Les maths en physique - 3e édition: La physique à travers le filtre des mathématiques (avec éléments d'analyse numérique) 2100556924, 9782100556922 [PDF]

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LES MATHS EN PHYSIQUE La physique à travers le filtre des mathématiques avec éléments d’analyse numérique

Cours et applications

Jean-Pierre Provost Professeur à l’université de Nice-Sophia Antipolis

Gérard vallée Maître de conférences à l’université de Nice-Sophia Antipolis

3e édition

© Dunod, Paris, 2011 ISBN 978-2-1005-5933-6 © Dunod, Paris, 2006 pour la 2e édition

Table des mati` eres Liste des abr´ eviations

vi

Table des sujets de physique

vii

Avant-propos 1 Nombres r´ eels ; grandeurs physiques ; dimensions 1.1 Grandeurs physiques ; continuit´e ; param´etrages additifs . . . . . . . 1.1.1 Survol « physique » des ensembles N, Z, Q, R . . . . . . . . . 1.1.2 Param´etrage additif des lois de composition ; logarithmes . . 1.1.3 Fonction et notation exponentielles ; applications . . . . . . . 1.1.4 Mesure additive du d´esordre microscopique ; grands nombres et entropie ; exemples ; irr´eversibilit´e . . . . . . . . . . . . . . 1.2 Caract`ere alg´ebrique des grandeurs physiques . . . . . . . . . . . . . 1.2.1 Pens´ee « na¨ıve » et pens´ee alg´ebrique . . . . . . . . . . . . . 1.2.2 Conventions et lois de l’´electricit´e . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3 Grandeurs physiques et dimensions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3.1 Changements d’unit´es et invariance des lois physiques . . . . 1.3.2 Applications et limites de l’analyse dimensionnelle . . . . . .

xi

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1 1 1 4 6

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8 10 10 12 15 15 18

2 Nombres et notation complexes ; plan euclidien 2.1 Calculs avec les nombres complexes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1.1 R`egles de calcul ; exponentielle imaginaire ; fonctions complexes 2.1.2 « Th´eor`eme fondamental de l’alg`ebre » et applications . . . . . 2.2 Plan complexe et transformations associ´ees . . . . . . . . . . . . . . . 2.2.1 Plan complexe et plan cart´esien ; produit scalaire ; aire . . . . . 2.2.2 Transformations dans le plan complexe . . . . . . . . . . . . . . 2.3 Etude de courbes et de mouvements plans . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3.1 Mouvements et courbes en coordonn´ees polaires . . . . . . . . 2.3.2 Coniques en coordonn´ees polaires et cart´esiennes ; foyers . . . . 2.3.3 Mouvement de Kepler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3.4 Mouvement harmonique ; vecteurs tournants . . . . . . . . . . 2.4 Notation complexe en physique classique . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.4.1 Signaux r´eels et complexes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.4.2 Syst`emes entr´ee-sortie ; fonctions de transfert et imp´edances . . 2.4.3 Signaux modul´es ou quasi-monochromatiques . . . . . . . . . . 2.5 Applications a` l’optique ondulatoire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.5.1 Interf´erences . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.5.2 Diffraction en lumi`ere monochromatique . . . . . . . . . . . . . 2.5.3 Polarisations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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22 22 22 25 26 26 28 31 31 32 36 38 39 39 40 42 42 42 45 46

ii

Table des mati`eres

3 Espace ; sym´ etries ; calcul vectoriel 3.1 Sym´etrie, invariance et relativit´e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.1.1 Groupes de sym´etrie et invariance . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.1.2 Le groupe de sym´etrie de la physique . . . . . . . . . . . . . . . . 3.1.3 Sym´etries spatiales (pr´esentation « exp´erimentale ») . . . . . . . . 3.1.4 Transformation des grandeurs et des champs physiques . . . . . . . 3.2 Calcul vectoriel ; applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2.1 Produit scalaire, produit vectoriel et produit mixte ; pseudovecteurs 3.2.2 Equations de plans ; fr´equences spatiales ; r´eseaux . . . . . . . . . . 3.2.3 Diff´erentielles de chemins ; effet Doppler ; lois de Descartes . . . . . 3.2.4 Vecteurs surface ; flux de grandeurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2.5 Sph`ere, angle solide et applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2.6 G´eom´etrie sph´erique ; notion de transport parall`ele . . . . . . . . . 3.3 Vecteurs tournants ; m´ecanique du solide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.3.1 Vecteurs tournants ; changements de r´ef´erentiels . . . . . . . . . . 3.3.2 R´ef´erentiel du centre de masse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.3.3 Cin´ematique et dynamique d’un corps solide . . . . . . . . . . . . 3.4 Syst`emes physiques poss´edant des sym´etries . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.4.1 Sch´ema g´en´eral ; principe de Curie . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.4.2 Sym´etries de translation ; lois de Descartes et g´en´eralisations . . . 3.4.3 Sym´etries de rotation et sym´etries discr`etes ; applications en ´electromagn´etisme et en acoustique . . . . . . . . . . . . . . . . . .

51 52 52 53 55 59 60 60 64 66 69 71 74 76 76 78 80 83 83 84

4 Calcul et physique lin´ eaires ; relativit´ e ; quantique 4.1 Espaces vectoriels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.1.1 D´efinitions ; changements de bases ; applications lin´eaires . . . . . 4.1.2 Structures m´etriques ; fonctions orthonorm´ees . . . . . . . . . . . . 4.1.3 Formes quadratiques et antisym´etriques ; volume . . . . . . . . . . 4.2 Calcul matriciel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2.1 Bases du calcul matriciel ; lien avec le calcul vectoriel . . . . . . . . 4.2.2 Matrices n × n ; exponentielle ; trace ; d´eterminant ; inverse . . . . 4.2.3 Spectre d’une matrice n × n ; vecteurs propres ; exemples . . . . . 4.2.4 Matrices de Pauli ; groupe de sym´etrie de la physique ; spineurs . . 4.2.5 Groupe de rotation et classification des grandeurs physiques . . . . 4.3 Applications en physique classique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.3.1 D´eformations et contraintes ; ´elasticit´e ; viscosit´e . . . . . . . . . . 4.3.2 Optique matricielle des syst`emes centr´es . . . . . . . . . . . . . . . 4.3.3 Relativit´e d’Einstein et quadrivecteurs . . . . . . . . . . . . . . . . 4.4 Physique quantique et espaces vectoriels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.4.1 Cadre g´en´eral ; ´etats quantiques ; moyennes ; ´evolution . . . . . . . 4.4.2 Dynamique des syst`emes `a deux ´etats ; transitions quantiques . . . 4.4.3 Fonctions d’ondes ; E.D.P. de Schr¨ odinger ; ´etats gaussiens . . . . . 4.4.4 Oscillateur harmonique ; champ ´electromagn´etique . . . . . . . . . 4.4.5 E.D.P. relativistes de Klein-Gordon, Weyl, Dirac ; champs quantiques ; particules et antiparticules . . . . . . . . . . . . . . . . . .

87 87 87 90 91 94 94 95 98 101 103 105 105 108 111 117 118 120 124 127

85

130

Table des mati`eres

iii

5 Fonctions d’une variable ; analyse des signaux 5.1 Savoir-faire concernant les fonctions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.1.1 Graphe et informations sur une fonction . . . . . . . . . . . . . . . 5.1.2 D´erivation, d´eveloppements limit´es : principaux r´esultats . . . . . 5.1.3 Int´egration ; cas des fonctions piqu´ees ou rapidement oscillantes . . 5.1.4 Concavit´e de l’entropie ; travail maximum ; transitions de phase . . 5.2 Op´erations sur les fonctions ; analyse de Dirac . . . . . . . . . . . . . . . . 5.2.1 Op´erations sur les fonctions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.2.2 Impulsion de Dirac (« fonction delta ») ; exemples m´ecaniques . . . 5.2.3 Analyse de Dirac ; r´eponse impulsionnelle ; convolution ; filtrage . . 5.3 Transformation de Fourier ; analyse de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . 5.3.1 D´ecomposition de Fourier ; spectre d’un signal ; formule de Poisson 5.3.2 Propri´et´es : dualit´e temps fr´equence . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.3.3 Transform´ee de Laplace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.3.4 Signaux stationnaires ; signaux chaotiques ; langage probabiliste . . 5.4 Optique de Fourier ; filtrage optique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.4.1 D´ecomposition en ondes planes ; filtrage . . . . . . . . . . . . . . . 5.4.2 Illustrations optiques de la transform´ee de Fourier . . . . . . . . .

133 134 134 137 139 141 145 145 147 150 151 152 154 157 158 161 161 163

6 Equations diff´ erentielles ; syst` emes dynamiques 166 6.1 Syst`emes dynamiques et espace de phase . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167 6.1.1 D´efinitions ; propri´et´es g´en´erales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167 6.1.2 Exemples de syst`emes dynamiques et de leurs portraits de phase . 170 6.2 Equations lin´eaires stationnaires ; modes propres ; stabilit´e . . . . . . . . . 174 6.2.1 Equations du premier et du second ordre sans et avec second membre174 6.2.2 Cas g´en´eral ; modes propres ; oscillateurs coupl´es . . . . . . . . . . 177 6.2.3 Stabilit´e et instabilit´e d’un syst`eme dynamique lin´eaire stationnaire 180 6.3 Dix ´equations vectorielles classiques de la physique . . . . . . . . . . . . . 182 6.4 Equations diff´erentielles lin´eaires `a coefficients variables . . . . . . . . . . 187 6.4.1 Quatre exemples ; matrices de transfert . . . . . . . . . . . . . . . 187 6.4.2 Ondes stationnaires ; ´etats li´es ; quantification . . . . . . . . . . . . 190 6.4.3 Ondes propagatives ; r´eflexion, transmission, adaptation d’imp´edance191 6.4.4 Equations avec param`etres p´eriodiques ; th´eor`eme de Floquet-Bloch 193 6.4.5 Equations d’amplitude ; approximation adiabatique . . . . . . . . . 195 6.5 Oscillateurs non lin´eaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 197 6.5.1 Oscillateurs lin´eairement stables faiblement non lin´eaires . . . . . . 197 6.5.2 Oscillateurs lin´eairement instables ; exemple de Van der Pol ; bifurcations de Hopf et d’un cycle limite . . . . . . . . . . . . . . . 200 7 Fonctions de plusieurs variables ; analyse vectorielle 7.1 Calcul diff´erentiel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.1.1 D´eveloppement de Taylor ; diff´erentielles ; variation seconde ; extremum ; E.D.P. simples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.1.2 D´eriv´ees spatiales de champs scalaires et vectoriels . . . . . . 7.1.3 D´eriv´ees temporelles et applications hydrodynamiques . . . . 7.1.4 Changements de variables ; r`egles de calcul . . . . . . . . . . 7.2 Calcul int´egral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

204 . . . 204 . . . . .

. . . . .

. . . . .

204 208 212 214 216

iv

Table des mati`eres 7.2.1 7.2.2 7.2.3

7.3

7.4

7.5

Int´egration a` n dimensions ; jacobien ; cas des tr`es grandes dimensions216 Formes diff´erentielles ; formules de Stokes et Ostrogradski . . . . . 219 Analyse vectorielle ; fronti`eres et champs d´ependant du temps ; loi de Lenz ; hydrodynamique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 224 7.2.4 Bilans de grandeurs ; applications aux milieux continus . . . . . . . 227 Applications a` la m´ecanique et `a l’optique g´eom´etrique . . . . . . . . . . . 231 7.3.1 M´ecanique et fonctions ´energie potentielle . . . . . . . . . . . . . . 231 7.3.2 Optique g´eom´etrique : rayons ; surfaces d’onde ; caustiques et probl`emes d’extremum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 234 Applications a` la thermodynamique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 238 7.4.1 Rˆ ole cl´e de l’entropie ; ´equations d’´etat ; coexistence de phases . . . 239 7.4.2 Potentiels thermodynamiques et ´equilibres . . . . . . . . . . . . . . 242 Applications a` l’´electromagn´etisme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 245 7.5.1 Formulation int´egrale ; champs statiques ; milieux . . . . . . . . . . 245 7.5.2 Potentiel scalaire et potentiel vecteur ; bilans d’´energie et de quantit´e de mouvement ; A.R.Q.S . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 248 7.5.3 Calculs avec des densit´es microscopiques ; rayonnement . . . . . . 250

8 Equations aux d´ eriv´ ees partielles ; propagation ; diffusion 8.1 Chaines de syst`emes dynamiques coupl´es ; limite continue . . . . . . . . . 8.1.1 Chaines d’oscillateurs ; rˆ ole des conditions aux limites ; phonons . . 8.1.2 Limite continue ; cordes vibrantes ; lignes ´electriques ; hydrodynamique ; imp´edances . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.2 Solutions de quelques E.D.P. dynamiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.2.1 E.D.P. lin´eaires `a coefficients constants et solutions ondes planes . 8.2.2 Equations de diffusion et de propagation ; fonctions de Green ; ondes stationnaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.2.3 Six E.D.P. li´ees `a une loi de conservation . . . . . . . . . . . . . . 8.2.4 Trois exemples d’E.D.P. non lin´eaires ; ondes solitaires . . . . . . . 8.3 E.D.P. « spatiales » impliquant l’op´erateur laplacien . . . . . . . . . . . . 8.3.1 Exemples et analogies physiques ; conditions aux limites . . . . . . 8.3.2 Unicit´e des solutions ; identit´e de Green ; s´eparation des variables . 8.3.3 Equation de Laplace Δf = 0 dans le plan et fonctions d’une variable complexe ; applications hydrodynamiques . . . . . . . . .

253 253 254

9 Principes variationnels 9.1 Exemples historiques ; formalismes de Lagrange et de Hamilton . . . . . . 9.1.1 Principes de Fermat, Maupertuis, Lagrange . . . . . . . . . . . . . 9.1.2 Principe de Hamilton dans l’espace de phase . . . . . . . . . . . . 9.1.3 Equations d’Euler-Lagrange ; sym´etries et lois de conservation ; E.D.P. d’Hamilton-Jacobi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9.1.4 Equations de Hamilton et g´eom´etrie de l’espace de phase . . . . . 9.2 Principes de moindre action et g´en´eralisation des mouvements inertiels . . 9.2.1 Collisions et introduction de la masse inertielle . . . . . . . . . . . 9.2.2 Particules charg´ees et interactions ´electromagn´etiques . . . . . . . 9.2.3 Temps propre et gravitation ; courbure de l’espace-temps . . . . . 9.3 Champs et principes de moindre action . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

283 283 283 286

256 261 261 267 272 273 274 274 276 279

287 289 290 290 291 294 297

Table des mati`eres 9.3.1 9.3.2 9.3.3

v

Equations de Maxwell ; action de Schwarzschild . . . . . . . . . . . 297 Equation de Schr¨ odinger ; th´eor`eme adiabatique . . . . . . . . . . . 298 Equations d’Einstein de la gravitation ; action de Hilbert . . . . . 299

10 Probabilit´ es ; processus al´ eatoires 10.1 Langage des probabilit´es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10.1.1 Grandeurs al´eatoires et raisonnements logiques ; conditionnement 10.1.2 Probabilit´es ; lois de probabilit´e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10.1.3 Grandeurs moyennes ; moments ; corr´elations . . . . . . . . . . . 10.2 Origine et discussion de quelques lois importantes en physique . . . . . . 10.2.1 Th´eor`eme de la limite centrale et lois gaussiennes . . . . . . . . . 10.2.2 Loi binomiale et loi de Poisson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10.2.3 Loi de Boltzmann ; g´en´eralisations ; statistiques quantiques ; r´eponse lin´eaire et fluctuations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10.2.4 Estimation et lois de χ2 (khi-deux) . . . . . . . . . . . . . . . . . 10.3 Processus al´eatoires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10.3.1 Marche al´eatoire ; processus de diffusion ; mouvement brownien . 10.3.2 Processus de Markov ; probabilit´es de transition ; bilan d´etaill´e . 10.3.3 Processus stationnaires ; th´eor`eme de Wiener-Khintchine ; ergodicit´e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . .

300 300 301 302 307 308 308 310

. . . . .

312 315 317 317 319

. 321

11 Analyse num´ erique ; physique discr` ete 11.1 Discr´etisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.1.1 Repr´esentation des nombres ; erreurs ; stabilit´e num´erique . . . . . 11.1.2 D´erivation et int´egration ; extrapolation de Richardson . . . . . . . 11.1.3 Nombres al´eatoires ; m´ethode de Monte-Carlo . . . . . . . . . . . . 11.2 R´esolution num´erique d’E.D. et d’E.D.P. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.2.1 Syst`emes dynamiques ; sch´emas d’Euler et de Runge Kutta . . . . 11.2.2 E.D. avec conditions aux limites ; m´ethode de tir . . . . . . . . . . 11.2.3 E.D.P. avec conditions initiales : propagation, diffusion . . . . . . . 11.3 Approximation de fonctions ; interpolation ; moindres carr´es ; m´ethode de B´ezier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.3.1 Approximations polynomiales (Tchebytchev, B-splines...) . . . . . 11.3.2 Interpolation de Lagrange et par “cubic-splines” . . . . . . . . . . 11.3.3 M´ethode des moindres carr´es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.3.4 M´ethode de B´ezier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.4 R´esolution d’´equations, d’E.D. et d’E.D.P. lin´eaires . . . . . . . . . . . . . 11.4.1 Equations lin´eaires r´eguli`eres et singuli`eres . . . . . . . . . . . . . 11.4.2 E.D. et E.D.P. lin´eaires ; m´ethodes spectrales ; ´el´ements finis . . . . 11.5 Recherche de minima . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.5.1 M´ethodes utilisant le gradient . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.5.2 M´ethodes du simplex et du recuit simul´e . . . . . . . . . . . . . . .

323 324 324 326 327 328 328 330 331

Index

354

334 334 337 339 341 343 343 347 350 350 352

Liste des abr´ eviations A.R.Q.S. approximation des r´egimes quasi-stationnaires. c.d.m. centre de masse. C.I. condition initiale. C.L. condition aux limites. E.D. ´equation diff´erentielle. E.D.L. ´equation diff´erentielle lin´eaire. E.D.L.S. ´equation diff´erentielle lin´eaire stationnaire. E.D.P. ´equation aux d´eriv´ees partielles. E.V. espace vectoriel. L.C. loi de conservation. S.D. syst`eme dynamique. S.D.L. syst`eme dynamique lin´eaire. S.D.L.S. syst`eme dynamique lin´eaire stationnaire. T.F. transform´ee de Fourier. v.a. variable al´eatoire.

Table des sujets de physique 1. G´ en´ eralit´ es 1.1 Caract`ere alg´ebrique des grandeurs physiques : Chapitre 1, pages 10-15. 1.2 Dimensions ; analyse dimensionnelle : Chapitre 1, pages 15-21. 1.3 Grandeurs (pseudo)scalaires, (pseudo)vectorielles, quadrupolaires : Chapitre 3, pages 59-63 et Chapitre 4, pages 103-104. 1.4 Notation complexe : Chapitre 2, pages 39-42. 1.5 Statistiques de Gauss et de Poisson : Chapitre 10, pages 308-312. 1.6 Loi du χ2 , estimation : Chapitre 10, pages 315-316.

2. M´ ecanique classique 2.1 Etude de mouvements - Coordonn´ees polaires : Chapitre 2, pages 31-33. - Mouvements de Kepler, harmonique, uniform´ement acc´el´er´e, de pr´ecession, d’une particule charg´ee dans un champ magn´etique, pendule de Foucault : Chapitre 2, pages 36-38 et Chapitre 6, pages 182-187. - Portraits de phase de mouvements `a une dimension : Chapitre 6, pages 169-174. 2.2 Oscillateurs - Oscillateurs lin´eaires amortis : Chapitre 6, pages 174-175. - Oscillateurs param´etriques, approximation adiabatique : Chapitre 6, pages 173-174 et pages 193-196. - Oscillateurs non lin´eaires : Chapitre 6, pages 171-174 et pages 197-203. - Oscillateurs lin´eaires coupl´es : Chapitre 4, pages 92 et 100 et Chapitre 6, pages 178-180. - Chaˆıne d’oscillateurs, limite continue, corde vibrante : Chapitre 8, pages 253-260. 2.3 M´ecanique et principes variationnels - Principes de Lagrange et de Hamilton : Chapitre 9, pages 283-287. - Equations d’Euler-Lagrange, sym´etries et lois de conservation : Chapitre 9, pages 287-289. - Introduction de la masse inertielle et des interactions ´electromagn´etiques : Chapitre 9, pages 290-293. 2.4 Autres sujets - Changements de r´ef´erentiels, r´ef´erentiel du centre de masse, probl`eme des deux corps : Chapitre 3, pages 77-80. - Cin´ematique et dynamique du solide : Chapitre 3, pages 80-82. - Energie potentielle d’un syst`eme de points mat´eriels et en ´electromagn´etisme : Chapitre 7, pages 231-234. - R´esonance magn´etique nucl´eaire : Chapitre 6, pages 177-178.

viii

Table des sujets de physique

3. Hydrodynamique et milieux continus 3.1 D´eformations et contraintes ; ´elasticit´e, viscosit´e : Chapitre 4, pages 105-108. 3.2 D´eriv´ee en suivant le mouvement ; th´eor`emes de l’hydrodynamique : Chapitre 7, pages 212-214 et 226-227. 3.3 Flux de masse, de quantit´e de mouvement, d’´energie ; bilans : Chapitre 3, pages 70-71 et Chapitre 7, pages 227-231. 3.4 Autres sujets - Equations adimensionn´ees : Chapitre 1, page 20. - Ecoulements irrotationnels incompressibles : Chapitre 8, pages 274-277 et pages 279-282.

4. Thermodynamique et physique statistique 4.1 Entropie - Introduction statistique : Chapitre 1, pages 8-10. - Propri´et´es des fonctions S(U ) et applications (thermalisation, travail maximum, transitions solide-liquide et paramagn´etique-ferromagn´etique) : Chapitre 5, pages 141-144. - Propri´et´es des fonctions S(U, V ) et applications (gaz parfait, fluide de Van der Waals, corps noir) : Chapitre 7, pages 238-242. 4.2 Potentiels thermodynamiques ; ´equilibres, d´eplacements d’´equilibres, param`etre d’ordre : Chapitre 7, pages 242-243. 4.3 Loi de Boltzmann ; r´eponse lin´eaire, fluctuations ; statistiques quantiques : Chapitre 10, pages 312-315. 4.4 Ph´enom`enes de diffusion et de transport - Marche au hasard, limite continue : Chapitre 10, pages 317-319. - Equations de diffusion, de Fokker-Planck, de Boltzmann : Chapitre 8, page 262, pages 267-268 et pages 271-272.

5. Electricit´ e et ´ electromagn´ etisme 5.1 Circuits ´electriques - Conventions et lois de l’´electricit´e : Chapitre 1, pages 12-15. - Forces exerc´ees sur les circuits : Chapitre 7, pages 231-234. - Limite continue, lignes ´electriques : Chapitre 8, pages 257-259. 5.2 Equations de Maxwell. Formulation int´egrale, approximation des r´egimes quasi-stationnaires, milieux di´electriques et magn´etiques, ´equations de propagation, rayonnement : Chapitre 7, pages 245-252. Formulation variationnelle : chapitre 9, page 297. 5.3 Autres sujets - Utilisation des sym´etries : Chapitre 3, pages 83-86. - Conducteurs en mouvement, loi de Lenz : Chapitre 7, page 226. - Images ´electriques : Chapitre 8, pages 276-277. - Milieux di´electriques anisotropes : Chapitre 8, pages 262-263. - Invariance relativiste : Chapitre 4, page 117.

Table des sujets de physique

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6. Relativit´ e 6.1 Groupe de sym´etrie et invariance des lois physiques - G´en´eralit´es : Chapitre 3, pages 51-53. - Transformations de Lorentz, approximation galil´eenne : Chapitre, 3 pages 53-55. 6.2 Relativit´e d’Einstein - Temps propre, quadrivecteurs : Chapitre 4, pages 111-115. - M´ecanique-´electromagn´etisme : Chapitre 4, pages 115-117 et chapitre 9 pages 290-293 et pages 295-296. 6.3 Relativit´e et gravitation - G´eod´esiques, courbure, m´etrique de Schwarzchild : Chapitre 9, pages 294-297. - Equations d’Einstein : Chapitre 9, page 299.

7. Optique 7.1 Optique g´eom´etrique - Principe de Fermat, lois de Descartes, th´eor`eme de Malus : Chapitre 3, pages 67-68 et Chapitre 9, pages 283-284. - Optique matricielle des syst`emes centr´es : Chapitre 4, pages 108-111 et Chapitre 6, pages 187-190. - Etendue optique et luminance : Chapitre 3, pages 73-74. - Caustiques et aberrations : Chapitre 7, pages 234-238. 7.2 Interf´erences - Interf´erences en lumi`ere monochromatique : Chapitre 2, pages 42-45 et Chapitre 3, pages 64 et 67. - Localisation : Chapitre 3, page 68. - Interf´erences en lumi`ere non monochromatique : Chapitre 2, pages 44-45 et Chapitre 5, page 159. 7.3 Diffraction de Fresnel et de Fraunhofer - Principe d’Huygens-Fresnel : Chapitre 2, pages 45-46 et Chapitre 5, page 150. - Filtrage optique ; optique de Fourier : Chapitre 5, pages 161-165. 7.4 Lumi`ere polaris´ee ; ´etats de polarisation, interf´erences : Chapitre 2, pages 46-50.

8. Ondes 8.1 Ondes planes - Fr´equences spatiales ; lois de Descartes et des r´eseaux, formule de Bragg : Chapitre 3, pages 64-65 et pages 84-85. - R´eflexion, transmission, adaptation d’imp´edance : Chapitre 6, pages 191-192 et Chapitre 8, page 260. - Relations de dispersion ; paquets d’ondes ; ondes guid´ees : Chapitre 8, pages 262-267. 8.2 Approximation de l’optique g´eom´etrique ; surfaces d’onde et rayons : Chapitre 7, pages 234-236. 8.3 Equations de propagation `a une et trois dimensions - Solution g´en´erale ; fonctions de Green ; ondes stationnaires : Chapitre 8, pages 267-272. - Approximation de Born de la diffusion : Chapitre 8, page 278.

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Table des sujets de physique

8.4 Ondes non lin´eaires ; ondes de choc ; ondes solitaires : Chapitre 7, pages 207 et 228 et Chapitre 8, pages 273-274.

9. Physique quantique 9.1 Etats quantiques, amplitudes de probabilit´e, ´evolution : Chapitre 4, pages 118-120. 9.2 Dynamique des syst`emes `a deux ´etats ; transitions quantiques : Chapitre 4, pages 120-124. 9.3 Equation de Schr¨ odinger `a une dimension - Fonctions d’onde ; oscillateur harmonique : Chapitre 4, pages 124-129. - Puits et barri`eres de potentiel, potentiels p´eriodiques : Chapitre 6, pages 190-194. 9.4 Physique quantique relativiste - Matrices de Pauli et espace-temps ; spineurs : Chapitre 4, pages 101-103. - Champs quantiques ; particules et antiparticules : Chapitre 4, pages 130-132. 9.5 Autres sujets - Lois de conservation : Chapitre 3, page 85. - Spineurs et moments cin´etiques : Chapitre 4, pages 103-105. - Emissions spontan´ee et induite ; coefficients d’Einstein : Chapitre 4, pages 129-130 et Chapitre 10, page 321. - Statistiques de Fermi-Dirac et de Bose-Einstein : Chapitre 10, page 314. - Th´eor`eme adiabatique ; distinction « travail-chaleur » ; phase de Berry ; transport quantique : Chapitre 9, pages 298-299. - Diamagn´etisme et paramagn´etisme ; effet Aharonov-Bohm : Chapitre 9, page 293.

Avant-propos Cet avant-propos est destin´e ` a expliciter l’esprit qui a pr´evalu `a la r´edaction de cet ouvrage et `a permettre au lecteur d’en tirer le meilleur profit.

Esprit et originalit´ e de l’ouvrage Ce livre a son origine dans l’´elaboration de documents de travail pour “agr´egatifs” de physique constitu´es de questions-exercices de math´ematiques ayant un rapport direct avec le programme du concours. Sous sa forme actuelle, qui s’adresse a` un public plus large, cet ouvrage reprend les principaux concepts et techniques math´ematiques intervenant dans la physique enseign´ee en premier et second cycles universitaires, et les illustre par de nombreux exemples issus de toutes les branches de la physique. Son objectif est de mettre en avant l’int´erˆet des math´ematiques pour la physique en montrant comment un mˆeme concept ou r´esultat math´ematique intervient dans des domaines de physique parfois tr`es ´eloign´es les uns des autres, ce qui souligne l’essence math´ematique de beaucoup d’id´ees physiques. Il ne s’agit donc ni d’un livre de “m´ethodes math´ematiques pour la physique”, avec d´efinitions, lemmes et th´eor`emes, offrant un cadre rigoureux a` un nombre limit´e d’applications physiques, ni d’un livre d’entraˆınement a` la r´esolution de probl`emes r´eduisant les math´ematiques au rˆole d’outils de calcul.

Quelques exemples Des savoir-faire “typiques” de physicien, comme par exemple 1) l’´etablissement du signe correct dans une relation en raisonnant sur un cas particulier, 2) l’utilisation d’arguments dimensionnels pour r´etablir des param`etres pos´es ´egaux a` 1 lors du calcul d’une expression, 3) l’emploi d’arguments de sym´etrie pour d´eterminer la direction d’un champ vectoriel en un point, reposent tous sur la propri´et´e des lois physiques d’ˆetre invariantes par rapport `a un groupe de transformations. S’il veut transmettre ce savoir le physicien se doit d’expliciter cette notion d’invariance, ce qui implique de pr´eciser les transformations consid´er´ees et la mani`ere dont elles agissent sur les grandeurs physiques. Ces informations sont non seulement tr`es fondamentales mais aussi tr`es pratiques. Dans le premier cas ce sont le caract`ere alg´ebrique des grandeurs physiques et l’invariance des lois par rapport aux changements de conventions de signe qui sont en jeu. L’exemple, donn´e au chapitre 1, d’un syst`eme ´electrom´ecanique simple, avec 64 combinaisons de signe possibles, montre la relativit´e des conventions et la possibilit´e d’en choisir une sans perte de g´en´eralit´e (de mˆeme qu’on traite un probl`eme dans un r´ef´erentiel). Dans le second cas c’est l’invariance des lois par rapport aux changements d’unit´es qui est concern´ee. Cette propri´et´e permet d’adimensionner des ´equations (ce qui simplifie beaucoup de calculs) et de faire des pr´edictions dimensionnelles (par exemple estimer des ordres de grandeurs). Quant aux arguments de sym´etrie, on montre par exemple au chapitre 3 que, conjugu´ee `a la lin´earit´e, l’invariance par rapport aux transformations les plus simples (les translations) conduit a` la fois aux lois de Descartes (translations “continues”), aux formules des r´eseaux optiques et de Bragg pour les cristaux (translations “discr`etes”) et

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Avant-propos

aussi a` la loi de conservation de la quantit´e de mouvement et de l’´energie (translations spatiales et temporelles) en physique quantique. Beaucoup d’autres exemples relatifs aux liens math´ematiques-physique pourraient ˆetre donn´es. Ainsi au chapitre 5 on verra que ce qui se cache derri`ere une analyse de Fourier des fonctions est la notion physique de filtrage, derri`ere une analyse “` a la Dirac” celle de r´eponse impulsionnelle et derri`ere une analyse “probabiliste” celle de corr´elation.

Parties originales de l’ouvrage En plus du caract`ere nouveau de son approche ce livre contient certaines pr´esentations, discussions et d´emonstations originales (ou partiellement originales) comme : - les introductions des dimensions (section 1.3.1), des groupes de sym´etrie (section 3.1.1), des bilans de grandeurs et ondes de choc a` partir de l’exemple de la circulation automobile (section 7.2.4), de la masse d’inertie (section 9.2.1)... - les discussions de la concavit´e de l’entropie dans des cas simples (section 5.1.4) et pour le gaz de Van der Waals (section 7.4.1), de la distinction entre signaux stationnaires chaotiques et quasip´eriodiques (section 5.3.3), du principe d’Huygens Fresnel en liaison avec la notion de filtrage (section 5.4.1), des volumes en grande dimension (section 7.2.1), des formules de Stokes et d’Ostrogradski pour des champs et des domaines d´ependant du temps (section 7.2.3), de l’identit´e des vitesses de groupe et de l’´energie (section 8.2.1)... - les d´emonstrations des lois de Descartes et de ses g´en´eralisations (section 3.4.2), de l’invariance relativiste de l’´electromagn´etisme (section 4.3.3), de la r`egle d’or de Fermi et de la loi exponentielle de d´esexcitation en quantique (section 4.4.2), du th´eor`eme adiabatique classique (section 6.4.5) et quantique (section 9.4.2), de la solution causale de l’E.D.P. de propagation a` trois dimensions (section 7.2.2), de la formule de Biot et Savart sans les potentiels vecteurs (section 7.5.1), des lois de conservation `a partir des principes variationnels (section 9.1.3)...

Organisation de l’ouvrage L’ouvrage contient dix chapitres consacr´es chacun `a un grand domaine des math´ematiques (nombres r´eels, complexes, espace et sym´etries, calcul lin´eaire, fonctions d’une variable, de plusieurs variables, ´equations diff´erentielles, aux d´eriv´ees partielles, principes variationnels, probabilit´es) ainsi qu’aux applications physiques correspondantes. Chaque chapitre commence par une br`eve introduction du sujet (souvent historique) permettant de motiver son ´etude ainsi que la fa¸con de l’aborder. Les aspects les plus math´ematiques (d´efinitions, principaux r´esultats...) sont ensuite pr´esent´es dans les premi`eres sections. Ces r´esultats font en g´en´eral l’objet d’une d´emonstration rapide, certains calculs ´etant laiss´es au lecteur ; sinon l’id´ee de la d´emonstration est donn´ee. Ils ne sont donc jamais “parachut´es” et leur appropriation par le lecteur est facilit´ee par la pr´esence de nombreux exemples et ´eventuellement contre exemples. Bien que l’imbrication math´ematiques-physique soit permanente, les derni`eres sections d’un chapitre sont g´en´eralement consacr´ees `a des domaines particuliers de physique utilisant les techniques et concepts introduits auparavant. C’est le cas par exemple de l’optique de Fourier (en liaison avec la transformation de Fourier), de la formulation int´egrale de l’´electromagn´etisme (en liaison avec l’analyse vectorielle), de l’´etude des d´eformations (en liaison avec le calcul matriciel)...

Avant-propos

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Au total le livre comporte plus d’une centaine de sous-sections traitant d’un th`eme pr´ecis, a dominante math´ematique ou physique. Leur r´edaction a ´et´e con¸cue de sorte `a rendre ` chacune la plus autonome possible afin qu’un lecteur disposant d’un minimum de connaissances puisse s’y reporter directement (moyennant ´eventuellement des renvois, signal´es dans le texte, a` d’autres sous-sections). A la table des mati`eres usuelle a ´et´e ajout´ee une “table des sujets de physique” destin´ee aux lecteurs qui souhaitent retrouver un sujet de physique connu dans le “d´ecoupage classique” par sp´ecialit´es : G´en´eralit´es, M´ecanique classique, Hydrodynamique et milieux continus, Thermodynamique et physique statistique, Electricit´e et ´electromagn´etisme, Relativit´e, Optique, Ondes, Physique quantique.

Diff´ erents niveaux de lecture Le profit tir´e de la lecture d’un livre d´epend bien sˆ ur de la culture du lecteur. Aussi les auteurs sont-ils conscients qu’ils ne peuvent s’adresser `a chacun avec la mˆeme efficacit´e. Si il est vrai que les parties math´ematiques sont en g´en´eral facilement abordables car elles ne font appel qu’` a des connaissances qui ne d´epassent que rarement le niveau licence, les parties physiques demandent par contre de la part du lecteur une “participation active”. En effet, l’esprit mˆeme du livre l’oblige `a passer rapidement d’un domaine de physique a un autre ; cet exercice auquel les ´etudiants ne sont pas habitu´es est pourtant a` la base ` de l’acquisition d’une v´eritable culture en physique. Le lecteur doit ˆetre averti qu’il y a cependant diff´erents niveaux de lecture de chaque chapitre ou mˆeme de chaque section. Si certaines parties ne seront pleinement profitables qu’` a un ´etudiant de master ou mˆeme un enseignant poss´edant d´ej`a un certain recul par rapport a` la physique, d’autres peuvent tr`es bien ˆetre lues par un ´etudiant de licence ou de classes pr´eparatoires. Prenons l’exemple du chapitre 5 “fonctions d’une variable ; analyse des signaux”. Tout ce qui concerne la premi`ere section, `a savoir l’information contenue dans un graphe, les d´eriv´ees et d´eveloppements limit´es, l’int´egration et le lien entre la concavit´e de l’entropie et la thermodynamique rel`eve des premi`eres ann´ees de licence ; mˆeme l’int´egration par la m´ethode du col ou celle de la phase stationnaire, rarement introduites a` ce niveau, peuvent ˆetre lues compte tenu des exemples physiques choisis. Le contenu des deuxi`eme section “op´erations sur les fonctions et analyse de Dirac” et troisi`eme section “transform´ee et analyse de Fourier” est en g´en´eral enseign´e en troisi`eme ann´ee ; cependant certaines parties comme la transform´ee de Laplace sont abordables par un ´etudiant de deuxi`eme ann´ee tandis que d’autres comme l’application du filtrage d’un bruit blanc a` l’´equation de Langevin et aux t´el´ecommunications sont d’un niveau master. De mˆeme dans la derni`ere section “optique de Fourier ; filtrage optique”, du niveau master, certaines parties peuvent int´eresser un ´etudiant de deuxi`eme ann´ee. Enfin le livre contient de nombreux passages ´ecrits en petits caract`eres. Dans l’esprit des auteurs ces passages sont consid´er´es comme des compl´ements r´eserv´es `a une seconde lecture. C’est le cas par exemple des passages “m´etrologie” et “ensembles fractaux” du chapitre 1 sur les nombres r´eels, ou de certaines d´emonstrations de th´eor`emes.

Remerciements Les auteurs tiennent `a remercier leurs coll`egues Y. Gabellini, O. Legrand, F. Peters, L. Petit, J.A. Sepulchre et D. Wilkowski pour la relecture de certains chapitres et leurs suggestions pertinentes, ainsi que G. Gonczi pour son aide a` la r´ealisation de certaines

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Avant-propos

figures, en particulier le trac´e de la surface S(U, V ) pour un fluide de Van der Waals. Ils sont ´egalement conscients que la r´edaction de certaines parties de cet ouvrage a b´en´efici´e indirectement de conversations avec de nombreux autres coll`egues notamment P. Coullet, J.L. F´em´enias, J.M. Levy Leblond, J.L. Meunier, ainsi que de l’exp´erience tir´ee de nombreux enseignements effectu´es en licence et maˆıtrise de physique, licence E.E.A et pr´eparation `a l’agr´egation de physique. Nice Mars 2004

Avant propos de la deuxi` eme ´ edition L’apport principal de cette nouvelle ´edition concerne le chapitre 11 “Analyse Num´erique ; Physique Discr`ete”. Un tel chapitre, inhabituel dans les ouvrages de math´ematiques pour la physique, nous semble devoir faire partie de la culture math´ematique du physicien en raison de l’importance prise par le calcul et la simulation num´eriques en physique. Ecrit dans le mˆeme esprit, `a la fois introductif et synth´etique, que les chapitres pr´ec´edents, il s’efforce de couvrir les m´ethodes les plus utiles au physicien, en pr´ecisant leurs limites (stabilit´e, pr´ecision ...). Le choix des sujets retenus, indispensable compte tenu de l’´etendue du domaine, a b´en´efici´e des discussions que nous avons eues avec B. Cessac, T. Corbard, J.L. F´em´enias, O. Legrand et J. Provost ; qu’ils en soient ici remerci´es. Cette deuxi`eme ´edition a ´et´e aussi l’occasion de quelques ajouts (g´eom´etrie sph´erique, notions de transport parall`ele et de courbure au chapitre 3, ´equation de Hamilton-Jacobi, formulation variationnelle des ´equations de Maxwell et g´eom´etrie symplectique au chapitre 9) et d’un effort d’am´elioration de la lisibilit´e de l’ouvrage, notamment en faisant ressortir les exemples et en ajoutant quelques figures. Nice Juillet 2006

Avant propos de la troisi` eme ´ edition Cette troisi`eme ´edition a ´et´e l’occasion d’introduire le lecteur `a deux nouveaux sujets : la physique quantique relativiste au chapitre 4 (´equations de Klein-Gordon, de Weyl et de Dirac, champs quantiques, particules et antiparticules) ; la th´eorie relativiste de la gravitation au chapitre 9 (m´etrique et courbure de l’espace-temps, ´equations d’Einstein). Un compl´ement d’analyse num´erique (m´ethode de B´eziers utilis´ee en CAO) a ´et´e ajout´e au chapitre 11. Enfin l’index a ´et´e d´evelopp´e pour permettre un meilleur acc`es aux mots cl´e du livre. Nice Octobre 2010

Chapitre 1

Nombres r´ eels ; grandeurs physiques ; dimensions Le but de ce chapitre n’est pas de rappeler au lecteur des techniques de calcul qu’il connait, mais d’insister sur des notions non triviales que recouvre l’emploi des r´eels en physique. Parmi elles figurent la continuit´e, le caract`ere alg´ebrique de la plupart des grandeurs physiques, et la notion de dimension qui traduit l’invariance des lois physiques pour certains changements d’unit´es.

1.1

´ ; PARAMETRAGES ´ GRANDEURS PHYSIQUES ; CONTINUITE ADDITIFS

Les nombres servent a` comparer entre elles, notamment avec celle qui sert d’unit´e, des grandeurs de mˆeme nature et `a transcrire la loi de composition de ces grandeurs. L’exemple qui a servi de prototype depuis la th´eorie des grandeurs d’Euclide ( 400 av. J.-C.) jusqu’`a la construction r´ecente des nombres r´eels (Cantor, Dedekind 1870) est la description des longueurs sur une “droite”. Aujourd’hui encore, mˆeme si la plupart des appareils de mesure avec une aiguille se d´epla¸cant devant un cadran sont remplac´es par des appareils a` affichage num´erique, l’identification (“isomorphisme local”) grandeur physique-longueur sur une droite reste valable. En particulier deux notions communes sont tr`es importantes : celle de continuit´e et celle de param´etrage additif de la loi de composition.

1.1.1

Survol « physique » des ensembles N, Z, Q, R

 Composition de grandeurs additives L’introduction de l’ensemble N des nombres entiers 0,1,2... n’est ´evidemment pas qu’une question de num´erotation. L’important est qu’ils sont g´en´er´es par une op´eration r´ecurrente : le passage de n ` a n + 1. C’est cette op´eration fondamentale “addition d’une

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1 • Nombres r´eels ; grandeurs physiques ; dimensions

unit´e” que l’on reconnaˆıt dans de tr`es nombreuses situations exp´erimentales : mise bout ` bout de segments identiques sur une droite, r´ep´etition d’une rotation autour d’un a axe, accrochages successifs de masses pesantes identiques `a un ressort, mise en s´erie de forces ´electromotrices identiques, etc. Ces op´erations physiques poss`edent les propri´et´es de commutativit´e et d’ associativit´e qu’on transcrit par l’addition au niveau des nombres. L’entier q = 1 + 1 + 1 + · · · + 1 repr´esente alors la grandeur obtenue en composant q fois avec elle mˆeme la grandeur unit´e, et le nombre 0 l’op´eration “neutre”, qui consiste par exemple `a ne rien accrocher au ressort. Enfin si on compose la grandeur associ´ee `a q avec elle mˆeme, on obtient les grandeurs associ´ees `a 2q, 3q . . . L’op´eration de multiplication ainsi introduite est, on le sait, commutative, associative et distributive par rapport a` l’addition.

 Changements d’unit´ e On peut adopter un autre point de vue qui est l’analogue du point de vue passif lors d’un changement de r´ef´erentiel (cf. section 3.1.1). Il consiste `a consid´erer que le regroupement q par q de la grandeur unit´e d´efinit une nouvelle unit´e q fois plus grande. Alors des grandeurs correspondant aux nombres x = 0, 1, 2, 3 . . . lorsqu’elles sont obtenues par composition de cette nouvelle unit´e correspondent comme on l’a vu aux nombres x = 0, q, 2q, 3q . . . pour l’ancienne unit´e. Inversement pour repr´esenter num´eriquement avec la nouvelle unit´e des grandeurs correspondant a` x = 0, 1, 2 . . . p . . . on est amen´e `a introduire p les nombres fractionnaires, x = signifiant x = p. q

 Nombres alg´ ebriques Pour de nombreuses grandeurs physiques il existe une op´ eration inverse de l’addition, comme par exemple lors de la mise bout `a bout de segments orient´es. On est alors amen´e a introduire l’ensemble des entiers ` ebriques Z =(· · · − 2, −1, 0, 1, 2 . . . ), l’ensemble  p alg´ des nombres rationnels Q = ; p ∈ Z, q = 0 ∈ Z , et les r`egles du calcul alg´ebrique q (les fameuses “r`egles des signes”) afin d’´etendre a` Z et Q les propri´et´es de l’addition et de la multiplication sur N. Compte tenu de son importance deux sections (1.2.1,2) sont consacr´ees au caract` ere alg´ ebrique des grandeurs physiques.

 Commensurabilit´ e et incommensurabilit´ e Une question a de longue date pr´eoccup´e les scientifiques : peut-on toujours comparer deux grandeurs (de mˆeme nature) `a l’aide de Q ? Si oui elles sont commensurables et il existe une unit´e telle que la premi`ere vale p ∈ Z et la seconde q ∈ Z. Mais la r´eponse `a d2 cette question est non, et ´etait d´ej`a connue des Grecs (relations 2 = 2 entre diagonale a et cˆot´e d’un carr´e, l = πd entre circonf´erence et diam`etre d’un cercle...). D’o` u les autres questions : les grandeurs “irrationnelles” vis-` a-vis d’une unit´e sont-elles une exception ou la r`egle quasi g´en´erale ? Peut-on les comparer entre elles et par quel ensemble doiton remplacer Q pour les mesurer ? Les Grecs avaient constat´e que les irrationnels sont “plus nombreux” que les rationnels mais ils n’ont pu r´epondre de mani`ere compl`ete `a la deuxi`eme question. On sait aujourd’hui que les rationnels forment un ensemble dense, bien que de mesure de Lebesgue nulle, dans l’ensemble des r´eels R.

1.1 Grandeurs physiques ; continuit´e ; param´etrages additifs

3

 Continuit´ e ; nombres r´ eels L’approche moderne des nombres r´eels reprend `a son compte toutes les propri´et´es relatives `a Q (addition, multiplication, ordre, distance...) et donne une m´ethode de construction par “approximations successives” de l’ensemble R. Cette m´ethode fait appel a` l’axiome d’Archim` ede, qui stipule que quels que soient x et y il existe n ∈ N tel que n|x| ≥ |y|, et `a l’axiome de Cauchy des intervalles emboit´ es, selon lequel il existe un nombre x et un seul dans la famille d’intervalles {In = [an , bn ]} tels que In+1 ⊂ In et |bn − an | → 0 quand n → ∞. En pratique le premier axiome permet d’encap+1 p , et le second permet par des encadrements drer tout r´eel x par des rationnels et q q     pn pn+1 pn pn+1 + 1 pn + 1 emboit´es · · · · · · de d´efinir x comme la limite des ··· ou qn qn+1 qn+1 qn qn pn + 1 lorsque qn tend vers l’infini ; on dit que Q est un ensemble dense dans R. Bien qn ´evidemment on s’assure que cette d´efinition des r´eels comme limite de suite de rationnels est unique (notion de suites ´equivalentes), et qu’elle est compatible avec les op´erations pn rn pn rn d´efinies sur Q (si tend vers x et vers y alors tend vers xy = yx, etc.). En qn sn qn sn base 10, qn = 10n (25, 37... = 2 101 + 5 100 + 3 10−1 + 7 10−2 + ...) ; en base 2, qn = 2n (le mˆeme nombre est repr´esent´e par une suite de 0 et de 1). En toute base on montre que les rationnels correspondent a` des suites de chiffres qui deviennent p´eriodiques `a partir d’un 1 certain rang, par exemple = 0, 83333... en base 10 et 0, 00 01 01 01... en base 2, tandis 12 √ que les √ non rationnels correspondent a` des suites “chaotiques” (cf. π, 2, le nombre d’or 1+ 5 dont la suite des d´ecimales peut servir `a g´en´erer des nombres al´eatoires...). 2 Le r´esultat le plus remarquable de cette construction est que R est un ensemble complet : toute suite de Cauchy de nombres r´eels (suite de nombres xn tels que |xn − xm | <  arbitrairement petit d`es que n et m > N ()) converge vers un nombre r´eel. On peut donc parler de “continuit´e des nombres r´eels” (`a l’inverse de Q pour lequel les suites de Cauchy “sortent en g´en´eral de l’ensemble”). Ceci permet par exemple de d´efinir la continuit´ e d’une fonction f ou sa d´ erivabilit´ e : f est continue en x0 ∈ R si |f (x) − f (x0 )| peut ˆetre rendu arbitrairement petit pour x suffisamment proche de x0 , et est d´erivable en f (x0 + ) − f (x0 ) df x0 si admet une limite (d´eriv´ee en x0 not´ee f  (x0 ) ou (x0 )) pour  dx  → 0.

 Mesure de Lebesgue   D´efinie par μ [a, b] = b − a pour un intervalle [a, b], elle est nulle pour un point (encadr´e par les intervalles In ) de mˆeme que pour un ensemble fini ou d´enombrable de points (par exemple Q), et elle s’´etend ` a toutes les intersections et unions d´enombrables d’intervalles. Elle est invariante par translation et permet de d´efinir l’int´ egrabilit´ e d’une fonction : au sens de Lebesgue (resp. Riemann) une fonction y =  f (x) estint´egrable −1 si en partitionnant l’axe y (resp. x) en domaines Dn la quantit´e (Dn ) n yn μ f

1 • Nombres r´eels ; grandeurs physiques ; dimensions

4

 (resp n f (xn ) μ(Dn )) a une limite, quels que soient les yn (resp. xn ) appartenant a` Dn , lorsque les μ(Dn ) tendent vers 0 (figure 1a, resp. 1b). Le premier point de vue est 1 math´ematiquement plus g´en´eral (cf. 0 f (x) dx, avec f (x) = 0 si x ∈ Q et 1 ailleurs, qui vaut 1 pour Lebesgue et n’est pas d´efinie pour Riemann) et pas moins physique (cf. section 5.3.3).

Dn f(x)

Dn{

11 00 00 11 00 11 00 11 00 11 00 11 00 11

yn

{

f(x)

( f −1 (Dn))

f(xn)

111 000 000 111 000 111 000 111 000 111 000 111 000 111 000 111

11 00 00 11 00 11 00 11 00 11 00 11 00 11

1 0 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1

x

(Dn)

(a)

xn

x (b)

Figure 1

1.1.2

Param´ etrage additif des lois de composition ; logarithmes

 Rep´ erage des grandeurs Reprenons l’exemple qui consiste `a suspendre des masses `a un ressort. En pratique, pour les comparer, on “rep`ere” les masses en leur associant le nombre r´eel x correspondant a` l’´elongation du ressort. Mais comme la r´eponse d’un ressort n’est pas lin´eaire (son comportement n’est approximativement lin´eaire que pour des petites d´eformations), l’op´eration physique qui consiste `a accrocher simultan´ement deux masses ne conduit pas en g´en´eral a` la somme x1 + x2 des ´elongations correspondant `a chacune des masses mais a un autre nombre x1 ∗ x2 . Cette loi de composition (x1 , x2 ) → x1 ∗ x2 est cependant ` commutative, associative et poss`ede un ´el´ement neutre que l’on peut toujours noter 0. (Le nombre x peut ne pas avoir d’inverse pour cette loi.)

 Param´ etrage additif Pour tout rep´erage raisonnable (x1 ∗ x2 continu et d´erivable par rapport a` x1 et x2 ), on d´emontre qu’on peut trouver une fonction ϕ(x), d´efinie `a une constante multiplicative λ pr`es, telle que : ϕ(x1 ∗ x2 ) = ϕ(x1 ) + ϕ(x2 ) ; ϕ(0) = 0 . Donc si on associe `a chaque grandeur non plus xi mais ϕi = ϕ(xi ), la loi de composition x = x1 ∗ x2 devient additive ϕ = ϕ1 + ϕ2 . La mesure d’une grandeur, par opposition a son rep´ ` erage, consiste pr´ecis´ement a` trouver ce param´etrage additif. La grandeur unit´ e est par d´efinition celle pour laquelle ϕ = 1. Quant a` la libert´e du changement de param´etrage ϕ → λϕ, elle correspond au choix toujours possible d’une unit´e λ fois plus petite. Remarquons que ce param´etrage additif est la version continue de l’´ etalonnage 1 qui consiste a` associer ϕ = 1 a` un certain nombre x1 , puis ϕ = au nombre xq tel que q q fois

p fois





p xq ∗ · · · ∗ xq = x1 et ϕ = au nombre xq ∗ · · · ∗ xq . q

1.1 Grandeurs physiques ; continuit´e ; param´etrages additifs

5

EXEMPLES. Une r`egle bien gradu´ee traduit additivement la composition “physique” des translations. Un cercle bien gradu´e traduit additivement la composition des rotations (le param`etre additif ´etant l’angle). La loi de composition des changements de r´ ef´ erentiels inertiels ` a une dimension, qui s’´ecrit pour les vitesses relatives  v1 v2 −1 v = v1 ∗ v2 = (v1 + v2 ) 1 + 2 c (|vi | < c) devient ϕ = ϕ1 + ϕ2 en introduisant la rapidit´ e relative ϕ d´efinie par :  1 + vc 1 + vc eϕ − e−ϕ 1 v = ϕ ou ϕ = ln ou = tanh ϕ . eϕ = v v 1− c 2 1− c c e + e−ϕ (ϕ est mesurable directement par effet Doppler ; cf. section 4.3.3). La vitesse v n’est un param`etre additif que dans la limite galil´eenne v  c (tanh ϕ  ϕ  1).

 Multiplication et logarithme Le logarithme Loga x d’un nombre x positif est le param´etrage qui rend additif la loi de multiplication (x1 , x2 ) → x1 x2 sur R+ : Loga x1 x2 = Loga x1 + Loga x2

(ce qui implique Loga 1 = 0) .

L’unit´e du param´etrage, appel´ee base a du logarithme, est le nombre dont le logarithme vaut 1 : Loga a = 1. Comme un changement d’unit´e, donc ici de base, correspond `a l’introduction d’un facteur multiplicatif λ on doit avoir Loga x = λ Logb x ; en posant  −1 x = b puis x = a dans cette relation on trouve λ = Loga b = Logb a . Les logarithmes les plus utilis´es sont les logarithmes n´ep´erien (` a base e  2, 7) not´e ln et d´ecimal (`a base 10) not´e log. Il est utile d’avoir en m´emoire les deux valeurs approch´ees ln 10 =  −1 log e  2, 3 et log 2  0, 3. La fonction logarithme v´erifie :     Loga 1 + x d Loga x Loga (x + ) − Loga x 1 d Loga x = lim = lim = . →0 →0 dx   x dx x=1 1 d ln x = (figure 2b). Le logarithme n´ ep´ erien est celui pour lequel dx x

x=e

−1



 = ln x

e

e

1

1 1

e



1 −1 (b)

(a) Figure 2

e

x

1 • Nombres r´eels ; grandeurs physiques ; dimensions

6

EXEMPLES. En chimie, les logarithmes d´ecimaux sont utilis´es pour  param´etrer des concentrations ou des activit´es : pH = − log H3 O+ et pKa = − log [A− ][H + ][AH]−1 . En physique on les introduit pour mesurer des rapports de puissance en d´ ecibels. Un rapport de 10 dans les puissances correspondant par d´efinition a` un ´ecart de 10 d´ecibels (1 Bel) en “´echelle logarithmique”, on a : “

P2 P2 en d´ecibels ” = 10 log . P1 P1

Un rapport de 2 correspond a` 3 d´ecibels. Les d´ecibels (dB) sont utilis´es en acoustique o` u les “puissances sonores” sont compar´ees au seuil d’audibilit´e P0 ´egal a` 10−12 Wm−2 . Ainsi 70 dB correspondent a` 107 P0 = 10−5 Wm−2 . En ´electronique il servent a` mesurer les gains ; par exemple si la tension a` la sortie d’un syst`eme est Vs et la tension a` l’entr´ee est Ve , sachant que le rapport des puissances est  2 Vs Vs comme , on pose : “gain en dB” = 20 log . Dans le domaine des fr´equences Ve Ve temporelles une octave d´esigne un rapport de 2 et une d´ ecade un rapport de 10 ; on ω2 ω2 a donc “ en octaves (ou d´ecades) ” = Log2 (ou 10) . ω1 ω1 En astronomie un rapport de flux lumineux est mesur´e en (´ecart de) magnitude par F2 Δm = 2, 5 log . F1 Voir aussi la d´efinition de l’entropie a` la section 1.1.4.

1.1.3

Fonction et notation exponentielles ; applications

 Multiplication et fonction exponentielle L’op´eration exponentielle sur R est l’op´eration inverse du logarithme (figure 2a) : ϕ = ln x ⇐⇒ x = eϕ

;

ϕ = Loga x ⇐⇒ x = aϕ (a > 0) .

Elle fait donc correspondre a` la somme ϕ1 +ϕ2 d’´el´ements de R le produit x1 x2 d’´el´ements de R+ . Les propri´et´es suivantes de l’exponentielle sont des cons´equences imm´ediates de celles du logarithme :  c ab+c = ab ac , ab = eb ln a , ab = abc , a0 = 1 (a > 0) . Ainsi par exemple ab = eb ln a car ln ab = (Loga ab ) ln a = b ln a. La fonction eϕ (not´ee aussi exp ϕ) peut ˆetre obtenue plus explicitement comme limite ou sous la forme d’un d´eveloppement en s´erie convergente :  ϕp 1 1 ϕ N ϕ2 +···+ + . . . (e = 1 + 1 + + + · · ·  2, 7) . 1+ = 1+ϕ+ N →∞ N 2! p! 2 6    ϕ N ϕ tend vers ϕ La premi`ere expression se d´eduit du fait que ln 1 + = N ln 1 + N N lorsque N tend vers l’infini. Quant au d´eveloppement en s´erie il se d´eduit de la formule N ∞  ϕ p    ϕp ϕ ϕ N N →∞ p . e poss`ede la propri´et´e = CN −−−−−−→ du binˆ ome : 1 + N N p! p=0 p=0 eϕ = lim

1.1 Grandeurs physiques ; continuit´e ; param´etrages additifs

7

remarquable d’ˆetre sa propre d´eriv´ee (cf. son d´eveloppement en s´erie ou la relation

deϕ = dϕ

dx = x = eϕ ). d ln x

 Applications physiques En physique les fonctions exponentielles apparaissent souvent `a travers leur propri´et´e caract´eristique f (ϕ1 + ϕ2 ) = f (ϕ1 ) f (ϕ2 )

´equivalente a`

f  (ϕ) = f  (0) f (ϕ)

f () − 1 N (t + τ ) f (ϕ + ) − f (ϕ) = f (ϕ) ). Par exemple le rapport p(τ ) = des   N (t) populations de noyaux radioactifs non d´esint´egr´es aux instants t + τ et t doit v´erifier

(puisque

p(τ1 + τ2 ) = p(τ1 ) p(τ2 ) si l’on suppose qu’il ne d´epend que de l’intervalle de temps τ et pas de t ; en effet : N (t + τ1 + τ2 ) N (t + τ2 ) N (t + τ1 + τ2 ) = . N (t) N (t + τ2 ) N (t) On en d´eduit que la loi qui d´ecrit la d´ esint´ egration radioactive est du type p(τ ) =  τ ln 2  exp (−λτ ), ou exp − en introduisant la demi-p´ eriode T c’est-`a-dire le temps T au bout duquel la moiti´e des noyaux de l’´echantillon se sont d´esint´egr´es. On ´etablit par le mˆeme raisonnement que l’att´enuation de l’intensit´e d’une onde se propageant selon Ox dans un milieu homog`ene est donn´ee par la loi d’absorption de Beer I(x + l) = I(x) e−αl I(x) I(x)  2, 3 log . Par exemple une att´enuation de 0,2 dB par I(x + l) I(x + l) I(x) kilom`etre correspond a` log = 2 10−2 et l = 103 m, soit α  4, 6 × 10−5 m−1 . I(x + l) ou αl = ln

 D´ eveloppement de Taylor et ´ ecriture exponentielle L’approche de l’exponentielle eϕ par une limite ou une s´erie ne fait appel qu’aux propri´et´es des deux op´erations + et × sur les r´eels. L’extension de l’exponentielle a` d’autres objets math´ematiques que les r´eels (nombres complexes, matrices carr´ees, op´erateurs diff´erentiels...) est tr`es utilis´ee. Ainsi, a` titre d’exemple la formule de Taylor (pour les “bonnes” fonctions) f (x + a) = f (x) + a f  (x) +

d a2  ap (p) f (x) + · · · + f (x) + · · · = ea dx f (x) 2! p!

d . Cela se comprend en remarquant qu’on passe de s’´ecrit `a l’aide de l’exponentielle de dx      a a a a d  f (x) a` f x + par f x +  f (x) + f  (x) = 1 + f (x), et par cons´equent N N N  N dx  N d a d de f (x) `a f (x + a) par l’application de lim 1 + = ea dx . (On ´etablit de mˆeme N →∞ N dx d pour l’op´eration de dilatation : f (ea x) = eax dx f (x).) On dit que l’op´erateur d´erivation

1 • Nombres r´eels ; grandeurs physiques ; dimensions

8

d est le g´en´erateur des translations f (x) → f (x + a). En physique quantique les dx g´en´erateurs des transformations “continues” effectu´ees sur les ´etats ou fonctions d’onde, translation d’espace, de temps, rotation, sont associ´es `a des observables, quantit´e de mouvement, ´energie, moment cin´etique (cf. sections 4.4).

 Fonctions hyperboliques (figure 3) A la fonction eϕ sont reli´ees les fonctions cosinus hyperbolique (paire), sinus et tangente hyperboliques (impaires) cosh ϕ =

eϕ + e−ϕ 2

,

sinh ϕ =

eϕ − e−ϕ 2

,

tanh ϕ =

sinh ϕ , cosh ϕ

dont les propri´et´es principales (analogues a` celles des fonctions trigonom´etriques) sont des cons´equences imm´ediates de celles de eϕ :

cosh





tanh

1

e 2



0 sinh





−1

Figure 3 cosh ϕ =

∞  ϕ2n (2n)! 0

(cosh ϕ) = sinh ϕ

; ;

cosh2 ϕ − sinh2 ϕ = 1

sinh ϕ =

∞  ϕ2n+1 (2n + 1)! 0

(sinh ϕ) = cosh ϕ ;

;

;

tanh ϕ = ϕ −

ϕ3 + ··· ; 3

(tanh ϕ) = (cosh ϕ)−2 ;

cosh(ϕ1 + ϕ2 ) = cosh ϕ1 cosh ϕ2 + sinh ϕ1 sinh ϕ2 ;

sinh(ϕ1 + ϕ2 ) = sinh ϕ1 cosh ϕ2 + cosh ϕ1 sinh ϕ2 ; tanh ϕ1 + tanh ϕ2 . tanh(ϕ1 + ϕ2 ) = 1 + tanh ϕ1 tanh ϕ2 On les rencontre essentiellement en relativit´e d’Einstein et en m´ecanique statistique.

1.1.4

Mesure additive du d´ esordre microscopique ; grands nombres et entropie

 D´ efinition et exemples L’entropie S introduite par Clausius en 1854 reste encore pour certains une grandeur myst´erieuse. En fait ses propri´et´es d´ecoulent de l’interpr´etation qu’en a donn´e Boltzmann (∼1877) : S est une mesure additive du “d´esordre microscopique” (ou plutˆ ot de la “libert´e

1.1 Grandeurs physiques ; continuit´e ; param´etrages additifs

9

microscopique”, voir ci-dessous) donn´   ee par R kB = N = 1, 4 × 10−23 J.K−1 . S = kB ln Ω Ω est le nombre d’´etats microscopiques (sp´ecifi´es chacun par les positions, quantit´es de mouvement et ´etats quantiques de toutes les particules) compatibles avec les valeurs V , U , etc. des grandeurs volume total, ´energie interne totale, etc. qui caract´erisent un ´etat d’´equilibre macroscopique. EXEMPLES. Pour un gaz parfait constitu´e de N particules dans un volume V , le V et le nombre de configurations de position volume “libre” moyen par particule est N  V N est donc proportionnel a` . Pour un gaz parfait monoatomique, on ´etablit (cf. N section 7.2.1.) que la contribution a` Ω du d´esordre dans l’espace des vitesses ou quan 3N 3 tit´es de mouvement est proportionnelle a` U/N 2 ; on peut dire aussi que (2mU/N ) 2 est un volume “libre” typique dans l’espace (px , py , pz ) pour une particule d’´energie p2 U  . 2m N D’autres exemples (justifiables aussi par des arguments qualitatifs ou dimensionnels) sont : Ω ∝  U 3N U 3N 2 2 pour un solide dont chacun des N atomes est assimil´e ` a un oscillateur ` a trois dimenN N sions (dans Ω un facteur est li´e ` a la vitesse et l’autre ` a l’amplitude de la vibration ; V n’apparaˆıt pas  V  N  U  3N 1 3 d’o` u S ∝ V 4U4 car il n’y a pas de “libert´e” de position dans un solide) ; Ω ∝ maxN N N U pour le corps noir (ici N  cp et on prend le maxN car le nombre de photons n’est pas fix´e ` a priori ; cf. remarque ci-dessous et sections 1.3.2 et 7.4.1).

 Cons´ equences Mˆeme si Ω n’est calculable que dans un petit nombre de cas, la d´efinition de S permet de comprendre les bases de la thermodynamique. On en d´eduit que S = 0 (Ω = 1) pour un syst` eme m´ ecanique macroscopique (par exemple un piston, caract´eris´e par une position et une vitesse), et que S est une grandeur extensive S = S1 + S2

(Ω = Ω1 Ω2 )

pour un syst`eme compos´e de deux corps isol´es l’un de l’autre par des contraintes. On comprend aussi l’´ evolution irr´ eversible vers l’´ equilibre : si des contraintes sont supprim´ees (syst`eme plus “libre”) alors Ωf , qui correspond `a l’´etat macroscopique final moins contraint, est non seulement plus grand que Ωi (correspondant `a l’´etat initial) mais en fait “infiniment plus grand”. Par exemple si on offre a` un gaz un volume suppl´ementaire ΔV initialement vide (d´etente de Joule `a U constant) on a, mˆeme pour des valeurs aussi ΔV petites que N = 10−9 moles et = 10−6 : V  V + ΔV N  ΔV  Ωf = exp (6 × 108 )! =  exp N Ωi V V De mˆeme si deux gaz monoatomiques ayant les mˆemes valeurs fix´ees de N et V mais des ´energies U1 = U2 sont mis en contact thermique, on a    32 N  3N U1 +U2 2 Ωf (U2 − U1 )2 2 2 = = 1+ , Ωi U1 U2 4U1 U2

1 • Nombres r´eels ; grandeurs physiques ; dimensions

10

rapport qui dans la pratique est lui aussi quasi infini. Si on admet que tous les ´etats microscopiques sont ´equiprobables, on en d´eduit que le syst`eme des deux corps va, sous l’effet des interactions d´esormais permises par la suppression des contraintes, ´evoluer de fa¸con “certaine” vers l’´etat macroscopique correspondant au maximum de Ω donc de S. Ωf S f − Si On notera que = exp = exp (108 ) correspond a` un ΔS = 1, 4 × 10−15 J.K−1 Ωi kB extrˆemement petit a` l’´echelle macroscopique. REMARQUES. 1) Ωf calcul´ e ci-dessus pour les deux gaz correspond a ` Ωf = max(1,2) Ω1 Ω2 (ou Sf = e. Pour le calcul de S il revient au mˆeme de prendre Ωf = max(1,2) (S1 + S2 )) avec U1 + U2 = U fix´ Σ(1,2) Ω1 Ω2 (= Ω total) car dans une somme Ω = Σpi=1 λN i on voit, en mettant en facteur le terme λN max , que c’est lui qui donne ln Ω pour N grand (cf. aussi section 5.1.2). 2) La loi de Boltzmann est elle aussi une cons´equence directe de S = kB ln Ω (cf. section 10.2.3).

1.2 1.2.1

` ´ CARACTERE ALGEBRIQUE DES GRANDEURS PHYSIQUES Pens´ ee « na¨ıve » et pens´ ee alg´ ebrique

Le langage usuel fait toujours r´ef´erence `a des quantit´es positives : distance de d´eplacement sur une route dans une direction ou son oppos´ee, avance ou retard a` un rendez vous, avoir ou dette dans un compte, etc. Il en est de mˆeme des variations de grandeurs ´echang´ees : gain ou perte d’argent, etc. Ce mode de pens´ee “na¨ıf” revient a` raisonner comme si on ne connaissait que les nombres positifs.

 Discours alg´ ebrique Reprenons les exemples ci-dessus sous l’angle alg´ebrique. A un d´eplacement sur une droite orient´ee (axe), on associe un nombre x positif si le d´eplacement se fait dans le sens de l’axe et un nombre n´egatif dans le cas contraire. L’int´erˆet de ce point de vue est que la loi de composition des translations correspond toujours `a une addition x = x1 + x2 + x3 · · · de nombres alg´ebriques, au lieu d’une suite d’additions et de soustractions de nombres positifs d´ependant du cas particulier consid´er´e ; pour le choix d’orientation oppos´ee, les xi deviennent −xi , mais leur loi de composition demeure inchang´ee. En ce qui concerne le temps, celui-ci est traditionnellement orient´e du pass´e vers le futur, par r´ef´erence aux ph´enom`enes irr´eversibles de la vie courante. Il n’empˆeche que les notions d’avance et de retard peuvent ˆetre consid´er´ees comme alg´ebriques, une avance de τ = −1 heure correspondant a` un retard de −τ = 1 heure (et r´eciproquement). Enfin on sait bien que dans un compte on peut consid´erer une dette comme un avoir n´egatif et faire le bilan en ajoutant les avoirs alg´ebriques. De mˆeme dans un ´echange il est ´equivalent de donner 100 euros `a un ami (gain alg´ebrique pour lui de +100) ou de le lib´erer d’une dette de mˆeme valeur (gain alg´ebrique pour lui de −(−100)). Cette ´equivalence lors d’´echange de grandeurs alg´ebriques conserv´ees apparaˆıt en physique par exemple `a propos des courants ´ electriques, associ´es `a un flux dans un sens ou son oppos´e de charges positives ou n´egatives, et de la notion de pression cin´ etique, associ´ee `a un flux dans un sens ou son oppos´e de quantit´es de mouvement ; sur la figure 4, dans les deux cas, la r´egion 2 gagne une charge q et une quantit´e de mouvement m v , et la r´egion 1 gagne −q et −m v.

1.2 Caract`ere alg´ebrique des grandeurs physiques

1

11

2

1

2 −q

q

m

v

m

−v

Figure 4

 Caract` ere alg´ ebrique des grandeurs physiques Ce caract`ere tient souvent au fait que la grandeur consid´er´ee est la composante d’une grandeur vectorielle sur un axe (produit scalaire du vecteur avec le vecteur unitaire de l’axe) : circulation d’un champ vectoriel le long d’une courbe orient´ee, flux d’un champ vectoriel `a travers une surface orient´ee, etc. Pour de telles grandeurs un changement du sens d’orientation entraˆıne un changement de signe. Mais il existe aussi des grandeurs scalaires alg´ebriques (charge ´electrique, tension d’un ressort, etc.). Pour ces derni`eres, comme pour le temps, la convention sur leur signe fait partie de la d´efinition de la grandeur.

 Cons´ equences sur les lois physiques dϕ Les lois physiques v = Ri, e = − , etc. font intervenir des grandeurs alg´ebriques v, i, e, dt ϕ . . . Leur ´ecriture d´epend donc des conventions de signe adopt´ees pour ces grandeurs, conventions qu’il est important de pr´eciser et de retenir. Une fois pr´ecis´ees les conventions relatives `a des grandeurs A et B, on peut se rappeler si une loi s’´ecrit A = B ou A = −B en la testant dans une situation particuli`ere. Si par exemple pour A > 0 la “physique dit” (l’exp´erience montre) que B doit ˆetre positif (resp. n´egatif), la loi est A = B (resp. A = −B) ; en vertu de son caract`ere alg´ebrique la formule ainsi obtenue sera toujours valable. On verra sur des exemples qu’il n’y a pas lieu de s’inqui´eter de ces multiples ´ecritures : les r´esultats physiques ne d´ependent pas des conventions. EXEMPLE. Ressort (figure 5).

2

1 A

B

n (A) 1

2

n (B)

2

1

Figure 5

x 2

1 • Nombres r´eels ; grandeurs physiques ; dimensions

12

L’allongement δl d’un ressort est alg´ebrique (δl < 0 dans le cas d’une compression). Sa tension T , qui caract´erise l’´etat m´ecanique du ressort, l’est aussi. On la d´efinit en introduisant les forces F 1→2 exerc´ees par le ressort (syst`eme 1) sur l’ext´erieur (syst`eme ˆ 1→2 , n ˆ 1→2 d´esignant le vecteur unitaire dirig´e vers l’ext´erieur. La 2) : F 1→2 = −T n relation bien connue T = K δl avec K > 0 est elle aussi alg´ebrique : T > 0 si δl > 0 (ressort tendu) et T < 0 si δl < 0 (ressort comprim´e). Jusqu’` a pr´esent on n’a pas choisi d’orientation sur la direction du ressort. Cela devient indispensable pour ´etudier le mouvement de masses mA et mB accroch´ees `a ses extr´emit´es A et B. Avec une orientation de A vers B et en notant xA et xB les ´ecarts alg´ebriques par rapport a` la position d’´equilibre on a δl = xB − xA , mA x ¨A = T et mB x ¨B = −T . Un choix oppos´e (de B vers A) conduit a` des relations diff´erentes δl = xA − xB , mA x ¨A = −T et mB x ¨B = T , mais il ne modifie pas les ´equations du mouvement mA x ¨A = −K(xA −xB ) et mB x ¨B = −K(xB − xA ) obtenues en rempla¸cant T par K δl.

1.2.2

Conventions et lois de l’´ electricit´ e

 Charges et courants Une convention historique, un peu malheureuse, a attribu´e une charge ´electrique positive ` une barre de verre frott´ee avec une peau de chat. Comme on le sait aujourd’hui la a barre perd alors des ´electrons et cela a conduit `a attribuer une charge n´ egative aux ´ electrons. Une intensit´e ´electrique ´etant un flux de charges `a travers une surface, on doit pr´eciser l’orientation de la normale a` cette surface, disons de 1 vers 2 (cf. figure 6). Un transfert de charges positives de 1 vers 2, ou de charges n´egatives de 2 vers 1, correspond − → a une intensit´e i de courant positive. (Plus savamment i = j · dS avec j = nq v o` ` un

i 1

11 00 00 11 00 11 00 11 00 11 00 11 00dS 11

2

Figure 6 est la densit´e des charges q anim´ees d’une vitesse moyenne v ). Rappelons aussi que pour la charge q d’un condensateur, il est n´ecessaire de pr´eciser l’armature qui porte cette charge, l’autre portant la charge −q au mˆeme instant.

 Tensions et forces ´ electromotrices La convention sur les charges ´etant fix´ee, la valeur alg´ebrique du potentiel VA en A est d´etermin´ee par le fait que qVA est l’´energie potentielle d’une charge q plac´ee en A (l’origine des potentiels ´etant prise “` a l’infini” ou “` a la masse”). Quant a` la tension v aux bornes d’un dipole AB, elle est ´egale a` la diff´erence des potentiels aux bornes, et vaut soit v = VA −VB soit v = VB −VA suivant la convention choisie qui doit donc ˆetre pr´ecis´ee ; on B− → → − → − rappelle que VA − VB = A E es · dl est la circulation du champ ´ electrostatique E es = −−→ −gradV . Les forces ´ electromotrices d’induction sont d´efinies pour une portion de B − → − → − → electrique induit E em ) circuit orient´e par eAB = A E em · dl (circulation du champ ´

1.2 Caract`ere alg´ebrique des grandeurs physiques

13

 − → − → et pour un circuit ferm´e orient´e par e = C E em · dl ; leur signe d´epend donc du choix → − dϕ d’orientation sur le circuit (sens de dl). De mˆeme la loi de l’induction e = − dt   → − → → − → − − (= E em · dl), avec ϕ = B · dS, suppose qu’il existe la relation “du tire-bouchon” C

S

(cf. section 3.1.3) entre le sens de parcours sur C et l’orientation de la normale a` la surface S qui s’appuie sur C. (Pour une inductance ϕ = Li avec L > 0.)

 Dipoles (figure 7) Les lois des dipoles d´ependent de deux conventions de signe qui sont pr´ecis´ees sur les sch´ema par des fl`eches : de fa¸con standard la fl`eche associ´ee `a i est aussi celle qui oriente le circuit, tandis que celle associ´ee `a v pr´ecise que v est ´egale au potentiel a` l’extr´emit´e de la fl`eche moins le potentiel `a son origine. Ainsi pour les figures 7a (en pr´esence de champ ´electromoteur) 7b et 7c, on a v = VA − VB et les lois s’´ecrivent :

v (a)

A

B i

R v

(b)

+q A

−q B

i C v

(c) A

i

B

L Figure 7 v = Ri − eAB

;

q ; C dq . i= dt

v=

di v = L (= −eAB ) ; dt B − → − → → − (Ri = A ( E es + E em ) · dl est la loi d’Ohm). Le choix du sens de la fl`eche de v oppos´e `a celui de i s’appelle convention r´ ecepteur (voir justification plus loin). La convention oppos´ee, fl`eches de v et i de mˆeme sens, s’appelle convention g´ en´ erateur ; son choix aurait conduit pour le premier dipole par exemple a` la loi v (= VB − VA ) = eAB − Ri.

 R´ eseaux



− → − → E es · dl = 0 est connue sous le nom de loi des mailles C  − → tandis que la relation de conservation de la charge  j · dS = 0 l’est sous le nom de En ´electricit´e la relation

S

1 • Nombres r´eels ; grandeurs physiques ; dimensions

14

loi des noeuds (S surface ferm´ee entourant le noeud). Ces lois s’´ecrivent aussi : 1 v1 + 2 v2 + · · · + n vn = 0

et

1 i1 + 2 i2 + · · · + p ip = 0 .

Les vj sont les tensions aux bornes des n dipoles qui constituent la maille (circuit ferm´e C) et chaque j vaut ±1 suivant que la fl`eche correspondant a` vj est dans le mˆeme sens ou en sens inverse du sens de parcours choisi sur C ; pour les courants ik dans les p branches qui constituent un noeud chaque k vaut ±1 suivant que la fl`eche associ´ee `a ik sort du noeud ou se dirige vers lui. L’introduction des  et des  est indipensable car lorsqu’il y a plusieurs mailles il est impossible de choisir les conventions sur les tensions et les courants de sorte qu’il valent tous +1.

 Syst` eme ´ electrom´ ecanique

N

Q

B ressort

v

G

F R

C

L

M

x

i P

q −q Figure 8 EXEMPLE (figure 8). Sur la figure sont pr´ecis´ees les conventions de signes choisies −− → (parmi 64 possibles !) pour le d´eplacement x de la barre P Q = l de masse m, pour → − → − la force ext´erieure F a priori variable, pour le champ magn´etique B constant et perpendiculaire au plan du circuit, pour le courant i, la charge q du condensateur et la tension v = VM −VN aux bornes du g´en´erateur G. Par projection des forces −K r, −f r˙ , → − → − F et i l∧ B sur l’axe x on obtient l’´equation du mouvement m¨ x = −Kx−f x+F ˙ +ilB. Si l’orientation de cet axe est chang´ee, mais pas les autres conventions, il faut changer F + ilB en −F − ilB ou multiplier x, x˙ et x ¨ par −1. En introduisant les symboles → − → − x , F , i et B valant 1 pour la convention de d´epart sur x, F , i et B , et −1 pour la convention oppos´ee, on ´ecrit l’´equation de la m´ecanique sous la forme g´en´erale (qui permet de voir l’influence du choix effectu´e) : x (m¨ x + f x˙ + Kx) = F F + l (i i)(B B) . di q De mˆeme les ´equations de l’´electricit´e, qui s’´ecrivent VM − VN = v = Ri − e + L + , dt C dq dϕ i= et e = − = −Blx˙ avec la convention initiale, s’´ecrivent de fa¸con g´en´erale dt dt  q dq di  VM − VN = v v = i Ri − e + L + q , i i = q et i e = −l (B B)(x x). ˙ dt C dt

1.3 Grandeurs physiques et dimensions

15

En ´eliminant i entre ces ´equations on obtient le bilan ´electrique : VM − VN = v v = q

q C

+R

dq d2 q  + L 2 + l (B B)(x x) ˙ . dt dt

On constate que i a disparu avec i et que les termes en q, q˙ et q¨ apparaissent avec le mˆeme signe q en facteur comme attendu physiquement (cf. d´echarge d’un condensateur dans une r´esistance ou oscillations d’un circuit LC). On obtient les bilans ´energ´etiques m´ecanique et ´electrique en multipliant les ´equations m´ecanique et ´electrique respectivement par x x˙ et q q˙ :  d 1 1 mx˙ 2 + Kx2 = −f x˙ 2 + F x F x˙ + i B x liB x˙ dt 2 2  d 1 2 1 q2  Li + = −Ri2 + v i vi − i B x liB x˙ . dt 2 2C d Dans le bilan global obtenu par addition “ (´energie m´ecanique + ´energie ´electrique) dt = puissances (fournie + dissip´ee)”, on remarque que quelles que soient les conventions le terme magn´etique disparait et que la puissance dissip´ee −f x˙ 2 − Ri2 est n´egative. Au contraire l’expression (mais pas la valeur) de la puissance fournie v i vi + F x F x˙ d´epend des conventions. La puissance ´electrique fournie s’´ecrit +vi pour la convention g´en´erateur (d’o` u son nom) et −vi pour la convention r´ecepteur ; quant `a la puissance → − m´ecanique elle s’´ecrit F x˙ lorsque les conventions pour l’axe x et F sont les mˆemes (cas habituel) et −F x˙ dans le cas contraire.

1.3

GRANDEURS PHYSIQUES ; DIMENSIONS

Le calcul aux dimensions introduit par Reynolds (1883) est extrˆemement pr´ecieux en physique. Il permet de v´erifier qu’une expression n’est pas absurde, de deviner ou de retrouver (au moins partiellement) une loi connaissant les grandeurs susceptibles d’ˆetre mises en jeu, d’obtenir des ordres de grandeur, de simplifier des ´equations en rempla¸cant par 1 les param`etres dont le rˆ ole est “trivial”, etc. Il est fortement charg´e de sens, physique comme math´ematique, car il correspond `a une invariance remarquable des lois physiques, celle relative aux changements d’unit´es.

1.3.1

Changements d’unit´ es et invariance des lois physiques

 Grandeurs, nombres et dimensions Soient des grandeurs (longueur, surface, temps, vitesse, intensit´e ´electrique, r´esistance...) mesur´ees par les nombres g1 , g2 · · · lorsqu’on a choisi pour chacune d’elle une grandeur unit´e. Une loi de la physique mettant en jeu ces grandeurs s’exprime par une relation f (g1 , g2 · · · ) = 0. Dans des changements d’unit´es arbitraires ces nombres deviennent g1 = λ1 g1 , g2 = λ2 g2 · · · et a priori on n’a plus f (g1 , g2 · · · ) = 0. Par contre on constate exp´erimentalement que l’´equivalence f (g1 , g2 · · · ) = 0 ⇐⇒ f (λ1 g1 , λ2 g2 · · · ) = 0

16

1 • Nombres r´eels ; grandeurs physiques ; dimensions

est satisfaite si les changements d’unit´es sont convenablement reli´es entre eux : invariance de la loi par changements d’unit´ es. C’est cette relation entre changements d’unit´es que la notion de dimension sert `a pr´eciser, et cette invariance qui fait que les physiciens ´ecrivent les lois f (G1 , G2 , . . . ) = 0 avec les grandeurs physiques Gi plutˆ ot qu’avec les nombres gi (de mˆeme qu’on ´ecrit des relations entre vecteurs plutˆ ot qu’entre leurs composantes). Une observation importante de la physique classique galil´eenne est que toutes les lois sont laiss´ees invariantes par des changements d’unit´es “non corr´el´es” des quatre grandeurs “de base” (la temp´erature mise `a part) masse, longueur, temps et charge ´ electrique, les changements d’unit´es des autres grandeurs ´etant eux d´efinis `a partir des pr´ec´edents. Autrement dit la dimension d’une grandeur quelconque s’exprime a` partir des dimensions des quatre grandeurs de base. En particulier une grandeur est sans dimension si il est impossible de changer son unit´e sans modifier l’´ecriture des lois dans lesquelles elle intervient, et l’invariance ci-dessus entraˆıne que les ´egalit´es en physique ne peuvent avoir lieu qu’entre grandeurs de mˆeme dimension. ´ ´ EXEMPLES GEOM ETRIQUES. La relation S = a2 entre l’aire d’un carr´e et son cˆot´e est valable en g´eom´etrie euclidienne si les unit´es de longueur et de surface sont par exemple le m`etre et le m`etre carr´e. Si on divise ces deux unit´es par 10, alors S  = 10S, a = 10a et la relation entre surface et cˆ ot´e devenue S  = 10−1 a2 est 2 modifi´ee. Pour que la loi S = a reste invariante, il faut que les changements d’unit´e a = λL a et S  = λS S soient reli´es par λS = λ2L . On dit que la dimension d’une surface (d’un volume) est le carr´e (le cube) de celle d’une longueur et on ´ecrit symboliquement [S] = [L]2 , [V ] = [L]3 (en oubliant parfois les crochets). Pour les lois mettant en jeu un 1 angle comme l = aθ ou S = a2 θ (longueur d’un arc et surface d’un secteur circulaires 2 de rayon a, θ en radians), on constate que leur invariance implique λθ = 1 ; l’angle est donc une grandeur sans dimension ([θ] = 1), mais pas sans unit´e ! Remarquons que ce caract`ere “sans dimension” n’a rien a` voir avec le choix de l’unit´e radian ; si l’unit´e correspond a` un tour, on a l = 2πaθ et S = πa2 θ, formules qui elles aussi ne sont invariantes que si λθ = 1. APPLICATION : d´ emonstration “dimensionnelle” du th´ eor` eme de Pythagore. Un triangle rectangle ´etant enti`erement d´etermin´e par son hypoth´enuse a et un angle aigu α sa surface est n´ecessairement de la forme a2 f (α) ; en consid´erant les deux “petits” triangles rectangles d’hypoth´enuses b et c obtenus en abaissant la hauteur issue de l’angle droit du “grand” triangle, on obtient a2 f (α) = b2 f (α) + c2 f (α). REMARQUE. Il faut noter que le caract` ere euclidien de l’espace est essentiel pour qu’une longueur ait une dimension. Si sur la sph`ere on consid`ere par exemple un triangle rectangle, form´e de trois arcs de grand cercle (g´eod´esiques) dont deux se  s’´ecrit, coupent `a angle droit, la relation entre hypoth´enuse a, cˆot´e b et angle oppos´e B  pour des unit´es de longueur et d’angle bien choisies, sin b = sin a sin B (au lieu de  dans le cas euclidien). On en conclut qu’en g´ b = a sin B eom´ etrie sph´ erique longueur et angle sont sans dimension car tout changement d’unit´es pour a et b entraˆıne une modification de l’´ecriture de la relation contrairement au cas euclidien. EXEMPLES PHYSIQUES. L’invariance de la loi de transformation de Galil´ee des intervalles d’espace-temps x = x − V t, t = t implique λV = λL λ−1 donc T

1.3 Grandeurs physiques et dimensions

17

→ − → − → − d v = q( E + v ∧ B ) implique [F ] = [M ][L][T ]−2, [V ] = [L][T ]−1 , celle de F = m dt → − → − → − [ E ] = [ v ][ B ] = [ F ][Q]−1 , etc. Souvent, pour des raisons de commodit´e, on utilise l’´ energie, de dimension [E] = [M ][L]2 [T ]−2 , a` la place de la masse pour le calcul aux dimensions. En effet on la retrouve dans de nombreuses expressions qui touchent tous 1 q2 en les domaines de la physique telles que mv 2 ou mc2 en m´ecanique, qV et 2 4π0 r 2 −Gm ´electrostatique, en gravitation, hν en quantique, etc. On en d´eduit par exemple r −1 −1 [V ] = [E][Q] , [0 ] = [E][L][Q]−2 = [μ0 ][L]2 [T ]−2 (car 0 μ0 c2 = 1 sans dimension), qe2 constante [G] = [E][L][M ]−2 = [E]−1 [L]5 [T ]−4 , [h] = [E][T ] et [α] = 1 (α = 4π0 c de structure fine). Les paragraphes qui suivent montrent que la notion de dimension d’une grandeur physique n’est pas absolue.  Dimensions et m´ etrologie Il ne faut pas confondre calcul aux dimensions et m´etrologie. Le but de cette derni`ere est de choisir les ´ etalons les plus fiables et pr´ecis possibles pour certaines grandeurs, et tels que les mesures des autres grandeurs puissent s’y ramener avec une pr´ecision sup´erieure ` a celle que l’on aurait avec des ´etalons propres ` a ces autres grandeurs. Le nombre des ´etalons n’a pas toujours ´et´ e le mˆ eme dans l’histoire de la physique. C’est ainsi qu’on a rattach´e la calorie au Joule en fixant l’´equivalent en Joules de la calorie electrostatiques” aux unit´es “magn´etiques” en fixant (W = JQ avec J = 4, 1868 J.Cal−1 ), les unit´es “´ a la seconde en fixant celle de c. Ce processus de rattachement de grandeurs entre celle de μ0 et le m`etre ` elles n’a chaque fois ´et´ e rendu possible que par des d´ecouvertes physiques pr´ealables (´equivalence travail “chaleur”, unification de l’´electromagn´etisme, relativit´e) ; il n’est donc pas termin´e. D’ailleurs, anticipant sur la m´etrologie, de nombreux physiciens consid`erent l’entropie comme une grandeur sans dimension ; ceci revient ` a consid´erer la constante de Boltzmann comme sans dimension et ` a attribuer ` a la temp´erature thermodynamique non plus une dimension propre mais celle d’une ´energie (cf.   le facteur de Boltzmann exp k−ET ).

1 2

m < v2 >=

3 2

kB T ou

B

 Dimensions et domaines de la physique Le nombre de “dimensions de base”, donc de degr´es de libert´e pour les changements d’unit´es, d´epend du domaine de la physique consid´er´e ; ce nombre est d’autant plus petit que l’´etendue de la validit´e de la th´eorie consid´er´ee est grande. Ainsi, il diminue d’une unit´e lorsque l’on passe de la physique classique galil´ eenne (“vitesses” c, “actions” ) au domaine plus g´en´eral de la physique classique einsteinienne (“vitesses” quelconques, “actions” ). Ceci est dˆ u a` l’apparition d’une nouvelle constante de la physique avec la relativit´e d’Einstein, `a savoir la vitesse invariante c de la lumi`ere dans le vide, qui permet d’identifier les grandeurs masse et ´energie au travers de la relation E = mc2 ; en posant [c] = 1 (de mˆeme qu’on a pos´e [J] = 1 pour identifier travail et “chaleur” et avoir [W ] = [Q]) on a [E] = [M ], [L] = [T ], [μ0 ] = [0 ]−1 . . . L’apparition de la constante  avec la physique quantique permet quant a` elle d’identifier ´energie et pulsation et quantit´e de mouvement et vecteur d’onde au travers des relations de Planck-Einstein E = ω et de de Broglie p =  k ; en posant [] = 1 on a [E] = [T ]−1 et [P ] = [L]−1 . Finalement en physique quantique relativiste o` u interviennent a` la fois c et , et consid´erant par ailleurs que les charges ´electriques sont sans

18

1 • Nombres r´eels ; grandeurs physiques ; dimensions

dimension car multiples d’une charge fondamentale qe , il ne reste plus qu’une dimension : on a en effet [E] = [M ] = [T ]−1 = [L]−1 si on pose [] = [c] = 1. Les physiciens des particules ont mˆeme pris l’habitude d’“oublier” les constantes c et  dans les formules, ´ecrivant par exemple λc = Tc = m−1 pour la longueur d’onde ou temps Compton, ou qa sin θ pour le champ rayonn´e par une charge acc´el´er´ee ; ils mesurent aussi Er = 4π0 r les masses en Gev et les longueurs en Gev−1 . Ceci est sans cons´equence pour un physicien “ordinaire” qui peut toujours r´etablir les expressions compl`etes incluant c et  par l’analyse dimensionelle. En effet λ = m−1 α cβ de dimension [EL−2 T 2 ]−1 [ET ]α [LT −1 ]β n’est une longueur que pour α = 1 et β = −1 et par cons´equent λc = (mc)−1 = cTc ; on qa q r´etablit de mˆeme l’expression Er = sin θ par comparaison `a Ees = . Par 4π0 rc2 4π0 r2 ailleurs si une masse m vaut 1Gev, c’est que mc2 = 1, 6 × 10−19 × 109 J, d’o` u on d´eduit m en kg sachant que c = 3 × 108 m.s−1 . REMARQUE. En th´ eorie quantique des champs (relativiste) la connaissance des dimensions des 3 → − champs, [E] pour les bosons (cf. les potentiels ´electromagn´etiques V et A ) et [E] 2 pour les fermions ([Ψ]2 [L]3 = 1), ainsi que l’exigence que les constantes de couplage des interactions fondamentales soient sans dimension, ont jou´e un rˆ ole pr´edictif important pour la th´eorie ´electrofaible et la chromodynamique. Par contre comme la constante de couplage G de la gravitation a une dimension, [G] = [E]−2 = [L]2 , cette th´eorie est plutˆ ot consid´ er´ ee comme ph´enom´enologique, approximation d’une th´eorie fondamentale 1

1

n´ ecessaire ` a l’´ echelle de Planck lPlanck = G 2 (= (Gc−3 ) 2 = 10−35 m en r´etablissant  et c).

1.3.2

Applications et limites de l’analyse dimensionnelle

 Lois “devin´ ees” ; ordres de grandeurs EXEMPLE CLASSIQUE. Un pendule simple est caract´eris´e par sa longueur l et sa masse m et le champ de pesanteur par g. Ces trois grandeurs ´etant dimensionnellement ind´ependantes, la p´eriode T du pendule s’´ecrit T ∝ lα mβ g γ ; comme [g] = [L][T ]−2, on obtient  par identification β = 0, γ = −α = 1/2. Par rapport a` la formule exacte T = 2π l/g il manque le facteur sans dimension 2π, qu’un calcul dimensionnel ne peut ´evidemment pas donner. Cependant un temps caract´eristique pour le pendule, cens´e rendre compte de la variation plus ou moins rapide de son ´elongation θ(t), doit ˆetre de l’ordre d’un quart de p´eriode (temps n´ecessaire pour passer de |θmin | = 0 `a |θmax |) et la grandeur homog`ene `a un temps qui convient le mieux est l’inverse de la pulsation ω −1 = T /2π. (Un argument ´equivalent consiste `a dire qu’une variation caract´eristique pour un angle, ωt pour le pendule, n’est pas 2π mais un radian). Si le calcul dimensionnel est fait avec ω le r´esultat pour le pendule est exact et nous verrons qu’il est meilleur en g´en´eral dans la mesure o` u le facteur num´erique sans dimension est toujours plus proche de 1 qu’avec T (cf. exemples 3 Rayonnements ci-dessous). EXEMPLES MOINS CLASSIQUES. 1) Atomes et corps solides. Avec les trois q2 constantes e2 = e , me et  qui interviennent pour d´ecrire le comportement d’un 4π0 ´electron en physique atomique non relativiste, on peut construire une longueur, une ´energie et une vitesse. On “pr´edit” ainsi le rayon typique d’un atome ou la longueur

1.3 Grandeurs physiques et dimensions

19

2  1˚ A, l’´energie de liaison atomique |El | ∝ me e4 /2  qques me e 2 ev, la vitesse v des ´electrons dans un atome ou un m´etal v ∝ e2 / = αc  c/137. On peut en d´eduire certaines propri´et´es des mat´eriaux solides (constitu´es d’atomes de masse m li´es les uns aux autres et distants de a) : leur incompressibilit´e est d’ordre El δP χ−1 = −V ∝ 3  1011 pascal, la vitesse des ondes (sismiques, sonores...) qui s’y δV a  El  1 km.s−1 , leur fr´equence de coupure est d’ordre propagent est d’ordre cs ∝ m cs  1013 Hz, etc. νmax ∝ a 2) Corps noir. On peut pr´edire que l’entropie (divis´ee par kB ) d’un corps noir (syst`eme 3 1 3 quantique de particules de masse nulle relativistes) est proportionnelle a` U 4 V 4 (c)− 4 1 en remarquant que U V 3 (c)−1 est sans dimension et que S est une grandeur extensive (S(kU, kV ) = kS(U, V )). L’´energie du corps noir U ∝ V (kB T )4 (c)−3 en fonction de −1 la temp´erature (loi de Stefan) ou le nombre de photons Nγ ∝ V (kB T /c)3 ∝ kB S s’obtiennent par un raisonnement analogue. Les photons ont alors pour ´energie typique kB T et pour longueur d’onde λ ∝ c/kB T . En rempla¸cant c par la vitesse du son cs , ces relations sont valables pour les ondes de vibration d’un solide (phonons) `a condition que λ ≥ λmin = a, ce qui revient `a T ≤ cs /kB a  100 K ou Nγ ≤ V a−3 (nombre d’atomes). 3) Rayonnements. La puissance ´electromagn´etique Pem rayonn´ee par une charge ´electrique q se d´epla¸cant `a vitesse uniforme ωR sur un cercle de rayon R d´epend a` priori de q, R et ω qui caract´erisent la particule et son mouvement et des grandeurs 4π0 et c associ´ees au champ ´electromagn´etique. Ces cinq grandeurs n’´etant pas dimensionnellement ind´ependantes, il n’est pas possible d’obtenir l’expression de Pem sans hypoth`ese ou connaissance suppl´ementaires. Si on s’int´eresse `a la partie dipolaire du rayonnement il est raisonnable de penser que q et R n’interviennent dans l’expression de Pem qu’au travers du moment dipolaire : le produit qR. Si de plus, faisant appel a` ses connaissances, le lecteur averti se souvient qu’une puissance est proportionnelle au carr´e de l’amplitude des ondes et que cette amplitude est elle-mˆeme proportionnelle au moment dipolaire alors Pem est du type Pem ∝ (qR)2 × (4π0 )α ω β cγ . A l’aide de [P ] = [M ][L]−1 [V ]3 ([V ] = [L][T ]−1 ), on obtient α = −1, β = 4, γ = −3, donc en particulier la proportionnalit´e de Pem ` a ω 4 . Le coefficient num´erique exact 2/3 est proche 4 de 1 ; il aurait ´et´e d’ordre (2π)  103 si on avait fait le calcul dimensionnel avec la p´eriode ! Pour la contribution quadrupolaire (puissance proportionnelle au carr´e du moment quadrupolaire qR2 ) on obtient α = −1, β = 6, γ = −5. Pour les ondes gravitationnelles, de type quadrupolaire, rayonn´ees par une masse m, on ´etablit de mˆeme Pgrav ∝ Gm2 R4 ω 6 c−5 ; le coefficient num´erique exact est alors 32/5. d’une liaison a ∝

2

EXEMPLES “CURIEUX”. En cosmologie le rayon de l’univers varie comme t 3 si on suppose qu’il ne d´epend que de t , G et M (masse de l’univers). La d´ependance en temps du rayon du nuage 1 1 2 ee E et issu d’une explosion nucl´eaire s’´ecrit r(t) ∝ E 5 ρ− 5 t 5 si, en plus de t, seules l’´energie lib´er´ la masse volumique de l’air ρ interviennent ; on peut alors d´eterminer E par simple observation de l’´ evolution de la taille du nuage. De nombreuses lois dites lois d’´ echelle, ayant des comportements en puissances pour les variables temps, espace, etc., se rencontrent en hydrodynamique, transitions de phases, sismologie, physiologie animale, etc.

1 • Nombres r´eels ; grandeurs physiques ; dimensions

20

On remarquera que la pr´ediction dimensionnelle des lois fait appel `a une forte intuition physique, puisqu’elle repose essentiellement sur un “bon” inventaire de tous les param`etres susceptibles d’intervenir dans l’expression de la grandeur que l’on cherche a d´eterminer. Cet inventaire ´etant rarement aussi ´evident que dans le cas du pendule ` simple, les arguments dimensionnels ne prennent toute leur valeur (ne serait-ce que comme moyen mn´emotechnique) qu’une fois la loi v´erifi´ee exp´erimentalement et justifi´ee, au moins en partie, par un mod`ele math´ematique.

 Simplification d’´ equations diff´ erentielles ou aux d´ eriv´ ees partielles EXEMPLE 1. Dans l’´equation d’un oscillateur de Van der Pol x ¨ − ax(1 ˙ − bx2 ) + cx = 0 , les dimensions des param`etres positifs a, b et c sont : [a] = [T ]−1 , [b] = [x]−2 et 1 1 [c] = [T ]−2 . Le changement x = xb 2 , t = tc 2 permet de r´ecrire l’´equation sous forme adimensionn´ ee d2 x dx − 2 (1 − x2 ) + x = 0 dt2 dt avec 2 = ac− 2 . Elle est connue pour poss´eder un cycle limite x (t ) (vers lequel tend toute solution). L’´equation de d´epart poss`ede donc aussi un cycle limite qui 1 1 s’´ecrit x(t) = b− 2 x (tc 2 ). La d´ependance de ce cycle vis-`a-vis de b et vis-`a-vis de c ou a (`a  fix´e) se d´eduit donc de consid´erations purement dimensionnelles. Seule sa d´ependance vis-`a-vis du param`etre sans dimension  est non triviale et n´ecessite une ´etude analytique ou num´erique plus approfondie (cf. section 6.5.2). 1

EXEMPLE 2. Une ´equation assez g´en´erale de l’hydrodynamique des fluides incompressibles dans un r´ef´erentiel tournant est :  →  − → − → − ρ ∂t v + ( v . ∇) v = − ∇p + ρ g + ηΔ v − 2ρ Ω ∧ v . Consid´erons un ´ecoulement stationnaire dans une enceinte (un tuyau par exemple) de longueur caract´eristique L et correspondant `a des valeurs V et P de la vitesse et de la pression du fluide en un certain point (`a l’entr´ee du tuyau par exemple) ; supposons de plus que les conditions aux limites sont telles que la solution vL,V,P ( r), pL,V,P ( r) est unique. Alors connaissant les dimensions de toutes les grandeurs impliqu´ees, par exemple pour le coefficient de viscosit´e [η] = [ρ][L]2 [T ]−1 puisque la dimension du laplacien est [Δ] = [L]−2 , on peut affirmer en reprenant l’analyse de l’exemple pr´ec´edent    r  r que la solution va s’´ecrire vL,V,P ( r) = V v  · · · , pL,V,P ( r) = P p · · · les « . . . » L L repr´esentant l’ensemble des param` etres sans dimensions (nombres de Reynolds ρ 2P V V2 V L, d’Euler , de Rossby , etc.). Une application pratique , de Froude 2 η ρV gL ΩL −1 importante de la d´ependance en rL de la solution est la possibilit´e de pr´evoir certains ´ecoulements `a l’aide de maquettes d´eduites par homoth´etie de la structure r´eelle ; ces maquettes comme les fluides doivent ˆetre choisis pour pr´eserver les valeurs des nombres sans dimension.

1.3 Grandeurs physiques et dimensions

21

 Dimensions et ensembles fractaux Mesur´ee `a partir d’une carte au 1/50000 la longueur de la cˆ ote de Bretagne sera plus petite que si on la mesure `a partir d’une carte au 1/10000 car, plus l’´echelle est grande, plus les d´etails sont “gomm´es”. Autrement dit si x et x sont les nombres qui mesurent la l longueur d’une courbe avec des unit´es l et l ,on n’aura x = x  (c.a.d. xl = x l ), comme l on s’y attend “dimensionellement”, que pour des courbes suffisamment lisses ; pour la  l d avec d > 1. d s’appelle cˆote de Bretagne la relation sera plutˆ ot de la forme x = x  l la dimension fractale de la cˆote. EXEMPLE 1. La courbe de Koch, obtenue comme limite du processus it´eratif de construction dont u 4 = 3d et les ´ etapes successives sont repr´esent´ees sur la figure 9, est telle que x = 4x si l = 3l d’o` 4 2 . De mˆ eme d = ln pour l’ensemble de Cantor (de mesure nulle) obtenu en enlevant le d = ln ln 3 ln 3 tiers central de [0, 1], puis les tiers centraux des deux segments restants et ainsi de suite.

a

a N Figure 9

Figure 10

EXEMPLE 2. Trajectoire d’un mouvement brownien. (figure 10), Sa dimension fractale est toujours d = 2 ind´ependamment du fait que ce mouvement ait lieu sur une ligne, dans un plan ou dans l’espace. On justifie heuristiquement ce r´esultat en observant que, dans une marche au hasard, √ on s’´ eloigne typiquement d’une distance L = a N du point de d´epart au bout de N pas de longueur a (cf. section 10.3.1). La longueur de la trajectoire correspondant ` a N pas est donc mesur´ee par x = 1  L 2  2  = a ; par cons´ avec l’unit´ e l equent x = x ll et d = 2. a

avec l’unit´e l = L, et par x = N =

EXEMPLE 3. En physique cette notion de dimension fractale intervient pour caract´eriser les trajectoires asymptotiques dans l’espace de phase de syst`emes dynamiques chaotiques (attracteurs ´etranges) et pour interpr´eter certaines lois d’´ echelle qui interviennent dans des ph´enom`enes tels que la percolation, la g´elification, la brisure d’une roche, la porosit´e d’un milieu etc. Par exemple, si un milieu r mat´eriel est tel que, aux petites ´echelles, la densit´e de probabilit´e de trouver de la mati`ere en  r0 +  a une loi de puissance g(r) ∝ r −α , on a d = 3 − α ; en effet, la quan(sachant qu’il y en a en  r0 ) ob´eit ` a 0R r −α r 2 dr, tit´ e de mati`ere contenue dans une sph`ere de rayon R centr´ee en  r0 , proportionnelle ` varie alors comme R3−α , au lieu de R3 comme habituellement pour un milieu homog`ene (α = 0). Les exp´ eriences de diffusion donnent un acc`es ` a g(r) (cf. section 5.4.2.)

Chapitre 2

Nombres et notation complexes ; plan euclidien Les nombres complexes z = x + iy (x, y ∈ R ; i2 = −1) ont d`es le XV I `eme √ ´et´e introduits √ 3 si`ecle sous la forme de nombres “imaginaires” tels que −1 ou −1 pour ´etendre les formules de r´esolution des ´equations alg´ebriques du 2`eme et du 3`eme degr´e. A la fin du XV III `eme si`ecle Gauss ´etablit le r´esultat remarquable que tout polynˆ ome P (z) de degr´e n arbitraire a` coefficients complexes admet exactement n racines. Ce r´esultat, faux si on se limite aux nombres r´eels (exemple P (x) = x2 + 1), est tr`es important en pratique pour la r´esolution des Equations Diff´erentielles Lin´eaires Stationnaires (` a coefficients constants) (E.D.L.S.). Une autre vertu de l’ensemble C des nombres complexes, utile pour la g´eom´etrie et la physique `a deux dimensions, est la possibilit´e de coder non seulement les points du plan mais aussi des mouvements (Kepler, harmonique) et des transformations g´eom´etriques dans ce plan. Parmi ces transformations les rotations, attach´ees aux exponentielles complexes eiθ = cos θ + i sin θ introduites par Euler, jouent un rˆole essentiel dans l’usage de la “notation complexe” en physique classique pour repr´esenter les grandeurs oscillantes (signaux ou ondes polaris´ees) ainsi que leurs interf´erences. D’autres applications a` la physique lin´eaire (classique et quantique), et aux E.D.L.S. (´etude de stabilit´e), sont donn´ees aux chapitres 4 et 6.

2.1 2.1.1

CALCULS AVEC LES NOMBRES COMPLEXES R` egles de calcul ; exponentielle imaginaire ; fonctions complexes

 Rappel des r` egles de calcul Soit z = x + iy un nombre complexe. z = x − iy est son complexe conjugu´e, x = e z =  z+z z−z sa partie re´elle, y = m z = sa partie imaginaire et r = |z| = x2 + y 2 2 2i son module. Les op´erations addition et multiplication s’effectuent comme pour les r´eels ;

2.1 Calculs avec les nombres complexes

23

elles poss`edent les propri´et´es de commutativit´e, d’associativit´e et de distributivit´e, et en plus l’importante propri´et´e de commuter avec l’op´eration de conjugaison complexe qui consiste `a changer i en −i. On a notamment z1 + z2 = x1 + x2 + i(y1 + y2 )

d’o` u

z1 + z2 = z1 + z2 ,

z1 z2 = (x1 + iy1 )(x2 + iy2 ) = (x1 x2 − y1 y2 ) + i(x1 y2 + x2 y1 ) zz = (x + iy)(x − iy) = x + y = |z| 2

2

2

d’o` u

d’o` u

z1 z2 = z 1 z 2 ,

|z1 z2 | = |z1 ||z2 | ,

|z1 + z2 | = |z1 | + |z2 | + 2e (z 1 z2 ) d’o` u |z1 + z2 | ≤ |z1 | + |z2 | , 1 z x − iy = 2 d’o` u |z −1 | = |z|−1 et (z)−1 = z −1 . z −1 = = 2 x + iy x + y2 |z| 2

2

2

 Exponentielle imaginaire et fonctions sinuso¨ıdales L’exponentielle imaginaire (iθ)3 (iθ)2 + + ··· 2! 3! joue un rˆ ole essentiel dans la th´eorie et la pratique des nombres complexes en vertu de ses propri´et´es fondamentales :  iθ  ei(θ1 +θ2 ) = eiθ1 eiθ2 ; |eiθ |2 = eiθ e−iθ = 1 ; e = i eiθ . eiθ = 1 + iθ +

Elle permet d’introduire alg´ebriquement (sans g´eom´etrie) les fonctions cosinus et sinus par les relations : eiθ + e−iθ eiθ − e−iθ et sin θ = m eiθ = . 2 2i On retrouve a` partir des expressions ci-dessus les propri´et´es classiques de ces fonctions : ∞  θ2n cos θ = (fonction paire) ; (−1)n (2n)! n=0 eiθ = cos θ + i sin θ ⇐⇒ cos θ = e eiθ =

sin θ =

∞ 

(−1)n

n=0

θ2n+1 (fonction impaire) ; (2n + 1)!

cos (θ1 + θ2 ) = cos θ1 cos θ2 − sin θ1 sin θ2 ; sin (θ1 + θ2 ) = sin θ1 cos θ2 + sin θ2 cos θ1 ;     cos2 θ + sin2 θ = 1 ; cos θ = − sin θ ; sin θ = cos θ ;  eiθ + e−iθ 2  eiθ + e−iθ 3 1 + cos 2θ cos 3θ + 3 cos θ ; cos3 θ = ... ; = = cos2 θ = 2 2 2 4 π cos θ = sin (θ + ) = − cos (θ + π) = cos (θ + 2π) ; 2 π sin θ = cos (θ − ) = − sin (θ + π) = sin (θ + 2π) . 2 π Ces derni`eres propri´et´es (avance de de cos θ sur sin θ, p´eriodicit´e 2π) d´ecoulent des 2 relations π ei 2 = i , eiπ = i2 = −1 et e2iπ = 1 , elles mˆemes cons´equence de l’´etude des variations de cos θ et de sin θ `a partir de leurs π d´eriv´ees ( ´etant la premi`ere valeur positive de θ pour laquelle cos θ = 0). 2

2 • Nombres et notation complexes ; plan euclidien

24

 Argument d’un nombre complexe L’argument θ ∈ [0, 2π[ (ou phase) de z = x + iy est d´efini par x = r cos θ et y = r sin θ. Il permet d’´ecrire z sous la forme : z = r(cos θ + i sin θ) = r eiθ

(r = |z|) .

Cette forme est tr`es utile pour les calculs comme le produit, l’inverse, la recherche des racines Ne`me , nombres complexes ρ eiϕ tels que ρN eiN ϕ = r eiθ , ou celle des logarithmes n´ ep` eriens (nombres complexes Z tels que eZ = r eiθ ) : z1 z2 = r1 r2 ei(θ1 +θ2 )

;

z −1 = r−1 e−iθ

;

√ 2πp 1 θ “ N z” = r N ei N ei N p = 0, 1, 2, . . . , N −1 ,

“ ln z” = ln r + iθ modulo 2πi (ln z1 z2 = ln z1 + ln z2 modulo 2πi) . EXEMPLES :

√

π π 1+i ; ln i = i modulo 2πi. i = ±ei 4 = ± √ 2 2 p

REMARQUE. Les N racines Ne`me de l’unit´e αp = ei2π N v´erifient αN p − 1 = 0 et donc, en N −1  αnp = 0 si p = 0. Elles servent a` d´efinir la transform´ ee mettant αp − 1 en facteur, n=0

de Fourier discr` ete (cf. section 5.3.2).

 Fonctions de z En pratique une fonction f (z) est une expression dans laquelle x et y n’apparaissent qu’`a travers la combinaison z = x + iy, comme par exemple un polynˆome P (z), l’exponentielle ez , la transform´ ee en z d’un signal num´erique {fn } F (z) =

∞ 

fn z n ,

n=−∞

mais pas |z|2 dans laquelle apparait √ aussi z = x − iy. On fera attention au fait que certaines de ces fonctions comme “ N z” ou “ln z” ne sont pas bien d´efinies mˆeme si on choisit √ 1 θ 2π une d´etermination. Par exemple “ N z” = r N ei N est multipli´e par ei N quand θ passe continˆ ument de 0 a` 2π. Il faut donc toujours pr´eciser le domaine de d´efinition consid´er´e. La d´ eriv´ ee au point z de f (z) est d´efinie comme pour les r´eels par la limite, quand elle f (z + ) − f (z) existe, de lorsque  complexe tend vers z´ero (i.e. || → 0). (Exemple :  2 2 2 (z + ) − z dz = lim = lim (2z + ) = 2z). Pour toutes les fonctions classiques dz  (d´efinissables localement a` partir de s´eries), les formules de d´erivation sont les mˆemes que 1 dans le cas des r´eels : (ez ) = ez , (ln z) = (z = 0), (cos z) = − sin z, etc. Des pr´ecisions z math´ematiques et des applications physiques (hydrodynamique, ´electrostatique...) sont donn´ees `a la section 8.3.3.

2.1 Calculs avec les nombres complexes

25

2.1.2 « Th´ eor` eme fondamental de l’alg` ebre » et applications  Racines d’un polynˆ ome Un r´esultat tr`es important est que tout polynˆome P (z) de degr´e n admet n racines p1 , p2 · · · pn et peut donc toujours ˆetre factoris´e : P (z) = a0 z n + a1 z n−1 + · · · + an−1 z + an = a0 (z − p1 )(z − p2 ) . . . (z − pn ) . JUSTIFICATION : si P (z) de degr´e n ≥ 1 ne s’annule jamais, |P (z)| atteint une valeur minimale non nulle, disons en p1 . Posant z = p1 +  on peut ´ecrire P (z) = P (p1 ) + b1  + b2 2 + · · · + bn n . Soit bk le   premier coefficient non nul. Pour || petit on a |P (z)|2  |P (p1 ) + bk k |2  |P (p1 )|2 + 2e P (p1 ) bk k ,   et en faisant “tourner” l’argument de  on peut toujours rendre n´egative la quantit´e e P (p1 ) bk k ce qui contredit l’hypoth`ese. D’o` u P (p1 ) = 0 et la possibilit´e de factoriser (z − p1 ) : P (z) = (z − p1 )Q(z). On r´ ep`ete le raisonnement avec Q(z) de degr´e n − 1 et ainsi de suite jusqu’` a n = 1. Remarque : dans le cas r´ eel on ne peut pas jouer sur l’argument de .

 Equations diff´ erentielles lin´ eaires stationnaires (E.D.L.S.) Le r´esultat ci-dessus s’applique imm´ediatement `a la r´esolution des ´equations a0 f (n) (t) + a1 f (n−1) (t) + · · · + an−1 f  (t) + an f (t) = 0  d p f) : en permettant de les r´ecrire (puisque f (p) = dt d  d  d  − p1 − p2 . . . − pn f (t) = 0 . a0 dt dt dt d  − pj (j = 1 . . . n) commutent entre elles, il est clair Comme les n op´erations dt sous cette forme que les exponentielles ep1 t , . . . , epn t sont des solutions particuli`eres de l’ ´equation diff´erentielle. Si toutes les racines pj sont diff´erentes, les n fonctions exponentielles sont ind´ependantes et la solution g´ en´ erale, qui d´epend a` priori lin´eairement de n constantes arbitraires Aj (cf. section 6.2.1), est : f (t) = A1 ep1 t + A2 ep2 t + · · · + An epn t . Si par contre une racine, par exemple p1 , apparaˆıt k fois il manque k − 1 solutions. Ced  k d − p1 ep1 t g(t) = ep1 t g  (t) et donc − p1 ep1 t g(t) = ep1 t g (k) (t), pendant comme dt dt on voit que `a une racine p1 d’ordre k sont associ´ees les k solutions ind´ependantes ep1 t , tep1 t , t2 ep1 t , . . . , tk−1 ep1 t . EXEMPLE :√E.D.L.S. du second ordre af  + bf  + cf = 0 (a, b et c r´eels). Soient −b ± b2 − 4ac les racines du polynˆome “ caract´eristique” ap2 + bp + c. p1,2 = 2a 1er cas : b2 − 4ac > 0. p1 et p2 sont r´eels et f (t) = A1 ep1 t + A2 ep2 t . √ b 4ac − b2 ` eme 2 , ω = ) et 2 cas : b − 4ac < 0. p1 = p2 = −λ + iω (avec λ = 2a 2|a|   f (t) = e−λt A1 eiωt + A2 e−iωt . Cependant f (t) ´etant en physique souvent r´eelle, on pr´ef`ere ´ecrire la solution sous l’une des deux formes ´equivalentes (A, B, C r´eels)   f (t) = e−λt A cos ωt + B sin ωt ou f (t) = e−λt C cos(ωt + ϕ) . 3`eme cas : b2 − 4ac = 0. p1 = p2 = −λ est une racine double et f (t) = e−λt (At + B).

2 • Nombres et notation complexes ; plan euclidien

26

2.2

´ PLAN COMPLEXE ET TRANSFORMATIONS ASSOCIEES

2.2.1

Plan complexe et plan cart´ esien ; produit scalaire ; aire

Au nombre complexe z = x + iy = reiθ on associe dans le plan cart´esien (xOy) (appel´e aussi plan euclidien) un vecteur V = xˆ x + y yˆ de composantes x et y (ˆ x et yˆ ´etant les 

| = |z| = x2 + y 2 . De fa¸con ´equivalente vecteurs unitaires des axes) et de norme |V on peut associer `a z un point M , dit affixe de z, de coordonn´ees cart´esiennes x et y et −−→

donc tel que OM = V (figure 1). L’addition des nombres complexes z1 + z2 correspond

2 ; on a |Σi zi | ≤ Σi |zi | l’´egalit´e n’ayant lieu que si les alors `a l’addition vectorielle V 1 + V arguments des zi sont ´egaux (figure 2).

ÑÞ

M

y __ __z 3

V y

3

M(z) __ __ __ __

z2

z

y

2

z1

1

O

x

x



x

O

Figure 1

Figure 2

2 de deux vecteurs et l’aire alg´

1 , V

2 ) du paebrique σ(V Le produit scalaire V 1 · V



rall´elogramme construit sur V1 et V2 (figure 3)

111111111 000000000 000000000 111111111 V2 000000000 111111111 0000 1111 000000000 111111111 0000 1111 000000000 111111111 0000 1111 000000000 111111111 0000 1111 000000000 111111111 V1 000000 111111 0000 1111 000000000 111111111 000000 111111 0000 1111 000000000 111111111 000000 111111 0000 1111 000000000 111111111 2

1

Figure 3 sont les quantit´es invariantes par rotation d´efinies par

2 = x1 x2 + y1 y2 = e(z 1 z2 ) = |V

1 ||V

2 | cos (θ2 − θ1 ) = V

2 · V

1 ,

1 · V V

1 , V

2 ) = x1 y2 − x2 y1 = m(z 1 z2 ) = |V

1 ||V

2 | sin (θ2 − θ1 ) = −σ(V

2 , V

1 ) . σ(V REMARQUES. L’invariance par rotation est celle relative au changement θi → θi + ϕ.

1 et V 2 qui est nulle si V

1 et V

2 σ est bien l’aire car c’est la seule quantit´e lin´eaire en V sont colin´eaires ; (elle est prise ´egale a` 1 pour les vecteurs de base).

2.2 Plan complexe et transformations associ´ees

27

EXEMPLES DE PRODUITS SCALAIRES. L’´ equation d’une droite perpendiculaire au vecteur unitaire u ˆ de composantes α = cos θ0 et β = sin θ0 et distante de d de l’origine s’´ecrit (figure 4) :   −−→ u ˆ · OM = αx + βy = d = r cos (θ − θ0 ) = e e−iθ0 z . − − → −→ −−→ L’´egalit´e |BC|2 = |BA + AC|2 conduit a` la relation bien connue entre les cˆot´es d’un ˆ triangle a2 = b2 + c2 − 2bc cos A.

y

C

«

M

u ¬

h

b

H 0

OH = d

a

A x

O

M

A

Figure 4

c

B

Figure 5

EXEMPLES D’AIRES. L’aire d’un triangle ABC, ´etant ´egale a` la moiti´e de celle 1 = d’un parall´elogramme construit sur deux de ses cˆot´es (figure 5), vaut S = bc sin A 2 1  = 1 ac sin B  = 1 hc. ab sin C 2 2 2 Les aires alg´ebriques des triangles orient´es MBC, MCA et MAB sont proportion−−→ nelles aux coordonn´ ees barycentriques λA , λB et λC de M qui v´erifient λA M A +  −−→ −−→ −−→ −−→ −−→ −−→ λB M B + λC M C = 0 ; par exemple σ λA M A + λB M B + λC M C , M B = 0 entraˆıne −−→ −−→ −−→ −−→ aire M AB aire M BC = . En thermodynaλA σ M A , M B = λC σ M B , M C soit λC λA mique le “point” triple (phases A, B et C) est repr´esent´e par l’int´erieur d’un triangle dans le diagramme Volume-Entropie (ou Enthalpie) et M correspond a` un m´ elange triphas´ e de composition (λA , λB , λC ). ˙ En cin´ematique, la vitesse ar´ eolaire S(t) qui est l’aire balay´ee par unit´e de temps −−→ par un vecteur 0M (t) = r(t) s’´ecrit (figure 6) : 1  d r  1 1 = m (z z) S˙ = σ r, ˙ = r2 θ˙ . 2 dt 2 2

M(t+dt)

O

111111111 000000000 000000000 111111111 000000000 111111111 000000000 111111111 000000000 111111111 000000000 111111111 000000000 M (t) 111111111 000000000 111111111 000000000 111111111 000000000 111111111 r 000000000 111111111 000000000 111111111 000000000 111111111 d + 000000000 111111111 000000000 111111111 000000000 111111111

Figure 6

2 • Nombres et notation complexes ; plan euclidien

28

2.2.2

Transformations dans le plan complexe

 Transformations euclidiennes (figure 7)

 z ei

y z+z 0 z0



z z

O

−

x

z

Figure 7 La simple observation de la figure montre que l’addition z → z + z0 correspond a` une translation de l’affixe M de z, la multiplication par un r´eel z → λz `a une homoth´ etie de centre O et de rapport λ (sym´ etrie ponctuelle ou rotation de π si λ = −1), la multiplication par une exponentielle imaginaire z → eiϕ z `a une rotation de centre O et d’angle ϕ. Leur composition z → az + b est une similitude. Enfin l’op´eration z → z est une sym´ etrie par rapport ` a Ox.

 Inversion (figure 8) En g´eom´etrie l’inversion de centre O et de rapport λ (r´eel positif) correspond a` r → λ/r et θ → θ, donc a` z → λ/z. Nous appellerons “ inversion” (entre guillemets) l’op´eration z → λ/z donc r → λ/r et θ → −θ qui en diff`ere par une sym´etrie d’axe Ox.

D’ (C’ ) (C) O

A

B M0

OA’ =

OA

B’

A’ M’0

OB’ =

Figure 8

OB

2.2 Plan complexe et transformations associ´ees

29

Propri´et´e principale : l’inversion de centre O transforme les cercles en “droites ou cercles” et les droites en “droites ou cercles” selon que ces courbes passent ou non par O. ´ DEMONSTRATION : l’´equation d’un cercle de rayon R et de centre M0 est (x − x0 )2 + (y − y0 )2 = eralement a zz+αz +αz +b = 0 |z −z0 |2 = R2 qui s’´ecrit zz−z 0 z −z0 z +|z0 |2 −R2 = 0, ou encore plus g´en´ (avec a et b r´ eels). Sous cette derni`ere forme, qui inclut le cas limite des droites lorsque a = 0, on voit a l’´ equation bzz + α z + αz + a = 0, qui est d’un cercle si b = 0 ou d’une que l’inversion z → z1 conduit `   droite si b = 0 ; les centres M0 (z0 =− α a ) et M0 (z0 =

− αb ) sont align´es avec O. On remarquera sur la

figure 8 que, quand A tend vers O (B restant fixe), le cercle C’ inverse du cercle C tend vers la droite D’.

La composition des similitudes et de l’“inversion” conduit aux homographies z → az + b . On v´erifie que leur loi de composition cz + d a1 z + b 1 a2 z 1 + b 2 az + b z → z1 = → z2 = = c1 z + d1 c2 z1 + d2 cz + d ´equivalente a` la multiplication des matrices 2 × 2 :       a2 b2 a1 b 1 a2 a 1 + b 2 c1 a b = = c d c2 d2 c1 d1 c2 a1 + d2 c1

a2 b1 + b2 d1 c2 b1 + d2 d1

 .

Les homographies pr´eservent aussi le caract`ere “droite ou cercle”.

 Transformations conformes Ce sont les transformations z → z  = f (z) associ´ees aux fonctions complexes f (z) d´erivables. Elles ont la propri´et´e remarquable de conserver les angles ; en particulier tout r´ eseau de courbes orthogonales est transform´e en un r´eseau de mˆeme nature. ´ DEMONSTRATION (figure 9) : soient deux courbes C1 et C2 se coupant en M (affixe de z) et Mi (i = 1, 2) deux points voisins de M , affixes de zi = z + i , situ´es sur Ci . Leurs transform´es Mi sur Ci −−−→ −−−→ sont les affixes de zi = f (zi )  f (z)+i f  (z). L’angle (M M1 , M M2 ) entre C1 et C2 est θ  arg 2 −arg 1    et celui entre C1 ’ et C2 ’ est θ  arg f (z)2 − arg f (z)1 ; comme arg f  (z)i = arg f  (z) + arg i , on a bien θ = θ  .

, C2

y

, C1

,

,

M2 M

, M1 , M 2 (z 2) M 1(z 1) M (z)

C2 C1

x Figure 9

2 • Nombres et notation complexes ; plan euclidien

30

Application. Les lieux g´eom´etriques de M d´efinis par −−→ −−→ angle (M B, M A) = constante (modulo π)

et

MA = constante MB

sont deux r´ eseaux de cercles, les premiers passant par A et B et les seconds orthogonaux aux premiers (figure 12). ´ DEMONSTRATION : l’homographie z → z  = z−z A qui am` ene A en O et B ` a l’infini transforme les B lieux cherch´es en respectivement les droites passant par O (arg z  = constante modulo π) et les cercles z−z

centr´es en O (|z  | = constante).

EXEMPLE 1. Optique et points de Weierstrass. Pour un dioptre, de point courant M , deux points A et A , respectivement dans des milieux d’indice n et 1, sont rigoureusement conjugu´es si n AM ∓ A M = constante (principe de Fermat). Si on veut un dioptre sph´erique il faut n AM − A M = 0 ; les points A (r´eel) et A (virtuel) sont appel´es points de Weierstrass du dioptre. La figure 10 repr´esente une lentille boule d’indice n pour laquelle A et A sont rigoureusement conjugu´es. EXEMPLE 2. Abaque de Smith. Un autre exemple d’utilisation de l’“inversion” concerne les ondes sur une ligne ou un guide d’onde. La relation entre le coefficient de r´eflexion complexe r et l’imp´edance complexe Z = X + iY plac´ee en bout de ligne 1−Z 2 (normalis´ee `a l’imp´edance caract´eristique) est r = ou r + 1 = . Cette 1+Z 1+Z ste “inversion” de centre A (−1, 0) transforme les droites X = 0 et X = C > 0 dans le cercle de diam`etre AB (|r| = 1) et dans les cercles int´erieurs et tangents en A au pr´ec´edent ; elle transforme les demi-droites Y = Cste (X > 0) dans les portions de cercles tangents en A ` a AB. Ces deux r´eseaux de cercles orthogonaux (abaque de Smith) permettent de d´eterminer graphiquement Z connaissant r (figure 11).




A’




M

A

O

Figure 10

−1 A

1 O

Figure 11

B



2.3 Etude de courbes et de mouvements plans

31

EXEMPLE 3. Electrostatique et magn´ etostatique de deux fils infinis parall` eles (figures 12a,b). Si ces fils qui percent le plan de la figure en A et B sont charg´es (densit´es −λ et λ, figure 12a), ou sont parcourus par des courants (intensit´es −I et I, figure 12b), les potentiels dont d´erivent les champs ´electrique et magn´etique −−→ −−→ λ MA μ0 I sont respectivement Ves (M ) = et Vms (M ) = × angle(M B, M A). ln 2π0 MB 2π Les ´equipotentielles et les lignes de champ sont repr´esent´ees respectivement en pointill´e et en traits pleins sur les figures.

M

M

− A

−I A

B

(a)

I B

(b) Figure 12

EXEMPLE 4. Images ´ electriques (cf. section 8.3.2).

2.3 2.3.1

ETUDE DE COURBES ET DE MOUVEMENTS PLANS Mouvements et courbes en coordonn´ ees polaires

 Vitesse et acc´ el´ eration (figure 13) Le mouvement plan d’un point M g´en´eralement d´ecrit par les coordonn´ees cart´esiennes x(t) et y(t) peut aussi l’ˆetre par les coordonn´ees polaires r(t) et θ(t). Ceci correspond aux deux repr´esentations du nombre complexe z dont M est l’affixe : z(t) = x(t) + iy(t) = r(t) eiθ(t) . La vitesse v du mouvement, de composantes cart´esiennes x˙ et y, ˙ et l’acc´el´eration a de composantes x ¨ et y¨ sont les vecteurs associ´es `a z(t) ˙ et `a z¨(t). En d´erivant r(t) eiθ(t) on obtient :   ˙ eiθ ; ˙ eiθ . z˙ = (r˙ + irθ) z¨ = (¨ r − rθ˙2 ) + i(rθ¨ + 2r˙ θ) Ces expressions peuvent ˆetre traduites vectoriellement en introduisant les vecteurs uni r taires radial rˆ = associ´e `a eiθ , et orthoradial θˆ associ´e `a i eiθ (d´eduit de rˆ par une | r|

2 • Nombres et notation complexes ; plan euclidien

32 rotation de

π ). On retrouve les expressions classiques de v et a en coordonn´ees polaires : 2

v = r˙ rˆ + rθ˙ θˆ

˙ θˆ .

a = (¨ r − rθ˙2 ) rˆ + (rθ¨ + 2r˙ θ)

;

y

M(t+dt)

« d

rd

dr M(t)

r O

x Figure 13

 Int´ egrales premi` eres 1 d 2˙ r θ, Pour un mouvement a` force centrale o` u a est colin´eaire `a rˆ, on a rθ¨ + 2r˙ θ˙ = 0 = r dt 2˙ soit r θ = C = constante : c’est la loi des aires qui exprime que la vitesse ar´eolaire est constante. Si en plus la force ne d´epend pas de θ (m a = f (r) rˆ), on obtient une deuxi`eme int´egrale premi`ere ´ energie E = 12 m v 2 + V (r) (avec f = −V  et V ´energie potentielle).   d 1 m v 2 + V (r) = m v . a + V  (r) r˙ = v . (m a + V  (r)ˆ r ) = 0. Les ´equations du En effet dt 2 mouvement se ram`enent alors a` deux ´equations coupl´ees du premier ordre pour r(t) et θ(t) (en utilisant v 2 = r˙ 2 + r2 θ˙2 ) : C θ˙ = 2 r

;

1 mC 2 mr˙ 2 + V (r) + =E . 2 2r2

 Courbes en coordonn´ ees polaires d pour une cos (θ − θ0 ) ˆ et droite (figure 4). La tangente a` la courbe s’obtient a` partir de d r = dr rˆ + r dθ θ, dθ (figure 13). l’angle α qu’elle fait avec rˆ v´erifie tg α = r dr

Une courbe est d´efinie par une relation r(θ) ; par exemple r =

2.3.2

Coniques en coordonn´ ees polaires et cart´ esiennes ; foyers

Les coniques apparaissent en g´eom´etrie et en physique sous trois formes principales.

 Coniques en coordonn´ ees polaires (figure 14) Elles sont d´efinies par r(θ) =

p 1 + e cos θ

(p > 0 ; e ≥ 0) ,

les angles ´etant mesur´es `a partir de l’axe de la conique θ = 0.

2.3 Etude de courbes et de mouvements plans

(H)

(P)

(E)

y

33

p

(C) x

O

Figure 14 Les cercles (C), ellipses (E), paraboles (P) et hyperboles (H) correspondent respectivement aux valeurs e = 0, e ∈]0, 1[, e = 1 et e > 1 de l’excentricit´ e e (sur la figure e = 1/2 pour (E) et e = 3/2 pour (H)). Pour p fix´e et r > 0 (voir la remarque ciπ dessous), toutes ces courbes passent par les points r = p, θ = ± . Elles sont ferm´ees si 2 e < 1 ; si e ≥ 1 elles pr´esentent des branches infinies dans les directions ±θ∞ telles que 1 cos θ∞ = − . e

 Coniques en coordonn´ ees cart´ esiennes Leur ´equation x2 + y 2 = (p − ex)2 s’obtient `a partir de r = p − e r cos θ. Pour e = 1 p y2 on obtient l’´equation d’une parabole x = − . Pour e = 1 on regroupe les termes en 2 2p 2  ep p2 2 x et x2 dans un carr´e : (1 − e2 ) x + + y = . Cette expression montre 1 − e2 1 − e2 ep l’existence d’un centre de sym´ etrie C de coordonn´ees yC = 0 et xC = − ; 1 − e2  xC = 0 pour les cercles, xC = −c < 0 pour les ellipses (figure 15) et xC = c > 0 pour les hyperboles (figure 16 avec OC = c ).

Y Y b 2b

O’

C

c’

a

b’

O c

O

X

S

C

O’ a’ S’ X

2a Figure 15

Figure 16

2 • Nombres et notation complexes ; plan euclidien

34

Avec C comme origine des coordonn´ees, on a pour les ellipses :

X2 Y 2 + 2 =1 a2 b

pour les hyperboles :

;

a=

p 1 − e2

;

b=a

 1 − e2

;

e=

c 1 . − 2 = 1 ; a = 2 2 a b e −1 a

Les interpr´etations g´eom´etriques des coefficients a, b, c, a , b , c et des relations a2 = b2 + c2 et c2 = a2 + b2 sont illustr´ees sur les figures. b L’ellipse se d´eduit du cercle de rayon a par une affinit´e de rapport suivant Oy, d’o` u a  b b son aire πa2 = πab. L’hyperbole a pour asymptotes Y = ±  X. a a REMARQUE. Lorsque e > 1 la courbe d’´equation r = p(1 + e cos θ)−1 avec r > 0 ne correspond qu’` a la branche d’hyperbole “la plus proche” de O ; l’autre branche (en pointill´e sur la figure 14) correspond a` l’extension de la formule `a des valeurs n´egatives de r. Param´ etrisation avec origine au centre. Elle s’´ecrit (cf. cos2 ϕ + sin2 ϕ = 1 et 2 cosh φ − sinh2 φ = 1) : X = a cos ϕ , Y = b sin ϕ (ellipses) ;

X = ±a cosh φ , Y = b sinh φ (hyperboles) .

Une propri´et´e importante de cette param´etrisation pour l’ellipse est que l’aire balay´ee −−→ 1 1 −−→ −−→ par le vecteur CM est proportionnelle a` Δϕ ; en effet dS = σ (CM , dCM ) = (X dY − 2 2 ab 1 Y dX) = dϕ (figure 17 ; l’aire hachur´ee vaut abϕ). 2 2



a

M

1111111 0000000 0000000 1111111 0000000 1111111 0000000 0000000 1111111 C 1111111 0000000 1111111 0000000 1111111

b

Figure 17

 Coniques rapport´ ees ` a leur(s) foyer(s) Le point O, origine des coordonn´ees polaires, est appel´e foyer de la conique. Comme pour les ellipses et les hyperboles le point O sym´etrique de O par rapport a` C joue un rˆole identique, ces coniques poss`edent deux foyers O et O . Consid´erons alors deux points

2.3 Etude de courbes et de mouvements plans

35

M et M  de la conique sym´etriques par rapport a` C et leurs projections H et H  sur OO . Pour une ellipse (figure 18a) on a r + e OH = r + e OH  = p, soit r + r = 2p − 2e OC = constante. Pour une hyperbole (figure 18b) ceci reste vrai mais r < 0 (cf. remarque ci-dessus),

M

M H’ O’

C

H

O H

C

O’ X

O

X

M’

M’ OM = r

H’

OM = r

OM’ = r’ = O’M

(a)

OM’ = −r ’= O’M

(b) Figures 18

et donc r − |r | = constante. Pour d´eterminer les constantes on prend M sur l’axe OX. On en d´eduit qu’ellipses et hyperboles sont les lieux g´eom´etriques des points M tels que : M O + M O = 2a (ellipses)

;

|M O − M O | = 2a (hyperboles) .

A partir de la relation r + OH = p, on ´etablit de mˆeme qu’une parabole est le lieu des points M dont la somme de la distance a` O et de la distance mesur´ee alg´ebriquement a` une droite fixe est constante : M O + M K et M O + M K  sont constants (parabole ; figure 19).

M K’




K

H O

D’

D Figure 19

Une parabole est une ellipse ou une hyperbole dont un foyer est a` l’infini.

2 • Nombres et notation complexes ; plan euclidien

36

Applications ` a l’optique. En optique g´ eom´ etrique le principe de Fermat dit que deux points O et O sont conjugu´es par rapport a` un miroir (point courant M ) si M O ± M O = constante (signe moins si les caract`eres r´eel ou virtuel de O et O ne sont pas les mˆemes). Cons´equence : les surfaces de r´evolution engendr´ees par les coniques sont des miroirs parfaits pour leurs foyers (figures 20). En optique ondulatoire les

O’

O M

S

M

O

1

O

S2 M

O’

M

O M

M

Figures 20

Figure 21

interf´erences de deux sources S1 et S2 monochromatiques et coh´erentes pr´esentent un d´ephasage fixe sur les hyperbolo¨ıdes de r´evolution S1 M − S2 M = constante lorsque la lumi`ere arrivant en M vient de S1 et S2 . Les intersections de ces hyperbolo¨ıdes avec des plans d’observation peuvent donner des cercles (observation dans la direction S1 S2 ), ou des branches d’hyperboles assimilables `a des droites parall`eles (observation a` grande distance dans une direction perpendiculaire a` S1 S2 ) (figure 21).

2.3.3

Mouvement de Kepler

1 est d´ecrit par les r2 ´equations diff´erentielles, pour le rayon vecteur r joignant deux corps ou pour z = x + iy, Ce mouvement plan (cf. section 3.3.2) `a force centrale attractive en rˆ

r¨ = −α 2 r

ou

z¨ = −α

eiθ |z|2

(α > 0) .

(α = G(m1 + m2 ) pour le probl`eme gravitationnel ; cf. section 3.3.2). Compte tenu de α dˆ α d iθ la loi des aires r2 θ˙ = C, l’´equation pour z devient z¨ = i e (ou r¨ = θ) et C dt C dt −−ste → α α iθ s’int`egre en z˙ = i e + constante (ou r˙ = θˆ + C ). On peut toujours, en changeant C C z en z eiθ0 (rotation), se ramener a` : α α z˙ = i (eiθ + e) (e r´eel positif) ou v = (θˆ + e yˆ) . C C Cette expression donne la direction de la vitesse en tout point (figure 22), et conduit αr a l’´equation de la trajectoire en ´ecrivant C = m(z z) ` e(1 + e e−iθ ) (ou C = ˙ = C σ( r, v )) :

2.3 Etude de courbes et de mouvements plans

r(θ) =

p 1 + e cos θ

37

avec

p=

«

C2 >0. α

C v v2

ey r M


v

2

O r

y O

2

1

2

v

1

1

v1

x Figure 22

Figure 23

On retrouve les ´equations en polaire des coniques. Dans le cas des ellipses on obtient la 1 p´ eriode T du mouvement en ´ecrivant que l’aire CT balay´ee pendant une p´eriode est 2 √ la surface πab de l’ellipse. Comme b = a 1 − e2 et C 2 = αp = αa(1 − e2 ), on a : 2π 3 T = √ a2 α

(3`eme loi de Kepler) .

Dans le cas des hyperboles (figure 23), l’angle de diffusion Δ entre les vitesses initiale α

v1 et finale v2 se d´eduit de l’expression des vitesses en ´ecrivant v2 − v1 = (θˆ2 − θˆ1 ) ; des C Δ et |θˆ2 − θˆ1 | = relations | v1 | = | v2 | = v (conservation de l’´energie), | v2 − v1 | = 2v sin 2 Δ 2 cos , et de C = ρ v (ρ param`etre d’impact), on d´eduit : 2 Δ α tg = 2 . 2 ρv α2 α L’´energie E s’obtient a` l’aide de r(θ) et de v 2 (θ) = 2 (θˆ + eˆ y)2 = (1 + e2 + 2e cos θ) : C p 1 α  μα 2 m1 m 2 2 = (e − 1) (μ = masse r´eduite) . E = μ v − 2 r 2p m1 + m2 μα < 0 ; pour les hyperboles E > 0. Pour les ellipses on a p = a(1 − e2 ) et E = − 2a REMARQUES. 1) Lorsque la force est r´epulsive α < 0 (cas de la diffusion de Rutherford de particules alpha par un noyau), les calculs pr´ec´edents sont inchang´es mais C2 il faut se rappeler que r(θ) doit ˆetre positif. Comme p = < 0 ceci n’est possible que α si e > 1 et la trajectoire est n´ecessairement une branche d’hyperbole (en pointill´e sur la α figure 23). 2) L’int´egrale premi`ere z˙ − i eiθ correspond, au facteur iC pr`es, au vecteur C de Lenz introduit `a la section 6.3.

2 • Nombres et notation complexes ; plan euclidien

38

2.3.4

Mouvement harmonique ; vecteurs tournants

L’´equation d’un mouvement plan associ´e `a une force centrale attractive proportionnelle a la distance est : `

r¨ = −ω 2 r ou z¨ = −ω 2 z . Sa solution g´en´erale qui, pour z(t), s’´ecrit z(t) = z+ eiωt + z− e−iωt

avec

z± = |z± |eiϕ± ,

peut ˆetre d´ecrite de multiples fa¸cons. Elle apparaˆıt ci-dessus comme la somme de deux vecteurs tournants (repr´esent´es `a l’instant t = 0 sur la figure 24) ; l’un de longueur |z+ | tourne dans le sens trigonom´etrique direct (polarisation circulaire “gauche” en optique) `a la vitesse angulaire ω tandis que l’autre de longueur |z− | tourne dans le sens inverse (polarisation circulaire “droite”) `a la vitesse −ω. En posant ϕ± = ϕ0 ± ϕ on a aussi :   z(t) = eiϕ0 (|z+ | + |z− |) cos(ωt + ϕ) + i(|z+ | − |z− |) sin(ωt + ϕ) . Sous cette deuxi`eme forme, z(t) apparaˆıt comme la somme de deux vecteurs oscillants (polarisations rectilignes) qui sont orthogonaux et qui oscillent en quadrature de −−→ phase. On en d´eduit que l’extr´emit´e M de OM (M affixe de z) d´ecrit une ellipse de demi grand axe OA = a = |z+ | + |z− | inclin´e de ϕ0 , de demi petit axe OB = b = ||z+ | − |z− ||, et qui est parcourue dans le sens direct si |z+ | − |z− | > 0 (dans le sens −−→ inverse si |z+ | − |z− | < 0). Il existe aussi une infinit´e d’autres fa¸cons de d´ecrire OM (t) comme somme de polarisations rectilignes en quadrature mais non orthogonales (figure 25). Il suffit pour cela d’´ecrire z(t) en fonction des conditions initiales : z(t) = z(t0 ) cos ω(t − t0 ) + z(t ˙ 0)

y

. z (t 0)

M A

z+ B





sin ω(t − t0 ) . ω

y

0

z(t 0)

z−

O

x

x

O

Figure 24

Figure 25

REMARQUES. 1) Comme celui de Kepler, le mouvement harmonique est facilement int´egrable et poss`ede des trajectoires ferm´ ees. En plus des int´ egrales premi`eres ˙ = ω (|z+ C = m(z z) l’int´egrale (complexe)

|2 1 2

1 2

(|z| ˙ 2 + ω 2 |z|2 ) (proportionnelle ` a l’´ energie) et

|2 )

− |z− (dont le signe est bien reli´e au sens de parcours de l’ellipse), il poss`ede (z˙ 2 + ω 2 z 2 ).

2) La repr´esentation d’un vecteur oscillant (z = z0 cos ωt) par deux vecteurs tournants ( 12 z0 e±iωt ) est tr` es utilis´ee en physique (moteur synchrone, RMN, optique...).

2.4 Notation complexe en physique classique

2.4

39

NOTATION COMPLEXE EN PHYSIQUE CLASSIQUE

2.4.1

Signaux r´ eels et complexes

La notation complexe est d´efinie pour les signaux “sinuso¨ıdaux” r´eels par la correspondance f (t) = a cos(ωt + φ) ⇐⇒ F (t) = A eiωt

avec A = a eiφ amplitude complexe .

Cette correspondance s’´etend a` tous les signaux r´eels combinaisons lin´eaires (sommes ou int´egrales) de signaux sinuso¨ıdaux c’est-` a-dire, d’apr`es l’analyse de Fourier, `a quasiment tous les signaux “utiles” en physique. Nous consid´erons pour simplifier l’´ecriture des sommes discr`etes : f (t) = a1 cos(ω1 t + φ1 ) + a2 cos(ω2 t + φ2 ) + · · · ⇐⇒ F (t) = A1 eiω1 t + A2 eiω2 t + · · · . Le signal complexe F (t) s’appelle aussi signal analytique associ´e `a f (t). REMARQUE. Conventions et notation complexe. Le fait d’associer ` a eiωt sa partie r´eelle cos ωt plutˆ ot que sa partie imaginaire sin ωt est tout ` a fait arbitraire. De mˆeme on peut faire correspondre a cos ωt aussi bien e−iωt , comme il est fait souvent pour les ondes, que eiωt , convention utilis´ee en ` ´ electronique et en th´eorie du signal. Une distinction “physique” entre fr´equences positives et n´egatives n’intervient que pour les champs quantiques (cf. sections 4.4.4-5).

 Propri´ et´ es importantes 1) Lin´ earit´ e : λ1 f1 + λ2 f2 + · · · ⇐⇒ λ1 F1 + λ2 F2 + · · · (λi r´eels). On en d´eduit en particulier que la somme de signaux sinuso¨ıdaux de mˆeme pulsation ω est un signal sinuso¨ıdal de pulsation ω : a1 cos(ωt+φ1 )+a2 cos(ωt+φ2 )+· · · = a cos(ωt+φ) avec aeiφ = a1 eiφ1 +a2 eiφ2 +· · · . Ceci se montre en passant aux signaux complexes et en mettant eiωt en facteur. Par exemple :    a cos ωt + b sin ωt = e (a − ib)eiωt = a2 + b2 cos(ωt + φ) avec φ = arg(a − ib) . (Pr´eciser seulement la valeur de tg φ, ou de sin φ ou de cos φ est insuffisant.) On notera que la formule d’addition est encore valable si les amplitudes ai et les phases φi d´ependent du temps (voir section 2.4.3). 2) Invariance par translation : f (t + τ ) ⇐⇒ F (t + τ ) d’o` u f (n) (t) ⇐⇒ F (n) (t). Cette correspondance s’´etend aux primitives si on exclut les constantes d’int´egration. 3) Moyenne temporelle du produit de deux fonctions :  T  1 1  def < f1 f2 > = lim f1 (t)f2 (t) dt = e < F 1 F2 > . T →∞ 2T 2 −T ´ DEMONSTRATION : il suffit de le v´erifier pour f1 (t) = a1 cos(ω1 t + ϕ1 ) et f2 (t) = a2 cos(ω2 t + ϕ2 ) ,

2 • Nombres et notation complexes ; plan euclidien

40

le cas g´en´eral correspondant a` une “simple extension par lin´earit´e”. On a     a 1 a2  cos (ω1 + ω2 )t + (ϕ1 + ϕ2 ) + cos (ω2 − ω1 )t + (ϕ2 − ϕ1 ) < f1 f2 >= , 2 a 1 a2 cos(ϕ2 − ϕ1 ) si ω1 = ω2 ; ce mˆeme et donc < f1 f2 >= 0 si ω1 = ω2 et < f1 f2 >= 2     1 r´esultat se retrouve sur l’expression e a1 a2 ei(ω2 −ω1 )t ei(ϕ2 −ϕ1 ) . 2 Un exemple important en physique est la fonction de corr´ elation d’un signal f (t) : Γf (τ ) =< f (t)f (t + τ ) >=

1 e < F (t) F (t + τ ) > . 2

On v´erifie facilement que la fonction de corr´elation d’une somme de signaux sinuso¨ıdaux de pulsations diff´erentes est la somme des fonctions de corr´elation de chaque signal : f (t) = a1 cos(ω1 t+ϕ1 )+a2 cos(ω2 t+ϕ2 )+· · · =⇒ Γf (τ ) =

2.4.2

a1 2 a2 2 cos ω1 τ + cos ω2 τ +· · · . 2 2

Syst` emes entr´ ee-sortie ; fonctions de transfert et imp´ edances

La notation complexe est tr`es utilis´ee dans l’´etude des circuits RC, RLC... aliment´es en alternatif, et plus g´en´eralement en physique lorsqu’on s’int´eresse `a la r´eponse d’un syst`eme lin´eaire et stationnaire a` une excitation sinuso¨ıdale.

 Solutions particuli` eres d’E.D.L.S. avec second membre sinuso¨ıdal EXEMPLES : x˙ + λx = a cos ωt

et

x ¨ + 2λx˙ + ω02 x = a cos ωt

(λ ≥ 0).

On cherche une solution particuli`ere des ´equations ¨ + 2λX˙ + ω 2 X = a eiωt X˙ + λX = a eiωt et X 0 proportionnelle a` eiωt . On trouve facilement “de tˆete” : Xω (t) =

aeiωt aeiωt et Xω (t) = 2 . iω + λ (ω0 − ω 2 ) + 2iλω

Les solutions particuli`eres r´eelles xω (t) s’obtiennent en prenant la partie r´eelle des Xω (t) : xω (t) = a

λ cos ωt + ω sin ωt ω 2 + λ2

et

xω (t) = a

(ω02 − ω 2 ) cos ωt + 2λω sin ωt . (ω02 − ω 2 )2 + 4λ2 ω 2

Remarques. 1) Si λ = 0 et ω = ω0 (r´esonance sans amortissement), la solution Xω (t) n’existe plus. Il faut chercher une solution du type At eiω0 t . On trouve X(t) = sin ω0 t a t eiω0 t ; donc x(t) = a t est une solution particuli`ere de x ¨ +ω02 x = a cos ω0 t 2iω0 2ω0 (avec x(0) = x(0) ˙ = 0). 2) En pratique, pour λ > 0, ces solutions particuli`eres (“r´ egime stationnaire”) sont observ´ees lorsque l’excitation cos ωt `a ´et´e appliqu´ee depuis suffisamment longtemps (en toute rigueur a` t = −∞) pour que les “transitoires” (solutions de l’´equation sans second membre) aient disparu.

2.4 Notation complexe en physique classique

41

 Syst` emes entr´ ee-sortie lin´ eaires et stationnaires On appelle ainsi une correspondance univoque e(t) → s(t) entre deux fonctions telle que : earit´ e) et e(t + τ ) → s(t + τ ) (stationnarit´ e) . λ1 e1 + λ2 e2 → λ1 s1 + λ2 s2 (lin´ EXEMPLES. 1) Les ´equations pr´ec´edentes r´ecrites s˙ + λs = e, s¨ + 2λs˙ + ω02 s = e (avec λ > 0), ou plus g´en´eralement toute E.D.L.S. (relative `a un syst`eme stable) pour s(t), avec e(t) ou ses d´eriv´ees au second membre, et avec (attention !) conditions initiales nulles (pour assurer la lin´earit´e), souvent prises `a t = −∞. 2) La moyennisation d’un signal e(t) ou de fa¸con g´en´erale la convolution de e(t) avec une fonction R(t) (cf. section 5.2.1) :  τ  ∞ 1 t+ 2 e(t) −→ s(t) = e(t ) dt ; e(t) −→ s(t) = R(t − t ) e(t ) dt . τ t− τ2 −∞ Le r´esultat principal relatif a` tous ces exemples est que `a toute entr´ee e(t) sinuso¨ıdale correspond une sortie s(t) sinuso¨ıdale ne pouvant diff´erer de e(t) que par son amplitude et sa phase. En notation complexe et avec l’´ecriture d’usage en ´electronique : e(t) = ept −→ s(t) = T (p) ept

(p = iω) .

JUSTIFICATION (ne faisant appel qu’aux propri´et´es de lin´earit´e et de stationnarit´e) : si eiωt → sω (t), on doit avoir eiω(t+τ ) → sω (t + τ ) et eiωτ eiωt → eiωτ sω (t), d’o` u sω (t + τ ) = eiωτ sω (t) et sω (τ ) = sω (0) eiωτ . T (p) est la fonction de transfert (complexe) du syst`eme, appel´ee aussi imp´ edance complexe lorsque s(t) est une tension et e(t) une intensit´e. EXEMPLES. Pour les deux E.D.L.S. ´etudi´ees ci-dessus, T (p) = (p + λ)−1 (filtre passe bas du premier ordre) et T (p) = (p2 + 2λp + ω02 )−1 (filtre passe bas du deuxi`eme ordre si λ  ω0 ). Pour la moyennisation on v´erifie directement :  τ  ωτ  iωt 1 t+ 2 iωt  sin x e : fonction sinus cardinal) ; e dt = sinc (sinc x = sω (t) = τ τ t− 2 2 x la moyennisation att´enue donc toute fonction sinuso¨ıdale et introduit un d´ephasage de 0 ou π. Plus g´en´eralement pour la convolution, en posant t = t − t et ω = 2πν, on obtient :  ∞  ∞   i2πνt  i2πνt ˆ ˆ sω (t) = R(t−t ) e dt = R(ν) e avec R(ν) = e−i2πνt R(t ) dt . −∞

−∞

ˆ La fonction de transfert R(ν) = T (p = i2πν) est la transform´ ee de Fourier de la fonction R(t) (r´eponse impulsionnelle ; cf. section 5.2.3). REMARQUE. Pour des signaux num´eriques la relation de convolution entr´ee sortie est :  {en } → {sn } avec sn = Rn−m em . m

Les transform´ees en z sont reli´ees par



n sn z

n

= S(z) = R(z) E(z).

2 • Nombres et notation complexes ; plan euclidien

42

2.4.3

Signaux modul´ es ou quasi-monochromatiques

En physique il est rare que les signaux soient rigoureusement sinuso¨ıdaux c’est-` a-dire monochromatiques. Ils se pr´esentent souvent sous la forme d’une somme de signaux monochromatiques ayant des pulsations diff´erentes mais proches d’une valeur ω0 ; de tels signaux sont dits modul´es ou quasi-monochromatiques. Il s’´ecrivent en notation complexe   F (t) = A1 eiω1 t +A2 eiω2 t +· · · = A1 ei(ω1 −ω0 )t +A2 ei(ω2 −ω0 )t +· · · eiω0 t = Af (t) eiω0 t , avec Af (t) = af (t) + ibf (t) amplitude complexe d´ependant du temps, et en notation r´eelle : f (t) = a1 cos(ω1 t + φ1 ) + a2 cos(ω2 t + φ2 ) + · · · = af (t) cos ω0 t − bf (t) sin ω0 t . Les fonctions af (t) et bf (t) sont lentement variables (compar´ees `a cos ω0 t). EXEMPLES. Les modulation d’amplitude et modulation de fr´ equence d’un signal “porteur de haute fr´equence” a cos ω0 t, par un signal adimensionn´e x(t) de “basse fr´equence” (sens´e transmettre l’information), conduisent respectivement aux signaux modul´es :  t   a(1 + mx(t)) cos ω0 t et a cos ω0 t + Δω x(t ) dt ;   Δω Δω x(t) , avec  1, m  1 est le facteur de modulation d’amplitude, et ω0 1 + ω0 ω0 est la pulsation instantan´ee du signal e en fr´equence. Les amplitudes complexes t modul´ sont : a(1 + mx(t)) et a exp iΔω x(t ) dt .

 Fonction de corr´ elation Quand on calcule la moyenne temporelle du produit de deux signaux modul´es f et g de pulsations proches de ω0 , l’utilisation de la notation complexe montre imm´ediatement que seules les amplitudes lentement variables interviennent : < f g >=

1 1 1 e < F G >= e < Af Ag >= < af ag + bf bg > . 2 2 2

En particulier :  1  iω0 τ e e ΓA (τ ) avec ΓA (τ ) =< Af (t)Af (t + τ ) > . 2 La fonction de corr´elation d’un signal modul´e contient une partie rapidement variable (de pulsation ω0 ) modul´ee par la fonction de corr´elation lentement variable de l’amplitude complexe. Γf (τ ) =< f (t) f (t + τ ) >=

2.5 2.5.1

` L’OPTIQUE ONDULATOIRE APPLICATIONS A Interf´ erences

Les interf´erences en optique r´esultent de l’addition de signaux qui pr´esentent entre eux essentiellement des diff´erences de temps de propagation. La grandeur d´etect´ee est une intensit´ e lumineuse I qui est proportionnelle `a la moyenne temporelle du carr´e du signal r´esultant.

2.5 Applications `a l’optique ondulatoire

43

 Lumi` ere monochromatique En notation complexe, avec la convention des ondes, un signal monochromatique (p´eriode 2π , longueur d’onde λ = cT ) s’´ecrit A1 e−iωt . Un autre signal de mˆeme pulsation en T = ω avance de τ s’´ecrit A2 e−iω(t+τ ) ; avance temporelle τ , avance de phase ϕ et diff´erence de ϕ δ τ = = . chemin optique δ sont reli´es par T 2π λ L’addition de ces deux signaux correspond `a tous les syst`emes interf´erentiels a` deux ondes (deux trous, deux fentes, biprisme, etc.). Dans ce cas F (t) = A1 e−iωt + A2 e−i(ωt+ϕ) et I(ϕ) =

  1 1 < |F (t)|2 >= |A1 + A2 e−iϕ |2 = I0 1 + C cos(ϕ − ϕ0 ) . 2 2

 2|A1 A2 | 1 Imax − Imin |A1 |2 + |A2 |2 est l’intensit´e moyenne et C = = le 2 |A1 |2 + |A2 |2 Imax + Imin facteur de contraste de la figure d’interf´erences (figure 26) ; quant a` ϕ0 = arg A2 − arg A1 il rend compte des d´ephasages suppl´ementaires li´es `a des r´eflexions, au passage par un foyer, etc.

I0 =

1 IN () / Imax



2

I( ) /I 0 C=1

1+C

1 1−C

O Figure 26

2

 − 0

O N=2

2 3

4 3 N=3

2

 0

N = 100

Figure 27

L’addition de N signaux ´egalement d´ephas´es correspond auxinterf´erences donn´ees par des r´ eseaux. Dans ce cas F (t) = A 1 + e−iϕ + · · · + e−i(N −1)ϕ e−iωt (s´erie g´eom´etrique) et 2 sin2 N2ϕ 1 − e−iN ϕ 1 1 IN (ϕ) = < |F (t)|2 >= |A|2 = I , max 2 2 1 − e−iϕ N 2 sin2 ϕ2 1 2 2 N |A| est obtenue pour ϕ = 2πn (n = 0, 1, 2 . . . est l’ordre d’in2 I(ϕ) terf´ erence) (figure 27). Pour N grand le rapport est tr`es petit presque partout, Imax Nϕ . De sauf pour ϕ proche de z´ero (modulo 2π) o` u on peut l’approximer par sinc2 2 part et d’autre du maximum d’ordre n l’intensit´e s’annule pour la premi`ere fois pour ϕ 2π ; le rapport = nN qui caract´erise la finesse du ϕ = 2πn ± Δϕ avec Δϕ = N Δϕ maximum est le pouvoir de r´ esolution du r´eseau dans l’ordre n (cf. cours d’optique). o` u Imax =

2 • Nombres et notation complexes ; plan euclidien

44

REMARQUE. Un calcul analogue apparait pour le signal ´emis par un laser lorsqu’un grand nombre N  −i(ω0 +nΔω)t de modes de la cavit´e ωn = ω0 + n Δω sont accroch´es en phase. Alors F (t) = A N−1 n=0 e et t Δω joue le rˆ ole de ϕ dans le calcul pr´ ec´ edent. Le signal se pr´esente donc comme une succession de 2π T et de dur´ee τ  N . pulses intenses espac´es dans le temps de T = Δω

Le signal a` la sortie d’un interf´erom`etre a` ondes multiples comme le Perot Fabry est une ´egalement d´ephas´es et att´enu´es de la forme F (t) =  somme discr`ete infinie de signaux  A 1 + Re−iϕ + R2 e−2iϕ + · · · e−iωt ; dans cette expression, R = |R| eiϕ0 est un facteur de r´eflexion de module l´eg`erement inf´erieur `a 1, et le d´ephasage ϕ est reli´e `a l’´epaisseur 2e cos i e de l’interf´erom`etre et a` l’angle d’incidence i (proche de z´ero) par ϕ = 2π . λ L’intensit´e r´esultante est I(ϕ) =

1 1 Imax |A|2 < |F (t)|2 >= = 2 2 |1 − Re−iϕ |2 1 + m sin2

ϕ−ϕ0 2

,

|A|2 4|R| est obtenue pour ϕ − ϕ0 = 2nπ, et o` u m = est un 2(1 − |R|)2 (1 − |R|)2 coefficient tr`es grand devant 1 (m  1600 pour |R| = 0, 95) (figure 28). A partir de la Imax 2 pour ϕ − ϕ0 ∼ ± √ (modulo 2π), on d´eduit la largeur a` mi-hauteur relation I = 2 m 4 esolution de l’interf´erom`etre est des maxima Δϕ = √ = 2(1 − |R|) ; le pouvoir de r´ m ϕ 2π e = . Δϕ 1 − |R| λ o` u Imax =

1

I () / I max

I( )/2a² 2


 2

O

 0

Figure 28

O

2 /¯ Figure 29

 Lumi` ere non monochromatique Dans une interf´erence `a deux ondes f (t) et f (t + τ ), en supposant pour simplifier qu’elles ne diff`erent que par leur temps de propagation, le d´etecteur mesure l’intensit´e :  2   I(τ ) =< f (t) + f (t + τ ) >= 2 Γf (0) + Γf (τ ) . Les interf´erences donnent donc acc`es `a la fonction de corr´elation du signal r´eel et `a celle de son amplitude complexe.

2.5 Applications `a l’optique ondulatoire

45

a2 a2 cos(ω0 +)τ + cos(ω0 − 2 2 )τ et I(τ ) = 2a2 (1 + cos τ cos ω0 τ ). Cette expression ressemble au cas monochromatique mais avec un contraste C(τ ) = cos τ d´ependant “lentement” de τ (figure 29). On verra a` la section 5.3.3 l’importance de l’´etude de Γf (τ ) pour caract´eriser les signaux chaotiques. EXEMPLE. f (t) = a cos(ω0 +)t+a cos(ω0 −)t ; Γf (τ ) =

2.5.2

Diffraction en lumi` ere monochromatique

La diffraction correspond aux interf´erences d’un ensemble “continu” d’ondes et conduit ` des calculs d’int´egrales. a

 Diffraction de Fresnel Si on connait le signal lumineux A(m) e−iωt en tout point m d’un plan (z = 0), le principe d’Huygens-Fresnel exprime que le signal A(M ) e−iωt en un point M d’un plan z > 0 est une somme de contributions provenant des “points sources” m (figure 30),

onde incidente

x

X M

m z

O écran

Figure 30 chacune contenant un facteur qui rend compte de la propagation du signal de m(x, y, 0) ` M (X, Y, z). Plus pr´ecis´ement : a A(M ) e−iωt =



mM

ei2π λ dx dy , iλ mM  (X − x)2 + (Y − y)2 + z 2  z + =

A(m) e−iωt

et dans l’approximation de Gauss (mM (X − x)2 + (Y − y)2 ) 2z z   (X−x)2 +(Y −y)2 ei2π λ zλ A(x, y) eiπ A(M ) = dx dy . iλz

EXEMPLE. Pour une ouverture rectangulaire (x ∈ [x1 , x2 = x1 + l] et y ∈ [y1 , y2 = y1 + L]) ´eclair´ee sous incidence normale (A(x, y) = grale factorise A constante), l’int´e 2 2 (X − x) et t = (Y − y), et se ram`ene, par le changement de variables s = zλ zλ a: `

2 • Nombres et notation complexes ; plan euclidien

46

z   ei2π λ  Z(s2 ) − Z(s1 ) Z(t2 ) − Z(t1 ) . 2i  s u2 eiπ 2 du dont la d´ependance en s se lit Z(s) est l’int´egrale de Fresnel Z(s) =

A(M ) = A

0

facilement sur la spirale de Cornu, lieu des points affixes de Z(s) (figure 31). On dZ est remarquera que ds = |dZ(s)| (´el´ement de longueur de la spirale), et que ds √ alternativement imaginaire et r´eel pour s = n (n = 1, 2, 3...). Pour la diffraction par un demi ´ ecran plan occupant la r´egion x< 0 (t1 = ∞ et t2 = s2 = −∞), on 2 |A|2 |Z(−∞) − Z( X)|2 (figure 32). obtient l’intensit´e |A(M )|2 = 2 zλ


Z(s)

s= 2 s= 3

0.5

1,27

2,3 s=1

1,9 s=2

½

Z(s)

1/2 Z(s) − Z(− ) ²

0 0.5

Z(s)

1 1/4

½

Z(− )

Figure 31

1,27 1,9 2,3

s

Figure 32

 Diffraction de Fraunhofer (`a “l’infini”) Si z est grand devant les dimensions du domaine d’int´egration, on peut n´egliger les termes y2 x2 et sous l’int´egrale et ´ecrire : en zλ zλ  2 Y X ˆ v)|2 o` |A(M )|2 ∝ et v = . A(x, y) e−2iπ(ux+vy) dx dy = |A(u, uu= zλ zλ ˆ v) est la transform´ La fonction A(u, ee de Fourier (` a deux dimensions) de A(x, y). Pour l’ouverture rectangulaire ci-dessus, et A(x, y) = A constante, on a |A(M )|2 ∝  lL 2 x +l 2 |A|2 (sinc πul)2 (sinc πvL)2 puisque l−1 x11 e−2iπux dx = (sinc πul)2 (cf. seczλ tion 2.4.2). On verra d’autres exemples a` la section 5.4.2.

2.5.3

Polarisations

Lorsque la grandeur physique est vectorielle, la notation complexe d´efinie plus haut se fait composante par composante, et les calculs de moyennes temporelles ob´eissent aux mˆemes r`egles.

2.5 Applications `a l’optique ondulatoire

47

 Description des polarisations d’une onde plane ´ electromagn´ etique monochromatique

t) le champ ´electrique Consid´erons une onde se d´epla¸cant vers les z > 0, et notons E(0, complexe de composantes Ex et Ey dans le plan z = 0 :  

t) = α e−iωt (α et β constantes complexes) . E(0, β Le vecteur complexe de composantes α et β s’appelle vecteur de Jones. Par d´efinition

t) sont obtenues en prenant les les composantes Ex et Ey du champ ´electrique r´eel E(0, parties r´eelles de Ex et Ey :  αe−iωt + αeiωt  Ex = e αe−iωt = 2

;

 βe−iωt + βeiωt  Ey = e βe−iωt = . 2

t) d´ecrit une ellipse dans le plan (xOy) (polarisation elliptique). L’extr´emit´e de E(0, En effet sur l’expression Z(t) = Ex + iEy =

α + iβ iωt α + iβ −iωt e + e 2 2

on reconnait que E

est la somme de deux du nombre complexe associ´e au vecteur r´eel E, vecteurs tournants. Les caract´eristiques a, b et θ de l’ellipse ont ´et´e d´ecrites `a la section 2.3.4. En particulier la polarisation est circulaire gauche si α = −iβ, droite si α = iβ et rectiligne si |α + iβ| = |α + iβ|. Inversement si on se donne des polarisations elliptiques gauche et droite (resp. une fl`eche et deux fl`eches sur la figure 33), de caract´eristiques a, b et θ, les champs complexes E ± (0, t) correspondant s’´ecrivent :    a cos θ − sin θ

e−i(ωt+ϕ) . E± (0, t) = ±ib sin θ cos θ

y b

a x

Figure 33 ˆ ± b sin(ωt + ϕ) yˆ En effet e E ± (0, t) se d´eduit de la polarisation elliptique a cos(ωt + ϕ) x d’axes (x, y) par la rotation d’angle θ. La polarisation est circulaire si a = b et rectiligne si b = 0.

2 • Nombres et notation complexes ; plan euclidien

48

 Effets de la propagation sur la polarisation Ils s’obtiennent en observant que le champ en z n’est autre que le champ en z = 0 apr`es propagation. Dans le cas d’un milieu isotrope on a    z z α



e−iω(t− v ) ; = E(z, t) = E (0, t − β v la trajectoire parcourue par l’extr´emit´e du champ r´eel

t), avec un retard de parcourue par l’extr´emit´e de E(0, n’est donc pas modifi´ee.

t) est donc identique a` celle E(z, z , et la nature de la polarisation v

Dans les milieux anisotropes on rencontre des situations o` u la vitesse de propagation n’est pas la mˆeme pour Ex et Ey : z

Ex (z, t) = α e−iω(t− vx )

Ey (z, t) = β e

;

−iω(t− vzy )

.

Dans ce cas la nature de la polarisation change au cours de la propagation. Pour une

t) a pour composantes : origine de temps bien choisie le champ r´eel E(z, Ex (t) = |α| cos ωt

;

Ey (t) = |β| cos (ωt + ϕ)

;

ϕ = arg α − arg β + ωz

1 1 . − vx vy

Les trajectoires possibles pour son extr´emit´e sont des ellipses d´ependant de ϕ, inscrites dans un rectangle de cˆot´es 2|α|, 2|β| (figure 34). Leurs “inclinaison” et sens de parcours dEy sont d´etermin´es respectivement par la valeur de Ey (0) et le signe de (0). dt

 =0 ¯ ]

/2, [

 =3

/2

 ¯ ]0 ,

/2 [

= ¯ ]3

= ¯]

/2, 2 [

/2

, 3 /2[

 =2

Figure 34 Pour les milieux gyrotropes ce sont les polarisations circulaires gauche et droite qui ont des vitesses de propagation bien d´efinies et diff´erentes :     1 1 −iω(t− vz ) −iω(t− vz ) + − e e E + (z, t) ∝ ; E − (z, t) ∝ . i −i

2.5 Applications `a l’optique ondulatoire

49

Pour voir comment ´evolue une polarisation quelconque en fonction de z, le plus simple est de dessiner, au mˆeme instant, les vecteurs tournants qui la composent dans le plan z = 0 (lorsque ces vecteurs sont parall`eles) et dans un plan z > 0 (figure 35).




y g de ran l’ e d a lli xe ps e

y

Plan z = 0

+ − Plan z > 0

x

x

Figure 35

Leurs modules ´etant inchang´es, la polarisation a les mˆemes param`etres a et b et le mˆeme sens de rotation. Cependant, comme dans le plan z > 0 ils sont en retard respectivement z z ωz de et de , leurs positions sont θ± = θ ∓ ; les axes de l’ellipse ont donc tourn´e v+ v− v±   1 1 1 θ + + θ− − θ = ωz . − de Δθ = 2 2 v− v+

 Interf´ erences de deux ondes polaris´ ees monochromatiques L’interf´erence de deux ondes coh´erentes 1 et 2, de mˆeme pulsation mais de polarisations diff´erentes, entre lesquelles on introduit un d´ephasage ϕ, conduit a` une intensit´e (somme des contributions des deux composantes du champ ´electrique) : I=

1 1 |α1 + α2 e−iϕ |2 + |β1 + β2 e−iϕ |2 2 2

  = I0 1 + C cos (ϕ − ϕ0 ) .

Dans cette expression ϕ0 = arg(α1 α2 +β1 β2 ), I0 =

1 (|α1 |2 +|β1 |2 +|α2 |2 +|β2 |2 ) = I1 +I2 2

|α1 α2 + β1 β2 | est le contraste. On voit que le terme d’interf´erence disparaˆıt si I1 + I2 α1 α2 + β1 β2 = 0 ; cela correspond a` deux polarisations elliptiques gauche et droite de grands axes perpendiculaires, par exemple : (α1 , β1 ) = (a, ib) et (α2 , β2 ) = (b, −ia). et C =

 Ondes polaris´ ees non monochromatiques Dans ce cas α(t) et β(t) sont des fonctions du temps et la polarisation elliptique fluctue. Les intensit´es lumineuses pouvant ˆetre mesur´ees exp´erimentalement font intervenir la matrice de Jones :   < |α|2 > < αβ > J= . < αβ > < |β|2 >

2 • Nombres et notation complexes ; plan euclidien

50

EXEMPLES. Un polariseur ne laissant passer que la composante du champ parall`ele `a une direction fixe θ0 mesure une intensit´e proportionnelle a` < (Ex cos θ0 +Ey sin θ0 )2 > 1 = < |α cos θ0 + β sin θ0 |2 >, soit : 2 I=

1 (< |α|2 > cos2 θ0 + 2e < αβ > cos θ0 sin θ0 + < |β|2 > sin2 θ0 ) . 2

Un syst`eme ne laissant passer que les polarisations circulaires directes mesure (cf. expression de Z(t) ci-dessus) : I =< |

 α + iβ 2 1  | >= < |α|2 > + < |β|2 > +2m < αβ > . 2 4

Propri´ et´ es de J. J est une matrice hermitienne positive : tr J =< |α|2 > + < |β|2 > > 0

;

det J =< |α|2 >< |β|2 > −| < αβ > |2 ≥ 0 .

det J ≥ 0 est une cons´equence de l’in´egalit´e de Schwarz < |λα + β|2 >≥ 0 quel que soit 2 2 2 2 λ ∈ C. En effet < |λα + β| >=< |α| > |λ| + 2e(λ < αβ >)+ < |β| >≥ 0 et en 2 2 2 particulier : < |α| > |λ| + 2|λ|| < αβ > |+ < |β| >≥ 0. Le cas o` u J est multiple de l’identit´e correspond a` une lumi` ere naturelle c’est-`a-dire non polaris´ ee ; celui o` u det J = 0 correspond a` une lumi` ere compl` etement polaris´ ee (comme pour α et β constants). D´ ecompositions de J 1) On v´erifie ais´ement par identification qu’il est toujours possible de d´ecomposer de mani`ere unique J     sous la forme < αβ > < |α|2 > −λ λ 0 = J 1 + J2 , J= + 2 0 λ < |β| > −λ < αβ > avec 0 < λ ≤ (< |α|2 > et < |β|2 >) et det J2 = 0 ; on interpr`ete alors le champ ´electrique comme la somme des champs (incoh´erents entre eux) des lumi`eres ci-dessus. u les Pi sont les projecteurs sur les 2) Une autre d´ecomposition possible est J = λ1 P1 + λ2 P2 o` vecteurs propres orthogonaux de J (cf. section 4.2.3) ; le champ est alors la somme de deux polarisations e des photons associ´es (cf. orthogonales incoh´erentes entre elles. ρ = (tr J)−1 J est la matrice densit´ section 4.4.1).

Chapitre 3

Espace ; sym´ etries ; calcul vectoriel La g´eom´etrie, autrefois pr´esent´ee comme “art de raisonner juste sur des figures fausses”, s’est tr`es souvent d´evelopp´ee au cours de l’histoire en relation directe avec l’´etude et la repr´esentation de l’“espace physique” : g´ eom´ etrie euclidienne (Euclide 400 A.C.) v´erifi´ee “exp´erimentalement” avec une tr`es grande pr´ecision ; g´eom´etrie projective introduite `a la Renaissance en relation avec les probl`emes de repr´esentation de la perspective (Desargues, Pascal  1640) ; g´eom´etries non euclidiennes ( 1830) dont les auteurs, notamment Gauss et Lobatchevski, ont cherch´e `a tester les cons´equences observationnelles ; g´eom´etrie des espaces m´etriques dont Riemann ( 1880) a pens´e pouvoir associer la courbure a` la gravitation etc. Le concept important `a la base de toutes ces g´eom´etries, et d’autres telles que la g´eom´etrie symplectique (pour l’espace de phase en m´ecanique) ou la g´eom´etrie des espaces fibr´es (pour d´ecrire les interactions fondamentales), est celui de groupe de sym´ etrie. Le math´ematicien Klein a ´et´e le premier dans son programme d’Erlangen (1872) a` insister sur l’id´ee qu’un espace g´eom´etrique est d´efini par une dimension et l’action d’un groupe de sym´etrie, et a` avoir d´efini les propri´ et´ es g´ eom´ etriques par leur invariance vis-` a-vis de ce groupe. Par exemple le plan “plat” et la sph`ere “courbe” sont deux espaces de dimension 2 homog` enes (pas de point privil´egi´e) et isotropes (pas de direction privil´egi´ee en chaque point), mais dont les groupes de sym´etrie, respectivement le groupe euclidien et le groupe des rotations, diff`erent. En physique l’espace n’est d´efini que par rapport a` un r´ef´erentiel. Depuis Galil´ee (1632) on sait que les r´ef´erentiels d’inertie se caract´erisent par l’invariance des lois physiques vis-`a-vis des translations et rotations des coordonn´ees spatiales dans le r´ef´erentiel (homog´en´eit´e et isotropie de l’espace), des translations de temps (oubli´ees par Galil´ee), et des mises en mouvement `a vitesse uniforme de ces r´ef´erentiels. Einstein (1905) a simplement ´etendu ce “principe de relativit´e” aux lois de l’´electromagn´etisme. La comparaison avec les g´eom´etries montre qu’il existe donc une correspondance entre groupe de sym´etrie d’un espace et groupe de relativit´ e de l’espace temps d’une part, et entre propri´et´es g´eom´etriques et lois physiques d’autre part. Physique galil´eenne et physique einsteinienne diff`erent par leur groupe de sym´etrie.

3 • Espace ; sym´etries ; calcul vectoriel

52

Apr`es une pr´esentation g´en´erale des notions de sym´etrie et d’invariance en physique, nous nous int´eressons principalement dans ce chapitre aux sym´etries spatiales (translations, rotations et sym´etries ponctuelles). Il est en effet indispensable de connaˆıtre leur action non seulement sur l’espace (objet de la g´eom´etrie euclidienne), mais aussi sur les grandeurs physiques qu’elles permettent de classer en scalaires, vecteurs... La description math´ematique de cette action repose pour une part importante sur les outils du calcul vectoriel (produits scalaire, vectoriel, mixte) mis au point vers 1880 par les math´ematiciens et les physiciens (Grassman, Hamilton, Gibbs, Maxwell...). Elle permet, lorsqu’un syst`eme physique poss`ede des sym´etries spatiales particuli`eres, de pr´edire certaines de ses propri´et´es grˆace a` des “arguments de sym´ etrie”. Des compl´ements sur les sym´etries spatiales (quadrupoles, spineurs...) ou autres (Lorentz en particulier) sont donn´es au chapitre 4.

3.1

´ ´ SYMETRIE, INVARIANCE ET RELATIVITE

3.1.1 Groupes de sym´ etrie et invariance  Groupes et repr´ esentations Un groupe G (Galois 1832) est un ensemble d’´el´ements g muni d’un produit assocatif (g3 (g2 g1 ) = (g3 g2 )g1 ) avec un ´el´ement neutre e (eg = ge = g), chaque ´el´ement g ayant un inverse g−1 (gg−1 = g−1 g = e). Il est commutatif si g1 g2 = g2 g1 quels que soient g1 , g2 ∈ G ; c’est en particulier le cas de tous les groupes continus `a un seul param`etre, par exemple les rotations autour d’un axe fixe. Un groupe est donc un ensemble abstrait d´efini par sa loi de multiplication ; mais en pratique il “agit” sur des objets g´eom´etriques (points, vecteurs...) ou sur des syst`emes et des grandeurs physiques (dipole, champ ´electrique...) caract´eris´es par des param`etres x (coordonn´ees de points, composantes de vecteurs...). Cette action not´ee un peu abusivement x → gx, qui v´erifie ex = x et g2 (g1 x) = (g2 g1 )x, d´ecrit une repr´esentation du groupe G dans l’espace X des param`etres. En g´en´eral les espaces X correspondant aux diff´erentes grandeurs physiques ont une structure d’espace vectoriel ; les repr´ esentations lin´ eaires, qui v´erifient par d´efinition g(λ1 x1 + λ2 x2 ) = λ1 (gx1 ) + λ2 (gx2 ), jouent alors un rˆ ole important pour la classification de ces grandeurs.

 Sym´ etries et invariance Un objet (ou syst`eme physique) x est invariant par rapport a` une transformation g si gx = x (param`etres inchang´es). L’ensemble des transformations qui laissent x invariant constitue son groupe de sym´ etrie. Mais en g´eom´etrie comme en physique le concept de sym´etrie est plus profond, car il ne concerne pas simplement les objets pris individuellement mais plus g´en´eralement leurs relations. Une relation est dite invariante si, ´etant vraie pour des objets, elle l’est aussi pour leurs transform´es ; symboliquement : f (x1 , x2 · · · ) = 0 ⇐⇒ f (gx1 , gx2 · · · ) = 0 pour tout g ∈ G. G est alors un groupe de sym´etrie pour cette relation. Le groupe de sym´etrie des propri´et´es g´eom´etriques ou des lois physiques est toujours plus grand que celui de tel ou tel objet particulier. Par exemple la propri´et´e pour l’ensemble de deux droites du plan d’ˆetre orthogonales est laiss´ee invariante par toutes les translations et

3.1 Sym´etrie, invariance et relativit´e

53

nπ autour de leur point d’intersection toutes les rotations, mais seules les rotations de 2 laissent cet ensemble invariant. De mˆeme la loi selon laquelle un point M massif sur une plan`ete sph´erique est soumis `a une force dirig´ee vers le centre O est laiss´ee invariante par toutes les translations et rotations de l’ensemble “masse-plan`ete”, alors que ce syst`eme n’est laiss´e invariant que par les rotations autour de l’axe OM .

 Points de vue actif et passif Les transformations x → gx qui font passer d’un objet param´etr´e par x dans un syst`eme de coordonn´ees R ` a l’objet param´etr´e par gx (toujours dans R) sont dites actives. On peut inversement, point de vue passif, effectuer l’op´eration g sur le syst`eme de coordonn´ees ; R devient alors R’ et le mˆeme objet param´etr´e par x dans R l’est par x = g−1 x dans R’. ´ DEMONSTRATION : si on applique g a` la fois au syst`eme de coordonn´ees R et aux objets les coordonn´ees ne changent pas (figure 1 : R est arbitraire et g est une rotation). Donc (gx) = x pour tout x et x = (gg−1 x) = g−1 x. Les deux points de vue sont ´equivalents.

gM

gM

M O

O

R

R’ Figure 1

Une propri´et´e (ou loi) qui s’exprime par la relation f (x1 , x2 · · · ) = 0 dans R sera dite invariante si elle s’exprime sous forme identique `a la pr´ec´ecente f (x 1 , x 2 · · · ) = 0 dans tous les syst`emes R’ d´eduits de R par les transformations g ∈ G. (Remarquons l’analogie avec les changements d’unit´es ´etudi´es `a la section 1.3.1.)

3.1.2

Le groupe de sym´ etrie de la physique

Dans ce paragraphe nous adoptons exceptionnellement le point de vue passif et nous d´esignons par R un syst`eme de coordonn´ees (ou r´ef´erentiel) muni d’une origine spatiotemporelle, ce qui permet d’affecter `a tout ´ev`enement une coordonn´ee temporelle t et trois coordonn´ees spatiales x, y, z (relatives `a un tri`edre orthonorm´e). Consid´erons deux ´ev`enements rep´er´es dans R par (ti , xi , yi , zi ) (i = 1, 2), et soient T = t2 − t1 , X = x2 − x1 , → → − → Y = y2 − y1 et Z = z2 − z1 ( R = − r 2−− r 1 ) les composantes de l’intervalle d’espacetemps entre ces ´ev`enements. Les changements de r´ef´erentiels inertiels sont caract´eris´es par les deux propri´et´es : →2 − (1) pr´eservation de l’addition des intervalles (2) invariance de c2 T 2 − R . (1) traduit l’homog´en´eit´e d’un espace temps “plat” et implique que les transformations →2 − →2 − sur T , X, Y et Z sont lin´eaires. (2) qui s’´ecrit c2 T 2 − R = c2 T 2 − R a ´et´e intro-

3 • Espace ; sym´etries ; calcul vectoriel

54

duite historiquement pour rendre compte de l’invariance de la vitesse c de la lumi`ere : → − → − |R | |R| = c ⇐⇒ = c. On peut montrer que le groupe des transformations continues T T compatibles avec ces deux propri´et´es s’obtient par composition des trois types suivants de transformations : - Les translations d’espace-temps qui ne changent pas les composantes d’un intervalle → − − → (T  = T , R = R ) mais translatent les coordonn´ees d’un ´ev`enement : t  = t − t0

,

x = x − x0

,

y  = y − y0

,

z  = z − z0 .

Elles d´ependent de quatre param`etres, les coordonn´ees t0 , x0 , y0 et z0 dans R de l’´ev`enement choisi comme origine dans R . → − → − - Les rotations qui v´erifient T  = T et | R | = | R | ; une rotation d´epend de trois param`etres (l’angle et l’axe de rotation, ce dernier ´etant sp´ecifi´e par deux angles). Par exemple pour une rotation d’axe Oz (figure 2) :

y

y’

Y

M X’

Y’ O

X

x’

x

Figure 2 T = T

;

X  = X cos θ + Y sin θ

;

Y  = −X sin θ + Y cos θ

Z = Z .

;

- Les transformations de Lorentz pures (sans rotation) caract´eris´ees par la vitesse → − de translation uniforme V du r´ef´erentiel R par rapport au r´ef´erentiel R ; elles d´ependent → − donc de trois param`etres. Elles concernent `a la fois T et la composante de R parall`ele `a la vitesse de translation, par exemple : cT  = cT cosh ϕ − X sinh ϕ

,

X  = X cosh ϕ − cT sinh ϕ

;

Y =Y

,

Z  = Z;

l’invariance de c2 T 2 − X 2 r´esulte de cosh2 ϕ − sinh2 ϕ = 1. Interpr´etation physique : le r´ef´erentiel R se d´eplace `a la vitesse V = c tanh ϕ (ϕ rapidit´ e) dans la direction x par rapport a` R ; en effet en posant X  = Y  = Z  = 0, c’est-`a-dire en consid´erant tous les ´ev`enements attach´es `a un point fixe de R , les relations X = c tanh ϕ T et Y = Z = 0 montrent que leurs positions dans R se d´eplacent dans la direction x `a la vitesse V . Comme 1 − tanh2 ϕ = cosh−2 ϕ la transformation s’´ecrit aussi :  VX T = γ T − 2 c

;

X  = γ (X − V T )

 V 2 − 12 avec γ = cosh ϕ = 1 − 2 . c

3.1 Sym´etrie, invariance et relativit´e

55

REMARQUE (figure 3). A un instant donn´e dans R (T = 0), des points fixes dans R espac´es dans R de X  , Y  , Z  sont repr´esent´es dans R avec un espacement X = γ −1 X  , V2 Y = Y  , Z = Z  : contraction “apparente” dans la direction x, n´egligeable si 2  1. c

y

y’ t fixé

3

3

2

2

1

1

O

1

2

x

3

V (­ =2)

O’ 1 2 3

x’

Figure 3

 Approximation galil´ eenne X V Dans la double limite et  1, la transformation devient T  = T et X  = X − V T . cT c Plus g´en´eralement on appelle physique galil´eenne l’ensemble des lois laiss´ees invariantes par les translations, les rotations, et les transformations de Galil´ ee pures T = T

,

− − → → − → R =R−VT .

REMARQUE 1. Aux sym´etries “continues” ci-dessus peuvent s’ajouter des sym´ etries discr` etes qui correspondent `a des transformations qui ne peuvent pas ˆetre atteintes continˆ ument a` partir de l’identit´e. Il en est ainsi de l’op´eration de renversement du → − → − temps (T  = −T , R = R ) qui est une sym´etrie pour les ph´enom`enes r´eversibles, ou → − → − de la parit´ e (T  = T , R = − R ) qui est une sym´etrie pour toutes les interactions sauf l’interaction faible (cf. section 3.2.1). REMARQUE 2. Vocabulaire : on dit de fa¸con incorrecte que les lois physiques sont “relativistes”. Elles sont en fait “invariantes” (mˆeme formulation dans tous les r´ef´erentiels inertiels). Ce qui est relatif, c’est la valeur des grandeurs, a` commencer par la grandeur → − “espace” R qui, mˆeme en physique galil´eenne (si T = 0), d´epend du r´ef´erentiel. De ce → − − → point de vue il n’y a pas de diff´erence avec la g´eom´etrie : une ´egalit´e entre vecteurs V = W se formule de la mˆeme mani`ere dans deux bases diff´erentes : Vi = Wi ⇐⇒ Vi = Wi , mais Vi = Vi et Wi = Wi .

3.1.3

Sym´ etries spatiales (pr´ esentation « exp´ erimentale »)

Les sym´etries spatiales continues correspondent aux d´eplacements des objets dans l’espace. Comme on le sait, un d´eplacement conserve les distances entre points et, en g´en´eral, “tourne” les directions (en conservant les angles). Un d´ eplacement g´en´eral s’obtient en composant des translations et des rotations.

3 • Espace ; sym´etries ; calcul vectoriel

56

 Translations Les translations conservent les directions ; elles forment un groupe commutatif dont la − loi de composition correspond a` l’addition vectorielle (figure 4a). La translation T→ a de −−−→ − → − →  vecteur a am`ene tout point M en M tel que M M = a .

a2 a1

+a a1

2

a1

a2 (a)

(b)

Figure 4 − → REMARQUE. Lorsque le vecteur a (t) d´epend du temps, on parle de mouvement de translation (figure 4b). Par exemple le r´ef´erentiel g´eocentrique ayant pour origine le centre T de la Terre et ses axes parall`eles `a ceux du r´ef´erentiel de Copernic centr´e sur le Soleil S effectue un mouvement de translation autour du Soleil, et non de rotation bien −→ que le vecteur ST tourne.

 Rotations de centre O Ces rotations, d´efinies par un axe passant par O et un angle, “tournent” les directions. Elles forment un groupe mais ne commutent pas `a l’exception du cas de rotations de mˆeme axe ou du cas de rotations d’angle π et d’axes orthogonaux. La loi de composition g´en´erale est donn´ee `a la section 4.2.3.



1 

n M

P

n1

n2


2 




O Figure 5





n M

M’

n P

P’ A

M’

P’


A

a O Figure 6

JUSTIFICATION (figure 5). Consid´erons l’expression RO (ˆ n2 , ϕ) = RO (ˆ n, θ) RO (ˆ n1 , ϕ) R−1 n, θ) qui O (ˆ ˆ 2 , se d´eduisent l’un relie deux rotations de mˆeme angle ϕ dont les axes, de vecteurs directeurs n ˆ 1 et n n, θ) amenant n ˆ 1 sur n ˆ 2 . Les rotations a priori quelconques RO (ˆ n, θ) de l’autre par la rotation RO (ˆ   n1 , ϕ) commutent si RO (ˆ n, θ) RO (ˆ n1 , ϕ) = RO (ˆ n2 , ϕ) RO (ˆ n, θ) = RO (ˆ n1 , ϕ) RO (ˆ n, θ), donc si et RO (ˆ n1 , ϕ) = RO (ˆ n2 , ϕ)). Cette relation entraˆıne soit n ˆ1 = n ˆ 2 si ϕ est quelconque, soit n ˆ 2 = −ˆ n1 et RO (ˆ ˆ⊥n ˆ 1 et θ = ϕ = π). ϕ = π, ce qui conduit aux deux cas cit´es (soit n ˆ=n ˆ 1 , soit n

3.1 Sym´etrie, invariance et relativit´e

57

REMARQUE (figure 6). Des rotations d’axes parall`eles et de mˆeme angle, mais de centres A et O diff´erents, se d´eduisent par la relation : −→ → (− a = OA) .

− − n, ϕ) = T→ n, ϕ)T−→ RA (ˆ a RO (ˆ a

 Vissages

− La relation ci-dessus montre qu’une translation T→ a ne commute avec une rotation → RO (ˆ n, ϕ) que si − a est parall`ele `a l’axe de rotation n ˆ (ce qui assure RO (ˆ n, ϕ) = RA (ˆ n, ϕ) puisque O et A sont alors sur le mˆeme axe). La composition des deux transformations, lorsqu’elles commutent, est un vissage ; sur la figure 7, l’h´ elice γ est le lieu des points → qui se d´eduisent de M par les vissages λ− a , λϕ (0 < λ < 1).

z

miroir

z’

M’



­

y

a

y’ x’

x

M

trièdre direct tire−bouchon usuel

Figure 7

trièdre inverse tire−bouchon "inversé"

Figure 8

Un exemple est donn´e par le tire-bouchon (usuel) dont le sens de d´eplacement, li´e au sens de rotation, sert ` a d´efinir les tri`edes directs par la fameuse “r` egle du tire-bouchon” (figure 8). Tout d´ eplacement se ram`ene a` un vissage.

z’ y’ A’

O

z A x

x’ z1 y1 A1 x1 y

Figure 9 JUSTIFICATION (figure 9) : restreinte aux vecteurs unitaires n ˆ qui caract´erisent les directions (vecteurs “libres”), l’effet d’un d´eplacement se r´esume ` a une rotation. Soit z la direction de son axe. Un tri`edre Axyz est alors d´eplac´e en A x y  z  tel que les axes Az et A z  sont parall`eles. La figure montre que ce d´ eplacement s’obtient en composant un d´ eplacement plan amenant Axyz en A1 x1 y1 z1 (A1 , x1 , y1 −−−→ projection de A , x , y  sur le plan Axy), et une translation A1 A parall`ele ` a z. Le d´ eplacement plan est

3 • Espace ; sym´etries ; calcul vectoriel

58

une rotation dont l’axe parall`ele ` a z (axe du vissage) coupe le plan en O, centre de rotation situ´ e sur −→ −−→ la m´ediatrice de AA1 et tel que l’angle (OA, OA1 ) est celui dont ont tourn´e les axes Ax et Ay. Si ces axes n’ont pas tourn´e le d´eplacement est simplement une translation.

Mouvement d’un solide. C’est une succession de vissages ´el´ementaires reliant ses positions aux instants t et t + dt. Chaque vissage ´ el´ ementaire est caract´eris´e par un axe (dont la position et la direction n ˆ (t) d´ependent du temps), une rotation infinit´esimale → d’angle ω(t) dt autour de cet axe et une translation infinit´esimale de vecteur − v (t) dt parall`ele `a n ˆ (t) (cf. section 3.3.3).

 Sym´ etries discr` etes (figure 10)




z’

z

x’ y’

M

S
M

x

A y’

x’

y P y’

SP M

SA M

x’

z’

z’

Figure 10 Elles conservent aussi les distances et les angles (en valeurs absolues). On distingue les −−→ −−→ −−→ sym´etries SA par rapport a` un centre A (AM → AM  = −AM ) , SΔ par rapport a` une droite Δ (´equivalente a` une rotation de π autour de Δ), et SP par rapport a` un plan P . Dans tous les cas S2 est la transformation identit´e. Si Δ ⊥ P coupe P en A, SP diff`ere de SA par SΔ . Noter que SA et SP , mais pas SΔ , changent le caract`ere (direct ou indirect) d’un tri`edre.

P1

P2

P1

M

2a M’1

M’2 M’

M a

2

A

M’ (b)

(a)



M’1



P2

M’2

Figure 11 Les lois de composition de deux sym´etries par rapport a` des plans P1 et P2 qui, soit → sont parall`eles (ils se d´eduisent alors l’un de l’autre par la translation de vecteur − a ⊥ P1 et P2 ), soit se coupent selon l’axe (A, n ˆ ) (la rotation RA (ˆ n, ϕ) transformant P1 en P2 ),

3.1 Sym´etrie, invariance et relativit´e

59

v´erifient respectivement (figures 11a,b, o` u M1 = SP1 M et M  = SP2 SP1 M ) : − SP2 SP1 = T2→ a

et

SP2 SP1 = RA (ˆ n, 2ϕ) .

− Ecrites SP2 = T2→ n, 2ϕ) SP1 , ces relations montrent que les sym´etriques a SP1 et SP2 = RA (ˆ M1 et M2 d’un point M par rapport aux plans P1 et P2 se d´eduisent l’un de l’autre, soit − par la translation T2→ n, 2ϕ). a , soit par la rotation RA (ˆ

EXEMPLES. Soient S1 et S2 les images d’une source S donn´ees par des miroirs parall` eles ou “en coin”, et γ1 et γ2 les deux rayons issus d’un mˆeme rayon incident γ (figures 12a,b). Les intersections L de γ1 et γ2 donnent le lieu de localisation des franges d’interf´erences (cf. section 3.2.3). Pour la figure 12a L est ` a l’infini. Pour la figure 12b (dans le plan de figure), L est sur le cercle circonscrit au triangle S1 OS2 car γ1 et γ2 font entre eux un angle 2ϕ comme OS1 et OS2 ; ce cercle devient la droite OP lorsque S est ` a l’infini dans la direction i. La figure 12c illustre le principe du cataphote : a deux. SP1 SP2 SP3 = SO quel que soit l’ordre des r´eflexions sur les trois plans perpendiculaires deux `

S

­

­ ­ 1

­

S

2

i

P1 P2

S2 (a)

z 1

2



­2



O

S1 S2

­

L

i P

S1 (b)

O

P1 P2

y

x (c)

Figure 12

3.1.4

Transformation des grandeurs et des champs physiques

Les op´erations de sym´etrie ne portent pas uniquement sur des objets g´eom´etriques “ensembles de points”, mais aussi sur des objets physiques auxquels sont associ´ees des grandeurs. Lorsque l’objet est d´eplac´e (ou subit par la pens´ee une sym´etrie ponctuelle), ces grandeurs peuvent changer. Toutes les grandeurs classiques sont laiss´ees inchang´ees par les translations. (Voir remarque section 3.4.2. pour un ´etat quantique.) Par contre visa-vis des rotations et des sym´etries ponctuelles, on distingue les grandeurs scalaires ` laiss´ees inchang´ees (la masse, la charge, la temp´erature, etc.), les grandeurs vectorielles qui se transforment comme les vecteurs de la g´eom´etrie (vitesse, moment dipolaire, etc.), et d’autres (spineurs, quadrupoles...) ´etudi´ees au chapitre 4. On verra aussi a la section 3.2.1 que, vis-`a-vis des sym´etries discr`etes, il faut distinguer les grandeurs ` scalaires et pseudoscalaires de mˆeme que les grandeurs vectorielles et pseudovectorielles. Dans tous les cas, l’invariance des lois physiques entraˆıne que les ´egalit´es ne peuvent avoir lieu qu’entre grandeurs ayant les mˆemes lois de transformation. Ces op´erations de sym´etrie portent aussi sur les champs relatifs aux objets physiques (densit´e volumique de charges par exemple), ou cr´e´es par eux (champ ´electrique), qui sont des grandeurs dont la valeur d´epend du point d’espace o` u elle est mesur´ee.

3 • Espace ; sym´etries ; calcul vectoriel

60

→ La figure 13 illustre, sur l’exemple du potentiel V (− r ) (champ scalaire) et du champ →− − → ´electrique E ( r ) (champ vectoriel) d’un dipole, le fait tr`es important que dans une sym´etrie la valeur du champ transform´e au point transform´e s’obtient en appliquant la transformation a` la valeur du champ initial au point initial, ce qu’on peut ´ecrire symboliquement : → → f  (g− r ) = g f (− r).

E’( r + a )

−

E’( R r ) −

+

+

E’( SP r ) −

E( r ) +

−

+

P Figure 13 ATTENTION : g dans le membre de gauche d´esigne l’action de la sym´etrie sur le vecteur → position, tandis que dans le membre de droite il d´esigne son action sur la valeur f (− r ) de la → − grandeur f au point r , action qui d´epend de la nature (scalaire, vectorielle ou autre) de f . → → → Ainsi pour une translation, f  (− r +− a ) = f (− r ) quelle que soit la nature de la grandeur → → − →→ − → − → −  r ) = R f (− r) f ; pour une rotation, f (R r ) = f ( r ) pour un champ scalaire et f (R− pour un champ vectoriel. La connaissance de ces lois de transformation est essentielle pour comprendre l’application des arguments de sym´etrie aux champs. La poursuite de cette discussion sur les sym´etries est faite `a la section 3.4.1.

3.2

CALCUL VECTORIEL ; APPLICATIONS

3.2.1

Produit scalaire, produit vectoriel et produit mixte ; pseudovecteurs  D´ efinitions et propri´ et´ es → − − → → − − → Ces produits, qui g´en´eralisent V 1 · V 2 et σ( V 1 , V 2 ) vus `a la section 2.2.1, sont les quantit´es multilin´eaires (i.e. lin´eaires par rapport a` chacun des facteurs) d´efinies dans une base orthonorm´ee directe de vecteurs unitaires x ˆ, yˆ et zˆ par : − − → → → − − → V 1 · V 2 = X1 X2 + Y1 Y2 + Z1 Z2 = V 2 · V 1 , − → → − → − → − V 1 ∧ V 2 = (Y1 Z2 − Y2 Z1 )ˆ x + (Z1 X2 − Z2 X1 )ˆ y + (X1 Y2 − X2 Y1 )ˆ z = −V 2 ∧ V 1 ,

3.2 Calcul vectoriel ; applications

61

→ − − → → − → − → − → − ( V 1, V 2, V 3) = ( V 1 ∧ V 2) · V 3 = (Y1 Z2 − Y2 Z1 )X3 + (Z1 X2 − Z2 X1 )Y3 + (X1 Y2 − X2 Y1 )Z3 → − − → − → → − − → − → = ( V 2 , V 3 , V 1 ) = ( V 3 , V 1 , V 2 ) (permutations circulaires) ; → − Xi , Yi et Zi sont les composantes des vecteurs V i = Xi x ˆ + Yi yˆ + Zi zˆ. Ils v´erifient les relations : → − → − → − → − → − → − ( V 1 ∧ V 2) · V 1 = ( V 1 ∧ V 2) · V 2 = 0

;

→ − − → → − − → → − → − | V 1 |2 | V 2 |2 = ( V 1 · V 2 )2 + | V 1 ∧ V 2 |2 ;

→ − → − → → − − − → → − − → − → → − → − → − − → V 1 ∧ ( V 2 ∧ V 3 ) = ( V 1 · V 3 ) V 2 − ( V 1 · V 2 ) V 3 = ( V 1 ∧ V 2 ) ∧ V 3 . → − → − → − → − La premi`ere montre que V 1 ∧ V 2 est orthogonal a` V 1 et V 2 ; sa direction est donn´ee par la r`egle du tire-bouchon (cf. par exemple x ˆ ∧ yˆ = zˆ = −ˆ y∧x ˆ). La seconde permet d’introduire l’angle θ de deux vecteurs (cf. section 2.2.1) par − − → → → − − → V 1 · V 2 = | V 1 | | V 2 | cos θ

,

→ − → − → − − → | V 1 ∧ V 2 | = | V 1 | | V 2 | sin θ ,

→ − et donc de traduire leur orthogonalit´ e et leur parall´ elisme respectivement par V 1 · → − → − → − → − V 2 = 0 et V 1 ∧ V 2 = 0 ; on en d´eduit aussi que lorsque les V i sont des vecteurs de → − − → → − l’espace ordinaire, | V 1 ∧ V 2 | est ´egal `a l’aire du parall´ elogramme construit sur V 1 et → − − → − → → − − → − → → − el´ epip` ede V 2 , et que |( V 1 , V 2 , V 3 )| = |( V 1 ∧ V 2 ) · V 3 | est ´egal au volume du parall´ → − − → → − → − → − construit sur V 1 , V 2 et V 3 , produit de la “surface de base” | V 1 ∧ V 2 | par le mo→ − dule de la composante de V 3 perpendiculaire `a cette base (hauteur du parall´el´epip`ede) (figure 14). La derni`ere montre que le produit vectoriel n’est pas associatif, d’o` u l’im→ − → − → − → − → − portance des parenth`eses et de leurs places ; V 1 ∧ ( V 2 ∧ V 3 ), orthogonal a` V 2 ∧ V 3 , → − − → appartient au “plan” ( V 2 , V 3 ) (figure 15).

V3

direction de V2 V3

^

h V2

u

V1

V1 V1

S

O

h=^ u . V3

V1

S = V1

Figure 14

V2

V2

V3

V1 ( V2 V3 ) ^ ^

Figure 15

Il r´esulte de la multilin´earit´e de ces produits que leurs r`egles de d´erivation (lorsque les vecteurs d´ependent d’un param`etre) ou de diff´erentiation sont analogues `a celles des

3 • Espace ; sym´etries ; calcul vectoriel

62 produits de fonctions ; par exemple :

− → − − → − → → → − →  − d( V 1 , V 2 , V 3 ) = d ( V 1 ∧ V 2 ) · V 3  − → → − → − →  − − → − → − → − → = d V 1 ∧ V 2 + V 1 ∧ d V 2 · V 3 + ( V 1 ∧ V 2) · d V 3 → − − → − → → − − → − → → − − → − → = (d V 1 , V 2 , V 3 ) + ( V 1 , d V 2 , V 3 ) + ( V 1 , V 2 , d V 3 ).

y a

v2 R

d

R t+d t

n dl t (a)

x (b)

dv dt

v

Figures 16 Une cons´equence importante est que la diff´erentielle d’un vecteur unitaire (ou de norme constante) est orthogonale a` ce vecteur : u ˆ·u ˆ = 1 entraˆıne d(ˆ u.u ˆ) = dˆ u·u ˆ+u ˆ · dˆ u= 2ˆ u · dˆ u = 0. Si tˆ est le vecteur unitaire tangent a` une courbe (figure 16a), la relation dtˆ 1 = n ˆ d´efinit le vecteur normal et le rayon de courbure. L’´el´ement dl est alors dl R dl assimilable `a un arc de cercle (cercle osculateur) et est l’angle dθ dont a tourn´e tˆ. R On en d´eduit, en m´ecanique (classique ou relativiste), la d´ecomposition en composantes tangentielle et normale de l’acc´el´eration et de la force (figure 16b) :

a =

− → d v dv ˆ v 2 d

p dp ˆ vp = n ˆ ; F = = n ˆ. t+ t+ dt dt R dt dt R

Si au point consid´er´e, pris comme origine 0, les vecteurs tˆ et n ˆ sont selon Ox et Oy, x2 l’´equation de la courbe est y = 2R (approximation pr`es de O de (y − R)2 + x2 = R2 ). REMARQUE. Vis-` a-vis des rotations, qui conservent les longueurs et les angles, le produit scalaire de → − → − − → → − deux vecteurs est un invariant (R V 1 · R V 2 = V 1 · V 2 ), tandis que le produit vectoriel se comporte → − → − → − → − comme un vecteur (R V 1 ∧ R V 2 = R( V 1 ∧ V 2 )). On d´emontre que tout invariant (aussi appel´e → − →2 − − →2 → − − → → − “scalaire” ), construit ` a partir de deux vecteurs V 1 et V 2 est une fonction de V 1 , V 2 et V 1 · V 2 .

 Pseudovecteurs et sym´ etries discr` etes → − → − → − → − Dans une sym´etrie SO , des vecteurs translation V 1 et V 2 sont chang´es en − V 1 et − V 2 ; cette loi de transformation caract´erise les “vrais” vecteurs, appel´es aussi vecteurs po→ − − → − → laires. Par contre V = V 1 ∧ V 2 reste inchang´e ; on l’appelle pseudovecteur ou vecteur

3.2 Calcul vectoriel ; applications

63

axial, et on l’´ecrit parfois avec une fl`eche incurv´ee pour le distinguer des “vrais” vecteurs. Le produit vectoriel d’un vecteur avec un pseudovecteur est un vecteur, tandis que le produit vectoriel de deux pseudovecteurs est un pseudovecteur. On fera attention a l’action “surprenante” d’une sym´etrie plane SP = SΔ SO sur un pseudovecteur : sa ` composante perpendiculaire au plan reste inchang´ee tandis que sa composante parall`ele au plan change de signe ; les figures 17a et 17b repr´esentent l’action de S0 et de SP respectivement sur un vrai vecteur et sur un pseudovecteur.

axe

plan P




V

axe

S PV




V S OV

O plan P

S OV

P

O

S PV (a)

(b) Figure 17

Figure 18

→ → − − → → − − → Des exemples de pseudovecteurs sont : L = − r ∧→ p (moment cin´etique), Γ = − r ∧F → − → → (moment d’une force), − ω (vitesse de rotation, figure 18), − μ (moment magn´etique), B (champ magn´etique), etc. La figure 19 illustre l’invariance de l’´ electromagn´ etisme dans une sym´etrie SP : − → →→ − → B  (SP − r ) = SP B (− r ). La figure 20a illustre la non invariance des interactions faibles (d´esint´egration β) : une source de cobalt polaris´ee perpendiculairement au plan → P , donc caract´eris´ee par − μ ⊥ P laiss´e invariant par SP , ´emet des nombres diff´erents d’´electrons de part et d’autre de P ; la d´esint´egration sym´etrique qui correspond a` la figure 20b n’a jamais ´et´e observ´ee.

P I

I Co

P B( r )

B’( S P r ) (b)

(a) Figure 19

Co

P

Figure 20

REMARQUE. Le produit scalaire d’un vecteur et d’un pseudovecteur, qui change de signe dans une sym´etrie SO , est appel´e pseudoscalaire.

3 • Espace ; sym´etries ; calcul vectoriel

64

3.2.2

Equations de plans ; fr´ equences spatiales ; r´ eseaux

 Equations de plans ; ondes planes Un plan orthogonal au vecteur unitaire n ˆ (α, β, γ) et distant de d de l’origine O a pour ´equation (figure 21) : → d = OH = n ˆ·− r = αx + βy + γz .

«

«

H

­

n ¬

­

d O

n ¬ plan d’onde

M


x

r Figure 21

x

Figure 22

k 2 −k1

→ → − Par exemple (figure 22) une onde a cos(ωt − k · − r + ϕ) est dite onde plane parcequ’elle → − − → prend une mˆeme valeur lorsque ωt − k · r + ϕ = Φ (fix´e modulo 2π), c’est-`a-dire sur → − ωt + ϕ − Φ k → ˆ·− r = (modulo les plans d’onde orthogonaux a` n ˆ = − → et d’´equations n → − |k| |k| 2π λ= − → ). A un instant donn´e ces plans sont ´equidistants de la longueur d’onde λ ; ils se |k| → − n ˆ k ω → − d´eplacent `a la vitesse de phase vϕ = − . Le vecteur σ = = est appel´e fr´ equence → λ 2π |k| kx 2π α spatiale. Sa composante σx = = est bien l’inverse de la p´eriode Δx = mesur´ee λ 2π kx sur l’axe Ox ; par contre n ˆ λ ne peut pas repr´esenter un “vecteur p´eriode spatiale” car αλ = Δx (sauf `a une dimension). → → − De mˆeme l’interf´ erence de deux ondes planes ai cos(ωt − k i · − r + ϕi ) conduit `a → − → − → des surfaces d’´egale intensit´e ( k 2 − k 1 ) · − r = constant (modulo 2π). Ce sont des plans → − → − → − λ 2π fixes orthogonaux `a k 2 − k 1 et distants de − → → ∼ θ (si l’angle θ entre k 2 et − | k 2 − k 1| → − k 1 est petit) (figure 23).

k1

k2 Figure 23

3.2 Calcul vectoriel ; applications

65

 R´ eseaux Un autre exemple est celui des plans r´ eticulaires d’un r´eseau. On appelle r´eseau un ensemble de points d´eduits de O par les translations de vecteurs → − − → → → t (m,n,p) = m− a + n b + p− c

(m, n, p ∈ Z)

→ − → → (− a , b ,− c vecteurs de base du r´eseau). Une famille de plans r´eticulaires permet par d´efinition de regrouper les points du r´eseau par plans ; la figure 24a repr´esente une coupe → − → → de familles de plans r´eticulaires, en supposant − c perpendiculaire `a − a et b .

(1,1,0)

(1,3,0)

B b (0,1,0)

a A (a)

(1,0,0)

(b)

Figure 24

Pour d´ecrire ces familles de plans, on introduit le r´ eseau r´ eciproque des fr´equences spatiales → − → − → − → − σ (h,k,l) = h A + k B + l C (h, k, l ∈ Z) , → − → − − → → − → → − − → − → → dont les vecteurs de base A , B et C sont d´efinis par A · − a = B · b = C ·− c = 1 et − → → → − → − − → − − → − − → − − → − − → → → → A · b = A · c = 0, B · c = B · a = 0 et C · a = C · b = 0 (figure 24b). L’´equation d’une famille de plans r´eticulaires s’´ecrit alors : − → → σ (h,k,l) · − r =μ

μ∈ Z;

elle est caract´eris´ee par les trois nombres h, k et l premiers entre eux appel´es indices de Miller (chaque valeur de μ correspondant `a un plan de la famille). → − → ´ DEMONSTRATION : tout point du r´eseau appartient bien ` a la famille car − σ (h,k,l) · t (m,n,p) = hm + kn + lp ∈ Z. La condition h, k, l premiers entre eux est n´ecessaire pour que tous les plans contiennent des points du r´eseau, notamment le plan μ = 1 ; en effet le th´eor` eme de Bezout assure alors l’existence de nombres entiers m n et p tels hm + kn + lp = 1 (contre exemple 2m + 2n + 4p = 1 n’a pas de solution). On v´ erifie ais´ement sur leurs ´equations que le plan μ = 1 coupe les trois axes issus de O et parall`eles ` a − → − → → − → − → → − → = |− σ |−1 . a , b et − c en a , b et c et que deux plans voisins sont distants de d h

k

l

(h,k,l)

(h,k,l)

3 • Espace ; sym´etries ; calcul vectoriel

66

3.2.3

Diff´ erentielles de chemins ; effet Doppler ; lois de Descartes

 Diff´ erentielle de la longueur AB d’un segment → − Si A et B se d´eplacent de d− r A et d→ r B , la variation de AB est 

− − → − − → → → r A) d(AB) = d(ˆ u · AB) = uˆ · dAB = u ˆ · (d− r B − d−

−− → AB  u ˆ= AB

! − − → (car u ˆ · dˆ u = 0). On retrouve ce r´esultat en calculant d AB 2 =

− − → − − → 1 2AB · dAB ou 2AB encore en regardant simplement la figure 25 (A B  − AB = HK − AB = BK − AH).

B’

drA A

B

D2

S

K

S2

u

T

drB H

S1

Figure 25

TD vD

L

vS

A’

u

D1

Figure 26

EXEMPLE 1. Effet Doppler (figure 26). Dans un r´ef´erentiel R une source se d´epla¸cant → a la vitesse − ` vS ´emet des signaux (sonores, optiques...) `a intervalles de temps r´eguliers TS ; ces signaux sont re¸cus `a intervalles de temps r´eguliers TD par un d´etecteur qui − → → se d´eplace dans R ` a la vitesse → vD . Si on suppose |− vS |TS et |− vD |TD  L (distance de propagation du signal), les vecteurs unitaires u ˆ des directions de propagation de deux signaux successifs peuvent ˆetre confondus. Si V est la vitesse du signal on a ΔL → → TD = TS + o` u ΔL = u ˆ · (− vD TD − − vS TS ) est la diff´erence des trajets parcourus V par ces signaux. D’o` u: TD = TS

1− 1−

→ − vS ·ˆ u V → − vD ·ˆ u V

.

On remarquera que ce calcul n’implique aucun changement de r´ef´erentiel. Cependant TD et TS ne sont les p´eriodes mesur´ees dans les r´ef´erentiels de la source et du d´etecteur que dans l’approximation galil´eenne. En r´ealit´e ces p´eriodes (temps propres) sont 2   12 vS,D τS,D = TS,D 1 − 2 c −1 (cf. section 4.3.3) et les fr´equences correspondantes sont νS,D = τS,D .

3.2 Calcul vectoriel ; applications

67

EXEMPLE 2. Interf´ erence de deux ondes sph´ eriques ai cos(ωt − kri + ϕi ) (ri = 2π , figure 27). A grande distance dans une direction proche de celle de Si M et k = λ  α2  entraˆıne que les lignes S1 S2 , la relation S1 M − S2 M = S1 S2 cos α ∼ S1 S2 1 − 2 d’´egale intensit´e k(r2 − r1 ) = constante (modulo 2π) sont sur des cˆones de sommet S1 ∼ S2 (cf. aussi section 2.3.2).

M

« S

1

S

u

S O

«

M1 M

2

M2 Figure 27

Figure 28

EXEMPLE 3. Largeur de coh´ erence. On consid`ere une source de lumi`ere monochromatique ´etendue centr´ee en O, dont les points S ´ emettent de fa¸con incoh´erente, et un point M ´ eloign´ e (figure 28). −−−−→ −−→ On admet que les amplitudes complexes en deux points M1 et M2 voisins de M (M1 M2 ⊥ OM) pr´esentent un certain degr´e de coh´erence tant que la distance SM1 − SM2 varie de moins d’une −−−−→ ˆ · M1 M2 = α M1 M2 fraction de longueur d’onde lorsque S d´ ecrit la source. Comme SM1 − SM2 = u avec − θ2 ≤ α ≤ θ2 (o` u θ est l’angle suppos´e petit sous lequel on voit la source de M ), la condition de erence). coh´ erence correspond approximativement ` a M1 M 2 < λ θ (largeur de coh´

 Diff´ erentielles de chemins optiques Le principe de Fermat pour un dioptre “nA AM + nB M B extremum” (A et B fixes, M point courant sur le dioptre) se traduit par d(nA AM + nB M B) = (nA u ˆ A − nB u ˆB ) · → → d− r M = 0 (ˆ u vecteur unitaire port´e par le rayon) ; d− r M ´etant un vecteur tangent au dioptre (figure 29), on obtient la loi de Descartes : nA u ˆA = nB u ˆB (ˆ u projection de u ˆ sur le plan tangent au dioptre) .

A i nA

drM M

n

M’ r

B

B Figure 29

Cette loi avec nA = nB s’applique aussi a` la r´eflexion sur un miroir. Si maintenant on consid`ere un trajet AM B r´eellement suivi par la lumi`ere (un rayon) et le chemin

3 • Espace ; sym´etries ; calcul vectoriel

68

optique L(A, B) = nA AM + nB M B correspondant, sa diff´erentielle s’´ecrit dL(A, B) = → → → → nA u ˆA · (d− r M − d− r A ) + nB u ˆB · (d− r B − d− r M ) ou, compte tenu de la loi de Descartes : → → ˆB · d− r B − nA u ˆ A · d− rA. dL(A, B) = nB u L’observation de la figure 30 et l’application r´ep´et´ee de cette relation montrent qu’elle → s’´etend ` a la travers´ee d’un nombre quelconque de dioptres (dL(A, C) = nC u ˆC · d− rC− → − nA u ˆA · d r A ), ou mˆeme dans la limite continue a` un milieu d’indice variable.

C’ drC

B’ A’ drA

M’ u

A

C

drB

u

B

uC

B

M

A

Figure 30 On en d´eduit que tous les points C qui sont situ´es `a une mˆeme distance optique d’un point source A sont sur une surface perpendiculaire aux rayons (Th´ eor` eme de Malus). → → En effet dL = 0 et d− r A = 0 implique u ˆC · d− r C = 0. (cf. aussi section 7.3.2.)

u1 Système

S

u’1 P

interférentiel

u’2

source u étendue 2

Figure 31 Application aux interf´ erences (figure 31). Soient P un point o` u interf`erent deux ondes issues d’une source ponctuelle S, u ˆ1 , uˆ2 les directions d’´emission, u ˆ1 , uˆ2 les directions d’arriv´ee en P , et L1 et L2 les chemins optiques correspondant aux deux rayons allant de S ` a P . On a : → → d(L2 − L1 ) = (ˆ u2 − u ˆ1 ) · d− r P − (ˆ u2 − u ˆ1 ) · d− rS . → ˆ1 ) · d− r P = constante (modulo λ) donne les surfaces Si S est fix´e la condition (ˆ u2 − u d’´egale intensit´e (d´ej`a obtenues a` la section 3.2.2) pour deux ondes planes. On en d´eduit aussi le lieu de localisation des interf´ erences lorsque la source est ´etendue. En effet pour que l’interf´erence en P (fixe) ne soit pas d´etruite lorsqu’on ´etend la source, il faut → → que (ˆ u2 − u ˆ1 ) · d− r S = 0. Donc soit d− rS ⊥ u ˆ2 − u ˆ1 ce qui implique que la source est une fente, soit u ˆ1 = uˆ2 . Dans ce dernier cas, qui suppose un syst`eme interf´erentiel a` s´eparation d’amplitudes, les franges se localisent sur la surface lieu des intersections des rayons issus d’un mˆeme rayon incident (exemple figure 12).

3.2 Calcul vectoriel ; applications

3.2.4

69

Vecteurs surface ; flux de grandeurs

 Vecteurs surface

→ − Consid´erons un parall´elogramme orient´e construit sur deux vecteurs ordonn´es V 1 et → − → − → − V 2 (figure 32). On appelle “vecteur surface” le vecteur V 1 ∧ V 2 . La justification de cette appellation est que sa norme est ´egale a` la surface du parall´elogramme, et que → − → − sa projection ( V 1 ∧ V 2 ) · u ˆ sur une direction u ˆ correspond a` l’aire alg´ ebrique de la projection du parall´elogramme sur un plan perpendiculaire a` u ˆ et orient´e par u ˆ via la → − → − → − → − r`egle du tire-bouchon. En effet on v´erifie que ( V 1 ∧ V 2 ) · u ˆ = ( V 1 ∧ V 2 ) · u ˆ o` u les → − → − → − → − ˆ)ˆ u sont les projections des vecteurs V i sur le plan. vecteurs V i = V i − ( V i · u

V

1

11111111111 00000000000 V 00000000000 11111111111 00000000000 11111111111 2 00000000000 11111111111 00000000000 11111111111 00000000000 V 11111111111 00000000000 2 11111111111 00000000000 11111111111 00000000000 11111111111 00000000000 11111111111 00000000000 11111111111 00000000000 11111111111 00000000000 11111111111 00000000000 11111111111 00000000000 11111111111 V 00000000000 11111111111 1

dS

dS’

V

2

u 11111111111 00000000000 00000000000 11111111111 11111111111 00000000000 00000000000 11111111111

V1 Figure 32

u

­ 11111 00000 00000 11111 00000 11111 00000 11111 00000 11111

Figure 33

Plus g´en´eralement pour une surface infinit´esimale dS s’appuyant sur une courbe orient´ee − → γ, on introduit le vecteur dS = dS n ˆ o` un ˆ est le vecteur unitaire normal a` l’´el´ement de − → surface et dont le sens est d´etermin´e par l’orientation de γ ; dS · u ˆ est alors l’aire apparente dans la direction u ˆ (“l’ombre” de dS sur un plan perpendiculaire a` u ˆ). Pour une surface − → → − finie orientable (cf. section 7.2.2), le vecteur surface S est la somme des vecteurs dS ; on → − fera attention a` ce que son module | S | ne repr´esente pas l’aire totale, qui est la somme − → des |dS|. Lorsque la surface s’appuye sur une courbe ferm´ee γ, la somme alg´ebrique des − → → − dS · u ˆ (aire hachur´ee sur la figure 33), et donc aussi S , ne d´epend que de γ. Dans le cas → − d’une surface ferm´ee, γ est r´eduit a` un point et S = 0. − → → 1→ − → EXEMPLES. dS = − r ∧ dr est l’aire balay´ ee par un rayon vecteur − r (cf. sec2 − → → − dS → → . Le motion 2.2.1). Le moment cin´ etique orbital L = − r ∧ m− v s’´ecrit 2m dt ment magn´ etique d’un circuit ferm´e parcouru par un courant d’intensit´e I est  − − → → → − r ∧ dr → → − = I S ; cette formule est la version continue de l’expression − μ = μ = I 2 → 1 q − → → → Σi qi − v i valable pour une distribution discr`ete de charges ; − μ = ri∧− L pour 2 2m une seule charge en mouvement orbital.

3 • Espace ; sym´etries ; calcul vectoriel

70

 Flux de particules et flux associ´ es Consid´erons des particules d’un type “i” donn´e, en nombre ni par unit´e de volume et − → → ayant une mˆeme vitesse − v i . Le flux de ces particules `a travers dS est le nombre de − → particules qui traversent dS par unit´e de temps ; c’est le quotient par dt du nombre de − → → particules pr´esentes dans le cylindre de base dS et de g´en´eratrice − v i dt, donc de volume − → → − ( v i dt) · dS (figure 34). Si gi est une grandeur (masse, charge...) attach´ee aux particules,

vi dt

dS

Figure 34 − → → le flux de particules s’accompagne d’un flux de cette grandeur ´egal a` ni gi (− v i · dS). Pour un syst`eme macroscopique contenant plusieurs types de particules, ce flux s’obtient en sommant sur “i” et en introduisant des quantit´es macroscopiques moyennes. − → → EXEMPLE 1 : le flux de masse Σi ni mi (− v i · dS) s’´ecrit − → − → → − → dϕm = ρ − v · dS = j m · dS , → vi Σni mi − − o` u ρ = Σi ni mi est la masse volumique, → v = est la vitesse du centre de Σni mi → − masse (vitesse d’ensemble), et j m est la densit´e volumique de courant de masse. − → → EXEMPLE 2 : le flux de charges ´ electriques Σi ni q (− v i · dS) (pour une seule esp`ece − → → de porteurs : qi = q) s’´ecrit ρ − v · dS o` u ρ = Σi ni q est la densit´e volumique des porteurs → − Σni v i → − leur vitesse moyenne. Pour plusieurs esp`eces α de porteurs allant `a et v = Σni des vitesses moyennes diff´erentes, il faut ajouter les contributions de chacune :  − → − → → − → − → ρα − dϕq = v α · dS = j q · dS ( j q densit´e volumique de courant ´electrique) . α

− → → → EXEMPLE 3 : le flux de quantit´ e de mouvement Σi ni (mi − v i · dS) s’´ecrit v i ) (− − → − → → → → d− ϕ p = ρ− v (− v · dS) + P dS → − si la distribution des vitesses relatives V i = vi − v est isotrope ( v ´etant la vitesse − → d’ensemble). Ce flux apparaˆıt comme la somme d’un flux macroscopique ρ v ( v · dS) associ´e au mouvement d’ensemble des particules et d’un flux “microscopique”

3.2 Calcul vectoriel ; applications

71

→ − → → − → − − Σi ni mi V i ( V i · dS) = P dS associ´e `a leur mouvement relatif. (D´emonstration : on   − → →  − → − → − d´eveloppe i ni mi ( v + V i ) ( v + V i ) · dS en utilisant les ´egalit´es i ni mi V i = 0,   →2 − 1 2 ni mi (Vix ou Viy2 ou Viz2 ) = n i mi V i i ni mi (Vix Viy ou Vix Viz ou Viy Viz ) = 0 et 3 i i cons´equences de l’isotropie.) Pour des particules identiques on obtient l’expression bien 1 →2 − connue P = nm < V i > de la pression cin´ etique d’un gaz parfait. Dans le cas d’un 3 e  − → 1 i u ˆi (cˆ ui · dS), d’o` u la relation P = u gaz de photons isotrope, le flux s’´ecrit Σi ni c 3 entre la pression de radiation et la densit´e volumique d’´energie u = Σi ni ei . EXEMPLE 4 : flux d’´ energie. Si ei =

1 m v2 2 i i

+ mi gzi + i est l’´energie totale d’une particule, un − → → v i · dS) associ´e, dans le cas o` u la distribution des petit calcul montre que le flux d’´energie Σi ni ei (− → − → → vi−− v est isotrope, s’´ecrit vitesses relatives V i = −  → − → → − → dϕE = ρ 12 v2 + e + gz − v · dS + − v · P dS ,   o` u e = ρ−1 Σi ni 12 mi Vi2 + i est l’´energie interne massique. Pour un ´ecoulement stationnaire, le flux − → → de masse ρ − v · dS ´ etant le mˆeme le long d’un tube de fluide, on obtient (si le fluide est isol´e) le th´ eor` eme de Bernouilli : la quantit´ e

1 2 v 2

+ e + gz+ P ρ est constante le long d’une ligne de courant.

Remarque : dans les exemples 3 et 4 on n’a pas pris en compte les forces ` a distance entre particules − → situ´ ees de part et d’autre de dS ; elles ont pour effet d’ajouter ` a P une pression mol´ eculaire.

 Flux d’un champ de vecteurs − → − →→ → Soit A (− r ) la valeur d’un champ au point − r o` u se trouve l’´el´ement de surface dS. − → → → − →→ − − On appelle flux de A ` a travers dS la quantit´e A (− r ) · dS. On notera que les flux de masse, charge, ´energie et quantit´e de mouvement (`a condition de proc´eder composante par composante), se mettent bien sous cette forme. On peut aussi citer le flux thermique − → → − d’´energie j th · dS (cf. section 7.2.3) et le flux d’´energie ´electromagn´etique dϕem = → → − − → − → − − → ( E ∧ H ) · dS avec E ∧ H vecteur de Poynting.

3.2.5

Sph` ere, angle solide et applications

 Coordonn´ ees sph´ eriques (figures 35 et 36) Ce sont les coordonn´ees r, θ et ϕ d´efinies par x = r sin θ cos ϕ

,

y = r sin θ sin ϕ

,

z = r cos θ .

π − θ) et ϕ ∈ [0, 2π[ la longitude (ou 2 2 2 2 angle azimuthal). Pour la sph`ere x + y + z = r2 , le point θ = 0 est le pˆ ole nord, π θ = π le pˆ ole sud, et θ = correspond a` l’´ equateur. Quand r, θ et ϕ varient de 2 fa¸con infinit´esimale, le point M se d´eplace respectivement de dr, r dθ et r sin θ dϕ dans les directions d´efinies par les vecteurs unitaires rˆ (“verticale”), θˆ (“sud”) et ϕ ˆ (“est”) formant un tri`edre direct. On en d´eduit que des ´el´ements de longueur dl, de surface dS sur la sph`ere, et de volume dV s’´ecrivent : ! dl = dr2 + r2 (dθ2 + sin2 θ dϕ2 ) , dS = r2 sin θ dθ dϕ , dV = r2 sin θ dr dθ dϕ . θ ∈ [0, π] est la colatitude (la latitude est

3 • Espace ; sym´etries ; calcul vectoriel

72

N

z

z M r

O x



P



r

P

u

M y u

Figure 35

r

r sin




11111 00000 00000 calotte11111 00000 11111 00000 r
11111 000000000000 111111111111 00000 11111 000000000000 111111111111 00000 11111 000000000000 111111111111 00000 11111 anneau 000000000000 111111111111 00000 11111 000000000000 111111111111 00000 11111 00000 11111 00000 11111 00000 11111 00000 11111 00000 11111 00000 11111 00000 11111 équateur 00000 11111 00000 11111 00000 11111 00000 11111 00000 11111 00000 11111 00000 11111 00000 11111 00000 11111 00000 11111

S

Figure 36

EXEMPLES DE LONGUEURS : r Δθ pour un arc de m´ eridien (ϕ fix´e) et r sin θ Δϕ pour un arc de parall` ele (θ fix´e). La forme quadratique r2 (dθ2 +sin2 θ dϕ2 ) est appel´ee m´ etrique de la sph`ere de rayon r. EXEMPLES DE SURFACES : 2πr2 sin θ dθ pour un anneau infinit´esimal et donc 2πr2 | cos θ2 − cos θ1 | pour un anneau (θ ∈ [θ1 , θ2 ]) ; 2πr2 (1 − cos θ0 ) pour un calotte (θ ∈ [0, θ0 ], surface d´ecoup´ee sur la sph`ere par le cˆone d’angle au sommet θ0 ) ; 2r2 Δϕ pour un secteur (“quartier d’orange” ϕ ∈ [ϕ1 , ϕ2 ]) ; 2πr2 pour une demi sph`ere (secπ teur avec Δϕ = π ou calotte avec θ0 = ) et 4πr2 pour la sph`ere. 2 EXEMPLES DE VOLUMES : les volumes des cˆ ones de sommet O et limit´es par une r3 dans S surface sph´erique quelconque d’aire S s’obtiennent en rempla¸cant r2 par 3 4 (int´egration de r2 dr) ; par exemple V = πr3 pour la sph`ere. 3

 Angle solide S Toutes les surfaces pr´ec´edentes divis´ees par r2 d´efinissent l’angle solide Ω = 2 du cˆ one r de sommet O qui “d´ecoupe” la surface S sur la sph`ere. Plus g´en´eralement, pour un cˆone − → s’appuyant sur une surface orient´ee dS (figure 37), on d´efinit un angle solide ´el´ementaire alg´ebrique : − → dS · rˆ dΩ = . r2 − → |dS · rˆ| est la surface d´ecoup´ee sur la sph`ere de rayon r. Le volume de ce cˆone est 1 1 3 1 r dΩ = r dS cos α = h dS . 3 3 3 Applications. Le volume d’un cˆ one quelconque de hauteur h et de base plane d’aire − → 1 S vaut Sh. Le flux a` travers une surface dS du champ ´electrique dˆ u a` une charge 3 − → q q plac´ee `a l’origine est rˆ · dS = dΩ. Donc pour une surface ferm´ee orient´ee 4π0 r2 4π0 Q : th´ eor` eme de vers l’ext´erieur et entourant une charge totale Q, le flux total vaut 0

3.2 Calcul vectoriel ; applications

73

Gauss. Les charges ext´erieures ne contribuent pas car pour elles l’addition alg´ebrique des angles solides donne z´ero (figure 38).

r

O

«

q ext

dS

r

q int

h Figure 37

Figure 38

 Etendue d’un pinceau lumineux (figure 39)

− → Consid´erons un pinceau, ensemble de rayons rectilignes, traversant une surface dS et pr´esentant en tout − → point O de dS une dispersion angulaire dΩ autour de la direction moyenne u ˆ ; son ´etendue est : − → de = (dS · u ˆ) dΩ .

dª 11111 00000 00000 11111 00000 11111 00000 11111 00000 11111 00000 11111 00000 11111 00000 11111 00000 11111 00000 11111 00000 11111 00000 11111 O 00000 11111 dS 00000 11111 00000 11111 00000 11111 00000 11111 00000 11111 00000 11111 00000 11111

dª

u



O’

1

n1

dS’

dS

n2

2

Figure 39

Figure 40

La propri´ et´ e importante de l’´etendue est d’ˆetre ind´ependante de la section consid´er´ ee. En effet ` a la −→ − → ˆ = r 2 dΩ est diff´erente, mais cette diff´erence est compens´ee distance r de dS la section apparente dS  · u − → −→ − → u ˆ . par le fait que en tout point O  de dS  la dispersion des rayons issus de dS est devenue dΩ = dS· r2 Quand un pinceau traverse un dioptre (figure 40), la quantit´e n2 (sin θ dθ dϕ) (dS cos θ) reste constante a cause des lois de Descartes (n1 sin θ1 = n2 sin θ2 et ϕ1 = ϕ2 ) et de leurs diff´erentielles (n1 cos θ1 dθ1 = ` etendue optique n2 de du pinceau se conserve. Il en est de mˆeme n2 cos θ2 dθ2 et dϕ1 = dϕ2 ). Donc l’´ u dF est le flux d’´energie, suppos´e constant en n´egligeant les de sa luminance d´ efinie par L = ndF 2 de o` pertes en cours de propagation. Une cons´equence non triviale est que l’´energie et donc le nombre de photons par cellule ´ el´ementaire de l’espace de phase, ´emis par une source (thermique, laser, etc.), se conserve lui aussi dans la propagation : c’est une caract´eristique de la source. ´ DEMONSTRATION : consid´erons un pinceau quasi-monochromatique de luminance dL = l(ω) dω (l(ω) luminance spectrale) et de section droite dx dy qui se propage dans le vide selon Oz (ω = ckz ). Soient dω = c dkz et dkx , dky , dkz les dispersions en pulsation et vecteur d’onde des photons associ´es ; alors

3 • Espace ; sym´etries ; calcul vectoriel

74 dk dk

x y dF = l(ω) dω dx dy dΩ avec dΩ = . Le nombre de photons contenus dans un volume dx dy dz 2 kz c2 −1 (avec dz = c dt) est : dN = (ω) dF dt = ω 3 l(ω) dkx dky dkz dx dy dz. Comme une cellule correspond c2 a dkx dky dkz dx dy dz = (2π)3 (´ ` equivalent ` a d3 r d3 p = h3 ), ce nombre par cellule est (2π)3 ω 3 l(ω) ; il se conserve (comme ω et l(ω)).

REMARQUE : pour une source thermique, ce nombre n’est autre que le facteur de Planck  −1 exp kωT − 1 multipli´e par deux (pour tenir compte des deux ´etats d’h´elicit´e des photons ; cf. section B 4.4.1).

3.2.6

G´ eom´ etrie sph´ erique ; notion de transport parall` ele

 G´ eod´ esiques Sur la sph`ere les g´eod´esiques (plus court chemin d’un point ` a un autre) sont les grands cercles intersections avec les plans passant par O, les m´ eridiens par exemple mais pas les parall`eles ` a l’exception de l’´equateur. Les triangles sph´ eriques, triangles dont les cˆ ot´es (de longueurs a, b, c) sont des arcs de grands cercles, ont des propri´et´ es trigonom´etriques qui ressemblent ` a celles des triangles plans (dont les cˆ ot´es rectilignes sont des g´eod´esiques du plan) ; par exemple :  sin A sin(a/R)

=

 sin B sin(b/R)

=

 sin C sin(c/R)

;

cos

c R

= cos

a R

cos

b R

+ sin

a R

sin

b R

. cos A

   Pour R  a, b, c ces formules donnent celles bien connues du plan sina A = sinb B = sinc C et c2 = 2 2  Une propri´et´ a + b − 2ab cos A. e facile ` a v´ erifier est que la somme des angles d’un triangle sph´erique

vaut :

+B +C  = σ = π + S2 A (S aire du triangle ABC) . R On remarque en effet en coupant un triangle en deux que σ = σ1 + σ2 − π (figure 41a) ce qui sugg`ere, puisque σ − π = (σ1 − π) + (σ2 − π), que σ − π est proportionnel ` a l’aire du triangle et mˆeme plus pr´ecis´ ement ` a RS2 puisque σ est sans dimension ; reste ` a v´ erifier que le coefficient de proportionnalit´e vaut 1 ce qui est ´evident pour un triangle trirectangle : sa surface vaut le huiti`eme de celle de la sph`ere 2 (figure 41b) et on a bien σ = 3 π2 = π + R12 πR . 2

A b C

S 1 σ1 S 2 σ2

a

c

S = π R2 2

σ= 3 π 2

B (b)

(a) Figure 41  Courbure et transport parall` ele

De fa¸con g´en´erale on d´efinit la courbure de Gauss (ou intrins` eque) d’une surface en un point M de la mani`ere suivante. On consid`ere un circuit ´el´ ementaire ferm´e entourant M dont les cˆ ot´es sont des g´eod´esiques et on transporte le long de ce circuit un vecteur tangent ` a la surface en maintenant constant la longueur du vecteur et l’angle qu’il fait avec les g´eod´esiques ; on dit alors que le vecteur subit un transport parall` ele (g´en´ eralisation naturelle, au cas d’une surface quelconque, du transport d’un vecteur dans le plan euclidien, parall`element ` a lui mˆ eme). Soient dS la surface d´elimit´ ee par le circuit et dα l’angle dont a tourn´e le vecteur apr` es un tour ; la courbure de Gauss est le rapport dα (dα et dS sont alg´ebriques). Pour un triangle sph´erique α = σ − π = RS2 (cf. exemple figure 42a) ; dS

3.2 Calcul vectoriel ; applications

75

la courbure de la sph`ere est donc la mˆeme en tout point, positive et ´egale a ` R12 . Pour un triangle plan α = 0 et la courbure du plan euclidien est ´evidemment nulle, comme celle du cylindre, ce qui est moins intuitif (figure 42b). La figure 42c montre un exemple de surface ` a courbure n´egative.

« S

S

S

« (b)

(a)

(c)

Figure 42 REMARQUE. Transport parall` ele et pendule de Foucault. Le transport parall`ele d’un vecteur tangent d’un point A (θ,ϕ) ` a un point B voisin (θ, ϕ + dϕ) sur le mˆeme parall`ele ne conserve pas l’angle qu’il fait avec le parall`ele car ce dernier n’est pas une g´eod´esique. La variation de cet angle est − cos θ dϕ. On obtient ce r´esultat en consid´erant le transport le long du chemin g´eod´esique ferm´ e ACDBA qui a B le correspond ` a une rotation δα = aire(ACDBA) = cos θ dϕ et en remarquant que le transport de A ` R2

long de ACDB ne modifie pas l’angle du vecteur avec le parall`ele (figure 43a) ; − cos θ dϕ correspond donc bien au seul transport de A ` a B. Plus intuitivement, en remarquant que l’arc “infinit´esimal” de grand cercle de A ` a B (g´eod´esique) est asssimilable au segment AB et en maintenant l’angle du vecteur avec ce segment constant lors de son transport de A ` a B, on voit que la variation d’angle avec le parall`ele (comme R sin θ dϕ  =− R tgθ =− cos θ dϕ. Pour un transport fini le avec le m´ eridien) est (figure 43b) : −AP B = − AB PA long du parall`ele, cette variation vaut − cos θ Δϕ.

P parallèle de A

A

Æ«

B

P

C

D

− Æ«

A

B

parallèle

(a)

(b)

A

P

α

A Æ« B (c)

Figure 43 Si on admet que la direction d’oscillation d’un pendule de Foucault (tangente au globe terrestre) est transport´ee parall`element ` a elle mˆeme lors de la rotation de la terre, − cos θ dϕ est aussi l’angle de rotation du plan d’oscillation du pendule par rapport ` a la direction nord locale. En une journ´ee, cet angle est −α = −2π cos θ (α angle du cˆ one de sommet P “d´ eploy´e” ; figure 43c).

3 • Espace ; sym´etries ; calcul vectoriel

76

3.3

´ VECTEURS TOURNANTS ; MECANIQUE DU SOLIDE

Les rotations et mouvements de rotation jouent un rˆole tr`es important en physique (cf. aussi section 6.3).

3.3.1

Vecteurs tournants ; changements de r´ ef´ erentiels

 Repr´ esentation vectorielle des rotations Soit n ˆ le vecteur unitaire de l’axe de rotation, et soit − → → − → − → − → − → − V = (V · n ˆ) n ˆ + V − (V · n ˆ) n ˆ= V+V⊥ → − → − la d´ecomposition d’un vecteur V en vecteurs parall`ele et orthogonal a` n ˆ (V  ∧ n ˆ = 0; → − → − −−→ → − −−→ V ⊥·n ˆ = 0)(figure 44). La rotation laisse V  = OH inchang´e et tourne V ⊥ = HM d’un angle θ dans un plan orthogonal a` n ˆ , donc : − → − → → − → − − → n, θ) V = V  + cos θ V ⊥ + sin θ n ˆ∧V . V = RO (ˆ

N n

M’

H

O

V

=

O

M

M

Figure 44 −−→ → − → − → − (ˆ n∧ V = n ˆ ∧ V ⊥ = HN se d´eduit de V ⊥ par une rotation de π/2). Pour les composantes → − de V , cette ´egalit´e correspond a` Z  = Z, X  = X cos θ−Y sin θ et Y  = X sin θ+Y cos θ, l’axe Z ´etant choisi selon n ˆ . Pour une rotation infinit´ esimale on a : → − − → − → → − d V = V − V = dθ n ˆ∧V . → − On en d´eduit que l’´ equation caract´ eristique d’un vecteur tournant V (t) est → − dV → − → =− ω ∧V , dt dθ − n ˆ (t) est la vitesse angulaire, et que : o` u→ ω (t) = dt → − − → − → − → d→ − ω − → d− ω − d2 V → − → → ∧ V + ω ∧ ω ∧ V = ∧ V − ω2 V ⊥ . = 2 dt dt dt

3.3 Vecteurs tournants ; m´ecanique du solide

77

− → → − − Cas particulier : si → ω est constant (θ = ωt), l’expression de V (t) en fonction de V 0 = → − V (t = 0) est → − → − − → → − ˆ ∧ V 0⊥ sin ωt , V (t) = V 0 + V 0⊥ cos ωt + n

et

→ − → − d2 V = −ω 2 V ⊥ (t) correspond a` une acc´ el´ eration centrip` ete. dt2

 Formules g´ en´ erales des changements de r´ ef´ erentiels (figure 45)

Z z

Ê

O

M

Ê’

y

Y O’ X

x Figure 45 Soit O XY Z un r´ef´erentiel R mobile par rapport au r´ef´erentiel R ≡ Oxyz, et soit un point M mobile rep´er´e par ses coordonn´ees X(t), Y (t) et Z(t) dans R : −−→ −−→ −−−→ −−→ ˆ + Y Yˆ + Z Zˆ . OM = OO + O M = OO + X X 2 2 ˆ ˆ ˆ dX d ˆ ˆ d XX ¨ Xet ˆ des ˆ = X d X + 2X˙ dX + X =X + X˙ X, A l’aide des relations X X 2 2 dt dt dt dt dt 2 ˆ → − ˆ →  dX → → ˆ et d X = d ω ∧ X ˆ +− ˆ faisant intervenir le vecteur relations =− ω ∧X ω ∧ − ω ∧X 2 dt dt dt ˆ (et leurs analogues pour Y et Z), on obtient imm´ediatement : unitaire tournant X

−−→ "  → −−−→#  dOM d −−→ − − → → ˆ + Y˙ Yˆ + Z˙ Zˆ = − v = OO + → ω ∧ O M + X˙ X ve+− vr , = dt dt −−→ " 2 − − −−−→# ω −−−→ − d2 OM d −−→ d→ → → → → − → OO = + M + ω ∧ ω ∧ O M + 2− ω ∧− vr ∧ O a = dt2 dt2 dt   − → → ¨X ˆ + Y¨ Yˆ + Z¨ Zˆ = → + X ae+− ac+− ar . − → → v e et − a e sont les vitesse et acc´ el´ eration d’entraˆınement, vitesse et acc´el´eration du → → point M  fixe dans R avec lequel M co¨ıncide `a l’instant t ; − v r et − a r sont les vitesse → − → − → −  et acc´ el´ eration relatives (“mesur´ees”dans R ) ; a c = 2 ω ∧ v r est l’acc´ el´ eration de Coriolis.

3 • Espace ; sym´etries ; calcul vectoriel

78

 R´ ef´ erentiel local (figure 46) z

Y T

H

S

T

y

L

Z X

x Figure 46 Soit R le r´ef´erentiel de Copernic (inertiel) centr´e au centre de masse (c.d.m.) S du syst`eme solaire, et R le r´ef´erentiel LXY Z centr´e en un lieu L de latitude λ `a la surface de la → Terre et dont les axes sont dirig´es vers le sud, l’est et le z´enith. R tourne a` la vitesse − ω constante par rapport a` R. L’´equation du mouvement d’un point mat´eriel M de masse m dans R s’´ecrit → → → → → m(− a +− a +− a ) = m(− g (M ) + − g (M )) + (autres forces) , e

c

r

A

T

− u aux astres du syst`eme solaire (Soleil, Lune etc...) et o` u→ g A est le champ de gravit´e dˆ → − g T celui dˆ u a` la Terre. Comme le c.d.m. T de la Terre est “en chute libre” autour de S −−→ → avec l’acc´el´eration − g A (T ) et que T M  , fixe dans R , est un vecteur tournant a` la vitesse → − ω dans R, on a −−→ −−→ −→ −−−→ d2 SM  d2 ST d2 T M  − → − = + =→ g A (T ) − ω 2 HM  , ae = 2 2 2 dt dt dt  o` u H est la projection de M (ou L) sur l’axe de rotation. Le mouvement de M dans R (mouvement relatif) est alors r´egi par l’´equation : →  − −−→ 1 → → − → → (autres forces) . g A (M ) − − g A (T ) + → g T (M ) + ω 2 HM − 2− ar = − ω ∧− vr+ m Dans le second membre le premier terme est en g´en´eral n´egligeable (sauf pour d´ecrire le → ph´enom`ene de mar´ee), et le second est le champ de pesanteur − g (local). Les effets du terme de Coriolis (d´ eviation vers l’est et pendule de Foucault) sont ´etudi´es `a la section 6.3.

3.3.2

R´ ef´ erentiel du centre de masse

Les formules cin´ematiques de changements de r´ef´erentiels se simplifient grandement → lorsque R effectue un mouvement de translation (− ω = 0) par rapport au r´ef´erentiel → − → − → − → − → −   R, car alors a c = 0, v e = v O et a e = a O ne d´ependent pas du point consid´er´e.

 Th´ eor` emes de Koenig En m´ecanique, pour d´ecrire la dynamique globale d’un syst`eme de points mat´eriels Mi de masses mi , on utilise le r´ef´erentiel Rcm d’axes parall`eles `a ceux de R et d’origine G (c.d.m.) d´efini par :   −−→ −−→  −−→ mOG = mi OMi (m = mi masse totale) ou mi GMi = 0 . i

i

i

3.3 Vecteurs tournants ; m´ecanique du solide

79

 → → → − Rcm se translate par rapport `a R ` a la vitesse − v G donn´ee par m− vG = i mi v i = → − → → aG = P (quantit´e de mouvement totale dans R) ; l’acc´el´eration − a G est telle que m−   − → − → → − m = = F (force totale dans R). On notera que la quantit´ e de mouvement a f i i i i i  → cm  − cm → → → = m− = m (− v −− v ) = 0. totale dans Rcm est nulle : P v i

i

i

i

i

i

G

cm − → → Un calcul ´el´ementaire utilisant → vi =− v i−− v G montre que le choix de Rcm permet de 1 1 2 cm 2 → → mi − mi − relier simplement les ´ energies cin´ etiques Ec = v i et Eccm = vi , 2 2 i i  −−→ → − →cm  −−→ − cm → − → ainsi que les moments cin´ etiques J O = i OM i ∧mi v i et J G = i GM i ∧mi − vi  −−→ → (aussi ´egal a` v ) dans R et Rcm : GM ∧ m − i

i

i

i

1 →2 → − −− → →cm − → v G + Eccm ; J O = OG ∧ m− vG+ JG . Ec = m− 2 eor` emes de l’´ energie On obtient de mˆeme des expressions simples dans Rcm pour les th´ cin´ etique et du moment cin´ etique : →cm  −  cm − → → dEccm −−→ − dJ G → − GM i ∧ f i . = = vi · fi ; dt dt i i → − Elles ne font intervenir que les forces f i dans R, et pas l’acc´el´eration d’entraˆınement, → − cm → → alors que pour chaque masse mi − a i = f i − mi − a G.

 R´ eduction du probl` eme ` a deux corps (syst`eme isol´e de deux points mat´eriels (M1 , m1 ) et (M2 , m2 )) → − → − → − Comme la force totale F = f 1→2 + f 2→1 est nulle, Rcm se d´eplace `a vitesse uni−−−−→ → forme. Pour d´ecrire le mouvement dans Rcm on introduit les quantit´es − r = M1 M2 , → − − → −−−→ m1 − m1 m 2 → μ= (masse r´ eduite) et f = f 1→2 . Alors a` l’aide des relations GM2 = r, m1 + m2 m −−−→ m2 − m1 − m2 − cm cm → → → → → GM1 = − r , et de leurs d´eriv´ees − v2 = r˙ et − v1 =− r˙ , on obtient facilem m m ment : →cm − 2 → − → − 1 − →cm − − dJ G dEccm − → → → → → − cm ˙ ˙ ˙ = r · f ; =− r ∧ f . ; JG = r ∧μr ; Ec = μ r 2 dt dt

M1 m 1 M’2 M’1

G

M’

M2 m 2 Mμ Figure 47 −−→ → → La dynamique du vecteur − r est donc celle d’un point mat´eriel fictif M , tel que − r = GM , → − de masse μ et soumis `a la force f . On peut aussi obtenir ce r´esultat en remarquant que

3 • Espace ; sym´etries ; calcul vectoriel

80

→ − → − → − → → → ¨r = − ¨r = −G (m + m1 → a 1 = f 2→1 et m2 − a 2 = f 1→2 entraˆınent μ− f (par exemple − 1 rˆ m2 ) 2 dans le cas du probl`eme de Kepler ; cf. section 2.3.3). Une fois la trajectoire de r M connue, celles de M1 et M2 dans Rcm s’en d´eduisent par homoth´etie (figure 47). → − →cm − → En particulier si f est parall`ele `a − r , J G est constant (L.C. du moment cin´etique). −−−→ −−−→ →cm − → Donc, GM1 et GM2 colin´eaires `a − r ´etant orthogonaux `a J G , les trajectoires de M1 et M2 sont, dans le cas d’une force centrale, situ´ees dans le plan passant par G et →cm − perpendiculaire `a J G .

3.3.3

Cin´ ematique et dynamique d’un corps solide

On se limite a` l’introduction des principaux outils n´ecessaires `a la description de la dynamique des solides et `a la pr´esentation de deux exemples.

 Champ des vitesses d’un solide Comme les distances entre points d’un corps solide sont par d´efinition invariantes, un −− → vecteur AB joignant deux points du solide ne peut que tourner : − − → −− → dAB → → → =− vB −− vA=− ω ∧ AB . dt −− → → → Comme − ω ∧ AB est orthogonal a` − ω il en r´esulte que, `a un instant donn´e, tous les points → → du solide ont mˆeme composante de vitesse − v  parall`ele `a − ω et que sur un axe parall`ele `a → → − → − ω . En faisant varier ω tous les points ont de plus mˆeme composante v ⊥ orthogonale a` − − − → → − → − → − B dans la relation v B⊥ = v A⊥ + ω ∧ AB, on v´erifie qu’il existe un point B ≡ I tel que → → → − = 0 (figure 48) ; il y a donc un axe parall`ele `a − ω et passant par I tel que − v =0 v ⊥

I⊥

pour tous ses points. La relation − → → − → → vA=− vI +− ω ∧ IA montre, comme d´ej`a ´etabli `a la section 3.1.3, que le mouvement d’un solide est une suite de vissages ´el´ementaires.

S

..

M vA

C

So

A I

p

r

vg

vA Figure 48

Figure 49

REMARQUE. Pour un solide mobile S en contact ponctuel avec un solide fixe S0 , la vitesse du point de → → → → ω r et − ω p de − ω contact C (appartenant ` a S) s’appelle vitesse de glissement − v g , et les composantes − respectivement parall`ele et orthogonale au plan de contact sont les vitesses angulaires de roulement −−→ → → → vg +− ω ∧ CM. et de pivotement (figure 49). Pour tout point M de S : − vM =−

3.3 Vecteurs tournants ; m´ecanique du solide

81

 Grandeurs m´ ecaniques relatives ` a un solide On a vu que, pour un syst`eme quelconque, la quantit´e de mouvement totale est reli´ee → − → de fa¸con simple `a la vitesse du centre de masse : P = m− v G . De mˆeme pour un solide → il est possible d’exprimer le moment cin´etique et l’´energie cin´etique en fonction de − vG → − et de ω . Les diff´erentes formules s’obtiennent en particularisant un point A du solide et −−→ → → → en ´ecrivant pour tous les autres points Mi : − vi=− v A +− ω ∧ AMi . En g´en´eral on choisit → pour A, soit un point fixe (− v A = 0) lorsque le solide est attach´e par ce point, soit le  −−→ c.d.m. G ≡ A (alors i mi AMi = 0). →  −−→ −−→ → − → v A+− ω ∧ AMi d´epend Dans ces deux cas le moment cin´ etique J A = i AMi ∧ mi − → lin´eairement de − ω (utilisation du double produit vectoriel) :  −−→ → −−→ − → −−→2 →  mi AMi − mi AMi · − ω AMi . JA= ω − i

i

Il est naturel de l’´ecrire dans un r´ef´erentiel (AXY Z) li´e au solide car alors les compo−−→ santes Xi , Yi et Zi de AMi sont ind´ependantes du temps. On a par exemple JA,X =  2   → − → 2 2 en´eralement J A = IA − ω i mi (Xi + Yi + Zi ) ωX − Xi (Xi ωX + Yi ωY + Zi ωZ ) et plus g´ ou : ⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎞ ⎛   2 2 JA,X (Y + Z ) − m X Y − m X Z ωX i i i i i i i i i im i i    2 2 ⎝JA,Y ⎠ = ⎝ − ⎠ ⎝ m X Y m (X + Z ) − m Y Z ωY ⎠ . i i i i i i i  i i i i i  2 2 JA,Z − i mi X i Z i − i mi Yi Zi m (X + Y ) ωZ i i i i La matrice d’inertie IA ´etant sym´etrique, il existe des axes orthogonaux dits axes principaux d’inertie en A, tels qu’elle soit diagonale (cf. section 4.2.3). 1

−−→ → → vA +− ω ∧ AMi )2 prend elle aussi une forme mi (− 2 i → simple dans ces deux cas `a cause de la disparition des termes lin´eaires en − ω . Comme 2 − − → − − → − − → → − → − 2 2 2 ( ω ∧ AMi ) = ω AMi − ( ω · AMi ) on v´erifie que :

L’´ energie cin´ etique EC =

EC =

→ − 1− ω JA·→ 2

(pour A fixe)

ou

EC =

→ → 1 − 1− 2 m→ vG+ JG·− ω 2 2

Une autre grandeur utile est la puissance des forces appliqu´ees qui, quel que soit le point A du solide, s’´ecrit : → → − − → → ω · ΓA P=− vA· F +−

(pour A ≡ G) .

 → → − → −−→ − − i ( v A + ω ∧ AMi )· f i

 −−→ − → → → − − → − (F = f i ; ΓA = AMi ∧ f i ) . i

i

Dans P seules les forces ext´erieures appliqu´ees sont `a consid´erer, car les forces int´erieures − → → − −−−−→ → − f i→j = − f j→i , suppos´ees parall`eles `a Mi Mj , ne contribuent, ni a` la force r´esultante F , → → → −−−→ − −−−−→ − → −−→ − − ni au moment r´esultant des forces Γ A (AMi ∧ f j→i + AMj ∧ f i→j = Mi Mj ∧ f i→j = 0).

3 • Espace ; sym´etries ; calcul vectoriel

82

EXEMPLE 1 : ´ equations d’Euler. Le mouvement libre d’un solide dans Rcm ob´eit `a →cm d − ˆ +I ω Yˆ +I ω Z) ˆ = 0, o` l’´equation ( J G = IX ωX X u GX, GY et GZ sont les axes Y Y Z Z dt ˆ dX → → ˆ etc. avec − ˆ +ω Yˆ +ω Z, ˆ =− ω ∧ X, ω = ωX X principaux d’inertie en G. En ´ecrivant Y Z dt on obtient les E.D. d’Euler : IX ω˙ X = (IY − IZ ) ωY ωZ

,

IY ω˙ Y = (IZ − IX ) ωZ ωX

,

IZ ω˙ Z = (IX − IY ) ωX ωY .

Les rotations a` vitesse angulaire constante autour des axes GX, GY et GZ sont des solutions particuli`eres. Si on perturbe une telle solution, par exemple ωX = ω, ωY = (I − IX )(IX − IY ) 2 ¨ Y,Z = Z ω ωY,Z , en se limitant a` ωZ = 0, on obtient facilement ω IY IZ l’ordre le plus bas dans les perturbations ωY et ωZ . Il y a instabilit´e de la rotation autour de l’axe GX si IY < IX < IZ (les rotations autour de GY et GZ ´etant alors stables).

P G M

vG vg

C Figure 50 EXEMPLE 2 : mouvement d’une boule de billard (figure 50). Le but est d’expliquer la trajectoire,en g´en´eral parabolique, du c.d.m. de la boule et le rˆ ole des conditions initiales(fa¸con dont la → − → ω , avec boule est frapp´ee avec la queue). Rappelons que pour une boule de rayon r on a J G = I − 2 mr 2 . 5

La cin´ematique de ce probl`eme se r´esume ` a la relation − − → − → → → − vg +− ω ∧ CG (− v g vitesse de glissement) , vG =→ et la dynamique aux ´equations → − − → − −  d→ − − → − → − − → − → vg dJ G ω d→ ω → ∧CG = F et m− a G = m dt + ddt dt = I dt = GC ∧ F , − 2 → − → − d→ v → ; la force totale F colin´ eaire ` a− a G est parall`ele ` qui conduisent ` a : m dtg = F 1 + mr a la table I − − → et donc orthogonale ` a GC. − → − d→ v Au cours du mouvement et tant que la boule glisse F se r´ eduit ` a une force de frottement et dtg pa→ − → − → → v g et F gardent donc une direction commune fixe. De plus comme rall` ele ` a F l’est donc aussi ` a− vg;− → − → − pour un frottement solide | F | est constant, le vecteur F lui mˆ eme est constant : le mouvement de G I=

est alors uniform´ement acc´el´ er´e et sa trajectoire parabolique. Bien sˆ ur au bout d’un certain temps, → − a pivoter. v g finit par s’annuler et la boule roule alors sans glissement tout en continuant ` → − → − A l’origine du mouvement il faut une percussion P : force f tr` es grande et tr`es br`eve (telle que − → − → − − → → → −−→ − → − → f dt = P ) exerc´ee en un point M ` a la hauteur h. Des ´ equations m− a G = f + N et I ddtω = GM ∧ f → − − → − → (la r´ eaction normale N du billard assurant que f + N est parall`ele ` a la table), on d´eduit les condi→ − −−→ − → − − → → → → → → ω = GM ∧ P et − vg =− vG−− ω ∧ CG (la boule ´etant au repos avant tions initiales m − v G = P , I − → − → − → − → → erifie que − v g et − v G diff`erent en la percussion). Si P n’est pas parall`ele ` a la table ( P = P  ), on v´   → − → − → − → − 5 r(h−r) P direction. Si P est parall`ele ` a la table, v g = m 1− 2 r 2 est du sens de v G si h < 75 r (“r´ etro”) et de sens contraire si h >

7 r 5

(“coul´ e”).

3.4 Syst`emes physiques poss´edant des sym´etries

3.4

83

` ´ ´ SYSTEMES PHYSIQUES POSSEDANT DES SYMETRIES

L’“argument de sym´etrie”, analogue a` l’“argument dimensionnel” discut´e en 1.3.2, est tr`es utilis´e en physique pour simplifier la description math´ematique d’un syst`eme pr´esentant des sym´etries ; mais il est souvent mal justifi´e `a cause de la confusion fr´equente entre sym´etrie du syst`eme et sym´etrie (invariance) des lois le r´egissant (cf. section 3.1.1).

3.4.1

Sch´ ema g´ en´ eral ; principe de Curie

 Principe de Curie Soient x les param`etres caract´erisant un syst`eme ; par exemple pour une distribution → de charges, il s’agit des positions − r i et des valeurs qi des charges (ou de la fonction → − densit´e ρ( r )). Soit y une grandeur relative a` ce syst`eme, par exemple le moment dipolaire →→ − → → − → r ) cr´e´e au point − r , etc. On a vu que l’invariance des p = Σq − r , le champ ´electrique E (− i

i

lois par rapport a` une sym´etrie g signifie que, au syst`eme transform´e dont les param`etres s’´ecrivent symboliquement x = gx, est associ´ee la grandeur y = gy. Pour la distribution → → − → → → → de charges et une rotation R, on a : − r i  = R− r i , qi = qi et − p  = R− p , E (R− r) = →→ − R E (− r ), etc. Si g est de plus une sym´etrie du syst`eme, alors par d´efinition x = gx = x

et donc y = gy = y. On en d´eduit que les grandeurs relatives `a un syst`eme ou cr´e´ees (“caus´ees”) par lui poss`edent au moins les sym´etries du syst`eme (Principe de Curie). EXEMPLES. Si une distribution de charges ou de courants admet une sym´etrie de → → r´evolution d’axe Oz, son moment dipolaire ´electrique − p ou magn´etique − μ est port´e → − par Oz ; si elle admet un plan P de sym´etrie, p doit ˆetre contenu dans P , tandis que → − μ (pseudovecteur) doit ˆetre perpendiculaire a` P , seule possibilit´e pour qu’ils soient inchang´es par l’op´eration SP (figure 51).

+ p

−

+

i

i

p

− Figure 51

Figure 52

 G´ en´ eralisation Si la grandeur y d´epend lin´eairement des param`etres x du syst`eme, et si l’op´eration g a pour effet de multiplier x par un facteur constant C (par exemple −1 pour une antisym´ etrie), alors la grandeur y est elle aussi multipli´ee par C par l’op´eration g : x = gx = Cx =⇒ y  = gy = Cy . EXEMPLES (figure 52). Si une distribution de charges ou de courants admet un plan → → P d’antisym´etrie, − p doit ˆetre perpendiculaire a` P , tandis que − μ doit ˆetre contenu dans P , seule possibilit´e pour qu’ils soient multipli´es par C = −1 dans l’op´eration SP .

3 • Espace ; sym´etries ; calcul vectoriel

84

REMARQUE. Le groupe de sym´etrie de y peut ˆetre plus grand que celui de x. Ainsi de nombreuses propri´et´ es macroscopiques d’un cristal ` a sym´ etrie cubique (axes x, y, z) sont celles d’un milieu isotrope. De mˆ eme les moments d’inertie d’un cube homog`ene par rapport ` a des axes passant par son centre sont tous ´ egaux comme pour une sph`ere. En effet consid´erons par exemple les quantit´es Ix = Σmi (yi2 + zi2 ), Iy = Σmi (x2i + zi2 ) et Ixy = Σmi xi yi . Pour le cube tourn´e de Ix

Iy , Iy

 Ixy

π 2

autour de Oz, on a xi = −yi et yi = xi ,

= = Ix et = −Ixy . Comme cette rotation est une sym´etrie, on en d´eduit Ix = Iy et et donc   2 2 ˆ du plan xOy, In Ixy = 0 et donc, pour tout vecteur unitaire n ˆ = Σmi (xi cos θ + yi sin θ) + zi = Ix .

3.4.2

Sym´ etries de translation ; lois de Descartes et g´ en´ eralisations

L’obtention de ces lois donne un exemple non trivial d’application de l’invariance par des translations d’espace et de temps. Consid´erons deux milieux lin´ eaires, homog` enes et stationnaires s´ epar´ es par un plan infini P (xOy), et une source qui ´emet une → − → −

→ − → −

onde plane incidente e−i(ω0 t− k 0 · r ) . Soit A e−i(ωt− k · r ) eiϕ une onde plane r´efl´echie ou transmise, issue de l’onde incidente. Si l’onde incidente est retard´ee de ee de  τ et translat´  → − − − −i ω0 (t−τ )− k 0 ·(→ r −→ a) → − a parall`element au plan P (pour laisser P inchang´e), elle devient e → − → −

et est donc multipli´ee par C = ei(ω0 τ − k 0 · a ) . La mˆeme op´eration effectu´ee sur l’onde → − → − r´efl´echie ou transmise la multiplie par le facteur ei(ωτ − k · a ) , qui doit ˆetre aussi ´egal a` C → quels que soient τ et − a . On en d´eduit les relations de continuit´e : ω = ω0

− → → − k  = k 0

et

(loi de Descartes pour les ondes) .

→ − Donc les plans d’incidence, de r´efraction et de r´eflexion, d´efinis par k 0 et la normale 2π 2π et = n ˆ au plan P , sont confondus. Les ondes ont mˆemes p´eriodicit´es temporelle ω0 ω 2π 2π ω ω spatiale = en x (ou en y), et “balayent” l’axe des x `a une mˆeme vitesse = k0x kx k0x kx (idem pour l’axe des y). Ces r´esultats restent valables si il y a plusieurs ondes r´efl´echies ou transmises, si les milieux sont anisotropes, si l’onde transmise est ´evanescente (kz imaginaire pur). Pour un r´ eseau plan infini ` a une dimension, par exemple des traits parall`eles `a Oy → distants de a, le plan n’est invariant que par les translations de vecteur − a = ay yˆ + naˆ x (ay quelconque, n ∈ Z). La condition pr´ec´edente sur les vecteurs d’onde devient → − − → ( k − k 0 ) · (ay yˆ + naˆ x) = 0 modulo 2π. On en d´eduit la formule des r´eseaux valable aussi bien en transmission (figure 53) qu’en r´eflexion : → − − → 2π x ˆ k  = k 0 + p a

(p ∈ Z) .

Pour un cristal (`a l’´echelle de l’Angstr¨om tout cristal macroscopique est quasi infini), → − → − → → l’invariance n’a lieu que pour les translations t (m,n,p) = m − a +n b +p− c . Il faut donc → − → − → − → − → − → − − → → − → − ( k − k ) · a = ( k − k ) · b = ( k − k ) · c = 0 modulo 2π soit (cf. section 3.2.2) : 0

0

0

− − → → → σ (h,k,l) (h, k, l quelconques) k − k 0 = 2π − → = 2πη − σ (h,k,l) (h, k, l premiers entre eux, η ∈ Z) .

3.4 Syst`emes physiques poss´edant des sym´etries

85

Les ondes incidente et diffract´ee (en dehors du cristal) ayant mˆeme longueur d’onde, on → − → − a la condition suppl´ementaire | k | = | k 0 | (une contrainte qui n’apparaissait pas dans → − → − les exemples pr´ec´edents, kz n’´etant pas fix´e). La figure 54 montre que k et k 0 doivent ˆetre sym´etriques par rapport aux plans r´eticulaires, comme si il y avait r´eflexion sur ces plans avec un angle d’incidence θ tel que : → 2πη|− σ (h,k,l) | λ sin θ = =η (condition de Bragg) . → − 2d (h,k,l) 2| k | p=1 p=0

2 a

p = −1

k

0

2

k

p = −2

plans réticulaires

p = −3

k Figure 53

(h,k,l)

0

Figure 54

REMARQUE. Les lois de conservation en physique quantique de la quantit´e de mouvement, de l’´ energie, et du moment cin´etique (pour un syst`eme isol´e), ont une origine semblable. En effet, d’une part la correspondance entre ´etats quantiques ` a des instants diff´erents est lin´eaire, et d’autre part un → − → ´ etat ayant une valeur bien d´efinie de − p =  k , ou E = ω, ou Jz = m, est par d´efinition multipli´e respectivement par

→ → − C = exp(−i k · − a ) ou C = exp(iωτ ) ou C = exp(−imϕ) , → dans une translation − a , ou un retard τ , ou une rotation d’axe z et d’angle ϕ (cf. sections 4.4).

3.4.3

Sym´ etries de rotation et sym´ etries discr` etes ; applications en ´ electromagn´ etisme et en acoustique

Les formules reliant les sym´etries de la source `a celles de ses effets sont applicables aux → → champs en tenant compte de la loi de transformation de ces derniers : f  (g− r ) = gf (− r ). Si l’op´eration g multiplie par C les param`etres de la source dont d´epend le champ, on a f  = Cf et donc : → → Cf (g− r ) = gf (− r ) (C = 1 pour une sym´etrie et C = −1 pour une antisym´etrie) . EXEMPLE 1. La figure 55 montre, dans les cas o` u g est une sym´etrie de rotation d’axe → − → Oz, comment sont reli´es les champs ´electrique E au point M (− r ) et son transform´e →  − M (g r ) : les composantes z, radiale et orthoradiale ne d´ependent pas de θ. EXEMPLE 2. La figure 56a montre le cas d’une sym´etrie plane SP . En particulier en → − → − un point du plan P le champ E (“vrai” vecteur) est dans le plan et B (pseudovecteur) est perpendiculaire `a P . Ces r´esultats s’´echangent si le plan est un plan d’antisym´etrie (figure 56b).

3 • Espace ; sym´etries ; calcul vectoriel

86

axe de symétrie

z

E

Ez

B

Er

E

M

E

.

M’ E z

M

B

.

E M’ M

M’

(a)

(b)

Er

Figure 55

Figure 56

EXEMPLE 3. Si Oz est un axe de sym´etrie de rotation pour le syst`eme qui cr´ee les champs et si de plus tout plan P contenant Oz est un plan de sym´etrie (resp. d’antisym´etrie) seuls Ez , Er et Bθ (resp. Eθ , Bz et Br ) sont non nuls. Si le plan z = 0 est un plan de sym´etrie (resp. d’antisym´etrie) du syst`eme alors en deux points M et M  sym´etriques par rapport a` ce plan les composantes Er , Eθ et Bz (resp. Ez , Br et Bθ ) sont ´egales et les composantes Ez , Br et Bθ (resp. Er , Eθ et Bz ) sont oppos´ees. Le lecteur est encourag´e `a trouver des exemples physiques pour chacun de ces cas et a dessiner les figures correspondantes. C’est sur la base de ces arguments de sym´etrie ` → − qu’on montre “sans calcul” (en se rappelant que B est un pseudovecteur) qu’une antenne dipolaire ´electromagn´etique (figure 57) ne rayonne pas dans la direction → − − → → − de son axe ( E ∧ B = 0, car B = 0, sur l’axe), ou qu’il n’y a pas de rayonnement → − monopolaire en ´electromagn´etisme car pour un syst`eme `a sym´etrie sph´erique B = 0 en tout point.

B= 0

z

B

Ez

Er plan de symétrie plan d’ antisymétrie

B=0

+q I −q

Ez

B

Er

Figure 57 → EXEMPLE 4. En acoustique o` u l’analogue du vecteur de Poynting est P  − v (produit de la surpression par la vitesse du fluide), on montre pareillement qu’un dipole ne rayonne pas d’onde sonore dans une direction perpendiculaire au dipole (pas de com→ posante du “vrai” vecteur − v dans le plan d’antisym´etrie du dipole), et qu’un syst`eme → a sym´etrie sph´erique (pour lequel − ` v est radial) rayonne ´egalement dans toutes les directions (rayonnement monopolaire).

Chapitre 4

Calcul et physique lin´ eaires ; relativit´ e ; quantique Le calcul lin´eaire trouve ses origines dans l’´etude des syst`emes d’´equations lin´eaires et leur r´esolution par les techniques de d´eterminants et de transformations lin´eaires (`a partir de 1750). Ces techniques appliqu´ees ´egalement `a la diagonalisation des formes quadratiques ont conduit vers 1850 au calcul matriciel (Cayley), ainsi qu’` a la notion plus abstraite d’espace vectoriel (E.V.). Son extension aux E.V. de fonctions (Hilbert 1912), le formalisme matriciel ´etant g´en´eralis´e aux op´erateurs, a jou´e un rˆ ole essentiel pour la mise en forme math´ematique, entre 1922 et 1927 (Schr¨odinger, Heisenberg, Born, etc.), de la “physique des quanta”. Par ailleurs, les travaux initi´es `a partir de 1870 par Klein et Lie sur les groupes et leurs repr´esentations lin´eaires (par des groupes de matrices agissant sur des E.V.), ont re¸cu de nombreuses applications en physique quantique a` partir de 1930, l’exemple le plus simple ´etant l’action des rotations sur les ´etats de spin 1/2. Bien que d’un usage relativement tardif en physique classique, le calcul matriciel est l` a aussi tr`es utile. Il permet de d´ecrire, dans l’approximation lin´eaire, les relations entre grandeurs additives, que ce soient des vecteurs de l’espace ordinaire (´etude des → − → − − → → d´eformations, relation entre − ω et J en m´ecanique du solide, entre D et E en ´electromagn´etisme...) ou des vecteurs d’E.V. plus abstraits (quadrivecteurs en relativit´e d’Einstein, E.V. des rayons lumineux en optique matricielle de Gauss...). Le lecteur trouvera d’autres applications inportantes aux chapitres 5 (analyse des signaux) et 6 (´etude des syst`emes dynamiques lin´eaires dans l’espace de phase).

4.1 4.1.1

ESPACES VECTORIELS D´ efinitions ; changements de bases ; applications lin´ eaires

Rappelons qu’un espace vectoriel (E.V.) est un ensemble E d’´el´ements, les vecteurs x, muni de deux lois : une loi d’addition, qui fait de E un groupe commutatif avec un ´el´ement neutre 0, et une loi de multiplication par des scalaires λ r´eels (E.V. r´eel) ou complexes (E.V. complexe). Ces deux lois sont distributives l’une par rapport `a l’autre : (λ1 + λ2 ) x = λ1 x + λ2 x et λ (x1 + x2 ) = λx1 + λx2 . Le vecteur 0 = 0 × x est simplement not´e 0.

4 • Calcul et physique lin´eaires ; relativit´e ; quantique

88

 Vecteurs ind´ ependants ; bases p vecteurs sont ind´ependants si l’´egalit´e λ1 x1 +· · ·+λp xp = 0 implique λ1 = · · · = λp = 0. Cette notion d’ind´ependance permet de d´efinir d’une part la dimension de E, dim E, qui est le nombre maximum n de vecteurs ind´ependants dans E (ou de degr´ es de libert´ e dans E), et d’autre part d’introduire la notion de base, qui est un ensemble discret de vecteurs ind´ependants (e1 , · · · , en ) tels que tout x ∈ E s’´ecrit de mani`ere unique : x=



xi ei (xi composantes ou coordonn´ees de x dans la base) .

i

On dit aussi que la base {ei } engendre E. dim E peut ˆetre infinie ; c’est le cas de l’E.V. des polynˆomes P (x) engendr´e par la base des monomes {xn , n ≥ 0}, ou de celui des x fonctions de p´eriode a engendr´e par la base des exponentielles complexes {ei2πn a , n ∈ Z). REMARQUES. 1) Somme directe. Si E1 est un sous E.V. de E (sous ensemble de E laiss´ e invariant par les lois ci-dessus), on appelle sous E.V. compl´ ementaire E2 tout sous E.V. tel que tout vecteur x admet une d´ecomposition unique x = x1 + x2 avec xi ∈ Ei . E est appel´e somme directe E = E1 ⊕ E2 de E1 et E2 et dim E = dim E1 + dim E2 (addition des degr´ es de libert´ e). Exemple dim E = 2 (base e1 , e2 ) : si E1 est engendr´e par e1 tout vecteur e2 + λe1 peut engendrer E2 (qui n’est donc pas unique ; figure 1).

E1

E’2

E2

e2

e2

x2

E1

e1

e’2= e 2+ 2 e 1

e 1= e’1 x’1

Figure 1

x

x’2= x 2 x1

Figure 2

2) Produit tensoriel. Le produit tensoriel E ⊗ F de deux E.V. (E base {ei } et F base {f j }) est

l’E.V., de dimension dim E × dim F (produit des nombres de degr´ es de libert´ e), engendr´e par

la base {ei ⊗ f j }. Par exemple l’E.V. des fonctions de deux variables, p´eriodiques de p´eriode a selon y x → − eme un champ A ( r , t) = x et b selon y, est engendr´e par la base {ei2πn a ei2πp b }, n, p ∈ Z. De mˆ r , t) x ˆ + Ay ( r , t) yˆ + Az ( r , t) zˆ est un ´el´ ement du produit tensoriel de R3 , qui caract´erise les degr´es Ax ( de libert´e d’un vecteur, et d’un E.V. convenablement choisi de fonctions, qui caract´erise ceux de la  d´ ependance spatio-temporelle. On fera attention qu’un ´el´ ement ij xij ei ⊗ f j de E ⊗ F (par exemple  y i2π x i2π y −i2π x −i2π y a e b + e a e b ) ne s’´ + e crit pas, sauf exception, comme le produit = e 2 cos 2π x a b  cos 2π yb ). tensoriel de deux vecteurs x ⊗ y = ij xi yj ei ⊗ f j (ce qui est par contre le cas de cos 2π x a

 Changements de bases et de coordonn´ ees Ils sont reli´es par : ei =

 j

Pji ej ⇐⇒xj =

 i

Pji xi .

4.1 Espaces vectoriels

89

   En effet : x = i xi ei = ij xi Pji ej = j xj ej . On notera que si les ei sont donn´es en fonction des ej , ce sont les xj qui se d´eduisent simplement des xi ; l’expression des xi en fonction des xj n´ecessite une op´eration d’inversion (cf. section 4.2.2). EXEMPLE (dim E = 2) : les relations e1 = e1 et e2 = e2 +2e1 entraˆınent x1 = x1 +2x2 et x2 = x2 (figure 2).

 Applications lin´ eaires Etant donn´es deux E.V., E et F , une application lin´eaire A de E dans F associe `a tout x de E un vecteur y = Ax de F de sorte qu’` a λ1 x1 +λ2 x2 corresponde λ1 (A x1 )+λ2 (A x2 ). Dans des bases {ei } et {f j }, l’application est d´ecrite par la relation lin´eaire entre les composantes :  yj = Aji xi avec Aji = composante de A ei selon f j . i

 xi ( j Aji f j ).) Des exemples avec E = → − → F = R3 sont : les rotations (cf. section 3.3.1) ; la relation entre − ω et J en m´ecanique du − → solide (cf. section 3.3.3) ; la relation entre le champ ´electrique E et la densit´e de courant → → −

j = N q v lorsque m v = q (− E + v ∧ B 0 ) (´etude de l’effet Hall), qui s’´ecrit explicitement τ  −1   N q2 τ → − q 2 B02 τ 2 qB0 τ N q2 τ E E Ez ; la si B 0  zˆ : jx,y = 1 + et j ± = x,y y,x z m2 m m m → − → − relation entre E et D dans un di´electrique parfait anisotrope (cf. section 8.2.1). (On ´ecrit y = A



i

xi ei =



i

xi (Aei ) =



i

AUTRES EXEMPLES : les ´ evolutions x(t0 ) → x(t) = Ftt0 x(t0 ) de syst`emes r´egis par des E.D. lin´ eaires (cf. section 6.1.1) ; les op´erations de translation f (t) → f (t − τ ), de d´erivation et plus g´ en´ eralement de filtrage sur les signaux (cf. section 5.2.1) ; les relations entre f.e.m et intensit´es ej =   electricit´ e et entre flux magn´etiques et intensit´es Φj = i Mji Ii en magn´etostatique. i Rji Ii en ´

Noyau et image. Pour A fix´e, les x tels que Ax = 0 forment un sous E.V. de E, le noyau de A not´e KerA. L’ensemble des Ax est un sous E.V. de F , l’image de A not´ee ImA ; sa dimension d´efinit le rang de A et v´erifie : rangA = dim E − dim(KerA). EXEMPLES. Pour l’application r → A r = n ˆ ∧ r, KerA est constitu´e par les vecteurs parall`eles `a n ˆ et ImA par ceux perpendiculaires a` n ˆ ; rangA = 2. Dans un filtrage passe-bas id´eal (|ν| < ν0 ) de signaux de p´eriode T , KerA (resp. ImA) est engendr´e par t les ei2πn T avec |n| > ν0 T (resp. |n| < ν0 T ).  R´ esolution d’´ equations lin´ eaires yj = i Aji xi (j = 1, · · · , p ; i = 1, · · · , n ; xi inconnues ). Ces ´equations sont ´equivalentes ` a y = Ax (avec dimE = n, dimF = p). Donc il n’y a de solutions que si y ∈ ImA. La solution est unique si q = dim(KerA) = 0, et elle d´epend de q param`etres si q = 0. (x(1) et x(2) ´etant deux solutions, la relation (2) y = Ax(1) = Ax entraˆıne x(1) − x(2) ∈ KerA.) En particulier pour les ´equations sans second membre i Aji xi = 0, une solution x = 0 n’existe que si le noyau est non trivial (q > 0).

4 • Calcul et physique lin´eaires ; relativit´e ; quantique

90

4.1.2

Structures m´ etriques ; fonctions orthonorm´ ees

 Produit scalaire Souvent, comme dans l’espace ordinaire, il existe dans E une structure m´etrique d´eduite d’un produit scalaire (appel´e produit hermitien si E est complexe). Ce produit v´erifie (x , λ1 y1 + λ2 y 2 ) = λ1 (x , y 1 ) + λ2 (x , y 2 ) et (x , y) = (y , x), ce qui implique, attention, (λx , y) = λ (x , y). Dans le cas non d´eg´en´er´e (consid´er´e dans la suite), x = 0 entraˆıne 1 (x , x) = x 2 > 0 et x ˆ = x  x − 2 est un vecteur norm´e ( x ˆ = 1). Le vecteur x , y) x ˆ Px y = (ˆ est la projection orthogonale de y sur (la direction de) x ; en effet, son compl´ementaire y = y − Px y est orthogonal a` x : (ˆ x , y  ) = 0. L’op´erateur Px est un projecteur. REMARQUE. Plus g´ en´ eralement, ` a tout sous E.V. E1 est associ´e un unique sous E.V. compl´ementaire orthogonal E2 = E1⊥ tel que x = x1 + x2 avec (x1 , x2 ) = 0 et xi ∈ Ei (cf. figure 1).

In´ egalit´ e de Schwarz. En ´ecrivant que pour tout λ on a (x + λy , x + λy) = |λ|2  y 2     +2e λ (x , y) +  x 2 ≥ 0, et en choisissant λ de sorte que e λ (x , y) = |λ| |(x , y)|, on obtient : |(x , y)| ≤ x   y  (´egalit´e si y = Cste x) . Application aux signaux. Dans l’E.V. des signaux complexes de carr´e sommable le produit scalaire est : (f1 , f2 ) = f1 (t) f2 (t) dt. Pour un signal normalis´e ( f = 1), on d´efinit les dispersions en temps u t0 = t |f (t)|2 dt est le temps moyen, Δt et en pulsation Δω par (Δt)2 = (t − t0 )2 |f (t)|2 dt, o`   2 df(t) 1 d − ω0 f (t) dt, o` u ω0 = f (t) 1i dt dt est la pulsation moyenne (penser pour et (Δω)2 = i dt   −1 iω t 0 2 T grand ` a f (t) proche de T e sur − T2 , T2 et nulle ailleurs). En posant x = (t − t0 ) f (t) et 1 d  y = i dt − ω0 f (t), et en notant que |(x , y)| ≥ | m(x , y)| = 12 (calcul simple d’int´egration par parties), on obtient :

Δt Δω ≥

1 2

.

Cette relation est l’analogue pour les signaux de l’in´ egalit´ e de Heisenberg. Le lecteur montrera que 2 b eel (cf. aussi section 4.4.3). l’´ egalit´e entraˆıne f (t) ∝ eiω0 t e− 2 (t−t0 ) avec b r´

Bases orthonorm´ ees (orthogonalisation de Schmidt). Soit ˆe1 un vecteur norm´e. En choisissant un vecteur e ind´ependant de ˆe1 et un nombre λ1 , on construit une combinaison lin´eaire e2 = e + λ1 ˆe1 orthogonale a` ˆe1 ; partant ensuite d’un vecteur e ind´ependant de ˆe1 et ˆe2 , on construit de mˆeme e3 = e + λ1 ˆe1 + λ2 ˆe2 orthogonal aux deux pr´ec´edents. En it´erant cette proc´edure et en normant les vecteurs on obtient une base telle que (ˆei , ˆej ) = δij (δij = 0 si i = j et δii = 1 symbole de Kronecker). Dans une telle base :   xi yi (= xi yi dans le cas r´eel) . (x , y) = i

i

Si dim E est infini il faut “compl´eter” E par des “suites de Cauchy” de vecteurs (comme pour R) : E est alors un espace de Hilbert.

 E.V. de fonctions Un exemple est l’E.V. engendr´e par les fonctions eimϕ (m ∈ Z), qui forment une base 2π orthonorm´ee, pour le produit scalaire (f , g) = (2π)−1 0 f (ϕ) g(ϕ) dϕ, de l’E.V. des fonctions de p´eriode 2π de norme finie (cf. aussi s´eries de Fourier section 5.3.1).

4.1 Espaces vectoriels

91

AUTRES EXEMPLES. 1) On peut obtenir une base orthonorm´ee de l’E.V. des fonctions d´efinies 1 sur [−1, 1], muni du produit scalaire (f , g) = −1 f (x) g(x) dx, en appliquant l’orthogonalisation de Schmidt aux fonctions ind´ependantes 1, x, · · · , xn ,... La base des polynˆ omes ainsi obtenus co¨ıncide, aux facteurs de normalisation pr`es, avec les polynˆ omes de Legendre P0 (x) = 1, P1 (x) = x,  1 l con ´ equivalente, P2 (x) = 12 (3x2 − 1)..., qui sont d´efinis par (1 − 2tx + t2 )− 2 = ∞ l=0 t Pl (x), ou, de fa¸ par l  r 1 0 = ∞ l=0 r l+1 Pl (cos θ) , | r− r | 0

eveloppement multipolaire utilis´e en ´ electrostatique). D’autres poavec r0 < r et cos θ = rˆ · rˆ0 (d´ lynˆ omes, de Tchebychev (cf. section 11.3.1), de Hermite (cf. section 4.4.4) etc., formant une base orthogonale pour d’autres produits scalaires, sont aussi utilis´es en physique (rayonnement d’antennes, faisceaux optiques gaussiens, etc.) (cf. ouvrages sp´ecialis´es). 2) Fonctions orthogonales sur la sph` ere. Puisque |d(cos θ)| = sin θ dθ, on pourrait prendre les fonctions Pl (cos θ) eimϕ (avec l ∈ N et m ∈ Z) comme base orthogonale, pour le produit scalaire f (ˆ n) g(ˆ n) dΩ (avec n ˆ ≡ (θ, ϕ) et dΩ = sin θ dθ dϕ), de l’E.V. des fonctions f (θ, ϕ) de norme (f , g) = finie. Mais, comme le produit scalaire est invariant par rotation ((f , g) = f (R−1 n ˆ ) g(R−1 n ˆ ) dΩ), on pr´ef` ere regrouper les fonctions de base par sous espaces laiss´es chacun invariant par rotation (cf. section |m| 4.2.5). On d´emontre, et on admettra, que les fonctions Pl (cos θ) eimϕ (avec m = −l, −l + 1, · · · , l et |m|

|m|

|m|

Pl (u) = (1−u2 ) 2 d |m| Pl (u)), sont orthogonales et forment pour chaque l un sous E.V. invariant du (auquel appartient Pl (cos θ), cas m = 0). Ces fonctions convenablement normalis´ees forment la base des harmoniques sph´ eriques Ylm (θ, ϕ) ; les premi`eres (l = 0, 1, 2) s’´ecrivent : ! ! 3 3 0 , Y10 = cos θ , Y1±1 = ∓ 8π sin θ e±iϕ , Y0 = √1 4π 4π ! ! ! 5 15 15 Y20 = (3 cos2 θ − 1) , Y2±1 = ∓ 8π sin θ cos θ e±iϕ , Y2±2 = sin2 θ e±i2ϕ . 16π 32π Remarques. 1) A un facteur pr`es ces fonctions sont 1, z et x ± iy, 3z 2 − 1, z(x ± iy) et (x ± iy)2 ; plus |m|

g´ en´ eralement Yl±l ∝ sinl θ e±ilϕ ∝ (x ± iy)l . 2) Les Pl

(u) ont l − |m| z´ eros dans ] − 1, 1[, et donc

et s’annulent sur l − |m| parall`eles et |m| cercles m´eridiens formant un les fonctions “quadrillage” de la sph`ere. (cf. ouvrages de m´ecanique quantique.) eYlm

4.1.3

mYlm

Formes quadratiques et antisym´ etriques ; volume

On suppose dim E = n. Par d´efinition une forme p-lin´ eaire associe `a p vecteurs x(1) , . . . , x(p) un nombre f (x(1) , . . . , x(p) ) qui d´epend lin´eairement de chaque vecteur. Dans une base :  (1) (p) f (x(1) , . . . , x(p) ) = ai1 ···ip xi1 · · · xip avec ai1 ···ip = f (ei1 , · · · , eip ) . i1 ,··· ,ip

 EXEMPLE. Le plus simple est l’E.V. des 1-formes f (x) = i ai xi , appel´e E.V. dual E ∗ de E ; il est engendr´e par la base duale {fi } d´efinie par fi (x) = xi . Si E est muni d’un produit scalaire et si {ˆei } est une base orthonorm´ee, la relation fi (x) = (ˆei , x) permet d’identifier E et E ∗ .

 Formes quadratiques Ce sont des formes bilin´eaires (p = 2) sym´etriques r´eelles, appel´ees m´ etriques lorsque les xi sont des coordonn´ees d’espace ou d’espace-temps :  aij xi yj (aij = aji ; xi et yj r´eels) . f (x, y) = ij

La forme est d´ efinie positive si f (x, x) > 0 pour tout x = 0.

4 • Calcul et physique lin´eaires ; relativit´e ; quantique

92

EXEMPLE PHYSIQUE (figure 3). L’´energie du circuit    1  1 q22 1  1 q12 + L1 q˙12 + L2 q˙22 + L(q˙1 + q˙2 )2 = + qi Kij qj + q˙i Mij q˙j e= 2 C1 C2 2 2 ij 2 ij    et la puissance dissip´ee P = − R1 q˙12 + R2 q˙22 + R(q˙1 + q˙2 )2 = − ij q˙i Fij q˙j sont des formes quadratiques respectivement positive et n´egative. Ici E = R4 , x ≡ (q1 , q2 , q˙1 , q˙2 ) 1 1 et M11 = L1 , M22 = L2 , M12 = M21 = L, K11 = , K22 = , K12 = K21 = 0, C1 C2 F11 = R1 + R, F22 = R2 + R, F12 = F21 = R. Le bilan de  = (q˙i Kij qj + q˙i Mij q¨j ) = P dt ij    conduit a` ij q˙i Mij q¨j + Fij q˙j + Kij qj = 0, ou, puisque les q˙i peuvent ˆetre pris a` tout instant quelconques, aux ´equations d’oscillateurs coupl´ es :    Mij q¨j = − Kij qj − Fij q˙j . j

j

j

(Le lecteur v´erifiera que ces ´equations, qui g´en´eralisent celle d’un oscillateur amorti m¨ x = −kx − f x, ˙ sont bien celles du circuit.)

L1

C1

z

L2

L q2

q1

O R2

Figure 3

P2

C2

S

R R1

P1

x



r

y

Figure 4

´ ´ EXEMPLE GEOM ETRIQUE. L’´equation d’une surface S tangente en O au plan (xOy) s’´ecrit pr`es de O : 1 z = (ax2 + 2bxy + cy 2 ) ; 2 r2 la forme est d´efinie positive si la surface est convexe en O (figure 4). Soit z = 2R(ϕ) l’´equation de la courbe Γ, intersection de S avec le plan (x = r cos ϕ, −1  a+c a−c + cos 2ϕ + b sin 2ϕ est le rayon de courbure y = r sin ϕ). R(ϕ) = 2 2 de Γ en O (cf. section 3.2.1). Il est compris entre les valeurs (alg´ebriques) extrˆemes, appel´ees aussi rayons de courbure principaux :

4.1 Espaces vectoriels

⎛ R1 = ⎝

93

 a+c − 2



b2 +

a−c 2

2

⎛

⎞−1 ⎠

et

R2 = ⎝

 a+c + 2



b2 +

a−c 2

2

⎞−1 ⎠

.

En optique, la diff´erence R1−1 − R2−1 relative a` une surface d’onde est responsable de l’aberration d’astigmatisme (cf. figure 34 section 7.3.2). On appelle usuellement courbure de la surface S la quantit´e :  π C = a + c = R−1 (ϕ) + R−1 ϕ + = R1−1 + R2−1 . 2 1 2 pour une sph`ere, pour un cylindre et peut ˆetre nulle si R1 = −R2 Elle vaut R R (surface en forme de “selle de cheval”). Elle intervient en hydrodynamique dans la loi de Laplace de la tension superficielle P1 − P2 = T C relative a` la diff´erence de pression de part et d’autre d’une surface s´eparant deux fluides (cf. cours de physique ; P1 > P2 sur la figure 4). Elle est diff´erente de la courbure de Gauss introduite a` la section 3.2.6, et qui vaut ici : CG = ac − b2 = R1−1 R2−1 .

 Formes p-altern´ ees (ou antisym´etriques) Ce sont des formes p-lin´eaires (p ≤ n) dont le signe change quand on ´echange deux vecteurs, f (· · · x · · · y · · · ) = −f (· · · y · · · x · · · ), ou (c’est ´equivalent) qui s’annulent d`es que deux vecteurs sont proportionnels. Des exemples pour p = 2 et p = 3 sont (i < j < k) σi,j (x, y) =

et σi,j,k (x, y, z) =

xi xj xk

yi yj yk

zi zj zk

xi xj

yi yj

= xi yj − xj yi

= xi (yj zk − yk zj ) + yi (zj xk − zk xj ) + zi (xj yk − xk yj ) .

Les quantit´es | · · · | sont les d´eterminants des matrices (· · · ) (cf. section 4.2.1). σi,j (x, y) repr´esente l’aire (alg´ebrique) du parall´elogramme construit avec les projections de x et y sur le plan (O, ei , ej ), l’unit´e d’aire ´etant σi,j (ei , ej ) = 1. Si E est l’espace usuel, σ1,2,3 (x, y, z) est le produit mixte des vecteurs. De fa¸con g´en´erale il y a Cnp p-formes altern´ees ind´ependantes.

 Forme volume Toute n-forme altern´ee est multiple de la forme d´efinie par : (1)

vol (x(1) , . . . , x(n) ) =

x1 .. .

(1)

xn

(n)

··· .. .

x1 .. .

···

xn

(n)

def

=



(1)

(n)

i1 ··· in xi1 · · · xin .

i1 ,...,in

i1 ··· in est un symbole qui est nul d`es que deux indices sont ´egaux, et qui vaut ±1 selon que la suite ordonn´ee de ses indices se d´eduit de la suite {1, . . . , n} par une permutation paire ou impaire (cf. remarque ci-dessous) :

4 • Calcul et physique lin´eaires ; relativit´e ; quantique

94

P (1)···P (n) = (−1)|P | (|P | = 0 si la permutation P est paire et |P | = 1 si elle est impaire) . vol (· · · ) est le volume de l’hyperparall´el´epip`ede construit avec les n vecteurs x(1) , . . . , x(n) et vol (e1 , . . . , en ) = 1. Son caract`ere altern´e entraˆıne que vol (· · · ) = 0 si un des vecteurs s’exprime lin´eairement en fonction des autres et donc que vol (· · · ) = 0 est un crit`ere d’ind´ependance des n vecteurs. Dans le cas de l’espace usuel (n = 3) le symbole ijk est aussi not´e eijk ; en utilisant la convention de sommation d’Einstein, qui consiste `a sommer sur un indice apparaissant deux fois, et la correspondance (x ≡ 1, y ≡ 2, z ≡ 3), le produit vectoriel et le produit mixte s’´ecrivent : → − − → ( A ∧ B )i = ijk Aj Bk

;

− → − − → → A · ( B ∧ C ) = ijk Ai Bj Ck .

REMARQUE. On rappelle que toute permutation est la composition de transpositions (´echange de deux ´ el´ements), et que la parit´e du nombre de transpositions n´ecessaires ne d´epend pas de la mani`ere dont on proc`ede ; par exemple la permutation qui fait passer de {1, 2, 3} ` a {3, 2, 1} est impaire car on peut la r´ealiser ` a l’aide d’une transposition (´echange de 1 et 3) ou de trois (´echange de 1 et 2 puis de 1 et 3 puis de 2 et 3), mais pas de deux.

4.2 4.2.1

CALCUL MATRICIEL Bases du calcul matriciel ; lien avec le calcul vectoriel

 D´ efinitions et r` egles de calcul Rappelons qu’une matrice p × n est un tableau M de nombres (´el´ements du corps des r´eels, des complexes, etc.) `a p lignes et n colonnes ; exemples (la notation ´etant justifi´ee ci-dessous) : ⎞ ⎛ ⎞ ⎛   x1 2 1   2 0 −1 x = ⎝x2 ⎠ , A = , At = ⎝ 0 4⎠ , x† = x1 x2 x3 . 1 4 0 −1 0 x3 Le nombre situ´e `a l’intersection de la ligne j et de la colonne i est l’´el´ement Mji de la matrice (exemple A21 = 1). x est une matrice colonne et x† est une matrice ligne. On peut ajouter des matrices p×n entre elles ou les multiplier par λ : (A+B)ji = Aji +Bji et (λ A)ji = λ Aji (structure d’E.V.). Le produit de deux matrices est d´efini par : C = B A⇐⇒Cki =



Bkj Aji .

j

Ceci implique que le nombre de colonnes de B soit ´egal au nombre de lignes ⎛     5 2x1 − x3 5 2 , At A = ⎝ 4 , A At = EXEMPLES : A x = 2 17 x1 + 4x2 −2

de A. ⎞ 4 −2 16 0 ⎠. 0 1

La matrice transpos´ ee At d´eduite de A par ´echange des lignes et des colonnes ((At )ij = Aji ), et la matrice adjointe A† d´efinie par (A† )ij = Aji v´erifient :

4.2 Calcul matriciel

95

(At )t = (A† )† = A

, C = B A⇐⇒Ct = At Bt ⇐⇒C† = A† B† ;   par exemple (A x)t = xt At = 2x1 − x3 x1 + 4x2 . Quand elle est possible, la multiplication est associative (C (B A) = (C B) A = C B A) et distributive (C (A + B) = CA + CB) ; donc si dA est une variation infinit´esimale de A (c.a.d. (dA)ji = d(Aji )), on a d(AB) = (dA) B + A dB. Par contre elle n’est pas commutative (cf. ci-dessus At A = AAt ). Si p = n on appelle commutateur de A et B la matrice [A, B] = AB − BA = −[B, A] ; elle v´erifie [A, BC] = [A, B] C + B [A, C] et [A, [B, C]] + [B, [C, A]] + [C, [A, B]] = 0 (identit´e de Jacobi).

 Ecritures matricielle et vectorielle

 Dans une base d´etermin´ee {ei } de E, on repr´esente tout vecteur x = i xi ei par une matrice colonne, not´ee aussi x, d’´el´ements xi (cf. exemple ci-dessus) ; en particulier la matrice ei est la colonne dont tous les ´el´ements sont nuls, sauf celui de la ligne i qui est ´egal a` 1. On en d´eduit l’´ecriture matricielle d’une application lin´eaire de E (base {ei }) dans F (base {f j })  yj = Aji xi ⇐⇒y = Ax i

(en identifiant l’application et sa matrice repr´esentative dans les bases choisies). La i`eme colonne de A n’est autre que le produit matriciel Aei et Aji = f tj Aei . Si E ≡ F , un produit scalaire de vecteurs dans une base orthonorm´ee s’´ecrit :  xi yi = x† y (= xt y dans le cas r´eel) ; (Ax, By) = x† A† By . (x, y) = i

4.2.2

Matrices n × n ; exponentielle ; trace ; d´ eterminant ; inverse

 Matrices remarquables 1) La matrice identit´ e I d’´el´ements Iji = δji . Elle v´erifie IA = AI = A et c’est la seule (`a un facteur pr`es) `a commuter avec toutes les autres. 2) Les matrices r´eelles sym´ etriques S = St , antisym´ etriques A = −At , et les matrices t t orthogonales OO = O O = I qui conservent le produit scalaire r´eel : (Ox, Oy) = xt Ot Oy = (x, y). Par exemple pour n = 2 : S=

 a b

    0 −λ b cos θ ; O = Rθ = ; A= λ 0 d sin θ

− sin θ cos θ

 ou Sθ =

 cos θ sin θ

sin θ − cos θ

 .

Rθ correspond a` une rotation d’angle θ dans le plan (xy), et S2θ = Rθ S0 R−1 est une θ sym´etrie par rapport a` un axe faisant l’angle θ avec Ox. 3) Les matrices complexes hermitiennes H = H† , antihermitiennes iH telles que (iH)† = −iH, et les matrices unitaires UU† = U† U = I qui conservent le produit scalaire hermitien : (U x, U y) = x† U† Uy = (x, y). 4) Les projecteurs. P = m m† (avec m norm´e) projette le vecteur x sur la direction m. On v´erifie : P = P† , P2 = P, P1 P2 = m1 (m†1 m2 )m†2 = 0 si m1 et m2 sont orthogonaux.

4 • Calcul et physique lin´eaires ; relativit´e ; quantique

96

EXEMPLE. En optique ondulatoire, un polariseur rectiligne,  ou  circulaire gauche Ex (resp. droit), est un appareil qui projette le champ complexe e−iωt sur les vecE y       1 1 cos θ 1 1 , ou √ (resp. √ ). Ces vecteurs norm´es repr´esentent les teurs sin θ 2 i 2 −i ´ etats de polarisation desphotons  associ´esau champ (cf. section 4.4.1). Les projecteurs 1 cos2 θ sin θ cos θ 1 ∓i repr´esentent l’“action” du polariseur. ou sin θ cos θ sin2 θ 2 ±i 1

 Exponentielles ; groupes continus On d´emontre, et on admettra, que l’´etude des groupes “continus” (rotations par exemple) se ram`ene `a celle de sous groupes `a un param`etre (rotations autour d’un axe par exemple) ; ces sous groupes font intervenir des exponentielles de matrices (g´en´erateurs des sous groupes). Comme pour les nombres, eA est d´efini par la s´erie convergente eA = I + A +

An A2 + ···+ + ··· 2! n!

et les matrices M(t) = etA v´erifient les propri´et´es : et1 A et2 A = e(t1 +t2 ) A

,

d tA e = A etA dt

,

 A n etA = lim I + t . n→∞ n

Ces matrices forment un groupe commutatif `a un param`etre enti`erement d´etermin´e par dM(t) son g´ en´ erateur A = . dt t=0 EXEMPLE 1. Les rotations (actives) d’angle θ dans le plan (x, y), les transformations (passives) de Lorentz de rapidit´e ϕ dans le plan V  Galil´ee de vitesse  (x, ct) ou de 0 −1 cos θ − sin θ , = exp θ dans le plan (x, t) s’´ecrivent respectivement : 0 sin θ cos θ   1        0 1 1 −V 0 1 cosh ϕ − sinh ϕ ; le = exp −V et = exp −ϕ 0 0 0 1 1 0 − sinh ϕ cosh ϕ calcul de eA est imm´ediat car A2 = −I, I ou 0. EXEMPLE 2. Les rotations dans l’espace d’angle θ autour d’un axe passant par O et de vecteur directeur n ˆ (α, β, γ) s’´ecrivent : ⎞ ⎛ 0 −γ β 0 −α⎠ . Rnˆ (θ) = eθ Anˆ avec Anˆ = ⎝ γ −β α 0 En effet, de Anˆ r = n ˆ ∧ r on d´eduit Rnˆ () r = r +  n ˆ ∧ r, qui correspond bien a` une rotation infinit´esimale autour de n ˆ . Les matrices Rnˆ (θ) s’identifient aux matrices orthogonales 3 × 3 de d´eterminant 1. EXEMPLE 3. Si A = −At est r´eelle, les matrices O(t) = etA sont orthogonales (en effet (exp tA)t = exp tAt = exp −tA), et r´eciproquement (on ´ecrit O() Ot () = (I+A) (I+At ) = I ` a l’ordre ). Si H = H† est hermitienne, les matrices U(t) = e−itH sont unitaires et r´eciproquement (d´emonstration analogue).

4.2 Calcul matriciel

97

EXEMPLE 4. Les solutions de x˙ = A x, ´equation a` laquelle se ram`ene toute E.D.L.S. (cf. section 6.2.2), sont x(t) = etA x(0). REMARQUE. Groupe de Lie. On fera attention que eA eB = eA+B si les matrices A et B ne commutent pas. Le r´esultat exact, dont la d´emonstration est non triviale, est eA eB = eC avec C = u les « · · · » ne font intervenir que des matrices obtenues ` a partir de commutations A+B+ 12 [A, B]+· · · , o` 2

avec A ou B de leur commutateur [A, B]. On le v´erifie ` a l’ordre deux en ´ ecrivant eA eB = (I + A + A2 + · · · ) (I + B +

2

B 2

+···) = I+A+B+

2

(A+B) 2

+

AB−BA 2

+ · · · . Ce r´esultat a pour cons´equence qu’une

ependant continˆ ument de p param`etres t1 , · · · , tp , et reli´ ees continˆ ument ` a famille de matrices M(t) d´ l’identit´e M(0) = I, forme un groupe (de Lie) si et seulement si les commutateurs des p g´ en´ erateurs | sont des combinaisons lin´ e aires des A . Par exemple pour les g´ e n´ e rateurs An Ai = ∂M(t) t=0 j ˆ ci∂t i

dessus du groupe des rotations, un calcul ´el´ementaire montre que : [Axˆ , Ayˆ ] = Azˆ, [Ayˆ, Azˆ] = Axˆ et [Azˆ, Axˆ ] = Ayˆ .

 Trace et d´ eterminant On appelle trace de A le nombre  trA = Aii (somme des ´el´ements diagonaux) . i

On v´erifie facilement : trI = n, trAt = trA et trAB = trBA. Le d´ eterminant est d´efini par : det A =

A11 .. . An1

··· .. . ···

A1n .. . Ann

=



i1 ···in Ai1 1 · · · Ain n .

i1 ···in

Cette quantit´e, ´ecrite explicitement pour n = 2 et n = 3 `a la section 4.1.3, n’est autre que vol(Ae1 , · · · , Aen ). On en d´eduit que det A est multipli´e par λ si une colonne est multipli´ee par λ (donc det(λA) = λn det A), et qu’il reste inchang´e si on ajoute `a une colonne une combinaison lin´eaire d’autres colonnes ; la condition det A = 0 caract´erise l’ind´ependance des vecteurs “colonnes” Aei . On montre que les d´eterminants v´erifient : det AB = det A det B , det eA = etrA .  n La derni`ere propri´et´e r´esulte de : det I + A/n  (1 + trA/n)n pour n grand. det At = det A

,

REMARQUE. Dans la somme qui d´efinit det A, chaque terme non nul contient un et un seul ´el´ ement e. On peut donc regrouper les termes de cette somme pour d´evelopper le d´eterminant par Aji pour j fix´  (ji . Le coefficient rapport aux ´el´ ements d’une ligne j quelconque (mais fix´ee) et ´ecrire det A = i Aji A (ji , appel´e cofacteur de Aji , est le produit par (−1)i+j du d´eterminant de la matrice obtenue en A supprimant dans A la ligne j et la colonne i. On ram`ene ainsi le calcul d’un d´eterminant n × n ` a celui  ( A = det A δjk , A i ji ki

de d´eterminants (n − 1) × (n − 1) (cf. σi,j,k (x, y, z) section 4.1.3). On a aussi

car (r´eflexion laiss´ee au lecteur) pour k = j la somme est le d´eterminant de la matrice A dans laquelle la ligne k a ´ et´ e remplac´ee par la ligne j, et un d´eterminant est nul si deux lignes j et k sont ´egales, d’o` u: ( t A = (det A) I (A ( matrice des cofacteurs). (t = A AA

 Inverse La matrice inverse A−1 de A est telle que A−1 A = AA−1 = I. Son unicit´e est facile `a d´emontrer ; la remarque ci-dessus ´etablit sa condition d’existence det A = 0.

4 • Calcul et physique lin´eaires ; relativit´e ; quantique

98  a EXEMPLE. c

 −1  1 d −b b si Δ = ad − bc = 0. = d Δ −c a

Application aux changements de bases. Si y = Ax est une relation matricielle entre vecteurs de E, un changement de base induit les changements de coordonn´ees x = Px , y = Py  (cf. section 4.1.1) ; il conduit `a y  = A x avec A = P−1 AP, matrice repr´esentative de la relation dans la nouvelle base.

4.2.3

Spectre d’une matrice n × n ; vecteurs propres ; exemples

Le spectre de A est l’ensemble des nombres λ pour lesquels A − λI n’est pas inversible, donc pour lesquels det(A − λI) = 0, ou encore tels que Ker(A − λI) = 0. Sa connaissance est essentielle pour mettre A sous une forme simple (diagonale ou de Jordan), et pour ramener toute fonction de A ` a un polynˆ ome simple.

 Polynˆ ome caract´ eristique de A D´efini par def

Pc (z) = det(zI − A) = Πni=1 (z − λi ) , donc dela forme z n + an−1 z n−1 + · · · + a0 , avec (−1)n a0 = det A = Πi λi et −an−1 = trA = i λi , il a pour z´eros le spectre de A. Comme det(PP−1 ) = det P det(P−1 ) = det I = 1, les matrices A et A = P−1 AP, qui correspondent a` la mˆeme application lin´eaire dans diff´erentes bases, ont mˆeme polynˆ ome caract´eristique. Th´ eor` eme de Cayley-Hamilton. Le polynˆ ome caract´ est annul´  eristique   e par  A : Pc (A) = 0 ; par 0 0 a b 2 avec A = . exemple pour n = 2 : A − (a + d) A + (ad − bc) I = 0 0 c d ´ DEMONSTRATION. Elle repose sur la remarque que dans la matrice des cofacteurs de zI − A, et ecrivant donc aussi dans sa transpos´ee not´ee B(z), le plus haut degr´e possible pour z est z n−1 . En ´ (zI − A) B(z) = Pc (z) I avec B(z) = z n−1 Bn−1 + · · · + B0 , et en identifiant les termes en z p (p = u 0, · · · , n) dans les deux membres, il vient a0 I = −AB0 , a1 I = −AB1 + B0 , · · · , I = Bn−1 , d’o` a0 I + a1 A + · · · + an−1 An−1 + An = 0. a un facteur De ce th´ eor` eme d´ecoule l’existence d’un polynˆ ome minimal Pm (z) de degr´e p ≤ n, unique ` pr`es (identique ` a Pc (z) si p = n), et tel que Pm (A) = 0. On peut montrer, en divisant Pc (z) par Pm (z), eventuellement des multiplicit´es moindres, tous les z´eros de Pc (z). Par exemple que Pm (z) poss`  ede, avec  ´   les matrices

λ1 0

0 λ2

et

λ 0

1 λ

ont pour polynˆ ome minimal respectif (z − λ1 )(z − λ2 ) = Pc (z)

si λ1 = λ2 ou (z − λ) si λ1 = λ2 = λ, et (z − λ)2 = Pc (z) (v´ erification imm´ediate). L’int´erˆ et de Pm est d’assurer que tout polynˆ ome P (A), ou toute s´erie convergente de A, s’exprime en fonction des seules eduit explicitement matrices I, A, · · · , Ap−1 ; en effet, de la division P (z) = Pm (z) Q(z) + R(z) on d´ P (A) = R(A).

 Vecteurs propres et valeurs propres ; diagonalisation Soit λ un ´el´ement du spectre de A. La propri´et´e det(A − λI) = 0 entraˆıne que l’´equation A m = λ m admet au moins une solution m = 0. Le vecteur m, d´efini `a une constante multiplicative pr`es, est appel´e vecteur propre associ´e `a la valeur propre λ. Si la matrice A poss`ede une base de vecteurs propres A mi = λi mi

(i = 1, · · · , n; mi vecteurs ind´ependants) ,

4.2 Calcul matriciel

99

elle devient une matrice diagonale (avec les λi comme ´el´ements diagonaux et des z´eros ailleurs) lorsqu’on l’´ecrit dans cette base et on retrouve :  det A = Πi λi et trA = λi . i

En effet, si P est la matrice qui a pour colonne i les composantes de mi dans   la base initiale, P−1 P = I entraˆıne que A = P−1 AP = P−1 λ1 m1 · · · λn mn a pour ´el´ements Aij = λi δij . Une telle base existe toujours si il y a n valeurs propres diff´erentes car des vecteurs propres relatifs `a des valeurs propres diff´erentes sont ind´ependants ; par exemple si m2 = a m1 = 0, l’application de A donne λ2 m2 = aλ1 m1 , ce qui est contradictoire pour λ2 = λ1 ; on ne peut avoir de mˆeme m3 = a m1 + b m2 , avec m1 et m2 ind´ependants et λ1 = λ2 = λ3 . REMARQUES. 1) La relation An = (PA P−1 )n = PA n P−1 simplifie le calcul de An puisque (A n )ij = λn i δij (et le calcul d’autres fonctions de A comme exp A). 2) Si A et B sont diagonalisables et si [A, B] = 0, on peut montrer qu’elles ont une base commune de vecteurs propres. Matrice de Jordan. A n’est pas diagonalisable si, lorsque λ est un z´ero d’ordre q > 1 de Pc (z) (λ d´ eg´ en´ er´ ee q fois), l’´ equation (A − λI) m = 0 ne fournit pas q vecteurs ind´ependants. On montre que par contre (A − λI)q m = 0 a q solutions ind´ependantes mi qu’on peut choisir de sorte que Ami = λmi ou Ami = λmi + mi−1 . Par exemple pour n = q = 2 ou n = q = 3, et A non diagonalisable, A peut ˆetre ⎞ ⎞ ⎛ ⎛   λ 1 0 λ 0 0 λ 1 r´ eduite ` a la forme ou ` a l’une des deux formes ⎝ 0 λ 1 ⎠ ou ⎝ 0 λ 1 ⎠ . 0 λ 0 0 λ 0 0 λ

 Matrices remarquables Les matrices hermitiennes H = H† (ou sym´etriques r´eelles S = St ), les matrices antihermitiennes iH (ou antisym´etriques r´eelles A = −At ), les matrices unitaires UU† = U† U = I (ou orthogonales r´eelles OOt = Ot O = I) poss`edent toutes une base orthonorm´ ee de vecteurs propres. Les valeurs propres de ces trois groupes de matrices sont respectivement r´ eelles, imaginaires pures, de module 1 ; les vecteurs propres sont r´eels pour les matrices sym´etriques r´eelles. Ces propri´et´es reposent sur la relation (x, Ay) = x† Ay = (A† x)† y. En d´ecomposant les vecteurs sur la base orthonorm´ee des    vecteurs propres mi de A, il vient (x, Ay) = ( i Xi mi , A j Yj mj ) = i Xi Yi λi =  λ (x, m ) (m , y). La matrice A s’´ e crit donc aussi (d´ e composition spectrale de A) : i i i i  λi Pi avec Pi = mi m†i (projecteur sur mi ) . A= i

JUSTIFICATION (on admet la diagonalisabilit´e). Consid´erons le cas A = A† ; en prenant x = y = m vecteur propre on obtient λ = λ, et en prenant x = m1 et y = m2 on obtient λ1 (m1 , m2 ) = λ2 (m1 , m2 ), donc (m1 , m2 ) = 0 si λ1 = λ2 ; (si λ1 = λ2 il existe des combinaisons de m1 et m2 orthogonales). Le cas

ene au cas pr´ec´ edent car iA est hermitienne. Quant aux matrices unitaires, on d´eduit A = −A† se ram`

de (U m1 , U m2 ) = λ1 λ2 (m1 , m2 ) = (m1 , m2 ) que |λ| = 1 en posant m1 = m2 = m et que (m1 , m2 ) = 0 si λ1 = λ2 .

    a b x = 1 s’´ecrit λ1 X 2 + EXEMPLE 1. La conique ax + 2bxy + dy = x y y b d λ2 Y 2 = 1 dans la base des vecteurs propres norm´es. Si le d´eterminant ad − b2 = λ1 λ2 1 −1 est positif, c’est un ellipse de demi axes λ1,22 et donc d’aire π (ad − b2 )− 2 . 2

2



4 • Calcul et physique lin´eaires ; relativit´e ; quantique

100

EXEMPLE 2. Les matrices de rotation Rθ (cf. section4.2.2)  ont pour valeurs propres 1 1 . Les polarisations gauche et vecteurs propres norm´es λ± = e∓iθ et m± = √ 2 ±i et droite en optique ondulatoire, et les ´etats des photons associ´es, sont donc des vecteurs propres des rotations autour de l’axe de propagation z avec pour valeurs propres e−iθ et eiθ (cf. section 4.4.1).

 Modes propres d’oscillateurs coupl´ es En notation complexe, on appelle ainsi les solutions de l’´equation (cf. exemple ´electrique section 4.1.3) M¨ x = −Kx du type x(t) = eiωt m (avec M et K sym´etriques d´efinies positives). m et ω doivent v´erifier (K − ω 2 M) m = 0 et det(K − ω 2 M) = 0 ; ce probl`eme est ´equivalent a` la 1 1 recherche des valeurs et vecteurs propres de la matrice sym´etrique M− 2 KM− 2 . De mt1 Km2 = ω22 mt1 Mm2 = (mt2 Km1 )t = ω12 mt1 Mm2 on d´eduit, en faisant m1 = m2 = m, que ω 2 > 0 (ω r´eel), et que les moyennes temporelles des “´energies potentielle” 12 xt Kx et “cin´etique” 12 x˙ t Mx˙ sont ´egales dans un mode propre ; si ω1 = ω2 on a : mt1 Mm2 = 0. Ces modes sont ´etudi´es `a la section 6.2.2.  Calculs de perturbation Matrices hermitiennes A = A† . 1) Si λi est une valeur propre (r´elle) non d´eg´ en´ er´ ee et si la perturbation δA de A est “petite”, alors δmi est “petit”. De λi = m†i A mi on d´eduit : δλi = λi ((δm†i ) mi + m†i (δmi )) + m†i (δA) mi = m†i (δA) mi δ(m†i

car mi = 1) = 0. 2) Pour δA = 0 cette relation entraˆıne δ(m†i Ami ) = 0 ; donc tout vecteur propre e est utilis´ee pour la recherche des vecteurs et valeurs propres norm´e extr´ emalise (m† Am). Cette propri´et´ par des m´ethodes variationnelles (Rayleigh-Ritz). Oscillateurs coupl´ es. Pour F “petite”, on trouve les pulsations propres de M¨ x + Fx˙ + Kx = 0 (cf. section 4.1.3) en posant x(t) = ei(ω+δω)t (m + δm). A l’ordre le plus bas il vient (K − ω 2 M)δm + mt Fm

a gauche par mt on obtient δω = 2i mt Mm (imaginaire pur (−2ω δωM + iωF) m = 0, et en multipliant ` en raison des pertes d’´energie). 2) On montre de mˆeme pour l’´equation (M + δM) x ¨ + (K + δK) x = 0 que δω =

mt (δK−ω 2 δM)m . 2ωmt Mm

 Fonctions propres Les notions de valeurs et vecteurs propres s’´etendent aux applications (op´erateurs) lin´eaires sur les fonctions. Par exemple les translations de temps (Tτ f )(t) = f (t − τ ) pour 2πn ) comme fonctions les fonctions de p´eriode T ont les exponentielles e−iωt (ω = T iωτ propres avec e comme valeurs propres. Plus g´en´eralement des champs f ( r, t) ayant  une d´ependance de type onde plane en e−i(ωt−k·r) sont, au moins formellement, fonctions propres des op´erations Ta,τ de translation spatiale et temporelle, d´efinies par  Ta,τ f ( r, t) = f ( r − a, t − τ ) avec les valeurs propres eiωτ e−ik·a (r´esultat utilis´e `a la section 3.4.2).

4.2 Calcul matriciel

101

AUTRES EXEMPLES. La sym´ etrisation ou l’antisym´ etrisation d’une fonction de n variables, qui intervient quand on construit les fonctions d’onde de bosons ou de fermions, correspond aux op´ erations lin´eaires  f (x1 , · · · , xn ) → (Sf ) (x1 , · · · , xn ) = (n!)−1 P f (xP (1) , · · · , xP (n) )  |P | f (x , · · · , xP (n) ) . ou f (x1 , · · · , xn ) → (Af ) (x1 , · · · , xn ) = (n!)−1 P (−1) P (1)  P est la somme sur toutes les permutations, au nombre de n!. Par exemple pour n = 2 : f1 (x1 ) f2 (x2 ) → 12 [f1 (x1 ) f2 (x2 ) ± f1 (x2 ) f2 (x1 )]. erifie faSi P est l’op´eration de permutation d´efinie par (Pf ) (xP (1) , · · · , xP (n) ) = f (x1 , · · · , xn ), on v´ cilement que Sf et Af , qui sont respectivement sym´etrique et antisym´etrique, sont fonctions propres de P avec les valeurs propres 1 et (−1)|P | .

4.2.4

Matrices de Pauli ; groupe de sym´ etrie de la physique ; spineurs

Ces matrices 2×2, forme moderne des quaternions invent´es par Hamilton pour g´en´eraliser les nombres complexes et pour alg´ebriser l’espace `a trois dimensions, sont utiles non seulement pour obtenir la loi de composition des rotations, mais aussi pour d´ecrire l’espacetemps en relativit´e, et traiter les syst`emes `a deux niveaux en quantique (cf. section 4.4.2).

 D´ efinition et propri´ et´ es Les matrices de Pauli (hermitiennes de trace nulle)     0 1 0 −i , σy = , σx = 1 0 i 0

σz =

 1 0

 0 −1

forment avec l’identit´e I une base des matrices 2 × 2. La matrice la plus g´en´erale peut en effet s’´ecrire :     → − V0 + Vz Vx − iVy a b → = = V0 I + − σ ·V =V. c d Vx + iVy V0 − Vz → − → (La notation vectorielle − σ · V = Vx σ x + Vy σ y + Vz σ z est justifi´ee par ce qui suit.) V est → − → − hermitienne si V0 et V sont r´eels. Dans ce cas on peut poser V = V n ˆ avec n ˆ ≡ (θ, ϕ) :     cos θ sin θe−iϕ 1 0 → +V . V = V0 I + V − σ ·n ˆ = V0 0 1 sin θeiϕ − cos θ Les valeurs propres et vecteurs propres norm´es de V sont :     cos θ2 − sin θ2 λ± = V0 ± V , m+ = , m− = , sin θ2 eiϕ cos θ2 eiϕ

→ (− σ ·n ˆ ) m± = ±m± .

´ DEMONSTRATION. On consid`ere le cas V0 = 0, ce qui revient simplement ` a d´ ecaler les valeurs propres (de −V0 ) sans changer les vecteurs propres. det(λI − H) = λ2 − V 2 = 0 donne λ± . Les composantes x et y des vecteurs propres se d´eduisent de cos θ x + sin θ e−iϕ y = ±x (et de la normalisation |x|2 + |y|2 = 1) ; → σ ·n ˆ )/2. ces vecteurs sont d´efinis ` a un facteur eiφ pr`es. Les projecteurs associ´es sont : P± = (I ± −

→ − → Les matrices − σ · V v´erifient la loi de multiplication (cons´equence de σ 2x = σ 2y = σ 2z = I et de σ x σ y = −σ y σ x = iσ z · · · ) :

4 • Calcul et physique lin´eaires ; relativit´e ; quantique

102 

→  − − →  → − − → → − → −

·V1 σ

· V 2 = ( V 1 · V 2 ) I + i

σ σ · ( V 1 ∧ V 2) .

Elle permet d’´ecrire (car (

σ·n ˆ )2 = I)) les exponentielles i θ θ  ·ˆ nθ

·n ˆ (matrices unitaires) , Unˆ (θ) = e− 2 σ = cos I − i sin σ 2 2 ϕ ϕ

·n I − sinh σ ˆ (matrices hermitiennes) , 2 2 qui, on va le voir, constituent une repr´ esentation des rotations et des transformations de Lorentz pures. En particulier :   θ   −i sin θ2 0 cos θ2 e−i 2 Uxˆ (θ) = . ; Uzˆ(θ) = θ −i sin θ2 cos θ2 0 ei 2  ·ˆ nϕ Hnˆ (ϕ) = e− 2 σ = cosh 1

 Matrices de Pauli et espace-temps → − A un intervalle d’espace-temps (cT , R ) de coordonn´ees (cT, X, Y, Z) (cf. section 3.1.2) on peut associer math´ematiquement la matrice hermitienne → − → − → X = cT I + − σ · R , det X = c2 T 2 − R 2 . Les transformations, avec M matrices 2 × 2 complexes de d´eterminant 1, X = MXM†

(det M = 1)

induisent sur (cT, X, Y, Z) des changements qui d´efinissent le groupe de Lorentz : → − →2 − transformations lin´eaires telles que c2 T 2 − R 2 = c2 T 2 − R  . En effet, elles conservent le → − → caract`ere hermitien de X, ce qui permet d’´ecrire X = cT  I + − σ · R  , et son d´eterminant. On v´erifie aussi que les matrices M (4 ´el´ements complexes et d´eterminant r´eel ´egal a` 1) d´ependent de 8 − 2 = 6 param`etres r´eels comme ce groupe. Rotations. Si M est unitaire (M† = M−1 ) la trace 2cT de X est inchang´ee donc aussi → − → − | R |. En consid´erant la transformation infinit´esimale de R associ´ee `a une matrice Unˆ ()  →  → −  −

· R I + i

· R  = I − i

σ·n ˆ , σ σ·n ˆ σ 2 2 → − → − → − n ∧ R et on en d´eduit que Unˆ (θ) correspond a` une rotation d’axe on obtient R  = R + ˆ n ˆ et d’angle θ. (On peut aussi faire le calcul pour θ fini et retrouver le r´esultat de la section 3.3.1.) On notera que Unˆ (θ) et −Unˆ (θ) = Unˆ (θ + 2π) correspondent `a la mˆeme → − rotation de R . La loi de multiplication des Unˆ (θ) Unˆ 2 (θ2 )Unˆ 1 (θ1 ) = ±Unˆ (θ) θ θ ˆ (petit calcul) : s’´ecrit, en posant c = cos et s = sin n 2 2 c = c1 c2 − s1 · s2 et s = c2 s1 + c1 s2 + s2 ∧ s1 ; modulo l’´equivalence (c, s) ≡ (−c, − s), c’est la loi de composition des rotations (formule de Hamilton). On retrouve que seules les rotations de mˆeme axe ( s1  s2 ), ou d’angle π et d’axes perpendiculaires (c1 = c2 = 0 et s1 ⊥ s2 ) commutent (cf. section 3.1.3).

4.2 Calcul matriciel

103

REMARQUE. Les matrices Unˆ (θ) d´ecrivent en physique l’action des rotations sur les ´etats de particules de spin 12 au repos (´electrons, protons, neutrons, quarks), et la propri´et´e ´etonnante Unˆ (2π) = −I (et non I) a ´et´e v´erifi´ee exp´erimentalement. Elle signifie que le “vrai” groupe de sym´etrie n’est pas le groupe des rotations des vecteurs de R3 , mais le groupe SU(2) des matrices 2 × 2 unitaires “sp´eciales” (c.a.d. de d´eterminant 1). Transformations de Lorentz pures. On v´erifie de mˆeme que la relation → −  → − 

· R )(I − σ

·n

· R  = (I − σ

·n cT  I + σ ˆ ), ˆ )(cT I + σ 2 2 correspond (cf. section 4.3.3) `a une transformation (passive) de Lorentz pure infinit´esimale → − → − → → − →  · R , R = R − −  cT . cT  = cT − − → − ( conjugu´ REMARQUE. On peut aussi associer a` (cT, R ) la matrice X ee de X :   → − 0 1 → ( = cT I − − . X σ · R =  X −1 avec  = −1 0 (On v´erifie que pour chaque matrice de Pauli : σ i −1 = −σ i , i = x, y, z.) Alors les transformations X → X ´equivalent a` : )X (M )† ( = M X

) = M−1 = M†−1 (car det M = 1) . avec M

) constituent une seconde repr´esentation a` deux dimensions du groupe de Les matrices M Lorentz. Elle ne peut ˆetre ramen´ee `a la premi`ere par un changement de base car il n’existe ) = PMP−1 pour tout M (cel`a impliquerait U = PUP−1 pas de matrice P telle que M pour toute matrice unitaire).

 Spineurs On appelle ainsi des vecteurs complexes a` deux composantes qui se transforment selon : (. )ψ ψ  = M ψ ou ψ(  = M ( se transforment avec la mˆeme loi pour une rotation car alors M = M). ) On (ψ et ψ ( (et ψ ( comme ψ). Par exemple : ψ  = v´erifie ais´ement que ψ se transforme comme ψ

) ( sont dits spineurs conjugu´ ψ et ψ es (application section 4.4.5). M(−1 )ψ = M(ψ).

4.2.5

Groupe de rotation et classification des grandeurs physiques

On a vu au chapitre 3, avec le principe de Curie, l’ importance des lois de transformation des grandeurs (et champs) physiques. L’objet de cette section est de montrer que pour les rotations ces grandeurs ne se limitent pas aux scalaires et aux vecteurs.

 Classification des matrices 3 × 3 r´ eelles

− → → − Soit W = M V une relation entre grandeurs vectorielles r´eelles relatives `a un syst`eme − → − → physique. Pour le syst`eme tourn´e les grandeurs et la relation deviennent W  = R W , → − → − − → → − V = R V et W = M V  avec M = RMRt . Si M = λI, ou M = A antisym´etrique, ) sym´etrique de trace nulle, M a les mˆemes propri´et´es que M. On en d´eduit ou M = M que pour une matrice quelconque la d´ecomposition  1 1 ) (o` )ij = 1 (Mij + Mji ) − 1 δij M = (trM) I + (M − Mt ) + M uM Mkk ) 3 2 2 3 k

4 • Calcul et physique lin´eaires ; relativit´e ; quantique

104

est invariante par rotation. La matrice λI invariante est une grandeur scalaire ; l’action → − d’une matrice antisym´etrique sur V pouvant toujours s’´ecrire sous la forme d’un produit vectoriel (cf. exemple 2 section 4.2.2) la matrice A = 12 (M − Mt ) est assimilable `a une ) caract´erise une grandeur quadrupolaire. L’E.V. des grandeur vectorielle ; Q = M matrices 3 × 3 est ainsi d´ecompos´e en une somme directe de trois sous espaces laiss´es invariants par les rotations ; pour les dimensions, on v´erifie que 3 × 3 = 1 + 3 + 5 (A d´epend de trois param`etres et Q de cinq). EXEMPLES. Le d´ eveloppement multipolaire au second ordre du potentiel ´electrostatique a` grande distance cr´e´e par une distribution de charges est (cf. | r − rα |−1   − 12

rα · rˆ rα2 −1 + 2 1−2 r et section 5.1.2) r r   1 q p · rˆ rˆ · Qˆ 1  qα r = + 2 + V ( r) = + · · · , 4π0 α | r − rα | 4π0 r r 2r3      avec q = α qα , p = α qα rα et Qij = α qα 3xiα xjα − rα2 δij . Pour le potentiel de gravitation, en prenant l’origine au centre de masse, on obtient de mˆeme    V ( r) = −G mα | r − rα |−1 = −G r−1 m + (2r3 )−1 rˆ · Qˆ r + ··· α

avec m =

 α

mα et Qij =

 α

  mα 3xiα xjα − rα2 δij (pas de terme dipolaire).

 Repr´ esentations lin´ eaires du groupe des rotations Une action lin´eaire (cf. section 3.1.1) du groupe des rotations (en fait du groupe SU(2)) sur les param`etres erisent un syst`eme s’´ecrit x = R(U) x avec R(U1 U2 ) = R(U1 ) R(U2 ) . x ≡ (x1 , · · · , xn ) qui caract´ R(U) est une matrice n × n qui repr´esente la rotation dans l’espace vectoriel des param`etres X = {x} (matrice orthogonale 3 × 3 lorsqu’elle agit sur les vecteurs de l’espace ordinaire). La repr´esentation est dite irr´ eductible si il n’existe pas de sous espace de X laiss´ e globalement invariant. On d´emontre (cf. ouvrages de physique quantique) que pour toute dimension n, ´ ecrite traditionnellement n = 2j + 1 avec j demi-entier positif ou nul, il existe une repr´esentation irr´eductible unique, ` a un changement de base pr`es. Les grandeurs scalaires (invariantes), vectorielles, quadrupolaires et les spineurs ci-dessus se transforment selon les e quelconque, la base repr´ esentations j = 0, 1, 2 (n = 1, 3, 5) et j = 12 (n = 2, matrices Un ˆ (θ)). Pour j fix´ {ejm } (m = −j, −j + 1, · · · , j) peut ˆetre choisie de sorte que les matrices soient unitaires, et que les ejm soient vecteurs propres des rotations d’angle α autour de zˆ avec les valeurs propres e−imα . Pour j = 12 les vecteurs e 1 1 et e 1 − 1 , 2 2 2 2     1 0 not´es aussi ci-dessous ψ + et ψ − , correspondent ` a et . Pour j = 1 les vecteurs e11 , e10 et e1−1 0 1 sont proportionnels ` ax ˆ + iˆ y , zˆ et x ˆ − iˆ y . Des exemples d’espaces de repr´esentation avec j = l entier sont erifie que les E.V. de fonctions engendr´es par la base des harmoniques sph´eriques Ylm (θ, ϕ) ≡ elm . On v´ Ylm (θ, ϕ − α) = e−imα Ylm (θ, ϕ) (cf. section 4.1.2). Les orbitales atomiques s, p, d, f · · · sont donc associ´ees aux repr´esentations l = 0, 1, 2, 3, · · · . On montre aussi que l’E.V. produit tensoriel Ej1 ⊗ Ej2 (de dimension (2j1 + 1)(2j2 + 1)) engendr´e par les vecteurs ej1 m1 ⊗ ej2 m2 , qui sont chacun chang´e en R1 ej1 m1 ⊗ R2 ej2 m2 dans une rotation, se d´ ecompose en une somme directe ⊕j Ej de sous E.V. invariants, la somme sur j portant sur les valeurs

4.3 Applications en physique classique

105

j = |j1 − j2 |, |j1 − j2 + 1|, · · · , j1 + j2 . Cette propri´et´ e correspond en physique quantique ` a la composition des moments cin´ etiques. Par exemple si j1 = j2 = facilement que 2

−1 2

1 2

(E.V. engendr´e par les quatre vecteurs ψ± ⊗ ψ ± ) alors j = 0 ou 1. On v´erifie

(ψ + ⊗ ψ − − ψ− ⊗ ψ + ) est invariant (cons´equence de ψ+ → U11 ψ+ + U21 ψ − ,

ψ− → U12 ψ+ + U22 ψ− et de det U = U11 U22 − U12 U21 = 1). L’E.V. compl´ementaire j = 1 est engendr´e 1

par ψ + ⊗ ψ+ , 2− 2 (ψ + ⊗ ψ − + ψ − ⊗ ψ + ) et ψ− ⊗ ψ− . En physique classique la d´ecomposition des matrices 3 × 3 en scalaire, vecteur et quadrupole correspond au cas j1 = j2 = 1.

4.3 4.3.1

APPLICATIONS EN PHYSIQUE CLASSIQUE D´ eformations et contraintes ; ´ elasticit´ e ; viscosit´ e

Un corps se d´eforme lorsque les distances entre ses points varient. On se limite ici aux d´eformations infinit´esimales et aux lois lin´eaires entre d´eformations et contraintes.

 D´ eformations lin´ eaires infinit´ esimales

→ − − − → Elles correspondent a` des transformations qui changent les vecteurs l = AB en l  = l+ δl → − avec δl = M l, M ´etant une matrice “infinit´esimale”. Leur composition revient a` multiplier des matrices de la forme I + M, c.a.d. a` ajouter les matrices infinit´esimales M, car → − (I + M1 ) (I + M2 ) = I + M1 + M2 ` a l’ordre le plus bas ; ceci ´equivaut `a ajouter les δl . Comme une rotation infinit´esimale, qui correspond a` une matrice M antisym´etrique, ne change pas les distances, les d´eformations sont caract´eris´ees par les matrices sym´etriques not´ees [] : ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎛ ⎞ δlx xx xy xz lx ⎝δly ⎠ = ⎝xy yy yz ⎠ ⎝ly ⎠ ; δlz xz yz zz lz ces matrices de d´ eformation d´ependent de six param`etres. EXEMPLES. Les translations ne changeant pas les distances entre points, on consid`ere les d´eformations qui laissent l’origine O fixe : r  = r + [] r. Les figures 5a,b,c montrent l’effet sur le carr´e [−1, 1] × [−1, 1] des trois transformations planes (a)

(b)

(c)

   x 1 + 1 = 0 y

0 1 + 1

  x , y

  x y

0 1 − 2

  x , y

  x y

 1 + 2 = 0  =

1 3

3 1

  x , y

dont toute d´eformation infinit´esimale plane est la compos´ee. (a) est une dilatation (homoth´etie) de rapport 1 + 1 . (b) et (c), qui ne changent pas la surface, sont appel´ees π cisaillement ; (c) se ram`ene `a (b), pour 3 = 2 , par une rotation de des axes. 4

4 • Calcul et physique lin´eaires ; relativit´e ; quantique

106

y

1+ ¯

1

Y

y

y ¯

X

1 1− ¯

1+ ¯ 1

x

1+ ¯ 1

¯ x

(b)

(a)

y ¯ 1

x

(c)

1

x

(d)

Figures 5

     x 1  x appel´ee = Enfin la figure 5d montre l’effet de la transformation y 0 1 y cisaillement simple ; elle r´esulte de la composition d’un cisaillement “pur” de type   (c) avec 3 = , et d’une rotation d’angle − , comme le montre les figures 5c et 5d 2 2      0  0 2 . ou l’addition des matrices  2 et 0 − 2 0 2 En consid´erant la d´eformation des vecteurs x ˆ, yˆ et zˆ, par exemple x ˆ → (1 + xx ) xˆ + xy yˆ + xz zˆ, on voit que xx est l’allongement relatif d’un vecteur parall` ele ` a x ˆ, que 2xy est le rapprochement angulaire (sym´etrique) des directions x et y, et que le volume du cube construit sur (ˆ x, yˆ, zˆ) devient det(I + []) = 1 + xx + yy + zz ; tr[] est donc la variation relative de volume. La relation [] = 13 tr[] I + [ (  ], ou  1 1 ij = 3 eformation se d´ecompose k kk δij + (ij − 3 k kk δij ), montre que toute d´ en une dilatation (homoth´etie), associ´ee `a la variation de volume, et des cisaillements  Y , Z  qui rend [] (qui ne modifient pas le volume car tr[ (  ] = 0). Enfin dans la base X, diagonale, la d´eformation apparaˆıt comme la composition d’affinit´es 1 + X , 1 + Y , et  Y , Z  ( ,  ,  valeurs propres de [  ]). 1 + Z dans les directions X, X Y Z

→ − − → Champ de d´ eformations. Si chaque point  r se d´eplace de ψ ( r , t), le vecteur dr joignant deux points − → − → − → r + dr, t) − ψx ( r , t) = ∂x ψx dx + voisins devient dr + dψ avec par exemple (cf. section 7.1.1) dψx = ψx (  → − − → eralement dψi = j (∂j ψi ) dxj soit d ψ = M dr. Si M est infinit´esimale, sa ∂y ψx dy+∂z ψx dz, ou plus g´en´ − → partie antisym´etrique traduit une rotation de dr ; sa partie sym´etrique [] correspond ` a une d´eformation dont la matrice a pour ´el´ ements et trace → − . ij = 12 (∂i ψj + ∂j ψi ) et tr[] = div ψ = δV V → − δV repr´ e sente une variation relative locale de volume. Si le d´ e placement ψ s’effectue dans le temps V → − ˙ d’´ dt on ´ ecrit ψ =  v dt ; la vitesse de d´ eformation est d´ efinie par la matrice not´ee [], el´ ements → ˙ = div− ˙ = 1 (∂ v + ∂ v ) et de trace tr[] v = d δV (cf. section 7.1.3 ). [] ij

2

i j

j i

 Contraintes

dt V

− → −→ −→ Soient, au sein de la mati`ere, un ´el´ement de surface dS orient´e de 1 vers 2 et dF ≡ dF 2→1 la force de contact exerc´ee par la r´egion 2 sur la r´egion 1. La relation de proportionnalit´e −→ − → − → − → −→ dF = [σ] dS = −[p] dS (donc [p] dS = dF 1→2 ) d´efinit les matrices de contrainte [σ] et de pression [p]. Explicitement : ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎛ ⎞ dFx σxx σxy σxz dSx ⎝dFy ⎠ = ⎝σyx σyy σyz ⎠ ⎝dSy ⎠ avec σxy = σyx , σyz = σzy , σzx = σxz . dFz σzx σzy σzz dSz

4.3 Applications en physique classique

107

− → En prenant dS = dS x ˆ, on voit que σxx et (σxy , σxz ) repr´esentent les composantes normale et tangentielles de la force exerc´ee sur une surface unit´e orient´ee selon x ˆ. La figure 6 repr´esente, en perspective et dans le cas o` u les σij sont positifs et constants, les forces exerc´ees sur les faces d’un cube de cˆot´e unit´e. Le caract`ere sym´etrique de [σ] admis ici est discut´e `a la section 7.2.3. Comme pour les d´eformations on pose [σ] = [σ]isotrope + [( σ] 1 σ ] = 0). Si [( σ ] = 0 alors [σ] = [σ]isotrope = −p I et on (avec [σ]isotrope = tr[σ] I et tr[( 3 −→ − → retrouve l’expression dF = −p dS de la force de pression due `a un fluide parfait.

[ ] dS zz

T dS

yz xz

yz

xz

N dS yy

xy

dS

xy

1

2

xx

Figure 6

Figure 7

REMARQUE. La figure 7 repr´esente les composantes normale N et tangentielle T de la force par unit´e − → de surface. Dans la base o` u [σ] est diagonale, et o` u les composantes du vecteur unitaire n ˆ de dS sont (α, β, γ), on a : N = σX α2 + σY β 2 + σZ γ 2 et T 2 + N 2 = σX2 α2 + σY2 β 2 + σZ2 γ 2 . Ces relations permettent d’illustrer comment N et T d´ ependent de la direction n ˆ . Le domaine de variation du couple (N, T ) en fonction de (α, β, γ) (en gris sur la figure 8 dans le cas σX > σY > σZ ) est limit´e par les cercles de   σ −σ 2 σ +σ  2 = X2 Y . Mohr ; par exemple si γ = 0, en ´eliminant α et β on obtient le cercle T 2 + N − X 2 Y Tmax intervient dans les crit`eres de rupture (ou de fluage) d’un mat´eriau.

T

Z

Y

X

N

Figure 8

 Lois lin´ eaires entre d´ eformations et contraintes ˙ et [σ] apparaissent une composante “isotrope” (scalaire) et Dans les matrices [], ou [], une composante “quadrupolaire”. La proportionnalit´e entre d´eformations et contraintes respecte ce d´ecoupage en vertu de l’invariance des lois physiques. Pour les effets d’´ elasticit´ e elle s’´ecrit [σ]isotrope = χ−1 tr[] I et [( σ] = 2μ [ (  ], soit :    −1 4μ  xx −  δ ; par exemple σ = χ + σij = 2μ ij + χ−1 − 2μ xx k kk ij 3 3 − V1 δV δP

2μ 3

(yy + zz ) .

La d´ efinition de la compressibilit´ e χ est bien connue (cf. χ = ). Celle du module de rigidit´ e   → − 0  ) ; la force μ est illustr´ee sur la figure 9a pour un cisaillement simple ( ψ = y x ˆ d’o` u [(  ] = 12  0

4 • Calcul et physique lin´eaires ; relativit´e ; quantique

108 − →

dF surfacique est alors dS = μˆ x. On peut aussi exprimer les d´eformations en fonction des contraintes ; les 1 efinissent le module d’Young E et relations xx = E (σxx − ν(σyy + σzz )), σyy = · · · et σzz = · · · d´

le coefficient de Poisson ν. La figure 9b repr´esente l’´etirement d’une barre de section S par une force F : 1 E

δl l

= xx =

(1 − 2ν)

F S

1 F E S

si σyy = σzz = 0. La variation relative de volume ´etant alors xx + yy + zz =

, on en d´ eduit χ =

3(1−2ν) , E

y 2

d’o` uν
0 traduit, hors de l’´equilibre, une avance temporelle de δp sur δV ; cet effet concerne les gaz non monoatomiques (cf. cours de physique).

4.3.2

Optique matricielle des syst` emes centr´ es

On consid`ere des syst`emes pr´esentant une sym´etrie de r´evolution autour de l’axe optique Oz et des rayons situ´es dans un plan m´eridien (plan contenant Oz), peu inclin´es par rapport a` Oz et intersectant les dioptres pr`es de cet axe (approximation de Gauss). Un syst`eme centr´e est alors caract´eris´e par une correspondance lin´eaire entre rayons “entrant” et “sortant”, qui justifie les constructions g´eom´etriques habituelles.

 Coordonn´ ees d’un rayon ; formules de conjugaison (figure 10) Dans un plan z1 situ´e dans un milieu d’indice n1 , un rayon m´eridien est d´efini par une coordonn´ee spatiale transverse x1 et une coordonn´ u α1 est sa  ee “angulaire” p1 = n1 α1 , o` x1 pente (alg´ebrique), donc par un vecteur R = . Les vecteurs tels que x1 = α1 q1 , avec p1 q1 = z1 − zS1 fix´e correspondent aux rayons issus de (ou allant vers) une source S1 r´eelle ou virtuelle sur l’axe et d’abscisse zS1 ; si la source est hors de l’axe x1 = xS1 + α1 q1 . Quand un rayon passe d’un plan z1 ` a un plan z2 , dans un milieu d’indice n2 , apr`es avoir travers´e des dioptres, le changement de ses coordonn´ees est donn´e par une matrice de transfert M(z2 , z1 ) de d´eterminant 1 (d´emonstration ci-dessous) :

4.3 Applications en physique classique 

x2 n2 α2





x1 n1 α1

= M(z2 , z1 )

109 

 =

a b c d



x1 n1 α1

 avec ad − bc = 1 .

On en d´eduit imm´ediatement que les rayons x1 = α1 q1 issus de S1 sont transform´es en rayons x2 = α2 q2 issus de S2 avec : a nq11 + b q2 = q1 n2 c n1 + d

(relation de conjugaison entre S1 et S2 ) ;

n2 α2 q1 =c +d . n1 α1 n1

Par exemple (cf. matrices particuli`eres ci-dessous) : n2 q2−1 − n1 q1−1 = c si a = d = 1 et n1 α1 b = 0 ; q1 q2 = n1 n2 c−2 si a = d = 0. On verra que est le grandissement γS2 /S1 n2 α2 (relation de Lagrange Helmholtz).

n1

x x1

«1

x2

M1 z1

S1 q

x

n2

«2

M2

S2 z2 q

z

2

1

Figure 10 ´ DEMONSTRATION (figure 11a,b). La propagation rectiligne dans un milieu d’indice n constant et les lois de Descartes entraˆınent, pour une simple translation de Δz et pour un dioptre :     n − n 1 0 1 Δz n (C = M translation = , M dioptre = ). −C 1 0 1 R   x x = n α + o` u R = SC). Le produit de telles (Pour le dioptre x = x et n α + R R matrices est une matrice de d´eterminant 1.

x=x’

x=x’ n x1

x2

«1

«2 = « 1

n’

n

C S


z

R

z (b)

(a) Figure 11

z

111 000 000 111 000 111 000 111 000 111 000 111 000 111 000 111 000 111 000 000 111 S 111 000 111 000 111 000 111 000 111 000 111 000 111 000 111 Figure 12

C

z

REMARQUES. 1) Si les rayons se dirigent vers les z < 0, les r´ esultats ci-dessus restent valables ` a    x x = − α + R R

condition de remplacer nα par (−n) α. Par exemple, pour le miroir de la figure 12, α +

2 . 2) Si les rayons ne sont pas dans des plans m´eridiens, les formules ci-dessus s’appliquent et C = − R aux projections des rayons sur de tels plans. 3) det M = 1 entraine n1 dx1 dα1 = n2 dx2 dα2 et donc la

conservation de l’´ etendue optique (cf. section 3.2.5).

4 • Calcul et physique lin´eaires ; relativit´e ; quantique

110

 Matrices de transfert particuli` eres Soient n et n les indices des milieux d’entr´ee et de sortie d’un syst`eme optique, et Oe et Os des origines dans chacun de ces milieux. La figure 13 repr´esente un syst` eme afocal (avec n = n = 1) ; la forme g´en´erale de la matrice est alors :   γ b MOs Oe = (γ ind´ependant de Oe et Os ) . 0 γ −1

1 0

B

K’ a −C

1

H système afocal

G

­

z

Oe

A F K

Figure 13

F’ A’ H’ O s

d γC

γ 1 0

z B’

Figure 14

−1 La relation angulaire α = γ −1 α donne le grossissement    G = γ . La figure 14 1 a associ´e `a l’incident repr´esente, pour un syst` eme focal, le rayon ´emergent 0 −C     1 d , la forme g´en´erale de M et M−1 ´etant : associ´e `a l’´emergent γ et l’incident γ 0 C     a b d −b −1 (C convergence) MOs Oe = ; MOs Oe = −C d C a

a d´epend du choix de Os (par exemple a = 1 pour Os ≡ H  point principal image et a = 0 pour Os ≡ F  foyer image) et d d´epend de celui de Oe (par exemple d = 1 pour Oe ≡ H point principal objet et d = 0 pour Oe ≡ F foyer objet) ; par contre la convergence C, qui ne d´epend ni de Oe ni de Os , est une caract´eristique du syst`  eme. On n n 1 0 voit aussi que C =   = − et on d´eduit de det M = 1 que MH  H = −C 1 HF HF   0 C −1 . Enfin la g´eom´etrie des triangles semblables FAB et FHK d’une et MF  F = −C 0 A B  part et F’H’K’ et F’A’B’ d’autre part donne les relations de Newton γA /A = = AB FH F  A =   (γA /A = γ = −1 sur la figure). FA F H Condition de conjugaison. La figure 15 illustre la marche de rayons particuliers pour tout couple Oe ≡ A et Os ≡ A tel que b = 0 ; elle montre que b = 0, qui entraˆıne x = ax quel que soit α, est la condition de conjugaison de A et A et que a = γA /A est le grandissement. Pour des rayons passant par

nθ. A, det M = ad = 1 conduit ` a la relation de Lagrange Helmholtz : n θ  = γ −1  A /A

Association de deux syst` emes focaux de foyers Fi et Fi . On suppose n = 1 en dehors des deux syst` emes. Le calcul du produit MF  F2 MF2 F  MF  F1 donne C = C1 C2 F1 F2 ; donc C = 0 si F1 ≡ F2 , et

2 alors G = − C . C 1

2

1

1

4.3 Applications en physique classique

111

Cavit´ e laser (figure 16) : R1 = S1 C1 , R2 = −S2 C2 et l = S1 S2 . Pour un rayon incident sur le miroir 2, apr`es deux r´eflexions la matrice de transfert s’´ecrit :        1 0 1 0 1 l a b 1 l = . MS 2 S 2 = 2 2 1 −R 1 −R 0 1 c d 0 1 1 2 La cavit´ e est dite stable si les rayons restent proches de l’axe donc si les ´el´ ements de Mn restent born´es ; les valeurs propres de M doivent donc satisfaire |λ| ≤ 1. Comme det M = λ1 λ2 = 1, ceci n’est possible λ = ±1  est une valeur propre double que si λ = e±iϕ , soit |trM| = |a + d| = |2 cos ϕ| < 2. Remarque   n : si  1 nb 1 b = (cas par exemple de deux et si M n’est pas diagonalisable il y a instabilit´ e: 0 1 0 1 miroirs plans).

­A’/A 1 ’ A

A’

z

Figure 15

111 000 000 111 000 111 000 111 000 111 000 111 S 000 111 000 1 111 000 111 C2 000 111 000 111 000 111 000 111 000 111 000 111 000 111

111 000 000 111 000 111 000 111 000 111 000 111 000 111 000 111 S2 000 111 000 111 000 111 z C 1 111 000 000 111 000 111 000 111 000 111 000 111

Figure 16

 Optique matricielle et principe de Fermat (figure 10) Le chemin optique L(x1 , x2 ) joignant deux points M1 et M2 des plans z1 et z2 v´erifie : L(x1 , x2 ) − L(0, 0) =

1 (ax21 + dx22 − 2x1 x2 ) . 2b

´ DEMONSTRATION. Que L(x1 , x2 ) − L(0, 0) soit une forme quadratique, ` a l’ordre le plus bas, r´esulte simplement de la sym´etrie de r´evolution du syst`eme autour de l’axe z. Pour montrer que les coefficients a, b et d sont bien les ´el´ ements de la matrice M introduite pr´ec´ edemment, on calcule n1 α1 et n2 α2 en a l’aide de la formule dL = b−1 (dx2 − x1 ) dx2 + b−1 (ax1 − x2 ) dx1 = n2 α2 dx2 − fonction de x1 et x2 ` − → − → ˆB · drB − nA u ˆA · drA (cf. section 3.2.3). Ce calcul montre n1 α1 dx1 , cas particulier de dL(A, B) = nB u que la propri´et´ e det M = 1 est li´ee ` a l’existence d’un principe d’extremum.

1 n (x2 − x1 )2 pour Mtranslation et −Cxx 2 Δz pour MF  F . Pour MH  H ou M dioptre et des points conjugu´es avec x = x (sinon il n’y 0 a pas de rayon joignant ces points), on obtient “ ” ; pour lever l’ind´etermination on note 0 1 que ad − bc = 1, donc a = 1 + bc si d = 1, et on obtient − Cx2 . 2 Cas particuliers : L(x1 , x2 ) − L(0, 0) vaut

4.3.3

Relativit´ e d’Einstein et quadrivecteurs

Rappelons que le groupe de sym´etrie (groupe de Lorentz), associ´e aux changements de r´ef´erentiels inertiels, correspond aux transformations lin´eaires qui laissent invariante → − → − la m´etrique c2 T 2 − R 2 , o` u T et (X, Y, Z) ≡ R sont les composantes d’un intervalle

4 • Calcul et physique lin´eaires ; relativit´e ; quantique

112

V d’espace-temps. Une transformation de Lorentz pure de rapidit´ e ϕ (tanh ϕ = , c − 12  V2 cosh ϕ = 1 − 2 ) selon l’axe x s’´ecrit : c cT  = cT cosh ϕ − X sinh ϕ , X  = X cosh ϕ − cT sinh ϕ , Y  = Y et Z  = Z . → − Si la transformation se fait dans la direction n ˆ , il faut remplacer X par R · n ˆ et le couple → − → − → − → − − → (Y, Z) par R ⊥ = R − ( R · n ˆ) n ˆ = R − R  ; en particulier pour une transformation infinit´ esimale : → − cT  = cT −  · R

− − → → R = R − cT 

,

avec  =

V n ˆ. c

L’invariance des lois physiques par ces transformations infinit´esimales entraˆıne leur invariance par les “transformations finies” (en vertu de la loi de groupe).

 Classification des ´ ev` enements et des vitesses → − → − La figure 17 repr´esente les courbes c2 T 2 − R 2 = Cste dans le demi-plan (cT, | R |). Chaque → − courbe montre les valeurs possibles de T et | R |, pour un intervalle d’espace-temps donn´e, quand on change de r´ef´erentiel.

cT

ailleurs

futur

O

R

passé

Figure 17 On voit sur cette figure que la notion de simultan´eit´e, T = 0, de deux ´ev`enements distincts n’est pas invariante. Quant a` la notion de causalit´ e, qui pour ˆetre valable demande que le signe de T soit invariant, on voit qu’elle n’est applicable qu’` a des ´ev`enements tels que → − → − c2 T 2 − R 2 > 0 ou c2 T 2 − R 2 = 0 ; dans ce dernier cas T ne peut changer de signe car si → − T = 0 dans un r´ef´erentiel alors R = 0 ´egalement et les deux ´ev`enements sont confondus. Pour un ´ev`enement origine O on distingue ainsi les ´ev`enements qui sont dans son futur → − ou son pass´ e, et qui peuvent ˆetre reli´es `a lui par causalit´e, et ceux tels que c2 T 2 − R 2 < 0, → − qui dans tout r´ef´erentiel se produisent toujours “ailleurs” (| R | = 0) et ant´erieurement ou post´erieurement suivant le r´ef´erentiel. Dans l’espace `a quatre dimensions (cT, X, Y, Z) les futur et pass´e de O sont a` l’int´erieur d’un cˆ one appel´e cˆ one de lumi` ere.

4.3 Applications en physique classique

113

→ − Si on pose v = T −1 R ( v est la vitesse moyenne d’un point qui, par la pens´ee, “joindrait” 

v 2  → − les deux ´ev`enements), la relation c2 T 2 − R 2 = c2 T 2 1 − 2 montre que les vitesses c se classent de mani`ere invariante en trois cat´egories : | v | < c, | v | = c (vitesse c “limite” des pr´ec´edentes) et | v | > c. Pour la premi`ere seulement il existe un r´ef´erentiel inertiel R0 → − dans lequel les ´ev`enements se produisent au mˆeme endroit ( R 0 = 0). REMARQUES. 1) La loi de transformation des vitesses, obtenue en divisant X  , Y  et Z  par T  , s’´ ecrit vectoriellement !   → −  −1  → − 2  v − V +  d’o` u v = v−V v⊥ 1 − Vc2 a une dimension . `  v  = 1 − vc· 2V 1− vV c2 → − Si on remplace v et V par les vitesses  v2 et  v1 de deux mobiles, le vecteur  v repr´ esente la vitesse   2  −2  ( v1 · v2 ) 1 2 2 relative v21 de 2 par rapport ` ( v2 − v1 ) − c2 ( a 1 et v21 = 1 − v1 ∧ v2 )2 est une c2 v2 −  v1 dans l’approximation galil´eenne. 2) Dans l’espace des vitesses quantit´e invariante. On a  v21 =  v| < c, les transformations ci-dessus, et les rotations, transforment les (vx , vy , vz ), int´erieur de la sph`ere | droites en droites et conservent la “distance” Φ21 de deux “points” d´efinie comme la rapidit´e relative efinit une g´eom´ etrie ´ equivalente ` a la g´ eom´ etrie non euclidienne de Lo(v21 = c tanh Φ21 ). Ceci d´ batchevski. On v´ erifie que les points | v| = c sont les points “` a l’infini” ; deux droites ´etant par d´ efinition parall`eles si elles se coupent ` a l’infini, la figure 18 montre que par tout point M passe deux droites M A et M B parall`eles ` a une droite donn´ee AB.

B A

v1

v2 O M

vx

dr = v dt

points "à l’infini" v =c

(B, t 2) (A, t 1) Figure 18

Figure 19

 Temps propre ; ralentissement des horloges ; effet Doppler − → Si dans un r´ef´erentiel R, un point mat´eriel se d´eplace de dr dans le temps dt (` a la vitesse − → 2 2 2

v ), l’invariance de c dt − |dr| montre que le temps dτ ´ecoul´e dans le r´ef´erentiel inertiel  − → v2  u dr 0 = 0 (r´ef´erentiel qui change avec t), est tel que dτ 2 = dt2 1 − 2 . On appelle R0 o` c temps propre entre deux “positions” (A, t1 ) et (B, t2 ) du mobile dans R l’invariant :     (B,t2 )  v2 v2 . 1 − 2 dt dτ = dt 1 − 2 τ= c c (A,t1 ) Si (A, t1 ) et (B, t2 ) sont fix´es τ est maximum pour un mouvement inertiel. Cette propri´et´e (exploit´ee `a la section 9.2.1) est ´evidente si on se place dans le r´ef´erentiel inertiel o` u A et B co¨ıncident (figure 19) ; en effet le mouvement inertiel de A `a B ≡ A correspond alors a` v = 0 et τ = t2 − t1 est maximum.

4 • Calcul et physique lin´eaires ; relativit´e ; quantique

114

11111 00000 00000 11111 00000 11111 ct 11111 00000 00000 11111 00000 11111 c Δt 00000 11111 00000 11111 0000 1111 1− v2 c 2 00000 11111 0000 1111 00000 0000 1111 c Δt 11111 00 11 c−v 00000 11111 0000 1111 L c+v 00 11 00000 11111 0000 1111 00 11 00000 11111 0000 1111 0000 1111 00 11 00000 11111 0000 1111 0000 1111 00 11 00000 11111 0000 1111 00 11 00000 11111 0000 1111 00 11 00000 11111 0000 1111 00 11 00000 11111 0000 1111

τ=0

−

x

=

ct

1 0 0 1 0 1 0 1

x

1 0 0 1 0 1 0 1 τ =Δ t

x

=

ct

x=

vt

L

O

L

L c+v

c−v

x

(b)

(a) Figure 20

REMARQUES. 1) La figure 20b repr´esente dans l’espace-temps (ct, x) d’un r´ ef´ erentiel l’aller-retour d’un signal lumineux entre deux miroirs, distants de L dans leur r´ef´ erentiel propre (fus´ee de la figure 20a), lorsque la fus´ee est soit au repos soit a la vitesse v dans ce r´ef´ erentiel. Les aires hachur´ees sont ´egales car eme des miroirs une transformation de Lorentz (ici active) pr´eserve c2 t2 − x2 = (ct + x)(ct − x). Le syst` est un exemple d’horloge (avec p´eriode propre Δt = 2L/c) qui, dans le r´ef´ erentiel (ct, x), manifeste un  2 − 1 2 ) quand elle est en mouvement. 2) Mˆ eme si le temps (propre) ralentissement (p´eriode Δt 1 − vc2

de vie d’une particule est petit, τ  10−10 s par exemple, celle ci peut parcourir dans R des distances  2 − 1 2 arbitrairement grandes quand v s’approche de c. 3) L’acc´ el´ eration du mobile dans R est vτ 1 − vc2 → − d v v = v (t + dt), on d´eduit de la loi de transformation des vitesses que son a = dt ; en posant V = v (t) et  !    2 − 3 2 v 2 a + a⊥ 1 − Vc2 . 4) Effet Doppler. est a(0) = 1 − Vc2 acc´ el´ eration propre (dans R0 ) dτ L’´ etude a ´et´ e faite ` a la section 3.2.3. Si la vitesse de propagation du signal est cˆ u (lumi`ere) et celle du  2 1  vS 2  vS ·u ˆ  −1 1− c2 ; si vS est parall`ele d´ etecteur vD = 0, la relation entre fr´equences s’´ecrit νD = νS 1− c u ϕ est la rapidit´e de la source (cf. section 1.1.2.). au ` ˆ cette relation devient νD = νS eϕ o`

 Quadrivecteurs

→ − On appelle ainsi tout ensemble A de quatre composantes (A0 , A ≡ {Ax , Ay , Az }) qui → − se transforme comme X = (cT, R ). Le carr´e de la norme d’un quadrivecteur, d´efini → − par A20 − A 2 , est un invariant (scalaire de Lorentz) de mˆeme que le produit scalaire → − − → → − − → def A · B = A0 B0 − A · B (cons´equence de l’invariance de (A0 + B0 )2 − ( A + B )2 ). Un quadrivecteur est du genre temps, lumi`ere ou espace selon que ce carr´e est positif, nul ou n´egatif ; dans le premier cas le signe de A0 est un invariant. Un exemple est la quadrivitesse (de norme 1)   − 12  − →   v2

v dt dr , = 1− 2 1, U= dτ c dτ c c − → obtenue en divisant dX = (c dt, dr) par le scalaire c dτ . On construit a` partir de U le quadrivecteur ´ energie quantit´ e de mouvement P d’une particule ponctuelle par multiplication par le scalaire mc (la masse m est suppos´ee invariante) :  − 12   → c2 − v2 p E − → → ,→ p d’o` u − v = . P = 1− 2 (mc, m− v)= c c E

4.3 Applications en physique classique

115

AUTRES EXEMPLES. 1) On construit de mˆeme le quadrivecteur courant J d’une distribution erentiel propre et anim´ee d’une vitesse  v dans R : de charges, de densit´e ρ0 dans son r´ef´   1   2 −2 j v avec j = ρ v et ρ = ρ0 1 − c2 ; J = ρ0 U = ρ, c ρ est la densit´e volumique de charges dans R car (cf. section 3.3.1, figure 3) la charge ρ0 d3 r0 (suppos´ee ! 2

invariante) se retrouve ` a un instant donn´e t dans R dans le volume d3 r = d3 r0 1 − vc2 . 2) Si pour une →  − onde plane exp −i(ωt− k · r ) on suppose  quele d´ephasage ωT − k · R est un invariant, on en d´eduit que ω  k = c ,k (“quadrifr´ equence”) → − → − → −  ecrit aussi est un quadrivecteur. (D´emonstration : ωT − k · R = ω(T  + 1c  · R  ) − k ( R  + cT ) s’´  ω → − ω  T  − k  · R  avec ωc = ωc −  · k et k  = k − .) Les relations de Planck-Einstein et de de c Broglie E = ω et p  = k, ´ equivalentes ` a p = k, sont donc invariantes. 3) L’op´erateur gradient → − ∂ = ( 1c ∂t , − ∇) est aussi un quadrivecteur ; appliqu´e ` a une onde plane, i∂ est la multiplication par k.

 M´ ecanique des points ; d´ efaut de masse ; collisions ; forces Elle repose sur la d´efinition de P qui entraˆıne E 2 − c2 p 2 = m2 c4 ; pour les particules de 1 masse nulle E = c |

p|. Si m = 0, mc2 est l’´energie au repos et E − mc2 ( mv 2 si 2 v  c) est l’´ energie cin´ etique. EXEMPLES. En chimie ou physique nucl´eaire, on pose mc2 = m∗ c2 + E liaison , o` u m∗ est la somme des masses des constituants isol´es et E liaison l’´ energie de liaison ; par exemple pour l’atome d’hydrog`ene : mH c2 = (me + mp )c2 − 13, 6 ev. La variation d’´energie cin´etique lors d’une r´eaction (“´energie lib´er´ee”) est alors : ΔE cin

=



f (Ef

− m f c2 ) −



i (Ei

− m i c2 )

  = −c2 ( f mf − i mi ) (conservation de l’´energie)   = −( f Efliaison − i Ei liaison ) si les constituants restent inchang´es . Elle est positive si davantage li´es).

 f

mf
0 sauf si les particules incidentes sont de masses nulles Comme Ei ≥ c |− et ont des vitesses parall`eles. Alors il existe un r´ef´erentiel Rcm o` u la somme p cm des Σi c2 p i ). On en d´eduit : quantit´es de mouvement est nulle (sa vitesse dans R est v cm = Σi Ei P cm = (

E cm

, 0) c

;

 (E cm )2 = P2 = ( P i )2 . 2 c i

4 • Calcul et physique lin´eaires ; relativit´e ; quantique

116

EXEMPLES. 1) Pour la collision d’une particule (2) sur une particule cible (1) au repos dans R : (E cm )2 = (m1 c2 + E2 )2 −  p22 c2 = (m21 + m22 ) c4 + 2m1 c2 E2 . La quantit´ e

E cm

− (m1 + m2 ) c2 est l’´energie disponible pour la cr´eation de particules ; la figure 21a

repr´ esente ce qu’on observe dans R au seuil de production. A basse ´energie on retrouve (petit m2 v2 2 (proportionnelle ` a E2cin ; cf. seccalcul) l’expression galil´eenne de l’´ energie disponible 12 mm1+m 1 2 !  tion 3.3.2) ; ` a tr` es haute ´energie elle vaut 2m1 c2 E2 (proportionnalit´e a ` E2cin qui montre l’int´erˆ et d’utiliser plutˆ ot des anneaux de collision). 2) Dans une collision ´elastique, l’angle de diffusion de la particule incidente (2) s’obtient en ´eliminant  2 2 2 les param`etres de la particule cible (1) apr`es le choc : P 2 1 = m1 c = (P 1 + P 2 − P 2 ) ; par exemple

si (2) est un photon (m2 = 0) qui diffuse sous un angle θ, la relation s’´ecrit p2 − p 2  )2 c2 ou 2m1 c2 (E2 − E2 ) = 2E2 E2 (1 − cos θ) , m21 c4 = (m1 c2 + E2 − E2 )2 − ( ou encore :

λ − λ =

h m1 c

(1 − cos θ)

(effet Compton ; figure 21b).

z m2

v2

projectile

E2

m1

vcm

cible

chainette

(a) parabole

E’2

m1

E (b) v0

Figure 21

x

Figure 22

− → Force et quadriforce. La diff´erentiation de E 2 − p 2 c2 = m2 c4 montre que dE = v · dp ; en gardant la d´efinition usuelle de la force on a : − → dp − → dE → − =F et = F · v . dt dt En param´etrant la trajectoire d’espace temps par le temps propre τ , et en notant par un d point la d´erivation , ceci s’´ecrit aussi : dτ   1 −  → 2 −2 → − F ·

v v ¨ = F avec F = 1 − , F quadriforce . P˙ = mX c2 c → − EXEMPLE : mouvement d’une particule charg´ ee dans un champ ´ electrique constant E = ˙ Sans perte de g´en´ ˙ m¨ x = m¨ y = 0 et m¨ z = qEz t. eralit´e (r´ eflexion laiss´ee au lecteur), Ez zˆ. mc2 t¨ = qEz z,  v2  − 1 2 = ˙ u t(0) = 1− c20 on peut choisir x(0) = y(0) = z(0) = t(0) = 0, y(0) ˙ = z(0) ˙ = 0 et x(0) ˙ = v0 , d’o` 2 2 ¨ ˙ γ0 . L’int´egration de t donne la L.C. de l’´energie totale (cin´etique et potentielle) mc t−qEz z = mc γ0 ; qEz 2 z = mc celle de x ¨ et de y¨ conduit ` a : x(τ ) = γ0 v0 τ et y(τ ) = 0 ; enfin m¨ 2 (qEz z + mc γ0 ) et les C.I. mc2 γ0  qEz  γ0 mc qEz mz˙ donnent z(τ ) = − qE 1 − cosh mc τ et t(τ ) = qE = qE sinh mc τ . Pour τ petit t = γ0 τ , z

x = v0 t, z =

1 qEz 2 t 2 γ0 m

z

z

et la trajectoire est une parabole. Pour τ grand c’est une chaˆınette (figure 22) ;

ero tandis que vz tend vers c. px restant constant, vx tend vers z´

4.4 Physique quantique et espaces vectoriels

117

 Invariance de l’´ electromagn´ etisme → − → − → − La loi de force de Lorentz F = q ( E + v ∧ B ) est invariante par transformation de → − − → Lorentz et la loi de transformation infinit´esimale de E et B est : → − − → → → − − → − → − → − → → − 1− E = E +  ∧ c B (= E + V ∧ B ) et B  = B −  ∧ E c →− − → − → → − (cf. d´emonstration 1). On en d´eduit facilement que E · B et E 2 −c2 B 2 sont invariants, et → − → − → − → 1− que E et c B se transforment comme B et − E . Cette correspondance, appel´ee relation c − → − → − → de dualit´e, entraˆıne que la loi F = qm B − c12 v ∧ E est elle aussi invariante ; c’est la force que subirait une charge magn´etique qm s’il existait des monopˆoles magn´etiques. → − → − On d´eduit aussi des lois de transformation de E et B que les ´ equations de Maxwell → − ρ − → → − → − →−

dans le vide (cf. section 7.5.1), div E = , rot B = μ0 (j + 0 ∂t E ), div B = 0 et 0 → − → − →− rot E + ∂t B = 0 sont invariantes (cf. d´emonstration 2). − → − → − → − → ´ DEMONSTRATION 1. Il suffit d’´ecrire la loi de force sous la forme dp = q ( E dt + dr ∧ B ) ; comme → − → E − d ( c , dp) est un quadrivecteur, la transformation de dp ` a l’ordre  est : − →  → − → → 1 1− − → → − 1 − − → − → dp = dp −  dE = q E (dt +  · dr ) + (dr  + c dt ) ∧ B −  q E · dr  c c c − → → − → − = q ( E  dt + dr  ∧ B  ) ; − → → − l’identification des termes en dt donne la loi de transformation de E et celle des termes en dr  , et → − → − (ϕ) l’utilisation de la formule du double produit vectoriel, celle de B . L’int´ egration des relations d Edϕ = → − → − → d B (ϕ) 1 − cn ˆ ∧ B (ϕ) et dϕ = −ˆ n ∧ c E (ϕ) (ϕ rapidit´e) donne, pour des transformations finies : − → − −→ −→ − → − → → → → − → → −  = cosh ϕ −  = cosh ϕ − E ⊥ + sinh ϕ n ˆ ∧ c B ⊥ et B⊥ B ⊥ − sinh ϕ n ˆ ∧ 1c E ⊥ . E = E  , B = B  , E⊥ → − → − ´ DEMONSTRATION 2. On vient de voir que les lois de transformation de E et B sont telles que → → − → − → − → − → − 1 − 1 r , E dt + d r ∧ B ) et ( B · d r , c B dt − c d les quantit´es ( c E · d r ∧ E ) sont des quadrivecteurs. Comme → − − → → − − → − → → − r ) se transforment de la mˆeme fa¸con, on en d´eduit que (− 1c ∇ · E , c12 ∂t E − ∇ ∧ B ) ( 1c ∂t , − ∇) et (c dt, d → − − → 1 − → − → 1− → et (− ∇ · B , c ∂t B + ∇ ∧ c E ) sont aussi des quadrivecteurs. Les ´equations de Maxwell, qui expriment l’´ egalit´e de ces quadrivecteurs avec les quadrivecteurs − 1c (ρ, 1c j) et (0, 0) (proportionnels aux courants 0 ´ electrique et magn´etique), sont donc invariantes.   −  → REMARQUE. Les ´ equations pour les potentiels Δ − c12 ∂t2 V = − ρ et Δ − c12 ∂t2 A = −μ0 j (cf. 0 → − section 7.5.2) montrent, l’op´erateur d’Alembertien Δ − c12 ∂t2 ´ etant invariant, que A = ( 1c V, A ) est → − un quadrivecteur et que la condition de Lorentz div A + c12 ∂t V = 0 ou ∂ · A = 0 est invariante.

4.4

PHYSIQUE QUANTIQUE ET ESPACES VECTORIELS

L’approche quantique des ph´enom`enes, qui depuis plus de quatre-vingts ans a permis de comprendre la plupart des grandes d´ecouvertes de la physique, repose sur le calcul lin´eaire. En effet les ´ etats d’un syst` eme physique sont sp´ecifi´es par les vecteurs norm´ es d’un E.V. complexe dont la dimension caract´erise le nombre de degr´es de libert´e du syst`eme consid´er´e. Quant aux “op´ erations” sur le syst` eme (sa pr´eparation dans un ´etat particulier, l’action sur lui d’une sym´etrie telle que translation ou rotation, une op´eration de mesure, son ´evolution, etc.), elles sont d´ecrites `a partir d’applications lin´ eaires (op´erateurs, matrices) agissant sur l’E.V. des ´etats.

4 • Calcul et physique lin´eaires ; relativit´e ; quantique

118

Rappelons que la physique quantique a son origine dans l’´etude de l’interaction rayonnementmati` ere, r´esum´ee tr`es sch´ ematiquement par : 1) la d´ecouverte que l’optique ondulatoire du 19`eme si` ecle, expliqu´ee par les ondes ´electromagn´etiques, met en fait en jeu des particules, les photons, avec les “r` egles de correspondance” E = ω et  p = k pour l’´ energie et la quantit´e de mouvement d’un photon associ´e ` a une onde plane (ces r`egles ´etant valables pour d’autres particules et concernant aussi le moment cin´etique : Jz = m avec m entier ou demi entier) ; 2) l’observation que la spectroscopie atomique et l’id´ee de photon impliquent la quantification des niveaux d’´energie, d’o` u la n´ecessit´e d’expliquer cette quantification ainsi que l’existence des transitions entre niveaux.

4.4.1

Cadre g´ en´ eral ; ´ etats quantiques ; moyennes ; ´ evolution

 E.V. des ´ etats quantiques Consid´   erons `a titre d’exemple les photons associ´es `a une onde plane ´electromagn´etique Ex e−i(ωt−kz) (Ex,y ∈ C). On d´ecrit leur ´etat de polarisation par : Ey       1 Ex α α e−iωt avec = (|Ex |2 + |Ey |2 )− 2 ψ(t) = . β β Ey L’espace (complexe) engendr´e par ces ´etats est ici de dimension 2. La pr´ eparation d’un autre ´etat ϕ ` a partir de ψ se traduit math´ematiquement par l’application du projecteur Pϕ : Pϕ ψ = (ϕ, ψ) ϕ ; e de trouver l’´etat ϕ `a le produit scalaire (ϕ, ψ) est appel´e amplitude de probabilit´ 2 partir de ψ et le carr´e de sa norme |(ϕ, ψ)| , compris entre 0 et 1 (in´egalit´e de Schwarz),     1 0 1 pour ϕ = correspond est la probabilit´e correspondante. Par exemple Pϕ = 0 0 0 2 2 a l’action d’un polariseur selon x, et |(ϕ, ψ)| = |α| est aussi le rapport des flux lumineux ` a la sortie et `a l’entr´ee du polariseur. ` REMARQUE. Si {ϕi } est une base orthonorm´ee ((ϕi , ϕj ) = δij ), les probabilit´es pi = |(ϕi , ψ)|2   v´erifient equence de ψ = i pi = 1 (cons´ i (ϕi , ψ) ϕi et de (ψ, ψ) = 1)). On fera attention a` ce que ce sont les amplitudes complexes (ϕi , ψ), et non les pi , qui caract´erisent enti`erement ψ (modulo une phase globale). Sym´ etries. De mani`ere g´en´erale une op´eration de sym´etrie est d´ecrite par l’action d’un op´ erateur unitaire. Par exemple une rotation autour de l’axe z se traduit par la matrice   i cos θ − sin θ = exp − θJz Rz (θ) = (d´efinition de Jz ) . sin θ cos θ      1 1 0 −i (cf. section 4.2.3) ; les valeurs sont √ Les ´etats propres de Jz =  ±i i 0 2 propres ± sont appel´ees h´ elicit´ es du photon (moment cin´etique selon la direction de propagation). Le signe + correspond `a une polarisation tournant dans le sens direct puisque ψ(t) ∝ e−iωt (polarisation dite gauche en optique cf. section 2.3.4).

4.4 Physique quantique et espaces vectoriels

119

 Moyenne quantique ; matrice densit´ e La moyenne d’un op´erateur A dans un ´etat ψ, d´efinie par < A >= (ψ, Aψ) ,



vaut i ai pi (d’o` u le nom de moyenne) si A est diagonalisable dans une base orthonorm´ee de vecteurs propres ϕi associ´es aux valeurs propres ai .       α α de Jz dans l’´etat EXEMPLE 1. Pour les photons la moyenne α β Jz β β   2

2

α − iβ α + iβ √ (= 0 pour une polarisation rectiligne) ; elle peut se − √ 2 2 mesurer directement a` partir du couple Γ (Γ =< Jz > × flux de photons) qu’exerce la lumi`ere incidente sur une lame anisotrope lorsque la polarisation sortante est rectiligne (Bethe-Harris 1935).   0 e−iωτ (non hermitienne et non diagonalisable) la EXEMPLE 2. Pour A = 0 0      0 e−iωτ α = α e−iωτ β n’est autre que moyenne quantique < A >= α β β 0 0 la moyenne temporelle < E x (t) Ey (t + τ ) >, divis´ee par < |Ex |2 + |Ey |2 > ; elle est mesur´ee `a partir d’exp´eriences d’interf´erences (cf. section 2.5.3). vaut 

REMARQUES. 1) La moyenne dans un ´etat ψ s’´ecrit aussi < A >= tr(APψ ) ; en effet, en choisissant  une base orthonorm´ee {ϕi } telle que ϕ1 = ψ, on obtient : tr(APψ ) = i (ϕi , APϕ ϕi ) = (ϕ1 , Aϕ1 ). 1 2) On rencontre aussi des situations exp´erimentales o` u la moyenne s’effectue par rapport ` a un m´ elange statistique (une superposition incoh´erente) d’´etats ; c’est le cas en optique lorsqu’on superpose des esignent les ´etats des photons relatifs ` a chaque faisceau n et faisceaux incoh´erents entre eux. Si ψ n d´  p = 1), alors < A >= pn les “poids” relatifs des faisceaux (leurs intensit´es relatives qui v´erifient  n n    |αn |2 αn β n . ρ est appel´ee matrice n pn (ψ n , Aψ n ) = tr(ρA) avec ρ = n p n Pψ n = n pn αn βn |βn |2 † densit´ e ; elle v´erifie ρ = ρ , trρ = 1 ; elle est positive (valeurs propres ρn ≥ 0) et trρ2 ≤ 1 ; enfin trρ2 = 1 a un ´ etat pur. (cf. aussi section 2.5.3.) ´ equivaut a ` ρ = Pψ et correspond `

 Evolution ; ´ equation de Schr¨ odinger L’´evolution d’un ´etat norm´e est n´ecessairement d´ecrite par un op´erateur unitaire ψ(t) = U (t, t0 ) ψ(t0 ), avec les propri´et´es U (t , t0 ) = U (t , t) U (t, t0 ) et U (t, t) = I. Pour un interi valle de temps infinit´esimal on peut poser U (t + , t) = I −  H(t), et on montre, comme  a la section 4.2.2, que l’op´erateur hamiltonien H(t) ainsi d´efini est hermitien. Comme ` i U (t + , t0 ) = U (t + , t) U (t, t0 ), on v´erifie facilement que U˙ (t, t0 ) = − H(t) U (t, t0 ), et,  equation de Schr¨ odinger : par application des deux op´erateurs a` ψ(t0 ), on obtient l’´ ˙ i ψ(t) = H(t) ψ(t) .  i  Si H ne d´epend pas de t, sa solution est ψ(t) = exp − Ht ψ(0) ; elle vaut   i  ψ(t) = exp − Et ψ(0)  energie de l’´ etat). L’´evolution si ψ(0) est ´etat propre de H, avec la valeur propre E (´

4 • Calcul et physique lin´eaires ; relativit´e ; quantique

120

laissant les ´etats propres de H invariants, a` une phase pr`es, on les appelle ´ etats stationnaires. Les moyennes dans ces ´etats de tout op´erateur A ind´ependant du temps restent constantes lors de l’´evolution ; on peut montrer que r´eciproquement cette propri´et´e caract´erise un ´etat stationnaire. Une sym´ etrie de H est alors un op´  erateur  unitaire  S tel  ˙ que Sψ(t) ob´eit `a la mˆeme ´equation que ψ(t) ; de i S ψ(t) = S Hψ(t) = H Sψ(t) , pour tout ψ(0), on d´eduit que S commute avec H : [H, S] = 0 . REMARQUE. Pour tout A ind´ependant de t, une moyenne dans un ´etat quelconque (ψ(t), Aψ(t)) =< A >t v´erifie d < A >t i = < [H(t), A] >t ; dt     i † † il suffit d’´ecrire ψ (t + ) A ψ(t + ) = ψ (t) I +  H(t) A I −  notation matricielle), puis de d´evelopper. L’op´erateur A˙ d´efini par

 i  H(t) ψ(t) (en  i A˙ = [H, A] est  appel´e vitesse d’´ evolution de A (cf. section 9.1.2 pour l’´equivalent classique).

4.4.2

Dynamique des syst` emes ` a deux ´ etats ; transitions quantiques

On consid`ere l’exemple de la mol´ecule N H3 dont le plan des atomes d’hydrog`ene peut occuper deux positions autour de z0 et −z0 de part et d’autre de l’atome d’azote (image classique), comme une particule dans un double puits de potentiel sym´etrique (figures 23a et b).

z H z0

H H

+ 0

−

V(z)

p

N

z0

− z0 E0

−z0 (a)

z

(b) Figure 23

Une description quantique simplifi´ee, ne faisant pas appel aux fonctionsd’onde, consiste   a` 1 0 et ψ − = consid´erer que l’espace des ´etats est engendr´e par deux vecteurs ψ + = 0 1 associ´es respectivement aux positions z et −z ; ils sont ´ e tats propres de l’op´ e rateur 0 0  1 0 (valeurs propres ±z0 ) et se d´eduisent l’un de l’autre par l’op´erateur Z = z0 0 −1  0 1 associ´e `a la sym´etrie z → −z du syst`eme. S= 1 0

4.4 Physique quantique et espaces vectoriels

121

 Evolution libre Un hamiltonien ob´eissant `a la sym´etrie (H S = S H) s’´ecrit alors   E0 −A H0 = = E0 I − A σ x −A E0 (avec A r´eel car H0 hermitien) ; dans la suite on suppose A > 0 et on pose A =   α , l’´evolution est (cf. Unˆ (θ) section 4.2.4) : Pour tout ´etat initial ψ(0) = β        α cos ω20 t i sin ω20 t α α(t) − i t H0 − i E0 t =e . =e ψ(t) = β β β(t) i sin ω20 t cos ω20 t Elle conduit aux probabilit´es |α(t)|2 = α cos

ω0 t ω0 t + iβ sin 2 2

ω0 . 2

2

d’ˆetre dans l’´etat ψ + `a

ω0 t l’instant t, et |β(t)|2 = 1 − |α(t)|2 d’ˆetre dans l’´etat ψ − ; par exemple |α(t)|2 = cos2 2 2 ω0 t 2 si α = 1 et β = 0 ; alors la position moyenne a` l’instant t est et |β(t)| = sin 2 2 z(t) = z0 (|α(t)| −|β(t)|2 ) = z(0) cos ω0 t. Les ´etatsstationnaires (vecteurs propres de 0,   H 1 1 1 −1 et l’´ etat excit´ e ψe = √ etat fondamental ψ f = √ donc de σ x ) sont l’´ 1 2 1 2 d’´energies Ef = E0 − A et Ee = E0 + A. Il sont aussi ´etats propres de S et pour eux z(t) = 0 et z(t) ˙ = 0. L’hypoth`ese A > 0 garantit que ψ f est sym´etrique.

 Polarisabilit´ e de NH3 La polarisation de la liaison N − H se traduit, pour la mol´ecule N H3 , par la pr´esence d’un dipole p orient´e selon l’axe z et, en pr´esence d’un champ ´electrique Ez , par une ´energie suppl´ementaire ∓pEz pour les ´etats ψ ± . Dans la base ψ ± l’´evolution est donc d´ecrite par       → − α˙ E0 − pEz α −A → avec H = i ˙ = H = E0 I − − σ·V β −A E0 + pEz β sont (Vx = A = V sin θ, Vy = 0, Vz = pEz = V cos θ). Les valeurs propres  E∓ = Eθ0 ∓  θ  − sin 2 cos 2 et . A2 + p2 Ez2 et les vecteurs propres s’´ecrivent (cf. section 4.2.3) θ sin θ2  cos 2  i Si Ez est constant ces ´etats ´evoluent en ´etant simplement multipli´es par exp − tE∓ ,  et pour eux, le moment dipolaire moyen est : < p > (t) = ±p (cos2

θ θ p 2 Ez − sin2 ) = ±p cos θ  ± si |pEz |  A ; 2 2 A

pour l’´etat fondamental il a le signe de Ez , conform´ement `a la description classique de la polarisabilit´e de N H3 , et d´ecroˆıt quand A augmente (interpr´etation physique laiss´ee au lecteur).

122

4 • Calcul et physique lin´eaires ; relativit´e ; quantique

 Transitions ; r´ esonance ; r` egle d’or de Fermi On consid`ere un champ Ez (t) d´ependant du temps. Dans la base ψ f,e l’´evolution d’un 1 ´etat ψ = cf ψ f + ce ψ e est donn´ee par (cf,e = √ (β ± α)) : 2      pEz (t) c˙ Ef cf i f = . pEz (t) c˙e Ee ce   i Le changement de variables cf,e (t) = exp − Ef,e t γf,e (t), qui conduit aux ´equations  i γ˙ f (t) = p Ez (t) e−iω0 t γe (t)

i γ˙ e (t) = p Ez (t) eiω0 t γf (t) ,

et

est bien adapt´e `a l’´etude des transitions entre ψ e et ψ f induites par Ez (t) car γ˙ f (t) =

γ˙ e (t) = 0 pour Ez (t) = 0. Si Ez (t) e±iω0 t est une fonction qui oscille vite, on s’attend `a ce que γ˙ f,e (t)  0, et donc `a l’absence de transitions. Consid´erons alors le cas parfaitement monochromatique Ez (t) = E0 e−iωt + E0 eiωt avec ω proche de ω0 . On obtient i γ˙ f (t)  pE 0 ei(ω−ω0 )t γe (t) et i γ˙ e (t)  pE0 e−i(ω−ω0 )t γf (t) en ne gardant en facteur de γf,e (t) que les coefficients `a variation lente ; cette approximation, identique a` la m´ethode des ´equations d’amplitude de la section 6.4.5, ne sera valide que si les solutions ainsi trouv´ees sont `a variation lente par rapport a` e±iω0 t . Alors p|E0 | γe (t) satisfait l’E.D. `a coefficients constants γ¨e + i(ω − ω0 ) γ˙ e + Ω2 γe = 0 avec Ω = .  Si on suppose qu’initialement l’un des ´etats n’est pas occup´e, par exemple γe (0) = 0 et γf (0) = 1, on obtient (petit calcul) : |γe (t)|2 = Ω2

sin2

!  ω−ω0 2 2

 ω−ω0 2 2

+ Ω2 t

+ Ω2

.

L’approximation est donc valable pour Ω  ω0 et |ω − ω0 |  ω0 . Transition r´ esonnante. Si ω = ω0 on obtient |γe (t)|2 = sin2 Ωt (r´esultat qui d´ecoule aussi plus directement des ´equations γ¨f,e + Ω2 γf,e = 0). Ce basculement r´eversible de ψ f vers ψ e , lorsque ω = ω0 , est appel´e r´ esonance quantique. u les termes en Ez (t) dans le hamiltonien REMARQUE. Si ω = ω0 , et dans la mesure o` peuvent ˆetre consid´er´es comme perturbatifs, la solution ci-dessus devient, au premier ordre du calcul de perturbation, 0 sin2 ω−ω 2 t |γe (t)|2 = Ω2 F (ω − ω0 , t) avec F (ω − ω0 , t) =  .  ω−ω0 2

2

Cette expression, qui s’obtient aussi par int´egration de l’E.D. pour γe (t) entre 0 et t en maintenant γf (t) ´egal a` un, suppose |γe (t)|  1. Elle reste valable pour tout ω si Ω est arbitrairement petit.

4.4 Physique quantique et espaces vectoriels

123

R` egle d’or de Fermi. Souvent, dans la r´ealit´e, le champ E(t) n’est que quasi-monochromatique et l’´energie du niveau excit´e pr´esente une dispersion. Ces deux ph´enom`enes ont pour effet de distribuer la valeur de Ω2 sur un continuum de valeurs de ω (pour le premier) et de Ee (pour le second), et donc de rendre pour chaque ω et Ee fix´e la valeur correspondante de Ω2 arbitrairement petite. Dans le premier cas, pour tenir compte de la dispersion en ω de E(t), il faut remplacer Ω2 = −2 p2 |E0 |2 par −2 p2 I0 (ω) dω sur l’intervalle [ω, ω + dω] (I0 (ω) densit´e spectrale d’intensit´e du champ) ; |γe |2 devient 2 −2  p I0 (ω) F (ω−ω0 , t) dω. Comme F (ω−ω0 , t), dont l’int´egrale sur ω vaut exactement 2πt, est de plus en plus “piqu´ee” autour de ω0 lorsque t → ∞ (F (0, t) = t2 et Δω  2πt−1 ), cette int´egrale pour t grand vaut t wef avec : wef = 2π−2 p2 I0 (ω0 ) . wef est la probabilit´ e de transition par unit´ e de temps de ψ f `a ψ e . (En consid´erant le cas γe (0) = 1 on calcule de mˆeme wf e et on v´erifie que wf e = wef : micror´ eversibilit´ e). Dans le second cas, pour tenir compte de la dispersion de Ee et donc aussi de ω0 = −1 (Ee − Ef ), on introduit une densit´e ρe (E) de niveaux excit´es par unit´e d’´energie (ce qui revient a` remplacer Ω2 par Ω2 ρe (E) dE sur l’intervalle [E, E + dE]) et |γe |2 devient E − Ef , t) dE = t w{e}f avec : −2 |p E0 |2 ρe (E) F (ω −  w{e}f  2π−1 |pE0 |2 ρe (Ef + ω)

(r` egle d’or de Fermi) .

Dans les deux cas le comportement de F montre que la transition est impossible lorsque energie) n’est pas satisfaite. La pr´esence de probabil’´egalit´e Ef = Ee − ω (L.C. de l’´ lit´es de transition traduit le caract`ere irr´eversible de ces transitions (cf. section 10.3.2).  Interactions avec d’autres syst` emes ` a deux ´ etats ; loi exponentielle Ci-dessus les transitions sont dues au terme de couplage pEz pr´esent dans le hamiltonien. Des calculs semblables conduisent aux mˆemes r´esultats en supposant que la mol´ecule N H3 interagit avec un autre syst` eme S ` a deux niveaux, par exemple un champ quantique dont les ´etats ϕf,e ` a n ou n + 1 photons

e par les quatre vecteurs ψf,e ⊗ϕf,e (n fix´ e) ont des ´energies f,e avec e −f = ω. Si dans l’E.V. engendr´ on suppose que les transitions n’ont lieu qu’entre les deux ´etats ψe ⊗ ϕf et ψf ⊗ ϕe , ce qui est vrai si ω  ω0 , on est conduit ` a traiter l’ensemble N H3 − S comme un syst`eme ` a deux ´etats. Les ´equations d’´ evolution pour les composantes d’un ´etat quelconque sur ces deux vecteurs sont alors de la forme i c˙ f e = (Ef + e ) cf e + K cef et i c˙ ef = (Ee + f ) cef + K cf e , et un changement de variable semblable a celui effectu´ ` e plus haut les change en i γ˙ f e = K ei(ω−ω0 )t γef et i γ˙ ef = K e−i(ω−ω0 )t γf e . On peut mod´eliser la loi exponentielle de d´ esexcitation spontan´ ee de N H3 en supposant que N H3 interagit non pas avec un, mais avec une infinit´e de syst` emes ` a deux niveaux dont les diff´erences d’´energie ωk forment un continuum autour de ω0 ; ce sont en pratique les modes du champ ´electromagn´etique dans le vide, avec z´ero ou un photon. On suppose que les transitions s’effectuent entre l’´etat Ψe (N H3 dans l’´etat excit´e et les modes avec z´ero photon), et les ´etats Ψf,k (le mode k avec un photon et N H3 et les

autres modes dans leur ´etat fondamental). La r´esolution exacte des ´equations i γ˙ f,k = Kk ei(ωk −ω0 )t γe  −i(ωk −ω0 )t γ et i γ˙ e = ee de Laplace (cf. section 5.3.3), avec γe (0) = 1 et f,k par transform´ k Kk e  −1 2 Γe (p). Si on pose γf,k (0) = 0, donne (petit calcul) : p Γe (p) − 1 = − 12 k Kk [p + i(ωk − ω0 )]

ωk = ω0 + k Δω, Kk = K pour tout k ∈ Z on peut utiliser la formule exacte : ∞ −1 = π cotanh πp . k=−∞ (p + ik Δω) Δω Δω Dans la limite Δω → 0 et

πK 2  2 Δω

→ a, elle donne Γe (p) =

1 p+a

d’o` u γe (t) = e−at . La loi exponentielle

4 • Calcul et physique lin´eaires ; relativit´e ; quantique

124

et son irr´eversibilit´e sont donc associ´ees ` a des transitions de l’´etat excit´e vers un continuum d’´etats ; ` a p K (avec Ω = ) et l’oppos´e, si il y a transition vers un seul ´etat avec ω = ω0 , on obtient Γe (p) = p2 +Ω 2  on retrouve la r´esonance γe (t) = cos Ωt.

4.4.3 Fonctions d’ondes ; E.D.P. de Schr¨ odinger ; ´ etats gaussiens  Degr´ es de libert´ e spatiaux ; translation ; percussion Pour d´ecrire ces degr´es de libert´e, en se limitant a` une particule et `a une seule dimension d’espace, il faut introduire l’E.V., de dimension infinie, des fonctions de z muni du produit scalaire (g, f ) = g(z) f (z) dz. La composante spatiale d’un ´etat est alors repr´esent´ee par une fonction norm´ee ψ(z, t) appel´ee fonction d’onde ou encore “paquet d’ondes” car,  t) eikz dz en vertu de l’analyse de Fourier, elle peut s’´ecrire comme une “somme” ψ(k,  ∂ d’ondes planes. Dans cet espace l’op´erateur quantit´ e de mouvement est P = i ∂z (noter que P f  p0 f si f est la fonction d’onde d’une particule de quantit´e de mouve"i # ment p0 quasi fix´ee, c.a.d. si f est “proche” de exp p0 z ) ; celui de position Z est la  multiplication par z (Zf  z0 f si f est “piqu´ee” en z0 , cf. l’interpr´etation de |f (z)|2 # " i ci-dessous). L’op´erateur exp − aP , qui change f (z) en f (z − a) (cf. d´eveloppement de  Taylor section 1.1.3), correspond a` une translation (figure 24). On v´ erifie qu’il change  < Z >= f (z) z f (z) dz en < Z > +a et laisse inchang´e < P >= f (z) f  (z) dz. i # "i ipz , ne change pas < Z > mais change L’op´erateur exp pZ , qui multiplie f (z) par exp   < P > en < P > +p ; il correspond a` une “percussion” de l’´etat (figure 24). Z et P v´erifient : Z = Z † , P = P † et [Z, P ] = i . ´ DEMONSTRATION. L’adjoint d’un op´erateur ´etant d´efini par (g, Af ) = (A† g, f )  (comme pour les  g(z) f  (z) dz matrices), le r´esultat est trivial pour Z et se d´eduit d’une int´egration par parties de i   ∂ ∂ f (z) − (z f (z)) = −f (z). pour P . Enfin la relation de commutation [Z, P ] = i r´ esulte de z ∂z ∂z

état

état translaté

état "percuté"

Figure 24

¬ 1= 0

¬ 1= 0

z

z Figure 25

L’in´egalit´e de Schwarz (cf. section 4.1.2) pour les ´etats (Z− < Z >) f et (P − < P >) f conduit, comme pour les signaux, `a l’in´ egalit´ e de Heisenberg : δz δp ≥

 avec (δz 2 ) =< (Z− < Z >) >2 et (δp2 ) =< (P − < P >) >2 . 2

4.4 Physique quantique et espaces vectoriels

125

 E.D.P. de Schr¨ odinger ; lien avec la m´ ecanique classique On se limite ici au cas de particules galil´eennes de masse m. Pour des particules libres on "i # p2 P2 (noter que Hf  0 f pour f “proche” de exp p0 z ). Si les particules pose H = 2m 2m  ont classiquement une ´energie potentielle V (z), un choix fr´equent (discut´e ci-dessous) est P2 ˙ + V (Z). L’´equation i ψ(t) = H ψ(t) devient alors l’E.D.P. de Schr¨ odinger H= 2m (´equation d’onde) : i

2 ∂ 2 ψ(z, t) ∂ψ(z, t) =− + V (z) ψ(z, t) . ∂t 2m ∂z 2

Elle conduit a` la loi de conservation locale : ∂ρ(z, t) ∂j(z, t) + =0 ∂t ∂z

ρ = |ψ|

2

avec

 et j = −i 2m

  ∂ψ ∂ψ −ψ . ψ ∂z ∂z

ρ(z, t) est interpr´et´e comme une densit´ e de probabilit´ e de pr´esence de la particule en z` a l’instant t et j(z, t) comme un courant de probabilit´ e ; si ψ est proche d’une onde "i # p plane exp pz , alors j  ρv avec v = , expression classique de la vitesse, ou vitesse  m de groupe du paquet d’ondes (cf section 8.2.1).

d < Z >= et REMARQUE. Les moyennes de Z et P ob´eissent aux ´equations dt m d i i d < P >= − < V  (Z) > (par exemple < P >= (ψ, [H, P ]ψ) avec [H, P ]ψ = dt dt   V ∂z ψ − ∂z (V ψ) = −V  ψ). Ce r´esultat, qui ressemble aux ´equations de la m´ ecanique classique (sauf que < V  (Z) >= V  (< Z >) uniquement pour V quadratique), justifie en partie le choix de H fait plus haut. L’introduction des interactions ´electromagn´etiques a partir d’un principe de jauge est faite a` la section 9.2.2. `

 Etats gaussiens ; ´ etats coh´ erents ; lien avec l’espace de phase La famille de fonctions 

i ψ(z) ∝ exp 

  β 2 p0 z + (z − z0 ) , 2

avec p0 et z0 r´eels et β = β1 + iβ2 (β2 > 0) se prˆete `a des calculs explicites et est stable vis-`a-vis des ´evolutions associ´ees `a des hamiltoniens  au plus quadratiques dans le couple β2 2 2 (Z, P ). ψ(z) qui v´erifie |ψ| ∝ exp − (z − z0 ) est repr´esent´ee (pour p0 = 0) sur la  figure 25. Dispersion en z et p. On d´eduit des propri´et´es des gaussiennes r´eelles que < Z >= z0 et que (δz)2 =< (Z − z0 )2 >= (2β2 )−1 . Comme (P ψ)(z) = (p0 + β(z − z0 )) ψ(z) on a  si aussi < P >= p0 et (δp)2 =< (P − p0 )2 >= |β|2 (2β2 )−1 ; en particulier δz δp = 2 β1 = 0. Enfin, il r´esulte de [P − p0 , Z − z0 ] = −i que :

4 • Calcul et physique lin´eaires ; relativit´e ; quantique

126

1  < (P − p0 )(Z − z0 ) + (Z − z0 )(P − p0 ) >=< (Z − z0 )(P − p0 ) > −i = β1 (2β2 )−1 . 2 2 Si on assimile ces valeurs moyennes aux corr´elations Γ de deux v.a. gaussiennes Z et P (cf. section 10.2.1), leur densit´e de probabilit´e conjointe est proportionnelle `a    1  2 |β| (z − z0 )2 − 2β1 (z − z0 )(p − p0 ) + (p − p0 )2 , exp − β2 r´esultat ´evident si β1 = 0. En ´ecrivant que le crochet [. . . ] est par exemple plus petit que 2 on peut associer a` ψ une tache elliptique dans l’espace de phase (z, p) assimilable au support de la densit´e de probabilit´e (figure 26). Cette tache, d’aire h ind´ependante de β (petit calcul ; cf section 4.2.3), est inclin´ee par rapport aux axes (z, p) si β1 = 0 et inscrite dans un rectangle de cˆot´es 4 δz, 4 δp (propri´et´e facile `a v´erifier si β1 = 0).

p t=0

p t=0

t>0

p

4 Æp

0

z

4 Æz 0

t>0 z0

z

Figure 26

Figure 27

1 P2 + mω 2 Z 2 (oscillateur harmonique), une ´evolution infiEvolution. Si H = 2m 2   i i nit´esimale exp − H = 1 − H donne :       ψ(z) → ψ(z) 1 − i 2m (p0 + β(z − z0 ))2 − iβ + m2 ω 2 z 2     ∝ ψ(z) exp −i 2m (p0 + β(z − z0 ))2 + m2 ω 2 z 2 . Elle conserve donc le caract`ere gaussien. Par identification on voit que, dans le temps , δβ = −(mω 2 + m−1 β 2 ) et (petit calcul) δp0 = −mω 2 z0 et δz0 = m−1 p0 . On en d´eduit les ´equations d’´evolution : dβ dp0 dz0 = −(mω 2 + m−1 β 2 ) , = −mω 2 z0 et = m−1 p0 . dt dt dt Les deux derni`eres sont attendues (cf. remarque ci-dessus) ; la premi`ere est identique a` p0 celle v´erifi´ee par , ce qui permet de la r´esoudre facilement. z0

4.4 Physique quantique et espaces vectoriels

127

EXEMPLES. 1) ω = 0 (particule libre)   1 z0 (t) = p0 (t) 0



t m



1

  −1 t z0 (0) et donc β(t) = β(0) 1 + β(0) ; p0 (0) m

cette expression permet de discuter l’´etalement en z d’un paquet d’ondes (figure 26). On v´erifie que : (δp)2 (t) = (δp)2 (0) ;

|β(t)|2 (δz)2 (t) = |β(0)|2 (δz)2 (0) .

2) Si β(0) = imω on a β(t) = β(0) ; un tel ´etat, dont la tache dans le plan (z, p) ne se d´eforme pas au cours du temps, est appel´e ´ etat coh´ erent (figure 27 o` u m = ω = 1). REMARQUE. Dans le cas e ral :   g´en´   z0 (t) z0 (0) cos ωt (mω)−1 sin ωt = . p0 (t) p0 (0) −mω sin ωt cos ωt L’´ evolution des´etats gaussiens est donc enti` e rement d´ e termin´ e e par des matrices de transfert de d´etermi   z0 (0) z0 (t) a ` . Le lecteur fera le lien avec l’optique matricielle, z et p jouant le nant 1 reliant p0 (t) p0 (0) rˆ ole des coordonn´ees x et p d’un rayon et t celui de la coordonn´ee z sur l’axe optique. L’analogue des ces ´ etats gaussiens sont, en optique ondulatoire, les faisceaux gaussiens (ondes sph´ eriques si β2  0).

4.4.4

Oscillateur harmonique ; champ ´ electromagn´ etique

 Oscillateur harmonique ; op´ erateurs d’annihilation et de cr´ eation Si dans l’hamiltonien

1 P2 + mω 2 Z 2 , 2m 2 on remplace , m et ω par 1, ceci revient `a choisir comme unit´e de temps, de longueur 1   2 et ω. On v´erifie alors facilement qu’en introet d’´energie respectivement ω −1 , mω duisant les op´erateurs H=

a=

Z + iP √ 2

a† =

,

Z − iP √ 2

([a, a† ] = 1 car [Z, P ] = i) ,

on obtient l’expression de H et les relations de commutation : H = a† a +

1 2

,

[H, a] = −a

,

[H, a† ] = a† .

On en d´eduit (d´emonstration ci-dessous) que les ´ etats propres ψ n de H forment une suite d’´etats orthogonaux reli´es les uns aux autres par a et a† et que les niveaux d’´ energie sont quantifi´es et r´eguli`erement espac´es :   √ √ 1 H ψn = n + ψ n avec a† ψ n = n + 1 ψ n+1 et a ψn = n ψ n−1 (n = 0, 1, 2 · · · ) . 2 (a ψ 0 = 0 pour l’´etat fondamental ψ 0 .) L’action sur ψ n de a et a† faisant disparaˆıtre ou apparaˆıtre un quantum d’´energie, a et a† sont appel´es op´ erateurs d’annihilation et

4 • Calcul et physique lin´eaires ; relativit´e ; quantique

128

de cr´ eation. Comme < a˙ >= i < [H, a] >= −i < a >, leur moyenne dans un ´etat ψ(t) v´erifie (en r´etablissant ω) : < a > (t) = e−iωt < a > (0) et < a† > (t) = eiωt < a† > (0) . ´ DEMONSTRATION. Soit ψ un ´ etat tel que Hψ = Eψ, alors φ = aψ v´ erifie Hφ = (E − 1) φ (car Haψ = (aH − a) ψ) et (φ, φ) = (ψ, a† aψ) = E − 12 . Comme (φ, φ) est toujours positif il en r´esulte 1 et aψ 0 = 0 (unique puisque (z +∂z ) ψ0 (z) = 0 2 z2 exp − 2 ). Comme H (a† ψ) = (E +1) a† ψ (et  a† ψ 2 = E + 12 ), d´ efinit la fonction d’onde ψ0 (z) = (π) √ eduisent de ψ 0 par action de a† ; l’introduction du facteur n + 1 dans le passage de les ´etats ψ n se d´ 2 2 a ψn+1 assure que  ψ n+1  = 1 si  ψn  = 1. ψn `

l’existence d’un ´etat d’´ energie minimale ψ 0 tel que E0 = −1 4

√ 1 1 eduit : ψn (z) = ( π 2n n!)− 2 × REMARQUE. Fonctions propres. De ψn = (n!)− 2 a†n ψ 0 , on d´  z2  z2 z2 ecrit aussi Hn (z) e− 2 o` u Hn (z) est le n`eme polynˆ ome de Hermite (z −∂z )n e− 2 . (z −∂z )n e− 2 s’´ (H0 (z) = 1, H1 (z) = z, H2 (z) = 4z 2 − 2, H3 (z) = 8z 3 − 12z · · · ; cf . figure 28). Si on r´etablit , ω et m on obtient : !  1 √ 1  1 mω 2 mω 4 H z e− 2  z ψn (z) = ( π 2n n!)− 2 mω n   1

(en n’oubliant pas que la normalisation de ψn (z) entraˆıne que sa dimension est [L]− 2 ).

E

V(z) 3 n=3 2 n=2 1

h

n=1

0 n=0

0

z

Figure 28

 Etats coh´ erents et limite classique Ces ´etats introduits plus haut par (P ψ)(z) = (p0 + β(z − z0 )) ψ(z), avec β = i, sont les ´etats propres de a. Si on les rep`ere par leur valeur propre α, on a a ψα = α ψα

1 avec α = √ (z0 + ip0 ) , 2

o` u z0 et p0 sont les valeurs moyennes de Z et P . On v´erifie : (ψ α , aψ α ) =< a >= α

,

(ψ α , a† ψ α ) =< a† >= α et (ψ α , a† aψ α ) =< a† a >= |α|2 .

Dans la base ψ n la relation a ψ α = α ψ α et la condition de normalisation conduisent a` : ψ α = exp −

∞ 1 |α|2  (n!)− 2 αn ψ n ; 2 n=0

4.4 Physique quantique et espaces vectoriels

129

en particulier ψ α=0 ≡ ψ n=0 (´etat fondamental). Pour |α|  1, l’oscillateur quantique dans un ´etat coh´erent devient assimilable a` un oscillateur classique. En effet, dans un tel ´etat les dispersions deviennent n´egligeables 1 1 car z0  δz = 2− 2 et p0  δp = 2− 2 (cf. ´etats gaussiens) ; l’´energie E est elle aussi quasi fix´ee car la loi de probabilit´e  |α|2n  pn = |(ψ n , ψ α )|2 = exp −|α|2 n! pour les valeurs de n dans un ´etat ψ α (loi de Poisson, cf. section 10.2.2) donne une σ δE ∼ = |α|−1  0. Enfin moyenne < n >= |α|2 et une dispersion σ = |α|, d’o` u E

l’´evolution des ´etats ψ n entraˆıne qu’un ´etat ψ α(0) ´evolue (`a une phase globale pr`es) en 1 ψ α(t) avec α(t) = α(0) e−iωt ; si on pose α(t) = √ (z(t) + ip(t)) l’´evolution donnant α(t) 2 conduit a` l’´evolution classique pour les variables z(t) et p(t).

 Champ ´ electromagn´ etique ; ´ emissions induite et spontan´ ee → − → − → − En physique classique, ce champ d´efini par son action F = q ( E + v ∧ B ) sur une → − particule charg´ee, est une grandeur r´eelle. Par exemple E ∝ cos(ωt − kx x) zˆ pour un mode propagatif selon x et polaris´e rectilignement selon z. (On rappelle que dans une boite cubique de volume V = L3 , un mode est d´efini par (kx , ky , kz ) = 2π L (m, n, p) avec m, n, p ∈ Z). Quand ce champ intervient dans le hamiltonien de N H3 , on a vu que les termes en eiωt et e−iωt jouent des rˆoles diff´erents en induisant respectivement des transitions ψ e → ψ f et ψ f → ψ e , transitions dont on sait qu’elles s’accompagnent de l’´emission et de l’absorption d’un photon. Cette remarque, et aussi le fait qu’un mode est l’analogue d’un oscillateur, conduisent a` remplacer la fonction classique Ez (t) = E0 e−iωt + E0 eiωt par le champ quantique  ω † avec C = , Ez = C (a + a ) 2V 0 op´erateur dont la moyenne est < Ez > (t) = C (< a > (0) e−iωt + < a† > (0) eiωt ). a et a† sont les op´erateurs sans dimension d’annihilation (absorption) et de cr´eation (´emission) d’un photon du mode consid´er´e et C, dont la valeur est justifi´ee ci-dessous, assure l’homog´en´eit´e dimensionnelle. Les ´etats propres ψ n de l’oscillateur d´esignent maintenant les ´etats `a n photons. Cette expression pour Ez permet de montrer que les probabilit´es de transition “atomiques” de ψ e vers ψ f et de ψ f vers ψ e en pr´esence de n photons sont respectivement proportionnelles ` a n + 1 (´ emissions induite et spontan´ ee) et `a n (absorption) (d´emonstration 1 et application a` la section 10.3.2). On retrouve le champ classique, avec une amplitude et une phase bien d´efinies, lorsque les ´etats du mode sont des ´etats coh´erents `a grand nombre moyen de photons (d´emonstration 2). ´ DEMONSTRATION 1. Dans la transition ψe → ψf (resp. ψ f → ψ e ) il y a passage de n ` a n+1

photons (resp. de n ` a n − 1). Dans la r`egle d’or de Fermi la quantit´e |E0 |2 doit alors ˆetre remplac´ee par |(ψn+1 , Ez ψ n )|2 = C 2 (n + 1) (resp. |(ψ n−1 , Ez ψn )|2 = C 2 n). ´ DEMONSTRATION 2. Dans un ´ etat ψ α on a < Ez >= C (α e−iωt + α eiωt ) et (petit calcul) < Ez2 >= < Ez >2 +C 2 . Les fluctuations de Ez deviennent donc n´egligeables si |α|2  1 (par exemple |α|2 > 1015

130

4 • Calcul et physique lin´eaires ; relativit´e ; quantique

pour un faisceau laser), et Ez est alors assimilable ` a sa valeur moyenne. L’´energie ´electromagn´etique classique contenue dans un volume V , qui est la moyenne temporelle de deux fois 12 0 E 2 V (facteur 2 pour tenir compte de l’´energie magn´etique), vaut 0 2C 2 |α|2 V = |α|2 ω, ce qui justifie la valeur de C. On notera que dans un ´etat ψ n , < Ez2 >= 2C (n + 12 ) mais que < Ez >= 0 ; on interpr`ete ce r´esultat en associant ` a un tel ´etat un champ classique dont la phase est ind´etermin´ee (´ equir´ epartie sur [0, 2π]). C’est le cas aussi de la phase du champ associ´e ` a une lumi`ere thermique qui correspond ` a un m´elange statistique d’´etats ψ n .

4.4.5

E.D.P. relativistes de Klein-Gordon, Weyl, Dirac ; champs quantiques ; particules et antiparticules

Dans cette section on pose  = c = 1 pour simplifier l’´ecriture des formules, et on se limite a la description de particules libres pour lesquelles l’´energie E positive et la quantit´e de ` → mouvement − p v´erifient (cf. section 4.3.3) : 1 → E = (p2 + m2 ) 2 ; E = |− p | si m = 0 .

→ Comme la relation entre E et − p est non polynomiale, contrairement au cas galil´een 2 E = p /2m, il n’y a pas d’E.D.P. relativiste ayant pour seules solutions des fonctions → → d’onde exp −i(Et − − p ·− r ). Les E.D.P. admettant ces solutions ont aussi des solutions → − → − exp i(Et − p · r ) historiquement dites d’´energie n´egative et consid´er´ees alors `a tort comme des fonctions d’onde d’antiparticules.

 E.D.P. de Klein-Gordon ; champs classiques et quantiques ; particules et antiparticules De la mˆeme fa¸con que l’E.D.P. de Schr¨ odinger est associ´ee `a la relation E = p2 /2m (cf. section 4.4.3), l’E.D.P. de Klein-Gordon est associ´ee `a la relation relativiste E 2 = p2 + m2 . Elle s’´ecrit (Δ − ∂t2 ) ψ = m2 ψ (ψ scalaire) et admet, suivant que le champ est r´eel ou complexe, des solutions ondes planes : −ip·x ip·x −ip·x ip·x − − − − − − ψ→ + α→ ou ψ→ + β→ p = α→ pe pe p = α→ pe pe → → (avec p · x = Et − − p ·− r ). Tant que le champ ψ r´eel est consid´er´e comme classique, les − − amplitudes α→ p et α→ p sont des nombres, mais si le champ est quantique ces nombres, qui sont respectivement en facteur de e−iEt et eiEt deviennent, comme on l’a justifi´e pour le champ ´electromagn´etique, des op´erateurs proportionnels aux op´erateurs d’annihilation † − a→ eation a→ , qui concernent ici des particules de masse m et de quantit´e de − p et de cr´ p → − mouvement p . On peut aussi consid´erer que le champ classique correspond `a une somme → (discr`ete ou continue) de modes d’oscillateurs caract´eris´es chacun par une valeur de − p (cf. sections 8.1-2) ; le champ quantique est alors obtenu par quantification de ces oscillateurs.

Ce qu’apporte de nouveau un champ complexe, c’est l’op´eration de conjugaison faisant − passer de ψ→ a: p ` ip·x −ip·x − − − ψ→ + β→ . pe pe p = α→ − − − − Si le champ est quantifi´e α→ ` un facteur pr`es des op´erateurs p , α→ p et β→ p , β→ p deviennent a † † → − → − d’annihilation et de cr´eation a p , a→ et b p , b→ , associ´es respectivement `a la particule − − p p

et a` son antiparticule (l’appellation “particule” ´etant conventionnelle puisque ψ et ψ jouent des rˆoles semblables).

4.4 Physique quantique et espaces vectoriels

131

 E.D.P. de Weyl ; particules de masse nulle et d’h´ elicit´ e ± 12 L’E.D.P. de Klein-Gordon est du second ordre en temps. Les E.D.P. invariantes relativistes du premier ordre les plus simples sont les E.D.P. conjug´ees (la notion de conjugaison ´etant celle introduite `a la section 4.2.4) : (=0 ∂ψ

,

→ ( − → − → → (∂ = I∂t − − σ ·∇ ; ∂ = I∂t + − σ · ∇) .

( =0 ∂ψ

Elles concernent des spineurs et ont pour solutions onde plane     −ip·x ip·x −ip·x ip·x (→ → − → − → − → − ψ m m+ (ˆ = α e + β e (ˆ p ) , ψ = β e + α e p) , − → − p p p p − p p → → p 2 = 0 et (− σ · pˆ) m± (ˆ p) = ±m± (ˆ p). Si on se limite au terme en e−ip·x , on peut avec E 2 − − (→ consid´erer que ψ d´ecrit une particule de masse nulle et d’h´ elicit´ e −1/2, par exemple − p un neutrino ; ψ→ d´ecrit alors un antineutrino (masse nulle, h´elicit´e 1/2). Quand le − p − − − − a des op´erateurs champ est quantifi´e, α→ p , α→ p et β→ p , β→ p deviennent proportionnels ` d’annihilation et de cr´eation de particule (neutrino) et antiparticule (antineutrino).

( et de ce que ∂ et ∂ ( se transJUSTIFICATION. L’invariance r´esulte des lois de transformation de ψ et ψ → − ( puisque (∂t , − ∇) est un quadrivecteur ; par exemple ∂  ψ (  = (M∂M† )(M†−1 ψ) ( forment comme X et X

( = ∂−1 ; par exemple si ∂ ψ ( = 0, ( = 0. La conjugaison des ´equations se d´eduit de ∂ = 0 ´equivaut a ` ∂ψ −1 ( ( ( ( on a ∂ ψ = 0 et donc aussi ∂(ψ) = 0. Si on cherche les solutions exp ±ip · x de ∂ψ = 0 par → → → → → ( = 0, ce qui implique det (EI + − σ ·− p ) = E2 − − p 2 = 0 (masse exemple, on est conduit ` a (EI + − σ ·− p )ψ → − ( ( ( a m (ˆ p) (cf. section 4.2.4). Dans une rotation d’axe pˆ nulle) et ( σ · pˆ)ψ = −ψ, donc ψ proportionnel ` −

θ

et d’angle θ, m− (ˆ p) est multipli´e par ei 2 (action de Upˆ(θ)). Si on se rappelle (cf. sections 3.4.2, 4.2.5 et 4.4.1) qu’une fonction d’onde correspondant ` a un moment cin´etique Jz = m selon z est multipli´ee par e−imθ dans un rotation d’axe zˆ et d’angle θ, on en d´eduit que l’onde e−ip·x m− (ˆ p) correspond ` a une h´elicit´e −1/2. Quant ` a la solution eip·x m− (ˆ p), son ´evolution en temps est eiEt et correspond ` a une rotation dans le sens direct ; il est naturel qu’elle soit associ´ee ` a l’antiparticule d’h´elicit´e 1/2 quand le champ est quantifi´e. ( sont aussi not´es ψ et ψ (L pour left et R pour right). 2) L’´ REMARQUES. 1) Les champs ψ et ψ etude L R

† † − − , b→ doivent plus d´etaill´ee de la quantification de ces champs montre que les op´erateurs a→ − − p , a→ p , b→ p p

v´ erifier des relations d’anticommutation (au lieu de commutation). Cette r`egle est ` a l’origine du principe d’exclusion de Pauli relatif aux particules de spin (ou d’h´elicit´ e) demi entier (fermions) : impossibilit´e d’avoir deux particules dans le mˆeme ´etat quantique (cf. ouvrages sp´ ecialis´es).

 E.D.P. de Dirac ; particules massives de spin

1 2

( et ψ, not´es ici ψ et ψ : L’E.D.P. de Dirac couple des spineurs de types ψ L R i∂ψ L = mψ R

,

( i∂ψ = mψ L . R

Le lecteur v´erifiera comme ci-dessus son invariance et le fait que la conjugaison est une op´eration interne :       ψR −ψ L 0 1 C . solution , avec  = ψD = solution =⇒ ψ D = −1 0 ψL ψ R

4 • Calcul et physique lin´eaires ; relativit´e ; quantique

132

L’E.D.P. admet des solutions exp ∓ip · x si : → → ±(EI + − σ ·− p )ψ L = mψ R

,

→ → ±(EI − − σ ·− p )ψ R = mψ L .

2 2 → → → p )ψ R,L = m2 ψ R,L et donc E 2 = − p + m2 . Si − p =0 Ceci implique en particulier (E 2 − − (E = m, particules au repos), on a ψ R = ±ψ L , et la solution a la forme g´en´erale :

          m+ m− −m+ −m− + α− + eimt β + + β− . ψ D = e−imt α+ m+ m− m+ m− L’E.D.P. de Dirac d´ecrit donc, lorsqu’elle est quantifi´ee, des particules et antiparticules de masse m et de spin 1/2 (avec leurs deux ´etats de spin) par exemple des ´ electrons et des positrons (cf. ouvrages sp´ecialis´es). REMARQUE. Il existe des ´equations invariantes plus simples, les E.D.P. de Weyl-Majorana ( = meiβ ϕR ∂ϕL = meiα ϕL ou ∂ϕ R 2 → (phases α, β arbitraires) conduisant ` a E2 = − p + m2 . Mais, comme elles couplent un champ spinoriel a la fois ϕ− et ϕ+ a son conjugu´e, les solutions onde plane sont de la forme ϕ− e−ip·x + ϕ+ eip·x avec ` ` non nuls ; elles n’ont pour l’instant pas d’interpr´etation physique simple. Le lecteur peut v´erifier ` a titre a quatre composantes se s´epare en deux d’exercice que l’E.D.P de Dirac qui concerne un spineur ψ D ` E.D.P. de Weyl-Majorana pour les combinaisons ` a deux composantes ψR ± ψL .

 Masse et fr´ equence En physique quantique, la conception “classique” de la masse comme r´esistance ` a la modification de la vitesse n’a pas de sens. Une particule libre n’est pas d´ecrite par sa position et sa vitesse mais par sa → → → fonction d’onde exp −i(Et − − p ·− r ) dans laquelle E et − p figurent comme des fr´equences (` a 2π pr`es). En physique quantique relativiste, la masse (´energie au repos) est donc une fr´equence temporelle. Pour l’interpr´eter simplement, consid´erons un espace ` a une dimension et les ´equations coupl´ees (∂t + ∂z )ϕ1 = mϕ2

,

(∂t − ∂z )ϕ2 = −mϕ1 .

a Pour des solutions exp −i(Et − pz) elles conduisent ` a la relation de dispersion E 2 = p2 + m2 et ` (E − p)ϕ1 = imϕ2 . Pour m = 0, ϕ1 et ϕ2 sont associ´ees aux ´etats de mouvement c = 1 et c = −1. La masse peut donc ˆetre consid´er´ ee comme une fr´equence de transition entre ces ´etats, en analogie a la section 4.4.2. Si ϕ1 et ϕ2 avec le couplage des deux ´etats de repos z = ±z0 de la mol´ecule NH3 ` sont prises comme amplitudes de probabilit´e de ces ´ etats, on v´ erifie que la vitesse moyenne d´efinie par v = (|ϕ1 |2 − |ϕ2 |2 )/(|ϕ1 |2 + |ϕ2 |2 ) est bien la vitesse p/E de la particule de masse m ou la vitesse de groupe dE/dp de l’onde. Une image “classique” de ces transitions est donn´ee ` a la figure 20b (avec erifiera que pour des solutions ne d´ependant que de t et z, les E.D.P. de Δt = m−1 ). Le lecteur v´ Klein-Gordon et de Dirac peuvent se ramener aux ´equations pour ϕ1 et ϕ2 , de mˆeme que les E.D.P. de Weyl-Majorana en changeant ϕ2 en ϕ2 . Cette interpr´etation sugg`ere que les ´etats de mouvements (invariants) ` a la vitesse c sont en physique plus fondamentaux que les ´etats inertiels galil´een de repos ou de vitesse constante v < c.

Chapitre 5

Fonctions d’une variable ; analyse des signaux L’´etude des fonctions, longtemps limit´ee `a celles connues pour leur “utilit´e” (polynˆomes, logarithme, fonctions trigonom´etriques...), a connu une premi`ere approche g´en´erale avec l’introduction vers 1670 du “calcul infinit´ esimal” par Leibnitz et Newton et ses applications `a la m´ecanique et `a la g´eom´etrie analytique. Ce savoir-faire bas´e sur les calculs de d´eriv´ees, d’int´egrales et de d´eveloppements limit´es reste tr`es utile en physique. Cette ´etude a chang´e d’objectif quand il s’est agit, dans la seconde moiti´e du XIX `eme si`ecle, de distinguer des propri´et´es “fines” comme celles de continuit´e, de d´erivabilit´e et d’int´egrabilit´e ou d’´etablir l’existence (auparavant admise) de fonctions ´ecrites sous forme de s´eries de Taylor ou de Fourier. Ce d´eveloppement de l’analyse contemporain de la construction des r´eels a conduit, les fonctions ´etant des objets beaucoup plus “riches” que les nombres, a` la d´efinition de crit`eres de convergence et d’espaces fonctionnels vari´es, adapt´es `a tel ou tel th´eor`eme. Au XX `eme si`ecle un point de vue “int´egral” (“th´ eorie de la mesure”), initi´e par Lebesgue (1902), a conduit a` abandonner la notion de fonction “d´efinie point par point” pour celle plus g´en´erale de distribution (1940-60). Ce point de vue “moderne” n’est pas ´eloign´e de celui de la physique. En effet, dans la deuxi`eme moiti´e du XX `eme si`ecle, s’est d´egag´ee en physique une approche “traitement du signal” des fonctions. Elle correspond au d´eveloppement de m´ethodes exp´erimentales g´en´erales d’analyse des signaux bas´ees souvent sur des techniques d’int´egration : filtrage, d´etection synchrone (analyse de Fourier), corr´elation, ´echantillonnage, analyse en ondelettes, etc. L’int´erˆet de ces m´ethodes est d’ˆetre applicables `a des signaux extrˆemement divers : de dur´ee “finie” (d´echarge d’un condensateur) ou “infinie” (champ ´electrique dˆ u a` une source lumineuse), p´eriodiques (signaux d’un g´en´erateur BF) ou chaotiques (bruit de fond d’une r´esistance), d´eterministes (r´egis par une ´equation diff´erentielle) ou non, d’apparence “continue” ou “discr`ete” (suite d’impulsions d´elivr´ees par un photomultiplicateur), etc. Comme on le verra aussi dans ce chapitre, elles s’´etendent aux fonctions de plusieurs variables (ondes ou images en optique). De plus en plus elles concernent des signaux num´eris´es (apr`es ´echantillonnage et quantification).

5 • Fonctions d’une variable ; analyse des signaux

134

Cette approche a contribu´e a donner en physique une importance primordiale aux op´ erations effectu´ ees sur les fonctions et leurs propri´et´es math´ematiques formelles plutˆot qu’` a l’appartenance des fonctions `a tel ou tel espace fonctionnel. Paradoxalement l’hypoth`ese la plus raisonnable est de consid´erer que les fonctions en physique sont a priori les plus “braves” possibles (pourquoi pas ind´efiniment d´erivables a` support compact ?). Les fonctions “singuli`eres” (discontinues, fonction δ. . .) ou dont le support va a` l’infini, tr`es utiles conceptuellement, correspondent a` des situations id´ealis´ees (transition “brutale” entre deux milieux, source ponctuelle, ou milieu infini, signal permanent. . .) ; ces fonctions peuvent toujours ˆetre approch´ees par des “braves” fonctions, non au sens na¨ıf de la convergence point par point mais a` celui des distributions (cf. exemple de l’impulsion de Dirac).

5.1 5.1.1

SAVOIR-FAIRE CONCERNANT LES FONCTIONS Graphe et informations sur une fonction

L’int´erˆet d’un graphe par rapport a` une tabulation est de mettre en valeur certaines informations qualitatives importantes.

 Domaine et comportement aux bornes Pour construire le graphe, les premiers points a` examiner sont le domaine de la variable x pour lequel la correspondance x → y = f (x) est bien (univoquement) d´efinie, et le comportement aux bornes de f (x). Par exemple pour x → ∞ on peut chercher si il existe une droite asymptote (cas o` u f (x)−(ax+b) → 0), ou une branche parabolique f (x) d’axe Ox ou Oy (cas o` u tend vers z´ero ou l’infini), par exemple f (x) = xα pour x 0 < α < 1 ou pour α > 1 (figure 1).

«>1

x«

«=1 0
1). Souvent cette ´etude “aux bornes” et quelques valeurs particuli`eres suffisent pour avoir une allure du graphe.

 D´ eriv´ ees Un compl´ement d’information, l` a o` u f (x) a un comportement r´egulier, est donn´e par l’´etude des d´eriv´ees premi`ere f  (x) = lim

→0

f (x + ) − f (x) 

´egale, en coordonn´ees cart´esiennes, a` la pente tg α(x) de la tangente au graphe, et seconde f  (x) qui permet, grˆ ace au d´eveloppement de Taylor (cf. section 1.1.2) f (x + a) = f (x) + a f  (x) +

a2  f (x) + · · · , 2!

de situer le graphe par rapport a` la tangente : l’´ecart en x + a avec la tangente en x   a2  f (x) pour a petit et f  (x) = 0. Rappelons que est f (x + a) − f (x) + a f  (x)  2 localement la fonction f est croissante si f  (x) > 0, d´ecroissante si f  (x) < 0 et qu’elle est stationnaire (ou extr´emale) en x0 si f  (x0 ) = 0 (maximum si f  (x0 ) < 0, minimum si f  (x0 ) > 0). f est une fonction concave si f  (x) ≤ 0, convexe si f  (x) ≥ 0 (graphe respectivement en dessous et au dessus de la tangente), et pr´esente un point d’inflexion en x0 si f  (x) s’annule en ce point en changeant de signe. EXEMPLE. L’´ equation d’´ etat de Van der Waals en variables r´eduites s’´ecrit :  3 p + 2 (3v − 1) − 8t = 0 = F (p, v, t) . v P V T , v = et t = sont les valeurs de la pression, du volume et de la Pc Vc Tc temp´erature en prenant les coordonn´ees du point critique comme unit´es). Les graphes 3 8t des fonctions pt (v) = − , pour diff´erentes valeurs fix´ees de t (isothermes du 3v − 1 v 2 fluide en coordonn´ees de Clapeyron) (figure 2a) se d´eduisent des remarques suivantes : 1+ p → 0+ pour v → ∞ (asymptote horizontale p = 0) ; p → ∞ pour v → (asymptote 3 1 verticale v = ) ; pt2 (v) > pt1 (v) si t2 > t1 ; annulation avec changement de signe 3 3 dpt 2 sur la courbe en cloche p = 2 − 3 , par le sommet C (p = 1, v = 1) de de dv v v laquelle passe l’isotherme critique t = 1. Pour les autres informations pr´esentes sur le graphe (palier de liqu´efaction AB, zones de retard AA `a la vaporisation et BB  `a la liqu´efaction), le lecteur se reportera ` a la section 7.4.1 et aux ouvrages de physique. (p =

5 • Fonctions d’une variable ; analyse des signaux

136

y

p

t > tM

t = tM t>1

C

1

B’

t>1 B

A A’

1/3

te

pto

m asy

t>1 t=1 t 0 si α n’est pas entier) ; x−1  ln |x|  x ln |x| − x ;  tg x  − ln | cos x| ; cos2 x # π π" 1 1  tanh x  ln cosh x ;  arctg x = ϕ (x = tg ϕ ; ϕ ∈ − , ); 2 1 + x2 2 2 cosh x " 1 1 π π# √  arcsin x = ϕ (x = sin ϕ ; ϕ ∈ − , ) ; √  argsinh x = 2 2 1 − x2 1 + x2     1  ln x + x2 − 1 = ϕ (x = ± cosh ϕ). ln x + 1 + x2 = ϕ (x = sinh ϕ) ; √ 2 x −1 EXEMPLES de d´ eveloppements limit´ es. Le d´eveloppement en s´erie de Taylor ∞ ∞ n   xn x (n) x de quelques fonctions “classiques” s’´ecrit : e = , cosh x = f (x) = f (0) n! n! n=0 n=0 ∞ ∞ ∞ ∞     x2n x2n+1 x2n x2n+1 , sinh x = , cos x = , sin x = , (−1)n (−1)n (2n)! (2n + 1)! (2n)! (2n + 1)! n=0 n=0 n=0 n=0 ∞  xn (1 + x)α = 1 + (attention |x| < 1 pour la convergence), α(α − 1) · · · (α − n + 1) n! n=1 ∞  xn et ln(1 + x) = (attention |x| < 1). (−1)n+1 n n=1 Remarque : en physique il est rare que la s´erie compl`ete soit utile ; en effet ces d´eveloppements, qui interviennent lors de calculs de perturbation ne pouvant ˆetre conduits que jusqu’` a un certain ordre, n’ont d’int´erˆet que si les premiers termes correctifs sont “petits” (ce qu’il faut toujours v´erifier a posteriori) et suffisants (ce qu’on esp`ere mais qu’il est souvent difficile de prouver). En pratique les d´eveloppements suivants suffisent souvent : ex = 1+x+

x2 x3 x2 x3 x2 , cosh x = 1+ , sinh x = x+ , cos x = 1− , sin x = x− , 2 2 3! 2 3!

α(α − 1) 2 x2 x et ln(1 + x) = x − . 2 2 Rappelons qu’on peut faire tous les calculs a` partir des d´eveloppements limit´es `a condition de rester coh´erent quant aux ordres trait´es ; par exemple la  connaissance    de cosh x x2 x2 x3 et sinh x ` a l’ordre 3 permet de d´eterminer tanh x = x 1 + 1− = x− 2 3    3!  1 x2 x2 x 1 = 1+ 1− −1 = uniquement a` a l’ordre 3, mais cotanh x − ` x x 2 3! 3 1 1 3 l’ordre 1 ; de mˆeme (1 − 2ax + x2 )− 2 = 1 − (−2ax + x2 ) + (−2ax + x2 )2 + · · · = 2 8 (3a2 − 1) 2 x ` a l’ordre 2 (application section 4.2.5). 1 + ax + 2 (1 + x)α = 1 + αx +

5.1 Savoir-faire concernant les fonctions

5.1.3

139

Int´ egration ; cas des fonctions piqu´ ees ou rapidement oscillantes

 R` egles d’int´ egration (rappels) 



x2

ϕ2

dx dϕ `a condidϕ x1 ϕ1 tion de prendre garde que x(ϕ) couvre bien une fois [x1 , x2#] lorsque" ϕ parcourt [ϕ1 , ϕ2 ] π π (exemple : f (x) = (1 + x2 )−1 , x = tgϕ, f (x) dx = dϕ, ϕ ∈ − , ). 2 2  x2  x2 x2 Int´ egration par parties : u v dx = uv − uv  dx, formule que l’on peut it´erer x 1 x1 x1  P  (x) ax ax P (x) − + si on sait int´egrer u ; par exemple une primitive de e P (x) est e a a2   P (x) · · · , formule utile si P (x) est un polynˆ ome, et applicable `a eiax P (x) pour obtenir a3 la primitive de cos ax P (x). Changement de variable d’int´egration :

f (x) dx =

f (x (ϕ))

D´ erivation par rapport ` a des param` etres introduits ou choisis astucieusement (exemples) : n  ∞    ∞ d 1 −x n −ax 1) e x dx = − e dx = = n! ; da a a=1 0 0 2) `a l’aide de 

∞

e −∞

−ax2 2n

x

n 



d dx = − da

∞

e

−ax2

−∞

  √ 1 3 π 2n − 1 −(n+ 12 ) = π ··· a , dx = a 2 2 2

on obtient les moments de la loi gaussienne :< x2 >= σ 2 , < x4 >= 3σ 4 et de fa¸con g´en´erale < x2n >= (2πσ 2 )− 2 1



∞ −∞

x2

x2n e− 2σ2 dx = 1 × 3 × · · · × (2n − 1) σ 2n ;

3) la moyenne du module de la vitesse (loi de Boltzmann) est, avec a =  =

∞

e 0

−av 2 3

 

v dv

∞

e

−av 2 2

m : 2kB T

−1

v dv

0

  −1  ∞  ∞ 2 2 d d − e−av v dv − e−av dv da 0 da 0  −1   1 d 1 π d 1 2 − = − = √ a− 2 . da 2a da 2 a π =

Le lecteur trouvera de nombreux autres exemples en physique statistique.

5 • Fonctions d’une variable ; analyse des signaux

140

 Approximation de la “m´ ethode du col” (figure 4a) Si f (x) est maximale en x∗ ∈]x1 , x2 [ on a pour K grand   x2 ∗ 2π eK f (x ) g(x) eK f (x) dx  g(x∗ ) I=  (x∗ )| K|f x1

(K  1) ,

  ou en pratique ln I  K maxf (x). Ce r´esultat se justifie en remarquant que exp Kf (x) est tr`es piqu´ee autour de x∗ et qu’on peut par cons´equent remplacer g(x) par g(x∗ ), f (x) (x − x∗ )2  ∗ f (x ) et consid´erer que l’int´egrale de la gaussienne va de −∞ `a par f (x∗ ) + 2 +∞.  ∞  ∞ √ x→ny EXEMPLE : n! = xn e−x dx = n en(ln n+ln y−y) dy  2πn nn e−n , d’o` u 0

0

la formule de Stirling

ln n!  n(ln n − 1) pour n grand (qu’on a aussi par ln n! = ln 1 + · · · + ln n  



n 1

ln x dx).



 S1 (U1 )+S2 (U −U1 ) dU1  exp k1 maxU1 S1 (U1 ) + S2 (U − REMARQUES. 1) On a de mˆeme e B   U1 ) : le nombre total d’´etats microscopiques pour un syst`eme de deux corps dont l’´energie totale U 1 kB

est fix´ee est donc pratiquement ´egal, pour le calcul de l’entropie, au nombre d’´etats microscopiques correspondant ` a l’´ etat macroscopique d’´equilibre (cf. section 1.1.4). 2) Si f a plusieurs maxima seul le plus grand “compte”. 3) La m´ethode du col et l’expression de ln I s’´ etendent aux fonctions de plusieurs variables.

e K f(x)

cos Kx2

g(x)

g(x) 0

x* x*

x

x

(a)

(b) Figure 4

 Approximation de la phase stationnaire La formule pr´ec´edente s’applique au cas de fonctions rapidement oscillantes (remplace∗ ment u  de K par iK). La r´egion de x autour de x qui contribue a` I est alors celle o` exp iK f (x) oscille le moins (figure 4b). Attention : Kf  (x∗ ) peut ici ˆetre positif ou   ∞ ∗ )2 2π π ±i|Kf  (x∗ )| (x−x 2 e±i 4 . e dx = n´egatif et  ∗ |Kf (x )|   −∞ −i ω(k)t−kx+ϕ(k) EXEMPLE 1. Toute combinaison d’ondes planes |A(k)|e telles que |A(k)| varie lentement mais dont chaque terme de la phase varie “vite” (donc en particulier pour t et x grands) s’´ecrit, `a un facteur pr`es,      ∗ ∗ ∗ |A(k)|e−i ω(k)t−kx+ϕ(k) dk ∝ |A(k ∗ )|e−i ω(k )t−k x+ϕ(k ) , D

5.1 Savoir-faire concernant les fonctions

141

dϕ ∗ (k ) = 0 (s´ o` u k ∗ (x, t) ∈ D (vecteur d’onde local) est tel que vg (k ∗ )t−x+ eparation dk dω (k ∗ )). Si il n’existe pas de des ondes selon leur vitesse de groupe vg (k ∗ ) = dk valeur de k ∗ satisfaisant cette condition l’onde r´esultante (l’int´egrale) est “n´egligeable”. Dans le cas particulier o` u D est un domaine ´etroit autour de k0 (et k0 = k ∗ sinon il n’y a pas d’onde r´esultante), on a affaire a` un paquet d’ondes localis´e `a l’instant t dϕ autour du point x = vg (k0 )t + (k0 ) ; il se d´eplace `a la vitesse de groupe vg (k0 ) (cf. dk une autre approche a` la section 8.2.1). 

surface d’onde (argument de A(m) fix´ e) le point m∗

2π

ei λ mM 2 d m ´ etendue ` a une iλmM qui contribue essentiellement ` a A(M ) dans

EXEMPLE 2. Dans l’int´egrale d’Huygens-Fresnel A(M ) =

A(m)

l’approximation de l’optique g´ eom´ etrique (λ “petit”) est celui pour lequel m∗ M est stationnaire, −−−→ a la surface d’onde : m∗ M est alors un rayon. Si il y a plusieurs c’est-` a-dire tel que m∗ M est orthogonal ` u M est proche d’une caustique ; cf. section 7.3.2), il faut ajouter leurs contributions points m∗ (cas o` (qui donnent alors des franges d’interf´erences).

5.1.4

Concavit´ e de l’entropie ; travail maximum ; transitions de phase

On consid`ere le cas simple o` u l’entropie S ne d´epend que de l’´energie interne U (et pas du volume V : syst`emes quasi incompressibles tels que des solides, des liquides...). Le but est d’illustrer sur des graphes le lien entre le second principe et les propri´et´es (admises ici)    2  dS 1 d S 1 dT de croissance monotone = > 0 et de concavit´e ≤ 0 de S, = − dU T dU 2 T 2 dU ainsi que quelques r´esultats classiques (travail maximum extrait, transitions de phase...) cons´equences directes de ces propri´et´es. Dans la suite on utilise les grandeurs massiques U S u= et s = . (Remarque : pour des syst`emes compressibles et des transformations m m a pression constante, par exemple la vaporisation d’un corps pur, il faudrait consid´erer ` l’entropie comme fonction de la variable enthalpie H, qui est la seule variable dont d´epend alors S, et utiliser S  (H) = T −1 .)

 Thermalisation et travail maximum s

s(u)

s1

M1

E R

s000000000000 111111111111 I I IM 1 m 2 s2 = M2 m IM 1

2

u2

uI

u1

u

Figure 5 EXEMPLE. Sur la figure 5 les points Mi (i = 1, 2) de coordonn´ees (ui , si ) correspondent aux ´etats d’´equilibre initiaux de deux corps de masse mi constitu´es d’un mˆeme

5 • Fonctions d’une variable ; analyse des signaux

142

mat´eriau, l’un (i = 1) chaud et l’autre (i = 2) froid. Ils se trouvent sur le graphe de la fonction s(u) caract´eristique du mat´eriau. Les ´energie et entropie massiques moyennes m 1 u 1 + m2 u 2 m 1 s1 + m 2 s2 du syst`eme des deux corps sont uI = et sI = , coordonn´ees m1 + m2 m1 + m2 du point I repr´esentatif de l’´etat initial hors ´equilibre du syst`eme. Si le syst`eme est isol´e, la mise en contact thermique des corps conduit chacun d’eux dans le mˆeme ´etat d’´equilibre E sur s(u) tel que uE = uI (´energie conserv´ee, premier principe). L’augmentation d’entropie (sE > sI : second principe) est donc associ´ee `a la concavit´e de s(u). Si le syst`eme est en contact avec un syst`eme “m´ecanique” (Smeca = 0 ; cf. section W 1.1.4), l’´etat d’´equilibre final F est sur la courbe s(u) `a l’abcisse uF = uI + m1 + m2 (premier principe ; W travail re¸cu) avec sF ≥ sI (second principe). On voit sur la figure que le travail maximum que le syst`eme peut fournir est (−W )max = (m1 +m2 )(uI −uR ), R ´etant le point de s(u) tel que sR = sI (´evolution r´eversible). Si u = u0 + c(T − T0 ), du T alors = T implique s = s0 + c ln , et pour m1 = m2 = m on obtient aussitˆ ot ds T0 √ T1 + T2 , TR = T1 T2 et (−W )max = 2mc(TE − TR ). TE = 2

axe s

 Transition de phase sL(u) sS (u) S’

B

M

M2 (liquide)

A I

S (liquide surfondu) M 1(solide) axe u

Figure 6 EXEMPLE 1. La figure 6 montre les graphes (concaves et croissants) des entropies sS (u) et sL (u) des phases solide et liquide d’un mˆeme corps, en supposant que sL (u) > sS (u) pour u grand (´etat liquide stable `a haute temp´erature) et sS (u) > sL (u) pour u petit (´etat solide stable a` basse temp´erature). La r´eunion des parties stables des deux graphes n’´etant pas concave, elle ne peut repr´esenter la fonction s(u) du corps. Soit AB leur tangente commune de pente T0−1 o` u T0 est la temp´erature des phases solide (en A) et liquide (en B). Si on part du point I repr´esentatif d’un m´elange (hors m M1 I ´equilibre) de solide dans l’´etat M1 et de liquide dans l’´etat M2 ( = L ) tel que M2 I mS

5.1 Savoir-faire concernant les fonctions

143

uA < uI < uB , l’´evolution spontan´ee vers l’´equilibre se fait par transformation d’une phase dans l’autre : M1 se d´eplace donc sur sS (u) et M2 sur sL (u) en respectant pour I (m´elange) les conditions u = constante et s maximum `a l’´equilibre ; ceci am`ene le point I en M sur AB. La courbe repr´esentative de s(u) (arc M1 A, segment AB, arc BM2 ) est appel´ee enveloppe concave des deux graphes. Le segment AB correspond au domaine de coexistence des deux phases (palier de fusion `a T0 ), et L = uB − uA = T0 (sB − sA ) est la chaleur latente massique de fusion. Remarques. 1) M´ etastabilit´ e. Exp´erimentalement on observe le graphe de sL (u) au del`a de B (existence de liquide surfondu tel que S). Si on introduit un germe, une ´evolution irr´eversible am`ene S en S  (uS = uS  , sS  > sS ) ; l’´etat final est soit du solide (cas de la figure), soit un m´elange liquide-solide. 2) Des graphes de sS (u) et de sL (u), on d´eduit les ´ energies libres fS,L(T ) = u − T sS,L (u), intersections de la tangente avec l’axe des u (cf. section 5.1.1) ; on voit sur la figure qu’`a T fix´e (s (u) fix´e) la phase stable est celle qui a la plus petite ´energie libre. EXEMPLE 2. Paramagn´ etisme et ferromagn´ etisme. Pour un syst`eme de N moments magn´etiques align´es selon Oz et pouvant prendre les valeurs ±μ, le nombre d’´ etats microscopiques correspondant a un taux d’aimantation x = `

N+ −N− N

=

M Nμ

est Ω =

N! . N+ ! N− !

ln N ! = N ln N − N , on a :  ln S(x) = kB ln Ω = −N kB 1+x 2 Le graphe de S(x) est repr´esent´e sur la figure 7 :

dS dx

=

1+x 2 B − Nk 2

+ ln

porte comme N kB x au voisinage de 0. Soit

 U (x) = −N μBx +

1 2

Kx2

En utilisant la formule de Stirling

1−x 2 1+x 1−x

ln

1−x 2



.

est infini en x = ±1 et se com-



l’´ energie du syst`eme (figure 8) ; le terme −N μBx rend exactement compte des energies de couplage ∓μB de chaque moment ±μ avec un champ magn´etique ext´ erieur B selon Oz ; le second terme rend compte des ´energies de couplage de chaque moment avec ses voisins, mais de fa¸con approch´ee, les moments individuels ´etant remplac´es par des moments moyens (th´eorie de champ moyen ; cf. section 10.2.3). K > 0 correspond aux corps ferromagn´etiques et K = 0 aux corps paramagn´etiques.

U(x)

S(x) −1

M

½

1 x B=0

B>0

−1

0 Figure 7

1 x

− NK 2

M0

Figure 8

L’observation des graphes de S(x) et de U (x) conduit aux graphes de S(U ) (figures 9a pour le paramagn´etisme et 9b pour le ferromagn´etisme). Dans le cas ferromagn´etique et pour B = 0, on v´erifie que   −1 dS a 0, la temp´erature T = dU ` passe de 0 ` a Tc = kK et |x| lorsque U passe de la valeur − NK 2 dx dx B

passe de 1 ` a 0 : il existe donc une aimantation spontan´ee pour T < Tc ; pour T > Tc il faut consid´erer que x = 0 (cf. la limite B → 0 ci-dessous). Pour B > 0, la partie physiquement acceptable du graphe

5 • Fonctions d’une variable ; analyse des signaux

144

de S(U ) correspond au passage de l’´energie U de −N μB − N K (´ energie la plus basse, x = 1, T = 0, 2 a 0 (x = 0, T infini, point M∞ ) ; la partie en pointill´e ne l’est pas car pour U < 0 elle ne point M0 ) ` 2

dS d S > 0 et dU maximise pas S, et pour U > 0 elle ne v´ erifie pas ` a la fois dU 2 < 0. a T fix´ ee Remarque : on retrouve ces r´esultats en repr´esentant les graphes de FT (x) = U (x) − T S(x) ; `

la phase stable est celle qui minimise FT (figure 10 pour B = 0).

U(x)−TS(x) −1

1

x T=0

S

(a)

S

(b)

T

B=0

Tc

T =Tc

B>0

T Tc

0 U

−N B

0

U

Figure 9

Figure 10

Un calcul simple montre que l’´egalit´e

dU dx

x = tanh

=T 

μB kB T

dS dx

donne l’´ equation d’´ etat :  Tc (kB Tc = K) . +x T

La courbe d’aimantation x(T, B = 0) (figure 11a) et les isothermes xT (B) (figure 11b) s’obtiennent en ´ etudiant les intersections de la droite y = x respectivement avec les courbes y = tanh x TTc , dont la   pente ` a l’origine vaut TTc (figure 12a), et avec les courbes y = tanh kμBT + x TTc , qui se d´eduisent B les unes des autres par translation lorsque B varie (figure 12b). Un d´eveloppement limit´e pr` es de   3  x = 0 et B = 0 donne pour l’´equation d’´etat x 1 − TTc = kμBT − 13 kμBT + x TTc + · · · . Il permet B B ! d’obtenir facilement les comportements critiques pr`es de T = Tc : x(T, B = 0) = 3 TcT−T (T < Tc ), c

1

|xTc (B)| ∝ B 3 (isotherme critique), (temp´erature de Curie).

x (B)

x (T,0) 1

dxT dB B=0

(a)

pour T > Tc , et

B

μ 2kB (Tc −T )

pour T < Tc

y

x

x

−1 (b)

Figure 11

μ kB (T −Tc )

y

1

T

T −1

=

(a)

(b) Figure 12

5.2 Op´erations sur les fonctions ; analyse de Dirac

5.2 5.2.1

145

´ OPERATIONS SUR LES FONCTIONS ; ANALYSE DE DIRAC Op´ erations sur les fonctions

Les principales op´erations sur les fonctions f (x), ou signaux f (t), sont les suivantes.

 La dilatation Comme f

f (x) → [Dk f ](x) = f

x

x

k>0

k

prend la valeur f (x0 ) en x = kx0 , cette op´eration se traduit par une k t varie plus homoth´etie de rapport k du graphe de f suivant l’axe des x. Le signal f k ω lentement que f (t) si k > 1 et plus vite si 0 < k < 1 (cf. cos ωt et cos t ou figure 15). k Dans l’op´eration l’aire sous le graphe est multipli´ee par k.

 La parit´ e

f (x) → [Pf ](x) = f (−x)

(P2 = I)

Les fonctions paires f (−x) = f (x) et impaires f (−x) = −f (x) sont fonctions propres de P associ´ees aux valeurs propres 1 et -1. Toute fonction est la somme f = f+ + f− f (x) ± f (−x) . Une cons´equence importante est que tout de telles fonctions f± (x) = 2 probl`eme physique lin´eaire poss´edant la sym´etrie x → −x admet une base de solutions ayant chacune une parit´e bien d´efinie ; en effet si f est solution, Pf l’est aussi par raison de sym´etrie, et donc f+ et f− aussi par lin´earit´e. Dans le cas non d´eg´en´er´e une seule de ces fonctions est non nulle (cf. par exemple les fonctions propres de l’oscillateur quantique, section 4.4.3).

 La translation

f (x) → [Ta f ](x) = f (x − a)

Comme f (x − a) prend la valeur f (x0 ) en x0 + a cette op´eration se traduit par une translation a du graphe de f selon x. Le signal f (t − τ ) a un retard (alg´ebrique) de τ par rapport ` a f (t) (cf. figure 15).

 La p´ eriodisation

f (x) → fper (x) =

∞ 

f (x − na)

n=−∞

REMARQUE : toute fonction p´ eriodique de p´eriode a, c.a.d. pour laquelle Ta est la plus petite translation la laissant invariante, peut s’´ecrire comme la p´eriodis´ee fper (x) d’une fonction f (x). Par exemple pour f (x) on peut prendre toute restriction de la fonction p´eriodique `a un intervalle [x0 , x0 +a[ ; mais il existe une infinit´e d’autres d´ecompositions, car rien n’interdit que les supports des fonctions f (x − na) se recouvrent (penser `a un circuit RC soumis `a une suite p´eriodique de cr´eneaux et aux r´eponses `a chaque cr´eneau).

 L’´ echantillonnage

f (x) → fech (x) = a

∞ 

f (na) δ(x − na)

n=−∞

Cette op´eration ´etudi´ee `a la section 5.3.2. revient `a limiter la connaissance de f au sous ensemble d´enombrable des points xn = na. On verra que dans cette “discr´etisation” l’information sur f peut cependant ne pas ˆetre perdue.

146

5 • Fonctions d’une variable ; analyse des signaux

 Le produit avec une fonction g

f (x) → f (x) g(x)

" a a# qui corresEXEMPLES : la restriction d’une fonction `a un intervalle x0 − , x0 + 2 2 x − x  0 o` u Π(x) est la fonction porte (figure 13), pond a` la multiplication par Π a ou encore la multiplication de f (t) par cos  ω0 t qui intervient dans l’op´eration de modulation d’amplitude f (t) → a 1 + mf (t) cos ω0 t. A deux dimensions, la diffraction par une ouverture de coefficient de transmission t(x, y) dans le plan z = 0 correspond a la multiplication de l’onde incidente dans ce plan par t(x, y). `

 (x)

 (a−x) 1



11 00 00 11 00 11 00 11 00 11 00 11 00 11 111111111111 000000000000 00 11 −1/2

0

x

1/2

(x) 1

 (x) 1

1111111111 0000000000

−1/2

0

1/2

111111111111 000000000000

x

−1

Figure 13

0

a 1 x

Figure 14

 La convolution avec une fonction g

  f (x) → g ∗ f (x) =



∞

−∞

f (y) g(x − y) dy

Le produit de convolution est commutatif f ∗ g = g ∗ f et associatif f ∗ (g ∗ h) = (f ∗ g) ∗ h. Pour le translater ou le d´eriver il suffit de translater ou d´eriver un terme du produit. On verra qu’en physique le filtrage se traduit par la convolution (cf. section 5.2.4.). Un exemple est la moyennisation de f sur un intervalle de largeur a :   x − y  1 x+a/2 1 +∞ f (x) → fmoyenn´ee (x) = dy . f (y) dy = f (y) Π a x−a/2 a −∞ a De fa¸con g´en´erale la convolution avec Π(x) a un effet de lissage sur les fonctions et ´etale leur support. Ainsi alors que Π est discontinue la fonction “triangle ” Λ = Π∗ Π = Π∗2 est continue (figure 14), Π∗3 est partout une fois d´erivable... et on verra au chapitre 10 √ √ ∗N que NΠ Nx tend vers une gaussienne lorsque N → ∞. En plus de Π ∗ Π = Λ d’autres exemples classiques (en optique, probabilit´es...) sont La ∗ Lb = La+b (La (x) = 1 a fonction lorentzienne) et π a2 + x2 Ga ∗ Gb = G√a2 +b2



 x2 1 Ga (x) = √ e− 2a2 fonction gaussienne . 2πa2

5.2 Op´erations sur les fonctions ; analyse de Dirac

147

REMARQUE. Pour des signaux nuls pour t < 0 (cf. ´ electronique) la convolution s’´ecrit :  t   f (s) g(t − s) ds . g ∗ f (t) = 0

 La corr´ elation avec une fonction g f (x) → Γf,g (a) =



−∞

(Ta g, f ) La fonction de corr´elation Γf,g v´erifie : Γf,g (a) = Γg,f (−a)

et

|Γf,g (a)| ≤

∞

f (x) g(x − a) dx =

! Γf,f (0) Γg,g (0) (in´egalit´e de Schwarz) .

Si f = g, Γf,f (a) not´ee Γf (a) est maximum en 0. Si f et g sont des signaux p´eriodiques ou stationnaires, l’int´egrale de −∞ ` a ∞ (non d´efinie) est remplac´ee par une moyenne temporelle (cf. section 5.3.3.). REMARQUE : Γf,g (a) est une mesure du “recouvrement” (des graphes) des fonctions f et Ta g. Cette notion se retrouve dans diff´erentes m´ethodes d’analyse des signaux. Par exemple dans l’analyse de Dirac (cf. section 5.2.3), les valeurs f (t0 ) mesurent les recouvrements du signal f (t) avec les “fonctions piqu´ees” δ(t − t0 ) (corr´elation de f avec δ), dans l’analyse de Fourier les coefficients fˆ(ν) mesurent equence ν. Dans une analyse “temps-fr´ equence” on consid`ere les ceux avec les fonctions ei2πνt de fr´ recouvrements avec des fonctions ϕ(t − t0 ) ei2πνt (par exemple ϕ fonction porte) et dans l’analyse en ondelettes (“temps-´echelle”) ceux avec les ondelettes ϕ(ν(t − t0 )) (ϕ fonction d’int´egrale nulle ; figure 15).

 (t )

 (2 (t− t

0) )

0

t0

t

Figure 15

 Lin´ earit´ e et stationnarit´ e des op´ erations Consid´er´ees comme des syst`emes entr´ee-sortie (cf. section 2.4.2), toutes ces op´erations sont lin´eaires (sauf f → Γf et la modulation d’amplitude). Parmi elles la translation, la p´eriodisation et la convolution sont stationnaires (invariantes par translation). On rencontre aussi en physique de nombreuses op´erations non lin´eaires qui peuvent ˆetre stationnaires (d´etection quadratique f → f 2 , “redressement” f → |f |, d´ecalage de z´ero f → f +constante, quantification...) ou non (modulations d’amplitude et de fr´equence...).

5.2.2

Impulsion de Dirac (« fonction delta ») ; exemples m´ ecaniques

La fonction δ(x) (ou δ( r) = δ(x) δ(y) δ(z) `a trois dimensions) ou l’impulsion δ(t) ont une signification physique intuitive. Elles servent a` d´ecrire des grandeurs localis´ ees sur l’axe x en x = 0 (ou dans l’espace : charge ´electrique ou source lumineuse ponctuelles

5 • Fonctions d’une variable ; analyse des signaux

148

situ´ees `a l’origine), ou localis´ees dans le temps (signal bref `a t = 0). La repr´esentation de toute fonction comme “somme continue” de fonctions delta (analyse de Dirac) est implicite dans de nombreux domaines de la physique.

 D´ efinitions Pratiquement δ(x) est la limite (au sens indiqu´e ci-dessous)  ∞ 1 x g avec δ(x) = lim g(x) dx = 1 →0 || || −∞ pour toute fonction g(x) (d’int´egrale ´egale a` 1), par exemple Π(x) (figure 16), Λ(x), sinc(πx), gaussienne, lorentzienne, etc. Dans les calculs concrets cette limite intervient toujours dans des int´egrales avec des “braves” fonctions ϕ(x), par exemple :  ∞  ∞ 1 x − a g ϕ(x) dx = g(y) ϕ(a + y) dy → ϕ(a) . || −∞ || −∞ Tout se passe comme si δ(x − a) (d’aire ´egale a` 1) avait pour support le point x = a. REMARQUE : pour repr´esenter le graphe de C δ(x − a), on dessine soit une fonction tr`es piqu´ee en x = a dont on pr´ ecise l’aire C, soit une fl`eche verticale proportionnelle `a C.  ∞ La fonction “cha”  (x) = n=−∞ δ(x − n) (p´eriodis´ee de δ(x) de p´eriode 1) s’appelle “peigne” de Dirac.

1

x

ε

primitive

εΠ ε

1

ε

1 x

O Figure 16

 Propri´ et´ es ; d´ eriv´ ees de fonctions discontinues On d´eduit de la d´efinition et de la “localisation” en a de δ(x − a) :  ∞ x = |k|δ(x) donc δ(x) paire ; f (x) δ(x−a) = f (a) δ(x−a) . δ(x) dx = 1 ; δ k −∞  x 1 y g dy tend vers la fonction de Heaviside (ou ´ echelon), Comme de plus || −∞ || H(x) = 0 si x < 0 et H(x) = 1 si x > 0 (figure 16), on a aussi : δ(x) =

d H(x) . dx

5.2 Op´erations sur les fonctions ; analyse de Dirac

149

Plus g´en´eralement, au sens des distributions, on peut d´eriver une fonction f (x) ayant une discontinuit´e en a (c.a.d. la limite d’une fonction a` variation arbitrairement rapide  entre a− et a+ ) et d´erivable ailleurs : on ajoute a` la d´eriv´ee habituelle l’impulsion f (a+ ) − f (a− ) δ(x − a) (dont l’int´egrale entre a− et a+ donne la discontinuit´e). On notera enfin ∞ que −∞ δ(x) dx = 1 entraˆıne que la dimension de δ(x) est [x]−1 .

 Applications m´ ecaniques ; forces et percussions Intuitivement un mouvement de vitesse continˆ ument variable v(t) peut ˆetre approch´e par un mouvement dont la vitesse vp (t) est constante par paliers, avec des sauts Δvn aux instants tn (figure 17). La force correspondante ne peut ´evidemment pas ˆetre nulle.  dvp En fait Fp (t) = m = m Δvn δ(t − tn ) est une suite d’impulsions m´ecaniques dt n (percussions repr´esent´ees par des fl`eches sur la figure).

vp (t)

t

Figure 17 dv = F (t), on Inversement pour r´esoudre de fa¸con approch´ee l’´equation diff´erentielle m dt  peut remplacer F (t) par son ´echantillonn´ee Fech (t) = T n F (nT ) δ(t − nT ). On obtient vn − vn−1 = alors, en int´egrant entre les instants nT −  et nT + , la discr´ etisation m T F (nT ) de l’´equation de d´epart (vn = v(nT + )). Les exemples ci-dessus permettent de comprendre comment r´esoudre les ´equations v ¨ + 2λx˙ + ω02 x = δ(t) (2) (λ < ω0 ) v˙ + = δ(t) (1) et x τ avec conditions initiales nulles a` t = −∞ (particule en milieu visqueux et oscillateur amorti au repos soumis a` une percussion `a t = 0). Comme δ(t) = 0 pour t = 0, on a v(t) −t −λt ou cos (ωt + ϕ) (avec ω =  x(t) = 0 pour t < 0, et a priori v(t) = Ae τ ou x(t) = A e 2 2 ω0 − λ ) pour t > 0. L’effet de δ(t) ´etant simplement une variation brutale de vitesse de 1 a` t = 0, on a v(0+ ) = x(0 ˙ + ) = 1, d’o` u les solutions (r´ eponse impulsionnelle) : sin ωt −λt e (2) . ω REMARQUE : le saut de vitesse ´etant fini il ne peut y avoir de d´eplacement instantan´e a t = 0 induit par δ(t). ` t

R(t) = H(t) e− τ (1)

;

R(t) = H(t)

5 • Fonctions d’une variable ; analyse des signaux

150

5.2.3

Analyse de Dirac ; r´ eponse impulsionnelle ; convolution ; filtrage

La formule (cons´equence imm´ediate des propri´et´es de δ)  ∞ f (a) δ(x − a) da = [f ∗ δ](x) , f (x) = −∞

montre, d’une part que δ(x) est l’unit´ e de la convolution, et d’autre part que toute fonction f (x) peut s’interpr´eter comme somme “continue” d’impulsions f (a) δ(x − a), contribution a` f (x) de chaque point a de son support. Cette d´ecomposition de f (x) sur la base des fonctions δ(x − a), limite continue de l’´echantillonnage, constitue l’analyse de Dirac de f (x).

 R´ eponse impulsionnelle ; convolution Consid´erons une op´eration lin´eaire et stationnaire et soit R(x) (r´eponse impulsionnelle) le r´esultat de cette op´eration sur δ(x). La stationnarit´e et la lin´earit´e entraˆınent qu’` a la fonction (de x) f (a)δ(x − a) correspond le r´esultat f (a)R(x − a) et, en sommant sur a, que l’op´eration sur f (x) s’´ecrit sous la forme d’une convolution :  ∞ f (x) → f (a) R(x − a) da = [R ∗ f ](x) . −∞

EXEMPLE 1. Circuit RC. Soit e(t) (“entr´ee”) la tension aux bornes du g´en´erateur et s(t) (“sortie”) celle aux bornes de C. On d´eduit des formules (1) ci-dessus  t 1 − t−t τ s˙ + s = e =⇒ s(t) = e τ e(t ) dt , −∞ τ 1 −t e τ . Si τ est grand devant le temps caract´eristique τ  t 1 e(t ) dt (circuit int´ egrateur). Si τ est petit de variation de e(t), alors s(t)  −∞ τ l’exponentielle est concentr´ee autour de t = t et s(t)  e(t) ; en prenant alors comme sortie la tension sR aux bornes de la r´esistance, on obtient sR (t) = τ s(t) ˙  τ e(t) ˙ (circuit d´ erivateur). o` u τ = RC et R(t) = H(t)

EXEMPLE 2. Principe d’Huygens Fresnel. Si f (x, y, 0) est l’amplitude complexe d’une onde en tout point m du plan z = 0 (` a la sortie d’un ´ecran), la formule d’HuygensFresnel (cf. section 2.5.2) dit qu’en tout M du plan z (pr`es de l’axe) :  (X−x)2 +(Y −y)2 1 i2π z zλ f (X, Y, z) = e λ f (x, y, 0) eiπ dx dy . iλz La propagation de z = 0 a` z > 0 se traduit donc par une op´eration de convolution (` a deux dimensions) dont la r´eponse impulsionnelle est l’onde sph´erique  x2 +y2  1 i 2π 1 i 2π r e λ z+ 2z e λ  Rz (x, y) = iλz iλr  ´emise par une source ponctuelle en O (r = x2 + y 2 + z 2 ).

5.3 Transformation de Fourier ; analyse de Fourier

151

EXEMPLE 3. Electrostatique. La relation entre une distribution volumique de charges ρ( r ) et le potentiel qu’elle cr´ee V ( r ) est elle aussi donn´ee par un produit de convolution (` a trois dimensions) ρ(r0 ) 3 1 d r V ( r ) = 4π 0 | r− r0 | 0 dont la r´eponse impulsionnelle 4π1 r est le potentiel cr´e´ e par une charge ponctuelle unit´e en O. 0

EXEMPLE 4. Optique incoh´ erente. La r´ epartition d’intensit´e, dans le plan (x , y  ), de l’image d’un R(x − γx, y  − γy) I(x, y) dx dy, o` u R(x , y  ) objet incoh´erent dans le plan (x, y) s’´ ecrit I  (x , y  ) = est l’intensit´e de la tache de diffraction associ´ee ` a une source ponctuelle δ(x)δ(y) sur l’axe optique ; γ est le grandissement. EXEMPLE 5. Signaux num´ eriques (cf. section 2.4.2). Le signal {Rn } joue le rˆ ole de la r´eponse impulsionnelle.

 Filtrage La convolution appliqu´ee `a une exponentielle imaginaire donne (calcul d´ej`a vu a` la section 2.4.2) :  ∞  ∞ i2πνt  i2πνt  i2πνt ˆ ˆ R ∗ Ae = R(t − t ) Ae dt = R(ν) Ae (R(ν) = e−i2πνt R(t) dt) . −∞

−∞

Elle a donc pour effet de modifier le module et la phase de l’amplitude complexe du signal de fr´equence ν. Ce r´esultat est tr`es important quand on sait que tout signal peut s’´ecrire comme une somme d’exponentielles complexes (analyse de Fourier ; cf. section 5.3.1). La lin´earit´e entraˆıne :  ∞  ∞ ˆ f (t) = fˆ(ν) ei2πνt dν −→ [R ∗ f ](t) = fˆ(ν) R(ν) ei2πνt dν . −∞

−∞

L’op´eration de convolution revient a` multiplier chaque composante de Fourier fˆ(ν) du ˆ ˆ signal par R(ν), fonction de transfert de l’op´eration de filtrage. Suivant que |R(ν)| est grand surtout pour ν petit, pour ν grand, ou pour ν dans un intervalle, on a affaire a` un ˆ filtre passe bas, passe haut, ou passe bande. Si R(ν) = eiϕ(ν) on parle de filtre de phase ; −i2πντ ˆ pour une ligne a` retard f (t) → f (t − τ ) car : ei2πνt → ei2πν(t−τ ) . R(ν) =e REMARQUE. Il est important de noter qu’en physique on a souvent un acc`es plus direct ˆ ` la fonction de transfert a a la r´eponse impulsionnelle R(t). Par exemple pour un  ∞R(ν) qu’` t 1 ˆ e−i2πνt H(t) e− τ dt = (1 + i2πντ )−1 n’est rien d’autre que circuit RC, R(ν) = τ −∞ le coefficient de ei2πνt dans la solution stationnaire de τ s˙ + s = ei2πνt (cf. section 2.4.2). ˆ R(ν) correspond a` un filtre passe bas du premier ordre, int´egrateur si 2πντ = ωτ  1.

5.3

TRANSFORMATION DE FOURIER ; ANALYSE DE FOURIER

L’analyse de Fourier s’identifie en physique a` la ”volont´e” de d´ecomposer les fonctions sur la base, discr`ete ou continue, constitu´ee par les exponentielles imaginaires, fonctions caract´eris´ees par une fr´equence “pure”. Comme on l’a vu ci-dessus elle est bien adapt´ee a la physique lin´eaire et stationnaire et `a la notion de filtrage. Historiquement introduite ` pour les fonctions p´eriodiques a` propos de l’´etude de l’´equation de la chaleur (Fourier 1822), elle s’applique `a une classe tr`es large de fonctions, aux distributions (donc a` δ), et sert aussi a` distinguer les signaux stationnaires chaotiques des signaux quasi-p´eriodiques (cf. section 5.3.3). Les formules seront ´ecrites pour des signaux f (t) de transform´ ee de ˆ Fourier (T.F.) f (ν).

5 • Fonctions d’une variable ; analyse des signaux

152

5.3.1

D´ ecomposition de Fourier ; spectre d’un signal ; formule de Poisson

 Formules de base et justifications 

∞

f (t) =

 fˆ(ν) ei2πνt dν

fˆ(ν) =

avec

−∞

fper(t) =

∞ 

∞

f (t) e−i2πνt dt .

−∞

n

fn ei2π T t avec fn =

n=−∞

1 T



t0 + T2

n

n

fper (t) e−i2π T t dt = < fper (t) e−i2π T t > .

t0 − T2

d´ ef

La premi`ere formule est une cons´equence directe de la d´ ecomposition de Fourier de la fonction de Dirac :  ∞ δ(t) = ei2πνt dν . −∞

JUSTIFICATION. La derni`ere ´ egalit´ e s’obtient en consid´erant la limite  → 0 d’expressions telles que : 

1/2

i2πνt

e −1/2

dν =

1 sin πt/ ou  πt/



∞

−2π|ν|

e −∞

i2πνt

e

dν =

 π(t2 + 2 )

(cf.d´ efinition de δ(t) ` a la section 5.2.2). Comme f = f ∗ δ, on en d´eduit : " #  f (t) = f (t ) ei2πν(t−t ) dν dt = fˆ(ν) ei2πνt dν .

REMARQUES : 1) La correspondance f (t)⇐⇒fˆ(ν) est biunivoque ; le passage de fˆ(ν) a f (t) s’appelle la T.F. inverse. 2) La dimension de fˆ est [fˆ] = [f ][t]. ` La seconde formule concerne seulement les fonctions p´eriodiques. L’expression donnant les coefficients de la s´erie de Fourier fn (moyenne temporelle sur une p´eriode T ), d´ecoule p q des relations < ei2π T t e−i2π T t >= 0 si p = q et 1 si p = q (en particulier f0 est la valeur moyenne < f (t) >). Une formule ´equivalente, dite formule de Poisson, est :

fper (t) =

∞ 

f (t − nT ) =

n=−∞

1 T

∞  n=−∞

n n ei2π T t . fˆ T

JUSTIFICATION. Cette formule est une cons´equence directe de la relation facile ` a v´ erifier  fper (t) = f ∗ ∞ δ(t − nT ) , n=−∞ et de la d´ ecomposition de Fourier du peigne de Dirac : ∞ nt i2π T 1 ∞ . n=−∞ δ(t − nT ) = T n=−∞ e ∞ −|n| Cette derni`ere s’obtient en consid´erant la limite  → 0 de einϕ , ou la limite N → ∞ de n=−∞ e N inϕ (cf. figures 27 et 28 du chapitre 2). n=−N e ∞ fˆ(ν) ei2πνt dν : le REMARQUE. Dans la limite T → ∞, la formule de Poisson redonne f (t) = −∞ membre de gauche devient f (t) (les f (t − nT ), n = 0, “partant ` a l’infini”), et la somme de Riemann du second membre se transforme en int´egrale.

5.3 Transformation de Fourier ; analyse de Fourier

153

 Spectre d’un signal C’est l’ensemble des fr´equences ν impliqu´ees dans la d´ecomposition de Fourier du signal. Le spectre peut ˆetre continu (cf. exemples ci-dessous) ou discret (par exemple le signal f (t) = ei2πν0 t obtenu pour fˆ(ν) = δ(ν − ν0 )). Dans le premier cas il existe en g´en´eral un lien entre les propri´et´es de r´egularit´e de fˆ(ν) et la d´ecroissance plus ou moins rapide de f (t) lorsque t → ±∞ (et r´eciproquement ; cf. section 5.3.2. “d´erivation”). n Les fonctions p´eriodiques ont un spectre discret dont les fr´equences (harmoniques T 1 d’ordre n) sont multiples de la fr´equence fondamentale . Cette fr´equence peut ne pas T apparaitre, par exemple fper (t) = cos 3t + cos 5t de p´eriode 2π ne contient que les harmoniques ±3 et ±5). Remarque : traditionnellement on utilise plutˆ ot la d´ecomposition qui fait intervenir les coefficients de Fourier que la formule de Poisson. Cependant cette derni`ere est non seulement tr`es utile, puisqu’on obtient en une seule fois tous les fn `a partir de fˆ(ν), mais aussi plus riche de sens physique : elle montre que p´eriodiser une 1 fonction f ` a la p´eriode T ´equivaut `a ´echantillonner sa T.F. a` la p´eriode c.a.d. consiste T n a ne retenir dans son spectre que les fr´equences νn = . ` T

 Fonctions r´ eelles Si f (t) est r´eelle fˆ(−ν) = fˆ(ν) ou f−n = fn : toute l’information concernant le signal est contenue dans la partie ν ≥ 0 du spectre. On pr´ef`ere alors souvent ´ecrire les d´eveloppements `a l’aide de fonctions r´eelles. Par exemple  n n  fper (t) = a0 + an cos 2π t + bn sin 2π t , T T n≥1

avec a0 =< fper (t) >= f0 , an = 2 < fper(t) cos 2π Tn t > et bn = 2 < fper (t) sin 2π Tn t >, donc 2fn = an − ibn pour n ≥ 1 ; bn = 0 si fper est paire et an = 0 si fper est impaire.

 Exemples de T.F. Parmi les exemples porte de largeur   courants facilement calculables, citons la   fonction t ν TF TF−1 τ centr´ee Π (fonction de transfert =⇒ τ sincπτ ν et ν0 sincπν0 t ⇐= Π τ ν0 TF

d’un filtre passe bas id´ eal) ; δ(t) =⇒ 1 (donc dans la fonction δ toutes les fr´equences TF apparaissent  avec le mˆeme poids), et 1 =⇒ δ(ν), qui sont des limites des cas pr´ec´edents ;  t 2τ τ |t| TF TF (filtre passe bas du premier =⇒ ; H(t) e− τ =⇒ exp − 2 τ 1 + (2πτ ν) 1 + i2πτ ν ordre). Un autre exemple important dans la pratique est celui de la fonction gaussienne   TF   1 TF exp −πt2 =⇒ exp −πν 2 , et aussi en optique √ exp(iπx2 ) =⇒ exp(−iπσ 2 ). i

 Exemple de fonction p´ eriodique (figure 18) Les coefficients fn de la fonction cr´eneaux s’obtiennent en prenant la moyenne sur    τ2 n T T 1 : fn = − , A e−i2π T t dt. On en d´eduit le d´eveloppement : 2 2 T − τ2   ∞ ∞  τ  i2π n t n t − nT =A Π e T sincπτ . A τ T T n=−∞ n=−∞

5 • Fonctions d’une variable ; analyse des signaux

154

A

0

T

t

Figure 18

Figure 19

  t 1 ˆ n  f o` u f (t) = A Π (formule de Poisson). T T τ ∞  Dans la limite τ → 0, A → ∞ avec Aτ = 1, on retrouve la relation δ(t − nT ) = On v´erifie sur cet exemple que fn =

∞ 

n=−∞

T 2p e . Pour τ = , on remarque que les fr´equences ν2p = (p = 0) dispa2 T n=−∞ A T la s´erie vaut , c.a.d. prend la valeur moyenne des deux varaissent et que pour t = 4 2 leurs situ´ees de part et d’autre de la discontinuit´e. Ce dernier r´esultat est g´en´eral dans les d´eveloppements de fonctions discontinues ; il s’accompagne au niveau num´erique, quand on tronque la s´erie, de grandes oscillations pr`es de la discontinuit´e (ph´ enom` ene de Gibbs) ; la figure 19 correspond aux 15 premiers termes pour la fonction cr´eneaux. 1 T

5.3.2

n i2π T t

Propri´ et´ es : dualit´ e temps fr´ equence

En choisissant bien une des expressions donnant f (t) ou fˆ(ν), on d´eduit en g´en´eral sans calcul les propri´et´es suivantes. TF - Lin´ earit´ e : λf + μg =⇒ λfˆ + μˆ g.   ∞ ˆ f (t) dt ; f (0) = - Aires : f (0) = −∞

∞

fˆ(ν) dν .

−∞

- R´ ealit´ e : f (t) r´eelle ⇐⇒ fˆ(−ν) = fˆ(ν) .   t TF =⇒ k fˆ(kν) . - Dilatation : f k Donc plus une fonction varie vite (resp. lentement), plus les hautes (resp. basses) fr´equences TF doivent ˆetre pr´esentes dans son spectre. Pour k → 0 (resp. k → ∞) on retrouve δ(t) =⇒ 1 TF (resp. 1 =⇒ δ(ν)). Cette dualit´e entre les ´echelles de temps et de fr´equence peut se traduire qualitativement par Δt Δω  1, formule analogue aux relations de Heisenberg Δt ΔE   ou Δx Δpx   en m´ecanique quantique. TF - Parit´ e : f (−t) =⇒ fˆ(−ν) .

Donc si f r´eelle est paire (resp. impaire), fˆ est r´eelle paire (resp. imaginaire pure et impaire).

5.3 Transformation de Fourier ; analyse de Fourier

155

- Translation et multiplication par une exponentielle : TF f (t − τ ) =⇒ e−2iπτ ν fˆ(ν)

et

TF e2iπν0 t f (t) =⇒ fˆ(ν − ν0 ) .

Si l’instant d’´emission d’un signal est d´ecal´e dans le temps, ceci ne se traduit donc que par un facteur de phase au niveau de sa T.F. La modulation d’amplitude   x(t) → f (t) = A 1 + mx(t) cos 2πν0 t a pour but de transf´erer le spectre basse fr´equence de x(t) (|ν| ∈ [0, B]) dans celui de haute fr´equence de f (t) (|ν| ∈ [ν0 − B, ν0 + B]) qui permet les t´el´ecommunications. Apr`es transmission on peut d´emoduler par une op´eration de d´ etection synchrone f (t) → f (t) cos 2πν0 t (spectre |ν| ∈ [0, B] et |ν| ∈ [2ν0 − B, 2ν0 + B] car cos2 2πν0 t = 1 (1 + cos 4πν0 t)), suivie d’un filtrage passe-bas qui redonne x(t). 2 - D´ erivation et multiplication par une puissance : dn f (t) TF =⇒ (i2πν)n fˆ(ν) dtn

TF

(−2iπt)n f (t) =⇒

;

dn fˆ(ν) . dν n

Si un signal a une discontinuit´ e finie en t0 , sa d´eriv´ee contient un δ(t − t0 ) et fˆ(ν) se −1 comporte comme |ν| ` a l’infini (cf. porte) ; un comportement en |ν|−2 traduit   fonction |t| )... : plus f est r´eguli`ere plus fˆ d´ecroˆıt vite `a une discontinuit´e de f  (cf. exp − τ l’infini (et r´eciproquement). - Convolution et produit : TF [f ∗ g] (t) =⇒ fˆ(ν) gˆ(ν)

;

TF

f (t) g(t) =⇒

La premi`ere relation se d´emontre en ´ecrivant :  ∞    ∞  i2πν(t−t )  f (t ) gˆ(ν) e dν dt = [f ∗ g] (t) = −∞

−∞

" # fˆ ∗ gˆ (ν) .

∞

fˆ(ν) gˆ(ν) ei2πνt dν .

−∞

Sa traduction en termes de filtrage a d´ej`a ´et´e vue `a la section5.2.3. Pour la seconde on " # ∞ ∞ ∞ −i2π(ν−ν  )t ˆ  v´erifie fˆ ∗ gˆ (ν) = dt dν  = −∞ f (ν ) −∞ g(t) e −∞ f (t) g(t)   t (troncature de f (t)), la convolution de fˆ(ν) par gˆ(ν) = e−i2πνt dt. Si g(t) = Π T T sincπνT conduit a` un ´elargissement du spectre de f . - Causalit´ e : l’id´ee de causalit´e (“l’effet ne pr´ec` ede pas la cause”) se traduit sur la r´eponse impulsionnelle par R(t) = 0 pour t < 0, soit   ∗ R](ν)  R(t) = Θ(t) R(t) avec Θ(t) = 1 pour t > 0 et − 1 pour t < 0, ou R(ν) = [Θ . ˆ Comme Θ(t) est r´eelle impaire, Θ(ν) est imaginaire pure ; ceci entraˆıne l’existence de relations (Kramers Kronig) entre les parties r´eelle et imaginaire de la fonction de transfert R(ν). Un exemple est donn´e  (t), polarisation di´electrique d’un milieu non parfait, `  par la r´ eponse P a un champ ´electrique E(t) et la e complexe (ω) ´ etant reli´ ee ` a l’indice complexe fonction de transfert associ´ee (ω) − 0 ; la permittivit´ eral aussi dissipatif par (ω) = n2 (ω) 0 , tout milieu dispersif (e (ω) fonction d´ependant de ω) est en g´en´ ( m (ω) = 0), c.a.d. le si`ege de pertes d’´energie.

5 • Fonctions d’une variable ; analyse des signaux

156

REMARQUES. 1) Un filtre passe bas id´ eal (R(t) = ν0 sincπν0 t) n’est pas causal. 2) Techniquement ∞ 4πν 1  Θ(t) e−|t| e−i2πνt dt = i(2 +4π egularisation de iπν pr`es Θ(ν) est la limite pour  → 0 de −∞ 2 ν 2 ) (r´ de ν = 0).

- Autocorr´ elation, densit´ e spectrale d’´ energie. Un calcul semblable `a celui fait pour la convolution conduit a` la d´ecomposition spectrale d’une fonction de corr´elation  Γf (τ ) =



∞

∞

f (t) f (t + τ ) dt = −∞

−∞

|fˆ(ν)|2 ei2πντ dν ,

qui pour τ = 0 donne la formule de Parseval : 

∞

−∞

 |f (t)|2 dt =

∞

−∞

 |fˆ(ν)|2 dν

(= 2

∞

|fˆ(ν)|2 dν pour f r´eelle) .

0

∞ Par exemple l’´energie E = −∞ |f (t)|2 dt contenue dans un signal lumineux est la somme des contributions de chaque fr´equence : composantes violette, bleue...rouge de son spectre obtenu avec un prisme. La densit´e spectrale d’´energie d’un signal r´eel E(ν) = 2|fˆ(ν)|2 est donc reli´ee a la T.F. de Γf . Ce r´esultat est l’´equivalent pour les signaux d’´energie finie du th´ eor` eme de Wiener-Khintchine pour les signaux stationnaires (cf. sections 5.3.3 et 10.3.3). - P´ eriodisation et ´ echantillonnage. On a d´ej`a vu (formule de Poisson) que p´eriodiser f (t) conduit `a ´echantillonner fˆ(ν) ; inversement ´echantillonner f (t) conduit `a p´eriodiser ˆ f(ν) :

fech (t) = T

∞ 

TF f (nT ) δ(t − nT ) =⇒ f* ech (ν) =

n=−∞

∞  n=−∞

 n . fˆ ν − T

 Cette relation se d´ emontre en remarquant que fech (t) s’´ecrit aussi fech (t) = T n f (t)  n δ(t − nT ) = f (t) n ei2π T t . Application : si f (t) a son spectre contenu dans [−B, B], 1 et si l’´echantillonnage est assez serr´e (T < condition de Shannon), les graphes 2B   n des fonctions fˆ ν − ne se recouvrent pas (figure 20). On peut alors reconstruire f (t) T a partir de fech (t) en effectuant une op´eration de filtrage dont lafonction ` de transfert n ˆ ˆ ˆ (n = 0). On R(ν) vaut 1 sur le support de f (ν) et 0 sur ceux des fonctions f ( ν − T en d´eduit : ∞  R(t − nT ) f (nT ) ; f (t) = T n=−∞

ˆ par exemple pour R(ν) =Π

ν

on a R(t) = 2B sinc2πBt, mais en resserrant l’´echantilB  lonnage et en prenant R(ν) plus r´eguli`ere, on peut assurer une convergence plus rapide de la somme sur n.

5.3 Transformation de Fourier ; analyse de Fourier

157

1 f (t) T ech

0

T

fn

2T 3T

4T 5T

fper( )

−B 0 B

t

6T

fq

1/T

Figure 20 REMARQUE. Le facteur T dans l’expression de fech(t) est n´ecessaire pour que fech soit ˆ dimensionnellement homog`ene `a f et pour que fech(t) et f* ech (ν) redonnent f (t) et f (ν) dans la limite “continue” T → 0. - Transform´ ee de Fourier discr` ete (T.F.D). Le traitement des signaux par les calculateurs n´ecessite le passage de l’analogique (signaux continus) au num´erique (signaux discr´etis´es). La T.F.D. (et son esentatifs de fˆ(ν) ` aN´ echantillons fn = f (nT ) repr´esentatifs de f (t) inverse) relie N ´ echantillons fˆq repr´ par :

 N−1 ˆ i2π q n N . q=0 fq e  ∞ −i2πνnT (calcul (ν) = T f Pour v´ erifier que les fˆq ainsi d´efinis conviennent, on ´ecrit f* ech n=−∞ (nT ) e fˆq =

1 N

 N−1 n=0

n

fn e−i2π N q

;

fn =

direct de la T.F. de fech (t)). Si f (t) est convenablement centr´ee et n´egligeable en dehors de [0, N T [, la  N−1 −i2πνnT est proche de f* (ν). Si de plus l’´ echantillonnage de f est fonction f N−ech (ν) = T ech n=0 fn e  1 (ν) pour ν ∈ 0, sont ´ e gales (modulo un r´ e arrangement) ` a celles de fˆ(ν) assez serr´e, les valeurs de f* ech T  q   1 1  q  N−1 −i2π N n = T , 2T (figure 20). L’ensemble des valeurs f f e = N T fˆq pour ν ∈ − 2T n N−ech NT n=0 (q = 0, 1, · · · , N − 1) est donc bien repr´esentatif de fˆ(ν). L’int´ erˆ et num´erique de la T.F.D. est que pour N = 2p il existe un algorithme (T.F. rapide ou F.F.T. en anglais) qui ram`ene les N 2 (en gros) a seulement N (p − 1). Un autre int´erˆ et est l’existence, pour op´ erations n´ecessaires au calcul des fˆq ` 2 chaque propri´et´ e de dualit´e ´ ecrite ci-dessus pour f (t) et fˆ(ν), d’une propri´et´ e analogue pour les suites ecialis´es). de nombres fn et fˆq (cf. ouvrages sp´

5.3.3

Transform´ ee de Laplace

Elle est donn´ee, pour les signaux d´efinis sur [0, ∞], par  ∞ f (t) → F (p) = e−pt f (t) dt , 0

et v´erifie les propri´et´es (faciles a` ´etablir) : δ(t) → 1, e−at → (p + a)−1 , cos ωt → p (p2 + ω 2 )−1 , sin ωt → ω (p2 + ω 2 )−1 , d2 df d f (t) → p F (p) − f (0), (0) − p f (0) , f (t) → p2 F (p) − 2 dt dt dt

5 • Fonctions d’une variable ; analyse des signaux

158 

 f ∗ g (t) =



t

f (s) g(t − s) ds → F (p) G(p), e−λt f (t) → F (p + λ) (eλ ≥ 0) .

0

Elle a l’int´erˆet de prendre en compte les C.I. pour la r´esolution des E.D. ; par exemple  de x ¨ + ω 2 x = f (t) =⇒ X(p) = (p2 + ω 2 )−1 F (p) + x(0) ˙ + px(0) , on d´eduit x(t) =  t sin ω(t − s) sin ωt + f (s) ds (cf. aussi section 6.2.1). x(0) cos ωt + x(0) ˙ ω ω 0

5.3.4

Signaux stationnaires ; signaux chaotiques ; langage probabiliste

 Signaux stationnaires ; d´ etection synchrone Ce sont, id´ealement, des signaux pour lesquels toutes les moyennes temporelles < · · · >= lim

T →∞

1 T



t0 + T2

t0 − T2

( · · · ) dt n

ont un sens (ind´ependant de t0 ), par exemple pour un signal r´eel les moments < (f (t)) > ou la fonction de corr´elation Γ(τ ) =< f (t) f (t + τ ) >. De tels signaux ont une ´energie E infinie mais une “puissance moyenne” Γ(0) finie. Parmi eux il y a les signaux p´eriodiques mais aussi plus g´en´eralement les signaux quasi-p´ eriodiques qui, par d´efinition, ont un spectre discret sur lequel est concentr´ee leur puissance : fq−per(t) = A0 +



An cos(2πνn t + ϕn )

νn >0

;

Γ(τ ) = A20 +

 A2 n cos 2πνn τ . 2 n

Le signal est p´eriodique si les fr´equences sont commensurables, par exemple cos 2t + cos(3, 14 t) mais pas cos 2t + cos πt qui est quasi-p´eriodique ; cet exemple montre qu’il n’est pas toujours facile de distinguer pratiquement ces deux types de signaux. Pour analyser un signal stationnaire f (t), on peut le multiplier par une fonction sinuso¨ıdale et effectuer la moyenne temporelle du produit ; on d´etecte ainsi la pr´esence de la fr´equence correspondante dans le spectre de f (t) (m´ethode de d´ etection synchrone) : si fν0 =< f (t) e−i2πν0 t >= 0 on a f (t) = fν0 ei2πν0 t + g(t) avec < g(t) e−i2πν0 t >= 0. On peut (en principe) en explorant ainsi toutes les fr´equences extraire la partie quasip´eriodique d’un signal.

 Signaux chaotiques r´ eels Ces signaux apparaissent dans tous les domaines de la physique (fluctuations microscopiques, ´emission de la lumi`ere par les atomes, t´el´ecommunications...). Tantˆ ot ils jouent un rˆ ole fondamental dans la connaissance des ph´enom`enes (mouvement brownien, largeur de raie...), tantˆot ils interviennent comme un “bruit” et on cherche a` les ´eliminer (t´el´ecommunications...). Du point de vue de l’analyse de Fourier ce sont les signaux tels que < f (t) e−i2πνt >= 0 quel que soit ν : ils sont orthogonaux aux ei2πνt et se caract´erisent par un spectre continu (puissance concentr´ee sur aucune fr´equence particuli`ere). Leur fonction de corr´elation s’´ecrit (Th´ eor` eme de Wiener-Khintchine) :  ∞ 2 2 + Γ(τ ) = fT0 (ν) . I(ν) cos 2πντ dν avec I(ν) = lim T0 →∞ T0 0

5.3 Transformation de Fourier ; analyse de Fourier

159

Elle est une version “continue en fr´equences” de celle des signaux quasi-p´eriodiques. ´ (t) le signal tronqu´e sur un intervallede largeur T0 et f+ DEMONSTRATION : soit fT0  T0 (ν) ∞ ∞ 2 1 1 i2πντ + fT0 (ν) e fT0 (t)fT0 (t+τ ) dt = lim dν sa T.F., on a Γ(τ ) = lim T0 →∞ T0 −∞ T0 →∞ T0 −∞ d’o` u l’expression de I(ν) pour un signal r´eel (fˆ(ν) = fˆ(−ν)). Γ(τ ) a la propri´et´e importante de tendre vers z´ero lorsque τ → ∞ (ce qui n’est pas le cas pour un spectre discret, par exemple Γ(τ ) = cos 2πν0 τ pour I(ν) = δ(ν − ν0 )). On appelle temps de corr´ elation τc une valeur typique de τ telle que Γ(τ )  0 si τ > τc 1 o` u Δν est la dispersion du spectre du signal). En optique τc est (en g´en´eral τc  Δν un temps de coh´erence. On appelle bruit blanc (par r´ef´erence `a la lumi`ere blanche) un signal chaotique dont le spectre de puissance est constant, au moins dans une tr`es large bande de fr´equences ; dans ce cas τc  0. EXEMPLE. En optique une lumi` ere quasi-monochromatique correspond a` I(ν) = P(ν − ν0 ) > 0 , 1  ν0 . On a (th´eor`eme ci-dessus) o` u le profil de la raie P a une largeur Δν  τ c   ∞   Γ(τ ) = e P(ν − ν0 ) ei2πντ dν  e ei2πν0 τ P (τ ) 0

∞

 o` u P (τ ) = −∞ P (ν  ) ei2πν τ dν  est une fonction lentement variable de τ (par exemple   ν − ν0  ). Dans une exp´erience d’inP (τ ) = Δν sinc(π Δν τ ) pour P (ν − ν0 ) = Π Δν 2 terf´erence, o` u le d´etecteur mesure < |f (t) + f (t + τ )| >= 2Γ(0) + 2Γ(τ ) (cf. section 2.5.1.), le caract`ere quasi-monochromatique du signal se traduit par Γ(τ )  Γ(0) cos 2πν0 τ pour τ  τc (contraste des franges proche de 1), tandis que le caract`ere chaotique se traduit par Γ(τ ) |P (τ )|  0 Γ(0) P (0)

pour τ  τc (contraste nul aux grands ordres ν0 τ d’interf´erence). Remarques. 1) L’´etude de P (τ ) renseigne sur le profil de la raie : il est gaussien si P (τ ) est gaussien, lorentzien si P (τ ) ∝ e

|τ |

−τ c

, sym´ etrique si P (τ ) est r´eel, etc. (Voir aussi la section 10.3.3. pour le profil

lorentzien.) 2) Si on mod´elise le signal lumineux par une somme de paquets d’ondes (r´ eels) ´emis ` a  −i2πνt  i a partir de fˆT0 (ν) = ϕ(ν)  des instants al´eatoires f (t) = i ϕ(t − ti ) on peut montrer (` ie  T0 T0  2 avec ti ∈ − 2 , 2 ) que I(ν) = n 2|ϕ(ν)| o` u n est le nombre moyen de paquets par unit´e de temps. 

 Filtrage des signaux chaotiques  eˆ que la relation entre les spectres Il d´ ecoule du th´eor` eme ci-dessus et de la relation entr´ee-sortie sˆ = R de puissance des signaux chaotiques ` a l’entr´ee et ` a la sortie d’un filtre est : 2 I (ν) .  Is (ν) = |R(ν)| e 2 donc Γ (τ )   Si e(t) est un bruit blanc (Ie (ν)  1) , Γe (τ )  δ(τ )) on a pour la sortie Is (ν)  |R(ν)| s es du filtre (moins complet mais aussi moins “brutal” qu’avec ΓR (τ ), ce qui permet un acc`es aux propri´et´

δ(t)).

5 • Fonctions d’une variable ; analyse des signaux

160

EXEMPLE 1. Filtrage passe bas. L’´ equation de Langevin m v˙ (t) + α v (t) = f(t) (bruit blanc) d´ ecrit le mouvement brownien d’une particule soumise aux chocs mol´eculaires. Pour “le signal de sortie”  v (t), on a 2 ∝ (1 + 4π 2 ν 2 τ 2 )−1 avec τ = m ˆ Iv (ν) ∝ |R(ν)| c c α et donc Γv (τ ) ∝ e

|t| c

−τ

; le coefficient de proportionnalit´e est Γv (0) =< v2 >. Le mouvement

peut donc ˆetre assimil´ e a ` une marche au hasard (cf. section 10.3.1) constitu´ee de pas de longueur √ epar´es par un intervalle de temps T  τc ; on obtient pour le coefficient de diffusion l  τc < v2 > s´ D < v2 > τc 

kB T α

(relation d’Einstein).

EXEMPLE 2. Filtrage passe bande. Dans les t´ el´ ecommunications on sait que la modulation de fr´equence x(t) → A cos 2π(ν0 t +Δν t x(s) ds) est moins sensible au bruit que la modulation d’amplitude x(t) → A (1 + mx(t)) cos 2πν0 t. Pour le comprendre on remarque que, puisque lors de u [−B, B] est le spectre de x(t), il suffit la d´etection on ne filtre que la bande [ν0 − B, ν0 + B], o` u d’´ etudier l’effet sur A cos 2πν0 t de l’addition d’un bruit de la forme a(t) cos 2πν0 t + b(t) sin 2πν0 t o` les spectres de a(t) et b(t) sont dans [−B, B]. Sous l’hypoth`ese que le bruit est faible, l’addition se traduit par :     cos 2πν0 t − b(t) . A cos 2πν0 t −→ A 1 + a(t) A A 2

> En modulation d’amplitude il faut donc comparer m2 < x2 > ` a 1 > 4π 2 (Δν)2 < x2 > ` a A2 = A2 −B (2πν)2 |ˆb(ν)|2 dν < 4π 2 B 2 o` u χD (x) = 1 si x ∈ D et 0 si x ∈ D.) P (D) satisfait en effet les axiomes des probabilit´es, par exemple : P (D1 ∪ D2 ) = P (D1 ) + P (D2 ) si D1 ∩ D2 = ∅ , P (R) = 1 .  dx dx , x+ est infinit´esimal, cette fraction s’´ecrit en g´en´eral P (x) dx ; Si D = x − 2 2  |dt| pour f (t) = A cos(ωt + ϕ), on d´eduit de |df | = ω A2 − f 2 |dt| et de P (x) dx = 2 T 

5.4 Optique de Fourier ; filtrage optique

161

1 (figure 21). Si f (t) passe une fraction de temps finie pi sur une π A2 − x2 valeur xi , alors P (x) = pi δ(x − xi ) + · · · .

que P (x) =

√

A l’aide de P (x) on peut traduire les moyennes temporelles en moyennes probabilistes ; en effectuant un r´earrangement ∞des intervalles de temps sur lesquels ∞ on int`egre, on obtient par exemple < f n (t) >= −∞ xn P (x) dx ou < eiuf (t) >= −∞ eiux P (x) dx (fonction caract´eristique des valeurs x du signal). De mˆeme on peut r´ecrire la fonction de corr´elation d’un signal  t0 + T2  1 Γf (τ ) = lim f (t) f (t + τ ) dt = xy Pτ (x, y) dx dy , T →∞ T t0 − T2

# dx , x+ en introduisant la fraction de temps Pτ (x, y) dx dy pendant laquelle f (t) ∈ x − 2 # dy dx " dy " et f (t + τ ) ∈ y − (cf. densit´e de probabilit´e conjointe : section 10.2.1). , y+ 2 2 2 Signaux ` a perte de m´ emoire. Dans le langage probabiliste, l’ind´ependance des valeurs du signal a` deux instants s´epar´es de τ se traduit par la factorisation Pτ (x, y) = P (x) P (y), et donc pour des signaux de moyenne nulle par Γf (τ ) = 0. Donc la relation Γf (τ ) → 0 pour τ → ∞, qui caract´erise les signaux chaotiques du point de vue de l’analyse de Fourier, est une condition n´ecessaire (dont on se contente souvent !) pour pouvoir affirmer que ce sont des signaux “`a perte de m´emoire”. Elle entraˆıne que toute moyenne temporelle pour ces signaux peut ˆetre calcul´ee sur des dur´ees T finies pourvu qu’elles soient grandes 1 devant le temps de corr´elation τc ; l’erreur relative commise est alors de l’ordre de √ N T (comme pour une somme de N variables al´eatoires ind´ependantes ; cf. avec N = τc section 10.2.1).

5.4 5.4.1

OPTIQUE DE FOURIER ; FILTRAGE OPTIQUE D´ ecomposition en ondes planes ; filtrage

 Principe g´ en´ eral Soit f (x, y, 0) l’amplitude lumineuse (monochromatique) d’un objet coh´ erent ´emettant vers les z > 0, et dont le d´eveloppement de Fourier s’´ecrit  f (x, y, 0) = fˆ(σx , σy ) ei2π(σx x+σy y) dσx dσy ,  avec fˆ(σx , σy ) =

f (x, y, 0) e−i2π(σx x+σy y) dx dy. On peut aussi l’´ecrire 

f (x, y, 0) =

  2π dα dβ α β , ei λ (αx+βy) , fˆ λ λ λ λ

et interpr´eter f (x, y, 0) comme repr´esentant dans le plan z = 0 une somme d’ondes planes allant dans des directions u ˆ(α, β, γ) donn´ees par α = λσx , β = λσy (γ =  1 − α2 − β 2 ).

5 • Fonctions d’une variable ; analyse des signaux

162

x

«

u ¬ ­

x’

X

«

système

F

O

z

optique

plan objet

lentille plan de Fourier

plan image

Figure 22 On suppose la longueur d’onde λ, ou les fr´equences spatiales σx,y , assez petites pour que λσx,y < 1. Si on place une lentille de distance focale d apr`es l’objet, chaque onde plane issue de l’objet va converger dans le plan focal image (F ; X, Y ) au point (X = αd, Y = βd) (figure 22). Cette “s´eparation point par point” des ondes permet un filtrage optique imm´ediat en mettant dans ce plan (plan de Fourier) un filtre (pupille) de coefficient de transmission p(X, Y ). Si on place alors apr`es ce plan un syst`eme optique qui fait, avec la lentille, l’image du plan z = 0, cette image est celle que l’on obtiendrait (sans filtre) d’un objet (fictif) appel´e objet filtr´ e dont l’amplitude lumineuse serait :  ˆ x , σy ) p(λσx d, λσy d) ei2π(σx x+σy y) dσx dσy . ffiltr´ee (x, y, 0) = f(σ p(λσx d, λσy d) est la fonction de transfert du filtre. x

x

EXEMPLE 1. Soit f (x, y, 0) = cos2 πx = 12 + 14 ei2π a + 14 e−i2π a . A un trou en F correspond l’objet a a un ´ecran ponctuel en F l’objet filtr´e ffiltr´ee (x, y, 0) = 12 cos 2πx filtr´ e uniforme ffiltr´ee (x, y, 0) = 12 , et ` a (dont l’intensit´e

1 4

cos2

2πx a

a une p´eriode spatiale moiti´e de celle de l’objet initial).

EXEMPLE 2. Soit f (x, y, 0) = A eiϕ(x,y)  A eiϕ0 (1 + iδϕ(x, y)) un objet de phase dont on suppose les fluctuations de phase petites. Si on place en F une lame introduisant un retard de ± π2 ou un ´ecran, esente des variations d’intensit´e et l’objet filtr´e est ffiltr´ee (x, y, 0) = iA eiϕ0 (±1 ou 0 + δϕ(x, y)). Il pr´ son image devient observable (principe du contraste de phase ou de la strioscopie).

 Lien avec la diffraction de Fraunhofer L’intensit´e observ´ee dans le plan de convergence des ondes planes (F ; X, Y ) (avant fil2  α β , . On retrouve l’intensit´e de la figure de diffraction trage) est proportionnelle `a fˆ λ λ a “l’infini” associ´ee `a f (x, y, 0) et calcul´ee autrement `a la section 2.5.2. `

 Lien avec la diffraction de Fresnel Comme la propagation du plan z = 0 au plan z > 0 se traduit simplement pour l’onde 2π i 2π λ (αx+βy) dans le plan z = 0 par la multiplication par le facteur ei λ γz (γ(α, β) = e 1 − α2 − β 2 ), l’amplitude f (X, Y, z) dans le plan z est :    2π dα dβ α β , ei λ (αX+βY +γ(α,β)z) . f (X, Y, z) = fˆ λ λ λ λ

5.4 Optique de Fourier ; filtrage optique 2π

Le facteur de phase ei λ

γz

163

 (analogue de R(ν) pour des signaux)), qui s’´ecrit 2π

ei λ

z

2 2 z (σx , σy ) e−iπλz(σx +σy ) = R

α2 + β 2 ), n’est autre que la transform´ee de 2 Fourier a` deux dimensions de la r´eponse impulsionnelle Rz (x, y) introduite a` la section 5.2.3. Le principe d’Huygens Fresnel est donc une cons´equence de la propagation des ondes planes (et de l’analyse de Fourier) et n’est pas un principe physique nouveau. dans l’approximation de Gauss (γ  1 −

EXEMPLE. Si on ´ eclaire avec un laser sous incidence normale un r´eseau p´eriodique situ´e dans le plan   x  z z = 0 de coefficient de transmission t(x, y) = n tn ei2πn a = f (x, y, 0) , on a f (x, y, z) = ei2π λ × 2  n x 2 −iπλz ( a ) ei2πn a . Dans les plans z = 2p aλ (p entier) on retrouve (en intensit´e) le r´ eseau : n e   a2 f x, y, 2p λ = |f (x, y, 0)|.

5.4.2

Illustrations optiques de la transform´ ee de Fourier

Soit t(x, y) le coefficient de transmission d’un ´ecran ´eclair´e sous incidence normale par une onde plane d’amplitude 1. On consid`ere la relation    2π α β dα dβ t(x, y) = tˆ , ei λ (αx+βy) λ λ λ λ qui exprime la d´ecomposition en ondes planes de l’amplitude transmise. Le lecteur est encourag´e `a repr´esenter les “´ecrans” t et les “intensit´es” |tˆ|2 dans les plans (x, y) et α β ( , ) pour les exemples ci-dessous (cf. ouvrages d’optique). λ λ

 Intensit´ e diffract´ ee ; ouverture rectangulaire  La formule de Parseval

 |t(x, y)| dx dy = 2

  α β ˆ , t λ λ

  1 ˆ α β , I(α, β) = 2 t λ λ λ

2

dα dβ montre que λ λ

2

est l’intensit´e lumineuse diffract´ee (`a l’infini)dans la direction (α, β) par unit´e d’angle x y  Π (ouverture rectangulaire), qui solide. Un exemple classique est t(x, y) = Π a b conduit a`  2  2  ab πbβ πaα 2 I(α, β) = sinc sinc λ λ λ (l’int´egrale double ´etant ici un produit d’int´egrales simples).

 Lin´ earit´ e ; r´ ealit´ e ; aires Deux ´ecrans sont dits “compl´ementaires” si t1 + t2 = 1 (fente fine et fil opaque) ; alors tˆ1 = δ − tˆ2 et les intensit´es diffract´ees sont les mˆemes (sauf au centre α = β = 0) : th´ eor` eme de Babinet.

5 • Fonctions d’une variable ; analyse des signaux

164

Si t(x, y) est r´eel (´ ecran r´ eel), I(α, β) = I(−α, −β): la figure de diffraction est sym´etrique mˆeme si l’´ecran ne l’est pas ! Si t(x, y) > 0 alors I(α, β) est maximum au centre (α = β = 2 0) ; en particulier si l’´ecran est un trou de surface S, alors I(0, 0) = λ−2 t(x, y) dx dy = S 2 /λ2 , tandis que l’intensit´e totale, int´egr´ee sur toutes les directions vaut S ; ceci se comprend en remarquant que la tache de diffraction a une extension angulaire Δα Δβ  λ2 /S.

 Dilatation

x y se traduit par I(α, β) → , k1 k2 k12 k22 I(k1 α, k2 β) (changement d’´echelles inverse) ; en particulier si k2 → ∞ (ouverture tr`es large en y), I(α, β) se concentre sur les directions β = 0. Un changement d’´echelles sur l’´ecran t(x, y) → t

 Translation de l’´ ecran tˆ est multipli´e par une phase et la figure de diffraction n’est donc pas modifi´ee. Par contre le facteur de phase se manifeste lors de la diffraction par plusieurs ´ecrans translat´es les N N   uns par rapport aux autres. Par exemple a` t(x−na, y) correspond I(α, β) | einϕ |2 n=1

n=1

produit de I(α, β) par l’intensit´e d’une interf´erences `a N trous ponctuels (ϕ = −

2παa ). λ

2π

 Multiplication de t(x, y) par ei λ (α0 x+β0 y) Elle correspond a` un ´ eclairage sous incidence oblique et conduit a` I(α − α0 , β − β0 ) (d´ecalage angulaire de la figure de diffraction).

 P´ eriodisation Un r´ eseau infini a un facteur de transmission p´eriodique t∞ (x) =

∞ 

τ (x − na) =

n=−∞

∞ 1   p  i2πp x a e τˆ a p=−∞ a

(formule de Poisson). τ (x) (restreint `a [0, a]) caract´erise le motif du r´ eseau ; l’enjeu des r´ eseaux “blaz´ es” est de choisir judicieusement le motif τ (x) pour concentrer toute la lumi`ere diffract´ee dans un seul ordre q (pour augmenter  p la luminosit´e), le plus ´elev´e possible pour avoir le pouvoir s´eparateur maximum : τˆ = 0 sauf pour p = q. Un a i2π x exemple est τ (x) = e a . L’´ecran correspondant est un prisme d’angle au sommet θ q 2π (n − 1) θ = 2π . petit et d’indice n tel que λ a REMARQUE. Si le r´ eseau est limit´e par une ouverture de coefficient de transmission O(x, y), alors :      α−αp β  ∞  t(x, y) = t∞ (x) O(x, y) et tˆ α , β = 1 . ˆ p O , p=−∞ τ λ

λ

a

a

λ

λ

x

Cette formule peut s’interpr´eter comme la diffraction des diff´ erentes ondes planes ei2παp λ par l’ouver   α−αp , β (pour les diff´erentes ture. Si celle-ci est plus large que le pas du r´ eseau a, les fonctions O λ λp  2 1 ∞ ˆ a IO (α − αp , β), o` u valeurs de p) ne se recouvrent pas et l’intensit´e diffract´ee est a2 p=−∞ τ esigne l’intensit´e diffract´ ee par l’ouverture. IO (α, β) d´

5.4 Optique de Fourier ; filtrage optique

165

 Echantillonnage

  Si t∞ (x) correspond ` a un r´eseau de fentes fines (ˆ τ pa =constante), on peut consid´erer que t∞ (x) O(x, y)   α β  α , β . Dans le cas est l’´echantillonn´ee en x de “l’objet ”O(x, y) ; tˆ λ , λ est alors la p´eriodis´ee de O λ λ de non recouvrement (condition de Shannon satisfaite), un filtrage passe-bas ne laissant passer que le    α , β permet de r´ecup´ terme O erer O(x, y) (principe du d´ etramage). λ λ

 Discontinuit´ e Si t(x, y) est discontinu le long d’une ligne x = 0 la figure de diffraction s’´etend dans la direction α sur l’axe β = 0. La technique d’apodisation consiste ` a r´ eduire cette g´en´   eration de hautes fr´equences, par exemple en rempla¸cant t(x) = Π x Π x par tapod (x) = cos2 πx , dont la T.F. (petit calcul) a a a a ˆ (σ) = sincπσa est un peu plus ´ e tal´ e e que t (σ) et d´ e croˆ ıt comme σ−3 au lieu de σ−1 t apod 2 2 2(1−a σ )

(discontinuit´e de t apod ).

 Autocorr´ elation EXEMPLE 1 : optique incoh´ erente. Les exemples ci-dessus relevaient de l’optique coh´erente. Si une a l’infini arrive dans r´ epartition angulaire d’intensit´e I(α0 , β0 ) en provenance d’un objet incoh´erent ` la pupille d’entr´ee d’un instrument de surface S et de coefficient de transmission t(x, y), l’intensit´e ` a la sortie de la pupille est donn´ee par le produit convolution (normalis´e de sorte que If = I si I est uniforme et t = 1) 1  2 0 , β−β0 I(α0 , β0 ) tˆ α−α dα0 dβ0 . If (α, β) = λ λ Sλ2 esulte de l’addition des intensit´es des figures de diffraction associ´ees chacune ` a une onde plane). (If r´ La pupille effectue donc un filtrage sur l’objet. Si on introduit les T.F. des intensit´es I et If par  α , σβ ) = I(α, β) e−i2π(σα α+σβ β) dα dβ I(σ (σα et σβ fr´ equences angulaires), on a If = T Iˆ avec pour fonction de transfert de l’instrument T (σα , σβ ) = S1 t(x, y) t(x − λσα , y − λσβ ) dx dy la fonction d’autocorr´ elation de la pupille. Comme une pupille a toujours une extension finie, T (σα , σβ ) a un support born´e et l’instrument coupe les hautes fr´equences. Si il s’agit de deux trous disa tants de a dans la direction x, il ne laisse passer que les fr´equences σα = σβ = 0 et σα = ± , σβ = 0. λ ˆ α , σβ ) et remonter ` a I(α, β) (principe de l’interf´ erom´ etrie stellaire). On peut ainsi ´etudier I(σ → EXEMPLE 2 : diffusion. Si N diffuseurs isotropes identiques, occupant les positions − r i dans un → −

→ −

volume, sont ´eclair´es par une onde plane ei k 0 · r , l’intensit´e diffus´ee dans la direction du vecteur → − d’onde k est proportionnelle ` a: → − − → → − → − → → (2π − σ = k − k 0) . S(− σ ) =< |Σi e−i2π σ · r i |2 > → − → −

(La moyenne < · > est ` a prendre si les positions des diffuseurs sont al´eatoires.) Comme Σi e−i2π σ · r i est la T.F. (tridimensionnelle) de la densit´e de diffuseurs → → → n(− r ) = Σi δ(− r −− r i) , → − S( σ ) est la T.F. de la fonction d’autocorr´elation de la densit´e :  → → → → → → → r  +− r ) d3 r  > = < ij δ(− r −− ri+− r j ) >  N g(− r). < n(− r  ) n(− → − − → 3 3 g( r ) d r est le nombre moyen de diffuseurs dans d r, sachant qu’il y en a un en r = 0.

Chapitre 6

Equations diff´ erentielles ; syst` emes dynamiques

Une ´ equation diff´ erentielle (E.D.) ordinaire d’ordre n se pr´esente comme une relation, en g´en´eral non lin´eaire, entre une fonction d’une variable et ses d´eriv´ees d’ordre 1, · · · , n. La r´esoudre consiste traditionnellement `a en donner la solution g´en´erale, mais ceci est rarement r´ealisable `a part quelques cas classiques, et fait perdre de vue l’information “cod´ee” par les E.D. en physique. C’est pourquoi il est utile de commencer par l’approche qualitative et g´eom´etrique des syst`emes dynamiques (o` u la variable est le temps). Cette approche repose sur la propri´et´e d’un syst`eme d’E.D. d’ordres quelconques d’ˆetre ´equivalent a` une E.D. “vectorielle” du premier ordre d´ecrivant le mouvement d’un point dans l’espace de phase. Elle met en valeur le rˆole important des conditions initiales (C.I.). On verra que, lorsque la variable est l’espace, ce rˆ ole est tenu plutˆ ot par les conditions aux limites (C.L.). Quand une solution ´evidente est connue (par exemple l’´etat de repos pour un pendule), il est naturel de s’int´eresser `a l’ E.D. satisfaite au premier ordre par une perturbation (petites oscillations). C’est pourquoi les E.D. lin´ eaires (E.D.L.) jouent un rˆ ole privil´egi´e. On ´etudiera leurs propri´et´es, non seulement lorsque les coefficients sont constants, cas des E.D.L. stationnaires (E.D.L.S), avec la notion de mode propre stable ou instable, mais aussi dans le cas g´en´eral, avec la notion de matrice de transfert. L’approche lin´eaire ayant ses limites, on ´etudiera enfin quelques m´ethodes, notamment la m´ethode des ´equations d’amplitude, permettant de traiter les corrections non lin´eaires et les bifurcations de solutions.

6.1 Syst`emes dynamiques et espace de phase

6.1 6.1.1

167

` SYSTEMES DYNAMIQUES ET ESPACE DE PHASE D´ efinitions ; propri´ et´ es g´ en´ erales

 Syst` emes dynamiques L’id´ee de d´ eterminisme, dans sa version “continue”, se traduit par le fait que la connaissance de l’´ etat x(t0 ) d’un syst`eme `a un instant arbitraire t0 (conditions initiales) entraˆıne sa connaissance `a un instant voisin t0 + , ce qu’on ´ecrit :     soit lorsque  → 0 x(t) ˙ = f x(t), t . x(t0 + )  x(t0 ) + f x(t0 ), t0 ∀t0 et x(t0 ) L’´etat est ainsi connu de proche en proche, au moins dans un certain intervalle de temps, aussi bien dans le futur que dans le pass´e, d`es que sa “vitesse d’´evolution” f (x, t) l’est. On parle alors de syst` eme dynamique (S.D.) dont l’´ evolution est r´egie par l’E.D. “vectorielle” du premier ordre. Attention. Une E.D. d´ecrit l’´evolution, non d’un ´etat initial particulier, mais celle de n’importe quel ´etat initial x(t0 ). Elle “code” une correspondance g´en´erale, souvent tr`es compliqu´ee, entre ´etats pour deux instants diff´erents (figure 1) : Ft,t

x(t0 ) −−−−−0−→ x(t) .

Ft t

0

F t 0 x (t 0)

Ft

x( )

x ( t) t

t0 Figure 1

Cette correspondance n’est pas quelconque ; elle doit satisfaire la loi de composition : Ft,t0 = Ft,τ ◦ Fτ,t0 . Par exemple la relation x(t) = a x(t0 ) + (t − t0 ) ne satisfait cette loi que si a = 1. En  effet, en prenant  un instant quelconque τ , on doit avoir x(t) = a x(τ ) + (t − τ ) = a a x(t0 ) + (τ − t0 ) + (t − τ ). Le cas a = 1 correspond au S.D. x˙ = 1.

 Espace de phase ; degr´ es de libert´ e La notation x sous entend que pour caract´eriser l’´etat d’un syst`eme il faut, en g´en´eral, se donner plusieurs grandeurs (ses composantes x1 , x2 , · · · , xn ). En m´ecanique il faut connaˆıtre initialement les positions et les vitesses des corps, en ´electricit´e les charges des

168

6 • Equations diff´erentielles ; syst`emes dynamiques

condensateurs et les intensit´es dans les inductances, en cin´etique chimique toutes les concentrations, etc. Ces grandeurs (fonctions du temps) qui caract´erisent un ´etat d´efinissent l’espace de phase, espace de tous les ´etats possibles, dans lequel tout ´etat initial d´ecrira une “trajectoire” au cours du temps. La dimension de cet espace caract´erise le nombre de degr´es de libert´e du S.D. L’int´erˆet de la notion d’´etat dans l’espace de phase est de ramener toute E.D. (ou syst`eme d’E.D.) de n’importe quel ordre a` un syst` eme du premier ordre (pour les composantes ... de l’´etat). Par exemple l’´equation du troisi`eme ordre x= g(x, x, ˙ x ¨, t) s’´ecrit aussi ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ x˙ 1 x2    ⎝x˙ 2 ⎠ = ⎝ ⎠ x3 = f x(t), t , de la forme x(t) ˙ x˙ 3 g(x1 , x2 , x3 , t) ˙ x3 = x ¨ sont les composantes de l’´etat x, et x2 , x3 , g celles de f ; il y o` u x1 = x, x2 = x, a trois degr´es de libert´e et il faut trois C.I. x1 (t0 ) = x(t0 ), x2 (t0 ) = x(t ˙ 0 ), x3 (t0 ) = x¨(t0 ) pour d´efinir une solution x(t). Inversement il est `a noter qu’en physique toutes les lois “de base” ne font intervenir que → ˙ V = LI˙ en ´electricit´e, p = m r˙ , p˙ = − les d´eriv´ees premi`eres des grandeurs : I = Q, F ( r, v , t) en m´ecanique (loi de Newton), etc. Ce n’est que parce qu’on proc`ede habituellement par “´elimination” pour r´esoudre ces syst`emes d’E.D. du premier ordre, qu’apparaissent des E.D. d’ordre sup´erieur, dont la difficult´e technique fait du coup perdre de vue le rˆ ole des C.I.

 Stationnarit´ e Lorsque t n’apparaˆıt pas explicitement dans f (x, t), c’est-`a-dire lorsque les coefficients des E.D. (qui sont les param`etres “caract´eristiques” du syst`eme physique, la masse d’un corps ou la raideur d’un ressort par exemple) ne d´ependent pas du temps, on parle d’un S.D. stationnaire (S.D.S.). Dans ce cas, la relation entre les ´etats x(t0 ) et x(t) ne fait intervenir les instants t0 et t qu’` a travers leur diff´erence t − t0 car il n’y a pas d’origine des temps privil´egi´ee. EXEMPLE : x˙ = x(1 − x), qui d´ecrit l’´evolution d’une “population” x (biologique, chimique, etc.) dont le taux de variation 1 − x d´ecroit quand x croit. L’int´egration de  −1     dt = x(1 − x) dx = x−1 + (1 − x)−1 dx = d ln x(1 − x)−1   −1 . donne x(t) = x(t0 ) exp(t − t0 ) 1 + x(t0 ) exp(t − t0 ) − 1 CONTRE EXEMPLE : x˙ = λ(t) x, o` u le taux de variation λ(t) de la “population” x t d´epend explicitement du temps. Alors x(t) = x(t0 ) exp t0 λ(s) ds ; on ne retrouve la d´ependance en t − t0 que si λ est constant. D’un point de vue g´eom´etrique f (x, t) repr´esente un champ de vecteurs dans l’espace de phase. Dans le cas stationnaire, les trajectoires suivies par les ´etats sont les lignes de champ, lignes partout tangentes aux vecteurs f (x), puisque x˙ = f (x). Le tableau ci-dessous et les figures 2 pr´esentent quelques exemples d’´equations adimensionn´ees tir´ees de la m´ecanique ; les variables de l’espace de phase sont (x, x). ˙ La constante C est une int´egrale premi`ere des ´equations.

6.1 Syst`emes dynamiques et espace de phase

S.D.

(a) mouvement inertiel

(b) mouvement unif. acc´el´ er´ e

E.D.

x ¨=0

x ¨=1

champ de vecteurs f

  x˙ 0

  x˙ 1

trajectoires dans l’espace de phase

x˙ = C droites

x = 12 x˙ 2 + C paraboles

x et x˙ fonction des C.I. ` at=0

x = x0 + x˙ 0 t x˙ = x˙ 0

x = x0 + x˙ 0 t + 12 t2 x˙ = x˙ 0 + t

repr´ esentation matricielle de Ft,0



1 0

169 (c) pendule pr`es du pt. (d) pendule pr`es du pt. d’´ equilibre stable d’´ equilibre instable x ¨ = −x 

x˙ −x

  x˙ x x2 − x˙ 2 = C hyperboles

x2 + x˙ 2 = C cercles

x = x0 cos t + x˙ 0 sin t x = x0 cosh t + x˙ 0 sinh t x˙ = x˙ 0 cos t − x0 sin t x˙ = x˙ 0 cosh t + x0 sinh t

 t 1



cos t − sin t

.x

 sin t cos t



cosh t sinh t

 sinh t cosh t

.x x

.x

x ¨=x



x

(a)

(b)

(c)

(d)

x

.x x

Figure 2

 Lin´ earit´ e Un S.D. lin´eaire (S.D.L.) est un syst`eme tel que si x1 (t) et x2 (t) sont deux solutions arbitraires λ1 x1 (t) + λ2 x2 (t) est aussi solution. L’espace de phase a alors une structure d’espace vectoriel.     0 1 x x avec x = . EXEMPLE : x ¨ + a(t) x˙ + b(t) x = 0 ⇐⇒ x˙ = −b(t) −a(t) x˙ CONTRE EXEMPLE : x¨ = 1 (cf. tableau). La propri´et´e essentielle d’un S.D.L. est que sa solution g´ en´ erale est une combinaison lin´eaire de solutions lin´eairement ind´ependantes o` u, ce qui est ´equivalent, que chaque

6 • Equations diff´erentielles ; syst`emes dynamiques

170

composante de l’´etat x(t) d´epend lin´eairement des composantes de l’´etat x(t0 ). Ainsi la solution g´en´erale de x ¨ + a(t) x˙ + b(t) x = 0 s’´ecrit x(t) = R0 (t, t0 ) x(t0 ) + R1 (t, t0 ) x(t ˙ 0) , x(t) ˙ se d´eduisant simplement par d´erivation de cette relation. Dans cette expression R0 (t, t0 ) est la solution qui vaut 1 pour t = t0 et dont la d´eriv´ee s’annule pour t = t0 , tandis que R1 (t, t0 ) est la solution qui s’annule en t = t0 et a une d´eriv´ee ´egale a` 1 pour t = t0 . Cette remarque ´el´ementaire est ` a la base du formalisme de la matrice de transfert d´evelopp´e `a la section 6.4.1.

6.1.2

Exemples de syst` emes dynamiques et de leurs portraits de phase

La repr´esentation des trajectoires des ´etats d’un S.D. dans l’espace de phase, appel´ee portrait de phase, pr´esente l’int´erˆet de visualiser toutes les solutions d’une E.D., en fonction des C.I., mˆeme lorsqu’il n’y a pas de formule explicite ou que celle-ci est compliqu´ee.

 Portrait de phase (` a une dimension) de x˙ = f (x) L’´evolution de x(t) est sch´ematis´ee en pla¸cant simplement sur l’axe x les points o` u f s’annule, et en mettant entre ces points une fl`eche dans le sens d’´evolution de x(t), donc li´ee au signe de f (x). La seule chose qui reste `a pr´eciser est de savoir si x s’approche o` u s’´eloigne des points o` u f s’annule en un temps fini ou infini. EXEMPLE 1. x˙ = x(1 − x) et x > 0 (figure 3). Pr`es de x = 1 on a x˙  1 − x, d’o` u dt  (1 − x)−1 dx et t  − ln |1 − x| ; on retrouve que l’approche de 1 est exponentiellement lente. Pour x proche de 0, on a dt  x−1 dx ; il faut donc un temps Δt  | ln | pour s’´ecarter d’une distance finie d’une position initiale x(t0 ) =  arbitrairement proche de l’origine.

0

axe x

1 Figure 3

EXEMPLE 2 (figure 4a). En m´ ecanique, l’´equation m¨ x = −V  (x) (V (x) ´energie potentielle) dont l’espace de phase est a priori a` deux dimensions, se r´eduit, compte  1 tenu de la conservation de l’´energie E = mx˙ 2 + V (x), a` x˙ = ± 2m(E − V (x)). 2 Pour E = E1 , x atteint ou quitte la valeur extrˆeme xB1 , telle que V (xB1 ) = E1 , en  − 1 un temps fini. En effet, au voisinage de xB1 l’E.D. s’´ecrit dt ∝ E1 − V (x) 2 |dx| ∝ 1

|xB1 − x|− 2 |dx|, et donc Δt ∝ |xB1 − x 2 . La mˆeme analyse vaut pour xA1 et, comme l’acc´el´eration x ¨ ne s’annule ni en xB1 ni en xA1 , x oscille ind´efiniment entre ces deux valeurs extrˆemes. 1

6.1 Syst`emes dynamiques et espace de phase

171

 − 1 Au contraire pour E = E2 , au voisinage de xB2 on a dt ∝ E2 − V (x) 2 |dx| ∝ |xB2 − x|−1 |dx|, et donc xB2 apparaˆıt comme une valeur limite atteinte exponentiellement lentement.

V(x) E2

A2 (a)

E1

A1

B2 B1 x

x

courbes E= Cste

(b) x

Figure 4

 Portrait de phase (` a deux dimensions) de x¨ = g(x, x) ˙ Les remarques suivantes aident a` sa construction. a) Dans l’espace de phase param´etr´e par (x, x) ˙ l’´evolution de x (resp. x) ˙ est donn´ee par le signe de x˙ (resp. g). Il convient de rechercher les ´eventuels points fixes (ceux laiss´es invariants par l’´evolution) et d’´etudier leur stabilit´e. Par exemple pour le syst`eme 1 1 m´ecanique ci-dessus, on a mx˙ 2 + V  (x∗ ) (x − x∗ )2 = Cste pr`es de toute valeur x∗ telle 2 2 que V  (x∗ ) = 0. Si V  (x∗ ) = 0, le portrait de phase (figure 4b) est localement analogue a celui des figures 2c et 2d. ` b) La pente d’une trajectoire est : dx˙ x ¨ g(x, x) ˙ = = . dx x˙ x˙ Pour θ fix´e, cette ´equation d´efinit dans le plan (x, x) ˙ une courbe appel´ee isocline (en pointill´e sur la figure 2), le long de laquelle tous les vecteurs tangents aux diff´erentes trajectoires sont parall`eles `a une direction donn´ee de pente tg θ. Deux trajectoires ne peuvent se couper (en vertu du d´eterminisme) ; elles peuvent `a la rigueur tendre l’une vers l’autre (par exemple a` la fin de l’´evolution). tg θ =

 Autres exemples ` a deux dimensions EXEMPLE 1 : x˙ 1 = k1 x1 (1 − x2 ), x˙ 2 = −k2 x2 (1 − x1 ) avec k1 et k2 > 0 (oscillateur de Lotka-Volterra d’un syst` eme proies-pr´ edateurs). Les proies x1 ont un taux de

6 • Equations diff´erentielles ; syst`emes dynamiques

172

croissance k1 (1−x2 ) limit´e par les pr´edateurs x2 . Les pr´edateurs au contraire ont besoin de proies en nombre suffisant (x1 > 1) pour que leur taux de croissance −k2 (1 − x1 ) devienne positif. Si on choisit comme variables (x1 , x2 ) dans le plan de phase, les points O (0, 0) et A (1, 1) sont des points fixes (figure 5). Au voisinage de O les E.D. x˙ 1  k1 x1 et x˙ 2  −k2 x2 montrent que O est lin´ eairement instable : bien qu’on se rapproche de O dans la direction Ox2 (“contractante”), on s’en ´eloigne dans la direction Ox1 (“dilatante”). Au contraire le point A est “marginalement” stable (aucune direction dilatante ni contractante) ; dans son voisinage les E.D. s’´ecrivent u˙ 1  −k1 u2 et u˙ 2  k2 u1 (avec u1,2 = x1,2 − 1) et les trajectoires sont les ellipses centr´ees en A d’´equations k2 u21 + k1 u22 = Cste ; leur sens de parcours est donn´e par le signe de x˙ 1 ou x˙ 2 .

x2

1

A

O

1

x1

Figure 5 EXEMPLE 2 : x¨ = −x + F (x). ˙ Si la force F (x) ˙ est telle que F (x) ˙ = 1 si x˙ < v , F (x) ˙ = −1 si x˙ > v , −μ ≤ F (x) ˙ ≤ μ si x˙ = v , c’est l’´equation adimensionn´ee d’un oscillateur entraˆın´ e avec frottement solide (figure 6), μ ≥ 1 ´etant le rapport des coefficients de frottement statique et dynamique. 1 0 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1

1111 0000 1111111 0000000 0000 1111 0000 1111 x 0000 1111 1 0

v

Figure 6 Si x˙ = v alors x ¨ = −x ± 1 et x˙ 2 + (x ∓ 1)2 = constante. Les trajectoires sont donc des arcs de cercle centr´es en A (-1,0) si x˙ > v, et des cercles (ou arcs de cercle) centr´es en B (1,0) si x˙ < v (figure 7a). Le raccord des cercles sur la ligne x˙ = v est trivial sauf si x ∈ [−μ, μ] (entre C et D). En tout point de CD le module de la force de rappel | − x| est inf´erieur `a μ. Ceci permet `a la force de frottement solide F (x) ˙ de “s’adapter” pour avoir x˙ = v. Ce mouvement uniforme se poursuit jusqu’en D o` u l’adaptation cesse d’ˆetre possible, et la trajectoire devient l’arc DEF centr´e en B.

6.1 Syst`emes dynamiques et espace de phase

173

A partir du point F ces trajectoires se confondent avec le cycle FDEF, suite d’adh´erences au sol et d’oscillations li´ee `a l’in´egalit´e stricte μ > 1. Le cas particulier v = 0 (pas d’entraˆınement) μ = 1, est repr´esent´e sur la figure 7b ; les trajectoires s’arrˆetent sur le segment AB.

x I

(2)

F

C

x x=v

D K

B

O A

(3)

A

x

B

x

E

(1)

(a)

(b) Figure 7

EXEMPLE 3 : x¨ + ω 2 (t) x = 0 (oscillateur param´ etrique lin´ eaire ; figure 8). La T 1 + T2 avec ω(t) = pulsation ω(t) est p´eriodique (ω(t) = ω(t + T )) de p´eriode T = 4 T1 T1 2π , ω(t) = ω2 pour < t < T et T1,2 = ω1 pour 0 < t < . Pour chaque ωi 4 4 ω1,2 la quantit´e x˙ 2 + ωi2 x2 est conserv´ee. Dans le diagramme (ω0 x, x), ˙ o` u ω0 d´esigne une pulsation interm´ediaire (ω1 > ω0 > ω2 ), la trajectoire est donc une ellipse d’´equation ω2 x˙ 2 + i2 (ω0 x)2 = Cste , dont le grand axe est alternativement l’axe x˙ (si i = 1) puis ω0 ω1 T1 , l’axe ω0 x (si i = 2). Partant de A (1,0) a` t = 0, on arrive donc en A1 (0,− ) a` t = ω0 4

x

M (1,1)

B AT

O

B1

A 0

MT

x

BT A1

M1

Figure 8 ω1 , 0) au bout d’une p´eriode, etc. (spirale divergente). Partant de B (0,1) ω2 ω0 T1 ω2 , puis en BT (0, − ) au bout d’une p´eriode, a t = 0, on arrive en B1 ( , 0) a` t = ` ω1 4 ω1

puis en AT (−

6 • Equations diff´erentielles ; syst`emes dynamiques

174

etc. (spirale convergente). Si maintenant on part a` t = 0 d’un point M quelconque de −−→ −→ coordonn´ees (ω0 x(0), x(0)), ˙ ´egales `a 1 sur la figure, donc tel que OM = ω0 x(0) OA + −−→ x(0) ˙ OB, alors la lin´earit´e de l’E.D. entraˆıne qu’on arrive a` l’instant t en Mt tel que − −− → −−→ −−→ OMt = ω0 x(0) OAt + x(0) ˙ OBt , o` u At et Bt sont les positions respectives de A et B a l’instant t. Il en r´esulte que, sauf si x(0) = 0, toutes les trajectoires divergent vers ` l’infini : ceci traduit le ph´enom`ene de r´ esonance param´ etrique. EXEMPLE 4 : oscillateur de Van der Pol ; oscillations de relaxation (voir la section 6.5.2).

6.2

´ ´ EQUATIONS LINEAIRES STATIONNAIRES ; ´ MODES PROPRES ; STABILITE

Nous commen¸cons par rappeler les solutions bien connues des ´equations du premier et du second ordre. Les modes propres de toute autre ´equation se ram`enent, en g´en´eral, a` l’un de ces deux cas.

6.2.1

Equations du premier et du second ordre sans et avec second membre

 E.D.L.S. du premier ordre r´ eelle et complexe : x˙ + λx = 0

et z˙ + (λ + iω)z = 0 (z = x + iy) .

Leurs solutions s’´ecrivent : x(t) = x(0) e−λt

et z(t) = z(0) e−(λ+iω)t ;

elles correspondent respectivement, pour λ > 0, `a l’exemple le plus simple de relaxation sans oscillation vers le point d’´equilibre x = 0, et de relaxation avec oscillations (pour les variables x et y) de pulsation ω vers le point d’´equilibre x = y = 0. Dans ce deuxi`eme cas, l’´equivalence avec l’´equation habituelle d’un oscillateur amorti s’obtient en s´eparant parties r´eelle et imaginaire dans l’E.D. pour z, x˙ = −λx + ωy et y˙ = −λy − ωx, et en ´eliminant une des variables (par exemple y) : x ¨ + 2λx˙ + ω02 x = 0

o` u ω02 = ω 2 + λ2 .

Donc le plan complexe z = x + iω −1 (x˙ + λx) est une reparam´etrisation de l’espace de phase (x, x) ˙ qui rend simple le mouvement de l’oscillateur amorti.

 E.D.L.S. du second ordre (r´eelle) : x¨ + ax˙ + bx = 0 (a = 2λ et b r´eels) Rappelons qu’elle a pour solution g´en´erale (si p1 = p2 ) : x(t) = A1 ep1 t + A2 ep2 t

;

p1 , p2 solutions de p2 + ap + b = 0 .

Compte tenu de la lin´earit´e vis-`a-vis des C.I. le lecteur peut ´etablir “de tˆete” l’expression : x(t) = x(0)

p2 ep1 t − p1 ep2 t ep2 t − ep1 t + x(0) ˙ . p2 − p1 p2 − p1

6.2 Equations lin´eaires stationnaires ; modes propres ; stabilit´e

175

Dans le cas o` u p1 et p2 sont complexes conjugu´es (b > λ2 > 0 et p1 = −λ − iω = p2 ), on utilise les combinaisons lin´eaires de e−λt cos ωt et e−λt sin ωt :   sin ωt sin ωt  + x(0) ˙ e−λt (ω = b − λ2 ) . x(t) = x(0) e−λt cos ωt + λ ω ω Enfin dans le cas p1 = p2 (limite ω → 0 du cas pr´ec´edent) : ˙ t e−λt . x(t) = x(0) e−λt (1 + λt) + x(0) Connaissant x(t) on d´eduit x(t) ˙ et l’´etat x(t). Il s’´ecrit, pour p1 = p2 :       1 1 x p1 t p2 t = A1 e + A2 e = A1 (t) m1 + A2 (t) m2 . x(t) = p1 p2 x˙ Si p1 et p2 sont r´eels, le vecteur x(t) s’obtient par addition de deux vecteurs parall`eles `a m1 et m2 et d’amplitudes connues. Pour λ > 0, ces amplitudes sont d´ecroissantes et le vecteur x(t) tend a` devenir colin´eaire avec le vecteur affect´e de l’amplitude qui d´ecroit la moins vite, soit m1 si p2 < p1 < 0. La trajectoire dans l’espace de phase finit donc tangentiellement a` la droite x˙ = p1 x. Une diff´erence avec un S.D. du premier ordre est qu’il existe des C.I. telles que x(t), ou x(t), ˙ change de signe en tendant vers z´ero. Si p1 et p2 sont complexes conjugu´es, il est pr´ef´erable d’´ecrire l’´etat x(t) (r´eel), non comme la somme de deux vecteurs complexes conjugu´es, mais comme la partie r´eelle de l’un d’eux : ,    1 −λt −i(ωt+ϕ) = e z(t) m . x(t) = Ae e e −λ − iω Pour λ > 0 la trajectoire tend vers z´ero en s’enroulant autour de l’origine. Les deux portraits de phase correspondant aux cas p1 et p2 r´eels ou complexes conjugu´es sont repr´esent´es sur les figures 9 et 10. La construction des trajectoires utilise les isoclines qui sont les droites (tgθ + a)x˙ + bx = 0. 111111 000000 000000 111111 000000 111111 x 000000 111111 000000 111111 000000 111111 000000 111111 000000 111111 000000 111111 000000 111111 000000 111111 000000 111111 000000 000000111111 111111 000000 111111 x 000000 111111 000000 111111 000000 111111 000000 111111 Direction de m1 000000 111111 000000 111111 000000 111111 000000 111111 000000 111111 000000 Direction de m2 111111 000000 111111 000000 111111 000000 111111 Figure 9

x

isocline tg

=−a

isocline

=

2

x isocline

Figure 10

=0

6 • Equations diff´erentielles ; syst`emes dynamiques

176

 E.D.L.S. avec second membre Bien que non lin´eaires les ´equations x˙ + λ x = f (t) ; z˙ + (λ + iω)z = f (t) ;

x ¨ + ax˙ + bx = f (t) ,

dites “lin´eaires avec second membre”, et qui apparaissent en physique d`es qu’il y a des sources (forces en m´ecanique, g´en´erateurs en ´electricit´e, etc.), sont ´etudi´ees ici car leur r´esolution se ram`ene `a l’´etude pr´ec´edente. La solution g´ en´ erale de ces ´equations d´epend lin´eairement des C.I. et du second membre f , ce qui pour f en particulier signifie une d´ependance lin´eaire vis-`a-vis de toutes les valeurs f (s) dans l’intervalle [0, t]. Pour les ´ equations du premier ordre on v´erifie :  t x˙ + λx = f (t) =⇒ x(t) = x(0) e−λt + e−λ(t−s) f (s) ds ; 0

(z(t) est obtenu en faisant simplement les changements x → z et λ → λ + iω). En effet la d´eriv´ee de l’int´egrale I(t) ci-dessus donne deux contributions : l’une obtenue en d´erivant l’exponentielle vaut −λI(t), et l’autre en d´erivant par rapport a` la borne sup´erieure d’int´egration vaut f (t). Pour l’´ equation du second ordre, on v´erifie de la mˆeme mani`ere que : 

t

R1 (t − s) f (s) ds .

x ¨ + ax˙ + bx = f (t) =⇒ x(t) = R0 (t) x(0) + R1 (t) x(0) ˙ + 0

R0 (t) et R1 (t) sont les solutions de l’´equation sans second membre telles que R0 (0) = 1, R˙ 0 (0) = 0 et R1 (0) = 0, R˙ 1 (0) = 1. Les deux premiers termes constituent la solution de l’´equation sans second membre satisfaisant les C.I. ; l’int´egrale est la solution particuli`ere x0 (t) de l’´equation avec second membre qui satisfait x0 (0) = x˙ 0 (0) = 0. Exemple : ˙ x ¨ + ω 2 x = f (t) =⇒ x(t) = x(0) cos ωt + x(0)

sin ωt + ω

 0

t

sin ω(t − s) f (s) ds . ω

Pour l’E.D.L. du n`eme ordre x(n) + an−1 x(n−1) + · · · + a1 x˙ + a0 x = f , on peut v´erifier a titre d’exercice que sa solution s’´ecrit (mˆeme si les coefficients d´ependent du temps et ` qu’on ne peut pas la d´eterminer explicitement) : 

t

x(t) = R0 (t, t0 ) x(t0 )+R1 (t, t0 ) x(t ˙ 0 )+· · ·+Rn−1 (t, t0 ) x(n−1) (t0 )+

Rn−1 (t, s) f (s) ds , t0

o` u Rj (t, t0 ) est la solution de l’´equation sans second membre dont toutes les C.I. (prises (k) a t0 ) sont nulles sauf la d´eriv´ee d’ordre j qui vaut 1 : Rj (t0 , t0 ) = δjk (j, k = 0 · · · n−1). ` Donc l’effet du second membre f (t) dans tout intervalle [s, s + ds] est de g´en´erer une solution Rn−1 (t, s) f (s) ds de l’´equation sans second membre. Rn−1 (t, s) est la r´eponse `a une impulsion δ(t − s) (on rappelle que f (t) = f (s) δ(t − s) ds). REMARQUE. On peut aussi, pour r´esoudre ces ´equations, commencer par la recherche d’une solution particuli`ere. Une fois une telle solution x0 (t) (resp. z0 (t)) trouv´ee, il suffit de lui ajouter la solution g´ en´ erale de l’´equation sans second membre, puisqu’en effet x − x0 (resp. z − z0 ) satisfait cette ´equation.

6.2 Equations lin´eaires stationnaires ; modes propres ; stabilit´e

6.2.2

177

Cas g´ en´ eral ; modes propres ; oscillateurs coupl´ es

 Modes propres Si on a bien pris garde de ne pas ´eliminer de grandeurs, l’´equation g´en´erale pour un syst`eme lin´eaire stationnaire s’´ecrit x˙ = A x ,

     d x x 0 1 . = x˙ −b −a dt x˙ La solution est facile a` obtenir lorsque la matrice A est diagonalisable, c’est-` a-dire lorsqu’il existe une base de vecteurs propres m1 , m2 · · · mn satisfaisant  A mα = p α mα (pα valeurs propres). Sion d´ecompose α aα (t) mα , le  x(t) sur cette base, x(t) = syst`eme de d´epart s’´ecrit α a˙ α mα = α aα pα mα , et se ram`ene donc a` des E.D. du premier ordre pour chaque composante : a˙ α (t) = pα aα (t). La solution g´en´erale est (Aα constantes arbitraires) :  Aα epα t mα (A mα = pα mα ) . x(t) = o` u A est une matrice n×n ` a coefficients constants. Exemple :

α

Chaque solution particuli`ere epα t mα s’appelle un mode propre. La caract´eristique d’un mode propre est que toutes les composantes x1 (t), x2 (t) · · · xn (t) de x(t) ont le mˆeme comportement en temps, et donc ne diff`erent que par une constante multiplicative. Lorsque A est r´eelle, on distingue parmi ces modes les modes r´ eels non oscillants (p et m r´eels) et les modes oscillants (p = −(λ + iω) et m = c + is, c et s vecteurs r´eels). Dans le premier cas, les trajectoires dans l’espace de phase sont des demi droites de direction m passant par O. Dans le deuxi`eme cas, comme on l’a fait pour l’´equation du second ordre, on regroupe les modes complexes m et m associ´es aux valeurs propres p et p complexes conjugu´ees sous la forme r´eelle : ,   −λt −i(ωt+ϕ) Ae = A e−λt cos(ωt + ϕ) c + sin(ωt + ϕ) s . e m e Les trajectoires sont alors des spirales “elliptiques” dans le plan (c, s). REMARQUE. En pr´esence de “forces” ou de “g´en´erateurs” ext´erieurs, l’´equation devient : x(t) ˙ = A x(t) + F (t) .  ene aux n ´equations d´ecoupl´ees (d´ej`a La d´ecomposition F (t) = α fα (t) mα la ram` r´esolues) a˙ α (t) = pα aα (t) + fα (t) (α = 1 · · · n). La solution peut aussi se mettre sous la forme (valable mˆeme si A n’est pas diagonalisable) :  t x(t) = eAt x(0) + eA(t−s) F (s) ds . 0

EXEMPLE. R´ esonance magn´ etique nucl´ eaire (R.M.N.). L’´ equation g´en´ erale pour l’aimantation − → → − M(t) d’un milieu en pr´esence d’un champ magn´etique ext´ erieur constant B 0 et d’un champ variable → − → − B (t) (en pratique un champ tournant dans un plan perpendiculaire ` a B 0 ) est : − → − → − → − → M − M0 M⊥ dM − → − →  − → =− − + γ M ∧ B 0 + B (t) , dt τ τ⊥

6 • Equations diff´erentielles ; syst`emes dynamiques

178

− → − → − → → − o` u M  et M ⊥ d´ esignent respectivement les composantes de M (t) parall`ele et perpendiculaire ` a B 0, → − → − − → a B 0 . Pour B (t) = 0, cette ´equation vectorielle s’´ecrit et o` u M 0 est un vecteur constant parall`ele ` ⎞ ⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ 0 −λ⊥ −ω0 M1 M 1 1 d ⎝ −λ⊥ 0 ⎠ ⎝ M2 ⎠ avec λ⊥, = M 2 ⎠ = ⎝ ω0 et ω0 = −γB0 , dt M − M τ ⊥, 0 0 −λ M −M 3



0

3

0

− → l’axe 3 ´etant choisi selon B 0 (M3 ≡ M ). C’est l’´ equation d’un S.D.L. ` a trois degr´es de libert´e, qui poss`ede un mode propre r´eel correspondant ` a la relaxation sans oscillation (temps caract´eristique τ ) equilibre M0 . Les deux autres modes sont complexes conjugu´es de la composante M vers sa valeur d’´ − → et correspondent ` a la relaxation de M ⊥ vers z´ero (temps caract´eristique τ⊥ ), accompagn´ee d’une erifie z˙ = (−λ⊥ + iω0 )z. rotation ` a la vitesse angulaire ω0 (figure 11) ; en effet z = M1 + iM2 v´

M 3− M 0

M2 M1 0

0; Figure 11

→ − La pr´ esence de B (t) de composantes B1 (t) = B cos ωt et B2 (t) = B sin ωt a pour effet principal − → u le terme en d’induire le ph´enom`ene de r´esonance pour M ⊥ . Consid´erons pour simplifier le cas o` → − − → − → egligeable. L’´ evolution de M  (t) n’est alors pas modifi´ee ; par contre l’´equation pour M ⊥ ∧ B (t) est n´ − → M ⊥ , c.a.d. pour z, devient : z˙ = (−λ⊥ + iω0 ) z + iγM3 Beiωt . En r´ egime permanent, donc pour t  τ , on peut remplacer M3 (t) par sa valeur limite M0 . On obtient la solution stationnaire : z(t) = |z| eiωt

;

− 1  − → |z| = γM0 B λ2⊥ + (ω − ω0 )2 2 = |M ⊥ | .

− → → − |M ⊥ | pr´esente une r´esonance pour ω = ω0 (quantit´e alg´ebrique), c’est-` a-dire lorsque B (t) tourne dans − → le mˆeme sens et ` a la mˆ eme vitesse que M en absence de champ tournant.

 Cas des oscillateurs coupl´ es sans frottement 1 t 1 x˙ Mx˙ et xt Kx sont les formes quadratiques d´efinies positives exprimant l’´energie 2 2 cin´etique et l’´energie potentielle en fonction des ´ecarts x1 (t), x2 (t) · · · `a l’´equilibre, l’´equation du mouvement en pr´esence de forces ext´erieures a la forme g´en´erale (cf. section 4.2.2) :

Si

Mx ¨ = −K x + F

avec M et K matrices sym´etriques positives .

Par exemple pour le syst`eme de masses et de ressorts de la figure 12, les ´equations sont

6.2 Equations lin´eaires stationnaires ; modes propres ; stabilit´e

179

m¨ x1 = −2kx1 + kx2 + F1 et m¨ x2 = −2kx2 + kx1 + F2 ou :        x1 x ¨1 2k −k F1 m =− + ; −k 2k x ¨2 x2 F2

k

m

k

m

k x

F1

F2

Figure 12 le syst`eme non coupl´e est obtenu en ne gardant que la partie diagonale de K. Plutˆ ot que de passer `a des ´equations du premier ordre comme on l’a fait jusqu’` a pr´esent, il est plus simple d’introduire les solutions de M x ¨ = −K x de la forme x(t) = epα t mα . Elles doivent v´erifier p2α M mα = −K mα ,   ce qui implique que les pα sont solutions de det K+p2α M = 0. On a vu que les propri´et´es de M et K entraˆınent que les  mα forment une baser´eelle, et que les p2α sont du type 2 2 pα = −ωα . En ´ecrivant x(t) = α aα (t) mα et F = α fα (t) M mα , on obtient comme pr´ec´edemment n E.D. d´ecoupl´ees, mais du second ordre, pour les nouvelles composantes aα (t) de x(t) : a ¨α (t) = −ωα2 aα (t) + fα (t) . Donc un ensemble d’oscillateurs coupl´es x1 (t), x2 (t) · · · se ram`ene `a un ensemble d’oscillateurs ind´ependants a1 (t), a2 (t) · · · ` a condition de choisir les bons vecteurs de base, ou ce qui est ´equivalent, les bonnes combinaisons lin´eaires des xi (t). La solution g´ en´ erale pour F = 0  x(t) = Aα cos(ωα t + ϕα ) mα α

se pr´esente comme une somme de n solutions appel´ees modes propres d’oscillation de pulsations ωα (`a distinguer des modes propres introduits pr´ec´edemment qui sont en nombre double). Dans un tel mode, associ´e au vecteur mα , toutes les variables x1 (t), x2 (t) · · · oscillent en phase, ou en opposition de phase (suivant les signes relatifs des diff´erentes composantes du vecteur mα ), avec la mˆeme pulsation ωα . esonance En pr´esence de forces ext´erieures sinuso¨ıdales F (t) = F cos ωt, on observe une r´ lorsque ω est ´egal a` l’une des pulsations propres ωα . Si par exemple ω = ω1 , toutes les amplitudes aα (t) (α = 1) restent finies alors que a1 (t) tend vers l’infini, et on a par cons´equent x(t)  a1 (t) m1 : une excitation a` la pulsation propre ωα met en ´evidence le mode propre “α” correspondant. Dans l’exemple ci-dessus on a :     k 3k F1 + F2 F1 − F2 1 1 , ω12 = , ω22 = m1 = ; m2 = ; F = m1 + m2 . 1 −1 m m 2 2

6 • Equations diff´erentielles ; syst`emes dynamiques

180

Le mode 1 (resp. 2) rentre en r´esonance si ω = ω1 (resp. ω2 ), sauf si F1 = −F2 (resp. F1 = F2 ). Les bonnes combinaisons lin´eaires de x1 et x2 sont dans ce cas x1 ± x2 : m(¨ x1 + x¨2 ) = −k(x1 + x2 ) + F1 + F2 et m(¨ x1 − x ¨2 ) = −3k(x1 − x2 ) + F1 − F2 .   x1 + x2 x1 − x2 x1 = a1 et = a2 sont les composantes de x = dans la “bonne” base x2 2 2 m1 , m2 .

6.2.3

Stabilit´ e et instabilit´ e d’un syst` eme dynamique lin´ eaire stationnaire

 Conditions de stabilit´ e Un S.D.L.S. est stable si toute solution tend vers la valeur d’´equilibre x = 0. Toute solution ´etant une combinaison de modes propres, ceci implique que tous les modes (solutions dont le comportement est en epα t ) soient stables, donc que : e pα < 0 ∀α . EXEMPLE : stabilit´ e d’un S.D.L.S. ` a deux degr´ es de libert´ e. Suivant l’´ecriture des ´equations, les conditions de stabilit´e sont : E.D. du second ordre x ¨ + ax˙ + bx = 0 a>0, b>0

forme matricielle d dt

    x1 x =M 1 x2 x2

tr M < 0 , det M > 0

forme complexe z˙ = αz + βz e α < 0 , |α| > |β|

D´emonstration : dans le cas de l’E.D. du second ordre, on a p2 + ap + b = 0 donc p1 + p2 = −a et p1 p2 = b ; la condition a > 0 et b > 0 ´equivaut `a, soit p1 et p2 r´eels n´egatifs, soit p1,2 = −λ ± iω complexes conjugu´es avec une partie r´eelle n´egative. Dans le cas matriciel p1 et p2 sont les valeurs propres de M, donc p1 + p2 = tr M et p1 p2 = det M. Enfin l’E.D. complexe avec z = x1 + ix2 , α =  α1 + iα2 et β = β1  + iβ2 α1 + β1 β2 − α2 . est ´equivalente a` une E.D. matricielle pour x1 , x2 avec M = β2 + α2 α1 − β1

 Bifurcations vers l’instabilit´ e (figure 13) Quand, faisant varier un param`etre, un syst`eme stable devient instable, en g´en´eral quatre cas peuvent se produire : - soit une valeur propre p r´eelle n´egative devient positive (exemple 1) ; - soit deux valeurs propres complexes conjugu´ees −λ ± iω ont leur partie r´eelle n´egative qui devient positive (exemple 2) ; - soit un mode oscillant disparaˆıt (exemple 3) ; - soit les fr´equences initialement distinctes de deux modes oscillants deviennent ´egales (exemple 4).

6.2 Equations lin´eaires stationnaires ; modes propres ; stabilit´e


p

1

2


p

p

p


p

3

181

4


p

p

p

Figure 13 EXEMPLE 1. L’´equation x¨ + ax˙ + bx = 0 avec a > 0 voit un de ses modes non oscillants stables devenir instable (non oscillant) lorsque b passe d’une valeur positive a une valeur n´egative. ` EXEMPLE 2. La mˆeme ´equation avec b > 0 voit son mode oscillant stable devenir instable (oscillant) lorsque a (“coefficient de frottement”) passe d’une valeur positive a une valeur n´egative. ` EXEMPLE 3. L’´equation x¨ + bx = 0 voit son mode oscillant marginalement stable donner naissance a` deux modes non oscillants, dont un instable, lorsque b passe d’une valeur positive `a une valeur n´egative (passage d’un minimum `a un maximum d’´energie potentielle). ....

EXEMPLE 4. Syst` eme ` a deux modes oscillants : x + a¨ x + bx = 0. Un exemple est fourni par le syst`eme des oscillateurs coupl´es de la figure 14

Q C (A−1)R L

L

C

M

R

Figure 14 qui est r´egi par l’´equation ....

(L2 − M 2 ) Q +

2L − AM ¨ Q Q+ 2 =0 , C C

6 • Equations diff´erentielles ; syst`emes dynamiques

182

ou sous forme adimensionn´ee : ....

x+x=0 ; (1 − m2 ) x + (2 − mA)¨ M est tel que |m| < 1. Ce syst`eme est marginalement stable pour a > 0, b > 0 et L 2 a > 4b ; en effet il poss`ede deux modes oscillants car l’´equation p4 +ap2 +b = 0 a quatre racines imaginaires pures conjugu´ees deux `a deux p1 = −p1 = iω1 et p2 = −p2 = iω2 . Si, lorsque les param`etres a et b (ou A et m) varient, ω1 tend vers ω2 , c’est que dans le plan (a, b) le point repr´esentatif P se rapproche d’un point Q de la courbe d’´equation a2 = 4b (figure 15). Si cette courbe est franchie  (point R  dans le plan (a, b)), p21 et 2 2 p2 deviennent complexes, et les quatre racines ± p1 et ± p22 ont deux a` deux des parties r´eelles oppos´ees. Un des modes oscillants devient stable et l’autre instable. m=

b= 1

1−m² a² = 4b

m fixé > 0

1

a = 2b (A = 0)

Q

R

P P0 2

a = 2−mA 1−m²

Figure 15 Remarque. Cette instabilit´ e par confusion de fr´ equences ne peut se produire dans la r´ealit´e que si le syst` eme re¸coit de l’´ energie de l’ext´erieur. La condition d’instabilit´e (2 − mA)2 < 4(1 − m2 ) n’est jamais satisfaite sans amplificateur op´erationnel. Si A = 0 le syst`eme des oscillateurs coupl´es par la mutuelle M reste marginalement stable : point P dans le plan (a, b). Certes les fr´equences propres se confondent pour m = 0, mais la courbe a2 = 4b n’est jamais franchie. L’instabilit´e par confusion de fr´ equences des modes de torsion et de flexion d’ailes d’avion est possible car le couplage de ces deux modes se fait avec apport d’´energie li´e au mouvement de translation dans l’air avec frottement ; de mˆ eme l’instabilit´e a ` l’origine du rayonnement laser correspond ` a la confusion d’une fr´equence de la cavit´ e et d’une fr´equence atomique avec apport d’´energie li´e au pompage optique.

6.3

´ DIX EQUATIONS VECTORIELLES CLASSIQUES

Un certain nombre de mouvements classiques faisant partie de la culture du physicien sont bri`evement ´etudi´es ici. Certains ont d´ej`a ´et´e vu dans les sections 2.3.3 et 2.3.4.

 Mouvement uniform´ ement acc´ el´ er´ e : r¨ = a La solution

1

r(t) = r0 + v0 t + at2 o` u r(0) = r0 , r˙ (0) = v0 2 correspond `a une trajectoire parabolique d’axe parall`ele `a a et situ´ee dans le plan passant par r0 et parall`ele `a v0 et a. Une propri´et´e caract´eristique moins connue de ce mouvement

6.3 Dix ´equations vectorielles classiques de la physique

183

est la possibilit´e d’exprimer exactement la vitesse et l’acc´el´eration a` l’aide d’accroissements finis

r(t + T ) − r(t − T )

r(t + T ) + r(t − T ) − 2 r(t) , a(t) = , 2T T2

v (t) =

et donc d’avoir une construction g´eom´etrique pr´ecise de ces grandeurs : sur la figure 16a, −−→ BC −−→ et a = 2AM (T = 1). Pour des mouvements quelconques l’expression de a

vA = 2 reste souvent une bonne approximation ; elle permet de d´eduire la position r(t + T ) `a partir de r(t − T ), r(t) et a(t) ; la figure 16b fournit par exemple la r´esolution graphique

r approch´ee de r¨ = − connaissant r(0) et r(1). 4

vA

a

At

t=3

t+1 t=4

C t=5

M t−1

t=2

t=1

B t=0

(a)

(b) Figure 16

Une autre propri´et´ e utilis´ee en optique ´electronique, spectrographie de masse... est illustr´ee sur la figure 17. Si une particule p´en` etre ` a t = 0 en I dans un champ d’acc´el´ eration uniforme avec une vitesse vI ⊥ a, et le quitte en J ` a l’instant t, la relation −→ − → vJ t) = IK + 12  vJ t IJ = vI t + 12 at2 = 12 (vI t +  2 montre que la trajectoire, rectiligne ` a la sortie du champ, semble venir du milieu M du segment IK, quel que soit le module | vI | de la vitesse initiale.

M

I a

K J

Figure 17 REMARQUES 1) En pr´esence de frottement visqueux, l’´ equation devient v˙ + − τt

− τt

 v τ

= a et s’int`egre

facilement : v (t) = aτ + ( v0 − aτ ) e et  r (t) =  r0 + aτ t − ( v0 − aτ ) τ (e − 1). La trajectoire pr´ esente une asymptote parall`ele ` a a et passant par le point de rayon vecteur  r0 + v0 τ . → 2) L’´ equation de la chute libre dans le r´ ef´ erentiel local est v˙ = g − 2− ω ∧ v (cf. section 3.3.1). Elle

6 • Equations diff´erentielles ; syst`emes dynamiques

184

se r´ esoud, au premier ordre en ω, en posant  v (t) = v0 + g t dans le membre de droite. On obtient :  2 3 →  r (t) =  r + v t + 1 g t2 − − ω ∧  v t + g t . 0

→ ω ∧ g Pour  v0 = 0, la correction −−

t3 3

0

2

0

3

d´ ecrit la “d´eviation vers l’est” (due ` a la force de Coriolis).

 Mouvement harmonique : r¨ + ω 2r = 0

 k ω2 = m

Sa solution

r(t) = r0 cos ωt + v0

sin ωt o` u r(0) = r0 , r˙ (0) = v0 ω

a ´et´e ´etudi´ee `a la section 2.3.4. On v´erifie ais´ement qu’elle poss`ede neuf int´egrales premi`eres (grandeurs conserv´ees) x˙ 2 + ω 2 x2 , y˙ 2 + ω 2 y 2 , z˙ 2 + ω 2 z 2 , x˙ y˙ + ω 2 xy, x˙ z˙ + ω 2 xz, y˙ z˙ + ω 2 yz, xy˙ − y x, ˙ xz˙ − z x, ˙ et y z˙ − z y, ˙ soit cinq de plus que les quatre atten2 1 2 ˙ dues que sont l’´energie E = (m r + k r ) et les trois composantes du moment cin´etique 2 → − L = r ∧ m r˙ .

r  Mouvement de Kepler : r¨ = −α 3 r Ce mouvement ´etudi´e `a la section 2.3.3. poss`ede les int´egrales premi`eres : − → − → → −

r α 1 ; C = r ∧ r˙ ; A = r˙ ∧ C − α . “E” = r˙ 2 − 2 r r → − “E” est ici proportionnel a` l’´energie totale et C (constante des aires) au moment cin´etique. → −

r˙ → − dA r

˙r A est le vecteur de Lenz. (On v´erifie que = r¨ ∧ ( r ∧ r˙ ) − α + α 2 = 0 en utilisant dt r r

r l’´equation du mouvement pour ´ecrire le premier terme sous la forme −α 3 ∧ ( r ∧ r˙ ) = r 1 d r2

r · r˙

r˙ = r · r˙ pour ´ecrire le troisi`eme terme −α 3 r + α , et en utilisant l’identit´e rr˙ = r r 2 dt → −

r( r · r˙ ) sous la forme α ). r ´etant orthogonal `a C , la trajectoire est dans le plan passant r3 → − − → par O et perpendiculaire a` C ; A est situ´e dans ce plan. Les relations − → →2 − A · r = C − αr

et

→2 − 2− −2 → →2 − →2 C 2 ˙ = α2 + 2“E” C A = r C + α − 2α r

montrent que, avec un choix convenable de l’origine des angles, l’´equation de la trajectoire en coordonn´ees polaires s’´ecrit :  →2 − → − →2 − C |A| p 2“E” C avec p= , e= = 1+ r= . 1 + e cos θ α |α| α2 Il s’agit donc, comme on l’a d´ej`a vu, d’ellipses si e < 1 donc pour “E” < 0 (ce qui implique α > 0), de paraboles si e = 1 donc pour “E = 0” (α > 0 aussi), et de branches

6.3 Dix ´equations vectorielles classiques de la physique

185

d’hyperboles si e > 1 donc pour “E” > 0 (α quelconque). On retrouve l’angle Δ de la → − diffusion de Rutherford (cf. section 2.3.3) en ´ecrivant la conservation de A `a t = ±∞ : → − → − → − − → r1 = v2 ∧ C − αˆ r2 =⇒ ( v2 − v1 ) ∧ C = α(ˆ r2 − rˆ1 ) . A = v1 ∧ C − αˆ

 Mouvements impliquant des vecteurs tournants → − → Rappelons l’´equation satisfaite par un vecteur V (t) qui tourne a` vitesse angulaire − ω → − uniforme, et l’expression de V (t) en fonction des valeurs initiales de ses composantes → − → − → parall`ele V 0 et perpendiculaire V 0⊥ ` a− ω : → − → − d V (t) − =→ ω ∧ V (t) dt

;

− → → − → − sin ωt → → − − V (t) = V 0 + cos ωt V 0⊥ + ω ∧ V 0⊥ . ω

Les exemples physiques sont multiples. - Mouvement de pr´ ecession d’une toupie (figure 18).

n

G O

mg

Figure 18 → − → − Dans l’approximation gyroscopique, le moment cin´etique est J = IΩˆ n, o` u Ω = Ωn ˆ est −−→ le vecteur rotation de la toupie et I le moment d’inertie selon l’axe OG ; O est le point de contact, suppos´e fixe, avec le sol et G le c.d.m. On d´eduit du th´eor`eme du moment cin´etique → − dJ = ln ˆ (t) ∧ m g (l = OG) , dt → − → − → dJ − d’abord que | J | = IΩ est constant ( J · = 0), puis que l’axe de la toupie (parall`ele dt ml → an ` ˆ ) pr´ecesse `a la vitesse angulaire − ω =−

g autour de la verticale. L’approximation IΩ est valable si ω  Ω. → − - Pr´ ecession d’un moment magn´ etique

μ dans un champ magn´ etique B . ( μ = → − → − → − μ 1 d

dJ = = μ ∧ B montre γg J o` u γg est le facteur gyromagn´etique). L’´equation dt γg dt → − → − que

μ pr´ecesse autour de B ` a la vitesse angulaire ω = −γg B .

6 • Equations diff´erentielles ; syst`emes dynamiques

186

- Mouvement d’une particule charg´ ee, relativiste ou non, dans un champ  − → v 2 − 1 1 B (figure 19). La conservation de l’´energie E = γmc2 = 1 − 2 2 mc2 (ou mv 2 ), c 2 cons´equence de v · d

p = 0, implique celle du module de la quantit´e de mouvement p = γm v (ou m v ). L’´equation d

p → − d v = q v ∧ B = γm dt dt → → − q − B (ou montre que la vitesse v pr´ecesse autour de B `a la vitesse angulaire ω = − mγ → q− − B ). La trajectoire r(t) s’obtient imm´ediatement par int´egration de v (t) : m

r(t) = r0 + v0 t +

sin ωt 1 − cos ωt

v0⊥ +

ω ∧ v0⊥ . ω ω2

On voit sur cette expression que le mouvement transversal se fait sur un cercle centr´e en ω ∧ v0⊥

v0⊥ → −

r0 + et de rayon , dans le sens direct par rapport a` B si q < 0, et indirect 2 ω ω → − 2π

v0 (repr´esent´ee si q > 0. La trajectoire est une h´elice d’axe parall`ele `a B et de pas ω sur la figure pour des charges oppos´ees et des C.I. identiques).

B v0

charge q>0

v0

charge q 0 , α

(1)

β = −K 2 < 0 . α

(2)

Lorsque z → z0 , β → ∞, β(z − z0 ) → A constante (c.a.d. β(z) = A δ(z − z0 )) la matrice de transfert s’´ecrit :   1 0 . (3) M(z0+ , z0− ) = −A 1 Dans ce cas singulier, x(z) est continu mais p(z) a une discontinuit´e −Ax(z0 ) en z0 . Applications aux rayons. Le formalisme de la matrice de transfert est identique ` a celui introduit a la section 4.3.2 ; x(z) et p(z), produit de l’indice n(0, 0, z) sur l’axe par la pente du rayon, sont ` les coordonn´ees d’un rayon. Les r´esultats vus alors peuvent ˆetre repris. Par exemple la condition de conjugaison de deux plans z0 et z0 s’´ ecrit b(z0 , z0 ) = 0, et on a O  M0 = a(z0 , z0 ) OM0 o` u a(z0 , z0 ) est le grandissement (figure 21).

plans conjugués

x(z 0) M0

x(z’0) M’0 O’ z z’0

O z0 Figure 21

1 0 x2 0 1 0 1 0 1 0000 1111 0 1 0000 1111 0 1 00000 11111 00 11 0000 1111 0 1 00000 11111 0 1 00 11 0000 1111 0 1 00000 11111 0 1 00 11 0000 1111 0 1 00000 11111 0000 1111 0 1 00000 11111 0 1 M O1 O’2 M’ z 0 1 0 1 0 1 Figure 22

x1

De mˆ eme si la matrice (ses ´el´ements a, b, c, d) est connue pour les deux plans d’entr´ee O1 et de sortie O2 (dans l’air) d’un syst`eme optique, la relation de conjugaison de deux points objet M et image M  situ´ es sur l’axe (figure 22) s’´ecrit comme ` a la section 4.3.2 : aq + b q = (M O1 = q , M  O2 = q  ) . cq + d

6 • Equations diff´erentielles ; syst`emes dynamiques

190

Enfin la propri´et´ e det M(z, z0 ) = 1 ´equivaut a ` la conservation dx dp = dx0 dp0 de l’´ etendue optique d’un pinceau lumineux (produit de ses dispersions spatiale dx et angulaire dp) lors du passage d’un plan a un autre plan z. z0 `

REMARQUE. Pour des ´equations d’ordre n quelconque la notion de matrice de transfert persiste ainsi que la loi de composition mais la propri´et´e det M = 1 n’est plus vraie en g´en´eral.

6.4.2

Ondes stationnaires ; ´ etats li´ es ; quantification

Dans de nombreux probl`emes d’ondes la solution est d´etermin´ee non par les “C.I.” ψ(z0 ) dψ dψ et (z0 ) (ou p(z0 ) = α(z0 ) (z0 )), mais par deux conditions aux limites (C.L.) dz dz en deux points z1 et z2 > z1 . Ces conditions en chaque point peuvent ˆetre du type dψ (zi ) = 0 (tuyau ouvert ou corde ψ(zi ) = 0 (tuyau sonore ferm´e ou corde fix´ee en zi ), dz dψ (zi ) + μi ψ(zi ) = 0 (tuyau ou corde branch´es sur un imp´edance acoustique libre), ou dz ou m´ecanique, μi ´etant r´eel si l’imp´edance est imaginaire pure). Les C.L. en z1 et z2 entraˆınent automatiquement l’annulation d’une combinaison lin´eaire des coefficients a, b, c et d de la matrice M(z2 , z1 ). Comme les ´el´ements de la matrice de transfert d´ependent de la pulsation ω (ou de l’´energie E en quantique), les conditions aux limites ne peuvent ˆetre satisfaites, sauf exception tr`es rare, que pour des valeurs discr`etes, en nombre fini ou infini, de ω (ou E). C’est l’origine de la quantification des fr´ equences des ondes stationnaires ou des niveaux d’´ energie. EXEMPLE 1. Fr´ equences d’un tuyau sonore (milieu homog`ene : ρ et χ constants ; dψ longueur L = z2 − z1 ). On v´erifie que les C.L. ψ(z1,2 ) = 0, ou (z1,2 ) = 0, ou dz dψ (z2 ) = 0, s’´ecrivent respectivement b = 0, ou c = 0, ou d = 0. Ceci ψ(z1 ) = 0 et dz implique que M est de la forme (1). Par exemple c = 0 conduit a` sin kL = 0 et `a la √ nπ dψ = ωn χρ. Plus g´en´eralement, si (z1,2 ) = k tg ϕ1,2 ψ(z1,2 ), quantification kn = L dz le lecteur v´erifiera en proc´edant comme dans l’exemple 2 la condition de quantification kL = ϕ1 − ϕ2 (mod π). EXEMPLE 2. Etats li´ es de l’E.D. de Schr¨ odinger. Consid´erons le puits de potentiel plat tel que V (z) = V0 < 0 pour 0 < z < L et nul ailleurs, et un ´etat li´e d’´energie 2m 2 2 K < 0. On pose k02 = 2 (E − V0 ) > 0. Pour les grandeurs continues ψ et E=− 2m  dψ on a :      dz ψ(L) ψ(0) cos k0 L k0−1 sin k0 L = . dψ dψ −k0 sin k0 L cos k0 L dz (L) dz (0) dψ dψ Les conditions aux limites sont (0) = K ψ(0) et (L) = −K ψ(L), puisque ψ(z) ∝ dz dz eKz pour z ≤ 0 et ψ(z) ∝ e−Kz pour z ≥ L. La quantification de l’´energie est donn´ee par : −K =

−ko sin k0 L + K cos k0 L cos k0 L + K sinkk00 L

ou

k0 L = 2ϕ (mod π) avec tg ϕ =

K . ko

6.4 Equations diff´erentielles lin´eaires `a coefficients variables

191

Cette relation devient simple pour le puits “delta” V (z) = −

2 A δ(z), c’est-`a-dire 2m

2 A fini (A > 0). En effet la matrice de 2m transfert est de la forme (3), et la condition de quantification devient −K = K − A ; 2 A2 . elle conduit a` un seul ´etat li´e d’´energie E = − 2m 4 Remarque. Dans le cas d’une barri` ere de potentiel carr´ee de largeur L et de hauteur constante V0 > 0, la matrice de transfert est de la forme (2) :   2m K0−1 sinh K0 L cosh K0 L avec K02 = − 2 (E − V0 ) > 0 . M= K0 sinh K0 L cosh K0 L 

dans la limite |V0 | → ∞, L → 0 et |V0 |L =

6.4.3

Ondes propagatives ; r´ eflexion, transmission, adaptation d’imp´ edance

L’´etude de la r´eflexion et de la transmission d’ondes est un probl`eme avec comme condition aux limites la forme de l’onde pour z → ∞. Dans la suite on consid`ere des milieux homog`enes pour z < 0 (α(z) = α1 ) et pour z > L (α(z) = α2 ).

 R´ eflexion et transmission Consid´erons des ondes de la forme : ψ(z < 0) = A1 eik1 z + B1 e−ik1 z

et

ψ(z > L) = A2 eik2 z .

Eventuellement k2 = iK2 pour une onde ´evanescente. Supposant connue la matrice de transfert M on a :      ψ(0+ ) ψ(L− ) a b = . − + c d α dψ α dψ dz (L ) dz (0 ) La continuit´e de ψ et de α

dψ en 0 et L conduit aux deux ´equations dz

A2 eik2 L = a(A1 +B1 )+iα1 k1 b(A1 −B1 ) et iα2 k2 A2 eik2 L = c(A1 +B1 )+iα1 k1 d(A1 −B1 ) qui permettent de d´eterminer le coefficient de r´eflexion r =

B1 et le coefficient de transA1

A2 . En physique classique ces coefficients sont souvent exprim´es en fonction A1 des imp´ edances des ondes dans chaque milieu Zi ∝ ω −1 αi ki , le coefficient de proportionnalit´e ne d´ependant pas du milieu (cf. exemples section 8.1.2). mission t =

Pour L = 0 (contact de deux milieux semi infinis), la matrice de transfert est ´evidemment ´egale a` l’identit´e (a = d = 1; b = c = 0). On obtient : r=

α1 k1 − α2 k2 Z1 − Z2 = . α1 k1 + α2 k2 Z1 + Z2

Le cas L = 0 avec un milieu interm´ediaire entre 0 et L homog`ene (α(z) = α0 , 0 < z < L) est calculable, la matrice M ´etant alors de la forme (1) ou (2). Il correspond a` de nombreux exemples connus en physique classique et quantique. En physique classique un cas particulier int´eressant est celui de l’adaptation d’imp´ edance entre les milieux 1 et 2 :

6 • Equations diff´erentielles ; syst`emes dynamiques

192

il s’agit de d´eterminer le milieu interm´ediaire pour que le coefficient de r´eflexion du cˆ ot´e 1 soit nul, donc B1 = 0. On d´eduit des relations ci-dessus entre A1 , B1 et A2 la condition : iα2 k2 (a + ibα1 k1 ) = c + idα1 k1 . Comme α1 k1 = α2 k2 par hypoth`ese, et que a = d, l’´egalit´e des parties imaginaires implique a = d = 0. Ceci n’est possible que si M est de la forme (1) et a = cos k0 L avec π k0 L = (milieu interm´ediaire propagatif et de longueur L ´egale a` un quart de longueur 2 d’onde). Comme alors c = −α0 k0 = −b−1 , l’´egalit´e des parties r´eelles c = −bα1 k1 α2 k2 implique la condition sur les imp´edances Z02 = Z1 Z2 (cf. section 8.1.2). REMARQUE. Si les milieux 1 et 2 sont identiques (mais diff´erents du milieu interm´ediaire) on ´etablit de mˆeme que r = 0 si sin k0 L = 0 soit k0 L = nπ. C’est aussi la condition de transparence du puits de potentiel plat quantique.

 Bilans ´ energ´ etiques Dans l’expression Ψ(t, z) = e−iωt ψ(z) d’une onde, la partie spatiale ψ(z) est a priori complexe. Comme l’´equation d’onde est `a coefficients r´eels, ψ(z) et ψ(z) constituent deux solutions auxquelles on peut appliquer la conservation du wronskien. On en d´eduit que la quantit´e r´eelle  i d d j= ψ (αψ) − ψ (αψ) 2 dz dz ne d´epend pas de z. j est proportionnel en physique classique au flux d’´ energie (moyenn´e   dψ dψ  dans le temps) et en quantique au courant de probabilit´ ei ψ −ψ (cf. 2m dz dz section 4.4.3). Dans un milieu homog`ene (α et β constants) on obtient, pour des ondes propagatives : ψ(z) = A eikz + B e−ikz

j = α k(|A|2 − |B|2 ) ;

;

j est alors la somme alg´ebrique des flux associ´es aux deux ondes se propageant en sens oppos´es. Pour des ondes non propagatives on obtient : ψ(z) = A e−Kz + B eKz

;

j = 2 αK m (BA) ;

donc j = 0 si B = 0 (cas d’une onde ´evanescente). Le bilan ´energ´etique pour un probl`eme de r´eflexion transmission s’´ecrit : α1 k1 (1 − |r|2 ) = α2 k2 |t|2

pour k2 r´eel

ou

α1 k1 (1 − |r|2 ) = 0 pour k2 = iK2 .

|r| = 1 si dans le milieu 2 l’onde est ´evanescente.

 Matrice S Le cas o` u il n’y a qu’une seule onde A2 eik2 z pour z > L est particulier. Dans le cas g´en´ eral il y en a deux : ψ(z ≥ L) = A2 eik2 z + B2 e−ik2 z . Si la matrice de transfert est connue, on peut exprimer A2 et B1 , coefficients des ondes sortant de la r´egion [0, L], lin´ eairement en fonction de A1 et B2 , coefficients des ondes rentrant dans la r´egion [0, L]. La matrice correspondante est appel´ee matrice S :       A2 S11 S12 A1 = . B1 S21 S22 B2 Elle contient la mˆeme information sur la r´egion [0, L] que la matrice de transfert. Le bilan α1 k1 (|A1 |2 − |B1 |2 ) = α2 k2 (|A2 |2 − |B2 |2 ) montre que si les milieux 1 et 2 sont identiques, ou si on renormalise convenablement A1 , B1 et A2 , B2 , S est une matrice unitaire.

6.4 Equations diff´erentielles lin´eaires `a coefficients variables

6.4.4

193

Equations avec param` etres p´ eriodiques ; th´ eor` eme de Floquet-Bloch

 Th´ eor` eme de Floquet Quand une E.D. lin´eaire a des coefficients p´eriodiques, la solution g´ en´ erale est une somme de “modes”, chacun ´etant le produit d’une exponentielle (r´eelle ou complexe) par une fonction p´eriodique de mˆeme p´eriode que les coefficients. Lorsque la p´eriode est nulle, on retrouve le cas des coefficients constants o` u chaque “mode” est une simple exponentielle. Ce r´esultat g´en´eral se comprend bien sur l’exemple des E.D. du second ordre. Consid´erons le cas de l’oscillateur param´ etrique avec une pulsation ω(t) de p´eriode T , et notons MT sa matrice de transfert de t = nT ` a t = (n + 1)T (n = · · · − 1, 0, 1 · · · ) :     x(T ) x(0) = MT x(T ˙ ) x(0)¸ ˙

;

 a MT = c

 b . d

Si m est un vecteur propre de MT correspondant `a la valeur propre λ, et si m(t) d´esigne la solution telle que m(0) = m, alors m(T ) = λm(0). Dans l’intervalle [T, 2T ], la solution va donc reproduire celle de l’intervalle [0, T ] multipli´ee par λ, et ainsi de suite. Ceci implique t t m(t + T ) = λ m(t), d’o` u on d´eduit, en posant m(t) = λ T mper (t) = e T ln λ mper (t), que mper (t) est p´eriodique (mper (t + T ) = mper (t)). Il suffit alors de remarquer que des C.I. arbitraires peuvent s’´ecrire sous la forme de combinaisons lin´eaires des vecteurs propres de MT (en supposant qu’ils forment une base) pour comprendre le th´eor`eme.

 R´ esonance param´ etrique Si l’un des “modes” m(t) correspond `a une valeur propre de module sup´erieur `a 1, le syst`eme est instable. Comme det MT = 1, ceci se produit lorsque les deux valeurs propres λ et λ−1 sont r´eelles, c’est-`a-dire pour (a + d)2 − 4 ≥ 0 ou |Tr MT | > 2. EXEMPLE. Consid´erons un oscillateur harmonique ordinaire x ¨ + ω02 x = 0 subissant la perturbation suivante : a` chaque instant nT (n = 1, 2 · · · ) sa vitesse x(nT ˙ ) est incr´ement´ee de la quantit´e −A x(nT ) proportionnelle a` son ´elongation a` cet instant. Dans ces conditions, la matrice de transfert MT de l’oscillateur perturb´e de t = 0+ `a t = T + est le produit de la matrice de transfert de t = 0+ `a t = T − de l’oscillateur harmonique non perturb´e et de la matrice de transfert de T − `a T + qui rend compte de cette perturbation : MT

 1 0 cos ω0 T −A 1 −ω0 sin ω0 T

 =

 A Sa trace 2 cos ω0 T − sin ω0 T = ω0

4+

ω0−1 sin ω0 T cos ω0 T

 .

A2 cos (ω0 T + ϕ) est repr´esent´ee en fonction ω02

6 • Equations diff´erentielles ; syst`emes dynamiques

194

A A > 0 petit (tg ϕ =  ϕ) ; les zones d’instabilit´e sont ω0 2ω0 hachur´ees. La premi`ere instabilit´e correspond pour les perturbations a` une fr´ equence double de la fr´equence propre de l’oscillateur (ω0 T  π).

de T sur la figure 23 pour

tr M’T 2

/

3 /

0

0

0

T 2 /

0

4 /

0

−2 Figure 23

 Bandes d’´ energie dans les cristaux L’E.D. de Schr¨odinger en pr´esence d’un potentiel p´eriodique, de p´eriode L, a la mˆeme structure que l’´equation de l’oscillateur param´etrique. Le th´eor`eme de Floquet s’appelle alors th´ eor` eme de Bloch. Cependant les fonctions d’onde ψ(z) doivent rester finies pour z → ±∞. Ceci implique que les valeurs propres λ de la matrice de transfert ML sont de module 1 et donc du type e±ikL . Les facteurs exponentiels λz/L pr´esents dans les modes propres sont alors de la forme e±ikz , c’est-`a-dire des ondes planes. Cela correspond a |tr ML | = |2 cos kL| ≤ 2. On voit que a` cause de la p´eriodicit´e spatiale du potentiel, les ` niveaux d’´energie ne sont plus d´etermin´es par des ´egalit´es entraˆınant leur quantification, mais par des in´egalit´es impliquant leur regroupement par bandes d’´ energie. EXEMPLE. Pour une suite infinie p´eriodique de puits de potentiel “delta ”, s´epar´es par des r´egions de longueur L o` u le potentiel est nul, la matrice de transfert ML de 0+ ` a L+ est le produit de celle de la r´egion “homog`ene” V = 0 par celle d’un “delta” (cf. section 6.4.2) :    2 k02 1 0 cos k0 L k0−1 sin k0 L ML = pour E = >0 −A 1 −k0 sin k0 L cos k0 L 2m    2 K02 1 0 cosh K0 L K0−1 sinh K0 L pour E = − 0 la condition |tr ML | ≤ 2 conduit a` la structure en bandes correspondant aux zones non hachur´ees sur la figure 23 (zones de stabilit´e de l’oscillateur paA ram´etrique). Pour E < 0 on doit avoir |2 cosh K0 L − sinh K0 L| < 2, ce qui K0 A implique A > 0 ; l’´etat li´e du puits “delta” (K0 = ) obtenu `a la section 6.4.2. est 2 remplac´e par une bande d’´energie. Inversement, en faisant tendre L vers l’infini (pour A n’avoir qu’un seul “delta”), l’in´egalit´e pr´ec´edente donne K0 = et on retrouve l’´etat 2 li´e.

6.4 Equations diff´erentielles lin´eaires `a coefficients variables

6.4.5

195

Equations d’amplitude ; approximation adiabatique

La m´ethode de l’´equation d’amplitude s’applique a` des syst`emes dont l’´equation d’´evolution est “proche” de celle x ¨ + ω02 x = 0 d’un oscillateur harmonique non amorti (dont 1 la solution g´en´erale s’´ecrit x0 (t) = (a0 eiω0 t + a0 e−iω0 t )). Elle consiste `a consid´erer 2 que toute “petite” modification de cette ´equation se traduit sur x0 (t) par un effet de modulation (d’amplitude et de phase). La solution x(t) de l’´equation perturb´ee s’obtient en posant x(t) =

1 (a(t) eiω0 t + a(t) e−iω0 t ) 2

et en r´esolvant l’´equation obtenue pour l’amplitude complexe a(t) suppos´ee lentement variable par rapport a` e±iω0 t .

 Oscillateur param´ etrique : x¨ + 2λ x˙ + ω02 (1 + h cos γt) x = 0 Cette ´equation s’´ecrit aussi : a ¨

   1 + λa˙ + i ω0 (a˙ + λ a) eiω0 t + c.c. = − ω02 h (eiγt + e−iγt )(a eiω0 t + a e−iω0 t ) . 2 4

A priori tr`es compliqu´ee, elle se simplifie beaucoup dans le cas o` u les param`etres λ > 0 et h sont petits devant 1, car alors a(t) est une fonction lentement variable du temps. D’abord on peut n´egliger a ¨ et λ a˙ devant ω0 (a˙ + λ a) ; ensuite, en multipliant les deux membres par e−iω0 t , on peut ne conserver que les termes qui, comme a(t), sont `a variation lente. Ceci est ´equivalent a` ne retenir dans l’´equation ci-dessus que les termes dont la variation est proche de eiω0 t . On est donc amen´e `a ´eliminer le terme “complexe conjugu´e” (qui varie essentiellement comme e−iω0 t ). Quant au second membre, la seule possibilit´e, pour qu’il existe des termes variant comme eiω0 t , est que γ = 2ω0 + δω avec δω  ω0 . On obtient l’E.D. d’amplitude : 1 i ω0 (a˙ + λ a) = − ω02 h eiδωt a . 4 Pour ´etudier la r´esonance param´etrique posons a(t) = ei

δω 2 t

b(t). L’´equation

  ˙ = − λ + i δω b(t) + i ω0 h b(t) , b(t) 2 4  ω h 2 0 de la forme z˙ = α z + β z conduit a` une instabilit´e (cf. section 6.2.3) pour ≥ 4  δω 2 λ2 + ; la zone de r´esonance dans le plan (γ = 2ω0 + δω, h) est hachur´ee sur la 2 figure 24.

6 • Equations diff´erentielles ; syst`emes dynamiques

196

h

1111 0000 0000 1111 0000 1111 0000 1111 0000 1111 0000 1111

4 0

2

0

­

1111 0000 0000 1111 0000 1111 0000 1111 0000 1111

Figure 24 REMARQUE. Si la perturbation au lieu d’ˆetre harmonique comme h cos γt est seulement p´eriodique de , la condition de r´esonance γ = 2ω0 devient n γ = 2ω0 ; c’´etait le cas de l’oscillateur p´ eriode T = 2π γ soumis ` a une suite d’impulsions consid´er´ e` a la section 6.4.4.

 Oscillateur dont la pulsation varie adiabatiquement Consid´erons l’oscillateur x ¨ + ω 2 (t) x = 0 dans le cas o` u la pulsation ω(t) est une fonction lentement variable du temps (temps 2π ). Il est alors naturel caract´eristique de variation tr`es sup´erieur `a la p´eriode instantan´ee ω de poser : t t  1 x(t) = a(t) ei 0 ω(s) ds + a(t) e−i 0 ω(s) ds . 2 a   i  t ¨ + iω a˙ + aω˙ ei 0 ω(s) ds + complexe conjugu´e = 0 conduit ausL’´equation exacte 2 2 1 sitˆot `a l’´equation d’amplitude ω a˙ + ω˙ a = 0 et au r´esultat 2 E(t) ω(t) |a(t)|2 = Cste ou = Cste (invariant adiabatique), ω(t) l’´energie E d’un oscillateur ´etant proportionnelle a` ω 2 |a|2 . Donnons des exemples d’application. - Confinement magn´ etique. On a vu (cf. section 6.3) que le mouvement d’une particule charg´ee galil´ eenne dans un champ magn´etique constant est, pour sa composante transverse, assimilable ` a celui d’un → − 1 2 . Si la composante  oscillateur de pulsation qB et d’´ e nergie mv v est petite, et si B varie lentement  ⊥ m 2 d’un point de l’espace ` a l’autre, le mouvement transversal est celui d’un oscillateur de fr´equence variant v2

2 + v2 ) adiabatiquement ; la quantit´e B⊥ est donc conserv´ee. Comme de plus l’´energie totale E = 12 m(v⊥  l’est aussi, le mouvement longitudinal est limit´e ` a des r´egions o` u le champ n’est pas trop grand.

- Pression de radiation. Une onde stationnaire pouvant ˆetre assimil´ ee ` a un oscillateur, consid´erons π une corde vibrante de longueur L fix´ ee ` a ses extr´emit´es. La condition de quantification k = n entraˆıne L dω = − dL , d’o` u on d´eduit que lorsque la longueur L de la corde varie adiabatiquement : dE = − dL . ω L E L La relation dE = −F dL donne la valeur F = E de la force de radiation exerc´ e e par la corde sur son L extr´emit´e. On ´etablit de mˆeme que pour une cavit´e r´ esonnante (sonore ou electromagn´etique) cubique E de volume V = L3 , la pression de radiation P , d´ eduite de dE = −P dV , vaut P = 3V et que, pour une particule libre quantique dans une boite (E = ω = monoatomique) (cf. aussi section 9.4).

 2 k2 ), 2m

P =

2E 3V

(pression cin´ etique du gaz parfait

6.5 Oscillateurs non lin´eaires

197

REMARQUE. L’E.D. de Schr¨ odinger ` a une dimension ´etant math´ematiquement semblable ` a l’´equation de l’oscillateur, l’espace jouant le rˆ ole du temps et k(z) celui de ω(t), l’approximation adiabatique s’applique aussi en quantique lorsque la longueur caract´eristique de variation du potentiel est tr`es sup´erieure ` a la longueur d’onde locale. Une onde progressive Ψ(z) est alors de la forme :   1 E − V (z) . Ψ(z) ∝ k(z)− 2 exp i z k(z  ) dz  avec k 2 (z) = 2m 2 Cette approximation connue sous le nom d’approximation WKB s’applique aussi aux ondes classiques.

6.5

´ OSCILLATEURS NON LINEAIRES

L’´etude des syst`emes dynamiques non lin´eaires (S.D.N.L.) se justifie pour de nombreuses raisons. La premi`ere est que les lois physiques lin´eaires ne sont souvent que des approximations ; il faut donc au moins estimer les corrections non lin´eaires `a apporter aux S.D.L. Une deuxi`eme r´eside dans l’instabilit´ e de certains S.D.L. Le fait que leur solution tende vers l’infini n´ecessite de revoir les hypoth`eses ayant conduit aux ´equations d’´evolution, et d’examiner comment les non lin´earit´es modifient ´eventuellement les conclusions de l’analyse lin´eaire. Enfin certains ph´enom`enes “auto-entretenus” qui tendent asymptotiquement vers un cycle limite xlim (t) ne peuvent pas d´ecouler d’une ´evolution lin´eaire, puisque λ xlim (t) n’est ´evidemment pas solution. Un S.D.N.L. peut bien sˆ ur ˆetre abord´e num´eriquement, mais son ´etude syst´ematique en fonction des diff´erents param`etres (adimensionn´es) pr´esents dans l’´equation devient vite impossible et reste de toute fa¸con “ph´enom´enologique”. Dans l’immensit´e du domaine non lin´eaire, les aspects les plus int´eressants sont les changements qualitatifs de solution, appel´es bifurcations, lorsque l’on fait varier un param`etre. Il est remarquable que leur ´etude repose essentiellement sur une lin´earisation du probl`eme au voisinage du point de bifurcation. Dans la suite on utilisera principalement la m´ethode de l’´equation d’amplitude pour ´etudier des exemples d’oscillateurs non lin´eaires. (Cette m´ethode constitue en fait le premier ordre d’une m´ethode g´en´erale : la “mise sous forme normale” d’´equations pr`es des bifurcations.) Elle s’av`ere appropri´ee en particulier pour d´eterminer les corrections non lin´eaires lorsque les coefficients des termes non lin´eaires sont petits.

6.5.1

Oscillateurs lin´ eairement stables faiblement non lin´ eaires

Consid´erons l’´equation : x ¨ + 2λx˙ + ω02 x + αx2 + βx3 = f cos ωt

(λ > 0) .

Elle peut d´ecrire les oscillations d’un pendule simple, auquel cas x ≡ θ est l’´elongation ω2 angulaire, α = 0 et β = − 0 (si on se limite `a des valeurs de θ telles que l’approximation 6 θ3 est valable). Elle peut aussi s’appliquer `a la polarisation N qx d’un milieu sin θ = θ − 6 di´electrique, x d´ecrivant les oscillations non lin´eaires du nuage ´electronique en pr´esence qE ) ; les termes non lin´eaires sont alors dans la d’un champ ´electrique oscillant (f = m r´ealit´e “tr`es petits”. Souvent il apparaˆıt un seul terme, αx2 ou βx3 , en liaison avec l’absence ou la pr´esence de la sym´etrie x → −x du probl`eme consid´er´e.

6 • Equations diff´erentielles ; syst`emes dynamiques

198

 Methode de perturbation “na¨ıve” L’approche la plus naturelle consiste `a poser x(t) = x0 (t) + x1 (t), o` u x0 (t) est la solution de l’´equation lin´eaire avec second membre et x1 (t) une “petite” correction. En portant x(t) dans l’E.D., on obtient l’E.D. lin´earis´ee pour x1 (t) (les termes en x21 et x31 sont n´eglig´es devant ceux en x1 ) : x ¨1 + 2λx˙ 1 + ω02 x1 + (2αx0 + 3βx20 )x1 = −αx20 − βx30 . On peut mˆeme `a priori supprimer (2αx0 + 3βx20 )x1 puisque l’hypoth`ese |x1 |  |x0 | entraˆıne par exemple |αx0 x1 |  |αx20 |. Cette ´equation, avec x0 (t) = a0 cos(ωt + ϕ0 ), rend compte des effets qualitatifs suivants. 1) Optique a des termes constant et non lin´ eaire. Le terme αx20 (resp. βx30 ) conduit pour x1 (t), et donc pour x(t), ` a f 3 ). Dans l’exemple de la de pulsation 2ω proportionnels ` a f 2 (resp. de pulsation ω et 3ω proportionnels ` polarisation di´electrique, les effets associ´es sont connus sous le nom d’effet Kerr optique et de g´en´ eration de lumi`ere ` a la pulsation 2ω (resp. de d´ependance de l’indice vis-` a-vis de l’intensit´e lumineuse E 2 et de g´ en´ eration de lumi`ere ` a la pulsation 3ω). 2) Ces harmoniques 2ω, 3ω · · · induites par les termes non lin´ eaires d’une E.D. peuvent expliquer des effets de r´ esonance de l’oscillateur pour des sous multiples ω =

ω0 ω0 , 3 2

· · · de sa pulsation naturelle de r´esonance ω0 . 3) Le terme 2αx0 x1 peut, pour ω = 2ω0 ,

induire un effet de r´ esonance param´ etrique ; il n’est alors plus n´egligeable.

L’utilisation de cette m´ethode m´erite attention. Dans le cas du mouvement libre d’un pendule λ = α = f = 0, l’´equation pour x1 (t) avec x0 (t) = a0 cos ω0 t, qui s’´ecrit x ¨1 + ω02 x1 = −βa30 cos3 ω0 t = − conduit a` :

βa30 (3 cos ω0 t + cos 3ω0 t) , 4

3βa30 βa30 t sin ω0 t + cos 3ω0 t . 8ω0 32ω02 La “perturbation” en t sin ω0 t, due au terme “r´esonnant” en cos ω0 t pr´esent dans le second membre de l’´equation pour x1 , surprend puisqu’elle tend vers l’infini et viole la conservation de l’´energie. En fait elle n’a de sens que pout t petit ; x(t) se met alors sous la forme 3βa20 βa30 x(t) = a0 cos ωt + a3 cos 3ωt avec ω = ω0 + et a3 = , 8ω0 32ω02 x(t) = a0 cos ω0 t −

et on retrouve le r´esultat connu que la p´ eriode d´ epend de l’amplitude et qu’il y a des harmoniques. Une fa¸con de montrer que ce r´esultat reste correct pour t grand consiste a porter a priori x(t) = a0 cos ωt + a3 cos 3ωt dans l’´equation du pendule. En ne gardant ` que les termes dominants, de pulsation ω et 3ω, on obtient βa30 (3 cos ωt + cos 3ωt) = 0 , 4 d’o` u on d´eduit les mˆemes expressions pour a3 et ω − ω0 . (ω02 − ω 2 ) a0 cos ωt + (ω02 − 9ω 2 ) a3 cos 3ωt +

 M´ ethode de l’´ equation d’amplitude Elle permet d’´eviter le terme r´esonnant. Rappelons qu’elle consiste `a porter 1 x(t) = (a(t) eiω0 t + a(t) e−iω0 t ) 2 dans l’´equation de d´epart, et `a ne retenir que les termes `a variation proche de eiω0 t .

6.5 Oscillateurs non lin´eaires

199

En remarquant que dans αx2 il n’y a pas de tels termes, que dans βx3 seul le terme en a2 a est de ce type, et que dans f cos ωt il n’y a de contribution que si ω − ω0 = δω est petit devant ω0 , on obtient l’E.D. d’amplitude : (iω0 + λ) a˙ + iω0 λa =

1 iδωt 3 2 fe − βa a . 2 8

Si f = λ = 0 (cas du mouvement libre d’un oscillateur non amorti anharmonique) on 3 β 2 a : a˙ = i |a| a. Cette ´equation, avec l’´equation complexe conjugu´ee pour a, montre 8 ω0  3 β  |a0 |2 t . On retrouve que |a| est constant (aa ˙ + aa˙ = 0) et conduit `a a(t) = a0 exp i 8 ω0 3 β 2 |a0 | . ainsi rapidement le r´esultat ω = ω0 + 8 ω0 Si f et λ sont non nuls (´ etude de la r´ esonance non lin´ eaire pr`es de ω0 ), le r´egime permanent est obtenu en cherchant une solution sous la forme a(t) = Aeiϕ eiδωt . Tenant δω compte de  1 on obtient imm´ediatement : ω0   3 β 2 2 f2 A ) + λ2 = . A2 (δω − 8 ω0 4ω02 Les courbes A(δω) se d´eduisent par rotation de 90o du graphe de δω(A), qui lui r´esulte simplement de la superposition de la courbe bien connue associ´ee `a la r´esonance lin´eaire 3 β 2 et de la parabole A (figure 25) : 8 ω0  f2 3 β 2 δω = A ± − λ2 . 8 ω0 4ω02 A2 On notera sur la figure 25 le d´eplacement de la fr´equence de r´esonance et la constance de la valeur du maximum de l’amplitude a` la r´esonance, et sur la figure 26, la possibilit´e d’hyst´er´esis en fr´equence. (En effet quand ω augmente, l’amplitude de l’oscillateur saute de B `a C, et lorsque ω diminue, elle saute de D a` E, car on peut montrer que les points de l’arc BD de la courbe sigmo¨ıde correspondent `a des solutions instables.)

Æ =+

f² 4

² A²

²

A

résonance nonlinéaire

A

E B

0

(résonance linéaire)

Æ =3 8

¬

A²

D

0

C

Æ Figure 25

Æ Figure 26

6 • Equations diff´erentielles ; syst`emes dynamiques

200

 Cas des oscillateurs coupl´es ; instabilit´e non lin´eaire La m´ ethode ci-dessus permet aussi d’´etudier des oscillateurs d´ecrits par les ´equations adimensionn´ees x ¨1 + x1 + βx31 = γ(x2 − x1 )

,

x ¨2 + x2 + βx32 = γ(x1 − x2 ) ,

lorsque les coefficients non lin´eaire β et de couplage γ sont comparables et petits. En posant xi (t) = 1 (a (t) eit 2 i

+ ai (t) e−it ), on obtient imm´ediatement les E.D. d’amplitudes : i a˙ 1 = − 38 βa21 a1 +

γ 2

(a2 − a1 )

i a˙ 2 = − 38 βa22 a2 +

γ 2

(a1 − a2 ) .   Elles poss`edent les solutions particuli`eres (attendues) a1 (t) = a2 (t) = a0 exp i 38 β|a0 |2 t pour le mode  3  sym´ etrique, et a1 (t) = −a2 (t) = a0 exp i 8 β|a0 |2 t exp iγt pour le mode antisym´etrique. Un effet moins attendu, facilement v´erifiable exp´erimentalement avec des pendules, est l’instabilit´ e du mode ,

sym´ etrique si β < 0 et si 34 |β||a0 |2 > γ, c.a.d. si les amplitudes d’oscillation sont assez grandes. (Le   etudiera la stabilit´e de l’´ equation lin´earis´ee pour lecteur posera ai (t) = (a0 + bi (t)) exp i 38 β|a0 |2 t , et ´   ecrit iz˙ = − γ + 38 β|a0 |2 z − 38 βa20 z.) Si β > 0 c’est le mode antisym´etrique qui peut z = b1 − b2 , qui s’´ devenir instable.

6.5.2

Oscillateurs lin´ eairement instables ; exemple de Van der Pol ; bifurcations de Hopf et d’un cycle limite

L’´equation adimensionn´ee, qui se rencontre dans de nombreux domaines de physique (m´ecanique, ´electronique...) x ¨ − 2(1 − x2 )x˙ + x = f cos ωt

( > 0) ,

d´ecrit un oscillateur (de Van der Pol) dont le coefficient d’amortissement −2(1 − x2 ), n´egatif pour x petit, peut redevenir positif si l’amplitude est assez grande ; le terme non lin´eaire a donc pour effet de stabiliser le syst`eme. Sa r´esolution fournit un bon exemple d’application de la m´ethode des isoclines pour f = 0, et de la m´ethode des ´equations d’amplitudes pour f = 0 et  petit. On discutera ensuite la “g´en´ericit´e” de cet exemple.

 M´ ethode des isoclines Pour f = 0 l’´equation s’´ecrit plus simplement : y˙ + x = 0

avec

y = x˙ + F (x) et

 x3  . F (x) = −2 x − 3

Ceci sugg`ere de prendre x et y, plutˆ ot que x et x, ˙ comme coordonn´ees dans l’espace de phase. Des relations dy + x dt = 0 et y − F (x) dt = dx, on d´eduit (en ´eliminant dt)   dy l’´equation y − F (x) + x = 0 satisfaite par les trajectoires y(x), et l’´equation des dx dy isoclines ( = tg θ) : dx y = −cotg θ x + F (x) . π sont respectivement l’axe Oy (x = 0) et la cubique y = F (x) ; 2 x3 π les isoclines θ = ± sont les cubiques y = (−2 ∓ 1)x + 2 . 4 3 Les isoclines θ = 0 et θ =

6.5 Oscillateurs non lin´eaires

201

Dans le cas   1 (figure 27), le lecteur se convaincra que la forme des isoclines implique qu’une trajectoire initialement proche de O s’en ´eloigne, tandis qu’une trajectoire initialement loin de O s’en rapproche. Ceci conduit a` penser que toute trajectoire tend vers un cycle limite. On estime sa “taille” a en posant xlim (t) = a cos t, et en ´ecrivant que sur la dur´ee d’un cycle la force de frottement ne travaille pas, et donc que sa puissance moyenne < −2(1 − x2 )x˙ 2 > est nulle ; on obtient a = 2. Ce r´esultat est confirm´e ci-dessous.

y isocline =

4

=

y M

4 2

=

C

3 2

N D

x

x B

A

Figure 27

Figure 28

 x3  qui est Dans le cas   1 (sch´ematis´e sur la figure 28), c’est le terme −2 x − 3 dominant dans l’´equation des isoclines, sauf dans le voisinage imm´ediat de θ = 0, o` u c’est au contraire le terme −cotg θ x qui domine. Il en r´esulte que, `a part celles qui π correspondent `a θ  0, toutes les isoclines sont tr`es proches de l’isocline θ = . D`es 2 lors une trajectoire qui part d’un point M de Oy (o` u θ = 0) reste quasiment horizontale jusqu’` a ce qu’elle s’approche de N sur la courbe y = F (X). Elle se trouve alors “pi´eg´ee” par le r´eseau tr`es serr´e d’isoclines jusqu’en A. Entre A et B elle redevient horizontale, puis “pi´eg´ee” entre B et C, horizontale a` nouveau entre C et D, pour finalement d´ecrire ind´efiniment le cycle limite ABCDA. On peut d´eduire de cette rapide analyse du portrait de phase l’allure de la fonction x(t). Comme x˙ = y − F (x), x˙ sera petit sur les parties DA et BC du cycle et grand sur CD et AB. x(t) va donc ˆetre p´eriodique et pr´esenter des oscillations avec des phases de variations lentes puis rapides bien s´epar´ees : ce sont des oscillations de relaxation (figure 29).

x(t)

A

D

t B

C Figure 29

6 • Equations diff´erentielles ; syst`emes dynamiques

202

 M´ ethode de l’E.D. d’amplitude  1 a(t) eit + a(t) e−it dans l’´equation et on 2 conserve seulement les termes `a variation proche de eit :

Pour   1 on porte l’expression x(t) =

 |a|2  i a˙ = − f eiδωt +  a 1 − 2 4

avec

ω − 1 = δω  1 .

Pour f = 0, en posant a(t) = A(t)eiϕ(t) , on v´erifie que ϕ est constant et que A˙ =   1  1   A 1 − A2 . Comme A˙ est du signe de 1 − A2 , A(t) tend toujours vers 2 et on 4 4 ´etablit ainsi l’existence du cycle limite. Pour f = 0, toute solution stationnaire stable de la forme a(t) = a0 eiδωt , pour laquelle l’oscillateur a (comme dans le cas lin´eaire) la mˆeme pulsation 1 + δω = ω que la force, bien que sa fr´equence “naturelle” soit ´egale ` a 1, caract´erise ce qu’on appelle un accrochage de fr´ equence. On montre que cet erifie l’´equation accrochage a lieu si |f | > 4|δω|, c.a.d. si la force est assez grande. D´emonstration : |a0 |2 v´   |a |2 (δω)2 + 2 (1 − 04 )2 |a0 |2 = 14 |f |2 . Pour f petit elle admet une solution proche de |a0 |2 = 0 et aussi,  a condition que |f | > 4|δω|, deux solutions |a0 |2±  4 ± −1 |f |2 − 16(δω)2 (proches de 4). On ´etudie `  iδωt  , et en regardant si la perturbation a1 (t) tend vers z´ero. leur stabilit´e en posant a(t) = a0 + a1 (t) e    |a |2  L’´ equation lin´earis´ee a˙ 1 =  1 − 02 − i δω a1 − 14  a20 a1 conduit aux conditions de stabilit´ e (cf. section 3.2.4) |a0 |2 > 2 et 2 (1 −

|a0 |2 2 ) 2

+ (δω)2 >

1 2  |a0 |4 . 16

On v´erifie que la solution |a0 |2+ est stable.

 Bifurcation de Hopf L’oscillateur de Van der Pol donne un exemple de cycle limite, mais ne permet pas de d´ecrire comment, quand on fait varier des param`etres, un oscillateur lin´eairement stable peut bifurquer vers un tel cycle. Pr`es de la bifurcation la m´ethode de l’´equation p  −iω t (p−1)  d’amplitude, qui ne garde que les termes en eiω0 t (du type a eiω0 t ae 0 ), conduit en l’absence de forces ext´erieures `a l’´equation g´en´erale a˙ = a − (γ + iδ)|a|2 a , limit´ee ci-dessus `a l’ordre trois. (Van der Pol correspond a` γ > 0 et δ = 0, le pendule amorti a`  = −λ, γ = 0 et δ ∝ β.) De l’´equation ρ˙ = 2ρ ( − γρ) v´erifi´ee par ρ = |a|2 , on d´eduit en ´etudiant le signe de ρ˙ que, lorsque  varie, la solution a= 0 qui est stable   pour  < 0 bifurque pour  > 0 vers le cycle limite d’amplitude |a| = si γ > 0 ; −δ γ γ est la correction non lin´eaire `a la pulsation. Si γ < 0 on ne peut pas donner de r´esultat g´en´eral a` cet ordre du d´eveloppement en puissances de a.

 Bifurcations d’un cycle limite Le cycle de Van der Pol est toujours stable, mais c’est un cas particulier. Pour ´etudier de mani`ere g´en´erale la stabilit´e d’un cycle limite xlim (t) de p´eriode T dans l’espace de phase (a priori a` n dimensions), on pose x(t) = xlim (t) + x1 (t). L’´equation lin´earis´ee pour x1 (t) est `a coefficients p´eriodiques, et on est amen´e (cf. section 6.4.4.) `a ´etudier sa matrice de

6.5 Oscillateurs non lin´eaires

203

transfert MT d´efinie par x1 (T ) = MT x1 (0). Le cycle est stable si ses valeurs propres λi v´erifient |λi | < 1. Quand on fait varier des param`etres, il peut devenir instable dans les trois cas suivants (de travers´ee du cercle unit´e par les λi ; figure 30).


1

−1 O

−

Figure 30

1) Une valeur propre devient ´egale a` −1 ; la p´eriode passe brutalement de T `a 2T : doublement de p´ eriode (figure 31). 2) Une paire de valeurs propres devient ´egale a` e±iθ ; il apparaˆıt une nouvelle p´eriode T θ p 2π et x(t) devient quasi-p´ + q ; figure 32). eriodique (de fr´equences θ T T 3) Une valeur propre devient ´egale a` 1 ; il n’y pas alors de conclusion g´en´erale. x(t) peut mˆeme devenir chaotique si n ≥ 3 ; on parle alors de chaos d´ eterministe (voir ouvrages sp´ecialis´es).

x1( )

x1(t)

0

T

2T

Figure 31

3T t

0

1 T

2 T

Figure 32

3 T

Chapitre 7

Fonctions de plusieurs variables ; analyse vectorielle Les fonctions de plusieurs variables apparaissent d`es qu’on fait de la g´eom´etrie dans l’espace (par exemple pour d´ecrire en optique des surfaces d’onde et les rayons qui leurs sont orthogonaux), ou qu’on consid`ere des grandeurs (champs) d´ependant de l’espace et du temps. Les notions de gradient (de champs scalaires), de divergence ou rotationnel (de champs vectoriels), de d´eriv´ee dans une direction ou en suivant le mouvement, etc. sont des outils naturels d’analyse “locale” des champs. Ils trouvent de nombreuses applications en particulier en hydrodynamique. Cette description diff´erentielle est reli´ee par les th´eor`emes de Stokes et d’Ostrogradski `a une description int´egrale bas´ee sur les notions plus intuitives (d´ej`a vues au chapitre 3) de circulation et de flux. Cette approche “globale” plus g´en´erale (prise en compte des discontinuit´es), et moins technique, est bien adapt´ee aux bilans de grandeurs et a` une introduction a` l’´electromagn´etisme. Un exemple classique qui concerne des variables non spatio-temporelles est la thermodynamique des ´etats d’´equilibre o` u l’´etude exp´erimentale des formes diff´erentielles “chaleur” δQ et travail δW a jou´e un rˆ ole historique pour la d´ecouverte des grandeurs ´energie interne U et entropie S (premier et second principes). Mˆeme si l’approche moderne a radicalement chang´e (cf. section 1.1.4), le calcul diff´erentiel reste un outil n´ecessaire, notamment pour d´eterminer les ´etats d’´equilibre (extremum de “potentiels”) et maˆıtriser les changements entre les nombreux choix possibles de variables ind´ependantes.

7.1 7.1.1

´ CALCUL DIFFERENTIEL D´ eveloppement de Taylor ; diff´ erentielles ; variation seconde ; extremum ; E.D.P. simples

 D´ eriv´ ees partielles Une fonction de plusieurs variables f (x1 , x2 · · · ) (ou f (x)) devient une fonction d’une seule variable, x1 par exemple, lorsque les autres x2 , x3 · · · restent constantes. La d´eriv´ee ∂f correspondante (x) (ou ∂1 f (x)) mesure le “taux de variation de f (x) dans la direction ∂x1

7.1 Calcul diff´erentiel

205

“x1 ” au point x ; elle d´epend a` priori de x1 , x2 · · · xn . Par exemple :  1  − 1 ∂i xj = δij , ∂i x21 + x22 + · · · + x2n 2 = xi x21 + x22 + · · · + x2n 2 . Si ∂1 f = 0 pour tout x, f ne d´epend pas de x1 . Les op´erations de d´erivation ∂1 , ∂2 · · · ∂n sur f (x) peuvent ˆetre compos´ees (comme pour une variable). Elles ont la propri´et´e importante de commuter :   ∂ ∂ ∂2f ∂ ∂ ∂2f donc = = : ´ egalit´ e de Schwarz . ∂xi ∂xj ∂xj ∂xi ∂xi ∂xj ∂xj ∂xi On en d´eduit, en int´egrant successivement sur x1 et x2 , que la solution de l’´equation aux d´eriv´ees partielles ∂2 ∂1 f = 0 s’´ecrit : f (x) = f1 (x2 , x3 · · · xn ) + f2 (x1 , x3 · · · xn ). La commutation ci-dessus est une cons´equence de celle des op´erations de translation sur les diff´erentes variables x1 → x1 + a1 · · · xn → xn + an et du lien (d´ej`a vu a` la section 1.1.3.) entre translation et d´erivation ; par exemple :     a2 f (x1 + a1 , x2 · · · xn ) = 1 + a1 ∂1 + 1 (∂1 )2 + · · · f (x) = ea1 ∂1 f (x) . 2 Si on translate toutes les variables x → x + a, on obtient (pour des “bonnes”  fonctions) le d´ eveloppement de Taylor en puissances des ai de ea1 ∂1 · · · ean ∂n f (x) : f (x + a) = f (x) +

n  i=1

ai

n n   ∂f 1 ∂2f ai aj (x) + (x) + · · · . ∂xi 2 ∂xi ∂xj i=1 j=1

 Diff´ erentielle La diff´erentielle de f (x) est d´efinie de fa¸con formelle par : df (x) =

n  ∂f (x) dxi . ∂x i i=1

Si les dxi repr´esentent des variations “petites” des xi , la quantit´e df (x), “variation infinit´ esimale” de f (x), est l’approximation lin´eaire (ordre 1) de la variation exacte f (x + dx) − f (x). Elle  est tr`  es utile pour exprimer la d´eriv´ee par rapport a` λ de la fonction d’une variable f x(λ) obtenue lorsque les xi d´ependent d’un param`etre λ (chemin param´etr´e) :    d  ∂f  x(λ) x˙ i (λ) f x(λ) = dλ ∂xi i

avec x˙ i (λ) =

dxi (λ) . dλ

Pour un chemin γ allant de x1 = x(λ1 ) `a x2 = x(λ2 ) on en d´eduit   λ2  d  def f x(λ) dλ = f (x2 ) − f (x1 ) , df = γ λ1 dλ r´esultat ind´ependant du chemin γ (si f est bien d´efinie cf. section 7.2.2).

7 • Fonctions de plusieurs variables ; analyse vectorielle

206

 Variation seconde L’´ecart entre la variation exacte de f et sa diff´erentielle [f (x + dx) − f (x)] − df (x) est donn´e, si les dxi sont “petits”, par le deuxi`eme terme du d´eveloppement de Taylor :   1  ∂2f 1  ∂f 2 dxi . δ f= dxi dxj = d 2 i,j ∂xi ∂xj 2 i ∂xi Interpr´ etation g´ eom´ etrique (figure 1) : soient z = ψ(x, y) l’´equation d’une surface et, sur cette surface, un point fixe m0 (x0 , y0 , z0 ) et un point courant m(x, y, z) proche de m0 (x = x0 + dx, y = y0 + dy). Le d´eveloppement de z − z0 limit´e au premier terme z − z0 = (x − x0 )

∂ψ ∂ψ (x0 , y0 ) + (y − y0 ) (x0 , y0 ) ∂x ∂y

donne l’´equation (exacte) du plan tangent P `a la surface en m0 . La variation seconde   1 ∂2ψ ∂2ψ ∂ 2ψ 2 2 2 (x0 , y0 ) dx dy + (x0 , y0 ) dx + 2 (x0 , y0 ) dy δ z= 2 ∂x2 ∂x ∂y ∂y 2 repr´esente l’´ecart “vertical” du point m ` a ce plan. Si δ 2 z > 0 quel que soit m proche de m0 , la surface est situ´ee au dessus du plan tangent tandis que, si δ 2 z < 0, elle est situ´ee en dessous (surface localement concave) ; si le signe de δ 2 z n’est pas d´efini, la surface coupe en g´en´eral le plan selon deux directions obtenues en ´ecrivant δ 2 z = 0 (figure 2).

z m 2

Æz m0

m0

P

P

y x0 y0

x

x0 + dx y0 + dy

Figure 1

Figure 2

 Extremum Par d´efinition f (x) est extremum (stationnaire) en x0 si : ∂i f (x0 ) = 0

(i = 1, 2 · · · n)

ou

df = 0 en x0 .

2

Il s’agit d’un maximum si δ f < 0 et d’un minimum si δ 2 f > 0. (Pour la surface z = ψ(x, y) un extremum de ψ en m0 correspond a` un plan tangent “horizontal” en ce point.) Extremum avec contraintes. Souvent on doit chercher un extremum de f (x) lorsque les variables sont li´ees par des relations Cα (x) = 0 (α = 1, 2 · · · p < n) qui ne permettent plus d’expliciter f comme fonction de variables ind´ependantes. On montre que la solution

7.1 Calcul diff´erentiel

207

de df (x) = 0 avec Cα (x) = 0 s’obtient en introduisant p param`etres λα (multiplicateurs de Lagrange) et en r´esolvant, pour les λα et les xi , les p + n ´equations :     ∂Cα ∂f λα Cα (x) = 0 ⇐⇒ =− λα . Cα (x) = 0 et d f (x) + ∂x ∂xi i α α   V´erification : avec cette expression pour ∂i f , on a bien df = i ∂i f dxi = − α λα dCα = 0 si les contraintes sont satisfaites. (Voir applications aux sections 7.3.2 et 7.4.1,2.)

 E.D.P.

 i

ai (x) ∂i f = G(f ) et

 i

ai (f ) ∂if = 0

La r´esolution de ces ´equations aux d´eriv´ees partielles se ram`ene simplement a` celle de syst` emes En effet dans le premier cas, soient x(λ) les chemins  dynamiques.   d´efinis par x(λ) ˙ = a x(λ) et une condition initiale (C.I.) ; alors sur chacun d’eux f x(λ) ob´eit a` df = G(f ). Dans le second cas, si on se donne la valeur l’´equation diff´erentielle ordinaire dλ f (x0 ) = K de la fonction en un point, on a aussi f (x) = K sur la droite x(λ) ˙ = a(K) df passant par x0 (car sur cette droite = 0). dλ  EXEMPLE 1. E.D.P. d’Euler : xi ∂i f = nf . Sur les chemins x(λ) = eλ x0 (x˙ = i

    d ln f x(λ) = n, d’o` x), f v´erifie u f eλ x0 = enλ f (x0 ) pour tout x0 . En posant dλ k = eλ (et en changeant x0 en x) on obtient f (kx) = k n f (x) (fonction homog` ene de d n−1 degr´ e n). Inversement f (kx) = nk f (x) entraˆıne l’E.D.P. d’Euler pour k = 1.  dk    Remarque : comme ∂j f (kx) = k ∂j f (kx), ∂j f est homog`ene de degr´e n − 1, ∂j ∂k f de degr´e n − 2, etc. EXEMPLE 2. E.D.P. d’onde simple : ∂t f +c(f ) ∂x f = 0. Ici x = (t, x) et f (x, t) = K sur la droite t = λ , x = x0 + c(K) λ. Par cons´equent on obtient le graphe de f (x, t) (en fonction de x) en translatant   horizontalement chaque point M (x) du graphe de f (x, 0) de la quantit´e c f (x, 0) t. Cette E.D.P. (´etablie `a la section 7.2.4) est la plus simple qui d´ecrit une propagation sans d´eformation si la vitesse c est constante ; si c croit avec f , il y a g´en´eration d’une onde de choc (lorsque f (x, t) n’est plus d´efinie univoquement ; figure 3).

f

f(x,0)

f(x,t)

M(x)

x

x+c(f(x,0))t

Figure 3

7 • Fonctions de plusieurs variables ; analyse vectorielle

208

7.1.2

D´ eriv´ ees spatiales de champs scalaires et vectoriels

 Gradient et surfaces (figure 4)

Surfaces f = Cste

grad f u

n

Figure 4 La diff´erentielle df = ∂x f dx+∂y f dy+∂z f dz d’une fonction f ( r) s’´ecrit vectoriellement : −−→ − → df = gradf · dr

avec

−−→ ∂f ∂f ∂f gradf = x ˆ+ yˆ + zˆ . ∂x ∂y ∂z

−−→ Donc le champ de vecteurs gradf est orthogonal aux surfaces de niveau f ( r) = Cste ou df = 0 (´equipotentielles, surfaces d’onde...), et le plan tangent en r0 `a une telle surface −−→ −−→ −−→ a pour ´equation gradf ( r0 ) · ( r − r0 ) = 0. La relation gradf = gradf n ˆ d´efinit le vecteur unitaire normal a` la surface f ( r) = Cste .  −−→ EXEMPLE : f (x, y, z) = z − ψ(x, y) ; gradf = −∂x ψˆ x − ∂y ψ yˆ + zˆ = 1 + (∂x ψ)2 + 1 − → (∂y ψ)2 2 n ˆ . Une aire ´ el´ ementaire dS = dS n ˆ sur la surface z = ψ(x, y) est reli´ee `a sa projection dS n ˆ · zˆ = dx dy sur le plan (x, y) par :   2  2  2  2   ∂ψ ∂ψ 1 ∂ψ 1 ∂ψ dS = dx dy 1 + +  dx dy 1 + + ∂x ∂y 2 ∂x 2 ∂y −−→ si gradψ  1 .(Cette formule g´en´eralise l’expression d’un ´el´ement de longueur dl sur une courbe ; cf. section 5.1.1.)

 Exemples de gradients −−→ → − → − Une fonction de gradient constant gradf = A s’´ecrit f ( r) = A · r + Cste , et a pour surfaces de niveau des plans (cf. section 3.2.2). Une fonction `a sym´ etrie sph´ erique  −−→ ste  2 2 2 f (r) (surfaces de niveau r = x + y + z = C ) a pour gradient gradf = f (r) rˆ ; en −−→ 1 rˆ particulier −grad = 2 (cf. champ ´electrique cr´e´e par une charge ponctuelle en O dont r r −−→ p · r q p

(

p · r) r ). Si

p est un vecteur fixe, −grad 3 = − 3 + 3 le potentiel est donne (` a 4π0 r r r r5 μ 0 pr`es) le a (4π0 )−1 pr`es) le champ ´electrique en r cr´e´e par un dipole p en O, ou (` 4π

7.1 Calcul diff´erentiel

209

− → champ magn´etique en r cr´e´e par une petite spire de moment magn´etique p ≡ μ = i dS. Enfin,    −−→ p 1 · p 2 p2 · r) 3  (

p1 · r) (

grad = − 4 (

p1 ·

−3 p2 ) rˆ+ p1 (

p2 ·ˆ r )+ p2 (

p1 ·ˆ r )−5(

p1 ·ˆ r)(

p2 ·ˆ r ) rˆ r3 r5 r donne (` a (4π0 )−1 pr`es) la force exerc´ee par un dipole p1 en O sur un dipole p2 en r (force non colin´eaire `a r ; cf. section 7.3.1).

 D´ eriv´ ee dans une direction ; op´ erateur nabla − → Si dr =  u ˆ on a df =  (ux ∂x f + uy ∂y f + uz ∂z f ). Donc → − ∂ ∂ ∂ + uy + uz u ˆ · ∇ = ux ∂x ∂y ∂z correspond a` la d´erivation dans la direction uˆ (figure 4). On appelle nabla l’op´erateur −−→ → − ∂ ∂ ∂ − → ∇ = xˆ + yˆ + zˆ (donc ∇f = gradf ) ∂x ∂y ∂z dont le caract`ere vectoriel sera justifi´e `a la section 7.1.4.

 Op´ erateur laplacien ; solution de Δf (r) = Constante → − → − → − 2 u · ∇)(ˆ u · ∇)f ( r). Une moyenne Au second ordre : f ( r + ˆ u) = f ( r) +  (ˆ u · ∇)f ( r) + (ˆ 2 1 sur les directions (< u2i >= ; < ui uj >= 0 si i = j) conduit a` < f ( r + ˆ u) − f ( r) >= 3 2  Δf ( r) avec : 6 → − ∂2f ∂2f ∂2f ∂2 ∂2 ∂2 Δf = + + ; Δ = + + = ∇ 2 op´erateur Laplacien . ∂x2 ∂y 2 ∂z 2 ∂x2 ∂y 2 ∂z 2 Application : une fonction qui v´erifie dans un domaine l’E.D.P. de Laplace Δf = 0 (potentiel ´electrostatique, gravitationnel...) est telle que sa valeur en un point est ´egale a` sa valeur moyenne sur une petite sph`ere centr´ee en ce point ; ceci exclut tout maximum ou minimum a` l’int´erieur du domaine (donc pas d’´equilibre stable pour une particule dans un tel potentiel). Cas particuliers. Pour une fonction f (r) `a sym´ etrie sph´ erique Δf (r) = f  (r) +

2  f (r) r

(= C si f (r) = A +

et a` sym´ etrie cylindrique (r =

 x2 + y 2 ) :

Cr2 B e±ikr + , et = −k 2 f si f ∝ ), r 6 r

1  Cr2 f (r) (= C si f (r) = A + B ln r + ). r 4  REMARQUES. 1) Pour f (r = x21 + x22 + · · · + x2n ), on a :   n  x 2  xi ∂2f 1 x2i n−1  i  , ∂i 2 f = f  − 3 f . et Δf = ∂i f = f  + f 2 =f + r r r r ∂x r i i=1 Δf (r) = f  (r) +

7 • Fonctions de plusieurs variables ; analyse vectorielle

210

→ − → def − 2) Pour un champ de vecteurs A ( r) : Δ A = ΔAx x ˆ + ΔAy yˆ + ΔAz zˆ.

→ −  D´ erivations spatiales d’un champ de vecteurs A (r) Les d´eriv´ees partielles relatives aux composantes sont au nombre de neuf (∂i Aj , i, j = → − → − 1, 2, 3). Compte tenu du caract`ere vectoriel de ∇, on peut former avec A (cf. section → − 3.2.1) un champ scalaire, divergence de A , → − − → − → ∂Ax ∂Ay ∂Az div A = ∇ · A = + + , ∂x ∂y ∂z → − un champ vectoriel, rotationnel de A , → − → − → − →− rot A = ∇ ∧ A = (∂y Az − ∂z Ay ) x ˆ + (∂z Ax − ∂x Az ) yˆ + (∂x Ay − ∂y Ax ) zˆ , et aussi un champ “quadrupolaire” (cf. section 4.3.1) de composantes : 1 → − 1 (∂i Aj + ∂j Ai ) − div A δij . 2 3 → − Interpr´ etation (figures 5a,b) : on verra a` la section 7.2.3. que div A dV est le flux de → → − → − − →− A ` a travers la surface infinit´esimale qui limite le volume dV , et que le flux rot A · dS → − est la circulation de A le long du circuit infinit´esimal ferm´e fronti`ere de dS (r´esultats importants utilis´es `a la section 7.1.3).

1111111 0000000 0000000 1111111 A 0000000 1111111 0000000 1111111 0000000 1111111 dV 0000000 1111111 0000000 1111111 0000000 1111111 0000000 1111111 0000000 1111111 0000000 1111111 0000000 1111111 0000000 1111111

dS 111111 000000 000000 111111 000000 111111 000000 111111 000000 111111 000000 111111 000000 111111

(a)

A

(b) Figure 5

 Exemples de divergences et de rotationnels (Les calculs, ´el´ementaires, sont laiss´es au lecteur.) Pour un champ a` sym´ etrie sph´ erique : 2 C − → f (r) + f  (r) (= 0 si f (r) = 2 ) et rot f (r)ˆ r=0. r r x y   y x   Pour un champ a` sym´ etrie cylindrique (r = x2 + y 2 , rˆ = , , 0 et θˆ = − , , 0 ), r r r r il y a trois cas : divf (r)ˆ r=

- champ selon z :

− → divf (r) zˆ = 0 , rot f (r) zˆ = −f  (r) θˆ (= 0 si f (r) = C) ;

7.1 Calcul diff´erentiel

211

1 C − → f (r)+f  (r) (= 0 si f (r) = ) , rot f (r)ˆ r =0; r r   C 1 − → f (r)+f  (r) zˆ (= 0 si f (r) = ) . - champ orthoradial : divf (r) θˆ = 0 , rot f (r) θˆ = r r

- champ radial : divf (r) rˆ =

Autres exemples. Si

ω est un vecteur fixe (par exemple (0, 0, ω)), on a div( ω ∧ r) = 0 − → et rot (

ω ∧ r) = 2 ω ; pour le champ des vitesses d’un solide v = v0 + ω ∧ r =⇒ → − → − → − →− rot v = 2 ω ; pour un champ magn´ etique constant B = rot A le potentiel vecteur → → 1− − est A = B ∧ r (`a un gradient pr`es). De mˆeme sur l’exemple p = (0, 0, p) constant, on 2    −−→ p · r p ∧ r 1 3(

p · r) r − → p ∧ r v´erifie div = 0 et rot = − 3 p + (= −grad 3 d’o` u deux 3 3 5 r r r r r → − → rˆ − → − − →  I dl  = I dl ∧ 2 fa¸cons d’´ecrire le champ d’un dipole) ; en prenant dl  zˆ, on v´erifie : rot r r (cf. formule de Biot et Savart d´eduite du potentiel vecteur pour un ´el´ement de courant situ´e en O). → − REMARQUE de vocabulaire. On prendra garde qu’un champ tel que div A = 0 (resp. → − →− rot A = 0) n’a pas n´ecessairement des lignes de champ qui divergent (resp. tournent) (figures 6a,b). Inversement un champ dont les lignes divergent (resp. tournent) peut → − → → − rˆ → − θˆ − →− v´erifier div A = 0 (resp. rot A = 0) (cf. A = et A = en sym´etrie cylindrique ; r r figures 6c,d). y

y

A = f(x) x div A = 0

A = f(y) x

A=

rot A = 0

r r

A=

div A = 0

θ r

rot A = 0

(a)

x

(b)

x

(c)

(d)

Figures 6

 Propri´ et´ es de l’op´ erateur nabla

− → ∇ poss`ede la double propri´et´e de se comporter comme un op´ erateur de d´ erivation et comme un vecteur dans des formules telles que celles du double produit vectoriel ou du produit mixte. Cette remarque permet d’´ecrire directement de nombreuses relations concernant les gradients, divergences et rotationnels, sans avoir `a passer par les composantes. Les plus utilis´ees concernant les gradients et les divergences sont −−→ −−→ −−→ → − → − → − ∇(f g) = f ∇g + g ∇f (grad(f g) = f gradg + g gradf ) , −−→ → − − → ∇ · ∇f = Δf (= divgradf ) , −−→ − → − → − → − − → → − − → → − → → − ∇ · (f A ) = ∇f · A + f ∇ · A (div(f A ) = gradf · A + f div A ) , → − − → − → → −→ − ∇ · ( ∇ ∧ A ) = 0 (div(rot A ) = 0) , → − − → − → → − − → − → → − − → − → → − − → → −→ − − → − → − → →− ∇ · ( A ∧ B ) = B · ( ∇ ∧ A ) − A · ( ∇ ∧ B ) (div( A ∧ B ) = B · rot A − A · rot B ) ,

212

7 • Fonctions de plusieurs variables ; analyse vectorielle

et, concernant les rotationnels : −−→ → − → − → − → − → − − → −→ − → → − → − →− ∇ ∧ (f A ) = ∇f ∧ A + f ∇ ∧ A (rot (f A ) = gradf ∧ A + f rot A ) , → − − → − → −−→ ∇ ∧ ( ∇f ) = 0 (rot gradf = 0) , −−→ → − − → − → →− − → − → → − → → − → − − → −→ − ∇ ∧ ( ∇ ∧ A ) = ∇( ∇ · A ) − Δ A ( rot (rot A ) = grad (div A ) − Δ A ) , → − → − − → → − → − − →− → − → A2 + (∇ ∧ A ) ∧ A , ( A · ∇) A = ∇ 2 → − − → − → → − − →− → → − − →− → → − − →− → → − − →− → ∇ ∧ ( A ∧ B ) = ( ∇ · B ) A + ( B · ∇) A − ( ∇ · A ) B − ( A · ∇) B . → − → − → − − → → − − → ´ DEMONSTRATION (un exemple). Pour calculer ∇ ∧ ( A ∧ B ) on ´ecrit ∇ = ∇A + ∇B → − → − − → → − o` u par d´efinition ∇A n’agit que sur A et ∇B que sur B . Alors : → − − → → − − → − → → − − →− → → − − →− → → − − →− → → − ∇A ∧ ( A ∧ B ) = ( B · ∇A ) A − ( ∇A · A ) B = ( B · ∇) A − ( ∇ · A ) B . → − − → → → − − − → → − − → − → → − − →− → → − − →− → → − De mˆeme ∇B ∧ ( A ∧ B ) = ( ∇B · B ) A − ( A · ∇B ) B = ( ∇ · B ) A − ( A · ∇) B .

7.1.3

D´ eriv´ ees temporelles et applications hydrodynamiques

 D´ eriv´ ees partielle et particulaire ∂f ∂t (ou ∂t f ) d´ecrit l’´evolution de f en un point r fix´e. On peut aussi ˆetre int´eress´e, par exemple dans le cas d’un fluide en mouvement dont le champ de vitesse est v ( r, t), par ce que serait l’´evolution locale de f “en suivant le fluide” (qui se d´eplace de  v dans l’intervalle de temps ). La limite  → 0 de −1 (f ( r +  v , t + ) − f ( r, t)) ´egale a`   → − ∂ df = + v · ∇ f dt ∂t En physique les champs f ( r, t) d´ependent en g´en´eral du temps. La d´eriv´ee partielle

est la d´ eriv´ ee particulaire (ou en suivant le mouvement) not´ee aussi en abr´eg´e dt f . On → − remarquera que dt f est fonction de r et t, et que la d´efinition entraˆıne que dt = ∂t + v · ∇ → − →− − → poss`ede toutes les propri´et´es d’une d´erivation : dt (f g) = f dt g+g dt f , dt ( A · B ) = (dt A )· → − − → → − e B + A · dt B ... Noter aussi que la propri´et´e ∂t f = 0 caract´eristique de la stationnarit´ d’un champ n’implique en g´en´eral pas dt f = 0 (et r´eciproquement). EXEMPLES. Si f ( r, t) = x alors ∂x x = 1, ∂t x = ∂y x = ∂z x = 0 et dt x = vx ( r, t). Plus g´en´eralement dt r = v est le champ de vitesse et dt v = a le champ d’acc´el´eration du fluide. Si f ( r, t) = 0 est l’´equation de la surface de s´eparation (´evolutive) de deux fluides 1 et 2, le fait que, par d´efinition, un fluide ne puisse pas passer de f < 0 `a f > 0 conduit a` dt f = 0 sur la surface ; ceci entraˆıne la continuit´ e de la composante normale de la vitesse puisque : → − → − dt f = ∂t f + v1 · ∇f = ∂t f + v2 · ∇f . → − Approximation dt  ∂t . Pour des ondes sonores planes la condition “ v · ∇  ∂t ” est ω (vitesse d’oscillation du fluide tr`es inf´erieure `a la vitesse du son, ou satisfaite si v  k d´eplacement tr`es inf´erieur `a la longueur d’onde).

7.1 Calcul diff´erentiel

213

 Champ de vitesse et d´ eformations (figure 7)

B

t

v Bd

dl + Æ ( dl )

dl A

vA dt

Figure 7 −− → −− → Le vecteur AB joignant deux points entraˆın´es par le fluide varie de δ(AB) = ( vB − vA ) dt → → − − → −− → − entre les instants t et t + dt. Si A et B sont voisins (AB = dl), alors δ( dl) = dv dt ou encore :   → − → − → − 1− 1 → rot v ∧ dl + [] ˙ dl avec [] ˙ ij = (∂i vj + ∂j vi ) . δ( dl) = dt 2 2  1 ´ (∂z vx − ∂x vz ) dz − (∂x vy − DEMONSTRATION. On v´erifie pour δ(dlx ) par exemple : 2   1 2∂x vx dx + (∂x vy + ∂y vx ) dy + (∂x vz + ∂z vx ) dz = ∂x vx dx + ∂y vx dy + ∂y vx ) dy + 2 ∂z vx dz = dvx . → − La premi`ere contribution a` δ( dl) correspond a` une rotation de vitesse angulaire ω = 1− → rot v . La seconde correspond `a une d´ eformation, et entraˆıne une variation rela2 tive de volume dt tr[] ˙ = dt div v (cf. section 4.3.1). On en d´eduit que, en suivant le mouvement (cf. aussi section 7.2.3) : d 3 (d r) = div v d3 r . dt − → Un ´ecoulement est irrotationnel si rot v = 0 et incompressible si div v = 0.

 Th´ eor` emes de Bernouilli, Kelvin, Helmholtz et Lagrange Le champ des vitesses d’un fluide poss`ede des propri´et´es remarquables lorsque sa d´eriv´ee particulaire est un gradient : −−→ d v ∂ v → − = + ( v · ∇) v = −gradf dt ∂t (par exemple f =

P + gz pour un fluide incompressible dans le champ de pesanteur ; cf. ρ

section 7.2.4).

v 2 + f est constant 2 2

v + f est uniforme. le long d’une ligne de courant et, s’il est de plus irrotationnel, alors 2

- Th´ eor` eme de Bernouilli : si l’´ecoulement est stationnaire, alors

214

7 • Fonctions de plusieurs variables ; analyse vectorielle

→ − ´ DEMONSTRATION : la stationnarit´e implique dt ≡ v · ∇ ; en particulier :   v 2   v 2 → − soit dt +f =0 . −dt f = − v · ∇f = v · dt v = dt 2 2 →2 − →A − → − → − → − → v 2  − De plus (cf. ∇ ci-dessus) − ∇f = ( v · ∇) v = ( ∇ ∧ v ) ∧ v + ∇ soit, dans le cas 2 2     → v 2 − → − → v 2 − + f = 0. (Ce r´esultat s’´etend `a ∇ + f + ∂t ϕ si v = ∇ϕ n’est irrotationnel ∇ 2 2 pas stationnaire.) - Th´ eor` eme de Kelvin : la circulation de v sur un contour ferm´e emport´e par le fluide reste constante, soit  − → dt

v · dl = 0 .  −   −−→ −   2 → →  − → − →  ´ DEMONSTRATION : dt ( v · dl) = (dt  v )· dl +  v ·(dt dl) = − gradf · dl + v ·d v = d −f + v2 = 0. − → - Th´ eor` eme d’Helmholtz : les tubes de vortex (compos´es de lignes de vortex parall`eles ` a rot v = 2 ω ) sont entraˆın´ es par le fluide et conservent leur “force” (flux de  ω ` a travers une section du tube). ´ DEMONSTRATION (figure 8) : la surface d’un tube ´etant par d´efinition tangente en tout point ` a ω , le − → − → flux ω  · dS ` a travers tout ´el´ ement dS de cette surface est nul, et donc aussi la circulation de  v “autour” − → de dS. Or cette circulation se conserve dans le transport (th´eor` eme de Kelvin). Pour ´etablir le second − → − → → r´ esultat on choisit dS  ω ; ω · dS est une caract´eristique du tube car div − ω = 0 (consid´erer un volume de tube limit´e par deux sections droites).

dS 1111111 0000000 0000000 1111111 0000000 1111111 0000000 1111111

Figure 8 - Th´ eor` eme de Lagrange : un ´ ecoulement initialement irrotationel ( ω = 0 partout) reste irrotationnel. ´  DEMONSTRATION : si ω  devenait non nul quelque part, la circulation de v “autour” d’un ´el´ ement dS parall`ele ` a ω serait non nul, ce qui contredit le th´eor` eme de Kelvin. Ces th´eor` emes sont ` a la base de la physique des tourbillons (cf. ouvrages sp´ecialis´es).

7.1.4

Changements de variables ; r` egles de calcul

 D´ efinition et mise en garde Si les n variables xi sont des fonctions de p variables ind´ependantes xj , l’´egalit´e   f (x1 , x2 · · · xn ) = f x1 (x ), x2 (x ) · · · xn (x ) = g(x1 , x2 · · · xp )

7.1 Calcul diff´erentiel

215

d´efinit une nouvelle fonction g des xj diff´erente de f (mˆeme si p = n). Cependant l’habitude (fˆ acheuse) en physique est de conserver la mˆeme appellation f , car on a affaire a la mˆeme grandeur ; par exemple pour l’entropie, on d´esigne toujours par S les fonctions ` pourtant diff´erentes S(U, V ) et S(P, T ). On corrige si n´ecessaire cette ambigu¨ıt´e lors des calculs de d´eriv´ees partielles en pr´ecisant en indice les variables mises en jeu, par exemple en ´ecrivant :  ∂  ∂f f x1 (x ), x2 (x ) · · · xn (x ) = . ∂x1 ∂x1 x2 ,x3 ···xp EXEMPLE. L’´energie d’un condensateur dont la capacit´e C d´epend d’un param`etre x s’´ecrit : 1 1 Q2 (Q = C(x)V ) . E = C(x)V 2 = 2 2 C(x) ∂E 1 ∂E = C  (x)V 2 ` a ne pas confondre avec ∂x V 2 ∂x (cf. section 7.3.1.).

On a

Q

=−

1 C  (x) 2 1 Q = − C  (x)V 2 2 C 2 (x) 2

 R` egles de calcul La diff´erentielle de la nouvelle fonction et ses d´eriv´ees partielles s’obtiennent en portant  ∂xi (x ) les diff´erentielles dxi = dxj dans l’expression originale de df , et en regrou ∂x j j pant les termes en dxj : df =

 ∂f  ∂f ∂xi  ∂f dxi = dxj = dx  ∂xi ∂xi ∂xj ∂xj j i i,j j

avec

 ∂xi ∂f ∂f = ,  ∂xj ∂xj ∂xi i

d’o` u la r`egle pour les op´erations de d´erivation :  ∂xi ∂ ∂ = .  ∂xj ∂xj ∂xi i      1 2 1 1 2 ∂x − ∂t f = EXEMPLE 1. E.D.P. de propagation ∂x − 2 ∂t f = ∂x + ∂t c c c 0. Si u = x + ct et v = x − ct, alors ∂x = ∂u + ∂v et ∂t = c(∂u − ∂v ). L’´equation devient 4∂u ∂v f = 0 et a pour solution f1 (x − ct) + f2 (x + ct) (cf. section 7.1.1). → − EXEMPLE 2. Caract` ere vectoriel de ∇. Dans une rotation de θ du r´ef´erentiel xOy, on a, pour les coordonn´ees x = x cos θ − y  sin θ et y = x sin θ + y  cos θ d’o` u, pour les d´eriv´ees partielles : ∂x = cos θ ∂x + sin θ ∂y et ∂y = − sin θ ∂x + cos θ ∂y . Ces relations sont identiques a` celles qui font passer de (x, y) a` (x , y  ). Plus g´en´eralement si dx = M dx (M matrice n × p), alors ∂x = Mt ∂x (Mt transpos´ee de M). Donc ∂x a la mˆeme loi de transformation que dx si Mt = M−1 (matrice orthogonale n × n, par exemple une rotation pour n = 3).

7 • Fonctions de plusieurs variables ; analyse vectorielle

216

EXEMPLE 3. Dans une transformation de Lorentz, ct = ct cosh ϕ + x sinh ϕ et x = ct sinh ϕ + → − eralement ( 1c ∂t , − ∇) se x cosh ϕ, on v´erifie que ( 1c ∂t , ∂x ) se transforme comme (ct, −x) ; plus g´en´ transforme comme le quadrivecteur (ct,  r ). Dans une transformation de Galil´ ee : t = t et → − → − − → u : ∂t = ∂t + V · ∇ = ∂t (donc stationnarit´e ∂t = 0 d´ ependante du r´ef´ erentiel),  r = r + V t , d’o` → → − → − − → → − − → → − − def v − V ) · ∇ = dt (d´eriv´ ee particulaire invariante). ∇ = ∇, et dt = ∂t + v · ∇  = ∂t + V · ∇ + (

´ CALCUL INTEGRAL

7.2 7.2.1

Int´ egration ` a n dimensions ; jacobien ; cas des tr` es grandes dimensions

 Int´ egration et domaines d’int´ egration Rappelons que le volume dans Rn d’un “parall´ el´ epip` ede de base” P (produit des intervalles [a , b ]) est μ(P) = (b − a )(b − a ) · · · (b − a 1 1 2 2 n n ). Dans l’approche de Riemann i i l’int´egrale · · · D f (x1 , x2 · · · xn ) dx1 dx2 · · · dxn est d´efinie, a` partir du pavage de Rn avec des parall´ el´epip`edes de base Pα , comme la limite lorsque les μ(Pα ) tendent vers z´ero  de la somme α f (xα ) μ(Pα ) ´etendue aux Pα qui intersectent D (xα point de Pα ). En pratique le calcul d’une telle int´egrale se ram`ene `a une suite de calculs d’int´egrales `a une dimension (sur xi ` a xk(=i) fix´es puis sur xj ` a xk(=i et j) fix´es, etc.). Le r´esultat ne d´epend pas, lorsque l’int´egrale a un sens, de l’ordre dans lequel sont effectu´ees les int´egrations successives ; par contre les domaines des int´egrations partielles eux en d´ependent. Par exemple (figure 9) :

(x 2)

x2

(x1)

2

x1 1

Figure 9 

 D

f (x1 , x2 ) dx1 dx2 =

D1

" D(x1 )

f (x1 , x2 ) dx2 dx1 = 

mˆeme si f (x1 , x2 ) = f1 (x1 )f2 (x2 ), le r´esultat n’est pas

"



#

D1

D2

D(x2 )

# f (x1 , x2 ) dx1 dx2 ;

  f1 (x1 ) dx1 ×

D2

 f2 (x2 ) dx2

(sauf si D = D1 × D2 ). Heureusement le domaine D et la fonction f poss`edent souvent

7.2 Calcul int´egral

217

des propri´et´es de sym´etrie et, par un choix judicieux de nouvelles variables d’int´egration, on peut se ramener a` un domaine simple (parall´el´epip`ede de base) ; reste `a savoir r´ecrire une int´egrale lorsqu’on fait un changement de variables.

 Changements de variables x(x ) Le pavage avec des parall´el´epip`edes infinit´esimaux de base pour les coordonn´ees x correspond, pour les coordonn´ees x, a` un pavage dont les parall´el´epip`edes ne sont pas de base (figures 10 et 11).

y

x’2 = x 1+ x 2

x2

r

d dr

1111 0000 0000 1111 0000 1111 rd 0000 1111 0000 1111 0000 1111 0000 dr 1111

O

x

1111 0000 0000 1111 ’ 0000 1111 0000 1111

O

r

O

Figure 10

111 000 000 111 000 111 000 111 000 111 000 111 000 111 000 111 000 111 000 111 000 111 000 111

111 000 000 111 000 111 ’ 000 111 000 111 000 111

x1

O

x’1 = x 1

Figure 11

∂xi dx des xi et donc, A chaque variation dxj (j fix´e) correspondent les variations ∂xj j    ∂xi  dans l’espace x, un d´eplacement δj x = dx eˆi qui n’est pas parall`ele `a un ∂xj j i vecteur de base eˆk de cet espace. Le volume (alg´ebrique) du parall´el´epip`ede construit sur les vecteurs δj x vaut (cf. section 4.1.3) J(x, x ) dx1 dx2 · · · dxn , o` u J(x, x ) est le ∂xi d´eterminant (jacobien) de la matrice (de Jacobi) d’´el´ements . Avec ce nouveau ∂xj pavage :       ··· f (x) dx1 dx2 · · · dxn = ··· f x(x ) |J(x, x )| dx1 dx2 · · · dxn , D

D

o` u D est le domaine (en x ) associ´e `a D (en x). REMARQUE : si J(x , x) est plus facile `a calculer que J(x, x ), on utilise J(x, x ) = −1 [J(x , x)] . EXEMPLE  1. 1 J = det −1

x1= x1 et x2 = ax2 − x1 ; alors δ1 x = dx1 (ˆ e1 − eˆ2 ) et δ2 x = a dx2 eˆ2 ; 0 = a. a

EXEMPLE 2. Si x = r et si les δj r forment un tri`edre orthonormal direct, le volume infinit´esimal est le produit des |δj r|, ´egal par exemple a` (dr) (r dθ) (r sin θ dϕ) en coordonn´ees sph´eriques. Exemple 3. Le potentiel rayonn´e par une distribution de charge quasi-ponctuelle (de charge totale q) suivant une trajectoire  s(t) (parcourue ` a la vitesse  v (t) = s˙ (t)) s’´ ecrit (cf. section 7.5.2) :

7 • Fonctions de plusieurs variables ; analyse vectorielle

218

V ( r0 , t0 ) =

1 4π0







ρ  r− s t0 −

| r− r0 | c

 d3 r .

| r− r0 |

Bien que le domaine d’int´egration soit concentr´e sur la charge et se limite donc au seul point ∗

a l’instant retard´e d´ efini par t∗ = t0 − |s(t c)−r0 | , le r´ esultat n’est s∗ = s(t∗ ), position de la charge ` →∗ − q r0 − s∗ = R∗ u ˆ∗ ) mais : pas V ( r0 , t0 ) = 4π R∗ (avec R =  0    v (t∗ )·u ˆ ∗ −1 (potentiel de Lienart-Wiechert) . V ( r0 , t0 ) = 4πq R∗ 1 − c 0  | r − r0 |  La raison est que le jacobien qui correspond au changement de variable  r =  est r − s t0 − c v u r ) = det δij − ic j = 1− vc·uˆ . On retrouve ce r´esultat plus rapidement en ´ecrivant : (petit calcul) J( r ,   ρ(r−s(t))  | r − r0 | 1 V ( r0 , t0 ) = 4π d3 r dt . δ t − t0 + | r− r0 | c 0  | s(t)− r0 |  q |s(t) −  r0 |−1 δ t − t0 + dt et celle sur t, avec L’int´ egration sur  r donne V ( r0 , t0 ) = 4π c le changement de variable t = t − t0 +

0

| s(t)− r0 | , c

conduit au r´esultat (car

dt dt

=1−

 v ·u ˆ ). c

 Volumes ` a tr` es grand nombre de dimensions L’intuition des petites dimensions est trompeuse lorsque n devient grand. Exemples : le  volume d’un domaine Dn,α (R) d´efini par ni=1 |xi |α < Rα (sph`ere “pleine” si α = 2) devient concentr´e sur sa surface et la loi de r´epartition d’une coordonn´ee devient “piqu´ √ ee” en 0 ; le “rayon” typique d’un cube de cˆ ot´e a (volume an ) est proportionnel `a a n. DEMONSTRATION. Le volume de Dn,α (R) s’´ecrit dimensionnellement Vn,α (R) = Rn Vn,α , δR Vn,α (R − δR) = 10−6 ) = d’o` u pour n grand (cf. section 1.1.4 : n = 1014 et R Vn,α (R)  n   δR δR δR 1−  0 (au lieu de 1 − n  1 pour n petit). Si on fixe par  exp −n R R R n exemple x1 , le nouveau domaine d´efini par i=2 |xi |α < Rα − |x1 |α a un volume propor  α n−1 |x n 1| n−1 α α α . , qui se comporte pour n grand comme R exp − tionnel a` (R − |x1 | ) α Rα Si toutes les positions `a l’int´erieur de Dn,α (R) sont suppos´ees ´equiprobables, cette quantit´e est proportionnelle (cf. section 10.1.2) a` la densit´e de probabilit´e Pn,α (x1 ) de x1 n  a2 (figure 12). Pour le cube centr´e en O : R2 =< x2i >= n 12 i=1

Pn,2 (x 1) n=1 n=2 n grand

largeur R n

R x1

−R Figure 12

REMARQUE. Le calcul de Vn,α (volume pour R = 1) peut se faire en ´ecrivant   . α α ∞ 1= n e−A|xi | dxi = 0∞ e−Ar n Vn,α r n−1 dr . i=1 −∞

7.2 Calcul int´egral

219

A = 2 si α = 1 et A = π si α = 2. A l’aide de la m´ethode de d´ erivation par rapport ` a un param`etre n p 2p+1 . Pour d´ ecrite ` a la section 5.1.3., on obtient exactement Vn,1 = 2n! , V2p,2 = πp! et V2p+1,2 = π p (2p+1)!! 1

α quelconque et n grand, le changement de variable r = n α u donne le comportement dominant n

Vn,α (R) ∼ Rn n− α (au lieu de Rn pour un cube de cˆ ot´e R). Le calcul de l’int´egrale restante, dans l’approximation de la m´ ethode du col, ne donne que des facteurs “sous dominants” du type exp(Cste n). EXEMPLE (cf. section 1.1.4). En physique de tels volumes interviennent dans l’espace de phase en  2i   1 p physique statistique ; par exemple la r´egion U − δU ≤ N ri2 ≤ U ` a 6N dimensions pour i=1 2 m + K  U 3N , et la densit´e de probabilit´e P6N,2 (xi ou pi,x ) N oscillateurs (α = 2) a un volume d’ordre N n’est autre que la loi de Boltzmann (r´ eflexion laiss´ee au lecteur).

7.2.2

Formes diff´ erentielles ; formules de Stokes et Ostrogradski

 Forme diff´ erentielle  C’est une expression i Ai (x) dxi qui sert a` d´efinir des int´egrales curvilignes le long de chemins γ param´etr´es :   γ

def



λ2

Ai (x) dxi =

λ1

i

 i

  dxi dλ . Ai x(λ) dλ

 Si le chemin est ferm´e (x(λ1 ) = x(λ2 )) l’int´egrale curviligne est not´ee γ . La diff´erentielle d’une fonction f est un cas particulier pour lequel :   ∂f ∂Ai ∂Aj Ai (x) = (x) (1) d’o` u = (2) et Ai (x) dxi = 0 (3) . ∂xi ∂xj ∂xi γ i Inversement si (3) est v´erifi´ee pour tout chemin γ ferm´e dans un domaine D, la forme  erentielle (unique a` une constante additive i Ai (x) dxi est bien la diff´ x d’une fonction pr`es). Elle est d´efinie par f (x) = x Ai (x ) dxi + f (x0 ), car alors l’int´egrale de x0 `a i 0 x ne d´epend pas du chemin suivi (figure 13).

x

x0 Figure 13 On va voir, sur les cas particuliers n = 2 et n = 3, que (2) implique aussi (1) sous la r´eserve importante que, dans D, tout chemin ferm´e peut ˆetre r´eduit continˆ ument a` un point.

7 • Fonctions de plusieurs variables ; analyse vectorielle

220

 Formule de Stokes (ou Green) dans le plan y

1111 0000 0000 1111 + + 0000 1111 000 111 − 000 111 000 111 000 111 0000 1111 + + 0000 1111

+

(a)

−

(b)

+ (c) −

(d)

(e)

x Figure 14 Dans le cas simple d’un chemin ferm´e ne se coupant pas, limitant une surface S et parcouru soit dans le sens direct (figure 14a) soit dans le sens indirect (figure 14b), on a   (Ax dx + Ay dy) = (∂x Ay − ∂y Ax ) dS avec dS = ±dx dy γ

S

(signe + pour le sens direct et − pour le sens indirect). ´ DEMONSTRATION : pour un rectangle “direct” (figure 15a) la circulation vaut exactement  x2  y2     Ax (x, y1 ) − Ax (x, y2 ) dx + Ay (x2 , y) − Ax (x1 , y) dy = x1 y1  x2  y2   −∂y Ax + ∂x Ay dx dy . x1

y

y1

­

y

2

­*

y1 x1

(a)

x2

x (b)

Figure 15 Pour ´etendre ce r´esultat au chemin “direct” γ de la figure 15b, il suffit de paver le plan avec des rectangles arbitrairement petits permettant d’approcher γ par un chemin en escalier γ ∗ . La somme des circulations sur les rectangles est ´egale a` celle sur γ ∗ , qui dans la limite tend vers celle sur γ. La g´en´eralisation de ce r´esultat `a un circuit ferm´e

7.2 Calcul int´egral

221

γ quelconque (figures 14c,d,e) s’obtient en remarquant qu’il est la r´eunion de circuits ferm´es simples, et en ajoutant leurs contributions. → − REMARQUE (figure 16). La d´emonstration demande que A et ses d´eriv´ees soient d´efinies → − a l’int´erieur de γ. Un contre exemple connu est celui du champ B cr´e´e par un fil infini `  − → → − (selon z) parcouru par un courant I, pour lequel ∂x By −∂y Bx = 0 mais γ B · dl = μ0 I si → − γ entoure le fil ; B n’´etant pas d´efini sur le fil, γ ne peut ˆetre r´eduit a` un point. Un autre est l’´ecoulement irrotationnel d’un fluide autour d’une aile d’avion (cf. section 8.3.3).

­

y

­

y

x dy

−y dx

B I

00000000000 0 1 dy11111111111 00000000000 11111111111 0 1 1 0 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1

x

dx

Figure 16

x

Figure 17

EXEMPLE (figure 17). L’aire alg´ ebrique associ´ee `a une courbe ferm´ee orient´ee γ (cf. section 2.2.1) est :    1 S= x dy = −y dx = (x dy − y dx) . 2 γ γ γ  Si x = V (volume) et y = P (pression), γ −P dV est le travail re¸cu au cours d’un cycle (positif si le cycle est direct).

 Formule de Stokes ` a trois dimensions (figure 18) z

M1

­1 ­2

M2

S

­ y

x

1111 0000 (S) 0000 xy 1111 0000 1111

(x,y,0)

Figure 18 Soit γ une courbe ferm´ee orient´ee et S une surface ayant γ pour fronti`ere. On suppose de plus que S est une surface orientable, c.a.d. que pour tout point r de S tout circuit ´el´ementaire γr entourant ce point poss`ede une orientation qui peut ˆetre d´efinie de mani`ere

7 • Fonctions de plusieurs variables ; analyse vectorielle

222

unique “par continuit´e” `a partir de celle de γ ; (ceci n’est pas toujours possible ; par exemple, en un tour sur la bande de M¨obius, γ est chang´e en −γ ; figure 19).

­

Figure 19 On a alors :   (Ax dx + Ay dy + Az dz) = γ

 + Dzx (S)

Dyz (S)

(∂y Az − ∂z Ay ) dSx 

(∂z Ax − ∂x Az ) dSy +

Dxy (S)

(∂x Ay − ∂y Ax ) dSz .

Les domaines d’int´egration des int´egrales doubles sont les projections de S sur les plans orient´ es (y, z), (z, x) et (x, y), et le choix de signe dSx = ±dy dz, dSy = ±dz dx et dSz = ±dx dy en un point r d´epend du caract`ere direct ou indirect de la projection de γr sur ces plans. ´ DEMONSTRATION. Le r´ esultat est ´evident si γ suit les cˆ ot´es d’un parall´el´ epip`ede de base (figure 20).

­ z

­2

­1

−

= + y x dSx = dy dz

­

+ 3

dS y = −dx dz

­ ou

3

+ − ­

+ ­1

2

dSz = dx dy

Figure 20 







En effet on a γ = γ + γ + γ o` u les γi sont les projections de γ sur les plans (y, z), (z, x) et (x, y) et 1 2 3 a deux dimensions (puisque la troisi`eme variable est ` chaque γi on peut appliquer la formule de Stokes ` a fix´ ee). On ´etend ce r´esultat par un pavage de l’espace permettant d’approcher la surface S (figure 18) par une surface “en escaliers” S ∗ constitu´ee par un ensemble de rectangles arbitrairement petits parall`eles aux plans de base (l’orientabilit´e assurant que les circulations sur ces rectangles se compensent, sauf sur γ). Pour les rectangles parall`eles au plan de base (x, y), par exemple, la somme des circulations donne en´ eral plusieurs points M de S de coordonn´ees (x, y) ; pour chacun on calcule l’int´egrale sur Sz . Il y a en g´ ∂x Ay − ∂y Ax et dSz = ±dx dy suivant l’orientation de la projection de γr sur le plan (x, y).

REMARQUE : aucune structure m´etrique n’a ´et´e utilis´ee dans la d´emonstration. Cependant lorsqu’elle existe (cas de l’espace usuel), le choix dSz = ±dx dy correspond − → − → simplement au signe du produit scalaire dS · zˆ avec dS = dS n ˆ , le sens de n ˆ ´etant d´eduit de  − → − → → − → − →− l’orientation de γr par la r` egle du tire-bouchon. On a alors γ A · dr = S rot A · dS.

7.2 Calcul int´egral

223

 Formule d’Ostrogradski (espace `a trois dimensions) Pour un volume V limit´e par une surface S ferm´ee, orient´ ee vers l’ext´ erieur du volume, on a :     ∂Ay ∂Az ∂Ax dx dy dz . (Ax dSx + Ay dSy + Az dSz ) = + + ∂x ∂y ∂z S V ´ DEMONSTRATION. Pour la figure 21, et les orientations choisies le parall´el´epip`ede de x y pour ses faces, on ´ecrit : (∂z Az ) dx dy dz = x12 y12 [Az (x, y, z2 ) − Az (x, y, z1 )] dx dy = eme (∂x (ou y) Ax (ou y) dx dy dz = S Ax (ou y) (x, y, z) dSx (ou y) . S Az (x, y, z) dSz ; de mˆ Le r´esultat g´en´eral s’obtient par un pavage de l’espace par des parall´el´epip`edes arbitrairement petits.

z2 z1 y1 x1 x2

y2 11111 00000 00000 11111 00000 11111 00000 11111 Figure 21

Figure 22

REMARQUE : il existe des surfaces ferm´ees (non orientables) qui ne limitent pas de volume (bouteille de Klein ; figure 22). −−→ → − − → →−  Expressions de gradf , div A , rot A et Δf en coordonn´ ees curvilignes Ces formules, d’une utilit´e limit´ ee puisque le cas de champs sym´etriques a d´ej` a´ et´ e trait´ e a ` la section 7.2.1, sont plus faciles ` a obtenir en consid´erant plus g´en´ eralement un syst`eme de coordonn´ees curvilignes ∂ r (x1 , x2 , x3 ) = (x, y, z) tel que les vecteurs eˆ1 , eˆ2 et eˆ3 d´ efinis par ∂x = ei eˆi forment une base orthoi norm´ee directe. Dans cette base, on a (en tout point  r) : − → → − A = A1 eˆ1 + A2 eˆ2 + A3 eˆ3 , dr = e1 dx1 eˆ1 + e2 dx2 eˆ2 + e3 dx3 eˆ3 , − → d3 r = e1 e2 e3 dx1 dx2 dx3 . dS = e2 e3 dx2 dx3 eˆ1 + e3 e1 dx3 dx1 eˆ2 + e1 e2 dx1 dx2 eˆ3 Alors des formules  −−→ − → df = i ∂i f dxi = gradf · dr ,  −  − → → → − → − →− A · dr = (A1 e1 dx1 + · · · ) = ((∂2 (e3 A3 ) − ∂3 (e2 A2 )) dx2 dx3 + · · · ) = rot A · dS (cf. Stokes) , − → − → − →  A · dS =  (A1 e2 e3 dx2 dx3 + · · · ) = (∂1 (e2 e3 A1 ) + · · · ) dx1 dx2 dx3 = div A d3 r −−→ (cf. Ostrogradski), et enfin de Δf = div (gradf ), on d´eduit respectivement les expressions −−→ ∂f ∂f ∂f eˆ1 + e1 ∂x eˆ2 + e1 ∂x eˆ3 , gradf = e1 ∂x 1 1 2 2 3 3   → − →− 1 ∂ ∂ rot A = e e ∂x (e3 A3 ) − ∂x (e2 A2 ) eˆ1 + permutation circulaire , 2 3 2 3   → − ∂ ∂ ∂ (e e A , div A = e e1 e 2 3 1 ) + ∂x (e3 e1 A2 ) + ∂x (e1 e2 A3 ) ∂x 1 2 3

1

2

3

7 • Fonctions de plusieurs variables ; analyse vectorielle

224 Δf =

1 e1 e2 e3



∂ ∂x1



e2 e3 ∂f e1 ∂x1

 +

∂ ∂x2



e3 e1 ∂f e2 ∂x2

 +

∂ ∂x3



e1 e2 ∂f e3 ∂x3

 .

Pour les coordonn´ ees sph´ eriques (r, θ, ϕ) (resp. cylindriques (r, θ, z)), on a (e1 , e2 , e3 ) ≡ (1, r, r sin θ) (resp. (1, r, 1)).

7.2.3

Analyse vectorielle ; fronti` eres et champs d´ ependant du temps ; loi de Lenz ; hydrodynamique

→ − L’analyse vectorielle repose sur les identit´es (1-3), ci-dessous et les propri´et´es de ∇.

 Identit´ es de base ; vocabulaire et notations associ´ es 

2

f ( r2 ) − f ( r1 ) = 1

−−→ gradf · d r

 (1)

− → A · d r =

,



γ

  → → − − − →  A · dS = div A d3 r S

→ → − −→ − rot A · dS (2)

et

S

(3) .

V

→ − (1) a ´et´e discut´ee `a la section 7.1.2. (2) (Stokes) relie la circulation Cγ ( A ) du champ → → − − →− a travers une surface ouverte S limit´ee et A le long du contour γ au flux ϕS (rot A ) ` → → − → − −→ − orient´ee par γ ; si γ est infinit´esimal Cγ ( A ) = rot A · dS. (3) (Ostrogradski) relie le flux → − → − ΦS ( A ) de A ` a travers une surface ferm´ ee S (orient´ee vers l’ext´erieur) a` l’int´egrale, → − → − → − dans le volume V qu’elle entoure, de div A ; si V est infinit´esimal ΦS ( A ) = div A d3 r. Avec la convention de sommation d’Einstein (cf. section 4.1.3), (2) et (3) s’´ecrivent      Ai dxi = ijk ∂j Ak dSi (2 ) et  Ai dSi = (∂i Ai ) d3 r (3 ) , γ

S

S

V

o` u Ai ≡ Ax , Ay , Az peuvent ˆetre trois fonctions arbitraires. −−→ → − → − → −→ − Conditions de nullit´ e. 1) Si A = gradf (resp. A = rot V ), les int´egrales (2) (resp. (3)) sont nulles. La r´eciproque est vraie si le domaine dans lequel les int´egrales sont nulles → − − → peut ˆetre continˆ ument r´eduit a` un point. (Remarque : on peut avoir a` la fois A = ∇f → − − → − → → − → 1− − → et A = ∇ ∧ V , par exemple f ( r) = A · r et V = A ∧ r). 2) L’int´egrale (2) (resp. (3)) 2 → − tend vers 0 si γ (resp. S) s’en va `a l’infini et si | A ( r )| d´ecroit plus vite que r−1 (resp. r−2 ) lorsque r → ∞.

 Autres identit´ es Celles-ci ´etant tr`es nombreuses on se limite a` deux exemples. EXEMPLE 1. Dans un milieu continu la r´esultante des forces de contraintes `a la surface S d’un volume V et leur puissance s’´ecrivent comme des int´egrales sur V :   − →  [σ] dS = f c d3 r avec fc,x = ∂x σxx + ∂y σxy + ∂z σxz (idem pour fc,y et fc,z ) S

V

et

  − →  v · [σ]dS = P d3 r S

V

  ˙ . avec P = div([σ] v ) = f c · v + tr [σ][]

7.2 Calcul int´egral

225

([σ] = −[P] est la matrice des contraintes ; cf. section 4.3.1). Ceci donne pour des forces de pression :   − → −−→ −−→  − P dS = − grad P d3 r ; P = −grad P · v − P div v . S

V

    ∂j σij d3 r et  vi σij dSj = ∂j (vi σij ) d3 r = D´emonstration :  σij dSj = S V S V    1 ∂i vj + ∂j vi d3 r car σij est sym´etrique. (Si [σ] avait vi ∂j σij d3 r + σij 2 V V  1 ∂i vj − ∂j vi une partie antisym´etrique cij , il faudrait rajouter l’int´egrale de cji 2 → − interpr´etable comme la puissance C ·

ω de couples volumiques ; l’hypoth`ese σij = σji ´equivaut donc a` l’absence de tels couples dans la mod´elisation habituelle des milieux continus.) EXEMPLE 2. Dans le calcul du potentiel scalaire (ou vectoriel) dˆ u ` a une r´epartition volumique de dipoles ´ electriques (ou magn´ etiques), on utilise les relations (avec f ( r ) ∝ | r − r0 |−1 ) : −  − − → → → − − → − → − → − → − →  3 → − → → − − → 3 P · ∇f ou M ∧ ∇f d r = f − ∇ · P ou ∇ ∧ M d r + S f P · dS ou M ∧ dS . V V → − D´ emonstration : on consid`ere les int´egrales de surface. Dans le cas ´electrique ΦS (f P ) est l’int´egrale sur − → − → → − → − − → → − V de div(f P ) = P · ∇f + f div P . Dans le cas magn´etique, quel que soit  u constant,  u S f M ∧ dS = − → u ∧ M ) ( u “passant sous le signe somme”) est l’int´egrale sur V de : ΦS (f  −  − → − → → → − → − → − → − →  − →− → − →− u− u · rot M + ∇f · ( u ∧ M) =  u · M ∧ ∇f − f rot M . div f ( u ∧ M ) = f M · rot    3 (D´ emonstration plus rapide : S ijk f Mj dSk =  Mj ∂k f + f ∂k Mj d r). V ijk

 Fronti` eres et champs d´ ependant du temps dr

­

S1



d

Æl

Æl

2

−

dS

­1

+ S2

Figure 23

Figure 24 − → Un d´eplacement infinit´esimal δl ( r) “continu” des points de γ ou S (ferm´es) entraˆıne les variations :       → − → → − − → → → − → − − − →− rot A · δl ∧ dr ; δ δ f d3 r =  f δl · dS . A · dl = γ

γ

V

S

− → → − → − ´ u {γ2 −γ1 } est le circuit ferm´e de DEMONSTRATION : Cγ2 ( A )−Cγ1 ( A ) = C{γ2 −γ1 } ( A ) o` − → − → − → la figure 23 qui limite une surface lat´erale (suppos´ee orientable) de vecteur dΣ = δl ∧ dr. La variation de l’int´egrale triple a elle simplement pour origine les volumes hachur´es − → − → (alg´ebriques) dS · δl (figure 24).

7 • Fonctions de plusieurs variables ; analyse vectorielle

226

→ − → − Applications en ´ electromagn´ etisme. Si le champ A et le d´eplacement δl d´ependent → − du temps (avec δl = vγ ( r, t) dt), alors :     − →  − → → → − − → d ∂ A −→ − + rot A ∧ vγ · dr . A · dr = dt ∂t γt γt (Ceci r´esulte de −  −  −  −  → → → → − → Cγt+dt A ( r, t + dt) − Cγt A ( r, t) = Cγt+dt A ( r, t + dt) − A ( r, t) + C{γt+dt −γt } A ( r, t) →  ∂− −  → − → A dt au premier ordre). Une et du fait que Cγt+dt A ( r, t + dt) − A ( r, t) = Cγt ∂t dϕ premi`ere application est la loi de Lenz e = − , qui relie la circulation du champ dt → − → − → − → − → − →− ´electromoteur E em = −∂t A + vγ ∧ B au flux de B = rot A pour des fils conducteurs en mouvement `a la vitesse vγ . Remarque : les contre exemples connus `a cette loi sont des cas o` u, soit vγ est discontinue (dynamo unipolaire ; figure 25a), soit γt balaye une surface non orientable (galvanom`etre a` champ radial ; figure 25b).

­

N

discontinuité de vitesse

S

0000000 1111111 0000000 1111111 111111 000000 0000000 1111111 000000 111111 0000000 1111111 000000 111111 0000000 1111111 000000 111111 0000000 1111111 000000 111111 000000 111111 000000 111111 surface

d  non orientable

(a)

(b) Figure 25

Une seconde application est le bilan ´ energ´ etique (pouvant ˆetre ´etendu `a plusieurs → −   → − → − → − → dϕS ( B ) ∂A − · dr = I − circuits) I I(dr ∧ B ) · vγ , qui relie la d´eriv´ee temporelle ∂t dt γ γ de l’´energie magn´etique aux puissances fournies par des sources ´electriques et par des sources m´ecaniques s’opposant aux forces de Laplace (cf. sections 7.3.1 et 7.5.2). Applications en hydrodynamique. Si dans l’int´egrale triple le domaine Vt d´epend du temps, chaque point ´etant entraˆın´e par le champ de vitesse ve ) (qui n’est pas n´ecessairement celui du fluide), on a pour toute fonction f ( r, t) :        − → d ∂f ( r, t) 3 ∂f 3 d r +  f ( r, t) ve · dS = + div(f ve ) d3 r f ( r, t) d r = dt ∂t Vt V St Vt ∂t  t   → − ∂ df d + f div ve d3 r avec = + ve · ∇ . = dt dt ∂t Vt ´ DEMONSTRATION. La premi`ere ´egalit´e r´esulte de ce que la diff´erence des int´egrales de f ( r, t + dt) sur Vt+dt et de f ( r, t) sur Vt est la somme de l’int´egrale de f ( r, t + dt) − f ( r, t)

7.2 Calcul int´egral

227

sur Vt+dt , ou Vt au premier ordre, et de l’int´egrale de f ( r, t) sur {Vt+dt − Vt }. Les autres d  3  fd r sont des cons´equences imm´ediates. La derni`ere expression se d´eduit aussi de dt d 3 avec d r = div ve d3 r (ou justifie cette ´egalit´e si on choisit f = 1). dt Si f = ρ (masse volumique) et ve = v (vitesse du fluide), la conservation de la masse dans le volume Vt entraˆın´e par un fluide se traduit par : ∂ρ + div(ρ v ) = 0 ∂t

(ou

dρ + ρ div v = 0) dt

L.C. de la masse .

Plus g´en´eralement si G est une grandeur de densit´e volumique ρG = ρg (g grandeur massique, g = 1 pour la masse, g = V = ρ−1 pour le volume, g = v pour la quantit´e de 1 mouvement, g = v 2 pour l’´energie cin´etique et g = e pour l’´energie interne), on a : 2        d ∂(ρg) dg 3 GVt = + div(ρg v ) d3 r = d r. ρg d3 r = ρ dt ∂t Vt Vt Vt dt La derni`ere ´egalit´e r´esulte de la L.C. de la masse et s’obtient aussi directement en ´ecrivant que dt (ρg d3 r) = ρ d3 r dt g car dm = ρ d3 r est constant.

7.2.4

Bilans de grandeurs ; applications aux milieux continus

 Circulation automobile Cet exemple simple sert d’introduction aux divers raisonnements sur les bilans. Sur une voie de circulation, soient n(x, t) la densit´e lin´eique de voitures se d´epla¸cant a` la vitesse v(x, t) et j(x, t) = n(x, t) v(x, t) leur flux. La L.C. des voitures se traduit, pour leur dNAB nombre NAB entre deux points A et B, par le bilan = jA − jB si A et B sont dt dNAB = 0 si A et B sont entraˆın´es avec les voitures. Pour A et B fixes, et par le bilan dt “proches” (xA = x, xB = x + dx) et n et j “continus”, le premier s’´ecrit d ∂n (n dx) = dx = j(x, t) − j(x + dx, t) soit ∂t n + ∂x j = 0 , dt ∂t et le second  dn d n(xB − xA ) = dx + n dv = 0 soit dt n + n ∂x v = 0 dt dt (r´esultats ´equivalents). Si on s’int´eresse `a une grandeur g transport´ee par chaque voiture (g = m, mv, sa densit´e est ρG = ng et son flux (ou courant) est jG = ngv. La quantit´e

1 mv 2 · · · ), 2

τ = ∂t (ng) + ∂x (ngv) = n ∂t g + nv ∂x g (L.C. des voitures) = n dt g est l’apport (par unit´e de longueur) aux voitures de la grandeur consid´er´ee (force lin´eique exerc´ee par la route si g = mv).

7 • Fonctions de plusieurs variables ; analyse vectorielle

228

S’il existe une onde de choc (provoqu´ee par des voitures arr´et´ees `a un feu par exemple), alors pour A et B fixes situ´es de part et d’autre de la discontinuit´e qui se d´eplace `a la vitesse V , le bilan est dNAB = (n1 − n2 )V dt (car dans l’intervalle de temps dt une densit´e lin´eique n2 est remplac´ee par n1 sur la longueur V dt ; figure 26).

V
t

n 2 v2

n 1 v1= 0

t t+
t


N

A

B x

Figure 26 De

dNAB = (n1 − n2 )V = jA − jB = n1 v1 − n2 v2 , dt n1 v1 − n2 v2 . On notera enfin qu’une distribution continue peut induire on d´eduit V = n1 − n2 une onde de choc si il existe une relation (ph´enom´enologique) j(n) entre densit´e et courant dj (flux) ; en effet la L.C. qui s’´ecrit alors ∂t n + c(n) ∂x n = 0 avec c(n) = est l’´equation dn d’onde discut´ee `a la section 7.1.1.

 Ecritures g´ en´ erales d’un bilan Soit GV une grandeur extensive relative `a un volume fixe. On peut souvent distinguer dGV ce qui est dˆ u a` des ´echanges `a travers la fronti`ere S (notion de flux associ´e dans dt a une densit´e de courant jG ), de la “production sur place” de grandeur (associ´ee `a des ` termes de source alg´ebriques τG ). Le bilan s’´ecrit, sous forme int´egrale       − → d ∂ρG 3 3

GV = d r = −  jG · dS + ρG d r = τG d3 r , dt V V ∂t S V et sous forme diff´erentielle :

∂ρG + div jG = τG . ∂t

dGVt dGV et de montre ependant du temps, la comparaison de Si Vt est un volume d´ dt dt qu’il suffit de remplacer jG par jG  = jG − ρG vS ou vS est la vitesse d’un point de la surface ( vS = v si Vt suit le fluide).

 Lois de conservation (L.C.) La grandeur G est dite conserv´ ee localement si τG = 0 (pas de cr´eation). C’est le cas de la masse, de la charge ´electrique, de la quantit´e de mouvement en absence de forces `a distance... Par contre τS ≥ 0 pour l’entropie (cf. section 8.2.3).

7.2 Calcul int´egral

229

REMARQUES. 1) Notamment dans le cas de l’´ energie il est important de bien pr´eciser la “forme” consid´er´ee : ´energie cin´etique, ou interne, ou relative a` un sous syst`eme (par exemple `a des particules dans un champ ´electromagn´etique), ou a` une onde (qui peut ˆetre absorb´ee par le milieu), etc ; en effet mˆeme si τG = 0 pour la grandeur totale, en g´en´eral τG = 0 pour chaque “forme”. 2) Si S est une surface de discontinuit´e (onde de choc), la L.C. s’´ecrit (´egalit´e des flux de part et d’autre de la discontinuit´e) : − → − → ( jG,2 − ρG,2 vS ) · dS = ( jG,1 − ρG,1 vS ) · dS

(vS =

jG,2 − jG,1 `a une dimension) . ρG,2 − ρG,1

 Lois de conservation microscopiques Les L.C. locales d´efinies ci-dessus concernent des grandeurs macroscopiques. Il existe aussi en physique des L.C. microscopiques : pour des particules ponctuelles i poss`edant une caract´eristique gi constante au cours du temps (nombre gi ≡ 1, masse mi , charge qi ...), et d´ecrivant des trajectoires ri (t) `a la vitesse vi (t), on a automatiquement :       +div jGmicro = 0 avec ρmicro = gi δ r − ri (t) et jGmicro = gi vi (t) δ r − ri (t) . ∂t ρmicro G G i

i

Cette loi reste valable si on remplace δ( r ) par une fonction “lissante” f ( r).     → − ´ DEMONSTRATION : pour tout f on a ∂t f r − ri (t) = − vi (t) · ∇f = −div f vi(t) ; si  gi d´ependait du temps on aurait un terme de source τGmicro = i g˙ i (t) f r − ri (t) . C’est ainsi, par des op´erations de lissage (moyenne), que beaucoup de bilans macroscopiques peuvent ˆetre d´eduits de bilans microscopiques.

 Flux en hydrodynamique et ´ elasticit´ e − → Quand on suit dans son mouvement avec le milieu un ´el´ement de surface dS (1 et 2 d´esignant le milieu de part et d’autre), le flux de masse, le flux de quantit´e de mouvement (force de contact exerc´ee par 1 sur 2) et le flux d’´energie (“puissance de la force de contact + flux thermique”) valent respectivement : − → − → − → − → dϕm = 0 ; d

ϕ p = [P] dS (ou − [σ] dS) ; dϕE = v · [P] dS + jth · dS . − → − → Si dS est fixe, comme jG = jG + ρG v , il faut ajouter a` ces flux ρG v · dS avec ρG = ρ ou ρ v 1 ou ρ v 2 + e). Pour un fluide parfait ([P] ≡ P pression, jth = 0) on obtient (cf. aussi 2 la section 3.2.4) : 1 − → − → − → − → P v2 + e + ρ v · dS . d

ϕp = ρ v ( v · dS) + P dS ; dϕE = dϕm = ρ v · dS ; 2 ρ Application : vitesse d’une onde sonore ` a une dimension. Les L.C. de la masse et de la quantit´e de mouvement en pr´esence d’une discontinuit´e donnent : vS =

ρ2 v2 − ρ1 v1 (P2 + ρ2 v22 ) − (P1 + ρ1 v12 ) = . ρ 2 − ρ1 ρ2 v2 − ρ1 v1

Si la discontinuit´e est faible et le fluide proche du repos (ρi vi2  Pi ), alors vS2 

dP . dρ

7 • Fonctions de plusieurs variables ; analyse vectorielle

230

− → REMARQUE. On peut ajouter ` a dϕE le terme ρgz v · dS si l’´ energie potentielle de pesanteur n’est pas prise en compte par ailleurs (cf. bilans locaux ci-dessous). Les bilans d´eduits des flux ci-dessus recouvrent P 1 une grande quantit´e d’applications pratiques. Beaucoup concernent la quantit´e v2 + e + + gz qui, en 2 ρ ´ ecoulement permanent, reste constante le long d’une ligne de courant si l’´energie du fluide est conserv´ee (th´ eor` eme de Bernouilli), ou varie d’une quantit´e reli´ee aux travaux et ´echanges thermiques effectu´es par une masse unit´e de fluide lors de son ´ecoulement entre les points consid´er´ es. On trouvera des exemples dans les livres d’hydrodynamique pour ing´enieurs.

 Bilans locaux et ´ equations des milieux continus Pour une masse dm de mati`ere qui occupe un volume ´el´ementaire d3 r et se d´eplace `a la vitesse v , les bilans de quantit´e de mouvement et d’´energie s’´ecrivent (l’effet des forces de contraintes ayant ´et´e d´ecrit `a la section 7.2.3) : d d v (dm v ) = f c d3 r + dm g + f a d3 r = dm , dt dt   2    d

v dm +e = div [σ] v d3 r − div jth d3 r + v · (dm g + f a d3 r) + τa d3 r . dt 2 dm g est la force due au champ de pesanteur local ; f a d´esigne des forces volumiques → − autres, par exemple de Laplace j ∧ B en magn´etohydrodynamique, de Coriolis −2ρ ω ∧ v et“centrifuge” dans un r´ef´erentiel non inertiel, etc. ; τa d´esigne les sources d’´energie autres (effet Joule par exemple). En divisant les deux membres par d3 r, le bilan de quantit´e de mouvement s’´ecrit :   d v → − ∂ v ρ =ρ + ( v · ∇) v = f c + ρ g + f a . dt ∂t On en d´eduit, en faisant le produit scalaire avec v , le bilan d’´energie cin´etique et potentielle :  d 1 2 d(gz) ρ

v + gz = (f c + f a ) · v car ρ g · v = −ρ . dt 2 dt Il permet de r´ecrire le bilan d’´energie sous la forme, ne faisant intervenir que l’´energie interne (premier principe) : ρ

  de ˙ − div jth + τa = tr [σ][] dt

˙ ij = ([]

1 (∂i vj + ∂j vi )) . 2

Dans la suite jth = 0, f a = 0 et τa = 0. Par exemple pour un fluide parfait (f c = −−→ −−→ d v −grad P ), on obtient l’E.D.P d’Euler ρ = −grad P + ρ g qui, si ρ est constant (ou dt d v est un gradient et conduit a` tous les th´eor`emes si P ne d´epend que de ρ), fait que dt   ˙ = −P div v correspond vus a` la section 7.1.3 ; la puissance interne volumique tr [σ][] dV en thermodynamique. au terme −P dt AUTRES EXEMPLES. 1) Fluide visqueux. Il faut alors ajouter la force de  composantes fc,i =   2η v ; ceci eaire (cf. section 4.3.1), σij = η(∂i vj + ∂j vi ) + δij ζ − 3 div j ∂j σij avec, dans le cas lin´ donne   −−→ −−→ ρ dv = −grad P + ρg + η Δ v) v + ζ + η3 grad (div dt

7.3 Applications `a la m´ecanique et `a l’optique g´eom´etrique

231

qui, pour un fluide incompressible (divv = 0), est l’E.D.P. de Navier-Stokes. On v´erifie que ˙ > 0 (augmentation locale de l’´energie interne du fluide). 2) Milieu ´ tr ([σ][]) elastique lin´ eaire. Avec   → − → − div ψ , ψ d´ esignant le champ de d´eplacement (infinit´esimal) et σij = μ (∂i ψj + ∂j ψi ) + δij χ−1 − 2μ 3 on obtient l’E.D.P. des ondes ´ elastiques : −  −−→ 2→ →  −1 − → − +μ grad (div ψ ) . ρ ∂∂tψ 2 = μΔψ + χ 3 ˙ est alors la d´eriv´ tr ([σ][]) ee temporelle d’une ´energie ´elastique.

7.3 7.3.1

` LA MECANIQUE ´ ` L’OPTIQUE APPLICATIONS A ET A ´ ´ GEOM ETRIQUE M´ ecanique et fonctions ´ energie potentielle

Dans de nombreux cas importants, les forces (et les couples) peuvent se calculer a` partir de la diff´erentielle d’une fonction des positions (et orientations) des corps concern´es appel´ee ´energie potentielle Ep . Cette fonction d´epend aussi de param`etres d´ecrivant l’´etat des corps ou leur environnement, param`etres qui, par d´efinition, restent fix´es dans la diff´erentiation. Sa d´etermination a` partir des ´energies connues en physique d´epend de fa¸con cruciale du choix effectu´e pour les param`etres.

 Syst` eme de points mat´ eriels Pour des points mat´eriels (isotropes) l’´energie potentielle est une fonction Ep ( r1 , r2 · · · rn ) de leurs positions telle que les forces f i sur chacun d’eux s’en d´eduisent par :    − → → − → − ∂ ∂ ∂ def



. , , fi · dr i soit fi = − ∇i Ep avec ∇i ≡ dEp = − ∂xi ∂yi ∂zi i L’´equilibre (f i = 0) correspond a` Ep extremum ; il est stable si δ 2 Ep > 0.  → −

La force r´ esultante F α = i∈α fi sur un sous ensemble α de points s’obtient en → − − → − → − → − → remarquant que dEp = − F α · dr α lorsque dri∈α = dr α et dr i∈α = 0 (donc en consid´erant par la pens´ee une translation rigide de l’ensemble α, les autres points restant fixes).  → − Pour le moment r´ esultant des forces Γ α = ri ∧ f i , on remarque aussi que : i∈α

→ − → − → − → → − − dEp = − Γ α · dθ α lorsque dri∈α = dθα ∧ ri et dri∈α = 0 (rotation rigide de l’ensemble α, les autres points restant fixes). Si Ep est invariante par translation (resp. rotation) la force r´esultante totale (resp. le moment total) est nulle.  − → → − REMARQUE. Le travail ´el´ementaire des forces f i ´etant δW = i f i · dri la diff´erentielle dEp = −δW est le travail δWsm qu’une source m´ ecanique (un “op´erateur”), exer¸cant les forces −f i , devrait effectuer pour rendre les d´eplacements quasi-statiques.  −1 EXEMPLE 1. Electrostatique : Ep = (4π0 )−1 (i,j) rij qi qj . Divisons les charges en deux groupes α et β. Comme les interactions ne d´ependent que de rij = | ri − rj | il suffit, pour avoir les actions de β sur α (ou de α sur β), de consid´erer l’´ energie poten-

7 • Fonctions de plusieurs variables ; analyse vectorielle

232

tielle d’interaction qui est la restriction de la double somme aux couples (i∈α, j ∈β) :   −1 qi Vext ( ri ) avec Vext ( ri ) = (4π0 )−1 rij qj . Epint = i∈α

j ∈β



  Par exemple si α est un dipole p  = i qi  ri ( i qi = 0) situ´e en  rα   ri , on a Epint = i qi Vext ( ri ) = → − → − → − − p · E ( rα ) avec E = − ∇Vext . Dans une translation infinit´esimale selon x, dEpint = −(px ∂x Ex + → − → → − → − − → − →− u Fx = ( p · ∇) Ex (en utilisant rot E = 0) et F = ( p · ∇) E . Dans une py ∂x Ey + pz ∂x Ez ) dx d’o` − → → − → − → − int ) · E d’o` u le couple C = p  ∧ E . (Avec une rotation infinit´esimale centr´ee en  rα , on a dEp = −(dθ ∧ p → − → − − → ependent pas du rotation de centre O on obtiendrait le moment Γ = C +  rα ∧ F .) Ces r´esultats ne d´ caract`ere d´eformable ou ind´eformable (induit ou pas) du dipole. Si β est aussi un dipole, l’invariance → − → − → − → − rβ −  rα ) ∧ par translation et par rotation de Ep entraˆıne F β→α + F α→β = 0 et C β→α + C α→β + ( → − → − → − F α→β = 0 ; en g´en´ eral F α→β = − F β→α n’est pas parall`ele ` a rβ −  rα car un dipole, mˆeme ponctuel, n’est pas isotrope. ri −  rj . Ceci n’est pas toujours le cas, par Remarque : ci-dessus Ep est une somme de fonctions de  exemple pour les atomes d’une mol´ecule ou d’un cristal avec des liaisons d´elocalis´ees ; il n’y a alors  → − aucun moyen naturel de d´ecomposer fi = − ∇i Ep sous la forme traditionnelle fi = j =i fj→i .

B

+ d 

dr

dl



dr dl I

Figure 27 → − EXEMPLE 2. Circuit ´ electrique dans un champ ext´ erieur B (figure 27). − → Dans un d´eplacement infinit´esimal “virtuel” dr de chaque point r du circuit, le travail  −  − → − − → − → → − → − → → − → des forces de Laplace I dl ∧ B s’´ecrit δW = (I dl ∧ B ) · dr = (I dr ∧ dl) · B = → − → − I dϕ (conservation du flux de B ). La force et le moment totaux qu’exerce B sur le circuit s’obtiennent donc a` partir de Ep = −Iϕ (o` u ϕ d´epend des 6 coordonn´ees qui d´eterminent la position et l’orientation dans l’espace du circuit rigide). Pour une petite → − → − spire, Ep = −

μ · B (avec

μ = I S ) comme pour un dipole ´electrique.

 Fonction Ep et ´ energie cin´ etique Ep a un lien math´ematique simple avec l’´energie cin´etique Ec (relativiste ou non). Comme   − → dEc def = f i · vi on a, si les param`etres dEp = − i f i · dri (`a param`etres fixes) et dt i d´ependent du temps : ∂Ep d (Ep + Ec ) = . dt ∂t La loi Ep + Ec = Cste pour un syst`eme isol´e a beaucoup d’applications en m´ecanique.

7.3 Applications `a la m´ecanique et `a l’optique g´eom´etrique

233

Th´ eor` eme du viriel. Toute fonction homog`ene Ep d’ordre n v´ erifie :    → − nEp = i  ri · ∇i Ep (E.D.P d’Euler) = − i  ri · fi (viriel des forces) = − d ( i  ri · mi  vi ) + 2Ec . dt Si le domaine de variation des positions et des vitesses est limit´e, la moyenne sur un grand intervalle de d  ( i ri · mivi ) > est nulle et : temps < dt 2 < Ec >= n < Ep > . Les applications principales correspondent ` a n = −1 (interactions gravitationnelles en astrophysique ou ´ electrostatiques pour l’atome de Bohr) et n = 2 (oscillateurs harmoniques coupl´es).

 Fonctions Ep en ´ electromagn´ etisme Partons d’un exemple ´el´ementaire de bilan d’´energie o` u la connaissance (physique) des ´energies impliqu´ees et des puissances fournies par les g´en´erateurs ´electriques permet de d´eduire les travaux ´el´ementaires δWsm des sources m´ecaniques. Circuit RLC avec inductance et capacit´ e d´ eformables (figure 28a).

x x

VC

q

VL

x

I

i −F C

F

−F L (a)

(b) Figure 28

dϕ q dq , VL = (loi de Lenz avec ϕ = LI) et VC = , on d´eduit les ´egalit´es (qui dt dt C 1 1 concernent les ´energies ´electromagn´etiques LI 2 et CVC2 ) : 2 2    1 1 1 1 LI 2 = I dϕ − I 2 dL ; CVC2 = VC dq − VC2 dC . d d 2 2 2 2 De I =

Chaque diff´erentielle apparaˆıt comme la somme dEem = δWse + δWsm de travaux (connus) fournis par des sources ´electriques (VL dq et VC dq), et de travaux (li´es aux 1 d´eformations) qu’il est naturel d’attribuer a` des sources m´ecaniques (δWsm = − I 2 dL 2 1 et δWsm = − VC2 dC). On d´eduit de δWsm = dEp que les fonctions Ep sont, au choix, 2 1 q2 1 1 ϕ2 1 2 et − LI et − CVC2 (c.a.d. −Eem ) si I et VC sont les param`etres fixes, ou 2 2 2 L 2 C (c.a.d. Eem ) si ϕ et q sont les param`etres fixes. Pour un sol´eno¨ıde de longueur x constitu´e N 2S 1 dL 2 ), la force (“contractante”) est : FL = I = de N spires de section S (L = μ0 x 2 dx

7 • Fonctions de plusieurs variables ; analyse vectorielle

234

S 1 N 2S 1 S − μ0 2 I 2 . De mˆeme FC = − 0 2 VC2 pour un condensateur plan avec C = 0 . 2 x 2 x x AUTRES EXEMPLES. Pour un ´ electroaimant (figure 28b) dont l’entrefer x a une section S, on a B2 2μ0

2

B S dx si ϕ = BS est constant ( 2μ ´ energie volumique dans l’entrefer) ; la force d’attraction 0  2 B electriques, Eem = 12 entre les faces vaut F = − 2μ S. Pour un ensemble de circuits ´ i I i ϕi 0    et δWse = i Ii dϕi (cf. section 7.5.2), ϕi = j Mij Ij ; on en d´eduit δWsm = 12 ij dMij Ii Ij et  etant pris comme param`etres). Si on s’int´eresse aux seules actions Ep = − 21 ij Mij Ii Ij (les courants ´

dEem =

(1)

sur le circuit 1, on ne garde que les termes i = 1, j = i et i = j, j = 1 et on retrouve Ep

= −I1 ϕ

o` u ϕ est le flux du champ ext´erieur. Le cas des conducteurs m´ etalliques en ´ equilibre se d´eduit de l’exemple pr´ec´ edent en faisant les changements Ii → Vi et ϕi → Qi (pour les variables intensives et extensives) et Mij → Cij .

7.3.2

Optique g´ eom´ etrique : rayons ; surfaces d’onde ; caustiques et probl` emes d’extremum

On se place dans l’approximation de l’optique g´eom´etrique (o` u les ondes sont localement planes) et on consid`ere des milieux isotropes. Surfaces d’ondes et rayons sont alors deux concepts reli´es par la notion de gradient.

 Des rayons aux ondes

M m

S0

S

Figure 29 Rappelons (cf.section 3.2.3) que le chemin optique L(A, B) ≡ L( rA , rB ) calcul´e le long B du rayon joignant deux points A et B correspond a` un extremum de A n( r) dl, et qu’il a pour diff´erentielle − → − → dL = nB u ˆB · dr B − nA u ˆA · dr A (ˆ u( r) vecteur unitaire port´e par le rayon). Les surfaces d’onde L( r) = constante sont une fa¸con de regrouper les rayons par familles de sorte que, en tout point, n( r) uˆ( r) soit le gradient de L( r). Par exemple (figure 29) consid´erons la famille des rayons orthogonaux a une surface S0 et, pour tout point M ( r) situ´e sur un rayon issu de m ∈ S0 , po` sons L( r) = L( rm , r). La surface S d´efinie par L( r) = L (constante) est la surface d’onde L d´eduite de S0 (L( r) = 0) apr`es le temps de propagation . La surface L( r) = L + dL s’en c

7.3 Applications `a la m´ecanique et `a l’optique g´eom´etrique

235

dL ; on passe ainsi de proche en n( r) proche de S0 ` a S. Ceci n’est autre que la construction de Huygens des surfaces d’onde comme enveloppes d’ondelettes sph´eriques, et des rayons comme trajectoires orthogonales → − a ces surfaces. Elle fournit la solution de l’E.D.P. eikonale | ∇L( r)| = n( r) avec la ` condition aux limites L = constante sur une surface donn´ee. d´eduit en portant sur chaque normale une longueur

REMARQUE. La figure 30 montre, sur le cas particulier n = Cste o` u les rayons sont des droites, que les surfaces S, d´eduites de S0 en portant sur les rayons une longueur L, deviennent en g´en´eral singuli`eres lorsque L croˆıt (cf. surface S2 ). La singularit´e se produit sur les caustiques, surfaces enveloppe des rayons, et est li´ee au fait que L( r) n’est plus d´efinie univoquement (cf. exemples ci-dessous).

x caustique

m* 1 m*

M

2

R

O

z S 0 S1

S2 Figure 30

 Des ondes aux rayons

  Soit ψ(t, r) = A( r) exp −i ωt − ϕ( r) une onde monochromatique, et soit (par r´ef´erence a une onde plane A exp− i(ωt − k . r)) ` −→

k( r) = − gradϕ( r) le vecteur d’onde local. L’onde est localement plane si k( r) et A( r ) varient peu, en 2π (domaine non gris´e sur la figure valeur relative, sur des distances de l’ordre de λ = k 31).

Figure 31

7 • Fonctions de plusieurs variables ; analyse vectorielle

236

→ − ω Alors k( r) v´erifie la relation de dispersion locale k( r) = | ∇ϕ | = n( r) . Si on appelle c rayon une courbe γ0 tangente en tout point a` k( r), k donnant la direction de propagation de l’´energie, on en d´eduit pour γ0 ` a la fois le principe de Fermat et la loi de Descartes :  B  B −−→ d d k −−→ = grad k( r) ou nˆ u = grad n . k( r) dl ou n( r) dl minimum local ; dl dl A A ´ DEMONSTRATION : pour Fermat (figure 32) on ´ecrit     → → − → − → − − − → | k( r)| dl = | ∇ϕ| dl ∇ϕ · dl = ϕ(B) − ϕ(A) = ∇ϕ · dl < γ0

γ0

γ

γ

→ − → − (car ∇ϕ est parall`ele `a dl sur γ0 mais pas sur toute autre trajectoire γ allant de A `a B) ; pour Descartes on ´ecrit dkx dx dy dz 1 = ∂x kx + ∂y kx + ∂z kx = ∂x (kx2 + ky2 + kz2 ) = ∂x k dl dl dl dl 2k en utilisant pour ϕ).

− → kx dx = · · · ( k parall`ele `a dl sur γ0 ) et ∂y kx = ∂x ky · · · (´egalit´e de Schwarz dl k

­0 ­ A

lentille

B

dl Figure 32

M A O

A’

B

Figure 33

→ − REMARQUES 1) On a suppos´e que ∇ϕ est non singulier. Le rayon γ0 ´ etant donn´e, ceci peut toujours ˆ etre satisfait localement mais pas globalement ; si tous les rayons issus de A convergent en un point A situ´ e avant B sur γ0 , le chemin optique de A ` a B n’est alors plus minimum mais simplement stationnaire ; sur la figure 33 le chemin optique (AM B) est plus court que (AOA B) = (AM A ) + (A B). → − 2) Si ψ(t,  r ) = A(t,  r ) expiϕ(t,  r ) est localement une onde plane, on pose ω = −∂t ϕ et k = ∇ϕ. Soit ω = f (k, t,  r ) la relation de dispersion (milieu lin´eaire mais non isotrope, non stationnaire et non homog`ene), → − vg . ∇ une “d´eriv´ ee particulaire” (dt  r= vg ). Un bon soit  vg = ∂k ω la vitesse de groupe et soit dt = ∂t +  → − eralisent exercice de d´eriv´ ees partielles consiste ` a montrer que dt ω = ∂t f et dtk = − ∇f (relations qui g´en´ les lois de Descartes et relient optique g´ eom´ etrique et m´ ecanique ; cf. section 9.1).

 Caustiques et probl` emes d’extremum Soient dans l’air (n = 1) une surface d’onde z = f (x, y) (point courant m(x, y, z)) et M (X, Y, Z) un point fixe ext´erieur. On cherche les rayons m∗ M passant par M , c.a.d. −→ les droites qui rendent la distance mM extr´emale (d(mM ) = −ˆ um · dm = 0 pour m∗ ).

7.3 Applications `a la m´ecanique et `a l’optique g´eom´etrique

237

Les caustiques (enveloppes de rayons) correspondent aussi aux lieux g´eom´etriques des points M o` u le probl`eme d’extremum admet une bifurcation (c.a.d. un changement du nombre de solutions pour m∗ ). x3 x2 +A (A > 0 ; figure 30). Pour M pr`es de la normale 2R 6  en O a` la surface (axe Oz) on a mM = (Z − f )2 + (X − x)2 + (Y − y)2  Z − f +  1  A (X − x)2 + (Y − y)2 . x∗ et y ∗ v´erifient − x∗2 + x∗ (Z −1 − R−1 ) − Z −1 X = 0 et 2Z 2 u a` priori 0 ou 2 solutions. Le cas limite de la racine double x∗1 = x∗2 d´efinit y ∗ = Y , d’o` la caustique (parabolo¨ıde) d’´equation (Z − R)2 − 2AR3 X = 0. Si A = 0, la caustique est la droite Z = R, X = 0 (il y a alors une infinit´e de solutions pour x∗ ). EXEMPLE 1. f (x, y) =

y2 (R1  R2 > 0). Pour M pr`es de Oz, x∗ et y ∗ sont 2R2 −1 ∗ −1 −1 ∗ −1 −1 Y ; les caustiques sont les deux droites donn´es par x (Z − R1 ) = Z X et y (Z − R−1 2 )=Z de directions perpendiculaires Δ1 (Z = R1 , X = 0) et Δ2 (Z = R2 , Y = 0) ; elles se r´eduisent au

EXEMPLE 2 (figure 34a). f (x, y) =

x2 2R1

+

foyer de l’onde (0, 0, R) si R1 = R2 = R. En pratique la surface d’onde est limit´ee par une pupille 2 circulaire x2 + y 2 = rmax . Le calcul pr´ec´ edent montre que les rayons qui en sont issus coupent alors un plan Z = Cste ` a l’int´erieur de l’ellipse |R2 −R1 | dans le plan de 2R0 |R2 −R1 | longueur 2rmax R sur 0

X 2 R2 1 (R1 −Z)2

+

Y 2 R2 2 (R2 −Z)2

2 = rmax . Cette ellipse est un cercle

de rayon rmax

convergence “moyen” Z =

segments de

les caustiques (figure 34b).

x

(a)

y (b)

R1 +R2 2

= R0 , et se r´ eduit ` a des

R 1 R 0 R2

1111111111 0000000000 00000000000000 11111111111111 00000 11111 0000000000 1111111111 00000000000000 11111111111111 00000 11111 00000 11111 0000000000 1111111111 00000000000000 11111111111111 00000 11111 000 111 0000000000 1111111111 000 z 111 0000000000 1111111111 0000000000 1111111111 0000000000 1111111111 0000000000 1111111111 0000000000 1111111111 0000000000 1111111111
1 1111111111 0000000000 1111111111 0000000000
2

11 00 00 11 00 11 00 11 00 11 00 11 00 11

pas de solution 0000000 1111111 0000000 1111111 ue 0000000 1111111 stiq 0000000 1111111 0000000 1111111 cau

0000000 2 solutions 1111111

0000000 1111111 O 0000000 1111111 1111111 0000000 cau 0000000 1111111 0000000 1111111 stiq 0000000 1111111 ue 0000000 1111111

z

pupille

Figure 34

EXEMPLE 3. f (x, y) = −Bx0 x(x2 + y 2 ) +

M (4 solutions)

y

x

Figure 35

x2 +y 2 2d

(B > 0). Cherchons la trace de la caustique sur

le plan Z = d (plan de convergence de l’onde sph´erique si B = 0) pr`es de l’axe Oz. m∗ s’obtient en , ce qui donne X = Bx0 r ∗2 (2+cos 2ϕ∗ ) et Yd = Bx0 r ∗2 sin 2ϕ∗ extr´emalisant Bx0 x(x2 +y 2 )− xX+yY d d

en posant x∗ = r ∗ cos ϕ∗ et y ∗ = r ∗ sin ϕ∗ . Dans le plan Z = d, les cercles r ∗ = Cste centr´es en  (X = 2Bx0 r ∗2 , Y = 0) et de rayon Bx0 r ∗2 remplissent la r´egion X > 3|Y | (figure 35). Dans cette

r´ egion il y a pour tout point M quatre solutions m∗ (deux valeurs de r ∗ et pour chacune les solutions  ϕ∗ et ϕ∗ + π). A l’ext´erieur de cette r´egion (X < 3|Y |) il n’y a pas de solution. La caustique est  donc form´ee des deux demi-droites X = 3|Y | faisant entre elles un angle de 60o . (En pratique une u il y a deux solutions.) pupille r = rmax limite la caustique et introduit une “sous r´egion” o`

7 • Fonctions de plusieurs variables ; analyse vectorielle

238

 Aberrations g´ eom´ etriques d’un syst` eme optique centr´ e La figure 36 rappelle la situation exp´erimentale (cf. cours d’optique pour plus de d´etails).

x0

u+ Æ u

x m

m0 r0

m’ m’0

u

r

z y

y0

système centré objet

d pupille de sortie

image

Figure 36 Si m0 ´ etait l’image rigoureuse de m0 , le chemin optique de m0 ` a un point m de la pupille de sortie −−−→ ˆ du rayon en m serait parall`ele ` a mm0 . Les s’´ ecrirait L(m0 , m) = Cste − mm0 , et le vecteur unitaire u corrections ` a L s’´ ecrivent ` a priori δL =

A 4

( r · r )2 + B( r · r ) ( r · r0 ) +

1 2



 C( r · r0 )2 + C  ( r· r ) ( r0 ·  r0 ) + D( r · r0 ) ( r0 ·  r0 )

en vertu de la sym´etrie de r´evolution du syst`eme ; (il n’y a pas de scalaires du troisi`eme degr´e et ceux du second degr´e ont ´ et´ e d´ ej` a pris en compte dans l’approximation de Gauss). On en d´eduit la correction d’orientation du rayon sortant :     r · r0 ) r + B 2( r· r0 )  r + r2 r0 + C( r0 + C  r02  r + Dr02 r0 . δu ˆ  δu ˆ⊥ = ∂r δL = Ar 2 −−−→ Ce rayon coupe le plan image en m tel que m0 m  δu ˆ d (aberration). A d´ efinit l’aberration de efinit sph´ ericit´ e (courbure de la surface d’onde plus grande en A2 qu’en A1 sur la figure 37a) ; B d´ celle de coma (analogue de l’exemple 3 ci-dessus avec  r0 ≡ (x0 , 0)), C (analogue de

1 R1

−

1 R2

dans

celle de courbure de champ (responsable de l’´ecart entre l’exemple 2) celle d’astigmatisme, C  + C 2 le point de convergence moyen et le plan image), et enfin D celle de distorsion (correction D r02 d au grandissement ; la figure 37b repr´esente l’image “distordue” d’un carr´e).

A2

D

0 y

D

0

F

A1

x’

S0 (b)

(a) Figure 37

7.4

` LA THERMODYNAMIQUE APPLICATIONS A

Changements de variables, d´efinition de grandeurs importantes par des d´eriv´ees partielles, ´egalit´e de Schwarz, relation d’Euler, variations secondes, m´ethode des multiplicateurs de Lagrange, etc. figurent parmi les outils fr´equemment utilis´es en thermodynamique. Un choix d’exemples qui reprend quelques grandes probl´ematiques de cette discipline est bri`evement pr´esent´e (cf. aussi les sections 1.1.4, 5.1.4 et 10.2.3).

7.4 Applications `a la thermodynamique

7.4.1

239

Rˆ ole cl´ e de l’entropie ; ´ equations d’´ etat ; coexistence de phases

 Coefficients ´ elastiques et thermiques La thermodynamique a commenc´e avec l’´etude exp´erimentale des ´equations d’´etat de fluides f (P, V, T ) = 0 (P V = RT pour une mole de gaz parfait (G.P.)) et celle des apports thermiques r´eversibles. Les coefficients ´elastiques α , β et χT sont d´efinis par α=

1 ∂V V ∂T

,

β=

P

1 ∂P P ∂T

χT = −

, V

1 ∂V V ∂P

, T

1 dV dV = α dT − χT dP et dP = β P dT − , et les coefficients thermiques V χT V cV , l, cP et h ainsi que χS sont d´efinis par (δQrev forme diff´erentielle) : c’est-`a-dire

1 dV `a δQrev = 0 . V dP Tous ces coefficients ne sont pas ind´ependants. En ´ecrivant df = ∂V f dV + ∂P f dP + ∂T f dT = 0, on exprime α , β et χT en fonction des trois d´eriv´ees partielles de f (par exemple αV = −(∂T f ) (∂V f )−1 ), et on obtient α = P β χT . De mˆeme en portant dV (resp. dP ) dans la premi`ere (resp. la seconde) expression de δQrev , il vient cP − cV = c h dV χ c l α V = −h β P . Enfin δQrev = 0 entraˆıne = V d’o` u T = P . A ce niveau de dP l cP χS cV description les trois fonctions P (T, V ) , cV (T, V ) et l(T, V ) sont ind´ependantes. δQrev = cV dT + l dV = cP dT + h dP

;

χS = −

 Equations d’´ etat et entropie : gaz parfait ; gaz r´ eel ; corps noir La diff´erentielle de S(U, V ) (U ´energie interne, V volume) dS =

1 (dU + P dV ) T

(´equivalent a` dU = −P dV +δQrev avec δQrev = T dS) d´efinit la temp´ erature thermo∂S −1 ∂S dynamique T (U, V ) = et la pression P (U, V ) = T . On d´eduit donc de S `a ∂U V ∂V U la fois l’´equation d’´etat P (T, V ), l’´energie interne U (T, V ) et les coefficients thermiques. Trois exemples explicites sont :  3 1 a ; S = Cste U 4 V 4 . S = R ln V + f (U ) ; S = R ln(V − b) + f U + V Pour le premier (une mole de G.P.), R ln V mesure la libert´e de position des mol´ecules et f (U ) celle associ´ee `a la r´epartition de l’´energie U entre elles. Dans le second (une mole de gaz r´eel), on tient compte de la taille des mol´ecules (restriction du volume “libre”) et a de l’´energie potentielle (li´ee aux interactions `a distance) − , n´egative et proportionnelle V a la densit´e. La troisi`eme expression (corps noir, c.a.d. gaz de photons) a ´et´e introduite ` aux sections 1.1.4. et 1.3.2. Pour le G.P. la relation dS = RV −1 dV + f  (U ) dU donne P V = RT (donc T co¨ıncide bien avec la temp´erature du gaz parfait) et f  (U ) = T −1 (relation qui d´efinit UGP (T )) ; on a α = β = T −1 , χT = P −1 , l = P , cP − cV = R et −T 2 f  (U ) (fonction de T ). Pour le gaz r´eel un calcul aussi simple donne  cV = a  a P + 2 (V − b) = RT (´ equation de Van der Waals) et U = UGP (T ) − ; enfin V V

7 • Fonctions de plusieurs variables ; analyse vectorielle

240

3 dU 1 dV 4U dS = + donne T = et, pour la pression de radiation pour le corps noir S 4 U 4 V 3S U P = ∝ T 4 (loi de Stefan). 3V REMARQUE. La connaissance de P (T, V ) entraˆıne celles de l(T, V ) et de ∂V cV T ; pour obtenir cV (T, V ) et donc S, il reste `a d´eterminer la d´ependance en T de cV . D´emonstration : appliqu´ee `a l’´energie libre F = U −T S et `a S(T, V ) dont les diff´erentielles s’´ecrivent dF (T, V ) = −S dT − P dV et dS(T, V ) = T −1 (cV dT + l dV ) , l’´egalit´e de Schwarz donne l = T ∂T P V et ∂V cV T = T ∂T (T −1 l) V . En consid´erant la diff´erentielle dG(T, P ) = V dP − S dT de l’enthalpie libre G = F + P V et dS(T, P ), on ´etablit des relations analogues pour h(T, P ) et cP (T, P ).

 Syst` emes ouverts ; extensivit´ e de l’entropie ; enthalpie libre Pour une phase contenant ni moles des esp`eces chimiques i, l’entropie  d´epend des grandeurs extensives X ≡ (U, V, ni ). L’expression dS = T −1 (dU + P dV − i μi dni ) d´efinit les potentiels chimiques d’´equilibre μi . L’extensivit´e S(kX) = k S(X) de S entraˆıne que S est une fonction homog`ene de degr´e un et que (relation d’Euler)     S= Xj ∂j S = T −1 U + P V − μi ni , j

i

soit, `a l’aide de l’enthalpie libre :  μi ni . G = U + PV − TS = i



Elle entraˆıne aussi que S(X) = n S(x) avec n = i ni et x = n−1 X (grandeurs molaires). Les d´eriv´ees partielles de S(X) satisfont f (kX) = f (X) ; ces fonctions homog`enes de degr´e z´ero, qui ne d´ependent que x, sont des grandeurs intensives. EXEMPLES. Pour une seule esp`ece chimique : U V  , , 1 = n s(u, v) et G(P, T, n) = n μ(P, T ) . S(U, V, n) = n S n n Pour le corps noir, S est bien extensive (S(kU, kV ) = k S(U, V )), mais comme n n’apparaˆıt pas, on a μ = 0 et G = 0. REMARQUE. Si au lieu de U , V et ni on choisit les variables P , T et ni , toutes les grandeurs extensives  u f = (U , V , S, G...) satisfont f (P, T, kni ) = k f (P, T, ni ), d’o` i ni fi avec fi = ∂ni f |P,T (relation elange parfait si chaque fi ne d´epend que de P , T et ni et d’Euler pour les variables ni ). On a un m´ pas des nj =i .

 Concavit´ e de l’entropie ; stabilit´ e thermodynamique Soient deux parties d’un mˆeme fluide initialement s´epar´ees et ayant chacune ni (i = 1, 2) moles et des grandeurs molaires xi ≡ (ui , vi ). Si n1 x1 + n2 x2 ´etant fix´e (syst`eme isol´e) l’´evolution des deux parties se fait vers un mˆeme ´etat d’´equilibre (cas d’une seule phase), le second principe entraˆıne que :   n1 x1 + n2 x2 (n1 + n2 ) s ≥ n1 s(x1 ) + n2 s(x2 ) . n1 + n2

7.4 Applications `a la thermodynamique

241

Ceci implique la concavit´e de s (donc aussi celle de S pour n fix´e) : le segment joignant deux points de coordonn´ees (ui , vi , si ) de la surface s(x) est situ´e en dessous d’elle. On en d´eduit (cf. section 7.1.1) la condition (dite de stabilit´ e thermodynamique) :     P  1 1 1 δ 2 S(U, V ) = d dU + d dV = (dP dV − dT dS) < 0 . 2 T T 2T Cons´equences : en annulant successivement dT , dS, dV et dP dans l’in´egalit´e on obtient que χT , χS , cV et cP sont positifs. Comme dG = V dP − S dT on a aussi : δ 2 G(T, P ) =

 1 dP dV − dT dS < 0 . 2

EXEMPLE : fluide de Van der Waals. La consid´eration des termes du second ordre en dU et dV   dans S(U + dU, V + dV ) = R ln(V + dV − b) + f U + dU + a(V + dV )−1 donne :   R a δ2 S = − 12 (V −b) dV 2 + 12 f  (ϕ) dϕ2 (ϕ = U + Va = UGP (T )) . 2 + TV 3 Le terme en dϕ2 est n´egatif (en admettant la concavit´e de S pour le G.P.). Celui en dV 2 s’´ ecrit 1 2

∂V P |T dV 2 (cf. ´ equation d’´etat) et a le signe de −χT . Dans le plan (V, P ) la r´ egion δ2 S < 0 est

celle o` u les isothermes (dϕ = 0) ont une pente n´egative (r´egion physiquement observable, y compris les zones de retard ` a la vaporisation et ` a la liqu´ efaction ; cf. figure 2a du Chapitre 5) ; c’est aussi la r´ egion non gris´ee sur la surface S(U, V ) (figure 38).

S isotherme T =1 c

lignes S = Cste

C

U

V =1 1 Vc 0 3

Figure 38

 Coexistence de phases Avec les conditions d(n1 + n2 ) = 0 et d(n1 x1 + n2 x2 ) = 0 (x ≡ (u, v)), l’´etat d’´equilibre correspond au maximum de n1 s(x1 ) + n ethode des mul2 s(x2 ) et s’obtient avec la m´ tiplicateurs de Lagrange. En ´ecrivant d ( i ni (s(ui , vi ) + λn + λu ui + λv vi )) = 0, on obtient les six relations (annulation des coefficients de dui , dvi et dni ) λu = −Ti−1 , λv = −Pi Ti−1 et s(ui , vi ) + λn + λu ui + λv vi = 0 ,

242

7 • Fonctions de plusieurs variables ; analyse vectorielle

d’o` u T1 = T2 , P1 = P2 et g1 = g2 (ou μ1 = μ2 ). Ces trois ´equations admettent toujours la solution x1 = x2 mais, suivant le m´elange initial, elles peuvent avoir une autre solution x1 = x2 (coexistence de deux phases) d’entropie plus grande. C’est elle qui conduit pour le fluide de Van der Waals a` la construction de Maxwell des paliers d’´equilibre gazliquide dans le plan (V, P ). Cette construction revient (r´eflexion laiss´ee au lecteur) a` remplacer la surface de la figure 38 par son enveloppe concave (g´en´eralisation de la figure 6 du chapitre 5).

7.4.2

Potentiels thermodynamiques et ´ equilibres

 Contraintes int´ erieures ; ´ equilibre global ; variables associ´ ees Un syst`eme contraint int´erieurement peut ˆetre compos´e de plusieurs parties chacune en ´equilibre sans qu’il y ait ´equilibre global entre elles, par exemple plusieurs phases avec des parois adapt´ees permettant le contrˆ ole des ´echanges volumiques, thermiques et mol´eculaires. Il peut aussi n’y avoir qu’un ´equilibre partiel au sein des phases (contrˆ ole des r´eactions chimiques une par une dans chaque phase avec des catalyseurs adapt´es). On peut aussi envisager des contraintes par la pens´ee si elles ne sont pas contradictoires avec les lois physiques. Dans tous les cas il faut distinguer dans l’expression de l’entropie totale St du syst`eme les variables X t qui ne varient pas lors de l’´evolution vers l’´equilibre global de celles X dont les valeurs changent avec la lev´ee des contraintes. X t ´etant fix´e l’´equilibre global est atteint lorsque St , fonction de X, est maximum. EXEMPLE 1. Equilibres chimiques. (Syst`eme comportant c esp`eces  chimiques i, ϕ phases α et si`ege de r r´eactions ρ). Pour chaque phase dSα = Tα−1 dUα + Pα dVα −    eme est isol´e, Ut = es. Si il i μiα dniα . Si le syst` α Uα et Vt = α Vα sont fix´ est ferm´e, on peut s´ e parer dans dn l’effet des r´ e actions et celui des ´ e changes entre iα  phases : dniα = ρ νiρ dξρα + δniα ; ξρα est l’avancement de la r´ eaction ρ dans la phase α, νiρ est  le coefficient stoechiom´etrique de l’esp` ece i dans la r´eaction ρ, et  on a les conditions α δniα = 0. L’´equilibre global, St = α Sα maximum, s’obtient en introduisant les 2 + c multiplicateurs de Lagrange λU = −T −1 , λV = −T −1 P et λni = T −1 μi . De / 0   μi   1  P  d niα − =0, dSt − dUα − dVα + νiρ ξρα T α T α T α ρ i on d´eduit (annulation des coefficients de dUα , dVα , dniα et dξρα ) :  μiα = μi ; − μi νiρ = Aρ = 0 . Tα = T ; Pα = P ; i

Ceci exprime l’´egalit´e des temp´eratures, des pressions, des potentiels chimiques de chaque esp`ece et l’annulation des affinit´es Aρ . Cons´equence : si on s’int´eresse aux 2 + ϕ(c − 1) variables intensives P , T , et niα /nα d´ecrivant l’ensemble des situations d’´equilibre exp´erimentalement observables, les (ϕ − 1)c + r conditions sur les potentiels font que seules v = c − r + 2 − ϕ d’entre elles sont ind´ependantes (r` egle des phases pour la variance). EXEMPLE 2. Loi de Boltzmann. La r´ epartition de N constituants microscopiques identiques et ind´ependants (pas n´ecessairement monoparticulaires) ` a raison de Nα par ´etat microscopique α

7.4 Applications `a la thermodynamique

243

(d’´energies α fix´ ees) peut se faire de Ω = Π N! fa¸cons. On en d´eduit que S(X ≡ {Nα })  α Nα !    Nα Nα − α kB Nα ln N (formule de Stirling), et que dS = −kB α ln N dNα (car α dNα = 0). La   es s’obtient comme dans l’exemple 1 par : r´ epartition d’´equilibre avec U = α Nα α et N = α Nα fix´  Nα 1 dS−T −1 α (α −μ) dNα = 0. En annulant les coefficients des dNα , il vient N = exp− k T (α −μ). B

 Potentiels thermodynamiques Souvent on s’int´eresse `a des ´evolutions relatives a` des syst`emes en ´equilibre de temp´erature et de pression avec une source qui fixe P et T (l’atmosph`ere par exemple), ou a` des d´eplacements d’´equilibre lorsque P et (ou) T varient. Il faut alors consid´erer l’entropie St = S + T −1 (Us + P Vs ) = S + Ss de l’ensemble isol´e constitu´e par le syst`eme (d’entropie S) et la source (indic´ee par s) : St = T −1 (Ut + P Vt − G)

avec Ut = U + Us , Vt = V + Vs et G = U + P V − T S .

St d´epend de X t ≡ (Ut , Vt , P, T ) et, a` travers G, de variables de contraintes internes au syst`eme X. Si on ´ecrit dS = T −1 (dU + P dV ) + ∂X S U,V dX, on a : dG = V dP − S dT − A dX avec A = −∂X G

P,T

= T ∂X S

U,V

.

En tant que fonction de X, G(P, T, X) s’appelle potentiel thermodynamique car toute ´evolution ΔSt ≥ 0 de l’ensemble isol´e syst`eme plus source (Ut et Vt fix´es) s’accompagne d’une diminution de G (jusqu’` a un minimum). A l’´equilibre A = 0 et Geq (P, T ) =  G P, T, X eq (P, T ) . REMARQUES. 1) Si l’ensemble est thermiquement (mais pas m´ecaniquement) isol´e, et si ΔVt = 0, la a la notion de travail utile maximum −ΔG condition ΔSt ≥ 0 devient −ΔUt ≤ −ΔG. Elle conduit ` pouvant ˆ etre extrait de l’ensemble lorsque X varie (exemple : travail ´electrique fourni par une pile). 2) Si la source ne fixe que la temp´erature, G doit ˆ etre remplac´e par F = U − T S.

 D´ eplacements d’´ equilibres Une variation de P et (ou) T induit une variation de X eq . En se limitant `a une seule composante pour X, ce d´eplacement s’obtient en minimisant (par rapport a` X) G(P + dP, T + dT, X) = G(P, T, X) + V (P, T, X) dP − S(P, T, X) dT , dont le d´eveloppement pr`es de Xeq = Xeq (P, T ) est la fonction du second degr´e en X : " # 1 G(P, T, Xeq ) − ∂X A P,T (X − Xeq )2 + ∂X V P,T dP − ∂X S P,T dT (X − Xeq ) . 2 (∂X A

P,T

< 0 puisque G(P, T, X) est minimum en Xeq .)

EXEMPLE 1. Une r´ eaction chimique dans une phase (ferm´  ee). Dans ce cas X = ξ est l’avancement de la r´ e action (dn = ν dξ ), et A = − i i i μi νi (on rappelle  que dS = T −1 (dU + P dV − i μi dni )). Pour dT = 0, dξeq a le signe de (−∂X V ) dP : loi de Le Chatelier ; (la figure 39 repr´esente le d´eplacement d’´equilibre pour dP > 0 et V (P, T, ξ) fonction croissante de ξ). Pour dP = 0, dξeq a le signe de ∂X S P,T dT (ou encore de ∂X H P,T dT car d(H = U + P V ) = T dS si dP = 0 et si ξ = ξeq ) : loi de Van’t Hoff.

7 • Fonctions de plusieurs variables ; analyse vectorielle

244

V(P,T, ) dP

G

G(P+dP,T, )

G Barrière de potentiel n1 1 + n2

2

G(P,T, )

d eq

0

eq

Figure 39

n2 Figure 40

EXEMPLE 2. Syst` eme diphas´ e : G = n1 μ1 + n2 μ2 avec n1 = n − n2 . Il y a ´ equivalence avec une epar´ees, μ1 et μ2 ne d´ependent que r´ eaction 1  2 (ξ = n2 et A = μ1 − μ2 ), mais les phases ´etant s´ es (o` u ∂ξ A|U,V = 0), on a ´ evolution totale de P et T et ∂ξ A|P,T = 0. Contrairement au cas U, V fix´ vers la phase de plus petit μ (par exemple la glace, phase 2, si θ < 0o C). Remarque : l’observation, en apparence contradictoire, d’eau surfondue (phase 1) tient ` a ce que si on avait un petit gla¸con dans l’eau, il faudrait tenir compte dans l’´energie totale U (et donc dans G) de l’´energie de tension 2

superficielle γ × (surface du gla¸con) ∝ (n2 ) 3 . Alors, pr`es de n2 = 0, G(P, T, n2 ) croit au lieu de d´ ecroitre : il y a une barri` ere de potentiel (figure 40) qui explique la m´ etastabilit´ e de l’eau surfondue. EXEMPLE 3 : Bifurcation ; param` etre d’ordre. Si le potentiel thermodynamique Φ (F ou G ou...) → − est tel que la variation d’un param`etre de controle X t (P , T , champ magn´etique B , etc.) entraˆıne pour X, au lieu d’un simple d´eplacement d’´equilibre, une bifurcation de la solution d’´equilibre X eq (correspondant au minimum du potentiel), on dit que X est un param`etre d’ordre. La figure 41 donne, quand T varie, un exemple d’´echange de deux solutions, et la figure 42 le passage de une ` a deux solutions “sym´etriques” l’une de l’autre. Comme

d dT

G (T, P, Xeq (T )) = ∂T G = −S ` a P constant, le

premier cas correspond ` a S2 = S1 ; un exemple explicite est fourni par le fluide de Van der Waals     (avec T fix´ e et P variable) : G(T, P, X ≡ V ) = − Va + ϕ(T ) + P V − T R ln(V − b) + f (ϕ(T )) . Le ` la section 5.1.4. (figure 10) en est un second cas correspond a ` S2 = S1 ; le ferromagn´etisme trait´e a exemple (avec Φ ≡ F et X ≡ x taux d’aimantation).



1

2

1

2

1

2

T < T0 phase 1 stable



T < T0 deux solutions

T =T0

T =T0

T > T0 phase 2 stable

T > T0 une solution

X Figure 41

X Figure 42

7.5 Applications `a l’´electromagn´etisme

7.5 7.5.1

245

` L’ELECTROMAGN ´ ´ APPLICATIONS A ETISME Formulation int´ egrale ; champs statiques ; milieux

 Electromagn´ etisme dans le vide → − Rappelons les ´ equations de Maxwell qui relient les champs ´electrique E et magn´etique → − B aux densit´es volumiques de charge ρ et de courant j : − → ρ div E = 0

− → div B = 0

;

;

→ − − ∂B − →→ rot E = − ∂t

→ −  − ∂E  −→ →

rot B = μ0 j + 0 . ∂t

;

Ces E.D.P. sont la version locale des relations int´egrales (avec contours et surfaces fixes) :  → − → − → − → − → − → − d Q d ΦS ( E ) = ; ΦS ( B ) = 0 ; Cγ ( E ) = − ϕS ( B ) ; Cγ ( B ) = μ0 I +0 ϕS ( E ) . 0 dt dt Les notations ϕS , ΦS et Cγ sont d´efinies a` la section 7.2.3. Q est la charge contenue dans le volume limit´e par la surface ferm´ee S, et I est l’intensit´e du courant (flux ϕS ( j) ou quantit´e de charge par unit´e de temps) `a travers la surface ouverte S qui s’appuie sur γ. Pour le circuit {γ − γ} de la figure 43 (sur lequel s’appuie une surface ferm´ee), la derni`ere relation s’´ecrit (puisque alors ϕ ≡ Φ) 0=I+

dQ dt

(version int´egrale de ∂t ρ + div j = 0) ; c’est cette L.C. de la charge que Maxwell a pris → − en compte pour introduire le courant de d´ eplacement 0 ∂t E .

dS n

­ ­

−

n dl

2



2



1

dl

1 (b)

(a) Figure 43

n

Figure 44

→ − → − (Dis)continuit´ es de E et B . Soit Σ une surface porteuse de densit´es surfaciques de charge σ et de courant js . Si V est un petit volume cylindrique (limit´e par S ferm´ee) qui d´ecoupe sur Σ la surface ´el´ementaire dΣ et dont la hauteur tend vers z´ero (figure 44a), alors : → − → − σs ΦS ( E ) = (En2 − En1 ) dΣ = dΣ et ΦS ( B ) = (Bn2 − Bn1 ) dΣ = 0 ; 0

7 • Fonctions de plusieurs variables ; analyse vectorielle

246

on en d´eduit, pour les composantes normales des champs : En2 − En1 =

σs 0

;

Bn2 = Bn1 .

De mˆeme si γ est un circuit ´el´ementaire ferm´e dont les cˆot´es qui coupent Σ tendent vers → − → − z´ero, et les cˆ ot´es parall`eles `a Σ sont dl cˆot´e 2 et − dl cˆot´e 1 (figure 44b), alors : → − → − → − → − → − → − → − → − → − n ∧ dl) . Cγ ( E ) = ( E 2 − E 1 ) · dl = 0 et Cγ ( B ) = ( B 2 − B 1 ) · dl = μ0 I = μ0 js · (ˆ Ceci entraˆıne pour les composantes tangentielles des champs : → − − → E t2 = E t1

− → → − B t2 − B t1 = μ0 js ∧ n ˆ.

;

La seule hypoth`ese faite est d’avoir suppos´e les champs born´es.

 Champs statiques ; approximation des r´ egimes quasi-stationnaires (A.R.Q.S) La formulation int´egrale permet de d´eterminer ces champs tr`es simplement en utilisant des “arguments de sym´etrie” (cf. section 3.4.3). On se limite `a l’´etablissement des formules de base. → − Electrostatique. Pour une charge ponctuelle q `a l’origine, E ( r) est dirig´e selon rˆ. → − q Donc pour une sph`ere S de rayon r centr´ee en O, on a ΦS ( E ) = 4πr2 E = , d’o` u 0 → − 1 q rˆ. E ( r) = 4π0 r2 Magn´ etostatique. On d´emontre facilement la formule de Biot et Savart donnant la → − contribution d’un ´el´ement de courant I dl situ´e en m au champ magn´etique en M → − −→ μ0 dl ∧ rˆ I dB = 4π r2

−−→ avec r = mM

dB M

+ Q(t)

m

.

I(t) = Q(t)

− Q(t)

Figure 45 −→ en rempla¸cant l’´el´ement de courant par le dipole (ou l’antenne) de la figure 45. Comme dB −→ −→ d est orthoradial, on a Cγ (dB) = 2πr sin θ dB = 0 μ0 ϕS (dE), avec dans l’approximation dt   −→ 1 1 dl sin θ , ´electrostatique ϕS (dE) = Q 2π(1 − cos θ+ ) − 2π(1 − cos θ− ) = Q sin θ 4π0 20 r

7.5 Applications `a l’´electromagn´etisme

247

μ0 I sin θ dl. Un fil parcouru par un courant I peut ˆetre mod´elis´e par une 4πr2 → − “suite continue” de tels dipoles. Remarque : si I donc B d´epend du temps, il y a un ¨ ; il est n´egligeable si I varie champ ´electrique induit suppl´ementaire proportionnel a` Q lentement : A.R.Q.S. qui consiste `a n´egliger les d´eriv´ees secondes par rapport au temps des grandeurs impliqu´ees. d’o` u dB =

 S´ eparation macroscopique des charges et courants dans un milieu neutre (di´electrique et/ou magn´etique) (figure 46) On consid`ere un milieu dans lequel les charges sont regroup´ees par “paquets neutres” − → (mol´ecules par exemple) et, par la pens´ee, un ´el´ement de surface dS = dS n ˆ `a l’int´erieur. − → Il va couper de nombreux “paquets” et laisser des deux cˆot´es (1 et 2) de dS des charges → − → − − → proportionnelles a` dS et oppos´ees, qu’on peut ´ecrire ± P · dS ( P = 0 si le milieu est → − polaris´e). Si P ( r, t) est une fonction r´eguli`ere de r, on en d´eduit qu’un volume ´el´ementaire → − → − d3 r dans le milieu contient une charge −div P d3 r (flux de − P `a travers sa surface), et − → → → − − que l’intensit´e du courant associ´e au mouvement de ces charges `a travers dS est ∂t P · dS.

dS vide +P . dS

−P . dS

+ + +−+− − −

vide

dS

milieu

n dS

pol dS

dl

− div P d3 r j mag

dl

n

milieu

Figure 46

Figure 47

Le milieu peut donc ˆetre d´ecrit par des densit´ es de charges et de courants dites de polarisation di´ electrique : → − ∂P

σpol . ; ρpol ; jpol = ∂t − → (σpol dS est la charge laiss´ee `a la fronti`ere du milieu quand dS s’en rapproche.) La L.C. − → des charges ∂t ρpol + div jpol = 0 est satisfaite. Mais comme div rot (· · · ) = 0, on peut − → − → cependant ajouter a priori a` jpol une densit´e volumique rot M (qui devient surfacique `a →  − →  − → − → − → − → −→ − la fronti`ere du milieu : rot M · dS = M · dl = (M ∧ n ˆ ) · ( dl ∧ n ˆ ) ; figure 47). Cette contribution, dite magn´ etique aux courants, est donc : − → = P ·n ˆ

→ →−

jmag = − rot M

− → = −div P

;

→

js,mag = − M ∧n ˆ.

7 • Fonctions de plusieurs variables ; analyse vectorielle

248

→ − REMARQUE : en premi`ere approximation P est la densit´e volumique de moments dipolaires ´electriques ; par exemple (figure 48) pour une densit´e uniforme n de dipoles p = q l → − → → − − identiques, on a P · dS = nq l · dS, car les dipoles coup´es en deux par dS ont leurs − → − → centres situ´es dans un volume l · dS. De mˆeme M est assimilable `a la densit´e volumique n μ de moments magn´etiques si on consid`ere des “boucles microscopiques de courant” de → − moment

μ = i s (figures 49a,b). En effet un ´el´ement dl traverse n dl · s boucles auxquelles → − → − → − est associ´e le courant ni dl · s = M · dl, et donc tout circuit ferm´e γ est travers´e par un  − → − → → − → − →− courant γ M · dl = rot M · dS.

s

+q +q

+q +q

−q

+q

dl

dS +q

−q

−q

−q −q

(a)

l

­

−q Figure 48

(b)

Figure 49

→ − − → Equations de Maxwell. Les lois pour les champs macroscopiques E et B dansles milieux sed´eduisent → − → − → − →− P + rot M , o` u Qext alors de celles dans le vide en rempla¸cant Q par Qext −ΦS ( P ) et I par Iext +ϕS ∂∂t → − − → − → → − → − − → et Iext sont les charges et courants ext´erieurs aux milieux. En posant D = 0 E + P et B = μ0 ( H + M ) elles s’´ecrivent simplement : → − → − ΦS ( B ) = 0 ΦS ( D ) = Qext ;

→ − → − → − → − Cγ ( E ) = − d ϕS ( B ) ; Cγ ( H ) = Iext + d ϕS ( D ) . dt dt Elles impliquent, ` a la travers´ ee de toute surface S neutre s´eparant deux milieux, la continuit´e de Dn , → − → → − → − − → − Bn , E t et H t et, comme cons´equence, celle du flux du vecteur de Poynting ( E ∧ H ) · dS, qui correspond ;

au flux d’´ energie ´ electromagn´ etique. Sous forme diff´erentielle ces lois s’´ecrivent : → − → → − → − − → − − →− − →→ div B = 0 ; rot E = −∂t B div D = ρext ; ; rot H = jext + ∂t D .

7.5.2

Potentiel scalaire et potentiel vecteur ; bilans d’´ energie et de quantit´ e de mouvement ; A.R.Q.S.

On consid`ere les ´equations de Maxwell dans le vide.

 Potentiels scalaire et vecteur ; solution g´ en´ erale → − Les conditions de nullit´e vues `a la section 7.2.3 entraˆınent que div B = 0 a pour solution − → → → → → − → −−→ − −→ − − →− −→ − B = rot A , et que rot E = −∂t (rot A ) permet d’´ecrire E = −∂t A − gradV . Les deux autres ´equations deviennent : → − ρ , −∂t (div A ) − ΔV = 0   −−→ → → − → − → −−→ − − → − →− rot (rot A ) = grad (div A ) − Δ A = μ0 j + 0 (−∂t2 A − grad ∂t V ) .

7.5 Applications `a l’´electromagn´etisme

249

Elles se simplifient grandement si on remarque que le changement de jauge sur les potentiels → − → −−→ − A → A + gradϕ ; V → V − ∂t ϕ → − − → laisse les champs E et B inchang´es quel que soit ϕ. En choisissant ϕ de sorte que le nou− → → − veau couple (V, A ) v´erifie div A + 0 μ0 ∂t V = 0 (jauge de Lorentz), elles deviennent :     → 1 ∂2 ρ 1 ∂2 − Δ− 2 2 V =− ; Δ − 2 2 A = −μ0 j (0 μ0 c2 = 1) . c ∂t 0 c ∂t La solution “physique” de ces ´equations   | r − r | 1 ρ r, t0 − c 0 V ( r0 , t0 ) = d3 r 4π0 | r − r0 |

;

− → A ( r0 , t0 ) =



 | r − r | μ0 j r, t0 − c 0 d3 r 4π | r − r0 |

est ´etablie `a la section 8.2.2. L’A.R.Q.S. (“∂t2 n´egligeable”) ´equivaut `a faire tendre c vers l’infini dans les E.D.P. ci-dessus et consiste donc `a ne pas tenir compte de la propagation dans leur solution. Concr`etement pour un ph´enom`ene de p´eriode T , l’A.R.Q.S. n’est valable que dans un domaine dont la taille L est telle que L  cT .

 Bilans d’´ energie et de quantit´ e de mouvement Des ´equations de Maxwell dans le vide on d´eduit les relations 

  →2  − → − −2  → → B E → B − − 3 + d r = − E ∧ · dS ∂t 0 2 2μ μ 0 0 V V S     − − → → → − → − − → ρ E + j ∧ B d3 r + 0 ∂t ( E ∧ B ) d3 r = −  [P] dS → 3

j · − Ed r+

V

avec Pxx



V

S

−2 → −2 →   E 1 B 1 2 − Ex + − Bx2 · · · et Pxy = −0 Ex Ey − = 0 Bx By · · · . 2 μ0 2 μ0

→ → − → − − → →− − → − →− → → − − →− →− ´ DEMONSTRATION : la premi`ere r´ esulte de div ( E ∧ B ) = B rot E − E rot B = − B ∂t B − μ0 E (j + → − 0 ∂t E ). Pour la deuxi`eme on d´eduit des E.D.P. de Maxwell que le membre de gauche n’est autre que → − − → − → → − → − − → − → → − → − →− →− l’int´egrale triple de [−0 ( E ∧ rot E − E div E ) − μ−1 0 ( B ∧ rot B − B div B )], car div B = 0 ; pour trouver [P] au second membre, il suffit d’´ecrire chaque composante de [· · · ] comme une divergence ; par → − − → − → → − →− exemple : ( E ∧ rot E − E div E )x = Ey (∂x Ey − ∂y Ex )− Ez (∂z Ex − ∂x Ez )− Ex (∂x Ex + ∂y Ey + ∂z Ez ) = electromagn´ etique. ∂x 21 (Ey2 + Ez2 − Ex2 ) + ∂y (−Ey Ex ) + ∂z (−Ez Ex ). [P] est la matrice de pression ´

→ − − → Interpr´etation : comme pour une charge libre q soumise `a l’action de E et B les variations → − → − → − dEc d

p d

p = q ( E + v ∧ B ) et = v · = q E · v , de quantit´e de mouvement et d’´energie sont dt dt dt il est naturel (en consid´erant le premier terme du membre de gauche) d’interpr´eter ces deux relations pour des charges libres comme :

d [´energie ou quantit´e de mouvement, dans le volume V , des charges et du champ dt ´electromagn´etique] =− [flux sortant d’´energie ou de quantit´e de mouvement `a travers la surface S qui limite V ] ”. “

7 • Fonctions de plusieurs variables ; analyse vectorielle

250

En particulier 0

→2 − −2 → B E + est la densit´e volumique d’´energie ´electromagn´etique du 2 2μ0

champ.

− → → −→ − − → → −−→ − Approximation A.R.Q.S.. En ´ecrivant E 2 = E · (−∂t A − gradV ) et B 2 = B · rot A , et en utilisant les ´equations de Maxwell, un calcul ´el´ementaire conduit `a : 0

→ − → → − → − − → → − − → → − E2 B2 1 1 0 − + ( A · ∂t E − E · ∂t A ) , = (ρV + j · A ) − div(0 V E + μ−1 0 B ∧ A) + 2 2μ0 2 2 2 → − → − et − j · E = j · ∂t A + V ∂t ρ + div(V j) (avec la L.C. de la charge) .

Dans l’A.R.Q.S. les int´egrales sur R3 des divergences donnent 0 (d´ecroissance `a l’infini au → − → − → → − − moins en r−2 et r−1 des champs et potentiels), et la d´eriv´ee temporelle de A ·∂t E − E ·∂t A est n´egligeable. Le bilan ´energ´etique devient :   #  → − → d " 1 − 1 Eem = ρV + j · A d3 r = (V ∂t ρ + j · ∂t A ) d3 r . dt 2 2 On peut mˆeme s´eparer le bilan ´ electrique du bilan magn´ etique. Eem est facile ` a calculer pour des fils parcourus par des courants (magn´etostatique). Comme pour chaque  − → → − → 3 j · − A d r = I fil A · dr = I ϕ on obtient : fil fil  Eem = i 21 Ii ϕi .  → → 3 → − − j · ∂t − A d r = I fil ∂t A · dr. Comme on a vu ` a la section 7.2.3 que De mˆ eme pour chaque fil   fil − → − → − → → − − → d I∂ ϕ ( B ) − I( dr ∧ B ) ·  v , on en d´ e duit le bilan g´ e n´ e ral d’´ e nergie A · dr = I t γ γ dt S  dEem = i Ii dϕi − δW  o` u −δW , oppos´e du travail des forces de Laplace, est le travail des sources m´ecaniques et i Ii dϕi est energie potentielle celui des sources ´electriques (cf. section 7.3.1). On v´erifie que −δW = dEp avec pour l’´ Ep = Eem ou Ep = −Eem suivant que les param`etres choisis sont les flux ou les intensit´es.

7.5.3

Calculs avec des densit´ es microscopiques ; rayonnement

On rappelle (cf. section 7.2.4) que pour des charges ponctuelles :       qi δ r − ri (t) ; j micro ( r, t) = qi vi δ r − ri (t) . ρmicro ( r, t) = i



i



Int´egr´ees dans un volume V , ces densit´es donnent i qi et i qi vi o` u la somme porte sur les charges contenues dans V ` a l’instant t. Pour un volume ´ e l´ e mentaire d3 r centr´e en  

r contenant suffisamment de charges, i qi et i qi vi sont assimilables `a ρ( r, t) d3 r et →

j( r, t) d3 r (ou I − dl pour un ´el´ement de courant) avec ρ et j “continus”. Nous allons voir quelques applications de ce “double langage” avant de consid´erer l’effet du lissage de ces densit´es (remplacement de δ( r) par f ( r)).

 Moments dipolaire et quadrupolaire ´ electriques ; moment magn´ etique Certains r´esultats sont beaucoup plus rapides `a obtenir “microscopiquement”. Par exemple  d  d

p pour un volume V contenant toutes les charges, la relation qi vi = qi ri = dt dt i i

7.5 Applications `a l’´electromagn´etisme

251

(

p moment dipolaire electrique) est ´evidente, alors que la d´emonstration de son  ´ d 3

j ( r, t) d r = ´equivalent continu ρ ( r, t) r d3 r fait appel `a l’´egalit´e dt V V −−→

ji = j · grad xi = div (xi j) − xi div j 

j ( r, t) et a` la L.C. ∂t ρ + divj = 0. De mˆeme on ´etablit facilement que la quantit´e V  1  1 d  qi vi ( ri · u ˆ) = qi ( ri ∧ vi ) ∧ u ˆ+ qi ri ( ri · u ˆ), o` u μ = ( r · u ˆ) d3 r s’´ecrit 2 i 2 dt i i  1  qi ( ri ∧ vi ) est un moment magn´ etique, et o` u i qi ri ( ri · u ˆ) est un terme (de 2 i type) grandeur quadrupolaire.

 Applications 1) Pour une distribution stationnaire (magn´ etostatique), on a 

   → − j( r) μ0 μ0 ˆ0 3

j( r) 1 + r · u d r= + · · · d3 r A ( r0 ) = 4π r − r0 | 4πr0 r0 V |

V

r0 ) ; l’int´egrale de j, ´egale p ˙ , ´etant nulle (

p ind´ependant r0 de t) ainsi que la d´eriv´ee temporelle du terme quadrupolaire, la distribution de courants est ´equivalente a` un moment magn´etique : → − μ0 A ( r0 ) 

μ ∧ u ˆ0 . 4πr02 a grande distance (avec u ` ˆ0 =

2) De mˆeme pour le potentiel rayonn´ e (termes proportionnels a` r0−1 ) par une distribution quelconque de charges et de courants, on a   | r− r | → − μ0 j r, t − c 0 d3 r A ( r0 , t0 ) = 4π | r − r0 |         ˆ0 3 μ0

j r, t0 − r0 d3 r + d

j r, t0 − r0 r · u d r + ···  4πr0 c dt c c V V | r − r0 | pour r0 grand). Avec les densit´es microscoc piques on obtient imm´ediatement le d´ebut du d´eveloppement multipolaire  → − μ0  ˙ 1 ˙ 1 d2  A ( r0 , t0 )  μ∧u ˆ0 + p+

q

r (

r · u ˆ ) + · · · , i i i 0 4πr0 c 2c dt2 i (d´eveloppement au num´erateur de

r0 le second membre ´etant calcul´e `a l’instant t0 − . Au premier ordre en r0−1 l’action sur c → − → − → − u ˆ0 → − → − → − u ˆ0 ∧ ∂t0 A et, `a A de ∇ r0 ´equivaut `a − ∂t0 ; on en d´eduit que B = ∇ r0 ∧ A = − c c → − → − → − → − → − partir de ∇ r0 ∧ B = 0 μ0 ∂t0 E , que E = −c u ˆ 0 ∧ B (comme pour une onde plane). Si → − → − ∂t0 A est selon Oz, alors E = −∂t0 Az sin θ θˆ (figure 50). Si vi  c, ou pour des courants de p´eriode T confin´es dans une antenne de dimension l  cT = λ, le premier terme du d´eveloppement est dominant : rayonnement dipolaire ´ electrique.

7 • Fonctions de plusieurs variables ; analyse vectorielle

252

z B t 0A

θ

u0

r E

Figure 50  Lissage des charges et des courants dans un milieu neutre Regroupons les charges par paquets neutres α (mol´ecules par exemple), et soient  rα (t) le vecteur position de leur centre de masse et  ri,α (t) le vecteur joignant le c.d.m. ` a une charge qi,α d’un paquet ; pour chaque   1 ri,α (t) et  μα (t) = ri,α (t) ∧  vi,α (t). 1) La forme “liss´ee” paquet posons p α (t) = i∈α qi,α  i∈α 2 qi,α    micro q f ( r − ( r +  r )) de ρ (δ remplac´ e par f ) s’´ e crit, ` a l’aide du d´eveloppement au α i,α i,α α i → − ri,α ))  f ( r − rα ) −  ri,α · ∇f ( r − rα ), et en tenant compte de la neutralit´e de premier ordre f ( r − ( rα +     → −  ( α (t) · ∇f ( r − rα (t)) = −div α (t) f ( r− rα (t) = −div P r , t) = ρpol ( r , t). chaque paquet : − α p αp → − P ( r , t) repr´esente une densit´e volumique demoments dipolaires. 2) De mˆ e me un d´ e veloppement de    la densit´ e de courant microscopique “liss´ee” vα + vi,α ) f ( r − ( rα +  ri,α ))  α (−( pα · α i qi,α ( → − → − ∇f ) vα + p ˙ α f −  μα ∧ ∇f ) (en n´egligeant le terme quadrupolaire) montre que la densit´e moyenne de → −  → − → − →− P + rot M avec M ( r , t) =  α (t) f ( r− rα (t)) si on peut n´egliger aussi courant s’´ ecrit j( r , t) = ∂∂t α μ | pα | | vα | devant | μα |. REMARQUE. Dans les conducteurs (et pour des charges libres de mˆeme type), on ´ecrit plus simplement   vi (t) f ( r− ri (t)) = v(t) r − ri (t)) = ρ( r , t) v ( r , t) , i qi  i q f ( → − o` u ρ et  v sont la densit´e de charge et la vitesse moyennes ; en r´egime variable ρ v correspond ` a ∂t P dans la mod´elisation pr´ec´ edente.

Chapitre 8

Equations aux d´ eriv´ ees partielles ; propagation ; diffusion

En physique les ´equations aux d´eriv´ees partielles (E.D.P.) relient des champs, d´ependant en g´en´eral de l’espace et du temps f ( r, t), a` leurs d´eriv´ees partielles. Lorsque la variable t est pr´esente il est naturel, comme le montre l’analogie entre corde vibrante et chaˆıne d’oscillateurs coupl´es, de consid´erer les E.D.P. comme des syst`emes dynamiques `a un nombre infini (continu) de degr´es de libert´e indic´es par r. Cependant un aspect nouveau tr`es important est le rˆ ole jou´e par les conditions aux limites (C.L.), par exemple la donn´ee de f ` a tout instant sur des surfaces, a` la place des (ou avec les) conditions initiales (C.I.). On ´etudiera essentiellement le cas particulier, mais non trivial, des E.D.P. lin´eaires `a coefficients constants (sans ou avec second membre), notamment celles introduites a` propos des cordes vibrantes (d’Alembert 1747), de la conduction thermique (Fourier 1822), de la gravitation et de l’´electromagn´etisme (Laplace 1780, Poisson 1813, Maxwell 1864, etc.) et de la m´ecanique quantique (Schr¨ odinger 1925). Quelques exemples autres (non lin´eaires en particulier) montreront au lecteur que la richesse du domaine des E.D.P. ne se r´esume pas a` l’´etude de ces exemples historiques.

8.1

` ´ ; CHAINES DE SYSTEMES DYNAMIQUES COUPLES LIMITE CONTINUE

On ´etudie, a` partir d’exemples, quelques syst`emes infinis d’E.D. lin´eaires et stationnaires (pour des grandeurs not´ees Ψn (t) ≡ Ψ(n, t) ; n = −∞ · · · − 1, 0, 1 · · · ∞), pr´esentant une invariance de translation discr`ete (Ψn → Ψn+1 ). Dans la limite continue les Ψ(n, t) deviennent une onde Ψ(x, t) et le syst`eme infini d’E.D. une E.D.P. ; de nombreuses grandeurs passent ainsi du “discret” au “continu”.

254

8.1.1

8 • Equations aux d´eriv´ees partielles ; propagation ; diffusion

Chaines d’oscillateurs ; rˆ ole des conditions aux limites ; phonons

 Petites oscillations longitudinales de pendules simples coupl´ es (figure 1)

a

a g

n−1

n

n+1

Figure 1 Les ´ecarts aux positions d’´equilibre Ψn (t) satisfont les ´equations : ¨ n = −mω02 Ψn − K(Ψn − Ψn−1 ) − K(Ψn − Ψn+1 ) mΨ

(ω0 pulsation d’un pendule isol´e) .

Comme pour un nombre fini d’oscillateurs, il est naturel de chercher les solutions sous forme de modes (cf. section 6.2.2). En posant Ψn (t) = An e−iωt , on obtient la relation de r´ecurrence d’ordre 2 :  K . γAn−1 + (ω 2 − ω02 − 2γ) An + γ An+1 = 0 γ= m (Si on pose Ψn (t) = an cos(ωt+Φ) les an satisfont la mˆeme relation.) Sa solution g´en´erale d´epend a` priori de deux constantes ; on v´erifie facilement, en essayant des solutions An = αrn , qu’elle s’´ecrit α1 r1n + α2 r2n o` u r1 et r2 sont les racines de l’´equation du second degr´e γr2 + (ω 2 − ω02 − 2γ) r + γ = 0. r1 et r2 sont de la forme r1,2 = e±ϕ si ω 2 ∈ [0, ω02 ] (solutions qui disparaissent si ω0 = 0), r1,2 = e±iϕ si ω 2 ∈ [ω02 , ω02 + 4γ] et r1,2 = −e±ϕ si ω 2 > ω02 + 4γ. Ce passage des E.D. a` une relation de r´ecurrence puis aux solutions Ψn (t) = Ψ rn e−iωt , o` u r satisfait une ´equation alg´ebrique, s’applique `a de nombreux autres exemples.

 Rˆ ole des conditions aux limites (C.L.) Pour un syst` eme infini les solutions acceptables sont celles avec |r| = 1 car elles doivent rester born´ees quand n → ±∞. Bien que la p´eriodicit´e spatiale “a” du syt`eme (cf. figure 1) n’apparaisse pas dans les ´equations, on pose r = e±ika ; k est d´efini " π π# 2π et en pratique on choisit k ∈ − , . La solution g´en´erale (complexe) modulo a a a Ψn (t) = α1 e−i(ωt−nka) + α2 e−i(ωt+nka) s’interpr`ete alors comme une somme de deux ondes propagatives se propageant en sens inverses le long de la chaˆıne de pendules. De γr + (ω 2 − ω02 − 2γ) + γr−1 = 0 on d´eduit la relation ω 2 = ω02 + 2γ (1 − cos ka) entre ω et k appel´ee relation de dispersion des ondes (figure 2). Cette relation est ´egalement valable pour les solutions (r´eelles) Ψn (t) = a cos(ωt + Φ) cos(nka + ϕ). Ces ondes stationnaires sont l’analogue des modes propres ´etudi´es `a la section 6.2.2, les fr´equences propres (discr`etes) ´etant ici remplac´ees par une bande (continue) de fr´equences.

8.1 Chaines de syst`emes dynamiques coupl´es ; limite continue

255

(k) 2 0 + 4­

0

0

−a

a

k

Figure 2 Pour un syst` eme semi-infini (n = 0, 1 · · · ∞) la racine r telle que |r| < 1 est aussi acceptable. En posant r = e−|k|a (si ω 2 < ω02 ) ou r = −e−|k|a (si ω 2 > ω02 + 4γ), on obtient les solutions de la forme e−iωt e−n|k|a ou e−iωt (−1)n e−n|k|a , et les relations ω 2 = ω02 + 2γ (1 ∓ cosh |k|a). De telles solutions non propagatives sont observ´ees si on impose au pendule “0” une pulsation ω satisfaisant les conditions ci-dessus. Le cas d’un syst` eme fini de N pendules identiques peut ˆetre d´eduit de celui du syst`eme infini en imposant a` ce dernier des C.L. particuli`eres. Par exemple toute solution du syst`eme infini de la figure 1 qui v´erifie Ψ0 = ΨN +1 = 0 est acceptable pour le syst`eme des N pendules de la figure 3a. Appliqu´ees `a An ∝ cos(nka + ϕ), on trouve (p) facilement que ces C.L. conduisent `a N modes propres Ψn (t) ∝ cos(ωp t + Φ) sin nkp a avec (N + 1) kp a = pπ (p = 1, 2 · · · N ) et ωp = ω(kp ). Si le pendule N est libre (figure 4a), les C.L. `a imposer au syst`eme infini sont Ψ0 = 0 et ΨN = ΨN +1 (ainsi le pendule N  1 kp a = n’est soumis `a aucune force de la part du ressort “de droite”) ; on a alors N + 2   1 π (p = 1, 2 · · · N ). Les figures 3b et 4b montrent les deux premiers modes propres p− 2 de ces syst`emes (pour N = 5).

(a)

(a)

1

N (=5) (b)

(b) 0

N (=5)

1

1

2

3

4

Figure 3

5

6

0

1

2

3

Figure 4

4

5

8 • Equations aux d´eriv´ees partielles ; propagation ; diffusion

256

AUTRES EXEMPLES. Petites oscillations longitudinales d’une chaˆıne d’atomes (cristal a ` une dimension) 1) Dans le cas o` u les atomes sont identiques et les interactions ne se limitent pas aux plus proches voisins (figure 5a) on a : ¨ n = −  ∞ mΨ n =−∞ Kn−n Ψn

avec Kq = K−q et

∞

q=−∞

Kq = 0 .

Ces ´ equations se d´eduisent de l’existence d’une ´energie potentielle d’interaction quadratique invariante  par translation Ep = 12 n,n Kn−n Ψn Ψn . La relation de dispersion pour des ondes (phonons)  iqka . obtenue en posant Ψn = Ψe−i(ωt−nka) est ω 2 = m−1 ∞ q=−∞ Kq e

(k)

2K

2K m−

(a) n−2 (b)

n

n−1

− +n n−1

n+1

= vk

n+2

−n +n+1

−a

Figure 5

0

2K m+

a

k

Figure 6

2) Si la chaˆıne est la r´ep´ etition d’un motif de deux atomes (figure 5b) et si (pour simplifier) les interactions se font entre plus proches voisins, on a : + − + − ¨+ m+ Ψ n = −K(Ψn − Ψn ) − K(Ψn − Ψn−1 ) En

± −i(ωt−nka) , il vient : posant Ψ± n =Ψ e 2 (m+ ω − 2K) Ψ+ + K (1 + e−ika ) Ψ−

et

− + − + ¨− m− Ψ n = −K(Ψn − Ψn ) − K(Ψn − Ψn+1 ) .

= 0 et (m− ω 2 − 2K) Ψ− + K (1 + eika ) Ψ+ = 0 .

Ce syst`eme de deux ´equations ` a deux inconnues n’a de solutions Ψ± = 0 que si (petit calcul) : 1  −1 −1 −1 2 −1 −1 2 2 ka 2 . ω = K (m+ + m−1 − ) ± K (m+ + m− ) − 4m+ m− sin 2 Dans ce cas le graphe de la relation de dispersion des phonons (figure 6) contient deux branches : l’une dite “sonore” pour laquelle ω 2  v2 k 2 et Ψ+  Ψ− pour k  0 (avec 2(m+ + m− ) v2 = Ka2 ) ; l’autre dite “optique” pour laquelle ω2  2K μ−1 et m+ Ψ+ + m− Ψ−  0 pour k  0 (avec μ masse r´ eduite).

8.1.2

Limite continue ; cordes vibrantes ; lignes ´ electriques ; hydrodynamique ; imp´ edances

Dans cette section on consid`ere les ´equations (analogues a` celles des pendules avec ω0 = 0) ¨ n = − T (Ψn − Ψn−1 ) − T (Ψn − Ψn+1 ) = Fn − Fn+1 . mΨ a a La relation de dispersion associ´ee est ω 2 =

2T (1 − cos ka). Elles d´ecrivent les oscillama

8.1 Chaines de syst`emes dynamiques coupl´es ; limite continue

257

tions transversales d’une chaˆıne de masses coupl´ ees par des ressorts de tension T (figure 7a) dans l’approximation o` u les lignes des ressorts font des petits angles avec l’axe “x” de la chaˆıne. (Fn est la composante transverse de la force qu’exerce le ressort “de gauche” sur la masse n.) Des ´equations identiques d´ecrivent la chaˆıne de quadripoles T ˙ n ↔ In ´ electriques de la figure 7b, moyennant les correspondances m ↔ L, ↔ C −1 , Ψ a et Fn ↔ Vn .

(a)

n−1 n−1 (b)

n

n+1 n+1

n a

a

x

In

Vn+1

Figure 7

 Limite continue L’approximation continue (ou “grande ´echelle”) correspond au cas o` u, pour tout n, Ψn (t) et Ψn+1 (t) sont proches. Les Ψn (t) sont alors consid´er´es comme les valeurs en x = na d’une fonction r´eguli`ere Ψ(x, t) `a laquelle on peut appliquer le d´eveloppement : Ψn±1 (t) = Ψ(x ± a, t) = Ψ(x, t) ± a ∂x Ψ(x, t) +

a2 2 ∂ Ψ(x, t) · · · 2 x

Dans l’exemple de la figure 7a le syst`eme d’´equations pour les Ψn devient (apr`es division par a) : ρ

∂2Ψ ∂2Ψ ∂F + ··· =T + ··· = − 2 ∂t ∂x2 ∂x

  m ∂Ψ ρ= , F (x) = −T . a ∂x

a2 T ∂x4 Ψ) sont n´egligeables (par rapport a` T ∂x2 Ψ) 3 si l’´echelle de longueur typique L des variations spatiales de Ψ(x, t) v´erifie L  a, et ils m = ρ masse lin´eique finie. deviennent nuls dans la limite continue a → 0, m → 0 avec a L’´equation obtenue est celle d’une corde vibrante qu’on peut aussi obtenir directement Les termes oubli´es (dont le premier est

8 • Equations aux d´eriv´ees partielles ; propagation ; diffusion

258 en ´ecrivant (figure 8) :

(ρ dx) ∂t2 Ψ(x, t) = F (x, t) − F (x + dx, t) avec F (x, t) = −T ∂x Ψ(x, t) .

(x+dx, t)

F(x, t)

x

x+dx Figure 8 

La vitesse de propagation des ondes est v = limite continue ω 2 =

T . (Elle est obtenue aussi `a partir de la ρ

T 2T (1 − cos ka) → k 2 .) ma ρ

dIn REMARQUES. 1) Dans l’exemple de la figure 7b les ´equations Vn = L + Vn+1 et dt dVn = In−1 − In deviennent, dans la limite continue, l ∂t I = −∂x V et γ ∂t V = −∂x I, C dt L et qui sont celles d’une ligne ´ electrique d’inductance et de capacit´e lin´eiques l = a C γ = . Elles conduisent pour I ` a l’E.D.P. γl ∂t2 I = ∂x2 I qui est aussi celle v´erifi´ee par V a 1 t ou Q = I(x, t ) dt (analogue ´electrique de Ψ) ; ici v = (γl)− 2 . 2) Dans l’exemple de la figure 1, la limite continue a → 0, = −ω02 ψ + v2 ∂x2 ψ ω02 + v2 k 2 . Pour ω0

∂t2 ψ

la relation de dispersion est ω 2 = dans une barre dont E est le module d’Young.

→ ρ et Ka → E conduit ` a l’E.D.P. ! E avec v = ; ρ m a

= 0 cette E.D.P. d´ecrit les ondes longitudinales

 Bilans ´ energ´ etiques ˙ n , on obtient le bilan ´energ´etique pour le syst`eme En multipliant l’´equation pour Ψn par Ψ i` eme ouvert constitu´e par la n masse et le ressort “de droite” :   1 T d 1 2 2 ˙ n − Fn+1 Ψ ˙ n+1 . ˙ m Ψn + (Ψn − Ψn+1 ) = Fn Ψ dt 2 2 a 1 T (Ψn − Ψn+1 )2 = T δln est le surcroˆıt d’´energie du ressort li´e `a son allongement.) 2 a Ce bilan, divis´e par a, conduit, dans la limite continue a` la L.C. de l’´energie (qu’on peut aussi obtenir en multipliant l’E.D.P. par ∂t Ψ) : (

8.1 Chaines de syst`emes dynamiques coupl´es ; limite continue

259

1 1 ρ (∂t Ψ)2 + T (∂x Ψ)2 et j = −T (∂x Ψ)(∂t Ψ) . 2 2 e est une densit´ e lin´ eique d’´ energie (cin´etique + potentielle li´ee `a l’allongement de la corde) et j = F ∂t Ψ un flux d’´ energie (ou courant). Le lecteur ´etablira (et interpr`etera) un bilan analogue pour la ligne ´electrique ; on a alors j = V I = −γ −1 (∂x Q)(∂t Q). ∂t e + ∂x j = 0

avec e =

Comme pour les oscillateurs, l’E.D.P. ρ ∂t2 Ψ − T ∂x2 ψ = 0 peut se d´eduire, inversement, de la L.C. de l’´energie. Par exemple, pour une corde fix´ee `a ses deux extr´emit´es (Ψ(0, t) = Ψ(L, t) = 0), on ´ecrit d 0= dt



L



0

  L   1 1 2 2 ρ (∂t Ψ) + T (∂x Ψ) dx = ∂t Ψ ρ ∂t2 Ψ − T ∂x2 Ψ dx 2 2 0

(apr`es int´egration par parties de T (∂x Ψ)(∂x ∂t Ψ)). L’E.D.P. r´esulte alors de ce que ∂t Ψ peut ˆetre, `a un instant donn´e, une C.I. arbitraire. REMARQUE : cette m´ethode permet de mod´eliser simplement une tige “rigide” (corde de piano ; figure 9) en ajoutant a` la densit´e lin´eique d’´energie un terme de courbure  2 2 1 ∂ Ψ D . 2 ∂x2

V

M

(x+dx, t)

11 00 T 00 11 00 11 00 11 00 11 11 00 00 11 O 00 11 00 11

x

x+dx M

M Figure 9 Du terme suppl´ementaire dans la d´eriv´ee temporelle de l’´energie entre 0 et L d dt

 0

L

D 2



∂2Ψ ∂x2

2





L

D (∂x2 Ψ)(∂x2 ∂t Ψ) dx

dx = 0

L

D (∂t Ψ)(∂x4 Ψ) dx

= 0

(en tenant compte des C.L. ∂x Ψ(0, t) = ∂x Ψ(L, t) = 0), on d´eduit l’E.D.P. (valable aussi pour des oscillations de plaques minces) : ρ

∂2Ψ ∂2Ψ ∂4Ψ = T − D . ∂t2 ∂x2 ∂x4

8 • Equations aux d´eriv´ees partielles ; propagation ; diffusion

260

(Une description en termes de forces et de couples est plus subtile ; il faut ´ecrire les ´equations T (x, t) = T (x + dx, t) et ρ ∂t2 Ψ(x, t) = V (x, t) − V (x + dx, t) pour les forces, M (x, t) − M (x + dx, t) − T ∂x Ψ(x, t) dx − V (x, t) dx = 0 pour les couples, et faire appel a la relation M = −D ∂x2 Ψ entre couple et courbure.) `  Imp´ edance (cf. aussi section 6.4.3) La notion d’imp´edance pour une onde est importante en physique lorsqu’on s’int´eresse ` a des transferts d’´ energie de l’onde vers d’autres syst`emes (en r´egime sinuso¨ıdal). Pour une ligne ´electrique, si I(x, t) = a (exp i(ωt − kx) + rI exp i(ωt + kx)) (solution g´en´ erale de l’E.D.P. pour ω fix´ e), on d´eduit de γ ∂t V = −∂x I et v = ! avec Z0 =

ω k

1

= (γl)− 2 que

V (x, t) = Z0 a (exp i(ωt − kx) + rV exp i(ωt + kx)) l γ

et rV = −rI (coefficients de r´ eflexion). Z0 qui repr´esente le rapport

V I

lorsqu’il n’y

edance caract´ eristique de la a pas d’onde r´efl´ echie (rV = rI = 0 “adaptation d’imp´edance”) est l’imp´ ligne (limite continue de l’imp´edance it´erative des quadripoles). Le rapport Z(x) =

V (x,t) I(x,t)

est l’imp´edance en x. On d´eduit de ces d´efinitions que si une imp´edance Z est branch´ee au bout de la 1−r 0 −Z = −r . Un calcul ´ u rI = Z el´ ementaire ligne (pris comme origine x = 0), on a Z = Z0 1+rI d’o` V Z +Z 1 2

donne alors le flux moyen d’´energie sur la ligne : pour z = 0, ` a :

1 2

0

I

e(V I) =

1 2

Z0 |a|2 (1 − |rI |2 ). Ce flux est aussi ´egal,

eZ |I(0, t)|2 (puissance dissip´ee dans Z). Un calcul simple montre que l’imp´edance

vue sur la ligne en z = −L est : Z(−L) = Z0 Z Z

cos kL+iZ0 sin kL cos kL+iZ sin kL

0

.

Si pour z > 0 on a une ligne d’imp´edance Z2 , et pour z < −L une ligne d’imp´edance Z1 = Z2 , l’adaptation des deux lignes (passage int´egral de l’´energie de 1 ` a 2) s’obtient lorsque Z(−L) = Z1 , c’est ` dire cos kL = 0 (ligne interm´ediaire quart d’onde) et Z02 = Z1 Z2 . a Cet exemple classique a son analogue pour la corde vibrante qu’on d´eduit des correspondances V ↔ F = √ −T ∂x Ψ, I ↔ ∂t Ψ, l ↔ ρ et γ −1 ↔ T ; on a alors Z0 = ρT . Si on place au bout de la corde (x = 0) le syst` eme m´ecanique de la figure 10 (masse m attach´ee ` a un ressort de raideur K et coulissant avec edance m´ ecanique frottement), l’´equation m ∂t2 Ψ = −KΨ − f ∂t Ψ − T ∂x Ψ montre que l’imp´     1 , analogue m´ e canique de Z = R + i Lω − Cω . a ce bout n’est autre que Z = f + i mω − K ` ω

m

corde (frottement) f

x K

Figure 10

−T ∂x Ψ ∂t Ψ

8.2 Solutions de quelques E.D.P. dynamiques

261

 Exemples en hydrodynamique 1) Les ondes sonores dans un tuyau ` a paroi extensible (figure 11) sont r´ egies par les ´equations : ρ ∂t2 Ψ = −∂x P  et − χ P  =

(donc P  = −(χ + D)−1 ∂x Ψ) . P  est la surpression, D le coefficient d’extensibilit´e d´ efini par dSS = DP  (S section du tuyau) et δV V

= ∂x Ψ + DP 

δV V

la variation relative de volume d’une tranche de fluide de masse volumique ρ et de compressibilit´e χ ; on v´erifie la L.C. ∂t e + ∂x j = 0

avec

e=

1 ρS(∂t Ψ)2 2

+ 12 (χ + D)SP 2

et

j = P  S(∂t Ψ) .

x

S

(x, t) (x+dx, t)

S+dS

(x, t)

x

x+dx

(x, t) (x+dx, t)

h

x

Figure 11

x+dx

x

Figure 12

2) Les ondes de surface dans un canal peu profond de hauteur h et section S (figure 12) sont r´ egies par les ´equations analogues (avec χ = 0) : ρ ∂t2 Ψ = −∂x P  avec P  = ρgη et

η δV = ∂x Ψ + h = 0 (conservation du volume) . V  P et Ψ est remplac´e par le volume d´eplac´e SΨ ;

Dans ces exemples le rˆ ole de F est tenu par 1 1 avec v = (ρ(χ + D))− 2 ou v = (gh) 2 , et Z = alors Z0 = ρv S

8.2 8.2.1

P S(∂t Ψ)

on a est l’imp´ edance acoustique.

SOLUTIONS DE QUELQUES E.D.P. DYNAMIQUES E.D.P. lin´ eaires ` a coefficients constants et solutions ondes planes

Ces E.D.P. (sans second membre, c.a.d. en l’absence de sources) concernent des champs dans des milieux dont les propri´et´es sont les mˆemes en tout point (homog´en´eit´e) et `a tout instant (stationnarit´e), et tels que ces champs peuvent se superposer (lin´earit´e). Elles poss`edent des solutions onde plane en fonction desquelles toute solution peut s’exprimer. 

 Onde plane A e−i(ωt−k·r) (notation complexe) Comme on le verra ω et k peuvent ˆetre complexes : ω = ω1 + iω2 et k = k1 + i k2 . Pour l’onde physique (r´eelle) ω1 et k1 sont li´es `a la propagation tandis que ω2 et k2 d´ecrivent la (d´ e)croissance de l’amplitude. Par exemple pour une grandeur scalaire     e A e−i(ωt−k·r) = a eω2 t e−k2 ·r cos(ω1 t− k1 · r1 +ϕ) (avec A = a e−iϕ ). Pour une grandeur → − vectorielle (cf. exemple `a la section 2.5.3), A d´ecrit les ´etats de polarisation (rectiligne si → − A est r´eel). Sur une onde plane les d´eriv´ees partielles agissent comme des multiplications :

262

8 • Equations aux d´eriv´ees partielles ; propagation ; diffusion

→ − → − → − ∂t ≡ −iω, ∂x ≡ ikx · · · . Par exemple pour E ( r, t) = E 0 exp −i(ωt − k · r) on a ∂t2 E = → − → − → − − → → − → − → − →− −ω 2 E , div E = i k · E , rot E = i k ∧ E , Δ E = −k 2 E , etc.

 Relation de dispersion Lorsqu’on cherche des solutions sous la forme d’ondes planes, le syst`eme d’E.D.P. devient un syst`eme d’´equations alg´ebriques lin´eaires sans second membre pour les amplitudes des ondes. Comme un tel syst`eme n’admet de solutions non nulles que si il existe des relations entre les coefficients, lesquels d´ependent ici de ω et k, on en d´eduit que les ondes planes sont solutions si il existe une (au moins) relation entre ω et k. Donnons des exemples. Pour l’ E.D.P. de diffusion et l’E.D.P. de propagation on obtient ∂t f = D Δf =⇒ ω = −ik 2 D

,

∂t2 f − v 2 Δf = 0 =⇒ ω 2 = v 2 k 2 ,

et pour un milieu di´ electrique conducteur de conductivit´e γ (cf. cours d’´electricit´e) :  → − → − → − Δ E = μ  ∂t2 E + γ ∂t E =⇒ k 2 = μω 2 + iμγω . γ γ Dans ce dernier exemple, dont les deux premiers sont les cas limites ω  et ω  ,   l’“imaginaire pur” i apparaˆıt dans la relation ; ceci est li´e `a la pr´esence de processus → − irr´eversibles (ici la conduction ohmique j = γ E ) ; comme 2 k1 · k2 = m k 2 = μγω > 0, l’onde s’att´enue au cours de sa propagation (on suppose ω r´eel positif). 2 REMARQUE : l’E.D.P. de Schr¨ odinger i∂t ψ = − Δψ, identique formellement `a 2m i , mais r´eversible (laiss´ee invariante par les changel’´equation de diffusion avec D = 2m k 2 . (cf. aussi les E.D.P. ments t → −t et ψ → ψ), conduit a` la relation r´eelle : ω = 2m relativistes section 4.4.5.) Pour l’E.D.P. des ondes ´ elastiques en milieu isotrope → − →  − μ −−→ → − ρ ∂t2 Ψ = μ Δ Ψ + χ−1 + grad(div Ψ ) , 3   → → − μ − (k · Ψ ) k ou, en s´eparant les composantes parall`ele on obtient (ρω 2 −μk 2 ) Ψ = χ−1 + 3    → − 4  et perpendiculaire a` k : ρω 2 − χ−1 + μ k 2 Ψ = 0 et (ρω 2 − μk 2 ) Ψ ⊥ = 0. Ce 3  4  → − syst`eme a deux solutions ; soit ρω 2 = χ−1 + μ k 2 et Ψ ⊥ = 0 (onde sismique longitu3 dinale), soit ρω 2 = μk 2 et Ψ = 0 (onde sismique transversale) ; `a chacune est associ´ee une polarisation. → − Milieux di´ electriques anisotropes parfaits. Des ´equations de Maxwell (cf. section 7.5.1) div D = 0, → − → − → → − → − → − → − → − → − →− − →− div B = 0, rot E = −∂t B et rot H = ∂t D avec B = μ0 H et D = [] E ([] matrice sym´etrique r´eelle), on d´ eduit les relations : → → − → − − → → − → − k · − D = 0 , k · B = 0 , k ∧ E = ω B et k ∧ H = −ω D .

8.2 Solutions de quelques E.D.P. dynamiques

263

→ − − → → − Elles permettent imm´ediatement de d´eterminer les directions relatives des vecteurs k, D , H , E et − → → − − → → − P = E ∧ H pour une onde plane (figure 13) et, en ´ecrivant k ∧ (k ∧ E ), d’obtenir la relation : → − → − k 2 E ⊥ = μ0 ω 2 [] E . Celle-ci n’est ais´ement exploitable que dans une base o` u [] est diagonale (Dx = 0 n2x Ex · · · ), et si on   choisit k dans un plan de sym´etrie, par exemple k = (kx , 0, kz ). Alors les ´equations pour Ey et pour le → − eparent. De celle pour Ey on d´ eduit k 2 = kx2 + kz2 = 0 μ0 ω 2 n2y et D parall`ele ` a yˆ. couple (Ex , Ez ) se s´ 2 2 k k → − a k De celles pour (Ex , Ez ) il r´esulte (petit calcul) que x2 + z2 = 0 μ0 ω 2 et que D est perpendiculaire ` nz nx et yˆ. Dans le cas particulier d’un cristal uniaxe o` u nx = ny = no = nz = ne , la sym´ etrie de r´evolution permet toujours de choisir l’axe “x” de sorte que ky = 0. La surface des vecteurs d’onde (lieu de l’extr´emit´e de k ` a ω fix´ e) est alors constitu´ee, d’une part par la sph`ere k 2 = 0 μ0 ω 2 n2o pour les ondes → − − → → − “ordinaires” (car analogues ` a celles d’un milieu isotrope avec en particulier D  E et P  k), et 2 + k2 2 k k x y = 0 μ0 ω 2 pour les ondes “extraordinaires”. La figure 14 d’autre part par l’ellipso¨ıde z2 + no n2e repr´ esente ces surfaces en coupe et, pour une direction donn´ee de k, les caract´eristiques des deux ondes. kx kz Pour l’onde extraordinaire la relation kx Dx + kz Dz = 0 ´equivalente ` a 2 Ex + 2 Ez = 0 montre que n n e − o → − → Ee est tangent ` a l’ellipso¨ıde (car orthogonal ` a sa normale) et donc que P e , qui indique la direction de propagation de l’´energie, n’est pas parall`ele ` a k.

kz De

D E E

H

k

o Ee

e

O ne no c c

Eo ,Do kx

k B ou H Figure 13

Figure 14

 Choix des solutions onde plane Une relation de dispersion peut ˆetre satisfaite d’une infinit´e de fa¸cons. C’est la physique qui d´etermine le choix. Consid´erons l’exemple ω = −iDk 2 de la diffusion `a une dimension. Si k est r´eel, alors " # 2 e A e−i(ωt−kx) = a e−Dk t cos(kx − ϕ) d´ecrit l’amortissement “sur place” d’une perturbation sinuso¨ıdale (spatialement) pr´esente  1   12 1+i 2D 2 iω (avec δ = =± ) ; la solution a t = 0 dans le milieu. Si ω est r´eel, k = ` D δ ω  " #  x x e A e−i(ωt−kx) = a e∓ δ cos ωt ∓ + ϕ δ correspond alors a` une perturbation de pulsation ω introduite a` l’entr´ee d’un milieu semi-

264

8 • Equations aux d´eriv´ees partielles ; propagation ; diffusion

infini ([0, ∞] pour le signe “−” ou [−∞, 0] pour le signe “+”), et qui, en “progressant” dans le milieu, s’amortit sur une distance δ (longueur de p´en´etration en thermique, ´epaisseur de peau en ´electromagn´etisme, etc.). De mani`ere g´en´erale ω est r´eel si l’onde est g´en´er´ee par une source monochromatique (ext´erieure `a la r´egion consid´er´ee). Notons que dans ce cas, mˆeme si la relation de dispersion est r´eelle, k peut ˆetre complexe. C’est le cas lors de la r´ eflexion totale d’une onde ` a la surface de s´eparation z = 0 de deux milieux (i = 1, 2) isotropes pour lesquels ω 2 = vi2 k 2 avec v1 < v2 (figure 15) ; pour une onde arrivant sous une incidence θ1 telle que v1 ω ω2 2 2 sin θ1 et alors k2z = 2 − k2x < 0. sin θ1 > , la loi de Descartes impose k2x = k1x = v2 v1 v2 L’onde dans le milieu 2 (z < 0) est une onde ´evanescente qui se propage parall`element au plan z = 0 et dont l’amplitude d´ecroˆıt comme exp |k2z |z.

z

k1 k1

1

1

x 1

k2

sin 1

Figure 15

 Solution g´ en´ erale Toute solution des E.D.P. lin´eaires `a coefficients constants rencontr´ees en physique, qu’elles concernent un milieu infini ou limit´e (avec des C.L.), est une somme (continue ou discr` ete) d’ondes planes satisfaisant la relation de dispersion associ´ee `a l’E.D.P. consid´er´ee. On d´ecrit ci-dessous quelques exemples de combinaisons d’ondes planes souvent rencontr´ees en physique. EXEMPLE 1. Paquet d’ondes. Pour voir ce qui se rapproche le plus d’une solution → − onde plane, sommons des ondes dont les vecteurs d’onde k = k0 + K sont proches de

k0 :   − − −  → − → −  →  →  → Ψ( r, t) = a( k0 + K ) e−i ω(k0 + K )t−(k0 + K )·r+ϕ(k0 + K ) d3 K (| K |  0)) , avec ω( k) donn´ee par la relation de dispersion de l’E.D.P. consid´er´ee. En posant ω( k0 ) = ω0 et ϕ( k0 ) = ϕ0 , et en effectuant les d´eveloppements au premier ordre → − → − → − → − ∂ω( k) et ω( k0 + K ) = ω0 + vg · K et ϕ( k0 + K ) = ϕ0 + r0 · K (avec vg =

k k=k0 ∂ ∂ϕ( k) ) on obtient :

r0 = ∂ k k=k0  − → → − → −  Ψ( r, t) = e−i(ω0 t−k0 ·r+ϕ0 ) f ( r− vg t− r0 ) avec f ( r) = a( k0 + K ) ei K ·r d3 K (| K |  0).

8.2 Solutions de quelques E.D.P. dynamiques

265

Ψ repr´esente une onde plane modul´ee en amplitude dont l’enveloppe f , lentement variable, se d´eplace `a la vitesse de groupe vg ( k0 ). (La figure 16a repr´esente un paquet a` une dimension de largeur Δz reli´ee `a la dispersion Δk par Δz Δk  1.)

vg

f(z−z 0 , 0)

v 0

z

(a)


z (
k)−1 Paquet d’ondes f(z−z 0− vg t , t) à t = 0

(b)

z Paquet d’ondes étalé à t > 0

Figure 16 −−→ REMARQUES. 1) Dans un milieu anisotrope  vg ´ egale ` a gradk ω, et donc perpendiculaire ` a la surface a k ; la figure 17 illustre la r´efraction “extraordinaire” des vecteurs d’onde ω(k) = Cste , n’est pas parall`ele ` sous incidence normale (k = 0 continu) d’un paquet dans un tel milieu.

111 000 paquet d’ondes 000 111 000 111 incident 000 111 000 111 000 111 air cristal anisotrope

paquet d’ondes 1111 0000 0000 1111 réfracté 0000 1111 0000 1111 0000 1111

vg

k Figure 17

2) Dans un milieu isotrope (ou ` a une dimension) on a en g´en´ eral vg = dω = vϕ = ω ; par exemple en dk k ω 2 optique (k = n(ω) c ), pour des vagues en haute mer (ω = kg) et pour des particules libres quantiques 2

−1 k (ω =  2m ), on obtient respectivement vg−1 = vϕ +

ω dn c dω

(en pratique

vϕ −vg vϕ

 10−1 ), vg =

1 2

vϕ et

vg = 2 vϕ . a-vis de k (` a une dimension Δvg = ω  (k) Δk) est la cause de l’´etalement 3) La d´ ependance de vg vis-` equences en son sein (figure 16b ; cf. aussi (Δvg t) des paquets et de la s´eparation (dispersion) des fr´ section 5.1.3).

8 • Equations aux d´eriv´ees partielles ; propagation ; diffusion

266

4) La figure 18 montre l’arriv´ee a ` t = 0 en  r0 = 0 d’un paquet d’ondes sur le plan z = 0 dans des  conditions de r´eflexion totale pour les ondes qui le composent (coefficients de r´eflexion r(k) = e−iΦ(k) ). La formule donnant le paquet r´efl´ echi diff`ere de celle du paquet incident par les changements k(kx , ky , kz ) → −−→ k  (kx , ky , −kz ) et ϕ → ϕ + Φ. Sa position (fictive) ` a t = 0 est donc  r0  = gradk Φ ; ceci explique que le paquet r´efl´ echi est d´ecal´e en position (effet Goos H¨ anchen) et en temps par rapport ` a ce que donnerait une r´eflexion “g´eom´ etrique instantan´ee”.

z

1111 0000 0000 1111 0000 1111

0

1111 0000 0000 1111 0000 1111 1111 0000 0000 1111 0000 1111

x

r’0

Figure 18 5) Signalons enfin un r´esultat tr` es g´ en´eral et non trivial qu’on peut, en consid´erant la somme de deux → − ondes avec ω et k voisins, d´eduire de la L.C. de l’´energie ∂t e + divj = 0 et du caract`ere quadratique en egale au ψ de e et j : dω < e > −dk· < j >= 0. Ce r´esultat entraˆıne que la vitesse de groupe vg (k0 ) est ´  e pour l’onde plane (ω0 , k0 ) (vitesse de l’´ energie). De rapport des moyennes temporelles calcul´

equivalente ` a < e >> 0 dans tous les r´ef´ erentiels), on d´eduit | vg | ≤ c. l’in´egalit´e < e >≥ | < j > | c−1 (´

EXEMPLE 2. Ondes guid´ ees. Si on fixe ω et kz = k cos θ, et qu’on somme sur kx et ky en respectant la relation de dispersion (par exemple ω 2 = v 2 k 2 ), on obtient des solutions du type f (x, y) e−i(ωt−kz z) . Elles concernent des syst`emes (guides d’ondes) invariants par translation selon z. Un exemple simple est la somme de deux ondes A± e−i(ωt∓kx x−kz z) se propageant dans une r´egion x ∈ [0, a] (figure 19).

x a

0

1

plans de phase constante

k+

v = 2 kz

k− 2

v

kz

z

Figure 19 Les C.L. sont A+ = r1 A− en x = 0 et A− e−ikx a = r2 A+ eikx a en x = a, avec r1,2 = e−iϕ1,2 coefficients de r´eflexion totale sur ces plans ; ϕ1,2 d´ependent en g´en´eral de kx et kz et des milieux 1 et 2. Elles conduisent `a la relation de quantification 2kx a =   def ϕ1 + ϕ2 = ϕ (modulo 2π) pour kx , et `a la relation de dispersion ω 2 = v 2 kx2 (kz ) + kz2 .

8.2 Solutions de quelques E.D.P. dynamiques

267

π ω v si r1,2 = −1.) Pour ces ondes : vϕ = et (petit = a kz cos θ   −1 ∂ϕ dω ∂ϕ 2a − calcul) vg = = v cos θ + v sin θ ; vg = v cos θ si r1,2 = −1. dkz ∂kz ∂kx

(Par exemple kx = n

Remarque. Si on somme des ondes planes de vecteurs d’onde (kx = k⊥ cos ϕk , ky = k⊥ sin ϕk , kz = k cos θ), avec ω, k, θ fix´ es et ϕk variable de sommation, chaque onde ´etant affect´ee d’un poids (2π)−1 e−imϕ k , on obtient en coordonn´ees polaires : f (r, ϕ) = (2π)−1 02π e−imϕ k eik⊥ r cos(ϕ−ϕ k ) dϕk = e−imϕ Jm (k⊥ r) ; (les fonctions de Bessel sont d´ efinies par Jm (u) = (2π)−1 02π e−imϕ eiu cos ϕ dϕ.) Ces fonctions 2 ) f = 0 (comme les fonctions ei(kx x+ky y) ) interviennent naturellement f qui v´ erifient (∂x2 + ∂y2 + k⊥ dans la physique des guides d’ondes cylindriques.

EXEMPLE 3. Ondes sph´ eriques (figure 20). Une somme d’ondes planes monochromatiques de mˆeme amplitude et dont les vecteurs k (| k| fix´e) sont proches de l’axe z ((kx , ky ) dans un “petit” domaine D autour de (0, 0)) s’´ecrit :  kx2 + ky2 Ψ( r, t) = . e−i(ωt−kx x−ky y−kz z) dkx dky avec kz  k − 2k D

x

0

z

Figure 20 En utilisant l’approximation de la phase stationnaire (cf. section 5.1.3), le lecteur  x y  ∗ ∗ montrera que, pour z “grand”, on a Ψ  0 si kx = k, ky = k ∈ D, et z z  2 2   x +y Ψ ∝ z −1 exp −i ωt − k z + 2z sinon. Pour z > 0 (resp. z < 0) il s’agit d’une onde sph´erique divergente (resp. convergente) en O ; le passage par O entraˆıne un d´ ephasage de π (li´e au signe de z −1 ).

8.2.2

Equations de diffusion et de propagation ; fonctions de Green ; ondes stationnaires

Pour r´esoudre ces ´equations, on utilise la d´ependance lin´eaire de la solution vis-` a-vis des C.I. (prises `a t = 0) lorsqu’il n’y a pas de source. On montre ensuite que la solution causale en pr´esence de source se d´eduit facilement du cas sans source. Cette d´emarche est celle suivie pour les E.D. `a la section 6.2.1, la notion de fonction de Green g´en´eralisant aux E.D.P. celle de r´eponse impulsionnelle.

8 • Equations aux d´eriv´ees partielles ; propagation ; diffusion

268

 E.D.P. de diffusion : ∂t f (x, t) − D ∂x2 f (x, t) = g(x, t) (`a une dimension) Si g = 0 on v´erifie facilement que l’E.D.P. admet, pour x ∈ [−∞, ∞] et t > 0, la solution particuli`ere : 1 x2 G(x, t) = (4πDt)− 2 exp − . 4Dt

G(x,t) t

0+ t>0 x

0 Figure 21

√ Il s’agit d’une fonction gaussienne centr´ee en 0, normalis´ee et d’´ecart type 2Dt qui s’´etale sans se propager quand t croˆıt (figure 21). Quand t → 0+ elle est au contraire de plus en plus piqu´ee et tend vers δ(x). On en d´eduit que la fonction 

∞

f (x, t) = −∞

G(x − x , t) ϕ0 (x ) dx

est, pour t > 0, la solution satisfaisant la C.I. f (x, 0) = ϕ0 (x). Si g = 0 (diffusion avec source) la solution causale (“dont les variations ne pr´ec`edent pas celles de la source”) est alors : 

t



∞

f (x, t) = −∞

−∞











G(x − x , t − t ) g(x , t ) dx



dt .

´ DEMONSTRATION : comme la fonction entre crochets satisfait (comme G) ∂t [· · · ] = t D ∂x2 [· · · ], et vaut g(x, t) pour t = t , on obtient ∂t f = g + −∞ ∂t [· · · ] dt = g + D ∂x2 f . Cas particulier : si g(x, t) = δ(t) δ(x), alors f (x, t) = H(t) G(x, t) ; cette r´eponse `a une impulsion en x = 0 a` t = 0 est appel´ee fonction de Green du probl`eme de diffusion `a une dimension. REMARQUE. A n dimensions les r´esultats pr´ec´edents restent valables ; il suffit de rem1 n placer x par x et (4πDt)− 2 par (4πDt)− 2 . Pour l’E.D.P. de Schr¨ odinger on remplace i D par . 2m

8.2 Solutions de quelques E.D.P. dynamiques

269

 E.D.P. de propagation ` a une dimension : ∂t2 f (x.t)−v 2 ∂x2 f (x, t) = g(x, t) Pour g = 0 la solution g´en´erale f (x, t) = f1 (x − vt) + f2 (x + vt), somme d’ondes propagatives vue `a la section 7.1.4, s’´ecrit aussi en fonction des C.I. f (x, 0) = ϕ0 (x) et ∂t f (x, t)|t=0 = ϕ1 (x) (v´erification imm´ediate) : f (x, t) =

 1 1 ϕ0 (x − vt) + ϕ0 (x + vt) + 2 2v



x+vt

ϕ1 (x ) dx .

x−vt

Pour une corde vibrante le premier terme d´ecrit l’´evolution d’une “perturbation de position” (obtenue en ´ecartant la corde de sa position d’´equilibre puis en la lˆ achant ; figure 22a), et le second (produit par t de la moyenne de ϕ1 (x) sur l’intervalle [x − vt, x + vt]) celle d’une “perturbation de vitesse” (obtenue en soumettant la corde `a une percussion ; figure 22b).

(a)

0 (x)

f(x,t)

x 2vt (b)

1 (x)

f(x,t)

x 2vt Figure 22 Si g = 0, il r´esulte de la relation entre f et ϕ1 que la solution causale est : 0  t /  x+v(t−t ) 1    f (x, t) = g(x , t ) dx dt . 2v  −∞ x−v(t−t ) ´ DEMONSTRATION : les propri´et´es de la fonction entre crochets, ∂t2 [· · · ] = v 2 ∂x2 [· · · ] t ainsi que [· · · ] = 0 et ∂t [· · · ] = g(x, t) pour t = t , entraˆınent ∂t f = −∞ ∂t [· · · ] dt puis ∂t2 f = g + v 2 ∂x2 f . On notera que la solution s’´ecrit comme celle de la diffusion, la 1  x  Π au lieu de la gaussienne G(x, t). fonction de Green ´etant la porte 2v 2vt

 E.D.P. de propagation ` a trois dimensions : ∂t2 f (r, t)−v 2 Δf (r, t) = g(r, t) Tous les r´esultats d´ecoulent du lemme suivant : soit ϕ( r ) une fonction arbitraire de r ; alors la fonction Φ( r, t) = t < ϕ >S(r,vt) , produit par t > 0 de la moyenne de ϕ sur la sph`ere centr´ee en r et de rayon vt, est telle que : ∂t2 Φ( r, t)−v 2 ΔΦ( r, t) = 0 ;

Φ( r, 0) = 0 ;

∂t Φ( r, t)|t=0 = ϕ( r) ;

∂t2 Φ( r, t)|t=0 = 0 .

8 • Equations aux d´eriv´ees partielles ; propagation ; diffusion

270

´ DEMONSTRATION : la relation ϕ → Φ ´etant lin´eaire on peut, en vertu de l’analyse de  Fourier, se limiter au cas o` u ϕ est une onde plane eik·r . Un point arbitraire sur la sph`ere S( r, vt) ´etant rep´er´e par r + vtˆ u on a (dΩuˆ angle solide ´el´ementaire “autour”de u ˆ) :    sin ωt def t eik·(r+vtˆu) dΩuˆ = eik·r (avec ω = vk) . Φ( r, t) = 4π ω Les propri´et´es annonc´ees deviennent alors ´evidentes. - Premi`ere cons´equence : si g = 0, la solution f ( r, t) s’exprime en fonction des C.I. f ( r, 0) = ϕ0 ( r) et ∂t f ( r, t)|t=0 = ϕ1 ( r) sous la forme (v´erification imm´ediate) :   f ( r, t) = ∂t t < ϕ0 >S(r,vt) + t < ϕ1 >S(r,vt) . - Deuxi`eme cons´equence : pour g = 0 la solution causale (causalit´e illustr´ee sur la figure 23), d´eduite de la relation ci-dessus entre f et ϕ1 , s’´ecrit (d´emonstration comme `a une dimension) :   t   dt . f ( r, t) = (t − t ) < g( r  , t ) >   S  r,v(t−t )

−∞



f( r , t)

r

support de g( r’, t’)

v(

t−

t’)

r,t



localisation de 0 et 1

valeurs de g( r’, t’) qui contribuent à f( r , t)

v t2

v t1

(a) Figure 23

t2 t

t1 (b) Figure 24

En posant r  = r + Rˆ u avec R = v(t − t ), elle devient     ∞ R 1 R dR g r + Rˆ u, t − dΩuˆ , f ( r, t) = 4π v v v 0 ou encore (forme plus habituelle de la solution causale en physique) :  f ( r, t) =

 r |  g r  , t − |r− v d3 r . 4πv 2 | r − r  |

ρ est ´ecrite `a la section 7.5.2). La fonc0  r (“pulse” sph´erique tion de Green, r´eponse `a δ( r ) δ(t), est ici H(t) (4πv 2 r)−1 δ t − v naissant a` t = 0 en r = 0). (Par exemple la solution de ΔV − c−2 ∂t2 V = −

REMARQUES (pour g = 0). 1) Il r´esulte de la premi`ere cons´equence que, si ϕ0 et ϕ1 sont localis´ees (figure 24a), l’onde n’est pr´esente en tout point  r que pendant un intervalle de temps fini (figure 24b).

8.2 Solutions de quelques E.D.P. dynamiques

271

2) Dans le cas statique (f ( r , t) ≡ ϕ0 ( r ) et Δϕ0 = 0), elle entraˆıne aussi que la valeur ϕ0 ( r ) est la r (g´en´eralisation du r´esultat ´ etabli ` a la section 7.1.2). moyenne de ϕ0 sur toute sph`ere centr´ee en  3) Les r´esultats relatifs ` a la propagation ` a une (resp. deux) dimension se d´eduisent du cas ` a trois dimensions en consid´erant des fonctions ϕ0 et ϕ1 ne d´ependant que de x (resp. x et y), et en int´egrant toujours sur les trois variables. On v´erifie par exemple que la moyenne sur la sph`ere S( r , vt) devient la moyenne sur le segment [x − vt, x + vt] ` a une dimension.

 Introduction de conditions aux limites (C.L.) ; ondes stationnaires Les solutions pr´ec´edentes supposent un espace infini. Si on impose des C.L. ind´ependantes du temps, les ondes stationnaires f ( r, t) = f ( r) h(t) (produit d’une fonction de l’espace par une fonction du temps), solution des ´equations en absence de source (g = 0), jouent un rˆ ole important. ¨ h f  Par exemple l’E.D.P. (∂t2 − v 2 ∂x2 )f (x) h(t) = 0 conduit a` = v2 = −ω 2 = Cste h f (en divisant par f h). (0n suppose h born´e pour t → ±∞). Les variables t et x ´etant ind´ependantes on en d´eduit (si ω = 0) : ω f (x) h(t) = A cos(kx + ϕ) cos(ωt + φ) avec k = . v Pour une corde vibrante attach´ee en x = 0 et x = L, les C.L. fixent la d´ependance π spatiale en sin kn x avec kn = n (n > 0). La solution g´en´erale est alors f (x, t) = L   etermin´es par les n sin kn x an cos ωn t + bn sin ωn t ; les coefficients an (resp. bn ) sont d´ d´eveloppements en s´erie de Fourier de f (x, 0) (resp. ∂t f (x, t)|t=0 ). f  h˙ = De mˆeme, pour l’E.D.P. de diffusion (∂t − D ∂x2 ) f (x) h(t) = 0, on obtient = D h f 2 −Dk 2 (h born´ee `a t → ∞), d’o` u f (x) h(t) = A cos(kx + ϕ) e−Dk t (si k = 0). Pour des  2 C.L. nulles en x = 0 et x = L la solution g´en´erale est f (x, t) = n an sin kn x e−Dkn t et  L 2 les C.I. donnent an = f (x, 0) sin kn x dx. (Pour des C.L. constantes non nulles il L 0 faudrait ajouter un terme a0 x + b0 correspondant `a k = 0.) Ce type de solutions s’´etend ` a trois dimensions et `a d’autres ´equations. Par exemple les E.D.P. de propagation en milieux lin´eaires inhomog`enes ∂t2 f = v 2 ( r) Δf , ou l’E.D.P. de 2 Δf + V ( r) f , conduisent aux E.D.P. spatiales Schr¨ odinger i ∂t f = − 2m   Δ + k 2 ( r) f ( r) = 0 avec respectivement k( r) = (pour h(t) ∝ exp −i

Et ). 

 ω 2m  (pour h(t) ∝ cos(ωt + ϕ)) et k 2 ( r) = 2 E − V ( r) v( r) 

Fonction de Green avec C.L.. Consid´erons l’exemple de l’´equation de diffusion ` a une dimension ci-dessus dans [0, L] avec C.L. nulles. L’expression des an ci-dessus permet d’´ecrire la relation lin´eaire entre la solution f (x, t) et la C.I. f (x, 0) sous la forme : 2 2   −Dkn t . f (x, t) = 0L G(x, x , t) f (x , 0) dx avec G(x, x , t) = L n sin kn x sin kn x e  2  La fonction G(x, x , t) qui v´ erifie ∂t G = D ∂x G, les C.L., et qui est ´egale ` a δ(x − x ) pour t = 0,

8 • Equations aux d´eriv´ees partielles ; propagation ; diffusion

272

est la fonction de Green du probl` a la solution f (x, t) = #eme de diffusion dans [0, L]. Elle conduit ` t " L  , t − t ) g(x , t ) dx dt du mˆ G(x, x e me probl` e me en pr´ e sence de source. −∞ 0

8.2.3

Six E.D.P. li´ ees ` a une loi de conservation

On consid`ere les bilans (sans source) ∂t f + ∂x j = 0 (`a une dimension) et ∂t f + div j = 0 (`a trois dimensions) . Ces bilans dans lesquels f est en g´en´eral une densit´e (lin´eaire ou volumique) de grandeur additive conserv´ee, conduisent a` une E.D.P. pour f lorsque l’intensit´e du courant j, ou sa densit´e volumique j, est li´ee `a f . EXEMPLE 1. Si j est une fonction j(f ) on obtient l’E.D.P. d’onde simple non lin´eaire ∂t f + c(f ) ∂x f = 0 (avec c(f ) = j  (f )) qui peut conduire a` une onde de choc (cf. exemple de la section 7.2.4). −−→ EXEMPLE 2. Si j = −D ∂x f ou j = −D gradf on obtient l’´equation de diffusion. Un exemple est l’´ equation de la “chaleur” ρc ∂t T = K ΔT , qui correspond `a un bilan d’´energie interne ∂t (ρe) + div jth = 0 pour un solide, avec T −−→ e= c(T  ) dT  et jth = −K gradT .

Remarque. Le lecteur ´etablira et interpr`etera le bilan relatif ` a l’entropie massique s = T T −1 c(T  ) dT  : − − → ∂t (ρs) + divjS = τS avec jS = T −1jth et τS = KT −2 (gradT )2 .

EXEMPLE 3. Si j(x, t) = V (x, t) f (x, t) l’E.D.P. lin´eaire inhomog`ene ∂t f + ∂x (V f ) = 0 d´ecrit l’entraˆınement d’une grandeur en tout point x `a l’instant t par un ´ecoulement dont le champ de vitesse est V(x, t). En effet, en suivant   le mouvement  d´efini par x˙ = V (x, t), on a dt f (x, t) dx = (dt f + f ∂x V ) dx = ∂t f + ∂x (f V ) dx = 0 (cf. sections 7.1.3 et 7.2.3). Remarque. La mˆeme notion d’entraˆınement s’applique ` a la L.C. ∂t f + ∂x (V (x, t) f ) = 0 en dimension a divergence nulle (∂x · V = 0), alors dt f = 0 ; un exemple est donn´e arbitraire. Si de plus V est ` par l’E.D.P. de Liouville satisfaite par toute densit´e de probabilit´e f (q, p, t) lorsque les points de   l’espace de phase ob´eissent ` a une dynamique hamiltonienne : V ≡ ∂p H, −∂q H (cf. section 9.1). EXEMPLE 4. Citons ´egalement deux E.D.P. associant l’effet d’entraˆınement ` a d’autres effets. L’E.D.P. de Fokker-Planck introduite ` a la section 10.3.1 combine entraˆınement et diffusion. L’E.D.P. de Boltzmann ∂t f +

→ − F m

→ − 0 · ∂v f + v · ∇f = − f −f , τ

relative ` a une densit´e de probabilit´e dans l’espace de phase f ( r,  v , t) ` a une seule particule, combine → − F ) et entraˆınement (mouvement d’un point ( r , v ) sous l’action d’une force ext´erieure :  r˙ =  v et v˙ = m v ), de Maxwell ou Fermi-Dirac). relaxation vers une distribution d’´equilibre (en g´en´ eral du type f0 ( Sous sa forme lin´earis´ee, elle sert ` a d´ ecrire de nombreux ph´ enom` enes de transport ; par exemple → − → − → − si F = q E est constante, la conductivit´e ´ electrique γ, d´efinie par j = γ E , s’obtient en ´ecrivant : → − q E · ∂v f0 = f0 + δf et j = q v δf d3v . f = f0 − τ m

8.2 Solutions de quelques E.D.P. dynamiques

8.2.4

273

Trois exemples d’E.D.P. non lin´ eaires ; ondes solitaires

Ces E.D.P. se rencontrent dans tous les domaines (hydrodynamique, optique, plasmas, chimie, biologie...) avec des applications dans la vie courante (´ecoulements d’eau, houle, organisation des nuages, propagation des incendies...). En g´en´eral les nonlin´earit´es sont dues aux propri´et´es des milieux et, en hydrodynamique, a` la pr´esence de la d´eriv´ee → − particulaire dt = ∂t + v · ∇. Si elles sont petites on peut montrer, comme pour les oscillateurs (cf. section 6.5.1), par une m´ethode de perturbation, que leurs effets sont la d´ependance ω(k, a) de la relation de dispersion vis-` a-vis de l’amplitude a et la pr´esence d’harmoniques. On consid`ere ci-dessous trois exemples ”classiques” d’E.D.P. non lin´eaires `a une dimension et leurs solutions particuli`eres du type f (u = x − V t). Ces ondes qui se propagent sans d´eformation `a vitesse constante V , et sont constantes (ou nulles) pour u infini, sont appel´ees ondes solitaires.

 E.D.P. de Sine Gordon ∂t2 f = −ω02 sin f + v 2 ∂x2 f Elle est la limite continue du syst`eme d’´equations ml2 θ¨n = −mgl sin θn − C(θn − θn−1 ) − C(θn − θn+1 ) d´ecrivant des pendules simples oscillant dans un plan perpendiculaire a` l’axe horizontal “x” et coupl´es lin´eairement par des ressorts de torsion port´es par cet axe. Dans la suite on fera ω0 = v = 1, le lecteur pouvant r´etablir dimensionnellement ω0 et v dans toutes les formules (cf. chapitre 1). L’´equation pour f (u), qui s’´ecrit (1 − V 2 ) f  = sin f , est aussi celle d’un mobile de masse 1 − V 2 se d´epla¸cant dans le potentiel U (f ) = 1 + cos f .

U(f) 2 (a) B f

A f+(x,t)

f− (x,t)

(b) 0

x v

t

Figure 25 On voit alors sur la figure 25a que f ne tend vers une constante `a l’infini que si ce mobile va 2 de A ` a B ou de B ` a A (modulo 2π). L’int´egrale premi`ere d’“´energie” (1−V 2 ) f2 +U (f ) = 1 2 conduit `a (1 − V 2 ) 2 df = ±2 sin f2 du et aux solutions (figure 25b) :   x−Vt f± (x − V t) = 4 Arctg exp ± √ . 1−V2

8 • Equations aux d´eriv´ees partielles ; propagation ; diffusion

274

En pratique on obtient ces ondes en faisant faire un tour complet “` a la main” au pendule situ´e `a une extr´emit´e d’une longue chaˆıne. REMARQUE. Si on fait faire un tour complet aux deux bouts de la chaˆıne on observe que les deux ondes, qui se propagent en sens inverses, reprennent asymptotiquement leur forme initiale apr`es s’ˆetre “travers´ees” ; on les nomme “solitons”. Un exemple de solution superposition non lin´eaire de deux solitons # " f+ (x ± V t) est (v´ erification laiss´ee au lecteur) : f2 (x, t) = 4 Arctg V sinh √ x 2 cosh−1 √ V t 2 + 2π. 1−V

1−V

 E.D.P. de Korteweg-De Vries ∂t f + (c0 + c1 f ) ∂x f + ν ∂x3 f = 0 1

Elle d´ ecrit des ondes de surface dans un canal peu profond (c0 = (gh) 2 ; cf. section 8.1.2). Dans la suite on pose c0 = c1 = ν = 1. En proc´edant par int´egrations successives, et en supposant que f → 0 pour f 2 + 16 f 3 , dont on d´eduit (petit u → ±∞, on obtient l’´equation 12 f 2 + U (f ) = 0 avec U (f ) = 1−V 2 calcul) :

f (x − V t) = a cosh−2

"!

a 12

# (x − V t)

avec V = 1 +

a 3

.

La non d´ eformation de cette onde solitaire tient au fait qu’elle est un compromis entre d’une part les paquets d’ondes solutions de l’E.D.P. lin´earis´ee qui s’´etalent (relation de dispersion ω = k − k 3 ), et a une onde de choc (cf. d’autre part l’onde solution de ∂t f + (1 + f ) ∂x f = 0, ´equation qui conduit ` section 7.1.1).

 E.D.P. de Burgers ∂t f + (c0 + c1 f ) ∂x f = D ∂x2 f Elle ajoute des effets de diffusion ` a l’´ equation d’onde simple. La solution onde solitaire (avec c0 = c1 = 1)  −1  t avec V = 1 + a2 et l = 2 D f (x − V t) = a 1 + exp x−V l a montre que la diffusion a pour effet d’´etaler l’onde de choc.

8.3 8.3.1

´ E.D.P. « SPATIALES » IMPLIQUANT L’OPERATEUR LAPLACIEN Exemples et analogies physiques ; conditions aux limites

 E.D.P. de Laplace Δf = 0 Elle concerne des fonctions “potentiel” (f ≡ V, ϕ, n, T, . . . ) et apparaˆıt chaque fois qu’un → − champ a un rotationnel et une divergence nuls, par exemple en ´ electrostatique ( E = −−→ → − → − −grad V et div E = 0), en ´ electrocin´ etique (idem avec j = γ E ), en gravitation −−→ ( g = −grad V ), en hydrodynamique des ´ecoulements irrotationnels incompressibles −−→ −−→ ( v = grad ϕ et div v = 0), dans des probl`emes stationnaires de diffusion ( jn = −D grad n − − → et div jn = 0), ou de conduction thermique ( jth = −K grad T et div jth = 0). En → → − −→ − magn´ etostatique (rot B = 0 et div B = 0) on a ΔVmag = 0 pour le potentiel scalaire −−→ → − → − magn´etique d´efini (localement) par B = −grad Vmag , et Δ A = 0 pour le potentiel → − − → → − →− vecteur d´efini par B = rot A et div A = 0. Cette identit´e math´ematique entre diff´erents domaines de la physique permet des analogies. Ainsi pour un tube de champ limit´e par deux ´equipotentielles, les quantit´es V1 − V2 V1 − V2 C −1 = (C capacit´e d’un condensateur), R = (r´esistance ´electrique) Q I

8.3 E.D.P. « spatiales » impliquant l’op´erateur laplacien

275

T1 − T2 (r´esistance thermique) font appel `a un mˆeme calcul, celui du rapport Ith → − R de la circulation du champ (respectivement E , j et jth ) entre les ´equipotentielles et de son flux dans le tube : R = 0 C −1 , γR et KRth . R ne d´epend que de la g´eom´etrie et est homog`ene `a [L]−1 . Pour des g´eom´etries planes (figure 26a), sph´eriques, cylindriques (deux cas diff´erents correspondant aux figures 26b et 26c), on a respectivement : V ∼ x 1 1 1 et R = Δx S −1 (S section du tube) ; V ∼ r−1 et R = ; enfin V ∼ ln r et − 4π r1 r2  r r2 −1 2 (l longueur du cylindre) ou V ∼ θ et R = (Δθ) l ln . R = (l Δθ)−1 ln r1 r1 et Rth =


x

r2 r1

r1





(a)

r2

(b)

(c)

Figure 26

 Autres ´ equations L’E.D.P. de Poisson Δf = g apparait dans les exemples pr´ec´edents lorsque des → − ρ sources statiques sont pr´esentes, par exemple ΔV = − ou Δ A = −μ0 j. L’´equation  0   Δ + k 2 ( r) f = 0 (E.D.P. de Helmholtz si k 2 = Cste > 0) apparait quand on recherche des solutions onde stationnaire a` une ´equation de propagation ou de Schr¨ odinger (cf. section 8.2.2). Souvent k 2 ( r) = k02 + δk 2 ( r ) o` u la perturbation δk 2 ( r) d´ecrit des 2mE 2m “inhomog´en´eit´es” (par exemple k02 = et δk 2 ( r) = − 2 V ( r)). 2 

 Conditions aux limites En g´en´eral les domaines dans lesquels les ´equations pr´ec´edentes s’appliquent sont limit´es par des surfaces. Les conditions aux limites sont dites C.L. de Dirichlet si c’est f qui −−→ est donn´ee sur la surface, et C.L. de Neuman si c’est sa d´eriv´ee normale n ˆ · gradf . En ´electrostatique c’est souvent le potentiel V qui est fix´e (et constant) sur la surface, −−→ tandis qu’en hydrodynamique c’est le “courant” n ˆ · gradϕ (´egal a` 0 si la surface limite le fluide). Dans certains domaines les deux types de C.L. (et mˆeme des conditions mixtes faisant intervenir l’imp´edance `a la surface) peuvent ˆetre rencontr´ees. Si le domaine n’est pas limit´e par des surfaces, il faut pr´eciser le comportement `a l’infini de f ; par exemple, en quantique, la fonction d’onde est exponentiellement d´ecroissante pour des ´ etats li´ es, ik0 r e  et du type eik0 ·r + A( k, k0 ) pour des ´ etats de diffusion ( k0 est le vecteur d’onde r incident et k = | k0 | rˆ indique la direction d’observation de l’onde diffus´ee).

8 • Equations aux d´eriv´ees partielles ; propagation ; diffusion

276

8.3.2

Unicit´ e des solutions ; identit´ e de Green ; s´ eparation des variables

 Unicit´ e des solutions de Δf = g Pour des C.L. de Dirichlet ou des C.L. de Neuman il y a unicit´e (´eventuellement modulo une constante) de la solution de l’E.D.P. Δf = g dans un volume V limit´e par une ou plusieurs surfaces S. Si de plus g = 0, la solution minimise l’int´egrale  → − 1 I= | ∇f |2 d3 r . 2 V I peut repr´esenter une ´energie (´electrostatique, cin´etique...), une puissance dissip´ee ou encore, `a deux dimensions, l’aire d’une surface z = f (x, y) s’appuyant sur une courbe ferm´ee (lame d’eau savonneuse). Ces r´esultats d´ecoulent de l’identit´e :    − → → − → − → −  G ∇F · dS = G ΔF d3 r + ∇F · ∇G d3 r . S

V

V

´ DEMONSTRATION de l’unicit´e : supposons qu’il existe deux solutions f1 et f2 satisfaisant les mˆemes − → → − → − ˆ dS = 0 C.L. et posons F = G = f2 − f1 . Alors sur S soit G = 0 (Dirichlet), soit ∇F · dS = ∇F · n → 2 − (Neuman) ; l’int´egrale de surface est donc nulle et, comme ΔF = 0, on en d´eduit | ∇F | = 0 soit F = Cste (= 0 pour Dirichlet). D´emonstration du minimum (pour g = 0) : on pose F = f et G = δf (Dirichlet) ou F = δf et G = f (Neuman). L’int´egrale de surface est alors nulle et, comme Δf = 0, on − → − → 3 ee inf´erieurement. V ∇f · ∇(δf ) d r = δI = 0 ; l’extremum est un minimum car I > 0 est born´

a

 M´ ethode des images Elle est bas´ee sur l’unicit´e de la solution. Si par exemple en ´electrostatique on veut ρ r´esoudre ΔV = − dans une r´egion limit´ee par une surface S sur laquelle une C.L. 0 est donn´ee, cette m´ethode consiste `a introduire une r´epartition ρ∗ de charges situ´ees de ρ + ρ∗ l’autre cˆ ot´e de S qui, avec ρ, r´ealisent la condition sur S puis a` r´esoudre ΔV = − 0 (sans plus se pr´eoccuper de la C.L.). EXEMPLE 1 (figure 27a). Si une charge q1 est `a l’ext´erieur d’une sph`ere m´etallique S centr´ee en O, de rayon R au potentiel VS = 0, on d´etermine une charge −q2 et sa q1 q2 position de sorte que l’´equation − = 0 soit celle de la sph`ere (cf. section 2.2.2). r1 r2 Le potentiel a` l’ext´erieur de S est celui dˆ u a` q1 et −q2 . Si VS = 0, on ajoute en O une charge Q = 4π0 RVS . EXEMPLE 2. Si la sph` ere m´etallique au potentiel V = 0 est en pr´esence d’un champ ext´erieur → − → − a E 0 le champ d’un dipole de moment constant E 0 (figure 27 b), on remarque qu’en superposant ` → − e en O, le potentiel en tout point est : p  E 0 plac´  p cos θ V (r, θ) = −E0 r cos θ + 4π 2 . 0r → − L’´ equipotentielle V = 0 co¨ıncide avec S si p  = 4π0 R3 E 0 . V (r, θ) d´ ecrit alors toutes les propri´et´ es (lignes de champ, r´epartition de charges et pression ` a la surface de la sph`ere) du syst`eme “sph`ere plus

8.3 E.D.P. « spatiales » impliquant l’op´erateur laplacien

277

→ − champ E 0 ” pour r ≥ R. Si sur S (suppos´ee maintenant non m´etallique) on impose une condition de → −  = −2π0 R3 E 0 . Cette derni`ere C.L., Neuman du type Er = −∂r V = 0, on voit qu’on doit prendre p non r´ ealiste pour un champ ´electrostatique, le devient pour la vitesse  v d’un ´ecoulement autour d’un → − obstacle sph´erique (figure 28), ou pour le champ magn´etique B ` a la surface d’un supraconducteur → − sph´erique ` a l’int´erieur duquel B = 0 en raison de l’effet Meissner (cf. section 9.4).

(a) q1

r1

11111111 00000000 00000000 11111111 00000000 11111111 00000000 11111111 r2 00000000 11111111 O 00000000 11111111 00000000 11111111 q2 Q − 00000000 11111111 00000000 11111111 00000000 V 11111111 00000000 11111111 00000000 11111111 00000000 11111111

(b) E

v

V= 0

Figure 27

Figure 28

 Identit´ e de Green et applications Green Pour tout point r0 ` a l’int´erieur d’un volume V limit´e par une surface S on a :   ik|r−r0 |   ik|r−r0 | −   − → → − → eik|r−r0 |  e e f ( r) ·dS− Δ+k 2 f ( r) d3 r . 4π f ( r0 ) =  ∇f ( r) − ∇ | r − r0 | | r − r0 | r − r0 | S V |

´ DEMONSTRATION (figure 29) : elle s’appuie sur l’expression int´egrale de la formule de Green : → − − → − → 3 S (F ∇G − G ∇F ) · dS = V (F ΔG − G ΔF ) d r .

S V¯ ¯

S¯ r0

Figure 29 On pose alors F = f et G = | r− r0 |−1 eik|r−r0 | , et on prend pour V le volume V limit´ e par S et la r0 et orient´ee vers l’ext´ erieur). Dans la limite  → 0 l’int´egrale sur S sph`ere S (de rayon , centr´ee en  → − → − → − → − de G ∇F tend vers z´ ero (G ∇F ∼ −1 et S = 4π2 ), celle de F ∇G tend vers 4π f ( r0 ) (| ∇G| ∼ −2 ), et dans V → V on a ΔG =

d2 G dr 2

+

2 dG r dr

= −k 2 G, d’o` u l’identit´e.

8 • Equations aux d´eriv´ees partielles ; propagation ; diffusion

278

Citons quelques cons´ equences remarquables de cette identit´e. r − r0 | 1) Si Δf = 0, si k = 0 et si S est une sph`ere de rayon R centr´ee en  r0 , on retrouve facilement (car | est constant sur S) le r´ esultat de la section 8.2.2 : f ( r0 ) =< f >S(r0 ,R) . 2) Si Δf = g (E.D.P. de Poisson), et dans l’hypoth`ese o` u l’int´egrale de surface tend vers z´ero lorsque S va a ` l’infini, elle donne :

f ( r ) = −(4π)−1



r |−1 g( r  ) d3 r  . | r −

(On v´ erifie ` a posteriori que l’hypoth`ese sur l’int´egrale de surface est justifi´ee lorsque g est localis´ee dans a l’infini.) une r´egion finie car f se comporte alors comme r −1 ` a 3) Diffusion : si f satisfait (Δ + k 2 ) f = g et se comporte comme une “onde sph´erique sortante” ` l’infini, on obtient : f ( r ) = −(4π)−1



| r − r|−1 eik|r

 − r|

g( r  ) d3 r  .

Une application int´eressante concerne les probl`emes de diffusion r´egis par l’´equation   Δ + k02 + δk 2 ( r ) f ( r) = 0 

o` u δk 2 ( r ) peut ˆetre trait´e comme une perturbation. La solution non perturb´ee ´ etant f0 ( r ) ∝ eik0 ·r , on  2 2 i k · r 0 r ) f ( r )  −δk ( r) e (en premi` ere approximation) ; la solution perturb´ee pour r pose g( r ) = −δk ( grand (c.a.d. loin du diffuseur suppos´e localis´e, ce qui permet de faire un d´eveloppement limit´e au premier r | dans l’int´egrale ci-dessus) s’´ecrit alors (approximation de Born de la diffusion) : ordre de | r − −i(k−k )·r  2  3  ik0 r  1 0 f ( r ) = eik0 ·r + A(k, k0 ) e r e avec A(k, k0 ) = 4π δk ( r )d r (k = k0 rˆ) ; l’amplitude de diffusion est proportionnelle ` a la T.F. de la perturbation.

 Probl` emes ` a sym´ etrie sph´ erique ; s´ eparation des variables En coordonn´ees sph´eriques le laplacien s’´ecrit (cf. section 7.2.2)     1 ∂ ∂2 ∂2 ∂ 2 ∂ 1 + 2 Δθ,ϕ avec Δθ,ϕ = sin θ + , Δ= 2 + sin θ ∂r r ∂r r ∂θ ∂θ ∂ϕ2 sin2 θ et les harmoniques sph´eriques Ylm (θ, ϕ), introduites `a la section 4.1.2, forment une base de fonctions propres de Δθ,ϕ satisfaisant (cf. justification ci-dessous) : Δθ,ϕ Ylm (θ, ϕ) = −l (l + 1) Ylm (θ, ϕ) . On cherche alors particuli`eres de la forme f (r, θ, ϕ) = fl (r) Ylm (θ, ϕ). Par   des 2solutions exemple pour Δ + k (r) f = 0 on obtient :  d2 2 d l(l + 1)  + k 2 (r) − fl (r) = 0 . + 2 dr r dr r2 Si k 2 = 0 la solution est fl (r) = Arl + Br−(l+1) . Si k 2 (r) = 0 n’est pas plus singulier que r−1 (cas de l’E.D.P. de Schr¨ odinger pour l’atome d’hydrog`ene), cette expression Arl + Br−(l+1) donne le comportement de fl (r) pour r  0. Lorsque 0 appartient au domaine d’´etude de fl , des conditions de normalisation (ou de finitude de l’´energie) entraˆınent B = 0, ce qui ´equivaut `a une C.L. en r = 0. L’ajout d’une C.L. en r = r0 (cavit´e r´esonnante sph´erique) ou a` l’infini (´etat li´es en m´ecanique quantique), conduit a la quantification des param`etres ω (pulsation) ou E (´energie) pr´esents dans k 2 (r) (cf. ` section 6.4.2). JUSTIFICATION  de Δθ,ϕ Ylm (θ, ϕ) = −l (l + 1) Ylm (θ, ϕ). La d´ efinition des polynˆ omes de Legendre par ∞ l r −l−1 ou r l r −l−1 P (cos θ), leur ind´ r e pendance et la propri´ et´ e Δ(| r − r0 |−1 ) = 0 l 0 0 l=0

| r − r0 |−1 =

pour  r =  r0 , entraˆınent que r l Pl (cos θ) et r −l−1 Pl (cos θ) sont (pour r = 0) solutions de Δf = 0. Comme   2 −1 eduit que Δθ,ϕ Pl = −l (l + 1) Pl . Cette relation est aussi vraie ∂r + 2r ∂r r l = l (l + 1) r l−2 , on en d´ eduisent des Pl par rotation, et l’op´erateur Δ est invariant par rotation. pour les Ylm car elles se d´

8.3 E.D.P. « spatiales » impliquant l’op´erateur laplacien

8.3.3

279

Equation de Laplace Δf = 0 dans le plan et fonctions d’une variable complexe ; applications hydrodynamiques

Les fonctions f (z) d´erivables introduites au chapitre 2 (et associ´ees aux transformations conformes ; cf. section 2.2.2) poss`edent de nombreuses propri´et´es math´ematiques remarquables (voir ouvrages sp´ecialis´es). On se contente ici de montrer qu’elles offrent des exemples simples de solutions (appel´ees fonctions harmoniques) de l’E.D.P. de Laplace (∂x2 +∂y2 ) V (x, y) = 0, avec des conditions aux bords correspondant a` des g´eom´etries vari´ees.

 Fonctions de z f (z) = P (x, y) + iQ(x, y) et ´ equations ΔP = ΔQ = 0 Les parties r´eelle et imaginaire de f (z) sont des fonctions harmoniques. Ceci est une cons´equence imm´ediate des formules de Cauchy Riemann ∂Q ∂P =− ∂x ∂y

,

∂Q ∂P = ∂y ∂x

f (z + dz) − f (z) . En dz effet, la limite ne devant pas d´ependre de la mani`ere dont dz tend vers z´ero, en prenant dz = dx et dz = idy on obtient f  (z) = ∂x P + i∂x Q = −i(∂y P + i∂y Q). On comprend heuristiquement le rˆ ole des fonctions f (z) dans la r´esolution de ΔV = 0 en remarquant que le changement de variables (x, y) → (z = x+iy, z = x−iy) transforme cette ´equation 1 en ∂z ∂z V = 0 et donc, V ´etant r´eel, V = f (z) + c.c.). 2 → − Applications aux ´ ecoulements irrotationnels incompressibles ( v = ∇P , div v = ΔP = 0). 1) Pour f (z) = z α (= rα eiαθ ), ln z (= ln r + iθ) et −i ln z, on a respectivement P = α rα cos αθ, ln r et θ. On # que les fonctions z d´ecrivent des ´ecoulements dans des " πvoit ; en effet la vitesse est tangente aux bords car vθ = r−1 ∂θ P = r´egions “en coin” θ ∈ 0, α 0 sur les bords (radiaux) (figure 30). Les fonctions ln z et −i ln z d´ecrivent des ´ecoulements radiaux (avec source) et circulaires (cf. figures 26b et 26c). qui r´esultent elles mˆemes de l’existence de la d´eriv´ee f  (z) = lim

dz→0

111111111111 000000000000 000000000000 111111111111 000000000000 111111111111 000000000000 111111111111 000000000000 111111111111 « 000000000000 111111111111 000000000000 111111111111 000000000000 111111111111 00000000000000 11111111111111 000000000000 111111111111 00000000000000 11111111111111 00000000000000 11111111111111 Figure 30

2) La fonction

 Γ r2  ln z = P + iQ f (z) = v0 z + 0 + z 2iπ

8 • Equations aux d´eriv´ees partielles ; propagation ; diffusion

280

d´ecrit l’´ecoulement autour d’un cylindre de rayon r0 et d’axe Oz. En effet, en explicitant P (r, θ) on obtient   Γ r2  r2  vr = ∂r P = v0 cos θ 1 − 02 et vθ = r−1 ∂θ P = −v0 sin θ 1 + 02 + , r r 2πr et on voit que v est bien tangente au cylindre. On v´erifie aussi que, si |Γ| < 4πv0 r0 on a Γ

v = 0 pour r = r0 et sin θ = (figure 31a) et que, si |Γ| > 4πv0 r0 on a v = 0 pour 4πv 0 r0  Γ2 Γ π ± − r02 (signe + pour Γ > 0 et − pour Γ < 0 ; figure 31b). θ = et r = 2 4πv0 16π 2 v02

(a)

(b) Figure 31

→ − Le calcul de la force lin´eique F due a` la pression p exerc´ee par le fluide sur le cylindre − → F =



2π

−p (cos θ xˆ + sin θ yˆ) r0 dθ = −ρv0 Γˆ y 0

1 2 1 ρvθ puisque la quantit´e p + ρv 2 est constante (th´eor`eme 2 → 2 − de Bernouilli ; section 7.1.3) et que vr (r0 ) = 0. On a F = 0 si Γ = 0 (effet Magnus).

se fait en rempla¸cant −p par

 G´ eom´ etrie des lignes P = constante et Q = constante −−→ Les formules de Cauchy Riemann montrent que, en tout point, le vecteur grad Q se d´eduit −−→ π de grad P par une rotation de . Les deux r´eseaux de courbes P (x, y) = constante et 2 Q(x, y) = constante sont donc orthogonaux. Comme de plus ces gradients ont mˆeme −−→ module (´egal `a |f  (z)|), le flux de grad P ` a travers toute courbe γ est ´egal a` la circulation −−→ de grad Q le long de γ (et inversement). APLICATION. Pour un domaine du plan limit´e par les lignes P (x, y) = P1 et P2 (´ equipotentielles γ1 et γ2 ) et les lignes Q(x, y) = Q1 et Q2 (lignes de champ ou de courant), la quantit´e R introduite ` a la section 8.3.1 est donn´ee (pour une longueur unit´e perpendiculaire au plan) par la formule tr`es simple : R=

|P2 −P1 | . |Q2 −Q1 |

8.3 E.D.P. « spatiales » impliquant l’op´erateur laplacien

EXEMPLE (figure 32) : pour f (z) = ln e−f )



z c

! +

z2 c2

281

 − 1 = P + iQ, ce qui correspond ` a

z c

=

1 2

(ef +

= cos Q cosh P − i sin Q sinh P , les ´equipotentielles (P fix´ e, Q variable) et les lignes de champ (Q

fix´ e, P variable) forment un r´eseau d’ellipses et d’hyperboles homofocales dont les foyers sont situ´es en (faire un z = ±c. Pour les ´ equipotentielles 0 (segment [−c, c]) et P (ellipse) on a R = (2π)−1 ln a+b c 1

tour du segment correspond ` a une variation de 2π de Q). On remarque aussi que f  (z) = (z 2 − c2 )− 2 → − est infini en z = ±c ; si P est un potentiel ´electrostatique, |f  (z)| = | E | et cette divergence du champ

´ electrique est associ´ee au “pouvoir des pointes”.

b

−c

y

c O

a x

Figure 32

 Propri´ et´ es int´ egrales des fonctions f (z) Les formules de Cauchy Riemann entraˆınent aussi que les champs de composantes (P, −Q) et (Q, P ) ont un rotationnel nul. Par application de la formule de Stokes aux parties r´eelle et imaginaire de l’int´egrale, on obtient : 



def

f (z) dz =

(P (x, y) + iQ(x, y)) (dx + idy) = 0 .

γ

γ

Comme on l’a vu a` la section 7.2.2. cette formule n’est vraie que si γ entoure un domaine ` l’int´erieur duquel les rotationnels, donc f  (z), sont d´efinis. Si ce n’est pas le cas on a en d´eduit cependant que l’int´egrale (non nulle) reste inchang´ee lorsque γ est d´eform´e sans qu’aucune singularit´e ne le traverse ; cette remarque permet souvent son calcul. Par exemple si γ fait un tour (direct) autour de z0 , en prenant le cas particulier d’un cercle z = z0 + reiϕ , on obtient :  γ

dz = (z − z0 )n



2π

i 0

reiϕ rn einϕ

dϕ = 0 si n = 1 et 2iπ si n = 1

(cas particulier du th´eor`eme des r´esidus ; cf. ouvrages sp´ecialis´es).

8 • Equations aux d´eriv´ees partielles ; propagation ; diffusion

282

→ − Application ` a l’´ ecoulement autour d’un obstacle (figure 33). La vitesse est donn´ee par v = ∇P ou (cf. Cauchy Riemann) f  (z) = vx − ivy . Si γ est la fronti`ere orient´ee de l’obstacle on a :   2    → − f (z) dz = γ  v . dl ; f (z) dz = γ v2 (dx − idy) . γ γ

y F

= 0 et σX . = Loi uniforme sur − , 2 2 q q 12

10 • Probabilit´es ; processus al´eatoires

308

Loi gaussienne : 2 2 1 (x − m)2 iuX ium − u 2σ 2 PX (x) = √ exp − ⇐⇒ < e >= e e ; < X >= m et σX = σ2 . 2σ 2 2πσ 2 u2 σ 2 montre que les seuls moments centr´es non nuls sont Le d´eveloppement de exp − 2 2p < (X −m) >= 1.3.5 · · · (2p−1) σ 2p ; en particulier < (X −m)4 >= 3 < (X −m)2 >2 . REMARQUES. La variance, lorsqu’elle existe, “ mesure” la tendance d’une v.a. `a ˆetre plus ou moins “piqu´ee” autour de sa moyenne. En effet on d´emontre que la probabilit´e pour que X s’´ecarte de sa moyenne de plus de λ fois l’´ ecart type σX est inf´erieure `a λ−2 ; pour une v.a. gaussienne elle vaut 5 × 10−2 pour λ = 2, et 4 × 10−3 pour λ = 3. Si la variance est nulle la v.a. est certaine (et r´eciproquement). Il existe cependant des 1 a exemples comme la loi lorentzienne PX (x) = , pr´esentant une “largeur typique 2 π a + x2 a”, mais n’ayant pas d’´ecart type ; (< eiuX >= e−a|u| n’est pas non plus d´eveloppable en puissances de u).

 Cas d’une famille de v.a. La d´efinition des moyennes est une g´en´eralisation de celle donn´ee pour une v.a. :  ∞  ∞ ··· f (x) PX (x) dx1 · · · dxn . < f (X) >= −∞

−∞

Donc la moyenne d’une somme de fonctions des v.a. est la somme des moyennes de chaque fonction. En plus des moyennes mi =< Xi > de chaque v.a. et de leurs variances σi2 =< (Xi − mi )2 >, les quantit´es les plus utilis´ees sont les corr´ elations : Γij =< (Xi − mi )(Xj − mj ) >=< Xi Xj > −mi mj

(i = j ; Γii = σi2 ) .

Γij mesure la tendance des v.a. centr´ees Xi − mi et Xj − mj `a varier dans le mˆeme sens (Γij > 0) ou en sens inverse (Γij < 0). Les v.a. Xi et Xj sont corr´el´ees (resp. non corr´el´ees) si Γij = 0 (resp. Γij = 0). Dans le cas de v.a. ind´ependantes PX (x) factorise. Donc si f (X) factorise aussi on a : < Πi fi (Xi ) >= Πi < fi (Xi ) > . u Γij = 0 (i = j). Donc l’ind´ependance des En particulier < Xi Xj >=< Xi >< Xj > d’o` Xi entraˆıne leur non corr´elation. On fera attention que, sauf pour les v.a. gaussiennes, la r´eciproque est fausse. (cf. exemple 1 de la section 10.1.2. pour lequel il est ´evident que < X >=< Y >=< XY >= 0 alors que X et Y ne sont pas ind´ependantes).

10.2 10.2.1

ORIGINE ET DISCUSSION DE QUELQUES LOIS IMPORTANTES EN PHYSIQUE Th´ eor` eme de la limite centrale et lois gaussiennes

Dans de nombreuses situations physiques la v.a. X est la somme d’un grand nombre de v.a. Xi . Ce peut ˆetre une erreur X accumulation de petites erreurs, le d´eplacement → − → − → − → − R = R 1 + R 2 + · · · + R N d’une marche au hasard constitu´ee de N pas, la somme

10.2 Origine et discussion de quelques lois importantes en physique

309



|Ai | eiΦi de nombres complexes (amplitude complexe  d’une lumi`ere thermique ou d’une figure de speckles), un signal r´esultant X(t) = a t fix´e) lorsque i f (t − Ti ) (` beaucoup de fonctions f (t − ti ) se recouvrent (superposition de paquets d’ondes ´emis a des instants al´eatoires), etc. On observe alors g´en´eralement que la loi de X est bien ` approch´ee par une gaussienne. On va le justifier dans le cas o` u les Xi sont des v.a. ind´ependantes et de mˆeme loi, caract´eris´ee par une moyenne m et une variance σ 2 . Ces conditions peuvent ˆetre “assouplies” ; l’existence des variances et de “pas trop de corr´elation” suffit. i

 Propri´ et´ es de X = X1 + X2 + · · · + XN La lin´earit´e de l’op´eration de moyenne entraˆıne N N   < Xi > ; < X 2 >= < Xi Xj > . < X >= i=1

i,j=1

Si les Xi sont ind´ependantes on a < Xi Xj >=< Xi >< Xj > pour i = j. On en d´eduit que la variance de X est la somme des variances des Xi et que si les Xi ont mˆeme loi : < X >= N m

et

2 = N σ2 . σX

EXEMPLES. Si les Xi sont des erreurs de moyenne nulle et de valeur “typique” σ, √ l’erreur X ` a une valeur “typique” N σ. Dans une marche au hasard sans ! d´erive √ →2 − → − (< R i >= 0), le “d´eplacement typique” au bout de N pas est N l avec l = < R i >. σ X qui a pour ´ecart type √ devient la variable sure ´egale a` m pour Enfin la v.a. N N N → ∞. REMARQUE. Si m = 0 on peut assimiler X `a sa valeur moyenne N m car l’erreur σX σ relative commise = √ tend vers 0 pour N grand ; c’est le cas des grandeurs

m N extensives de la thermodynamique. Par contre ceci devient faux pour des sommes de 2 v.a. “fortement d´ependantes”, par exemple σX = N 2 σ 2 pour X = X1 + · · · + X1 = N X1 . On peut aussi v´erifier explicitement que pour l’intensit´e d’une figure de speckles I =  iΦi 2 N = i,j=1 ei(Φi −Φj ) , avec Φi v.a. ind´ependantes et uniformes sur [0, 2π], on a ie < I >= N et (petit calcul) σI2 = N 2 − N ; la figure pr´esente de grandes fluctuations d’intensit´e.

 Th´ eor` eme de la limite centrale X − Nm √ , qui est centr´ee et de variance σ 2 , tend N  vers une gaussienne. On peut alors approximer la densit´e de la v.a. X = N i=1 Xi , pour N grand, par 1 (x − N m)2 PX (x)  √ exp − . 2N σ 2 2πN σ 2 Lorsque N tend vers l’infini la v.a. Z =

JUSTIFICATION : Z est la somme des N v.a. Xi =

√1 (Xi − m) qui sont centr´ ees et de variance N  σ2 iuZ . Sa fonction caract´eristique < e > est le produit Πi < eiuXi > (ind´ ependance des Xi ), ´ egal ` a N  N 2 2  σ2 2 u +· · · qui tend vers exp − σ 2u (si la somme des termes < eiuX1 >N (Xi de mˆeme loi), soit 1 − 2N

non ´ecrits du d´eveloppement peut ˆetre n´ eglig´ ee).

10 • Probabilit´es ; processus al´eatoires

310

  1 REMARQUES. 1) Si les Xi sont ´equir´ eparties sur − 12 , 12 leur densit´e est Π(x), celle de N − 2 Xi est √ √ √ √ ∗N N Π( N x) et celle de Z est le produit de convolution N Π( N x) ; pour N → ∞ il tend vers une gaussienne comme annonc´e ` a la section 5.2.1. evident en consid´erant 2) Si les Xi sont des v.a. lorentziennes de densit´e La (x) la densit´e de X est LNa (x) (´ les fonctions caract´eristiques) qui ne tend pas vers une gaussienne pour N grand ; ceci ne contredit pas le th´ eor` eme car alors σ2 n’existe pas.

 Famille de v.a. gaussiennes On a d´ej`a vu, avec les composantes de la vitesse d’une mol´ecule d’un gaz, un exemple de trois v.a. gaussiennes ind´ependantes. Dans le cas g´en´eral une loi gaussienne (en supposant les variables centr´ees pour simplifier l’´ecriture) est d´efinie par la densit´e (A matrice sym´etrique positive) n 1 1 PX (x) = (2π)− 2 (det A) 2 exp − xt Ax 2

(xt Ax =

n 

xi Aij xj ) ,

i,j=1

ou de fa¸con ´equivalente par la fonction caract´eristique : = exp − ut Γu 2

−1

avec A = Γ

t

(u X =

n 

u i Xi ) .

i=1

L’´equivalence des deux d´efinitions est facile a` d´emontrer dans la base o` u A est diagonale. t

t

La comparaison des d´eveloppements au second ordre en u de < eiu X > et e− 2 u Γu montre que Γij =< Xi Xj >. Si les Xi ne sont pas corr´el´ees, Γ et donc aussi A sont diagonales et la densit´e factorise ; on en d´eduit que non corr´ elation et ind´ ependance sont des notions identiques pour des v.a. gaussiennes. Une autre propri´ e t´ e importante  est que toute combinaison lin´eaire de v.a. gaussiennes Y = a X est aussi gaussienne ; i i i  en effet < eiuY >= exp − 21 u2 i,j ai Γij aj (car ui = uai ) est la fonction caract´eristique  d’une gaussienne de variance σY2 = i,j ai Γij aj . Plus g´en´eralement le filtrage lin´eaire pr´eserve le caract`ere gaussien d’un processus. 1

REMARQUE. Pour des v.a. non centr´ees il suffit de remplacer dans ce qui pr´ec`ede X par X − m avec mi =< Xi >.

10.2.2

Loi binomiale et loi de Poisson

 Loi binomiale C’est la loi de probabilit´e de la somme X = X1 + X2 + · · · + XN de N v.a. de Bernouilli ind´ependantes et de mˆeme loi (caract´eris´ee par la probabilit´e p). Donc : 2 2 < X >= N < X1 >= N p et σX = N σX = N p(1 − p) . 1

N n n N −n iun De la fonction caract´eristique < eiuX >= (peiu + q)N = e = n=0 CN p q N iun p e , on d´ e duit que X prend les valeurs n = 0, 1 · · · N avec les probabilit´ e s n=0 n (caract´eris´ees par N et p) : n n N −n pn = CN p q

(q = 1 − p) .

10.2 Origine et discussion de quelques lois importantes en physique

311

n On peut aussi obtenir ce r´esultat en remarquant qu’il y a CN fa¸cons d’avoir n v.a. ´egales a 1 et N − n v.a. ´egales `a 0 et que pour chacune la probabilit´e est le produit pn q N −n . `

EXEMPLE. Dans une enceinte de volume V contenant N mol´ecules d’un gaz parfait, X compte le nombre de mol´ecules dans un volume ΔV : Xi = 1 ou 0 selon la pr´esence ΔV . La fluctuation relative de densit´e ou l’absence de la mol´ecule i dans ΔV et p = V 1   σX V − ΔV 2 = est n´egligeable si ΔV reste macroscopique ; on peut alors dire

N ΔV que, a` l’´echelle ΔV , la r´epartition des particules dans V est uniforme.

 Loi de Poisson Elle est la limite de la loi binomiale lorsque N tend vers l’infini, p tend vers z´ero, le produit N p = m restant fini. Le spectre d’une v.a. de Poisson est donc constitu´e par tous les entiers n = 0, 1, 2 · · · et : 2 < X >= σX =m

;

pn =

mn e−m n!

;

iu

< eiuX >= em(e

−1)

.

´ DEMONSTRATION : on r´ecrit pour la loi binomiale m N  m −n N (N − 1) . . . (N − n + 1)  m n  1− 1− , n! N N N  m N < eiuX >= 1 + (eiu − 1) , N puis on fait tendre N vers l’infini. La loi de Poisson ne d´epend que du seul param`etre m. pn =

REMARQUE. En faisant le produit des fonctions caract´eristiques, on voit que la somme de v.a. de Poisson ind´ependantes de moyenne mi est une v.a. de Poisson de moyenne  i mi . Une v.a. de Poisson dont la moyenne est grande (m  1) est quasi-continue ; elle peut ˆetre vue comme la somme d’un grand nombre de v.a de Poisson et (th´eor`eme de la limite centrale) elle se comporte donc comme une √ v.a. gaussienne ; son ´ecart type n’est pas quelconque mais reli´e `a la moyenne par σ = m.

 Ev` enements al´ eatoires dans le temps La loi de Poisson intervient chaque fois que des ´ev`enements se produisant de fa¸con al´eatoire dans le temps ob´eissent aux trois hypoth`eses suivantes (tr`es souvent satisfaites exp´erimentalement) : i) l’occurrence de plus d’un ´ev`enement dans un intervalle dt a une probabilit´e n´egligeable (pas d’´ev`enements simultan´es) ; ii) la probabilit´e d’occurrence d’un ´ev`enement dans un intervalle dt est λ dt (λ constant ind´ependant de t) ; iii) les occurrences d’´ev`enements qui se produisent dans des intervalles de temps qui ne se recouvrent pas sont ind´ependantes. En effet en divisant un intervalle de largeur Δt en un Δt grand nombre N d’intervalles de largeur δt = , on obtient pour la probabilit´e Pn (Δt) N    λΔt N −n n λΔt n de l’occurence de n ´ev`enements dans Δt (limite N → ∞ de CN 1− ): N N Pn (Δt) =

(λΔt)n −λΔt e . n!

10 • Probabilit´es ; processus al´eatoires

312

REMARQUES. 1) De l’expression de Pn (Δt) on d´eduit que la probabilit´e pour que le ni`eme ´ ev` enement, n−1 −λt λ dt. e compt´e ` a partir de t = 0, se produise dans l’intervalle [t, t + dt] est Pn−1 (t) P1 (dt) = (λt) (n−1)! a la section 10.1.1 est : Donc la densit´e de probabilit´e de la v.a. Tn introduite ` n−1 n) e−λtn λ . PTn (tn ) = (λt (n−1)! Pour n = 1 on retrouve la loi exponentielle, et comme l’origine des temps est arbitraire, cette loi est aussi valable pour l’intervalle de temps Ti − Ti−1 entre deux d´esint´egrations. De l’ind´ependance des v.a. eduit que la densit´e de probabilit´e conjointe des instants T1 , T2 · · · Tn des T1 , T2 − T1 · · · Tn − Tn−1 , on d´ n premiers ´ev` enements est le produit : PT1 ,T2 ···Tn (t1 , t2 · · · tn ) = λH(t1 )e−λt1 λH(t2 − t1 )e−λ(t2 −t1 ) . . . λH(tn − tn−1 )e−λ(tn −tn−1 ) . 2) Si λ d´ epend du temps, la remarque sur l’addition des v.a. de Poisson montre qu’il suffit de remplacer edentes (r´eflexion laiss´ee au lecteur). λΔt par tt+Δt λ(t ) dt dans les expressions pr´ec´

Ces r´esultats s’appliquent par exemple aux ´emissions de particules par un ´echantillon radioactif, aux collisions d’un atome dans un gaz, aux appels  qui arrivent a` un standard t´el´ephonique, etc. ainsi qu’aux signaux al´eatoires du type i f (t−Ti ) (bruit de grenaille ; figure 10a), ou plus g´en´eralement aux processus qui consistent, aux instants al´eatoires Ti , a` effectuer une modification (souvent elle aussi al´eatoire) du signal.

f(t− t i ) (a) t1

t2 t 3 x(t)

(b) t1

t4 t t2

t

Figure 10 EXEMPLE : ´ elargissement de raie. Le signal lumineux a exp −i(2πν0 t+ϕ0 ) exp −γt ´emis `a t = 0 par un atome non perturb´e (γ ´etant li´e `a la largeur naturelle de la raie) voit sa phase modifi´ee d’une quantit´e al´eatoire a` chaque collision avec un  autre atome (fig.10b avec γ = 0). A un instant t > 0 le signal est X(t) = a exp −i 2πν0 t + ϕ0 +  Φ(t) exp −γt, avec Φ(t) = 0 si il n’y a pas eu de choc entre 0 et t (probabilit´e e−λt ), et avec Φ(t) ´equir´epartie sur [0, 2π] si il y a eu un ou plusieurs chocs (probabilit´e 1−e−λt ). On voit sur le “signal moyen” e−λt (a exp −i(2πν0 t + ϕ0 ) exp −γt) + (1 − e−λt ) × 0 que l’effet des collisions est d’´elargir la raie en changeant γ en γ + λ (cf. aussi section 10.3.3).

10.2.3

Loi de Boltzmann ; g´ en´ eralisations ; statistiques quantiques ; r´ eponse lin´ eaire et fluctuations

On se limite a` l’´etablissement et `a quelques propri´et´es g´en´erales de la loi de Boltzmann (cf. aussi section 7.4.2). Le lecteur est renvoy´e aux ouvrages de thermodynamique et de physique statistique pour les applications.

10.2 Origine et discussion de quelques lois importantes en physique

313

 Etablissement de la loi de Boltzmann On consid`ere pour commencer un syst`eme macroscopique isol´e S d’´energie U0 fix´ee constitu´e de N0 particules discernables sans interaction, chacune d’elle ´etant susceptible d’ˆetre dans des ´etats α (discrets pour simplifier l’´ecriture) bien d´efinis d’´ nergie α . On  e−1 suppose que les ´etats microscopiques possibles de S, au nombre de exp kB S(U0 , N0 ) d’apr`es la d´efinition de l’entropie (cf. section 1.1.4), sont ´equiprobables (cf. section 10.3.2 “distribution microcanonique”). La probabilit´e pα pour qu’une particule donn´ee soit dans l’´etat α (et donc les N0 −1 autres dans des ´etats quelconques mais avec une ´energie totale U0 −α ) s’obtient alors en faisant le rapport du “nombre de cas favorables” au “nombre de cas possibles”. En utilisant la formule g´en´erale de thermodynamique dS = T (dU − μ dN ) F (μ = , avec F = U −T S, est le potentiel chimique par particule) et l’in´egalit´e α  U0 , N un d´eveloppement au premier ordre donne :  −1  exp kB S(U0 − α , N0 − 1) α − μ  −1  . = exp − pα = kB T exp kB S(U0 , N0 ) Une autre ´ecriture, pratique pour les calculs, utilise la fonction de partition Z(β) : pα =

e−βα Z(β)

avec

Z(β) =



e−βα = e−βμ

 β=

α

1  . kB T

REMARQUE. Si gi est le nombre d’´etats d’´energie i (gi facteur de d´ eg´ en´ erescence du niveau i ) la probabilit´e qu’une particule ait l’´energie i est p(i ) = pi = Z −1 gi e−βi . Particules en interaction (interactions suppos´ees `a courte port´ee). Au lieu de consid´erer les particules individuellement, on divise par la pens´ee le syst`eme S (de volume V0 ) en un grand nombre de sous syst`emes de volume V (V  V0 ) comportant chacun un nombre suffisant N de particules (N  N0 mais macroscopique) pour que les interactions entre sous syst`emes (effet de surface) soient n´egligeables devant les interactions internes (effet de volume). Alors la d´emonstration pr´ec´edente, reprise pour les sous syst`emes et leurs ´etats A, conduit a` la loi de Boltzmann pA ∝ e−βEA si on ignore les fluctuations de N . Par exemple dans un gaz r´eel la densit´e de probabilit´ e conjointe des vitesses et positions des    1 2 particules est P ( v1 , · · · vN ; r1 , · · · rN ) ∝ exp −β m

v + V (

r −

r ) ; contraii j i i 2 (i,j) rement au cas du gaz parfait, les positions ne sont pas ind´ependantes ; par contre les vitesses le restent. REMARQUE. Les niveaux d’´ energie des sous syst`emes ont une d´ eg´ en´ erescence “macroscopique” : g(E) = exp

S(E,N) kB

et donc p(E) ∝ exp

S(E,N) kB

e−βE .

a N ) sont tr`es grands devant kB ∼ 10−23 , la Comme S et T −1 E (grandeurs extensives proportionnelles ` probabilit´e p(E) est tr`es “piqu´ee” autour de la valeur E = U (´ energie interne macroscopique des sous maximum. Donc l’´etat d’´ equilibre observ´e est celui qui rend le potentiel syst` emes) qui rend S(E, N ) − E T thermodynamique F = E − T S minimum. Dans la pratique il est tr`es rare qu’on puisse d´eterminer exactement ce minimum. On appelle th´ eorie de champ moyen une approximation qui consiste ` a exprimer S et E en fonction d’un param`etre d’ordre x (le taux d’aimantation d’un site dans le cas du ferromagn´etisme ; cf. section 5.1.4), puis ` a calculer la valeur x∗ (T ) de x qui minimise F (x) = E(x)−T S(x) (cf. section 7.4.2).

10 • Probabilit´es ; processus al´eatoires

314

 G´ en´ eralisations ; statistiques quantiques Si l’´etat A caract´erise les particules contenues dans un sous volume V d’un syst`eme isol´e S, il faut pr´eciser `a la fois l’´energie EA et le nombre de particules NA . En utilisant la formule g´en´erale dS = T (dU + P dV − μ dN ), on obtient comme pr´ec´edemment la loi de probabilit´e dans le formalisme grand canonique :  −1  exp kB S(U0 − EA , V0 − V, N0 − NA )  −1  pA = = e−βP V e−β(EA −μNA ) . exp kB S(U0 , V0 , N0 ) Ce formalisme est utile quand on consid`ere des particules quantiques pour lesquelles les r`egles d’occupation des ´etats particulaires α d´ependent de la statistique (Fermi-Dirac ou Bose-Einstein). Dans ce cas, si les particules sont sans interaction, un ´etat A est enti`erement d´efini par l’ensemble {nα } des nombres d’occupation des ´etats α avec les conditions   nα = NA et nα α = EA α

α

(nα = 0 ou 1 pour les fermions et 0, 1, 2 · · · pour les bosons). Ceci entraˆıne que la probabilit´e pA factorise : pA ∝ Πα e−β(α −μ) nα . De la loi de probabilit´e marginale relative au nombre d’occupation nα d’un ´etat p(nα ) ∝ e−β(α −μ) nα (loi exponentielle pour nα ), on d´eduit que le nombre moyen d’occupation est < nα >=

1 ou ∞

nα p(nα ) =

nα =0

1 eβ(α −μ) ± 1

(+1 fermions, −1bosons) ,

  ∞ et que la variance vaut < n2α > − < nα >2 =< nα > 1∓ < nα > (utiliser 0 np xn = (x∂x )p (1 − x)−1 pour les bosons). Pour des fermions l’´ecart type vaut 0 si < nα >= 1 (´etat α occup´e) ; pour des bosons il vaut < nα > si < nα > est grand. Si l’´etat α est 1 peu occup´e (< nα > 1) l’´ecart type vaut < nα > 2 pour les bosons comme pour les fermions ; on est alors dans les conditions de la physique statistique classique. REMARQUES. Le potentiel chimique μ est d´etermin´e par la condition Σα < nα >=< N > N o` u N est le nombre de particules du syst`eme ´etudi´ e (grandeur macroscopique dont les fluctuations sont n´ egligeables). Dans le cas particulier des photons N n’est pas fix´e et μ = 0 ; < n >= (eβhν − 1)−1 . Pour un volume V et une bande de fr´equences [ν, ν + dν], le nombre d’´etats de photons est (compte tenu des 2 dp avec p = hν ; on en d´eduit que la densit´ e volumique spectrale d’´energie est polarisations) 2 V 4πp c h3 u(ν, β) = hν

8πν 2 c3

(eβhν − 1)−1 (loi de Planck).

 R´ eponse lin´ eaire et fluctuations (exemples) Pour un syst`eme macroscopique paramagn´etique, les ´etats A en pr´esence d’un champ magn´etique ext´erieur B ont une ´energie EA − MA B. La fonction de partition  Z(β, B) = exp −β(EA − MA B) A

(dont l’expression pr´ecise n’importe pas) permet de calculer l’aimantation moyenne    pA = Z −1 exp −β (EA − MA B) pA M A < M >= A

10.2 Origine et discussion de quelques lois importantes en physique et la variance < (δM )2 >= < M >= β

−1

 A

∂B ln Z

pA MA2 − < M >2 : ;

2

< (δM ) >= β

 −2

2 Z ∂B − Z

315



∂B Z Z

2  .

On en d´eduit la relation ∂B < M >= β < (δM )2 > : la r´eponse du syst`eme `a une petite variation de B est une petite variation de M proportionnelle a` ses fluctuations. (χ = μ0 ∂B < M > |B=0 est la susceptibilit´e.) De mˆeme la r´eponse `a une petite variation de temp´erature ΔT est une petite variation d’´energie interne ΔU = cv ΔT du syst`eme et on v´erifie que la capacit´e thermique cv = ∂T U est reli´ee aux fluctuations de l’´energie par : T cv = T ∂T U = −β ∂β U = β

 ∂2 Z β

Z

−

 ∂β Z 2  = β < (δE)2 > Z

(car U =< E >= −∂β ln Z). REMARQUE. A la temp´erature de la transition entre paramagn´etisme et ferromagn´etisme, l’exp´erience  montre que χ devient infini (cf. aussi section 5.1.4). Donc < (δM )2 >= ij (< μi μj > − < μi >< μj >)  eflexion laiss´ee au lecteur, qu’il y a entre les (car M = i μi ) tend aussi vers l’infini. Ceci implique, r´ a longue port´ee (mˆeme si les interactions sont ` a courte port´ee). moments individuels μi des corr´elations `

10.2.4

Estimation et lois de χ2 (khi-deux)

 Estimation Un probl`eme fr´equemment rencontr´e est celui de l’estimation de la valeur a d’une grandeur (non al´eatoire) `a partir des r´esultats x1 , x2 · · · xn de n mesures (entach´ees d’erreurs non syst´ematiques) relatives a` une grandeur x fonction connue x(a) de a. Ici les n mesures sont ind´ependantes et peuvent correspondre `a des protocoles exp´erimentaux diff´erents, ne pas avoir le mˆeme degr´e de pr´ecision, etc. Pour prendre en compte les erreurs, l’id´ee est de consid´erer pour chaque i le nombre xi comme l’une des valeurs possibles d’une  de a est une v.a. fonction v.a. Xi , les Xi ´etant n v.a. ind´ependantes. Un estimateur A  des Xi qui, pour ˆetre bon, doit ˆetre sans biais (< A >= a), de variance la plus petite  sˆ possible, et convergent (A ur pour n → ∞). Sa d´etermination par la m´ ethode du maximum de vraisemblance consiste `a se donner une densit´e de probabilit´e Πi pi (xi − x(a)) “raisonnable” pour les erreurs Xi − x(a), et `a retenir la valeur a ˆ (fonction des xi ) qui maximise cette probabilit´e. a ˆ(x1 , x2 · · · xn ) est une r´ealisation exp´erimentale de l’estima=a teur A ˆ(X1 , X2 · · · Xn ).

 Estimations conduisant ` a un χ2 On se limite a` deux exemples d’estimation amenant `a consid´erer des r´ealisations χ2exp d’une v.a. χ2 , qui est la somme des carr´es de v.a. gaussiennes centr´ees ind´ependantes. EXEMPLE 1. Si la grandeur mesur´ee est directement celle qu’on veut estimer (x ≡ a) (xi − x)2 . et si les erreurs sont gaussiennes de variances σi2 , alors Πi pi (xi −x) ∝ Πi exp − 2σi2

10 • Probabilit´es ; processus al´eatoires

316

Maximiser cette fonction par rapport a` x revient `a minimiser la quantit´e χ2 (x) =

n  (xi − x)2 σi2 i=1

(χ2 ` a n degr´ es de libert´ es) .

 i wi Xi  avec wi = σi−2 , et sa r´ealisation est : L’estimateur est X =  i wi  wi xi . x ˆ = i i wi Il donne un poids plus grand aux mesures les plus pr´ecises ; ce n’est que si toutes sont faites avec la mˆeme pr´ecision que l’estimation exp´erimentale est la moyenne arithm´etique des r´esultats de mesure. Le χ2 exp´erimental a pour expression χ2exp = n  (xi − x ˆ)2 . 2 σi i=1 EXEMPLE 2. Estimation d’une v.a. X. On cherche alors ` a estimer sa moyenne, sa variance, sa loi de probabilit´e, etc. ` a partir des valeurs x1 , x2 · · · xn obtenues lors de n mesures de X (les mesures ind´ependantes ´etant ici suppos´ees se faire sans erreur). Comme pr´ec´ edemment pour chaque i, mais parce que X est al´eatoire et non ` a cause d’erreur de mesure, xi est une valeur possible d’une v.a. etant ind´ependantes. On v´erifie en calculant explicitement leurs moyennes que Xi ≡ X, les Xi ´ +)2 + = X1 +X2 +···+Xn et V = 1  n (Xi − M M i=1 n n−1 sont des estimateurs sans biais de la moyenne et de la variance de X. Si on s’int´ eresse ` a la loi de probabilit´e de X (suppos´ee discr`ete pour simplifier), et si lors d’une s´erie de n mesures la valeur xα du spectre de X a ´ et´ e trouv´ ee nα fois, Pα = Nα est un estimateur sans biais de la probabilit´e th´eorique pα n

de cette valeur ; Nα est la v.a. dont les valeurs nα d´ ependent de la s´erie de n mesures effectu´ ee. On peut α −npα sont proches de gaussiennes centr´ees, r´ eduites ; on pose montrer que pour n grand les v.a. N√ npα 2  α) alors χ2exp = sα=1 (nα −np . (Ici le nombre de degr´es de libert´e est r = s − 1 car les Nα sont reli´es np α  par la contrainte α Nα = n.)

 Loi et test de χ2 Apr`es avoir obtenu une estimation se pose toujours le probl`eme du “degr´e de confiance” dans cette estimation qui n’est qu’une r´ealisation de l’estimateur. C’est l`a qu’intervient r la loi du χ2 ` a r degr´ es de libert´ e : loi de la v.a. Z = i=1 G2i o` u les v.a. Gi sont des gaussiennes centr´ees r´eduites ind´ependantes. Les tables de χ2 donne la valeur χ2p telle que P ({Z < χ2p }) = p pour p = 0, 5, 0, 90, 0, 95 . . . Le test du χ2 consiste alors `a se donner une valeur de p (proche de 1) `a laquelle correspond une valeur χ2p , et `a comparer cette derni`ere au χ2exp ; le test est n´egatif si χ2exp > χ2p (puisque la probabilit´e 1 − p tr`es petite de cette ´eventualit´e devrait pratiquement l’exclure). Si χ2exp < χ2p le test est positif, ce qui ne constitue pas une preuve de validit´e. Ce n’est qu’en satisfaisant simultan´ement plusieurs types de tests qu’une estimation devient de plus en plus plausible ; par exemple, il faut v´erifier aussi que < X 4 > −3 < X 2 >2  0 pour une v.a. gaussienne centr´ee. REMARQUE. Une autre application importante est l’ajustement de donn´ees exp´erimentales par la m´ethode des moindres carr´es (cf. section 11.3.3).

10.3 Processus al´eatoires

10.3

317

´ PROCESSUS ALEATOIRES

Consid´erons une particule brownienne dans un fluide situ´ee en O `a t = 0. Lors d’une exp´erience ω1 son mouvement, dˆ u aux chocs avec les mol´ecules du fluide, est d´ecrit par une fonction “ordinaire” r1 (t) ; dans une autre exp´erience ω2 la trajectoire r2 (t) → − est diff´erente. Ces fonctions sont des r´ealisations d’une fonction al´eatoire R (t). En g´en´eral on ne s’int´eresse pas `a la trajectoire enti`ere, mais on cherche `a savoir si il existe des corr´elations entre les positions a` des instants diff´erents, comment se comporte le → − → − → − → − → − d´eplacement R (t2 ) − R (t1 ), etc. Ce sont donc les v.a. R (t1 ), R (t2 ) · · · R (tn ) (t1 , t2 . . . tn ´etant des param`etres) qu’on ´etudie, et en pratique on se limite aux familles a` un et deux instants qui caract´erisent en g´en´eral assez bien le processus. On commence ici par consid´erer la marche au hasard qui est plus simple que le mouvement brownien et peut servir d’introduction aux autres processus ´etudi´es par la suite.

10.3.1

Marche al´ eatoire ; processus de diffusion ; mouvement brownien

 Mod´ elisations de la diffusion ; bruit blanc Consid´erons un marcheur qui, partant de l’origine O a` t = 0, se d´eplace sur une droite en effectuant aux instants 0, τ, 2τ · · · nτ · · · des pas ind´ependants ±l avec la mˆeme probabi1 lit´e (de transition) . Sa position X(t) est une somme de v.a. ind´ependantes, centr´ees et 2 de variance l2 d’o` u: < X(t) >= 0

;

< (X(t))2 >= nl2 = 2Dt (t = nτ ) .

l2 = V l. Ces r´esultats restent valables τ quelle que soit la loi des pas pourvu qu’elle soit de moyenne nulle et de variance l2 ; l et V sont des libre parcours moyen et vitesse typiques.

D est le coefficient de diffusion d´efini par 2D =

Un processus de diffusion correspond `a la limite continue o` u τ et l tendent vers z´ero, D restant fix´e. Il peut aussi ˆetre consid´er´e comme une “vision `a grande ´echelle” de la t marche al´eatoire. Si τ =  le nombre de pas n = effectu´es dans l’intervalle [0, t] tend  vers l’infini lorsque  → 0, et (cf. section 10.2.1) X(t) devient une v.a. gaussienne. Sa variance ´etant 2Dt et sa moyenne nulle, sa densit´e s’´ecrit : 1 x2 ; PX (x, t) = √ exp − 4Dt 4πDt elle v´erifie l’E.D.P. de diffusion (cf. section 8.2.2) ∂t P = D ∂x2 P pour t > 0. La densit´e de probabilit´e conditionnelle de X(t2 ) sachant que X(t1 ) = x1 (t2 > t1 > 0) s’appelle probabilit´ e de transition du processus not´ee Pt2 ,t1 (x2 / x1 ) ; son expression  − 1 (x2 − x1 )2 Pt2 ,t1 (x2 / x1 ) = 4πD(t2 − t1 ) 2 exp − 4D(t2 − t1 ) se d´eduit de celle de PX (x, t) en rempla¸cant l’intervalle [0, t] par [t1 , t2 ] et x par (x2 − x1 ). Plus g´en´eralement les d´eplacements X(t2 ) − X(t1 ) sont des v.a. gaussiennes centr´ees, de

10 • Probabilit´es ; processus al´eatoires

318

variance 2D(t2 − t1 ), et qui sont ind´ependantes si les intervalles [t1 , t2 ] ne se recouvrent pas. REMARQUE. Si t2 − t1 = dt est infinit´esimal on peut poser X(t2 ) − X(t1 ) = dX(t). Les physiciens appellent bruit blanc (gaussien) le “processus limite” d´efini par : dX(t) . dt = t (ind´ ependance

B(t) = limdt→0

des d´eplacements dX(t) et Il v´ erifie < B(t) >= 0 et < B(t) B(t ) >= 0 pour t dX(t )). Comme la variance de (t2 −t1 )−1 (X(t2 ) − X(t1 )) vaut 2D(t2 −t1 )−1 on voit que < B(t) B(t ) > est singulier pour t = t . On justifie l’expression < B(t) B(t ) >= 2D δ(t − t ) en remarquant que cela redonne bien :  2 < X(t) >= 0t 0t < B(t ) B(t ) > dt dt = 2Dt .

Autre mod´ elisation. Consid´erons une chaˆıne d’atomes et un ´electron pouvant sauter d’un atome vers les deux atomes voisins distants de a avec une ´egale probabilit´e λ dt dans l’intervalle [t, t + dt]. Alors  si P (x, t) est sa probabilit´e de pr´esence `a l’abscisse x `a l’instant t, on a (cf. p(A) = i p(A/Bi ) p(Bi ))   P (x, t + dt) = P (x + a, t) + P (x − a, t) λ dt + P (x, t) (1 − 2λ dt) ,   ce qui donne l’´equation maˆıtresse ∂t P (x, t) = P (x+ a, t)+ P (x− a, t)− 2P (x, t) λ. Dans la limite continue a → 0 , λ → ∞ et λa2 = D, on retrouve l’´equation ∂t P = D ∂x2 P .

 E.D.P. de Fokker-Planck Ce mod`ele se g´en´eralise en consid´erant des probabilit´es de transition par unit´e de temps de x vers x±a asym´etriques et inhomog`enes de la forme λ±(x). Ceci conduit aux termes suppl´ementaires −P (x + a, t) (x + a) + P (x − a, t) (x − a) et, dans la limite continue avec A(x) = 2a(x) fix´e, `a l’´equation : ∂P (x, t) ∂ ∂ 2 P (x, t) =− (A(x) P (x, t)) + D . ∂t ∂x ∂x2 A(x) est la vitesse de d´ erive associ´ee au d´eplacement moyen a(λ + (x)) dt − a(λ − (x)) dt = A(x) dt dans le temps dt. Si A = 0 l’´equation d´ecrit de la diffusion pure. Si D = 0 l’´equation ∂t P (x, t) + ∂x (A(x)P (x, t)) = 0 d´ecrit l’´evolution temporelle d’une densit´e de points sur une droite lorsque x˙ = A(x) (syst`eme d´eterministe ; cf. section 8.2.3).  Equation de Langevin ` a une dimension : mV˙ + αV = F (t) Elle d´ ecrit le mouvement brownien d’une particule dans un fluide en supposant que la force due aux chocs avec les mol´ecules du fluide se s´epare en un effet moyen de friction αV et une force F (t) de moyenne nulle, ind´ependante de la position X(t) et de la vitesse V (t) de la particule et de type bruit blanc gaussien. Pour un petit intervalle de temps Δt, la variation de vitesse ΔV contient une partie “d´ erive” −αm−1 V Δt (qui empˆeche la vitesse de devenir trop grande) et une partie “diffusion” telle 2  que < (ΔV )2 >= m−2 < 0Δt F (t ) dt >= 2DV Δt en appelant DV le coefficient de diffusion dans e P (v, t) ob´eit donc l’espace des vitesses ; (si α ´ etait nul < V 2 (t) > tendrait vers l’infini avec t). La densit´ a l’´ ` equation :

∂t P = ∂v

α m

 v P + DV ∂v2 P .

10.3 Processus al´eatoires

319

Sa valeur d’´equilibre Peq ∝ exp

−αv 2 2mDV

(telle que ∂t Peq = 0) correspond ` a la loi de Boltzmann si

m2 DV = αkB T . Il existe donc une relation entre les fluctuations de F (t) (force due aux chocs pour V = 0), le coefficient de friction α (caract´ erisant la r´eponse lin´eaire des mol´ecules ` a un mouvement de la particule) et la temp´erature T . On obtient la diffusion en position X en ´ ecrivant : d < XV > . m−1 α < XV >= m−1 < XF > − < X V˙ >= − < X V˙ >=< V 2 > − dt 2 >= k T et, comme d < X 2 >= 2 < XV >, on a α < XV > m < V On en d´ eduit que pour t  m B α dt il vient :

10.3.2

< X 2 (t) > 2Dt avec D =

kB T α

(relation d’Einstein) .

Processus de Markov ; probabilit´ es de transition ; bilan d´ etaill´ e

 D´ efinition Ce sont des processus al´eatoires tels que la connaissance de la valeur de X(t) `a un instant t0 r´esume tout le pass´e, c.a.d. d´etermine la loi de probabilit´e de X(t) pour t > t0 . Le processus de diffusion (pour X(t)), de Langevin (pour V (t)), de mˆeme que la marche au hasard en sont des exemples (avec respectivement t continu et t discret). Si les valeurs prises par le processus sont discr`etes, celui-ci est d´etermin´e par les probabilit´ es de transition Pt,t0 (x/x0 ) donnant la probabilit´e (conditionnelle) pour que X(t) = x sachant que X(t0 ) = x0 ; elles deviennent des densit´es si les valeurs x sont continues. Comme on peut passer de x0 ` a x en transitant par une valeur quelconque y `a un instant interm´ediaire τ , ces probabilit´es v´erifient Pt,t0 (x/x0 ) =



Pt,τ (x/y) Pτ,t0 (y/x0 )

y

(relation analogue a` celle Ft,t0 = Ft,τ ◦ Fτ,t0 ´ecrite `a la section 6.1.1. pour les syst`emes dynamiques, mais ici avec τ ∈ [t0 , t]).

 Chaˆınes de Markov ; bilan d´ etaill´ e Il s’agit de processus `a temps discret (tn = nτ )  o` u le syst`eme peut transiter d’un ´etat j vers un ´etat i avec la probabilit´e constante Pij ( i Pij = 1). Si le nombre d’´etats est fini, la probabilit´e pi (n + 1) d’ˆetre dans l’´etat i ` a l’instant (n + 1)τ est reli´ee aux probabilit´es pj (n) d’ˆetre dans un ´etat j ` a l’instant pr´ec´edent nτ par : pi (n + 1) =



Pij pj (n)

ou sous forme matricielle

p (n + 1) = P p (n) .

j

 L’exemple le plus simple de matrice de transition est P = a, b ∈ [0, 1]) ; elle correspond a` un syst`eme `a deux ´etats.

a 1−b 1−a b

 (avec

Propri´ et´ es des matrices P.  1) Les valeurs propres v´erifient |λ| ≤ 1 ; en effet, si v est un vecteur propre on a |λ| |vi | = | j Pij vj | ≤  esultat. j Pij |vj |, et en sommant sur i on obtient le r´

10 • Probabilit´es ; processus al´eatoires

320

2) Si la matrice est sym´etrique les valeurs propres sont r´eelles. La valeur propre -1 est exceptionnelle (pour la matrice 2 × 2 ci-dessus il faudrait a = b = 0, cas d’une transition certaine). La valeur propre 1 correspond au vecteur propre dont les composantes sont ´egales ; elle est en g´en´ eral non d´eg´ en´ er´ ee. En     P v = P v , on d´ e duit P (v − v ) = 0 pour tout i (car P = 1 et effet, de vi = ij j ji i ij j i ji j j j j e des composantes car si il en existait une, vi , plus petite que les autres, Pji = Pij ) ; ceci implique l’´egalit´ l’´ egalit´e ci-dessus serait viol´ee (en supposant que les Pij ne sont pas nuls). 3) Sauf exception, la matrice P−1 n’est pas une matrice de transition ; (pour la matrice 2 × 2 ci-dessus il faudrait soit a = b = 1 soit a = b = 0). Les processus de Markov d´ecrivent en g´en´ eral des ph´ enom` enes irr´ eversibles. Micror´ eversibilit´ e et distribution microcanonique. En m´ ecanique quantique les probabilit´es de transition entre ´etats sont sym´etriques (cf. section 4.4.2) : Pij = Pji . Si on consid`ere pour i, j · · · les ´ etats microscopiques d’un syst`eme macroscopique isol´e (point de vue microcanonique), on d´eduit des propri´et´ es de la matrice P qu’il y a une seule distribution d’´equilibre qui est la distribution uniforme o` u tous les ´etats sont ´equiprobables. Toute distribution initiale tend vers elle. En effet en d´ecomposant l’´ etat initial p(0) sur les vecteurs propres de P, on voit que, au cours de l’´evolution, seule sa composante a la valeur propre λ = 1 va subsister : p(n) = Pn p(0) → peq sur le vecteur propre peq correspondant ` quand n → ∞ (car les autres valeurs propres v´erifient |λ| < 1).

On dit qu’une distribution d’´ equilibre (d´efinie par Ppeq = peq ) ob´eit `a la relation de eq bilan d´ etaill´ e si il y a autant de transitions de i vers j que de j vers i : Pji peq i = Pij pj (cf. exemple ci-dessous et section 11.5). Cette relation qui correspond a` l’absence de courant dans l’espace des ´etats (figure 11a) n’est pas a priori n´ecessaire pour peq (figure 11b).

1

1

3

2

3

2 (b)

(a) Figure 11

 Equation maˆıtresse Si le temps est continu, on introduit des probabilit´es de transition par unit´e de temps wij . L’´ equation maˆıtresse satisfaite par les probabilit´es de pr´esence pi (t) s’obtient intuitivement en faisant le“ bilan des arriv´ees et des d´eparts” : p˙ i (t) =

 j

wij pj (t) −



wji pi (t) .

j

 On peut la consid´erer comme limite continue de l’´equation pi (n + 1) = j Pij pj (n) d’une chaˆıne de Markov. Un ´etat d’´equilibre correspond a` p˙ eq = 0 et la condition de eq bilan d´etaill´e s’´ecrit wji peq i = wij pj .

10.3 Processus al´eatoires

321

EXEMPLE : coefficients d’Einstein. Pour d´ecrire un atome `a deux niveaux (le niveau 2 ´etant le niveau excit´e) en ´equilibre avec le rayonnement thermique a` la temp´erature T (β = (kB T )−1 ), Einstein a pos´e w12 = A(ν) + B12 (ν) u(ν, β) et w21 = B21 (ν) u(ν, β) o` u u(ν, β) est la densit´e volumique spectrale d’´energie, B12 et A sont respectivement associ´es aux ´emissions induite et spontan´ee et B21 `a l’absorption (cf. cours de physique). En ´ecrivant la relation de bilan d´etaill´e w12 e−β2 = w21 e−β1 (avec A(ν) avec la loi de Planck 2 − 1 = hν), et en comparant u(ν, β) = B21 (ν) eβhν − B12 (ν) A (cf. section 10.2.3), il en a d´eduit l’´egalit´e B12 = B21 et l’expression du rapport . B12

12 = +1 d´ Remarque. Le bilan d´etaill´e est en fait une cons´equence de la relation w eduite de la w21

quantification du champ ´electromagn´etique (cf. section 4.4.3), et dans laquelle le nombre n de photons a´ et´ e remplac´e par sa moyenne < n >= (eβhν − 1)−1 (cf. section 10.2.3).

10.3.3

Processus stationnaires ; th´ eor` eme de Wiener-Khintchine ; ergodicit´ e

 D´ efinitions Un processus est stationnaire si ses propri´et´es statistiques ne d´ependent pas du choix de l’origine des temps. Pour le d´ecrire on se limite en g´en´eral a` sa moyenne (constante, prise ´egale a` z´ero dans la suite) et sa fonction de corr´ elation d´efinie par : Γ(τ ) =< X(t) X(t + τ ) > . Elle v´erifie Γ(τ ) = Γ(−τ ) (changement t → t − τ ) et Γ(0) ≥ |Γ(τ )| (cons´equence de < |X(t + τ ) + λ X(t)|2 > ≥ 0 quel que soit λ). En g´en´eral Γ(τ ) fait intervenir un temps de corr´elation (ou de coh´erence) τc au del` a duquel X(t) et X(t + τ ) ne sont quasiment plus corr´el´es ; τc est nul pour un bruit blanc car alors Γ(τ ) ∝ δ(τ ) (cf. section 10.3.1). Parmi les processus stationnaires fr´equemment rencontr´es figurent les processus gaussiens pour lesquels toute famille de v.a. X(t1 ), X(t2 ) · · · X(tn ) est gaussienne, et qui sont donc enti`erement caract´eris´es par Γ(τ ), et les processus poissonniens tels que X(t) change de mani`ere al´eatoire aux instants Ti d´efinis ` a la section 10.2.2 . EXEMPLE 1. Signal lumineux ´emis par un atome soumis `a des chocs dans un gaz (figure 10b) : X(t) = a exp −i(2πν0 t + Φ(t)) o` u Φ(t), v.a. ´equir´epartie sur [0, 2π], change aux instants Ti . Si entre t1 et t2 aucun choc ne s’est produit (´ev`enement A), on a Φ(t2 ) = Φ(t1 ) ; si au moins un choc s’est produit dans cet intervalle (´ev`enement A), Φ(t1 ) et Φ(t2 ) sont ind´ependantes. En ´ecrivant < Xt1 Xt2 > =< Xt1 Xt2 /A > P (A)+ < Xt1 Xt2 /A > P (A) = |a|2 exp −2iπν0 (t2 − t1 ) P (A) + 0 × P (A) avec P (A) = exp −λ|t2 − t1 | (cf. section 10.1.2), on obtient la fonction de corr´elation : Γ(τ ) =< Xt1 Xt2 >= |a|2 exp −2iπν0 τ exp −λ|τ | .

10 • Probabilit´es ; processus al´eatoires

322

EXEMPLE 2. La vitesse du mouvement brownien, donn´ee par V (t) = est une v.a. gaussienne car somme de v.a. gaussiennes. De < (petit calcul) < V (t1 ) V (t2 ) >= DV

m α

F (s) F (s )

t −∞

α exp − m (t−s)

>= 2DV

m2

T (ν) = La transform´ee de Fourier (tronqu´ee) X 1 T (ν  ) X  T (ν) > = 1 dt dt .



T 2

dt

− T2



T 2

− T2

ei2πνt

Pour ν = ν  le sinus cardinal vaut 1 et on obtient le th´eor`eme :  T (ν)|2 > . Γ(ν) = lim T −1 < |X T →∞

Ce r´esultat est semblable a` celui ´etabli `a la section 5.3.3 pour la densit´e spectrale de   puissance d’un signal chaotique stationnaire. Pour l’exemple 1 ci-dessus Γ(ν) ∝ 4π 2 (ν − −1 : les chocs conduisent a` un profil de raie lorentzien. ν0 )2 + λ2 Pour ν = ν  et T grand le sinus cardinal vaut z´ero ; on interpr`ete ce r´esultat comme l’absence de corr´elation entre les composantes de Fourier d’un signal stationnaire.  Ergodicit´ e Une question importante dans la pratique est de savoir si les moyennes statistiques < · · · > relatives ` a un T2 1 processus stationnaire X(t) peuvent ˆetre remplac´ees par les moyennes temporelles limT →∞ T T (· · · ) dt −2

relatives ` a une r´ ealisation “typique” x(t) = X(t, ω) du processus. Un processus pour lequel ceci est possible est dit ergodique et on doit avoir en particulier : T < X(t) >= limT →∞ T1 2T x(t ) dt ; < X(t)X(t + τ ) >= limT →∞ −2

1 T



T 2

−T 2

x(t ) x(t + τ ) dt .

Pour que, par exemple, l’´egalit´e relative ` a la moyenne soit satisfaite il est n´ecessaire que, dans la limite T2 1 2 = 1 × T → ∞, la v.a. Y = T X(t) dt devienne sure, c.a.d. que σY tende vers z´ ero ; de σY T2 −T T 2 T2 T2  ) > dt dt = 1 2 < X(t)X(t Γ(τ ) dτ (calcul identique au pr´ e c´ e dent), on d´ e duit que ceci T T T T −2

−2

−2

est satisfait notamment si Γ(τ ) → 0 quand τ → ∞ (cas des exemples ci-dessus). Plus g´en´ eralement les “processus ` a perte de m´ emoire”, tels que les v.a. X(t) et X(t ) deviennent ind´ependantes pour |t − t| fini, sont des exemples de processus ergodiques.

Chapitre 11

Analyse num´ erique ; physique discr` ete

L’´etude num´erique d’un probl`eme physique se d´eroule sch´ematiquement en trois ´etapes. La premi`ere concerne sa formalisation math´ematique ; les dix premiers chapitres de ce livre y ont ´et´e consacr´es, l’accent ´etant mis sur l’importance des concepts math´ematiques. La seconde concerne l’´elaboration d’un mod`ele num´erique “sens´e mimer au mieux” le mod`ele math´ematique ; elle rel`eve de l’analyse num´erique abord´ee ici en raison de son importance de plus en plus grande en physique. Enfin la derni`ere concerne la mise en œuvre sur l’ordinateur de la m´ethode pr´ec´edente ; c’est la phase de programmation, situ´ee hors du champ de cet ouvrage. Une fois formalis´e, par exemple sous la forme d’une ´equation diff´erentielle (E.D.), un probl`eme physique n’est pas pour autant r´esolu. Mˆeme si la solution analytique de l’´equation est connue, le physicien est int´eress´e non seulement par les valeurs prises par cette solution en fonction de la variable, mais aussi en fonction des conditions initiales (C.I.) (ou aux limites (C.L.)), des param`etres de l’´equation ... Se posent alors de nombreux probl`emes num´eriques, tel que celui du choix, crucial, du pas de discr´etisation (de la variable, des param`etres ...) qui conditionne la pertinence et la pr´ecision d’un calcul, ou tel que l’interpolation pour le trac´e de graphes. Mais tr`es souvent le probl`eme physique n’a pas de solution explicite, par exemple s’il conduit a` une E.D. lin´eaire `a coefficients variables ou `a une E.D. non lin´eaire. Le recours au num´erique est alors indispensable ; il implique, pour ces exemples, la discr´etisation des op´erations de d´erivation et donc la transformation d’un syst`eme dynamique (S.D.) continu en un S.D. discret. La v´erification que ce dernier constitue une bonne approximation du S.D. continu est un probl`eme important et non trivial, souvent facilit´e par la connaissance pr´ealable (physique et math´ematique) des propri´et´es qualitatives de la solution. Sous r´eserve de cette v´erification la simulation du probl`eme physique permet une “exp´erimentation num´erique” y compris dans des domaines de param`etres non accessibles a l’exp´erimentation physique. Inversement, l’´etude a priori de mod`eles num´eriques peut ` aider a` la compr´ehension et a` la formalisation math´ematique de probl`emes physiques.

11 • Analyse num´erique ; physique discr`ete

324

Les m´ethodes d’analyse num´erique ne concernent ´evidemment pas que les E.D. (ou les E.D.P.). La physique lin´eaire, l’analyse des signaux, la formulation de solutions physiques en terme d’extremum, ainsi que la physique statistique y font largement appel. Inversement, les m´ethodes num´eriques peuvent s’inspirer des outils th´eoriques d´evelopp´es dans ces secteurs (cf. ci-apr`es, section 11.2.3, la m´ethode de Lax dans laquelle on ajoute des termes diffusifs `a certains sch´emas num´eriques pour les rendre stables ou, section 11.5.2, la m´ethode du recuit simul´e qui utilise la loi de Boltzmann pour trouver le minimum principal d’une fonction en ´evitant de rester “pi´eg´e” dans un minimum secondaire). Compte tenu de l’´etendue du sujet nous nous contentons dans ce chapitre de d´ecrire quelques m´ethodes num´eriques parmi les plus utiles aux physiciens, en pr´ecisant leurs limites (stabilit´e, pr´ecision ...) et en donnant une id´ee de leurs applications.

11.1 11.1.1

´ DISCRETISATION Repr´ esentation des nombres ; erreurs ; stabilit´ e num´ erique

 Repr´ esentation des nombres Dans un ordinateur les nombres sont repr´esent´es en binaire (suite de 0 et de 1) dans un format dont la longueur d´epend du nombre de bits utilis´es (32 en simple pr´ecision et 64 en double pr´ecision). Dans la repr´esentation a` point flottant un nombre s’´ecrit ±M 2e−q

avec

1 ≤M