Lie-algebror [PDF]

Zitiervorschau

MATEMATISKA INSTITUTIONEN STOCKHOLMS UNIVERSITET Avd Matematik Clas L¨ ofwall

1

Liealgebror HT 03

Exempel p˚ a Lie-algebror

Exempel 1 En algebra ¨ over en kropp k ¨ ar ett vektorrum med en bilinj¨ ar operation (det beh¨ over inte finnas n˚ agon etta). Antag att operationen ¨ ar associativ, dvs A(BC) = (AB)C Exempelvis g¨ aller detta f¨ or m¨ angden av reella n × n−matriser med matrismultiplikation. S¨ att [A, B] = AB − BA. D˚ a g¨ aller [A, B] = −[B, A] [A, [B, C]] = [[A, B], C] + [B, [A, C]] En algebra som uppfyller de tv˚ a lagarna (den andra kallas Jacobis identitet) ovan kallas en Lie-algebra (vi f¨ oruts¨ atter att 2 6= 0). Varje Lie-algebra kan f˚ as som en del-Lie-algebra av en Lie-algebra som definieras fr˚ an en associativ algebra som ovan. Exempel 2 P ∂ } d¨ ar fi ¨ ar o¨ andligt deriverbara funktioner i n variabler. L˚ at L = { fi ∂x i L ¨ ar ett delrum av alla operatorer p˚ a C ∞ (Rn ) som ¨ ar en associativ algebra. D¨ armed ¨ ar L en Lie-algebra om det g¨ aller att [D1 , D2 ] ∈ L s˚ a snart Di ∈ L f¨ or i = 1, 2. Men detta f¨ oljer av att termerna av andra ordningen i D1 D2 och D2 D1 tar ut varandra. Om man inskr¨ anker koefficienterna till att vara polynom, s˚ a f˚ ar man ”Witt-algebran”, W (n), som ¨ ar ett exempel p˚ a en enkel (saknar ¨ akta ideal, se nedan) o¨ andligtdimensionell Lie-algebra. Exempel 3 Operatorerna i f¨ oreg˚ aende exempel ¨ ar ”derivationer” i f¨ oljande precisa mening. L˚ at A vara en algebra (ej n¨ odv¨ andigtvis associativ). En linj¨ ar avbildning D : A → A kallas en derivation om D(ab) = D(a)b + aD(b) f¨ or alla a, b ∈ A. Det g¨ aller att m¨ angden av derivationer p˚ a en algebra ¨ ar en Lie-algebra. Det som beh¨ over bevisas ¨ ar att [D1 , D2 ] ¨ ar en derivation om D1 och D2 ¨ ar derivationer. Det ¨ ar l¨ aP tt att se att derivationerna p˚ a polynomringen k[x1 , . . . , xn ] ¨ ar av ∂ formen D = pi ∂x d¨ a r p a r polynom (ty en derivation D a r entydigt best¨ amd ¨ ¨ i i av D(xi ) och dessa kan v¨ aljas godtyckligt). P˚ a detta s¨ att blir W (n) ett specialfall av Exempel 3. 1

Exempel 4 Eftersom en Lie-algebra L speciellt a a ger Exempel ¨r en algebra, s˚ 3 att Der(L) = m¨ angden av derivationer p˚ aLa r en Lie-algebra. Givet x ∈ L, ¨ s˚ aa r ad : L → L, definierad av ad (y) = [x, y], en derivation. Detta f¨ oljer av ¨ x x Jacobis identitet. Dessa derivationer p˚ a L kallas inre derivationer. Det g¨ aller ocks˚ a att avbildningen ad : L → Der(L), definierad av ad(x) = adx , a ¨r en Lie-homomorfism. Detta f¨ oljer ocks˚ a av Jacobis identitet, ty [[x, y], z] = [x, [y, z]] − [y, [x, z]] K¨ arnan till ad best˚ ar av alla x ∈ L s˚ adana att [x, y] = 0 f¨ or alla y ∈ L. Detta ”ideal” kallas centrum till L och skrives Z(L). Det f¨ oljer att m¨ angden av inre derivationer ¨ ar en Lie-algebra som ¨ ar isomorf med L/Z(L). Som vanligt kan man definiera ”ideal” i L som en delm¨ angd av L som ¨ ar k¨ arnan till en homomorfism fr˚ an L till n˚ agon Lie-algebra. Mer explicit ¨ ar ett ideal ett delrum I av L, s˚ a att [x, y] ∈ I f¨ or alla x ∈ L och y ∈ I. Detta kan ocks˚ a uttryckas som att [L, I] ⊂ I, d¨ ar f¨ or godtyckliga delrum U och V av L, [U, V ] betecknar delrummet som genereras av alla element [x, y] d¨ ar x ∈ U och y ∈ V. Observera att det inte ¨ ar n˚ agon skillnad p˚ a v¨ anster- och h¨ ogerideal. Om S ¨ ar en godtycklig delm¨ angd av L, s˚ a kan man bilda idealet som genereras av S. Detta ideal kan beskrivas p˚ a f¨ oljande s¨ att. Bilda f¨ orst delvektorrummet V som genereras av S. Bilda d¨ arefter delrummen [L, V ], [L, [L, V ]], osv. Idealet ar nu summan V + [L, V ] + [L, [L, V ]] + · · · . Observera allts˚ a att det inte r¨ acker ¨ att bilda V + [L, V ], vilket hade varit fallet om L varit en associativ algebra. Exempel p˚ a ideal ¨ ar Z(L) ovan och [L, L] som utg¨ ores av delrummet genererat av alla [x, y] f¨ or x, y ∈ L. Givet ett ideal I, s˚ a kan man definiera en ny Lie-algebra L/I p˚ a vanligt s¨ att. En Lie-algebra som saknar ¨ akta ideal kallas enkel (per definition undantar man 0 och den 1-dimensionella Lie-algebran). Den minsta enkla Lie-algebran ¨ ar sl(2) (¨ over en kropp med karakteristik 6= 2, se Exempel 5). En annan 3-dimensionell enkel reell Lie-algebra ¨ ar vektorerna i rymden med vektorprodukt som Lie-produkt. Den ¨ ar inte isomorf med sl(2) over de reella talen (betecknas sl(2, R)). Om man d¨ aremot utvidgar skal¨ arerna ¨ till de komplexa talen, s˚ a blir Lie-algebrorna isomorfa. Det g¨ aller ocks˚ a att sl(2, C) betraktad som en reell Lie-algebra ¨ ar enkel, men denna Lie-algebra ¨ ar ju 6-dimensionell. Exempel 5 L˚ at L = gl(n) = m¨ angden av n×n−matriser ¨ over en kropp (gl st˚ ar f¨ or ”general linear”). D˚ a g¨ aller att [L, L] = m¨ angden av matriser A med tr(A)=0 (sp˚ aret ¨ ar 0); denna Lie-algebra betecknas sl(n) (sl st˚ ar f¨ or ”special linear”). L˚ at n¨ amligen eij beteckna standardbaselementet som har en etta p˚ a plats (i, j) och nollor f¨ or ¨ ovrigt. D˚ a g¨ aller att [eii , eij ] = eij och [eji , eij ] = ejj − eii om i 6= j, vilket visar att alla matriser med sp˚ aret 0 tillh¨ or [L, L]. Vidare g¨ aller att tr(AB) = tr(BA) och d¨ arf¨ or har alla matriser i [L, L] sp˚ aret 0. Det ¨ ar l¨ att att se att Z(L) = m¨ angden av alla skal¨ armatriser, dvs matriser p˚ a formen λE, d¨ ar E ¨ ar enhetsmatrisen. Vidare g¨ aller, om karakteristiken f¨ or kroppen ¨ ar 0, att L = [L, L] ⊕ Z(L), ty varje matris A kan skrivas A = (A − n1 tr(A)E) + n1 tr(A)E och [L, L] ∩ Z(L) = 0 eftersom 0 = tr(λE) = nλ ger att λ = 0. Dessutom g¨ aller att uppdelningen L = [L, L] ⊕ Z(L) ocks˚ a bevarar Lieprodukten, dvs Lie-produkten ber¨ aknas komponentvis. Man s¨ ager att L ¨ ar direkta produkten av [L, L] och Z(L). Alternativt kan man s¨ aga mer abstrakt att gl(n) ¨ ar isomorf med direkta produkten av sl(n) och en 1-dimensionell Liealgebra (den senare ¨ ar automatiskt ”abelsk”, dvs Lie-produkten ¨ ar 0). 2

I positiv karakteristik g¨ aller inte ovanst˚ aende. I det fallet finns fortfarande ett 1-dimensionellt delrum B, som automatiskt a ¨r en Lie-delalgebra men som dock inte a r ett ideal, s˚ a att L = [L, L] ⊕ B. Detta a ¨ ¨r inte en direkt produkt utan en ”semi-direkt” produkt, se Exempel 8. Exempel 6 En Lie-algebra av dimension n ¨ ar best¨ amd av ”strukturkonstanterna”. L˚ at e1 , . . . , en vara en bas. D˚ a g¨ aller att X [ei , ej ] = cijk ek k

f¨ or vissa element cijk i kroppen. Dessa konstanter kallas strukturkonstanterna f¨ or Lie-algebran. F¨ or att axiomen skall vara uppfyllda m˚ aste f¨ oljande g¨ alla X

cijk = −cjik cijν cνkm + cjkν cνim + ckiν cνjm = 0

ν

Det g¨ aller allts˚ a att m¨ angden av alla Lie-algebror av en viss dimension n utg¨ or en algebraisk m¨ angd (dvs kan uppfattas som alla punkter i n˚ agot k N som uppfyller vissa polynomekvationer). Dess ”koordinatring” ¨ ar en kvot av en polynomring med vissa kvadratiska polynom. Till exempel ¨ ar koordinatringen f¨ or alla 3-dimensionella Lie-algebror f¨ oljande ring. k[c121 , c122 , c123 , c131 , c132 , c133 , c231 , c232 , c233 ] modulo idealet som genereras av f¨ oljande tre polynom c122 c231 − c232 c121 − c233 c131 + c133 c231 c121 c132 − c233 c132 − c131 c122 + c133 c232

c121 c133 + c122 c233 − c232 c123 − c131 c123

Intressantare ¨ ar egentligen m¨ angden av alla isomorfiklasser av Lie-algebror av en viss dimension, men den ¨ ar knepigare att beskriva (den best˚ ar av alla banor under en verkan av gruppen GL(n) p˚ a m¨ angden ovan). Exempel 7 Analogt med gl(n) kan man bilda Lie-algebran End(V ), som best˚ ar av alla linj¨ ara avbildningar fr˚ an vektrorrummet V till sig sj¨ alv. Om f, g ∈ V, s˚ a definieras Lie-produkten [f, g] som f ◦ g − g ◦ f. Det a ¨r klart att End(V ) a ¨r isomorf med gl(n). En isomorfi fr˚ an End(V ) till gl(n) f˚ as genom att v¨ alja en bas f¨ or V och avbilda f p˚ a dess matris i denna bas. Vi har att Der(L) som inf¨ ordes i Exempel 4 a r en Lie-delalgebra av End(L). Om L a r en godtycklig Lie-algebra, ¨ ¨ s˚ a s¨ ages en Lie-algebra-homomorfism θ : L → End(V ) vara en representation av L p˚ a V. Ist¨ allet f¨ or att skriva θ(x)(v) brukar man skriva x.v (f¨ orutsatt att det inte ¨ ar flera representationer samtidigt som studeras). Villkoret f¨ or att vara en representation ¨ ar d˚ a att tillordningen x.v skall vara bilinj¨ ar och x.(y.v) − y.(x.v) = [x, y].v Representationer av L ¨ ar detsamma som moduler ¨ over den envelopperande algebran till L (som kommer att inf¨ oras senare). Man anv¨ ander ¨ and˚ a ofta uttryckss¨ attet ”M ¨ ar en modul ¨ over L” f¨ or en representation M av L. Exempelvis 3

a ¨r k n en representation av gl(n) via matrismultiplikation. Varje Lie-algebra a ¨r en representation av sig sj¨ alv via ”ad”. Vi visade n¨ amligen i Exempel 4 att ad : L → Der(L) ⊂ End(L) a ¨r en Lie-algebra-homomorfi. Exempel 8 Om I ¨ ar ett ideal i en Lie-algebra L, s˚ a har man en exakt svit 0 → I → L → L/I → 0 Man s¨ ager att sviten splittrar om det finns en Lie-algebra-homomorfi L/I → L som sammansatt med projektionen p˚ a L/I blir identiteten. Detta ¨ ar detsamma som att det finns en Lie-delalgebra B av L, s˚ a att L = I ⊕ B. Lie-produkten p˚ a L¨ ar best¨ amd av Lie-produkten p˚ a I och B och produkten B × I → I. Denna senare best¨ ammer I som en B−modul, med till¨ agget att operationerna av B p˚ a I ¨ ar derivationer, dvs vi har en Lie-algebra-homomorfi B → Der(I). Om man startar abstrakt (dvs, vi har ¨ annu inte tillg˚ ang till L) med tv˚ a Lie-algebror B och I och en en Lie-algebra-homomorfi B → Der(I), s˚ a kan man definiera en Lie-algebra-struktur p˚ a B ⊕ I genom [(b, u), (b0 , v)] = ([b, b0 ], [u, v] + b.v − b0 .u) Det ¨ ar en l¨ amplig ¨ ovning att visa att denna produkt uppfyller Jacobis identitet. Konstruktionen kallas semi-direkta produkten av B med I. Vi har sett exempel p˚ a semi-direkt produkt i Exempel 5 och vi skall se ett annat i n¨ asta exempel. Exempel 9 Lie-algebror ¨ ar ofta ”graderade”, vanligtvis ¨ over heltalen (men det g˚ ar ocks˚ a bra att anv¨ anda en abelsk halvgrupp). Med detta menas att man har en uppdelning som vektorrum L = ⊕i∈Z Li

och [Li , Lj ] ⊂ Li+j

Exempelvis har vi att gl(n) = ⊕gl(n)i d¨ ar gl(n)i ¨ ar delrummet som genereras av alla standardbaselement p˚ a formen ej,j+i . I sj¨ alva verket ¨ ar detta en uppdelning av gl(n) som associativ algebra och d¨ armed ocks˚ a som Lie-algebra. Observera att de nollskilda graderade komponenterna finns i graderna −n + 1, . . . , n − 1. Wittalgebran W (n) (se Exempel 2) ¨ ar ocks˚ a Z−graderad genom att l˚ ata polynom ha vanlig grad och differentialoperatorerna ha grad −1. P˚ a detta s¨ att blir W (n) graderad med nollskilda komponenter i grad −1, 0, 1, 2, . . .. Man kan ocks˚ a skapa nya Lie-algebror med hj¨ alp av graderingar. Om L ¨ ar en Lie-algebra, s˚ a¨ ar ocks˚ a ”loop-algebran” till L, loop(L) en Lie-algebra, d¨ ar loop(L) = ⊕Z Li

och Li = L f¨ or alla i

och Lie-produkten av x ∈ Li och y ∈ Lj a ¨r [x, y] betraktat som ett element i Li+j . (Loop-algebran a r ett specialfall av en allm¨ annare konstruktion. L˚ at ¨ n¨ amligen A vara en kommutativ, associativ graderad algebra. D˚ a blir L ⊗ A p˚ a ett naturligt s¨ att en graderad Lie-algebra. Loop-algebran f˚ ar man genom att som A v¨ alja algebran av Laurent-polynom, A = k[t, t−1 ].) 4

L˚ at L vara en godtycklig Z−graderad Lie-algebra. D˚ a g¨ aller att avbildningen r a L. d : L → L definierad genom [d, x] = ix f¨ or x ∈ Li a ¨ en derivation p˚ (Denna derivation kallas Euler-derivationen.) D¨ arf¨ or kan man bilda semi-direkta produkten av den 1-dimensionella Lie-algebran k · d med L. Genom att l˚ ata d ha graden 0, s˚ a blir den nya algebran ocks˚ a Z−graderad. Visa som o or denna konstruktion p˚ a loop(L), d¨ ar ¨vning att om man genomf¨ La r enkel, s˚ a erh˚ alles en ny Lie-algebra vars enda ideal a r 0 och loop(L) (om ¨ ¨ karakteristiken a ¨r 0). Exempel 10 Alla ¨ overtriangul¨ ara matriser t(n) = ⊕i≥0 gl(n)i bildar en graderad Lie-delalgebra av gl(n). Det g¨ aller att t(n)0 = [t(n), t(n)] utg¨ ores av alla strikt ¨ overtriangul¨ ara matriser, dvs t(n)0 = ⊕i≥1 gl(n)i . Detta f¨ oljer av att diagonalmatriserna kommuterar och att [eii , eij ] = eij . Vidare g¨ aller att t(n)(2) = [t(n)0 , t(n)0 ] = ⊕i≥2 gl(n)i

t(n)(3) = [t(n)(2) , t(n)(2) ] = ⊕i≥4 gl(n)i osv.

Till slut f˚ ar man att t(n)(k) = 0 f¨ or tillr¨ ackligt stort k. Allm¨ ant f¨ or en Liealgebra L definieras den ”h¨ arledda serien” som L(0) = L och L(k+1) = [L(k) , L(k) ] f¨ or k ≥ 0. Om L(k) = 0 f¨ or n˚ agot k s˚ a s¨ ages L vara uppl¨ osbar. Det g¨ aller allts˚ a att t(n) ar uppl¨ osbar. Det finns en annan serie som kallas den ”l¨ agre centrala serien”. ¨ Den definieras som L0 = L och Lk+1 = [L, Lk ] f¨ or k ≥ 0. ar nilpotent Om Lk = 0 f¨ or n˚ agot k s˚ a s¨ ages L vara nilpotent. Det g¨ aller att t(n)0 ¨ (detta f¨ oljer av att den ¨ ar positivt graderad och ¨ andligtdimensionell). Exempel 11 Exempel 2 kan generaliseras till godtyckliga C ∞ m˚ angfalder M . Ett C ∞ vektorf¨ alt X ¨ ar en operator p˚ a C ∞ (M ) som lokalt har formen som i Exempel 2. Lie-produkten definieras som f¨ orut. Om m˚ angfalden ¨ ar en Lie-grupp G (dvs m˚ angfalden ¨ ar en grupp med C ∞ gruppoperationer), s˚ a kan man studera speciella vektorf¨ alt, n¨ amligen de som ”translateras” fr˚ an operatorer i enhetsP ∂ punkten: ai ∂x , d¨ a r a ∈ R. Med detta menas att v¨ a rdet av vektorf¨ altet i en i i punkt (y1 , . . . , yn ), med lokala koordinater med samma namn, ges p˚ a f¨ oljande s¨ att. Bilda Jacobianen f¨ or funktionen x 7→ yx i enhetspunkten. Denna matris (som ¨ ar en funktion av y) multipliceras sedan med kolonnmatrisen (a1 , . . . , an ) och resultatet skal¨ armultipliceras sedan med vektorn ∂y∂ 1 , . . . , ∂y∂n . Det ¨ ar dessa vektorf¨ alt med tillh¨ orande Lie-produkt som utg¨ or Lie-algebran till Lie-gruppen. Eftersom vektorf¨ alten kan identifieras med de konstanta operatorerna i enhetspunkten, s˚ a¨ ar Lie-algebran som ett vektorrum lika med Rn . 5

H¨ ar a at G vara gruppen av alla 3 × 3−matriser p˚ a ¨r ett enkelt exempel. L˚ formen   1 x 1 x2 0 1 x 3  0 0 1

Som m˚ angfald a ¨r G lika med R3 . Vi har att     1 x1 + y 1 1 x 1 x2 1 y 1 y2 0 1 y3  0 1 x3  = 0 1 0 0 0 0 1 0 0 1

D¨ arf¨ or ¨ ar den s¨ okta Jacobianen lika med   1 0 0 0 1 y 1  0 0 1

 x2 + y 2 + y 1 x3  x3 + y3 1

∂ ∂ Detta betyder att de utvidgade vektorf¨ alten till ∂x och ∂x ar of¨ or¨ andrade, ¨ 1 2 dvs, om vi anv¨ ander oss av koordinaterna (y1 , y2 , y3 ), Y1 = ∂y∂ 1 och Y2 = ∂y∂ 2 , ∂ ar medan det utvidgade vektorf¨ altet till ∂x ¨ 3

Y3 = y 1

∂ ∂ + ∂y2 ∂y3

Nu kan vi ber¨ akna Lie-produkterna. Den enda icke-triviala ¨ ar [Y1 , Y3 ]. Vi har [Y1 , Y3 ](y2 ) = Y1 (Y3 (y2 )) − Y3 (Y1 (y2 )) = Y1 (y1 ) = 1 ar 0. Allts˚ a g¨ aller att [Y1 , Y3 ] = Y2 och medan v¨ ardet p˚ a funktionerna y1 och y3 ¨ allts˚ a ser vi att gruppens Lie-algebra ¨ ar isomorf med Lie-delalgebran av gl(3) best˚ aende av matriserna p˚ a formen   0 x 1 x2 0 0 x 3  0 0 0

Den h¨ ar metoden (som endast utg˚ ar fr˚ an definitionen) ¨ ar inte s˚ a praktisk att anv¨ anda i allm¨ anhet f¨ or att best¨ amma Lie-algebran till en given ”algebraisk” matris-grupp (exemplet ovan ¨ ar en s˚ adan). D˚ a¨ ar det b¨ attre att anv¨ anda tekniken i Serres bok, sid 3. Exempel 12 Variabler som inte kommuterar men d¨ aremot anti-kommuterar, dvs xy = −yx, f¨ orekommer t.ex. d˚ a man r¨ aknar med differentialformer. Dessutom anv¨ ands de i fysiken, d¨ ar man betraktar s.k. ”supersymmetrier” och ”supergrupper”. Man kan t¨ anka p˚ a en supergrupp som generalisering av en Liegrupp p˚ a s˚ a s¨ att att man har tillg˚ ang till koordinatfunktioner som dels kommuterar, dels anti-kommuterar. Anti-kommuterande variabler dyker ocks˚ a naturligt upp i olika homologi-teorier, exempelvis bildar kohomologi-grupperna till ett topologiskt rum en algebra som ¨ ar ”kommutativ” med tecken, dvs xy = (−1)pq yx, d¨ ar graden f¨ or x ¨ ar p och graden f¨ or y ¨ ar q. Man kan s¨ aga lite l¨ ost att f¨ orekomsten av en orientering av objekt som studeras ger upphov till tecken. 6

Vi kommer allm¨ ant att anv¨ anda oss av epitetet ”super” f¨ or att beteckna att vi har en gradering o ver Z/2Z. En superalgebra a r t.ex. en algebra A med en ¨ ¨ uppdelning A = A0 ⊕ A1 . Vi kallar elementen i A0 ”j¨ amna” och elementen i A1 ”udda”. Uppdelningen a ¨r kompatibel med multiplikationen, vilket i detta fall inneb¨ ar att produkten av tv˚ a element av samma paritet a amn medan ¨r j¨ produkten av tv˚ a element med olika paritet a r udda. Om a ∈ A , a s¨ ager vi ¨ i s˚ ocks˚ a att graden f¨ or a a r i och skriver |a| = i. I formler d¨ a r man byter plats p˚ a ¨ |a||b| tv˚ a symboler a och b f¨ orekommer ofta ett tecken som a r (−1) . Vi anv¨ a nder ¨ oss av det f¨ orenklade skrivs¨ attet (−1)ab . En derivation D p˚ a en superalgebra ¨ ar en linj¨ ar avbildning av grad d (d = 0 eller d = 1), s˚ adan att D(ab) = D(a)b + (−1)ad aD(b) Kommutatorn [a, b] i en superalgebra definieras genom [a, b] = ab − (−1)ab ba Kommutatorn uppfyller identiteten [a, b] = −(−1)ab [b, a] Om algebran ¨ ar associativ, s˚ a uppfylls ocks˚ a f¨ oljande generalisering av Jacobis identitet [a, [b, c]] = [[a, b], c] + (−1)ab [b, [a, c]] Ett superalgebra med en multiplikationsregel [·, ·] som uppfyller de tv˚ a axiomen ovan kallas en Lie-superalgebra. M¨ angden av derivationer p˚ a en superalgabra ¨ ar en Lie-superalgebra. Det g¨ aller att skilja p˚ a begreppen Lie-superalgebra och graderad Lie-algebra enligt Exempel 9. I en graderad Lie-algebra r¨ aknar man som vanligt utan tecken, man har bara en uppdelning av Lie-algebran som ¨ ar kompatibel med produkten (ibland anv¨ andes beteckningen ”vikt” ist¨ allet f¨ or grad, f¨ or att undvika missf¨ orst˚ and). Ibland har man en graderad Lie-superalgebra, dvs tv˚ a graderingar, en Z−grad (som inte ger upphov till tecken) och en supergrad. Graderingarna skall h¨ anga ihop, vilket inneb¨ ar att elementen i varje Z−grad skall vara direkta summan av j¨ amna och udda element. D¨ aremot beh¨ over inte supergraden f˚ as genom att reducera Z−graden modulo 2, t.ex. kan elementen av grad 1 best˚ a av b˚ ade j¨ amna och udda element. Om det g¨ aller att supergraden f˚ as fr˚ an Z−graden modulo 2, s˚ a s¨ ages graderingen vara ”konsistent”. Den yttre algebran p˚ a variablerna x1 , . . . , xn , ¨ aP r en superalgebra och deri∂ vationerna p˚ a denna ¨ ar som f¨ orut p˚ a formen D = pi ∂x d¨ ar pi ¨ ar element i i den yttre algebran. Eftersom yttre algebran ¨ ar ¨ andligtdimensionell, s˚ a f˚ ar vi p˚ a detta s¨ att ¨ andligtdimensionella Lie-superalgebror. T.ex. f˚ ar vi en 8-dimensionell Lie-superalgebra, genom att v¨ alja n = 2. En bas f¨ or denna Lie-algebra a ¨r {

∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ , , x1 , x1 , x2 , x2 , x 1 x2 , x 1 x2 } ∂x1 ∂x2 ∂x1 ∂x2 ∂x1 ∂x2 ∂x1 ∂x2

Den ¨ ar enkel och isomorf med sl(2, 1) (se nedan). Om V = V0 ⊕ V1 ¨ ar ett supervektorrum (vilket bara betyder att man har en direkt summa), s˚ a¨ ar End(V ) = End(V )0 ⊕ End(V )1 en superalgebra, d¨ ar 7

End(V )0 best˚ ar av de endomorfier som avbildar V0 in i V0 och V1 in i V1 och End(V )1 best˚ ar av de endomorfier som avbildar V0 in i V1 och V1 in i V0 . Om man v¨ aljer baser f¨ or V0 och V1 , s˚ a a or en endomorfi f p˚ a V en ¨r matrisen f¨ blockmatris   A C D B d¨ ar uppdelningen av f i en j¨ amn och en udda del ges av     0 C A 0 + D 0 0 B P˚ a detta vis kan man betrakta gl(m, n) = m¨ angden av blockmatriser av storlek (m + n) × (m + n) som en Lie-superalgebra isomorf med End(V ). Eftersom kommutatorn mellan tv˚ a udda endomorfier f och g ¨ ar f g + gf, s˚ a inneb¨ ar detta t.ex. att       0 C 0 C0 CD0 + C 0 D 0 , = D 0 D0 0 0 DC 0 + D0 C Som f¨ orut g¨ aller att sl(m, n) = [gl(m, n), gl(m, n)] = m¨ angden av matriser med sp˚ aret 0, men det g¨ aller att definiera sp˚ aret p˚ a r¨ att s¨ att i superfallet. Vi s¨ ager att supersp˚ aret, ”str”, f¨ or en blockmatris X ¨ ar   A C str(X) = str = tr(A) − tr(B) D B Formeln ovan f¨ or Lie-produkten av tv˚ a udda matriser visar att supersp˚ aret ¨ ar noll i detta fall och ¨ ovriga fall ¨ ar enkla att kontrollera. Att alla matriser med supersp˚ aret 0 ges av en Lie-produkt ¨ ar ocks˚ a enkelt att kontrollera. Om m 6= n, s˚ a g¨ aller som f¨ orut att gl(m, n) ¨ ar en direkt produkt, gl(m, n) = sl(m, n)⊕Z, d¨ ar Z = centrum = m¨ angden av skal¨ armatriser. Om m = n, s˚ a har enhetsmatrisen supersp˚ aret 0 och ligger d¨ arf¨ or i sl(n, n). Det g¨ aller att sl(m, n) ¨ ar enkel om m > n och m ≥ 2 och sl(n, n)/(k · E) ¨ ar enkel om n > 1. Exempel 13 L˚ at F ∈ gl(n) vara n˚ agon given matris. D˚ a g¨ aller att LF = {A ∈ gl(n); A∗ F = −F A} ar en Lie-algebra, vilket man l¨ att kontrollerar. Antag att T ∈ GL(n) och ¨ antag att A ∈ LF . D˚ a ger en enkel r¨ akning att (T ∗ )−1 AT ∗ ∈ LT F T ∗ . Avbildar en algebra-isomorfi. ningen gl(n) → gl(n) som definieras av A 7→ (T ∗ )−1 AT ∗ ¨ Dess restriktion till LF ger en Lie-algebra-isomorfi LF → LT F T ∗ . Om F ¨ ar symmetrisk, det(F ) 6= 0 och k = C, s˚ a finns T s˚ a att T F T ∗ = I (kvadratkomplettering av den kvadratiska formen som F best¨ ammer). Allts˚ a¨ ar Lie-algebran {A ∈ gl(n); A∗ = −A} isomorf med LF f¨ or alla F, F symmetrisk, det(F ) 6= 0. Ist¨ allet f¨ or att v¨ alja F = I, s˚ a brukar man v¨ alja (jfr t.ex. Humphreys, sid 3)   0 0 1 0 I F = 0 0 I 0 8

n udda, och F =



0 I

I 0



om n ¨ ar j¨ amnt. Antag nu ist¨ allet att F ¨ ar anti-symmetrisk (kallas ocks˚ a skev-symmetrisk), dvs F ∗ = −F, och att det(F ) 6= 0. Det f¨ oljer att antalet kolonner i F ¨ ar j¨ amnt. Betrakta som f¨ orut den kvadratiska formen som F best¨ ammer, men nu med icke-kommuterande variabler xi . Eftersom F ¨ ar anti-symmetrisk, s˚ a¨ ar formen en linj¨ arkombination av xi ∧ xj = xi xj − xj xi . Det ¨ ar nu l¨ att att g¨ ora ett koordinatbyte, s˚ a att formen f˚ ar utseendet x1 ∧ x2 + x2 ∧ x3 + x3 ∧ x4 + . . . . Med ytterligare ett koordinatbyte och nytt namn p˚ a koordinaterna kan man f˚ a formen till x1 ∧ y 1 + x 2 ∧ y 2 + x 3 ∧ y 3 + . . . . Detta svarar mot att matrisen F ¨ ar F =



0 −I

I 0



Exempel 14 Lie-algebror definierade genom att ge en derivation d p˚ a en yttre algebra s˚ a att d2 = 0. Exempel 15 Lie-algebran till en grupp (lektion 4). Exempel 16 Whitehead-produkten p˚ a homotopi-grupperna till ett topologiskt rum. Exempel 17 Pre-Lie-algebror (h¨ ogersymmetriska algebror). Exempel: en algebra med en derivation. Witt-algebran.

2

Fria konstruktioner

2.1

Fria m¨ angdkonstruktioner

En ”magma” ¨ ar en m¨ angd f¨ orsedd med en tv˚ ast¨ allig operation. Den fria magman MX p˚ a en m¨ angd X utg¨ ores av alla syntaktiska uttryck som kan bildas fr˚ an X och den tv˚ ast¨ alliga operationen. Detta kan ocks˚ a ses som m¨ angden av alla bin¨ ara plana rotade tr¨ ad vars l¨ ov ¨ ar markerade med element fr˚ an m¨ angden X (att tr¨ aden ¨ ar bin¨ ara inneb¨ ar att det ¨ ar precis tv˚ a grenar i varje nod; att tr¨ aden ar ”plana” inneb¨ ar att grenar inte f˚ ar byta plats, vilket skulle vara fallet om ¨ tr¨ aden betraktades i rymden). En rekursiv definition av den fria magman MX p˚ aX ¨ ar f¨ oljande: • a ∈ X ⇒ a ∈ MX • x, y ∈ MX ⇒ (xy) ∈ MX Den andra regeln kan ocks˚ a ses som definition av sammans¨ attningsregeln f¨ or element i MX . H¨ ar ¨ ar ett exempel p˚ a ett element i M{a,b,c} . Med syntaktisk notation: ((ab)(c(a(ba)))) 9

Med tr¨ adnotation: rb @ ra @ rc @ a r @

b r @r @

ra @

@r

@r

@s

Den fria magman har en speciell egenskap som den delar med alla andra fria objekt, s˚ asom fria gruppen, fria algebran, fria Lie-algebran. Denna egenskap ar en ”universell” egenskap, vilket g¨ or det fria objektet entydigt best¨ amt. F¨ or ¨ den fria magman kan egenskapen formuleras s˚ a h¨ ar. Givet en godtycklig magma M s˚ a ¨ ar en magma-homomorfi fr˚ an MX till M entydigt best¨ amd av homomorfins v¨ arden p˚ a X och dessa kan v¨ aljas godtyckligt. I diagramform blir detta f¨ oljande. (L˚ at i vara den naturligt definierade m¨ angdavbildningen i : X → MX .) f - M X  i ∃! ? MX Det g¨ aller ocks˚ a att varje magma A a ¨r en kvot av en fri magma (den identiska avbildningen A → A ger en surjektiv homomorfi MA → A). En associativ magma ¨ ar en magma d¨ ar den tv˚ ast¨ alliga operationen uppfyller den associativa lagen. En s˚ adan kallas ocks˚ a en ”semigrupp” (om det finns ett neutralt element ocks˚ a s˚ a s¨ ager man att man har en ”monoid”). Den fria semigruppen SX p˚ a en m¨ angd X utg¨ ores av alla ”ord” (eller ”str¨ angar”) i ”alfabetet” X med ”sammans¨ attning” av ord som operation. Analogt med fallet f¨ or den fria magman, s˚ a har den fria semigruppen den universella egenskapen att en homomorfi fr˚ an SX till en semigrupp S ¨ ar entydigt best¨ amd av homomorfins v¨ arden p˚ a X (och dessa kan v¨ aljas godtyckligt). En annan beskrivning av den fria semigruppen p˚ a en m¨ angd X ¨ ar som kvoten av MX modulo kongruensrelationen (en kongruensrelation ¨ ar en ekvivalensrelation som ¨ ar kompatibel med produkten) som genereras av relationen att ((xy)z) ¨ ar ekvivalent med (x(yz)) f¨ or alla x, y, z ∈ MX . Att denna konstruktion ar isomorf med SX ovan f¨ oljer av att b˚ ada uppfyller den universella egenskapen ¨ och det ¨ ar ett allm¨ ant fenomen att ett objekt som uppfyller den universella egenskapen ¨ ar entydigt best¨ amt (visa detta som ¨ ovning). Den fria monoiden M onX p˚ a en m¨ angd X utg¨ ores av SX tillsammans med den tomma str¨ angen. Den uppfyller en analog universell egenskap f¨ or monoider.

10

En grupp a ar varje element har en invers. Den fria gruppen ¨r en monoid, d¨ FX (Serres val av beteckning) p˚ a en m¨ angd X best˚ ar av alla str¨ angar (inklusive den tomma str¨ angen) i alfabetet X ∪ X −1 , d¨ ar X −1 = {a−1 ; a ∈ X}, modulo ekvivalensrelationen som s¨ ager att tv˚ a str¨ angar a ¨r ekvivalenta om den ena kan o verf¨ o ras i den andra genom att successivt l¨ a gga till eller ta bort f¨ orekomster ¨ av aa−1 eller a−1 a i str¨ angen. Det a r ganska l¨ a tt att se att detta blir en grupp, ¨ som har den universella egenskapen att givet en m¨ angdavbildning f : X → G, s˚ a finns precis en grupphomomorfi g : FX → G s˚ adan att f = g ◦ i, d¨ ar i a ¨r den naturliga avbildningen X → FX . Liksom i de tidigare fria konstruktionerna g¨ aller det att i ¨ ar injektiv, men i detta fall ¨ ar detta inte helt trivialt (men ¨ and˚ a l¨ att att bevisa). Precis som f¨ orut kan vi dra slutsatsen att varje grupp ¨ ar kvot av en fri grupp.

2.2

Fria vektorrumskonstruktioner

En algebra ¨ over en kropp k ¨ ar ett vektorrum med en bilinj¨ ar tv˚ ast¨ allig operation. Den fria algebran AX p˚ a en m¨ angd X utg¨ ores av vektorrummet med bas MX , den fria magman p˚ a X. Den tv˚ ast¨ alliga operationen definieras genom linj¨ ar utvidgning av operationen p˚ a MX . Det ¨ ar nu l¨ att att se att AX har den universella egenskapen f¨ or algebror. Den fria associativa algebran, AssX , p˚ a m¨ angden X kan definieras som vektorrummet med bas M onX , den fria monoiden p˚ a X. (Alternativt kan man definiera den fria associativa algebran som direkta summan av k (som ger ettan) och kvoten av AX med idealet som genereras av alla ((xy)z) − (x(yz)) d¨ ar x, y, z ∈ MX .) Elementen i AssX kan uppfattas som polynom i icke-kommuterande vaar k < x1 , x2 , . . . > . Om V ¨ ar riabler. En annan beteckning f¨ or Ass{x1 ,x2 ,...} ¨ vektorrummet med bas X, s˚ a¨ ar AssX isomorf med tensoralgebran p˚ a V. Det g¨ aller att AssX har den universella egenskapen f¨ or associativa algebror med etta, dvs f¨ or varje m¨ angd X och varje m¨ angdavbildning f : X → A, d¨ ar A ¨ ar en associativ algebra med etta, s˚ a finns precis en algebra-homomorfi g : Assx → A s˚ a att g ◦ i = f, d¨ ar i ¨ ar den naturliga avbildningen i : X → AssX . Varje associativ algebra med etta ¨ ar en kvot av AssX f¨ or n˚ agon m¨ angd X. Slutligen f˚ as den fria Lie-algebran, LX , som kvoten av AX med idealet som genereras av alla element p˚ a formen (xy) + (yx) och ((xy)z) − (x(yz)) − ((xz)y) d¨ ar x, y, z ∈ MX (vi f¨ oruts¨ atter att karakteristiken ¨ ar skild fr˚ an 2). I detta fall finns ingen alternativ beskrivning, eftersom Jacobis identitet inte har n˚ agon motsvarighet p˚ a ”m¨ angdniv˚ a”. Analogt med tidigare g¨ aller att LX har den universella egenskapen f¨ or Lie-algebror och att varje Lie-algebra kan skrivas som en kvot av en fri Lie-algebra. Exempelvis kan sl(2) skrivas som L{e,f,h} / < [e, f ] − h, [h, e] − 2e, [h, f ] + 2f > Man kan ocks˚ a skriva sl(2) som kvot av en fri Lie-algebra p˚ a tv˚ a generatorer: L{e,f } / < [[e, f ], e] − 2e, [[e, f ], f ] + 2f >

2.3

Den envelopperande algebran

Den envelopperande algebran U (L) till en Lie-algebra L ¨ ar en associativ algebra med etta s˚ adan att en (v¨ anster-)modul ¨ over U (L) ¨ ar detsamma som en modul over L. En L−modul ¨ ar detsamma som ett vektorrum V tillsammans med en ¨ 11

Lie-algebra-homomorfi fr˚ an L till End(V ), medan en (v¨ anster) U (L)−modul a r detsamma som ett vektorrum V tillsammans med en algebra-homomorfi ¨ fr˚ an U (L) till End(V ). Detta leder till definitionen av U (L) som l¨ osningen till f¨ oljande universella problem. Det skall finnas en naturlig Lie-algebra-homomorfi  : L → U (L), s˚ adan att f¨ or varje Lie-algebra-homomorfi f : L → A, d¨ ar A a ¨r en associativ algebra med etta, s˚ a finns precis en algebra-homomorfi g : U (L) → A s˚ a att g ◦  = f. (Vi till˚ ater oss att anv¨ anda samma beteckning f¨ or en associativ algebra A och dess tillh¨ orande Lie-algebra, som definieras genom [a, b] = ab−ba.) F¨ or att visa att det universella problemet har en l¨ osning kan man g¨ ora som i Serres bok (sid 11). Vi skall g¨ ora p˚ a ett n˚ agot annorlunda s¨ att, som samtidigt ger ett praktiskt s¨ att att uppfatta U (L). Vi b¨ orjar med att bevisa att den fria Lie-algebran LX p˚ a en m¨ angd X har den fria associativa algebran AssX som envelopperande algebra. F¨ orst m˚ aste vi definiera Lie-algebra-homomorfin  : LX → AssX . Men detta ¨ ar l¨ att. Avbildningen i : X → AssX faktoriserar ¨ over LX (eftersom LX ¨ ar fri), dvs i =  ◦ j, d¨ ar j : X → LX ¨ ar den naturliga avbildningen. Antag nu att A ¨ ar en associativ algebra med etta och att f : LX → A ¨ ar en Lie-algebra-homomorfi. Vi skall visa att det finns en algebra-homomorfi g : AssX → A, s˚ a att f = g ◦ . ar fri, s˚ a finns en algebra-homomorfi g : AssX → A, s˚ a att Men eftersom AssX ¨ f ◦ j = g ◦ i = g ◦  ◦ j. P˚ a grund av den universella egenskapen f¨ or LX f¨ oljer nu att f = g ◦ . Vi m˚ aste ocks˚ a visa att g ¨ ar entydigt best¨ amd. Antag d¨ arf¨ or att h : AssX → A ¨ ar en algebra-homomorfi s˚ adan att f = h ◦ . Det f¨ oljer att h ◦ i = h ◦  ◦ j = f ◦ j = g ◦ i och allts˚ a g = h enligt den universella egenskapen f¨ or AssX . Antag att L ¨ ar en godtycklig Lie-algebra som p˚ a n˚ agot s¨ att ¨ ar framst¨ alld som en kvot av en fri Lie-algebra, L = LX /I, d¨ ar I ¨ ar ett ideal i LX . D˚ a g¨ aller att  : LX → AssX inducerar en Lie-algebra-homomorfi ¯ : LX /I → AssX / < (I) > . Beteckningen < (I) > st˚ ar f¨ or det tv˚ asidiga algebra-idealet i AssX som genereras av (I). Observera att om A, B ¨ ar associativa algebror och f :L→A¨ ar en Lie-algebra-homorfi och g : A → B ¨ ar en algebra-homomorfi, s˚ a¨ ar g ◦ f : L → B en Lie-algebra-homomorfi. Jag p˚ ast˚ ar att AssX / < (I) > (tillsammans med ¯) ¨ ar envelopperande algebran till LX /I. Beviset ¨ ar analogt med beviset f¨ or det fria fallet ovan. L˚ at p : LX → LX /I och q : AssX → AssX / < (I) > vara de naturliga projektionerna och antag att f : LX /I → A ¨ ar en Lie-algebra-homomorfi. D˚ a finns en algebra-homomorfi g : AssX → A, s˚ adan att f ◦ p ◦ j = g ◦ i = g ◦  ◦ j. Enligt den universella egenskapen f¨ or LX , s˚ a f¨ oljer att f ◦ p = g ◦ . Allts˚ a g¨ aller att g((I)) = 0 och d¨ armed finns en algebra-homomorfi g¯ : AssX / < (I) > → A s˚ adan att g = g¯ ◦ q. Detta ger att f ◦ p = g¯ ◦ q ◦  = g¯ ◦ ¯ ◦ p, vilket ger att f = g¯ ◦ ¯ eftersom p ¨ ar surjektiv. Antag att h : AssX / < (I) > → A ¨ ar en algebra-homomorfi, s˚ adan att f = h ◦ ¯. D˚ a g¨ aller att h ◦ q ◦ i = f ◦ p ◦ j = g ◦ i. Enligt den universella egenskapen f¨ or AssX , s˚ a f¨ oljer att h ◦ q = g = g¯ ◦ q. Eftersom q ¨ ar surjektiv, s˚ a f¨ oljer slutligen att h = g¯. Exempel F¨ or L = sl(2, k) g¨ aller att U (L) ' k < e, f, h > / < ef − f e − h, he − eh − 2e, hf − f h + 2f > ' k < e, f > / < [[e, f ], e] − 2e, [[e, f ], f ] − 2f > 12

d¨ ar [[e, f ], e] = ef e − f ee − eef + ef e

[[e, f ], f ] = ef f − f ef − f ef + f f e I den f¨ orsta presentationen ovan av den envelopperande algebran f¨ or sl(2, k) har vi anv¨ ant att sl(2, k) ¨ ar en kvot av en fri Lie-algebra p˚ a generatorer som svarar mot en bas f¨ or Lie-algebran. En s˚ adan presentation kan man alltid v¨ alja f¨ or en godtycklig Lie-algebra. I s˚ a fall blir idealet som man delar med genererat av xy − yx − [x, y], d¨ ar x, y genoml¨ oper basen f¨ or Lie-algebran. Med andra ord, om L ¨ ar en godtycklig Lie-algebra och X ¨ ar en bas f¨ or L som vektorrum, s˚ a ges envelopperande algebran f¨ or L av U (L) = AssX / < {xy − yx − [x, y]; x, y ∈ X} >

2.4

Poincar´ e-Birkhoff-Witts sats

PBW:s sats ger i en formulering en vektorrumsbas f¨ or den envelopperande algebran till en Lie-algebra L. F¨ or att f˚ a en bas v¨ aljer man f¨ orst en totalt ordnad vektorrumsbas X f¨ or Lie-algebran L och bildar sedan alla monom best˚ aende av produkter av baselement i den givna ordningen (samma baselement f˚ ar upprepas). Baselementen i X uppfattas som element i U (L) via avbildningen  : L → U (L). (Det ¨ ar en f¨ oljd av PBW:s sats att  ¨ ar injektiv och d¨ arf¨ or kan L uppfattas som en del av U (L).) Det finns flera bevis f¨ or satsen och vi skall ge ett som anv¨ ander sig av teorin f¨ or Gr¨ obnerbaser. Tekniken som anv¨ ands i Serres bok (sid 14–15) ¨ ar en allm¨ an teknik som i korta drag kan beskrivas s˚ a h¨ ar. F¨ orst visar man att den f¨ oreslagna upps¨ attningen av baselement genererar U (L). Detta ¨ ar l¨ att med hj¨ alp av presentationen av U (L) som U (L) = AssX / < {xy − yx − [x, y]; x, y ∈ X} > Har man n¨ amligen ett monom i AssX d¨ ar elementen i X inte st˚ ar i r¨ att ordning, s˚ a kan man med hj¨ alp av en relation av typen xy − yx − [x, y] ers¨ atta monomet med en summa av ett monom som inneh˚ aller samma variabler som det ursprungliga men i ”b¨ attre” ordning och en ”svans” best˚ aende av monom av l¨ agre grad. Exempel L˚ at oss betrakta U (sl(2)) (med presentationen ovan). L˚ at ordningen p˚ a basen {e, f, h} vara h > e > f. Betrakta monomet e2 f ∈ Ass{e,f,h} . Vi vill skriva monomet (betraktat som ett element i U (sl(2))) som en linj¨ arkombination av monom med variablerna i v¨ axande ordning. Vi f˚ ar e2 f = ef e + eh = f ee + he + eh = f e2 + eh + 2e + eh = f e2 + 2eh + 2e. Det sv˚ ara ¨ ar att visa att relationerna inte kan anv¨ andas till n˚ agot mer, som skulle leda till att man f˚ ar ett linj¨ art beroende mellan de utvalda monomen. Det man g¨ or ¨ ar att man betraktar ett vektorrum med baselement som ¨ ar formella motsvarigheter till de utvalda monomen. Sedan visar man att det finns en surjektiv avbildning fr˚ an U (L) till detta vektorrum, som avbildar de genererande monomen p˚ a basen f¨ or vektorrummet. Detta visar att den genererande m¨ angden ¨ ar linj¨ art oberoende. F¨ or att visa att det finns en s˚ adan avbildning 13

kan man definiera en produkt p˚ a vektorrummet och visa att den a ¨r associativ och att den genereras av X och att relationerna (i presentationen av U (L) som en kvot av AssX ) a over inte g¨ ora riktigt s˚ a mycket. ¨r uppfyllda. Fast man beh¨ Det r¨ acker att man definierar en struktur p˚ a vektorrummet som en modul o ¨ver U (L) och som genereras av ett element. Detta kan g¨ oras genom att man anger hur X opererar och sedan verifierar man att relationerna opererar som 0. Detta var allts˚ a en kort beskrivning av bevisid´en i Serres bok. Nu till beviset med hj¨ alp av Gr¨ obnerbaser. Begreppet Gr¨ obnerbas f¨ or ett tv˚ asidigt ideal I i AssX ¨ ar beroende av att man har givit en ”monomordning”. En s˚ adan kan man f˚ a genom att v¨ alja en v¨ alordning p˚ a X och sedan j¨ amf¨ ora tv˚ a monom i AssX genom att f¨ orst j¨ amf¨ ora graderna och d¨ arefter j¨ amf¨ ora tv˚ a monom av samma grad med den lexikografiska metoden. Denna ordning kallas ”deglex”. Den ¨ ar kompatibel med produkten, dvs om a, b, c ¨ ar monom och a < b, s˚ a g¨ aller att ac < bc och ca < cb. Givet att man har en s˚ adan ordning, s˚ a kan man tala om ”ledande” monom f¨ or ett polynom. En upps¨ attning generatorer f¨ or ett tv˚ asidigt ideal I i AssX kallas en Gr¨ obnerbas om deras ledande monom tillsammans genererar alla ledande monom som f¨ orekommer bland polynomen i I. Om man har en Gr¨ obnerbas f¨ or I, s˚ a f˚ ar man en vektorrumsbas f¨ or AssX /I genom att v¨ alja (restklasserna f¨ or) de monom som inte delas av n˚ agot ledande monom i Gr¨ obnerbasen. Nu finns det en sats i teorin f¨ or Gr¨ obnerbaser (som vi inte bevisar, men det skulle kunna ing˚ a i ess¨ an om PBW:s sats), som s¨ ager att man har en Gr¨ obnerbas om, f¨ or varje par av generatorer i basen, det g¨ aller att det s˚ a kallade ”S-polynomet” ”reducerar” till 0. Om ledande monomet till f ¨ ar am och ledande monomet till g ¨ ar mb s˚ a ges S-polynomet till f och g som f b−ag (f = g ar till˚ atet). Att reducera ett polynom, betyder att man successivt tar bort det ¨ ledande monomet genom att l¨ agga till l¨ ampliga multipler av generatorerna f¨ or idealet, s˚ a l¨ ange det ledande monomet delas av n˚ agot ledande monom bland generatorerna. Man beh¨ over bara bilda S-polynom f¨ or s˚ adana par som har en ”¨ akta” faktor, (dvs monomet m ovan ¨ ar inte 1). Jag p˚ ast˚ ar nu att {xy − yx − [x, y]; x, y ∈ X} ¨ ar en Gr¨ obnerbas (med ordningen deglex) f¨ or det tv˚ asidiga ideal som polynomen genererar i AssX (vi t¨ anker oss givet en v¨ alordning p˚ a X, s˚ a att x > y > z). Observera att [x, y] ¨ ar en linj¨ arkombination av element i X, s˚ a xy ¨ ar ledande monom f¨ or xy−yx−[x, y]. Ett S-polynom bildas genom att betrakta f = xy −yx−[x, y] och g = yz −zy −[y, z]. (Man kan inte ha f = g eftersom vi inte har n˚ agon relation d¨ ar x = y.) Vi f˚ ar f¨ oljande S-polynom: f z − xg = −yxz − [x, y]z + xzy + x[y, z] Det ledande monomet ¨ ar xzy. Detta kan reduceras med hj¨ alp av relationen xz − zx − [x, z] (och bara den). Vi f˚ ar f¨ oljande reduktion f z − xg → xzy − xzy + zxy + [x, z]y − yxz − [x, y]z + x[y, z] = zxy − yxz + [x, z]y − [x, y]z + x[y, z]

Vi anv¨ ander ˚ ater relationen xz − zx − [x, z] nu f¨ or att reducera det ledande monomet yxz. f z − xg → −yxz + yxz − yzx − y[x, z] + zxy + [x, z]y − [x, y]z + x[y, z] = −yzx + zxy − y[x, z] + [x, z]y − [x, y]z + x[y, z] 14

H¨ arn¨ ast anv¨ ander vi yz − zy − [y, z] och forts¨ atter sedan p˚ a samma s¨ att. f z − xg → −yzx + yzx − zyx − [y, z]x + zxy − y[x, z] + [x, z]y − [x, y]z + x[y, z] = zxy − zyx − [y, z]x − y[x, z] + [x, z]y − [x, y]z + x[y, z] → zyx + z[x, y] − zyx − [y, z]x − y[x, z] + [x, z]y − [x, y]z + x[y, z] = −[[x, y], z] + [x, [y, z]] + [[x, z], y] = 0

Nu f¨ oljer att en vektorrumsbas f¨ or U (L) ges av alla monom d¨ ar variablerna st˚ ar i v¨ axande (icke-strikt) ordning, dvs vi har bevisat PBW:s sats. Man kan betrakta ”filtrationen” {Up (L)} p˚ a U (L), d¨ ar Up (L)=delrummet som genereras av alla (x1 ) · · · (xm ), d¨ ar xi ∈ L och m ≤ p. Det g¨ aller att produkten av Up (L) och Uq (L) ¨ ar en delm¨ angd av Up+q (L) (motsvarande g¨ aller f¨ or en godtycklig kvot av AssX ). H¨ arigenom kan man bilda den ”graderade associerade” algebran (U−1 (L) = 0): gr(U (L)) = ⊕p≥0 Up (L)/Up−1 (L) Man r¨ aknar i gr(U (L)) som i U (L) men bortser fr˚ an termer av l¨ agre grad. Eftersom relationerna i U (L) ¨ ar av formen xy −yx+l¨agre termer, s˚ a blir gr(U (L)) en kommutativ algebra. Dessutom ger PBW:s sats att gr(U (L)) ¨ ar en polynomring med variabler best˚ aende av elementen i basen X f¨ or L.

3 3.1

Hilbertserier och Hopfalgebror Hilbertserier

En Hilbertserie ¨ ar ingenting annat ¨ an den genererande (formella) potensserien till en upps¨ attning naturliga tal an , n = 0, 1, 2, . . . , som oftast ¨ ar dimk (Vn ), d¨ ar a r ett a ndligtdimensionellt vektorrum o ver k. M¨ a ngden av formella serier V ¨ ¨ ¨ n P n ar godtyckliga heltal f¨ or alla n, bildar en ring. Enheterna ar an ¨ n≥0 an z , d¨ iPdenna ring (dvs de serier som har en multiplikativ invers) ¨ ar precis de serier n or vilka a0 = ±1. Detta f¨ oljer av identiteten (1 − z)(1 + z + z 2 + n≥0 an z f¨ z 3 + · · · ) = 1 och att man kan stoppa in en serie utan konstantterm i en annan serie och f˚ a en ny v¨ aldefinierad serie (och att denna instoppningsoperation ¨ ar en ringhomomorfi). Enheterna bildar en grupp och de serier som har konstantterm = 1 bildar en delgrupp. P ar an ¨ ar Man kan ocks˚ a studera ringen av formella potensserier n≥0 an z n , d¨ godtyckliga rationella tal. I denna ring kan man definiera exp(z) och log(1 + z) (med hj¨ alp av de vanliga Taylorutvecklingarna) och det g¨ aller att exp(log(1 + z)) = 1 + z och log(exp(z)) = z. Med hj¨ alp av instoppning kan vi uppfatta exp som en funktion fr˚ an serier utan konstantterm till serier med konstantterm 1. Denna funktion ¨ ar en homomorfi fr˚ an den additiva gruppen av serier utan konstantterm till den multiplikativa gruppen av serier med konstantterm 1. Den ar dessutom en isomorfi med log som invers. ¨ Definiera ”ordningen” f¨ or en formell serie (som inte ¨ ar 0) genom X ord( an z n ) = min{n; an 6= 0}. n≥0

P orutsatt Man kan bilda summan av o¨ andligt m˚ anga serier f1 , f2 , . . . , i≥1 fi , f¨ att ord(fi ) → ∞ d˚ a i → ∞. Man kan ocks˚ a bilda produkten av o¨ andligt m˚ anga 15

serier g1 , g2 , . . . , kan man bilda

Q

i≥1

gi , f¨ orutsatt att ord(gi − 1) → ∞ d˚ a i → ∞. Exempelvis ∞ Y

1 1 − zi i=1

Koefficienten framf¨ or z n i denna serie ¨ ar antalet partitioner av n. Till varje serie P n f (z) = n≥1 an z , d¨ ar an ¨ ar heltal f¨ or alla n, kan man bilda en ny serie med heltalskoefficienter ∞ Y 1 EXP(f ) = (1 − z n ) an n=1

Det g¨ aller att EXP ¨ ar en homomorfi fr˚ an den additiva gruppen av formella serier med heltalskoefficienter utan konstantterm till den multiplikativa gruppen av formella serier med heltalskoefficienter som har konstantterm = 1. Det g¨ aller att varje serie med heltalskoefficienter och med P konstantterm 1 kan skrivas som ar en isoEXP(f ) f¨ or en entydigt best¨ amd serie f (z) = n≥1 an z n , dvs EXP ¨ morfi. L˚ at LOG beteckna inversen till EXP . Det ¨ ar l¨ att att skriva ett rekursivt P program f¨ or best¨ amning av LOG(g) f¨ or en given serie g = 1 + n≥1 bn z n , men man kan ocks˚ a ge en sluten formel. F¨ oljande m¨ arkliga formel g¨ aller n¨ amligen LOG(g) =

∞ X µr r=1

r

log(g(z r ))

ar M¨ obiusfunktionen, dvs den funktion som best¨ ams av villkoren d¨ ar µr ¨ X µ1 = 1 och µd = 0 f¨ or n > 1 d|n

Det syns inte p˚ a formeln f¨ or LOG(g) att serien har heltalskoefficienter om g har heltalskoefficienter, men det f¨ oljer n¨ ar vi har visat att LOG ¨ ar invers till EXP . Detta ¨ ar f¨ orbluffande enkelt. Man ser direkt att LOG(g1 · g2 ) = LOG(g1 ) + LOG(g2 ). Det r¨ acker d¨ arf¨ or att verifiera att formeln ¨ ar korrekt f¨ or g = 1/(1 − z m ), dvs att LOG(1/(1 − z m )) = z m f¨ or m = 1, 2, . . . . Vi har LOG(1/(1 − z m )) = −

∞ X µr r=1

r

log(1 − z mr ))

X µr z mrs X X z mn = = µd = zm r s n n r,s≥1

d|n

Exempelvis g¨ aller det att LOG(1/(1 − z − z 2)) = z + z 2 + z 3 + z 4 + 2z 5 + 2z 6 + 4z 7 + 5z 8 + 8z 9 + 11z 10 + . . . Detta kan tolkas som ber¨ akning av dimensionstalen f¨ or en viss fri Lie-algebra, vilket vi strax ˚ aterkommer till.

3.2

Serien f¨ or den fria magman och den fria associativa algebran

Den fria magman Md p˚ a en m¨ angd med d element ¨ ar en union av delm¨ angder Md,n , d¨ ar Md,n ¨ ar m¨ angden av element i Md som har ordl¨ angd n. Antalet 16

ara element i Md,n , vilket betecknas |Md,n |, a ar tn a ¨r antalet ¨r dn tn , d¨ P plana bin¨ n |M |z , r rotade tr¨ ad med n l¨ ov. Vi s¨ ager att Hilbertserien f¨ or Md a ¨ d,n n≥1 som betecknas M (z). F¨ o r att best¨ a mma M (z) r¨ a cker det att best¨ a mma serien d d P aller n¨ amligen att Md (z) = T (dz). Talen tn satisfierar T (z) = n≥1 tn z n . Det g¨ f¨ oljande rekursionsformel t1 = 1 och tn =

n−1 X

tk tn−k

f¨ or n > 1

k=1

Det f¨ oljer att tn f¨ or n > 1 ¨ ar koefficienterna i serien T 2 (z). Vi f˚ ar d¨ arf¨ or f¨ oljande andragradsekvation T 2 (z) + z = T (z) vilket ger formeln   ∞ X √ 1 1 2n − 2 n T (z) = (1 − 1 − 4z) = z 2 n−1 n n=1 Den sista formeln f˚ as genom Taylorutveckling och en del r¨ akningar. Vi kommer inte att ha anv¨ andning av detta resultat i teorin f¨ or Lie-algebror, det skall mera ses som ett exempel p˚ a hur man kan r¨ akna ut Hilbertserier. Den fria algebran p˚ a en m¨ angd med d element, Ad , ¨ ar direkta summan av vektorrum Ad,n med bas M f¨ o r n ≥ 1. D¨ a rf¨ o r a r Hilbertserien f¨ or Ad , som ¨ d,n P definieras genom Ad (z) = n≥1 dimk (Ad,n )z n , densamma som Md (z), dvs Ad (z) =

√ 1 (1 − 1 − 4dz) 2

Den fria associativa a en m¨ angd med d element, Assd , har HilbertP algebran p˚ ar Assd,n betecknar vektorrummet serien Assd (z) = n≥0 dimk (Assd,n )z n , d¨ med bas best˚ aende avPalla ord av l¨ angd n. Eftersom dessa ¨ ar dn till antalet, s˚ a n n g¨ aller att Assd (z) = n≥0 d z ,dvs Assd (z) =

3.3

1 1 − dz

Serien f¨ or den fria Lie-algebran p˚ a d element

Den fria Lie-algebran p˚ a d element, Ld , a ¨r direkta summan av delrum Ld,n , som genereras av alla Lie-uttryck av ordl¨ angd n, f¨ or n ≥ 1. L˚ at ld (n) = dim P k (Ld,n ). Vi skall best¨ amma Hilbertserien f¨ or Ld som definieras genom Ld (z) = n≥1 ld (n)z n . Enligt PBW:s sats s˚ a har U (Ld ) en k−bas best˚ aende av alla monom xn1 1 xn2 2 · · · xnr r ,

r ≥ 1, ni ≥ 0, i = 1, 2, . . .

d¨ ar x1 < x2 < . . . ¨ ar en ordnad bas f¨ or Ld . Om vi s¨ atter angden P di lika med ordl¨ f¨ or xi , s˚ a f˚ ar vi att ordl¨ angden f¨ or xn1 1 xn2 2 · P · · xnr r ¨ ar ni di och d¨ arf¨ or ¨ ar ld (n) lika med antalet f¨ oljder n1 , n2 , . . . , s˚ a att ni di = n. Genom inspektion ser man att detta antal ¨ ar detsamma som koefficienten f¨ or z n i serien ∞ Y

1 1 − t di i=1 17

Det f¨ oljer d¨ arf¨ or att Hilbertserien f¨ or U (Ld ) ges av U (Ld )(z) =

∞ Y

1 (1 − tn )ld (n) n=1

Observera att vi ¨ annu inte anv¨ ant att Ld ¨ ar fri, s˚ a formeln ovan ¨ ar sann f¨ or varje a ¨ndligt genererad graderad Lie-algebra L = ⊕n≥1 Ln (ld (n) tolkas som dimk (Ln )). Formeln kan ocks˚ a uttryckas med hj¨ alp av operatorerna EXP och LOG som inf¨ ordes ovan U (L)(z) = EXP(L(z)) och L(z) = LOG(U (L)(z)) och vi kan anv¨ anda den explicita formeln f¨ or LOG som h¨ arleddes ovan f¨ or att f˚ a L(z) om vi k¨ anner U (L)(z). Nu vet vi att Ld ¨ ar fri p˚ a d generatorer, s˚ a d¨ arf¨ or har vi att U (Ld ) = Assd . Ovan har vi ber¨ aknat Assd (z). Vi f˚ ar d¨ arf¨ or f¨ oljande formel ∞ Y

1 1 = n l (n) d 1 − dz (1 − t ) n=1 och Ld (z) = LOG(

∞ X 1 µr )=− log(1 − dz r ) 1 − dz r r=1

Genom att Taylorutveckla h¨ ogra ledet, f˚ ar man l¨ att f¨ oljande formel f¨ or ld (n) ld (n) =

1X µm dn/m n m|n

3.4

Tensorprodukter av vektorrum

Tensorprodukten kan definieras allm¨ ant f¨ or moduler ¨ over ringar. H¨ ar f¨ oljer en introduktion till begreppet f¨ or specialfallet att ringen ¨ ar en kropp. Om V och W ¨ ar vektorrum ¨ over k med baser (ei ) och (fi ) respektive, s˚ a definieras V ⊗ W som vektorrummet med baselement best˚ aende av formella uttryck ei ⊗ fj . Koordinaterna f¨ or en vektor i V ⊗ W ¨ ar allts˚ a en dubbelindicerad f¨ oljd av skal¨ arer cij , d¨ ar endast ¨ andligt m˚ anga ¨ ar skilda fr˚ an 0. Tensorprodukter ¨ ar d¨ arf¨ or praktiska att anv¨ anda d˚ a man t.ex. studerar linj¨ ara avbildningar. Man utvidgar anv¨ ⊗ till godtyckliga vektorer, genom bilinj¨ aritet, dvs P andningen P av symbolen P a i ei ⊗ bi f i = ai bj (ei ⊗ fj ). P˚ a detta vis definieras en naturlig bilinj¨ ar avbildning b : V1 × V2 → V1 ⊗ V2 genom (v1 , v2 ) 7→ v1 ⊗ v2 och till varje bilinj¨ ar avbildning f : V1 × V2 → V3 finns en entydigt best¨ amd linj¨ ar avbildning g : V1 ⊗ V2 → V3 , s˚ a att f = g ◦ b. (Man kan s¨ aga att V1 ⊗ V2 tillsammans med avbildningen b ¨ ar l¨ osningen till ett universellt problem.) Vi har tidigare definierat en algebra A genom att s¨ aga att det skall finnas en bilinj¨ ar avbildning A × A → A. Ett annat s¨ att att uttrycka samma sak blir nu att s¨ aga att det skall finnas en linj¨ ar avbildning A ⊗ A → A. M¨ angden av alla linj¨ ara avbildningar, Hom(V, W ), mellan tv˚ a vektorrum V och W ¨ ar ett nytt vektorrum, speciellt ¨ ar alla linj¨ ara avbildningar fr˚ an ett vektorrum V till k ett vektorrum, som kallas dualen till V och betecknas V ∗ . Elementen i V ∗ kallas linj¨ ara former. Om e1 , . . . , en ¨ ar en bas f¨ or V, s˚ a ¨ ar 18

e∗1 , . . . , e∗n en bas f¨ or V ∗ , d¨ ar e∗i (ej ) = δij . Denna bas kallas den duala basen. Det f¨ oljer att V och V ∗ a r isomorfa om V a ¨ ¨r a ¨ndligtdimensionellt (annars a ¨r de ej isomorfa), men det a r viktigt att notera att det inte finns n˚ agon naturlig isomorfi ¨ (isomorfin beror av valet av bas). D¨ aremot finns det en naturlig avbildning α : V → V ∗∗ definierad genom α(v)(f ) = f (v) och denna avbildning a ¨r en isomorfi om V a r a ndligtdimensionellt. ¨ ¨ Det finns en naturlig avbildning V ∗ ⊗ W → Hom(V, W ), som induceras av den bilinj¨ ara avbildningen V ∗ × W → Hom(V, W ) som definieras av att (f, w) avbildas p˚ a φ : V → W som i sin tur definieras av φ(v) = f (v)w. Denna avbildning ¨ ar en isomorfi om V och W ¨ ar ¨ andligtdimensionella. Ty l˚ at (ei ) vara a den or W. D˚ a g¨ aller att e∗i ⊗ e0j avbildas p˚ en bas f¨ or V och (e0j ) vara en bas f¨ linj¨ ara avbildning fr˚ an V till W, som definieras av att ei avbildas p˚ a e0j och ovriga baselement avbildas p˚ a noll. ¨ F¨ or ¨ andligtdimensionella vektorrum V och W g¨ aller att (V ⊗ W )∗ ¨ ar natur∗ ∗ ligt isomorf med V ⊗ W . Detta f¨ oljer analogt med ovan av att det finns en naturlig avbildnng V ∗ ⊗ W ∗ → (V ⊗ W )∗ som avbildar en bas p˚ a en bas i det andligtdimensionella fallet. ¨ En algebra A kan, som p˚ apekades ovan, definieras som ett element i Hom(A ⊗ A, A). Enligt ovan kan allts˚ a en ¨ andligtdimensionell algebra A uppfattas som ett element i A∗ ⊗ A∗ ⊗ A. Koordinaterna f¨ or en vektor i denna tensorprodukt utg¨ ores av ”strukturkonstanterna” f¨ or motsvarande algebra. Vektorrummet Hom(V, W ) kan uppfattas som en funktor i tv˚ a variabler genom sammans¨ attning av avbildningar. I f¨ orsta variabeln V ¨ ar funktorn ”kontravariant”, dvs om f : V1 → V2 ¨ ar en linj¨ ar avbildning, s˚ a induceras en linj¨ ar avbildning Hom(V2 , W ) → Hom(V1 , W ). I den andra variabeln W ¨ ar funktorn ”kovariant”, dvs en linj¨ ar avbildning g : W1 → W2 inducerar en linj¨ ar avbildning Hom(V, W1 ) → Hom(V, W2 ). Speciellt om vi v¨ aljer W = k, s˚ a f˚ ar vi att ar en kontravariant funktor. Detta betyder att om man har ett diagram av V∗ ¨ overallt, s˚ a f˚ ar vektrorrum och linj¨ ara avbildningar och applicerar funktorn ()∗ ¨ man ett nytt diagram d¨ ar alla pilar har bytt riktning. Detta skall vi utnyttja f¨ or att definiera begreppet ”coalgebra”.

3.5

Coalgebror, bialgebror och Hopf-algebror

En coalgebra ¨ ar ett vektorrum A med en linj¨ ar avbildning A → A ⊗ A. Om A ¨ ar ar en algebra. Att en andligtdimensionellt, s˚ a¨ ar detta samma sak som att A∗ ¨ ¨ algebra ¨ ar associativ kan beskrivas som att ett visst diagram ¨ ar kommutativt. L˚ at n¨ amligen m : A → A ⊗ A vara multiplikationen. D˚ a¨ ar A associativ precis d˚ a f¨ oljande diagram ¨ ar kommutativt. m⊗id

A ⊗ A ⊗ A −−−−→ A ⊗ A    m id⊗my y A⊗A

m

−−−−→

A

Om man nu v¨ ander p˚ a alla pilar, s˚ a f˚ ar man begreppet ”coassociativ” f¨ or en coalgebra. L˚ at ∆ : A → A ⊗ A vara en comultiplikation. D˚ aa ¨r A coassociativ

19

precis d˚ a f¨ oljande diagram a ¨r kommutativt. ∆⊗id

A ⊗ A ⊗ A ←−−−− A ⊗ A x x   id⊗∆ ∆ A⊗A

∆

←−−−−

A

Att en algebra har en etta kan uttryckas som att det finns en avbildning η : k → A s˚ a att f¨ oljande diagram kommuterar (d¨ ar ≈ betecknar den naturliga isomorfin k ⊗ A → A som avbildar 1 ⊗ a p˚ a a.) η⊗id

k ⊗ A −−−−→ A ⊗ A   m  ≈y y A

A

Att en coalgebra har en ”coetta” betyder d¨ armed f¨ oljande. Det finns en avbildning  : A → k, s˚ a att f¨ oljande diagram kommuterar ⊗id

k ⊗ A ←−−−− A ⊗ A x x   ≈ ∆ A

A

F¨ or godtyckliga vektorrum A och B, l˚ at T : A ⊗ B → B ⊗ A vara den linj¨ ara avbildning som uppfyller att T (a ⊗ b) = b ⊗ a. Att en algebra ¨ ar kommutativ kan uttryckas som att f¨ oljande diagram ¨ ar kommutativt. T

A ⊗ A −−−−→ A ⊗ A    m my y A

A

Att en coalgebra ¨ ar cokommutativ betyder allts˚ a att f¨ oljande diagram ¨ ar kommutativt. T A ⊗ A ←−−−− A ⊗ A x x   ∆ ∆ A A Antag att A och B ¨ ar algebror. D˚ a definieras en ny algebra A ⊗ B med multiplikation given av f¨ oljande sammans¨ attning. m ⊗m

1⊗T ⊗1

A B A ⊗ B ⊗ A ⊗ B −−−−−→ A ⊗ A ⊗ B ⊗ B −−− −−−→ A⊗B

Analogt g¨ aller att om A och B ¨ ar coalgebror, s˚ a ¨ ar A ⊗ B en coalgebra med f¨ oljande comultiplikation. ∆ ⊗∆

1⊗T ⊗1

A B A ⊗ B −−− −−− → A ⊗ A ⊗ B ⊗ B −−−−−→ A ⊗ B ⊗ A ⊗ B

Om A och B har etta (resp. coetta), s˚ a g¨ aller detsamma f¨ or A ⊗ B. Om A och B ¨ ar associativa (resp. coassociativa), s˚ a g¨ aller detsamma f¨ or A ⊗ B. Men det 20

g¨ aller INTE att A ⊗ B a aremot g¨ aller att ¨r en Lie-algebra om A och B a ¨r det. (D¨ A⊕B a r en Lie-algebra om A och B a r det (komponentvis Lie-multiplikation) ¨ ¨ och det g¨ aller att U (A ⊕ B) = U (A) ⊗ U (B).) En bialgebra A a ¨r en algebra med etta (m, η) som dessutom a ¨r en coalgebra med coetta (∆, ), s˚ a att ∆ : A → A ⊗ A och  : A → k a r homomorfismer f¨ or ¨ algebror med etta. Detta inneb¨ ar att ∆(1) = 1 ⊗ 1, ∆(ab) = ∆(a)∆(b), (1) = 1 och (ab) = (a)(b). En Hopf-algebra a en linj¨ ar avbildning ¨r en bialgebra A, tillsammans P med S : A → A (S kallas ”antipod”), s˚ a att om ∆(a) = a0i ⊗ a00i s˚ a g¨ aller X X (a) · 1 = S(a0i )a00i = a0i S(a00i ) i

i

Exempel p˚ a Hopf-algebror ¨ ar gruppalgebran till en grupp G och envelopperande algebran till en Lie-algebra L. I gruppfallet ges comultiplikationen av ”diagonalen” som avbildar ett gruppelement g p˚ a g ⊗ g (avbildningen induceras av grupphomomorfin G → G × G som avbildar g p˚ a (g, g).) Coettan i detta fall definieras genom att alla gruppelement avbildas p˚ a 1. Antipoden S ges av att S(g) = g −1 . ¨ Aven i Lie-algebra-fallet kan comultiplikationen h¨ arledas fr˚ an diagonalen L → L ⊕ L, som ¨ ar en Lie-algebra-homomorfi. Men i detta fall g¨ aller att comultiplikationens v¨ arde p˚ a x ∈ L ⊂ U (L) ges av x⊗1+1⊗x. Coettan i Lie-algebrafallet ges av att 1 avbildas p˚ a 1 och element i Lie-algebran avbildas p˚ a 0 (och d¨ armed ocks˚ a att produkter av Lie-element avbildas p˚ a 0). Antipoden S definieras av att S(1) = 1, S(x) = −x om x ∈ L och genom regeln S(ab) = S(b)S(a) (som g¨ aller generellt i en Hopf-algebra). Allm¨ ant i en Hopf-algebra H, s˚ a kallas nollskilda element g ∈ H ”grupplika” om ∆(g) = g ⊗ g och element x ∈ H kallas ”primitiva” om ∆(x) = x ⊗ 1 + 1 ⊗ x. M¨ angden av primitiva element bildar en Lie-delalgebra av den associativa algebran H betraktad som en Lie-algebra. Om antipoden ¨ ar en inverterbar avbildning, s˚ a g¨ aller att m¨ angden av grupplika element bildar en grupp. I fallet med gruppalgebran till en grupp G ¨ ar de grupplika elementen just lika med G medan primitiva element saknas. I fallet med envelopperande algebran till en Lie-algebra L saknas grupplika element, medan de primitiva elementen ¨ ar just L. Gruppfallet och Lie-algebrafallet kan allts˚ a s¨ agas vara tv˚ a extremfall av Hopf-algebror. Det finns ocks˚ a exempel p˚ a ”blandade” Hopf-algebror. Exempelvis f¨ oljande algebra. k < t, x > / < t2 − 1, xt − tx > med comultiplikation inducerad av ∆(t) = t ⊗ t och ∆(x) = x ⊗ 1 + 1 ⊗ x, med (t) = 1 och (x) = 0 och med S(xn t) = (−1)n xn t. F¨ or denna Hopf-algebra g¨ aller att de grupplika elementen utg¨ ores av {1, t} och de primitiva elementen utg¨ ores av {0, x}. En intressant klass av Hopf-algebror ges av algebror A som ¨ ar graderade over de naturliga talen, A = ⊕i≥0 Ai , och d¨ ar A0 = k (en graderad algebra ¨ som uppfyller det sista villkoret kallas ”sammanh¨ angande”, vilket kommer sig av att kohomologigrupperna f¨ or ett topologiskt rum X med koefficienter i k bildar en algebra och H 0 (X; k) ¨ ar vektorrummet med bas best˚ aende av de sammanh¨ angande komponenterna till X). En graderad sammanh¨ angande algebra

21

som a ¨r en cokommutativ bialgebra a ¨r en Hopf-algebra som dessutom a ¨r envelopperande algebran till en positivt graderad Lie-algebra (Milnor-Moore+M. Andr´e+G.Sj¨ odin). Om karakteristiken a a ges Lie-algebran som m¨ angden ¨r noll, s˚ av de primitiva elementen. Speciellt g¨ aller att den fria associativa algebran a ¨r en Hopf-algebra, vilket vi nu skall titta n¨ armare p˚ a.

3.6

Den fria associativa algebran som en Hopf-algebra

Produkten p˚ a AssX ges ju av att tv˚ a monom multipliceras via ”konkatenering”. Comultiplikationen p˚ a AssX best¨ ams av att ∆ skall vara multiplikativ och att elementen i X skall vara primitiva. Det f¨ oljer att X ∆(x1 x2 · · · xn ) = xi 1 xi 2 · · · x i r ⊗ x j 1 xj 2 · · · x j s 1≤i1