Libro de Algebra [PDF]

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APUNTES TEÓRICO - PRÁCTICOS DE

ÁLGEBRA Daniel A. Arana 2011

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ÍNDICE

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Índice

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Prólogo

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Estructuras Algebraicas Ejercitación

5 14

Matrices y Determinantes Ejercitación

17 40

Sistemas de ecuaciones lineales Ejercitación

65 71

Espacios Vectoriales Ejercitación

85 102

Programación Lineal Ejercitación

108 120

Bibliografía

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PRÓLOGO

Este cuadernillo fue elaborado para ayudar a los alumnos en la comprensión de una materia de las consideradas “duras” del Ciclo Básico Común de la Facultad de Ciencias Económicas de la UBA. Cada capítulo tiene una gran cantidad de ejercitación con el objeto de acercarles los más complejo que tiene el estudio de la matemática: su puesta en práctica. Para ello, tomé parte de la ejercitación utilizada en los libros y cuadernillos que habitualmente son utilizados por los alumnos en esta materia, así como tuve en mi vista muchos libros escritos sobre la asignatura, lo que me sirvió para tomar de los diferentes autores la forma más clara de explicar cada tema. Alguno de los ejercicios tienen su respuesta, en otros a cambio, he preferido incentivar a los alumnos a que las realicen sin ninguna ayuda. Estoy plenamente convencido que para aprobar esta materia es necesario desarrollar una ejercitación a conciencia, espero que los alumnos entiendan que esta frase no está agregada sin razón, sino que la coloqué para que los mismos tengan en claro que sin ejercitación, aprobar Álgebra se transforma en muy difícil. Verán una marcada tendencia a ejemplificar cada tema con cuestiones económicas, lo que tiene su origen en que la economía es la ciencia social que hemos elegido para profesionalizarnos. Mi enorme agradecimiento a quienes siempre colaboraron conmigo en estos 15 años de docencia, desde la persona que confió en mí y me dió la oportunidad de conocer el fantástico rol de docente, la Doctora Elba Font de Malugani. Mi agradecimiento a mis estimadísimos colegas: mi querido amigo y compañero de interminables horas de estudio Osvaldo Enrique Fernández, mi amigo y compañero en el dictado de cursos Eugenio Anselmi, y mi queridísima hermana Andrea Rebecchi. Han sido ellos 2011

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quienes, a mi pedido, han leído y corregido estos Apuntes de Álgebra. Mi enorme agradecimiento por el celo que han puesto para cumplir con mi solicitud, haciéndome llegar las correcciones que consideraban conveniente efectuar. Gracias nuevamente para Andrea, Eugenio y Osvaldo. Un agradecimiento especial merece la Profesora Alicia Bernardello, dotándome de confianza en mi rol, ya sea como profesor adjunto de su Cátedra, ya sea como Coordinador de Tutores de la Sede San Isidro en el Programa “Económicas + vos”. Agradezco a mis estimadísimas colaboradoras de tantos cuatrimestres, Julieta Otero y Melina Pena, quienes han puesto un cariño especial en cada clase dictada, en cada ejercicio que ayudaron a resolver a los alumnos que las consultaran, su ayuda estableció una clarísima diferencia que sirvió como motivación adicional a los estudiantes. Doy la bienvenida a María Belén Paredes, brillante alumna hace algunos cuatrimestres, que ahora me brinda su invalorable ayuda como docente ayudante. Por supuesto, mi agradecimiento también para mis hijos Belén, Marcos, Sebastián y Consuelo. Para terminar, es absolutamente justo expresar el agradecimiento a mis alumnos del CBC de las Sedes San Isidro, Pilar y Bulnes por la paciencia que tuvieron al hacer las veces de correctores literarios de cada ejercicio. Va en este párrafo mi enorme saludo a ellos, los grandes móviles de este sencillo trabajo.

¡¡¡ Ojalá les sirve para aprobar esta materia!!!

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CAPÍTULO 1

ESTRUCTURAS ALGEBRAICAS 2011

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Capítulo 1 - Estructuras Algebraicas En la matemática, una estructura algebraica es un conjunto de elementos con unas propiedades operacionales determinadas; es decir, lo que define a la estructura del conjunto son las operaciones que se pueden realizar con los elementos de dicho conjunto y las propiedades matemáticas que dichas operaciones poseen. Un objeto matemático constituido por un conjunto no vacío y algunas leyes de composición interna definida en él es una estructura algebraica.

Ley de composición interna: Una ley de composición interna en un conjunto no vacío A consiste en una operación que asigna a cada par ordenado de elementos de A un único elemento de A como resultado de la operación. La ley interna va de A x A → A. Es decir que:

∀a∈A,∀b∈A⇒a*b=c/c∈A

Ejemplo:

El par formado por (R, +) cumple con la ley de composición interna, porque dado cualquier número real, si a ese número le sumamos otro número real, obtenemos un elemento del mismo conjunto.

∀ 5 , ∀ 7 ∈ R ⇒ 5 + 7 = 12 / 12 ∈ R El par formado por (N, -) no cumple con dicha ley, ya que si el sustraendo es mayor que el sumando, el resultado de la resta da un número negativo, y, como tal, no forma parte del conjunto de los números naturales.

∀ 5, ∀ 7 ∈ N ⇒ 5 - 7 = -2 / - 2 ∉ N Ejemplo:

La siguiente tabla definen leyes de composición interna en el conjunto A={a, b, c) i) * a b c

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a a b c

b b c a

c c a b

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ii) * a b c

a a c b

b b a c

c b c a

Propiedades de una ley de composición interna: Ley asociativa: Una ley interna (*) en un conjunto no vacío A es asociativa ⇔

∀ a ∈ A , ∀ b ∈ A , ∀ c ∈ A : (a*b)*c = a * (b*c) Ejemplo: Veamos el cumplimiento de esta propiedad con el conjunto de los números enteros y la suma

( Z , + ). Dados los números enteros 2, 3 y 4, podemos verificar que: (2+3)+4=2+(3+4) 5+4=2+7 9=9 Podríamos verificar que la multiplicación también cumple con esta ley.

∀ 2 , 3 y 4∈ Z ( 2.3 ) . 4 = 2. ( 3. 4 ) 6 . 4 = 2 . 12 24 = 24 Verifiquemos si lo hace la resta: ( 2 – 3 ) – 4 ≠ 2 – ( 3 – 4) -1 -4 ≠ 2 + 1 -5 ≠ 3

Donde verificamos que el par ( Z , - ) no cumple con esta propiedad.

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Ley conmutativa: Una ley interna en un conjunto A es conmutativa ⇔

∀a∈Α,∀b∈Α:a*b=b*a Podemos verificar que, tanto la suma como el producto son conmutativos para los conjuntos numéricos naturales, enteros, racionales, reales y complejos. Ejemplo: 5+6=6+5 11 = 11 5.6=6.5 30 = 30 Como el alumno podrá deducir claramente, ni la resta ni la división son conmutativas, dado que:

4-2≠2-4 2≠-2 9 / 3≠3/ 9 3 ≠ 1/3

Existencia de elemento neutro: Se llama elemento neutro y se lo denomina e a un elemento que operando a izquierda y derecha con cualquier otro elemento a da el mismo resultado. El elemento e tiene que pertenecer al mismo conjunto numérico que el elemento a.

e ∈ A es elemento neutro para la ley * ⇔

∀ a ∈ A, ∃ e ∈ A , / a * e = e * a = a Podemos verificar la existencia de este elemento para lo enteros, racionales y los reales y la operación suma, pero no para los números naturales, ya que el número 0 no forma parte de dicho conjunto numérico.

∀ 5 ∈ Z, Q, R ∃ 0 ∈ Z, Q, R / 5 + 0 = 0 + 5 = 5

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En cuanto a la multiplicación, el elemento neutro existe para todos los conjuntos numéricos usuales, siendo éste único.

∀ 5 ∈ N, Z, Q, R ∃ 1∈ N, Z, Q, R / 5 . 1 = 1 . 5 = 5 En los capítulos siguientes, estudiaremos matrices y sus propiedades y vectores y las suyas, pero podemos anticipar que la suma y el producto entre matrices tienen su elemento neutro.

Regularidad de un elemento respecto de una ley interna: La regularidad de un elemento respecto de una ley de composición interna consiste en que es cancelable o simplificable a izquierda y a derecha en los dos términos de una igualdad.

a * b = a * c ⇒ b = c a ∈ A es regular respecto de * ⇔  b * a = c * a ⇒ b = c

Existencia de elemento simétrico en una ley con neutro: Dado un elemento a ε A se llama simétrico de a y se lo denomina -a a un elemento que operando a izquierda y derecha con a da el neutro. De acuerdo a lo antedicho, es menester que exista neutro para una operación, para que exista elemento simétrico.

-a ∈ A es elemento simétrico de a para la ley * ⇔

∀ a ∈ A , ∃ -a ∈ A / a * -a = -a * a = e ∀ 4∈Q ⇒ 4 + - 4 = 0 ∀ 5 ∈ Z ⇒ 5 .1 = 5

Ley de composición externa: En este caso se opera con elementos de dos conjuntos, de tal manera que el resultado sea un elemento de uno de ellos.

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∀α∈Α,∀v∈V⇒α.v=w/w∈V Ejemplo: El producto de escalares por matrices es un ejemplo de esta Ley de Composición Externa.

∀ α ∈ Z ∧ ∀ A ∈ R mxn ⇒ α A ∈ R mxn  4 - 5  12 − 15 3 . A 2x2 = 3.  =  - 3 6  − 9 18  Por norma se coloca primero el escalar. El producto de un vector por un escalar es otra demostración de la Ley de Composición Externa

∀ a ∈R3 ∧ ∀α ∈R ⇒α a ∈R3 5 . (2,3,4) = (10,15,20)

Estructura de Grupo : Definición: Sea el par formado por un conjunto no vacío G, y una función *, dicho par (G , *) es un grupo si y sólo si * es una ley interna en G, asociativa, con neutro, y tal que todo elemento de G admite inverso respecto de *. Ejemplo: El par formado por el conjunto de Matrices cuadradas y el producto ( Rnxn, . ) a) Cumple con la Ley de Composición Interna

A2x2 . B2x2 = C2x2

b) Cumple con la propiedad asociativa

(A . B) . C = A . (B . C)

c) Cumple con la existencia de Elemento Neutro

A2x2 . I2x2 = A2x2

d) Cumple con la existencia de elemento inverso

A2x2 . A-1 = I2x2

De lo expuesto, surge que las matrices cuadradas y la operación producto tienen Estructura de Grupo. 2011

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Estructura de Grupo Abeliano: Si además cumple con la propiedad conmutativa, el grupo se denomina abeliano. El par formado por el conjunto de los Números Reales (R) y el producto ( R , . ) a) Cumple con la Ley de Composición Interna

5 . 2 = 10

b) Cumple con la propiedad asociativa

(2 . 3) . 4 = 2 . (3 . 4)

c) Cumple con la propiedad conmutativa

2.3=3.2

d) Cumple con la existencia de Elemento Neutro

2.1=2

e) Cumple con la existencia de elemento inverso

2 . 1/2 = 1

De lo expuesto, surge que el par formado por los números reales y la operación producto tienen Estructura de Grupo Abeliano.

Semigrupo : Definición : El par ( A , * ), donde A ≠ φ y * es una operación, es un semigrupo si y sólo si * es ley de composición interna y cumple con la propiedad asociativa en A.

Estructura de Cuerpo: Definición: La terna ( K , + , . ), formado por el conjunto numérico K y por las operaciones suma y producto respectivamente es un cuerpo si y sólo si : 1. ( K , + ) es grupo abeliano. 2. ( K - {0} , . ) es grupo abeliano. 3. El producto es distributivo respecto de la suma. Propiedades de los cuerpos : 1. Los cuerpos no admiten divisores de cero.

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2. En todo cuerpo vale la ley cancelativa del producto para todo elemento no nulo del mismo. 3. Si b ≠ 0, entonces la ecuación b . x = a admite solución única en K. 4. El recíproco del opuesto de todo elemento no nulo es igual al opuesto de su recíproco. Ejemplo: ( R , +, . ) Los elementos del conjunto de los reales, la suma y el producto tienen Estructura de Cuerpo ya que:

1) ( R , + ) es Grupo Abeliano: a)

( R , + ) cumplen con la L.C.I., ya que la suma de dos reales cualesquiera dan por resultado otro número real.

b)

( R . + ) cumplen con la propiedad asociativa

(4 + 3)+2 = 4 + (3 + 2)

c)

( R , + ) cumplen con la propiedad conmutativa

4+3=3+4

d)

( R , + ) cumple con la existencia de elemento neutro

4+0=4

e)

( R , + ) cumple con la existencia de elemento simétrico 4 + (-4) = 0

2) ( R - {0} , . ) es Grupo Abeliano: a) ( R - {0} , . ) cumple con la L.C.I., ya que el producto de dos reales cualesquiera dan por resultado otro número real. b) ( R - {0} , . ) cumple con la propiedad asociativa

(4 . 3).2 = 4 . (3 . 2)

c) ( R - {0} , . ) cumple con la propiedad conmutativa 4 . 3 = 3 . 4 d) ( R - {0} , . ) cumple con la existencia de elemento neutro 4 . 1 = 1 . 4 e) ( R - {0} , . ) cumple con la existencia de elemento simétrico

4.¼=1

3) El producto (.) es distributivo respecto de la suma (+): ( 2 + 3 ) . 5 = ( 2 . 5 ) + ( 3 . 5 ) = 25 5 . 5 = 10 + 15 = 25

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Por lo expuesto, hemos podido verificar que la terna formada por ( R , + , . ) tiene Estructura Algebraica de Cuerpo.

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CAPITULO 1 – EJERCITACIÓN 1- Analizar que propiedades cumplen los siguientes pares a) (N0;+), b) (N;+), c) (Z;+), d) (Z;-), e) (N;.), f) (Z; ÷), g) (Q;.) h) (Q; ÷), i) (R;+), j) (R;.), k) (R; ÷)

2- Analizar si las siguientes tablas correspondientes a leyes asociativas tienen estructuras de grupo abeliano: a) ∆ p q r

p p q r

q q r p

R R P Q

b) * 0 1

0 0 1

1 1 2

c) * a b c d

a a b c d

b b c d a

c c d a b

D d a b c

3- Completar la siguiente tabla si P son los números pares e I son los impares. Analizar si tiene estructura de Grupo Abeliano. Indicar el elemento neutro y simétrico. + P I

P

I

4. Sabiendo que (C ; *) tiene estructura de grupo, que C={a;b} y que b es el Neutro, a)completar la tabla b) ¿Es grupo abeliano? * a b

a

b

5- Probar que la adición y la multiplicación son leyes de composición interna en el conjunto de los enteros pares.

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6- Determinar si (Z;.) tiene estructura de Grupo abeliano. 7- Indique entre las operaciones habituales definidas en R: a) b) c) d) e) f)

Una operación asociativa. Una operación no asociativa. Una operación conmutativa Una operación no conmutativa Una operación distributiva respecto de la suma y la resta Una operación no distributiva respecto de la suma y la resta.

8- Dado A={m,p,r} y las operaciones *, & y # definidas en él: ∗ m p r

m m m m

p m p r

r m r p

& m p r

m m p r

p p r m

r r m p

# m p r

m m m r

p m p r

r m r m

a) Verificar que cada una de ellas defina una ley de composición interna en A. b) Hallar el resultado de: 1. (m*m)+r 2. (m*r)#p 3. (p#r)*(p&r) 4. (m#m)&r 5. [(m*p)&r]#p c) Indicar cuál es el elemento neutro para cada operación definida. d) Hallar el inverso de cada elemento de A (si existen) respecto de *. e) Determinar cuáles son las operaciones dadas son conmutativas. Justificar.

9- Analizar si constituyen o no grupo abeliano, justificando: (N;+); (Z;+); (Q;.); (R;+); (R;.) 10- Probar que (R2;+) es grupo abeliano. 2011

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11-Averiguar, justificando en cada caso, si las siguientes ternas tienen estructura de cuerpo: a) (Z; +; .) b) (Q; +; .) c) (R; +; .) Siendo + y . La suma y el producto habituales.

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CAPÍTULO 2

MATRICES Y DETERMINANTES 2011

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Capítulo 2 – MATRICES Y DETERMINANTES Definición de Matriz: Se denomina matriz a un arreglo o disposición rectangular de números. Son cuadros que agrupan cantidades. La matriz es un medio común y hábil para resumir y presentar números o datos.

Orden: Se llama orden de la matriz al número de filas y número de columnas que posee. Una matriz que tiene m filas y n columnas es de orden m x n (m por n).  1 − 5 − 2 6    Esta matriz, como posee dos filas y dos columnas, es de orden 2x2.

Notación de una matriz: La matriz lleva como nombre una letra mayúscula del abecedario, y los elementos de la matriz se encuentran entre corchetes.  1 − 5  − 2 6 

A= 

Elementos de una matriz: Una matriz de orden m x n tiene (m x n) elementos, los que se denominan con la misma letra que la matriz, pero en letra minúscula, y tienen para su correcta ubicación, dos subíndices, el primero de los cuales (i) indica la fila y el segundo (j) la columna a la que pertenece. De esta forma, al elemento que ocupe la segunda fila, tercera columna de la matriz A, se lo denomina a23 . a A =  11  a 21

a12 a 22

a13  a 23 

A ε R2x3, entonces, tiene 2 x 3 = 6 elementos

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Ejercicio: escribir la matriz definida por la siguiente expresión:

a A ∈ R 2x3 / aij = 2i − 4 j =  11 a21

a12 a 22

a13  − 2 − 6 − 10 = a 23   0 − 4 − 8 

Tipos de matrices: Matriz nula: Recibe este nombre aquella matriz en la cual todos los elementos son 0, con independencia de su orden. Se la designa como matriz N o simplemente matriz 0. Si N es la matriz nula ⇒ ∀ i ∀ j / nij = 0 0 0  0 0  0 0 0  N = 0 0 N =  N=   0 0 0  0 0  0 0

Matriz cuadrada: Es aquella en la cual el número de filas m es igual al número de columnas n. Se la denomina matriz cuadrada de orden n.

4 - 5 3x3 C 2x2 =   C 2 7 

 2 0 - 3 15  2 4 - 6  1 -5 4 8    4x4  = -5 8 2 C =    - 5 2 6 7  - 12 7 - 3    2 5 -7 4

Diagonal de una matriz cuadrada: En una matriz cuadrada de orden n, la diagonal de la matriz es aquella formada por los elementos en los cuales el subíndice i es igual al subíndice j. Es la diagonal de n elementos que, de izquierda a derecha, desciende.  a11 A = a 21  a31

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a12 a 22 a32

a13  a 23  a33 

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Traza de una matriz cuadrada: Se llama traza de una matriz cuadrada a la suma de los elementos que componen su diagonal.

n

tr (A) = ∑ a ii = a 11 + a 22 + a 33 + ... + a nn i =1

 4 5 2 A =  2 3 6 ⇒ tr (A) = 4 + 3 + 4 = 11   - 3 8 4

Matriz diagonal: Es una matriz cuadrada en la cual los elementos que no pertenecen a la diagonal son nulos. A es una matriz diagonal / ∀ i ∀ j ⇒ i≠j ⇒ aij = 0

 4 0 0 D = 0 2 0 0 0 3

Matriz escalar: Es una matriz diagonal en la cual todos los elementos de la diagonal son iguales. A es una matriz escalar ⇒ ∀ i ∀ j ⇒ i=j ⇒ aij son iguales

4 0 0  E = 0 4 0 0 0 4

Matriz identidad: Es una matriz escalar en la cual los elementos de la diagonal son 1. A es una matriz identidad / ∀ i ∀ j ⇒ i=j ⇒ aij = 1

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1 0 0  I = 0 1 0 0 0 1 Esta matriz tiene un papel muy importante en el producto entre matrices, tema que será desarrollado cuando se estudien las operaciones matriciales.

Matriz fila: Es la que tiene una sola fila. Es de orden 1 x n.

F1x4 = [4 - 2 - 6 8]

Matriz columna: Es la que tiene una sola columna. Es de orden m x 1.

C

3x1

2 7 = - 5 D 2x1 =      - 8  3 

Matriz opuesta: La matriz opuesta de A es B ⇔ ∀i ∀ j : bij = -aij , se denomina como -A.

 3 − 2 − 3 2    A = − 4 3  - A =  4 − 3  8 − 5 − 8 5 

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Operaciones entre matrices: Suma: Sólo se pueden sumar matrices del mismo orden. El resultado da otra matriz del mismo orden cuyos elementos se obtienen sumando entre sí los elementos que ocupan la misma posición.

Propiedades de la suma: a) Ley de cierre: la suma de las matrices da otra matriz del mismo orden. b) Asociativa: (A + B) + C = A + (B + C) c) Conmutativa: A + B = B + A d) Existencia de neutro: A + N = N + A = A (N es la matriz nula) e) Existencia de simétrico: A + (-A) = 0 (-A es la matriz opuesta)

 4 −5 −7  − 7 9 − 4 − 3 − 4 −11 A=  B = A + B = C =   2 6 − 7  0 15 −19 − 2 9 −12    

Resta: Restar A y B equivale a sumar a la matriz A la matriz opuesta de B. A - B = A + (-B)

 4 −5 − 7  − 7 9 − 4  11 −14 − 3 A=  B = A − B = C =   2 6 − 7 − 4 3 − 5 − 2 9 −12     Producto: a) Producto de un escalar por una matriz: Para multiplicar un escalar (número) por una matriz se multiplica el escalar por cada elemento de la matriz es una ley externa. Se debe distribuir el producto del escalar por cada elemento de la matriz, como se indica en el siguiente ejemplo.

α . A = B / ∀i ∀j ⇒ bij = α . aij 2011

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α =3

 5 − 15 A =  0 4  − 2 3 

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15 - 45 3A =  0 12  - 6 9 

Propiedades de la multiplicación de un escalar por una matriz: a) 0 . A = N b) α . N = N c) Si α . A = N ⇔ α = 0 ó A = N d) 1 . A = A e) Distributiva respecto de la suma de matrices : α . (A + B) = α . A + α . B f) Distributiva respecto de la suma de escalares : (α + β) . A = α . A + β . B g) Tr (α . A) = α . Tr (A)

b) Producto entre matrices: Dadas dos matrices A y B las mismas se pueden multiplicar si y sólo si el número de columnas de la primera es igual al número de filas de la segunda. La matriz producto tiene tantas filas como la matriz primera y tantas columnas como la matriz segunda. Cada elemento de la matriz producto se obtiene efectuando la sumatoria de las multiplicaciones de los elementos de cada fila de la primera matriz por los elementos de cada columna de la segunda matriz. se obtiene de esta manera una matriz que tiene tantas filas como la primera matriz y tantas columnas como la segunda matriz. Condición:

A mxn ⋅ B pxq (si n = p) = C mxq 2 - 1 5 - 3 A=  4 2 - 3 - 5

Elemento c11 Elemento c12 Elemento c13 Elemento c21 Elemento c22

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1 - 2 3  3 6 - 1   =  - 3 22 - 18 B= 2 7 - 2 - 16 - 22 - 9    4 1 5 

2 x 1 + (-1) x 3 + 5 x 2 + (-3) x 4 = -3 2 x (-2) + (-1) x 6 + 5 x 7 + (-3) 1 = 22 2 x 3 + (-1) x (-1) + 5 x (-2) + (-3) x 5 = -18 4 x 1 + 2 x 3 + (-3) x 2 + (-5) x 4 = -16 4 x (-2) + 2 x 6 + (-3) x 7 + (-5) x 1 = -22

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Elemento c23

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4 x 3 + 2 x (-1) + (-3) x (-2) + (-5) x 5

= -9

Propiedades del producto de matrices: a)

Asociativa : A . (B . C) = (A . B) . C

1 5   4 3 1 6 - 7 .  2 4.3     1 5  13 6 − 7.14   b)

3  1 2 . 4  3 4 2 4

No conmutativa : A . B ≠ B . A

1 2 3 3 4.5   15 26  c)

2   1 5  4 = . 4   6 − 7 2 20 14 23  1 = . 20 10 − 10 3

4 3 4 1 2 ≠ . 7  5 7 3 4 22 13 18  ≠ 38 29 40

Distributiva respecto de la suma y resta. A . ( B + C ) = A . B + A . C

1 2  2 3 3 4   1 2 2 3   1 2 3 4  3 4. 4 5 + 5 6  =  3 4.4 5  +  3 4.5 6              1 2 5 7  10 13  13 16  3 4.9 11 = 22 29 + 29 36        23 29 23 29 51 65 = 51 65    

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Álgebra

d) Existencia de elemento neutro I . A = A . I = A

1 2 1 0 1 0 1 2 1 2 3 4.0 1 = 0 1.3 4 = 3 4        

Potencias de una matriz: Sólo se pueden elevar a una potencia matrices que tengan idéntica cantidad de filas y de columnas, o sea, matrices cuadradas. La operación de multiplicar una matriz por si misma debe hacerse de acuerdo a las reglas vistas para el producto de matrices.

1 2 1 2  7 10  2 A= ⋅ A = = A =  3 4 15 22 3 4    

Trasposición de una matriz: a) Definición:

La traspuesta de una matriz A es la matriz que se obtiene de permutar las filas por las columnas.

 5 - 8 3 - 4 t A ∈ R 2x4 =  A ∈ R 4x2  10 9 - 13 5 

 5 10  - 8 9   =  3 - 13   - 4 5 

b) Propiedades: a) La traspuesta de una matriz traspuesta es la matriz original.

[A ]

t t

=A

1 6  1 5 2   t t A=  → A = 5 − 7  → A 6 − 7 4   2 4 

( )

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t

1 5 2  = =A 6 − 7 4 

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Álgebra

b) La traspuesta de la suma es la suma de las traspuestas.

[A + B]t

= A t + Bt

1 2 5 6  6 8 6 10 1 3 5 7  6 10 A= +B= / A+ B =  → ( A + B) t =     = + =  3 4 7 8  10 12 8 12 2 4 6 8  8 12 c) La traspuesta de un producto es igual al producto de las traspuestas en orden inverso.

[A . B]t

= Bt . A t

7  t 1 3 19 43 1 2 5 6 19 22 19 43 t t 5 3 4.7 8 / A.B = 43 50 → ( A.B) = 22 50 = B 6 8 . A 2 4 = 22 50             

Matrices especiales: Matriz idempotente: Una matriz es idempotente si su cuadrado es igual a la matriz.

A2 = A Ejemplo:

 2 - 2 - 4 A = - 1 3 4     1 - 2 - 3

- 1 2 4  B =  1 - 2 - 4   - 1 2 4 

Verifique que elevando la matriz A y la matriz B al cuadrado, nos da por resultado la misma matriz, lo que determina que ambas matrices sean idempotentes.

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Matriz involutiva: Una matriz es involutiva si su cuadrado es igual a la matriz identidad. A2 = I

- 1 - 1 - 1 A =  0 1 0  ⇒ A2 = I    0 0 1 

Matriz simétrica: Una matriz cuadrada es simétrica si es igual a su traspuesta.

A = At

1 2 3  A =  2 - 5 4 = A t   3 4 0 En una matriz simétrica, los elementos de la diagonal pueden tomar cualquier valor, pero en los elementos donde i

≠ j entonces aij

= aji.

Matriz antisimétrica: Una matriz es antisimétrica si es igual a la opuesta de su traspuesta.

A = - At

 0 - 1 2 B =  1 0 3 = - B t   - 2 - 3 0

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En la matriz antisimétrica, cuando los subíndices son iguales (o sea, en la diagonal), el elemento debe ser igual a 0, cuando los dos subíndices son diferentes, entonces

aij = -aji Propiedades de las matrices simétrica y antisimétrica: a) La suma de una matriz cuadrada y su traspuesta da una matriz simétrica.

A nxn + A t = Matriz simétrica 1 2 1 3 2 5 3 4 + 2 4 = 5 8       b) La resta de una matriz cuadrada y su traspuesta da una matriz antisimétrica.

A nxn − A t = Matriz Antisimétrica 1 2 1 3 0 − 1 3 4 − 2 4 = 1 0        c) El producto de una matriz y su traspuesta da una matriz simétrica.

A . A t = Matriz simétrica 2  4 6 10  3[2 3 5] =  6 9 15      5 10 15 25 d) Toda matriz cuadrada se puede descomponer en una suma de una matriz simétrica y una matriz antisimétrica.

A nxn = Matriz simétrica + Matriz antisimétrica 1 2 1 3 + 1 2 3 4 2 4 + 3 4 = 2  

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1 2 1 3 3 4 − 2 4  1 5 / 2  0 − 1 / 2 1 2    = = 5 / 2 4  + 1 / 2 0  3 4 2   

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Matriz inversa: Una matriz cuadrada A admite inversa si existe una matriz B que multiplicada a izquierda y derecha por la matriz A da la matriz identidad. A • A -1 = A -1 • A = I

La matriz inversa es el elemento inverso para el producto entre matrices

Matriz ortogonal: Una matriz cuadrada es ortogonal si y solo si su inversa es igual a su transpuesta. De lo que se deduce que una matriz es ortogonal si el producto de esa matriz por su traspuesta da la identidad.

 1/3 2/3 2/3 A = - 2/3 - 1/3 2/3 es una matriz ortogonal pues A -1 = A t    2/3 - 2/3 1/3 

Matrices triangulares: Triangular superior: Una matriz cuadrada es triangular superior ⇔ i>j ⇒ aij = 0

4 5 2 A = 0 3 7 0 0 9

Triangular inferior: Una matriz cuadrada es triangular inferior ⇔ i