LET44 - Theorie Du Signal - Chapitre 4 Et TD5 [PDF]

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Matière : Théorie du Signal

CHAPITRE 4 PRODUIT DE CONVOLUTION 4.1 Introduction : La convolution est un operateur fondamental en traitement du signal. Il provient de la théorie des systèmes linéaires et invariables dans le temps. Un système est dit linéaire s’il justifie le principe de superposition. La réponse à une somme pondérée d’excitations est égale à la somme pondérée des réponses aux excitations individuelles.

x(t)

Système Linéaire

y(t)

a1x1(t)+ a2x2(t)+…

Système Linéaire

a1y1(t)+ a2y2(t)+…

N

N

 ai .xi (t )   ai . yi (t ) i1

i 1

Un système est invariable dans le temps, si la réponse à une excitation donnée ne dépond pas de l’instant de son application. Admettant que l’excitation et la réponse sont x(t) et y(t) respectivement alors :

x(t )  y(t ) x(t  t0 )  y(t  t0 ) La convolution est associée à l’opération de filtrage. Soit h(t) la réponse impulsionnelle du filtre, c’st à dire la réponse du filtre lorsque l’entrée est une impulsion de Dirac.

δ(t)

Filtre

h(t)

La relation entre une entrée (excitation) x(t) quelconque et la sortie du filtre y(t) est la convolution :

y(t )  x(t ) * h(t )

x(t)

Filtre de réponse impulsionnelle h(t)

y(t)

Conclusion : - Un système linéaire est entièrement décrit par sa réponse impulsionnelle h(t). - La réponse du système à une excitation est égale au produit de convolution entre l’excitation et la réponse impulsionnelle. 4.2 Définition : Le produit de convolution entre deux fonctions réelles x(t) et y(t), noté par le symbole « * », est une fonction réelle z(t). Il est défini par les intégrales suivantes : 

z(t )  x(t ) * y(t )   x * y  (t )   x( ). y (t   )d  

  x(t   ). y ( )d 

 y(t ) * x (t ) ----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------Chargé de cours : Pr. BOUAFIA Abdelouahab / E-mail : [email protected], [email protected] /Tel : 0553424882 Département d’électrotechnique, Faculté de Technologie, Université de Sétif 1.

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Le calcul de ce produit passe par les étapes suivantes : 1- Conserver le premier signal x(τ). 2- Trouver le symétrique du second signal y(τ) par rapport à l’axe des ordonnées c’st à dire y(-τ). 3- Décaler le signal y(-τ) du temps t. 4- Multiplier les deux signaux obtenus. 5- Calculer la surface commune. 4.3 Interprétation graphique de la convolution : Soient les deux signaux réels x(t) et y(t) définis par les expressions suivantes :

 2.5et y(t )    0

 2 Si 0  t  2 x(t )   , ailleurs 0

Si t  0 ailleurs

- Tracer la courbe des deux signaux. - Calculer le produit de convolution z(t)=x(t)*y(t) et tracer la courbe de z(t). La convolution entre les deux signaux x(t) et y(t) s’écrit : 

z (t )  x(t ) * y (t )   x( ). y (t   )d 

Le calcul de la convolution consiste donc à calculer la surface du produit x(τ).y(t-τ). Le signal y(t-τ) est simplement le signal y(τ) retourné dans le temps pour donner y(-τ) puis translaté de t. En calculant alors, les surfaces obtenues en faisant glisser y, c'est-à-dire pour tous les décalages de t, on obtient le produit de convolution pour toutes les valeurs de t : y(τ) x(τ) 2.5

2

0

τ

2

τ

0 x(τ)

y(t-τ)

0

t

τ

2

En faisant varier t, on retrouve les trois cas suivants : 1er cas t≤0 : Aucune intersection entre les deux signaux. Le produit x(τ).y(t-τ)=0 quelque soit τ. 

z (t )  x(t ) * y (t )   x( ). y (t   )d  0 

2

ème

cas 0≤ t ≤2 : La surface commune est comprise entre l’intervalle [0, t]. 

t



0

z (t )  x (t ) * y (t )   x ( ). y (t   ) d   2.  2.5e  ( t  )  d t

t

z (t )  5 e  t  e d  5e  t  e  0  5 e  t  e t  1 0

z (t )  5 1  e  t  ----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------Chargé de cours : Pr. BOUAFIA Abdelouahab / E-mail : [email protected], [email protected] /Tel : 0553424882 Département d’électrotechnique, Faculté de Technologie, Université de Sétif 1.

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ème

cas 0≤ t ≤2 : La surface commune est comprise entre l’intervalle [0, 2]. 

2

z (t )  x (t ) * y (t )   x ( ). y (t   ) d   2.  2.5e  ( t  )  d 

0

2

2

z (t )  5 e  t  e d  5e  t  e  0  5e  t  e 2  1  0

z (t )  5  e  1  e  t D’où la fonction résultante z(t) de ce produit est définie par l’expression suivante :  0 pour t  0  z (t )   5 1  e  t  pour 0  t  2  2 t pour t  2  5  e  1  e 2

z(t) 5(1-e-2)

0

2

t

La fonction z(t) peut être décrite par une seule expression mathématique :

z (t )  5 1  e  t  . u (t )  u ( t  2)   5  e 2  1  e  t .u (t  2 ) z (t )  5 1  e  t  .u (t )  5  e 2 t  1  .u (t  2) 4.4 Convolution des signaux périodiques : Pour deux signaux périodiques réels x(t) et y(t) de même période T0 , on définit la convolution de la manière suivante :

4.5 Propriétés du produit de convolution : A partir de la définition du produit de convolution, on montre facilement que ce produit possède les propriétés suivantes : a- Commutativité : Le produit de convolution est commutatif. C'est-à-dire :

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b- Associativité :

c- Distributivité par rapport à l’addition :

Cette propriété découle de la linéarité de l’intégrale. d- Elément neutre de la convolution : L’élément neutre du produit de convolution est l’impulsion de Dirac définie à l’origine.

La convolution d’un signal par une impulsion de Dirac décalée permet de translater le signal car : Le produit de convolution d’un signal x(t) par la somme pondérée de deux impulsions de Dirac décalée de t1 et t2 donne la somme pondérée de deux fonctions x(t) décalées de t1 et t2 respectivement. e- Convolution par un peigne de Dirac : Un peigne de Dirac est défini par l’expression suivante :

On en déduit que la convolution par le peigne de Dirac a pour effet de périodiser le signa. f- Différentiabilité :

Remarque :

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4.6 Transformée de Fourier du produit de convolution : Théorème de Plancherel : La transformée de Fourier du produit de convolution de deux signaux x(t) et y(t) est un produit simple et réciproquement. Sachant que :

Démonstration : On calcule tout d’abord la transformée de Fourier du produit de convolution des deux signaux x(t) et y(t).



Nous calculons maintenant la transformée de Fourier du produit des deux signaux x(t) et y(t).

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Il est possible de calculer le produit de convolution de deux signaux en calculant la transformée de Fourier inverse suivante : Remarque : La transformée de Laplace du produit de convolution de deux signaux x(t) et y(t), définis pout t≥0 (Signal causal), est un produit simple et réciproquement.

Il est aussi possible de calculer le produit de convolution de deux signaux en calculant la transformée de Laplace inverse suivante :

Application : Soient les deux signaux réels x(t) et y(t) définis par les expressions suivantes :

 2 Si 0  t  2 x(t )   , ailleurs 0

 2.5et y(t )    0

Si t  0 ailleurs

Calculer le produit de convolution z(t)=x(t)*y(t) en utilisant la transformée de Laplace.

Nous calculons tout d’abord les transformées de Laplace X(p) et Y(p) :

D’où :



Nous avons :



Donc : La même fonction qu’on a trouvée précédemment par intégration.

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TD N°05 : Exercice 01 : Soient les deux signaux réels x(t) et y(t) suivants :

-

Tracer l’allure des deux signaux x(t) et y(t)

-

Calculer le produit de convolution z(t)=x(t)*y(t)

-

Tracer l’allure de z(t).

Exercice 02: Soient les deux signaux réels x(t) et y(t) ci-dessous. 1- Calculer le produit de convolution z(t)= x(t)* y(t) et tracer l’allure de z(t). 2- Exprimer x(t) par la somme de deux fonctions rectangulaires. 3- Déduire les transformées de Fourier X(f) et Y(f) sachant que :   t  sin( fT0 ) TF  A.rect    AT0  fT0  T0  

4- Par l’application du Théorème de Plancherel, calculer la transformée de Fourier Z(f). 5- Déduire l’expression de z(t) à partir de sa transformée de Fourier Z(f). x(t) 2

y(t)

1

-T0

1

0

T0

t

0

T0

t

Exercice 03 : Calculer le produit de convolution par intégration et à l’aide de la transformée de Laplace des signaux x(t) et y(t) pour les cas suivants :

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