ora dx, dy, dz hanno la stessa varianza di x, y, z o di Xu x2 , x3 del cronotopo, cioè delle prime tre componenti di un quadrivettore. Allora per raggiungere lo scopo bisognerebbe che dt fosse invariante (ammettendo, come faremo, che m sia invariante). Ma dt invece varia come la quarta componente di un quadrivettore, dato che si ha ic d t = dx4 . A questo s i ovvia sostituendo a dt l 'elemento di tempo proprio d-r della particella < 1>, dato, per la ( II.59), da d-r = = dt vl - v 2 jc 2 . Questo è invariante; pertanto le tre grandezze

.\:1 2 =

mvy ' Vl - v 2 fc2

.\:la =

mvz Vl - v�jc2

costituiscono le prime tre componenti di un quadrivettore. Quando vfc è molto piccolo, cioè in tutti i casi della meccanica classica .\:Ju .):12 e .\:la coincidono con le componenti Px , py , Pz dell'ordinaria quantità ( l) Si ricordi che dT rappresenta l 'intervallo di tempo intercorrente fra due eventi

coincidenti con la particella, misurato in un sistema solidale con la particella. Invece dt è l'intervallo misurato fra gli stessi eventi da u n osservatore rispetto al quale la particella si muove con velocità

v.

1 86

n.

La fisica del reversibile

di moto. Si conviene allora di ridefinire la quantità di moto cosi mv • p = v'1 - v�jc2

( II.66)

Non si contravviene in tal modo alla meccanica classica, mentre ci apprestiamo a costruire un quadrivettore da usare nelle leggi inva­ rianti della meccanica relativistica. Il problema è ora di trovare che cosa rappresenta la quarta com­ ponente di questo quadrivettore. Tenendo conto delle ( II.64), e della sostituzione di dt con dr si avrà evidentemente ( II.67)

-\J 4

=

m

ic dx4 i E m """(h = Vl - v�fc2 = c

avendo posto per comodità ( II.68) Che cosa rappresenta questa E? Quando la particella è in quiete, si ha per E il valore ( II.69) Quando la particella si muove, E aumenta a causa del denomi­ natore della ( II.68). Se vfc è molto piccolo, si ha < I > l

v2 l � :::: l + 2c2

v .J.-02

per cui ( II.70)

E

=

(

)

v2 = E0 + ! mv2 . mc2 1 + .! 2 2 c2

Si vede dunque che quando la particella acquista la velocità v, la grandezza E aumenta della quantità tmv2, che non è altro che l'ener­ gia cinetica. Si è tentati allora di concludere che E rappresenta (l) Infatti, moltiplicando i due membri per la radice quadrata ed elevando al qua­ l = l - 3v4j4c4 - éj4c6. Se, poniamo, vjc è un milionesimo cioè I0-6, l ' errore commesso è dell' ordine di I0-24 t

drato si giunge a scrivere :

24.

lnvarianza delle leggi della fisica

187

l'energia della particella. Se ciò è vero, ne consegue che la particella quando sta ferma, ha un'energia di riposo E0 data dalla ( II.69 ) e proporzionale alla sua massa ; quando s i mette in moto, all'energia di riposo si aggiunge l'energia cinetica. Einstein ebbe il merito di trarre proprio quest'ardita conseguen­ za, molto prima che vi fosse una qualsiasi prova sperimentale di essa. Che vuol dire che la particella ferma ha un'energia E0 ? Significa che essa deve in qualche modo avere la capacità di fornirci un lavoro pari ad E0 • È proprio ciò che la microfisica moderna dimostra in mille guise, come vedremo a suo tempo. La particella può annichi­ larsi e in tal modo fornisce un'energia ( raggiante, termica, cinetica di altre particelle) proprio eguale a mc2 • La massa deve quindi con­ cepirsi come una sorta di energia congelata, che in opportune con­ dizioni può liberarsi. L'energia cinetica E-E0 è eguale a mv2f2 soltanto quando v fc è molto piccolo. In realtà E ( e quindi anche l'energia cinetica) au­ menta tendendo all'infinito, quando v tende a raggiungere c. Ciò è E

o

v

c Figura 64

illustrato dal grafico della Fig. 64, che mostra l'andamento di E in funzione di v in base alla formula ( 1!.68). Esso fa comprendere, fra l'altro, in che modo avviene che la velocità c non possa essere raggiunta. Se una particella viene fatta correre in un acceleratore, questo a ogni giro le impartisce una certa energia. La velocità au-

1 88

II.

La fisica del reversibile

menta, ma va aumentando sempre meno via via che si avvicina a c. Per raggiungere c si dovrebbe impartire alla particella un'ener­ gia infinita e, naturalmente, non ci si riuscirà mai. Dunque abbiamo trovato che le componenti di p insieme con iEjc formano un quadrivettore ,P. Dobbiamo quindi pensare che la quantità di moto e l'energia fanno parte di un unico ente intrin­ seco dello spazio-tempo, in-variante per rotazione di assi. Noi perce­ piamo separate le componenti spaziali di ,P, che chiamiamo quantità di moto e la componente temporale, che ( a meno di un fattore) chiamiamo energia. Ma •1uesta scomposizione dipende da come sono orientati gli assi nello spazio-tempo, cioè da come scegliamo il nostro sistema inerziale. Il quadrato della lunghezza del quadrivettore .p (II .71 ) sarà evidentemente in-variante, dato che non può dipendere dal­ l'orientamento degli assi. Il suo valore per l'osservatore in K, ri­ spetto al quale la particella si muove con velocità v, sarà lo stesso che per l'osservatore in K', rispetto al quale la particella sta ferma. Per quest'ultimo, essendo p = O e E = E0 , il valore dell'in-variante è E�jc2 • Pertanto potremo scrivere p2 - E 2 jc2 E�jc2 • Sostituendo a E0 il suo valore ( II.69) , si arriva facilmente a trovare = -

-

( II.72)

E = cVp 2 + m2 c2 •

Questa notevole equazione, che esprime l'energia in funzione della quantità di moto, è molto importante nella fisica moderna. Fra l'altro essa mostra che, nell'ipotesi apparentemente assurda che la massa fosse zero, se la particella avesse egualmente un'ener­ gia, dovrebbe avere anche una quantità di moto e viceversa. In tal caso varrebbe la relazione ( II.73)

E p =- . c

È proprio ciò che avviene per il campo elettromagnetico, come ve­ dremo quando parleremo dei fotoni ( cap. rv, § 6 ) . Per applicare il principio di relatività a l campo elettromagnetico bisogna considerare enti un po' piu complessi dei vettori. Le leggi

24.

I nvarianza delle leggi della fisica

1 89

fisiche si esprimono mediante numeri invarianti, non associati ad al­ cuna direzione (a volte detti scalari), mediante enti associati ad una direzione (vettori), o mediante enti associati a piu direzioni (tensori). Anche questi possono descriversi mediante componenti, cioè mediante proiezioni sugli assi, ma sono enti intrinseci, indipen­ denti dall'orientamento degli assi. Ora risulta che tutte le leggi dell'elettromagnetismo, e in primo luogo le equazioni di Maxwell, possono esprimersi mediante equa­ zioni fra scalari, vettori e tensori dello spazio-tempo. Tali equazioni non dipendono dall'orientamento degli assi e pertanto rimane sod­ disfatto il principio di relatività. Risulta con questa impostazione che il campo elettrico e il campo magnetico non sono altro che proiezioni sui piani coordinati di uno speciale tensore dello spazio-tempo. Che cosa ci appare come campo elettrico e che cosa ci appare come campo magnetico dipende dun­ que dal sistema inerziale nel quale ci mettiamo. Cosi si spiega fra l'altro un fenomeno che per tanto tempo era apparso molto strano . Abbiamo visto che un filo percorso da cor­ rente, immerso in un campo magnetico ad esso perpendicolare, è soggetto a una forza perpendicolare ad ambedue. Ciò avviene perché mentre per un osservatore fisso nel laboratorio vi è solo un campo magnetico, per un osservatore che si muova insieme con una parti­ cella carica dentro il filo il tensore elettromagnetico presenta anche una componente elettrica. In altre parole la particella vedrà an­ che un campo elettrico, perpendicolare al filo e al campo magne­ tico, e quindi subirà una forza in tale direzione. Viceversa, prendiamo un filo conduttore, immergiamolo in un campo magnetico, perpendicolarmente alle linee di forza e quindi facciamolo muovere perpendicolarmente a se stesso e alle linee di forza ( Fig. 65 ) . Una particella carica che si trovi dentro il filo vedrà nascere un campo elettrico nella direzione del filo e sarà sollecitata a muoversi in tale direzione. Nasce cosi nel filo una forza elettro­ motrice. È questo uno dei fenomeni che piu aveva colpito Einstein. Egli aveva intuito che la forza elettromotrice doveva attribuirsi a un campo elettrico, in modo da aversi simmetria fra questo caso e

1 90

n.

La fisica del reversibile

campo magnetico 1 / fiLo conduttore V

lv

)1

direzione deL moto

Figura

65

quello in cui il conduttore sta fermo e si muove il magnete che genera il campo magnetico. In tal caso varia il flusso magnetico e il campo elettrico viene generato secondo i dettami delle equa­ zioni di Maxwell. Queste considerazioni ebbero grande importanza nello spingere Einstein ad elaborare la relatività. 25.

La gravitazione. La teoria sviluppata fin qui, detta relatività ristretta o relatività speciale, rende conto del perché tutti i sistemi inerzial i sono equi­ valenti, nel senso che le leggi della fisica sono le stesse in ciascuno di essi. Ne consegue fra l'altro che non v'è modo di verificare per mezl"io di esperimenti eseguiti dentro un laboratorio K se il labo­ ratorio sta fermo o si muove di moto rettilineo uniforme. Il con­ cetto di fermo appare quindi privo di significato fisico. Ma basta questo per eliminare lo spazio assoluto "? E i sistemi non inerziali? Se il laboratorio K è accelerato, rispetto a che cosa è accelerato ? Se ruota, rispetto a che cosa ruota? Mach enunciò un suggestivo principio, secondo il quale una massa si muove (ed è accelerata o ruota) rispetto alle altre masse dell'uni­ verso < 1>. La massa di un corpo, ovvero la sua resistenza all'accele(l) In realtà Mach era stato preceduto da Berkeley nell'enunciazione di questo principio.

25.

La gravitazione

191

razione, è dovuta all'interazione gravitazionale con tutte le altre masse dell'universo. In questo caso esisterebbe un sistema di rife­ rimento privilegiato, individuato dalla distribuzione delle varie mas­ se nel cosiddetto cielo delle stelle fisse. Una famosa argomentazione di Newton in favore dello spazio as soluto partiva dall'esperienza fatta con un secchio pieno di acqua, rotante attorno a un asse verticale. La superficie dell'acqua s'in­ curva ( diviene un paraboloide) quando l'acqua ruota in > e non quando ruota soltanto rispetto al suo contenitore ( cioè quan­ do, negli istanti iniziali, il secchio ruota e l'acqua sta ancora ferma ). Mach osservò che, affinché tale esperienza fosse probante nel senso voluto da Newton, o nel senso da lui preconizzato bisognerebbe provare a tener ferma l'acqua e a farle ruotare attorno il cielo delle stelle fisse ! Ciò non si può fare e pertanto l'argomentazione di New­ ton è priva di forza. Einstein fu profondamente influenzato dalle idee di Mach ; ma segui una strada diversa nell'impostare la sua relatività generale. Domandiamoci : in che modo un sistema non inerziale differisce da un sistema inerziale ? In che modo un os servatore, facendo sol­ tanto esperimenti al di dentro di K, può accorgersi che K è accelerato? Supponiamo di essere all' interno di una vettura ferroviaria K che corre uniformemente su un binario rettilineo perfetto . Con nes­ suna esperienza interna alla vettura K potremo accorgerci che essa si muove. Supponiamo ora di arrivare a una curva. Se il binario è orizzontale , ce ne accorgiamo subito, perché subiamo una forza F che ci trae verso l'esterno della curva (Fig. 66a). A ciò si ovvia, K

a)

Figura

66

b)

n.

1 92

La fisica del reversibile

come è noto, inclinando opportunamente il binario (Fig. 66b ). L' ideale si ottiene quando la forza F, combinata con il peso P, dà luogo a una risultante P' perpendicolare al pavimento della vettura. Ci ritroviamo in tal caso in situazione apparentemente normale. Ora, partendo unicamente dagli elementi in nostro possesso al­ l'interno di K, non potremmo invece interpretare le cose in modo diverso, cioè pensare che la corsa è sempre rettilinea e che nel caso a il binario è inclinato verso l'esterno, mentre nel caso b ritorna orizzontale ( Il "? Ma, dato che :_tll'inizio della situazione a, cioè all'atto dell'abbordare la curva, non ci siamo accorti che il treno si sia inclinato ruotando attorno al suo asse longitudinale, non potremmo supporre che sia stato il centro della Terra a spostarsi improvvisa­ mente verso destra, in modo da rendere il peso non piu perpendi­ colare al pavimento delle vetture ? In tal caso passare alla situa­ zione b vorrebbe dire riportare il binario su un piano orizzontale ! Supponiamo ora che il treno, tornato sul rettilineo freni la sua marcia. Saremo proiettati in avanti. Non potremo attribuirel'effetto a un nuovo pianeta che si è posto improvvisamente dinanzi al treno e ci attrae con la sua forza gravitazionale ? In realtà lo potremo per la seguente ragione. Se il nuovo pianeta ha massa M e siamo a distanza r dal suo centro, ogni corpo di massa rn nel nostro labora­ torio subirà una forza gravitazionale F = GmMfr2 e quindi un'acce­ lerazione a, tale che ma = Gm�If'r2 • Da questa, dividendo per m otteniamo . Niente (l) In realtà non bisognerebbe parlare delle ellissi di Keplero, che sono curve nello (2) Per le ragioni che abbiamo detto, spesso si usa piuttosto l'espressione covariante. A

male di Garibaldi !

•>

sola conclusione : che la scienza è impossibile ! Chi si dà a questo esercizio d i perpetua volte l'affastellamento di tutte queste '' confutazioni

sembra diretto a una

l'« amico del giaguaro ''· lo non sono amico del giaguaro. So che la scienza è possibile e ho molta simpatia per chi tenta di spiegarmi come e dentro quali limiti è possibile.

confutazione mi ricorda molto l'interlocutore del cacciatore nella ben nota storiella del­

210

n . L a fisica del reversibile

Guardiamoci dunque dal rifiutarci di riconoscere uii qualche aspetto della complessa realtà del rapporto uomo-natura soltanto perché non è possibile inquadrare in quell'aspetto t1ttta la realtà O). Un aspetto che sarebbe ridicolo negare che esista nella scienza fisica è quello strumentalistico. Non c'è dubbio che la scienza serve a qualche cosa. E l'impegno con cui parecchi filosofi e fisici si danno a svalutare questo aspetto è degno di miglior causa. Oggi sta diven­ tando sempre maggiore il numero di quegli studiosi che rifiutano di riconoscere la tradizionale supremazia della speculazione astratta rispetto all'esame della scienza in rapporto alla società dalla quale nasce e nella quale s'inserisce. E in questa prospettiva si ha l'im­ pressione che, nonostante moltissimi discorsi, lo studio delle rela­ zioni fra la scienza e l'applicazione tecnica non sia stato sufficiente­ mente approfondito. Probabilmente non si è ancora trovato nem­ meno il modo giusto di affrontarlo. Comunque, tornan do alle considerazioni epistemologiche, ricor­ diamo che secondo lo strumentalismo ( 2 > le teorie fisiche non sono altro che strumenti o regole che ci permettono di prevedere certi fatti a partire da certi altri fatti. L'origine di questo concetto è molto lontana. Si pensi al Cardinale Bellarmino che per tentare di salvare Galileo voleva persuaderlo a sostenere che la teoria copernicana era soltanto un utile strumento matematico per calcolare la posizione degli altri e non riguardava la realtà. Successivamente troviamo fra coloro che per un verso o per l' altro possono essere qualificati strumentalisti Berkeley, Mach, Hertz, D ewey, Heisenberg, Dirac. Secondo me molti commettono un grosso errore nell'interpretare l 'espressione : non sono altro che strumenti. Anche un martello non è < I > Naturalmente mi riferisco soltanto ai modi apparentemente piu seri di confu­ tare. Ma ve ne sono altri molto meno sopportabil i . Basta pensare al bambinesco giuoco del perché. Partendo da una qualsiasi, anche ragionevolissima, affermazione, chiunque

è in grado di i nstaurare con una serie di domande un regresso all'infinito (o meglio una circolarità). Un altro fastidioso vizio degli avversari di un dato x- ismo è di affer­ mare categoricamente che l'x- ismo è morto e sotterrato. Ma l'animosità e la veemenza con cui lanciano l 'affermazione fanno sospettare che costoro sappiano benissimo che l 'x- ismo è sempre vivo, e per ragioni non del tutto trascurabil i . < 2 > Vedi per es. K . POPPER, Three Views Concerning Human Knowledge, i n Conjec­ tures and Rejutations, Harper & Row, New York 1 965, p. 107.

29.

Rie(•.hezza del rapporto uomo-natura

211

altro che uno strumento per piantare chiodi. Ma l a cosa importante dal punto di vista epistemologico è che chi usa il martello sa che può usarlo per piantare i chiodi. Ecco che l'aspetto conoscitivo, cacciato dalla finestra, rientra dalla porta principale. Come abbiamo già osservato, la scienza fisica ci permette di fare asserzioni vere nel senso che effettivamente corrispondono ai fatti, cioè in un senso , che non solo è intuitivamente accettabile, ma che è anche stato pre­ cisato e formalizzato da Tarski. Molti pensano che il primate nostro antenato sia diventato uomo quando ha imparato a servirsi di stntrnenti, fossero pure semplici pietre. Pare che le facoltà del linguaggio, della rappresentazione sim­ bolica e del pensiero astratto si siano sviluppate contestualmente con tale capacità, e inscindibilmente da essa. Se ciò è vero, chi si occupa dell' analisi del pensiero scientifico dovrebbe essere molto cauto quando parla di nient'altro che sernplici stTu·menti. Lo strumentalismo a volte è legato a uno stretto fenonwnism.o, per cui quelli che contano sono i puri fenomeni e i collegamenti fra di essi. È un atteggiamento che merita di essere conosciuto c che, secondo me, ha avuto anche una funzione catartica tutt'altro che disprezzabile, quando ha spinto a rinunciare a costruire castelli in aria non necessari, a· proposito di una supposta e non controllabile realtà profonda. Ma se ci si attacca al dogma fenomenistico acriti­ camente, si rischia di non vedere che certe costruzioni teoriche rap­ presentano proprio il miglior collegamento fra i fenomeni e che, in ogni caso, non esistono collegamenti non teorici. Si arriva alla sfor­ tunata posizione di Mach O), che non riusci ad accettare l'atomismo ! Stretto parente dello strumcntalismo è il convenzionalisrno ( 2 ). Anche in questo punto di vista c'è una gran parte di verità. Come si fa a non riconoscere che la struttura della scienza è in qualche misura convenzionale '? Piu volte abbiamo richiamato l'attenzione ( l ) Sulla drammatica e infelice battaglia di Boltzmann iu favore della teoria ato­ mico- statistica, contro i fenomenisti, si veda E. BELLOXE, l modelli e la concezione del mondo, Feltrinelli, Milano 1 9 7 3 , pp. 7 1 sgg. ( 2 ) Vedi per es. J. o. WISDOM, Four Gontempora1·y lnterpretations of the Nature oj Science, in '' Found. of Phy8. >>, l, 296 ( 1 97 1 ) ; r . LAKATOS, History oj Science and its Rational Reconstruction, in , vol. VIII, 9 1 ( ! 97 1 ) .

2 12

II.

La fisica del reversibile

sui punti della fisica decisamente convenzionali, proprio per non correre il rischio di ipostatizzare in una realtà inesistente quello che è una pura convenzione. Ma vi sono questioni meno ovvie, di cui esemplare è la seguente. Gauss, uno dei grandi precursori dell'avvento delle geometrie non euclidee, esegui una volta misure di precisione su un triangolo for­ mato da tre montagne d,istanti fra loro varie decine di chilometri per verificare se la somma degli angoli interni differiva da 180°. Naturalmente non trovò tale differenza, che, se esiste, può esistere solo su scala cosmica, come oggi sappiamo. Più tardi Poincaré, inter­ venendo a fondo nel dibattito sulle geometrie non euclideè, osservò che, se in una triangolazione, come quella di Gauss, si scoprisse una differenza da 180°, ciò non significherebbe necessariamente che la geometria reale è non euclidea. Tale conclusione discenderebbe solo dall'aver convenuto che la luce viaggi sempre in linea retta. Volendo continuare a usare la geometria euclidea, potremmo farlo benissimo ; l'esperienza ci mostrerebbe soltanto che i raggi luminosi sono curvi. Si tratta di vedere quale geometria è piu comoda per interpretare i fatti e convenire di adottarla. Continuando questo tipo di discorso si può arrivare ad affermare con P. Duhem che tutte le teorie non sono altro che convenzioni e come tali possono essere solo buone o cattive, non vere o false. Quando si riconosce di aver fatto una cattiva convenzione si rinun­ cia ad essa e se ne fa una migliore. Naturalmente, quello che lascia molto perplessi è l 'affermazione che tutte le teorie 1Ìon siano altro che convenzioni. Convenzioni su che cosa? (1 ). E perché possono essere buone o cattive? Altri parenti dello strumentalismo e del convenzionalismo sono il pragmatisrrw ( C . S. Peirce, "\V. James, F. Schiller, J. Dewey ) , il -valore dell'entropia in un qualsiasi punto B è funzione unicamente di B, cioè dipende unicamente da do-ve si tro-va il punto B e non dalla particolare trasformazione re-versibile eseguita per raggiungerlo. Si potrà dunque usare il simbolo di fun­ zione e scri-vere S(B) per il -valore dell'entropia in B. Si suol dire che l'entropia è una funzione di stato, cioè dipende dallo stato in cui il sistema si tro-va e non dalla trasformazione re-versibile con la quale lo si raggiunge. Ma allora di-venta e-videntemente inessenziale la storia del sistema ; quando esso è in B, la sua entropia può essere definita come S(B), anche se le trasformazioni con cui si è arrivati a B

sono irreversibili. Pertanto diremo che l'entropia nello stato B è S(B) indipenden­ temente da come B è stato raggiunto, ma calcolererno S(B) come se B fosse stato raggiunto in modo re-versibile. Consideriamo il caso di una mole di un gas perfetto . Dalle ( III.ll) e ( III.13 ) si ha dQ = Mcv d T + P d V . Ponendo P = RTjV, come ri­ sulta dall'equazione di stato dei gas perfetti ( III. 7 ) si ha anche dQ = Mcv dT + R T d VfV, per cui la ( III.37 ) di-viene dT dV dS = Mcv T + R -y .

( III.41)

Integrando < 2 > fra uno stato iniziale T0 , V0 e uno stato generico T, V e utilizzando integrali di un tipo già -visto, avremo

f

T

( III.42 )

f

V

T V dV dT S = Mcv - + R - = Mcv ln - + R ln - . T0 T Vo V T0

Vo

( l ) Tale valore potrebbe essere fissato arbitrariamente. Vogliamo tuttavia menzio­ nare che esiste un teorema di N ernst o terzo princip·i o della termorlinamica che afferma che l'entropia di qualsiasi sistema ò nulla allo zero assoluto. Basta allora fissare il punto A, dal quale cominciare a calcolare l'entropia, allo zero assoluto per far spa· rire ogni arbitrarietà. Ma noi non avremo bisogno di entrare in questi problemi. Por­ remo sempre S(A) o= O , dovunque sia il punto fisso A e diremo che l' entropia è deter­ minata a meno d·i una costante arlrlittiwr. (2) L'analisi matematica c'insegna che questa integrazione si può fare, perché dS ò un rl·ifjeTenziale esatto. Ciò in sostanza significa che i l risultato dell' integrale non dipende dal cammino d'integrazione, ma solo dallo stato i niziale e finale.

246

ur.

L a fisica delrirrcvcrsibile

Osserviamo che naturalmente In ( TfT0 ) = In T-In T0

e

ln ( V/ V0 ) = ln V - In V0 •

Poiché In T0 e In V0 sono delle costanti e l 'entropia è definita a meno di una costante, scriveremo semplicemente ( III.43 )

S = Mcv In T + R In V + costante .

Questa è l' entropia del gas perfetto nello stato caratterizzato da

T e V, qualunque sia stata la via per cui si è giunti a tale stato.

Quando un sistema è costituito da piu sottoinsiemi che scam­ biano calore fra loro , chiameremo entropia totale la somma delle entropie dei singoli sottoinsiemi. Si consideri ora un sistema isolato cioè un sistema ideale che non scambi energia sotto nessuna forma col mondo circostante. Per esempio riferiamoci a un sistema formato da una macchina di Car­ not C piu le sue sorgenti .E1 , .E2 , essendo quest'ultime isolate dal mondo esterno < 1>. Si vede subito che l'entropia del sistema non varia mai durante il ciclo. Infatti ad ogni incremento di entropia dQI T d i C corrisponde un eguale decremento dell'entropia d i .E1 e a d ogni decremento dell'entropia di C corrisponde un eguale incremento del­ l'entropia di .E2 • Ma supponiamo di sostituire a C una macchina irreversibile. Allora l'entropia aumenta. Per esempio supponiamo di sostituire alla prima isoterma 1 -> 2 (Fig. 7 4 ) un'espansione da l a 2 senza lavoro esterno, come quella della Fig. 73. L'aumento di entropia di C sarà lo stesso come se la trasformazione fosse reversibile, perché lo stato finale 2 è lo stesso < 2 >, mentre nessuna diminuzione si ha per l'entropia di .E1 ( dato che essa non fornisce calore). Oppure, oltre a far funzionare C, si metta in connessione diretta .E1 con .E2 , in modo che passi dalla prima alla seconda una quantità di calore Q. L'entropia di .E2 aumenterà di Q l T2 , mentre quella di .E1 diminuirà della quantità Q 1 T1 che è piu piccola. In tutto avremo aumento di entropia. In generale, osserviamo che, se una parte l del ciclo è reversibile ( I) Le sorgenti dovranno anche essere abbastanza grandi affinché la loro tempe­ ratura non vari sensibilmente durante gli scambi di calore con C. ( 2) Ricordiamo che la temperatura non varia quando il gas perfetto si espande senza lavoro.

8.

La non lincarità dello sviluppo del l a termodinamica classica

247

e una parte l' è irreversibile, il ciclo totale è irreversibile. Ma allora il suo rendimento sarà minore di quello di C e di conseguenza avremo Q1 ( T1 < Q2 ( T2 , come si verifica facilmente. Ciò significa che l'entropia complessiva delle sorgenti aumenterà. D'altra parte il sistema che compie il ciclo chiuso torna allo stato di partenza e quindi non subirà variazione totale di entropia. Pertanto l'entropia totale aumenta. Ma non può aumentare durante la parte l del ciclo perché tale parte è reversibile. Dunque deve essere aumentata durante la parte l'. Ne concludiamo che l'entropia di un sistema isolato è costante du­

rante 'Una trasformazione reversibile ed aumenta durante qnalsiasi tra­ sformazione irreversibile. Poiché, come sappiamo, nessuna trasformazione reale può essere perfettamente reversibile, consegue che l'entropia di un sistema iso­ lato va continuamente a�tmentando. Se raggiunge un massimo, il sistema è arrivato alla morte termica. Molte volte, seguendo una celebre affermazione fatta da Olausius nel 1867, si è stati tentati di generalizzare dicendo che l 'entropia dell'universo va aumentando e che tende a un massimo, raggiunto il quale si verificherà la morte termica. Ma l'universo è un sistema isolato ? E se è infinito, che significato ha che esista un massimo per la sua entropia ? A queste e ad analoghe domande nessuno sa rispondere, per cui è bene andare cauti nell'affermare con sicurezza risultati di estrapo­ lazioni molto dubbie. Tuttavia sta il fatto che l'entropia di quella parte dell'universo che riusciamo ad osservare va aumentando. La energia effettivamente si degrada. Tutto ci porta a ritenere che, almeno al tempo presente, stiamo vivendo in un sistema che si evolve in modo irreversibile. 8.

La non linearità dello svihtppo della termodinamica classica. Piu volte abbiamo fatto presente che non intendiamo fare della

storia della fisica in quanto tale. Ma non abbiamo per questo pre­ teso di metterei in una prospettiva astorica o, peggio ancora, affer-

248

III.

La fisica dell'irreversibile

mare che lo studio della storia sia inessenziale per la comprensione della scienza e delle sue implicazioni epistemologiche. Si tratta piut­ tosto della necessità di distinguere con chiarezza i vari aspett,i dello scibile umano (pur non ignorandone le reciproche relazioni) e, soprat­ tutto, di lasciare a ciascuno il suo mestiere ( l'autore di queste pagine non è uno storico ) . Tuttavia vogliamo far notare come i l caso della termodinamica classica sia quello in cui piu chiaramente si dimostra la differenza fra la storia interna, come ricostruzione razionale e lineare dello svi­ luppo, e la storia effettiva, letta sui documenti. Quest'ultima, per buona parte dell'ottocento, è costituita da un incredibile susseguirsi di tentativi in direzioni divergenti e pressoché indipendenti l'uno dall'altro, di ritorni indietro, di formulazioni oscure e imprecise, di folgoranti anticipazioni ( 1). Vi è molto da imparare quando si se­ guono le intricate maglie di questa rete. Soprattutto è interessante vedere sorgere durante il tormentato cammino della termodinamica ottocentesca alcune delle piu importanti istanze metodologiche della fisica moderna. Molto istruttivo è esaminare l'atteggiamento dei vari autori nei riguardi dell'esigenza di spiegare i vari fenomeni e di scoprire che cosa c'è sotto mediante ipotesi e modelli piu o meno intuitivi. Tutte le possibili posizioni sono rappresentate. Innanzitutto emerge come assolutamente singolare la figura di J. Fourier. La sua impostazione del 1822 è per molti versi anticipatrice di tendenze che andranno poi affermandosi nella fisica del suo e del nostro secolo. Fourier si occupa della conduzione del calore e per la prima volta afferma che la cosa che conta è l'equazione del fenomeno, al di là e al di fuori della spiegazione o del modello che si voglia dare (2J. E infatti, partendo da alcuni assiomi generali sulla propa­ gazione del calore, dà un primo bellissimo esempio di fisica matei l l Si vedano, per es. : c. TRUESDELL, The Tragicomedy oj Classical Thermodynamics, Springer, 1 9 7 1 e E. BELLONE, I modelli e la concezione del mondo, Feltrinelli, Milano 1973, capp. I-III. 1 2) Fourier è l'iniziatore di quella che oggi si chiamerebbe la formalizzazione e la assiomatizzazione delle teorie fisiche.

8.

La non linearità dello sviluppo della termodinamica classica

249

matica dei mezzi continui, ricavando per via analitica una serie di precisi r isultati. Il rifiuto del modellismo e l 'accento posto sulle equazioni dei fe­ nomeni instaurano un'importante tradizione che da Fourier va fino a Dirac. Tuttavia vanno notati due fatti, che differenziano profon­ damente l 'impostazione piuttosto sterile di Fourier da quella molto feconda di Dirac. Prima di tutto va riconosciuto che la conduzione del calore è un fenomeno d' interesse fisico relativamente modesto, il cui studio non fece molto progredire la termodinamica. In secondo luogo non vogliamo tacere il fatto che già in Fourier sono presenti in nuce alcuni atteggiamenti che in seguito hanno reso i fisici abba­ stanza critici nei riguardi di un certo tipo di fisica matematica. Pre­ cisamente si tratta di quel procedimento secondo il quale, una volta stabilite con misure di l imitata precisione le equazioni dei fenomeni, si vanno poi a ricavare con rigorosissima matematica, conseguenze di estrema precisione, in casi di interesse fisico quasi nullo, che nes­ suno ha l'intenzione o la capacità di andare a verificare sperimental­ mente ! A volte non si può dire che i fisici abbiano tutti i torti a guar­ dare con scarso entusiasmo questo tipo di attività. Esso può essere fuorviante e indurre a credere che si sappia sul mondo fisico molto di piu di quanto si sappia in realtà (l) _ Tuttavia v'è un'importante circostanza che non va trascurata. A volte l'attività del fisico mate­ matico porta a elaborare o a meglio comprendere strumenti ma­ tematici che si rivelano poi essenziali per il progresso ulteriore della fisica. Fourier stesso ne è un luminoso esempio : l'analisi di Fourier, per cui un qualsiasi fenomeno può essere considerato come la sovrap­ posizione di tanti fenomeni periodici sinusoidali, è oggi uno dei car­ dini fondamentali della nostra comprensione della natura fisica. La conduzione del calore costituisce soltanto la meno importante delle sue applicazioni ! A parte la singolare parentesi di Fourier, la cultura accademica del primo ottocento rimaneva fortemente ancorata all'idea che una (lJ Naturalmente i precedenti di questo atteggiamento possono ritrovarsi nel razio­ nalismo illuministico e nel tentativo di d'Alembert e di Lagrange di ricond urre tutta la meccanica alla pura analisi matematica.

250

III.

La fisica dcll' irrevcrsibile

spiegazione della nat,ura del calore fosse essenziale per il progresso della scienza. E, dati i precedenti settecenteschi, era naturale che si cercasse tale natura profonda nella meccanica. In altre parole si postulavano dei modelli meccanicistici. A questo proposito vorrei fare un'osservazione generale. A me sembra che l'accento che spesso si pone sul termine meccanicismo, sulla sua importanza filosofica, sulla sua affermazione, sul suo fal­ limento e sul suo superamento, sia abbastanza ingiustificato. È sem­ plicemente naturale che quando si è arrivati al gradino Tn della scala storica delle teorie ( cap. u, § 28), si cerchi, prima di parlare di Tn+u di spiegare i fenomeni esterni a Dn mediante Tn . A questo punto si può parlare di Tn -ismo. Se ciò ha un'importanza metodo­ logica (e certamente ce l'ha), non si capisce perché tale importanza debba scorgersi esclusivamente nel caso della meccanica. Per esem­ pio quando Lorentz alla fine dell'ottocento tenterà d'interpretare tutta la struttura della materia mediante una teoria elettronica, si potrebbe parlare di elettricismo. Eppure, per una qualche ragione psicologica, si tende a dare al meccanicismo un'importanza molto maggiore. Comunque, mentre il tentativo di applicare il Tn -ismo è una sana e utilissima direttiva metodologica, è un errore il pensare che sia una necessità e che sia impossibile comprendere o spiegare alcunché se il tentativo non riesce. Lo abbiamo già osservato a proposito di Max­ well. I suoi tentativi meccanicistici sono falliti, ma sarebbe abba­ stanza ingenuo affermare che per questo Maxwell non è riuscito a spiegare nulla ! Tornando alla termologia è veramente curioso osservare come già ai suoi inizi e precisamente nel 1780, A. L. Lavoisier e P. S. Laplace affermassero in una memoria scritta in comune che era indifferente per la validità dei loro risultati accettare la teoria del calorico o quella secondo la quale il calore era forza viva. Eppure l'idea che molti risultati importanti e sicuri si potessero ricavare anche senza risolvere il problema della natura del calore stentò ad affermarsi. Paradossalmente si può dire che si affermò quando era troppo tardi, cioè quando ormai la teoria cinetico-statistica cominciava ad im­ porsi e a rivelare la > natura del calore.

8.

La non linearità dello sviluppo della t erlll odin amiea claRsica

251

Una mediazione quanto mai interessante fra le idee dei meccani­ cisti e quelle di Fourier può essere considerata quella elaborata nel 1835 da S. D. Poisson. Secondo questo autore è necessario partire da un modello, dedurne le conseguenze mediante l'analisi matema­ tica e confrontare quest'ultime con l'esperienza. In questo modo si potrà scegliere fra i vari modelli. N asce cosi il metodo ipotetico dedut­ tivo, largamente usato fino ai nostri giorni. Sta il fatto che ( come già abbiamo visto ) il grande e decisivo passo avanti della termodinamica non venne tanto dai teorici del modellismo o dell'antimodellismo, quanto da chi, come S. Carnot, si preoccupava di sistemare razionalmente la scienza delle macchine termiche e si rivolgeva agl'ingegneri . Naturalmente i risultati di Carnot ebbero scarsissima risonanza ; bisognò attendere dieci anni, perché E. Clapeyron li riprendesse e li sviluppasse nella forma nella quale furono noti in seguito. A questo punto nel discorso, che era stato portato avanti quasi esclusivamente da studiosi legati all' É cole polytechnique, eredi della tradizione illuministica e del razionalismo cartesiano, intervengono altre voci, provenienti dalla Gran Bretagna (J. P. Joule, Lord Kel­ vin, W T. M. Rankine, J. C. Maxwell ) e dalla Germania (J. R. von Mayer, H. Helmholtz, R. Clausius ). Io non credo che la validità delle risposte alle domande formulate dalla scienza dipenda dalla nazio­ nalità, dal tipo di cultura, dalla condizione economica e sociale e cosi via di chi pone le domande e dà le risposte. Ma ritengo che senz'altro ne dipendano la qualità delle domande nonché il tipo delle risposte che vengono scelte per essere confrontate con l'esperienza. Il fatto che, se una Tn è valida ( entro un certo Dn), è valida per tutti, non significa affatto che tutti possano escogitare Tn con eguale probabilità. Qui indubbiamente possono giocare quei fattori socio­ culturali che abbiamo menzionato. Nella fattispecie è difficile non riconoscere il cambiamento d'in­ dirizzo che si verifica nella termodinamica quando dal terreno del­ l'esprit de géomet1·ie francese ci si sposta a quello del romanticismo tedesco. Ecco portarsi l'accento su grandezze misteriose e riposte come l'energia e l'entropia, su principi generali non direttamente sperimentabili, su un divenire inesorabile, sulla morte termica. Su .

•

252

III.

La fisica dcll' irreversibile

tale sfondo sembra di vedere sfilare tutta una serie di personaggi, aperta da Faust e chiusa da Sigfrido. Tutto questo è molto suggestivo e merita una riflessione. lVIa stiamo attenti a non trarne conclusioni as surde come sarebbe quella che, passata l'epoca romantica, i principi della termodinamica siano da rifiutare ! Altrettanto sciocca sarebbe un'analoga conclusione che si volesse trarre dalla constatazione che lo sviluppo della termodinamica è stato tutt'altro che lineare. Quando sono arrivato in cima a una monta­ gna potrà interessarmi 11er curiosità ricordarmi del fatto che, invece di seguire la linea di massima pendenza, mi sono arrampicato a zig­ zag e magari qualche volta sono ridisceso. lVIa il panorama che scor­ go dalla cima e l'aria pura che respiro non dipendono da queste cir­ costanze. E rimangono per me una conquista importante anche se, arrivato lassu, mi accorgo che c'è una cima ancora piu alta e mi accingo a scalarla.

9.

La teoria cinetica. L'ipotesi che le particelle di cui sono costituiti i corpi siano in continuo moto di agitazione, che il calore non sia altro che l'energia cinetica di tale moto e che la pressione esercitata da un gas sulle pareti di un recipiente sia prodotta dagl'innumerevoli colpi delle molecole che su esse rimbalzano, è molto vecchia. La prima teoria quantitativa del fenomeno, applicata ai gas, fu data da Daniele Ber­ noulli nel 1 738, ma fu ben presto dimenticata. Solo a metà dell'ot­ tocento le idee maturarono rapidamente. Per la storia vanno ricor­ dati i lavori di J. Herapath (1820 ), J. J. Waterston ( 1 845 ) , A. Kronig (1856) che precedettero il primo importante lavoro di R. Clausius sull'argomento (1857). Descriveremo brevemente il tipo di ragionamento che si faceva in questa prima fase per far vedere, accanto ai risultati incorag­ gianti, a quali difficoltà esso approdava e per giustificare la neces-

9.

La teoria cinetica

253

sità di ricorrere alle considerazioni piu elaborate di tipo probabili­ stico, che vedremo in seguito. Consideriamo un recipiente di volume V (Fig. 76) che racchiude una mole di un gas, cioè N molecole, a temperatura T. Le molecole si muoveranno al di dentro del recipiente in tutte le direzioni. Fac-

v

Figura 7 6

ciamo l'ipote::;i estremamente semplificatrice che tutte le molecole ab­ biano la medesima velocità v e che inoltre un terzo di esse si muo­ vano lungo l'asse x, un terzo lungo l'asse y e un terzo lungo l'asse z. Allora, se indichiamo con n = Nj V il numero delle molecole conte­ nute in una unità di volume, avremo che il numero di quelle che si muovono parallelamente all'asse x nell'unità di volume è nj3 e il numero di quelle che si muovono nella direzione positiva dell'asse x è n/6 . Consideriamo ora una porzione di area S della parete del re­ cipiente, perpendicolare all'asse x. In un tempo dt arriveranno su S tutte le molecole contenute nel parallelepipedo di volume Sv dt e che si muovono nella direzione positiva di x, cioè nSv dtj6 mole­ cole. Ognuna di tali molecole ha la quantità di moto mv, se m è l a sua mas sa. Poiché l a molecola rimbalza con l a velocità - v e quindi con la quantità di moto -m1J, la conservazione della quantità di moto esige che la porzione S della parete assorba una quantità di moto 2mv. In tutto quindi S assorbirà la quantità di moto ( III.44)

Q = � nS v dt 2mv .

Supponiamo ora che la parte S della parete abbia massa 11 e che per un istante sia libera di muoversi. Allora S acquisterà proprio la quantità di moto Q diretta all'infuori del recipiente. Lo stesso effetto può essere conseguito mediante una pressione P, che ora calcoliamo.

254

III.

La fisica dcll'irrevcrsibile

Se esiste questa pressione P, la forza PS che Ri eRercita Ru S, per la seconda legge della dinamica, imprime a S un'accelerazione P Sfft e nel tempo dt produce una velocità pari a (PSfl.t ) dt e una quan­ tità di moto

PS Q = fl - dt . fl

( III.45)

Eguagliando i valori di Q dati dalle ( III.44) e ( III.45) e Remplifi­ cando, si ottiene ( III.46) Moltiplicando ambedue i membri per il volume V occupato dalla mole di gaR e ricordando che n V = N (numero di Avogadro), otte­ niamo

PV = ! N mv2 •

(III.47)

Se ammettiamo ora che v dipenda unicamente dalla temperatura, abbiamo evidentemente ricavato la legge di Boy le (III.l ), per cui, a parità di temperatura, il prodotto PV è costante. Al secondo membro compare un'espressione proporzionale alla energia cinetica di traslazione ec = mv2f2 di una molecola. Introdu­ cendo ec e paragonando la ( III.47 ) con l'equazione di stato dei gas perfetti ( III. 7 ) per cui PV = RT, si ha

ec = :fz kT

( III.48 )

dove la costante k ( costante di Boltzmann W) è definita da R

( III.49)

k =­ N

ed ha il valore k 1.38 · 10 - 16 in C.G.S. Tenendo conto di questo va­ lore e della (III.48 ) , poiché le masse delle molecole sono multipli di quella dell'atomo d'idrogeno, che vale 1.6 · 10-24 g, si trova facil­ mente che a temperatura ordinaria esse s i muovono con velocità di varie centinaia di m fs . Dunque concludiamo che, s e ammettiamo che la temperatura sia =

(l) Veramente i l valore di tale costante non fu dato da Boltzman , ma da Planck nel 1 900.

9.

La teoria cinetica

255

proporzionale all'energia cinetica di traslazione delle molecole se­ condo la ( III.48 ) , da semplici considerazioni meccaniche si deduce l'equazione dei gas perfetti . Questa è una prima grossa vittoria della teoria cinetica. In realtà c'è un'ipotesi veramente troppo semplicistica. È quella secondo cui le molecole si muovono soltanto nelle tre direzioni x , y, z. Ma non è un'ipotesi essenziale. Come dimostrò Clausius, si arriva agli stessi risultati se si ammette che le molecole possano muoversi in qualsiasi direzione, purché le direzioni siano tutte uniformemente rappresentate. . Un'altra ammissione che abbiamo fatto implicitamente è che le molecole non si urtino mai l'una con l'altra. È un'ammissione cer­ tamente molto grave. Ma potremmo cavarcela osservando che pro­ prio a quella condizione s i arriva come limite nel caso di estrema rarefazione, cioè nel caso in cui il volume proprio delle molecole è trascurabile rispetto al volume totale a disposizione. Torneremo fra breve sull'argomento. Supponiamo ora di riscaldare il gas a volume costante. Ammet­ tiamo che l'unica energia interna U sia l'energia cinetica di trasla­ zione delle molecole. Per la (III.48) l'aumento di tale energia per una molecola è ! k dT e per tutto il gas sarà (moltiplicando per N) !R dT. D'altra parte per la (III.13 ) ( che si riferisce a un grammo e che va quindi moltiplicata per il peso molecolare M) si ha d U = = Mcv d T, da cui paragonando risulta ( III.50)

3 R

Cv = :z

M

.

Allora dalla ( III.18) abbiamo ( III. 5 1 )

5 R Cp = -

-

2 M

e il rapporto fra i calori specifici risulta (III.52)

y

Cp 5 =- =Cv 3

·

Ciò è in buon accordo con l'esperienza per i gas monoatornici ( 1), per 01 Cioè i gas la cui molecola è composta da un solo atomo (per es. He, Ne, ecc . ) .

256

III.

La fisica dell'irreversibile

i quali, come già dicemmo, si ha y = 1 . 6 7 . Ma per gli altri gas le cose vanno diversamente. Si può cercare la spiegazione della discrepanza per i gas poliato­ mici nel fatto che per essi l'energia cinetica non è solo di trasla­ zione, ma anche di rotazione. Consideriamo un punto materiale, cioè un corpo di cui trascu­ riamo le dimensioni. Se ne conosciamo la massa, il suo stato mec­ canico è perfettamente individuato dandone le tre coordinate x, y, z e le tre derivate di esse rispetto al tempo dxjdt, dyjdt, dzjdt, cioè le tre componenti v x , Vy , vz della velocità. Si dice allora che il punto materiale ha tre gradi di libertà e precisamente i tre gradi di libertà di traslazione. Gli atomi isolati, cioè le molecole di gas monoato­ mici, si comportano nei riguardi della teoria cinetica come corpi puntiformi. Dalla ( III,48 ) risulta che l 'energia cinetica è ! kT per grado di libertà, per molecola. Quando il corpo non è puntiforme, ai gradi di libertà di trasla­ zione si aggiungono quelli di rotazione. Se per esempio si ha un si­ stema formato da due corpi puntiformi A, B (Fig. 7 7 ) legati rigi-

Figura 77

damente tra loro in modo da mantenere sempre la stessa distanza, ai tre gradi di libertà di traslazione aggiungeremo due gradi di li­ bertà di rotazione, in quanto che il sistema può ruotare indifferen­ temente intorno a ciascuno di due assi a, b perpendicolari alla con­ giungente i due punti e perpendicolari fra loro. Una molecola bia­ tomica ( come H 2 o H Cl ecc.) si comporta, nei riguardi della teoria cinetica, approssimativamente in questo modo. Dunque si hanno in tutto cinque gradi di libertà.

9.

La teoria cinetica

257

Facciamo ora l'ipotesi che l'energia si ripartisca equamente fra tutti i gradi di libertà. È questa la legge di equipartizione dell'energia che, naturalmente, può essere suffragata da argomenti piu persua­ sivi della semplice analogia, ma che pur tuttavia ha dato luogo a parecchie controversie. Se ammettiamo questa ipotesi, avremo nel caso biatomico un'energia cinetica totale di i kT per molecola. Con ragionamento analogo a quello fatto per il caso monoatomico tro­ viamo subito Cp

( III. 53 )

7 R =2 M'

7

y = -;:;o .

Dunque si dovrebbe avere y 1.40. Questo risultato va abbastanza bene per alcuni gas biatomici ( 0 2 , Hl) ma per altri si hanno di­ scostamenti non indifferenti.. l-'o stesso avviene quando si tratta il caso di un gas poliatomico, con tre gradi di libertà di rotazione e tre di tra�>lazione ; l'esperienza va spesso male d'accordo con la teoria. Del resto, anche se l'accordo fra questo tipo di teoria e l'espe­ rienza fosse perfetto, sarebbe lecito domandare : perché un atomo deve essere trattato come puntiforme'l Perché i legami fra gli atomi nelle molecole devono essere intesi come rigidi "! A queste domande soltanto la meccanica quantistica ha saputo dare una risposta ade­ guata. Pertanto le accantoneremo fino a che continueremo a par­ lare di fisica classica. Tuttavia, anche nell'ambito della fisica classica, è facile convin­ cersi che la trattazione btta è troppo semplificata e che le manca qualcosa di essenziale. Prima di tutto domandiamoci : è proprio lecito prescindere dagli urti reciproci fra le molecole � Ebbene si vede subito che non è le­ cito, perché quando lo si fa si trascura un aspetto e;;; senziale dei feno­ meni come si svolgono realmente. Si mettano a contatto due gas diversi, contenuti in due parti contigue di un medesimo recipiente. Si noterà che i due gas si me­ scoleranno, l'uno diffondendosi nella zona dell'altro. Ma questa dif­ fusione avviene abbaRtanza lentamente, mentre nel caso di molecole libere di muoven;i, senza urti, la diffusione dovrebbe essere quasi =

258

III.

La fisica dell'irreversibile

istantanea < 1>. Basta infatti rammentare che le molecole percorrono centinaia di metri al secondo. La diffusione è lenta perché ogni molecola, lungi dal muoversi liberamente, urta continuamente le altre molecole e percorre un com­ plicatissimo cammino a zig-zag. Bisogna calcolare il libero cammino medio, cioè quel cammino che una molecola percorre in media fra un urto e l'altro. Ma appena si riconosce come essenziale il ruolo che hanno gli urti fra le molecole, ci accorgiamo che l'ipotesi che le molecole ab ­ biano tutte la stessa velocità è di gran lunga lontana dalla realtà. Infatti, anche se tale condizione si realizzasse in un caso partico­ lare, verrebbe subito distrutta in un tempo brevissimo. Per semplificare, facciamo l'ipotesi che le molecole siano perfet­ tamente sferiche e rigide, come delle ideali palle di biliardo, e che inoltre la loro superficie sia perfettamente liscia. Quest'ultima con­ dizione fa si che in un urto fra due molecole l'una eserciti sull'altra una forza puramente perpendicolare alla superficie ( infinitesima) di contatto, ovvero parallela alla congiungente dei centri delle due sfere. Consideriamo due molecole come quelle della Fig. 78, aventi

Figura 78

velocità eguale. La velocità v1 della prima molecola sia diretta al momento dell'urto lungo la congiungente dei centri, mentre la ve­ locità v2 della seconda abbia una direzione a 45° con la prima. Convenzionalmente diremo che quest'ultima direzione è quella dell'asse x cosicché v2 sarà identica alla componente di v2 secondo l'asse x. Basta un momento di riflessione per convincersi che la forza che si esercita nell'urto non potrà che fare aumentare la compo­ nente di v2 secondo l'asse x. Pertanto la velocità della seconda moI l) Questa critica fu mossa dal Buys-Ballot a Clausius nel 1 858.

10.

La probabilità

259

lecola non potrà che aumentare (e, per la conservazione dell'energia, quella della prima molecola dovrà diminuire) . Dunque, partiti da una condizione di velocità eguali , arriviamo dopo l'urto a velocità differenti. Questo ci convince che, come abbiamo detto, la condi­ zione di velocità eguali non si conserva. Se le velocità delle molecole sono differenti l'una dall'altra, è evi­ dente che dovremo cominciare a fare dei ragionamenti statistici e a parlare di medie. Per esempio, potremo supporre che la tempera­ tura sia proporzionale all' en e1·gia cinetica media delle molecole, se­ condo la ( III,48). Ma qu.al è la distribuzione delle velocità fra le mo­ lecole'? Come si possono ricavare rigorosamente i risultati della teo­ ria cinetica '? È evidente che non potremo parlare piu della velocità precisa ehe ha una molecola, bensi della probabilità che essa ha di avere una data velocità. Dalla meccanica degli eventi precisi e ben definiti stiamo passando alla meccanica stat·istica (ll, uno dei capitoli più affascinanti e piu difficili della fisica dell'ultimo secolo. Centrale in questo argomento è il concetto di probabilità. Ad esso ed alla teoria dell'informazione dovremo dedicare un'adeguata di­ scussione, prima di tornare alla meccanica statistica.

10. La probabilità. Il concetto di probabilità è di uso molto comune e tutti credono di averne un'idea abbastanza chiara. Eppure si tratta di un con­ cetto di difficilissima esplicazione, che nasce solo in uno stadio avan­ zato del pensieTo dell'individuo e s i precisa in un'epoca molto ma� tum dello sviluppo scientifico dell'umanità. Il fanciullo al di sotto dei sette anni non ammette il probabile, perché non ammette il fort?.tito < 2l . Tutto peT lui è collegato con tutto ( l)

Questo nome fu dato alla teoria da J. \V. Gibbs che nel 1 902 sistemò l a disci­

(2) bi veda, per es .

plina con u n ' opera rimasta fondamentale. .r.

PIAGET,

Il linguaggio e il pensiero del fanciullo, Giunti,

Firenze 1 962, cap. v, § 3 e cap. VI, § 2.

260

III.

La fisica dell'irreversibile

in modo deterministico e le sue domande presuppongono l'anni­ scienza degli adulti. Dice Piaget : > . È chiaro che in tale stadio del pensiero esi­ stono soltanto il vero e il falso, non esiste il probabile. Ma, come dicevamo, non è solo l'individuo che acquisisce piut­ tosto tardi il concetto di probabilità. È l'umanità intera che arriva solo in uno stadio di avanzata maturità scientifica a tentare di chia­ rire e a precisare almeno parzialmente, tale concetto. Siamo nel 1654 e il cavaliere De Méré pone a Pascal un quesito riguardante un gioco d'azzardo con i dadi. Pascal risolve corretta­ mente il quesito e fa il primo passo in quella dottrina che verrà chiamata Calcolo delle probabilità ( ll. A questo studio contribuiscono in seguito scienziati come P. Fermat, O. Huygens , J. Bernouilli ; ma bisogna arrivare al 1812 per avere con P. S. Laplace una fondazione sistematica della materia. Secondo la definizione classica, adottata da Laplace, la probabi­ lità di un dato evento è il rapporto fra il numero dei casi favorevoli all'evento e il numero dei casi possibili. Scriveremo dunque per la probabilità classica p ( III. 54)

numero dei casi favorevoli

p= numero dei casi possibili ·

Cosi, per esempio, quando si getta un dado, i casi possibili sono sei. Se l'evento al quale ci riferiamo è, mettiamo, l'uscita del nume­ ro cinque, vi è un solo easo favorevole, quello appunto in cui esce il cinque. Pertanto concludiamo che la probabilità dell'uscita del nu­ mero cinque è i. Supponiamo che si giochi a testa e croce e si effet­ tuino due lanci suceessivi della moneta. I casi possibili sono : l ) pri­ mo lancio testa, secondo testa, 2 ) primo lancio testa, secondo croce, 3) primo lancio ero ce, secondo testa, 4) primo lancio croce, secondo croce. Dunque abbiamo quattro casi possibili. Qual è la probabilità che i due giocatori facciano pari'! Evidentemente i casi favorevoli (L)

Per una moderna e critica esposizione dei principi di questa scienza, si veda Ji'onrla menti del calcolo delle probabilità, Feltrinelli, Milano 1!170. Vedi anche K. POPPER, Logica della scoperta SC'Ìenti(icn, Einaudi, Torino 1 9 70, cap. VIII. D.

cosTANTINI ,

10.

La probabilità

261

a questo evento sono il 2) e il 3 ) , dunque due casi. Pertanto la pro­ babilità di far pari è i· = i. Il conteggio dei casi favorevoli e possibili risulta a volte piuttosto difficile e laborioso. Tuttavia il raggiungimento del risultato finale può essere notevolmente facilitato dall'applicazione di alcune sem­ plici regole che si ricavano dalla definizione (III.54) e che costitui­ scono appunto i principì fondamentali del calcolo delle probabilità. Enunceremo alcune di queste regole, !asciandone la semplice prova al lettore. Se due o piu eventi si escludono a vicenda, la probabilità che si verifichi o l'uno o l'altro di essi è eguale alla somma delle rispettive probabilità. Cosi se gli eventi sono A e B e le loro probabilità rispet­ tive sono p ( A ) e p(B), avremo

(III.55)

p =p(A) +p(B)

per la probabilità che si verifichi o A o B. Per esempio, nel caso testè menzionato del gioco di testa o croce il far pari dipende dal verificarsi o del caso 2) o del caso 3 ), che si escludono a vicenda. Ciascuno di essi ha probabilità t e la probabi­ lità totale sarà t + t = t. Se N eventi Ai , oltre ad escludersi a vicenda, sono anche esaustivi della probabilità, nel senso che uno o l'altro dovrà per forza veri­ ficarsi, la somma delle loro probabilità è eguale all'unità. Avremo dunque

( III.56 )

N

L P (Ai) = l .

i�l

Se due o piu eventi sono fra loro indipendenti, la probabilità che si verifichino tutti è eguale al prodotto delle rispettive probabilità. Cosi, nel caso dei due eventi indipendenti A e B avremo

(III.57)

p(A, B) = p (A )p(B)

per la probabilità che si verifichi tanto A quanto B . N el solito esempio l a probabilità d i ottenere due teste, che è t , si può calcolare moltiplicando la probabilità di avere testa al primo lancio (che è t) per la probabilità di avere testa al secondo lancio

262

III.

La fisica dell'irreversibile

( che è pure t e non dipende in alcun modo dal risultato del primo lancio) . Diverso è i l caso in cui gli eventi non siano indipendenti, nel senso che la probabilità di almeno un evento sia condizionata dal­ l'es sersi o meno verificati alcuni degli altri. Allora bisogna stare at­ tenti e non dimenticare di usare proprio questa probabilità condi­ zionata nel prodotto. Per due eventi A e B sia p ( A ) la probabilità che si verifichi A e pA (B) la probabilità che si verifichi B una volta verificatosi A. Il prodotto ( III. 58)

p( A, B) = p(A )pA(B)

rappresenterà la probabilità che si verifichino tanto A quanto B. Per esempio, si abbiano due palle nere e una bianca in un'urna e si voglia calcolare la probabilità di ottenere due palle nere effettuando due successive estrazioni. Tutto sta nel sapere se, una volta estratta la prima palla, la si rimette nell'urna oppure no. Cominciamo dal primo caso. La probabilità di ottenere palla nera alla prima estra­ zione è p(A) = i · Ma evidentemente, se la rimettiamo nell'urna, la probabilità di ottenere il medesimo risultato alla seconda estrazione è la medesima e avremo p(B) = l Pertanto la probabilità di estrarre due palle nere è (i) (i) = t. Se invece, una volta estratta la prima palla nera non la si rimette nell'urna, la probabilità della seconda estrazione è condizionata dal risultato della prima. Infatti, se la prima ha dato palla nera, la probabilità pA(B) di avere palla nera alla seconda estrazione non è piu i , bensi t. Pertanto la probabilità di estrarre due palle nere è ( i )( t ) = ! · Infine risulta evidente che un evento impossibile ha probabilità O e un evento certo ha probabilità l . Con queste regole si può costruire tutto il calcolo classico delle probabilità. I guai vengono quando si vogliono applicare i risulta,ti di questo calcolo all'esperienza, con un minimo di senso critico . Perché mai calcolando le probabilità in questo modo si ottengono probabilità maggiori per quegli eventi che si verificano piu frequentemente e viceversa probabilità minori per quegli eventi che si verificano piu raramente '? In altre parole, che ha a che fare il puro conteggio dei

IO.

La probabilità

263

casi possibili e favorevoli con la frequenza con cui si verifica un evento nel mondo fisico ? La risposta piu ingenua che s i possa dare (e che a volte è stata data) è che uno deve contare come casi possibili i casi equiprobabili. È evidente che questa definizione circolare non dice assolutamente nulla. Un po' meglio è il ricorso fatto dai probabilisti classici al prin­ cipio di ragione non sufficiente o principio d'indifferenza < 1 >. Secondo tale principio, se non vi è una ragione sufficiente perché uno dei casi possibili debba avverarsi di preferenza rispetto agli altri, i casi devono essere considerati equiprobabili. Per esempio, poiché nel lancio di un dado perfetto non si ha al­ cuna ragione di ritenere preferito il due o il cinque e cosi via, con­ cludiamo che tutti i numeri, dall'uno al sei, sono equiprobabili. In realtà questo principio è troppo semplicistico e non resiste a un'analisi abbastanza elementare. La principale difficoltà consiste nel sapere come scegliere i casi ai quali applicare il principio d'in­ differenza. Vedremo nella microfisica come il problema si presenti essenziale anche quando si ha a che fare con casi discreti. Ma già nella fisica classica la soluzione di esso è disperata o ambigua quando i casi formano un insieme continuo < 2>. Per esempio, scegliendo dei colori a caso nello spettro, quali sono i colori equiprobabili? Ma anche supponendo di sapere enumerare in modo non equi­ voco, i diversi casi possibili, come possiamo decidere a priori che non vi sono ragioni sufficienti per preferirne uno rispetto agli altri? Come è che sappiamo che il portare inciso il numero sei non è una ragione sufficiente per preferire una faccia di un dado e per farla, comparire piu frequentemente ? Solo l'esperienza può insegnarci che è cosi. Il principio di ragione non sufficiente rappresenta dunque uno dei tanti casi in cui, avendo appreso da lunga pezza una regola ( l ) Vi è una qualche incertezza nella nomenclatura. Laplace parlava di principio di ragione non sufficiente, Poincaré di principio rli ragione sufficiente, Keynes di prin­ cipio d'indifferenza.

( 2 ) Si suole citare a questo proposito un famoso problema posto da J. Bertrand nel qual è la probabilità che una corda traceiata a caso in un cerchio sia maggiore del lato del triangolo equilatero iscritto ? Il problema non ha soluzione univoca.

1 889 :

264

III.

La fisica dcll'irreversibile

del mondo empirico, ci illudiamo di poterla affermare a priori come puro risultato di una nostra analisi razionale. In altre parole noi diciamo che non vi è ragione sufficiente per preferire un caso a un altro quando l'esperienza stessa ci ha insegnato (o direttamente o in problemi analoghi) di non fare preferenze. Come dice E. Borel la equiprobabilità di testa o croce è un fatto sperimentale o, se si vuole, addirittura la definizione che la moneta è buona ( l)_ Una volta riconosciuta la necessità di ricorrere all'esperienza, si arriva alla concezione frequentista della probabilità. Secondo tale concezione la probabilità di un evento coincide con la frequenza relativa con la quale esso si verifica. L'idea, introdotta dai lavori di J. Venn a metà dell'ottocento, si è andata sempre piu affermando nella fisica moderna. Si deve avere a che fare con un'esperienza ripetibile a volontà. Se si ripete l'esperienza n volte e si constata che l'evento e si veri­ fica ne volte, la frequenza relativa f dell'evento è per definizione (III.59)

n f= e. n

In passato s i è trovata una certa difficoltà concettuale a identi­ ficare senz'altro f con la probabilità p di e. Infatti f dipende da n e varia quindi con il numero delle prove, mentre il concetto di pro­ babilità sembra i mplicare necessariamente l'indipendenza da n. La questione fu approfondita soprattutto nel primo dopoguerra da R . von Mises e H . Reichenbach. Ambedue ritengono necessario, sia pure con varie differenziazioni, postulare che esista il limite di f per n tendente all'infinito e identificare la probabilità p con tale limite. A questa concezione è stato piu volte obiettato, secondo me giu­ stamente, che il limite per n __,. = può avere senso soltanto per una successione m�1tematica, non per una successione di esperienze fisi­ che ( 2 ). È la solita confusione fra matematica e fisica, che spinge a . Naturalmente, bisogna estendere il postulato dell'invarianza spa­ zio- temporale delle leggi fisiche anche ad includere la probabilità. In altre parole, se si eseguono due insiemi di esperienze identiche (a meno delle rispettive collocazioni spazio-temporali), si trovano per l' evento e probabilità eguali (a meno delle rispettive precisioni di misura). L'esperienza non ha mai s mentito questo postulato. Ci si può domandare ora com'è possibile che, essendo la proba­ bilità un dato di esperienza, il metodo classico di Laplace, consi­ stente nel contare a priori i casi possibili e favorevoli e nel farne il quoziente, abbia avuto tanto successo. Ciò è avvenuto semplice­ mente perché il non ricorso all'esperienza era assolutamente illuso­ rio. Infatti , come abbiamo già notato, non è difficile convincersi che che l' operare con serie infinite non significa null'altro, in fondo, che operare con le leggi che generano queste serie. Se, per es., parliamo della convergenza di una suc­ cessione, noi ci riferiremo soltanto a questa legge, e non al succedersi "effettivo" dei termin i - dato che possiamo abbracciare col nostro sguardo sempre soltanto un numero fin ito di essi -. In breve, una serie matematica è qualcosa di essenzialmente regolare, d i cui riusciamo a vedere a fondo tutte le proprietà. Al contrario, nulla è cosi palese in una serie statistica come la sua irregolarità, e questo dimostra subito che la serie statistica non è concetto matematico •> (J. R . WEINmmo, Introduzione al positivismo logico, Einaudi, Torino 1 950, p. 13 6). Tuttavia va osservato che A. Kolmogorov ha dato recentemente una ragionevole caratterizzazione matematica ddl'i rregolal'ltà o casual'ità di una serie finita. (I) Precisamente una discussione pi ù app rofondita che vedremo fra breve, dimo­ strerà che E diminuisce come kf yn, essendo k costante.

266

III.

La fisica dell'irreversibile

le alle quali si riferisce il principio di ragione non suffi­ ciente non sono altro che le nostre preventive cognizioni sul mondo fisico imparate dall'esperienza ! Che il numero segnato su una fac­ cia di un dado non ne influenzi la frequenza di uscita non può essere suggerito che da quello che già sappiamo sulla realtà empirica. Si potrebbe obiettare che, a rigore, il principio diragione non sufficiente vale per un dado con facce esattamente eguali, cioè senza nemmeno la differenza dei punti segnati. Ma anche questo è illusorio. Se le facce sono veramente identiche, non avremo alcun modo di distin­ guerle e di controllarne l'equiprobabilità. Appena portano un segno che le distingua, solo l'esperienza o le nostre conoscenze precedenti possono dirci se rimangono equiprobabili < 1>. Supponiamo che i punti siano segnati sulle facce mediante pallini di piombo. In tal caso non esiteremo a dire che le facce non sono equiprobabili. Perché� Perché conosciamo la legge di gravità e facilmente prevediamo alcune con­ seguenze qualitative. In conclusione, nell'applicazione della teoria classica della proba­ bilità ci troviamo ancora una volta dinanzi ad una di quelle circo­ larità che sono connaturate col metodo stesso della fisica. Sono cir­ colarità che vanno piuttosto conosciute che rifiutate. Sta il fatto che l 'applicazione della probabilità classica alla fisica ha dato risultati splendidi. Una volta ammesso che i casi possibili sono equiprobabili, cioè si verificano con egual frequenza, dalla teoria classica discende una legge molto importante, detta legge dei grandi numeri. N ella forma piu semplice fu provata con un celebre teorema da J. Bernoulli. Supponiamo di fare n prove per un evento che abbia probabilità co­ stante p e di trovare per esso la frequenza relativa f . C'interessa lo scarto relativo l f -p j . L'idea ingenua di probabilità porterebbe a supporre che tale scarto tendesse a zero al crescere del numero n. ( l ) Potremmo naturalmente avere facce perfettamente eguali (anche nella compo­ sizione e disposizione atomica) e chiamarle arbitrariamente : faccia l, faccia 2 . . . fac ­ cia 6 . Quindi potremmo seguirle con continuità (per esempio mediante c inematografia ultrarapida) durante il lancio. Ma ancora una volta è l'esperienza del mondo fisico che ci suggerisce che il mettere un nome piuttosto che un altro a un evento non ne influenza la frequenza !

10.

La probabilità

267

Ma non è esattamente cosi. Il teorema di Bernoulli dice che, scelto un e positivo piccolo quanto si vuole, la probabilità che Il -p l risulti maggiore di e tende a zero al crescere di n. In altre parole, uno scarto, anche grande, è sempre possibile ; ma la probabilità di averlo tende a zero. Ciò ci dà una pratica certezza che per n molto grande l f -p l sarà molto piccolo . Tuttavia il concetto è diverso da quello ingenuo che vorrebbe che f tendesse al limite a p in senso mate­ matico. Chiariamo meglio questi concetti. Supponiamo di avere lO palli­ ne in un'urna, 8 bianche e 2 nere. Ogni volta che si estrae una pal­ lina la si rimette nell'urna . .A.llora la probabilità di estrarre una pallina bianca è la costante p=0.8. Se s i fa una serie di n=lOOO estra­ zioni ci dobbiamo aspettare che la pallina bianca esca ne =Pn = 800 volte. Ma nessuno si aspetterà che questo numero s ia proprio 800 esatto. Vi sarà in generale uno scarto. Ripetiamo la serie di mil­ le estrazioni un numero grande N di volte e facciamo un grafico (Fig. 79). In ascisse riportiamo il numero ne di volte che la pallina

larghezza.

Figura 79

bianca esce in una serie e in ordinate il numero Ne di serie in cui si verifica questo numero ne. Riunendo gli estremi delle ordinate con una linea continua, si ottiene una caratteristica curva a campana (gaussiana) . Il valore ne = 800 è bensi il piu probabile fra tutti gli altri valori possibili di ne presi singolarmente ; ma questi sono molti di piu, per cui sarà ben difficile avere una serie con ne = 800 esat­ tamente. Quello che conta è la larghezza < 1> dell3t campana, che c i (IJ A

rigore, la larghezza è infinita, perchè le ordinate da una parte e dall'altra del

268

rn.

La fisica dell'irreversibile

dà un'idea della dispersione dei valori o vvero dello scarto che ci si deve aspettare in media. Risulta che tale larghezza è proporzionale a vn e cresce q�indi al crescere di n. Ma poiché il numero di volte che esce la palla bianca è dell'ordine di pn, si vede che lo scarto rela­ tivo vnfpn tende a zero al crescere di n come k/Vn , con k costante. Riportando in scala la curva ottenuta con un n maggiore, cioè ripor­ tando in ascissa la frequenza relativa ne/n e prendendo sempre egua­ le l'ordinata massima, si otterebbe una campana piu stretta (linea tratteggiata). Rimane cosi meglio chiarito il contenuto della legge dei grandi numeri. L'interpretazione frequentistica della probabilità non è la sola possibile e non è universalmente accettata. Per esempio ha molta importanza oggi l'interpretazione soggettivistica< 1> (F. P. Ramsey e B. de Finetti). Per i soggettivisti la probabilità non è una gran­ dezza fisica, ma misura il nostro grado di credenza nell'avverarsi di un evento. Ha piu a che fare con il nostro modo di fare scommesse che con l'oggettivo svolgersi dei fenomeni della natura. Altra interpretazione importante è quella logicistica (L. Wittgen­ stein, J. M. Keynes, R . Carnap) secondo la quale la probabilità è una relazione logica fra due proposizioni. Per esempio la prima pro­ posizione può esprimere una nostra conoscenza sperimentale e la se­ conda un'ipotesi. Si tratta di sapere quale grado di credibilità razio­ nale ( e quindi non puramente psicologico-soggettivistica) si deve at­ tribuire all'ipotesi, tenendo conto di quella conoscenza sperimentale. Come si vede ci avviciniamo a gran passi al problema generale della inferenza induttiva. E infatti su queste linee il Carnap ha sviluppato la cosiddetta logica induttiva. Ma di ciò riparleremo . Dunque del concetto di probabilità possiamo avere diverse inter­ pretazioni. Ma si sta facendo strada presso molti studiosi l'idea che le dispute che in passato si sono avute fra i sostenitori dell'una o dell'altra interpretazione siano piuttosto senza senso. massimo diminuiscono rapidamente, ma non vanno mai a zero. Per questo qualunque scarto anche grande è possibile, anche se poco probabile. Per larghezza si deve inten­ dere la differenza di ascissa fra due ordinate convenzionali, per esempio quelle che hanno il valore eguale a metà del massimo. ( IJ Si veda B. DE FINETTI, Teoria delle probabilità, Einaudi, Torino 1 970.

Il.

L' informazione

269

Il calcolo delle probabilità è una dottrina matematica (posta su basi assiomatiche rigorose da A. Kolmogorov nel 1933 ), che non ha bisogno d'interpretazione. Darle un'interpretazione vuol dire appli­ carla in qualche campo della scienza ed è ovvio che le interpretazioni possono essere molteplici e tutte valide < 1l .

L'interpretazione che è utile in fisica è l'interpretazione frequenti­ stica. In essa la probabilità è usata per calcolare la frequenza rela­ tiva di occorrenza di un dato evento in una serie di esperienze ripe­ tute o ripetibili Vedi per es. J . R . PIERCE, La teoria dell'informazione, Mondadori, Milano 1 9 63. (2) È interessante riflettere come due delle scienze più generali che possediamo, vale a dire la termodinamica e la scienza dell'informazione, siano nate soprattutto per spint,e venute dall'applicazione tecnica.

11.

L'informazione

271

Shannon nel 1948 e d a N. Wiener nel 1949. Tale teoria si rivelò su­ bito di una tale generalità da trascendere largamente i limiti della applicazione tecnica alla quale era destinata. Investi chiaramente la scienza del linguaggio, il problema della conoscenza scientifica, la biologia, la teoria dei calcolatori elettronici, la filologia, il diritto, la politica, e cosi via < 1l . Questa grande generalità ha come corrispettivo una certa man­ canza d'incisività e una scarsezza di risultati concreti, che spesso vengono imputati alla scienza dell'informazione. A volte si dice che si tratta soprattutto di un linguaggio nuovo, sia pure preciso e at­ traente, col quale tuttavia i vecchi problemi non ricevono soluzioni veramente nuove. Non abbiamo difficoltà ad ammettere che in parte queste critiche rispondono a verità. Ma non ci sentiremmo di es sere cosi assolutisti. Soprattutto vorremmo e ssere molto cauti nello svalutare l'impor­ tanza di un linguaggio preei so e adeguato nelle scienze. Esso si ri­ vela spesso es senziale per definire, sviluppare e far nascere nuovi concetti. In particolare è quasi impensabile parlare della scienza e della tecnica moderna ignorando il linguaggio della teoria dell'infor­ mazione. Per questo, e soprattutto per i legami che essa ha con la termodinamica statistica, noi ne svilupperemo, sia pure molto bre­ vemente, i principali concetti < 2 >. È chiaro che il primo problema da risolvere è quello di misurare l'informazione, cioè quello di caratterizzare ragionevolmente con un ( l ) Quando si pone l'accento non sulla pura acquisizione o sull'elaborazione della informazione, ma sulla sua utilizzazione per comandare una macchina, un organismo o un gruppo, si parla di cibernetica (arte del governare) le cui idee fondamental i furono sviluppate dal matematico N. Wiener. Vedi N. WIENER, Introduzione alla cibernetica, Boringhieri, Torino 1966 ; w. ROSS ASHBY, Introrluzione alla cibernetica, Einaudi, Torino 1 9 7 1 . 1 2 ) Esponiamo qui quella che è stata anche chiamata l a teoria statistica dell'infor­ mazione. Essa non è la sola possibile. Un'informazione semantica è stata proposta da Y. BAR- HILLEL e R. CARNAP (Semantic Information, in ), 4, 1 4 7 [ 1953]) e sviluppata da J. HINTIKKA (On Sernantic Informotion, J . HINTIKKA e P. SUPPES [a cura di ] , in Information onrl Inference, Reidel, Dordrecht l!J70, p. 3 ) . Una teoria basata sulla complessità, anziché sulla probabilità è stata proposta d a A . N . KOLMOGOROV, in Logical Bosis far Informotion Theory anrl Probability Theory, ), I-T- 14, 662 ( 1 967). Quella che ha atti­ nenza alla termodinamica è la teoria statistica di Shannon e Wiener.

2 72

III.

La fisica dell' irreversibile

numero , come una grandezza fisica, la quantità d' informazione. Per quanto a prima vista la cosa possa apparire sorprendente, ciò è pos­ sibile. L'informazione si trasmette mediante messaggi . Daremo a questa parola un'accezione molto larga. Per noi sarà un messaggio, una pa­ rola, un gesto, il suono di una campana, una lettera dell'alfabeto, un punto o una linea dell'alfabeto Morse, una pagina stampata, un libro, e cosi via. Chi trasmette un messaggio potrà scegliere da un insieme costi­ tuito da un certo numero n di messaggi diversi. Per chi trasmette punto o linea sarà n = 2 , per chi indica di andare a destra o a sini­ stra o diritto sarà n = 3 , per chi batte un carattere a macchina sarà n=32 (ponendo che la macchina da scrivere abbia 32 tasti) e cosi via. È chiaro che un determinato messaggio porterà tanta piu infor­ mazione quanto maggiore è il numero n dei messaggi fra i quali può essere scelto. Per esempio un semplice si o no (n = 2 ) porterà un'in­ formazione molto modesta ; invece un discorso di dieci parole può portare un'informazione enorme, perché enorme è il numero n dei messaggi differenti che si possono formare con dieci parole. Dunque sembra opportuno che la misura dell'informazione sia rappresentata da un numero che cresce con n. Tale è n stesso, o n2 , o n3 , o ln n, o en e cosi via. Il numero delle possibili funzioni cre­ scenti di n è illimitato ; per fare una scelta opportuna dovremo porre qualche altra condizione. La condizione piu ragionevole consiste nel richiedere che la trasmissione di due, tre, ecc. messaggi consecutivi scelti dallo stesso insieme, porti il doppio, il triplo, ecc. d'informa­ zione rispetto a un singolo messaggio. Due pagine stampate dovreb­ bero contenere il doppio d'informazioni di una singola pagina, un libro di cento pagine dovrebbe contenere cento volte tale informa­ zione e cosi via. Supponiamo dunque di trasmettere una successione di messaggi elementari, scelti tutti da uno stesso insieme di n messaggi diversi. Se trasmettiamo successivamente due messaggi elementari, ciascu­ na delle n possibilità della prima trasmissione può combinarsi con una delle n possibilità della seconda trasmissione. In complesso avremo W = n2 messaggi possibili mentre l'informazione dovrà es sere doppia

ll.

L'informazione

273

di quella di un solo messaggio elementare. Se trasmettiamo succes­ sivamente N messaggi elementari, avremo complessivamente W =nN messaggi possibili e l'informazione dovrà valere N volte quella di un solo messaggio elementare. Si vede dunque che la quantità d'in­ formazione dovrà definirsi proporzionale all'esponente N .che diamo a n nei vari casi, dovrà dunque essere proporzionale al logaritmo del numero totale W dei messaggi possibili (Il . Una volta fissata l'attenzione sul logaritmo, dovremo chiederci in quale base esso vada preso. Come è noto, nei contesti scientifici si usa di solito la base e e si ottengono i logaritmi naturali, mentre per le applicazioni si usa spesso la base 10 e si ottengono i logaritmi decimali. Notiamo che quando s i passa da una base a un'altra tutti i logaritmi vengono semplicemente moltiplicati per uno stesso nu­ mero. Ciò dimostra che nel nostro caso, in cui richiediamo solo che la quantità d'informazione sia proporzionale al logaritmo del numero dei messaggi, la base potrà essere scelta arbitrariamente. Scegliere una base è esattamente la stessa cosa che scegliere l'unità di misura per una grandezza fisica usuale. Per la quantità d'informazione I s i suole scegliere la base 2. Scri­ veremo dunque ( III.61)

I = log2 W

dove W indica il numero complessivo dei messaggi fra i quali può scegliersi quello trasmes w . Se si trasmette un solo mes saggio ele­ mentare sarà naturalmente l = log2 n. Avvertiamo che d'ora innanzi ometteremo d'indicare esplicitamente la base del logaritmo ; con log intenderemo il logaritmo in base 2 ( 2l . Si suole dire che l'informazione espressa con la (III.61 ) è misu­ rata in bit. Dunque quando si può scegliere fra, due messaggi, come per esempio si o no oppure punto o linea, si trasmette ogni volta un bit d'informazione. Quando si può scegliere fra quattro messaggi, si trasmettono 2 bit, quando si può scegliere fra 2N messaggi, si tra(l )

Si ricordi infatti che log w'' = !og n. Per passare dal logaritmo in base 2 a quello naturale, bisogna moltiplicare per il numero fisso 0.69 3 1 4 . . . = In 2. per passare al logaritmo decimale bisogna molti­ plicare per 0.30103 ... = log10 2 .

N

2 74

III.

La fisica dell' irrevcrsibile

smettono ogni volta N bit. Se ammettiamo che le'lBttere dell'alfa­ beto (comprendendo la punteggiatura e altri segni) siano 32 = 2 5, ogni lettera dell'alfabeto porta 5 bit d'informazione. Se una pagina stampata comprende 3000 caratteri, porterà 3000 x 5 = 15 000 bit di informazione. Un libro di cento pagine porterà 150 000 bit e cosi via. Poiché il logaritmo di l in qualsiasi base è O, risulta che quando il messaggio è unico esso non porta informazione. Infatti in tal caso non vi può essere alcuna curiosità. Si sa prima quello che dirà il messaggio ed è quindi inutile riceverlo ( l)_

12. Informazione e probabilità. Supponiamo che un commissario di polizia interroghi un testi­ mone che ha visto l'autore di un delitto , e che gli chieda : > Stando a quanto detto sopra, dalla risposta a questa domanda il commissario dovrebbe aspettarsi un bit d'informazione. Eppure viene il dubbio che non sia cosi. Basta pensare infatti che, mentre negli Stati Uniti il commissario farebbe certamente tale domanda, e forse per prima, in Italia non la farebbe affatto . Perché? Perché in Italia il caso di una persona di colore è cosi raro che il formulare la domanda porterebbe quasi certamente a una perdita di tempo. L'apprendere che il deliquente era bianco non porterebbe pratica­ mente alcuna informazione. Nasce quindi l 'idea che la probabilità di un messaggio abbia qual­ cosa a che vedere con l'informazione che reca. La definizione che abbiamo data di I = log n va bene evidente­ mente quando gli n messaggi elementari sono tutti equiprobabili. In tal caso la probabilità di ciascuno sarà data da p = l /n e potremo anche scrivere >, sa che con una certa probabilità è stato trasmesso «fatto >> , con probabilità minore « gat­ to >>, con probabilità ancora minore > e con probabilità quasi nulla > ! In generale esiste una probabilità condizionata pyJ (xi ) , definita co -

282

ur.

L a fisica dell'irreversibile

me la probabilità che, essendosi ricevuto Yi , sia stato trasmesso Xi . Tale probabilità è abbastanza facilmente valutabile in un s istema relativamente semplice come una linea telegrafica, ricorrendo per esempio, a prove ripetute. Piu difficile è darne una valutazione pre­ cisa in casi complessi. Ma qui non entriamo in particolari e ci limi­ teremo ad ammettere che si conosca py1 (Xi) · Una volta ricevuto Yi , l'ignoranza di chi riceve sarà diventata Hyj (x) = - J., pyj (xi) log pyJ (xi). Mediando su tutti i possibili Yi ! si oti tiene l'ignoranza media a posteriori ( III.68)

H( y) = - 2., p (y1) j

J., py/ Xi} log py1 (xi) . i

È evidente ora che la differenza fra l'ignoranza a priori e l'ignoranza a posteriori rappresenta il guadagno d'informazione. Pertanto po­ tremo definire l'informazione media per messaggio come

( III.69)

l = H(x)-H(y ) .

N el caso in cui non vi sia rumore, e quindi il messaggio trasmesso sia inequivocabilmente legato a quello ricevuto, avremo py/ Xi} = l per un dato xi e pyj (x i ) = O per tutti gli altri, cosicché dalla ( III.68) risulterà H(y) = 0 . In tal caso la definizione ( III.69) di I coincide con la ( III.64) . Viceversa se il rumore è tale che gli Xi e gli y1 sono totalmente scorrelati, avremo semplicemente py/ Xi) =p( xi ) ; infatti la probabilità di Xi non è condizionata da y1 • Allora, poiché, ricor­ dando la ( III.65 ), si ha 2., p(y1) = l, ci si convince facilmente che i

risulta H( y) = H( x) e quindi l = 0 . È il caso dell'Iliade e della Bibbia. Il risultato fondamentale di Shannon è il seguente. Pur di codi­ ficare opportunamente, un sistema come quello descritto può tra­ smettere effettivamente l bit per messaggio elementare, con una fre­ quenza di errore piccola quanto si vuole. In altre parole, anche in presenza di rumore, si può trasmettere praticamente con certezza, ma a un ritmo piu lento di quello che sarebbe possibile in assenza di rumore. Questo risultato può apparire sorprendente. Eppure in forma em­ pirica e imprecisa è intuitivamente noto a tutti. Per esempio un tipo di codice che riduce molto efficacemente l'effetto del rumore è la

13.

Trasmissione dell'informazione

283

ripetizione ( si pensi agli altoparlanti delle stazioni). La ripetizione naturalmente raddoppia il tempo necessario alla trasmissione. Altro codice ben noto è quello per cui, invece di dire pane si dice Palermo, Ancona, Napoli, Empoli o quello per cui invece di dire sessantatré si dice sei tre. Tutti questi codici sono efficaci ma non costituiscono l'ideale. Con un codice ideale, come abbiamo detto, si possono tra­ smettere 1 bit per messaggio, con pratica certezza. Queste considerazioni possono aiutare a comprendere perché le lingue naturali sono ridondanti. Quello che esse perdono nella rapi­ dità, lo guadagnano nella sicurezza della trasmissione. Questo av­ viene naturalmente quando il destinatario conosce perfettamente la statistica della lingua ed è pronto a ricostruire in via probabilistica il messaggio originario, a partire dal messaggio alterato dal rumore. Uno straniero è molto meno pronto a fare tale ricostruzione ; per lui la lingua è ben poco ridondante. È molto utile poi per il destinatario conoscere anche la statistica a lungo raggio della sorgente, cioè sapere, almeno approssimativa­ mente, con quale probabilità essa può trasmettere un messaggio piuttosto che un altro. È proprio all'apprezzamento di queste pro­ babilità che s i dedica il filologo quando tenta di ricostruire un testo che gli è pervenuto danneggiato e manchevole (rumore) . Guai se egli non avesse a disposizione la ridondanza. Tutte le ricostruzioni, an­ che le piu cervellotiche, avrebbero la stessa probabilità ! La scienza dell'informazione si applica molto proficuamente an­ che alla teoria della visione. Il mondo c'invia dei messaggi visivi. Ogni scena che vediamo è un messaggio. Quanti sono questi mes­ saggi? Un messaggio apparentemente possibile sarebbe costituito da un caotico accostamento di tanti punti piu o meno brillanti o scuri e di tutti i colori, senza alcuna correlazione l'uno con l'altro. In questo modo una s ingola scena visiva sarebbe capace di trasmettere un nu­ mero enorme di bit d'informazione e noi saremmo capaci di rece­ pirla e di analizzarla soltanto in un tempo lunghis simo. Ma il mondo non è fatto cosi ! Un tale accostamento casuale �i punti luminosi ed oscuri non può costituire una scena reale. Il mondo visuale presenta delle notevoli correlazioni statistiche fra i punti, tali da ridurre gran-

284

nr.

La fisica dcll' irreversibile

demente il numero dei bit che vengono trasmessi da ogni singola scena. L'osservatore adulto conosce abbastanza bene la statistica del mondo visuale e se ne vale per ricostruire e integrare rapidamente e inconsciamente quelle informazioni che non desume in modo di­ retto. L'apparato visivo, dalla retina alla corteccia cerebrale, è un formidabile ricostruttore d'informazioni. Che il mondo visivo sia ridondante e che pertanto si possa effi­ cacemente codificare lo scopersero i nostri antenati dieci o ventimila anni fa, quando inventarono il disegno ! Il disegno dispensa l'artista dal riprodurre tutti i punti della scena visiva e gli permette di limi­ tarsi a dei contorni. l\1:a affinché questo sistema funzioni bisogna che il destinatario conosca il codice e sia pronto a decodificare ! A noi questa decodifica sembra naturale, ma in realtà essa è frutto di un apprendimento che affrontiamo da fanciulli, prima assimilando la statistica del mondo visivo, quindi imparando dagli adulti come si può approfittare della sua ridondanza per disegnare. Naturalmente le cose si fanno difficili quando non conosciamo bene la statistica di quello che vediamo. Un caso clamoroso fu quello di Galileo quando puntò il suo cannocchiale su Saturno. Vide una scena che a causa del limitato potere risolutivo, gli si presentò come quella della Fig. 82 . Annunciò a Keplero la scoperta con un ana-

Figura 82

gramma che andava decifrato cosi : Altissimum planetam tergeminum observavi. Cioè egli aveva osservato che Saturno era composto da tre corp i ! Ciò derivava dal fatto che la sua > del cielo inclu­ deva bensi corpi puntiformi o dischi circolari, ma non includeva astri con anelli. Se inve�e gli astri con anelli fossero stati abbondanti e a lui noti, egli avrebbe osservato che Saturno ha un anello ! Analoghe os servazioni potrebbero farsi per gli altri organi di sen-

14.

Macrostati e microstati

285

so diversi dalla vista ( l). Da tutto quanto precede trarremo la conclu­ sione che gli organi di senso ci trasmettono varie informazioni sul mondo esterno. Ma il numero di tali informazioni è enormemente minore di quello che noi crediamo. Il supplemento d'informazione ci viene da quello che noi cono­ sciamo statisticamente a prioTi riguardo al mondo visivo, acustico, ecc. Tale integrazione dell'informazione a pTioTi con quella via via ricevuta avviene rapidamente e, per la massima parte, inconscia­

mente. Ancora una volta dobbiamo richiamare l'attenzione sulla falla­ cia dell'ordinario concetto di osseTvazione dintta, di dato immediato e cosi via . È pericoloso dimenticare che ogni os servazione implica un'elaborazione, basata sulla statistica del mondo che conosciamo. 14.

Maerostati e microstati. Laplace aveva scritto in un celebre passo del 1814 : . Ma è proprio vero che il tempo scorre� E con che velocità scorre� Forse con la velocità di un secondo al secondo � Una concezione che riscuote favore presso un certo numero di fisici è quella enunciata da H. Weyl . Le cose del mondo esterno i n The Study of Time, Springer, Berlin 1 9 72, p. l. Dello stesso autore vedi The Nature of Time, Ho1t, R inehart and Winston, New York 1 9 73. ( li Vedi A. GR U NBAUM, Philosophical Problems of Space and Time, Reide1, Dor­ drecht 1 973, capp. vrn e x . (2 1 Come è noto, P. Teilhard de Chardin riprende e sviluppa tale concezione, ten­ tando di fonderla con la scienza moderna. Per lui esiste un punto finale ( il punto Q) a cui il mondo tende naturalmente (e non per intervento divino una tantum). Vedi P. TEILHARD DE CHARDIN, Le phénomène humain, Ed. du Seui[, Paris 1 955. t0 , t2 > t1 1 ecc. , cioè lasciando passare il tempo, si andrà verso lo stato uniforme di entropia SM . Ma, poiché, come abbiamo detto, la curva dell'entropia in funzione del tempo non presenta asimmetrie sistematiche, dobbiamo essere sicuri anche phe andando ad istanti L1 < t0 , L 2 < L1 1 ecc. , cioè risalendo all'in­ dietro nel tempo, si dovrà andare verso SM . In altre parole, osser­ vando lo stato all'istante t0 , dovremmo concludere quanto segue. Vi era precedentemente un miscuglio uniforme di acqua e inchio­ stro ; all'istante t0 vi è stata una fluttuazione di quelle rarissime, che ·

304

III.

La fisica dell'irreversibile

ha concentrato tutto l'inchiostro alla superficie ; successivamente a t0 si tornerà alla distribuzione uniforme. Tutto ciò sembra assurdo ! Eppure non lo è. Bisogna tener conto del fatto che abbiamo supposto il nostro sistema costantemente iso­ lato. Ma se non sappiamo se era isolato prima di t0 e lo osserviamo all'istante t0 , possiamo fare essenzialmente due ipotesi diverse :

l ) Il sistema era isolato precedentemente a t0 e vi è stata una

fluttuazione. È la conclusione apparentemente assurda vista sopra. 2 ) Il sistema non era isolato prima di t0 e una persona o un mec­ canismo ha versato nell'acqua una goccia d'inchiostro . Vediamo di valutare la probabilità di ciascuna di queste ipotesi. Chiamiamo p(F) la probabilità che osservando il sistema all'istan­ te t0 , si trovi la goccia d'inchiostro concentrata alla superficie, p(I) la probabilità che il sistema prima di t0 fosse isolato e p(N) la pro­ babilità che non fosse isolato. Le relative probabilità condizionate saranno indicate con p1(F), PN(F) , PF(N), PF (I), mentre con p(I, F) e p( N, F) indicheremo le probabilità che si verifichino tanto I che F o tanto N che F rispettivamente. Per la (III.58) avremo (III.92)

p (I, F) =p(I)p1(F) =p(F)p F (I) , p(N, F) =p(N)pN(F) =p( F )pF (N)

Dalla prima otteniamo ( III.93 )

pF (I) =

p(I)pr(F) p (F)

PF (N)=

p(N)pN (F) p(.P) .

e dalla secon la ( III.94)

.

Sono queste le probabilità cercate per le ipotesi l ) e 2). Infatti sap­ piano che F si è verificato e la ( III.93 ) ci dà la probabilità che essen­ dosi verificato F il sistema fosse isolato, mentre la (III.94 ) ci dà la probabilità che essendosi verificato F il sistema non fosse isolato < 1>. (l) Le formule del tipo (III,93) e (III.94) sono note col nome di Bayes e si dice che forniscono le probabilità delle cause.

16.

I l tempo ha una freccia�

305

Per fare un confronto delle ( III.93 ) o ( III.94) , il valore di p(F) non interessa, in quanto è un denominatore comune alle due espres­ sioni. Quanto alle altre probabilità, è ragionevole supporre che p(I), p(N), PN ( F) siano magari piccole o piccolissime, ma tuttavia apprez­ zabili ; invece p1(F) è, come sappiamo, praticamente nulla. Ma allora la ( III.93 ) mostra che sarà praticamente nulla anche PF (I) e noi saremo obbligati a scegliere l'ipotesi 2 ) . L'immagine del mondo che possiamo farci ora è presso a poco la seguente. L'universo, per ragioni che a noi sfuggono, si trova di fatto in uno stato di bassa entropia. Abbiamo già messo in guardia contro il parlare troppo facilmente di entropia dell'universo. Ma per il no­ stro scopo attuale basta limitarsi a una parte abbastanza grande di esso che sia quasi isolata (per esempio la Galassia). Le diverse parti o sistemi che noi distinguiamo nel mondo entrano spesso in intera­ zione fra loro si da formare sistemi piu ampi e piu complessi. Dopo l'interazione, dal sistema piu ampio tornano a diramarsi < 1> i singoli sistemi che per un certo tempo rimangono quasi isolati e pertanto tendono a raggiungere lo stato di equilibrio. Quindi subentra una nuova interazione che altera l'equilibrio, una nuova diramazione e cosi via. Naturalmente l'entropia totale della parte del mondo con­ siderata va costantemente aumentando. Ma il tempo necessario af­ finché essa raggiunga il massimo ha grandezza cosmica (per esempio decine di miliardi di anni) . Invece i piccoli sistemi che via via si diramano raggiungono l'entropia massima abbastanza rapidamente, in modo dì1 noi osservabile. Un esempio puramente fisico di un sistema che periodicamente entra in interazione con un sistema piu grosso, lontano dall'equili­ brio, e quindi si dirama, è la superficie della Terra che viene illumi­ nata dal sole di giorno e viene isolata da esso di notte. Piu frequente per noi è il caso in cui un sistema entra in interazione con un essere umano o con un animale, che lo portano lontano dall'equilibrio (si ricordi il caso del bicchiere e della goccia d'inchiostro) . Abbiamo già visto per quale ragione quando noi incontriamo un sistema lontano ( l ) Il concetto di questa diramazione è stato sviluppato da Reichenbach e Griin­ baum.

30G

III.

La Jisica dcll'irrcvcrsib ilc

dall'equilibrio pensiamo piuttosto a un'interazione che a una flut­ tuazione. Queste considerazioni portano a spiegare abbastanza chiaramen­ te perché esistono le tracce o le memorie del passato, mentre non esi­ stono le tracce del futuro. Prendiamo un famoso esempio usato da M. Schlick < Il . Se guardiamo una spiaggia con superficie uniforme ( e quindi con massima entropia, per questo riguardo) e scorgiamo su di essa delle orme, ne inferiamo che di li è passato un uomo e non che di li pas­ serà un uomo. Ciò non deve destare meraviglia. Abbiamo definito il prima e il dopo mediante l'aumento dell'entropia. È naturale quindi che, trovando un sistema quasi isolato con entropia minore di SM , dobbiamo pensare a un'interazione avvenuta prima, mentre dopo la entropia tenderà a SM (le tracce andranno cancellandosi) . Dobbiamo ora aprire una parentesi per accennare a una que­ stione che ha dato molto da pensare agli studiosi e sulla quale non mi pare che ancora le idee siano molto chiare. Si tratta della que­ stione delle onde divergenti e convergenti. Gettiamo un sasso in uno stagno. Si formano delle onde circo­ lari che divergono dal punto d'impatto. Naturalmente l'equazione delle onde ammette anche come soluzione delle onde circolari che convergono sul punto d'impatto. Ma queste non vengono mai usa­ te 17.

Le fluttuazioni. Abbiamo detto che il numero dei microstati corrispondenti allo stato di equilibrio è enormemente maggiore del numero di tutti gli altri microstati messi insieme. È per questo che, se prendiamo un sistema che è rimasto isolato per un tempo sufficientemente lungo, siamo sicuri di trovarlo in condizioni di equilibrio. E abbiamo ag­ giunto che ciò è dovuto al valore enorme del numero di Avogadro cioè al numero enorme di particelle che si trovano di solito in un volume macroscopico. Ma che succede se riduciamo opportunamente tale numero, per esempio rarefacendo fortemente il gas che osserviamo, oppure con­ siderando un volume di esso molto piccolo ? In tal caso si potrà riu­ scire a notare delle fluttuazioni statistiche rispetto ai valori medi che valgono nella teoria macroscopica. Supponiamo di avere a che fare con un gas che con N molecole occupa il volume V . In condizioni di equilibrio le molecole saran­ no ripartite uniformemente nel volume. In una parte V1 di V saranno contenute N1 = N ( V1f V) molecole. Possiamo anche dire che ogni mo­ lecola ha la probabilità p = V1 f V d i essere contenuta in V1 e che per la legge dei grandi numeri sarà N1 p N Ma sappiamo che in gene­ rale vi sarà uno scarto da tale valore dell'ordine di VN1 . Se V1 misura alcuni cm3, esso conterà qualcosa come N1 = 1020 molecole e avremo VNI = 10I0 • Sarà allora VNI /NI = 10-I0 e questo significa che la densità della materia contenuta in VI differisce di qualche decimiliardesimo dal valore che dovrebbe avere teorica­ mente. N on vi è mezzo sperimentale capace di rivelare questa dif­ ferenza. Ma se invece VI è dell'ordine di 10-15 cm3 ( dimensioni lineari del­ l'ordine di 10-5 cm), avremo per esempio N1 = 105 e yN1 3 · 102 , da =

.

=

310

ur.

La fisica dcll'irreversibile

cui VNl/Nl = 3 , 10-3 • Dunque la densità in vl potrà differire circa del tre per mille dal valore medio e questa differenza non è trascurabile. Su queste considerazioni Lord Rayleigh basò la spiegazione e il calcolo della luce diffusa dal cielo. Abbiamo visto che un'onda elet­ tromagnetica che attraversa un mezzo trasparente omogeneo viene soltanto rallentata da esso ( indice di rifrazione) , ma conserva una propagazione ordinata. Se invece nel mezzo sono disseminate delle piccole zone di maggiore o minore densità, l'onda subisce su di esse un fenomeno di diffrazione e viene parzialmente diffusa in tutte le direzioni. La diffusione è particolarmente efficiente quando le ino­ mogeneità hanno dimensioni dell'ordine della lunghezza d'onda A. Le onde radio lunghe e corte, fino alle microonde, hanno A troppo lunga per subire un'apprezzabile diffusione di questo tipo . Invece per le onde luminose A è proprio dell'ordine di 10-5 cm e si ha una diffusione di una certa entità. La luce del sole attraversa l'atmosfera e in gran parte ci giunge direttamente, cosicché vediamo il disco del sole. Ma in parte viene diffusa in tutte le direzioni e questo fenomeno è responsabile della luminosità del cielo. Studiando poi piu dettagliatamente il feno­ meno, si vede che vengono maggiormente diffuse le lunghezze di onda piu piccole. Pertanto la parte azzurro-violetta dello spettro viene diffusa di piu della parte rossa. È per questo che il cielo è azzurro. Viceversa la luce solare diretta, essendo stati maggiormente sottratti l'azzurro e il violetto, ci arriva piu rossa di quanto sarebbe in assenza di atmosfera. È per questo che quando il sole ( o la luna) è all'orizzonte e il cammino nell'atmosfera è piu lungo, l'astro ci ap­ pare particolarmente rosso. Un altro caso di fluttuazione molto interessante è quello del moto

browniano.

Si consideri una sfera solida immersa in un liquido. Se il mate­ riale del quale è costituita la sfera ha la stessa densità del liquido, la sfera potrà rimane sospesa e ferma. Le molecole del liquido sa­ ranno in agitazione termica e colpiranno le pareti della sfera, ma in media avremo tanti urti da una parte quanti dall'altra. La diffe­ renza, dovuta a fluttuazione, non riuscirà a smuovere la sfera, se questa ha dimensioni macro:scopiche.

l7.

Le ft uttuazioni

311

Ma le cose vanno diversamente s e la sfera è molto piccola. Se si osserva al microscopio una sfera del diametro dell'ordine di un micron immersa in un liquido, si noterà che essa esegue una strana danza spostandosi ora in qua, ora in là a caso e trovandosi dopo un certo tempo lontana dal luogo di origine. Einstein nel 1905 inter­ pretò correttamente e quantitativamente questo fenomeno di cam­ mino a caso come dovuto alle fluttuazioni delle molecole, dando quindi la prova dell'esistenza di esse. In base a questa teoria e agli esperimenti fatti da J. Perrin si poté determinare il valore del nu­ mero di Avogadro. Analoga determinazione si può anche fare in base alla misura della luce del cielo, secondo quanto abbiamo detto so­ pra ( diffusione di Lord Rayleigh ). Il fenomeno delle fluttuazioni può indurre a delle considerazioni interessanti e far nascere delle speranze singolari. È chiaro che lo stato di equilibrio non rappresenta la morte ter­ mica che per chi guardi con occhio non sufficientemente acuto. Al di sotto di certe dimensioni vi è tutta una vita che si agita perpe­ tuamente ( il moto browniano fu per qualche tempo considerato un fenomeno biologico). Ma allora non sarà possibile trarre del lavoro dalle fluttuazioni, sfruttando via via quelle favorevoli e scartando quelle contrarie? Non sarà possibile contravvenire al postulato di Lord Kelvin e ottenere lavoro per esempio dal moto browniano che si verifica in un liquido tutto alla stessa temperatura? A questi sogni fu data la veste piu chiara da Maxwell, il quale si riferi addirittura alle parti piu piccole che si possono immaginare in un sistema, cioè alle singole molecole. Maxwell nel 1871 imma­ ginò >. Questo essere, che in seguito fu noto come il diavoletto di Maxwell, può fare cose sorprendenti. >.

312

III.

L a fisica dell'irreversibile

A questo paradosso si è cercato di ovviare in molti modi. Qual­ cuno, per esempio, ha creduto che il punto importante fosse l'inter­ vento di un essere intelligente, per il quale si potrebbe postulare che non valgono certe leggi fisiche come quelle della termodinamica. Ma in realtà questa ipotesi non aiuta molto, perché il processo di Max­ well si potrebbe anche automatizzare, con le medesime conclusioni. La soluzione corretta del paradosso fu impostata da L. Szilard nel 1929 e portata a compimento da L. Brillouin ( I ) nel 1950. Il diavoletto, per quanto acute siano le sue facoltà, dovrà pur ricevere informazioni riguardo alle molecole, per essere in grado di aprire e chiudere il foro al momento giusto. Per esempio, dovrà ve­ dere le molecole e per far ciò dovrà illuminarle. La sorgente lumi­ nosa dovrà necessariamente avere una temperatura T1 maggiore del­ la temperatura T del gas. Infatti, se fosse T1 = T, il gas emette­ rebbe luce della stessa intensità di quella emessa dalla sorgente e il diavoletto vedrebbe uno sfondo uniformemente illuminato, senza possibilità di distinguere le molecole. Ora, se la sorgente emette una quantità di energia luminosa Q, la sua entropia diminuirà di QfT1 • D 'altra parte il gas (o l'occhio del diavoletto) assorbirà l'energia Q e la sua entropia aumenterà di QfT. Si vede dunque che l 'entropia totale del sistema aumenta. Non solo , ma s i può dimostrare che tale aumento è almeno tanto grande quanto la diminuzione di entropia effettuata dal diavoletto aprendo e chiudendo il foro. In complesso quindi non viene violato il secondo principio della termodinamica. Una relazione quantitativa, dimostrata rigorosamente da Bril­ louin, è suggerita dalla ( III.90). Ogni bit d'informazione si deve pa­ gare con un aumento di entropia di almeno k ln 2 . Per enunciare un principio pili generale, consideriamo un sistema isolato, non in equilibrio. Sia S la sua entropia ed SM l'entropia mas­ sima che avrà, raggiunto l'equilibrio. Chiameremo neg- entropia ( cioè entropia negativa) la grandezza (III.95) ( l ) S i veda L . BRILLOUIN, Science and Jnformat,ion Theory, Academic Press, New Y ork 1956, p. 1 62. < 2 > Naturalmente il In 2 proviene dal fatto che l'informazione è espressa con loga­ ritmi in base 2, mentre H è espressa con logaritmi naturali .

l 7.

Le fi uttuazioni

313

L a neg-entropia è come una moneta che s i può spendere, per esempio per ottenere informazione. A sua volta l'informazione può essere riconvertita in neg-entropia (come farebbe il diavoletto di Maxwell). Misurando la neg-entropia N e l'informazione I con le stesse unità (ll si può enunciare il secondo principio della termodi­ namica con la formula ( III.96 ) che significa che la somma N+ I può al massimo rimanere invaria­ ta (processo reversibile ), mentre in generale diminuisce .. Raggiunto l'equilibrio termodinamico, il valore della somma è zero. Non si può trarre alcuna informazione da un sistema in equilibrio. La ragione per cui si è dovuto attendere la metà del secolo vente­ simo per arrivare a questa formulazione completa del secondo prin­ cipio della termodinamica risiede nella piccolezza della costante di Boltzmann k = 1.38 · 10 -16 ergjK. L'informazione costa talmente po­ co in termini energetici, che abbiamo l 'impressione che sia gratuita ! La nostra grande sorgente di neg-entropia è il Sole. Esso invia sulla Terra un'energia raggiante W pari a 1.38 · 106 erg/( cm2 s). Tale energia ci viene dalla superficie del Sole, che ha una temperatura Tn di circa 6000 K e pertanto trasporta su un cm2 di superficie terre­ stre in un secondo l'entropia S= WjT0 =2.3 · 10 2 • L'energia viene de­ gradata fino a raggiungere la temperatura T di circa 300 K della superficie della Terra, cioè l'entropia SM = WfT = 4.6 · 103 al cm2 al s ( che poi viene riirradiata nello spazio ). Abbiamo quindi a disposi­ zione una neg-entropia N = SM -8 = 4.4 · 103 al cm2 al s. Dividendo per k ln 2, si trova che con la neg-entropia che ci proviene dal Sole su un cm2 si possono produrre 4.6 · 1019 bit d'informazione al secon­ do. È un'informazione ben maggiore di quella che viene trasmessa da tutti i sistemi televisivi del mondo ! Se abbiamo un gas racchiuso in un recipiente, potremo fare delle misure per ricavare il volume, la temperatura, la pressione. Tutto ciò non rappresenta un gran numero di bit d'informazione e pos•

i l ) Per esempio si p ossono usare lo unità t.ermodinamiohe e quindi moltiplicare il numero d i bit d' informazione per k In 2.

314

III.

La fisica dell'irreversibile

siamo di solito trascurare l'aumento di entropia che le misure com­ portano. Ma ben diverso è il caso in cui si voglia conoscere lo stato di ciascuna molecola e fare il lavoro del diavoletto di Maxwell. Al­ lora si ha a che fare col numero di Avogadro, cioè con un fattore moltiplicativo cosi grande da rendere l'aumento di entropia tutt'al­ tro che trascurabile. Possiamo ora ritornare sulla questione della precisione delle mi­ sure con alcuni elementi in piu per giudicarne il significato. Supponiamo di avere una certa quantità di acqua e di volerne misurare la temperatura. Poiché osserviamo che l'acqua né bolle, né è congelata, concludiamo che la sua temperatura è (per definizione) , compresa fra O oo e 100 ° 0 . Supponiamo poi d i non avere altri ele­ menti di giudizio, in modo che tutte le temperature fra queste due estreme siano per noi equiprobabili. Se il termometro di cui dispo­ niamo ha la precisione e = O . Ol oo, avremo 100/e = 104 casi possibili per il risultato della misura. La probabilità di ciascun caso sarà p = 10-4 • Dunque l'informazione che riceviamo dalla misura vale

I = - log2 10-4 = 13.2 bit . Per ottenere tale informazione dovremo aumentare l'entropia del­ l'ambiente di almeno 13.2 · k ln 2 1.3 3 · 10- 16 unità termodinamiche. È ben poco. Ma osserviamo che se e tende a zero, I tende all'infinito e altrettanto farà l'aumento di entropia. Vediamo dunque una ra­ gione inderogabile, che rende impossibile fare e = 0 . Dunque già la termodinamica c i avverte che le misure esatte sono un sogno irrealizzabile per ragioni teoriche e non soltanto pratiche e contingenti. Vedremo altre ragioni suggerite dalla meccanica quan­ tistica. =

Capitolo quarto

La microfisica

l. Gli oggetti della fisica. Il mondo ci appare fatto di cose o di oggetti. È su di essi che compiamo le nostre indagini ed è fra di essi che stabiliamo delle relazioni. Il termine cosa (res < 1l ) precede storicamente il termine oggetto ( che fu introdotto dagli scolastici) e a ciò corrisponde anche una diversa sfumatura concettuale. N el concetto di oggetto, a differenza di ciò che avviene per il concetto di cosa, è implicita un'intenzio­ nalità e un'attività del soggetto conoscente che, a seconda dei casi, isola e distingue, oppure collega e fonde gli elementi del mondo reale. Inoltre gli oggetti non sono necessariamente solo fisici, ma pos­ sono anche essere psicologici, matematici, filosofici e cosi via. Per esempio la sete, il numero 5, il concetto di causa possono essere oggetti del nostro pensiero. A mio parere l'oggettuazione < 2l è un'attività primitiva, cioè logi­ camente (e cronologicamente) anteriore a tutte le altre attività del pensiero. È per questo che tutti i tentativi di definire il concetto di oggetto sono disperatamente destinati alla circolarità. Lo schema delle definizioni date da vari filosofi suona piu o meno cosi : oggetto è ciò che ecc. È evidente che quel > è già un oggetto < 3> . (l) È interessante ricordare che i l termine greco è :n(!ay{J-a ; esso non è neutrale rispetto all'attività umana come lo è res. < · l Uso questo termine (che non so se altri abbia usato prima) come ben distinto da aggettivazione. L ' oggettuazione è l'attività che consiste nel dividere la realtà in oggetti, mentre l'aggettivazione consiste nel rendere oggettivo (un concetto, un ragio­ namento, ecc.). Riguardo al processo di oggettuazione sono molto interessanti gli studi del Piaget sulla psicogenesi del fan ciullo. Vedi , per es . .r. PIAGET, La nascita dell'�"ntel­ ligenza nel fanciullo, Giunti -Barbera, Firenze 1 9 6 8 ; I D. , La construction du réel chez l'enfnnt, Neuchàtel 1 937, cap. I. Tanto per fare un esempio, prendiamo il trattato : A. A. zrNov 'Ev, Foundntions

316

rv. L a microfisica

Venendo agli oggetti che volgarmente vengono detti cose mate­ riali, un'impostazione molto nota e interessante è quella esposta da

B. Russell. Consideriamo una cosa materiale che viene vista in modo diverso (o in diversa prospettiva) a seconda del punto in cui si col­ loca l'osservatore. Dice Russell (I) : > . Ma che cosa hanno in comune tutte queste prospettive? Hanno la proprietà di poter essere derivate l'una dall'altra mediante ope­ razioni appartenenti al gruppo delle traslazioni e rotazioni. Questa proprietà è invariante quando si va da una prospettiva all'altra. Ciò ci suggerisce che qualche cosa si conserva nonostante i movi­ menti nostri o dell'oggetto. Scrive Piaget < 2) : , cioè a un'antenna che irradia un'onda elettromagnetica ed emette per­ tanto energia. Poiché l'energia posseduta dall'elettrone è limitata, esso deve finire per perderla tutta e cadere sul nucleo. È vero che nel caso di molti elettroni che si muovano in modo opportuno l'ener­ gia irradiata complessivamente può essere estremamente piccola, perché l'effetto dell'uno può neutralizzare quello dell'altro, Cl) me aveva fatto vedere J. Larmor. Ma nel caso dell'idrogeno, in cui si ha solo un elettrone, questa scappatoia non serve. Bisogna escogi­ tare qualche altra cosa. È ciò che fece N. Bohr. ( l ) Diciamo in prima approssimazione, perché gli elettroni fra lo ro si respingono, . mentre i pianeti si attraggono. Pertanto le perturbazioni rispetto alle Ìeggi di Keplero sono diverse. Precisamente, s e s i esprime tutto i n funzione della lunghezza d'onda, anziché della fre quenza, la lunghezza cl 'onda ciel massimo è inversamente proporzionale alla temperatura, come fu previsto da W. Wien nel 1 894.

336

rv.

La microfisica u

v Figura 89

ed ha la massima entropia che può avere alla temperatura T. Il caso è perfettamente analogo, salvo le tre dimensioni al posto di due, a quello dell'acqua dello stagno, visto al capitolo precedente ( § 16 ) . La radiazione caotica può pensarsi come sovrapposizione di tanti treni ordinati di onde, per esempio piane, aventi differenti ampiezze, frequenze e direzioni di propagazione e di polarizzazione. Ciascuno di questi treni di onde può pensarsi come un grado di libertà della radiazione. L'analisi matematica dimostra che basta una serie di­ screta di tali gradi di libertà per riprodurre qualsiasi distribuzione di radiazione elettromagnetica che si trovi dentro la cavità. Preci­ samente, se con V indichiamo il volume della cavità, il numero g. dei gradi di libertà che hanno la frequenza compresa fra v e v + l risulta dato da < 1> 8n v 2 ( IV.S) g. = 'V •

c3

Se ora ammettiamo che valga l'equipartizione classica dell'energia, per cui ogni grado di libertà ha in media l'energia kT, otterremo un'energia totale data da g.kT e una densità di energia ( cioè per unità di volume) data da ( IV.9) ( l ) Precisamente questo vale quando v è molto grande rispetto all'unità. In pra­ tica questa condizione è sempre perfettamente verificata. Si pensi per esempio che per l'ottica v è dell'ordine di 10 1 4 o 1 0 1 5 vibrazioni al secondo !

5.

l quanti di Planck

337

Come abbiamo detto, l'emissione di radiazione da parte del forel­ lino F è proporzionale a questa densità di energia. La (IV.9) rappre­ senta la classica formula di Rayleigh-Jeans. Essa dà un'emissione che cresce come v2 ed è rappresentata tratteggiata nella Fig. 89 per le varie temperature. La legge va benissimo alle basse frequenze, ma è decisamente sbagliata alle alte frequenze. Fra l'altro essa por­ terebbe all'assurdo che l'emissione tende all'infinito all'aumentare di v, cioè a quella che piu tardi P. Ehrenfest chiamò efficacemente la catastrofe ultravioletta. Nel 1900 M. Planck fece una fondamentale scoperta (l)_ Se si am­ mette che gli scambi di energia elettromagnetica possano effettuarsi soltanto per quanti finiti di valore proporzionale alla frequenza, si ottiene una formula che spiega perfettamente i risultati sperimen­ tali della Fig. 89. Questi quanti o granuli di energia sono rappresentati da ( IV.10)

E = hv

dove h è una costante universale detta costante di Planck. Oggi si sa che il suo valore è h = (6.626196±0 .000050) · 10 -27 quando E è mi­ surata in erg e v in vibrazioni al s, o hertz. Vedremo fra breve una derivazione della formula di Planck. ( l ) Un'eccellente storia della teoria dei quanti è M. JAMMER, The Conceptual Devel­ opment oj Quantum Mechanics, McGraw-Hill, New York 1 966. Dello stesso autore va visto anche The Philosophy of Quan tum Meclwnics, McGraw-Hill, New York 19 74. Una suggestiva raccolta di testimonianze in gran parte di prima mano su questa storia si trova negli articoli di L. Rosenfeld, W. Heisenberg, B . L. van der Waerden, P. Jordan, J. M. Jauch, B. P. Wigner, F. Rohrlich, R. E. Peierls, G. Wentzel, S. I. Tomonaga, J. Schwinger, A. Salam, in J. MEHRA (a cura di), The Physic·ist's Conception of Nature, Reidel, Dordrecht 1973. Vedi inoltre w. HEIRENBERG, Physics anrl Beyonrl, Harper & Row, New York 1 9 7 1 . Per l'interpretazione data da alcuni materialisti dialettici vedi M. E. OMELYANOVSKIJ, v. A. FOCK e altri , L'interpretazione materialistica della mec­ canica quantistica, Feltrinelli, Milano 1 972.

rv.

338

La microfi sica

6. I fotoni. Ora ci conviene fare un salto e passare al 1905, quando Einstein interpretò l'effetto fotoelettrico mediante i quanti. Veffetto fotoelet­ trico, che era stato scoperto alcuni anni prima, consiste nel fatto che, quando un fascio di luce cade sulla superficie di alcuni metalli (per es. quelli alcalini) , si liberano degli elettroni, che abbandonano la superficie con una certa velocità. L'esperienza aveva rivelato che, contrariamente a quanto poteva aspettarsi, la velocità degli elet­ troni non dipendeva dall'intensità della luce, bensi dalla sua fre­ quenza. Precisamente esisteva per ciascun metallo una soglia foto­ elettrica ovvero una frequenza v0 tale che per frequenze piu basse l'effetto non si verificava. Al di sopra di v 0 l'effetto si verificava e la velocità degli elettroni emessi aumentava con la frequenza. Einstein fece l'ipotesi che i quanti non apparissero solo nei feno­ meni di scambio di energia (emissione e assorbimento ) ma rappre­ sentassero proprio dei granuli di cui è costituita la luce, quasi fossero corpuscoli. Tali granuli furono (molto piu tardi) chiamati fotoni. Per spiegare la legge dell'effetto fotoelettrico si ammetta che ogni elettrone sia legato alla struttura del metallo in modo che per libe­ raTlo si debba spendere un'energia A. Allora se un fotone di ener­ gia hv arriva sulla superficie del metallo esso potrà liberare un elet­ trone soltanto se hv 2 A . Se la sua frequenza è minore di v0 = A fh, non potrà aversi l'effetto. Per frequenze maggiori un elettrone potrà essere liberato, ma rimarrà a disposizione l'energia hv -A. Ebbene tale energia si ritroverà come energia cinetica Ec dell'elettrone emesso. Scriveremo dunque ( IV.ll)

Ec = hv-A .

Questa equazione interpreta perfettamente i dati dell'effetto foto­ elettrico. Per quanto Einstein avesse parlato soltanto di un , era difficile sottrarsi all'idea che i fotoni esistes­ sero realmente.

6.

I fotoni

339

I fotoni sono dei corpuscoli assai curiosi. Prima di tutto notiamo che essi viaggiano alla velocità della luce. D'altra parte ciascuno di essi ha l'energia, fissa e non nulla data dalla ( IV.lO) . Ora, se ricor­ diamo la ( Il.68) che dà l'energia di una particella di massa m nella forma E = mc2jvl -v2 j c2 , potremo scrivere anche ( IV.12 )

E v l - :: = mc2

•

Quando v tende a c, il primo membro tende a zero . .Allora dovrà tendere a zero anche il secondo membro, per cui risulta m = O. Dun­ que i fotoni hanno massa nulla. Ma le particelle di massa nulla possono avere una quantità di moto non nulla. Essa è data dalla ( Il.73), per cui ( IV.l3 }

hv p=­ c

rappresenterà la quantità di moto di un fotone di frequenza v. Se i fotoni hanno una quantità di moto, quando essi urtano una superficie speculare e rimbalzano, dovranno esercitare una pressio­ ne, come abbiamo visto che fanno le molecole nella teoria cinetica. Torniamo alla Fig. 76 e immaginiamo che su S cada perpendicolar­ mente un fascio di luce che trasporta N fotoni al secondo e che la luce venga perfettamente riflessa. La quantità di moto trasferita ad S nel tempo dt sarà data da ( IV.14)

Q = N dt 2

hv c

.

La pressione P esercitata su S è legata a Q dalla ( III.45 ) , che pos­ siamo scrivere ( IV.15)

Q = PS dt .

Confrontando le due ultime equazioni, s i ottiene ( IV.l6}

p=2

��v .

Ma NhvjS rappresenta l'energia luminosa che arriva sull'unità di superficie nell'unità di tempo e potremo chiamarla intensità della

IV.

340

La microfisica

luce. Indicandola con I, potremo scrivere ( IV.1 7 )

P =2

!

c

.

Che questa pressione si eserciti effettivamente sulla superficie fu verificato da P . N. Lebedev nel 1900 ( l)_ La > finale della natura corpuscolare della radiazione elet­ tromagnetica venne data da A. H. Compton nel 1923 per mezzo della diffusione dei raggi X da parte degli elettroni. Secondo la teoria classica un'onda elettromagnetica che incontra un elettrone libero e in quiete lo mette in oscillazione alla sua stessa frequenza ; e l'elet­ trone, comportandosi come la corrente oscillante in una minuscola antenna, irradierà a sua volta un'onda della stessa frequenza. L'ef­ fetto Compton consiste nel fatto che invece la radiazione diffusa risulta di frequenza piu bassa di quella incidente. La cosa si spiega facilmente se si considera il fenomeno come un urto fra due corpuscoli, il fotone e l'elettrone. Prima dell'urto il fotone possiede l 'energia E = hv e la quantità di moto p = E jc, men­ tre l'elettrone che sta fermo ha energia e quantità di moto nulle. Dopo l'urto l'elettrone è stato messo in moto e possiederà una certa quantità di moto e una certa energia, che, necessariamente, saranno state sottratte al fotone. Allora l'energia del fotone sarà diminuita e, di conseguenza, sarà diminuita la sua frequenza. Se s i fanno i calcoli precisi, applicando la conservazione dell'energia e della quan­ tità di moto, si trovano risultati in ottimo accordo con l'esperienza. 7.

La statistica di Bose-Einstein. Una volta ammessi i fotoni, è naturale che venga in mente di fare con essi delle considerazioni statistiche, come nella teoria cine­ tica. Tuttavia ci troviamo dinanzi a un fatto nuovo. ( l) È doveroso notare che la (IV. l 7 ) è predetta dalla teoria delle onde elettroma­ gnetiche di Maxwell, anche senza far intervenire i fotoni. Bisogna allora ammettere che il campo elettromagnetico abbia una quantità di moto, oltre a un'energia. L'inter­ pretazione fotonica è forse piu accettabile dal punto di vista intuitivo.

7.

La statistica di Bose· Einstein

341

Nella teoria cinetica alla Boltzmann, che abbiamo considerato al cap. nr, è essenziale che si possa pensare d'individuare (almeno concettualmente) ciascuna molecola e che quindi si possa dare un significato operativo preciso allo scambio di due di esse < 1>. Non sem­ bra che lo stesso si possa dire per i fotoni. I fotoni sono in qualche modo associati alle onde elettromagne­ tiche. È un'associazione per ora abbastanza misteriosa, ma che ci porta già a fare le seguenti considerazioni. B

A

A-

II

A +B

-

A

[\ D

c A III -

A

-

Figura 90

Supponiamo di avere inizialmente un'onda solitaria A (Fig. 90) che si propaga verso destra e un'onda identica B, che si propaga verso sinistra (I). Quando esse s'incontrano (II) danno luogo a una sovrapposizione A +B. Quindi tornano a separarsi ( II I ) e danno luogo all'onda C che va verso sinistra e D che va verso destra. Chi sono queste onde C e D ? Due differenti interpretazioni sono possibili :

l) C è l'onda B che continua il suo cammino dopo la sovrappo­ sizione e analogamente D è l'onda A . 2 ) L a sovrapposizione rappresenta u n urto e l e onde rimbalzano all'indietro, per cui C è A e D è B. ( l ) Due microstati ottenuti l'uno dall'altro scambiando fra loro due molecole sono per Boltzmann, in linea di principio, due microstati diversi.

342

IV.

La microfisica

La teoria delle onde ammette ciascuna di queste due interpreta­ zioni e non vi è modo di decidere fra di esse. La ragione è che le onde A e B non hanno un'individualità che permetta di distinguerle continuamente l'una dall'altra. Ebbene la stessa cosa si verifica per i fotoni. Non c'è modo di distinguerli con continuità l'uno dall'altro e di conseguenza non ha senso dire che si scambiano l'uno con l'altro < 1>. Ricordando i ragionamenti che abbiamo fatto a proposito della mec­ canica statistica classica, è evidente che per un gas di fotoni dovremo procedere in altro modo. Troveremo quella che si suol chiamare la statistica di Bose-Einstein . Per vedere in modo elementare di che si tratta, procediamo cosi. Si considerino due celle nelle quali dobbiamo distribuire due parti­ celle A e B. Nella statistica classica si distinguono i quattro casi illustrati nella Fig. 91. .A ciascuno di essi attribuiremo la probabi-

3

2

4

Figura 91

lità Ì · Nella nuova statistica invece distingueremo solo tre casi, in­ quantoché il caso 2 e il caso 3, che si ottengono con lo scambio delle due particelle, sono da considerarsi come un solo caso . Pertanto la probabilità di ciascun caso sarà ora !Torniamo a considerare la cavità C della Fig. 88 < 2>. Penseremo ogni onda piana (o grado di libertà) che compone la radiazione come (l) Poiché la stessa cosa potremo dire per tutte le particelle della fisica moderna, vediamo che quando, due particelle eguali s'incontrano la proposizione : - l'intensione da particella incidente >> e l'intensione da particella diffusa>> hanno la medesima esten­ sione - è proposizione indecidibile, come avevamo anticipato al cap. r, § 6. La fisica moderna fa cadere il principio dell ' identità degli indiscernibili, tanto cara a Leibniz e ad altri filosofi. Due particelle eguali in un medesimo sistema non sono discernibili, ma non sono una sola particella ! (2) Noi tratteremo un caso particolare di statistica di Bose-Einstein, precisamente quello che si applica ai fotoni. In tale caso il numero totale delle particelle presenti nel sistema non è necessariamente fisso. Infatti i fotoni vengono continuamente e1nessi e assorbiti dalle pareti della cavità.

7.

La statistica di Bose- Einstein

343

una cella che può contenere un certo numero di fotoni, tutti della stessa energia hv. Ora la ( IV.S) ci fornisce il numero g. delle cel­ le che corrispondono a una frequenza compresa fra v e v+ l ( ovvero che hanno praticamente la stessa frequenza, dato che l'unità è tra­ scurabile rispetto a v). Fra queste celle ce ne saranno un certo nu­ mero g� che contengono O fotoni, un certo numero g! che contengono l fotone, un certo numero g; che contengono 2 fotoni e cosi via. Avremo evidentemente < 1> Q)

( IV.l8) L'energia contenuta nelle g� celle è evidentemente nulla, quella con­ tenuta nelle g! celle è g! hv, quella contenuta nelle g; celle è g;2hv, e cosi via. Dunque l'energia E. contenuta nelle g. celle sarà ( IV.l9)

E. = L ng: hv . n�o

Se E è l'energia totale contenuta nella cavità, avremo poi (IV.20) Considereremo questo valore come fisso ( e lo è effettivamente a meno di fluttuazioni trascurabili) . Un microstato del gas d i fotoni sarà assegnato una volta che avremo stabilito quanti fotoni si trovano in ciascuna cella. Si può cosi formare in vari modi diversi un medesimo macrostato. Non avrà senso permutare fra loro i fotoni, come abbiamo notato, ma si po­ tranno permutare le celle ovvero i loro ruoli. Vediamo di chiarire questo concetto. Supponiamo che fra le celle di frequenza v la cella A contenga (l) Naturalmente il porre n= oo come limite superiore della somma ha solo un valore formale. Poiché g. è un numero finito, avremo che tutti i g� per n maggiore d i un certo valore saranno nulli. (2) Considereremo v come un indice che assume valori interi da O a oo. Ciò è lecito perché si verifica a posteriori che i piccoli valori O, l , 2, . . . portano alla somma un contributo assolutamente trascurabile a paragone dei valori grandissimi, rispetto ai quali l'unità è trascurabile.

IV.

344

La microfisica

4 fotoni e la cella B ne contenga 7. Permutare i ruoli delle celle vorrà dire far si che la cella A contenga 7 fotoni e la cella B ne contenga 4. Le g. celle daranno luogo a g. ! permutazioni. Ma fra queste celle, g� hanno lo stesso ruolo ( quello di contenere O fotoni) , g! hanno lo stesso ruolo (quello di contenere l fotone) e cosi via. Dunque, per quanto riguarda la frequenza v, lo stesso macrostato si otterrà in

Nv =

( IV.21 )

g. gO ! gl ! g2 ! • .

• .

• .

. . .

modi distinti. Supponiamo ora che tutti i microstati siano equiprobabili. Allora per trovare il macrostato piu probabile bisognerà rendere massimo il numero ( IV.22 ) che risulta facendo il prodotto dei numeri N. dati dalla ( IV.21 ) , e ciò andrà fatto rispettando l e condizioni fisse ( IV.l 8 ) e ( IV.20 ). Si tratta di un problema di massimo condizionato, analogo a quello incontrato a proposito della ( III.71 ). Con i metodi del calcolo differenziale piu volte menzionati si arriva a trovare un risultato analogo a quello della ( III.79) e precisamente

g� = ex. exp [-{JnhvJ

( IV.23)

essendo a, e {J delle costanti. Per andare d'accordo con la statistica classica, al limite in cui questa si applica, si vedrà che dobbiamo porre {J = lfkT. Allora, ricordando la ( IV.l8) avremo ( IV.24)

a.

[

]

hv �0exp - n kT = g• . co

La somma rappresenta una serie geometrica e si ottiene subito ( IV.25 )

è

l = g. cx• l - exp [-hv JkT]

(l) Si chiama cosf la somma d'infiniti termini S = l + x + x2 + x3 + . . . , quando < l . Si provi a moltiplicare l' espressione di S per 1 - x. Si trova che tutti i

lxi

7.

La statistica di B ose-Einstein

da cui, poiché g. è dato dalla (IV.S), si ricava la costante

( IV.26)

345 ex.

Sn Vv2(1 - exp [- hvjkT]) c

IXv = -a

Con questi risultati la (IV.19) diventa

( IV.27) La somma è una serie analoga a quella geometrica il cui risultato è noto ( ll e si ottiene

( IV.28)

(

[

]) hv

Sn hv E. = C3 Vv 2 1 - exp kT

exp [-hvjkT] ( 1 -exp [ - hvjkT] ) 2 ·

Eseguendo delle facili semplificazioni e dividendo per V, s i ottiene infine la densità di energia u

( IV.29)

hv 3 Sn u( v , T) = 03 exp [hvjkT] - 1 ·

È questa la celebre formula di Planck. Essa dà per la distribu­ zione delPenergia nello spettro del corpo nero un andamento perfet­ tamente in accordo con l'esperienza, cioè con le curve della Fig. 89. Si può poi dimostrare che quando v è molto piccola, essa dà risultati praticamente eguali a quelli della formula ( IV.9), di Rayleigh-Jeans. Lo stesso risultato si ottiene naturalmente facendo tendere h a zero, cioè andando al limite classico. Dividendo la ( IV.29) per hv si ottiene una grandezza che chia­ meremo f(E) 8n v2 f(E) ( IV.3 0 ) C3 exp [hvjkT] - 1 =

·

-

termini tranne il primo si eliminano e ci si convince che deve essere S( l x) = l , ovvero S = 1/( 1 - x). La cosa può rendersi perfettamente rigorosa. Nel testo basta porre x = exp [- hvfkT] per avere una serie geometrica e ottenere quindi per la somma il valore 1/( l - exp [- hvfkT]) che compare nella (IV.25). , Si provi a moltiplicare tale serie (l ) Si tratta della serie R = lx + 2x2 + 3x3 + per ( l - x)2 = l - 2x + x2. Si trova che tutti i termini si eliminano tranne il primo che è eguale a x. Si ha dunque R ( l -- x)2 = x, ovvero R = xf ( l - x)2. Ponendo x = exp [- hvJkT] si ha il risultato del testo.

...

rv.

346

La rnicrofisica

Questo è evidentemente il numero dei fotoni per unità di volume che hanno l'energia E = hv ed è in qualche modo l'analogo della fun­ zione di distribuzione che compare nella ( III.85) . Quando siamo in un intorno sufficientemente piccolo d i v = O, la granularità è talmente fine che la radiazione ha praticamente le proprietà delle onde classiche. La statistica è quella di Rayleigh­ J eans. Quando invece v aumenta e prevalgono le proprietà corpusco­ lari, l'esponenziale exp [hvjkT] diviene molto piu grande dell'unità. Trascurando quest'ultima nel denominatore della ( IV.30 ), ne con­ segue che f(E) è proporzionale a < 1> exp [-EjkT] , in accordo con quanto trovato con la ( III.85 ) per la statistica classica delle molecole. La scoperta della statistica di Bose-Einstein ci richiama alle con­ siderazioni che avevamo fatto a suo tempo sul principio d'indiffe­ renza nella probabilità. Avevamo affermato che l'individuazione dei casi equiprobabili non può essere affidata che all'esperienza. In altre parole, quando si sceglie a priori un criterio per enumerare i casi equiprobabili, lo si può fare solo in via di tentativo, dopo di che la parola spetta all'esperienza. Il fallimento dei tentativi classici di interpretare lo spettro del corpo nero può es sere spiegato intuitiva­ mente con l'ignoranza che allora si aveva dell'esistenza dei fotoni. Ma in modo ancor piu preciso e concettualmente corretto si può dire che non si sapevano contare nel modo giusto i casi equiprobabili. L'esperienza dava torto a quel tipo di conteggio ed ha obbligato a sceglierne un altro. 8.

L'atomo di Bohr. Abbiamo visto come i tentativi di scoprire la costituzione del­ l'atomo, applicando le ordinarie leggi della fisica, fossero falliti uno dopo l'altro. La situazione fu sbloccata da N. Bohr nel 1913. Bohr, che aveva passato qualche tempo nel laboratorio di Thomi l) La legge esponenziale era stata propoeta per l a radiazione del corpo nero fino dal 1 896 da W. Wien, ma con argomenti non molto convincenti.

8.

L ' atomo di B ohr

347

son e quindi si era trasferito a quello di Rutherford, si era formato la convinzione che le proprietà dell'atomo non fossero spiegabili con le ord-inarie leggi della fisica classica. Per quanto audace, l'idea non era fantastica, dato che già esistevano i quanti di Planck, assoluta­ mente estranei alla fisica classica. E Bohr pensò proprio di fare intervenire i quanti ( Il e di applicarli all'atomo di Rutherford. Nell'atomo di Rutherford gli elettroni si muovono attorno al nucleo come i pianeti si muovono attorno al Sole. Ma mentre le possibili orbite dei pianeti formano un'infinità continua, Bohr po­ stulò che soltanto alcune orbite ben determinate e discrete fossero ammesse. Inoltre postulò che, fino a che rimane su una determinata orbita, l'elettrone non emettesse energia elettromagnetica. Su ciascuna orbita l'elettrone possiede una ben determinata ener­ gia. Ne consegue che per l'atomo esiste una successione discreta di energie permesse, o di livelli energetici E1 , E2 , E3 Quando l 'atomo si trova nel livello Em può saltare al livello En emettendo o assor­ bendo la differenza di energia (a seconda che sia Em > En o Em < En ) sotto forma d i un fotone. Cosi per esempio, quando l'atomo salta da un livello piu alto Em a uno piu basso En , emette un fotone di frequenza v tale che • • •

Em-En = hv . Si > in questo modo il perché delle righe spettrali ben definite e il perché le relative frequenze si possano trovare come differenze di termini, secondo il principio di combinazione. Bisogna ora assegnare una condizione di quantizzazione, che ci per­ metta d'individuare le varie orbite discrete. Si può per questo postu­ lare una quantizzazione del momento angolare dell'elettrone nel suo moto di rivoluzione attorno al nucleo. Precisamente secondo Bohr il momento angolare K dell'elettrone è sempre un multiplo di h (2n, per cui scriveremo h K=n ( IV.32) 2n ( IV.31)

( l ) Quest'ultima idea non era che aveva cercato di applicare i stato addirittura deriso da alcuni tava di mettere insieme due cose

del tutto nuova. S i suo! citare per es. A . E. Haas quanti all'atomo di Thomson. Ma il poveretto era eminenti fisici dell'epoca, perché, secondo loro, ten­ che non avevano alcuna relazione fra loro !

348

rv.

La microfisica

con n intero. Questa condizione si è rivelata, come vedremo, d'im­ portanza molto generale. Si supponga ora che un elettrone di carica e si muova di moto circolare uniforme attorno ad un nucleo di carica Ze e che l'influenza degli eventuali altri elettroni su di esso si possa trascurare. Se l'elet­ trone è a distanza r dal nucleo, la mutua attrazione, in base alla ( II.26) sarà Ze2 F=- . ( IV.33) r2

D'altra parte, se v è la velocità dell'elettrone, l'accelerazione cen­ tripeta, in base alla (II.8) e v2jr e ad essa corrisponde la forza cen­ tripeta mv2 F=- . ( IV.34) r

Le espressioni ( IV.33) e (IV.34) devono rappresentare la stessa forza e pertanto si ha

( IV.35 ) Il momento angolare dell'elettrone è per definizione dato da mvr, per cui dalla ( IV.32 ) otteniamo ( IV.36)

mvr = n

h . 2n

Da questa, elevando al quadrato, si ha m2v2 r2 = n2 h2/4n2, da cui si ricava n2 h2 (IV.37) mv 2 = . 4 n2 mr 2

Sostituendo questa espressione nel secondo membro della ( IV.35), si ottiene Ze2 n2 h2 ( IV.38 ) � 4n2 mr3 •

Se ne ricava subito il valore di r

( IV.39)

r=

n2 h2 4n2Ze2m ·

8.

L ' atomo di B ohr

349

Si noti che questo risultato ci fornisce r in base a costanti tutte note. Ponendo Z = l ( idrogeno ) e n = 1 , si ottiene il cosiddetto raggio di BoM, che vale 0. 528 · 10-8 cm. L'ordine di grandezza è proprio quello giusto, cioè quello che per il raggio di un atomo si trova con vari metodi sperimentali. Veniamo ora all'energia. L'elettrone possiederà un'energia cine­ tica Ec = mv 2 f2, che, sostituendo il valore (IV.39) di r nella ( IV. 3 7 ) risulta ( IV. 40) Ma l'elettrone, oltre all'energia cinetica, possiede anche un'energia potenziale Ep che, come vedremo subito, è data da ( IV. 41)

Ze2 Ep = - r

Infatti ricordiamo che la forza che agisce sull'elettrone è la forza coulombiana (IV.33 ). Se l'elettrone passa dalla distanza r alla di­ stanza r -dr (con dr molto piccolo ) tale forza compie il lavoro dL = F dr = ( Ze2fr2 ) dr. Questo lavoro deve essere eguale alla diminu­ zione dell'energia potenziale, Ep(r)-Ep(r-dr), che secondo la ( IV.41 ) è data da -Ze2fr- [-Ze2f(r-dr)]. Dunque dovremo avere ( IV.42 )

Ze2 Ze2 Ze2 dr = r2r - dr - r .

Al secondo membro moltiplichiamo il numeratore e il denominatore della prima frazione per r e quelli della seconda frazione per r-dr. Si ottengono due frazioni con lo stesso denominatore, che si possono immediatamente sommare ottenendo ( IV.43 )

Ze 2 dr Ze 2 - dr = --r(r - dr) · r2

Trascurando dr rispetto a r nel denominatore si commette un errore relativo che si può rendere piccolo quanto si vuole e si vede che si ottiene un'identità. Dunque la scelta ( IV.41) è quella giusta < 1>. (l) L'energia potenziale è sempre definita a meno di una costante addittiva. Questa

350

IV.

La microfisica

Sostituendo il valore di r ( IV.39 ) nella ( IV.41 ) , si ottiene ( IV.44) Allora l'energia totale Ec + Ep nel livello energetico caratterizzato dal numero quantico n risulterà data da ( IV.45 ) Applicando la ( IV.31 ) con questo valore di En , si trova che la frequenza v emessa quando l'atomo passa dal livello En, al livello En, è ( IV.46) essendo la costante R data da ( IV.4 7 ) Ma la ( IV.46) non è altro che la formula ( IV.l ) di Balmer ! Se s i fa Z = l e si calcola la costante R con la (IV.47) si ottengono delle fre­ quenze che vanno molto bene d'accordo con quelle trovate speri­ mentalmente per le serie di righe dell'idrogeno. Ma le cose vanno bene anche per Z maggiori di 1, cioè per gli atomi che seguono l'idrogeno, purché siano ionizzati e ad essi sia rimasto un solo elettrone a ruotare attorno al nucleo. Ancor meglio le cose vanno se si tien conto che il nucleo , anziché essere fisso, come noi l'abbiamo supposto per semplicità, si muove anche lui attorno al centro di gravità del sistema. costante non ha influenza nel caso usuale in cui (come nel nostro) è la differenza fra due valori EP che ha importanza fisica. Quando si usa la (IV-4 1 ) s i sceglie la costante in modo che EP sia zero all'infinito (cioè per r -+ oo). Queste considerazioni dovreb­ bero dissipare la meraviglia che uno prova nel vedere un'energia potenziale negativa. È questione di convenzione. Un valore negativo può diventare positivo se .si aggiunge un' opportuna costante.

9.

Onde e corpuscoli

351

Questi e altri successi della trattazione di Bohr dettero l'im­ pressione che si fosse trovato qualche cosa di fondamentalmente giusto. Ma si era ben lontani dal possedere una teoria completa e coerente, che rendesse conto con precisione di tutti i fenomeni atomici. 9.

Onde e corpuscoli. La radiazione elettromagnetica, come abbiamo visto, presenta delle stranissime proprietà. Da un lato s i comporta come composta di onde, in quanto dà luogo a fenomeni d'interferenza e di diffra­ zione ; dall'altro si comporta come fosse uno sciame di fotoni, cioè di corpuscoli. Ma allora si tratta di onde o di corpuscoli? Non c'è dubbio che bisogna accettare ambedue gli aspetti come sostanzialmente ineliminabili. Vi è quindi una sorta di dualità in questi fenomeni (ma si veda quanto diremo al § 16 di questo ca­ pitolo ) . La dualità s i manifesta i n quegli enti fisici che classicamente vengono descritti come onde. Può essere allora naturale domandarsi se non vi sia simmetria e se una dualità analoga non valga anche per quegli enti fisici che classicamente vengono descritti come cor­ puscoli. È ciò che fece L. de Broglie nel 1924 , partendo da geniali considerazioni relativistiche. K oi ci limiteremo a una semplice ana­ logia, che suggerisce la ragionevolezza della concezione. Ricordiamo la (II.37 ) f.. = cjv che lega la lunghezza d'onda alla velocità della luce e alla frequenza. Sostituendo nella ( IV.13) , si vede che la quantità di moto di un fotone è legata alla sua lunghezza d'onda dalla relazione p = hf .A. La stessa relazione fu postulata da Fra l'altro i risultati di Bohr vanno d 'accordo con un'ipotesi che oggi sappiamo corretta, secondo la quale i raggi X sono emessi nei salti quantici degli elettroni piu interni e più vicini al nucleo, come mostrò W. Kossel nel 1 9 1 6 . Le (IV.46) e (IV.47) (con una leggera modifica della quale ora non ci occupiamo) rendono conto di una legge trovata nel 1 9 1 3 da H . Moseley per le fre quenze dei raggi X. (2) Su questa singolare figura di scienziato si veda la raccolta di articoli : L. de Broglie. Sa conception rlu monrle physique, Gauthier Villars, Paris 1 9 73.

352

IV.

La rnicrofisica

de Broglie per le particelle materiali, ammettendo che a una parti­ cella di quantità di moto p sia associata una lunghezza d'onda À data da ( IV.48 ) Per verificare se le particelle materiali hanno realmente pro­ prietà ondulatorie bisogna riuscire a produrre con esse fenomeni caratteristici delle onde, cioè fenomeni di interferenza o di diffra­ zione. Ciò non è facile, dato che, in generale, la lunghezza d'onda data dalla ( IV.48) è molto piccola. Per esempio si può calcolare che per un elettrone che si muova con velocità dell'ordine di un cente­ simo di c risulta À dell'ordine di 10-8 cm cioè dell'ordine delle dimen­ sioni di un atomo o delle distanze interatomiche in un corpo solido Ol . Non si può sperare di ottenere fenomeni cospicui di diffrazione con gli ordinari diaframmi e fessure che si usano per produrre la diffra­ zione della luce. Ma ricordando l'esperienza di Laue sulla diffrazione dei raggi X, si può pensare di far diffrangere un fascio di elettroni da un cri:>tallo. Esperienze del genere erano state già eseguite da O. J. Davisson, ma non erano state correttamente interpretate. Furono J. Franck e W. Elsasser a indicare che esse in realtà confermavano la natura ondulatoria degli elettroni. Ripetute in varie gui:,;e con maggiore precisione, le esperienze dettero perfettamente ragione alla conce­ zione di de Broglie e alla ( IV.48 ). Partendo dalla scoperta di de Broglie, s i può arrivare a una for­ mulazione molto generale del comportamento delle particelle mate­ riali. Le onde elastiche e quelle elettromagnetiche obbediscono a un'equazione differenziale molto generale, chiamata equazione delle onde. Viene pertanto spontaneo il domandarsi se non si può scrivere un'equazione differenziale che regoli i fenomeni della propagazione delle particelle microscopiche, cosi come l'equazione differenzia­ le delle onde regola le onde vere e proprie. (l) Nel caso poi di un corpo macroscopiuo l'impresa di rivelarne la lunghezza d'onda è disperata. Per esempio alla massa di l g che si muove alla velocità di l cmjs, è assoeiat.a una lunghezza d'onda dell'ordine di I0 -27 em. È una dimensione cento­ mila miliardi di volte più piccola di quella di un nucleo atomico l

9.

Onde e corpuscoli

353

Questo programma fu effettivamente attuato da E. Schrodinger (1926), stabilendo per le particelle elementari un'equazione differen­ ziale di fondamentale importanza, che porta il suo nome ; essa è in sostanza un'equazione delle onde. Nasce cosi la me ccanica ondula­

toria.

Per comprendere il significato dell'equazione di Schrodinger, no­ tiamo che, se consideriamo una particella lanciata nello spazio libero con una certa velocità iniziale, per la legge di inerzia, la sua quantità di moto rimarrà costante durante il moto . Ben poco vi è quindi da aggiungere al risultato stabilito da de Broglie. Se la particella è invece soggetta a forze (ad esempio un elettrone nell'atomo ), la quantità di moto varierà in genere e conseguentemente la sua lun­ ghezza d'onda associata. Per trovare il valore della lunghezza d'onda in ogni punto, si può procedere come segue. L'energia totale E della particella è composta dalla somma del­ l'energia cinetica Ec e dell'energia potenziale Ev e rimane costante durante il moto (è una costante del moto , come si dice) . Allora si ha E-Ep = Ec = !mv2 =p2/2m ( 1> , da cui p = v2m(E-Ep). Infine dalla ( IV.48) risulta ·

( IV . 49)

À=

h

V2m(E - Ep)

·

In genere l'energia potenziale Ev è nota in funzione della posizione della particella. Per esempio nel caso dell'elettrone nell'atomo di I-I s i ha dalla ( IV.41 ) Ev = - e2fr. Allora per ogni r si ha il corrispon­ dente valore di p e quindi di À. Basta questa conoscenza della lun­ ghezza d'onda nei punti in cui la particella si può propagare per consentire di scrivere un'equazione delle onde. In questo modo è possibile far entrare la relazione di de Broglie in un'equazione in cui compare l'energia totale, che è una costante, e l'energia poten­ ziale, che è descritta dal tipo di forze a cui è soggetta la particella. Come ebbe a osservare Schrodinger stesso, l'ordinaria meccanica (l) Naturalmente si può far uso della meccanica non relativistica, soltanto quando si sappia che la velocità della particella è molto minore d i c. Per gli elettroni nel­ l'atomo la velocità è circa un centesimo di quella della luce e l'approssimazione è abba­ stanza buona.

354

IV.

La microfisica

del punto materiale sta alla meccanica ondulatoria come l'ottica dei raggi, o l'ottica geometrica, sta all'ottica ondulatoria. Le traiettorie classiche delle particelle devono essere assimilate alle traiettorie dei raggi. Esse hanno un significato fisico ben definito finché la > delle traiettorie stesse ( raggio di curvatura) non diventi cosi fina da essere paragonabile con la lunghezza d'onda. In tal caso interviene la diffrazione. Ed è proprio questa la condizione delle traiettorie all'interno dell'atomo. L'equazione di Schrodinger, appena applicata all'atomo di idro­ geno, dette risultati molto soddisfacenti . Si ebbe subito la sensazione che Schrodinger avesse messo mano su qualcosa di molto impor­ tante ; ciò risultò tanto vero che l'equazione di Schrodinger ha resi­ stito perfettamente agli anni e rappresenta tuttora la base di molti calcoli spettroscopici. Vediamo ora in qual modo l'equazione di Schrodinger rende conto dei fatti che Bohr aveva postulato in modo apparentemente ingiu­ stificato. Ricordiamo innanzi tutto cosa accade quando si fa vibrare una corda tesa, si che in essa si propaghino delle onde (Fig. 92 ).

l= h/2 ---l

L

ventre

'l

� 0

nodo

Figura 92

Quando l'onda raggiunge una estremità non potendo questa oscil­ lare, perché fissa, si verifica una riflessione e l'onda torna indietro. La fase dell'onda riflessa risulta sempre in opposizione con quella incidente, per cui l'aspetto risultante dalla presenza delle due onde viaggianti in direzioni opposte lungo la corda, è quello indicato in figura (onda stazionaria) . La distanza tra due nodi o tra due ventri è À/2 . Ne segue che fra gli estremi fissi della corda ci deve essere un numero intero di À/2, poiché gli estremi devono essere sempre dei

9.

Onde e corpuscoli

355

nodi . Non tutte le lunghezze d'onda possono dar luogo a onde sta­ zionarie, ma solo quelle per cui L = n( ).f2 ) (n intero ), essendo L la lunghezza della corda. Piu in generale quando si costringono delle onde in un sistema finito, chiuso, esse possono assumere solo delle speciali configura­ zioni con lunghezze d'onda ben determinate. Viene subito fatto di pensare alla quantizzazione di Bohr come dovuta a questo fenome­ no. Consideriamo, ad esempio, un elettrone su un'orbita circolare. Pensato come un'onda, lungo la circonferenza si deve immaginare un'onda progressiva, come quella indicatain Fig. 93 . Se la lunghezza

Figura 93

della circonferenza non è un multiplo intero di À, la fase con cui l'onda si ripresenta in un dato punto dopo un giro varia ad ogni giro. Per avere quindi un'onda univocamente definita, propagan­ tesi lungo la circonferenza, è necessario che in ogni punto l'onda si ripresenti sempre con la stessa fase, ovvero che la lunghezza della circonferenza sia un multiplo intero di À. In questo caso s i ha 2nr = nÀ, ovvero 2nr =n( hfp) e quindi mvr = nhf2n, ossia la condizione di Bohr (IV.36) per le orbite sta­ zionarie. Si ha cosi un significato fisico della quantizzazione postu­ lata da Bohr. L'elettrone, a causa della sua natura ondulatoria, quando viene confinato in una regione di spazio finita può localiz­ zarsi solo su certe configurazioni particolari, che si chiamano orbi­ tali, e oscillare soltanto con certe frequenze discrete. Gli orbitali sostituiscono quelle che per Bohr erano orbite in senso classico. Le frequenze discrete, attraverso alla relazione E = lw, divengono ener­ gie discrete, cioè la successione dei livelli energetici.

IV.

356

L a microfisica

L'equazione di Schrodinger può essere applicata con successo ad atomi piu complessi dell'H e a molti altri problemi della microfisica. Rimane, e sempre piu drammatica, la domanda : onde o corpuscoli? 10.

L'interpretazione probabilistica. Visti i successi dell'equazione stabilita da Schrodinger nella de­ scrizione della meccanica atomica, domandiamoci ora qual è l'entità che vibra nel caso delle onde di Schrodinger, ovvero delle onde asso­ ciate nell'aspetto ondulatorio delle particelle materiali. Nella sua famosa tesi del l924 de Broglie si era di proposito limi­ tato a parlare genericamente di « fenomeno periodico >> riconoscendo che la teoria doveva essere considerata come >. Schrodinger aveva indicato l'entità oscillante con la lettera 1p,· e questo simbolo è rimasto universalmente accettato. Quanto alla natura fisica, Schrodinger credeva che si trattasse proprio di una onda materiale o piu precisamente della distribuzione della carica dell'elettrone. Ma questa posizione risultò assolutamente insosteni­ bile. Infatti conduceva a delle conclusioni strane, confutate dalla esperienza. Si pensi ad esempio ad un elettrone che incida su una barriera di potenziale, costituita da una griglia (Fig. 94), cui .sia applicata una tensione negativa. Se l'energia cinetica dell'elettrone è elevata, questo può superare la forza repulsiva della barriera, attraversare la griglia. onda. incidente -

onda. riflessa.

l

-

� e Figura 94

onda trasmessa --

rivelatore

)--0

10.

L'interpretazione probabilistica

357

griglia, ed essere rivelato da uno strumento. Se la velocità, invece, è piccola, esso verrà respinto e non raggiungerà mai il rivelatore. Orbene, se si calcola la 1f' per questo problema particolare, si trova che in generale c'è una parte dell'onda che viene riflessa dalla bar­ riera, mentre c'è sempre una parte che viene trasmessa. Lo stru­ mento dovrebbe quindi mettere in ogni caso in evidenza la frazione di elettrone che risulta associata all'onda trasmessa. L'esperienza, invece, mostra che il rivelatore o registra un elettrone intero o non lo registra per niente. Frazioni di elettroni non sono mai state rive­ late. Non si trova una distribuzione diffusa di onda. Un caso analogo si era già presentato con i fotoni. Finché si considera un'onda elettromagnetica, con una data distribuzione di campo che vibra, non sorgono particolari problemi di interpreta­ zione. Quando però ci si accorge che l'energia deve viaggiare in pac­ chetti, che questi pacchetti possono essere assorbiti o emessi solo tutti interi e non per frazioni, si vede che l'individuazione di un eventuale significato fisico diventa piu difficile. La 1f' di Schrodinger costituisce cosi il problema duale di quello incontrato con i fotoni. Nel caso del fotone si aveva un'onda, facil­ mente intuibile, che viene > dalla concezione particellare introdotta col fotone. Nel caso dell'elettrone, s i ha una particella anch'essa di immediata intuibilità, che viene rovinata dalla conce­ zione ondulatoria introdotta con la 1f' · Si può trattare di due aspetti conciliabili di una stessa realtM Per superare questa situazione bisogna ricorrere ad un'ipotesi che sembrò a quei tempi estremamente ardita, e che del resto, a tutt'oggi può sembrarlo ancora : la 1f' come distribuzione di proba­ bilità. Tale ipotesi è dovuta a M. Born, che scrive : dall'esperienza e che a tutt'oggi è alla base dell'interpretazione di tutta la microfisica. Piuttosto notiamo subito che questa probabilità della microfisica è una ben strana probabilità, con delle proprietà che dal punto di vista classico sono sorprendenti. Per vederlo con un esempio , ripren­ diamo in considerazione il dispositivo a fori della Fig. 57, quello con cui Young rivelò l'interferenza della luce. Ebbene, tale dispositivo funziona esattamente nello stesso modo se, invece di un'onda lumi­ nosa monocromatica, la sorgente S emette un fascio di elettroni tutti O> Che lo stretto determinismo fisico potesse non essere valido e che si dovesse far posto alla casualità era stato già intravisto e sostenuto sotto varie forme, da alcuni filosofi e scienziati, come C. Renouvier, E. Boutroux, C. S. Peirce, F. Exner, C. G. Darwin. Per questi precedenti vedi M . JAMMER, The Gonceptual Development of Quantum Mechanics, McGraw.Hill, New· York 1 966, pp. lti6 sg. Tuttavia soltanto con Born, Bohr e Heisenberg queste intuizioni acquistano un significato preciso.

360

rv.

L a microfisica

con la stessa velocità e quindi con la stessa lunghezza d'onda di de Brogli e. Sullo schermo HK ( che in questo caso penseremo fluore­ scente come quello della televisione) si formeranno delle frange d'in­ terferenza. Sulle frange chiare arrivano molti elettroni, mentre sulle frange scure non arrivano elettroni. Secondo Born ciascun elettrone ha una grande probabilità di an­ dare in una frangia chiara e probabilità praticamente nulla di andare in una frangia scura. Chiamiamo 1p1 la funzione d'onda di un elet­ trone che passa dal forellino F1 e 1p2 la funzione d'onda di un elettrone che passa dal forellino F2 • Saranno allora p1 = l1fJ1 (P) i 2 e p2 = l 'lfJ2 ( P) 12 le probabilità che un elettrone arrivi nel punto P dello schermo passando da F1 o da F2 rispettivamente. Sia p1 sia p2 va­ riano molto lentamente al muoversi di P sullo schermo. Classica­ mente i due eventi si escludono a vicenda, cosicché per la (III.55) la probabilità p complessiva che un elettrone arrivi in P (passando o da F1 o da F2 ) è data da p =p 1 +p2 • Ma in tal caso si otterrebbe una variazione complessiva lenta al muoversi di P sullo schermo e non si vedrebbe alcuna frangia. Le frange invece si vedono perché non si addizionano diretta­ mente le probabilità, bensi le 1p come è richiesto dall'equazione di Schrodinger. Se si ha 1fJ = 1p1 + 1p2 , la probabilità cercata è, come si verifica subito con facile calcolo

( IV.51 ) Questa probabilità è diversa da p 1 +p 2 • Sono gli ultimi due termini

che formano la differenza e sono responsabili della formazione delle frange d'interferenza. La violazione della ( III.55 ) è di capitale importanza nel carat­ terizzare il comportamento del mondo microfisico. Essa ci fa una volta di piu riflettere sulla temerarietà di calcolare la probabilità enumerando a priori i casi possibili e i casi favorevoli senza lasciare prima decidere all'esperienza quali essi siano realmente < 2>. (l) È questo i l cosiddetto principio di sovrapposizione. ( 2 ) Tuttavia è molto interessante un tentativo di A. Landé di derivare tutto l'im­ pianto probabilistico della meccanica quantistica, compresa l'interferenza, da principi generali a priori (A. LANDÉ, Non Quantal Foundations of Quantum Mechanics, in

I l.

Lo spin, gli atomi e le molecole

361

Tornando alla Fig. 94, notiamo un altro fatto di capitale impor ­ tanza. La 1p che si ricava risolvendo l'equazione di Schrodinger in quel caso risulta diversa da zero da ambedue i lati della griglia, anche quando il potenziale negativo applicato è tale che tutti gli elettroni dovrebbero essere respinti. È questo l'effetto tunnel della meccanica quantistica, per cui una particella ha una certa proba­ bilità non nulla di penetrare una barriera di potenziale che classi­ camente le sarebbe preclusa perché troppo alta. L'immagine del treno che entra in un tunnel sotto una montagna non rappresenta una vera e propria analogia, ma è molto suggestiva. 11. Lo

spin, gli atomi e le molecole.

Una volta stabilita l'equazione di Schrodinger, l'indagine della struttura degli atomi dovrebbe diventare puramente un problema matematico ; si dovrebbe cioè trattare di trovare soluzioni dell'equa­ zione di Schrodinger che rappresentano gli orbitali dei diversi elet­ troni. In realtà si riesce a spiegare perfettamente in questo modo soltanto la struttura dell'atomo piu semplice, quello d'idrogeno. Per gli atomi piu complessi la sola equazione di Schrodinger non è sufficiente. Fra l'altro non si riesce a spiegare perché tutti gli elet­ troni non vadano ad occupare l'orbitale piu vicino al nucleo, un problema che assillò a lungo Bohr stesso. Per risolvere le difficoltà, si fu costretti ad ammettere un paio d'ipotesi ad hoc. Prima di tutto bisogna ammettere che l'elettrone possieda un w. YOURGRAU e A. D. BRECK [a cura di], Physics, Logic and History, Plenum Press, New York 1 970, p. 297). Se il concetto di probabilità che trova applicazione nella microfisica sia lo stesso di quello della fisica classica o no è stato ed è tuttora oggetto di controversia. Vedi per es. : H . MARGENAU e L. COHEN, Probabilities in Quantum Mechanics, in M. Bl.:NGE (a cura d i ) , Quantum Theory and Reality, Springer, Berlin 1 967, p. 7 1 ; P. SUPPES, Studies in the Methodology and Foundations o.f Science, Reidel, Dordrecht 1 969, pp. 2 1 2 e 227 ; A. FINE, Probab'ility in Quantum Mechanics and in Other Statistical Theories, in 1\I. B GN ­ G E ( a cura d i ) , Problems i n the Foundations o.f Physics, Springer, Berlin 1 97 1 , p. 79.

362

IV.

La microfisica

momento angolare intrinseco, chiamato spin. Esso è distinto dal mo­ mento angolare orbitale (IV.32) e si aggiunge ad esso. Lo spin fa pensare che l'elettrone giri su se stesso come una trot­ tola ; ma in verità quest'idea intuitiva risulta troppo ingenuamente realistica (ovvero macroscopica) . Lo spin ha stranissime proprietà. In primo luogo, risulta che lo spin di un elettrone vale sempre hf4n ; confrontando con la (IV.32 ) si vede che si tratta della metà di un quanto di momento angolare orbitale. Nella microfisica si usa misurare i momenti angolari in unità h /2 n ; pertanto diremo che il momento angolare orbitale è intero, mentre lo spin dell'elet­ trone è i · Inoltre risulta che, se si va a misurare la componente del mo­ mento angolare intrinseco dell'elettrone rispetto a una qualsiasi di­ rezione prestabilita, si trova sempre a i o - ! ! È come se l'asse di rotazione della trottola si disponesse sempre parallelo o antiparallelo alla direzione stabilita. Vedremo che questo fatto singolare s'in­ quadra nelle leggi generali della meccanica quantistica. La seconda ipotesi ad hoc è rappresentata dal principio di esclu­ sione, proposto da W. Pauli nel 1925. Esso consiste nell'ammettere che, data una configurazione di 1p, soluzione dell'equazione di Schro­ dinger, in essa possano trovarsi non piu di due elettroni.. Tali elettro­ ni devono avere gli spin antiparalleli, ovvero opposti l'uno all'altro. Possiamo allora descrivere sinteticamente la struttura degli ato­ mi e del sistema periodico nel modo che segue. Dato un nucleo atomico e un elettrone ad esso legato , si risolve la equazione di Schrodinger e si trovano varie configurazioni di 1p di­ stinte, in ciascuna delle quali può disporsi l'elettrone. Ciascuna con­ figurazione ha un'energia ben definita (livello energetico) . L'energia piu bassa possibile E0 corrisponde a una configurazione che conven­ zionalmente si indica con ls. In essa si pone normalmente l'elettrone dell 'atomo d'idrogeno e in tal caso si dice che è nello stato fonda-

O conserva la sua E > O e non può passare mai ad E < O. Nella meccanica quantistica, invece, la situazione è differente, poiché salti quantici tra livelli con E > O e livelli con E < O sono possibili. Dirac, invece di scartare queste soluzioni con E < O, le mantenne e dette loro significato fisico preciso. Poiché in natura non sembra esistano particelle con E < O , volendo conservare le soluzioni con E < O bisogna ammettere che tutti gli stati con E < O siano occupati. Con tale ipotesi viene che, per il principio di Pauli, nessun salto quantico tra questi stati è possibile. Esiste, quindi, un mare di elet­ troni con E < o, ma di essi normalmente non ci si accorge, poiché l'unico modo di rivelare la loro presenza è mediante un cambia­ mento di stato (salto quantico ). Naturalmente si può pensare di far saltare un elettrone da uno stato di energia negativa ad uno stato di energia positiva ( dove esi­ stono posti liberi) , ma l'energia da comunicare all'elettrone è in tal caso molto grande. Ricordiamo la ( II.68) che fornisce l'energia di una particella di massa 'Yn e velocità v come E = mc 2 (vT :___ vi(c2. Ebbene, dall'equazione di Dirac risulta che questa espressione può avere o segno positivo o segno negativo, per cui

( IV.53)

rnc2

E= ± JI--- -vz(c2 .

Riportiamo in grafico i valori dell'energia E in funzione della velo­ cità v (Fig. 96). Se si piglia il segno positivo nella (IV.53) , si ottiene la curva superiore che parte da E = mc2 per v = O e va all'infinito quando v tende a c. Se invece si prende il segno negativo, si ottiene la curva inferiore, che parte da E = - rnc2 e tende a - oo per v = c. Come si vede, l'ener­ gia che occorre fornire per passare da un punto A della curva infe­ riore a un punto B della curva superiore è sempre maggiore o eguale a 2mc2• Occorre quindi almeno un'energia doppia dell'energia di riposo rnc2 dell'elettrone. È un'energia circa un milione di volte mag­ giore di quella necessaria per far saltare l'elettrone da un livello

370

rv.

La microfisica

Figura

96

all'altro nel campo ottico. Negli ordinari fenomeni tutta questa ener­ gia non è disponibile. Tuttavia non è impossibile con esperienze ad hoc fornire ad un elettrone con E < O l'energia sufficiente a farlo passare in uno stato con E> O. In questo caso aumenta di l il numero di elettroni con E > O, ma corrispondentemente rimane un buco nel mare di elettroni con E < O. La mancanza di un elettrone, che ha carica negativa, cor­ risponde alla presenza di un . Si avrebbe cosi un mare di elettroni con E < O, con qualche buco qua e là, che si manifesta a noi come un elettrone di carica positiva. Ebbene l'elettrone di carica positiva o positrone fu effettivamente scoperto da C. D . Anderson nel 1932. Quando un elettrone e un positrone s'incontrano, si annichilano. L'elettrone cade nel buco di energia negativa e scompare. L'energia corrispondente, che come abbiamo detto, vale almeno 2mc 2 viene emessa sotto forma di fotoni (raggi y). Inversamente, un fotone suffi­ cientemente energetico può in opportune condizioni sparire dando luogo a una coppia elettrone piu positrone. Divenne sempre piu chiaro in seguito che quello dell'elettrone

1 3.

Il principio d' indeterminazione

371

non è un caso eccezionale. Ogni particella ha la sua anti-particella, che sta ad essa come il positrone sta all'elettrone. In altre parole, può esistere l'antimateria. È questa una delle scoperte piu impor­ tanti e piu profonde della fisica moderna. È un altro dei tanti casi in cui la teoria ha precorso in maniera assolutamente impensata l 'esperienza, smentendo una volta di piu lo schema ingenuo per cui deve sempre avvenire il contrario. L'equazione di Dirac regola solo il comportamento delle particel­ le con spin t . Ma analoghe equazioni relativistiche sono state scritte per particelle di spin diverso. Cosi, per esempio, esiste l'equazione di Klein-Gordon per le particelle di spin zero e l'equazione di Proca­ Yukawa per quelle di spin l . Tutte queste equazioni, al limite non relativistico di bassa velocità, equivalgono sostanzialmente all'equa­ zione di Schrodinger, con l'aggiunta dell'ipotesi ad hoc dello spin. 13.

Il principio d'indeterminazione. Poco prima dell'elaborazione della meccanica ondulatoria da parte di Schrodinger, W. Heisenberg aveva escogitato un altro tipo di algoritmo (algebra delle matrici) , col quale si potevano calcolare i livelli energeti�i degli atomi. Contributi fondamentali a questa nuova impostazione furono dati da M. Born e da P. Jordan e ben presto si ebbe una vera e propria teoria di vasta portata, la quale tuttavia stentò a diventare popolare fra i fisici, probabilmente a causa dell'apparato matematico poco familiare. Apparentemente questa formulazione era piu complessa di quella della meccanica ondulatoria ed estranea ad essa. Ma fu proprio Schrodinger a mostrare piu tardi che le due teorie erano perfetta­ mente equivalenti. Si fece naturalmente strada l'idea che le diverse impostazioni non fossero che aspetti di una teoria piu generale, ancora da costruire o almeno da completare, che, seguendo Born, fu chiamata meccanica

quantistica.

Si deve a Heisenberg un'osservazione di carattere generale e fon-

372

IV.

La microfisica

damentale che bisogna premettere alla formulazione della mecca­ nica quantistica : il principio d'indeterminazione. Per illustrare questo principio partiamo dalla meccanica ondu­ latoria di Schrodinger. Consideriamo una "P rappresentata da un'onda sinusoidale inde­ finita. Questa onda ha una ben determinata À e per la relazione di de Broglie, la particella rappresentata da essa avrà una ben definita p = hf À. L'onda indefinita rappresenta cosi una particella che viaggia in una ben determinata direzione e con una precisa velocità. Chie­ diamoci : dove sta la particella? Facendo un'esperienza, in qual punto è piu probabile che si trovi? Ora si vede facilmente che I "P \ 2 risulta costante < 1> (indipendentemente dal punto ), per cui la proba­ bilità di localizzazione è uniforme lungo tutto l'asse su cui viaggia l'onda. Questa "P rappresenta quindi una particella di ben definita p ( e quindi v ) , ma di posizione del tutto indeterminata (non potendosi a priori stabilire dei punti di maggior probabilità). Volendo invece rappresentare una particella con una posizione x0 meglio definita, bisognerà usare una "P diversa da zero in corrispon­ denza ad un intorno di tale posizione e zero al di fuori : ossia, come si dice, un pacchetto d'onde (Fig. 97). Si trova matematicamente che . un pacchetto di onde come quello di figura si ottiene sovrapponendo o

v

'/l( X)

o

Q vx;v�

r----- f:l x

x

----+\

Figura 97

un numero elevato (infinito ) di onde sinusoidali indefinite, di fase, ampiezza e frequenza opportune < 2>. Le loro lunghezze d'onda sono ( l ) In verità ciò si trova facilmente quando si usi la notazione complessa. Pen­ sando a una sinusoide reale, dovremo riflettere che in ciascun punto la 1p vibra in un modo che non privilegia alcun punto rispetto a un altro. Precisamente si usa un integrale di Fourier. Il teorema di Fourier dice che pra­ ticamente qualsiasi funzione della fisica può rappresentarsi come sovrapposizione di infinite sinusoidi di opportuna ampiezza, frequenza e fase.

13.

Il principio d'indeterminazione

373

distribuite quasi esclusivamente in un opportuno intervallo che va da À a À +i1À. Dall'interferenza di tutte queste onde, che si esten­ dono con ampiezza non nulla da -oo a + oo si ottiene, come richiesto, un'onda che ha un'ampiezza diversa da zero soltanto in uno stretto intervallo spaziale L1x. Tale onda ha dunque una posizione spaziale lungo l'asse x, determinata entrp, un L1x, e lunghezza d'onda deter­ minata entro una banda di larghezza i1À, ovvero una quantità di moto lungo l'asse x determinata entro un certo intervallo L1px . La cosa notevole che si può dimostrare matematicamente è che quanto piu piccolo vogliamo che sia L1x, tanto piu grande dobbiamo ammettere che sia L1px e viceversa. Precisamente dal teorema di Fourier, segue che, definendo L1x e L1px in modo ragionevole, si ha necessariamente (IV.54)

L1px · L1x ?:. h f 4n .

Seguendo Heisenberg s'interpreta questo risultato dicendo che non è possibile determinare contemporaneamente la quantità di moto e la posizione di una particella con precisione al di sotto di un certo limite. Se si determina in maniera precisa la sua posizione, rimane indeterminata la quantità di moto, e viceversa. Il minimo delle im­ precisioni consentite è dato dalla (IV.54) . A prima vista può sembrare ragionevole pensare che una parti­ cella abbia una ben determinata x e una ben determinata Px e che la (IV.53 ) riguardi gl'inevitabili errori di osservazione. Tuttavia questa interpretazione si rivela difficile a sostenersi fino in fondo. Secondo Heisenberg, Bohr e Dirac e secondo quella che in seguito (a causa del contributo fondamentale dato da Bohr a questi concet­ ti) è divenuta nota come interpretazione di Copenhagen della mecca­ nica quantistica, la particella non ha una ben determinata x e una ben determinata P x . Non ha senso parlare di ciò che non è assolutamente determinabile per ragioni teoriche, anziché per difficoltà pratiche. Per chiarire meglio il significato fisico del principio d'indetermi­ nazione vediamo in un caso specifico come si fa a misurare x e Px ( l ).

(l l Heisenberg, secondo una s u a esplicita dichiarazione, fu ispirato dall'esempio d i Einstein, che mostrò come fosse fallace parlare di contemporaneità senza dare a questa ultima un significato operativo preciso. Allo stesso modo Heisenberg giudicò necessario

374

rv.

L a microfìsica

Consideriamo per questo il cosiddetto microscopio di Heisenberg (Fig. 98 ) . Si abbia una particella P che viaggia lungo l'asse x con una ben determinata velocità e quindi con una ben determinata quantità di moto Px · Supponiamo di conoscere questa Px come risul­ tato di precedenti misure ; vogliamo ora conoscere la posizione x a un dato istante. Per far ciò illuminiamo la particella e osservia-

/

x

fotone Figura 98

mola con un microscopio. L'obbiettivo O formerà l'immagine di P in P'. Ma P' non sarà un pttnto geometrico, bensi un dischetto di diffrazione. Ora la teoria del potere risolutivo del microscopio è analoga a quella che abbiamo visto nel caso del cannocchiale. Vale ancora la (II.42), per cui r = ()./D) f. In essa r va intesa come l'indetermina­ zione della posizione dell'oggetto P, quale si desume dall'osserva­ zione al microscopio, D rappresenta il diametro dell'obbiettivo e f la distanza da P all'obbiettivo. Se 2a rappresenta l'apertura angolare dell'obbiettivo, cioè l'angolo sotto cui il diametro D è visto da P,

analizzare come si può misurare con precisione x e P x · Per un'ironia della storia fu dunque Einstein, uno dei più strenui oppositori dell' interpretazione d i Copenhagen, a ispirare Born e Hei senberg quando questi posero due pilastri fondamentali di tale interpretazione, come la concezione probab ilistica e il principio d'indeterminazione !

1 3.

Il principio d'indeterminazione

3 75

si ha approssimativamente ( I l 2a: = Dff, per cui, sostituendo nella (II.42 ) testé ricordata e ponendo �x = r, otteniamo (IV.55)

l �X = - . 2a:

Dunque, pur di prendere l sufficientemente piccola, si può cono­ scere x con un'indcterminazione piccola quanto si vuole. Ma riflettiamo che, per vedere la particella, dobbiamo illumi­ narla, cioè farle diffondere dei fotoni ; e i fotoni le comunicheranno una quantità di moto. Questo potrà distruggere la conoscenza pre­ cisa che avevam o di Px · Per perturba;re la particella il minimo possibile, illuminiamola con un singolo fotone, di cui conosciamo perfettamente la direzione di provenienza e la lunghezza d'onda l e pertanto la quantità di moto h/ l prirna della diffusione. Se conosciamo anche la quantità di moto del fotone dopo la diffusione, sappiamo che la differenza sarà stata ceduta a P e quindi conosceremo la quantità di moto di P con precisione. Ma la quantità di moto del fotone dopo la diffusione può essere un qualsiasi vettore di lunghezza h/ l (2> diretto da P a un punto qualsiasi dell'obbiet tivo, che non è noto. La sua direzione è indeter­ minata. La sua componente secondo l'asse x può variare da - (h/l) a: a + (h/l) a:, cioè ha un'indetcrminazione (IV.56)

h �Px = � 2a: ·

Questa sarà anche l'indeterminazio ne della componente secondo x della quantità di moto di P do po la diffusione. Moltiplicando la (IV.55) per la (IV.56) si ottiene (IV.57) in accordo con il principio d'indeterminazione (3>. (l) Il calcolo rigoroso porterebbe ai medesimi risultati di questo calcolo appros­ simato. ( 2 ) Trascuriamo la lieve correzione do vuta all'effetto Compt on . ( 3 ) Quello che conta nell'espressione del principio d'indeterminazione è l'ordine di

376

IV.

La microfi.sica

Naturalmente, relazioni analoghe si possono ottenere per y , py e z, Pz · Con considerazioni molto simili a quelle fatte nel caso di x e P x , si può dimostrare una relazione ( IV.58) fra il minimo d'indeterminazione t1E dell'energia E di un sistema e la durata t1t dell'intervallo di tempo che abbiamo a disposizione per fare tale determinazione. Non si può quindi determinare con molta precisione l'energia del sistema in un intervallo di tempo molto breve. Secondo Heisenberg dunque il sistema non ha un'energia piu definita di t1E, se considerato in un intervallo piu piccolo di t1t. Il principio d'indeterminazione ha dato luogo a discussioni infi­ nite riguardo alla sua interpretazione e a non pochi errori e frain­ tendimenti. Anzi a questo proposito è abbastanza gustoso notare come quasi tutti gli autori che si occupano dell'argomento tendono a sottolineare che quasi tutti gli altri autori sono in errore ! Cionono­ stante il principio di Heisenberg è diventato uno dei cardini fonda­ mentali dell'interpretazione del mondo microscopico. Una delle sue conseguenze piu importanti è che nel trattare dei sistemi fisici non è possibile prescindere dal ruolo dell'osservatore. N ella fisica classica era possibile pensare di osservare un sistema fisico senza disturbarlo, cioè in maniera che esso si evolvesse in un modo identico a quello che avrebbe seguito se non fosse stato osser­ vato. Il principio di Heisenberg nega che questo sia possibile nella microfisica. Appena si osserva un sistema lo si perturba in un modo non esattamente noto. L'osservatore diventa inesorabilmente uno dei protagonisti del fenomeno (l). Una cosa molto importante che fa l'osservatore è la scelta del­ l'apparecchio col quale intende osservare il microsistema. Questa scelta condiziona quali proprietà del microsistema saranno osservagrande zza del prodotto /j.x/j.px , non il valore preciso, che dipende dalle convenzioni che si adottano (per es. il definire il potere risolutivo con la precisa espressione [IV.55] è convenzionale). ( l ) J. A. Wheeler dice che l'osservatore si è trasformato in partecipatore.

1 3.

Il principio d' indeterminazione

377

bili e quali no . Secondo Bohr questo porta addirittura a introdurre una nuova categoria logica che è la complementarità. Per esempio l'aspetto corpuscolare e l'aspetto ondulatorio di una particella sono complementari. Si può scegliere di osservare il primo, ma allora si rinuncia ad osservare il secondo e viceversa. Non sono due aspetti contraddittori, perché non possono mai essere osservati contempo­ raneamente. Il principio di complementarità ha fatto versare fiumi di inchio­ stro da parte di fisici e di epistemologi. Secondo me se ne è esagerata l'importanza, che è soprattutto storica. Le particelle microscopiche non sono affatto onde ; sono corpuscoli, ma i corpuscoli hanno proprie­ tà diverse da quelle semplici e grossolane che riusciamo a desumere sperimentando con le palle di biliardo o addirittura osservando i moti dei corpi celesti < 1l . Ma su queste cose avremo occasione di ritornare. Come, in una prima interpretazione, fece notare lo stesso Heisen­ berg < 2 l, in base al suo principio l'indeterminismo può acquistare una piega del tutto inaspettata. Non si tratta piu del fatto che, cono­ scendo perfettamente le condizioni iniziali, non si possono predire le conseguenze che in modo probabilistico. Si tratta invece del fatto che non si possono conoscere esattamente le condizioni iniziali. Il sogno di Laplace sarebbe assurdo non nella conclusione, ma nella premessa ! Si suol dire che di un sistema microscopico non si può avere informazione completa ; ma se ne può avere informazione massima, il massimo essendo raggiunto quando si è raggiunto il limite imposto dal principio d'indeterminazione per le varie grandezze che carat­ terizzano il sistema. Una cosa importante va notata, perché l'ignorarla può portare a gravi confusioni. Il principio di Heisenberg riguarda il futuro, non il passato. Un fotone di frequenza nota può benissimo passare attra(Il A questo proposito vedi anche P. CALDIROLA, Dalla microfìsica alla macrofìsica , EST Mondadori, Milano 1974, pp. 41 sgg. (2 l Piu tardi Heisenberg preferi dare all'indeterminismo un'interpretazione vaga. mente aristotelica, affermando che la misura rende attuale una delle proprietà poten­ ziali dell'oggetto. Questo concetto diverrà più chiaro in seguito. Vedi w. HEISENBE R G , Physics and Phylosophy, Harper, 1958.

IV.

378

La microfisica

verso a due fori successivi comunque stretti (l). Quando esce dal secondo noi possiamo dedurre con grande precisione quali erano la sua posizione e la sua quantità di moto all'uscita dal primo. Ma ciò non serve per predire con precisione che cosa farà il fotone uscendo dal secondo foro. Dunque il principio d'indeterminazione riguarda solo i risultati di misure che possono essere presi come condizioni

iniziali. 14.

Lo spazio hilbertiano. Le varie forme nelle quali fu sviluppata la meccanica quantistica avevano fatto desiderare fin dall'inizio che si potesse giungere a una teoria generale che le unificasse tutte. Effettivamente a una tale teoria si arrivò per merito di varie persone, ma soprattutto di P. A. M. Dirac, di D. Hilbert e di J. von Neumann. Si tratta di una teoria assiomatica che a prima vista può spaventare per il suo formalismo e la sua astrattezza ; ma fatto sta che i fisici l'hanno trovata sempre piu > e rispondente ai loro scopi e l'hanno adottata come

teoria standard.

Alla presentazione della meccanica quantistica assiomatica do­ vremo premettere alcune nozioni, che ci sforzeremo di rendere molto semplici, sugli strumenti matematici di cui fa uso . Prima di tutto richiamiamo alcune nozioni elementari sui vettori. Come sappiamo, un vettore v dell'ordinario spazio tridimensio­ nale può es sere individuato dandone le tre componenti vx , vy , Vz su tre assi x, y, z, mutuamente ortogonali (Fig. 99). Le componenti sono numeri (scalari ) mentre v è un vettore. Ma si può anche dire che v è la somma di tre vettori : uno di lunghezza Vx ed orientato come l'asse x, uno di lunghezza Vy , orientato come Naturalmente più stretti sono i fori e minore sarà la probabilità che il fotone li attraversi ambedue. Ma quando accade che un fotone li attraversa ambedue, sap ­ piamo ricavare precise conclusioni sul suo passato. 12) Si tratta dei coRiddetti spaz1: vettor>:ali Z,:neari, la cui teoria, fondata da H. Grass­ rnann già nel secolo scorso, ha dato luogo alla moderna analisi funzionale.

14

Lo spazio hilbertiano

379

z

"

l lv l )C

l

x Figura 99

l'asse y ed uno di lunghezza vz , orientato come l'asse z. Per espri­ mere ciò si introducono tre vettori di lunghezza unitaria (versori) i, j, k, orientati rispettivamente come gli assi x, y e z. Si scrive allora ( IV.59 ) Dati due vettori u, v, s i chiama prodotto scalare e si indica con u · v il prodotto della lunghezza di u ( che è un numero) per la lun­ ghezza della proiezione Vu di v sulla direzione di u (Fig. 100). Si

Il

Figura 100

verifica subito che il prodotto scalare gode della proprietà commu­ tativa : u · v = v · u. Risulta allora per definizione che : ( IV.60)

Vy = V · j ,

Vz = V · k .

Inoltre è chiaro che, poiché i versori elementari i, j, k sono orto­ gonali fra loro, si ha ( IV.61)

380

IV.

La microfisica

Esprimendo u per mezzo delle sue componenti, come abbiamo fatto per v nella ( IV.59), scriveremo ( IV.62 ) Moltiplichiamo ora scalarmente u per v, cioè l'espressione (IV.62 ) per l'espressione ( IV.59 ). Il prodotto scalare gode della proprietà distributiva, può essere eseguito quindi termine per termine. Te­ nendo conto della (IV.61) e del fatto che evidentemente è i · i =j ·j= = k · k = l si ottiene facilmente ( IV.63) N e deduciamo che per fare il prodotto scalare si possono fare i pro­ dotti delle componenti omologhe dei due vettori e sommare i risul­ tati. Si chiama operatore lineare (l) ' un ente matematico A, che appli­ cato a un vettore u lo trasforma in un altro vettore v, le cui com­ ponenti sono combinazioni lineari di quelle di u. Si conviene di scrivere ( IV.64 )

v = Au

intendendo che valgano le seguenti relazioni (IV.65)

Vx = A11ux + A1 2Uy + A13 Uz Vy = A21 Ux + A22Uy + A23 Uz Vz = A31 Ux + A32Uy + A33 Uz

ed essendo A11 , A12 . . . A33 nove numeri che caratterizzano l'opera­ tore A. Abbiamo scritto le relazioni di cui sopra per uno spazio a tre dimensioni . Ma nessuna difficoltà s'incontra quando si voglia gene­ ralizzare ad uno spazio con un numero n qualsiasi di dimensioni, salvo il fatto, in verità non molto importante, che ovviamente si perde l'intuitività visiva. Introducendo n assi ortogonali fra loro e i loro versori elemen­ tari i1 1 i2 . . . in ( che diremo costituiscono una base) , e chiamando L'uso degli operatori fu introdotto nella meccanica quantistica da M. Born N. Wiener già dal 1926.

e

14.

Vu v2

• • •

( IV.66)

Lo spazio hilbertiano

381

Vn le componenti di un vettore v, avremo in generale Vz = v · iz

(IV.67) ( IV.68)

u·v

=

n

L uzVz .

l= l

Inoltre, dato l'operatore lineare A, l'espressione v = Au significa ( IV.69) Se è Azm = Amz , l'operatore si dice simmetrico. Ci occuperemo sem­ pre di operatori simmetrici. In generale l'operatore A non trasforma un vettore u in un vet­ tore v parallelo ad u. Ma per particolari direzioni di u questo può avvenire e allora si può s crivere ( IV.70)

Au = au

essendo a semplicemente un numero che moltiplica u. Si dice in tal caso che u è un autovettore di A e che a è il corrispondente a,uto valore. È evidente che se u è autovettore di A, qualsiasi vettore proporzionale ad u, cioè qualsiasi vettore avente la stessa dire7ione, ma lunghezza diversa, è pure autovettore di A, con lo stesso auto­ valore. Ci si vale di questa proprietà per fissare una volta per tutte che gli autovettori devono essere normalizzati, cioè avere lunghezza eguale all'unità. Porremo dunque ·

( IV. 71)

u·u =l .

Trattiamo ora i.l caso semplice di uno spazio a due dimensioni. L'equazione ( IV. 70 ), esplicitata, diverrà ( IV. 72) ovvero (IV.73)

Au u l + Al 2 u2 = aul A 2 1 U1 + A22 U2 au2 =

(A 11 - a) u1 + A 1 2 u 2 = O A21 ul + ( A22 - a ) u'l = O .

382

rv.

La microfisica

Dalla prima equazione otteniamo ( IV.74) e dalla seconda ( IV.75)

A12 A11 - a

ul u2 ul u2

A22 - a A21

I secondi membri di quest'ultime due equazioni devono dunque essere uguali, e si ottiene ( IV.7 6 ) Tenendo conto che A21 = A12 (operatore simmetrico), s i può anche scrivere ( IV. 7 7 ) Questa è un'equazione di secondo grado per l'incognita a e fornisce, com'è noto, due soluzioni, che chiameremo a1 e a2• Si può dimostrare facilmente che tali soluzioni sono sempre reali. Sostituendo a1 nella ( IV. 74) e tenendo conto della (IV. 71), otteniamo (l) un vettore u1 come determinazione di u. Ripetiamo l'operazione con a2 , otteniamo un vettore u2 • Concludiamo che in uno spazio a due dimensioni un operatore lineare simmetrico A ha due autovalori a1 , a2 e corrispon­ dentemente gli · autovettori u1 1 u2 , che sappiamo calcolare. Si può facilmente generalizzare il risultato, enunciando che : in uno spazio a n dimensioni un operatore lineare simmetrico ha n auto­ valori a1 1 a2 • • • an e corrispondentemente n autovettori u1 1 u2 • • • un . Prendiamo due qualsiasi autovettori ui , uk e i corrispondenti autovalori ai , ak . Scriveremo per essi l'equazione ( IV. 7 0 ) ( IV.78)

Aui Auk

= =

ai ui ak uk .

Moltiplichiamo scalarmente la prima per uk e la seconda per Ui , 1 1 > S i hanno precisamente due equazioni per le due i ncognite u e u2 • S i faccia 1 attenzione a non confondere le due componenti u1, u 2 con i due vettori che per como· dità del seguito indicheremo con u 1 e u2 •

14.

Lo spazio hilbertiano

383

ottenendo ( IV.79)

( A ut) · U7c = ai Ui ' U7c (Aule) · Ut = a1c U7c Ut •

•

Poiché A è simmetrico, ci s i convince subito che i primi membri di queste due equazioni sono eguali. Allora, eguagliando i secondi me mbr i e ricordando che Ut u1c u1c · Ut , otteniamo ·

=

( IV.80) Se ad = a1c (caso non degenere) ( IJ si ottiene allora ( IV.81 ) Questa notevole equazione ci dice che due qualsiasi autovettori di A

sono fra loro ortogonali.

Ricordando ancora la ( IV.71), possiamo concludere che gli auto­ vettori di A formano un sistema di n versori ortogonali fra loro e possono essere presi come base, allo stesso modo come i versori i1 1 i2 . . . in visti sopra. Pertanto qualsiasi vettore v dello spazio a n dimensioni può essere espresso come ( IV.82 )

v=

n

I VkUlc

k =l

dove le v1c sono le componenti rispetto alla base degli u1c . È chiaro anche che ( IV.83 ) come abbiamo visto con le ( IV.60 ). Lo spazio hilbertiano usato nella meccanica quantistica è in so­ stanza un'estensione dello spazio vettoriale astratto visto fin qui. Esso è piu generale per due riguardi. Prima di tutto lo spazio hilbertiano è uno spazio a infinite dimen­ sioni < 2>. In esso i vettori hanno infinite componenti. Tuttavia i vet(l) Per semplicità ci riferiremo sempre al caso non degenere. Ciò è sufficiente per comprendere i concetti generali. < z> I l primo suggerimento che uno spazio lineare possa avere infinite dimensioni sembra dovuto a G. Peano ( 1 888).

384

IV.

L a microfisica

tori che si considerano sono soltanto quelli che hanno lunghezza totale finita. Perché ciò sia possibile bisogna che le componenti dimi­ nuiscano opportunamente di lunghezza via via che aumenta il loro numero d'ordine . Inoltre le componenti dei vettori nello spazio hilbertiano hanno

valori complessi.

Un vettore dello spazio hilbertiano viene di solito rappresentato con la notazione [v) e si chiama un ket. Il vettore che ha per com­ ponenti i numeri complessi coniugati delle componenti di [v) si denota con ( IV.84)

\ 'lfJ(t)) = T(t) \ 1fJ ( O ) )

dove \ 'lfJ(O)) rappresenta lo stato all'istante t = O e \ 'lfJ( t ) ) rap­ presenta lo stato all'istante t. Con T(t) si indica un operatore lineare che si sa costruire a partire dall'espressione dell'ener­ gia totale (o hamiltoniana) del sistema. Non ci occuperemo di descrivere le regole precise con le quali si può costruire T(t). C i basti sapere che esistono. Inoltre T(t) conserva l a norma­ lizzazione, per cui ( 1fJ ( t ) \ 1f' ( t ) ) = ( 1fJ ( 0 ) \ 1fJ(O)) = l .

3) A qualunque grandezza fisica osservabile del sistema ( energia,

quantità di moto, momento angolare, numero di particelle ecc. ) corrisponde un operatore hermitiano A. Gli autovalori ai ,

(l) Non sempre esiste il vettore di stato. Però esiste in quasi tutti i casi che il fisico incontra nella pratica applicazione. ( 2) La (IV.84) è equivalente all'equazione di Schréidinger.

386

rv.

La microfisica

che come sappiamo soddisfano l'equazione

(IV.85) rappresentano gli unici possibili risultati di una misura di A < 1> .

4) Se, in analogia con la (IV.82 ) , si rappresenta il vettore di stato I VJ> nella base degli autovettori lui) mediante l'espressione (IV.86)

I VJ> = L ci lui ) i 1 -

la componente ci che, in analogia con la (IV.83), si calcola con

(IV.87) rappresenta con il quadrato del modulo

(IV.88) la probabilità Pi che la misura di A dia il risultato ai . 5 ) Se si effettua la misura e questa dà il risultato ai , il vettore di stato I VJ>, subito dopo la misura è diventato lui) . Pertanto la stessa misura, ripetuta immediatamente, dà con certezza il risultato ai < 2 >. Per vedere il collegamento con la meccanica ondulatoria di Schrodinger, pensiamo al caso in cui il sistema è una particella col vettore di stato I VJ) . Consideriamo l'osservabile Spesso nella meccanica quantistica si indicano con Io stesso simbolo la gran­ dezza fisica osservabile e l' operatore hermitiano che le corrisponde. Si dice anche impropriamente che la grandezza classica diventa un operatore hermitiano. La costru­ zione dell'operatore A si effettua a partire dall'espressione della grandezza classica, applicando alcune regole di corrispondenza formulate da P. A. M. Dirac. Si tratta dell'espressione moderna di un vecchio principio di corrispondenza, enunciato da Bohr nei primi anni della teoria. ( 2) Veramente questo avviene solo per quei processi di misura che vengono chia­ mati ideali. Noi supporremo sempre ,di avere a che fare con misure ideali.

15.

Formalismo della meccanica quantistica

387

e +co. Se indichiamo con lx> l'autovettore corrispondente all'auto­ valore x, ne deduciamo dall'assioma 4) che l l 2 rappresenta la probabilità di trovare la particella all'asci::;sa x. Ma questa è una vecchia conoscenza e per vederlo basta scrivere (IV.89) dove 1p(x) indica la funzione d'onda di Schrodinger. Ebbene, usando le regole per costruire l'operatore T(t) della ( IV.84 ) , si trova che applicare T(t) a 1 1f > dà lo stesso risultato che applicare l'equazione di Schrodinger a 1p(x). Pertanto i due formalismi sono equivalenti( 1>. Ma, naturalmente, quello sopra esposto è piu generale e si presta a trattare osservabili diverse dalla semplice posizione della parti­ cella. Per ogni variabile dinamica si sa costruire il relativo operatore A. Risulta che a volte gli autovalori sono tutti quelli di una serie con­ tinua, come nel caso della posizione x, a volte invece hanno valori discreti, come nel caso dell'energia totale di un elettrone in un atomo (livelli energetici ) . Importante è il caso del momento angolare ; l'operatore relativo ha gli autovalori l( h(2n) con l intero (2>. Ecco perché, per esempio, l'elettrone nell'atomo di idrogeno può avere soltanto un momento angolare multiplo di h(2n, come già aveva notato Bohr. Curioso poi è il fatto che, se uno prende una qualsiasi componente del momento angolare, per esempio quella secondo l'asse z, essa può avere sol­ tanto valori del tipo m( h(2n), dove m è un numero intero compreso fra -l e + l ; è curioso, soprattutto, perché l'asse z ha una direzione che può essere scelta in modo completamente arbitrario. Prendendo come già abbiamo fatto h(2n per unità di misura del momento angolare, diremo semplicemente che il momento angolare dell'elettrone è l e la sua proiezione sull'asse z è m. Quanto al momento angolare intrinseco o spin di una particella, I l ) Per questo spesso si parla indifferentemente r!i funzione r!'onda o r!i vettore di stato. 1 2) Affinché questo risultato sia proprio giusto, bisogna definire il momento ango­ lare come il massimo possibile della sua proiezione su un qualsiasi asse. JVIa non ei soffermiamo su questa finezza.

IV.

388

La microtisica

sappiamo che nella meccanica quantistica non relativistica esso va aggiunto come ipotesi ad hoc. Comunque anche per le sue compo­ nenti si possono assegnare degli operatori e trovare degli autovalori che vanno d'accordo con l'esperienza. Per esempio l'elettrone ha 8z ± t Per un fermione che abbia spin ! si può avere 8z ± ! oppure ± i · Per un bosone che abbia spin l si può avere 8z ± l op­ pure 8z = O. E cosi via. I valori possibili di 8z formano in ogni caso una progressione aritmetica di ragione l. L'assioma 5) rappresenta uno degli aspetti piu sconcertanti della meccanica quantistica O>. Ad esso si dà a volte il nome di riduzione o colla88o della funzione d'onda o del vettore di stato. Il suo signi­ ficato è che il vettore di stato, che in generale rappresenta la sovrap­ posizione di varie possibilità con diverse probabilità, di colpo si riduce a una sola e ben determinata possibilità. Riprendiamo ancora una volta il caso dell'interferometro a fori della Fig. 57 usato con fasci di elettroni. Il vettore di stato di un elettrone è del tipo l "P) c1 l 1fJ1) + c2 l 1p2 ) , dove l 1fJ1 ) e l 1fJ2 ) corrispon­ dono al passaggio della particella attraverso a F1 o F2 rispettiva­ mente. Questo l "P> dà luogo alle frange d'interferenza, purché non si tenti di sapere da quale foro è passato l'elettrone. Ma se invece si esegue una > e si accerta che l'elettrone è passato, per esempio da F1 < 2>, il vettore di stato diviene di colpo I "P1 ) e non si ha piu interferenza. Si arriva cosi a una delle piu importanti affermazioni che spesso vengono fatte nella meccanica quantistica e che già abbiamo incon­ trato a proposito del principio d'indeterminazione. Qualunque sia la realtà oggettiva del sistema fisico, l'osservatore non ne può pren­ dere conoscenza se non perturbandola in modo a priori imprevedibile. Risulta addirittura da questa concezione che le grandezze fisiche non hanno in generale valore ben definito in un sistema microsco­ pico, ma lo acquistano Holtanto in occasione della misura . A volte se ne è voluto concludere, probabilmente in modo non =

=

.

=

=

I l i Alcuni autori rifiutano decisamente il contenuto di questo assioma. Vedi per es. H. MARGENAU, The Nature of Physical Reality, McGraw-Hill, New York 1 960, cap. xru. 1 2 1 Questa misura può effettuarsi in vari modi. Il più banale è naturalmente quello di tappare il foro F •

2

15.

l•'orm ali> del paradoRso data da alcuni è che non vi è alcun paradosso. L'imieme delle due particelle A e B è un tutto unico che ha un vettore di stato e non può essere separato in due insiemi indipendenti ( ciaHcuno col Ruo vettore di Rtato ) . Ma allora nasce un grave problema : quando possiamo es sere sicuri che un sistema è indipendente da altri ed ha un suo vettore di stato j! Qualsiasi sistema ha certamente interagito in passato con altri sistemi e le misure effettuate su di esso dovrebbero es sere correlate con quelle ef­ fettuate :m altri RÌHtemi lontani�simi, apparentemente indipendenti. Questo problema della separabilità dei Histemi fisici è uno dei piu profondi della meccanica quantistica e quindi di tutta la fisica 0 1 . Per Bohr il sistema A, B è anche inseparabile dallo strumento · col quale interagisce, per esempio quando si misura S z . Se, invece di misurare S z vogliamo misurare sy , dobbiamo cambiare strumento (o l'orientazione di esso ) . L'intero sistema è diverso e non ci si deve meravigliare se si ottengono risultati apparentemente incompatibili con quelli di prima. Per Einstein invece la difficoltà nasce dal fatto che la meccanica quantistica non è completa, anche se corretta per quella parte della realtà che riesce a descrivere. ( l ) D'Espagnat afferma: r< noi sappiamo di sicuro, contrariamente all'idea di Ein­ stein, che, almm10 per certi riguardi , i l mondo è non separabile >> ( B . D 'EsPAGNAT, Quantum Logic rmd Non -separabiz.ity, in ,J . MEHRA [a cura di], The Physicist's Go rwep­ tion of Nature, Reidel, Dordrecht l !l73, p. 734). Si può semplicemente accettare l' inseparabilità, dicendo con Bohm che : > . Si devono allora trarre interessanti e ine­ vitabili conseguenze sulla struttura spazio-temporale dell'.universo (n. J . BOHM, On the Intuitive Unrlerstanrling of Nonlocality, ns Implierl by Quantum Theory, in « Fouucl. of Phys. », 5, 93 [ l !J75] ) .

17.

397

Difficoltà della meccanica quantistica

Come si vede, le cose non sono molto semplici. Un altro gustoso parados so fu ideato da E. Schrodinger pure nel 1935. Lo esporremo con qualche inessenziale modifica. Supponiamo di avere una cavità sferica (Fig. 102) nel centro della quale è contenuto un atomo eccitato a. L'atomo emette un fotone,

ampLificatore

F

Figura 102

che può andare a colpire o la parete di sinistra A, che è un assor­ bitore, o quella di destra M che è un metallo fotoelettrico. Se il fotone colpisce M, quest'ultimo emette un elettrone e in conse­ guenza trasmette un i mpulso elettrico . Tale i mpulso, opportuna­ mente amplificato, aziona un meccanismo che rompe una fiala F piena di gas tossico. Il gas si espande in una scatola chiusa e isolata dall'esterno, nella quale si trova un gatto. Il gatto, raggiunto dal gas, muore. Ora si consideri che l'atomo eccitato a ha eguale pro­ babilità di emettere il fotone verso destra come verso sinistra. Lo stato del sistema quando l'atomo si è diseccitato è una sovrappo­ sizione di l V'n> = fotone verso destra e l V' s > fotone verso sinistra. Ma allora, seguendo la catena e ammettendo che il gatto possa essere descritto da un vettore di stato, arriviamo ad ammettere anche che abbiamo una sovrapposizione di I V'Gv > = gatto vivo e di I V'GM) = gatto morto ! La > consiste nell'aprire la scatola e andare a vedere se il gatto è vivo o è morto. Finché la scatola è chiusa, il gatto non è né vivo né morto. Siamo noi che, aprendo la scatola e osservan­ dolo, lo uccidiamo o gli diamo la vita. È uno di quei casi in cui, come osserva argutamente M. Bunge ( 1>, si sostituirebbe il dilemma di Amleto : > con > . ( I) M. BUNGE, A Ghost-Free Axiomat·ization of Quantum }Jechanics, in (a cura di}, Quantum Theory and Reality, 8pringer, Bcrlin l H67, p. 105.

M.

BUNOE

398

rv.

La microtisica

La s ituazione è paradossale, perché, come dice B. d'Espagnat < 1> ) di misura JJ1, il quale permetterà di leggere, per esempio su una scala graduata, il valore ak . Se per coerenza vogliamo trattare anche M mediante le regole della meccanica quantistica, siamo portati a dire che esso ha una serie di autostati lvi) e che, subito dopo la misura, si trova nello stato l vk), corrispondente alla lettura ak sulla scala. Supponiamo che inizialmente M sia nell'autostato lv0 ), corri­ spondente allo zero della scala. Il sistema complessivo M + S si trova dunque inizialmente nell'autostato descritto da lv0 ) per M e da l uk) per S. Simbolicamente s'indica ciò dicendo che il sistema M +S è nello stato lv0 ) luk) . Lo stato lv0 ) luk) evolve secondo la ( IV.84 ),

( l ) B . D 'ESPAGNAT, Gonceptual Founclat'ions oj Quantum Mechan'ics, Benjamin, Menlo Park 1 9 7 1 , p. 302. ( 2 ) Preferisco questa locuzione a quella di problema della misura, perché questo ultimo ha un significato preciso e diverso in matematica. < 3 > Che gli apparecchi di misura debbano essere necessariamente macroscopici è evidente. Si tratta di un punto molto importante, sottolineato più volte da Bo�. Il significato del prodotto /v0)/u1), di due vettori che sono ciascuno in uno spazio hilbertiano diverso , meriterebbero un'illustrazione precisa. Non lo facciamo per brevità e ci contentiamo di un' idea intuitiva, dicendo che si tratta di un concetto analogo a quello del prodotto delle funzioni d'onrla di due particelle diverse, quale compare nella (IV.52 ) .

l7.

D ifficoltà della meccanica quantistica

399

nella quale T(t) è l'opportuno operatore che inclu de l 'interazione fra M e S. Qualunque sia la forma precisa di esso nel caso conside­ rato, abbiamo stabilito che esso fa passare dallo stato iniziale lv0 ) luk) allo stato finale lvk) luk> · In altre parole, s e r indica i l tempo ( breve ) della misura, avremo ( IV.95 ) Ben inteso, un'equazione di questa forma deve valere per qualunque autovettore l uk) di S, ovvero per qualunque valore dell'indice k. Supponiamo ora che S si trovi inizialmente non in un autostato \uk) di A, ma in uno stato generale I V'> rappresentato, come nella ( IV. 86 ) , da ( IV.96) dove l ci\ 2 ci indica la probabilità che il risultato della misura sia ai . Se M si trova inizialmente nello stato lv0 ) , il sistema complessivo sarà descritto da lv0 ) l V'). Se applichiamo a questo vettore di stato l 'operatore T( r), tenendo conto della ( IV.95) e del fatto che T(r) è operatore lineare (per cui applicarlo a una somma è come applicarlo ai singoli addendi e poi sommare) , otteniamo ( IV.97 ) N e concludiamo che non è affatto avvenuta la riduzione della funzione d'onda, per cui dovremmo trovare S in un ben determinato auto­ stato \ttk) e corrispondentemente M in un ben determinato an­ tostato lvk), che ci consentirebbe una lettura ak . Il vettore di stato finale è ancora una sovrapposizione di autovettori. Tutto quello che la ( IV.9 7 ) ci dice è che, se si riesce ad effettuare con un apparecchio M' una misura su M e si trova che esso è nello stato lvk), allora S è nello stato luk > · Ma ritroveremo le stesse diffi­ coltà per M' e dovremo pas sare ad un apparecchio M" e cosi via. Si ha cosi una catena (catena di von Neumann) che non sembra aver fine. Si può pensare che tale catena passi dagli apparecchi fisici agli organi di senso dell'osservatore, al suo sistema nervoso, al suo cervello . Si può formulare con J. von Neumann l'ipotesi che la catena si spezzi al livello psichico, che cioè la riduzione della fun-

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IV.

La microfi Rica

zione d'onda avvenga quando l'os servatore prende coscienza del risultato. Questa interpretazione naturalmente risolve di colpo le difficoltà, della teoria della misurazione. Alcuni autori la cons iderano inevitabile. Per esémpio E. P . 'Vigner ha so stenuto molto efficace­ mente che la violazione della linea�ità delle leggi della meccanica quantistica avvenga proprio al livello della coscienza. Tuttavia non tutti sono disposti ad accettare una conclusione cosi ardita. Dice giustamente J auch (l) . « L 'intervento della coscienza a que­ sto livello sembra difficilmente conciliabile col fatto che la situazione sperimentale può essere congegnata in mo.do che la coscienza non abbia nessuna parte durante l'atto della misura, per esempio imma­ gazzinando la registrazione permanentemente nella memoria di un grande calcolatore. Questa informazione può essere ritirata molto p ili tardi, os servando soltanto sistemi inacroscopici e classici. È difficile vedere come quest'ultimo passo di divenire consci di questi dati rnacrosc qpici e classici possa avere un'influenza decisiva sull'effetti­ vo processo di misura che è stato effettuato tanto tempo prima >>. Nasce piuttosto l' idea che gli assiomi 2 ) e 5) della meccanica quantistica non siano fra loro compatibili. Fra l'altro la riduzione del vettore di stato sembra proprio che sia un fenomeno non inva­ riante relativisticamente. J_,e difficoltà della meccanica quantistica possono essere affron­ tate in vari modi. Prima di tutto notiam·o che nell'equazione ( IV.92 ) abbiamo espli­ citamente messo in evidenza la classe dei fenomeni F, alla quale si applica l'algoritmo A1 • Pertanto, se qualche tipo di esperienza, per esempio alla Einstein-Podolsky-Rosen, non dovesse dare risultati in accordo con A1 , basterebbe escluderla dalla classe F. Includendola in una classe pili ampia F', bisogna trovare un nuovo algoritmo A2 , come quello della ( IV.93 ) , capace di descriverla correttamente. È curioso notare che un'intensa ricerca di A2 è avvenuta prima che una qualsiasi esperienza abbia dimostrato con i fatti che ad essa non è applicabile A1 . Si tratta precisamente dell'ipotesi dei para­ metri nascosti (o variabili nascoste) . (I) J . M . JAUCH, The Problem o f 2kleasurement in Quantum Mechanics, in J. MEHRA (a cura d i ) , The Physicist's Conception of Nature, Reidel, Dordrecht 1 973, p. 684.

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Difficoltà della meccanica quantistica

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A tale ip otesi si è stati spinti inizialmente dal solito pregiudi­ zio ( ll metafisica contrario all' indeterminismo. Ma in seguito la ri­ cerca si è svolta con intenti piu utili, come quello di superare le difficoltà attuali della meccanica quantistica, o comunque arrivare a concezioni piu generali ed efficaci. L'ipotesi dei parametri nascosti consiste nell'ammettere che i fenomeni microscopici pos sano dipendere, oltre che dalle solite gran­ dezze fisiche osservabili an , anche da �tltri parametri çm , che noi non conosciamo e non sappiamo misurare. Le çm hanno valori diversi da caso a caso, e, insieme con le an , determinano in modo univoco il fenomeno. Si parla in tal caso di stati senza dispersione. Per noi che non pos siamo conoscere i valori delle çm il fenomeno non può avere che una descrizione statistica. Un famoso teorema dimostrato da von Neumann nel 1932 sem­ brò escludere in modo assoluto che fossero possibili stati senza di­ spersione e teorie di parametri nascosti che dessero risultati coinci­ denti in tutto e per tutto con quelli della meccanica quantistica. Allora l'esperienza, eseguita nei casi in cui veniva predetta una di­ screpanza, avrebbe potuto decidere fra qualsiasi teoria dei parame­ tri nascosti e la meccanica quantistica. Effettivamente teorie di questo genere ( come quella particolarmente notevole proposta da D. Bohm e J. Bub nel 1966 ) sono state elaborate ed alcuni esperi­ menti cruciali in proposito sono stati tentati. Ma si tratta di espe­ rimenti molto delicati e finora non è facile trarne una conclusione s icura e accettata da tutti. Le condizioni poste da von N eumann per dimostrare il suo teo­ rema ( condizioni di linearità) sono molto restrittive, come è stato notato da J. S . Bell nel 1966. Se si allargano tali condizioni, non è piu impossibile avere teorie dei parametri nascosti che vadano d'ac­ cordo con la meccanica quantistica. Per esempio, una tale teoria fu proposta da D. Bohm nel 1952. Ma BeH ha pure dimostrato che la teoria non può essere locale cioè esigere che in tutti i casi il risultato di una misura fatta con un apparecchio 1111 non dipenda dalla costi­ tuzione o disposizione di un altro apparecchio M2 , magari lontano 0)

Uso > in senso etimologico, piuttosto che dispregiativo.

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IV.

La microfisica

dal primo. Dunque le difficoltà, cacciate da una parte, tornano da un'altra. Interessante è riflettere sul significato dell'espressiene parametri nascosti. Vi possono essere due possibili significati : l) Le �m sono grandezze fisiche che oggi non sappiamo misurare, ma che un giorno sapremo misurare. La situazione è analoga a quella che si è verificata tante volte in fisica ed è addirit­ tura banale. Le �m sono i valori bn delle grandezze Bn di cui al cap . r, § 1 1 . 2 ) L e �m non sono e non saranno mai mis�trabili. L a situazione è ancora una volta banal e. Si tratta solo di passare dall'algo ­ ritmo A1 ( che già contiene la 1p non misurabile) a un altro A2 che contenga anche le �m non misurabili . In questo caso par­ lare di determinismo riconquistato vuol dire soltanto che Dio conosce i valori esatti delle �m ! Ma proprio perché non di determinismo o indeterminismo si tratta, bensi di trovare una teoria A2 piu generale e piu coerente di A1 e che possa magari predire fenomeni nuovi, la ricerca può essere utile. Per ora chi non è specificamente addetto a questo lavoro può fare una cosa molto saggia, cioè applicare, come al solito, il rasoio di Ockham ( entia non sun t multiplicanda praeter necessitatem ). Ma pas siamo ora a una considerazione molto importante. Il col­ lasso della funzione d'onda sembra essere un tipico fenomeno irre­ versibile. Abbiamo visto che secondo alcuni esso avviene addirittura al momento in cui l'osservatore riceve un'informazione, che si im­ prime nella sua memoria. E sappiamo che questo processo è irrever­ sibile ( si ha memoria del passato, non del futuro Ol) . Nasce dunque naturale l'idea che l'irreversibilità entri in modo determinante nel problema della misurazione. Effettivamente lo strumento di misura è macroscopico, ha un numero enorme di gradi di libertà, e il suo comportamento classico è di carattere statistico e irreversibile. Ap­ pare quindi inadeguato il trattamento alla von Neumann, che attri(Il Del resto ciò è in stretta relazione con quanto abbiamo già notato a proposito del principio d'indeterminazione, che riguarda il futuro e non il passato.

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buisce al sistema M + S un semplice vettore di stato < 1 > e all'osserva­ tore la capacità di distinguere in quale degl'infiniti (o quasi) stati possibili esso si troverà alla fine del processo di misura. L'osserva­ tore è interessato solo alle variabili macroscopiche dello strumento e ne potrà desumere il valore con una precisione e assai grossolana. Quest'ordine di idee indicato da G. Ludwig, è stato sviluppato da A. Loinger e G. M. Prosperi e collaboratori, a partire dal 1962 . Per trattare adeguata mente lo strumento macroscopico bisogna natu­ ralmente, applicare la meccanica statistica quantistica. Purtroppo la teoria è tutt'altro che semplice e non possiamo esporla adeguata­ mente qui. N e risulta che le os servabili macroscopiche classiche dello strumento possono acquistare valori ben definiti ( al di dentro delle precisioni e ) subito dopo la misura, senza contravvenire all' ordinaria evoluzione temporale alla Schrodinger. Non tutti sono convinti della giustezza di questa impostazione, che è stata sottopm;ta, a varie critiche. Tuttavia essa rappresenta una delle proposte piu interessanti e piu promettenti per risolvere le difficoltà della misurazione quantistica < 2 >. Risultati analoghi sono stati ottenuti con metodo diverso da O. George, I. Prigogine e L. Rosenfeld < 3>. Accenniamo infine al fatto che, secondo alcuni, la meccanica quantistica porterebbe all' introduzione di �ma logica divm·sa da quella classica ; tale logica viene di solito chiamata logica quantistica. L'idea suggerita da G. B. Birkhoff e J. von Neumann nel 1934 e da H. Reichenbach nel 1944, è stata sviluppata da G. \V. Mackey, J. M. Jauch e vari altri autori . Per quanto sorprendente possa i l)

Naturalmente la stessa osservazione può farsi per il gatto di Schrodinger. Vedi P. CALDIROLA, Dalla micro[ìsica alla macrofisica, EST Mondadori, Milano 1 974, pp. 1 9 3 sgg. 1 3) Vedi per es. L. ROSENFELD , Statistical Causality in Atomic Theory, i n Y. ELKANA (a cura d i ), The Interaction between Science and PMlosophy, Humanities Press, Atlantic Highlands (N.J. ) 1 9 74, p. 43 1 . 1 4> Un'ottima esposizione s i trova i n B . c . VAN FRAASSEN, The Labyrinth o f Quan­ tum Logics, '' Boston Studies in the Philosophy of Science •> , Rei del, Dordrecht 1974, vol. XIII, p. 224. Vodi inoltre P. SUPPES, Studies in the JJ1ethorlology and Foundations of Science, Reidel, Dordrecht Uì6H, p. 243, nonché gli articoli di J. Bub, B. C. van Fraassen , R. J. Greechey e S. P. Gudder, C. A. Hooker in c. A. HOOKER (a cura d i ) , 1 2>

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apparire questo punto di vista, esso non ha nulla di inaccettabile. La ricerca moderna ha stabilito che non vi è necessariamente una sola logica e che piu logiche diverse sono ammis sibili < 1). Secondo H. Putnam la logica ha un aspetto di scienza naturale e le sue > possono rivelarsi false per ragioni empiriche. Se­ condo questo autore : > < 2 ). Si può dare un'idea intuitiva del punto di partenza della logica quantistica in questo modo. Consideriamo un sistema fisico il cui vettore di stato I V�> = L cilui> non sia uno degli autostati l u ' i) del­ l'operatore hermitiano A . Non è vero quindi che la grandezza fisi­ ca A ha il valore ai (autovalore corrispondente a l'ui) ) . Ma non è vero nem:q1eno che A non ha il valore ai . No n vale dunque il principio del terzo escluso nella forma forte che afferma : per ogni proposizione p è verap o è vera la sua negazione. Tuttavia si può sensatamente intro­ durre un tipo nuovo di disgiunzione (p o non p), che rende valido un principio debole di terzo escluso ; in questo modo > rimane una proposizione sempre vera. Ciò va interpretato nel senso che I V�> è sempre decomponibile in una parte parallela a ltti) e in una parte ortogonale ad esso. J. Bub ha dimostrato che una logica diversa da quella classica può rendere completa la meccanica quan­ tistica nel senso di Einstein. Contemporary Research in the F'oundations and Philosophy of Quantum Theory, Reidel, Dordrecht 1973. ( l ) Vedi per es. M. L. DALLA CHIARA SCABIA, Logica, !sedi , Milano 1 974, cap. V I . 1 2 > H. PUTMAN, Is Logic Empirical?, in , Reidel, Dordrecht 1!169, vol. V, p. 2 1 6. Non tutti sono d'accordo con questo punto di vista. Vedi per es. P. A. HEELAN, Quantum Logic and Classical Logic : Their Respective Roles, in > , Reidel, Dordrecht 1 974, vol. XIII, p. 3 1 8.

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18. Microfisica e realtà. Abbiamo visto varie ragioni serie che possono rendere insoddi­ sfatti dell'attuale forma generale della meccanica quantistica. Tali ragioni spingono giustamente vari studiosi a cercare opportuni com­ pletamenti o precisazioni della teoria o a idearne una nuova e piu generale. Ma purtroppo queste ragioni vengono non di rado mescolate a varie istanze psicologiche, ideologiche e concettuali molto meno giu­ stificate, che finiscono per creare una notevole confusione. Si pre­ tende di discutere la scienza moderna, cosi profondamente strut­ turata e diversificata nella sua problematica, appoggiandosi ad alcune semplicistiche e logore parole chiave, a volte usate come ban­ diere, attorno alle quali combattere e morire. Spesso ci si trova a contendere attorno a termini troppo generali e per di piu usati in modo improprio, creando contrapposizioni arti­ ficiali o co munque non del tutto chiare. Tanto per fare un esempio tipico, osserviamo che è invalso l'uso presso alcuni fisici che analizzano i fondamenti della meccanica quantistica di contrapporre realismo a positivismo. Quale realismo ? Quale positivismo ? Ed è proprio vero che questi termini sono l'uno opposto dell'altro ? Si consulti qualunque dizionario filosofico e si vedrà che non è cosi. È piu o meno lo stesso tipo di errore che si commette identificando agnostico con ateo. Ben piu fondatamente molti contrappongono realismo a ideali­ smo < 1l . Ma quanti ricordano che Kant nella prima edizione della Critica della ragion pura ( quarto paralogismo) diceva : dall'attuale meccanica quantistica ( ll _ A volte il ragio­ naml=mto di costoro è sottile e raffinato, a volte invece è troppo acritico e sbrigativo e mescolato a istanze puramente viscerali che mal si addicono all'indagine scientifica ( 2 l . Allo scopo di farmi meglio intendere presenterò un caso limite, alquanto idealizzato (ma non troppo), di ragionamento inaccetta­ bile. Qualcuno dice : l ) Il mondo , per es sere reale, deve essere fatto come lo immagi­ nano coloro che non hanno studiato (3l. ( l ) Può essere utile a questo proposito la lettura di J. M. JAUCH, Are Quanta Real ?, Indiana Univ. Press, 1 973. (2) Inutile dire che le critiche più massicce, non d i rado feroci, vengono rivolte alla scuola di Copenhagen. A volte un lettore sprovveduto può ricavare da tali critiche la impressione che Bohr, Heisenberg, Born, Dirac fossero degli studiosi mediocri ed ingenui, che hanno accumulato soprattutto una serie di errori. Naturalmente in fisica non esistono i grandi ispirati da Dio, incriticabili. Qualunque teoria o interpretazione può e deve essere sottoposta a critica. Si può trovare che anche i grandi hanno com­ messo errori. Ma, se si conserva il senso delle proporzion i, si può dire con Popper, a proposito di questi errori : " Essi, spero, saranno presto dimenticati, mentre i grandi fisici che per avventura li hanno commessi saranno per sempre ricordati per i loro meravigliosi contributi alla fisica ; contributi di un significato e di una profondità ai quali nessun filosofo può aspirare >> (K. POPPER, Quantum JYieclwnics without >, i n M. BUNGE [a cura di], Quantum Theory and Reality, Springer, Berlin 1 967, p. 42). ( 3) Al posto di può sostituirsi a seconda dei casi :

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2 ) La meccanica quantistica ci presenta un mondo diverso da quello detto sopra. 3 ) Quindi la meccanica quantistica postula che il mondo non sia reale < 1>. Formalmente questo ragionamento (in sostanza un'applicazione del modus tollendo tollens, come dicono i logici) non farebbe una grinza ; ma la premessa l) è insostenibile < 2 >. Ormai tutti hanno sentito parlare di atomi, anche l'uomo della strada. Ma quest'ultimo, salvo rare eccezioni, immaginerà gli atomi come delle palline aventi tutte le proprietà delle palle macroscopiche, salvo le dimensioni. Noi sappiamo invece di sicuro che gli atomi non hanno, per esempio, una temperatura, pur essendo reali, rea­ lissimi. Ma allora perchè per essere reali devono avere anche una posizione e una quantità di moto ben definite? Ma quello che sconcerta, si obbietta, è la dipendenza dall'osser­ vatore. Le cose, si dice, devono esistere indipendentemente dall'os­ servatore. Il mondo esisteva anche quando non c'era l'uomo. È una tesi giustissima so stenuta da tutti i realisti ( in particolare dal mate­ rialismo dialettico di Engels e di Lenin) . Ma davvero la meccanica quantistica è contraria a questa tesi� Prima di tutto cominciamo col ricordare che oggi è molto dubbio . Ora la proprietà di essere biondo Giovanni la possiede indipendentemente dall'esistenza di altri individui ; invece la pro­ prietà di essere marito Giovanni non la può possedere se non esiste nessuna donna che lo ha sposato. Ebbene, avrebbe senso dire che, poiché Giovanni non può avere la proprietà di es sere marito indi­ pendentemente dall'esistenza di qualsia si donna, Giovanni non è reale o addirittura non esiste � Evidentemente sarebbe una scioc­ chezza. Eppure è una conclusione analoga a quella che si trae quando si dice che una particella, per il fatto di non avere una Sz ben definita, indipendentemente dall'osservatore o dallo strumen­ to di osservazione, non è reale o addirittura non esiste ! Queste considerazioni fanno capire che alcune delle difficoltà psicologiche o ideologiche create dalla meccanica quantistica si su­ perano facilmente quando si accetta questo semplice enunciato : >. Si vorrà accettare o non accettare questo enunciato ; ma non si può ragionevolmente dire che esso abbia qualche cosa a che fare con la realtà degli oggetti < 1 ) ! Non c'è dubbio che vi sono state a volte delle prese di posizione (l) Forse si potrebbe dire che questa (cioè la distinzione fra predicati monadici e relazioni ) è una forma moderna della distinzione di Loclw fra qualità primar-ie e

secondarie.

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imprudenti da parte dei rappre sentanti di Copenhagen sull'oggetti­ vità o sulla realtà tout court degli oggetti fisici. Ma io sostengo che esse non sono es senziali per l'interpretazione della teoria. Facciamo un esempio. Molte ( troppe) volte si è voluto attaccare l'« irrealismo >> della scuola di Copenhagen riportando il parere di Heisenberg, secondo il quale la meccanica quantistica non rappresenta le particelle, ma piuttosto le nostre conoscenze riguardo alle particelle (ll . Secondo me si può sdrammatizzare la situazione esaminando successiva­ mente queste due asserzioni :

l) La meccanica quantistica descrive le nostre conoscenze ri­ guardo alle particelle. 2) La meccanica quantistica non descrive soltanto le nostre cono ­ scenze riguardo alle particelle, ma anche qualche cosa di piu. Ebbene la l) è un'affermazione sicura, la 2 ) è (per lo meno ) opi­ nabile. Ma allora l'onestà scientifica non consiglia di limitarsi ad affermare la 1 ) , senza tuttavia escludere la possibilità che sia vera anche la 2 ) ? Se Tizio m i scrive parlandomi della sua attività, io posso affer­ mare con certezza che conosco quello che Tizio mi scrive riguardo alla sua attività ; affermare invece che conosco con certezza l'atti­ vità di Tizio è molto meno giustificato. Ma ciò non implica affatto che io pensi che Tizio sia irreale ! Per concludere ricordiamo un passo di Francesco Bacone che ' dice : > ( 2l . È dunque molto antica la posizione < 1> La preoccupazione antologica è f0rte presso molti autori. Fra questi, Bel! dice gustosamente che la meccanica quantistica non dovrebbe trattare , ma > (dal verbo to be). J. s. BELL, Subject and Object, in J. MEHRA ( a cura di ) , The Physicist's Conception of Nature, Reidel, Dordrecht 1 9 73, p. 687. ( 2) Vedi P. T. MATTHEWS, Nel nucleo dell'atomo, E S T Mondadori, Milano 1 9 72, p. 7. Come giustamente osserva Blokhintsev : >.

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La causalità. Passiamo finalmente al principio di causalità e all'affermazione abbastanza corrente che anch'esso è stato messo in crisi dalla mec­ canica quantistica. Quando si fa quest'affermazione ci si riferisce di solito al concetto leibniziano per cui niente accade senza che ci sia una causa ; concetto strettamente legato al principio di ragion suffi­ ciente, per cui per ogni cosa che esiste deve esserci una ragione perché sia cosi e non in altro modo. È chiaro che questo principio non è altro che una forma di stretto determinismo ed è quindi banale notare che esso viene negato dall'indeterminismo (anche solo pro­ babilistico ) . Ma nel concetto di causa si vuole di solito vedere ben piu di quanto sopra. Se si accetta questa posizione, è ingiusto, secondo me, attribuire > alla meccanica quantistica, per la semplice ragione < 1 > A proposito della ricerca di Tn +I• si veda per es. la raccolta di scritti di T. BASTIN (a cura d i ) , Quantum Theory anrl Beyonrl, Cambridge Univ. Press, HJ 7 l . ( 2) P . A . :>L DIRAC, Development o f the Physicist's Conception of Nature, i n J . MEHRA (a cura d i ) , The Physicist's Conception of Nature, Reidel, Dordrecht 1 9 73, p. l.

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La causalità

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che un certo concetto ingenuo d i causa fisica era già caduto in crisi molto prima. Naturalmente sarebbe irragionevole ignorare che sul concetto di causa esiste una letteratura imponente, che va da Aristotele a Leib­ niz, a Hume, a Kant, a tutta una serie di studios i moderni < 1> ( che sempre piu hanno dovuto fare i conti con la fisica e con la scienza in generale ) . Io mi limiterò a poche considerazioni es senziali, per­ ché non ritengo che l'argomento, almeno nelle sue forme tradizio­ nali, sia molto significativo nella fisica moderna. Tuttavia dichiaro subito che, per ragioni che vedremo, ritengo un po' esagerato Russell quando afferma : coloro che sono attaccati al vecchio principio di causa rimane piuttosto un mistero. In realtà mi sembra che sia impossibile capire veramente queste questioni, se si vuole a tutti i costi ignorare il fatto che il concetto

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d i causa h a origine essenzialmente antropomorfica e che solo per tra­ slato viene applicato all'universo fisico < 1>. Noi possiamo agire e sappiamo che quando agiamo siamo in grado di cambiare a piacimento, sia pure entro certi limiti, la struttura delle linee di universo che ci circondano. Che la nostra libertà di azione sia reale o illusoria qui non ha importanza. Grazie a Dio non dobbiamo dis cutere del libero arbitrio. Sta il fatto che chiunque di noi sente psicologicamente la sicurezza di avere questa libertà. Quando, in seguito a un atto di volontà, cambiamo qualcosa nel mondo circostante, diciamo che abbiamo causato quel cambiamento. Senza di noi e il nostro atto di volontà il cambiamento non sarebbe avvenuto. Di solito le cose si svolgono cosi. La nostra volontà, attra­ verso processi che qui non vogliamo analizzare e ch e, del resto, ci sono quas i totalmente sconosciuti, provoca dei fenomeni fisici nel nostro corpo. Questi fenomeni sono collegati da leggi fisiche ( note anche a livello intuitivo) con altri fenomeni del mondo esterno che sono quelli che c' interessa di realizzare. Per esempio, se vogliamo rompere il vetro di una finestra, moviamo il braccio e la mano in modo da scagliare un sasso, utilizzando quindi per raggiungere lo scopo, le leggi del moto dei gravi e la fragilità del vetro . Un'umanità che per millenni ha creduto all'animismo < 2>, è por11> Anche lo studio della psicogenesi sembra portare a questa conclusione. Dice Piaget : . Infatti la scienza naturale ha mirato a diventare sempre piu esatta e a fare affermazioni ogget­ tive, rigorose, incontrovertibili. Ebbene tale scienza è basata in gran parte su un procedimento ( quello induttivo ) che non può in nessun modo essere giustificato con rigore ! (a>. Infatti è opinione abbastanza generale che le critiche di Hume siano corrette. Se per si intende ricavare con procedimento dechtttivo, è per­ sino ovvio che l 'inferenza induttiva non può essere giustificata. D 'altra parte dire : M. Black ha espre8sO l'opinione che : l< il problema dell'induzione verrà alla fine elassificato con quei famosi problemi " insolubili" come la quadratura del circolo e la macchina a moto perpetuo >> ( M . BLACK, 'l'he Just i(ication of Induct·ion , in Philosophy of Science 'l'oday, Basic Books, London 1 967, p. 200).

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mento antinduzionistico ( rl . Come già dicemmo, per Popper le leggi e le teorie scientifiche non possono es :;; ere confermate, ma pos sono essere falsificate e la scienza sperimentale procede per successive falsificazioni. Al piu si può parlare di corroborazione quando un'ipo­ tesi scientifica resiste a uno o piu potenziali falsificatori. Ho già piu volte notato che questa immagine della storia della fisica, come una catena di successive falsificazioni, nasce soprattutto quando si vuole ignorare il concetto moderno per cui una teoria T ha un dominio di validità D, la cui specificazione non può es sere disgiunta dall'enunciazione di T . Il fisico è sict�ro che T vale all'in­ terno di D, mentre non si pronuncia su quello che può avvenire al di fuori di D. Un'esperienza esterna a D, che non vada d'accordo con T, non falsifica l'asserzione che T valga all'interno di D. Tuttavia questo non risolve certo il problema dell'inferenza in­ duttiva. Come fa il fisico a es sere sicuro che T vale sempre al di dentro di D, avendo fatto soltanto un numero finito di esperienze � A questo punto credo che per il nostro scopo valga la pena di accantonare la domanda > , che concerne la legittimità del procedimento induttivo, per passare alla domanda > che concerne invece l'analisi di come di fatto i fisici usano oggi l'induzione. Fra l'altro ci renderemo conto che i fisici non usano piu da tempo alcune forme classiche d'induzione, perché sanno benis­ simo che non sono valide. Hanno imparato ciò a proprie spese, im­ battendosi piu volte in sgradevoli controe:;;e mpi ; ciò li ha convinti della poca affldabilità di quei procedimenti. Un tipico procedimento che i fisici hanno abbandonato è quello dell'inferenza da molti a ttttti. Esso consiste in questo . Si esaminano molti oggetti di una stessa classe e si trova che godono di una certa proprietà ; allora si conclude che tutti gli oggetti di quella classe godono di quella proprietà. Descriviamo questo procedimento con un linguaggio simbolico più precis o. L'asserzione che un oggetto fisico appartiene a una data classe (per esempio quella delle stelle, dei corpi solidi, o degli elettroni ecc. ) (l) K. POPPEH, La logicrt della scoperta scien tifica , Einaudi, Torino 1970 ; I D . , Con­ jectures anrl Refutotions, Har·per & Row, New York l !l flii ; ID., Conoscenza oggetti'va,

Armando, Homa IH75.

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L 'inferenza induttiva

42 1

Hignifica che esso gode di una certa proprietà o complesso di pro­ prietà A . Supponiamo di aver constatato molte volte che oggetti della classe A hanno anche la proprietà B e di non aver trovato con­ troesempi. Si è allora tentati di enunciare una legge generale. Per far questo useremo A e B come predicati monadici intendendo che Aa1 e Ba2 significhino ri�;p ettivamente che l' oggetto a 1 gode della proprietà A e che l'oggetto a2 gode della proprietà B. Faremo uso inoltre del qnantificatore 'universale V ( che si legge per ogni) e del :-;egno di implicazione _, ( che si legge se ... allora). La legge generale :-;i scrive ( IV.98)

Vx(Ax -> Bx)

c in parole la leggeremo cosi : per ogni x, se x gode della proprietà A, allora x gode della proprietà B. Supponiamo di aver trovato un oggetto a1 che gode tanto della proprietà A quanto della proprietà B. Usando il Rim bolo di congùmzione 1\ ( che si legge e) scriveremo

( IV.99 ) Si dice che a1 rappresenta un esemp'i o positivo per la ( IV.98 ). La regola ingenua vuole che quanti piu sono gli esempi positivi che troviamo ( 1> , tanto piu la legge generale ( IV.98) viene confermata. Ebbene, il fisico moderno sa ormai che, per quanto numerosi pos­ sano essere gli esempi positivi, l'as serire la legge generale ( IV.98 ) è molto imprudente. Ciò è vero anche nella fiBica clas sica, ma nella microfisica di viene particolarmente evidente. Facciamo un esempio. Supponiamo che A indichi il predicato > e B il predicato . N on si dà e non si deve dare di alcuna teoria una conferma in assoluto, indipendentemente dal dominio di validità. Per la stessa ragione dare di una teoria una falsificazione o confutazione in asso­ luto vuol dire stabilire che il suo dominio di validità corrisponde a una classe di fenomeni vuota. Questa è un'impresa molto difficile, anzi è pers ino dubbio che abbia un senso operativo ben definito. È interessante osservare che persino a proposito di un ben deter­ minato fenomeno (') è a volte difficile, o addirittura impossibile falsi­ ficare un'ipotesi scientifica H. Lo schema logico sarebbe il seguente. Supponiamo di aver provato che, ammessa l'ipotesi H, ne consegua un fatto sperimentale osservabile t> . Scriveremo ( IV.102 ) Supponiamo inoltre di aver osservato -.O , cioè un fatto che esclude (') ; ne consegue allora ( modus tollens ) -.H cioè la falsificazione di H. Ma già nel 1906 P . Duhem aveva fatto osservare che il fisico non può mai sottoporre a verifica un'ipotesi isolata. Si tratta sempre di un gruppo d'ipotesi e l'esperienza non può dirci quale di esse è conQuesto diverrà più chiaro quando parleremo delle particelle. Sarà forse inutile r icordare che, naturalmente, (') non rappresenta il fatto, ma la proposizione che lo descrive. < 1>

(2)

426

IV.

La microfisica

futata. In altre parole, insieme con H, noi, cons ciamente o incon­ sciamente, ammettiamo una o piu ipotesi ausiliarie A, in modo che ciò che sottoponiamo a verifica è l'asserzione ( IV.103 )

L'aver trovato ,t) pu6 contraddire H, ma può anche contraddire A , senza concernere H . Per esempio H può essere l'ipotesi di Thomson : > e A l'ipotesi ausiliaria : >. Ebbene la diffrazione degli elettroni ( -,{') ) non falsifica H, come a prima vista si potrebbe credere ( Il , ma falsifica A ! vV. V. Quine è giunto ad affermare che : En e assor­ bito se Em < En . Si arriva a calcolare la probabilità con cui ciascuno

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rv.

La microfisica

di questi processi può verificarsi (probabilità di transizione ), con per­ fetta rispondenza all'esperienza. Ricordiamo ora che la meccanica ondulatoria era nata per una esigenza di simmetria fra il campo elettromagnetico, del quale si era scoperto un aspetto corpuscolare, e le ordinarie particelle, delle qua­ li, per converso, veniva fatto di sospettare un aspetto ondulatorio. Ora la quantizzazione del campo elettromagnetico sembra tornare a rompere questa simmetria. Se i fotoni sono i quanti del campo elettromagnetico, non dovrebbero gli elettroni a loro volta essere i quanti del loro campo ondulatorio t.jl � Quest'idea può apparire molto strana, s e s i pensa che mentre i campi elettromagnetici E e H sono delle osservabili, cioè sono misu­ rabili, la 1p è una grandezza matematica che entra nell'algoritmo del­ la meccanica quantistica, ma non è osservabile. Eppure P. Jordan e E. Wigner, riuscirono a dimostrare che la t.jJ che entra nelle equa­ zioni di Dirac può essere quantizzata in modo analogo al campo elet­ tromagnetico. Si parla in tal caso di seconda quantizzazione < 1 >. In questo modo gli elettroni e i positroni divengono in un certo senso i quanti del campo t.jJ e, come succede per i fotoni, possono essere - emessi o assorbiti ( ma soltanto a coppie) nei processi d'interazione. Vedremo tra poco come di questi processi si possa dare un'interpre­ tazione molto evidente e intuitiva. Il corpo di dottrina che ha per oggetto la teoria del campo elet­ tromagnetico e del campo elettronico quantizzati ed interagenti, ha ricevuto iJ nome di elettrodinamica quantistica. Essa, attraverso a vari perfezionamenti apportati da E. Fermi, W. Pauli, S. Tomonaga, J. Schwinger, R. Feynn:tan, F. Dyson e molti altri è diventata uno strumento fra i piu preci e perfezionati della fisica mo derna. Per vedere di quali feno eni si occupi l'elettrodinamica quanti­ stica e come li descriva, p�mettiamo due osservazioni importanti. La prima osservazione r iguarda le antiparticelle. N elle equazioni della teoria quantistica che reggono il moto di una particella l'ener-

's\ r

( l ) Probabilmente questa espressione non è la migliore. Essa riflette l'origine sto­ rica del metodo e quella certa dose di equivoco che c'è nel concetto di dualità onda­ corpuscolo. A questo proposito vedi P. CALDIROLA , Dalla microfisica alla macrofisica, EST l\fondadori , Jlililano 1 9 74, p. 72.

22.

L' elettrodinamica quan tistica

433

gia e il tempo compaiono sempre associati, precisamente compare il loro prodotto. Fra l'altro questa è la ragione della ( IV.58). Se si cambia contemporaneamente il segno all'energia e al tempo, il pro­ dotto rimane invariato. Ora noi abbiamo già incontrato, a proposito delle equazioni di Dirac, delle soluzioni a energia negativa e abbiamo osservato che esse sono associate alle antiparticelle delle particelle ordinarie a energia positiva. Seguendo queste indica_:;ioni e svilup­ pando la teoria, si può mostrare con esattezza che una particella ordinaria, che si muove in avanti nel tempo, è descritta dalle stesse formule matematiche di un'antiparticella che si muova all'indietro nel tempo ( l). Senza entrare nella difficile questione della realtà fisica di questa sorprendente concezione, ci contenteremo per ora della equivalenza matematica dei due fenomeni. Un elettrone che!lercorre una data traiettoria è equivalente a un positrone che percorre la stessa traiettoria in senso inverso nel tempo. La seconda os::;ervazione che dobbiamo fare riguarda la conser­ vazione dell'energia. Questa conservazione è rispettata nella mecca­ nica quantistica, come dimostra per esempio la ( IV.31). Ma, se si vuole andare a verificare con precisione che l'energia è proprio con­ servata, bisogna disporre di tempi lunghi. Infatti la (IV.58) ci dice che, se abbiamo a disposizione un tempo !::,.t molto breve, dovrà es­ sere grande l'imprecisione !::,. E con cui possiamo determinare l'ener­ gia. N ello spirito dell'interpretazione corrente del principio di Hei­ senberg, diremo che l'energia di una particella o di un sistema è indeterminata e che la conservazione dell'energia vale soltanto su tempi lunghi. Per tempi molto brevi si possono trovare anche note­ voli fluttuazioni dell'energia. Ricordando poi l'equivalenza relativi­ stica fra massa ed energia E = mc2, si vede che anche la massa di una particella potrà fluttuare, in maniera tanto piu cospicua quanto piu piccolo è l' intervallo di tempo che si considera. Ne viene come con­ seguenza che in un sistema possono venire emesse o generate par­ ticelle anche quando il sistema non possiede l'energia necessaria, purché tali particelle sussi stano per intervalli brevis simi e vengano subito riassorbite dal sistema. Si parla allora di particelle virtuali. ! l ) In un corto senso ciò avviene già nell'elettrodinamica classica. Vedi 36.

ROLA, op. cit ., p.

P. CALDI­

434

rv.

La microfisica

Una carica statica può con questo meccanismo generare ed assor­ bire fotoni e produrre cosi il proprio campo elettromagnetico . Questi fotoni non sono però destinati a comparire nella realtà sperimentale, poiché, per quanto detto, devono essere rias sorbiti dalla carica stessa o da un'altra carica subito dopo generati. Essi, come abbiamo detto, prendono il nome di fotoni virtuali. I fotoni virtuali che possono al­ lontanarsi maggiormente dalla carica sono quelli meno energetici ; quelli più energetici vivranno, invece, molto meno e saranno confi­ nati nell'intorno immediato della carica. Ogni particella carica viene cosi a configurarsi avvolta da una nuvola di fotoni, i cui lembi estre­ mi sono costituiti da fotoni poco energetici, che possono andare molto lontano prima di essere riassorbiti, mentre la parte centrale è formata da fotoni altamente energetici, cui competono tempi e distanze percorse piccolissimi. Sviluppando i calcoli si trova che que­ sta nuvola fotonica virtuale equivale al ben noto campo coulom­ biano, ch e si estende nell 'intorno della particella con legge lfr2• Passando dal campo elettromagnetico al campo elettronico, s i può anche parlare di creazione e annichilazione d i coppie elettrone­ positrone in senso virtuale. Come è noto , un fotone y di sufficiente energia può dar luogo ( nelle vicinanze di un nucleo ) ad una coppia. Se l'energia hv del fotone è inferiore a 2m0c2 ( energia di riposo della coppia) ( 1>, la creazione reale non può avvenire, ma, in analogia con quanto ora detto per un elettrone, può verificarsi la creazione vir­ tuale per un tempo sufficientemente piccolo. Possiamo ora indicare sommariamente una costruzione grafica, suggerita da R. Feynman nel 1949, che rende particolarmente evi­ denti i vari tipi d'in��zione elettrodinamica. Un diagramma di _T'eynman consta di tre tipi di elementi : le li­ nee esterne, le linee jnterne e i vertici, che sono i punti in cui le linee

il) Data la fre quenza con cui nella microfisica moderna si deve considerare la crea­ zione e l'anllichilazione di particelle, s i usa spesso esprimere la rnassa in unità di energia, cioè dare direttamente l' energia che la massa può generare annichilandosi. In tal caso (, comodo esprimere le energie non in erg ma i n elettronvolt eV. Un eV è l'energia che ac­ quista un elettrone passando attraverso alla d ifferenza di potenziale d i l Voit e vale pre­ cisamente 1 . 6 - I 0-1 2 erg. Si usano spessissimo i multipli KeV ( 1 03 e V), MeV ( 1 06 eV ) , GoV ( 1 09 e V), T e V ( 1 012 eV). L a massa di un elettrone vale circa 0 . 5 M eV . Pertanto, per generare una coppia elettrone-positrone ci vuole l'energia di almeno un MeV.

22.

L' elettrodinamica quantistica

435

s 'incontrano. Le linee esterne, ciascuna delle quali ha un solo ver­ tice in comune col resto del diagramma, rappresentano le particelle iniziali ( o incidenti) e le particelle finali (o generate o dijf1tse) hf4n. Il nucleo risulta avere dimensioni dell'ordine di 10-13 cm. Se un elettrone è confinato nel nucleo, l'indeterminazione della sua posizione non è maggiore di 10-13 cm. Allora l!.px non può essere inferiore a h/4nl0- 13 , cioè deve avere almeno l'ordine di gran­ dezza 10-14 in O.G.S. Ora è abbastanza evidente che una grandezza non potrà mai essere più piccola della sua indeterminazione, per cui la quantità di moto p dell' elettrone non sarà inferiore a l0-14• D'al ­ tra parte l'energia dell'elettrone sarà data per l a ( II . 72 ) d a E= c ·

· Vp2 +m2 c2• Ricordando che la massa dell'elettrone è circa 10-27 g , si calcola facilmente che l'energia non potrà essere inferiore a circa

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IV.

La rnicrofisica

10-4 erg o a 100 MeV. È un'energia troppo grossa, che renderebbe molto difficile capire che cosa trattiene l'elettrone dentro il nucleo e che non va d'accordo col fatto che nell'emissione � gli elettroni escono con energie molto minori, dell'ordine del MeV. La questione fu chiarita quando nel 1932 J. Chadwick scopri la esistenza del neutrone, una particella neutra che ha quasi la stessa massa del protone e spin � . N e emerse un'immagine del nucleo che è quella rimasta valida in seguito. Un nucleo è composto di Z protoni e N neutroni, o, come si dice, da A = Z +N ntwleoni ; pertanto esso ha una carica positiva Ze e un numero di massa A, cioè un peso pari a circa A volte il peso del­ l'atomo d'idrogeno. Il numero Z di protoni è eguale al numero degli elettroni periferici dell'atomo neutro e pertanto caratterizza la spe­ cie chimica. Ma poiché, a parità di Z, si possono avere valori diversi del numero N di neutroni, ne risulta che possono esistere gli isotopi cioè atomi della stessa specie chimica, con peso diverso. Per indicare queste caratteristiche di un nucleo si può ricorrere alla notazione simbolica �XN , dove X è il simbolo chimico dell'atomo. Facciamo alcuni esempi. Il nucleo dell'idrogeno ordinario è composto da un solo protone e lo indicheremo pertanto con �H0 ; ma esiste anche l'idrogeno pe­ sante o deuterio ( scoperto da H. C. Urey nel 1932 ) che consiste di un protone e un neutrone, si chiama deutone e si indica con iH1 L' io ordinario (o particella a) si indica con � He ; ma esiste anche 2 �He , che ha un neutrone in meno. L'ossigeno ha vari isotopi, come per sempio 1 �07 , 1�08 , 1�09 , 1�010 ; e cosi via, fino ad arrivare all'ura­ nio, il cui iso topo pili abbondante è 2��U146 • Di solito ci si contenta di una notazione piu sintetica, come 1 �0, oppure addirittura 16 0, dato che il simbolo chimico stabilisce inequivocabilmente Z e se ne può ricavare N. La costituzione del nucleo cosi stabilita va d'accordo con le leggi dello spostamento radioattivo, visto al § 4 di questo capitolo. Nel­ l'emissione a il nucleo libera due protoni e due neutroni legati as­ sieme ; nell'emissione � un neutrone del nucleo emette un e- e si trasforma in un protone. Riparleremo di questi fenomeni. Ci si può anche render conto delle disintegrazioni e trasmutazioni

�

•

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Il nucleo atomico

44:1

artificiali dei nuclei, che si ottengono bombardandoli con opportuni proiettili di sufficiente energia. La prima di queste trasmutazioni fu scoperta da Rutherford nel l919, bo mbardando l'azoto con le par­ ticelle oc emesse dal radio. La corrispondente reazione nucleare può s criver si cosi :

La particella oc (4He) è catturata dal nucleo, si forma l 'isotopo 1 70 e viene emesso un protone (l H). Oggi il numero delle trasmutazioni nucleari ottenibili in questo modo ( bombardando con particelle oc, con protoni, neutroni, deutoni, raggi y ecc. ) non si conta piu. È stato detto molto spesso che si è realizzato il sogno degli alchimisti. Il nucleo che si forma dopo l'inclusione della particella che lo colpisce può anche non emettere subito un'altra particella, ma di­ sintegrarsi dopo un certo tempo, dando cosi luogo alla radioattività artificiale. Questa fu scoperta da Irène Curie e F. Joliot nel 193 1 . E . Fermi e i suoi collaboratori riuscirono a rendere radioattivi l a maggioranza dei nuclei noti, bombardandoli con neutroni. I neu­ troni, hanno il vantaggio di raggiungere facilmente il nucleo bersa­ glio, perché, non essendo carichi, non vengono respinti dal campo elettrico di quest'ultimo. Specialmente utili per indurre le trasmu­ tazioni e in genere per effettuare lo studio del nucleo atomico furono i neutroni lenti, cioè neutroni rallentati facendoli passare attraverso ad acqua o paraffina, fino a raggiungere un'energia cinetica dell'or­ dine di quella termica kT. N ella radioattività artificiale si ha anche un fenomeno di emissione � che non era noto in quella naturale. Precisamente può avvenire che un protone emetta un e+ e si tra­ sformi in un neutrone. Naturalmente l'elemento va allora indietro di un passo nel sistema periodico. Tutti questi studi condussero a stabilire, fra l'altro, un risultato di estrema importanza. La massa di un nucleo è sempre minore della somma delle masse dei suoi nucleoni componenti, presi separata­ mente (difetto di massa) . .A che cosa è dovuto ciM Per comprenderlo, basta pensare che ci a scun nucleone è tenuto dentro il nucleo da un'energia di legame Ez ; è l'energia necessaria per rimuoverlo dal nucleo . Si tratta, in media, di circa 8 MeV di

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IV.

La microfisica

energia per ogni nucleo ne ( 1). Ma fornire al nucleone l'energia E1 equi­ vale per la relazione ( II.69) di Einstein, a fornirgli una massa 1n = E 1fc2, per cui il nucleone peserà di piu < 2> quando è separato dal nucleo che quando è incluso in esso. Precisamente, poiché la massa di un protone e quivale a 938 MeV, si vede che l 'aumento di massa, quando viene liberato, è circa un centesimo della sua massa, cioè una quantità perfettamente misurabile. Se compiamo il processo in­ verso e rimontiamo il nucleo a partire dai nucleoni componenti, la sua massa diminuirà e dobbiamo aspettarci che si liberi un'energia pari all'energia di legam�->. È il principio della produzione dell'ener­ gia nucleare. In realtà l'energia di legame per nucleone non è la stessa per tutti i nuclei < 3l . Se si porta in ascissa il numero di massa A e in ordinate l'energia di legame per nucleone Ez , si trova un grafico come quello della Fig. 107 ( si tratta di una curva media, nella quale sono omesse

A

56 Figura 1 07

alcune piccole os cillazioni) . Come si vede, la curva sale molto rapi­ damente per gli elementi leggeri, raggiunge il massimo di circa 8 MeV per nucleone nell'intorno del ferro 56Fe e quindi diminuisce lenta­ mente fino all'uranio. ( l l È utile fare il confronto con l'energia di legame di un elettrone periferico nel­ l'atomo. Quest'ultima è dell'ordine di uno o dieci eV. Dunque l'energia nucleare può essere un milione di volte maggiore di quella chimica ! (2) Naturalmente usiamo un modo di dire efficace, ma alquanto inesatto. (3) È per questo e perché il protone e il neutrone non hanno mas�a eguale, che il peso di un dato nucleo non vale esattamente A volte una data quantità elementare, eguale per tutti. Per convenzione internazionale si è assunta come unità di peso ato­ mico 1 / 1 2 della massa dell ' atomo di '2C. Essa è piu piccola ( 1 ,6604 · 1 0-23 g) della massa di un atomo d ' idrogeno ( 1 ,6734 · 1 0 -2 3 g).

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Il nucleo atomico

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Se si spezza un nucleo di uranio in due nuclei con approssimati­ vamente lo stesso numero atomico, l'energia di legame per nucleone nei due nuclei r isultanti è maggiore. Pertanto dell'energia di legame verrà liberata nel processo di scissione (fissione dell'uranio). Questa energia può comparire in varie forme : raggi y, neutroni, energia ci­ netica dei due nuclei finali. Il processo di fissione può essere spon­ taneo o indotto per bombardamento con particelle. Il rendi mento è specialmente elevato quando si bombarda con neutroni l' isoto­ po 2 35U. I neutroni liberati nella fissione pos sono indurre altri pro­ cessi di fissione : infatti quando un neutrone collide con un nucleo 23 5U, può venire as sorbito, dando luogo ad un nucleo piu instabile, che dopo poco si spezza, emettendo altri neutroni e si ottiene un processo a catena. In ogni atto singolo di questa successione, una quantità notevole di energia viene liberata. La fissione dell'U venne osservata da O. Hahn e F. Strassmann nel 1939 nel corso di una ricerca di elementi transuranici ( cioè di ele­ menti con Z > 92, ottenuti bombardando con neutroni ) . In realtà molti transuranici sono stati scoperti e fra essi il plutonio 2��Pu, anch'esso molto adatto per la fissione nucleare. Il 2 3 9Pu può essere prodotto in un reattore nucleare o pila atomica, in cui si sfrutta il processo a catena della fissione dell'uranio . La prima pila atomica fu costruita da Fermi nel 1942. Com'è noto, questi impianti a fis­ sione controllata possono essere usati non soltanto per produrre del­ le bombe atomiche, come purtroppo avvenne allora e avviene tut­ tora, ma anche per fornire energia e per produrre tutta una serie d'isotopi radioattivi che sono preziosi in medicina e nell'industria. Dopo la seconda guerra mondiale, l'attenzione di molti fisici, in cerca di fonti energetiche sempre maggiori (e dei militari in cerca di bombe piu potenti), si rivolse alla prima parte della curva del­ l'energia di legame. Come si vede infatti, passando da un nucleo leg­ gero quale l'H al nucleo He, l'energia di legame aumenta assai di piu di quanto non accada nel processo di fiss ione dell'U. Il processo inverso a quello di fissione, cioè quello di j1tsione nucleare, appariva assai piu pro mettente quale fonte energetica di elevato rendimento. Vi è una difficoltà ; grosso modo è quella di riuscire ad avvicinare dei nuclei di H (precisamente 4 nuclei di H, due dei quali ::;i trasfor-

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IV.

L a microfisica

mano poi in neutroni, emettendo due e+) tanto da fare entrare in gioco le forze nucleari . Per vincere la repulsione elettrica si richie­ dono temperature dell'ordine di 107 K. Mentre, quindi, nel caso del­ le fissioni il problema riguardava le dimensioni del materiale fissile ( bisognava superare la cosiddetta massa critica per avere l'innesco di una reazione autosostenuta ), nel caso della fusione si rendeva necessaria una forte energia iniziale per spingere i protoni l'un con­ tro l'altro. Una volta innescata la fusione, l'energia enorme liberata avrebbe ulteriormente aumentato la temperatura ( cioè l'energia) del sistema, e la reazione sarebbe continuata. Purtroppo si giunse ben presto all'utilizzazione bellica di queste idee (bomba H ) , mentre non si è ancora riusciti ad ottenere energia controllabile dalla fusione. È curioso notare che ciò avviene nono­ stante il fatto che la fusione nucleare è proprio il fenomeno fisico che ci fornisce l'energia della quale viviamo. Infatti la reazione si verifica all'interno delle stelle, in particolare del Sole, ed è quella che ne alimenta l'irraggiamento. Ma su ciò torneremo al cap. v. È venuto ora il momento di domandarci : che cosa tiene assieme i nucleoni del nucleo ·� Evidentemente non sono forze elettromagne­ tiche, perché non potrebbero agire sui neutroni e sono troppo deboli. Ci vogliono delle forze molto cospicue, dette forze nucleari. Di queste forze sappiamo soltanto alcune caratteristiche, ma non tutto quello che vorremmo e che sarebbe necessario per descriverle adeguata­ mente. Esse sono forze a corto mggio d'azione, in quanto sono insen­ sibili al di là di distanze dell'ordine di 10- 13 cm, cioè dell'ordine delle dimensioni del nucleo . Dentro il raggio d'azione sono circa cento volte piu intense di quelle elettromagnetiche. Una loro pro­ prietà molto importante è l'indipendenza dalla carica ; risulta infatti che fra le coppie p-p, n-n, p -n l'interazione nucleare ha la mede­ sima struttura qualitativa e quantitativa. Riservandoci di tornare a parlare delle forze nucleari, osserviamo che, nonostante l' imperfetta conoscenza di esse, si è riusciti a co­ struire dei modelli del nucleo che per molti ver si vanno d'accordo con i dati sperimentali. Il piu antico modello è quello a goccia liquida, proposto da O . F. von \:Veizsiicker nel 1935, che parte dalla constatazione che il nu-

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Il nucleo atomico

447

eleo è apparentemente costituito da una materia nucleare omogenea e incompressibile come quella di un liquido. Tale modello servi a N. Bohr e a J. A. Wheeler per spiegare alcune particolarità della fissione. Il modello piu importante del nucleo è quello a gusci, proposto da M. Goeppert-Meyer e H. Jensen nel 1949. Il concetto è analogo a quello dei gusci elettronici dell'atomo. Mentre gli elettroni sono trattenuti dall'attrazione elettrostatica del nucleo , i nucleoni so­ no trattenuti nel nucleo dalle loro mutue interazioni. Si suppone che l'effetto complessivo di queste interazioni equivalga a un pozzo di potenziale uniforme ; ciò significa che in pratica ciascun nucleone è racchiuso in una scatola sferica delle stesse dimensioni del nucleo . Applicando le leggi della meccanica quantistica a questo modello, si trova che ciascun nucleo ne si muove all'interno della scatola su or­ bitali di energia e momento angolare quantificati. Si trovano cosi orbitali s, p, d ecc . , come per gli elettroni atomici. Tenendo conto del principio di esclusione di Pauli, si può calcolare il numero di protoni o di neutroni che ci vogliono per riempire i successivi gusci. Si trovano i cosiddetti numeri magici : 2, 8, 20, 28, 50, 82 , 126. Un nucleo che ha un numero magico di protoni o di neutroni è partico­ larmente stabile. Quando il nucleo viene eccitato per bombarda­ mento, un nucleone può passare dal suo orbitale a uno superiore non occupato ; quindi il nucleo può diseccitarsi e tornare allo stato fondamentale emettendo un fotone y . Questo semplice modello rende già conto abbastanza bene di mol­ te proprietà del nucleo, ma l'accordo con l'esperienza può miglio­ rarsi tenendo conto che la rotazione lo deforma e lo fa discostare dalla forma sferica. Le particelle a hanno il numero magico 2 sia per i protoni sia per i neutroni e sono particolarmente stabili, tanto da conservare una qualche individualità anche all'interno di un nucleo pesante. Quan­ do battono sulle pareti della scatola, cioè sulla barriera di poten­ ziale che le separa dall'esterno, hanno una probabilità non nulla di attraversare la barriera per effetto tunnel (Fig. 94). In questo modo la radioattività ex fu sp iegata già nel 1928 da G. Gamow.

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IV.

La microfisica

24. La seconda crisi della fisica classica. Si suol dire che la fisica classica entrò in crisi alla fine dell'otto­ cento e che la crisi fu superata mediante la meccanica quantistica. In realtà io distinguerei due fasi ben diverse di questa crisi, la prima praticamente superata, la seconda in pieno e drammatico svolgi­ mento. A chi guarda le cose oggi appare evidente che la meccanica quan­ tistica fu solo una rottura parziale con la fisica classica. Le varie re­ gole di corrispondenza, escogitate a partire da Bohr, fino a Dirac, mettevano in posizione centrale, direi predominante, la fisica clas­ sica. Tanto per fare un esempio noto, si osservi che l'energia poten­ ziale EP che compare nella (IV.49) , e quindi nell'equazione di Schro­ dinger, è quella delle forze classiche, per esempio quella della forza di Coulomb. Cosi il campo elettromagnetico che si quantizza nella elettrodinamica quantistica è quello classico di Maxwell. Il momento angolare che si quantizza è inizialmente quello classico ; è vero che � -,, si trova pof che àd esso va aggiunto lo spin, ma è anche vero che lo spin risulti obbedire a leggi perfettamente analoghe a quelle del­ l'ordinario mo mento angolare quantizzato. Si ha dunque l'impressione che a questo stadio il fisico parli an­ cora la lingua della fisica classica e si occupi ancora delle grandezze classiche ; cambia soltanto l ) il rnodo di trattare maternaticamente tali grandezze (o, se si vuole, il complesso di leggi a cui le grandezze stesse obbediscono ) e 2) la possibilità di misttrarle simultaneamente con pre­ cisione (principio d'indeterminazione) . Con la fisica nucleare e subnucleare co mincia invece la seconda crisi, molto piu grave della prima. Si ha a tutt'oggi l'impressione che anche a questo livello la meccanica quantistica sia valida. Ma ora sono proprio le espressioni classiche, come la EP della ( IV.49), cioè quelle espressioni che dobbiamo immettere nella meccanica quanti­ ::;tica affinché questa non sia uno scheletro vuoto, che sfuggono a ogni nostro tentativo di definizione ! Mentre, immettendo nella mec-

24.

La seconda crisi della fisica classica

449

canica quantistica la meccanica e l'elettromagnetismo classico si può arrivare a precisioni sbalorditive, non sappiamo che cosa immettervi per le forze nucleari, in un modo che consenta di uscire da uno stadio semiqualita tivo . Questa situazione dipende da molti fattori. Un fattore molto im­ portante è rappresentato dal corto raggio d'azione delle forze nu­ cleari. La forza elettrostatica di Coulomb è a raggio praticamente infinito, ed è pos sibile pertanto studiarla anche a distanze enormi dalle particelle cariche che la generano . In altre parole è possibile studiarne il limite classico, che ha un senso ben definito. Invece per studiare le forze nucleari bis ogna arrivare a distanze incredibilmente piccole dai nucleoni, dove certamente i concetti classici non sono piu validi, nemmeno approssimativamente. In secondo luogo le forze nucleari sono troppo forti per poterle studiare con metodi perturbativi. Si possono bensi costruire dei dia­ grammi di Feynman, come per l 'elettrodinamica, ma la costante che ora corrisponde alla costante di struttura fina della ( IV.104) ha l'or­ dine dell'unità, anziché di 1 /100. Ne viene di conseguenza che i suc­ cessivi ordini di perturbazione non vanno affatto diminuendo fino a diventare insensibili. E d'altra parte non si conosce un mezzo mate­ matico alternativo per trattare il problema. La situazione è vera­ mente paradossale. Non si sa che cosa mettere come dato di par­ tenza in un problema che comunque non sapremmo risolvere mate­ maticamente ! Si ricordi che nell'elettrodinamica i successivi ordini di perturba­ zione rappresentano, per cosi dire, i successivi livelli di realtà a cui arrivano le particelle implicate nell'interazione ; piu si procede verso gli ordini superiori e piu la realtà di esse diventa remota. Ma che dire se tutti gli ordini sono presenti allo stesso tempo e allo stesso diritto ? Si può ancora parlare di particelle ? Nella fisica dell'atomo si adopera spesso un linguaggio classico e si costruiscono dei modelli che pretendono in qualche misura di visualizzare la situazione. Si sa che tali modelli sono fittizi, ma si ottiene la descrizione corretta dei fenomeni applicando ad essi la meccanica quantistica. Nella fisica subnucleare cessa anche questa possibilità di modelli visivi intermedi. Cessa soprattutto la possi-

IV.

450

La microfisica

bilità di una descrizione dettagliata delle interazioni. È per questo che i fisici delle particelle, quando parlano di modelli, si riferiscono quasi sempre a modelli matematici, cioè a semiteorie o a ipotesi euri­ stiche formulate in termini molto astratti. In un mondo in cui la provvisorietà e l'elusività delle particelle è ancora piu pronunciata di quella che abbiamo visto nell'elettro­ dinamica quantistica, sembra che la permanenza della sostanza per­ da qualsiasi significato. Sembra che Eraclito vinca definitivamente la battaglia contro Parmenide. Eppure non è cosi. Parmenide riap­ pare piu forte che mai. Come potremmo parlare della realtà, se in essa qualche cosa non fosse permanente ? Ci devono essere degl'in­ varianti, come già notammo nel cap . n, § 6 . Effettivamente nella fisica contemporanea la perdita di signifi­ cato del concetto classico di sostanza e d'interazione dettagliata va di pari passo con l 'affermarsi in posizione centrale, quasi es clusiva, dei principi o leggi di conservazione. Le cose che si conservano nella fisica delle particelle sono ormai molte ; alcune sono vecchie conoscenze, ma altre sono assolutamente sconosciute e inimmaginabili nella fisica classica. Si potrebbe forse dire che sono esse la sostanza di cui si occupa la fisica. Per vedere l' importanza di questo basti dire che molti fisici sono addirittura convinti che qualsiasi fenomeno, che non violi qualche legge di con­ servazione, possa effettivamente verificarsi nella realtà. Si tratte­ rebbe quindi delle supreme ed uniche leggi della fisica. A volte anziché di leggi di conservazione si parla di simmetrie. La ragione è che vi sono alcune simmetrie o invarianze delle leggi della fisica che appaiono necessarie e che si può dimostrare che a ciascuna di esse corrisponde una grandezza che si conserva. Cosi per esempio all'invarianza delle leggi rispetto al cambiamento di luogo corrisponde la conservazione della quantità di moto. All'invarianza rispetto al cambiamento di tempo corri sponde la conservazione della energia. AJl' invarianza rispetto all' orientamento corrisponde la con­ servazio e del momento angolare ( 1>. Ma non è dimostrato che questa

�

volte alle i nvarianze che abbiamo nominato si dà il nome molto infelice di dello spazio-tempo. In realtà l 'oggetto di cui c i si occupa in questo contesto non è lo spazio-tempo, ma sono le leggi della fisica. (l) A

omogeneità c i8otropia

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La seconda crisi della fisica classica

45 1

relazione sia cosi stretta e universale come molti suppongono. Fra l'altro vi sono parecchie grandezze conservate che non si sa bene a quale simmetria corrispondano. Le leggi della fisica riguardano i fenomeni. Le simmetrie riguar­ dano le leggi e sono pertanto delle s'uperleggi. Dice Wigner ( I) : o sussisterà per un tempo dell'ordine di 10-23 s. Allora applicando il principio d'indeterminazione nella forma (IV.5 8 ) con !).t = 1 o-2� s, troviamo per l' indeterminazione dell'energia !).E l'ordine di gran­ dezza 10-4 erg. L'energia della particella non potrà essere minore di !).E. D' altra parte se, in modo grossolano, immaginiamo che la particella vada e torni, alla massima distanza dal nucleone essa avrà energia cine­ tica nulla e tutta l'energia competerà alla massa. Dividendo allora per c2, troviamo una massa dell'ordine di 10-25 g, oRsia un centinaio di volte la massa dell'elettrone. Sappiamo che i fotoni non sono sempre necessariamente virtuali ; quando c'è sufficiente energia possono essere reali. I...o stesso deve accadere per i mesoni. Effettivamente un anno dopo la proposta di Yukawa r;i ::;coper­ sero delle particelle prodotte dai raggi cosmici, che hanno carica +e o -e e massa circa 207 volte quella dell'elettrone. Era naturale che si pensasse al mesone di Yukawa e pertanto tali particelle furono chiamate inizialmente rnesoni lL i in seguito caduta queRta interpre­ tazione, furono chiamate muoni.

2 5 . Le particelle si moltiplicano

455

Sorsero infatti ben presto serie difficoltà al riguardo. Come re­ sponsabile delle intcrazioni nucleari il mesone di Yukawa doveva in­ teragire fortemente con i nueleoni. Ma una bella esperienza di M. Con­ versi, E. Pancini c O. Piccioni dimostrò che non era cosi. Fra l'altro, come abbiamo ricordato parlando della relatività, i muoni dci raggi cosmici giungono in gran copia a terra ; tale fatto, oltre a confer­ mare la dilatazione relativistica del tempo, dimostra anch'esso che i muoni non intcragiscono molto con i nucleoni dell'atmosfera. Il muonc ha una vita media di 2.2 · 10-6 s e decade in un elet­ trone (positivo o negativo) e due neutrini, secondo lo schema : fL- -+

e-+ ve + v�-'

p.+ -+ e++ ve+v �-' . Per ragioni suggerite dall'esperienza si è arrivati a concludere che l'elettrone c il muone hanno ciascuno un suo neutrino . Si tratta di particelle differenti che ind ichiamo rispettivamente con ve e v�-' . Il neutrino del muone fu e±Iettivamcnte osservato come differente dal ve nel 1H62 . Per molto tempo e, v e , p. , v�-' hanno formato la famiglia dei leptoni (ovvero particelle leggore, dal greco Àsnr6ç) . L'elettrone e il muone erano eguali in tutto e per tutto, salvo che per la massa (e la vita media). Questo fatto costitui per molti anni un enigma attorno al quale si arrovellarono i fil:;ici. Essi si domandavano : Perché deve eHisterc il fL !' Ma ciò fa sorgere a sua volta una domanda filosofica : perché i fh;ici si facevano tale dormmda ? Perché è piu facile accet­ tare l'esistenza di due particelle totalmente diverse che l'esistenza di due particelle eguali in tutto salvo che nella massa"/ Natural­ mente ciò dipende soprattutto dal fatto che non sapevano ancora inquadrare le due particelle in uno schema ragionevole. JVIa il problema si (' 8postato su un altro piano quando negli ulti­ mi �mni Ri sono andate accumulando prove sull'esistenza di un nuovo leptone, cui è stato dato il nome di ' · Poiché la massa del " l' di circa 1800 MeV, si parla anche di leptone pesante, ciò che costi­ tuisce una curiosa contraddizione in termini. Anche il " ha carica e. Ha una vita media di meno di 5 · 1 0 -1 2 s e si pensa che abbia spin i .

456

IV.

La mierofisiea

Si è abbastanza convinti che debba esistere un suo neutrino v, . La famiglia dei leptoni avrebbe quindi oggi sei membri. I leptoni sono soggetti alle interazioni de boli , ma non a quelle forti delle forze nucleari. Ma torniamo alla nostra storia. Una particella avente veramente le caratteristiche del mesone di Yukawa fu scoperta nel 1947 da W. M. Powell e G. P. S. Occhialini. A tale particella fu dato il nome di rnesone n o piane. I pioni carichi hanno una massa 2 73 volte quella dell' elettrone e carica +e o - e e vengono indicati rispettivamente con n+ e n-. Verso il 1950 venne scoperto anche un pione neutro n° con massa leggermente inferiore. I pioni hanno, come voluto da Yukawa, interazione forte con i nu­ clei. Tutte le particelle che hanno interazione forte si chiamano oggi

adroni. I pioni carichi hanno una vita media di 2 .6 · 10-8 s e decadono in muoni e neutrini secondo lo schema :

n+ ->- [L+ +v �-'

n- ->- [L-+v�-'

.

Il n° ha invece una vita piu breve (0.9 · 10-16 s ) e decade in due fotoni, secondo lo schema :

nO ->- y -t- y .

Poco dopo i pioni furono scoperti nella radiazione cosmica altri mesoni, detti mesoni K o kaoni, di massa pari a 966 m e , vita media 1 . 2 · 10-8 s, anch'essi con carica ±e. Quindi fu scoperto anche il me­ sono neutro K0 • Questa particella ha la curiosissima proprietà di es­ sere la combinazione di due stati o particelle diverse, con due vite medie diverse. I mesoni K forniscono un bell'estlmpio di particelle che decadono in diversi modi, con diverse probabilità. Per esempio il K+ decade nel 64 % dei casi in 1-L+ + v �-' , nel 21 % dei casi in n++�'0 , nel 5.6 % dei casi in n+-t-n+-t-n - , nel 4.9 % dei casi in e+-t- ve-t-T, o e cosi via, fino ad arrivare a modi molto rari. Quando con l'introduzione di macchine acceleratrici di particelle sempre piu potenti si è potuto fare interagirc protoni e pioni alta-

25.

Le particelle si moltiplicano

457

mente energetici, si è visto che contemporaneamente alla K veni­ va prodotta un'altra particella barionica instabile neutra di grande massa (�llli'i MeV) cui fu dato il simbolo A 0 • Si è introdotta cosi una nuova classe di particelle, dette iperoni, con masse superiori a quella del nucleone. Due reazioni tipiche di produzione della A0 (al­ l'energia di soglia) sono : p+r;- -+ AO+ KO p+p -+ A0 +K ++p . Nell'urto di due protoni energetici si possono produrre aJtre iper­ particelle, per esempio le � e le 3. Reazioni tipiche sono : p+p -+ p- �++ Ko c

p+p -+ p + K++Ko+ :=;o

cosi via. I nuclconi c gl'ipcroni formano complessivamente la classe dei barioni (o particelle pesanti, dal greco f3auvç). Come abbiamo visto, il tentativo di rendere relativisticamente corretta l'equazione di Schrodinger portò Dirac all'introduzione del concetto di antiparticella (nel caso particolare del positrone ). L'ap­ plicazione genera,le della teoria quantistica dei campi ha dimostrato la necessità di esistenza per ogni particella di un'antiparticella, le cui proprietà si ottengono da quelle della particella applicando agli enti matem atici associati a ogni grandezza fisica una particolare tra­ sformazione denominata coniugazione di carica, di cui parleremo tra breve. Si noti che il nome di antiparticella origina dal fatto che ogni volta che una particella e la sua antiparticella vengono a contatto, esse �i annichilano con liberazione d i energia sotto forma di altre particelle. Un'osservazione molto importante relativa alle particelle cariche è che non sempre una particella carica ha per antiparticella quella che ci aspetteremmo a prima vista. Ad esempio, l'iperonc � �- diffe­ risce per massa dal � - , che pertanto non può ri sultare la sua anti­ particella. Solo due particelle neutre, il fotone e il mesone T. 0 ( oltre all'even-

IV.

458

La microfì.sica

tuale gravitone) coincidono con la loro antiparticella, per cui si dice che il y e il n° sono le antiparticelle di se stessi. Poiché per le leggi di conservazione che vedremo meglio tra breve gli antiprotoni possono nascere solo contemporaneamente ai pro­ toni, è necessario che nell'urto p-p il protone incidente abbia una energia superiore a 5.6 GeV, in modo che (nel cosiddetto sisterna del centro di rnassa) sia disponibile un'energia superiore a 2rnP c2• Si veri­ fica allora il processo : p+ p --+ p +p+p+p . L' esistenza del p fu dimostrata sperimentalmente da O. Chamber­ lain, E. Segrè e altri nel l955, quando protoni di tale energia diven­ nero disponibili. Similmente può generarsi un antineutrone col pro­ cesso : p+p -+ p+p+n+ii . Oggi nessuno più può dubitare che ogni particella abbia la 1ma anti­ particella. 26.

Interazioni e conservazioni. La famiglia delle particelle non si esaurisce nella breve lista ora commentata. Ma già questa è sufficiente per dimostrare che non si era realizzata la sperata vittoria della scoperta di pochi elementi da cui far dipendere la costituzione di tutta la materia. Si era ripiom­ bati in una situazione analoga a quella che si aveva alla metà del se­ colo scorso riguardo agli elementi chimici. In un certo senso il Men­ deleiev delle particelle non era ancora giunto . Fino a circa un decen­ nio fa la situazione appariva abbastanza confusa. C'erano bensi delle clas sificazioni parziali interessanti, ma si era lontani da una teoria soddisfacente e completa . Soltanto negli ultimi anni si sono avute notevoli schiarite e si può ricominciare a sperare di giungere a una visione unitaria, basata su relativamente pochi costituenti elementa­ ri. Ma prima di prese.ntare queste recenti conquiste, converrà seguire il filo storico e tornare al quadro che si aveva fino ad alcuni anni fa.

26.

I nterazioni e conservazioni

459

Innanzi tutto una prima suddivisione poteva essere fatta in base ai tipi di interazione che una particella esibisce quando è portata in vicinanza di un'altra particella. Portunatamente i tipi d'interazione constatati fino ad oggi sono soltanto quattro : gravitazionale, elet­ tromagnetica, forte e debole. Queste interazioni si manifestano con intensità caratteristiche molto diverse fra loro : convenendo di dare il valore l all'intensità delle interazioni elettromagnetiche, ne viene la ::;eguente tabella : interazioni forti )) elettromagnetiche )) deboli )) gravitazionali

1 02 l 10-11 l0- 36 .

Si noti l 'estremamente bassa intensità delle forze gravitazionali ri­ spetto a quelle elettromagnetiche, per cui può meravigliare il fatto che quotidianamente l'uomo risenta gli effetti gravitazionali piu di quelli elettromagnetici. Ciò è dovuto alla perfetta compensazione tra cariche positive e negative che sussiste in qualunque oggetto ma­ teriale di dimensioni macroscopiche. Se due uomini, cui fosse stato tolto l'l % degli elettroni, si incontrassero, si respingerebbero con una forza enorme, capace di sollevare un peso eguale a quelio del­ l'intera Terra ! Non esistendo l'analoga compensazione nel caso delle masse (che sono tutte positive) è chiaro che, là dove queste masse raggiungono le dimensioni dei corpi celesti, anche forze piccolissime come le gravitazionali fanno sentire il loro effetto . Le interazioni elettromagnetiche e gravitazionali hanno raggio d'a­ zione infinito, cioè si risentono a qualsiasi distanza, sia pure atte­ nuate dalla legge 1 /r2 • I.. e interazioni foTti hanno invece un raggio di azione estremamente piccolo, dell'ordine di 10-1 3 cm e quelle de­ boli ancora piu piccolo, dell'ordine di I0 - 15 cm. Le interazioni de­ boli caratterizzano processi con vita media relativamente lunga, come la radioattività � o il decadimento dei [L e --r . I�e interazioni forti, che caratterizzano i processi nucleari, hanno invece tempi di reazione dell'ordine di 10- 2 3 s . Pra l e quattro interazioni quelle elettromagnetiche sono quelle meglio capite e per questo ad esse si sono ispirate (fin dai tempi di

460

rv.

La microfisica

Yukawa) quasi tutte le teorie intese a comprendere le altre iute­ razioni. L'esperienza ha dimostrato che i leptoni non sono sensibili alle interazioni forti. Hanno interazioni forti soltanto i mesoni e i bario­ ni, cioè gli adroni. I fotoni, e tutte le particelle cariche sono sensibili alle interazioni elettromagnetiche. I neutrini intervengono solo nelle interazioni deboli. 1-p + 7t - ) , una volta generata (7t-+p->-A0+ . . . ) il suo comportam ento è str-ano, e si può tentare di spiegarlo facendo appello alla esisttmza di un'altra entità, la cui con­ servazione impedisca alla A0 di decadere in tempi inferiori a l0-10 s. Precisamente questa entità non si conserva nei proeessi di deeadi­ mento debole, e pertanto le particelle strane possono deeadere in tal modo, con vita media lunga. Invece si conserva nelle interazioni forti, responsabili della formazione rapida delle partieelle stm:;se. La grandezza sconosciuta, che viene cosi ad introdun;i per spie­ gare il comportamento delle A 0 e di altre particelle. prodotte nelle interazioni forti, è stata quantizzata da M. Gell-Mann e K . Nishi­ jima, per affinità con le altre grandezze, attribuendole un numero intero, denominato str-anezza, appunto per sottolineare l'incapacità attuale a comprenderne il significato. I"' a stranezza può avere valore o, ± 1 , ±2, ecc. Tanto per fare un esempio, consideriamo il processo : p+ p->-p+ A0 - K 1

•

26.

I nterazioni

e

conservazioni

465

Esso è permesso perché la stranezza è zero tanto a sinistra quanto a destra. Infatti la stranezza dei protoni è o, quella del A0 è -1 e quella del K+ è + 1 . Invece è proibito, per esempio, qualsiasi pro­ cesso nel quale con particelle iniziali non stmne si produce una sola particella strana. A volte invece della stranezza si usa l'ipeTcarica, che è la somma della stranezza e del numero barionico. Si può manifestare un senso di scetticismo sulla necessità di pro­ cedere in questo modo, introducendo sempre nuove entità in un campo di ricerche che già si presenta cosi oscuro. Ma, come abbiamo osservato, le leggi di conservazione sono i punti di appoggio piu saldi che oggi possediamo. E non possiamo fare a meno d'impa­ rare umilmente dalla natura che cosa e sotto q1tali condizioni si conserva. Abbiamo messo le mani su delle entità profonde dell'universo fisico, riuscendo a comprenderne solo certe caratteristiche, che ci hanno indotto a chiamarle pm·ticelle ; tali entità in realtà hanno mol­ tissime determinazioni, soggette a leggi di conservazione. Alcune di esse si trovano anche nel nostro mondo macroscopico, mentre altre sono specifiche solo del mondo subatomico. Non ci resta che pren­ derne atto. N asce ora spontanea la domanda : che avviene se una particella, formata in circa 10- 2 3 s in un'interazione forte, non è trattenuta dal decadere allo stesso modo da nessuna legge di conservazione' '! l. Osserviamo incidentalmente come una volta di piu risulti chiara la pericolosità del principio di ragione non sufficiente. Il fatto che noi non abbiamo una ragione sufficiente per preferire una cosa a un'altra non implica che tale ragione non ce l'abbia la natura ! Con la scoperta della violazione della parità nelle interazioni de­ boli, veniva dunque la possibilità di distinguere nella natura la de­ stra dalla sinistra. Volendo comunicare, ad e�:�empio, con ipotetici abitanti di altri mondi e indicare loro quale noi intendiamo e�:�sere la destra, basterebbe indicare loro il fenomeno adatto e le relative istruzioni. Tuttavia si ripristina la simmetria destra-sinistra operando nello stesso tempo la riflessione speculare e cambiando le particelle in an­ tiparticelle. Quest'ultima operazione si chiama coni11gazione della ca­ rica. Cosi i fenomeni fisici tornano simmetrici n>, e cade nuovamente la possibilità di riconoscere la destra dalla sini�:�tra. l nostri lontani interlocutori, infatti, non hanno modo di comunicare �-;e wno di ma­ teria o di antimateria, dato che il fotone (• l'antiparticella di :-;c stesso e che pertanto la luce e i �-;egnali elettromagnetici non potrebbero portarci tale informazione. Si è individuata co�-;i una simmetria superiore a quella delle rifles­ sioni speculari e si è indicata con CP, C per coniugazione della ca­ rica e P per parità. Né la simmetria P né la :-;immetria C esistono sempre in natura, ma esiste la simmetria OP. Almeno cm;i si (> cre­ duto per qualche tempo, finché certi esperimenti sul decadimento nei mesoni K non hanno smentito anche questa ipotm;i. Allo Rtato I l ) Si pensi per esempio che, se nella F i g . 1 09/J si cambia il nucleo nel suo anti­ nucleo, quest'ulti1no avrà carica negativa. Pertanto. se ruota in senso inverso aJ nuclAo della Fig. l 09a, avrà il momento magne t ico orientato nella medesima direzione.

470

IV.

La microfisica

attuale il problema è archiviato nella cartella dei misteri profondi. Sebbene la scoperta che le interazioni deboli possiedono minor simmetria delle interazioni elettromagnetiche o forti, abbia rappre­ sentato ai suoi tempi una notevole sorpresa, oggi si ammette cor­ rentemente questo fatto . Per ragioni ancora ignote le varie intera­ zioni fondamentali possiedono simmetrie differenti. Precisamente sono tanto piu costrette dalle simmetrie quanto piu sono forti. Vi è ancora un altro tipo di trasformazione a cui può immagi­ narsi sottoposto un qualsiasi processo fisico : l'inversione del tempo. Questa può cosi definirsi : se in tutte le equazioni relative ad un fenomeno si cambia il segno del tempo si ottiene il fenomeno a tempo invertito. Se ad esempio si proietta all'indietro il film di un qualun­ que processo si ha come sequenza di immagini il processo a tempo invertito. Se un tale processo si attua effettivamente in natura si può dire che è invariante per inversione temporale. Nel campo della meccanica classica, come già notammo, i feno­ meni obbediscono al principio di invertibilità del tempo. L'irrever­ sibilità della termodinamica è solo un fenomeno statistico dovuto a speciali condizioni iniziali nelle quali si trova il nostro mondo. Nel campo delle particelle si deve assumere una posizione diversa. N on è possibile affermare o negare a priori l'invarianza, ma bisogna stu­ diare particolarmente tutte le fenomenologie delle particelle. Biso­ gna vedere, se per le varie manifestazioni particolari, possa assu­ mersi indirettamente valida o meno l 'invarianza considerata. La situazione attuale è la seguente. Si ha un solo fenomeno in base al quale si può dubitare dell'invarianza di tutte le manifestazioni del mondo microscopico rispetto all'inversione temporale, tuttavia non può affatto dirsi che il problema sia definitivamente chiuso OJ. Dai principi primi della meccanica quantistica relativistica è pos­ sibile dimostrare un teorema valido per tutti i sistemi fisici. Esso dice che se a un dato processo fisico si applicano , in qualsiasi or­ dine, le tre trasformazioni : materia -+ antimateria (ovvero la coniu­ gazione della carica G), inversione dello spazio (parità P) e inver( l! Se fossimo sicuri che per qualche processo non vale T, avremmo veramente sco­ perto un processo irreversibile non entropico, un concetto di cui già abbiamo parlato in termodinamica (cap. III, § 1 6 ) .

26.

I nterazioni e conservazioni

471

sione del tempo ( T ) , si ottiene un processo che certamente potrà avve­ nire in natura. Ovvero tutti i processi fisici devono essere invarianti per trasformazione GPT. Da questo teorema si dimostra ad esempio, e l'esperienza lo con­ ferma in pieno, che sia la massa, sia la vita media di una antipar­ ticella è sempre identica a quella della corrispondente particella. Con grandissima probabilità, come si è detto, si può ritenere va­ lida l'inversione temporale in tutti i processi. Se è valida l'invarianza rispetto a T, e si deve ancora avere per il teorema citato l'inva­ rianza rispetto a GPT , ne deriva che si deve sempre avere l'in­ varianza GP . Ma GP appare violata e nella stessa misura bisogna ammettere che lo sia T. E allora"? Come abbiamo detto , queste questioni sono ancora molto misteriose. La marea di dati e di domande senza risposta che si sono accu­ mulati sulle nuove particelle ha dato molto da fare ai fisici teorici negli ultimi decenni. La maggiore preoccupazione è di comprendere perché alcune configurazioni di proprietà ( spin, massa, carica, ecc. ) possono pe:r�uanere per brevi o lunghi periodi di tempo, dando luogo a quelle entità che abbiamo chiamato particelle, mentre altre com­ binazioni sono escluse ; perché esse interagiscono e decadono nel mo­ do a noi noto ; perché le varie interazioni possiedono simmetrie di­ verse ; e cosi via. L'esistenza o meno di connessione tra queste do­ mande, la possibilità di risposta secondo una qualsiasi forma tradi­ zionale, l'adeguatezza della struttura della meccanica quantistica a rispondere ad esse, devono essere senza dubbio incluse nell'attuale problematica. Ma da quanto esposto fin qui è facile comprendere che negli ultimi decenni il concetto di particella elementare era diventato sem­ pre piu problematico ed elusivo. L'evidenza sperimentale ci ha indicato che, a patto di mettere in gioco l 'energia cinetica Ec sufficiente, è possibile in un urto avere tra­ sformazioni reversibili di particelle in altre. Ad esempio si può avere : particella A + Ec + bersaglio -+ particella B + altre particelle e viceversa : particella B + E c + bersaglio -+ particella A

+

altre particelle.

4 72

IV.

La microfisica

La particella A non ha quindi maggiori diritti di elementarità della particella B. Si parla cosi di democraticità delle particelle. In questa visione il mondo risulta, pertanto, composto non di particelle, ma di un complesso di entità che noi vediamo granulariz­ zarsi in ciò che chiamiamo particelle. Ciascuna particella, poi, per quanto visto nella teoria dei campi, ha la possibilità di emettere virtualmente tutte le particelle con cui essa può interagire. Un pro­ torre, per esempio, emetterà e assorbirà virtualmente tutta la serie di particelle fortemente interagenti (pioni, kaoni, particelle A 0 , ecc. ) . Un protone fisico o protone vestito, cosi come realmente esiste e viene osservato in laboratorio, si deve pensare come la sovrapposizione di un p roto ne nudo con una nuvola forte e una nuvola elettromagnetica. La cosa è indicata schernaticamente nella Fig. 1 10 , dove la linea continua indica il protone nudo. nuvola e . m .

nuvola

"t

P fisico =

t:\

forte

1t

+

_._ /_,___' '� ... ...

+

l

l

"

K

'

'

\

+ ecc.

Figura 1 1 0

Ma a sua volta ogni particella delle varie nuvole può crearsi le proprie nuvole virtuali elettromagnetiche e forti ( e deboli) e il pro­ cesso si ripete all'infinito. In questa visione, ogni particella viene ad assumere una configurazione estremamente complicata, che ri­ chiede per la sua descrizione, l'intervento simultaneo di tutte le entità con cui sappiamo che può interagire. Questa situazione è stata indica ta col termine boot.�trap (letteralmente : laccio delle scarpe), per significare un'entità che sostiene se stessa (si racconta infatti che il Barone di Miinchausen riuscisse a sollevarsi da terra tirandosi per i lacci degli stivali) .

27.

Verso l a grande unificazione

473

27.

Ver·so la grande unificazione. L'analogia che sussiste fra i vari stati in cui si presentano le particelle da un lato e gli stati dell'atomo dall'altro, nonché l'ana­ logia fra i decadimenti delle particelle e i decadimenti degli stati atomici è abbastanza ovvia. È stata quindi studiata a fondo la pos­ sibilità che le varie particelle rappresentino stati più o meno ecci­ tati di qualche sistema fondamentale, che decadono l'uno nell'altro, proprio come i vari livelli dell'atomo d 'idrogeno rappresentano stati eccitati del sistema protone-elettrone. Da questo punto di vista l'e­ missione di luce in una transizione atomica, che (con riferimento alla Fig. 95 ) può, ad esempio, essere scritta : 2p - ls+y non differisce, in linea di principio, dalla transizione :

Viene pertanto spontanea la domanda se non si possa conside­ rare l'intero zoo delle particelle come costituito dai vari livelli di uno o più sistemi fondarnentali. Per affrontare il problema è molto utile uno strumento mate­ matico, chiamato teoria dei gruppi, ben più potente dell'applica­ zione delle simmetrie elementari viste fin qui. Partendo dallo studio della distribuzione dei mesoni e dei ba­ rioni e basandosi sulla teoria dei gruppi, M. Gell-Mann e Y. Ne'eman indicarono fin dal 1961 la possibilità di spiegare l'ordine interno di questa distribuzione mediante un tipo di simmetria, tecnicamente chiamato S U(3 ). L'interesse per questo tipo di concezione divenne molto vivo spe­ cialmente dopo la conferma della sua potenza, che si ebbe nel 1964 con la scoperta della particella n-, postulata da Gell-Mann e Ne'e­ man in base alla loro teoria, come ultimo livello di una serie di lO livelli (di cui 9 noti) .

4 74

IV.

La microfisica

Ora la simmetria S U(3), come fu proposto indipendentemente da M. Gell-Mann e G. Zweig nel l963 , può essere interpretata mediante lo scambio di tre oggetti snbnucleonici fondamentali. Gell-Mann chia­ mò questi ipotetici oggetti quark, con un vocabolo usato da James Joyce nel Finnegan's lrake. Con opportune combinazioni dei tre quark e delle loro antiparticelle, gli antiquark, si dovevano spie­ gare tutte le proprietà degli adroni. I tre quark proposti originariamente, che oggi si chiamano 11 ( up ) , d ( down) e s (strange ) avevano proprietà veramente sconcertanti. Avevano bensi spin t come tutti i fermioni, ma le loro cariche, rispettivamente + � , - i , - i (in unità e ) , risultavano frazionarie, come pure il loro comune numero barionico � ! Inoltre si pensò su­ bito che la loro massa avesse un valore molto elevato, altrimenti non si capiva perché non fossero mai stati isolati. Gli adroni usuali risultavano subito da combinazioni di u, d e degli antiquark u, d. Precisamente i mesoni erano una coppia quark­ antiquark . Per esempio la combinazione ud ha la carica i + l = l e il numero barionico ! -- i = O e può rappresentare n- +. Natural­ mente il n-- sarà rappresentato da ud. Quanto a uu, esso rappre­ senta il n°. Invece i nucleoni sono formati da tre quark. Per esem­ pio uud, ha carica � + � - i = l e numero barionico ! + ! + i = l e rappresenta il protone ; la com binazione udd, ha carica � - i - - ! = O e numero barionico t + t + i = l e rappresenta il neutrone. Quanto al quark s, esso entra naturalmente nella formazione delle particelle strane. L'ipotesi dei quark si rivelò subito molto seducente. Fra l'altro rendeva conto di fatti sperimentali importanti trovati bombardando protoni con elettroni (o con protoni o con neutrini) di energia ele­ vata. Si ripeteva infatti in questo caso una situazione analoga a quella della Fig. 87 anziché a quella della Fig. 86. I protoni non apparivano affatto elementari e a struttura omogenea e diffusa. Dentro di essi dovevano essere contenute particelle piu piccole che provocavano grandi angoli di diffusione. Furono chiamati partoni, e successivamente identificati con i quark. Ma i tre quark originali dovettero dopo un po' aumentare di nu­ mero . L'assenza di alcuni tipi di decadimento altrimenti permessi

27.

Verso la grande unificazione

47 5

portò alla proposta di un quarto quark c ( charrn ), fatta da L. Gla­ show, J. Iliopoulos e h Maiani nel 1970. I1a conferma sperimentale si ebbe nel 1974 quando fu scoperta una risonanza molto stretta (10- 20 s), ovvero una nuova particella di grande massa ( 3 . 1 GeV), detta \f", che fu interpretata come l'unione di c con c. Di questa combinazione, detta anche ciarnwnio (per analogia col positronio che si ha quando un positrone e un elettrone formano un atomo sui ge­ neris in cui il positrone rappresenta il nucleo ) furono poi trovati an­ che diversi stati eccitati. I,a strettezza della risonanza, ovvero la relativamente lunga vita media della \f" s'interpreta considerando che la particella difficilmente decade negli altri adroni, quantunque piu leggeri, perché questi ultimi sono costituiti dai tre quark noti precedentemente e non contengono c. Infine una conferma definitiva dell'opportunità d'introdurre il charrn è venuta dalla sicura indivi­ duazionc di particelle ciarrnate cioè di particelle (mesoni e barioni) che contengono nella loro struttura almeno un quark c o c. Ma la famiglia dei quark non era esaurita . . . Nel 1977 fu scoperta una nuova particella pesante (9 .46 GeV) di vita media relativa­ mente lunga che fu chiamata Y e che dev'essere formata da un quinto quark b ( bottorn) c dal 1mo antiquark b. Si tratta del botto­ rnonio, con il suo stato fondamentale e i suoi stati eccitati, cioè di una nuova famiglia di adroni, le particelle piu pesanti finora scoperte. E per finire (almeno per ora) tutti pensano che debba esi­ stere un sesto quark t ( top ) , ancora non rivelato, perché proba­ bilmente di massa superiore a quella del quark b. Il toponio deve avere piu di 30 GeV di massa. Ma che senso ha tutto questo '? Perché si ritiene la situazione presente un po' piu soddisfacente di quella di alcuni anni fa ? ll fatto è che, se le cose sLanno cosi, saremmo passati dalle varie centinaia di particelle, certamente non fondamentali, del passato a dodici fermioni fondamentali, distinti in due gruppi, con una certa simmetria. Da una parte stanno i sei lcptoni e, ve , [L , v�-' ' -r , vd che si comportano proprio come puntiformi, nel senso che nessuna esperienza ne ha mai rivelato una struttura interna (fino a 10-16 cm). Dall'a,ltra stanno i sei quark u, d, s , c, b, t, anch'essi pensati come fondamentali e non 8trutturati. Alla coppia e, ve si può far corri-

476

rv.

La microfisica

spondere in un certo senso la coppia u, d, in quanto questi quattro elementi sono tutto ciò che è necessario per costituire la materia ordinaria. Le altre quattro coppie appaiono solo alle alte energie. Ma l'elenco dei leptoni e dei quark è davvero terminato? Nessuno ora può dirlo. Ma torniamo alle proprietà dei quark. Qual'è la carica che li tiene insieme? Si pensa che accanto al sapore (u, d, s , c , b, t) i quark siano distinti anche da un'altra proprietà, chiamata colore 1 1J. Ci sono tre colori (rosso, blu e verde e i corrispondenti antirosso, antibltt e antiverde) e sono possibili solo alcune combinazioni di essi. Un pro­ tone è fatto di tre quark di colori diversi ed è pertanto bianco ; un mesone col suo quark e antiquark è anch'esso bianco. I colori le­ gano fra loro i quark negli adroni, avendo una funzione analoga a quella che ha la carica elettrica nel legare fra loro le particelle del­ l'atomo. Sappiamo che l'elettrodinamica quantistica descrive egregiamen­ te quest'ultima interazione. L' attrazione o la repulsione fra due ca­ riche avviene mediante lo scambio di quanti del campo elettroma­ gnetico, cioè di fotoni. Su questo modello appunto è stata ideata e sviluppata la cromodinarnica qnantistica che descrive in modo ana­ logo l'interazione fra quark colorati. Qui le particelle che corrispon­ dono ai fotoni sono dei bosoni di massa zero, e spin l, detti gluoni (dall'inglese gl1te, colla) . I quark stanno assieme scambiandosi gluo­ ni. Ma mentre c'è una sola specie di fotoni, ci sono ben otto specie di gluoni diversi. Inoltre mentre il fotone è neutro, cosi che la par­ ticella che lo emette o lo assorbe non cambia carica, i gluoni sono essi stessi colorati e fanno cambiare continuamente il colore dei quark. La cromodinamica quantistica, sia pure con molte difficoltà, ha avuto vari successi ed è oggi multo promettente. Ma questi quark, questi gluoni esistono veramente, si sono mai visti? Si e no. Già per le particelle che li hanno preceduti il con­ cetto di vedere e toccare con rnano aveva dovuto subire una bella evo­ luzione rispetto a quello valevole per i corpi macroscopici. Per i quark e per i gluoni bisogna accontentarsi di qualche cosa di anI l l F orse sarà inutile ricordare che tutti questi nomi fant,asiosi non hanno nulla a che vedere con i loro usuali significati nel campo macrosco p ico.

27.

Verso la grande unificazione

47 7

cora piu astratto c mediato. Ma sarebbe azzardato dire in assoluto che non si sono mai visti. Già al cap. r, § 7 abbiamo fatto osservare che vedere un oggetto vuol dire ricevere un complesso di sensazioni come anello finale di una lunga catena di fenomeni fisici e di elabo­ razioni. L'importante è che si sia sicuri che la catena sia proprio quella e che il risultato la individui in modo univoco. Se i quark fossero facilmente separabili dagli adroni che da essi sono composti, dovrebbe essere possibile rivelarli con esperienze del tipo di quella fatta da Millikan per l'elettrone. Infatti la carica fra­ zionaria sarebbe indizio sicuro della loro presenza. In realtà espe­ rienze del genere sono state fatte con esito sostanzialmente negativo. E allora ? Molti oggi pensano che i quark possano essere addirittura inseparabili. Ciò dipenderebbe dalle caratteristiche delle forze che li tengono assieme. Consideriamo un protone e un elettrone che stanno assieme in un atomo d'idrogeno. Se vogliamo separarli basta fornire all'elettrone un'energia finita (l'energia di ionizzazione) ; ciò dipende dal fatto che la forza elettromagnetica di legame diminuisce abbastanza rapidamente con la distanza. Ma nel caso dei quark si è portati a supporre che la forza che li tiene uniti non diminuisca o addirittura aumenti con la distanza. In tal caso avviene che quando si tenta di scpararli, l'energia che dobbiamo fornire diviene suffi­ ciente per creare nuove coppie quark-antiquark che si uniscono con i due quark originali ; cosi alla fine si notano ancora degli adroni ( n , K , t.); ccc. ) e non dei quark isolati. Non è possibile oggi dire una parola definitiva sull'argomento. Ma molti ritengono probabile che i quark, come pure i gluoni, siano inesorabilmente confinati negli adroni e che non esistano mai come singole particelle. Eppure, come già abbiamo notato, vi pos­ sono essere molti modi indiretti di vederli. Uno dei piu spettacolari e moderni è quello dei jet. Col termine jet si intende un insieme di particelle di alta energia che viaggiano in direzioni molto vicine, riempiendo un sottile cono e avendo origine comune nel vertice di esso. Si considerino per esempio due fasci di elettroni e di positroni che si scontrano frontalmente. Ad energia moderata l'urto elct­ trone-positrone dà luogo a varie particelle che volano via dal punto

478

IV.

La microfisica

di collisione in tutte le direzioni, Ma ad energie piu elevate vien fuori un fatto nuovo : due jet di particelle si allontanano dal pun­ to di collisione in direzioni opposte. Questo s 'interpreta pensan­ do che sia stata generata una coppia quark-antiquark ; le due parti­ celle partono in direzioni opposte, ma per le ragioni già dette fini­ scono per generare ciascuna un insieme di adroni che formano un jet. Ma v'è di piu. In alcuni casi di energie molto alte si notano addirittura tre jet complanari, la cui interpretazione è la seguente. Il quark e l'antiquark generati nella collisione viaggiano ad elevata velocità ed uno di essi emette un gluone (con un processo analogo alla cosi detta radiazione di frenamento già ben nota e compresa nel caso elettromagnetico ) . Il gluone dà luogo anch'esso a un jet. Questi ed altri esperimenti, accompagnati da concordanti elabo­ razioni teoriche, rendono oggi l'ipotesi dei quark e dei gluoni qual­ cosa di piu che una semplice ipotesi. Ai fisici vien da sorridere nel rileggere quanto scriveva Gell-Mann nel 1963 nel proporre il mo­ dello a quark : . Argomenti in questo senso possono trarsi, per esempio, dalla relatività generale e dalla termodinamica. Ma c'è di pili. Infatti ci si può domandare : è proprio ragionevole studiare le leggi generali prescindendo dagli oggetti concreti ai quali si applicano e dalla struttura dell'universo che è costituito da tali oggetti '! Nella ricerca moderna si hanno non poche indicazioni in contrario. Ed è un fatto che l'interesse dei fisici per l'universo sto­ ricamente determinato che ci circonda va costantemente crescendo. È per quei'lto che riterrei monca questa esposizione qualora non con­ tenesse almeno un cenno all'ambiente nel quale viviamo e alle inda­ gini nwderne su di esso. Naturalmente più che di una informazione, che sarebbe ridicolo pen�are di poter dare sistematica e completa in cosi breve spazio, si tratterà di p7mti di riferimento, necessari per lumeggiare le implicazioni epistemologiche. Nella microfisica abbiamo incontrato gli oggetti nomologici (atomi, molecole, nuclei, particelle) , cioè quegli oggetti la cui costituzione è rigidamente regolata da leggi generali. In fondo si potrebbe pen( I ) Come dice Wigner : > ( E . P. WIONER, Symmetries an d Re(fections, Indiana Uni v. Press, Bloomington l !) (i7, p. 3 ) .

488

v.

L' universo

sare, e alcuni l'hanno affermato, che essi sono leggi o complessi di leggi. Per esempio l'elettrone potrebbe rappresentare la legge per cui una massa di 0 . 511 MeV e una carica e vanno sempre accompa­ gnate dallo spin t, da un magnetone di Bohr, ecc. In questo caso l'interesse per la classe degli oggetti è molto superiore a quello per l'individuo. Anzi si può dire che il fisico si disinteressa totalmente dell'elettrone individuale. Ma, se lasciamo la microfisica, ci accorgiamo che nell'ambiente che ci circonda ci sono anche degli oggetti q�tasi nomologici. Basta per questo alzare gli occhi al cielo notturno. Tutte le stelle che scor­ giamo hanno singolari caratteristiche comuni che non pos siamo non supporre dovute a leggi ; eppure non sono tutte eguali ! Quello che si dice per le stelle si può ripetere per le galassie, per i pianeti, per le comete e cosi via. Ma si può ripetere anche per oggetti terrestri, quali per esempio gli oggetti biologici. Un dato cromo w ma umano può avere un numero enorme di strutture molecolari diverse, eppure , sotto un certo punto d i vista, è sempre l o stesso elemento con le steRse caratteristiche nella struttura cellulare. Si potrebbe pensare che nei casi menzionati si trattasse di classi di oggetti con alcune (e non tutte) caratteristiche comuni dovute a leggi, ma tuttavia non ancora di casi particolari. Che dire allora del pianeta, Sa turno , provvisto di anelli'? Oggi sappiamo (e lo vedremo ) che anche altri pianeti hanno simili anelli. Si tratta quindi di una Hituazione certamente nomologica. Ma fino a pochi anni fa, quando si pensava che Saturno fosse l'unico pianeta con quella caratteri­ stica, non rimaneva che rassegnarsi a dire che si trattava di una classe con un unico elemento ! Come si vede siamo passati quasi con continuità dagli oggetti strettamente nomologici a quelli unici, da accettarsi come dato storico. Piu ci si allontana dagli oggetti Htret­ tamentc nomologici e più diminuisce l'interesse per la classe e au­ menta l'interesse per l'oggetto singolo. Per esempio il pianeta Marte ha grande interesse anche come oggetto individuale. Quello che abbiamo detto per le classi di oggetti può ripetersi Pgualmente per le clasRi di fenmneni ( eclissi, esplosioni di stelle, mu­ tazioni biologiche, ecc . ) . S e coloro che s i occupano di leggi generali non possono prescin-

l.

L egge generale c dato storico

489

dere totalmente dal dato storico della struttura dell'ambiente, per converso, coloro che si occupano di essa ( geologi, naturalisti, astro­ nomi, ecc . ) non possono certo prescindere dalle leggi generali. Del resto questo è tanto ovvio che fin dall'antichità si è parlato di cosmo, usando per indicare l'universo un termine che racchiude in sé il con­ cetto di struttura ordinata, regolata da leggi. Tanto per darsi un comodo riferimento terminologico (assoluta­ mente convenzionale), chiameremo qui fisico colui che si occupa delle leggi generali e astronomo colui che si occupa della struttura dell'universo. L'astronomo si trova in uno stato d'inferiorità rispetto al fisico, in quanto non può che osservare l'universo, anziché speri­ rnentar lo, cioè porre ad esso le domande che vuole. Non si può certo costruire una galassia con condizioni iniziali volute ! Per questo l'astronomo deve ricorrere alle leggi generali che il fisico gli fornisce sperimentando in laboratorio. Ma il fisico a sua volta si trova in stato d'inferiorità rispetto all'astronomo, proprio per le stesse circo­ stanze di fatto. L'astronomo ha a disposizione le galassie, mentre il fisico nel suo laboratorio non le ha ! Certe domande che vorremmo porre all'universo richiedono una voce ben piu potente della nostra ; in altre parole non pos siamo coi mezzi umani fare certe esperienze che pur vorremmo fare. Per esse non c'è che ricorrere a quell'im­ menso laboratorio naturale che è l'universo. In questo caso non possiamo interrogare e dobbiamo limitarci ad ascoltare. Ma ascol­ tando bene e ragionando molto su quello che si ode si possono de­ durre tante cose importanti. Che significa questo dedurt·e? La cosa meriterebbe di essere esa­ minata un po' piu formalmente. Tuttavia ci imbattiamo subito in una grossa difficoltà. Abbiamo parlato di leggi e di fatti parl'icolar'i ; ma una distinzione formale e rigorosa fra questi due concetti è molto difficile, anzi, a tutt'oggi, non è stata trovata ! Prendiamo per esempio la (IV.98) : Vx(Ax -->Bx) ; con il suo quan­ ficatore universale (per ogni) essa sembra es sere un caso tipico di legge generale. Consideriamo allora con Quine ( ll questo fatto parti( l) w. v. QUINE, York 1 966, p . 50.

Necessary 'l'ruth,

in

'l'he TVays of Paradox, Random House,

New

490

v.

L' universo

colare : « lo ho perso la chiave. Allora abbiamo immediatamente questa ovvia generalizzazione : È vero di ogni x Renza eccezione che se x è io, x ha perso la chiave )>. Ecco dunque che un fatto parti­ colare, particolarissimo come , ha acquistato la forma di una legge generale come la ( IV.98 ) . Dobbiamo dire allora che le leggi non esistono ? Oppure dobbiamo dire che non esistono fatti singoli? Ma sia le leggi fisiche sia i fatti fisici individuali esistono, tutti fanno uso dei relativi concetti e bisognerà bene trovare il modo di parlarne ! Per questo, pur rinunciando a quello stretto rigore formale che sembra essere irraggiungibile, tenteremo di dare una descrizione di tipo sem-iintuitivo, ma quanto piu precisa possibile, di come si possono trattare le leggi e i fatti particolari. A tale scopo partiremo con l'ammettere di sapere intuitivamente (e questo è il punto debole) che cosa sia una situazione fisica storicamente determinata o un fatto fisico particolare. Una situazione o un fatto di questo tipo possono essere espressi mediante una proposizione p . Per ipotesi esiste l'insieme P di tutte le proposizioni che esprimono possibili situazioni o fatti particolari e noi sappiamo riconoscere quando p EP. Consideriamo una tale p . Anche senza conoscere alcuna legge fisica possiamo definire l'in­ sieme Q0 di tutte le conseguenze logiche di p ; per qualsiasi propo ­ sizione q E Q0 avremo che p -+ q (se p, allora q ; oppure p implica q ) è una legge logica. In particolare la stessa p apparterrà a Q0 • Una legge fisica L amplia mediante un nuovo insieme QL l'insie­ me delle conseguenze di p e lo fa diventare Q = Q0u QL (cioè l'unione di Q0 e QL ovvero l'insieme che contiene tutti gli elementi di Q0 e tutti gli elementi di QL). Evidentemente è sempre possibile scegliere il nuovo insieme QL in modo che non abbia elementi in comune con Q0 • Faremo questa scelta e scriveremo simbolicamente QL n Q0= 0 ( ov­ vero l'intersezione di QL e Q0 è vuota) . Una volta nota la legge fisica L , l'insieme QL è una funzione d i p e scriveremo (V.l)

(p EP) .

Il fatto che ogni proposizione dell'insieme QL è conseguenza di p

Legge generale e dato storico

l.

491

potrà essere scritto convenzionalmente

q EQL : p r;- q · Ma non si tratta di un'implicazione logica ; q non consegue logica­ mente (o analiticamente (ll , se vogliamo) da p. Il significato della (V.2) è invece quello che abbiamo discusso a proposito dell'indu­ zione : dato p è assolutamente trascurabile la probabilità che non si verifichi q. Illustriamo queste cose con un esempio. Sia p la proposizione :

i "••

v. ,

V -r ·

cioè soltanto un terzo dei neutrini ori gin al i .

I nostri

542

v.

L'universo

occhio nudo, guardando il Sole al riparo di un vetro affumicato o semplicemente al tramonto. Poiché la cosmologia aristotelica pre­ supponeva un cielo ed un Sole perfetti in ogni loro parte e incorrut­ tibili, è forte il sospetto che non si vedess.e ciò che non si voleva vedere. Galileo stesso dovette sostenere una battaglia per fare accet­ tare le proprie osservazioni. Bgli notò anche lo spostarsi delle mac­ chie sulla superficie ed anzi dal loro mo:to dedusse che l'asse di rota­ zione del Sole era inclinato rispetto alla congiungente Terra-Sole. Tutta l 'attività solare subisce grosse variazioni ogni 11 anni ; le macchie compaiono ad una latitudine di circa 40°, si spostano fino in prossimità dell'equatore e scompaiono, per ricomparire a media latitudine all'inizio del ciclo successivo. Il ciclo del Sole sembra avere effetti anche sul clima terrestre ; è certo che ha effetti sulla vegeta­ ziorre, come mostra l'irrobustirsi o indebolirsi degli anelli sui tronchi delle piante ogni 11 anni. Inoltre il Sole emette continuamente un flusso di particelle, principalmente protoni ed elettroni, che prende il nome di vento solare. In occasione delle frequenti esplosioni che si verificano alla superficie dell'astro il vento solare diviene piu intenso e provoca sulla Terra irregolarità magnetiche (ternpeste rna­ gnetiche) , aurore boreali ed altri fenomeni. Il Sole ruota su se stesso ogni 27 giorni, ma in realtà la velocità di rotazione è diversa alle diverse latitudini. Qualcuno sospetta che possa variare molto anche con la profondità. Certamente all'interno del Sole esiste una dina­ mica complicatissima che noi ancora oggi conosciamo poco. Da tempo immemorabile gli uomini avevano notato cinque corpi luminosi che sembravano muoversi fra le stelle seguendo cammini piu complicati di quelli della Luna e del Sole. A questi corpi, Mer­ curio, Venere, Marte, Giove, Saturno, fu dato il nome di pianeti, cioè di astri erranti. I primi astronomi di cui ci è giunta notizia, greci ed egiziani, soprattutto , proposero varie teorie per spiegare la struttura del­ l'universo e i moti degli astri, rna è al nome di Tolomeo che rimane legata la teoria del cosiddetto sistema geocentrico. Secondo la con­ cezione tolemaica, tutti i pianeti si muovono con moto uniforme su orbite circolari i cui centri si spostano, pure con moto unifornw, su circonferenze di poco eccentriche rispetto alla Terra.

8.

I l sistema solare

543

Questo sistema, che poneva praticamente la Terra al centro del­ l'universo, regnò incontrastato fino al xvr secolo. Una svolta deci­ siva infatti si verificò soltanto nel l543, anno in cui Nicolò Copernico pubblicò la sua opera De revolutionibus orbiu1n coelestiurn. Il sistema copernicano, che poneva i pianeti in orbite intorno al Sole, fu defi­ nitivamente adottato solo dopo aspre lotte e grazie al contributo decisivo di Galileo, Keplero e infine di N ewton. Le osservazioni astronomiche effettuate da Galileo con il can­ nocchiale, l 'enunciazione da parte di Keplero delle tre leggi che regolano il moto dei pianeti ed infine la formulazione da parte di N ewton della legge di gravitazione universale, riuscirono a demolire la concezione aristotelica e tolemaica, ponendo le basi dell'astrono­ mia classica m. Ai sei pianeti noti si aggiungevano successivamente Urano, Net­ tuno, Plutone, scoperti rispettivamente nel 1 781, nel 1846, e nel 1930. La Fig. 118 mostra una rappresentazione schematica del siste­ ma solare, nella quale compaiono le distanze dei vari pianeti dal Hole e i loro periodi di rivoluzione intorno al Sole. A parte Plutone, piuttosto anomalo, i pianeti vengono normal­ mente classificati in due gruppi distinti : il gruppo dei pianeti piccoli, di tipo terrestre, detti pianeti interni,, cioè Mercurio , Vencre, Terra, Marte, ed il gruppo dei pianeti giganti o esterni, comprendente gli altri quattro. Di ogni pianeta vediamo ora, in rapida rassegna, le caratteristiche piu interessanti. Mercurio detiene diversi primati fra gli otto pianeti interni ed esterni : è il piu vicino al Sole, è il piu piccolo ed ha l'orbita piu eccentrica, cioè quella che piu si discosta dalla circonferenza, Il suo raggio equatoriale è circa 2400 km, cioè quasi 0,4 volte quello ter­ restre, e la sua massa è circa 0,06 volte quella della Terra. La sua densità media è quindi quasi eguale a quella terrestre, dell'ordine di 5,5 gfcm 3 , cosa che fa pensare ad un nucleo centrale ricco di metalli pesanti. Mercurio compie la sua rivoluzione attorno al Sole I l i P otrà forse destare meraviglia il fatto che non insistiamo sull'enorme significato

filosofico del passaggio dal sist.ema geocentrico a quello eliocentrico. Ciò è stato fatto tante volte che sembra proprio superfluo riprendere il tema i n questo l ibro. Oltre al le

opere già segnalate citiamo T. s .

KUHN,

La rivoluzione copernicana, Einaudi, Torino 1 9 7 2 .

v.

544

L' universo

o Mercurio

Vene re

Terra.

.(). ..

2 9 0.

:

: 5aturno

D,·

8 4 a.

Urano

t) Nettuno O PLutone

Figura l l S

in

88

giorni e ruota attorno al proprio at;::;e in

notare

G.

:i9

giorni . Come fece

Colombo, il periodo della rotazione è 2 /3 di quello della

rivoluzione, e ciò

è dovuto ad un fenomeno di risonanza. La distanza 16 m ilioni di chilometri al periclio c i 69 m ilioni

dal Sole varia tra i

di chilorrwtri all' afelio ; fli tratta di un'ellisse p iutto Hto marcata. Interessante

è

il fenomeno della precCHi"ione del perielio . Lo spoHta­

rn ento del perielio lungo l'orbita quando l' orbita di un pianeta

è un fenomeno che si può verificare

è perturbata

dai campi gravitazionali

dei pianeti vicini, ma nel caso di Mercurio l' effetto

è quantitativa-

8.

Il sistema solare

545

mente superiore al previsto. Questa discrepanza fu spiegata dalla teoria gravitazionale di Einstein, conseguenza della relatività gene­ rale ; anche i pin recenti studi teorici e le pin precise misurazioni hanno sostanzialmente confermato le previsioni della teoria di Ein­ stein. Per ciò che riguarda le condizioni ambientali, bisogna te­ ner presente la vicinanza al Sole, che dà luogo a temperature dell'ordine di 350 oc sull'emisfero illuminato mentre si scende a -170 ac sull'emisfero notturno. Le osservazioni sembrano stabilire l'assenza di atmosfera o almeno di un strato apprezzabile di atmo­ sfera. Ciò era del resto prevedibile dato che sul lato illuminato le molecole dei gas superano facilmente la velocità di fuga (circa 4 kmjs). Queste condizioni rendono estremamente improbabile la presenza di qualsiasi forma di vita. Le sonde spaziali hanno rivelato che anche Mercurio ha una struttura a crateri come la Luna. Le dimensioni di Venere sono quasi eguali a quelle terrestri, dato che i diametri differi�:;cono di circa 600 km. La massa è circa 8/10 di quella della Terra. Questo rende Venere ab bastanza simile alla Terra, ma le condizioni ambientali sembrano notevolmente diverse. Prima di tutto il pianeta ruota molto lentamente su se stesso (243 giorni) , in senso retrogrado, e ha un giorno molto lungo. Venere è abbastanza grande da trattenere molti gas, ed infatti ha un'atmo­ sfera ; anzi l'atmosfera che circonda tutto il pianeta è cosi densa da nascondere completamente la superficie. Di conseguenza non ci è possibile vedere direttamente alcun dettaglio della superficie venu­ siana < 1 >. Se poi analizziamo la condizione della sua atmosfera, si scopre che è formata quasi esclusivamente da 002 • Abbiamo già detto che con molta probabilità l'atmosfera primigenia della Terra conteneva grandi quantità di 002 e che sono stati proprio i primi organismi viventi ad assorbire 00 2 , immagazzinando il carbonio e liberando ossigeno. Viene subito fatto di pensare che Venere, pur essendo analoga al nostro pianeta, non ospiti sicuramente la vita. Questa conclusione può essere troppo drastica, ma è certo che su Venere la vita, se esiste, non è attualmente cosi sviluppata come sulla Terra. Diversi fatti concorrono a creare questa certezza. La ( l ) Ma alcune strutture sono state rivelate con tecnica radar. Si è riusciti ad indi­ viduare perfino dei crateri.

546

v.

L'universo

pressione dell'atmosfera venusiana al livello del suolo è quasi 100 volte quella terrestre. La distanza dal Sole è 2/3 della distanza Terra-Sole ; poiché l'irradiazione è inversamente proporzionale al quadrato della distanza, Venere riceve piu del doppio di radiazione solare rispetto alla Terra ; inoltre l'atmosfera di C0 2 non lascia di­ sperdere il calore del pianeta. Per questo si raggiungono temperature di centinaia di gradi centigradi. Le sonde spaziali confermano questi valori. Appare perciò problematico che Venere possa ospitare la vita, almeno analoga a quella che conosciamo. Venere, tuttavia, può ancora riservarci qualche sorpresa ( 1 ). Le principali caratteristiche del nostro pianeta sono già state discusse ; rimane invece da parlare del suo satellite. La Luna non è piu l'oggetto misterioso di una volta, ma è sempre molto interes­ sante. Il diametro della Luna è 3470 km, poco piu di 1/4 di quello terrestre, e la sua massa è poco superiore a 1 /100 di quella della Terra, il che sta a significare che la densità media della Luna è minore (precisamente 3,3 gjcm 3 ) . Il rapporto tra le dimensioni del nostro pianeta e del suo satellite è piuttosto piccolo, se confrontato con i rapporti esistenti tra i pianeti giganti ed i loro satelliti. Per questo motivo il sistema Terra-Luna costituisce in un certo senso un sistema doppio, in quanto è possibile pensare a due pianeti che ruotano l'uno intorno all'altro piuttosto che a un pianeta col suo satellite. La distanza media Terra-Luna è di circa 384 000 km, ma non rimane costante. Infatti la Luna provoca negli oceani delle maree il cui effetto è analogo a quello di una coppia di forze, cioè tende a rallentare la rotazione della Terra. Analogamente gli spo­ stamenti delle maree esercitano una coppia sulla Luna, tendendo ad accelerarne il moto orbitale. Le conseguenze sono un aumento della durata del giorno terrestre e un aumento della distanza Terra­ Luna. Si può quindi presumere che i due corpi fossero molto vicini circa 4 miliardi di anni fa, che è l'età approssimata del sistema doppio. La Luna non ha atmosfera, come era prevedibile tenendo ( l ) Fra l' altro qualcuno avanza l' ipotesi che il riscaldamento e la liberazione del car­ bonio dalle rocce siano causa ed effetto l'uno dell'altro e corrispondano a un fenomeno relativamente recente. In passato avrebbero potuto esserci condizioni piu vicine a quelle terrestri.

8.

I l sistema t�olare

547

conto della sua debole massa e della piccola velocità di fuga (circa 2,4 kmjs), e come è stato confermato sia dalle osservazioni astro ­ nomiche sia dalle misure effettuate in loco dagli astronauti. X on vi è quindi erosione atmosferica Rulla superficie della Luna. D'altra parte, la caratteristica struttura a crateri è dovuta all'impatto con grossi frammenti di materia solida che esistevano in abbondanza nella protostoria del sistema solare, ma che oggi sono praticamente scomparsi. Rimangono solo piccoli frammenti ( meteoriti) che conti­ Imano a generare ogni tanto crateri minori. Quanto all'attività vul­ canica, anch'essa è stata intensa in passato (si pensa che i cosid­ detti mari possano essere mari di lava solidificata), ma è da tempo · cessata del tutto. Si suoi dire che la Luna è oggi q u iescente e rappresenta un mondo statico o qua:-;i. Per questo la wa superficie ha conservato particolarità molto vicine a quelle di tempi remoti ed ha mantenuto una documentazione Htorica per noi preziosa. So n è escluso che proprio sulla Luna si pot.;sano trovare tracce della vita sviluppata sulla Terra in periodi antichissimi, antecedenti al Cam­ briano. Infatti i microorganismi della fase archeana non dovevano essere diversi da grosse molecole (anche un virm, del resto, è una grossa molecola) e, come tali, potevano trovarsi anche in sm;pen­ sione nell'atmosfera. Qualcuna di queste molecole può aver rag­ giunto la velocità di fuga e nulla vieta di pensare che possa aver raggiunto la Luna, tenendo conto anche della maggiore vicinanza dei due corpi a quell'epoca. Se qualcosa del genere è avvenuto po­ tremmo forse trovarne le tracce. Marte ha sempre eccitato la fantasia umana, per tante ragioni, e per molto tempo è stato il piu importante candidato a sede di una vita organica che avesse una certa analogia con quella terrestre. L'ipot,esi non è ancora esclusa in assoluto, ma era scnz'altro piu plausibile vari anni fa, prima che le sonde spaziali, posandosi sul pianeta, compissero indagini e fornissero dati piu precisi. In ogni caso dovrebbe trattarsi di una vita molto meno sviluppata di quella terrestre. È stato confermato che l'atmosfera marziana è molto tenue ; la sua pressione alla superficie del pianeta ha un valore infe­ riore a 1 /100 della pressione atmosferica terrestre, mentre il suo Hpes­ Hore è limitato a qualche decina di km. Il costituente important(�

548

v.

L 'universo

sembra essere 00 2 , con piu dell'SO % , mentre il resto sarebbe co­ stituito da gas pesanti ; la presenza di ossigeno è sicuramente tra­ scurabile. Il giorno ha una durata praticamente eguale a quello terrestre. Ma la temperatura media, a seconda delle latitudini, è di alcune decine di gradi sotto zero. Marte presenta due calotte polari come la Terra e si è quasi sicuri che siano costituite di ghiaccio. Una caratteristica molto curiosa della superficie del pianeta è la grande differenza fra l'emisfero Nord con estese pianure e l'emisfero Sud tempestato di crateri. N o n si conosce la causa di questa diffe­ renza ma si pensa a una attività vulcanica molto intensa che avreb­ be seppellito i crateri del Nord. In generale la superficie di Marte è molto piu tormentata di quanto un tempo si pensava. Sorprendenti sono specialmente i suoi canali, simili a enormi letti di fiumi, con diramazioni dendritiche. Si badi bene che queste formazioni non hanno nulla a che fare con i canali che credette di vedere G. T. Rchiapparelli (e con lui molti altri) nel 1877 ; quelli probabilmente erano solo illusioni ottiche. È difficile stabilire l 'orig·ine dei canali marziani. Si può pensare a fiumi di lava che si formano in occasione di importanti eruzioni ; o, piu plausibilmente, può trattarsi di enor­ mi masse di ghiaccio sotterraneo che fondono per l'attività termica interna del pianeta e danno improvvisamente luogo a flussi molto intensi. Caratteristica del mondo marziano sono dei venti violenti, che ira l'altro provocano frequenti ed estese tempeste di polvere. Per completare la descrizione di Marte, ricordiamo che ha due sa­ telliti, Deimos e Phobos, entrambi molto piccoli, con diametri di circa 15 km. Con Giove ha inizio la serie dei pianeti giganti, che sono tutti molto meno densi della Terra. Giove ha un volume 1 300 volte supe­ riore a quello terrestre, mentre la sua massa è appena 300 volte quella della Terra : la sua densità è dunque meno di 1 /4 di quella terrestre. Questo fa supporre che il pianeta sia un'enorme palla d'idrogeno liquido, circondata da un'atmosfera d'idrogeno ed elio che sono invece sfuggiti ai pianeti piu piccoli, nonché di composti come ammoniaca e metano. Può esservi anche un piccolo nucleo solido, composto di elementi piu pesanti. Quanto alla possibilità di vita, Giove è molto lontano dalle nostre capacità di intuizione, per-

8.

Il sistema solare

549

ché le condizioni sono estremamente diverse da quelle terrestri. A ciò concorrono fra l'altro la lontananza dal Sole e quindi la tempe­ ratura decisamente bassa, inferiore a 100 oc sotto zero negli strati esterni. Dell'interno non è dato sapere nulla, ma sta il fatto che il pianeta irradia piu calore di quanto ne riceva. Deve quindi eilservi una sorgente di calore. È interes�mnte il fatto che l'atmosfera di Giove sembra molto vi1Jace ; osservazioni radioastronomiche indi­ cano la presenza di scariche elettriche, che potrebbero rivestire note­ vole importanza per proceilsi di sinteili di sostanze organiche, come abbiamo discusso a proposito dell'origine della vita �mlla Terra. Osservando Giove al telescopio si nota una serie di strisce chiar e scure parallele all'equatore, e la famosa macchia rossa, posta :ml­ l'emiRfero meridionale, lunga circa 50 000 km e larga circa 16 000 km, che fu ORHervata per la prima volta nel 166il da G. D. Ca�o;sini. Lt> bande chiare e scure sono interpretate come correnti a divcrsn, al­ tezza dell'atmosfera, connesRe col fatto che il periodo di rotaziom• è diverso a seconda della latitudine. Quanto alla macchia roflsa, dal 1830 ad oggi ha cambiato forma, colore, viRibilità c �;i t\ anche spo­ stata longitudinalmente, ma non è mai scomparsa ed è sempre rimasta all'incirca nella stcsHa zona. Che cosa sia esattamente, neR­ suno lo sa < 1 >. Giove ha U �mtelliti conosciuti, di cui i pri m i quattro furono scoperti nel 1610 da Galileo, che li chiamò astri medicei. I satelliti di Giove hanno avuto grande importanza anche in seguito, quando com;entirono a O. Ròmer nel 1()7 4 una prima stima della velocità della luce. Le capsule Rpaziali che recentemente hanno avvi­ cinato i Ratelliti galileiani Io, Europa, Ganimede e Callisto ci hanno inviato dati estremamente interessanti su questi corpi tutti molto diverRi l'uno dall'altro. Soprattutto sorprendente (• Io, sul quale Hi scorgono vari vulcani attivi. È i'itato anche scoperto un tenne anello che circonda Giove, come quelli di Saturno. Saturno è grande quasi quanto Giove, ma ancora meno denw (il Rno volume è circa tì /10 e la sua maRsa circa ;)/10 di quelli di Giove ). Anch'esRo è avvolto da nn'atmosfrra i mprnetrabik, su cui P

n > Si tende ora a pen�are che sia un c i clone di particolarmente lunga durata. L " i po ­ tcsi

avvalorata d a l fatto c h e n n ]

tipo. che duril c i rca cluP alln i .

1 0 72

fu scopPrta una piC'cola nuH·ch in dello HtP8so

550

v.

L' universo

si osservano fasce chiare e scure, ma il suo aspetto è apparso per lungo tempo unico fra tutti i pianeti per la presenza dei famosi anelli. Di solito si distinguono tre anelli, e fra essi quello centrale è piu brillante ; sono estremamente sottili, poiché la loro larghezza è para­ gonabile col diametro del pianeta, mentre lo spessore è di appena 16 km, e questo fa si che la loro massa totale sia piuttosto piccola. Per molto tempo è stato un mistero che cosa fosse questa appendice di Saturno ; lo stesso Galileo, che fu il primo a notarla, non riusci ad osservarne la struttura poiché il potere risolutivo del suo cannoc­ chiale non era sufficiente e pensò a un sistema di tre corpi attaccati. In seguito è stato possibile appurare che gli anelli sono costituiti da un numero enorme di particelle staccate (del diametro di qualche centimetro e probabilmente composte di ghiaccio ). Per prima cosa si vede che gli anelli non sono completamente opachi, ma lasciano scorgere le stelle dietro di loro ; dunque devono esserci degli interstizi attraverso i quali passa la luce. In secondo luogo si osserva che gli anelli non ruotano con la stessa velocità angolare, ma il piu interno ruota piu velocemente degli altri. N el caso di un corpo rigido, invece, la velocità delle parti periferiche dovrebbe essere maggiore di quella delle parti piu interne. Si conclude che ciascuna delle particelle che costituiscono gli anelli si comporta piu o meno come un singolo satel­ lite di Saturno. Anche in questo caso è difficile sottrarsi alla tenta­ zione di dare un'interpretazione genetica di un corpo che sembra costituire una stranissima anomalia fra tutti i corpi celesti noti. Un satellite può essere considerato costituito da tante parti soggette sia alla gravitazione del satellite stesso (cioè che stanno insieme perché si attraggono fra loro ) sia alla gravitazione da parte del pianeta. Quest'ultima si esercita in maniera diversa sulle varie parti costi­ tuenti il satellite e, se queste fossero indipendenti l'una dall'altra, ne seguirebbe una rotazione angolarmente piu veloce delle particelle piu vicine. � ormalmente la forza gravitazionale propria del satellite è maggiore della differenza fra le forze esercitate dal pianeta sulla parte piu vicina e su quella piu lontana. Ma se la distanza fra i due corpi diventa abbastanza piccola, la differenza di gravità diventa superiore alla forza di coesione e tende quindi a disgregare il satellite. Ebbene, qualcuno ha pensato che gli anelli di Sa turno abbiano avuto

8.

Il sistema solare

551

proprio questa origine ; le numerosissime particelle che li costitui­ scono potrebbero non essere altro che i frammenti di un satellite che si era avvicinato troppo. Ma qualcuno pensa invece che gli anelli possano avere avuto origine insieme col pianeta. Un'altra notevole particolarità di Saturno è rappresentata dal fatto che uno dei suoi dieci satelliti, e precisamente il piu grande, Titano, possiede una atmosfera. Poiché è poco piu grande di Mercurio, e ha bassa densità, la sua velocità di fuga è relativamente piccola e a prima vista può sembrare strano che riesca a trattenere un'atmosfera. Occorre però tenere conto della molto maggiore distanza dal Sole, che porta a temperature dell'ordine di - 1 50°, -200 oc e quindi a velocità di agitazione termica dei gas piuttosto piccole, inferiori alla velocità di fuga. Anche l'atmosfera di Titano sembra contenere grandi quan­ tità di metano ; è un'ulteriore dato a conferma dell'ipotesi che ori­ ginariamente lo stesso tipo di atmosfera fosse presente in tutti i corpi del sistema solare. Urano è il primo dei pianeti scoperti in epoca recente ; fu osser­ vato casualmente per la prima volta nel 1 781 da W. Herschel. È grande rispetto alla Terra (diametro circa 4 volte, volume circa 67 volte e massa circa 15 volte le corrispondenti grandezze terrestri) , ma è già piccolo rispetto a Giove e Saturno. La sua atmosfera con­ tiene idrogeno elio e metano. È caratterizzato dal fatto che l'asse di rotazione è pochissimo inclinato ( 8 o) sul piano della sua orbita, mentre tutti gli altri pianeti presentano assi ad almeno 60° dai ri­ spettivi piani orbitali. A questa particolarità è difficile dare una, Rpie­ gazione. Anche Urano ha dei satelliti, esattamente fì , di cui il mag­ giore, Titania, ha un diametro circa metà di quello lunare. �el l 977 fu fatta una scoperta sensazionale : Urano ha almeno nove anelli, sia pure molto più tenui di quelli di �aturno. Chi sa che quella che fu ritenuta una singolari sRima bizzarria di Saturno non sia invece una caratteristica coRtante e necessaria dei pianeti giganti ! Nettuno, scoperto nel 1 846, è il primo pianeta la cui presenza sia stata ipotizzata in base ai calcoli (fatti per spiegare le pertur­ bazioni del moto di Urano ) , prima am·ora che venisse osservato. I primi calcoli in questo senso furono portati a termine da .T. C . Adams, un giovane ancora sco nociuto in campo scientifico ; egli

552

v.

L'universo

concluse che le deviazioni dell'orbita di Urano da quella calcolata potevano essere spiegate dalla presenza di un pianeta abbastanza grosso che doveva trovarsi in una certa zona del cielo. Al giovane Adams non fu prestato però molto orecchio. Dopo alcuni anni, in maniera completamente indipendente, il matematico li J . J . Lever­ rier arrivò agli stessi risultati e pregò ,J . G. Galle di eseguire un controllo sperimentale ; già dopo mezz'ora dall'inizio della ricerca il telescopio confermava la presenza del nuovo pianeta. Le caratte­ ristiche di Nettuno sono molto simili a quelle di Urano, rispetto al quale è di poco piu grande. Non presenta però l'anomalia della piccolissima inclinazione dell'asse di rotazione sul piano dell'orbita. Si conoscono due satelliti. Plutone è l'ultimo pianeta del sistema solare fin qui scoperto (1930) anch 'esso in seguito a previsioni matematiche basate sulle or­ bite perturbate di Urano e �ettuno ( l )_ Plutone infatti è un pianeta piccolo, a quanto pare di massa inferiore a quella della lJUna, situato ad una distanza enorme. Questo fa si che si conosca pochissimo dei suoi caratteri fisici e ambientali ; è certo che la temperatura è eRtre­ mamente bassa. Particolarità note sono la forte inclinazione del piano dell'orbita rispetto all 'eclittica e la notevole eccentricità, su­ periore anche a quella di Mercurio, che rappresenta già un'eccezione rispetto alle orbite quasi circolari degli altri pianeti . Nel l9 78 Hi è scoperto che ha anehe un satellite. No n è poHsibile trascurare aleuni altri personaggi del HiKtema solare, i quali rispondono ai nomi di asteroidi, comete, meteore, meteo­ riti, ma dovremo limitarei a un brevissimo eenno, quantunque l'im­ portanza di questi eorpi per la eosmologia sia andata aumentando notevolmente negli ultimi anni. Le distanze dei pianeti dal Role sembrano mostrare una certa regolarità, eome si vede anehe o:-�servando una mappa, in scal a, del sistema solare. Questa regolarità si presta ad e:-;:,;ere tradotta in una formula matematiea empiriea, che va sotto il nome di legge di Bode. Seeondo tale legge la distanza d dei vari pianeti, dal Sole miHurat�t .

l l l lo

8

realtà la massa di Plutone

zioni. La scoperta

8

•

troppo piccola per proYot·are q uelle perturba­

stata in buona parte anche fortuita.

8.

Il sistema solare

553

in unità astronomiche ( distanza Terra-Sole) , può essere calcolata con la formula d = 0,4 + 0,3 x 2 n , ove l'esponente n è un numero in­ tero uguale a -l per Mercurio, che va successivamente aumentato di un'unità per i pianeti via via piu lontani. Nella tabella sono riportati i valori ottenuti con la legge di Bode e i valori delle distanze che risultano dalle osservazioni astronomi­ che. Si vede che l'accordo sarebbe buono, se non fosse per il fatto che al valore n = 3 non corrisponde alcun pianeta e per la discre­ panza esistente nel caso di Plutone. La legge di Bode risale alla fine del 1 700, ben un secolo e mezzo prima della scoperta di Plutone, e a quei tempi l 'unica anomalia da spiegare era quella del posto vacante. Per inciso, la discrepanza tra il valore calcolato e il valore misurato per la distanza di Plutone potrebbe oggi essere spiegata con l'ipotesi corroborata da alcuni altri fatti, che Plutone sia stato originariamente soltanto un satellite di Nettuno. Legge di Bode.

Pianeta

Distanza data dalla

Distanza

legge di Bode

o sservata

Mercurio

0 . 4 + (0 . 3 · 2-1) =

0.55

0.4

Venere

0 . 4 + (0 . 3 · 2 °)

=

0.7

0.7

Terra

0.4 + (0 . 3 · 2 1 ) 0,4 + (0.3 . 22)

=

1 .0

l. O

=

1.6

1.5

M arte � Giove Saturno Urano

0 . 4 + (0.3 . 23) = 2 . 8 0 . 4 + (0.3 . 2 4 ) = 5 . 2 0.4 + (0.3 . 2 5 ) = 1 0 . 0

5.2 9.5 1 9, 2

Nettuno

0.4 + (0.3 · 26) 0.4 -1- (0.3 . 27 )

= 1 9,6 = 38.8

30. 1

Plutone

0 . 4 + (0 . 3 · 28 )

= 77 . 2

39.5

G. Piazzi, convinto della bontà della legge, si dedicò alla ricerca del pianeta mancante finché nel 1801 trovò, alla distanza predetta, un corpo celeste che chiamò Cerere. Piuttosto che di pianeta si può parlare di pianetino, dato che il suo diametro è quasi 1000 km.

v.

554

L' uuiverso

Con il passare del tempo, però, si sono t-Jcoperti sempre nuovi astemidi, tutti a distanza dell'ordine di grandezza previsto dalla tabella, ed oggi se ne contano circa 10 000 ( l J . Cercrc (\ rima8to il piu grande di una dozzina di asteroidi con di�tmetri superiori a li)O km, mentre tutti gli altri hanno diametri che vanno da poche decine di chilometri a pochi chilometri o addirittura a qualche centinaio di metri. I,a presenza di un cosi grande numero di minuscoli corpi ( Ristema 8 ) nella stessa regione in cui ci si sarebbe aspettati di tro­ vare un pianeta porta e pensare che :,;i tratti dei frammenti di un unico pianeta ( sistema 80 ) . V cramente oggi si pensa piutto­ sto all'esistenza originaria di un piccolo numero di grossi asteroidi pm;ti praticamente sulla �>tessa orbita. La perturbazioni prodotte da Giove li avrebbero poi �>pinti a cozzare l'uno contro l'altro e a framm entarsi negli attuali asteroidi. Alcuni frammenti più piccoli, allontanati fortemente dall'orbita originaria, avrebbero cm;tituito i meteoriti. Tra i componenti del Hi:,;tema solare ve ne wno alcuni che hanno un'importanza dinamica traReurabile, ma nn afipt•tto spcttacolare : le comete. Generalmente le comete :,;ono compoHte da un frammento minuscolo di materia solida, il nucleo, da un involucro di gas di forma qua::;i circolare, la chioma, ed infine da una nube di gas e�;tre­ mamente rarefatto, la co:>iddetta coda. Non tutti tmnno, invece, che la coda si Rviluppa pienamente wlo quando la cometa è abbastanza vicina al Role, diciamo entro l'orbita di Martt>. Si pemm, che il nucleo a breve distanza dal Sole raggiunga temperature cmli elevate da eva­ porare c che proprio i gas prodotti costituisc�mo la chioma c la coda che, illuminate dal Solto, producono quello splendido effetto che ha sempre affascinato gli uomini . I,a coda & sempre ri volta in direzione opposta al Role, sia ehe la cometa Hi . In questo caso sarebbe bensi possibile far decollare l'astro­ nave con le molte tonnellate di carico necessarie e mantenere l'acce­ lerazione voluta ; ma l'energia sviluppata alla partenza sarebbe ac­ compagnata da una tale pioggia di raggi y da distruggere la vita nel raggio di un continente ! Credo che queste considerazioni siano sufficienti per far capire che qui siamo al di fuori delle nostre capacità non solo tecnologiche ma addirittura teoriche. Si possono prendere allora due atteggia­ menti diversi. Si può ipotizzare che non troveremo mai nuove leggi fisiche, che ci consentano di aggirare l'ostacolo ; il che ci porta a con-. eludere che le stelle sono irrimediabilmente irraggiungibili. Oppure si può essere molto piu possibilisti e, pur prendendo atto dello stato attuale delle nostre conoscenze, rinunciare a fare ipotesi sul futu­ ro , lasciando la porta aperta anche a soluzioni ora inimmaginabili. La scelta fra questi due atteggiamenti è puramente psicologica ; personalmente preferirei il secondo, ma non vi è nessun fatto concreto a far pendere la bilancia verso l'uno piuttosto che verso l'altro. Si può chiudere questo argomento notando che non è stretta­ mente necessario andare a constatare di persona come stanno le cose ( l ) Fra l'altro, come sappiamo, gli astronauti durante quest i 6 rebbero molto meno dei loro simili rimasti sulla Terra.

o

7 anni invecchie­

1 2 l Sarà inutile dire che con l ' attuale tecnologia siamo ben l ungi dal saper far questo .

10.

Le stelle

563

nell'universo pazio solo se vengono emessi quando la materia si trova ancora a una distanza dal centro della stella compatta maggiore del cosid­ detto

raggio di Schwarzschild,

eguale a

per il quale la velocità di fuga

è

c.

l.Je fluttuazioni rapide sono dovute alla rotazione della stella com­ patta su se stessa e quelle lente alla rotazione della stella compatta attorno a quella normale ( che qualche volta addirittura l'occulta) . Ora l a cosa forse più notevole massa della stella compatta

è

è

che risulta che in alcuni casi la

cosi grande da far escludere, alla luce

delle conoscenze che abbiamo oggi, che si tratti di una stella di neutroni. D e v e trattarsi di un buco nero. Se cosi è, abbiamo trovato

una deci sa connessione con quei mondi quasi isolati e un mezzo per indagar li.

Per finire questi brevi cenni :m alcuni oggetti stellari scoperti più

recentemente, vogliamo menzionare un personaggio chiamato per ora SS

strabiliante,

433. È una stella di luminosità apparente molto

bassa, probabilmente il resto di una supernova, che emette radio­

onde, luce vi::; ibile e raggi X.

N el

visibile presenta, molto i ntense,

12.

Le galassie

577

caratteristiche linee d i e m i H�ione dell'idrogeno e dell'elio. Ciascuna di queste righe si presenta alla lunghezza d'onda normale, ma è

accompagnata da altre due righe, l 'una spostata verso il rosso,

l' altra verso i l violetto . Tale t>postamento non può interpretarsi che come dovuto all' effetto Doppler ( vedi cap . v, § 1 3 ) . C i deve es8ere quindi della materia che si allontana da noi e della materia che si avvicina a noi. lVIa la velocità di questi movimenti

è

incre­

dibile : fino a :i O 000 k m / t� , cioè a l /6 della velocità della luce ! Non solo, ma le due righe prima si allontanano in versi opposti dalla

riga normale, quindi si ravvicinano e s'invertono, con un periodo totale di 164 giorni .

È difficile non pensare che si tratti di un oggetto rotante Per

esempio

è

stato proposto che si tratti di una stella di neutroni, che

emette due j et di gas ad alta velocità in direzioni opposte lungo le linee di forza del suo campo magnetico. Il campo magnetico ruota ( p recede ) attorno a un asse non coincidente con i j et e ciascuno di essi descrive un cono, in modo che il gas ora viene verso di noi, ora s i allontana. Altri modelli sono stati proposti, come quello del disco di acereseimento, suggerito questo dal fatto che la stella fa parte di un sistema dopp i o . lVIa le difficoltà teoriche Rono per ora molto grosse e l 'oggetto ri mane un enigma. Quanto sopra c i induce a pensare che lo

zoo

delle :>telle

è

tutt'al­

tro che esaurito. Probabilmente via via ehe si affineranno i nostri mezzi d'i ndagine scopriremo tante altre eosc sorprendenti, ehe ei porranno nuovi diffieili problemi.

12.

Le galassie. 'l'utte le stelle visibili ad oeehio nudo e la maggior parte di quelle osservabili eon i piu potenti telescopi fanno parte di un ammasso stellare, avente una fisionomia ben determinata, che costituisee la nostra Galassia. Il termine Galassia, o Via Lattea, risale agli antichi greei e nel HUO significato primitivo Htava ad indicare la faseia bian­ eastra che, eome un areo, attraversa la volta celeste da un estremo

v.

5 7 1:)

L" nniverso

all'altro dell'orizzonte. t-lo l tanto Galileo, grazie al suo canno cchiale, rim;ei ad accorgersi che :-; i trat,tava di :-;telle talm ente addem;ate e lontane da non poter esr;ere ri�olte ::;ingolarmente. Dopo di lui gli studi :-;ono pro:-;eguiti finché :-;i

è avuta la certezza che la V ia Lattea

è solo l 'aspdto che aswme, :-;e visto dal not;tro punto di oss i dedurre

è potuto

che tutte lP �telle e la materia intert>tellare ruotano intorno

al centro della GalaH�-;ia (p eriodo di circa

250

m ilioni di anni ) con

velocità decrm:ccnte all' aumentare della distanza, come accade per i pianeti che ruotano intorno al Sole. Soltanto il nucleo centrale della Galassia sembra ruotare come un corpo rigido. t-;e fosse pm; si­ bile guardare la Gala:-;Ria dall'eHterno vedremmo che ha una :-;trut­ tura con vari bracci a spirale. Il Sole Ri trova in uno dei bracci dt:>lla spiralt:>, ad una diHtanza di ci rca

30 000

La struttura a spirale della GalasKia

dal centro. (\.

stata in partp dedotta in

bat�e alle osservazioni dt:> l le galassie e�terne, ma in gran parte è :-;tata verificata direttamente grazi(' alla radioaHtro no m ia. G ià l ' o sHPrva­ zione nel visibile aveva eonKPntito di ottenere alcuni risultati, pun­

tando i telescopi su oggetti certamente appartenenti ai bracci df�lla �ipirale, co1ne le stelle wpergiganti calde, e procedendo poi a milmre accurate della loro distanza. La radioalitronomia ha consentito una indagine piu precisa grazie :-;oprattutto alla presenza di idrogeno inter:-;tellare, caratteri zzato da una riga di t:>m ù;;sione alla lunghezza

12.

Lo gala�:sie esterne Ki preKentano a noi non di fronte, ma di taglio ; �:>i vedono ehiaramente delle aree oscure co:-;tituite da nuvole di materia interstellare opaca, distribuite wltanto lungo il piano equatoriale. Le �:>tellc piu veechic si trovano generalmente fuori dal piano equatoriale, riunite in arnmasl'ìi, che prendono il nome di a'fJtmassi globulari. Un ammasso globulare ha in media un diametro di qualche cei.ltinaio di anni luce e può contenere deeine di migliaia di :-;telle ; Hembra certo che non eontenga materia interKtellare. Gli an umtsKi globulari si trovano distribuiti in un volume quaHi :-derico, eentrato sul nucleo galattico, avente un d i a m etro quasi egna! bene t,enere presente ehe quando un oggetto Ri trova a l 0 1 0 anni luce di diHtanza da noi, Io vediamo come era l 010 anni fa , m olto più giovane e molto più vicino all'origine dell'univerHo. PoRsiamo allora pensare che a que.l­ l'epoca il buco nero abbia dimensioni inferiori alla distanza di Ro­ che e frantu mi le stelle ehe si avvicinano, imm ettendole nel lum i ­ nosissimo disco d i accrescimento. Ma p i ù tardi i l buco nero r;arà cresciuto oltre il limite di Roche e le stelle :;; aranno ingoiate tutte intere. Allora noi non vedremo più la quaRar. Quindi le qua:,;ar più vicine potrebbero essere estinte perché troppo vecchie.

584

v.

L ' universo

13.

lpotesi cosmologiche.

N ello sviluppo di ipotesi e teorie di carattere cosmologico o co­ smogonico ci si vale oggi di un principio guida, suggerito da molte osservazioni, ma certo non rigorosamente provato. Si tratta del cosiddetto principio cosmologico. Esso dice che l'universo, conside­ rato all'ingrosso nelle sue strutture, deve avere lo stesso aspetto quando viene osservato da qualunque sua parte. È questa l'esten­ sione massima che può assumere l'atteggiamento non antropocen­ trico sostenuto da Galileo. Si noti che non si tratta esattamente dell'interpretazione del­ l'uniformità della natura che fin qui abbiamo dato come invarianza spazio-temporale delle leggi. Tale invarianza è compatibile con una struttura non uniforme dell 'universo che invece il principio cosmo­ logico postula. Dall'osservazione delle galassie esterne è scaturito un dato im­ portantissimo, che domina tutte le attuali teorie cosmologiche e cosmogoniche. È la cosiddetta recessione delle galassie. Per chiarire di che si tratta, sarà meglio spendere qualche altra parola a propo­ sito dell'effetto Doppler, al quale abbiamo già avuto occasione di accennare. Consideriamo un fenomeno ondoso di propagazione, qual è quello del suono. Si può pensare ad una certa configurazione periodica che si sposta e che, in questo caso, consiste in una serie di compressioni e ra­ refazioni del mezzo in cui il suono si propaga. L' altezza di una nota percepita da un ascoltatore corrisponde alla frequenza del segnale so­ noro, intesa come il numero di compressioni e rarefazioni, cioè di onde sonore, che gli arrivano nell'unità di tempo. Ebbene, se la sorgente emette suoni di altezza costante, un osservatore in movimento nota che l'altezza del suono aumenta quando egli si avvicina alla sorgente e diminuisce quando si allontana. Questo si spiega anche intuiti­ vamente perché l'osservatore che si muove avvicinandosi alla sor­ gente riceve ogni secondo piu onde sonore di quante ne riceve uno

13.

Ipotesi cosmologiche

585

che sta fermo, e viceversa l'osservatore che si allontana ne riceve meno e quindi sente il suono piu basso. Se l'osservatore sta fermo ed è la sorgente sonora a muoversi, si verifica un fenomeno analogo . L 'esempio del treno, il cui fischio diventa piu acuto quando il treno si avvicina e piu grave quando si allontana, fa parte dell'esperienza quotidiana. Questo effetto, legato al nome di C. Doppler, è facil­ mente rilevabile e misurabile nel caso delle onde sonore, la cui velo­ cità di propagazione, dell'ordine di 300 mjs, è piccola. Ma, quando la velocità relativa della sorgente e dell'osservatore è molto grande, si può rivelare anche per le onde luminose mediante lo spettroscopio. I risultati della teoria classica non vengono modificati sostanzial­ mente dalla relatività ; p er cui il fenomeno è qualitativamente lo stesso. Precisamente vediamo spostata verso il violetto la luce emes­ sa da una sorgente che si avvicina, e verso il rosso quella di una sorgente che si allontana. Ebbene, esaminando le righe spettrali delle stelle risolte nelle galassie esterne, si vede che esse sono spostate verso il rosso. N el 1930 Hubble enunciò la legge che va sotto il suo nome, secondo la quale lo spostamento cresce con la distanza d della galassia osser­ vata e precisamente in modo che la corrispondente velocità di allon­ tanamento V risulta proporzionale ad essa OJ. La legge di Hubble si scrive quindi : (V.9)

V = Hd .

La costante di Hubble H ha il valore di 20 kmjs per ogni milione di anni luce. Quindi una galassia che si trovi alla distanza d di un miliardo di anni luce dovrebbe allontanarsi da noi con la velocità di 20 000 kmjs . Si noti tuttavia che in questo caso la luce ci mette un miliardo di anni a raggiungerei e pertanto noi osserviamo quella Il l Prima della scoperta della recessione delle galassie, quando si pensava che l'uni­ verso potesse essere infinito e, in media, omogeneo e statico, ha avuto molta impor­ tanza un paradosso segnalato da P. L. de Chéseaux ( 1 744) e H . W . M . Olbers ( 1 826) e che va generalmente sotto il nome di quest'ultimo. La volta celeste dovrebhA appa­ rirci uniformemente luminosa, con splendore eguale a quello medio delle stelle. Infu.tti qualunque semiretta uscente dal nostro occhio dovrebbe prima o poi incontrare una stella. Ma basta il progressivo spostamento verso le basse frequenze per ovviare al paradosso.

.586

v.

L ' universo

galassia nello stato in cui era un miliardo di anni fa. Questo fatto porta a una correzione di cui si deve sempre tener conto nelle spe­ culazioni co:mwlogiche. La legge di Hubble ( V . 9 ) può portarci facilmente a supporre di essere tornati a una sorta di antropocentrismo, dato che d rappre­ senta per l 'appunto la distanza da noi. Ma non è cosi. Con un po' di riflessione �i arriva a convincersi che la situazione è vista con legge analoga da qualsiasi osservatore ; anche per lui gli altri si allon­ tanano con velocità proporzionali alle distanze. Il fenomeno è perfet­ tamente simile ad un'esplosione, nella quale ogni frammento vede gli altri allontanarsi con velocità proporzionale alla loro distanza. Quando è avvenuta l'esplosione "? L'ordine di grandezza del tempo trascorso da allora si trova facilmente con la ( V . l O ) . Infatti all'atto dell'eRplosione le distanze reciproche erano praticamente nulle ; un corpo che ha percorso la distanza d alla velocità V ha impiegato il tempo ( V .lO)

l d t= -= - .

V

H

Si trova cosi un tempo di circa 17 miliardi di anni. Tuttavia recenti studi hanno messo in evidenza che questa espansione dell'universo subisce una certa decelerazione per cui il tempo trascorso dalla grande esplosione (big bang) può essere alquanto inferiore a quello cosi calcolato. L'ipotesi della grande esplosione, inizialmente elaborata da G. Gamow e collaboratori, ha avuto vicende alterne, ma in sostanza ha sempre guadagnato terreno, specie negli ultimi anni. Una teoria rivale, che ha goduto un certo favore per qualche tempo è quella dell'universo stazionario proposta da H. Bondi, T. Gold e F. Hoyle. Essa si informa al cosiddetto principio -cosmologico perfetto, secondo il quale l'universo ( infinito ) avrebbe aspetto e strut­ tura ( in media) eguali in tutte le sue parti e immutabili nel tempo ( l). ( l l È chiaro che un' ipotesi come questa s i deve presentare abbastanza spontanea­ mente come contrapposto a quella della grande esplosione. Basta pensare alla prima antinomia kantiana, la cui tesi richiede un mondo che ha inizio nel tempo ed è limi­ tato, mentre l ' antitesi richiede un mondo infinito nello spazio e nel tempo.

lH.

Ipotesi eosmologiehe

587

Poiché l' universo si espande, mentre postuliamo che in esso la den­ sità media di materia non cambi, bisogna ricorrere all'ipotesi di una, creazione continua di materia. Ciò può sbalordire, ma, fatti i calcoli, si vede che si tratterebbe di un fenomeno di entità talm ente esigua da non essere in alcun modo rilevabile in laboratorio. Nonostante il suo merito estetico, l'ipotesi dell'universo stazio­ nario è stata praticamente abbandonata, wprattutto a causa della radiazione termica universale, scoperta nel 196J. Si tratta di una radiazione elettromagnetica, osservata nella banda delle microonde, che ci perviene dal cosmo in modo isotropo, cioè egualmente da tutte le direzioni. Per quanto ne sappiamo, essa rappresenta ( in base alla formula di Planck ) una radiazione di equilibrio termico alla tempe­ ratura di circa 3 K . Tutto fa 1-mpporre che si tratti di ciò che rimane dell'iniziale gas di fotoni che esisteva a temperatura elevatissima all'epoca della grande m:;plosione e che si è raffreddato a causa del­ l'espansione. Si pensa dunque che il sistema S0 , lontana origine dell'universo S che noi osserviamo, fosse costituito da una palla di fuoco, in cui la temperatura era di centinaia di miliardi di gradi . I calcoli, basati su tutto ciò che conm;ciamo nella fisica moderna, portano a con­ cludere che l 'evoluzione iniziale del siRtema deve essere st�1ta estre­ mamente rapida. La tem peratura che si ha ai vari stadi determ ina il rapporto fra le densità delle componenti adronica, leptonica e fotonica del fluido univerr;ale. Via via che l'universo si espande e la temperatura scende Ri raggiungono �mccessivamente delle epoche in cui l 'energia media per grado di libertà non è piu sufficiente per far avvenire una data reazione o per creare particelle di una data massa. L'abbondanza di quelle particelle viene pertanto congelata all 'equi­ librio termodinamico che valeva a q uclla tmnperatura ; la loro futura evoluzione viene separata dal resto. CoRi dopo una decina di secondi dall'istante zero, congelato già il numero dei protoni e dei neutroni, la temperatura è scesa al di sotto di 6 miliardi di gradi, i fotoni hanno energia inferiore a O , fì l MeV ( m as�:;a dell'elet­ trone) c non sono piu in grado di creare coppie. Le coppie Ri anni­ chilano, scompaiono i poRitroni e rimangono solo i pochi elettroni che eom pemano la carica elettrica dei barioni . La componente

588

v.

L'universo

dominante è costituita di soli fotoni ; è la vera e propria palla di fuoco. Dopo circa 3 minuti i nucleoni presenti danno luogo a una prima nucleosintesi, con formazione di deuterio, di elio e di alcuni nuclei leggeri. Dopo circa centomila anni, formatisi gli atomi, i fotoni non hanno più (in media) l'energia sufficiente per eccitarli e ionizzarli. La radiazione elettromagnetica si disaccoppia dalla materia e si raf­ fredda per conto suo, fino ad arrivare ai 3 K attuali. Comincia un universo del tipo di quello che conosciamo, dominato dalla materia, cioè dai barioni. Comincia la formazione delle galassie, delle stelle e in quest'ultime la nucleosintesi di elementi via via piu pesanti, come abbiamo spiegato. Il lettore accorto avrà facilmente intuito che questa breve e sem­ plificativa descrizione riassume una teoria complessa, un enorme lavoro di sintesi e di confronto di migliaia di osservazioni diverse. A questa sintesi contribuiscono la fisica delle particelle, la fisica nucleare, la fisica atomica, la meccanica classica dei fluidi, la termodinamica, l' elettromagnetismo e, soprattutto, la relatività generale. Le equazioni gravitazionali di Einstein ammettono effettivamen­ te come soluzione l'universo in espansione e quindi la singolarità rappresentata da un raggio nullo all'epoca della grande esplosione. Rimangono tuttavia molte cose da chiarire. Fra l'altro le misure attuali della densità media dell'universo O l non permettono di deci­ dere con certezza se lo spazio è (globalmente) euclideo, oppure ha curvatura positiva o negativa e di conseguenza, secondo quanto deriva dalla relatività generale, se è destinato ad arrestare la sua espansione e a contrarsi di nuovo in un punto, oppure se si espan­ derà e si disperderà all'infinito. Abbiamo già spiegato in qual modo convenzionale si debba inten­ dere la parola origine quando si parla di sistemi cosmologici. Ciò ( l l Per varie ragioni si è portati a supporre che vi debba essere una cospicua quantità di massa mancante, rispetto a quella che riusciamo ad osservare. Probabil­ mente essa si trova in gran parte in buchi neri e in stelle di neutroni invisibili, op­ pure nello stenninato 1uare dei neutrini, per i qua l i viene supposta una massa di­ versa da zero.

14.

La vita nell' universo

589

che piu può colpire è l'impossibilità di verificare direttamente le relative ipotesi e teorie, come si fa di solito in fisica. Ma nel caso che il sistema di cui ci si occupa sia l'universo nella sua totalità, s'incontra una circostanza singolarissima : l'impossibilità di verifica non è totale. Ricordiamo infatti quanto abbiamo osservato a pro­ posito delle galassie molto lontane. N.,Qi non le vediamo come sono oggi, ma come erano quando emisero la luce che giunge a noi. Per questo, gli oggetti come le quasar e le radiogalassie, al limite di ciò che sappiamo osservare, ci riportano a vari miliardi di anni fa, cioè a un'epoca non molto lontana dalla cosmogenesi. Ed è molto signi­ ficativo il fatto che non pochi elementi dedotti da questa osserva­ zione sembrano andare molto d'accordo con il tipo di evoluzione che discende dalla teoria della grande esplosione. 14.

La vita nell'universo. Il fenomeno della vita è, sulla Terra, molto appariscente e im­ portante. Abbiamo visto che non è possibile fare una ragionevole geologia e , geogonia senza tener conto della biosfera. D'altra parte, a tutt' oggi, la vita non è stata osservata altrove all'infuori della Terra. Nasce allora spontanea la domanda : è un fenomeno unico ? Il principio cosmologico ci indurrebbe a dare una risposta nega­ tiva. Se la natura ha dovunque nell'universo lo stesso aspetto gene­ rale, come si può pensare che un fenomeno cosi vistoso e decisivo si sia verificato soltanto in una particolare zona infinitesima di esso ? L'atteggiamento scettico riguardo alla risposta negativa ha una certa ragionevolezza ; tuttavia non bisogna dimenticare che il prin­ cipio cosmologico, pur essendo un'utile guida euristica e interpre­ tativa, non è un dogma. Sarebbe antiscientifico asserire qualcosa con certezza, basandosi unicamente su di esso. Dobbiamo invece ana­ lizzare, con mente sgombra da pregiudizi, quali ragioni di fatto mili­ tino a favore della esistenza di fenomeni biologici anche al di fuori della Terra.

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v.

L' universo

Prima di tutto non sarà male fare una considerazione di tipo generale. Noi conosciamo un certo tipo di vita, quella che si è sviluppata sulla Terra. Dato il modo semicasuale con cui pensiamo che sia avve­ nuta l'evoluzione, sarebbe molto ingenuo pensare che altrove nel­ l'universo debbano trovarsi le stesse specie animali e magari uomini eguali a noi, che parlano le stesse lingue ! Tutti sono pronti ad am­ mettere che si dovrebbe trattare di specie molto diverse. Piu difficile è invece pronunciarsi su un 'altra questione. No i cono­ sciamo una vita basata sui composti del carbonio, anzi su quei com­ posti del carbonio come gli amminoacidi e gli acidi nucleici. Sono pos­ sibili altre forme di organizzazione riproduttiva della materia? Sa­ rebbe possibile una vita basata sui composti del silicio ? Ma v'ha di piu. N el sistema quasi degenere e vicino allo zero assoluto nel quale ci troviamo è concepibile solo una vita basata su legami estre­ mamente deboli quali sono quelli molecolari ( chimica ) . Ma nell'in­ terno delle stelle non sarà possibile una vita a livello nucleare, con legami molto p ili forti e tempi molto piu brevi? È chiaro che qui siamo al limite della fantascienza e non si può proprio dir nulla. Ho menzionato questa possibilità soltanto per ribadire la necessità di mantenersi liberi da qualsiasi pregiudizio e aperti a qualsiasi eventualità. La nostra ipotesi di lavoro deve quindi essere abbastanza restrit­ tiva. Supponiamo cioè che anche altrove la vita si sia sviluppata in maniera analoga alla nostra, sulla stessa base chimica. Per soste­ nere o meno questa ipotesi bisogna prima di tutto verificare se in qualche parte dell'universo esiste un ambiente analogo al nostro. Se si desse credito a un'ipotesi cosmogonica del tipo di quella di Jeans, per cui il sistema solare si è formato in seguito al passaggio di due stelle a brevissima distanza l'una dall'altra, si potrebbe subito dire che, con grande presumibilità, di sistemi solari ve n'è uno solo. Tuttavia si è detto che l'ipotesi di Jeans oggi è abbandonata in favore di altre ipotesi, che corrispondono a fenomeni molto piu fre­ quenti del precedente. L'osservazione diretta non ci permette né di affermare né di smentire la presenza di pianeti del tipo della Terra intorno alle altre stelle ; bisogna pensare che la stella a noi piu vicina.

14.

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è talmente lontana che anche un pianeta delle dimensioni di Giove risulterebbe impossibile a vedersi. È vero che un'indicazione favo­ revole è data dall'osservazione del moto di alcune stelle, le cui per­ turbazioni devono essere attribuite a grossi corpi oscuri che gravi­ tano intorno ad esse. Ma la spiegazione quantitativa delle anomalie osservate richiede che si tratti di pianeti molto maggiori di Giove ; e non siamo sicuri che su corpi di quelle dimensioni la vita sia possibile. Tuttavia anche l'esistenza di un sistema planetario analogo al nostro non è sufficiente di per sé ; occorre anche che la stella che ne è al centro possieda certe qualità. Dobbiamo escludere le stelle all'inizio della sequenza principale, che vivono semplicemente qual­ che milione di anni, cioè un tempo troppo breve per consentire lo sviluppo della vita, ed anche le stelle verso la fine della sequenza principale, che vivono bensi vari miliardi di anni ma sono troppo fredde e non hanno la possibilità di sostenere la vita con fenomeni analoghi alla sintesi clorofilliana. Rimangono quindi le stelle come il nostro Sole, a metà della sequenza, ma questa non è certamente una grossa limitazione. Infatti si valuta che nella galassia vi siano circa 200 miliardi di stelle e fra queste qualche decina di miliardi risponde alle nostre esigenze. Da questo numero occorre togliere un'altra grossa fetta, quella delle stelle doppie o multiple, che eosti­ tuiscono la maggioranza O l : questo perché in tali sistemi le orbite degli eventuali pianeti sono piu complicate che nel caso di una sola stella, ed il successivo avvicinarsi e allontanarsi, da ciascuna delle stelle del sistema porterebbe a sbalzi di temperatura troppo forti per la vita. Dopo questa riduzione si valuta che rimarrebbero disponibili an­ cora un miliardo di stelle. A questo punto bisogna dire che è molto probabile che esistano sistemi planetari con pianeti di tipo terrestre, a meno che vi siano cause precise che ne hanno impedito la forma­ zione, cause che a noi oggi non sono certamente note. In conclusione, il punto di vista dello scienziato nel mo mento (l) Per esempio la già menzionata dere, perché è un sistema triplo.

IX

Centauri, la stella piu vicina a noi , è da esclu­

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attuale può essere riassunto nel seguente modo. È molto probabile che la vita si sia sviluppata anche altrove, nell'universo, c nulla osta a che si siano create altre forme di vita > e magari anche esseri pensanti. Se tutto ciò non è avvenuto altro che sulla Terra, bisogna riuscire a capire perché ; questo perché oggi ci sfugge. Come si vede è un atteggiamento prudente ma è anche l'unico consentito dalle informazioni in nostro possesso. Tentativi di aggiungere nuovi dati al problema sono stati fatti, ma fino ad ora senza risultato. Non si è trovato finora niente nel nostro sistema solare, nel quale pure si poteva pensare che vi fosse qualche forma di vita inferiore, c tanto meno si è trovato qualcosa negli altri sistemi, cosi lontani da noi, della cui evoluzione non sappiamo niente. Spesso ci si chiede : se altrove fossero nati degli esseri pensanti e fossero piu evoluti di noi, non ci avrebbero fatto conoscere la loro presenza, non sarebbero venuti qua '? È un problema abbastanza curioso ; alla seconda parte della domanda è difficile dare una rispo­ sta affermativa, perché non abbiamo la minima idea di come avreb­ bero potuto compiere un viaggio interstellare, su distanze di centi­ naia o migliaia di anni luce, entro un periodo di tempo comparabile con una vita umana (1). Quanto al farsi conoscere, sappiamo che è possibile mandare mes­ saggi ed è sicuro che, al livello di tecnologia che abbiamo raggiunto, saremmo in grado di captare i messaggi, se qualcuno sulle stelle relativamente piu vicine si prendesse l'incarico di trasmettere. Non v'è dubbio poi che sarebbe possibile riconoscere una trasmissione intelligente da un puro fenomeno naturale ed anche decifrarne il codice < 2 >. Per la trasmissione appare molto opportuna, per esempio, la ra(l l Spero che sia inutile sottolineare che sto parlando d i cose serie e sensate, che non hanno niente a che fare con le infinite sciocchezze sull'arrivo di esseri extrater· restri dalle quali siamo stati bombardati negli ultimi anni e che, qualche volta, hanno trovato credito proprio presso chi avrebbe avuto abbastanza formazione culturale da essere piu ragionevole. Si veda a questo proposito P. J . KLASS, UFOs Explained, Ran· dom House, 1 974. < 2 l Vedi per es. R . L. BRACEWELL, The Oalactù Club , Intelligent Lije in Outer 8pace, Freeman & Co . , 1 9 74.

14.

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diazione elettromagnetica di 21 cm di lunghezza d'onda che fu pro­ posta già nel 1959 da G. Cocconi e P. Morrison. Infatti, essendo la lunghezza d' onda emessa largamente dall'idrogeno in tutto l 'uni­ verso, sarebbe un punto di riferimento noto a tutti. Inoltre sarebbe molto adatta dove si avesse un'atmosfera simile alla nostra, che a tale frequenza è trasparente ed ha un minimo di rumore di fondo. L'ascolto è stato anche tentato, per esempio da F. Drake, che è un pioniere di questi studi, e da vari altri, sia negli Stati Uniti, sia nell'Unione Sovietica. Finora non si è ottenuto nulla. Ma ciò non prova gran che, dato che l'ascolto ha interessato soltanto una stella su mille di quelle che si può supporre che presentino condizioni favo­ revoli ( ! >. Bisognerà cercare ancora. Al termine di questi brevi cenni sull'universo e sul nostro posto all' interno di esso vogliamo proporre una riflessione. Tutto oggi ci fa supporre che l'uomo sia una parte dell'universo e che probabilmente pa,rti dello stesso tipo si trovino anche altrove. Ma queste parti del­ l'universo hanno una singolarissima proprietà : riescono a far si che l 'universo diventi una parte di loro ! Infatti la conoscenza fa pro­ prio questo. Ora, se esaminiamo le cose con spirito scientifico, considerando l'universo come un insieme di elementi fisici con una data struttura ci domandiamo : com'è possibile che questo insieme possa essere rappresentato in un suo sottoinsieme qual è l'uomo '? Naturalmente, se si trattasse di insiemi infiniti, la cosa sarebbe possibile. Ma, se come supponiamo di solito, l'uomo è un insieme finito di atomi, con struttura definibile in modo finito, non è incredibile che queste rap­ presentazione possa avvenire ? È un problema che, con varie formulazioni ha assillato per secoli filosofi e poeti e che molto spesso ha trovato risposte mistiche, fanta­ stiche o puramente retoriche. N on pretendo certo di esaurire il pro­ blema. Dirò solo che una chiave per intendere questa rappresenta­ zione è la ridondanza del mondo, di cui abbiamo già parlato al cap. IV , I l l c. SAGAN e F. 22, 5, 80 ( 1 9 75).

DRAKE,

The Searchfor Extraterrestrial Intelligence,

in '' Scient. Am.

''•

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L ' uuivcno

§ 19. Le leggi fisiche, a partire da quelle elem entari note a tutti anchc a livello prescientifico, perm ettono di riunire in una �meces­ sione finita di simboli infinite informazioni sull'universo. Ciò ha reso possibile la nascita dell'intelligenza, del linguaggio , della cultura. Ma qui finisce questo libro e dovrebbe cominciarne un altro ; mi asterrò dal cominciarlo.

Indici dei norni

e

analitioo

In dice dei nomi

Ackermann, R . , 5 Adams, J. C . , 5 5 1 Agassi , J . , li , l l li , 220. Agazzi, E . , 5, 42, 1 1 7 . Ageno, M . , 29. Al Chwarizmi, :392. Alembert, J. B. D', 249. Ampère, A. M . , 122, 1 3:3, l :3 4. Anderson, C . D. , 370. Appleton, E. V. , 536. Aristotele, :320, 4 1 3 . Arrhenius, 8 . , 325. Avery, O. T . , 52:3. Avogadro, A . , 227, 32 1 . Bachelard, G. , 6 . Bacone, F. , 2 1 , 2 0 2 , 2 0 5 , 4 0 9 , 5 1 3 . Balmer, J. J . , :324. Barber, B. , 9. Bar-Hillel, Y. , 2 7 1 . Bastin , T. , 4 1 2 . Becquerel, H . , 32S. Beli, J. S . , 40 1 , 409. Bellarmino, 2 1 0. Bellone, E . , 2 1 1 , 248, 323. Bergmarm, H . , 308, 4 1 3 . Berkeley, G . , 6 8 , 1 52 , 1 53 , 1 64, 1 65 , 1 90 , 2 1 0, 2 1 3 , 3 1 7 . Berna!, J. , D . , 1 00. Bernardini, G . , 1 5 . Bernoulli , D . , 252. Bernoull i , J . , 260, 266. Bertrand , J . , 263. Birkhoff, G . D . , 287, 403. Black, M., 300, 419, 422. B1acker, C., 495. Blokhintsev, D. I . , 409, 4 1 l . Boas, M . , 1 2 . Bohm, D . , 7 , 396, 401 . Bohr, N . , 7, 330, 332, 346 sgg. , 359, 36 1 , 373, 377, 386, 394, :396, 398, 406, 43 1 , 447.

Boltzmanu, L. , 2 1 1 , 287, 292, 294, 297, 298, 32 1 . Bondi, H . , 7 , 586. Borda, J. C. , 70. Bore!, E . , 264. Born, M . , 7, 168, :357, 359, 3 7 1 , !H4, 380, 406, 4:30. Boutroux, E . , 359 . Bracewell, R. L . , 592. Braginski, V. , 1 93. Braithwaite, R. B., 6. Breck, C . A . D., 1 1 2 , 36 1 . Bridgman, P . W . , 27, 29, 42, 2 1 3 . Briilouin, L . , 20 1 , 3 1 2 . Broglie, L. De, 7 , 208, :35 1 , :352, 356, 359, 394. Bub, J. , 40 1 , 403, 404. Buchdah1, G . , 6. Buffon, G. L . , 559. Bunge, M . , 6, 2 1 , 22, 3 3 , 35, 57, 78 , 80, 2 1 6 , 269, 3 6 1 , 394, 397, 406, 4 1 0, 413. Bunsen, R . W. , 324. Butterfield, H. , 12. Caldirola, P. , 287, 377, 403, 432, 433. Cantar, G . , 320. éapek, M. , 3 1 9 . Capizzi, A . , 320. Carathéoclory, C. , 78. Carnap, R., 6, 10, 22, 3 1 , :!5, :n , 1 1 :3, 2 1 :3, 2 1 4 , 2 6 8 , 271 , 4 1 5 , 429. Carnot, S. , 238, 2 5 1 . Cartesio, 2 1 , 1 3 7 , 558. Casimir, H. B. G . , 9. Cassini, G. D . , 549. Cauchy, L. A . , 68. Cerroni , U . , 9. Chadwick, J., 442. Cheseaux, P. L. De, 585. Chiswell, B., 70. Church, A. , 52.

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110 1 1 1 1

Clape,\Ton, E . , 229, 251. Clausius, R., 2:n , 24;{, 25 1 , 252, 2iiS. C'occou i . G . . 592. Cohen, J . B. , 109. Coheu, L. J .. 361, 4:10. Cohen, H . � . . :J H J . Cole, E. A. B . , 4fi. Cole !la, R. , 1 9:{. Colodn� · . H .. 2 1 9, 4 1 9. Colombo, G . . 544. ( 'omptou , A . H . , 340. Comlillac, E. De, .1 48. Condorcet , A . , 70. Conversi, :\l. , 455. Copern ico, X., 499, 54:{. Costa De Heauregard , O . . :J02, 4 1 7 . Costant in i , D . . 260. ( 'oulomb, ( '. A. , l 09. Cowan, C . , 45:J. Cowperthwa ite Grav