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VE RS I N E N E S PA O L
P r o g r am a d e l d i Plo m a d e l i B o xfo r d
M ateM ti cas Ni vel M edi o L I B R O D E L A LU M N O
Laurie Buhanan Jim Fensom Ed Kemp Paul La Rondie Jill Stevens
3 Great Clarendon Street, Oxford, OX2 6DP, Reino Unido Oxford University Press es un departamento de la Universidad de Oxford que promueve el objetivo de excelencia acadmica, educativa e investigadora de esta Universidad mediante sus publicaciones en todo el mundo. Oxford es una marca registrada de Oxford University Press en el Reino Unido y en algunos otros pases. Oxford University Press 2015 Los autores han reivindicado sus derechos morales. Traducido del ingls por Fabin Valio, y revisado por Irene Owen y Amalia Galetto Derechos de autor de la traduccin Oxford University Press 2015 Primera publicacin en 2015 Reservados todos los derechos. No se podr reproducir ninguna parte de esta publicacin, ni almacenarla en un sistema de recuperacin de datos o transmitirla en cualquier forma o por cualquier procedimiento sin autorizacin previa por escrito de Oxford University Press o salvo conforme a lo expresamente permitido por la ley, por licencia o por las condiciones acordadas con la organizacin de derechos de reprografa pertinente. Cualquier consulta relativa a la reproduccin de esta publicacin al margen de lo antedicho debe enviarse a: Rights Department, Oxford University Press, Great Clarendon Street, Oxford, OX2 6DP, Reino Unido. No le est permitido distribuir partes de esta publicacin en cualquier otra forma, y debe imponer esta misma condicin a cualquier persona que tenga acceso a la misma. Esta publicacin figura en el catlogo de la Biblioteca Britnica con los datos siguientes: 978-0-19-833876-5 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 El papel usado para la fabricacin de este libro es un producto natural y reciclable de madera de bosques sostenibles. El proceso de fabricacin se ajusta a las normas ambientales del pas de origen. Impreso en China Agradecimientos Los editores desean agradecer a las siguientes personas e instituciones su autorizacin para usar sus fotografas: P3: Nasa; P4: Konstantin Chagin/Shutterstock; P4: Janine Wiedel Photolibrary/Alamy; P13: Hulton Archive/Stringer/Getty Images; P17: Trip/Art Director; P17: Lunar And Planetary Instotute; P31: Nlshop/Shutterstock; P31: Itsmejust/Shutterstock; P33: Robert Crow/Dreamstime.com; P33: Lane Erickson/Dreamstime. com; P41: Sean Nel/Shutterstock; P54: Blasbike/Dreamstime. com; P56: Brad Remy/Dreamstime.com; P61: David Gee/Alamy; P61: Paulpaladin/Dreamstime.com; P61: Konstantin Androsov/ Dreamstime.com; P61: Lembit Ansperi/Dreamstime.com; P61: Julin Rovagnati/Dreamstime.com; P60: Ilya Postnikov/ Dreamstime.com; P61: Victor Habbick Visions/Science Photo Library; P63: Martin Fischer/Dreamstime.com; P64: Mrshining/ Dreamstime.com; P64: Science Photo Library; P73: Francesco Abrignani/Shutterstock; P75: Ints Vikmanis/Shutterstock; P84: 3dimentii/Shutterstock; P85: Nicemonkey/Shutterstock; P92: Supri Suharjoto/Shutterstock; P98: Peter E Noyce/Alamy; P99: James Steidl/Dreamstime.com; P99: Motorolka/Dreamstime. com; P98: Stephen Gray/Shutterstock; P101: Viorel Dudau/ Dreamstime.com; P111: Pcheruvi/Dreamstime.com; P112: Classic Image/Alamy; P132: Adisa/Shutterstock; P133: Robyn Mackenzie/Shutterstock; P134: Nigel Spiers/Dreamstime.com; P138: Irochka/Dreamstime.com; P139: Nasa Archive/Alamy; P141: Iofoto/Shutterstock; P142: Science Source/Science Photo Library; P145: Shutterstock/Patrik Dietrich; P149: Shutterstock/ Plampy; P152: Shutterstock/John Orsbun; P152: Shutterstock/ Wavebreakmedia Ltd; P153: Shutterstock/Filipe B. Varela;
ii
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Defnicin del libro del alumno Los libros del alumno del Programa del Diploma del IB son recursos diseados como apoyo para el estudio en los dos aos del Programa del Diploma. Estos recursos ayudan a los alumnos a entender lo que se espera del estudio de una asignatura del Programa del Diploma del IB y presentan su contenido de manera que ilustra el propsito y los objetivos del IB. Reejan la flosoa y el enoque del IB, y avorecen una comprensin prounda de la asignatura al establecer conexiones con temas ms amplios y brindar oportunidades para el pensamiento crtico. Conorme a la flosoa del IB, los libros abordan el currculo teniendo en cuenta el curso en su totalidad y el uso de una amplia gama de recursos, la mentalidad internacional, el perfl de la comunidad de aprendizaje del IB y los componentes troncales del Programa del Diploma del IB: Teora del Conocimiento, la Monograa y Creatividad, Actividad y Servicio (CAS). Todos los libros pueden usarse en combinacin con otros materiales y, de hecho, se espera que los alumnos del IB extraigan conclusiones basndose en una variedad de recursos. Todos los libros proponen lecturas adicionales y brindan sugerencias para ampliar la investigacin. Adems, los libros del alumno proporcionan asesoramiento y orientacin con respecto a los requisitos de evaluacin de las asignaturas y la probidad acadmica.
Declaracin de principios del IB El Bachillerato Internacional tiene como meta ormar jvenes solidarios, inormados y vidos de conocimiento, capaces de contribuir a crear un mundo mejor y ms pacfco, en el marco del entendimiento mutuo y el respeto intercultural.
En pos de este objetivo, la organizacin colabora con establecimientos escolares, gobiernos y organizaciones internacionales para crear y desarrollar programas de educacin internacional exigentes y mtodos de evaluacin rigurosos. Estos programas alientan a alumnos del mundo entero a adoptar una actitud activa de aprendizaje durante toda su vida, a ser compasivos y a entender que otras personas, con sus dierencias, tambin pueden estar en lo cierto.
El perfl de la comunidad de aprendizaje del IB El objetivo undamental de los programas del Bachillerato Internacional (IB) es ormar personas con mentalidad internacional que, conscientes de la condicin que las une como seres humanos y de la responsabilidad que comparten de velar por el planeta, contribuyan a crear un mundo mejor y ms pacfco. Como miembros de la comunidad de aprendizaje del IB, nos esorzamos por ser: Indagadores: Cultivamos nuestra curiosidad, a la vez que desarrollamos habilidades para la indagacin y la investigacin. Sabemos cmo aprender de manera autnoma y junto con otros. Aprendemos con entusiasmo y mantenemos estas ansias de aprender durante toda la vida. Informados e instruidos: Desarrollamos y usamos nuestra comprensin conceptual mediante la exploracin del conocimiento en una variedad de disciplinas. Nos comprometemos con ideas y cuestiones de importancia local y mundial. Pensadores: Utilizamos habilidades de pensamiento crtico y creativo para analizar y proceder de manera responsable ante problemas complejos. Actuamos por propia iniciativa al tomar decisiones razonadas y ticas.
iii
Buenos comunicadores: Nos expresamos con confanza y creatividad en diversas lenguas, lenguajes y maneras. Colaboramos efcazmente, escuchando atentamente las perspectivas de otras personas y grupos. ntegros: Actuamos con integridad y honradez, con un proundo sentido de la equidad, la justicia y el respeto por la dignidad y los derechos de las personas en todo el mundo. Asumimos la responsabilidad de nuestros propios actos y sus consecuencias. De mentalidad abierta: Desarrollamos una apreciacin crtica de nuestras propias culturas e historias personales, as como de los valores y tradiciones de los dems. Buscamos y consideramos distintos puntos de vista y estamos dispuestos a aprender de la experiencia. Solidarios: Mostramos empata, sensibilidad y respeto rente a las necesidades y los sentimientos de otros. Nos comprometemos a ayudar a los dems y actuamos con el propsito de inuir positivamente en las vidas de las personas y el mundo que nos rodea. Audaces: Abordamos la incertidumbre con previsin y determinacin. Trabajamos de manera autnoma y colaborativa para explorar nuevas ideas y estrategias innovadoras. Deendemos nuestras posturas con valenta y claridad. Equilibrados: Entendemos la importancia del equilibrio sico, mental y emocional para lograr el bienestar propio y el de los dems. Refexivos: Evaluamos detenidamente el mundo y nuestras propias ideas y experiencias. Nos esorzamos por comprender nuestras ortalezas y debilidades para, de este modo, contribuir a nuestro aprendizaje y desarrollo personal.
Probidad acadmica Es undamental citar debidamente a los autores de la inormacin que se utiliza en un trabajo. Despus de todo, los autores de las ideas (propiedad intelectual) tienen derechos de propiedad. Para que un trabajo se considere iv
original, debe basarse en ideas propias y citar debidamente la autora de las ideas y el trabajo de otras personas. Por lo tanto, toda actividad escrita u oral realizada para la evaluacin debe estar expresada en palabras propias. Cuando se utilicen uentes externas o se haga reerencia a ellas, ya sea en orma de cita directa o parrasis, se debe indicar debidamente su procedencia.
Cmo citar el trabajo de otros Para indicar que se han utilizado las ideas de otras personas se usan notas a pie de pgina y bibliograas. Notas a pie de pgina (colocadas en la parte inerior de una pgina) o notas al fnal (colocadas al fnal de un documento): deben utilizarse cuando se cita o pararasea de otro documento, o cuando se reproduce de manera resumida la inormacin de otro documento. No es necesario usar una nota a pie de pgina para inormacin que orma parte de un rea de conocimiento. Es decir, no es necesario citar defniciones en notas a pie de pgina, ya que se considera que son de conocimiento general. Bibliograas: deben incluir una lista ormal de los recursos que se han utilizado en un trabajo. Por ormal se entiende que debe presentarse siguiendo una de las varias convenciones aceptadas. Esto normalmente implica separar los recursos utilizados en dierentes categoras (por ejemplo, libros, revistas, artculos periodsticos, recursos de Internet, CD y obras de arte) y proporcionar datos completos de dnde puede encontrar la misma inormacin un lector o un observador del trabajo. La bibliograa es una parte obligatoria de la Monograa.
Qu constituye una conducta improcedente? La conducta improcedente es toda accin por la que un alumno salga o pueda salir benefciado injustamente en uno o varios componentes de la evaluacin. El plagio y la colusin se consideran conducta improcedente.
Plagio: se entiende como la presentacin de las ideas o el trabajo de otra persona como propios. Estas son algunas ormas de evitar el plagio:
Debe citarse la autora de las palabras e ideas de otras personas que se utilicen para respaldar los argumentos propios. Los pasajes citados textualmente deben entrecomillarse y debe citarse su autora. Los CD-ROM, mensajes de correo electrnico, sitios web y otros medios electrnicos deben ser tratados de la misma manera que los libros y las revistas. Debe citarse la uente de todas las otograas, mapas, ilustraciones, programas inormticos, datos, grfcos, materiales audiovisuales y otros materiales similares que no sean de creacin propia.
Cuando se utilicen obras de arte, ya sean de msica, cine, danza, teatro o artes visuales, o cuando se haga un uso creativo de una parte de una obra de arte, se debe citar al artista original.
Colusin: se entiende como el comportamiento de un alumno que contribuye a la conducta improcedente de otro. Incluye:
Permitirle a otro alumno que copie un trabajo o lo presente como si uese propio
Presentar un mismo trabajo para distintos componentes de evaluacin o requisitos del Programa del Diploma
Otras formas de conducta improcedente incluyen cualquier accin que le permita a un alumno salir benefciado injustamente, o que tenga consecuencias sobre los resultados de otro alumno (por ejemplo, introducir material no autorizado a la sala de examen, conducta indebida durante un examen y alsifcar documentacin relacionada con CAS).
v
Contenidos Captulo 1 Funciones
2
1 .1 1 .2
4
1 .3 1 .4 1 .5 1 .6
Introduccin a las unciones El dominio y el recorrido de una uncin en un plano cartesiano Notacin uncional Funciones compuestas Funciones inversas Transormacin de unciones
Captulo 2 Funciones y ecuaciones cuadrticas
2.1 2.2 2.3 2.4 2.5
Resolucin de ecuaciones cuadrticas La rmula cuadrtica Races de ecuaciones cuadrticas Grfcos de unciones cuadrticas Aplicaciones de las unciones cuadrticas
8 13 14 16 21
32
34 38 41 43 53
Captulo 3 Probabilidad
62
3.1 3.2 3.3
64 68
3.4 3.5
Defniciones Diagramas de Venn Diagramas del espacio muestral y la regla del producto Probabilidad condicionada Diagramas de rbol de probabilidad
77 85 89
Captulo 4 Funciones exponenciales y logartmicas 100
4.1 4.2 4.3 4.4 4.5 4.6 4.7 4.8
Potencias Resolucin de ecuaciones exponenciales Funciones exponenciales Propiedades de los logaritmos Funciones logartmicas Propiedades de los logaritmos Ecuaciones exponenciales y logartmicas Aplicaciones de las unciones exponenciales y logartmicas
Captulo 5 Funciones racionales
5.1 5.2 5.3
vi
Recprocos La uncin recproca Funciones racionales
1 03 1 07 1 09 115 118 1 22
Captulo 6 Patrones, progresiones y series
6.1 6.2 6.3 6.4 6.5 6.6 6.7 6.8 6.9
Patrones y progresiones Progresines aritmticas Progresiones geomtricas La notacin de sumatoria () y las series Series aritmticas Series geomtricas Series convergentes y sumas de infnitos trminos Aplicaciones de patrones aritmticos y geomtricos El tringulo de Pascal y el desarrollo del binomio
Captulo 7 Lmites y derivadas
7.1 7.2 7.3 7.4 7.5 7.6 7.7
Lmites y convergencia La recta tangente y la derivada de xn Ms reglas de derivacin La regla de la cadena y derivadas de orden superior Razones de cambio y movimientos sobre una recta La derivada y sus grfcos Ms sobre extremos y problemas de optimizacin
Captulo 8 Estadstica descriptiva
8.1 8.2 8.3 8.4 8.5 8.6
Anlisis unidimensional Presentacin de los datos Medidas de posicin central Medidas de dispersin Frecuencia acumulada Varianza y desviacin tpica
Captulo 9 Integracin
1 27 1 31 140
1 42 1 43 1 47
9.1 9.2 9.3 9.4 9.5 9.6 9.7
Antiderivadas y la integral indefnida Ms sobre integrales indefnidas rea e integrales defnidas Teorema undamental del clculo rea entre dos curvas Volumen de revolucin Integrales defnidas con movimiento lineal y otros problemas
160
1 62 1 64 1 67 1 70 1 72 1 75 1 78 1 81 1 84 194
1 96 200 208 21 5 221 230 240 254
256 257 260 267 271 276 290
291 297 302 309 31 3 31 8 321
Captulo 10 Anlisis bidimensional
1 0.1 1 0.2 1 0.3 1 0.4
Diagramas de dispersin La recta de ajuste ptimo Regresin de mnimos cuadrados Cmo medimos la correlacin
Captulo 11 Trigonometra
1 1 .1 Trigonometra del tringulo rectngulo 1 1 .2 Aplicaciones de la trigonometra del tringulo rectngulo 1 1 .3 Utilizacin de los ejes de coordenadas en trigonometra 1 1 .4 El teorema del seno 1 1 .5 El teorema del coseno 1 1 .6 rea de un tringulo 1 1 .7 Radianes, arcos y sectores circulares Captulo 12 Vectores
1 2.1 1 2.2 1 2.3 1 2.4 1 2.5
Vectores: conceptos bsicos Suma y dierencia de vectores Producto escalar Ecuacin vectorial de la recta Aplicaciones de los vectores
Captulo 13 Funciones circulares
1 3.1 Utilizacin del crculo de radio unidad 1 3.2 Resolucin de ecuaciones usando el crculo de radio unidad 1 3.3 Identidades trigonomtricas 1 3.4 Representacin grfca de unciones circulares 1 3.5 Traslaciones y estiramientos de las unciones trigonomtricas 1 3.6 Combinacin de transormaciones con las unciones seno y coseno 1 3.7 Modelizaciones que utilizan las unciones seno y coseno Captulo 14 Anlisis con unciones trigonomtricas
1 4.1 Derivadas de las unciones trigonomtricas 1 4.2 Ms prctica con derivadas 1 4.3 Integral del seno y el coseno 1 4.4 Un repaso al tema del movimiento lineal
332
334 339 345 349 362
363 369 373 380 386 389 391 404
407 420 426 430 437 446
Captulo 15 Distribuciones de probabilidad
518
1 5.1 Variables aleatorias 1 5.2 La distribucin binomial 1 5.3 La distribucin normal
520 527 538
Captulo 16 La exploracin
556
1 6.1 1 6.2 1 6.3 1 6.4 1 6.5 1 6.6 1 6.7
Acerca de la exploracin Criterios de evaluacin interna Cmo se evala la exploracin Probidad acadmica Registros Eleccin del tema Comienzo de la exploracin
556 557 562 562 564 564 568
Captulo 17 Problemas y operaciones con la calculadora de pantalla grfca
570
1 .1 1 .2 1 .3 1 .4 1 .5 1 .6 1 .7 1 .8
448 454 456 462 469
1 .9 1 .1 0 1 .1 1 1 .1 2 1 .1 3 1 .1 4 1 .1 5 1 .1 6
478 483
1 .1 7 1 .1 8 1 .1 9
494
2.1 496 500 505 51 0
2.2 2.3 2.4 2.5
Grfcos de unciones lineales 572 Cmo hallar los ceros 572 Cmo hallar la pendiente de una recta 573 Resolucin de sistemas de ecuaciones de orma grfca 574 Resolucin de sistemas de ecuaciones lineales 576 Grfcos de unciones cuadrticas 577 Resolucin de ecuaciones cuadrticas 578 Cmo hallar un punto mnimo o punto mximo local 579 Grfcos de unciones exponenciales 583 Cmo hallar una asntota horizontal 584 Evaluacin de logaritmos 585 Cmo hallar la uncin inversa 585 Grfcos de unciones logartmicas 588 Grados y radianes 589 Grfcos de unciones trigonomtricas 590 Resolucin de una ecuacin que combina cuadrtica y exponencial 591 Uso de la regresin sinusoidal 592 Uso de transormaciones para modelizar una uncin cuadrtica 594 Uso de deslizadores para modelizar una uncin exponencial 596 Cmo hallar la pendiente en un punto 598 Dibujo de la tangente a una curva 599 Puntos mximos y mnimos 600 Cmo hallar una derivada numrica 602 Grfcos de derivadas numricas 603
vii
2.6 3.1 3.2 4.1 4.2 5.1 5.2 5.3 5.4 5.5 5.6 5.7 5.8 5.9 5.1 0 5.1 1 5.1 2 5.1 3 5.1 4 5.1 5 5.1 6
Uso de la derivada segunda 605 Cmo hallar el valor de una integral defnida 606 Cmo hallar el rea bajo la curva 607 Clculo del producto escalar 608 Clculo del ngulo entre dos vectores 61 0 Ingreso de listas de datos 61 2 Ingreso de datos en una tabla de recuencias 61 2 Dibujo de un histograma de recuencias a partir de una lista 61 3 Dibujo de un histograma de recuencias a partir de una tabla de recuencias 61 4 Dibujo de un diagrama de caja y bigotes a partir de una lista 61 5 Dibujo de un diagrama de caja y bigotes a partir de una tabla de recuencias 61 6 Clculo de parmetros estadsticos a partir de una lista 61 7 Clculo de parmetros estadsticos a partir de una tabla de recuencias 61 8 Clculo del rango intercuartil 61 9 Uso de los parmetros estadsticos 620 Cmo usar n C r 621 Clculo de probabilidades binomiales 622 Clculo de probabilidades conociendo los valores de X 624 Clculo de valores de X conociendo las probabilidades 625 Diagramas de dispersin usando una pgina de datos y estadstica 627 Diagramas de dispersin usando una pgina de grfcos 629
Captulo 18 Conocimientos previos
1 .1 1 .2 1 .3 1 .4
viii
Operaciones Simplifcacin de expresiones que contienen races Nmeros primos, divisores y mltiplos Fracciones y decimales
632
633
1 .5 1 .6 1 .7 1 .8 1 .9 1 .1 0 1 .1 1 2.1
Porcentajes Razn y proporcin El mtodo de reduccin a la unidad Conjuntos de nmeros Redondeo y estimacin Notacin cientfca Conjuntos Desarrollo de parntesis y actorizacin 2.2 Frmulas 2.3 Resolucin de ecuaciones lineales 2.4 Sistemas de ecuaciones lineales con dos incgnitas 2.5 Expresiones exponenciales 2.6 Resolucin de inecuaciones 2.7 Valor absoluto 2.8 Suma y resta de racciones algebraicas 3.1 El teorema de Pitgoras 3.2 Transormaciones geomtricas 3.3 Congruencia 3.4 Semejanza 3.5 Puntos, rectas, planos y ngulos 3.6 Figuras planas (bidimensionales) 3.7 El crculo: defniciones y propiedades 3.8 Permetro 3.9 rea 3.1 0 Volmenes y reas de la superfcie de cuerpos tridimensionales 3.1 1 Geometra cartesiana 4.1 Grfcos estadsticos 4.2 Anlisis de datos Captulo 19
Prctica para la prueba 1 Prctica para la prueba 2
640 643 645 646 648 650 651 657 662 664 666 667 668 669 670 673 674 676 678 682 683 684 685 686 688 692 699 703 708
708 71 2
634 637 638
Respuestas
716
ndice temtico
784
Acerca del libro Este libro cubre completamente el actual programa de Matemticas Nivel Medio. Cada captulo est dividido en secciones en ormato de leccin con las siguientes caractersticas: Investigaciones Sugerencias para exploraciones Consejos del examinador Teora del Conocimiento Curiosidades Exploracin histrica Las matemticas resultan un instrumento de lo ms poderoso y valioso, que posee belleza en s misma como objeto de estudio y por su utilidad en otras disciplinas. Los sumerios desarrollaron las matemticas como rea reconocida de enseanza y aprendizaje hace aproximadamente 5000 aos y su desarrollo no ha cesado desde entonces. El libro del alumno lo guiar a travs de las actualizaciones curriculares con amplia cobertura de todos los contenidos y el nuevo requisito de evaluacin interna. Se ha puesto especial nasis en el desarrollo y la comprensin de los conceptos matemticos en sus aplicaciones a la vida cotidiana, como as tambin en la resolucin de problemas y el pensamiento crtico. El libro del alumno identifca las preguntas que podran ser tiles
para la prctica de exmenes y aquellas en las que puede emplearse una CPG. Se disearon las preguntas para avanzar en la difcultad, reorzar las habilidades de anlisis y generar confanza a travs de la comprensin. El internacionalismo, la tica y las aplicaciones estn claramente integrados en cada seccin y al fnal de cada captulo se incluye una pgina de aplicacin de Teora del Conocimiento. El proesor y el alumno pueden trabajar segn la secuencia propuesta pero existe tambin la posibilidad de seguir un orden alternativo. Donde resulta pertinente, se muestra la solucin de los ejemplos mediante el uso de la calculadora TI-Nspire. En el sitio web (www. oxordsecondary.com/ib-matematicas), se incluye material de ampliacin como, por ejemplo, hojas de ejercicios y ejercicios resueltos. La educacin matemtica es un campo creciente y cambiante. El enoque contextualizado que integra los recursos tecnolgicos permite que los alumnos se adapten a contextos de aprendizaje para toda la vida. Nota: Se ha utilizado el estilo del IB para los trminos matemticos. Tambin se ha empleado el estilo ormal de redaccin utilizado en los exmenes del IB, para ayudar a los alumnos a prepararse para dichas pruebas.
Acerca de los autores Laurie Buchanan ha enseado matemticas en Denver, Colorado, por ms de 20 aos. Es jea de un equipo de examinadores y examinadora principal en la prueba 1 y examinadora para la prueba 2 de Matemticas NM. Es adems responsable de talleres y trabaj como parte del equipo de revisin del currculo. Jim Fensom ha enseado cursos de matemticas del IB durante aproximadamente 35 aos. Se desempe como coordinador de Matemticas en la escuela Nexus International School en Singapur. Edward Kemp ha enseado matemticas en el Programa del Diploma durante 20 aos. Es el director del rea matemtica en el Ruamrudee International School de Tailandia. Es examinador para Matemticas NM del IB, se desempe en el comit de revisin
del currculo y adems es responsable de contenidos de talleres en lnea para el IB. Paul La Rondie ha enseado matemticas para el Programa del Diploma en el Sevenoaks School durante 1 0 aos. Ha sido examinador y jee de equipo de examinadores para ambas pruebas en Matemticas NM y moderador de evaluacin interna. Ha integrado el comit de revisin del currculo y es responsable de contenidos de talleres en lnea para el IB. Jill Stevens ha enseado el programa de matemticas para el Programa del Diploma en el Trinity High School, Euless, Texas, durante 9 aos. Es examinadora para Matemticas NM, responsable de talleres y ha ormado parte del comit de revisin del currculo. Jill ue lectora y lder responsable en el examen de Clculo AP del College Board. 1
1
Funciones
OBJETIVOS DEL CAPTULO: 2.1
Funciones: dominio, recorrido; unciones compuesta, identidad e inversa 2.2 Grfcos de unciones hechos a mano y con calculadora de pantalla grfca (en adelante, CPG), sus mximos y mnimos, asntotas, el grafco de 1 (x) 2.3 Transormaciones de grfcos, traslaciones, simetras, estiramientos y transormaciones compuestas
Antes de comenzar Qu necesitamos saber 1
Situar puntos en un eje de coordenadas Por ejemplo: Situar los puntos A(4, 0), B(0, 3), C( , ) y D(2, ) en un plano cartesiano.
Comprobemos nuestras habilidades y
2 C 1
1 D
A 2 110 1 2 3 4 x 2 B 3 4
2
Sustituir valores en una expresin Por ejemplo: Sabiendo que x = 2, y = 3 y z = 5, hallar el valor de: a 4x + 2y b y2 3z a 4x + 2y = 4(2) + 2(3) = 8 + 6 = 14 b y2 3z = (3) 2 3(5) = 9 + 15 = 24 3 Resolver ecuaciones lineales Por ejemplo: Resolver 6 4x = 0 6 4x = 0 6 = 4x ,5 = x x = ,5 y 6 4 Usar la CPG para 4 obtener el grfco de 2 una uncin 0 Por ejemplo: Representar 6 4 22 2 4 4 grfcamente 6 f(x) = 2x , 6 x 6 8 5 Desarrollar productos de binomios Por ejemplo: Desarrollar (x + 3) (x 2) = x2 + x 6 2
Funciones
a
Site estos puntos en un plano cartesiano. A( , 3), B(5, 3), C(4, 4), D(3, 2), y E(2, 3), F(0, 3). 2 A b Escriba las 1,5 coordenadas de E H 1 los puntos A 0,5 hasta H. D B
C
2 1 0 0,5 1
1
2
3 x G
1,5 F
2
2
Sabiendo que x = 4, y = 6 y z = 10, halle: a
2x + 5
4x + 3y b z2 3y c y z d yz 3 Resuelva: x a 3x 6 = 6 b 5x + 7 = 3 c + 6 = 1 1 2 4 6x
Obtenga el grfco de estas unciones en la CPG en el dominio dado. Despus, dibuje aproximadamente las unciones en papel. a y = 2x 3, 4 x 7 b y = 10 2x, 2 x 5 c y = x2 3, 3 x 3 5 Desarrolle: a (x + 4) (x + 5) b (x 1) (x 3) c (x + 5) (x 4)
La Estacin Espacial Internacional ha estado orbitando la Tierra ms de 1 5 veces por da durante ms de 1 0 aos; sin embargo, cuntos la hemos visto? Localizar a simple vista la estacin espacial no es tan difcil como podra parecer, siempre y cuando se sepa en qu direccin mirar. Aunque la estacin viaja a una velocidad de 7,7 km s 1 , est en una de las rbitas ms bajas posibles, a aproximadamente 390 km por encima de nuestras cabezas. Gracias a sus enormes alas solares, es una de las estrellas ms brillantes y ello hace que sea bastante fcil distinguirla a medida que se desplaza por el cielo nocturno.
[ Estacin Espacial Internacional
d
La relacin t = 22 744 da la velocidad de la estacin espacial, donde t es el tiempo medido en horas y d es la distancia recorrida en kilmetros. A esta relacin matemtica se le llama funcin y es solo un ejemplo de cmo una funcin matemtica puede emplearse para describir una situacin. En este captulo exploraremos las funciones y cmo se las puede aplicar a una amplia variedad de situaciones matemticas.
Uno de los primeros matemticos en estudiar el concepto de uncin ue el flsoo rancs Nicols Oresme (13231382). Trabaj con cantidades variables dependientes e independientes.
Captulo 1
3
1.1 Introduccin a las funciones Investigacin: saludos con las manos En algunos pases es costumbre que durante las reuniones de negocios las personas se saluden estrechando las manos. Si hay 2 personas, habr 1 saludo; si hay 3 personas, habr 3 saludos, y as sucesivamente. a Cuntos saludos habr entre 4 personas? b Copie y complete esta tabla:
Nmero de personas 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Nmero de saludos
c Site los puntos en un plano cartesiano con el nmero
de personas en el eje x y el nmero de saludos en el eje y. d Escriba una frmula para el nmero de saludos, S, en funcin
del nmero de personas, n.
Relaciones y funciones Distancia (m) 100 200 300 400
Tiempo (s) 15 34 60 88
La tabla muestra el tiempo empleado por un estudiante para correr ciertas distancias.
Otra orma de representar esta inormacin es mediante pares ordenados: (1 00, 1 5), (200, 34), (300, 60) y (400, 88). Cada par ordenado tiene dos componentes dadas en un orden especfco. Las componentes estn separadas por una coma y encerradas entre parntesis en la orma (x, y). Una relacin es un conjunto de pares ordenados. Los nmeros que componen una relacin no tienen nada de especial. En otras palabras, cualquier grupo de nmeros es una relacin en tanto estos nmeros vengan expresados como pares. 4
Funciones
Quizs resulte til intentar esto con un grupo de compaeros de la clase.
En este caso, no corresponde unir los puntos, porque estamos trabajando solo con nmeros enteros (discretos).
El dominio es el conjunto formado por las primeras componentes (valores de x) de los pares ordenados. El dominio de los pares ordenados mencionados anteriormente es { 00, 200, 300, 400} .
Las llaves { } simbolizan el conjunto de.
El recorrido es el conjunto formado por las segundas componentes (valores de y) de los pares ordenados. El recorrido de los pares ordenados mencionados anteriormente es { 5, 34, 60, 88} .
Ejemplo 1 Halle el dominio y el recorrido de las siguientes relaciones: a {(1, 4), (2, 7), (3, 10), (4, 13)} b {(2, 4), (1, 1), (0, 0), (1, 1), (2, 4)}
Respuestas El dominio es {1, 2, 3, 4}
a
El recorrido es {4, 7, 10, 13} b El dominio es {2, 1, 0, 1, 2}
El recorrido es {0, 1, 4}
Primeras componentes de los pares ordenados Segundas componentes de los pares ordenados No repetir valores aunque haya dos 4 y dos 1 en los pares ordenados
Una funcin es una relacin matemtica que asocia a cada elemento del dominio de la funcin exactamente un elemento del recorrido de la funcin. Para que una relacin sea una funcin no puede haber dos pares ordenados que tengan la misma primera componente.
Ejemplo 2 Cules de los siguientes conjuntos de pares ordenados son funciones? a {(1, 4), (2, 6), (3, 8), (3, 9), (4, 10)} b {(1, 3), (2, 5), (3, 7), (4, 9), (5, 11)} c {(2, 1), (1, 1), (0, 2), (1, 4), (2, 6)}
Respuestas No es una funcin pues la componente 3 aparece dos veces en el dominio. b Es una funcin. Todas las primeras componentes son distintas. c Es una funcin. Todas las primeras componentes son distintas. a
Observe que no importa que algunos de los valores de y sean iguales. Captulo 1
5
Ejercitacin 1A Cules de estos conjuntos de pares ordenados son unciones? {(5, 5), (4, 4), (3, 3), (2, 2), (1, 1)} b {(3, 4), (1, 6), (0, 5), (2, 1), (3, 1)} c {(4, 1), (4, 2), (4, 3), (4, 4), (4, 5)} d {(1, 1), (0, 3), (1, 6), (1, 7), (2, 8)} e {(4, 4), (4, 5), (3, 6), (3, 7), (2, 8)} f {(1, 2), (2, 2), (3, 2), (4, 2), (5, 2)}
1
a
Para cada diagrama, identifque el dominio y el recorrido y establezca si la relacin es una uncin.
2
a
b
y
y 2
2 1 0
Escriba las coordenadas como pares ordenados.
1
1
2
3
1 0 1
4 x
1
3 x
2
Revea la tabla de la pgina 4 que muestra la cantidad de tiempo que emplea un estudiante en correr ciertas distancias. Es la relacin entre la distancia recorrida y el tiempo empleado una uncin?
3
La prueba de la recta vertical Se pueden representar relaciones y unciones en planos cartesianos. Es posible usar la prueba de la recta vertical para determinar si una relacin particular es o no una uncin, mediante el trazado de rectas verticales que cruzan el grfco. Una relacin es una uncin si cualquier recta vertical no corta al grfco en ms de un punto. Esta es la prueba de la recta vertical.
Las coordenadas y el plano cartesiano deben sus nombres al matemtico francs Ren Descartes (1596 1650).
Ejemplo Cules de las siguientes relaciones son unciones? y
a
b
c
y
y = | x| 0
x
0
y
0
x
x
{ Contina en la pgina siguiente.
6
Funciones
Respuestas a
b
c
y
y y
0
0
x
Es una uncin.
a
0
x
Es una uncin.
b
Corta dos veces.
x
No es una uncin.
c
Ejercitacin 1B 1
Cules de las siguientes relaciones son unciones? a
b
y
c
y
y
Trace o imagine rectas verticales en el grfco.
3 2 1 0
0
x
x 1 0 1
d
e
y
f
y
1
2
x
3
y
2 0
x
1 0 0 1
1
2
x
x
2
g
y
h
y 2
3
1
2
Si el grfco tiene un punto lleno , esto indica que el valor est incluido en la uncin. Si el grfco tiene un punto hueco , esto indica que el valor no est incluido en la uncin.
y
i 2 1
1 0 1 2
1
2
3
4
5 x 5 4 3 2 1 0 1
1
2
3 x
2 1 0 1
1
2
x
2
2
2
Use la CPG para dibujar aproximadamente los Indique en su grfco dnde la recta grfcos de las siguientes rectas. corta al eje x y/o al eje y. a y= x b y= x+ 2 c y = 2x 3 d y=4 e Representan todos ellos unciones? Explique su respuesta. f Sern todas las rectas unciones? Por qu? Captulo 1
7
3
Dibuje aproximadamente la regin y < 3x 2. Es esta una uncin? Por qu?
4
Use un mtodo algebraico para mostrar que x2 + y2 = 4 no es una uncin.
Cuando utilice la CPG procure que los extremos del grfco estn cerca de las esquinas de la ventana de visualizacin. Pruebe a sustituir valores positivos y negativos de x.
1.2 El dominio y el recorrido de una funcin en un plano cartesiano
R E C DOMINIO R R I D O
El dominio y el recorrido de una uncin pueden escribirse mediante la notacin de intervalos. Este es otro mtodo de representacin para escribir un conjunto de nmeros. Por ejemplo, para el conjunto [ Una uncin es de todos los nmeros que son menores que 3, podemos escribir la la aplicacin del inecuacin x < 3, donde x es un nmero en el conjunto. dominio (valores de x En notacin de intervalos, este conjunto de nmeros se escribe (, 3). en el eje horizontal) Para la notacin de intervalos solo se requieren cinco smbolos: en el recorrido Parntesis Corchetes Infnito Menos infnito Unin
() []
Para usar la notacin de intervalos: Usamos parntesis ( , ) si el valor no est incluido en el grfco, como en (, 3), o cuando la uncin no est defnida en ese punto (un punto no defnido o asntota , o un salto de discontinuidad). Usamos corchetes [ , ] cuando el valor pertenece al grfco de la uncin.
(valores de y en el eje vertical).
Cuntos nmeros hay en la progresin 0, 1, 2, 3, 4, si la continuamos indefnidamente? Cuntos nmeros hay en la progresin 0; 0,5; 1; 1,5; 2; 2,5; 3; 3,5; 4; si la continuamos indefnidamente?
Cuando hay un corte en los valores, se escribe un intervalo para los valores hasta el punto de corte. Despus se escribe otro intervalo para los valores a partir del punto de corte. Finalmente, se coloca el smbolo de unin entre los intervalos para unirlos. Por ejemplo: (, 3) (4, ). Si un grfco contina indefnidamente hacia la izquierda, el dominio (valores de x) comienza con (. Si contina indefnidamente hacia la derecha, el dominio fnaliza con ). Si un grfco contina indefnidamente hacia abajo, el recorrido comienza con (. Si el grfco contina indefnidamente hacia arriba, el recorrido fnaliza con ). Generalmente, usamos la notacin de intervalos para describir un conjunto de valores a lo largo de los ejes x o y. Sin embargo, podemos usarla para describir cualquier conjunto de nmeros. Por ejemplo, en notacin de intervalos, x 6 es [6, ). 8
Funciones
Por qu consideramos indefnido al infnito?
Asntotas
y 8 6 4 2
Podemos visualizar las asntotas para algunas unciones mediante la CPG. Una asntota es una recta a la que el grfco se acerca pero no corta. Por ejemplo, en el grfco de y =
1 , la curva se x
8 6 4 220 4 6 8
aproxima al eje de las x (y = 0), pero nunca lo toca. A medida que tendemos a infnito, la curva nunca llegar a y = 0 pero siempre se aproximar ms y ms. El eje x o y = 0 se denomina asntota horizontal. El eje y o x = 0 es asntota vertical por las mismas razones. Presentaremos un tratamiento ms proundo sobre asntotas en el captulo reerido a unciones racionales.
1
y= x
2 4 6 8 x
Al procedimiento de hallar las asntotas mediante la observacin del grfco se le llama localizacin de asntotas por simple inspeccin.
Ejemplo 4 Identifque, si existen, las asntotas horizontales y verticales de estas unciones. a
y = 2x
y=
b
2x
c y=
x+1
x+2
( x + 1) ( x 2)
Respuestas a
y 4
Asntota horizontal y = 0
3 2 1 2,5 2 1,5 1 0,5 0
b
A medida que nos movemos hacia la izquierda sobre el eje x, la curva se acerca ms y ms pero nunca corta al eje x.
0,5 1 1,5 2 2,5 x
y 8
Asntota horizontal y = 2 Asntota vertical x = 1
6 4 2 5 4 3 2 1 0 2
1
2
3
4
5 x
4 6 8
c
y
Asntota horizontal y = 0 Asntotas verticales x = 1 y x = 2
6 4 2 3 2 1 0 2
1
2
3
4
5 x
4
Captulo 1
9
Ejercitacin 1C Identifque, si existen, las asntotas horizontales y verticales de las siguientes unciones. 1
y = 3x
4
y=
2x x+2
2
y=
3 x
3
y=
4 x +1
5
y=
2x +1 x 1
6
y=
6 x 9 2
Defnicin por comprensin Cuando defnimos un conjunto por comprensin, usamos llaves { } y variables para expresar el dominio y el recorrido. Podemos caracterizar inecuaciones usando smbolos de desigualdades y otros smbolos. El conjunto de menor que menor o igual que mayor que mayor o igual que es un elemento del conjunto de los nmeros reales
{} < >
A menudo se considera la notacin de intervalos ms efciente que la defnicin por comprensin.
Defnicin por comprensin:
{x: x> 6 }
El conjunto de Notacin de intervalos
los valores de x
tales que
D escripcin
Defnicin por comprensin
x es mayor que 2
{x : x > 2}
(, 4]
x es menor o igual que 4
{x : x 4}
[3, 3)
x est comprendido entre 3 y 3 incluyendo a 3 pero no a 3 x es menor que 5 o mayor o igual que 6 x es cualquier nmero real
{x : 3 x < 3}
(, +)
Algunas personas emplean corchetes invertidos para indicar mayor que o menor que . Por ejemplo: ] 2, [ es equivalente a x > 2, y ], 4[ es equivalente a x < 4.
10
x es mayor que 6
(2, +)
(, 5) [6, +)
Funciones
U n tema interesante para expl orar es el del internacionalismo de l os smbol os en el l enguaje de l a matemtica.
{x : x < 5, x 6} x
En distintas partes del mundo se utilizan dierentes palabras para nombrar el mismo smbolo. Por ejemplo, el corchete tambin se llama parntesis angular. En qu medida estas cuestiones aectan la comprensin? Puede encontrar otros ejemplos?
Ejemplo 5 Un tema interesante para explorar es la infuencia de la tecnologa en la notacin y viceversa.
Halle el dominio y el recorrido de esta funcin. y 2,5 2 1,5 1 0,5 4 3 2 1 0
1 2 3 4
x
Respuesta El dominio de la funcin es {x : x 4} o [4, +). El recorrido de la funcin es { y : y 0} o [0, +).
x toma valores mayores o iguales que 4. La funcin solo toma valores de y mayores o iguales que 0.
Ejemplo 6 Halle el dominio y el recorrido de cada funcin. a
b
y 2 1 2 1 0 1 2 3 4
1 2 3
x
Respuestas El dominio es {x : 2 x < 1 o 0 < x 3} o [2, 1) (0, 3]. El recorrido es {y : 4 < y 1} o (4, 1] . b El dominio de la funcin es x o (, +). El recorrido de la funcin es {y : y 3} o [3, +).
y 4 3 2 1 3 2 110 2 3
1 2 3 x
a
x puede tomar cualquier valor real.
Qu valores incluye el dominio 0 x 1? Cuntos valores hay?
Usamos todos la misma notacin en matemtica? Nosotros simbolizaremos con un punto hueco el hecho de que x = 1 no pertenece al conjunto. Distintos pases emplean notaciones dierentes para simbolizar esto mismo. Ms an, los proesores de un mismo pas emplean dierentes notaciones.
Captulo 1
11
Ejercitacin 1D 1
2
Revea la tabla y la rmula de la pgina 4 para el nmero de saludos de mano para varios nmeros de personas. Es esta una uncin? Si uera as, cul es el dominio y el recorrido? Halle el dominio y el recorrido de cada una de estas relaciones: a
b
y
c
y 4 3 2 1
4 3 2 1 4 3 2 1 0
F 2 1 0
1 2 3 4 x
d
e
y
1 0,5 1 0,5 0
0,5 1 x
1 2 3 4 5 6 x
f
y 4
6
y
E
y 1
2
4
5 4 3 2 1 0
2
4
2
0
2
4
1 2 3 4 5
1
x
2 6
4
2
0 2
2
x
4
4 6
g
y 5 4 3 2 1
h
y 2 1 2 1 0 1
1
2 x
2
2 110 2 3
i
1 2
pregunta tipo examen 3 Use la CPG para dibujar aproximadamente estos grfcos. Escriba el dominio y el recorrido de cada uncin. a y = 2x 3 b y = x2 c y = x2 + 5x + 6 d y = x3 4 e
y=
g
y=
x 1 x
1 x+2 2 9 k y= x x+3 i
12
y=
Funciones
f
y=
h
y = ex x+4 y= x2
j l
y=
4
2
x2 + 1
x
y 5 4 3 2 1 6 5 4 3 2 110 2 3 4
1 2 3 4 5 x
La calculadora hallar las intersecciones con los ejes x e y. Para hacer esto algebraicamente, tenemos en cuenta que una funcin corta al eje x cuando y = 0 y corta al eje y cuando x = 0. Por ejemplo, la funcin y = 2x 4 corta al eje x donde 2x 4 = 0, x = 2. Corta al eje y donde y = 2(0) 4 = 4.
3k tiene una respuesta inusual. Busque cuidadosamente un punto hueco cuando x = 3.
x
. Notacin funcional Las unciones se defnen usualmente por rmulas. Por ejemplo, la rmula y = 2x + defne a y como uncin de x. Al asignarle el smbolo f, la rmula queda escrita en notacin uncional de la orma f(x) = 2x + ; por lo tanto, y = f(x). f(x) se lee fde x y signifca el valor de fen x. f (x) tambin se puede escribir as: f : x 2x + . Un par ordenado (x, y) puede escribirise como (x, f(x)). Hallar f(x) para un valor particular de x signifca evaluar la uncin fen ese valor.
f : (x) 2x + 1 signifca que f es una uncin que asigna a x el valor 2x + 1.
Ejemplo 7 El matemtico y flsoo alemn Gottried Leibniz us por primera vez el trmino uncin en 1673.
a Evale la uncin f (x) = 2x + 1 en x = 3. b Si f (x) = x2 + 4x 3, halle: i f (2) ii f (0) iii f (3) iv f (x + 1)
Respuestas a f (3) = 2(3) + 1 = 7 b i f (2) = (2) 2 + 4(2) 3 = 4 + 8 3 = 9 ii f (0) = (0)2 + 4(0) 3 = 0 + 0 3 = 3 iii f (3) = (3) 2 + 4(3) 3
Reemplazar x por 3
= 9 12 3= 6 iv f (x + 1) = (x + 1) 2 + 4(x + 1) 3 = x2 + 2x + 1 + 4x + 4 3 = x2 + 6x + 2
Ejercitacin 1E 1
Halle: i f(7) ii f(3) para estas unciones. a f(x) = x 2 b f(x) = 3x d
2
f(x) = 2x + 5
e
iii
f( 2 ) 1
iv
f(0)
f(a)
1
c
f(x) = 4 x
c
f(a 1)
f(x) = x2 + 2
Si f(x) = x2 4, halle: a f(a) b f(a + 5) 2 d f(a 2) e f(5 a)
pregunta TIPO examen 3 Si g (x) = 4x 5 y h (x) = 7 2x a Halle x cuando g (x) = 3. b Halle x cuando h (x) = 15. c Halle x cuando g (x) = h (x). Si h (x) = x 1 6 , halle h (3). b Hay algn valor para el cual h (x) no exista? Explique.
4 a
v
Observe que no siempre usamos la letra f para una uncin. Aqu hemos usado g y h. Cuando consideramos la velocidad en uncin del tiempo, muchas veces usamos v(t).
Captulo 1
13
5
El volumen de un cubo con aristas de medida x est dado por la uncin f(x) = x3 . a Halle f(5). b Explique el signifcado de f(5).
6
g( x) = x 2
3x +1
a
Evale: i
b
g (6)
Evale: i g (1)
ii
g (2)
iii
g (0)
iv
g 1
ii
g (1,5)
iii
g (1,9)
iv
g (1,99)
3
g (1,999) vi g (1,9999) c Qu observa en sus respuestas al apartado b ? d Hay algn valor de x para el cual g (x) no exista? e Obtenga un grfco de la uncin en la CPG y observe qu ocurre cuando x = 2. Explique. v
Podemos usar unciones matemticas para representar hechos de nuestra propia vida. Por ejemplo, supongamos que el nmero de pizzas que come una amilia depende del nmero de partidos de tbol que miran. Si comen 3 pizzas durante cada partido de tbol, la uncin sera nmero de pizzas (p) = 3 multiplicada por nmero de partidos de tbol (g) o p = 3g. Podemos pensar en alguna otra uncin que se emplee en la vida cotidiana? Podra ser quizs la suma total de dinero que gastamos o el nmero de minutos que hablamos por telono.
PREGUNTA tipo examen 7 La velocidad de una partcula est dada por v (t) = t 2 9 m s 1 . a Halle la velocidad inicial. b Halle la velocidad luego de 4 segundos. c Halle la velocidad luego de 10 segundos. d En qu instante la partcula est en reposo? 8
Dada f ( x ) = a
f (2 + h)
f ( x + h) f( x) halle: h b
f(3 + h)
1.4 Funciones compuestas Una funcin compuesta es la combinacin de dos unciones. Se aplica una uncin al resultado de otra. La composicin de una uncin fcon una uncin g se escribe como f(g (x)), que se lee fde g de x, o ( f g)(x), que se lee g compuesta con fde x. Cuando evaluamos una uncin sustituimos un valor u otra variable por x. Por ejemplo, si f(x) = 2x + 3, entonces f(5) = 2(5) + 3 = 3 Podemos hallar f(x2 + ) sustituyendo x2 + por x para obtener f(x2 + ) = 2(x2 + ) + 3 = 2x2 + 5 Una funcin compuesta aplica una uncin al resultado de otra y se defne como ( f g)(x) = f( g(x)). 14
Funciones
La velocidad inicial signifca la velocidad al comienzo, cuando t = 0. La partcula est en reposo cuando v = 0.
Material de ampliacin disponible en lnea: Hoja de ejercicios 1: Polinomios
Ejemplo 8 Si f (x) = 5 3x y g (x) = x2 + 4, halle (f g)(x). g (x) va aqu
Respuesta (f g)(x) = 5 3(x 2 + 4) = 5 3x 2 12 = 3x 2 7
Sustituir x 2 + 4 en f (x)
Podramos tener que evaluar una funcin compuesta en un determinado valor de x.
Ejemplo 9 Si f (x) = 5 3x y g (x) = x 2 + 4, halle (f g)(3). Respuesta Mtodo 1 (f g)(x) = 5 3(x 2 + 4) = 3x 2 7 (f g)(3) = 3(3) 2 7 = 27 7 = 34 Mtodo 2 g (3) = (3)2 + 4 = 13 f (13) = 5 3(13) = 34
Obtener la funcin compuesta Despus, reemplazar x por 3 Ambos mtodos arrojan el mismo resultado: puede usar el que prefera.
Sustituir 3 en g (x) Sustituir ese valor en f (x)
Ejemplo 0 Dadas f (x) = 2x + 1 y g (x) = x 2 2, halle: a (f g)(x) b (f g)(4) Respuestas a (f g)(x) = 2(x 2 2) + 1 = 2x 2 3
Sustituir x2 2 en f (x)
b (f g)(4) = 2(4) 2 3 = 29
Reemplazar x por 4
O use el mtodo 2: g (4) = (4) 2 2 = 14 y luego f (14) = 2(14) + 1 = 29
Ejercitacin 1F 1
Dadas f(x) = 3x, g (x) = x + 1 y h (x) = a ( f g)(3) b ( f g)(0) c e ( g f )(4) f ( g f )(5) g (h f )(2) i ( f h)(2) j k m ( g h)(3) n (h g)(3) o
x2 + 2, halle: ( f g)(6) ( g f )(6) ( f h)(x) ( g h)(x)
d h l p
( f g)(x) ( g f )(x) (h f )(x) (h g)(x)
(f h)(2) (h f)(2)
Captulo 1
15
2
Dadas f(x) = x2 1 y g (x) = 3 x, halle: a ( g f )(1) b ( g f )(2) c ( g f )(4) e ( g f )(3) f ( f g)(4) g ( f g)(x + 1)
d h
( f g)(3) ( f g)(x + 2)
PREGUNTAS tipo examen Dadas las unciones f(x) = x2 y g (x) = x + 2, halle:
3
a 4
( f g)(x)
b
( f g)(3)
Dadas las unciones f(x) = 5x y g (x) = x2 + 1, halle: a ( f g )(x) b ( g f )(x)
5
g (x) = x2 + 3 y h (x) = x 4 a Halle ( g h)(x). b Halle (h g)(x). c A partir de lo anterior, resuelva la ecuacin ( g h)(x) = (h g)(x).
6
Si r (x) = x 4 y s (x) = x2, halle ( r s)(x) e indique el dominio y el recorrido de la uncin compuesta.
A partir de lo anterior signifca que debemos utilizar los resultados obtenidos anteriormente para responder la pregunta.
1. Funciones inversas La inversa de una uncin f(x) es f (x). Revierte la accin de esa uncin. Si f(x) = 3x 4 y g (x) =
x+4 , 3
entonces
f( 0) = 3( 0) 4 = 26 y g ( 26) = 26 + 4 = 0, con lo cual volvemos 3 al punto de partida. Por lo tanto, g (x) es la inversa de f(x). No todas las unciones tienen una inversa. Si g es la uncin inversa de f, entonces revertir la accin de fpara todos los valores en el dominio de fy ftambin ser la inversa de g. Cuando fy g son unciones inversas, escribimos g (x) = f (x). Las unciones f(x) y g (x) resultan inversas una de otra si: ( f g)(x) = x para todos los valores de x en el dominio de g ( g f )(x) = x para todos los valores de x en el dominio de f
La prueba de la recta horizontal Podemos usar la prueba de la recta horizontal para identifcar unciones que tienen inversas. Si una recta horizontal corta ms de una vez al grfco de una uncin, tal uncin no tiene inversa.
16
Funciones
(f g) (10) = 10 Observe que f 1 signifca la inversa de f; el 1 no es un exponente (potencia).
Ejemplo 11 Cules de estas funciones tienen inversa? a
b
y
y 5 4 3 2 1
5 4 3 2 1 3 2 1 0
c
3 2 1 0 1 2 3 4 5
1 2 3 x
d
y
y 3 2 1
3 2 1 0 1 2 3
1 2 3 x
2 1 0 1 2 3 4
1 2 3 4 5 6 7 x
1 2 3 4 x
Respuestas y 5 4 3 2 1
a
b
y 5 4 3 2 1
4 3 2 1 0 1 2 3 4 x
4 3 2 1 0 1 2 3 4 5
No tiene funcin inversa.
1 2 3 4 5
x
Saba que Abu-alWafa Buzjani, un matemtico persa del siglo X, us funciones? Un crter en la Luna lleva su nombre.
Tiene funcin inversa. c
d
y 3 2 1 0 1 2 3
y 3 2 1
1 2 3 4 5 6 7 x
2 1 0 1 2 3 4
1 2 3 4
x
Tiene funcin inversa. No tiene funcin inversa.
Captulo 1
17
Grfcos de las unciones inversas El grfco de la inversa de una uncin es una simetra de tal uncin respecto de la recta y = x. Mostramos aqu algunos ejemplos de unciones y sus unciones inversas.
y
f 1 (x)
y= x
y
y= x
f (x)
y
f 1 (x)
f 1 (x)
x
y= x
f (x) x
x f(x)
Si (x, y) pertenece a la curva f(x), entonces (y, x) pertenece a f 1 (x). La simetra respecto de la recta y = x intercambia x e y; por lo tanto, la simetra respecto de la recta y = x convierte al punto (1 , 3) en el punto (3, 1 ).
Ejercitacin 1G 1
Use la prueba de la recta horizontal para determinar cules de las siguientes unciones tienen inversa. a
b
y 7 6 5 4 3 2 1 5 4 3 2 1
c
y
En el siglo VI a. C., el cientfco hind Panini ue un pionero al incluir unciones en sus trabajos.
7 6 5 4 3 2 1 0
6 5 4 3 2 110 2 a 3
x
d
y
1
2 3 4 x
y 2 1
3 2 1
4 3 2 1 0 1 2 3 4 5 x 0
18
1 2 3 4 5 6
Funciones
x
2
Copie los grfcos de estas unciones. En cada uno de ellos, dibuje la recta y = x y la uncin inversa. a
b
y
c
y 10 8 6 4 2
8 6 4 2 4 220 4 6 8
2 4 6 8 x
8 6 4 2 0 2 4 6 8 10
y 8
d
e
0 2 4 6 8
2 4 x
6
8
8
4
0 4
4
6 4
2 4 6 8 x
y
f
y
4
y 10 8 6 4 2
4
2
2
1 0 2 4
x
8
3
2
1 0
1
2
3 x
1
2
3
4 x
Determinacin de la funcin inversa mediante procesos algebraicos Observe cmo est ormada la uncin f(x) = 3x 2. Comenzamos con x a la izquierda. 3
x
3x 2
2
Para ormar la uncin inversa revertimos el proceso, usando operaciones inversas. x+ 2 3
3
+2
x
La de La de
operacin inversa +2 es 2. operacin inversa 3 es 3.
En consecuencia, f 1 ( x ) = x + 2 3
El prximo ejemplo muestra cmo hacerlo sin diagramas.
Ejemplo 1 Si f (x) = 3x 2, halle la uncin inversa f 1(x). Respuesta y = 3x 2 x = 3y 2 x + 2 = 3y y= 1
f (x) =
x+ 2 3 x + 2
Reemplazar f(x) por y Reemplazar cada x por y, y cada y por x Despejar y Reemplazar y por f 1(x)
3
Captulo 1
19
Como se vio en los grfcos de unciones y sus inversas, el grfco de la uncin inversa de una uncin fes la simetra de y = f (x) respecto de la recta y = x, lo cual intercambia x e y. Por lo tanto, en el ejemplo 2, intercambiamos x e y, y despejamos y en la expresin obtenida. Para determinar algebraicamente la uncin inversa, reemplazamos f(x) por y, y despejamos y.
Ejemplo Si f (x) = 4 3x, halle f 1(x). Respuesta y = 4 3x x = 4 3y x 4 = 3y x4 =y 3 y= 1
f (x) =
Reemplazar f(x) por y Reemplazar cada x por y, y cada y por x Despejar y
4x 3 4x
Reemplazar y por f 1(x)
3
Para comprobar si la uncin inversa en el ejemplo 3 es correcta, podemos componer las unciones. ( f f 1 )( x ) = 4 3 4 x = 4 (4 x ) = x
3
En consecuencia, ( f f )(x) = x y f y f son la inversa una de otra. La uncin I (x) = x se denomina uncin identidad. La uncin deja a x invariable. Por lo tanto, f f = I
Ejercitacin 1H pregunta TIPO examen x+4 1 Si f(x) = y g (x) = 2x 4, halle: 2
ii f (3) y ( g f )(3) g (1) y ( f g)(1) iii ( f g)(x) iv ( g f )(x) b Qu le dice esto acerca de las unciones fy g? a
2
i
Halle la inversa de cada una de estas unciones: a f(x) = 3x 1 b g (x) = x3 2 c h (x) = 1 x + 5 4
d
3
20
f(x) =
3
x 3
e
g (x) =
x , x 3 g f( x) = 3+ x
h g( x ) =
Cul es f 1(x) si: a f(x) = 1 x
b
Funciones
1 x
2
f
h (x) = 2x3 + 3
c
f(x) = 1x , x 0
2x , x5 5x
f(x) = x
Existen unciones que tienen la propiedad de que su inversa coincide con la uncin original. Identifque estas unciones en la pregunta 3.
Evale f 1(5) en: a f(x) = 6 x
4
b
f(x) = 1 0
x+7
c
2
f(x) = 4 x 3
Observe que la imagen del punto (a, b) luego de una simetra respecto de la recta y = x es el punto (b, a).
Si f(x) = x + 1 halle f1 (x).
5
x2
pregunta TIPO examen Construya una tabla de valores para la uncin f(x) = 2 x y site los puntos obtenidos, para luego dibujar el grfco de f. b Dibuje en el mismo grfco la recta y = x. c Dibuje el grfco de f 1 mediante una simetra del grfco de frespecto de la recta y = x. d Indique el dominio y el recorrido de f y de f 1 .
6 a
7
La uncin f(x) = x2 no tiene inversa. Sin embargo, la uncin g ( x ) = x s tiene uncin inversa. Halle esta uncin inversa. Mediante la comparacin del recorrido y el dominio, explique por qu la inversa de g ( x ) = x no coincide con f(x) = x2.
8
Demuestre que los grfcos de una uncin lineal y su inversa nunca pueden resultar perpendiculares.
Material de ampliacin disponible en lnea: Hoja de ejercicios 1: Polinomios
. Transformacin de funciones Investigacin: funciones Debe usar su CPG para dibujar todos los grfcos en esta investigacin. 1
Dibuje y = x, y = x + 1, y = x 4, y = x + 4 en el mismo sistema de ejes. Compare y contraste sus unciones. Qu eecto tienen los trminos numricos constantes en los grfcos de y = x + b?
2 Dibuje y = x + 3, y = 2x + 3, y = 3x + 3,
y = 2x + 3, y = 0,5x + 3 en el mismo sistema de ejes. Compare y contraste sus unciones. Qu eecto produce cambiar los valores del coefciente de x? 3 Dibuje y = | x| , y = | x + 2| , y = | x 3| en el mismo sistema de ejes.
Compare y contraste sus unciones. Qu eecto produce cambiar los valores de h en los grfcos de y = | x + h| ?
Tambin encontrar esta ecuacin general de la recta escrita como y = mx + b o y = mx + c. El coefciente de x es el nmero que multiplica al valor de x. | x| signifca mdulo de x. Vea el captulo 18 para una mayor explicacin.
4 Dibuje y = x2, y = x2, y = 2x2, y = 0,5x2 en el mismo sistema de ejes.
Compare y contraste sus unciones. Qu eecto produce el signo negativo en los grfcos? Qu eecto produce cambiar el valor de a en los grfcos de y = ax2 ?
Captulo 1
21
En la investigacin debera haber encontrado que los grfcos de los apartados 1 , 2 y 3 tenan la misma orma, pero aparecan en dierentes posiciones. Los grfcos del apartado 4 deberan haber sido modifcados por una simetra o por un estiramiento. Estos son ejemplos de transormaciones de grfcos. Ahora estudiaremos estas transormaciones en detalle.
Traslaciones Desplazamiento vertical u horizontal f(x) + k desplaza a f(x) verticalmente hacia arriba una distancia de k unidades.
f(x) k desplaza a f (x) verticalmente hacia abajo una distancia de k unidades. y
y 3
3
f(x) + 1
2
2
f(x)
1 1 f(x) 2
1
0
1
2
3
x
2 1 0 1
2
1
3 x
f(x) 1
Desplazamiento hacia la derecha o la izquierda f(x + k) desplaza a f (x) horizontamente hacia la izquierda una distancia de k unidades, cuando k > 0.
f(x k) desplaza a f (x) horizontamente hacia la derecha una distancia de k unidades, cuando k > 0.
y
y
3
3
2 f(x + 2)
2
f(x)
1
3 2 1 0 1
f(x)
1 1
2
3 x
1 0 1
2
2
3
3
1
2
3
4
5 x
f(x 2)
a
Las traslaciones se representan mediante vectores de la orma b donde a es la componente horizontal y b la componente vertical. 3 es un desplazamiento horizontal de 3 unidades hacia la derecha. 0 0 es un desplazamiento vertical de 2 unidades hacia abajo. 2 3 La traslacin de vector denota un desplazamiento horizontal 2
de 3 unidades hacia la derecha, y un desplazamiento vertical de 2 unidades hacia abajo. 22
Funciones
Intente transformar algunas funciones para diferentes valores de k en su CPG.
Simetras Simetra respecto del eje x f(x) es la simetra de f(x) respecto del eje x.
Simetra respecto del eje y f(x) es la simetra de f(x) respecto del eje y.
y
y
3
3
2
f(x)
2
f(x)
1
1
2 1 0 1
3 x
2
1
3 2 1 0 1
2
1
2
3 x
2 f(x)
3
f(x)
3
Estiramientos Estiramiento (o compresin) horizontal f(qx) estira o comprime horizontalmente a f(x), con una razn de 1 .
Estiramiento (o compresin) vertical Un estiramiento de razn p, donde 0 < p < 1, har que el grfco se comprima.
pf(x) estira verticalmente a f(x), con una razn de p.
q y 3
y f(2x) f(x)
3
2
2
1
1
3 2 1 0 1
1
2
3 x
2 1 0 1
2 3
2f(x)
1
2
3 x
2 f(x)
3
La transormacin es un
La transormacin es un
estiramiento horizontal 1 . q
estiramiento vertical
de razn
de razn p.
Cuando q > , el grfco se comprime, acercndose al eje y. Cuando 0 < q < , el grfco se estira, apartndose del eje y.
Cuando p > , el grfco se estira, apartndose del eje x. Cuando 0 < q < , el grfco se comprime, acercndose al eje x.
Los estudiantes suelen cometer errores con los estiramientos. Es importante recordar los dierentes eectos de, por ejemplo, 2f (x) y f (2x).
Ejemplo 4 1
Dado el grfco de la uncin f (x) que aqu se muestra, dibuje aproximadamente los grfcos de: a f (x + 1) b f (x) 2 c f (x) d f (x) e 2f (x)
y 4 3 2
f(x)
1 0
1
2
3
4
5
6 x
{ Contina en la pgina siguiente. Captulo 1
23
Respuestas a
4
2
3
1 f(x + 1)
1 1
1
0
2
4
e
y
12 10
2
3
4
5
6
x
4
4
2
Simetra respecto del eje x Las curvas de oferta y demanda que se usan en economa y negocios son simtricas.
Oferta
Precio P
Excedente P*
Equilibrio
2 Escasez C*
1 0
2
3
4
5
6 x
Las curvas de desintegracin radiactiva son simtricas. y Nmero de tomos
Demanda
1
Estiramiento vertical de razn 2
Oferta y demanda
5
3
Simetra respecto del eje y
2f(x)
0
4
1 0 x
2
6
3
6
1
8
f(x)
y
2
6 x
y
0 2
5
Traslacin de dos unidades hacia abajo
1 1
4
6 5 4 3
Traslacin de una unidad hacia la izquierda
1
3
2
5 x
4
2
3
f (x)
f (x) 2 1
1 3
y
c
0
2
d
y
b
y
Nmero de tomos hijos
100 75 50
Nmero de tomos padres
25 0
1
2 3 4 5 Nmero de semividas
6 x
10 20 30 40 50 60 x Cantidad C y
Ejercitacin 1I
f(x)
4
pregunta TIPO examen 1 Copie el grfco. Dibuje estas unciones en el mismo sistema de ejes cartesianos. a f(x) + 4 b f(x) 2 c f(x) d f(x + 3) e f(x 4) f 2f(x) g f(2x)
2 6 4 2 0 2
2
4 y g
f(x)
4
2
Las unciones g, h y q son transormaciones de f(x). Escriba cada transormacin en uncin de f(x). Funciones
q
2 h 10 8 6 4 2 0 2 4
24
6 x
4
2
4
6
8 10 x
3
Las unciones q, s y t son transormaciones de f(x). Escriba cada transormacin en uncin de f(x).
y s q
f(x)
t
6 4 2
10 8 6 4 2 0 2
pregunta TIPO examen 4 Copie el grfco de f(x). Dibuje el grfco de cada una de estas unciones e indique el dominio y el recorrido de cada una de ellas. a 2f(x 5) b f(2x) + 3
2
4
8 x
6
y 3 f(x)
2 1 6 4 2 0 1
2
x
2
5
6
Se muestra el grfco de f(x). A es el punto (1, 1). Realice copias del grfco y dibuje la uncin despus de aplicar cada transormacin. En cada grfco, rotule la nueva posicin de A como A . a f(x + 1) b f(x) + 1 c f(x) d 2f(x) e f(x 2) + 3
5 4 3 2 110 2 3 4 5
A 1 2 3 4 5 x
En cada caso, describa la transormacin que cambiara el grfco de f(x) en el grfco de g (x). a f(x) = x3 , g (x) = (x3 ) b f(x) = x2 , g (x) = (x 3) 2 c f(x) = x, g (x) = 2x + 5
pregunta TIPO examen Sea f(x) = 2x + 1. a Dibuje el grfco de f(x) para 0 x 2. b Sea g (x) = f(x + 3) 2. En el mismo grfco, dibuje g (x) para 3 x 1.
7
y 5 4 3 2 1
Si se indica un dominio en la pregunta, debe dibujar la funcin solamente para tal dominio.
Ejercicios de revisin 1
a
Si g (a) = 4a 5, halle g (a 2).
b
Si h (x) = 1 + x , halle h (1 x). 1x
Evale f(x 3) cuando f(x) = 2x2 3x +1. b Para f(x) = 2x + 7 y g (x) = 1 x 2, halle la uncin compuesta defnida por ( f g)(x).
2 a
Captulo 1
25
3
Halle la inversa de estas unciones. a
f(x) =
3x +17 2
b
g (x) = 2x3 + 3
4
Halle la inversa de f(x) = 1 x 1 . A continuacin, dibuje la 5 uncin y su inversa.
5
Halle las unciones inversas de: a f(x) = 3x + 5 b f(x) =
6
3
x+2
Copie cada grfco y dibuje la inversa de cada uncin. y 4
a
b
y 4
3
3
2
2
1
1
2 1 0 1
1
2
3 x
2 1
0
1
2
3 x
2 3 4
7
Halle el dominio y el recorrido para cada uno de estos grfcos. a
b
y 10
y 7,5 5 2,5
5
5
3 2 1 0 2,5
0 1
5
1
2
3
4
5
6
7 x
x 5 7,5
PREGUNTA TIPO EXAMEN 8 Para cada uncin, escriba una nica expresin que represente la combinacin de transormaciones dadas. a f(x) = x, simetra respecto del eje y, estiramiento vertical de razn 2, estiramiento horizontal de razn 1 y traslacin de 3 unidades hacia 3 la izquierda y 2 hacia arriba. b f(x) = x 2 , simetra respecto del eje x, estiramiento vertical de razn 1 , estiramiento horizontal de razn 3 y traslacin de 4
5 unidades hacia la derecha y 1 hacia abajo. 9 a b
Explique cmo dibujar la inversa de una uncin a partir de su grfco. Dibuje la inversa de f(x) = 2x + 3.
PREGUNTA TIPO EXAMEN Sean f(x) = 2x3 + 3 y g (x) = 3x 2. a Halle g (0). b Halle ( f g)(0).
10
26
Funciones
c
Halle f1 (x).
PREGUNTAS TIPO EXAMEN 11 El grfco muestra la uncin f(x), para 2 x 4. a Sea h (x) = f(x). Dibuje aproximadamente el grfco de h (x). b
y 4 3
1 2
Sea g (x) = f(x 1). El punto A(3, 2) en el grfco de fse transorma en el punto P en el grfco de g. Halle las coordenadas de P.
12
Las unciones fy g se defnen como f(x) = 3x y g (x) = x + 2. a Halle una expresin para ( f g) (x). b Muestre que f1 (12) + g 1 (12) = 14.
13
Sean g (x) = 2x 1; h (x) = x3 x 2 , x 2 a Halle una expresin para (h g) (x). Simplifque su respuesta. b Resuelva la ecuacin (h g) (x) = 0.
2 1 3 2 1 0
1
2
3
4
5 x
La instruccin muestre que signifca obtenga el resultado requerido (posiblemente, utilizando la inormacin dada) sin necesidad de una prueba . En las preguntas de tipo muestre que generalmente no se emplea calculadora. Un buen mtodo consiste en cubrir el lado derecho de la expresin y luego operar con el lado izquierdo hasta que el resultado concuerde con el lado derecho.
Ejercicios de revisin 1
Use la CPG para dibujar aproximadamente la uncin e indique el dominio y el recorrido de f ( x ) = x + 2 .
2
Dibuje aproximadamente la uncin y = (x + 1)(x 3) e indique su dominio y recorrido.
3
Dibuje aproximadamente la uncin y = e indique su dominio x+2 y su recorrido.
1
PREGUNTAS TIPO EXAMEN 1 4 La uncin f(x) se defne como f ( x ) = 2 + x + 1 , x 1 . a Dibuje aproximadamente la curva f(x) para 3 x 2. b Use la CPG como ayuda para escribir el valor de la interseccin con el eje x y el eje y. 1
Dibuje aproximadamente el grfco de f ( x ) = 2 . x b Para qu valor de x no est defnida f(x)? c Indique el dominio y el recorrido de f(x).
5 a
6
Dada la uncin f ( x ) =
2x 5 x+2
Escriba las ecuaciones de las asntotas. Dibuje aproximadamente la uncin. c Escriba las coordenadas de los puntos de interseccin con ambos ejes. a
b 7
Sea f(x) = 2 x2 y g (x) = x2 2. a Dibuje aproximadamente ambas unciones en un solo grfco, para 3 x 3. b Resuelva f(x) = g (x). Captulo 1
27
PREGUNTAS TIPO EXAMEN 8 Sea f(x) = x3 3. a Halle la uncin inversa f1(x). b Dibuje aproximadamente f(x) y f1(x) en el mismo sistema de ejes. c Resuelva f(x) = f 1 (x). 9
2 f ( x ) = e 2 x 1 + x + 1 , x 1.
Dibuje aproximadamente la curva de f(x) para 5 x 2, incluidas todas las asntotas. Cuando en los exmenes del IB 10 Considere las unciones fy g donde f(x) = 3x 2 y g (x) = x 3. aparecen palabras a Halle la uncin inversa, f1. en negrita (como la b Sabiendo que g 1(x) = x + 3, halle ( g 1 f )(x). c
Muestre que (f1 g)(x) = x 1 .
d
Resuelva ( f 1 g)(x) = ( g1 f )(x)
palabra ecuaciones en el apartado e), signifca que se debe hacer exactamente lo que se requiere. Por ejemplo, la respuesta debe darse como x = 3, y no como 3.
3
Sea h ( x ) =
f(x) , g( x)
x 2.
d Dibuje aproximadamente
el grfco de h para 6 x 10 e 4 y 10, incluidas todas las asntotas. e Escriba las ecuaciones de las asntotas.
RESUMEN DEL CAPTULO 1 Introduccin a las funciones
Una relacin es un conjunto de pares ordenados. El dominio es el conjunto de todas las primeras componentes (valores de x) de los pares ordenados. El recorrido es el conjunto de las segundas componentes (valores de y) de cada par. Una funcin es una relacin donde cada valor de x est relacionado con un nico valor de y. Una relacin es una uncin si toda recta vertical corta al grfco solo una vez. A este procedimiento se lo conoce como prueba de la recta vertical.
El dominio y el recorrido de una relacin en un plano cartesiano Notacin de intervalos:
Usamos parntesis de apertura y cierre ( , ) si el valor no est incluido en el grfco o cuando el grfco no est defnido en ese punto (un punto no defnido o asntota , o un salto de discontinuidad). Usamos corchetes [ , ] si el valor pertenece al grfco. Defnicin por comprensin: {x: x< 6}
El conjunto de
28
Funciones
los valores de x
tales que
x es menor que 6 Contina en la pgina siguiente.
Notacin uncional
f(x) se lee f de x y signifca el valor de la uncin fevaluada en x.
Funciones compuestas
La uncin compuesta de la uncin fcon la uncin g se escribe como f(g (x)), que se lee fde g de x, o ( f g)(x), que se lee g compuesta con fde x Una funcin compuesta aplica una uncin al resultado de otra y se defne como ( f g)(x) = f( g(x)).
Funciones inversas
La inversa de una uncin f(x) es f1 (x) y revierte la accin de la uncin. Las unciones f(x) y g (x) resultan inversas una de otra si: ( f g)(x) = x para todos los valores de x en el dominio de g, y ( g f )(x) = x para todos los valores de x en el dominio de f. Podemos usar la prueba de la recta horizontal para identifcar unciones que tienen inversas. Si una recta horizontal corta a la uncin ms de una vez, entonces la uncin no tiene inversa.
Los grfcos de las unciones inversas
El grfco de la inversa de una uncin es una simetra de dicha uncin respecto de la recta y = x. Para hallar la uncin inversa algebraicamente, reemplazamos f(x) por y, y despejamos y. A la uncin I(x) = x se la denomina uncin identidad. Deja invariables a los valores de x. Por lo tanto, f f 1 = I.
Transormaciones de unciones
f(x) + k desplaza a f(x) verticalmente hacia arriba una distancia de k unidades. f(x) k desplaza a f(x) verticalmente hacia abajo una distancia de k unidades. f(x + k) desplaza a f(x) horizontamente hacia la izquierda una distancia de k unidades, cuando k > 0. f(x k) desplaza a f(x) horizontamente hacia la derecha una distancia de k unidades, cuando k > 0. f(x) es una simetra de f(x) respecto del eje x. f(x) es una simetra de f(x) respecto del eje y. f(qx) es un estiramiento horizontal de f(x) con una razn de 1q . pf(x) es un estiramiento vertical de f(x) con una razn de p.
Captulo 1
29
w
Teora del Conocimiento
La representacin matemtica
Grupos por edades
[ Este grfco sugiere que: Las personas de 1 6 aos conducen de orma ms segura que las de 20 aos. Las personas de 80 aos conducen de manera muy segura. Cree usted que estas afrmaciones son ciertas?
Mediana de los ingresos anuales (en dlares estadounidenses) 71 868 60 827 46 269 36 155 23 317
Obtener un ttulo universitario incrementar sus ingresos en casi USD13 000 por ao.
30
Es esta afrmacin cierta?
Teoria del Conocimiento: la representacin matemtica
>74
65-69
70-74
55-59
60-64
45-49
50-54
35-39
[ Este grfco relaciona el nmero de accidentes con la distancia recorrida por conductores de dierentes edades. Qu le dice el grfco acerca de los conductores de 1 6 aos y los de 75 aos?
Ingresos segn el nivel de educacin 1996
x
Grupos por edades
El inorme Monthly Labor Review public esta inormacin reerida a los ingresos segn el nivel educativo. Nivel de educacin alcanzado Proesional Doctorado Maestra Universitario Secundario
40-44
25-29
30-34
16-19
x
Accidentes fatales por 100 millones de millas conducidas,1988
y 16 14 12 10 8 6 4 2 0 20-24
>79
75-79
70-74
65-69
60-64
55-59
50-54
45-49
40-44
35-39
30-34
25-29
20-24
Nmero de conductores en accidentes fatales,1988
Accidentes fatales por 100 millones de millas conducidas
y 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0 16-19
Nmero de conductores (en miles)
A la matemtica se la representa visualmente en modelos, imgenes, nmeros, lneas y grfcos de unciones y relaciones. Cuando se muestra una representacin visual, tales como los grfcos de esta pgina, antes de presentarla se ha decidido qu escala usar y qu inormacin mostrar.
400 300
y 9,0 t 8,1 t 7,2 t 6,3 t 5,4 t 4,5 t 3,6 t 2,7 t 1,8 t 0,9 t 0t
200
Ene Feb Mar Abr May Jun Jul Ago Sep Oct Nov Dic Mes Producto Y
BUS
0
TRANVA
100
Producto X
500
TREN
600
METRO
Cun tiles son los grfcos para transmitir inormacin? Cun preciso puede ser un grfco? Cules son las ventajas y las desventajas de la interpolacin y la extrapolacin de los datos?
VEHCULOS A MOTOR
700
x
x
Producto Z
Cun exactas resultan estas representaciones visuales?
Rayos X Pinturas
Instantneas
Redes
Qu es una red? De qu modo se emplean en inormtica, planifcacin urbana, biologa y asuntos militares? En qu consisten las siguientes redes? Redes de datos Redes agrupadas Redes de campus Redes de mapeo
Una red de cmputos es una inraestructura de hardware y sotware que brinda un acceso fable, constante, generalizado y de bajo costo a capacidades inormticas de alta gama. Foster y Kesselman, 1998
Existen computadores que no estn conectados a una red? Es un computador una red en s mismo?
Capitulo 1
Teora del Conocimiento
Precisin
31
2
Funciones y ecuaciones cuadrticas
ObjetivOs del captulO: 2.4
2.7 2.7 2.7 2.8
La uncin cuadrtica f (x) = ax2 + bx + c = 0: su grfco, su vrtice, intersecciones con el eje x y el eje y, ejes de simetra La orma x a(x p)(x q), intersecciones con el eje x (p, 0) y (q, O) La orma x a(x h) 2 + k, vrtice (h, k) Resolucin de ecuaciones cuadrticas de la orma ax2 + bx + c = 0 La rmula cuadrtica El discriminante y la naturaleza de las races Aplicacin de las habilidades de representacin grfca de unciones y de resolucin de ecuaciones a situaciones de la vida real
an omnzr Qu necesitamos saber
Comprobemos nuestras habilidades
1
1
Resolver ecuaciones simples en una incgnita dada Por ejemplo: Resolver en b: 3b 2 = 0 3b = 2, b
3a 5 = a + 7 4x 2 + 1 = 21
2
3(n 4) = 5(n + 2)
3
Por ejemplo: Resolver la ecuacin n2 + 3 = 5: n2 + 3 = 5 n2 = 2, n = 2 2 Factorizar expresiones matemticas Por ejemplo: Factorizar p 2 5p: p(p 5) Por ejemplo: Factorizar la expresin ax 3x + 2a 6: x(a 3) + 2(a 3) (x + 2)(a 3) Por ejemplo: Factorizar la expresin x 2 3x 0: (x + 2)(x 5) Por ejemplo: Factorizar la expresin (2a + 5)(2a 5) 4a 2 25: 32
Resuelva cada ecuacin:
Funciones y ecuaciones cuadrticas
2
Factorice cada expresin: 2k 2 10k 14a 3 + 21a 2 49a 2x 2 + 4xy + 3x + 6y 5a 2 10a ab + 2b n 2 + 4n + 3 f 2x 2 x 3 g m 2 36 h 25x 2 81y 2
Este monumento conmemorativo de la segunda guerra mundial ue inaugurado en 2004 en Washington DC. Las uentes del monumento dejan uir aguas que orman hermosas trayectorias curvas. La imagen de la derecha muestra un chorro de agua de un bebedero, que sigue una trayectoria similar. Las ormas de las trayectorias curvas de estos chorros se denominan parbolas y pueden modelizarse mediante unciones de la orma f (x) = ax2 +bx +c. A tales unciones se las denomina funciones cuadrticas. Otras situaciones que pueden modelizarse mediante unciones cuadrticas incluyen el rea de una fgura y la altura de un objeto en cada libre en uncin del tiempo. En este captulo, estudiaremos cmo representar grfcamente unciones cuadrticas expresadas en orma polinmica, f (x) = ax2 + bx + c; en orma cannica, y = a(x h)2 + k; y en orma actorizada, f (x) = a(x p)(x q). Cada una de estas ormas tiene su propia utilidad. Si quisiramos saber la altura mxima alcanzada por el chorro de agua de un bebedero, deberamos usar la orma cannica. Si quisiramos encontrar las dimensiones de un rectngulo con una medida de rea particular, la orma actorizada nos sera de mayor utilidad. Captulo 2
33
2.1 Rsolucin d cuacions cuadrticas 2
Una ecuacin que puede escribirse en la forma ax + bx + c = 0, donde a 0, se denomina cuacin cuadrtica . Los siguientes son todos ejemplos de ecuaciones cuadrticas: x 2 4x + 7 = 0 5x 2 = 3x 2 2x(3x 7) = 0 (x 7)(2 5x) = 4x En esta seccin, comenzaremos a resolver ecuaciones cuadrticas.
Resolucin por factorizacin Antes de comenzar a resolver ecuaciones cuadrticas por factorizacin es importante comprender una propiedad fundamental: Si xy = 0, entonces x = 0 o y = 0. Esta propiedad puede ser ampliada a: Si (x a)(x b) = 0, entonces x a = 0 o x b = 0.
Algunas de estas ecuaciones no aparecen escritas en la forma ax2 + bx + c = 0 pero pueden ser ordenadas de modo que tengan esa forma. En un trinomio cuadrado ax2 + bx + c, ax2 es el trmino cuadrtico, bx es el trmino lineal y c es el trmino constante. Usualmente se conoce esta propiedad como la propidad dl producto nulo.
ejmplo 1 Resuelva estas ecuaciones por factorizacin. a x 2 5x 14 = 0 b 3x 2 + 2x 5 = 0 Respuestas x2 5x 14 = 0 (x 7)(x + 2) = 0 x 7 = 0 o x+ 2 = 0 x= 7 x = 2 x = 2 o 7
a
c 4x 2 + 4x + 1 = 0
Factorizar la expresin en el miembro izquierdo de la ecuacin Igualar cada actor a cero, usando la propiedad del producto nulo
b 3x 2 + 2x 5 = 0
(3x + 5)(x 1) = 0 3x + 5 = 0 o x 1 = 0 5 3 5 x= , 1 3
x=
x= 1
c 4x 2 + 4x + 1 = 0
(2x + 1)(2x + 1) = 0 (2x + 1) 2 = 0 2x + 1 = 0 1
x= 34
2
Funciones y ecuaciones cuadrticas
Factorizar la expresin en el miembro izquierdo de la ecuacin Igualar cada actor a cero Puede tambin hallar las soluciones con su calculadora de pantalla grfca (en adelante, CPG). (Vea la seccin 1.7 en el captulo 17.)
Cuando obtenemos el mismo actor dos veces, se trata de un cuadrado perecto y solo habr una solucin. Usualmente decimos que esta ecuacin tiene dos races iguales.
Ejercitacin 2A En este ejercicio, resuelva todas las ecuaciones a mano y despus verifque sus respuestas con una CPG. Resuelva por actorizacin. a x 2 3x + 2 = 0 b a 2 + a 56 = 0 2 d x 25 = 0 x 2 + 2x 48 = 0 2 Resuelva por actorizacin. a 6x 2 + 5x 4 = 0 b 5c 2 + 6c 8 = 0 d 4x 2 16x 9 = 0 3t 2 + 14t + 8 = 0 1
m 2 11m + 30 = 0 f b 2 + 6b + 9 = 0 c
2h 2 3h 5 = 0 f 6x 2 + x 12 = 0 c
Si una ecuacin cuadrtica no est escrita en la orma polinmica, ax2 + bx + c = 0, deberemos reordenar los trminos antes de actorizarla, tal como se muestra en el ejemplo 2.
ejmplo Resuelva estas ecuaciones por actorizacin. b x (x + 10) = 4(x 2) 8x 2 5 = 10x 2
a
Respuestas 8x 2 5 = 10x 2 8x 2 10x 3 = 0 (4x + 1)(2x 3) = 0 4 x + 1 = 0 o 2x 3 = 0
a
1 4 1 x= 4
x=
x= o
Agrupar todos los trminos semejantes en un miembro de la ecuacin Factorizar y resolver en x
3 2
3 2
b x(x + 10) = 4(x 2)
Desarrollar los parntesis y agrupar los trminos semejantes Factorizar y resolver en x
x2 + 10x = 4x 8 x2 + 6x + 8 = 0 (x + 4)(x + 2) = 0 x+ 4 = 0 o x + 2 = 0 x = 4 x = 2 x = 4, 2
Hace miles de aos, los antiguos babilonios y egipcios estudiaron ecuaciones cuadrticas como estas para encontrar, por ejemplo, soluciones a problemas relacionados con el rea de un rectngulo.
Ejercitacin 2B 1
Resuelva por actorizacin. x 2 + 2x 7 = 13 + x c 3z(z + 4) = (z 2 + 9) a
2
x+5=
36 x
d
2n2 + 11n = 3n n2 4 2(a 5)(a + 5) = 21a
f
2x 1
b
x 1 2x
Un nmero y su cuadrado diferen en 12. Halle el nmero.
Use x para representar el nmero y escriba una ecuacin para resolver en x.
PREGUNTA TIPO EXAMEN Los dos lados perpendiculares de un tringulo rectngulo miden x + 2 y 5x 3. La hipotenusa mide 4x + . Halle x.
3
Captulo 2
35
invstgacn: trinomios cuadrados perfectos Resuelva estas ecuaciones por factorizacin. 1 x2 + 10x + 25 = 0 3 x2 + 14x + 49 = 0 5 x2 18x + 81 = 0
2 4 6
x2 + 6x + 9 = 0 x2 8x + 16 = 0 x2 20x + 100 = 0
Qu nota de particular? Describa los patrones que reconozca en las ecuaciones cuadrticas originales. Un trinomio es un polinomio con tres trminos. Por qu cree que a estos polinomios se les llama " trinomios cuadrados perfectos" ?
Resolucin por el procedimiento de completar cuadrados Algunas ecuaciones cuadrticas no pueden resolverse por actorizacin, pero existen otros mtodos que pueden usarse para resolverlas sin usar la CPG. Tomemos la ecuacin x 2 + 4x + 49 = 0 de la investigacin anterior. El miembro izquierdo de la ecuacin es un cuadrado perecto, porque tiene dos actores idnticos: x 2 + 4x + 49 = (x + 7)(x + 7) = (x + 7) 2. Para resolver la ecuacin x 2 + 4x + 49 = 0, podramos actorizar, lo cual nos dara la ecuacin (x + 7) 2 = 0, que fnalmente nos conduce a la solucin x = 7. Qu ocurrira si le pidiesen que resuelva la ecuacin x2 + 4x + 49 = 5? Si se reagrupan los trminos en el miembro izquierdo de la ecuacin, se obtiene x2 + 4x + 44 = 0, que no puede actorizarse cilmente. Sin embargo, an es posible obtener la solucin exacta, tal como se muestra en el ejemplo 3.
ejmplo
Resuelva estas ecuaciones sin emplear la CPG. a x 2 + 14x + 49 = 5 b x 2 6x + 9 = 6 Respuestas a
x 2 + 14x + 49 = 5 (x + 7) 2 = 5 x +7 = 5 x = 7 5
b x 2 6x + 9 = 6 2
(x 3) = 6 x 3 = 6 x =3 6
36
Funciones y ecuaciones cuadrticas
Factorizar el trinomio cuadrado perfecto en el miembro izquierdo de la ecuacin Aplicar raz cuadrada en ambos miembros de la ecuacin x tiene dos soluciones: 7 + 5 y 7 5 . Nuevamente, observamos que el miembro izquierdo de la ecuacin es un trinomio cuadrado perfecto; por lo tanto, podemos usar el mismo mtodo empleado en el apartado a. x tiene dos soluciones: 3 + 6 y 3 6 .
Las respuestas expresadas en forma de radicales son soluciones exactas.
En el ejemplo 3, las ecuaciones involucraban trinomios cuadrados perectos. Se pueden usar trinomios cuadrados perectos para resolver cualquier ecuacin cuadrtica por el mtodo denominado de compltar cuadrados. Para completar el cuadrado, calcule la mitad del coefciente de x, elvela al cuadrado y sume el resultado a ambos miembros de la ecuacin. Este paso permite crear un trinomio cuadrado perecto en el miembro izquierdo de la ecuacin.
ejmplo Resuelva cada ecuacin completando el cuadrado. x 2 + 10x = 6 b x 2 12x = 3 c x 2 3x 1 = 0
a
Respuestas a x 2 + 10x = 6 x 2 + 10x + 25 = 6 + 25 (x + 5) 2 = 31 x + 5 = 31 x = 5 31 b x 2 12x = 3
x 2 12x + 36 = 3 + 36 (x 6) 2 = 39 x 6 = 39
El coefciente de x es 10; dividir por 2 (5) y elevar al cuadrado (25) Completar el cuadrado sumando 25 a ambos miembros Resolver en x El coefciente de x es 12. 12 2 = 6, 6 2 = 36 Completar el cuadrado Resolver en x
x = 6 39 c x 2 3x 1 = 0
Sumar 1 a ambos miembros de la ecuacin
x 2 3x = 1 x2 3 x +
9 4
=1+
2
3 13 x = 4 2
x
3 13 = 2 2
x=
3 13 2
9 4
2
La mitad de 3 es , y es . 2 2 4 9 Sumar a ambos miembros de la 3
3
9
4
ecuacin Resolver en x
Hace ms de mil aos, los matemticos hindes y rabes desarrollaron mtodos similares al de completar el cuadrado para resolver ecuaciones cuadrticas. Estaban buscando soluciones a problemas matemticos tales como Cul debe ser el cuadrado que, cuando se aumenta en 10 veces sus propias races, se obtiene 39? Esto puede escribirse como x2 + 10x = 39.
Ejercitacin 2C Resuelva por el procedimiento de completar el cuadrado. 1 x 2 + 8x = 3 2 x 2 5x = 3 3 x 2 6x + 1 = 0 2 2 4 x + 7x 4 = 0 5 x 2x 6 = 0 6 x2 + x 3 = 0
Para completar el cuadrado, el coefciente del trmino en x 2 debe ser . Si el trmino en x 2 tiene un coefciente distinto de , antes de completar el cuadrado, puede sacar ese coefciente como actor comn o dividir toda la expresin por ese coefciente.
Captulo 2
37
ejmpo Resuelva estas ecuaciones completando el cuadrado. 2x 2 + 8x = 6 b 3x 2 15x = 2
a
Respuestas 2x 2 + 8x = 6 x 2 + 4x = 3 x 2 + 4x + 4 = 3 + 4 (x + 2) 2 = 7 x+ 2 = 7 x = 2 7
a
Dividir ambos miembros de la ecuacin por el coefciente de x 2, que es 2 Completar cuadrados para resolver en x
b 4x 2 20x = 5
4(x 2 5x) = 5
Dividir toda la expresin por el coefciente de x 2, que es 4
5 x 5x = 4 25 5 25 = + x 2 5x + 4 4 4 2
5
La mitad de 5 es , y
2
5 30 1 5 = x = 2 4 2 5 2
x = 5 2
x=
2
5 2
2
es
25 4
Abu Kamil Shuja (c. 850 c. 930), tambin conocido como al-Hasib al-Misri, que signifca la calculadora de Egipto , ue uno de los primeros en introducir en el lgebra los smbolos para potencias, tales como xm xn = xm+ n .
.
La respuesta puede escribirse
15 2
tambin como x =
15 2
5 30 . 2
Ejercitacin 2D Resuelva por el procedimiento de completar el cuadrado. 1
2x 2 + 12x = 6
2
3x 2 6x = 3
3
5x 2 10x + 2 = 0
4
4x 2 + 6x 5 = 0
5
2x 2 x 6 = 0
6
10x 2 + 4x 5 = 0
. la frmua cuadrtica Sabemos que una ecuacin cuadrtica puede escribirse en la forma ax2 + bx + c = 0. Supongamos que queremos resolver esta ecuacin cuadrtica general usando el procedimiento de completar el cuadrado. Tendramos: ax 2 + bx + c = 0
Reste c de ambos miembros de la ecuacin.
ax 2 + bx = c
Divida ambos miembros de la ecuacin por a.
c b x + ax= a 2
b
2
b
c
2
b
x2 + x + = + a a 2a 2a
38
Funciones y ecuaciones cuadrticas
b b . es a 2a Elevando al cuadrado 2 obtenemos b 2 . 4a La mitad de
2
b c b2 x+ = + 2 2a a 4a 2
b b 2 4 ac x + = 2a 4a2
x+ x=
b b 2 4 ac b 2 4 ac = = 2a 2a 4a2 b b 2 4 ac 2a
Este procedimiento nos da una frmula muy til que puede utilizarse para resolver cualquier ecuacin cuadrtica.
la frmua cuadrtica
Para cualquier ecuacin de la forma ax 2 + bx + c = 0, x=
b b 2 4 ac 2a
Esta frmula aparece en el cuadernillo de frmulas de Matemticas NM del IB; por lo tanto, no tiene que memorizarla.
ejmpo 6 Resuelva cada ecuacin usando la frmula cuadrtica. a x 2 + 4x 6 = 0 b 2x 2 3x = 7 c 3x 2 = 7x + 6 Respuestas x 2 + 4x 6 = 0
a
x=
4 4 2 4 ( 1 ) ( 6 ) 2 (1 )
x=
4 40 2
x=
4 2 1 0 = 2 10 2
Esta respuesta es correcta pero puede simplifcarse ms.
b 2x 2 3x = 7
2x 2 3x 7 = 0 x= x=
3
( 3 )
2
4 ( 2 ) ( 7 )
2 (2)
3x 2 7x 6 = 0
x=
Primero escribir la ecuacin en la orma polinmica, ax2 + bx + c = 0 Usar la rmula cuadrtica con a = 2, b = 3 y c = 7
3 65 4
c 3x 2 = 7x + 6
x=
Usar la rmula cuadrtica con a = 1, b = 4 y c = 6
7
( 7 )
2
4 ( 3 ) ( 6 )
2 (3 )
Primero escribir la ecuacin en la orma polinmica, ax2 + bx + c = 0 Usar la rmula cuadrtica con a = 3, b = 7 y c = 6
7 1 21 7 1 1 = 6 6 2 3
x= ,3 Captulo 2
39
Ejercitacin 2E Resuelva estas ecuaciones usando la frmula cuadrtica. 1
4x2 + 9x 7 = 0
2
3x2 + 2x 8 = 0
3
5x2 + 6x + 1 = 0
4
x2 6x = 4
5
x2 = x 3
6
3x2 + 10x = 5
7
2x2 3x = 1
8
2x2 = 9x + 4
9
6 2x = 9 x
10
x +3 x = 5x 2 x +1
ejmplo La suma de los cuadrados de dos nmeros enteros consecutivos es 613. Halle los dos nmeros enteros. Respuesta x2 + (x + 1) 2 = 613 x2 + x2 + 2x + 1 = 613 2x2 + 2x 612 = 0 x2 + x 306 = 0 x= x=
(1 )
1
2
4 (1 ) ( 306 ) 2 (1 )
1 1 225 2
=
Primero, es necesario escribir una ecuacin. Sea x el nmero entero menor y x + 1 el entero consecutivo. Desarrollamos los parntesis y agrupamos trminos semejantes. Dividimos por 2. La ecuacin cuadrtica podra tambin resolverse por factorizacin o completando el cuadrado.
1 35 2
x = 18 o 17 Los dos enteros son 18 y 17, o 17 y 18.
Dado que hay dos valores para x, habr dos valores para x + 1. Hay dos posibles pares de nmeros enteros consecutivos.
Ejercitacin 2F 1
La suma de dos nmeros es 50 y su producto es 576. Halle los nmeros.
2
El permetro de un rectngulo es de 70 m y su rea es 264 m2. Halle el largo y el ancho del rectngulo.
3
Halle el valor de x en el diagrama. 4x 6 x+6
3x
40
Funciones y ecuaciones cuadrticas
PREGUNTAS TIPO EXAMEN 4 Un rectngulo tiene un largo de 23 cm y un ancho de 16 cm. Si se reduce el largo x cm y se aumenta el ancho x cm, el rea del nuevo rectngulo es 378 cm2. Halle las dimensiones del nuevo rectngulo. La rmula h = 2 + 14t 4,9t2 proporciona la altura, h metros, que alcanza una pelota t segundos despus de haber sido lanzada. Cunto tiempo permanece la pelota en el aire?
5
. Races de ecuacones cuadrtcas
Material de ampliacin disponible en lnea: Hoja de ejercicios 2: Dos ecuaciones cuadrticas an m s difciles
investgacn: races de ecuaciones cuadrticas 1
Resuelva estas ecuaciones usando la frmula cuadrtica. x2 8x + 16 = 0 b 4x2 12x + 9 = 0 c 25x2 + 10x + 1 = 0 2 Resuelva estas ecuaciones usando la frmula cuadrtica. a x2 + 5x 14 = 0 b 3x2 8x + 2 = 0 c 5x2 3x 4 = 0 3 Resuelva estas ecuaciones usando la frmula cuadrtica. a x2 + 3x + 6 = 0 b 2x2 4x + 5 = 0 c 4x2 + 2x + 1 = 0 4 Qu patrones encontr en las soluciones de las ecuaciones de las preguntas 1 , 2 y 3 ? Por qu cree que sucede esto? a
Ahora observemos nuevamente la rmula cuadrtica usada para resolver ecuaciones de la orma ax2 + bx + c = 0, donde a, b y c son constantes. x=
b b 2 4 ac 2a
Esta rmula nos proporcionar las races de una ecuacin cuadrtica. Una parte de la rmula cuadrtica, el dscrmnante, nos inormar acerca de la naturaleza de las races de la ecuacin, incluso, sin darnos la solucin. El discriminante es la parte de la rmula cuadrtica que fgura bajo el signo del radical (raz cuadrada), b2 4ac. Usualmente usamos el smbolo para representar el discriminante. Para una ecuacin cuadrtica ax2 + bx + c = 0, 2 Si b 4ac > 0, la ecuacin tendr dos races reales distintas. 2 Si b 4ac = 0, la ecuacin tendr dos races reales iguales. 2 Si b 4ac < 0, la ecuacin no tendr races reales.
Podemos considerar que una ecuacin con dos races reales iguales tiene una sola solucin.
Captulo 2
41
ejmplo 8 Use el discriminante para determinar la naturaleza de las races de cada ecuacin. a 9x 2 + 6x + 1 = 0 b 3x 5 =
4 x
Respuestas a 9x 2 + 6x + 1 = 0
= 62 4(9)(1) = 36 36 = 0 La ecuacin tendr dos races iguales. b 3x 5 =
4 x
3x 2 5x = 4 3x 2 5x 4 = 0
= (5) 2 4(3)(4) = 25 + 48 = 73 Esta ecuacin tendr dos races reales distintas.
Esta es una ecuacin cuadrtica con a = 9, b = 6 y c = 1. Calcular el discriminante Discriminante = 0 implica dos races iguales. Primero, llevamos la ecuacin a la orma polinmica. Multiplicamos por x ambos miembros, luego restamos 4 de ambos miembros. Recuerde: = b 2 4ac. > 0 signifca dos races reales distintas.
ejmplo 9 Halle el valor o los valores de k para los cuales la ecuacin 2x 2 kx + 3 = 0 tiene dos races reales distintas. Respuesta b 2 4ac > 0 (k) 2 4(2)(3) > 0 k 2 24 > 0 k 2 > 24 | k| > 24 | k| > 2 6 k > 2 6 o k < 2 6
Para que la ecuacin tenga dos races distintas, se necesita que > 0.
Puede usar el valor absoluto cuando opere con la raz cuadrada en una desigualdad.
Ejercitacin 2G 1
42
Halle el valor del discriminante e indique la naturaleza de las races para cada ecuacin. a x 2 + 5x 3 = 0 b 2x 2 + 4x + 1 = 0 c 4x 2 x + 5 = 0 d x 2 + 8x + 16 = 0 x 2 3x + 8 = 0 f 12x 2 20x + 25 = 0
Funciones y ecuaciones cuadrticas
Para ms informacin acerca del valor absoluto, vea la seccin 2.7 del captulo 18.
PREGUNTA TIPO EXAMEN 2 Halle los valores de p para los cuales las ecuaciones tienen dos races reales distintas. a x2 + 4x + p = 0 b px2 + 5x + 2 = 0 c x2 + px + 8 = 0 d x2 + 3px + 1 = 0 3
Halle los valores de k para los cuales las ecuaciones tienen dos races reales iguales. a x2 + 10x + k = 0 b 2x2 3x + k = 0 c 3x2 2kx + 5 = 0 d x2 4kx 3k = 0
4
Halle los valores de m para los cuales las ecuaciones no tienen races reales. a x2 6x + m = 0 b x2 + 5mx + 25 = 0 c 3mx2 8x + 1 = 0 d x2 + 6x + m 3 = 0
PREGUNTA TIPO EXAMEN Halle los valores de q para los cuales la ecuacin cuadrtica qx2 4qx + 5 q = 0 no tiene races reales.
5
investgacn: grfcos de unciones cuadrticas Cada una de las siguientes unciones est dada en la orma y = ax2 + bx + c. Para cada uncin: Halle el valor de b 2 4ac. Obtenga el grfco de la uncin en su CPG. a y = x2 3x 5 b y = 3x2 6x + 4 c y = x2 + 2x + 7 d y = 4x2 + 3x + 5 2 e y = x 6x + 9 y = 2x2 4x + 2 2 g y = x + 5x + 2 h y = x2 + 7x + 3
Si necesita ayuda para obtener el grfco de unciones cuadrticas en una CPG, vea la seccin 1.6 en el captulo 17.
Qu le sugieren estos ejemplos sobre la relacin entre el valor del discriminante y el grfco de la uncin cuadrtica?
. Grfcos de uncones cuadrtcas
y
y = x2
Una uncin de la orma y = ax2 + bx + c, o f (x) = ax2 + bx + c, donde a 0, se denomina uncin cuadrtica. En esta seccin, veremos grfcos de unciones cuadrticas. La orma ms simple de una uncin cuadrtica es y = x2. Mostramos su grfco. 0
x
Este grfco tiene un mnimo en el punto (0, 0), y es simtrico respecto del eje y. Captulo 2
43
Si observamos los grfcos de otras unciones cuadrticas, deberamos notar algunas similitudes. y = x2 + 2x 1
y = 3x2 4x + 2
y
y = 2x2 + 2x + 3 y
y
0 0
x
x 0
x
Cada uno de estos grfcos presenta una fgura curva conocida como parbola . Cada grfco tiene adems un punto mximo o un punto mnimo llamado vrtice. Si el coefciente de x2 es positivo, la parbola se abrir hacia arriba, con el vrtice como el punto mnimo del grfco. Si el coefciente de x2 es negativo, la parbola se abrir hacia abajo y el vrtice ser un punto mximo. y Si imaginamos una recta vertical que pase por el vrtice, notaremos que el grfco es simtrico a la derecha y a la izquierda respecto de esa recta. A esta recta vertical imaginaria se la denomina eje de simetra . El eje de simetra se muestra con una lnea punteada en este grfco.
0
x
Ahora veremos dierentes ormas de unciones cuadrticas. Consideremos los grfcos de estas unciones cuadrticas de la orma y = ax2 + bx + c: y = x2 + x 3
y = 0,5x2 2x + 4
y
eje de simetra
y = x2 3x + 1
y
y 3
1
x= 2
x= 2
(0, 4) (0, 1) 0
0
x
x 0
(0, 3)
x = 2
Para las unciones cuadrticas en orma polinmica y = ax2 + bx + c, el grfco corta al eje y en (0, c). La ecuacin del eje de simetra es x =
44
Funciones y ecuaciones cuadrticas
b . 2a
x
Cuando la uncin cuadrtica bsica y = x2 sure transormaciones, las unciones resultantes pueden escribirse como y = a(x h)2 + k. Observemos los grfcos de estas unciones cuadrticas de la orma y = a (x h)2 + k: y = (x 2)2 1
y = 2(x + 1 ) 2 4
y
Posiblemente quiera revisar la seccin sobre transormaciones de grfcos en el captulo 1 de este libro.
y = (x 3) 2 + 2
y
y
(3, 2) 0
x 0
0
x
x (2, 1)
(1, 4)
Para unciones cuadrticas de la orma y = a(x h) 2 + k, el grfco tiene su vrtice en (h, k).
ejmplo 10
Esta orma de la uncin cuadrtica se conoce a veces como orma del vrtice .
a Escriba la uncin y = x2 6x + 4 en la orma y = (x h) 2 + k. b Dibuje aproximadamente el grfco de la uncin, y rotule el vrtice
y la interseccin con el eje y (ordenada al origen). Respuestas y = x2 6x + 4
a
y = (x2 6x + 9) + 4 9 y = (x 3) 2 5 b
y
(0, 4)
0
Al observar la ecuacin en la forma polinmica, sabemos que la interseccin con el eje y ocurrir en (0, 4). Usando el procedimiento de completar el cuadrado reescribimos la ecuacin. Al sumar 9 y restar 9, el valor del miembro derecho de la ecuacin no se ha alterado.
x
(3, 5)
Nota: la ecuacin del eje de simetra es x = 3.
Captulo 2
45
ejmplo Escriba la uncin (x) = 2x2 + 8x + 11 en la orma (x) = a(x h)2 + k. b Dibuje aproximadamente el grfco de la uncin, y rotule el vrtice y la interseccin con el eje y (ordenada al origen). a
Respuestas (x) = 2x2 + 8x + 11 (x) = 2(x2 + 4x + 4) + 11 8 (x) = 2(x + 2) 2 + 3
a
y
b
(2, 3)
12 (0, 11) 10 8 6 4 2
5 4 3 2 1 0
1 2 x
La interseccin del grfco con el eje y es (0, 11). Se debe tener cuidado cuando se completa el cuadrado si el trmino en x2 tiene un coefciente distinto de 1. Utilice este coefciente para actorizar los dos primeros trminos. Al sumar 2 4, y luego restar 8, el valor del miembro derecho de la ecuacin no ha cambiado.
Nota: la ecuacin del eje de simetra es x = 2.
El nombre de parbola fue introducido por Apolonio de Perga (Grecia, c. 262 a.C. c. 190 a.C.) en su trabajo sobre las secciones cnicas.
Ejercitacin 2H 1
46
Para cada uncin, escriba la ecuacin del eje de simetra y el punto de interseccin con el eje y en cada grfco. a (x) = x2 + 8x + 5 b (x) = x2 6x 3 c (x) = 5x2 + 10x + 6 d (x) = 3x2 + 10x + 9
2
Para cada uncin, escriba las coordenadas del vrtice y d las coordenadas del punto de interseccin del grfco con el eje y. a y = (x 7) 2 2 b y = (x + 5) 2 + 1 2 c y = 4(x 1) + 6 d y = 3(x + 2) 2 7
3
Escriba cada uncin en la orma (x) = a (x h) 2 + k. Luego dibuje aproximadamente el grfco de la uncin y rotule el vrtice y la interseccin con el eje y (ordenada al origen). a (x) = x2 + 10x 6 b (x) = x2 5x + 2 2 c (x) = 3x 6x + 7 d (x) = 2x2 + 8x 3
Funciones y ecuaciones cuadrticas
Puede hallar el vrtice y el punto de interseccin con el eje y usando su CPG. Vea la seccin 1.8 en el captulo 17.
Puede resultar til sustituir x = 0, o escribir la funcin en la forma polinmica para hallar la interseccin con el eje y (ordenada al origen).
Consideraremos a continuacin unciones cuadrticas de la orma y = a(x p)(x q). Por razones obvias, a menudo nos reerimos a esta orma como la orma actorizada. Veamos los grfcos de estas unciones cuadrticas en la orma y = a(x p)(x q): y = (x + 3)(x )
y = 3(x + )(x 4)
y = (x + 2)(x 5)
y y
(3, 0) 4 3 2 1 0
(1, 0) 1 2 3 x
(1, 0)
y
20 16 12 8 4
2 140 8
12 8 4 (2, 0) (4, 0) 1 2 3 4 5
x
(5, 0)
3 2 140 8 12 16
1 2 3 4 5 6
x
Para unciones cuadrticas de la orma y = a(x p)(x q), el grfco corta al eje x en (p, 0) y en (q, 0). Para las unciones cuadrticas de orma y = a(x p)(x q), el eje de simetra tendr ecuacin x =
p+q . 2
Nota: Las intersecciones con el eje x de una uncin cuadrtica y = (x) nos dan las races de la ecuacin cuadrtica en la orma (x) = 0. Por ejemplo, en el primer grfco anterior, la uncin y = (x + 3)(x ) corta al eje x en (3, 0) y en ( , 0). La ecuacin (x + 3)(x ) = 0 tiene races x = 3 y x = .
ejmplo 12 Escriba la uncin (x) = x2 + 3x 10 en la orma (x) = (x p)(x q). Despus, dibuje aproximadamente el grfco de la uncin, y rotule las intersecciones con el eje x y el eje y. Respuesta (x) = x2 + 3x 10 (x) = (x + 5)(x 2)
El grfco cortar al eje y en (0, 10). Factorizar el miembro derecho de la ecuacin
y
(5, 0)
0
(2, 0)
x
(0, 10)
Nota: La ecuacin del eje de simetra es 3 ( 5 ) + 2 = . x= 2
Usar x =
p+q 2
2
Captulo 2
47
ejmplo Escriba la uncin y = 2x2 x 3 en la orma y = a(x p)(x q). Despus, dibuje aproximadamente el grfco de la uncin, y rotule las intersecciones con el eje x y el eje y. Respuesta y = 2x2 x 3
El grfco cortar al eje y en (0, 3).
y = (2x 3)(x + 1)
Factorizar el miembro derecho de la ecuacin Sacar el coefciente de x como actor comn del primer actor
y = 2(x 1,5)(x + 1) y
(1, 0)
0
(1,5; 0)
x
(0, 3)
Nota: La ecuacin del eje de 1 4
simetra es x = .
Ejercitacin 2I 1
Escriba las coordenadas de las intersecciones del grfco de cada uncin con el eje x y el eje y. a (x) = (x + 3)(x 7) b (x) = 2(x 4)(x 5) c (x) = 3(x + 2)(x + 1) d (x) = 5(x + 6)(x 2)
2
Escriba cada uncin en la orma y = a(x p)(x q). Despus, dibuje aproximadamente el grfco de la uncin, y rotule las intersecciones con el eje x y el eje y. a y = x2 7x 8 b y = x2 8x + 15 c y = 2x2 + 3x + 5 d y = 5x2 + 6x 8
3
Escriba cada uncin en la orma y = a(x h) 2 + k y en la orma y = a(x p)(x q). Despus, realice un dibujo aproximado pero claro del grfco de la uncin, y rotule el vrtice y las intersecciones con el eje x y el eje y. a y = x2 + 6x 16 b y = x2 4x + 21 c y = 0,5x2 + 3,5x 3 d y = 4x2 18x + 8
PREGUNTA TIPO EXAMEN 4 Sea (x) = 2x2 12x. Se muestra parte del grfco de . a El grfco corta al eje x en A y B. Halle la coordenada x de: i A ii B b Escriba la ecuacin del eje de simetra. c El vrtice del grfco est en C. Halle las coordenadas de C. 48
Funciones y ecuaciones cuadrticas
Puede ser til sustituir x = 0, o escribir la funcin en la forma polinmica para hallar la interseccin con el eje y (ordenada al origen).
y
A 0
B x
C
PREGUNTA TIPO EXAMEN 5 Sea f (x) = x2 + 3, y sea g (x) = x 2. a Halle (f g) (x). b Escriba las coordenadas del vrtice del grfco de (f g). El grfco de la uncin h se genera mediante una traslacin del grfco de (f g) de 5 unidades en la direccin positiva del eje x y 2 unidades en la direccin negativa del eje y. c Escriba la expresin de la uncin h(x) en la orma h (x) = ax2 + bx + c. d A partir de lo anterior, escriba la interseccin del grfco de h con el eje y.
Determinacin de la rmula de la uncin cuadrtica a partir de un grfco Mucho puede decirse acerca del grfco de una uncin observando la rmula de la uncin en sus dierentes ormas.
Cuando la uncin est escrita en orma polinmica, f(x) = ax2 + bx + c, se sabe que la interseccin con el eje y es (0, c), y la ecuacin del eje de simetra es x =
b . 2a
Cuando la uncin est dada en orma cannica, f (x) = a(x h) 2 + k, tambin conocida como orma del vrtice, el vrtice estar en (h, k). Cuando la uncin est escrita en orma actorizada, f (x) = a(x p)(x q), el grfco cortar al eje x en (p, 0) y en (q, 0).
Ahora veremos cmo hallar la rmula de una uncin cuadrtica a partir de la inormacin dada por su grfco. Si conoce las intersecciones con el eje x, puede comenzar escribiendo la orma actorizada. Si le dan el vrtice, puede comenzar escribiendo la orma cannica (orma del vrtice).
ejmplo 14 Usando la inormacin provista por el grfco, escriba la rmula de la uncin cuadrtica. Escriba la respuesta fnal en la orma polinmica, y = ax2 + bx + c.
y
(2, 0) 0
(4, 0)
x
(0, 16)
{ Contina en la pgina siguiente. Captulo 2
49
Respuesta y = a(x + 2)(x 4) 16 = a(0 + 2)(0 4) 8a = 16 a=2 y = 2(x + 2)(x 4) y = 2x2 4x 16
Como le dan las intersecciones con el eje x, comience con la uncin en orma actorizada. Sabe que y = 16 cuando x = 0. Reemplace estos valores en la ecuacin para resolver en a. Puede verifcar su respuesta obteniendo el grfco de la uncin en su CPG y comparando los puntos de interseccin con los ejes x e y con los del grfco dado.
ejmplo 15 Escriba la rmula de la uncin cuadrtica que se muestra en el grfco. Escriba su respuesta fnal en la orma polinmica, y = ax2 + bx + c.
y
(6, 3)
0
x
(0, 15)
Rspusta
y = a(x 6) 2 + 3
Dado que se conoce el vrtice, comience por escribir la uncin en la orma cannica.
15 = a(0 6) 2 + 3 36a + 3 = 15
Sabe que y = 15 cuando x = 0. Reemplace estos valores en la ecuacin para resolver en a. Puede verifcar su respuesta obteniendo el grfco de la uncin en su CPG y verifcando el vrtice y la interseccin con el eje y.
36a = 18 a=
1 2
1 2 1 y = x2 + 6x 15 2
y = (x 6) 2 + 3
50
Funciones y ecuaciones cuadrticas
Finalmente, veamos qu sucede si no conocemos el vrtice o las intersecciones con los ejes del grfco. El prximo ejemplo tambin nos lleva a un sistema de tres ecuaciones con tres incgnitas para resolver con la CPG.
ejmplo 16 Escriba la rmula de la uncin cuadrtica que se muestra en el grfco. y (2, 9)
(4, 3) 0
x
(2, 7)
Rspusta
Para el punto (2, 9), 9 = a(2) 2 + b(2) + c 9 = 4a 2b + c Para el punto (2, 7), 7 = a(2)2 + b(2) + c 7 = 4a + 2b + c Para el punto (4, 3), 3 = a(4)2 + b(4) + c 3 = 16a + 4b + c
Usando la CPG, a = 1,5; b = 4; y c = 5. y = 1,5x2 4x 5
En este caso, se dan las coordenadas de tres puntos del grfco de la uncin. Reemplace las coordenadas de x e y de estos tres puntos en la uncin cuadrtica dada en la orma polinmica, y = ax2 + bx + c. Ahora cuenta con tres ecuaciones con tres incgnitas. Puede usar su CPG para resolver en a, b y c.
Para determinar estos puntos en el grfco, vea la seccin 1. 5 en el captulo 17. Si obtiene el grfco de la uncin en su CPG, ver que los tres puntos pertenecen a la curva, como se indic. Captulo 2
51
Ejercitacin 2J Use la inormacin que brindan los grfcos para escribir la rmula de cada uncin en la orma polinmica, y = ax2 + bx + c. 1
y
2
3
y
(1, 8)
y
(0, 5)
(2, 0) 0
(6, 0)
x
(0, 5)
(0, 12)
0
x
(2, 1) 0
4
x
5
y
6
y (1, 13)
(1, 0) 0
(6, 0)
x
y
(5, 30)
(15, 30)
(4, 8)
(0, 4) (4, 5) 0 0
7
8
y
x
y
(2, 25)
(1, 3)
(3, 0) 0
(7, 0) x 0
52
Funciones y ecuaciones cuadrticas
(0,5; 0)
x
(20, 0) x
2.5 apliccions d ls funcions cudrtics En el comienzo de este captulo, vimos que la trayectoria ormada por el agua en un bebedero puede modelizarse mediante una uncin cuadrtica. Las unciones cuadrticas y sus grfcos pueden usarse para modelizar mltiples situaciones. Cuando usamos unciones cuadrticas para resolver problemas, podemos usar los mtodos aprendidos a lo largo de este captulo. Se espera que utilice la CPG como ayuda para responder muchas preguntas.
ejmplo 17 Un granjero desea cercar un jardn rectangular con un vallado de 100 m. Si el jardn tiene x metros de ancho, halle la longitud y el rea del jardn en uncin de x. b Halle el ancho del jardn que tiene un rea de 525 m2. c Halle el rea mxima que puede tener el jardn. Rspusts 50 x
Si el granjero tiene 100 m de valla, el permetro del rectngulo debe ser 100. La suma del largo y el ancho ser, por consiguiente, 50 m.
x
rea = ancho largo
largo = 50 x rea = x(50 x)
Igualar el rea a 525 Escribir la ecuacin cuadrtica en orma polinmica y resolver en x Esta ecuacin tambin podra resolverse completando el cuadrado, usando la rmula cuadrtica o usando su CPG.
b x(50 x) = 525
50x x2 = 525 x2 50x + 525 = 0 (x 15)(x 35) = 0
Si el ancho es 15, el largo es 35. Si el ancho es 35, el largo es 15.
x = 15 m o 35 m
c
y
(25, 625)
600 400 200
20
0
20
40
60 x
La manera ms sencilla de hallar el rea mxima es representar grfcamente la uncin y = x(50 x), donde y es el rea y x es el ancho. Puede hacerlo en su CPG. Vea la seccin 1. 6 en el captulo 17. El vrtice (25, 625) es el punto extremo del grfco y muestra que el rea mxima ocurre cuando el ancho del jardn es 25 m.
El rea mxima es 625 m2.
Captulo 2
53
ejmplo 18 La altura que alcanza una pelota t segundos despus de ser lanzada se modeliza mediante la funcin h = 24t 4,9t2 + 1, donde h es la altura de la pelota en metros. a Halle la altura mxima alcanzada por la pelota. b Durante cunto tiempo la altura de la pelota superar los 20 m? Rspustas y a (2,45; 30,4) 30 25 20 15 10 5 0
1
2
3
4
5
x
La altura mxima es 30, 4 m. b 20 = 24t 4,9t2 + 1
4,9t2 24t + 19 = 0
t 0,9930 segundos y 3,905 segundos 3,905 0,9930 = 2,912 La altura de la pelota superar los 20 m durante aproximadamente 2,91 segundos.
Dibuje el grfco de la uncin y = 24x 4, 9x 2 + 1, donde y es la altura de la pelota y x es el tiempo en segundos. El vrtice est aproximadamente en el punto (2, 45; 30, 4). Esto muestra que la altura mxima ocurre cuando la pelota ha permanecido en el aire por 2, 45 segundos. Se puede hallar el vrtice usando la CPG. Vea la seccin 1. 8 en el captulo 17. Sea h = 20. Escriba una ecuacin cuadrtica en orma polinmica y resuelva en t. Tambin puede resolverla usando la CPG. Vea el la seccin 1. 7 en el captulo 17. La pelota alcanza la altura de 20 m dos veces, una cuando asciende y otra cuando desciende.
ejmplo 19 Luisa requiere de 3 horas para ascender y descender una colina con su bicicleta. Su velocidad promedio cuesta abajo es de 35 km h-1 ms que su velocidad promedio cuesta arriba. Si la distancia desde la base hasta la cima de la colina es de 40 km, halle la velocidad promedio de Luisa en su ascenso y en su descenso de la colina. Rspusta
Sea x la velocidad de ascenso de Luisa. 40 40 + =3 x x + 35
Recuerde que tiempo =
distancia velocidad
,
y que cuando suma los tiempos de ascenso y descenso, el total es de 3 horas. { Contina en la pgina siguiente.
54
Funciones y ecuaciones cuadrticas
Qu otras clases de situaciones de la vida cotidiana pueden modelizarse mediante funciones cuadrticas?
40 +
40 x = 3x x + 35
40x + 1400 + 40x = 3x2 + 105x 3x2 + 25x 1400 = 0
x 17,8 km h1 Luisa alcanza una velocidad promedio de 17,8 km h1 en el ascenso y 52,8 km h1 en el descenso.
Puede multiplicar miembro a miembro por x y luego por (x + 35) para eliminar los denominadores. Exprese la ecuacin en la forma polinmica y resuelva en x usando la CPG. Vea el la seccin 1. 7 en el captulo 17.
Ejercitacin 2K 1
La altura que alcanza una pelota t segundos luego de ser lanzada se modeliza mediante la funcin h = 15t 4,9t2 + 3, donde h es la altura de la pelota en metros. a Halle la altura mxima alcanzada por la pelota. b Durante cunto tiempo la altura de la pelota superar los 12 metros?
2
El rea, A cm2, de un cuadro rectangular est dada por la frmula A = 32x x2, donde x es el ancho del cuadro en cm. Halle las dimensiones del cuadro si el rea es de 252 cm2.
3
Un cable de 40 cm se corta en dos trozos. Con los trozos se forman dos cuadrados. a Si el lado de uno de los cuadrados mide x cm, cunto mide el lado del otro? b Muestre que el rea combinada de los dos cuadrados est dada por A = 2x2 20x + 100. c Cul es la mnima rea combinada de los dos cuadrados?
4
Un portarretratos rectangular mide 50 cm por 70 cm. El portarretratos est rodeado por un marco rectangular de ancho constante. Si el rea del marco es igual a la del portarretratos, cul es la medida aproximada del ancho del marco?
5
El largo de un rectngulo es cinco metros menos que el triple de su ancho. Halle las dimensiones del rectngulo si su rea es de 782 m2.
6
La suma de los cuadrados de tres enteros positivos impares consecutivos es 251. Halle dichos nmeros.
Captulo 2
55
7
Un rectngulo ureo tiene la propiedad de que si es dividido en un cuadrado y un rectngulo menor, el rectngulo menor ser proporcional al rectngulo original. En el siguiente rectngulo ureo ABCD, PQ determina un rectngulo APQD y un rectngulo PCBQ, tal como se muestra a continuacin. A
P
1
D
B
1
Q
AB BC = AD PB
La razn entre el largo y el ancho de un rectngulo ureo se conoce como la divina proporcin. Quizs resulte interesante investigar otras situaciones en las que aparece esta razn particular.
C
Sabiendo que AD = , halle AB. 8
Un carpintero desea construir una terraza rectangular en el ondo de una casa. Un lado de la terraza compartir una pared con la casa y los restantes tres lados tendrn una baranda de madera. Si el carpintero tiene sufciente madera para una baranda de 15 m, qu rea tendr la terraza ms grande que pueda construir?
9
Javier viaja para visitar a su hermana que vive a 500 km de distancia. Viaja 360 km en autobs y 140 km en tren. La velocidad promedio del tren es 10 km h1 ms que la del autobs. Si el viaje entero le toma 8 horas, halle las velocidades promedio del autobs y del tren.
10
Cuando Juan trabaja solo, la limpieza de su casa le toma 2 horas ms que cuando lo hace Juana sola. Si trabajan juntos, Juan y Juana pueden limpiar la casa en 2 horas 24 minutos. Cunto tiempo le lleva a Juan limpiar la casa si trabaja solo?
ejrcicio d rvisin
1
Resuelva cada ecuacin: a (x + 2) 2 = 16 b x2 16x + 64 = 0 c 3x2 + 4x 7 = 0 d x2 7x + 12 = 0 x2 + 2x 12 = 0 f 3x2 7x + 3 = 0
PREGUNTA TIPO EXAMEN 2 Sea f (x) = x2 + 3x 4. Se muestra parte del grfco. a Escriba la coordenada y del punto de interseccin del grfco de fcon el eje y. b Halle las intersecciones del grfco con el eje x. c Escriba la ecuacin del eje de simetra. d Escriba la coordenada x del vrtice del grfco. 56
Funciones y ecuaciones cuadrticas
y
0
x
PREGUNTAS TIPO EXAMEN 3 Sea f (x) = a(x p)(x q). Se muestra parte del grfco. Los puntos (5, 0), (1, 0) y (0, 10) pertenecen al grfco. a Escriba el valor de p y el de q. b Halle el valor de a.
y 25 20 15 10 5
4
Sea f (x) = a(x + 3) 2 6. a Escriba las coordenadas del vrtice del grfco de f. b Sabiendo que f (1) = 2, halle el valor de a. c A partir de lo anterior, halle el valor de f (3).
6 5 4 3 2 1 0
5
La ecuacin x2 + 2kx + 3 = 0 tiene dos races reales iguales. Halle los posibles valores de k.
6
Sea f (x) = 2x2 + 12x + 5. a Escriba la uncin f, dando su respuesta en la orma f (x) = a(x h) 2 + k. b El grfco de g se obtiene a partir de fmediante una traslacin de 4 unidades en la direccin positiva del eje x y 8 unidades en la direccin positiva del eje y. Halle las coordenadas del vrtice del grfco de g.
1
2 x
Las funciones cuadrticas estn ntimamente relacionadas con otras relaciones llamadas secciones cnicas (vase la pgina 60). Cmo se usan estas relaciones en el mundo real?
y
7
Escriba la rmula de la uncin cuadrtica que se muestra en el grfco. D su respuesta en la orma y = ax2 + bx + c.
(4, 0)
(6, 0) 0
x
(2, 12)
ejrcicio d rvisin 1
Resuelva cada ecuacin y d sus respuestas con una aproximacin de 3 ciras signifcativas. a 3x2 5x 7 = 0 b 2x2 + 8x = 3 c
x = 2x 1 x+3
d
1 1 + =5 x x+2
PREGUNTA TIPO EXAMEN 2 La altura de una piedra arrojada desde un puente, h metros sobre el agua, se modeliza mediante la uncin h(t) = 15t + 20 4,9t 2, donde t es el tiempo en segundos tras el lanzamiento de la piedra. a Cul es la altura inicial desde donde se arroj la piedra? b Cul es la mxima altura alcanzada por la piedra? c Durante cunto tiempo la altura de la piedra es mayor a 20 m? d Cunto tiempo tarda la piedra en chocar con el agua debajo del puente? Captulo 2
57
3
El largo de un rectngulo excede en 5 cm al triple del ancho. El rea del rectngulo es 1428 cm2. Halle el largo y el ancho del rectngulo.
y
PREGUNTA TIPO EXAMEN 4 La uncin fest dada por f (x) = ax2 + bx + c. Se muestra parte del grfco de f. Los puntos P( 0, 2), Q(5, 3) y R(5, 27) pertenecen al grfco. Halle los valores de a, b y c. 5
R
P 0
x
Q
Toms conduce su auto 120 km para ir a trabajar. Si pudiese incrementar su velocidad promedio en 20 km h1, llegara al trabajo 30 minutos antes. Cul es la velocidad promedio a la que conduce?
ResuMeN del captulO 2 Roin ion ri
Si xy = 0, entonces x = 0 o y = 0. A esta propiedad se la denomina algunas veces la roi roo no. Esta propiedad puede ser ampliada a: Si (x a)(x b) = 0, entonces x a = 0 o x b = 0. Para resolver una ecuacin por el procedimiento de completar cuadrados, tome la mitad del coefciente lineal, elvela al cuadrado y sume el resultado en ambos miembros de la igualdad. Este proceso crea un trinomio cuadrado perecto en el miembro izquierdo de la ecuacin. Para poder completar el cuadrado, el coefciente de x2 debe ser . Si el trmino de x2 tiene coefciente distinto de , puede sacar Esta frmula aparece ese coefciente como actor comn o dividir toda la expresin en el cuadernillo de frmulas de por ese coefciente. Matemticas NM del IB; por lo tanto, no tiene que memorizarla.
l frm ri
Para cualquier ecuacin en la orma ax2 + bx + c = 0, x=
b b 2 4 ac 2a
R ion ri
Para una ecuacin cuadrtica ax2 + bx + c = 0, Si b2 4ac > 0, la ecuacin tendr dos races reales distintas. Si b2 4ac = 0, la ecuacin tendr dos races reales iguales. Si b2 4ac < 0, la ecuacin no tendr races reales.
Podemos considerar que una ecuacin con dos races reales iguales tiene una sola solucin.
Contina en la pgina siguiente.
58
Funciones y ecuaciones cuadrticas
Grfcos de unciones cuadrticas
Para ecuaciones cuadrticas en la orma polinmica, y = ax2 + bx + c = 0, el grfco cortar al eje y en (0, c).
La ecuacin del eje de simetra es x =
Cuando la uncin cuadrtica bsica y = x2 sure transormaciones, las unciones resultantes pueden escribirse como y = a(x h) 2 + k. Para unciones cuadrticas de la orma y = a(x h) 2 + k, el grfco tendr su vrtice en (h, k). Para unciones cuadrticas de la orma y = a(x p)(x q), el grfco corta al eje x en (p, 0) y (q, 0). Para unciones cuadrticas de la orma y = a(x p)(x q),
el eje de simetra tendr ecuacin x =
b . 2a
p+q . 2
Cuando la uncin est en la orma f(x) = a(x h) 2 + k, tambin conocida como orma del vrtice, el vrtice estar en (h, k). Cuando la uncin est escrita en la orma actorizada, f (x) = a(x p)(x q), el grfco cortar al eje x en (p, 0) y (q, 0).
Captulo 2
59
tora del conoimino
las sions nias: formas mamias n mundo ra El grfco de una uncin cuadrtica tiene la orma de una parbola. Vemos parbolas en el mundo real: la trayectoria de una pelota volando por el aire o la orma de un chorro de agua que uye de una uente.
Las parbolas son solamente una de las cuatro ormas conocidas como sions nias . Estas secciones cnicas se determinan por la interseccin de un cono (o dos conos) y un plano. Las otras secciones cnicas son la circunerencia, la elipse y la hiprbola. Circunferencia
Elipse
Parbola
Hiprbola
{ Una parbola es la orma que
resulta de la interseccin de un cono con un plano paralelo a la generatriz.
Los antiguos griegos estudiaron las secciones cnicas y Apolonio de Perga (c. 262 a.C. c. 1 90 a.C.) ue el primero en darles un nombre. Hipatia (nacida entre 350 d.C. y 370 d.C., muri en 415) ue una matemtica y astrnoma, y directora de la Escuela Platnica de Alejandra (Egipto) en una poca en que solo unas pocas mujeres tenan acceso a la educacin.Desarroll el trabajo de las secciones cnicas de Apolonio. Las secciones cnicas ueron posteriormente estudiadas por el matemtico y poeta persa Omar Khayym (c. 1 048 c. 11 31 ).
60
Pueden usarse ecuaciones matemticas para describir estas fguras: parboa:
y = ax + bx + c
cirunfrnia:
(x h) + (y k) = r
eis:
(x h) a
+
(y k) b
=1
Hirboa:
(x h) a
(y k) b
=1
Teora del Conocimiento: las secciones cnicas, formas matemticas en el mundo real
tteora del conocimieno
Muchos consideran que la circunerencia es la ms perecta de estas secciones cnicas. Resulta seguramente la ms conocida y la vemos cotidianamente en nuestro entorno.
Por qu una circunerencia es perecta ?
Saba que las rbitas de los planetas son formas elpticas? Esto no se mostr hasta principios del siglo XVII. Mucho antes, Apolonio haba planteado la hiptesis de que los planetas tenan tales rbitas cuando estudiaba y nombraba las secciones cnicas, pero nunca lo haba probado.
Cmo cree que este conocimiento evolucion en el tiempo? Hoy en da, vemos elipses, hiprbolas y parbolas en los puentes colgantes, las trayectorias de las naves espaciales y de otros cuerpos en el espacio, y la forma de las antenas parablicas. Quin hubiese imaginado que las secciones de un cono pudieran resultar en ecuaciones matemticas tan tiles y nos brindaran formas que nos ayudan a entender el universo?
Observe a su alrededor: qu otras fguras y ormas ve que puedan modelizarse mediante ecuaciones matemticas?
Por qu cree que la gente trata de usar las matemticas para describir ormas y patrones en el mundo que nos rodea?
Por qu el uso de las matemticas puede ayudarnos a comprender nuestro mundo y nuestro universo?
Captulo 2
61
3
Probabilidad
ObjetivOs del captulO: 5.5
Conceptos de experimento, resultado, resultados equiprobables, espacio muestral (U) y suceso. La probabilidad de un suceso A es P( A) =
n( A) . Los n (U )
sucesos complementarios A y A (no A). El uso de diagramas de Venn, diagramas de rbol y tablas de resultados. Sucesos compuestos, la rmula para P(A B). Sucesos incompatibles o mutuamente excluyentes: P(A B) = 0. Probabilidad condicionada; la defnicin
5.6
P( A | B ) =
P( A B) . P (B)
Sucesos independientes; la defnicin P(A| B) = P(A) = P(A | B).
Probabilidades con y sin reposicin.
an omnzr Qu necesitamos saber
Comprobemos nuestras habilidades
1
1
Sumar, restar, multiplicar y dividir racciones 2 3
+
3 4
1 5 2 9 3 5
= = =
10 15 9 9
+
2 9
33 45
3 15
= =
=
Calcule sin usar la calculadora:
13
1
3 7
2 5
+
5
7
1 5
2 3
3
15
1 5 1 3 9
7 9
20 7 20
9 20
4 3 4 7 4 1 = = =1 7 7 7 3 3 3 2
Sumar, restar y multiplicar decimales 0
9
2
,00 0,2 0,35 0,62 + 0,7 + 0,4 0,38 0,9 0,75 0,2 0,34 Dado que 2 34 = 68 entonces 0,2 0,34 = 0,068 3
62
Calcular porcentajes 52% de 60 = 0,52 60 = 3 ,2 Probabilidad
Realice las siguientes operaciones: 1 0,375 0,65 + 0,05 0,7 0,6 0,25 0,64 50% de 30 f 22% de 0,22 g 12% del 10% de 0,8
3
Verifque sus respuestas a las preguntas 1 y 2 usando su calculadora.
Cul es la probabilidad de que llueva maana? Qu tan probable es que pase mi examen? Cul es la probabilidad de ganar el partido de tbol esta tarde? Tengo certeza de llegar al colegio a tiempo si uso el autobs en lugar del tren?
[ De acuerdo con el servicio meteorolgico del gobierno de los Estados Unidos, la probabilidad de ser alcanzado por un rayo en un ao dado es 1 750 000
Consideramos preguntas como estas todo el tiempo. Usamos las palabras suerte, posibilidad, probabilidad y certeza en nuestras conversaciones cotidianas, pero estas mismas palabras se usan para describir la probabilidad matemtica. Esta importante rama de la matemtica nos ayuda a comprender el riesgo y otros sucesos, desde los promedios deportivos hasta el estado del tiempo y la posibilidad de ser alcanzado por un rayo. En este captulo examinamos el lenguaje de la probabilidad, cmo cuantifcar la probabilidad (asignarle un valor numrico) y las herramientas bsicas que se necesitan para resolver problemas que involucren probabilidades.
.
La probabilidad de ser alcanzado por un rayo para alguien que vive 80 aos es
1
.
6250
Estas probabilidades han sido estimadas a partir de datos sobre el tamao de una poblacin y el nmero de personas alcanzadas por un rayo en los ltimos 30 aos.
Captulo 3
63
invtgacn: dados y probabilidades A mediados del siglo XVII, los matemticos Blaise Pascal, Pierre de Fermat y Antoine Gombaud se mostraron intrigados por este problema surgido a partir de un juego sencillo: Qu es ms probable: obtener un 6 en cuatro lanzamientos de un dado u obtener un doble 6 en 24 lanzamientos de dos dados? Cul opcin cree que es ms probable? Por qu?
3.1 dfncon Un uco es el resultado de un experimento. Un xprmnto es el proceso por el cual se obtiene un resultado. Un xprmnto aatoro es aquel en el cual existe incertidumbre acerca del suceso que pueda ocurrir.
lOW Res
Algunos ejemplos de experimentos aleatorios son:
Arrojar un dado tres veces Lanzar una moneda Tomar dos naipes de un mazo de 52 naipes Registrar el nmero de automviles que pasan por la entrada del colegio en un perodo de 5 minutos
Podemos expresar las posibilidades de que ocurra un suceso usando un nmero comprendido entre 0 y 1. En esta escala, el 0 representa un suceso imposible y 1 representa un suceso que ocurrir, con certeza. Esta medida es la probaba de que ocurra el suceso. Imposible
medianamente probable
0
seguro
1 2
Podemos escribir P (A) para representar la probabilidad de que ocurra un suceso A. De aqu que 0 P (A) 1 . Existen tres formas de calcular la probabilidad de un suceso:
Probabilidad terica Probabilidad experimental Probabilidad subjetiva
Probabilidad terica Un dado equilibrado tiene seis caras numeradas, todas las cuales pueden ocurrir con la misma probabilidad. La lista de los sucesos equiprobables es 1 , 2, 3, 4, 5, 6. 64
Probabilidad
1
El primer libro escrito sobre probabilidades, El libro de los juegos de azar, ue escrito por Gerolamo Cardano (15011575). Cardano ue un astrnomo, flsoo, mdico, matemtico y apostador, de origen italiano. Su libro contena tcnicas para hacer trampas en un juego y saber cmo atrapar a quienes hacen trampas. Una probabilidad no puede ser mayor a 1. Podemos escribir la probabilidad como un nmero decimal, una raccin o un porcentaje. En un dado equilibrado (no cargado) la probabilidad de cada resultado es la misma. En un dado no equilibrado algunos sucesos pueden ser ms probables que otros.
Llamamos a la lista de todos los resultados posibles el sacio mustral, U. La notacin n(U) = 6 muestra que hay seis elementos en el espacio muestral. Sea el suceso A, defnido como el nmero obtenido es el 6. En este espacio muestral hay un 6. n(A) = muestra que que hay un 6 en el espacio muestral. La probabilidad de obtener un 6 cuando se arroja 1
un dado es una en seis, o . En notacin de probabilidad: 6
P( A ) =
n( A ) 1 : = n (U ) 6
La probabilidad terica de un suceso A es P( A ) =
n( A ) n (U )
,
donde n(A) es el nmero de casos avorables al suceso A y n(U) es el nmero total de resultados posibles. Se denomina icosaedro a un poliedro de 20 caras.
Si la probabilidad de un suceso es P, en n experimentos se espera que el suceso ocurra n P veces.
ejmlo 1
4
1 00 = 25
5 1 = 20 4
8
16
1
=
14
b
n(A ) n (U )
13
P( A ) =
9
4
Respuestas n(A) = 5 y n(U) = 20
a
20
2
Se arroja un dado equilibrado con 20 caras numeradas del 1 al 20. El suceso A se defne como el nmero obtenido es un mltiplo de 4. a Determine P (A). El dado se arroja 100 veces. b Cuntas veces espera obtener un mltiplo de 4?
9
11
Hallar n(A) Hay 20 resultados posibles. 5 de ellos son mltiplos de 4 (4, 8, 12, 16 y 20). Probabilidad nmero de experimentos
probabilidad xrimntal (mrica) Muchas veces los resultados no resultan equiprobables pero se puede usar un experimento para estimar las probabilidades. Por ejemplo, para calcular la probabilidad de que una determinada pieza que se est produciendo en una brica sea deectuosa, deberamos evaluar algunas de ellas. Si la primera pieza que evaluamos resulta deectuosa, podramos concluir que todas las piezas son deectuosas. Sin embargo, este puede no ser el caso. Si la segunda pieza no es deectuosa, podramos entonces concluir que la probabilidad de que una pieza sea deectuosa es 12 , dado que la mitad de todas las piezas hasta el momento resultaron deectuosas.
Los procesos que resultan demasiado complicados para permitir un anlisis exacto pueden resolverse mediante mtodos probabilsticos que emplean la ley de los grandes nmeros. Estos mtodos, desarrollados en las dcadas de 1930 y 1940, se conocen como mtodos de Montecarlo, por el famoso casino. Se emplean en una gran variedad de situaciones, desde la estimacin de la fortaleza de una mano en el juego de naipes llamado Bridge, hasta la modelizacin estadstica de una reaccin nuclear en cadena. Quizs resulte interesante explorar las aplicaciones de los mtodos de Montecarlo con mayor profundidad.
Captulo 3
65
Continuando este proceso una cantidad de veces y calculando la razn: Nm ero de piezas defectuo sas Nmero de piezas evaluadas
obtenemos la recuencia relativa de que una pieza resulte deectuosa. A medida que el nmero de piezas evaluadas crece, la recuencia relativa se acerca ms y ms a la probabilidad de que una pieza resulte deectuosa.
El servicio meteorolgico de los Estados Unidos emple este mtodo para estimar la probabilidad de ser alcanzado por un rayo, usando: N m e ro d e p e rs o n a s a l c a n za d a s N m e ro d e p e rs o n a s e n l a p o b l a c i n
Podemos usar esta recuencia relativa para estimar la probabilidad. Cuanto mayor es el nmero de experimentos, ms se acerca la recuencia relativa a la probabilidad.
ejmplo 2 Los colores de los automviles que pasan por la entrada del colegio durante una maana se dan en la tabla siguiente: Color Rojo Negro Amarillo Verde Azul Gris Otros toal
Frecuencia 45 16 2 14 17 23 21 138
a Estime la probabilidad de que el prximo automvil que pase por la
Estos nmeros son estimaciones, porque estamos usando recuencias relativas como estimacin de una probabilidad.
entrada del colegio sea rojo. b A la maana siguiente pasaron 350 automviles por la entrada del
colegio. Estime el nmero de automviles rojos en esa maana. Rspusas a
La recuencia relativa de automviles rojos es
45 . 1 38
Por lo tanto, la probabilidad de que un automvil sea rojo es
45 . 1 38
b Cuando 350 automviles pasan por la entrada del colegio, el nmero 45 de automviles rojos ser aproximadamente 350 = 114. 1 38
Probabilidad subjetiva
Esta probabilidad est dada como una raccin. En los exmenes del IB se debe dar la respuesta en orma exacta o en decimales con tres ciras signifcativas, para las probabilidades.
No siempre es posible repetir un experimento un gran nmero de veces. En estos casos, podemos estimar la probabilidad de un suceso basndonos en un juicio subjetivo, la experiencia, inormacin o una creencia. Por ejemplo, los equipos de tbol Liverpool y Arsenal se enrentarn en un partido del torneo ingls de primera divisin. Cul es la probabilidad de que Liverpool gane? Se podran considerar partidos anteriores entre los dos equipos, como as tambin los ltimos partidos de cada equipo y cul ue el desempeo de ambos en las condiciones meteorolgicas en las que van a jugar, pero fnalmente tendremos que adivinar. 66
Probabilidad
Ejercitacin 3A 1
Se arroja un dado octadrico (ocho caras). Las caras estn numeradas del 1 al 8. Cul es la probabilidad de que, al arrojarlo, el nmero obtenido sea el siguiente? a Un nmero par b Un mltiplo de 3 c Un mltiplo de 4 d Un nmero que no es mltiplo de 4 Menor que 4
En las preguntas sobre probabilidades, todos los dados y las monedas son equilibrados a menos que se indique lo contrario.
2
Un vendedor de automviles usados tiene 150 automviles en su lote. El vendedor sabe que 30 automviles son defectuosos. Uno de los 150 automviles se selecciona al azar. Cul es la probabilidad de que sea defectuoso?
3
La tabla siguiente muestra las frecuencias relativas de las edades de los estudiantes en un colegio secundario.
Al azar signifca que cualquier automvil tiene igual posibilidad de ser seleccionado. Es tan probable elegir uno de los 30 automviles deectuosos como uno de los que no lo son.
a
edad (n aos)
Frcuncia rlativa
13 14 15 16 17 Total
0,15 0,31 0,21 0,19 0,14 1
Se elige al azar un estudiante de este colegio. Halle la probabilidad de que: i El estudiante tenga 15 aos de edad. ii El estudiante tenga 16 o ms aos de edad.
Hay 200 estudiantes en este colegio. b Halle el nmero de estudiantes de 15 aos de edad. 4
Las seis caras de una perinola estn numeradas del 1 al 6. La tabla muestra los resultados de 100 juegos. Nmero en la perinola Frecuencia
1 27
2 18
3 17
4 5 6 15 16 7
Cul es la frecuencia relativa para la salida del 1? Cree que la perinola es equilibrada? D una razn para su respuesta. c Se gira la perinola 3000 veces. Estime el nmero de veces que se obtendr un 4. a
b
5
Cada letra de la palabra CONSECUTIVO se escribe en cartones separados. Los 11 cartones se colocan con las letras hacia abajo. Se extrae un cartn al azar. Cul es la probabilidad de elegir un cartn con las siguientes letras? a La letra C b La letra P c Una vocal Captulo 3
67
6
La perinola que se muestra est cargada. La tabla muestra las probabilidades de obtener rojo y azul. La probabilidad de obtener verde es el doble de la de obtener amarillo. rojo 0,4
Color Frecuencia
amarillo
azul 0,3
verde
Halle la probabilidad de obtener verde. 7
Una bolsa contiene 40 discos numerados del 1 al 40. Se elige un disco al azar. Halle la probabilidad de que el nmero del disco: a Sea un nmero par b Tenga algn dgito 1
3.2. diagramas e venn Hay 00 estudiantes en un grupo. 38 de ellos practican tiro con arco. Se puede mostrar la informacin mediante un iagrama e venn . El conjunto A es el de los estudiantes que practican tiro con arco. n(A) = 38
U
A 38
El rectngulo representa los 100 estudiantes. En consecuencia, n(U) = 100.
Se elige un estudiante al azar. La probabilidad de que el estudiante practique tiro con arco puede escribirse como P(A). P( A ) =
38 1 00
=
19
John Venn naci en Hull, Inglaterra, en 1834. Su padre y su abuelo ueron sacerdotes y a John tambin lo animaron a seguir sus pasos. En 1853 empez a estudiar en el Gonville and Caius College, de la Universidad de Cambridge, del que se gradu en 1857 para convertirse en proesor adjunto de la universidad. Durante los cinco aos siguientes continu con el sacerdocio y regres a Cambridge en 1862 para ensear flosoa y teora de probabilidades. John Venn desarroll una orma grfca para representar conjuntos. A estos grfcos se los conoce como diagramas de Venn.
50
Suceso complementario A El rea fuera de A (pero siempre dentro del espacio muestral U) representa a los estudiantes que no practican tiro con arco. Esto es A, el complemento de A. n(A ) = n(U) n(A)
Recuerde que P( A ) =
n( A)
.
n (U ) U
A 38 62
Del diagrama de Venn vemos que n(A ) = 00 38 = 62 La probabilidad de que un estudiante no practique tiro con arco, P( A ) =
n ( A ) n (U )
=
62 1 00
=
31 50
Observamos que: P (A ) + P(A) =
68
Probabilidad
31 50
+
19 50
=1
Todos los estudiantes o bien practican tiro con arco o bien no practican tiro con arco.
Como suceso, A, puede ocurrir o no ocurrir. P( A ) + P( A ) = 1 P( A ) = 1 P( A )
Interseccin de sucesos De los 1 00 estudiantes, 30 juegan bdminton. De ellos, 1 6 practican ambos: tiro con arco y bdminton. Podemos mostrar esta informacin del siguiente modo: 38 estudiantes practican tiro con arco. 16 estudiantes practican bdminton y tiro con arco, por lo tanto, 38 16 = 22 solo practican tiro con arco.
A
B
22
16
La regin sombreada es la interseccin de A y B. Esta regin representa aquellos estudiantes que practican ambos: tiro con arco y bdminton. La regin se escribe como A B.
U
14
30 estudiantes practican bdminton. 16 estudiantes practican bdminton y tiro con arco, por lo tanto, 30 16 = 14 solo practican bdminton.
48
Hay 100 22 16 14 = 48 estudiantes que no practican tiro con arco ni bdminton.
La probabilidad de que un estudiante elegido al azar practique tiro con arco y bdminton se escribe P(A B).
n(A B) es el nmero de elementos en la interseccin entre los conjuntos A y B.
n(A B) = 1 6 P( A B ) =
n( A B ) n (U )
=
16 1 00
=
4 25 A
La probabilidad de que un estudiante elegido al azar no practique bdminton pero s tiro con arco se escribe P(A B ). P( A B ) =
22 1 00
=
B
U
A B 22
16
11
14
22 estudiantes de un total de 100 practican tiro con arco pero no bdminton.
48
50
A B representa los estudiantes que no practican ni tiro con arco ni bdminton.
U A
B 22
48
16
14
A B
Captulo 3
69
Unin de sucesos
La regin sombreada es la unin de A y B, la regin representa aquellos estudiantes que practican ya sea tiro con arco o bdminton o ambos. La regin se escribe A B.
U A
B 22
16
14
48
Note que o en matemtica incluye la posibilidad de ambos: lo llamamos o inclusivo .
La probabilidad de que un estudiante elegido al azar practique bdminton o tiro con arco se escribe P(A B). Del diagrama, n(A B ) = 22 + 6 + 4 = 52 y de aqu P( A B ) =
n( A B ) n (U )
=
52 1 00
=
25
A B representa todos aquellos estudiantes que o practican tiro con arco o no practican bdminton. n(A B ) = 22 + 6 + 48 = 86 y de aqu P( A B ) =
n( A B) n (U )
=
86 1 00
=
Rspustas
Primero defnir la notacin No sabemos cuntos juegan entretenimientos de computador y de mesa; usar x para representar este valor.
M U
17 x
x
10 x
9
70
Probabilidad
B 22
16
14
48
50
En un grupo de 30 estudiantes, 17 juegan con entretenimientos de computador, 10 juegan con entretenimientos de mesa y 9 no juegan. Dibuje un diagrama de Venn para mostrar esta informacin. Use el diagrama de Venn para hallar la probabilidad de que un estudiante elegido al azar: a Juegue con entretenimientos de mesa b Juegue con entretenimientos de computador y de mesa c Juegue con entretenimientos de mesa, pero no con entretenimientos de computador
Sea C = {estudiantes que juegan con entretenimientos de computador} , M = {estudiantes que juegan con entretenimientos de mesa} Sea x = n (C M) n(C M) = 17 x n(C M) = 10 x
U A
A B
43
ejmplo 3
C
Esto es a partir de la defnicin de probabilidad.
13
{ Contina en la pgina siguiente.
(17 x) + x + (10 x) + 9 = 30 36 x = 30 x= 6 U C
M 11
6
4
9
a
P( M ) =
b c
10 30
=
P(C M ) = P(C M ) =
1
30 4 30
Reemplazar x = 6 para obtener el nmero en cada regin del diagrama Usar el diagrama de Venn y P( A ) =
3 6
Las cuatro regiones del diagrama de Venn conforman el conjunto universal U y por lo tanto deben sumar 30.
= =
n (A) n (U )
1 5 2 15
Ejercitacin 3B 1
En un grupo de 35 nios, 10 son rubios, 14 tienen ojos marrones y 4 son rubios con ojos marrones. Dibuje un diagrama de Venn para representar la situacin. Un nio se elige al azar. Halle la probabilidad de que el nio sea rubio o tenga ojos marrones.
2
En una clase de 25 estudiantes, 15 de ellos estudian francs, 13 de ellos estudian malayo y 5 de ellos no estudian ningn idioma. Se elige al azar uno de estos estudiantes de la clase. Cul es la probabilidad de que estudie francs y malayo?
3
En un grupo de Educacin Fsica hay 25 nias. 13 ya han tomado clases de aerbic y 17 de gimnasia. Una de las nias no ha hecho ninguna de las dos actividades. Cuntas han hecho ambas actividades? Se elige una nia al azar. Calcule la probabilidad de que: a Haya hecho ambas actividades. b Haya hecho gimnasia pero no aerbic.
PREGUNTA TIPO EXAMEN 4 De los 32 estudiantes de una clase, 18 juegan al golf, 16 tocan el piano y 7 realizan ambas actividades. Cuntos no practican ninguna de las actividades? Se elige un estudiante al azar. Halle la probabilidad de que: a Juegue al golf pero no toque el piano. b Toque el piano pero no juegue al golf.
Captulo 3
71
PREGUNTA TIPO EXAMEN 5 El conjunto universal U se defne como el conjunto de los nmeros positivos enteros menores o iguales que 15. Los subconjuntos A y B se defnen como: A = {enteros que son mltiplos de 3} B = {enteros que son divisores de 30} Enumere los elementos de: i A ii B b Ubique los elementos de A y B en la regin correspondiente del diagrama de Venn. c Se elige al azar un nmero de U. Halle la probabilidad de que el nmero sea: i Mltiplo de 3 y divisor de 30 ii Ni mltiplo de 3 ni divisor de 30 a
6
En una ciudad, el 40% de la poblacin lee el diario A, el 30% lee el diario B, el 10% lee el diario C. Se encontr que el 5% lee A y B; el 4% lee A y C; el 3% lee B y C. Adems , el 2% de las personas leen los tres diarios. Halle la probabilidad de que una persona elegida al azar en la ciudad: a Lea solo A b Lea solo B c No lea ninguno de los tres diarios
U A
B
Para esta pregunta necesitar usar tres crculos en el diagrama de Venn, uno para representar cada diario. B U
A
C
La regla de la adicin Aqu est el diagrama de Venn para los estudiantes que practican tiro con arco y bdminton de la pgina 69. U A
B 22
16
14
48
n(A B) = 38 + 30 6, o n(A B) = n(A) + n(B) n(A B) por lo tanto, P(A B) = P(A) + P(B) P(A B)
Para dos sucesos A y B cualesquiera P(A B) = P(A) + P(B) P(A B) 72
Probabilidad
Tanto la probabilidad de que un estudiante practique tiro con arco, como la probabilidad de que un estudiante practique bdminton, incluyen la probabilidad de que un estudiante practique ambos deportes. Solo queremos considerar una vez esta probabilidad, por lo tanto, restamos una de estas probabilidades.
corazones y los diamantes son rojos. Hay 13 naipes en cada palo: as, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, jota, reina y rey. A la jota, la reina y el rey se les llama fguras . Existen en su pas naipes similares o iguales a estos?
jugos d naips Para el prximo ejemplo necesita amiliarizarse con un mazo comn de 52 naipes de juego. En un mazo hay cuatro palos: picas, trboles, corazones y diamantes. Las picas y los trboles son negros, los
emplo 4 Se elige al azar un naipe de un mazo comn de 52 naipes. Halle la probabilidad de que sea un corazn o un rey. Rspusta U R
C A Q
K
J
10 9 8 7 6 5 4 3 2
P(C ) =
13 52
P(R ) =
4 52
P(C R ) =
Necesitamos P(C R). Dibujemos un diagrama de Venn.
K
K K
Hay 13 corazones en el mazo.
Hay 4 reyes en el mazo. 1 52
Hay un naipe que es rey y corazn.
13 4 4 1 16 + = = 52 52 52 52 1 3
Usando P(C R ) = P(C ) + P(R ) P(C R )
Por lo tanto P(C R ) =
Captulo 3
73
ejmplo 5 3
9
Si A y B son dos sucesos tales que P(A) = y P(B) = y 10 20 P(A B) = 2P(A B) halle: a P(A B ) b P(A B ) c P(A B ) Rspustas a Sea P(A B ) = x 3 9 2x = + x 10 20 15 3x = 20
Usar P(A B ) = P(A ) + P(B ) P(A B )
3 3 4 1 x = = P(A B) 4 1 P(A B) = 2 1 b Si P(A B ) = entonces 2 1 1 P(A B ) = 1 = 2 2 1 c Si P(A B ) = 4
x=
Dado que P (A B ) = 2P(A B)
Dado que P(A) = 1 P(A) Usar el resultado del apartado a
P(A B ) = P(A) P(A B ) 1 1 9 = = 5 20 4
Esta es la regin del diagrama que representa a A sin la interseccin con B. U A
B P(A)
P(B)
1
P(A B) = 4
Ejercitacin 3C 1
Dos dados se arrojan 500 veces. Para cada tiro, se escribe la suma de los nmeros que se muestran en las caras. Se obtuvieron las siguientes frecuencias: Suma
2
3
4
5
6
7
8
9
10 11
12
Frecuencias 6
8
21
34 65 80 63 77 68 36
42
Usando las frecuencias, calcule la probabilidad de que: a La suma sea exactamente divisible por 5. b La suma sea un nmero par. c La suma sea exactamente divisible por 5 o sea un nmero par.
74
Probabilidad
2
Se arroja un dado de 10 caras, numeradas del 1 al 10. Calcule la probabilidad de que: El nmero obtenido sea primo. b El nmero obtenido sea primo o mltiplo de 4. El nmero obtenido sea un mltiplo de 4 o un mltiplo de 3.
3
En un grupo de 80 turistas, 40 tienen cmaras otogrfcas, 50 son mujeres y 22 son mujeres con cmaras otogrfcas. Halle la probabilidad de que un turista elegido al azar del grupo tenga cmara otogrfca o sea mujer.
4
Se elige una letra al azar de las 26 letras del idioma ingls. Halle la probabilidad de que est: En la palabra MatHeMatics b En la palabra tRiGONOMetRY En la palabra MatHeMatics y en la palabra tRiGONOMetRY d En la palabra MatHeMatics o en la palabra tRiGONOMetRY
5
Una estudiante va a la biblioteca. La probabilidad de que pida prestada una obra de fccin es 0,40; de que pida una obra de no fccin, 0,30; y de que pida una obra de cada clase, 0,20. Cul es la probabilidad de que la estudiante pida prestada una obra de fccin, de no fccin o ambas? b Cul es la probabilidad de que la estudiante no pida prestada ninguna obra?
PREGUNTAS TIPO EXAMEN 6
En un camino,
1 1 de las casas no reciben peridicos. Si 3 4
reciben el peridico nacional y
3 5
el peridico local, cul es la
probabilidad de que una casa elegida al azar reciba ambos? 7
Si X e Y son dos sucesos tales que P(X) = P(X Y) = 1 , halle: 8 P(X Y) b P(X Y)
8
1 1 y P(Y) = y 4 8
Si P(A) = 0,2 y P(B) = 0,5 y P(A B) = 0,1, halle: P(A B) b P(A B) P(A B)
Captulo 3
75
Sucesos mutuamente excluyentes
A
En una encuesta estudiantil se encuentra que 32 estudiantes juegan al ajedrez. Los clubes de ajedrez y tiro al arco funcionan los mismos das a la misma hora, por lo tanto, un estudiante no puede hacer ajedrez y tiro con arco. Los sucesos A y C se denominan sucesos mutuamnt xcluynts. Son sucesos cuyos resultados no pueden ocurrir al mismo tiempo. Aqu podemos observar que los crculos no se solapan, por lo tanto n(A C ) = 0 y en consecuencia P(A C ) = 0. Ahora P(A C ) = P(A) + P(C ) 0. En general, si dos sucesos A y B son mutuamente excluyentes, P(A B) = 0. De aqu que podemos adaptar la regla de la adicin para estos casos: P(A B) = P(A) + P(B). En general, si A y B son mutuamente excluyentes, P(A B) = 0 y P(A B) = P(A) + P(B).
ejmplo 6 Una caja contiene marcadores para tableros de varios colores. Un profesor extrae un marcador al azar. La probabilidad de extraer un marcador rojo 1 5
3 7
es , y la probabilidad de extraer uno verde es . Cul es la probabilidad de no extraer ni un marcador rojo ni un marcador verde? Rspusta
Sea R el suceso se extrae un marcador rojo. Sea V el suceso se extrae un marcador verde. P(R V) = P(R) + P(V) 22 1 3 + = 35 7 5 22 13 P(R V) = 1 = 35 35
=
Primero defnir la notacin R y V son sucesos mutuamente excluyentes. El proesor extrae cualquiera, rojo o verde, pero no ambos colores. Dado que P(A) = 1 P(A)
Ejercitacin 3D 1
76
He aqu algunos sucesos relacionados con la tirada de dos dados: A: ambos dados muestran un 4 B: el total es 7 o ms C: hay al menos un 6 D: los dos dados muestran el mismo nmero E: ambos dados muestran nmeros impares Cules de los siguientes pares de sucesos son mutuamente excluyentes? a AyB b AyC c AyD d AyE ByE f CyD g ByC Probabilidad
C 38
32 30
U
PREGUNTA TIPO EXAMEN 1 1 3 y P(N M) = . 2 Dos sucesos N y M son tales que P(N) = y P(M) = 5 10 10 Son N y M mutuamente excluyentes? 3
En un grupo de 89 estudiantes, 30 son estudiantes de primer ao y 27 son estudiantes de segundo ao. Halle la probabilidad de que un estudiante elegido al azar de este grupo sea de primer ao o de segundo ao.
PREGUNTA TIPO EXAMEN 4 En un certamen interescolar, la probabilidad de que la escuela A gane 1 la competencia es 1 , la probabilidad de que gane la escuela B es y la
3
1
4
probabilidad de que gane la escuela C es . 5 Halle la probabilidad de que: a A o B gane la competencia. b Gane A, B o C. c Ninguna de estas escuelas gane la competencia.
. diagramas l spacio mustral y la rgla l proucto Es posible enumerar todos los resultados posibles de un experimento si no hay demasiados.
Una pregunta puede pedir que se enumeren todos los resultados posibles.
ejmplo 7 Se hace girar tres veces una perinola equilibrada con los nmeros 1, 2 y 3 estampados en ella. Enumere todos los resultados posibles de este experimento. A partir de lo anterior, halle la probabilidad de que el resultado de la ltima jugada sea mayor que los dos primeros resultados. Rspusta
Los 27 resultados son: 111 121 131 112 122 132 133 113 123 211 221 231 212 222 232 233 213 223 311 321 331 312 322 332 313 323 333
Cuando enumere todos los resultados, necesita ser sistemtico para no omitir ninguno.
En los cinco valores resaltados, el ltimo nmero de la jugada es mayor que los de los dos tiros anteriores. De aqu que la probabilidad es
5 27
.
Captulo 3
77
Diagramas del espacio muestral Otra forma de mostrar todos los resultados posibles de un suceso es mediante un diagrama del espacio muestral.
ejmplo 8
Los diagramas del espacio muestral tambin se denominan diagramas del espacio de probabilidades.
Dibuje un diagrama del espacio muestral para representar los totales obtenidos cuando se arrojan dos dados. Halle la probabilidad de: a Obtener un total de 6 b Tirar un doble c Obtener un total menor que 6
DADO 2
Rspustas
1 2 3 4 5 6
1 (1, 1) (1, 2) (1, 3) (1, 4) (1, 5) (1, 6)
2 (2, 1) (2, 2) (2, 3) (2, 4) (2, 5) (2, 6)
DADO 1 3 4 (3, 1) (4, 1) (3, 2) (4, 2) (3, 3) (4, 3) (3, 4) (4, 4) (3, 5) (4, 5) (3, 6) (4, 6)
5 (5, 1) (5, 2) (5, 3) (5, 4) (5, 5) (5, 6)
(6, (6, (6, (6, (6, (6,
6 1) 2) 3) 4) 5) 6)
(1, 1) da un total de 2, (4, 6) da un total de 10.
Hay 36 resultados posibles representados en este diagrama. 5 36
Las cinco formas posibles de obtener un total de 6 aparecen resaltadas.
DADO 2
a P(6) =
6 1 = 36 6
2 (2, 1) (2, 2) (2, 3) (2, 4) (2, 5) (2, 6)
DADO 1 3 4 (3, 1) (4, 1) (3, 2) (4, 2) (3, 3) (4, 3) (3, 4) (4, 4) (3, 5) (4, 5) (3, 6) (4, 6)
5 (5, 1) (5, 2) (5, 3) (5, 4) (5, 5) (5, 6)
6 (6, 1) (6, 2) (6, 3) (6, 4) (6, 5) (6, 6)
Las seis formas posibles de tirar un doble aparecen resaltadas.
DADO 2
b P(doble) =
1 2 3 4 5 6
1 (1, 1) (1, 2) (1, 3) (1, 4) (1, 5) (1, 6)
1 2 3 4 5 6
1 (1, 1) (1, 2) (1, 3) (1, 4) (1, 5) (1, 6)
2 (2, 1) (2, 2) (2, 3) (2, 4) (2, 5) (2, 6)
DADO 1 3 4 (3, 1) (4, 1) (3, 2) (4, 2) (3, 3) (4, 3) (3, 4) (4, 4) (3, 5) (4, 5) (3, 6) (4, 6)
5 (5, 1) (5, 2) (5, 3) (5, 4) (5, 5) (5, 6)
6 (6, 1) (6, 2) (6, 3) (6, 4) (6, 5) (6, 6)
{ Contina en la pgina siguiente.
78
Probabilidad
Las 10 formas posibles de obtener un total menor a 6 aparecen resaltadas.
5 10 = 18 36
DADO 2
c P(total < 6) =
1 2 3 4 5 6
1 (1, 1) (1, 2) (1, 3) (1, 4) (1, 5) (1, 6)
2 (2, 1) (2, 2) (2, 3) (2, 4) (2, 5) (2, 6)
DADO 1 3 4 (3, 1) (4, 1) (3, 2) (4, 2) (3, 3) (4, 3) (3, 4) (4, 4) (3, 5) (4, 5) (3, 6) (4, 6)
5 (5, 1) (5, 2) (5, 3) (5, 4) (5, 5) (5, 6)
6 (6, 1) (6, 2) (6, 3) (6, 4) (6, 5) (6, 6)
ejmplo 9 En un experimento se lanza una moneda y se arroja un dado. Dibuje un diagrama del espacio muestral para este experimento. Halle la probabilidad de obtener una cara en la moneda (C) y un nmero menor que 3 (T) en el dado, en un solo experimento. Rspusta
1 2 3 4 5 6 C (1, C) (2, C) (3, C) (4, C) (5, C) (6, C) T (1, T) (2, T) (3, T) (4, T) (5, T) (6, T) P(cara y nmero menor que 3) =
Los resultados que dan una cara y un nmero menor que 3 aparecen sombreados.
2 1 = 12 6
Ejercitacin 3E PREGUNTA TIPO EXAMEN Se lanzan tres monedas equilibradas una despus de otra y se anotan los resultados. Un posible resultado es que todas las monedas salgan cara (C). Esto se escribe como CCC. Otra es que las dos primeras monedas salgan cara y la ltima ceca (X). Esto puede escribirse como CCX. Enumere todo el espacio muestral para este experimento aleatorio. Halle la probabilidad de que: a El nmero de caras sea mayor que el de cecas. b Se obtengan al menos dos caras consecutivas. c Se obtengan caras y cecas alternativamente.
1
2
Una moneda no cargada (equilibrada) es aquella en la que es tan probable que salga cara como ceca.
Dibuje el diagrama del espacio muestral para el experimento aleatorio Dos dados tetradricos, uno azul y el otro rojo, tienen caras numeradas del 1 al 4. Se lanzan y se anota el resultado. Halle la probabilidad de que: a El nmero en el dado rojo sea mayor que el del dado azul. b La diferencia entre los nmeros de los dados sea uno. c El dado rojo muestre un nmero impar y el dado azul muestre un nmero par. d La suma de los nmeros de los dados sea un nmero primo. Captulo 3
79
PREGUNTA TIPO EXAMEN
Huellas genticas
Una caja contiene tres cartones marcados con los El mtodo de las huellas genticas nmeros 1, 2, 3. Una segunda caja contiene cuatro ue desarrollado en 1984 por cartones marcados con los nmeros 2, 3, 4, 5. Alec Jereys, catedrtico de la Un cartn se escoge al azar de cada caja. Universidad de Leicester. Cada uno de nosotros tenemos una nica Dibuje el diagrama del espacio muestral composicin gentica que est para el experimento aleatorio. contenida en el ADN, que heredamos Halle la probabilidad de que: de nuestros padres. a Los cartones tengan el mismo nmero. El ADN puede extraerse de las clulas b El mayor de los dos nmeros extrados sea 3. y fuidos corporales y analizarse para c La suma de los nmeros de los cartones sea menor producir nuestra huella gentica , que 7. como se muestra ms abajo. d El producto de los nmeros de los cartones sea Cuando se comparan huellas genticas al menos 8. es usual comparar estas bandas. e Se escoja al menos un nmero par. Algunas de estas comparaciones 4 Seis cartones, numerados 0, 1, 2, 3, 4 y 5, se colocan se usaron como pruebas para en una bolsa. Se extrae uno al azar, se anota el condenar a los criminales, pero el nmero y luego se repone en la bolsa. Luego, procedimiento est siendo investigado se elige un segundo cartn. Dibuje el diagrama debido a la dependencia de actores del espacio muestral para el experimento aleatorio. probabilsticos. Comnmente se Halle la probabilidad de que: examinan y comparan entre 10 y a Los cartones tengan el mismo nmero. 20 bandas. Las pruebas empricas sugieren que la probabilidad de b El mayor de los nmeros extrados sea primo. que una banda concuerde por mera c La suma de los dos nmeros en los cartones 1 sea menor que 7. coincidencia es , aunque este 4 d El producto de los nmeros de los cartones valor es debatible. La probabilidad sea al menos 8. de que dos bandas coincidan ser e Se escoja al menos un nmero par. 1 consecuentemente de . 5 Toms juega a un entretenimiento con un dado, 16 llamado Vaya y venga. Arroja el dado. Si el resultado es 1, avanza un metro. Si es 2, se mueve un metro a la derecha. Si es 3, retrocede un metro. Si es 4, se mueve un metro a la izquierda. Si es 5 o 6, se queda en la posicin donde est. Toms arroja el dado dos veces. Hace dos pasos. Cul es la probabilidad de que ocurra lo siguiente? a Est en el mismo punto donde comenz. b Est exactamente a dos metros de distancia de su posicin original. c Est a ms de uno pero menos de dos metros de distancia de su posicin original. 3
Regla del producto para sucesos independientes Cuando se arrojan un dado y una moneda, tal como en el ejemplo 9 de la pgina anterior, los sucesos resultan independientes. Esto se debe a que el resultado de la moneda no infuye en el resultado del dado y viceversa. 80
Probabilidad
Dos sucesos A y B son independientes si la probabilidad de que ocurra uno no aecta la probabilidad de que ocurra el otro. He aqu el espacio muestral para un dado y una moneda. 1
2
3
4
5
6
c
(1, C)
(2, C)
(3, C)
(4, C)
(5, C)
(6, C)
t
(1, T)
(2, T)
(3, T)
(4, T)
(5, T)
(6, T)
Se defne el suceso C como la moneda sale cara. Del diagrama: P(C ) =
6
1
=
12
2
Se defne el suceso T como el dado muestra un nmero menor que 3. P(T) =
4
=
12
P(C T) =
Hay dos resultados donde la moneda sale cara y el dado muestra un nmero menor que 3.
1 3 2
=
12
1 6
Pero tambin podemos notar que: P(C T) = P(C ) P(T) =
1 2
1 1 = 6 3
Cuando dos sucesos A y B son independientes P(A B) = P(A) P(B) Esta es la rgla dl produo para susos indpndins. Tambin se denomina regla de la multiplicacin. Los diagramas del espacio muestral pueden ayudar a visualizar el nmero de resultados posibles, pero no siempre es necesario dibujar uno.
ejmplo 0 Una bolsa contiene 3 bolillas rojas y 2 blancas, otra bolsa contiene 1 roja y 4 blancas. Se selecciona una bolilla al azar de cada caja. Halle la probabilidad de que: a Ambas bolillas sean rojas. b Las bolillas sean de dierentes colores. Al menos una de las bolillas sea blanca. Respuestas a
3 5 1 De la segunda bolsa P(R2) = 5
Los sucesos tomar una bolilla roja de la bolsa (R1) y tomar una bolilla roja de la bolsa (R2) son independientes. En R1 hay 3 bolillas rojas de un total de 5. En R2 hay 1 bolilla roja de un total de 5.
En consecuencia, P(R1 R2)
Los sucesos R1 y R2 son independientes, entonces P(R1 R2 ) = P(R1 ) P(R2 ).
De la primera bolsa P(R1) =
3 1 3 = = 25 5 5
{ Contina en la pgina siguiente. Captulo 3
81
b
3 5 4 De la segunda bolsa P(B2) = 5
De la primera bolsa P(R1) =
Si las bolillas son de colores dierentes signifca que o bien la primera es roja y la segunda blanca, o bien la primera es blanca y la segunda roja.
En consecuencia, P(R1 B2) =
3 12 4 = 5 25 5
2 5 1 De la segunda bolsa P(R2) = 5
De la primera bolsa P(B1) =
En consecuencia, P(B1 R2) =
2 2 1 = 25 5 5
P(colores diferentes) = P(R1 B2) + P(B1 R2)
Estos sucesos son mutuamente excluyentes.
12 2 14 + = 25 25 25 c P(al menos una blanca)
= 1 probabilidad de que ambas sean rojas = 1 P(R1 R2) =1
22 3 = 25 25
Para al menos una de las bolillas es blanca, podramos calcular la probabilidad de que ambas
sean blancas, la probabilidad de que la primera sea blanca y la segunda roja y la probabilidad de que la primera sea roja y la segunda blanca, y sumar estas probabilidades. O
Si al menos una es blanca, signifca que ambas no pueden ser rojas. Este es un mtodo usual de resolver problemas que contengan las palabras al menos. Calculamos: 1 la probabilidad del complemento del suceso.
Ejercitacin 3F 1
Mi guardarropas contiene cinco camisas: una azul, una marrn, una roja, una blanca y una negra. Abro el guardarropa y escojo una camisa sin mirar. Repongo esta camisa y luego escojo otra. Cul es la probabilidad de que elija la camisa roja las dos veces?
2
Se elige al azar un naipe de un mazo de 52. Se repone y se escoge un segundo naipe. Cul es la probabilidad de que se elija un rey y un diez?
3
Se lleva a cabo una encuesta sobre la comida que se sirve en la cafetera de una gran escuela. Se hall que a 4 de los estudiantes 5
les gusta la pasta. Tres estudiantes se eligen al azar. Cul es la probabilidad de que a los tres les guste la pasta?
82
Probabilidad
Para las preguntas de la 2 a la 8, posiblemente necesite recordar el juego de naipes: vea la pgina 73.
PREGUNTAS TIPO EXAMEN 4 Adn juega un partido de cricket y un partido de hockey durante el fn de semana. La probabilidad de que su equipo gane el partido de cricket es 0,75, y la probabilidad de que gane el partido de hockey es 0,85. Suponga que los resultados de los partidos son independientes. Cul es la probabilidad de que el equipo de Adn gane ambos partidos? 5
Los sucesos A, B y C son tales que A y B resultan mutuamente excluyentes y P (A) = 0,2; P (C ) = 0,3; P (A B) = 0,4 y P (B C) = 0,34. Calcule P(B) y P (B C ). b Determine si B y C son independientes. a
6
Se lanza una moneda y se arroja un dado de seis caras. Halle la probabilidad de que se obtenga una cara en la moneda y no un 6 en el dado.
7
Un misil aire-aire tiene una probabilidad de 8 de dar en el 9
blanco. Si se lanzan cinco misiles, cul es la probabilidad de que el blanco no sea destruido? 8
Se escogen cuatro naipes de un mazo de 52 cartas, con reposicin. Cul es la probabilidad de escoger 4 corazones, uno tras otro?
PREGUNTA TIPO EXAMEN 9 Sabiendo que P (E ) = P (F) = 0,6 y P (E F) = 0,24 a Escriba P(E). b Explique por qu E y F son independientes. c Explique por qu E y F no son mutuamente excluyentes. d Halle P(E F ). 10
Tres bolsas contienen 4 canicas rojas y 8 canicas azules cada una. Se escoge al azar una canica de cada bolsa. Cul es la probabilidad de que la primera canica sea roja, la segunda canica sea azul y la tercera roja?
11
Un dado de seis caras est numerado: 1, 2, 2, 5, 6, 6. Se lo lanza tres veces. Cul es la probabilidad de que la suma de los nmeros obtenidos sea 6?
PREGUNTA TIPO EXAMEN A y B son sucesos independientes tales que P(A) = 0,9 y P(B) = 0,3. Halle: a P (A B) b P (A B ) c P (A B)
12
Captulo 3
83
PREGUNTA TIPO EXAMEN 13 Los sucesos independientes G y H son tales que P (G H ) = 0,12 y P(G H) = 0,42. Dibuje un diagrama de Venn para representar los sucesos G y H. Sea P(G H) = x. Halle dos posibles valores de x. 14
Se arrojan cuatro dados. Halle la probabilidad de que: a Los cuatro dados muestren un 6. b Los cuatro dados muestren el mismo nmero.
15
Qu es ms probable: obtener un 6 en cuatro tiradas de un dado, u obtener un doble 6 en 24 tiradas de dos dados?
16
Un programa produce (independientemente) tres dgitos al azar del 0 al 9. Por ejemplo: 247 o 309 o 088 o 936 a Halle la probabilidad de que ninguno de los tres dgitos sea un 5. b Halle la probabilidad que al menos un dgito sea un 5.
Esta es la pregunta que se abord en la investigacin con dados de la pgina 64.
investgacn: el dilema de Monty Hall El siguiente es un amoso acertijo de probabilidad que se basa en un programa de televisin estadounidense conocido como Hagamos un trato .
1
2
3
El nombre proviene del anftrin original del programa, Monty Hall. Suponga que usted participa del juego y le dan la posibilidad de elegir entre tres puertas. Detrs de una de las puertas se encuentra el premio principal (un automvil) y detrs de las otras dos puertas hay fascos, premios no deseados. El automvil y los premios no deseados se colocan aleatoriamente detrs de las puertas, antes del programa.
Las reglas del juego son: despus de elegir la puerta, esta permanece cerrada por el momento. Monty Hall, que sabe qu hay detrs de las puertas, abre una de las dos restantes y siempre revela uno de los premios no deseados. Luego de abrir una de las puertas y mostrar el fasco, Monty Hall le pregunta al participante si desea continuar con su primera eleccin de puerta o cambiar por la puerta restante. Qu hara usted? a Mantenerse con su primera eleccin. b Cambiar a la puerta cerrada restante. c En realidad no importa. La probabilidad es la misma en ambos casos.
84
Probabilidad
Volveremos a ver este problema al fnalizar el captulo.
3.4 probabilidad condicionada He aqu un diagrama de Venn que muestra a los estudiantes que practican tiro con arco y bdminton. U A
B 22
16
14
48
Si sabemos que un estudiante en particular practica bdminton, cmo afecta a la probabilidad de que tambin practique tiro con arco? En total, 30 estudiantes practican bdminton; 1 6 de estos practican tiro con arco. Escribimos la probabilidad de que un estudiante practique tiro con arco sabiendo que practica bdminton como P ( A | B ) . Notamos que: P ( A| B ) =
n( A B ) n(B )
=
16 8 = 30 1 5
Esto se conoce como robabilidad condicionada , dado que el resultado de A deende del resultado de B. 16
Adems, se deduce que P ( A | B ) =
P( A B) P(B)
=
1 00 30 1 00
=
16 8 = 30 1 5
En general, para dos sucesos A y B la probabilidad de que ocurra A sabiendo que ocurri B puede hallarse usando: P ( A| B ) =
P( A B) P(B)
Si reordenamos la frmula, nos da: P(A B) = P ( A | B ) P(B) Si A y B son sucesos independientes, P ( A | B ) = P(A), P ( B | A ) = P(B), P ( A | B ) = P(A) y P ( B | A ) = P(B)
Recuerde que para sucesos independientes P(A B) = P(A) P(B). Por defnicin, para sucesos independientes A y B, la probabilidad de que ocurra A sabiendo que ocurri B ser igual que la probabilidad de A, puesto que el hecho de que ocurra B no aecta a A.
Captulo 3
85
ejmplo De los 53 miembros del personal del colegio, 36 beben t, 18 beben caf y 10 no beben t ni caf. Cuntos miembros del personal toman t y caf? Un miembro del personal se elige al azar. Halle la probabilidad de que: b Beba t pero no caf. c Sabiendo que bebe t, tambin beba caf. d Sabiendo que bebe t, no beba caf. a
Respuestas a
U T
C 36 x
x
Dibujar un diagrama de Venn para mostrar la informacin
18 x
10
Sea n (T C ) = x. Por lo tanto, 36 x + x + 18 x + 10 = 53 64 x = 53 x = 11
n(T C ) es el nmero que beben caf y t. 53 es el total de miembros del personal en el diagrama de Venn. Resolver en x
Hay 11 personas que beben t y caf. b P(T C ) =
36 11 = 25
33
P (C T )
c P(C| T) =
=
25
P (T )
11 53 = 36 53
11 53 11 = 53 56 36
d P(C | T) =
=
P (C T ) P (T )
25 53 = 36 53
P (C T) = P (T C )
25 53 25 = 53 36 36
Ejercitacin 3G PREGUNTA TIPO EXAMEN 1 Hay 27 estudiantes en una clase. 15 toman clases de Artes Visuales y 20 toman clases de Teatro. Cuatro no toman ninguna de estas dos asignaturas. Cuntos estudiantes toman clases de ambas asignaturas? Una persona se elige al azar. Halle la probabilidad de que: a l o ella tomen clases de Teatro pero no de Artes Visuales. b l o ella tomen clases de al menos una de las dos asignaturas. c l o ella tomen clases de Teatro, sabiendo que l o ella toman clases de Artes Visuales. 86
Probabilidad
PREGUNTA TIPO EXAMEN 2 Para los sucesos A y B se sabe que: P(A B ) = 0,35; P(A) = 0,25; P(B) = 0,6. Halle: a P(A B) b P(A| B) c P(B | A) 3
El 48% de los adolescentes poseen patinetas y el 39% de los adolescentes poseen patinetas y patines de ruedas. Cul es la probabilidad de que un adolescente posea un patn de ruedas sabiendo que posee una patineta?
4
Se elige un nmero al azar de la siguiente lista de ocho nmeros: 2 4 7 6 22 29 Halle: a P(sea par | no es un mltiplo de 4) b P(sea menor que 15 | es mayor que 5) c P(sea menor que 5 | es menor que 15) d P(est comprendido entre 10 y 20 | est comprendido entre 5 y 25)
5
En mi ciudad, el 95% de todos los hogares cuentan con un computador de escritorio. El 61% de todos los hogares tienen computador de escritorio y computador porttil. Cul es la probabilidad de que un hogar dado cuente con computador porttil sabiendo que cuenta con computador de escritorio?
6
La probabilidad de que un estudiante tome clases de Tecnologa del Diseo y Espaol es 0,1. La probabilidad que un estudiante tome clases de Tecnologa del Diseo es 0,6. Cul es la probabilidad de que un estudiante tome clases de Espaol sabiendo que toma clases de Tecnologa del Diseo?
7
U y V son sucesos mutuamente excluyentes. P (U) = 0,26; P (V) = 0,37. Halle: a P (U y V) b P (U | V) c P (U o V).
8
Una profesora tom a su clase una prueba 1 del IB y una prueba 2 del IB. El 35% de la clase pas ambos exmenes y el 52% de la clase pas la prueba 1. Qu porcentaje de aquellos que pasaron la prueba 1 tambin pasaron la prueba 2?
9
Una jarra contiene canicas negras y blancas. Dos canicas se escogen al azar, sin reposicin. La probabilidad de elegir una canica negra y luego una blanca es 0,34, y la probabilidad de elegir una canica negra en la primera extraccin es 0,47. Cul es la probabilidad de elegir una canica blanca en la segunda extraccin sabiendo que la primera canica extrada fue negra?
PREGUNTA TIPO EXAMEN 10 La tabla a continuacin contiene el nmero de jugadores de tenis de mesa diestros y zurdos en una muestra de 50 hombres y mujeres. Hombres Mujeres Total
Zurdos 5 2 7
Diestros 32 11 43
Total 37 13 50
Un jugador de tenis de mesa fue elegido al azar del grupo. Halle la probabilidad de que la persona sea: a Un hombre zurdo b Diestra c Diestra, sabiendo que es mujer Captulo 3
87
11
J y K son sucesos independientes. Dado que P(J | K) = 0,3 y P(K) = 0,5, halle P(J).
12
Su vecino tiene dos hijos. Usted sabe que tiene un hijo llamado Samuel. Cul es la probabilidad de que Samuel tenga un hermano varn?
No resulta tan obvio como parece!
investgacn: volvemos al problema de Monty Hall Consideremos una situacin en el juego. Supongamos que el participante haya elegido la puerta 3 y Monty Hall revele que hay un premio no deseado detrs de la puerta 2. Cul es la probabilidad condicionada de que el automvil est detrs de la puerta 1? Sea A la condicin de que el automvil est detrs de la puerta 1 y el participante ha elegido la puerta 3. Sea B la condicin de que Monty Hall haya revelado que hay un premio no deseado detrs de la puerta 2 sabiendo que el participante ha elegido la puerta 3. La probabilidad de A y B (P(A B)) es solamente
1
1 1 1 = porque 3 3 9
2
Anlisis del problema de Monty Hall usando probabilidades condicionadas
si el automvil est detrs de la puerta 1 y el participante ha elegido la puerta 3, Monty Hall tiene que mostrar qu hay detrs de la puerta 2. El problema es el cmputo de la probabilidad de haber mostrado un premio no deseado detrs de la puerta 2 sabiendo que la eleccin ue la puerta 3. Esta situacin puede darse de dos maneras: 1 Cuando el auto est detrs de la puerta 1 2 Cuando el auto est detrs de la puerta 3 1 La primera tiene una probabilidad de , como se mostr anteriormente. 9
En la segunda situacin, el anftrin podra revelar cualquiera: lo que hay detrs de la puerta 1 o la puerta 2. Si el anftrin elige aleatoriamente (equiprobablemente) entre las dos puertas, entonces la probabilidad de mostrar lo que hay detrs de la puerta 2 es
1 1 1 . Por lo tanto, la probabilidad = 2 9 18
de que se revele un premio no deseado detrs de la puerta 2 cuando el participante ha elegido la puerta 3 es
3 1 1 1 . + = 9 2 9 18
Esto es P(B), la probabilidad de B. Queremos la probabilidad condicionada, P ( A | B ) . Est dada por P ( A | B) =
P ( A B) P ( B)
=
1 9 3 18
=
2 . 3
Esto signifca que la probabilidad condicionada de que el automvil est detrs de la puerta 3 sabiendo que el participante ha elegido la puerta 3 y le hayan mostrado que hay un premio no deseado detrs de la puerta 2 es solamente
88
Probabilidad
1 . Consecuentemente, vale la pena cambiar! 3
3
3.5 diagramas rbol probabilia Los diagramas de rbol resultan tiles para problemas donde ocurre ms de un suceso. Algunas veces resulta ms sencillo emplearlos en lugar de enumerar todos los resultados. Es importante leer la pregunta cuidadosamente y distinguir entre los diferentes tipos de situaciones.
Probabilidad con reposicin y sucesos repetidos ejmplo 12 La probabilidad de que Samuel, un miembro entusiasta del club de tiro con arco del colegio, d en la diana es 0,8. Samuel intenta dos tiros. Suponga que el xito de cada tiro es independiente del resultado del tiro anterior. Represente esta informacin es un diagrama de rbol. Halle la probabilidad de que Samuel: a D dos veces en la diana. b D en la diana una sola vez. c D en la diana al menos una vez. La primera rama del diagrama de rbol representa el primer tiro de Samuel. Tendr xito en dar en la diana o racasar. La probabilidad de que racase es 1 0, 8 = 0, 2. El resultado se muestra al fnal de la rama, la probabilidad se coloca al lado de cada rama.
Respuestas XITO 0,8
0,2 FRACASO 0,8
XITO
0,8
0,2
FRACASO
0,2
0,8
XITO
XITO
El segundo tiro dar en la diana exitosamente o racasar. En consecuencia, hay cuatro resultados posibles para este experimento: Un xito seguido de un xito (E y E) Un xito seguido de un racaso (E y F) Un racaso seguido de un xito (F y E) Un racaso seguido de un racaso (F y F)
FRACASO 0,2
a
FRACASO
Queremos hallar P( E y E). Por lo tanto, P(E y E) = 0,8 0,8 = 0,64
b P(E y F) + P(F y E)
= (0,8 0,2) + (0,2 0,8) = 0,32
c P(al menos un xito)
= 1 (0,2 0,2) = 1 0,04 = 0,96
Dado que un xito en el primer tiro es independiente de un xito en el segundo tiro, podemos multiplicar las probabilidades (regla del producto). Multiplicamos a lo largo de las dos primeras ramas. Un solo xito podra darse si el primer tiro da en la diana y el segundo no, o si el primer tiro no da en la diana y el segundo s. Estos dos sucesos (E y F) y (F y E) son mutuamente excluyentes: no pueden ocurrir simultneamente. Multiplicamos a lo largo de cada rama (ya que nuevamente los sucesos son independientes) y luego sumamos (ya que los sucesos resultan mutuamente excluyentes). Aqu necesitamos 1 P(racaso en dar en la diana las dos veces). Por lo tanto, tenemos 1 P(F y F).
Captulo 3
89
Ejercitacin 3H 1
2
Liz contesta dos preguntas de examen. La probabilidad de que conteste correctamente cualquier pregunta del examen es 2 . 3 a Copie y complete el diagrama. Correcta 2 b Cul es la probabilidad de que conteste 3 correctamente solo una pregunta? c Cul es la probabilidad de que conteste correctamente al menos una?
Correcta
Incorrecta 2 3
Cuando Laura y Michelle juegan en el equipo de hockey, la probabilidad de que Laura anote es 1 y la probabilidad de que lo haga Michelle es 1 . 2
3
Dibuje un diagrama de rbol para ilustrar esta informacin y selo para hallar la probabilidad que ninguna de las dos anote en el prximo partido. PREGUNTA TIPO EXAMEN Hay igual nmero de nios y nias en una escuela y se sabe
3
1
que 1 0 de los varones y 1 de las nias llegan caminando a 10 1 la escuela. Adems, de los nios y 1 de las nias vienen en 3
2
automvil. El resto llega en autobs. Determine: La proporcin de alumnos de la escuela que son nias que llegan en autobs b La proporcin de alumnos de la escuela que llegan en autobs a
4
En la pregunta 3, el diagrama tendr dos ramas en la primera seccin, cada una de las cuales tendr tres ramas en la segunda seccin.
Determine la probabilidad de obtener dos caras en tres lanzamientos de una moneda no equilibrada para la cual P(cara) = 2 . 3
5
Un dado de 10 caras tiene los nmeros 110 escritos en ellas. Se lo arroja dos veces. Halle la probabilidad de que: a Se obtenga exactamente un nmero primo. b Se obtenga al menos un nmero primo.
PREGUNTA TIPO EXAMEN 6 La probabilidad de que un da sea ventoso es 0,6. Si est ventoso, la probabilidad de que llueva es 0,4. Si no est ventoso, la probabilidad de que llueva es 0,2. a Copie y complete el diagrama de rbol. b Cul es la probabilidad de que un da dado llueva? c Cul es la probabilidad de que no llueva dos das consecutivos? 90
Probabilidad
Lluvioso Ventoso
Lluvioso
probabilidad sin rosicin y robabilidad condicionada ejmlo 13 Una bolsa contiene 5 bolillas grises y 6 bolillas rojas. Si se extraen dos bolillas en forma consecutiva, sin reposicin, cul es la probabilidad de que ocurra lo siguiente? a Se haya elegido al menos una gris. b Se haya tomado una roja en la primera extraccin sabiendo que se ha elegido al menos una gris. Respuestas Dado que en primer lugar se ha extrado una bolilla roja, quedarn 5 bolillas rojas (y 5 grises). 5 10
R
R
6 11
5 11
a
Dibuje un diagrama de rbol. Las probabilidades de la segunda rama dependen de lo que ha ocurrido en la primera rama.
5 10
G
6 10
R
4 10
G
G
P(al menos una gris) = 1 P(ambas rojas) = 1
6
1 1
Resulta ms rpido calcular la probabilidad de esta forma que calcular la probabilidad de gris en la primera extraccin, o gris en la segunda extraccin o gris en ambas extracciones.
5 3 8 =1 = 10 11 11
b P(roja seguida de gris)
=
Esto signifca que la probabilidad de la segunda extraccin depende del resultado de la primera extraccin, puesto que se quit la bolilla despus de la primera extraccin.
(
P ro j a en la p rim era y al m eno s una gris
(
P al m eno s una gris
6 51 3 3 11 10 2 11 = = = 8 8 8 11 11
)
)
Cuando la roja se selecciona primero, la probabilidad de que 5 la segunda sea gris es , por 10 lo tanto multiplicamos estas probabilidades.
Algunos diagramas de rbol no tienen la disposicin clsica que hemos visto hasta el momento.
Captulo 3
91
ejmplo 4 Tobas es una estrella en ascenso del club de tennis del colegio. Sabe que, cuando logra colocar adentro el primer servicio, la probabilidad de que gane el punto es 0,75. Cuando usa su segundo servicio, hay una posibilidad de 0,45 de que l gane el punto. Logra colocar el primer servicio adentro en 3 de 5 ocasiones y su segundo servicio en 3 de 4 ocasiones. a Halle la probabilidad de que Tobas gane el punto la prxima vez que le toque el servicio. b Sabiendo que Tobas gan el punto, cul es la probabilidad de que haya colocado adentro su primer servicio? Respuestas
3 5
2 5
0,75
Gana
0,25
Pierde
Adentro 0,45 Adentro
3 4
0,55
Afuera 1 4
a
Gana
Pierde
Afuera
P(gane)= P(coloca adentro el primer servicio y gana) + P(pierde el primer servicio, coloca adentro el segundo servicio y gana) 3 0, 75 + 5
En este diagrama, no es necesario continuar las ramas una vez que se ha conseguido el punto.
Multiplicamos a lo largo de las ramas.
2 3 0, 45 5 4
= 0,45 + 0,135 = 0,585 b P(1. er adentro | gana el punto)
=
=
(
P 1.
er
adentro y gane el punto P ( gane el p unto )
3 0 , 75 5 0, 585
)
Ambos valores se hallaron en el apartado a. Esta respuesta se dio con 3 cs dado que la respuesta exacta (en forma de fraccin) no es obvia.
= 0 , 769 (3 c s )
Ejercitacin 3I 1
92
Se extraen tres naipes al azar de un mazo de naipes. Los naipes no se reponen. Halle la probabilidad de obtener: a Tres fguras b Dos fguras
Probabilidad
Vea la pgina 73 para el mazo comn de 52 naipes de juego.
PREGUNTA TIPO EXAMEN 2 Una caja contiene 5 lapiceras sin tinta y 7 con tinta. Un nio, en primer lugar, y una nia, a continuacin, eligen una lapicera cada uno. a Cul es la probabilidad de que elijan dos sin tinta? b Cul es la probabilidad de que al menos una de las lapiceras escogidas no tenga tinta? c Si se escoge exactamente una lapicera sin tinta, cul es la probabilidad de que la haya escogido la nia? 3
En una bolsa hay 4 bolillas rojas, 3 bolillas verdes y 2 amarillas. Se escoge una bolilla al azar y no se repone. Luego, se escoge una segunda bolilla. a Halle P(las bolillas son ambas verdes). b Halle P(las bolillas son del mismo color). c Halle P(ninguna bolilla es roja). d Halle P(al menos una bolilla es amarilla).
4
Cuatro bolillas se extraen al azar, una despus de otra, sin reposicin, de una bolsa que contiene las siguientes bolillas: 5 rojas, 4 azules, 3 naranjas, 2 prpuras. Halle la probabilidad de obtener una de cada color.
5
Un club tiene 1 0 miembros de los cuales 6 son mujeres y 4 varones. Uno de los miembros del club se elige al azar para ser el presidente del club. a Halle la probabilidad de que el presidente elegido sea varn. b Dos personas se eligen al azar para representar al club en una competencia. Halle la probabilidad de que se elijan un varn y una mujer.
6
Guillermo responde correctamente un promedio de 5 preguntas de cada 7. El promedio de Natacha es de 5 preguntas de cada 9. Ambos contestan la misma pregunta. a Cul es la probabilidad de que al menos uno de los estudiantes conteste la pregunta correctamente? b Si la pregunta fue respondida correctamente, cul es la probabilidad de que la respuesta correcta la haya obtenido Guillermo? c Si la pregunta fue respondida correctamente, cul es la probabilidad de que la respuesta correcta la haya obtenido Natacha? d Si hubo al menos una respuesta correcta, cul es la probabilidad de que haya habido dos?
Aunque la pregunta no lo pida, puede resultarle til emplear un diagrama de rbol para responder a estas preguntas.
Material de ampliacin disponible en lnea: Hoja de ejercicios 3: Probabilidad condicionada
Captulo 3
93
ejrcicios d rvisin
1
Se anota al azar un nmero de dos dgitos entre 0 y 99 inclusive. Cul es la probabilidad de que ocurra lo siguiente? a Sea divisible por 5. b Sea divisible por 3. c Sea mayor que 50. d Sea un cuadrado.
2
En una clase de 30 alumnos, 8 tienen perro, 20 tienen gato y 3 no tienen ninguno de los dos. Se escoge un estudiante al azar. Cul es la probabilidad de que el estudiante tenga un perro y un gato?
PREGUNTAS TIPO EXAMEN 3 Para los sucesos C y D se sabe que: P (C ) = 0,7 P (C D ) = 0,25 P (D) = 0,2. a Halle P (C D ). b Explique por qu C y D no son sucesos independientes. 4
Los sucesos A y B son tales que P(A) = 0,6, P(B) = 0,2 y P(A| B) = 0, . Calcule las probabilidades de que: a Ocurran ambos sucesos. b Ocurra al menos uno de los sucesos. c Ocurra exactamente uno de los sucesos. d Ocurra B sabiendo que ha ocurrido A.
5
A un grupo de 00 estudiantes se les pregunta cules de los tres tipos de programas de televisin: drama, comedia y telerrealidad, miran regularmente. Ellos aportan la siguiente informacin: 15 miran los tres tipos de programas. 18 miran drama y comedia. 22 miran comedia y telerrealidad. 35 miran drama y telerrealidad. 10 no miran ninguno de los tres programas regularmente. Los estudiantes que miran drama solamente son tres veces ms que los que miran comedia solamente y los estudiantes que miran comedia solamente son dos veces ms que aquellos que miran solamente telerrealidad. Si x es el nmero de estudiantes que miran nicamente programas de telerrealidad, escriba una expresin para el nmero de estudiantes que miran solamente drama. b Usando toda la informacin dada, copie y complete el diagrama de Venn. c Calcule el valor de x.
Comedia U
Drama
a
94
Probabilidad
x Telerrealidad
ejrcicios d rvisin 1
Sea P(C ) = 0,4; P(D) = 0,5; P(C | D) = 0,6. a Halle P(C y D). b Son C y D mutuamente excluyentes? D una razn para su respuesta. c Son C y D sucesos independientes? D una razn para su respuesta. d Halle P(C y D). Halle P(D | C).
2
Juan hace
3 5
de las tareas generales de la casa y Gilda hace el resto.
Si el 35% de los trabajos de Juan se terminan satisfactoriamente y el 55% de los trabajos de Gilda se terminan satisfactoriamente, halle la probabilidad de que un trabajo general de la casa haya sido realizado: a Satisfactoriamente b Por Gilda sabiendo que no es satisfactorio PREGUNTAS TIPO EXAMEN 3 Cada da, Maximiliano viaja al colegio en bicicleta, en autobs o en automvil. La probabilidad que viaje en autobs un da determinado es 0,6. La probabilidad de que viaje en bicicleta un da determinado es 0,3. a Dibuje un diagrama de rbol que muestre los resultados posibles para los viajes de Maximiliano del lunes y el martes. Rotule claramente el rbol escribiendo las probabilidades para cada uno de los resultados. b Cul es la probabilidad de que ocurra lo siguiente? i Viaje en bicicleta lunes y martes. ii Viaje en bicicleta el lunes y en autobs el martes. iii Viaje por el mismo medio de transporte el lunes y el martes. c Maximiliano viaj a la escuela en bicicleta el lunes y el martes. Cul es la probabilidad de que no viaje al colegio en bicicleta el mircoles, jueves y viernes? d Cul es la probabilidad de que en tres das cualesquiera Maximiliano viaje dos veces en automvil y una vez en autobs o dos veces en bicicleta y una vez en automvil? 4
Una bolsa contiene 6 manzanas rojas y 1 0 verdes. Sin mirar en la bolsa, Magdalena selecciona una manzana al azar. a
Cul es la probabilidad de que sea roja?
La manzana es roja y Magdalena se la come. Luego, pasa la bolsa a Juana. Sin mirar en la bolsa, ella selecciona al azar una manzana. b Cul es la probabilidad de que la manzana sea verde? La manzana es verde y Juana la devuelve a la bolsa. Le pasa la bolsa a Toms. Sin mirar en la bolsa, elige al azar dos manzanas. c Cul es la probabilidad de que ambas sean rojas? Captulo 3
95
PREGUNTA TIPO EXAMEN 5 En un camino cuento 70 conejos, 42 son hembras, 34 no estn comiendo zanahorias y 23 son hembras que no estn comiendo zanahorias. Dibuje un diagrama de Venn y a partir de lo anterior, halle el nmero de conejos hembra que estn comiendo zanahorias. Cul es la probabilidad de que un conejo sea macho y no est comiendo zanahorias? b Cul es la probabilidad de que un conejo sea hembra sabiendo que est comiendo zanahorias? Resulta el hecho de ser hembra independiente de comer zanahorias? Justifque su respuesta.
ResuMeN del captulO 3 dfniion
Un o es el resultado de un experimento. Un xrimno es el proceso por el cual obtenemos un resultado. Un xrimno orio es aquel en el cual existe incertidumbre acerca del suceso que pueda ocurrir. n( A ) La probabilidad terica de un suceso A es P( A ) = , n (U )
donde n(A) es el nmero de maneras en que el suceso A puede ocurrir y n(U) el nmero total de resultados posibles. Si la probabilidad de un suceso es P, en n experimentos se espera que el suceso ocurra n P veces. Podemos emplear la recuencia relativa como una estimacin de la probabilidad. A mayor nmero de experimentos, mayor aproximacin de la recuencia relativa a la probabilidad.
digrm vnn
U
A
Como suceso, A, puede ocurrir o no ocurrir. P(A) + P (A ) = 1 P (A ) = 1 P (A) U A
Para dos sucesos A y B cualesquiera, P (A B) = P (A) + P (B) P (A B)
B P(A)
P(B)
P(A B) A
En general, si A y B son sucesos mutuamente excluyentes, P (A B) = 0 y P(A B) = P(A) + P(B)
B P(A)
U
P(B)
Contina en la pgina siguiente.
96
Probabilidad
diagramas el esacio muestral y regla el roucto
Dos sucesos A y B son independientes si el hecho de que ocurra uno de ellos no afecta la probabilidad de que ocurra el otro. Cuando dos sucesos A y B son independientes, P(A B) = P(A) P(B). Esta regla se conoce como la regla el roucto ara sucesos ineenientes.
probabilia conicionaa
Si A y B son sucesos independientes, P ( A | B ) = P(A), P ( B | A ) = P (B), P ( A | B ) = P (A), P ( B | A ) = P (B)
En general, para dos sucesos A y B, la probabilidad de que ocurra A sabiendo que B ha ocurrido puede hallarse usando: P ( A| B ) =
P( A B ) P(B)
Captulo 3
97
tora del conoimino
probabilidad: usos y abusos Los problemas de probabilidades en los textos de matemticas usualmente involucran escoger bolillas de colores de una bolsa. Qu utilidad puede tener esto en la vida real? Pero la probabilidad tiene algunos usos sorprendentes, como encontrar respuestas a preguntas delicadas. La gente tambin hace mal uso o malinterpreta la probabilidad al confar ms en su intuicin que en hacer nmeros.
Por qu la gente compra billetes de lotera cuando las posibilidades de ganar son tan pequeas?
prgunas dliadas Si u sted d ise a u n a en cu esta q u e con tien e u n a pregu n ta d el ica d a, l a gen te con testar con sin cerid ad ? U n a d irectora q u iere sa ber cu n tos d e l os 600 estu d ia n tes d e su escu el a h a n h ech o tra m pa en los ex m en es. N o est in teresad a en sa ber si u n a person a en pa rticu la r h izo tra m pa , sin o q u e q u iere h a cer sola m en te u n a estim a cin globa l pa ra tod a la escu ela . Si enva u n cu estion a rio a ca d a estu d ia n te con la pregu n ta :
?
98
el roso d rsusas alaorizado Esto se ba sa en q u e ca d a estu d ia n te sa be q u e l a d irectora d escon oce si est respon d ien d o u n a pregu n ta d elica d a o u n a total m en te in ofen siva . Ca d a estu d ia n te l a n za al aire u n a m on ed a d os veces sin m ostra r a n a d ie su resu l tad o.
No
es poco proba ble q u e obten ga respu esta s p sincera s. El diagrama de rbol ayuda a estimar p, la fraccin de estudiantes que han hecho trampa en un examen.
Cul es la probabilidad de ganar la lotera nacional?
Lu ego sigu e la s in stru ccion es en esta ca rtill a.
Ha h ech o alguna vez tram pa en los exm enes del colegio? S
P(C) =
1 2
1 P(X) = 2
Cara: conteste la pregunta 1
Respuesta no
1 2
Cara Responde no
1 2
Ceca Responde s
Ceca: conteste la pregunta 2 P(X) =
Teora del Conocimiento: probabilidad, usos y abusos
2 Si obtuvo una ceca en su primer lanzamiento, conteste la pregunta: Obtuvo una ceca en el segundo lanzamiento? con sinceridad.
Respuesta P(S a P1) s 1 p = p= 2 2
1p P(C) =
1 Si obtuvo una cara en su primer lanzamiento, conteste la pregunta: Ha hecho trampa alguna vez en un examen? con sinceridad.
Probabilidad de contestar s = P(S a P1) + P(S a P2) p 1 = + 2 4 P(S a P2) 1 1 1 = = 2 2 4
p 2
1 4 p 2 p 2
+
= = =
p =
220 600 220 600 7 60 7 30
1 4
El nmero estimado de estudiantes que han hecho trampa en un examen es: 7 600 30 = 1 40 Siempre y cuando todos digan la verdad cuando responden a sus preguntas, este mtodo estima el nmero de estudiantes que alguna vez han hecho trampa en un examen.
Responderan los estudiantes con sinceridad esta pregunta?
Existe algn problema en este mtodo para descubrir la verdad?
Probabilidad e intuicin: el problema del cumpleaos
En una clase de 23 personas, cul es la probabilidad de que dos personas cumplan aos el mismo da? Qu piensa? El 1 %? Quizs el 5%?O incluso tanto como el 1 0%?
Hagamos nmeros: 23 estudiantes signifca que hay 253 pares posibles de estudiantes. 23 22 2
= 253
La probabilidad de que dos personas cumplan aos en distintos das es: 364 365
El par (Timoteo, Juana) es exactamente el mismo que el par (Juana, Timoteo), por lo tanto el total se reduce a la mitad.
= 0,997260
Por lo tanto, para 253 pares, la probabilidad de que las dos personas de cada par cumplan aos en das dierentes es: 364
Hay 23 elecciones para la primer persona en un par y luego 22 elecciones para la segunda.
( 365 )
253
= 0,4995
As, la probabilidad de que, para 253 pares, dos personas de un par cumplan aos el mismo da es:
Haciendo caso omiso de los aos bisiestos, hay 364 das en los que los cumpleaos de las dos personas del par no coinciden.
1 0,4995 = 0,5005, o 50,05%. Poco ms de la mitad!
Teora del Conocimiento
Suponga que 220 estudiantes contestan s sobre un total de 600 encuestados.
Confa en la intuicin como ayuda para tomar decisiones? Existen otras reas de las matemticas donde la intuicin lo ha defraudado? Y en otras reas de conocimiento?
Captulo 3
99
4
Funciones exponenciales y logartmicas
ObjetivOs del captulO: 1.2
Estudio elemental de potencias y logaritmos Propiedades de las potencias; propiedades de los logaritmos; cambio de base 2.6 Funciones exponenciales y sus grfcos: x a x, a > 0, x e x Funciones logartimicas y sus grfcos: x a l o g a x, x > 0 , x a ln x, x > 0
Relacin entre estas unciones: a x = e x lna ; log a a x = x; alog a x = x, x > 0 2.7 Resolucin de ecuaciones de la orma a x = b, a x = b y 2.8 Aplicaciones de las habilidades reeridas a la representacin grfca de unciones y de resolucin de ecuaciones en situaciones de la vida real
an omnzr Qu necesitamos saber
Comprobemos nuestras habilidades
1
1
Evaluar potencias sencillas con exponente positivo Por ejemplo: Evaluar 3 4 3 4 = 3 3 3 3 = 8
7
4
3
Por ejemplo: Evaluar 5 2
Evale:
3 4
0,001 3
1 2
3
23 2 2 2 8 2 = = 3 = 5 5 5 5 1 25 5 2
3
Convertir nmeros a la orma exponencial Por ejemplo: Hallar n sabiendo que 2 n = 28 28 = 27, entonces n = 7 Transormar grfcos Por ejemplo: Dado el grfco de y = x2, dibujar aproximadamente el grfco de y = x2 + 3 y y = x2 + 3 8 6 4 2 3 2 1 0
100
y = x2 1
2
3 x
Funciones exponenciales y logartmicas
2
Indique el valor de n en estas ecuaciones: 3 n = 243 7 n = 343 5 n = 625 3 Transorme el grfco de y = x2 para obtener el grfco de y = (x 2) 2.
Usuarios de Facebook
y 600 Unidades (en millones)
500 400 300 200 100 Dic-09
Dic-08
Dic-07
Dic-06
Dic-05
0 Dic-04
Facebook, la gigantesca red social, celebr su sexto aniversario en ebrero de 201 0 con ms de 450 millones de usuarios. Haba crecido desde los 1 00 millones registrados en agosto de 2008, y experimentado un ascenso enorme desde diciembre de 2004, cuando solo tena 1 milln de miembros.
x
Fechas
(Fuente: http://www.acebook.com/press/ino. php?timeline)
Este grfco muestra cmo el nmero de usuarios de Facebook se ha incrementado con el tiempo.
Un crecimiento de este tipo (ciertamente hasta ebrero de 201 0) es un crecimiento exponencial. Si se sigue el recorrido de la curva, su pendiente aumenta a la par de la tasa de crecimiento. La tasa de crecimiento en todo momento es aproximadamente proporcional al nmero de usuarios en ese momento.
Captulo 4
1 01
Un buen modelo para representar los datos sobre los usuarios de Facebook es: n = 1 ,32 1 ,1 x donde n es el nmero de usuarios en millones y x es el nmero de meses despus de diciembre de 2004. Podramos usar la frmula n = 1 ,32 1 ,1 x para estimar el nmero de usuarios en una fecha determinada o hallar la fecha en la que se alcanz un nmero determinado de usuarios. Encontraremos muchos otros ejemplos de crecimiento exponencial y su opuesto, el decrecmento exponencal (donde la pendiente decrece a medida que seguimos el recorrido de la curva).
Podemos tambin usar el modelo para hacer predicciones acerca del futuro crecimiento de Facebook. Este procedimiento se conoce como extrapolacin . Qu problemas surgen cuando se usan modelos de este tipo para estimar crecimientos a futuro? Qu otros factores necesitamos considerar?
investgacn: qu sucede al plegar el papel Malcolm Gladwell propuso este problema en su libro The Tipping Point.
Imagine que toma un gran pedazo de papel y lo dobla una y otra vez hasta haberlo doblado 50 veces. Qu altura cree que alcanzara el plegado? 1
Doble una hoja de papel (de cualquier tamao) por la mitad tantas veces como sea posible. 2 Complete la siguiente tabla para mostrar el nmero de dobleces, el nmero de capas y el espesor del plegado formado. Puede suponer que cada hoja de papel tiene un espesor de aproximadamente 0,1 mm, que equivale a 1 10 7 km. Se muestran a continuacin los primeros registros: Nmero de dobleces 0 1 2 3 4 5 6 7 8
Nmero de capas 1 2 4 8 16
Espesor (km)
Tan alto como
1 10 7 2 10 7 4 10 7
Una hoja de papel Una tarjeta de crdito
9 3 Cuntos dobleces necesitara hacer para que el plegado resulte de las
siguientes maneras? a Tan alto como una mesa b Apenas ms alto que un hombre 4 Qu altura tendr el plegado despus de 50 dobleces?
102
Funciones exponenciales y logartmicas
Probablemente consiga hacer cerca de seis o siete dobleces antes de que no pueda plegar ms el papel. En el sptimo doblez el plegado ya estar tan grueso como este libro, despus de 1 3 el plegado tendr aproximadamente la altura de una mesa y despus de 1 5 ser mucho ms alto que un hombre. Despus de 1 7 tendr una altura de aproximadamente 1 3 m: la altura de una casa de dos pisos!
Depende este proceso del tamao del papel con el que se comienza? Intntelo
Despus de 50 dobleces el papel tendra una altura aproximada de 1 1 3 millones de km. Esto es aproximadamente la distancia entre la Tierra y el Sol. El plegado de papel es un ejemplo de crecimiento exponencial. Los nmeros de capas de papel orman una rogresin . Los trminos de la progresin son una uncin del nmero de dobleces, n, donde f (n) = 2n. f (n) es una funcin de crecimiento exonencial. En este captulo aprenderemos ms acerca de unciones exponenciales y sus inversas, llamadas funciones logartmicas.
4.1 potencias La potencia es una orma abreviada de representar una multiplicacin reiterada de un nmero por s mismo. La expresin 3 5 , por ejemplo, representa 3 3 3 3 3. El 3 en esta expresin es la base y el 5 es el exonente. Tambin podemos usar una variable como base, por ejemplo: x4 = x x x x
Es ms sencillo escribir x4 que xxxx
Propiedades de las potencias Multiplicacin Simplifcar x5 x3 x5 x3 = (x x x x x) (x x x) = x x x x x x x x = x8
Quitar los parntesis
Por lo tanto, x5 x3 = x(5 + 3) = x8 am an = am+ n
Observe que en x5 x3 las dos bases son iguales. No podemos simplifcar x5 y3 , por ejemplo, usando esta propiedad. x5 y3 = x5 y3
Captulo 4
1 03
Divisin
Simplifcar los actores comunes
Simplifcar x5 x3 x5 x3 =
x x x x x x x x x x = = x x = x2 x x x x x x
Por lo tanto, x5 x3 = x(53) = x2
Observe que no podemos simplifcar x5 y3 pues las bases no son iguales.
am an = am n Potencia de potencia Simplifcar(x 5 ) 3 (x 5 ) 3 = (x x x x x) (x x x x x) (x x x x x) = x x x x x x x x x x x x x x x = x1 5 Por lo tanto, = (x 5 ) 3 = x 53 = x1 5 (am ) n = amn
ejmplo Desarrolle (2xy 2) 3 . Rspusta
(2xy 2) 3 = (2xy 2) (2xy 2) (2xy 2)
No es necesario mostrar este paso intermedio. Elevar al cubo cada uno de los factores del parntesis
= 23 x 3 (y 2) 3 = 8x 3 y 6
No olvide que debe elevar a la potencia indicada los nmeros que fguran en el parntesis del mismo modo que lo hace con los actores de x e y.
Ejercitacin 4A 1
Simplifque: x3 x2 b 3p2 2p4q2
a 2
1 2 ( xy 2 ) ( x 2 y ) 2 3
d
c
2a7 (2a) 3
d
c
3(x3 y2) 2
d
Simplifque: a
3
c
x5 x2
b
2a7 2a3
Simplifque: a (x3 ) 4 b (3t 2 ) 3
La potencia cero Simplifcar x2 x2 x2 = x2 2 = x0 x2 x2 Pero 2 = 1 x
En consecuencia, x 0 = 1 104
Funciones exponenciales y logartmicas
(x3 y2)(xy4) 4x 3 y 5 2 xy 2
(y 2) 3
Recuerde multiplicar las constantes (los nmeros) entre s, adems de las variables.
a0 = 1 Toda base distinta de cero elevada a la potencia 0 es igual a 1. Exponentes racionales 1 2
Simplifcar x x
1 2
1 2
1 2
1 2
+
De orma similar, x x x = x y
3
Usando la propidad 1 , x x x
1 2
x1
Pero x x = ( x ) 2 = x Por lo tanto,
x =x
1 2
1 3
y por lo tanto
n
a =a
3
x=x
1 3
1 3
x 3 x 3 x = ( 3 x )3 = x
1 3
Puede suponer siempre que a es positiva, cuando considere las races pares de a.
1 n
Races Simplifcar
3
Cualquier base no nula a la potencia cero es igual a 1. Cero a cualquier potencia es cero. Entonces, qu sucede con 0 0? Cmo deberamos decidir a qu es igual? Quin debera decidir?
x6
Dado que x 6 = x2 x2 x2 3
x6 =
3
x2 x2 x2
= x2 6
=x
3
1 n
m
n
am = ( n a ) = ( am ) = a n
m
ejmplo 2 Evaluar signifca calcular el valor de .
Sin usar la calculadora, evale: 1
a
36 2
b
1 27
4 3
Rspustas 1
1
a
Dado que
36 = 36 = 6 2
n
a = an
4
b
4 1 1 3 1 3 = 27 27
n
Dado que ( a m ) = a mn
4
1 = 3 27 4
1 = 3 1 = 81
Captulo 4
1 05
Exponentes negativos Simplifcar x 3 x 5 x3 x5 =
x x x x x x x x
1 xx 1 = 2 x
=
Tambin x 3 x 5 = x 35 = x 2 En consecuencia, x 2 = a n =
1 x2
1 an
Necesita aprender las propiedades de las potencias pues no estn en el cuadernillo de frmulas.
ejmplo 3 Sin usar la calculadora, evale: 2 3 a 6 2 b 4 Rspustas
6 2 =
a
1 1 = 6 2 36
Usar a n =
1 an
2
b
1 1 3 = = 2 9 4 3 1 6 4 =
16 9
Ejercitacin 4B 1
Evale: 1
1
a
92
2
b
1 25 3
8 3 27
b
32
64 1 25
c
64 3
c
81
2 2
d 2
8
3
Evale: a 2 3
2
d
106
(2 )
3
1
5
4 3
2 3
Funciones exponenciales y logartmicas
4
ejmplo 4 Simplifque estas expresiones: a
b
5d 0
3
c
6x 3 (2x 2) 3
Rspustas a 5d 0 = 5 1 = 5
=
6
x 9 =
8
(
27 a 6 = 2 7 a 6 = 3a
9v 2 1 6w 4
d
1 2
)
3
m
n
Usar ( a ) = a
3
mn
Usar am an = am n
4 x9
1
1 3
c
d
Aqu simplifque signifca que se deben escribir estas expresiones usando solamente exponentes positivos.
1 2
Usar a0 = 1
6 x 3 (2 x 2 )3 = 6 x 3 8 x 6
b
27a 6
9v 2 4 1 6w
1
( )
= 27 3 a 6
Usar n a m = ( a m )
3
1 n
2
1
1 6w 4 2 = 9v 2 =
1 4 2
(1 6 w )
1 2 2
(9 v )
Usar a n = =
1 an
4w 2 3v
Ejercitacin 4C 1
Simplifque estas expresiones exponenciales: a
2
( 64 a ) 6
1 2
4
b
16x
8
c
q q q 1 , 5
d
27c 3 3 d
1
2
3
8 p 4 p
Simplifque estas expresiones:
3 2
En este ejercicio, asegrese de que sus respuestas tengan exponentes positivos.
3
a
a 2 a 1 b3 b2
b
x 2 y 2 25 x 4
c
6 x 2 y 2 3
8 x 3
4. Rsolucin d cuacions xponncials Las ecuaciones exponenciales son ecuaciones en las que la incgnita es un exponente; por ejemplo: 5 x = 25. y x Se puede escribir una ecuacin exponencial en la orma a = b .
ejmplo 5 Resuelva 3 x 1 = 3 5 x. Rspusta
3 x 1 = 3 5x x 1 = 5x 1 = 4 x x=
Ambos miembros de la ecuacin son potencias de 3, por lo tanto, los dos exponentes son iguales.
1 4
Captulo 4
1 07
ejmplo 6 Resuelva 3 3 x+1 = 81. Rspusta
3 3 x + 1 = 81 Escribir 81 como potencia de 3 Igualar los exponentes
33 x +1 = 3 4 3x +1 = 4 3x = 3 x =1
Ejercitacin 4D
1
Resuelva en x estas ecuaciones. a 2 x = 32 b 3 12 x = 243 2
2
2 x
c
3x
71 x =
= 27
d
50 51 52 53 54
5 2x1 25 = 0
1 49
Resuelva en x estas ecuaciones. a 3 x3 = 3 2 x b 5 3 x = 25 x2 1 9x
9(3 3 x + 1 ) =
c
d
2 23 x = 4x1
PREGUNTA TIPO EXAMEN 3
Resuelva 8 ( 2 x +1 ) = 2 2 x .
ejmplo 7 3
Resuelva 3 x
= 24.
5
Rspusta
Dividir ambos miembros por 3
3
3x
= 24
5 3
x
5
Multiplicar el exponente por su
=8
a b
(x ) 3 5
5
3
=8
3 5
x = ( 23 ) x = 2 5 1 x=
3
Reemplazar 8 por 23
32
108
b a
recproco, dado que = 1
5
Funciones exponenciales y logartmicas
Para este ejemplo y muchas de las siguientes preguntas, necesita aprender estas potencias. 20 = 1 30 = 1 1 31 = 3 2 =2 2 2 =4 32 = 9 3 3 = 27 23 = 8 4 2 = 16 3 4 = 81 5 2 = 32 3 5 = 243 6 2 = 64 2 7 = 128 = = = = =
1 5 25 125 625
70 71 72 73
= = = =
1 7 49 343
Ejercitacin 4E 1
Resuelva en x estas ecuaciones. b x5 32 = 0 2x4 = 162 c x 2 = 16 d 8x 3 = (8x) 3 2 e 27x = 81x f 27x 3 = 64 a
2
3
Resuelva en x estas ecuaciones. 1 3
1
5 x = 1 25
=4
d
x3 =16
1 8
f
3x
x =2
c
x
e
x
1 4
3 5
2
b
a
2
=
1 4
=6
Resuelva en x estas ecuaciones. a c
-
x
3 2
= 125
2 3
3 x = 192
b d
6x 9x
2 3
2 3
= 216 = 16
4. Funcones exponencales Grfcos y propiedades de las unciones exponenciales Tambien podemos escribir f : x a x
Una funcn exponencal es una uncin de la orma f (x) = a x donde a es un nmero real positivo (o sea, a > 0) y a .
investgacn: grfcos de unciones exponenciales 1 Usando una calculadora de pantalla grfca (en adelante, CPG), dibuje aproximadamente los grfcos de estas unciones exponenciales. Piense acerca del dominio, recorrido, intersecciones con los ejes, asntotas, orma y comportamiento de cada grfco cuando x tiende a infnito.
a y = 3x b y = 5x c y = 10 x
Observe los tres grfcos. Qu puede deducir acerca de la uncin exponencial, f(x) = a x, cuando a > 1?
Cualquiera sea el valor positivo de a en la ormula f(x) = ax, el grfco siempre tendr la misma orma.
y f(x) = e x
f(x) = ax es una funcn de crecmento exponencal. 1 0
(0, 1) x
Captulo 4
1 09
El domno de f (x) = ax es el conjunto de todos los nmeros reales. El recorrdo es el conjunto de todos los nmeros reales positivos. La curva no corta al eje x. El grfco se aproxima cada vez ms al eje x a medida que el valor de x decrece. La interseccin con el eje y es 1 . Los puntos 1, a , (0,1 ) y (1 ,a) pertenecen al grfco de la uncin f. El grfco es siempre creciente. 1
Ahora veamos los grfcos de las unciones exponenciales cuando la base a est comprendida entre 0 y 1 .
investgacn: grfcos de unciones exponenciales 2 Usando una CPG, dibuje aproximadamente los grfcos de estas unciones exponenciales. y = 3 x es equivalente a
a y = 3 x b y = 5 x c y = 10 x
1
y=
Qu puede deducir acerca de la uncin exponencial, f (x) = a , cuando a > 1, a partir de estos tres grfcos? x
Cualquiera sea el valor positivo de a, el grfco de f (x) = ax tendr siempre esta orma. y
f(x) = a x
1
0
(0, 1)
x
f (x) = a x es una funcn de decrecmento exponencal.
11 0
Funciones exponenciales y logartmicas
3
x
o y =
1 3
x
,
por lo tanto, la base est comprendida entre 0 y 1.
La funcin exponencial en base e Una de las bases que hallaremos con frecuencia en funciones exponenciales es la base e.
investgacn: inters compuesto Cuando se invierte dinero se ganan intereses. nt
r Usamos la rmula A = C 1 + para calcular intereses, donde A es el
n
monto fnal (capital + intereses), C es el capital, r es la tasa de inters expresada en decimales, n es el nmero de capitalizaciones en el ao y t el nmero total de aos. Qu ocurre cuando las capitalizaciones se hacen ms y ms recuentes? 1
Una persona invierte 1 libra esterlina a una tasa de inters del 100% durante 1 ao. a Cunto dinero tendr si se capitaliza solo una vez en el ao? P = 1, r = 100% =
100 100
= 1, n = 1, t = 1
1
A = C 1 +
1 =2 1
(dado que r = 1 y n = 1)
b Cunto dinero tendr si se capitaliza trimestralmente?
C = 1, r = 100% = 1, n = 4, t = 1
A=1+
4
1 = 2,44140625 4
2 Copie y complete la siguiente tabla:
Capitalizacin
Clculo 1 1+ 1
1
Anual
1 1+ 2
2
Semestral
1 1+ 4
4
Trimestral
Monto fnal (escriba todas las ciras que lee en la calculadora) 2 2,25 2,44 140 625
Mensual Semanal Diaria Horaria Cada minuto Cada segundo
Captulo 4
1 11
El monto nal crece a medida que el intervalo entre capitalizaciones decrece, pero los incrementos resultan cada vez menores y el monto nal converge hacia un valor. A este valor se lo denomina e. El valor de e es aproximadamente 2,71 828 y es un nmero excepcionalmente importante en matemticas, puesto que tiene aplicaciones en varias de sus ramas. e es un nmero irraional.
Un nmero irracional no puede ser expresado como raccin ni como decimal exacto.
con las matemtias, a menudo se obtienen resultados hermosos y sorprendentes. He aqu un ejemplo. Con una aproximacin de 20 ciras decimales, e = 2,718 281 828 459 045 235 36 No hay un patrn obvio en esta secuencia de nmeros. Sin embargo, observe esta serie que le da un valor aproximado de e: e = 1+
1 1
+
1
1
+
21
1
+
3 21
4 321
1
+
+ ...
5 4 3 2 1
Podra preguntarse acerca de la conexin entre esta serie y el valor de e. [La pgina de Teora del Conocimiento al nal de este captulo contiene refexiones y discusiones sobre la belleza en las matemticas.]
El grco de la uncin exponencial f (x) = ex es un grco de crecimiento exponencial y el grco de f (x) = e x es un grco de decrecimiento exponencial. y
y f(x) = e
1 0
x
lmite de 1 + 1
y = ex
1
(0, 1) x
0
(0, 1) x
Transformaciones de funciones exponenciales Ahora que conocemos la orma general del grco de una uncin exponencial, podemos usar las reglas de transormaciones de grcos del captulo 1 para ayudarnos a dibujar aproximadamente otras unciones exponenciales.
11 2
Funciones exponenciales y logartmicas
Jacobo Bernoulli (1654-1705) ue uno de los grandes matemticos de la amilia Bernoulli, de origen suizo. Cuando investigaba el problema del inters compuesto, trat de hallar el n
n
cuando n tiende a infnito. Us el teorema del binomio para demostrar que el lmite deba estar comprendido entre 2 y 3. Este proceso ue considerado como la primera aproximacin hallada para e.
(x) k es una traslacin vertical de (x), k unidades hacia arriba o hacia abajo.
y = f(x) + 2
y = f(x)
(x k) es una traslacin horizontal de (x), k unidades hacia la izquierda o hacia la derecha.
y = f(x + 2)
y = f(x)
(x) es la simetra de (x) respecto del eje x.
y = f(x) y = f(x)
(x) es la simetra de (x) respecto del eje y.
y = f(x)
p(x) es un estiramiento vertical de (x), de razn p.
y = f(x)
y = 2f(x) y = f(x)
(qx) es un estiramiento
y = f(2x)
1 q
horizontal de (x), de razn .
y = f(x)
ejmplo 8 El diagrama muestra el grfco de (x) = 2 x. En los mismos ejes, dibuje aproximadamente el grfco de g (x) = 2x2.
y 8 6 4 2 3
y 8 6
2
2
1 0
1
2
3 x
1 0, . 4
4
3
1 0
Hallamos g(x) mediante una traslacin de (x) de 2 unidades hacia la derecha. El grfco de g(x) pasar por el punto
Rspusta
(0, 1)
2
1 2 1 (0, 4 )
3
4
5 x
Ambos grfcos se aproximan ms y ms al eje x a medida que el valor de x decrece. Captulo 4
1 13
Ejercitacin 4F 1
Dado el grfco de f (x), y sin usar la calculadora, dibuje aproximadamente el grfco de g (x) en los mismos ejes, mostrando claramente las intersecciones con los ejes y las asntotas. a f(x) = 2 x g (x) = 2 x + 3 b f(x) = 3 x g (x) = 3 x y
y
3
2
8
8
6
6
4
4
2
2
1 0 2
1
2
3 x
3
2
4
4
6
6
8
8
10
1 2
1 2
g( x ) =
d
y
8
8
6
6
4
4
2
2
1 0 2
1
2
3 x
3
2
1 0 2
4
4
6
6
8
8
10
10 x
e
1 3
1 3
1 e
x
f( x) =
g( x ) = 2
f
2
11 4
2
2
x
3 x
1 e
2x
g( x ) =
y
8
8
6
6
4
4
2
2
1 0 2
1
f( x ) =
y
3
3 x
f(x) = ex g (x) = e x+1
y
2
2
10
f( x) =
3
1
x
x
c
1 0 2
1
2
3 x
3
2
1 0 2
4
4
6
6
8
8
10
10
1
2
3 x
Indique el dominio y el recorrido de cada uncin g (x) de la pregunta 1. Funciones exponenciales y logartmicas
4.4 proidads d los logaritmos Observe esta igualdad:
23 = 8
2 es la base y 3 es el exponente o el logaritmo. Por lo tanto, decimos que el logaritmo en base 2 de 8 es 3 y lo escribimos como log28 = 3. En general, siempre que a > 0:
Log es la abreviatura de logaritmo.
Si b = ax entonces loga b = x o, si b es a a la potencia x, entonces x es el logaritmo de b en base a. La posibilidad de cambiar de una orma a la otra permite simplifcar los enunciados reeridos a logaritmos.
ejmlo 9 Evale log5 125. Respuesta x = log5 125 5 x = 125 5x = 53 x= 3
Escribir x = expresin logartmica Cambiar la ecuacin a la forma exponencial Igualar los exponentes
ejmlo 0 Evale log 64 4. Respuesta x = log64 4 64x = 4 (43 ) x = 41 3x = 1
Cambiar a la forma exponencial Escribir 64 como 43 Igualar los exponentes y despejar x
x= 1
3
Ejercitacin 4G 1
2
Evale estas expresiones: a log 7 49 b log 5 5
c
log264
d
log 9 1
c
log 3 2 8
d
log 3 3 4
Evale estas expresiones: a
log 3
1 81
b
log 5 1 25
1 2
Captulo 4
1 15
ejmplo Evale log4 4. Respuesta x = log4 4
Escribir x = expresin logartmica Cambiar la ecuacin a la forma exponencial Igualar los exponentes (4 = 41)
4x = 4 x= 1
En general, para cualquier valor de a, el logaritmo en base a de a es . loga a =
ejmplo 2 Evale log5 1. Respuesta x = log5 1
Escribir la ecuacin en forma exponencial
5 =1 x= 0 x
Cualquier nmero (distinto de 0) elevado a la 0 es igual a , por lo tanto, el logaritmo de en cualquier base es 0. loga = 0
Ejercitacin 4H 1
Evale: a
log6 6
b
log10 10
c
logn n
d
log8 1
log2 1
logb 1
Algunas expresiones logartmicas estn indfnidas, lo cual signifca que no se las puede evaluar. 1
Qu ocurre cuando intenta evaluar la siguiente expresin? log3 (27) Primero escriba la ecuacin. x = log3 (27) Luego, reescriba la ecuacin en orma exponencial. x
3 = 27 Esta ecuacin no tiene solucin. Solamente podemos hallar logaritmos de nmeros positivos. loga b no est defnido para cualquier base a si b es negativo. 11 6
Funciones exponenciales y logartmicas
2
Cul es el valor de log3 0? Primero escriba una ecuacin. x = log3 0 Reescrbala en orma exponencial. x
3 =0 Esta ecuacin no tiene solucin. loga 0 no est defnido. El ejemplo 3 ilustra otra propiedad de los logaritmos.
ejmplo 3 Evale log2 2 5 . Respuesta x = log2 2 5 2x = 25 x= 5
Escribir la ecuacin logartmica Reescribir en forma exponencial Resolver
loga(an) = n
Resumen de las propiedades de los logaritmos Dado a > 0 Si x = ab entonces loga x = b loga a = loga = 0 loga b no est defnido si b es negativo loga 0 no est defnido loga (an) = n
ejmplo 4 Halle el valor de x si log2 x = 5. Respuesta log2 x = 5 25 = x x = 32
Reescribir en forma exponencial Resolver
Ejercitacin 4I 1
2
a
Escriba estas ecuaciones en orma logartmica: x = 29 b x = 35 c x = 10 4
d
x = ab
Escriba estas ecuaciones en orma exponencial: a x = log2 8 b x = log3 27 c x = log101000
d
x = logab Captulo 4
1 17
Resuelva estas ecuaciones: a log4 x = 3 b log3 x = 4
3
d
logx 6 =
1 2
e
c
logx 64 = 2
log2 x = 5
4.5 Funcones logartmcas investgacn: funciones inversas Qu clase de uncin invertira una uncin exponencial tal como f : x a 2 x ? a
Copie y complete esta tabla de valores para la uncin y = 2 x. x
3
2
1
0
1
2
3
1
y
8
f : x 2 x signifca que f es la uncin que a cada x le asigna 2 x.
La funcn nversa de y = 2 x har que se intercambien los valores de x e y. b Copie y complete esta tabla de valores para la inversa de la
uncin y = 2 x. 1
x
8
y
3
c Usando estas tablas de valores, dibuje aproximadamente el grfco
de y = 2 x y el de su inversa en el mismo sistema de ejes coordenados. d Qu observa?
Ahora hallaremos la rmula del grfco de la uncin inversa. Para hallar algebraicamente la uncin nversa , intercambie x e y y reordene la expresin, despejando y. Para obtener la uncin inversa, f 1 , de f : x 2 x :
f : x 2 x es otra manera de escribir y = 2 x.
x
Escriba y = 2 y x= 2 log2 x = ylog2 2 Por lo tanto, y = log2 x
Intercambiar x e y Aplicar logaritmos en base 2 en ambos miembros Dado que log2 2 = 1
Por lo tanto, f 1 : x log 2 x En general, si f : x a x entonces f 1 : x log a x. y = loga x es la inversa de y = ax.
11 8
Funciones exponenciales y logartmicas
y es el exponente al que hay que elevar a la base 2 para obtener x.
El grfco de y = loga x es la simetra del grfco de y = ax respecto de la recta y = x.
y
y = ax y=x
(0,1) 0
y = log a x (1,0)
x
Una uncin logartmica, f ( x) = loga x, tiene las siguientes propiedades: El dominio es el conjunto de todos los nmeros reales positivos. El recorrido es el conjunto de todos los nmeros reales. La curva no corta al eje y. El eje y es una asntota vertical. Corta al eje x en . El grfco es siempre creciente.
Se atribuye a John Napier (15501617) muchos de los primeros trabajos sobre logaritmos. Dira que invent los logaritmos o que los descubri?
Transformaciones de funciones logartmicas Una vez que conocemos la orma general del grfco de una uncin logartmica, podemos usar lo que aprendimos en el captulo para examinar los grfcos de otras unciones logartmicas.
Ejercitacin 4J 1
Dada la uncin f ( x) = loga x, describa la transormacin requerida en cada caso para obtener el grfco de g(x). a g ( x) = loga (x) 2 b g ( x) = loga (x 2) c g ( x) = 2loga x
y y = log a x 0
x
(1, 0)
PREGUNTA TIPO EXAMEN Dibuje aproximadamente el grfco de y = 2log(x ) sin usar la calculadora. Incluya en su grfco las intersecciones con los dos ejes (si existen).
2
3
Dibuje aproximadamente el grfco de y = log2(x + ) + 2 y rotule claramente cualquier asntota en el grfco.
4
El dibujo muestra el grfco de y = loga x. Halle el valor de a.
y (27, 3)
0 (1, 0)
5
Cuando la base no est indicada, los logaritmos son en base 10.
x
Sabiendo que f (x) = log3 x, halle f 1(2). Captulo 4
1 19
Logaritmos en base 1 0 y = log 0 x es la inversa de y = 0 x. Este es un logaritmo importante puesto que es uno de los nicos que podemos hallar con la calculadora. A los logaritmos en base 0 se los conoce como logaritmos decimales, y podemos omitir la base y solo escribir log x en lugar de log 0 x. La calculadora tiene una tecla para log.
ejmplo 5 Use la calculadora para evaluar log 2 con una aproximacin de 3 ciras decimales. Respuesta log 2 = 0,301 con una aproximacin de 3 ciras decimales.
*Logarithms
1.1
0.30103
log10(2)
1/99
Logaritmos naturales El logaritmo natural, loge x (log en base e), es el otro logaritmo importante. Escribimos ln x en lugar de loge x. La calculadora tiene una tecla para ln.
ejmplo 6 Use la calculadora para evaluar ln4 .
Asegrese de cerrar el parntesis despus del nmero 4; de lo contrario, la calculadora
ln2
Respuesta ln 2
*Logarithms
1.1 In(4)
ln 4
= 2
2.
In(2)
1/99
Ejercitacin 4K 1
120
Use la calculadora para evaluar estas expresiones con una aproximacin de 3 ciras signifcativas (cs). a log 3 b 4log 2 c ln 5 d
log 4 log 5
ln 4 ln 5
g
(log 3) 2
h
log 3 2
Funciones exponenciales y logartmicas
f
log
4 5
hallar ln
4 . In2
y = ln x es la inversa de la uncin exponencial y = ex y
y= ex y=x
(0, 1) 0
y = In x (1, 0)
x
Esta relacin nos da tres resultados importantes: loga(ax) = x y aloga x = x ln(e x) = x y e lnx = x log ( 0 x) = x y ( 0 log x) = x
ejmplo 17 Resuelva estas ecuaciones dando su respuesta con una aproximacin de 3 ciras signifcativas. a e x = 2,3 b ln x = 1,5 c 10 x = 0,75 d log x = 3 Respuestas a e x = 2,3 ln(e x) = ln2,3 x = 0,833 (3 cs) b ln x = 1,5 e lnx = e 1,5 x = 0,223 (3 cs) 10 x = 0,75 log(10x) = log 0,75 x = 0,125 (3 cs) d log x = 3 10 log x = 10 3 x = 1000
Escribir en forma de logaritmo natural Usar ln (e x) = x y evaluar Usar (e lnx) = x y evaluar
c
Usar log(10 x) = x y evaluar
Usar 10 log x = x y evaluar
ejmplo 18 Dada f(x) =
1 2x e , halle f1(x). 3
Respuesta 1 3
f (x) = e2x 1 2x e 3 1 x = e2y 3
y=
Intercambiar x e y { Contina en la pgina siguiente.
Captulo 4
1 21
3x = e2y ln(3x) = ln e2y ln(3x) = 2y
Usar ln(ex) = x
1 ln(3x) = y 2
Despejar y 1
Entonces, f 1(x) = 2 ln(3x), x > 0
Ejercitacin 4L 1
2
Resuelva estas ecuaciones dando las respuestas con 3 ciras signifcativas donde sea necesario. a
ex = 1,53
d
ex =
10 x = 2,33
Halle x si: log x = 2
5ex = 0,15
c
ex = 1
b
log x = 1
1 2
c
10 x = 1
d
10 x =
c
log x = 0
d
log x = 5,1
Sin usar la calculadora, evale estas expresiones: a
5
e
10 x = 0,6
b
a 4
ex = 0,003
Resuelva estas ecuaciones dando las respuestas con 3 ciras signifcativas donde sea necesario. a
3
1 2
b
5
lo g 5 1 2
b
5
lo g 5 4
c
e ln
3
d
eln4
Sin usar la calculadora, evale estas expresiones: a
ln e5
b
log 100
c
ln1
d
ln e
e
ln 13 e
PREGUNTAS TIPO EXAMEN 6 Dada f (x) = e2 x1 , halle f 1 (x) e indique su dominio. 7
Dada f (x) = e0,25 x, 2 x 4, indique el dominio y el recorrido de f 1.
8
Dada f (x) = ln 3x, x > 0, halle f1(x).
9
Dadas f (x) = ln(x 1), x > 1, y g(x) = 2ex, halle (g f )(x).
. proiedades de los logaritmos Podemos deducir las propiedades de los logaritmos a partir de las ecuaciones exponenciales x = a p e y = a q. x = a p e y = aq
122
entonces
p = log a x y q = log a y
y por lo tanto
xy = a p a q = a p + q log a xy = p + q
Funciones exponenciales y logartmicas
log a xy = log a x + log a y
y de aqu
Esta expresin resulta verdadera para logaritmos en cualquier base, en consecuencia: log x + log y = log xy
Observe que log xy log x log y y que l o g
x y
log x lo g y
.
x = a p aq = a p q y x = pq y x y de aqu log a = log a x log a y y
por lo tanto log a
log x log y = log
x y
x n = ( a p ) n = a pn por lo tanto log a x n = pn y de aqu log a x n = n log a x n log x = log x n Podemos incluso deducir el siguiente resultado clave a partir de la tercera propiedad. log a
1 = log a x 1 = 1 log a x = log a x x
Todas estas propiedades se cumplen para logaritmos en cualquier base y por lo tanto las bases pueden omitirse. Necesita aprender estas propiedades puesto que no aparecen en el cuadernilo de frmulas de Matemticas NM del IB.
ejmplo 19 Exprese log 2 5 + 1 log 2 36 log 2 1 0 como un nico logaritmo. 2
Respuesta 1
log 2 5 + log 2 36 log 2 1 0 2
1
= log 2 5 + log 2 36 2 log 2 1 0 = log 2 5 + log 2 6 log 2 1 0
n log a x = log a x n
= log 2 30 log 2 1 0
log x + log y = log xy
= log 2 3
log x log y = log
x y
Captulo 4
1 23
Ejercitacin 4M 1
2
3
Exprese como un nico logaritmo: a log 5 + log 6 b log 24 log 2 d
1 log 49 2
g
log x + 2 log y 3 log xy
3log x 2log y
c
2log 8 4log 2
f
log x log y log z
Exprese como un nico logaritmo:
3 5
a
log 2 6 + 2log 2 3 log 2 4
b log 3 40 log 3 1 5 + 2 log 3
c
log a 4 + 2log a 3 2 log a 6
d
2ln3 ln18
3ln2 2
f
4log 2 x +
1 3
log 2 y 5 log 2 z
Halle el valor de cada expresin (cada respuesta es un nmero entero). a log 6 2 + log 6 1 8 b log2 24 log2 3 c log 8 2 + log 8 3 2 d
2log 6 3 + log 6 24
1 2
log 3 6 log 1 5 + 2log 5
ejmplo 0 Sabiendo que a = log5 x, b = log5 y y c = log5 z,
x
escriba log 5 2 3 en funcin de a, b y c. y z Respuesta x log 5 2 3 y z
2 3 = log 5 x log 5 y z 1
= log 5 x 2 (log 5 y 2 + log 5 z 3 ) = =
1 2 1 2
log 5 x 2log 5 y 3log 5 z a 2b 3 c
Ejercitacin 4N PREGUNTA TIPO EXAMEN 1 Sabiendo que p = log2 a y q = log2 b, halle expresiones en funcin de p y/o q para: b a log2 ab b log2 a3 c log 2 a
d
124
log 2 b
log 2
b
2
a
Funciones exponenciales y logartmicas
2
Sean x = log P, y = log Q y z = log R. 3
P2 Exprese log en funcin de x, y y z. 2 QR 3
Escriba estas expresiones en la forma a + blog x donde a y b son nmeros enteros a
log10x
log
b
1 00 x2
c
log 1 0x
d
log
1 10 x
PREGUNTAS TIPO EXAMEN 4
Sabiendo que y log 3
27 a 81
, escriba y en la forma y = pa + q
donde p y q son nmeros enteros a determinar. 5 6
Escriba log 3
1 27 x
2
en la forma a + blog3 x donde a y b son enteros. x
Muestre que e xln2 = 2 .
Observe que la pregunta 6 de la ejercitacin 4N ilustra el resultado general ax = exlna
Cambio de base A veces se necesita cambiar la base de un logaritmo y existe una frmula que permite hacerlo. Suponga que quiere evaluar logba utilizando logaritmos en otra base, c. Si y = logb a entonces a = b y. Comenzamos con a = b y. Aplicamos logaritmos en base c en ambos miembros: logc a = logc by logc a = ylogc b y=
log c a log c b
Pero y = logb a por lo tanto Frmula del cambio de base: log b a =
log c a log c b
Esta frmula se puede usar para evaluar un logaritmo o para cambiar un logaritmo a cualquier base.
Esta frmula resulta til puesto que la mayora de las calculadoras solo calculan logaritmos en base 10 o e.
Captulo 4
1 25
ejmplo Use la rmula del cambio de base para evaluar log 49 con 3 ciras signifcativas. Respuesta log 4 9 =
log9
Cambiar el logaritmo a la base 10
log4
Usar la calculadora para evaluar la respuesta
= 1 , 58 (3 cs )
ejmplo logx 3 = a y logx 6 = b. Halle log3 6 en uncin de a y b. Respuesta
log 3 6 = =
log x 6 log x 3
Usar la frmula del cambio de base
b a
Ejercitacin 4O 1
2
Use la rmula del cambio de base para evaluar estas expresiones con una aproximacin de 3 ciras signifcativas. 1 7
a
log27
b
log 5
d
log7e
log3 7 7
c
log3 (0,7)
Sabiendo que log3 x = y, exprese log 9 x en uncin de x e y.
PREGUNTA TIPO EXAMEN 3 Si loga 2 = x y loga 6 = y, halle en uncin de x e y: a log2 6 b log6 2 c log2 36 d loga 24 log6 12 f log2 3 4
Use su CPG para dibujar aproximadamente estos grfcos. a y = log4 x b y = 2log5 x
5
Sabiendo que log4 a = b, exprese y en uncin de b. a y = log4 a2 b y = log16 a c
126
y = log a 2 1 4
Funciones exponenciales y logartmicas
d
y = log
1 16
a
Para logaritmos en base 10, el 10 se omite.
4.7 ecuacions xponncials y logartmicas Resolucin de ecuaciones exponenciales Podemos usar logaritmos para resolver ecuaciones exponenciales. En la seccin 4.2 resolvimos ecuaciones exponenciales donde las bases eran iguales o podan igualarse. En esta seccin aprenderemos cmo resolver ecuaciones exponenciales en las que las bases son nmeros distintos.
ejmplo 23 x
Resuelva 5 = 9. Respuesta x
5 =9 x log 5 = log 9 x log 5 = log 9 x=
Aplicar logaritmos en ambos miembros Ahora bajar el exponente Reordenar la ecuacin
log9 log5
x = 1,3652 x = 1,37 (3 cs)
Elija logaritmos en base 10 o logaritmos naturales para poder usar su CPG.
Controlar si la pregunta requiere una respuesta exacta
ejmplo 24 x+ 1 Resuelva 6 x = 3 dando su respuesta en la forma ln a ln b donde a y b son enteros.
Respuesta 6x = 3 x + 1 ln 6 x = ln 3 x + 1 x ln 6 = ( x + 1 ) ln 3 x ln 6 = x ln 3 + ln 3 x ln 6 x ln 3 = ln 3 x (ln 6 ln 3 ) = ln 3 x= x=
Aplicar ln en ambos miembros Bajar los exponentes Aplicar propiedad distributiva para eliminar los parntesis Agrupar los trminos en x Factorizar y dividir
ln 3 (ln 6 ln 3 ) ln 3 ln 2
lna lnb = ln
a b
Captulo 4
1 27
ejmplo 5 Resuelva e3 x = 5 1 x, dando su respuesta en orma exacta. Respuesta Usar logaritmos naturales dado que ln e x = x Bajar los exponentes Aplicar propiedad distributiva para eliminar los parntesis Agrupar los trminos en x Factorizar y dividir
e3 x = 5 1 x ln e3 x = ln 5 1 x 3x = (1 x) ln 5 3x = ln 5 x ln 5 3x + x ln 5 = ln 5 x (3 + ln 5) = ln 5 ln5
x=
Deje su respuesta como un logaritmo, dado que se exige una respuesta exacta.
(3 + ln5)
Ejercitacin 4P 1
Resuelva estas ecuaciones para hallar el valor de x con 3 ciras signifcativas. a
x
2 =5
b
x
3 = 50
x
5 = 17
c
7
d
7 1 9 3
f
2
2 x1
= 3,2 10 3
ex = 6
g
= 16
x 5
x
x+1
e = 0,1 1
h
PREGUNTA TIPO EXAMEN Resuelva estas ecuaciones para hallar el valor de x con 3 ciras signifcativas.
2
x x+2
=5
x 3
a
2
e3 x 1 = 3 x
b
3 2 x = 42x 5
c
3 3 = 5 x +3
f
4e3 x 2 = 244
g
35e
0,001 x
d
x
7 = (0,5) x 1
= 95
ejmplo 6 Resuelva 3 6 a, b Z.
x 1
= 2 3 x+ 2, dando su respuesta en la orma x =
ln a ln b
, donde
Respuesta x1
ln (3 6 ) = ln (2 3 x + 2) x+2 ln 3 + ln (6x 1) = ln 2 + ln(3 ) ln 3 + (x 1) ln 6 = ln 2 + (x + 2)ln 3 ln 3 + x ln 6 ln 6 = ln 2 + x ln 3 + 2ln 3 x ln 6 xln 3 = ln 2 + 2ln 3 + ln 6 ln 3 x(ln 6 ln 3) = ln 2 + ln 9 + ln 6 ln 3 1 08 ln36 x= 3 = ln2 6 ln 3
Aplicar logaritmo natural en ambos miembros
Agrupar los trminos en x y actorizar
ln
128
Funciones exponenciales y logartmicas
Este resultado no puede simplifcarse ms. ln a ln b
ln
a b
Ejercitacin 4Q PREGUNTAS TIPO EXAMEN Resuelva estas ecuaciones para hallar el valor de x con 3 ciras signifcativas. x 2x 1 x x x a 7 3 = 25 b 4 3 =5 c 3 2 =4 5 x1 x x1 x+ 2 2x 5 2 =3 7 34 =2 7
1
2
Resuelva estas ecuaciones para hallar el valor de x en la orma x = x+ 2
ln a , donde a, b . ln b x3
2 =5 x+ 1 c 5 3 = 2 6 3 2x a
3
Resuelva en x: 2x x a e e = 0
x
x
53 =87 x x 1 x+ 2 (6 )(2 ) = 2(4 ) b
b
x
x
4 3(2 ) = 0
Resolucin de ecuaciones logartmicas Las ecuaciones logartmicas que presentan logaritmos de igual base en ambos miembros de la igualdad pueden resolverse igualando los argumntos de los logaritmos.
El argumento es la expresin que fgura entre parntesis.
ejmplo 7 Resuelva log a ( x 2 ) = log a (3 x + 4 ) . Respuesta loga(x 2) = loga(3x + 4) x2 = 3x + 4 2 x 3x 4 = 0 (x 4)(x + 1) = 0 x = 4 o x = 1
Igualar los argumentos Resolver la ecuacin cuadrtica
verifcar que ambas soluciones son posibles. Debemos recordar que no es posible calcular el logaritmo de un nmero negativo. Reemplazando x = 4 y x = en ambos miembros de la ecuacin original se obtienen argumentos positivos; por ende, en este caso, ambas soluciones son posibles.
dbmos
ejmplo 8 Resuelva ln(1 2 x ) = ln x + ln( x 5 ) . Respuesta ln(12 x) = ln x + ln(x 5) ln(12 x) = ln x (x 5) ln(12 x) = ln(x 2 5x) 12 x = x 2 5x 2 x 4x 2 = 0 (x 6)(x + 2) = 0 x = 6 o x = 2
Igualar argumentos Resolver la ecuacin cuadrtica { Contina en la pgina siguiente.
Captulo 4
1 29
Cuando x = 6, ambos argumentos, x y (x 5), son positivos. Cuando x = 2, los argumentos, x y (x 5), son negativos. Por lo tanto, x = 6 es la nica solucin.
Verifcar las soluciones
Ejercitacin 4R PREGUNTA TIPO EXAMEN Resuelva en x las siguientes ecuaciones: a log 2 ( x ) = log 2 ( 6 x 1 ) b ln( x + 1 ) = ln( 3 x )
1
c
log 5 (2 x ) log 5 (6 x 1)
log 3 x log 3 ( x 1 ) = log 3 ( x + 1 )
d
log 2 ( 2 x + 3 ) + log 2 ( x 1 ) = log 2 ( x + 1 )
Algunas veces resulta ms sencillo resolver una ecuacin logartmica usando exponentes.
ejmplo 29 Resuelva log5 (x 2) = 3. Respuesta log5 (2x 1) = 3 5 3 = 2x 1 125 = 2x 1 2x = 126 x = 63
Dado que logax = b x = ab
ejmplo 30 Resuelva log2 x + log2(x 2) = 3. Respuesta lo g 2 x + lo g 2 ( x 2 ) = 3 lo g 2 [ x ( x 2 )] = 3 2
lo g 2 ( x 2 x ) = 3 x 2 2 x = 23
Se usa la primera propiedad de la pgina 123. Dado que loga x = b x = a b
x2 2x = 8 x2 2x 8 = 0 ( x + 2 )( x 4 ) = 0 x = 2 o x = 4 x = 4 es la nica so l uci n
130
x y (x 2) deben ser nmeros positivos.
Funciones exponenciales y logartmicas
Ejercitacin 4S 1
Resuelva en x estas ecuaciones: b log3 (2x 1) = 3 log9(x 2) = 2
2
c
log (3 x ) = 5 1 2
Resuelva en x estas ecuaciones: log 6 ( x 5 ) + log 6 x = 2 b log2(4x 8) log2 (x 5) = 4 c
log7(2x 3) log7(4x 5) = 0
PREGUNTAS TIPO EXAMEN Sabiendo que log 2 x + log 2 ( 2 x + 7 ) = log 2 A. halle una expresin para A en uncin de x.
3
A partir de lo anterior o de cualquier otro modo, resuelva log2 x + log2(2x + 7) = 2 4 5
Resuelva log 4 x + log x 4 = 2. 2
Resuelva log 2 x + log 4 x = 9.
.8 aplicciones de ls funciones exponenciles y logrtmics Crecimiento y decrecimiento exponencial
Aqu primero necesitar cambiar la base.
Material de ampliacin disponible en lnea: Hoja de ejercicios 4: Reduccin a la forma lineal
Los modelos de crecimiento y decrecimiento exponencial emplean unciones exponenciales. He aqu algunas aplicaciones de los modelos de crecimiento y decrecimiento exponencial. Biologa Crecimiento de micro-organismos en un cultivo Poblacin humana Propagacin de un virus Fsica Cadena de reacciones nucleares Transerencia de calor Podra elegir alguno Economa de estos temas Los diagramas piramidales como base de Tecnologa inormtica su exploracin Potencia de procesamiento matemtica. de computadores Crecimiento del trfco de Internet
Dos reas de las matemticas que aparentan estar totalmente desconectadas podran ser las de exponenciales y probabilidades. Pero, examine este problema. Un grupo de personas salen a almorzar y luego toman sus sombreros al azar. Cul es la probabilidad de que ninguno tome su propio sombrero? Puede demostrarse que esta probabilidad 1 es . e (Podra explorar esto una vez que haya profundizado el tema de las probabilidades.) Puede pensar en otras reas de conocimiento que estn asombrosamente conectadas?
Captulo 4
1 31
Crecimiento exponencial ejmplo 31 La poblacin de una ciudad, A(t), en miles, se modeliza mediante la funcin A(t ) = 30e (0,02) t donde t es el nmero de aos despus de 2010. Use este modelo para responder a estas preguntas: a Cul era la poblacin de la ciudad en el ao 2010? b Cul es el porcentaje de crecimiento de la poblacin de la ciudad cada ao? c Cul ser la poblacin en el ao 2020? d Cundo la poblacin de la ciudad alcanzar los 60 000 habitantes? Respuestas A(0) = 30e0 = 30 La poblacin en 2010 era de 30 000. b A(1) = 30e (0,02) a
30 e ( 0 , 0 2 )
= e( 0 , 02 )
30
t es el nmero de aos despus de 2010, por lo tanto, t = 0
Escribir una ecuacin para la poblacin un ao despus de 2010 Calcular el factor de multiplicacin
= 1,0202... La poblacin crece un 2,02% cada ao. c
A (1 0 ) = 3 0e
( 0 , 0 2 ) 1 0
En 2020, t = 10.
= 3 6, 642 . . .
En 2020 la poblacin ser de 36 642. d
60 = 30 e ( 0 , 0 2 ) t 2=e
( 0 ,02 ) t
ln 2 = ln e ( 0 , 0 2 ) t ln 2 = 0, 02 t t=
ln 2
Cuando la poblacin es de 60 000, A(t) = 60. Aplicar logaritmos en ambos miembros Bajar el exponente Resolver en t
0, 02
t = 34, 657 ... La poblacin ser de 60 000 despus de 34,66 aos, esto es, durante 2044.
132
Funciones exponenciales y logartmicas
Decrecimiento exponencial ejmplo 3 Una cazuela se saca del horno y se enfra de acuerdo con el modelo de frmula T(t) = 85e0,1t, donde t es el tiempo en minutos y T es la temperatura en C. a Cul es la temperatura de la cazuela cuando se la saca del horno? b Si la temperatura de la habitacin es de 25C, cunto tiempo transcurrir hasta que la cazuela alcance temperatura ambiente? Rspustas
T(0) = 85e0 = 85 La temperatura de la cazuela es de 85C.
a
b
8 5e 0 ,1 t = 2 5 e 0 ,1 t =
25
=
85
ln e 0 ,1 t = ln
5
T = 25 si la temperatura de la habitacin es de 25C.
17 5 17
0 ,1 t = ln
Cuando la cazuela se saca del horno, t = 0.
Aplicar logaritmos en ambos miembros
5 17
= 1 ,223 7 7. . . t = 1 2, 2 (3 cs )
Resolver en t
La cazuela alcanzar temperatura ambiente luego de 12,2 minutos.
Ejercitacin 4T 1
Se invierte una suma de 450 euros al 3,2% de inters compuesto, con capitalizacin anual. a Escriba la frmula para el valor de la inversin luego de n aos. b Despus de cuntos aos el valor superar por primera vez los 600 euros?
2
En las primeras etapas de una epidemia de sarampin haba 100 personas infectadas y cada da el nmero aument un 10%. a Cunta gente result infectada en los siguientes espacios de tiempo? Despus de dos das i ii Despus de una semana b Cunto tiempo pasar hasta que se infecten 250 personas?
Captulo 4
1 33
3
Los incendios orestales se propagan de manera exponencial. Por cada hora de uego sin control, el rea de la quema se incrementa en un 15%. Si se han quemado 0 hectreas y el uego se sale de control, en cunto tiempo se estarn quemando 0 000 hectreas?
4
Jos realiz un salto en paracadas para fnes de caridad. Despus de saltar del avin, su velocidad en el tiempo t segundos despus de que su paracadas se abri era v m s 1, donde v = 9 + 29e0,063 t
5
a
Dibuje aproximadamente el grfco de v en uncin de t.
b
Cul era la velocidad de Jos en el instante en el que se abri el paracadas?
c
Cul ue su menor velocidad posible si se lanz desde una altura muy grande?
d
Si aterriz despus de 45 segundos, cul ue la velocidad a la que aterriz?
e
Cunto tiempo le llev alcanzar la mitad de la velocidad que tena cuando se abri el paracadas?
Dos variables x y n estn relacionadas por la rmula x = a nb. Cuando n = 2, x = 32 y cuando n = 3, x = 08. Halle los valores de a y b.
El gelogo estadounidense Charles Richter defni la magnitud de un terremoto como: I M = log S M es la magnitud (en decimales), I es la intensidad del terremoto (medida por la amplitud en mm, tomada por un sismgrao ubicado a 100 km del epicentro del terremoto) y S es la intensidad de un terremoto estndar . La intensidad de un terremoto estndar (S) es 0,001 milmetros. Explore en proundidad la escala Richter.
134
Funciones exponenciales y logartmicas
Intensidad
Escala de Richter Suave 04,3 Moderado 4,34,8 Intermedio 4,86,2 Fuerte 6,27,3 Catastrfco 7,3+
ejrcicio d rvisin 1
Evale log5 287.
2
Resuelva estas ecuaciones: x1 2 x+3 3x a 3 b 5 =3 = 90
3
c
2 3 2x = 5 x
Resuelva estas ecuaciones: a
log x + log (3 x 1 3 ) = 1
b
log5 (x + 6) log5 (x + 2) = log5 x
c
ln (4x 7) = 2
d
log 2 ( x 2 ) = (log 2 x ) 2
log1 0 x = 4 log x 1 0
PREGUNTAS TIPO EXAMEN Las unciones fy g estn defnidas como
4
f(x) = e2x para todo x real 3 2
g ( x ) = ln x para x > 0 Indique el recorrido de f (x) y g(x). Explique por qu ambas unciones tienen inversa. Halle las expresiones de las unciones inversas f (x) y g (x). c Halle una expresin para ( f g)(x) y ( g f )(x). d Resuelva la ecuacin ( f g)(x) = ( g f )(x). a
b
5
El nmero, n, de insectos en una colonia, est dado por n = 4000e0,08 t donde t es el nmero de das despus de comenzada la observacin. a Halle la poblacin de la colonia despus de 50 das. b Cunto tiempo transcurre antes de que la poblacin se duplique?
ejrcicio d rvisin x+2
1
1 Resuelva 25 4 x 3 = 1 25
2
Halle el valor exacto de x que satisace la ecuacin (5 x +1 )(7 x ) = 3 2 x +1 .
.
D su respuesta en la orma 3
log a donde a, b Z. log b 1 log 3 3 . 3
Halle el valor exacto de 2 log 3 27 + log 3
PREGUNTA TIPO EXAMEN 1 3
4
Escriba 4 log 3 x + log 3 y 5 log 3 z como un nico logaritmo.
5
Resuelva: a
log 3 ( 4 x 1 ) = 3
b
log x +1 ( x 1 ) = 2
c
log 3 ( 2 log x ) = 4
d
log 2 ( x 2 ) + log ( x 1 ) = 3 1 2
Captulo 4
1 35
PREGUNTA TIPO EXAMEN 6 Si m = logx4 y n = logx8, halle expresiones en uncin de m y n para: log48 b logx2 logx16 log8 32 7
La uncin fest defnida para todos los valores reales de x por f (x) = e3(x1) + 2. Describa una serie de transormaciones por las cuales el grfco de y = f (x) pueda obtenerse a partir del grfco de y = ex.
PREGUNTAS TIPO EXAMEN Halle la uncin inversa f 1(x) si: f (x) = 3e 2x b f (x) = 0 3 x
8 9
f (x) = log2 (4x)
Resuelva este sistema de ecuaciones en a y b, sabiendo que a y b son nmeros reales positivos. loga64 + logab = 8; logba =
1 2
ResuMeN del captulO 4 poni Propiedades de las potencias
am an = am +n am an = am n ( a m ) n = a mn a 0 =1 1
n
a =a n
n
(a m ) = ( n a ) = ( a m ) n =
an =
1
m
(a ) 1 n
m
m
= an
1 an
Funciones exponenciales
Una fnin xonni es una uncin de la orma f (x) = a x donde a es un nmero real positivo (esto es, a > 0) y a . El ominio de la uncin exponencial es el conjunto de todos los nmeros reales. El rorrio es el conjunto de todos los nmeros reales positivos. El grfco de la uncin exponencial f(x) = ex es un grfco de crecimiento exponencial y el grfco de f(x) = e x es un grfco de decrecimiento exponencial. y
y f(x) = e x
1 0
y = ex
1
(0, 1) x
0
(0, 1) x
Contina en la pgina siguiente.
136
Funciones exponenciales y logartmicas
logaritmos Propiedades de los logaritmos
Si b a x entonces log a b x log a a = 1
log a 1 = 0
log a b no est defnido para cualquier base a si b es negativo
log a 0 no est defnido log a ( a n ) = n
Funciones logartmicas
Para hallar algebraicamente la inversa de una uncin, intercambie x e y y luego reordene, despejando la variable y.
En general, si f : x a x entonces f 1 : x log a x. y = loga x es la inversa de y = ax. y = ln x es la inversa de la uncin exponencial y = ex.
y
y = ex y=x
(0, 1) 0
y = In x (1, 0)
x
loga(ax) = x y aloga x = x ln(e x) = x y e lnx = x log (1 0 x) = x y (1 0 log x) = x
Propiedades de los logaritmos
log x + log y = log xy
log x log y = log
log x n = n log x
log
1
x y
log x
x
Frmula del cambio de base
log b a =
log c a log c b
Captulo 4
1 37
teora del conoimieno
la beeza de a maemia Las matemticas ms admirables tienen la simplicidad y la inevitabilidad de la poesa y la msica supremas, erigidas en el lmite entre todo lo maravilloso de la ciencia y toda la belleza del arte. Herbert Westren Turnbull (1 8851 961 ) Los grandes matemticos, 1 929
souione bea y enia Alguna vez se ha sentido satisecho(a) por la orma en que haba resuelto un problema matemtico? Fue simplemente por haber llegado a la respuesta correcta o porque su resolucin le pareci efciente, elegante y hasta hermosa? Considere estas dos resoluciones del problema:
Desarrolle y simplifque (x + y + z)(x y z) souin 1
souin 2
(x + y + z)(x y z)
(x + y + z)(x y z)
= x xy xz + xy y yz + xz yz z
= (x + (y + z))(x (y + z))
= x 2yz y z
= x (y + z)
= x (y + 2yz + z) = x (y + z)
Cul solucin es mejor?
Ambas arrojan el mismo resultado, por lo tanto ninguna es mejor que la otra. Sin embargo, la solucin 2 es ms elegante y demuestra ms perspicacia que la solucin 1 .
138
Teora del Conocimiento: la belleza de las matemticas
La matemtica pura es, a su manera, la poesa de las ideas lgicas. Albert Einstein (1 8791 955)
La esencia de las matemticas no es complicar las cosas simples sino simplifcar las cosas complicadas. Stan Gudder, catedrtico de matemticas, Universidad de Denver
He aqu algunas ecuaciones famosas Ecuacin de Einstein: E = mc2 Segunda ley de Newton: F = ma Ley de Boyle: V =
k p
Ecuacin de Schrdinger: H = E Ley de la gravitacin universal de Newton: F = G
m1 m2 r2
No resulta asombroso que podamos describir el universo usando ecuaciones matemticas como estas? Estas ecuaciones han ayudado a poner al hombre en la Luna y traerlo de vuelta, desarrollar la Internet inalmbrica y comprender el funcionamiento del cuerpo humano.
Estas son solo cinco ecuaciones: cul es su favorita? Es posible que las matemticas y la ciencia descubran un da la teora que explique absolutamente todo? Una teora que explique y relacione completamente todos los fenmenos fsicos conocidos? Una teora que tenga el poder de predecir el resultado de cualquier experimento que pudiera llevarse a cabo?
No sera algo maravilloso?
tora del conocimino
ecuacions hrmosas y sncillas: modlos dl mundo
La ley de Boyle explica por qu las burbujas aumentan su tamao a medida que ascienden a la superfcie del agua.
Captulo 4
1 39
Funciones racionales
5 ObjetivOs del captulO: 2.5
1
La uncin recproca x , x 0, su grfco y la propiedad de coincidir x con su inversa La uncin racional x
ax + b y su grfco cx + d
Asntotas horizontales y verticales Aplicacin de las unciones racionales a situaciones de la vida real
an omnzr Qu necesitamos saber
Comprobemos nuestras habilidades
1
1
Desarrolle los polinomios: 4(2x 5) 6(2x 3) x (x2 + 7) x2(x + 3) 2 x (x 3)(x + 8)
2
Dibuje las siguientes rectas en un grfco: x = 0, y = 0, x = 3, x = 2, y = 3, y = 4
3
Describa las trasormaciones que le asignan a y = x3 las unciones A y B y escriba las rmulas correspondientes.
Desarrollar polinomios Por ejemplo: Multiplicar los polinomios 2(3x 1 ) y 3x (x2 + 1 ): 2(3x 1 ) = 6x + 2 3x (x2 + 1 ) = 3x3 + 3x
2
Representar grfcamente y rectas horizontales y x=2 4 y=3 verticales 2 y=x Por ejemplo: y = x Representar las rectas 3 2 1 0 1 2 3 2 y = x, y = x, x = 2, y = 2 x = 1 4 x = 1 , y = 3 e y y = 2 en el mismo grfco 12 3 Reconocer y describir 10 una traslacin 8 Por ejemplo: Hallar las 6 traslaciones que le asignan 4 a y = x2 las unciones A y B B 2 y=x 2 A es un desplazamiento A horizontal de 2 unidades 4 2 0 2 4 a la derecha. La uncin correspondiente a A es y = (x 2)2. B es un desplazamiento vertical de 3 unidades hacia arriba. La uncin correspondiente a B es y = x2 + 3. 140
Funciones racionales
x
6 x
y 8 6
y = x3 B
4 2 1 0 2
1
2
3
4 6 8
A
4
5
x
Sabemos cuntas canciones, lbumes, sonidos y dems podemos almacenar en un reproductor de MP3? La respuesta depende de la calidad del ajuste de grabacin y la duracin de la cancin. Sin embargo, una idea aproximada es que un reproductor MP3 de 4GB puede almacenar 1 36 horas o 81 60 minutos de msica. Esto es aproximadamente: 2000 canciones de 4 minutos cada una o 1 000 canciones de 8 minutos o 4000 canciones de 2 minutos Esto nos lleva a la uncin s =
8000 donde s es el nmero de m
canciones y m es el nmero de minutos que dura una cancin. k x
Esta uncin es un ejemplo de la uncin recproca f ( x ) = . En este captulo utilizaremos la calculadora de pantalla grfca (en adelante, CPG) para explorar los grfcos de las unciones recprocas y otras unciones racionales que pueden ser expresadas en la orma f( x ) =
ax + b . Examinaremos asntotas horizontales y verticales para cx + d
los grfcos de esas unciones y el dominio y recorrido de las mismas.
Captulo 5
1 41
5.1 Rcprocos invstgacn: representacin grfca de productos Pensemos en pares de nmeros cuyo producto es 24. Por ejemplo: 24 x 1, 12 x 2, 8 x 3, 3 x 8. Copie la tabla y aada ms pares de nmeros. 24 1
x y
12 2
8 3
3 8
Muestre esos pares como coordenadas en un grfco con 0 x 24 y 0 y 24. Ahora haga lo mismo con nmeros negativos (p.ej., 12 2) y mustrelos en el grfco tambin. Explique lo que observa acerca de: El valor de x cuando y se hace ms grande El valor de y cuando x se hace ms grande El comportamiento extremo de su grfco
Se denomina comportamnto xtrmo a la apariencia de un grfco a medida que se lo contina en ambas direcciones.
El recproco de un nmero es 1 dividido por el nmero.
El nmero cero no tiene recproco ya que
Por ejemplo, el recproco de 2 es 1 . 2
El recproco de una fraccin resulta ser la fraccin invertida. 4 4 3 Por ejemplo, el recproco de 3 es 1 = 1 = .
1 no est defnido. 0
Qu le muestra su CPG para 1 0?
3 3 1 4 es . El recproco de es o 4. El recproco de 4 1 10 7 4
7
4
10
Un nmero multiplicado por su recproco es igual a 1 . Por ejemplo: 3
1 =1 3
ejmplo 1 1
Halle el recproco de 2 . 2
Rspusta 1 5
2
2
=
2
Escribir como una fraccin impropia 5
Recproco de = 2 5 2
Invertirla
Tambin podemos hallar recprocos de trminos algebraicos. 1
El rcproco de x es x o x 1 y x 1 x =1 .
142
Funciones racionales
En una traduccin de 1570 de la obra de Euclides, Elementos (300 a.C.), se llam reciprocali a las cantidades geomtricas en proporcin inversa.
Verifcar:
5 2 =1 2 5
Al recproco de un nmero o de una variable tambin se lo llama " inverso multiplicativo" .
ejrctacn 5A Halle los recprocos: b 3 2
1
a
2 3
f
Halle los recprocos: a 6,5 b x
2
2x 9
f
g
3
d
1
3 g 2
h
3
c
7 11
3a 5
1 2
c
y
d
3x
4y
h
2 3d
d t
j
x +1 x 1
El trmino recproco ya se usaba por lo menos en la tercera edicin de la Encyclopaedia Britannica (1797), para describir dos nmeros cuyo producto es 1.
Multiplique cada cantidad por su recproco. Muestre su procedimiento. 3 2c a 6 b c
3
4
3d
Cul es el recproco del recproco de 4? b Cul es el recproco del recproco de x? 5 Para la uncin xy = 24: a Halle y cuando x vale: 48 480 4800 v 48 000 b Qu sucede con el valor de y cuando x se vuelve ms grande? c Alcanzar y alguna vez el valor 0? Explique. d Halle x cuando y vale: 48 480 4800 v 48 000 Qu sucede con el valor de x cuando y se vuelve ms grande? f Alcanzar x alguna vez el valor 0? Explique. 4 a
Esta es la uncin que se us en la investigacin de la pgina 142.
. la funcn rcproca La funcn rcproca es f(x) =
k donde k es una constante. x
Todos los grfcos de unciones recprocas tienen ormas similares.
invstgacn: grfcos de unciones recprocas Utilice la CPG para dibujar los grfcos de esta investigacin. 1
Obtenga el grfco de las siguientes unciones:
a
f ( x) =
1 x
2 x
c
h ( x) =
3 x
2 1 b g( x ) = c x x
h ( x) =
3 x
b g( x) =
Qu eecto produce cambiar el valor del numerador? 2 Obtenga el grfco de las siguientes unciones:
a
f ( x) =
Qu eecto produce cambiar el signo del numerador? 3 a
4 x
Copie y complete esta tabla para f( x) = : x f (x)
0,25
0,4
0,5
1
2
4
8
10
16
b Qu observa acerca de los valores de x y f(x) en la tabla? c Dibuje el grfco de la uncin. d Dibuje la recta y = x en el mismo grfco. 4 Dibuje la simetra de f( x) = con respecto a la recta y = x. x g Qu le dice esto acerca de la uncin inversa f 1 ?
f
Qu observa?
Captulo 5
1 43
Asntotas Los grfcos de las unciones f (x), g(x) y h(x) en la investigacin de la pgina 1 43 consisten todos en dos curvas. Las curvas se acercan a los ejes pero nunca los tocan ni los cortan. Los ejes son asntotas del grfco. Si una curva se acerca ms y ms a una recta pero nunca la toca, esa recta se denomina asntota . y = b es una asntota de la uncin y = f (x)
La palabra asntota se deriva del griego asymptotos, que signifca que no cae junto .
y = f(x)
A medida que x , f ( x ) b. y= b
El smbolo signifca tiende a.
El grfco de cualquier uncin recproca de la orma y =
k tiene x
como asntota vertical a x = 0 y como asntota horizontal a y = 0.
La recta horizontal y = b es una asntota horizontal del grfco de y = f(x).
El grfco de una uncin recproca se llama hiprbola .
y El eje x es la asntota x = 0, el eje y, es 6 horizontal. k una asntota y= x El eje y es la asntota 4 y = x vertical. 2 El dominio y el recorrido son todos los nmeros 6 4 2 0 2 4 6 x 2 reales excepto el cero. y = 0, el eje x, es 4 Las dos ramas del grfco una asntota y= x son simtricas respecto de 6 la recta y = x. y = x e y = x son los ejes de simetra de esta uncin.
La uncin recproca tiene muchas aplicaciones en los algoritmos de la inormtica, particularmente los relacionados con la teora de nmeros. Quizs resulte interesante investigar estas aplicaciones con mayor proundidad.
En el captulo 1 vimos que para dibujar la inversa de la uncin f (x), se dibuja la simetra de frespecto de la recta y = x. Si realizamos 1
una simetra de f (x) = respecto de la recta y = x, obtenemos el x mismo grfco que para f (x). La uncin recproca coincide con su inversa . La rmula de la uncin en la investigacin de la pgina 1 42 es xy = 24. Esta se puede escribir como y =
24 y es una uncin x
recproca. Tiene un grfco similar al que se mostr anteriormente.
144
Funciones racionales
La funcin recproca, 1 f(x) = , es uno de los x ejemplos ms simples de una uncin que coincide con su inversa.
El diseo del hotel Yas Viceroy de Abu Dhabi, por el estudio Asymptote Architecture, se basa en modelos matemticos. Tambin cuenta con una pista de carreras de Frmula 1 que recorre el centro del hotel!
ejmplo 2 Para cada uncin: Escriba las ecuaciones de las asntotas horizontales y verticales. Dibuje aproximadamente el grfco. Indique el dominio y el recorrido.
a
y=
9 x
b
y=
9 +2 x
Rspustas a Las asntotas son x = 0 e y = 0. y 20 15 10 5 6 4 2 0 5
2
4
6 x
10 15 20
Dominio x R, x 0 Recorrido y R, y 0 b Las asntotas son x = 0 e y = 2.
El grfco de (x) + 2 es igual al grfco de (x) pero desplazado 2 unidades en la direccin del eje y.
y 6 4 2 40 30 20 10 0 2
10 20 30 40 x
4 6
Dominio x R, x 0 Recorrido y R, y 2
Captulo 5
1 45
Ejercitacin 5B 1
Dibuje en distintos grcos: a
2
y=
5 x
b
y=
6 x
c
En el mismo grco muestre y =
xy = 8 12
e y=
1 2
x
.
x
1
3 a
Dibuje aproximadamente el grco de f ( x ) = y escriba sus x asntotas.
b
Dibuje aproximadamente el grco de f ( x ) = + 2 y escriba x sus asntotas.
4
Identique la asntota horizontal y la vertical de las siguientes unciones e indique el dominio y el recorrido de cada una. a
5
1
y=
20 x
b
y=
3 +2 x
c
y=
4 2 x
Es importante saber resolver las preguntas 3b, 4b y 4c tanto analticamente (por medios algebraicos y grfcos, aplicando transormaciones) como utilizando la CPG.
Puede resultar til dibujar los grfcos.
El Corryvreckan, el tercer remolino ms grande del mundo, est entre las islas de Jura y Scarba en las costas de Escocia. El fujo y refujo de las mareas desde el oeste sumado al rugido del maelstrom resultante pueden orse a 16 km de distancia. La velocidad del agua circundante aumenta a medida que 250
se acerca al centro y se modeliza mediante v = donde v d es la velocidad del agua en m s y d es la distancia desde el centro en metros. a Use su CPG para obtener el grco de la uncin para 0 d 50 y 0 v 200. b A qu distancia la velocidad es de 10 m s 1 ? c Cul es la velocidad del agua a 100 m del centro? 6
La uerza (F) necesaria para levantar un objeto de una masa de 1500 kg se modeliza mediante F =
1 500 donde l l
es la longitud de la palanca en metros y la uerza se mide en Newtons. Dibuje aproximadamente el grco para 0 l 6 y 0 F 5 000 . b Cunta uerza debera aplicar si tuviera una palanca de 2 m? c Qu longitud de palanca necesitara si pudiera ejercer las siguientes uerzas? i 1000 N ii 2000 N iii 3000 N a
146
Funciones racionales
[ Se cree que Arqumedes dijo: Dadme un punto de apoyo y mover el mundo.
N es el smbolo de la unidad de uerza, Newton.
5.3 Funcions racionals Hemos notado la manera en la que cambia el sonido de la sirena de un auto policial o de bomberos a medida que se acercan a nosotros? La frecuencia observada es superior a la frecuencia emitida durante el acercamiento, es idntica en el instante de paso y es menor durante el tiempo que se aleja. A esto se lo llama efecto Doppler. La frmula para la frecuencia observada de sonido cuando la fuente viaja hacia nosotros es: f1 =
La recuencia de sonido se mide en hercios (Hz), la cantidad de ondas por segundo.
330 f 330 v
donde: 330 es la velocidad del sonido en m s . f es la frecuencia observada en Hz. f es la frecuencia emitida. v es la velocidad de la fuente. f es una funcin racional. g( x )
Una funcin racional es una funcin de la forma f ( x ) = h( x ) donde g y h son polinomios.
h(x) nunca puede ser cero, ya que un valor dividido por cero no est defnido.
En este curso g(x) y h(x) sern exclusivamente funciones lineales de la forma px + q, por lo que investigaremos funciones racionales f (x) donde: f( x) =
ax + b cx + d
ejmplo 3 Un vehculo se desplaza hacia nosotros a 96 km h1 y hace sonar su bocina con una frecuencia de 8000 Hz. Cul es la frecuencia del sonido que omos si la velocidad del sonido es 330 m s 1? Respuesta 96 km h1 = 96 000 m h1 96 000 m h1 =
96 000
= 26,7 m s 1
3600 Frecuencia o bservada = =
Convertir kilmetros por hora a metros por segundo 1 hora = 3600 segundos
Las unidades de velocidad deben ser las mismas en toda la ecuacin. Podemos redondear nmeros para obtener una respuesta aproximada.
330 f 330 v 3 3 0 8 0 00 3 3 0 2 6, 7
= 8 700 H z (3 cs)
Captulo 5
1 47
invstgacn: grfcos de unciones racionales 1 a
Utilice la CPG para obtener el grfco de y = 1 , y = x
1 1 ,y= 2 . , y= x+3 x2 x+3
b Copie y complete la tabla:
Funcin racional
c d f
y=
1 x
y=
1 x2
y=
1 x+3
y=
2 x+3
Qu Qu Qu Qu
Asntota vertical
Asntota horizontal
Dominio
Recorrido
eecto produce el cambio en el denominador en la asntota vertical? observa acerca de las asntotas horizontales? observa acerca del dominio y el valor de la asntota vertical? observa acerca del recorrido y el valor de la asntota horizontal?
Funciones racionales de la forma y = Una uncin racional y =
k x b
k , donde k y b son constantes, tendr xb
una asntota vertical cuando el denominador sea igual a 0, es decir, cuando x = b. La asntota horizontal ser el eje x.
1 no est defnido. 0
Examinaremos esto ms detalladamente en la seccin de Teora del Conocimiento al fnal del captulo.
ejmplo 4 1 . a Identifque la asntota horizontal y la vertical de y = x 3 b Indique el dominio y el recorrido. c Dibuje aproximadamente la uncin con la ayuda de la CPG.
Respuestas El eje x ( y = 0) es la asntota horizontal. x = 3 es la asntota vertical.
a
Dado que el numerador nunca ser cero, el grfco de esta uncin nunca toca al eje x. El denominador es cero cuando x = 3. { Contina en la pgina siguiente.
148
Funciones racionales
Un tema interesante para explorar es el concepto de infnito.
b Dominio x R, x 3
Recorrido y R, y 0 c
y 8 6 1
4
y= x3
2 6 4 2 0 2
2
4
6
8
10 12 x
4 6 8
Ejercitacin 5C 1
Identifque la asntota horizontal y la vertical de las siguientes unciones e indique el dominio y el recorrido de cada una. a e
2
1 1 b y= x +1 x4 4 4 y= +2 f y = 2 x +1 x +1
y=
y=
d
y=
4 x +1
h
y=
2 2 x+3
Dibuje aproximadamente cada uncin con la ayuda de la CPG e indique el dominio y el recorrido de cada una. a
y=
4 x
b
1 d y= +3 x 7 1 2 g y= 4x +12 3
2 x 5 4 +2 g y= x 3 c
e h
y=
3 +1 x 3
6 y= 6 x+2 3 y= 2x
c f i
4 8 x+5 5 y = +4 x 4 y= +5 3x 6
La pregunta 1 deber resolverse usando el lgebra (a esto se le dice utilizar un mtodo analtico), aunque se puede usar la CPG para verifcar los resultados obtenidos.
y=
Utilice su CPG con la ventana de visualizacin correcta.
Cuando cae un rayo, la luz alcanza los ojos casi instantneamente. Pero el sonido del trueno viaja a aproximadamente 331 m s 1. Sin embargo, las ondas sonoras se ven aectadas por la temperatura del aire circundante. El tiempo que tarda el sonido en recorrer un kilmetro se modeliza mediante t =
1 000 0, 6 c + 3 3 1
donde t es el tiempo en segundos y c es la
temperatura en grados Celsius. a Dibuje aproximadamente el grfco de t para las temperaturas desde 20 C a 40 C. b Si estamos a un kilmetro de distancia y tardamos 3 segundos en or el trueno, cul es la temperatura del aire circundante? 4 a
En el mismo conjunto de ejes, dibuje aproximadamente y = x+ 2 e y =
1 . Compare los dos grfcos y establezca x+2
relaciones entre la uncin lineal y su recproca. 1 b Ahora haga lo mismo para y = x + 1 e y = . x +1
Captulo 5
1 49
Funciones racionales de la forma y =
ax + b cx + b
ax + b
Toda uncin racional de la orma y = tiene un grfco cx + d llamado hiprbola. ax + b
El grfco de toda uncin racional y = tiene una asntota cx + d horizontal y una vertical.
investgacn: grfcos de unciones racionales 2 a
Utilice la CPG para mostrar los grfcos de: y=
x x+3
, y=
x+1
, y=
x+3
2x x+3
e y=
2x 1 x+3
b Copie y complete la tabla:
Funcin racional y=
x x+3
y=
x+1 x+3
y=
2x x+3
y=
2x 1 x+3
Asntota vertical
Asntota horizontal
Dominio
Recorrido
c Qu observa acerca de las asntotas horizontales? d Qu observa acerca del dominio y el valor de la asntota vertical?
La asntota vertical ocurre para el valor de x que hace cero al denominador. a La asntota horizontal es la recta y = . c
y 4 3 a y= c
2 1
Para hallar la asntota horizontal se deber despejar x. y=
ax + b cx + d
y ( cx + d ) = ax + b cyx ax = b dy x=
b dy cy a
La asntota horizontal se produce cuando el denominador es cero, es decir, cuando: cy = a o y =
a c
150
Funciones racionales
8 6 4 2 0 1 2 3
2
4 d x= c
6
8 x
ejmplo 5 Para la uncin y =
x +1 : 2x 4
a Dibuje aproximadamente el grfco. b Halle la asntota horizontal y la vertical. c Indique el dominio y el recorrido.
Respuestas a
y 4 3 2 x+ 1
y = 2x 4
1
8 6 4 2 0 1
2
4
8 x
6
2 3
Cuando 2x 4 = 0, x = 2.
b Asntota vertical x = 2
Asntota horizontal y =
1 2
a = 1, c = 2, y = a c
c Dominio x , x 2
Recorrido y , y
1 2
Ejercitacin 5D 1
Identifque la asntota horizontal y la vertical de las siguientes unciones e indique el dominio y el recorrido de cada una. a
2
y=
x+2 x 3
b
y=
2x + 2 3x 1
c
y=
3 x + 2 4 x 5
d
y=
34 x 2 16x + 4
Una cada uncin con su grfco: a
y=
5 x
b
i
y=
x+2 x2
c
y=
x 1 x 3
d
ii
y
1 x4
y=
y
8
8
6
6
4
4
2
2
8 6 4 2 0 2
2
4
6
8 x
8 6 4 2 0 2
4
4
6
6
2
4
6
8 x
Captulo 5
1 51
iii
y
8
8
6
6
4
4
2
2
8 6 4 2 0 2
3
iv
y
2
4
6
8 x
8 6 4 2 0 2
4
4
6
6
2
4
6
Dibuje aproximadamente cada uncin con la ayuda de la CPG e indique el dominio y el recorrido. a
y=
x+2 x+3
b
y=
x 4x + 3
c
y=
d
y=
9x + 1 3x 2
e
y=
3 x + 1 0 4x 12
f
y=
g
y=
3x 2x 4
h
y=
7x x 1 5
i
x 7 3x 8
5x + 2 4x 14x 4 y= 2x 1
4
Escriba una uncin racional que tenga una asntota vertical en x = 4 y una asntota horizontal en y = 3.
5
Cristian y Leandro disean camisetas para surfstas y tienen un negocio en su garaje. Costar $450 instalar el equipo y estiman que estampar cada camiseta costar $5,50. a Escriba una uncin lineal C(x) para el costo total de producir x camisetas. Recuerde que debe considerar el costo de instalacin. b Escriba una uncin racional A(x) que permita calcular el costo promedio de una camiseta, cuando se producen x camisetas. c Cul es el dominio de A(x) en el contexto del problema? Explique. d Escriba la asntota vertical de A(x). e Halle la asntota horizontal para A(X). Qu signifcado tiene este valor en el contexto del problema?
PREGUNTA TIPO EXAMEN 6
La regla de Young es una manera de calcular la dosis de un medicamento para los nios mayores de dos aos, basada en la dosis para adultos. Tomar la edad del nio en aos y dividirla por su edad ms 1 2. Multiplicar este nmero por la dosis para adultos. Esto se modeliza mediante la uncin n =
at t +12
donde n es la dosis
para nios, a es la dosis para adultos en mg y t es la edad del nio en aos.
152
8 x
Funciones racionales
Utilice la CPG para obtener el grfco de la uncin y verifcar la respuesta.
Dibuje aproximadamente el grfco de la uncin.
Haga una tabla de valores de 2 a 12 aos con una dosis de 100 mg para adultos. b Utilice los valores de a para dibujar el grfco de la uncin. c Utilice el grfco para calcular la dosis estimada para un nio de 7 12 aos. a
Escriba la ecuacin de la asntota horizontal. Qu signifca el valor de la asntota horizontal en la regla de Young? d
7
El costo promedio anual de la electricidad que consume un rerigerador es de $92. a Un rerigerador nuevo cuesta $550. Determine el costo anual total de un rerigerador que dura 15 aos. Puede suponer que el costo incluye el costo del arteacto y de electricidad. b Desarrolle una uncin que muestre el costo anual de un rerigerador en uncin del nmero de aos desde que se lo compr. c Dibuje aproximadamente la uncin. Cul ser una ventana adecuada? Rotule los ejes para indicar la escala. d Puesto que esta es una uncin racional, determine sus asntotas. Explique el signifcado de la asntota horizontal en el contexto del rerigerador. f Una empresa orece un rerigerador que cuesta $1200, pero afrma que va a durar por lo menos 20 aos. Vale este rerigerador la dierencia de precio?
ejrcicio d rvisin
Material de ampliacin disponible en lnea: Hoja de ejercicios 5: Fracciones continuas y asntotas
PREGUNTA TIPO EXAMEN Una cada uncin con su grfco.
1
i
f (x ) =
iv
f (x ) =
2 x+2 1x x
a
ii
f( x ) =
v
f (x ) =
1 x 3 x2 x4
iii
f(x) =
vi
f (x ) =
4x +1 x x+2 x+4
b
y
y
6
8
4
6
2
4 2
8 6 4 2 0 2 4 6
2
4
6
8 x 4 2 0 2
2
4
6
8
10 x
4 6
Captulo 5
1 53
PREGUNTAS TIPO EXAMEN c
d
y 8 6
4
4
2
2
2 0 2
4 3 2 1 0 2
1
2
4 x
3
Dadas
a
4
8 x
6
6
f
y
y
6
6
4
4
2
2
6 4 2 0 2
2
2
4
4
e
y 6
2
10 8 6 4 2 0 2
6 x
4
4
4
6
6
f( x) =
5 x
b
f( x) =
1 x +1
c
f( x) =
4 x
2
x+3 3x
Dibuje aproximadamente la funcin. ii Determine la asntota vertical y la horizontal de la funcin. iii Halle el dominio y el recorrido de la funcin. i
3
Para cada una de estas funciones, escriba las asntotas, el dominio y el recorrido. a
b
y
y 8
6 4
f(x) =
2 8 6 4 2 0 2
5 x+ 4
2
4
f(x) =
6 3 x
6 4 2
6 x
8 6 4 2 0 2
4 6
4
8
6
2
4
6 x
8 y
c
f(x) =
2 2 x+ 6
8
4
6
2
4
10 8 6 4 2 0 2 4
154
Funciones racionales
y
d
6
2
4 x
f(x) =
3 +5 x1
2 8 6 4 2 0 2
6
4
8
6
2
4
6
8 x
4
Un grupo de estudiantes quiere regalarle a su proesor un vale por un fn de semana en un spa de salud. El vale cuesta $300. a Si c representa el costo para cada estudiante y e representa el nmero de estudiantes, escriba una ecuacin para mostrar el costo en uncin del nmero de estudiantes. b Dibuje el grfco de la uncin. c Explique cualquier restriccin sobre el recorrido y el dominio de esta uncin.
5
La uncin f est dada por: f (x) =
2x 1 , x R, x 2 x+2
Halle la asntota horizontal del grfco de y = f (x). Halle la asntota vertical del grfco. iii Escriba las coordenadas del punto P donde se cortan las asntotas. b Halle los puntos de interseccin del grfco con los ejes cartesianos. c A partir de lo anterior, dibuje el grfco de y = f (x), mostrando las asntotas mediante lneas punteadas. a
i
ii
ejrcicio d rvisin PREGUNTA TIPO EXAMEN 1 Dibuje aproximadamente el grfco de cada uncin con la ayuda de la CPG. Indique el dominio y el recorrido. a d 2
6 5 x 3 f( x) = 8 x 7
f( x) =
b
f( x) =
2 +3 x
c
f( x) =
8 x+3
f
2 x 5 6 f( x) = 2 x+4
f( x) =
Una aerolnea vuela desde Londres a Nueva York, que estn a una distancia de 5600 km. a Muestre que esta inormacin puede escribirse como v = 5 60 0 donde v es la t
velocidad media del avin en km h1 y t es el tiempo en horas. b Dibuje aproximadamente el grfco de la uncin para 0 v 1200 y 0 t 20. c Si el vuelo dura 10 horas, cul es la velocidad promedio del avin?
Captulo 5
1 55
PREGUNTAS TIPO EXAMEN 3 Las personas con piel sensible deben ser cuidadosos con la cantidad de tiempo que se exponen a la luz solar directa. La relacin m=
22, 2 s + 1 42 8 s
donde m es el tiempo en minutos y s es el valor de escala del sol, nos da la mxima cantidad de tiempo que puede pasar una persona con piel sensible al sol sin daarse la piel. a Dibuje un grfco aproximado para esta relacin cuando 0 s 1 20 y 0 m 3 00 . b Halle la cantidad de minutos que puede estar expuesta la piel, cuando: i s = 10 ii s = 40 iii s =100 c Cul es la asntota horizontal? d Explicar qu representa esto para una persona con piel sensible. 4
El alcalde de la ciudad suministr mascarillas durante un brote de gripe en Bangkok. El costo (c) en bahts tailandeses de suministrar las mscaras a m por ciento de la poblacin est dado por c=
750 000 m 1 00 m
Elija una escala adecuada y utilice su CPG para dibujar aproximadamente la uncin. b Halle el costo de suministrar mascarillas a: i el 20% ii el 50% iii el 90% de la poblacin. c Sera posible suministrar mascarillas a la totalidad de la poblacin, segn este modelo? Explique su respuesta. a
5
La uncin f (x) se defne como: f(x)
= 2+
1 5 , x 2x 5 2
Dibuje aproximadamente la curva de f para 3 x 5, mostrando sus asntotas. b Utilizando su grfco, escriba: i La ecuacin de cada asntota ii El valor de la interseccin con el eje x iii El valor de la interseccin con el eje y a
156
Funciones racionales
ResuMeN del captulO 5 Rroo
El rroo de un nmero es 1 dividido por ese nmero. Un nmero multiplicado por su recproco es igual a 1 . 1 =1 3 1 El rroo de x es o x 1 y x 1 x =1 . x
Por ejemplo: 3
l fnin rro
Si una curva se acerca ms y ms a una recta, pero nunca la corta, esa recta se denomina no . El grfco de una uncin recproca de la orma y=
k tiene a x = 0 como asntota vertical y a y = 0 como asntota x
horizontal. El grfco de una uncin recproca es una hirbo. y El eje x es la asntota horizontal. x = 0, el eje y, es 6 El eje y es la asntota vertical. una asntota 4 Tanto el dominio como el recorrido son todos los y = x 2 nmeros reales menos el cero. f Las dos ramas del grfco son simtricas 6 4 2 0 2 4 6 x 2 respecto de y = x. y = 0, el eje x, es 4 y = x e y = x son los ejes de simetra de esta uncin. una asntota y= x 6 La uncin recproca oini on invr .
Fnion rion
g( x )
y
Una fnin rion es una uncin de la orma f ( x ) = h( x) donde g y h son polinomios. ax + b
Toda uncin racional de la orma y = tiene un cx + d grfco llamado hiprbola. La asntota vertical se produce en el valor de x que hace que el denominador sea cero. a La asntota horizontal es la recta y = .
4 3 a y= c
2 1
8 6 4 2 0 1 2
c
2
4 d x= c
6
8 x
3
Captulo 5
1 57
teora del conoimieno
siema de numerain Fraione egipia Los antiguos egipcios solo utilizaban racciones con numerador 1 , por 1 1 1 ejemplo 2 , 3 , 4 . Esto signifca que en lugar de 1 2
1 . 4
3 4
En lgebra:
ellos
escriban + Todas sus racciones se 1 expresaban en la orma n y se las llama fraione uniaria. 2
Se representaban nmeros tales como 7 como sumas de racciones unitarias (por 2 1 1 ejemplo, 7 = 4 + 28 ). Adems, la misma raccin no poda 2 1 1 utilizarse dos veces (as, 7 = 7 + 7 no era vlido). 5 1 1 Por ejemplo, 8 sera 2 + 8 .
3 4x
=
1 2x
+
1 4x
Escriba cada expresin algebraica como una fraccin egipcia. 4 3x
5 4x
7 4x
23 24x
Dnde cree que esto podra ser til? Cules son las limitaciones de estas fracciones? Es posible escribir cualquier fraccin como una fraccin egipcia? Cmo lo sabe?
Escriba como fracciones unitarias: 5 6
5 8
2 5
6 7
{ En un quipu inca, los nudos en las cuerdas representan nmeros.
El papiro matemtico Rhind de 1650 a.C. contiene una tabla de fracciones egipcias copiada de otro papiro 200 aos ms antiguo.
1 58
Teora del Conocimiento: sistemas de numeracin
Las culturas babilnica e hind ya contaban hace ms de 2000 aos con sistemas para representar la ausencia de un nmero. En el siglo IX d.C., el matemtico y flsoo islmico Muhammad alKhwarizmi coment que, si en un clculo, ningn nmero aparece en el lugar de las decenas, deba utilizarse un pequeo crculo para preservar las flas. Los rabes llamaron a este crculo sifr (vaco). El nombre sifr se convirti, con el tiempo, en nuestra palabra cero.
Esto signifca que cero era nada?
Quin utiliz el cero por primera vez?
Qu se usaba antes de eso?
Haga una lista de todos los subconjuntos de {0, 1, 2, 3}.
Observe que un subconjunto es {0} y otro es { }. Signifca esto que cero y nada son dierentes?
Ahora intente esto. Resuelva la ecuacin 9 + x = 3 y la ecuacin 3x = 0.
En la numeracin de los aos, tenemos el ao 1 a.C. y el ao 1 d.C. Y el ao cero?
Los antiguos griegos no estaban seguros de qu hacer con el cero y se preguntaban cmo poda ser que nada uese algo. Las paradojas de Zenn (un buen tema para investigar) dependen en parte del uso tentativo del cero.
Cmo entendan el cero las culturas maya e inca?
Dnde est el cero en el sistema decimal? Es positivo o negativo?
Qu sucede si dividimos cero por cualquier cosa?
Qu sucede si dividimos cualquier cosa por cero?
Qu sucede si dividimos cero por cero?
{ Los mayas utilizaban un smbolo de un caracol marino para representar el cero.
Captulo 5
teora del conoimieno
Hay alguna diferenia enre ero y nada?
1 59
6
Patrones, progresiones y series
ObjetivOs del captulO: 1.1
Progresiones aritmticas y series; suma fnita de series aritmticas; progresiones geomtricas y series geomtricas; suma fnita e infnita de series geomtricas; la notacin de sumatoria. Aplicaciones
1.3
El teorema del binomio: desarrollo de ( a + b ) n , n N; clculo de los coefcientes n del desarrollo de la potencia de un binomio usando el tringulo de Pascal y . r
an omnzr Qu necesitamos saber
Comprobemos nuestras habilidades
1
1
2
160
Resolver ecuaciones lineales y cuadrticas y despejar variables Por ejemplo: Resolver la ecuacin n(n 4) = 2 n2 4n = 2 n2 4n 2 = 0 (n 6)(n + 2) = 0 n = 2, n = 6 Por ejemplo: Despejar b en esta frmula ac = b 3 b = ac + 3 Reemplazar valores conocidos en frmulas Por ejemplo: Usando la frmula A = 3p4 0q, hallar el valor de A si p = 2 y q = ,5 A = 3p4 0q A = 3(2) 4 0( ,5) A = 3( 6) 5 A = 48 5 A = 33
Patrones, progresiones y series
2
Resuelva cada ecuacin: 3x 5 = 5x + 7 p(2 p) = 15 2 n + 9 = 41 Despeje k: 6m + 8k = 30 2pk 5 = 3
3
Si T = 2x (x + 3y), halle el valor de T cuando: x= 3 e y= 5 x = 4,7 e y = 2
4
Usando la frmula m = 2 x y3 , halle el valor de m si: x= 5 e y= 3 x = 3 e y = 2
x = 5 e y =
1 2
Las bacterias en esta cpsula de Petri crecen y se reproducen; en este caso, su masa total se duplica cada dos horas. A las 8 de la maana la masa mide 3 gramos; por lo tanto, a las 1 0 medir 6 gramos, a las 1 2 medir 1 2 gramos y as sucesivamente.
[ Crecimiento de bacterias en una cpsula de Petri
La masa de las bacterias en la cpsula sigue un patrn que podra usarse para predecir la masa de las bacterias en la cpsula despus de 8 horas, 1 2 horas o 24 horas. En este captulo estudiaremos los patrones. Los patrones nos pueden resultar tiles para hacer predicciones para el futuro inmediato y mediato. Por ejemplo, podemos usar patrones para:
Predecir la poblacin de un pas en 20 aos Calcular cunto tiempo tomar cancelar un prstamo bancario Predecir cunto tiempo durarn las reservas de un recurso natural Calcular la distancia total que recorrer una pelota que rebota Calcular cunto tiempo tomar para que una inversin se duplique
Captulo 6
1 61
6.1 patrones y rogresones investgacn: ahorro de dinero Joel decide comenzar a ahorrar dinero. Ahorra $20 la primera semana, $25 la segunda semana, $30 la tercera semana y as sucesivamente. a Copie y complete la siguiente tabla para mostrar cunto ahorra Joel por
semana y cunto ahorra en total durante las ocho primeras semanas. Nmero de semana 1 2 3 4 5 6 7 8
Ahorro semanal 20 25 30
Total ahorrado 20 45 75
Cunto ahorrar Joel en la 10. a semana? Y en la 17. a ? Cunto dinero ahorrar Joel al cabo de un ao? Cunto tiempo le tomar ahorrar al menos $1000? Intente escribir una frmula para el monto de dinero que Joel ahorra cada semana. Sea M el monto que ahorra cada semana y n el nmero de semana. f Trate de escribir una frmula para el monto total de dinero que ahorr Joel. Sea T el total de sus ahorros y n el nmero de semanas. b c d e
En la investigacin anterior, los montos de dinero que Joel ahorra cada semana forman una rogresn . Los montos totales de dinero que ahorra a medida que el tiempo pasa forman otra progresin diferente. Una rogresn numrca es un patrn de nmeros dispuestos en un orden particular de acuerdo con una regla. He aqu algunas progresiones: 8, 1 1 , 1 4, 1 7, 800, 400, 200, 1 00, 1 , 4, 9, 1 6, 25, 5, 1 0, 1 5, 20, 25,
162
Patrones, progresiones y series
Cada nmero o elemento de una progresin se denomina trmino. En la progresin 8, , 4, 7, , el primer trmino es 8, el segundo trmino es , el tercer trmino es 4, y as sucesivamente. Tambin podemos usar la notacin un para denotar el ensimo trmino de una progresin, donde n es un entero positivo. Por lo tanto, para 8, , 4, 7, se podra decir: u = 8, u2 = , u3 = 4, y as sucesivamente. Se puede continuar el patrn si nos damos cuenta de que el valor de cada trmino es tres unidades mayor que el valor del trmino anterior: 8, , 4, 7, 20, 23, 26 Para esta progresin, se podra escribir: u = 8 y un+ = un + 3 Esta es una frmula rcursiva : el valor de cada trmino depende del valor del trmino anterior. En la progresin 800, 400, 200, 00, , el valor de cada trmino es la mitad del trmino anterior. En este caso, u = 800 y un+ = un. 2
Algunas veces, usamos letras distintas de u para representar a los trminos de una progresin. Por ejemplo, podramos usar a n, tn o xn para representar el ensimo trmino de una progresin.
ejmplo 1 Escriba una frmula recursiva para el ensimo trmino de cada progresin. a 9, 15, 21, 27, b 2, 6, 18, 54, Respuestas u1 = 9 y un+1 = un + 6
a
b u1 = 2 y un+1 = 3un
Sumar 6 para llegar de un trmino al siguiente Multiplicar por 3 para llegar de un trmino al siguiente
Muchas veces resulta ms til escribir la frmula gnral dl nsimo trmino d una progrsin . Con una frmula general, podemos hallar el valor de un trmino sin necesidad de conocer el valor del anterior.
A veces esto se denomina la regla general para el ensimo trmino .
En la progresin , 4, 9, 6, 25, , cada trmino es un cuadrado perfecto. El primer trmino es 2, el segundo 2 2, y as sucesivamente. Una frmula general para el ensimo trmino de esta progresin es un = n 2 .
Recordemos que n, la posicin del trmino, ser siempre un nmero entero. No
En la progresin 5, 0, 5, 20, 25, , cada trmino es un mltiplo de 5. El primer trmino es 5 , el segundo 5 2, y as sucesivamente. Una frmula general para el ensimo trmino de esta progresin es un = 5n.
podramos tener un trmino 3 -simo o un 4
trmino 7,5-simo.
Captulo 6
1 63
ejmlo Escriba una frmula general para el ensimo trmino de cada progresin. a 4, 8, 12, 16, b
1 1 1
, , ,
1
3 6 9 12
,
Respuestas un = 4n
a
1 b un = 3n
Cada trmino es un mltiplo de 4. Los denominadores son mltiplos de 3.
Ejercitacin 6A 1
Escriba los prximos tres trminos de cada progresin. a 3, 7, 11, 15, b 1, 2, 4, 8, c 3, 4, 6, 9, 13, d 5, 10, 20, 40,
2
1 3 5 7 , , , , 2 5 8 11
f
6,0; 6,01; 6,012; 6,0123;
Escriba los primeros cuatro trminos en cada progresin. u1 = 10 y un +1 = 3 ( un ) b u1 = 3 y un + 1 = 2 un + 1
a
c 3
u1 =
3 2 y un +1 = ( un ) 4 3
d
u1 = x y u n 1 u n
2
Escriba una frmula recursiva para cada progresin. a 2, 4, 6, 8, b 1, 3, 9, 27, c 64, 32, 16, 8, d 7, 12, 17, 22,
4
Escriba los cuatro primeros trminos de cada progresin. a un = 3 n b un = 6n + 3 c un = 2 n 1 d un = nn
5
Escriba una frmula general para el ensimo trmino de cada progresin. a 2, 4, 6, 8, b 1, 3, 9, 27, c 64, 32, 16, 8, d 7, 12, 17, 22,
6
1 2 3 4, , , , 2 3 4 5
f
x, 2x, 3x, 4x,
La progresin 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, se conoce como la progresin de Fibonacci. a Escriba el 15. trmino de la progresin de Fibonacci. b Escriba una frmula recursiva para la progresin de Fibonacci.
. progrsins aritmticas En la progresin 8, , 4, 7, , el valor de cada trmino es tres unidades mayor que el anterior. Esta progresin es un ejemplo de rogrsin aritmtica o sucesin aritmtica. 164
Para hallar el primer trmino, reemplazamos n = 1; para hallar el segundo, usamos n = 2, y as sucesivamente.
Patrones, progresiones y series
[ Fibonacci, tambin conocido como Leonardo de Pisa (italiano, c. 1170c. 1250).
En una progresin aritmtica, los trminos crecen o decrecen en un valor constante. Este valor se denomina difrncia o d. La diferencia puede ser un valor positivo o negativo. Por ejemplo: 8, , 4, 7, 35, 30, 25, 20, 4; 4, ; 4,2; 4,3; c, 2c, 3c, 4c,
En esta progresin, En esta progresin, En esta progresin, En esta progresin,
u u u u
= = = =
8 y d = 3. 35 y d = 5. 4 y d = 0, . c y d = c.
En el Papiro de Ahmes, que data aproximadamente del ao 1650 a. C., aparecen ejemplos de progresiones aritmticas.
Para cualquier progresin aritmtica, un+ = un + d. Podemos hallar cualquier trmino de la progresin sumando la diferencia, d, al trmino anterior. En una progresin aritmtica: u = primer trmino u2 = u + d u3 = u2 + d = (u + d) + d = u + 2d u4 = u3 + d = (u + 2d) + d = u + 3d u5 = u4 + d = (u + 3d) + d = u + 4d un = u + (n )d Podemos hallar el ensimo trmino de una progresin aritmtica usando la frmula: un = u + (n ) d.
ejmplo 3 a Halle el 12. trmino de la progresin aritmtica 13, 19, 25, b Halle una expresin para el ensimo trmino.
Respuestas u1 = 13 y d = 6 u12 = 13 + (12 1)6 = 13 + 66 u12 = 79
a
b un = 13 + (n 1)6
= 13 + 6n 6 un = 6n + 7
Determinar estos valores observando la progresin
Para el 12. trmino, reemplazar n = 12 en la frmula un = u1 + (n 1) d Para el ensimo trmino, reemplazar los valores de u1 y d en la frmula un = u1 + (n 1) d
Captulo 6
1 65
ejmplo 4 Halle el nmero de trminos de la progresin 84, 81, 78, , 12. Respuesta u1 = 84 y d = 3 un = 84 + (n 1)(3) = 12
Determinar estos valores observando la progresin Reemplazar los valores de u1 y d en la frmula un = u1 + (n 1)d Resolver en n
84 3n + 3 = 87 3n = 12 3n = 75 n = 25 Hay 25 trminos en la progresin.
Ejercitacin 6B 1
Para cada progresin: Halle el 15. trmino. ii Halle una expresin para el ensimo trmino. a 3, 6, 9, b 25, 40, 55, c 36, 41, 46, d 100, 87, 74, 5,6; 6,2; 6,8; f x, x + a, x + 2a, i
2
Halle el nmero de trminos en cada progresin: a 5, 10, 15, , 255 b 4,8; 5,0; 5,2; ; 38,4 c
1 7 5 , , , ..., 1 4 2 8 4
d
250, 221, 192, , 156
2m, 5m, 8m, , 80m
f
x, 3x + 3, 5x + 6, , 19x + 27
ejmplo 5 En una progresin aritmtica, u9 = 48 y u12 = 75. Halle el primer trmino y la diferencia. Respuesta u9 + 3d = u12 48 + 3d = 75 3d = 27 d= 9 u9 = u1 + (9 1)9 = 48 u1 + 72 = 48 u1 = 24 El primer trmino es 24 y la diferencia es 9.
166
Patrones, progresiones y series
Para llegar del 9. trmino al 12. , habra que sumar la diferencia tres veces. Para hallar el primer trmino, usar la frmula
Si una progresin contina indefnidamente y no hay ltimo trmino, es una progresin infnita. Si la progresin termina o tiene ltimo trmino, es una progresin fnita.
Ejercitacin 6C 1
Una progresin aritmtica tiene primer trmino 19 y 15. trmino 31,6. Halle la diferencia.
PREGUNTA TIPO EXAMEN 2 En una progresin aritmtica, u10 = 37 y u21 = 4. Halle la diferencia y el primer trmino. 3
Halle el valor de x en la progresin aritmtica 3, x, 8,
4
Halle el valor de m en la progresin aritmtica m, 13, 3m 6,
6. progresiones geomtricas En la progresin 2, 6, 8, 54, ..., cada trmino se obtiene triplicando el anterior. Esta progresin es un ejemplo de rogresin geomtrica , o sucesin geomtrica. En una rogresin geomtrica , cada trmino se obtiene multiplicando al anterior por un valor constante. Este valor se denomina razn o r. La razn, r, puede ser positiva o negativa. Por ejemplo: , 5, 25, 25, 3, 6, 2, 24,
u = y r = 5 u = 3 y r = 2
8 , 27, 9, 3,
u = 8 y r =
k, k2, k3 , k4,
u = k y r = k
1 3
Para cualquier progresin geomtrica, un+ = (un)r. Podemos calcular cualquier trmino de la progresin multiplicando al anterior por la razn, r. Para cualquier progresin geomtrica: u = u2 = u3 = u4 = u5 = un =
primer trmino u r u2 r = (u r) r = u r2 u3 r = (u r2) r = u r3 u4 r = (u r3 ) r = u r4
u rn
Podemos hallar el ensimo trmino de una progresin geomtrica usando la frmula un = u (r n ). Captulo 6
1 67
ejmplo 6 Halle el 9. trmino de la progresin 1, 4, 16, 64, Respuesta u1 = 1 y r = 4 u9 = 1(49 1) = 1(48 ) = 1(65 536) u9 = 65 536
Determinar estos valores observando la progresin Para el 9. trmino, reemplazar n = 9 en la frmula un = u1(r n 1)
ejmplo 7 Halle el 12. trmino de la progresin 7, 14, 28, 56, Respuesta u1 = 7 y r = 2 u12 = 7((2) 12 1) = 7((2) 11) = 7(2048) u12 = 14 336
Determinar estos valores observando la progresin Para el 12. trmino, reemplazar n = 12 en la frmula un = u1 (r n 1)
Ejercitacin 6D 1
Para cada progresin, halle la razn y el 7. trmino. a 16, 8, 4, b 4, 12, 36, c 1, 10, 100, d 25, 10, 4, 2 2, 6x, 18x , f a7b, a 6b 2 , a 5 b 3 ,
ejmplo 8 En una progresin geomtrica, u1 = 864 y u4 = 256. Halle la razn. Respuesta u4 = u1(r 4 1) = u1(r 3 ) 3
256 = 864(r ) r3 =
256 864
8
=
27
8
r=
r=
168
Reemplazar n = 4, u1 = 864, y u4 = 256 en la frmula un = u1(r n 1)
3
27
2 3
Patrones, progresiones y series
Resolver en r
ejmplo 9 Para la progresin geomtrica 5, 15, 45, halle el menor valor de n tal que el ensimo trmino resulte mayor que 50 000. Respuesta u1 = 5 y r = 3 un = 5 3 n 1
Determinar u1 y r observando la progresin Reemplazar u1 = 5 y r = 3 en la rmula un = u1(r n 1) Se puede usar la calculadora de pantalla grfca (en adelante, CPG) para hallar el valor de n. Primero ingresar la rmula para un en una uncin. Sea x la variable que representa n, tal como se muestra. Observar la tabla para ver los valores de los primeros n trminos
El 9. trmino es 32 805, y el 10. trmino es 98 415.
n = 10, dado que u10 > 50 000 y u9 < 50 000
Ejercitacin 6E Una progresin geomtrica tiene 2. trmino 50 y 5. trmino 3,2. Halle el primer trmino y la razn. 2 Una progresin geomtrica tiene 3. er trmino 18 y 6. trmino 144. Halle el primer trmino y la razn. 1
Para cada progresin geomtrica, halle el menor valor de n tal que el ensimo trmino sea mayor que 1000. a 16, 24, 36, b 1; 2,4; 5,76; ... c 112, 168, 252, ... d 50; 55; 60,5; ... 4 Una progresin geomtrica tiene primer trmino 9 y tercer trmino 144. Muestre que hay dos valores posibles para la razn, y halle los dos valores posibles del segundo trmino. 3
Captulo 6
1 69
Halle el valor de p en la progresin geomtrica 18; p; 40,5.
5
PREGUNTA TIPO EXAMEN 6 Halle el valor positivo de x en la progresin geomtrica 7x 2, 4x + 4, 3x,
.4 la notacin d sumatoria () y as sris En esta seccin vamos a ver las ormas de sumar los trminos de una progresin. La suma de los trminos de una progresin origina una sri. u , u2, u3 , u4, , un es una progresin. u + u2 + u3 + u4 + + un es una serie. La letra griega , llamada sigma, se emplea usualmente para indicar una suma de valores. n
u signifca la suma de los primeros n trminos de una i
i =1
progresin. Se lee la suma de todos los trminos ui desde i = hasta i = n. La progresin aritmtica 8, 4, 20, tiene primer trmino 8 y dierencia 6. Una regla general para el ensimo trmino de esta progresin es un = 6n + 2. 5
La suma de los cinco primeros trminos de esta progresin es
( 6 n + 2 ). n =1
Esto signifca la suma de todos los trminos 6n + 2 desde n = hasta n = 5. Para calcular esta suma, tenemos que reemplazar todos los valores enteros desde n = hasta n = 5 en la expresin 6n + 2, y posteriormente sumarlos: 5
( 6 n + 2 ) = [6( ) + 2] + [6(2) + 2] + [6(3) + 2] + [6(4) + 2] + [6(5) + 2] = 8 + 4 + 20 + 26 + 32 = 00
n =1
ejmpo 10 4
a
Escriba la expresin
(x
2
3 ) como una suma de trminos.
x =1
b Calcule la suma de estos trminos.
Respuestas 4
a
(x
2
3)
x =1
= (1 2 3) + (2 2 3) + (3 2 3) + (42 3) = 2 + 1 + 6 + 13 b 2 + 1 + 6 + 13 = 18 170
Patrones, progresiones y series
Reemplazar los enteros positivos comenzando con x = 1 y terminando con x = 4
Cuando se representa una suma de valores de esta forma, estamos usando la notacin d sumatoria o notacin sigma.
ejmplo 8
Evale la expresin
( 2 ). a
a =3
Respuesta Reemplazar los enteros consecutivos comenzando con a = 3 y terminando con a = 8
8
(2
a
a =3
) = 23 + 24 + 25 + 26 + 27 + 28 = 8 + 16 + 32 + 64 + 128 + 256 = 504
Evaluar signifca hallar un valor, por lo tanto la respuesta fnal ser un nmero.
ejmplo Escriba la serie 3 + 15 + 75 + 375 + 1875 + 9375 usando notacin de sumatoria. Respuesta un = 3(5 n 1)
Los trminos son los de una progresin geomtrica con primer trmino 3 y razn 5. Esta serie es la suma de los primeros seis trminos de la progresin geomtrica.
6
(3 (5 ) ) n 1
n =1
Ejercitacin 6F 1
Escriba una expresin para cada serie usando notacin de sumatoria. a 1+2+3+4+5+6+7+8 b 9 + 16 + 25 + 36 + 49 c 27 + 25 + 23 + 21 + 19 + 17 d 240 + 120 + 60 + 30 + 15 + 7,5 5x + 6x + 7x + 8x + 9x + 10x f 4 + 7 + 10 + 13 + + 55 g 1 + 3 + 9 + 27 + + 59 049 h a + 2a2 + 3a3 + 4a4 + 5a5
2
Escriba cada serie como una suma de trminos. 8
a
(3 n + 1 )
b
(4
a
)
c
a =1
n =1
3
7
5
( 5( 2
11
r
))
d
(x
n
)
n =5
r=3
Evale: 5
9
a
(8n 5 ) n =1
b
(3 r ) r =1
10
7
c
(m 2 ) m =1
d
(7 x 4 ) x = 4
Recordemos que el trmino evaluar nos pide que hallemos un valor, por lo tanto, debemos dar respuestas numricas.
Captulo 6
1 71
6.5 serie aritmtica La suma de los trminos de una progresin se denomina serie. La suma de los trminos de una progresin aritmtica se denomina serie aritmtica. Por ejemplo, 5, 12, 19, 26, 33, 40 es una progresin aritmtica, por lo tanto 5 + 12 + 19 + 26 + 33 + 40 es una serie aritmtica. Cuando una serie tiene unos pocos trminos, sumarlos no resulta complicado. Sin embargo, si la serie tiene 50 o 1 00 trminos llevara mucho tiempo sumarlos. Ser til encontrar una regla, o frmula, para evaluar una serie aritmtica. Sn denota la suma de los primeros n trminos de una serie. Para una serie con n trminos Sn = u1 + u2 + u3 + u4 + u5 + + un Para una serie aritmtica esta frmula sera:
Se dice comnmente que Carl Friedrich Gauss (17771885) fue el ms grande matemtico del siglo XIX. Averigemos qu procedimiento emple Gauss para calcular la suma de los 100 primeros nmeros enteros positivos.
Recordemos que n debe ser un nmero entero positivo.
Sn = u1 + (u1 + d ) + (u1 + 2d ) + (u1 + 3d ) + (u1 + 4d ) + + (u1 + (n 1 )d) Si invertimos el orden de los trminos de la progresin, el valor de la suma sera el mismo y tendramos: Sn = un + (un d ) + (un 2d ) + (un 3d ) + (un 4d ) + + u1 Sumando miembro a miembro verticalmente estas dos expresiones para Sn,
Comenzar con el ltimo trmino u n, luego el anteltimo trmino es un d y as sucesivamente
2Sn = (u1 + un) + (u1 + un) + (u1 + un) + (u1 + un) + (u1 + un) + + (u1 + un) Esto es (u1 + un) sumado n veces, por lo tanto: 2Sn = n(u1 + un) Dividiendo ambos miembros por 2 nos da: Sn =
n 2
( u1 + u n )
Reemplazando un por u1 + (n 1 )d, Sn =
n n u1 + u1 + ( n 1 ) d ) = ( 2 u1 + ( n 1 ) d ) ( 2 2
Podemos hallar la suma de los primeros n trminos de una serie aritmtica usando la frmula: n 2
Sn = ( u1 + un )
172
o
Sn =
Patrones, progresiones y series
n ( 2u1 + ( n 1 ) d ) 2
ejmplo Calcule la suma de los 15 primeros trminos de la serie 29 + 21 + 13 + Respuesta u1 = 29 y d = 8 S1 5 =
15 2
( 2 ( 29 ) + (1 5 1 ) ( 8 ) )
= 7,5(58 112) = 405
Para la suma de los 15 trminos reemplazar n = 15 en la frmula n Sn = ( 2u1 + ( n 1 ) d ) 2
ejmplo Halle el nmero de trminos de la serie 14 + 15,5 + 17 + 18,5 + + 50. b Halle la suma de los trminos. a
Respuestas u1 = 14 y d = 1,5
a
un = 50 un = 14 + (n 1)(1,5) = 12,5 + 1,5n 12,5 + 1,5n = 50 1,5n = 37,5 n = 25 b S2 5 =
25 2
(1 4 + 50 )
= 12,5(64) = 800
Hallar estos valores observando la progresin Para hallar n, reemplazar los valores conocidos en la frmula un = u1 + (n 1)d Resolver en n Reemplazar el primer trmino, el ltimo trmino y el valor de n en la frmula Sn =
n 2
(u
1
+ un )
Ejercitacin 6G 1
Halle la suma de los 12 primeros trminos de la serie aritmtica 3 + 6 + 9 + ...
2
Halle la suma de los 18 primeros trminos de la serie aritmtica 2,6 + 3 + 3,4 + ...
3
Halle la suma de los 27 primeros trminos de la serie aritmtica 100 + 94 + 88 + ...
4
Halle la suma de los 16 primeros trminos de la serie (2 5x) + (3 4x) + (4 3x) + ...
Captulo 6
1 73
PREGUNTA TIPO EXAMEN 5 Considere la serie 120 + 116 + 112 + ... + 28. a Halle el nmero de trminos de la serie. b Halle la suma de los trminos. Halle la suma de la serie 15 + 22 + 29 + + 176.
6
ejmplo Escriba una expresin para Sn, la suma de los primeros n trminos de la serie 64 + 60 + 56 + b A partir de lo anterior, halle el valor de n para el cual Sn = 0. a
Respuestas u1 = 64 y d = 4
a
Sn =
n ( 2 ( 64 ) + ( n 1 )( 4 ) ) 2
Reemplazar los valores de u1 y d en la frmula Sn =
n ( 2u1 + ( n 1 ) d ) 2
n (1 28 4 n + 4 ) 2 n = (1 32 4 n ) 2
=
Sn = 66 n 2 n 2 b 66n 2n2 = 0
2n(33 n) = 0 n = 0 o n = 33
n = 33
Igualar Sn a 0 y resolver en n (Esta ecuacin tambin se puede resolver con la CPG. ) Cuando la resolvemos por factorizacin, la ecuacin usualmente tiene dos soluciones. Dado que el nmero de trminos debe ser un entero positivo, descartamos n = 0.
La instruccin a partir de lo anterior en la pregunta indica que debemos usar nuestra respuesta anterior para resolver este apartado.
Ejercitacin 6H 1
Una serie aritmtica tiene u1 = 4 y S30 = 1425. Halle el valor de la diferencia.
PREGUNTA TIPO EXAMEN Escriba una expresin para Sn, para la serie 1 + 7 + 13 + b A partir de lo anterior, determine el valor de n para el cual Sn = 833.
2 a
Escriba una expresin para Sn, para una serie aritmtica con u1 = 30 y d = 3,5. b A partir de lo anterior, halle el valor de n para el cual Sn = 105.
3 a
4
174
En enero de 2012, una nueva cafetera vende 500 bebidas. En febrero, venden 600, luego 700 en marzo, y as sucesivamente en progresin aritmtica. a Cuntas bebidas esperan vender en diciembre de 2012? b Calcule el total de bebidas que esperan vender en el ao 2012. Patrones, progresiones y series
5
En una progresin aritmtica, el 2. trmino es cuatro veces el 5. trmino, y la suma de los 10 primeros trminos es 20. Halle el primer trmino y la diferencia.
6
En una serie aritmtica, la suma de los 12 primeros trminos es igual a 10 veces la suma de los 3 primeros trminos. Si el primer trmino es 5, halle la diferencia y el valor de S20.
. sri gomtrica As como una serie aritmtica es la suma de los trminos de una progresin aritmtica, una ri gomtrica es la suma de los trminos de una progresin geomtrica. Sumando los trminos de una progresin geomtrica obtenemos la siguiente igualdad: Sn = u + u r + u r 2 + u r3 + + u rn 2 + u rn rSn = u r + u r2 + u r3 + u r4 + + u rn + u rn rSn Sn = u + u rn = u rn u Sn(r ) = u (rn ) Sn =
u1 ( r n 1 ) r 1
u1 ( r n 1 ) r 1
Restamos la primera igualdad de la segunda. Factorizamos ambos miembros de la igualdad.
Podemos hallar la suma de los primeros n trminos de una serie geomtrica usando la frmula: Sn =
Multiplicamos ambos miembros de la igualdad por r.
o
(
u1 1 r
Sn =
1r
n
) , donde r
ejmplo 1
Cuando r > 1, puede resultar ms conveniente usar la primera frmula, evitando as trabajar con un denominador negativo.
Calcule la suma de los 12 primeros trminos de la serie 1 + 3 + 9 + ... Respuesta u1 = 1 y r = 3 1 (3 1 ) 12
S1 2 =
=
Reemplazar los valores de u1, r y n en la frmula
3 1 531 440 2
Sn =
u1 ( r n 1 ) r 1
= 265 720
Captulo 6
1 75
ejmplo 7 Halle el nmero de trminos de la serie 8192 + 6144 + 4608 + + 1458. b Calcule la suma de los trminos. a
Respuestas 61 44 3 a u1 = 8192 y r = = 81 92
Hallar r dividiendo u2 por u1
4
Las series geomtricas se ven a menudo en el estudio de los fractales, tal como el copo de nieve de Koch.
n 1
3 4
1 458 = 81 92
Reemplazar los valores conocidos en la frmula un = u1(r n 1) n 1
1 458 729 3 = = 81 92 4096 4
3 6 = 729 y 4 6 = 4096 Tambin podemos resolver esta ecuacin usando logaritmos. (Vase el ejemplo 19. )
6
729 36 3 = 6 = 4096 4 4
n1=6 n=7 3 7 81 92 1 4 b S7 = 3 1 4
Reemplazar los valores de u1, r y n en la frmula
1 4 1 97 8 1 92 1 6 3 8 4 = 1 4
Sn =
u1 ( r n 1 )
[ Copo de nieve de Koch
r 1
Tambin podemos calcular sumas usando las funciones seq (secuencia) y sum (suma) de la CPG.
= 28 394
Ejercitacin 6I 1
Calcule el valor de S12 para cada serie geomtrica. a 0,5 + 1,5 + 4,5 + b 0,3 + 0,6 + 1,2 + c 64 32 + 16 8 + d ( x + 1 ) + ( 2 x + 2 ) + ( 4 x + 4 ) + ...
2
Calcule el valor de S20 para cada serie. a
0,25 + 0,75 + 2,25 +
b
16 8 + +4+ 9 3
c
3 6 + 12 24 +
d
log a + log ( a 2 ) + log ( a 4 ) + log ( a 8 ) + ...
PREGUNTA TIPO EXAMEN Para cada serie geomtrica: i Halle el nmero de trminos. ii Calcule la suma. a 1024 + 1536 + 2304 + + 26 244 b 2,7 + 10,8 + 43,2 + + 2764,8
3
c d
176
1 25 1 28
25 +
64
5 +
32
+ ... +
1 625
590,49 + 196,83 + 65,61 + + 0,01
Patrones, progresiones y series
Hasta el momento hemos visto progresiones y series aritmticas y geomtricas. Existen otros tipos de progresiones y series matemticas? Cmo se usan?
ejmplo 18 Para la serie geomtrica 3 + 3 2 + 6 + 6 2 + , determine el menor valor de n para el cual Sn > 500. Respuesta u1 = 3 y r = 2 3
Sn =
(
n
2 1 2 1
) > 500
Reemplazar los valores conocidos en la frmula de Sn Ingresar la ecuacin de Sn en la CPG Recordemos: En la CPG, la X representa n, el nmero de trminos, y f1(x) representa Sn . Observar la tabla para ver las sumas de los primeros n trminos
La suma de los 12 primeros trminos es aproximadamente 456, 29; y la suma de los 13 primeros trminos es aproximadamente 648, 29. n = 13, dado que S13 > 500 y S12 < 500
Cuando la suma de una serie geomtrica incluye un exponente n podemos usar logaritmos.
ejmplo 19
Una vieja fbula hind cuenta que un prncipe qued tan fascinado con un nuevo juego de ajedrez que pidi a su inventor que eligiera su recompensa. El hombre dijo que quera un grano de arroz en el primer cuadrado del tablero de ajedrez, dos granos en el segundo, cuatro en el tercero, y as, duplicando el nmero de granos cada vez. Esto le pareci tan sencillo al prncipe que accedi sin meditarlo. Los sirvientes comenzaron a traer el arroz y, para la enorme sorpresa del prncipe, los granos rpidamente rebalsaron el tablero para llenar todo el palacio. Cuntos granos de arroz debi darle el prncipe al hombre?
Una progresin geomtrica tiene primer trmino 0,4 y razn 2. Halle el valor de n para el cual Sn = 26 214. Respuesta Sn =
(
(
0, 4 2 n 1 2 1
) = 26 21 4
)
0, 4 2 n 1 = 26 214
2n 1 = 65 535 2 n = 65 536 n = log2 (65 536) log 65 536 n= log 2
Expresar esto en forma logartmica Utilizar la frmula del cambio de base y la CPG para hallar este valor
n = 16 Captulo 6
1 77
ejrctacn 6J Para cada serie, determinar el menor valor de n tal que Sn > 400. a 25,6 + 38,4 + 57,6 + b 14 42 + 126 378 +
1
2 8 32 ... + + + 3 9 27
c
d
0,02 + 0,2 + 2 +
Una serie geomtrica tiene tercer trmino 1,2 y octavo trmino 291,6. Halle la razn y el valor de S 0.
2
En una serie geomtrica, S4 = 20 y S7 = 546,5. Halle la razn si r > 1. PREGUNTA TIPO EXAMEN 1 1 3 ... + + + 4 a Halle la razn para la serie geomtrica 3
12
8
16
A partir de lo anterior nos advierte que debemos usar nuestra respuesta previa para resolver este apartado.
A partir de lo anterior, halle el mnimo valor de n para el cual Sn > 800. 5 En una serie geomtrica, la suma de los 3 primeros trminos es 304, y la suma de los 6 primeros trminos es 1330. Halle la suma de los 11 primeros trminos. 6 En una serie geomtrica, la suma de los 4 primeros Material de ampliacin trminos es 10 veces la suma de los 2 primeros trminos. disponible en lnea: Hoja de ejercicios 6: Finanzas Si r > 1, halle la razn. b
.7 sr convrgnt y uma d nfnto trmno invtgacn: series convergentes He aqu tres series geomtricas: a 2 + 1 + 0,5 + b 75 + 30 + 12 + ... c 240 60 + 15 3,75 + ... 1
Para cada una de estas series: Halle la razn, r. Use su CPG para calcular los valores de S10 , S15 , S20 . Escriba los valores completos que observa en la pantalla de su calculadora. 2 Observa algn patrn? Por qu cree que sucede esto? 3 Ahora use la CPG para calcular el valor de S 50 para cada serie. Cree usted que el resultado de su calculadora es correcto? Explique por qu o por qu no.
Para cada una de las series de la investigacin deberamos haber notado que los valores de S 0, S 5 y S20 estn muy prximos. Esto se debe a que cuando una serie geomtrica tiene una razn r tal que | r| < , la dierencia entre cada trmino decrece (se hace cercana a cero) a medida que n aumenta. Esto signifca que, a medida que sumamos ms trminos, el valor fnal de la suma cambia muy poco. La suma se acerca a un valor constante a medida que n toma valores mayores. Estas series geomtricas reciben el nombre de r convrgnt. En la serie 2 + + 0,5 + 0,25 + , podramos sospechar que la suma se acerca a 4 a medida que n toma valores cada vez ms grandes. 178
Patrones, progresiones y series
paradoja Supongamos que caminamos por un pasillo de 30 m. Cada diez segundos, recorremos la mitad de la distancia que queda hasta el fnal del pasillo. Cunto tiempo nos llevar llegar al fnal del pasillo? Lo alcanzaremos alguna vez?
Si intentemos hallar S50 en la CPG, obtendremos
(
2 1 0, 5
S 50 =
0, 5
50
) = 4( 0,5
50
)=4
Es la suma exactamente 4? No! La calculadora redondea el ltimo dgito de expresiones decimales largas como 3,99999999999 para que quepan en la pantalla; por ende, lo nico que vemos es el valor redondeado a 4.
Series convergentes La suma de los trminos de una serie geomtrica es S n
u1 1 r n
1r
Cuando n toma valores cada vez ms grandes, podemos decir que n tiende a infnito o n . Si| r| < , a medida que n , r n 0, por lo tanto Sn
u1 1 0 1r
u1
Esto es nicamente vlido para series geomtricas y solo cuando | r | < 1. (Recordemos: si | r | < 1, entonces 1 < r < 1.)
1r
Podemos escribir esto as: u1 (1 r n ) u1 lim 1 r = 1 r , n
o S =
u1 1r
Esto signifca que a medida que n toma valores cada vez ms grandes
Decimos el lmite de
u (se acerca a infnito), el valor de la serie se aproxima a 1 . La serie 1r u convrg al valor 1 . Escribimos esto como S, y la llamamos suma 1r
u1 ( 1 r n )
de infnitos trminos.
Para una serie geomtrica con | r| < , S =
1r
a medida
que n tiende a infnito u es igual a 1 . 1r
u1 . 1r
ejmplo 20 Para la serie 18 + 6 + 2 + , halle S10, S15 y S. Respuesta u1 = 18 y r =
1 3
1 1 0 18 1 3 S10 = 1 1 3
26,999 542 75 1 1 5 18 1 3 S15 = 1 1 3
26,999 998 12 S =
18 = 27 1 1 3
1 3 u1 (1 r n ) en las frmulas Sn = y 1r u S = 1 1r
Reemplazar u1 = 18 y r =
Escribir todos los dgitos que se observan en la pantalla de la CPG
Captulo 6
1 79
ejmplo La suma de los 3 primeros trminos de una serie geomtrica es 148, y la suma de los infnitos trminos es 256. Halle el primer trmino y la razn de la serie. Respuesta S3 = S =
u1 (1 r 3 ) 1r
Esta es la expresin para S3 .
= 1 48
u1 = 256 1r
u1 (1 r 3 ) 1r
Multiplicar ambos miembros de la igualdad por (1 r 3 ) El miembro izquierdo de esta igualdad es ahora idntico al miembro izquierdo de la expresin para S3 . Igualar los miembros derechos de estas expresiones Resolver en r
= 256 (1 r 3 )
256 ( 1 r3 ) = 1 48 1 48 37 = 256 64 37 27 r3 = 1 = 64 64 3 r= 4
1 r3 =
u1 = 256 3 1 4 u1 = 256 1 4
Reemplazar r = S =
3 en la frmula 4
u1 = 256 1r
4u1 = 256 u1 = 64
Ejercitacin 6K 1
Explique cmo sabe si una serie geomtrica ser una serie convergente.
2
Halle S4, S7 y S para cada una de estas series. a 144 + 48 + 16 + ... b 500 + 400 + 320 + ... c
3
80 + 8 + 0,8 + ...
d
Una serie geomtrica tiene S =
9 2
3 2
27 y S3 = 13. Halle S5 . 2
PREGUNTA TIPO EXAMEN Para una progresin geomtrica con u3 = 24 y u6 = 3, halle S .
4
180
Patrones, progresiones y series
Qu situaciones de la vida real podran modelizarse mediante series convergentes?
5
Para una progresin geomtrica, u2 = 12 y S = 64. Halle u1.
PREGUNTA TIPO EXAMEN Una serie geomtrica tiene una razn de 0,4 y la suma de los infnitos trminos es 250. Halle el primer trmino.
6
7
La suma de los 5 primeros trminos de una serie geomtrica es 3798, y la suma de los infnitos trminos es 4374. Halle la suma de los 7 primeros trminos.
.8 aplicciones de ptrones ritmticos y geomtricos En muchas situaciones de la vida cotidiana vemos ejemplos de patrones geomtricos, tales como el inters compuesto y el crecimiento demogrfco. Si una persona deposita $ 000 en una caja de ahorros que paga intereses a una razn del 4% anual y no hace extracciones ni depsitos, cunto tendr la cuenta despus de diez aos? Cuando el inters se capitaliza anualmente (una vez al ao), el monto en la cuenta al fnal de cada ao ser el 04% del monto al inicio del ao. (Se multiplica la suma depositada por ,04.) El monto total en la cuenta despus de 0 aos sera de 000( ,04) 0 $ 480,24. Podemos pensar en el monto que habr en la cuenta al fnal de cada ao como una progresin geomtrica con u = 000 y r = ,04: u = u2 = u3 = u4 =
$ 000 $ 000( ,04) = $ 040 $ 040( ,04) = $ 08 ,60 $ 08 ,60( ,04) $ 24,86 y as sucesivamente.
Ahora consideremos qu sucede cuando el inters se capitaliza ms de una vez en el ao. Sea: M = el monto de dinero en la cuenta i = la tasa de inters (un porcentaje, escrito como decimal) n = el nmero de veces al ao que se capitaliza la inversin t = el nmero de aos c = el capital inicial (monto inicial de dinero) Podemos hallar el monto de dinero en la cuenta usando la rmula:
M = c 1 +
i n
nt
Captulo 6
1 81
ejmplo Una persona deposita $1000 en una cuenta que paga un inters del 4% TNA con capitalizacin trimestral. Suponiendo que la persona no realiza extracciones ni depsitos adicionales, cunto dinero habr en la cuenta despus de diez aos?
TNA signifca tasa nominal anual . 4% TNA es lo mismo que el 4% por ao.
Respuesta
M = 1000 1 +
0, 0 4 4
4(1 0)
= 1000(1,01) 40 $1488,86
Reemplazar los valores conocidos en
la frmula M = c
1+
i n
nt
Qu otros tipos de matemticas se usan en las fnanzas?
Esta frmula funciona porque la tasa de inters nominal anual del 4% se divide en cuatro partes, una por cada trimestre, y por lo tanto, el inters trimestral es del 1%. Si el inters se capitaliza cuatro veces al ao (trimestralmente) por un perodo de 10 aos, esta tasa trimestral se aplicar 40 veces.
Crecimiento demogrfco ejmplo 3 La poblacin de un pueblo pequeo crece un 2% por ao. Si la poblacin al inicio de 1980 era de 12 500 habitantes, cul es la poblacin esperada para el inicio del ao 2020? Respuesta 12 500(1,02) 40 27 600,496
La poblacin del pueblo ser de aproximadamente 27 600.
Al comienzo de cada ao, la poblacin ser el 102% de la poblacin inicial del ao anterior. Desde 1980 hasta 2020, habrn pasado 40 aos.
En preguntas como la del ejemplo 23, debemos pensar que n es el nmero de aos ms que el nmero de orden del trmino.
Ejercitacin 6L
182
1
En una progresin aritmtica, u6 = 3u4. Halle u si u8 = 50.
2
Un vaso plstico tiene 12 cm de alto. Cuando se apilan 5 vasos, la altura de la pila alcanza 5 cm. a Qu altura alcanzaran 20 vasos apilados? b Cuntos vasos habra que apilar para alcanzar una altura de al menos 1 m? Patrones, progresiones y series
3
Jorge deposita $2500 en una cuenta que paga inters del 6% TNA. Suponiendo que no realiza extracciones ni depsitos, cunto tendr en la cuenta despus de 8 aos si ocurre lo siguiente? a El inters se capitaliza anualmente. b El inters se capitaliza trimestralmente. c El inters se capitaliza mensualmente.
4
Una progresin aritmtica se defne mediante un = 12n 7 y una progresin geomtrica se defne mediante vn = 0,3(1,2) n 1. Halle el menor nmero de trminos para el cual vn > un .
5
En una progresin geomtrica, el primer trmino es 6 y la razn es 1,5. En una progresin aritmtica, el primer trmino es 75 y la dierencia es 100. Despus de cuntos trminos la suma de los trminos de la progresin geomtrica superar la suma de los trminos de la progresin aritmtica?
6
A comienzos de 2012, un lago contiene 200 peces. Se espera que el nmero de peces en el lago crezca un 5% por ao. Cul ser el nmero de peces en el lago a comienzos de 2015?
7
La poblacin de una ciudad es de 275 000 habitantes. La poblacin crece a una tasa del 3,1% por ao. Suponiendo que la poblacin contina creciendo a esta tasa, cunto tiempo pasar hasta que la poblacin alcance los 500 000 habitantes?
8
Una serie est defnida por la rmula Sn = 3n2 2n. a Halle el valor de S1 , S2 y S3 . b Halle los valores de u1, u2 y u3 . c Escriba una expresin para un.
9
Una serie se defne por la rmula Sn = 2 n + 2 4. a Halle el valor de S1 , S2 y S3 . b Halle los valores de u1, u2 y u3 . c Escriba una expresin para un.
10
En una isla remota habitan dos especies de araas. La poblacin de la especie A es 12 000 y crece a una tasa del 1,25% por mes. La poblacin de la especie B es de 50 000 y decrece a una tasa de 175 araas cada mes. Cundo ser mayor la poblacin de la especie A que la poblacin de la especie B?
11
Moira invierte $3000 en una cuenta que paga el 3% de inters anual, con capitalizacin anual. Ral invierte $3000 en una cuenta que tambin paga el 3% de inters anual, pero con capitalizacin mensual. Suponiendo que ninguna de las dos personas realiza depsitos ni extracciones adicionales, cunto ms dinero tendr Ral en su cuenta que Moira en la suya despus de diez aos?
Esta pregunta usa vn , en lugar de u n , para representar el ensimo trmino de una progresin geomtrica.
Captulo 6
1 83
6.9 el tringulo d pascal y l dsarrollo dl binomio Ahora veremos un amoso patrn matemtico conocido como tringulo de Pascal. He aqu las flas 1 a 7 del tringulo de Pascal. 1 1 1 1 1 1
4 5
6
15 21
1 3
10
6 7
1 2
3
1
1 4
10 20
35
1 5
15 35
1 6
21
1 7
1
Cualquier nmero del tringulo de Pascal es la suma de los dos nmeros ubicados inmediatamente encima de l. Los nmeros del tringulo se generan comenzando en lo alto y sumando pares de nmeros para obtener la fla siguiente. Pero qu sucede si queremos hallar los nmeros de la fla 1 5? O de la fla 27? Tomara muchsimo tiempo hacer un tringulo de esas dimensiones! He aqu los nmeros en la cuarta fla del tringulo: 1 , 4, 6, 4, 1 . Estos nmeros tambin pueden hallarse usando combinacions, o la uncin nC r en la CPG. 4
C0 = 1
4
C1 = 4
4
El tringulo de Pascal le debe el nombre a Blaise Pascal (rancs, 16231662).
C2 = 6
4
C3 = 4
4
C4 = 1
n , o Crn, representa el nmero de ormas en que se pueden tomar r grupos de r elementos, de un conjunto de n elementos. Por ejemplo,
Podemos predecir cules sern los nmeros de la fla 8?
n
C r se escribe
comnmente como
n r , o incluso algunas veces como Crn .
supongamos que una bolsa contiene 5 bolillas etiquetadas con A, B, 5 = 1 0 ormas 2
C, D, y E. Si tomamos dos bolillas de la bolsa, hay
dierentes de elegirlas. Estas combinaciones son AB, AC, AD, AE, BC, BD, BE, CD, CE o DE. 5 Podemos hallar los valores de expresiones como sin usar una 2 calculadora. El nmero de combinaciones de n elementos tomados de a r por vez se halla mediante: n n! , donde n! = n (n 1 ) (n 2) 1 = r r! (n r)!
184
Patrones, progresiones y series
Debemos asegurarnos de saber cmo usar la uncin nCr de la CPG.
! es el signo factorial. La expresin n! se denomina actorial de n .
ejmplo 7 Halle el valor de usando la rmula y verifque con la CPG. 5 Respuesta Reemplazar n = 7 y r = 5 en la rmula
7 7! = 5! 7 5)! ( 5 7 6 5 4 3 2 1
= 5 4 3 2 1 2 1 ( )( ) =
Simplifcar los actores comunes del numerador y el denominador
7 6 42 = 2 1 2
Recordemos que se puede hallar el valor usando el tringulo de Pascal.
= 21 7 = 21 5
Puede que aparezcan puntos en lugar de signos de multiplicacin. Por ejemplo: 3 2 1 en lugar de 3 2 1.
En la calculadora TI Nspire, nCr est en el men de Probability, Combinations (probabilidad, combinaciones).
Usando la calculadora:
Ejercitacin 6M Halle cada valor usando la rmula y luego verifque con su CPG. 1
4
5 3
2
8 2
3
C6
5
6 4
6
9
7
C3
1 0 3
invstgacn: patrones en polinomios Desarrolle cada una de las siguientes expresiones (escriba cada expresin como un polinomio). Registre el tiempo que le lleva realizar cada desarrollo. 1 (a + b) 1 4 (a + b) 4
2 5
(a + b) 2 (a + b) 5
3 6
(a + b) 3 (a + b) 6
Observe sus respuestas y tome nota de los patrones que observe. Observa alguna similitud con el tringulo de Pascal? Basndose en estos patrones, prediga cul podra ser el desarrollo de (a + b) 7 .
Captulo 6
1 85
Desarrollo binomial Veremos qu sucede cuando desarrollamos una expresin como (a + b) n, donde n es un nmero entero positivo. En la investigacin de la pgina 85, se desarrollaron estas expresiones: (a + b) = a + b (a + b)2 = a2 + 2ab + b2 (a + b) 3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3 (a + b) 4 = a4 + 4a3 b + 6a2b2 + 4ab3 + b4 (a + b) 5 = a5 + 5a4b + 0a3 b2 + 0a2b3 + 5ab4 + b5 Si observamos con detenimiento cada desarrollo, veremos algunos patrones: El nmero de trminos es uno ms que el valor de n. 2 Las potencias de a comienzan con an , y las potencias de a decrecen en 1 unidad hasta llegar a a0 (a0 = 1) en el ltimo trmino. 3 Las potencias de b comienzan con b0 (b0 = 1), y las potencias de b crecen en 1 unidad hasta llegar a bn en el ltimo trmino. 1
Los coefcientes son todos nmeros del tringulo de Pascal! Los coefcientes de (a + b) n son los nmeros de la ensima fla del tringulo de Pascal. Podemos hallarlos usando el tringulo o la rmula de combinaciones, o la uncin nCr en la CPG. 5 La suma de los exponentes de cada trmino coincide con el exponente del binomio. 4
Por ejemplo, en el desarrollo de (a + b) 3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3 , los exponentes de cada trmino suman 3. Podemos usar estos patrones para desarrollar la expresin (a + b)6. El desarrollo tendr 7 trminos. Las potencias de a decrecern, las potencias de b crecern. Los coefcientes sern los de la sexta fla del tringulo de Pascal ( , 6, 5, 20, 5, 6, ). Por consiguiente, (a + b)6 = a6 + 6a5b + 5a4b2 + 20a3 b3 + 5a2b4 + 6ab5 + b6 Estos patrones y observaciones nos pueden ayudar a comprender el teorema general del binomio para desarrollar potencias de binomios. El teorema del binomio establece que para cualquier potencia de un binomio donde n Z + ,
(a + b)
n
n n n n = a n b 0 + a n 1 b1 + a n 2 b 2 + ... + a 0 b n 0 1 2 n
Podemos incluso escribir el desarrollo del binomio usando notacin de sumatoria.
(a + b) 186
n
n n n r r = ( a ) ( b ) r = 0 r
Patrones, progresiones y series
Por ejemplo, cuando n = 4, el desarrollo tiene 5 trminos. (a + b) 4 = a 4 + 4a 3b + + 2 signifca 4 n 2 bZ n + 4ab3 + bque . Los 6a es un nmero entero coefcientes 1, 4, 6, 4, 1positivo. son los de la cuarta fla del tringulo de Pascal. En (a + b) 5 los coefcientes 1, 5, 10, 10, 5, 1 son los de la quinta fla del tringulo de Pascal.
Adems del teorema del binomio, las combinaciones se usan en muchas otras reas de las matemticas, por ejemplo, las probabilidades. Hasta podemos usar combinaciones para calcular la probabilidad de ganar la lotera!
ejmplo Utilice el teorema del binomio para desarrollar (x + 3)5. Escriba la respuesta en su forma ms sencilla. Respuesta
( x + 3)
5
Reemplazar valores en el teorema del binomio Es importante saber hallar estos valores con calculadora o sin ella.
5 5 5 5 5 5 = x 5 3 0 + x 4 31 + x 3 3 2 + x 2 3 3 + x1 3 4 + x 0 3 5 3 1 2 5 0 4
= (1)(x5)(1) + (5)(x4)(3) + (10)(x3)(9) + (10)(x2)(27) + (5)(x1)(81) + (1)(1)(243) = x5 + 15x4 + 90x3 + 270x2 + 405x + 243
ejmplo Utilice el teorema del binomio para desarrollar (2x 5y)3. Escriba la respuesta en su forma ms sencilla. Respuesta
( 2x 5 y )
3
Una expresin como (2x) 3 requiere de especial cuidado: el exponente debe aplicarse tanto a la variable como al coefciente! (2x)3 = 23 x3 = 8x3
3 3 3 3 0 2 1 1 2 = ( 2 x ) ( 5 y ) + ( 2 x ) ( 5 y ) + ( 2 x ) ( 5 y ) 0 1 2 3 0 3 + ( 2 x ) ( 5 y ) 3 = (1)(8x3 )(1) + (3)(4x2)(5y) + (3)(2x)(25y2) + (1)(1)(125y3 ) = 8x3 60x2y + 150xy2 125y3
Ejercitacin 6N Utilice el teorema del binomio para desarrollar cada expresin. 3
1
(y + 3)
5
2
(2b 1)
4
3
(3a + 2)
6
5
5
(x + y)
8
6
(3a 2b)
4
2 7 3c + d
2 2 4 x + x
3
2 1 8 4x + 2y
A veces, no har falta obtener el desarrollo completo de la potencia del binomio. Quizs solo necesitemos hallar un trmino en particular.
ejmplo Halle el trmino en x3 en el desarrollo de (4x 1) 9. Respuesta 9 3 6 ( 4 x ) ( 1 ) 6 = ( 84 ) ( 64 x 3 ) (1 ) = 5376x3
Para obtener x3 , elevar el primer trmino al cubo. Entonces, el segundo trmino del binomio, 1, ir elevado a la sexta potencia. Se podra 9 9 usar en lugar de , porque 6 3 tienen el mismo valor. Captulo 6
1 87
ejmplo En el desarrollo de (2x + 1) n , el coefciente del trmino en x3 es 80. Halle el valor de n. Respuesta n 3 n 3 3 ( 2 x ) 1 = 80 x 3
Se pudo haber usado n en lugar de n 3 que estos valores son iguales.
n! 3 3 ( 8 x ) (1 ) = 80 x 3 ! n 3 ! ( ) ( )
Usar la rmula
n , ya 3
n n! = r r! (n r)!
n! ( 8 ) = 80 (3) ! ( n 3 ) !
Ya que solo se debe hallar el coefciente, se puede prescindir de x3 .
n ( n 1 ) ( n 2 ) ( n 3 ) ( n 4 ) ...
( 3 2 1 ) ( n 3 ) ( n 4 ) ...
( 8 ) = 80
n ( n 1 ) ( n 2 ) ( n 3 ) ( n 4 ) ...
= 10
( 3 2 1 ) ( n 3 ) ( n 4 ) ... n (n 1) (n 2) = 10 6
Dividir ambos miembros por 8 Simplifcar los actores repetidos en el numerador y el denominador Se pueden resolver ecuaciones polinmicas como estas usando la CPG.
n ( n 1 ) ( n 2 ) = 60 n3 3n2 + 2n 60 = 0 n=5
Ejercitacin 6O 1
Halle el trmino en x5 del desarrollo de (x 4) 7.
PREGUNTAS TIPO EXAMEN Halle el trmino en y4 del desarrollo de (4y 1) 5 .
2
3
Halle el trmino en a2b4 del desarrollo de (2a 3b) 6.
4
Halle el trmino constante en el desarrollo de (x 2) 9.
5
6
En el desarrollo de (px + 1) , el coefciente de x es 160. Halle el valor de p.
6
En el desarrollo de (3x + q) 7, el coefciente de x5 es 81 648. Halle el valor de q.
El trmino constante es el trmino numrico que no tiene variables.
3
PREGUNTA TIPO EXAMEN 8 1 7 Halle el trmino constante en el desarrollo de 4 x . x
8
6
Halle el trmino constante en el desarrollo de 2 x . x 2
3
PREGUNTA TIPO EXAMEN 9 En el desarrollo de (x + 1) n, el coefciente del trmino en x3 es el doble del coefciente en x2. Halle el valor de n. 188
Patrones, progresiones y series
10
En el desarrollo de (x + 2) n, el coefciente del trmino en x3 es dos veces el coefciente del trmino en x4. Halle el valor de n.
ejrcicios d rvisin PREGUNTAS TIPO EXAMEN 1 Considere la progresin aritmtica 3, 7, 11, 15, ... a Escriba la dierencia. b Halle u71 . c Halle el valor de n tal que un = 99. 2
Los 3 primeros trminos de una progresin geomtrica infnita son 64, 16 y 4. a Escriba el valor de r. b Halle u4. c Halle la suma de los infnitos trminos de esta progresin.
3
En una progresin aritmtica, u6 = 25 y u12 = 49. a Halle la dierencia. b Halle el primer trmino de la progresin.
4
Considere la progresin aritmtica 22, x, 38, ... a Determine el valor de x. b Halle u31 .
5
Evale la expresin
4
(3 ). a
a =1
6
Considere la serie geomtrica 800 + 200 + 50 + ... a Halle la razn. b Halle la suma de los infnitos trminos.
7
Halle todos los posibles valores de x para los cuales esta progresin resulta geomtrica: x, 12, 9x, ...
PREGUNTA TIPO EXAMEN 8 Halle el trmino en x3 del desarrollo de (2x + 3) 5 . 9
Un almacn tiene un exhibidor de sopas en lata apiladas en orma piramidal. La fla superior tiene tres latas y cada fla tiene dos latas ms que la fla anterior. a Si hay 35 latas en la fla inerior cuntas flas tiene el exhibidor? b Cuntas latas hay en el exhibidor en total?
ejrcicios d rvisin 1
En una serie aritmtica, el primer trmino es 4 y la suma de los 25 primeros trminos es 1000. a Halle la dierencia. b Calcule el valor del 17. trmino.
PREGUNTA TIPO EXAMEN 2 Considere la progresin aritmtica 3; 4,5; 6; 7,5; ... a Halle u63 . b Halle el valor de n tal que Sn = 840.
Captulo 6
1 89
3
En una serie aritmtica, el dcimo trmino es 25 y la suma de los 10 primeros trminos es 160. Halle el primer trmino y la dierencia. b Halle la suma de los 24 primeros trminos.
PREGUNTAS TIPO EXAMEN 4 En una progresin geomtrica, el primer trmino es 3 y el sexto trmino es 96. Halle la razn. b Halle el menor valor de n para el cual un > 3000. 5
En una progresin aritmtica, el primer trmino es 28 y la dierencia es 50. En una progresin geomtrica, el primer trmino es 1 y la razn es 1,5. Halle el menor valor de n para el cual el ensimo trmino de la progresin geomtrica es mayor que el ensimo trmino de la progresin aritmtica.
6
En una serie geomtrica, el tercer trmino es 45 y la suma de los 7 primeros trminos es 2735. Halle el primer trmino y la razn r, si r Z.
PREGUNTA TIPO EXAMEN 7
7
Halle el trmino en x4 del desarrollo de x 3 .
8
En el desarrollo de (ax + 2) 8, el trmino en x5 tiene coefciente . 16 Halle el valor de a.
9
2
7
A comienzos de 2010, la poblacin de un pas era de 3,4 millones. Si la poblacin crece a una tasa del 1,6% anual, estime la poblacin del pas a comienzos de 2040. b Si la poblacin sigue creciendo a esta tasa, en qu ao la poblacin del pas exceder los 7 millones?
ResuMeN del captulO 6 pron y rogrion
Una rogrin nmri es un patrn de nmeros dispuestos en un orden particular de acuerdo con una regla. Cada nmero o elemento de la progresin se denomina rmino.
progrion rimi
En una progresin aritmtica, los trminos crecen o decrecen en un valor constante. Este valor recibe el nombre de ifrni o d. La dierencia puede ser un valor positivo o negativo. Podemos calcular el trmino ensimo de una progresin aritmtica usando la rmula: un = u + (n )d Contina en la pgina siguiente.
190
Patrones, progresiones y series
progreione geomrica
En una rogrein geomrica , cada trmino puede obtenerse multiplicando al trmino anterior por un valor constante. Este valor constante se denomina razn o r. Se puede hallar el ensimo trmino de una progresin geomtrica usando la rmula: un = u1 (r n 1 )
la noacin de umaoria ( ) n
u signifca la suma de los primeros n trminos de una progresin. i
i =1
Esto se lee la suma de todos los trminos ui desde i = 1 hasta i = n.
serie arimica
Se puede hallar la suma de los n primeros trminos de una serie aritmtica usando la rmula: Sn =
n n ( u1 + un ) o Sn = ( 2u1 + ( n 1 ) d ) 2 2
serie geomrica
Se puede hallar la suma de los n primeros trminos de una serie geomtrica usando la rmula: Sn =
u1 ( r n 1 ) r 1
o Sn =
u1 (1 r n ) 1r
, donde r 1 .
serie convergene y uma de infnio rmino
Para una serie geomtrica con r < 1, S =
u1 . 1r
tringuo de paca y dearroo de binomio
El nmero de combinaciones de n elementos tomados de a r por vez se halla mediante: n n! , donde n! = n (n 1 ) (n 2) 1 = r r ! n ( r)
El teorema del binomio establece que para cualquier potencia de un binomio, donde n N,
(a + b)
n
n n n n = a n b 0 + a n 1 b1 + a n 2 b 2 + ... + a 0 b n n 0 1 2
Se puede incluso escribir el desarrollo binomial usando notacin de sumatoria: n n n r n r ( a + b ) = ( a ) ( b ) r =0 r Captulo 6
1 91
teora del conoimieno
de quin fue la iea espus e oo? El tringulo de Pascal debe su nombre al rancs Blas Pascal, quien hacia 1 654 se refri a l en su Tratado del tringulo aritmtico. Sin embargo, las propiedades de este patrn eran conocidas y ueron estudiadas por matemticos en la India, China y otras partes del mundo siglos antes de la poca de Pascal. En China, el tringulo de Pascal se conoce como Tringulo de Yang Hui, en honor a un matemtico del siglo XIII, aunque era conocido mucho antes de esta echa.
Esta no es la primera vez que una idea matemtica de larga data se atribuye a una persona en particular. Ha ocurrido frecuentemente, cuando un matemtico de renombre ha publicado un resultado importante y presentado la idea matemtica al pblico. A lo largo de los aos, se les ha dado crdito a los matemticos por sus descubrimientos o invenciones. Cree que muchas de estas ideas se han atribuido a personas equivocadas?
En el siglo XI, el matemtico y poeta persa Omar Khayym se refri al patrn que se observa en el tringulo de Pascal.
Omar Khayym (c. 1048c. 1131)
Qu es el tringulo de Tartaglia? Cmo se usa el tringulo de Pascal?
Tringulo de Pascal 1 1 1 1 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1 1 5 10 10 5 1 1 6 15 20 15 6 1 192
[ Blas Pascal (16231662)
Teora del Conocimiento: de quin fue la idea despus de todo?
El matemtico italiano Fibonacci, Leonardo de Pisa, present la progresin de Fibonacci en su libro Liber abaci, publicado en 1202.
En l plasm este problema:
Si comenzamos con una sola pareja de conejos y cada mes cada pareja produce una nueva pareja que se vuelve frtil a partir del segundo mes, cuntas parejas de conejos habr en un ao?
Fibonacci no fue el nico matemtico que trabaj con este patrn.
El diagrama muestra cmo crece la progresin. 1. er mes: 2. mes: 3. er mes: 4. mes:
Nmero de parejas
1 pareja original de dos conejos contina 1 pareja, ya que todava no son frtiles 2 parejas: la pareja original y la nueva pareja que procrean 3 parejas: la pareja original, la pareja que procrean en el tercer mes, la pareja que procrean en el cuarto mes
1
1
2
3
El nmero de parejas genera la progresin de Fibonacci:
5
1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, donde cada trmino es la suma de los dos trminos anteriores.
Los nmeros de la progresin de Fibonacci se ven recuentemente en la naturaleza. El nmero de espirales en la corteza de las pias o en las corolas de las fores son, a menudo, nmeros de la progresin de Fibonacci. Es simplemente un accidente que una progresin matemtica tan conocida aparezca en la naturaleza? Podra ser que haya una relacin entre matemtica y naturaleza?
Qu es la seccin urea?Dnde aparece en la naturaleza?
Cmo se relacionan el tringulo de Pascal y la progresin de Fibonacci? Pista: observe las sumas de las diagonales en el tringulo.
{
teora del conoimieno
Fibonai: parones en la nauraleza
Fibonacci (c. 1170c. 1250)
Captulo 6
1 93
Lmites y derivadas
7 ObjetivOs del captulO: 6.1
Idea inormal de lmite y convergencia; notacin de lmite; denicin de f( x + h) f( x) . h
derivadas, a partir del concepto, como f( x) = lim h0
Interpretacin de la derivada como pendiente de la recta tangente a la curva y como medida de la razn de cambio entre dos variables; tangentes, normales, y sus ecuaciones. 6.2 Derivada de xn (n R); derivada de la suma y del producto por un escalar de estas unciones; derivada de e x y ln x; regla de la cadena para la composicin de unciones; regla del producto y regla del cociente; derivada segunda; usos 2 de las dos ormas de notacin, d y2 y f (x). dx 6.3 Puntos mximos y mnimos locales; puntos de infexin con pendiente nula y no nula; comportamiento de los grcos de las unciones, incluida la relacin entre los grcos de f, f y f ; optimizacin y aplicaciones. 6.6 Problemas de cinemtica relativos al desplazamiento s, la velocidad v y la aceleracin a
an omnzr Qu necesitamos saber
Comprobemos nuestras habilidades
1
Factorizar una expresin Por ejemplo: 2x3 + 4x2 + 2x = 2x (x2 + 2x + 1)
1
Desarrollar binomios Por ejemplo: Desarrollar (2x ) 4
2
2
(2 x 1 ) 4
3
1
4
0
3
= 1 ( 2 x ) ( 1 ) + 4 ( 2 x ) ( 1 )
1
1
+ 6 ( 2 x ) 2 ( 1 ) 2 + 4 ( 2 x )1 ( 1 ) 3 0
+ 1 ( 2 x ) ( 1 )
1
1 1
2 3
1 3
1
4
6
194
2 = 2 x 5 ; x5
Lmites y derivadas
1
1
x = x2
4x2 9 2x2 9x 5
(2x + 3y) 3
Use exponentes racionales para reescribir cada expresin en la forma cx n:
1 x6
7
x5
4 x3 7 x3
Utilizar exponentes racionales para reescribir expresiones en la forma cx n Por ejemplo:
4
Desarrolle cada binomio: (x + 2) 3 (3x 1) 4
4
= 1 6 x 4 32 x 3 + 24 x 2 8 x + 1 3
1
Factorice: 9x4 15x3 + 3x x2 5x + 6
5 x
Si pulsamos la cuerda de una guitarra y la dejamos vibrar, el sonido se aplaca a medida que pasa el tiempo. Esto se puede modelizar mediante la uncin f ( t ) =
sen t t
, donde t representa tiempo. A medida
que t crece ms y ms, sen t se acerca ms a cero: este es el valor t lmite de la uncin. Escribimos esto como lim t
sen t
= 0 . El concepto de lmite es
t
undamental en el clculo o anlisis matemtico. En un prximo captulo aprenderemos ms acerca de la uncin seno, cuyo grfco es una onda sinusoidal. El anlisis es la rama de las matemticas que toma el lgebra y la geometra, junto con el proceso de lmite, y contempla dos tipos de problemas. El clculo dierencial usa lmites para hallar la razn a la que cambia una cantidad variable. El clculo integral usa lmites para resolver problemas que involucren cambios reiterados. En este captulo aprenderemos a evaluar lmites bsicos y luego trataremos ms en detalle el clculo dierencial.
Captulo 7
1 95
7. lmtes y convergenca En esta seccin investigaremos los conceptos de lmites y convergencia y utilizaremos la notacin de lmite. El concepto de lmite es la base del clculo.
investgacn: creacin de una progresin Trabaje con un compaero. Necesitar un pedazo de papel rectangular, un par de tijeras y una copia de esta tabla. Nmero de vuelta
Porcin de papel que tiene al fnal de la vuelta Fraccin Decimal (3 cs)
1 2 3 4 5 6 Vuelta 1: corte el rectngulo de papel en tres trozos de aproximadamente el mismo tamao. Cada alumno toma un trozo y se deja uno sobre la mesa. Anoten la porcin del rectngulo original que ahora tienen, como raccin y como decimal (con tres ciras signifcativas). Vuelta 2: corte el trozo que qued sobre la mesa en tres trozos de igual tamao. Cada uno aade uno de estos trozos a su porcin del rectngulo original. Anoten la raccin total del rectngulo original que ahora tienen, de la misma orma que lo hicieron antes. Repitan el mismo proceso cuatro veces ms. 1
A medida que repitan ms y ms veces esta actividad, qu pueden decir acerca de la porcin del rectngulo original que cada uno tiene? 2 Si repiten este proceso indefnidamente, qu pueden decir acerca de la porcin del rectngulo original que tienen?
Lmites de progresiones Los datos que se obtuvieron en la investigacin orman una progresin donde u es la porcin del rectngulo original que cada uno tiene despus de la vuelta 1, u2 la que tiene despus de la vuelta 2, y as sucesivamente. A las progresiones como estas se las llama convergentes porque a medida que el nmero de trmino en la progresin crece, los trminos de la progresin se aproximan a un valor fjo, conocido como el mte, L, de la progresin. Podemos escribir esto como: lim un = L . n Las progresiones que no son convergentes son dvergentes. Cul es el lmite de la progresin que se gener en la investigacin? 196
Lmites y derivadas
Al cortar el papel en tres trozos iguales, basta con hacerlo de manera aproximada. A medida que complete ms y ms vueltas de esta actividad, se podra decir que el nmero de vueltas tiende a infnito. Puede dar un ejemplo de la vida real que crezca o se desarrolle como este?
La notacin lim u n = L n
se lee el lmite cuando n tiende a infnito de u n es igual a L . Los antiguos griegos usaron la idea de lmite para calcular reas usando el mtodo de exhaucin. Este podra ser un tema interesante para investigar.
ejmplo Determine si cada progresin es convergente o divergente. Si una progresin es convergente, indique el lmite de la misma. a 0,3; 0,33; 0,3333; ... b 2, 4, 8, 16, c
1
,
6
,
31
,
1 56
,
781
5 25 1 25 625 31 25
d 1, 1, 1, 1, . . .
, ...
Respuestas a
Convergente; lim un = n
1
El patrn indica que la progresin se aproxima a . 0, 333 3 , o 0 , 3 , que 1 es la orma decimal de .
3
3 b Divergente
Otras notaciones para indicar decimales peridicos incluyen 0 3 .
Cada trmino en la progresin es mayor que el anterior, por lo que no se acercan a un lmite.
c Convergente; lim un = n
1
Para comparar racciones con dierentes denominadores, usar una calculadora de pantalla grfca (CPG) para convertirlas en decimales: 0, 2; 0, 24; 0, 248; 0, 2496; 0, 24992; . . . 1 Los valores se acercan a 0, 25 o .
4
4
d Divergente
Los trminos en la progresin oscilan entre dos valores y no se acercan a un valor fjo.
Ejercitacin 7A Determine si cada progresin es convergente o divergente. Si una progresin es convergente, d el lmite de la misma. 1
1, 3, 5, 7,
2
3,49; 3,499; 3,499; 3,4999;
3
1 1 1 1 , , , , ... 1 0 1 00 1 000 1 0 000
4
20 1 21 1 82 1 093 1 640 , , , , , ... 27 1 62 243 1 458 21 87
5
3, 4, 3, 4, 3, 4,
Limites de funciones lim f ( x ) = L signifca que a medida que el valor de x xc se acerca lo sufciente a c (desde cualquier lado), la uncin (x) se acerca a un valor fjo L. Si (x) no se acerca a un valor fjo L, decimos que el lmite no existe.
Se puede usar la CPG para hallar el lmite de una uncin. Grfcamnt: se representa grfcamente la uncin y se examinan los valores de f(x) cuando x se acerca a c. Numricamnt: se hace una tabla de valores y se examinan los valores de f(x) cuando x se acerca a c.
Captulo 7
1 97
ejmplo 2 Use una CPG para examinar cada uncin grfcamente y numricamente. Halle el lmite o indique que no existe. x2 1 1 para x 0 2 lim x b lim c lim f ( x ); donde f ( x ) = x2 x0 x 1 x 1 1 para x < 0 Respuestas 2 lim x x2
y 7
Obtenga el grfco de (x) = x usando una CPG, y observe el valor de (x) a medida que x se acerca a 2 por la derecha y por la izquierda. 2
6 5
f(x) = x2
4 3 2 1
Grfcamente, (x) se acerca a 4 a medida 4 3 2 1 0 1 2 3 4 x que x se acerca a 2. Numricamente, cuando x se acerca a 2 por cualquiera de los dos lados, (x) se acerca a 4. 2 x 1,8 1,9 1,99 1,999 2,001 2,01 2,1 2,2 f 1(x) 3,24 3,61 3,960 3,996 4,004 4,040 4,41 4,84 4 Para construir la tabla anterior usando una CPG, ingrese 1(x) = x 2. Luego confgure la variable independiente en ask (preguntar). Ingrese los valores de x.
Por lo tanto, lim x 2 = 4 x2
El grfco y la tabla se muestran en la misma pantalla.
Para (x) = x2 podemos sustituir y hallar que lim x 2 = 2 2 = 4 x 2
{ Contina en la pgina siguiente.
198
Lmites y derivadas
b
lim x 1
x2 1
(x) se acerca a 2 a medida que x se acerca a 1:
x 1
y 7 6 5 4 3 2 1
f(x) =
4 3 2 1 0
x2 1 x 1
1 2 3 4 x
x2 1 no est x 1 defnida cuando x 1 = 0 o x = 1. En consecuencia, hay una discontinuidad en el grfco cuando x = 1. Tenga en cuenta que Dado que la divisin por cero no est defnida, f( x ) =
x 2 1 ( x + 1)( x 1) = x + 1 , cuando x 1. = x 1 x 1 x2 1 no est defnida cuando x = 1, el lmite existe, ya que a Si bien f ( x ) = x 1
f( x ) =
medida que x se acerca a 1 por ambos lados, (x) se acerca a 2. x f (x)
0,8 1,8
0,9 1,9
0,99 1,99
2
Por lo tanto, lim x 1
c
x2 1
=2
x 1
lim f ( x ) donde x0
1 para x 0 f( x ) = 1 para x < 0
Observe que lim x 1
x 1 x 1
= lim
1 0,999 1,001 1,999 2,001 2
1,01 2,01
1,1 2,1
1,2 2,2
( x + 1)( x 1)
x 1 ( = lim x + 1 ) = 1 + 1 = 2 x 1
x 1
(x) no se acerca al mismo valor a medida que x se acerca a 0 por la izquierda y por la derecha:
y 2 1
4 3 2 1 0
1 2 3 4 x
1 2
x 0,2 0,1 0,01 f (x) 1 1 1 Por lo tanto, lim f ( x ) no existe. x0
0 0,001 0,001 0,01 1 1 1
0,1 1
0,2 1
Observe que (0) = 1, pero lim f ( x ) no existe. x0
Esto es porque (x) se acerca a 1 para valores de x a la derecha de x = 0 y (x) se acerca a 1 para valores de x a la izquierda de x = 0.
Captulo 7
1 99
Ejercitacin 7B Use una CPG para examinar cada uncin grfcamente y numricamente. Halle el lmite o indique que no existe. x3 4 x2 + x x
1
lim( x 2 + 1 )
3
lim
5
x + 3 para x 1 lim f ( x ) ; donde f ( x ) = x 1 x + 5 para x < 1
6
x 2 + 3 para x 2 lim f ( x ) ; donde f ( x ) = x2 para x < 2 x
x 3
x2
x2 3 x + 2 x2
2
lim
4
lim
x0
x 4
Material de ampliacin disponible en lnea: Hoja de ejercicios 7: Una mirada algebraica a los lmites
1 x4 Una reta seante a una circunerencia corta a la circunerencia dos veces. Una reta tangente a una circunerencia corta una sola vez a la circunerencia.
7. la reta tangente y a dervada de xn En esta seccin trabajaremos con rectas secantes, tangentes y normales. Defniremos la derivada de una uncin y aprenderemos algunas reglas para hallar las derivadas de ciertas unciones.
Una recta tangente a una curva puede cortar a la curva ms de una vez.
investgan: rectas secantes y tangentes Aqu est el grfco de f (x) = x2 + 1.
y
1
Copie el grfco al papel y dibuje las rectas AP, BP, CP, DP, EP y FP. A estas rectas se las llama retas seantes al grfco de f(x) = x2 + 1. 2 Copie y complete la tabla. punto
coordenadas
P A B C D E F
Reta
pendente
AP BP CP DP EP FP
6 5 4 3 A F 2 B E C 1 P D 0 1 2 1 2
Recuerde que la pendiente de una recta que pasa por los puntos (x1, y1) y (x2 , y2 ) es
3 A medida que los puntos en la curva se acercan ms y ms al punto P,
a qu valor pareciera que se aproximan las pendientes de las rectas secantes? 4 Dibuje la recta en el punto P que tiene la pendiente que hall en la pregunta 3. Esta recta se llama reta tangente al grfco de f (x) = x2 + 1 en P.
200
Lmites y derivadas
x
y2 y1 . x2 x1
Las rectas tienen pendiente constante, pero otras curvas no. La pendiente de una curva en un punto dado es la pendiente de la recta tangente a la curva en el ese punto. Con este concepto trabaj Sir Isaac Newton cuando quiso hallar la velocidad instantnea de un objeto en movimiento cuya velocidad iba variando continuamente.
Pendiente de una recta secante y
y = f(x)
f(x + h)
Q(x + h, f(x + h))
f(x)
[ Sir Isaac Newton, 16421727, matemtico ingls, es uno de los matemticos a los que se atribuye el desarrollo del clculo.
P(x, f(x))
0
x
x
x+h h
La pendiente de la recta secante PQ se escribe como: f( x + h ) f( x ) f( x + h ) f( x ) = ( x + h) x h
La expresin f( x + h ) f( x) se conoce h
como cocint incrmntal.
ejmplo Escriba una expresin para la pendiente de una recta secante para (x) = x2 + 1. Simplifque su expresin. Respuesta f(x + h) f(x )
=
(
( x + h ) 2 + 1 x 2 + 1
h
)
h
=
(x
2
2
h
=
=
) (
2
+ 2 xh + h + 1 x + 1
2 xh + h
Desarrollar (x + h) 2
2
Agrupar los trminos semejantes
h
(
)
Reemplazar la x en x 2 + 1 por x + h, para obtener una expresin para (x + h)
h 2x + h
)
Factorizar
h
= 2x + h
Simplifcar
Ejercitacin 7C Escriba una expresin para la pendiente de una recta secante para cada uncin. Simplifque su expresin. 1
(x) = 3x + 4
2
(x) = 2x2 1
3
(x) = x2 + 2x + 3 Captulo 7
201
Pendiente de una recta tangente y la derivada Suponga que el punto Q se desliza hacia abajo por la curva y se acerca al punto P. La recta secante PQ se acercar a la recta tangente en el punto P. A medida que Q se acerca a P, h se acerca a 0. Podemos tomar el lmite cuando h tiende a 0 de la pendiente de la recta secante, para obtener la pendiente de la recta tangente: lim h 0
lim
f( x + h ) f( x ) h
h0
f( x + h) f( x) no es h
f( x + h ) f( x ) se conoce h
como la drivada de . La derivada es defnida por h0
f( x + h ) f( x ) dy f( x + h ) f( x ) = lim o . h 0 h dx h
ejmplo 4
( x + h ) 2 + 1 ( x 2 + 1 ) f ( x ) = lim
Simplifcar el cociente como se muestra en el ejemplo 3
= lim ( 2 x + h ) = 2 x + 0
Evaluar el lmite reemplazando h por 0
h
h0
f ( x ) = 2 x f (3 ) = 2 ( 3 ) = 6 Por lo tanto, la pendiente de la recta tangente cuando x = 3 es 6.
La derivada, f (x) = 2x, es una funcin que da la pendiente de la curva f(x) = x2 + 1 para cualquier valor de x.
Ejercitacin 7D Use la defnicin de derivada para hallar la derivada de y a partir de ah, halle la pendiente de la recta tangente en el valor de x dado. 1 (x) = 2x 3; x = 2 2
(x) = 3x2 + 2x; x = 3
3
(x) = x2 x + 2; x =
Lmites y derivadas
f(x)
P(x, f(x))
0
x+h
x
x
h
f (x) se lee derivada de f , o f prima de x .
dy se lee dx
derivada de y con respecto a x . Recordemos que la pendiente es . Esto se
va ri a c i n e n x
expresa como dy
Respuesta
202
f(x + h)
va ri a c i n e n y
Halle la derivada de (x) = x2 + 1 y a partir de lo anterior, halle la pendiente de la recta tangente cuando x = 3.
h0
y = f(x) Q(x + h, f(x + h))
una constante. Es una funcin que da la pendiente de f en x.
La uncin defnida por el lmite lim h0 f( x ) = lim
y
dx
= lim x 0
y x
.
y . x
Algunas reglas de derivacin
invstgacn: la derivada de f(x) = xn 1
Use la defnicin de derivada para hallar las derivadas de f (x) = x2 , f (x) = x3 y f (x) = x4. 2 Realice una conjetura acerca de la derivada de f (x) = xn . Exprese su conjetura en orma coloquial y como uncin. 3 Use su conjetura para predecir la derivada de f (x) = x5 . Use la defnicin de derivada para verifcar si su prediccin ue correcta.
Recuerde que la defnicin de derivada es: f( x ) = lim h 0
f( x + h ) f( x ) . h
Hemos investigado solo valores enteros positivos de n, pero la siguiente regla es vlida para cualquier nmero real n. Rgla d la potnca Si (x) = x n, entonces (x) = nx n , donde n R.
ejmplo Use la regla de la potencia para hallar la derivada de cada funcin: a
f( x ) =
b
(x) = x12
1
c
x3
f( x ) = x
Respuestas a
Usar la regla de la potencia
(x) = x12 f( x ) = 1 2 x1 2 1 = 1 2 x1 1
b
f( x) =
1
= x 3
x3
3 1 = 3 x 4 = f( x ) = 3 x
Escribir de la orma y = x n, con n racional Usar la regla de la potencia Simplifcar
3 x4
1
c
Escribir de la orma y = x n, con n racional
f( x) = x = x 2 f ( x ) =
1
1
x2
1
2 1
=
1
2x
2
1
=
1
x
2
Usar la regla de la potencia
2 1
o 2
Simplifcar x
Ejercitacin 7E Halle la derivada de cada funcin: 1 4
(x) = x5 f( x ) = 3 x
2 5
(x) = x8 f( x ) =
1 x
1 x4
3
f( x ) =
6
f( x ) = 5 x3
Captulo 7
203
Usando la regla de la potencia y las siguientes dos reglas podemos hallar las derivadas de muchas funciones. El proceso de hallar la derivada de una funcin se llama drivacin . Rgla d la constant Si (x) = c, donde c es cualquier nmero real, entonces (x) = 0. Rgla d la constant La derivada de cualquier constante es 0. El grfco de la uncin constante f(x) = c es una recta horizontal, que tiene pendiente 0.
Rgla d la multiplicacin por una constant Si y = c (x), donde c es cualquier nmero real, entonces y = c (x). Rgla d la multiplicacin por una constant La derivada de una constante multiplicada por una uncin es la constante multiplicada por la derivada de la uncin.
Rgla d la adicin o la sustraccin Si (x) = u(x) v (x), entonces (x) = u (x) v (x). Rgla d la adicin o la sustraccin La derivada de una uncin que es la suma (o dierencia) de dos o ms trminos es la suma (o dierencia) de las derivadas de los trminos.
ejmplo 6 Halle la derivada de cada funcin: (x) = 4x3 + 2x2 3 b f( x ) = 3 5 x + 8
a
c (x) = (x 2) (x + 4)
d
f( x ) =
4 x3 + 2 x 2 3 x
Respuestas a
f( x ) = 4 x3 + 2 x 2 3 f ( x ) = 4 ( 3 x
) + 2 (2x ) 0
3 1
2 1
Hallar la derivada de cada trmino. Observe que la derivada del trmino constante es 0.
2
= 12x + 4x 1
b f( x ) = 3 5 x + 8 = 3 x 5 + 8 f ( x ) = 3
1
1
x5
5
3
=
4
5x
5
1
+ 0=
3
x
Escribir de la orma y = x n, con n racional
4 5
5
3
o 5
Simplifcar
5
4
x 2
c f ( x ) = ( x 2 )( x + 4 ) = x + 2 x 8
f ( x ) = 2 x
2 1
Hallar la derivada de cada trmino. Observe que la derivada del trmino constante es 0.
+ 2 1x
1 1
0 = 2x + 2
Primero desarrollar, para que la uncin sea una suma o dierencia de trminos de la orma axn { Contina en la pgina siguiente.
204
Lmites y derivadas
d
4 x3 + 2 x 2 3
f( x ) =
x
4 x3
=
x
+
2x2
x
3
Reescribir, para que la funcin sea una suma o diferencia de trminos de la forma ax n
x
= 4 x 2 + 2 x 3 x 1 f( x ) = 4 2 x
2 1
+2x
= 8x + 2 + 3x 3
2
1 1
3 (1 ) x
= 8x + 2 +
1 1
3 x
2
2
8x + 2x + 3
o
x
2
Ejercitacin 7F Derive cada funcin:
4
3
f( x ) = x3
f (x) = x 5
5
f (x) = (x 4) 2
6
f( x ) = x 4 3 x
3 4x2
8
10 f ( x ) =
x 2
13
3 x2
f (x) = 5
f( x ) =
7
2 x8
2
f( x ) =
1
(
3
x+4 x
)
11
f( x ) =
3
( 4x)
9
2
f (x) = 12 x 4
f(x) = 3x4 2x2 + 5 12 f(x) = 2x 2 + 3x + 7
1
f ( x ) = x 3 + 2 x 3 + 1 14 f (x) = 2x (x2 3x) 15 f (x) = (x 2 + 3x)(x 1)
Ecuaciones de rectas tangentes y normales La rcta normal a un punto de una curva es la recta perpendicular a la recta tangente en ese punto. Recta normal a la curva
[ Las chispas que crea una piedra de pulir son tangnts a la rueda.
y = f(x) Recta tangente a la curva
ejmplo Escriba una ecuacin para cada recta. La recta tangente a la curva f(x) = x2 + 1 en el punto (1, 2). b La recta normal a la curva f ( x ) = 2 x cuando x = 9. a
c Las rectas normal y tangente a la curva f ( x ) = x +
27 2x
2
cuando x = 3. d La tangente a f(x) = x3 3x2 13x + 15 que es paralela a la tangente en (4, 21). { Contina en la pgina siguiente.
[ Los rayos de una rueda de bicicleta son normals a la llanta. Captulo 7
205
Respuestas Para hallar la pendiente de la recta tangente, halle la derivada de f y evale para x = 1.
f(x) = x2 + 1 f (x) = 2x
a
mtangente = f (1 ) = 2 (1 ) =2
Use el punto (1, 2) y m = 2 para escribir la ecuacin de la recta tangente.
y 2 = 2( x 1 ) b
Escriba de la forma y = x n, con n racional.
f( x ) = 2 x 1
= 2x 2 f( x ) = x
1 2
1
o
x
=
1 9 1 3
Puesto que la recta normal es perpendicular a la tangente, halle la pendiente tomando el simtrico del recproco de la pendiente de la tangente. Halle un punto en la recta normal, hallando el valor de f para x = 9.
mno rmal = 3 f(9 ) = 2 9 = 6
Use el punto (9, 6) y m = 3 para escribir la ecuacin de la tangente.
y 6 = 3 ( x 9 ) c
f( x ) = x + = x+ f( x ) = 1
27
Escriba de la forma y = x n, con n racional.
2x2 27
x 2
2 27
Para hallar la pendiente de la tangente, halle la derivada de f y evale para x = 3.
x3
m tangente = f (3 ) =1
27 3
3
Dado que la pendiente es 0, la tangente es horizontal, entonces la recta normal debe ser vertical.
=0
f(3 ) = 3 + =
27 2
2 (3 )
9 2
La recta normal es x = 3 y la recta tangente es y =
9
2
Halle un punto perteneciente a las rectas, hallando el valor de f para x = 3.
. { Contina en la pgina siguiente.
206
Lmites y derivadas
La ecuacin de una recta a la que pertenece el punto (x1, y1) con pendiente m es y y1 = m(x x1). (Vase la seccin 3.11 en el captulo 18.)
Para hallar la pendiente de la recta tangente, halle la derivada de f y evale para x = 9.
mtangente = f (9 ) =
El smbolo signifca por lo tanto .
Si una recta tiene pendiente m, la pendiente de la recta perpendicular ser 1 . (Vase la m
seccin 3.11 en el captulo 18.)
d f (x) = x3 3x2 13x + 15
f ( x ) = 3 x 2 6 x 1 3 f( 4 ) = 3 ( 4 ) 2 6 ( 4 ) 1 3 = 11
Halle la pendiente de la recta tangente cuando x = 4.
2
3x 6x 1 3 = 1 1 3 x 2 6 x 24 = 0 3( x 2 2 x 8) = 0 3 ( x 4 )( x + 2 ) = 0 x = 4, 2
Iguale la derivada a 11 para hallar la coordenada x de los puntos con rectas tangentes paralelas.
Tenga en cuenta que uno de los valores, x = 4, es la coordenada x del punto de tangencia (4, 21). La coordenada x del punto de tangencia para la recta paralela es x = 2.
f( 2 ) = ( 2 ) 3 3 ( 2 ) 2 1 3 ( 2 ) +15 = 21 y 21 = 1 1 ( x + 2 )
Recordemos que las rectas paralelas tienen la misma pendiente.
Evale f en x = 2 para hallar la coordenada y del punto de tangencia. Use el punto (2, 21) y m = 11 para escribir la ecuacin de la recta tangente.
Ejercitacin 7G 1
2
Halle las ecuaciones de la recta tangente y la recta normal al grfco de f (x) = x2 4x en el punto (3, 3). Represente grfcamente la uncin y las rectas a mano. Halle la ecuacin de la recta tangente a la curva en el punto dado. f (x) = x2 + 2x + 1 en (3, 4) b f ( x ) = 2 x + 4 en x = 1
a
c 3
f( x ) =
x2 + 6 en (3, 5) x
d
f( x ) = 4 x +
8 x
en x = 1
Halle la ecuacin de la recta normal a la curva en el punto dado. a
f (x) = 2x2 x 3 en (2, 3)
b
c
f (x) = (2x +1) 2 en (2, 25)
d
4 1 en x = 1 x x2 4 f ( x ) = 2 3 x 2 en x = 1 x
f( x ) =
PREGUNTAS TIPO EXAMEN Halle las ecuaciones de todas la rectas normales verticales al grfco de f (x) = x3 3x.
4
5
La pendiente de la recta tangente al grfco de f (x) = 2x2 + kx 3 en x = 1 es 1. Halle el valor de k.
Captulo 7
207
7.3 Ms regls de derivcin Podemos usar una CPG para evaluar una derivada de una uncin en un valor dado. Sabemos que la derivada de f ( x ) = es f( x ) =
1 3 x 3x 4
3 3 2 x 3 y en consecuencia, f( 4 ) = ( 4 ) 2 3 = 9 . 4 4
Hacer clic en las plantillas.
| |{
para ver
Elegir la plantilla de la derivada primera e ingresar la uncin, la variable y el valor de x.
Dado que la calculadora usa una recta secante para aproximar el valor de la derivada, este valor no siempre ser exacto. Podemos obtener el grfco de la uncin y hallar su derivada presionando m e n u :
Para hallar la derivada en un valor especfco de x, use el men de contexto del punto para mostrar sus coordenadas, y luego edite la coordenada x.
dy (analizar grfco) | 5: , y eligiendo dx el punto en el grfco.
anlyze Grph
Se pueden observar los grfcos y las tablas de valores para la uncin y su derivada. Para obtener el grfco de f y f, usamos la plantilla de la derivada primera para escribir la uncin.
208
Lmites y derivadas
En este caso no habr lugar para ingresar un valor de x. Puede ahorrar tiempo ingresando f 1(x) en lugar de reescribir la ecuacin.
invstgacn: las derivadas de ex y ln x 1
Use una CPG para obtener el grfco de f (x) = e x y la derivada de f(x) = e x. Examine los grfcos y la tabla de valores de las unciones para elaborar una conjetura acerca de la derivada de f(x) = ex. 2 Use una CPG para obtener el grfco de f (x) = ln x y la derivada de f (x) = ln x. Examine los grfcos y la tabla de valores de las unciones para elaborar una conjetura acerca de la derivada de f (x) = ln x.
drvaa x Si (x) = ex, entonces (x) = ex.
Recuerde que y = e x e y = ln x son inversas. e ln x = x ln e x = x
drvaa ln x 1 Si (x) = ln x, entonces f( x ) = . x
ejmplo 8 Halle la derivada de cada funcin: a (x) = 3ex b (x) = x2 + ln x
c (x) = ln e
3x
Respuestas a
Usar la regla de la multiplicacin por una constante y el dato de que la derivada de e x es e x
(x) = 3ex (x) = 3 ex = 3ex
b (x) = x2 + ln x
(x) = 2x +
1
La letra e se usa como base de la uncin exponencial f (x) = e x, en honor al matemtico suizo Leonhard Euler (17071783).
Hallar la derivada de cada trmino 2
o
2x + 1
x
Usar el dato de que la derivada de
x
ln x es c (x) = ln e3 x = 3x
1
x
Usar el dato de que las unciones son inversas para poder simplifcar A continuacin, buscar la derivada
(x) = 3
Ejercitacin 7H Halle la derivada de cada funcin: 2
(x) = ex +
(x) = ln e 3 x + ln x
4
(x) = e ln 4 x + 3x + 1
(x) = 2e x + ln x
6
(x) = 5e x + 4 ln e x
1
(x) = 4 ln x
3 5
4
x 2
Captulo 7
209
Escriba una ecuacin para cada recta en las preguntas 7 a 1 0. 7
La recta tangente a la curva f (x) = 4ex 7 en x = ln 3
8
La recta normal a la curva f ( x ) = ln e x
9
La recta tangente a la curva f (x) = ln x en x = e
10
La recta normal a la curva f (x) = 2x2 + eln x 3 en x = 2
( ) en el punto (3, 9) 2
Cmo se usan las unciones exponenciales en la determinacin de la concentracin de una droga en el organismo de un paciente?
Halle el valor exacto de la derivada en el valor dado de x en las preguntas 11 y 12 y luego use la CPG para hallar un valor aproximado para controlar su trabajo. 11
Halle f (3) si f (x) = 2ex 5.
12
Halle f (8) si f (x) =
3
x + ln x.
investgacn: la derivada del producto de dos funciones Para los pasos 14 sean u(x) = x4 , v(x) = x7 y f(x) = u(x)v(x). 1 2 3 4 5 6
La uncin f puede escribirse como f(x) = xn . Halle n. Halle f (x). Halle u (x) y v (x). Halle u (x) v (x). Es f (x) igual a u (x) v (x)? Usando las tres derivadas halladas en los pasos 2 y 3, rellene los espacios en blanco para establecer una proposicin matemtica verdadera. f( x ) = x 4 _______ + x 7 _______ = _______
7 Complete la conjetura.
Si f(x) = u (x) v (x) entonces f ( x ) = ____ ____ + ____ ____ 8 Use la uncin f(x) = (3x + 1)(x2 1) para
rechazar o confrmar su conjetura del paso 7.
21 0
Lmites y derivadas
La derivada de la suma de dos unciones es la suma de las derivadas de las dos unciones. SI f(x) = u(x) + v(x) entonces f(x) = u(x) + v(x). Se podr aplicar una regla similar a esta para el producto de dos unciones? La conjetura en la investigacin se conoce como la regla del producto. Muchas demostraciones son sencillas y directas, pero la demostracin de esta regla requiere del uso de un paso creativo. Puede buscar y analizar la demostracin, y hallar un ejemplo del paso ingenioso que se necesita para completar la demostracin.
Para funciones como (x) = x4 x7 y (x) = (3x + )(x2 ) se puede reescribir la funcin y usar la regla de la potencia para tomar la derivada. Pero para otras funciones tales como (x) = (3x + )(ln x) se necesitara una regla como la desarrollada en la conjetura para hallar la derivada. Las siguientes reglas se usan para hallar la derivada del producto o del cociente de dos funciones. Rgla dl producto Si (x) = u(x) v (x), entonces (x) = u(x) v (x) + v (x) u(x). Rgla dl cocint Si f ( x ) =
u( x ) v ( x ) u ( x ) u ( x ) v ( x ) , entonces f ( x ) = . 2 v( x ) [v( x ) ]
Rgla dl producto La derivada del producto de dos factores es el primer factor multiplicado por la derivada del segundo ms el segundo factor multiplicado por la derivada del primero. Rgla dl cocint La derivada del cociente de dos factores es el denominador multiplicado por la derivada del numerador menos el numerador multiplicado por la derivada del denominador, todo dividido por el denominador al cuadrado.
ejmplo 9 Halle la derivada de cada funcin: a (x) = (3x + 1)(ln x) b (x) = (x4 + 3x3 + 6)(2x 1) c (x) =
5x + 3
d (x) =
x2 + 1
Respuestas primer factor segundo factor a f ( x ) = (3 x + 1 ) (ln x ) p rim e r fac to r
d e riv ad a del segundo
s e gu n d o
d e riv ad a
p rim e ro fa c to r del 1 f ( x ) = (3 x + 1 ) + (ln x ) (3 ) x
=3+
1
+ 3 ln x o
x segundo factor
f( x ) = ( x 4 + 3 x3 + 6) (2 x 1) primer
(x) = u(x) v(x), donde u(x) = x4 + 3x3 + 6 es el primer actor y v(x) = 2x 1 es el segundo actor. Aplicar la regla del producto (x) = u(x) v (x) + v(x) u (x)
derivada
factor del segundo 4 f ( x ) = ( x + 3 x 3 + 6 ) ( 2 ) derivada
segundo
del primero factor + (2 x 1 ) ( 4 x 3 + 9 x 2 )
Desarrollar los parntesis
= (2 x 4 + 6 x3 + 1 2 ) + 4
(x) = u(x) v(x), donde u(x) = 3x + 1 es el primer actor y v(x) = ln x es el segundo actor. Aplicar la regla del producto (x) = u(x) v (x) + v(x) u (x)
3 x + 1 + 3 x ln x
x primer factor
b
x+2 2e x 3
3
3
2
(8 x 4 x + 1 8 x 9 x ) = 1 0 x 4 + 20 x 3 9 x 2 + 1 2
Simplifcar { Contina en la pgina siguiente. Captulo 7
211
c (x) =
(x) =
5x + 3
u( x ) , donde u(x) = 5x + 3 es el numerador y v( x ) v(x) = x2 + 1 es el denominador. Aplicar la regla del cociente v ( x ) u ( x ) u ( x ) v ( x ) (x) = [v ( x )] 2 (x) =
x2 + 1
derivada del derivada del numerador numerador denominador denominador 2
( x + 1)
(5 )
(5 x + 3) 2
(2 x)
2
x ( + 1) d e n o m in a d o r al c u a d ra d o 2
=
(5 x + 5 ) (1 0 x 2 + 6 x ) ( x2 + 1)2
=
5 x 2 6 x + 5 ( x 2 + 1)2
d (x) =
Desarrolle el numerador de modo que pueda agrupar los trminos semejantes. No desarrolle el denominador. Simplifcar u( x ) , donde u(x) = x + 2 es el numerador y v( x ) v(x) = 2ex 3 es el denominador.
x+2 2e x 3
(x) =
(x) = derivada del derivada del numerador numerador denominador
denominador
( 2e x 3 )
(1)
( x + 2) x (2e 3 ) 2
Aplicar la regla del cociente v ( x ) u( x ) u ( x ) v( x ) (x) = [v ( x )] 2
( 2e x )
d enominador al cuadrado
=
=
( 2e x 3 ) ( 2 xe x + 4 e x )
( 2e x 3 )
Desarrolle el numerador de modo que pueda agrupar los trminos semejantes. No desarrolle el denominador. Simplifcar
2
2 xe x 2e x 3
( 2e
x
3)
2
Ejercitacin 7I Halle la derivada de cada uncin de las preguntas a 8. 1
(x) =
x2 x4
ln x x x2 5 (x) = x+4 3
7
(x) =
(x) = ex (5x3 + 4x)
2
(x) = (2x3 + x2 + x)(x2 + 1)
4
(x) = ex ln x
ex e +1 2 x2 8 (x) = 3 x +1 6
(x) =
x
PREGUNTAS TIPO EXAMEN La uncin (x) = xex tiene una recta tangente horizontal en x = k. Halle k.
9
10
Escriba las ecuaciones de las rectas tangentes al grfco de (x) =
21 2
x +1 que son paralelas a la recta x + 2y = 10. x 1
Lmites y derivadas
Las reglas del producto y del cociente no son necesarias para todos los productos y todos los cocientes. Muchas veces resulta ms conveniente reescribir la funcin antes de derivar.
ejmplo 10 Halle la derivada. Primero reescriba la funcin, si resulta ms conveniente. a
f( x ) = x (4 x 2 2 x )
c
f( x ) =
9 3
x
4
b
f( x ) =
d
f( x ) =
3x + 4 2
x 2 2 3x + 2x + 1 x
2
Respuestas a
f( x ) = x (4 x 2 2 x ) 1
Escribir de la orma y = x n, con n racional y desarrollar
= x 2 (4 x 2 2 x) 5
3
= 4x 2 2x 2 5
5
f ( x ) = 4 x 2
1
2
3
3
2 x2
1
2
3
1
= 10x 2 3x2 b
f( x ) =
3x + 4 2
x 2 2
f ( x ) =
( x 2 ) (3 ) (3 x + 4 ) ( 2 x )
(
2
x 2
2
=
=
c
f( x ) =
Utilizar la regla de la multiplicacin por una constante y la regla de la potencia para hallar la derivada y simplifcar
)
Utilizar la regla del cociente
2
2
(3 x 6 ) ( 6 x + 8 x )
(x
2
2
)
2
3 x 2 8 x 6
(x
2
x
)
2
4
9 3
2
= 9x
4
4
f ( x ) = 9 x
4 3
Escribir de la orma y = x n, con n racional
3
1
3
= 1 2 x
7 3
=
12 7
x3 2
d
f( x ) = =
3x + 2x + 1
Reescribir, separando trminos y luego escribir de la orma y = x n, con n racional
x2 3x x
2
2
+
2x x2
+
1 x2
= 3 + 2 x 1 + x 2 f ( x ) = 0 2 x 2 2 x 3 =
2 x
2
2 x
3
o
2 x 2 x3 Captulo 7
213
Hemos estado usando la notacin con primas, f (x), para denotar derivadas. d dy o [ f ( x )], y tambin dx dx dy se lee podemos usar variables distintas de x e y. La notacin dx
Podemos usar la notacin de Leibniz,
la derivada de y con respecto a x.
La notacin
d [ f ( x )] se lee la derivada de fcon respecto a x. dx
ejmplo d a Halle [ (ln x )(7 x 2 ) ] . dx c Si A = r2, halle
dA dr
b
ds Si s ( t ) = ( 4 t 1 ) , halle . dt 2
2
. r =3
Respuestas d [ (ln x )(7 x 2 ) ] dx
a
Utilizar la regla del producto para hallar la derivada de (ln x)(7x 2) con respecto a x
1 = (ln x )(7 ) + (7 x 2 ) x =
7 x ln x + 7 x 2 x
b
s(t ) = ( 4t 2 1 )2 4
Desarrollar y usar la regla de la potencia para hallar la derivada de s con respecto a t
2
= 1 6t 8t + 1 ds = 64 t 3 1 6 t dt c
A r2 dA 2 r dr dA 2 (3 ) dr r 3
Hallar la derivada de r2 con respecto ar La barra indica que se evale la derivada para r = 3.
6
Ejercitacin 7J Halle la derivada de cada funcin en las preguntas 1 a 1 2. Primero reescriba la funcin, si resulta ms conveniente.
21 4
1
f( x ) =
2 x3 5 x 3
2
f ( x ) = ( x 2 5 )( x 2 + 5 )
3
f ( x ) = 2e x ( x 2 )
4
f( x ) =
2e x x2
5
f ( x ) = e ln x +
6
f( x ) =
x2 ex
4
3
5
x4
Lmites y derivadas
[ Gottfried Wilhelm Leibniz (1646 1716), un matemtico alemn, debati con Isaac N ewton sobre quin fue el primero en desarrollar el cculo. Generalmente se acepta que Leibniz y N ewton desarrollaron el clculo simultneamente y de manera independiente.
x2 x2 + 1
7
f( x ) =
8
f ( x ) = 3 x ln x
9
f( x ) =
10
f( x ) = x ( x 2 + 1)
11
f( x ) =
12
f ( x ) = ( x 3 3 x )( 2 x 2 + 3 x + 5 )
x2 2x + 1 x
x x2 2 x + 1
PREGUNTAS TIPO EXAMEN 13
Escriba la ecuacin de la recta normal al grfco de f ( x ) = xe x e x en x = 1.
14
Escriba la ecuacin de la recta tangente al grfco de f ( x ) = x 3 ln x en x = 1.
15
Si c ( n ) = 4, 5 n 2 + 3, 5 n 2 , halle
16
4 dA Si A = r 3 , halle .
17
Si v ( t ) = 2 t 2 t + 1, halle
3
dc . dn
dr
dv dt
. t=2
PREGUNTA TIPO EXAMEN 18
d (e t )( t + 3 ) dt
puede escribirse como e t (t + k). Halle k.
. la rega de a cadena y derivadas de orden superior La regla de la potencia sola no dar la derivada correcta de f ( x ) = ( 2 x ) 3. Esto es porque la uncin no es una potencia de x, sino ms bien una potencia de otra uncin, v ( x ) = 2 x . La uncin fes una uncin compuesta, (u v )( x ) o u (v ( x )), donde u ( x ) = x 3 y v( x ) = 2 x .
El smbolo se utiliza para indicar una funcin compuesta. Si u ( x) = x 3 y v( x) = 2 x, entonces f( x ) = (u v )( x ) = u ( v( x )) = u (2 x) = (2 x)
3
Captulo 7
215
invstgacn: clculo de la derivada de una funcin compuesta 1
2
3
4 5
Sea f (x) = (2 x) 3 . a Desarrolle f (x) = (2 x) 3 . Derive cada trmino para hallar la derivada de f. b Tambin puede hallar la derivada de f (x) = (2 x) 3 mediante la aplicacin de la regla de la potencia a (2 x) 3 y multiplicando por otro actor. Compare lo siguiente con su respuesta al punto a y halle el actor altante: f (x) = 3(2 x) 2 ._____ Repita el proceso para f (x) = (2x + 1) 2 . a Desarrolle f y halle la derivada. b Aplique la regla de la potencia a (2x + 1) 2 para hallar el actor altante: f (x) = 2(2x + 1)._____ Repita el proceso para f (x) = (3x2 + 1) 2 . a Desarrolle f y halle la derivada. b Aplique la regla de la potencia a (3x2 + 1) 2 para hallar el actor altante: f (x) = 2(3x2 + 1)._____ Elabore una conjetura sobre cmo hallar la derivada de una uncin compuesta. Verifque que su conjetura es vlida para f (x) = (x4 + x2 ) 3 .
Si u(x) = x2 y v(x) = 2x + 1, entonces f ( x ) = u ( v ( x)) = u(2 x + 1) = (2 x + 1)
2
Si u(x) = x2 y v(x) = 3x2 + 1, entonces f ( x ) = u ( v ( x )) = u( 3 x 2 + 1) = ( 3 x 2 + 1) 2
Para hallar la derivada de una uncin compuesta usamos la regla de la cadena. Rgla d la cadna Si (x) = u(v(x)), entonces (x) = u (v(x)) v(x). La regla de la cadena tambin puede escribirse como: Si y = (u), u = g (x) e y = ( g (x)), entonces
dy dy du = . dx d u d x
ejmplo Cada uncin est dada en la orma (x) = u(v (x)). Identifque u(x) y v(x), luego halle la derivada de . a
f ( x ) = 4 (5 x 3 + 2 ) 6
f( x ) = 4 x 2 + 1
b
c
f( x ) = e x
2
Respuestas a
f ( x ) = 4(5 x 3 + 2) 6
u es la uncin exterior. v es la uncin interior.
u(x ) = 4 x 6 3
v( x ) = 5 x + 2 f ( x ) = 24(5 x 3 + 2) 5 derivada de la funci n exterio r respecto de la inte rio r
2
( 1 5x ) derivada de la funci n interio r respecto de x
= 3 60 x 2 (5 x 3 + 2) 5
Aplicar la regla de la cadena
Simplifcar { Contina en la pgina siguiente.
21 6
Lmites y derivadas
Rgla d la cadna La derivada de una uncin compuesta es la derivada de la uncin exterior con respecto a la uncin interior (la uncin interior no se modifca) multiplicada por la derivada de la uncin interior respecto de x.
b
Escribir de la orma y = xn, con n racional
4x2 + 1
f(x) =
= (4 x 2 + 1 )
1 2
1
u(x) = x 2
u es la uncin exterior. v es la uncin interior.
2
v(x) = 4 x + 1 1
f ( x ) =
(4 x 2 + 1 )
1 2
derivada de la funcin exterior respecto de la funcin interior
4x
=
1 2
2
(4 x + 1 )
c
f(x) = e =e
o
Aplicar la regla de la cadena
( 8 x)
2
derivada de la funcin interior respecto de x
4x
Simplifcar
4x2 + 1
2
x
2
(x )
u(x) = ex v( x ) = x
u es la uncin exterior.
2
v es la uncin interior.
(x ) 2
f( x ) =
e
( 2 x)
Aplicar la regla de la cadena
derivada de la derivada de la funci n exterio r funci n interio r resp ecto de la resp ecto de x funcin interio r
= 2 xe
x
2
Simplifcar
Ejercitacin 7K Cada uncin est dada en la orma f ( x ) = u (v ( x )) . Identifque u(x) y v(x), luego halle la derivada de . 1
f ( x ) = (3 x 4 + 2 x ) 5
2
f( x ) = 4 (2 x 2 + 3 x + 1 )3
3
f ( x ) = ln(3 x 5 )
4
f( x ) = 3 2 x + 3
5
f( x ) = e 4 x
6
f ( x ) = (ln x ) 3
7
f ( x ) = (9 x + 2 ) 3
8
f( x ) = 4 2 x 2 + 3
9
f( x ) = 5( x3 + 3 x ) 4
10
f( x ) = e4 x
2
3
Podemos hallar la derivada de algunas unciones con mayor efcacia volviendo a escribir la uncin de orma tal que se pueda aplicar la regla de la cadena. Mara Agnesi (17181799), una matemtica italiana, public un texto de clculo que inclua los mtodos de clculo de Isaac Newton and Gottried Leibniz. a3 Mara tambin estudi curvas de la orma y = 2 2 , x +a
cuyos grfcos son conocidos como las brujas de Agnesi. 1
La uncin f( x) = 2 en el ejemplo 13 es un ejemplo x +1 de ese grfco. Captulo 7
217
ejmplo 13 Use la regla de la cadena para hallar la derivada de f ( x ) = Respuesta 1 f( x ) = 2
1 2
x +1
.
Escribir de la orma y = x n, con n racional
x +1
= ( x 2 + 1) 1 f( x ) = 1( x 2 + 1 ) 2 2 x =
Aplicar la regla de la cadena
2x ( x2 + 1)2
Simplifcar
Para algunas funciones se debe combinar la regla de la cadena con la regla del producto o del cociente, o puede resultar necesario repetirla.
ejmplo 14 f( x ) = x 1 x 2
a
f( x ) = e2 ( 3 x 1 )
b
4
c
x 2 x +1
f ( x ) = ln
Respuestas 1
a
f ( x ) = x 1 x 2 = x (1 x 2 ) 2 f( x ) =
x{
.
primer factor
1
(1 x 2 )
1 2
(2 x )
2 144 424443 derivada del segundo factor usando regla de la cadena
1
+ (1 x 2 ) 2 . 1 { 1424 3 derivada del segundo factor
primer factor 1
x2
=
Escribir de la orma y = x n, con n racional Aplicar la regla del producto y usar la regla de la cadena para hallar la derivada del segundo actor
+ (1 x 2 ) 2
1
Simplifcar
2
(1 x ) 2 1
=
x2
1 2
2
+ (1 x ) .
1 2
1
Hallar el denominador comn
2
(1 x ) 2 =
(1 x 2 ) 2 (1 x ) 2
x 2 + (1 x 2 ) 1 2
(1 x ) 2 =
1 2x
2
1 2x
o
1 2 2
f( x ) = e2 ( 3 x 1 )
Simplifcar
1 x2
(1 x )
b
2
4
u( x ) = e x v ( x ) = 2 (3 x 1 ) f( x ) =
4
4
2(3 x 1 ) 3 e1 424 3 8 (3 x 1 ) (3 )
144244 3
derivada de la derivada de la funcin exterior funcin interior respecto de la respecto de x funcion interior
= 2 4(3 x 1 ) 3 e 2 (3 x 1 )
4
Se muestran las unciones interior y exterior. Tngase en cuenta que la uncin interior v(x) = 2(3x 1)4 es la composicin de 2x4 y 3x 1. Aplicar la regla de la cadena a y volver a aplicarla cuando se halla la derivada de la uncin interior { Contina en la pgina siguiente.
21 8
Lmites y derivadas
c
f ( x ) = ln
x x +1 2
1 x
f ( x ) =
2
x +1
( x 2 + 1 ) 1 x (2 x ) 2
derivada de la funcin interior respecto de x
derivada de la funcin exterior con respecto la funcin interior
=
=
x2 + 1 x
2
(x + 1)
x2 + 1 2x2
(x
2
+1
)
Aplicar la regla de la cadena y usar la regla del cociente para hallar la derivada de la uncin interior
Simplifcar
2
2 1x
x(x2 + 1 )
Ejercitacin 7L Halle la derivada de cada uncin en las preguntas 1 a 1 0. 1
f( x ) = x 2 (2 x 3 ) 4
3
f( x ) =
4 x2 + 3 2x
+e
2 x
5
f( x ) = e
7
f ( x ) = ln(ln x 2 )
9
f( x ) =
1 x 3x 2 2
2
f( x ) = x 2e x
4
f( x ) =
x 2x +1
6
f ( x ) = ln(1 2 x 3 )
8
f( x ) =
10
f( x ) = x 4 x 2 + 3
2 ex + e x
PREGUNTAS TIPO EXAMEN x 2 x : 11 Para la curva f ( x ) = e 2
b Halle (2). Halle (x). A partir de lo anterior, halle la ecuacin de recta tangente a cuando x = 2. 12 Halle la coordenada x del (de los) punto(s) en el grfco de f ( x ) = x 3 ln x donde la recta tangente es horizontal. a
c
13
Sean f ( x ) =
1 , g ( x ) = 1 2 x y h ( x ) = ( f g )( x ). x3
Halle h(x) y muestre que la pendiente de h(x) es siempre positiva.
x
f (x)
g (x)
3 4
1 2
4 1
f (x) 3 3
g (x) 2 4
En la tabla anterior, se muestran los valores de y g y sus derivadas en x = 3 y x = 4. a Halle la pendiente de ( f g )( x ) cuando x = 3. b
Halle la pendiente de
1 cuando x = 4. [ g ( x )] 2
Captulo 7
219
drivaas orn suprior dy La derivada f (x) o se denomina rivaa primra dx
de y respecto de x. A veces estamos interesados en la pendiente de la primera derivada. A esto se lo denomina rivaa sguna de y respecto de x y d2 y . La derivada tercera dx 2 d3 y de y respecto de x puede escribirse como f (x) o 3 . dx
puede escribirse como f (x) o
La derivada segunda y la derivada tercera son ejemplos de rivaas orn suprior.
La derivada segunda es la derivada de la derivada primera. Escribir esto como
de dnde proviene la notacin
Halle las primeras tres derivadas de f ( x ) = x 4 + 3 x 2 + x. d3 y 2
x + 4 , halle f( x ).
b Si f( x ) =
c 2
2
Si s ( t ) = 1 6 t + 1 6 t + 32 , halle
Respuestas f( x ) = x 4 + 3 x 2 + x a 3
f ( x ) = 4 x + 6 x + 1
d s . dt 2
2x
Si y = 4 e , halle d x 3
. x =1
Las tres primeras derivadas son: f ( x ), f( x ) y f ( x ).
f( x ) = 1 2 x 2 + 6 f( x ) = 24 x b
f ( x ) = x 2 + 4 1
= ( x2 + 4) 2 1
1
f( x ) = ( x 2 + 4 ) 2 ( 2 x )
Observe que se da la primera derivada, por lo tanto solo necesita derivar una vez para obtener la segunda derivada.
2
= c
y = 4e
x 2
x +4
2x
dy = 4 e 2 x 2 = 8e 2 x dx d2 y = 8e 2 x 2 = 1 6e 2 x dx 2 d3 y = 1 6e 2 x 2 = 32e 2 x dx 3
Hallar las primeras tres derivadas usando la regla de la cadena
3
d y dx
= 32e 2 (1 ) = 32e 2
3 x =1
s ( t ) = 1 6 t 2 + 1 6 t + 32 ds
= 32 t + 1 6
dt 2
d s dt
220
2
= 32
Lmites y derivadas
d2 y . d x2
La notacin con primas no resulta til para derivadas de orden superior al tres. Para esas derivadas escribimos f (n)(x). Por ejemplo, en lugar de escribir f (x), anotamos f (4)(x).
ejmplo 15 a
d dy nos ayuda a comprender d x d x
Luego evaluar la derivada tercera en x = 1 Hallar la primera y la segunda derivada de s respecto de t
Ejercitacin 7M 3
1
Halle la segunda derivada de f ( x ) = 4 x 2 .
2
Si f ( x ) = 3 x 5 + x 4 + 2 x + 1 , halle f( x ).
3
Si C ( n ) = (3 + 2 n )e 3 n , halle
4
Si
dy 4 d3 y = , halle . dx x dx 3
5
Si
d6 y d4 y 3 . halle = ln( 4 x ), dx 6 dx 4
6
Si R (t ) = t ln( t 2 ) , halle
1 2
dR dt
d2C . dn 2
. t = 1
PREGUNTAS TIPO EXAMEN 7 Qu puede afrmarse acerca de la ensima derivada de y = x 3 + 3 x 2 + 2 x + 4, para n 4? Halle las primeras cuatro derivadas de y = e x + e x y luego escriba
8
dn y para esta uncin. dx n 1 9 Halle las primeras cuatro derivadas de y = y luego escriba una x dn y generalizacin para hallar n para esta uncin. dx
una generalizacin para hallar
10
Halle las pendientes de las rectas tangentes a la uncin f ( x ) = 3 5 x 2 .
. Razons d cambio y movimintos sobr una rcta La derivada nos da la pendiente de una recta tangente a una uncin. Tambin nos da la razn de variacin de una variable respecto de otra variable. En esta seccin estudiaremos la razn d cambio mdia y la razn d cambio instantna y los movimintos sobr una rcta .
ejmplo Un buzo salta desde un trampoln en el segundo t = 0. La distancia del buzo a la superfcie del agua en un tiempo t est dada por s ( t ) = 4, 9 t 2 + 4, 9 t + 1 0 , donde s se mide en metros. a Halle la vlocidad mdia del buzo para cada uno de los siguientes intervalos de tiempo. i [1, 2] ii [1,5; 1] iii [1,1; 1] iv [1,01; 1] b Halle la vlocidad instantna del buzo en el segundo t = 1. { Contina en la pgina siguiente. Captulo 7
221
Respuestas a
La velocidad media es variaci n de distancia
(m etro s)
variaci n de tiem p o
(segundo s)
i
ii iii
s ( 2 ) s (1 )
Las unidades para la velocidad son m s 1.
s( t + h) s( t) s( t + h) s( t) = ( t + h) t h
= 9, 8 ms 1
2 1
s (1, 5 ) s (1 ) 1 5 1 s (1, 1 ) s (1 ) 1, 1 1
La razn de cambio media de s, o la velocidad media, es la pendiente de la recta secante:
Hallar las pendientes de las rectas = 7, 35 ms
secantes
s ( t2 ) s ( t1 ) t2 t1
para cada
intervalo. Usar una CPG para evaluar las pendientes.
= 5, 39 m s 1
La razn de cambio instantnea de s, o la velocidad instantnea, es la pendiente de la recta tangente: v ( t ) = lim
iv
s (1, 01 ) s (1 ) 1, 01 1
h 0
= 4, 949 ms
1
b Velocidad instantnea
Hallar la pendiente de la recta tangente a s en t = 1 Observe que las pendientes de las rectas secantes del apartado a se acercan a la pendiente de la recta tangente del apartado b.
v (t) = s (t) s ( t ) = 9, 8 t + 4, 9
s (1 ) = 9, 8 + 4, 9 = 4, 9 ms 1
ejmplo 17 Durante un mes, la temperatura del agua de un estanque se modeliza t
mediante la funcin C ( t ) = 20 + 9 te 3 , donde t se mide en das y C se mide en grados Celsius. a Halle la razn de cambio media de la temperatura en los primeros 15 das del mes. b Halle la razn de cambio de la temperatura en el da 15. Respuestas a
Razn de cambio media: =
C (1 5 ) C (0 ) 15 0
0, 0606 C / da
Determinar la pendiente de la recta secante en el intervalo [0, 15]. Las unidades para variacin de tem peratura variacin de tiem po
b Razn de cambio instantnea:
1 C ( t ) = 9 t e 3 + e 3 9 3 t
= 3 te
t
t 3
+ 9e
t 3
C (1 5 ) = 3 1 5e 5 + 9e 5 = 3 6e
5
0, 243 C / d a
En el da 15 la temperatura est descendiendo a razn de 0,243 grados Celsius por da. 222
Lmites y derivadas
son C/da.
Hallar la pendiente de la recta tangente a C en t = 15
s( t + h) s(t) = s ( t ) h
Ejercitacin 7N Use una CPG para evaluar los valores de las unciones. PREGUNTA TIPO EXAMEN 1 Se lanza una pelota verticalmente hacia arriba. Su altura en metros sobre la tierra t segundos despus de ser lanzada se modeliza mediante la uncin h ( t ) = 4, 9 t 2 + 1 9, 6 t + 1, 4 . a Halle la altura de la pelota cuando t = 0 segundos y cuando t = 2 segundos. b Halle la razn de cambio media de la pelota entre t = 0 segundos y t = 2 segundos. c Halle la razn de cambio instantnea de la altura de la pelota cuando t = 1 segundo, t = 2 segundos y t = 3 segundos. Explique qu le dicen estos valores sobre el movimiento de la pelota. 2
La cantidad de agua en un tanque despus de t minutos se modeliza mediante la uncin V (t ) = 4000 1
2
t , donde V se mide en litros. 60
Responda las siguientes preguntas, aproximando al entero ms prximo. a Halle la cantidad de agua en el tanque cuando t = 0 minutos y cuando t = 20 minutos. b Halle la razn de cambio media de la cantidad de agua en el tanque entre t = 0 minutos y t = 20 minutos. Explique el signifcado de su respuesta. c Halle la razn de cambio instantnea de la cantidad de agua en el tanque cuando t = 20 minutos. Explique el signifcado de su respuesta. d Muestre que la cantidad de agua en el tanque nunca aumenta entre t = 0 minutos y t = 40 minutos. 3
El nmero de bacterias en un experimento de ciencias en un da t se modeliza mediante la uncin P (t) = 100e 0,25 t. a Halle la razn de cambio media del nmero de bacterias en el intervalo entre los das 0 y 10 del experimento. b Halle la razn de cambio instantnea del nmero de bacterias en cualquier tiempo t. c Halle la razn de cambio instantnea del nmero de bacterias en el da 10. Explique el signifcado de su respuesta.
4
El costo (en dlares) de producir n unidades de un producto se modeliza mediante la uncin C (n) = 0,05n2 +10n + 5000. a Halle la razn de cambio media de C respecto de n cuando los niveles de produccin varan de n =100 unidades a n = 105 unidades y cuando los niveles de produccin varan de n = 100 unidades a n = 101 unidades. b Halle la razn de cambio instantnea de C respecto de n para cualquier nmero de unidades n. c Halle la razn de cambio instantnea de C respecto de n cuando n = 100 unidades. Explique el signifcado de su respuesta. Captulo 7
223
Moviminto sobr una rcta Si un objeto se mueve sobre una recta, su posicin respecto del origen en cualquier tiempo t puede modelizarse mediante una funcin dsplazaminto, s(t). La uncin s(t) = 4,9t2 + 4,9t + 0 del ejemplo 6 es una ejemplo de uncin desplazamiento. La posicin inicial del buzo es la posicin cuando t = 0, o s (0) = 0 metros. El origen est a nivel del agua, por lo tanto el buzo est inicialmente en una plataorma a 0 metros por encima del agua.
Podemos usar una recta horizontal o vertical para modelizar el movimiento sobre una recta. Para s(t) > 0, el objeto se encuentra a la derecha del origen o por encima del origen. Para s(t) < 0, el objeto se encuentra a la izquierda del origen o debajo del origen. La posicin inicial es s(0). Para v(t) > 0, el objeto se mueve a la derecha o hacia arriba. Para v(t) < 0, el objeto se mueve hacia la izquierda o hacia abajo. Para v(t) = 0, el objeto est en reposo. La vlocidad inicial es v(0).
La razn de cambio instantnea del desplazamiento es la funcin vlocidad ,
v ( t ) = lim
s(t + h ) s ( t )
h0
h
= s( t ) .
ejmplo 18 Una partcula se desplaza sobre una recta con un desplazamiento de s metros t segundos despus de haber dejado un punto fjo. La uncin desplazamiento est dada por s (t) = 2t 3 21t 2 + 60t + 3, para t 0. a Halle la velocidad de la partcula para cualquier tiempo t. b Halle la posicin inicial y la velocidad inicial de la partcula. c Halle cundo la partcula est en reposo. d Halle cundo la partcula se mueve hacia la izquierda y cundo la partcula se mueve hacia la derecha. Dibuje un diagrama del movimiento de la partcula.
Esta es el rea de la Matemtica conocida como cinmtica, que trata sobre el movimiento de objetos.
Respuestas a
v ( t ) = s( t )
La velocidad es la derivada del desplazamiento.
v ( t ) = 6 t 2 42 t + 60, t 0 b
s( 0 ) = 2 ( 0 ) 3 21 ( 0 ) 2 + 60 ( 0 ) + 3 = 3 m v (0) = 6(0) 2 42(0) + 60 = 60 m s1
c
2
6 t 42 t + 60 = 0 6(t 2 7 t + 1 0 ) = 0 6 ( t 2 )( t 5 ) = 0 t = 2, 5 La partcula est en reposo a los 2 segundos y a los 5 segundos.
La posicin inicial es el desplazamiento cuando t = 0. La velocidad inicial es la velocidad cuando t = 0. La partcula est en reposo cuando la velocidad es 0. Iguale la funcin velocidad a 0 y resuelva en t.
{ Contina en la pgina siguiente.
224
Lmites y derivadas
d signos de v
+
0
2
Dibuje un diagrama de signos para la velocidad. Marque en el diagrama los valores en los que la partcula est en reposo. Elija un valor de cada intervalo y halle el signo de v(t).
+ t
5
(0 , 2) t = 1 v(1) = 6(1 2)(1 5) = (+)( )( ) = + La partcula se mueve a la derecha para (0,2) y (5, ) segundos porque v (t) > 0. La partcula se mueve a la izquierda para (2,5) segundos porque v (t) < 0. e s ( 2 ) = 2 ( 2 ) 3 21 ( 2 ) 2 + 60 ( 2 ) + 3 = 55 m 3
2
s (5 ) = 2 (5 ) 21 (5 ) + 60 (5 ) + 3 = 28 m t= 0
t= 5
03
t= 2
28
55
s
(2 , 5) t = 3 v(3) = 6(3 2)(3 5) = (+)(+)( ) = (5, ) t = 6 v(6) = 6(6 2)(6 5) = (+)(+)(+) = + Halle el desplazamiento o posicin de la partcula cuando la partcula cambia de direccin. Use estas posiciones y la posicin inicial para trazar el movimiento. Aunque el movimiento es en realidad sobre una recta, lo dibujamos por encima de la recta.
Ejercitacin 7O 1
Una partcula se mueve sobre una recta con funcin desplazamiento s (t) = t3 6t2 + 9t centmetros para t 0 segundos. a Halle la posicin inicial y la velocidad inicial de la partcula. b Halle cundo la partcula est en reposo. c Dibuje un diagrama del movimiento de la partcula.
PREGUNTAS TIPO EXAMEN Una pelota se lanza verticalmente hacia arriba. La altura de la pelota en pies, t segundos luego de haber sido lanzada, est dada por s (t) = 16t2 + 40t + 4 para t 0 segundos. a Halle la altura inicial de la pelota. b Muestre que la altura de la pelota 2 segundos luego de haber sido lanzada es de 20 pies. c Hay un segundo instante en que la altura de la pelota es de 20 pies. i Escriba una ecuacin que debe satisfacer t cuando la altura de la pelota es de 20 pies. ii Resuelva la ecuacin algebraicamente.
2
d i
Halle
ds . dt
Halle la velocidad inicial de la pelota. Halle en qu instante la velocidad de la pelota es 0. iv Halle la altura mxima de la pelota. ii
iii
3
Una partcula se mueve sobre una recta con una funcin desplazamiento s ( t ) = a b
Muestre que v (t ) =
t , donde s est en metros y t en segundos. et 1t et
.
A partir de lo anterior, halle el instante en que la partcula est en reposo. Captulo 7
225
La razn de cambio instantnea de la velocidad es la funcin aclracin ,
a( t ) = lim
v(t + h ) v ( t )
h0
h
= v( t ) = s( t ).
Para a(t) > 0, la velocidad del objeto est aumentando. Para a(t) < 0, la velocidad del objeto est disminuyendo. Para a(t) = 0, la velocidad del objeto es constante.
ejmplo 19 Para la uncin desplazamiento del ejemplo 18, s(t) = 2t 3 21t 2 + 60t + 3, con s en metros y t 0 segundos, encontramos que v (t) = 6t 2 42t + 60. a Halle la aclracin mdia de la partcula entre t = 1 segundos y t = 4 segundos. b Halle la aclracin instantna de la partcula en t = 3 segundos. Explique el signifcado de su respuesta. Respuestas a La aceleracin media es variacin de velocidad
Las unidades para la aceleracin son m s 2.
v ( 4 ) v (1 )
Usar una CPG
(ms 1 ) variacin de tiempo (segundos) 4 1
= 1 2 m s 2
b Aceleracin instantnea
a(t) = v(t) a ( t ) = v( t ) = 1 2 t 42 a (3 ) = 6 m s 2 Esto signifca que la velocidad decrece 6 metros por segundo por cada segundo en el tiempo 3 segundos.
Observe que una aceleracin negativa no signifca que un objeto en movimiento est aminorando la marcha. Signifca que la velocidad est decreciendo.
La clridad es el valor absoluto de la velocidad. La velocidad nos dice cun rpido se mueve un objeto y la direccin en la que se mueve. La celeridad nos dice solo cun rpido se mueve. Para determinar si un objeto en movimiento est acelerando o aminorando la marcha, podemos comparar los signos de la velocidad y la aceleracin.
226
Lmites y derivadas
Para ms informacin sobre el valor absoluto, vase la seccin 2.7 en el captulo 18.
investgacn: velocidad, aceleracin y celeridad 1
Copie y complete las tablas. Recuerde que la aceleracin es la variacin de velocidad. La celeridad es el valor absoluto de la velocidad. a La velocidad y la aceleracin son b La velocidad es positiva y la aceleracin ambas positivas. es negativa. 2 Sea una aceleracin de 2 m s . Sea una aceleracin de 2 m s 2 . Tiempo Velocidad Celeridad (segundos) (m s 1 ) (m s 1 ) 0 10 10 1 12 2 3 4 c La velocidad y la aceleracin son
ambas negativas. Sea una aceleracin de 2 m s 2 . Tiempo Velocidad (segundos) (m s 1 ) 0 10 1 12
Celeridad (m s 1 ) 10
2 3 4
Tiempo Velocidad (segundos) (m s 1 ) 0 10 1 8 2 3 4
d La velocidad es negativa y la aceleracin
es positiva. Sea una aceleracin de 2 m s 2 . Tiempo (segundos) 0 1 2 3 4
Velocidad (m s 1 ) 10 8
2 Indique si el objeto est acelerando o aminorando la marcha. a La velocidad y la aceleracin son ambas positivas. b La velocidad es positiva y la aceleracin es negativa. c La velocidad y la aceleracin son ambas negativas. d La velocidad es negativa y la aceleracin es positiva. 3 Complete estas afrmaciones: a
Si la velocidad y la entonces el objeto b Si la velocidad y la entonces el objeto
Celeridad (m s 1 ) 10
aceleracin tienen el mismo signo, est _____________. aceleracin tienen signo opuesto, est _____________.
Celeridad (m s 1 ) 10
Si la celeridad de un objeto est aumentando, entonces el objeto est acelerando la marcha. Si la celeridad de un objeto est dismimuyendo, entonces el objeto est aminorando la marcha.
Cuando la velocidad y la aceleracin tienen el mismo signo, el objeto est acelerando la marcha. Cuando la velocidad y la aceleracin tienen distinto signo, el objeto est aminorando la marcha.
Captulo 7
227
ejmplo 20 Para la funcin desplazamiento del ejemplo 18, s (t) = 2t 3 21t 2 + 60t + 3, con s metros y t 0 segundos, encontramos que v (t) = 6t 2 42t + 60 y a(t) = 12t 42. a Halle la celeridad de la partcula en t = 3 segundos y determine si la partcula est acelerando o aminorando la marcha cuando t = 3. b Durante 0 t 10 segundos, halle los intervalos en los que la partcula est acelerando la marcha y los intervalos en los que la est aminorando. Respuestas a v (3) = 6(3) 2 42(3) + 60 = 12 m s 1 celeridad = | 12| = 12 m s 1 a(3) = 12(3) 42 = 6 m s 2 La partcula est acelerando la marcha en t = 3 segundos dado que v (t) < 0 y a(t) < 0. b Compare los signos de la
signos de v ++++++++++++++++ 0
2
5
10
signos de a ++++++++++++++ t
0
3,5
10
La partcula acelera la marcha en el intervalo de (2; 3,5) segundos porque v(t) < 0 y a (t) < 0, y en el intervalo (5, 10) segundos porque v (t) > 0 y a (t) > 0. La partcula aminora la marcha en el intervalo (0, 2) segundos porque v (t) > 0 y a (t) < 0, y en el interval (3,5; 5) segundos porque v (t) < 0 y a (t) > 0.
228
Lmites y derivadas
La partcula acelera la marcha en t = 3, dado que la velocidad y la aceleracin tienen el mismo signo. Usar el diagrama de signos de la velocidad del ejemplo 18 Alinear debajo un diagrama de signos para a(t) Hallar cundo a(t)=0 12t 42 = 0 t = 3, 5
velocidad y la aceleracin.
t
Para hallar la celeridad de la partcula en un instante dado, hallar la velocidad y tomar su valor absoluto
Colocar este valor en el intervalo 0 t 10 Tomar un valor en cada intervalo: (0; 3, 5) t = 1 a(1) = 12(1) 42 = 30 () (3, 5; 10) t = 4 a(4) = 12(4) 42 = 6 (+)
Ejercitacin 7P Use su CPG para evaluar los valores de las unciones. Una partcula se mueve sobre una recta con una uncin desplazamiento s(t) = 2t4 6t2, en centmetros, para t 0 segundos. a Escriba las expresiones para la velocidad y la aceleracin de la partcula en el tiempo t. b Halle la aceleracin en el tiempo t = 2 segundos y explique el signifcado de su respuesta. c Halle en qu instante la velocidad y la aceleracin son nulas. Luego, halle cundo la partcula acelera y aminora la marcha.
1
2
Una partcula se mueve a lo largo de una recta con una uncin desplazamiento s(t) = t3 + 12t2 36t + 20, en metros, para 0 t 8 segundos. a Escriba una expresin para la velocidad y la aceleracin de la partcula. b Halle la posicin inicial, la velocidad y la aceleracin de la partcula. c Halle cundo la particula cambia de direccin, en el intervalo 0 t 8 segundos. Luego halle los intervalos en los que la partcula se mueve hacia la izquierda y hacia la derecha. d
Halle cundo la aceleracin es 0 para 0 t 8. Luego halle los intervalos en los cuales la particula acelera y aminora la marcha.
PREGUNTAS TIPO EXAMEN 3 Un buzo salta desde una plataorma en el tiempo t = 0 segundos. Vuelva al caso del La distancia del buzo sobre el nivel del agua en el tiempo t est buzo del ejemplo 16. dada por s (t) = 4,9t2 + 4,9t + 10, donde s est en metros. a Escriba una expresin para la velocidad y la aceleracin del buzo en el tiempo t. b Halle el instante en el que el buzo alcanza el agua. c Halle el instante en que la velocidad se anula. A partir de lo anterior, halle la altura mxima que alcanza el buzo. d Muestre que el buzo est aminorando la marcha en t = 0,3 segundos. 4
Una partcula se mueve a lo largo de una recta con una uncin 1
desplazamiento s ( t ) = t 2 ln( t + 1), t 0 , donde s est en metros y 4 t en segundos. a i Escriba una expresin para la velocidad de la partcula en el tiempo t. ii A partir de lo anterior, halle en qu instante la partcula est en reposo. b i Escriba una expresin para la aceleracin de la partcula en el tiempo t. ii A partir de lo anterior, muestre que la velocidad nunca es decreciente. Captulo 7
229
7.6 la drivada y sus grfcos
Aunque el plano cartesiano debe su nombre a Ren Descartes (matemtico francs, 15561650), este us nicamente nmeros positivos y el eje x. A Isaac Newton (matemtico ingls, 16421727) se le atribuye haber usado por primera vez coordenadas negativas. En su libro Enumeratio liniearum tertii ordinis (Enumeracin de las curvas de tercer grado), Newton us ambos ejes, el x y el y, con coordenadas positivas y negativas.
Una de las mayores utilidades de las derivadas es el anlisis de los grfcos de las unciones. En esta seccin veremos cmo relacionar f y f con el grfco de f. Una uncin es crcint en un intervalo si a medida que aumenta x, tambin aumenta y. Una uncin es dcrcint en un intervalo si a medida que aumenta x, disminuye y.
ejmpo 21 Escriba los intervalos en donde la uncin es creciente o decreciente. a
b
y
5 4 3 2 1 0
c
y
y
5 4 3 2 1
5 4 3 2 1 1 2 3 4 5 x
3 2 1 0 1 2 3 4
1
5 4 3 2 1 0
1 2 3 x
1
Respuestas a
Decreciente para x < 0 Creciente para x > 0
y aumento en x 5 4 disminucin en y 3 2 1 5 4 3 2 1 0
b Creciente para todo nmero real
5 4 3 2 1 0
c Creciente para x < 0 y x > 2
1 2 3 4 5 x
aumento en y aumento en x 1 2 3 x
y
Decreciente para 0 < x < 2
3 2 1 1
Lmites y derivadas
aumento en x
y 5 4 3 2 1
230
aumento en
0 1 2 3 4
1
2
3
x
2
3
x
Cuando una uncin es decreciente, las rectas tangentes a la curva tienen pendientes negativas. Cuando una uncin es creciente, las rectas tangentes a la curva tienen pendiente positiva. Se deduce que: Si (x) > 0 para todo x en (a, b), entonces es creciente en (a, b). Si (x) < 0 para todo x en (a, b), entonces es decreciente en (a, b).
y 5 4 3 2 1 5 4 3 2 1 0
1 2 3 4 5 x
ejmplo 22 Use la derivada de para hallar los intervalos en los cuales es creciente o decreciente. x2 4 a (x) = 2x3 3x2 12x b f( x ) = x 2 1 c (x) = x3 Respuestas f( x ) = 2 x3 3 x 2 1 2 x
a
f ( x ) = 6 x 2 6 x 1 2
Hallar la derivada de
6x2 6x 1 2 = 0
Hallar los puntos crticos, igualando (x) a cero y resolviendo en x
6( x 2 x 2 ) = 0 6 ( x 2 )( x + 1 ) = 0 x = 2, 1 signos de f' + 1
x
Dibujar un diagrama de signos para (x)
+ 2
es creciente en (, 1) y (2, ), dado que (x) > 0. es decreciente en (1, 2), dado que (x) < 0. b
f( x ) =
=
x2 1
x
2
( x 1 )( 2 x ) ( x 4 )( 2 x )
Hallar la derivada de
( x2 1)2 6x ( x2 1)2
(x) = 0: 6x = 0 x= 0
signos de f'
Podemos usar notacin de intervalos para describir los intervalos.
x2 4 2
f( x ) =
Un punto stacionario es un punto donde f (x) = 0. Un punto crtico de f es un punto donde f (x) = 0 o f (x) no est defnida.
(x) no defnida: (x2 1) 2 = 0 x2 1 = 0 x = 1
1
+ 0
Hallar los puntos crticos, igualando a 0, resolviendo en x, y hallando dnde no est defnida +
1
Dibujar un diagrama de signos para . Observe que y no estn defnidas para x = 1. Utilizar crculos vacos en el diagrama de signos para recordar esto. { Contina en la pgina siguiente.
Captulo 7
231
es creciente en (, 1) y (1, 0), dado que (x) > 0. es decreciente en (0, 1) y (1, ), dado que (x) < 0. c
No podemos decir que es creciente en (, 0) o decreciente en (0, ), dado que no est defnida en x = 1 ni en x = 1.
f( x ) = x3 Hallar la derivada de Calcular los puntos crticos, igualando a 0 y resolviendo en x Realizar un diagrama de signos para
f ( x ) = 3 x 2 3x2 = 0 x=0 +
signos de f'
+ 0
x
Aunque est defnida en x = 0, no podemos incluir el 0 en el intervalo porque la pendiente es 0 en x = 0, por lo tanto (x) no es creciente en x = 0.
es creciente en (, 0) y (0, ).
Ejercitacin 7Q Escriba los intervalos en los cuales es creciente o decreciente. y
1
2
4 3 2 1 4 3 2 110 2 3 4
3
y
y
1
1 2 3 4 x
2
3 2 110 2 3 4 5 6
1 2 3 4 5 6 x
1
2
1
0
1
2 x
1 2
En las preguntas 4 a 9, use la derivada de para hallar todos los intervalos en los cuales es creciente o decreciente. 4
7
(x) = x 4
5
(x) = x 4 2x2
6
f( x ) =
x+2 x 3
1
8
(x) = x 3 ex
9
f( x ) =
x3 x 1
f( x ) =
x
PREGUNTA TIPO EXAMEN 10 Se muestra el grfco de la derivada de . Escriba los intervalos en los cuales es creciente o decreciente.
2
y 4 3 2 1 4 3 2 110 2 3 4
232
Lmites y derivadas
Use una CPG para ver el grfco de la uncin y verifcar sus resultados.
y = f'(x)
1 2 3 4 5 x
Una uncin tiene un punto mximo rlativo (o mximo local) cuando la uncin pasa de creciente a decreciente. Una uncin tiene un punto mnimo rlativo (o mnimo local) cuando la uncin pasa de decreciente a creciente. Los puntos mximos y mnimos relativos se denominan xtrmos rlativos de una uncin. La comprobacin (o el criterio) d la drivada primra se usa para localizar extremos relativos de . Si est defnida en un punto crtico c, entonces: 1 Si (x) pasa de positiva a negativa en x = c, posee un punto mximo relativo en (c, (c)). 2 Si (x) pasa de negativa a positiva en x = c, posee un punto mnimo relativo en (c, (c)).
Observe que si f (x) no cambia de signo en un punto crtico x = c, entonces el punto (c, f (c)) no es ni mximo ni mnimo relativo. mximo relativo ni mximo ni mnimo relativo mnimo relativo
ejmplo 23 Use la comprobacin de la derivada primera para hallar los extremos relativos para las unciones del ejemplo 22. 2 x 4 a (x) = 2x3 3x2 12x b f( x ) = 2 c (x) = x3 x 1
Respuestas a
f( x ) = 2 x3 3 x 2 1 2 x f( x ) = 6 x 2 6 x 1 2 = 6 ( x 2 )( x + 1 ) signos de f' + 1
x
+ 2
Dado que (x) pasa de positiva a negativa en x = 1, hay un mximo relativo en x = 1. Dado que (x) pasa de negativa a positiva en x = 2, hay un mnimo relativo en x = 2. f( 1 ) = 2 ( 1 ) 3 3 ( 1 ) 2 1 2 ( 1 ) =7 f( 2 ) = 2 ( 2 ) 3 3 ( 2 ) 2 1 2 ( 2 ) = 20 Por lo tanto, el punto mximo relativo es (1, 7) y el punto mnimo relativo es (2, 20). b
f( x ) = f( x ) = signos de f' x
Usar el diagrama de signos para del ejemplo 22 Localizar los extremos relativos observando los cambios de signo de
Evaluar en x = 1 y x = 2 para hallar los valores mximo y mnimo
x2 4 x2 1 6x ( x2 1)2
1
+ 0
+ 1
Dado que (x) pasa de negativa a positiva en x = 0, hay 2
un mnimo relativo en x = 0.
f( 0 ) =
0 4 02 1
=4
Por lo tanto, el punto mnimo relativo es (0, 4).
No habra extremos relativos en x = 1 y x = 1 incluso si el signo de (x) hubiera cambiado, dado que no est defnida en x = 1 ni en x = 1. { Contina en la pgina siguiente. Captulo 7 233
c
f( x ) = x3 f ( x ) = 3 x 2 signos de f'
+
+ 0
x
no posee extremos relativos, dado que la derivada no cambia de signo en x = 0.
Observe que (x) = 0 no es condicin sufciente para tener un extremo relativo en x = 0. Debe adems ser cierto que (x) cambia de signo en x = 0.
Ejercitacin 7R En las preguntas a 8, use la comprobacin de la derivada primera para hallar los extremos relativos de cada uncin. 1 (x) = 2x 2 4x 3 2 (x) = x 3 12x 5 5
3 5 7
f( x ) = x 3 (x) = x (x + 3) 3 f( x ) =
1 ( x + 1)2
4
(x) = x 4 2x2
6
(x) = x 2e x
8
f( x ) =
x2 2 x + 1 x +1
Si (x) > 0 para todo x en (a, b), entonces es cncava hacia arriba en (a, b). Si (x) < 0 para todo x en (a, b), entonces es cncava hacia abajo en (a, b). Los puntos del grco donde cambia la concavidad se llaman puntos de infexin . Un punto en el grco de es un punto de infexin si (x) = 0 y adems (x) cambia de signo.
El grco es cncavo hacia abajo para ( , 0). Las pendientes de las rectas tangentes que se 4 y = f(x) muestran a la izquierda del eje y van disminuyendo. 2 Esto signica que f es decreciente, por lo tanto la 0 4 2 2 4 x derivada f es negativa. 2 El grco es cncavo hacia arriba para (0, ). Las 4 pendientes de las rectas tangentes que se muestran a la derecha del eje y van aumentando. Esto signica que f es creciente, por lo tanto la derivada f es positiva. El punto (0, 0) es un punto de infexin, dado que f cambia de concavidad en x = 0. y
234
Lmites y derivadas
ejmplo 24 Para las unciones del ejemplo 22, use la derivada segunda para hallar los intervalos donde la uncin es cncava hacia arriba y cncava hacia abajo. Halle los puntos de infexin. a
(x) = 2x3 3x2 12x
f( x ) =
b
x2 4 x2 1
c (x) = x3
Respuestas a f( x ) = 2 x3 3 x 2 1 2 x f ( x ) = 6 x 2 6 x 1 2 f( x ) = 1 2 x 6 1 2x 6 = 0
Hallar la derivada segunda de Hallar dnde (x) = 0
1 2
x=
signos de f''
+
Realizar un diagrama de signos para
1 2
x
1 es cncava hacia abajo en , dado que (x) < 0 2
1 y es cncava hacia arriba en , dado que 2 (x) > 0. Dado que (x) cambia de signo en 1
x = , hay un punto de infexion all. 2
3
1 f = 2
b
2
13 1 1 1 2 3 12 = 2 2 2 2 13 1 Por lo tanto, el punto de infexin es , . 2 2 x2 4 f( x ) = 2
f( x ) =
para hallar la
2
coordenada y del punto de infexin
2 2 ( x 1) 2
2
( x 1 ) ( 6 ) ( 6 x )[ 2 ( x 1 )( 2 x )] 2
( x 1)
f( x ) = 0 ( x 1)
3
=0
6 (3 x 2 + 1 ) = 0 x2 =
4
6 ( 3 x 2 + 1 ) ( x 2 1 )3
Hallar la derivada segunda de Para hacer un diagrama de signos para , se debe hallar dnde (x) = 0 y dnde (x) no est denida.
1 3
No hay soluciones reales. signos de f '' + x
=
(x) no est denida: (x2 ) 3 = 0 x2 = 0 x=
2
6 ( 3 x + 1 ) 2
1
x 1 6x 2
(x) =
Evaluar en x =
1
1
es cncava hacia abajo en (, 1) y (1, ), dado que (x) < 0, y es cncava hacia arriba en (1, 1), dado que (x) > 0.
Aunque (x) cambia de signo en x = 1, no hay puntos de infexin. Esto se debe a que (x) no est denida para x = 1. En este caso la concavidad cambia hacia ambos lados de una asntota vertical. { Contina en la pgina siguiente. Captulo 7
235
f( x ) = x3
c
f ( x ) = 3 x 2 f( x ) = 6 x 6x = 0 x=0 signos de f ''
Hallar la derivada segunda de Hallar dnde (x) = 0
+ Realizar un diagrama de signos para
0
x
es cncava hacia abajo en (, 0) dado que (x) < 0, y es cncava hacia arriba en (0, ) dado que (x) > 0. Como (x) cambia de signo en x = 0, existe un punto de infexin all. (0) = (0)3 = 0 Por ende, el punto de infexin es (0, 0).
Evaluar en x = 0 para hallar la coordenada y del punto de infexin
Ejercitacin 7S En las preguntas a 6, use la derivada segunda para hallar los intervalos donde la uncin es cncava hacia arriba y cncava hacia abajo. 1
(x) = 2x2 4x 3
2
(x) = x4 + 4x3
3
(x) = x3 6x2 + 12x
4
(x) = x4
5
(x) = 2xex
6
f( x ) =
1 x2 + 1
PREGUNTAS TIPO EXAMEN 7
Sea f ( x ) = a
24 . x2 + 1 2
Use el dato de que f( x ) =
48 x para mostrar que la ( x2 + 1 2)2
derivada segunda es f( x ) =
1 44 ( x 2 4 ) . ( x 2 + 1 2 )3
Halle los extremos relativos del grco de . ii Halle los puntos de infexin del grco de . 8 Se muestra el grco de la derivada y segunda de . Escriba los intervalos 4 en los cuales es cncava hacia 3 arriba y cncava hacia abajo. D 2 las coordenadas x de los puntos 1 de infexin. 0 b i
4 3 2 11 2 3 4 5
236
Lmites y derivadas
y = f''(x)
1 2 3 4 5 x
La derivada primera y la derivada segunda de una uncin nos dan mucha inormacin acerca del grco de la uncin. Podemos incluso usar las coordenadas de los puntos de interseccin con los ejes y las asntotas para completar el grco.
ejmplo 25 Dibuje aproximadamente el grco de cada uncin. Use la inormacin que encontr en los ejemplos 22 a 24, y las intersecciones con los ejes y las asntotas como ayuda. 2
a
f (x) = 2x3 3x2 12x
b
f( x ) =
x 4 2
x 1
c
f (x) = x3
Respuestas f (x) = 2x3 3x2 12x creciente en: (, 1) y (2, ) decreciente en: (1, 2) mximo relativo: (1, 7) mnimo relativo: (2, 20)
a
1 cncava hacia abajo: ,
2
1 cncava hacia arriba: , 2 1 13 punto de infexin: , 2 2 races: (0, 0), (1,81; 0), (3,31; 0) interseccin con el eje y: (0, 0)
Para hallar las intersecciones con el eje x, igualar la funcin a 0 y resolver: 2 x 3 3 x 2 12 x = 0 x (2 x 2 3 x 12) = 0 x= 0 o x=
y mximo relativo 5 4 3 2 150 10 15 20
creciente
b
f( x ) =
9 4(2)( 12) 2(2)
x = 0 o x 1,81; 3, 31 1 2 3 4 5 x punto de inexin
Para hallar la interseccin con el eje y, evaluar f (0)
mnimo relativo
decreciente
cncava hacia abajo
3
creciente
cncava hacia arriba
x2 4 x2 1
creciente en: (, 1) y (1, 0) decreciente en: (0, 1) y (1, ) mximo relativo: (0, 4) cncava hacia abajo: (, 1) y (1, )
Para hallar las intersecciones con el eje x, igualar la funcin a 0 y resolver: 2
cncava hacia arriba: (1, 1) puntos de infexin: no posee intersecciones con el eje x: (2, 0), (2, 0)
x 4
interseccin con el eje y: (0, 4)
Para hallar la interseccin con el eje y, evaluar f(0)
2
= 0 x2 4 = 0 x = 2
x 1
{ Contina en la pgina siguiente. Captulo 7
237
asntotas verticales: x = 1
Para hallar las asntotas, hallar dnde se anula el denominador (verifcar que el numerador no es 0 para ese mismo valor): x 2 1 = 0 x = 1
asntota horizontal: y = 1
Aprendimos que la asntota horizontal de una ax + b uncin de la orma y = se determina cx + d
a c
usando los coefcientes principales, y = . Este mtodo unciona para cualquier uncin racional donde el grado del numerador es igual al grado del denominador. 1 y = y =1 1
y 8 6 4 mnimo relativo 2 5 4 3 2 120 4 6 8
1 2 3 4 5 x
decreciente
creciente
cncava hacia hacia hacia abajo arriba abajo
c (x) = x3
creciente en: (, 0) y (0, ) extremos relativos: no posee cncava hacia abajo: (, 0) cncava hacia arriba: (0, ) punto de infexin: (0, 0) interseccin con el eje x: (0, 0) interseccin con el eje y: (0, 0) y 8 6 4 2 punto de inexin 5 4 3 2 120 4 6 8
1 2 3 4 5 x
creciente cncava hacia abajo
238
Lmites y derivadas
cncava hacia arriba
Se puede usar notacin de lmites para describir las asntotas. La asntota horizontal y = 1 nos muestra que para valores grandes de x, y se aproxima a 1, y que para valores negativos pequeos de x, y se aproxima a 1. Usando la notacin de lmite para decir esto, f ( x ) = 1 y lim f ( x ) = 1. podemos escribir: xlim x Para la asntota vertical x = 1, a medida que x se aproxima a 1 por la izquierda, y crece rpida e indefnidamente en la direccin positiva de y, y a medida que x se aproxima a 1 por la derecha, y crece rpida e indefnidamente en la direccin negativa de y. Usando lmites para expresar esto escribimos: lim f ( x ) = y lim f ( x ) = . x 1+
x 1
De manera similar, para x = 1 escribimos lim f ( x ) = y lim f ( x ) = . x 1
x 1 +
Ejercitacin 7T En las preguntas a 6 dibuje el grfco de la uncin. Use la derivada primera y la derivada segunda para analizar las caractersticas claves del grfco. Halle las intersecciones con los ejes y las asntotas. 1
(x) = 3x2 + 10x 8
2
(x) = x3 + x2 5x 5
3
f( x ) =
x+2 x4
4
(x) = (3 x) 4
5
f( x ) =
ex e x 2
6
f( x ) =
x2 1 x2 + 1
Dado el grfco de cualquiera de las tres unciones , o , se puede dibujar el grfco de las otras dos unciones.
ejmplo Sabiendo que el grfco que se muestra es el grfco de , dibuje aproximadamente los grfcos de y . b Sabiendo que el grfco que se muestra es el grfco de , dibuje aproximadamente los grfcos de y . a
y
4 3 2 1 0
1 2 3 4 5 6 7 x
Respuestas a
y y = f(x) y = f''(x) 4 3 2 1 0
1 2 3 4 5 6 7 x
y = f'(x)
b
y y = f'(x)
6 4 2 0 y = f(x)
y = f''(x)
2 4 6 8 10 x
El grfco de pasa de decreciente a creciente y tiene un mnimo relativo en x = 2. Esto signifca que (x) se anula en x = 2 y pasa de negativa a positiva. El grfco de es siempre cncavo hacia arriba. Esto signifca que (x) es siempre positiva. Dado que (x) es la derivada de (x), una uncin lineal, (x) debe ser una constante positiva. Dado que (x) se anula cuando x = 1 y pasa de positiva a negativa, el grfco de tiene un punto mximo relativo en x = 1. Dado que (x) se anula cuando x = 5 y pasa de negativa a positiva, el grfco de tiene un punto mnimo relativo en x = 5. Dado que (x) tiene un mnimo relativo cuando x = 2, el grfco de (x) se anula cuando x = 2. Como es cncava hacia abajo para x < 2, (x) es negativa para x < 2. Como es cncava hacia arriba para x > 2, (x) es positiva para x > 2. Captulo 7
239
Ejercitacin 7U PREGUNTAS TIPO EXAMEN Se da el grco de y = f (x). Dibuje aproximadamente los grcos de y = f (x) e y = f (x).
y
1
y = f(x)
4 3 2 1 0
2
Se da el grco de la derivada de f, y = f (x). Dibuje aproximadamente los grcos de y = f (x) e y = f (x).
1 2 3 4 5 x
y y = f'(x)
3 2 1 0
3
Se presenta el grco de la derivada segunda de f, y = f (x). Dibuje aproximadamente los grcos de y = f (x) e y = f (x).
1 2 3 x
y
5 4 3 2 1 0
1 2 3 4 5 x
y = f''(x)
7.7
Ms sobre extremos y problemas de optimizacin
Hemos visto cmo usar la derivada segunda para determinar Vase la seccin 2.6 la concavidad y los puntos de infexin del grco de una uncin. en el captulo 17. La derivada segunda de una uncin puede tambin usarse para hallar extremos relativos. A este proceso se lo denomina Si f (c) > 0 cerca de c, comprobacin (o criterio) de la derivada segunda . entonces f es cncava Comprobacin de la derivada segunda Si f (c) = 0 y la segunda derivada de fexiste cerca de c, entonces: 1 Si f(c) > 0, entonces ftiene un mnimo relativo en x = c. 2 Si f(c) < 0, entonces ftiene un mximo relativo en x = c. 3 Si f(c) = 0, la comprobacin de la derivada segunda alla y se debe usar la comprobacin de la derivada primera para localizar los extremos relativos. 240
Lmites y derivadas
hacia arriba cerca de c. Por ende, f posee un mnimo relativo. Si f (c) < 0 cerca de c, entonces f es cncava hacia abajo cerca de c. Por ende, f posee un mximo relativo.
ejmplo 27 Halle los puntos extremos relativos de cada funcin. Si es posible, use la comprobacin de la derivada segunda. a f (x) = x3 3x2 2 b f (x) = 3x5 5x3 Respuestas a f( x ) = x3 3 x 2 2 f ( x ) = 3 x 2 6 x f( x ) = 6 x 6
Hallar la derivada primera y la derivada segunda de f
3x2 6x = 0 3 x( x 2) = 0 x = 0, 2
Hallar los valores de x donde la primera derivada se anula
f (0 ) = 6 < 0 mximo relativo f (2 ) = 6 > 0 m nim o relativo f (0 ) = 2 (0, 2 ) es un mximo relativo f (2 ) = 6 (0, 6 ) es un
Evaluar la derivada segunda en cada cero de la derivada primera f < 0 implica un mximo relativo y f > 0 implica un mnimo relativo. Evaluar dnde ocurren los extremos de la funcin para hallar los valores de los mximos y mnimos relativos
mnimo relativo
b
f( x ) = 3 x5 5 x3 4
Hallar la derivada primera y la derivada segunda de f 2
2
f( x ) = 1 5 x 1 5 x = 1 5 x ( x + 1 )( x 1 ) f( x ) = 60 x 3 30 x 1 5x4 1 5x2 = 0 1 5 x 2 ( x + 1 )( x 1 ) = 0 x = 0, 1 f (0) = 0 falla la comprobacin de la derivada segunda f(1) = 30 < 0 mximo relativo f (1) = 30 > 0 mnimo relativo
Hallar los valores de x donde la derivada primera se anula
Evaluar la derivada segunda en cada cero de la derivada primera f = 0 implica que la comprobacin de la derivada segunda falla. f < 0 implica un mximo relativo, y f > 0 implica un mnimo relativo. { Contina en la pgina siguiente.
Captulo 7
241
signos de f ' x
1
0 0
1
Dado que no hay cambio de signo en f en x = 0, no existe mnimo o mximo relativo en ese punto.
Dado que la comprobacin de la derivada segunda falla en x = 0, usar la comprobacin de la derivada primera para ver si el signo de f cambia en x = 0
Evaluar la funcin en los extremos relativos para hallar los valores mximos y mnimos relativos
f ( 1 ) = 2 ( 1, 2 ) es un m xim o relativo f (1) = 2 (1, 2 ) es un m nimo relativo
Ejercitacin 7V Halle los puntos extremos relativos de cada funcin. Use la comprobacin de la derivada segunda cada vez que sea posible. 1
f (x) = 3x2 18x 48
2
f (x) = (x2 1) 2
3
f (x) = x 4 4x3
4
f (x) = xe x
5
f (x) = (x 1) 4
6
f( x ) =
1 x +1 2
Hemos estado hallando los extremos relativos o locales de funciones. Tambin podemos hallar los extremos absolutos o globales de una funcin. Los extremos absolutos son el valor mximo y el mnimo de la funcin a lo largo de todo su dominio. Los extremos absolutos de una funcin se producen ya sea en alguno de los extremos relativos o bien en alguno de los extremos de la funcin.
242
Lmites y derivadas
Los extremos relativos de una funcin son el valor mximo y el mnimo de una funcin en un intervalo cercano al punto crtico. Los extremos relativos nunca ocurren en los extremos de una funcin.
ejmplo 28 D
Identifque cada punto rotulado como un mximo o mnimo absoluto, un mximo o mnimo relativo, o ninguno de ellos. b Halle el mximo y el mnimo absoluto para (x) = x2 2x en x 2. a
B
A
C
Respuestas A no es un punto extremo de ningn tipo.
a
Los puntos del grfco por encima de la recta horizontal tienen valores mayores que el valor de la uncin en A y aquellos que estn por debajo del eje tienen valores ineriores a los de la uncin en A. Por lo tanto, A no es ni mximo absoluto ni mnimo absoluto. A no puede ser extremo relativo puesto que es un extremo de la uncin. D B
A
C
B es un mximo relativo.
C es un mnimo absoluto y un mnimo relativo. D es un mximo absoluto.
B no puede ser un mximo absoluto ya que hay valores de la uncin que son mayores que el valor de la uncin en B. C es un mnimo absoluto dado que el valor de la uncin en C es el menor valor de la uncin en todo su dominio. El valor de la uncin en D es el mayor valor de la uncin en todo su dominio.
b (x) = x2 2x en 1 x 2
f ( x ) = 2 x 2 2x 2 = 0 x =1
Hallar los puntos crticos donde '(x) = 0
f ( 1 ) = ( 1 ) 2 2 ( 1 ) = 3
Evaluar la uncin en los extremos y en los puntos crticos del intervalo. El mayor valor es el mximo y el menor es el mnimo.
2
f (1 ) = (1 ) 2 (1 ) = 1 f(2 ) = (2) 2 2(2 ) = 0 El mximo absoluto de (x) = x2 2x en 1 x 2 es 3 y el mnimo absoluto es 1.
Captulo 7
243
Ejercitacin 7W Identifque cada punto rotulado en las preguntas y 2 como un mximo o mnimo absoluto, un mximo o mnimo relativo, o ninguna de las dos cosas. 1
C
2
C
A A
B
B D
Halle el mximo y el mnimo absoluto de la uncin en el intervalo dado. 3
f (x) = (x 2) 3 en 0 x 4
4
f (x) = 8x x2 en 1 x 7
5
f ( x ) = x 3 x 2 en 1 x 2
3 2
Muchos problemas prcticos requieren que hallemos valores mximos o mnimos. Por ejemplo, quizs querramos maximizar un rea o minimizar un costo. Tales problemas se denominan problemas de optimizacin . Para los problemas de optimizacin: 1 Asigne variables a las cantidades dadas y a las cantidades que deben determinarse. Cuando sea posible, dibuje un diagrama. 2 Escriba una rmula de la uncin que va a ser optimizada (minimizada o maximizada), en uncin de dos variables. 3 Halle los valores que resulten sensatos o actibles dentro del contexto del problema donde la derivada de la uncin que va a ser optimizada se anule (sea igual a 0). 4 Verifque que realmente sea un mximo o un mnimo usando la comprobacin de la derivada primera o de la derivada segunda. Si el dominio es tal que a x b, recuerde que deben verifcarse los extremos, dado que el mximo o el mnimo en un intervalo cerrado pueden ocurrir cuando f (x) = 0 o en un extremo del intervalo.
244
Lmites y derivadas
ejmplo 29 El producto de dos nmeros positivos es 48. Halle los dos nmeros tales que la suma del primero ms el triple del segundo sea mnima. Respuesta x = el primer entero positivo y = el segundo entero positivo S = x +3y xy = 48 y =
48 x
1 44 48 S = x +3 = x+ x x
S ( x ) = 1 1
1 44 x2
Asignar variables a las cantidades que se van a determinar Escribir una uncin para la suma, la cantidad que va a ser minimizada
1 44 x2
=0
Usar la otra inormacin dada para reescribir la uncin para la suma usando solamente dos variables Hallar la derivada de la uncin que va a ser minimizada y luego determinar los puntos crticos, donde la derivada se anula
x 2 = 1 44 x = 1 2 Dado que los nmeros son positivos, consideramos nicamente x = 12. S ( x ) =
288 x
S (1 2 ) =
3
288 12
3
> 0 mnim o relativo
48
48
y=
y= x
12
Usar la comprobacin de la derivada segunda para verifcar que el valor crtico 12 da un mnimo Observe que se podra usar tambin la comprobacin de la derivada primera. Hallar el segundo nmero
=4
Los nmeros son 12 y 4.
ejmplo 30 Una parcela rectangular para tierras de cultivo est encerrada por un vallado de 180 m en tres de sus lados. El cuarto lado de la parcela es una pared de piedra. Halle las dimensiones de la parcela que encierran el rea mxima. Halle el rea mxima. Respuesta a
a l
A = la 2a + l = 180 l = 180 2a A = (180 2a)a = 180a 2a2 A(a ) = 1 8 0 4 a 1 80 4 a = 0 a = 45
Elaborar un diagrama y asignar variables a las cantidades que se van a determinar Escribir una uncin para el rea, la cantidad que va a ser maximizada Usar la otra inormacin dada para reescribir la uncin para el rea usando solamente dos variables Hallar la derivada de la uncin que va a ser minimizada y luego determinar los puntos crticos, donde la derivada se anula { Contina en la pgina siguiente. Captulo 7
245
Usar la comprobacin de la derivada segunda para verifcar que el valor crtico 45 da un mximo
A ( a ) = 4 A (45 ) = 4 < 0 m ximo relativo
l = 180 2a l = 180 2(45) = 90 A = 90(45) = 4050 Una parcela de 45 m por 90 m tendr el rea mxima de 4050 m2.
Hallar la longitud y el rea
Ejercitacin 7X 1
La suma de dos nmeros positivos es 20. Halle los dos nmeros que maximicen la suma del primero ms la raz cuadrada del segundo.
2
La suma de un nmero positivo y el doble de un segundo nmero positivo es 200. Halle los dos nmeros tales que su producto sea mximo.
3
Un corral rectangular se parte en dos secciones y se construye utilizando 400 pies de alambrado, como se muestra en la fgura. Qu dimensiones deberan usarse para que el rea resulte mxima?
y
x
ejmplo Halle las dimensiones de una caja sin tapa con base cuadrada y rea total de 192 centmetros cuadrados que tenga el mximo volumen. Respuesta Dibujar un diagrama y asignar variables a las cantidades que van a ser determinadas
h
Escribir una uncin para el volumen, la cantidad que va a ser maximizada Dado que la caja no tiene tapa, la superfcie total es la suma del rea del cuadrado de la base, x2, y el rea de las cuatro caras laterales, 4xh.
x x
V = x2 h x 2 + 4 xh = 1 92 h=
1 92 x
2
4x
1 92 x 2 V( x) = x 2 4x = 48 x
1
x3
Usar esto para reescribir la rmula de la uncin empleando solamente dos variables
4 { Contina en la pgina siguiente.
246
Lmites y derivadas
x
3
V ( x ) = 48 48 3 4
3 4
x
Hallar la derivada de la uncin que va a ser maximizada y luego hallar los puntos crticos donde la derivada se anula
2
4
2
x =0
x 2 = 48
2 x = 64
x = 8
El valor crtico factible es x = 8. V ( x ) = V (8 ) =
3
Usar la comprobacin de la derivada segunda para verifcar que el valor crtico 8 da un mximo
x
2 3
(8 ) = 1 2 < 0
2
m xim o relativo
h=
1 92 x 2
h=
4x
1 92 8 2 4 (8 )
=4
Hallar la altura de la caja
Las dimensiones de la caja con rea mxima son 8 cm por 8 cm por 4 cm.
ejmplo 32 El costo de pedido y almacenaje de x unidades de un producto es C ( x ) = x +
1 0 000 x
. Un camin de
reparto puede entregar un mximo de 200 unidades por pedido. Halle qu cantidad de unidades del producto se deben pedir para minimizar el costo. Respuesta C( x ) = x +
1 0 000 x
donde x es el nmero de
C es la uncin que va a ser minimizada.
unidades. C ( x ) = 1 1
1 0 000 x2 1 0 000 x2
1 0 000 x
2
Hallar la derivada de la uncin que va a ser minimizada para determinar los valores crticos donde la derivada se anula
=0 =1
x 2 = 1 0 000 x = 1 00 El valor crtico factible es x = 100. Dado que el pedido debe incluir al menos una unidad pero no ms de 200, necesitamos hallar el mnimo absoluto en 1 x 200.
Dado que la uncin est defnida en un intervalo cerrado, los extremos y los ceros de la derivada en el intervalo deben ser tenidos en cuenta para el valor mnimo absoluto. { Contina en la pgina siguiente. Captulo 7
247
C (1 ) = 1 +
1 0 00 0
= 1 0 00 1
1
C (1 00 ) = 1 0 0 +
1 0 00 0
= 200 costo m nim o
1 00
C (200 ) = 20 0 +
1 0 00 0
= 25 0
2 00
El costo mnimo ocurre cuando hay 100 unidades.
Ejercitacin 7Y
1
Una caja sin tapa con base cuadrada tiene un volumen de 32 000 cm3 . Halle las dimensiones de la caja que minimizan el rea de su superfcie.
2
Suponga que el costo medio de producir x unidades de un artculo est dado por C(x) = x3 3x2 9x + 30. Si lo mximo que se puede producir son 10 artculos por da, cuntos artculos se deberan producir para minimizar el costo diario?
3
Una partcula se mueve sobre una recta horizontal de orma tal que su posicin desde el origen en un tiempo t est dada por s(t) = t3 12t2 +36t 10 en 0 t 7. Halle la distancia mxima entre la partcula y el origen.
PREGUNTAS TIPO EXAMEN Se inscribe un cilindro en un cono de 6 cm de radio y 10 cm de altura. a Halle una expresin para r, el radio del cilindro, en uncin de a, la altura del cilindro. b Halle una expresin para el volumen, V, del cilindro, en uncin de a.
4
5
d
A partir de lo anterior, halle el radio y la altura del cilindro con volumen mximo.
da
da
a
6 cm
Halle
2
r
10 cm
2
y
dV
c
.
Sea x el nmero de miles de unidades producidas de cierto artculo. Los ingresos por vender x unidades estn dados por r ( x ) 4 x y el costo de producir x unidades es c (x) = 2x 2. a La uncin ganancia p(x) = r (x) c (x). Escriba una expresin para p(x) en uncin de x. dp d 2 p y . dx d x 2
b
Halle
c
A partir de lo anterior, halle el nmero de unidades que deberan producirse para maximizar la ganancia.
ejrcicio d rvisin 1
Derive con respecto a x. a 4x3 +3x2 2x + 6 d
248
dV
10 a
(x2 1)(2x3 x2 + x)
Lmites y derivadas
b
x4
c
3 x4
x4 x +7
f
e 4x
3
g
(x3 + 1) 4
h
ln(2x +3)
i
ln x x2
j
4 x2 2x 6
k
(3x2 + 1)(ex)
l
2e x ex 3
m 3 2x 5
n
x2 e2x
o
1 ln x
PREGUNTAS TIPO EXAMEN Sea f (x) = 2x3 6x. a Desarrolle (x + h) 3 .
2
b
Use la rmula f( x ) = lim h 0
f( x + h ) f( x ) para mostrar que la h
derivada de f (x) es 6x 6. c El grco de f es decreciente en p < x < q. Halle los valores de p y q. d Escriba f (x). Halle el intervalo en el cual fes cncava hacia arriba. 2
1
3
Halle la ecuacin de la normal a la curva f ( x ) = 4 xe x en el punto (1, 4).
4
Halle las coordenadas del grco de f (x) = 2x3 3x + 1 en las cuales la recta tangente es paralela a la recta y = 5x 2.
5
Dado el grco de y = f (x): a Escriba f (2), f (2) y f (2) y ordene los valores de mayor a menor. b Justique su respuesta del apartado a .
6
y 4 3 2 1 0 1 2
La uncin de una curva es y = x3 (x 4). a b
Halle:
i
dy dx
ii
d2 y dx 2
Para esta curva halle: Las intersecciones con el eje x
y = f(x)
1 2 3 4 5 x
Las coordenadas del punto mnimo relativo iii Las coordenadas de los puntos de infexin c Use sus respuestas de b para dibujar aproximadamente un grco de la curva, indicando claramente las caractersticas que encontr en el apartado b . i
7
ii
Una partcula se mueve a lo largo de una recta horizontal tal que su desplazamiento desde el origen est dado por s (t) = 20t 100 ln t, t 1. a Halle la uncin velocidad para s. b Halle cundo la partcula se mueve a la izquierda. c Muestre que la velocidad de la partcula es siempre creciente.
ejrcicio d rvisin 1 Use su CPG para examinar cada uncin grca y numricamente. Halle el lmite o indique que no existe. a
lim x2
1 x2
b
lim x3
1 x2
c
lim x 4
x2 1 6 x4
d
lim x 1
x2 + 3 x 1 Captulo 7
249
PREGUNTA TIPO EXAMEN 2 Un poste de 10 pies y un poste de 25 pies estn separados por una distancia de 30 pies y son perpendiculares al suelo. Se atan cables de medidas y y z desde los topes de los postes hasta una nica estaca clavada en la tierra, tal como se muestra en la fgura. i Escriba una expresin para y en uncin de x. ii Escriba una expresin para z en uncin de x. iii A partir de lo anterior, escriba una expresin para L(x), la longitud total de cable usado para ambos postes. b i ii
z y
10 pies
dL Halle . dx
x
25 pies
30 x
A partir de lo anterior, halle la distancia x a la que la estaca debiera haberse colocado desde el poste de 10 pies para minimizar la cantidad de cable usado.
ResuMeN del captulO 7 l r ngn y riv xn
f( x + h ) f( x ) se conoce como la riv de f. La h f ( x + h ) f ( x ) dy f( x + h) f( x ) derivada se defne como f( x ) = lim o . = lim h 0 h 0 h dx h
La uncin defnida por lim h 0
Rg oni
Si f(x) = x n, entonces f(x) = nx n , donde n R.
Rg onn
Si f (x) = c, donde c es cualquier nmero real, entonces f (x) = 0.
Rg miiin or n onn
Si y = cf (x), donde c es cualquier nmero real, entonces y = cf (x).
Rg iin o rin
Si f (x) = u(x) v (x), entonces f (x) = u (x) v (x).
M rg rivin
driv
ex Si f (x) = e , entonces f (x) = ex. driv n x 1 Si f (x) = ln x, entonces f( x ) = . x
Rg roo
x
Si f (x) = u(x) v (x), entonces f (x) = u(x) v (x) + v(x) u(x).
Rg oin
Si f ( x ) =
v ( x ) u ( x ) u ( x ) v ( x ) u( x ) , entonces f ( x ) = . 2 v( x ) [v( x ) ] Contina en la pgina siguiente.
250
Lmites y derivadas
la rega de a cadena y derivadas de orden superior
la rega de a cadena
Si f (x) = u(v(x)), entonces f (x) = u (v(x)) v(x). La regla de la cadena tambin se puede escribir as: Si y = f (u), u = g (x) e y = f (g(x)), entonces
dy dy du = . dx d u d x
Razones de cambio y movimientos sobre una recta
La razn de cambio instantnea del desplazamiento es la uncin veocidad , v( t ) = lim h0
s(t + h ) s ( t ) h
= s( t ) .
La razn de cambio instantnea de la velocidad es la uncin aceeracin , a( t ) = lim h0
v(t + h ) v ( t ) h
= v( t ) = s( t ).
las derivadas y sus grcos
Cuando una uncin es decreciente, las rectas tangentes a la curva tienen pendientes negativas. Cuando una uncin es creciente, las rectas tangentes a la curva tienen pendientes positivas. Se deduce que: Si f (x) > 0 para todo x en (a, b), entonces fes creciente en (a, b). Si f (x) < 0 para todo x en (a, b), entonces fes decreciente en (a, b). La comprobacin de a derivada primera se usa para localizar extremos relativos de f. Si fest denida en un punto crtico c, entonces: 1 Si f (x) pasa de positiva a negativa en x = c, entonces ftiene un punto mximo relativo en (c, f (c)). 2 Si f (x) pasa de negativa a positiva en x = c, entonces ftiene un punto mnimo relativo en (c, f (c)). Si f (x) > 0 para todo x en (a, b), entonces f es cncava hacia arriba en (a, b). Si f (x) < 0 para todo x en (a, b), entonces f es cncava hacia abajo en (a, b). Los puntos del grco donde cambia la concavidad se llaman puntos de infexin. Un punto en el grco de fes un punto de infexin si f (x) = 0 y adems f (x) cambia de signo.
Ms sobre extremos y probemas de optimizacin
Para los problemas de optimizacin: 1 Asigne variables a las cantidades dadas y a las cantidades que deben determinarse. Cuando sea posible, dibuje un diagrama. 2 Escriba una rmula de la uncin que va a ser optimizada (minimizada o maximizada), en uncin de dos variables. 3 Halle los valores que resulten sensatos o actibles dentro del contexto del problema donde la derivada de la uncin optimizada se anule (sea igual a 0). 4 Verique que realmente sea un mximo o un mnimo usando la comprobacin de la derivada primera o de la derivada segunda. Si el dominio es tal que a x b, recuerde que deben vericarse los extremos, dado que el mximo o el mnimo en un intervalo cerrado pueden ocurrir cuando f (x) = 0 o en un extremo del intervalo.
Captulo 7
251
tora del conoimino
la vrdad n mamias e razonamino induivo
El razonamino induivo toma en cuenta casos particulares para llegar a una generalizacin. Use el razonamiento inductivo para elaborar conjeturas sobre este problema. 1. Copie los crculos y las tablas. Dibuje todas las cuerdas posibles
que conecten los puntos de cada circunerencia. Cuente el nmero de regiones que no se superponen en el interior de cada crculo. Anote los resultados en la tabla.
Nmero de puntos sobre la circunferencia 2 3 4 5
Nmero de regiones formadas 2 4
2. Describa, en palabras, cualquier patrn que observe para el
nmero de regiones ormadas. 3. Elabore una conjetura sobre el nmero de regiones no
superpuestas que quedan determinadas al conectar n puntos de la circunerencia. Escrbala en orma de expresin matemtica. 4. Use su conjetura para predecir el nmero de regiones ormadas cuando se dibujan todas las cuerdas que conectan seis puntos de la circunerencia del crculo. 5. Dibuje un crculo con seis puntos en su circunerencia. Dibuje todas las cuerdas que conectan esos puntos para verifcar su conjetura de la pregunta 4.
252
Teora del Conocimiento: la verdad en matemticas
Ya hemos completado los dos pri meros crculos.
Si basa su conjetura sobre el patrn ms evidente para el nmero de regiones formadas, encontrar que no se cumple para n = 6.
Cuntas veces tiene que repetirse un patrn para que sepamos que es verdadero? Podemos realmente saber si es siempre verdadero con solo observar el patrn? Signifca esto que no deberamos usar nunca el razonamiento inductivo?
En la seccin 7.1 hemos conjeturado que la derivada de f(x) = xn es f'(x) = nxn1 . Confrmamos que la conjetura se cumpla para f(x) = x 5 . Podemos emplear el razonamiento deductivo para probar la validez de nuestra conjetura. En el razonamiento deductivo vamos desde lo ms general a lo ms especfco. En matemticas basamos el razonamiento deductivo en axiomas bsicos, defniciones y teoremas. Usamos la defnicin de derivada y el teorema del binomio para mostrar que si f(x) = xn, entonces f'(x) = nxn1 para n Z +. n f'(x) = lim f (x + h) f (x) = lim
(x + h) n xn h
h0
= lim
Aplicar la defnicin de derivada a f(x) = x y luego usar el teorema del binomio para desarrollar (x + h) n
h
h0
[(
n 0
n 1
) xnh 0 + (
) xn1 h1 + (
n
n 2
) xn2h2 +...+ ( n1 ) x1 hn1 + (
[x + nx n
n1
h+ (
n 2
) xn2h2 +...+
= lim
x
n
n ( n1 )
xhn1 + hn]
x
n
Simplifcar donde sea posible
h
h0
nxn1 h + (
n 2
n
) xn2h2 +...+ ( n1 ) xhn1 + hn
Agrupar trminos semejantes
h
h0
= lim
) x0 h n ]
h
h0
= lim
n n
h [ nxn1 + (
n 2
n
) xn2h +...+ ( n1 ) xhn2 + hn1 ] h
h0
= lim [ nxn1 + ( h0 = nxn1 + (
Factorizar
n 2
n 2
n
) xn2h +...+ ( n1 ) xhn2 + hn1 ] n
) (xn2)(0) +...+ ( n1 ) (x)(0) n2 + (0) n1
f'(x) = nxn1
Un astrnomo, un sico y un matemtico viajaban por Gales en tren, cuando vieron una oveja negra en medio del campo. El astrnomo dijo: Todas las ovejas galesas son negras! .
Evaluar el lmite
Podemos ahora afrmar con certeza que la conjetura ser vlida para
Una broma matemtica clsica
Simplifcar
n Z + ? Por qu, o por qu no?
El sico no estuvo de acuerdo: No! Algunas ovejas galesas son negras! . Mientras que el matemtico asever: En Gales hay al menos un campo que contiene al menos una oveja con al menos un lado que es negro! .
Qu clase de razonamiento estaba usando el matemtico?
Captulo 7
Teora del Conocimiento
El razonamiento deductivo
253
Estadstica descriptiva
8 ObjetivOs del captulO: 5.1
Poblacin; muestra; muestra aleatoria; datos discretos y continuos; presentacin de los datos; distribuciones de recuencias (tablas); histogramas de recuencia con intervalos de clase de la misma amplitud; diagramas de caja y bigotes; valores no esperados; datos agrupados: uso de los valores centrales de los intervalos para los clculos; amplitud del intervalo; lmites; clase modal. 5.2 Medidas estadsticas. Medidas de posicin central: media, mediana, moda; cuartiles y percentiles. Dispersin: rango, rango intercuartil, varianza, desviacin tpica. 5.3 Frecuencia acumulada; grfcos de recuencia acumulada.
an omnzr Qu necesitamos saber
Comprobemos nuestras habilidades
1
1
Dibujar un grfco de barras Por ejemplo: dibujar un grfco de barras para el nmero de nios en las amilias de 30 alumnos en la siguiente tabla de recuencia
Dibuje un grfco de barras para la siguiente tabla de recuencias: Color favorito Rojo Azul Rosa Prpura Negro
y
f 8 12 5 3 2
12 10 Frecuencia
Nios 1 2 3 4 5
8 6
2
Media =
2 3 4 5 Nmero de nios
6 x
35 2 +3 +3 +5 +6+7 +9 = =5 7 7
Moda = 3 Mediana = 5 254
1
Hallar la media, la moda y la mediana Por ejemplo: hallar ) la media, ) la moda y ) la mediana de 2, 3, 3, 5, 6, 7, 9
Estadstica descriptiva
6 8 10 9 4
4
0
2
f
2
Halle la media de 4, 7, 7, 8, 6. Halle la moda de 5, 6, 8, 8, 9. Halle la mediana de: 6, 4, 8, 7, 11, 2, 4 5, 7, 9, 11, 13, 15 6, 8, 11, 11, 14, 17
Frecuencia
y Las estadsticas orman parte de la vida cotidiana. Los promedios 10 (media, moda, mediana, etc.) y los grfcos (de barras, de lneas, de 9 sectores, etc.) se usan en todas partes: de los negocios a los deportes, y de la moda a los medios de comunicacin. Utilizamos las 8 estadsticas sin darnos cuenta. Cada uno de nosotros probablemente 7 ha hecho alguna afrmacin estadstica, con el pensamiento o 6 en conversaciones cotidianas. Decir Duermo en promedio unas 5 ocho horas por noche o Es ms probable que pase el examen 1875 1900 1925 1950 1975 2000 2025 x Ao si me preparo de antemano es hacer ya una afrmacin estadstica por naturaleza. La estadstica es la ciencia de los datos.
Las estadsticas tienen que ver con:
Disear experimentos y otras recolecciones de datos Representar y analizar inormacin para acilitar la comprensin Sacar conclusiones a partir de los datos Realizar estimaciones acerca del presente o predicciones sobre el uturo
En este captulo se explican estas tcnicas y cmo aplicarlas en situaciones reales.
Es un conjunto de herramientas que se utilizan para organizar y analizar datos. En este captulo se pueden hacer la mayora de los clculos con la calculadora, pero si sabemos hacerlos manualmente, nos ayudar a comprender mejor. Se pone el acento en comprender e intrepretar los resultados obtenidos, en contexto. No se permiten las tablas estadsticas en los exmenes: se deber usar la calculadora de pantalla grfca (CPG). Captulo 8
255
investgcn: qu debemos hacer con nuestras califcaciones? Las califcaciones obtenidas por 32 estudiantes en una prueba que se puntuaba con un mximo de 10 puntos son las siguientes: 0, 1, 1, 2, 2, 2, 3, 3, 4, 4, 4, 5, 5, 5, 5, 5, 6, 6, 6, 6, 7, 7, 7, 7, 7, 7, 8, 8, 8, 8, 9, 10. Qu debera hacer el proesor con estos datos? Cmo podra organizar los datos para visualizar mejor las califcaciones? Cmo debera mostrar las califcaciones? Debera usar un promedio? Cmo se deberan convertir las califcaciones numricas a califcaciones con letras? Se puede sacar alguna conclusin a partir de las califcaciones?
8.1 anlss unmensonl El nlss unmensonl contempla una sola variable, por ejemplo, la altura de todos los estudiantes en la clase. Con estos datos se pueden dibujar grfcos, hallar los promedios y muchas ms cosas. La comparacin de dos variables, por ejemplo, sus alturas y pesos, se llama nlss bmensonl, que se ver en el captulo 1 0. Los tos constituyen la inormacin que se obtiene, y se los clasifca en datos culttvos o datos cuntttvos. dtos culttvos
dtos cuntttvos
Los datos cualitativos determinan categoras y a veces se los llama datos categricos. Algunas preguntas de las que surgen datos cualitativos son: Cul es el color de su lapicera preerida? Cmo viaja para ir a la escuela? Cul es la marca de su computador?
Los datos cuantitativos describen inormacin que puede ser contada o medida. Algunas preguntas de las que surgen datos cuantitativos son: Cuntas lapiceras posee? Cunto tiempo tarda en llegar a la escuela? Cuntos computadores ha tenido?
Los datos de la prueba que vimos anteriormente, son cualitativos o cuantitativos?
[ Discretos Cuntos pares de zapatos se ven? Los datos cuantitativos se dividen en dos categoras: tos scretos y tos contnuos.
Una variable cuantitativa discreta toma valores numricos exactos. Aqu trabajamos con vlores e 0, 1, 2, 3,..., por ejemplo, la cantidad de CD que tenemos o el nmero de hijos que hay en nuestra amilia. Una variable cuantitativa continua puede ser medida y su precisin depende de la precisin del instrumento de medicin utilizado. Las variables continuas, tales como la longitud, el peso y el tiempo, pueden tomar valores raccionarios o decimales. 256
Estadstica descriptiva
[ Continuos Cul es la velocidad del tren?
Cul es la diferencia entre una poblacin y una muestra? Cuando pensamos en el trmino oblacin , generalmente pensamos en la gente de nuestra ciudad, regin, estado o pas.
Poblacin
Muestra
En estadstica, el trmino oblacin incluye a todos los miembros del grupo que estamos estudiando con el fn de tomar decisiones basadas en datos. Una mustra es una parte de la poblacin. Es un subconjunto de la poblacin, una seleccin de los individuos que la conorman. Para que una muestra sea alatoria , se deben presentar dos caractersticas: 1 Cada individuo tiene la misma posibilidad de ser elegido. 2 La muestra tiene esencialmente las mismas caractersticas que la poblacin.
Ejercitacin 8A 1
Clasifque cada uno de los siguientes datos en discretos o continuos. El nmero de peces capturado por un pescador b La longitud del pez c El tiempo que lleva atrapar un pez d El nmero de amigos que el pescador se llev con l a
2
Las califcaciones de los exmenes presentadas al comienzo del captulo, son datos discretos o continuos?
8. prsntacin d los datos
y 8
Frecuencia
Una tabla d rcuncias es una manera cil de visualizar los datos rpidamente y buscar patrones. Tambin podemos mostrar datos discretos en un grfco d barras.
A veces se denomina grfco de columnas al grfco de barras.
ejmlo
6 4 2
Un estudiante cont cuntos automviles pasaron por su casa en intervalos de un minuto, durante 30 minutos. Sus resultados ueron: 23, 22, 22, 22, 24, 22, 21, 21, 23, 23, 27, 21, 21, 22, 23, 25, 27, 26, 23, 23, 22, 27, 26, 25, 28, 26, 22, 20, 21, 20. Muestre estos datos en una tabla de recuencias. Dibuje un grfco de barras para estos datos.
0 20 21 22 23 24 25 26 27 28 x Automviles por minuto
{ Contina en la pgina siguiente.
Captulo 8
257
Respuesta Nmero de automviles por minuto 20 21 22 23 24 25 26 27 28
Conteo Frecuencia
|| ||||
2 5
|||| ||
7
|||| | | || ||| ||| |
6
Frecuencia
y 8 6
Contabilizar cada uno de los datos en la fla correcta Escribir el total en la columna de recuencia El nmero 21 aparece 5 veces en los datos.
1 2 3 3 1 Un diagrama de barras es apropiado para los datos discretos y puede haber espacios entre las barras.
4 2
0 20 21 22 23 24 25 26 27 28 x Automviles por minuto
Usar la escala vertical para la recuencia y la horizontal para el nmero de automviles por minuto
Cuando tenemos muchos datos, podemos organizarlos en grupos en una tabla d frcuncias agrupadas. Para los datos continuos, se puede dibujar un histograma . Es similar a un grfco de barras, pero no tiene espacios entre las barras.
Por qu no hay espacios en los datos continuos?
ejmplo 2 Las edades de 200 miembros de un club de tenis son: 20, 22, 23, 24, 25, 25, 25, 26, 26, 26, 26, 28, 28, 29, 29, 29, 30, 30, 30, 30, 30, 30, 30, 32, 32, 33, 33, 33, 34, 34, 34, 34, 34, 34, 34, 34, 35, 35, 35, 35, 36, 36, 36, 36, 36, 37, 37, 37, 38, 38, 38, 39, 39, 39, 40, 40, 40, 41, 41, 41, 42, 42, 42, 42, 42, 42, 42, 42, 43, 43, 43, 43, 43, 43, 44, 44, 44, 44, 44, 44, 45, 45, 45, 45, 45, 45, 45, 45, 46, 46, 46, 46, 46, 46, 46, 46, 47, 47, 47, 47, 47, 47, 47, 47, 47, 48, 48, 48, 48, 48, 48, 48, 48, 48, 49, 49, 49, 49, 49, 49, 49, 49, 50, 50, 50, 50, 50, 50, 51, 51, 51, 51, 51, 51, 51, 52, 52, 52, 52, 52, 53, 53, 53, 53, 53, 53, 53, 53, 53, 54, 54, 54, 54, 55, 55, 55, 55, 55, 56, 56, 56, 57, 57, 57, 57, 57, 57, 57, 57, 57, 57, 58, 58, 58, 59, 59, 59, 60, 60, 60, 60, 60, 61, 61, 61, 62, 62, 62, 63, 63, 63, 63, 64, 64, 64, 64, 65, 65, 68, 69. Dibuje una tabla de recuencias agrupadas y el histograma de los datos. { Contina en la pgina siguiente.
258
Estadstica descriptiva
En los exmenes se evaluarn solo los histogramas de recuencias con intervalos de igual amplitud. Si tuvisemos una fla para cada edad, nos dara una tabla de 50 flas de datos!
Respuesta Edad
Conteo
Frecuencia
20 edad < 25
||||
4
25 edad < 30
|||| |||| ||
12
30 edad < 35
|||| |||| |||| ||||
20
35 edad < 40
|||| |||| |||| |||
18
40 edad < 45
|||| |||| |||| |||| |||| |
26
45 edad < 50
|||| |||| |||| |||| |||| |||| |||| |||| ||
42
50 edad < 55
|||| |||| |||| |||| |||| |||| |
31
55 edad < 60
|||| |||| |||| |||| ||||
60 edad < 65 65 edad < 70
|||| |||| |||| |||| ||||
Intervalos de igual amplitud (5 aos). 25 est en la clase 25 edad < 30.
24
Se ubican los nmeros en los extremos de las barras o como escala en el eje x.
19
No hay espacios entre las barras.
4
Se puede utilizar la CPG para dibujar histogramas. Vase la seccin 5.4 en el captulo 17.
Frecuencia
45 30 15 0 20 25 30 35 40 45 50 55 60 65 70 x Edad
Ejercitacin 8B PREGUNTA TIPO EXAMEN 1 Se les pregunt a todos los estudiantes del IB en una escuela cuntos minutos al da estudiaban matemticas. Los resultados se indican en la tabla. Tiempo dedicado a estudiar 0 t < 15 15 t < 30 30 t < 45 45 t < 60 60 t < 75 75 t < 90 matemticas (min) Nmero de 21 32 35 41 27 11 estudiantes a b
Son datos continuos o discretos? Utilice la CPG para dibujar un histograma claramente rotulado para representar los datos.
Captulo 8
259
PREGUNTA TIPO EXAMEN 2 La siguiente tabla muestra la distribucin de las edades de los profesores de matemticas que trabajan en la Escuela Secundaria Caring. a Son datos discretos o continuos? b Cuntos profesores de matemticas trabajan en la Escuela Secundaria Caring? c Utilice la CPG para dibujar un histograma claramente rotulado para representar estos datos.
20 30 40 50 60
El siguiente histograma muestra datos sobre pollos congelados en un supermercado. Las masas en kg se agrupan de la siguiente manera: 1 w < 2, 2 w < 3, y as sucesivamente. a Son las masas de los pollos datos discretos o continuos? b Elabore la tabla de frecuencias agrupadas para este histograma. c Cuntos pollos congelados hay en el supermercado?
Frecuencia
El histograma de la derecha muestra cuntos minutos les toma a los estudiantes regresar a casa despus de la escuela. a Son datos discretos o continuos? b Represente los datos en una tabla de frecuencias agrupadas. c Cul es el menor tiempo que un estudiante puede tardar en llegar a casa?
30 40 50 60 70
5 4 3 2 3
50 40 30 20 10 0
4
x< x< x< x< x
0
ln(e2t1) dt = (2t 1) dt = t2 t + C
c
Simplifcar usando el dato de que e x y ln x son unciones inversas
Ejercitacin 9D Halle la integral indefnida. 2 dx x
1
1
3
dt
4t
2
3e x dx
4
e ln x dx 3
(2x + 3) 2 dx
5
6
2
2x + 6x + 5
dx
x 2
ln e u du
7
ex + 1
9
8
dx
10
2
(x 1) 3 dx x2 + x + 1
dx
x
Ahora consideraremos integrales indefnidas de unciones que son composiciones con la uncin lineal ax + b. 1 1 n +1 ( ax + b ) + C a n + 1
(ax + b)n dx =
e ax + b dx = e ax + b + C
1 a
1 1 b dx = ln(ax + b ) + C, x > ax + b a a
Podemos verifcar cada regla, derivando el miembro derecho de la igualdad y mostrando que se obtiene el integrando. Debemos tener en cuenta que ln(ax + b) est defnido cuando b
ax + b > 0 o x > . a
298
Integracin
ejmplo 6 Reglas de integracin
Halle la integral indefnida. a
4
(3x + 1) dx b
e
2 x +5
3
dx c
dx
4x 2
d
(ax + b) n dx =
1 (6 x + 3 )4
dx 1 1
( a x + b ) n +1 + C a n +1
Respuestas a
4
(3x + 1) dx = =
1 1
5 (3 x + 1 ) + C 3 5
1
(3 x + 1 ) + C
1
eax + b + C
a 1
para a = 3, b = 1 y n = 4
dx =
ax + b
Verifcar, derivando la integral obtenida
5
15
eax + b dx =
1 1 n+1 (ax + b) + C Hallar a n+1
d 1
1 4 (5(3x + 1) (3)) (3x + 1) 5 = 15 dx 15
1
ln(ax + b) + C,
a
x>
b a
= (3x + 1) 4 b
1
e 2 x + 5 dx = e 2 x + 5 + C
Hallar
2
1 ax + b e + C para a = 2 y b = 5 a
Verifcar, derivando la integral obtenida d 1
1 2x + 5 (2)] = e 2x + 5 e 2x + 5 = [e dx 2 2 c
3 4x 2
dx = 3
1
dx
4x 2
1 1 = 3 ln( 4 x 2 ) + C, x > 2 4
=
3 4
ln ( 4 x 2 ) + C, x >
1 2
Aplicar la regla de la multiplicacin por una constante Hallar 1 ln(ax + b) para a = 4 y b = 2 a
Verifcar, derivando la integral obtenida d 3 ln(4x 2) = 3 1 (4) dx 4 4 4x 2
3
= d
1 (6 x + 3 )
4
dx =
(6x + 3) 4 dx
1 1 = (6 x + 3 ) 3 6 3
=
1 1 8( 6 x + 3 ) 3
+ C
+C
4x 2
Escribir de la orma y = x n , con n racional 1 1 n+1 (ax + b) + C a n+1
Hallar
para a = 6, b = 3 y n = 4 Verifcar, derivando la integral obtenida d
1 3 dx 18(6x + 3) =
d 1 (6x + 3) 3 dx 18
1
=
18
( 3(6x + 3) 4 (6)) =
1 (6x + 3)
4
Captulo 9
299
Ejercitacin 9E Halle la integral indefnida en las preguntas a 0. 1
x3
1
(2x + 5) 2 dx
2
(3x + 5) 3 dx
3
e2
4
1 dx 5x + 4
5
3 dx 7 2x
6
4e 2x+1 dx
7
6(4x 3) 7 dx
8
( 7 x + 2 ) 2 dx
9
4 4x e + dx 3x 5
10
2 dx 3( 4 x 5 )3
1
dx
PREGUNTAS TIPO EXAMEN Sabiendo que (x) = (4x + 5) 3 , halle:
11
a
(x)
b
(x) dx
La velocidad v de una partcula en el tiempo t est dada por v (t) = e 3 t + 6t. El desplazamiento de la partcula en el tiempo t es s. Sabiendo que s = 4 metros cuando t = 0 segundos, exprese s en uncin de t.
12
El mtodo de sustitucin Usamos el mtodo d sustitucin para evaluar integrales de la orma
(g (x)) g (x) dx. El siguiente ejemplo muestra cmo hacerlo.
ejmplo Halle la integral indefnida. a
(3x2 + 5x) 4 (6x + 5) dx
c
xe 4 x
b
3
x 2 3 x (2x 3) dx 3
2
+1
d
dx
12x 3x 4
3x x
3
2
dx
Respuestas a
(3x2 + 5x) 4 (6x + 5) dx
Esta integral es de la orma (g(x)) g(x) dx,
= = =
u 1 5 1 5
4
du dx
dx =
4
u du
donde g(x) = 3x2 + 5x y g(x) = 6x + 5. du
u +C
Sea u = 3x2 + 5x; entonces = 6x + 5. Reemplazar dx Simplifcar e integrar
(3x2 + 5x) 5 + C
Reemplazar u por 3x2 + 5x
5
{ Contina en la pgina siguiente.
300
Integracin
Verifcar, derivando la integral obtenida d dx
b
3
1 2 5 5 (3 x + 5 x ) 1 2 = (5(3x + 5x) 4 (6x + 5)) 5
= (3x2 + 5x) 4 (6x + 5) Esta integral es de la orma
2
x 3 x (2x 3) dx
(g(x)) g(x) dx, donde g(x) = x2 3x y g(x) = 2x 3. 1
du dx dx
=
u3
=
u 3 du
Sea u = x2 3x; entonces
du = 2x 3. Reemplazar dx
1
4
3
= =
4 3 4
Simplifcar e integrar
u3 +C 4
( x2 3 x) 3 + C
Reemplazar u por x2 3x Verifcar, derivando la integral obtenida 4 1 3 4 2 d 3 2 3 3 ( x 3 x ) = ( x 3 x) ( 2 x 3) dx 4 4 3
1
= (x2 3x) 3 (2x 3) = c
1 x e 4 x +1 dx = 8 x e 4 x +1 dx 2
2
8
1 8 1 = 8
=
e4 x eu
2
+1
( 8 x ) dx
du dx dx
d
1 2 x3 3 x 2 dx 3 x 4 x3 1 2 x3 3 x 2 dx = 3 x4 x3 =
Si g(x) = 4x2 + 1, entonces g (x) = 8x. Reescribir el integrando de manera que quede de la orma (g(x))g (x) dx Sea u = 4x2 + 1; entonces
1 e u du = 8 1 = eu + C 8 2 1 = e4 x +1 + C 8
x 2 3 x (2x 3)
3
du = 8x. Reemplazar dx
Simplifcar e integrar
Reemplazar u por 4x2 + 1 Esta integral es de la orma du dx dx u
1 du u
= lnu + C, u > 0 = ln(3x4 x3 ) + C, 3x4 x3 > 0
(g(x))g(x) dx, donde g(x) = 3x4 x3 y g'(x) = 12x3 3x2. Sea u = 3x4 x3 ; entonces
du = 12x3 3x2. dx
Reemplazar Simplifcar e integrar Reemplazar u por 3x4 x3
Captulo 9
301
Con la prctica podremos llegar a hallar integrales indefnidas de la orma f(g(x))g (x) dx por comparacin. Esto es, podremos decidir cul es la uncin que corresponde a u, verifcar si la derivada de u es el otro actor del integrando y luego integrar mentalmente fcon respecto a u.
Ejercitacin 9F 1
(2x2 + 5) 2 (4x) dx
2
3 x2 + 2 dx x3 + 2 x
3
(6x + 5) 3 x 2 + 5 x d x
4
4x 3 ex dx
2x + 3
5
2
(x + 3 x + 1)
2
dx
6
7
x2(2x3 + 5) 4 dx
8
9
(8x 3 4 x)(x 4 x 2) 3 dx
10
4
e
x
dx
2 x 2x +1 4
dx
x2 + x
4 3x
2
x3 4 x
dx
PREGUNTAS TIPO EXAMEN 8x . Sabiendo que f (0) = 4, halle f(x). 4 x2 + 1
11
Sea f (x) =
12
La pendiente de una curva est dada por f (x) = 3x2 e x . La curva pasa por el punto (1, 5e). Halle una expresin para f (x).
3
. rea e ntegrales defndas Las integrales indefnidas son una amilia de unciones que diferen en una constante. Las integrales defnidas son nmeros reales. En la prxima seccin aprenderemos acerca de la relacin entre integrales defnidas e indefnidas y cmo evaluar una integral defnida sin una calculadora de pantalla grfca (CPG).
Esta seccin trata sobre la integral defnida, b
que se escribe
f (x) dx, y su relacin con el a
rea bajo la curva.
investgacn: rea y la integral defnida 1
2
y 5
Considere el rea delimitada por la uncin f (x) = x + 1, x = 0, f(x)= x2 + 1 4 x = 2 y el eje x que est sombreada en el grfco. 3 a Anote el ancho de cada uno de los cuatro 2 R4 rectngulos que se muestran en el grfco. R3 1 Calcule la altura de cada uno de los cuatro rectngulos. R R1 2 Halle la suma de las reas de los cuatro rectngulos, 0,5 0 0,5 1 1,5 2 para hallar un lmite inerior del rea de la regin sombreada.
x
{ Contina en la pgina siguiente.
302
Integracin
b i
Anote el ancho de los cuatro rectngulos que se muestran en el grfco. ii Calcule la altura de cada uno de los cuatro rectngulos. iii Halle la suma de las reas de los cuatro rectngulos, para hallar un lmite superior del rea de la regin. c Use una CPG para hallar la integral defnida 2 2
0
( x + 1) d x . Compare el resultado con sus respuestas
en los apartados a y b. Qu piensa que podra representar la integral defnida?
y 5 4
f(x)= x2 + 1
3
R4
2 1
R1
R2
R3
0,5 0 0,5 1 1,5 2 x
La CPG usa un mtodo de aproximacin para determinar los valores de las integrales defnidas, por lo que los valores de la CPG no son siempre exactos.
No pudimos usar una rmula geomtrica para hallar el rea de la regin en la pregunta 1; solamente pudimos usar rmulas geomtricas para obtener una aproximacin del rea. Ahora consideraremos algunas regiones cuyas reas se pueden hallar geomtricamente. 2
3
4
Halle el rea de la regin sombreada bajo la recta f(x) = 2x + 2 entre x = 1 y x = 2, utilizando una rmula geomtrica. Luego, escriba una integral defnida que piense que pueda representar el rea. Evale la integral en una CPG y compare las respuestas. Nos reerimos al rea entre una uncin f y el eje x como el rea bajo la curva . Si f(x) es una uncin no-negativa para a x b, escriba la integral defnida que da el rea bajo la curva f desde x = a hasta x = b. Verifque que su respuesta de la pregunta 3 es vlida para los siguientes casos, hallando el rea mediante el uso de una rmula geomtrica, y luego escribiendo una integral defnida y evalundola en una GDC. a
f (x) =
1 2
x + 3 desde
x = 1 hasta x = 4
y 4
x= 1
x= 4
y 6 4 x= 2 y = 2x + 2
2
3 2 1 0 2
1
2
3
4
5 x
4
En matemticas una curva es un grfco en un plano de coordenadas, por lo tanto las curvas incluyen a las rectas.
3 2 y=
1 1 0
b
f (x) = 16 x 2 desde x = 4 hasta x = 4
1
2
3
4
5
1 x+ 3 2
6
7 x
y 5 y = 16 x2
4 3 2 1 4 3 2 1 0
1
2
3
4 x
Captulo 9
303
En la investigacin hallamos una aproximacin para el rea Aproximaciones para el rea bajo bajo la curva f (x) = x2 + 1 desde x = 0 hasta x = 2 sumando f(x) = x2 + 1 desde x = 0 hasta x = 2, para las reas de cuatro rectngulos. Usando la notacin de sumatoria dierentes nmeros de rectngulos. 4
podemos expresar esto como f(xi) xi, donde f(xi) representa la i =1 altura de cada rectngulo y xi representa el ancho de cada rectngulo. Para obtener mejores aproximaciones del rea podemos usar ms rectngulos. Usando un nmero infnito de rectngulos,
4 10 50 100 500
Suma superior 5,75 5,08 4,7472 4,7068 4,674 67
rea exacta =
n
2
lim f (xi) xi conduce al rea exacta. n
(x2 + 1) dx =
i =1
14 3
0
4,66667
Observamos que tanto la suma superior como la suma inerior parecen acercarse a 4,66667.
Si una uncin fest defnida en a x b y existe el n
lim f (xi)xi, decimos que f es intgrabl en a x b. n
Suma inferior 3,75 4,28 4,5872 4,6268 4,658 67
# Rectngulos
i =1
Llamamos a este lmite la intgral dfnida y la denotamos con b
n
lim f (xi) xi = n
f (x) dx o
y dx. El nmero a es el lmit inrior a
a
i =1
El smbolo
b
de integracin y el nmero b es el lmit suprior de integracin. Cuando f es una uncin no-negativa
y
b
en a x b,
f (x) dx da el rea
y = f(x)
a
bajo la curva desde x = a hasta x = b.
b
a f(x)dx a
0
b
x
es una S
estirada y tambin se usa para indicar una suma. La notacin de la integral defnida ue introducida por el matemtico alemn Gottried Wilhelm Leibniz hacia el fnal del siglo XVII. b
f(x) dx se lee la a
integral de a a b de f(x) con respecto a x.
ejmplo 8
Escriba una integral defnida que d el rea de la regin sombreada y evalela usando una CPG. De ser posible, verifque la respuesta usando una rmula geomtrica para hallar el rea. a
b
y
y 2
3
f(x) =
2
3 2 1
0
1
2
Respuestas 2
(2 | x| ) dx = 4
a 2
rea =
1
f(x) = 2 | x|
1
1 (4 2) = 4 2
3
x
2
1
0
1
2 1 + x2
2
x
La funcin corta al eje x en 2 y 2, y forma un tringulo. Por lo tanto, los lmites de integracin son 2 y 2. La frmula del rea de un tringulo es A =
1 (b h ) . 2
{ Contina en la pgina siguiente.
304
Integracin
1
2
b 1
1+x
La regin est delimitada por 2 la funcin f (x) = 2 , el eje
d x 3, 1 4
2
1+x
x y las rectas verticales x = 1 y x = 1. Por lo tanto, los lmites de integracin son 1 y 1. El rea no puede ser determinada mediante una frmula geomtrica.
Ejercitacin 9G Escriba una integral defnida que d el rea de la regin sombreada y evalela usando su CPG. De ser posible, verifque la respuesta usando una rmula geomtrica para hallar el rea. y
1
2
4
y
1 f(x) = 2 x + 1
3
3 f(x) = x3 4x
2
2
1
1 3 2 1
0
1
2
3
4
5
3 2 1 0 1
6 x
1
3
2
x
4
2 3 y
3
4
y
4 3
2 1
4
f(x) = 3
f(x) =
3
2
2
1
1 0
1
2
3
4
5
y
5
x
4 3 2 1 0
4
x
f(x) = 3 x + 2
3
1
3
1
4 f(x) =
2
y
6
3 2
1
9 x2
1 x
2 1
3 2 1 0 1
1
2
3
x 1
0
1
2
3
4
5
6
7 x
2 3 b
Cuando fes una uncin no-negativa en a x b, f (x)dx da el a rea bajo la curva desde x = a hasta x = b. Considere lo que ocurre cuando fno es no-negativa.
(2x + 2) dx
i 3
El rea del tringulo sombreado es 4, pero
y y = 2x + 2 6 4 2 4 3 2 1 0 2
1
2
3 x
(2x + 2) dx = 4, ya que f (x) < 0 cuando 3 < x < .
4
3
Captulo 9
305
2
y
(2x + 2) dx
ii
6
2
4
(2x + 2) dx = 9 es el rea del tringulo sombreado, dado que
y = 2x + 2
f es una uncin no-negativa en x 2.
4 3 2 1 0 2
2
(2x + 2) dx
iii
2 1
3 x
2
4
3 2
(2x + 2) dx = 5 porque es igual a
y
3
2
(2x + 2) dx + (2x + 2) dx = 4 + 9 = 5. Esto es el 3 simtrico del rea de la regin rotulada A ms el rea de la regin rotulada A2.
4 2
c
f (x) dx =
a
A2
4 3 2 1 0 2 A1
Esto ilustra una de las propiedades de las integrales defnidas. b
y = 2x + 2
6
1
2
3 x
4
b
f (x) dx + a
f (x) dx c
ejmplo 9 El grfco de f consiste en una lnea de segmentos como se muestra en la fgura.
y
8
Evale
(8, 4)
4 3
f (x) dx usando rmulas geomtricas.
2
0
(2, 2)
(3, 2)
1
3
1 0 1
2
4
5
6
7
2 3 4 (6, 4)
Respuesta 8
0
f (x) dx = A1 A 2 + A 3 1 1 1 = ( 4 + 1 )( 2 ) (3 )( 4 ) + (1 )( 4 ) 2 2 2 =56+2 =1
Hallar el rea del trapecio A1 menos el rea del tringulo A2 ms el rea del tringulo A3 y
(8, 4)
4 3 2
(2, 2)
1 0 1 2
(3, 2) A1
1
2
A3 3
4
5
6 A2
3 4 (6, 4)
306
Integracin
7
8
x
8 x
alguns propidds d ls intgrls dfnids b
b
kf (x) dx = k f (x) dx
1 a
a
b
b
(f (x) g (x)) dx =
2 a
b
f (x) dx
a
g (x) dx a
a
f (x) dx = 0
3 a
b
a
No hace falta saber los nmeros que acompaan a estas integrales, solo las propiedades.
f (x) dx = f (x) dx
4 a
b
b
f (x) dx =
5
b
c
a
f (x) dx +
f (x) dx
a
c
ejmplo 10 2
Sabiendo que
5
f (x) dx = 4, 0
4
2
f (x) dx = 12,
g(x) dx = 3 y
2
0
g(x) dx = 6, evale estas integrales defnidas sin usar la CPG. 0
2
2
2
(3f (x) g (x)) dx
g (x) dx +
b
0
2
5
4
f (x) dx
c
f (x) dx 5
2
0
1
g (x) dx
d
1 f (x + 3) dx 2
3
Respuestas 2
(3f (x) g(x)) dx
0
2
2
=
3f (x) dx 0
Aplicar propiedad 2
g(x) dx
Aplicar propiedad 1
2
f (x) dx
=3
g(x) dx 0
2
0
0
= 3(4) (3) = 15 2
2
g(x) dx +
b
Reemplazar y evaluar
2
f (x ) dx Aplicar propiedad 3 al primer trmino y propiedad 4 al segundo trmino Reemplazar y evaluar
5
5
=0
f (x) dx
2
= 0 12 = 12 5
f (x) dx
c 0
5
2
=
f (x) dx + 0
= 4 + 12 = 16
f (x) dx
Aplicar propiedad 5
2
Reemplazar y evaluar { Contina en la pgina siguiente. Captulo 9
307
4
2
g(x) dx +
d
Aplicar propiedad 5
g(x) dx 2
0
4
=
g(x) dx
0
4
g(x) dx
Por lo tanto 2
4
=
2
g(x) dx 0
g(x) dx
Reordenar los trminos
0
= 6 (3) =9 1
e 3
Reemplazar y evaluar
1 (x + 3) dx 2 1 1 = (x + 3) dx 2 3
=
Aplicar propiedad 1 El grfco de (x + 3) es el resultado de trasladar el grfco de (x) a la izquierda 3 unidades. Los lmites de integracin, x = 0 y x = 2, se trasladan a x = 3 y x = 1. Por lo tanto, los valores de estas integrales son iguales.
2
1 2
(x) dx 0
1 2
= (4) =2
Ejercitacin 9H El grfco de consiste en lneas de segmentos como se muestra. Evale las integrales defnidas en las preguntas y 2 usando rmulas geomtricas.
y
(8, 4)
(6, 4)
4 3 2
8
(x) dx
1
1
4
0 1
8
(x) dx
2
2
0
6
Sabiendo que
6
0
(x) dx = 3,
(x) dx = 8,
g (x) dx = 4, y
3
0
g (x) dx = 8, evale las integrales defnidas en las preguntas 3 a 0. 6
6
3
5
1 2 f( x ) + g( x ) dx 2
0
6 0
0
g (x) dx
0
0
0
(x) dx 0
5
4
(g(x) + 3) dx
6
308
(x 4 ) dx
8
6
9
(x) dx
6
7
g (x) dx
4
Integracin
3g(x + 2) dx
10
1
2
3 (3, 2)
4
5
6
7
8 x
PREGUNTAS TIPO EXAMEN 2
11
Sabiendo que
5
h(x) dx = 2 y 0
5
a
h(x) dx
h(x) dx = 6, deduzca el valor de: 2
5
(h(x) + 2) dx
b 2
0
4
12
Sea f una uncin tal que
f (x) dx = 16. 0
4
Deduzca el valor de
a
0
1 4
f (x) dx.
b
b
i
Si
f (x 3) dx = 16, escriba el valor de a y el de b. a
4
ii
Si
( f (x) + k) dx = 28, escriba el valor de k. 0
9.4 Teorema fundamental del clculo El cociente
y x
y = f(x) y
, la pendiente de una recta secante,
Recta secante
nos da una aproximacin para la pendiente de una y recta tangente. El producto (y)(x), el rea de un rectngulo, nos da una aproximacin para el rea bajo la curva. Trabajando independientemente, Isaac Newton 0 y Gottried Leibniz llegaron a la conclusin de que, as como la multiplicacin y la divisin son operaciones inversas, la derivacin y la integracin defnida tambin lo son.
Recta tangente Pendiente de la recta tangente x
x
Este hecho se establece en el siguiente teorema. teorema fundamenal del clculo Si f es una uncin continua en el intevalo a x b y F es una primitiva (antiderivada) de f en a x b, entonces
La notacin [F ( x )] ba signifca F(b) F(a).
b
f ( x ) dx = [ F ( x )] ba = F (b ) F ( a ). a
2
(x2 + ) dx que evalu
Considere la integral defnida 0
usando la CPG en la investigacin de la ltima seccin. Esto dio el rea bajo la curva f (x) = x2 + entre x = 0 y x = 2. 2
(x2 + ) dx 4,67.
Hallamos que 0
Cuando aplicamos el teorema undamental del clculo, aunque F puede ser cualquier miembro de la amilia de las unciones primitivas de f, elegimos usar la ms simple , es decir, aquella cuya constante de integracin es C = 0. Podemos hacer esto porque, para cualquier C, b f( x) d x = [ F ( x) + C ] a = [F(b) + C] [F(a) + C] = F(b) F(a)
Captulo 9
309
y x
Usando el teorema undamental del clculo, obtenemos: 2 0
1
2
( x 2 + 1) d x = x 3 + x 3 0
1 3 x + x es la primitiva ms simple de 3 1 2 x + 1. Evaluamos x3 + x en x = 2 y 3
1 1 = (2 3 ) + 2 (0 3 ) + 0 3 3
=
en x = 0, luego hallamos la diferencia.
14 3
4,67
ejmplo Evale estas integrales defnidas sin usar la CPG. 1
3
(u 1) du
a 2
3
1 dt t
b 2
4x2 (x 1) dx
c 1
Respuestas 1
1
1
Hallar la primitiva ms simple de u 1
(u 1) du = u 2 u 2 -2 2
a
1
Evaluar u2 u en u = 1 y 2 u = 2, y luego hallar la diferencia
1 1 = (1 2 ) 1 ( 2 ) 2 ( 2 ) 2 2 1 9 = 1 (2 + 2) = 2 2 3
b 2
a b
1 dt = [ln t ] 32 t
Recordemos que ln a ln b = ln .
= ln 3 ln 2 = ln 3
3
4x2 (x 1) dx = 4
c
3 2
Reescribir el integrando para poder integrar
(x 3 x 2) dx 1
1 3
= 4 x 4 x3 3 1 4 1
1
1
4 3 4 3 = 4 (3 ) (3 ) (1 ) (1 ) 3 3 4 4 1
1
1
81 1 1 1 3 6 9 = 3 4 4 3
= 4
Ejercitacin 9I Evale las integrales defnidas en las preguntas a 8.
2x dx
1 0
2
3
31 0
(u2 2) du
2
3 2 1 dx x
Integracin
8
4 0
2 13 x x 3 dx
3
e2
4ex dx
5
6
1
La uerza entre cargas elctricas depende de la cantidad de carga y la distancia entre ellas. Cmo se usan las integrales defnidas para calcular el trabajo realizado en la separacin de cargas?
dx
x 0
e
9
(t + 3)(t + 1) dt
7
8
2 x +3
dx
x
4
0
PREGUNTAS TIPO EXAMEN 2
Sabiendo que
9
f (x) dx = 8 0
2
Escriba el valor de
a
3f (x) dx. 2
(f (x) + x2) dx.
Halle el valor de
b
0
0 k
10
Sabiendo que
1
dx = ln 6, halle el valor de k.
x
2
Ahora veremos las integrales defnidas que implican composiciones con la uncin lineal ax + b, o el mtodo de sustitucin.
ejmplo 2 Evale la integral defnida sin usar la CPG. 5
a 1
1
1 2x e + 2 dx x
(2x 3) 3 dx
b 1
1
3
3 x + 1 6 dx
c
(2x2 + 1) 3 (4x) dx
d 0
0
Respuestas 5
a 1
1 2x e + 2 dx x
Recordemos que eax + b dx =
1 ax+ b e + C. a
5
(e2x + x2) dx
= 1
1
1
5
2x = e x 1 2
1 1 1 1 = e 2 (5 ) e 2 (1 )
2
=
1 2
5
e1 0 o
1 2
e2 +
2
1
4 5
5e 1 0 5e 2 + 8 10
{ Contina en la pgina siguiente.
Captulo 9
311
1
Recordemos que (ax + b) n dx =
(2x 3) 3 dx
b 1
1
1 1 = ( 2 x 3 ) 4 2 4 1
1 1 ( ax + b ) n+1 + C. a n+ 1
1 1 = ( 2 (1 ) 3 ) 4 ( 2 ( 1 ) 3 ) 4 8 8 1 8
=
625 = 78 8
3
3 x + 1 6 dx
c
3
0
Recordemos que (ax + b) n dx = 1 2
1 1 ( ax + b ) n+1 + C. a n+ 1
(3x + 16) dx
= 0
3
1 2
3 (3 x +1 6 ) 2 0 3 3
= =
3 3 2 (3(3) + 16) 2 (3(0) + 16) 2 9 3
3 2 32 1 22 2 = 25 16 = 9 9
3
Recordemos que 25 2 = ( 25 ) = 125 y 3
16 2 = ( 16 ) 3 = 64.
1
(2x2 + 1) 3 (4x) dx
d 0
x= 1
du dx dx
u3
= x= 0 u=3
= u= 1
=
1
Sean u = 2x 2 + 1 y
u3 du = u 4 4
Hay que cambiar los lmites de integracin para poder luego evaluar la integral en funcin de u. Cuando x = 0, u = 2(0 2) + 1 = 1, y cuando x = 1, u = 2(12) + 1 = 3.
3
1
1 [(3) 4 (1) 4] = 20 4
Ejercicio 9J Evale las integrales defnidas de las preguntas a 8. 4
1
1 dt t + 2 2
3
3
(2x + ) 3 dx
2
6 x + 4 dx
7
8t 6 2
3
(x2 + x) 3 (2x + ) dx
6
0
4
(ex + e x) dx
4
2
5
ex + dx
2
31 2
du = 4x. Reemplazar dx
2t 3t 2
Integracin
dt
4xe x
8 0
2
+3
dx
Cules son algunas aplicaciones del centro de masa (centroide)? Cmo pueden usarse las integrales defnidas para hallar el centroide de un rea curva?
PREGUNTAS TIPO EXAMEN 9 El diagrama muestra parte del grfco de f (x) = 2x2 (x 2). a Escriba una integral que represente el rea de la regin sombreada. b Halle el rea de la regin sombreada.
y
0
10
y
1 . x 1
El diagrama muestra parte del grfco de y =
x
El rea de la regin sombreada es de ln 4 unidades. Halle el valor exacto de k. 0
2
k
x
9.5 rea entre dos curvas En esta seccin ampliaremos el concepto de rea bajo la curva al de rea entre dos curvas. Las sumas de reas de rectngulos que se usan para aproximar reas se llaman sumas de Riemann, en honor al matemtico alemn Georg Riemann. Reimann demostr la existencia de los lmites de tales sumas.
{ Georg Riemann (18261866)
investgacn: rea entre dos curvas Considere el rea entre las dos curvas f(x) = x2 + 3x y g(x) = x 2 desde x = 1,5 hasta x = 3,5.
y 22 20 18 16 14 12 10 f(x) = x2 + 3x 8 6 4 2 4 3 2 120 4 6
g(x) = x 2
1 2 3 4 5 6 7 x
Contina en la pgina siguiente.
Captulo 9
313
1
Copie y complete la tabla con las dimensiones y el rea de cada uno de los cinco rectngulos mostrados en el grfco. Intervalo 1,5 x < 0,5
Ancho
Altura
rea
1
f(1) g(1) = 2 (3) = 1
1(1) = 1
Tenga en cuenta que, independientemente de que f y g sean positivas, negativas o cero, la altura del rectngulo est siempre dada por f(x), la curva superior, menos g(x), la curva inerior.
0,5 x < 0,5 0,5 x < 1,5 1,5 x < 2,5 2,5 x < 3,5
Halle un valor aproximado del rea entre las curvas, sumando las reas de los rectngulos. 3 Escriba la integral defnida que considere que puede ser usada para hallar el rea exacta entre las dos curvas f(x) = x2 + 3x y g(x) = x 2, desde x = 1,5 hasta x = 3,5. Evale la integral en la CPG. Compare la respuesta con el valor aproximado que obtuvo en la pregunta 2. 2
Si y1 y y2 son continuas en a x b e y1 y2 para todo x en a x b, entonces el rea entre y1 e y2 desde x = a hasta x = b est dada por
b
y
(y1 y2) dx.
a
Altura de cada rectngulo = curva superior curva inerior = y1 y2 Ancho de cada rectngulo = dx rea de cada rectngulo = ( y1 y2) dx La suma de las reas de un nmero infnito de rectngulos desde x = a hasta x = b y el rea exacta entre dos curvas =
y1 y2
y1
b
dx
a
0
b
x
y2
(y1 y2) dx.
a
ejmplo Represente grfcamente la regin delimitada por las curvas y = x2 2 e y = x. Escriba una expresin que d el rea de la regin y luego halle el rea. Resuelva este problema sin usar la CPG. b Dibuje aproximadamente el grfco de la regin delimitada por las curvas x f (x) = 2e 2 y g(x) = x 2 4x. Escriba una expresin que d el rea de la regin. Halle el rea usando la CPG. a
{ Contina en la pgina siguiente.
31 4
Integracin
Respuestas a
x2 2 = x x2 + x 2 = 0 (x + 2)(x 1) = 0 x = 2, 1 Puntos de interseccin: (2, 2) y (1, 1)
El grfco de y = x2 2 es el grfco de y = x2 trasladado 2 unidades hacia abajo. El grfco de y = x es una recta que corta al eje y en (0, 0) y tiene pendiente 1. Los grfcos se cortan en (2, 2) y (1, 1).
y 4
y = x2 2
3 2
(2, 2)
1 3 2 1 0 1
1
Hallar la interseccin, igualando las ecuaciones y resolviendo en x. Reemplazar los valores de x en cualquiera de las ecuaciones para obtener las coordenadas.
2 3 (1, 1)
x
2 y = x
3 1
1
rea =
((x) (x2 2)) dx =
(x2 x + 2) dx
2
2
1
1
1
3 2 = x x + 2x 2 3 2
y = x es mayor o igual que y = x2 2 en 2 x 1, por lo tanto la altura de cada rectngulo est representada por (x) (x2 2).
1 1 1 1 = (1 ) 3 (1 ) 2 + 2 (1 ) ( 2 ) 3 ( 2 ) 2 + 2 ( 2 ) 3 2 3 2 8 9 1 1 = + 2 2 4 = 3 2 3 2 b
Usar la CPG para dibujar aproximadamente los grfcos y para hallar las coordenadas x de los puntos de interseccin. Escribir al menos 4 ciras signifcativas, dado que estos valores se usarn para calcular el rea.
y 4 3 2
x
f(x) = 2e
2
1 2 1 0 1
1
2
3
4
5
x
2 g(x) = x2 4x
3 4 x 2
2e = x2 4x x 0,5843; 4,064
4,064
rea =
x
((2e 2 ) (x 2 4x)) dx 4,7
0,5843
x
(x) = 2e 2 es mayor o igual que g(x) = x2 4x en 0, 5843 x 4, 064, por lo tanto la altura de cada rectngulo est representada por
( 2e ) (x 4x). x
2
2
Captulo 9
315
Ejercitacin 9K En las preguntas a 4, represente grfcamente la regin delimitada por las curvas dadas. Escriba una expresin que d el rea de la regin. Halle el rea usando la CPG. 1
y=
1 2
x2 + 2 e y =
1 2
x2 2
2
f (x) = x 2 y g(x) =
3
y = 2x 4, y = x3 entre x = 2 y x = 2
4
g(x) = x + 1 y h(x) = 3 + 2x x2
x
PREGUNTA TIPO EXAMEN Considere la uncin f (x) = x4 x2. a Halle los puntos de interseccin con el eje x. b i Halle f (x). ii A partir de lo anterior, halle las coordenadas de los puntos mnimo y mximo. c i Utilice sus respuestas de los apartados a y b para dibujar aproximadamente el grfco de f. ii Dibuje aproximadamente el grfco de g(x) = 1 x2 en los mismos ejes. d Escriba una expresin que d el rea de la regin entre fy g y halle el rea de la regin.
5
En las preguntas 6 a 9 dibuje aproximadamente un grfco de la regin delimitada por las curvas dadas. Escriba una expresin que d el rea de la regin. Halle el rea usando la CPG. 6
y = lnx e y = x 2
7
f (x) = x2 3x + 1 y g (x) = x + 3
8
f (x) = ex y h (x) = 2 x x2
9
y=
x+2 x 1
1
e y= x+ 6 2
PREGUNTA TIPO EXAMEN Considere las unciones f (x) = x y g (x) = 2 x . a Dibuje aproximadamente el grfco de fy g en los mismos ejes. b i Escriba una expresin para el rea de la regin entre f y g. ii Halle esta rea. c La recta x = k divide el rea de la regin del apartado b a la mitad. i Escriba una expresin para la mitad del rea de la regin del apartado b. ii Halle el valor de k.
10
31 6
Integracin
Ahora nos centraremos en los casos en que y e y2 son continuas en a x b, pero y no es mayor o igual que y2 para todo x en a x b. En este caso debemos hallar todos los puntos de interseccin y determinar cul curva es la superior y cul la inerior en los intervalos determinados por los puntos de interseccin.
ejmplo Escriba una expresin que d el rea de la regin entre f (x) = 10x + x2 3x3 y g(x) = x2 2x. Halle el rea. Respuesta 10x + x2 3x3 = x2 2x x = 2, 0, 2 0
((x2 2x) (10x + x2 3x3 )) dx 2
+
2
((10x + x2 3x3 ) (x2 2x)) dx
0
= 24
Hallar los puntos de interseccin entre f y g g(x) = x2 2x es mayor o igual que f(x) = 10x + x2 3x3 en 2 x 0, por lo tanto en este intervalo la altura de cada rectngulo est representada por (x2 2x) (10x + x2 3x3 ). f(x) = 10x + x2 3x3 es mayor o igual que g(x) = x2 2x en 0 x 2, por lo tanto en este intervalo la altura de cada rectngulo est representada por (10x + x2 3x3 ) (x2 2x).
Use la CPG para hallar las coordenadas de los puntos de interseccin y determinar cul curva es la superior y cul la inferior en los intervalos determinados por los puntos de interseccin.
Ejercitacin 9L En las preguntas a 4, escriba una expresin para hallar el rea de la regin delimitada por las dos curvas y posteriormente halle el rea. 1
y = x3 2x2 e y = 2x2 3x
2
f (x) = (x 1) 3 y g(x) = x 1
3
f (x) = xex y g(x) = x3 x
4
g(x) = x4 + 10x2 9 y h(x) = x4 9x2
2
PREGUNTA TIPO EXAMEN 1 5 Las curvas que se muestran en la fgura son grfcos de f (x) = x2, 4 g(x) = x2 y h (x) = 2x 4. a i Halle las coordenadas del punto Q. ii
Muestre que la recta que pasa por los puntos P y Q es tangente a f (x) =
1 4
x2 en el punto Q.
Halle las coordenadas del punto P con una aproximacin de cuatro ciras signifcativas. ii A partir de lo anterior, escriba una expresin para el rea de la regin sombreada y posteriormente halle el rea.
y 6 4
Q
2 1 0 2
1 P
2
3
4
5
x
4
b i
Captulo 9
317
9.6 volumen de reolucn
Los slidos de revolucin son usados en la manuacturacin de muchos artculos, como pistones y cigeales.
Un sldo de reolucn se genera mediante la rotacin de una fgura plana alrededor de un eje de rotacn . Consideremos un rectngulo perpendicular al eje x. Imaginemos que el rectngulo se rota 360 alrededor del eje x. y y
0 0
[ Pistones
x
x
El slido que se orma se denomina dsco. El disco es un cuerpo cilndrico. y
dx
Vcilindro = r2h = y2 dx
y 0
x
[ Cigeales
inestgacn: volumen de revolucin Considere el tringulo ormado por la recta f (x) = 0,5x y el eje x, entre x = 0 y x = 6. 1 Copie y complete la tabla con las dimensiones y los volmenes de los discos generados cuando los rectngulos que se muestran en la fgura se rotan 360 alrededor del eje x. La ltima fla en la tabla ya ha sido completada. Intervalo 0x0
x
d dx d dx d dx
[ sen x ] = cos x [ cos x ] = sen x
[tan x ] =
1 2
co s x
, cos x 0
Utilizando estos resultados y las reglas expuestas al principio de la seccin 1 4.1 , podremos hallar las derivadas de una gran variedad de unciones.
La mayora de los fenmenos en las ciencias, la ingeniera, los negocios y otros campos pueden ser modelizados mediante una funcin lmntal. Una funcin elemental es una funcin que es algebraica, trascendente o la adicin, diferencia, multiplicacin, divisin o composicin de funciones algebraicas y trascendentes. Funcions algbraicas Polinomios Funciones racionales Funciones que contienen radicales Funcions trascndnts (No se pueden expresar como una adicin, diferencia, multiplicacin, divisin ni radicales que contienen trminos en xn.) Funciones logartmicas Funciones exponenciales Funciones trigonomtricas Funciones trigonomtricas inversas Ahora ya sabemos cmo derivar todas las funciones elementales, con excepcin de las trigonomtricas.
ejmplo Halle la derivada de cada uncin. a f (x) = 4e 2x + sen (3x + 2) c y = cos 3 x sen x x b y = e sen x d s(t) = ln(sen t) Respuestas f (x) = 4e2x + sen (3x + 2) f (x) = 4(e2x)(2) + [cos (3x + 2)] (3) = 8e2x + 3cos (3x + 2)
a
b
y = ex sen x y = ex (cos x) + sen x (ex) = ex(cos x + sen x) c y = cos 3 x sen x = (cos x) 3 sen x y = (cos x)3 (cos x) + sen x (3(cos x) 2) (sen x) = cos4 x 3cos 2 x sen2 x d
Utilizar la regla del producto
Utilizar la regla del producto, y aplicar la regla de la cadena para hallar la derivada de (cos x) 3
s ( t ) = ln(sen t ) s ( t ) =
500
Utilizar las reglas de la constante, de la multiplicacin por una constante y de la cadena para derivar el primer trmino y la regla de la cadena para derivar el segundo trmino
1
1 (co s t ) = co s t o tan t sen t sen t
Anlisis con funciones trigonomtricas
Aplicar la regla de la cadena
Ejercitacin 14C En las preguntas a 0, halle la derivada de cada uncin. sen x y= 1
f ( x ) = 6 cos 2 x
3
f (x) = xex ex
4
s(t ) =
5
f (x) = ex (sen x cos x)
6
s(t) = t tan t
7
y = e3 x cos 4x
8
y=
9
f (x) = (ln x)(cos x)
10
f (x) = ln (cos x)
2
+ 3x 3
1 + co s x 1 sen 2 t 2
e
tan 2 x
PREGUNTAS TIPO EXAMEN 11 a Sea f (x) = ln(3x2 ). Escriba f(x).
12
x
b
Sea g ( x ) = sen . Escriba g(x).
c
Sea h ( x ) = ln(3 x 2 ) sen . Halle h (x).
2
x
2 sen x
Sabiendo que f ( x ) = y f( x ) = 2 1 + co s x halle a y b.
co s x (1 + a co s 2 x + b sen 2 x ) (1 + co s 2 x ) 2
Podemos utilizar las derivadas primera y segunda de una uncin para analizar el grco de la uncin.
,
Vase la seccin 7.6 en el captulo 7.
ejmplo Considere la uncin f (x) = sen x + cos x para 0 x 2 . Analcela sin utilizar la CPG. Halle las intersecciones con los ejes coordenados. Halle los intervalos en que fes creciente y decreciente y los puntos extremos relativos. Halle los intervalos en que fes cncava hacia arriba y cncava hacia abajo y los puntos de infexin. d Utilice la inormacin de los apartados a a c para dibujar aproximadamente el grco de f. a b c
Respuestas a
Para hallar la interseccin con el eje x, igualar la funcin a 0 y despejar x. Utilizar el conocimiento de los valores del crculo de radio unidad para hallar las soluciones.
sen x + cos x = 0 sen x = cos x x=
3 7 , 4 4
Intersecciones con el eje x: f (0) = sen 0 + cos 0 =0+1 =1 Interseccin con el eje y: 1
3 4
y
7 4
Para hallar la interseccin con el eje y, evaluar la funcin cuando x = 0 { Contina en la pgina siguiente.
Captulo 1 4
501
b
Hallar la derivada de y hallar dnde (x) = 0 Realizar un diagrama de signos para es creciente cuando es positivo y decreciente cuando es negativo.
(x) = sen x + cos x (x) = cos x sen x cos x sen x = 0 cos x = sen x 5 (x) = 0 en x = , 4
4
Creciente: 0 < x
0 y (1 2x) 4 > 0 para todo x donde h est defnida, la pendiente de h es siempre positiva.
2
3(2 x + 3 ) 3
e
17
h (x) =
dy 1 = dx x 2 2 d y 2 = dx 2 x 3 d 3 y 6 = dx 3 x 4 4 d y 24 = 5 dx 4 x n d y ( 1 ) n n ! = dx n x n +1
10
1 8
1
3
1 2 2
( 2 x 2 )e x
b
2
c
y 1 = 2(x 2)
dx n
9
+ 4 x3 (x2 + 3) 2
a
dn y
2 x
= e x + e x.
8
25 x 5
1
12
e 3o0 Respuestas
Ejercitacin 7N 1
2
a
2
1,4 m; 21 m
b
9,8 m s
c
9,8 m s 1 ; 0 m s 1 ; 9,8 m s 1 ; La pelota se mueve hacia arriba en un 1 s, en reposo en 2 s y hacia abajo en 3 s.
1
1
ii t = , 2 s d
i
ds
= 32 t + 40
dt
b
111 litros/min; durante el intervalo de 0 a 20 minutos, el agua est siendo drenada del tanque a una razn promedio de 111 litros por minuto.
iii
3 a
V (t ) es negativa para 0 t < 40 minutos, lo que signica que el agua fuye hacia auera del tanque durante este intervalo de tiempo. Por lo tanto, la capacidad de agua en el tanque nunca aumentar entre t = 0 minutos y t = 40 minutos.
305 baterias/da; al nal del da 10, el nmero de bacterias aumenta a razn de 305 bacterias/da.
0,25 t
= = v(t ) =
b
Ejercitacin 7O 0 cm; 9 cm s 1s y 3s
1
c t= 3 t= 1
t= 0 0
Respuestas
4
e t (1 ) t ( e t ) (e t ) 2 e t (1 t ) e2t 1t
2
a b c d 3 a b
Velocidad ( m s 1 )
Celeridad ( m s 1 )
0
10
10
1
8
8
2
6
6
3
4
4
4
2
2
a
Acelera la marcha. Aminora la marcha. Acelera la marcha. Aminora la marcha. Acelerando la marcha. Aminorando la marcha.
Ejercitacin 7P 1 a v (t) = 8 t 3 12t, t 0
et
1 segundo
a (t) = 24 t 2 12, t 0 b 84 cm s 2 ; la velocidad est aumentando 84 cm s 1 en el instante 2 segundos.
Sea una aceleracin de 2 m s2.
Tiem po ( s)
Velocidad ( m s 1 )
Celeridad ( m s 1 )
0
10
10
1
12
12
2
14
14
3
16
16
4
18
18
b
20 dlares/unidad. Cuesta 20 dlares por unidad producir unidades despus de la unidad 100.
b
iv 29 pies
Investigacin: velocidad, aceleracin y celeridad
S
Sea una aceleracin de 2 m s2.
Tiem po ( s)
Velocidad ( m s 1 )
Celeridad ( m s 1 )
0
10
10
1
8
8
2
6
6
3
4
4
4
2
2
20,25 dlares/unidad; 20,05 dlares/unidad C (n) = 0,1n + 10
a
Tiem po ( s)
c v (t ) = 0 cuando t = 0 y 1,22 s; a (t ) = 0 cuando t = 0,707 s; acelera la marcha en 0 < t < 0,707 s y t > 1,22; aminora la marcha en 0,707 < t < 1,22. 2
a
v (t) = 3 t 2 + 24t 36, 0 t 8 a (t) = 6t + 24, 0 t 8
c
c
5 s 4
v(t) = s(t)
112 bacterias/da. P (t) = 25e
b
3 a
1
b
4 a
Sea una aceleracin de 2 m s 2 .
2
ii 40 pies s 1
d
7
c
4000 litros; 1778 litros
89 litros/min; en 20 minutos, el agua est siendo drenada del tanque a una razn promedio de 89 litros por minuto.
d
4 pies s (2) = 16(2) 2 + 40(2) + 4 = 64 + 80 + 4 = 20 pies i 16t 2 + 40t + 4 = 20
a
c
1
a b
c
Sea una aceleracin de 2 m s 2 .
Tiem po ( s)
Velocidad ( m s 1 )
C eleridad ( m s 1 )
0
10
10
1
12
12
2
14
14
3
16
16
4
18
18
b s (0) = 20 m; v (0) = 36 m s ; a (0) = 24 m s 2 c t = 2, 6 s; se mueve hacia la izquierda en 0 t 2 y 6 t 8, se mueve hacia la derecha en 2 t 6. d t = 4 s; acelera la marcha en 2 t 4 y 6 t 8, aminora la marcha en 0 t 2 y 4 t 6 3 a
v (t) = 9,8 t + 4,9 a (t) = 9,8
b 2,01 s c 0,5 s; 11,2 m d v (0,3) = 1,96 > 0 y a (0,3) = 9,8 < 0. Dado que los signos de v (0,3) y a (0,3) son dierentes, la partcula aminora la marcha en el instante 0,3 segundos.
4 a
i
v(t) =
1 2
ii b
i ii
1
t
t +1
1 segundo a(t) =
1 2
+
Dado que 1 (t + 1 )
2
a(t) =
2
+
1
Cncava hacia arriba ( , )
1
2
Cncava hacia arriba (0, 2); cncava hacia abajo ( , 0) y (2, ); puntos de infexin (0, 0) y (2, 16)
(t + 1 )2 1 2
>0 y
3 Cncava hacia arriba (2, ); cncava hacia abajo ( , 2); puntos de infexin (2, 8)
1 (t + 1 )2
>0
para t 0 y por lo tanto su velocidad nunca decrece. Ejercitacin 7Q 1 Decreciente ( , ) 2
Ejercitacin 7T
1
> 0, 1
Ejercitacin 7S
4
3 3 , , cncava , y 3 3
2
6 Decreciente ( , 3) y (3, ) 7
Decreciente (0, )
8 Creciente ( 3, ); decreciente ( , 3) 9 Creciente ( , 3 ) y ( 3, ); decreciente ( 3 , 1 ), ( , ) y (1, 3 ) 10 Creciente ( , 2) y (4, ); decreciente ( 2, 4) Ejercitacin 7R
3
3
a
f ( x ) =
48 x ( x2 + 1 2)2
= =
4
( x 2 +1 2 ) 4 ( x + 1 2 ) ( 48 ) + 1 92 x 2 ( x 2 + 1 2 ) (x2 + 1 2)4
0
48 ( x 2 + 1 2 )[ ( x 2 + 1 2 ) + 4 x 2 ]
=
Mnimo relativo ( , 5)
2
Mnimo relativo (2, 2 ); mximo relativo ( 2, )
3 No hay extremos relativos. 4 Mnimo relativo ( , ), y ( , ); mximo relativo (0, 0) 3 21 87 5 Mnimo relativo , 256
6 Mnimo relativo (0, 0); 4 mximo relativo 2, 2 e
No hay extremos relativos.
8 Mnimo relativo ( , 0); mximo relativo ( 3, 8)
48 ( x + 1 2 )(3 x 2 1 2 ) 1 44 ( x 2 + 1 2 )( x 2 4 ) ( x2 + 1 2)4
=
1 44 ( x 2 4 ) ( x 2 + 1 2 )3
b
i Mximo relativo (0, 2) ii Puntos de infexin 3 3 2, y 2, 2 2
8 Cncava hacia arriba ( , 2) y (4, ), cncava hacia abajo ( 2, 4), puntos de infexin en x = 2, 4
2 4 6 8 10 12
x
(3, 0) 1 2 3 4 5 6
x
y 10 8 6 4 2 (0, 0) 4 3 2 120 4 6 8
( x2 + 1 2)4
=
y=1
5
2
1
x= 4
y 10 8 6 4 2
2
(x2 + 1 2)4
x
6 8
( x 2 +1 2 ) 2 ( 48 ) ( 48 x )[ 2 ( x 2 +1 2 )( 2 x )] 2
y
6 4 220 (0, ) 4
f ( x ) =
y
1
8 6 (2, 0) 4 2
3
4 x
(1, 0) (5, 0) 0 1 2 2 4 (0, 5) 6 8 (1, 8) 10
2
3 3 puntos de infexin , 3 4 3 3 , y 3 4
5 Creciente (1 , 0) y (1, ); decreciente (, 1) y (0, 1)
4
( 53 , 4027) (5, 0)
hacia abajo , , 3 3
3
)
6 Cncava hacia arriba
Creciente ( , 2); decreciente (2, )
4 Decreciente ( , 0); creciente (0, )
7
(
puntos de infexin 2, 2 e
3 Creciente ( 1 , 1); decreciente ( , 1) y (1, )
7
0 4 3 2 14 1 2 8 (0, 8) 12 5 49 , 16 3 3
5 Cncavo hacia arriba ( 2, ); cncava hacia abajo (, 2);
( 23 , 0)
4
(4, 0)
4 Cncava hacia arriba ( , )
y
6
1 2 3 4
x
y 1 (1, 0) 4 3 2 1 0
(33 , 12 )
(1, 0) 1 2 3 4 x
1 (0, 1)
(33 , 12 )
Respuestas
Ejercitacin 7U y
1
y = f ''(x)
4 Mximo absoluto 16; mnimo absoluto 9
j
4
5 Mximo absoluto 2;
k
e x (3 x 2 + 6 x + 1)
l
y = f '(x)
mnimo absoluto
3 2 1 0
1 2 3
Ejercitacin 7X
x
y = f(x)
y = f'(x)
y
3 2 1 0
2
100 y 50 x = 50 pies; y =
3
2
40 cm por 40 cm por 20 cm
2
3 artculos
4 a
y = f''(x)
y = f '(x)
c
0
2 4 6 8
d y = f ''(x)
5 a b
Ejercitacin 7V 1
Mnimo relativo (3, 75)
2
Mnimo relativo (1, 0) y (1, 0); mximo relativo (0, 1)
3 Mnimo relativo (3, 27)
1
4 Mnimo relativo 1, e 5 Mnimo relativo (1, 0) 6 Mximo relativo (0, 1) Ejercicion 7W 1
2
A: ninguno; B: mnimo absoluto y relativo; C: mximo absoluto A: ninguno; B: mnimo relativo; C: mximo absoluto y relativo; D: mnimo absoluto
3 Mximo absoluto 8; mnimo absoluto 8
7
Respuestas
c
a
x 3 + 3x 2h + 3xh 2 + h 3
(
lim 30 3a 5
r = 4 cm; a =
2
=
dx
1
4 x;
x2
lim
4
10 cm 3
d2 p dx 2
1
=
3
x2
4
c
p = 1; q = 1
d
f (x) = 12x
e
(0, )
3
y 4 = 1 ( x 1)
4
2 3 9 2 3 2 3 9 + 2 3 , , , 9 9 3 3
12
5 a b
1
6 a
12 x5
b
11
4e 4 x
g 1 2 x 2 ( x 3 + 1) 3 h i
2 2x + 3 1 2 ln x x3
h
6x2 6
4 3 2 d 10x 4x 3x + 2x 1
f
2
h (6 x 6 xh 2 h 6)
h0
x3
( x + 7)2
h
40 a + 3 a 2 ); lim (6 x 2 6 xh 2 h 2 6) h0
3
3
2
lim
3
h 2
h0
20 a + a )
3
6 x h 6 xh 2 h 6 h )
3
0,630 mil unidades o 630 unidades
b
2
2
p( x ) = 4 x 2 x 2 dp
2
2 x 6 x h 6 xh 2 h 6 x 6 h 2 x 6 x
h0
2
) (a ) o 2
dV 9 = (1 00 da 25
12x2 + 6x 2
e
h 3
a
c
[2( x h ) 3 6( x h )] (2 x 3 6 x )
h0
30 3 a 5
r =
Ejercicio de revisin sin CPG 1
1 x
f '( x )
dV 9 = ( 40 + 6 a ) 2 25 da
x
o
b
2
8 6 4 2
2 xe 2 x ( x + 1)
lim
9 V (a ) = (1 00 a 25
y y = f(x)
(e 3 )2 3 x
n pies
1
b V (a) = 3
200
3 22
1 2 3 x
3
6e x
m
Ejercitacin 7Y y = f(x)
1
x
2x 5
1
79 1 y 4 4
3 2
5 2
3
f (2) > f (2) > f (2); f (2)> 0, dado que el grfco de fes cncavo hacia arriba; f (2) = 0; y f (2) < 0, dado que el grfco de f es decreciente i 4x 3 12x 2 ii i ii iii
12x 2 24x (0, 0), (4, 0) (3, 27) (0, 0), (2, 16)
c
y 20 15 10 5
(4, 0) (0, 0) 0 4 3 2 15 1 2 3 4 x 10 15 20 (2, 16) 25 (3, 27)
a
v ( t ) = 20
Ejercitacin 8B
1 00 t
1
b
t< 5
c
1 00 v ( t ) a ( t ) 2 y, dado que t
a
Continua
b
y
100 > 0 y t 2 > 0, v (t) > 0. Por lo tanto, la velocidad es siempre creciente. Ejercicio de revisin con CPG a
No existe.
b
1
c
8
d 2
a c
i
y = x 2 + 1 00
ii
z =
(30 x ) 2 + 625 o x 2 60 x + 1 525
iii
dL
i
dx
y
10 20 30 40 50 60 70 x Edad (aos)
Continua
b
x 1 00 x 30
c
M asa ( kg)
x 60 x 1 525
8,57 pies
4 a
8
24
Discreta
b
5,76 llamadas por da
a
Continua
b
90 m < 120
c
83,4 minutos por da
5
79
6
91,1 kg
7
255 km
8
568
9
103 puntos
10
$315,20
Ejercitacin 8E 1
a
2
11
50
b 5
4
e
c 3,5
6
3 Moda 7, media 5,25, mediana 5,5
14
Continua
b
Comprobemos nuestras habilidades
$1,86 a
d 4
1 w 2 w 3 w 4 w < 2 < 3 < 4 < 5
N m ero de pollos
62,5 km h 1
3
96
2
Captulo 8
c
5 min
Tiempo 5 t < 10 10 t < 15 15 t < 20 20 t < 25 25 t < 30 30 t < 35 35 t < 40 40 t < 45
f
1
0
b 170 h < 180
1
2
4
2
ii
3 a
x
15 30 45 60 75 90 x Tiempo en minutos
5 4 3 2 1
L ( x ) x 2 1 00 x 2 60 x 1 525
b
1
40 30 20 10 0
a
Ejercitacin 8D
b 17
No existe.
a
2
Continua
Nmero de profesores
1
2
Nmero de estudiantes
7
1
2
4
4
2
2
1
1
y 12
Investigacin: medidas de posicin central
10 8 6
Valores
4 2
2
a
Rojo
6
b
8
ii
10
iii
11
Ejercitacin 8A
2
12 , 2
14
13
Su m a r 4 a ca d a va l or d el 10, 11, 12 , 14, 16, 18, con ju n to 18, 19, 2 0, 2 4
16, 2
18
17
M u l tipl ica r ca d a va l or d el 12 , 14, 16, 2 0, 2 4, 2 8, con ju n to origin a l por 2 2 8, 30, 32 , 40
2 4, 4
28
26
Rosa Prpura Negro x
Azul
6,4
c i
1
6, 7 , 8, 10, 12 , 14, 14, 15, 16, 2 0
Con ju n to d e d a tos
0
a
Discreta
b Continua
c
Continua
d
Discreta
Discreta
Ejercitacin 8A 1
M edia M oda M ediana
a
18
b
9
c
18 y 24
d
0
e
1 y2 2
a
Si suma 4 a cada valor, sumar 4 a la media, la moda y la mediana.
b
Si multiplica cada valor por 2, multiplicar la media, la moda y la mediana por 2. Respuestas
Ejercitacin 8F 1
a d
95 cm b 67,5 92,5 e 35
c
57,5
11 min
0
20
a d
m Q3
Q1
Min x
ii
(13,6 8,2)min = 5,4 min
40
Min X 71
3 a d
N otas
f
fa
2
2
30 m < 40
3
5
c
40 m < 50
5
10
50 m < 60
7
17
60 m < 7 0
6
23
7 0 m < 80
4
27
80 m < 90
2
29
90 m < 100
1
30
75
Q1 75
Q 3 Mx X
m 79
82
b 21 e 15
19 27
x
85
c
12 b
ii
23 min
16 min
y
Q 3 Mx x
m
10
4 a 5 d 10 5 a iii
x
20
30
b 8 e 3 b ii
c
7
c
i c
a
75 cm
b
(77,5 72) cm = 5,5 cm
c
El 50% de los datos tiene una dispersin de 5,5 cm.
Mediana 57%
ii
Cuartil inerior 45%
Distancia ( d )
f
b
3 a
20,5 30,5 40,5 Longitud (mm)
x
y 100 90 80 70 60 50 40 30 20 10
Q2 Q3
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 x Tiempo (min)
Respuestas
170 cm
b
55 fores entre 135 cm y 164 cm
c
22 fores, 180 cm
d 110
y
140 150 160 170 180 190 200 x Altura (cm)
Ejercitacin 8H 1 a Media = 18 Varianza = 129,6 Desviacin tpica = 11,4 b Media = 40 Varianza = 200 Desviacin tpica = 14,1 2
a
Varianza = 78,5 Desviacin tpica = 8,86
b Varianza = 80,18 Desviacin tpica = 8,95
fa
0 d < 20
4
4
9
13
40 d < 60
15
28
3 1,32
60 d < 80
10
38
2
40
4 Media = 2,5 Desviacin tpica = 1,24
c Varianza = 449 Desviacin tpica = 21,2
5 Desviacin tpica = 14,9
y
6 a
40 36 32 28 24 20 16 12 8 4 0
Q1
a
2 0 d < 40
80 d < 100
Frecuencia acumulada
Frecuencia acumulada
i
5 a
0 10,5
Nmero de estudiantes que tardaron menos que este tiempo
20 40 60 80 100 Nota del examen %
iii Rango intercuartil 24%
40 35 30 25 20 15 10 5
10 20 30 40 50 x
e
Cuartil superior 69%
y
2
7
0
0
Ejercitacin 8G
0
y 32 28 24 20 16 12 8 4
Frecuencia acumulada
Min x Q 1
i
iii 37 min b
2 0 m < 30 80 100 120 x
60
b 79 e 7
14 82
4 a
Mx x
y
1
6 a
b p = 32, q = 8
y
2
i
c 7
c
c Distancia de clasicacin 66 m d Rango intercuartil 28 m e Mediana 50 m
b
2,73
1,34
d
23
Media = 42,4 Desviacin tpica = 21,6
8 a
20 40 60 80 100 x Distancia de lanzamiento (m)
Discreta
b 69,5
51 i
21,8
ii
Ninguno
Investigacin: el efecto de sumar o multiplicar el conjunto de datos en la desviacin tpica a
2,47
b
La media aumenta de 100 a 103,9.
c d
3 a
2,47 La desviacin tpica permanece igual. Esto es porque la desviacin tpica solo mide la dispersin de los nmeros, y esta permanece constante si se le suma el mismo nmero a cada valor de la lista.
e
La media se duplica.
f
4,94
4 a
2
3
d
9
a
4,2
b b
5 4
c
(
b
14
c
a 5 a
140 Estatura < 150
15
Ejercitacin 9A
150 Estatura < 160
55
1
160 Estatura < 17 0
90
17 0 Estatura < 180
45
180 Estatura < 190
5
Media = 164 cm 6 a
i
ii
p = 65
8
c
62
1
Frecuencia acumulada
y
2
b
i
Mediana = 3
ii
Rango intercuartil = 51=4
6,48
b 1,31
1 1 x1 1
3 4 7
x3 + C 10
5
c
g(x1) + 4g(x2) + 9g(x3 ) + 16g(x4) + 25g(x5 )
12
3x3 + C
d
f (x1)(x1) + f (x2)(x2) + f (x3 )(x3 )
a
18 mm 2
b 8 cm 2
160 cm 3
b 42 ft3
Antiderivada de f
f ( x)
1
x
2
x +C
2 1
x2
1
4
x5 + C
4
Ejercitacin 9B 1
1
2
+C
3
4
x4 + C 1
t 5 9
9
x5 + C
4
2u + C
5
x3 + x2 + x + C
6
7
1
8
3 3 5
2
+C
x2
4
t3 +
5
5
x3 + x + C
9 10
x5 + 3x4 + 3x2 2x + C t+ C
x5 + C
11
a
3x2
5 1 n +1
b x
5
t4 + C
x4 + C
4 1
10
x7 + C
1
x3 + C
3
2
+C
4
11
x4
a
+C
4 + 7 + 10 + 13 + 16
Ejercicio de revisin con CPG
2
1 3 x3 1
b
x3
Mediana = 20 Rango intercuartil = 14
7
2 + 8 + 18 + 32 + 50
Investigacin: antiderivada de xn
x5 + C
a
8 Mediana = 65 o F, rango intercuartil = 45 o F
1
+C
10
3 a
k = 100 96 = 4
x5 + C
7
5
7
72
a
5
x3 + C
4
Media = 17,7
b
Rango intercuartil 6
1
4
3
c
426
c
1
2
2x 2 + C
6
3
Mediana 163
Mediana = 18
c
b
x8 + C
8
b
8
6 a
7
4
9
180 x
1
x
q = 34
b
160 170 Altura (cm)
3
5
52
150
( )
d 2 23 x dx 3
3
f
Comprobemos nuestras habilidades
0
3
;
3
x2 ;
Estatura
Captulo 9
140 120 100 80 60 40 20
2x2
= x2 4 n = 1
8
Tipo B
1
2
)=x 2
+1
x2 =
1 +1 2
4 Tipo A 52
1
1
1
x3+1 = x2 o
1
3 Media = 27,5 aos Desviacin tpica = 0,4 aos a
1 3 +1
d 1 x 2 dx 2
160 Estatura < 170
5 4
3
1
5 a b
c
5,92
b Rango = 6 Cuartil inferior = 1, RIC = 3
Ejercicio de revisin sin CPG a
c
Media = 2,57 Mediana = 2 Moda = 1, Desviacin tpica = 1,68 Varianza = 2,82
g La varianza quedar multiplicada por 4 porque la varianza es la desviacin tpica al cuadrado. 1
b 6
6
n +1
12
a
1 4 6
8 x3 4
x4
4
x
+C 6
b 25 x 5 + C
x5
Respuestas
Ejercitacin 9C 1 2
2
f (x) = 1
y=
5
3
Ejercitacin 9F
x6 + 4x2 + 8
1
1
5
2
ln(x3 + 2x) + C, x3 + 2x > 0
4
5
x +
5 a
x +9
5
2
s ( t ) = 5 + 20 t t 2 2
Ejercitacin 9D 1
2 ln x + C, x > 0
2
3e x + C
3
1
4 5 6 7 8 9 10
4 1 2 4 3 2 3 1
ln t + C, t > 0 x2 + C x3 + 6x2 + 9x + C x3 + 3x2 + 5 ln x + C, x > 0
4 1 2 2 5
3
x4 x3 +
2
4
e +C
5
6
e
5
x + 2
1 x2 + 3x + 1 x
1
2
1
2e 2
4
1
2
(3x + 5) + C
x 3
2
6
2e 2x+1 + C
9
21 1 4
a b
0
7
11
8
3
9
20
10
12
11
a
4
12
a
4
0,5 ii 0,5
1; 1,25; 2; 3,25
ii
1,25; 2; 3,25; 5
4,67; 3,75 < 4,67 < 5,75; el rea de la regin sombreada
2
(3)(6) = 9;
(2x + 2)dx = 9; 1
f (x)dx 1
4 a
2
(2,5 + 1)(3) = 5,25; 5
1
b
2
1 x + 3 dx = 5,25 2
(4 2) 25,1; 4 2
1 6 x dx 25,1
(7 x + 2) 2 + C
e 4x +
4 3
4
ln(3x 5) + C,
Ejercitacin 9G 6
1
3
1
1 1 2( 4 x 5 )
2
+C
2
12(4x + 5) 2 1 16 1
1 x + 1 dx = 16; 2 2
1
2
(4x + 5) + C 3t
3
2
+ 3t +
3
(x 4x)dx = 4; no hay 3
3
3 dx = 12; (4)(3) = 12 1
Respuestas
3
1 2 36
4
5
4(e3 1)
6
1
7
16
8
16
9
a
5
3
b
24
10 12 Ejercitacin 9J
frmula para el rea.
13
3
10
1
2
ii
Ejercitacin 9I 1
0 3
12
a = 3; b = 7
(8)(4) = 16
2
4
b
b i
2
1
3
12 s = e
12
6
1
5
11
5
i
b
(4x 3) 8 + C
x> 10
4
2
ln(7 2x) + C, x
5
2
3
x + 2x + C
1
3
12
f (x) = e x + 4e
4
12
1
iii 5,75
6
(x4 x2) 4 + C
12
2
(2x + 5) 3 + C 1
Ejercitacin 9H
f (x) = ln(4x2 + 1) + 4
1
(2 + 4)(6) = 18
2
11
Ejercitacin 9E 1
3
ln(x3 4x) + C, x3 4x > 0
a
0
1
(x2 + x)4 + C
10
2
1 x + 2 dx = 18; 3
6
1
b
2
3
6
+C
(2x3 + 5) 5 + C
30 4 3
para el rea.
+C
iii 3,75
3
2
1 dx 1,10; no hay frmula x
1
9
(e x + x) + C
3
5
4
1
x2 x + C
(3 2) 7,07
4
x
8
u3 + C
3 1
1
(3 x + 5 x ) 2 + C
3
7
9 x 2 dx 7,07;
0
2
5
b
4
3
2
3
3
5 m s
3
(2x2 + 5) 3 + C
4
3 s(t) = t3 t2 6 4 115 cm
3
2
ln 3 1
1
e2
e3
3
0
4
2 e e
1
32 3
k= 3
2
56
5
(0,0), (1, 0), (1,0)
5 a
y 2
9
b
6
320
7
2 ln
8
2(e 4 e 3 )
1
ii Puntos mnimos relativos:
18 7 2
2
9
2
2x (x 2)dx
a
b
(
3
0
10
1
0
1
8 0
5
f (x) = 4x3 2x
i
)
x x 2 dx =
2 x
1 1 1 1 , , , 2 2 4 4
1
Punto mximo relativo: (0, 0)
3
Investigacin: rea entre dos curvas
i e ii
c
y
1
f(x) = x4 x2
2 Intervalo
Ancho
Altura
rea
1,5 x 0, 5
1
f(1) g(1) = 2 (3) = 1
1(1) = 1
0,5 x 0, 5
1
f(0) g(0) = 0 (2 ) = 2
1(2 ) = 2
0,5 x 1, 5
1
f(1) g(1) = 4 (1) = 5
1(5) = 5
1,5 x 2 , 5
1
f(2 ) g(2 ) = 10 0 = 10
1(10) = 10
2 ,5 x 3, 5
1
f(3) g(3) = 18 1 = 17
1(17 ) = 17
1 (0, 0) 0 1
2
(
1, 1 2 4
)
1
(
1 2
2 x 1 , 1 2
4
g(x) = 1 x2
((1 x2) (x4 x2))dx =
d
2
rea 3 5
3
y 8 6 4 2
3,5 2
[(x + 3x) (x 2)] dx
3 ,5
35,4; los valores estn muy
4 3 2 120 4 6 8
prximos. Ejercitacin 9K 1
y 4 3 2 1 4 3 2 110 2 3 4
6
)
8 5
y 2 1
1 2 3 4 x
1 0 1
1
2
3
4
x
2 3
2
3, 46
(x3 (2x 4))dx = 16
(ln(x) (x 2)dx
2
0,1 586
1,95 1 2 3 4 x
4
y
2
1 2 1 2 x + 2 x 2 dx 2 2 2 32 = 3
7
y
4 3 2 1 4 3 2 11 2 3
0
5 4 3 2 1 2 3 4 x 1 2 1 0 1
1
2
3
4
x
2
((3 + 2x x2) (x + 1))dx
2,732
=
9
0,7321
2
6,93
((x + 3) (x 2 3x + 1))dx
Respuestas
8
Ejercitacin 9M
y
2
3
((x 1) 3 (x 1))dx +
5
1
0
0
((x 1) (x 1) 3 )dx = 0,5
1
V = (4 2)(5) 251
1
3
0
3 2 1 0 1
1
3 x
2
(( x
3
x ) ( xe x
3
2
) ) dx +
2
, 3 0
0,384
( ( xe ) ( x
3
))
3
2
4
2,68
4
((x + 10x 9) (x4 9x2))dx +
2
0
((x4 9x2)
4
5
((x4 + 10x2 9) 2
4
6
8
4
i
(4, 4)
ii
f (x) =
10 a
b
,236
g(x) = 2x
ii 0 4
f(x) = x
1 ,236
1 2 3 4 5 6 x
2
i 0
k
4 3
(2 3
Intervalo
)
x x dx o
Radio
3
(3x x2) 2 dx = 0 4 1
1 3 dx = 4 x ln 4
1 x e 4 dx
2
Altura
Volumen
1
1x2
f(2) = 1
21=1
(1) 2 (1) 3,142
2
2x3
f(3) = 1,5
32=1
(1,5) 2 (1) 7,069
3x4
f(4) = 2
43=1
(2) 2 (1) 12,57
4x5
f(5) = 2,5
54=1
(2,5) 2 (1) 19,63
5x6
f(6) = 3
65=1
(3) 2 (1) 28,27
0
2
2
71,5; mayor a
6
3 3
2
((2x 3x) (x 2x ))dx
Respuestas
2
(0,5) (1) 0,7854
((x3 2x2) (2x2 3x))dx +
3,08
10
2
4
81
10=1
k 1,51
1
15
3
f(1) = 0,5
k 2 k2
2
28
0x1
7
(x + 1) dx =
0
1
3
2
0
2,55
Ejercitacin 9L 1
2
2
5 a
8
7
1 2 x (2 x 4 ) dx 4
Investigacin: volumen de revolucin
1 27
(x3 ) 2 dx = 1
1 2 2 x ( x ) dx + 4
x x dx
2,67 u
i
ii
2
1
b 4
c
Ejercitacin 9N
x
i (1,236; 1,528)
y
ii
1
m = f (4) = 2 y 4 = 2(x 4) y = 2x 4
9,68
b
(2 2)(2) 58,6
2
1 x+2 x + 6 dx 2 x 1
2 110 2
1
3
5 a
4
4 3 2 1
3
2
2
(x 9x ))dx 110
10 x
1
(x2)dx 58,6; V = (42)(4)
0,707
1 ,725
1 4 3 ( 4 ) 134 23
V=
3
2 4 2 0 2
2
( 1 6 x ) dx 134;
(x4 + 10x2 9))dx +
4
(2 3 ) 33,5
4
4
0,707 0,707
9,275
3
2
y
6
4
V=
3
8
2
( 4 x ) dx 33,5; 2
0,707
1 ,952
(6 2)(3) 113
3
2
x dx
1,18
((2 x x2) e x dx
1
V= x2
3
(6 2x) 2dx 113; 0
1 ,1 31
2
9
(4 2)dx 251;
2
2
3
(0,5x) 2dx 56,5
1
0
4 Volumen =
1 3
(3) 2 (6) 56,5
b
e3
2
1 dx x
6 a
Ejercitacin 9O 1
a
2
| v(t)| dt =
v(t) = 2t 6
0
b
+ t= 4
t= 3
t= 0 s(t)
3
t3 9t + 12
e
20
f
ln 5 2
(x2 1)dx
b
4 3 2
2
0
v(t) = t2 6t + 8
2ms 2 < t < 10 28
1 2
d
2
(x 1) dx
18,4e dt 239 mil millones de barriles
s(t) 1
0
2
12
53 63
,5
(t 6t + 8)dt 12 m; 6
3 36,5 + 5 te
( 0 , 01 t 4 + 0 ,1 3 t 3 0 ,3 8 t 2 0 ,3 t + 0 , 9 )
0
dt 240 cm
v(t) = 3(t 2) 2 t= 0
3
20
t=2
1 33 1
4 4000 +
t=4
0
t dt 60
s(t) 8
0
3(t 2) 2dt = 16 m;
c
1780 galones
8
4
b
| 3(t 2) 2| dt = 16 m
3
4 a
c v(t)dt =
2
1 2
2
(6)(6)
1
| v(t)| dt =
2
2
+
1 2
d
(4 + 2)(2) = 12 m
2
e f
(6)(6)
(4 + 2)(2) = 24 m
g
5
b
v(t)dt = 0
+
1 2
1 2
h
(2)(2)
i
(3)(6) = 11 m
5
| v(t)| dt = 0
+
1 2
1 2
(2)(2)
(3)(6) = 11 m
2
1
v(t)dt =
2
(2)(2) +
1 2
(6)(6)
0
1 2
(4 + 2)(2) = 14 m
107
2
a
a(t) = 4t 11
b
a = 1,5, b = 4
c 3 a b c
7
2
y
x3
8 6 4 2
+C
5 3 1 x ln x + C , x > 0 18 2 1 4x e +C 4 1 15 1 2 1 2 1 2
2
ln(2 x + 3) + C , x >
0 2 4
1
1
x
2
2
( x 3 + 1) 5 + C
(3x (x3 2))dx = 6,75
d 1
3 2
2
(ln x ) + C , x > 0 (3 x 2 + 1 ) 2 + C
j
2ln(e x + 3) + C
k
(2 x 5) 2 + C
l
1
a b c
4 16 8
2
(2, 6)
7
1
7,83 m y = 3x
x3 +C
0
1
1
Ejercicio de revisin sin CPG 1 a x4 4x2 + 6x + C
4
2
13
Ejercicio de revisin con CPG
8
0
b
x2 2x + 4
espectadores
| t2 6t + 8| dt 14,7 m 3 a
7
0
2
c
(1375t2 t3 )dt 1546
2
6
2
5 a 5 b 28 6 s(t) = 2e 2t + 2t + 6
0
t= 2
3
4 f (x) =
t 20
1
t= 4
t= 0
2
1
0
t= 6
(x2 1)dx
1
Ejercitacin 9P
b
(x2 1)dx
c
2
6 a b c
| 2t 6| dt = 10 m
c
e6 e3
1
| t2 9| dt 119 m
c
d
3 a
8
(2t 6)dt = 8 m;
a
2
(6)(6)
2
1
s(t) =
4
2
1
2 m s 2
b
4
2
(2)(2) +
(4 + 2)(2) = 26 m
2
5 a
1 0 1 2 3 4 5 6 7 8
c
1
1
(
2
Captulo 1 0 Comprobemos nuestras habilidades 1
)
e 2x +C
a d
2
32 1 1 28
b 27
c
343
81
e
256
f
0,000000001 o 1 10 9
a
n=4
b n=5 c
n=3
d
n=4
e
n=3
n=3 f
Respuestas
Ejercitacin 10A
2
a
Negativa, dbil
y
c
Negativa, uerte
d
Positiva, dbil
e
No hay correlacin.
a
i
iii Fuerte b
i
725 700 675 650
ii Lineal
Negativa
75,0 77,5 80,0 82,5 85,0 87,5 Ao
iii Fuerte c
i
ii Lineal
Positivo
iii Moderada d
i
No hay asociacin.
ii
No lineal
i
3 a
Un aumento en el nmero de horas dedicado al estudio de matemticas produce un aumento en la califcacin.
No lineal
1
Ejercitacin 10C 1
b Relacin entre la longitud y el ancho de la hoja
70 Precipitaciones en Tennessee
60 Ancho (mm)
40 20
50
Fuerte, negativa
c
A medida que aumentan los aos, disminuyen las precipitaciones.
70
y 1 00
20
y = 0,96x + 79
10
c
7
a
220000
b
75,4
a
40
80 120 Longitud (mm)
i
175 cm
ii
66 kg
160 x
2
cyd
y
75
120
70
Ancho (kg)
60
M
60
80
55
60
45
20 50
60
70
80
90
1 00
x
0
40 x 1 50
1 60
1 70 1 80 Altu ra (cm )
190
200
20 0 160
M a tem tica s
b
7
Fuerte, positiva, lineal
Respuestas
y = x + 300
100
65
50
40
Ntese que los valores de m y b en la ecuacin y = mx + b son aproximados.
140
80
80
x
Temperatura
b
y
Pu n tu a cion es
80
30
b
5 a
Ciencia
12,3
2,3
M
0
2
( x, y ) = (75; 7,03)
40
0 x 1999 2001 2003 2005 2007 2009
b
a
y
(96,7; 44,1)
Decrece
60 Lluvia cada en cm
a
y
y
8 x
6
d
ii
4 a
4 Horas
La inclinacin va en aumento. El peligro de extrapolar es que presupone que continuar la actual tendencia, pero esto no siempre sucede.
Ejercitacin 10B
b
2
c
Negativa
Crece
0
Fuerte, positiva
i
iii Fuerte
x
c
iii Dbil f
Punto medio
Fuerte, positiva
ii Lineal
Positiva
14 12 10 8 6 4 2
b
iii Cero e
y
750
ii Lineal
Positiva
(4; 6,67)
b
Diagrama de dispersin de inclinacin vs ao
Aumento
b
Positiva, uerte
3 a
Porcentaje afectado
a
Inclinacin
1
Investigacin: la torre inclinada de Pisa (continuacin)
e
200
240
280
x
Aproximadamente 70 casas
Ejercitacin 10D
Ejercitacin 10E
1
1
y
3 La pendiente es 2,4. Por cada paquete de cigarrillos umado por semana, una persona tendr, en promedio, 2,4 das ms de enermedad por ao.
La interseccin con el eje y es 10, lo cual no se presta a la interpretacin, ya que un 0 en matemticas signifcara un 10 en ciencia.
Concentracin
8 6 4
0
2
1
2 3 4 5 Tiempo (horas)
b
y = 1,84x + 1,99
c
8,43 (3 cs)
6
x
5 a b
Diagrama de dispersin de la inclinacin vs ao
750
Inclinacin
30 25 20
725 700 675 650
15
75,0
10 5 0
1
2 3 4 5 Edad (aos)
6
7
x
y = 2,67x + 28,1
c
MYR16 085
d
La relacin puede no ser lineal. Los autos antiguos resultan generalmente ms caros que los nuevos luego de 50 aos.
y 10 8 6 4 2 2
4 6 8 10 12 14 Meses de socio
b
y = 0,665x + 9,86
c
7,865 horas
d
No. La ecuacin da 6,1 horas de ejercicio!
80,0 82,5 Ao
c
y = 9,32x 17767
d
780 m
85,0
87,5
x
1
b
0
77,5
Ejercitacin 10F
3 a
Horas de ejercicio
(1981, 694) y
a y
4 La pendiente es 100. Vendrn 100 clientes ms al local cada ao.
5 La pendiente es 0,8. Por cada 1 punto que se aumenta en matemticas, se produce un aumento de 0,8 en ciencias.
10
2
La interseccin con el eje y es 7, lo que signifca que una persona que no uma tiene 7 das de enermedad por ao.
La interseccin con el eje y es 5, lo que signifca que 5 personas visitaron el local en el ao 0; la interseccin con el eje y no se presta a la interpretacin.
Claramente existe un problema con la extrapolacin. En realidad, la mayora de las mujeres llegan a sus estaturas mximas en la mitad o hacia el fnal de la adolescencia, y de ah en adelante, la estatura es casi constante, en consecuencia la extrapolacin con una uncin lineal resulta inadecuada.
12
La pendiente es 6. Por cada criminal que una persona conoce, habr sido declarada culpable por 6 delitos. La interseccin con el eje y es 0,5, lo cual signifca que la gente que no conoce criminales, habr sido culpada 0,5 veces.
a 14
Costo (MYR 1000)
2
La pendiente es 0,3. A medida que el estudiante practica un da ms de deporte, realiza 18 minutos menos de tarea. La interseccin con el eje y es 40, lo que signifca que el estudiante promedio que no practica deportes hace 40 horas de tarea.
4 50 aos = 600 meses, y la recta hara una prediccin para la estatura de Sara de 302 cm = 3,02 metros a los 50 aos.
x
r = 0,863. Hay una correlacin uerte y positiva. 2 a 0,789 b Correlacin uerte y positiva c El ingreso aumenta a medida que el nmero de aos de educacin aumenta. 3 a 0,907 b La distancia de renado aumenta a medida que el auto envejece. c Correlacin uerte y positiva 4 a 0,887 b Correlacin uerte y negativa c S, las califcaciones de Catalina aumentaran si disminuyera sus horas de chat. 5 a 0,0262 b Correlacin dbil y positiva c
No. Las califcaciones de Mauro no aumentaran si el tiempo de juego decreciera. Respuestas
7
6 0,994. Correlacin uerte y positiva
y = 1,29x + 9
d
r = 0,929. Hay una correlacin uerte y negativa.
a
w = 22,4 + 55,5h
b
66,4 kg
Ejercicio de revisin sin CPG
2
a
ii
b
v
c
iii
d
i
2
y
3 a
Combustible (litros)
y
r = 0,785
40 35
60
b
y = 30,6 + 0,688x
50
c
99,4
40
Esto sera razonablemente exacto dado que el coeciente de correlacin momentoproducto muestra una correlacin bastante uerte.
30 20 10 0
200 400 600 Distancia (km)
x
800
Test 2
y
Tiempo (segundos)
13,2
Punto medio
11,6
10,8 30 40 Edad (aos)
50
x
Altura (cm)
Aproximadamente 11,6 s
Ejercicio de revisin con CPG
nmero de exiones
y
0,797
10
d
Correlacin uerte y negativa
e
Menos
f
y = 10,2x + 51,0
20
b
c
Alta
d
y = 0,50x + 0,48
e
20,48
Respuestas
y
y 38 36 34 32 30 28 26 24 22
b
A medida que el tiempo aumenta, decrece el nmero de fexiones.
60
Fuerte, positiva
x
e
x
80
g 5,1 7
a
y = 10,7x + 121
b
i
Producir cada abrigo cuesta $10,66.
ii
Cuando la brica no produce ningn abrigo debe pagar costos por $121.
f
L
c
$870
d
14
Captulo 1 1
0
tiem po (m in u tos)
40 Test 1
b
1 2 3 4 5 6 7 8 Semana
(4, 30) ii
0
6 x
c
30
5 a, c
Edad media = 34 aos, Media del tiempo = 12 segundos
2 3 4 5 Agradabilidad
20
0
a
1
Los problemas de conducta decrecen.
12,4
11,2
1
10
b
12,8
c
15
0
40
13,6
b
20
50
3 ayc
20
25
5
32 litros
12,0
30
4 a y
c
No es posible hallar una respuesta dado que el valor yace muy auera del conjunto de datos considerado.
6 a
ayb
Problemas de conducta
1
h
c
d
i
x
r = 0,986
Correlacin (muy) uerte y positiva
Comprobemos nuestras habilidades 1
a
x = 90
b
x = 50
c
x = 68
d
x = 23,3
e
x = 6,09 (3 cs)
f
x = 14,7 (3 cs)
y = 1,83x + 22,7
g 30,9 cm
Ejercitacin 11A 1 2
b = 16; = 36,9; B = 53,1 B = 50; a = 31,0; c = 48,3
3 = 35; a = 2,58; b = 3,69 4 a = 36; = 36,9; B = 53,1
10
40,7 m
2
11
4,01 s
12
a 20,6
b
26,6
c 35,1
d
50,0
70,6
a
b 17,3 c 25,4 d 39,7 3 a
Ejercitacin 11D
0,2588; 165
b 0,5878; 144
B = 55; b = 15,7; c = 19,2 1 6 c = 12,9 cm; = 41,2; B = 48,8 7 x = 5; = 22,6; B = 67,4
a
(0,940; 0,342)
b
(0,956; 0,292)
c
(0,5; 0,866)
Ejercitacin 11B
d
(0,276; 0,961)
b 25,8; 154,2
e
(0, 1)
c 30,3; 149,7
a
66
b
81
c
45
d
14
Ejercitacin 11F
3 a
0,161
b
0,243
1
a
c
0,186
d
0,217 2
a
5
1
a
b = 1 2 3 cm, = 30, B = 60
b
B = 45, a = 9 cm, c = 9 2 cm
c
= 30; a = 2,25 cm, b=
d
9 3 cm 4
2
d 0,8988; 116 4 a
d y = 1,21x; = 129
(0,766; 0,643)
(0,766; 0,643)
3 x=
2 3+2 3
, AC =
4 3+2 3
y (0,906; 0,423)
25 0
AB = 1 1 2 cm 5 w = 9,8 cm; x = 13,9 cm; y = 6,5 cm; z = 15,4 cm
(0,906; 0,423
155
c = 5,46 cm
y (0,375; 0,927)
2
Ejercitacin 11C
b
BC = 70,5 A B C = 38,9
0 112
AE = 29,1, BE = 34,4
Ejercitacin 11E
AD = 74,1, EB A = 54,5, AB = 51,5
1
3 758 m 4 71,5 y 108,5 5 4,78 km; N21,1O 6 70,7 m 7 44,8 km; 243,5 8 135,7 m; 202,2 cm 9 91,2 m
a
B (0,866; 0,5), C ( 0,866; 0,5)
b B (0,545; 0,839), C ( 0,545; 0,839) c B (0,707; 0,707), C ( 0,707; 0,707) d B (0,974; 0,225), C ( 0,974; 0,225) e B (0,087; 0,996), C ( 0,087; 0,996)
d = 40, a = 149, c = 190 e C = 110, a = 2,80, b = 4,21 26,9 cm
3 3,37 km, 2,24 km
68
a 1 0 2 cm
2 a
Ejercitacin 11G 1 a C = 50, a = 17,7 cm, c = 18,5 cm b B = 68, a = 1,69 cm, b = 2,44 cm c B = 40,9, C = 84,1,
x
(0,375; 0,927)
b
y = 2,36x; = 113
f x
4 x = 1, AB = 3 2 cm o x = 3,
1
e y = 0,75x; = 143
140 40
x = 8 2 cm, y = 8 3 8 cm, z = 16 cm
d 1
y = 1,09x; = 48
c y = 2,80x, = 110
0
2
b 1,92
b y = 1,87x; = 62
y
B = 45
1,50
c 0,910
b = 5 2 cm, = 45,
60,6; 119,4
d 30, 150
Investigacin: ngulos obtusos
a = 2 3 cm, = 30, B = 60
e
c 0,9877; 99
x
4 15,8 m Investigacin: tringulos ambiguos 1 C = 62, C = 118. Los 1
2
2
ngulos son suplementarios. B = 86; B = 30, 1
2
b1 = 5,65 cm; b2 = 2,83 cm Ejercitacin 11H a C1 = 61,0; B 1 = 89,0;
1
b = 8,0 cm C 2 = 119,0; B 2 = 31,0; b2 = 4, cm Respuestas
b C1 = 71,1; 1 = 58,9; a = 9,0 cm C 2 = 08,9; 2 = 2 , ; a2 = 8,0 cm
c = 44,4; B = 107,8; C = 27,8
c
4 9
d b = 7,48 m; = 43,5; C = 105,5
d
1 1 6
a
0,977 rad
e c = 92,8 m; = 49,4; B = 60,6
c B 1 = 68,5; 1 = 91,5; a = 7,3 cm
f
B 2 = 111,5; 2 = 48,5; a2 = 5,5 cm d C = 30,5; B = 107,5; b = 47,0 cm e El tringulo no existe. f B = 77,8; C = 32,2; 1
1
c 270 d 225
5 043,5 o 136,5 6 a
4 a
45
85,9
b 20,6 c 136
c 63,8
d 206
Ejercitacin 11J 1
a
b 40,8 cm 2
C1 = 112,9; 2 = 11,1;
e 901 cm 2
c Dado que el lado BD = 17 m en ABD y el ngulo D = 28,1, y el lado AB = 10, hay 2 tringulos posibles que se ajustan a estos datos, a saber, DBA y DBC. 5,80 km
c 19,1 km
d 143,5 Ejercitacin 11I a = 65,7 m; B = 36,0; C = 80,0
b = 28,9; B = 52,8; C = 98,4 Respuestas
1
2
a 2
c 152 cm 2 d 34,1 cm 2
BE = 8 m, CE = 6 m, DE = 15 m
Ejercitacin 11M
26,7 cm 2
a = 45,5 cm
B D C = 28,
b 300
B 2 = 102,2; C 2 = 7,8; c2 = 3,6 cm
b EAB = 53,1; = 53,1; BCE = 126,9; BCD A B D = 98,8; CB D = 25,1
a
150
b 71,8
a2 = 0,4 cm
1
3 a
12,1 km
4 18,8 km
h C1 = 67,1; 1 = 56,9;
3 b
d 4,01 rad
3 4,07 cm; 6,48 cm
c = 29,5 cm
a
c 5,65 rad
c = 4,2 cm
g B = 26,7; C = 108,3;
2
b 1,87 rad
= 48,6; B = 56,4; C = 75,0
2
2
f 2
b c
435 cm 2
47,8
d
3 22,7 cm 4 a
76,7
2
b 81,4 cm 2
a
1 2 3
3 3 2
0,892
b 0,949
5 x = 2,5 cm
c 1,12
6 5,31 mm; 18,5 mm
d 0,667 3 a
9,76 cm 2
Ejercitacin 11K
b 5,45 cm
1
9,52 cm
c 50,5 cm 2
2
39 cm
3 5 radianes
4 10,9 m 2 5 a 17,1 cm 2
b 12,1 cm 2
c 2,63 rad
d 15,8 cm
4 3000 cm 2 , 220 cm 5 22,95 cm 2 ; 21,3 cm 6 = 1,7; radianes r = 16
Ejercicio de revisin sin CPG
7
1
7 2 cm
2
a
3
2 5
7,96 cm 2
Ejercitacin 11L 1
a
5 12
b
4 3
30
b
8 3 cm
4 10 cm 2 5 a
25 cm
b 125 cm 2
Ejercicio de revisin con CPG 1
72,7 m
2
a
0 = 6j 6
(0,848; 0,530)
3 = 3i 6j 6
c ( 0,600; 0,800)
4 a
54,7
b
10,9 cm
b
1 0 = 3,16
4 a
18,0 m
b
34,3
c
5 a
121
b
8,60 cm
29 = 5, 3 9
d
6 54,1 km 31,9
d
i 5j + 6k 5
3 8 = 6,1 6
5 US = 2i + 8j 3k
26 = 5,1 0
6 x = 0, y = 7, z = 9
27,6 cm 2
b
21,6 cm
b
14,5 cm
c
c 11,16 cm
3
d
47,3 cm
d
7
e
Ejercitacin 12D 2 = 1,41
1
Ejercitacin 12B 1
a
3 3 AB = 5 , AC = 5 , 4 4
c = 3b
6
1 a 2
a
(3, 0, 0)
d=
b
(3, 4, 0)
e = 5b
BC = 1 0 . Cualquier par 8
c
(3, 0, 2)
f = 2a
de entre estos vectores son
d
(3, 4, 2)
Son perpendiculares.
mltiplos escalares uno del otro
e
(1,5; 4, 2)
6,71
3 a b
b 2
y tienen un punto en comn.
a, b, e
3 a
24
b
7
20 cm 101
5 a
28 5
4 t = 25, s =
Ejercitacin 12A
2
i + 5j 6k
5 a
d
Comprobemos nuestras habilidades
1
i + 5j 6k
c
29 = 5, 3 9
Captulo 1 2
2
b
4 LM = 4 3
5,3
13,9 cm
c 119
1
2i 3j + 5k
e b
8 a
3 a
5
3 a
a
3 CB = . 7
e =
b 72,9
7
d
d =
5
x = 2i + 3j
b
BD = i j + k
b
y = 7j
c
AD = i + k
c
z=i+jk 2 AB = 3
d
OM =
b
6 a
1
CD = 6 1 0 EF = 0 1
1 2
b
BD = 5i 4j + 3k
c
AD = 5i + 3k
d
OM =
5 2
1 AC o 2 3 BC = 2 ; por lo tanto, AB = BC 8
Tambin tienen un punto en
i + 4j + 3k
comn.
Ejercitacin 12C
2
a
4 AB = 4
2 b = = 2i + 4j 4
b
BA =
3 c = = 3i + 8j 8
c
3 = 3i 5j 5
6
4 4
AC = 4 ; por lo tanto, 1 6 AB =
OG = 4j + 3k
5 5 PQ = , QP = 1 1
3 a=
b
i+j+k
1
c
a
OG = j + k
a
a
2
8
3 AB = 2 8
3
3 6 P P2 = 1 , P P3 = 2 , 0 0 3 7 P2P3 = 1 ; P4 2, , 4 3 0 5
4 x=
3
; AB : BC = 2 : 1
7 3
AC =
Respuestas
Ejercitacin 12E 5
c
AB = 0 ; 2
d
1
2
1, 5 3 5
29 = 5 , 39
5 a = 2 15 10 13
6 a b c
4
Ejercitacin 12F 2
2
2
2
3 4 + =1 5 5
1
1
3
b
i + 2j + 3k
c
i 2j 3k
d
8i 6j 10k
Ejercitacin 12H
1
1
5
1
6 7
=
5
1 3 = 14 2 co s a sen 7
9
b
co s sen
Ejercitacin 12G 1
2
a b c d e f a b
5i + j 2i + 3j 2i + 4j 8i + 4j i 3j 2i 2 2 1 8
Respuestas
FD y AC son paralelos
c
(2i j) 1
14 3 2 2
10
AB =
c
1 1
a
79,0
2
3
a
18
b
5
c
20
d
13
e
13
a
9
b
20
c
20
d
58
e
13
a
Perpendiculares
b Ninguna de las dos c
Paralelos
d
Ninguna de las dos
e
Perpendiculares
f
Paralelos
g Paralelos 4 5
15
2 d = 1 3
=
1 1 130
118,1
a
AB = 1 7 ; AC =
b
cos BAC =
c
10,5
54,7
12
a
26
1 1 7 26
OA OB = 0; en consecuencia, son perpendiculares. 62 7,87
13
= 2,5
14
= 9
15
p = 3
Ejercitacin 12J 1
a
1 3 r t 2 2
b
1 5 r t 2 0
c
3 3 r = 1 + t 2 2 8
d
r = 2j k + t(3i j + k)
Ejercitacin 12I 1
1 1 , AC = 5 2
c
11
MX = 3MP y comparten un punto.
5 d
5
8
AB es paralelo a FC; la longitud de AB es la mitad de la de FC.
b
5
5 5
2b 3a
v
a
b
iv b 2a
(2i + 2j k)
3
ba
iii 2b 2a
1 5 42 4
4
ba
ii
136,4
b 90
6 s = 4,5; t = 9; u = 9
i
c
26 5
9
19 4 x= , y = 3 , 5, 5 1 6 6 z = 10
4 a
94,8
b 11
2
(4i 3j)
5
8
5 x = 4,5; y = 10,5
1 2 2 + + =1 3 3 3
2
a
8i j 3k
3 a
4 x= 5
7
b 161,6
3 34
e
3 t = 6
45
1 5
| AB | = 1 29 , | AC | =
242 | BC| = 1 29 . Dos lados son iguales; por lo tanto, es issceles. ngulo CAB = 46,8
6
2
a
b
c
d
4 1 P. ej. r t 5 7 4 1 P. ej. r t 0 2 3 1
P. ej. r 5 t 9 2 3 0 1 P. ej. r 0 t 1 1 1
3
1 2 P. ej. r t 6 3
a
1 2 t 0 5 4 1 P. ej. r 2 t 0 1 3
c
a = 5; b = 8
b
(4, 5, 7)
8 a
b
3 10 2
c
11
a
S
b No
d
120
d No
2 2 r 4 t 3 5 8
15 km este
6
0 6 P. ej. r = + t 5 1
7
a
Coincidentes
c
5 1 ms 2 13 m s 1
b
Perpendiculares
d
8 29 m
c
Paralelas
e
d
Ninguna
3 a
4 p. m.
e
Ninguna
4 a
3 2 m s 1 y 86 m s 1
8
a
53,6
10
a
i
2i + 5j + 3k
ii
2i + 5j + 3k
i
| OF| =
38
ii | AG | =
38
b
b 115,2
a
c
a
iii OF AG = 30 11
c
37,9
a
AB = 7i 8j + 8k
b
cos OB =
d
= 49
49 30 1 1 7
Colisionarn. b
5,2 m
9 3 AB = 1 , BC = 3 , 6 2
B es un punto en comn. 4 (7, 9, 0)
4
3
23 1 2 , , 3 3 3
5 1, 3
6 a
b
5 8 1 5
Producto escalar = 0
122
2
a
1 0 QR = 0 , QP = 1 5 1
b
46,1
c
2,60
3 a
b
3 1 AB = , AC = 3 2
4j
ii
i+
3k
BC= i + 4j 3k
c
i
d
iii 18 25,8
4 a b 5 a
b
c
d 6 a
20
ii
20
0, 4, 2 82,9
0 OP PQ = 0, PQ = 6 2 1 0 P. ej. r 1 6 3 2 1 2 4
22 6 AB = 2 0
c
(36, 18, 0)
d
5,10 m s 1
e
6 segundos f
(18, 6, 6)
AB AC = 9
6 a
2 10 1
b
t= 2
a
2 1 r = 2 + s 3 4 2
7
i
iii 2i + 4j
BC = 2 AB
1 2
1
7i + 6j
AC = 3 AB y
5 a
2 14 2 12,30 p. m. ; 1 1 , 5 3 km
BD = i + 4j 3k
3 (a + b) (a b) = 0
48 5 3 5
e 8 a
b
Ejercitacin 12K (4, 2)
50 20
6 AC = 2 4
1 77 520 493 38 , , 1 77 1 77 1 77
e
b
Ejercicio de revisin sin CPG
1
2 6 4
Ejercicio de revisin con CPG
b 5 1 3 km 2
d
b
Ejercitacin 12L 1 5 1 a o 10 km al norte y 1 0
p = 2, q = 21
(4, 8, 8)
(3, 2, 1)
P. ej. r = 5k + t(4i k) S
b
1
P. ej. r 1 t 1 2 3
d
c 5
a
c
P. ej. r
b
4
7
Respuestas
9
Captulo 1 3
c
e
Comprobemos nuestras habilidades 1
a c
2
2
b
2 3
r 3
3
d d
2
f
2
3
a
250
330
2
b 1
5r 6
2
c
1
d
3 a
1,48
b 2
4 a
0,182; 2,40
b 1,14
0,5
e
2
Investigacin: seno, coseno y tangente en el crculo de radio unidad 1 2
100
3
270
3 sen270 = 1, cos270 = 0, tan270 no existe 4 sen360 = 0, cos360 = 1, tan360 = 0 5 sen(90) = 1, cos(90) = 0, tan( 90) no existe
g Las preguntas 3 a 8 tienen muchas otras respuestas correctas posibles.
180
3 a
d 65, 245, 295 4 a a
9 sen = 0, cos = 1, tan = 0 3 10 sen 3 = 1, cos 3 = 0, tan 2
2 2 3 tan no existe. 2
c 295, 65 d 240, 120 r 6
2
no existe 11 sen 3 = 1, cos 3 = 0,
5 a
1
c 40, 140, 320
b 5r 3
d 155, 335, 205 6 a b
c r 2
a
d 11r 6
a
1 1 , 6 6
b
1, (1 2 )
c 2,5; (2,5 2 ) d
Respuestas
7 3 , , 4 4 4
d + 3, 2 3, 3 7
110
2 4 5 , , 3 3 3
c 3 4,1; 4,1 2 , 4,1
75
b
230, 130, 310
b 280, 80, 260
12 sen4 = 0, cos4 = 1, tan4 = 0 Ejercitacin 13A
35, 325
b 130, 230 2
2
c 255, 285, 105
40
2
no existe
120, 240, 300
b 340, 20, 160
h
6 sen(180) = 0, cos(180) = 1, tan( 180) = 0 7 sen0 = 0, cos0 = 1, tan0 = 0 8 sen = 1, cos = 0, tan 2
h
f
sen90 = 1, cos90 = 0, tan90 no existe sen180 = 0, cos180 = 1, tan180 = 0
2
g
3 7 , 5 5
8
a
5 3 7 , , 4 4 4
c
b 1,3 + , 1,3 , 1,3 2 c
1
Ejercitacin 13B
2
a
b
0,940
0,342
c 0,342
d
0,940
1
b
a c
3 a
2 1
b
0,8
h b a
b
g a
c
3
4
0,6
3
a
,
c
3 7 , 4 4
d
a
5 11
2
18 4 5
b 2
b
a
9 11
3 a
b 7
18
b
1 9
300, 240, 60, 120 c
7
4 a
e 45, 135, 225, 315
30, 150, 210, 330
a
1 1 7 5 , , , 6 6 6 6
63 32 63
c a
31 3
b
5 11
d
5 11
b
31
c
24
1 1 , 6 6 3 , 2 2 2 4 5 , , , 3 3 3 3 7 3 5 , , , 4 4 4 4
6 a c 7
4
25 33 6
625 a
b d b
a2 + b2
c
3 a 0, 360, 720 b 135, 45, 225, 315, 585, 675 c 45, 135, 315, 495, 675, 225 d 60, 120, 240, 300, 420, 480, 600, 660 5 4 a b , 2
a
7
6
6
32
b
25
e
7
d
d
2 ab a2 + b2
d
7
18
31 63
5
b 0, , 2
5 11
c 4 5
18
d 360, 180, 0, 180, 360
d
c
5
4 a
5 8
,
6
b
d
3
2
8
4
,
4
5
7 3 1 1 , , 6 2 6
1
8 2 0, 3
c 0,
d 3 4
Ejercitacin 13E c b
,
8
6 2
5 3 1 1 7 , , , , , 12 12 4 12 12 4
0, 7
d 0, , , 5 ,
, , 12 12 12
b
c 315, 135, 45, 225
c
c
2 4 , 3 3
b 120, 240
2
b
3 a
3
Ejercitacin 13C 1
12
4
3
e a h
2
4
a
d
b
c
3 a
15, 165 165, 105, 15, 75 90 180 7 1 1 5
2
0,6
e
g 0,8 b a
a
2
d 0,8
4 a
3
d
2
2
a b c d
c 150, 30 d 90, 30, 150
5 , 6 6
d
Ejercitacin 13D
1 2 2 9 , , 7 7 7
d 2 5, 5, 5
1
3 , 4 4
51 2
6 k= 6 7 b=8 Ejercitacin 13G 1 346, 194, 14, 166 2 27, 333 3 244, 296 4 55, 235, 415 5 5,33; 4,10; 0,955; 2,19 6 1,71; 4,58 7 0,739 8 0,637; 1,41 Investigacin: representacin grfca de tan x 1
Amplitud del ngulo ( x ) (grados)
Valor de la tangente (tan x) 0
0
5 7
30, +30
1
24
45, +45
1, 1
7 527
12 0
3
625 b
135
1
a2 + b2
150
b2 a2 a2 + b2
Ejercitacin 13F 1 a 30, 90, 150 b 22,5; 112,5 c 135 d 45, 135 a
150, 120, 30, 60
b 90
3
25 60, +60
3,
3
1 3
180
0 1
2 10
2
1
,
3
3
225
1
2 40
3
300
3
315
1
330 360
1 3
0
Respuestas
3 tan 90 y tan 270 estn indefnidas. El lmite de la tangente a medida que el ngulo se aproxima a 90 o 270 es infnito. A menudo, en los grfcos se muestran asntotas para valores que no existen.
5
8
y
8 0
4
x
2r r 0 4
Ejercitacin 13I 1
y
9
1
Ejercitacin 13H 2r
0
r
1
297, 117, 63, 243
2
2
107, 73, 253
4
3 124, 304
r
y = sen x
6
y tan x 4
2
4
7
2
4,55 2r
r
Ejercitacin 13J 0
r
2r x
1
y 0,5
3
y 2r
y
r
4
x 2r r
2
0
r
r
2r x
r
2r x
2r x
4
2r
r
4
1 x
3 0
r
0 2
y
2r
2r x
2
4 0
r
y 4
2 y
0 0,5
2 0
)
12 y = co s x 1 , 5 4
8 4,66; 1,20; 2,28; 4,77 Investigacin: transformaciones de sen x y cos x
(
y
6 1,88; 1,26
r
y 4
2r x
1
y
2
5
y 2r
r
1 0
0
r
r
4
2r x
4
1 y
6
y 0
r
2r 3r r r 0 2 2 1
2r x
2 0
x
4
5
7 y
y 1
2r r
4
0 2
x 2r
3
10 y = sen x + 1 11
6
5 5,88; 2,74; 0,405; 3,55
2
2 o 3
2r x
r
y = cos x
2r x
4 38, 142, 398, 502
1
y
r
0
r
3r 2r x 2
y
y 2r
r 2
2 r
2r x
1
1 2 0
2r
r
0 1
x
3 2
Respuestas
r
2r x
6
5
y 3
5 4 3 2 1
1 2r
0 1
r
2r x
r
3r 2r r 10
3
7
r
2r 3r x
y
6
3 1 2r 3r r r 10 2 2 3
8
r 2
r r 0 2 1
3r 2r x 2
r
y
2r x
r
2
r
x
1
a, b
2 y = 6, 3 cos ( x 25) 30 + 1 5, 6
2
y = 7, 5 sen x
10 y = co s ( 0, 25 x )
8
y 7 6 5 4 3 2 1
11 y = tan ( 0 , 25 x ) 12 y = 3 co s ( 0, 5 x ) o
(
2 0
r
1
y = 3 sen
x
1
0
r
r
y
7
y
2r
r 2
2
1
9
d
y
x 2
)
3r 2r r 10
r
2r 3r x
c
Ejercitacin 13K Para las preguntas 1 a 4, las respuestas pueden variar.
1
2
( 23 ) 1 , 5; 5 y = 3, 5 co s ( x + 1,5 6 ) 1 4 y = sen ( ( x + 2; 3 )) 2
y = 3, 5 sen x
Ejercitacin 13L 1
a, b
2 y = 4, 8 cos x + 7 2 d
1 x 2 3 2
y cos 3
y = 2 sen ( 2 x ) + 1 ;
c
y 2 cos 2 x 1 4
4
y = 5 sen
((
2 x 3 2
(
) );
)
5 2 y = 5 co s x + 6 3
Respuestas
3 a, b
c 10,3 m
4 a
d 4,75 minutos 4 a
P = 4, Q = 7
b
y 14
2p g ( x ) = 1 6 cos ( x 1 ) 12
10
+ 21
6
b 21 galones
2
c A principios de mayo y
0
4
8
12
16
20
fnes de agosto c
c d
Ejercicio de revisin sin CPG 1
2
a
0,342
5 a
b
0,342
b
c
0,342
a
0,643
b
0,643
c
0,643
3 a
d
9,91 horas
Comprobemos nuestras habilidades
120, 240 330, 150, 30, 210
c
270, 150, 30, 90, 210, 330 2
A= 2,825; B = 12,175
Captulo 1 4
b
4 0,
t = 2, a las 2. 00 8 horas
1
2
a
2
b 1 1 o 3 3 3
c
,
3
5 a
i
a = 5, c = 4, d = 6
ii
b =
3
d
2 , y el perodo
2
2 perodo es 8, b 8 4
2
a
x = 0, , 2
b
x=
6
b 4< x< 8
c 6 a
21
b
5
7 Ejercitacin 13M 1
2
b
9,49 m
4
c
13,5 m
6
d
05. 30
a
3,06 C
c
3 a b
3 2 1 0 2
Aproximadamente 12 horas
30 C, da 187 (aproximadamente el 6 de julio) Aproximadamente 90 das: los das 1 49 inclusive y los das 325 365 inclusive
Respuestas
c
25
2
3 a
1 2 3 4 5 x
Ejercicio de revisin con CPG 1
2
a
48,6; 131,4
b
129, 231
c
70,3; 109,7; 289,7
2 3
a
3,36; 0,515; 2,85; 6,06
b
0,607
c
1,89; 0
5
24 , c= 3 25 0,667; 3,33; 4,67
6
3 a b
a = 4, log 3
,
2
,
, ,
6
,
2
3 2
6x2 e x + 2x3 e x
b
ln(x2) + 2
c
x2 + 1 0x + 4
d
1 ln x
(x 2 + 4 )2
x2
Ejercitacin 14A 1
46 m
2 h ( t ) = 22, 5 sen ( t 5) 20 + 23, 5
2
x=
4 21
y
a
b
21
5 3
4
7
3cos x + 2sen x 3 cos 2 3 x
2co s x sen 2 x 2cos t sen t o sen (2t)
cos x 2 x 2 tan x cos 2 x
1 x sen + 4cos(4 x ) 2 2
24
x
Ejercitacin 14D
2 sen (2 x ) co s 2 (2 x )
8
1
9
8 co s ( x ) sen 3 ( x )
10
[cos(sen x)] cos x
11
2
2
cos 2 ( x 3 )
a
= 3sen 2x
3 Decreciente:
3 5 3 , , 2 6 2
2
4
f(x)
4
3 2
3
= 3 x 2 3
0
1
r 4
b
(
3
)