Legi de Compozitie [PDF]

Zitiervorschau

Legi de compozitie. Def 1. Fie M o multime. Operatia : M  M  M se numeste lege de compozitie interna pe M ( adica daca compunem x si y, 2 elemente din M, x  y este tot din M ). Def 2. Legea  este bine definita, daca  x, y  M , x  y  M Def 3. O lege  se numeste asociativa, daca  x, y, z  M , ( x  y)  z  x  ( y  z) ( de exemplu, daca vrem sa calculam 2  3  5 , putem face inmultirea in mai multe moduri : a) mai intai, calculez 2  3 , 6 si apoi inmultesc cu 5 = 30 b) pot inmulti mai intai, 3 5 , 15 si apoi inmultesc si cu 2, = 30 rezultatul e acelasi si nu are importanta ce inmultire fac prima. Aceasta proprietate se numeste asociativitate). Def 4. O lege  se numeste comutativa, daca  x, y  M , x  y  y  x ( de exemplu, 2  3 = 3 2 , adica nu conteaza ordinea in care scriem termenii, rezultatul e acelasi) Def 5. Fie e un element din multimea M. e se numeste element neutru al legii  , daca  x  M , atunci xe  e x  x ( de exemplu, la inmultire, x  1  1  x  x , adica 1 este elementul neutru la inmultire). Def 6. Fie x un element din M. x se numeste inversul lui x fata de legea  , daca x  x  x  x  e ( de exemplu, inversul lui 5 fata de inmultire,este 51 

1 1 ; 5   1 , 1 fiind elementul neutru). 5 5

Exercitii. 1) Fie M = (2,  ) . Pe M, definim legea x  y  x  y  2  x  2  y  6 . Verificati : a) Asociativitatea : b) Comutativitatea. c) Determinati elementul neutru d) Determinati inversul lui x e) Verificati daca legea e bine definita a) Trebuie sa verificam daca  x, y, z  M , ( x  y)  z  x  ( y  z) ( x  y)  z  mai intai, facem compunerea numerelor din paranteza ( intai inmultim cele 2 numere, apoi scadem 2  primul , scadem 2  al doilea si adunam 6. = ( x  y  2  x  2  y  6 )  z  acum primul numar inseamna toata paranteza, al doilea z = ( x  y  2 x  2 y  6) z  2  ( x  y  2 x  2 y  6)  2 z  6 = xyz-2xz-2yz+6z-2xy+4x+4y-12-2z+6 Calculam si cel de al doilea termen , x  ( y  z ) x  ( y  z ) = x  ( y  z  2  y  2  z  6) am facut operatia din paranteza

acum primul numar este x, al doilea toata paranteza = x  ( y  z  2  y  2  z  6)  2  x  2  ( y  z  2  y  2  z  6) +6 = xyz-2xy-2xz+6x-2x-2yz+4y+4z-12+6 .

Observam ca am obtinut acelasi lucru,deci legea este asociativa. b) trebuie sa verificam daca  x, y  M , x  y  y  x x y  yx

x  y  2  x  2  y  6 = y  x  2  y  2  x  6 , deci am obtinut acelasi lucru, deoarece x  y = y  x .

c) e este elem neutru, daca  x  M , atunci x  e  e  x  x .

xe  x x  e  2  x  2  e  6 = x ; dam pe e factor comun, pe ceilalti ii trec dupa egal, cu semn schimbat

e  ( x  2)  x  2  x  6 , deci e 

d) x  x  x  x  e x  x  3

3x  6  3 . 3  M = (2,  ) deci 3 este elem neutru. x2

x  x  2  x  2  x  6  3 ; dam pe x factor comun,

x  ( x  2)  3  6  2  x  x 

2x  3 . Mai trebuie verificat daca x  M = (2,  ) , deci daca e mai mare x2

ca 2. 2x  3 2x  3 . Daca vrem sa  2  2 x  3  2 x  4 , ceea ce este adevarat. Deci, inversul lui x este x  x2 x2 25  3 7 calculam inversul lui 5, este :   52 3

e) Legea este bine definite, daca pentru x  M , y  M si x  y  M .

x  y  x  y  2  x  2  y  6 = dam factor pe x, intre primii 2. intre ultimii 2, pe -2. vreau sa obtin paranteza (y-2) de 2 ori, sa mai pot da factor comun. = x  ( y  2)  2  ( y  2)  2 = ( x  2)( y  2)  2 Cum x>2, Y> 2 , avem ca x-2 > 0 si y-2> 0 , deci ( x  2)( y  2)  2 >0+2 , > 2, adica

x  y  2 , deci x  y  M Ex 2. Fie M = (3,  ) . Pe M, definim legea x  y  x  y  3  x  3  y  12 . a) Verificati daca x  y  ( x  3)( y  3)  3 b) Rezolvati ecuatia x  4  5 c) Rezolvati ecuatia x  3  3 d) Calculati 1  2  3  4  ……..  100 = e) Demonstrati ca x  x  x....  x = x  3  3 n

de n ori

f) Rezolvati ecuatia x  x  x  x =19 de 4 ori

Trebuie aratat ca x  y  3  x  3  y  12  ( x  3)( y  3)  3 ; desfacem parantezele

a)

( x  3)( y  3)  3 = x  y  3  x  3  y  9  3 = x  y  3  x  3  y  12

b) x  4  5  x  4  3  x  3  4  12  5  4 x  3x  12  12  5  x  5 c) x  3  ( x  3)(3  3)  3 = 3. (am aplicat formula echivalenta de la punctul a) ; pentru a-mi usura calculele ; nu e gresit sa se aplice si formula data la inceputul exerc) Deci, x  3  3  3  3 , adica ecuatia este adevarata x  M ( asta inseamna ca orice numar, compus cu 3, se obtine rezultatul 3) d) 1  2  3  4  ……..  100 = 3, folosind punctul c) unde am aratat ca orice numar, compus cu 3, este 3. e) x  x  x....  x = x  3  3 Aceasta se demonstreaza prin inductie matematica . Aceasta are 2 etape : n

de n ori

I. Etapa verificarii verificam relatia pentru n=2

x  x = x  3  3 , relatie adevarata ( ridicam la patrat si obtinem x  y  x  y  3  x  3  y  12 ) 2

de 2 ori

II. Etapa demonstratiei Presupun formula adevarata pentru ‘n’ si demonstrez pentru ‘n+1’ , adica mai compun odata sa vad daca se pastreaza formula. Deci, presupun ca x  x  x....  x = x  3  3 n

de n ori

Vreau sa arat ca x  x  x....  x = x  3

n 1

de n 1 ori

3

x  x  x....  x = ( x  x  x....  x )  x =( x  3  3 )  x n

de n 1 ori

de n ori

aplic legea de la punctul a) , adica scad 3 la primul numar , scad 3 la al doilea numar, le inmultesc si apoi n adun 3  = (x  3  3  3)( x  3)  3 = x  3 ( x  3)  3 = x  3

n 1

n

 3 , ce vroiam sa demonstram.

f) x  x  x  x =19. Aplic formula de la e) si x  x  x  x = x  3  3 4

de 4 ori

de 4 ori

deci avem ecuatia x  3  3 = 19. Scadem 3, x  3  16 . Aplic radical, 4

4

x  32  4 . -

Ecuatia x  3  4 nu are solutii reale.

-

Ecuatia x  3  4 : aplic iar radical,  x  3  2 , deci x = 5 si 1.

2

2