LIBRO-Mathematics SL - Course Companion - SPANISH - Oxford 2015 PDF [PDF]

Zitiervorschau

VE RS I  N E N E S PA O L

P r o g r am a d e l d i Plo m a d e l i B o xfo r d

M ateM ti cas Ni vel M edi o L I B R O D E L A LU M N O

Laurie Buhanan Jim Fensom Ed Kemp Paul La Rondie Jill Stevens

3 Great Clarendon Street, Oxford, OX2 6DP, Reino Unido Oxford University Press es un departamento de la Universidad de Oxford que promueve el objetivo de excelencia acadmica, educativa e investigadora de esta Universidad mediante sus publicaciones en todo el mundo. Oxford es una marca registrada de Oxford University Press en el Reino Unido y en algunos otros pases.  Oxford University Press 2015 Los autores han reivindicado sus derechos morales. Traducido del ingls por Fabin Valio, y revisado por Irene Owen y Amalia Galetto Derechos de autor de la traduccin  Oxford University Press 2015 Primera publicacin en 2015 Reservados todos los derechos. No se podr reproducir ninguna parte de esta publicacin, ni almacenarla en un sistema de recuperacin de datos o transmitirla en cualquier forma o por cualquier procedimiento sin autorizacin previa por escrito de Oxford University Press o salvo conforme a lo expresamente permitido por la ley, por licencia o por las condiciones acordadas con la organizacin de derechos de reprografa pertinente. Cualquier consulta relativa a la reproduccin de esta publicacin al margen de lo antedicho debe enviarse a: Rights Department, Oxford University Press, Great Clarendon Street, Oxford, OX2 6DP, Reino Unido. No le est permitido distribuir partes de esta publicacin en cualquier otra forma, y debe imponer esta misma condicin a cualquier persona que tenga acceso a la misma. Esta publicacin figura en el catlogo de la Biblioteca Britnica con los datos siguientes: 978-0-19-833876-5 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 El papel usado para la fabricacin de este libro es un producto natural y reciclable de madera de bosques sostenibles. El proceso de fabricacin se ajusta a las normas ambientales del pas de origen. Impreso en China Agradecimientos Los editores desean agradecer a las siguientes personas e instituciones su autorizacin para usar sus fotografas: P3: Nasa; P4: Konstantin Chagin/Shutterstock; P4: Janine Wiedel Photolibrary/Alamy; P13: Hulton Archive/Stringer/Getty Images; P17: Trip/Art Director; P17: Lunar And Planetary Instotute; P31: Nlshop/Shutterstock; P31: Itsmejust/Shutterstock; P33: Robert Crow/Dreamstime.com; P33: Lane Erickson/Dreamstime. com; P41: Sean Nel/Shutterstock; P54: Blasbike/Dreamstime. com; P56: Brad Remy/Dreamstime.com; P61: David Gee/Alamy; P61: Paulpaladin/Dreamstime.com; P61: Konstantin Androsov/ Dreamstime.com; P61: Lembit Ansperi/Dreamstime.com; P61: Julin Rovagnati/Dreamstime.com; P60: Ilya Postnikov/ Dreamstime.com; P61: Victor Habbick Visions/Science Photo Library; P63: Martin Fischer/Dreamstime.com; P64: Mrshining/ Dreamstime.com; P64: Science Photo Library; P73: Francesco Abrignani/Shutterstock; P75: Ints Vikmanis/Shutterstock; P84: 3dimentii/Shutterstock; P85: Nicemonkey/Shutterstock; P92: Supri Suharjoto/Shutterstock; P98: Peter E Noyce/Alamy; P99: James Steidl/Dreamstime.com; P99: Motorolka/Dreamstime. com; P98: Stephen Gray/Shutterstock; P101: Viorel Dudau/ Dreamstime.com; P111: Pcheruvi/Dreamstime.com; P112: Classic Image/Alamy; P132: Adisa/Shutterstock; P133: Robyn Mackenzie/Shutterstock; P134: Nigel Spiers/Dreamstime.com; P138: Irochka/Dreamstime.com; P139: Nasa Archive/Alamy; P141: Iofoto/Shutterstock; P142: Science Source/Science Photo Library; P145: Shutterstock/Patrik Dietrich; P149: Shutterstock/ Plampy; P152: Shutterstock/John Orsbun; P152: Shutterstock/ Wavebreakmedia Ltd; P153: Shutterstock/Filipe B. Varela;

ii

P155: Shutterstock/Luckyphoto; P155: Shutterstock/Upthebanner; P158: The Art Gallery Collection/Alamy; P158: Mireille Vautier/Alamy; P159: Yayayoyo/Shutterstock; P159: Travis Manley/Dreamstime.com; P159: Loulouphotos /Shutterstock; P161: James Harbal/Dreamstime.com; P162: Robyn Mackenzie/ Dreamstime.com; P164: Science Photo Library; P176: Nito/Shutterstock; P183: Gsplanet/Shutterstock; P182: Gingergirl/Dreamstime.com; P: Christopher King/Dreamstime.com; P192: Art Directors & Trip/Alamy; P192: Alex Garaev/Shutterstock; P193: Adam Eastland Italy/Alamy; P192: Lebrecht Music And Arts Photo Library/Alamy; P195: Yellowj/Shutterstock; P201: Science Source/Science Photo Library; P205: Glasscuter/Dreamstime. com; P205: Jules2000 /Shutterstock; P214: Sheila Terry/Science Photo Library; P217: Sheila Terry/Science Photo Library; P221: Glowimages/Getty Images; P222: Ccat82/Shutterstock; P253: Adrian Zenz/Dreamstime.com; P255: Mitchell Gunn/Dreamstime.com; P256: Will & Deni Mcintyre/Corbis; P256: Gravicapa/ Fotolia.Com; P256: Brett Critchley/Dreamstime.com; P257: Ivan Hafzov/Dreamstime.com; P264: Mlehmann78/Dreamstime.com; P270: Pamela Tekiel/Dreamstime.com; P271: William Perry/ Dreamstime.com; P274: Sergio Azenha/Alamy; P275: Brenda Carson/Dreamstime.com; P280: Tina Norris/Rex Features; P283: Maniec/Dreamstime.com; P282: Asdf_1/Dreamstime.com; P289: Robodread/Dreamstime.com; P288: Niday Picture Library/Alamy; P291: Sean Gladwell/Fotolia; P313: Science Photo Library; P318: Andrew Brookes, National Physical Laboratory/Science Photo Library; P318: Ted Foxx/Alamy; P330: Mediacolors/Alamy; P330: Fromoldbooks.Org/Alamy; P333: Alex James Bramwell/Shutterstock; P334: Paulmerrett/Dreamstime.com; P349: Science Photo Library; P361: Maxx-Studio/Shutterstock; P363: Lamb/Alamy; P363: Bcampbell65/Shutterstock; P372: Maridav/Shutterstock ; P373: Chris Harvey/Shutterstock; P384: Michel Stevelmans/Shutterstock ; P384: Brandon Bourdages/Shutterstock; P385: Darren Baker/Dreamstime.com; P: Viktor Pravdica/Dreamstime.com; P403: Tomadesign/Shutterstock; P403: Tomadesign/Shutterstock; P403: Tomadesign/Shutterstock; P403: Konstantin Mironov/Shutterstock; P405: Darryl Brooks/Shutterstock; P406: Rafa Irusta/ Shutterstock; P436: Dmitry_K/Shutterstock; P444: Pagadesign/ Istockphoto; P447: Mr.Xutakupu/Shutterstock; P455: National Portrait Gallery London; P483: Rorem/Shutterstock; P487: Cynthia Burkhardt/Shutterstock; P487: Lori Martin/Shutterstock; P488: Phb.Cz (Richard Semik)/Shutterstock; P493: Mary Evans Picture Library/Alamy; P492: Alan Haynes/Alamy; P497: Mythic Ink/Getty Images; P497: Noah Berger/Associated Press; P506: Mythic Ink/Getty Images; P517: Science Photo Library; P521: Reuters Pictures; P526: Doodledance/Shutterstock; P535: Stanth/Shutterstock; P536: Anke Van Wyk/Dreamstime.com; P528: Cla78/Shutterstock; P529: Vladimir Yessikov/Shutterstock; P547: Monkey Business Images/Dreamstime.com; P552: Monkey Business Images/Dreamstime.com; P555: Vladimir Voronin/ Dreamstime.com; P557: Phase4photography/Dreamstime. com; P558: Sculpies/Dreamstime.com; P555: Mario Savoia/Shutterstock; P555: R. Gino Santa Maria/Shutterstock; P554: James Weston/Shutterstock; P567: Beboy/Shutterstock; P567: Buslik/ Shutterstock; P567: Dadek/Shutterstock; P566: Scott Camazine/ Science Photo Library; P566: Nasa/Science Photo Library; P567: Mikkel Juul Jensen/Science Photo Library. Portada: Joshua McCullough / Photo Library Los editores han procurado por todos los medios identifcar y contactar a todos los titulares de los derechos de autor antes de la publicacin de este libro, pero no ha sido posible en todos los casos. Si se les notifca, los editores rectifcarn cualquier error u omisin a la mayor brevedad.

Defnicin del libro del alumno Los libros del alumno del Programa del Diploma del IB son recursos diseados como apoyo para el estudio en los dos aos del Programa del Diploma. Estos recursos ayudan a los alumnos a entender lo que se espera del estudio de una asignatura del Programa del Diploma del IB y presentan su contenido de manera que ilustra el propsito y los objetivos del IB. Reejan la flosoa y el enoque del IB, y avorecen una comprensin prounda de la asignatura al establecer conexiones con temas ms amplios y brindar oportunidades para el pensamiento crtico. Conorme a la flosoa del IB, los libros abordan el currculo teniendo en cuenta el curso en su totalidad y el uso de una amplia gama de recursos, la mentalidad internacional, el perfl de la comunidad de aprendizaje del IB y los componentes troncales del Programa del Diploma del IB: Teora del Conocimiento, la Monograa y Creatividad, Actividad y Servicio (CAS). Todos los libros pueden usarse en combinacin con otros materiales y, de hecho, se espera que los alumnos del IB extraigan conclusiones basndose en una variedad de recursos. Todos los libros proponen lecturas adicionales y brindan sugerencias para ampliar la investigacin. Adems, los libros del alumno proporcionan asesoramiento y orientacin con respecto a los requisitos de evaluacin de las asignaturas y la probidad acadmica.

Declaracin de principios del IB El Bachillerato Internacional tiene como meta ormar jvenes solidarios, inormados y vidos de conocimiento, capaces de contribuir a crear un mundo mejor y ms pacfco, en el marco del entendimiento mutuo y el respeto intercultural.

En pos de este objetivo, la organizacin colabora con establecimientos escolares, gobiernos y organizaciones internacionales para crear y desarrollar programas de educacin internacional exigentes y mtodos de evaluacin rigurosos. Estos programas alientan a alumnos del mundo entero a adoptar una actitud activa de aprendizaje durante toda su vida, a ser compasivos y a entender que otras personas, con sus dierencias, tambin pueden estar en lo cierto.

El perfl de la comunidad de aprendizaje del IB El objetivo undamental de los programas del Bachillerato Internacional (IB) es ormar personas con mentalidad internacional que, conscientes de la condicin que las une como seres humanos y de la responsabilidad que comparten de velar por el planeta, contribuyan a crear un mundo mejor y ms pacfco. Como miembros de la comunidad de aprendizaje del IB, nos esorzamos por ser: Indagadores: Cultivamos nuestra curiosidad, a la vez que desarrollamos habilidades para la indagacin y la investigacin. Sabemos cmo aprender de manera autnoma y junto con otros. Aprendemos con entusiasmo y mantenemos estas ansias de aprender durante toda la vida. Informados e instruidos: Desarrollamos y usamos nuestra comprensin conceptual mediante la exploracin del conocimiento en una variedad de disciplinas. Nos comprometemos con ideas y cuestiones de importancia local y mundial. Pensadores: Utilizamos habilidades de pensamiento crtico y creativo para analizar y proceder de manera responsable ante problemas complejos. Actuamos por propia iniciativa al tomar decisiones razonadas y ticas.

iii

Buenos comunicadores: Nos expresamos con confanza y creatividad en diversas lenguas, lenguajes y maneras. Colaboramos efcazmente, escuchando atentamente las perspectivas de otras personas y grupos. ntegros: Actuamos con integridad y honradez, con un proundo sentido de la equidad, la justicia y el respeto por la dignidad y los derechos de las personas en todo el mundo. Asumimos la responsabilidad de nuestros propios actos y sus consecuencias. De mentalidad abierta: Desarrollamos una apreciacin crtica de nuestras propias culturas e historias personales, as como de los valores y tradiciones de los dems. Buscamos y consideramos distintos puntos de vista y estamos dispuestos a aprender de la experiencia. Solidarios: Mostramos empata, sensibilidad y respeto rente a las necesidades y los sentimientos de otros. Nos comprometemos a ayudar a los dems y actuamos con el propsito de inuir positivamente en las vidas de las personas y el mundo que nos rodea. Audaces: Abordamos la incertidumbre con previsin y determinacin. Trabajamos de manera autnoma y colaborativa para explorar nuevas ideas y estrategias innovadoras. Deendemos nuestras posturas con valenta y claridad. Equilibrados: Entendemos la importancia del equilibrio sico, mental y emocional para lograr el bienestar propio y el de los dems. Refexivos: Evaluamos detenidamente el mundo y nuestras propias ideas y experiencias. Nos esorzamos por comprender nuestras ortalezas y debilidades para, de este modo, contribuir a nuestro aprendizaje y desarrollo personal.

Probidad acadmica Es undamental citar debidamente a los autores de la inormacin que se utiliza en un trabajo. Despus de todo, los autores de las ideas (propiedad intelectual) tienen derechos de propiedad. Para que un trabajo se considere iv

original, debe basarse en ideas propias y citar debidamente la autora de las ideas y el trabajo de otras personas. Por lo tanto, toda actividad escrita u oral realizada para la evaluacin debe estar expresada en palabras propias. Cuando se utilicen uentes externas o se haga reerencia a ellas, ya sea en orma de cita directa o parrasis, se debe indicar debidamente su procedencia.

Cmo citar el trabajo de otros Para indicar que se han utilizado las ideas de otras personas se usan notas a pie de pgina y bibliograas. Notas a pie de pgina (colocadas en la parte inerior de una pgina) o notas al fnal (colocadas al fnal de un documento): deben utilizarse cuando se cita o pararasea de otro documento, o cuando se reproduce de manera resumida la inormacin de otro documento. No es necesario usar una nota a pie de pgina para inormacin que orma parte de un rea de conocimiento. Es decir, no es necesario citar defniciones en notas a pie de pgina, ya que se considera que son de conocimiento general. Bibliograas: deben incluir una lista ormal de los recursos que se han utilizado en un trabajo. Por ormal se entiende que debe presentarse siguiendo una de las varias convenciones aceptadas. Esto normalmente implica separar los recursos utilizados en dierentes categoras (por ejemplo, libros, revistas, artculos periodsticos, recursos de Internet, CD y obras de arte) y proporcionar datos completos de dnde puede encontrar la misma inormacin un lector o un observador del trabajo. La bibliograa es una parte obligatoria de la Monograa.

Qu constituye una conducta improcedente? La conducta improcedente es toda accin por la que un alumno salga o pueda salir benefciado injustamente en uno o varios componentes de la evaluacin. El plagio y la colusin se consideran conducta improcedente.

Plagio: se entiende como la presentacin de las ideas o el trabajo de otra persona como propios. Estas son algunas ormas de evitar el plagio: 







Debe citarse la autora de las palabras e ideas de otras personas que se utilicen para respaldar los argumentos propios. Los pasajes citados textualmente deben entrecomillarse y debe citarse su autora. Los CD-ROM, mensajes de correo electrnico, sitios web y otros medios electrnicos deben ser tratados de la misma manera que los libros y las revistas. Debe citarse la uente de todas las otograas, mapas, ilustraciones, programas inormticos, datos, grfcos, materiales audiovisuales y otros materiales similares que no sean de creacin propia.



Cuando se utilicen obras de arte, ya sean de msica, cine, danza, teatro o artes visuales, o cuando se haga un uso creativo de una parte de una obra de arte, se debe citar al artista original.

Colusin: se entiende como el comportamiento de un alumno que contribuye a la conducta improcedente de otro. Incluye: 

Permitirle a otro alumno que copie un trabajo o lo presente como si uese propio



Presentar un mismo trabajo para distintos componentes de evaluacin o requisitos del Programa del Diploma

Otras formas de conducta improcedente incluyen cualquier accin que le permita a un alumno salir benefciado injustamente, o que tenga consecuencias sobre los resultados de otro alumno (por ejemplo, introducir material no autorizado a la sala de examen, conducta indebida durante un examen y alsifcar documentacin relacionada con CAS).

v

Contenidos Captulo 1 Funciones

2

1 .1 1 .2

4

1 .3 1 .4 1 .5 1 .6

Introduccin a las unciones El dominio y el recorrido de una uncin en un plano cartesiano Notacin uncional Funciones compuestas Funciones inversas Transormacin de unciones

Captulo 2 Funciones y ecuaciones cuadrticas

2.1 2.2 2.3 2.4 2.5

Resolucin de ecuaciones cuadrticas La rmula cuadrtica Races de ecuaciones cuadrticas Grfcos de unciones cuadrticas Aplicaciones de las unciones cuadrticas

8 13 14 16 21

32

34 38 41 43 53

Captulo 3 Probabilidad

62

3.1 3.2 3.3

64 68

3.4 3.5

Defniciones Diagramas de Venn Diagramas del espacio muestral y la regla del producto Probabilidad condicionada Diagramas de rbol de probabilidad

77 85 89

Captulo 4 Funciones exponenciales y logartmicas 100

4.1 4.2 4.3 4.4 4.5 4.6 4.7 4.8

Potencias Resolucin de ecuaciones exponenciales Funciones exponenciales Propiedades de los logaritmos Funciones logartmicas Propiedades de los logaritmos Ecuaciones exponenciales y logartmicas Aplicaciones de las unciones exponenciales y logartmicas

Captulo 5 Funciones racionales

5.1 5.2 5.3

vi

Recprocos La uncin recproca Funciones racionales

1 03 1 07 1 09 115 118 1 22

Captulo 6 Patrones, progresiones y series

6.1 6.2 6.3 6.4 6.5 6.6 6.7 6.8 6.9

Patrones y progresiones Progresines aritmticas Progresiones geomtricas La notacin de sumatoria () y las series Series aritmticas Series geomtricas Series convergentes y sumas de infnitos trminos Aplicaciones de patrones aritmticos y geomtricos El tringulo de Pascal y el desarrollo del binomio

Captulo 7 Lmites y derivadas

7.1 7.2 7.3 7.4 7.5 7.6 7.7

Lmites y convergencia La recta tangente y la derivada de xn Ms reglas de derivacin La regla de la cadena y derivadas de orden superior Razones de cambio y movimientos sobre una recta La derivada y sus grfcos Ms sobre extremos y problemas de optimizacin

Captulo 8 Estadstica descriptiva

8.1 8.2 8.3 8.4 8.5 8.6

Anlisis unidimensional Presentacin de los datos Medidas de posicin central Medidas de dispersin Frecuencia acumulada Varianza y desviacin tpica

Captulo 9 Integracin

1 27 1 31 140

1 42 1 43 1 47

9.1 9.2 9.3 9.4 9.5 9.6 9.7

Antiderivadas y la integral indefnida Ms sobre integrales indefnidas rea e integrales defnidas Teorema undamental del clculo rea entre dos curvas Volumen de revolucin Integrales defnidas con movimiento lineal y otros problemas

160

1 62 1 64 1 67 1 70 1 72 1 75 1 78 1 81 1 84 194

1 96 200 208 21 5 221 230 240 254

256 257 260 267 271 276 290

291 297 302 309 31 3 31 8 321

Captulo 10 Anlisis bidimensional

1 0.1 1 0.2 1 0.3 1 0.4

Diagramas de dispersin La recta de ajuste ptimo Regresin de mnimos cuadrados Cmo medimos la correlacin

Captulo 11 Trigonometra

1 1 .1 Trigonometra del tringulo rectngulo 1 1 .2 Aplicaciones de la trigonometra del tringulo rectngulo 1 1 .3 Utilizacin de los ejes de coordenadas en trigonometra 1 1 .4 El teorema del seno 1 1 .5 El teorema del coseno 1 1 .6 rea de un tringulo 1 1 .7 Radianes, arcos y sectores circulares Captulo 12 Vectores

1 2.1 1 2.2 1 2.3 1 2.4 1 2.5

Vectores: conceptos bsicos Suma y dierencia de vectores Producto escalar Ecuacin vectorial de la recta Aplicaciones de los vectores

Captulo 13 Funciones circulares

1 3.1 Utilizacin del crculo de radio unidad 1 3.2 Resolucin de ecuaciones usando el crculo de radio unidad 1 3.3 Identidades trigonomtricas 1 3.4 Representacin grfca de unciones circulares 1 3.5 Traslaciones y estiramientos de las unciones trigonomtricas 1 3.6 Combinacin de transormaciones con las unciones seno y coseno 1 3.7 Modelizaciones que utilizan las unciones seno y coseno Captulo 14 Anlisis con unciones trigonomtricas

1 4.1 Derivadas de las unciones trigonomtricas 1 4.2 Ms prctica con derivadas 1 4.3 Integral del seno y el coseno 1 4.4 Un repaso al tema del movimiento lineal

332

334 339 345 349 362

363 369 373 380 386 389 391 404

407 420 426 430 437 446

Captulo 15 Distribuciones de probabilidad

518

1 5.1 Variables aleatorias 1 5.2 La distribucin binomial 1 5.3 La distribucin normal

520 527 538

Captulo 16 La exploracin

556

1 6.1 1 6.2 1 6.3 1 6.4 1 6.5 1 6.6 1 6.7

Acerca de la exploracin Criterios de evaluacin interna Cmo se evala la exploracin Probidad acadmica Registros Eleccin del tema Comienzo de la exploracin

556 557 562 562 564 564 568

Captulo 17 Problemas y operaciones con la calculadora de pantalla grfca

570

1 .1 1 .2 1 .3 1 .4 1 .5 1 .6 1 .7 1 .8

448 454 456 462 469

1 .9 1 .1 0 1 .1 1 1 .1 2 1 .1 3 1 .1 4 1 .1 5 1 .1 6

478 483

1 .1 7 1 .1 8 1 .1 9

494

2.1 496 500 505 51 0

2.2 2.3 2.4 2.5

Grfcos de unciones lineales 572 Cmo hallar los ceros 572 Cmo hallar la pendiente de una recta 573 Resolucin de sistemas de ecuaciones de orma grfca 574 Resolucin de sistemas de ecuaciones lineales 576 Grfcos de unciones cuadrticas 577 Resolucin de ecuaciones cuadrticas 578 Cmo hallar un punto mnimo o punto mximo local 579 Grfcos de unciones exponenciales 583 Cmo hallar una asntota horizontal 584 Evaluacin de logaritmos 585 Cmo hallar la uncin inversa 585 Grfcos de unciones logartmicas 588 Grados y radianes 589 Grfcos de unciones trigonomtricas 590 Resolucin de una ecuacin que combina cuadrtica y exponencial 591 Uso de la regresin sinusoidal 592 Uso de transormaciones para modelizar una uncin cuadrtica 594 Uso de deslizadores para modelizar una uncin exponencial 596 Cmo hallar la pendiente en un punto 598 Dibujo de la tangente a una curva 599 Puntos mximos y mnimos 600 Cmo hallar una derivada numrica 602 Grfcos de derivadas numricas 603

vii

2.6 3.1 3.2 4.1 4.2 5.1 5.2 5.3 5.4 5.5 5.6 5.7 5.8 5.9 5.1 0 5.1 1 5.1 2 5.1 3 5.1 4 5.1 5 5.1 6

Uso de la derivada segunda 605 Cmo hallar el valor de una integral defnida 606 Cmo hallar el rea bajo la curva 607 Clculo del producto escalar 608 Clculo del ngulo entre dos vectores 61 0 Ingreso de listas de datos 61 2 Ingreso de datos en una tabla de recuencias 61 2 Dibujo de un histograma de recuencias a partir de una lista 61 3 Dibujo de un histograma de recuencias a partir de una tabla de recuencias 61 4 Dibujo de un diagrama de caja y bigotes a partir de una lista 61 5 Dibujo de un diagrama de caja y bigotes a partir de una tabla de recuencias 61 6 Clculo de parmetros estadsticos a partir de una lista 61 7 Clculo de parmetros estadsticos a partir de una tabla de recuencias 61 8 Clculo del rango intercuartil 61 9 Uso de los parmetros estadsticos 620 Cmo usar n C r 621 Clculo de probabilidades binomiales 622 Clculo de probabilidades conociendo los valores de X 624 Clculo de valores de X conociendo las probabilidades 625 Diagramas de dispersin usando una pgina de datos y estadstica 627 Diagramas de dispersin usando una pgina de grfcos 629

Captulo 18 Conocimientos previos

1 .1 1 .2 1 .3 1 .4

viii

Operaciones Simplifcacin de expresiones que contienen races Nmeros primos, divisores y mltiplos Fracciones y decimales

632

633

1 .5 1 .6 1 .7 1 .8 1 .9 1 .1 0 1 .1 1 2.1

Porcentajes Razn y proporcin El mtodo de reduccin a la unidad Conjuntos de nmeros Redondeo y estimacin Notacin cientfca Conjuntos Desarrollo de parntesis y actorizacin 2.2 Frmulas 2.3 Resolucin de ecuaciones lineales 2.4 Sistemas de ecuaciones lineales con dos incgnitas 2.5 Expresiones exponenciales 2.6 Resolucin de inecuaciones 2.7 Valor absoluto 2.8 Suma y resta de racciones algebraicas 3.1 El teorema de Pitgoras 3.2 Transormaciones geomtricas 3.3 Congruencia 3.4 Semejanza 3.5 Puntos, rectas, planos y ngulos 3.6 Figuras planas (bidimensionales) 3.7 El crculo: defniciones y propiedades 3.8 Permetro 3.9 rea 3.1 0 Volmenes y reas de la superfcie de cuerpos tridimensionales 3.1 1 Geometra cartesiana 4.1 Grfcos estadsticos 4.2 Anlisis de datos Captulo 19

Prctica para la prueba 1 Prctica para la prueba 2

640 643 645 646 648 650 651 657 662 664 666 667 668 669 670 673 674 676 678 682 683 684 685 686 688 692 699 703 708

708 71 2

634 637 638

Respuestas

716

ndice temtico

784

Acerca del libro Este libro cubre completamente el actual programa de Matemticas Nivel Medio. Cada captulo est dividido en secciones en ormato de leccin con las siguientes caractersticas:  Investigaciones  Sugerencias para exploraciones  Consejos del examinador  Teora del Conocimiento  Curiosidades  Exploracin histrica Las matemticas resultan un instrumento de lo ms poderoso y valioso, que posee belleza en s misma como objeto de estudio y por su utilidad en otras disciplinas. Los sumerios desarrollaron las matemticas como rea reconocida de enseanza y aprendizaje hace aproximadamente 5000 aos y su desarrollo no ha cesado desde entonces. El libro del alumno lo guiar a travs de las actualizaciones curriculares con amplia cobertura de todos los contenidos y el nuevo requisito de evaluacin interna. Se ha puesto especial nasis en el desarrollo y la comprensin de los conceptos matemticos en sus aplicaciones a la vida cotidiana, como as tambin en la resolucin de problemas y el pensamiento crtico. El libro del alumno identifca las preguntas que podran ser tiles

para la prctica de exmenes y aquellas en las que puede emplearse una CPG. Se disearon las preguntas para avanzar en la difcultad, reorzar las habilidades de anlisis y generar confanza a travs de la comprensin. El internacionalismo, la tica y las aplicaciones estn claramente integrados en cada seccin y al fnal de cada captulo se incluye una pgina de aplicacin de Teora del Conocimiento. El proesor y el alumno pueden trabajar segn la secuencia propuesta pero existe tambin la posibilidad de seguir un orden alternativo. Donde resulta pertinente, se muestra la solucin de los ejemplos mediante el uso de la calculadora TI-Nspire. En el sitio web (www. oxordsecondary.com/ib-matematicas), se incluye material de ampliacin como, por ejemplo, hojas de ejercicios y ejercicios resueltos. La educacin matemtica es un campo creciente y cambiante. El enoque contextualizado que integra los recursos tecnolgicos permite que los alumnos se adapten a contextos de aprendizaje para toda la vida. Nota: Se ha utilizado el estilo del IB para los trminos matemticos. Tambin se ha empleado el estilo ormal de redaccin utilizado en los exmenes del IB, para ayudar a los alumnos a prepararse para dichas pruebas.

Acerca de los autores Laurie Buchanan ha enseado matemticas en Denver, Colorado, por ms de 20 aos. Es jea de un equipo de examinadores y examinadora principal en la prueba 1 y examinadora para la prueba 2 de Matemticas NM. Es adems responsable de talleres y trabaj como parte del equipo de revisin del currculo. Jim Fensom ha enseado cursos de matemticas del IB durante aproximadamente 35 aos. Se desempe como coordinador de Matemticas en la escuela Nexus International School en Singapur. Edward Kemp ha enseado matemticas en el Programa del Diploma durante 20 aos. Es el director del rea matemtica en el Ruamrudee International School de Tailandia. Es examinador para Matemticas NM del IB, se desempe en el comit de revisin

del currculo y adems es responsable de contenidos de talleres en lnea para el IB. Paul La Rondie ha enseado matemticas para el Programa del Diploma en el Sevenoaks School durante 1 0 aos. Ha sido examinador y jee de equipo de examinadores para ambas pruebas en Matemticas NM y moderador de evaluacin interna. Ha integrado el comit de revisin del currculo y es responsable de contenidos de talleres en lnea para el IB. Jill Stevens ha enseado el programa de matemticas para el Programa del Diploma en el Trinity High School, Euless, Texas, durante 9 aos. Es examinadora para Matemticas NM, responsable de talleres y ha ormado parte del comit de revisin del currculo. Jill ue lectora y lder responsable en el examen de Clculo AP del College Board. 1

1

Funciones

OBJETIVOS DEL CAPTULO: 2.1

Funciones: dominio, recorrido; unciones compuesta, identidad e inversa 2.2 Grfcos de unciones hechos a mano y con calculadora de pantalla grfca (en adelante, CPG), sus mximos y mnimos, asntotas, el grafco de  1 (x) 2.3 Transormaciones de grfcos, traslaciones, simetras, estiramientos y transormaciones compuestas

Antes de comenzar Qu necesitamos saber 1

Situar puntos en un eje de coordenadas Por ejemplo: Situar los puntos A(4, 0), B(0, 3), C( ,  ) y D(2,  ) en un plano cartesiano.

Comprobemos nuestras habilidades y

2 C 1

1 D

A 2 110 1 2 3 4 x 2 B 3 4

2

Sustituir valores en una expresin Por ejemplo: Sabiendo que x = 2, y = 3 y z = 5, hallar el valor de: a 4x + 2y b y2  3z a 4x + 2y = 4(2) + 2(3) = 8 + 6 = 14 b y2  3z = (3) 2 3(5) = 9 + 15 = 24 3 Resolver ecuaciones lineales Por ejemplo: Resolver 6  4x = 0 6  4x = 0  6 = 4x  ,5 = x  x =  ,5 y 6 4 Usar la CPG para 4 obtener el grfco de 2 una uncin 0 Por ejemplo: Representar 6 4 22 2 4 4 grfcamente 6 f(x) = 2x   , 6  x  6 8 5 Desarrollar productos de binomios Por ejemplo: Desarrollar (x + 3) (x  2) = x2 + x  6 2

Funciones

a

Site estos puntos en un plano cartesiano. A( , 3), B(5, 3), C(4, 4), D(3, 2), y E(2, 3), F(0, 3). 2 A b Escriba las 1,5 coordenadas de E H 1 los puntos A 0,5 hasta H. D B

C

2 1 0 0,5 1

1

2

3 x G

1,5 F

2

2

Sabiendo que x = 4, y = 6 y z = 10, halle: a

2x + 5

4x + 3y b z2  3y c y  z d yz 3 Resuelva: x a 3x  6 = 6 b 5x + 7 = 3 c + 6 = 1 1 2 4 6x

Obtenga el grfco de estas unciones en la CPG en el dominio dado. Despus, dibuje aproximadamente las unciones en papel. a y = 2x  3, 4  x  7 b y = 10  2x, 2  x  5 c y = x2  3, 3  x  3 5 Desarrolle: a (x + 4) (x + 5) b (x  1) (x  3) c (x + 5) (x  4)

La Estacin Espacial Internacional ha estado orbitando la Tierra ms de 1 5 veces por da durante ms de 1 0 aos; sin embargo, cuntos la hemos visto? Localizar a simple vista la estacin espacial no es tan difcil como podra parecer, siempre y cuando se sepa en qu direccin mirar. Aunque la estacin viaja a una velocidad de 7,7 km s 1 , est en una de las rbitas ms bajas posibles, a aproximadamente 390 km por encima de nuestras cabezas. Gracias a sus enormes alas solares, es una de las estrellas ms brillantes y ello hace que sea bastante fcil distinguirla a medida que se desplaza por el cielo nocturno.

[ Estacin Espacial Internacional

d

La relacin t = 22 744 da la velocidad de la estacin espacial, donde t es el tiempo medido en horas y d es la distancia recorrida en kilmetros. A esta relacin matemtica se le llama funcin y es solo un ejemplo de cmo una funcin matemtica puede emplearse para describir una situacin. En este captulo exploraremos las funciones y cmo se las puede aplicar a una amplia variedad de situaciones matemticas.

Uno de los primeros matemticos en estudiar el concepto de uncin ue el flsoo rancs Nicols Oresme (13231382). Trabaj con cantidades variables dependientes e independientes.

Captulo 1

3

1.1 Introduccin a las funciones Investigacin: saludos con las manos En algunos pases es costumbre que durante las reuniones de negocios las personas se saluden estrechando las manos. Si hay 2 personas, habr 1 saludo; si hay 3 personas, habr 3 saludos, y as sucesivamente. a Cuntos saludos habr entre 4 personas? b Copie y complete esta tabla:

Nmero de personas 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Nmero de saludos

c Site los puntos en un plano cartesiano con el nmero

de personas en el eje x y el nmero de saludos en el eje y. d Escriba una frmula para el nmero de saludos, S, en funcin

del nmero de personas, n.

Relaciones y funciones Distancia (m) 100 200 300 400

Tiempo (s) 15 34 60 88

La tabla muestra el tiempo empleado por un estudiante para correr ciertas distancias.

Otra orma de representar esta inormacin es mediante pares ordenados: (1 00, 1 5), (200, 34), (300, 60) y (400, 88). Cada par ordenado tiene dos componentes dadas en un orden especfco. Las componentes estn separadas por una coma y encerradas entre parntesis en la orma (x, y).  Una relacin es un conjunto de pares ordenados. Los nmeros que componen una relacin no tienen nada de especial. En otras palabras, cualquier grupo de nmeros es una relacin en tanto estos nmeros vengan expresados como pares. 4

Funciones

Quizs resulte til intentar esto con un grupo de compaeros de la clase.

En este caso, no corresponde unir los puntos, porque estamos trabajando solo con nmeros enteros (discretos).

 El dominio es el conjunto formado por las primeras componentes (valores de x) de los pares ordenados. El dominio de los pares ordenados mencionados anteriormente es { 00, 200, 300, 400} .

Las llaves { } simbolizan el conjunto de.

 El recorrido es el conjunto formado por las segundas componentes (valores de y) de los pares ordenados. El recorrido de los pares ordenados mencionados anteriormente es { 5, 34, 60, 88} .

Ejemplo 1 Halle el dominio y el recorrido de las siguientes relaciones: a {(1, 4), (2, 7), (3, 10), (4, 13)} b {(2, 4), (1, 1), (0, 0), (1, 1), (2, 4)}

Respuestas El dominio es {1, 2, 3, 4}

a

El recorrido es {4, 7, 10, 13} b El dominio es {2, 1, 0, 1, 2}

El recorrido es {0, 1, 4}

Primeras componentes de los pares ordenados Segundas componentes de los pares ordenados No repetir valores aunque haya dos 4 y dos 1 en los pares ordenados

 Una funcin es una relacin matemtica que asocia a cada elemento del dominio de la funcin exactamente un elemento del recorrido de la funcin. Para que una relacin sea una funcin no puede haber dos pares ordenados que tengan la misma primera componente.

Ejemplo 2 Cules de los siguientes conjuntos de pares ordenados son funciones? a {(1, 4), (2, 6), (3, 8), (3, 9), (4, 10)} b {(1, 3), (2, 5), (3, 7), (4, 9), (5, 11)} c {(2, 1), (1, 1), (0, 2), (1, 4), (2, 6)}

Respuestas No es una funcin pues la componente 3 aparece dos veces en el dominio. b Es una funcin. Todas las primeras componentes son distintas. c Es una funcin. Todas las primeras componentes son distintas. a

Observe que no importa que algunos de los valores de y sean iguales. Captulo 1

5

Ejercitacin 1A Cules de estos conjuntos de pares ordenados son unciones? {(5, 5), (4, 4), (3, 3), (2, 2), (1, 1)} b {(3, 4), (1, 6), (0, 5), (2, 1), (3, 1)} c {(4, 1), (4, 2), (4, 3), (4, 4), (4, 5)} d {(1, 1), (0, 3), (1, 6), (1, 7), (2, 8)} e {(4, 4), (4, 5), (3, 6), (3, 7), (2, 8)} f {(1, 2), (2, 2), (3, 2), (4, 2), (5, 2)}

1

a

Para cada diagrama, identifque el dominio y el recorrido y establezca si la relacin es una uncin.

2

a

b

y

y 2

2 1 0

Escriba las coordenadas como pares ordenados.

1

1

2

3

1 0 1

4 x

1

3 x

2

Revea la tabla de la pgina 4 que muestra la cantidad de tiempo que emplea un estudiante en correr ciertas distancias. Es la relacin entre la distancia recorrida y el tiempo empleado una uncin?

3

La prueba de la recta vertical Se pueden representar relaciones y unciones en planos cartesianos. Es posible usar la prueba de la recta vertical para determinar si una relacin particular es o no una uncin, mediante el trazado de rectas verticales que cruzan el grfco.  Una relacin es una uncin si cualquier recta vertical no corta al grfco en ms de un punto. Esta es la prueba de la recta vertical.

Las coordenadas y el plano cartesiano deben sus nombres al matemtico francs Ren Descartes (1596  1650).

Ejemplo  Cules de las siguientes relaciones son unciones? y

a

b

c

y

y = | x| 0

x

0

y

0

x

x

{ Contina en la pgina siguiente.

6

Funciones

Respuestas a

b

c

y

y y

0

0

x

Es una uncin.

a

0

x

Es una uncin.

b

Corta dos veces.

x

No es una uncin.

c

Ejercitacin 1B 1

Cules de las siguientes relaciones son unciones? a

b

y

c

y

y

Trace o imagine rectas verticales en el grfco.

3 2 1 0

0

x

x 1 0 1

d

e

y

f

y

1

2

x

3

y

2 0

x

1 0 0 1

1

2

x

x

2

g

y

h

y 2

3

1

2

Si el grfco tiene un  punto lleno , esto indica que el valor est incluido en la uncin. Si el grfco tiene un  punto hueco  , esto indica que el valor no est incluido en la uncin.

y

i 2 1

1 0 1 2

1

2

3

4

5 x 5 4 3 2 1 0 1

1

2

3 x

2 1 0 1

1

2

x

2

2

2

Use la CPG para dibujar aproximadamente los Indique en su grfco dnde la recta grfcos de las siguientes rectas. corta al eje x y/o al eje y. a y= x b y= x+ 2 c y = 2x  3 d y=4 e Representan todos ellos unciones? Explique su respuesta. f Sern todas las rectas unciones? Por qu? Captulo 1

7

3

Dibuje aproximadamente la regin y < 3x  2. Es esta una uncin? Por qu?

4

Use un mtodo algebraico para mostrar que x2 + y2 = 4 no es una uncin.

Cuando utilice la CPG procure que los extremos del grfco estn cerca de las esquinas de la ventana de visualizacin. Pruebe a sustituir valores positivos y negativos de x.

1.2 El dominio y el recorrido de una funcin en un plano cartesiano

R E C DOMINIO R R I D O

El dominio y el recorrido de una uncin pueden escribirse mediante la notacin de intervalos. Este es otro mtodo de representacin para escribir un conjunto de nmeros. Por ejemplo, para el conjunto [ Una uncin es de todos los nmeros que son menores que 3, podemos escribir la la aplicacin del inecuacin x < 3, donde x es un nmero en el conjunto. dominio (valores de x En notacin de intervalos, este conjunto de nmeros se escribe (, 3). en el eje horizontal) Para la notacin de intervalos solo se requieren cinco smbolos: en el recorrido Parntesis Corchetes Infnito Menos infnito Unin

() []   

Para usar la notacin de intervalos:  Usamos parntesis ( , ) si el valor no est incluido en el grfco, como en (, 3), o cuando la uncin no est defnida en ese punto (un punto no defnido o asntota , o un salto de discontinuidad). Usamos corchetes [ , ] cuando el valor pertenece al grfco de la uncin.

(valores de y en el eje vertical).

Cuntos nmeros hay en la progresin 0, 1, 2, 3, 4,  si la continuamos indefnidamente? Cuntos nmeros hay en la progresin 0; 0,5; 1; 1,5; 2; 2,5; 3; 3,5; 4;  si la continuamos indefnidamente?

Cuando hay un corte en los valores, se escribe un intervalo para los valores hasta el punto de corte. Despus se escribe otro intervalo para los valores a partir del punto de corte. Finalmente, se coloca el smbolo de unin entre los intervalos para unirlos. Por ejemplo: (, 3)  (4, ). Si un grfco contina indefnidamente hacia la izquierda, el dominio (valores de x) comienza con (. Si contina indefnidamente hacia la derecha, el dominio fnaliza con ). Si un grfco contina indefnidamente hacia abajo, el recorrido comienza con (. Si el grfco contina indefnidamente hacia arriba, el recorrido fnaliza con ). Generalmente, usamos la notacin de intervalos para describir un conjunto de valores a lo largo de los ejes x o y. Sin embargo, podemos usarla para describir cualquier conjunto de nmeros. Por ejemplo, en notacin de intervalos, x  6 es [6, ). 8

Funciones

Por qu consideramos indefnido al infnito?

Asntotas

y 8 6 4 2

Podemos visualizar las asntotas para algunas unciones mediante la CPG. Una asntota es una recta a la que el grfco se acerca pero no corta. Por ejemplo, en el grfco de y =

1 , la curva se x

8 6 4 220 4 6 8

aproxima al eje de las x (y = 0), pero nunca lo toca. A medida que tendemos a infnito, la curva nunca llegar a y = 0 pero siempre se aproximar ms y ms. El eje x o y = 0 se denomina asntota horizontal. El eje y o x = 0 es asntota vertical por las mismas razones. Presentaremos un tratamiento ms proundo sobre asntotas en el captulo reerido a unciones racionales.

1

y= x

2 4 6 8 x

Al procedimiento de hallar las asntotas mediante la observacin del grfco se le llama localizacin de asntotas por simple inspeccin.

Ejemplo 4 Identifque, si existen, las asntotas horizontales y verticales de estas unciones. a

y = 2x

y=

b

2x

c y=

x+1

x+2

( x + 1) ( x  2)

Respuestas a

y 4

Asntota horizontal y = 0

3 2 1 2,5 2 1,5 1 0,5 0

b

A medida que nos movemos hacia la izquierda sobre el eje x, la curva se acerca ms y ms pero nunca corta al eje x.

0,5 1 1,5 2 2,5 x

y 8

Asntota horizontal y = 2 Asntota vertical x = 1

6 4 2 5 4 3 2 1 0 2

1

2

3

4

5 x

4 6 8

c

y

Asntota horizontal y = 0 Asntotas verticales x = 1 y x = 2

6 4 2 3 2 1 0 2

1

2

3

4

5 x

4

Captulo 1

9

Ejercitacin 1C Identifque, si existen, las asntotas horizontales y verticales de las siguientes unciones. 1

y = 3x

4

y=

2x x+2

2

y=

3 x

3

y=

4 x +1

5

y=

2x +1 x 1

6

y=

6 x 9 2

Defnicin por comprensin Cuando defnimos un conjunto por comprensin, usamos llaves { } y variables para expresar el dominio y el recorrido. Podemos caracterizar inecuaciones usando smbolos de desigualdades y otros smbolos. El conjunto de menor que menor o igual que mayor que mayor o igual que es un elemento del conjunto de los nmeros reales

{} <  >   

A menudo se considera la notacin de intervalos ms efciente que la defnicin por comprensin.

 Defnicin por comprensin:

{x: x> 6 }

El conjunto de Notacin de intervalos

los valores de x

tales que

D escripcin

Defnicin por comprensin

x es mayor que 2

{x : x > 2}

(, 4]

x es menor o igual que 4

{x : x  4}

[3, 3)

x est comprendido entre 3 y 3 incluyendo a 3 pero no a 3 x es menor que 5 o mayor o igual que 6 x es cualquier nmero real

{x : 3  x < 3}

(, +)

Algunas personas emplean corchetes invertidos para indicar  mayor que o  menor que . Por ejemplo: ] 2,  [ es equivalente a x > 2, y ], 4[ es equivalente a x < 4.

10

x es mayor que 6

(2, +)

(, 5)  [6, +)

Funciones

U n tema interesante para expl orar es el del  internacionalismo de l os smbol os en el l enguaje de l a matemtica.

{x : x < 5, x  6} x 

En distintas partes del mundo se utilizan dierentes palabras para nombrar el mismo smbolo. Por ejemplo, el corchete tambin se llama parntesis angular. En qu medida estas cuestiones aectan la comprensin? Puede encontrar otros ejemplos?

Ejemplo 5 Un tema interesante para explorar es la infuencia de la tecnologa en la notacin y viceversa.

Halle el dominio y el recorrido de esta funcin. y 2,5 2 1,5 1 0,5 4 3 2 1 0

1 2 3 4

x

Respuesta El dominio de la funcin es {x : x  4} o [4, +). El recorrido de la funcin es { y : y  0} o [0, +).

x toma valores mayores o iguales que 4. La funcin solo toma valores de y mayores o iguales que 0.

Ejemplo 6 Halle el dominio y el recorrido de cada funcin. a

b

y 2 1 2 1 0 1 2 3 4

1 2 3

x

Respuestas El dominio es {x : 2  x < 1 o 0 < x  3} o [2, 1)  (0, 3]. El recorrido es {y : 4 < y  1} o (4, 1] . b El dominio de la funcin es x   o (, +). El recorrido de la funcin es {y : y  3} o [3, +).

y 4 3 2 1 3 2 110 2 3

1 2 3 x

a

x puede tomar cualquier valor real.

Qu valores incluye el dominio 0  x  1? Cuntos valores hay?

Usamos todos la misma notacin en matemtica? Nosotros simbolizaremos con un punto hueco el hecho de que x = 1 no pertenece al conjunto. Distintos pases emplean notaciones dierentes para simbolizar esto mismo. Ms an, los proesores de un mismo pas emplean dierentes notaciones.

Captulo 1

11

Ejercitacin 1D 1

2

Revea la tabla y la rmula de la pgina 4 para el nmero de saludos de mano para varios nmeros de personas. Es esta una uncin? Si uera as, cul es el dominio y el recorrido? Halle el dominio y el recorrido de cada una de estas relaciones: a

b

y

c

y 4 3 2 1

4 3 2 1 4 3 2 1 0

F 2 1 0

1 2 3 4 x

d

e

y

1 0,5 1 0,5 0

0,5 1 x

1 2 3 4 5 6 x

f

y 4

6

y

E

y 1

2

4

5 4 3 2 1 0

2

4

2

0

2

4

1 2 3 4 5

1

x

2 6

4

2

0 2

2

x

4

4 6

g

y 5 4 3 2 1

h

y 2 1 2 1 0 1

1

2 x

2

2 110 2 3

i

1 2

pregunta tipo examen 3 Use la CPG para dibujar aproximadamente estos grfcos. Escriba el dominio y el recorrido de cada uncin. a y = 2x  3 b y = x2 c y = x2 + 5x + 6 d y = x3  4 e

y=

g

y=

x 1 x

1 x+2 2 9 k y= x x+3 i

12

y=

Funciones

f

y=

h

y = ex x+4 y= x2

j l

y=

4

2

x2 + 1

x

y 5 4 3 2 1 6 5 4 3 2 110 2 3 4

1 2 3 4 5 x

La calculadora hallar las intersecciones con los ejes x e y. Para hacer esto algebraicamente, tenemos en cuenta que una funcin corta al eje x cuando y = 0 y corta al eje y cuando x = 0. Por ejemplo, la funcin y = 2x  4 corta al eje x donde 2x  4 = 0, x = 2. Corta al eje y donde y = 2(0)  4 = 4.

3k tiene una respuesta inusual. Busque cuidadosamente un punto hueco cuando x = 3.

x

. Notacin funcional Las unciones se defnen usualmente por rmulas. Por ejemplo, la rmula y = 2x +  defne a y como uncin de x. Al asignarle el smbolo f, la rmula queda escrita en notacin uncional de la orma f(x) = 2x +  ; por lo tanto, y = f(x).  f(x) se lee fde x y signifca el valor de fen x. f (x) tambin se puede escribir as: f : x  2x +  . Un par ordenado (x, y) puede escribirise como (x, f(x)). Hallar f(x) para un valor particular de x signifca evaluar la uncin fen ese valor.

f : (x)  2x + 1 signifca que f es una uncin que asigna a x el valor 2x + 1.

Ejemplo 7 El matemtico y flsoo alemn Gottried Leibniz us por primera vez el trmino  uncin en 1673.

a Evale la uncin f (x) = 2x + 1 en x = 3. b Si f (x) = x2 + 4x  3, halle: i f (2) ii f (0) iii f (3) iv f (x + 1)

Respuestas a f (3) = 2(3) + 1 = 7 b i f (2) = (2) 2 + 4(2)  3 = 4 + 8  3 = 9 ii f (0) = (0)2 + 4(0)  3 = 0 + 0  3 = 3 iii f (3) = (3) 2 + 4(3)  3

Reemplazar x por 3

= 9  12  3= 6 iv f (x + 1) = (x + 1) 2 + 4(x + 1)  3 = x2 + 2x + 1 + 4x + 4  3 = x2 + 6x + 2

Ejercitacin 1E 1

Halle: i f(7) ii f(3) para estas unciones. a f(x) = x  2 b f(x) = 3x d

2

f(x) = 2x + 5

e

iii

f( 2 ) 1

iv

f(0)

f(a)

1

c

f(x) = 4 x

c

f(a  1)

f(x) = x2 + 2

Si f(x) = x2  4, halle: a f(a) b f(a + 5) 2 d f(a  2) e f(5  a)

pregunta TIPO examen 3 Si g (x) = 4x  5 y h (x) = 7  2x a Halle x cuando g (x) = 3. b Halle x cuando h (x) = 15. c Halle x cuando g (x) = h (x). Si h (x) = x 1 6 , halle h (3). b Hay algn valor para el cual h (x) no exista? Explique.

4 a

v

Observe que no siempre usamos la letra f para una uncin. Aqu hemos usado g y h. Cuando consideramos la velocidad en uncin del tiempo, muchas veces usamos v(t).

Captulo 1

13

5

El volumen de un cubo con aristas de medida x est dado por la uncin f(x) = x3 . a Halle f(5). b Explique el signifcado de f(5).

6

g( x) = x  2

3x +1

a

Evale: i

b

g (6)

Evale: i g (1)

ii

g (2)

iii

g (0)

iv

g   1 

ii

g (1,5)

iii

g (1,9)

iv

g (1,99)

 3

g (1,999) vi g (1,9999) c Qu observa en sus respuestas al apartado b ? d Hay algn valor de x para el cual g (x) no exista? e Obtenga un grfco de la uncin en la CPG y observe qu ocurre cuando x = 2. Explique. v

Podemos usar unciones matemticas para representar hechos de nuestra propia vida. Por ejemplo, supongamos que el nmero de pizzas que come una amilia depende del nmero de partidos de tbol que miran. Si comen 3 pizzas durante cada partido de tbol, la uncin sera  nmero de pizzas (p) = 3 multiplicada por  nmero de partidos de tbol (g) o p = 3g. Podemos pensar en alguna otra uncin que se emplee en la vida cotidiana? Podra ser quizs la suma total de dinero que gastamos o el nmero de minutos que hablamos por telono.

PREGUNTA tipo examen 7 La velocidad de una partcula est dada por v (t) = t 2  9 m s 1 . a Halle la velocidad inicial. b Halle la velocidad luego de 4 segundos. c Halle la velocidad luego de 10 segundos. d En qu instante la partcula est en reposo? 8

Dada f ( x ) = a

f (2 + h)

f ( x + h)  f( x) halle: h b

f(3 + h)

1.4 Funciones compuestas Una funcin compuesta es la combinacin de dos unciones. Se aplica una uncin al resultado de otra.  La composicin de una uncin fcon una uncin g se escribe como f(g (x)), que se lee fde g de x, o ( f g)(x), que se lee g compuesta con fde x. Cuando evaluamos una uncin sustituimos un valor u otra variable por x. Por ejemplo, si f(x) = 2x + 3, entonces f(5) = 2(5) + 3 =  3 Podemos hallar f(x2 +  ) sustituyendo x2 +  por x para obtener f(x2 +  ) = 2(x2 +  ) + 3 = 2x2 + 5  Una funcin compuesta aplica una uncin al resultado de otra y se defne como ( f g)(x) = f( g(x)). 14

Funciones

La velocidad inicial signifca la velocidad al comienzo, cuando t = 0. La partcula est en reposo cuando v = 0.

Material de ampliacin disponible en lnea: Hoja de ejercicios 1: Polinomios

Ejemplo 8 Si f (x) = 5  3x y g (x) = x2 + 4, halle (f  g)(x). g (x) va aqu

Respuesta (f g)(x) = 5  3(x 2 + 4) = 5  3x 2  12 = 3x 2  7

Sustituir x 2 + 4 en f (x)

Podramos tener que evaluar una funcin compuesta en un determinado valor de x.

Ejemplo 9 Si f (x) = 5  3x y g (x) = x 2 + 4, halle (f  g)(3). Respuesta Mtodo 1 (f g)(x) = 5  3(x 2 + 4) = 3x 2  7 (f g)(3) = 3(3) 2  7 = 27  7 = 34 Mtodo 2 g (3) = (3)2 + 4 = 13 f (13) = 5  3(13) = 34

Obtener la funcin compuesta Despus, reemplazar x por 3 Ambos mtodos arrojan el mismo resultado: puede usar el que prefera.

Sustituir 3 en g (x) Sustituir ese valor en f (x)

Ejemplo 0 Dadas f (x) = 2x + 1 y g (x) = x 2  2, halle: a (f  g)(x) b (f  g)(4) Respuestas a (f  g)(x) = 2(x 2  2) + 1 = 2x 2  3

Sustituir x2  2 en f (x)

b (f  g)(4) = 2(4) 2  3 = 29

Reemplazar x por 4

O use el mtodo 2: g (4) = (4) 2  2 = 14 y luego f (14) = 2(14) + 1 = 29

Ejercitacin 1F 1

Dadas f(x) = 3x, g (x) = x + 1 y h (x) = a ( f  g)(3) b ( f  g)(0) c e ( g  f )(4) f ( g  f )(5) g (h  f )(2) i ( f  h)(2) j k m ( g  h)(3) n (h  g)(3) o

x2 + 2, halle: ( f  g)(6) ( g  f )(6) ( f  h)(x) ( g  h)(x)

d h l p

( f  g)(x) ( g  f )(x) (h  f )(x) (h  g)(x)

(f  h)(2)  (h  f)(2)

Captulo 1

15

2

Dadas f(x) = x2  1 y g (x) = 3  x, halle: a ( g  f )(1) b ( g  f )(2) c ( g  f )(4) e ( g  f )(3) f ( f  g)(4) g ( f  g)(x + 1)

d h

( f  g)(3) ( f  g)(x + 2)

PREGUNTAS tipo examen Dadas las unciones f(x) = x2 y g (x) = x + 2, halle:

3

a 4

( f  g)(x)

b

( f  g)(3)

Dadas las unciones f(x) = 5x y g (x) = x2 + 1, halle: a ( f  g )(x) b ( g  f )(x)

5

g (x) = x2 + 3 y h (x) = x  4 a Halle ( g  h)(x). b Halle (h  g)(x). c A partir de lo anterior, resuelva la ecuacin ( g  h)(x) = (h  g)(x).

6

Si r (x) = x  4 y s (x) = x2, halle ( r  s)(x) e indique el dominio y el recorrido de la uncin compuesta.

A partir de lo anterior signifca que debemos utilizar los resultados obtenidos anteriormente para responder la pregunta.

1. Funciones inversas  La inversa de una uncin f(x) es f  (x). Revierte la accin de esa uncin. Si f(x) = 3x  4 y g (x) =

x+4 , 3

entonces

f( 0) = 3( 0)  4 = 26 y g ( 26) = 26 + 4 =  0, con lo cual volvemos 3 al punto de partida. Por lo tanto, g (x) es la inversa de f(x). No todas las unciones tienen una inversa. Si g es la uncin inversa de f, entonces revertir la accin de fpara todos los valores en el dominio de fy ftambin ser la inversa de g. Cuando fy g son unciones inversas, escribimos g (x) = f  (x).  Las unciones f(x) y g (x) resultan inversas una de otra si: ( f  g)(x) = x para todos los valores de x en el dominio de g ( g  f )(x) = x para todos los valores de x en el dominio de f

La prueba de la recta horizontal  Podemos usar la prueba de la recta horizontal para identifcar unciones que tienen inversas. Si una recta horizontal corta ms de una vez al grfco de una uncin, tal uncin no tiene inversa.

16

Funciones

(f  g) (10) = 10 Observe que f 1 signifca la inversa de f; el  1 no es un exponente (potencia).

Ejemplo 11 Cules de estas funciones tienen inversa? a

b

y

y 5 4 3 2 1

5 4 3 2 1 3 2 1 0

c

3 2 1 0 1 2 3 4 5

1 2 3 x

d

y

y 3 2 1

3 2 1 0 1 2 3

1 2 3 x

2 1 0 1 2 3 4

1 2 3 4 5 6 7 x

1 2 3 4 x

Respuestas y 5 4 3 2 1

a

b

y 5 4 3 2 1

4 3 2 1 0 1 2 3 4 x

4 3 2 1 0 1 2 3 4 5

No tiene funcin inversa.

1 2 3 4 5

x

Saba que Abu-alWafa Buzjani, un matemtico persa del siglo X, us funciones? Un crter en la Luna lleva su nombre.

Tiene funcin inversa. c

d

y 3 2 1 0 1 2 3

y 3 2 1

1 2 3 4 5 6 7 x

2 1 0 1 2 3 4

1 2 3 4

x

Tiene funcin inversa. No tiene funcin inversa.

Captulo 1

17

Grfcos de las unciones inversas  El grfco de la inversa de una uncin es una simetra de tal uncin respecto de la recta y = x. Mostramos aqu algunos ejemplos de unciones y sus unciones inversas.

y

f 1 (x)

y= x

y

y= x

f (x)

y

f 1 (x)

f 1 (x)

x

y= x

f (x) x

x f(x)

Si (x, y) pertenece a la curva f(x), entonces (y, x) pertenece a f 1 (x). La simetra respecto de la recta y = x intercambia x e y; por lo tanto, la simetra respecto de la recta y = x convierte al punto (1 , 3) en el punto (3, 1 ).

Ejercitacin 1G 1

Use la prueba de la recta horizontal para determinar cules de las siguientes unciones tienen inversa. a

b

y 7 6 5 4 3 2 1 5 4 3 2 1

c

y

En el siglo VI a. C., el cientfco hind Panini ue un pionero al incluir unciones en sus trabajos.

7 6 5 4 3 2 1 0

6 5 4 3 2 110 2 a 3

x

d

y

1

2 3 4 x

y 2 1

3 2 1

4 3 2 1 0 1 2 3 4 5 x 0

18

1 2 3 4 5 6

Funciones

x

2

Copie los grfcos de estas unciones. En cada uno de ellos, dibuje la recta y = x y la uncin inversa. a

b

y

c

y 10 8 6 4 2

8 6 4 2 4 220 4 6 8

2 4 6 8 x

8 6 4 2 0 2 4 6 8 10

y 8

d

e

0 2 4 6 8

2 4 x

6

8

8

4

0 4

4

6 4

2 4 6 8 x

y

f

y

4

y 10 8 6 4 2

4

2

2

1 0 2 4

x

8

3

2

1 0

1

2

3 x

1

2

3

4 x

Determinacin de la funcin inversa mediante procesos algebraicos Observe cmo est ormada la uncin f(x) = 3x  2. Comenzamos con x a la izquierda. 3

x

3x  2

2

Para ormar la uncin inversa revertimos el proceso, usando operaciones inversas. x+ 2 3

3

+2

x

La de La de

operacin inversa +2 es 2. operacin inversa 3 es 3.

En consecuencia, f  1 ( x ) = x + 2 3

El prximo ejemplo muestra cmo hacerlo sin diagramas.

Ejemplo 1 Si f (x) = 3x  2, halle la uncin inversa f 1(x). Respuesta y = 3x  2 x = 3y  2 x + 2 = 3y y= 1

f (x) =

x+ 2 3 x + 2

Reemplazar f(x) por y Reemplazar cada x por y, y cada y por x Despejar y Reemplazar y por f 1(x)

3

Captulo 1

19

Como se vio en los grfcos de unciones y sus inversas, el grfco de la uncin inversa de una uncin fes la simetra de y = f (x) respecto de la recta y = x, lo cual intercambia x e y. Por lo tanto, en el ejemplo  2, intercambiamos x e y, y despejamos y en la expresin obtenida.  Para determinar algebraicamente la uncin inversa, reemplazamos f(x) por y, y despejamos y.

Ejemplo  Si f (x) = 4  3x, halle f 1(x). Respuesta y = 4  3x x = 4  3y x  4 = 3y x4 =y 3 y= 1

f (x) =

Reemplazar f(x) por y Reemplazar cada x por y, y cada y por x Despejar y

4x 3 4x

Reemplazar y por f 1(x)

3

Para comprobar si la uncin inversa en el ejemplo  3 es correcta, podemos componer las unciones.   ( f  f  1 )( x ) = 4  3  4  x  = 4  (4  x ) = x 

3



En consecuencia, ( f  f  )(x) = x y f y f  son la inversa una de otra.  La uncin I (x) = x se denomina uncin identidad. La uncin deja a x invariable. Por lo tanto, f  f  = I

Ejercitacin 1H pregunta TIPO examen x+4 1 Si f(x) = y g (x) = 2x  4, halle: 2

ii f (3) y ( g  f )(3) g (1) y ( f  g)(1) iii ( f  g)(x) iv ( g  f )(x) b Qu le dice esto acerca de las unciones fy g? a

2

i

Halle la inversa de cada una de estas unciones: a f(x) = 3x  1 b g (x) = x3  2 c h (x) = 1 x + 5 4

d

3

20

f(x) =

3

x 3

e

g (x) =

x , x  3 g f( x) = 3+ x

h g( x ) =

Cul es f 1(x) si: a f(x) = 1  x

b

Funciones

1 x

2

f

h (x) = 2x3 + 3

c

f(x) = 1x , x  0

2x , x5 5x

f(x) = x

Existen unciones que tienen la propiedad de que su inversa coincide con la uncin original. Identifque estas unciones en la pregunta 3.

Evale f 1(5) en: a f(x) = 6  x

4

b

f(x) = 1 0

x+7

c

2

f(x) = 4 x  3

Observe que la imagen del punto (a, b) luego de una simetra respecto de la recta y = x es el punto (b, a).

Si f(x) = x + 1 halle f1 (x).

5

x2

pregunta TIPO examen Construya una tabla de valores para la uncin f(x) = 2 x y site los puntos obtenidos, para luego dibujar el grfco de f. b Dibuje en el mismo grfco la recta y = x. c Dibuje el grfco de f 1 mediante una simetra del grfco de frespecto de la recta y = x. d Indique el dominio y el recorrido de f y de f 1 .

6 a

7

La uncin f(x) = x2 no tiene inversa. Sin embargo, la uncin g ( x ) = x s tiene uncin inversa. Halle esta uncin inversa. Mediante la comparacin del recorrido y el dominio, explique por qu la inversa de g ( x ) = x no coincide con f(x) = x2.

8

Demuestre que los grfcos de una uncin lineal y su inversa nunca pueden resultar perpendiculares.

Material de ampliacin disponible en lnea: Hoja de ejercicios 1: Polinomios

. Transformacin de funciones Investigacin: funciones Debe usar su CPG para dibujar todos los grfcos en esta investigacin. 1

Dibuje y = x, y = x + 1, y = x  4, y = x + 4 en el mismo sistema de ejes. Compare y contraste sus unciones. Qu eecto tienen los trminos numricos constantes en los grfcos de y = x + b?

2 Dibuje y = x + 3, y = 2x + 3, y = 3x + 3,

y = 2x + 3, y = 0,5x + 3 en el mismo sistema de ejes. Compare y contraste sus unciones. Qu eecto produce cambiar los valores del coefciente de x? 3 Dibuje y = | x| , y = | x + 2| , y = | x  3| en el mismo sistema de ejes.

Compare y contraste sus unciones. Qu eecto produce cambiar los valores de h en los grfcos de y = | x + h| ?

Tambin encontrar esta ecuacin general de la recta escrita como y = mx + b o y = mx + c. El coefciente de x es el nmero que multiplica al valor de x. | x| signifca mdulo de x. Vea el captulo 18 para una mayor explicacin.

4 Dibuje y = x2, y = x2, y = 2x2, y = 0,5x2 en el mismo sistema de ejes.

Compare y contraste sus unciones. Qu eecto produce el signo negativo en los grfcos? Qu eecto produce cambiar el valor de a en los grfcos de y = ax2 ?

Captulo 1

21

En la investigacin debera haber encontrado que los grfcos de los apartados 1 , 2 y 3 tenan la misma orma, pero aparecan en dierentes posiciones. Los grfcos del apartado 4 deberan haber sido modifcados por una simetra o por un estiramiento. Estos son ejemplos de transormaciones de grfcos. Ahora estudiaremos estas transormaciones en detalle.

Traslaciones Desplazamiento vertical u horizontal  f(x) + k desplaza a f(x) verticalmente hacia arriba una distancia de k unidades.

 f(x)  k desplaza a f (x) verticalmente hacia abajo una distancia de k unidades. y

y 3

3

f(x) + 1

2

2

f(x)

1 1 f(x) 2

1

0

1

2

3

x

2 1 0 1

2

1

3 x

f(x)  1

Desplazamiento hacia la derecha o la izquierda  f(x + k) desplaza a f (x) horizontamente hacia la izquierda una distancia de k unidades, cuando k > 0.

 f(x  k) desplaza a f (x) horizontamente hacia la derecha una distancia de k unidades, cuando k > 0.

y

y

3

3

2 f(x + 2)

2

f(x)

1

3 2 1 0 1

f(x)

1 1

2

3 x

1 0 1

2

2

3

3

1

2

3

4

5 x

f(x  2)

a 

Las traslaciones se representan mediante vectores de la orma   b  donde a es la componente horizontal y b la componente vertical. 3    es un desplazamiento horizontal de 3 unidades hacia la derecha. 0   0   es un desplazamiento vertical de 2 unidades hacia abajo.  2   3 La traslacin de vector   denota un desplazamiento horizontal  2 

de 3 unidades hacia la derecha, y un desplazamiento vertical de 2 unidades hacia abajo. 22

Funciones

Intente transformar algunas funciones para diferentes valores de k en su CPG.

Simetras Simetra respecto del eje x  f(x) es la simetra de f(x) respecto del eje x.

Simetra respecto del eje y  f(x) es la simetra de f(x) respecto del eje y.

y

y

3

3

2

f(x)

2

f(x)

1

1

2 1 0 1

3 x

2

1

3 2 1 0 1

2

1

2

3 x

2 f(x)

3

f(x)

3

Estiramientos Estiramiento (o compresin) horizontal  f(qx) estira o comprime horizontalmente a f(x), con una razn de 1 .

Estiramiento (o compresin) vertical Un estiramiento de razn p, donde 0 < p < 1, har que el grfco se comprima.

 pf(x) estira verticalmente a f(x), con una razn de p.

q y 3

y f(2x) f(x)

3

2

2

1

1

3 2 1 0 1

1

2

3 x

2 1 0 1

2 3

2f(x)

1

2

3 x

2 f(x)

3

La transormacin es un

La transormacin es un

estiramiento horizontal 1 . q

estiramiento vertical

de razn

de razn p.

Cuando q >  , el grfco se comprime, acercndose al eje y. Cuando 0 < q <  , el grfco se estira, apartndose del eje y.

Cuando p >  , el grfco se estira, apartndose del eje x. Cuando 0 < q <  , el grfco se comprime, acercndose al eje x.

Los estudiantes suelen cometer errores con los estiramientos. Es importante recordar los dierentes eectos de, por ejemplo, 2f (x) y f (2x).

Ejemplo 4 1

Dado el grfco de la uncin f (x) que aqu se muestra, dibuje aproximadamente los grfcos de: a f (x + 1) b f (x)  2 c f (x) d f (x) e 2f (x)

y 4 3 2

f(x)

1 0

1

2

3

4

5

6 x

{ Contina en la pgina siguiente. Captulo 1

23

Respuestas a

4

2

3

1 f(x + 1)

1 1

1

0

2

4

e

y

12 10

2

3

4

5

6

x

4

4

2

Simetra respecto del eje x Las curvas de oferta y demanda que se usan en economa y negocios son simtricas.

Oferta

Precio P

Excedente P*

Equilibrio

2 Escasez C*

1 0

2

3

4

5

6 x

Las curvas de desintegracin radiactiva son simtricas. y Nmero de tomos

Demanda

1

Estiramiento vertical de razn 2

Oferta y demanda

5

3

Simetra respecto del eje y

2f(x)

0

4

1 0 x

2

6

3

6

1

8

f(x)

y

2

6 x

y

0 2

5

Traslacin de dos unidades hacia abajo

1 1

4

6 5 4 3

Traslacin de una unidad hacia la izquierda

1

3

2

5 x

4

2

3

f (x)

f (x)  2 1

1 3

y

c

0

2

d

y

b

y

Nmero de tomos hijos

100 75 50

Nmero de tomos padres

25 0

1

2 3 4 5 Nmero de semividas

6 x

10 20 30 40 50 60 x Cantidad C y

Ejercitacin 1I

f(x)

4

pregunta TIPO examen 1 Copie el grfco. Dibuje estas unciones en el mismo sistema de ejes cartesianos. a f(x) + 4 b f(x)  2 c f(x) d f(x + 3) e f(x  4) f 2f(x) g f(2x)

2 6 4 2 0 2

2

4 y g

f(x)

4

2

Las unciones g, h y q son transormaciones de f(x). Escriba cada transormacin en uncin de f(x). Funciones

q

2 h 10 8 6 4 2 0 2 4

24

6 x

4

2

4

6

8 10 x

3

Las unciones q, s y t son transormaciones de f(x). Escriba cada transormacin en uncin de f(x).

y s q

f(x)

t

6 4 2

10 8 6 4 2 0 2

pregunta TIPO examen 4 Copie el grfco de f(x). Dibuje el grfco de cada una de estas unciones e indique el dominio y el recorrido de cada una de ellas. a 2f(x  5) b f(2x) + 3

2

4

8 x

6

y 3 f(x)

2 1 6 4 2 0 1

2

x

2

5

6

Se muestra el grfco de f(x). A es el punto (1, 1). Realice copias del grfco y dibuje la uncin despus de aplicar cada transormacin. En cada grfco, rotule la nueva posicin de A como A  . a f(x + 1) b f(x) + 1 c f(x) d 2f(x) e f(x  2) + 3

5 4 3 2 110 2 3 4 5

A 1 2 3 4 5 x

En cada caso, describa la transormacin que cambiara el grfco de f(x) en el grfco de g (x). a f(x) = x3 , g (x) = (x3 ) b f(x) = x2 , g (x) = (x  3) 2 c f(x) = x, g (x) = 2x + 5

pregunta TIPO examen Sea f(x) = 2x + 1. a Dibuje el grfco de f(x) para 0  x  2. b Sea g (x) = f(x + 3)  2. En el mismo grfco, dibuje g (x) para 3  x  1.

7



y 5 4 3 2 1

Si se indica un dominio en la pregunta, debe dibujar la funcin solamente para tal dominio.

Ejercicios de revisin 1

a

Si g (a) = 4a  5, halle g (a  2).

b

Si h (x) = 1 + x , halle h (1  x). 1x

Evale f(x  3) cuando f(x) = 2x2  3x +1. b Para f(x) = 2x + 7 y g (x) = 1  x 2, halle la uncin compuesta defnida por ( f  g)(x).

2 a

Captulo 1

25

3

Halle la inversa de estas unciones. a

f(x) =

3x +17 2

b

g (x) = 2x3 + 3

4

Halle la inversa de f(x) =  1 x  1 . A continuacin, dibuje la 5 uncin y su inversa.

5

Halle las unciones inversas de: a f(x) = 3x + 5 b f(x) =

6

3

x+2

Copie cada grfco y dibuje la inversa de cada uncin. y 4

a

b

y 4

3

3

2

2

1

1

2 1 0 1

1

2

3 x

2 1

0

1

2

3 x

2 3 4

7

Halle el dominio y el recorrido para cada uno de estos grfcos. a

b

y 10

y 7,5 5 2,5

5

5

3 2 1 0 2,5

0 1

5

1

2

3

4

5

6

7 x

x 5 7,5

PREGUNTA TIPO EXAMEN 8 Para cada uncin, escriba una nica expresin que represente la combinacin de transormaciones dadas. a f(x) = x, simetra respecto del eje y, estiramiento vertical de razn 2, estiramiento horizontal de razn 1 y traslacin de 3 unidades hacia 3 la izquierda y 2 hacia arriba. b f(x) = x 2 , simetra respecto del eje x, estiramiento vertical de razn 1 , estiramiento horizontal de razn 3 y traslacin de 4

5 unidades hacia la derecha y 1 hacia abajo. 9 a b

Explique cmo dibujar la inversa de una uncin a partir de su grfco. Dibuje la inversa de f(x) = 2x + 3.

PREGUNTA TIPO EXAMEN Sean f(x) = 2x3 + 3 y g (x) = 3x  2. a Halle g (0). b Halle ( f  g)(0).

10

26

Funciones

c

Halle f1 (x).

PREGUNTAS TIPO EXAMEN 11 El grfco muestra la uncin f(x), para 2  x  4. a Sea h (x) = f(x). Dibuje aproximadamente el grfco de h (x). b

y 4 3

1 2

Sea g (x) = f(x  1). El punto A(3, 2) en el grfco de fse transorma en el punto P en el grfco de g. Halle las coordenadas de P.

12

Las unciones fy g se defnen como f(x) = 3x y g (x) = x + 2. a Halle una expresin para ( f  g) (x). b Muestre que f1 (12) + g 1 (12) = 14.

13

Sean g (x) = 2x  1; h (x) = x3 x 2 , x  2  a Halle una expresin para (h  g) (x). Simplifque su respuesta. b Resuelva la ecuacin (h  g) (x) = 0.

2 1 3 2 1 0

1

2

3

4

5 x

La instruccin  muestre que  signifca  obtenga el resultado requerido (posiblemente, utilizando la inormacin dada) sin necesidad de una prueba . En las preguntas de tipo muestre que generalmente no se emplea calculadora. Un buen mtodo consiste en cubrir el lado derecho de la expresin y luego operar con el lado izquierdo hasta que el resultado concuerde con el lado derecho.

Ejercicios de revisin 1

Use la CPG para dibujar aproximadamente la uncin e indique el dominio y el recorrido de f ( x ) = x + 2 .

2

Dibuje aproximadamente la uncin y = (x + 1)(x  3) e indique su dominio y recorrido.

3

Dibuje aproximadamente la uncin y = e indique su dominio x+2 y su recorrido.

1

PREGUNTAS TIPO EXAMEN 1 4 La uncin f(x) se defne como f ( x ) = 2 + x + 1 , x  1 . a Dibuje aproximadamente la curva f(x) para 3  x  2. b Use la CPG como ayuda para escribir el valor de la interseccin con el eje x y el eje y. 1

Dibuje aproximadamente el grfco de f ( x ) = 2 . x b Para qu valor de x no est defnida f(x)? c Indique el dominio y el recorrido de f(x).

5 a

6

Dada la uncin f ( x ) =

2x  5 x+2

Escriba las ecuaciones de las asntotas. Dibuje aproximadamente la uncin. c Escriba las coordenadas de los puntos de interseccin con ambos ejes. a

b 7

Sea f(x) = 2  x2 y g (x) = x2  2. a Dibuje aproximadamente ambas unciones en un solo grfco, para 3  x  3. b Resuelva f(x) = g (x). Captulo 1

27

PREGUNTAS TIPO EXAMEN 8 Sea f(x) = x3  3. a Halle la uncin inversa f1(x). b Dibuje aproximadamente f(x) y f1(x) en el mismo sistema de ejes. c Resuelva f(x) = f 1 (x). 9

2 f ( x ) = e 2 x  1 + x + 1 , x  1.

Dibuje aproximadamente la curva de f(x) para 5  x  2, incluidas todas las asntotas. Cuando en los exmenes del IB 10 Considere las unciones fy g donde f(x) = 3x  2 y g (x) = x  3. aparecen palabras a Halle la uncin inversa, f1. en negrita (como la b Sabiendo que g 1(x) = x + 3, halle ( g 1  f )(x). c

Muestre que (f1  g)(x) = x  1 .

d

Resuelva ( f 1  g)(x) = ( g1  f )(x)

palabra ecuaciones en el apartado e), signifca que se debe hacer exactamente lo que se requiere. Por ejemplo, la respuesta debe darse como x = 3, y no como 3.

3

Sea h ( x ) =

f(x) , g( x)

x  2.

d Dibuje aproximadamente

el grfco de h para 6  x  10 e 4  y  10, incluidas todas las asntotas. e Escriba las ecuaciones de las asntotas.

RESUMEN DEL CAPTULO 1 Introduccin a las funciones  

 



Una relacin es un conjunto de pares ordenados. El dominio es el conjunto de todas las primeras componentes (valores de x) de los pares ordenados. El recorrido es el conjunto de las segundas componentes (valores de y) de cada par. Una funcin es una relacin donde cada valor de x est relacionado con un nico valor de y. Una relacin es una uncin si toda recta vertical corta al grfco solo una vez. A este procedimiento se lo conoce como prueba de la recta vertical.

El dominio y el recorrido de una relacin en un plano cartesiano Notacin de intervalos:



Usamos parntesis de apertura y cierre ( , ) si el valor no est incluido en el grfco o cuando el grfco no est defnido en ese punto (un punto no defnido o asntota , o un salto de discontinuidad). Usamos corchetes [ , ] si el valor pertenece al grfco. Defnicin por comprensin: {x: x< 6}

El conjunto de

28

Funciones

los valores de x

tales que

x es menor que 6 Contina en la pgina siguiente.

Notacin uncional 

f(x) se lee f de x y signifca el valor de la uncin fevaluada en x.

Funciones compuestas 



La uncin compuesta de la uncin fcon la uncin g se escribe como f(g (x)), que se lee fde g de x, o ( f g)(x), que se lee g compuesta con fde x Una funcin compuesta aplica una uncin al resultado de otra y se defne como ( f g)(x) = f( g(x)).

Funciones inversas  



La inversa de una uncin f(x) es f1 (x) y revierte la accin de la uncin. Las unciones f(x) y g (x) resultan inversas una de otra si: ( f  g)(x) = x para todos los valores de x en el dominio de g, y ( g  f )(x) = x para todos los valores de x en el dominio de f. Podemos usar la prueba de la recta horizontal para identifcar unciones que tienen inversas. Si una recta horizontal corta a la uncin ms de una vez, entonces la uncin no tiene inversa.

Los grfcos de las unciones inversas 





El grfco de la inversa de una uncin es una simetra de dicha uncin respecto de la recta y = x. Para hallar la uncin inversa algebraicamente, reemplazamos f(x) por y, y despejamos y. A la uncin I(x) = x se la denomina uncin identidad. Deja invariables a los valores de x. Por lo tanto, f  f 1 = I.

Transormaciones de unciones   



   

f(x) + k desplaza a f(x) verticalmente hacia arriba una distancia de k unidades. f(x)  k desplaza a f(x) verticalmente hacia abajo una distancia de k unidades. f(x + k) desplaza a f(x) horizontamente hacia la izquierda una distancia de k unidades, cuando k > 0. f(x  k) desplaza a f(x) horizontamente hacia la derecha una distancia de k unidades, cuando k > 0. f(x) es una simetra de f(x) respecto del eje x. f(x) es una simetra de f(x) respecto del eje y. f(qx) es un estiramiento horizontal de f(x) con una razn de 1q . pf(x) es un estiramiento vertical de f(x) con una razn de p.

Captulo 1

29

w

Teora del Conocimiento

La representacin matemtica

Grupos por edades

[ Este grfco sugiere que:  Las personas de 1 6 aos conducen de orma ms segura que las de 20 aos.  Las personas de 80 aos conducen de manera muy segura.  Cree usted que estas afrmaciones son ciertas?

Mediana de los ingresos anuales (en dlares estadounidenses) 71 868 60 827 46 269 36 155 23 317

Obtener un ttulo universitario incrementar sus ingresos en casi USD13 000 por ao.

30

Es esta afrmacin cierta?

Teoria del Conocimiento: la representacin matemtica

>74

65-69

70-74

55-59

60-64

45-49

50-54

35-39

[ Este grfco relaciona el nmero de accidentes con la distancia recorrida por conductores de dierentes edades.  Qu le dice el grfco acerca de los conductores de 1 6 aos y los de 75 aos?

Ingresos segn el nivel de educacin 1996



x

Grupos por edades

El inorme Monthly Labor Review public esta inormacin reerida a los ingresos segn el nivel educativo. Nivel de educacin alcanzado Proesional Doctorado Maestra Universitario Secundario

40-44

25-29

30-34

16-19

x

Accidentes fatales por 100 millones de millas conducidas,1988

y 16 14 12 10 8 6 4 2 0 20-24

>79

75-79

70-74

65-69

60-64

55-59

50-54

45-49

40-44

35-39

30-34

25-29

20-24

Nmero de conductores en accidentes fatales,1988

Accidentes fatales por 100 millones de millas conducidas

y 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0 16-19

Nmero de conductores (en miles)

A la matemtica se la representa visualmente en modelos, imgenes, nmeros, lneas y grfcos de unciones y relaciones. Cuando se muestra una representacin visual, tales como los grfcos de esta pgina, antes de presentarla se ha decidido qu escala usar y qu inormacin mostrar.

400  300 

y 9,0 t 8,1 t 7,2 t 6,3 t 5,4 t 4,5 t 3,6 t 2,7 t 1,8 t 0,9 t 0t

200 

Ene Feb Mar Abr May Jun Jul Ago Sep Oct Nov Dic Mes  Producto Y

BUS

0

TRANVA

100 

 Producto X 

500 

TREN



600 

METRO



Cun tiles son los grfcos para transmitir inormacin? Cun preciso puede ser un grfco? Cules son las ventajas y las desventajas de la interpolacin y la extrapolacin de los datos?

VEHCULOS A MOTOR



700 

x

x

 Producto Z

Cun exactas resultan estas representaciones visuales?  

Rayos X Pinturas



Instantneas

Redes 

Qu es una red? De qu modo se emplean en inormtica, planifcacin urbana, biologa y asuntos militares?  En qu consisten las siguientes redes?  Redes de datos  Redes agrupadas  Redes de campus  Redes de mapeo 

Una red de cmputos es una inraestructura de hardware y sotware que brinda un acceso fable, constante, generalizado y de bajo costo a capacidades inormticas de alta gama. Foster y Kesselman, 1998 



Existen computadores que no estn conectados a una red? Es un computador una red en s mismo?

Capitulo 1

Teora del Conocimiento

Precisin

31

2

Funciones y ecuaciones cuadrticas

ObjetivOs del captulO: 2.4

2.7 2.7 2.7 2.8

La uncin cuadrtica f (x) = ax2 + bx + c = 0: su grfco, su vrtice, intersecciones con el eje x y el eje y, ejes de simetra La orma x  a(x  p)(x  q), intersecciones con el eje x (p, 0) y (q, O) La orma x  a(x  h) 2 + k, vrtice (h, k) Resolucin de ecuaciones cuadrticas de la orma ax2 + bx + c = 0 La rmula cuadrtica El discriminante y la naturaleza de las races Aplicacin de las habilidades de representacin grfca de unciones y de resolucin de ecuaciones a situaciones de la vida real

an  omnzr Qu necesitamos saber

Comprobemos nuestras habilidades

1

1

Resolver ecuaciones simples en una incgnita dada Por ejemplo: Resolver en b: 3b  2 = 0 3b = 2, b 



3a  5 = a + 7  4x 2 + 1 = 21 

2

3(n  4) = 5(n + 2)

3

Por ejemplo: Resolver la ecuacin n2 + 3 = 5: n2 + 3 = 5 n2 = 2, n =  2 2 Factorizar expresiones matemticas Por ejemplo: Factorizar p 2  5p: p(p  5) Por ejemplo: Factorizar la expresin ax  3x + 2a  6: x(a  3) + 2(a  3) (x + 2)(a  3) Por ejemplo: Factorizar la expresin x 2  3x   0: (x + 2)(x  5) Por ejemplo: Factorizar la expresin (2a + 5)(2a  5) 4a 2  25: 32

Resuelva cada ecuacin:

Funciones y ecuaciones cuadrticas

2

Factorice cada expresin:  2k 2  10k  14a 3 + 21a 2  49a  2x 2 + 4xy + 3x + 6y  5a 2  10a  ab + 2b  n 2 + 4n + 3 f 2x 2  x  3 g m 2  36 h 25x 2  81y 2

Este monumento conmemorativo de la segunda guerra mundial ue inaugurado en 2004 en Washington DC. Las uentes del monumento dejan uir aguas que orman hermosas trayectorias curvas. La imagen de la derecha muestra un chorro de agua de un bebedero, que sigue una trayectoria similar. Las ormas de las trayectorias curvas de estos chorros se denominan parbolas y pueden modelizarse mediante unciones de la orma f (x) = ax2 +bx +c. A tales unciones se las denomina funciones cuadrticas. Otras situaciones que pueden modelizarse mediante unciones cuadrticas incluyen el rea de una fgura y la altura de un objeto en cada libre en uncin del tiempo. En este captulo, estudiaremos cmo representar grfcamente unciones cuadrticas expresadas en orma polinmica, f (x) = ax2 + bx + c; en orma cannica, y = a(x  h)2 + k; y en orma actorizada, f (x) = a(x  p)(x  q). Cada una de estas ormas tiene su propia utilidad. Si quisiramos saber la altura mxima alcanzada por el chorro de agua de un bebedero, deberamos usar la orma cannica. Si quisiramos encontrar las dimensiones de un rectngulo con una medida de rea particular, la orma actorizada nos sera de mayor utilidad. Captulo 2

33

2.1 Rsolucin d cuacions cuadrticas 2

Una ecuacin que puede escribirse en la forma ax + bx + c = 0, donde a  0, se denomina cuacin cuadrtica . Los siguientes son todos ejemplos de ecuaciones cuadrticas: x 2  4x + 7 = 0 5x 2 = 3x  2 2x(3x  7) = 0 (x  7)(2  5x) =  4x En esta seccin, comenzaremos a resolver ecuaciones cuadrticas.

Resolucin por factorizacin Antes de comenzar a resolver ecuaciones cuadrticas por factorizacin es importante comprender una propiedad fundamental:  Si xy = 0, entonces x = 0 o y = 0. Esta propiedad puede ser ampliada a: Si (x  a)(x  b) = 0, entonces x  a = 0 o x  b = 0.

Algunas de estas ecuaciones no aparecen escritas en la forma ax2 + bx + c = 0 pero pueden ser ordenadas de modo que tengan esa forma. En un trinomio cuadrado ax2 + bx + c, ax2 es el trmino cuadrtico, bx es el trmino lineal y c es el trmino constante. Usualmente se conoce esta propiedad como la propidad dl producto nulo.

ejmplo 1 Resuelva estas ecuaciones por factorizacin. a x 2  5x  14 = 0 b 3x 2 + 2x  5 = 0 Respuestas x2  5x  14 = 0 (x  7)(x + 2) = 0 x 7 = 0 o x+ 2 = 0 x= 7 x = 2 x = 2 o 7

a

c 4x 2 + 4x + 1 = 0

Factorizar la expresin en el miembro izquierdo de la ecuacin Igualar cada actor a cero, usando la propiedad del producto nulo

b 3x 2 + 2x  5 = 0

(3x + 5)(x  1) = 0 3x + 5 = 0 o x  1 = 0 5 3 5 x=  , 1 3

x= 

x= 1

c 4x 2 + 4x + 1 = 0

(2x + 1)(2x + 1) = 0 (2x + 1) 2 = 0 2x + 1 = 0 1

x= 34

2

Funciones y ecuaciones cuadrticas

Factorizar la expresin en el miembro izquierdo de la ecuacin Igualar cada actor a cero Puede tambin hallar las soluciones con su calculadora de pantalla grfca (en adelante, CPG). (Vea la seccin 1.7 en el captulo 17.)

Cuando obtenemos el mismo actor dos veces, se trata de un cuadrado perecto y solo habr una solucin. Usualmente decimos que esta ecuacin tiene dos races iguales.

Ejercitacin 2A En este ejercicio, resuelva todas las ecuaciones a mano y despus verifque sus respuestas con una CPG. Resuelva por actorizacin. a x 2  3x + 2 = 0 b a 2 + a  56 = 0 2 d x  25 = 0  x 2 + 2x  48 = 0 2 Resuelva por actorizacin. a 6x 2 + 5x  4 = 0 b 5c 2 + 6c  8 = 0 d 4x 2  16x  9 = 0  3t 2 + 14t + 8 = 0 1

m 2  11m + 30 = 0 f b 2 + 6b + 9 = 0 c

2h 2  3h  5 = 0 f 6x 2 + x  12 = 0 c

Si una ecuacin cuadrtica no est escrita en la orma polinmica, ax2 + bx + c = 0, deberemos reordenar los trminos antes de actorizarla, tal como se muestra en el ejemplo 2.

ejmplo  Resuelva estas ecuaciones por actorizacin. b x (x + 10) = 4(x  2) 8x 2  5 = 10x  2

a

Respuestas 8x 2  5 = 10x  2 8x 2  10x  3 = 0 (4x + 1)(2x  3) = 0 4 x + 1 = 0 o 2x  3 = 0

a

1 4 1 x=  4

x= 

x= o

Agrupar todos los trminos semejantes en un miembro de la ecuacin Factorizar y resolver en x

3 2

3 2

b x(x + 10) = 4(x  2)

Desarrollar los parntesis y agrupar los trminos semejantes Factorizar y resolver en x

x2 + 10x = 4x  8 x2 + 6x + 8 = 0 (x + 4)(x + 2) = 0 x+ 4 = 0 o x + 2 = 0 x = 4 x = 2 x = 4, 2

Hace miles de aos, los antiguos babilonios y egipcios estudiaron ecuaciones cuadrticas como estas para encontrar, por ejemplo, soluciones a problemas relacionados con el rea de un rectngulo.

Ejercitacin 2B 1

Resuelva por actorizacin. x 2 + 2x  7 = 13 + x c 3z(z + 4) = (z 2 + 9) a

 2

x+5=

36 x

d

2n2 + 11n = 3n  n2  4 2(a  5)(a + 5) = 21a

f

2x 1 

b

x 1 2x

Un nmero y su cuadrado diferen en 12. Halle el nmero.

Use  x para representar el nmero y escriba una ecuacin para resolver en x.

PREGUNTA TIPO EXAMEN Los dos lados perpendiculares de un tringulo rectngulo miden x + 2 y 5x  3. La hipotenusa mide 4x +  . Halle x.

3

Captulo 2

35

invstgacn: trinomios cuadrados perfectos Resuelva estas ecuaciones por factorizacin. 1 x2 + 10x + 25 = 0 3 x2 + 14x + 49 = 0 5 x2  18x + 81 = 0

2 4 6

x2 + 6x + 9 = 0 x2  8x + 16 = 0 x2  20x + 100 = 0

Qu nota de particular? Describa los patrones que reconozca en las ecuaciones cuadrticas originales. Un trinomio es un polinomio con tres trminos. Por qu cree que a estos polinomios se les llama " trinomios cuadrados perfectos" ?

Resolucin por el procedimiento de completar cuadrados Algunas ecuaciones cuadrticas no pueden resolverse por actorizacin, pero existen otros mtodos que pueden usarse para resolverlas sin usar la CPG. Tomemos la ecuacin x 2 +  4x + 49 = 0 de la investigacin anterior. El miembro izquierdo de la ecuacin es un cuadrado perecto, porque tiene dos actores idnticos: x 2 +  4x + 49 = (x + 7)(x + 7) = (x + 7) 2. Para resolver la ecuacin x 2 +  4x + 49 = 0, podramos actorizar, lo cual nos dara la ecuacin (x + 7) 2 = 0, que fnalmente nos conduce a la solucin x = 7. Qu ocurrira si le pidiesen que resuelva la ecuacin x2 +  4x + 49 = 5? Si se reagrupan los trminos en el miembro izquierdo de la ecuacin, se obtiene x2 +  4x + 44 = 0, que no puede actorizarse cilmente. Sin embargo, an es posible obtener la solucin exacta, tal como se muestra en el ejemplo 3.

ejmplo 



Resuelva estas ecuaciones sin emplear la CPG. a x 2 + 14x + 49 = 5 b x 2  6x + 9 = 6 Respuestas a

x 2 + 14x + 49 = 5 (x + 7) 2 = 5 x +7 =  5 x = 7  5

b x 2  6x + 9 = 6 2

(x  3) = 6 x 3 =  6 x =3 6

36

Funciones y ecuaciones cuadrticas

Factorizar el trinomio cuadrado perfecto en el miembro izquierdo de la ecuacin Aplicar raz cuadrada en ambos miembros de la ecuacin x tiene dos soluciones:  7 + 5 y 7  5 . Nuevamente, observamos que el miembro izquierdo de la ecuacin es un trinomio cuadrado perfecto; por lo tanto, podemos usar el mismo mtodo empleado en el apartado a. x tiene dos soluciones: 3 + 6 y 3  6 .

Las respuestas expresadas en forma de radicales son soluciones exactas.

En el ejemplo 3, las ecuaciones involucraban trinomios cuadrados perectos. Se pueden usar trinomios cuadrados perectos para resolver cualquier ecuacin cuadrtica por el mtodo denominado de compltar cuadrados.  Para completar el cuadrado, calcule la mitad del coefciente de x, elvela al cuadrado y sume el resultado a ambos miembros de la ecuacin. Este paso permite crear un trinomio cuadrado perecto en el miembro izquierdo de la ecuacin.

ejmplo  Resuelva cada ecuacin completando el cuadrado. x 2 + 10x = 6 b x 2  12x = 3 c x 2  3x  1 = 0

a

Respuestas a x 2 + 10x = 6 x 2 + 10x + 25 = 6 + 25 (x + 5) 2 = 31 x + 5 =  31 x = 5  31 b x 2  12x = 3

x 2  12x + 36 = 3 + 36 (x  6) 2 = 39 x  6 =  39

El coefciente de x es 10; dividir por 2 (5) y elevar al cuadrado (25) Completar el cuadrado sumando 25 a ambos miembros Resolver en x El coefciente de x es 12. 12  2 = 6, 6 2 = 36 Completar el cuadrado Resolver en x

x = 6  39 c x 2  3x  1 = 0

Sumar 1 a ambos miembros de la ecuacin

x 2  3x = 1 x2  3 x +

9 4

=1+

2

3  13   x  = 4 2 

x

3  13 = 2 2

x=

3  13 2

9 4

2

La mitad de 3 es , y   es . 2 2 4 9 Sumar a ambos miembros de la 3

3

9

4

ecuacin Resolver en x

Hace ms de mil aos, los matemticos hindes y rabes desarrollaron mtodos similares al de completar el cuadrado para resolver ecuaciones cuadrticas. Estaban buscando soluciones a problemas matemticos tales como Cul debe ser el cuadrado que, cuando se aumenta en 10 veces sus propias races, se obtiene 39? Esto puede escribirse como x2 + 10x = 39.

Ejercitacin 2C Resuelva por el procedimiento de completar el cuadrado. 1 x 2 + 8x = 3 2 x 2  5x = 3 3 x 2  6x + 1 = 0 2 2 4 x + 7x  4 = 0 5 x  2x  6 = 0 6 x2 + x  3 = 0

 Para completar el cuadrado, el coefciente del trmino en x 2 debe ser . Si el trmino en x 2 tiene un coefciente distinto de , antes de completar el cuadrado, puede sacar ese coefciente como actor comn o dividir toda la expresin por ese coefciente.

Captulo 2

37

ejmpo  Resuelva estas ecuaciones completando el cuadrado. 2x 2 + 8x = 6 b 3x 2  15x = 2

a

Respuestas 2x 2 + 8x = 6 x 2 + 4x = 3 x 2 + 4x + 4 = 3 + 4 (x + 2) 2 = 7 x+ 2 =  7 x = 2  7

a

Dividir ambos miembros de la ecuacin por el coefciente de x 2, que es 2 Completar cuadrados para resolver en x

b 4x 2  20x = 5

4(x 2  5x) = 5

Dividir toda la expresin por el coefciente de x 2, que es 4

5 x  5x = 4 25 5 25 = + x 2  5x + 4 4 4 2

5

La mitad de 5 es , y

2

5 30 1 5  =  x  = 2 4 2  5 2

x = 5 2

x= 

2

5    2

2

es

25 4

Abu Kamil Shuja (c. 850  c. 930), tambin conocido como al-Hasib al-Misri, que signifca la calculadora de Egipto , ue uno de los primeros en introducir en el lgebra los smbolos para potencias, tales como xm xn = xm+ n .

.

La respuesta puede escribirse

15 2

tambin como x =

15 2

5  30 . 2

Ejercitacin 2D Resuelva por el procedimiento de completar el cuadrado. 1

2x 2 + 12x = 6

2

3x 2  6x = 3

3

5x 2  10x + 2 = 0

4

4x 2 + 6x  5 = 0

5

2x 2  x  6 = 0

6

10x 2 + 4x  5 = 0

. la frmua cuadrtica Sabemos que una ecuacin cuadrtica puede escribirse en la forma ax2 + bx + c = 0. Supongamos que queremos resolver esta ecuacin cuadrtica general usando el procedimiento de completar el cuadrado. Tendramos: ax 2 + bx + c = 0

Reste c de ambos miembros de la ecuacin.

ax 2 + bx = c

Divida ambos miembros de la ecuacin por a.

c b x + ax= a 2

b

2

b 

c

2

b 

x2 + x +    =  + a a  2a   2a 

38

Funciones y ecuaciones cuadrticas

b b . es a 2a Elevando al cuadrado 2 obtenemos b 2 . 4a La mitad de

2

b  c b2   x+  =  + 2 2a  a 4a  2

b  b 2  4 ac  x + =   2a  4a2 

x+ x=

b b 2  4 ac  b 2  4 ac = = 2a 2a 4a2 b  b 2  4 ac 2a

Este procedimiento nos da una frmula muy til que puede utilizarse para resolver cualquier ecuacin cuadrtica.



la frmua cuadrtica

Para cualquier ecuacin de la forma ax 2 + bx + c = 0, x=

b  b 2  4 ac 2a

Esta frmula aparece en el cuadernillo de frmulas de Matemticas NM del IB; por lo tanto, no tiene que memorizarla.

ejmpo 6 Resuelva cada ecuacin usando la frmula cuadrtica. a x 2 + 4x  6 = 0 b 2x 2  3x = 7 c 3x 2 = 7x + 6 Respuestas x 2 + 4x  6 = 0

a

x=

4  4 2  4 ( 1 ) (  6 ) 2 (1 )

x=

4  40 2

x=

4  2 1 0 = 2  10 2

Esta respuesta es correcta pero puede simplifcarse ms.

b 2x 2  3x = 7

2x 2  3x  7 = 0 x= x=

3

( 3 )

2

 4 ( 2 ) ( 7 )

2 (2)

3x 2  7x  6 = 0

x=

Primero escribir la ecuacin en la orma polinmica, ax2 + bx + c = 0 Usar la rmula cuadrtica con a = 2, b = 3 y c = 7

3  65 4

c 3x 2 = 7x + 6

x=

Usar la rmula cuadrtica con a = 1, b = 4 y c = 6

7

( 7 )

2

 4 ( 3 ) ( 6 )

2 (3 )

Primero escribir la ecuacin en la orma polinmica, ax2 + bx + c = 0 Usar la rmula cuadrtica con a = 3, b = 7 y c = 6

7  1 21 7  1 1 = 6 6 2 3

x= ,3 Captulo 2

39

Ejercitacin 2E Resuelva estas ecuaciones usando la frmula cuadrtica. 1

4x2 + 9x  7 = 0

2

3x2 + 2x  8 = 0

3

5x2 + 6x + 1 = 0

4

x2  6x = 4

5

x2 = x  3

6

3x2 + 10x = 5

7

2x2  3x = 1

8

2x2 = 9x + 4

9

6  2x = 9 x

10

x +3 x = 5x  2 x +1

ejmplo  La suma de los cuadrados de dos nmeros enteros consecutivos es 613. Halle los dos nmeros enteros. Respuesta x2 + (x + 1) 2 = 613 x2 + x2 + 2x + 1 = 613 2x2 + 2x  612 = 0 x2 + x  306 = 0 x= x=

(1 )

1 

2

 4 (1 ) ( 306 ) 2 (1 )

1  1 225 2

=

Primero, es necesario escribir una ecuacin. Sea x el nmero entero menor y x + 1 el entero consecutivo. Desarrollamos los parntesis y agrupamos trminos semejantes. Dividimos por 2. La ecuacin cuadrtica podra tambin resolverse por factorizacin o completando el cuadrado.

1  35 2

x = 18 o 17 Los dos enteros son 18 y 17, o 17 y 18.

Dado que hay dos valores para x, habr dos valores para x + 1. Hay dos posibles pares de nmeros enteros consecutivos.

Ejercitacin 2F 1

La suma de dos nmeros es 50 y su producto es 576. Halle los nmeros.

2

El permetro de un rectngulo es de 70 m y su rea es 264 m2. Halle el largo y el ancho del rectngulo.

3

Halle el valor de x en el diagrama. 4x  6 x+6

3x

40

Funciones y ecuaciones cuadrticas

PREGUNTAS TIPO EXAMEN 4 Un rectngulo tiene un largo de 23 cm y un ancho de 16 cm. Si se reduce el largo x cm y se aumenta el ancho x cm, el rea del nuevo rectngulo es 378 cm2. Halle las dimensiones del nuevo rectngulo. La rmula h = 2 + 14t  4,9t2 proporciona la altura, h metros, que alcanza una pelota t segundos despus de haber sido lanzada. Cunto tiempo permanece la pelota en el aire?

5

. Races de ecuacones cuadrtcas

Material de ampliacin disponible en lnea: Hoja de ejercicios 2: Dos ecuaciones cuadrticas an m s difciles

investgacn: races de ecuaciones cuadrticas 1

Resuelva estas ecuaciones usando la frmula cuadrtica. x2  8x + 16 = 0 b 4x2  12x + 9 = 0 c 25x2 + 10x + 1 = 0 2 Resuelva estas ecuaciones usando la frmula cuadrtica. a x2 + 5x  14 = 0 b 3x2  8x + 2 = 0 c 5x2  3x  4 = 0 3 Resuelva estas ecuaciones usando la frmula cuadrtica. a x2 + 3x + 6 = 0 b 2x2  4x + 5 = 0 c 4x2 + 2x + 1 = 0 4 Qu patrones encontr en las soluciones de las ecuaciones de las preguntas 1 , 2 y 3 ? Por qu cree que sucede esto? a

Ahora observemos nuevamente la rmula cuadrtica usada para resolver ecuaciones de la orma ax2 + bx + c = 0, donde a, b y c son constantes. x=

b  b 2  4 ac 2a

Esta rmula nos proporcionar las races de una ecuacin cuadrtica. Una parte de la rmula cuadrtica, el dscrmnante, nos inormar acerca de la naturaleza de las races de la ecuacin, incluso, sin darnos la solucin. El discriminante es la parte de la rmula cuadrtica que fgura bajo el signo del radical (raz cuadrada), b2  4ac. Usualmente usamos el smbolo    para representar el discriminante.  Para una ecuacin cuadrtica ax2 + bx + c = 0, 2  Si b  4ac > 0, la ecuacin tendr dos races reales distintas. 2  Si b  4ac = 0, la ecuacin tendr dos races reales iguales. 2  Si b  4ac < 0, la ecuacin no tendr races reales.

Podemos considerar que una ecuacin con dos races reales iguales tiene una sola solucin.

Captulo 2

41

ejmplo 8 Use el discriminante para determinar la naturaleza de las races de cada ecuacin. a 9x 2 + 6x + 1 = 0 b 3x  5 =

4 x

Respuestas a 9x 2 + 6x + 1 = 0

 = 62  4(9)(1) = 36  36 = 0 La ecuacin tendr dos races iguales. b 3x  5 =

4 x

3x 2  5x = 4 3x 2  5x  4 = 0

 = (5) 2  4(3)(4) = 25 + 48 = 73 Esta ecuacin tendr dos races reales distintas.

Esta es una ecuacin cuadrtica con a = 9, b = 6 y c = 1. Calcular el discriminante Discriminante = 0 implica dos races iguales. Primero, llevamos la ecuacin a la orma polinmica. Multiplicamos por x ambos miembros, luego restamos 4 de ambos miembros. Recuerde:  = b 2  4ac.  > 0 signifca dos races reales distintas.

ejmplo 9 Halle el valor o los valores de k para los cuales la ecuacin 2x 2  kx + 3 = 0 tiene dos races reales distintas. Respuesta b 2  4ac > 0 (k) 2  4(2)(3) > 0 k 2  24 > 0 k 2 > 24 | k| > 24 | k| > 2 6 k > 2 6 o k < 2 6

Para que la ecuacin tenga dos races distintas, se necesita que  > 0.

Puede usar el valor absoluto cuando opere con la raz cuadrada en una desigualdad.

Ejercitacin 2G 1

42

Halle el valor del discriminante e indique la naturaleza de las races para cada ecuacin. a x 2 + 5x  3 = 0 b 2x 2 + 4x + 1 = 0 c 4x 2  x + 5 = 0 d x 2 + 8x + 16 = 0  x 2  3x + 8 = 0 f 12x 2  20x + 25 = 0

Funciones y ecuaciones cuadrticas

Para ms informacin acerca del valor absoluto, vea la seccin 2.7 del captulo 18.

PREGUNTA TIPO EXAMEN 2 Halle los valores de p para los cuales las ecuaciones tienen dos races reales distintas. a x2 + 4x + p = 0 b px2 + 5x + 2 = 0 c x2 + px + 8 = 0 d x2 + 3px + 1 = 0 3

Halle los valores de k para los cuales las ecuaciones tienen dos races reales iguales. a x2 + 10x + k = 0 b 2x2  3x + k = 0 c 3x2  2kx + 5 = 0 d x2  4kx  3k = 0

4

Halle los valores de m para los cuales las ecuaciones no tienen races reales. a x2  6x + m = 0 b x2 + 5mx + 25 = 0 c 3mx2  8x + 1 = 0 d x2 + 6x + m  3 = 0

PREGUNTA TIPO EXAMEN Halle los valores de q para los cuales la ecuacin cuadrtica qx2  4qx + 5  q = 0 no tiene races reales.

5

investgacn: grfcos de unciones cuadrticas Cada una de las siguientes unciones est dada en la orma y = ax2 + bx + c. Para cada uncin:  Halle el valor de b 2  4ac.  Obtenga el grfco de la uncin en su CPG. a y = x2  3x  5 b y = 3x2  6x + 4 c y = x2 + 2x + 7 d y = 4x2 + 3x + 5 2 e y = x  6x + 9  y = 2x2  4x + 2 2 g y = x + 5x + 2 h y = x2 + 7x + 3

Si necesita ayuda para obtener el grfco de unciones cuadrticas en una CPG, vea la seccin 1.6 en el captulo 17.

Qu le sugieren estos ejemplos sobre la relacin entre el valor del discriminante y el grfco de la uncin cuadrtica?

. Grfcos de uncones cuadrtcas

y

y = x2

Una uncin de la orma y = ax2 + bx + c, o f (x) = ax2 + bx + c, donde a  0, se denomina uncin cuadrtica. En esta seccin, veremos grfcos de unciones cuadrticas. La orma ms simple de una uncin cuadrtica es y = x2. Mostramos su grfco. 0

x

Este grfco tiene un mnimo en el punto (0, 0), y es simtrico respecto del eje y. Captulo 2

43

Si observamos los grfcos de otras unciones cuadrticas, deberamos notar algunas similitudes. y = x2 + 2x  1

y = 3x2  4x + 2

y

y = 2x2 + 2x + 3 y

y

0 0

x

x 0

x

Cada uno de estos grfcos presenta una fgura curva conocida como parbola . Cada grfco tiene adems un punto mximo o un punto mnimo llamado vrtice. Si el coefciente de x2 es positivo, la parbola se abrir hacia arriba, con el vrtice como el punto mnimo del grfco. Si el coefciente de x2 es negativo, la parbola se abrir hacia abajo y el vrtice ser un punto mximo. y Si imaginamos una recta vertical que pase por el vrtice, notaremos que el grfco es simtrico a la derecha y a la izquierda respecto de esa recta. A esta recta vertical imaginaria se la denomina eje de simetra . El eje de simetra se muestra con una lnea punteada en este grfco.

0

x

Ahora veremos dierentes ormas de unciones cuadrticas. Consideremos los grfcos de estas unciones cuadrticas de la orma y = ax2 + bx + c: y = x2 + x  3

y =  0,5x2  2x + 4

y

eje de simetra

y = x2  3x + 1

y

y 3

1

x= 2

x= 2

(0, 4) (0, 1) 0

0

x

x 0

(0, 3)

x = 2

 Para las unciones cuadrticas en orma polinmica y = ax2 + bx + c, el grfco corta al eje y en (0, c). La ecuacin del eje de simetra es x =

44

Funciones y ecuaciones cuadrticas

b . 2a

x

 Cuando la uncin cuadrtica bsica y = x2 sure transormaciones, las unciones resultantes pueden escribirse como y = a(x  h)2 + k. Observemos los grfcos de estas unciones cuadrticas de la orma y = a (x  h)2 + k: y = (x  2)2  1

y = 2(x + 1 ) 2  4

y

Posiblemente quiera revisar la seccin sobre transormaciones de grfcos en el captulo 1 de este libro.

y =  (x  3) 2 + 2

y

y

(3, 2) 0

x 0

0

x

x (2, 1)

(1, 4)

 Para unciones cuadrticas de la orma y = a(x  h) 2 + k, el grfco tiene su vrtice en (h, k).

ejmplo 10

Esta orma de la uncin cuadrtica se conoce a veces como  orma del vrtice .

a Escriba la uncin y = x2  6x + 4 en la orma y = (x  h) 2 + k. b Dibuje aproximadamente el grfco de la uncin, y rotule el vrtice

y la interseccin con el eje y (ordenada al origen). Respuestas y = x2  6x + 4

a

y = (x2  6x + 9) + 4  9 y = (x  3) 2  5 b

y

(0, 4)

0

Al observar la ecuacin en la forma polinmica, sabemos que la interseccin con el eje y ocurrir en (0, 4). Usando el procedimiento de completar el cuadrado reescribimos la ecuacin. Al sumar 9 y restar 9, el valor del miembro derecho de la ecuacin no se ha alterado.

x

(3, 5)

Nota: la ecuacin del eje de simetra es x = 3.

Captulo 2

45

ejmplo  Escriba la uncin  (x) = 2x2 + 8x + 11 en la orma  (x) = a(x  h)2 + k. b Dibuje aproximadamente el grfco de la uncin, y rotule el vrtice y la interseccin con el eje y (ordenada al origen). a

Respuestas  (x) = 2x2 + 8x + 11  (x) = 2(x2 + 4x + 4) + 11  8  (x) = 2(x + 2) 2 + 3

a

y

b

(2, 3)

12 (0, 11) 10 8 6 4 2

5 4 3 2 1 0

1 2 x

La interseccin del grfco con el eje y es (0, 11). Se debe tener cuidado cuando se completa el cuadrado si el trmino en x2 tiene un coefciente distinto de 1. Utilice este coefciente para actorizar los dos primeros trminos. Al sumar 2  4, y luego restar 8, el valor del miembro derecho de la ecuacin no ha cambiado.

Nota: la ecuacin del eje de simetra es x = 2.

El nombre de parbola fue introducido por Apolonio de Perga (Grecia, c. 262 a.C.  c. 190 a.C.) en su trabajo sobre las secciones cnicas.

Ejercitacin 2H 1

46

Para cada uncin, escriba la ecuacin del eje de simetra y el punto de interseccin con el eje y en cada grfco. a  (x) = x2 + 8x + 5 b  (x) = x2  6x  3 c  (x) = 5x2 + 10x + 6 d  (x) = 3x2 + 10x + 9

2

Para cada uncin, escriba las coordenadas del vrtice y d las coordenadas del punto de interseccin del grfco con el eje y. a y = (x  7) 2  2 b y = (x + 5) 2 + 1 2 c y = 4(x  1) + 6 d y = 3(x + 2) 2  7

3

Escriba cada uncin en la orma  (x) = a (x  h) 2 + k. Luego dibuje aproximadamente el grfco de la uncin y rotule el vrtice y la interseccin con el eje y (ordenada al origen). a  (x) = x2 + 10x  6 b  (x) = x2  5x + 2 2 c  (x) = 3x  6x + 7 d  (x) = 2x2 + 8x  3

Funciones y ecuaciones cuadrticas

Puede hallar el vrtice y el punto de interseccin con el eje y usando su CPG. Vea la seccin 1.8 en el captulo 17.

Puede resultar til sustituir x = 0, o escribir la funcin en la forma polinmica para hallar la interseccin con el eje y (ordenada al origen).

Consideraremos a continuacin unciones cuadrticas de la orma y = a(x  p)(x  q). Por razones obvias, a menudo nos reerimos a esta orma como la orma actorizada. Veamos los grfcos de estas unciones cuadrticas en la orma y = a(x  p)(x  q): y = (x + 3)(x   )

y = 3(x +  )(x  4)

y = (x + 2)(x  5)

y y

(3, 0) 4 3 2 1 0

(1, 0) 1 2 3 x

(1, 0)

y

20 16 12 8 4

2 140 8

12 8 4 (2, 0) (4, 0) 1 2 3 4 5

x

(5, 0)

3 2 140 8 12 16

1 2 3 4 5 6

x

 Para unciones cuadrticas de la orma y = a(x  p)(x  q), el grfco corta al eje x en (p, 0) y en (q, 0). Para las unciones cuadrticas de orma y = a(x  p)(x  q), el eje de simetra tendr ecuacin x =

p+q . 2

Nota: Las intersecciones con el eje x de una uncin cuadrtica y =  (x) nos dan las races de la ecuacin cuadrtica en la orma  (x) = 0. Por ejemplo, en el primer grfco anterior, la uncin y = (x + 3)(x   ) corta al eje x en (3, 0) y en ( , 0). La ecuacin (x + 3)(x   ) = 0 tiene races x = 3 y x =  .

ejmplo 12 Escriba la uncin  (x) = x2 + 3x  10 en la orma  (x) = (x  p)(x q). Despus, dibuje aproximadamente el grfco de la uncin, y rotule las intersecciones con el eje x y el eje y. Respuesta  (x) = x2 + 3x  10  (x) = (x + 5)(x  2)

El grfco cortar al eje y en (0, 10). Factorizar el miembro derecho de la ecuacin

y

(5, 0)

0

(2, 0)

x

(0, 10)

Nota: La ecuacin del eje de simetra es 3 ( 5 ) + 2 = . x= 2

Usar x =

p+q 2

2

Captulo 2

47

ejmplo  Escriba la uncin y = 2x2  x  3 en la orma y = a(x  p)(x  q). Despus, dibuje aproximadamente el grfco de la uncin, y rotule las intersecciones con el eje x y el eje y. Respuesta y = 2x2  x  3

El grfco cortar al eje y en (0, 3).

y = (2x  3)(x + 1)

Factorizar el miembro derecho de la ecuacin Sacar el coefciente de x como actor comn del primer actor

y = 2(x  1,5)(x + 1) y

(1, 0)

0

(1,5; 0)

x

(0, 3)

Nota: La ecuacin del eje de 1 4

simetra es x = .

Ejercitacin 2I 1

Escriba las coordenadas de las intersecciones del grfco de cada uncin con el eje x y el eje y. a  (x) = (x + 3)(x  7) b  (x) = 2(x  4)(x  5) c  (x) = 3(x + 2)(x + 1) d  (x) = 5(x + 6)(x  2)

2

Escriba cada uncin en la orma y = a(x  p)(x  q). Despus, dibuje aproximadamente el grfco de la uncin, y rotule las intersecciones con el eje x y el eje y. a y = x2  7x  8 b y = x2  8x + 15 c y = 2x2 + 3x + 5 d y = 5x2 + 6x  8

3

Escriba cada uncin en la orma y = a(x  h) 2 + k y en la orma y = a(x  p)(x  q). Despus, realice un dibujo aproximado pero claro del grfco de la uncin, y rotule el vrtice y las intersecciones con el eje x y el eje y. a y = x2 + 6x  16 b y = x2  4x + 21 c y = 0,5x2 + 3,5x  3 d y = 4x2  18x + 8

PREGUNTA TIPO EXAMEN 4 Sea  (x) = 2x2  12x. Se muestra parte del grfco de . a El grfco corta al eje x en A y B. Halle la coordenada x de: i A ii B b Escriba la ecuacin del eje de simetra. c El vrtice del grfco est en C. Halle las coordenadas de C. 48

Funciones y ecuaciones cuadrticas

Puede ser til sustituir x = 0, o escribir la funcin en la forma polinmica para hallar la interseccin con el eje y (ordenada al origen).

y

A 0

B x

C

PREGUNTA TIPO EXAMEN 5 Sea f (x) = x2 + 3, y sea g (x) = x  2. a Halle (f  g) (x). b Escriba las coordenadas del vrtice del grfco de (f  g). El grfco de la uncin h se genera mediante una traslacin del grfco de (f  g) de 5 unidades en la direccin positiva del eje x y 2 unidades en la direccin negativa del eje y. c Escriba la expresin de la uncin h(x) en la orma h (x) = ax2 + bx + c. d A partir de lo anterior, escriba la interseccin del grfco de h con el eje y.

Determinacin de la rmula de la uncin cuadrtica a partir de un grfco Mucho puede decirse acerca del grfco de una uncin observando la rmula de la uncin en sus dierentes ormas. 



Cuando la uncin est escrita en orma polinmica, f(x) = ax2 + bx + c, se sabe que la interseccin con el eje y es (0, c), y la ecuacin del eje de simetra es x =





b . 2a

Cuando la uncin est dada en orma cannica, f (x) = a(x  h) 2 + k, tambin conocida como orma del vrtice, el vrtice estar en (h, k). Cuando la uncin est escrita en orma actorizada, f (x) = a(x  p)(x  q), el grfco cortar al eje x en (p, 0) y en (q, 0).

Ahora veremos cmo hallar la rmula de una uncin cuadrtica a partir de la inormacin dada por su grfco. Si conoce las intersecciones con el eje x, puede comenzar escribiendo la orma actorizada. Si le dan el vrtice, puede comenzar escribiendo la orma cannica (orma del vrtice).

ejmplo 14 Usando la inormacin provista por el grfco, escriba la rmula de la uncin cuadrtica. Escriba la respuesta fnal en la orma polinmica, y = ax2 + bx + c.

y

(2, 0) 0

(4, 0)

x

(0, 16)

{ Contina en la pgina siguiente. Captulo 2

49

Respuesta y = a(x + 2)(x  4) 16 = a(0 + 2)(0  4) 8a = 16 a=2 y = 2(x + 2)(x  4) y = 2x2  4x  16

Como le dan las intersecciones con el eje x, comience con la uncin en orma actorizada. Sabe que y = 16 cuando x = 0. Reemplace estos valores en la ecuacin para resolver en a. Puede verifcar su respuesta obteniendo el grfco de la uncin en su CPG y comparando los puntos de interseccin con los ejes x e y con los del grfco dado.

ejmplo 15 Escriba la rmula de la uncin cuadrtica que se muestra en el grfco. Escriba su respuesta fnal en la orma polinmica, y = ax2 + bx + c.

y

(6, 3)

0

x

(0, 15)

Rspusta

y = a(x  6) 2 + 3

Dado que se conoce el vrtice, comience por escribir la uncin en la orma cannica.

15 = a(0  6) 2 + 3 36a + 3 = 15

Sabe que y = 15 cuando x = 0. Reemplace estos valores en la ecuacin para resolver en a. Puede verifcar su respuesta obteniendo el grfco de la uncin en su CPG y verifcando el vrtice y la interseccin con el eje y.

36a = 18 a=

1 2

1 2 1 y =  x2 + 6x  15 2

y =  (x  6) 2 + 3

50

Funciones y ecuaciones cuadrticas

Finalmente, veamos qu sucede si no conocemos el vrtice o las intersecciones con los ejes del grfco. El prximo ejemplo tambin nos lleva a un sistema de tres ecuaciones con tres incgnitas para resolver con la CPG.

ejmplo 16 Escriba la rmula de la uncin cuadrtica que se muestra en el grfco. y (2, 9)

(4, 3) 0

x

(2, 7)

Rspusta

Para el punto (2, 9), 9 = a(2) 2 + b(2) + c 9 = 4a  2b + c Para el punto (2, 7), 7 = a(2)2 + b(2) + c 7 = 4a + 2b + c Para el punto (4, 3), 3 = a(4)2 + b(4) + c 3 = 16a + 4b + c

Usando la CPG, a = 1,5; b = 4; y c = 5. y = 1,5x2  4x  5

En este caso, se dan las coordenadas de tres puntos del grfco de la uncin. Reemplace las coordenadas de x e y de estos tres puntos en la uncin cuadrtica dada en la orma polinmica, y = ax2 + bx + c. Ahora cuenta con tres ecuaciones con tres incgnitas. Puede usar su CPG para resolver en a, b y c.

Para determinar estos puntos en el grfco, vea la seccin 1. 5 en el captulo 17. Si obtiene el grfco de la uncin en su CPG, ver que los tres puntos pertenecen a la curva, como se indic. Captulo 2

51

Ejercitacin 2J Use la inormacin que brindan los grfcos para escribir la rmula de cada uncin en la orma polinmica, y = ax2 + bx + c. 1

y

2

3

y

(1, 8)

y

(0, 5)

(2, 0) 0

(6, 0)

x

(0, 5)

(0, 12)

0

x

(2, 1) 0

4

x

5

y

6

y (1, 13)

(1, 0) 0

(6, 0)

x

y

(5, 30)

(15, 30)

(4, 8)

(0, 4) (4, 5) 0 0

7

8

y

x

y

(2, 25)

(1, 3)

(3, 0) 0

(7, 0) x 0

52

Funciones y ecuaciones cuadrticas

(0,5; 0)

x

(20, 0) x

2.5 apliccions d ls funcions cudrtics En el comienzo de este captulo, vimos que la trayectoria ormada por el agua en un bebedero puede modelizarse mediante una uncin cuadrtica. Las unciones cuadrticas y sus grfcos pueden usarse para modelizar mltiples situaciones. Cuando usamos unciones cuadrticas para resolver problemas, podemos usar los mtodos aprendidos a lo largo de este captulo. Se espera que utilice la CPG como ayuda para responder muchas preguntas.

ejmplo 17 Un granjero desea cercar un jardn rectangular con un vallado de 100 m.  Si el jardn tiene x metros de ancho, halle la longitud y el rea del jardn en uncin de x. b Halle el ancho del jardn que tiene un rea de 525 m2. c Halle el rea mxima que puede tener el jardn. Rspusts  50  x

Si el granjero tiene 100 m de valla, el permetro del rectngulo debe ser 100. La suma del largo y el ancho ser, por consiguiente, 50 m.

x

rea = ancho  largo

largo = 50  x rea = x(50  x)

Igualar el rea a 525 Escribir la ecuacin cuadrtica en orma polinmica y resolver en x Esta ecuacin tambin podra resolverse completando el cuadrado, usando la rmula cuadrtica o usando su CPG.

b x(50  x) = 525

50x  x2 = 525 x2  50x + 525 = 0 (x  15)(x  35) = 0

Si el ancho es 15, el largo es 35. Si el ancho es 35, el largo es 15.

x = 15 m o 35 m

c

y

(25, 625)

600 400 200

20

0

20

40

60 x

La manera ms sencilla de hallar el rea mxima es representar grfcamente la uncin y = x(50  x), donde y es el rea y x es el ancho. Puede hacerlo en su CPG. Vea la seccin 1. 6 en el captulo 17. El vrtice (25, 625) es el punto extremo del grfco y muestra que el rea mxima ocurre cuando el ancho del jardn es 25 m.

El rea mxima es 625 m2.

Captulo 2

53

ejmplo 18 La altura que alcanza una pelota t segundos despus de ser lanzada se modeliza mediante la funcin h = 24t  4,9t2 + 1, donde h es la altura de la pelota en metros. a Halle la altura mxima alcanzada por la pelota. b Durante cunto tiempo la altura de la pelota superar los 20 m? Rspustas y a (2,45; 30,4) 30 25 20 15 10 5 0

1

2

3

4

5

x

La altura mxima es 30, 4 m. b 20 = 24t  4,9t2 + 1

4,9t2  24t + 19 = 0

t  0,9930 segundos y 3,905 segundos 3,905  0,9930 = 2,912 La altura de la pelota superar los 20 m durante aproximadamente 2,91 segundos.

Dibuje el grfco de la uncin y = 24x  4, 9x 2 + 1, donde y es la altura de la pelota y x es el tiempo en segundos. El vrtice est aproximadamente en el punto (2, 45; 30, 4). Esto muestra que la altura mxima ocurre cuando la pelota ha permanecido en el aire por 2, 45 segundos. Se puede hallar el vrtice usando la CPG. Vea la seccin 1. 8 en el captulo 17. Sea h = 20. Escriba una ecuacin cuadrtica en orma polinmica y resuelva en t. Tambin puede resolverla usando la CPG. Vea el la seccin 1. 7 en el captulo 17. La pelota alcanza la altura de 20 m dos veces, una cuando asciende y otra cuando desciende.

ejmplo 19 Luisa requiere de 3 horas para ascender y descender una colina con su bicicleta. Su velocidad promedio cuesta abajo es de 35 km h-1 ms que su velocidad promedio cuesta arriba. Si la distancia desde la base hasta la cima de la colina es de 40 km, halle la velocidad promedio de Luisa en su ascenso y en su descenso de la colina. Rspusta

Sea x la velocidad de ascenso de Luisa. 40 40 + =3 x x + 35

Recuerde que tiempo =

distancia velocidad

,

y que cuando suma los tiempos de ascenso y descenso, el total es de 3 horas. { Contina en la pgina siguiente.

54

Funciones y ecuaciones cuadrticas

Qu otras clases de situaciones de la vida cotidiana pueden modelizarse mediante funciones cuadrticas?

40 +

40 x = 3x x + 35

40x + 1400 + 40x = 3x2 + 105x 3x2 + 25x  1400 = 0

x  17,8 km h1 Luisa alcanza una velocidad promedio de 17,8 km h1 en el ascenso y 52,8 km h1 en el descenso.

Puede multiplicar miembro a miembro por x y luego por (x + 35) para eliminar los denominadores. Exprese la ecuacin en la forma polinmica y resuelva en x usando la CPG. Vea el la seccin 1. 7 en el captulo 17.

Ejercitacin 2K 1

La altura que alcanza una pelota t segundos luego de ser lanzada se modeliza mediante la funcin h = 15t  4,9t2 + 3, donde h es la altura de la pelota en metros. a Halle la altura mxima alcanzada por la pelota. b Durante cunto tiempo la altura de la pelota superar los 12 metros?

2

El rea, A cm2, de un cuadro rectangular est dada por la frmula A = 32x  x2, donde x es el ancho del cuadro en cm. Halle las dimensiones del cuadro si el rea es de 252 cm2.

3

Un cable de 40 cm se corta en dos trozos. Con los trozos se forman dos cuadrados. a Si el lado de uno de los cuadrados mide x cm, cunto mide el lado del otro? b Muestre que el rea combinada de los dos cuadrados est dada por A = 2x2  20x + 100. c Cul es la mnima rea combinada de los dos cuadrados?

4

Un portarretratos rectangular mide 50 cm por 70 cm. El portarretratos est rodeado por un marco rectangular de ancho constante. Si el rea del marco es igual a la del portarretratos, cul es la medida aproximada del ancho del marco?

5

El largo de un rectngulo es cinco metros menos que el triple de su ancho. Halle las dimensiones del rectngulo si su rea es de 782 m2.

6

La suma de los cuadrados de tres enteros positivos impares consecutivos es 251. Halle dichos nmeros.

Captulo 2

55

7

Un rectngulo ureo tiene la propiedad de que si es dividido en un cuadrado y un rectngulo menor, el rectngulo menor ser proporcional al rectngulo original. En el siguiente rectngulo ureo ABCD, PQ determina un rectngulo APQD y un rectngulo PCBQ, tal como se muestra a continuacin. A

P

1

D

B

1

Q

AB BC = AD PB

La razn entre el largo y el ancho de un rectngulo ureo se conoce como la divina proporcin. Quizs resulte interesante investigar otras situaciones en las que aparece esta razn particular.

C

Sabiendo que AD =  , halle AB. 8

Un carpintero desea construir una terraza rectangular en el ondo de una casa. Un lado de la terraza compartir una pared con la casa y los restantes tres lados tendrn una baranda de madera. Si el carpintero tiene sufciente madera para una baranda de 15 m, qu rea tendr la terraza ms grande que pueda construir?

9

Javier viaja para visitar a su hermana que vive a 500 km de distancia. Viaja 360 km en autobs y 140 km en tren. La velocidad promedio del tren es 10 km h1 ms que la del autobs. Si el viaje entero le toma 8 horas, halle las velocidades promedio del autobs y del tren.

10

Cuando Juan trabaja solo, la limpieza de su casa le toma 2 horas ms que cuando lo hace Juana sola. Si trabajan juntos, Juan y Juana pueden limpiar la casa en 2 horas 24 minutos. Cunto tiempo le lleva a Juan limpiar la casa si trabaja solo?

ejrcicio d rvisin



1

Resuelva cada ecuacin: a (x + 2) 2 = 16 b x2 16x + 64 = 0 c 3x2 + 4x  7 = 0 d x2  7x + 12 = 0  x2 + 2x  12 = 0 f 3x2  7x + 3 = 0

PREGUNTA TIPO EXAMEN 2 Sea f (x) = x2 + 3x  4. Se muestra parte del grfco. a Escriba la coordenada y del punto de interseccin del grfco de fcon el eje y. b Halle las intersecciones del grfco con el eje x. c Escriba la ecuacin del eje de simetra. d Escriba la coordenada x del vrtice del grfco. 56

Funciones y ecuaciones cuadrticas

y

0

x

PREGUNTAS TIPO EXAMEN 3 Sea f (x) = a(x  p)(x  q). Se muestra parte del grfco. Los puntos (5, 0), (1, 0) y (0, 10) pertenecen al grfco. a Escriba el valor de p y el de q. b Halle el valor de a.

y 25 20 15 10 5

4

Sea f (x) = a(x + 3) 2  6. a Escriba las coordenadas del vrtice del grfco de f. b Sabiendo que f (1) = 2, halle el valor de a. c A partir de lo anterior, halle el valor de f (3).

6 5 4 3 2 1 0

5

La ecuacin x2 + 2kx + 3 = 0 tiene dos races reales iguales. Halle los posibles valores de k.

6

Sea f (x) = 2x2 + 12x + 5. a Escriba la uncin f, dando su respuesta en la orma f (x) = a(x  h) 2 + k. b El grfco de g se obtiene a partir de fmediante una traslacin de 4 unidades en la direccin positiva del eje x y 8 unidades en la direccin positiva del eje y. Halle las coordenadas del vrtice del grfco de g.

1

2 x

Las funciones cuadrticas estn ntimamente relacionadas con otras relaciones llamadas  secciones cnicas (vase la pgina 60). Cmo se usan estas relaciones en el mundo real?

y

7

Escriba la rmula de la uncin cuadrtica que se muestra en el grfco. D su respuesta en la orma y = ax2 + bx + c.

(4, 0)

(6, 0) 0

x

(2, 12)

ejrcicio d rvisin 1

Resuelva cada ecuacin y d sus respuestas con una aproximacin de 3 ciras signifcativas. a 3x2  5x  7 = 0 b 2x2 + 8x = 3 c

x = 2x  1 x+3

d

1 1 + =5 x x+2

PREGUNTA TIPO EXAMEN 2 La altura de una piedra arrojada desde un puente, h metros sobre el agua, se modeliza mediante la uncin h(t) = 15t + 20  4,9t 2, donde t es el tiempo en segundos tras el lanzamiento de la piedra. a Cul es la altura inicial desde donde se arroj la piedra? b Cul es la mxima altura alcanzada por la piedra? c Durante cunto tiempo la altura de la piedra es mayor a 20 m? d Cunto tiempo tarda la piedra en chocar con el agua debajo del puente? Captulo 2

57

3

El largo de un rectngulo excede en 5 cm al triple del ancho. El rea del rectngulo es 1428 cm2. Halle el largo y el ancho del rectngulo.

y

PREGUNTA TIPO EXAMEN 4 La uncin fest dada por f (x) = ax2 + bx + c. Se muestra parte del grfco de f. Los puntos P( 0,  2), Q(5, 3) y R(5, 27) pertenecen al grfco. Halle los valores de a, b y c. 5

R

P 0

x

Q

Toms conduce su auto 120 km para ir a trabajar. Si pudiese incrementar su velocidad promedio en 20 km h1, llegara al trabajo 30 minutos antes. Cul es la velocidad promedio a la que conduce?

ResuMeN del captulO 2 Roin  ion ri 







Si xy = 0, entonces x = 0 o y = 0. A esta propiedad se la denomina algunas veces la roi  roo no. Esta propiedad puede ser ampliada a: Si (x  a)(x  b) = 0, entonces x  a = 0 o x  b = 0. Para resolver una ecuacin por el procedimiento de completar cuadrados, tome la mitad del coefciente lineal, elvela al cuadrado y sume el resultado en ambos miembros de la igualdad. Este proceso crea un trinomio cuadrado perecto en el miembro izquierdo de la ecuacin. Para poder completar el cuadrado, el coefciente de x2 debe ser  . Si el trmino de x2 tiene coefciente distinto de  , puede sacar Esta frmula aparece ese coefciente como actor comn o dividir toda la expresin en el cuadernillo de frmulas de por ese coefciente. Matemticas NM del IB; por lo tanto, no tiene que memorizarla.

l frm ri 

Para cualquier ecuacin en la orma ax2 + bx + c = 0, x=

b  b 2  4 ac 2a

R  ion ri 

Para una ecuacin cuadrtica ax2 + bx + c = 0,  Si b2  4ac > 0, la ecuacin tendr dos races reales distintas.  Si b2  4ac = 0, la ecuacin tendr dos races reales iguales.  Si b2  4ac < 0, la ecuacin no tendr races reales.

Podemos considerar que una ecuacin con dos races reales iguales tiene una sola solucin.

Contina en la pgina siguiente.

58

Funciones y ecuaciones cuadrticas

Grfcos de unciones cuadrticas 

Para ecuaciones cuadrticas en la orma polinmica, y = ax2 + bx + c = 0, el grfco cortar al eje y en (0, c).



La ecuacin del eje de simetra es x =



Cuando la uncin cuadrtica bsica y = x2 sure transormaciones, las unciones resultantes pueden escribirse como y = a(x  h) 2 + k. Para unciones cuadrticas de la orma y = a(x  h) 2 + k, el grfco tendr su vrtice en (h, k). Para unciones cuadrticas de la orma y = a(x  p)(x  q), el grfco corta al eje x en (p, 0) y (q, 0). Para unciones cuadrticas de la orma y = a(x  p)(x  q),







el eje de simetra tendr ecuacin x = 



b . 2a

p+q . 2

Cuando la uncin est en la orma f(x) = a(x  h) 2 + k, tambin conocida como orma del vrtice, el vrtice estar en (h, k). Cuando la uncin est escrita en la orma actorizada, f (x) = a(x  p)(x  q), el grfco cortar al eje x en (p, 0) y (q, 0).

Captulo 2

59

tora del conoimino

las sions nias: formas mamias n  mundo ra El grfco de una uncin cuadrtica tiene la orma de una parbola. Vemos parbolas en el mundo real: la trayectoria de una pelota volando por el aire o la orma de un chorro de agua que uye de una uente.

Las parbolas son solamente una de las cuatro ormas conocidas como sions nias . Estas secciones cnicas se determinan por la interseccin de un cono (o dos conos) y un plano. Las otras secciones cnicas son la circunerencia, la elipse y la hiprbola. Circunferencia

Elipse

Parbola

Hiprbola

{ Una parbola es la orma que

resulta de la interseccin de un cono con un plano paralelo a la generatriz.

Los antiguos griegos estudiaron las secciones cnicas y Apolonio de Perga (c. 262 a.C.  c. 1 90 a.C.) ue el primero en darles un nombre. Hipatia (nacida entre 350 d.C. y 370 d.C., muri en 415) ue una matemtica y astrnoma, y directora de la Escuela Platnica de Alejandra (Egipto) en una poca en que solo unas pocas mujeres tenan acceso a la educacin.Desarroll el trabajo de las secciones cnicas de Apolonio. Las secciones cnicas ueron posteriormente estudiadas por el matemtico y poeta persa Omar Khayym (c. 1 048  c. 11 31 ).

60

Pueden usarse ecuaciones matemticas para describir estas fguras: parboa:

y = ax + bx + c

cirunfrnia:

(x  h) + (y  k) = r

eis:

(x  h) a

+

(y  k) b

=1

Hirboa:

(x  h) a



(y  k) b

=1

Teora del Conocimiento: las secciones cnicas, formas matemticas en el mundo real

tteora del conocimieno

Muchos consideran que la circunerencia es la ms perecta de estas secciones cnicas. Resulta seguramente la ms conocida y la vemos cotidianamente en nuestro entorno.



Por qu una circunerencia es  perecta ?



Saba que las rbitas de los planetas son formas elpticas? Esto no se mostr hasta principios del siglo XVII. Mucho antes, Apolonio haba planteado la hiptesis de que los planetas tenan tales rbitas cuando estudiaba y nombraba las secciones cnicas, pero nunca lo haba probado.



Cmo cree que este conocimiento evolucion en el tiempo? Hoy en da, vemos elipses, hiprbolas y parbolas en los puentes colgantes, las trayectorias de las naves espaciales y de otros cuerpos en el espacio, y la forma de las antenas parablicas. Quin hubiese imaginado que las secciones de un cono pudieran resultar en ecuaciones matemticas tan tiles y nos brindaran formas que nos ayudan a entender el universo?



Observe a su alrededor: qu otras fguras y ormas ve que puedan modelizarse mediante ecuaciones matemticas?



Por qu cree que la gente trata de usar las matemticas para describir ormas y patrones en el mundo que nos rodea?



Por qu el uso de las matemticas puede ayudarnos a comprender nuestro mundo y nuestro universo?

Captulo 2

61

3

Probabilidad

ObjetivOs del captulO: 5.5

Conceptos de experimento, resultado, resultados equiprobables, espacio muestral (U) y suceso. La probabilidad de un suceso A es P( A) =

n( A) . Los n (U )

sucesos complementarios A y A (no A). El uso de diagramas de Venn, diagramas de rbol y tablas de resultados. Sucesos compuestos, la rmula para P(A  B). Sucesos incompatibles o mutuamente excluyentes: P(A  B) = 0. Probabilidad condicionada; la defnicin

5.6

P( A | B ) =

P( A  B) . P (B)

Sucesos independientes; la defnicin P(A| B) = P(A) = P(A | B).

Probabilidades con y sin reposicin.

an  omnzr Qu necesitamos saber

Comprobemos nuestras habilidades

1

1

Sumar, restar, multiplicar y dividir racciones 2 3

+

 3 4



1 5 2 9 3 5

= = =

10 15 9 9

+



2 9

33 45

3 15

= =

=

Calcule sin usar la calculadora: 

13

1

3 7



2 5

+

5



7

1 5



2 3

3

15

1 5   1   3 9 

7 9



20 7 20

9 20

4 3 4 7 4 1  =  = =1 7 7 7 3 3 3 2

Sumar, restar y multiplicar decimales 0

9

2

 ,00 0,2 0,35 0,62 + 0,7 + 0,4 0,38 0,9 0,75 0,2  0,34 Dado que 2  34 = 68 entonces 0,2  0,34 = 0,068 3

62

Calcular porcentajes 52% de 60 = 0,52  60 = 3 ,2 Probabilidad

Realice las siguientes operaciones: 1  0,375  0,65 + 0,05  0,7  0,6  0,25  0,64  50% de 30 f 22% de 0,22 g 12% del 10% de 0,8 



3

Verifque sus respuestas a las preguntas 1 y 2 usando su calculadora.

  



Cul es la probabilidad de que llueva maana? Qu tan probable es que pase mi examen? Cul es la probabilidad de ganar el partido de tbol esta tarde? Tengo certeza de llegar al colegio a tiempo si uso el autobs en lugar del tren?

[ De acuerdo con el servicio meteorolgico del gobierno de los Estados Unidos, la probabilidad de ser alcanzado por un rayo en un ao dado es 1 750 000

Consideramos preguntas como estas todo el tiempo. Usamos las palabras suerte, posibilidad, probabilidad y certeza en nuestras conversaciones cotidianas, pero estas mismas palabras se usan para describir la probabilidad matemtica. Esta importante rama de la matemtica nos ayuda a comprender el riesgo y otros sucesos, desde los promedios deportivos hasta el estado del tiempo y la posibilidad de ser alcanzado por un rayo. En este captulo examinamos el lenguaje de la probabilidad, cmo cuantifcar la probabilidad (asignarle un valor numrico) y las herramientas bsicas que se necesitan para resolver problemas que involucren probabilidades.

.

La probabilidad de ser alcanzado por un rayo para alguien que vive 80 aos es

1

.

6250

Estas probabilidades han sido estimadas a partir de datos sobre el tamao de una poblacin y el nmero de personas alcanzadas por un rayo en los ltimos 30 aos.

Captulo 3

63

invtgacn: dados y probabilidades A mediados del siglo XVII, los matemticos Blaise Pascal, Pierre de Fermat y Antoine Gombaud se mostraron intrigados por este problema surgido a partir de un juego sencillo: Qu es ms probable: obtener un 6 en cuatro lanzamientos de un dado u obtener un doble 6 en 24 lanzamientos de dos dados? Cul opcin cree que es ms probable? Por qu?

3.1 dfncon  Un uco es el resultado de un experimento. Un xprmnto es el proceso por el cual se obtiene un resultado. Un xprmnto aatoro es aquel en el cual existe incertidumbre acerca del suceso que pueda ocurrir.

lOW Res

Algunos ejemplos de experimentos aleatorios son:    

Arrojar un dado tres veces Lanzar una moneda Tomar dos naipes de un mazo de 52 naipes Registrar el nmero de automviles que pasan por la entrada del colegio en un perodo de 5 minutos

Podemos expresar las posibilidades de que ocurra un suceso usando un nmero comprendido entre 0 y 1. En esta escala, el 0 representa un suceso imposible y 1 representa un suceso que ocurrir, con certeza. Esta medida es la probaba de que ocurra el suceso. Imposible

medianamente probable

0

seguro

1 2

Podemos escribir P (A) para representar la probabilidad de que ocurra un suceso A. De aqu que 0  P (A)  1 . Existen tres formas de calcular la probabilidad de un suceso:   

Probabilidad terica Probabilidad experimental Probabilidad subjetiva

Probabilidad terica Un dado equilibrado tiene seis caras numeradas, todas las cuales pueden ocurrir con la misma probabilidad. La lista de los sucesos equiprobables es 1 , 2, 3, 4, 5, 6. 64

Probabilidad

1

El primer libro escrito sobre probabilidades, El libro de los juegos de azar, ue escrito por Gerolamo Cardano (15011575). Cardano ue un astrnomo, flsoo, mdico, matemtico y apostador, de origen italiano. Su libro contena tcnicas para hacer trampas en un juego y saber cmo atrapar a quienes hacen trampas. Una probabilidad no puede ser mayor a 1. Podemos escribir la probabilidad como un nmero decimal, una raccin o un porcentaje. En un dado equilibrado (no cargado) la probabilidad de cada resultado es la misma. En un dado no equilibrado algunos sucesos pueden ser ms probables que otros.

Llamamos a la lista de todos los resultados posibles el sacio mustral, U. La notacin n(U) = 6 muestra que hay seis elementos en el espacio muestral. Sea el suceso A, defnido como el nmero obtenido es el 6. En este espacio muestral hay un 6. n(A) =  muestra que que hay un 6 en el espacio muestral. La probabilidad de obtener un 6 cuando se arroja 1

un dado es una en seis, o . En notacin de probabilidad: 6

P( A ) =

n( A ) 1 : = n (U ) 6

 La probabilidad terica de un suceso A es P( A ) =

n( A ) n (U )

,

donde n(A) es el nmero de casos avorables al suceso A y n(U) es el nmero total de resultados posibles. Se denomina icosaedro a un poliedro de 20 caras.

 Si la probabilidad de un suceso es P, en n experimentos se espera que el suceso ocurra n  P veces.

ejmlo 1

4

 1 00 = 25

5 1 = 20 4

8

16

1

=

14

b

n(A ) n (U )

13

P( A ) =

9

4

Respuestas n(A) = 5 y n(U) = 20

a

20

2

Se arroja un dado equilibrado con 20 caras numeradas del 1 al 20. El suceso A se defne como el nmero obtenido es un mltiplo de 4. a Determine P (A). El dado se arroja 100 veces. b Cuntas veces espera obtener un mltiplo de 4?

9

11

Hallar n(A) Hay 20 resultados posibles. 5 de ellos son mltiplos de 4 (4, 8, 12, 16 y 20). Probabilidad  nmero de experimentos

probabilidad xrimntal (mrica) Muchas veces los resultados no resultan equiprobables pero se puede usar un experimento para estimar las probabilidades. Por ejemplo, para calcular la probabilidad de que una determinada pieza que se est produciendo en una brica sea deectuosa, deberamos evaluar algunas de ellas. Si la primera pieza que evaluamos resulta deectuosa, podramos concluir que todas las piezas son deectuosas. Sin embargo, este puede no ser el caso. Si la segunda pieza no es deectuosa, podramos entonces concluir que la probabilidad de que una pieza sea deectuosa es 12 , dado que la mitad de todas las piezas hasta el momento resultaron deectuosas.

Los procesos que resultan demasiado complicados para permitir un anlisis exacto pueden resolverse mediante mtodos probabilsticos que emplean la ley de los grandes nmeros. Estos mtodos, desarrollados en las dcadas de 1930 y 1940, se conocen como mtodos de Montecarlo, por el famoso casino. Se emplean en una gran variedad de situaciones, desde la estimacin de la fortaleza de una mano en el juego de naipes llamado Bridge, hasta la modelizacin estadstica de una reaccin nuclear en cadena. Quizs resulte interesante explorar las aplicaciones de los mtodos de Montecarlo con mayor profundidad.

Captulo 3

65

Continuando este proceso una cantidad de veces y calculando la razn: Nm ero de piezas defectuo sas Nmero de piezas evaluadas

obtenemos la recuencia relativa de que una pieza resulte deectuosa. A medida que el nmero de piezas evaluadas crece, la recuencia relativa se acerca ms y ms a la probabilidad de que una pieza resulte deectuosa.

El servicio meteorolgico de los Estados Unidos emple este mtodo para estimar la probabilidad de ser alcanzado por un rayo, usando: N  m e ro d e p e rs o n a s a l c a n za d a s N  m e ro d e p e rs o n a s e n l a p o b l a c i  n

 Podemos usar esta recuencia relativa para estimar la probabilidad. Cuanto mayor es el nmero de experimentos, ms se acerca la recuencia relativa a la probabilidad.

ejmplo 2 Los colores de los automviles que pasan por la entrada del colegio durante una maana se dan en la tabla siguiente: Color Rojo Negro Amarillo Verde Azul Gris Otros toal

Frecuencia 45 16 2 14 17 23 21 138

a Estime la probabilidad de que el prximo automvil que pase por la

Estos nmeros son estimaciones, porque estamos usando recuencias relativas como estimacin de una probabilidad.

entrada del colegio sea rojo. b A la maana siguiente pasaron 350 automviles por la entrada del

colegio. Estime el nmero de automviles rojos en esa maana. Rspusas a

La recuencia relativa de automviles rojos es

45 . 1 38

Por lo tanto, la probabilidad de que un automvil sea rojo es

45 . 1 38

b Cuando 350 automviles pasan por la entrada del colegio, el nmero 45 de automviles rojos ser aproximadamente  350 = 114. 1 38

Probabilidad subjetiva

Esta probabilidad est dada como una raccin. En los exmenes del IB se debe dar la respuesta en orma exacta o en decimales con tres ciras signifcativas, para las probabilidades.

No siempre es posible repetir un experimento un gran nmero de veces. En estos casos, podemos estimar la probabilidad de un suceso basndonos en un juicio subjetivo, la experiencia, inormacin o una creencia. Por ejemplo, los equipos de tbol Liverpool y Arsenal se enrentarn en un partido del torneo ingls de primera divisin. Cul es la probabilidad de que Liverpool gane? Se podran considerar partidos anteriores entre los dos equipos, como as tambin los ltimos partidos de cada equipo y cul ue el desempeo de ambos en las condiciones meteorolgicas en las que van a jugar, pero fnalmente tendremos que adivinar. 66

Probabilidad

Ejercitacin 3A 1

Se arroja un dado octadrico (ocho caras). Las caras estn numeradas del 1 al 8. Cul es la probabilidad de que, al arrojarlo, el nmero obtenido sea el siguiente? a Un nmero par b Un mltiplo de 3 c Un mltiplo de 4 d Un nmero que no es mltiplo de 4  Menor que 4

En las preguntas sobre probabilidades, todos los dados y las monedas son equilibrados a menos que se indique lo contrario.

2

Un vendedor de automviles usados tiene 150 automviles en su lote. El vendedor sabe que 30 automviles son defectuosos. Uno de los 150 automviles se selecciona al azar. Cul es la probabilidad de que sea defectuoso?

3

La tabla siguiente muestra las frecuencias relativas de las edades de los estudiantes en un colegio secundario.

Al azar signifca que cualquier automvil tiene igual posibilidad de ser seleccionado. Es tan probable elegir uno de los 30 automviles deectuosos como uno de los que no lo son.

a

edad (n aos)

Frcuncia rlativa

13 14 15 16 17 Total

0,15 0,31 0,21 0,19 0,14 1

Se elige al azar un estudiante de este colegio. Halle la probabilidad de que: i El estudiante tenga 15 aos de edad. ii El estudiante tenga 16 o ms aos de edad.

Hay  200 estudiantes en este colegio. b Halle el nmero de estudiantes de 15 aos de edad. 4

Las seis caras de una perinola estn numeradas del 1 al 6. La tabla muestra los resultados de 100 juegos. Nmero en la perinola Frecuencia

1 27

2 18

3 17

4 5 6 15 16 7

Cul es la frecuencia relativa para la salida del 1? Cree que la perinola es equilibrada? D una razn para su respuesta. c Se gira la perinola 3000 veces. Estime el nmero de veces que se obtendr un 4. a

b

5

Cada letra de la palabra CONSECUTIVO se escribe en cartones separados. Los 11 cartones se colocan con las letras hacia abajo. Se extrae un cartn al azar. Cul es la probabilidad de elegir un cartn con las siguientes letras? a La letra C b La letra P c Una vocal Captulo 3

67

6

La perinola que se muestra est cargada. La tabla muestra las probabilidades de obtener rojo y azul. La probabilidad de obtener verde es el doble de la de obtener amarillo. rojo 0,4

Color Frecuencia

amarillo

azul 0,3

verde

Halle la probabilidad de obtener verde. 7

Una bolsa contiene 40 discos numerados del 1 al 40. Se elige un disco al azar. Halle la probabilidad de que el nmero del disco: a Sea un nmero par b Tenga algn dgito 1

3.2. diagramas e venn Hay  00 estudiantes en un grupo. 38 de ellos practican tiro con arco. Se puede mostrar la informacin mediante un iagrama e venn . El conjunto A es el de los estudiantes que practican tiro con arco. n(A) = 38

U

A 38

El rectngulo representa los 100 estudiantes. En consecuencia, n(U) = 100.

Se elige un estudiante al azar. La probabilidad de que el estudiante practique tiro con arco puede escribirse como P(A). P( A ) =

38 1 00

=

19

John Venn naci en Hull, Inglaterra, en 1834. Su padre y su abuelo ueron sacerdotes y a John tambin lo animaron a seguir sus pasos. En 1853 empez a estudiar en el Gonville and Caius College, de la Universidad de Cambridge, del que se gradu en 1857 para convertirse en proesor adjunto de la universidad. Durante los cinco aos siguientes continu con el sacerdocio y regres a Cambridge en 1862 para ensear flosoa y teora de probabilidades. John Venn desarroll una orma grfca para representar conjuntos. A estos grfcos se los conoce como diagramas de Venn.

50

Suceso complementario A El rea fuera de A (pero siempre dentro del espacio muestral U) representa a los estudiantes que no practican tiro con arco. Esto es A, el complemento de A. n(A ) = n(U)  n(A)

Recuerde que P( A ) =

n( A)

.

n (U ) U

A 38 62

Del diagrama de Venn vemos que n(A ) =  00  38 = 62 La probabilidad de que un estudiante no practique tiro con arco, P( A  ) =

n ( A ) n (U )

=

62 1 00

=

31 50

Observamos que: P (A ) + P(A) =

68

Probabilidad

31 50

+

19 50

=1

Todos los estudiantes o bien practican tiro con arco o bien no practican tiro con arco.

 Como suceso, A, puede ocurrir o no ocurrir. P( A ) + P( A  ) = 1 P( A  ) = 1  P( A )

Interseccin de sucesos De los 1 00 estudiantes, 30 juegan bdminton. De ellos, 1 6 practican ambos: tiro con arco y bdminton. Podemos mostrar esta informacin del siguiente modo: 38 estudiantes practican tiro con arco. 16 estudiantes practican bdminton y tiro con arco, por lo tanto, 38  16 = 22 solo practican tiro con arco.

A

B

22

16

La regin sombreada es la interseccin de A y B. Esta regin representa aquellos estudiantes que practican ambos: tiro con arco y bdminton. La regin se escribe como A  B.

U

14

30 estudiantes practican bdminton. 16 estudiantes practican bdminton y tiro con arco, por lo tanto, 30  16 = 14 solo practican bdminton.

48

Hay 100  22  16  14 = 48 estudiantes que no practican tiro con arco ni bdminton.

La probabilidad de que un estudiante elegido al azar practique tiro con arco y bdminton se escribe P(A  B).

n(A  B) es el nmero de elementos en la interseccin entre los conjuntos A y B.

n(A  B) = 1 6 P( A  B ) =

n( A  B ) n (U )

=

16 1 00

=

4 25 A

La probabilidad de que un estudiante elegido al azar no practique bdminton pero s tiro con arco se escribe P(A  B  ). P( A  B  ) =

22 1 00

=

B

U

A  B 22

16

11

14

22 estudiantes de un total de 100 practican tiro con arco pero no bdminton.

48

50

A  B  representa los estudiantes que no practican ni tiro con arco ni bdminton.

U A

B 22

48

16

14

A  B

Captulo 3

69

Unin de sucesos

La regin sombreada es la unin de A y B, la regin representa aquellos estudiantes que practican ya sea tiro con arco o bdminton o ambos. La regin se escribe A  B.

U A

B 22

16

14

48

Note que  o en matemtica incluye la posibilidad de ambos: lo llamamos  o inclusivo .

La probabilidad de que un estudiante elegido al azar practique bdminton o tiro con arco se escribe P(A  B). Del diagrama, n(A  B ) = 22 +  6 +  4 = 52 y de aqu P( A  B ) =

n( A  B ) n (U )

=

52 1 00

=

25

A  B  representa todos aquellos estudiantes que o practican tiro con arco o no practican bdminton. n(A  B ) = 22 +  6 + 48 = 86 y de aqu P( A  B  ) =

n( A  B) n (U )

=

86 1 00

=

Rspustas

Primero defnir la notacin No sabemos cuntos juegan entretenimientos de computador y de mesa; usar x para representar este valor.

M U

17  x

x

10  x

9

70

Probabilidad

B 22

16

14

48

50

En un grupo de 30 estudiantes, 17 juegan con entretenimientos de computador, 10 juegan con entretenimientos de mesa y 9 no juegan. Dibuje un diagrama de Venn para mostrar esta informacin. Use el diagrama de Venn para hallar la probabilidad de que un estudiante elegido al azar: a Juegue con entretenimientos de mesa b Juegue con entretenimientos de computador y de mesa c Juegue con entretenimientos de mesa, pero no con entretenimientos de computador

Sea C = {estudiantes que juegan con entretenimientos de computador} , M = {estudiantes que juegan con entretenimientos de mesa} Sea x = n (C  M) n(C  M) = 17  x n(C   M) = 10  x

U A

A  B

43

ejmplo 3

C

Esto es a partir de la defnicin de probabilidad.

13

{ Contina en la pgina siguiente.

(17  x) + x + (10  x) + 9 = 30 36  x = 30 x= 6 U C

M 11

6

4

9

a

P( M ) =

b c

10 30

=

P(C  M ) = P(C  M ) =

1

30 4 30

Reemplazar x = 6 para obtener el nmero en cada regin del diagrama Usar el diagrama de Venn y P( A ) =

3 6

Las cuatro regiones del diagrama de Venn conforman el conjunto universal U y por lo tanto deben sumar 30.

= =

n (A) n (U )

1 5 2 15

Ejercitacin 3B 1

En un grupo de 35 nios, 10 son rubios, 14 tienen ojos marrones y 4 son rubios con ojos marrones. Dibuje un diagrama de Venn para representar la situacin. Un nio se elige al azar. Halle la probabilidad de que el nio sea rubio o tenga ojos marrones.

2

En una clase de 25 estudiantes, 15 de ellos estudian francs, 13 de ellos estudian malayo y 5 de ellos no estudian ningn idioma. Se elige al azar uno de estos estudiantes de la clase. Cul es la probabilidad de que estudie francs y malayo?

3

En un grupo de Educacin Fsica hay 25 nias. 13 ya han tomado clases de aerbic y 17 de gimnasia. Una de las nias no ha hecho ninguna de las dos actividades. Cuntas han hecho ambas actividades? Se elige una nia al azar. Calcule la probabilidad de que: a Haya hecho ambas actividades. b Haya hecho gimnasia pero no aerbic.

PREGUNTA TIPO EXAMEN 4 De los 32 estudiantes de una clase, 18 juegan al golf, 16 tocan el piano y 7 realizan ambas actividades. Cuntos no practican ninguna de las actividades? Se elige un estudiante al azar. Halle la probabilidad de que: a Juegue al golf pero no toque el piano. b Toque el piano pero no juegue al golf.

Captulo 3

71

PREGUNTA TIPO EXAMEN 5 El conjunto universal U se defne como el conjunto de los nmeros positivos enteros menores o iguales que 15. Los subconjuntos A y B se defnen como: A = {enteros que son mltiplos de 3} B = {enteros que son divisores de 30} Enumere los elementos de: i A ii B b Ubique los elementos de A y B en la regin correspondiente del diagrama de Venn. c Se elige al azar un nmero de U. Halle la probabilidad de que el nmero sea: i Mltiplo de 3 y divisor de 30 ii Ni mltiplo de 3 ni divisor de 30 a

6

En una ciudad, el 40% de la poblacin lee el diario A, el 30% lee el diario B, el 10% lee el diario C. Se encontr que el 5% lee A y B; el 4% lee A y C; el 3% lee B y C. Adems , el 2% de las personas leen los tres diarios. Halle la probabilidad de que una persona elegida al azar en la ciudad: a Lea solo A b Lea solo B c No lea ninguno de los tres diarios

U A

B

Para esta pregunta necesitar usar tres crculos en el diagrama de Venn, uno para representar cada diario. B U

A

C

La regla de la adicin Aqu est el diagrama de Venn para los estudiantes que practican tiro con arco y bdminton de la pgina 69. U A

B 22

16

14

48

n(A  B) = 38 + 30   6, o n(A  B) = n(A) + n(B)  n(A  B) por lo tanto, P(A  B) = P(A) + P(B)  P(A  B)

 Para dos sucesos A y B cualesquiera P(A  B) = P(A) + P(B)  P(A  B) 72

Probabilidad

Tanto la probabilidad de que un estudiante practique tiro con arco, como la probabilidad de que un estudiante practique bdminton, incluyen la probabilidad de que un estudiante practique ambos deportes. Solo queremos considerar una vez esta probabilidad, por lo tanto, restamos una de estas probabilidades.

corazones y los diamantes son rojos. Hay 13 naipes en cada palo: as, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, jota, reina y rey. A la jota, la reina y el rey se les llama  fguras . Existen en su pas naipes similares o iguales a estos?

jugos d naips Para el prximo ejemplo necesita amiliarizarse con un mazo comn de 52 naipes de juego. En un mazo hay cuatro palos: picas, trboles, corazones y diamantes. Las picas y los trboles son negros, los

emplo 4 Se elige al azar un naipe de un mazo comn de 52 naipes. Halle la probabilidad de que sea un corazn o un rey. Rspusta U R

C A Q

K

J

10  9  8  7 6 5 4  3 2

P(C ) =

13 52

P(R ) =

4 52

P(C  R ) =

Necesitamos P(C  R). Dibujemos un diagrama de Venn.

K

K K

Hay 13 corazones en el mazo.

Hay 4 reyes en el mazo. 1 52

Hay un naipe que es rey y corazn.

13 4 4 1 16 +  = = 52 52 52 52 1 3

Usando P(C  R ) = P(C ) + P(R )  P(C  R )

Por lo tanto P(C  R ) =

Captulo 3

73

ejmplo 5 3

9

Si A y B son dos sucesos tales que P(A) = y P(B) = y 10 20 P(A  B) = 2P(A  B) halle: a P(A  B ) b P(A  B ) c P(A  B  ) Rspustas a Sea P(A  B ) = x 3 9 2x = + x 10 20 15 3x = 20

Usar P(A  B ) = P(A ) + P(B )  P(A  B )

3 3 4 1 x = = P(A  B) 4 1 P(A  B) = 2 1 b Si P(A  B ) = entonces 2 1 1 P(A  B ) = 1  = 2 2 1 c Si P(A  B ) = 4

x=

Dado que P (A  B ) = 2P(A  B)

Dado que P(A) = 1  P(A) Usar el resultado del apartado a

P(A  B  ) = P(A)  P(A  B ) 1 1 9  = = 5 20 4

Esta es la regin del diagrama que representa a A sin la interseccin con B. U A

B P(A)

P(B)

1

P(A  B) = 4

Ejercitacin 3C 1

Dos dados se arrojan 500 veces. Para cada tiro, se escribe la suma de los nmeros que se muestran en las caras. Se obtuvieron las siguientes frecuencias: Suma

2

3

4

5

6

7

8

9

10 11

12

Frecuencias 6

8

21

34 65 80 63 77 68 36

42

Usando las frecuencias, calcule la probabilidad de que: a La suma sea exactamente divisible por 5. b La suma sea un nmero par. c La suma sea exactamente divisible por 5 o sea un nmero par.

74

Probabilidad

2

Se arroja un dado de 10 caras, numeradas del 1 al 10. Calcule la probabilidad de que:  El nmero obtenido sea primo. b El nmero obtenido sea primo o mltiplo de 4.  El nmero obtenido sea un mltiplo de 4 o un mltiplo de 3.

3

En un grupo de 80 turistas, 40 tienen cmaras otogrfcas, 50 son mujeres y 22 son mujeres con cmaras otogrfcas. Halle la probabilidad de que un turista elegido al azar del grupo tenga cmara otogrfca o sea mujer.

4

Se elige una letra al azar de las 26 letras del idioma ingls. Halle la probabilidad de que est:  En la palabra MatHeMatics b En la palabra tRiGONOMetRY  En la palabra MatHeMatics y en la palabra tRiGONOMetRY d En la palabra MatHeMatics o en la palabra tRiGONOMetRY

5

Una estudiante va a la biblioteca. La probabilidad de que pida prestada una obra de fccin es 0,40; de que pida una obra de no fccin, 0,30; y de que pida una obra de cada clase, 0,20.  Cul es la probabilidad de que la estudiante pida prestada una obra de fccin, de no fccin o ambas? b Cul es la probabilidad de que la estudiante no pida prestada ninguna obra?

PREGUNTAS TIPO EXAMEN 6

En un camino,

1 1 de las casas no reciben peridicos. Si 3 4

reciben el peridico nacional y

3 5

el peridico local, cul es la

probabilidad de que una casa elegida al azar reciba ambos? 7

Si X e Y son dos sucesos tales que P(X) = P(X  Y) = 1 , halle: 8  P(X  Y) b P(X  Y)

8

1 1 y P(Y) = y 4 8

Si P(A) = 0,2 y P(B) = 0,5 y P(A  B) = 0,1, halle: P(A  B) b P(A  B)  P(A  B) 

Captulo 3

75

Sucesos mutuamente excluyentes

A

En una encuesta estudiantil se encuentra que 32 estudiantes juegan al ajedrez. Los clubes de ajedrez y tiro al arco funcionan los mismos das a la misma hora, por lo tanto, un estudiante no puede hacer ajedrez y tiro con arco. Los sucesos A y C se denominan sucesos mutuamnt xcluynts. Son sucesos cuyos resultados no pueden ocurrir al mismo tiempo. Aqu podemos observar que los crculos no se solapan, por lo tanto n(A  C ) = 0 y en consecuencia P(A  C ) = 0. Ahora P(A  C ) = P(A) + P(C )  0. En general, si dos sucesos A y B son mutuamente excluyentes, P(A  B) = 0. De aqu que podemos adaptar la regla de la adicin para estos casos: P(A  B) = P(A) + P(B).  En general, si A y B son mutuamente excluyentes, P(A  B) = 0 y P(A  B) = P(A) + P(B).

ejmplo 6 Una caja contiene marcadores para tableros de varios colores. Un profesor extrae un marcador al azar. La probabilidad de extraer un marcador rojo 1 5

3 7

es , y la probabilidad de extraer uno verde es . Cul es la probabilidad de no extraer ni un marcador rojo ni un marcador verde? Rspusta

Sea R el suceso se extrae un marcador rojo. Sea V el suceso se extrae un marcador verde. P(R  V) = P(R) + P(V) 22 1 3 + = 35 7 5 22 13 P(R  V) = 1  = 35 35

=

Primero defnir la notacin R y V son sucesos mutuamente excluyentes. El proesor extrae cualquiera, rojo o verde, pero no ambos colores. Dado que P(A) = 1  P(A)

Ejercitacin 3D 1

76

He aqu algunos sucesos relacionados con la tirada de dos dados: A: ambos dados muestran un 4 B: el total es 7 o ms C: hay al menos un 6 D: los dos dados muestran el mismo nmero E: ambos dados muestran nmeros impares Cules de los siguientes pares de sucesos son mutuamente excluyentes? a AyB b AyC c AyD d AyE  ByE f CyD g ByC Probabilidad

C 38

32 30

U

PREGUNTA TIPO EXAMEN 1 1 3 y P(N  M) = . 2 Dos sucesos N y M son tales que P(N) = y P(M) = 5 10 10 Son N y M mutuamente excluyentes? 3

En un grupo de 89 estudiantes, 30 son estudiantes de primer ao y 27 son estudiantes de segundo ao. Halle la probabilidad de que un estudiante elegido al azar de este grupo sea de primer ao o de segundo ao.

PREGUNTA TIPO EXAMEN 4 En un certamen interescolar, la probabilidad de que la escuela A gane 1 la competencia es 1 , la probabilidad de que gane la escuela B es y la

3

1

4

probabilidad de que gane la escuela C es . 5 Halle la probabilidad de que: a A o B gane la competencia. b Gane A, B o C. c Ninguna de estas escuelas gane la competencia.

. diagramas l spacio mustral y la rgla l proucto Es posible enumerar todos los resultados posibles de un experimento si no hay demasiados.

Una pregunta puede pedir que se enumeren todos los resultados posibles.

ejmplo 7 Se hace girar tres veces una perinola equilibrada con los nmeros 1, 2 y 3 estampados en ella. Enumere todos los resultados posibles de este experimento. A partir de lo anterior, halle la probabilidad de que el resultado de la ltima jugada sea mayor que los dos primeros resultados. Rspusta

Los 27 resultados son: 111 121 131 112 122 132 133 113 123 211 221 231 212 222 232 233 213 223 311 321 331 312 322 332 313 323 333

Cuando enumere todos los resultados, necesita ser sistemtico para no omitir ninguno.

En los cinco valores resaltados, el ltimo nmero de la jugada es mayor que los de los dos tiros anteriores. De aqu que la probabilidad es

5 27

.

Captulo 3

77

Diagramas del espacio muestral Otra forma de mostrar todos los resultados posibles de un suceso es mediante un diagrama del espacio muestral.

ejmplo 8

Los diagramas del espacio muestral tambin se denominan diagramas del espacio de probabilidades.

Dibuje un diagrama del espacio muestral para representar los totales obtenidos cuando se arrojan dos dados. Halle la probabilidad de: a Obtener un total de 6 b Tirar un doble c Obtener un total menor que 6

DADO 2

Rspustas

1 2 3 4 5 6

1 (1, 1) (1, 2) (1, 3) (1, 4) (1, 5) (1, 6)

2 (2, 1) (2, 2) (2, 3) (2, 4) (2, 5) (2, 6)

DADO 1 3 4 (3, 1) (4, 1) (3, 2) (4, 2) (3, 3) (4, 3) (3, 4) (4, 4) (3, 5) (4, 5) (3, 6) (4, 6)

5 (5, 1) (5, 2) (5, 3) (5, 4) (5, 5) (5, 6)

(6, (6, (6, (6, (6, (6,

6 1) 2) 3) 4) 5) 6)

(1, 1) da un total de 2, (4, 6) da un total de 10.

Hay 36 resultados posibles representados en este diagrama. 5 36

Las cinco formas posibles de obtener un total de 6 aparecen resaltadas.

DADO 2

a P(6) =

6 1 = 36 6

2 (2, 1) (2, 2) (2, 3) (2, 4) (2, 5) (2, 6)

DADO 1 3 4 (3, 1) (4, 1) (3, 2) (4, 2) (3, 3) (4, 3) (3, 4) (4, 4) (3, 5) (4, 5) (3, 6) (4, 6)

5 (5, 1) (5, 2) (5, 3) (5, 4) (5, 5) (5, 6)

6 (6, 1) (6, 2) (6, 3) (6, 4) (6, 5) (6, 6)

Las seis formas posibles de tirar un doble aparecen resaltadas.

DADO 2

b P(doble) =

1 2 3 4 5 6

1 (1, 1) (1, 2) (1, 3) (1, 4) (1, 5) (1, 6)

1 2 3 4 5 6

1 (1, 1) (1, 2) (1, 3) (1, 4) (1, 5) (1, 6)

2 (2, 1) (2, 2) (2, 3) (2, 4) (2, 5) (2, 6)

DADO 1 3 4 (3, 1) (4, 1) (3, 2) (4, 2) (3, 3) (4, 3) (3, 4) (4, 4) (3, 5) (4, 5) (3, 6) (4, 6)

5 (5, 1) (5, 2) (5, 3) (5, 4) (5, 5) (5, 6)

6 (6, 1) (6, 2) (6, 3) (6, 4) (6, 5) (6, 6)

{ Contina en la pgina siguiente.

78

Probabilidad

Las 10 formas posibles de obtener un total menor a 6 aparecen resaltadas.

5 10 = 18 36

DADO 2

c P(total < 6) =

1 2 3 4 5 6

1 (1, 1) (1, 2) (1, 3) (1, 4) (1, 5) (1, 6)

2 (2, 1) (2, 2) (2, 3) (2, 4) (2, 5) (2, 6)

DADO 1 3 4 (3, 1) (4, 1) (3, 2) (4, 2) (3, 3) (4, 3) (3, 4) (4, 4) (3, 5) (4, 5) (3, 6) (4, 6)

5 (5, 1) (5, 2) (5, 3) (5, 4) (5, 5) (5, 6)

6 (6, 1) (6, 2) (6, 3) (6, 4) (6, 5) (6, 6)

ejmplo 9 En un experimento se lanza una moneda y se arroja un dado. Dibuje un diagrama del espacio muestral para este experimento. Halle la probabilidad de obtener una cara en la moneda (C) y un nmero menor que 3 (T) en el dado, en un solo experimento. Rspusta

1 2 3 4 5 6 C (1, C) (2, C) (3, C) (4, C) (5, C) (6, C) T (1, T) (2, T) (3, T) (4, T) (5, T) (6, T) P(cara y nmero menor que 3) =

Los resultados que dan una cara y un nmero menor que 3 aparecen sombreados.

2 1 = 12 6

Ejercitacin 3E PREGUNTA TIPO EXAMEN Se lanzan tres monedas equilibradas una despus de otra y se anotan los resultados. Un posible resultado es que todas las monedas salgan cara (C). Esto se escribe como CCC. Otra es que las dos primeras monedas salgan cara y la ltima ceca (X). Esto puede escribirse como CCX. Enumere todo el espacio muestral para este experimento aleatorio. Halle la probabilidad de que: a El nmero de caras sea mayor que el de cecas. b Se obtengan al menos dos caras consecutivas. c Se obtengan caras y cecas alternativamente.

1

2

Una moneda no cargada (equilibrada) es aquella en la que es tan probable que salga cara como ceca.

Dibuje el diagrama del espacio muestral para el experimento aleatorio Dos dados tetradricos, uno azul y el otro rojo, tienen caras numeradas del 1 al 4. Se lanzan y se anota el resultado. Halle la probabilidad de que: a El nmero en el dado rojo sea mayor que el del dado azul. b La diferencia entre los nmeros de los dados sea uno. c El dado rojo muestre un nmero impar y el dado azul muestre un nmero par. d La suma de los nmeros de los dados sea un nmero primo. Captulo 3

79

PREGUNTA TIPO EXAMEN

Huellas genticas

Una caja contiene tres cartones marcados con los El mtodo de las huellas genticas nmeros 1, 2, 3. Una segunda caja contiene cuatro ue desarrollado en 1984 por cartones marcados con los nmeros 2, 3, 4, 5. Alec Jereys, catedrtico de la Un cartn se escoge al azar de cada caja. Universidad de Leicester. Cada uno de nosotros tenemos una nica Dibuje el diagrama del espacio muestral composicin gentica que est para el experimento aleatorio. contenida en el ADN, que heredamos Halle la probabilidad de que: de nuestros padres. a Los cartones tengan el mismo nmero. El ADN puede extraerse de las clulas b El mayor de los dos nmeros extrados sea 3. y fuidos corporales y analizarse para c La suma de los nmeros de los cartones sea menor producir nuestra  huella gentica , que 7. como se muestra ms abajo. d El producto de los nmeros de los cartones sea Cuando se comparan huellas genticas al menos 8. es usual comparar estas bandas. e Se escoja al menos un nmero par. Algunas de estas comparaciones 4 Seis cartones, numerados 0, 1, 2, 3, 4 y 5, se colocan se usaron como pruebas para en una bolsa. Se extrae uno al azar, se anota el condenar a los criminales, pero el nmero y luego se repone en la bolsa. Luego, procedimiento est siendo investigado se elige un segundo cartn. Dibuje el diagrama debido a la dependencia de actores del espacio muestral para el experimento aleatorio. probabilsticos. Comnmente se Halle la probabilidad de que: examinan y comparan entre 10 y a Los cartones tengan el mismo nmero. 20 bandas. Las pruebas empricas sugieren que la probabilidad de b El mayor de los nmeros extrados sea primo. que una banda concuerde por mera c La suma de los dos nmeros en los cartones 1 sea menor que 7. coincidencia es , aunque este 4 d El producto de los nmeros de los cartones valor es debatible. La probabilidad sea al menos 8. de que dos bandas coincidan ser e Se escoja al menos un nmero par. 1 consecuentemente de . 5 Toms juega a un entretenimiento con un dado, 16 llamado Vaya y venga. Arroja el dado. Si el resultado es 1, avanza un metro. Si es 2, se mueve un metro a la derecha. Si es 3, retrocede un metro. Si es 4, se mueve un metro a la izquierda. Si es 5 o 6, se queda en la posicin donde est. Toms arroja el dado dos veces. Hace dos pasos. Cul es la probabilidad de que ocurra lo siguiente? a Est en el mismo punto donde comenz. b Est exactamente a dos metros de distancia de su posicin original. c Est a ms de uno pero menos de dos metros de distancia de su posicin original. 3

Regla del producto para sucesos independientes Cuando se arrojan un dado y una moneda, tal como en el ejemplo 9 de la pgina anterior, los sucesos resultan independientes. Esto se debe a que el resultado de la moneda no infuye en el resultado del dado y viceversa. 80

Probabilidad

 Dos sucesos A y B son independientes si la probabilidad de que ocurra uno no aecta la probabilidad de que ocurra el otro. He aqu el espacio muestral para un dado y una moneda. 1

2

3

4

5

6

c

(1, C)

(2, C)

(3, C)

(4, C)

(5, C)

(6, C)

t

(1, T)

(2, T)

(3, T)

(4, T)

(5, T)

(6, T)

Se defne el suceso C como la moneda sale cara. Del diagrama: P(C ) =

6

1

=

12

2

Se defne el suceso T como el dado muestra un nmero menor que 3. P(T) =

4

=

12

P(C  T) =

Hay dos resultados donde la moneda sale cara y el dado muestra un nmero menor que 3.

1 3 2

=

12

1 6

Pero tambin podemos notar que: P(C  T) = P(C )  P(T) =

1 2



1 1 = 6 3

 Cuando dos sucesos A y B son independientes P(A  B) = P(A)  P(B) Esta es la rgla dl produo para susos indpndins. Tambin se denomina regla de la multiplicacin. Los diagramas del espacio muestral pueden ayudar a visualizar el nmero de resultados posibles, pero no siempre es necesario dibujar uno.

ejmplo 0 Una bolsa contiene 3 bolillas rojas y 2 blancas, otra bolsa contiene 1 roja y 4 blancas. Se selecciona una bolilla al azar de cada caja. Halle la probabilidad de que: a Ambas bolillas sean rojas. b Las bolillas sean de dierentes colores.  Al menos una de las bolillas sea blanca. Respuestas a

3 5 1 De la segunda bolsa P(R2) = 5

Los sucesos tomar una bolilla roja de la bolsa (R1) y tomar una bolilla roja de la bolsa (R2) son independientes. En R1 hay 3 bolillas rojas de un total de 5. En R2 hay 1 bolilla roja de un total de 5.

En consecuencia, P(R1  R2)

Los sucesos R1 y R2 son independientes, entonces P(R1  R2 ) = P(R1 )  P(R2 ).

De la primera bolsa P(R1) =

3 1 3 =  = 25 5 5

{ Contina en la pgina siguiente. Captulo 3

81

b

3 5 4 De la segunda bolsa P(B2) = 5

De la primera bolsa P(R1) =

Si las bolillas son de colores dierentes signifca que o bien la primera es roja y la segunda blanca, o bien la primera es blanca y la segunda roja.

En consecuencia, P(R1  B2) =

3 12 4  = 5 25 5

2 5 1 De la segunda bolsa P(R2) = 5

De la primera bolsa P(B1) =

En consecuencia, P(B1  R2) =

2 2 1  = 25 5 5

P(colores diferentes) = P(R1  B2) + P(B1  R2)

Estos sucesos son mutuamente excluyentes.

12 2 14 + = 25 25 25 c P(al menos una blanca)

= 1  probabilidad de que ambas sean rojas = 1  P(R1  R2) =1

22 3 = 25 25

Para al menos una de las bolillas es blanca, podramos calcular la probabilidad de que ambas

sean blancas, la probabilidad de que la primera sea blanca y la segunda roja y la probabilidad de que la primera sea roja y la segunda blanca, y sumar estas probabilidades. O

Si al menos una es blanca, signifca que ambas no pueden ser rojas. Este es un mtodo usual de resolver problemas que contengan las palabras  al menos. Calculamos: 1  la probabilidad del complemento del suceso.

Ejercitacin 3F 1

Mi guardarropas contiene cinco camisas: una azul, una marrn, una roja, una blanca y una negra. Abro el guardarropa y escojo una camisa sin mirar. Repongo esta camisa y luego escojo otra. Cul es la probabilidad de que elija la camisa roja las dos veces?

2

Se elige al azar un naipe de un mazo de 52. Se repone y se escoge un segundo naipe. Cul es la probabilidad de que se elija un rey y un diez?

3

Se lleva a cabo una encuesta sobre la comida que se sirve en la cafetera de una gran escuela. Se hall que a 4 de los estudiantes 5

les gusta la pasta. Tres estudiantes se eligen al azar. Cul es la probabilidad de que a los tres les guste la pasta?

82

Probabilidad

Para las preguntas de la 2 a la 8, posiblemente necesite recordar el juego de naipes: vea la pgina 73.

PREGUNTAS TIPO EXAMEN 4 Adn juega un partido de cricket y un partido de hockey durante el fn de semana. La probabilidad de que su equipo gane el partido de cricket es 0,75, y la probabilidad de que gane el partido de hockey es 0,85. Suponga que los resultados de los partidos son independientes. Cul es la probabilidad de que el equipo de Adn gane ambos partidos? 5

Los sucesos A, B y C son tales que A y B resultan mutuamente excluyentes y P (A) = 0,2; P (C ) = 0,3; P (A  B) = 0,4 y P (B  C) = 0,34. Calcule P(B) y P (B  C ). b Determine si B y C son independientes. a

6

Se lanza una moneda y se arroja un dado de seis caras. Halle la probabilidad de que se obtenga una cara en la moneda y no un 6 en el dado.

7

Un misil aire-aire tiene una probabilidad de 8 de dar en el 9

blanco. Si se lanzan cinco misiles, cul es la probabilidad de que el blanco no sea destruido? 8

Se escogen cuatro naipes de un mazo de 52 cartas, con reposicin. Cul es la probabilidad de escoger 4 corazones, uno tras otro?

PREGUNTA TIPO EXAMEN 9 Sabiendo que P (E  ) = P (F) = 0,6 y P (E  F) = 0,24 a Escriba P(E). b Explique por qu E y F son independientes. c Explique por qu E y F no son mutuamente excluyentes. d Halle P(E  F ). 10

Tres bolsas contienen 4 canicas rojas y 8 canicas azules cada una. Se escoge al azar una canica de cada bolsa. Cul es la probabilidad de que la primera canica sea roja, la segunda canica sea azul y la tercera roja?

11

Un dado de seis caras est numerado: 1, 2, 2, 5, 6, 6. Se lo lanza tres veces. Cul es la probabilidad de que la suma de los nmeros obtenidos sea 6?

PREGUNTA TIPO EXAMEN A y B son sucesos independientes tales que P(A) = 0,9 y P(B) = 0,3. Halle: a P (A  B) b P (A  B ) c P (A  B)

12

Captulo 3

83

PREGUNTA TIPO EXAMEN 13 Los sucesos independientes G y H son tales que P (G  H ) = 0,12 y P(G  H) = 0,42. Dibuje un diagrama de Venn para representar los sucesos G y H. Sea P(G  H) = x. Halle dos posibles valores de x. 14

Se arrojan cuatro dados. Halle la probabilidad de que: a Los cuatro dados muestren un 6. b Los cuatro dados muestren el mismo nmero.

15

Qu es ms probable: obtener un 6 en cuatro tiradas de un dado, u obtener un doble 6 en 24 tiradas de dos dados?

16

Un programa produce (independientemente) tres dgitos al azar del 0 al 9. Por ejemplo: 247 o 309 o 088 o 936 a Halle la probabilidad de que ninguno de los tres dgitos sea un 5. b Halle la probabilidad que al menos un dgito sea un 5.

Esta es la pregunta que se abord en la investigacin con dados de la pgina 64.

investgacn: el dilema de Monty Hall El siguiente es un amoso acertijo de probabilidad que se basa en un programa de televisin estadounidense conocido como  Hagamos un trato .

1

2

3

El nombre proviene del anftrin original del programa, Monty Hall. Suponga que usted participa del juego y le dan la posibilidad de elegir entre tres puertas. Detrs de una de las puertas se encuentra el premio principal (un automvil) y detrs de las otras dos puertas hay fascos, premios no deseados. El automvil y los premios no deseados se colocan aleatoriamente detrs de las puertas, antes del programa.

Las reglas del juego son: despus de elegir la puerta, esta permanece cerrada por el momento. Monty Hall, que sabe qu hay detrs de las puertas, abre una de las dos restantes y siempre revela uno de los premios no deseados. Luego de abrir una de las puertas y mostrar el fasco, Monty Hall le pregunta al participante si desea continuar con su primera eleccin de puerta o cambiar por la puerta restante. Qu hara usted? a Mantenerse con su primera eleccin. b Cambiar a la puerta cerrada restante. c En realidad no importa. La probabilidad es la misma en ambos casos.

84

Probabilidad

Volveremos a ver este problema al fnalizar el captulo.

3.4 probabilidad condicionada He aqu un diagrama de Venn que muestra a los estudiantes que practican tiro con arco y bdminton. U A

B 22

16

14

48

Si sabemos que un estudiante en particular practica bdminton, cmo afecta a la probabilidad de que tambin practique tiro con arco? En total, 30 estudiantes practican bdminton; 1 6 de estos practican tiro con arco. Escribimos la probabilidad de que un estudiante practique tiro con arco sabiendo que practica bdminton como P ( A | B ) . Notamos que: P ( A| B ) =

n( A  B ) n(B )

=

16 8 = 30 1 5

Esto se conoce como robabilidad condicionada , dado que el resultado de A deende del resultado de B. 16

Adems, se deduce que P ( A | B ) =

P( A  B) P(B)

=

1 00 30 1 00

=

16 8 = 30 1 5

 En general, para dos sucesos A y B la probabilidad de que ocurra A sabiendo que ocurri B puede hallarse usando: P ( A| B ) =

P( A  B) P(B)

Si reordenamos la frmula, nos da: P(A  B) = P ( A | B )  P(B)  Si A y B son sucesos independientes, P ( A | B ) = P(A), P ( B | A ) = P(B), P ( A | B ) = P(A) y P ( B | A ) = P(B)

Recuerde que para sucesos independientes P(A  B) = P(A)  P(B). Por defnicin, para sucesos independientes A y B, la probabilidad de que ocurra A sabiendo que ocurri B ser igual que la probabilidad de A, puesto que el hecho de que ocurra B no aecta a A.

Captulo 3

85

ejmplo  De los 53 miembros del personal del colegio, 36 beben t, 18 beben caf y 10 no beben t ni caf. Cuntos miembros del personal toman t y caf? Un miembro del personal se elige al azar. Halle la probabilidad de que: b Beba t pero no caf. c Sabiendo que bebe t, tambin beba caf. d Sabiendo que bebe t, no beba caf. a

Respuestas a

U T

C 36  x

x

Dibujar un diagrama de Venn para mostrar la informacin

18  x

10

Sea n (T  C ) = x. Por lo tanto, 36  x + x + 18  x + 10 = 53 64  x = 53 x = 11

n(T  C ) es el nmero que beben caf y t. 53 es el total de miembros del personal en el diagrama de Venn. Resolver en x

Hay 11 personas que beben t y caf. b P(T  C ) =

36  11 = 25

33

P (C  T )

c P(C| T) =

=

25

P (T )

11 53 = 36 53

11 53 11  = 53 56 36

d P(C | T) =

=

P (C   T ) P (T )

25 53 = 36 53

P (C   T) = P (T  C )

25 53 25  = 53 36 36

Ejercitacin 3G PREGUNTA TIPO EXAMEN 1 Hay 27 estudiantes en una clase. 15 toman clases de Artes Visuales y 20 toman clases de Teatro. Cuatro no toman ninguna de estas dos asignaturas. Cuntos estudiantes toman clases de ambas asignaturas? Una persona se elige al azar. Halle la probabilidad de que: a l o ella tomen clases de Teatro pero no de Artes Visuales. b l o ella tomen clases de al menos una de las dos asignaturas. c l o ella tomen clases de Teatro, sabiendo que l o ella toman clases de Artes Visuales. 86

Probabilidad

PREGUNTA TIPO EXAMEN 2 Para los sucesos A y B se sabe que: P(A  B ) = 0,35; P(A) = 0,25; P(B) = 0,6. Halle: a P(A  B) b P(A| B) c P(B | A) 3

El 48% de los adolescentes poseen patinetas y el 39% de los adolescentes poseen patinetas y patines de ruedas. Cul es la probabilidad de que un adolescente posea un patn de ruedas sabiendo que posee una patineta?

4

Se elige un nmero al azar de la siguiente lista de ocho nmeros:  2 4 7  6 22 29 Halle: a P(sea par | no es un mltiplo de 4) b P(sea menor que 15 | es mayor que 5) c P(sea menor que 5 | es menor que 15) d P(est comprendido entre 10 y 20 | est comprendido entre 5 y 25)

5

En mi ciudad, el 95% de todos los hogares cuentan con un computador de escritorio. El 61% de todos los hogares tienen computador de escritorio y computador porttil. Cul es la probabilidad de que un hogar dado cuente con computador porttil sabiendo que cuenta con computador de escritorio?

6

La probabilidad de que un estudiante tome clases de Tecnologa del Diseo y Espaol es 0,1. La probabilidad que un estudiante tome clases de Tecnologa del Diseo es 0,6. Cul es la probabilidad de que un estudiante tome clases de Espaol sabiendo que toma clases de Tecnologa del Diseo?

7

U y V son sucesos mutuamente excluyentes. P (U) = 0,26; P (V) = 0,37. Halle: a P (U y V) b P (U | V) c P (U o V).

8

Una profesora tom a su clase una prueba 1 del IB y una prueba 2 del IB. El 35% de la clase pas ambos exmenes y el 52% de la clase pas la prueba 1. Qu porcentaje de aquellos que pasaron la prueba 1 tambin pasaron la prueba 2?

9

Una jarra contiene canicas negras y blancas. Dos canicas se escogen al azar, sin reposicin. La probabilidad de elegir una canica negra y luego una blanca es 0,34, y la probabilidad de elegir una canica negra en la primera extraccin es 0,47. Cul es la probabilidad de elegir una canica blanca en la segunda extraccin sabiendo que la primera canica extrada fue negra?

PREGUNTA TIPO EXAMEN 10 La tabla a continuacin contiene el nmero de jugadores de tenis de mesa diestros y zurdos en una muestra de 50 hombres y mujeres. Hombres Mujeres Total

Zurdos 5 2 7

Diestros 32 11 43

Total 37 13 50

Un jugador de tenis de mesa fue elegido al azar del grupo. Halle la probabilidad de que la persona sea: a Un hombre zurdo b Diestra c Diestra, sabiendo que es mujer Captulo 3

87

11

J y K son sucesos independientes. Dado que P(J | K) = 0,3 y P(K) = 0,5, halle P(J).

12

Su vecino tiene dos hijos. Usted sabe que tiene un hijo llamado Samuel. Cul es la probabilidad de que Samuel tenga un hermano varn?

No resulta tan obvio como parece!

investgacn: volvemos al problema de Monty Hall Consideremos una situacin en el juego. Supongamos que el participante haya elegido la puerta 3 y Monty Hall revele que hay un premio no deseado detrs de la puerta 2. Cul es la probabilidad condicionada de que el automvil est detrs de la puerta 1? Sea A la condicin de que el automvil est detrs de la puerta 1 y el participante ha elegido la puerta 3. Sea B la condicin de que Monty Hall haya revelado que hay un premio no deseado detrs de la puerta 2 sabiendo que el participante ha elegido la puerta 3. La probabilidad de A y B (P(A  B)) es solamente

1

1 1 1  = porque 3 3 9

2

Anlisis del problema de Monty Hall usando probabilidades condicionadas

si el automvil est detrs de la puerta 1 y el participante ha elegido la puerta 3, Monty Hall tiene que mostrar qu hay detrs de la puerta 2. El problema es el cmputo de la probabilidad de haber mostrado un premio no deseado detrs de la puerta 2 sabiendo que la eleccin ue la puerta 3. Esta situacin puede darse de dos maneras: 1 Cuando el auto est detrs de la puerta 1 2 Cuando el auto est detrs de la puerta 3 1 La primera tiene una probabilidad de , como se mostr anteriormente. 9

En la segunda situacin, el anftrin podra revelar cualquiera: lo que hay detrs de la puerta 1 o la puerta 2. Si el anftrin elige aleatoriamente (equiprobablemente) entre las dos puertas, entonces la probabilidad de mostrar lo que hay detrs de la puerta 2 es

1 1 1 . Por lo tanto, la probabilidad  = 2 9 18

de que se revele un premio no deseado detrs de la puerta 2 cuando el participante ha elegido la puerta 3 es

3 1 1 1 . +  = 9 2 9 18

Esto es P(B), la probabilidad de B. Queremos la probabilidad condicionada, P ( A | B ) . Est dada por P ( A | B) =

P ( A  B) P ( B)

=

1 9 3 18

=

2 . 3

Esto signifca que la probabilidad condicionada de que el automvil est detrs de la puerta 3 sabiendo que el participante ha elegido la puerta 3 y le hayan mostrado que hay un premio no deseado detrs de la puerta 2 es solamente

88

Probabilidad

1 . Consecuentemente, vale la pena cambiar! 3

3

3.5 diagramas  rbol  probabilia Los diagramas de rbol resultan tiles para problemas donde ocurre ms de un suceso. Algunas veces resulta ms sencillo emplearlos en lugar de enumerar todos los resultados. Es importante leer la pregunta cuidadosamente y distinguir entre los diferentes tipos de situaciones.

Probabilidad con reposicin y sucesos repetidos ejmplo 12 La probabilidad de que Samuel, un miembro entusiasta del club de tiro con arco del colegio, d en la diana es 0,8. Samuel intenta dos tiros. Suponga que el xito de cada tiro es independiente del resultado del tiro anterior. Represente esta informacin es un diagrama de rbol. Halle la probabilidad de que Samuel: a D dos veces en la diana. b D en la diana una sola vez. c D en la diana al menos una vez. La primera rama del diagrama de rbol representa el primer tiro de Samuel. Tendr xito en dar en la diana o racasar. La probabilidad de que racase es 1  0, 8 = 0, 2. El resultado se muestra al fnal de la rama, la probabilidad se coloca al lado de cada rama.

Respuestas XITO 0,8

0,2 FRACASO 0,8

XITO

0,8

0,2

FRACASO

0,2

0,8

XITO

XITO

El segundo tiro dar en la diana exitosamente o racasar. En consecuencia, hay cuatro resultados posibles para este experimento: Un xito seguido de un xito (E y E) Un xito seguido de un racaso (E y F) Un racaso seguido de un xito (F y E) Un racaso seguido de un racaso (F y F)

FRACASO 0,2

a

FRACASO

Queremos hallar P( E y E). Por lo tanto, P(E y E) = 0,8  0,8 = 0,64

b P(E y F) + P(F y E)

= (0,8  0,2) + (0,2  0,8) = 0,32

c P(al menos un xito)

= 1  (0,2  0,2) = 1  0,04 = 0,96

Dado que un xito en el primer tiro es independiente de un xito en el segundo tiro, podemos multiplicar las probabilidades (regla del producto). Multiplicamos a lo largo de las dos primeras ramas. Un solo xito podra darse si el primer tiro da en la diana y el segundo no, o si el primer tiro no da en la diana y el segundo s. Estos dos sucesos (E y F) y (F y E) son mutuamente excluyentes: no pueden ocurrir simultneamente. Multiplicamos a lo largo de cada rama (ya que nuevamente los sucesos son independientes) y luego sumamos (ya que los sucesos resultan mutuamente excluyentes). Aqu necesitamos 1  P(racaso en dar en la diana las dos veces). Por lo tanto, tenemos 1  P(F y F).

Captulo 3

89

Ejercitacin 3H 1

2

Liz contesta dos preguntas de examen. La probabilidad de que conteste correctamente cualquier pregunta del examen es 2 . 3 a Copie y complete el diagrama. Correcta 2 b Cul es la probabilidad de que conteste 3 correctamente solo una pregunta? c Cul es la probabilidad de que conteste correctamente al menos una?

Correcta

Incorrecta 2 3

Cuando Laura y Michelle juegan en el equipo de hockey, la probabilidad de que Laura anote es 1 y la probabilidad de que lo haga Michelle es 1 . 2

3

Dibuje un diagrama de rbol para ilustrar esta informacin y selo para hallar la probabilidad que ninguna de las dos anote en el prximo partido. PREGUNTA TIPO EXAMEN Hay igual nmero de nios y nias en una escuela y se sabe

3

1

que 1 0 de los varones y 1 de las nias llegan caminando a 10 1 la escuela. Adems, de los nios y 1 de las nias vienen en 3

2

automvil. El resto llega en autobs. Determine: La proporcin de alumnos de la escuela que son nias que llegan en autobs b La proporcin de alumnos de la escuela que llegan en autobs a

4

En la pregunta 3, el diagrama tendr dos ramas en la primera seccin, cada una de las cuales tendr tres ramas en la segunda seccin.

Determine la probabilidad de obtener dos caras en tres lanzamientos de una moneda no equilibrada para la cual P(cara) = 2 . 3

5

Un dado de 10 caras tiene los nmeros 110 escritos en ellas. Se lo arroja dos veces. Halle la probabilidad de que: a Se obtenga exactamente un nmero primo. b Se obtenga al menos un nmero primo.

PREGUNTA TIPO EXAMEN 6 La probabilidad de que un da sea ventoso es 0,6. Si est ventoso, la probabilidad de que llueva es 0,4. Si no est ventoso, la probabilidad de que llueva es 0,2. a Copie y complete el diagrama de rbol. b Cul es la probabilidad de que un da dado llueva? c Cul es la probabilidad de que no llueva dos das consecutivos? 90

Probabilidad

Lluvioso Ventoso

Lluvioso

probabilidad sin rosicin y robabilidad condicionada ejmlo 13 Una bolsa contiene 5 bolillas grises y 6 bolillas rojas. Si se extraen dos bolillas en forma consecutiva, sin reposicin, cul es la probabilidad de que ocurra lo siguiente? a Se haya elegido al menos una gris. b Se haya tomado una roja en la primera extraccin sabiendo que se ha elegido al menos una gris. Respuestas Dado que en primer lugar se ha extrado una bolilla roja, quedarn 5 bolillas rojas (y 5 grises). 5 10

R

R

6 11

5 11

a

Dibuje un diagrama de rbol. Las probabilidades de la segunda rama dependen de lo que ha ocurrido en la primera rama.

5 10

G

6 10

R

4 10

G

G

P(al menos una gris) = 1  P(ambas rojas) = 1  

6

1 1



Resulta ms rpido calcular la probabilidad de esta forma que calcular la probabilidad de gris en la primera extraccin, o gris en la segunda extraccin o gris en ambas extracciones.

5  3 8  =1  = 10  11 11

b P(roja seguida de gris)

=

Esto signifca que la probabilidad de la segunda extraccin depende del resultado de la primera extraccin, puesto que se quit la bolilla despus de la primera extraccin.

(

P ro j a en la p rim era y al m eno s una gris

(

P al m eno s una gris

6 51 3  3 11 10 2 11 = = = 8 8 8 11 11

)

)

Cuando la roja se selecciona primero, la probabilidad de que 5 la segunda sea gris es , por 10 lo tanto multiplicamos estas probabilidades.

Algunos diagramas de rbol no tienen la disposicin clsica que hemos visto hasta el momento.

Captulo 3

91

ejmplo 4 Tobas es una estrella en ascenso del club de tennis del colegio. Sabe que, cuando logra colocar adentro el primer servicio, la probabilidad de que gane el punto es 0,75. Cuando usa su segundo servicio, hay una posibilidad de 0,45 de que l gane el punto. Logra colocar el primer servicio adentro en 3 de 5 ocasiones y su segundo servicio en 3 de 4 ocasiones. a Halle la probabilidad de que Tobas gane el punto la prxima vez que le toque el servicio. b Sabiendo que Tobas gan el punto, cul es la probabilidad de que haya colocado adentro su primer servicio? Respuestas

3 5

2 5

0,75

Gana

0,25

Pierde

Adentro 0,45 Adentro

3 4

0,55

Afuera 1 4

a

Gana

Pierde

Afuera

P(gane)= P(coloca adentro el primer servicio y gana) + P(pierde el primer servicio, coloca adentro el segundo servicio y gana) 3    0, 75  + 5 

En este diagrama, no es necesario continuar las ramas una vez que se ha conseguido el punto.

Multiplicamos a lo largo de las ramas.

2 3     0, 45  5 4 

= 0,45 + 0,135 = 0,585 b P(1. er adentro | gana el punto)

=

=

(

P 1.

er

adentro y gane el punto P ( gane el p unto )

3   0 , 75   5  0, 585

)

Ambos valores se hallaron en el apartado a. Esta respuesta se dio con 3 cs dado que la respuesta exacta (en forma de fraccin) no es obvia.

= 0 , 769 (3 c s )

Ejercitacin 3I 1

92

Se extraen tres naipes al azar de un mazo de naipes. Los naipes no se reponen. Halle la probabilidad de obtener: a Tres fguras b Dos fguras

Probabilidad

Vea la pgina 73 para el mazo comn de 52 naipes de juego.

PREGUNTA TIPO EXAMEN 2 Una caja contiene 5 lapiceras sin tinta y 7 con tinta. Un nio, en primer lugar, y una nia, a continuacin, eligen una lapicera cada uno. a Cul es la probabilidad de que elijan dos sin tinta? b Cul es la probabilidad de que al menos una de las lapiceras escogidas no tenga tinta? c Si se escoge exactamente una lapicera sin tinta, cul es la probabilidad de que la haya escogido la nia? 3

En una bolsa hay 4 bolillas rojas, 3 bolillas verdes y 2 amarillas. Se escoge una bolilla al azar y no se repone. Luego, se escoge una segunda bolilla. a Halle P(las bolillas son ambas verdes). b Halle P(las bolillas son del mismo color). c Halle P(ninguna bolilla es roja). d Halle P(al menos una bolilla es amarilla).

4

Cuatro bolillas se extraen al azar, una despus de otra, sin reposicin, de una bolsa que contiene las siguientes bolillas: 5 rojas, 4 azules, 3 naranjas, 2 prpuras. Halle la probabilidad de obtener una de cada color.

5

Un club tiene 1 0 miembros de los cuales 6 son mujeres y 4 varones. Uno de los miembros del club se elige al azar para ser el presidente del club. a Halle la probabilidad de que el presidente elegido sea varn. b Dos personas se eligen al azar para representar al club en una competencia. Halle la probabilidad de que se elijan un varn y una mujer.

6

Guillermo responde correctamente un promedio de 5 preguntas de cada 7. El promedio de Natacha es de 5 preguntas de cada 9. Ambos contestan la misma pregunta. a Cul es la probabilidad de que al menos uno de los estudiantes conteste la pregunta correctamente? b Si la pregunta fue respondida correctamente, cul es la probabilidad de que la respuesta correcta la haya obtenido Guillermo? c Si la pregunta fue respondida correctamente, cul es la probabilidad de que la respuesta correcta la haya obtenido Natacha? d Si hubo al menos una respuesta correcta, cul es la probabilidad de que haya habido dos?

Aunque la pregunta no lo pida, puede resultarle til emplear un diagrama de rbol para responder a estas preguntas.

Material de ampliacin disponible en lnea: Hoja de ejercicios 3: Probabilidad condicionada

Captulo 3

93

ejrcicios d rvisin



1

Se anota al azar un nmero de dos dgitos entre  0 y 99 inclusive. Cul es la probabilidad de que ocurra lo siguiente? a Sea divisible por 5. b Sea divisible por 3. c Sea mayor que 50. d Sea un cuadrado.

2

En una clase de 30 alumnos,  8 tienen perro, 20 tienen gato y 3 no tienen ninguno de los dos. Se escoge un estudiante al azar. Cul es la probabilidad de que el estudiante tenga un perro y un gato?

PREGUNTAS TIPO EXAMEN 3 Para los sucesos C y D se sabe que: P (C ) = 0,7 P (C   D ) = 0,25 P (D) = 0,2. a Halle P (C  D ). b Explique por qu C y D no son sucesos independientes. 4

Los sucesos A y B son tales que P(A) = 0,6, P(B) = 0,2 y P(A| B) = 0, . Calcule las probabilidades de que: a Ocurran ambos sucesos. b Ocurra al menos uno de los sucesos. c Ocurra exactamente uno de los sucesos. d Ocurra B sabiendo que ha ocurrido A.

5

A un grupo de  00 estudiantes se les pregunta cules de los tres tipos de programas de televisin: drama, comedia y telerrealidad, miran regularmente. Ellos aportan la siguiente informacin: 15 miran los tres tipos de programas. 18 miran drama y comedia. 22 miran comedia y telerrealidad. 35 miran drama y telerrealidad. 10 no miran ninguno de los tres programas regularmente. Los estudiantes que miran drama solamente son tres veces ms que los que miran comedia solamente y los estudiantes que miran comedia solamente son dos veces ms que aquellos que miran solamente telerrealidad. Si x es el nmero de estudiantes que miran nicamente programas de telerrealidad, escriba una expresin para el nmero de estudiantes que miran solamente drama. b Usando toda la informacin dada, copie y complete el diagrama de Venn. c Calcule el valor de x.

Comedia U

Drama

a

94

Probabilidad

x Telerrealidad

ejrcicios d rvisin 1

Sea P(C ) = 0,4; P(D) = 0,5; P(C | D) = 0,6. a Halle P(C y D). b Son C y D mutuamente excluyentes? D una razn para su respuesta. c Son C y D sucesos independientes? D una razn para su respuesta. d Halle P(C y D).  Halle P(D | C).

2

Juan hace

3 5

de las tareas generales de la casa y Gilda hace el resto.

Si el 35% de los trabajos de Juan se terminan satisfactoriamente y el 55% de los trabajos de Gilda se terminan satisfactoriamente, halle la probabilidad de que un trabajo general de la casa haya sido realizado: a Satisfactoriamente b Por Gilda sabiendo que no es satisfactorio PREGUNTAS TIPO EXAMEN 3 Cada da, Maximiliano viaja al colegio en bicicleta, en autobs o en automvil. La probabilidad que viaje en autobs un da determinado es 0,6. La probabilidad de que viaje en bicicleta un da determinado es 0,3. a Dibuje un diagrama de rbol que muestre los resultados posibles para los viajes de Maximiliano del lunes y el martes. Rotule claramente el rbol escribiendo las probabilidades para cada uno de los resultados. b Cul es la probabilidad de que ocurra lo siguiente? i Viaje en bicicleta lunes y martes. ii Viaje en bicicleta el lunes y en autobs el martes. iii Viaje por el mismo medio de transporte el lunes y el martes. c Maximiliano viaj a la escuela en bicicleta el lunes y el martes. Cul es la probabilidad de que no viaje al colegio en bicicleta el mircoles, jueves y viernes? d Cul es la probabilidad de que en tres das cualesquiera Maximiliano viaje dos veces en automvil y una vez en autobs o dos veces en bicicleta y una vez en automvil? 4

Una bolsa contiene 6 manzanas rojas y 1 0 verdes. Sin mirar en la bolsa, Magdalena selecciona una manzana al azar. a

Cul es la probabilidad de que sea roja?

La manzana es roja y Magdalena se la come. Luego, pasa la bolsa a Juana. Sin mirar en la bolsa, ella selecciona al azar una manzana. b Cul es la probabilidad de que la manzana sea verde? La manzana es verde y Juana la devuelve a la bolsa. Le pasa la bolsa a Toms. Sin mirar en la bolsa, elige al azar dos manzanas. c Cul es la probabilidad de que ambas sean rojas? Captulo 3

95

PREGUNTA TIPO EXAMEN 5 En un camino cuento 70 conejos, 42 son hembras, 34 no estn comiendo zanahorias y 23 son hembras que no estn comiendo zanahorias. Dibuje un diagrama de Venn y a partir de lo anterior, halle el nmero de conejos hembra que estn comiendo zanahorias.  Cul es la probabilidad de que un conejo sea macho y no est comiendo zanahorias? b Cul es la probabilidad de que un conejo sea hembra sabiendo que est comiendo zanahorias?  Resulta el hecho de ser hembra independiente de comer zanahorias? Justifque su respuesta.

ResuMeN del captulO 3 dfniion 



Un o es el resultado de un experimento. Un xrimno es el proceso por el cual obtenemos un resultado. Un xrimno orio es aquel en el cual existe incertidumbre acerca del suceso que pueda ocurrir. n( A ) La probabilidad terica de un suceso A es P( A ) = , n (U )





donde n(A) es el nmero de maneras en que el suceso A puede ocurrir y n(U) el nmero total de resultados posibles. Si la probabilidad de un suceso es P, en n experimentos se espera que el suceso ocurra n  P veces. Podemos emplear la recuencia relativa como una estimacin de la probabilidad. A mayor nmero de experimentos, mayor aproximacin de la recuencia relativa a la probabilidad.

digrm  vnn 

U

A

Como suceso, A, puede ocurrir o no ocurrir. P(A) + P (A ) = 1 P (A ) = 1  P (A) U A



Para dos sucesos A y B cualesquiera, P (A  B) = P (A) + P (B)  P (A  B)

B P(A)

P(B)

P(A  B) A 

En general, si A y B son sucesos mutuamente excluyentes, P (A  B) = 0 y P(A  B) = P(A) + P(B)

B P(A)

U

P(B)

Contina en la pgina siguiente.

96

Probabilidad

diagramas el esacio muestral y regla el roucto 



Dos sucesos A y B son independientes si el hecho de que ocurra uno de ellos no afecta la probabilidad de que ocurra el otro. Cuando dos sucesos A y B son independientes, P(A  B) = P(A)  P(B). Esta regla se conoce como la regla el roucto ara sucesos ineenientes.

probabilia conicionaa 

Si A y B son sucesos independientes, P ( A | B ) = P(A), P ( B | A ) = P (B), P ( A | B ) = P (A), P ( B | A ) = P (B)



En general, para dos sucesos A y B, la probabilidad de que ocurra A sabiendo que B ha ocurrido puede hallarse usando: P ( A| B ) =

P( A  B ) P(B)

Captulo 3

97

tora del conoimino

probabilidad: usos y abusos Los problemas de probabilidades en los textos de matemticas usualmente involucran escoger bolillas de colores de una bolsa. Qu utilidad puede tener esto en la vida real? Pero la probabilidad tiene algunos usos sorprendentes, como encontrar respuestas a preguntas delicadas. La gente tambin hace mal uso o malinterpreta la probabilidad al confar ms en su intuicin que en hacer nmeros. 

Por qu la gente compra billetes de lotera cuando las posibilidades de ganar son tan pequeas?

prgunas dliadas Si u sted d ise a u n a en cu esta q u e con tien e u n a pregu n ta d el ica d a, l a gen te con testar con sin cerid ad ? U n a d irectora q u iere sa ber cu n tos d e l os 600 estu d ia n tes d e su escu el a h a n h ech o tra m pa en los ex m en es. N o est in teresad a en sa ber si u n a person a en pa rticu la r h izo tra m pa , sin o q u e q u iere h a cer sola m en te u n a estim a cin globa l pa ra tod a la escu ela . Si enva u n cu estion a rio a ca d a estu d ia n te con la pregu n ta :

?

98

el roso d rsusas alaorizado Esto se ba sa en q u e ca d a estu d ia n te sa be q u e l a d irectora d escon oce si est respon d ien d o u n a pregu n ta d elica d a o u n a total m en te in ofen siva . Ca d a estu d ia n te l a n za al aire u n a m on ed a d os veces sin m ostra r a n a d ie su resu l tad o.

No

es poco proba ble q u e obten ga respu esta s p sincera s. El diagrama de rbol ayuda a estimar p, la fraccin de estudiantes que han hecho trampa en un examen.

Cul es la probabilidad de ganar la lotera nacional?

Lu ego sigu e la s in stru ccion es en esta ca rtill a.

Ha h ech o alguna vez tram pa en los exm enes del colegio? S



P(C) =

1 2

1 P(X) = 2

Cara: conteste la pregunta 1

Respuesta  no

1 2

Cara Responde  no

1 2

Ceca Responde  s

Ceca: conteste la pregunta 2 P(X) =

Teora del Conocimiento: probabilidad, usos y abusos

2 Si obtuvo una ceca en su primer lanzamiento, conteste la pregunta: Obtuvo una ceca en el segundo lanzamiento? con sinceridad.

Respuesta P(S a P1)  s 1 p =  p= 2 2

1p P(C) =

1 Si obtuvo una cara en su primer lanzamiento, conteste la pregunta: Ha hecho trampa alguna vez en un examen? con sinceridad.

Probabilidad de contestar s = P(S a P1) + P(S a P2) p 1 = + 2 4 P(S a P2) 1 1 1  = = 2 2 4

p 2

1 4 p 2 p 2

+

= = =

p =

220 600 220 600 7 60 7 30



1 4

El nmero estimado de estudiantes que han hecho trampa en un examen es: 7 600  30 = 1 40 Siempre y cuando todos digan la verdad cuando responden a sus preguntas, este mtodo estima el nmero de estudiantes que alguna vez han hecho trampa en un examen.

Responderan los estudiantes con sinceridad esta pregunta?





Existe algn problema en este mtodo para descubrir la verdad?

Probabilidad e intuicin: el problema del cumpleaos 

En una clase de 23 personas, cul es la probabilidad de que dos personas cumplan aos el mismo da? Qu piensa? El 1 %? Quizs el 5%?O incluso tanto como el 1 0%?

Hagamos nmeros: 23 estudiantes signifca que hay 253 pares posibles de estudiantes. 23  22 2

= 253

La probabilidad de que dos personas cumplan aos en distintos das es: 364 365

El par (Timoteo, Juana) es exactamente el mismo que el par (Juana, Timoteo), por lo tanto el total se reduce a la mitad.

= 0,997260

Por lo tanto, para 253 pares, la probabilidad de que las dos personas de cada par cumplan aos en das dierentes es: 364

Hay 23 elecciones para la primer persona en un par y luego 22 elecciones para la segunda.

( 365 )

253

= 0,4995

As, la probabilidad de que, para 253 pares, dos personas de un par cumplan aos el mismo da es:

Haciendo caso omiso de los aos bisiestos, hay 364 das en los que los cumpleaos de las dos personas del par no coinciden.

1  0,4995 = 0,5005, o 50,05%. Poco ms de la mitad!

  

Teora del Conocimiento

Suponga que 220 estudiantes contestan s sobre un total de 600 encuestados.

Confa en la intuicin como ayuda para tomar decisiones? Existen otras reas de las matemticas donde la intuicin lo ha defraudado? Y en otras reas de conocimiento?

Captulo 3

99

4

Funciones exponenciales y logartmicas

ObjetivOs del captulO: 1.2

Estudio elemental de potencias y logaritmos Propiedades de las potencias; propiedades de los logaritmos; cambio de base 2.6 Funciones exponenciales y sus grfcos: x  a x, a > 0, x  e x Funciones logartimicas y sus grfcos: x a l o g a x, x > 0 , x a ln x, x > 0

Relacin entre estas unciones: a x = e x lna ; log a a x = x; alog a x = x, x > 0 2.7 Resolucin de ecuaciones de la orma a x = b, a x = b y 2.8 Aplicaciones de las habilidades reeridas a la representacin grfca de unciones y de resolucin de ecuaciones en situaciones de la vida real

an  omnzr Qu necesitamos saber

Comprobemos nuestras habilidades

1

1

Evaluar potencias sencillas con exponente positivo Por ejemplo: Evaluar 3 4 3 4 = 3  3  3  3 = 8

7

4

3

Por ejemplo: Evaluar   5  2

Evale: 

3    4 



0,001 3



1    2 

3

23 2  2  2 8 2  =   = 3 = 5 5  5  5 1 25 5   2

3

Convertir nmeros a la orma exponencial Por ejemplo: Hallar n sabiendo que 2 n =  28  28 = 27, entonces n = 7 Transormar grfcos Por ejemplo: Dado el grfco de y = x2, dibujar aproximadamente el grfco de y = x2 + 3 y y = x2 + 3 8 6 4 2 3 2 1 0

100

y = x2 1

2

3 x

Funciones exponenciales y logartmicas

2

Indique el valor de n en estas ecuaciones:  3 n = 243 7 n = 343  5 n = 625 3 Transorme el grfco de y = x2 para obtener el grfco de y = (x  2) 2. 

Usuarios de Facebook

y 600 Unidades (en millones)

500 400 300 200 100 Dic-09

Dic-08

Dic-07

Dic-06

Dic-05

0 Dic-04

Facebook, la gigantesca red social, celebr su sexto aniversario en ebrero de 201 0 con ms de 450 millones de usuarios. Haba crecido desde los 1 00 millones registrados en agosto de 2008, y experimentado un ascenso enorme desde diciembre de 2004, cuando solo tena 1 milln de miembros.

x

Fechas

(Fuente: http://www.acebook.com/press/ino. php?timeline)

Este grfco muestra cmo el nmero de usuarios de Facebook se ha incrementado con el tiempo.

Un crecimiento de este tipo (ciertamente hasta ebrero de 201 0) es un crecimiento exponencial. Si se sigue el recorrido de la curva, su pendiente aumenta a la par de la tasa de crecimiento. La tasa de crecimiento en todo momento es aproximadamente proporcional al nmero de usuarios en ese momento.

Captulo 4

1 01

Un buen modelo para representar los datos sobre los usuarios de Facebook es: n = 1 ,32  1 ,1 x donde n es el nmero de usuarios en millones y x es el nmero de meses despus de diciembre de 2004. Podramos usar la frmula n = 1 ,32  1 ,1 x para estimar el nmero de usuarios en una fecha determinada o hallar la fecha en la que se alcanz un nmero determinado de usuarios. Encontraremos muchos otros ejemplos de crecimiento exponencial y su opuesto, el decrecmento exponencal (donde la pendiente decrece a medida que seguimos el recorrido de la curva).

Podemos tambin usar el modelo para hacer predicciones acerca del futuro crecimiento de Facebook. Este procedimiento se conoce como extrapolacin . Qu problemas surgen cuando se usan modelos de este tipo para estimar crecimientos a futuro? Qu otros factores necesitamos considerar?

investgacn: qu sucede al plegar el papel Malcolm Gladwell propuso este problema en su libro The Tipping Point.

Imagine que toma un gran pedazo de papel y lo dobla una y otra vez hasta haberlo doblado 50 veces. Qu altura cree que alcanzara el plegado? 1

Doble una hoja de papel (de cualquier tamao) por la mitad tantas veces como sea posible. 2 Complete la siguiente tabla para mostrar el nmero de dobleces, el nmero de capas y el espesor del plegado formado. Puede suponer que cada hoja de papel tiene un espesor de aproximadamente 0,1 mm, que equivale a 1  10 7 km. Se muestran a continuacin los primeros registros: Nmero de dobleces 0 1 2 3 4 5 6 7 8

Nmero de capas 1 2 4 8 16

Espesor (km)

Tan alto como

1  10 7 2  10 7 4  10 7

Una hoja de papel Una tarjeta de crdito

9 3 Cuntos dobleces necesitara hacer para que el plegado resulte de las

siguientes maneras? a Tan alto como una mesa b Apenas ms alto que un hombre 4 Qu altura tendr el plegado despus de 50 dobleces?

102

Funciones exponenciales y logartmicas

Probablemente consiga hacer cerca de seis o siete dobleces antes de que no pueda plegar ms el papel. En el sptimo doblez el plegado ya estar tan grueso como este libro, despus de 1 3 el plegado tendr aproximadamente la altura de una mesa y despus de 1 5 ser mucho ms alto que un hombre. Despus de 1 7 tendr una altura de aproximadamente 1 3 m: la altura de una casa de dos pisos!

Depende este proceso del tamao del papel con el que se comienza? Intntelo

Despus de 50 dobleces el papel tendra una altura aproximada de 1 1 3 millones de km. Esto es aproximadamente la distancia entre la Tierra y el Sol. El plegado de papel es un ejemplo de crecimiento exponencial. Los nmeros de capas de papel orman una rogresin . Los trminos de la progresin son una uncin del nmero de dobleces, n, donde f (n) = 2n. f (n) es una funcin de crecimiento exonencial. En este captulo aprenderemos ms acerca de unciones exponenciales y sus inversas, llamadas funciones logartmicas.

4.1 potencias La potencia es una orma abreviada de representar una multiplicacin reiterada de un nmero por s mismo. La expresin 3 5 , por ejemplo, representa 3  3  3  3  3. El 3 en esta expresin es la base y el 5 es el exonente. Tambin podemos usar una variable como base, por ejemplo: x4 = x  x  x  x

Es ms sencillo escribir x4 que xxxx

Propiedades de las potencias Multiplicacin Simplifcar x5  x3 x5  x3 = (x  x  x  x  x)  (x  x  x) = x x x x x x x x = x8

Quitar los parntesis

Por lo tanto, x5  x3 = x(5 + 3) = x8  am  an = am+ n

Observe que en x5  x3 las dos bases son iguales. No podemos simplifcar x5  y3 , por ejemplo, usando esta propiedad. x5  y3 = x5 y3

Captulo 4

1 03

Divisin

Simplifcar los actores comunes

Simplifcar x5  x3 x5  x3 =

x x x x x x  x  x  x x = = x  x = x2 x x x x x x

Por lo tanto, x5  x3 = x(53) = x2

Observe que no podemos simplifcar x5  y3 pues las bases no son iguales.

 am  an = am  n Potencia de potencia Simplifcar(x 5 ) 3 (x 5 ) 3 = (x  x  x  x  x)  (x  x  x  x  x)  (x  x  x  x  x) = x x x x x x x x x x x x x x x = x1 5 Por lo tanto, = (x 5 ) 3 = x 53 = x1 5  (am ) n = amn

ejmplo  Desarrolle (2xy 2) 3 . Rspusta

(2xy 2) 3 = (2xy 2)  (2xy 2)  (2xy 2)

No es necesario mostrar este paso intermedio. Elevar al cubo cada uno de los factores del parntesis

= 23  x 3  (y 2) 3 = 8x 3 y 6

No olvide que debe elevar a la potencia indicada los nmeros que fguran en el parntesis del mismo modo que lo hace con los actores de x e y.

Ejercitacin 4A 1

Simplifque: x3  x2 b 3p2  2p4q2

a 2

1 2 ( xy 2 )  ( x 2 y ) 2 3

d

c

2a7  (2a) 3

d

c

3(x3 y2) 2

d

Simplifque: a

3

c

x5  x2

b

2a7  2a3

Simplifque: a (x3 ) 4 b (3t 2 ) 3

La potencia cero Simplifcar x2  x2 x2 = x2  2 = x0 x2 x2 Pero 2 = 1 x

En consecuencia, x 0 = 1 104

Funciones exponenciales y logartmicas

(x3 y2)(xy4) 4x 3 y 5 2 xy 2

(y 2) 3

Recuerde multiplicar las constantes (los nmeros) entre s, adems de las variables.

 a0 = 1 Toda base distinta de cero elevada a la potencia 0 es igual a 1. Exponentes racionales 1 2

Simplifcar x  x

1 2

1 2

1 2

1 2

+

De orma similar, x  x  x = x y

3

Usando la propidad 1 , x  x  x

1 2

 x1

Pero x  x = ( x ) 2 = x Por lo tanto,

x =x

1 2

1 3

y por lo tanto 

n

a =a

3

x=x

1 3

1 3

x  3 x  3 x = ( 3 x )3 = x

1 3

Puede suponer siempre que a es positiva, cuando considere las races pares de a.

1 n

Races Simplifcar

3

Cualquier base no nula a la potencia cero es igual a 1. Cero a cualquier potencia es cero. Entonces, qu sucede con 0 0? Cmo deberamos decidir a qu es igual? Quin debera decidir?

x6

Dado que x 6 = x2  x2  x2 3

x6 =

3

x2  x2  x2

= x2 6

=x

3

1 n

m



n

am = ( n a ) = ( am ) = a n

m

ejmplo 2 Evaluar signifca calcular el valor de .

Sin usar la calculadora, evale: 1

a

36 2

b

 1     27 

4 3

Rspustas 1

1

a

Dado que

36 = 36 = 6 2

n

a = an

4

b

4 1    1 3   1 3    =     27    27  

n

Dado que ( a m ) = a mn

4

 1  = 3   27  4

1  =  3  1 = 81

Captulo 4

1 05

Exponentes negativos Simplifcar x 3  x 5 x3  x5 =

x x x x  x  x  x x

1 xx 1 = 2 x

=

Tambin x 3  x 5 = x 35 = x 2 En consecuencia, x  2 =  a n =

1 x2

1 an

Necesita aprender las propiedades de las potencias pues no estn en el cuadernillo de frmulas.

ejmplo 3 Sin usar la calculadora, evale: 2 3  a 6 2 b   4  Rspustas

6 2 =

a

1 1 = 6 2 36

Usar a  n =

1 an

2

b

1 1 3  =   = 2 9   4  3       1 6   4  =



16 9

Ejercitacin 4B 1

Evale: 1

1

a

92

2

b

1 25 3



 8 3    27 

b

32



 64     1 25 

c

64 3

c

81

2 2

d 2

8

3

Evale: a 2 3

2

d

106

(2 )

 3

1

5



4 3



2 3

Funciones exponenciales y logartmicas



4

ejmplo 4 Simplifque estas expresiones: a

b

5d 0



3

c

6x 3  (2x 2) 3

Rspustas a 5d 0 = 5  1 = 5

=

6

x 9 =

8

(

27 a 6 = 2 7 a 6 = 3a

 9v 2     1 6w 4 

d



1 2

)

3

m

n

Usar ( a ) = a

3

mn

Usar am  an = am  n

4 x9

1

1 3

c

d

Aqu  simplifque signifca que se deben escribir estas expresiones usando solamente exponentes positivos.

1 2

Usar a0 = 1

6 x 3  (2 x 2 )3 = 6 x 3  8 x 6

b

27a 6

 9v 2   4   1 6w 

1

( )

= 27 3 a 6

Usar n a m = ( a m )

3

1 n

2

1

 1 6w 4  2 =   9v 2  =

1 4 2

(1 6 w )

1 2 2

(9 v )

Usar a  n = =

1 an

4w 2 3v

Ejercitacin 4C 1

Simplifque estas expresiones exponenciales: a

2

( 64 a ) 6

1 2

4

b

16x

8

c

q q q 1 , 5

d

 27c 3    3  d 



1

2

3



8 p  4 p 

Simplifque estas expresiones:

3 2

En este ejercicio, asegrese de que sus respuestas tengan exponentes positivos.

3

a

a 2 a 1  b3 b2

b

x 2 y 2 25 x 4

c

6 x 2 y 2 3

8 x 3

4. Rsolucin d cuacions xponncials Las ecuaciones exponenciales son ecuaciones en las que la incgnita es un exponente; por ejemplo: 5 x = 25. y x Se puede escribir una ecuacin exponencial en la orma a = b .

ejmplo 5 Resuelva 3 x 1 = 3 5 x. Rspusta

3 x 1 = 3 5x x  1 = 5x 1 = 4 x x=

Ambos miembros de la ecuacin son potencias de 3, por lo tanto, los dos exponentes son iguales.

1 4

Captulo 4

1 07

ejmplo 6 Resuelva 3 3 x+1 = 81. Rspusta

3 3 x + 1 = 81 Escribir 81 como potencia de 3 Igualar los exponentes

33 x +1 = 3 4 3x +1 = 4 3x = 3 x =1

Ejercitacin 4D



1

Resuelva en x estas ecuaciones. a 2 x = 32 b 3 12 x = 243 2

2

2 x

c

3x



71  x =

= 27

d

50 51 52 53 54

5 2x1  25 = 0

1 49

Resuelva en x estas ecuaciones. a 3 x3 = 3 2 x b 5 3 x = 25 x2 1 9x

9(3 3 x + 1 ) =

c

d

2 23 x = 4x1

PREGUNTA TIPO EXAMEN 3

Resuelva 8 ( 2 x +1 ) = 2 2 x .

ejmplo 7 3

Resuelva 3 x



= 24.

5

Rspusta

Dividir ambos miembros por 3

3

3x



= 24

5 3



x

5

Multiplicar el exponente por su

=8

a b

(x ) 3 5

5

3

=8

 3 5

x = ( 23 ) x = 2 5 1 x=

 3

Reemplazar 8 por 23

32

108

b a

recproco, dado que    = 1

5

Funciones exponenciales y logartmicas

Para este ejemplo y muchas de las siguientes preguntas, necesita aprender estas potencias. 20 = 1 30 = 1 1 31 = 3 2 =2 2 2 =4 32 = 9 3 3 = 27 23 = 8 4 2 = 16 3 4 = 81 5 2 = 32 3 5 = 243 6 2 = 64 2 7 = 128 = = = = =

1 5 25 125 625

70 71 72 73

= = = =

1 7 49 343

Ejercitacin 4E 1

Resuelva en x estas ecuaciones. b x5  32 = 0 2x4 = 162 c x 2 = 16 d 8x 3 = (8x) 3 2 e 27x = 81x f 27x 3 = 64 a

2

3

Resuelva en x estas ecuaciones. 1 3

1

5 x = 1 25

=4

d

x3 =16

1 8

f

3x

x =2

c

x

e

x



1 4



3 5

2

b

a

2

=



1 4

=6

Resuelva en x estas ecuaciones. a c

-

x

3 2

= 125

2 3

3 x = 192

b d

6x 9x



2 3

2  3

= 216 = 16

4. Funcones exponencales Grfcos y propiedades de las unciones exponenciales Tambien podemos escribir f : x  a x

 Una funcn exponencal es una uncin de la orma f (x) = a x donde a es un nmero real positivo (o sea, a > 0) y a   .

investgacn: grfcos de unciones exponenciales 1 Usando una calculadora de pantalla grfca (en adelante, CPG), dibuje aproximadamente los grfcos de estas unciones exponenciales. Piense acerca del dominio, recorrido, intersecciones con los ejes, asntotas, orma y comportamiento de cada grfco cuando x tiende a infnito.

a y = 3x b y = 5x c y = 10 x

Observe los tres grfcos. Qu puede deducir acerca de la uncin exponencial, f(x) = a x, cuando a > 1?

Cualquiera sea el valor positivo de a en la ormula f(x) = ax, el grfco siempre tendr la misma orma.

y f(x) = e x

f(x) = ax es una funcn de crecmento exponencal. 1 0

(0, 1) x

Captulo 4

1 09

El domno de f (x) = ax es el conjunto de todos los nmeros reales. El recorrdo es el conjunto de todos los nmeros reales positivos. La curva no corta al eje x. El grfco se aproxima cada vez ms al eje x a medida que el valor de x decrece. La interseccin con el eje y es 1 . Los puntos  1, a , (0,1 ) y (1 ,a) pertenecen al grfco de la  uncin f.  El grfco es siempre creciente. 1

Ahora veamos los grfcos de las unciones exponenciales cuando la base a est comprendida entre 0 y 1 .

investgacn: grfcos de unciones exponenciales 2 Usando una CPG, dibuje aproximadamente los grfcos de estas unciones exponenciales. y = 3  x es equivalente a

a y = 3 x b y = 5 x c y = 10 x

1

y=

Qu puede deducir acerca de la uncin exponencial, f (x) = a , cuando a > 1, a partir de estos tres grfcos? x

Cualquiera sea el valor positivo de a, el grfco de f (x) = ax tendr siempre esta orma. y

f(x) = a x

1

0

(0, 1)

x

f (x) = a  x es una funcn de decrecmento exponencal.

11 0

Funciones exponenciales y logartmicas

3

x

o y = 

1  3 

x

,

por lo tanto, la base est comprendida entre 0 y 1.

La funcin exponencial en base e Una de las bases que hallaremos con frecuencia en funciones exponenciales es la base e.

investgacn: inters compuesto Cuando se invierte dinero se ganan intereses. nt

r Usamos la rmula A = C  1 +  para calcular intereses, donde A es el 

n

monto fnal (capital + intereses), C es el capital, r es la tasa de inters expresada en decimales, n es el nmero de capitalizaciones en el ao y t el nmero total de aos. Qu ocurre cuando las capitalizaciones se hacen ms y ms recuentes? 1

Una persona invierte 1 libra esterlina a una tasa de inters del 100% durante 1 ao. a Cunto dinero tendr si se capitaliza solo una vez en el ao? P = 1, r = 100% =  

100 100

= 1, n = 1, t = 1

1

A = C 1 +

1  =2 1

(dado que r = 1 y n = 1)

b Cunto dinero tendr si se capitaliza trimestralmente?

C = 1, r = 100% = 1, n = 4, t = 1  

A=1+

4

1  = 2,44140625 4

2 Copie y complete la siguiente tabla:

Capitalizacin

Clculo 1   1+  1 

1

Anual

1   1+  2 

2

Semestral

1   1+  4 

4

Trimestral

Monto fnal (escriba todas las ciras que lee en la calculadora) 2 2,25 2,44 140 625

Mensual Semanal Diaria Horaria Cada minuto Cada segundo

Captulo 4

1 11

El monto nal crece a medida que el intervalo entre capitalizaciones decrece, pero los incrementos resultan cada vez menores y el monto nal converge hacia un valor. A este valor se lo denomina e. El valor de e es aproximadamente 2,71 828 y es un nmero excepcionalmente importante en matemticas, puesto que tiene aplicaciones en varias de sus ramas. e es un nmero irraional.

Un nmero irracional no puede ser expresado como raccin ni como decimal exacto.

con las matemtias, a menudo se obtienen resultados hermosos y sorprendentes. He aqu un ejemplo. Con una aproximacin de 20 ciras decimales, e = 2,718 281 828 459 045 235 36 No hay un patrn obvio en esta secuencia de nmeros. Sin embargo, observe esta serie que le da un valor aproximado de e: e = 1+

1 1

+

1

1

+

21

1

+

3 21

4 321

1

+

+ ...

5  4 3 2 1

Podra preguntarse acerca de la conexin entre esta serie y el valor de e. [La pgina de Teora del Conocimiento al nal de este captulo contiene refexiones y discusiones sobre la belleza en las matemticas.]

 El grco de la uncin exponencial f (x) = ex es un grco de crecimiento exponencial y el grco de f (x) = e x es un grco de decrecimiento exponencial. y

y f(x) = e

1 0

x

lmite de  1 + 1 

y = ex



1

(0, 1) x

0

(0, 1) x

Transformaciones de funciones exponenciales Ahora que conocemos la orma general del grco de una uncin exponencial, podemos usar las reglas de transormaciones de grcos del captulo 1 para ayudarnos a dibujar aproximadamente otras unciones exponenciales.

11 2

Funciones exponenciales y logartmicas

Jacobo Bernoulli (1654-1705) ue uno de los grandes matemticos de la amilia Bernoulli, de origen suizo. Cuando investigaba el problema del inters compuesto, trat de hallar el n

n

cuando n tiende a infnito. Us el teorema del binomio para demostrar que el lmite deba estar comprendido entre 2 y 3. Este proceso ue considerado como la primera aproximacin hallada para e.

  (x)  k es una traslacin vertical de  (x), k unidades hacia arriba o hacia abajo.

y = f(x) + 2

y = f(x)

 (x  k) es una traslacin horizontal de  (x), k unidades hacia la izquierda o hacia la derecha.

y = f(x + 2)

y = f(x)

 (x) es la simetra de  (x) respecto del eje x.

y = f(x) y = f(x)

 (x) es la simetra de  (x) respecto del eje y.

y = f(x)

p(x) es un estiramiento vertical de  (x), de razn p.

y = f(x)

y = 2f(x) y = f(x)

 (qx) es un estiramiento

y = f(2x)

1 q

horizontal de  (x), de razn .

y = f(x)

ejmplo 8 El diagrama muestra el grfco de  (x) = 2 x. En los mismos ejes, dibuje aproximadamente el grfco de g (x) = 2x2.

y 8 6 4 2 3

y 8 6

2

2

1 0

1

2

3 x

 1  0, .  4

4

3

1 0

Hallamos g(x) mediante una traslacin de (x) de 2 unidades hacia la derecha. El grfco de g(x) pasar por el punto

Rspusta

(0, 1)

2

1 2 1 (0, 4 )

3

4

5 x

Ambos grfcos se aproximan ms y ms al eje x a medida que el valor de x decrece. Captulo 4

1 13

Ejercitacin 4F 1

Dado el grfco de f (x), y sin usar la calculadora, dibuje aproximadamente el grfco de g (x) en los mismos ejes, mostrando claramente las intersecciones con los ejes y las asntotas. a f(x) = 2 x g (x) = 2 x + 3 b f(x) = 3 x g (x) = 3 x y

y

3

2

8

8

6

6

4

4

2

2

1 0 2

1

2

3 x

3

2

4

4

6

6

8

8

10

1   2 

1   2 

g( x ) =  

d

y

8

8

6

6

4

4

2

2

1 0 2

1

2

3 x

3

2

1 0 2

4

4

6

6

8

8

10

10 x

e

1   3 

1   3 

1   e 

x

f( x) = 

g( x ) = 2 

f

2

11 4

2

2

x

3 x

1   e 

2x

g( x ) = 

y

8

8

6

6

4

4

2

2

1 0 2

1

f( x ) = 

y

3

3 x

f(x) = ex g (x) = e x+1

y

2

2

10

f( x) = 

3

1

x

x

c

1 0 2

1

2

3 x

3

2

1 0 2

4

4

6

6

8

8

10

10

1

2

3 x

Indique el dominio y el recorrido de cada uncin g (x) de la pregunta 1. Funciones exponenciales y logartmicas

4.4 proidads d los logaritmos Observe esta igualdad:

23 = 8

2 es la base y 3 es el exponente o el logaritmo. Por lo tanto, decimos que el logaritmo en base 2 de 8 es 3 y lo escribimos como log28 = 3. En general, siempre que a > 0:

Log es la abreviatura de logaritmo.

 Si b = ax entonces loga b = x o, si b es a a la potencia x, entonces x es el logaritmo de b en base a. La posibilidad de cambiar de una orma a la otra permite simplifcar los enunciados reeridos a logaritmos.

ejmlo 9 Evale log5 125. Respuesta x = log5 125 5 x = 125 5x = 53 x= 3

Escribir x = expresin logartmica Cambiar la ecuacin a la forma exponencial Igualar los exponentes

ejmlo 0 Evale log 64 4. Respuesta x = log64 4 64x = 4 (43 ) x = 41 3x = 1

Cambiar a la forma exponencial Escribir 64 como 43 Igualar los exponentes y despejar x

x= 1

3



Ejercitacin 4G 1

2

Evale estas expresiones: a log 7 49 b log 5 5

c

log264

d

log 9 1

c

log 3 2 8

d

log 3 3 4

Evale estas expresiones: a

log 3

1 81

b

log 5 1 25

1 2

Captulo 4

1 15

ejmplo  Evale log4 4. Respuesta x = log4 4

Escribir x = expresin logartmica Cambiar la ecuacin a la forma exponencial Igualar los exponentes (4 = 41)

4x = 4 x= 1

En general, para cualquier valor de a, el logaritmo en base a de a es  .  loga a = 

ejmplo 2 Evale log5 1. Respuesta x = log5 1

Escribir la ecuacin en forma exponencial

5 =1 x= 0 x

Cualquier nmero (distinto de 0) elevado a la 0 es igual a  , por lo tanto, el logaritmo de  en cualquier base es 0.  loga  = 0



Ejercitacin 4H 1

Evale: a

log6 6

b

log10 10

c

logn n

d

log8 1



log2 1



logb 1

Algunas expresiones logartmicas estn indfnidas, lo cual signifca que no se las puede evaluar. 1

Qu ocurre cuando intenta evaluar la siguiente expresin? log3 (27) Primero escriba la ecuacin. x = log3 (27) Luego, reescriba la ecuacin en orma exponencial. x

3 = 27 Esta ecuacin no tiene solucin. Solamente podemos hallar logaritmos de nmeros positivos.  loga b no est defnido para cualquier base a si b es negativo. 11 6

Funciones exponenciales y logartmicas

2

Cul es el valor de log3 0? Primero escriba una ecuacin. x = log3 0 Reescrbala en orma exponencial. x

3 =0 Esta ecuacin no tiene solucin.  loga 0 no est defnido. El ejemplo  3 ilustra otra propiedad de los logaritmos.

ejmplo 3 Evale log2 2 5 . Respuesta x = log2 2 5 2x = 25 x= 5

Escribir la ecuacin logartmica Reescribir en forma exponencial Resolver

 loga(an) = n

Resumen de las propiedades de los logaritmos Dado a > 0 Si x = ab entonces loga x = b  loga a =   loga  = 0  loga b no est defnido si b es negativo  loga 0 no est defnido  loga (an) = n 

ejmplo 4 Halle el valor de x si log2 x = 5. Respuesta log2 x = 5 25 = x x = 32

Reescribir en forma exponencial Resolver

Ejercitacin 4I 1

2

a

Escriba estas ecuaciones en orma logartmica: x = 29 b x = 35 c x = 10 4

d

x = ab

Escriba estas ecuaciones en orma exponencial: a x = log2 8 b x = log3 27 c x = log101000

d

x = logab Captulo 4

1 17

Resuelva estas ecuaciones: a log4 x = 3 b log3 x = 4

3

d

logx 6 =

1 2

e

c

logx 64 = 2

log2 x = 5

4.5 Funcones logartmcas investgacn: funciones inversas Qu clase de uncin invertira una uncin exponencial tal como f : x a 2 x ? a

Copie y complete esta tabla de valores para la uncin y = 2 x. x

3

2

1

0

1

2

3

1

y

8

f : x  2 x signifca que f es la uncin que a cada x le asigna 2 x.

La funcn nversa de y = 2 x har que se intercambien los valores de x e y. b Copie y complete esta tabla de valores para la inversa de la

uncin y = 2 x. 1

x

8

y

3

c Usando estas tablas de valores, dibuje aproximadamente el grfco

de y = 2 x y el de su inversa en el mismo sistema de ejes coordenados. d Qu observa?

Ahora hallaremos la rmula del grfco de la uncin inversa.  Para hallar algebraicamente la uncin nversa , intercambie x e y y reordene la expresin, despejando y. Para obtener la uncin inversa, f 1 , de f : x  2 x :

f : x  2 x es otra manera de escribir y = 2 x.

x

Escriba y = 2 y x= 2 log2 x = ylog2 2 Por lo tanto, y = log2 x

Intercambiar x e y Aplicar logaritmos en base 2 en ambos miembros Dado que log2 2 = 1

Por lo tanto, f 1 : x  log 2 x  En general, si f : x  a x entonces f 1 : x  log a x. y = loga x es la inversa de y = ax.

11 8

Funciones exponenciales y logartmicas

y es el exponente al que hay que elevar a la base 2 para obtener x.

El grfco de y = loga x es la simetra del grfco de y = ax respecto de la recta y = x.

y

y = ax y=x

(0,1) 0

y = log a x (1,0)

x

 Una uncin logartmica, f ( x) = loga x, tiene las siguientes propiedades:  El dominio es el conjunto de todos los nmeros reales positivos.  El recorrido es el conjunto de todos los nmeros reales.  La curva no corta al eje y.  El eje y es una asntota vertical.  Corta al eje x en  .  El grfco es siempre creciente.

Se atribuye a John Napier (15501617) muchos de los primeros trabajos sobre logaritmos. Dira que invent los logaritmos o que los descubri?

Transformaciones de funciones logartmicas Una vez que conocemos la orma general del grfco de una uncin logartmica, podemos usar lo que aprendimos en el captulo  para examinar los grfcos de otras unciones logartmicas.

Ejercitacin 4J 1

Dada la uncin f ( x) = loga x, describa la transormacin requerida en cada caso para obtener el grfco de g(x). a g ( x) = loga (x)  2 b g ( x) = loga (x  2) c g ( x) = 2loga x

y y = log a x 0

x

(1, 0)

PREGUNTA TIPO EXAMEN Dibuje aproximadamente el grfco de y = 2log(x   ) sin usar la calculadora. Incluya en su grfco las intersecciones con los dos ejes (si existen).

2

3

Dibuje aproximadamente el grfco de y = log2(x +  ) + 2 y rotule claramente cualquier asntota en el grfco.

4

El dibujo muestra el grfco de y = loga x. Halle el valor de a.

y (27, 3)

0 (1, 0)

5

Cuando la base no est indicada, los logaritmos son en base 10.

x

Sabiendo que f (x) = log3 x, halle f 1(2). Captulo 4

1 19

Logaritmos en base 1 0 y = log 0 x es la inversa de y =  0 x. Este es un logaritmo importante puesto que es uno de los nicos que podemos hallar con la calculadora. A los logaritmos en base  0 se los conoce como logaritmos decimales, y podemos omitir la base y solo escribir log x en lugar de log 0 x. La calculadora tiene una tecla para log.

ejmplo 5 Use la calculadora para evaluar log 2 con una aproximacin de 3 ciras decimales. Respuesta log 2 = 0,301 con una aproximacin de 3 ciras decimales.

*Logarithms

1.1

0.30103

log10(2)

1/99

Logaritmos naturales El logaritmo natural, loge x (log en base e), es el otro logaritmo importante. Escribimos ln x en lugar de loge x. La calculadora tiene una tecla para ln.

ejmplo 6 Use la calculadora para evaluar ln4 .

Asegrese de cerrar el parntesis despus del nmero 4; de lo contrario, la calculadora

ln2

Respuesta ln 2

*Logarithms

1.1 In(4)

ln 4

= 2

2.

In(2)

1/99

Ejercitacin 4K 1

120

Use la calculadora para evaluar estas expresiones con una aproximacin de 3 ciras signifcativas (cs). a log 3 b 4log 2 c ln 5 d

log 4 log 5



ln 4 ln 5

g

(log 3) 2

h

log 3 2

Funciones exponenciales y logartmicas

f

log

4 5

hallar ln 

4  .  In2 

 y = ln x es la inversa de la uncin exponencial y = ex y

y= ex y=x

(0, 1) 0

y = In x (1, 0)

x

Esta relacin nos da tres resultados importantes:  loga(ax) = x y aloga x = x ln(e x) = x y e lnx = x log ( 0 x) = x y ( 0 log x) = x

ejmplo 17 Resuelva estas ecuaciones dando su respuesta con una aproximacin de 3 ciras signifcativas. a e x = 2,3 b ln x = 1,5 c 10 x = 0,75 d log x = 3 Respuestas a e x = 2,3 ln(e x) = ln2,3 x = 0,833 (3 cs) b ln x = 1,5 e lnx = e 1,5 x = 0,223 (3 cs) 10 x = 0,75 log(10x) = log 0,75 x = 0,125 (3 cs) d log x = 3 10 log x = 10 3 x = 1000

Escribir en forma de logaritmo natural Usar ln (e x) = x y evaluar Usar (e lnx) = x y evaluar

c

Usar log(10 x) = x y evaluar

Usar 10 log x = x y evaluar

ejmplo 18 Dada f(x) =

1 2x e , halle f1(x). 3

Respuesta 1 3

f (x) = e2x 1 2x e 3 1 x = e2y 3

y=

Intercambiar x e y { Contina en la pgina siguiente.

Captulo 4

1 21

3x = e2y ln(3x) = ln e2y ln(3x) = 2y

Usar ln(ex) = x

1 ln(3x) = y 2

Despejar y 1

Entonces, f 1(x) = 2 ln(3x), x > 0

Ejercitacin 4L 1

2

Resuelva estas ecuaciones dando las respuestas con 3 ciras signifcativas donde sea necesario. a

ex = 1,53

d

ex =

10 x = 2,33

Halle x si: log x = 2

5ex = 0,15

c

ex = 1

b

log x = 1

1 2

c

10 x = 1

d

10 x =

c

log x = 0

d

log x = 5,1

Sin usar la calculadora, evale estas expresiones: a

5

e

10 x = 0,6

b

a 4

ex = 0,003

Resuelva estas ecuaciones dando las respuestas con 3 ciras signifcativas donde sea necesario. a

3

1 2

b

5

lo g 5 1 2

b

5

lo g 5 4

c

e ln

3

d

eln4

Sin usar la calculadora, evale estas expresiones: a

ln e5

b

log 100

c

ln1

d

ln e

e

ln 13 e

PREGUNTAS TIPO EXAMEN 6 Dada f (x) = e2 x1 , halle f 1 (x) e indique su dominio. 7

Dada f (x) = e0,25 x, 2  x  4, indique el dominio y el recorrido de f 1.

8

Dada f (x) = ln 3x, x > 0, halle f1(x).

9

Dadas f (x) = ln(x  1), x > 1, y g(x) = 2ex, halle (g  f )(x).

. proiedades de los logaritmos Podemos deducir las propiedades de los logaritmos a partir de las ecuaciones exponenciales x = a p e y = a q. x = a p e y = aq

122

entonces

p = log a x y q = log a y

y por lo tanto

xy = a p  a q = a p + q log a xy = p + q

Funciones exponenciales y logartmicas

log a xy = log a x + log a y

y de aqu

Esta expresin resulta verdadera para logaritmos en cualquier base, en consecuencia:  log x + log y = log xy

Observe que log xy  log x  log y y que l o g

x y



log x lo g y

.

x = a p  aq = a p q y x = pq y x y de aqu log a = log a x  log a y y

por lo tanto log a

 log x  log y = log

x y

x n = ( a p ) n = a pn por lo tanto log a x n = pn y de aqu log a x n = n log a x  n log x = log x n Podemos incluso deducir el siguiente resultado clave a partir de la tercera propiedad.  log a

1 = log a x 1 = 1  log a x =  log a x x

Todas estas propiedades se cumplen para logaritmos en cualquier base y por lo tanto las bases pueden omitirse. Necesita aprender estas propiedades puesto que no aparecen en el cuadernilo de frmulas de Matemticas NM del IB.

ejmplo 19 Exprese log 2 5 + 1 log 2 36  log 2 1 0 como un nico logaritmo. 2

Respuesta 1

log 2 5 + log 2 36  log 2 1 0 2

1

= log 2 5 + log 2 36 2  log 2 1 0 = log 2 5 + log 2 6  log 2 1 0

n log a x = log a x n

= log 2 30  log 2 1 0

log x + log y = log xy

= log 2 3

log x  log y = log

x y

Captulo 4

1 23

Ejercitacin 4M 1

2

3

Exprese como un nico logaritmo: a log 5 + log 6 b log 24  log 2 d

1 log 49 2

g

log x + 2 log y  3 log xy



3log x  2log y

c

2log 8  4log 2

f

log x  log y  log z

Exprese como un nico logaritmo:

3   5 

a

log 2 6 + 2log 2 3  log 2 4

b log 3 40  log 3 1 5 + 2 log 3 

c

log a 4 + 2log a 3  2 log a 6

d

2ln3  ln18



3ln2  2

f

4log 2 x +

1 3

log 2 y  5 log 2 z

Halle el valor de cada expresin (cada respuesta es un nmero entero). a log 6 2 + log 6 1 8 b log2 24  log2 3 c log 8 2 + log 8 3 2 d

2log 6 3 + log 6 24



1 2

log 3 6  log 1 5 + 2log 5

ejmplo 0 Sabiendo que a = log5 x, b = log5 y y c = log5 z, 

x 

escriba log 5  2 3  en funcin de a, b y c. y z  Respuesta  x log 5  2 3 y z

 2 3  = log 5 x  log 5 y z  1

= log 5 x 2  (log 5 y 2 + log 5 z 3 ) = =

1 2 1 2

log 5 x  2log 5 y  3log 5 z a  2b  3 c

Ejercitacin 4N PREGUNTA TIPO EXAMEN 1 Sabiendo que p = log2 a y q = log2 b, halle expresiones en funcin de p y/o q para: b a log2 ab b log2 a3 c log 2 a

d

124

log 2 b



log 2

b

2

a

Funciones exponenciales y logartmicas

2

Sean x = log P, y = log Q y z = log R. 3

 P2  Exprese log  en funcin de x, y y z. 2   QR  3

Escriba estas expresiones en la forma a + blog x donde a y b son nmeros enteros a

log10x

log

b

1 00 x2

c

log 1 0x

d

log

1 10 x

PREGUNTAS TIPO EXAMEN 4

Sabiendo que y  log 3

27 a 81

, escriba y en la forma y = pa + q

donde p y q son nmeros enteros a determinar. 5 6

Escriba log 3

1 27 x

2

en la forma a + blog3 x donde a y b son enteros. x

Muestre que e xln2 = 2 .

Observe que la pregunta 6 de la ejercitacin 4N ilustra el resultado general ax = exlna

Cambio de base A veces se necesita cambiar la base de un logaritmo y existe una frmula que permite hacerlo. Suponga que quiere evaluar logba utilizando logaritmos en otra base, c. Si y = logb a entonces a = b y. Comenzamos con a = b y. Aplicamos logaritmos en base c en ambos miembros: logc a = logc by logc a = ylogc b y=

log c a log c b

Pero y = logb a por lo tanto  Frmula del cambio de base: log b a =

log c a log c b

Esta frmula se puede usar para evaluar un logaritmo o para cambiar un logaritmo a cualquier base.

Esta frmula resulta til puesto que la mayora de las calculadoras solo calculan logaritmos en base 10 o e.

Captulo 4

1 25

ejmplo  Use la rmula del cambio de base para evaluar log 49 con 3 ciras signifcativas. Respuesta log 4 9 =

log9

Cambiar el logaritmo a la base 10

log4

Usar la calculadora para evaluar la respuesta

= 1 , 58 (3 cs )

ejmplo  logx 3 = a y logx 6 = b. Halle log3 6 en uncin de a y b. Respuesta

log 3 6 = =

log x 6 log x 3

Usar la frmula del cambio de base

b a

Ejercitacin 4O 1

2

Use la rmula del cambio de base para evaluar estas expresiones con una aproximacin de 3 ciras signifcativas. 1   7 

a

log27

b

log 5 

d

log7e



log3 7 7

c

log3 (0,7)

Sabiendo que log3 x = y, exprese log 9 x en uncin de x e y.

PREGUNTA TIPO EXAMEN 3 Si loga 2 = x y loga 6 = y, halle en uncin de x e y: a log2 6 b log6 2 c log2 36 d loga 24  log6 12 f log2 3 4

Use su CPG para dibujar aproximadamente estos grfcos. a y = log4 x b y = 2log5 x

5

Sabiendo que log4 a = b, exprese y en uncin de b. a y = log4 a2 b y = log16 a c

126

y = log a 2 1 4

Funciones exponenciales y logartmicas

d

y = log

1 16

a

Para logaritmos en base 10, el 10 se omite.

4.7 ecuacions xponncials y logartmicas Resolucin de ecuaciones exponenciales Podemos usar logaritmos para resolver ecuaciones exponenciales. En la seccin 4.2 resolvimos ecuaciones exponenciales donde las bases eran iguales o podan igualarse. En esta seccin aprenderemos cmo resolver ecuaciones exponenciales en las que las bases son nmeros distintos.

ejmplo 23 x

Resuelva 5 = 9. Respuesta x

5 =9 x log 5 = log 9 x log 5 = log 9 x=

Aplicar logaritmos en ambos miembros Ahora bajar el exponente Reordenar la ecuacin

log9 log5

x = 1,3652 x = 1,37 (3 cs)

Elija logaritmos en base 10 o logaritmos naturales para poder usar su CPG.

Controlar si la pregunta requiere una respuesta exacta

ejmplo 24 x+ 1 Resuelva 6 x = 3 dando su respuesta en la forma ln a ln b donde a y b son enteros.

Respuesta 6x = 3 x + 1 ln 6 x = ln 3 x + 1 x ln 6 = ( x + 1 ) ln 3 x ln 6 = x ln 3 + ln 3 x ln 6  x ln 3 = ln 3 x (ln 6  ln 3 ) = ln 3 x= x=

Aplicar ln en ambos miembros Bajar los exponentes Aplicar propiedad distributiva para eliminar los parntesis Agrupar los trminos en x Factorizar y dividir

ln 3 (ln 6  ln 3 ) ln 3 ln 2

lna  lnb = ln

a b

Captulo 4

1 27

ejmplo 5 Resuelva e3 x = 5 1 x, dando su respuesta en orma exacta. Respuesta Usar logaritmos naturales dado que ln e x = x Bajar los exponentes Aplicar propiedad distributiva para eliminar los parntesis Agrupar los trminos en x Factorizar y dividir

e3 x = 5 1  x ln e3 x = ln 5 1  x 3x = (1 x) ln 5 3x = ln 5  x ln 5 3x + x ln 5 = ln 5 x (3 + ln 5) = ln 5 ln5

x=

Deje su respuesta como un logaritmo, dado que se exige una respuesta exacta.

(3 + ln5)

Ejercitacin 4P 1

Resuelva estas ecuaciones para hallar el valor de x con 3 ciras signifcativas. a

x

2 =5

b

x

3 = 50

x

5 = 17

c

7

d

7 1     9 3 

f

2

2 x1

= 3,2  10 3

ex = 6

g

= 16

x 5

x



x+1

e = 0,1 1

h

PREGUNTA TIPO EXAMEN Resuelva estas ecuaciones para hallar el valor de x con 3 ciras signifcativas.

2

x x+2

=5

x 3

a

2



e3 x 1 = 3 x

b

3 2 x = 42x 5

c

3 3 = 5 x +3

f

4e3 x 2 = 244

g

35e

0,001 x

d

x

7 = (0,5) x 1

= 95

ejmplo 6 Resuelva 3  6 a, b  Z.

x 1

= 2  3 x+ 2, dando su respuesta en la orma x =

ln a ln b

, donde

Respuesta x1

ln (3  6 ) = ln (2  3 x + 2) x+2 ln 3 + ln (6x  1) = ln 2 + ln(3 ) ln 3 + (x  1) ln 6 = ln 2 + (x + 2)ln 3 ln 3 + x ln 6  ln 6 = ln 2 + x ln 3 + 2ln 3 x ln 6  xln 3 = ln 2 + 2ln 3 + ln 6  ln 3 x(ln 6  ln 3) = ln 2 + ln 9 + ln 6  ln 3  1 08   ln36 x=  3 = ln2 6  ln   3 

Aplicar logaritmo natural en ambos miembros

Agrupar los trminos en x y actorizar

ln 

128

Funciones exponenciales y logartmicas

Este resultado no puede simplifcarse ms. ln a ln b

 ln

a b

Ejercitacin 4Q PREGUNTAS TIPO EXAMEN Resuelva estas ecuaciones para hallar el valor de x con 3 ciras signifcativas. x 2x  1 x x x a 7  3 = 25 b 4 3 =5 c 3 2 =4 5 x1 x x1 x+ 2 2x  5 2 =3 7  34 =2 7

1

2

Resuelva estas ecuaciones para hallar el valor de x en la orma x = x+ 2

ln a , donde a, b  . ln b x3

2 =5 x+ 1 c 5 3 = 2  6 3  2x a

3

Resuelva en x: 2x x a e  e = 0

x

x

53 =87 x x 1 x+ 2  (6 )(2 ) = 2(4 ) b

b

x

x

4  3(2 ) = 0

Resolucin de ecuaciones logartmicas Las ecuaciones logartmicas que presentan logaritmos de igual base en ambos miembros de la igualdad pueden resolverse igualando los argumntos de los logaritmos.

El argumento es la expresin que fgura entre parntesis.

ejmplo 7 Resuelva log a ( x 2 ) = log a (3 x + 4 ) . Respuesta loga(x 2) = loga(3x + 4) x2 = 3x + 4 2 x  3x  4 = 0 (x  4)(x + 1) = 0 x = 4 o x = 1

Igualar los argumentos Resolver la ecuacin cuadrtica

verifcar que ambas soluciones son posibles. Debemos recordar que no es posible calcular el logaritmo de un nmero negativo. Reemplazando x = 4 y x =  en ambos miembros de la ecuacin original se obtienen argumentos positivos; por ende, en este caso, ambas soluciones son posibles.

dbmos

ejmplo 8 Resuelva ln(1 2  x ) = ln x + ln( x  5 ) . Respuesta ln(12  x) = ln x + ln(x  5) ln(12  x) = ln x (x  5) ln(12  x) = ln(x 2  5x) 12  x = x 2  5x 2 x  4x  2 = 0 (x  6)(x + 2) = 0 x = 6 o x = 2

Igualar argumentos Resolver la ecuacin cuadrtica { Contina en la pgina siguiente.

Captulo 4

1 29

Cuando x = 6, ambos argumentos, x y (x  5), son positivos. Cuando x = 2, los argumentos, x y (x  5), son negativos. Por lo tanto, x = 6 es la nica solucin.

Verifcar las soluciones

Ejercitacin 4R PREGUNTA TIPO EXAMEN Resuelva en x las siguientes ecuaciones: a log 2 ( x ) = log 2 ( 6 x  1 ) b ln( x + 1 ) = ln( 3  x )

1

c

log 5 (2  x )  log 5 (6 x  1)



log 3 x  log 3 ( x  1 ) = log 3 ( x + 1 )

d

log 2 ( 2 x + 3 ) + log 2 ( x  1 ) = log 2 ( x + 1 )

Algunas veces resulta ms sencillo resolver una ecuacin logartmica usando exponentes.

ejmplo 29 Resuelva log5 (x  2) = 3. Respuesta log5 (2x  1) = 3 5 3 = 2x  1 125 = 2x  1 2x = 126 x = 63

Dado que logax = b  x = ab

ejmplo 30 Resuelva log2 x + log2(x  2) = 3. Respuesta lo g 2 x + lo g 2 ( x  2 ) = 3 lo g 2 [ x ( x  2 )] = 3 2

lo g 2 ( x  2 x ) = 3 x 2  2 x = 23

Se usa la primera propiedad de la pgina 123. Dado que loga x = b  x = a b

x2  2x = 8 x2  2x  8 = 0 ( x + 2 )( x  4 ) = 0 x = 2 o x = 4 x = 4 es la nica so l uci n

130

x y (x  2) deben ser nmeros positivos.

Funciones exponenciales y logartmicas

Ejercitacin 4S 1

Resuelva en x estas ecuaciones: b log3 (2x  1) = 3 log9(x  2) = 2

 2

c

log (3  x ) = 5 1 2

Resuelva en x estas ecuaciones:  log 6 ( x  5 ) + log 6 x = 2 b log2(4x  8)  log2 (x  5) = 4 c

log7(2x  3)  log7(4x  5) = 0

PREGUNTAS TIPO EXAMEN Sabiendo que log 2 x + log 2 ( 2 x + 7 ) = log 2 A. halle una expresin para A en uncin de x.

3

A partir de lo anterior o de cualquier otro modo, resuelva log2 x + log2(2x + 7) = 2 4 5

Resuelva log 4 x + log x 4 = 2. 2

Resuelva log 2 x + log 4 x = 9.

.8 aplicciones de ls funciones exponenciles y logrtmics Crecimiento y decrecimiento exponencial

Aqu primero necesitar cambiar la base.

Material de ampliacin disponible en lnea: Hoja de ejercicios 4: Reduccin a la forma lineal

Los modelos de crecimiento y decrecimiento exponencial emplean unciones exponenciales. He aqu algunas aplicaciones de los modelos de crecimiento y decrecimiento exponencial. Biologa  Crecimiento de micro-organismos en un cultivo  Poblacin humana  Propagacin de un virus Fsica  Cadena de reacciones nucleares  Transerencia de calor Podra elegir alguno Economa de estos temas  Los diagramas piramidales como base de Tecnologa inormtica su exploracin  Potencia de procesamiento matemtica. de computadores  Crecimiento del trfco de Internet

Dos reas de las matemticas que aparentan estar totalmente desconectadas podran ser las de exponenciales y probabilidades. Pero, examine este problema. Un grupo de personas salen a almorzar y luego toman sus sombreros al azar. Cul es la probabilidad de que ninguno tome su propio sombrero? Puede demostrarse que esta probabilidad 1 es . e (Podra explorar esto una vez que haya profundizado el tema de las probabilidades.) Puede pensar en otras reas de conocimiento que estn asombrosamente conectadas?

Captulo 4

1 31

Crecimiento exponencial ejmplo 31 La poblacin de una ciudad, A(t), en miles, se modeliza mediante la funcin A(t ) = 30e (0,02) t donde t es el nmero de aos despus de 2010. Use este modelo para responder a estas preguntas: a Cul era la poblacin de la ciudad en el ao 2010? b Cul es el porcentaje de crecimiento de la poblacin de la ciudad cada ao? c Cul ser la poblacin en el ao 2020? d Cundo la poblacin de la ciudad alcanzar los 60 000 habitantes? Respuestas A(0) = 30e0 = 30 La poblacin en 2010 era de 30 000. b A(1) = 30e (0,02) a

30 e ( 0 , 0 2 )

= e( 0 , 02 )

30

t es el nmero de aos despus de 2010, por lo tanto, t = 0

Escribir una ecuacin para la poblacin un ao despus de 2010 Calcular el factor de multiplicacin

= 1,0202... La poblacin crece un 2,02% cada ao. c

A (1 0 ) = 3 0e

( 0 , 0 2 ) 1 0

En 2020, t = 10.

= 3 6, 642 . . .

En 2020 la poblacin ser de 36 642. d

60 = 30 e ( 0 , 0 2 ) t 2=e

( 0 ,02 ) t

ln 2 = ln e ( 0 , 0 2 ) t ln 2 = 0, 02 t t=

ln 2

Cuando la poblacin es de 60 000, A(t) = 60. Aplicar logaritmos en ambos miembros Bajar el exponente Resolver en t

0, 02

t = 34, 657 ... La poblacin ser de 60 000 despus de 34,66 aos, esto es, durante 2044.

132

Funciones exponenciales y logartmicas

Decrecimiento exponencial ejmplo 3 Una cazuela se saca del horno y se enfra de acuerdo con el modelo de frmula T(t) = 85e0,1t, donde t es el tiempo en minutos y T es la temperatura en C. a Cul es la temperatura de la cazuela cuando se la saca del horno? b Si la temperatura de la habitacin es de 25C, cunto tiempo transcurrir hasta que la cazuela alcance temperatura ambiente? Rspustas

T(0) = 85e0 = 85 La temperatura de la cazuela es de 85C.

a

b

8 5e  0 ,1 t = 2 5 e  0 ,1 t =

25

=

85

ln e  0 ,1 t = ln

5

T = 25 si la temperatura de la habitacin es de 25C.

17 5 17

 0 ,1 t = ln

Cuando la cazuela se saca del horno, t = 0.

Aplicar logaritmos en ambos miembros

5 17

=  1 ,223 7 7. . . t = 1 2, 2 (3 cs )

Resolver en t

La cazuela alcanzar temperatura ambiente luego de 12,2 minutos.

Ejercitacin 4T 1

Se invierte una suma de 450 euros al 3,2% de inters compuesto, con capitalizacin anual. a Escriba la frmula para el valor de la inversin luego de n aos. b Despus de cuntos aos el valor superar por primera vez los 600 euros?

2

En las primeras etapas de una epidemia de sarampin haba 100 personas infectadas y cada da el nmero aument un 10%. a Cunta gente result infectada en los siguientes espacios de tiempo? Despus de dos das i ii Despus de una semana b Cunto tiempo pasar hasta que se infecten 250 personas?

Captulo 4

1 33

3

Los incendios orestales se propagan de manera exponencial. Por cada hora de uego sin control, el rea de la quema se incrementa en un 15%. Si se han quemado  0 hectreas y el uego se sale de control, en cunto tiempo se estarn quemando  0 000 hectreas?

4

Jos realiz un salto en paracadas para fnes de caridad. Despus de saltar del avin, su velocidad en el tiempo t segundos despus de que su paracadas se abri era v m s 1, donde v = 9 + 29e0,063 t

5

a

Dibuje aproximadamente el grfco de v en uncin de t.

b

Cul era la velocidad de Jos en el instante en el que se abri el paracadas?

c

Cul ue su menor velocidad posible si se lanz desde una altura muy grande?

d

Si aterriz despus de 45 segundos, cul ue la velocidad a la que aterriz?

e

Cunto tiempo le llev alcanzar la mitad de la velocidad que tena cuando se abri el paracadas?

Dos variables x y n estn relacionadas por la rmula x = a  nb. Cuando n = 2, x = 32 y cuando n = 3, x =  08. Halle los valores de a y b.

El gelogo estadounidense Charles Richter defni la magnitud de un terremoto como: I M = log S M es la magnitud (en decimales), I es la intensidad del terremoto (medida por la amplitud en mm, tomada por un sismgrao ubicado a 100 km del epicentro del terremoto) y S es la intensidad de un terremoto  estndar . La intensidad de un terremoto estndar (S) es 0,001 milmetros. Explore en proundidad la escala Richter.

134

Funciones exponenciales y logartmicas

Intensidad

Escala de Richter Suave 04,3 Moderado 4,34,8 Intermedio 4,86,2 Fuerte 6,27,3 Catastrfco 7,3+

ejrcicio d rvisin 1

Evale log5 287.

2

Resuelva estas ecuaciones: x1 2 x+3 3x a 3 b 5 =3 = 90

3

c

2  3 2x = 5 x

Resuelva estas ecuaciones: a

log x + log (3 x  1 3 ) = 1

b

log5 (x + 6)  log5 (x + 2) = log5 x

c

ln (4x  7) = 2

d

log 2 ( x 2 ) = (log 2 x ) 2



log1 0 x = 4 log x 1 0

PREGUNTAS TIPO EXAMEN Las unciones fy g estn defnidas como

4

f(x) = e2x para todo x real 3 2

g ( x ) = ln x para x > 0 Indique el recorrido de f (x) y g(x). Explique por qu ambas unciones tienen inversa. Halle las expresiones de las unciones inversas f  (x) y g (x). c Halle una expresin para ( f  g)(x) y ( g  f )(x). d Resuelva la ecuacin ( f  g)(x) = ( g  f )(x). a

b

5



El nmero, n, de insectos en una colonia, est dado por n = 4000e0,08 t donde t es el nmero de das despus de comenzada la observacin. a Halle la poblacin de la colonia despus de 50 das. b Cunto tiempo transcurre antes de que la poblacin se duplique?

ejrcicio d rvisin x+2

1

 1  Resuelva 25 4 x  3 =    1 25 

2

Halle el valor exacto de x que satisace la ecuacin (5 x +1 )(7 x ) = 3 2 x +1 .

.

D su respuesta en la orma 3

log a donde a, b  Z. log b 1    log 3 3 . 3 

Halle el valor exacto de 2 log 3 27 + log 3 

PREGUNTA TIPO EXAMEN 1 3

4

Escriba 4 log 3 x + log 3 y  5 log 3 z como un nico logaritmo.

5

Resuelva: a

log 3 ( 4 x  1 ) = 3

b

log x +1 ( x  1 ) = 2

c

log 3 ( 2 log x ) = 4

d

log 2 ( x  2 ) + log ( x  1 ) = 3 1 2

Captulo 4

1 35

PREGUNTA TIPO EXAMEN 6 Si m = logx4 y n = logx8, halle expresiones en uncin de m y n para:  log48 b logx2  logx16  log8 32 7

La uncin fest defnida para todos los valores reales de x por f (x) = e3(x1) + 2. Describa una serie de transormaciones por las cuales el grfco de y = f (x) pueda obtenerse a partir del grfco de y = ex.

PREGUNTAS TIPO EXAMEN Halle la uncin inversa f 1(x) si:  f (x) = 3e 2x b f (x) =  0 3 x

8 9



f (x) = log2 (4x)

Resuelva este sistema de ecuaciones en a y b, sabiendo que a y b son nmeros reales positivos. loga64 + logab = 8; logba =

1 2

ResuMeN del captulO 4 poni Propiedades de las potencias    

am  an = am +n am  an = am n ( a m ) n = a mn a 0 =1 1



n

a =a n



n

(a m ) = ( n a ) = ( a m ) n =



an =

1

m

(a ) 1 n

m

m

= an

1 an

Funciones exponenciales 

  

Una fnin xonni es una uncin de la orma f (x) = a x donde a es un nmero real positivo (esto es, a > 0) y a   . El ominio de la uncin exponencial es el conjunto de todos los nmeros reales. El rorrio es el conjunto de todos los nmeros reales positivos. El grfco de la uncin exponencial f(x) = ex es un grfco de crecimiento exponencial y el grfco de f(x) = e x es un grfco de decrecimiento exponencial. y

y f(x) = e x

1 0

y = ex

1

(0, 1) x

0

(0, 1) x

Contina en la pgina siguiente.

136

Funciones exponenciales y logartmicas

logaritmos Propiedades de los logaritmos  

Si b  a x entonces log a b  x log a a = 1



log a 1 = 0



log a b no est defnido para cualquier base a si b es negativo



log a 0 no est defnido log a ( a n ) = n



Funciones logartmicas 

Para hallar algebraicamente la inversa de una uncin, intercambie x e y y luego reordene, despejando la variable y.



En general, si f : x  a x entonces f 1 : x  log a x. y = loga x es la inversa de y = ax. y = ln x es la inversa de la uncin exponencial y = ex.



y

y = ex y=x

(0, 1) 0



y = In x (1, 0)

x

loga(ax) = x y aloga x = x ln(e x) = x y e lnx = x log (1 0 x) = x y (1 0 log x) = x

Propiedades de los logaritmos 

log x + log y = log xy



log x  log y = log



log x n = n log x



log

1

x y

  log x

x

Frmula del cambio de base 

log b a =

log c a log c b

Captulo 4

1 37

teora del conoimieno

la beeza de a maemia Las matemticas ms admirables tienen la simplicidad y la inevitabilidad de la poesa y la msica supremas, erigidas en el lmite entre todo lo maravilloso de la ciencia y toda la belleza del arte. Herbert Westren Turnbull (1 8851 961 ) Los grandes matemticos, 1 929

souione bea y enia Alguna vez se ha sentido satisecho(a) por la orma en que haba resuelto un problema matemtico? Fue simplemente por haber llegado a la respuesta correcta o porque su resolucin le pareci efciente, elegante y hasta hermosa? Considere estas dos resoluciones del problema:

Desarrolle y simplifque (x + y + z)(x  y  z) souin 1

souin 2

(x + y + z)(x  y  z)

(x + y + z)(x  y  z)

= x  xy  xz + xy  y  yz + xz  yz  z

= (x + (y + z))(x  (y + z))

= x  2yz  y  z

= x  (y + z)

= x  (y + 2yz + z) = x  (y + z)



Cul solucin es mejor?

Ambas arrojan el mismo resultado, por lo tanto ninguna es mejor que la otra. Sin embargo, la solucin 2 es ms elegante y demuestra ms perspicacia que la solucin 1 .

138

Teora del Conocimiento: la belleza de las matemticas

La matemtica pura es, a su manera, la poesa de las ideas lgicas. Albert Einstein (1 8791 955)

La esencia de las matemticas no es complicar las cosas simples sino simplifcar las cosas complicadas. Stan Gudder, catedrtico de matemticas, Universidad de Denver

He aqu algunas ecuaciones famosas Ecuacin de Einstein: E = mc2 Segunda ley de Newton: F = ma Ley de Boyle: V =

k p

Ecuacin de Schrdinger: H  = E  Ley de la gravitacin universal de Newton: F = G

m1 m2 r2





No resulta asombroso que podamos describir el universo usando ecuaciones matemticas como estas? Estas ecuaciones han ayudado a poner al hombre en la Luna y traerlo de vuelta, desarrollar la Internet inalmbrica y comprender el funcionamiento del cuerpo humano. 



Estas son solo cinco ecuaciones: cul es su favorita? Es posible que las matemticas y la ciencia descubran un da la teora que explique absolutamente todo?  Una teora que explique y relacione completamente todos los fenmenos fsicos conocidos?  Una teora que tenga el poder de predecir el resultado de cualquier experimento que pudiera llevarse a cabo?

No sera algo maravilloso?

tora del conocimino

ecuacions hrmosas y sncillas: modlos dl mundo

 La ley de Boyle explica por qu las burbujas aumentan su tamao a medida que ascienden a la superfcie del agua.

Captulo 4

1 39

Funciones racionales

5 ObjetivOs del captulO: 2.5

1

La uncin recproca x  , x  0, su grfco y la propiedad de coincidir x con su inversa La uncin racional x 

ax + b y su grfco cx + d

Asntotas horizontales y verticales Aplicacin de las unciones racionales a situaciones de la vida real

an  omnzr Qu necesitamos saber

Comprobemos nuestras habilidades

1

1

Desarrolle los polinomios:  4(2x  5)  6(2x  3)  x (x2 + 7)  x2(x + 3) 2  x (x  3)(x + 8)

2

Dibuje las siguientes rectas en un grfco: x = 0, y = 0, x = 3, x = 2, y = 3, y = 4

3

Describa las trasormaciones que le asignan a y = x3 las unciones A y B y escriba las rmulas correspondientes.

Desarrollar polinomios Por ejemplo: Multiplicar los polinomios 2(3x  1 ) y 3x (x2 + 1 ): 2(3x  1 ) = 6x + 2 3x (x2 + 1 ) = 3x3 + 3x

2

Representar grfcamente y rectas horizontales y x=2 4 y=3 verticales 2 y=x Por ejemplo: y = x Representar las rectas 3 2 1 0 1 2 3 2 y = x, y = x, x = 2, y = 2 x = 1 4 x = 1 , y = 3 e y y = 2 en el mismo grfco 12 3 Reconocer y describir 10 una traslacin 8 Por ejemplo: Hallar las 6 traslaciones que le asignan 4 a y = x2 las unciones A y B B 2 y=x 2 A es un desplazamiento A horizontal de 2 unidades 4 2 0 2 4 a la derecha. La uncin correspondiente a A es y = (x  2)2. B es un desplazamiento vertical de 3 unidades hacia arriba. La uncin correspondiente a B es y = x2 + 3. 140

Funciones racionales

x

6 x

y 8 6

y = x3 B

4 2 1 0 2

1

2

3

4 6 8

A

4

5

x

Sabemos cuntas canciones, lbumes, sonidos y dems podemos almacenar en un reproductor de MP3? La respuesta depende de la calidad del ajuste de grabacin y la duracin de la cancin. Sin embargo, una idea aproximada es que un reproductor MP3 de 4GB puede almacenar 1 36 horas o 81 60 minutos de msica. Esto es aproximadamente: 2000 canciones de 4 minutos cada una o 1 000 canciones de 8 minutos o 4000 canciones de 2 minutos Esto nos lleva a la uncin s =

8000 donde s es el nmero de m

canciones y m es el nmero de minutos que dura una cancin. k x

Esta uncin es un ejemplo de la uncin recproca f ( x ) = . En este captulo utilizaremos la calculadora de pantalla grfca (en adelante, CPG) para explorar los grfcos de las unciones recprocas y otras unciones racionales que pueden ser expresadas en la orma f( x ) =

ax + b . Examinaremos asntotas horizontales y verticales para cx + d

los grfcos de esas unciones y el dominio y recorrido de las mismas.

Captulo 5

1 41

5.1 Rcprocos invstgacn: representacin grfca de productos Pensemos en pares de nmeros cuyo producto es 24. Por ejemplo: 24 x 1, 12 x 2, 8 x 3, 3 x 8. Copie la tabla y aada ms pares de nmeros. 24 1

x y

12 2

8 3

3 8

Muestre esos pares como coordenadas en un grfco con 0  x  24 y 0  y  24. Ahora haga lo mismo con nmeros negativos (p.ej., 12  2) y mustrelos en el grfco tambin. Explique lo que observa acerca de:  El valor de x cuando y se hace ms grande  El valor de y cuando x se hace ms grande  El comportamiento extremo de su grfco

Se denomina comportamnto xtrmo a la apariencia de un grfco a medida que se lo contina en ambas direcciones.

 El recproco de un nmero es 1 dividido por el nmero.

El nmero cero no tiene recproco ya que

Por ejemplo, el recproco de 2 es 1 . 2

El recproco de una fraccin resulta ser la fraccin invertida. 4 4 3 Por ejemplo, el recproco de 3 es 1  = 1  = .

1 no est defnido. 0

Qu le muestra su CPG para 1  0?

3 3 1 4 es . El recproco de es o 4. El recproco de 4 1 10 7 4

7

4

10

 Un nmero multiplicado por su recproco es igual a 1 . Por ejemplo: 3 

1 =1 3

ejmplo 1 1

Halle el recproco de 2 . 2

Rspusta 1 5

2

2

=

2

Escribir como una fraccin impropia 5

Recproco de = 2 5 2

Invertirla

Tambin podemos hallar recprocos de trminos algebraicos. 1

 El rcproco de x es x o x 1 y x 1  x =1 .

142

Funciones racionales

En una traduccin de 1570 de la obra de Euclides, Elementos (300 a.C.), se llam reciprocali a las cantidades geomtricas en proporcin inversa.

Verifcar:

5 2  =1 2 5

Al recproco de un nmero o de una variable tambin se lo llama " inverso multiplicativo" .

ejrctacn 5A Halle los recprocos: b 3 2

1

a

2 3



f

Halle los recprocos: a 6,5 b x

2

2x 9

f

g

3

d

1

3 g  2

h

3

c

7 11

3a 5

1 2

c

y

d

3x



4y

h

2 3d



d t

j

x +1 x 1

El trmino recproco ya se usaba por lo menos en la tercera edicin de la Encyclopaedia Britannica (1797), para describir dos nmeros cuyo producto es 1.

Multiplique cada cantidad por su recproco. Muestre su procedimiento. 3 2c a 6 b c

3

4

3d

Cul es el recproco del recproco de 4? b Cul es el recproco del recproco de x? 5 Para la uncin xy = 24: a Halle y cuando x vale:  48  480  4800 v 48 000 b Qu sucede con el valor de y cuando x se vuelve ms grande? c Alcanzar y alguna vez el valor 0? Explique. d Halle x cuando y vale:  48  480  4800 v 48 000  Qu sucede con el valor de x cuando y se vuelve ms grande? f Alcanzar x alguna vez el valor 0? Explique. 4 a

Esta es la uncin que se us en la investigacin de la pgina 142.

. la funcn rcproca La funcn rcproca es f(x) =

k donde k es una constante. x

Todos los grfcos de unciones recprocas tienen ormas similares.

invstgacn: grfcos de unciones recprocas Utilice la CPG para dibujar los grfcos de esta investigacin. 1

Obtenga el grfco de las siguientes unciones:

a

f ( x) =

1 x

2 x

c

h ( x) =

3 x

2 1 b g( x ) = c x x

h ( x) =

3 x

b g( x) =

Qu eecto produce cambiar el valor del numerador? 2 Obtenga el grfco de las siguientes unciones:

a

f ( x) =

Qu eecto produce cambiar el signo del numerador? 3 a

4 x

Copie y complete esta tabla para f( x) = : x f (x)

0,25

0,4

0,5

1

2

4

8

10

16

b Qu observa acerca de los valores de x y f(x) en la tabla? c Dibuje el grfco de la uncin. d Dibuje la recta y = x en el mismo grfco. 4  Dibuje la simetra de f( x) = con respecto a la recta y = x. x g Qu le dice esto acerca de la uncin inversa f 1 ?

f

Qu observa?

Captulo 5

1 43

Asntotas Los grfcos de las unciones f (x), g(x) y h(x) en la investigacin de la pgina 1 43 consisten todos en dos curvas. Las curvas se acercan a los ejes pero nunca los tocan ni los cortan. Los ejes son asntotas del grfco.  Si una curva se acerca ms y ms a una recta pero nunca la toca, esa recta se denomina asntota . y = b es una asntota de la uncin y = f (x)

La palabra asntota se deriva del griego asymptotos, que signifca  que no cae junto .

y = f(x)

A medida que x  , f ( x )  b. y= b

El smbolo  signifca tiende a.

 El grfco de cualquier uncin recproca de la orma y =

k tiene x

como asntota vertical a x = 0 y como asntota horizontal a y = 0.

La recta horizontal y = b es una asntota horizontal del grfco de y = f(x).

 El grfco de una uncin recproca se llama hiprbola . 









y El eje x es la asntota x = 0, el eje y, es 6 horizontal. k una asntota y= x El eje y es la asntota 4 y = x vertical. 2 El dominio y el recorrido son todos los nmeros 6 4 2 0 2 4 6 x 2 reales excepto el cero. y = 0, el eje x, es 4 Las dos ramas del grfco una asntota y= x son simtricas respecto de 6 la recta y = x. y = x e y = x son los ejes de simetra de esta uncin.

La uncin recproca tiene muchas aplicaciones en los algoritmos de la inormtica, particularmente los relacionados con la teora de nmeros. Quizs resulte interesante investigar estas aplicaciones con mayor proundidad.

En el captulo 1 vimos que para dibujar la inversa de la uncin f (x), se dibuja la simetra de frespecto de la recta y = x. Si realizamos 1

una simetra de f (x) = respecto de la recta y = x, obtenemos el x mismo grfco que para f (x).  La uncin recproca coincide con su inversa . La rmula de la uncin en la investigacin de la pgina 1 42 es xy = 24. Esta se puede escribir como y =

24 y es una uncin x

recproca. Tiene un grfco similar al que se mostr anteriormente.

144

Funciones racionales

La funcin recproca, 1 f(x) = , es uno de los x ejemplos ms simples de una uncin que coincide con su inversa.

El diseo del hotel Yas Viceroy de Abu Dhabi, por el estudio Asymptote Architecture, se basa en modelos matemticos.  Tambin cuenta con una pista de carreras de Frmula 1 que recorre el centro del hotel!



ejmplo 2 Para cada uncin: Escriba las ecuaciones de las asntotas horizontales y verticales.  Dibuje aproximadamente el grfco.  Indique el dominio y el recorrido. 

a

y=

9 x

b

y=

9 +2 x

Rspustas a Las asntotas son x = 0 e y = 0. y 20 15 10 5 6 4 2 0 5

2

4

6 x

10 15 20

Dominio x  R, x  0 Recorrido y  R, y  0 b Las asntotas son x = 0 e y = 2.

El grfco de (x) + 2 es igual al grfco de (x) pero desplazado 2 unidades en la direccin del eje y.

y 6 4 2 40 30 20 10 0 2

10 20 30 40 x

4 6

Dominio x  R, x  0 Recorrido y  R, y  2

Captulo 5

1 45

Ejercitacin 5B 1

Dibuje en distintos grcos: a

2

y=

5 x

b

y=

6 x

c

En el mismo grco muestre y =

xy = 8 12

e y=

1 2

x

.

x

1

3 a

Dibuje aproximadamente el grco de f ( x ) = y escriba sus x asntotas.

b

Dibuje aproximadamente el grco de f ( x ) = + 2 y escriba x sus asntotas.

4

Identique la asntota horizontal y la vertical de las siguientes unciones e indique el dominio y el recorrido de cada una. a

5

1

y=

20 x

b

y=

3 +2 x

c

y=

4 2 x

Es importante saber resolver las preguntas 3b, 4b y 4c tanto analticamente (por medios algebraicos y grfcos, aplicando transormaciones) como utilizando la CPG.

Puede resultar til dibujar los grfcos.

El Corryvreckan, el tercer remolino ms grande del mundo, est entre las islas de Jura y Scarba en las costas de Escocia. El fujo y refujo de las mareas desde el oeste sumado al rugido del maelstrom resultante pueden orse a 16 km de distancia. La velocidad del agua circundante aumenta a medida que 250

se acerca al centro y se modeliza mediante v = donde v d es la velocidad del agua en m s y d es la distancia desde el centro en metros. a Use su CPG para obtener el grco de la uncin para 0  d  50 y 0  v  200. b A qu distancia la velocidad es de 10 m s 1 ? c Cul es la velocidad del agua a 100 m del centro? 6

La uerza (F) necesaria para levantar un objeto de una masa de 1500 kg se modeliza mediante F =

1 500 donde l l

es la longitud de la palanca en metros y la uerza se mide en Newtons. Dibuje aproximadamente el grco para 0  l  6 y 0  F  5 000 . b Cunta uerza debera aplicar si tuviera una palanca de 2 m? c Qu longitud de palanca necesitara si pudiera ejercer las siguientes uerzas? i 1000 N ii 2000 N iii 3000 N a

146

Funciones racionales

[ Se cree que Arqumedes dijo: Dadme un punto de apoyo y mover el mundo.

N es el smbolo de la unidad de uerza, Newton.

5.3 Funcions racionals Hemos notado la manera en la que cambia el sonido de la sirena de un auto policial o de bomberos a medida que se acercan a nosotros? La frecuencia observada es superior a la frecuencia emitida durante el acercamiento, es idntica en el instante de paso y es menor durante el tiempo que se aleja. A esto se lo llama efecto Doppler. La frmula para la frecuencia observada de sonido cuando la fuente viaja hacia nosotros es: f1 =

La recuencia de sonido se mide en hercios (Hz), la cantidad de ondas por segundo.

330 f 330  v

donde:  330 es la velocidad del sonido en m s  .  f es la frecuencia observada en Hz.   f es la frecuencia emitida.  v es la velocidad de la fuente. f es una funcin racional. g( x )

 Una funcin racional es una funcin de la forma f ( x ) = h( x ) donde g y h son polinomios.

h(x) nunca puede ser cero, ya que un valor dividido por cero no est defnido.

En este curso g(x) y h(x) sern exclusivamente funciones lineales de la forma px + q, por lo que investigaremos funciones racionales f (x) donde: f( x) =

ax + b cx + d

ejmplo 3 Un vehculo se desplaza hacia nosotros a 96 km h1 y hace sonar su bocina con una frecuencia de 8000 Hz. Cul es la frecuencia del sonido que omos si la velocidad del sonido es 330 m s 1? Respuesta 96 km h1 = 96 000 m h1 96 000 m h1 =

96 000

= 26,7 m s 1

3600 Frecuencia o bservada = =

Convertir kilmetros por hora a metros por segundo 1 hora = 3600 segundos

Las unidades de velocidad deben ser las mismas en toda la ecuacin. Podemos redondear nmeros para obtener una respuesta aproximada.

330 f 330  v 3 3 0  8 0 00 3 3 0  2 6, 7

= 8 700 H z (3 cs)

Captulo 5

1 47

invstgacn: grfcos de unciones racionales 1 a

Utilice la CPG para obtener el grfco de y = 1 , y = x

1 1 ,y= 2 . , y= x+3 x2 x+3

b Copie y complete la tabla:

Funcin racional

c d  f

y=

1 x

y=

1 x2

y=

1 x+3

y=

2 x+3

Qu Qu Qu Qu

Asntota vertical

Asntota horizontal

Dominio

Recorrido

eecto produce el cambio en el denominador en la asntota vertical? observa acerca de las asntotas horizontales? observa acerca del dominio y el valor de la asntota vertical? observa acerca del recorrido y el valor de la asntota horizontal?

Funciones racionales de la forma y = Una uncin racional y =

k x b

k , donde k y b son constantes, tendr xb

una asntota vertical cuando el denominador sea igual a 0, es decir, cuando x = b. La asntota horizontal ser el eje x.

1 no est defnido. 0

Examinaremos esto ms detalladamente en la seccin de Teora del Conocimiento al fnal del captulo.

ejmplo 4 1 . a Identifque la asntota horizontal y la vertical de y = x 3 b Indique el dominio y el recorrido. c Dibuje aproximadamente la uncin con la ayuda de la CPG.

Respuestas El eje x ( y = 0) es la asntota horizontal. x = 3 es la asntota vertical.

a

Dado que el numerador nunca ser cero, el grfco de esta uncin nunca toca al eje x. El denominador es cero cuando x = 3. { Contina en la pgina siguiente.

148

Funciones racionales

Un tema interesante para explorar es el concepto de infnito.

b Dominio x  R, x  3

Recorrido y  R, y  0 c

y 8 6 1

4

y= x3

2 6 4 2 0 2

2

4

6

8

10 12 x

4 6 8

Ejercitacin 5C 1

Identifque la asntota horizontal y la vertical de las siguientes unciones e indique el dominio y el recorrido de cada una. a e

2

1 1 b y= x +1 x4 4 4 y= +2 f y = 2 x +1 x +1

y=

y=

d

y=

4 x +1

h

y=

2 2 x+3

Dibuje aproximadamente cada uncin con la ayuda de la CPG e indique el dominio y el recorrido de cada una. a

y=

4 x

b

1 d y= +3 x 7 1 2 g y= 4x +12 3

2 x 5 4 +2 g y= x 3 c

e h

y=

3 +1 x 3

6 y= 6 x+2 3 y= 2x

c f i

4 8 x+5 5 y = +4 x 4 y= +5 3x  6

La pregunta 1 deber resolverse usando el lgebra (a esto se le dice utilizar un mtodo analtico), aunque se puede usar la CPG para verifcar los resultados obtenidos.

y=

Utilice su CPG con la ventana de visualizacin correcta.

Cuando cae un rayo, la luz alcanza los ojos casi instantneamente. Pero el sonido del trueno viaja a aproximadamente 331 m s 1. Sin embargo, las ondas sonoras se ven aectadas por la temperatura del aire circundante. El tiempo que tarda el sonido en recorrer un kilmetro se modeliza mediante t =

1 000 0, 6 c + 3 3 1

donde t es el tiempo en segundos y c es la

temperatura en grados Celsius. a Dibuje aproximadamente el grfco de t para las temperaturas desde 20 C a 40 C. b Si estamos a un kilmetro de distancia y tardamos 3 segundos en or el trueno, cul es la temperatura del aire circundante? 4 a

En el mismo conjunto de ejes, dibuje aproximadamente y = x+ 2 e y =

1 . Compare los dos grfcos y establezca x+2

relaciones entre la uncin lineal y su recproca. 1 b Ahora haga lo mismo para y = x + 1 e y = . x +1

Captulo 5

1 49

Funciones racionales de la forma y =

ax + b cx + b

ax + b

 Toda uncin racional de la orma y = tiene un grfco cx + d llamado hiprbola. ax + b

El grfco de toda uncin racional y = tiene una asntota cx + d horizontal y una vertical.

investgacn: grfcos de unciones racionales 2 a

Utilice la CPG para mostrar los grfcos de: y=

x x+3

, y=

x+1

, y=

x+3

2x x+3

e y=

2x  1 x+3

b Copie y complete la tabla:

Funcin racional y=

x x+3

y=

x+1 x+3

y=

2x x+3

y=

2x  1 x+3

Asntota vertical

Asntota horizontal

Dominio

Recorrido

c Qu observa acerca de las asntotas horizontales? d Qu observa acerca del dominio y el valor de la asntota vertical?

 La asntota vertical ocurre para el valor de x que hace cero al denominador. a  La asntota horizontal es la recta y = . c

y 4 3 a y= c

2 1

Para hallar la asntota horizontal se deber despejar x. y=

ax + b cx + d

y ( cx + d ) = ax + b cyx  ax = b  dy x=

b  dy cy  a

La asntota horizontal se produce cuando el denominador es cero, es decir, cuando: cy = a o y =

a c

150

Funciones racionales

8 6 4 2 0 1 2 3

2

4 d x= c

6

8 x

ejmplo 5 Para la uncin y =

x +1 : 2x  4

a Dibuje aproximadamente el grfco. b Halle la asntota horizontal y la vertical. c Indique el dominio y el recorrido.

Respuestas a

y 4 3 2 x+ 1

y = 2x  4

1

8 6 4 2 0 1

2

4

8 x

6

2 3

Cuando 2x  4 = 0, x = 2.

b Asntota vertical x = 2

Asntota horizontal y =

1 2

a = 1, c = 2, y = a c

c Dominio x  , x  2

Recorrido y  , y 

1 2

Ejercitacin 5D 1

Identifque la asntota horizontal y la vertical de las siguientes unciones e indique el dominio y el recorrido de cada una. a

2

y=

x+2 x 3

b

y=

2x + 2 3x 1

c

y=

3 x + 2 4 x  5

d

y=

34 x  2 16x + 4

Una cada uncin con su grfco: a

y=

5 x

b

i

y=

x+2 x2

c

y=

x 1 x 3

d

ii

y

1 x4

y=

y

8

8

6

6

4

4

2

2

8 6 4 2 0 2

2

4

6

8 x

8 6 4 2 0 2

4

4

6

6

2

4

6

8 x

Captulo 5

1 51

iii

y

8

8

6

6

4

4

2

2

8 6 4 2 0 2

3

iv

y

2

4

6

8 x

8 6 4 2 0 2

4

4

6

6

2

4

6

Dibuje aproximadamente cada uncin con la ayuda de la CPG e indique el dominio y el recorrido. a

y=

x+2 x+3

b

y=

x 4x + 3

c

y=

d

y=

9x + 1 3x  2

e

y=

3 x + 1 0 4x 12

f

y=

g

y=

3x 2x  4

h

y=

7x x 1 5

i

x 7 3x  8

5x + 2 4x 14x  4 y= 2x 1

4

Escriba una uncin racional que tenga una asntota vertical en x = 4 y una asntota horizontal en y = 3.

5

Cristian y Leandro disean camisetas para surfstas y tienen un negocio en su garaje. Costar $450 instalar el equipo y estiman que estampar cada camiseta costar $5,50. a Escriba una uncin lineal C(x) para el costo total de producir x camisetas. Recuerde que debe considerar el costo de instalacin. b Escriba una uncin racional A(x) que permita calcular el costo promedio de una camiseta, cuando se producen x camisetas. c Cul es el dominio de A(x) en el contexto del problema? Explique. d Escriba la asntota vertical de A(x). e Halle la asntota horizontal para A(X). Qu signifcado tiene este valor en el contexto del problema?

PREGUNTA TIPO EXAMEN 6

La regla de Young es una manera de calcular la dosis de un medicamento para los nios mayores de dos aos, basada en la dosis para adultos. Tomar la edad del nio en aos y dividirla por su edad ms 1 2. Multiplicar este nmero por la dosis para adultos. Esto se modeliza mediante la uncin n =

at t +12

donde n es la dosis

para nios, a es la dosis para adultos en mg y t es la edad del nio en aos.

152

8 x

Funciones racionales

Utilice la CPG para obtener el grfco de la uncin y verifcar la respuesta.

Dibuje aproximadamente el grfco de la uncin.

Haga una tabla de valores de 2 a 12 aos con una dosis de 100 mg para adultos. b Utilice los valores de a para dibujar el grfco de la uncin. c Utilice el grfco para calcular la dosis estimada para un nio de 7 12 aos. a

Escriba la ecuacin de la asntota horizontal.  Qu signifca el valor de la asntota horizontal en la regla de Young? d

7



El costo promedio anual de la electricidad que consume un rerigerador es de $92. a Un rerigerador nuevo cuesta $550. Determine el costo anual total de un rerigerador que dura 15 aos. Puede suponer que el costo incluye el costo del arteacto y de electricidad. b Desarrolle una uncin que muestre el costo anual de un rerigerador en uncin del nmero de aos desde que se lo compr. c Dibuje aproximadamente la uncin. Cul ser una ventana adecuada? Rotule los ejes para indicar la escala. d Puesto que esta es una uncin racional, determine sus asntotas.  Explique el signifcado de la asntota horizontal en el contexto del rerigerador. f Una empresa orece un rerigerador que cuesta $1200, pero afrma que va a durar por lo menos 20 aos. Vale este rerigerador la dierencia de precio?

ejrcicio d rvisin

Material de ampliacin disponible en lnea: Hoja de ejercicios 5: Fracciones continuas y asntotas

PREGUNTA TIPO EXAMEN Una cada uncin con su grfco.

1

i

f (x ) =

iv

f (x ) =

2 x+2 1x x

a

ii

f( x ) =

v

f (x ) =

1 x 3 x2 x4

iii

f(x) =

vi

f (x ) =

4x +1 x x+2 x+4

b

y

y

6

8

4

6

2

4 2

8 6 4 2 0 2 4 6

2

4

6

8 x 4 2 0 2

2

4

6

8

10 x

4 6

Captulo 5

1 53

PREGUNTAS TIPO EXAMEN c

d

y 8 6

4

4

2

2

2 0 2

4 3 2 1 0 2

1

2

4 x

3

Dadas

a

4

8 x

6

6

f

y

y

6

6

4

4

2

2

6 4 2 0 2

2

2

4

4

e

y 6

2

10 8 6 4 2 0 2

6 x

4

4

4

6

6

f( x) =

5 x

b

f( x) =

1 x +1

c

f( x) =

4 x

2

x+3 3x

Dibuje aproximadamente la funcin. ii Determine la asntota vertical y la horizontal de la funcin. iii Halle el dominio y el recorrido de la funcin. i

3

Para cada una de estas funciones, escriba las asntotas, el dominio y el recorrido. a

b

y

y 8

6 4

f(x) =

2 8 6 4 2 0 2

5 x+ 4

2

4

f(x) =

6 3 x

6 4 2

6 x

8 6 4 2 0 2

4 6

4

8

6

2

4

6 x

8 y

c

f(x) =

2 2 x+ 6

8

4

6

2

4

10 8 6 4 2 0 2 4

154

Funciones racionales

y

d

6

2

4 x

f(x) =

3 +5 x1

2 8 6 4 2 0 2

6

4

8

6

2

4

6

8 x

4

Un grupo de estudiantes quiere regalarle a su proesor un vale por un fn de semana en un spa de salud. El vale cuesta $300. a Si c representa el costo para cada estudiante y e representa el nmero de estudiantes, escriba una ecuacin para mostrar el costo en uncin del nmero de estudiantes. b Dibuje el grfco de la uncin. c Explique cualquier restriccin sobre el recorrido y el dominio de esta uncin.

5

La uncin f est dada por: f (x) =

2x 1 , x  R, x  2 x+2

Halle la asntota horizontal del grfco de y = f (x). Halle la asntota vertical del grfco. iii Escriba las coordenadas del punto P donde se cortan las asntotas. b Halle los puntos de interseccin del grfco con los ejes cartesianos. c A partir de lo anterior, dibuje el grfco de y = f (x), mostrando las asntotas mediante lneas punteadas. a

i

ii

ejrcicio d rvisin PREGUNTA TIPO EXAMEN 1 Dibuje aproximadamente el grfco de cada uncin con la ayuda de la CPG. Indique el dominio y el recorrido. a d 2

6 5 x 3 f( x) = 8 x 7

f( x) =

b

f( x) =

2 +3 x

c



f( x) =

8 x+3

f

2 x 5 6 f( x) = 2 x+4

f( x) =

Una aerolnea vuela desde Londres a Nueva York, que estn a una distancia de 5600 km. a Muestre que esta inormacin puede escribirse como v = 5 60 0 donde v es la t

velocidad media del avin en km h1 y t es el tiempo en horas. b Dibuje aproximadamente el grfco de la uncin para 0  v  1200 y 0  t  20. c Si el vuelo dura 10 horas, cul es la velocidad promedio del avin?

Captulo 5

1 55

PREGUNTAS TIPO EXAMEN 3 Las personas con piel sensible deben ser cuidadosos con la cantidad de tiempo que se exponen a la luz solar directa. La relacin m=

22, 2 s + 1 42 8 s

donde m es el tiempo en minutos y s es el valor de escala del sol, nos da la mxima cantidad de tiempo que puede pasar una persona con piel sensible al sol sin daarse la piel. a Dibuje un grfco aproximado para esta relacin cuando 0  s  1 20 y 0  m  3 00 . b Halle la cantidad de minutos que puede estar expuesta la piel, cuando: i s = 10 ii s = 40 iii s =100 c Cul es la asntota horizontal? d Explicar qu representa esto para una persona con piel sensible. 4

El alcalde de la ciudad suministr mascarillas durante un brote de gripe en Bangkok. El costo (c) en bahts tailandeses de suministrar las mscaras a m por ciento de la poblacin est dado por c=

750 000 m 1 00  m

Elija una escala adecuada y utilice su CPG para dibujar aproximadamente la uncin. b Halle el costo de suministrar mascarillas a: i el 20% ii el 50% iii el 90% de la poblacin. c Sera posible suministrar mascarillas a la totalidad de la poblacin, segn este modelo? Explique su respuesta. a

5

La uncin f (x) se defne como: f(x)

= 2+

1 5 , x 2x  5 2

Dibuje aproximadamente la curva de f para 3  x  5, mostrando sus asntotas. b Utilizando su grfco, escriba: i La ecuacin de cada asntota ii El valor de la interseccin con el eje x iii El valor de la interseccin con el eje y a

156

Funciones racionales

ResuMeN del captulO 5 Rroo  

El rroo de un nmero es 1 dividido por ese nmero. Un nmero multiplicado por su recproco es igual a 1 . 1 =1 3 1 El rroo de x es o x 1 y x 1  x =1 . x

Por ejemplo: 3  

l fnin rro 



Si una curva se acerca ms y ms a una recta, pero nunca la corta, esa recta se denomina no . El grfco de una uncin recproca de la orma y=





k tiene a x = 0 como asntota vertical y a y = 0 como asntota x

horizontal. El grfco de una uncin recproca es una hirbo. y  El eje x es la asntota horizontal. x = 0, el eje y, es 6  El eje y es la asntota vertical. una asntota 4  Tanto el dominio como el recorrido son todos los y = x 2 nmeros reales menos el cero. f  Las dos ramas del grfco son simtricas 6 4 2 0 2 4 6 x 2 respecto de y = x. y = 0, el eje x, es 4  y = x e y = x son los ejes de simetra de esta uncin. una asntota y= x 6 La uncin recproca oini on  invr .

Fnion rion 







g( x )

y

Una fnin rion es una uncin de la orma f ( x ) = h( x) donde g y h son polinomios. ax + b

Toda uncin racional de la orma y = tiene un cx + d grfco llamado hiprbola. La asntota vertical se produce en el valor de x que hace que el denominador sea cero. a La asntota horizontal es la recta y = .

4 3 a y= c

2 1

8 6 4 2 0 1 2

c

2

4 d x= c

6

8 x

3

Captulo 5

1 57



teora del conoimieno

siema de numerain Fraione egipia Los antiguos egipcios solo utilizaban racciones con numerador 1 , por 1 1 1 ejemplo 2 , 3 , 4 . Esto signifca que en lugar de 1 2

1 . 4

3 4

En lgebra: 

ellos

escriban + Todas sus racciones se 1 expresaban en la orma n y se las llama fraione uniaria. 2

Se representaban nmeros tales como 7 como sumas de racciones unitarias (por 2 1 1 ejemplo, 7 = 4 + 28 ). Adems, la misma raccin no poda 2 1 1 utilizarse dos veces (as, 7 = 7 + 7 no era vlido). 5 1 1 Por ejemplo, 8 sera 2 + 8 . 

3 4x

=

1 2x

+

1 4x

Escriba cada expresin algebraica como una fraccin egipcia. 4 3x

5 4x

7 4x

23 24x

Dnde cree que esto podra ser til? Cules son las limitaciones de estas fracciones? Es posible escribir cualquier fraccin como una fraccin egipcia? Cmo lo sabe?

Escriba como fracciones unitarias: 5 6

5 8

2 5

6 7

{ En un quipu inca, los nudos en las cuerdas representan nmeros.

 El papiro matemtico Rhind de 1650 a.C. contiene una tabla de fracciones egipcias copiada de otro papiro 200 aos ms antiguo.

1 58

Teora del Conocimiento: sistemas de numeracin

Las culturas babilnica e hind ya contaban hace ms de 2000 aos con sistemas para representar la ausencia de un nmero. En el siglo IX d.C., el matemtico y flsoo islmico Muhammad alKhwarizmi coment que, si en un clculo, ningn nmero aparece en el lugar de las decenas, deba utilizarse un pequeo crculo para preservar las flas. Los rabes llamaron a este crculo sifr (vaco). El nombre sifr se convirti, con el tiempo, en nuestra palabra cero. 

Esto signifca que cero era nada?



Quin utiliz el cero por primera vez?



Qu se usaba antes de eso?



Haga una lista de todos los subconjuntos de {0, 1, 2, 3}.



Observe que un subconjunto es {0} y otro es { }. Signifca esto que cero y nada son dierentes?



Ahora intente esto. Resuelva la ecuacin 9 + x = 3 y la ecuacin 3x = 0.



En la numeracin de los aos, tenemos el ao 1 a.C. y el ao 1 d.C. Y el ao cero?



Los antiguos griegos no estaban seguros de qu hacer con el cero y se preguntaban cmo poda ser que nada uese algo. Las paradojas de Zenn (un buen tema para investigar) dependen en parte del uso tentativo del cero.



Cmo entendan el cero las culturas maya e inca?



Dnde est el cero en el sistema decimal? Es positivo o negativo?



Qu sucede si dividimos cero por cualquier cosa?



Qu sucede si dividimos cualquier cosa por cero?



Qu sucede si dividimos cero por cero?

{ Los mayas utilizaban un smbolo de un caracol marino para representar el cero.

Captulo 5

teora del conoimieno

Hay alguna diferenia enre ero y nada?

1 59

6

Patrones, progresiones y series

ObjetivOs del captulO: 1.1

Progresiones aritmticas y series; suma fnita de series aritmticas; progresiones geomtricas y series geomtricas; suma fnita e infnita de series geomtricas; la notacin de sumatoria. Aplicaciones

1.3

El teorema del binomio: desarrollo de ( a + b ) n , n  N; clculo de los coefcientes n  del desarrollo de la potencia de un binomio usando el tringulo de Pascal y   . r 

an  omnzr Qu necesitamos saber

Comprobemos nuestras habilidades

1

1

2

160

Resolver ecuaciones lineales y cuadrticas y despejar variables Por ejemplo: Resolver la ecuacin n(n  4) =  2 n2  4n =  2 n2  4n   2 = 0 (n  6)(n + 2) = 0 n = 2, n = 6 Por ejemplo: Despejar b en esta frmula ac = b  3 b = ac + 3 Reemplazar valores conocidos en frmulas Por ejemplo: Usando la frmula A = 3p4   0q, hallar el valor de A si p = 2 y q =  ,5 A = 3p4   0q A = 3(2) 4   0( ,5) A = 3( 6)   5 A = 48   5 A = 33

Patrones, progresiones y series

2

Resuelva cada ecuacin:  3x  5 = 5x + 7  p(2  p) = 15  2 n + 9 = 41 Despeje k: 6m + 8k = 30  2pk  5 = 3 

3

Si T = 2x (x + 3y), halle el valor de T cuando:  x= 3 e y= 5  x = 4,7 e y = 2

4

Usando la frmula m = 2 x  y3 , halle el valor de m si:  x= 5 e y= 3  x = 3 e y = 2 

x = 5 e y =

1 2

Las bacterias en esta cpsula de Petri crecen y se reproducen; en este caso, su masa total se duplica cada dos horas. A las 8 de la maana la masa mide 3 gramos; por lo tanto, a las 1 0 medir 6 gramos, a las 1 2 medir 1 2 gramos y as sucesivamente.

[ Crecimiento de bacterias en una cpsula de Petri

La masa de las bacterias en la cpsula sigue un patrn que podra usarse para predecir la masa de las bacterias en la cpsula despus de 8 horas, 1 2 horas o 24 horas. En este captulo estudiaremos los patrones. Los patrones nos pueden resultar tiles para hacer predicciones para el futuro inmediato y mediato. Por ejemplo, podemos usar patrones para:     

Predecir la poblacin de un pas en 20 aos Calcular cunto tiempo tomar cancelar un prstamo bancario Predecir cunto tiempo durarn las reservas de un recurso natural Calcular la distancia total que recorrer una pelota que rebota Calcular cunto tiempo tomar para que una inversin se duplique

Captulo 6

1 61

6.1 patrones y rogresones investgacn: ahorro de dinero Joel decide comenzar a ahorrar dinero. Ahorra $20 la primera semana, $25 la segunda semana, $30 la tercera semana y as sucesivamente. a Copie y complete la siguiente tabla para mostrar cunto ahorra Joel por

semana y cunto ahorra en total durante las ocho primeras semanas. Nmero de semana 1 2 3 4 5 6 7 8

Ahorro semanal 20 25 30

Total ahorrado 20 45 75

Cunto ahorrar Joel en la 10. a semana? Y en la 17. a ? Cunto dinero ahorrar Joel al cabo de un ao? Cunto tiempo le tomar ahorrar al menos $1000? Intente escribir una frmula para el monto de dinero que Joel ahorra cada semana. Sea M el monto que ahorra cada semana y n el nmero de semana. f Trate de escribir una frmula para el monto total de dinero que ahorr Joel. Sea T el total de sus ahorros y n el nmero de semanas. b c d e

En la investigacin anterior, los montos de dinero que Joel ahorra cada semana forman una rogresn . Los montos totales de dinero que ahorra a medida que el tiempo pasa forman otra progresin diferente.  Una rogresn numrca es un patrn de nmeros dispuestos en un orden particular de acuerdo con una regla. He aqu algunas progresiones: 8, 1 1 , 1 4, 1 7,  800, 400, 200, 1 00,  1 , 4, 9, 1 6, 25,  5, 1 0, 1 5, 20, 25, 

162

Patrones, progresiones y series

 Cada nmero o elemento de una progresin se denomina trmino. En la progresin 8,   ,  4,  7,  , el primer trmino es 8, el segundo trmino es   , el tercer trmino es  4, y as sucesivamente. Tambin podemos usar la notacin un para denotar el ensimo trmino de una progresin, donde n es un entero positivo. Por lo tanto, para 8,   ,  4,  7,  se podra decir: u = 8, u2 =   , u3 =  4, y as sucesivamente. Se puede continuar el patrn si nos damos cuenta de que el valor de cada trmino es tres unidades mayor que el valor del trmino anterior: 8,   ,  4,  7, 20, 23, 26 Para esta progresin, se podra escribir: u = 8 y un+ = un + 3 Esta es una frmula rcursiva : el valor de cada trmino depende del valor del trmino anterior. En la progresin 800, 400, 200,  00,  , el valor de cada trmino es la mitad del trmino anterior.  En este caso, u = 800 y un+ = un. 2

Algunas veces, usamos letras distintas de u para representar a los trminos de una progresin. Por ejemplo, podramos usar a n, tn o xn para representar el ensimo trmino de una progresin.

ejmplo 1 Escriba una frmula recursiva para el ensimo trmino de cada progresin. a 9, 15, 21, 27,  b 2, 6, 18, 54,  Respuestas u1 = 9 y un+1 = un + 6

a

b u1 = 2 y un+1 = 3un

Sumar 6 para llegar de un trmino al siguiente Multiplicar por 3 para llegar de un trmino al siguiente

Muchas veces resulta ms til escribir la frmula gnral dl nsimo trmino d una progrsin . Con una frmula general, podemos hallar el valor de un trmino sin necesidad de conocer el valor del anterior.

A veces esto se denomina la regla general para el ensimo trmino .

En la progresin  , 4, 9,  6, 25,  , cada trmino es un cuadrado perfecto. El primer trmino es  2, el segundo 2 2, y as sucesivamente. Una frmula general para el ensimo trmino de esta progresin es un = n 2 .

Recordemos que n, la posicin del trmino, ser siempre un nmero entero. No

En la progresin 5,  0,  5, 20, 25,  , cada trmino es un mltiplo de 5. El primer trmino es 5   , el segundo 5  2, y as sucesivamente. Una frmula general para el ensimo trmino de esta progresin es un = 5n.

podramos tener un trmino  3 -simo o un 4

trmino 7,5-simo.

Captulo 6

1 63

ejmlo  Escriba una frmula general para el ensimo trmino de cada progresin. a 4, 8, 12, 16,  b

1 1 1

, , ,

1

3 6 9 12

,

Respuestas un = 4n

a

1 b un = 3n

Cada trmino es un mltiplo de 4. Los denominadores son mltiplos de 3.

Ejercitacin 6A 1

Escriba los prximos tres trminos de cada progresin. a 3, 7, 11, 15,  b 1, 2, 4, 8,  c 3, 4, 6, 9, 13,  d 5, 10, 20, 40,  

2

1 3 5 7 , , , , 2 5 8 11

f

6,0; 6,01; 6,012; 6,0123; 

Escriba los primeros cuatro trminos en cada progresin. u1 = 10 y un +1 = 3 ( un ) b u1 = 3 y un + 1 = 2 un + 1

a

c 3

u1 =

3 2 y un +1 = ( un ) 4 3

d

u1 = x y u n  1   u n 

2

Escriba una frmula recursiva para cada progresin. a 2, 4, 6, 8,  b 1, 3, 9, 27,  c 64, 32, 16, 8,  d 7, 12, 17, 22, 

4

Escriba los cuatro primeros trminos de cada progresin. a un = 3 n b un = 6n + 3 c un = 2 n 1 d un = nn

5

Escriba una frmula general para el ensimo trmino de cada progresin. a 2, 4, 6, 8,  b 1, 3, 9, 27,  c 64, 32, 16, 8,  d 7, 12, 17, 22,  

6

1 2 3 4,  , , , 2 3 4 5

f

x, 2x, 3x, 4x, 

La progresin 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13,  se conoce como la progresin de Fibonacci. a Escriba el 15. trmino de la progresin de Fibonacci. b Escriba una frmula recursiva para la progresin de Fibonacci.

. progrsins aritmticas En la progresin 8,   ,  4,  7,  , el valor de cada trmino es tres unidades mayor que el anterior. Esta progresin es un ejemplo de rogrsin aritmtica o sucesin aritmtica. 164

Para hallar el primer trmino, reemplazamos n = 1; para hallar el segundo, usamos n = 2, y as sucesivamente.

Patrones, progresiones y series

[ Fibonacci, tambin conocido como Leonardo de Pisa (italiano, c. 1170c. 1250).

 En una progresin aritmtica, los trminos crecen o decrecen en un valor constante. Este valor se denomina difrncia o d. La diferencia puede ser un valor positivo o negativo. Por ejemplo: 8,   ,  4,  7,  35, 30, 25, 20,  4; 4, ; 4,2; 4,3;  c, 2c, 3c, 4c, 

En esta progresin, En esta progresin, En esta progresin, En esta progresin,

u u u u

= = = =

8 y d = 3. 35 y d = 5. 4 y d = 0, . c y d = c.

En el Papiro de Ahmes, que data aproximadamente del ao 1650 a. C., aparecen ejemplos de progresiones aritmticas.

Para cualquier progresin aritmtica, un+ = un + d. Podemos hallar cualquier trmino de la progresin sumando la diferencia, d, al trmino anterior. En una progresin aritmtica: u = primer trmino u2 = u  + d u3 = u2 + d = (u + d) + d = u + 2d u4 = u3 + d = (u + 2d) + d = u + 3d u5 = u4 + d = (u + 3d) + d = u + 4d   un = u + (n   )d  Podemos hallar el ensimo trmino de una progresin aritmtica usando la frmula: un = u + (n   ) d.

ejmplo 3 a Halle el 12. trmino de la progresin aritmtica 13, 19, 25, b Halle una expresin para el ensimo trmino.

Respuestas u1 = 13 y d = 6 u12 = 13 + (12  1)6 = 13 + 66 u12 = 79

a

b un = 13 + (n  1)6

= 13 + 6n  6 un = 6n + 7



Determinar estos valores observando la progresin

Para el 12.  trmino, reemplazar n = 12 en la frmula un = u1 + (n  1) d Para el ensimo trmino, reemplazar los valores de u1 y d en la frmula un = u1 + (n  1) d

Captulo 6

1 65

ejmplo 4 Halle el nmero de trminos de la progresin 84, 81, 78,  , 12. Respuesta u1 = 84 y d = 3 un = 84 + (n  1)(3) = 12

Determinar estos valores observando la progresin Reemplazar los valores de u1 y d en la frmula un = u1 + (n  1)d Resolver en n

84  3n + 3 = 87  3n = 12 3n = 75 n = 25 Hay 25 trminos en la progresin.

Ejercitacin 6B 1

Para cada progresin: Halle el 15. trmino. ii Halle una expresin para el ensimo trmino. a 3, 6, 9,  b 25, 40, 55,  c 36, 41, 46,  d 100, 87, 74,   5,6; 6,2; 6,8;  f x, x + a, x + 2a,  i

2

Halle el nmero de trminos en cada progresin: a 5, 10, 15,  , 255 b 4,8; 5,0; 5,2;  ; 38,4 c

1 7 5 , , , ..., 1 4 2 8 4

d

250, 221, 192,  , 156



2m, 5m, 8m,  , 80m

f

x, 3x + 3, 5x + 6,  , 19x + 27

ejmplo 5 En una progresin aritmtica, u9 = 48 y u12 = 75. Halle el primer trmino y la diferencia. Respuesta u9 + 3d = u12 48 + 3d = 75 3d = 27 d= 9 u9 = u1 + (9  1)9 = 48 u1 + 72 = 48 u1 = 24 El primer trmino es 24 y la diferencia es 9.

166

Patrones, progresiones y series

Para llegar del 9.  trmino al 12. , habra que sumar la diferencia tres veces. Para hallar el primer trmino, usar la frmula

Si una progresin contina indefnidamente y no hay ltimo trmino, es una progresin infnita. Si la progresin termina o tiene ltimo trmino, es una progresin fnita.

Ejercitacin 6C 1

Una progresin aritmtica tiene primer trmino 19 y 15. trmino 31,6. Halle la diferencia.

PREGUNTA TIPO EXAMEN 2 En una progresin aritmtica, u10 = 37 y u21 = 4. Halle la diferencia y el primer trmino. 3

Halle el valor de x en la progresin aritmtica 3, x, 8, 

4

Halle el valor de m en la progresin aritmtica m, 13, 3m  6, 

6. progresiones geomtricas En la progresin 2, 6,  8, 54, ..., cada trmino se obtiene triplicando el anterior. Esta progresin es un ejemplo de rogresin geomtrica , o sucesin geomtrica.  En una rogresin geomtrica , cada trmino se obtiene multiplicando al anterior por un valor constante. Este valor se denomina razn o r. La razn, r, puede ser positiva o negativa. Por ejemplo:  , 5, 25,  25,  3, 6,  2, 24, 

u =  y r = 5 u = 3 y r = 2

8 , 27, 9, 3, 

u = 8 y r =

k, k2, k3 , k4, 

u = k y r = k

1 3

Para cualquier progresin geomtrica, un+ = (un)r. Podemos calcular cualquier trmino de la progresin multiplicando al anterior por la razn, r. Para cualquier progresin geomtrica: u = u2 = u3 = u4 = u5 =   un =

primer trmino u  r u2  r = (u  r)  r = u  r2 u3  r = (u  r2)  r = u  r3 u4  r = (u  r3 )  r = u  r4

u  rn  

 Podemos hallar el ensimo trmino de una progresin geomtrica usando la frmula un = u (r n   ). Captulo 6

1 67

ejmplo 6 Halle el 9. trmino de la progresin 1, 4, 16, 64,  Respuesta u1 = 1 y r = 4 u9 = 1(49  1) = 1(48 ) = 1(65 536) u9 = 65 536

Determinar estos valores observando la progresin Para el 9.  trmino, reemplazar n = 9 en la frmula un = u1(r n  1)

ejmplo 7 Halle el 12. trmino de la progresin 7, 14, 28, 56,  Respuesta u1 = 7 y r = 2 u12 = 7((2) 12  1) = 7((2) 11) = 7(2048) u12 = 14 336

Determinar estos valores observando la progresin Para el 12.  trmino, reemplazar n = 12 en la frmula un = u1 (r n  1)

Ejercitacin 6D 1

Para cada progresin, halle la razn y el 7. trmino. a 16, 8, 4,  b  4, 12, 36,  c 1, 10, 100,  d 25, 10, 4,  2  2, 6x, 18x ,  f a7b, a 6b 2 , a 5 b 3 , 

ejmplo 8 En una progresin geomtrica, u1 = 864 y u4 = 256. Halle la razn. Respuesta u4 = u1(r 4  1) = u1(r 3 ) 3

256 = 864(r ) r3 =

256 864

8

=

27

8

r=

r=

168

Reemplazar n = 4, u1 = 864, y u4 = 256 en la frmula un = u1(r n  1)

3

27

2 3

Patrones, progresiones y series

Resolver en r

ejmplo 9 Para la progresin geomtrica 5, 15, 45,  halle el menor valor de n tal que el ensimo trmino resulte mayor que 50 000. Respuesta u1 = 5 y r = 3 un = 5  3 n  1

Determinar u1 y r observando la progresin Reemplazar u1 = 5 y r = 3 en la rmula un = u1(r n  1) Se puede usar la calculadora de pantalla grfca (en adelante, CPG) para hallar el valor de n. Primero ingresar la rmula para un en una uncin. Sea x la variable que representa n, tal como se muestra. Observar la tabla para ver los valores de los primeros n trminos

El 9.  trmino es 32 805, y el 10.  trmino es 98 415.

n = 10, dado que u10 > 50 000 y u9 < 50 000

Ejercitacin 6E Una progresin geomtrica tiene 2. trmino 50 y 5. trmino 3,2. Halle el primer trmino y la razn. 2 Una progresin geomtrica tiene 3. er trmino 18 y 6. trmino 144. Halle el primer trmino y la razn. 1

Para cada progresin geomtrica, halle el menor valor de n tal que el ensimo trmino sea mayor que 1000. a 16, 24, 36,  b 1; 2,4; 5,76; ... c 112, 168, 252, ... d 50; 55; 60,5; ... 4 Una progresin geomtrica tiene primer trmino 9 y tercer trmino 144. Muestre que hay dos valores posibles para la razn, y halle los dos valores posibles del segundo trmino. 3

Captulo 6

1 69

Halle el valor de p en la progresin geomtrica 18; p; 40,5.

5

PREGUNTA TIPO EXAMEN 6 Halle el valor positivo de x en la progresin geomtrica 7x  2, 4x + 4, 3x, 

.4 la notacin d sumatoria () y as sris En esta seccin vamos a ver las ormas de sumar los trminos de una progresin. La suma de los trminos de una progresin origina una sri. u , u2, u3 , u4,  , un es una progresin. u + u2 + u3 + u4 +  + un es una serie. La letra griega , llamada sigma, se emplea usualmente para indicar una suma de valores. n



 u signifca la suma de los primeros n trminos de una i

i =1

progresin. Se lee la suma de todos los trminos ui desde i =  hasta i = n. La progresin aritmtica 8,  4, 20,  tiene primer trmino 8 y dierencia 6. Una regla general para el ensimo trmino de esta progresin es un = 6n + 2. 5

La suma de los cinco primeros trminos de esta progresin es

 ( 6 n + 2 ). n =1

Esto signifca la suma de todos los trminos 6n + 2 desde n =  hasta n = 5. Para calcular esta suma, tenemos que reemplazar todos los valores enteros desde n =  hasta n = 5 en la expresin 6n + 2, y posteriormente sumarlos: 5

 ( 6 n + 2 ) = [6( ) + 2] + [6(2) + 2] + [6(3) + 2] + [6(4) + 2] + [6(5) + 2] = 8 +  4 + 20 + 26 + 32 =  00

n =1

ejmpo 10 4

a

Escriba la expresin

(x

2

 3 ) como una suma de trminos.

x =1

b Calcule la suma de estos trminos.

Respuestas 4

a

 (x

2

3)

x =1

= (1 2  3) + (2 2  3) + (3 2  3) + (42  3) = 2 + 1 + 6 + 13 b 2 + 1 + 6 + 13 = 18 170

Patrones, progresiones y series

Reemplazar los enteros positivos comenzando con x = 1 y terminando con x = 4

Cuando se representa una suma de valores de esta forma, estamos usando la notacin d sumatoria o notacin sigma.

ejmplo  8

Evale la expresin

 ( 2 ). a

a =3

Respuesta Reemplazar los enteros consecutivos comenzando con a = 3 y terminando con a = 8

8

 (2

a

a =3

) = 23 + 24 + 25 + 26 + 27 + 28 = 8 + 16 + 32 + 64 + 128 + 256 = 504

 Evaluar signifca hallar un valor, por lo tanto la respuesta fnal ser un nmero.

ejmplo  Escriba la serie 3 + 15 + 75 + 375 + 1875 + 9375 usando notacin de sumatoria. Respuesta un = 3(5 n  1)

Los trminos son los de una progresin geomtrica con primer trmino 3 y razn 5. Esta serie es la suma de los primeros seis trminos de la progresin geomtrica.

6

 (3 (5 ) ) n 1

n =1

Ejercitacin 6F 1

Escriba una expresin para cada serie usando notacin de sumatoria. a 1+2+3+4+5+6+7+8 b 9 + 16 + 25 + 36 + 49 c 27 + 25 + 23 + 21 + 19 + 17 d 240 + 120 + 60 + 30 + 15 + 7,5  5x + 6x + 7x + 8x + 9x + 10x f 4 + 7 + 10 + 13 +  + 55 g 1 + 3 + 9 + 27 +  + 59 049 h a + 2a2 + 3a3 + 4a4 + 5a5

2

Escriba cada serie como una suma de trminos. 8

a

 (3 n + 1 )

b

 (4

a

)

c

a =1

n =1

3

7

5

 ( 5( 2

11

r

))

d

 (x

n

)

n =5

r=3

Evale: 5

9

a

 (8n  5 ) n =1

b

 (3 r ) r =1

10

7

c

 (m 2 ) m =1

d

 (7 x  4 ) x = 4

Recordemos que el trmino evaluar nos pide que hallemos un valor, por lo tanto, debemos dar respuestas numricas.

Captulo 6

1 71

6.5 serie aritmtica La suma de los trminos de una progresin se denomina serie. La suma de los trminos de una progresin aritmtica se denomina serie aritmtica. Por ejemplo, 5, 12, 19, 26, 33, 40 es una progresin aritmtica, por lo tanto 5 + 12 + 19 + 26 + 33 + 40 es una serie aritmtica. Cuando una serie tiene unos pocos trminos, sumarlos no resulta complicado. Sin embargo, si la serie tiene 50 o 1 00 trminos llevara mucho tiempo sumarlos. Ser til encontrar una regla, o frmula, para evaluar una serie aritmtica. Sn denota la suma de los primeros n trminos de una serie. Para una serie con n trminos Sn = u1 + u2 + u3 + u4 + u5 +  + un Para una serie aritmtica esta frmula sera:

Se dice comnmente que Carl Friedrich Gauss (17771885) fue el ms grande matemtico del siglo XIX. Averigemos qu procedimiento emple Gauss para calcular la suma de los 100 primeros nmeros enteros positivos.

Recordemos que n debe ser un nmero entero positivo.

Sn = u1 + (u1 + d ) + (u1 + 2d ) + (u1 + 3d ) + (u1 + 4d ) +  + (u1 + (n  1 )d) Si invertimos el orden de los trminos de la progresin, el valor de la suma sera el mismo y tendramos: Sn = un + (un  d ) + (un  2d ) + (un  3d ) + (un  4d ) +  + u1 Sumando miembro a miembro verticalmente estas dos expresiones para Sn,

Comenzar con el ltimo trmino u n, luego el anteltimo trmino es un  d y as sucesivamente

2Sn = (u1 + un) + (u1 + un) + (u1 + un) + (u1 + un) + (u1 + un) +  + (u1 + un) Esto es (u1 + un) sumado n veces, por lo tanto: 2Sn = n(u1 + un) Dividiendo ambos miembros por 2 nos da: Sn =

n 2

( u1 + u n )

Reemplazando un por u1 + (n  1 )d, Sn =

n n u1 + u1 + ( n  1 ) d ) = ( 2 u1 + ( n  1 ) d ) ( 2 2

 Podemos hallar la suma de los primeros n trminos de una serie aritmtica usando la frmula: n 2

Sn = ( u1 + un )

172

o

Sn =

Patrones, progresiones y series

n ( 2u1 + ( n  1 ) d ) 2

ejmplo  Calcule la suma de los 15 primeros trminos de la serie 29 + 21 + 13 +  Respuesta u1 = 29 y d = 8 S1 5 =

15 2

( 2 ( 29 ) + (1 5  1 ) ( 8 ) )

= 7,5(58  112) = 405

Para la suma de los 15 trminos reemplazar n = 15 en la frmula n Sn = ( 2u1 + ( n  1 ) d ) 2

ejmplo  Halle el nmero de trminos de la serie 14 + 15,5 + 17 + 18,5 +  + 50. b Halle la suma de los trminos. a

Respuestas u1 = 14 y d = 1,5

a

un = 50 un = 14 + (n  1)(1,5) = 12,5 + 1,5n 12,5 + 1,5n = 50 1,5n = 37,5 n = 25 b S2 5 =

25 2

(1 4 + 50 )

= 12,5(64) = 800

Hallar estos valores observando la progresin Para hallar n, reemplazar los valores conocidos en la frmula un = u1 + (n  1)d Resolver en n Reemplazar el primer trmino, el ltimo trmino y el valor de n en la frmula Sn =

n 2

(u

1

+ un )

Ejercitacin 6G 1

Halle la suma de los 12 primeros trminos de la serie aritmtica 3 + 6 + 9 + ...

2

Halle la suma de los 18 primeros trminos de la serie aritmtica 2,6 + 3 + 3,4 + ...

3

Halle la suma de los 27 primeros trminos de la serie aritmtica 100 + 94 + 88 + ...

4

Halle la suma de los 16 primeros trminos de la serie (2  5x) + (3  4x) + (4  3x) + ...

Captulo 6

1 73

PREGUNTA TIPO EXAMEN 5 Considere la serie 120 + 116 + 112 + ... + 28. a Halle el nmero de trminos de la serie. b Halle la suma de los trminos. Halle la suma de la serie 15 + 22 + 29 +  + 176.

6

ejmplo  Escriba una expresin para Sn, la suma de los primeros n trminos de la serie 64 + 60 + 56 +  b A partir de lo anterior, halle el valor de n para el cual Sn = 0. a

Respuestas u1 = 64 y d = 4

a

Sn =

n ( 2 ( 64 ) + ( n  1 )( 4 ) ) 2

Reemplazar los valores de u1 y d en la frmula Sn =

n ( 2u1 + ( n  1 ) d ) 2

n (1 28  4 n + 4 ) 2 n = (1 32  4 n ) 2

=

Sn = 66 n  2 n 2 b 66n  2n2 = 0

2n(33  n) = 0 n = 0 o n = 33

n = 33

Igualar Sn a 0 y resolver en n (Esta ecuacin tambin se puede resolver con la CPG. ) Cuando la resolvemos por factorizacin, la ecuacin usualmente tiene dos soluciones. Dado que el nmero de trminos debe ser un entero positivo, descartamos n = 0.

La instruccin  a partir de lo anterior en la pregunta indica que debemos usar nuestra respuesta anterior para resolver este apartado.

Ejercitacin 6H 1

Una serie aritmtica tiene u1 = 4 y S30 = 1425. Halle el valor de la diferencia.

PREGUNTA TIPO EXAMEN Escriba una expresin para Sn, para la serie 1 + 7 + 13 +  b A partir de lo anterior, determine el valor de n para el cual Sn = 833.

2 a

Escriba una expresin para Sn, para una serie aritmtica con u1 = 30 y d = 3,5. b A partir de lo anterior, halle el valor de n para el cual Sn = 105.

3 a

4

174

En enero de 2012, una nueva cafetera vende 500 bebidas. En febrero, venden 600, luego 700 en marzo, y as sucesivamente en progresin aritmtica. a Cuntas bebidas esperan vender en diciembre de 2012? b Calcule el total de bebidas que esperan vender en el ao 2012. Patrones, progresiones y series

5

En una progresin aritmtica, el 2. trmino es cuatro veces el 5. trmino, y la suma de los 10 primeros trminos es 20. Halle el primer trmino y la diferencia.

6

En una serie aritmtica, la suma de los 12 primeros trminos es igual a 10 veces la suma de los 3 primeros trminos. Si el primer trmino es 5, halle la diferencia y el valor de S20.

. sri gomtrica As como una serie aritmtica es la suma de los trminos de una progresin aritmtica, una ri gomtrica es la suma de los trminos de una progresin geomtrica. Sumando los trminos de una progresin geomtrica obtenemos la siguiente igualdad: Sn = u + u r + u r 2 + u r3 +  + u rn  2 + u rn   rSn = u r + u r2 + u r3 + u r4 +  + u rn  + u rn rSn  Sn =  u + u rn = u rn  u Sn(r   ) = u (rn   ) Sn =

u1 ( r n  1 ) r 1

u1 ( r n  1 ) r 1

Restamos la primera igualdad de la segunda. Factorizamos ambos miembros de la igualdad.

 Podemos hallar la suma de los primeros n trminos de una serie geomtrica usando la frmula: Sn =

Multiplicamos ambos miembros de la igualdad por r.

o

(

u1 1  r

Sn =

1r

n

) , donde r  

ejmplo 1

Cuando r > 1, puede resultar ms conveniente usar la primera frmula, evitando as trabajar con un denominador negativo.

Calcule la suma de los 12 primeros trminos de la serie 1 + 3 + 9 + ... Respuesta u1 = 1 y r = 3 1 (3  1 ) 12

S1 2 =

=

Reemplazar los valores de u1, r y n en la frmula

3 1 531 440 2

Sn =

u1 ( r n  1 ) r 1

= 265 720

Captulo 6

1 75

ejmplo 7 Halle el nmero de trminos de la serie 8192 + 6144 + 4608 +  + 1458. b Calcule la suma de los trminos. a

Respuestas 61 44 3 a u1 = 8192 y r = = 81 92

Hallar r dividiendo u2 por u1

4

Las series geomtricas se ven a menudo en el estudio de los fractales, tal como el copo de nieve de Koch.

n 1

3   4 

1 458 = 81 92 

Reemplazar los valores conocidos en la frmula un = u1(r n  1) n 1

1 458 729  3  = =  81 92 4096  4 

3 6 = 729 y 4 6 = 4096 Tambin podemos resolver esta ecuacin usando logaritmos. (Vase el ejemplo 19. )

6

729 36  3  = 6 =  4096 4 4 

n1=6 n=7   3 7  81 92  1      4   b S7 = 3 1 4

Reemplazar los valores de u1, r y n en la frmula

 1 4 1 97  8 1 92   1 6 3 8 4  = 1 4

Sn =

u1 ( r n  1 )

[ Copo de nieve de Koch

r 1

Tambin podemos calcular sumas usando las funciones seq (secuencia) y sum (suma) de la CPG.

= 28 394

Ejercitacin 6I 1

Calcule el valor de S12 para cada serie geomtrica. a 0,5 + 1,5 + 4,5 +  b 0,3 + 0,6 + 1,2 +  c 64  32 + 16  8 +  d ( x + 1 ) + ( 2 x + 2 ) + ( 4 x + 4 ) + ...

2

Calcule el valor de S20 para cada serie. a

0,25 + 0,75 + 2,25 + 

b

16 8 + +4+ 9 3

c

3  6 + 12  24 + 

d

log a + log ( a 2 ) + log ( a 4 ) + log ( a 8 ) + ...

PREGUNTA TIPO EXAMEN Para cada serie geomtrica: i Halle el nmero de trminos. ii Calcule la suma. a 1024 + 1536 + 2304 +  + 26 244 b 2,7 + 10,8 + 43,2 +  + 2764,8

3

c d

176

1 25 1 28

25 +

64

5 +

32

+ ... +

1 625

590,49 + 196,83 + 65,61 +  + 0,01

Patrones, progresiones y series

Hasta el momento hemos visto progresiones y series aritmticas y geomtricas. Existen otros tipos de progresiones y series matemticas? Cmo se usan?

ejmplo 18 Para la serie geomtrica 3 + 3 2 + 6 + 6 2 +  , determine el menor valor de n para el cual Sn > 500. Respuesta u1 = 3 y r = 2 3

Sn =

(

n

2 1 2 1

) > 500

Reemplazar los valores conocidos en la frmula de Sn Ingresar la ecuacin de Sn en la CPG Recordemos: En la CPG, la X representa n, el nmero de trminos, y f1(x) representa Sn . Observar la tabla para ver las sumas de los primeros n trminos

La suma de los 12 primeros trminos es aproximadamente 456, 29; y la suma de los 13 primeros trminos es aproximadamente 648, 29. n = 13, dado que S13 > 500 y S12 < 500

Cuando la suma de una serie geomtrica incluye un exponente n podemos usar logaritmos.

ejmplo 19

Una vieja fbula hind cuenta que un prncipe qued tan fascinado con un nuevo juego de ajedrez que pidi a su inventor que eligiera su recompensa. El hombre dijo que quera un grano de arroz en el primer cuadrado del tablero de ajedrez, dos granos en el segundo, cuatro en el tercero, y as, duplicando el nmero de granos cada vez. Esto le pareci tan sencillo al prncipe que accedi sin meditarlo. Los sirvientes comenzaron a traer el arroz y, para la enorme sorpresa del prncipe, los granos rpidamente rebalsaron el tablero para llenar todo el palacio. Cuntos granos de arroz debi darle el prncipe al hombre?

Una progresin geomtrica tiene primer trmino 0,4 y razn 2. Halle el valor de n para el cual Sn = 26 214. Respuesta Sn =

(

(

0, 4 2 n  1 2 1

) = 26 21 4

)

0, 4 2 n  1 = 26 214

2n  1 = 65 535 2 n = 65 536 n = log2 (65 536) log 65 536 n= log 2

Expresar esto en forma logartmica Utilizar la frmula del cambio de base y la CPG para hallar este valor

n = 16 Captulo 6

1 77

ejrctacn 6J Para cada serie, determinar el menor valor de n tal que Sn > 400. a 25,6 + 38,4 + 57,6 +  b 14  42 + 126  378 + 

1

2 8 32 ... + + + 3 9 27

c

d

0,02 + 0,2 + 2 + 

Una serie geomtrica tiene tercer trmino 1,2 y octavo trmino 291,6. Halle la razn y el valor de S 0.

2

En una serie geomtrica, S4 = 20 y S7 = 546,5. Halle la razn si r > 1. PREGUNTA TIPO EXAMEN 1 1 3 ... + + + 4 a Halle la razn para la serie geomtrica 3

12

8

16

A partir de lo anterior nos advierte que debemos usar nuestra respuesta previa para resolver este apartado.

A partir de lo anterior, halle el mnimo valor de n para el cual Sn > 800. 5 En una serie geomtrica, la suma de los 3 primeros trminos es 304, y la suma de los 6 primeros trminos es 1330. Halle la suma de los 11 primeros trminos. 6 En una serie geomtrica, la suma de los 4 primeros Material de ampliacin trminos es 10 veces la suma de los 2 primeros trminos. disponible en lnea: Hoja de ejercicios 6: Finanzas Si r > 1, halle la razn. b

.7 sr convrgnt y uma d nfnto trmno invtgacn: series convergentes He aqu tres series geomtricas: a 2 + 1 + 0,5 +  b 75 + 30 + 12 + ... c 240  60 + 15  3,75 + ... 1

Para cada una de estas series: Halle la razn, r. Use su CPG para calcular los valores de S10 , S15 , S20 . Escriba los valores completos que observa en la pantalla de su calculadora. 2 Observa algn patrn? Por qu cree que sucede esto? 3 Ahora use la CPG para calcular el valor de S 50 para cada serie. Cree usted que el resultado de su calculadora es correcto? Explique por qu o por qu no.  

Para cada una de las series de la investigacin deberamos haber notado que los valores de S 0, S 5 y S20 estn muy prximos. Esto se debe a que cuando una serie geomtrica tiene una razn r tal que | r| <  , la dierencia entre cada trmino decrece (se hace cercana a cero) a medida que n aumenta. Esto signifca que, a medida que sumamos ms trminos, el valor fnal de la suma cambia muy poco. La suma se acerca a un valor constante a medida que n toma valores mayores. Estas series geomtricas reciben el nombre de r convrgnt. En la serie 2 +  + 0,5 + 0,25 +  , podramos sospechar que la suma se acerca a 4 a medida que n toma valores cada vez ms grandes. 178

Patrones, progresiones y series

paradoja Supongamos que caminamos por un pasillo de 30 m. Cada diez segundos, recorremos la mitad de la distancia que queda hasta el fnal del pasillo. Cunto tiempo nos llevar llegar al fnal del pasillo? Lo alcanzaremos alguna vez?

Si intentemos hallar S50 en la CPG, obtendremos

(

2 1  0, 5

S 50 =

0, 5

50

) = 4(  0,5

50

)=4

Es la suma exactamente 4? No! La calculadora redondea el ltimo dgito de expresiones decimales largas como 3,99999999999 para que quepan en la pantalla; por ende, lo nico que vemos es el valor redondeado a 4.

Series convergentes La suma de los trminos de una serie geomtrica es S n 



u1 1  r n



1r

Cuando n toma valores cada vez ms grandes, podemos decir que n tiende a infnito o n  . Si| r| <  , a medida que n  , r n  0, por lo tanto Sn 

u1  1  0  1r



u1

Esto es nicamente vlido para series geomtricas y solo cuando | r | < 1. (Recordemos: si | r | < 1, entonces 1 < r < 1.)

1r

Podemos escribir esto as:  u1 (1  r n )  u1 lim  1  r  = 1  r , n  

o S =

u1 1r

Esto signifca que a medida que n toma valores cada vez ms grandes

Decimos  el lmite de

u (se acerca a infnito), el valor de la serie se aproxima a 1 . La serie 1r u convrg al valor 1 . Escribimos esto como S, y la llamamos suma 1r

u1 ( 1  r n )

de infnitos trminos.

 Para una serie geomtrica con | r| <  , S =

1r

a medida

que n tiende a infnito u es igual a 1  . 1r

u1 . 1r

ejmplo 20 Para la serie 18 + 6 + 2 +  , halle S10, S15 y S. Respuesta u1 = 18 y r =

1 3

  1 1 0  18 1        3   S10 = 1 1 3

 26,999 542 75   1 1 5  18 1        3   S15 = 1 1 3

 26,999 998 12 S =

18 = 27  1  1   3

1 3 u1 (1  r n ) en las frmulas Sn = y 1r u S = 1 1r

Reemplazar u1 = 18 y r =

Escribir todos los dgitos que se observan en la pantalla de la CPG

Captulo 6

1 79

ejmplo  La suma de los 3 primeros trminos de una serie geomtrica es 148, y la suma de los infnitos trminos es 256. Halle el primer trmino y la razn de la serie. Respuesta S3 = S =

u1 (1  r 3 ) 1r

Esta es la expresin para S3 .

= 1 48

u1 = 256 1r

u1 (1  r 3 ) 1r

Multiplicar ambos miembros de la igualdad por (1  r 3 ) El miembro izquierdo de esta igualdad es ahora idntico al miembro izquierdo de la expresin para S3 . Igualar los miembros derechos de estas expresiones Resolver en r

= 256 (1  r 3 )

256 ( 1  r3 ) = 1 48 1 48 37 = 256 64 37 27 r3 = 1  = 64 64 3 r= 4

1  r3 =

u1 = 256  3 1     4 u1 = 256 1    4

Reemplazar r = S =

3 en la frmula 4

u1 = 256 1r

4u1 = 256 u1 = 64

Ejercitacin 6K 1

Explique cmo sabe si una serie geomtrica ser una serie convergente.

2

Halle S4, S7 y S para cada una de estas series. a 144 + 48 + 16 + ... b 500 + 400 + 320 + ... c

3

80 + 8 + 0,8 + ...

d

Una serie geomtrica tiene S =

9 2

 3  2 

27 y S3 = 13. Halle S5 . 2

PREGUNTA TIPO EXAMEN Para una progresin geomtrica con u3 = 24 y u6 = 3, halle S .

4

180

Patrones, progresiones y series

Qu situaciones de la vida real podran modelizarse mediante series convergentes?

5

Para una progresin geomtrica, u2 = 12 y S = 64. Halle u1.

PREGUNTA TIPO EXAMEN Una serie geomtrica tiene una razn de 0,4 y la suma de los infnitos trminos es 250. Halle el primer trmino.

6

7

La suma de los 5 primeros trminos de una serie geomtrica es 3798, y la suma de los infnitos trminos es 4374. Halle la suma de los 7 primeros trminos.

.8 aplicciones de ptrones ritmticos y geomtricos En muchas situaciones de la vida cotidiana vemos ejemplos de patrones geomtricos, tales como el inters compuesto y el crecimiento demogrfco. Si una persona deposita $ 000 en una caja de ahorros que paga intereses a una razn del 4% anual y no hace extracciones ni depsitos, cunto tendr la cuenta despus de diez aos? Cuando el inters se capitaliza anualmente (una vez al ao), el monto en la cuenta al fnal de cada ao ser el  04% del monto al inicio del ao. (Se multiplica la suma depositada por  ,04.) El monto total en la cuenta despus de  0 aos sera de  000( ,04)  0  $ 480,24. Podemos pensar en el monto que habr en la cuenta al fnal de cada ao como una progresin geomtrica con u =  000 y r =  ,04: u = u2 = u3 = u4 =

$ 000 $ 000( ,04) = $ 040 $ 040( ,04) = $ 08 ,60 $ 08 ,60( ,04)  $  24,86 y as sucesivamente.

Ahora consideremos qu sucede cuando el inters se capitaliza ms de una vez en el ao. Sea: M = el monto de dinero en la cuenta i = la tasa de inters (un porcentaje, escrito como decimal) n = el nmero de veces al ao que se capitaliza la inversin t = el nmero de aos c = el capital inicial (monto inicial de dinero) Podemos hallar el monto de dinero en la cuenta usando la rmula:  

M = c 1 +

i  n

nt

Captulo 6

1 81

ejmplo  Una persona deposita $1000 en una cuenta que paga un inters del 4% TNA con capitalizacin trimestral. Suponiendo que la persona no realiza extracciones ni depsitos adicionales, cunto dinero habr en la cuenta despus de diez aos?

TNA signifca  tasa nominal anual . 4% TNA es lo mismo que el 4% por ao.

Respuesta 

M = 1000  1 + 

0, 0 4   4 

4(1 0)

= 1000(1,01) 40  $1488,86

Reemplazar los valores conocidos en 

la frmula M = c 



1+

i   n

nt

Qu otros tipos de matemticas se usan en las fnanzas?

Esta frmula funciona porque la tasa de inters nominal anual del 4% se divide en cuatro partes, una por cada trimestre, y por lo tanto, el inters trimestral es del 1%. Si el inters se capitaliza cuatro veces al ao (trimestralmente) por un perodo de 10 aos, esta tasa trimestral se aplicar 40 veces.

Crecimiento demogrfco ejmplo 3 La poblacin de un pueblo pequeo crece un 2% por ao. Si la poblacin al inicio de 1980 era de 12 500 habitantes, cul es la poblacin esperada para el inicio del ao 2020? Respuesta 12 500(1,02) 40  27 600,496

La poblacin del pueblo ser de aproximadamente 27 600.

Al comienzo de cada ao, la poblacin ser el 102% de la poblacin inicial del ao anterior. Desde 1980 hasta 2020, habrn pasado 40 aos.

En preguntas como la del ejemplo 23, debemos pensar que n es el nmero de aos ms que el nmero de orden del trmino.

Ejercitacin 6L

182

1

En una progresin aritmtica, u6 = 3u4. Halle u si u8 = 50.

2

Un vaso plstico tiene 12 cm de alto. Cuando se apilan 5 vasos, la altura de la pila alcanza  5 cm. a Qu altura alcanzaran 20 vasos apilados? b Cuntos vasos habra que apilar para alcanzar una altura de al menos 1 m? Patrones, progresiones y series

3

Jorge deposita $2500 en una cuenta que paga inters del 6% TNA. Suponiendo que no realiza extracciones ni depsitos, cunto tendr en la cuenta despus de 8 aos si ocurre lo siguiente? a El inters se capitaliza anualmente. b El inters se capitaliza trimestralmente. c El inters se capitaliza mensualmente.

4

Una progresin aritmtica se defne mediante un = 12n  7 y una progresin geomtrica se defne mediante vn = 0,3(1,2) n  1. Halle el menor nmero de trminos para el cual vn > un .

5

En una progresin geomtrica, el primer trmino es 6 y la razn es 1,5. En una progresin aritmtica, el primer trmino es 75 y la dierencia es 100. Despus de cuntos trminos la suma de los trminos de la progresin geomtrica superar la suma de los trminos de la progresin aritmtica?

6

A comienzos de 2012, un lago contiene 200 peces. Se espera que el nmero de peces en el lago crezca un 5% por ao. Cul ser el nmero de peces en el lago a comienzos de 2015?

7

La poblacin de una ciudad es de 275 000 habitantes. La poblacin crece a una tasa del 3,1% por ao. Suponiendo que la poblacin contina creciendo a esta tasa, cunto tiempo pasar hasta que la poblacin alcance los 500 000 habitantes?

8

Una serie est defnida por la rmula Sn = 3n2  2n. a Halle el valor de S1 , S2 y S3 . b Halle los valores de u1, u2 y u3 . c Escriba una expresin para un.

9

Una serie se defne por la rmula Sn = 2 n + 2  4. a Halle el valor de S1 , S2 y S3 . b Halle los valores de u1, u2 y u3 . c Escriba una expresin para un.

10

En una isla remota habitan dos especies de araas. La poblacin de la especie A es 12 000 y crece a una tasa del 1,25% por mes. La poblacin de la especie B es de 50 000 y decrece a una tasa de 175 araas cada mes. Cundo ser mayor la poblacin de la especie A que la poblacin de la especie B?

11

Moira invierte $3000 en una cuenta que paga el 3% de inters anual, con capitalizacin anual. Ral invierte $3000 en una cuenta que tambin paga el 3% de inters anual, pero con capitalizacin mensual. Suponiendo que ninguna de las dos personas realiza depsitos ni extracciones adicionales, cunto ms dinero tendr Ral en su cuenta que Moira en la suya despus de diez aos?

Esta pregunta usa vn , en lugar de u n , para representar el ensimo trmino de una progresin geomtrica.

Captulo 6

1 83

6.9 el tringulo d pascal y l dsarrollo dl binomio Ahora veremos un amoso patrn matemtico conocido como tringulo de Pascal. He aqu las flas 1 a 7 del tringulo de Pascal. 1 1 1 1 1 1

4 5

6

15 21

1 3

10

6 7

1 2

3

1

1 4

10 20

35

1 5

15 35

1 6

21

1 7

1

Cualquier nmero del tringulo de Pascal es la suma de los dos nmeros ubicados inmediatamente encima de l. Los nmeros del tringulo se generan comenzando en lo alto y sumando pares de nmeros para obtener la fla siguiente. Pero qu sucede si queremos hallar los nmeros de la fla 1 5? O de la fla 27? Tomara muchsimo tiempo hacer un tringulo de esas dimensiones! He aqu los nmeros en la cuarta fla del tringulo: 1 , 4, 6, 4, 1 . Estos nmeros tambin pueden hallarse usando combinacions, o la uncin nC r en la CPG. 4

C0 = 1

4

C1 = 4

4

El tringulo de Pascal le debe el nombre a Blaise Pascal (rancs, 16231662).

C2 = 6

4

C3 = 4

4

C4 = 1

n    , o Crn, representa el nmero de ormas en que se pueden tomar r grupos de r elementos, de un conjunto de n elementos. Por ejemplo,

Podemos predecir cules sern los nmeros de la fla 8?

n

C r se escribe

comnmente como

n   r  , o incluso algunas   veces como Crn .

supongamos que una bolsa contiene 5 bolillas etiquetadas con A, B, 5   = 1 0 ormas 2 

C, D, y E. Si tomamos dos bolillas de la bolsa, hay 

dierentes de elegirlas. Estas combinaciones son AB, AC, AD, AE, BC, BD, BE, CD, CE o DE. 5  Podemos hallar los valores de expresiones como   sin usar una 2 calculadora.  El nmero de combinaciones de n elementos tomados de a r por vez se halla mediante: n  n! , donde n! = n  (n  1 )  (n  2)    1  = r  r! (n  r)!

184

Patrones, progresiones y series

Debemos asegurarnos de saber cmo usar la uncin nCr de la CPG.

! es el signo factorial. La expresin n! se denomina actorial de n .

ejmplo  7  Halle el valor de   usando la rmula y verifque con la CPG. 5  Respuesta Reemplazar n = 7 y r = 5 en la rmula

7  7!  = 5! 7  5)! ( 5   7  6  5  4  3  2 1

= 5  4  3  2 1 2 1 ( )( ) =

Simplifcar los actores comunes del numerador y el denominador

7  6 42 = 2 1 2

Recordemos que se puede hallar el valor usando el tringulo de Pascal.

= 21 7    = 21 5 

Puede que aparezcan puntos en lugar de signos de multiplicacin. Por ejemplo: 3  2  1 en lugar de 3  2  1.

En la calculadora TI Nspire, nCr est en el men de Probability, Combinations (probabilidad, combinaciones).

Usando la calculadora:

Ejercitacin 6M Halle cada valor usando la rmula y luego verifque con su CPG. 1

4

5    3

2

8    2

3

C6

5

6    4

6

9

7

C3

1 0    3

invstgacn: patrones en polinomios Desarrolle cada una de las siguientes expresiones (escriba cada expresin como un polinomio). Registre el tiempo que le lleva realizar cada desarrollo. 1 (a + b) 1 4 (a + b) 4

2 5

(a + b) 2 (a + b) 5

3 6

(a + b) 3 (a + b) 6

Observe sus respuestas y tome nota de los patrones que observe. Observa alguna similitud con el tringulo de Pascal? Basndose en estos patrones, prediga cul podra ser el desarrollo de (a + b) 7 .

Captulo 6

1 85

Desarrollo binomial Veremos qu sucede cuando desarrollamos una expresin como (a + b) n, donde n es un nmero entero positivo. En la investigacin de la pgina 85, se desarrollaron estas expresiones: (a + b)  = a + b (a + b)2 = a2 + 2ab + b2 (a + b) 3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3 (a + b) 4 = a4 + 4a3 b + 6a2b2 + 4ab3 + b4 (a + b) 5 = a5 + 5a4b +  0a3 b2 +  0a2b3 + 5ab4 + b5 Si observamos con detenimiento cada desarrollo, veremos algunos patrones: El nmero de trminos es uno ms que el valor de n. 2 Las potencias de a comienzan con an , y las potencias de a decrecen en 1 unidad hasta llegar a a0 (a0 = 1) en el ltimo trmino. 3 Las potencias de b comienzan con b0 (b0 = 1), y las potencias de b crecen en 1 unidad hasta llegar a bn en el ltimo trmino. 1

Los coefcientes son todos nmeros del tringulo de Pascal! Los coefcientes de (a + b) n son los nmeros de la ensima fla del tringulo de Pascal. Podemos hallarlos usando el tringulo o la rmula de combinaciones, o la uncin nCr en la CPG. 5 La suma de los exponentes de cada trmino coincide con el exponente del binomio. 4

Por ejemplo, en el desarrollo de (a + b) 3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3 , los exponentes de cada trmino suman 3. Podemos usar estos patrones para desarrollar la expresin (a + b)6. El desarrollo tendr 7 trminos. Las potencias de a decrecern, las potencias de b crecern. Los coefcientes sern los de la sexta fla del tringulo de Pascal ( , 6,  5, 20,  5, 6,  ). Por consiguiente, (a + b)6 = a6 + 6a5b + 5a4b2 + 20a3 b3 + 5a2b4 + 6ab5 + b6 Estos patrones y observaciones nos pueden ayudar a comprender el teorema general del binomio para desarrollar potencias de binomios.  El teorema del binomio establece que para cualquier potencia de un binomio donde n  Z + ,

(a + b)

n

n  n  n  n  =  a n b 0 +  a n 1 b1 +  a n  2 b 2 + ... +  a 0 b n 0 1 2 n

 Podemos incluso escribir el desarrollo del binomio usando notacin de sumatoria.

(a + b) 186

n

n  n   n r r  =    ( a ) ( b )  r = 0  r  

Patrones, progresiones y series

Por ejemplo, cuando n = 4, el desarrollo tiene 5 trminos. (a + b) 4 = a 4 + 4a 3b + + 2 signifca 4 n 2 bZ n + 4ab3 + bque . Los 6a es un nmero entero coefcientes 1, 4, 6, 4, 1positivo. son los de la cuarta fla del tringulo de Pascal. En (a + b) 5 los coefcientes 1, 5, 10, 10, 5, 1 son los de la quinta fla del tringulo de Pascal.

Adems del teorema del binomio, las combinaciones se usan en muchas otras reas de las matemticas, por ejemplo, las probabilidades. Hasta podemos usar combinaciones para calcular la probabilidad de ganar la lotera!

ejmplo  Utilice el teorema del binomio para desarrollar (x + 3)5. Escriba la respuesta en su forma ms sencilla. Respuesta

( x + 3)

5

Reemplazar valores en el teorema del binomio Es importante saber hallar estos valores con calculadora o sin ella.

5  5  5  5  5  5  =   x 5 3 0 +   x 4 31 +   x 3 3 2 +   x 2 3 3 +   x1 3 4 +   x 0 3 5 3  1  2  5  0  4 

= (1)(x5)(1) + (5)(x4)(3) + (10)(x3)(9) + (10)(x2)(27) + (5)(x1)(81) + (1)(1)(243) = x5 + 15x4 + 90x3 + 270x2 + 405x + 243

ejmplo  Utilice el teorema del binomio para desarrollar (2x  5y)3. Escriba la respuesta en su forma ms sencilla. Respuesta

( 2x  5 y )

3

Una expresin como (2x) 3 requiere de especial cuidado: el exponente debe aplicarse tanto a la variable como al coefciente! (2x)3 = 23 x3 = 8x3

3  3  3  3 0 2 1 1 2 =   ( 2 x ) (  5 y ) +   ( 2 x ) (  5 y ) +   ( 2 x ) ( 5 y ) 0 1 2       3  0 3 +  ( 2 x ) ( 5 y ) 3   = (1)(8x3 )(1) + (3)(4x2)(5y) + (3)(2x)(25y2) + (1)(1)(125y3 ) = 8x3  60x2y + 150xy2  125y3

Ejercitacin 6N Utilice el teorema del binomio para desarrollar cada expresin. 3

1

(y + 3)

5

2

(2b  1)

4

3

(3a + 2)

6

5

5

(x + y)

8

6

(3a  2b)

4

2  7  3c +  d 

 2 2 4  x +  x 

3

 2 1  8  4x +  2y  

A veces, no har falta obtener el desarrollo completo de la potencia del binomio. Quizs solo necesitemos hallar un trmino en particular.

ejmplo  Halle el trmino en x3 en el desarrollo de (4x  1) 9. Respuesta 9  3 6  ( 4 x ) ( 1 ) 6   = ( 84 ) ( 64 x 3 ) (1 ) = 5376x3

Para obtener x3 , elevar el primer trmino al cubo. Entonces, el segundo trmino del binomio, 1, ir elevado a la sexta potencia. Se podra 9  9  usar   en lugar de   , porque 6  3  tienen el mismo valor. Captulo 6

1 87

ejmplo  En el desarrollo de (2x + 1) n , el coefciente del trmino en x3 es 80. Halle el valor de n. Respuesta n  3 n 3 3  ( 2 x ) 1 = 80 x 3  

Se pudo haber usado  n  en lugar de n  3  que estos valores son iguales.

  n! 3 3  ( 8 x ) (1 ) = 80 x 3 ! n 3 !  ( ) ( )  

Usar la rmula 

 n , ya   3 

n  n!  = r  r! (n  r)!

  n!  ( 8 ) = 80  (3) ! ( n  3 ) ! 

Ya que solo se debe hallar el coefciente, se puede prescindir de x3 .

n  ( n  1 )  ( n  2 )  ( n  3 )  ( n  4 )  ...

( 3  2  1 )  ( n  3 )  ( n  4 )  ... 

( 8 ) = 80

n  ( n  1 )  ( n  2 )  ( n  3 )  ( n  4 )  ...

= 10

( 3  2  1 )  ( n  3 )  ( n  4 )  ...  n  (n  1)  (n  2) = 10 6

Dividir ambos miembros por 8 Simplifcar los actores repetidos en el numerador y el denominador Se pueden resolver ecuaciones polinmicas como estas usando la CPG.

n  ( n  1 )  ( n  2 ) = 60 n3  3n2 + 2n  60 = 0 n=5

Ejercitacin 6O 1

Halle el trmino en x5 del desarrollo de (x  4) 7.

PREGUNTAS TIPO EXAMEN Halle el trmino en y4 del desarrollo de (4y  1) 5 .

2

3

Halle el trmino en a2b4 del desarrollo de (2a  3b) 6.

4

Halle el trmino constante en el desarrollo de (x  2) 9.

5

6

En el desarrollo de (px + 1) , el coefciente de x es 160. Halle el valor de p.

6

En el desarrollo de (3x + q) 7, el coefciente de x5 es 81 648. Halle el valor de q.

El  trmino constante es el trmino numrico que no tiene variables.

3

PREGUNTA TIPO EXAMEN 8 1   7 Halle el trmino constante en el desarrollo de  4 x   . x 

8



6

  Halle el trmino constante en el desarrollo de  2 x   . x 2



3



PREGUNTA TIPO EXAMEN 9 En el desarrollo de (x + 1) n, el coefciente del trmino en x3 es el doble del coefciente en x2. Halle el valor de n. 188

Patrones, progresiones y series

10



En el desarrollo de (x + 2) n, el coefciente del trmino en x3 es dos veces el coefciente del trmino en x4. Halle el valor de n.

ejrcicios d rvisin PREGUNTAS TIPO EXAMEN 1 Considere la progresin aritmtica 3, 7, 11, 15, ... a Escriba la dierencia. b Halle u71 . c Halle el valor de n tal que un = 99. 2

Los 3 primeros trminos de una progresin geomtrica infnita son 64, 16 y 4. a Escriba el valor de r. b Halle u4. c Halle la suma de los infnitos trminos de esta progresin.

3

En una progresin aritmtica, u6 = 25 y u12 = 49. a Halle la dierencia. b Halle el primer trmino de la progresin.

4

Considere la progresin aritmtica 22, x, 38, ... a Determine el valor de x. b Halle u31 .

5

Evale la expresin

4

 (3 ). a

a =1

6

Considere la serie geomtrica 800 + 200 + 50 + ... a Halle la razn. b Halle la suma de los infnitos trminos.

7

Halle todos los posibles valores de x para los cuales esta progresin resulta geomtrica: x, 12, 9x, ...

PREGUNTA TIPO EXAMEN 8 Halle el trmino en x3 del desarrollo de (2x + 3) 5 . 9

Un almacn tiene un exhibidor de sopas en lata apiladas en orma piramidal. La fla superior tiene tres latas y cada fla tiene dos latas ms que la fla anterior. a Si hay 35 latas en la fla inerior cuntas flas tiene el exhibidor? b Cuntas latas hay en el exhibidor en total?

ejrcicios d rvisin 1

En una serie aritmtica, el primer trmino es 4 y la suma de los 25 primeros trminos es 1000. a Halle la dierencia. b Calcule el valor del 17. trmino.

PREGUNTA TIPO EXAMEN 2 Considere la progresin aritmtica 3; 4,5; 6; 7,5; ... a Halle u63 . b Halle el valor de n tal que Sn = 840.

Captulo 6

1 89

3

En una serie aritmtica, el dcimo trmino es 25 y la suma de los 10 primeros trminos es 160.  Halle el primer trmino y la dierencia. b Halle la suma de los 24 primeros trminos.

PREGUNTAS TIPO EXAMEN 4 En una progresin geomtrica, el primer trmino es 3 y el sexto trmino es 96.  Halle la razn. b Halle el menor valor de n para el cual un > 3000. 5

En una progresin aritmtica, el primer trmino es 28 y la dierencia es 50. En una progresin geomtrica, el primer trmino es 1 y la razn es 1,5. Halle el menor valor de n para el cual el ensimo trmino de la progresin geomtrica es mayor que el ensimo trmino de la progresin aritmtica.

6

En una serie geomtrica, el tercer trmino es 45 y la suma de los 7 primeros trminos es 2735. Halle el primer trmino y la razn r, si r  Z.

PREGUNTA TIPO EXAMEN 7

7

Halle el trmino en x4 del desarrollo de  x  3  .

8

En el desarrollo de (ax + 2) 8, el trmino en x5 tiene coefciente . 16 Halle el valor de a.

9

2



7

A comienzos de 2010, la poblacin de un pas era de 3,4 millones. Si la poblacin crece a una tasa del 1,6% anual, estime la poblacin del pas a comienzos de 2040. b Si la poblacin sigue creciendo a esta tasa, en qu ao la poblacin del pas exceder los 7 millones? 

ResuMeN del captulO 6 pron y rogrion 



Una rogrin nmri es un patrn de nmeros dispuestos en un orden particular de acuerdo con una regla. Cada nmero o elemento de la progresin se denomina rmino.

progrion rimi 



En una progresin aritmtica, los trminos crecen o decrecen en un valor constante. Este valor recibe el nombre de ifrni o d. La dierencia puede ser un valor positivo o negativo. Podemos calcular el trmino ensimo de una progresin aritmtica usando la rmula: un = u + (n  )d Contina en la pgina siguiente.

190

Patrones, progresiones y series

progreione geomrica 



En una rogrein geomrica , cada trmino puede obtenerse multiplicando al trmino anterior por un valor constante. Este valor constante se denomina razn o r. Se puede hallar el ensimo trmino de una progresin geomtrica usando la rmula: un = u1 (r n  1 )

la noacin de umaoria ( ) n



 u signifca la suma de los primeros n trminos de una progresin. i

i =1

Esto se lee la suma de todos los trminos ui desde i = 1 hasta i = n.

serie arimica 

Se puede hallar la suma de los n primeros trminos de una serie aritmtica usando la rmula: Sn =

n n ( u1 + un ) o Sn = ( 2u1 + ( n  1 ) d ) 2 2

serie geomrica 

Se puede hallar la suma de los n primeros trminos de una serie geomtrica usando la rmula: Sn =

u1 ( r n  1 ) r 1

o Sn =

u1 (1  r n ) 1r

, donde r  1 .

serie convergene y uma de infnio rmino 

Para una serie geomtrica con r < 1, S =

u1 . 1r

tringuo de paca y dearroo de binomio 

El nmero de combinaciones de n elementos tomados de a r por vez se halla mediante: n  n! , donde n! = n  (n  1 )  (n  2)    1   = r r ! n (  r)  



El teorema del binomio establece que para cualquier potencia de un binomio, donde n  N,

(a + b) 

n

n  n  n  n  =  a n b 0 +  a n 1 b1 +  a n  2 b 2 + ... +  a 0 b n n 0 1 2

Se puede incluso escribir el desarrollo binomial usando notacin de sumatoria: n   n  n r n r  ( a + b ) =    ( a ) ( b )  r =0  r   Captulo 6

1 91

teora del conoimieno

de quin fue la iea espus e oo? El tringulo de Pascal debe su nombre al rancs Blas Pascal, quien hacia 1 654 se refri a l en su Tratado del tringulo aritmtico. Sin embargo, las propiedades de este patrn eran conocidas y ueron estudiadas por matemticos en la India, China y otras partes del mundo siglos antes de la poca de Pascal. En China, el tringulo de Pascal se conoce como Tringulo de Yang Hui, en honor a un matemtico del siglo XIII, aunque era conocido mucho antes de esta echa.

Esta no es la primera vez que una idea matemtica de larga data se atribuye a una persona en particular. Ha ocurrido frecuentemente, cuando un matemtico de renombre ha publicado un resultado importante y presentado la idea matemtica al pblico. A lo largo de los aos, se les ha dado crdito a los matemticos por sus descubrimientos o invenciones.  Cree que muchas de estas ideas se han atribuido a personas equivocadas?

En el siglo XI, el matemtico y poeta persa Omar Khayym se refri al patrn que se observa en el tringulo de Pascal.  

 Omar Khayym (c. 1048c. 1131)

Qu es el tringulo de Tartaglia? Cmo se usa el tringulo de Pascal?

Tringulo de Pascal 1 1 1 1 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1 1 5 10 10 5 1 1 6 15 20 15 6 1 192

[ Blas Pascal (16231662)

Teora del Conocimiento: de quin fue la idea despus de todo?

El matemtico italiano Fibonacci, Leonardo de Pisa, present la progresin de Fibonacci en su libro Liber abaci, publicado en 1202.

En l plasm este problema:

Si comenzamos con una sola pareja de conejos y cada mes cada pareja produce una nueva pareja que se vuelve frtil a partir del segundo mes, cuntas parejas de conejos habr en un ao?

Fibonacci no fue el nico matemtico que trabaj con este patrn.

El diagrama muestra cmo crece la progresin. 1. er mes: 2. mes: 3. er mes: 4. mes:

Nmero de parejas

1 pareja original de dos conejos contina 1 pareja, ya que todava no son frtiles 2 parejas: la pareja original y la nueva pareja que procrean 3 parejas: la pareja original, la pareja que procrean en el tercer mes, la pareja que procrean en el cuarto mes

1

1

2

3

El nmero de parejas genera la progresin de Fibonacci:

5

1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233,  donde cada trmino es la suma de los dos trminos anteriores.

Los nmeros de la progresin de Fibonacci se ven recuentemente en la naturaleza. El nmero de espirales en la corteza de las pias o en las corolas de las fores son, a menudo, nmeros de la progresin de Fibonacci.  Es simplemente un accidente que una progresin matemtica tan conocida aparezca en la naturaleza?  Podra ser que haya una relacin entre matemtica y naturaleza? 

Qu es la seccin urea?Dnde aparece en la naturaleza?



Cmo se relacionan el tringulo de Pascal y la progresin de Fibonacci? Pista: observe las sumas de las diagonales en el tringulo.

{

teora del conoimieno

Fibonai: parones en la nauraleza

Fibonacci (c. 1170c. 1250)

Captulo 6

1 93

Lmites y derivadas

7 ObjetivOs del captulO: 6.1

Idea inormal de lmite y convergencia; notacin de lmite; denicin de f( x + h)  f( x)  . h  

derivadas, a partir del concepto, como f( x) = lim  h0

Interpretacin de la derivada como pendiente de la recta tangente a la curva y como medida de la razn de cambio entre dos variables; tangentes, normales, y sus ecuaciones. 6.2 Derivada de xn (n  R); derivada de la suma y del producto por un escalar de estas unciones; derivada de e x y ln x; regla de la cadena para la composicin de unciones; regla del producto y regla del cociente; derivada segunda; usos 2 de las dos ormas de notacin, d y2  y f  (x). dx 6.3 Puntos mximos y mnimos locales; puntos de infexin con pendiente nula y no nula; comportamiento de los grcos de las unciones, incluida la relacin entre los grcos de f, f  y f ; optimizacin y aplicaciones. 6.6 Problemas de cinemtica relativos al desplazamiento s, la velocidad v y la aceleracin a

an  omnzr Qu necesitamos saber

Comprobemos nuestras habilidades

1

Factorizar una expresin Por ejemplo: 2x3 + 4x2 + 2x = 2x (x2 + 2x + 1)

1

Desarrollar binomios Por ejemplo: Desarrollar (2x   ) 4

2

2

(2 x  1 ) 4

3

1

4

0

3

= 1 ( 2 x ) ( 1 ) + 4 ( 2 x ) ( 1 )

1

1

+ 6 ( 2 x ) 2 (  1 ) 2 + 4 ( 2 x )1 (  1 ) 3 0

+ 1 ( 2 x ) ( 1 )

1

1 1

2 3

1 3

1

4

6

194

2 = 2 x 5 ; x5

Lmites y derivadas

1

1

x = x2

4x2  9  2x2  9x  5 

(2x + 3y) 3

Use exponentes racionales para reescribir cada expresin en la forma cx n: 

1 x6





7



x5

4 x3 7 x3

Utilizar exponentes racionales para reescribir expresiones en la forma cx n Por ejemplo:

4



Desarrolle cada binomio:  (x + 2) 3  (3x  1) 4

4

= 1 6 x 4  32 x 3 + 24 x 2  8 x + 1 3

1

Factorice:  9x4  15x3 + 3x  x2  5x + 6



5 x

Si pulsamos la cuerda de una guitarra y la dejamos vibrar, el sonido se aplaca a medida que pasa el tiempo. Esto se puede modelizar mediante la uncin f ( t ) =

sen t t

, donde t representa tiempo. A medida

que t crece ms y ms, sen t se acerca ms a cero: este es el valor t lmite de la uncin. Escribimos esto como lim t 

sen t

= 0 . El concepto de lmite es

t

undamental en el clculo o anlisis matemtico. En un prximo captulo aprenderemos ms acerca de la uncin seno, cuyo grfco es una onda sinusoidal. El anlisis es la rama de las matemticas que toma el lgebra y la geometra, junto con el proceso de lmite, y contempla dos tipos de problemas. El clculo dierencial usa lmites para hallar la razn a la que cambia una cantidad variable. El clculo integral usa lmites para resolver problemas que involucren cambios reiterados. En este captulo aprenderemos a evaluar lmites bsicos y luego trataremos ms en detalle el clculo dierencial.

Captulo 7

1 95

7. lmtes y convergenca En esta seccin investigaremos los conceptos de lmites y convergencia y utilizaremos la notacin de lmite. El concepto de lmite es la base del clculo.

investgacn: creacin de una progresin Trabaje con un compaero. Necesitar un pedazo de papel rectangular, un par de tijeras y una copia de esta tabla. Nmero de vuelta

Porcin de papel que tiene al fnal de la vuelta Fraccin Decimal (3 cs)

1 2 3 4 5 6 Vuelta 1: corte el rectngulo de papel en tres trozos de aproximadamente el mismo tamao. Cada alumno toma un trozo y se deja uno sobre la mesa. Anoten la porcin del rectngulo original que ahora tienen, como raccin y como decimal (con tres ciras signifcativas). Vuelta 2: corte el trozo que qued sobre la mesa en tres trozos de igual tamao. Cada uno aade uno de estos trozos a su porcin del rectngulo original. Anoten la raccin total del rectngulo original que ahora tienen, de la misma orma que lo hicieron antes. Repitan el mismo proceso cuatro veces ms. 1

A medida que repitan ms y ms veces esta actividad, qu pueden decir acerca de la porcin del rectngulo original que cada uno tiene? 2 Si repiten este proceso indefnidamente, qu pueden decir acerca de la porcin del rectngulo original que tienen?

Lmites de progresiones Los datos que se obtuvieron en la investigacin orman una progresin donde u es la porcin del rectngulo original que cada uno tiene despus de la vuelta 1, u2 la que tiene despus de la vuelta 2, y as sucesivamente. A las progresiones como estas se las llama convergentes porque a medida que el nmero de trmino en la progresin crece, los trminos de la progresin se aproximan a un valor fjo, conocido como el mte, L, de la progresin. Podemos escribir esto como: lim un = L . n Las progresiones que no son convergentes son dvergentes. Cul es el lmite de la progresin que se gener en la investigacin? 196

Lmites y derivadas

Al cortar el papel en tres trozos iguales, basta con hacerlo de manera aproximada. A medida que complete ms y ms vueltas de esta actividad, se podra decir que el nmero de vueltas tiende a infnito. Puede dar un ejemplo de la vida real que crezca o se desarrolle como este?

La notacin lim u n = L n

se lee el lmite cuando n tiende a infnito de u n es igual a L . Los antiguos griegos usaron la idea de lmite para calcular reas usando el mtodo de exhaucin. Este podra ser un tema interesante para investigar.

ejmplo  Determine si cada progresin es convergente o divergente. Si una progresin es convergente, indique el lmite de la misma. a 0,3; 0,33; 0,3333; ... b 2, 4, 8, 16,  c

1

,

6

,

31

,

1 56

,

781

5 25 1 25 625 31 25

d 1, 1, 1, 1, . . .

, ...

Respuestas a

Convergente; lim un = n

1

El patrn indica que la progresin se aproxima a . 0, 333 3 , o 0 , 3 , que 1 es la orma decimal de .

3

3 b Divergente

Otras notaciones para indicar decimales peridicos incluyen 0 3 .

Cada trmino en la progresin es mayor que el anterior, por lo que no se acercan a un lmite.

c Convergente; lim un = n

1

Para comparar racciones con dierentes denominadores, usar una calculadora de pantalla grfca (CPG) para convertirlas en decimales: 0, 2; 0, 24; 0, 248; 0, 2496; 0, 24992; . . . 1 Los valores se acercan a 0, 25 o .

4

4

d Divergente

Los trminos en la progresin oscilan entre dos valores y no se acercan a un valor fjo.

Ejercitacin 7A Determine si cada progresin es convergente o divergente. Si una progresin es convergente, d el lmite de la misma. 1

1, 3, 5, 7, 

2

3,49; 3,499; 3,499; 3,4999; 

3

1 1 1 1 , , , , ... 1 0 1 00 1 000 1 0 000

4

20 1 21 1 82 1 093 1 640 , , , , , ... 27 1 62 243 1 458 21 87

5

3, 4, 3, 4, 3, 4, 

Limites de funciones lim f ( x ) = L signifca que a medida que el valor de x xc se acerca lo sufciente a c (desde cualquier lado), la uncin  (x) se acerca a un valor fjo L. Si  (x) no se acerca a un valor fjo L, decimos que el lmite no existe.

Se puede usar la CPG para hallar el lmite de una uncin. Grfcamnt: se representa grfcamente la uncin y se examinan los valores de f(x) cuando x se acerca a c. Numricamnt: se hace una tabla de valores y se examinan los valores de f(x) cuando x se acerca a c.

Captulo 7

1 97

ejmplo 2 Use una CPG para examinar cada uncin grfcamente y numricamente. Halle el lmite o indique que no existe. x2  1 1 para x  0 2  lim x b lim c lim f ( x ); donde f ( x ) =  x2 x0 x 1 x 1  1 para x < 0 Respuestas 2  lim x x2

y 7

Obtenga el grfco de (x) = x usando una CPG, y observe el valor de (x) a medida que x se acerca a 2 por la derecha y por la izquierda. 2

6 5

f(x) = x2

4 3 2 1

Grfcamente, (x) se acerca a 4 a medida 4 3 2 1 0 1 2 3 4 x que x se acerca a 2. Numricamente, cuando x se acerca a 2 por cualquiera de los dos lados, (x) se acerca a 4. 2 x 1,8 1,9 1,99 1,999 2,001 2,01 2,1 2,2 f 1(x) 3,24 3,61 3,960 3,996 4,004 4,040 4,41 4,84 4 Para construir la tabla anterior usando una CPG, ingrese 1(x) = x 2. Luego confgure la variable independiente en ask (preguntar). Ingrese los valores de x.

Por lo tanto, lim x 2 = 4 x2

El grfco y la tabla se muestran en la misma pantalla.

Para (x) = x2 podemos sustituir y hallar que lim x 2 = 2 2 = 4 x 2

{ Contina en la pgina siguiente.

198

Lmites y derivadas

b

lim x 1

x2  1

(x) se acerca a 2 a medida que x se acerca a 1:

x 1

y 7 6 5 4 3 2 1

f(x) =

4 3 2 1 0

x2  1 x 1

1 2 3 4 x

x2  1 no est x 1 defnida cuando x  1 = 0 o x = 1. En consecuencia, hay una discontinuidad en el grfco cuando x = 1. Tenga en cuenta que Dado que la divisin por cero no est defnida, f( x ) =

x 2  1 ( x + 1)( x  1) = x + 1 , cuando x  1. = x 1 x 1 x2  1 no est defnida cuando x = 1, el lmite existe, ya que a Si bien f ( x ) = x 1

f( x ) =

medida que x se acerca a 1 por ambos lados,  (x) se acerca a 2. x f (x)

0,8 1,8

0,9 1,9

0,99 1,99

2

Por lo tanto, lim x 1

c

x2  1

=2

x 1

lim f ( x ) donde x0

1 para x  0 f( x ) =    1 para x < 0

Observe que lim x 1

x 1 x 1

= lim

 1 0,999 1,001 1,999 2,001  2

1,01 2,01

1,1 2,1

1,2 2,2

( x + 1)( x  1)

x 1 ( = lim x + 1 ) = 1 + 1 = 2 x 1

x 1

(x) no se acerca al mismo valor a medida que x se acerca a 0 por la izquierda y por la derecha:

y 2 1

4 3 2 1 0

1 2 3 4 x

1 2

x 0,2 0,1 0,01 f (x) 1 1 1 Por lo tanto, lim f ( x ) no existe. x0

 0 0,001 0,001 0,01 1 1 1

0,1 1

0,2 1

Observe que (0) = 1, pero lim f ( x ) no existe. x0

Esto es porque (x) se acerca a 1 para valores de x a la derecha de x = 0 y (x) se acerca a 1 para valores de x a la izquierda de x = 0.

Captulo 7

1 99

Ejercitacin 7B Use una CPG para examinar cada uncin grfcamente y numricamente. Halle el lmite o indique que no existe. x3  4 x2 + x x

1

lim( x 2 + 1 )

3

lim

5

 x + 3 para x  1 lim f ( x ) ; donde f ( x ) =  x 1   x + 5 para x < 1

6

 x 2 + 3 para x  2 lim f ( x ) ; donde f ( x ) =  x2 para x < 2 x

x 3

x2

x2  3 x + 2 x2

2

lim

4

lim

x0

x 4

Material de ampliacin disponible en lnea: Hoja de ejercicios 7: Una mirada algebraica a los lmites

1 x4 Una reta seante a una circunerencia corta a la circunerencia dos veces. Una reta tangente a una circunerencia corta una sola vez a la circunerencia.

7. la reta tangente y a dervada de xn En esta seccin trabajaremos con rectas secantes, tangentes y normales. Defniremos la derivada de una uncin y aprenderemos algunas reglas para hallar las derivadas de ciertas unciones.

Una recta tangente a una curva puede cortar a la curva ms de una vez.

investgan: rectas secantes y tangentes Aqu est el grfco de f (x) = x2 + 1.

y

1

Copie el grfco al papel y dibuje las rectas AP, BP, CP, DP, EP y FP. A estas rectas se las llama retas seantes al grfco de f(x) = x2 + 1. 2 Copie y complete la tabla. punto

coordenadas

P A B C D E F

Reta

pendente

 AP BP CP DP EP FP



6 5 4 3 A F 2 B E C 1 P D 0 1 2 1 2

Recuerde que la pendiente de una recta que pasa por los puntos (x1, y1) y (x2 , y2 ) es

3 A medida que los puntos en la curva se acercan ms y ms al punto P,

a qu valor pareciera que se aproximan las pendientes de las rectas secantes? 4 Dibuje la recta en el punto P que tiene la pendiente que hall en la pregunta 3. Esta recta se llama reta tangente al grfco de f (x) = x2 + 1 en P.

200

Lmites y derivadas

x

y2  y1 . x2  x1

Las rectas tienen pendiente constante, pero otras curvas no. La pendiente de una curva en un punto dado es la pendiente de la recta tangente a la curva en el ese punto. Con este concepto trabaj Sir Isaac Newton cuando quiso hallar la velocidad instantnea de un objeto en movimiento cuya velocidad iba variando continuamente.

Pendiente de una recta secante y

y = f(x)

f(x + h)

Q(x + h, f(x + h))

f(x)

[ Sir Isaac Newton, 16421727, matemtico ingls, es uno de los matemticos a los que se atribuye el desarrollo del clculo.

P(x, f(x))

0

x

x

x+h h

La pendiente de la recta secante PQ se escribe como: f( x + h )  f( x ) f( x + h )  f( x ) = ( x + h)  x h

La expresin f( x + h )  f( x) se conoce h

como cocint incrmntal.

ejmplo  Escriba una expresin para la pendiente de una recta secante para  (x) = x2 + 1. Simplifque su expresin. Respuesta f(x + h)  f(x )

=

(

 ( x + h ) 2 + 1   x 2 + 1

h

)

h

=

(x

2

2

h

=

=

) (

2

+ 2 xh + h + 1  x + 1

2 xh + h

Desarrollar (x + h) 2

2

Agrupar los trminos semejantes

h

(

)

Reemplazar la x en x 2 + 1 por x + h, para obtener una expresin para  (x + h)

h 2x + h

)

Factorizar

h

= 2x + h

Simplifcar

Ejercitacin 7C Escriba una expresin para la pendiente de una recta secante para cada uncin. Simplifque su expresin. 1

(x) = 3x + 4

2

(x) = 2x2  1

3

(x) = x2 + 2x + 3 Captulo 7

201

Pendiente de una recta tangente y la derivada Suponga que el punto Q se desliza hacia abajo por la curva y se acerca al punto P. La recta secante PQ se acercar a la recta tangente en el punto P. A medida que Q se acerca a P, h se acerca a 0. Podemos tomar el lmite cuando h tiende a 0 de la pendiente de la recta secante, para obtener la pendiente de la recta tangente: lim h 0

lim

f( x + h )  f( x ) h

h0

f( x + h)  f( x) no es h

f( x + h )  f( x ) se conoce h

como la drivada de . La derivada es defnida por h0

f( x + h )  f( x ) dy f( x + h )  f( x ) = lim o . h  0 h dx h

ejmplo 4

 ( x + h ) 2 + 1   ( x 2 + 1 ) f ( x ) = lim 

Simplifcar el cociente como se muestra en el ejemplo 3

= lim ( 2 x + h ) = 2 x + 0

Evaluar el lmite reemplazando h por 0

h

h0

f ( x ) = 2 x f  (3 ) = 2 ( 3 ) = 6 Por lo tanto, la pendiente de la recta tangente cuando x = 3 es 6.

La derivada, f (x) = 2x, es una funcin que da la pendiente de la curva f(x) = x2 + 1 para cualquier valor de x.

Ejercitacin 7D Use la defnicin de derivada para hallar la derivada de y a partir de ah, halle la pendiente de la recta tangente en el valor de x dado. 1  (x) = 2x  3; x = 2 2

 (x) = 3x2 + 2x; x = 3

3

 (x) = x2  x + 2; x = 

Lmites y derivadas

f(x)

P(x, f(x))

0

x+h

x

x

h

f (x) se lee  derivada de f  , o f prima de x .

dy se lee dx

derivada de y con respecto a x . Recordemos que la pendiente es . Esto se

va ri a c i  n e n x

expresa como dy

Respuesta

202

f(x + h)

va ri a c i  n e n y

Halle la derivada de  (x) = x2 + 1 y a partir de lo anterior, halle la pendiente de la recta tangente cuando x = 3.

h0

y = f(x) Q(x + h, f(x + h))

una constante. Es una funcin que da la pendiente de f en x.

 La uncin defnida por el lmite lim h0 f( x ) = lim

y

dx

= lim x  0

y x

.

y . x

Algunas reglas de derivacin

invstgacn: la derivada de f(x) = xn 1

Use la defnicin de derivada para hallar las derivadas de f (x) = x2 , f (x) = x3 y f (x) = x4. 2 Realice una conjetura acerca de la derivada de f (x) = xn . Exprese su conjetura en orma coloquial y como uncin. 3 Use su conjetura para predecir la derivada de f (x) = x5 . Use la defnicin de derivada para verifcar si su prediccin ue correcta.

Recuerde que la defnicin de derivada es: f( x ) = lim h 0

f( x + h )  f( x ) . h

Hemos investigado solo valores enteros positivos de n, pero la siguiente regla es vlida para cualquier nmero real n.  Rgla d la potnca Si  (x) = x n, entonces  (x) = nx n , donde n  R.

ejmplo  Use la regla de la potencia para hallar la derivada de cada funcin: a

f( x ) =

b

 (x) = x12

1

c

x3

f( x ) = x

Respuestas a

Usar la regla de la potencia

 (x) = x12 f( x ) = 1 2 x1 2  1 = 1 2 x1 1

b

f( x) =

1

= x 3

x3

3 1 = 3 x  4 =  f( x ) = 3 x

Escribir de la orma y = x n, con n racional Usar la regla de la potencia Simplifcar

3 x4

1

c

Escribir de la orma y = x n, con n racional

f( x) = x = x 2 f ( x ) =

1

1

x2

1

2 1

=

1

2x

2

1

=

1

x



2

Usar la regla de la potencia

2 1

o 2

Simplifcar x

Ejercitacin 7E Halle la derivada de cada funcin: 1 4

 (x) = x5 f( x ) = 3 x

2 5

 (x) = x8 f( x ) =

1 x

1 x4

3

f( x ) =

6

f( x ) = 5 x3

Captulo 7

203

Usando la regla de la potencia y las siguientes dos reglas podemos hallar las derivadas de muchas funciones. El proceso de hallar la derivada de una funcin se llama drivacin .  Rgla d la constant Si  (x) = c, donde c es cualquier nmero real, entonces  (x) = 0. Rgla d la constant La derivada de cualquier constante es 0. El grfco de la uncin constante f(x) = c es una recta horizontal, que tiene pendiente 0.

 Rgla d la multiplicacin por una constant Si y = c (x), donde c es cualquier nmero real, entonces y  = c (x). Rgla d la multiplicacin por una constant La derivada de una constante multiplicada por una uncin es la constante multiplicada por la derivada de la uncin.

 Rgla d la adicin o la sustraccin Si  (x) = u(x)  v (x), entonces  (x) = u (x)  v (x). Rgla d la adicin o la sustraccin La derivada de una uncin que es la suma (o dierencia) de dos o ms trminos es la suma (o dierencia) de las derivadas de los trminos.

ejmplo 6 Halle la derivada de cada funcin: (x) = 4x3 + 2x2  3 b f( x ) = 3 5 x + 8

a

c (x) = (x  2) (x + 4)

d

f( x ) =

4 x3 + 2 x 2  3 x

Respuestas a

f( x ) = 4 x3 + 2 x 2  3 f ( x ) = 4 ( 3 x

) + 2 (2x )  0

3 1

2 1

Hallar la derivada de cada trmino. Observe que la derivada del trmino constante es 0.

2

= 12x + 4x 1

b f( x ) = 3 5 x + 8 = 3 x 5 + 8 f ( x ) = 3 

1

1

x5

5

3

=

4

5x

5

1

+ 0=

3

x

Escribir de la orma y = x n, con n racional 

4 5

5

3

o 5

Simplifcar

5

4

x 2

c f ( x ) = ( x  2 )( x + 4 ) = x + 2 x  8

f ( x ) = 2 x

2 1

Hallar la derivada de cada trmino. Observe que la derivada del trmino constante es 0.

+ 2 1x

1 1

 0 = 2x + 2

Primero desarrollar, para que la uncin sea una suma o dierencia de trminos de la orma axn { Contina en la pgina siguiente.

204

Lmites y derivadas

d

4 x3 + 2 x 2  3

f( x ) =

x

4 x3

=

x

+

2x2



x

3

Reescribir, para que la funcin sea una suma o diferencia de trminos de la forma ax n

x

= 4 x 2 + 2 x  3 x 1 f( x ) = 4  2 x

2 1

+2x

= 8x + 2 + 3x 3

2

1 1

 3  (1 )  x

= 8x + 2 +

1 1

3 x

2

2

8x + 2x + 3

o

x

2

Ejercitacin 7F Derive cada funcin:

4

3

f( x ) = x3 

f (x) =  x 5

5

f (x) = (x  4) 2

6

f( x ) = x  4 3 x

3 4x2

8

10 f ( x ) =

x 2

13

3 x2

f (x) = 5

f( x ) =

7

2 x8

2

f( x ) =

1

(

3

x+4 x

)

11

f( x ) =

3

( 4x)

9

2

f (x) = 12  x 4

f(x) = 3x4  2x2 + 5 12 f(x) = 2x 2 + 3x + 7

1

f ( x ) = x 3 + 2 x 3 + 1 14 f (x) = 2x (x2  3x) 15 f (x) = (x 2 + 3x)(x  1)

Ecuaciones de rectas tangentes y normales La rcta normal a un punto de una curva es la recta perpendicular a la recta tangente en ese punto. Recta normal a la curva

[ Las chispas que crea una piedra de pulir son tangnts a la rueda.

y = f(x) Recta tangente a la curva

ejmplo  Escriba una ecuacin para cada recta. La recta tangente a la curva f(x) = x2 + 1 en el punto (1, 2). b La recta normal a la curva f ( x ) = 2 x cuando x = 9. a

c Las rectas normal y tangente a la curva f ( x ) = x +

27 2x

2

cuando x = 3. d La tangente a f(x) = x3  3x2  13x + 15 que es paralela a la tangente en (4, 21). { Contina en la pgina siguiente.

[ Los rayos de una rueda de bicicleta son normals a la llanta. Captulo 7

205

Respuestas Para hallar la pendiente de la recta tangente, halle la derivada de f y evale para x = 1.

f(x) = x2 + 1 f (x) = 2x

a

mtangente = f (1 ) = 2 (1 ) =2

Use el punto (1, 2) y m = 2 para escribir la ecuacin de la recta tangente.

 y  2 = 2( x  1 ) b

Escriba de la forma y = x n, con n racional.

f( x ) = 2 x 1

= 2x 2 f( x ) = x



1 2

1

o

x

=

1 9 1 3

Puesto que la recta normal es perpendicular a la tangente, halle la pendiente tomando el simtrico del recproco de la pendiente de la tangente. Halle un punto en la recta normal, hallando el valor de f para x = 9.

mno rmal = 3 f(9 ) = 2 9 = 6

Use el punto (9, 6) y m = 3 para escribir la ecuacin de la tangente.

 y  6 = 3 ( x  9 ) c

f( x ) = x + = x+ f( x ) = 1 

27

Escriba de la forma y = x n, con n racional.

2x2 27

x 2

2 27

Para hallar la pendiente de la tangente, halle la derivada de f y evale para x = 3.

x3

m tangente = f  (3 ) =1

27 3

3

Dado que la pendiente es 0, la tangente es horizontal, entonces la recta normal debe ser vertical.

=0

f(3 ) = 3 + =

27 2

2 (3 )

9 2

 La recta normal es x = 3 y la recta tangente es y =

9

2

Halle un punto perteneciente a las rectas, hallando el valor de f para x = 3.

. { Contina en la pgina siguiente.

206

Lmites y derivadas

La ecuacin de una recta a la que pertenece el punto (x1, y1) con pendiente m es y  y1 = m(x  x1). (Vase la seccin 3.11 en el captulo 18.)

Para hallar la pendiente de la recta tangente, halle la derivada de f y evale para x = 9.

mtangente = f (9 ) =

El smbolo  signifca  por lo tanto .

Si una recta tiene pendiente m, la pendiente de la recta perpendicular ser 1 . (Vase la m

seccin 3.11 en el captulo 18.)

d f (x) = x3  3x2  13x + 15

f ( x ) = 3 x 2  6 x  1 3 f( 4 ) = 3 ( 4 ) 2  6 ( 4 )  1 3 = 11

Halle la pendiente de la recta tangente cuando x = 4.

2

3x  6x 1 3 = 1 1 3 x 2  6 x  24 = 0 3( x 2  2 x  8) = 0 3 ( x  4 )( x + 2 ) = 0 x = 4,  2

Iguale la derivada a 11 para hallar la coordenada x de los puntos con rectas tangentes paralelas.

Tenga en cuenta que uno de los valores, x = 4, es la coordenada x del punto de tangencia (4, 21). La coordenada x del punto de tangencia para la recta paralela es x = 2.

f( 2 ) = ( 2 ) 3  3 ( 2 ) 2  1 3 ( 2 ) +15 = 21  y  21 = 1 1 ( x + 2 )

Recordemos que las rectas paralelas tienen la misma pendiente.

Evale f en x = 2 para hallar la coordenada y del punto de tangencia. Use el punto (2, 21) y m = 11 para escribir la ecuacin de la recta tangente.

Ejercitacin 7G 1

2

Halle las ecuaciones de la recta tangente y la recta normal al grfco de f (x) = x2  4x en el punto (3, 3). Represente grfcamente la uncin y las rectas a mano. Halle la ecuacin de la recta tangente a la curva en el punto dado. f (x) = x2 + 2x + 1 en (3, 4) b f ( x ) = 2 x + 4 en x = 1

a

c 3

f( x ) =

x2 + 6 en (3, 5) x

d

f( x ) = 4 x +

8 x

en x = 1

Halle la ecuacin de la recta normal a la curva en el punto dado. a

f (x) = 2x2  x  3 en (2, 3)

b

c

f (x) = (2x +1) 2 en (2, 25)

d

4 1  en x = 1 x x2 4 f ( x ) = 2 3 x  2 en x = 1 x

f( x ) =

PREGUNTAS TIPO EXAMEN Halle las ecuaciones de todas la rectas normales verticales al grfco de f (x) = x3  3x.

4

5

La pendiente de la recta tangente al grfco de f (x) = 2x2 + kx  3 en x = 1 es 1. Halle el valor de k.

Captulo 7

207

7.3 Ms regls de derivcin Podemos usar una CPG para evaluar una derivada de una uncin en un valor dado. Sabemos que la derivada de f ( x ) = es f( x ) =

1 3 x  3x 4

3 3 2 x  3 y en consecuencia, f( 4 ) = ( 4 ) 2  3 = 9 . 4 4

Hacer clic en las plantillas.

| |{

para ver

Elegir la plantilla de la derivada primera e ingresar la uncin, la variable y el valor de x.

Dado que la calculadora usa una recta secante para aproximar el valor de la derivada, este valor no siempre ser exacto. Podemos obtener el grfco de la uncin y hallar su derivada presionando m e n u :

Para hallar la derivada en un valor especfco de x, use el men de contexto del punto para mostrar sus coordenadas, y luego edite la coordenada x.

dy (analizar grfco) | 5: , y eligiendo dx el punto en el grfco.

anlyze Grph

Se pueden observar los grfcos y las tablas de valores para la uncin y su derivada. Para obtener el grfco de f y f, usamos la plantilla de la derivada primera para escribir la uncin.

208

Lmites y derivadas

En este caso no habr lugar para ingresar un valor de x. Puede ahorrar tiempo ingresando f 1(x) en lugar de reescribir la ecuacin.

invstgacn: las derivadas de ex y ln x 1

Use una CPG para obtener el grfco de f (x) = e x y la derivada de f(x) = e x. Examine los grfcos y la tabla de valores de las unciones para elaborar una conjetura acerca de la derivada de f(x) = ex. 2 Use una CPG para obtener el grfco de f (x) = ln x y la derivada de f (x) = ln x. Examine los grfcos y la tabla de valores de las unciones para elaborar una conjetura acerca de la derivada de f (x) = ln x.

 drvaa  x Si  (x) = ex, entonces  (x) = ex.

Recuerde que y = e x e y = ln x son inversas. e ln x = x ln e x = x

 drvaa  ln x 1 Si  (x) = ln x, entonces f( x ) = . x

ejmplo 8 Halle la derivada de cada funcin: a (x) = 3ex b (x) = x2 + ln x

c (x) = ln e

3x

Respuestas a

Usar la regla de la multiplicacin por una constante y el dato de que la derivada de e x es e x

 (x) = 3ex  (x) = 3  ex = 3ex

b  (x) = x2 + ln x

 (x) = 2x +

1

La letra e se usa como base de la uncin exponencial f (x) = e x, en honor al matemtico suizo Leonhard Euler (17071783).

Hallar la derivada de cada trmino 2

o

2x + 1

x

Usar el dato de que la derivada de

x

ln x es c  (x) = ln e3 x = 3x

1

x

Usar el dato de que las unciones son inversas para poder simplifcar A continuacin, buscar la derivada

 (x) = 3

Ejercitacin 7H Halle la derivada de cada funcin: 2

 (x) = ex +

 (x) = ln e 3 x + ln x

4

 (x) = e ln 4 x + 3x + 1

 (x) = 2e x + ln x

6

 (x) = 5e x + 4 ln e x

1

 (x) = 4 ln x

3 5

4

x 2

Captulo 7

209

Escriba una ecuacin para cada recta en las preguntas 7 a 1 0. 7

La recta tangente a la curva f (x) = 4ex  7 en x = ln 3

8

La recta normal a la curva f ( x ) = ln e x

9

La recta tangente a la curva f (x) = ln x en x = e

10

La recta normal a la curva f (x) = 2x2 + eln x  3 en x = 2

( ) en el punto (3, 9) 2

Cmo se usan las unciones exponenciales en la determinacin de la concentracin de una droga en el organismo de un paciente?

Halle el valor exacto de la derivada en el valor dado de x en las preguntas 11 y 12 y luego use la CPG para hallar un valor aproximado para controlar su trabajo. 11

Halle f (3) si f (x) = 2ex  5.

12

Halle f (8) si f (x) =

3

x + ln x.

investgacn: la derivada del producto de dos funciones Para los pasos 14 sean u(x) = x4 , v(x) = x7 y f(x) = u(x)v(x). 1 2 3 4 5 6

La uncin f puede escribirse como f(x) = xn . Halle n. Halle f (x). Halle u (x) y v (x). Halle u (x)  v (x). Es f (x) igual a u (x)  v (x)? Usando las tres derivadas halladas en los pasos 2 y 3, rellene los espacios en blanco para establecer una proposicin matemtica verdadera. f( x ) = x 4  _______ + x 7  _______ = _______

7 Complete la conjetura.

Si f(x) = u (x)  v (x) entonces f ( x ) = ____  ____ + ____ ____ 8 Use la uncin f(x) = (3x + 1)(x2  1) para

rechazar o confrmar su conjetura del paso 7.

21 0

Lmites y derivadas

La derivada de la suma de dos unciones es la suma de las derivadas de las dos unciones. SI f(x) = u(x) + v(x) entonces f(x) = u(x) + v(x). Se podr aplicar una regla similar a esta para el producto de dos unciones? La conjetura en la investigacin se conoce como la regla del producto. Muchas demostraciones son sencillas y directas, pero la demostracin de esta regla requiere del uso de un paso creativo. Puede buscar y analizar la demostracin, y hallar un ejemplo del paso ingenioso que se necesita para completar la demostracin.

Para funciones como  (x) = x4  x7 y  (x) = (3x +  )(x2   ) se puede reescribir la funcin y usar la regla de la potencia para tomar la derivada. Pero para otras funciones tales como  (x) = (3x +  )(ln x) se necesitara una regla como la desarrollada en la conjetura para hallar la derivada. Las siguientes reglas se usan para hallar la derivada del producto o del cociente de dos funciones.  Rgla dl producto Si  (x) = u(x)  v (x), entonces  (x) = u(x)  v (x) + v (x)  u(x).  Rgla dl cocint Si f ( x ) =

u( x ) v ( x )  u ( x )  u ( x )  v ( x ) , entonces f ( x ) = . 2 v( x ) [v( x ) ]

Rgla dl producto La derivada del producto de dos factores es el primer factor multiplicado por la derivada del segundo ms el segundo factor multiplicado por la derivada del primero. Rgla dl cocint La derivada del cociente de dos factores es el denominador multiplicado por la derivada del numerador menos el numerador multiplicado por la derivada del denominador, todo dividido por el denominador al cuadrado.

ejmplo 9 Halle la derivada de cada funcin: a  (x) = (3x + 1)(ln x) b  (x) = (x4 + 3x3 + 6)(2x  1) c  (x) =

5x + 3

d  (x) =

x2 + 1

Respuestas primer factor segundo factor   a f ( x ) = (3 x + 1 ) (ln x ) p rim e r fac to r

d e riv ad a del segundo



s e gu n d o

d e riv ad a

p rim e ro fa c to r  del    1  f  ( x ) = (3 x + 1 )    + (ln x )  (3 ) x

=3+

1

+ 3 ln x o

x segundo factor

  f( x ) = ( x 4 + 3 x3 + 6) (2 x  1) primer

 (x) = u(x)  v(x), donde u(x) = x4 + 3x3 + 6 es el primer actor y v(x) = 2x  1 es el segundo actor. Aplicar la regla del producto  (x) = u(x)  v (x) + v(x)  u (x)

derivada

factor   del segundo  4 f ( x ) = ( x + 3 x 3 + 6 )  ( 2 ) derivada

segundo

del primero factor     + (2 x  1 )  ( 4 x 3 + 9 x 2 )

Desarrollar los parntesis

= (2 x 4 + 6 x3 + 1 2 ) + 4

 (x) = u(x)  v(x), donde u(x) = 3x + 1 es el primer actor y v(x) = ln x es el segundo actor. Aplicar la regla del producto  (x) = u(x)  v (x) + v(x)  u (x)

3 x + 1 + 3 x ln x

x primer factor

b

x+2 2e x  3

3

3

2

(8 x  4 x + 1 8 x  9 x ) = 1 0 x 4 + 20 x 3  9 x 2 + 1 2

Simplifcar { Contina en la pgina siguiente. Captulo 7

211

c  (x) =

 (x) =

5x + 3

u( x ) , donde u(x) = 5x + 3 es el numerador y v( x ) v(x) = x2 + 1 es el denominador. Aplicar la regla del cociente v ( x )  u ( x )  u ( x )  v ( x )  (x) = [v ( x )] 2 (x) =

x2 + 1

derivada del derivada del numerador numerador denominador denominador     2

( x + 1)

(5 )



 (5 x + 3)  2

(2 x)

2

x  ( + 1) d e n o m in a d o r al c u a d ra d o 2

=

(5 x + 5 )  (1 0 x 2 + 6 x ) ( x2 + 1)2

=

5 x 2  6 x + 5 ( x 2 + 1)2

d  (x) =

Desarrolle el numerador de modo que pueda agrupar los trminos semejantes. No desarrolle el denominador. Simplifcar u( x ) , donde u(x) = x + 2 es el numerador y v( x ) v(x) = 2ex  3 es el denominador.

x+2 2e x  3

 (x) =

(x) = derivada del derivada del numerador numerador denominador   

denominador 

( 2e x  3 ) 

(1)

 ( x + 2)  x (2e 3 ) 2 

Aplicar la regla del cociente v ( x )  u( x )  u ( x )  v( x )  (x) = [v ( x )] 2

( 2e x )

d enominador al cuadrado

=

=

( 2e x  3 )  ( 2 xe x + 4 e x )

( 2e x  3 )

Desarrolle el numerador de modo que pueda agrupar los trminos semejantes. No desarrolle el denominador. Simplifcar

2

2 xe x  2e x  3

( 2e

x

3)

2

Ejercitacin 7I Halle la derivada de cada uncin de las preguntas  a 8. 1

 (x) =

x2 x4

ln x x x2 5  (x) = x+4 3

7

 (x) =

 (x) = ex (5x3 + 4x)

2

 (x) = (2x3 + x2 + x)(x2 + 1)

4

 (x) = ex ln x

ex e +1 2  x2 8  (x) = 3 x +1 6

 (x) =

x

PREGUNTAS TIPO EXAMEN La uncin  (x) = xex tiene una recta tangente horizontal en x = k. Halle k.

9

10

Escriba las ecuaciones de las rectas tangentes al grfco de  (x) =

21 2

x +1 que son paralelas a la recta x + 2y = 10. x 1

Lmites y derivadas

Las reglas del producto y del cociente no son necesarias para todos los productos y todos los cocientes. Muchas veces resulta ms conveniente reescribir la funcin antes de derivar.

ejmplo 10 Halle la derivada. Primero reescriba la funcin, si resulta ms conveniente. a

f( x ) = x (4 x 2  2 x )

c

f( x ) =

9 3

x

4

b

f( x ) =

d

f( x ) =

3x + 4 2

x 2 2 3x + 2x + 1 x

2

Respuestas a

f( x ) = x (4 x 2  2 x ) 1

Escribir de la orma y = x n, con n racional y desarrollar

= x 2 (4 x 2  2 x) 5

3

= 4x 2  2x 2 5

5

f ( x ) = 4  x 2

1

2

3

3

 2  x2

1

2

3

1

= 10x 2  3x2 b

f( x ) =

3x + 4 2

x 2 2

f ( x ) =

( x  2 )  (3 )  (3 x + 4 )  ( 2 x )

(

2

x 2

2

=

=

c

f( x ) =

Utilizar la regla de la multiplicacin por una constante y la regla de la potencia para hallar la derivada y simplifcar

)

Utilizar la regla del cociente

2

2

(3 x  6 )  ( 6 x + 8 x )

(x

2

2

)

2

3 x 2  8 x  6

(x

2

x

)

2

4

9 3

2

= 9x

4

4

f ( x ) = 9   x



4 3



Escribir de la orma y = x n, con n racional

3

1

3

= 1 2 x



7 3

=

12 7

x3 2

d

f( x ) = =

3x + 2x + 1

Reescribir, separando trminos y luego escribir de la orma y = x n, con n racional

x2 3x x

2

2

+

2x x2

+

1 x2

= 3 + 2 x 1 + x 2 f ( x ) = 0  2 x  2  2 x  3 =

2 x

2



2 x

3

o

2 x  2 x3 Captulo 7

213

Hemos estado usando la notacin con primas, f (x), para denotar derivadas. d dy o [ f ( x )], y tambin dx dx dy se lee podemos usar variables distintas de x e y. La notacin dx

Podemos usar la notacin de Leibniz,

la derivada de y con respecto a x.

La notacin

d [ f ( x )] se lee la derivada de fcon respecto a x. dx

ejmplo  d a Halle [ (ln x )(7 x  2 ) ] . dx c Si A =  r2, halle

dA dr

b

ds Si s ( t ) = ( 4 t  1 ) , halle . dt 2

2

. r =3

Respuestas d [ (ln x )(7 x  2 ) ] dx

a

Utilizar la regla del producto para hallar la derivada de (ln x)(7x  2) con respecto a x

1  = (ln x )(7 ) + (7 x  2 )   x =

7 x ln x + 7 x  2 x

b

s(t ) = ( 4t 2  1 )2 4

Desarrollar y usar la regla de la potencia para hallar la derivada de s con respecto a t

2

= 1 6t  8t + 1 ds = 64 t 3  1 6 t dt c

A   r2 dA  2 r dr dA  2  (3 ) dr r 3

Hallar la derivada de r2 con respecto ar La barra indica que se evale la derivada para r = 3.

 6

Ejercitacin 7J Halle la derivada de cada funcin en las preguntas 1 a 1 2. Primero reescriba la funcin, si resulta ms conveniente.

21 4

1

f( x ) =

2 x3  5 x 3

2

f ( x ) = ( x 2  5 )( x 2 + 5 )

3

f ( x ) = 2e x ( x 2 )

4

f( x ) =

2e x x2

5

f ( x ) = e ln x +

6

f( x ) =

x2 ex

4

3

5

x4

Lmites y derivadas

[ Gottfried Wilhelm Leibniz (1646 1716), un matemtico alemn, debati con Isaac N ewton sobre quin fue el primero en desarrollar el cculo. Generalmente se acepta que Leibniz y N ewton desarrollaron el clculo simultneamente y de manera independiente.

x2 x2 + 1

7

f( x ) =

8

f ( x ) = 3 x ln x

9

f( x ) =

10

f( x ) = x ( x 2 + 1)

11

f( x ) =

12

f ( x ) = ( x 3  3 x )( 2 x 2 + 3 x + 5 )

x2  2x + 1 x

x x2  2 x + 1

PREGUNTAS TIPO EXAMEN 13

Escriba la ecuacin de la recta normal al grfco de f ( x ) = xe x  e x en x = 1.

14

Escriba la ecuacin de la recta tangente al grfco de f ( x ) = x 3 ln x en x = 1.

15

Si c ( n ) =  4, 5 n 2 + 3, 5 n  2 , halle

16

4 dA Si A = r 3 , halle .

17

Si v ( t ) = 2 t 2  t + 1, halle

3

dc . dn

dr

dv dt

. t=2

PREGUNTA TIPO EXAMEN 18

d  (e t )( t + 3 )  dt 

puede escribirse como e t (t + k). Halle k.

. la rega de a cadena y derivadas de orden superior La regla de la potencia sola no dar la derivada correcta de f ( x ) = ( 2  x ) 3. Esto es porque la uncin no es una potencia de x, sino ms bien una potencia de otra uncin, v ( x ) = 2  x . La uncin fes una uncin compuesta, (u  v )( x ) o u (v ( x )), donde u ( x ) = x 3 y v( x ) = 2  x .

El smbolo  se utiliza para indicar una funcin compuesta. Si u ( x) = x 3 y v( x) = 2  x, entonces f( x ) = (u  v )( x ) = u ( v( x )) = u (2  x) = (2  x)

3

Captulo 7

215

invstgacn: clculo de la derivada de una funcin compuesta 1

2

3

4 5

Sea f (x) = (2  x) 3 . a Desarrolle f (x) = (2  x) 3 . Derive cada trmino para hallar la derivada de f. b Tambin puede hallar la derivada de f (x) = (2  x) 3 mediante la aplicacin de la regla de la potencia a (2  x) 3 y multiplicando por otro actor. Compare lo siguiente con su respuesta al punto a y halle el actor altante: f (x) = 3(2  x) 2 ._____ Repita el proceso para f (x) = (2x + 1) 2 . a Desarrolle f y halle la derivada. b Aplique la regla de la potencia a (2x + 1) 2 para hallar el actor altante: f (x) = 2(2x + 1)._____ Repita el proceso para f (x) = (3x2 + 1) 2 . a Desarrolle f y halle la derivada. b Aplique la regla de la potencia a (3x2 + 1) 2 para hallar el actor altante: f (x) = 2(3x2 + 1)._____ Elabore una conjetura sobre cmo hallar la derivada de una uncin compuesta. Verifque que su conjetura es vlida para f (x) = (x4 + x2 ) 3 .

Si u(x) = x2 y v(x) = 2x + 1, entonces f ( x ) = u ( v ( x)) = u(2 x + 1) = (2 x + 1)

2

Si u(x) = x2 y v(x) = 3x2 + 1, entonces f ( x ) = u ( v ( x )) = u( 3 x 2 + 1) = ( 3 x 2 + 1) 2

Para hallar la derivada de una uncin compuesta usamos la regla de la cadena.  Rgla d la cadna Si  (x) = u(v(x)), entonces  (x) = u (v(x))  v(x).  La regla de la cadena tambin puede escribirse como: Si y =  (u), u = g (x) e y =  ( g (x)), entonces

dy dy du =  . dx d u d x

ejmplo  Cada uncin est dada en la orma  (x) = u(v (x)). Identifque u(x) y v(x), luego halle la derivada de . a

f ( x ) = 4 (5 x 3 + 2 ) 6

f( x ) = 4 x 2 + 1

b

c

f( x ) = e x

2

Respuestas a

f ( x ) = 4(5 x 3 + 2) 6

u es la uncin exterior. v es la uncin interior.

u(x ) = 4 x 6 3

v( x ) = 5 x + 2 f  ( x ) = 24(5 x 3 + 2) 5   derivada de la funci n exterio r respecto de la inte rio r

2

( 1 5x ) derivada de la funci n interio r respecto de x

= 3 60 x 2 (5 x 3 + 2) 5

Aplicar la regla de la cadena

Simplifcar { Contina en la pgina siguiente.

21 6

Lmites y derivadas

Rgla d la cadna La derivada de una uncin compuesta es la derivada de la uncin exterior con respecto a la uncin interior (la uncin interior no se modifca) multiplicada por la derivada de la uncin interior respecto de x.

b

Escribir de la orma y = xn, con n racional

4x2 + 1

f(x) =

= (4 x 2 + 1 )

1 2

1

u(x) = x 2

u es la uncin exterior. v es la uncin interior.

2

v(x) = 4 x + 1 1

f ( x ) =

(4 x 2 + 1 )



1 2

derivada de la funcin exterior respecto de la funcin interior

4x

=

1 2

2

(4 x + 1 )

c

f(x) = e =e

o

Aplicar la regla de la cadena

( 8 x)



2 

derivada de la funcin interior respecto de x

4x

Simplifcar

4x2 + 1

2

x

2

(x )

u(x) = ex v( x ) = x

u es la uncin exterior.

2

v es la uncin interior.

(x ) 2

f( x ) =

e



( 2 x)

Aplicar la regla de la cadena

derivada de la derivada de la funci n exterio r funci n interio r resp ecto de la resp ecto de x funcin interio r

= 2 xe

x

2

Simplifcar

Ejercitacin 7K Cada uncin est dada en la orma f ( x ) = u (v ( x )) . Identifque u(x) y v(x), luego halle la derivada de . 1

f ( x ) = (3 x 4 + 2 x ) 5

2

f( x ) = 4 (2 x 2 + 3 x + 1 )3

3

f ( x ) = ln(3 x 5 )

4

f( x ) = 3 2 x + 3

5

f( x ) = e 4 x

6

f ( x ) = (ln x ) 3

7

f ( x ) = (9 x + 2 ) 3

8

f( x ) = 4 2 x 2 + 3

9

f( x ) = 5( x3 + 3 x ) 4

10

f( x ) = e4 x

2

3

Podemos hallar la derivada de algunas unciones con mayor efcacia volviendo a escribir la uncin de orma tal que se pueda aplicar la regla de la cadena. Mara Agnesi (17181799), una matemtica italiana, public un texto de clculo que inclua los mtodos de clculo de Isaac Newton and Gottried Leibniz. a3 Mara tambin estudi curvas de la orma y = 2 2 , x +a

cuyos grfcos son conocidos como las brujas de Agnesi. 1

La uncin f( x) = 2 en el ejemplo 13 es un ejemplo x +1 de ese grfco. Captulo 7

217

ejmplo 13 Use la regla de la cadena para hallar la derivada de f ( x ) = Respuesta 1 f( x ) = 2

1 2

x +1

.

Escribir de la orma y = x n, con n racional

x +1

= ( x 2 + 1) 1 f( x ) = 1( x 2 + 1 )  2  2 x =

Aplicar la regla de la cadena

2x ( x2 + 1)2

Simplifcar

Para algunas funciones se debe combinar la regla de la cadena con la regla del producto o del cociente, o puede resultar necesario repetirla.

ejmplo 14 f( x ) = x 1  x 2

a

f( x ) = e2 ( 3 x 1 )

b

4

c

 x   2  x +1 

f ( x ) = ln 

Respuestas 1

a

f ( x ) = x 1  x 2 = x (1  x 2 ) 2 f( x ) =

x{

.

primer factor

1

(1  x 2 )



1 2

(2 x )

2 144 424443 derivada del segundo factor usando regla de la cadena

1

+ (1  x 2 ) 2 . 1 { 1424 3 derivada del segundo factor

primer factor 1

x2

=

Escribir de la orma y = x n, con n racional Aplicar la regla del producto y usar la regla de la cadena para hallar la derivada del segundo actor

+ (1  x 2 ) 2

1

Simplifcar

2

(1  x ) 2 1

=

x2

1 2

2

+ (1  x ) .

1 2

1

Hallar el denominador comn

2

(1  x ) 2 =

(1  x 2 ) 2 (1  x ) 2

 x 2 + (1  x 2 ) 1 2

(1  x ) 2 =

1  2x

2

1  2x

o

1 2 2

f( x ) = e2 ( 3 x 1 )

Simplifcar

1  x2

(1  x )

b

2

4

u( x ) = e x v ( x ) = 2 (3 x  1 ) f( x ) =

4

4

2(3 x  1 ) 3 e1 424 3  8 (3 x  1 ) (3 )

144244 3

derivada de la derivada de la funcin exterior funcin interior respecto de la respecto de x funcion interior

= 2 4(3 x  1 ) 3 e 2 (3 x  1 )

4

Se muestran las unciones interior y exterior. Tngase en cuenta que la uncin interior v(x) = 2(3x  1)4 es la composicin de 2x4 y 3x  1. Aplicar la regla de la cadena a  y volver a aplicarla cuando se halla la derivada de la uncin interior { Contina en la pgina siguiente.

21 8

Lmites y derivadas

c

f ( x ) = ln 

x    x +1  2

1 x

f ( x ) =



2

x +1 

( x 2 + 1 )  1  x  (2 x ) 2

derivada de la funcin interior respecto de x

derivada de la funcin exterior con respecto la funcin interior

=

=

x2 + 1 x



2

(x + 1) 

x2 + 1  2x2

(x

2

+1

)

Aplicar la regla de la cadena y usar la regla del cociente para hallar la derivada de la uncin interior

Simplifcar

2

2 1x

x(x2 + 1 )

Ejercitacin 7L Halle la derivada de cada uncin en las preguntas 1 a 1 0. 1

f( x ) = x 2 (2 x  3 ) 4

3

f( x ) =

4 x2 + 3 2x

+e

2 x

5

f( x ) = e

7

f ( x ) = ln(ln x 2 )

9

f( x ) =

1 x  3x  2 2

2

f( x ) = x 2e x

4

f( x ) =

x 2x +1

6

f ( x ) = ln(1  2 x 3 )

8

f( x ) =

10

f( x ) = x 4 x 2 + 3

2 ex + e x

PREGUNTAS TIPO EXAMEN x 2 x : 11 Para la curva f ( x ) = e 2

b Halle  (2). Halle  (x). A partir de lo anterior, halle la ecuacin de recta tangente a cuando x = 2. 12 Halle la coordenada x del (de los) punto(s) en el grfco de f ( x ) = x 3 ln x donde la recta tangente es horizontal. a

c

13

Sean f ( x ) =

1 , g ( x ) = 1  2 x y h ( x ) = ( f  g )( x ). x3

Halle h(x) y muestre que la pendiente de h(x) es siempre positiva. 

x

f (x)

g (x)

3 4

1 2

4 1

f (x) 3 3

g (x) 2 4

En la tabla anterior, se muestran los valores de y g y sus derivadas en x = 3 y x = 4. a Halle la pendiente de ( f  g )( x ) cuando x = 3. b

Halle la pendiente de

1 cuando x = 4. [ g ( x )] 2

Captulo 7

219

drivaas  orn suprior dy La derivada f (x) o se denomina rivaa primra dx

de y respecto de x. A veces estamos interesados en la pendiente de la primera derivada. A esto se lo denomina rivaa sguna de y respecto de x y d2 y . La derivada tercera dx 2 d3 y de y respecto de x puede escribirse como f (x) o 3 . dx

puede escribirse como f (x) o

La derivada segunda y la derivada tercera son ejemplos de rivaas  orn suprior.

La derivada segunda es la derivada de la derivada primera. Escribir esto como

de dnde proviene la notacin

Halle las primeras tres derivadas de f ( x ) = x 4 + 3 x 2 + x. d3 y 2

x + 4 , halle f( x ).

b Si f( x ) =

c 2

2

 Si s ( t ) = 1 6 t + 1 6 t + 32 , halle

Respuestas f( x ) = x 4 + 3 x 2 + x a 3

f ( x ) = 4 x + 6 x + 1

d s . dt 2

2x

Si y = 4 e , halle d x 3

. x =1

Las tres primeras derivadas son: f ( x ), f( x ) y f ( x ).

f( x ) = 1 2 x 2 + 6 f( x ) = 24 x b

f ( x ) = x 2 + 4 1

= ( x2 + 4) 2 1



1

f( x ) = ( x 2 + 4 ) 2 ( 2 x )

Observe que se da la primera derivada, por lo tanto solo necesita derivar una vez para obtener la segunda derivada.

2

= c

y = 4e

x 2

x +4

2x

dy = 4 e 2 x  2 = 8e 2 x dx d2 y = 8e 2 x  2 = 1 6e 2 x dx 2 d3 y = 1 6e 2 x  2 = 32e 2 x dx 3

Hallar las primeras tres derivadas usando la regla de la cadena

3

d y dx 

= 32e 2 (1 ) = 32e 2

3 x =1

s ( t ) = 1 6 t 2 + 1 6 t + 32 ds

= 32 t + 1 6

dt 2

d s dt

220

2

= 32

Lmites y derivadas

d2 y . d x2

La notacin con primas no resulta til para derivadas de orden superior al tres. Para esas derivadas escribimos f (n)(x). Por ejemplo, en lugar de escribir f (x), anotamos f (4)(x).

ejmplo 15 a

d  dy  nos ayuda a comprender d x  d x 

Luego evaluar la derivada tercera en x = 1 Hallar la primera y la segunda derivada de s respecto de t

Ejercitacin 7M 3

1

Halle la segunda derivada de f ( x ) = 4 x 2 .

2

Si f ( x ) = 3 x 5 + x 4 + 2 x + 1 , halle f( x ).

3

Si C ( n ) = (3 + 2 n )e 3 n , halle

4

Si

dy 4 d3 y = , halle . dx x dx 3

5

Si

d6 y d4 y 3 . halle = ln( 4 x ), dx 6 dx 4

6

Si R (t ) = t ln( t 2 ) , halle

1 2

dR dt

d2C . dn 2

. t = 1

PREGUNTAS TIPO EXAMEN 7 Qu puede afrmarse acerca de la ensima derivada de y = x 3 + 3 x 2 + 2 x + 4, para n  4? Halle las primeras cuatro derivadas de y = e x + e  x y luego escriba

8

dn y para esta uncin. dx n 1 9 Halle las primeras cuatro derivadas de y = y luego escriba una x dn y generalizacin para hallar n para esta uncin. dx

una generalizacin para hallar

10

Halle las pendientes de las rectas tangentes a la uncin f ( x ) = 3 5 x 2 .

. Razons d cambio y movimintos sobr una rcta La derivada nos da la pendiente de una recta tangente a una uncin. Tambin nos da la razn de variacin de una variable respecto de otra variable. En esta seccin estudiaremos la razn d cambio mdia y la razn d cambio instantna y los movimintos sobr una rcta .

ejmplo  Un buzo salta desde un trampoln en el segundo t = 0. La distancia del buzo a la superfcie del agua en un tiempo t est dada por s ( t ) =  4, 9 t 2 + 4, 9 t + 1 0 , donde s se mide en metros. a Halle la vlocidad mdia del buzo para cada uno de los siguientes intervalos de tiempo. i [1, 2] ii [1,5; 1] iii [1,1; 1] iv [1,01; 1] b Halle la vlocidad instantna del buzo en el segundo t = 1. { Contina en la pgina siguiente. Captulo 7

221

Respuestas a

La velocidad media es variaci n de distancia

(m etro s)

variaci n de tiem p o

(segundo s)

i

ii iii

s ( 2 )  s (1 )

Las unidades para la velocidad son m s 1.

s( t + h)  s( t) s( t + h)  s( t) = ( t + h)  t h

= 9, 8 ms  1

2 1

s (1, 5 )  s (1 ) 1 5 1 s (1, 1 )  s (1 ) 1, 1  1

La razn de cambio media de s, o la velocidad media, es la pendiente de la recta secante:

Hallar las pendientes de las rectas = 7, 35 ms 

secantes

s ( t2 )  s ( t1 ) t2  t1

para cada

intervalo. Usar una CPG para evaluar las pendientes.

= 5, 39 m s  1

La razn de cambio instantnea de s, o la velocidad instantnea, es la pendiente de la recta tangente: v ( t ) = lim

iv

s (1, 01 )  s (1 ) 1, 01  1

h 0

= 4, 949 ms

1

b Velocidad instantnea

Hallar la pendiente de la recta tangente a s en t = 1 Observe que las pendientes de las rectas secantes del apartado a se acercan a la pendiente de la recta tangente del apartado b.

v (t) = s (t) s  ( t ) =  9, 8 t + 4, 9

s (1 ) = 9, 8 + 4, 9 = 4, 9 ms  1

ejmplo 17 Durante un mes, la temperatura del agua de un estanque se modeliza t 

mediante la funcin C ( t ) = 20 + 9 te 3 , donde t se mide en das y C se mide en grados Celsius. a Halle la razn de cambio media de la temperatura en los primeros 15 das del mes. b Halle la razn de cambio de la temperatura en el da 15. Respuestas a

Razn de cambio media: =

C (1 5 )  C (0 ) 15 0

 0, 0606  C / da

Determinar la pendiente de la recta secante en el intervalo [0, 15]. Las unidades para variacin de tem peratura variacin de tiem po

b Razn de cambio instantnea:

  1  C ( t ) = 9 t  e 3    + e 3  9 3  t

= 3 te



t

t 3

+ 9e



t 3

C  (1 5 ) =  3  1 5e  5 + 9e  5 =  3 6e

5

  0, 243  C / d  a

En el da 15 la temperatura est descendiendo a razn de 0,243 grados Celsius por da. 222

Lmites y derivadas

son C/da.

Hallar la pendiente de la recta tangente a C en t = 15

s( t + h)  s(t) = s ( t ) h

Ejercitacin 7N Use una CPG para evaluar los valores de las unciones. PREGUNTA TIPO EXAMEN 1 Se lanza una pelota verticalmente hacia arriba. Su altura en metros sobre la tierra t segundos despus de ser lanzada se modeliza mediante la uncin h ( t ) =  4, 9 t 2 + 1 9, 6 t + 1, 4 . a Halle la altura de la pelota cuando t = 0 segundos y cuando t = 2 segundos. b Halle la razn de cambio media de la pelota entre t = 0 segundos y t = 2 segundos. c Halle la razn de cambio instantnea de la altura de la pelota cuando t = 1 segundo, t = 2 segundos y t = 3 segundos. Explique qu le dicen estos valores sobre el movimiento de la pelota. 2

La cantidad de agua en un tanque despus de t minutos se modeliza mediante la uncin V (t ) = 4000  1  

2

t   , donde V se mide en litros. 60 

Responda las siguientes preguntas, aproximando al entero ms prximo. a Halle la cantidad de agua en el tanque cuando t = 0 minutos y cuando t = 20 minutos. b Halle la razn de cambio media de la cantidad de agua en el tanque entre t = 0 minutos y t = 20 minutos. Explique el signifcado de su respuesta. c Halle la razn de cambio instantnea de la cantidad de agua en el tanque cuando t = 20 minutos. Explique el signifcado de su respuesta. d Muestre que la cantidad de agua en el tanque nunca aumenta entre t = 0 minutos y t = 40 minutos. 3

El nmero de bacterias en un experimento de ciencias en un da t se modeliza mediante la uncin P (t) = 100e 0,25 t. a Halle la razn de cambio media del nmero de bacterias en el intervalo entre los das 0 y 10 del experimento. b Halle la razn de cambio instantnea del nmero de bacterias en cualquier tiempo t. c Halle la razn de cambio instantnea del nmero de bacterias en el da 10. Explique el signifcado de su respuesta.

4

El costo (en dlares) de producir n unidades de un producto se modeliza mediante la uncin C (n) = 0,05n2 +10n + 5000. a Halle la razn de cambio media de C respecto de n cuando los niveles de produccin varan de n =100 unidades a n = 105 unidades y cuando los niveles de produccin varan de n = 100 unidades a n = 101 unidades. b Halle la razn de cambio instantnea de C respecto de n para cualquier nmero de unidades n. c Halle la razn de cambio instantnea de C respecto de n cuando n = 100 unidades. Explique el signifcado de su respuesta. Captulo 7

223

Moviminto sobr una rcta Si un objeto se mueve sobre una recta, su posicin respecto del origen en cualquier tiempo t puede modelizarse mediante una funcin dsplazaminto, s(t). La uncin s(t) = 4,9t2 + 4,9t +  0 del ejemplo  6 es una ejemplo de uncin desplazamiento. La posicin inicial del buzo es la posicin cuando t = 0, o s (0) =  0 metros. El origen est a nivel del agua, por lo tanto el buzo est inicialmente en una plataorma a  0 metros por encima del agua. 

Podemos usar una recta horizontal o vertical para modelizar el movimiento sobre una recta. Para s(t) > 0, el objeto se encuentra a la derecha del origen o por encima del origen. Para s(t) < 0, el objeto se encuentra a la izquierda del origen o debajo del origen. La posicin inicial es s(0). Para v(t) > 0, el objeto se mueve a la derecha o hacia arriba. Para v(t) < 0, el objeto se mueve hacia la izquierda o hacia abajo. Para v(t) = 0, el objeto est en reposo. La vlocidad inicial es v(0).

La razn de cambio instantnea del desplazamiento es la funcin vlocidad ,

v ( t ) = lim

s(t + h )  s ( t )

h0

h

= s( t ) .

ejmplo 18 Una partcula se desplaza sobre una recta con un desplazamiento de s metros t segundos despus de haber dejado un punto fjo. La uncin desplazamiento est dada por s (t) = 2t 3  21t 2 + 60t + 3, para t  0. a Halle la velocidad de la partcula para cualquier tiempo t. b Halle la posicin inicial y la velocidad inicial de la partcula. c Halle cundo la partcula est en reposo. d Halle cundo la partcula se mueve hacia la izquierda y cundo la partcula se mueve hacia la derecha.  Dibuje un diagrama del movimiento de la partcula.

Esta es el rea de la Matemtica conocida como cinmtica, que trata sobre el movimiento de objetos.

Respuestas a

v ( t ) = s( t )

La velocidad es la derivada del desplazamiento.

v ( t ) = 6 t 2  42 t + 60, t  0 b

s( 0 ) = 2 ( 0 ) 3  21 ( 0 ) 2 + 60 ( 0 ) + 3 = 3 m v (0) = 6(0) 2  42(0) + 60 = 60 m s1

c

2

6 t  42 t + 60 = 0 6(t 2  7 t + 1 0 ) = 0 6 ( t  2 )( t  5 ) = 0 t = 2, 5 La partcula est en reposo a los 2 segundos y a los 5 segundos.

La posicin inicial es el desplazamiento cuando t = 0. La velocidad inicial es la velocidad cuando t = 0. La partcula est en reposo cuando la velocidad es 0. Iguale la funcin velocidad a 0 y resuelva en t.

{ Contina en la pgina siguiente.

224

Lmites y derivadas

d signos de v

+

0

 2

Dibuje un diagrama de signos para la velocidad. Marque en el diagrama los valores en los que la partcula est en reposo. Elija un valor de cada intervalo y halle el signo de v(t).

+ t

5

(0 , 2) t = 1 v(1) = 6(1  2)(1  5) = (+)(  )(  ) = + La partcula se mueve a la derecha para (0,2) y (5, ) segundos porque v (t) > 0. La partcula se mueve a la izquierda para (2,5) segundos porque v (t) < 0. e s ( 2 ) = 2 ( 2 ) 3  21 ( 2 ) 2 + 60 ( 2 ) + 3 = 55 m 3

2

s (5 ) = 2 (5 )  21 (5 ) + 60 (5 ) + 3 = 28 m t= 0

t= 5

03

t= 2

28

55

s

(2 , 5) t = 3 v(3) = 6(3  2)(3  5) = (+)(+)(  ) =  (5, ) t = 6 v(6) = 6(6  2)(6  5) = (+)(+)(+) = + Halle el desplazamiento o posicin de la partcula cuando la partcula cambia de direccin. Use estas posiciones y la posicin inicial para trazar el movimiento. Aunque el movimiento es en realidad sobre una recta, lo dibujamos por encima de la recta.

Ejercitacin 7O 1

Una partcula se mueve sobre una recta con funcin desplazamiento s (t) = t3  6t2 + 9t centmetros para t  0 segundos. a Halle la posicin inicial y la velocidad inicial de la partcula. b Halle cundo la partcula est en reposo. c Dibuje un diagrama del movimiento de la partcula.

PREGUNTAS TIPO EXAMEN Una pelota se lanza verticalmente hacia arriba. La altura de la pelota en pies, t segundos luego de haber sido lanzada, est dada por s (t) = 16t2 + 40t + 4 para t  0 segundos. a Halle la altura inicial de la pelota. b Muestre que la altura de la pelota 2 segundos luego de haber sido lanzada es de 20 pies. c Hay un segundo instante en que la altura de la pelota es de 20 pies. i Escriba una ecuacin que debe satisfacer t cuando la altura de la pelota es de 20 pies. ii Resuelva la ecuacin algebraicamente.

2

d i

Halle

ds . dt

Halle la velocidad inicial de la pelota. Halle en qu instante la velocidad de la pelota es 0. iv Halle la altura mxima de la pelota. ii

iii

3

Una partcula se mueve sobre una recta con una funcin desplazamiento s ( t ) = a b

Muestre que v (t ) =

t , donde s est en metros y t en segundos. et 1t et

.

A partir de lo anterior, halle el instante en que la partcula est en reposo. Captulo 7

225

 La razn de cambio instantnea de la velocidad es la funcin aclracin ,

a( t ) = lim

v(t + h )  v ( t )

h0

h

= v( t ) = s( t ).

Para a(t) > 0, la velocidad del objeto est aumentando. Para a(t) < 0, la velocidad del objeto est disminuyendo. Para a(t) = 0, la velocidad del objeto es constante.

ejmplo 19 Para la uncin desplazamiento del ejemplo 18, s(t) = 2t 3  21t 2 + 60t + 3, con s en metros y t  0 segundos, encontramos que v (t) = 6t 2  42t + 60. a Halle la aclracin mdia de la partcula entre t = 1 segundos y t = 4 segundos. b Halle la aclracin instantna de la partcula en t = 3 segundos. Explique el signifcado de su respuesta. Respuestas a La aceleracin media es variacin de velocidad

Las unidades para la aceleracin son m s 2.

v ( 4 )  v (1 )

Usar una CPG

(ms 1 ) variacin de tiempo (segundos) 4 1

= 1 2 m s 2

b Aceleracin instantnea

a(t) = v(t) a ( t ) = v( t ) = 1 2 t  42 a (3 ) =  6 m s  2 Esto signifca que la velocidad decrece 6 metros por segundo por cada segundo en el tiempo 3 segundos.

Observe que una aceleracin negativa no signifca que un objeto en movimiento est aminorando la marcha. Signifca que la velocidad est decreciendo.

La clridad es el valor absoluto de la velocidad. La velocidad nos dice cun rpido se mueve un objeto y la direccin en la que se mueve. La celeridad nos dice solo cun rpido se mueve. Para determinar si un objeto en movimiento est acelerando o aminorando la marcha, podemos comparar los signos de la velocidad y la aceleracin.

226

Lmites y derivadas

Para ms informacin sobre el valor absoluto, vase la seccin 2.7 en el captulo 18.

investgacn: velocidad, aceleracin y celeridad 1

Copie y complete las tablas. Recuerde que la aceleracin es la variacin de velocidad. La celeridad es el valor absoluto de la velocidad. a La velocidad y la aceleracin son b La velocidad es positiva y la aceleracin ambas positivas. es negativa. 2 Sea una aceleracin de 2 m s . Sea una aceleracin de 2 m s  2 . Tiempo Velocidad Celeridad (segundos) (m s 1 ) (m s 1 ) 0 10 10 1 12 2 3 4 c La velocidad y la aceleracin son

ambas negativas. Sea una aceleracin de 2 m s 2 . Tiempo Velocidad (segundos) (m s 1 ) 0 10 1 12

Celeridad (m s 1 ) 10

2 3 4

Tiempo Velocidad (segundos) (m s 1 ) 0 10 1 8 2 3 4

d La velocidad es negativa y la aceleracin

es positiva. Sea una aceleracin de 2 m s  2 . Tiempo (segundos) 0 1 2 3 4

Velocidad (m s 1 ) 10 8

2 Indique si el objeto est acelerando o aminorando la marcha. a La velocidad y la aceleracin son ambas positivas. b La velocidad es positiva y la aceleracin es negativa. c La velocidad y la aceleracin son ambas negativas. d La velocidad es negativa y la aceleracin es positiva. 3 Complete estas afrmaciones: a

Si la velocidad y la entonces el objeto b Si la velocidad y la entonces el objeto

Celeridad (m s 1 ) 10

aceleracin tienen el mismo signo, est _____________. aceleracin tienen signo opuesto, est _____________.

Celeridad (m s 1 ) 10

Si la celeridad de un objeto est aumentando, entonces el objeto est acelerando la marcha. Si la celeridad de un objeto est dismimuyendo, entonces el objeto est aminorando la marcha.

Cuando la velocidad y la aceleracin tienen el mismo signo, el objeto est acelerando la marcha. Cuando la velocidad y la aceleracin tienen distinto signo, el objeto est aminorando la marcha.

Captulo 7

227

ejmplo 20 Para la funcin desplazamiento del ejemplo 18, s (t) = 2t 3  21t 2 + 60t + 3, con s metros y t  0 segundos, encontramos que v (t) = 6t 2  42t + 60 y a(t) = 12t  42. a Halle la celeridad de la partcula en t = 3 segundos y determine si la partcula est acelerando o aminorando la marcha cuando t = 3. b Durante 0  t  10 segundos, halle los intervalos en los que la partcula est acelerando la marcha y los intervalos en los que la est aminorando. Respuestas a v (3) = 6(3) 2  42(3) + 60 = 12 m s 1 celeridad = | 12| = 12 m s 1 a(3) = 12(3)  42 = 6 m s 2 La partcula est acelerando la marcha en t = 3 segundos dado que v (t) < 0 y a(t) < 0. b Compare los signos de la

signos de v ++++++++++++++++ 0

2

5

10

signos de a ++++++++++++++ t

0

3,5

10

La partcula acelera la marcha en el intervalo de (2; 3,5) segundos porque v(t) < 0 y a (t) < 0, y en el intervalo (5, 10) segundos porque v (t) > 0 y a (t) > 0. La partcula aminora la marcha en el intervalo (0, 2) segundos porque v (t) > 0 y a (t) < 0, y en el interval (3,5; 5) segundos porque v (t) < 0 y a (t) > 0.

228

Lmites y derivadas

La partcula acelera la marcha en t = 3, dado que la velocidad y la aceleracin tienen el mismo signo. Usar el diagrama de signos de la velocidad del ejemplo 18 Alinear debajo un diagrama de signos para a(t) Hallar cundo a(t)=0 12t  42 = 0  t = 3, 5

velocidad y la aceleracin.

t

Para hallar la celeridad de la partcula en un instante dado, hallar la velocidad y tomar su valor absoluto

Colocar este valor en el intervalo 0  t  10 Tomar un valor en cada intervalo: (0; 3, 5) t = 1 a(1) = 12(1)  42 = 30 () (3, 5; 10) t = 4 a(4) = 12(4)  42 = 6 (+)

Ejercitacin 7P Use su CPG para evaluar los valores de las unciones. Una partcula se mueve sobre una recta con una uncin desplazamiento s(t) = 2t4  6t2, en centmetros, para t  0 segundos. a Escriba las expresiones para la velocidad y la aceleracin de la partcula en el tiempo t. b Halle la aceleracin en el tiempo t = 2 segundos y explique el signifcado de su respuesta. c Halle en qu instante la velocidad y la aceleracin son nulas. Luego, halle cundo la partcula acelera y aminora la marcha.

1

2

Una partcula se mueve a lo largo de una recta con una uncin desplazamiento s(t) = t3 + 12t2  36t + 20, en metros, para 0  t  8 segundos. a Escriba una expresin para la velocidad y la aceleracin de la partcula. b Halle la posicin inicial, la velocidad y la aceleracin de la partcula. c Halle cundo la particula cambia de direccin, en el intervalo 0  t  8 segundos. Luego halle los intervalos en los que la partcula se mueve hacia la izquierda y hacia la derecha. d

Halle cundo la aceleracin es 0 para 0  t  8. Luego halle los intervalos en los cuales la particula acelera y aminora la marcha.

PREGUNTAS TIPO EXAMEN 3 Un buzo salta desde una plataorma en el tiempo t = 0 segundos. Vuelva al caso del La distancia del buzo sobre el nivel del agua en el tiempo t est buzo del ejemplo 16. dada por s (t) = 4,9t2 + 4,9t + 10, donde s est en metros. a Escriba una expresin para la velocidad y la aceleracin del buzo en el tiempo t. b Halle el instante en el que el buzo alcanza el agua. c Halle el instante en que la velocidad se anula. A partir de lo anterior, halle la altura mxima que alcanza el buzo. d Muestre que el buzo est aminorando la marcha en t = 0,3 segundos. 4

Una partcula se mueve a lo largo de una recta con una uncin 1

desplazamiento s ( t ) = t 2  ln( t + 1), t  0 , donde s est en metros y 4 t en segundos. a i Escriba una expresin para la velocidad de la partcula en el tiempo t. ii A partir de lo anterior, halle en qu instante la partcula est en reposo. b i Escriba una expresin para la aceleracin de la partcula en el tiempo t. ii A partir de lo anterior, muestre que la velocidad nunca es decreciente. Captulo 7

229

7.6 la drivada y sus grfcos

Aunque el plano cartesiano debe su nombre a Ren Descartes (matemtico francs, 15561650), este us nicamente nmeros positivos y el eje x. A Isaac Newton (matemtico ingls, 16421727) se le atribuye haber usado por primera vez coordenadas negativas. En su libro Enumeratio liniearum tertii ordinis (Enumeracin de las curvas de tercer grado), Newton us ambos ejes, el x y el y, con coordenadas positivas y negativas.

Una de las mayores utilidades de las derivadas es el anlisis de los grfcos de las unciones. En esta seccin veremos cmo relacionar f  y f  con el grfco de f. Una uncin es crcint en un intervalo si a medida que aumenta x, tambin aumenta y. Una uncin es dcrcint en un intervalo si a medida que aumenta x, disminuye y.

ejmpo 21 Escriba los intervalos en donde la uncin es creciente o decreciente. a

b

y

5 4 3 2 1 0

c

y

y

5 4 3 2 1

5 4 3 2 1 1 2 3 4 5 x

3 2 1 0 1 2 3 4

1

5 4 3 2 1 0

1 2 3 x

1

Respuestas a

Decreciente para x < 0 Creciente para x > 0

y aumento en x 5 4 disminucin en y 3 2 1 5 4 3 2 1 0

b Creciente para todo nmero real

5 4 3 2 1 0

c Creciente para x < 0 y x > 2

1 2 3 4 5 x

aumento en y aumento en x 1 2 3 x

y

Decreciente para 0 < x < 2

3 2 1 1

Lmites y derivadas

aumento en x

y 5 4 3 2 1

230

aumento en

0 1 2 3 4

1

2

3

x

2

3

x

 Cuando una uncin es decreciente, las rectas tangentes a la curva tienen pendientes negativas. Cuando una uncin es creciente, las rectas tangentes a la curva tienen pendiente positiva. Se deduce que: Si  (x) > 0 para todo x en (a, b), entonces es creciente en (a, b). Si  (x) < 0 para todo x en (a, b), entonces es decreciente en (a, b).

y 5 4 3 2 1 5 4 3 2 1 0

1 2 3 4 5 x

ejmplo 22 Use la derivada de para hallar los intervalos en los cuales  es creciente o decreciente. x2  4 a (x) = 2x3  3x2  12x b f( x ) = x 2  1 c (x) = x3 Respuestas f( x ) = 2 x3  3 x 2  1 2 x

a

f ( x ) = 6 x 2  6 x  1 2

Hallar la derivada de 

6x2  6x  1 2 = 0

Hallar los puntos crticos, igualando  (x) a cero y resolviendo en x

6( x 2  x  2 ) = 0 6 ( x  2 )( x + 1 ) = 0 x = 2,  1  signos de f' + 1

x

Dibujar un diagrama de signos para  (x)

+ 2

es creciente en (, 1) y (2, ), dado que  (x) > 0. es decreciente en (1, 2), dado que  (x) < 0. b

f( x ) =

=

x2  1

x

2

( x  1 )( 2 x )  ( x  4 )( 2 x )

Hallar la derivada de 

( x2  1)2 6x ( x2  1)2

 (x) = 0: 6x = 0 x= 0

signos de f'

Podemos usar notacin de intervalos para describir los intervalos.

x2  4 2

f( x ) =

Un punto stacionario es un punto donde f (x) = 0. Un punto crtico de f es un punto donde f (x) = 0 o f (x) no est defnida.

 (x) no defnida: (x2  1) 2 = 0 x2  1 = 0 x = 1 

 1

+ 0

Hallar los puntos crticos, igualando   a 0, resolviendo en x, y hallando dnde   no est defnida +

1

Dibujar un diagrama de signos para . Observe que  y  no estn defnidas para x = 1. Utilizar crculos vacos en el diagrama de signos para recordar esto. { Contina en la pgina siguiente.

Captulo 7

231

es creciente en (, 1) y (1, 0), dado que  (x) > 0. es decreciente en (0, 1) y (1, ), dado que  (x) < 0. c

No podemos decir que  es creciente en (, 0) o decreciente en (0, ), dado que  no est defnida en x = 1 ni en x = 1.

f( x ) = x3 Hallar la derivada de  Calcular los puntos crticos, igualando   a 0 y resolviendo en x Realizar un diagrama de signos para  

f ( x ) = 3 x 2 3x2 = 0 x=0 +

signos de f'

+ 0

x

Aunque  est defnida en x = 0, no podemos incluir el 0 en el intervalo porque la pendiente es 0 en x = 0, por lo tanto (x) no es creciente en x = 0.

es creciente en (, 0) y (0, ).

Ejercitacin 7Q Escriba los intervalos en los cuales es creciente o decreciente. y

1

2

4 3 2 1 4 3 2 110 2 3 4

3

y

y

1

1 2 3 4 x

2

3 2 110 2 3 4 5 6

1 2 3 4 5 6 x

1

2

1

0

1

2 x

1 2

En las preguntas 4 a 9, use la derivada de para hallar todos los intervalos en los cuales es creciente o decreciente. 4

7

 (x) = x 4

5

 (x) = x 4  2x2

6

f( x ) =

x+2 x 3

1

8

 (x) = x 3 ex

9

f( x ) =

x3 x 1

f( x ) =

x

PREGUNTA TIPO EXAMEN 10 Se muestra el grfco de la derivada de . Escriba los intervalos en los cuales es creciente o decreciente.

2

y 4 3 2 1 4 3 2 110 2 3 4

232

Lmites y derivadas

Use una CPG para ver el grfco de la uncin y verifcar sus resultados.

y = f'(x)

1 2 3 4 5 x

Una uncin tiene un punto mximo rlativo (o mximo local) cuando la uncin pasa de creciente a decreciente. Una uncin tiene un punto mnimo rlativo (o mnimo local) cuando la uncin pasa de decreciente a creciente. Los puntos mximos y mnimos relativos se denominan xtrmos rlativos de una uncin.  La comprobacin (o el criterio) d la drivada primra se usa para localizar extremos relativos de . Si est defnida en un punto crtico c, entonces: 1 Si  (x) pasa de positiva a negativa en x = c, posee un punto mximo relativo en (c,  (c)). 2 Si  (x) pasa de negativa a positiva en x = c, posee un punto mnimo relativo en (c,  (c)).

Observe que si f (x) no cambia de signo en un punto crtico x = c, entonces el punto (c, f (c)) no es ni mximo ni mnimo relativo. mximo relativo ni mximo ni mnimo relativo mnimo relativo

ejmplo 23 Use la comprobacin de la derivada primera para hallar los extremos relativos para las unciones del ejemplo 22. 2 x 4 a  (x) = 2x3  3x2  12x b f( x ) = 2 c  (x) = x3 x 1

Respuestas a

f( x ) = 2 x3  3 x 2  1 2 x f( x ) = 6 x 2  6 x  1 2 = 6 ( x  2 )( x + 1 )  signos de f' + 1

x

+ 2

Dado que  (x) pasa de positiva a negativa en x = 1, hay un mximo relativo en x = 1. Dado que  (x) pasa de negativa a positiva en x = 2, hay un mnimo relativo en x = 2. f( 1 ) = 2 ( 1 ) 3  3 ( 1 ) 2  1 2 ( 1 ) =7 f( 2 ) = 2 ( 2 ) 3  3 ( 2 ) 2  1 2 ( 2 ) = 20 Por lo tanto, el punto mximo relativo es (1, 7) y el punto mnimo relativo es (2, 20). b

f( x ) = f( x ) = signos de f' x

Usar el diagrama de signos para   del ejemplo 22 Localizar los extremos relativos observando los cambios de signo de  

Evaluar  en x = 1 y x = 2 para hallar los valores mximo y mnimo

x2  4 x2  1 6x ( x2  1)2





1

+ 0

+ 1

Dado que  (x) pasa de negativa a positiva en x = 0, hay 2

un mnimo relativo en x = 0.

f( 0 ) =

0 4 02  1

=4

Por lo tanto, el punto mnimo relativo es (0, 4).

No habra extremos relativos en x = 1 y x = 1 incluso si el signo de  (x) hubiera cambiado, dado que  no est defnida en x = 1 ni en x = 1. { Contina en la pgina siguiente. Captulo 7 233

c

f( x ) = x3 f ( x ) = 3 x 2 signos de f'

+

+ 0

x

 no posee extremos relativos, dado que la derivada no cambia de signo en x = 0.

Observe que  (x) = 0 no es condicin sufciente para tener un extremo relativo en x = 0. Debe adems ser cierto que  (x) cambia de signo en x = 0.

Ejercitacin 7R En las preguntas  a 8, use la comprobacin de la derivada primera para hallar los extremos relativos de cada uncin. 1  (x) = 2x 2  4x  3 2  (x) = x 3  12x  5 5

3 5 7

f( x ) = x 3  (x) = x (x + 3) 3 f( x ) =

1 ( x + 1)2

4

 (x) = x 4  2x2

6

 (x) = x 2e  x

8

f( x ) =

x2  2 x + 1 x +1

 Si  (x) > 0 para todo x en (a, b), entonces  es cncava hacia arriba en (a, b). Si  (x) < 0 para todo x en (a, b), entonces  es cncava hacia abajo en (a, b). Los puntos del grco donde cambia la concavidad se llaman puntos de infexin . Un punto en el grco de es un punto de infexin si  (x) = 0 y adems  (x) cambia de signo.

El grco es cncavo hacia abajo para (  , 0). Las pendientes de las rectas tangentes que se 4 y = f(x) muestran a la izquierda del eje y van disminuyendo. 2 Esto signica que f  es decreciente, por lo tanto la 0 4 2 2 4 x derivada f  es negativa. 2 El grco es cncavo hacia arriba para (0, ). Las 4 pendientes de las rectas tangentes que se muestran a la derecha del eje y van aumentando. Esto signica que f  es creciente, por lo tanto la derivada f  es positiva. El punto (0, 0) es un punto de infexin, dado que f cambia de concavidad en x = 0. y

234

Lmites y derivadas

ejmplo 24 Para las unciones del ejemplo 22, use la derivada segunda para hallar los intervalos donde la uncin es cncava hacia arriba y cncava hacia abajo. Halle los puntos de infexin. a

 (x) = 2x3  3x2  12x

f( x ) =

b

x2  4 x2  1

c  (x) = x3

Respuestas a f( x ) = 2 x3  3 x 2  1 2 x f ( x ) = 6 x 2  6 x  1 2 f( x ) = 1 2 x  6 1 2x  6 = 0

Hallar la derivada segunda de  Hallar dnde  (x) = 0

1 2

x=



signos de f''

+

Realizar un diagrama de signos para  

1 2

x

1  es cncava hacia abajo en  ,  dado que  (x) < 0 2 

1  y es cncava hacia arriba en  ,   dado que 2   (x) > 0. Dado que  (x) cambia de signo en 1

x = , hay un punto de infexion all. 2

3

1  f  = 2 

b

2

13 1  1  1  2   3   12  =  2 2 2 2       13  1 Por lo tanto, el punto de infexin es  ,   . 2 2   x2  4 f( x ) = 2

f( x ) =

para hallar la

2

coordenada y del punto de infexin

2 2 ( x  1) 2

2

( x  1 ) ( 6 )  ( 6 x )[ 2 ( x  1 )( 2 x )] 2

( x  1)

f( x ) = 0 ( x  1)

3

=0

6 (3 x 2 + 1 ) = 0 x2 = 

4

6 ( 3 x 2 + 1 ) ( x 2  1 )3

Hallar la derivada segunda de  Para hacer un diagrama de signos para  , se debe hallar dnde  (x) = 0 y dnde  (x) no est denida.

1 3

No hay soluciones reales. signos de f ''  + x

=

 (x) no est denida: (x2   ) 3 = 0 x2   = 0 x=

2

6 ( 3 x + 1 ) 2

1

x 1 6x 2

 (x) =

Evaluar  en x =

1

 1

 es cncava hacia abajo en (, 1) y (1, ), dado que  (x) < 0, y  es cncava hacia arriba en (1, 1), dado que  (x) > 0.

Aunque  (x) cambia de signo en x = 1, no hay puntos de infexin. Esto se debe a que  (x) no est denida para x = 1. En este caso la concavidad cambia hacia ambos lados de una asntota vertical. { Contina en la pgina siguiente. Captulo 7

235

f( x ) = x3

c

f ( x ) = 3 x 2 f( x ) = 6 x 6x = 0 x=0 signos de f ''

Hallar la derivada segunda de  Hallar dnde  (x) = 0



+ Realizar un diagrama de signos para  

0

x

 es cncava hacia abajo en (, 0) dado que  (x) < 0, y  es cncava hacia arriba en (0, ) dado que  (x) > 0. Como  (x) cambia de signo en x = 0, existe un punto de infexin all.  (0) = (0)3 = 0 Por ende, el punto de infexin es (0, 0).

Evaluar  en x = 0 para hallar la coordenada y del punto de infexin

Ejercitacin 7S En las preguntas  a 6, use la derivada segunda para hallar los intervalos donde la uncin es cncava hacia arriba y cncava hacia abajo. 1

 (x) = 2x2  4x  3

2

 (x) = x4 + 4x3

3

 (x) = x3  6x2 + 12x

4

 (x) = x4

5

 (x) = 2xex

6

f( x ) =

1 x2 + 1

PREGUNTAS TIPO EXAMEN 7

Sea f ( x ) = a

24 . x2 + 1 2

Use el dato de que f( x ) =

48 x para mostrar que la ( x2 + 1 2)2

derivada segunda es f( x ) =

1 44 ( x 2  4 ) . ( x 2 + 1 2 )3

Halle los extremos relativos del grco de . ii Halle los puntos de infexin del grco de . 8 Se muestra el grco de la derivada y segunda de . Escriba los intervalos 4 en los cuales es cncava hacia 3 arriba y cncava hacia abajo. D 2 las coordenadas x de los puntos 1 de infexin. 0 b i

4 3 2 11 2 3 4 5

236

Lmites y derivadas

y = f''(x)

1 2 3 4 5 x

La derivada primera y la derivada segunda de una uncin nos dan mucha inormacin acerca del grco de la uncin. Podemos incluso usar las coordenadas de los puntos de interseccin con los ejes y las asntotas para completar el grco.

ejmplo 25 Dibuje aproximadamente el grco de cada uncin. Use la inormacin que encontr en los ejemplos 22 a 24, y las intersecciones con los ejes y las asntotas como ayuda. 2

a

f (x) = 2x3  3x2  12x

b

f( x ) =

x 4 2

x 1

c

f (x) = x3

Respuestas f (x) = 2x3  3x2  12x creciente en: (, 1) y (2, ) decreciente en: (1, 2) mximo relativo: (1, 7) mnimo relativo: (2, 20)

a

1 cncava hacia abajo:    , 



2

1  cncava hacia arriba:  ,   2   1 13  punto de infexin:  ,   2  2 races: (0, 0), (1,81; 0), (3,31; 0) interseccin con el eje y: (0, 0)

Para hallar las intersecciones con el eje x, igualar la funcin a 0 y resolver: 2 x 3  3 x 2  12 x = 0 x (2 x 2  3 x  12) = 0 x= 0 o x=

y mximo relativo 5 4 3 2 150 10 15 20

creciente

b

f( x ) =

9  4(2)( 12) 2(2)

x = 0 o x  1,81; 3, 31 1 2 3 4 5 x punto de inexin

Para hallar la interseccin con el eje y, evaluar f (0)

mnimo relativo

decreciente

cncava hacia abajo

3

creciente

cncava hacia arriba

x2  4 x2  1

creciente en: (, 1) y (1, 0) decreciente en: (0, 1) y (1, ) mximo relativo: (0, 4) cncava hacia abajo: (, 1) y (1, )

Para hallar las intersecciones con el eje x, igualar la funcin a 0 y resolver: 2

cncava hacia arriba: (1, 1) puntos de infexin: no posee intersecciones con el eje x: (2, 0), (2, 0)

x 4

interseccin con el eje y: (0, 4)

Para hallar la interseccin con el eje y, evaluar f(0)

2

= 0  x2  4 = 0  x =  2

x 1

{ Contina en la pgina siguiente. Captulo 7

237

asntotas verticales: x = 1

Para hallar las asntotas, hallar dnde se anula el denominador (verifcar que el numerador no es 0 para ese mismo valor): x 2  1 = 0  x = 1

asntota horizontal: y = 1

Aprendimos que la asntota horizontal de una ax + b uncin de la orma y = se determina cx + d

a c

usando los coefcientes principales, y = . Este mtodo unciona para cualquier uncin racional donde el grado del numerador es igual al grado del denominador. 1 y =  y =1 1

y 8 6 4 mnimo relativo 2 5 4 3 2 120 4 6 8

1 2 3 4 5 x

decreciente

creciente

cncava hacia hacia hacia abajo arriba abajo

c  (x) = x3

creciente en: (, 0) y (0, ) extremos relativos: no posee cncava hacia abajo: (, 0) cncava hacia arriba: (0, ) punto de infexin: (0, 0) interseccin con el eje x: (0, 0) interseccin con el eje y: (0, 0) y 8 6 4 2 punto de inexin 5 4 3 2 120 4 6 8

1 2 3 4 5 x

creciente cncava hacia abajo

238

Lmites y derivadas

cncava hacia arriba

Se puede usar notacin de lmites para describir las asntotas. La asntota horizontal y = 1 nos muestra que para valores grandes de x, y se aproxima a 1, y que para valores negativos pequeos de x, y se aproxima a 1. Usando la notacin de lmite para decir esto, f ( x ) = 1 y lim f ( x ) = 1. podemos escribir: xlim  x   Para la asntota vertical x = 1, a medida que x se aproxima a 1 por la izquierda, y crece rpida e indefnidamente en la direccin positiva de y, y a medida que x se aproxima a 1 por la derecha, y crece rpida e indefnidamente en la direccin negativa de y. Usando lmites para expresar esto escribimos: lim f ( x ) =  y lim f ( x ) =  . x 1+

x 1

De manera similar, para x =  1 escribimos lim f ( x ) =  y lim f ( x ) = . x  1 

x  1 +

Ejercitacin 7T En las preguntas  a 6 dibuje el grfco de la uncin. Use la derivada primera y la derivada segunda para analizar las caractersticas claves del grfco. Halle las intersecciones con los ejes y las asntotas. 1

 (x) = 3x2 + 10x  8

2

 (x) = x3 + x2  5x  5

3

f( x ) =

x+2 x4

4

 (x) = (3  x) 4

5

f( x ) =

ex  e x 2

6

f( x ) =

x2  1 x2 + 1

Dado el grfco de cualquiera de las tres unciones ,  o  , se puede dibujar el grfco de las otras dos unciones.

ejmplo  Sabiendo que el grfco que se muestra es el grfco de , dibuje aproximadamente los grfcos de   y  . b Sabiendo que el grfco que se muestra es el grfco de  , dibuje aproximadamente los grfcos de  y  . a

y

4 3 2 1 0

1 2 3 4 5 6 7 x

Respuestas a

y y = f(x) y = f''(x) 4 3 2 1 0

1 2 3 4 5 6 7 x

y = f'(x)

b

y y = f'(x)

6 4 2 0 y = f(x)

y = f''(x)

2 4 6 8 10 x

El grfco de  pasa de decreciente a creciente y tiene un mnimo relativo en x = 2. Esto signifca que  (x) se anula en x = 2 y pasa de negativa a positiva. El grfco de  es siempre cncavo hacia arriba. Esto signifca que  (x) es siempre positiva. Dado que  (x) es la derivada de  (x), una uncin lineal,  (x) debe ser una constante positiva. Dado que  (x) se anula cuando x = 1 y pasa de positiva a negativa, el grfco de  tiene un punto mximo relativo en x = 1. Dado que  (x) se anula cuando x = 5 y pasa de negativa a positiva, el grfco de  tiene un punto mnimo relativo en x = 5. Dado que  (x) tiene un mnimo relativo cuando x = 2, el grfco de  (x) se anula cuando x = 2. Como  es cncava hacia abajo para x < 2,  (x) es negativa para x < 2. Como  es cncava hacia arriba para x > 2,  (x) es positiva para x > 2. Captulo 7

239

Ejercitacin 7U PREGUNTAS TIPO EXAMEN Se da el grco de y = f (x). Dibuje aproximadamente los grcos de y = f (x) e y = f (x).

y

1

y = f(x)

4 3 2 1 0

2

Se da el grco de la derivada de f, y = f (x). Dibuje aproximadamente los grcos de y = f (x) e y = f (x).

1 2 3 4 5 x

y y = f'(x)

3 2 1 0

3

Se presenta el grco de la derivada segunda de f, y = f (x). Dibuje aproximadamente los grcos de y = f (x) e y = f (x).

1 2 3 x

y

5 4 3 2 1 0

1 2 3 4 5 x

y = f''(x)

7.7

Ms sobre extremos y problemas de optimizacin

Hemos visto cmo usar la derivada segunda para determinar Vase la seccin 2.6 la concavidad y los puntos de infexin del grco de una uncin. en el captulo 17. La derivada segunda de una uncin puede tambin usarse para hallar extremos relativos. A este proceso se lo denomina Si f (c) > 0 cerca de c, comprobacin (o criterio) de la derivada segunda . entonces f es cncava Comprobacin de la derivada segunda Si f (c) = 0 y la segunda derivada de fexiste cerca de c, entonces: 1 Si f(c) > 0, entonces ftiene un mnimo relativo en x = c. 2 Si f(c) < 0, entonces ftiene un mximo relativo en x = c. 3 Si f(c) = 0, la comprobacin de la derivada segunda alla y se debe usar la comprobacin de la derivada primera para localizar los extremos relativos. 240

Lmites y derivadas

hacia arriba cerca de c. Por ende, f posee un mnimo relativo. Si f (c) < 0 cerca de c, entonces f es cncava hacia abajo cerca de c. Por ende, f posee un mximo relativo.

ejmplo 27 Halle los puntos extremos relativos de cada funcin. Si es posible, use la comprobacin de la derivada segunda. a f (x) = x3  3x2  2 b f (x) = 3x5  5x3 Respuestas a f( x ) = x3  3 x 2  2 f ( x ) = 3 x 2  6 x f( x ) = 6 x  6

Hallar la derivada primera y la derivada segunda de f

3x2  6x = 0 3 x( x  2) = 0 x = 0, 2

Hallar los valores de x donde la primera derivada se anula

f  (0 ) =  6 < 0  mximo relativo f  (2 ) = 6 > 0  m nim o relativo f (0 ) =  2  (0,  2 ) es un mximo relativo f (2 ) =  6  (0,  6 ) es un

Evaluar la derivada segunda en cada cero de la derivada primera f  < 0 implica un mximo relativo y f  > 0 implica un mnimo relativo. Evaluar dnde ocurren los extremos de la funcin para hallar los valores de los mximos y mnimos relativos

mnimo relativo

b

f( x ) = 3 x5  5 x3 4

Hallar la derivada primera y la derivada segunda de f 2

2

f( x ) = 1 5 x  1 5 x = 1 5 x ( x + 1 )( x  1 ) f( x ) = 60 x 3  30 x 1 5x4  1 5x2 = 0 1 5 x 2 ( x + 1 )( x  1 ) = 0 x = 0,  1 f (0) = 0  falla la comprobacin de la derivada segunda f(1) =  30 < 0  mximo relativo f (1) = 30 > 0  mnimo relativo

Hallar los valores de x donde la derivada primera se anula

Evaluar la derivada segunda en cada cero de la derivada primera f  = 0 implica que la comprobacin de la derivada segunda falla. f  < 0 implica un mximo relativo, y f  > 0 implica un mnimo relativo. { Contina en la pgina siguiente.

Captulo 7

241

signos de f ' x

 1

0 0

 1

Dado que no hay cambio de signo en f  en x = 0, no existe mnimo o mximo relativo en ese punto.

Dado que la comprobacin de la derivada segunda falla en x = 0, usar la comprobacin de la derivada primera para ver si el signo de f  cambia en x = 0

Evaluar la funcin en los extremos relativos para hallar los valores mximos y mnimos relativos

f (  1 ) = 2  (  1, 2 ) es un m xim o relativo f (1) =  2  (1,  2 ) es un m nimo relativo

Ejercitacin 7V Halle los puntos extremos relativos de cada funcin. Use la comprobacin de la derivada segunda cada vez que sea posible. 1

f (x) = 3x2  18x  48

2

f (x) = (x2  1) 2

3

f (x) = x 4  4x3

4

f (x) = xe x

5

f (x) = (x  1) 4

6

f( x ) =

1 x +1 2

Hemos estado hallando los extremos relativos o locales de funciones. Tambin podemos hallar los extremos absolutos o globales de una funcin. Los extremos absolutos son el valor mximo y el mnimo de la funcin a lo largo de todo su dominio. Los extremos absolutos de una funcin se producen ya sea en alguno de los extremos relativos o bien en alguno de los extremos de la funcin.

242

Lmites y derivadas

Los extremos relativos de una funcin son el valor mximo y el mnimo de una funcin en un intervalo cercano al punto crtico. Los extremos relativos nunca ocurren en los extremos de una funcin.

ejmplo 28 D

Identifque cada punto rotulado como un mximo o mnimo absoluto, un mximo o mnimo relativo, o ninguno de ellos. b Halle el mximo y el mnimo absoluto para  (x) = x2  2x en   x  2. a

B

A

C

Respuestas A no es un punto extremo de ningn tipo.

a

Los puntos del grfco por encima de la recta horizontal tienen valores mayores que el valor de la uncin en A y aquellos que estn por debajo del eje tienen valores ineriores a los de la uncin en A. Por lo tanto, A no es ni mximo absoluto ni mnimo absoluto. A no puede ser extremo relativo puesto que es un extremo de la uncin. D B

A

C

B es un mximo relativo.

C es un mnimo absoluto y un mnimo relativo. D es un mximo absoluto.

B no puede ser un mximo absoluto ya que hay valores de la uncin que son mayores que el valor de la uncin en B. C es un mnimo absoluto dado que el valor de la uncin en C es el menor valor de la uncin en todo su dominio. El valor de la uncin en D es el mayor valor de la uncin en todo su dominio.

b  (x) = x2  2x en 1  x  2

f ( x ) = 2 x  2 2x  2 = 0 x =1

Hallar los puntos crticos donde  '(x) = 0

f ( 1 ) = ( 1 ) 2  2 ( 1 ) = 3

Evaluar la uncin en los extremos y en los puntos crticos del intervalo. El mayor valor es el mximo y el menor es el mnimo.

2

f (1 ) = (1 )  2 (1 ) = 1 f(2 ) = (2) 2  2(2 ) = 0 El mximo absoluto de  (x) = x2  2x en 1  x  2 es 3 y el mnimo absoluto es 1.

Captulo 7

243

Ejercitacin 7W Identifque cada punto rotulado en las preguntas  y 2 como un mximo o mnimo absoluto, un mximo o mnimo relativo, o ninguna de las dos cosas. 1

C

2

C

A A

B

B D

Halle el mximo y el mnimo absoluto de la uncin en el intervalo dado. 3

f (x) = (x  2) 3 en 0  x  4

4

f (x) = 8x  x2 en 1  x  7

5

f ( x ) = x 3  x 2 en 1  x  2

3 2

Muchos problemas prcticos requieren que hallemos valores mximos o mnimos. Por ejemplo, quizs querramos maximizar un rea o minimizar un costo. Tales problemas se denominan problemas de optimizacin .  Para los problemas de optimizacin: 1 Asigne variables a las cantidades dadas y a las cantidades que deben determinarse. Cuando sea posible, dibuje un diagrama. 2 Escriba una rmula de la uncin que va a ser optimizada (minimizada o maximizada), en uncin de dos variables. 3 Halle los valores que resulten sensatos o actibles dentro del contexto del problema donde la derivada de la uncin que va a ser optimizada se anule (sea igual a 0). 4 Verifque que realmente sea un mximo o un mnimo usando la comprobacin de la derivada primera o de la derivada segunda. Si el dominio es tal que a  x  b, recuerde que deben verifcarse los extremos, dado que el mximo o el mnimo en un intervalo cerrado pueden ocurrir cuando f  (x) = 0 o en un extremo del intervalo.

244

Lmites y derivadas

ejmplo 29 El producto de dos nmeros positivos es 48. Halle los dos nmeros tales que la suma del primero ms el triple del segundo sea mnima. Respuesta x = el primer entero positivo y = el segundo entero positivo S = x +3y xy = 48  y =

48 x

1 44  48  S = x +3 = x+ x x 

S ( x ) = 1  1

1 44 x2

Asignar variables a las cantidades que se van a determinar Escribir una uncin para la suma, la cantidad que va a ser minimizada

1 44 x2

=0

Usar la otra inormacin dada para reescribir la uncin para la suma usando solamente dos variables Hallar la derivada de la uncin que va a ser minimizada y luego determinar los puntos crticos, donde la derivada se anula

x 2 = 1 44 x = 1 2 Dado que los nmeros son positivos, consideramos nicamente x = 12. S  ( x ) =

288 x

S  (1 2 ) =

3

288 12

3

> 0  mnim o relativo

48

48

 y=

y= x

12

Usar la comprobacin de la derivada segunda para verifcar que el valor crtico 12 da un mnimo Observe que se podra usar tambin la comprobacin de la derivada primera. Hallar el segundo nmero

=4

Los nmeros son 12 y 4.

ejmplo 30 Una parcela rectangular para tierras de cultivo est encerrada por un vallado de 180 m en tres de sus lados. El cuarto lado de la parcela es una pared de piedra. Halle las dimensiones de la parcela que encierran el rea mxima. Halle el rea mxima. Respuesta a

a l

A = la 2a + l = 180  l = 180  2a A = (180  2a)a = 180a  2a2 A(a ) = 1 8 0  4 a 1 80  4 a = 0 a = 45

Elaborar un diagrama y asignar variables a las cantidades que se van a determinar Escribir una uncin para el rea, la cantidad que va a ser maximizada Usar la otra inormacin dada para reescribir la uncin para el rea usando solamente dos variables Hallar la derivada de la uncin que va a ser minimizada y luego determinar los puntos crticos, donde la derivada se anula { Contina en la pgina siguiente. Captulo 7

245

Usar la comprobacin de la derivada segunda para verifcar que el valor crtico 45 da un mximo

A  ( a ) =  4 A  (45 ) =  4 < 0  m ximo relativo

l = 180  2a  l = 180  2(45) = 90 A = 90(45) = 4050 Una parcela de 45 m por 90 m tendr el rea mxima de 4050 m2.

Hallar la longitud y el rea

Ejercitacin 7X 1

La suma de dos nmeros positivos es 20. Halle los dos nmeros que maximicen la suma del primero ms la raz cuadrada del segundo.

2

La suma de un nmero positivo y el doble de un segundo nmero positivo es 200. Halle los dos nmeros tales que su producto sea mximo.

3

Un corral rectangular se parte en dos secciones y se construye utilizando 400 pies de alambrado, como se muestra en la fgura. Qu dimensiones deberan usarse para que el rea resulte mxima?

y

x

ejmplo  Halle las dimensiones de una caja sin tapa con base cuadrada y rea total de 192 centmetros cuadrados que tenga el mximo volumen. Respuesta Dibujar un diagrama y asignar variables a las cantidades que van a ser determinadas

h

Escribir una uncin para el volumen, la cantidad que va a ser maximizada Dado que la caja no tiene tapa, la superfcie total es la suma del rea del cuadrado de la base, x2, y el rea de las cuatro caras laterales, 4xh.

x x

V = x2 h x 2 + 4 xh = 1 92 h=

1 92  x

2

4x

 1 92  x 2  V( x) = x 2    4x  = 48 x 

1

x3

Usar esto para reescribir la rmula de la uncin empleando solamente dos variables

4 { Contina en la pgina siguiente.

246

Lmites y derivadas

x

3

V  ( x ) = 48  48  3 4

3 4

x

Hallar la derivada de la uncin que va a ser maximizada y luego hallar los puntos crticos donde la derivada se anula

2

4

2

x =0

x 2 = 48

2 x = 64

x = 8

El valor crtico factible es x = 8. V  ( x ) =  V  (8 ) = 

3

Usar la comprobacin de la derivada segunda para verifcar que el valor crtico 8 da un mximo

x

2 3

(8 ) =  1 2 < 0

2

 m xim o relativo

h=

1 92  x 2

h=

4x

1 92  8 2 4 (8 )

=4

Hallar la altura de la caja

Las dimensiones de la caja con rea mxima son 8 cm por 8 cm por 4 cm.

ejmplo 32 El costo de pedido y almacenaje de x unidades de un producto es C ( x ) = x +

1 0 000 x

. Un camin de

reparto puede entregar un mximo de 200 unidades por pedido. Halle qu cantidad de unidades del producto se deben pedir para minimizar el costo. Respuesta C( x ) = x +

1 0 000 x

donde x es el nmero de

C es la uncin que va a ser minimizada.

unidades. C ( x ) = 1  1

1 0 000 x2 1 0 000 x2

1 0 000 x

2

Hallar la derivada de la uncin que va a ser minimizada para determinar los valores crticos donde la derivada se anula

=0 =1

x 2 = 1 0 000 x = 1 00 El valor crtico factible es x = 100. Dado que el pedido debe incluir al menos una unidad pero no ms de 200, necesitamos hallar el mnimo absoluto en 1  x  200.

Dado que la uncin est defnida en un intervalo cerrado, los extremos y los ceros de la derivada en el intervalo deben ser tenidos en cuenta para el valor mnimo absoluto. { Contina en la pgina siguiente. Captulo 7

247

C (1 ) = 1 +

1 0 00 0

= 1 0 00 1

1

C (1 00 ) = 1 0 0 +

1 0 00 0

= 200  costo m nim o

1 00

C (200 ) = 20 0 +

1 0 00 0

= 25 0

2 00

El costo mnimo ocurre cuando hay 100 unidades.

Ejercitacin 7Y



1

Una caja sin tapa con base cuadrada tiene un volumen de 32 000 cm3 . Halle las dimensiones de la caja que minimizan el rea de su superfcie.

2

Suponga que el costo medio de producir x unidades de un artculo est dado por C(x) = x3  3x2  9x + 30. Si lo mximo que se puede producir son 10 artculos por da, cuntos artculos se deberan producir para minimizar el costo diario?

3

Una partcula se mueve sobre una recta horizontal de orma tal que su posicin desde el origen en un tiempo t est dada por s(t) = t3  12t2 +36t 10 en 0  t  7. Halle la distancia mxima entre la partcula y el origen.

PREGUNTAS TIPO EXAMEN Se inscribe un cilindro en un cono de 6 cm de radio y 10 cm de altura. a Halle una expresin para r, el radio del cilindro, en uncin de a, la altura del cilindro. b Halle una expresin para el volumen, V, del cilindro, en uncin de a.

4

5



d

A partir de lo anterior, halle el radio y la altura del cilindro con volumen mximo.

da

da

a

6 cm

Halle

2

r

10 cm

2

y

dV

c

.

Sea x el nmero de miles de unidades producidas de cierto artculo. Los ingresos por vender x unidades estn dados por r ( x )  4 x y el costo de producir x unidades es c (x) = 2x 2. a La uncin ganancia p(x) = r (x)  c (x). Escriba una expresin para p(x) en uncin de x. dp d 2 p y . dx d x 2

b

Halle

c

A partir de lo anterior, halle el nmero de unidades que deberan producirse para maximizar la ganancia.

ejrcicio d rvisin 1

Derive con respecto a x. a 4x3 +3x2  2x + 6 d

248

dV

10  a

(x2  1)(2x3  x2 + x)

Lmites y derivadas

b 

x4

c

3 x4

x4 x +7

f

e 4x

3

g

(x3 + 1) 4

h

ln(2x +3)

i

ln x x2

j

4 x2  2x 6

k

(3x2 + 1)(ex)

l

2e x ex  3

m 3 2x  5

n

x2 e2x

o

1  ln   x

PREGUNTAS TIPO EXAMEN Sea f (x) = 2x3  6x. a Desarrolle (x + h) 3 .

2

b

Use la rmula f( x ) = lim h 0

f( x + h )  f( x ) para mostrar que la h

derivada de f (x) es 6x  6. c El grco de f es decreciente en p < x < q. Halle los valores de p y q. d Escriba f  (x).  Halle el intervalo en el cual fes cncava hacia arriba. 2

1

3

Halle la ecuacin de la normal a la curva f ( x ) = 4 xe x en el punto (1, 4).

4

Halle las coordenadas del grco de f (x) = 2x3  3x + 1 en las cuales la recta tangente es paralela a la recta y = 5x  2.

5

Dado el grco de y = f (x): a Escriba f (2), f  (2) y f  (2) y ordene los valores de mayor a menor. b Justique su respuesta del apartado a .

6

y 4 3 2 1 0 1 2

La uncin de una curva es y = x3 (x  4). a b

Halle:

i

dy dx

ii

d2 y dx 2

Para esta curva halle: Las intersecciones con el eje x

y = f(x)

1 2 3 4 5 x

Las coordenadas del punto mnimo relativo iii Las coordenadas de los puntos de infexin c Use sus respuestas de b para dibujar aproximadamente un grco de la curva, indicando claramente las caractersticas que encontr en el apartado b . i

7

ii

Una partcula se mueve a lo largo de una recta horizontal tal que su desplazamiento desde el origen est dado por s (t) = 20t  100 ln t, t  1. a Halle la uncin velocidad para s. b Halle cundo la partcula se mueve a la izquierda. c Muestre que la velocidad de la partcula es siempre creciente.

ejrcicio d rvisin 1 Use su CPG para examinar cada uncin grca y numricamente. Halle el lmite o indique que no existe. a

lim x2

1 x2

b

lim x3

1 x2

c

lim x 4

x2  1 6 x4

d

lim x 1

x2 + 3 x 1 Captulo 7

249

PREGUNTA TIPO EXAMEN 2 Un poste de 10 pies y un poste de 25 pies estn separados por una distancia de 30 pies y son perpendiculares al suelo. Se atan cables de medidas y y z desde los topes de los postes hasta una nica estaca clavada en la tierra, tal como se muestra en la fgura.  i Escriba una expresin para y en uncin de x. ii Escriba una expresin para z en uncin de x. iii A partir de lo anterior, escriba una expresin para L(x), la longitud total de cable usado para ambos postes. b i ii

z y

10 pies

dL Halle . dx

x

25 pies

30  x

A partir de lo anterior, halle la distancia x a la que la estaca debiera haberse colocado desde el poste de 10 pies para minimizar la cantidad de cable usado.

ResuMeN del captulO 7 l r ngn y  riv  xn 

f( x + h )  f( x ) se conoce como la riv de f. La h f ( x + h )  f ( x ) dy f( x + h)  f( x ) derivada se defne como f( x ) = lim o . = lim h 0 h  0 h dx h

La uncin defnida por lim h 0



Rg   oni

Si f(x) = x n, entonces f(x) = nx n , donde n  R. 

Rg   onn

Si f (x) = c, donde c es cualquier nmero real, entonces f (x) = 0. 

Rg   miiin or n onn

Si y = cf (x), donde c es cualquier nmero real, entonces y  = cf (x). 

Rg   iin o  rin

Si f (x) = u(x)  v (x), entonces f (x) = u (x)  v (x).

M rg  rivin 

driv 

ex Si f (x) = e , entonces f (x) = ex. driv  n x 1 Si f (x) = ln x, entonces f( x ) = . x





Rg  roo

x

Si f (x) = u(x)  v (x), entonces f (x) = u(x)  v (x) + v(x)  u(x). 

Rg  oin

Si f ( x ) =

v ( x )  u ( x )  u ( x )  v ( x ) u( x ) , entonces f ( x ) = . 2 v( x ) [v( x ) ] Contina en la pgina siguiente.

250

Lmites y derivadas

la rega de a cadena y derivadas de orden superior 

la rega de a cadena



Si f (x) = u(v(x)), entonces f (x) = u (v(x))  v(x). La regla de la cadena tambin se puede escribir as: Si y = f (u), u = g (x) e y = f (g(x)), entonces

dy dy du =  . dx d u d x

Razones de cambio y movimientos sobre una recta 

La razn de cambio instantnea del desplazamiento es la uncin veocidad , v( t ) = lim h0



s(t + h )  s ( t ) h

= s( t ) .

La razn de cambio instantnea de la velocidad es la uncin aceeracin , a( t ) = lim h0

v(t + h )  v ( t ) h

= v( t ) = s( t ).

las derivadas y sus grcos 





Cuando una uncin es decreciente, las rectas tangentes a la curva tienen pendientes negativas. Cuando una uncin es creciente, las rectas tangentes a la curva tienen pendientes positivas. Se deduce que: Si f (x) > 0 para todo x en (a, b), entonces fes creciente en (a, b). Si f (x) < 0 para todo x en (a, b), entonces fes decreciente en (a, b). La comprobacin de a derivada primera se usa para localizar extremos relativos de f. Si fest denida en un punto crtico c, entonces: 1 Si f (x) pasa de positiva a negativa en x = c, entonces ftiene un punto mximo relativo en (c, f (c)). 2 Si f (x) pasa de negativa a positiva en x = c, entonces ftiene un punto mnimo relativo en (c, f (c)). Si f (x) > 0 para todo x en (a, b), entonces f es cncava hacia arriba en (a, b). Si f (x) < 0 para todo x en (a, b), entonces f es cncava hacia abajo en (a, b). Los puntos del grco donde cambia la concavidad se llaman puntos de infexin. Un punto en el grco de fes un punto de infexin si f (x) = 0 y adems f (x) cambia de signo.

Ms sobre extremos y probemas de optimizacin 

Para los problemas de optimizacin: 1 Asigne variables a las cantidades dadas y a las cantidades que deben determinarse. Cuando sea posible, dibuje un diagrama. 2 Escriba una rmula de la uncin que va a ser optimizada (minimizada o maximizada), en uncin de dos variables. 3 Halle los valores que resulten sensatos o actibles dentro del contexto del problema donde la derivada de la uncin optimizada se anule (sea igual a 0). 4 Verique que realmente sea un mximo o un mnimo usando la comprobacin de la derivada primera o de la derivada segunda. Si el dominio es tal que a  x  b, recuerde que deben vericarse los extremos, dado que el mximo o el mnimo en un intervalo cerrado pueden ocurrir cuando f  (x) = 0 o en un extremo del intervalo.

Captulo 7

251

tora del conoimino

la vrdad n mamias e razonamino induivo

El razonamino induivo toma en cuenta casos particulares para llegar a una generalizacin. Use el razonamiento inductivo para elaborar conjeturas sobre este problema. 1. Copie los crculos y las tablas. Dibuje todas las cuerdas posibles

que conecten los puntos de cada circunerencia. Cuente el nmero de regiones que no se superponen en el interior de cada crculo. Anote los resultados en la tabla.

Nmero de puntos sobre la circunferencia 2 3 4 5

Nmero de regiones formadas 2 4

2. Describa, en palabras, cualquier patrn que observe para el

nmero de regiones ormadas. 3. Elabore una conjetura sobre el nmero de regiones no

superpuestas que quedan determinadas al conectar n puntos de la circunerencia. Escrbala en orma de expresin matemtica. 4. Use su conjetura para predecir el nmero de regiones ormadas cuando se dibujan todas las cuerdas que conectan seis puntos de la circunerencia del crculo. 5. Dibuje un crculo con seis puntos en su circunerencia. Dibuje todas las cuerdas que conectan esos puntos para verifcar su conjetura de la pregunta 4.

252

Teora del Conocimiento: la verdad en matemticas

Ya hemos completado los dos pri meros crculos.

Si basa su conjetura sobre el patrn ms evidente para el nmero de regiones formadas, encontrar que no se cumple para n = 6.

 Cuntas veces tiene que repetirse un patrn para que sepamos que es verdadero?  Podemos realmente saber si es siempre verdadero con solo observar el patrn?  Signifca esto que no deberamos usar nunca el razonamiento inductivo?

En la seccin 7.1 hemos conjeturado que la derivada de f(x) = xn es f'(x) = nxn1 . Confrmamos que la conjetura se cumpla para f(x) = x 5 . Podemos emplear el razonamiento deductivo para probar la validez de nuestra conjetura. En el razonamiento deductivo vamos desde lo ms general a lo ms especfco. En matemticas basamos el razonamiento deductivo en axiomas bsicos, defniciones y teoremas. Usamos la defnicin de derivada y el teorema del binomio para mostrar que si f(x) = xn, entonces f'(x) = nxn1 para n  Z +. n f'(x) = lim f (x + h)  f (x) = lim

(x + h) n  xn h

h0

= lim

Aplicar la defnicin de derivada a f(x) = x y luego usar el teorema del binomio para desarrollar (x + h) n

h

h0

[(

n 0

n 1

) xnh 0 + (

) xn1 h1 + (

n

n 2

) xn2h2 +...+ ( n1 ) x1 hn1 + (

[x + nx n

n1

h+ (

n 2

) xn2h2 +...+

= lim

x

n

n ( n1 )

xhn1 + hn]

x

n

Simplifcar donde sea posible

h

h0

nxn1 h + (

n 2

n

) xn2h2 +...+ ( n1 ) xhn1 + hn

Agrupar trminos semejantes

h

h0

= lim

) x0 h n ]

h

h0

= lim

n n

h [ nxn1 + (

n 2

n

) xn2h +...+ ( n1 ) xhn2 + hn1 ] h

h0

= lim [ nxn1 + ( h0 = nxn1 + (

Factorizar

n 2

n 2

n

) xn2h +...+ ( n1 ) xhn2 + hn1 ] n

) (xn2)(0) +...+ ( n1 ) (x)(0) n2 + (0) n1

f'(x) = nxn1



Un astrnomo, un sico y un matemtico viajaban por Gales en tren, cuando vieron una oveja negra en medio del campo. El astrnomo dijo: Todas las ovejas galesas son negras!  .

Evaluar el lmite

Podemos ahora afrmar con certeza que la conjetura ser vlida para

Una broma matemtica clsica

Simplifcar

n  Z + ? Por qu, o por qu no?

El sico no estuvo de acuerdo:   No! Algunas ovejas galesas son negras! . Mientras que el matemtico asever:  En Gales hay al menos un campo que contiene al menos una oveja con al menos un lado que es negro! .

 Qu clase de razonamiento estaba usando el matemtico?

Captulo 7

Teora del Conocimiento

El razonamiento deductivo

253

Estadstica descriptiva

8 ObjetivOs del captulO: 5.1

Poblacin; muestra; muestra aleatoria; datos discretos y continuos; presentacin de los datos; distribuciones de recuencias (tablas); histogramas de recuencia con intervalos de clase de la misma amplitud; diagramas de caja y bigotes; valores no esperados; datos agrupados: uso de los valores centrales de los intervalos para los clculos; amplitud del intervalo; lmites; clase modal. 5.2 Medidas estadsticas. Medidas de posicin central: media, mediana, moda; cuartiles y percentiles. Dispersin: rango, rango intercuartil, varianza, desviacin tpica. 5.3 Frecuencia acumulada; grfcos de recuencia acumulada.

an  omnzr Qu necesitamos saber

Comprobemos nuestras habilidades

1

1

Dibujar un grfco de barras Por ejemplo: dibujar un grfco de barras para el nmero de nios en las amilias de 30 alumnos en la siguiente tabla de recuencia

Dibuje un grfco de barras para la siguiente tabla de recuencias: Color favorito Rojo Azul Rosa Prpura Negro

y

f 8 12 5 3 2

12 10 Frecuencia

Nios 1 2 3 4 5

8 6

2

Media =

2 3 4 5 Nmero de nios

6 x

35 2 +3 +3 +5 +6+7 +9 = =5 7 7



Moda = 3  Mediana = 5 254

1

Hallar la media, la moda y la mediana Por ejemplo: hallar  ) la media, ) la moda y ) la mediana de 2, 3, 3, 5, 6, 7, 9 

Estadstica descriptiva

6 8 10 9 4

4

0

2

f

2 

Halle la media de 4, 7, 7, 8, 6. Halle la moda de 5, 6, 8, 8, 9.  Halle la mediana de:  6, 4, 8, 7, 11, 2, 4  5, 7, 9, 11, 13, 15  6, 8, 11, 11, 14, 17 

Frecuencia

y Las estadsticas orman parte de la vida cotidiana. Los promedios 10 (media, moda, mediana, etc.) y los grfcos (de barras, de lneas, de 9 sectores, etc.) se usan en todas partes: de los negocios a los deportes, y de la moda a los medios de comunicacin. Utilizamos las 8 estadsticas sin darnos cuenta. Cada uno de nosotros probablemente 7 ha hecho alguna afrmacin estadstica, con el pensamiento o 6 en conversaciones cotidianas. Decir Duermo en promedio unas 5 ocho horas por noche o Es ms probable que pase el examen 1875 1900 1925 1950 1975 2000 2025 x Ao si me preparo de antemano es hacer ya una afrmacin estadstica por naturaleza. La estadstica es la ciencia de los datos.

Las estadsticas tienen que ver con:  

 

Disear experimentos y otras recolecciones de datos Representar y analizar inormacin para acilitar la comprensin Sacar conclusiones a partir de los datos Realizar estimaciones acerca del presente o predicciones sobre el uturo

En este captulo se explican estas tcnicas y cmo aplicarlas en situaciones reales.

Es un conjunto de herramientas que se utilizan para organizar y analizar datos. En este captulo se pueden hacer la mayora de los clculos con la calculadora, pero si sabemos hacerlos manualmente, nos ayudar a comprender mejor. Se pone el acento en comprender e intrepretar los resultados obtenidos, en contexto. No se permiten las tablas estadsticas en los exmenes: se deber usar la calculadora de pantalla grfca (CPG). Captulo 8

255

investgcn: qu debemos hacer con nuestras califcaciones? Las califcaciones obtenidas por 32 estudiantes en una prueba que se puntuaba con un mximo de 10 puntos son las siguientes: 0, 1, 1, 2, 2, 2, 3, 3, 4, 4, 4, 5, 5, 5, 5, 5, 6, 6, 6, 6, 7, 7, 7, 7, 7, 7, 8, 8, 8, 8, 9, 10. Qu debera hacer el proesor con estos datos? Cmo podra organizar los datos para visualizar mejor las califcaciones? Cmo debera mostrar las califcaciones? Debera usar un promedio? Cmo se deberan convertir las califcaciones numricas a califcaciones con letras? Se puede sacar alguna conclusin a partir de las califcaciones?

8.1 anlss unmensonl El nlss unmensonl contempla una sola variable, por ejemplo, la altura de todos los estudiantes en la clase. Con estos datos se pueden dibujar grfcos, hallar los promedios y muchas ms cosas. La comparacin de dos variables, por ejemplo, sus alturas y pesos, se llama nlss bmensonl, que se ver en el captulo 1 0.  Los tos constituyen la inormacin que se obtiene, y se los clasifca en datos culttvos o datos cuntttvos. dtos culttvos

dtos cuntttvos

Los datos cualitativos determinan categoras y a veces se los llama datos categricos. Algunas preguntas de las que surgen datos cualitativos son: Cul es el color de su lapicera preerida? Cmo viaja para ir a la escuela? Cul es la marca de su computador?

Los datos cuantitativos describen inormacin que puede ser contada o medida. Algunas preguntas de las que surgen datos cuantitativos son: Cuntas lapiceras posee? Cunto tiempo tarda en llegar a la escuela? Cuntos computadores ha tenido?

Los datos de la prueba que vimos anteriormente, son cualitativos o cuantitativos?

[ Discretos Cuntos pares de zapatos se ven? Los datos cuantitativos se dividen en dos categoras: tos scretos y tos contnuos.

 Una variable cuantitativa discreta toma valores numricos exactos. Aqu trabajamos con vlores e 0, 1, 2, 3,..., por ejemplo, la cantidad de CD que tenemos o el nmero de hijos que hay en nuestra amilia.  Una variable cuantitativa continua puede ser medida y su precisin depende de la precisin del instrumento de medicin utilizado. Las variables continuas, tales como la longitud, el peso y el tiempo, pueden tomar valores raccionarios o decimales. 256

Estadstica descriptiva

[ Continuos Cul es la velocidad del tren?

Cul es la diferencia entre una poblacin y una muestra? Cuando pensamos en el trmino oblacin , generalmente pensamos en la gente de nuestra ciudad, regin, estado o pas.

Poblacin

Muestra

 En estadstica, el trmino oblacin incluye a todos los miembros del grupo que estamos estudiando con el fn de tomar decisiones basadas en datos.  Una mustra es una parte de la poblacin. Es un subconjunto de la poblacin, una seleccin de los individuos que la conorman. Para que una muestra sea alatoria , se deben presentar dos caractersticas: 1 Cada individuo tiene la misma posibilidad de ser elegido. 2 La muestra tiene esencialmente las mismas caractersticas que la poblacin.

Ejercitacin 8A 1

Clasifque cada uno de los siguientes datos en discretos o continuos. El nmero de peces capturado por un pescador b La longitud del pez c El tiempo que lleva atrapar un pez d El nmero de amigos que el pescador se llev con l a

2

Las califcaciones de los exmenes presentadas al comienzo del captulo, son datos discretos o continuos?

8. prsntacin d los datos

y 8

Frecuencia

Una tabla d rcuncias es una manera cil de visualizar los datos rpidamente y buscar patrones. Tambin podemos mostrar datos discretos en un grfco d barras.

A veces se denomina  grfco de columnas al grfco de barras.

ejmlo 

6 4 2

Un estudiante cont cuntos automviles pasaron por su casa en intervalos de un minuto, durante 30 minutos. Sus resultados ueron: 23, 22, 22, 22, 24, 22, 21, 21, 23, 23, 27, 21, 21, 22, 23, 25, 27, 26, 23, 23, 22, 27, 26, 25, 28, 26, 22, 20, 21, 20. Muestre estos datos en una tabla de recuencias. Dibuje un grfco de barras para estos datos.

0 20 21 22 23 24 25 26 27 28 x Automviles por minuto

{ Contina en la pgina siguiente.

Captulo 8

257

Respuesta Nmero de automviles por minuto 20 21 22 23 24 25 26 27 28

Conteo Frecuencia

|| ||||

2 5

|||| ||

7

|||| | | || ||| ||| |

6

Frecuencia

y 8 6

Contabilizar cada uno de los datos en la fla correcta Escribir el total en la columna de recuencia El nmero 21 aparece 5 veces en los datos.

1 2 3 3 1 Un diagrama de barras es apropiado para los datos discretos y puede haber espacios entre las barras.

4 2

0 20 21 22 23 24 25 26 27 28 x Automviles por minuto

Usar la escala vertical para la recuencia y la horizontal para el nmero de automviles por minuto

 Cuando tenemos muchos datos, podemos organizarlos en grupos en una tabla d frcuncias agrupadas. Para los datos continuos, se puede dibujar un histograma . Es similar a un grfco de barras, pero no tiene espacios entre las barras.

Por qu no hay espacios en los datos continuos?

ejmplo 2 Las edades de 200 miembros de un club de tenis son: 20, 22, 23, 24, 25, 25, 25, 26, 26, 26, 26, 28, 28, 29, 29, 29, 30, 30, 30, 30, 30, 30, 30, 32, 32, 33, 33, 33, 34, 34, 34, 34, 34, 34, 34, 34, 35, 35, 35, 35, 36, 36, 36, 36, 36, 37, 37, 37, 38, 38, 38, 39, 39, 39, 40, 40, 40, 41, 41, 41, 42, 42, 42, 42, 42, 42, 42, 42, 43, 43, 43, 43, 43, 43, 44, 44, 44, 44, 44, 44, 45, 45, 45, 45, 45, 45, 45, 45, 46, 46, 46, 46, 46, 46, 46, 46, 47, 47, 47, 47, 47, 47, 47, 47, 47, 48, 48, 48, 48, 48, 48, 48, 48, 48, 49, 49, 49, 49, 49, 49, 49, 49, 50, 50, 50, 50, 50, 50, 51, 51, 51, 51, 51, 51, 51, 52, 52, 52, 52, 52, 53, 53, 53, 53, 53, 53, 53, 53, 53, 54, 54, 54, 54, 55, 55, 55, 55, 55, 56, 56, 56, 57, 57, 57, 57, 57, 57, 57, 57, 57, 57, 58, 58, 58, 59, 59, 59, 60, 60, 60, 60, 60, 61, 61, 61, 62, 62, 62, 63, 63, 63, 63, 64, 64, 64, 64, 65, 65, 68, 69. Dibuje una tabla de recuencias agrupadas y el histograma de los datos. { Contina en la pgina siguiente.

258

Estadstica descriptiva

En los exmenes se evaluarn solo los histogramas de recuencias con intervalos de igual amplitud. Si tuvisemos una fla para cada edad, nos dara una tabla de 50 flas de datos!

Respuesta Edad

Conteo

Frecuencia

20  edad < 25

||||

4

25  edad < 30

|||| |||| ||

12

30  edad < 35

|||| |||| |||| ||||

20

35  edad < 40

|||| |||| |||| |||

18

40  edad < 45

|||| |||| |||| |||| |||| |

26

45  edad < 50

|||| |||| |||| |||| |||| |||| |||| |||| ||

42

50  edad < 55

|||| |||| |||| |||| |||| |||| |

31

55  edad < 60

|||| |||| |||| |||| ||||

60  edad < 65 65  edad < 70

|||| |||| |||| |||| ||||

Intervalos de igual amplitud (5 aos). 25 est en la clase 25  edad < 30.

24

Se ubican los nmeros en los extremos de las barras o como escala en el eje x.

19

No hay espacios entre las barras.

4

Se puede utilizar la CPG para dibujar histogramas. Vase la seccin 5.4 en el captulo 17.

Frecuencia

45 30 15 0 20 25 30 35 40 45 50 55 60 65 70 x Edad

Ejercitacin 8B PREGUNTA TIPO EXAMEN 1 Se les pregunt a todos los estudiantes del IB en una escuela cuntos minutos al da estudiaban matemticas. Los resultados se indican en la tabla. Tiempo dedicado a estudiar 0  t < 15 15  t < 30 30  t < 45 45  t < 60 60  t < 75 75  t < 90 matemticas (min) Nmero de 21 32 35 41 27 11 estudiantes a b

Son datos continuos o discretos? Utilice la CPG para dibujar un histograma claramente rotulado para representar los datos.

Captulo 8

259

PREGUNTA TIPO EXAMEN 2 La siguiente tabla muestra la distribucin de las edades de los profesores de matemticas que trabajan en la Escuela Secundaria Caring. a Son datos discretos o continuos? b Cuntos profesores de matemticas trabajan en la Escuela Secundaria Caring? c Utilice la CPG para dibujar un histograma claramente rotulado para representar estos datos.

20 30 40 50 60

El siguiente histograma muestra datos sobre pollos congelados en un supermercado. Las masas en kg se agrupan de la siguiente manera: 1  w < 2, 2  w < 3, y as sucesivamente. a Son las masas de los pollos datos discretos o continuos? b Elabore la tabla de frecuencias agrupadas para este histograma. c Cuntos pollos congelados hay en el supermercado?

    

Frecuencia

El histograma de la derecha muestra cuntos minutos les toma a los estudiantes regresar a casa despus de la escuela. a Son datos discretos o continuos? b Represente los datos en una tabla de frecuencias agrupadas. c Cul es el menor tiempo que un estudiante puede tardar en llegar a casa?

30 40 50 60 70

5 4 3 2 3

50 40 30 20 10 0

4

x< x< x< x< x
0

ln(e2t1) dt = (2t  1) dt = t2  t + C

c

Simplifcar usando el dato de que e x y ln x son unciones inversas

Ejercitacin 9D Halle la integral indefnida. 2 dx x

1

1

3

dt

4t

2

3e x dx

4

e ln x dx 3

(2x + 3) 2 dx

5

6

2

2x + 6x + 5

dx

x 2

ln e u du

7

ex + 1

9

8

dx

10

2

(x  1) 3 dx x2 + x + 1

dx

x

Ahora consideraremos integrales indefnidas de unciones que son composiciones con la uncin lineal ax + b. 1  1 n +1  ( ax + b )  + C a  n + 1 



(ax + b)n dx =



e ax + b dx = e ax + b + C

1 a

  

1 1 b dx = ln(ax + b ) + C, x >   ax + b a a

Podemos verifcar cada regla, derivando el miembro derecho de la igualdad y mostrando que se obtiene el integrando. Debemos tener en cuenta que ln(ax + b) est defnido cuando b

ax + b > 0 o x >  . a

298

Integracin

ejmplo 6 Reglas de integracin

Halle la integral indefnida. a

4

(3x + 1) dx b

e

2 x +5

3

dx c

dx

4x  2

d

(ax + b) n dx =

1 (6 x + 3 )4

dx 1 1

 ( a x + b ) n +1  + C  a n +1 

Respuestas a

4

(3x + 1) dx = =

1 1

5   (3 x + 1 )  + C 3 5 

1

(3 x + 1 ) + C

1

eax + b + C

a 1

para a = 3, b = 1 y n = 4

dx =

ax + b

Verifcar, derivando la integral obtenida

5

15

eax + b dx =

1 1 n+1  (ax + b)  + C Hallar  a n+1 

d  1

1  4 (5(3x + 1) (3)) (3x + 1) 5  = 15 dx  15 

1

ln(ax + b) + C,

a

x>

b a

= (3x + 1) 4 b

1

e 2 x + 5 dx = e 2 x + 5 + C

Hallar

2

1 ax + b e + C para a = 2 y b = 5 a

Verifcar, derivando la integral obtenida d 1

 1 2x + 5 (2)] = e 2x + 5 e 2x + 5  = [e  dx  2  2 c

3 4x  2

dx = 3

1

dx

4x  2

1 1  = 3  ln( 4 x  2 )  + C, x > 2 4 

=

3 4

ln ( 4 x  2 ) + C, x >

1 2

Aplicar la regla de la multiplicacin por una constante Hallar 1 ln(ax + b) para a = 4 y b = 2 a

Verifcar, derivando la integral obtenida d 3  ln(4x  2)  = 3  1 (4)   dx  4  4  4x  2 

3

= d

1 (6 x + 3 )

4

dx =

(6x + 3) 4 dx

1 1 =  (6 x + 3 ) 3 6  3

=

1 1 8( 6 x + 3 ) 3

 + C 

+C

4x  2

Escribir de la orma y = x n , con n racional 1 1 n+1  (ax + b)  + C a n+1 

Hallar 

para a = 6, b = 3 y n = 4 Verifcar, derivando la integral obtenida d 

 1   3  dx  18(6x + 3)  =

d  1  (6x + 3)  3   dx  18 

1

=

18

( 3(6x + 3)  4 (6)) =

1 (6x + 3)

4

Captulo 9

299

Ejercitacin 9E Halle la integral indefnida en las preguntas  a  0. 1

x3

1

(2x + 5) 2 dx

2

(3x + 5) 3 dx

3

e2

4

1 dx 5x + 4

5

3 dx 7  2x

6

4e 2x+1 dx

7

6(4x  3) 7 dx

8

( 7 x + 2 ) 2 dx

9

4   4x e +  dx 3x  5  

10

2 dx 3( 4 x  5 )3

1

dx

PREGUNTAS TIPO EXAMEN Sabiendo que  (x) = (4x + 5) 3 , halle:

11

a

 (x)

b

 (x) dx

La velocidad v de una partcula en el tiempo t est dada por v (t) = e 3 t + 6t. El desplazamiento de la partcula en el tiempo t es s. Sabiendo que s = 4 metros cuando t = 0 segundos, exprese s en uncin de t.

12

El mtodo de sustitucin Usamos el mtodo d sustitucin para evaluar integrales de la orma

 (g (x)) g (x) dx. El siguiente ejemplo muestra cmo hacerlo.

ejmplo  Halle la integral indefnida. a

(3x2 + 5x) 4 (6x + 5) dx

c

xe 4 x

b

3

x 2  3 x (2x  3) dx 3

2

+1

d

dx

12x  3x 4

3x  x

3

2

dx

Respuestas a

(3x2 + 5x) 4 (6x + 5) dx

Esta integral es de la orma  (g(x)) g(x) dx,

= = =

u 1 5 1 5

4

du dx

dx =

4

u du

donde g(x) = 3x2 + 5x y g(x) = 6x + 5. du

u +C

Sea u = 3x2 + 5x; entonces = 6x + 5. Reemplazar dx Simplifcar e integrar

(3x2 + 5x) 5 + C

Reemplazar u por 3x2 + 5x

5

{ Contina en la pgina siguiente.

300

Integracin

Verifcar, derivando la integral obtenida d dx

b

3

1 2 5  5 (3 x + 5 x )    1 2 = (5(3x + 5x) 4 (6x + 5)) 5

= (3x2 + 5x) 4 (6x + 5) Esta integral es de la orma

2

x  3 x (2x  3) dx

 (g(x)) g(x) dx, donde g(x) = x2  3x y g(x) = 2x  3. 1

du dx dx

=

u3

=

u 3 du

Sea u = x2  3x; entonces

du = 2x  3. Reemplazar dx

1

4

3

= =

4 3 4

Simplifcar e integrar

u3 +C 4

( x2  3 x) 3 + C

Reemplazar u por x2  3x Verifcar, derivando la integral obtenida 4 1  3 4 2  d 3 2 3 3  ( x  3 x )  =  ( x  3 x) ( 2 x  3)  dx  4 4 3   

1

= (x2  3x) 3 (2x  3) = c

 1 x e 4 x +1 dx =    8 x  e 4 x +1 dx 2

2

 8

1 8 1 = 8

=

e4 x eu

2

+1



( 8 x ) dx

du dx dx

d

1 2 x3  3 x 2 dx 3 x 4  x3 1 2 x3  3 x 2 dx = 3 x4  x3 =

Si g(x) = 4x2 + 1, entonces g (x) = 8x. Reescribir el integrando de manera que quede de la orma  (g(x))g (x) dx Sea u = 4x2 + 1; entonces

1 e u du = 8 1 = eu + C 8 2 1 = e4 x +1 + C 8

x 2  3 x (2x  3)

3

du = 8x. Reemplazar dx

Simplifcar e integrar

Reemplazar u por 4x2 + 1 Esta integral es de la orma du dx dx u

1 du u

= lnu + C, u > 0 = ln(3x4  x3 ) + C, 3x4  x3 > 0

 (g(x))g(x) dx, donde g(x) = 3x4  x3 y g'(x) = 12x3  3x2. Sea u = 3x4  x3 ; entonces

du = 12x3 3x2. dx

Reemplazar Simplifcar e integrar Reemplazar u por 3x4  x3

Captulo 9

301

Con la prctica podremos llegar a hallar integrales indefnidas de la orma f(g(x))g (x) dx por comparacin. Esto es, podremos decidir cul es la uncin que corresponde a u, verifcar si la derivada de u es el otro actor del integrando y luego integrar mentalmente fcon respecto a u.

Ejercitacin 9F 1

(2x2 + 5) 2 (4x) dx

2

3 x2 + 2 dx x3 + 2 x

3

(6x + 5) 3 x 2 + 5 x d x

4

4x 3 ex dx

2x + 3

5

2

(x + 3 x + 1)

2

dx

6

7

x2(2x3 + 5) 4 dx

8

9

(8x 3  4 x)(x 4  x 2) 3 dx

10

4

e

x

dx

2 x 2x +1 4

dx

x2 + x

4  3x

2

x3  4 x

dx

PREGUNTAS TIPO EXAMEN 8x . Sabiendo que f (0) = 4, halle f(x). 4 x2 + 1

11

Sea f (x) =

12

La pendiente de una curva est dada por f (x) = 3x2 e x . La curva pasa por el punto (1, 5e). Halle una expresin para f (x).

3

. rea e ntegrales defndas Las integrales indefnidas son una amilia de unciones que diferen en una constante. Las integrales defnidas son nmeros reales. En la prxima seccin aprenderemos acerca de la relacin entre integrales defnidas e indefnidas y cmo evaluar una integral defnida sin una calculadora de pantalla grfca (CPG).

Esta seccin trata sobre la integral defnida, b

que se escribe

f (x) dx, y su relacin con el a

rea bajo la curva.

investgacn: rea y la integral defnida 1

2

y 5

Considere el rea delimitada por la uncin f (x) = x + 1, x = 0, f(x)= x2 + 1 4 x = 2 y el eje x que est sombreada en el grfco. 3 a  Anote el ancho de cada uno de los cuatro 2 R4 rectngulos que se muestran en el grfco. R3 1  Calcule la altura de cada uno de los cuatro rectngulos. R R1 2  Halle la suma de las reas de los cuatro rectngulos, 0,5 0 0,5 1 1,5 2 para hallar un lmite inerior del rea de la regin sombreada.

x

{ Contina en la pgina siguiente.

302

Integracin

b i

Anote el ancho de los cuatro rectngulos que se muestran en el grfco. ii Calcule la altura de cada uno de los cuatro rectngulos. iii Halle la suma de las reas de los cuatro rectngulos, para hallar un lmite superior del rea de la regin. c Use una CPG para hallar la integral defnida 2 2

0

( x + 1) d x . Compare el resultado con sus respuestas

en los apartados a y b. Qu piensa que podra representar la integral defnida?

y 5 4

f(x)= x2 + 1

3

R4

2 1

R1

R2

R3

0,5 0 0,5 1 1,5 2 x

La CPG usa un mtodo de aproximacin para determinar los valores de las integrales defnidas, por lo que los valores de la CPG no son siempre exactos.

No pudimos usar una rmula geomtrica para hallar el rea de la regin en la pregunta 1; solamente pudimos usar rmulas geomtricas para obtener una aproximacin del rea. Ahora consideraremos algunas regiones cuyas reas se pueden hallar geomtricamente. 2

3

4

Halle el rea de la regin sombreada bajo la recta f(x) = 2x + 2 entre x = 1 y x = 2, utilizando una rmula geomtrica. Luego, escriba una integral defnida que piense que pueda representar el rea. Evale la integral en una CPG y compare las respuestas. Nos reerimos al rea entre una uncin f y el eje x como el rea bajo la curva . Si f(x) es una uncin no-negativa para a  x  b, escriba la integral defnida que da el rea bajo la curva f desde x = a hasta x = b. Verifque que su respuesta de la pregunta 3 es vlida para los siguientes casos, hallando el rea mediante el uso de una rmula geomtrica, y luego escribiendo una integral defnida y evalundola en una GDC. a

f (x) = 

1 2

x + 3 desde

x = 1 hasta x = 4

y 4

x= 1

x= 4

y 6 4 x= 2 y = 2x + 2

2

3 2 1 0 2

1

2

3

4

5 x

4

En matemticas una curva es un grfco en un plano de coordenadas, por lo tanto las curvas incluyen a las rectas.

3 2 y=

1 1 0

b

f (x) = 16  x 2 desde x = 4 hasta x = 4

1

2

3

4

5

1 x+ 3 2

6

7 x

y 5 y =  16  x2

4 3 2 1 4 3 2 1 0

1

2

3

4 x

Captulo 9

303

En la investigacin hallamos una aproximacin para el rea Aproximaciones para el rea bajo bajo la curva f (x) = x2 + 1 desde x = 0 hasta x = 2 sumando f(x) = x2 + 1 desde x = 0 hasta x = 2, para las reas de cuatro rectngulos. Usando la notacin de sumatoria dierentes nmeros de rectngulos. 4

podemos expresar esto como  f(xi) xi, donde f(xi) representa la i =1 altura de cada rectngulo y  xi representa el ancho de cada rectngulo. Para obtener mejores aproximaciones del rea podemos usar ms rectngulos. Usando un nmero infnito de rectngulos,

4 10 50 100 500

Suma superior 5,75 5,08 4,7472 4,7068 4,674 67

rea exacta =

n

2

lim  f (xi) xi conduce al rea exacta. n

(x2 + 1) dx =

i =1

14 3

0

 4,66667

Observamos que tanto la suma superior como la suma inerior parecen acercarse a 4,66667.

Si una uncin fest defnida en a  x  b y existe el n

lim  f (xi)xi, decimos que f es intgrabl en a  x  b. n

Suma inferior 3,75 4,28 4,5872 4,6268 4,658 67

# Rectngulos

i =1

Llamamos a este lmite la intgral dfnida y la denotamos con b

n

lim  f (xi) xi = n

f (x) dx o

y dx. El nmero a es el lmit inrior a

a

i =1

El smbolo

b

de integracin y el nmero b es el lmit suprior de integracin.  Cuando f es una uncin no-negativa

y

b

en a  x  b,

f (x) dx da el rea

y = f(x)

a

bajo la curva desde x = a hasta x = b.

b

a f(x)dx a

0

b

x

es una S

estirada y tambin se usa para indicar una suma. La notacin de la integral defnida ue introducida por el matemtico alemn Gottried Wilhelm Leibniz hacia el fnal del siglo XVII. b

f(x) dx se lee la a

integral de a a b de f(x) con respecto a x.

ejmplo 8

Escriba una integral defnida que d el rea de la regin sombreada y evalela usando una CPG. De ser posible, verifque la respuesta usando una rmula geomtrica para hallar el rea. a

b

y

y 2

3

f(x) =

2

3 2 1

0

1

2

Respuestas 2

(2 | x| ) dx = 4

a 2

rea =

1

f(x) = 2  | x|

1

1 (4  2) = 4 2

3

x

2

1

0

1

2 1 + x2

2

x

La funcin corta al eje x en 2 y 2, y forma un tringulo. Por lo tanto, los lmites de integracin son 2 y 2. La frmula del rea de un tringulo es A =

1 (b  h ) . 2

{ Contina en la pgina siguiente.

304

Integracin

1

2

b 1

1+x

La regin est delimitada por 2 la funcin f (x) = 2 , el eje

d x  3, 1 4

2

1+x

x y las rectas verticales x = 1 y x = 1. Por lo tanto, los lmites de integracin son 1 y 1. El rea no puede ser determinada mediante una frmula geomtrica.

Ejercitacin 9G Escriba una integral defnida que d el rea de la regin sombreada y evalela usando su CPG. De ser posible, verifque la respuesta usando una rmula geomtrica para hallar el rea. y

1

2

4

y

1 f(x) = 2 x + 1

3

3 f(x) = x3  4x

2

2

1

1 3 2 1

0

1

2

3

4

5

3 2 1 0 1

6 x

1

3

2

x

4

2 3 y

3

4

y

4 3

2 1

4

f(x) = 3

f(x) =

3

2

2

1

1 0

1

2

3

4

5

y

5

x

4 3 2 1 0

4

x

f(x) = 3 x + 2

3

1

3

1

4 f(x) =

2

y

6

3 2

1

9  x2

1 x

2 1

3 2 1 0 1

1

2

3

x 1

0

1

2

3

4

5

6

7 x

2 3 b

Cuando fes una uncin no-negativa en a  x  b, f (x)dx da el a rea bajo la curva desde x = a hasta x = b. Considere lo que ocurre cuando fno es no-negativa. 

(2x + 2) dx

i 3

El rea del tringulo sombreado es 4, pero

y y = 2x + 2 6 4 2 4 3 2 1 0 2

1

2

3 x



(2x + 2) dx = 4, ya que f (x) < 0 cuando 3 < x <  .

4

3

Captulo 9

305

2

y

(2x + 2) dx

ii

6

 2

4

(2x + 2) dx = 9 es el rea del tringulo sombreado, dado que 

y = 2x + 2

f es una uncin no-negativa en   x  2.

4 3 2 1 0 2

2

(2x + 2) dx

iii

2 1

3 x

2

4

3 2

(2x + 2) dx = 5 porque es igual a

y

3



2

(2x + 2) dx + (2x + 2) dx =  4 + 9 = 5. Esto es el 3  simtrico del rea de la regin rotulada A  ms el rea de la regin rotulada A2.

4 2

c

f (x) dx =

 a

A2

4 3 2 1 0 2 A1

Esto ilustra una de las propiedades de las integrales defnidas. b

y = 2x + 2

6

1

2

3 x

4

b

f (x) dx + a

f (x) dx c

ejmplo 9 El grfco de f consiste en una lnea de segmentos como se muestra en la fgura.

y

8

Evale

(8, 4)

4 3

f (x) dx usando rmulas geomtricas.

2

0

(2, 2)

(3, 2)

1

3

1 0 1

2

4

5

6

7

2 3 4 (6, 4)

Respuesta 8

0

f (x) dx = A1  A 2 + A 3 1 1 1 = ( 4 + 1 )( 2 )  (3 )( 4 ) + (1 )( 4 ) 2 2 2 =56+2 =1

Hallar el rea del trapecio A1 menos el rea del tringulo A2 ms el rea del tringulo A3 y

(8, 4)

4 3 2

(2, 2)

1 0 1 2

(3, 2) A1

1

2

A3 3

4

5

6 A2

3 4 (6, 4)

306

Integracin

7

8

x

8 x

 alguns propidds d ls intgrls dfnids b

b

kf (x) dx = k f (x) dx

1 a

a

b

b

(f (x)  g (x)) dx =

2 a

b

f (x) dx 

a

g (x) dx a

a

f (x) dx = 0

3 a

b

a

No hace falta saber los nmeros que acompaan a estas integrales, solo las propiedades.

f (x) dx =  f (x) dx

4 a

b

b

f (x) dx =

5

b

c

a

f (x) dx +

f (x) dx

a

c

ejmplo 10 2

Sabiendo que

5

f (x) dx = 4, 0

4

2

f (x) dx = 12,

g(x) dx = 3 y

2

0

g(x) dx = 6, evale estas integrales defnidas sin usar la CPG. 0

2

2

2

(3f (x)  g (x)) dx



g (x) dx +

b

0

2

5

4

f (x) dx

c

f (x) dx 5

2

0

1

g (x) dx

d



1 f (x + 3) dx 2

3

Respuestas 2

(3f (x) g(x)) dx

 0

2

2

=

3f (x) dx  0

Aplicar propiedad 2

g(x) dx

Aplicar propiedad 1

2

f (x) dx 

=3

g(x) dx 0

2

0

0

= 3(4)  (3) = 15 2

2

g(x) dx +

b

Reemplazar y evaluar

2

f (x ) dx Aplicar propiedad 3 al primer trmino y propiedad 4 al segundo trmino Reemplazar y evaluar

5

5

=0

f (x) dx

2

= 0  12 = 12 5

f (x) dx

c 0

5

2

=

f (x) dx + 0

= 4 + 12 = 16

f (x) dx

Aplicar propiedad 5

2

Reemplazar y evaluar { Contina en la pgina siguiente. Captulo 9

307

4

2

g(x) dx +

d

Aplicar propiedad 5

g(x) dx 2

0

4

=

g(x) dx

0

4

g(x) dx

Por lo tanto 2

4

=

2

g(x) dx  0

g(x) dx

Reordenar los trminos

0

= 6  (3) =9 1

e 3

Reemplazar y evaluar

1  (x + 3) dx 2 1 1 =  (x + 3) dx 2 3

=

Aplicar propiedad 1 El grfco de  (x + 3) es el resultado de trasladar el grfco de  (x) a la izquierda 3 unidades. Los lmites de integracin, x = 0 y x = 2, se trasladan a x = 3 y x = 1. Por lo tanto, los valores de estas integrales son iguales.

2

1 2

 (x) dx 0

1 2

= (4) =2



Ejercitacin 9H El grfco de  consiste en lneas de segmentos como se muestra. Evale las integrales defnidas en las preguntas  y 2 usando rmulas geomtricas.

y

(8, 4)

(6, 4)

4 3 2

8

 (x) dx

1

1

4

0 1

8

 (x) dx

2

2

0

6

Sabiendo que

6

0

 (x) dx = 3, 

 (x) dx = 8,

g (x) dx = 4, y

3





0

g (x) dx = 8, evale las integrales defnidas en las preguntas 3 a  0. 6

6

3 

5

1    2 f( x ) + g( x )  dx 2  

0

6 0

0

g (x) dx

0

0

0

 (x) dx 0

5

4

(g(x) + 3) dx

6

308

 (x  4 ) dx

8

6

9

 (x) dx

6



7

g (x) dx

4

Integracin

3g(x + 2) dx

10 

1

2

3 (3, 2)

4

5

6

7

8 x

PREGUNTAS TIPO EXAMEN 2

11

Sabiendo que

5

h(x) dx = 2 y 0

5

a

h(x) dx

h(x) dx = 6, deduzca el valor de: 2

5

(h(x) + 2) dx

b 2

0

4

12

Sea f una uncin tal que

f (x) dx = 16. 0

4

Deduzca el valor de

a

0

1 4

f (x) dx.

b

b

i

Si

f (x  3) dx = 16, escriba el valor de a y el de b. a

4

ii

Si

( f (x) + k) dx = 28, escriba el valor de k. 0

9.4 Teorema fundamental del clculo El cociente

y x

y = f(x) y

, la pendiente de una recta secante,

Recta secante

nos da una aproximacin para la pendiente de una y recta tangente. El producto (y)(x), el rea de un rectngulo, nos da una aproximacin para el rea bajo la curva. Trabajando independientemente, Isaac Newton 0 y Gottried Leibniz llegaron a la conclusin de que, as como la multiplicacin y la divisin son operaciones inversas, la derivacin y la integracin defnida tambin lo son.

Recta tangente Pendiente de la recta tangente  x

x

Este hecho se establece en el siguiente teorema.  teorema fundamenal del clculo Si f es una uncin continua en el intevalo a  x  b y F es una primitiva (antiderivada) de f en a  x  b, entonces

La notacin [F ( x )] ba signifca F(b)  F(a).

b

f ( x ) dx = [ F ( x )] ba = F (b )  F ( a ). a

2

(x2 +  ) dx que evalu

Considere la integral defnida 0

usando la CPG en la investigacin de la ltima seccin. Esto dio el rea bajo la curva f (x) = x2 +  entre x = 0 y x = 2. 2

(x2 +  ) dx  4,67.

Hallamos que 0

Cuando aplicamos el teorema undamental del clculo, aunque F puede ser cualquier miembro de la amilia de las unciones primitivas de f, elegimos usar la  ms simple , es decir, aquella cuya constante de integracin es C = 0. Podemos hacer esto porque, para cualquier C, b f( x) d x = [ F ( x) + C ] a = [F(b) + C]  [F(a) + C] = F(b)  F(a)

Captulo 9

309

y x

Usando el teorema undamental del clculo, obtenemos: 2 0

1



2

( x 2 + 1) d x =  x 3 + x  3 0

1 3 x + x es la primitiva ms simple de 3 1 2 x + 1. Evaluamos x3 + x en x = 2 y 3

1  1  =  (2 3 ) + 2    (0 3 ) + 0  3 3    

=

en x = 0, luego hallamos la diferencia.

14 3

 4,67

ejmplo  Evale estas integrales defnidas sin usar la CPG. 1

3

(u  1) du

a 2

3

1 dt t

b 2

4x2 (x  1) dx

c 1

Respuestas 1



1

1

Hallar la primitiva ms simple de u  1

(u  1) du =  u 2  u  2  -2 2

a

1

Evaluar u2  u en u = 1 y 2 u = 2, y luego hallar la diferencia

1  1  =  (1 2 )  1    ( 2 ) 2  ( 2 )  2 2     1  9 =   1   (2 + 2) =  2  2 3

b 2

a b

1 dt = [ln t ] 32 t

Recordemos que ln a  ln b = ln .

= ln 3  ln 2 = ln 3

3

4x2 (x  1) dx = 4

c

3 2

Reescribir el integrando para poder integrar

(x 3  x 2) dx 1

1 3

  = 4  x 4  x3  3 1 4 1

 1

1



 4 3  4 3  = 4   (3 )  (3 )    (1 )  (1 )  3 3  4   4 1

1

1

 81   1 1  1 3 6  9      = 3 4    4 3  

= 4  



Ejercitacin 9I Evale las integrales defnidas en las preguntas  a 8. 



2x dx

1 0

2

3 

31 0

(u2  2) du

2 

 3   2  1  dx x 

Integracin

8

4 0

2   13  x  x 3  dx  

3

e2

4ex dx

5

6

1

La uerza entre cargas elctricas depende de la cantidad de carga y la distancia entre ellas. Cmo se usan las integrales defnidas para calcular el trabajo realizado en la separacin de cargas?

dx

x 0

e

9



(t + 3)(t + 1) dt

7

8

2 x +3

dx

x

4

0

PREGUNTAS TIPO EXAMEN 2

Sabiendo que

9

f (x) dx = 8 0

2

Escriba el valor de

a

3f (x) dx. 2

(f (x) + x2) dx.

Halle el valor de

b

0

0 k

10

Sabiendo que

1

dx = ln 6, halle el valor de k.

x

2

Ahora veremos las integrales defnidas que implican composiciones con la uncin lineal ax + b, o el mtodo de sustitucin.

ejmplo 2 Evale la integral defnida sin usar la CPG. 5

a 1

1

1   2x  e + 2  dx x  

(2x 3) 3 dx

b 1

1

3

3 x + 1 6 dx

c

(2x2 + 1) 3 (4x) dx

d 0

0

Respuestas 5

a 1

1   2x  e + 2  dx x  

Recordemos que eax + b dx =

1 ax+ b e + C. a

5

(e2x + x2) dx

= 1

1

1

5

2x =  e   x 1 2

1 1 1 1 =  e 2 (5 )     e 2 (1 )  

2

=

1 2

5

e1 0  o

1 2

e2 +

2

1

4 5

5e 1 0  5e 2 + 8 10

{ Contina en la pgina siguiente.

Captulo 9

311

1

Recordemos que (ax + b) n dx =

(2x  3) 3 dx

b 1

1

1  1  =   ( 2 x  3 ) 4  2 4   1 

1 1 ( ax + b ) n+1  + C.  a  n+ 1 

1  1  =  ( 2 (1 )  3 ) 4    ( 2 ( 1 )  3 ) 4  8  8  1 8

= 

625 = 78 8

3

3 x + 1 6 dx

c

3

0

Recordemos que (ax + b) n dx = 1 2

1 1  ( ax + b ) n+1  + C.  a  n+ 1 

(3x + 16) dx

= 0

3

1  2

3  (3 x +1 6 ) 2   0  3  3

=   =

3 3 2  (3(3) + 16) 2  (3(0) + 16) 2   9 3

3 2  32 1 22 2 =  25  16  =  9 9

3

Recordemos que 25 2 = ( 25 ) = 125 y 3

16 2 = ( 16 ) 3 = 64.

1

(2x2 + 1) 3 (4x) dx

d 0

x= 1

du dx dx

u3

= x= 0 u=3

= u= 1

=



1

Sean u = 2x 2 + 1 y 

u3 du =  u 4  4 

Hay que cambiar los lmites de integracin para poder luego evaluar la integral en funcin de u. Cuando x = 0, u = 2(0 2) + 1 = 1, y cuando x = 1, u = 2(12) + 1 = 3.

3

1

1 [(3) 4  (1) 4] = 20 4

Ejercicio 9J Evale las integrales defnidas de las preguntas  a 8. 4



1

1 dt t + 2  2

3

3



(2x +  ) 3 dx



2

6 x + 4 dx

7



8t  6 2

3

(x2 + x) 3 (2x +  ) dx

6

0

4

(ex + e x) dx

4

2

5

ex +  dx

2



31 2

du = 4x. Reemplazar dx

2t  3t  2

Integracin



dt

4xe x

8 0

2

+3

dx

Cules son algunas aplicaciones del centro de masa (centroide)? Cmo pueden usarse las integrales defnidas para hallar el centroide de un rea curva?

PREGUNTAS TIPO EXAMEN 9 El diagrama muestra parte del grfco de f (x) = 2x2 (x  2). a Escriba una integral que represente el rea de la regin sombreada. b Halle el rea de la regin sombreada.

y

0

10

y

1 . x 1

El diagrama muestra parte del grfco de y =

x

El rea de la regin sombreada es de ln 4 unidades. Halle el valor exacto de k. 0

2

k

x

9.5 rea entre dos curvas En esta seccin ampliaremos el concepto de rea bajo la curva al de rea entre dos curvas. Las sumas de reas de rectngulos que se usan para aproximar reas se llaman sumas de Riemann, en honor al matemtico alemn Georg Riemann. Reimann demostr la existencia de los lmites de tales sumas.

{ Georg Riemann (18261866)

investgacn: rea entre dos curvas Considere el rea entre las dos curvas f(x) = x2 + 3x y g(x) = x  2 desde x = 1,5 hasta x = 3,5.

y 22 20 18 16 14 12 10 f(x) = x2 + 3x 8 6 4 2 4 3 2 120 4 6

g(x) = x  2

1 2 3 4 5 6 7 x

Contina en la pgina siguiente.

Captulo 9

313

1

Copie y complete la tabla con las dimensiones y el rea de cada uno de los cinco rectngulos mostrados en el grfco. Intervalo 1,5  x < 0,5

Ancho

Altura

rea

1

f(1)  g(1) = 2  (3) = 1

1(1) = 1

Tenga en cuenta que, independientemente de que f y g sean positivas, negativas o cero, la altura del rectngulo est siempre dada por f(x), la curva superior, menos g(x), la curva inerior.

0,5  x < 0,5 0,5  x < 1,5 1,5  x < 2,5 2,5  x < 3,5

Halle un valor aproximado del rea entre las curvas, sumando las reas de los rectngulos. 3 Escriba la integral defnida que considere que puede ser usada para hallar el rea exacta entre las dos curvas f(x) = x2 + 3x y g(x) = x  2, desde x = 1,5 hasta x = 3,5. Evale la integral en la CPG. Compare la respuesta con el valor aproximado que obtuvo en la pregunta 2. 2

 Si y1 y y2 son continuas en a  x  b e y1  y2 para todo x en a  x  b, entonces el rea entre y1 e y2 desde x = a hasta x = b est dada por

b

y

(y1  y2) dx.

a

Altura de cada rectngulo = curva superior  curva inerior = y1  y2 Ancho de cada rectngulo = dx rea de cada rectngulo = ( y1  y2) dx La suma de las reas de un nmero infnito de rectngulos desde x = a hasta x = b y el rea exacta entre dos curvas =

y1  y2

y1

b

dx

a

0

b

x

y2

(y1  y2) dx.

a

ejmplo  Represente grfcamente la regin delimitada por las curvas y = x2  2 e y = x. Escriba una expresin que d el rea de la regin y luego halle el rea. Resuelva este problema sin usar la CPG. b Dibuje aproximadamente el grfco de la regin delimitada por las curvas x  f (x) = 2e 2 y g(x) = x 2  4x. Escriba una expresin que d el rea de la regin. Halle el rea usando la CPG. a

{ Contina en la pgina siguiente.

31 4

Integracin

Respuestas a

x2  2 = x x2 + x  2 = 0 (x + 2)(x  1) = 0 x = 2, 1 Puntos de interseccin: (2, 2) y (1, 1)

El grfco de y = x2  2 es el grfco de y = x2 trasladado 2 unidades hacia abajo. El grfco de y = x es una recta que corta al eje y en (0, 0) y tiene pendiente 1. Los grfcos se cortan en (2, 2) y (1, 1).

y 4

y = x2  2

3 2

(2, 2)

1 3 2 1 0 1

1

Hallar la interseccin, igualando las ecuaciones y resolviendo en x. Reemplazar los valores de x en cualquiera de las ecuaciones para obtener las coordenadas.

2 3 (1, 1)

x

2 y = x

3 1

1

rea =

((x)  (x2  2)) dx =

(x2  x + 2) dx

2

2

 1



1

1

3 2 =   x  x + 2x 2  3  2

y = x es mayor o igual que y = x2  2 en 2  x  1, por lo tanto la altura de cada rectngulo est representada por (x)  (x2  2).

1 1  1   1  =   (1 ) 3  (1 ) 2 + 2 (1 )     ( 2 ) 3  ( 2 ) 2 + 2 ( 2 )  3 2 3 2      8  9  1 1 =    + 2   2  4  =  3 2  3  2 b

Usar la CPG para dibujar aproximadamente los grfcos y para hallar las coordenadas x de los puntos de interseccin. Escribir al menos 4 ciras signifcativas, dado que estos valores se usarn para calcular el rea.

y 4 3 2

x

f(x) = 2e

2

1 2 1 0 1

1

2

3

4

5

x

2 g(x) = x2  4x

3 4 x 2

2e = x2  4x x  0,5843; 4,064 

4,064

rea =

x

((2e 2 )  (x 2  4x)) dx   4,7 

0,5843

x

(x) = 2e 2 es mayor o igual que g(x) = x2  4x en 0, 5843  x  4, 064, por lo tanto la altura de cada rectngulo est representada por 

( 2e )  (x  4x). x



2

2

Captulo 9

315

Ejercitacin 9K En las preguntas  a 4, represente grfcamente la regin delimitada por las curvas dadas. Escriba una expresin que d el rea de la regin. Halle el rea usando la CPG. 1



y=

1 2

x2 + 2 e y =

1 2

x2  2

2

f (x) = x 2 y g(x) =

3

y = 2x  4, y = x3 entre x = 2 y x = 2

4

g(x) = x + 1 y h(x) = 3 + 2x  x2

x

PREGUNTA TIPO EXAMEN Considere la uncin f (x) = x4  x2. a Halle los puntos de interseccin con el eje x. b i Halle f (x). ii A partir de lo anterior, halle las coordenadas de los puntos mnimo y mximo. c i Utilice sus respuestas de los apartados a y b para dibujar aproximadamente el grfco de f. ii Dibuje aproximadamente el grfco de g(x) = 1  x2 en los mismos ejes. d Escriba una expresin que d el rea de la regin entre fy g y halle el rea de la regin.

5

En las preguntas 6 a 9 dibuje aproximadamente un grfco de la regin delimitada por las curvas dadas. Escriba una expresin que d el rea de la regin. Halle el rea usando la CPG. 6

y = lnx e y = x  2

7

f (x) = x2  3x + 1 y g (x) = x + 3

8

f (x) = ex y h (x) = 2  x  x2

9

y=

x+2 x 1

1

e y=  x+ 6 2

PREGUNTA TIPO EXAMEN Considere las unciones f (x) = x y g (x) = 2 x . a Dibuje aproximadamente el grfco de fy g en los mismos ejes. b i Escriba una expresin para el rea de la regin entre f y g. ii Halle esta rea. c La recta x = k divide el rea de la regin del apartado b a la mitad. i Escriba una expresin para la mitad del rea de la regin del apartado b. ii Halle el valor de k.

10

31 6

Integracin

Ahora nos centraremos en los casos en que y e y2 son continuas en a  x  b, pero y no es mayor o igual que y2 para todo x en a  x  b. En este caso debemos hallar todos los puntos de interseccin y determinar cul curva es la superior y cul la inerior en los intervalos determinados por los puntos de interseccin.

ejmplo  Escriba una expresin que d el rea de la regin entre f (x) = 10x + x2  3x3 y g(x) = x2  2x. Halle el rea. Respuesta 10x + x2  3x3 = x2  2x x = 2, 0, 2 0

((x2  2x)  (10x + x2  3x3 )) dx 2

+

2

((10x + x2  3x3 )  (x2  2x)) dx

0

= 24

Hallar los puntos de interseccin entre f y g g(x) = x2  2x es mayor o igual que f(x) = 10x + x2  3x3 en 2  x  0, por lo tanto en este intervalo la altura de cada rectngulo est representada por (x2  2x)  (10x + x2  3x3 ). f(x) = 10x + x2  3x3 es mayor o igual que g(x) = x2 2x en 0  x  2, por lo tanto en este intervalo la altura de cada rectngulo est representada por (10x + x2  3x3 )  (x2  2x).

Use la CPG para hallar las coordenadas de los puntos de interseccin y determinar cul curva es la superior y cul la inferior en los intervalos determinados por los puntos de interseccin.

Ejercitacin 9L En las preguntas  a 4, escriba una expresin para hallar el rea de la regin delimitada por las dos curvas y posteriormente halle el rea. 1

y = x3  2x2 e y = 2x2  3x

2

f (x) = (x  1) 3 y g(x) = x  1

3

f (x) = xex y g(x) = x3  x

4

g(x) =  x4 + 10x2  9 y h(x) = x4  9x2

2

PREGUNTA TIPO EXAMEN 1 5 Las curvas que se muestran en la fgura son grfcos de f (x) = x2, 4 g(x) =  x2 y h (x) = 2x  4. a i Halle las coordenadas del punto Q. ii

Muestre que la recta que pasa por los puntos P y Q es tangente a f (x) =

1 4

x2 en el punto Q.

Halle las coordenadas del punto P con una aproximacin de cuatro ciras signifcativas. ii A partir de lo anterior, escriba una expresin para el rea de la regin sombreada y posteriormente halle el rea.

y 6 4

Q

2 1 0 2

1 P

2

3

4

5

x

4

b i

Captulo 9

317

9.6 volumen de reolucn

Los slidos de revolucin son usados en la manuacturacin de muchos artculos, como pistones y cigeales.

Un sldo de reolucn se genera mediante la rotacin de una fgura plana alrededor de un eje de rotacn . Consideremos un rectngulo perpendicular al eje x. Imaginemos que el rectngulo se rota 360 alrededor del eje x. y y

0 0

[ Pistones

x

x

El slido que se orma se denomina dsco. El disco es un cuerpo cilndrico. y

dx

Vcilindro = r2h = y2 dx

y 0

x

[ Cigeales

inestgacn: volumen de revolucin Considere el tringulo ormado por la recta f (x) = 0,5x y el eje x, entre x = 0 y x = 6. 1 Copie y complete la tabla con las dimensiones y los volmenes de los discos generados cuando los rectngulos que se muestran en la fgura se rotan 360  alrededor del eje x. La ltima fla en la tabla ya ha sido completada. Intervalo 0x0

x

d dx d dx d dx

[ sen x ] = cos x [ cos x ] =  sen x

[tan x ] =

1 2

co s x

, cos x  0

Utilizando estos resultados y las reglas expuestas al principio de la seccin 1 4.1 , podremos hallar las derivadas de una gran variedad de unciones.

La mayora de los fenmenos en las ciencias, la ingeniera, los negocios y otros campos pueden ser modelizados mediante una funcin lmntal. Una funcin elemental es una funcin que es algebraica, trascendente o la adicin, diferencia, multiplicacin, divisin o composicin de funciones algebraicas y trascendentes. Funcions algbraicas  Polinomios  Funciones racionales  Funciones que contienen radicales Funcions trascndnts (No se pueden expresar como una adicin, diferencia, multiplicacin, divisin ni radicales que contienen trminos en xn.)  Funciones logartmicas  Funciones exponenciales  Funciones trigonomtricas  Funciones trigonomtricas inversas Ahora ya sabemos cmo derivar todas las funciones elementales, con excepcin de las trigonomtricas.

ejmplo  Halle la derivada de cada uncin. a f (x) = 4e 2x + sen (3x + 2) c y = cos 3 x sen x x b y = e sen x d s(t) = ln(sen t) Respuestas f (x) = 4e2x + sen (3x + 2) f (x) = 4(e2x)(2) + [cos (3x + 2)] (3) = 8e2x + 3cos (3x + 2)

a

b

y = ex sen x y  = ex (cos x) + sen x (ex) = ex(cos x + sen x) c y = cos 3 x sen x = (cos x) 3 sen x y  = (cos x)3 (cos x) + sen x (3(cos x) 2) (sen x) = cos4 x  3cos 2 x sen2 x d

Utilizar la regla del producto

Utilizar la regla del producto, y aplicar la regla de la cadena para hallar la derivada de (cos x) 3

s ( t ) = ln(sen t ) s ( t ) =

500

Utilizar las reglas de la constante, de la multiplicacin por una constante y de la cadena para derivar el primer trmino y la regla de la cadena para derivar el segundo trmino

1

1 (co s t ) = co s t o tan t sen t sen t

Anlisis con funciones trigonomtricas

Aplicar la regla de la cadena

Ejercitacin 14C En las preguntas  a  0, halle la derivada de cada uncin. sen x   y= 1

f ( x ) = 6 cos  2 x 

3

f (x) = xex  ex

4

s(t ) =

5

f (x) = ex (sen x  cos x)

6

s(t) = t tan t

7

y = e3 x cos 4x

8

y=

9

f (x) = (ln x)(cos x)

10

f (x) = ln (cos x)



2

 + 3x 3 

1 + co s x 1 sen 2 t 2

e

tan 2 x

PREGUNTAS TIPO EXAMEN 11 a Sea f (x) = ln(3x2 ). Escriba f(x).

12

x

b

Sea g ( x ) = sen . Escriba g(x).

c

Sea h ( x ) = ln(3 x 2 ) sen . Halle h (x).

2

x

2 sen x

Sabiendo que f ( x ) = y f( x ) = 2 1 + co s x halle a y b.

co s x (1 + a co s 2 x + b sen 2 x ) (1 + co s 2 x ) 2

Podemos utilizar las derivadas primera y segunda de una uncin para analizar el grco de la uncin.

,

Vase la seccin 7.6 en el captulo 7.

ejmplo  Considere la uncin f (x) = sen x + cos x para 0  x  2 . Analcela sin utilizar la CPG. Halle las intersecciones con los ejes coordenados. Halle los intervalos en que fes creciente y decreciente y los puntos extremos relativos. Halle los intervalos en que fes cncava hacia arriba y cncava hacia abajo y los puntos de infexin. d Utilice la inormacin de los apartados a a c para dibujar aproximadamente el grco de f. a b c

Respuestas a

Para hallar la interseccin con el eje x, igualar la funcin a 0 y despejar x. Utilizar el conocimiento de los valores del crculo de radio unidad para hallar las soluciones.

sen x + cos x = 0 sen x = cos x x=

3 7 , 4 4

Intersecciones con el eje x: f (0) = sen 0 + cos 0 =0+1 =1 Interseccin con el eje y: 1

3 4

y

7 4

Para hallar la interseccin con el eje y, evaluar la funcin cuando x = 0 { Contina en la pgina siguiente.

Captulo 1 4

501

b

Hallar la derivada de  y hallar dnde (x) = 0 Realizar un diagrama de signos para   es creciente cuando  es positivo y decreciente cuando  es negativo.

 (x) = sen x + cos x (x) = cos x  sen x cos x  sen x = 0 cos x = sen x  5 (x) = 0 en x = , 4

4

Creciente: 0 < x
0 y (1  2x) 4 > 0 para todo x donde h est defnida, la pendiente de h es siempre positiva.

2

3(2 x + 3 ) 3

e

17

h (x) =

dy 1 = dx x 2 2 d y 2 = dx 2 x 3 d 3 y 6 = dx 3 x 4 4 d y 24 = 5 dx 4 x n d y ( 1 ) n n ! = dx n x n +1

10

1 8

1

3

1  2 2

( 2 x  2 )e x

b

2

c

y  1 = 2(x  2)

dx n

9

+ 4 x3 (x2 + 3) 2

a

dn y

2 x

= e x + e x.

8

25 x 5

1

12



e 3o0 Respuestas



Ejercitacin 7N 1

2

a

2

1,4 m; 21 m

b

9,8 m s

c

9,8 m s  1 ; 0 m s  1 ; 9,8 m s  1 ; La pelota se mueve hacia arriba en un 1 s, en reposo en 2 s y hacia abajo en 3 s.

1

1

ii t = , 2 s d

i

ds

=  32 t + 40

dt

b

 111 litros/min; durante el intervalo de 0 a 20 minutos, el agua est siendo drenada del tanque a una razn promedio de 111 litros por minuto.

iii

3 a

V  (t ) es negativa para 0  t < 40 minutos, lo que signica que el agua fuye hacia auera del tanque durante este intervalo de tiempo. Por lo tanto, la capacidad de agua en el tanque nunca aumentar entre t = 0 minutos y t = 40 minutos.

305 baterias/da; al nal del da 10, el nmero de bacterias aumenta a razn de 305 bacterias/da.

0,25 t

= = v(t ) =

b

Ejercitacin 7O 0 cm; 9 cm s 1s y 3s

1

c t= 3 t= 1

t= 0 0

Respuestas

4

e t (1 )  t ( e t ) (e t ) 2 e t (1  t ) e2t 1t

2

a b c d 3 a b

Velocidad ( m s 1 )

Celeridad ( m s 1 )

0

10

10

1

8

8

2

6

6

3

4

4

4

2

2

a

Acelera la marcha. Aminora la marcha. Acelera la marcha. Aminora la marcha. Acelerando la marcha. Aminorando la marcha.

Ejercitacin 7P 1 a v (t) = 8 t 3  12t, t  0

et

1 segundo

a (t) = 24 t 2  12, t  0 b 84 cm s  2 ; la velocidad est aumentando 84 cm s  1 en el instante 2 segundos.

Sea una aceleracin de 2 m s2.

Tiem po ( s)

Velocidad ( m s 1 )

Celeridad ( m s 1 )

0

10

10

1

12

12

2

14

14

3

16

16

4

18

18

b

20 dlares/unidad. Cuesta 20 dlares por unidad producir unidades despus de la unidad 100.

b

iv 29 pies

Investigacin: velocidad, aceleracin y celeridad

S

Sea una aceleracin de  2 m s2.

Tiem po ( s)

Velocidad ( m s 1 )

Celeridad ( m s 1 )

0

10

10

1

8

8

2

6

6

3

4

4

4

2

2

20,25 dlares/unidad; 20,05 dlares/unidad C  (n) = 0,1n + 10

a

Tiem po ( s)

c v (t ) = 0 cuando t = 0 y 1,22 s; a (t ) = 0 cuando t = 0,707 s; acelera la marcha en 0 < t < 0,707 s y t > 1,22; aminora la marcha en 0,707 < t < 1,22. 2

a

v (t) =  3 t 2 + 24t  36, 0  t 8 a (t) =  6t + 24, 0  t  8

c

c

5 s 4

v(t) = s(t)

112 bacterias/da. P  (t) = 25e

b

3 a

1

b

4 a

Sea una aceleracin de 2 m s  2 .

2

ii 40 pies s  1

d

7

c

4000 litros; 1778 litros

 89 litros/min; en 20 minutos, el agua est siendo drenada del tanque a una razn promedio de 89 litros por minuto.

d

4 pies s (2) =  16(2) 2 + 40(2) + 4 =  64 + 80 + 4 = 20 pies i  16t 2 + 40t + 4 = 20

a

c

1

a b

c

Sea una aceleracin de 2 m s 2 .

Tiem po ( s)

Velocidad ( m s 1 )

C eleridad ( m s 1 )

0

10

10

1

12

12

2

14

14

3

16

16

4

18

18

b s (0) = 20 m; v (0) =  36 m s  ; a (0) = 24 m s 2 c t = 2, 6 s; se mueve hacia la izquierda en 0  t  2 y 6  t  8, se mueve hacia la derecha en 2  t  6. d t = 4 s; acelera la marcha en 2  t  4 y 6  t  8, aminora la marcha en 0  t  2 y 4  t  6 3 a

v (t) =  9,8 t + 4,9 a (t) =  9,8

b 2,01 s c 0,5 s; 11,2 m d v (0,3) = 1,96 > 0 y a (0,3) = 9,8 < 0. Dado que los signos de v (0,3) y a (0,3) son dierentes, la partcula aminora la marcha en el instante 0,3 segundos.

4 a

i

v(t) =

1 2

ii b

i ii

1

t

t +1

1 segundo a(t) =

1 2

+

Dado que 1 (t + 1 )

2

a(t) =

2

+

1

Cncava hacia arriba ( , )

1

2

Cncava hacia arriba (0, 2); cncava hacia abajo ( , 0) y (2, ); puntos de infexin (0, 0) y (2, 16)

(t + 1 )2 1 2

>0 y

3 Cncava hacia arriba (2, ); cncava hacia abajo ( , 2); puntos de infexin (2, 8)

1 (t + 1 )2

>0

para t  0 y por lo tanto su velocidad nunca decrece. Ejercitacin 7Q 1 Decreciente ( , ) 2

Ejercitacin 7T

1

> 0, 1

Ejercitacin 7S

4  

  3  3 ,  , cncava  ,   y  3 3    

2



6 Decreciente ( , 3) y (3, ) 7

Decreciente (0, )

8 Creciente ( 3, ); decreciente ( ,  3) 9 Creciente ( ,  3 ) y ( 3,  ); decreciente (  3 ,  1 ), ( ,  ) y (1, 3 ) 10 Creciente ( ,  2) y (4, ); decreciente ( 2, 4) Ejercitacin 7R

3

3

a

f ( x ) =

 48 x ( x2 + 1 2)2

= =

4

( x 2 +1 2 ) 4 ( x + 1 2 ) (  48 ) + 1 92 x 2 ( x 2 + 1 2 ) (x2 + 1 2)4

0

48 ( x 2 + 1 2 )[  ( x 2 + 1 2 ) + 4 x 2 ]

=

Mnimo relativo ( ,  5)

2

Mnimo relativo (2,  2 ); mximo relativo ( 2,   )

3 No hay extremos relativos. 4 Mnimo relativo (  ,   ), y ( ,   ); mximo relativo (0, 0) 3 21 87  5 Mnimo relativo   ,   256 

6 Mnimo relativo (0, 0);  4  mximo relativo  2, 2   e 

No hay extremos relativos.

8 Mnimo relativo ( , 0); mximo relativo ( 3,  8)

48 ( x + 1 2 )(3 x 2  1 2 ) 1 44 ( x 2 + 1 2 )( x 2  4 ) ( x2 + 1 2)4

=

1 44 ( x 2  4 ) ( x 2 + 1 2 )3

b

i Mximo relativo (0, 2) ii Puntos de infexin 3  3    2,  y  2,  2  2 

8 Cncava hacia arriba ( ,  2) y (4, ), cncava hacia abajo ( 2, 4), puntos de infexin en x =  2, 4

2 4 6 8 10 12

x

(3, 0) 1 2 3 4 5 6

x

y 10 8 6 4 2 (0, 0) 4 3 2 120 4 6 8

( x2 + 1 2)4

=

y=1

5

2

1

x= 4

y 10 8 6 4 2

2

(x2 + 1 2)4

x

6 8

( x 2 +1 2 ) 2 (  48 )  (  48 x )[ 2 ( x 2 +1 2 )( 2 x )] 2

y

6 4 220 (0, ) 4

f ( x ) =

y

1

8 6 (2, 0) 4 2

3

4 x

(1, 0) (5, 0) 0 1 2 2 4 (0, 5) 6 8 (1, 8) 10

2

 3 3 puntos de infexin   ,  3 4    3 3 ,  y    3 4

5 Creciente (1 , 0) y (1, ); decreciente (, 1) y (0, 1)

 4

( 53 , 4027) (5, 0)

hacia abajo   ,  ,  3 3 

3

)

6 Cncava hacia arriba

Creciente ( , 2); decreciente (2, )

4 Decreciente ( , 0); creciente (0, )

7

(

puntos de infexin   2,  2  e

3 Creciente ( 1 , 1); decreciente ( ,  1) y (1, )

7

0 4 3 2 14 1 2 8 (0, 8) 12 5 49  , 16 3 3

5 Cncavo hacia arriba ( 2, ); cncava hacia abajo (,  2); 

( 23 , 0)

4

(4, 0)

4 Cncava hacia arriba ( , )



y

6

1 2 3 4

x

y 1 (1, 0) 4 3 2 1 0

(33 ,  12 )

(1, 0) 1 2 3 4 x

1 (0, 1)

(33 ,  12 )

Respuestas



Ejercitacin 7U y

1

y = f ''(x)

4 Mximo absoluto 16; mnimo absoluto  9

j

4

5 Mximo absoluto 2;

k

e x (3 x 2 + 6 x + 1)

l



y = f '(x)

mnimo absoluto 

3 2 1 0

1 2 3

Ejercitacin 7X

x

y = f(x)

y = f'(x)

y

3 2 1 0

2

100 y 50 x = 50 pies; y =

3

2

40 cm por 40 cm por 20 cm

2

3 artculos

4 a

y = f''(x)

y = f '(x)

c

0

2 4 6 8

d y = f ''(x)

5 a b

Ejercitacin 7V 1

Mnimo relativo (3, 75)

2

Mnimo relativo (1, 0) y (1, 0); mximo relativo (0, 1)

3 Mnimo relativo (3, 27) 

1





4 Mnimo relativo   1,   e 5 Mnimo relativo (1, 0) 6 Mximo relativo (0, 1) Ejercicion 7W 1

2

A: ninguno; B: mnimo absoluto y relativo; C: mximo absoluto A: ninguno; B: mnimo relativo; C: mximo absoluto y relativo; D: mnimo absoluto

3 Mximo absoluto 8; mnimo absoluto  8

7

Respuestas

c



a

x 3 + 3x 2h + 3xh 2 + h 3

(

 lim 30  3a 5

r = 4 cm; a =

2

=

dx

1

 4 x;

x2

 lim

4

10 cm 3

d2 p dx 2

1

=

3

x2

4

c

p = 1; q = 1

d

f  (x) = 12x

e

(0, )

3

y  4 =  1 ( x  1)

4

 2 3 9  2 3   2 3 9 + 2 3  , ,  ,   9 9    3  3

12

5 a b

1

6 a

12 x5

b

11

4e 4 x

g 1 2 x 2 ( x 3 + 1) 3 h i

2 2x + 3 1  2 ln x x3

h

 6x2  6

4 3 2 d 10x  4x  3x + 2x 1

f

2

h (6 x  6 xh  2 h  6)

h0

x3

( x + 7)2

h

 40 a + 3 a 2 );  lim (6 x 2  6 xh  2 h 2  6) h0

3 

3

2

 lim

3

h 2

h0

 20 a + a )

3

6 x h  6 xh  2 h  6 h )

3

0,630 mil unidades o 630 unidades

b

2

2

p( x ) = 4 x  2 x 2 dp

2

2 x  6 x h  6 xh  2 h  6 x  6 h  2 x  6 x

h0

2

) (a ) o 2

dV 9 = (1 00 da 25

12x2 + 6x  2

e

h 3

a

c

[2( x  h ) 3  6( x  h )]  (2 x 3  6 x )

h0

30  3 a 5

r =

Ejercicio de revisin sin CPG 1

1 x

f '( x )

dV 9 = ( 40 + 6 a ) 2 25 da

x

o

b

2

8 6 4 2

2 xe 2 x ( x + 1)

 lim

9 V (a ) = (1 00 a 25

y y = f(x)

(e  3 )2 3 x

n pies

1

b V (a) =  3

200

3 22

1 2 3 x

3

6e x

m

Ejercitacin 7Y y = f(x)

1

x

2x  5

1

79 1 y 4 4

3 2

5 2

3

f  (2) > f (2) > f (2); f (2)> 0, dado que el grfco de fes cncavo hacia arriba; f (2) = 0; y f  (2) < 0, dado que el grfco de f es decreciente i 4x 3  12x 2 ii i ii iii

12x 2  24x (0, 0), (4, 0) (3,  27) (0, 0), (2,  16)

c

y 20 15 10 5

(4, 0) (0, 0) 0 4 3 2 15 1 2 3 4 x 10 15 20 (2, 16) 25 (3, 27)

a

v ( t ) = 20 

Ejercitacin 8B

1 00 t

1

b

t< 5

c

1 00 v  ( t )  a ( t )  2 y, dado que t

a

Continua

b

y

100 > 0 y t 2 > 0, v (t) > 0. Por lo tanto, la velocidad es siempre creciente. Ejercicio de revisin con CPG a

No existe.

b

1

c

8

d 2

a c

i

y = x 2 + 1 00

ii

z =

(30  x ) 2 + 625 o x 2  60 x + 1 525

iii

dL

i

dx

y

10 20 30 40 50 60 70 x Edad (aos)

Continua

b

x  1 00 x  30

c

M asa ( kg)

x  60 x  1 525

8,57 pies

4 a

8

24

Discreta

b

5,76 llamadas por da

a

Continua

b

90  m < 120

c

83,4 minutos por da

5

79

6

91,1 kg

7

255 km

8

568

9

103 puntos

10

$315,20

Ejercitacin 8E 1

a

2

11

50

b 5

4

e

c 3,5

6

3 Moda 7, media 5,25, mediana 5,5

14

Continua

b

Comprobemos nuestras habilidades

$1,86 a

d 4

1  w 2  w 3  w 4  w < 2 < 3 < 4 < 5

N m ero de pollos

62,5 km h  1

3

96

2

Captulo 8

c

5 min

Tiempo 5  t < 10 10  t < 15 15  t < 20 20  t < 25 25  t < 30 30  t < 35 35  t < 40 40  t < 45

f

1

0

b 170  h < 180

1

2

4

2



ii

3 a

x



15 30 45 60 75 90 x Tiempo en minutos

5 4 3 2 1

L ( x )  x 2  1 00  x 2  60 x  1 525

b

1

40 30 20 10 0

a

Ejercitacin 8D

b 17

No existe.

a

2

Continua

Nmero de profesores

1

2

Nmero de estudiantes

7

1

2

4

4

2

2

1

1

y 12

Investigacin: medidas de posicin central

10 8 6

Valores

4 2

2

a

Rojo

6

b

8

ii

10

iii

11

Ejercitacin 8A

2

12 , 2

14

13

Su m a r 4 a ca d a va l or d el 10, 11, 12 , 14, 16, 18, con ju n to 18, 19, 2 0, 2 4

16, 2

18

17

M u l tipl ica r ca d a va l or d el 12 , 14, 16, 2 0, 2 4, 2 8, con ju n to origin a l por 2 2 8, 30, 32 , 40

2 4, 4

28

26

Rosa Prpura Negro x

Azul

6,4

c i

1

6, 7 , 8, 10, 12 , 14, 14, 15, 16, 2 0

Con ju n to d e d a tos

0

a

Discreta

b Continua

c

Continua

d

Discreta

Discreta

Ejercitacin 8A 1

M edia M oda M ediana

a

18

b

9

c

18 y 24

d

0

e

1 y2 2

a

Si suma 4 a cada valor, sumar 4 a la media, la moda y la mediana.

b

Si multiplica cada valor por 2, multiplicar la media, la moda y la mediana por 2. Respuestas



Ejercitacin 8F 1

a d

95 cm b 67,5 92,5 e 35

c

57,5

11 min

0

20

a d

m Q3

Q1

Min x

ii

(13,6  8,2)min = 5,4 min

40

Min X 71

3 a d

N otas

f

fa

2

2

30  m < 40

3

5

c

40  m < 50

5

10

50  m < 60

7

17

60  m < 7 0

6

23

7 0  m < 80

4

27

80  m < 90

2

29

90  m < 100

1

30

75

Q1 75

Q 3 Mx X

m 79

82

b 21 e 15

19 27

x

85

c

12 b

ii

23 min

16 min

y

Q 3 Mx x

m

10

4 a 5 d 10 5 a iii

x

20

30

b 8 e 3 b ii

c

7

c

i c

a

75 cm

b

(77,5  72) cm = 5,5 cm

c

El 50% de los datos tiene una dispersin de 5,5 cm.

Mediana  57%

ii

Cuartil inerior  45%

Distancia ( d )

f

b

3 a

20,5 30,5 40,5 Longitud (mm)

x

y 100 90 80 70 60 50 40 30 20 10

Q2 Q3

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 x Tiempo (min)

Respuestas

170 cm

b

55 fores entre 135 cm y 164 cm

c

22 fores, 180 cm

d 110

y

140 150 160 170 180 190 200 x Altura (cm)

Ejercitacin 8H 1 a Media = 18 Varianza = 129,6 Desviacin tpica = 11,4 b Media = 40 Varianza = 200 Desviacin tpica = 14,1 2

a

Varianza = 78,5 Desviacin tpica = 8,86

b Varianza = 80,18 Desviacin tpica = 8,95

fa

0  d < 20

4

4

9

13

40  d < 60

15

28

3 1,32

60  d < 80

10

38

2

40

4 Media = 2,5 Desviacin tpica = 1,24

c Varianza = 449 Desviacin tpica = 21,2

5 Desviacin tpica = 14,9

y

6 a

40 36 32 28 24 20 16 12 8 4 0

Q1

a

2 0  d < 40

80  d < 100

Frecuencia acumulada

Frecuencia acumulada

i

5 a

0 10,5

Nmero de estudiantes que tardaron menos que este tiempo

20 40 60 80 100 Nota del examen %

iii Rango intercuartil  24%

40 35 30 25 20 15 10 5

10 20 30 40 50 x

e

Cuartil superior  69%

y

2

7

0

0

Ejercitacin 8G

0

y 32 28 24 20 16 12 8 4

Frecuencia acumulada

Min x Q 1



i

iii 37 min b

2 0  m < 30 80 100 120 x

60

b 79 e 7

14 82

4 a

Mx x

y

1

6 a

b p = 32, q = 8

y

2

i

c 7

c

c Distancia de clasicacin  66 m d Rango intercuartil  28 m e Mediana  50 m

b

2,73

1,34

d

23

Media = 42,4 Desviacin tpica = 21,6

8 a

20 40 60 80 100 x Distancia de lanzamiento (m)

Discreta

b 69,5

51 i

21,8

ii

Ninguno

Investigacin: el efecto de sumar o multiplicar el conjunto de datos en la desviacin tpica a

2,47

b

La media aumenta de 100 a 103,9.

c d

3 a

2,47 La desviacin tpica permanece igual. Esto es porque la desviacin tpica solo mide la dispersin de los nmeros, y esta permanece constante si se le suma el mismo nmero a cada valor de la lista.

e

La media se duplica.

f

4,94

4 a

2

3

d

9

a

4,2

b b

5 4

c

(

b

14

c

a 5 a

140  Estatura < 150

15

Ejercitacin 9A

150  Estatura < 160

55

1

160  Estatura < 17 0

90

17 0  Estatura < 180

45

180  Estatura < 190

5

Media = 164 cm 6 a

i

ii

p = 65



8



c

62

1

Frecuencia acumulada

y

2

b

i

Mediana = 3

ii

Rango intercuartil = 51=4

6,48

b 1,31

1 1 x1 1

3 4 7

x3 + C 10

5

c

g(x1) + 4g(x2) + 9g(x3 ) + 16g(x4) + 25g(x5 )

12

3x3 + C

d

f (x1)(x1) + f (x2)(x2) + f (x3 )(x3 )

a

18 mm 2

b 8  cm 2

160  cm 3

b 42  ft3

Antiderivada de f

f ( x)

1

x

2

x +C

2 1

x2

1

4

x5 + C

4

Ejercitacin 9B 1

1

2

 +C

3

4

x4 + C 1

t 5 9

9

x5 + C

4

2u + C

5

x3 + x2 + x + C

6



7

1

8

3 3 5

2

+C

x2

4

t3 +

5

5

x3 + x + C

9 10

x5 + 3x4 + 3x2  2x + C t+ C

x5 + C

11

a

3x2 

5 1 n +1

b x

5

t4 + C

x4 + C

4 1

10

x7 + C

1

x3 + C

3

2

+C

4

11

x4

a

+C

4 + 7 + 10 + 13 + 16

Ejercicio de revisin con CPG

2

1 3 x3 1

b

x3

Mediana = 20 Rango intercuartil = 14

7

2 + 8 + 18 + 32 + 50

Investigacin: antiderivada de xn 

x5 + C

a

8 Mediana = 65 o F, rango intercuartil = 45 o F

1

+C

10

3 a

k = 100  96 = 4

x5 + C

7

5

7

72

a

5

x3 + C

4

Media = 17,7

b

Rango intercuartil  6

1

4

3

c

426

c

1

2

2x 2 + C

6

3

Mediana  163



Mediana = 18

c

b

x8 + C

8

b

8

6 a

7

4

9

180 x

1

x

q = 34

b

160 170 Altura (cm)

3

5

52

150

( )

d 2 23 x dx 3

3

f

Comprobemos nuestras habilidades

0

3

;

3

x2 ;

Estatura

Captulo 9

140 120 100 80 60 40 20

2x2

= x2 4 n = 1

8

Tipo B

1

2

)=x 2

+1

x2 =

1 +1 2

4 Tipo A 52

1

1

1

x3+1 =  x2 o 

1

3 Media = 27,5 aos Desviacin tpica = 0,4 aos a

1 3 +1

d 1  x 2 dx 2

160  Estatura < 170

5 4

3

1

5 a b

c

5,92

b Rango = 6 Cuartil inferior = 1, RIC = 3

Ejercicio de revisin sin CPG a

c

Media = 2,57 Mediana = 2 Moda = 1, Desviacin tpica = 1,68 Varianza = 2,82

g La varianza quedar multiplicada por 4 porque la varianza es la desviacin tpica al cuadrado. 1

b 6

6

n +1

12

a

1 4 6

8 x3 4

x4 

4

x

+C 6

b 25 x 5 + C

x5

Respuestas



Ejercitacin 9C 1 2

2

f (x) = 1

y=

5

3

Ejercitacin 9F

x6 + 4x2 + 8

1

1

5

2

ln(x3 + 2x) + C, x3 + 2x > 0

4

5

x +

5 a

x +9

5

2

s ( t ) = 5 + 20 t  t 2 2

Ejercitacin 9D 1

2 ln x + C, x > 0

2

3e x + C

3

1

4 5 6 7 8 9 10

4 1 2 4 3 2 3 1

ln t + C, t > 0 x2 + C x3 + 6x2 + 9x + C x3 + 3x2 + 5 ln x + C, x > 0

4 1 2 2 5

3

x4  x3 +

2

4

e +C

5



6

e

5

x + 2

1 x2 + 3x + 1 x

1

2

1

2e 2

4

1

2

(3x + 5) + C

x 3

2

6

2e 2x+1 + C

9

21 1 4

a b

0

7

11

8

3

9

20

10

12

11

a

4

12

a

4

0,5 ii 0,5

1; 1,25; 2; 3,25

ii

1,25; 2; 3,25; 5

4,67; 3,75 < 4,67 < 5,75; el rea de la regin sombreada

2

(3)(6) = 9;

(2x + 2)dx = 9; 1

f (x)dx 1

4 a

2

(2,5 + 1)(3) = 5,25; 5

1

b

2

 1    x + 3  dx = 5,25  2 

 (4 2)  25,1; 4 2

1 6  x dx  25,1

(7 x + 2) 2 + C

e 4x +

4 3

4

ln(3x  5) + C,

Ejercitacin 9G 6

1

3

1

1 1 2( 4 x  5 )

2

+C

2

12(4x + 5) 2 1 16 1

1   x + 1  dx = 16;  2  2

1

2



(4x + 5) + C 3t

3

2

+ 3t +

3

(x  4x)dx = 4; no hay 3

3

3 dx = 12; (4)(3) = 12 1

Respuestas

3

1 2 36

4



5

4(e3  1)

6

1

7

16

8

16

9

a

5

3

b

24

10 12 Ejercitacin 9J

frmula para el rea.

13

3

10

1

2

ii

Ejercitacin 9I 1

0 3

12

a = 3; b = 7

(8)(4) = 16

2

4

b

b i

2

1

3

12 s =  e



12

6

1

5

11

5

i

b

(4x  3) 8 + C

x> 10 

4

2

 ln(7  2x) + C, x


5

2

3

x + 2x + C

1

3

12

f (x) = e x + 4e

4

12

1

iii 5,75

6



(x4  x2) 4 + C

12

2

(2x + 5) 3 + C 1

Ejercitacin 9H

f (x) = ln(4x2 + 1) + 4

1

(2 + 4)(6) = 18

2

11

Ejercitacin 9E 1

3

ln(x3  4x) + C, x3  4x > 0

a

0

1

(x2 + x)4 + C

10

2

1   x + 2  dx = 18; 3 

6

1

b

2

3

6

+C

(2x3 + 5) 5 + C

30 4 3

para el rea.

+C

iii 3,75

3

2

1 dx  1,10; no hay frmula x

1

9

(e x + x) + C

3

5

4

1

x2  x + C

(3 2)  7,07

4

x

8

u3 + C

3 1

1

(3 x + 5 x ) 2 + C

3

7

9  x 2 dx  7,07;

0

2

5

b

4

3

2

3

3

5 m s

3

(2x2 + 5) 3 + C

4

3 s(t) = t3  t2  6 4 115  cm

3

2

ln 3 1

1

e2



e3

3

0

4

2 e   e



1





32 3

k= 3

2

56

5

(0,0), (1, 0), (1,0)

5 a

y 2

9

b

6

320

7

2 ln

8

2(e 4  e 3 )

1

ii Puntos mnimos relativos:

18 7 2

2

9

2

2x (x  2)dx

a

b

(

3

0

10

1

0

1



8 0

5

f (x) = 4x3  2x

i

)

x  x 2 dx =

2 x

 1 1  1 1 ,  ,  ,       2  2 4 4    

1

Punto mximo relativo: (0, 0)

3

Investigacin: rea entre dos curvas

i e ii

c

y

1

f(x) = x4  x2

2 Intervalo

Ancho

Altura

rea

1,5  x  0, 5

1

f(1)  g(1) =  2  (3) = 1

1(1) = 1

0,5  x  0, 5

1

f(0)  g(0) = 0  (2 ) = 2

1(2 ) = 2

0,5  x  1, 5

1

f(1)  g(1) = 4  (1) = 5

1(5) = 5

1,5  x  2 , 5

1

f(2 )  g(2 ) = 10  0 = 10

1(10) = 10

2 ,5  x  3, 5

1

f(3)  g(3) = 18  1 = 17

1(17 ) = 17

1 (0, 0) 0 1

2

( 

1, 1  2 4

)

1

(

1 2

2 x 1 , 1  2

4

g(x) = 1  x2



((1  x2)  (x4  x2))dx =

d 

2

rea  3 5

3

y 8 6 4 2

3,5 2

[(x + 3x)  (x  2)] dx

3  ,5

 35,4; los valores estn muy

4 3 2 120 4 6 8

prximos. Ejercitacin 9K 1

y 4 3 2 1 4 3 2 110 2 3 4

6

)

8 5

y 2 1

1 2 3 4 x

1 0 1

1

2

3

4

x

2 3

2

3, 46

(x3  (2x  4))dx = 16

(ln(x)  (x  2)dx

2

0,1 586

 1,95 1 2 3 4 x

4

y

2

 1 2  1 2     x + 2    x  2   dx 2  2  2   32 = 3

7

y

4 3 2 1 4 3 2 11 2 3

0

5 4 3 2 1 2 3 4 x 1 2 1 0 1

1

2

3

4

x

2

((3 + 2x  x2)  (x + 1))dx

2,732



=

9

0,7321

2

 6,93

((x + 3)  (x 2  3x + 1))dx

Respuestas



8

Ejercitacin 9M



y

2

3

((x  1) 3  (x  1))dx +

5

1

0

0

((x  1)  (x  1) 3 )dx = 0,5

1

V =  (4 2)(5)  251

1

3

0

3 2 1 0 1

1

3 x

2

(( x

3

 x )  ( xe  x

3

2

) ) dx +

2

 , 3 0

0,384

( ( xe )  ( x

3

))

3

2

4

 2,68

4

((x + 10x  9)  (x4  9x2))dx +

2

0

((x4  9x2)

4

5

((x4 + 10x2  9)  2

4

6

8

4

i

(4, 4)

ii

f (x) =

10 a

b

 ,236

g(x) = 2x

ii 0 4

f(x) = x

1 ,236

1 2 3 4 5 6 x

2

i 0

k

4 3

(2 3

Intervalo

)

x  x dx o

Radio

3

 (3x  x2) 2 dx = 0 4 1

1 3  dx = 4 x ln 4

1   x  e  4   dx   

2

Altura

Volumen

1

1x2

f(2) = 1

21=1

(1) 2 (1)  3,142

2

2x3

f(3) = 1,5

32=1

(1,5) 2 (1)  7,069

3x4

f(4) = 2

43=1

(2) 2 (1)  12,57

4x5

f(5) = 2,5

54=1

(2,5) 2 (1)  19,63

5x6

f(6) = 3

65=1

(3) 2 (1)  28,27

0

2

2

71,5; mayor a

6

3 3

2

((2x  3x)  (x  2x ))dx

Respuestas

2



 

(0,5) (1)  0,7854

((x3  2x2)  (2x2  3x))dx +

 3,08

10

2

 

4

81

10=1

k  1,51

1

15

3

f(1) = 0,5

k 2  k2

2

28

0x1



7

 (x + 1) dx =

0

1

3

2

0

 2,55

Ejercitacin 9L 1

2

2

5 a

8

7



1 2   x  (2 x  4 )  dx 4 

Investigacin: volumen de revolucin



1 27 

 (x3 ) 2 dx = 1

1 2 2   x  (  x )  dx + 4 

x  x dx

2,67 u

i

ii

2

1

b 4

c

Ejercitacin 9N

x

i (1,236; 1,528)

y

ii

1

m = f (4) = 2 y  4 = 2(x  4) y = 2x  4

 9,68

b

  (2 2)(2)  58,6

2

 1  x+2    x + 6   dx 2  x 1  

2 110 2

1

3

5 a

4

4 3 2 1

3

2

2

(x  9x ))dx  110

10 x

1

 (x2)dx  58,6; V =  (42)(4)

0,707

1 ,725

1 4 3    ( 4 )   134 23 

V=

3

2 4 2 0 2

2

 ( 1 6  x ) dx  134;

 (x4 + 10x2  9))dx +

4

 (2 3 )  33,5

4

4

0,707 0,707

9,275

3

2

y

6

4

V=

3

8

2

 ( 4  x ) dx  33,5; 2

0,707

1 ,952

 (6 2)(3)  113

3

2

 x dx

 1,18

((2  x  x2)  e x dx

1

V=  x2

3

 (6  2x) 2dx  113; 0

1 ,1 31

2

9

 (4 2)dx  251;

2

2

3

 (0,5x) 2dx  56,5

1

0

4 Volumen =

1 3

 (3) 2 (6)  56,5

b

e3

2

 1   dx  x



6 a

Ejercitacin 9O 1

a

2

| v(t)| dt =

v(t) = 2t  6

0

b

+ t= 4

t= 3

t= 0 s(t)

3

t3  9t + 12

e

20

f

ln 5 2

(x2  1)dx

b

4 3 2

2

0

v(t) = t2  6t + 8

2ms 2 < t < 10 28

1 2

d

2



(x  1) dx

18,4e dt  239 mil millones de barriles

s(t) 1

0

2

12

53 63

 ,5

(t  6t + 8)dt  12 m; 6

3 36,5 + 5 te

(  0 , 01 t 4 + 0 ,1 3 t 3  0 ,3 8 t 2  0 ,3 t + 0 , 9 )

0

dt  240 cm

v(t) = 3(t  2) 2 t= 0

3

20

t=2



 1 33  1 

4 4000 +

t=4



0

t   dt  60 

s(t) 8

0

3(t  2) 2dt = 16 m;

c

1780 galones

8

4

b

| 3(t  2) 2| dt = 16 m

3

4 a

c v(t)dt =

2



1 2

2

(6)(6)

1

| v(t)| dt =

2

2

+

1 2

d

(4 + 2)(2) = 12 m

2

e f

(6)(6)

(4 + 2)(2) = 24 m

g

5

b

v(t)dt = 0

+

1 2

1 2

h

(2)(2)

i

(3)(6) = 11 m

5

| v(t)| dt = 0

+

1 2

1 2

(2)(2)

(3)(6) = 11 m

2

1

v(t)dt =

2

(2)(2) +

1 2

(6)(6)

0



1 2

(4 + 2)(2) = 14 m

107

2

a

a(t) = 4t  11

b

a = 1,5, b = 4

c 3 a b c

7

2

y

x3

8 6 4 2

+C

5 3 1 x  ln x + C , x > 0 18 2 1 4x e +C 4 1 15 1 2 1 2 1 2

2

ln(2 x + 3) + C , x > 

0 2 4

1

1

x

2

2

( x 3 + 1) 5 + C

(3x  (x3  2))dx = 6,75

d 1

3 2

2

(ln x ) + C , x > 0 (3 x 2 + 1 ) 2 + C

j

2ln(e x + 3) + C

k

(2 x  5) 2 + C

l

1

a b c

4 16 8

2

(2, 6)

7

1 

7,83 m y = 3x

x3 +C

0

1

1

Ejercicio de revisin sin CPG 1 a x4  4x2 + 6x + C

4

2

13

Ejercicio de revisin con CPG

8

0

b

x2  2x + 4

espectadores

| t2  6t + 8| dt  14,7 m 3 a

7

0

2

c

(1375t2  t3 )dt  1546

2

6

2

5 a 5 b 28 6 s(t) = 2e 2t + 2t + 6

0

t= 2

3

4 f (x) =

t 20

1

t= 4

t= 0

2

1

0

t= 6

(x2  1)dx

1

Ejercitacin 9P

b



(x2  1)dx 

c

2

6 a b c

| 2t  6| dt = 10 m

c

e6  e3

1

| t2  9| dt  119 m

c

d

3 a

8

(2t  6)dt = 8 m;

a

2

(6)(6)

2

1

s(t) =

4

2

1

2 m s 2

b

4

2

(2)(2) +

(4 + 2)(2) = 26 m

2

5 a

1 0 1 2 3 4 5 6 7 8

c

1

1

(

2

Captulo 1 0 Comprobemos nuestras habilidades 1

)

e 2x +C

a d

2

32 1 1 28

b 27

c

343

81

e

256

f

0,000000001 o 1  10 9

a

n=4

b n=5 c

n=3

d

n=4

e

n=3

n=3 f

Respuestas



Ejercitacin 10A

2

a

Negativa, dbil

y

c

Negativa, uerte

d

Positiva, dbil

e

No hay correlacin.

a

i

iii Fuerte b

i

725 700 675 650

ii Lineal

Negativa

75,0 77,5 80,0 82,5 85,0 87,5 Ao

iii Fuerte c

i

ii Lineal

Positivo

iii Moderada d

i

No hay asociacin.

ii

No lineal

i

3 a

Un aumento en el nmero de horas dedicado al estudio de matemticas produce un aumento en la califcacin.

No lineal

1

Ejercitacin 10C 1

b Relacin entre la longitud y el ancho de la hoja

70 Precipitaciones en Tennessee

60 Ancho (mm)

40 20

50

Fuerte, negativa

c

A medida que aumentan los aos, disminuyen las precipitaciones.

70

y 1 00

20

y =  0,96x + 79

10

c

7

a

220000

b

75,4

a

40

80 120 Longitud (mm)

i

175 cm

ii

66 kg

160 x

2

cyd

y

75

120

70

Ancho (kg)

60

M

60

80

55

60

45

20 50

60

70

80

90

1 00

x

0

40 x 1 50

1 60

1 70 1 80 Altu ra (cm )

190

200

20 0 160

M a tem  tica s

b

7

Fuerte, positiva, lineal

Respuestas

y = x + 300

100

65

50

40

Ntese que los valores de m y b en la ecuacin y = mx + b son aproximados.

140

80

80

x

Temperatura

b

y

Pu n tu a cion es

80

30

b

5 a

Ciencia

12,3

2,3

M

0

2

( x, y ) = (75; 7,03)

40

0 x 1999 2001 2003 2005 2007 2009

b

a

y

(96,7; 44,1)

Decrece

60 Lluvia cada en cm

a

y

y

8 x

6

d

ii

4 a

4 Horas

La inclinacin va en aumento. El peligro de extrapolar es que presupone que continuar la actual tendencia, pero esto no siempre sucede.

Ejercitacin 10B

b

2

c

Negativa

Crece

0

Fuerte, positiva

i

iii Fuerte

x

c

iii Dbil f

Punto medio

Fuerte, positiva

ii Lineal

Positiva

14 12 10 8 6 4 2

b

iii Cero e

y

750

ii Lineal

Positiva

(4; 6,67)

b

Diagrama de dispersin de inclinacin vs ao

Aumento

b

Positiva, uerte

3 a

Porcentaje afectado

a

Inclinacin

1

Investigacin: la torre inclinada de Pisa (continuacin)

e

200

240

280

x

Aproximadamente 70 casas

Ejercitacin 10D

Ejercitacin 10E

1

1

y

3 La pendiente es 2,4. Por cada paquete de cigarrillos umado por semana, una persona tendr, en promedio, 2,4 das ms de enermedad por ao.

La interseccin con el eje y es 10, lo cual no se presta a la interpretacin, ya que un 0 en matemticas signifcara un 10 en ciencia.

Concentracin

8 6 4

0

2

1

2 3 4 5 Tiempo (horas)

b

y = 1,84x + 1,99

c

8,43 (3 cs)

6

x

5 a b

Diagrama de dispersin de la inclinacin vs ao

750

Inclinacin

30 25 20

725 700 675 650

15

75,0

10 5 0

1

2 3 4 5 Edad (aos)

6

7

x

y = 2,67x + 28,1

c

MYR16 085

d

La relacin puede no ser lineal. Los autos antiguos resultan generalmente ms caros que los nuevos luego de 50 aos.

y 10 8 6 4 2 2

4 6 8 10 12 14 Meses de socio

b

y = 0,665x + 9,86

c

7,865 horas

d

No.  La ecuacin da  6,1 horas de ejercicio!

80,0 82,5 Ao

c

y = 9,32x  17767

d

780 m

85,0

87,5

x

1

b

0

77,5

Ejercitacin 10F

3 a

Horas de ejercicio

(1981, 694) y

a y

4 La pendiente es 100. Vendrn 100 clientes ms al local cada ao.

5 La pendiente es 0,8. Por cada 1 punto que se aumenta en matemticas, se produce un aumento de 0,8 en ciencias.

10

2

La interseccin con el eje y es 7, lo que signifca que una persona que no uma tiene 7 das de enermedad por ao.

La interseccin con el eje y es 5, lo que signifca que 5 personas visitaron el local en el ao 0; la interseccin con el eje y no se presta a la interpretacin.

Claramente existe un problema con la extrapolacin. En realidad, la mayora de las mujeres llegan a sus estaturas mximas en la mitad o hacia el fnal de la adolescencia, y de ah en adelante, la estatura es casi constante, en consecuencia la extrapolacin con una uncin lineal resulta inadecuada.

12

La pendiente es 6. Por cada criminal que una persona conoce, habr sido declarada culpable por 6 delitos. La interseccin con el eje y es 0,5, lo cual signifca que la gente que no conoce criminales, habr sido culpada 0,5 veces.

a 14

Costo (MYR 1000)

2

La pendiente es 0,3. A medida que el estudiante practica un da ms de deporte, realiza 18 minutos menos de tarea. La interseccin con el eje y es 40, lo que signifca que el estudiante promedio que no practica deportes hace 40 horas de tarea.

4 50 aos = 600 meses, y la recta hara una prediccin para la estatura de Sara de 302 cm = 3,02 metros a los 50 aos.

x

r = 0,863. Hay una correlacin uerte y positiva. 2 a 0,789 b Correlacin uerte y positiva c El ingreso aumenta a medida que el nmero de aos de educacin aumenta. 3 a 0,907 b La distancia de renado aumenta a medida que el auto envejece. c Correlacin uerte y positiva 4 a  0,887 b Correlacin uerte y negativa c S, las califcaciones de Catalina aumentaran si disminuyera sus horas de chat. 5 a 0,0262 b Correlacin dbil y positiva c

No. Las califcaciones de Mauro no aumentaran si el tiempo de juego decreciera. Respuestas

7

6 0,994. Correlacin uerte y positiva

y = 1,29x + 9

d

r = 0,929. Hay una correlacin uerte y negativa.

a

w = 22,4 + 55,5h

b

66,4 kg

Ejercicio de revisin sin CPG

2

a

ii

b

v

c

iii

d

i

2

y

3 a

Combustible (litros)

y

r = 0,785

40 35

60

b

y = 30,6 + 0,688x

50

c

99,4

40

Esto sera razonablemente exacto dado que el coeciente de correlacin momentoproducto muestra una correlacin bastante uerte.

30 20 10 0

200 400 600 Distancia (km)

x

800

Test 2

y

Tiempo (segundos)

13,2

Punto medio

11,6

10,8 30 40 Edad (aos)

50

x

Altura (cm)

Aproximadamente 11,6 s

Ejercicio de revisin con CPG

nmero de exiones

y

 0,797

10

d

Correlacin uerte y negativa

e

Menos

f

y = 10,2x + 51,0

20

b

c

Alta

d

y = 0,50x + 0,48

e

20,48



Respuestas

y

y 38 36 34 32 30 28 26 24 22

b

A medida que el tiempo aumenta, decrece el nmero de fexiones.

60

Fuerte, positiva

x

e

x

80

g 5,1 7

a

y = 10,7x + 121

b

i

Producir cada abrigo cuesta $10,66.

ii

Cuando la brica no produce ningn abrigo debe pagar costos por $121.

f

L

c

$870

d

14

Captulo 1 1

0

tiem po (m in u tos)

40 Test 1

b

1 2 3 4 5 6 7 8 Semana

(4, 30) ii

0

6 x

c

30

5 a, c

Edad media = 34 aos, Media del tiempo = 12 segundos

2 3 4 5 Agradabilidad

20

0

a

1

Los problemas de conducta decrecen.

12,4

11,2

1

10

b

12,8

c

15

0

40

13,6

b

20

50

3 ayc

20

25

5

32 litros

12,0

30

4 a y

c

No es posible hallar una respuesta dado que el valor yace muy auera del conjunto de datos considerado.

6 a

ayb

Problemas de conducta

1

h

c

d

i

x

r = 0,986

Correlacin (muy) uerte y positiva

Comprobemos nuestras habilidades 1

a

x = 90

b

x = 50

c

x = 68

d

x = 23,3

e

x = 6,09 (3 cs)

f

x = 14,7 (3 cs)

y = 1,83x + 22,7

g 30,9 cm

Ejercitacin 11A 1 2

b = 16;  = 36,9; B = 53,1 B = 50; a = 31,0; c = 48,3

3  = 35; a = 2,58; b = 3,69 4 a = 36;  = 36,9; B = 53,1

10

40,7 m

2

11

4,01 s

12

a 20,6

b

26,6

c 35,1

d

50,0

70,6

a

b 17,3 c 25,4 d 39,7 3 a

Ejercitacin 11D

0,2588; 165

b 0,5878; 144

B = 55; b = 15,7; c = 19,2 1  6 c = 12,9 cm;  = 41,2; B = 48,8 7 x = 5;  = 22,6; B = 67,4

a

(0,940; 0,342)

b

(0,956; 0,292)

c

(0,5; 0,866)

Ejercitacin 11B

d

(0,276; 0,961)

b 25,8; 154,2

e

(0, 1)

c 30,3; 149,7

a

66

b

81

c

45

d

14

Ejercitacin 11F

3 a

0,161

b

0,243

1

a

c

0,186

d

0,217 2

a

5

1

a

b = 1 2 3 cm,  = 30, B = 60

b

B = 45, a = 9 cm, c = 9 2 cm

c

 = 30; a = 2,25 cm, b=

d

9 3 cm 4

2

d 0,8988; 116 4 a

d y = 1,21x;  = 129

(0,766; 0,643)

(0,766; 0,643)

3 x=

2 3+2 3

, AC =

4 3+2 3

y (0,906; 0,423)

25 0

AB = 1 1 2 cm 5 w = 9,8 cm; x = 13,9 cm; y = 6,5 cm; z = 15,4 cm

(0,906; 0,423

155

c = 5,46 cm

 y (0,375; 0,927)

2

Ejercitacin 11C

b

BC = 70,5 A B C = 38,9

0 112

AE = 29,1, BE = 34,4

Ejercitacin 11E

AD = 74,1, EB A = 54,5, AB = 51,5

1

3 758 m 4 71,5 y 108,5 5 4,78 km; N21,1O 6 70,7 m 7 44,8 km; 243,5 8 135,7 m; 202,2 cm 9 91,2 m

a

B (0,866; 0,5), C ( 0,866; 0,5)

b B (0,545; 0,839), C ( 0,545; 0,839) c B (0,707; 0,707), C ( 0,707; 0,707) d B (0,974; 0,225), C ( 0,974; 0,225) e B (0,087; 0,996), C ( 0,087; 0,996)

d  = 40, a = 149, c = 190 e C = 110, a = 2,80, b = 4,21 26,9 cm

3 3,37 km, 2,24 km

68

a 1 0 2 cm

2 a

Ejercitacin 11G 1 a C = 50, a = 17,7 cm, c = 18,5 cm b B = 68, a = 1,69 cm, b = 2,44 cm c B = 40,9, C = 84,1,

x

(0,375; 0,927)

b

y = 2,36x;  = 113

f x



4 x = 1, AB = 3 2 cm o x = 3,

1

e y = 0,75x;  = 143

140 40

x = 8 2 cm, y = 8 3  8 cm, z = 16 cm

d 1

y = 1,09x;  = 48

c y = 2,80x,  = 110

0

2

b 1,92

b y = 1,87x;  = 62

y

B = 45

1,50

c 0,910



b = 5 2 cm,  = 45,

60,6; 119,4

d 30, 150

Investigacin: ngulos obtusos

a = 2 3 cm,  = 30, B = 60

e

c 0,9877; 99

x

4 15,8 m Investigacin: tringulos ambiguos 1 C = 62, C = 118. Los 1

2

2

ngulos son suplementarios. B = 86; B = 30, 1

2

b1 = 5,65 cm; b2 = 2,83 cm Ejercitacin 11H a C1 = 61,0; B 1 = 89,0;

1

b = 8,0 cm C 2 = 119,0; B 2 = 31,0; b2 = 4, cm Respuestas



b C1 = 71,1; 1 = 58,9; a =  9,0 cm C 2 =  08,9; 2 = 2 , ; a2 = 8,0 cm

c  = 44,4; B = 107,8; C = 27,8

c

4 9

d b = 7,48 m;  = 43,5; C = 105,5

d

1 1 6

a

0,977 rad

e c = 92,8 m;  = 49,4; B = 60,6

c B 1 = 68,5; 1 = 91,5; a = 7,3 cm

f

B 2 = 111,5; 2 = 48,5; a2 = 5,5 cm d C = 30,5; B = 107,5; b = 47,0 cm e El tringulo no existe. f B = 77,8; C = 32,2; 1

1

c 270 d 225

5 043,5 o 136,5 6 a

4 a

45

85,9

b 20,6 c 136

c 63,8

d 206

Ejercitacin 11J 1

a

b 40,8 cm 2

C1 = 112,9; 2 = 11,1;

e 901 cm 2

c Dado que el lado BD = 17 m en  ABD y el ngulo D = 28,1, y el lado AB = 10, hay 2 tringulos posibles que se ajustan a estos datos, a saber, DBA y DBC. 5,80 km

c 19,1 km

d 143,5 Ejercitacin 11I a = 65,7 m; B = 36,0; C = 80,0

b  = 28,9; B = 52,8; C = 98,4 Respuestas

1

2

a 2

c 152 cm 2 d 34,1 cm 2

BE = 8 m, CE = 6 m, DE = 15 m

Ejercitacin 11M

26,7 cm 2

a = 45,5 cm

B D C = 28, 



b 300

B 2 = 102,2; C 2 = 7,8; c2 = 3,6 cm

b EAB = 53,1;  = 53,1; BCE  = 126,9; BCD A B D = 98,8; CB D = 25,1

a

150

b 71,8

a2 =  0,4 cm

1

3 a

12,1 km

4 18,8 km

h C1 = 67,1; 1 = 56,9;

3 b

d 4,01 rad

3 4,07 cm; 6,48 cm

c = 29,5 cm

a

c 5,65 rad

c =  4,2 cm

g B = 26,7; C = 108,3;

2

b 1,87 rad

 = 48,6; B = 56,4; C = 75,0

2

2

f 2

b c

435 cm 2

47,8

d

3 22,7 cm 4 a

76,7

2

b 81,4 cm 2

a



1 2 3

3 3 2

0,892

b 0,949

5 x = 2,5 cm

c 1,12

6 5,31 mm; 18,5 mm

d 0,667 3 a

9,76 cm 2

Ejercitacin 11K

b 5,45 cm

1

9,52 cm

c 50,5 cm 2

2

39 cm

3 5 radianes

4 10,9 m 2 5 a 17,1 cm 2

b 12,1 cm 2

c 2,63 rad

d 15,8 cm

4 3000 cm 2 , 220 cm 5 22,95 cm 2 ; 21,3 cm 6  = 1,7; radianes r = 16

Ejercicio de revisin sin CPG

7

1

7 2 cm

2

a

3

2 5

7,96 cm 2

Ejercitacin 11L 1

a

5 12

b

4 3

30

b

8 3 cm

4 10 cm 2 5 a

25 cm

b 125 cm 2

Ejercicio de revisin con CPG 1

72,7 m

2

a

0   = 6j 6 

(0,848; 0,530)

 3   =  3i  6j  6 

c ( 0,600; 0,800)

4 a

54,7

b

10,9 cm

b

1 0 = 3,16

4 a

18,0 m

b

34,3

c

5 a

121

b

8,60 cm

29 = 5, 3 9

d

6 54,1 km 31,9

d

i  5j + 6k  5   

3 8 = 6,1 6

5 US = 2i + 8j  3k

26 = 5,1 0

6 x = 0, y = 7, z = 9

27,6 cm 2

b

21,6 cm

b

14,5 cm

c

c 11,16 cm

3

d

47,3 cm

d

7

e

Ejercitacin 12D 2 = 1,41

1

Ejercitacin 12B 1

a

 3   3      AB =  5  , AC =   5  ,      4   4 

c = 3b

 6   

1 a 2

a

(3, 0, 0)

d=

b

(3, 4, 0)

e = 5b

BC =   1 0  . Cualquier par    8 

c

(3, 0, 2)

f = 2a

de entre estos vectores son

d

(3, 4, 2)

Son perpendiculares.

mltiplos escalares uno del otro

e

(1,5; 4, 2)

6,71

3 a b

b 2

y tienen un punto en comn.

a, b, e

3 a

24

b

7

20 cm 101

5 a

28 5

4 t = 25, s = 

Ejercitacin 12A

2

i + 5j  6k

5 a

d

Comprobemos nuestras habilidades

1

i + 5j  6k

c

29 = 5, 3 9

Captulo 1 2

2

b

4 LM =   4     3 

5,3

13,9 cm

c 119

1

2i  3j + 5k

e b

8 a

3 a

5

3 a

a

 3 CB =   .  7 

e = 

b 72,9

7

d

d = 

5

x =  2i + 3j

b

BD = i  j + k

b

y = 7j

c

AD = i + k

c

z=i+jk 2  AB =   3 

d

OM =

b

6 a

 1   

CD =  6     1  0    EF =  0    1 

1 2

b

BD = 5i  4j + 3k

c

AD = 5i + 3k

d

OM =

5 2

1 AC o 2  3    BC =  2 ; por lo tanto, AB = BC    8 

Tambin tienen un punto en

i + 4j + 3k

comn.

Ejercitacin 12C

2

a

 4  AB =    4 

 2  b =   =  2i + 4j  4

b

BA = 

3  c =   = 3i + 8j 8 

c

 3   =  3i  5j  5 

 6   

4   4 

AC =   4  ; por lo tanto,   1 6  AB =

OG = 4j + 3k

5   5  PQ =   , QP =    1 1   

3 a=  

b

i+j+k

1

c

a

OG = j + k

a

a

2

8

 3    AB =   2     8 

3

 3   6      P P2 =   1  , P P3 =   2  ,      0   0   3     7  P2P3 =   1  ; P4  2, , 4  3      0  5

4 x=

3

; AB : BC = 2 : 1

 7    3

AC =  

Respuestas



Ejercitacin 12E  5 

c

AB =  0  ;    2 

d

1

2





  1, 5   3     5 

29 = 5 , 39

5 a = 2 15 10 13

6 a b c

4

Ejercitacin 12F 2

2

2

2

3  4    +  =1 5  5 

1

1

3

b

i + 2j + 3k

c

i  2j  3k

d

8i  6j  10k

Ejercitacin 12H

 1 

1

5

1

6 7

=

5

 1     3  = 14   2   co s   a    sen   7

9

b

 co s      sen  

Ejercitacin 12G 1

2

a b c d e f a b



5i + j 2i + 3j 2i + 4j 8i + 4j i  3j 2i  2     2  1    8 

Respuestas

FD y AC son paralelos

c

(2i  j)  1 

 14  3  2   2   

10

AB = 

c

1 1

a

79,0

2

3

a

18

b

5

c

20

d

13

e

13

a

9

b

20

c

20

d

58

e

13

a

Perpendiculares

b Ninguna de las dos c

Paralelos

d

Ninguna de las dos

e

Perpendiculares

f

Paralelos

g Paralelos 4 5

15

2    d =  1   3 

=

1 1 130

118,1

a

AB = 1 7 ; AC =

b

cos BAC =

c

10,5

54,7

12

a

26

1 1 7 26

OA  OB = 0; en consecuencia, son perpendiculares. 62  7,87

13

 = 2,5

14

 = 9

15

p = 3

Ejercitacin 12J 1

a

 1  3  r     t    2  2 

b

 1   5  r     t    2  0 

c

 3   3      r =  1  + t  2       2   8 

d

r = 2j  k + t(3i  j + k)

Ejercitacin 12I 1

 1   1    , AC =  5  2   

c

11

MX = 3MP y comparten un punto.

5 d

5

8

AB es paralelo a FC; la longitud de AB es la mitad de la de FC.

b

5

5 5

2b  3a

v

a

b

iv b  2a

(2i + 2j  k)

3

ba

iii 2b  2a

 1   5  42    4 

4

ba

ii

136,4

b 90

6 s = 4,5; t = 9; u = 9

i

c

26 5

9

 19   4    x=  , y =  3  ,   5, 5   1 6     6  z =   10 

4 a

94,8

b 11

2

(4i  3j)

5

8

5 x =  4,5; y = 10,5

1  2  2    +  +  =1 3  3  3 

2

a

8i  j  3k

3 a

4 x=  5

7

b 161,6

 3      34 

e

3 t = 6

45

  1 5 

| AB | = 1 29 , | AC | =

242 | BC| = 1 29 . Dos lados son iguales; por lo tanto, es issceles. ngulo CAB = 46,8

6

2

a

b

c

d

4   1  P. ej. r     t   5    7   4  1  P. ej. r     t  0   2     3   1  







P. ej. r   5   t   9      2   3  0  1      P. ej. r   0   t   1      1   1 

3

 1   2  P. ej. r     t   6   3 

a

 1  2    t   0   5  4  1      P. ej. r   2   t  0      1  3 

c

a = 5; b = 8

b

(4, 5, 7)

8 a

b

3 10 2   

c

11

a

S

b No

d

120

d No

2   2      r   4  t 3      5   8 

15 km este

6

0   6  P. ej. r =   + t    5  1 

7

a

Coincidentes

c

 5 1  ms  2  13 m s 1

b

Perpendiculares

d

8 29 m

c

Paralelas

e

d

Ninguna

3 a

4 p. m.

e

Ninguna

4 a

3 2 m s 1 y 86 m s 1

8

a

53,6

10

a

i

2i + 5j + 3k

ii

2i + 5j + 3k

i

| OF| =

38

ii | AG | =

38

b

b 115,2

a

c

a

iii OF  AG = 30 11

c

37,9

a

AB = 7i  8j + 8k

b

cos OB =

d

 = 49

49 30 1 1 7

Colisionarn. b

5,2 m

 9   3      AB =  1  , BC =   3  ,      6   2 

B es un punto en comn. 4 (7, 9, 0)

4

3

 23 1 2  , ,    3 3 3

5    1,  3 

6 a

b

 5     8    1 5 

Producto escalar = 0

122

2

a

 1  0      QR =  0  , QP =   1       5  1 

b

46,1

c

2,60

3 a

b

3   1  AB =   , AC =   3   2 

4j

ii

i+

3k

BC= i + 4j  3k

c

i

d

iii 18 25,8

4 a b 5 a

b

c

d 6 a

20

ii

20

0, 4, 2 82,9

0    OP  PQ = 0, PQ =  6    2  1 0         P. ej. r    1     6   3   2     1     2   4 

22  6    AB =   2     0 

c

(36, 18, 0)

d

5,10 m s 1

e

6 segundos f

(18, 6, 6)

AB  AC = 9

6 a

 2     10     1 

b

t= 2

a

2  1      r =  2 + s 3      4  2 

7

i

iii 2i + 4j

BC = 2 AB

1 2

1

7i + 6j

AC = 3 AB y

5 a

2 14  2  12,30 p. m. ;   1 1 , 5  3 km

BD = i + 4j  3k

3 (a + b)  (a  b) = 0

 48     5   3     5 

e 8 a

b

Ejercitacin 12K (4, 2)

 50      20 

 6    AC =   2     4 

1 77 520 493 38 , , 1 77 1 77 1 77

e

b

Ejercicio de revisin sin CPG

1

2     6   4 

Ejercicio de revisin con CPG

b 5 1 3 km 2

d

b

Ejercitacin 12L 1 5  1 a   o 10 km al norte y 1 0 

p = 2, q = 21

(4, 8, 8)

(3, 2, 1)

P. ej. r = 5k + t(4i  k) S

b

 1   

P. ej. r    1   t   1      2   3 

d

c 5

a

c

P. ej. r  

b

4

7

Respuestas

9

Captulo 1 3

c

e

Comprobemos nuestras habilidades 1

a c

2

2

b

2 3 

r 3

3

d d

2

f

2 

3

a

250

330

2

b 1

5r 6

2

c

1

d

3 a

 1,48

b 2

4 a

 0,182; 2,40

b 1,14

 0,5

e

2

Investigacin: seno, coseno y tangente en el crculo de radio unidad 1 2

100

3

270

3 sen270 =  1, cos270 = 0, tan270 no existe 4 sen360 = 0, cos360 = 1, tan360 = 0 5 sen(90) = 1, cos(90) = 0, tan( 90) no existe

g Las preguntas 3 a 8 tienen muchas otras respuestas correctas posibles.

180

3 a

d 65,  245,  295 4 a a

9 sen  = 0, cos  = 1, tan  = 0 3 10 sen 3 = 1, cos 3 = 0, tan 2

2 2 3 tan  no existe. 2

c  295, 65 d 240, 120 r 6

2

no existe  11 sen  3 = 1, cos  3 = 0,

5 a

1

c 40,  140,  320

b 5r 3

d 155, 335,  205 6 a b

c r 2

a

d 11r 6

a

 1 1  , 6 6

b

 1, (1  2 )

c  2,5; (2,5  2 ) d



Respuestas

7  3 , , 4 4 4

d  + 3, 2   3, 3   7

110

2 4 5 , , 3 3 3

c 3   4,1; 4,1  2 ,   4,1

75

b

230,  130,  310

b 280,  80,  260

12 sen4 = 0, cos4  = 1, tan4  = 0 Ejercitacin 13A

 35, 325

b  130, 230 2

2

c 255, 285,  105

40

2

no existe

120,  240,  300

b 340,  20,  160

h

6 sen(180) = 0, cos(180) = 1, tan( 180) = 0 7 sen0 = 0, cos0 = 1, tan0 = 0    8 sen = 1, cos = 0, tan 2

h

f

sen90 = 1, cos90 = 0, tan90 no existe sen180 = 0, cos180 =  1, tan180 = 0

2

g

3 7 , 5 5

8

a

5 3 7 , , 4 4 4

c

b 1,3 + , 1,3  , 1,3  2  c

1

Ejercitacin 13B

2

a

b

0,940

0,342

c  0,342

d

 0,940

1

b



a c

3 a

 

2 1

b

0,8

h b a

b

g a

c

3

4

0,6 

3

a

 

,

c

3 7 , 4 4

d





a

5 11

2

18 4 5

b 2

b

a



9 11

3 a

b 7

18

b 

1 9

 300,  240, 60, 120 c

7

4 a

e 45, 135, 225, 315 

30, 150, 210, 330

a

1 1 7  5  , , , 6 6 6 6

63 32 63

c  a

31 3

b

5 11

d

5 11

b

31

c

24



 1 1  , 6 6  3  , 2 2  2 4 5  , , , 3 3 3 3 7 3  5  , , , 4 4 4 4

6 a c 7

4

25 33 6



625 a

b d b

a2 + b2

c

3 a 0, 360, 720 b  135,  45, 225, 315, 585, 675 c 45, 135, 315, 495, 675, 225 d 60, 120, 240, 300, 420, 480, 600, 660 5  4 a  b  , 2

a

7 

6

6

32

b

25

e

7

d

d

2 ab a2 + b2

d

7

18

31 63

5

b 0,  , 2 

5 11

c 4 5

18

d 360, 180, 0, 180, 360

d

c 

5

4 a

 5 8

,

6

b



d

 3

2

8

4

,

4

5

7  3 1 1  , , 6 2 6

1

8 2 0, 3

c 0, 

d  3 4

Ejercitacin 13E c b

,

8

6 2

  5 3  1 1 7 , , , , , 12 12 4 12 12 4



0,   7

d 0,  ,  , 5 , 

, , 12 12 12

b

c  315,  135, 45, 225

c

c

2  4 , 3 3

b 120, 240

2

b

3 a

3

Ejercitacin 13C 1

12

4



3

e a h



2

4

a

d

b

c

3 a

15, 165  165,  105, 15, 75 90 180  7 1 1  5

2

0,6

e

g  0,8 b a

a

2

d  0,8

4 a

3

d

2

2

a b c d

c 150, 30 d  90, 30, 150

 5  , 6 6

d

Ejercitacin 13D

1 2 2 9 , , 7 7 7

d 2   5,   5,  5  

1

 3  , 4 4

51 2

6 k= 6 7 b=8 Ejercitacin 13G 1  346,  194, 14, 166 2 27, 333 3 244, 296 4 55, 235, 415 5  5,33;  4,10; 0,955; 2,19 6 1,71; 4,58 7  0,739 8  0,637; 1,41 Investigacin: representacin grfca de tan x 1

Amplitud del ngulo ( x ) (grados)

Valor de la tangente (tan x) 0

0

5 7

30, +30



1

24

45, +45

1, 1



7 527



12 0

 3

625 b

135

1

a2 + b2

150

b2  a2 a2 + b2

Ejercitacin 13F 1 a 30, 90, 150 b 22,5; 112,5 c 135 d 45, 135 a

 150,  120, 30, 60

b 90

3

25 60, +60

 3,



3

1 3

180

0 1

2 10

2

1

,

3

3

225

1

2 40

3

300

 3

315

1

330 360



1 3

0

Respuestas



3 tan  90 y tan  270 estn indefnidas. El lmite de la tangente a medida que el ngulo se aproxima a  90 o  270 es infnito. A menudo, en los grfcos se muestran asntotas para valores que no existen.

5

8

y

8 0

4

x

2r r 0 4

Ejercitacin 13I 1

y

9

1

Ejercitacin 13H 2r

0

r

1

 297,  117, 63, 243

2

2

 107, 73, 253

4

3 124, 304

r



y = sen  x 

 6

y  tan  x   4 

2

4

7

2

4,55 2r

r

Ejercitacin 13J 0

r

2r x

1

y 0,5

3

y 2r

y

r

4

x 2r r

2

0

r

r

2r x

r

2r x

2r x

4

2r

r

4

1 x

3 0

r

0 2

y

2r

2r x

2

4 0

r

y 4

2 y

0 0,5

2 0

)

12 y = co s x    1 , 5 4

8  4,66; 1,20; 2,28; 4,77 Investigacin: transformaciones de sen x y cos x



(

y

6  1,88; 1,26

r

y 4

2r x

1

y

2

5

y 2r

r

1 0

0

r

r

4

2r x

4

1 y

6

y 0

r

2r  3r r  r 0 2 2 1

2r x

2 0

x

4

5

7 y

y 1

2r r

4

0 2

x 2r

3



10 y = sen x + 1   11

6

5  5,88;  2,74; 0,405; 3,55

2

2   o 3 



 

2r x

r

y = cos  x 

2r x

4 38, 142, 398, 502

1

y

r

0

r

3r 2r x 2

y

y 2r

r 2

2 r

2r x

1

1 2 0

2r

r

0 1

x

3 2



Respuestas

r

2r x

6

5

y 3

5 4 3 2 1

1 2r

0 1

r

2r x

r

3r 2r r 10

3

7

r

2r 3r x

y

6

3 1 2r  3r r  r 10 2 2 3

8

r 2

r r 0 2 1

3r 2r x 2

r

y

2r x

r

2

r

x

1

a, b

  2   y = 6, 3 cos    ( x  25)   30   + 1 5, 6

2

y = 7, 5 sen x

10 y = co s ( 0, 25 x )

8

y 7 6 5 4 3 2 1

11 y = tan ( 0 , 25 x ) 12 y =  3 co s ( 0, 5 x ) o

(

2 0

r

1

y = 3 sen

x

1

0

r

r

y

7

y

2r

r 2

2

1

9

d

y

x  2

)

3r 2r r 10

r

2r 3r x

c

Ejercitacin 13K Para las preguntas 1 a 4, las respuestas pueden variar.

1

2

( 23 )  1 , 5; 5 y = 3, 5 co s ( x +  1,5 6 ) 1 4 y = sen ( ( x +  2; 3 )) 2

y = 3, 5 sen x 

Ejercitacin 13L 1

a, b

 2  y = 4, 8 cos  x + 7  2  d

1     x   2 3  2 

y  cos  3

y = 2 sen ( 2 x ) + 1 ;

c

    y  2 cos  2  x     1 4   

4

y = 5 sen

((

 2 x  3 2

(

) );

)

5  2 y =  5 co s  x + 6  3

Respuestas



3 a, b

c 10,3 m

4 a

d 4,75 minutos 4 a

P = 4, Q = 7

b

y 14

 2p g ( x ) =  1 6 cos  ( x  1 )   12 

10

+ 21

6

b 21 galones

2

c A principios de mayo y

0

4

8

12

16

20

fnes de agosto c

c d

Ejercicio de revisin sin CPG 1

2

a

 0,342

5 a

b

 0,342

b

c

0,342

a

0,643

b

 0,643

c

 0,643

3 a

d

9,91 horas

Comprobemos nuestras habilidades

120, 240  330,  150, 30, 210

c

 270,  150,  30, 90, 210, 330 2

A= 2,825; B = 12,175

Captulo 1 4

b

4 0,

t = 2, a las 2. 00 8 horas

1

2

a

2

b 1 1 o  3 3 3

c

,

3

5 a

i

a = 5, c = 4, d = 6

ii

b =

3

d

2 , y el perodo

2

2  perodo es 8, b   8 4



2

a

x = 0, , 2 

b

x=

6

b 4< x< 8



c 6 a

21

b

5

7 Ejercitacin 13M 1

2

b

9,49 m

4

c

13,5 m

6

d

05. 30

a

 3,06 C

c

3 a b



3 2 1 0 2

Aproximadamente 12 horas

30 C, da 187 (aproximadamente el 6 de julio) Aproximadamente 90 das: los das 1 49 inclusive y los das 325 365 inclusive

Respuestas

c

25

2

3 a

1 2 3 4 5 x

Ejercicio de revisin con CPG 1

2

a

48,6; 131,4

b

129, 231

c

 70,3; 109,7; 289,7

2 3

a

 3,36; 0,515; 2,85; 6,06

b

0,607

c

1,89; 0

5

24 , c= 3 25 0,667; 3,33; 4,67

6

3 a b

a =  4, log 3

,

2

,

, ,

6

,

2

3 2

6x2 e x + 2x3 e x

b

ln(x2) + 2

c

x2 + 1 0x + 4

d

1  ln x

(x 2 + 4 )2

x2

Ejercitacin 14A 1

46 m

 2  h ( t ) = 22, 5 sen  ( t  5)   20  + 23, 5

2

x=

4 21

y

a

b

21

  5 3 

4

7

3cos x + 2sen x 3 cos 2 3 x

2co s x sen 2 x  2cos t sen t o  sen (2t) 

cos x 2 x 2 tan x cos 2 x



1 x sen + 4cos(4 x ) 2 2

24

x

Ejercitacin 14D

2 sen (2 x ) co s 2 (2 x )

8

1

9

 8 co s ( x ) sen 3 ( x )

10

[cos(sen x)] cos x

11

2

2

cos 2 ( x 3 )

a

= 3sen 2x



3 Decreciente:

3   5 3  ,  ,  2  6 2

2 



4

f(x)

4 

3 2 

3

  = 3 x  2 3 

0

1

r 4

b

(

3

)

