Limiti (Analisi Matematica) [PDF]

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LIMITI

1. La nozione di limite 1.1. Con la nozione di limite viene caratterizzato l'andamento del valore, f(x) , di una funzione in corrispondenza dei valori che l'argomento, x , assume nelle immediate vicinanze di un valore determinato, a , senza riguardo per l'eventuale valore che f assume nel punto a stesso. Tre sono le situazioni che vengono prese in considerazione: a. In corrispondenza di tutti i punti del dominio che sono situati nelle immediate vicinanze di a i valori assunti da f sono arbitrariamente grandi positivi: si dice in tal caso che f diverge positivamente per x che tende ad a, e si scrive lim f ( x ) = +∞

x →a

(limite per x che tende ad a di f(x) uguale a più infinito). In termini geometrici: nelle immediate vicinanze del punto a il grafico di f si innalza indefinitamente, e tende ad accostarsi alla retta verticale x = a , detta asintoto verticale per il grafico di f.. FIGURA. Per x che tende a −1 la funzione positivamente. La retta x = −1 è un asintoto verticale.

f(x) = 1/(x+1)2

diverge

b. In corrispondenza di tutti i punti del dominio che sono situati nelle immediate vicinanze di a i valori assunti da f sono arbitrariamente grandi negativi: si dice in tal caso che f diverge negativamente per x che tende ad a, e si scrive lim f ( x ) = −∞

x →a

(limite per x che tende ad a di f(x) uguale a meno infinito). In termini geometrici: nelle immediate vicinanze del punto a il grafico di f precipita indefinitamente, e tende ad accostarsi alla retta verticale x = a , detta asintoto verticale per il grafico di f.. FIGURA. Per x che tende a −1 la funzione negativamente. La retta x = −1 è un asintoto verticale.

f(x) = −1/(x+1)2

diverge

c. In corrispondenza di tutti i punti del dominio che sono situati nelle immediate vicinanze di a i valori assunti da f sono arbitrariamente prossimi a un determinato numero, L : si dice in tal caso che f converge a L per x che tende ad a, e si scrive lim f ( x ) = L

x →a

(limite per x che tende ad a di f(x) uguale a L). In termini geometrici: nelle immediate vicinanze del punto a le ordinate dei punti corrispondenti del grafico di f sono arbitrariamente prossime al valore L. x2 −1 FIGURA. Per x che tende a 1 la funzione f(x) = x − 1 converge a 2. Può accadere che, nelle immediate vicinanze del punto a non si verifichi nessuna delle situazioni precedenti: in tal caso si dice che per x che tende ad a la funzione f è indeterminata, ovvero che il limite di f non esiste. Ciò si ha, in particolare, quando il comportamento della funzione nelle immediate vicinanze di a non è lo stesso a destra e a sinistra di a stesso. FIGURA Per x che tende a 0 la funzione f(x) = 1/x è priva di limite: nelle immediate vicinanze del punto 0 i suoi valori né risultano tutti arbitrariamente grandi positivi, né tutti arbitrariamente grandi negativi, né tutti prossimi ad alcun numero L. Osservazione. Perché abbiano senso le considerazioni precedenti è ovviamente necessario che esistano punti del dominio di f arbitrariamente prossimi al punto a, senza di che non sarebbe possibile calcolare f nelle immediate vicinanze di a stesso come richiesto. Così, per esempio, sarebbe privo di senso considerare il limite della funzione f(x) = ln x per x che tende a −2, in quanto nelle immediate vicinanze del punto −2 non esistono punti del dominio di f (l'intervallo (0, +∞ )) . 1.2 Con riferimento all'esempio illustrato nella figura si riconosce che, se si restringe l'analisi da una sola parte rispetto ad a , per esempio a destra, l'andamento dei valori della funzione si inquadra nel primo dei casi sopra esaminati: così ristretta, infatti, la funzione diverge positivamente. Con considerazioni perfettamente analoghe si conclude che, ristretta a sinistra del punto 0, la funzione diverge negativamente. In generale, se le situazioni precedentemente descritte ai punti a.,b.,c., si verificano per tutti i valori di x situati nelle immediate vicinanze del punto a e maggiori di a, si parla di limite destro, e si scrive, rispettivamente, lim f ( x ) = +∞

x →a +

lim f ( x ) = −∞

,

x →a +

lim f ( x ) = L

,

x →a +

(limite per x che tende ad a da destra …). FIGURA Per studiare il limite a destra del punto 0 si deve considerare l'andamento dei valori della funzione per tutti i valori di x situati nelle immediate vicinanze di 0 e maggiori di 0, in pratica ignorando ciò che si ha a sinistra. Dunque, lim 1 / x = +∞ x →0+

Considerazioni analoghe a sinistra di a , scrivendosi in tal caso lim f ( x ) = +∞

x →a −

lim f ( x ) = −∞ , x →a −

(limite per x che tende ad a da sinistra …).

lim f ( x ) = L , x →a − .

FIGURA Per studiare il limite a sinistra del punto 0 si deve considerare l'andamento dei valori della funzione per tutti i valori di x situati nelle immediate vicinanze di 0 e minori di 0, in pratica ignorando ciò che si ha a destra. Dunque, lim 1 / x = +∞ x →0−

Osservazione. Può accadere che nelle immediate vicinanze di un dato punto a esistano punti del dominio di f solo da una parte, per esempio, solo a destra: in tal caso, la nozione di limite coincide con quella di limite destro. lim ln x = lim ln x = −∞.

FIGURA

x →0

x →0+

1.3 Tutte le volte che il dominio della funzione f è illimitato superiormente (si potrebbe dire che, in tal caso, esistono punti del dominio "nelle immediate vicinanze di +∞") ha senso cercare di caratterizzare l'andamento dei valori assunti da f in corrispondenza di valori arbitrariamente grandi della variabile indipendente. Le situazioni che vengono caratterizzate sono le stesse già descritte appena sopra, per le quali si usano i simboli lim f ( x ) = +∞

x → +∞

lim f ( x ) = −∞ , x → +∞

lim f ( x ) = L , x → +∞ .

In termini geometrici: il grafico di f , nella sua porzione "all'estrema destra" apparirà innalzarsi indefinitamente nel primo caso, precipitare indefinitamente nel secondo, tendere ad accostarsi alla retta orizzontale y = L (detta asintoto orizzontale destro per il grafico di f) nel terzo, come illustrato nelle figure seguenti (va da sé che l'ispezione dell'"estrema destra" del grafico può essere solo immaginata…). FIGURA La funzione f(x) = ex diverge positivamente per x → +∞. Stesso risultato per ogni funzione esponenziale con base maggiore di 1. FIGURA La funzione f(x) = x2 diverge positivamente per risultato per ogni potenza con esponente positivo.

x → +∞. Stesso

FIGURA La funzione f(x) = 1/x converge a 0 per x → +∞; la retta y = 0 è un asintoto orizzontale destro. Stesso risultato per ogni potenza con esponente negativo. Negli esempi precedenti la semplice ispezione del grafico appare risolutiva per la caratterizzazione dell'andamento delle funzioni considerate "all'estrema destra". In altri casi (v. figura )ciò potrebbe risultare non del tutto convincente, e richiedere analisi più approfondite su cui, peraltro, non insistiamo. FIGURA

La funzione f(x) = ln x diverge positivamente per x → +∞.

Se il dominio di f è illimitato inferiormente (si potrebbe dire, come sopra, che esistono punti del dominio "nelle immediate vicinanze di −∞") si possono ripetere considerazioni analoghe per x → −∞. Alle situazioni, rappresentate dai simboli

lim f ( x ) = +∞

lim f ( x ) = −∞ , x → −∞

x → −∞

lim f ( x ) = L , x →−∞ ,

non è difficile associare il relativo significato geometrico, come illustrato nelle figure seguenti. per

x → −∞. Stesso

FIGURA La funzione f(x) = x3 diverge negativamente per risultato per ogni potenza con esponente positivo dispari.

x → −∞. Stesso

FIGURA La funzione f(x) = x2 diverge positivamente risultato per ogni potenza con esponente positivo pari.

FIGURA La funzione f(x) = ex converge a 0 per x → −∞. La retta y = 0 è un asintoto orizzontale sinistro per il grafico di f. Stesso risultato per ogni funzione esponenziale con base maggiore di 1.

1.4 Raccogliamo alcuni dei risultati precedenti: lim ln x = +∞

,

lim e x = +∞

,

x → +∞ x → +∞

lim ln x = −∞ ,

x →0

lim e x = 0 ,

x → −∞

a

lim x = +∞

x → +∞

,

a positivo,

, ,

a intero positivo pari, a intero positivo dispari,

a

lim x =

x → −∞

+∞ = −∞

cui aggiungiamo lim c = lim c = c

x → +∞

x → −∞

,

qualunque sia la costante c.

2. La nozione di continuità Si è sottolineato all'inizio che ai fini della determinazione del limite di una funzione f in un punto a è rilevante solo il comportamento di f nelle immediate vicinanze di a, e si deve prescindere perciò dal valore che f assume in a , qualora a appartenga al dominio di f. Orbene, in quest'ultimo caso possono presentarsi due situazioni: • •

il limite di f per x → a coincide con il valore f(a), il limite di f per x → a o non esiste, oppure esiste ma è distinto da f(a).

Nel primo caso, in cui i valori che f assume nelle immediate vicinanze di a sono dunque arbitrariamente prossimi al valore assunto in a, la funzione si dice continua in a. Questa proprietà di coerenza tra il valore assunto nel punto a e quelli assunti nei punti

prossimi ad a si traduce, geometricamente, nell'assenza di "strappi" nel grafico di f in corrispondenza di a: il grafico di f si può tracciare, vicino al punto (a, f(a)) , senza staccare la penna dal foglio. Si può dimostrare che tutte le funzioni elementari e, più in generale, tutte le funzioni definite mediante un'espressione elementare sono continue in tutti i punti in cui esse sono definite: conseguentemente, i loro grafici non presentano strappi se non in presenza di "lacune" nel dominio, come per la funzione f(x) = 1/x, per il cui grafico si deve bensì staccare la penna dal foglio, ma solo in corrispondenza del punto 0 che non appartiene al dominio. In virtù di questo risultato si può concludere che gli unici limiti che hanno qualche interesse nei casi elementari di cui sopra (ai quali rivolgeremo prevalentemente la nostra attenzione) sono quelli all'infinito, se il dominio è illimitato, e quelli negli estremi di intervalli aperti di cui sia composto il dominio, poiché la ricerca del limite in qualunque punto del dominio si riduce al calcolo del valore della funzione in esame nel punto stesso. E' chiaro inoltre che, per avere un caso di discontinuità in un punto del dominio, si dovrà ricorrere a una funzione non definita da una espressione elementare come nel seguente. Esempio. Sia  x2 −1  f ( x) =  x − 1  3 

x −1

, x =1

.

x ≠ 1,

Avendosi, per x 2 −1

, x ≠1

=

( x − 1)( x + 1) = x +1 ( x − 1)

ed essendo quest'ultima un'espressione elementare definita (anche) nel punto 1 si ha lim f ( x ) = lim ( x + 1) = 1 + 1 = 2

x →1

x →1

.

Il valore trovato non coincide con il valore di f nel punto 1: la funzione è discontinua nel punto stesso e il suo grafico presenta, corrispondentemente, uno strappo. FIGURA Il grafico della funzione, formato da due semirette e dal punto P , presenta uno strappo in corrispondenza del punto 1 , in cui la funzione non è continua.

3 Aritmetica dei limiti 3.1 Dalla conoscenza dei limiti (in una qualunque delle accezioni sopra descritte: per x che tende a un punto a, eventualmente solo da una parte, ovvero per x che tende all'infinito) di due funzioni f e g è possibile dedurre il limite della somma, f + g, o del prodotto, fg , o del rapporto, f/g ? A questa domanda rispondono sinteticamente le tabelle seguenti, che forniscono una aritmetica dei limiti, nella quale si possono effettuare, sia pure con alcune restrizioni, operazioni impossibili nell'aritmetica ordinaria, come la "divisione per zero", nonché le operazioni sui simboli + ∞ e − ∞.

a. Addizione (+ ∞) + (+ ∞) = + ∞ (− ∞) + (− ∞) = − ∞ +∞±L=+∞ −∞±L=−∞ A parole: • •

la somma di due funzioni divergenti (entrambe positivamente oppure negativamente) è divergente (positivamente o, rispettivamente, negativamente); valgono le stesse regole dei segni dell'aritmetica ordinaria.

b. Moltiplicazione (+ ∞) (+ ∞) = + ∞ (− ∞) (− ∞) = + ∞ (+ ∞) (− ∞) =(− ∞) (+ ∞) = − ∞ (+ ∞) L = L (+ ∞) = + ∞ , se = − ∞ , se (− ∞) L = L (− ∞) = − ∞ , se = + ∞ , se

L>0 L0 L m =2)

=0 (qui n = 2 < m = 4)

4. Infinitesimi e infiniti Si dice che la funzione f è infinitesima (oppure che è un infinitesimo) per x → a se essa converge a 0 per x → a; si dice che f è infinita (oppure che è un infinito) per x → a se essa è divergente per x → a. Definizioni del tutto identiche nel caso di limiti all'infinito. Esempi. x La funzione f ( x) = e è infinitesima per x → −∞ , è infinita per x → +∞. La funzione f(x) = ln x è infinita sia per x → 0 sia per x → +∞.

La funzione

f ( x) = x n ,con n naturale, è infinitesima per x → 0, mentre è infinita per

x → ±∞. Può essere interessante confrontare la "rapidità" con cui due infinitesimi convergono a 0 , ovvero due infiniti divergono, considerandone il rapporto. Se f e g sono entrambe infinitesime per x → a e se f ( x) =0 x → a g ( x) lim

si dice che f è infinitesima di ordine superiore rispetto a g per x → a , o che f tende a zero più rapidamente di g per x → a. Se f e g sono entrambe infinite per x → a e se f ( x) =0 x → a g ( x) lim

si dice che g è infinita di ordine superiore rispetto a f per x → a , o che g tende all'infinito più rapidamente di f per x → a. Esempi. Se p e q sono due naturali, con p > q , le funzioni xp e xq sono entrambe infinitesime per x → 0, ed essendo lim

x →0

xp x

q

= lim x p − q = 0 p − q = 0 x →0

si conclude che, per x → 0, la potenza con esponente intero positivo di grado più elevato tende a zero più rapidamente di quella di grado inferiore. Analogamente, essendo xp e xq infinite per x → +∞, ed essendo lim

xq

x → +∞

x

p

= lim x q − p = x → +∞

1 ∞

p−q

=

1 =0 ∞

si conclude che, per x → +∞ , la potenza con esponente intero positivo di grado più elevato tende all'infinito più rapidamente di quella di grado inferiore. Le funzioni ln x e xp , p naturale, sono entrambe infinite per x → +∞. Poiché risulta (come si troverà nel capitolo seguente) lim

x → +∞

ln x xp

=0

si conclude che per x → +∞ qualunque potenza (con esponente intero positivo) tende all'infinito più rapidamente del logaritmo. Le funzioni ex e xp , p naturale, sono entrambe infinite per x → +∞. Poiché risulta (come si troverà nel capitolo seguente)

lim

x → +∞

xp ex

=0

si conclude che per qualunque potenza.

x → +∞

l'esponenziale tende all'infinito più rapidamente di

4. Limiti di successioni. Serie geometrica 4.1 Si chiama successione una funzione che ha per dominio l'insieme, N, dei numeri naturali: si tratta dunque di una corrispondenza che a ogni numero naturale n associa un ben determinato numero reale. Per le successioni si usano locuzioni e notazioni particolari: • la variabile indipendente, n , è detta indice; • il dominio, N , è detto insieme degli indici; • il corrispondente di n è detto termine n-esimo della successione, e si denota solitamente con un simbolo del tipo an , anziché con f(n). Per esempio, per denotare la successione che a ogni numero naturale n associa il suo reciproco, 1/n , non si scrive f(n) = 1/n ma an = 1/n; è possibile anche elencare per esteso i termini 1 , 1/2 , 1/3 , 1/4 , ….. , 1/n , ….. ovvero racchiudere in parentesi il termine n-esimo: (1/n) . Il grafico di una successione ha la peculiarità di essere formato da punti isolati, aventi per ascissa i numeri naturali, come illustrato nella figura….. FIGURA

Grafico della successione (1/n).

Esempi. Tra le successioni hanno particolare interesse le progressioni: • progressione aritmetica è una successione in cui ogni termine dopo il primo si ottiene dal precedente aggiungendo un medesimo numero r (detto ragione della progressione): per esteso a1 , a1 + r , a1 + 2r , a1 + 3r , ….. , a1 + (n-1)r , …..; • progressione geometrica è una successione in cui ogni termine dopo il primo si ottiene dal precedente moltiplicando per un medesimo numero r (detto ragione della progressione): per esteso a1 , a1r , a1r2 , a1r3 , … , a1rn-1 , …..; per esempio, se a1 = 3 , r = −1/2 si ha, rispettivamente, la progressione aritmetica 3 , 5/2 , 2 , 3/2 , 1 , 1/2 , 0 , −1/2 , …..

e la progressione geometrica 3 , −3/2 , 3/4 , −3/8 , 3/16 , …..; •

progressione armonica è una successione ottenuta da una progressione aritmetica (an) prendendo i reciproci dei suoi termini, (1/an); per esempio, dalla successione dei numeri naturali, (n) , semplice esempio di progressione aritmetica in cui è a1 = 1 e r = 1, si ricava la progressione armonica (1/n).

Per una successione, che, ricordiamo, ha per dominio l'insieme dei numeri naturali, ha senso domandarsi quale sia il comportamento dei suoi termini quando n cresce indefinitamente, vale a dire, ha senso ricercare il limite per n → +∞. Le situazioni che possono presentarsi sono le stesse già classificate in precedenza: una successione potrà essere divergente (positivamente o negativamente), convergente a un numero L, oppure indeterminata. Esempi. Le progressioni aritmetiche sono divergenti: • •

positivamente se la ragione è positiva; negativamente, se la ragione è negativa.

Le progressioni armoniche sono convergenti a zero. Le progressioni geometriche: • sono indeterminate se r ≤ −1 ; • sono convergenti a zero se −1 < r < 1; • sono divergenti, positivamente se il primo termine è positivo, negativamente se il primo termine è negativo, se r > 1. Per r = 1 la progressione è costante. FIGURA La progressione geometrica di primo termine diverge positivamente. FIGURA converge a zero.

La progressione geometrica di primo termine

FIGURA indeterminata.

La progressione geometrica di primo termine

1

3

1

e ragione

e ragione

e ragione

3/2 −1/2

−1

è

Anche per i limiti delle successioni valgono le proprietà e le regole compendiate nelle tabelle del paragrafo 3, ma su ciò non insistiamo. Nota. Di particolare interesse, in Analisi Matematica, è la successione ((1+1/n)n ), ossia 2 , 9/4 , 64/27 , ….

che è convergente, e il suo limite è l'irrazionale naturale per il logaritmo e per l'esponenziale.

e

che, come già visto, funge da base

4.2 A partire da una progressione geometrica di primo termine a1 e ragione r si può costruire una nuova successione, (sn) , detta serie geometrica di primo termine a1 e ragione r, nel modo seguente: s1 = a1 s 2 = a1 + a1r = a1 (1 + r ) s3 = a1 + a1r + a1r 2 = a1 (1 + r + r 2 ) ..................................... s n = a1 (1 + r + r 2 + ... + r n −1 ) ..................................... sn è dunque la somma dei primi n termini della progressione geometrica di partenza. Non è difficile studiare il limite di una serie geometrica. Allo scopo, ricordando che (v………), se r ≠ 1, 2

sn =

a1 (1 + r + r + ... + r

n −1

a 1− rn ) = a1 = 1 (1 − r n ) 1− r 1− r

si ha a1 a (1 − r n ) = 1 (1 − lim r n ) 1− r n → +∞ 1 − r n → +∞

lim s n = lim

n → +∞

e ricordando quanto già visto nel paragrafo precedente a proposito della progressione geometrica di ragione r, si conclude che la serie geometrica • • •

a1

è convergente a 1 − r

lim r n = 0;

se −1 < r < 1 , perché in tal caso n → +∞ lim r n = +∞;

è divergente se r > 1 , perché in tal caso n → +∞

lim r n

è priva di limite se

r ≤ −1 , perché in tal caso il n → +∞

non esiste.

Se r = 1 , e quindi rn = 1 per ogni n , si ha subito sn = a1(1+1+…+1) = a1 n e quindi la serie è divergente. Per motivi facilmente intuibili, il limite di una serie è detto anche somma della serie stessa: si tratta, in definitiva, per n → +∞, della somma degli infiniti termini della progressione di partenza. Si faccia attenzione: come si è visto appena sopra, a differenza che nel caso di un numero finito di addendi, la somma di infiniti addendi può anche non esistere. Per indicare la serie, e così pure per indicare la sua somma, si usa spesso il simbolo di sommatoria:

+∞

a

∑ a1r n −1 = 1 −1r

n =1

se −1 < r < 1.

,

Per esempio, per la serie geometrica di primo termine 3 e ragione −1/2 si ha +∞

3

∑ 3(−1 / 2) n −1 = 1 − (−1 / 2) = 2.

n =1