Lectii de mecanica cuantica [PDF]

Zitiervorschau

BIBLIOTECA de FIZICĂ

Cota.

3 ~ /8/ .......

tJ (q 1 ·····

Inventar

3~?

VIORICA FLORESCU

··~········ .

LECTII DE MECANICĂ CUANTICĂ ' .

I O,

(2.14)

Aşa stând lucrurile, ajungem la concluzia că valorilor complexe pentru K nu le corespund funcţii proprii. Găsim funcţii proprii numai pentru valori reale ale mărimii K. Acestora le corespund, prin rel. (2.8), valori pozitive pentru E. In cazul E > O adoptăm notaţia k

> o.

(2.15)

Mărimea k est e acum reală. Este uneori comod să notăm cu k valoarea pozitivă care rezultă dintr-o valoare fixată a parametrului E, aşa cum am menţionat deja în relaţia precedentă. Soluţia generală (2.12) a ecuaţiei Schrodinger se transcrie u(x)

= A1 eikx + A2 e-ikx.

că:

i) orice E > O este valoare proprie a energiei particulei libere, ii) unei valori proprii îi corespund două funcţii proprii liniar-independente,

=

eikx

u_(x)

)

=

e-ikx

Schrodinger este

cu A şi B constante. Dacă A -/- O, soluţia devine nemărginită pentru x -+ ±oo. In schimb, soluţia egală cu o constantă este acceptabilă. In acest fel E = O este valoare proprie nedegenerată, iar funcţia proprie care-i corespunde este o constantă. Concluzie: Analiza precedentă arată că spectrul energiei particulei libere este un spectru continuu întins de la O la oo . Altfel spus, energia particulei libere nu este cu antificată , ea poate să ia orice valoare nenegativă, ca în cazul clasic. Vom vedea în capitolele următoare că aceasta nu înseamnă că o microparticulă liberă ascultă de mecanica clasică. Vom reveni asupra proprietăţilor funcţiilor proprii ale energiei particulei libere în §2.2.3.

2.2.2

Determinarea nivelelor de energie ale particulei în groapa de p otenţial dreptung hiulară de adâncime infi nită

Determinăm spectrul energiilor unei particule care se poate mişca doar într-un interval finit (O, a) al unei axe luate axa Ox , presupunând că în interval asupra particulei nu acţionează nici o forţă. Atunci, în intervalul (O, a) energia potenţială a particulei este o constantă pe care o vom lua egală cu zero. In acest interval ecuaţia Sch rodinger se reduce la

n2 d2u(x) dx2

-2M

=

Eu(x)'

o:s;x:s;a.

(2.18)

In afara intervalului (O, a) se atribuie energiei potenţiale o valoare infinit de mare pentru a reda imposibilitatea de a găsi particula acolo, oricât de mare ar fi energia ei. In consecinţă, vom căuta soluţii care sunt nule în afara intervalului u(x)

= O,

x

(ţ.

(O,a) .

(2.17)

Ori de câte ori unei valori proprii a energiei îi corespund mai multe funcţii proprii liniar-independente, vom spune că valoarea proprie este degenerată. Numărul maxim 34

soluţia ecuaţiei

u(x)=Ax+B,

(2.16)

Ea este o funcţie mărginită, continuă şi cu derivata de ordinul întâi continuă, deci îndeplineşte condiţiile de regularitate, oricare ar fi constantele A 1 şi A 2 . Rezultă

u+(x)

= O,

(2.13)

am constata că luând Ai = A2 asigurăm continuitatea funcţiei la x =O, dar nu şi a derivatei du/dx.

k2- 2M - n2 E,

de funcţii proprii liniar-independente ataşat unei valori proprii defineşte ordinul deg e nerării. In concluzie, orice valoare proprie E > O a energiei particulei libere este dublu degenerată. Pentru E

= Ai eiKRx e-K,x + A 2 e-iKRx eK,x .

Funcţiile proprii trebuie să fie mărginite. Constatăm că pentru x -+ -oo factorul exp(- K1 x) din primul termen tinde la infinit, deci primul termen este o funcţie nemărginită, iar pentru x-+ +oo factorul exp( K 1x) din al doilea termen tinde la infinit , deci şi al doilea termen este o funcţie nemărginită. Dacă am construi atunci soluţia mărginită pe toată axa u (x)

2.2. ECUAŢIA SCHRODINGER ÎN CAZUL UNIDIMENSIONAL (lD)

O

soluţie continuă

va îndeplini

condiţiile

u(O) =O,

u(a) 35

= O.

(2.19)

2.2. ECUAŢIA SCHRODINGER ÎN CAZUL UNIDIMENSIONAL (lD)

Capitolul 2. ECUATIA SCHRODINGER INDEPENDENTĂ DE TIMP CA ECUAŢIE DE VALORI PROPRII Deocamdată, rezolvăm ecuaţia (2.18) impunând numai aceste două condiţii. Ecuaţia de rezolvat este aceeaşi ca în cazul particulei libere, doar că se caută acum soluţiile

ei care se anulează la capetele intervalului în care se află particula. Ne vom referi întâi la cazul E -1- O. Vom folosi aceeaşi notaţie ca în cazul particulei libere,

K2 = 2M E -

cu ajutorul

căreia ecuaţia

r,,2

(2.20)

'

cu A

dx2 +K2u = O,

soluţia

ei

generală

cu A x = a

şi

B

(2.21)

este

u(x) =

AeiKx

+B

două constante arbitrare ~

A eiK a + B

ceea ce este posibil doar

sau

soluţiei

la

X

=

0 Şi la

e -iK a

= O.

e2iKa

= 1,

I

adică

I A 12

r,,27f2 '

n = 1, 2, ...

(2.22)

7f

k n =n-, a

a

Exprimând

pătratul

J = 1,

dx = 1 ,

(2.24)

n

= 1, 2, . . .

(2.23)

J

= foa sin2 ( kn x) dx.

sinusului prin cosinusul unghiului dublu, avem

11a

J=2

Ele sunt valori proprii pentru că soluţiile asociate,

un(x) = Asin(n1r x) = Asin(knx),

2

1

= ±1, ±2, ....

Au rezultat valori reale pentru K, cărora le corespund energiile -··· Ei,, =n 2 2Ma 2

= n Ma2'

~~ /

foa Un n

dacă

scade cu creşterea lungimii a a intervalului la dispoziţia particulei şi cu masa particulei. La limita a --+ oo particula devine liberă şi spectrul energiilor devine continuu. De asemenea, pentru particule de masă mare caracterul discret al spectrului se pierde practic. '~ Analizăm acum proprietăţile funcţiilor proprii (2.23). Constatăm că în problema de faţă unei valori proprii îi corespunde o singură funcţie proprie, bine determinată până la factorul constant A. Putem restrânge valorile constantei A impunând condiţia

dacă

2Ka = 2n1r,

decât

r,,27f2

~e anulare a

= e-iKa

realizată,

Ajungem la concluzia că numai valorile pozitive date de formula (2.22) sunt valori proprii ale energiei particulei în groapa de potenţial dreptunghiulară de adâncime infinită. Spectrul este format dintr-o infinitate de nivele de energie. Distanţa dintre două nivele, En+l - En

Relaţiile reprezintă un sistem de două ecuaţii liniare şi omogene pentru constantele A şi B . Sistemul are soluţie diferită de soluţia banală doar dacă eiKa

B constante. Anularea la capete nu poate fi acum

e-iKx'

implică

A + B = O,

şi

A = B = O. Rezultă că valoarea E = O nu este valoare proprie a energiei particulei în groapa de potenţial dreptunghiulară de adâncime infinită.

(2.18) se transcrie d2 u

iar

Observăm că derivata soluţiilor precedente nu este continuă la capetele intervalului. Faptul că nu putem construi soluţii continue şi cu derivata de ordinul întâi continuă este direct legat de saltul infinit pe care l-am atribuit energiei potenţiale. Să considerăm ecuaţia (2.18) în cazul E = O. Soluţia generală a ecuaţiei este acum u(x)=Ax+B,

0

a [1-cos(2knx)]dx=-. 2

Termenul al doilea integrat [proporţional cu sin(2 kn x)] s-a anulat atât la x cât şi la x =a. Ca urmare, condiţia (2.24) ne conduce la

îndeplinesc condiţiile de regularitate. Lui kn şi -kn le corespund aceeaşi funcţie proprie, ca urmare vor apărea numai valori pozitive pentru numărul cuantic n .

IAl=fr.

36

37

=

O,

2.2. ECUAŢIA SCHRODINGER ÎN CAZUL UNIDIMENSIONAL (lD)

Capitolul 2. ECUATIA SCHRODINGER INDEPENDENTĂ DE TIMP CA ECUAŢIE DE VALORI PROPRII Condiţia (2.24) se numeşte condiţia de normare a funcţiei proprii a energiei. Aşa cum se putea observa de la început, ea fixează valoarea modulului constantei, constanta însăşi putând fi

A=/ A / exp(i,),

'Y

=

,*.

~

nn sin(- x), a

n

= 1, 2, ....

(2.25)

/ f uainte de a prezenta alte proprietăţi ale funcţiilor proprii ale energiei, definim produsul scalar a două funcţii fi (x) şi h(x) , funcţii presupuse a îndeplini condiţiile de regularitate şi a fi integrabile în modul pătrat. Asemenea funcţii vor fi numite funcţii fizic permise sau funcţii de undă (în sens matematic). N.B. Condiţiile care definesc funcţiile proprii ale energiei sunt condiţiile de regularitate. Integrabilitatea în modul pătrat este o proprietate pe care funcţiile proprii pot să nu o aibă, aşa cum va rezulta după ce vom analiza funcţiile proprii ale energiei particulei libere. Funcţiile fizic permise îndeplinesc atât condiţiile de regularitate, cât şi condiţia de integrabilitate în modul pătrat.

1-:

J;(x) h(x) dx,

cu a1

şi

a2

h) = a1 (9, fi)+

a2

(9, h) ,

a 2 constante arbitrare,

şi

ii)

rezultă

38

(!, f) = 0

f

B

= 0.

antiliniaritatea produsului scalar în primul factor,

(,81 91+f3292, f) =

f3t

(91, f)

+ ,8~

(92, f) ,

cu ,81 şi ,82 constante. O proprietate importantă a produsului scalar o constituie inegalitatea SchwarzCauchy (2.27) I U1, h) /2 :s; U1, fi) (h , h) . Semnul egal se constant.

realizează dacă şi

numai

dacă funcţiile

fi

şi

h

diferă

printr-un factor

Oruncţie este normată dacă produsul scalar cu ea însăşi este egal cu 1. Două funcJiii.-sunt ortogonale dacă produsul lor scalar este egal cu O.

Ne întoarcem acum la funcţiile (2.25), adică la funcţiile proprii ale energiei particulei în groapa de potenţial dreptunghiulară de adâncime infinită, şi considerăm produsul scalar a două asemenea funcţii ,

(un,um)

= foa u~(x)um(x)dx,

2sino: sin,B

nf.m.

(2.28)

= cos(a - ,8) - cos(a + /3) .

Avem astfel,

('Un, 'Um) = -;;,1 }fa[ cos

((n-m)n) a

X

-

cos

((n+m)n a x )] dx = O.

0

Amândouă funcţiile sinus care se obţin prin integrare s-au anulat la capetele intervalului de integrare. Am obţinut rezultatul

('Un, 'Um) = O,

ii) trece în complex-conjugatul său la schimbarea ordinii factorilor,

(h, fi)= (!1, h)* ,

o,

adică

(2.26)

asociat perechii ordonate de funcţii fizic permise fi (x) şi h (x) . Sunt satisfăcute axiomele produsului scalar, adică produsul scalar definit anterior i) este liniar în al doilea factor,

(g, 0:1 fi+

are o valoare pozitivă şi se anulează doar dacă

Semnul de conjugare complexă nu are efect aici, funcţiile fiind reale. Integrala poate fi efectuată exprimând produsul celor două funcţii sinus pe baza formulei

Prin definiţie, produsul scalar este numărul complex

U1, h) =

= f(x)

(!,!) 2: Din axiomele i)

A rămas arbitrar un factor constant de forma exp(i,), cu I număr real. Numim factor de fază un număr complex de modul egal cu 1. De ce impunem condiţia de normare va deveni clar în capitolul următor. Alegând 1 = O, adică luând constanta A reală şi pozitivă, avem expresia finală a funcţiilor proprii ale energiei particulei în groapa de potenţial dreptunghiulară de adâncime infinită

un(x) =

iii) pentru fi(x) = h(x) este identic nulă

funcţia

Proprietatea

demonstrată

n f. m.

este proprietatea de ortogonalitate a

39

două funcţii

proprii.

2.2. ECUAŢIA SCHRODINGER ÎN CAZUL UNIDIMENSIONAL (1D)

Capitolul 2. ECUATIA SCHRODINGER INDEPENDENTĂ DE TIMP CA ECUAŢIE DE VALORI PROPRII Condiţia relaţie,

de normare şi proprietatea de ortogonalitate pot fi reunite într-o numită relaţia de ortonormare,

('Un, 'Um)

=j

singură

Aşa

cum am menţionat deja, acum prin expresia

·a

0

u;1 (X) 'Um (X) dx = t5n m ,

t5nn=l,

t5nm=O,

n-f.m.

proprii ale energiei particulei libere, redate

u(p;x) =Aexp(i~x),

(2.29)

Simbolul 6nm se numeşte simbolul lui Kronecker. Funcţiile proprii ale energiei (2.25) particulei în groapa de potenţial dreptunghiulară de adâncime infinită formează deci un set ortonormat de f1mcţii. Setul de funcţii (2.25) este şi complet. Aceasta înseamnă că orice funcţie continuă F(x) definită pe intervalul (O, a) şi care se anulează la capetele intervalului este reprezentabilă prin seria

funcţiile

-(X)

< p < (X)

l

(2.34)

corespund două câte două (cea cu p şi cea cu - p ) aceleiaşi valori proprii E = p 2 /2M. In încercarea de a norma funcţiile (2.34) constatăm că funcţiile proprii ale energiei particulei libere au modulul pătrat independent de poziţie şi, ca urmare, nu sunt normabile:

I u(p; x) 12=1

A

12

1:

--+

I u 12

dx

= oo.

00

L Cn Un(x).

F(x) =

(2.30)

n=l

Pe baza

proprietăţii

de ortonormare (2.29)

Cn = (un, F) =

rezultă

1a

u~(x) F(x) dx.

Avem astfel un prim exemplu de funcţii proprii care nu sunt normabile. Ne întrebăm în continuare ce putem spune despre produsul scalar a două proprii din setul (2.34). Fie atunci

(u(p;x),u(p 1 ;x)) =A*A'

(2.31) Integrala

2.2.3

Proprietăţile funcţiilor

precedentă

este

funcţiile

J(p)

proprii ale energiei particulei libere şi să

u(k; x) = Aikx l

-(X)

< k < (X)'

1:

o studiem mai atent pornind de la

I(L;a)

integrala (2.36)

exp ({ px) dx următoarea integrală

cu limite finite

(2.33)

= {L

}_L

exp(iax)dx.

In cele ce urmează integralele I sunt considerate funcţii de variabila a , iar L este un parametru care descrie o familie de funcţii. Integrala se efectuează, astfel încât expresia funcţiei I este

I(L; a)

=-;- [exp(i a L) - exp(-i a L)] =~ sin(a L). ia

a

Remarcăm proprietăţile funcţiei

i) Funcţia este pară,

40

=

(2.35)

(2.32)

cu A factor constant. Parametrul k se schimbă continuu. Spre deosebire de modul de lucru din §2.2.1, acum parametrul k este lăsat să ia şi valori negative. In acest fel putem înşira toate funcţiile proprii. Aşa cum am arătat în §2.2.1, pentru k -f. O funcţiille u(k;x) şi u(-k;x) din setul (2.32) corespund la aceeaşi valoare proprie E = h 2 k 2 /2 M. Parametrul k joacă rolul indicelui din cazul mulţimilor numărabile de funcţii. Depinzând de alegerea care se dovedeşte convenabilă, constanta A ar putea depinde de parametrul k. Se va dovedi util să descriem setul continuu de funcţii precedent cu ajutorul parametrului p, legat direct de parametrul k folosit până acum prin

p= hk.

exp [{(p'-p)x] dx.

divergentă. Să considerăm

proprii ale energiei particulei libere

Ne referim acum la setul infinit al (2 .1 7), redate aici de formula

1:

funcţii

ii) I(L; O)

I(L; a): I(L; -a) = I(L; a).

= 2L. 41

2.2. ECUAŢIA SCHRODINGER ÎN CAZUL UNIDIMENSIONAL (ID)

Capitolul 2. ECUATIA SCHRODINGER INDEPENDENTĂ DE TIMP CA ECUAŢIE DE VALORI PROPRII iii) Funcţia se anulează pentru valorile (echidistante) ale variabilei egale cu an wrr/L.

=

iv) In punctele în care funcţia nu se anulează avem I I(L; a) l::S; 2/a. v)

J~

00

I(L; a) da= 21r.

u(p;x) =

Funcţia are astfel un maxim principal în origine şi apoi descreşte pe fondul unor indefinite. O dată cu creşterea valorii parametrului L, maximul din origine

oscilaţii

se înalţă, iar oscilaţiile se îndesesc. Valoarea integralei peste valorile funcţiei este independentă de L. Proprietăţile remarcate justifică afirmaţia: dacă împărţim funcţia I cu factorul 2 1r, şirul de funcţii obţinut dând diferite valori parametrului L ,

J(L; a)

= _l_ I(L; a) = !_ sin(La) 1r

21r

formează

independent de parametrul p. Factorul de fază arbitrar prin care aceste constante ar putea diferi de modulul lor îl alegem egal cu 1. In acest fel, expresia finală a funcţiilor proprii ale energiei particulei libere este

un şir

,

= !_ sin(La) -+ J(a), 7f

-

L-+oo.

(2.37)

Avem atunci pentru integrala (2.36) care ne interesează J (p)

=

p x) dx = 2 1r 8 ( ~) = 2 1r ho (p) ,

(2.38)

unde am folosit proprietatea o(p/h) = ho(p). In definitiv, am stabilit că se poate da un sens produsului scalar a două funcţii proprii ale energiei particulei libere, şi anume

(u(p;x),u(p1;x)) = A* A' J(p' -p) =A* A'21rhJ(p' -p). Relaţia precedentă exprimă o

(2.41) cp(p) exp (ipx) dp. 21r h h In mecanica cuantică funcţia cp(p) este numită transformata Fourier a funcţiei F(x). Inversarea formulei (2.41) se obţine folosind proprietatea de ortonormare (2.39), cu rezultatul 1 J(XJ F(x) exp ( -'"i:i px ) dx. (2.42) cp(p) = r,:::-7 21r n -oo n

~/

Exerciţiu.

1_: * exp (

(2.40)

-(X)

o. Scriem relaţia simbolică _l_ I(L; a) 21r

.

In încheiere, observăm că funcţiile proprii ale energiei particulei libere nu sunt altceva decât funcţiile sistemului Fourier. Totalitatea lor, obţinută schimbând continuu parametrul p de la -oo la oo în (2.40), formează un sistem complet de funcţii. Dezvoltarea unei funcţii F(x) după sistemul complet de funcţii proprii ale energiei particulei libere nu este altceva decât dezvoltarea ei în integrală Fourier 1 , pe care o scriem ca 00

F(x) =

a

~ exp ({px)

proprietate de ortogonalitate în sens generalizat. Ob-

servăm că în cazul setului de funcţii considerat sunt ortogonale atât două funcţii care corespund la valori proprii diferite ale energiei, cât şi cele două care corespund la aceeaşi valoare proprie. Este convenabil să lucrăm cu funcţii pentru care

(u(p; x), u(p'; x)) = o(p - p'),

(2.39)

caz în care vorbim de o ortonormare în sens generalizat, în scara parametrului p. Condiţia este îndeplinită prin alegerea modulului constantei A egal cu 1 / ~ , 42

i) Stabiliţi relaţia dintre funcţia cp(p) şi funcţia x(k) care apare atunci când transformata Fourier este definită prin

x(k) = -1

21r

definiţie folosită

în cursurile de Fourier cu ajutorul funcţiei x.

J(XJ

F(x)

expikx

dx,

-00

matematică.

ii)

Scrieţi

dezvoltarea în

integrală

Completitudinea sistemului de funcţii proprii al energiei particulei libere se exconcis într-o formulă care este analogul relaţiei pe care o vom întâlni pentru un sistem complet numărabil, primă

1_:

u(p;x)u*(p;x')dp=J(x-x').

(2.43)

Că relaţia (2.43) este adevărată, ne convingem explicitând cele două funcţii, comparând integrala cu cea studiată anterior şi constatând că este vorba de acelaşi obiect matematic (diferă numai numele variabilei de integrare şi al parametrului de care depinde ea). 1

Funcţia

F(x) trebuie

să îndeplinească

anumite condiţii pentru ca dezvoltarea să aibă sens !

43

2.2. ECUAŢIA SCHRODINGER ÎN CAZUL UNIDIMENSIONAL (ID)

Capi'tolul 2. ECUATIA SCHRODINGER INDEPENDENTĂ DE TIMP CA ECUAŢIE DE VALORI PROPRII

2.2.4

Proprietăţi ale valorilor şi funcţiilor proprii ale energiei în

cazul unidimensional Valorile şi funcţiile proprii ale energiei au proprietăţi deosebite: 1) valorile proprii ale energiei sunt numere reale, 2) funcţiile proprii care corespund la valori proprii diferite sunt ortogonale. Prezentăm demonstraţia afirmaţiilor anterioare numai pentru categoria de funcţii

proprii care sunt integrabile în modul pătrat (normabile). Pentru funcţiile proprii care nu sunt normabile, justificarea proprietăţilor cere o analiză mai laborioasă. Nu vom aprofunda acest aspect; în sprijinul valabilităţii proprietăţilor în discuţie, va fi util să observăm în toate problemele pe care le vom întâlni că valorile proprii ale energiei sunt numere reale, iar atunci când două funcţii proprii nu sunt normabile, ele sau combinaţii lineare ale lor pot fi făcute să îndeplinească o condiţie de ortonormare în sens generalizat. Pentru demonstraţia afirmaţiilor 1) şi 2) în cazul funcţiilor proprii normabile, vom porni de la ecuaţia Schrodinger scrisă pentru două valori proprii E 1 şi E 2 cu funcţii proprii asociate u1(x) şi, respectiv, u2(x): h 2 d 2 ui(x) -2M dx2 +V(x)u1(x)

=

E1u1(x),

+ V(x) u;(x) =

E2 u;(x).

2

h d2 u*(x) - 2M d;2

(2.44)

In al doilea caz a fost scrisă complex-conjugata ecuaţiei. Vom înmulţi prima ecuaţie cu u 2, a doua cu u1 şi vom scădea a doua ecuaţie din prima, cu rezultatul 2

h - 2M

2

(

* d u1 d2u 2) u2 dx2 - u1 dx2

= (E1

*) * - E2 u2 u1 .

Membrul stâng este derivata unei funcţii, astfel încât avem 2 2) d ( u 2* du1 du- -1i- -- - u1 2M dx dx dx

=

Dar membrul stâng al relaţiei precedente este nul. Aceasta pentru că la x --+ ±oo funcţiile u1 şi u2 şi derivatele lor descresc spre zero, suficient de rapid (mai repede ca 1/ pentru a fi asigurată integrabilitatea lor în modul pătrat. Am obţinut astfel egalitatea (2.45) (E1 - E 2) (u2, u1) =O.

vîxl)

Egalitatea demonstrată este valabilă şi pentru E2 = E1, u2(x) avem (Ei - En (u1, ui) = O şi suntem conduşi la concluzia Ei

r,,2 2M

( Uz dui dx

=

E1 , deoarece produsul scalar (u1, ui) nu se anulează. In felul acesta a rezultat că valorile proprii sunt reale. Revenind acum la egalitatea (2.45) în care ţinem seama că E 2 = E2

(E1 - E2) (u2 , ui) rezultă, în mod evident, că pentru E1

2.2.5

)j+oo = (E1 44

j

(C > O, constanta elastică) .

F(x) = -Cx, din energia

00

u;(x) u1(x) dx.

2

(2.47)

potenţială

V(x)

-oo

anulează.

Ne propunem să determinăm valorile proprii ale energiei pentru un oscilator liniar armonic, adică pentru o particulă aflată sub influenţa unei forţe elastice, forţă atractivă, de mărime proporţională cu distanţa particulei faţă un punct fix pe care îl luăm ca origine a axei pe care se află particula,

(E1 - E *) u * u1 . 2 2

E2)

i- E2 produsul scalar (u2, ui) se

(2.46)

Determinarea nivelelor de energie ale oscilatorului liniar armonic prin metoda polinomială

între -oo şi oo,

- U1 du 2 dx _ 00

=O

Este important să observăm că dacă funcţiile u 1 şi u 2 corespund la aceeaşi valoare proprie ( E2 = E1) relaţia (2.45) este îndeplinită şi nu obţinem nici o informaţie despre produsul scalar al celor două funcţii. Dacă ele sunt liniar-independente, situaţie pe care o întâlnim pentru valori proprii degenerate, cele două funcţii u1 şi u 2 pot fi sau nu ortogonale. Cum ecuaţia Schrodinger este liniară şi omogenă, orice combinaţie liniară a celor două funcţii corespunde evident la aceeaşi valoare proprie. Se pot construi pe această cale două funcţii proprii care corespund la aceeaşi valoare proprie şi sunt reciproc ortogonale2 . Această proprietate este exploatată în prezentarea formalismului mecanicii cuantice.

Forţa elastică derivă

Integrăm relaţia precedentă

= u1(x), caz în care

Cx 2

=-

2

+ Vo,

In cazul spectrului discret valorile proprii ale energiei sunt nedegenerate {3]

45

(2.48)

2.2. ECUAŢIA SCHROiJINGER ÎN CAZUL UNIDIMENSIONAL (lD)

Capitolul 2. ECUATIA SCHRODINGER INDEPENDENTĂ DE TIMP CA ECUAŢIE DE VALORI PROPRII

unde Vo este o constantă arbitrară, pe care este cel mai convenabil să o luăm egală cu O. In cazul mecanicii clasice,

ecuaţia

M-=-Cx 2

(2.49)

dt

legea de

mişcare

a particulei

x(t) = a sin(wt + t1, până la care au căzut N2 < N particule pe ecran (suficient de multe, N2 > > N1 ), se obţine o imagine în care figura de difracţie începe să se contureze. Dacă ajungem la momentul de timp t 3 până la care s-au înregistrat N3 = N particule (adică tot atâtea cât în prima experienţă) , vom avea pe ecranul detector aceeaşi figură de difracţie ca la expunerea "instantanee". Observarea ecranului la momente de timp apropiate de începutul experienţei lasă impresia că electronii cad la întâmplare pe ecran. Observarea ecranului în continuare conduce la concluzia contrară, pentru că ori de câte ori repetăm experienţa cu un număr total mare de particule, distribuţia finală a lor pe ecran este aceeaşi. Distribuţia particulelor pe ecran nu este omogenă, există regiuni ale ecranului pe care cad mai multe particule decât pe altele. Ajungem la concluzia că experienţa de difracţie se desfăşoară în conformitate cu o lege statistică: apare ca întâmplător locul unde va cădea o particulă, însă ni se prezintă ca guvernată de o lege distribuţia pe ecran a unui ansamblu format dintr-un număr mare de particule. Trecem acum la o descriere cantitativă a figurii de difracţie. Caracterizăm figura de difracţie printr-un set de frecvenţe relative. In acest scop, divizăm suprafaţa ecranului într-o mulţime de pătrate egale de suprafaţă b. şi numerotăm pătratele. Dacă N t:,.; este numărul de particule care au impresionat pătratul cu numărul i, atunci frecvenţa relativă Vi de cădere pe acest pătrat este

N1:,.i

vi=

N'

LNt:,.i

= N--+ LVi =

l.

Analiza unei experienţe de difracţie, pe care o prezentăm în continuare, descrie rezultatele obţinute cu un flux al particulelor de intensitate slabă şi un timp de expunere lung, urmăreşte constituirea în timp a figurii de difracţie şi o compară cu rezultatele obţinute la intensitate mare şi expunere de durată scurtă, practic instantanee. Fie cazul particular al unei experienţe în care figura de difracţie este o succesiune de inele "luminoase" şi "întunecate" şi fie N numărul total de particule care cad

Sumarea este extinsă asupra întregii suprafeţe a ecranului. Dacă numărul total N de particule este mare, şi aceasta este situaţia la care ne vom referi, la schimbarea numărului total N se constată stabilitatea frecvenţelor relative, adică se constată faptul că modificarea valorii numărului N > > 1 afectează puţin valoarea frecvenţelor relative. Frecvenţele relative sunt mărimi obţinute pe cale experimentală, iar stabilitatea

66

67

3.2. CARACTERUL STATISTIC AL LEGILOR MECANICII CUANTICE. FUNCŢIA DE STARE. LEGEA LUI BORN

Capitolul 3. FUNCTIA DE STARE A PARTICULEI. ECUAŢIA SCHRODINGER TEMPORALĂ. INTERPRETAREA STATISTICĂ A MECANICII ONDULATORII frecvenţelor relative este dovada valabilităţii unei legi statistice. In descrierea teoretică a unui fenomen, o lege statistică se exprimă prin probabilităţi (vezi Anexa A).

In cazul de faţă, putem vorbi de probabilităţile Pi referitoare fiecare la unul din prin divizarea ecranului: Pi este probabilitatea de cădere a unei particule în pătratul cu numărul i. Relaţia ei cu frecvenţele relative este pătratele obţinute

Vi~

N>> 1,

Pi'

apropierea fiind cu atât mai bună cu cât numărul total de particule N care au căzut pe ecran este mai mare. Totalitatea rapoartelor vi conţin o informaţie cu atât mai precisă, cu cât suprafaţa 6 este mai mică. In continuare, ne fixăm atenţia asupra unui punct al ecranului situat la intersecţia diagonalelor pătratului numerotat cu i. Vom caracteriza acest punct prin coordonatele sale (x, y) faţă de un sistem de axe cartezian plasat pe ecranul detector. Dacă micşorăm aria 6 a pătratului , frecvenţa relativă de cădere într-un asemenea pătrat scade odată cu 6 , raportul vd 6 tinde însă spre o limită a cărei valoare depinde de poziţia pe ecran a centrului pătratului. Situaţia descrisă este redată de relaţia v·

~ --t P(x,y)

pentru N

>> 1 şi 6

--t O.

Mecanica cuantică este teoria care, în particular, dă descrierea statistică adecvată pentru fiecare tip de experienţă de difracţie, adică este capabilă să prevadă funcţia de distribuţie P. Experienţele de difracţie nu sunt singurele care ne obligă să trecem la o descriere statistică a comportării microparticulelor; experienţa ne obligă să acceptăm că în orice condiţii s-ar afla microparticulele, noi nu putem formula decât o lege statistică referitoare la localizarea lor. Mai mult decât atât, suntem obligaţi să constatăm că legile statistice formulate de teoria cuantică nu sunt compatibile cu suportul dinamic al fizicii clasice: electronii nu ascultă de legea a doua a dinamicii şi nu are sens să vorbim despre mişcarea lor pe traiectorii. Diferenţa între comportarea clasică şi cea cuantică este cel mai bine evidenţiată de experienţa cu două fante. In această experienţă un fascicul de particule întâlneşte în cale un paravan cu două deschideri A şi B suficient de înguste şi de apropiate. Un al doilea ecran înregistrează particulele căzute pe el. Este vorba de analogul experienţei lui T. Young (1800) din cazul luminii. Pe ecran se obţine o figură de difracţie caracterizată şi ea printr-o funcţie de distribuţie P. Dacă acoperim una din deschideri, figura de difracţie este modificată. Fie PA şi P B funcţiile de distribuţie în cazul în care deschiderile B şi , respectiv , A sunt închise. Se constată că

p # PA +PB. Mărimea P(x, y) este, prin definiţie, densitatea de probabilitate de cădere pe ecran sau funcţia de distribuţie a poziţiei pe ecran. Din definiţie rezultă că dacă se cunoaşte valoarea densităţii de probabilitate P(x, y), probabilitatea dp ca particula să cadă pe un element de suprafaţă dx dy din vecinătatea punctului de coordonate x şi y de pe ecran este

dp(x,y)

= P(x,y)dxdy.

(3.3)

O teorie a comportării particulelor trebuie să fie capabilă să prevadă legea statistică de distribuţie a electronilor care au suferit interacţia cu ţinta solidă, lege statistică

a cărei expresie matematică este funcţia P(x, y). Faptul că în condiţiile experienţei de difracţie nu putem prevedea locul de cădere pe ecran al fiecărei particule nu este de mirare. In fizica statistică clasică sunt formulate legi statistice la care se recurge ori de câte ori lucrăm cu un sistem cu număr mare de constituenţi elementari pentru care nu avem (şi nu putem avea practic) suficiente informaţii despre fiecare dintre ei, sau ori de câte ori condiţiile unei experienţe sunt complexe. Legile fizicii statistice clasice au la bază o comportare a fiecărei particule în acord cu fizica clasică. Se spune că aceste legi au un suport dinamic în mecanica clasică.

68

O asemenea comportare nu este compatibilă cu mecanica clasică. Aşa cum am menţionat la începutul secţiunii, până în deceniul al şaselea al secolului trecut experienţa cu două fante era o experienţă mintală, adică o experienţă care nu se putea efectua din cauza unor dificultăţi de natură tehnică, dar al cărei rezultat se putea prevedea prin extrapolarea comportării din alte condiţii înrudite, cunoscute experimental. Progresul tehnologic a permis până la urmă efectuarea experienţei cu două fante în cazul electronilor. Pentru o discuţie magistrală a experienţei cu două fante vezi cursul de fizică al lui Richard Feynman [5].

3.2

Caracterul statistic al legilor mecanicii cuantice. Funcţia de stare. Legea lui Born

Conform postulatelor mecanicii cuantice, pe care le vom învăţa în cursul de faţă, în experienţele de difracţie este cea pe care o întâlnim întotdeauna: referitor la microparticule nu putem formula decât legi cu caracter statistic. Nu putem răspunde la întrebarea unde se va afla o microparticulă la un moment dat.

situaţia întâlnită

69

Capitolul 3. FUNCŢIA DE STARE A PARTICULEI. ECUAŢIA SCHRODINGER TEMPORALĂ. INTERPRETAREA STATISTICĂ A MECANICII ONDULATORII

Mai mult decât atât, situaţia poziţiei nu este specială; în condiţii experimentale date, toate atributele mişcării unei particule (poziţie, impuls, energie, moment cinetic orbital) nu au valori pe care să le putem prevedea cu certitudine. Efectuarea unei măsurători a lor conduce la rezultate pentru care putem prevedea doar probabilitatea de realizare. Efectuarea unei asemenea măsurători poate fi asemuită cu aruncarea unui zar, pentru care nu putem prevedea pe ce faţă va cădea zarul. Tfariabilele dinamice ale mecanicii clasice devin astfel mărimi aleatorii pe care le regă~ mecanica cuantică sub _E_umele de obs(!,rvabile. • Trebuie să ne revizuim complet modul de a gândi, conceptele de bază. Să ne referim întâi la starea particulei. In general, starea unui sistem la un moment dat se identifică cu totalitatea proprietăţilor sale la acel moment de timp. In mecanică clasică starea unei particule la un moment dat este starea ei de mişcare, caracterizata prin 6 mărimi: componentele vectorului de poziţie şi ale impulsului faţă de un sistem de axe fixat. Din aceste mărimi se calculează altele, precum energia şi momentul cinetic orbital. Tot din acestea se prevede starea la orice moment ulterior, dacă se cunoaşte forţa care acţionează asupra particulei. In mecanica cuantică starea unei particule se identifică cu legile statistice referitoare la observabile. Cunoaştem starea dacă putem spune care sunt legile de distribuţie pentru poziţie, impuls, moment cinetic orbital, energie ş.am.d. Şi nu este suficient să cunoaştem legile de distribuţie pentru poziţie şi impuls pentru a deduce pe celelalte. Intr-un fel, răspunsul mecanicii cuantice, pe care îl prezentăm acum, este uimitor de simplu. Admitem acum trei postulate, a căror încadrare în postulatele generale ale mecanicii cuantice o vom discuta în Cap. 6.

Postulatul

stării

particulei:

Toate legile statistice referitoare la observabilele particulei rezultă din cunoaşterea unei singure funcţii, definite în tot spaţiul şi la orice moment de timp, numită funcţia de stare a particulei şi notată, de obicei, cu W. Funcţia w(r, t), numită şi funcţie de undă, îndeplineşte condiţiile de regularitate şi este integrabilă în modul pătrat. Condiţiile de regularitate cer ca funcţia să fie mărginită, continuă şi uniformă şi cu derivate de ordinul întâi continue.

3.2. CARACTERUL STATISTIC AL LEGILOR MECANICII CUANTICE. FUNCŢIA DE STARE. LEGEA LUI BORN

Postulatul lui Born: Densitatea de probabilitate de localizare coincide cu modulul pătrat al funcţiei de stare

P(r, t)

Postulatul

=I

w(r, t)

12

.

evoluţiei stării:

In cazul particulei aflate în câmp de forţe care derivă din potenţial, funcţia de star·e este soluţie a ecuaţiei Schrodinger temporale

iii

aw = - -1'1? fi. w+ V (r t) w ât 2M ' .

~

(3.5)

Legat de postul~tul stării, ne amintim că în capitolul introductiv a fost vorba de o funcţie de coordonate şi timp necesară pentru a descrie unda asociată de către de Broglie unei particule. Acum constatăm că în formalismul mecanicii cuantice apare o asemenea funcţie, dar rolul ei este altul: funcţia de undă descrie starea particulei, din ea se extrag legi statistice referitoare la mărimile observabile. Nu există u n-de asociate, dar este nevoie de o funcţie definită în tot spaţiul, ca în cazul unui fenomen ondulatoriu, numai că funcţia are cu totul altă semnificaţie. ~ /------Ecuaţia de evoluţie ne arată, ca urmare a prezenţei factorului i, că funcţia de ~ re .!J11.-este ~~a ~ă, w I= w* . Postulatul propus de Max Born în 1926 indică o primă informaţie pe care ne-o dă o funcţie de undă. La această interpretare probabilistică a soluţiilor ecuaţiei de evoluţie propuse de Schrodinger, simultan cu ecuaţia independentă de timp, Born a ajuns analizând experienţe de împrăştiere a electronilor pe atomi efectuate de către James Franck, în clădirea Universităţii Gottingen în care lucra şi Born. Vom numi în continuare legea lui Born legea statistică referitoare la localizarea particulei, dată prin postulatul lui Born. Modul de obţinere a legii lui Born din funcţia de stare poate fi asemuit cu modul de obţinere a densităţii de energie w(r, t) a câmpului electromagnetic în vid din mărimile ondulatorii E(r, t) (intensitatea câmpului electric) şi B(r, t) (inducţia magnetică),

w(r, t) = Eo E2 + _1_ B2' 2

70

(3.4)

2µ 0

71

3.4. ECUAŢIA DE CONTINUITATE ATAŞATĂ ECUAŢIEI SCHRODINGER TEMPORALE ŞI CONSECINŢELE EI

Capitolul 3. FUNCŢIA DE STARE A PARTICULEI. ECUAŢIA SCHRODINGER TEMPORALĂ. INTERPRETAREA STATISTICĂ A MECANICII ONDULATORII unde operaţia de bază este ridicarea la pătrat a mărimilor ondulatorii. Corespondenţa are sens, deoarece densitatea de energie a câmpului electromagnetic este mare în puncte situate în regiunile spaţiului în care sunt prezenţi mulţi fotoni. In concluzie , cele trei postulate se referă la sistemul fizic format dintr-o particulă în câmp de forţe care derivă din potenţial. Postulatele surprind esenţa mecanicii cuantice. Despre particulă nu putem face decât previziuni cu caracter statistic. Previziunile se referă la observabilele particulei (poziţie, impuls, moment cinetic), care au comportarea unor variabile aleatoare. Ne este cunoscută starea particulei, dacă ne sunt cunoscute legile statistice pentru toate observabilele. Mecanica cuantică afirmă că toată această informaţie este conţinută în funcţia de stare. Trebuie să avem tot timpul în vedere că o lege statistică se verifică lucrând cu un colectiv statistic. Acesta reprezintă o mulţime formată dintr-un număr mare de copii ale unui sistPm studiat, aflate toate în aceleaşi condiţii. Cu cât este mai mare acest număr, cu atât este mai relevant rezultatul măsurătorilor efectuate pe colectivul statistic considerat.

3 .3

Consecinţe

Observăm însă că,

la prima vedere, integrandul depinzând de timp, integrala ar putea depinde de timp. Modul în care funcţia de stare se modifică în timp este exprimat de postulatul stării. Situaţia este în ordine, dacă putem arăta că evoluţia funcţiei de stare respectând ecuaţia Schrodinger temporală are drept consecinţă independenţa de timp a integralei pe tot spaţiul din modulul pătrat al funcţiei de stare. Arătăm în continuare că aşa stau lucrurile.

din

relaţia precedentă

-3.4

Ecuaţia

de continuitate ataşată temporale şi consecinţele ei

Deducem acum o consecinţă directă şi importantă a ţcuaţiei Schrodinger temporale, ecuaţia de continuitate. In acest scop considerăm ecuaţia Schrodinger (3.5) şi complex-conjugata ei,

aw*

i:Ji(r, t)

=

fv

I

12 dr.

i:Ji(r, t)

+ V(r ' t) w* .

(3.9)

cei doi membri ai ecuaţiei Schrodinger cu \li* 1 apoi cei doi membri ai ecuaţiei precedente cu W, şi scădem cele două ecuaţii astfel obţinute. Avem

(3.6)

Probabilitatea, notată pv(t), ca la momentul t să găsim particula într-un volum dat V, finit, se obţine prin regula de adunare a probabilităţilor pentru evenimente independente, având în vedere că particula se poate afla în oricare din subvolumele rezultate dintr-o divizare a volumului V, Pv(t)

r,, 2

- i n - = - - ~w* 8t 2M

Legea lui Born are consecinţe directe pe care le evidenţiem acum. Astfel, probabilitatea dp ca la momentul t să găsim particula în volumul infinitezimal dV = dr din vecinătatea punctului de vector de poziţie r este

=I

Schrodinger

Inmulţim

ale legii lui Born

dp

ecuaţiei

2

1

in

2 aw waw*) = --[w*~w-w~w*J r,, w*-+ ( at at 2M

sau

2

in o(w* w) = - r,, div (w* Vi:Ji - '1i Vw*) . 8t 2M In membrul drept am folosit identitatea Green (2.101), întâlnită în Cap. 2. precedentă se transcrie în forma unei ecuaţii de continuitate

: dr.

+divJ =0 ,

Ecuaţia

(3.10)

(3.7)

unde P este densitatea de probabilitate de localizare, iar vectorul J, Probabilitatea Pv depinde de timp. In sfârşit, probabilitatea ca particula să se afle într-o regiune oarecare a spaţiului, dată de fr I W 12 dr, trebuie să fie egală cu 1, deoarece avem certitudinea acestui eveniment. Ca urmare, la orice moment t trebuie să fie îndeplinită condiţia

J

I

i:Ji(r,t)

2 1

72

dr= I.

(3.8)

J

se se

=

2tM (w* vw - wvw*),

numeşte

densitate de curent de probabilitate de localizare. Din expresia constată că vectorul J este un vector real. 73

(3.11) precedentă

3.5. STATISTICA

Capitolul 3. FUNCŢIA DE STARE A PARTICULEI. ECUAŢIA SCHRODINGER TEMPORALĂ. INTERPRETAREA STATISTICĂ A MECANICII ONDULATORII Urmărim acum consecinţele ecuaţiei de continuitate asociate ecuaţiei Schrodinger temporale. In acest scop integrăm cei doi membri ai ecuaţiei pe un volum finit V, acelaşi la orice moment de timp, şi obţinem

impusă. Acum ştim moment de timp:

că

o

POZIŢIEI.

VALORI MEDII PENTRU

soluţie normată

la un moment dat

1

P(r, to) dr= 1 -+

!!:_ dt

f p dr = - f J · dS . Jv J'l;v

Vom presupune de acum încolo

In membrul stâng am putut scrie derivata în faţa integralei şi am renunţat la simbolul de derivată parţială deoarece integrala depinde doar de timp, iar în membrul drept am transformat (cu ajutorul teoremei lui Gauss) integrala de volum în int egrală pe suprafaţa :Ev care delimitează volumul V. Elementul de suprafaţă dS = dS n are orientarea normalei exterioare la suprafaţă, caracterizată în fiecare punct al ei prin versorul n. Egalitatea transcrisă ca dpv(t)

= -[

f J · ndSJ dt J'l;v

(3.12)

are aspectul unei ecuaţii de bilanţ: modificarea în timp a probabilităţii pv ( t) de a particula în volumul V este redată de fluxul vectorului J prin suprafaţa care mărgineşte volumul V . Vom reveni asupra ecuaţiei precedente. Dacă considerăm că volumul V este tot spaţiul, suprafaţa :Ev devine suprafaţa de la infinit. Fluxul vectorului J prin această suprafaţă este nul pentru orice soluţie a ecuaţiei Schrodinger temporale care se anulează suficient de repede la infinit. Funcţia de stare fiind integrabilă în modul pătrat are această proprietate. La distanţe mari, funcţia 1J! scade mai repede ca 1/r-312 , scade atunci şi gradientul ei şi, ca urmare, scăderea vectorului J este suficient de rapidă ca fluxul său prin suprafaţa de la infinit să se anuleze. Rezultă găsi

:t 1

de unde

1

P dr =

P( r, t) dr

= o,

(3.13)

constantă

în timp .

(3.14)

că funcţia

FUNCŢII

DE POZIŢIA PARTICULEI

rămâne normată

1

(3.15)

P(r, t) dr= 1.

de stare este

normată.

Revenim acum la ecuaţia de bilanţ (3.12). Ea ne sugerează o interpretare a fluxului elementar (fluxul printr-un element de suprafaţă) J(r, t) · n dS

ca probabilitate de trecere efectivă a particulei în unitatea de timp prin elementul de suprafaţă dS. Probabilitate efectivă înseamnă diferenţa între probabilitatea de trecere în sensul normalei exterioare şi probabilitatea de trecere în sens invers. Rolul jucat de vectorul J justifică denumirea sa de densitate a curentului de probabilitate de localizare. In expresia precedentă apar trei vectori: r-punctul în vecinătatea căruia este situat elementul de suprafaţă, n-versorul normalei la suprafaţă şi J, evaluat în punctul de vector de poziţie r. Trebuie să observăm însă că vectorului J întâlnit în ecuaţia de continuitate, cu expresia redată de (3.11), i se poate adăuga un vector Jo de divergenţă nulă J-tJ+Jo,

divJo

= O.

Dacă în ecuaţia de bilanţ am întâlni acest nou vector, am fi tentaţi să dăm interpretarea precedentă fluxului său printr-un element de suprafaţă infinitezimal. Această ambiguitate nu există de fapt, pentru că se aduc argumente, pe care nu le prezentăm acum, pentru a da semnificaţia fizică menţionată fluxului vectorului J definit prin expresia (3.11). Adoptăm în continuare această semnificaţie.

In concluzie, adoptăm interpretarea dată de Born modulului pătrat al stare şi presupunem funcţia de stare normată la orice moment de timp.

Am demonstrat astfel că are sens îndeplinirea condiţiei (3.8) la orice moment de timp. Este suficient să normăm funcţia de stare la un moment dat pentru ca această normare să se păstreze în timp.

la orice

3.5

Statistica poziţiei. poziţia particulei

Valori medii pentru

funcţiei

funcţii

de

de

o soluţie a ecuaţiei Schrodinger temporale cu o constantă, funcţia astfel obţinută este şi ea soluţie. Prin această înmulţire este afectată valoarea integralei din relaţia (3.14). Ca urmare, condiţia de normare (3.8) trebuie

Conform postulatelor admise, coordonatele particulei la un moment dat reprevariabile aleatorii, referitor la valorile cărora se pot face doar previziuni cu caracter statistic, dacă ne este cunoscută funcţia de stare a particulei la acel moment. Legea statistică referitoare la localizarea particulei este legea Born şi pe baza

74

75

Observăm că dacă înmulţim

zintă

3.6. PRINCIPALELE CONSECINŢE ALE POSTULATULUI EVOLUŢIEI ÎN TIMP

Capitolul 3. FUNCŢIA DE STARE A PARTICULEI. ECUAŢIA SCHRODINGER TEMPORALĂ. INTERPRETAREA STATISTICĂ A MECANICII ONDULATORII ei se calculează valori medii pentru oricare din variabilele de poziţie, folosind definiţia mediei unei mărimi cu distribuţie continuă,

r(t) =

1

P(r, t)

rP(r, t) dr,

=I

w(r , t)

12

.

(3.16)

Am notat şi vom nota în continuare cu A valoarea medie a unei mărimi A . Nu numai poziţia, ci şi orice funcţie f (r) de coordonatele particulei este o variabilă aleatoare şi media ei se exprimă prin formula

](t) =

1J

(3.17)

(r) P(r, t) dr.

Observăm că legea lui Born se referă deodată la trei observabile, la x, y şi z. Din ea putem extrage legea statistică pentru una dintre ele, de exemplu pentru observabila x , aplicând regula de adunare a probabilităţilor. Probabilitatea de a găsi coordonata x a particulei într-un interval infinitezimal (x, x + dx) este

1:1: 1:1:

dp(x, t) = dx [ Funcţia

(3.18)

de distribuţie (densitate de probabilitate) pentru coordonata x este deci

P(x, t) = Formule

3.6

P(x, y, z; t) dy dz] .

asemănătoare

consecinţe

şi

z.

ale postulatului

evoluţiei

• 1'

n

aw = 1-l w, ât

t,,2

1-l -= --.6. 2M + V(r ' t) .

(3.20)

Operatorul 1-l este denumit operatorul hamiltonian. El este un operator liniar şi autoadjunct. In cazul conservativ, când funcţia V nu depinde de timp, operatorul hamiltonian coincide cu operatorul energiei, operatorul care apare în ecuaţia Schrodinger independentă de timp şi pe care l-am notat H. 76

temporală

are o serie de

consecinţe

imediate, pe care le

1) Funcţia de stare la un moment iniţial determină funcţia de stare la un moment ulterior. Proprietatea rezultă din faptul că ecuaţia Schrodinger temporală este o ecuaţie cu derivate parţiale de ordinul întâi în raport cu timpul. O justificare directă a proprietăţii 1) se bazează pe urmărirea evoluţiei în timp a funcţiei de stare din aproape în aproape, w(r, t 0

+ dt)

~

\J!(r , t 0)

aw I +~ ut

2

1 ( -h- .6. + V(r, to) ) \J!(r, to)dt. dt = \J!(r, to)+~

t=to

i

n

2M

\J! (r, t 0 + dt) este deci bine determinată dacă se cunoaşte funcţia \J! (r, to). Continuând, ajungem la cunoaşterea funcţiei la orice moment de timp.

Funcţia

Observaţie.

lntrucât starea particulei în mecanica cuantică este descrisă de funcţia de stare, proprietatea demonstrată arată că starea la un moment iniţial determină starea la un moment ulterior. Proprietatea aminteşte situaţia din cazul mecanicii clasice, unde starea de mişcare a particulei (poziţia şi impulsul) la un moment dat determină starea de mişcare la un moment ulterior. Acum însă este vorba de stare în înţelesul cuantic al cuvântului. combinaţie liniară cu coeficienţi constanţi a două soluţii ale ecuaţiei temporale este soluţie a aceleiaşi ecuaţii. Proprietatea decurge din caracterul de ecuaţie liniară şi omogenă al ecuaţiei. Intr-adevăr, fie două soluţii W1(r, t) şi W2(r, t),

2) Orice

în

Vom scrie compact ecuaţia Schrodinger temporală, pe care am admis-o ca fiind legea de evoluţie pentru funcţia de stare,

i

evidenţiem

Schrodinger acum.

Schrădinger

se pot scrie pentru coordonatele y

Principalele timp

(3.19)

P(x, y, z; t) dy dz.

Ecuaţia

. âW2 = 1-l w inat

. 8W1 = 1-l w 1 , inat

2

,

şi o combinaţie liniară a lor cu coeficienţi constanţi, arbitrari, \J!(r, t) = c1 \J!1(r, t) + c2 \J! 2(r, t). Derivând această combinaţie în raport cu timpul, folosind ecuaţia Schrodinger de care ascultă funcţiile din combinaţie şi caracterul liniar al operatorului hamiltonian, găsim

. â\J! . 2 fi ât = i adică

8W1 8\J!2) n ( c1 at + C2 at

ceea ce vroiam

= C1 1-{. W1 + c2 1-{. \Îl 2 =

să demonstrăm.

77

1-{. ( C1

W1 + C2 W2) =

1-{. \Îl ,

Capitolul 3. FUNCŢIA DE STARE A PARTICULEI. ECUAŢIA SCHRODINGER TEMPORALĂ. INTERPRETAREA STATISTICĂ A MECANICII ONDULATORII

3) Produsul scalar a

două soluţii

ale ecuaţiei Schrodinger temporale nu depinde

de timp. Intr-adevăr,

fie derivata în raport cu timpul a produsului scalar a

două soluţii,

1 ) + ('1i1, 8t 8\ff 2) ·

d ( chrr dt (\ff 1, '1i2) = 8t' '1i2 Exprimăm

derivatele pe baza ecuaţiei Schrodinger autoadjunct al operatorului hamiltonian

şi

!

~

(\ff 1, '1i2) =

c

~ 1l\fr1, '1i2) + ( '1i1, i ~ 1l\fr2)

apoi

ţinem

seama de caracterul

= i [ - (1l\fr1, '1i2)+(1Ji1, 1l\fr2) 1=o.

Evident, proprietatea demonstrată este valabilă şi pentru \fr 1 = '1i2, caz în care regăsim proprietatea de independenţă de timp a normei funcţiei de stare, demonstrată în §3.4. Constatăm acum că proprietatea este o consecinţă a caracterului autoadjunct al operatorului hamiltonian, forma sa concretă neavând importanţă. Proprietăţile

deduse din postulatul evoluţiei stării exprimă caracteristici esenţiale ale comportării particulelor atomice. In particular, conţinutul proprietăţii 2) este interpretat astfel: dacă soluţiile ecuaţiei Schrodinger temporale \fr 1 şi \fr 2 descriu fiecare câte o stare posibilă a particulei, atunci şi funcţia c 1 \fr 1 + c2 \fr 2 , cu c 1 şi c2 constante, reale sau complexe, descrie o stare posibilă. Această ultimă stare este numită o suprapunere a stărilor \fr 1 şi \fr 2 . Funcţia \fr trebuie să fie normată. Normarea este asigurată prin înmulţirea unei soluţii cu un factor constant adecvat. Se constată că raportul constantelor nu este afectat de această înmulţire, el determinând proprietăţile stării descrise de suprapunere. Pe baza proprietăţii de suprapunere a stărilor se luminează calea spre înţelegerea experienţei cu două fante: dacă \fr A este funcţia de stare a particulei atunci când numai fanta A este deschisă şi \fr B funcţia de stare a particulei atunci când numai fanta B este deschisă, suma celor două funcţii, înmulţită cu un factor constant, 1

descrie starea particulei atunci când amândouă fantele sunt deschise. Factorul constant 1/ v'2 asigură normarea funcţiei. Densitatea de probabilitate de localizare este

2

1

(I \frA 12

+ I \frB 12 +\fr \frB + 78

\frA

iJi'k) -I~ (I

Ultimii doi termeni din expresia densităţii de probabilitate se numesc termeni de interferenţă. Figurile de pe coperta cărţii ilustrează situaţia discutată aici. Deducem acum două relaţii, cunoscute sub denumirea de teoremele lui Ehrenfest, care sunt o consecinţă a legii lui Born şi a evoluţiei funcţiei de stare după ecuaţia Schrodinger temporală. Vom vedea că aceste relaţii sugerează o interpretare care ne va ajuta să progresăm în găsirea legii statistice pentru impulsul particulei şi ne vor conduce apoi spre legi statistice pentru alte observabile. Va deveni clar apoi cum trebuie generalizate aceste rezultate.

( 3. 7

2

2

\frA 1 + I \frB 1 )

Teoremele lui Ehrenfest

Pornim de la expresia mediei uneia din coordonate,

x(t) =

1 x

I

\fr(r, t) 12 dr.

Media depinde de timp, pentru că funcţia de derivata în raport cu timpul a valorii medii: dx dt Inlocuim apoi derivata porale

=

f

at

funcţiei

a

pe baza

căreia

avem

depinde de timp.

at

in

de stare pe baza

ecuaţiei

8\fr* = _

_!_

2M

'

şi

înlocuirea derivatelor

dt

Transcriem convenabil cele dx dt

(-!!..__ ~ w* + V \fr*) 2M

ifi

ăx = Ji2_ 2M

două

Calculăm

at

2

8t

după

(3.21)

(\fr* 8\fr + \fr 8\fr* ) dr .

x

r

parţială

undă

8\fr= 1 ( --~\fr+V\fr fi ) -

Atunci,

\fr= y'2(1J!A+1J!B),

l \]i 1 =

3. 7. TEOREMELE LUI EHRENFEST

parţiale, găsim

! r

X

(\fr* ~ \fr - \fr ~ \fr*) dr.

integrale ca produse ,scalare

ifi

- = M [(x\fr,~\fr)- (~\fr,x\fr)], 2

79

Schrodinger tem-

3. 7. TEOREMELE LUI EHRENFEST

Capitolul 3. FUNCŢIA DE STARE A PARTICULEI. ECUAŢIA SCHRODINGER TEMPORALĂ. INTERPRETAREA STATISTICĂ A MECANICII ONDULATORII că

apoi, în al doilea produs scalar folosim faptul junct (vezi §2.4.6) , ăx

dt

care

explicităm

Derivând

~ (J g) ţinem

ăx =ih dt

2M

n definitiv, am

!)xw* ~w - w*~(xw)

!

=f

seama

=

O, iar V x

ăx =

---

-

. -ih

= -z h

şi

=

8x

r

2

aw) 2

•

+ I.li 8t8x

dr .

2

8 I.li

facem din nou apel la M d x2 dt

Exprimăm

ex , cu ex -versorul axei

=

ecuaţia

-

Schrodinger

temporală ,

J[(-~ 6.w* + v w*) ol.li -

primul

2M

r

şi

âx

fiind

I.li*!!_ âx

al treilea termen ca produse scalare

conduşi

astfel la

(-~6.w 2M + v w) J dr. şi grupăm

al doilea

şi

al patrulea

termen M d2x dt 2

= - ~ [ (6. I.li' 81.li) 2M

(w, 86.âxI.li) ] + Jw· (v 81.li âx

-

8x

r

I.li)) dr.

â(V 8x

r

Evident, sunt valabile relaţii ale valorilor medii y( t) şi z( t)

=

J(aw8t aw

.

]dr .

[xw * ~w-w*(x~w+2ex· V '1F)]dr .

M

Măy dt

~x

x

8 ( 81.li) 8tâx - 8xât - 8x 8t

+ g ~f + 2 V f · V g ,

că

2

8 I.li

2

~g

rezultă

în raport cu timpul, din (3.22)

In al doilea termen folosim

obţinut egalitatea care reprezintă prima teoremă a lui Ehrenfest,

\

dată

M dt2

In ultimul termen folosim egalitatea

= W , şi

o

d

din nou produsele scalare ca integrale

ăx dt = ih M 2

cu J = x şi g x-lor. Avem

încă

ih M [ (xw, ~w) - (w, ~(x w))], 2

- = după

Deducerea formulei {3.25} (Facultativ)

laplaceianul este operator autoad-

dt

! w* awax

dr .

(3.22)

asemănătoare

-dr

r

pentru derivatele în raport cu timpul

ăz =

M

'

dt

-ih

f w* aw r

OZ

=

-i n

!w

* Vw

d r.

6.1.li, 81.li) 8x = ( 6.( 81.li 8x) ) \{I,

dr.

(3.23)

(3.24)

r

80

( I.li,~ 86.1.li) '

=

-1 r

I.li* (8V) I.li dr. âx

In integrala din membrul drept apare densitatea de probabilitate de localizare înmulţită cu componenta pe axa Ox a forţei şi astfel integrala coincide cu valoarea medie a acestei din urmă mărimi. Egalitatea pe care am obţinut-o este tocmai relaţia (3.25). Relaţii asemănătoare

se stabilesc

relaţia vectorială

In continuare, dacă se continuă calculul , folosind rezultatul (3.22) şi din nou ecuaţia Schrodinger temporală, rezultă pentru derivata de ordinul al doilea în raport cu timpul a valorii medii a coordonatei x în starea descrisă de funcţia de stare w(r, t) expresia d2x (3.25) M dt2 = Fx.

=

iar ultimii doi termeni se restrâng în unul singur M d2x dt 2

Vom scrie, compact, vectorial

M -ăr dt

(

r

__/

f w away *

-i h

Primii doi termeni se compensează, dacă avem în vedere că operatorul laplaceian este autoadjunct şi că ordinea de aplicare a laplaceianului şi a derivatei în raport cu x pot fi schimbate, adică

şi

pentru mediile celorlalte coordonate, de unde

d 2-r M dt2

cunoscută

-

=F

(3.26)

sub denumirea de a doua teoremă a lui Ehrenfest. de legea a doua a dinamicii. Ea ne permite să întrezărim o legătură între mecanica cuantică şi mecanica clasică. Se văd şi deosebiri şi asemănări. In particular, se poate discuta în ce condiţii evoluţia particulei după Relaţia precedentă aminteşte

81

3.8. INTERPRETAREA PRIMEI TEOREME A LUI EHRENFEST. IMP ULSUL MEDIU AL PARTICULEI. STATISTICA IMPULSULUI

Capitolul 3. FUNCŢIA DE STARE A PARTICULEI. ECUAŢIA SCHRODINGER TEMPORALĂ. INTERPRETAREA STATISTICĂ A MECANICII ONDULATORII

legile mecanicii cuantice se reduce practic la mişcarea prevăzută de mecanica clasică. Deocamdată , insistăm asupra diferenţelor: privită ca lege de mişcare ecuaţia se referă la o particulă fictivă , ale cărei coordonate ar fi la orice moment de timp egale cu valorile medii ale coordonatelor x( t) , y( t) şi z( t) la acel moment. Forţa sub influenţa căreia se mişcă particula fictivă este forţa medie la acel moment, deci nu este forţa în punctul în care se află ea,

F(t) i- F(r, t), nici măcar particula fictivă nu evoluează după mecanica clasică, cu atât mai particula reală; poziţia particulei, să nu uităm , este o variabilă aleatoare. Vom reveni asupra relaţiei cuantic/ clasic în §3.10.2. Pentru mai departe reţinem asemănarea formală a relaţiei care exprimă teorema a doua a lui Ehrenfest cu legea a doua a dinamicii.

Ne convingem în continuare că, prin interpretarea pe care o dăm conţinutului primei teoreme Ehrenfest, am făcut un pas important înainte: vom arăta că din analiza .formulei care redă impulsul mediu în starea descrisă de .funcţia de undă W (r, t) vom extrage legea statistică referitoare la impulsul particulei. P entru desfăşurarea raţionament ului prin care ajungem de la impulsul mediu la statistica impulsului , avem nevoie de o identitate în care apar funcţia de stare w(r, t) şi transformata sa Fourier (p, t) dată de

adică

(p , t)

=

1 .,

puţin

Ne întoarcem la relaţia (3.24) care exprimă prima teoremă. Incercăm să vedem aici o asemănare cu o relaţie clasică. Dacă am ignora semnul de valoare medie din membrul stâng al relaţiei (3.24) , am avea acolo impulsul particulei. Inspirându-ne din cazul relaţiei (3.26) , vom admite (postula) că mărimea care apare în membrul drept al relaţiei (3.24) este valoarea medie a impulsului particulei

-in [ w*Vwdr Cu

această

identificare prima

teoremă

= p.

Ehrenfest este ăr

M dt = p.

prin egalitatea

anw w*(r, t) axn dr =

1 p

P~ I (p, t)

=

I

w(r, t)

2 1

dr =

1, -i fi [ w*(r, t)

i i I

%: dr =

(p , t)

Px

I

2 1

=

i

(3.31)

dp,

(p, t)

I (p, t) J2

Px

(3.30)

dp.

= O relaţia devine

2 1

Atunci, pe b aza relaţiei (3.27) şi a relaţiei precedente, avem o componenta impulsului pe axa x-lor Px (t)

2 1

(3.32)

dp. nouă

exprimare pentru

4

dp .

(3.33)

Pentru a justifica relaţia (3.30) derivăm funcţia de stare de n ori în raport cu x, folosind reprezentarea funcţiei ca integrală Fourier, 1

anw 1 f (i ) âxn = (21r1i) 3 ; 2 }P r/x

(3.28)

Spre deosebire de postulatele admise în §3.2, afirmaţia admisă acum apare ca destul de firească. Putem spune că la acest moment am invocat un principiu de corespondenţă, conform căruia legile mecanicii clasice sunt un caz limită al legilor mecanicii cuantice. Dacă este aşa, legătura dintre cele două mecanici trebuie să se întrevadă la nivelul unora dintre relaţiile mecanicii cuantice. Admitem că suntem în cazul unei asemenea relaţii, aşa cum a fost cazul relaţiei ( 3 .26). 82

iar pentru n

(3.27) redată

1 r

Demonstraţia relaţiei precedente este directă 1 . Pentru n [

şi

(3.29)

N.B. Notaţia , adică folosirea literei p pentru a desemna variabilele de care depinde transformata Fourier , este tendenţioasă! Relaţia de care avem nevoie este

(-i ti)n

3.8 ]!!t erpr.etarea primei t ~or erne a lui E h renfest . Impulsul m ediu a l particulei. Statist ica i~pu lsului

:,cil? [ w(r, t) exp (-{p·r) dr .

Apoi, Dacă

n

(p, t) exp

(

i ) y;_P · r dp.

înmulţim ambii membri ai egalităţii astfel obţinute cu \JI* (r, t) şi în membrul drept schimbăm ordinea celor două integrale, el devine

l (~Pxr

In integrala din paranteza

nj(t) 'Unj(r),

Vom arăta în §3.9.3 cum, printr-o transformare potrivită a expresiei mediei energiei, ajungem la o nouă exprimare a ei care face să se întrevadă legea statistică pentru energia particulei.

Dezvoltarea

de stare

dentă.

E = (w,Hw),

3.9.2

funcţiei

n=l j=l

Compact, energia medie se poate scrie ca un produs scalar,

în care a fost pus în evidenţă operatorul energiei, H Cap. 2. _,;

Pasul important pe care îl facem în continuare este dezvoltarea după sistemul complet şi ortonormat de funcţii proprii al energiei,

funcţiei ,

%

00

%

L L Cnj(t) H Unj(r) = L L Cnj(t) En Unj(r). n=l j=l

(3.50)

n=l j=l

Am folosit faptul că operatorul H este liniar şi a întâlnit sub semnul sumă funcţi­ ile sale proprii. Derivata funcţiei W, înmulţită cu i n, o egalăm cu funcţia HiJF. Cele două serii pe care le egalăm astfel sunt dezvoltări după acelaşi sistem complet de funcţii, ca urmare egalitatea lor atrage după sine egalitatea coeficienţilor care înmulţesc aceeaşi funcţie în cei doi membri ai ecuaţiei, adică trebuie să avem . dcnj E nCnJ·(t) · in--= dt

(3.51)

Rezultă că din ecuaţia Schrodinger temporală am desprins câte o ecuaţie diferenţială de ordinul întâi pentru fiecare coeficient Cn j. Ecuaţia diferenţială are variabilele separate, de · i n_!!:_J_ = En dt,

Cnj

astfel încât prin integrarea ei Cnj(t)

=

obţinem

Knj exp

(-k t) , En

87

Knj -

constantă.

Capitolul 3. FUNCŢIA DE STARE A PARTICULEI. ECUAŢIA SCHRODINGER TEMPORALĂ. INTERPRETAREA STATISTICĂ A MECANICII ONDULATORII Pentru t

=

O expresia precedentă se reduce la

Cnj(O)

=

3.9.3

Knj,

ceea ce conduce la

=

Cn j (t)

Cn j (O) exp ( -{ En t)

(3.52)

Fiecare coeficient este astfel determinat până la un factor constant pe care îl putem afla dacă este cunoscută funcţia de stare la momentul t = O, prin calculul produsului scalar Cnj(O) = (unj(r), w(r,O)). (3.53) şi

In concluzie, dezvoltarea unei funcţii de stare după funcţiile proprii ale energiei legătura ei cu funcţia de stare la un moment iniţial sunt redate prin relaţiile 00

w(r, t) = L

9n

L .Cnj(O) exp

-'k

(

·

En t

)

Cn j (O)

Unj(r))

(3.54) Observăm că modulul pătrat al coeficienţilor Cnj (t) este independent de timp, 2

2

I Cnj(t) 1=1 Cnj(O) 1

(3.55)

.

Exprimăm

acum produsul scalar al funcţiei de stare cu ea însăşi cu ajutorul coeficienţilor Cn j ( t) . In acest scop, în al doilea factor al produsului scalar ( w, w) înlocuim funcţia de stare prin dezvoltarea (3.49) şi folosim linearitatea produsului scalar în al doilea factor 00

'Îl, (

~;

Produsul scalar rămas sub astfel încât avem

)

00

Cn j ( t) Un j

sumă

~;

=

9n

Cn j (t) ('Îl, Un j) .

şi independenţa

('Îl, 'Îl) , şi obţinem 00

E

=

L

9n

= L

L

00 I

Cnj(t)

2 1

= L

finală, transcrisă

n=lj=l

L

En I Cnj

2 1

n=l j=l

în mod potrivit, este

E

=;

00

~ 9n

(

En

sau

I

2)

Cnj

9n

00

E=LEnPn,

00

Pn=LICnjl

2

,

j=l

n=l

(3.58)

1

LPn=l.

(3.59)

n=l

In ultima egalitate din rândul precedent am transcris convenabil condiţia de normare (3.57). In exprimarea (3.59) energia medie a particulei, în starea descrisă de funcţia de stare 'Îl , apare ca o sumă în care fiecare valoare En din spectrul energiei este înmulţită cu un număr nenegativ şi subunitar Pn , iar suma tuturor acestor numere este egală cu 1. Se impune astfel legea statistică pentru observabila energie: Probabilitatea Pn ca la măsurarea energiei în starea descrisă de funcţia 'Îl să se obţină rezultatul En coincizând cu o valoare din spectrul discret al energiei este 9n

=L

I

Cn j (t)

2

(3.60)

,

1

j=l I

Cnj(O)

2

1

(3.56)

unde

n=l j=l

Relaţia precedentă confirmă,

în cazul particular al unui câmp de forţe conservativ, independenţa de timp a produsului scalar (w, w) , iar condiţia de normare a funcţiei de stare atrage după sine relaţia 00

L

.

9n

L

=

n=l j=l

Expresia

9n

00

Cnj(t) En (w, Unj)

L

coincide cu complex-conjugatul coeficientului Cnj,

9n

ei de timp

Ne întoarcem acum la expresia (3.46) a valorii medii a energiei, (w, Hw), în care folosim dezvoltarea funcţiei de stare. In paragraful precedent am calculat deja funcţia H 'Îl. Inlocuim expresia (3.50) în expresia energiei medii, exploatăm liniaritatea produsului scalar în al doilea factor, aşa cum am procedat în cazul produsului scalar

Pn 00

(w, w)

9n

Statistica energiei

= (Un j (r) , 'Îl ( r, O) )

n=l j =k'

('Îl, 'Îl) =

3.9. PARTICULA ÎN CÂMP DE FORŢE CONSERVATIV

9n

LL

I

Cnj(O)

n=lj=l

88

2

1

=

1.

(3.57)

Cnj(t)

=

(unj, w(t))

= Cnj(O) exp (-{ En t)

,

H Un j

=

En Un j ·

(3.61)

Dat fiind modul în care coeficienţii Cnj depind de timp, rezultă că probabilităţile Pn nu depind de timp. Constatăm astfel că, spre deosebire de statistica altor observabile, statistica energiei este independentă de timp. Proprietatea poate fi pusă în legătură cu proprietatea de conservare a energiei din cazul mecanicii clasice. 89

3.10.· EVOLUŢIA ÎN TIMP A STĂRII UNEI PARTICULE LIBERE

Capitolul 3. FUNCŢIA DE STARE A PARTICULEI. ECUAŢIA SCHRODINGER TEMPORALĂ. INTERPRETAREA STATISTICĂ A MECANICII ONDULATORII

3.9.4

Stările staţionare

Stări staţionare

In secţiunea precedentă am dat o reprezentare a funcţiei de stare la orice moment de timp ca o dezvoltare după funcţiile proprii ale energiei. Funcţia de undă este bine determinată la orice moment de timp dacă este cunoscută la un moment iniţial, t = O. Nu este exclusă posibilitatea ca lat = O să avem

w(r, O) = Umk(r)'

H Umk(r)

=

(3.62)

Em Umk(r),

adică funcţia

de stare să coincidă cu o funcţie proprie a energiei din setul ataşat valorii proprii Em. In acest caz numai unul din coeficienţii dezvoltării este nenul Cnj(O) =6nm6jk· Aceeaşi situaţie

Cn j (

o

găsim însă şi

la momentul t deoarece

t) = Cn j (O) exp ( -f En t) = 6n m

(p) pentru valori mari ale variabilelor (în cazul de faţă Px), scădere cerută de existenţa integralei din (3.72). Rezultă formula

x2 = 1i21 8* --- - 8 d p

(3.75)

8px 8px p,

cu ajutorul căreia vom calcula media pătratului coordonatei. Detaliem calculul cerut de formula precedentă. Avem

8

8px =

(

2

8*

) 84> . Px ) ( . p 8px - i Mii t exp -i 2M1i t

8px =

(84>*

8px

. Px

+ i Mii t

Atunci, ordonând termenii după puterile variabilei timp, găsim

x2(t)

=

t\

M

2

)

exp

(. p ) i2M1i t .

---..

p;; I 4> 12 dp +iii_!_ 1 (84>* 4> - 4>* 84>) dp + 1i21 84>* 84> dp.

1

M

p

p

8px

8px

p

8px 8px

Primul termen conţine media pătratului componentei Px a impulsului, iar ultimul se reduce la x 2 (0). Pentru abaterea pătratică medie se obţine

2 (c5x)2(t) = x2(t) - (x(t)) =

!

2

(c5px)2

+ ~ C + (c5x) 2 (0),

(3.76)

unde termenul liniar în t este înmulţit cu mărimea reală

C=ili

l (~;:

4>-4>*

%!) dp-2px

x(O).

(3.77)

Evident, expresii asemănătoare sunt valabile pentru (c5y) 2 ( t) şi (c5 z )2 (t) . Constatăm că pentru particula liberă dependenţa de timp a abaterii pătratice medii a unei coordonate se exprimă printr-un trinom de gradul al doilea în variabila timp, cu coeficienţi reali. Coeficientul lui t 2 este pozitiv. Ca urmare, graficul abaterii pătratice medii a uneia dintre coordonate ca funcţie de timp este o parabolă cu axa 94

paralelă

cu axa ordonatelor, cu vârful în jos, şi care nu intersectează axa absciselor este nenegativă). Vârful parabolei poate corespunde unei valori pozitive, nule sau negative pentru timp, pe care o notăm cu T . Dacă T .:S O, abaterea pătratică medie creşte tot timpul faţă de valoarea avută la momentul iniţial (t = O). Dacă T >O, în intervalul de timp (O, T) abaterea pătratică medie scade, dar apoi, pentru t > T, abaterea pătratică medie creşte indefinit. Deci, în ambele cazuri se ajunge la situaţia în care abaterea pătratică medie creşte indefinit cu trecerea timpului. (mărimea reprezentată

Ştim că valori mici ale abaterii standard ale coordonatelor înseamnă probabilitate mare de realizare a poziţiilor situate în vecinătatea poziţiei medii şi probabilitate mică de localizare a particulei în regiuni îndepărtate de poziţia medie. Creşterea abaterii standard a coordonatelor cu trecerea timpului arată că poziţiile îndepărtate de poziţia medie devin posibile, chiar dacă la momentul iniţial aveau probabilitate mică de realizare.

Pe baza rezultatului obţinut deducem care este comportarea cu trecerea timpului a densităţii de probabilitate de localizare P(r, t) =I w(r, t) 12 . Se defineşte zonă de localizare a particulei regiunea din spaţiu în care găsim particula cu probabilitate mare. Evident, această zona nu este riguros delimitată. Dacă abaterea standard a coordonatelor are o valoare mică la momentul iniţial , atunci densitatea de probabilitate de localizare este apreciabil diferită de zero doar în vecinătatea poziţiei medii r(O) şi deci zona de localizare are o extensie spaţială mică. Modificarea în timp a poziţiei medii, conform (3.74), arată că zona de localizare se deplasează în timp, iar creşterea abaterilor standard ale coordonatelor arată că dimensiunile zonei de localizare cresc. Ca urmare, chiar dacă la un moment iniţial ştim că particula se află practic într-o regiune a spaţiului de dimensiuni reduse, adică avem o informaţie relativ precisă despre localizarea particulei, cu trecerea timpului ştim tot mai puţin despre localizarea ei. Comportarea descrisă a particulei libere este tipic cuantică. Se arată că aceeaşi comportare o găsim şi atunci când particula se află sub acţiunea unei forţe externe. Fenomenul este cunoscut sub denumirea de destrămare a pachetului de unde. Este important să observăm modul în care apare masa particulei în expresia abaterii standard (3. 76). Ea apare la numitorii termenilor în t 2 şi t şi, ca urmare, cu cât masa particulei este mai mare, cu atât creşterea abaterii standard se face mai încet. In cazul maselor macroscopice, destrămarea pachetului este neglijabilă în timpi de interes fizic. Pentru ilustrare,

considerăm

un caz particular: o

95

particulă liberă

în

mişcare

doar

3.10. EVOLUŢIA ÎN TIMP A STĂRII UNEI PARTICULE LIBERE

Capitolul 3. FUNCŢIA DE STARE A PARTICULEI. ECUAŢIA SCHRODINGER TEMPORALĂ. INTERPRETAREA STATISTICĂ A MECANICII ONDULATORII

pe axa Ox , în starea

caracterizată

q;(p) = unde a

şi

exp (-i.:__(p V~ ny'lr 2n2

b sunt constante reale. Prin calcul direct,

p=b, şi ,

Referinţe

prin

=

2a2'

= 2'

(ox) 2 (0)

(3.78)

obţinem

a2

t,,2

(op)2

b) 2 )

l\fax Born, Z. P hysik 38,803 (1926) C. Johnson ct al. Am. J. Phys. 42 , 4 (1974) A. Tonomura, J. Endo , T. Matsuda, T. Kawasaki, and H. Ezawa, Am. J. Phys. 57, 117 (1989)

C=O

ca urmare,

(5x) 2 (t)

~ [1 + (~:,) ']

(5.,) 2 (0).

In cazul particular considerat, durata de timp după care abaterea standard a poziţiei ia o valoare de două ori mai mare decât la momentul iniţial este v13 M a 2 /n. Ea este infinită în limita clasică (formal li ---+ O). Pentru un electron şi o localizare iniţială de ordinul 10- 10 m, această durată este extrem de scurtă, aproximativ 10- 16 s. Pentru un nucleu ea este deja mai lungă , iar pentru o masă de 1 g ajungem la o durată de mii de ani. Aceste cifre ne dau o idee despre condiţiile în care trebuie ţinut seama de destrămarea pachetului de unde. , 1• Funcţia de undă a particulei libere a cărei transformată Fourier la t = O este dată de (3.78) este cunoscută sub denumirea de pachet de unde gaussian. Exerciţiu:

formată

Pentru o particulă liberă să se calculeze funcţia de Fourier la momentul t = O este dată de (3.78).

Redăm

rezultatul numai pentru

funcţia

de stare la momentul 2

w(x, O)

=

1 r::-7= exp ( -x-2

y ay'lr

2a

Densitatea de probabilitate de localizare este o

+ ""i:i bx ) n

undă

a

cărei

trans-

iniţial:

(3.79)

gaussiană 2

I w(x, O) 12=

1 exp ( - xa2 ) . ay'lr

(3.80)

Starea este caracterizată iniţial printr-o zonă de localizare cu atât mai restrânsă cu cât constanta a ia valori mai mici. Calculul funcţiei de stare la un moment t oarecare arată că densitatea de probabilitate de localizare rămâne o gaussiană; poziţia maximului ei, care coincide în cazul de faţă cu poziţia medie a particulei, se deplasează uniform, iar lăţimea gaussienei creşte o dată cu trecerea timpului . 96

97

Capitolul 4 OBSERVABILELE PARTICULEI

4.1

Observabile

şi

operatori

asociaţi

In capitolul precedent am întâlnit sub denumirea de observabile câteva mărimi fizice care pot fi fiecare măsurate pentru o particulă, ca de exemplu poziţia şi impulsul ei. In cazul forţei conservative, am întâlnit şi energia. Numim observabilă o mărime reală, legată de prezenţa particulei, pentru care există un procedeu de măsură. Am aflat că observabilele au alt statut pentru o particulă a lumii atomice, supusă legilor mecanicii cuantice, decât pentru o particulă care ascultă de mecanica clasică: observabilele trebuie tratate ca variabile aleatoare. Am aflat, de asemenea, cum obţinem statisticile observabilelor menţionate din funcţia de stare la un moment dat. In particular, ştim să calculăm valorile medii ale acestor observabile. In cele ce urmează vom exploata asemănarea formală pe care o constatăm între expresiile valorilor medii ale observabilelor enumerate. Să considerăm trei dintre ele

f w*xwdr (w,xw)' -()= -in.1 awax = E 1w* [+ v] w x(t) =

Px t

=

=

r 'Î'

2~

*

dr

( 'Î'' - i.

n aw ax ) '

dr= ( w, [-

fl

n: + v] w) .

2

fl

(4.1)

Intr-adevăr, expresiile precedente seamănă, având toate aceeaşi structură de produs scalar între funcţia de stare şi rezultatul acţiunii unui operator asupra funcţiei de

stare, x(t)

= (w,Xw),

Px(t) = (w, Px w) ,

99

E = (w, H w) ,

(4.2)

Capitolul 4. OBSERVABILELE PARTICULEI

4.2. PROPRIETĂŢI ALE OPERATORILOR ASOCIAŢI OBSERVABILELOR

~ Proprietăţi ale operatorilor asociaţi observabilelor

unde operatorii X, Px şi H au următorul mod de acţiune asupra unei funcţii de coordonatele de poziţie:

X

J (r) = x J(r),

Px f (r)

=

âj

H j(r) = [-

-i fi âx'

ti: ~

2

+ V(r)]

Operatorii poziţiei, impulsului şi energiei au proprietăţi comune. Deocamdată demonstrăm că ei sunt liniari şi sunt autoadjuncţi. Liniaritatea operatorilor de poziţie şi impuls este evidentă:

j(r).

(4.3) X este numit operatorul poziţiei pe axa x -lor şi este, după cum se vede, un operator multiplicativ. Px este operatorul asociat componentei impulsului pe axa x-lor, iar H este operatorul energiei, deja întâlnit în capitolele precttdente. Cu totul asemănător, se introduc operatorii multiplicativi Y şi Z, asociaţi, respectiv, poziţiei pe axa y-lor şi z-lor şi operatorii diferenţiali Py şi Pz asociaţi componentelor impulsului pe aceste axe. Observăm, apoi, că operatorul energiei este construit din operatorii poziţiei şi impulsului

P; + Pf + pz + V(X, Y, Z), 2M

deoarece pătratul operatorului asociat unei componente a impulsului se printr-o derivată parţială de ordinul al doilea, de exemplu 2_

Px şi

la fel celelalte coordonatele,

pătrate,

2

exprimă

32

iar energia

potenţială

(

V(X, Y,X)

'

este un operator multiplicativ ca

şi

Constatăm că

în transcrierea din (4.4) operatorul energiei este legat de operatorii de poziţie şi impuls aşa cum este legată, în cazul clasic, energia particulei de variabilele dinamice poziţie şi impuls,

2

Px [ c1 fi (r)

+ c2 h (r) ]

-iti

!(

c1

fi(r)

+ c2

+ c2 h(r))

âh âx ]

= c1 Px

+ c2 Px h

fi

,

(fi, X h) =

f

fi(r) x h(r) dr=

f

[x fi(r)]* h dr= (X fi, h) .

Să arătăm acum că operatorul Px este autoadjunct. Fie

. r [ â(Ji h) afi ] (fi,Pxh )= -iti. Jrr f1*ah ox dr= -iti jr âx - h âx dr.

= V(x,y,z).

p;; + p~M + p; +V(x,y,z). E=

fi (r) + C2 ]2 ( r) ] c1 xfi(r) + c2 xh(r) = c1 X fi(r) + c2 X h(r), X [ C1

unde c1 şi c2 sunt constante; liniaritatea operatorului energiei a fost deja semnalată în Cap. 2, iar acum poate fi dedusă direct din liniaritatea operatorilor din care este el construit. Caracterul autoadjunct al operatorilor de poziţie este de asemenea evident, de exemplu,

(4.4)

= PxPx = -fi âx 2

+ C2 ]2 ( r) ]

. âfi -zfi [ C1 âx

2

H=

X [ C1 fi (r)

(4.5)

In primul termen efectuăm integrala peste variabila x , una din cele trei variabile de integrare

U1, Px h) = -iti

1+= 1 00

-oo

-oo

1x=oo

ft ]2 x=-oo dy dz

r

+ iti lr ]2

a:

aJ*

dr.

Primul termen este nul deoarece fi şi h, funcţii integrabile în modul pătrat, se anulează rapid atunci când una din coordonate devine infinit de mare, în cazul nostru pe plane x = const. aruncate la plus sau minus infinit. Rămânem cu

Pentru cele 7 observabile întâlnite până acum ( x, y, z, Px, Py, Pz, E), situaţia se prezintă, deci, astfel: fiecărei observabile îi corespunde un operator, iar operatorul asociat energiei se obţine pornind de la expresia clasică a energiei, în care înlocuim coordonatele de poziţie şi componentele impulsului cu operatorii asociaţi. Vom accepta în curând o generalizare a acestei proceduri pentru toate observabilele care sunt funcţii de poziţie şi impuls. Pe parcursul capitolului vom arăta rolul esenţial pe care îl joacă operatorii asociaţi observabilelor în formalismul mecanicii cuantice.

Comparaţia dintre expresia de plecare şi cea finală arată că operatorul asociat componentei impulsului pe axa x-lor este autoadjunct. Proprietatea este evident adevărată şi pentru operatorii asociaţi celorlalte componente ale impulsului.

100

101

(fi,Pxh)

=

f

(-iti

81:) * hdr = (Pxfi,h).

1

4.3. ROLUL OPERATORILOR ASOCIAT[ OBSERVABILELOR. POSTULATUL ' OBSERVABILELOR

Capitolul 4. OBSERVABILELE PARTICULEI Caracterul autoadjunct al operatorului energiei a fost demonstrat la capitolului 2.

sfârşitul

Exerciţiu. Justificaţi

caracterul autoadjunct al operatorului energiei folosind expresia sa (4.4) şi faptul că operatorii de poziţie şi impuls sunt autoadjuncţi.

Postulatul observabilelor Fiecărei observabile A a unei particule îi corespunde un operator A, liniar şi autoadjunct, care acţionează asupra funcţiilor de coordonate. Valorile posibile pentrn observabilă coincid cu valorile proprii ale ecuaţiei

Av(r) = av(r),

4.3

Rolul operatorilor observabilelor

asociaţi

observabilelor. Postulatul

Continuăm

studiul operatorilor X, Y, Z , Px, Py, Pz şi H asociaţi, respectiv, observabilelor de poziţie, impuls şi energie. Amintim că observabila energie are sens numai dacă particula se află în câmp de forţe conservativ. Inaintăm în dezvăluirea formalismului mecanicii cuantice observând că operatorul asociat energiei nu apare numai în expresia energiei medii,

(4.8)

unde A este operatorul asociat observabilei, iar a este număr.

JtSs;.

p,.. ~ ', .

Ca şi în cazul ecuaţiei Schri:idinger independente de timp, funcţiile proprii sunt acele soluţii ale ecuaţiei de valori proprii care îndeplinesc condiţiile de regularitate, iar valorile proprii sunt acele valori ale parametrului a pentru care există funcţii proprii.

L Postulatul valorii medii E = (w,Hw), ci

şi

în

ecuaţia

Schri:idinger

independentă

(4.6),

In starea descrisă de funcţia w(r, t), valoarea medie a unei observabile A , cu operatorul asociat A , este dată de

de timp,

Hu(r) = Eu(r). Aşa

A= (w , A w).

(4.7)

cum am învăţat în Cap. 2, aceasta este o ecuaţie de valori proprii asociată operatorului, prin rezolvarea căreia aflăm dacă energia particulei într-un câmp de forţe (conservativ) dat este cuantificată sau nu. In cele ce urmează, fiecăruia dintre operatorii întâlniţi îi vom asocia o ecuaţie de valori proprii şi vom atribui semnificaţie fizică valorilor proprii. Vom admite astfel că procedeul prin care aflăm valorile posibile ale unei mărimi fizice este asemănător cu cel întâlnit în cazul observabilei energie. In mecanica cuantică fiecărei observabile i se asociază un operator liniar şi autoadjunct. Operatorul furnizează valorile posibile pentru mărime, iar formula de calcul a valorii medii a unei observabile într-o stare dată, întâlnită în exemplele de la începutul capitolului, se extinde pentru orice observabilă. Afirmaţiile precedente formează conţinutul a două noi postulate pe care le enunţăm şi acceptăm acum. Cele două postulate explică rolul esenţial pe care îl joacă operatorii asociaţi observabilelor în formalismul mecanicii cuantice. Situaţia la care se referă în mod concret postulatele care urmează este cea a unei particule fără spin. 102

(4.9)

Arătăm că d,atorată caracterului autoadjunct al operatorului A valorile sale proprii sunt numere reale. Constatăm întâi că valoarea medie este reală, deoarece avem

A= (w,Aw) = (Aw,w) = (w,Aw)* =(A)*.

(4.10)

Demonstrăm acum că valorile proprii sunt reale şi că două funcţii proprii care corespund la valori proprii diferite sunt ortogonale. Ga şi în cazul observabilei energie, justificarea este uşoară pentru funcţii proprii care sunt integrabile în modul pătrat, singurul caz pe care îl prezentăm aici.

Pentru demonstraţie, folosim ecuaţia de valori proprii scrisă pentru o funcţie proprie v1 şi complex-conjugata ecuaţiei scrisă pentru o altă funcţie proprie v2 ,

Av1(r) = a1 v1(r),

[ (A v2 (r) ]*

= a; V2 (r) ,

apoi înmulţim prima ecuaţie cu v2, iar a doua cu v 1 şi scădem ecuaţiile astfel

obţinute:

v2Av1 - (A v2)* vi

= (ai - a 2) v2vi.

103

4.4. PROBLEMA DE VALORI PROPRII PENTRU OPERATORII IMPULSULUI

Capitolul 4. OBSERVABILELE PARTICULEI Integrăm

pe tot

spaţiul şi recunoaştem

produse scalare în fiecare termen,

(v2 , A vi) - (A v2 , vi) Membrul stâng al Ca urmare

egalităţii

este

însă

=

(a1 - a;) (v2, vi),

O, pentru

că

operatorul A este autoadjunct.

(a1 - a;) (vi , v2) =O. Lăsăm ca exerciţiu continuarea justificării toare celei din §2.2.4.

proprietăţilor enunţate,

Analizăm acum, pe rând, problema de valori proprii decât energiei.

4.4

complet

ataşată

asemănă­

altor observabile

Problema de valori proprii pentru operatorii impuls ului

Ecuaţia

de valori proprii

ataşată

componentei impulsului pe axa x-lor este

Pxu(r) = >-.u(r),

(4.11)

(cu dimensiuni de impuls). Reamintim că funcţii proprii sunt acele care îndeplinesc condiţiile de regularitate, iar valorile lui >-. pentru care există funcţii proprii sunt valorile proprii ale operatorului Px. Vom rezolva întâi problema unidimensională, adică vom căuta funcţii proprii dependente numai de variabila x, cu

 număr

devine nemărginită, fie pentru x -+ -oo, dacă /3 > O, fie pentru x-+ oo, dacă f3 < O. Deci numai cazul /3 = O este acceptabil. Numai în acest caz, soluţia îndeplineşte condiţile de regularitate. Rezultă că orice  real este valoare proprie, adică spectrul de valori proprii al operatorului asociat componentei impulsului pe o direcţie dată este necuantificat. Faptul că valorile proprii ale componentei impulsului pe o axă formează un spectru continuu este compatibil cu interpretarea lor ca valori posibile pentru observabila căreia îi este asociat operatorul. Necuantificarea componentelor impulsului a fost acceptată de noi tacit atunci când în §3.5 am admis legea statistică referitoare la componentele impulsului. In continuare, vom nota valorile proprii cu litera P.1: în loc de Â, notaţie care vrem să ne amintească de observabila în discuţie. Vom folosi notaţia u(px; x) pentru funcţiile proprii cu care vom lucra în continuare, corespunzătoare unei alegeri convenabile a constantei C ,

u(px;x)= ~1e x p

(iy;,PxX) ,

-oo

< Px < oo.

Transcriem ecuaţia de valori proprii în noile notaţii,

Px u(px; x) = Px u(Pxi x).

soluţii

-indu(x) =Âu(x). dx Ecuaţia (liniară, omogenă,

imediat;

soluţia

ei,

u(x) Soluţia

numai

cu coeficienţi constanţi şi de ordinul întâi) se integrează la factor, este

unică până

=

C exp ({>-.x) ,

C - factor constant .

este continuă şi are derivata de ordinul întâi continuă, dar este mărginită este un număr real. Intr-adevăr, dacă Â este un număr complex,

dacă Â

>. = a+ i/3,

=C

exp

(*ax) 104

exp (-~x)

(4.13)

In cazul unidimensional, la fiecare valoare proprie a operatorului Px corespunde o singură funcţie proprie, altfel spus, valorile proprii sunt simple.

Observăm că funcţiile u(px; x) coincid cu funcţiile proprii ale energiei particulei libere în cazul unidimensional, întâlnite în §2.2.1 şi §2.2.3. Explicaţia coincidenţei o găsim în faptul că în acest caz operatorul energiei particulei libere este construit din operatorul impulsului, fiind /2M. Spre deosebire de cazul operatorului impulsului, valorile proprii ale operatorul energiei particulei libere sunt dublu degenerate, funcţiile u(px; x) şi u(-px; x) corespunzând la aceeaşi valoare proprie E = p;j2M. Reamintim că funcţiile u(px; x) nu sunt integrabile în modul pătrat, în schimb sunt ortonormate în sens generalizat în scara parametrului Px· Funcţiile formează un sistem complet.

P;

Situaţia se schimbă dacă ne referim la funcţii proprii dependente de toate cele

trei coordonate carteziene. Atunci ecuaţia (4.11) este o ecuaţie cu derivate parţiale

soluţia

u(x)

(4.12)

. au(x, y, z) -z n -

(

= Px u x, y, z) .

105

~

4.5. PROBLEMA DE VALORI PROPRII PENTRU OPERATORII DE

Capitolul 4. OBSERVABILELE PARTICULEI Soluţia

ei

generală

coordonate carteziene. Dat fiind legătura dintre operatorul energiei particulei libere Ho şi operatorii impulsului,

este

u(x,y,z) = J(y,z) exp (ipxx) ,

Ho = P'j:

+ P; + P; 2M

cu J(y, z) o funcţie arbitrară de y şi z. In acest caz, o valoare proprie este degenerată de ordin infinit. Soluţia nefiind unic determinată, observăm că este posibil să căutăm acea soluţie care este funcţie proprie şi pentru operatorii Py şi Pz. Din cerinţa suplimentară

. 8u(x,y , z)

n

-i

ay

rezultă

u(x, y, z) = J(z) exp unde

f (z)

nu este

determinată,

iar

-i

n

(

= Py u x, y, z

)

dacă

f)z

Fr)

şi

= Pz u

la factor,

soluţia

este

=

1

(p) u(p; r) dp.

(4.17)

Aceasta şi explică modul în care este scrisă această dezvoltare în mecanica cuantică .

(

)

x, y, z ,

4.5 până

(4.16)

In încheiere, observăm că dezvoltarea unei funcţii în integrală Fourier (2.97) va fi privită de acum încolo ca dezvoltare după funcţiile proprii ale impulsului

exp

cerem

,

este normal ca o funcţie proprie comună operatorilor de impuls să fie funcţie proprie pentru operatorul Ho . Nu însă şi invers; în volumul al doilea al cursului vom construi funcţii proprii ale energiei particulei libere care nu sunt funcţii proprii ale operatorilor impulsului. Această posibilitate este deschisă de faptul că ordinul degenerării valorilor proprii ale energiei particulei libere este infinit .

(1 Px x) (1 Py Y)

. 8u(x,y,z)

atunci,

POZIŢIE

unică

Problema de valori proprii pentru operatorii de poziţie

u(x,y,z) = C exp (1PxX) exp (1PyY) exp

(f PzZ)

Facultativ Ecuaţia

de valori proprii

asociată

operatorului X este

Numerele Px, Py şi Pz trebuie să fie reale pentru a asigura caracterul mărginit al X v(r)

soluţiei.

In definitiv, am stabilit

Px u(r) = Px u(r),

că soluţia comună

a

Py u(r) = Py u(r),

ecuaţiilor

de valori proprii

Pz u(r) = Pz u(r),

(4.14)

X v(x)

=

r.-.

1

_'te\?.!'>

i · r) . exp ( lip

( 4.15)

Factorul a fost ales pentru a asigura proprietatea de ortonormare în sens generalizat în scara valorilor proprii [rel. (2.96)] . Ştim, de asemenea, că aceste funcţii formează un sistem complet. Funcţiile proprii comune celor trei operatori de impuls, denumite în continuare funcţiile proprii ale impulsului, coincid cu acele funcţii proprii ale energiei particulei libere pe care le-am găsit în Cap. 2, lucrând prin metoda separării variabilelor în

106

(4.18)

cu I valoarea proprie căutată, cu dimensiuni de lungime. Incepem şi aici prin considerarea cazului unidimensional

este u(p; r)

= 1 v(r),

Explicitând în membrul stâng

acţiunea

= ,v(x).

(4.19)

operatorului X, avem

(x- 1 ) v(x) =0. Dacă valoarea proprie I ar fi un număr complex, paranteza nu s-ar putea anula şi, ca urmare, funcţia v(x) ar trebui să fie nulă pentru orice x. Rezultă că valoarea proprie este un număr real; o vom renota 1 = x 0 . Ecuaţia de valori proprii se scrie atunci

(x - xo) v(xo;x)

107

= O.

.,,,,---4.6. COMUTATORI. COMUTATORI PENTRU OPERATORII ASOCIAŢI OBSERVABILELOR

Capitolul 4. OBSERVABILELE PARTICULEI In ecuaţia precedentă, funcţia proprie a fost deja corespunde. Acum, din ecuaţie rezultă

=O

v(x 0 ;x)

pentru

indexată

cu x 0 , valoarea proprie la care

v(xo, Yo, zo; x, Y, z)

x f:. O,

v(xo; xo) f:. O.

(4.20)

Valoarea v(x 0 ;x0 ) nu este precizată de ecuaţie. Soluţiile ecuaţiei de valori proprii (4.19) se prezintă altfel decât în cazul energiei sau impulsului. Soluţiile găsite nu sunt continue, fiind nenule doar într-un singur punct al spaţiului. Nu putem însă ignora aceste soluţii. Mai târziu, va reieşi clar că ne încadrăm în formalismul mecanicii cuantice prin alegerea

v(xo; x) =

of ox of oy --+--= ox or/> oy or/> . . of . of -rsmBsmrp ox +rsmBcosrp oy 113

=

of of -y ox +x oy

=

1

-ihLzf(r) .

Capitolul 4. OBSERVABILELE PARTICULEI

4. 7. OBSERVABILELE MOMENTULUI CINETIC ORBITAL

Compatibilitatea oricărei componente a momentului cinetic orbital cu pătratul acestuia

In continuare, pe baza expresiei componentelor carteziene în coordonate sferice, rezultă expresia operatorului pătratului momentului cinetic orbital L 2 în coordonatr sferice 2 2 2 1 1 8 ] (4.52) L = -fi [ sine ae sine âe + sin2 () âcp 2 .

â ( â)

O consecinţă a relaţiilor (4.55) o constituie relaţiile

[Lx, L

Ne va fi de folos să observăm că operatorul L 2 este proporţional cu operatorul unghiular A( e, .. ia valori din mulţimea descrisă prin expresia

de

mărginire

ŞI

Pzm(w)

=

(-1r 1/ 2l

+1 2

= l (l + 1)

>..

cu

l

Rezultă că valorile proprii ale operatorului

l (l Valorile proprii dent sunt

formează

o

+ l) ri 2

.. . .

(4.63)

L sunt date de formula

= O, l, 2, . . . .

mulţime discretă.

Explicit, primele valori din

(4.64) şirul

21r

J

) YilJ(B,

41T

J(r) = A(r) Yim(B. c/>) ,

5) Armonicele sferice Yim(r) formează un sistem complet de funcţii de variabile f} şi c/;. Ca urmare, orice funcţie dependentă de direcţii, continuă şi uniformă, poate fi dezvokată în forma upei combinaţii liniare de armonice sferice,

J(r) =

z:= z:=

a1m Yim(r),

Echivalenţa tuturor direcţiilor spaţiului ne permite să afirmăm direct că valorile proprii pentru operatorii Lx şi Ly sunt date tot de mulţimea (4.82). Aceeaşi afirmaţie este adevărată pentru operatorul Ln = L · n al proiecţiei momentului cinetic pe o axă oarecare. Insă, spre deosebire de cazul operatorului Lz , aplicând operatorul Lx sau Ly unei funcţii sferice, vom c~tata că ea nu este funcţie proprii a acestor operatori. De ce se întamplă aşa, vom înţelege mai bine în §4.9. Există însă funcţii proprii comune pentru operatorii L 2 şi Lx , şi acestea se exprimă prin combinaţii liniare de funcţii sferice cu l fixat. O situaţie asemănătoare întâlnim ventru operatorul Ly sau pentru operatorul componentei momentului cinetic orbital pe o axă oarecare: setul de funcţii proprii comune unui operator componentă a momentului cinetic orbital şi operatorului L 2 este altul în fiecare caz.

(4.79)

l=O m=-l unde

coeficienţii

a1m

rezultă

din proprietatea de ortonormare (4. 72) 2;r

J de Jde/; Yt:n (e' Jr

alm =

sine

o

4.7.6

c/>) f (e' c/>) .

(4.80)

o

Valori proprii pentru o bital

componentă

a momentului cinetic or-

Vom considera întâi problema valorilor proprii ale operatorului Lz. Folosind expresia (4.68) a armonicelor sferice şi expresia explicită (4.69) a funcţiilor ), verificăm direct valabilitatea egalităţii

Lz Yim

=

. 8Yim -ili aŢ

= mfi Yim ,

(4.81)

care arată că funcţiile sferice Yim sunt funcţii proprii şi ale operatorului Lz; o Yim corespunde la valoarea proprie mfi . Spectrul valorilor proprii ale operatorului Lz este astfel în întregime discret şi constă din şirul de valori

funcţie sferică

o, ±fi, ±21i, ... 118

(4.82)

(4.84)

unde funcţia A( r), care depinde doar de variabila radială r, poate fi orice funcţie care îndeplineşte condiţiile de regularitate.

l

(X)

(4.83)

l=lml

l.

Yi,-m(B, c/>) = (-1r Yt:n(e, c/>),

L d1(r) Yim(B, c/>),

4. 7. 7

Legi statistice pentru observabilele momentului cinetic orbital

Ajungem la formularea legilor statistice pentru observabilele momentului cinetic orbital în urma transformării formulei de calcul a mediei unei observabile, A = . (W, A W) , în starea descrisă de funcţia de undă W(r, t) [ vezi rel. (4. 9) din cadrul postulatului referitor la valoarea medie a unei mărimi fizice]. Inţelegem procedeul de transformare a expresiilor valorilor medii pentru pătratul momentului cinetic orbital şi componenta sa după axa Oz a sistemului de axe ales,

1

l2 =

(w,L 2 w)

lz 119

= (W,Lz '1!),

(4.85)

4. 7. OBSERVABILELE MOMENTULUI CINETIC ORBITAL

Capitolul 4. OBSERVABILELE PARTICULEI iar

dacă ne amintim de drumul de la formula mediei la legea statistică, parcurs în Cap.

3 pentru observabilele componentă a impulsului pe o axă şi, separat, pentru energie. ln cazul impulsului am folosit dezvoltarea în integrală Fourier a funcţiei de undă, iar în cazul energiei, dezvoltarea sa după funcţiile proprii ale energiei. Cum, între timp (în §4.4) am aflat că dezvoltarea funcţiei de stare în integrală Fourier este dezvoltarea sa după funcţiile proprii comune celor trei operatori de impuls, putem spune că procedeul aplicat în cele două ~ uri este acelaşi: dezvoltarea funcţiei de stare după funcţiile proprii ale operatorului asociat observabilei pentru care vrem să extragem legea statistică. Ca urmare, pentru a analiza mediile observabilelor de moment cinetic orbital din (4.85), vom dezvolta funcţia de stare în serie de armonice 2 sferice, acestea din urmă fiind funcţiile proprii comune ale operatorilor L şi L 2 ,

de normare se transcrie

L L Mărimile

mărimi este însă de timp. Pentru prelucrarea mediilor observabilelor l 2 şi 12 , aplicăm fiecare din operatorii L 2 şi L 2 funcţiei de stare,

Plm depind în general de timp, suma tuturor acestor

00

L 2 w(r, t)

= li 2 " L.) ' (l + 1)

-~ " ' F1m(r, t) Yzm(e , ),

l=O

L L

Fim(r, t) Yim(e, ).

m=- l

00

(4.86)

/

L

Lzw(r,t)=n€ mFim(r,t)Yzm(B,), i=O m=-l şi

introducem rezultatele în expresiile mediilor, unde folosim linearitatea produsului scalar în al doilea factor,

Jor27r Jor Yz~(B,)w(r , t)

sinBdBd.

(w, w) =

L L

L

I2=n I:t(l+l) (W,FzmYzm), l=O m=-l

(4.87)

I

00

lz

L L

= li

m (w, Fim Yim) .

i=O m=-i In sume a apărut acelaşi produs scalar (4.88) ca în cazul integralei de normare, încât putem scrie, mai compact,

I

CX)

l

00

2

Impunem întâi condiţia de normare pentru funcţia de stare, (\Ţi , \Ţi) = 1 , folosind dezvoltarea (4.86) numai în al doilea factor al produsului scalar, şi ţinem cont de liniaritatea produsului scalar în al doilea factor. Atunci, avem

(w, Fim Yim) .

l=O m=-i Notăm cu

/

pej,te unghiuri

F1m(r,t) =

(4.90)

independentă

Coeficienţii dezvoltării nu depind numai de timp, ci şi de variabila radială r. Proprietatea de ortonormare a funcţiilor sferice conduce la exprimarea fiecărei funcţii integrală

Pim(t) = 1.

i=O m=-i

i=O m=-l

Fim ca o

i

00

i

00

=

w(r , t)

condiţia

12 = li

Plm produsul scalar apărut sub sumă şi îl explicităm folosind coordonate

2

00

[

1=0

m=-1

Ll (l + 1) L

Pim(t)

sferice în integrala care este acest produs scalar ŞI

Ptm(t)

= (w,FimYim) =

1

[121r 11r w*(r,t)Yim sinBdBd] dr.

00

2

r F1m(r,t)

lz

(4.88) In integrala unghiulară recunoaştem pe baza (4.87) complex-conjugata funcţiei Fim , astfel încât Pi m devine o integrală radială,

1

00

Plm(t) =

r

2 J

Fim(r, t)

120

2

1

dr,

(4.89)

Transcrisă

l

=n

00

i

1=0

m=-i

L L

m Pl m (t) .

(4.91)

ca i

00

I2=n2 I:t(z+1)p1(t), l=O 121

P1(t)

=

L

m=-i

Plm(t),

(4.92)

__.,.,

Capitolul 4. OBSERVABILELE PARTICULEI expresia pentru media pătratului momentului cinetic orbital are structura standard a unei valori medii: fiecare din valorile posibile, l(l + 1) n2 , apare înmulţită cu un număr nenegativ subunitar, Pl· Dacă ţinem seama şi de relaţia 00

L pz(t) = L L

( 4.93)

Pzm(t) = 1,

l=a m=-l

Aducem acum media componentei pe axa Oz a momentului cinetic orbital la o formă în care să devină vizibilă structura de medie. In acest scop , în expresia (J.9 1) schimbăm ordinea celor două sume, ţinând seama că numărul cuantic m ia orice valoare întreagă şi că o valoare fixată pentru m o găsim pentru orice l 2:: I m I . Prin aceasta expresia mediei observabilei l 2 devine 00

00

L

= li

L

m

sau

00

lz =

L

,

Pm(t)

=

L Pzm(t).

l= lml Valorile posibile, m n, apar înmulţite fiecare cu un număr nenegativ subunitar, Pm , şi cum pe baza condiţiei de normare (4.90), în care schimbăm ordinea celor două sume, avem 1

=

[

L L

00

l=a m=-l

Plm(t) = •

00

00

L L Plm(t) = L

m=-oo l=lml

Pm(t),

( 4.95)

şi

Pm care redau statisticile observabilelor

l

Pl =

L

00

Plm,

Pm=

m=-l

L Plm l=lml

122

Densitatea de probabilitate radială, Prad(r, t) , este funcţia de distribuţie după distanţa particulei faţă de originea sistemului de coordonate. Ea este o mărime care rezultă din densitatea de probabilitate de localizare. Mai precis, expresia densităţii de probabilitate radiale se extrage din probabilitatea dp(r, t) de a găsi particula în regiunea dintre două sfere, infinit apropiate, de raze r şi r +dr , probabilitate dat ă de r+dr {2 n {n 2 dp(r,t)= r 1. r' l a la lw(r',B,cp,t)1 2 dDdr'.

1

= Prad(r, t) dr

cu

Prad(r, t)

{ 2n {1[ = r 2 la la I w(r, () , ..

+l +1

este diferit de un întreg negativ sau de O.

Rezultă că

numai

îndeplinită condiţia

-.>..+l+l=-n',

Funcţiile

5.3.2

dacă

n'=0 , 1, ...

o soluţie a ecuaţiei radiale care îndeplineşte condiţiile de regularitate. Numai în acest caz soluţia este funcţie proprie radială. Explicitând parametrul .>. pe baza (5.28), condiţia devine

x(r) =p 1+1 exp(-p/2)1Fi(-n 1 ,2l+2;p).

n

I

= O,

1, 2, . . . .

cuantic n' se numeşte număr cuantic radial. Am văzut că acest număr este întreg nenegativ. Funcţia precedentă este ataşată energiei En, cu n = n' + l + 1. La o energie dată corespund toate funcţiile pentru care suma n' + l + 1 este egală cu n. Dacă ţinem seama că numerele cuantice azimutal şi radial sunt nenegative, ajungem la concluzia că unei valori n date îi corespund n perechi (n ', l) şi anume perechile

(5.38)

I',,

Condiţia nu poate fi îndeplinită decât în cazul atractiv, când /3 < O. Rezultă că în cazul potenţialului coulombian repulsiv nu există valori proprii negative. In cazul atractiv, valorile admise pentru A şi în consecinţă pentru K, , sunt, respectiv,

MfJ 1 >O , l',,=-7n'+l+l -

Altfel scris,

A= n, Din

K,

rezultă

K,

=

fJ - -M

n2

= O,

n'

1, 2, 3,....

(O , n -1), (1 , n - 2) , ... , (n -1 , 0) .

(5.39) Se vede

1

-

n

,

că

valorile posibile pentru

M f] 2 1

= ---2- 2 , 2n n

n

= 1,

numărul

(5.44)

cuantic azimutal sunt

(5.40)

n = 1, 2, ....

l

valorile proprii ale energiei, conform (5.21),

En

nivelelor Bohr

Numărul

M- fJ + l + 1 = -n I , 2

-

.>..=n'+l+l,

ataşate

Revenind la expresia funcţiilor radiale (5.37), găsim că, până la un factor constant, funcţiile proprii radiale au expresia

găsim

n

proprii radiale

1, 2, ... , n - 1 .

(5.45)

In concluzie, din l egătura dintre cele trei numere cuantice - principal, azimutal şi radial - rezultă că la valoare fixată a numărului cuantic principal, numărul cuantic azimutal ascultă de inegalitatea

(5.41)

2, 3, ... .

= O,

Cazul care ne interesează în continuare este cel al atomului hidrogenoid, fJ = (notaţii explicate la începutul paragrafului §5.3), caz în care energiile găsite sunt energiile Bohr

-Z e5

En

=-M

z2e6

2n 2

1

n = 1, 2, 3, . . . .

n2'

(5.42)

In expresia funcţiilor radiale vom exprima numărul cuantic radial prin celelalte numere cuantice menţionate, cu rezultatul

două

Nivelele Bohr, în număr infinit, sunt deci valorile proprii negative ale ecuaţiei Schrodinger pentru cazul atomului hidrogenoid cu nucleu fix. Ele formează porţi­ unea de spectru discret a spectrului energiilor acestui atom. Numărul n cu ajutorul căruia se exprimă nivelele de energie Bohr este numit numărul cuantic principal. Expresia parametrului li devine /',,n

=

M Ze5 1 n2 n

z ao n

= M

e5.

Constanta a 0 este prima rază Bohr, aproximativ egală cu 0,53·10Trecem acum la scrierea

convenabilă

a

funcţiilor

138

Xnz(r)

(/,2

ao

proprii.

(5.43) 10

m.

(5.46)

0:Sl:Sn-1.

l

= Nnz r

1+1

1Fi(-n + l + 1, 2l

2Zr Zr + 2; - exp(--),

nao l = O, 1, 2, . . . , n - 1.

nao

(5.47)

Am explicitat în acelaşi timp variabila radială p, dependentă de n, şi am plasat un factor constant (de normare) în faţa funcţiilor. Există, deci, n funcţii radiale distincte ataşate aceleiaşi energii Bohr, diferind prin valoarea numărului cuantic l. Vom presupune de la început că factorul Nnt a fost ales real, ceea ce face ca funcţiile proprii radiale să fie reale.

139

5.3. DETERMINAREA SPECTRULUI ENERGIILOR PENTRU O PARTICULĂ AFLATĂ ÎN CÂMP COULOMBIAN

Capitolul 5. PROBLEMA DE VALORI PROPRII A ENERGIEI PENTRU PARTICULA IN CÂMP CENTRAL DE FORŢE

5.3.3

Ordinul

degenerării

Din funcţiile proprii radiale construim toarP la valori proprii din spectrul discret,

funcţiile

n

1, 2, ... oo ,

r= r

JO

2

:S

O

Rn l (r) Rn

011 0mm' 1

1=

1

r

l '.S n - l,

(5.48)

I m I :S

l.

r27r JOr Yi"m (0, cjJ) Yz

dr JO

n-1

In

= l + 3 + ... + 2(n - 1) + 1 = L,(2l + 1) =

relaţia precedentă

1

m 0, c/J) dO 1 (

1 + 2(n - 1) n "

+1

= n 2 . (5.50)

l=O am evaluat suma unei progresii aritmetice cu n termeni.

Combinaţiile

1=

2

(5.52)

r Rnz(r) Rn' 1(r) dr.

radială

din membrul drept al egalităţii precedente există, dat fiind scăderea a funcţiilor proprii la distanţe mari. Ca urmare, funcţiile proprii ale energiei Unz m vor fi normate dacă funcţia proprie radială îndeplineşte condiţia

1=

(5.49)

1

In concluzie, pentru fiecare nivel Bohr En am determinat n 2 funcţii proprii reciproc ortogonale, funcţiile Unzm(r) cu l = O, l, ... , n - 1 şi m = -l, -l + 1, ... , o, ... , l - 1, l. N.B.

de ortogonali-

exponenţială

Am ţinut seama de la început că funcţiile radiale (5.47) sunt reale. Se constată că funcţiile proprii care corespund la aceeaşi energie (acelaşi n , dar diferiţi l sau/şi m) sunt reciproc-ortogonale, deci liniar-independente. Aceasta înseamnă că nivelele Bohr sunt degenerate. Pentru a calcula ordinul degenerării trebuie să numărăm câte funcţii proprii Un zm ( r), cu n fixat şi l şi m întregi respectând restricţiile O :S l '.S n - l, Im l:S l, există. La l fixat, găsim (2l + 1) funcţii proprii, diferind prin valoarea indicelui m . Notând cu 9n ordinul degenerării, el este dat de 9n

Proprietăţi

ca produsul unei integrale raIntegrala

1

=

(unlm, Un' lm)

r Rn1(r)Rn 1 (r)dr.

~

proprii Unlm.

corespunză­

= Xnz(r)

exprimă

l' ( r)

2

funcţiilor

tate proprii ale energiei

Rnz(r)

Produsul scalar a două funcţii proprii se diale cu o integrală unghiulară

(unlm , Un'l' m')

Normarea

Revenim la expresia (5.49) a produsului scalar a două funcţii proprii ale energiei de tipul Unzm(r), în cazul l = l1, m = m',

Rnz(r) Yim(B, 1>),

Unzm(r)

5.3.4

nivelelor Bohr

(5.53)

Condiţia

de normare determină valoarea modulului factorului constant Nnl din (5.47). In urma calculului (vezi [8], anexa 6) şi alegând constanta Nnl pozitivă, ajungem la

Rnz(r) Nnt

Nn1r l

1F1 (

1 (2l

+ 1)!

r) exp (-nao Zr)

2Z -n+l+l,2l+2;-nao

2Z)

(n + l)! ( 2 n (n - l - l) ! nao

1 3 2 + /

(5.54)

Pe de altă parte, în Cap. 2 am demonstrat că două funcţii proprii ale energiei, integrabile în modul pătrat şi care corespund la valori proprii diferite, sunt ortogonale. Rezultă că în problema de faţă trebuie să avem

(unlm, Un' lm)

liniare

r 2 R; 1(r) dr= l.

=

1=

2

r Rnz(r) Rn, z(r) dr= O,

nf.n'.

(5.55)

n-1

u(r) =

L L

Czm Untm(r)

l=O m=-l în care apar funcţii cu acelaşi indice n , iar Czm sunt asemenea funcţii proprii pentru valoarea proprie En.

coeficienţi constanţi,

Observaţie. Ordinul degenerării unui nivel Bohr este de fapt 2 n 2

(5.51) sunt de

, datorită exisspinului electronului, neglijat în descrierea dată atomului hidogenoid din acest capitol şi deci şi în calculul ordinului degenerării.

tenţei

140

poate fi verificată direct, prin calcul, dar deoarece am prezentat demonstraţia în cazul general, nu este necesar să parcurgem acest calcul. Revenind la relaţiile (5.49) şi la cele stabilite în secţiunea de faţă, am justificat că funcţiile proprii ale energiei Un l m , ataşate valorilor proprii din spectrul discret Jarmează un set ortonormat de funcţii, Valabilitatea

relaţiei

(unlm, Un 1 l' m')

= Onn' Otl' 0mm' ·

141

(5.56)

5.3. DETERMINAREA SPECTRULUI ENERGIILOR PENTRU O PARTICULĂ AFLATĂ ÎN CÂMP COULOMBIAN

Capitolul 5. PROBLEMA DE VALORI PROPRII A ENERGIEI PENTRU PARTICULA IN CÂMP CENTRAL DE FORTE Stări staţionare

5.3.5

In cazul l

ale atomului hidrogenoid

funcţiile

In starea descrisă de o asemenea funcţie nu numai energia este bine determinată, dar şi valorile pe care le iau observabilele pătratului momentului cinetic orbital şi componenta sa după direcţia luată ca axă Oz se realizează cu certitudine şi sunt l(l + 1) ti 2 şi mti, respectiv. Intr-o asemenea stare, densitatea de probabilitate radială (vezi §4.8) este 2 (5.58) Pn1(r) = r R~z(r), iar

distribuţia după direcţii,

dată

independent de

distanţa

electronului

faţă

Tot

Stările staţionare

=I Yim(e, ) 12

caracterizate prin l

=

dfl.

W~O(r, t)

Un 1 o(r) exp ( -

stări staţionare

L

(5.62)

> 2.

(5.63)

i

h En t),

de energie En descriu n-1

. exp ( -* En t),

n

funcţiile

d11 Unt' m(r)

)

de stare i

exp(-y;, En t)

(5.64)

l'=lml

cu n-1

L

I d11 12= 1,

(5.65)

l'=lml şi

(5.59)

n-1

O sunt stări s . In cazul lor distribuţia

este izotropă. Tot o stare staţionară de energie En descrie

combinaţiile

V2 [Un 11 ( r) ± Un 1 -1 ( r)]

(

precum dS1m(e, )

p) sunt folosite

w~±(r, t)

Wnm(r, t) =

de nucleu, este

de

stărilor

1

proprii ale energiei corespunzătoare nivelelor Bohr se construiesc funcţii de stare ( soluţii, integrabile în modul pătrat ale ecuaţiei Schri:idinger temporale), urmând procedeul cunoscut din §3.9.4. Cele mai simple funcţii de stare sunt i (5.57) Wntm(r, t) = Untm(r) exp(-y;, En t). Din

= l (cazul

Wn(r, t)

l'

)

= ( l~ m~l' C['m' Unl'm'(r)

exp(-* En t),

(5.66)

unghiulară

cu

şi funcţia

n-1

w.,(r, t) -

Ct_,

. este şi el pur imaginar,

>.=_M/3 z -- . ri2 k = -z 77. ne permite la factor,

prin alegerea

(5.70)

ia forma ecuaţiei (5.29), în care parametrul

Asemănarea invocată

arată că

OBSERVAŢII

+ l + 1, 2l + 2; 2 i kr) exp(-i kr).

(5.72)

Funcţia precedentă rămâne mărginită la distanţe mari deoarece în această regiune a spaţiului orice soluţie a ecuaţiei radiale corespunzând la E 2: O rămâne astfel, spre deosebire de cazul E ~ O. Această comportare ne este semnalată de ecuaţia radială care la distanţe mari se deformează în ecuaţia d2g 2 dr2 + k g = O,

cu soluţia generală g(r) = A exp(i kr) + B exp(-i kr). O analiză mai atentă, bazată pe comportarea de distanţe mari a seriei Kummer din (5.72) , arată că datorită scăderii lente cu distanţa a potenţialului coulombian, la exponenţii k r se adaugă o funcţie dependentă de r, faza coulombiană, de care trebuie ţinut seama. Pentru mai multe detalii, vezi [8], §9.9. Din afirmaţiile precedente rezultă că orice funcţie din familia (5.72) este funcţie proprie radială. Aceasta înseamnă că, indiferent de semnul lui /3, în expresia (5.22) a potenţialului (potenţial coulombian, fie atractiv, fie repulsiv) orice E 2". O este valoare proprie. Unei valori proprii nenegative îi corespund funcţiile proprii

R1(k;r) =N1(k)r 11 F 1 (iry+l+l,2l+2;2ikr) exp(-iKr),

potenţialului

l=O,l, ... ,oo, (5.73)

unde N 1( k) este un factor "de normare". Funcţiile Xt (k; r) = r R1 (k; r) nu sunt integrabile în modul pătrat. In concluzie, am justificat rezultatul enunţat la începutul secţiunii §5.2: în cazul câmpului coulombian atractiv spectrul energiilor este mixt, iar în cazul câmpului coulombian repulsiv spectrul este continuu şi am determinat funcţiile proprii radiale.

= 2:

2

i5(k - k ') 61 t' '5mm'.

coulombian atractiv, se

( U[ m (

arată că

k), Un l' m') = O·

Menţionăm,

în încheiere, că totalitatea funcţiilor proprii ale energiei toare potenţialului cmdombian formează un sistem complet.

5 .4

(5.76)

(5.77)

corespunză­

O bservaţii

In cazul problemei cu valori proprii a energiei pentru particula în câmp coulombian atractiv am întâlnit un spectru mixt de valori proprii. Am întâlnit până acum trei tipuri de spectre: i) spectru în întregime discret, în cazul oscilatorului liniar armonic, al oscilatorului plan şi al oscilatorului armonic tridimensional, ii) spectru în întregime continuu, în cazul particulei libere şi al câmpului de forţe coulombian repulsiv, iii) spectru mixt, în cazul câmpului de forţe coulombian atractiv. Exerciţiu. Adăugaţi

alte exemple, studiate la seminar.

proprii care corespnd la aceeaşi valoare proprie sunt liniar-independente, dat fiind armonicelor sferice. Rezultă că valorile proprii E 2 O sunt degenerate de ordin infinit.

In toate cazurile menţionate constatăm: a) funcţiile proprii corespunzătoare la valori proprii din spectrul discret sunt integrabile în modul pătrat, b) funcţiile proprii corespunzătoare la valori proprii din spectrul continuu nu sunt integrabile în modul pătrat, c) valorile proprii d in spectrul discret sunt simple ( totdeauna sunt aşa în probleme unidimensionale) sau degenerate , ordinul degenerării fiind finit, d) valorile proprii din spectrul continuu sunt degenerate, ordinul degenerării, cu excepţia cazului unidimensional, fiind infinit.

144

145

Funcţiile

proprii ale energiei asociate unei valori proprii a energiei din spectrul continuu E = ri2 k 2 /2 M sunt redate cu ajutorul a doi indici, l şi m , care iau o infinitate de valori întregi respectând condiţiile l 2". O, Im I~ l, şi cu ajutorul parametrului k 2 O, care variază continuu. Explicit, notaţia este

Utm(k;r) =R1(k;r)Yzm(f),

l = O, 1, ... , oo, m = -l, -l + 1, ... O, 1, ... , l. (5.74)

Funcţiile

linear-independenţa

Capitolul 5. PROBLEMA DE VALORI PROPRII A ENERGIEI PENTRU PARTICULA IN CÂMP CENTRAL DE FORŢE

In

sfârşit, observăm că proprietăţi asemănătoare

am întâlnit în problemele de valori proprii ataşate altor observabile (impuls, poziţie, moment cinetic orbital). In Cap. 6 vom accepta aceste proprietăţi ca fiind comune pentru valorile şi funcţiile proprii ale oricărei observabile a unui sistem cuantic.

Capitolul 6 POSTULATELE MECANICII CUANTICE

Cu excepţia cazului în care sistemul fizic conţine particule identice, caz pe care îl vom studia separat, postulatele mecanicii cuantice se extind de la cazul studiat în capitolele 2-5, al sistemului fizic format dintr-o particulă fără spin în câmp de forţe, la orice sistem cuantic. De fapt, sistemele descrise de mecanica cuantică sunt sisteme de particule, care pot avea şi spin, atribut pe care îl vom lua în consideraţie în capitolul următor. Atragem atenţia că în formularea care urmează postulatele mecanicii cuantice sunt enunţate pentru stările pure ale sistemelor cuantice. Formularea lor pentru stări mixte este menţionată pe scurt la sfârşitul capitolului.

6.1

Postulatul I (postulatul

stării)

Starea oricărui sistem fizic care ascultă de mecanica cuandcă este descrisă de o funcţie de stare, notată, de obicei, w( ... , t). Variabilele de care depinde funcţia de

stare se precizează o dată cu sistemul fizic. Funcţia de stare îndeplineşte condiţii de regularitate şi este normată.

Variabilele de care depinde funcţia de stare au fost notate cu . . . . Conţinutul ultimei fraze din enunţ se detaliază şi el o dată cu sistemul fizic. Exemplul pe care îl vom urmări în paralel cu prezentarea generală a postulatelor este cel al unui sistem fizic format din două particule fără spin, de mase M 1 şi M2 . Coordonatele de poziţie ale particulelor faţă de un sistem de referintă cartezian dat, în număr de şase, reprezintă observabilele de poziţie ale sistemului. Descrierea unei stări pure a sistemului o realizează o funcţie de variabilele de poziţie w(r 1 , r 2 , t),

146

147

6.2. POSTULATUL II (POSTULATUL OBSERVABILELOR)

Capitolul 6. POSTULATELE MECANICII CUANTICE funcţie

este

care

îndeplineşte condiţiile

normată

conform

r1

Observăm că

nu

şase

variabile

şi

relaţiei

11 pentru fiecare de poziţie.

de regularitate în raport cu cele

1

w(r1, r2, t) 12 dr1 dr2

=

1.

(6.1)

r2

lucrăm

particulă,

cu două funcţii de stare definite în tot spaţiul, câte una ci cu o singură funcţie de stare dependentă de 6 variabile

Prin proprietăţile ei, funcţia de stare face parte dintr-o clasă de funcţii, numită clasa funcţiilor fizic permise. Pentru orice două funcţii fizic permise este definit produsul scalar, notat

(h,h) .

=

11 ri

@

Pentru funcţii proprii normabile, putem justifica cu uşurinţă că valorile proprii sunt reale şi că două funcţii proprii care corespund la valori proprii diferite sunt ortogonale. Demonstraţia este asemănătoare celei din §4.3, se referă însă la cazul general, neprecizând variabilele de care depind funcţiile proprii, nici expresia produsului scalar. Intr-adevăr, fie

(6.2)

Se subînţelege că sunt îndeplinite axiomele produsului scalar. Expresia concretă a produsului scalar depinde de sistemul fizic considerat. In exemplul nostru

(fi, h)

regularitate există, de obicei, numai pentru anumite valori ale numărului a. Acestea din urmă sunt valorile proprii ale operatorului asociat observabilei, iar soluţiile asociate sunt funcţiile sale proprii. Ca şi în cazurile particulare studiate, valorile proprii sunt reale, consecinţă a caracterului autoadjunct al operatorului asociat. De asemenea, există funcţii proprii care sunt integrabile în modul pătrat şi funcţii proprii care nu sunt integrabile în modul pătrat. Valorile proprii pot fi degenerate.

Av1

= a1 V1 ,

Av2

= a2 v2.

Pentru că operatorul este autoadjunct, avem (v2, A vi)= (A v2, vi) --+ a1 (v2, vi)

fi(r1, r2) h(r1, r2) dr1 dr2.

(6.3)

= a2 (v2, vi)

sau

r2

= O.

(a1 - a2)(v2, v1)

(6.5)

Din relaţia precedentă, luând v1 = v2 , rezultă a1 = a 1 iar pentru a1 i- a2 , ţinând seama de faptul că valorile proprii sunt reale, rezultă proprietatea de, o.rtogonalitate

Postulatul II (postulatul observabilelor)

menţionată.

Oricărei mărimi

observabile A a unui sistem fizic îi corespunde un operator liniar şi autoadjunct A acţionând asupra funcţiilor de variabilele de care depinde funcţia de stare, operator care admite un sistem complet de funcţii proprii. Valorile proprii ale operatorului asociat observabilei reprezintă singurele valori pe care le poate lua observabila în condiţiile experimentale create de măsurarea ei. Ori de câte ori este-.-posibil, se foloseşte corespondenţa cu mecanica clasică în construirea operatorului asociat unei observabile.

'

Funcţiile proprii poartă indici potriviţi fiecărei probleme concrete. In cazul unei valori proprii din spectrul discret vom reda ecuaţia de valori proprii prin

A Vnj ( ... )

= an Vnj ( .. ·) ,

redată

concis de

=

av ( ... ) ,

A v( .. . )

ecuaţia

(6.4)

unde v este o funcţie care depinde de aceleaşi variabile ca funcţia de stare, dar nu depinde de timp, iar a este un număr. Soluţii care să îndeplinească condiţiile de

148

=

1, 2, · · · , 9n,

(6.6)

iar pentru o valoare proprie din spectrul continuu prin

Av 8 (a; ... ) =av8 (a; ... ), Problema de valori proprii este

j

s

= 1, 2, .. . '

00.

(6.7)

In cazul valorilor proprii din continuu, funcţiile proprii au fost indexate cu ajutorul valorii proprii, plasate în paranteze şi separate a prin punct şi virgulă de variabile. Indicele s care distinge între funcţiile proprii care corespund la aceeaşi valoare proprie ia o infinitate de valori, exprimând faptul că degenerarea în spectrul continuu este de ordin infinit.

149

6.3. POSTULATUL III (POSTULATUL VALORII MEDII)

Capitolul 6. POSTULATELE MECANICII CUANTICE Vom lucra în condiţiile în care funcţiile Vnj sunt normabile, iar v 8 (a) nu, admiţând prin aceasta că situaţia întâlnită în problemele studiate până acum este cea generală. Vom presupune, de asemenea, că sunt îndeplinite condiţiile de ortonormare 1

(vnj, Vn'j') = dnn' djj', j = 1, · · · 9n, j = 1, · · · 9n' , (vs(a),v 8 ,(a')) = , 2 = 1. Valorile proprii sunt, aşa cum trebuie ( dat fiind echivalenţa direcţii­ lor spaţiului), + 1 sau -1. Spinorii proprii ataşaţi vor fi notaţi I ~ n) şi, respectiv,

(7.61)

şi

omogen

Cu ajutorul ecuaţiilor (7.63) este descrisă precesia spinului în câmp magnetic în care urmează.

secţiunea

Revenim acum la postulatul al IV-lea. Fiind un operator liniar şi autoadjunct în spinului, operatorul hamiltonian 1{ va fi o combinaţie liniară, cu coeficienţi reali, de operatorul unitate şi operatorii lui Pauli. Ecuaţia de evoluţie este echivalentă cu un sistem de două ecuaţii diferenţiale de ordinul întâi în raport cu timpul pentru funcţiile de timp 'I/J+ şi 'I/J- .

Considerăm o particulă de spin 1/2 şi moment magnetic Ms aflată în vid în câmp magnetic de inducţie B , eventual dependent de timp.

184

185

spaţiul

7.2.5

Aplicaţie:

precesia spinului 1/2

Capitolul 7. MECANICA CUANTICĂ

7.2. DESCRIEREA SPINULUI 1/2 ÎN MECANICA CUANTICĂ

A PARTICULELOR CU SPIN 1/2

Ne interesăm de dependenţa de timp a valoriilor medii ale proiecţiei spinului pe axele unui sistem de coordonate cartezian. In acest scop aplicăm relaţia (6. 50). Explicitarea ei cere calculul comutatorului dintre hamiltonian şi operatorii asociaţi proiecţiei spinului pe axe . Fie

[Sx, 1l] = -, [Sx, s. B) = -, (By [Sx, Sy]

+ Bz[Sx, Sz])

'

de unde

[Sx, 1l] = -i ri, (By Sz - Bz Sy) = -i ti, (B x S)x . Relaţii asemănătoare

sunt valabile ceea ce permite scrierea compactă

şi

pentru comutatorii cu celelalte componente,

relaţia

d-

-

= -,B x s.

Bx(t) Sy(t) Bz(t)

Bx(O) cos wo t + Sy(O) sinwo t, Sy(O) cos wo t - Bx(O) sinwo t, Bz(O) ,

normat prin

/w(t))=W+(r,t) IO+w_(r,t) /77),

(7. 70)

1

(7.71)

condiţia

2

[I W+(r,t) /

+ I \lf_(r,t)

/2 ] dr= 1.

Ne plasăm astfel într-un spaţiu al stărilor care este numit spaţiul spinorilor de stare. Elementele spaţiului au reprezentarea

(7.66)

I f) = f+(r) I O+ f _(r) / 77),

(7.67)

unde funcţiile f + şi f- îndeplinesc condiţiile de regularitate. Este comodă scrierea matricială (hibridă) în care vectorul I f) este descris de o coloană cu două elemente, în care sunt plasate cele două funcţii f + (r) şi f _ (r) care-l caracterizează. Produsul scalar al spinorului de stare I f ) cu alt spinor I g ) , caracterizat prin funcţiile 9+(r) şi g_(r), este definit prin

(7.68)

unde wo =I I I B. In cazul electronului 1 = e/me (e < O- sarcina electronului, me- masa sa), w 0 coincide cu pulsaţia ciclotronică, fiind egală cu dublul frecvenţei Larmor /e / B electron _ (7.69) - 2 WL = -'-----..c.._WO me Se constată că în cazul particular considerat, vârful vectorului care are drept componente valorile medii ale proiecţiei spinului pe axele sistemului de coordonate ales descrie un cerc plasat în planul perpendicular pe direcţia câmpului magnetic, cu -2 -2 pătratul razei dat de Sx(O) + Sy(O). Dacă la momentul iniţial singura valoare medie nenulă este cea de-a lungul câmpului magnetic, valorile medii ale proiecţiei spinului nu se schimbă în timp. 186

pentru mulţimea din care fac parte funcţiile prin care descriem stările sistemului. In cazul particulei de spin 1/ 2 în repaus acest spaţiu este spaţiul spinului, bidimensional şi unitar. Pentru particula fără spin în mişcare, funcţia de stare aparţine unui spaţiu infinit dimensional al funcţiilor f (r) definite în tot spaţiul, care îndeplinesc condiţiile de regularitate şi sunt integrabile în modul pătrat. Pentru particula cu spin 1/2 în mişcare, se ţine seama de modul de lucru din cele două situaţii particulare studiate, cazul particulei fără spin în mişcare şi cazul particulei de spin 1/ 2 în repaus. Trecem în revistă modul de aplicare a postulatelor.

(7.65)

In cazul unui câmp magnetic static, ecuaţiile pot fi integrate imediat pentru a explicita dependenţa de timp a valorilor medii ale proiecţiei spinului pe axe. Soluţia este evident unică dacă sunt cunoscute valorile medii la un moment iniţial. In cazul particular B = B ez şi al condiţiilor iniţiale Sx(O), Sy(O), Sz(O) date, soluţia este

f\

In acord cu §6.10, folosim denumirea de spaţiu al stărilor unui sistem cuantic

O stare pură a unei particule de spin 1/ 2 în mişcare este descrisă printr-un spinor cu componente dependente de coordonate şi timp,

(6.50) devine dts

Particula cu spin 1/2 în mişcare

• Postulatul I

[S, 1l] = -i n1 (B x S) . Pe baza aceasta,

7.2.6

1

(I f ), I g ) ) = ( f I g ) = Ut (r) 9+ (r) + J: (r) g _ (r) l dr cele

(7.72)

.

(7.73)

Pentru spinorul de stare este astfel posibil să folosim o coloană în care să plasăm două funcţii de coordonate şi timp

W+(r, t) ) ( w_(r,t) 187

(7.74)

Capitolul 7. MECANICA CUANTICĂ A PARTICULELOR CU SPIN 1/2

7.2. DESCRIEREA SPINULUI 1/2 ÎN MECANICA CUANTICĂ

Echivalent, putem folosi o funcţie w(r, c,, t) care depinde de o nouă variabilă, numită variabilă de spin, aşa cum ne-am reprezentat situaţia la începutul capitolului. Noua variabilă ia numai două valori, iar noua funcţie este definită prin

w(r, +1/2, t) = W+(r, t),

w(r, -1/2, t)

= w_(r, t).

(7.75)

N.B. Prin reprezentarea descrisă suntem legaţi de spinorii I ~) şi I 77). Dacă avem în vedere şi faptul că funcţiile w+ şi w_ depind de variabilele r , spunem că lucrăm în reprezentarea poziţiei şi a proiecţiei spinului pe axa Oz .

Un operator liniar oarecare va avea drept acţiune transformarea celor două funcţii componente. Ca urmare, acţiunea sa este redată într-o scriere hibridă de o matrice 2 x 2 ale cărui elemente sunt operatori asupra funcţiilor de coordonate. Un operator important de care ne vom ocupa în continuare este operatorul momentului cinetic total.

• Aplicarea postulatului al III-iea Descriem direct câteva legi statistice, extrase din spinorul de stare. Aplicând adecvat enunţul general al postulatului al treilea (vezi Cap. 6), ajungem la concluzia că mărimile

• Postulatul II

dp+

Fiecărei observabile a particulei de spin 1/ 2 îi este asociat un operator liniar şi autoadjunct acţionând asupra spinorilor de stare. Valorile proprii ale operatorului sunt singurele valori care se pot obţine la măsurarea observabilei.

In cazul spinorilor de stare, un operator face trecerea de la un set de două funcţii de coordonate la un alt set de asemenea funcţii. Pentru observabilele independente de spin, operatorii transformă fiecare din cele două funcţii componente, dar nu le amestecă. Redăm acţiunea pentru operatorii de

=I

W+(r, t)

şi

dp

=I

w_(r,t)

12 dr

(7.79)

= [I W+(r, t) 12 + I w_(r,t) 12 ] dr.

(7.80)

In acest fel, densitatea de probabilitate de localizare este

P(r,t)

(7.76)

=I

W+(r,t)

12 + I w_(r,t) J2

(7.81)

Probabilitatea totală ca proiecţia spinului să fie h/2, indiferent unde se află particula este

pentru operatorii impulsului

J±(r) ----+ P f ±(r) = -i1i v' f ±(r).

-i J_(r) ) (

if+(r)

'

f+(r) ) ( -f-(r)

P+(t) =

(7.77)

Pentru observabilele dependente numai de spin, acţiunea operatorilor este de modificare a celor două funcţii componente. De exemplu, rezultatul acţiunii operatorilor Pauli O"x, O"y, O"z este redat, respectiv, de coloanele

J_(r) ) ( f +(r) '

dp _

reprezintă, probabilitatea ca la momentul t particula să se afle în elementul de volum dr având proiecţia spinului pe axa Oz egală cu n/2, respectiv, -n/2. Probabilitatea totală de localizare în elementul de volum considerat, indiferent ce valoare are proiecţia spinului este

poziţie

J±(r) ----+ Rf±(r) = r f ±(r)

12 dr,

(7.78)

11 W+(r, t) 1dr. 2

(7.82)

Exerciţiu: Arătaţi cum se obţin informaţii referitoare la impulsul particulei din

spinorul de stare.

• Postulatul IV Conform enunţului general din Cap. 4, legea de evoluţie pentru spinorul de stare este redată cu ajutorul operatorului hamiltonian. Fiind operator liniar asupra spinorilor de stare el are reprezentarea

Spectrul de valori proprii pentru operatorii din categoriile menţionate este acelaşi ca pentru operatorii a căror extensie o reprezintă. Vom folosi în continuare aceleaşi simboluri pentru operatorii din cele două categorii menţionate ca în cazul operatorilor întâlniţi pentru particula fără spin ( R, P, · · ·) sau pentru particula de spin 1/2 în mişcare ( S ) .

unde 1-lo , 1-lx, 1-ly şi 1-lz sunt operatori autoadjuncţi care acţionează asupra funcţi­ ilor de coordonate.

188

189

1-l

= 1-lo + 1-lx O"x + 1-ly O"y + 1-lz O"z,

(7.83)

7.3. APLICAŢIE: MOMENTf!L CINETIC TOTAL AL UNEI PARTICULE CU SPIN 1/2

Capitolul 7. MECANICA CUANTICĂ A PARTICULELOR CU SPIN 1/2 de evoluţie este echivalentă cu două ecuaţii pentru funcţiile 1]i + şi i]i _ , cu derivate parţiale, cuplate, de ordinul întâi în raport cu timpul. Ecuaţiile

Ecuaţia

ecuaţii

sunt 8\Ji+

inat aw_ inat

(1lo

+ 1lz) W+ + (1lx

(1lx

+ i 1ly)'1i + + (1lo -

- i1ly)

(7.84)

·

soluţie

7 .3.1

Aplicaţie :

momentul cinetic total al unei particule cu spin 1/ 2

Momentul cinetic total al unei particule este pseudovectorul j = l+S. Operatorul asociat unei proiecţii pe o axă dată a momentului cinetic total este suma dintre operatorul asociat componentei momentului cinetic orbital şi cel asociat componentei spinului pe acea axă. Ca urmare, operatorii asociaţi componentelor carteziene ale momentului cinetic total sunt

Jx = Lx + Bx,

Jy = Ly + Sy,

Jz = Lz

+ Bz .

(7.85)

Cei doi termeni din fiecare sumă comută între ei, dat fiind modul lor de acţiune asupra spinorilor. Pătratului momentului cinetic total îi este asociat operatorul

J şi

+ [Sx,

Sy]

Ly] = i

nLz + i nS

2

= i nJ 2

•

= o,

(7.89)

care exprimă comutarea pătratului operatorului cu orice componentă a sa. Demoneste identică formal cu cea din §4. 7.3, referitoare la momentul cinetic orbital. Operatorii momentului cinetic total acţionează asupra variabilelor unghiulare şi de spin.

2

7.3.2

Valorile proprii ale op eratorilor moment u lui cinetic t otal

Ne propunem să aflăm valorile proprii pentru operatorii momentului cinetic total. Vom folosi teorema referitoare la observabile compatibile. Pentru valorile proprii ale unei componente ne descurcăm uşor observând că spinorii / t m1 + ) = Yi mz ( r) I / l m1 - ) = Yi m 1 ( f) / TJ) , (7.90)

e),

D efiniţie. P rop riet ăţi

Prin ridicare la pătrat

+ [Lx,

straţia

i]i _

7.3

[Jx, Jy] = [Lx, Ly] + [Sx, Sy]

[J2, J]

este evident bine determinată dacă se cunosc funcţiile necunoscute 1]i + şi la un moment iniţial. O situaţie de interes practic, de care ne vom ocupa în Cap. 8, este cea a particulei de spin 1/ 2 încărcate electric, plasate într-un câmp electromagnetic extern. O

de exemplu,

Din (7.88) rezultă relaţia

i]i_,

1lz) i]i _

Intr-adevăr,

= f; + J; + f; .

grupare a termenilor,

găsim

(7.86) exprimarea,

utilă

în continuare,

J 2 =L 2 +S 2 +2L-S. Operatorii momentului cinetic tot al sunt liniari fundamentală a momentelor cinetice JxJ=inJ. 190

şi autoadjuncţi.

(7.87) Ei satisfac

relaţia

(7.88)

unde Yi mJ f) este o armonică sferică, sunt spin ori proprii pentru J2 , fiind spin ori proprii ai fiecăruia din cei doi operatori L 2 şi S2 ,

Jz / l m1 ± ) = (m1 ±

1

2) n / l m1 ± ) .

(7.91)

In felul acesta am justificat că valorile proprii ale operatorului J2 sunt multipli semiîntregi ai constantei P lanck. Le vom nota cu m n , unde m este orice semiîntreg pozitiv sau negativ. Dat fiind izotropia spaţiului, afirmaţia referitoare la valorile proprii este valabilă pentru orice componentă a momentului cinetic total. Spinorii proprii vor diferi însă de la componentă la componentă. Ne interesează acum operatorul pătratului momentului cinetic total. Exploatăm comutarea sa cu Jz. Teorema referitoare la observabile compatibile ne asigură că operatorii J 2 şi Jz admit spinori proprii comuni. Cum operatorul J 2 ( spre deosebire de Jz) nu comută separat cu L 2 sau S2 , spinorii (7.90) nu ne sunt de folos. Pentru rezolvarea problemei, este util să mai găsim o observabilă compatibilă cu J 2 şi Jz . O asemenea observabilă este pătratul momentului cinetic orbital, cu operatorul asociat L 2 . Intr-adevăr, comutatorii în cauză sunt nuli: fiecare componentă a momentului cinetic total comută cu operatorul L 2 , de exemplu,

[Jx , L 2 ] = [Lx , L 2 ] + [Sx, L 2 ] 191

=0

Capitolul 7. MECANICA CUANTICĂ A PARTICULELOR CU SPIN 1/2

7.3. APLICAŢIE: MOMENTUL CINETIC TOTAL AL UNEI PARTICULE CU SPIN 1/2

şi, ca urmare, şi suma pătratelor componentelor momentului cinetic total comută cu

el

A reapărut operatorul L · a. Atunci, aplicând operatorii din cei doi membri ai egalităţii precedente asupra spinorului I J) , rezultă

[J2, L2] =O. >-..

Să observăm că până acum n-am făcut apel la forma particulară a celor doi

operatori L şi S pe care îi adunăm. Un calcul analog celui precedent arată că sunt nuli şi comutatorii dintre o componentă a momentului cinetic total şi S2 . In cazul particular pe care îl studiem, operatorul pătratului spinului nu joacă un rol important deoarece el este multiplu al operatorului unitate. Observăm că operatorul L · S , fiind exprimabil pe baza (7.87) ca L ·S

= !2 (J 2 -

L2

-

S 2)

,

(7.92)

comută şi el cu operatorii J 2 , Jz şi L2 . Este atunci convenabil să ne referim la ecuaţiile de valori proprii pentru operatorii L · S şi L 2 , scrise ca 2

L.S

J

f l = ).. ~

J

f ),

L

2

lf)=l(l+l)n 2

IJ).

(7.93)

IJ).

(7.94)

Arătăm că valorile proprii ale operatorului L-a pot fi determinate printr-un artificiu3 fără a determina spinorii proprii. In acest scop, aplicăm operatorul L · cr celor doi

cu

soluţiile

Â1

L · cr L · cr

= L + i cr · (L

x L)

=

3

2

= L 2 - hL · cr.

Este artificiul pe care îl prezenta Ş. Ţiţeica în lecţiile sale.

192

Â2

=

-l - 1.

(7.96)

n,

J

2

I J) = ( t(l + 1) +} + >-..) n2 I n,

de unde rezultă valorile proprii ale operatorului J 2 . Lăsând la o parte factorul posibilităţile care apar sunt

z(z + 1) +

3

3

1

n2 ,

3

2 4 + z = z + 2 z + 4 = (z + 2) (z + 2)

3 1 1 1 l - 1 = l 2 - - = (l - - ) (l + -) . 4 4 2 2 Observăm că dacă l = O numai prima posibilitate, 3/4, se realizează, deoarece putem arăta uşor că valorile proprii ale operatorului J 2 sunt pozitive4 .

+ 1) + - -

Pentru a justifica afirmaţia, înmulţim scalar fiecare membru al ecuaţiei de valori proprii, 2 J I f) = /3 h I f) , cu spinorul propriu I f). Explicitând operatorul pătratului cu ajutorul operatorilor asociaţi componentelor şi ţinând seama de caracterul autoadjunct al operatorilor, găsim egalitatea 4

2

nL · cr ,

deci

(L · cr )

= l,

Am aflat că >-.. poate lua orice valoare întreagă. Constatăm că dacă este vorba de spinorii proprii ai operatorului cr · L care sunt spinori proprii şi pentru operatorul 2 L , la fiecare valoare proprie l(l + 1) n2 pentru acest din urmă operator corespund doi spinori proprii ai primului operator, 'unul ataşat valorii proprii l celălalt valorii proprii -(l + 1) n. Ne interesau însă valorile proprii ale operatorului pătratului momentului cinetic total. Folosind pentru el exprimarea (7.87) şi acţionând asupra vectorilor I f) care ascultă de ecuaţiile (7.93), avem

l(l

Operatorul din stânga poate fi exprimat pe baza identităţii Dirac (7.39), aplicată acum pentru cei doi vectori înlocuiţi cu doi operatori care comută cu operatorii lui Pauli, situaţie în care identitatea rămâne valabilă,

L2 -

I n,

şi

I f l = Â 2 h 2 I n.

2

>-..J

>-..(>-..+l)=l(l+l),

membri ai ecuaţiei precedente şi ţinem seama de ecuaţie,

(L. cr)2

n2 I J 1= n2 [t (z + 1) -

de unde egalitatea numerelor care înmulţesc acelaşi vector. Rezultă ecuaţia

Valoarea proprie, necunoscută, a operatorului L-S a fost scrisă convenabil ca ). n2 /2. Şi mai convenabil, introducând operatorii lui Pauli, prima ecuaţie se scrie

L•cr lf)=Ân

2

2

(7.95)

/3h (I!), I!))= (Jx I f),Jx I!))+ (Jy I!), Jy I!))+ (Jz I f),Jz I!)), în care fiecare termen din membrul drept este nenegativ, iar produsul scalar care înmulţeşte pe în membrul stâng este pozitiv. Rezultă că numărul (J nu ia valori negative.

193

/3

Capitolul 7. MECANICA CUANTICĂ A PARTICULELOR CU SPIN 1/2

In ambele cazuri, valorile proprii ale operatorului J 2 asociat pătratului momentului cinetic total se scriu compact ca j (j + 1) 1i 2 . In primul caz, j = j 1 = l + 1/2, în al doilea caz, pe care îl întâlnim doar pentru l '#O , avem j = h = l - 1/2. In concluzie, valorile proprii ale operatorului pătratului momentului cinetic total al unei particule de spin 1/2 sunt redate de şirul

j(j

+ 1)1i2'

cu

J

semiîntreg pozitiv.

(7.97)

Spinorilor I f) din relaţiile precedente, a căror determinare am ocolit-o, li se poate cere să fie spinori proprii şi pentru operatorul Jz , deoarece el comută cu J 2 şi L 2 . Problema spinorilor proprii comuni operatorilor J 2 , L 2 şi Jz va fi discutată în partea a doua a cursului.

Capitolul 8 PARTICULA IN CÂMP ELECTROMAGNETIC EXTERN

Studiul sistemului fizic format dintr-o particulă cu masă M şi sarcină electrică q, aflată în vid în câmpul electromagnetic descris de vectorii intensitate a câmpului electric E(r, t) şi inducţie magnetică B (r, t), deschide calea spre înţelegerea comportării sistemelor atomice în interacţie cu radiaţia electromagnetică sau cu câmpuri electric şi / sau magnetic statice. In prima parte a capitolului presupunem că particula nu are spin. Este necesar să stabilim care este operatorul hamiltonian al sistemului. In acest scop apelăm la funcţia lui Hamilton a particulei din fizica clasică.

8 .1

Funcţia clasică

a lui Hamilton

Forţa la care este supusă particula încărcată electric în câmp electromagnetic extern, în vid, este forţa Lorenz

FL(r, v, t)

= qE + qv x

B,

(8.1)

unde v este viteza particulei. Ecuaţiile de mişcare clasice, FL = M d2 r/dt 2 , sunt echivalente cu un sistem de ecuaţii Euler-Lagrange ataşat unei funcţii Lagrange. In expresia ei apare una (oarecare) din perechile de potenţiale, vectorial A(r, t) şi scalar (r, t), asociate câmpului electromagnetic. Legătura dintre câmpuri şi potenţiale, stabilită în electrodinamică, este (9]

B

194

=

V

X

A,

E=-V-8A

at ·

195

(8.2)

8.2. OPERATORUL HAMILTONIAN

Capitolul 8. PARTICULA IN CÂMP ELECTROMAGNETIC EXTERN pereche de câmpuri poate fi descrisă de o infinitate de perechi de (vezi §8.5). Expresia funcţiei lui Lagrange este

O

aceeaşi

potenţiale

1-lem

2

Mv L(r,v,t) = - -+qA·v-q. 2 Exerciţiu.

Scrieţi ecuaţiile

ecuaţia precedentă şi arătaţi că

sau, compact,

(8.3)

Euler-Lagrange corespunzătoare funcţiei L din ele coincid cu ecuaţiile de mişcare în forma new-

=

1

1-l

Ecuaţiile

8L Px = OVx' Rezultă

Px

M Vx

+ q Ax

şi

8L Py = OVy)

expresii

8L Pz = OVz.

asemănătoare

= 1-lem + V .

(8.9)

Pentru aplicaţii este util să transformăm expresia operatorului hamiltonian (8.8) . Efectuăm operaţia de ridicare la pătrat din primii termeni ai operatorului hamiltonian,

ţinând

seama de ordinea operatorilor,

2 (Px - q Ax) = (Px - q Ax) (Px - q Ax) = P; - q (Ax Px

pentru celelalte componente.

(8.8)

Operatorul construit este liniar şi autoadjunct. Adoptăm enunţul general al postulatului IV, în care operatorul hamiltonian al particulei în condiţiile considerate este 1-lem . Dacă, în plus, particula se află într-un câmp de natură mecanică, cu forţa suplimentară derivând din funcţia V , atunci operatorul hamiltonian este

toniană.

de mişcare sunt echivalente şi cu un sistem de ecuaţii Hamilton, asociat unei funcţii Hamilton a cărei expresie o stabilim, pornind de la funcţia lui Lagrange şi urmând procedeul cunoscut din mecanica clasică. Astfel, se definesc componentele impulsului canonic p asociat vectorului de poziţie prin

2

2M (P - q A) + q .

+ Px Ax)+ q2 A;,

apoi al doilea termen din expresia precedentă îl scriem ca

Compact,

p=Mv+qA. Impulsul canonic p este diferit de impulsul cinetic M v. construieşte după formula 1-lc1 = V . p - L '

(8.4) Funcţia

lui Hamilton se (8.5)

în care viteza trebuie exprimată prin impulsul canonic. Rezultatul este o numai de variabilele canonice r şi p şi de timp

1 2 1-lc1(r, P, t) = 2M (p - qA) + q .

8.2

( Px

1

2

2

1-lem=2M[(Px-qAx) +(Py-qAy) +(Pz-qAz) ]+q

196

+ i. fi q

(8Ax) OX

+ q2 Ax2 .

Paranteza în care este închisă derivata parţială şi care subliniază faptul că derivarea afectează numai funcţia Ax va fi, de obicei, omisă de acum încolo. Revenind la operatorul hamiltonian, avem

lui Hamilton îi este asociat operatorul 2

- q Ax ) 2 = Px2 - 2 q A x Px

(8.6)

In mecanica cuantică mărimile clasice se regăsesc ca operatori. In prezenţa câmpului electromagnetic se dovedeşte corect procedeul prin care : i) poziţiei r îi este ataşat acelaşi operator multiplicativ ca în absenţa câmpului electromagnetic, ii} impulsului canonic p îi este asociat operatorul -i fi V. funcţiei

Am folosit expresia (4.38) a comutatorului dintre o funcţie de coordonate, aici Ax, ca operator multiplicativ şi operatorul diferenţial Px . Avem astfel,

funcţie

Operatorul hamiltonian

In felul acesta

0 AxPx+PxAx = 2Ax Px-AxPx+Px Ax= 2Ax Px-[Ax,Px] = 2AxPx-ifi ( ~x) 0

(8.7)

1-lem

= 2~ [ P 2

-

2 q (Ax Px + Ay Py + Az Pz) + i fiq V· A+ q2 A 2 ] + q .

Prin adunarea termenilor cu derivatele de ordinul întâi ale componentelor potenţialu­ lui vector s-a format divergenţa sa V · A. Rezultatul la care ne oprim este p2 q . fiq q2 2 1-l em =2M ---A V · A +2M - A +q . M ·P+i2M

197

(8.10)

8.4. PARTICULA ÎN CÂMP ELECTRIC ŞI/SAU MAGNETIC STATICE

Capitolul 8. PARTICULA IN CÂMP ELECTROMAGNETIC EXTERN

Ecuaţia

8.3

de continuitate

unde

(Calculul facultativ, rezultatul de ştiut!) Ecuaţiei

evoluţie

de

pentru

funcţia

in

'P(r, t)

de stare,

~! =

(Hem

+ V) w ,

(8.11)

i se asociază, ca şi în absenţa câmpului electromagnetic, o ecuaţie de continuitate. Pentru a o stabili, explicităm operatorul hamiltonian în ecuaţie, folosind (8.10), . . aw li 2 q . nq q2 in- = --fiw+ili-A• Vw+i-(V ·A) w + - A 2 w+qT,* + v >T,* -in- v· 'I'+'I' +q'±''l' 'I' .

M

2M

2M

prima ecuaţie cu \J!* , a doua cu W şi scădem ecuaţiile astfel transformate

at

n2

= - 2M (w* fi w - wfi w*) + iii

if [w* A· vw + \.I! A· Vw* + w* w (V . A)].

Pentru restrângerea primilor doi termeni din membrul drept folosim formula lui Green (vezi §2.4.4 ) , iar următorii doi termeni îi restrângem pe baza expresiei gradientului unui produs a două funcţii f şi g ,

V(Jg)=JVg+gVJ,

cu

J = w,

9

= w* .

em

= 2iM _n_ (w* vw - w vw*) - _!L I w 12 M

A.

(8.14)

Particula în câmp electric §i/sau magnetic statice

In cazul în care particula se află în câmpuri externe care nu depind de timp, se în mod firesc cu potenţiale A, 4> şi V care nu depind de timp. Operatorul (8.8) devine un operator independent de timp, notat Hem, iar operatorul (8.9), notat cu H, are semnificaţie de operator ataşat energiei particulei în prezenţa câmpurilor statice. Valorile sale proprii au semnificaţia dată de postulatul doi. Ca urmare, prin rezolvarea ecuaţiei (Hem+ V) w(r) = W w(r), (8.15) lucrează

+f

V· a,

cu

J = I w J2 , a = A .

Atunci, ecuaţia ia forma unei ecuaţii de continuitate

8P +V·Jem=O, 8t 198

8.4.1

Efectul Stark

Presupunem că este prezent doar un câmp electric static E . El este descris convenabil de potenţialele

4> = -E · r,

A=O.

şi

omogen de intensitate

(8.16)

In acest fel operatorul energiei este

Devine posibilă apoi combinarea rezultatului celei de a doua restrângeri menţionate, A · V I W 12 , cu ultimul termen din ecuaţie, pe baza formulei pentru divergenţa produsului dintre o funcţie scalară f şi un vector a,

V·(! a) =a· V f

J

ca ecuaţie de funcţii proprii, determinăm un spectru al energiei care este în general diferit de cel din absenţa câmpurilor externe.

in (w* aw + w aw*)

at

2 W1 ,

Ca şi în cazul absenţei câmpului electromagnetic, ecuaţia de continuitate are drept consecinţă independenţa de timp a integralei fr P(r, t) dr. Proprietatea pledează pentru menţinerea semnificaţiei de densitate de probabilitate de localizare pentru I W 12 în prezenţa câmpului electromagnetic.

8.4

(8.12)

=I

(8.13)

1i2

Hstark

= - 2M fi+ V(r) -

qE · r.

(8.17)

Pentru V = O spectrul energiilor este continuu atât în absenţa cât şi în prezenţa câmpului electric. Pentru V I- O există, în general, şi spectru discret. Nivelele de energie ale particulei se vor modifica o dată cu câmpul electric. La intensităţi reduse modificarea spectrului energiilor poate fi urmărită prin comparaţie cu cazul absenţei câmpului electric şi constă în deplasări_Ille~~ şi eventuale despicări ale nivelelor degenerate. Pentru atomi în câmp electric modificarea

199

Capitolul 8. PARTICULA IN CÂMP ELECTROMAGNETIC EXTERN

8.4. PARTICULA ÎN CÂMP ELECTRIC ŞI/SAU MAGNETIC STATICE

spectrului energiilor se manifestă prin modificarea poziţiei şi a numărului de linii spectrale emise sau absorbite. Efectul de modificare a spectrului de linii este cunoscut sub denumirea de efect Stark. La intensităţi slabe ale câmpului despicarea liniilor spectrale este în cazul atomului de hidrogen proporţională cu intensitatea [ (efect Stark linar), iar la atomii cu mai mulţi electroni despicarea este proporţională cu pătratul intensităţii (efect Stark pătratic).

8.4.2

Exerciţiu. Verificaţi că potenţialul

dirijat

aAz _ aAy _ O ay az - '

aAx _ aAz az ax

=O '

aAy ax

aAx ay

şi au soluţia cea mai simplă Ax

vector

şi

= -y B . Am determinat o soluţie

posibilă pentru

anume A1

= -yBe1,

cu e1 - versorul axei Ox. Asemănător, se poate lua Ax= Az o altă alegere posibilă este A 2 = xBe2,

(8.18)

= O şi Ay = x B,

deci

(8.19)

cu e2- versorul axei Oy. In sfârşit, semisuma celor doi vectori A 1 şi A 2 constituie o a treia posibilitate interesantă pentru potenţialul vector ataşat aceluiaşi câmp magnetic omogen dirijat după axa Oz. Această semisumă se restrânge într-un produs vectorial 1 A3 = B x r. (8.20)

2

Observăm că oricare din cei trei vectori A 1 , A2 şi A3 are divergenţa egală cu zero

V· A1 = V· A2 = V· A3 = O. 200

axă

A 3 poate descrie un câmp magnetic omogen

oarecare.

1 1 1 A3 · P = - (B x r) · P = - B · (r x P) = - B · L . 2 2 2

(8.22)

In urma transformării a fost pus în evidenţă operatorul momentului cinetic orbital 1 . Operatorul energiei particulei în câmp magnetic omogen devine

p2 H magn = -2M

+ V(r)

q

- -2M B · L

q2

2 2 +B r 8M

sin2 8 '

(8.43)

unde 8 este unghiul dintre r şi direcţia câmpului magnetic. Dacă axa Oz este de-a lungul câmpului magnetic B , atunci operatorul energiei devine

= B.

Exploatăm faptul că soluţia nu este unică. Cea mai simplă soluţie are doar una din componentele Ax sau Ay diferite de zero. Dacă luăm Ay = Az = O, relaţiile se reduc la aAx = o, aAx =B - ay az potenţialul

o

Alegem potenţialul vector A 3 şi ne întoarcen la expresia (8.10) a hamiltonianului în care prelucrăm produsul scalar A · P ţinând seama că pentru un produs mixt de operatori vectoriali este adevărată numai acea identitate, dintre cele valabile pentru un produs mixt de vectori, care nu schimbă ordinea factorilor, adică

Efectul Zeeman

Un câmp magnetic static este descris de un potenţial vector A de care este legat prin B = V x A . Descriem câteva moduri de alegere convenabilă a potenţialul vector, în cazul unui câmp magnetic static şi omogen. Ne referim întâi la un sistem de axe de referinţă cu axa Oz de-a lungul câmpului magnetic. Atunci, B = B e3 , cu e3 versorul axei Oz. Relaţiile pe baza cărora determinăm potenţialul vector sunt

după

(8.21)

Hmagn

=

P2 2

M

+ V( r ) -

q B

2

M

2

Lz

q 2 2 . 2 () + SMB r sm ,

(8.24)

() fiind unghiul polar al vectorului r. In câmpuri magnetice de intensitate relativ mică efectul termenului pătratic în câmp magnetic este mai mic decât al celui liniar. De acest lucru ne convingem comparând valorile lor medii într-o stare staţionară a sistemului în absenţa câmpului. Referindu-ne la cazul unui atom hidrogenoid (un electron cu sarcina q = e < O în câmpul unui nucleu fix cu Z protoni) aflat într-o stare staţionară caracterizată prin numerele cuantice n, l, m, primul termen este de ordinul j e I nB /2M, iar al doilea de ordinul lui n 2 e 2 a5 B 2 /(Z 2 M), cu a0 prima rază Bohr, deci raportul între termenul pătratic şi cel liniar este pentru stări de energie joasă de ordinul lui I e I a5/(4n Z 2 ) B, adică aproximativ 10- 5 B, cu B valoarea inducţiei magnetice în Tesla. Există deci condiţii în care efectul termenului pătratic în inducţia magnetică poate fi neglijat, condiţii în care operatorul

p2

Hzeeman

q

q

= 2M + V(r) - 2M B Lz = Ho - M B Lz 2

1

(8.25)

Intrucât operatorul impulsului cinetic este P - q A, operatorul momentului cinetic orbital al particulei în prezenţa câmpului este de fapt r x (P - q A). Prin abuz, folosim uneori terminologia incorectă, păstrând notaţia şi denumirea de moment cinetic orbital pentru operatorul din absenţa câmpului, cu expresia r x P .

201

8.4. PARTICULA ÎN CÂMP ELECTRIC ŞI/SAU MAGNETIC STATICE

Capitolul 8. PARTICULA IN CÂMP ELECTROMAGNETIC EXTERN

este cu bună aproximaţie operatorul energiei particulei în câmp magnetic şi, ca urmare, valorile sale proprii reprezintă practic nivelele de energie în prezenţa câmpului magnetic. Ele sunt evident diferite de valorile proprii ale operatorului H 0 - operatorul energiei în absenţa câmpului. Este uşor de descris modificarea adusă de câmpul magnetic spectrului energetic al particulei aflate în câmp de forţe central. In acest caz operatorul Hzeeman comută cu operatorii L 2 şi Lz , dar şi cu operatorul energiei în absenţa câmpului. Ca urmare, cei patru operatori L 2 , Lz, Ho şi Hzeeman admit un sistem complet comun de funcţii proprii. Verificăm imediat că funcţiile proprii comune primilor trei operatori sunt funcţii proprii şi pentru operatorul Hzeeman. Aceste funcţii au structura u(r) = R( r) Yi m , unde funcţia proprie radială este determinată o dată cu precizarea energiei potenţiale. Notând cu E valoarea proprie a operatorului H 0 la care corespunde una din aceste funcţii, notată u E ( r) , găsim

Hzeeman UE(r)

=

(E -

m

qnB) M 2

UE(r)

Exerciţiu. Arătaţi că ordinul degenerării unui nivel Zeeman este 9n m

Revenim la cazul particulei în câmp de forţe central oarecare. Pentru a descrie modificarea spectrului de emisie sau absorbţie al particulei rezultat din modificarea spectrului energiilor, este necesar să avem în vedere diferenţele dintre energiile a două nivele (final şi iniţial)

W1 - Wi = E1 - Ei - µ (m1 - mi) B

şi regulile de selecţie (explicaţia lor va apare într-un capitol din partea a doua a cursului)

li - li=± 1,

W=E-mµB,

m1 - mi= O,± 1.

(8.30)

(I

Rezultă că în loc de o linie spectrală de frecvenţă Vfi = Et - Ei 1)/h, prezentă în absenţa câmpului, vor apare maximum trei linii spectrale de frecvenţe

VJi,

= W UE(r),

(8.29)

(8.26)

sau

Hzeeman UE(r)

= n- I m I .

qn µ= 2M.

(8.27)

In cazul electronului, mărimea µB =I e I n/2 me , care are dimensiune de moment magnetic, poartă numele de magnetonul lui Bohr. Este bine de ştiut că fizicianul român Ştefan Procopiu a introdus şi folosit această mărime înaintea lui Niels Bohr. Nivelele de energie W sunt legate de nivelele de energie E în absenţa câmpului prin formula simplă din relaţia (8.27). Pentru generalitatea formulei nu am pus indici nivelelor de energie. Cu excepţia cazului potenţialului coulombian şi a potenţialului oscilatorului tridimensional armonic, nivelele de energie sunt diferite pentru diferite valori ale numărului cuantic azimutal l. Vom transcrie rezultatul precedent pentru un electron, considerat fără spin, în câmp coulombian atractiv

Vfi

+ VL '

Vji -

VJ:,'

vr,

_ J_tlB,

= 41r M

(8.31)

unde VL este frecvenţa Larmor. Dacă se observă toate cele trei frecvenţe sau numai cele noi, depinde de poziţia direcţiei de observaţie în raport cu axa câmpului magnetic. Efectul de despicare a unei linii spectrale descris aici este efectul Zeeman normal.

unde En sunt nivelele de energie Bohr. Am indexat noile nivele, numite nivele Zeeman, cu numerele cuantice de care depind şi am ţinut seama de toate valorile numărului cuantic magnetic m asociate unui nivel Bohr. Constatăm că un nivel Bohr se despică în 2n - 1 nivele Zeeman. Unui nivel Zeeman îi corespund toate funcţiile proprii Un l m ( r) cu n şi m fixaţi şi, în consecinţă, cu l ~ I m I .

Este important să ştim că nu aşa se prezintă efectul Zeeman al liniilor spectrale atomice, cu unele excepţii. Astfel, în cazul atomilor de hidrogen, experienţa pune în evidenţă despicarea într-un număr par de componente; de exemplu, în câmp magnetic slab, prima linie spectrală din seria Lyman, corespunzătoare tranziţiei de pe nivelul Bohr n = 2 pe nivelul fundamental, are 10 componente. Se spune că în locul efectului Zeeman normal apare efectul Zeeman anomal. Efectul constituie uncţ din dovezile furnizate de experienţă în favoarea existenţei spinului electronului. Dar, pentru a descrie corect efectul în câmpuri magnetice slabe, este nevoie să luăm în consideraţie nu numai momentul magnetic al electronului ci şi efecte relativiste prezente în atomul de hidrogen în absenţa câmpului magnetic şi care explică structura fină a nivelelor Bohr (în particular primul nivel excitat E 2 constă din două nivele de energie apropiate). Aceste aspecte le vom discuta în partea a doua a cursului. La atomii cu mai mulţi electroni, majoritatea liniilor spectrale_prezintă efect Zeeman anomal; liniile spectrale corespunzătoare tranziţiilor între stări de spin total nul prezintă însă efectul normal.

202

203

Wnm

= En + mµB B,

m

= -n + 1, -n + 2, · · · , O··· , n - 1,

(8.28)

8.6. PARTICULA CU SPIN 1/2 ÎN CÂMP ELECTROMAGNETIC

Capitolul 8. PARTICULA IN CÂMP ELECTROMAGNETIC EXTERN Invarianţa

8.5

8.6

la etalonare

Facultativ Potenţialele electrodinamice A şi nu sunt unic determinate de câmpurile E şi B pe care le descriu. Dacă o pereche de potenţiale (A, ) descrie un câmp electromagnetic dat, 1 acelaşi câmp este descris de orice pereche de potenţiale (A', ) legată de prima pereche prin /=-8! (8.32) A 1 =A+Vf,

at,

unde

f (r, t) este o funcţie

continuă

oarecare de coordonate

şi

soluţie

a

ecuaţiei

compactă

Schrodinger temporale ataşate operatorului hamiltonian 1i ~m . se justifică prin calcul direct. Calculul se simplifică dacă folosim (8.8) a operatorului hamiltonian după ce, în prealabil, stabilim identitatea .

iq

zq

= exp [ h f (r, t)] (P -

I w 12 =1 w 12 , 1

1

de evoluţie a spinorului de stare expresia

1 2 1-lo = M (P - qA) 2

pentru

w * (P _ q A') w, dr = 1

J~m

= Jem ·

(8.35)

w* (P _ q A) wdr.

8\Ji+

aw _

inat

1-lo -

firy

2

Bz

)

W+ -

fi')'

2 (Bx - iBy) \[!_, firy . firy - 2 (Bx +iBy) W+ + (1-lo + Bz) \]i_. 2 (

(8.39)

Ecuaţiile precedente, care poartă numele lui Pauli, sunt utile în câmpuri externe de intensitate medie. Efectele unor câmpuri foarte slabe sunt însă comparabile cu cele aduse de interacţiile legate de prezenţa spinului în sistemul atomic însuşi, ca de exemplu interacţia spin-orbită, aşa că operatorul hamiltonian trebuie modificat în consecinţă.

(8.36)

Rezultă că dacă fizicianul care lucrează cu potenţialele (A, ) foloseşte o funcţie '1! (r, t) pentru a descrie o stare a particulei, fizicianul care lucrează cu potenţialele (A 1 , 1 ) trebuie să folosească funcţia (8.33) pentru a descrie aceeaşi stare. Concluzia este că se poate folosi orice etalonare (adică orice pereche de potenţiale din mulţimea celor care corespund unui câmp electromagnetic dat) în formulele mecanicii cuantice care descriu comportarea unei particule în câmp electromagnetic.

204

(8.38)

studiat în §8.2 şi adăugând operatorul care descrie interacţia momentului magnetic propriu cu câmpul magnetic, întâlnit în §7.2.4. Ecuaţia de evoluţie pentru spinorul de stare este echivalentă cu două ecuaţii cuplate pentru funcţiile W+ şi \[! _ , ecuaţii cu derivate parţiale de ordinul întîi în raport cu timpul. Ecuaţiile sunt

că

1

+ q

..ik

= >..i k

,

i

I

i

k,

I

j ,

j

I

k.

Relaţia precedentă arată că

valoarea numărului >..ik nu depinde de valoarea luată de primul indice. Dar cum Pik = Pki , atunci >..ik = >..ki şi, deci, numărul >..ik nu depinde nici de valoarea celui de al doilea indice. La acţiunea operatorului asociat unei permutări oarecare, funcţia complet simenu se schimbă, iar funcţia complet antisimetrică nu se schimbă dacă permutarea este pară şi îşi schimbă semnul dacă permutarea este impară, trică

Pws=\J.rs,

PwA=opwA,

(9.35)

cu Op definit în rel. (9.27). Exerciţiu. antisimetrică

Demonstraţi că două funcţii, una complet simetrică, alta complet

sunt ortogonale. 216

O stare pură a unui sistem de particule identice este descrisă: i} printr-o funcţie complet simetrică în coordonatele particulelor, în cazul particulelor de spin întreg, ii} printr-o funcţie complet antisimetrică în coordonatele particulelor, în cazul particulelor de spin semiîntreg.

Particulele cu spin întreg poartă numele de bozoni, iar particulele de spin semiîntreg fermioni. Comportarea sistemelor cu număr mare de particule identice este diferită în cele două cazuri : bozonii ascultă de statistica Bose-Einstein şi fermionii de statistica Fermi-Dirac. Clasificarea particulelor elementare în bozoni şi fermioni se face în directă legătură cu spinul lor. Constituenţii de bază ai atomilor (electronii) şi nucleelor (protonii şi neutronii), precum şi antiparticulele lor sunt fermioni. Fermioni sunt şi mezonii µ, şi neutrinii, care au toţi spin 1/2. Bozoni sunt fotonii (spin 1) şi mezonii 1r şi K (spin O). In cazul unui sistem compus (nucleu, atom, moleculă), funcţia de stare care descrie un asemenea sistem trebuie să respecte principiul .simetrizării în raport cu coordonatele fiecărui tip de particule identice din care este format. De exemplu, pentru o moleculă de hidrogen, formată din doi protoni şi doi electroni, funcţia de stare trebuie să fie antisimetrică în raport cu coordonatele celor doi electroni şi tot antisimetrică în raport cu coordonatele celor doi protoni. Din cunoaşterea constituenţilor unui sistem compus rezultă comportarea funcţiei de stare care descrie o mulţime de sisteme compuse identice, atunci când nu se detaliază coordonatele constituenţilor ci numai cele ale sistemului compus luat ca un întreg: funcţia de stare este simetrică în raport cu coordonatele sistemelor compuse (poziţia şi proiecţia spinul total al sistemului compus pe o axă fixă) dacă sistemele 217

~.I

Capitolul 9. SISTEME DE PARTICULE

9.2. SISTEME DE PARTICULE IDENTICE

conţin

un număr par de fermioni şi antisimetrică dacă ele conţin un număr impar de fermioni. Justificarea acestei afirmaţii o găsim în faptul că la permutarea a două sisteme compuse are loc permutarea simultană a tuturor constituenţilor lor. Rezultă că un nucleu este fermion dacă el conţine un număr impar de nucleoni [exemple: nucleul de tritiu (p,2n), nucleul de He 3 (2p,n)] şi bozon dacă el conţine un număr par de nucleoni [exemple: deuteronul (p,n), particula a (2p,2n), nucleul de azot (7p,7n)]. In cazul atomilor intevine şi numărul de electroni, ceea ce face ca deuteriul (p,n,e), atomul de He3 (2p,ln,2e), atomul de azot (7p,7n,7e) să fie fermioni, iar atomul de hidrogen (lp,le) şi atomul de He 4 (2p,2n,2e) să fie bozoni. In cazul atomilor de heliu, deosebirea de comportare între He 3 şi He 4 la temperaturi joase se leagă de statistica diferită de care ascultă.

9.2.4

Incadrarea postulatului cuantice

simetrizării

în formalismul mecanicii

Ne interesăm de compatibilitatea şi relaţia dintre noul postulat admis şi celelalte postulate formulate până acum. Postulatul simetrizării exprimă o restrângere a conţinutului general al postulatului I, necesară pentru a descrie corect comportarea sistemelor de particule identice: nu orice funcţie care îndeplineşte condiţiile de regularitate şi este integrabilă în modul pătrat poate descrie un sistem de particule identice, ci numai o funcţie care are simetria cerută de tipul de particule pe care le descrie. Conţinutul postulatului al doilea este şi el afectat: operatorii asociaţi observabilelor unui sistem de particule identice sunt operatori simetrici în coordonatele particulelor. In §9.2.5 ne vom ocupa de evidenţierea unor particularităţi ale problemei de valori proprii asociate unui operator autoadjunct simetric în coordonatele particulelor. La sfârşitul aceleiaşi secţiuni vom atrage atenţia asupra unei consecinţe a modificării postulatului al doilea pe care o pune în evidenţă aplicarea postulatului al treilea. Arătăm acum că descrierea sistemelor de particule identice prin funcţii de stare dotate cu simetrie este compatibilă cu evoluţia lor în timp dictată de postulatul al patrulea. Legea de evoluţie în timp se exprimă cu ajutorul unui operator hamiltonian care este simetric'în coordonatele particulelor

se

schimbă

în

w(to

+ dt)

'.:::: w(to)

awl +~

ut t= to

dt = w(to)

1 + -:-1i(to) w(to) dt.

in

Am folosit ecuaţia de evoluţie şi faptul că operatorul hamiltonian poate depinde de timp, dar nu conţine derivate în raport cu timpul. Relaţia precedentă ne arată că "adaosul" la funcţia de stare adus de evoluţia în timp de la to la to + dt are acelaşi caracter de simetrie ca funcţia la momentul iniţial, deoarece prin aplicarea unui operator simetric unei funcţii dotate cu simetrie nu se modifică proprietăţile de simetrie ale acesteia. In concluzie, evoluţia în timp nu modifică proprietăţile de simetrie ale funcţiei de stare.

9.2.5

Observabile simetrice. Degenerarea de schimb

Fie B un operator liniar, autoadjunct şi simetric în raport cu coordonatele a N particule. Proprietatea de simetrie este r:edată compact de relaţia de comutare a operatorului B cu operatorul P asociat unei permutări P oarecare,

[B,P]=O.

(9.37)

Valabilitatea relaţiei se verifică imediat prin aplicarea comutatorului asupra unei de coordonatele a N particule. Considerăm ecuaţia de valori proprii ataşată operatorului B

funcţii

B v(l, 2, · · · , N) Aplicăm operatorul de permutare (9.37). Ecuaţia astfel obţinută,

P

= bv(l, 2, · · · , N).

(9.38)

celor doi membri ai ecuaţiei şi folosim relaţia

B ( p v(l, 2, · · · , N)) = b p v(l, 2, · · · , N) ,

Presupunem că la un moment de timp to funcţia de stare are un caracter de simetrie bine determinat. La momentul de timp apropiat, t 0 + dt, funcţia de stare

ne arată că funcţia P v este funcţie proprie a operatorului B o dată cu funcţia v şi corespunde la aceeaşi valoare proprie b . In general cele două funcţii sunt liniar-independente, adică nu diferă numai printr-un factor constant. Pornind de la o funcţie proprie v , construim, prin aplicarea fiecăruia din operatorii asociaţi permutărilor de N obiecte, un număr de N! funcţii. Numărul celor liniar-independente nu poate depăşi ordinul degenerării valorii proprii b. Degenerarea pe care o prezintă în general operatorii simetrici, exprimată prin aceea că funcţiile v şi P v corespund la aceeaşi valoare proprie, se numeşte degenerare de schimb.

218

219

aw

inat = 1l(t) w.

(9.36)

Capitolul 9. SISTEME DE PARTICULE

9.2. SISTEME DE PARTICULE IDENTICE

Dacă valoarea proprie este nedegenerată atunci, oricare ar fi permutarea, trebuie să

avem

Pv = Cpv,

Cp -

constantă

.

(9.39)

Dacă ne referim la transpoziţii, relaţia precedentă se reduce la relaţia (9.34). Ca urmare, pe baza proprietăţii demonstrate în §9.2.2, constanta nu depinde de permutare şi funcţia proprie v este fie complet simetrică, fie complet antisimetrică în coordonatele particulelor. Am stabilit astfel că funcţia proprie asociată unei valori proprii nedegenerate a unui operator simetric este fie complet simetrică fie complet antisimetrică.

In cazul unei valori proprii degenerate, pornind de la o funcţie proprie v oarecare, se construiesc combinaţiile liniare vs(l, 2, · · · , N)

I:Pv(l, 2, · · ·, N),

(9.40)

p

VA(l, 2, · · · , N)

Lb"p?v(l, 2, · · ·, N).

(9.41)

p

Conform principiului al treilea, dacă valoarea proprie b aparţine spectrului discret, probabilitatea de realizare a unui rezultat coincizând cu b este I ( vb, IJi) 12 = O, iar dacă b aparţine spectrului continuu, probabilitatea de realizare a unui rezultat în intervalul (b, b + db) este dp =I (Vb, IJ!) 12 db = O. Anularea celor două probabilităţi este datorată valorii O pe care o are produsul scalar a două funcţii, una complet simetrică, alta complet antisimetrică. Deci, în cazul considerat, deşi b este valoare proprie, ea nu aparţine mulţimii de valori posibile pentru observabila B. O situaţie asemănătoare apare în cazul unui sistem de bozoni pentru o valoare proprie nedegenerată a unei observabile căreia îi corespunde o funcţie proprie complet antisimetrică

9.2.6

Problema de valori proprii a energiei pentru un sistem de particule independente. Principiul de excluziune Pauli

Ne ocupăm de problema energiei unui sistem de particule identice în aproximaţia particulelor independente. Operatorul energiei unui sistem de N particule identice independente este o sumă de operatori, N

Amândouă sunt funcţii proprii pentru aceeaşi valoare proprie ca şi funcţia v de ple-

care. Prima funcţie este complet simetrică în coordonatele particulelor, a doua complet antisimetrică. Afirmaţia se verifică prin aplicarea unui operator de permutare oarecare Q funcţiilor vs şi VA, după care se foloseşte proprietatea, amintită în §9.2: produsul de permutări QP în care permutarea Q este fixată, iar permutarea P parcurge toate cele N! permutări, parcurge şi el, în altă ordine cele N! permutări. Folosim, de asemenea, faptul că paritatea produsului de permutări este egală cu produsul parităţilor permutărilor factor. In cazul cel mai simplu, N =2, funcţiile simetrică şi antisimetrică construite pornind de la o funcţie v(l, 2) sunt vs(l,2)

= v(l,2) +v(2,1),

VA(l, 2)

= v(l, 2) - v(2, 1).

(9.42)

H= Lh(j),

(9.43)

j=l

care diferă unul de celălalt doar prin indicele coordonatelor uniparticulă de care depinde. Ca şi în secţiunile precedente, prin coordonatele unei particule înţelegem coordonatele de poziţie şi variabila de spin. Cel mai simplu exemplu îl constituie

n,2

h(j) = - M ~j 2

+ V(rj).

(9.44)

In general, particulele interacţionează şi operatorul energiei nu are structura întâlnită în ecuaţia (9.43). Este frecvent utilizată aproximaţia în care operatorul energiei este aproximat cu un operator de forma (9.43), cu termenii individuali daţi de (9.44), unde energia potenţială este o energie potenţială efectivă capabilă să J~globeze într-o anumită măsură interacţia dintre particule. In cele ce urmează nu vom preciza forma operatorului h , numit operator al energiei uniparticulă. Vom presupune că problema energiei pentru o particulă este cunoscută şi o vom reda în notaţii cât mai simple

Facultativ. Intâlnim uneori următoarea situaţie: un operator B asociat unei observabile B a unui sistem de particule identice admite o valoare proprie b nedegenerată căreia îi corespunde o funcţie proprie vb al cărei caracter de simetrie este diferit de caracterul de simetrie al funcţiei de stare care descrie sistemul fizic. Afirmăm că această valoare proprie este exclusă din mulţimea de valori posibile pentru observabila respectivă. Justificăm afirmaţia pentru cazul unui sistem format din fermioni identici. Fie b o valoare proprie nedegenerată pentru care funcţia proprie ataşată este complet simetrică în coordonatele fermionilor. Funcţia de stare este (trebuie să fie) complet antisimetrică.

Nu apare decât un singur indice la funcţia proprie, deşi în general este nevoie de mai mulţi dacă valoarea proprie este degenerată. Totalitatea funcţiilor proprii Un se presupune a forma un sistem complet de funcţii.

220

221

h(j) Un(j)

= En Un(j) ·

(9.45)

Capitolul 9. SISTEME DE PARTICULE

9.2. SISTEME DE PARTICULE IDENTICE

Dacă funcţiile proprii ale ecuaţiei precedente sunt cunoscute, atunci se verifică imediat că un produs de funcţii proprii uniparticulă, fiecare depinzând de coordonatele uneia din cele N particule ale sistemului, Vn 1 n 2

nN (1,

...

2, · · · ,

N)

= Un 1{I) Un 2 (2) · · · UNN (N),

(9.46)

este funcţie proprie pentru operatorul energiei sistemului (9.43) şi corespunde la valoarea proprie W egală cu suma valorilor proprii la care corespund funcţiile uniparticulă

W Aşa

cum

=

En1

+ En2 + ... + EnN .

(9.47)

ştim, funcţia

w(l, 2, ...

'N,t) =Vn1n2 .. ·nN(l ,

2, ...

'N)e - !Wt

(9.48)

este o soluţie a ecuaţiei Schrodinger temporale. Dacă valorile proprii uniparticulă aparţin toate spectrului discret, funcţia este normabilă. Ea nu este o funcţie de stare decât dacă respectă principiul simetrizării. Funcţia v cu expresia (9.46) nu are proprietăţi de simetrie decât în cazuri particulare. Ea este simetrică în coordonatele a două particule dacă numerele cuantice ale funcţiilor proprii în care apar aceste coordonate sunt aceleaşi. Ştim însă să construim pornind de la funcţia v atât o funcţie complet simetrică, cât şi o funcţie complet antisimetrică, urmând procedeul descris în §9.2.5. Astfel, s

V{nin 2 ···nN}(l,

este o

funcţie

complet

A V{ni n 2 ···nN} (1,

2, ·· · , N)

simetrică

2, · · · ,

N)

=

~

A

[un 1(1)un 2(2)···

L._;p p

UnN(N)]

(9.49)

~

L._; p

A

dp P [un 1 (1) Un 2 (2) · · · UnN (N)]

(9.50)

este o funcţie complet antisimetrică în aceste coordonate. Notaţia din cele două relaţii precedente, în care numerele cuantice apar între acolade, vrea să sublinieze faptul că în cazul celor două funcţii v 8 şi vA nu mai există nici o legătură între un număr cuantic fixat din şir şi coordonatele uneia din particule, aşa cum există în cazul funcţiei de plecare v . Fiecare funcţie uniparticulă din produsul iniţial apare pe rând cu coordonatele tuturor particulelor. De exemplu, în cazul N = 2 , Vn1n 2 (1,2) vs{n1 n } ( 1, 2) 2

VA {n1 n2} ( 1, 2)

Wo

Un 1(l)un 2 (2),

+ Un (1) Un 1 (2) , Un 1 (1) Un 2 '2) - Un (1) Un 1 (2) . Un 1 (1) Un 2 (2)

2

2

222

= N Eo.

(9.51)

Să arătăm că în cazul fermionilor, stările ocupate trebuie să fie toate distincte. Proprietatea devine evidentă dacă observăm că funcţia vA se poate scrie ca un determinant al unei matrici cu N linii şi N coloane al cărei element de indici (i, j) este funcţia Un; (j) , adică,

VA

Un1 {I)

Un 1 (2)

Un1 (N)

(1)

Un 2 (2)

Un2(N)

(2)

UnN(N)

Un2

UnN

în coordonatele particulelor, iar

=

Se observă că dacă n1 = n2 , atunci vfn 1 ni} = O. Revenind la cazul general, din funcţia (9.49) se construieşte, prin înmulţire cu factorul temporal exp(-K W t) (şi cu un factor de normare) o funcţie de stare wS care poate descrie un sistem de N bozoni identici, iar din funcţia (9.50) o funcţie de stare wA care poate descrie un sistem de N fermioni identici. In stările staţionare ale unui sistem de bozoni descrise de wS şi în cele descrise de wA în cazul fermionilor stările uniparticulă ocupate sunt cele descrise de numerele cuantice n1, n2, · · · , nN. In cazul bozonilor, numerele cuantice din setul n 1 , n 2 , · · · , nN ataşat funcţiei vs pot fi oricare din mulţimea celor care descriu funcţiile proprii ale energiei uniparticulă şi deci şi stările staţionare uniparticulă. Este posibil şi ca toate cele N numere cuantice să coincidă între ele. In particular, rezultă că dacă Eo este nivelul fundamental pentru o particulă, nivelul fundamental al sistemului de N bozoni este

(1)

UnN

(9.52)

Dacă două stări ocupate coincid, de exemplu nj = nk (j I- k) , atunci două linii ale determinantului devin identice şi, ca urmare, determinantul se anulează. Observaţiile făcute se exprimă mai intuitiv astfel: într-un sistem de N fermioni identici independenţi doi fermioni nu pot ocupa aceeaşi stare cuantică uniparticulă, în timp ce în cazul bozonilor identici, oricâţi dintre ei, eventual toţi, se pot afta în aceeaşi stare. Afirmaţia referitoare la fermioni nu este altceva decât principiul de excluziune, formulat de Pauli în 1925, în cazul electronilor dintr-un atom. Constatăm că principiul lui Pauli este o consecinţă directă a descrierii stării unui sistem de fermioni identici printr-o funcţie de stare complet antisimetrică în coordonatele particulelor.

Cu ajutorul principiului simetrizării se descifrează o serie de particularităţi ale lumii microscopice. Să considerăm un singur exemplu: problema energiei stării fundamentale a unui sistem de N fermioni identici aflaţi în câmp de forţe. Continuăm să 223

9.3. SISTEME ATOMICE CU DOI FERMIONI IDENTICI CU SPIN 1/2

Capitolul 9. SISTEME DE PARTICULE lucrăm

în aproximaţia particulelor independente. Fie Eo, E1, · · · şi 9o, 91, 92, · · · nivelele de energie uniparticulă şi, respectiv, ordinele degenerării lor. Energia cea mai joasă corespunde ocupării stărilor ataşate celor mai joase nivele de energie, respectând principiul lui Pauli. Ea este dată de Wo

=

90Eo

+ 91 E1 + · · · + 9K-1 Ex-1 + fx Ex,

unde valoarea ultimului nivel ocupat fK ~ 9K,

90

şi

a gradului ocupare

fK

(9.53)

rezultă

+ 91 + 92 + · · · + 9K -l + f K = N

din

·

rel aţiile

(9.54)

Cum, în mod curent N > 9o , avem Wo > N Eo , mărime care ar reprezenta energia fundamentale dacă particulele ar fi fost bozoni.

stării

9.2. 7

A plicarea principiului lui Pauli la atomi

In cazul atomilor structura în pături se explică pe baza principiului de excluziune. In aproximaţia câmpului central mediu, operatorul energiei are structura (9.43) cu energia potenţială din (9.44) funcţie doar de distanţa electron-nucleu. Determinarea energiei potenţiale efective se face pentru fiecare atom în parte, folosind în esenţă metoda Hartree-Fock. Pentru un atom neutru, energia potenţială efectivă respectă condiţiile

Ze 2

Ve(r) ---+ - 4m:::o r' In tratarea potenţială

e2

r---+0,

r ---+ oo.

Ve (r) ---+ - 41rco r '

(9.55)

simplificată

de aici, operatorul energiei nu depinde de spin, iar energia este centrală, aşa că ecuaţia Schrodinger uniparticulă admite soluţii de

forma

REt(r)Yimz(r)

I O,

REz(r)Yim1 (r) 117),

(9.56)

unde I e) şi 117) sunt spinorii proprii ai operatorului proiecţiei spinului electronului pe axa Oz a unui sistem de axe cartezian fix [vezi (7.18). Valorile energiei şi funcţia radială RE z se determină prin rezolvarea ecuaţiei radiale. Nivelele de energie se schimbă o dată cu l . Dat fiind o funcţie proprie radială, ei i se asociază un număr cuantic n definit prin afirmaţia

n- l- l

este

numărul

de noduri ale

funcţiei

rad iale ,

care are la bază proprietatea funcţiilor radiale cu l fixat de a avea un noduri mai mare sau egal cu l + l . Energia la care este asociată funcţia 224

(9.57) număr

de

respectivă

se schimbă cu n şi l . In cazul câmpului pur coulombian, nivelele de energie depind numai de n . Sunt convenabile notarea funcţiilor radiale cu Rn 1 , ca şi în cazul atomului de hidrogen (fără a uita că este vorba de cu totul alte funcţii) şi scrierea compactă

I n l m1

1)=

Rnt (r) Yi m 1 ( r)

IO ,

I n l mt

-

~

1

2 ) = Rnz(r) Yim

1

(r) 117). (9.58)

Apare astfel un al patrulea număr cuantic, notat ms, care poate lua valorile 1/2 şi -1 /2. Stările staţionare se caracterizează atunci prin valorile celor patru numere cuantice n, l, mt, ms, ca şi în cazul atomului de hidrogen. Fiecare nivel de energie este degenerat de ordin 2 (2l + 1) . Conform principiului de excluziune, în atom nu pot exista doi electroni care să ocupe aceeaşi stare caract erizată prin numerele cuantice n,l,mz,ms. Totalitatea stărilor cu aceeaşi energie formează o pătură. In loc de notaţia En l se foloseşte notaţia din spectroscopie, în care numărul cuantic n este urmat de o literă: s pentru l = O, p pentru l = l , d pentru l = 2, f pentru l = 3 etc. Ordinea în care se succed nivelele pe axa energiei nu depinde prea mult de forma potenţialului efectiv. Despicarea între nivelele cu acelaşi n şi valori diferite pentru l este, cel puţin pentru valori mici ale lui n şi Z , mai mică decât distanţa între nivelele cu valori diferite ale numărului cuantic n. Pentru o valoare fixată a lui n nivelele se dispun în ordinea creşterii numărului cuantic l, ceea ce se explică prin efectul repulsiv al termenului centrifugal din ecuaţia Schrodinger radială. Ecranarea sarcinii nucleare de către electroni accentuează scăderea energiei de legătură. Electronilor din stări cu moment cinetic nenul nefiindu-le accesibilă vecinătatea nucleului, spre deosebire de cazul stărilor s , ei sunt mai puţin atraşi de nucleu (la o distanţă mai mare forţa scade şi datorită ecranării). Astfel, electronii plasaţi în păturile ls, 2s, 2p, 3s, 3p vor fi tot mai puţin legaţi. Creşterea numerelor cuantice n şi l conduce la situaţia în care energia electronilor 3 d depă§eşte energia păturii 4 s şi, ca urmare, pătura 4 s se ocupă înaintea păturii 3 d. Situaţia se repetă în cazul păturilor 4 d şi 5 s , 4f şi 6 s etc. Pentru determinarea precisă a nivelelor atomilor cu mai mulţi electroni trebuie incluse efectele relativiste.

9 .3

Sisteme atomice cu doi fermioni identici cu spin 1/2

La scară atomică întâlnim sisteme (nuclee, atomi sau molecule) care conţin două particule identice de spin 1/2: atomul de heliu şi ionii pozitivi din secvenţa heliului 225

·I

9.3. SISTEME ATOMICE CU DOI FERMIONI IDENTICI CU SPIN 1/2

Capitolul 9. SISTEME DE PARTICULE

(Li+, Be++, · · · ) conţin fiecare doi electroni, ionul molecular de hidrogen conţine doi protoni. Molecula de hidrogen conţine două tipuri de particule identice: doi protoni şi doi electroni. Pentru cele ce urmează este util să considerăm întâi situaţia unui sistem format numai din două particule cu spin 1/ 2 aflate în repaus.

9.3.1

Sistem de

două

particule cu spin 1/2 în repaus

Pentru un sistem de două particule cu spin 1/2 în repaus observabilele de bază sunt proiecţiile spinilor pe axe. Dacă particulele sunt diferite, au sens observabilele spinilor individuali, dacă ele sunt identice numai componentele spinului total sunt observabile. Ne referim întâi la cazul particulelor diferite. Ne amintim că pentru o particulă de spin 1/ 2 am reprezentat prin simbolul I t) starea particulară în care observabila proiecţie a spinului pe axa Oz ia cu certitudine valoarea fi/2, şi prin simbolul I T/) starea în care aceeaşi observabilă ia cu certitudine valoarea -fi/2. Starea cea mai generală este suprapunerea celor două stări,

11/J (t) ) =

C1 ( t)

I

o+

C2 ( t)

I T/ ) •

(9.59)

Am numit spinori mărimile de tipul precedent. Notăm acum cu I 6 ) şi I T/1 ) spinorii de tipul descris anterior pentru particula 1 şi cu I 6) şi I T/2) spinorii corespunzători particulei 2, atunci când particulele sunt considerate ca sisteme fizice distincte. Considerăm acum sistemul format din cele două particule. In cazul a două particule diferite ne putem referi simultan la proiecţia spinului fiecărei particule pe axa Oz; avem patru posibilităţi pentru rezultatele unei măsurători a celor două observabile

n

fi

(2, 2)'

n

nn

fi

(2,-2),

(-2'2),

fi

fi

(-2,-2).

Nu putem prevedea care posibilitate se va realiza într-o stare oarecare a sistemului. Stărilor particulare în care cele două observabile iau cu certitudine una din perechile de valori indicate anterior le ataşăm simbolurile

166),

I 111 6)'

l6T/2),

I 111112 ) .

(9.60)

Pentru desemnarea acestor simboluri vom folosi denumirea de vectori, adoptată în cazul general, la sfârşitul capitolului 6. Notăm cu s(l) şi s( 2 ) operatorii spinilor individuali. Pe baza unei proprietăţi demonstrate în Cap. 6, conform căreia condiţia necesară şi suficientă ca la un moment dat o observabilă să ia cu certitudine o singură valoare

.

226

este ca funcţia de stare la acel moment să fie funcţie proprie pentru operatorul asociat observabilei respective, afirmăm că dat fiind stările pe care le descriu, în care două observabile au valori bine determinate, cei patru vectori trebuie să asculte de ecuaţiile

si1) I 6 6 ) si1) I 6 T/2) si1) IT/16) si1) IT/1T/2)

=

~

I 6 6) ,

=

~

I 6 T/2 ) ,

=

-~

IT/16),

=

-~

IT11T/2),

si2) I 6 6 ) = ~ I 6 6 ) , si2) I 6 T/2 ) = - ~ I 6 T/2 ) , s12) I T/1 6 ) = ~ I T/1 6 ) , si2) I T/1 T/2 ) = - ~ I T/1 T/2 ) .

Relaţiile precedente arată că fiecare din operatorii

si1)

şi

(9.61) (9.62) (9.63) (9.64)

si2 )

acţionează numai asupra variabilei de spin asociate particulei căreia îi corespunde operatorul. Corespunzând la valori proprii diferite pentru cel puţin unul din cei doi opera1 ) şi sf) , cei patru vectori sunt reciproc ortogonali. Ii vom tori autoadjuncţi presupune şi normaţi. Starea cea mai generală a celor două particule în repaus este suprapunerea celor patru stări particulare descrise, deci este reprezentată prin

Sl

I \J!(t)) = c++(t) 16 6) + c+-(t) 16 T/2) + c_+(t) I 7716) + c __ (t) I T/1 T/2). (9.65) In felul acesta cei patru vectori (9.60) subîntind un spaţiu 4-dimensional pe care îl vom denumi spaţiul spinului pentru cele două particule de spin 1/2. Ei formează o bază ortonormată în acest spaţiu, cunoscută sub numele de baza standard a spaţiului spinului pentru două particule de spin 1/2. Atunci, produsul scalar a doi vectori din spaţiul spinului,

I!)

f ++ I 6 6)

19)

9++

+ f +- I 6 T/2) + f-+ I 6 6) + 9+- I 6 T/2) + 9-+

I T/1 6) I T/1 6)

+ f-+ 9--

I T/1 T/2) , I T/1 T/2) , (9.66)

este dat de {f

I 9) = f~+ 9++ + f~- 9+- + r-+ 9-+ + J:_ 9-- .

(9.67)

Condiţia de normare pentru vectorul de stare (9.65) se exprimă prin egalitatea I

c++(t)

2

1

+ I c+-(t)

2

1

+ I C-+(t) 227

2 + I c __ (t)

J

12= 1.

(9.68)

9.3. SISTEME ATOMICE CU DOI FERMIONI IDENTICI CU SPIN 1/2

Capitolul 9. SISTEME DE PARTICULE

Vom nota cu S = s(l) + s( 2 ) operatorul asociat spinului total al celor două particule. Observăm că în fiecare din cele patru stări (9.60) proiecţia spinului total pe axa Oz are o valoare bine determinată. Valorile sunt n, O, O şi -n, iar din relaţiile

(9.61)-(9.64)

rezultă

Folosind modul de

acţiune

(T(l). a(

al operatorilor Pauli

2) 16 6 ) =I

111112 ) -

n I 6 6) ' Sz I 6 172 ) = o' o' sz I 111 172 ) = - li I 111 1]2 )

Sz I 1116)

a( 1l

(9.69) (9.70)

'

în acord cu proprietatea menţionată anterior a stărilor cu valoare bine determinată pentru o observabilă. Valorii proprii O pentru Sz îi sunt ataşaţi doi vectori ai bazei standard, I 6 172 ) şi I 1]1 6 ) . Orice combinaţie liniară a lor este vector propriu al operatorului Sz · pentru valoarea proprie O. In particular, suma şi diferenţa acestor vectori are această proprietate. Se va dovedi util să lucrăm cu vectorii normaţi

(T(l)

· a(2 l I 6 112 ) . a( 2 ) I 111 6 )

v'2 (I 6 112

1

)+

I 111 6 )) ,

J2 (I 6

)+

I 111 6 )) ,

I 111112

112 ) -

I 111 6

(9.71)

)) .

Vectorii 1

112

1

J2 (I 6

) '

112 ) -

I 111 6 )) (9.72)

sunt normaţi şi reciproc ortogonali şi formează şi ei o bază ortonormată a spinului a două particule de spin 1/2, numită baza canonică. Exerciţiu. proprietăţile

Verificaţi afirmaţia precedentă

referitoare la baza

canonică,

spaţiului

folosind

vectorilor bazei standard.

Arătăm pătratului

acum că vectorii bazei standard sunt şi vectori proprii ai operatorului spinului total

s2 = s; + s; + s; .

(9.73)

'Transcriem acest operator ca

S2

I 1111]2 )+ 16 6 ) =I 66 ) .

(T(l) . a( 2 )

Din adunarea

şi scăderea 2

a(ll . a( l

I 111 1]2

primelor

2 I 111 6 ) -

= ( s(l)) 2 + ( s(2)

r

+ 2 s(l) . s(2)

=

l

r,,2

+: (/,2 + ~2 (T(l) . (7(2)

introducând operatorii lui Pauli asociaţi fiecărei particule. acţionăm cu operatorul (T(l) .

(7(2)

= (T(l) 0"(2) + (T(l) 0"(2) + X X y y 228

(T(l) Z

0"(2)

(9.74)

Este necesar deci să

z•

(9.75)

I 6112 I 111 6

2 l 6 172 )I 111 1]2 ) •

)

două relaţii

din

şirul

I6

112 ) +

-3

(I

(I 6 112 )+ I 111 6 )) 112 ) - I 111 6 ) )

aul . a(2l (I 6

Cu rezultatele precedente revenim la (9.74)

1

v'2 (I 6

particule avem

(9.76)

Asemănător găsim

Sz 16 6)

166),

asociaţi fiecărei

şi

) ,

)'

precedent,

găsim

I 111 6

(9.77) (9.78)

), 6112)- I 1116 )) .

stabilim

ecuaţiile

2 2 2 s I 6 6) = 2n I 6 6), s I 111112) = 2n 2 I 111112) , 2 2 S (l6112)+l1116))=2n (16112)+11116)), 2 S (I 6 172 ) - I 111 6 )) = I zero ) ,

(9.79) (9.80) (9.81)

care arată că, într-adevăr, vectorii bazei canonice sunt vectori proprii ai operatorului S2 asociat pătratului spinului total. Dacă valoarea 2 n2 se scrie în forma s(s + 1) n2 cu s = 1, expresia ei devine asemănătoare celei întâlnite pentru valorile proprii ale pătratului momentului cinetic orbital, l(l+l) n2 , şi pentru pătratul spinului unei particule de spin 1/2, pentru care 3n2 /4 = 1/2 (1/2 + 1) n2 • Pe baza acestei observaţii şi având în vedere şi valorile proprii pentru Bz cărora le sunt asociaţi, rezultă: cei trei vectori care corespund la valoarea proprie 2 n2 pentru operatorul pătratului spinului total descriu stări de spin total 1, iar vectorul care corespunde la valoarea proprie O descrie o stare de spin total zero. Este potrivită atunci notaţia I s m 8 ) cu s = 1, ms = -1, O, 1 şi s = O, ms = O. Explicit,

I 11) =I 66),

1

11 o)

v'2 ( 6 112 ) +

I oo)

J2 (I 6

I

1

112 ) -

1

17 1 6

)) ,

11 - 1) =;=I

I 771 6 )) .

Vectorii precedenţi sunt deci vectorii proprii comuni operatorului total şi componentei sale după axa Oz .

229

1J11]2) ,

(9.82) pătratului

spinului

9.3. SISTEME ATOMICE CU DOI FERMIONI IDENTICI CU SPIN 1/2

Capitolul 9. SISTEME DE PARTICULE Observăm că

vectorii ataşaţi spinului total 1 sunt simetrici în raport cu numerotarea celor două particule, în timp ce vectorul ataşat spinului total O este antisimetric. In situaţia idealizată a două particule identice de spin 1/ 2 în repaus, singura stare care respectă principiul simetrizării ar fi descrisă de I 'lj;(t)) = c(t) I O, O ) cu I c(t) I= 1. Exerciţiu. Arătaţi că

I t'1)

I6

I f3)

I6

(I !), I 9)) = U I 9) =

ff[

fî1 (r1, r2, t) 911 (r1, r2, t) + fî-1 (r1, r2, t) 91-i(r1, r2, t)

ri

r2

+ F'-11 (r1, r2, t)9-1l (r1, r2, t) + F'-1-1 (r1, r2, t)9-1-1 (r1, r2, t)] dr1dr2. (9.85)

vectorii

Vectorul de stare (9.83) este normat

I 1J1 1J2 ) v12 ) - I 1J1 1J2 ) v12

I t'2) = I 6

6 )+ 6

produsul scalar este dat de

I f4)

1J2 )+ I 1J1 6)

v12 ' = I 61J2 )- I 1J16)

!! ri

2 [I . = 2 (vo + s) + 1,

= 1.

de

1) Consideraţi ecuaţia lui Hermite cu n = O şi arătaţi că singura ei soluţie mărginită este o constantă. Obţineţi apoi, cu ajutorul relaţiei de recurenţă, polinoamele Hermite de grad n ::; 4. 2) Justificaţi proprietatea de paritate pe baza relaţiei de recurenţă. 3) Arătaţi că polinoamele Hermite derivă din funcţia generatoare

Mărimea

Â=2n+l,

Ho(O

relaţii

Polinomul Hermite Hn are paritatea lui n,

Observăm că dacă seria ( H1 sau Hu) pe care o analizăm este un polinom,

ecuaţia

să precizăm că

H1(0=2e,

comportarea la distanţe mari descrisă anterior nu mai este valabilă şi, deşi valoarea polinomului creşte indefinit la valori mari ale variabilei, funcţia u(e) amintită anterior scade pentru valori mari ale variabilei, deoarece pentru ~ -t ±oo , funcţia exp( -~2 /2) merge la zero mai repede decât creşte orice polinom. Dacă examinăm relaţia generală de recurenţă (B.4), constatăm că seria se reduce la un polinom numai dacă pentru o anumită valoare a indicelui v , notată v 0 , este îndeplinită egalitatea

pe baza unei

Hn+l -2~Hn +2nHn-1

• Reducerea seriei H(e) la un polinom

2(vo

calculează uşor

Pe baza relaţiei precedente se stabilesc Hermite. Indicaţie: Arătaţi că funcţiile şi

uşor

o serie de

proprietăţi

ale polinoamelor

Hn din (B.14) satisfac ecuaţia lui Hermite (B.l)

sunt polinoame.

(B.9) 249

Anexa C ECUATIA LAPLACE-KUMMER

Structura

ecuaţiei

Laplace- Kummer d2F

+ (b-

soluţii

care sunt serii de puteri ale variabilei z,

dz

garantează existenţa

unor

dF

z2

z)- - aF = O

CX)

F

=

zer

L

(C.l)

dz

CX)

Ck zk

=

k=O

L Ck

zcr+k .

k=O

Condiţia eo -/= O asigură definirea neambiguă a numărului a. Derivând seria termen cu termen şi grupând convenabil în două serii cei patru termeni din ecuaţie (primii doi termeni împreună, al treilea şi al patrulea împreună), aducem ecuaţia la egalitatea a două serii de puteri ale variabilei z CX)

CX)

L(a + k) (a+ k - 1 + b) Ck zcr+k-l = L(a + k k=O

+ a) Ck zcr+k.

k=O

Egalitatea seriilor implică egalitatea coeficienţilor aceloraşi puteri ale variabilei z. In membrul stâng al egalităţii există puterea zcr-l care nu apare în membrul drept. Ca urmare, coeficientul ei trebuie să se anuleze, adică a(a-l+b)eo=O.

Apoi, puterile zcr+k cu k = O, 1, ... apar în ambii membri. Egalarea coeficienţilor lor duce la relaţia de recurenţă (a

+ k + 1) (a + k + b) Ck+ 1 = (a + k + a) Ck , 251

k

= o,

1, ...

.....,

Anexa C. ECUATIA LAPLACE-KUMMER

Din prima

condiţie aflăm

imediat valorile a1

= O,

a2

numărului

a,

= 1 - b,

şi

deci deducem comportarea dominantă posibilă pentru o soluţie în vecinătatea punctului z = O , F(z) --+ co+ do z 1-b z --+ o.

i) cele două comportări (constantă sau z 1-b) sunt distincte dacă b -/- 1, şi, ca urmare, pornind de la ele construim două soluţii liniarindependente, notate aici fi şi h; ii) dacă Re(l - b) ..) . . . . . . . . . . 12.1.2 Ecuaţiile de bază ale metodei perturbaţiilor staţionare . 12.1.3 Aproximaţia de ordinul zero . . . . . . . . . . . . . . . . 12.1.4 Corecţiile la un nivel de energie nedegenerat şi la vectorul propriu asociat . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12.1.5 Cazul nivelului degenerat. Ecuaţia seculară 12.1.6 Baza adaptată calculului de perturbaţie . . . 12.1.7 Apli caţie: forţă centrală care perturbă electronul legat de un câmp coulombian atractiv . . . . . . . . 12.1.8 Cazul a două nivele de energie apropiate .'.\1etoda variaţională . . . . . . . . . . . . . . . li 12.2.1 Principiul variaţional Ritz . . . . . . . 12.2.2 :vletoda variaţională pentru determinarea nivelului fu rnlament ai 12.2.3 Exemplu: metoda orbitalilor . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12.2.4 Aplicaţie: energia stării fundamentale a atomului de 1wliu ..

lW

13 ELEMEN T E D E T EORIA GENERALA A MOMENTULUI C1NETIC 13.1 Recapitulare: :.\fomentul cinetic orbital. Spinul 1/ 2 . . . . . . . 13.2 Proprietăţile operatorilor de moment cinetic . . . . . . . . . . 13.3 Problema valorilor proprii pentru operatorii momentului cinetic 13.4 Baza canonică de pondere j 13.5 Observaţii finale . . . . . . 13.6 Exemple de baze canonice . 13.6.1 :.\1omentul cinetic orbital . 13.6.2 .'.\lomentul cinetic 1/ 2 13.6.3 Baza canonică în raport cu spinul total a două partirnle de spin 1/ 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13. 7 :.\fomentul cinetic total al unei particule de spin 1/ 2 . . . 13.7.1 Baze canoni.ce în raport cu momentul cinetic total 13.7.2 Spinorii sferici . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13.8 Clasificarea stărilor staţionare ale atomului hidrogenoid nerelativist după valorile observabilelor 12 , j2 şi jz ........... . 4

46 47

13.9 Compunerea a două momente cinetice . . . . . . . . . . . . . . . . 13.9.1 Introducere: stările unui sistem format din două subsisteme 13.9.2 Problema compunerii a două momente cinetice 13.9.3 Baza standard . . . . . . . . . . . . . . . . 13.9.4 Baza c anonică. Coeficienţii Clebsch-Gordan 13.9.5 Teorema Clebsch-Gordan . . . . . . . . . .

51

51 51 5-1 5-~1

14

-\ t I

56 60 65 67 68 70 70 73

74 -6 1

81 82 ;-: 1

89 92 92 92 93 94 95 95 97 99

TRANZIŢII CUANTICE 'Î4.Î/ \ Y1etoda perturbaţiilor dependente de timp . . . . . . . . . . . . . .. 14.1.1 Formularea problemei. Ipotezele la baza metodei perturbaţiilor dependente de timp 14.1.2 E cuaţiile generale . . . . . . . . . . . . . . . 14.1.3 Cazul H' = O la t < O . . . . . . . . . . . . 14.2 Descrierea tranziţiilor în cadrul teoriei perurbaţiilor . 14.2.1 Cazul perturbaţiei cu durată finită de acţiune 14.2.2 Perturbaţia constantă pe durata ei de acţiune 14.2.3 ~otaţii detaliate pentru problema de valori proprii a operatorului Ho . . . . . . . . . . . . · · · · · · · · · · · · · · · · · 14.2.4 Adaptarea rezultatelor la cazul unui spectru mixt al energiei sistemului neperturbat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14.2.5 Tranziţii discret-continuu sub influenţa unei perturbaţii constante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14.2.6 Tranziţii sub influenţa unei perturbaţii armonice pe durata ei de acţiune . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14.2.7 Tranziţii discret-discret sub influenţa unei perturbaţii armonice cu durata mare de acţiune . . . . . . . . . . . . . . .

V --'15, ELEMENTE t

101

101 102 103 104 104 107

108 108 108 111 113 113 115 116 118 119 123 125

DE TEORIA SEMICLASICĂ A INTERACŢIEI SISTEMELOR ATOMICE CU RADIAŢIA ELECTROMAGNETICă 127 15.1 Introducere . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127 129 15.2 Unda electromagnetică plană monocromatică şi liniar-polarizată . 131 15.3 Ipotezele lui Einstein referitoare la absorbţia şi emisia luminii . . 15.4 Sistemul atomic. Operatorul hamiltonian . . . . . . . . . . . . . 134 15.5 Calculul ratelor de absorbţie şi emisie stimulată prin metoda perturbaţiilor dependente de timp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 134 15.6 Emisia spontană. Reguli de selecţie. Aproximaţia dipolară . . . . . . 136 15. 7 Coeficientul total Einstein pentru emisie spontană. Timpul mediu de viaţă al unei stări . . . . . . . 138 5

..,

15.8 Expresia coeficientului total Einstein în aproximaţia dipolară 15.9 Alte procese de emisie spontană de un foton 15.lOProcese cu absorbţie de un foton . . . . . . . . . . . . . . . . 16 PARTICULA IN CÂMP CENTRAL DE FORŢE (continuare)

145

16.1 Ecuatia Schrodinger radială. Teorema wronskianului 16.2 Undele parţiale . . . . . . . . . . . . . . . 16.2.1 Definiţia unei unde parţiale . . . . 16.2.2 Undele parţiale ale particulei libere 16.2.3 Defazajul undei parţiale . . . . . . 16.2.4 Formulă implicită pentru sin Oz . . 16.2.5 Comportarea defazajelor la energii joase în cazul unui potenţial cu rază finită de acţiune . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16.3 Legătura dintre undele plane şi undele parţiale ale particulei libere

145 147 147 147 149 151

IMPRĂŞTIERII PE POTENŢIAL 17.1 Introducere . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17.1.1 Descriere schematică a unei experienţe de ciocnire j 17.1.2 Clasificarea ciocnirilor . . . . . . . . 17.1.3 Imprăştierea elastică . . . . . . . . . . . . 17.2 Imprăştierea pe potenţial. Secţiunea eficace . . . 17.3 Imprăştierea pe potenţial în aproximaţia lui Born 17.3.1 Formula lui Born . . . . . . . . . . . . . . 17.3.2 Aplicarea formulei lui Born în cazul unui câmp central de forţe 17.3.3 Imprăştierea pe câmp coulombian . . . . . . . . . . . . 17.4 Imprăstierea pe potenţial ca proces staţionar . . . . . . . . . 17.4.1 Reflexie şi transmisie pentru o barieră de potenţial lD 17.5 Imprăştierea pe potenţial. Cazul 3D . . . . . . . . . . . . . . 17.5.1 Soluţia staţionară de împrăştiere . . . . . . . . . . . . 17.5.2 Legătura dintre amplit,udinea de împrăştiere elastică şi secţiunea diferenţială de împrăştiere . . . . . . . . . . . . . . . . . 17.5.3 Teorema optică . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17.6 Imprăştierea pe potenţial central . . . . . . . . . . . . . 17.6.1 Descompunerea undei staţionare în unde parţiale 17.6.2 Amplitudinea de împrăştiere elastică . . . . . . . 17.6.3 Secţiunea totală de împrăştiere elastică şi teorema optică 17.6.4 Imprăştierea la energii joase 17.7 Imprăştierea a două particule

157

17 ELEMENTE ALE TEORIEI

~\

140 142 143

6

ANEXE I Anexa D ARMONICELE SFERICE CA BAZĂ CANONICĂ A A MO183 MENTUL Ul CINETIC ORBITAL Anexa E DETERMINAREA SPINORILOR SFERICI Anexa F Anexa G

FUNCŢIILE

BESSEL SFERICE

NORMAREA UNDELOR

PARŢIALE

187 193 197

Anexa H FORMULA LUI RAYLEIGH

199

BIBLIOGRAFIE

203

152 154

157 158 158 159 160 161 16 1 lC-i

16:

16t HiL

1! 17•' l 73 1';"" 4 175 1î5 l "iî l 78

lî9 181 7

PREFAŢĂ

In partea a doua a lecţiilor de mecanică cuantică capitolele, ca şi anexele , sunt numerotate în continuarea celor din prima parte. Partea a doua a cursului conţine: i) Completări ale formalismului mecanicii cuantice. In capitolul 10 este definită reprezentarea impulsului pentru o particulă fără spin şi se trece la generalizarea ei. Se introduc notaţiile lui Dirac. P entru simplitate se \definesc numai vectorii ket. In capitolul 11 este prezentată descrierea stărilor unui sistem cuantic cu ajutorul operatorului statistic, valabilă deopotrivă pentru stările mixte şi cele pure. ii) Elemente ale teoriei generale a momentului cinetic (Cap. 13). Cunoştinţele transmise în acest capitol reprezintă un minim necesar pentru descifrarea datelor spectroscopiei atomice, moleculare sau nucleare. iii) Prezentarea unor metode de aproximaţie, absolut necesare pentru aplicaţiile mecanicii cuantice: metoda perturbaţiilor staţionare şi metoda variaţională pentru rezolvarea problemei de valori proprii a energiei (Cap. 12) şi metoda perturbaţiilor dependente de timp pentru rezolvarea ecuaţiei Schrodinger temporale (Cap. 14). iv) ::-,1odul de aplicare a mecanicii cuantice pentru descrierea interacţiei unui sistem atomic cu radiaţia electromagnetică (Cap. 15) şi pentru descrierea împrăştierii pe potenţial (Cap. 17). Capitolul 16 completează cunoştinţele dobândite în prima parte a lecţiilor referitor la particula în câmp central de forţe. Insuşirea capitolului este necesară pentru capitolul 17. Lucrarea conţine 5 anexe, strâns legate de conţinutul cursului. util

Cursul se adresează studenţilor din anul al III-lea al Facultăţii de Fizică. El este şi studenJilor care lucrează pentru diploma de :\1:aster.

:\1:ulţumirile mele se îndreaptă spre ::-,Iădălina Boca şi ::-,1ihai Dondera pentru citirea atentă a manuscrisului lucrării de faţă şi observaţiile făcute.

9

I

Capitolul 10 REPREZENTĂRI. NOTAŢIILE LUI DIRAC. SCRIEREA

MATRICIALĂ

Prin însuşirea noţiunilor care vor fi introduse în acest capitol se ·realizează consolidarea cunoştinţelor 'de mecanică cuantică dobândite în capitolele precedente. Sunt noţiuni folosite curent în aplicarea mecanicii cuantice. Se introduc de asemenea notaţii noi care conduc la o scriere mai concisă a relaţiilor cu care operează mecanica cuantică, scriere utilă pentru orice sistem cuantic. Incepem prin a considera cel mai simplu sistem cuantic studiat în capitolele precedente: particula de masă M, sarcină electrică q şi spin O, aflată în câmp de forţe extern. Remintim afirmaţiile de bază ale mecanicii cuantice referitoare la particulă.

1) Dacă ne este cunoscută funcţia de stare w(r, t) la un moment dat t, putem prevedea statistica rezultatelor care s-ar obţine la acel moment la măsurarea unei observabile a particulei, măsurare efectuată pe exemplarele unui colectiv statistic ataşat particulei. 2) Funcţia de stare îndeplineşte condiţiile de regularitate şi este integrabilă în modul pătrat. 3) Evoluţia în timp a funcţiei de stare este guvernată de ecuaţia Schri:idinger temporală. Dacă ne este cunoscută funcţia de stare la un moment dat to şi dacă ea este normată la acel moment de timp,

11

W(r, to) j2 dr = l ,

atunci, evoluţia în timp i) determină funcţia de stare la orice moment de timp, ii) asigură normarea funcţiei de undă la orice moment de timp. 11

(10.1)

Capitolul 10. REPREZENTĂRI. NOTAŢIILE LUI DIRAC. SCRIEREA MATRICIALĂ

Concret, legat de afirmaţia 1), amintim că din funcţia de stare extragem în mod direct - densitatea de probabilitate de localizare

10.1. REPREZENTĂRI ALE FUNCŢIEI DE STARE

este totuna cu reprezentarea

W(r , t) = P( r, t)

=I W(r, t ) 1 , 2

1

f( r )

W(r , t)

I

2

1

1 _ t.\?. I ?

1"

integrală

Fourier,

r

i

}p 4>(p, t) exp(h p · r) dp.

(10.7)

\

dr ,

Funcţia

(10.3)

d e st are în reprezentarea imp ulsului

Intre funcţia de stare şi transformata ei Fourier există o corespondenţă biunivocă: transformata Fourier rezultă din cunoaşterea funcţiei prin formula

- densitatea de probabilitate radială

Jor Jor

ca

(10.2)

- valoarea medie a oricărei funcţii de poziţia particulei f (r),

f(t) =

funcţiei

4>( p, t)

=

10

._t. 1 \ ?. I ?

1 r

i ) dr, W(r ,t) exp(-hp·r

(10.8)

2

Prad(r)

=r

2

1C

I

W(r . t)

2 1

dfl,

dfl

= sin () d() d

şi

Acum integrala se poate efectua

I

variabilă de la

o(,-,') Idda: I

suntem

conduşi

I

a' la , ' (0:: ')

,

d,'.

la rezultatul

şi

au fost studiate în §2.4.3 şi §4.4; sunt funcţii proprii comune operatorilor impulsului Px, Py, P 2 şi ale operatorului energiei particulei libere pentru valoarea proprie E = p 2 /211,1 . Constanta care înmulţeşte funcţia exponenţială a fost aleasă în aşa fel încât să fie îndeplinită condiţia de ortonormare în sens generalizat în scara parametrilor Px , Py, şi Pz [vezi §2.4.3 şi §2.2.3]

(u(p ;r) , u(p';r)) = o(p- p').

I N(a) l2=I d, do: I . Constanta de normare N (a) este se fixează prin convenţie.

determinată astfel până la un

(10.101) factor de

fază care

(10.105)

Cei trei parametri (Px , Py· p 2 ) care determină unic o funcţie pot fi înlocuiţi cu alţi trei cu care sunt în corespondenţă biunivocă, de exemplu cu mărimea vectorului p şi cei doi parametri care dau direcţia sa. Vom sCTie

I n I= 1.

p= pn , 32 33

(10.106)

REPREZENTĂRI. NOTAŢIILE LUI DIRAC. SCRIEREA MATRICIALĂ

Capitolul 10.

In aplicaţii este comodă folosirea valorii proprii a energiei E la care corespunde funcţia şi direcţia vectorului p caracterizată de versorul n. Simultan cu indicii,

putem schimba şi constanta din faţa funcţiilor, impunând o în sens generalizat în scara altor parametri. Vom nota cu

condiţie de ortonormare

u(E,n ;r)

(10.107)

funcţiile proprii ale impulsului care satisfac condiţia de ortonormare în sens generalizat în scara energiei şi a unghiului solid, adică (u(E, n; r) , u(E', n '; r)) = o(E - E') J(n - n ').

să determinăm

constanta N(p) care face trecerea de Ia o

u(E, n; r)

= C(p) u(p;r).

In acest scop, impunem condiţia (10.108) în care înlocuim cele seama de proprietatea (10.105) C*(p) C(p') J(p - p') In continuare,

funcţiile

ftv!p i u(E,n;r) = ( 1rn) 312 exp(hp·r) 2 sunt

funcţiile

proprii ale impulsului, normate în scara energiei

Exerciţiu: calculaţi

o(E-E')

şi

constanta C

făcând

o(p-p').

două funcţii

funcţie

(10.109) ~i ţinem

= o(E- E') J(n - n').

integrăm relaţia precedentă în raport cu I C(p') /2 =

In concluzie,

(10.108)

Funcţia J(n - n ') a fost definită în §10.2.3. :'.'Je propunem Ia alta

10.5. PROBLEMA DE VALORI PROPRII ASOCIATĂ UNEI OBSERVABILE. CAZUL GENERAL

variabilele Px, Py,

şi

Pz ,

1

o(E - E') J(n - n ') dp.

Pentru efectuarea integralei trecem Ia coordonate sferice legate de vectorul p . apoi de la mărimea acestui vector la E , folosind dE = p/A1 dp,

!.

li(E - E') li(n - n ') dp =

1

1=

li(E - E') p 2 dp

I.

6(n - n ') dil"

00

=M

po(E-E')dE=Mp'.

Am obţinut modulul constantei căutate

I C(p) /2 = Mp. Fixăm factorul

de

fază

arbitrar, alegând constanta C

(10.110)

reală şi pozitivă.

34

35

(10.111) şi

apel la relaţia (10.42)

a unghiului solid. şi

la legătura dintre

Capitolul 11 OP ERATORU L STATISTIC

11.1

Int roducere

In §6.9 am definit stările mixte ale unui sistem fizic, prin contrast cu stările pure. Aici vom recapitula cele învăţate în §6.9. Atunci când un sistem se află într-o stare pură (ceea ce se întâmplă destul de rar), informaţia despre acesta este conţinută într-un singur vector de stare normat, în timp ce pentru a descrie o stare mixtă este nevoie de un set de vectori normaţi

I 'Yi(t)), I '1'2(t)), ( 'Yj I 'Yj) = 1 , împreună

· .. , I WK(t) ) , j = l, 2, .... K ,

(11.1) (11.2)

cu ponderile asociate (11.3)

P1 , P2 , · · · , PK ,

numere nenegative, subunitare

şi

a

căror sumă

este

egală

cu 1,

K

O :c; Pj :=; 1 ,

LPj = l.

(11.4)

j=l

Observaţie. Notaţia

pentru ponderile asociate este diferită de cea din §6.9. Cei K vectori de stare ascultă de ecuaţia Schrodinger ataşată hamiltonianului sistemului considerat, iar ponderile nu depind de timp. In toate capitolele precedente ne-am referit la stă.ri pure, pentru care un singur vector normat este suficient pentru a descrie starea. 37

Capitolul 11. OPERATORUL STATISTIC 11.2. DEFINIŢIA OPERATORULUI STATISTIC. PROPRIETĂŢI

Formula (6.69) de calcul al valorii medii a unei observabile, K

A(t) =

LA (wj I A/ wj)

(11.5)

j=l

are la bază legea statistică pentru o observabilă exprimată prin relaţiile (6.67) şi (6.68). Valoarea medie reprezintă în cazul unei stări mixte o medie ponderată a valorilor medii pe care le-am obţine în K stări pure descrise fiecare de unul din vectorii setului (11.1).

Există deosebiri mari între o stare pură şi o stare mixtă, manifestate în st atisticile observabilelor. Din punct de vedere matematic însă., cele două situaţii pot fi prezent ate unitar, folosind pentru descrierea stării un operator, numit operatorul statistic. El înlocuieşte obiectele matematice menţionate anterior (vectori de stare şi J .,deri). Operatorul statistic a fost introdus de matematicianul John von :\'eumam 1927, pe cale axiomatică.

·. anul

In cele ce urmează, vom introduce operatorul statistic şi modul de lU( , ·u el pornind de la descrierea stărilor mixte cu ajutorul vectorilor de stare şi a p m · , ri1or.

11.2

Operatorul statistic, numit şi operatorul densităţii. este un operator în : ,ţiul sistem fizic. Operatorul este ataşat unei stări date a sist t •ilui. fiind definit prin K

/ Wj(t) )( Wj(l) /

proiectorul pe acel vector de stare.

Operatorul statistic este un operator liniar

5) evoluţia în timp a operatorului statistic este dictată de ecuaţia . dR ihdt=[1-i,R],

l. 6)

K

j=l

=I Wj(t) )( Wj(t)

şi explicităm

''

00

n=l

n=l

L Rnn = L (en I R I en )

oo

SpR=

(11.11)

L

K

LPj (en I Wj)(Wj I en), n=l j=l

după care schimbăm ordinea celor două sume, ceea ce permite efectuarea sumei peste indicele n pe baza proprietăţii de completitudine a vectorilor bazei K

(11.8)

00

=

operatorul statistic

d.7)

unde Pj (t) este operatorul de proiecţie ortogonală (proiector) pe subspaţiu · :nidimensiona1 asociat vectorului J Wj(t)). :'.\rotaţia I )( I, folosită aici , a fost irn · 11dusă în §10.3. Conform definiţiei sale, modul de acţiune al proiectorului Pj asu pr I unui vector I f) este redat de formula

P:i /f)=((Wj/f)) /wj),

(11.10)

pe rând proprietăţile enunţate. 1) Amintim (vezi §10.4.3 şi 10.4.4) că urma unui operator A se calculează din elementele de matrice într-o bază dată, fiind egală cu suma elementelor de matrice de pe diagonală. La trecerea de la o bază la alta, valoarea urmei nu se schimbă. Pornim de la definiţia urmei operatorului statistic, folosind o bază descrisă cu ajutorul notaţiilor din §10.4.1,

Mai compact,

pj

proprietăţile:

n

Sp R

= L Pj P:i(t) '

autoadjunct cu

1) Sp R----= 1 (urma operatorului statistic este egală cu 1), 2) R 2 i- R, cu excepţia stărilor pure, 3) Sp R2 :S 1 . Sp R 2 = 1 doar în cazul unei stări pure, 4) operatorul R este pozitiv semidefinit, adică el se bucură de proprietatea (f I R I f) ;:::, O, pentru orice vector I al spaţiului stărilor ,

j=l

R(t)

şi

Justificăm

stărilor asociat unui

= L Pj

adică

cu 1-i operatorul hamiltonian al sistemului fizic considerat.

Definiţia operatorului statistic. Proprietăţi

R(t)

Parantezele rotunde (nenecesare) delimitează de vectorul I Wj) numărul obţinut prin produsul scalar dintre vectorii I Wj ) şi I f) . In cazul pur, stării descrise de vectorul de stare J W(t)) îi corespunde operatorul statistic R(t) =I w(t) )( w(t) I, (w(t) I w(t)) = 1. (11.9)

SpR

=

K

oo

L(

K

LPj Wj I en) ( en I Wj) = LPj ( Wj I Wj) = LPj j=l n=l j=l j=l

38 39

=

1.

Capitolul 11. OPERATORUL STATISTIC 11.2. DEFINIŢIA OPERATORULUI STATISTIC. PROPRIETĂŢI

In final am folosit normarea vectorilor (11.1) care descriu starea normare a ponderilor. 2)

şi

apoi

condiţia de Pentru a vedea când apare semnul egal, trebuie să ne amintim că inegalitatea Schwartz-Cauchy se transformă într-o egalitate dacă cei doi vectori pentru care este scrisă sunt liniar-dependenţi. In cazul nostru , pentru a avea semnul egal este necesar ca oricare pereche de doi vectori de stare să fie liniar-dependenţi. Rezultă că în această situaţie particulară toţi vectorii de stare se pot exprima prin unul singur. Cum vectorii sunt normaţi, ajungem la concluzia că ei diferă unul de celălalt doar printr-un factor de fază. Ca urmare, îi putem exprima pe toţi astfel:

Pătratul operatorului statistic se exprimă ca o sumă dublă,

R' = RR = (tP, I

1)

'I'; )(W,

(t,P, Iw, )( w, 1)

de unde K

2

R =L

j=l

K

LPjPt (\J!j

I \J!1) I \J!j )(\J!z

I wj ) = eioj I w1 ) , /

l=l

(11 .12)

precedentă este evident diferită de formula (11.7) care defineşte operatorul implică o singură sumă în care apar numai proiectorii asociaţi vect orilor de stare, în timp ce expresia pătratului operatorului statistic este o sumă dublă. ce conţine şi operatori de tipul / \J! j) ( \J! k / , cu j i- k. Chiar în cazul în care Wficienţii J()r ar Expresia

R: ultima

fi

diferiţi

în operatorii R

şi

R 2 . In cazul pur

însă,

conform (11.9)

2

R =I \J! )( \J! / W )( \J! /=I \J! )( \J! I= R · 3) Din expresia (11.12) a operatorului statistic

(1 1. 13)

rezultă

un asemenea set de vectori descrie o stare pură, toţi vectorii despre sistem. Formulele generale conduc, evident, la concluzie deoarece

Este de

înţeles că

conţinând aceeaşi informaţie aceeaşi

I 'Pj )( Wj l= I W1 )( W1 1. şi deci R=I W1J(W1 I

I:f= 1 P} =I W1J(W1

K

=L

oo

Ordinea ultimilor doi factori putând fi schimbată, suma după n se efectuează foln:-:ind relaţia de completitudine şi rezultă că ea nu este este altceva decât produsul scalar ( \J!1 / \J! j) , astfel încât K

SpR = L LP} Pt j=l l=l Aplicarea

inegalităţii 2

SpR :.. este lăsat intenţionat în relaţii. Aşa cum am văzut în §12.1.5, în cazul în care nivelul ar fi degenerat (E2 = E 1), în ordinul zero funcţia proprie a energiei ar fi o combinaţie doar a funcţiilor I E1) şi I E2 ), toţi coeficienţii, afară de c1 şi c2 , fiind de ordinul întâi. Având în vedere această proprietate, ne aşteptăm la valori mici ale coeficienţilor , cu excepţia celor doi menţionaţi. Pe această bază se neglijează ultimul termen din fiecare din cele două ecuaţii precedente, care devin (E1 + >..H ~ 1 - W) C1 +AH~ 2 C2

A H; 1 C1 + (E2 + >..H; 2 - W) C2

k

= l , 2. (12.Sî)

= 0, = 0.

(12.60) (12.61)

Ecuaţiile

precedente admit soluţia nebanală dacă determinanul coeficienţilor mărimilor necunoscute c1 şi c2 se anulează. Condiţia este o ecuaţie de ordinul al doilea pentru VV

w 2-(E1 + >..H~ 1 + E2 + Rădăcinile ecuaţiei

llli ,2(>..)

n ivele de e n ergie ap rop iate

Aşa

Ho

(12.58)

nfl ,2

00

::\1ărimea precedentă

12. 1.8

H ~ n Cn ,

nfl,2

forţa

Aplicaţii

L AH; 1 C1 + AH; 2 C2 + >.. L

>.. H ~ 1 c1 + >.. H ~ 2 c2 + ,\

(W-E1)c1

nlm,nlm

sau, explicit,

ff,;~ ) =

PERTURBAŢIILOR STAŢIONARE

Pornim de la ecuaţiile generale (12.11) şi scriem explicit ecuaţiile care corespund celor două nivele E1 şi E2 , izolând din suma din membrul al doilea termenii corespunzători vectorilor I E1 ) şi I E2 ) ,

u 1(1) _ H' n

METODA

V(>..)

>..H;2) w+(E1 + >..H~ 1) (E2 + >..H;2)->.. 2 I H~2 l2=

0·

sunt date de

~ [ E1 +

E2 + >.. H ~ 1 + >.. H; 2 ± V(>..) ] ,

{(E1+>..H~1-E2->..H;2)2+4>..2 IH~2J2r/2

(12.62) (12.63)

Pentru >.. = O, avem W1,2 -+ E1,2 , iar în ordinul înt âi în >.. rezultatele se reduc la cele pe care le dă metoda perturbaţiilor aplicată pentru corectarea fiecărui nivel, W1 ;:::o E1 + >.. H ~ 1 , W2 ;:::o E2 + >.. H ; 2 , aşa cum este normal să fie. Rezultatul nou obţinut, dat de (12.62) , conţine şi contribuţii de ordin superior în >.. , determinate de cuplajul nivelelor adus de elementul de matrice H ~ 2 . O caracteristică a rezultatului o constit uie imposibilitatea ca nivelele de energie W 1 şi W2 să se intersecteze.

69

Capitolul 12. METODE DE APROXIMAŢIE PENTRU REZOLVAREA PROBLEMEI DE VALORI PROPRII A ENERGIEI Observaţie. Dacă nivelele de energie coincid E1 = E2 , rezultatele precedent e se reduc la cele la care ne conduce ecuaţia seculară în cazul unui nivel de energie dublu degenerat. Intr-adevăr, dacă în ecuaţia (12.62) scriem VV = E1 + W(l ) şi luăm ,\ = 1 , ecuaţia obţinută nu este altceva decât ecuaţia seculară 1 ( w(

12. 2

l)

2 -

(H'11

Met oda

+ H'22 )

1

w( )

+ H'11 H'22 -

I

H'12

2

1

--

o·

(12.64)

variaţională

Princip iul

var iaţional

Rit z

iii) Dacă vectorul I ) coincide cu un vector propriu al energiei (obligatoriu unei valori proprii din spectrul discret, pentru că altfel vectorul nu aparţine spaţiului stărilor) , I ) =I Wn), atunci funcţionala energiei coincide cu valoarea proprie asociată vectorului , E(I Wn)) = Wn. Pornind de la un vector I o) oarecare, modificarea sa într-un vector "apropiat", + E I

= ( 100 100 I

5 I 100 100; = e5 e r12

j j r1

r2

··baţie,

I uf00 (r1) 12 -2._ I ufoo(r2) 12 dr1 dr2. r12 (12.90)

76

2Z

dependenţa 2

-Zea

(12.92)

ao

I

de

numărul

'

atomic Z a (12.93)

+ P2)] dp1 dp1

= 201r2.

o

stării

(12.94)

P12

ivY> = ~ z e5

menţionată

în

(12.95)

8 ao '

fundamentale

wgert = Corecţia lVJ

12.89)

(12.91)

-r2 ,

Ea este o constantă numerică fără dimensiuni, a cărei valoare este formula precedentă. Calculul integralei îl lăsăm în seama cititorului. Rezultatul pentru corecţia de ordinul întâi este astfel

-I>(Z;r1,r2) =uf00 (r1)u{ ,r2).

ao

+r2) ) dr1 dr2.

I fiind integrala

iar pentru energia

Z r) exp ( - -

-l

=

- 321r2 ao

2.88) 3 2 /

ao

extragem

(1) -

.w elul ste o

Funcţia uf00 (r) are expresia (vezi §5.3)

- -2Z (r1

P2

-r1 ,

trecem la variabile adimensionale integralei

J

In aproximaţia neglijării interacţiei electrostatice dintre cei doi electroni :iergia nivelului fundamental este dublul energiei unui atom (ion) hidrogenoid fo r i t din nucleul cu Z protoni şi un electron,

-l

r 2 r12

variabilă

P1

12.2.4

conform (12.89), avem

_ Z e5 (Z _ ao

~).

(12.96)

8

> este pozitivă deoarece este rezultatul repulsiei dintre electroni. La heliu ( Z = 2) , pentru starea fundamentală se prevede astfel energia de - 74,8 eV în locul valorii de -108,8 eV pe care o dă aproximaţia electronilor independenţi. Corecţia are o valoare mare. Ea ne duce spre energii mari , dincolo de valoarea adevărată,

1

wgert

>

w;xp =

-78.9 eV,

Z= 2,

ceea ce. având în vedere proprietatea (12.75) a funcţionalei energiei apare ca firesc: ivgert coincide cu valoarea funcţionalei energiei luată pentru funcţia de probă Z - 2( r1 ) u Z - 2( r2 ) . u 100 100 77

Capitolul 12. METODE DE APROXIMAŢIE PENTRU REZOLVAREA PROBLEMEI DE VALORI PROPRII A ENERGIEI Găsim un rezultat mai bun decât cel precedent pe baza metodei variaţionale. Pentru a ilustra această afirmaţie aplicăm metoda variaţională pentru a determina starea fundamentală a operatorului energiei HNR, folosind o familie de vectori de probă depinzând de un singur parametru. Păstrăm structura de singlet a vectorului propriu şi lucrăm, pentru determinarea funcţiei de coordonatele de poziţie, cu familia de funcţii de probă, depinzând de parametrul Z

- r1, r2) = u 100 z (r1) u 1zoo(r2). . µ ) ) + (Jz I >. µ ) ' Jz I Â µ ) ) . (Â µ

84

·:u 6) :3.17 l

Expresia precedentă ne arată că mărimea din membrul stâng al ecuaţiei (13.19) i) este nenegativă, fiind suma a trei termeni nenegativi , ii) se anulează numai dacă se anulează toţi trei termenii. Cum în membrul drept al egalităţii (13.19) produsul scalar (>..µ I >.µ) este pozitiv, rezultă că numărul >. este nenegativ. Rezultă , de asemenea. că pentru >. = O, prin acţiunea operatorului asociat oricărei componente de moment cinetic se obţine vectorul zero. Pentru a stabili a doua inegalitate din (13.18), aplicăm operatorul Jz celor doi membri ai ecuaţiei (13.17).

i; I >. ţL

)

= µ n Jz

I >. µ ) '

de unde, folosind din nou ecuaţia (13.17) în membrul drept , găsim

J; Scădem

apoi

relaţia precedentă.

I >. µ ) = µ2 n2 I >. µ 1. din (13.16),

(J2-J;) l>.µ)=(>.-µ2)n2 apoi înmulţim scalar cu vectorul propriu

(>. µ I J 2

-

(13.20)

J; I >. µ)

Iµ

= (>. -

j>.µ),

) relaţia obţinută şi avem astfel, µ 2)

n2 (>. µ I >. µ

).

(13.21)

Prelucrarea membrului stâng, asemănătoare celei din calculul precedent, bazată pe caracterul autoajunct al operatorilor Jx şi Jy ,

nale. mcţi

.18)

.1tru

U9)

(Â

µ IJ

2

-

i; I ).. µ ) = (J x I Â µ

}, J x

I ).. µ }) + (Jy I Â µ }, Jy I Â µ

)) ,

arată că mărimea

din membrul stâng al egalităţii (13.21) este nenegativă. Cum produsul scalar din membrul drept al aceleaşi relaţii este pozitiv, rezultă inegalitatea anunţată, µ 2 S >.. In particular, dacă >. = O atunci şi µ = O, şi amintindu-ne situaţia semnalată în cazul >. = O, avem J I >. µ ) = I zero ) +----------7 >. = µ = O. (13.22)

,·t al Analizăm

în continuare efectul aplicării fiecăruia din operatorii J+ şi J _ asupra unui vector I >. µ ) . ln acest scop introducem vectorii

IJ±)=h i>.µ). 85

(13.23)

Capitolul 13.

Pentru a evidenţia proprietăţile acestor vectori , le aplicăm întâi operatorul J

I !± ) =

J2

J 2 J±

I >- µ

) = J± J

2

I >- µ 1= >- n2 J± I >- µ

2

) = >- n

2

I f± ) .

In mod evident , am folosit relaţiile de comutare (13.13). Din relaţia precedentă rezultă că dacă vectorii I f +) şi I f - ) nu sunt nuli, atunci sunt şi ei vectori proprii ai operatorului J 2 , pentru aceeaşi valoare proprie ,\ h 2 , ca şi vectorul I ,\ µ ) de la care am plecat. Aplicăm acum operatorul Jz vectorilor I f± ) de care ne interesăm. Apoi folosim expresiile comutatorilor date de (13.12) pentru a schimba ordinea operatorilor; obţinem Jz

fJ±

)=JzJ±

f ,\µ) = (J±Jz±hJ±) i>.µ) = µhJ± f ,\µ)±nJ± f ,\µ ),

adică

Jz

I J± ) = (µ ± 1) n I J± ) .

(13.24)

Egalitatea stabilită arată că dacă vectorul I f + ) # I zero ) , atunci el este vector propriu al operatorului Jz pentru valoarea proprie (ţt + 1) h , o valoare crescută cu h faţă de valoarea la care corespunde vectorul I ).. µ ) de care este legat. Asemănător, rezultă că dacă I f- ) # I zero ) , atunci el este vector propriu al lui Jz pentru valoarea proprie (µ - I) h, o valoare mai mică cu h decât valoarea la care corespunde vectorul I ).. µ ) căruia i-a fost aplicat operatorul J _ . In legăt 1. ră cu proprietăţile demonstrate, operatorii J+ şi J_ se numesc operatori de ridicar e. respectiv, coborâre (a valorii proprii a operatorului Jz ) . Fiecare vector I ).. µ ) este definit de ecuaţiile de valori proprii de care asculr ;\ până la un factor constant arbitrar. Pot exista însă mai mulţi vectori care sati:-fa c ecuaţiile de valori proprii (13.16). Pornind de la unul dintre ei, notat ca şi până acum I ).. µ ) , şi având în vedere proprietăţile vectorilor I f± ) . sunt justificate identificirile (notaţiile)

if+)=J+

13.3. PROBLEMA VALORILOR PROPRII PENTRU OPERATORII MOMENTULUI CINETIC

ELEMENTE DE TEORIA GENERALA A MOMENTULUI CINETIC

f)..µ)=C>.µ

if- )=J-

f)..µ+1),

f)..µ)=D>.µ

f,\µ-1),

ii)(µ+ 2) h este valoare proprie cu condiţia ca

şi D>.µ două

constante, eventual egale cu zero.

Analiza rezultatelor obţinute , pe care o facem în continuare. ne conduce spre concluzii importante referitoare la valorile proprii. Din proprietăţile deja demonstrate, rezultă. că dacă µ n este o valoare proprie a operatorului J 2 , pornind de la un vector ataşat I ).. µ ) , vector propriu comun operatorilor J 2 şi J2 , atunci i) (µ + 1) n este valoare proprie cu condiţia ca J+ I ,\ µ ) #I zero) , 86

f

,\µ) #I zero).

Se poate continua, dar nu oricât de mult, deoarece dacă şirul nu s-ar întrerupe am ajunge la o valoare proprie care contrazice a doua inegalitate din (13.18), adică la un rezultat absurd. Pentru ca inegalitatea să nu fie contrazisă este necesar ca prin procedeul descris să ajungem la un vector, pe care îl notăm I ,\ µmax ) , pentru care J+

f ,\

µmax ) = I zero),

(µmax+ 1) 2 > ,\.

µ~ax ,\.

( 13.27)

Obţinem noi informaţii, dacă aplicăm operatorul J_ celor doi membri ai egalităţii (13.26) şi operatorul J+ celor doi membri ai egalităţii din (13.27) şi apoi folosim (13.15) , respectiv (13.14) pentru produsul de operatori care se formează. Să urmărim calculul menţionat. Pornind de la (13.26) , avem

J _ J + I A µmax ) = I zero ) ,

pentru că un operator liniar aplicat vectorului I zero) (vectorul nul) conduce la vectorul nul. Explicit, folosind (13.15),

(J 2 -

f; - nJz)

I )..µmax) =I zero).

Rezultatul aplicării operatorilor este imediat, deoarece ei întâlnesc un vector propriu. Ajungem astfel la

I )..µmax)

=I zero),

Egalitatea nu este posibilă decît dacă numărul care este egal cu O, adică dacă µmax (µmax+ 1) = A.

înmulţeşte

(A -

(13.25) cu C>.µ

J'i.-

Cu totul

asemănător ,

µ~ax - µmax) 'h

2

pornind de la (13.27), avem J+ J_ I Aµmin) =/zero)

87

vectorul din stânga (13.28)

Capitolul 13.

ELEMENTE DE TEORIA GENERALA A MOMENTULUI CINETIC

sau

(J 2 -

f; + 'fiJz)

Inainte de a merge mai departe, trecem la notaţii mai potrivite pentru a reda puse în evidenţă ale valorilor proprii. ~otaţia este cea standard în toată literatura de specialitate. Se notează

I µmin) =I zero),

proprietăţile

de unde,

(>. şi,

µ~in + µmin)

ri

2

I µmin) =I zero),

j

în final , egalitatea µmin (ţLmin - 1)

=

(13.29)

Â.

Constatăm că valorile maximă şi minimă pe care le poate lua numărul µ la o valoare fixată a numărului  sunt legate de valoarea luată de  şi sunt legate una de celălaltă prin egalitatea

/lmin (µmin - 1)

= µmax

soluţie

(13.30)

(µmax + 1) ·

Relaţia precedentă are două soluţii:

prima

i) µmin = -µmax, ii) are sens, a doua contrazice definiţiile celor

1. Doar pe care le

două mărimi

- µmax ·

= întreg nenegativ ,

care exprimă numărul de paşi care conduce de la o valoare extremă la cealaltă , 2 µmax ceea ce atrage

după

rezultă

= întreg nenegativ sau semiîntreg pozitiv .

2) Valorile proprii pentru operatorul pătratului formează şi ele o mulţime discretă, descrisă de formula µmax (µmax + l) 1i2 , unde µmax este restrâns la valorile date de {13.32}.

(13.33)

(13.28) ,

=

 = j(j+l).

-J,

(13.34)

J 2 ca  n2 şi adoptăm scrierea ei ca j (j + l) n . Schimbăm de asemenea notaţia pentru valorile proprii ale operatorului Jz , adoptând notaţia 2

ţ1

In

consecinţă,

= m.

(13.35)

pentru vectorii proprii schimbarea de

I>.µ) =I

notaţie

este

jm ).

(13.36)

In simbolul ket nu se mai plasează Â ci j , număr care determină valoarea lui Â. In noile notaţii , rezultatele demonstrate se transcriu astfel: 1) Numărul cuantic j nu poate lua decât valori nenegative, întregi sau semiîntregi. 2) Pentru o valoare fixată a numărului cuantic j, numărul cuantic m ia (2j + 1) valori, de la - j la j, în paşi de câte o unitate.

Baza

J

(13.32)

Concluziile la care ne-au condus calculele precedente sunt: 1) Valorile proprii ale operatorului Jz sunt multipli întregi sau semiîntregi ai constantei Planck. Situaţia nu poate fi alta pentru alte componente, dat fiind echi,;alenţa direcţiilor spaţiului. A rezultat deci cuantificarea componentelor momentului cinetic.

= /lmax 2': O

Renunţăm deci la scrierea unei valori proprii a operatorului

Transcriem

88

şi

µmin

13.4

= întreg nenegativ ,

sine

µmax

pe baza (13.31)

(13.31)

Setul de valori proprii ale operatorului Jz are astfel următoarele particularităţi: a) diferenţa a orice două valori proprii este un număr întreg, b) valoarea minimă di n set este egală şi de semn contrar cu valoarea maximă. Atunci, din relaţia µmax - µmin

şi rezultă,

µmin = µmax+

leagă. Reţinem

µmin -

13.4. BAZA CANONICĂ DE PONDERE J

2

canonică

ecuaţiile

de pondere j

de valori proprii (13.16)

şi

(13.17) în noile

notaţii ,

jjm)=j(j+l)n 2 ljm),

J 2 )jm)=mri ljm),

m

= -j, -j + 1, ... , j -1, j.

(13.37)

Doi vectori care poartă valori j sau / şi m diferite sunt ortogonali pentru că ei corespund la valori proprii diferite ale unor operatori autoadjuncţi. :'.\re amintim acum de relaţiile (13.25) care redau modul de acţiune al operatorilor de creştere şi coborâre; le rescriem cu notaţiile nou introduse şi cu renotarea constantelor C şi D : J+

I j m ) = ,Bj m 1i I j m + l

),

L 89

I j m ) = Oj m n I j m

- 1),

(13.38)

Capitolul 13.

ELEMENTE DE TEORIA GENERALA A MOl\fENTULUI CINETIC

unde O:j m şi /3j m sunt constante adimensionale. In particular, sunt valabile relaţiile (13.26) şi (13.27), adică avem /3jj

=

o,

O'.j, - j

=

o.

13.4. BAZA CANONICĂ DE PONDERE J şi

apoi aplicăm produsul de operatori exprimat pe baza relaţiei (13.14). Suntem la egalitatea

conduşi

j(j+l)-m2 +m=IO:jml 2

(13.39)

.

Este astfel bine determinat modulul constantei O:j m , aşa cum anunţasem Relaţiile (13.37) lasă

arbitrar un factor constant în expresia fiecărui vector. Alegerea sa influenţează valorile constantelor a şi /3. Dacă normăm vectorii, modulele constantelor devin bine determinate. Vom presupune vectorii normaţi ,

I O'.jm /= J(j + m) (j Constatăm că relaţiile

(jmljm) = l,

O'.j ,- j

In aceste condiţii, arătăm că sunt bine determinate modulele constantelor. Intre constantele care redau acţiunea lui J+ şi cele care redau a,ţiuni>a lu i J _ în relaţia (13.38) trebuie să existe o legătură deoarece cei doi operat ori sunt ·mul adjunctul celuilalt. Pentru a afla această relaţie, înmulţim scalar în prima ern aţie (13.38) cu vectorul I j m + 1 ) şi obţinem

(jjm+ 1), J + I jm )) =

şi

J_

Ij

m) = a;m+i

nIj

m

+1 ),

J_

li m) =

J2 I jm) Jz jjm)

(13.42)

In sfârşit, pornind de la ultima relaţie , considerăm produsul scalar al vectorului I j m ) cu el însuşi ,

(J- ljm),J_ jjm))=lo:jml 2

n2 ,

transcriem membrul stâng cu ajutorul adjunctului operatorului J _ ,

(J- ljm),L ljm)) = (ljm),J+J_ ljm)) 90

I·

(13.44)

la un factor de fază comun. In încheiere transcriem relaţiile pe care le satisfac vectorii

(jmljm') J+ I jm) J _ jjm)

(13.41)

o:jm n I j m - 1 ) .

= O'.jj+l = o.

până

Vom lucra atunci numai cu constanta O:jm, cu ajutorul căreia transcriem relaţiile (13.38) ca J+

/3jj

O:jm =I O'.jm

deci Pjm ·

=o'

O dată cu normarea lor a rămas arbitrar un factor de fază în expresia fiecăruia dintre vectorii I j m ) , iar fixarea acestuia afectează valoarea constantelor O:j m . Se profită de arbitrariul existent şi se lucrează cu constante reale şi pozitive, adică se face alegerea

li m + 1 ) , I j m )) = o:; m+ 1 n O:jm+l =

(13.43)

In acest caz, factorul de fază relativ a doi vectori ~ste fixat şi toţi vectorii sunt definiţi

/3jmn. .

Folosind adjunctul operatorului J+ , membrul stâng devine, după ce aplicăm cca de a doua relaţie (13.38) cu m trecut în m + 1 ,

(J _

+ 1) .

(13.39) sunt îndeplinite, pentru că

(13.40)

lml::;j.

m

= = = = =

Ij

m ) cu j fixat

j(j+l)t°i2 ljm) ,

(13.45)

mnljm),

(13.46)

0mm',

(13.47)

O:jm+1'h ljm+l), aj m n I j m - 1 ) ,

(13.48)

cu Ocj m =

J (j + m) (j -

(13.49)

m + 1) .

(13.50)

Dacă sunt îndeplinite toate relaţiile precedente, setul de (2j + 1) vectori / j m ) cu j fixat şi m luând valori de la - j la j în paşi de câte o unitate se numeşte bază canonică de pondere j în raport cu momentul cinetic J . Este de fapt vorba de o bază într-un subspaţiu din spaţiul Hilbert în care operează operatorii momentului cinetic ai sistemului fizic pe care îl studiem. Observăm, încă o dată, că vectorii unei baze canonice sunt unic determinaţi până la un factor de fază comun. Dacă însă modificăm vectorii unei baze canonice înmulţindu-i pe fiecare cu alt factor de fază, relaţiile ( 13.45)-(13.47) nu sunt afectate, dar relaţiile (13.48) şi (13.49) sunt, şi, ca urmare, noii vectori nu mai formează o bază canonică.

91

Capitolul 13.

ELEMENTE DE TEORIA GENERALA A .MOMENTULUI CINETIC

O dată cu relaţiile precedente este bine determinat modul în care operatorii componentelor momentului cinetic pe alte axe decât Oz acţionează asupra vectorilor bazei. Este suficient să adunăm şi să scădem relaţiile (13.48) şi (13.49) pentru a obţine

JI I j m) = ~(J+ + J_ ) lj m) = Jy I jm)

13 .5

= -

1

2i

.(J+ - J ) I jm)

Observaţii

~

[o:jm+l

Ij

m + l;

+ O:jm I j

ii . [o:jm+l I jm+ 1) 2i

= -

O:jm .

13.6. EXEMPLE DE BAZE CANONICE numărului cuantic j din teoria generală este numărul cuantic l ; el ia numai valori întregi nenegative. Funcţiile sferice Yim(O, ) cu l fixat, aşa cum au fost ele definite în Cap. 4, formează o bază canonică în raport cu momentul cinetic orbital al unei particule. Afirmaţia îşi găseşte justificarea o dată cu verificarea relaţiilor (vezi anexa

D) m -1;] , (13.51)

L± Yim = precizări

13.6.2

cum am menţionat la începutul capitolului, observabilele momentului r inetic sunt observabile fundamentale ale oricărui sistem atomic. Pentru un sistem „romic dat şi un moment cinetic fixat, valorile posibile pentru observabilele de 1,wment cinetic sunt cele pe care le prevede teoria generală prezentată în acest capit1l. Precizăm că pentru un sistem fizic dat întâlnim fie cazul în care j este întreg nern'gativ , fie cazul în care j este semiîntreg pozitiv, deci nu ambele posibilităţi. A L:-:naţia poate fi înţeleasă pornind de la cazul cunoscut al momentului cinetic orbital ;1: 1,nei particule şi al spinului. menţionate şi în continuare, şi folosind adunarea monw,' r dor cinetice pe care o vom prezenta la sfârşitul capitolului.

Aşa

păReferindu-ne la momentul cinetic total al unui sistem oarecare, observabil trat al momentului cinetic şi componentă a sa după o axă fixă nu formează set complet de observabile compatibile. Li se pot adăuga însă alte observabile, , ·reună cu care să formeze un sistem complet de observabile compatibile. Ca urm; 1' . SP poate alege o bază în spaţiul stărilor formată din vectori proprii de tipul I "f _ ,n ) , unde 'Y notează un set de numere cuantice legate de observabilele adăugate, iar j şi m au semnificaţia din secţiunile precedente. Dacă fiecare set de (2j + 1) y1 1 ,,ri I 'Y j m ) , I m I ::=; j. cu 'Y şi j fixaţi, formează o bază canonică de pond1·r, j , atunci se spune despre baza întregului spaţiu Hilbert că este o bază canonică. Este avantajos să se lucreze într-o asemenea bază.

13 .6 13.6.1

Momentul cinetic 1/2

Pentru particula cu spin s = 1/2 spaţiul spinului are dimensiunea 2. Operatorul spinului se reduce la

pătratului

g2

Primul caz studiat de noi este cel al momentului cinetic orbital al unei particule. Rezultatele obţinute sunt în acord cu cele din acest capitol. Corespondentul

92

= ~4 ii2I .

(13.54)

Suntem în cazul unui moment cinetic de mărime constantă j -, s este justificată identificarea

=

1/2. Arătăm

că

I ~ ) =I 1/2, 1/2), I TJ ) =11;2 , -1;2).

(13.55)

Ştim deja că spinorii I ~) şi I 7J) sunt vectori proprii ai operatorului S2 pentru valorile proprii ii/2 şi -ii/2, respectiv, şi, evident, ai operatorului S2 pentru valoarea proprie s( s + 1) ii 2 ; rămâne să stabilim că acţiunea operatorilor S+ şi S_ este cea canonică, adică, explicitând relaţiile (13.48)-(13.50) cu o: 1; 2 ,1; 2 = 1 , să vedem dacă sunt adevărate egalităţile

Dacă exprimăm

S+

s_ I O = ii I TJ) ,

s_ I TJ) =I zero) .

Sx = relaţiile

I TJ) = n I O ,

S+ I O =I zero),

(13.56) (13.57)

operatorii spinului 1/2 prin operatorii Pauli ,

Exemple de baze canonice Momentul cinetic orbital

(13.53)

Al doilea caz studiat de noi este cel al spinului 1/ 2, referitor la care facem unele în secţiunea următoare.

jjm-1;]. (13.52)

finale

n V(l =F m) (l ± m + 1) Yi m±1.

pe care vrem

să

le

(crx + i cry)

ii

2 crx, verificăm

ii S y = -2 cry'

ii Sz=2crz,

(13.58)

devin

I O = I zero ) ,

(crx-icry) 10=2 ITJ), 93

I (crx+icry) I TJ) =2 I O, (crx - i cr y) I 7J ) = I zero ) .

(13.59) (13.60)

Capitolul 13.

ELEMENTE DE TEORIA GENERALA A MOMENTULUI CINETIC

Valabilitatea acestor relaţii se verifică imediat, folosind modul de acţiune (7.40) al operatorului r.Tx şi modul de acţiune (7.41) al operatorului r.Ty asupra vectorilor bazei r.Tz.

In concluzie, am justificat afirmaţia: vectorii bazei rJ z formează o bază canonică de pondere 1/ 2 în raport cu operatorul spinului unei particule de spin 1/ 2. Observaţie: Proprietăţile operatorilor Pauli deduse în Cap. 7, transcrise ca proprietăţi ale operatorilor ataşaţi spinului 1/ 2,

13.7.

:'.'Jotaţia , folosită încă

din §9.3.1 , a anticipat faptul că primii trei vectori formează o de pondere 1 în raport cu spinul total, iar cel de al patrulea o bază canonică de pondere O. 0Te convingem de acest lucru, verificând prin calcul direct că modul de acţiune al operatorilor bază canonică

5+ este cel canonic ,

52 = 52 = 52 = fi2 I X y Z 4 '

5x 5y + 5y 5x = 5x 5y = i

o'

~ 5z'

5y 5z + 5z 5y =

5y 5z = i

%5x '

o'

5z 5x + 5x 5z

5z 5x = i

~ 5y '

= o'

5+ I 1 O) = 0'11 fi I 11 ) , 5+ I 1 - 1 ) = O'lQ fi I 1 O) ,

( 13.63)

I6

I m 6 ) , I rJ1 rJ2

rJ2 > ,

),

(1 3 ,,!)

am construit vectorii

I 11>=166),

1

= -J2 (I 6

I oo)

-J2 (I 6

1

rJ2

>+ I rJ1 6)) ,

rJ2 )- I ry1 6))

.

11 - 1) =I rJ1 rJ2 . (13.fJ:i )

Aceştia sunt vectori proprii comuni ai operat orilor 8 2 şi S 2

5z I lms)

=

msn I lms),

82 IOO)=lzero),

S

2

S

2

I lms)

=

2n 2 I lms ) .

IOO)=lzero). 94

a10

=

13 .7

= 5x -

i5y

(13.68)

5 _ 11 1) = a11 n I 1 o) , 5 _ I 1 o) = a10 n I 1 - 1 ) , 5 _ I 1 - 1 ) = I zero ) ,

(13.69) (13.70) (13.71)

v2.

Exerciţiu. Verificaţi

valabilitatea

relaţiilor

precedente.

Mome nt ul cinetic tot a l al unei particule de spin 1/2

In Cap. 7 am considerat momentul cinetic total al unei particule de spin 1/ 2

J= L +S

(13.72)

şi

am determinat valorile proprii ale componentelor operatorului, redate de expresia

mfi cu m orice semiîntreg, şi ale pătratului operatorului, date de j(j + 1) n2 , cu numărul cuantic j un semiîntreg pozitiv. Evident , rezultatele sunt în acord cu previziunile teoriei generale a momentului cinetic expuse în §13.3.

13. 7.1 11 o)

=

5_

două

particule de spin 1/ 2. Din combinaţii liniare ale vectorilor proprii ai operatorului 5z ataşat componentei după axa Oz a spinului total, >,

a11

şi

adevărate relaţiile

(13.62)

B aza canoni că în raport cu spinul tot al a două particule de spin 1/ 2

I6 6

sunt

5+ I 11) = I zero),

unde

In §9.3.1 am considerat operatorul spinului total pentru

adică

= 5x + i5y

(13.61 )

sunt specifice numai momentului cinetic 1/ 2; pentru un moment cinetic diferit de 1/ 2, operatorii asociaţi componentelor momentului cinetic nu au pătratul egal cu un multiplu al operatorului unitate, nu anticomută şi nici produsul a doi dintre ei nu este proporţional cu al treilea.

13. 6 .3

MOMENTUL CINETIC TOTAL AL UNEI PARTICULE DE SPIN 1/ 2

ms = O, ±1 , (13.66) (13.67)

B aze canon ice în rap ort cu momentul cinetic total

:'.'J e propunem determinarea bazelor canonice în raport cu momentul cinetic J. Vectorii pe care-i căutăm aparţin spaţiului stărilor particulei cu spin 1/ 2, deci sunt spinori. Scopul nostru este să construim spinorii proprii comuni operatorilor J 2 şi Jz, normaţi, şi asupra cărora operatorii J+ şi J _ să aibă acţiune canonică. In general. la valori fixate pentru numerele cuantice j şi m corespund mai mulţi (chiar o infinitate) de vectori de tipul I j m). In cazul de faţă, amintindu-ne (vezi §7.3.2) că operatorul pătratului momentului cinetic orbital L 2 comută cu operatorii J 2 şi Jz , vom căuta vectorii proprii comuni celor trei operatori , adăugând astfel o ecuaţie celor cinci relaţii (13.45)-(13.49) care caracterizează o bază canonică. Vectorii unei 95

Capitolul 13.

ELEMENTE DE TEORIA GENERALA A MOMENTULUI CINETIC

baze canonice în raport cu momentul cinetic total, care sunt operatorului L 2 vor fi notaţi prin simbolul

şi

vectori proprii ai

I ljm) , iar

ecuaţiile

de care

ascultă

J2

Jz

ei sunt

(ljml Zjm') J+lljm)

(13.75)

8m,m 1

(13.76)

,

Gj m

1i

I Zj m

(13.78)

- 1 ) ,

J (j + m) (j -

adevărată relaţia

m

+ 1)

(13.79)

,

(13.80)

de ortonormare

I l' j' m') = 8u, Djj' 8mm'.

( lj m

MOMENTUL CINETIC TOTAL AL UNEI PARTICULE DE SPIN 1/2

Trecem acum la determinarea spinorilor

13. 7.2

(13.81)

1

= l ± 2'

l

#o ;

1

= 2'

j

l

=o.

(13.82)

Citim relaţiile precedente în două moduri: 1) pentru o valoare nenulă dată a numărului cuantic Z , numărul cuantic j ia două valori, iar pentru l = O doar valoarea 1/ 2, ceea ce în problema de care ne ocupăm se traduce prin: i) există două baze canonice care poartă acelaşi l # O, formate din spinorii

IZZ+ ii)

1

2

m) ,

există

o

!mlsl+

1

2

,

!ZZ-

1

2 m),

lmlsZ-

singură bază canonică caracterizată

1 1

1

Io- - )

prin

Z=

1

2,

l/0,

(13.83)

O cu spinorii

Ca orice element din spaţiul stărilor particulei cu spin 1/ 2, un spin or admite reprezentarea lljm) = A(e, Ek a unui foton cu direcţia

de propagare n aparţinând polarizaţia s este dr

emsp

ns

dn

unde mărimea a~~k, numită coeficient diferenţial Einstein pentrn emisie spontană, se schimbă o dată cu sistemul atomic şi cu perechea de nivele considerată şi depinde de atributele fotonului emis.

2) Ipoteza lui Einstein referitoare la

absorbţie:

Procesul de absorbţie are loc în prezenţa unui câmp electromagnetic extern. Rata de absorbţie în tranziţia Ek -> Em a unui foton cu frecvenţă Wmk , direcţi a de propagare de-a lungul vectorului n aparţinând unui element de unghi solid dDn şi polarizaţia s este

dI'k~m = bk~m P(""mk , s) dDn,

Wmk

""mk = -c- n,

Jr'emstim

Ul.

m--+k

=

bns m-+k P(""mk , S ) dn Hn

·

(1 5.19)

enunţării

lor ipotezele lui Einstein aveau suport experimental în ceea ce priveşte absorbţia şi emisia spontană. Pornind de la ipotezele sale şi aplicându-le situaţiei speciale a unor sisteme atomice în echilibru cu radiaţia, deci atunci când 132

r L a~~k dDn.

Jn

( 15.21)

s

Pentru absorbţia de radiaţie se poate defini o rată totală de absorbţie, corespunzând absorbţiei indiferent de direcţia din care provine şi starea ei de polarizaţie rabs = k -+ m

1~ 6

stimulată:

Vedem din nou proporţionalitatea cu valoarea densităţii spectrale, analizată d u pă direcţia de propagare şi polarizaţie, pentru frecvenţa Bohr a tranziţiei , şi înti\:aim coeficientul diferenţial Einstein pentru emisie stimulată. La data

In cazul emisiei spontane, se defineşte coeficientul total Einstein referitor la o pereche de nivele date ca fiind rată totală a tranziţiei Em -> Ek prin emisie spontană. Coeficientul total, notat Am-+k , este legat de coeficientul diferenţial pentru emisie spontană prin relaţia

n

prezenţa

(15.20)

Aceste formule sunt generale, fiind valabile pentru orice sistem atomic. Dacă ţinem seama de egalitatea coeficienţilor b, constatăm că ratele de absorbţie şi de emisie stimulată sunt egale. Fiind o teorie fenomenologică, teoria lui Einstein nu putea răspunde la problema calculului coeficienţilor a şi b. Aşa cum am menţionat anterior, fizica cuantică a confirmat teoria lui Einstein şi a condus la formule pentru calculul coeficienţilor Einstein.

(li.i .18)

unui câmp electromagnetic extern are loc şi un proces de emi~ie stimulată, în care sunt emişi fotoni cu caracteristicile celor prezenţi în câmpul ex r t'rn. Rata de emisie stimulată în tranziţia Em -> Ek a unui foton cu pulsaţia i,_·,,, k , direcţia de propagare n în elementul de unghi solid dDn şi polârizaţia s este In

ns nw!k bns am--+k = -7r8 3 3 m-+k · C

b'{:,m = b~~k ,

Am-+k =

deci este proporţională cu densitatea spectrală analizată după direcţia de propagan · şi pol arizaţi e, pentru frecvenţa Bohr a tranziţiei. :V1ărimea bk~m se numeşte coefil I nt diferenţial Einstein pentru absorbţie.

3) Ipoteza lui Einstein referitoare la emisie

densitatea spectrală este cea a radiaţiei termice, iar ocuparea nivelelor se face conform distribuţiei Boltzmann, Einstein a dedus relaţii de legătură între coeficienţii

frecvenţa

(15.17)

Hn ,

EMISIA LUMINII

diferenţiali

Wmk , unui element de unghi solid dDn oarecare şi

m--+k = am - •k

ABSORBŢIA ŞI

Rata

totală

de emisie

remstim m-+k

=

drabs = ;· k -+ rn

s

stimulată

1~

=

1~ 6

s

n

(15.22)

s

are o expresie

L..-t dremstim m-+k

n

~ bns P("" mk, s) dD n . L..-t k---+m

n

asemănătoare

bns P("" mk, s) dD n . m---+k

(15.23)

s

Spre deosebire de coeficientul A, valoarea acestor ultime două mărimi depinde nu numai de sistemul atomic dar şi de atributele radiaţiei externe. In cazul particular al unei unde plane monocromatice, cu atributele (wo, no , so), rata elementară de absorbţie se exprimă ca

dr:~~ = bk~m iar rata

totală

de

E; w5 A5 o(wo -

absorbţie definită

rabs

k- m

=

1~ n

6

s

arabs

Wmk) o(n - no) Osso dDn,

(15.24)

anterior se reduce la

k-m

= co 2

w2 A2 bnoso o(w -w ) . O O k--+m O mk

133

(15.25)

Capitolul 15. ELEMENTE DE TEORIA SEMICLASICĂ A INTERACŢIEI SISTEMELOR ATOMICE CU RADIAŢIA ELECTROl\JAGNETICă

15.5. CALCULUL RATELOR DE ABSORBŢIE ŞI EMISIE STIMULATĂ PRIN

1\1ETODA

Asemănător,

remstim rn - k

=

întâi al calculului de

1

~ dremstim = L = - k

n

Eo uJ2 A2 bnoso o(w -w ) . 2 O O m-,k O mk

In continuare, arătăm cum se obţin ratele de absorbţie şi de emisie stimulată în cadrul mecanicii cuantice. Descriem întâi sistemul atomic particular la care ne vom referi, apoi modul de calcul aproximativ, bazat pe metoda perturbaţiilor, al ratelor tranziţiilor induse de prezenţa radiaţiei externe.

15.4

H(t) =

2

(l -'i .27)

unde A este potenţialul vector pe care l-am descris în §15.2. Folosim form a lezvoltată (8.10) a operatorului hamiltonian

q q2 H = Ho- - A P + - A 2 M

2M

p2 '

Ho= 2M

+ V(r). "\

(1.-, 28)

Integrarea exactă a ecuaţiei Schri:idinger temporale cu hamiltonianul (15.28 care ar da informaţii despre evoluţia în timp a stării particulei nu este posibilă. Descn erea bazată pe metoda perturbaţiilor dependente de timp, pe care o adoptăm în con tinuare, conduce la rezultate corecte atâta vreme cât intensitatea radiaţiei este rPlativ

din cei doi termeni din (15.28) care descriu interacţia particulei cu radiaţia electrose presupune a dura un timp finit, lung Ia scara de timp a sistemului considerat. In cazul interacţiei cu unda plană monocromatică, pentru care potenţialul vectorial are expresia (15.4) , perturbaţia este armonică pe durata ei de acţiune. Sunt valabile atunci formulele pentru rata de dezexcitare şi rata de excitare slabilite în §14.2.6- 7 în cazul unei perturbaţii armonice. Pentru a aplica formulele respective, transcriem operatorul care descrie interacţia ca 2M

134

o

q A o eiK-o·r so. p V+ ......, - 2M '

.

(15.30)

q A oe - iK-o·r so .p. V- ......, - -

2M

(15.31)

Ca urmare a interacţiei cu radiaţia electromagnetică atomul poate face o tranziţie spre o stare de energie superioară, rata de excitare fiind dată de (14.88), în care se fac înlocuirile necesare,

ri~t(Ek -

2

Em)

=

7f; A5 j 2M h 2

(iK.Q·r So.

P)

m

k 12 o(wo - Wmk).

(15.32)

In limbajul teoriei cuantice excitarea corespunde absorbţiei unui foton. Am aflat astfel cum se calculează rata de absorbţie. Rezultatul obţinut îl comparăm cu formula Einstein (15.25) şi constatăm proporţionalitatea, prezisă de teoria Einstein, cu densitatea spectrală p(w) din (15.15) luată pentru pulsaţia wm k . O dată această ipoteză confirmată, extragem expresia coeficientului diferenţial Einstein pentru absorbţie, k-,m

In cazul unei valori mici a intensităţii câmpului de radiaţie, interacţia atomradiaţie electromagnetică este tratată ca o perturbaţie. Dacă ne limităm la ordinul

[ei(K-o·r- wot)+e - i(K-o·r- wot)]s . p

:\ie încadrăm în notaţiile folosite în (14.73) pentru perturbaţia armonică prin cores-

bno so

Calculul ratelor de absorbţie şi emisie stimul ată prin metoda pert urbaţiilor dependente de timp

o

pondenţa

redusă.

15.5

(15.29)

manetică. Perturbaţia

1

Vom considera cazul cel mai simplu în care sistemul atomic este redus la o partide masă Af şi sarcină q, fără spin, legată de un câmp de forţe atomic care O condiţia de mărginire în vecinătatea originii deproprie radială în mod univoc, până la un factor constant. Funcţia ataşată prin (16.1) are proprietatea de a se anula în origine,

fineşte funcţia

x1(k; r)

= r R1(k; r),

(16.10)

x1(k;O) = O.

în §16.3. Numărul cuantic orbital l care apare ca primul indice al funcţiei sferice poate lua orice valoare întreagă nenegativă. Al doilea indice, numărul cuantic m , ia valori întregi, pozitive sau negative respectând restricţia I m I~ l. Funcţiile proprii ale energiei cu structura (16.9) corespunzând la o val_oare E > O se numesc unde parţiale. Unei valori E > O îi sunt ataşate o infinitate numărabilă de unde parţiale, liniar-independente. Apare evident ordinul infinit al degenerării valorilor proprii din spectrul continuu.

16.2.2

a

W12(b) = W12(a) ,

unei unde

Funcţia proprie radială x1(k; r) nu este integrabilă în modul pătrat. Notaţia R 1(k; r) va presupune o anumită normare în sens generalizat. pe care o vom specifica

_ p. dFi (16.5) dr 2 dr se numeşte wranskianul soluţiilor Fi şi F2 . Funcţia wronskian exprimă liniarindependenţa sau liniar-dependenţa a două funcţii, deoarece numai wronskianul a două funcţii liniar-dependente este nul în orice punct. Relaţia obţinută se transcrie

dW12(r)

Definiţia

(16.4)

Expresia

W12(r)

16.2.1

(16.8)

Undele

parţiale

ale particulei libere

Dacă particula est~ liberă în tot spaţiul, energia potenţială este o constantă care se alege egală cu zero. Am studiat problema de valori proprii a energiei particulei libere în §2.4.3, lucrând prin metoda separării variabilelor în coordonate carteziene. Ştim că spectrul energiilor este un spectru continuu întins de la O la infinit. Unei valori proprii i-am ataşat infinitatea de funcţii proprii

1 1k·r u(k; r) = (21r )3/2 e

n2 k 2 =

211.f E,

p =

nk.

(16.11)

care exprimă proprietatea: pentru un câmp de forţe central dat, wronskianul a două soluţii ale ecuaţiei radiale (16.2), care corespund la aceleaşi valori pentru E şi l, este constant (independent de punct) .

indexate cu ajutorul unui vector real k cu lungime fixată de valoarea proprie şi direcţie arbitrară. Asemenea funcţii vor fi numite unde plane, în legătură cu forma

146

147

.

Capitolul 16. PARTICULA IN CÂMP CENTRAL DE FORŢE (continuare)

16.2. UNDELE

soluţiei staţionare

a ecuaţiei Schrodinger temporale ataşate , soluţia lui de Broglie (3.67), pentru care faza (p · r - Et)/h ia valori constante pe plane care înaintează cu viteză constantă. Vom folosi, atunci când este convenabil , notaţia Dirac I k) pentru a desemna unda plană din (16.11). Observăm factorul de normare diferit faţă de cel din (2.95). El atrage după sine condiţia de ortonormare în sens generalizat în scara componentelor vectorului k (k2 I ki)

= o(k1

(16.12)

- k2).

Exerciţiu. Arătaţi, folosind condiţia (2.96) , prietatea de ortonormare (16.12).

că soluţiile

(16.11) îndeplinf'sc pro-

Vom lucra acum în coordonate sferice. Evident şi în cazul V = O găsim soluţii cu structura (16.9). Funcţia proprie radială este soluţie a ecuaţiei radiale (5. 12) . care pentru particula liberă se reduce la

drR + ~r dRdr + [k 2

d

In urma ecuaţia

2 _

2

schimbării

devine

de

l (l + r2

1)] R = o,

k::::: J2M E.

Bessel sferice jz satisfac

1

următoarea condiţie

r 2 j1 ( k r) jz (k 'r) dr = : 2

ddp2R + ~p dR + [l _ l (l + l)] R = O .' dp p2

(1 6 t j )

formă

în care singurul parametru este numărul cuantic l. Ecuaţia nu este alt ceva decât ecuaţia funcţiilor Bessel sferice. 1 Cele mai folosite soluţii liniar-independente sunt funcţia Bessel sferică de prima speţă, notată jz, şi funcţia Neurnann sferică, notată yz . Funcţia mărginită în origine este funcţia j1 , pentru care termenul dominant în vecinătatea originii este .

]l (p)

/

- -;;:;,-:- • \ li

'

p......;0.

(16.16)

Observăm

comportarea, cunoscută (până la factor) din §5.2, a funcţiilor proprii radiale în vecinătatea originii. Va juca de asemenea rol comportarea acestor funcţii la distanţe mari pe care o redă formula (F.9) sin(p-Z;) . Jz(p)......., ' p

p......;

Pentru detalii legate de funcţiile Bessel sferice vezi Anexa F.

148

oo.

(16.17)

(16.18)

proprietate este justificată în Anexa G. In concluzie, undele parţiale ale particulei libere au expresia

Uzm(k; r) = jz(kr) Yzm(f),

16.2.3

Defazajul undei

z = o, 1, ... , oo,

Im 1::s: z, o ::s; k < oo .

(16.19)

parţiale

Revenim la undele parţiale în cazul în care particula se află într-un câmp central de forţe. Factorul constant arbitrar în (16.9) se fixează printr-o condiţie de ortonormare în sens generalizat. Este comod să se lucreze cu aceeaşi condiţie (16.18) ca în cazul particulei libere, adică să se impună condiţia

rX)

Jr

2

r Rz(k; r) Rz(k'; r) dr=

variabilă

(l G.! J)

o(k - k ') .

2

Această

Jo

p= kr

de ortonormare în sens

00

(1G.13)

2

1

Funcţiile

generalizat

PARŢIALE

2

k 2 o(k- k').

(16.20)

In anexa G se arată că acest lucru este posibil. Notaţia, deja introdusă, pentru funcţiile proprii radiale astfel normate este Rz (k; r) . Funcţiile sunt astfel determinate până la un factor de fază. Observaţie.

pri etatea

Uneori se

1

lucrează

cu

funcţiile

radiale notate Rz(E; r), care au pro-

00

r 2 Rz(E; r) R 1(E'; r) dr= o(E - E').

Corespunzător parţiale

celor două normări, se folosesc notaţii diferite pentru cele asociate, care diferă , de fapt , doar printr-un factor

Uzm(E; r) = Rz(E;r) Yim(f) , Exerciţiu. Arătaţi că legătura

între

Uzm(E; r) =

Uzm(k; r) = Rz(k; r) Yim(f). funcţiile

două

unde

· (16.22)

definite anterior este

f§[f- Uzm(k; r). h

(16.21)

(16.23)

La distanţe mari, atunci cînd energia potenţială se apropie suficient de repede de valoarea O, funcţia proprie radială ajunge să fie o soluţie, bine determinată până la factor. a ecuaţiei radiale pentru particula liberă. Orice soluţie a ecuaţiei radiale 149

Capitolul 16. PARTICULA IN CÂMP CENTRAL DE FORŢE (continuare)

pentru particula liberă este o Yz menţionate în §16.2.2

combinaţie

a celor

două soluţii

16.2. UNDELE

liniar-independente j z

şi

Rz(k; r) ___, Aj z(kr)

+ Byz(kr),

r ___, oo.

(16.24)

Raportul celor două constante A şi B este unic determinat, pentru că la valori fixate pentru l şi k funcţia proprie este unică până la factor. Raportul depinde de cele două mărimi menţionate. La distanţe mari putem folosi expresiile asimptotice (16.17) şi (F.10) ale celor două funcţii Bessel sferice . ) sin(kr - l~) R 1(k, r ___, A 1 :r

ceea ce permite rescrierea mai

Rz ( k;r ) ___, C

-

cos(kr - l~)

B

k

compactă

r

r----, oo,

,

(16.25)

a expresiei precedente

sin[kr - l~+81(k)J ,. ,

r ___, oo,

16.2.4

Formulă implicită

pentru sin 6z

Particularizăm relaţia (16. 7) pentru V1 un câmp central dat, cu o scădere rapidă la distanţe mari, V2 = O, a = O, b = r. Iar soluţiile pentru care scriem relaţia sunt cele două funcţii proprii radiale Fi = r xz ( k; r) şi F2 = r jz (kr) care corespund la aceeaşi valoare proprie pozitivă şi cu comportarea la distanţe mari

H712 (r ) = - -2Af 2

unde

.

B

(16.27)

Prin intermediul ultimei relaţii din (16.27) se introduce mărimea Oz(k), o mărime în raport cu distanţa r, numită defazajul undei parţiale de indice l. Cum am observat deja că raportul constantelor B şi A este bine determinat o dată cu k şi l. rezultă că tangenta defazajului este bine determinată, iar defazajul este determinat doar modulo 1r. După cum este mai comod. defazajul este luat în intervalul [O, 1r) sau ( -1r /2, 1r/2] . In concluzie, defazajul unei unde parţiale este un atribut intrinsec al său. El este o funcţie de energie (mai precis de valoarea luată de parametrul k, ceea ce nu se va vedea în prezentarea noastră sumară) şi de numărul cuantic l. Defazajele poartă. informaţii preţioase despre câmpul de forţe central la care este supus particula. Cu ajutorul lor se construiesc mărimi cu semnificaţie fizică. Afirmaţia va fi ilustrată în capitolul următor. In Anexa G este justificată proprietatea importantă: alegerea C = 1 în rel. (16.26) asigură îndeplinirea condiţiei de normare (16.20). Reţinem atunci comportarea asimptotică a funcţiei radiale Rz (k; r)

kr

»

l.

(16.30) Valoarea în origine a wronskianului celor două funcţii proprii radiale este zero , dat fiind comportarea lor (anulare ca r 1+1) . Teorema wronskianului ne dă atunci

(16.26)

C sm 81 (k) = - B ___, tan 81 (k) = - A .

1 . F2(r) ___, ksm(kr - l1r/2),

Fi(r)----, isin(kr-l1r/2+81),

ft

Ccos8z(k)=A,

PARŢIALE

1r ') ( o

Fi (r

V r I ) F2 (r I ) dr / .

(16.31)

Considerăm relaţia

pentru valori suficient de mari ale distanţei r. Folosind comportarea asimptotică (16.30) a soluţiilor, găsim că la distanţe mari wronskianul tinde spre o limită

constantă

R1(k: r ) ___, Dacă lucrăm

cu

funcţia

sin[kr-l~+81(k)J ,_

(16.10), comportarea ei la

,

r ___, oo.

distanţe

mari este

(16.28) redată

de ex-

presia

xz (k: r) ___,

1

k

sin[ k r - l

7r

2 + Mk)] ,

150

r----, oo.

(16.29)

. k1 sm(kr -

W12(r) ___,

l1r /2 + Oz) cos(kr - l1r /2)

-icos(kr-l1r/2+81)sin(kr-l1r/2) = i sin8z. Deoarece am obţinut o valoare a wronskianului independentă de distanţa (mare) la care a fost calculat, putem lua r ___, oo în (16.31), ceea ce conduce la sin 81

2Mk {'X) 2 } r Rz (k; r) V (r) j1 (kr) dr ,

= -7

(16.32)

0

adică

la o reprezentare integrală a funcţiei sinus a defazajului. Sub semnul integrală însă funcţia proprie radială, deci este vorba de o relaţie implicită. Relaţia (16.32) este utilă pentru evidenţierea unor proprietăţi ale defazajelor sau pentru evaluări aproximative ale lor. Astfel, aproximaţia cea mai joasă se obţine înlocuind funcţia proprie radială Rz (k; r) în prezenţa potenţialului prin funcţia proprie radială a particulei libere, ceea ce poate fi acceptabil pentru un câmp de forţe "slab". Obţinem astfel apare

sin 5B I

-

2Mk ft 2

JorXJ r2jf (kr) V(r) dr· 151

(16.33)

Capitolul 16. PARTICULA IN CÂMP CENTRAL DE FORŢE (continuare)

16.2. UNDELE

Indicele superior B este legat de o aproximaţie mult folosită în aplicaţii, aproximaţia Born, care conduce la acelaşi rezultat, în ordinul cel mai scăzut al ei. In particular, relaţia precedentă ne arată că dacă energia potenţială are un semn constant , sinusul are semn contrar acesteia. Acelaşi semn îl are şi defazajul , dacă defazajului adoptăm convenţia I 5z I::::: 1r/2.

De aici , extragem imediat expresia pentru tangenta defazajului

"

simplă situaţie

o întâlnim în cazul

V(r) Distanţa

ro se

numeşte

raza de

=

potenţialelor

acţiune

a potenţialului.

< ro, pentru a determina

funcţia

rază finită

de

acţiune,

f3z (k)

= Azj l ( kr) +

B1 Y z(kr) ,

radială

Bz - Ai= tan Oz.

Am folosit faptul că raportul coeficienţilor nu este altceva decât tan 51 , fapt de care ne convingem trecând la distanţe mari (ca în secţiul!ea precedentă). Derivata funcţiei precedente este evident

d~xt (r) = k [ Auz. 1 ( kr )

+ Bz Yz

1(

dr

r=ro

152

(16.36)

se

exprimă

.

r=ro

se foloseşte funcţia radi?,lă x( r)

ca

dint . I = ro--/xmt

f3z(k)

dr

= r R( r)

mărimea

(3

- 1.

r=ro

In capitolul următor ne va interesa comportarea defazajelor la energii joase. Intinderea zonei de energii care pot fi considerate mici depinde de sistemul studiat. In cazul simplu al potenţialelor cu rază finită de acţiune se defineşte regimul energiilor joase prin condiţia kro « 1 . Folosind formulele care aproximează cele două funcţii Bessel sferice pentru valori mici ale argumentului (vezi Anexa F), găsim imediat tan 5 ~

l - f31(k)

1

, ...

,

n

+ tan Oz y z(kro)

·

(kro)2z+1

11 \

IC\1

1\tl/01

'

1\11'

kro

«

1.

(16.37)

Dacă prima fracţie nu se schimbă rapid cu energia pentru kro « 1 , atunci putem înlocui în formula precedentă f3z(k) cu f31(0) şi avem o expresie pentru limita de energii joase a fiecărui defazaj. Conform acestei expresii, tan Oz ia o valoare cu atât mai mică cu cât numărul cuantic l are o valoare mai ridicată. In particular, pentru l = O, avem

tan5o ~ Şi

acest defazaj tinde la zero o

dată

ao

= k j z'(kro) + tan Oz y z' (kro) j z(kro)

Exerciţiu. Arătaţi că dacă

kr ) J ,

unde prim notează derivata în raport cu argumentul k r de care depind funcţiile Bessel sferice. Impunând condiţia de continuitate pentru raportul dintre derivata soluţiei ecuaţiei radiale şi soluţie obţinem dRint / Rint I

= ro dRint / Rint I

='Jotăm

este evident necesar să cunoaştem energia potenţială şi să integrăm ecuaţia radială. In cazul de faţă cunoaşterea funcţiei Rint (r) este suficientă pentru a determina defazajul. Pentru a justifica afirmaţia, stabilim acum formula pentru calculul defazajului. pentru un potenţial cu rază finită de acţiune , în funcţie de valoarea derivatei logaritmice a funcţiei proprii radiale interioare luată în punctul ro . In acest scop scriem soluţia exterioară ca

Rext (r)

proprie

(16.35)

dr

(16.34)

r ro.

R(r) = { Rext(r), r

cu

r > ro .

pentru

O

Rint(r) ,

Dacă

unde

Comportarea defazajelor la energii joase în cazul unm potenţial cu rază finită de acţiune

Cea mai pentru care

f3zjz(kro) - kroji'(kro) kro Yz '(kro) - /31 Yz(kro)

tan uz = - - - - - - - - -

o?

16.2.5

PARŢIA.LE

numită

lungime de

-/3o(O)

f3, ( \ kro. 1+ o O

cu energia. Se

(16.38)

defineşte

. tan 5o = - k---+O hm - - , k

atunci

mărimea

(16.39)

Ea apare în expresia funcţiei radiale cu l = O în în limita dP energie nulă. Intr-adevăr, expresia exactă a

împrăştiere.

zona exterioară ( r > r 0 acestei funcţii radiale,

)

R'tt(k; r) = sin(kr + 5o) kr '

153

r >ro,

(16.40)

Capitolul 16. PARTICULA IN CÂMP CENTRAL DE FORŢE (continuare)

16.3. LEGĂTURA DINTRE UNDELE PLANE ŞI UNDELE PARŢIALE ALE PARTICULEI LIBER E

trece pentru k -, O la r fixat în

Kâxt (O; r ) =

l - -ao , r

r > ro.

Ne vom întâlni cu lungimea de împrăştiere în capitolul pe potenţial la energii joase.

(16.41) următor ,

în studiul îm-

prăştierii

Cu totul altfel se petrec lucrurile

dacă

în regiunea de energii joase, pentru o

anumită undă parţială de indice notat cu lo , este îndeplinită (exact sau aproximativ) condiţia

lo

+ l = -/31

0

(16.42)

(krez) ·

Energia Ia care condiţia este îndeplinită se numeşte energie de rezonanţă. In vecină­ tatea ei , tangenta defazajului trece brusc de Ia - oo la + oo sau invers. Defazajul undei parţiale care prezintă o rezonanţă trece atunci prin valoarea 1r/ 2 (modulo 1r) atunci când energia trece prin valoarea de rezonanţă, deci nu mai are o Yaloare mică. Efectele acestei comportări se simt în împrăştierea Ia energii joase, după cum se va vedea în capitolul următor. Dacă ne referim la formula exactă (16.35) , o rezonanţă apare d acă pentru o anumită valoare a numărului cuantic l şi o anumită energie este îndeplinită condiţia

f3zyz(krez ro) - kroyz '(krez ro)= O.

(16.43)

Exerciţiu: Calculaţi

câmpul de

forţe

defazajul undei parţiale s (1- 0) pent ru o parti culă aflată in descris de

V(r) = { Vo,

o,

sunt caracterizate prin valoarea lui k, parametru care se schimbă continuu, luand valori nenegative, şi prin indicii l şi m . Ambele seturi formează sisteme complete de funcţii. Ca urmare, funcţiile dintr-un set sunt combinaţii liniare ale funcţiilor din celălalt set. Legătura se face între funcţiile proprii care corespund la aceeaşi energie. Expresia undei plane ca suprapunere a undelor parţiale corespunzătoare aceleaşi valori proprii a energiei particulei libere E = n2 k 2 /2]\,f rezultă prin transcrierea unei formule din fizica matematică, cunoscută sub denumirea de formula lui Rayleigh, a cărei deducere se află în Anexa H. Transcrierea formulei Rayleigh (H.6) cu ajutorul undei plane şi a undelor parţiale este

r ro ,

fi

u(k;r)

=

oo

I

y; L L

16.3

E = Vo

şi

Pentru inversarea formulei se înmulţeşte cu o funcţie sferică YL M(k) şi se intepeste direcţia vectorului k . Rezultă imediat. pe baza proprietăţii de ortonormare a funcţiilor sferice, grează

'liLM(k;r)

=

VF2 iLl A/ YLM(k, ) u(k:r) dflk.

In expresia precedentă apare o suprapunere zate prin aceeaşi direcţie a Yectorului k .

(16.44)

E>Vo.

L egăt ura

dintre undele p lane particulei libere

şi

undele

parţial e

ale

Pentru particula liberă am determinat două seturi de funcţii proprii ale enngiei denumite pe scurt unde plane şi unde parţiale şi având, respectiv, expresiile (16.11) şi (16.19). Undele plane u(k; r ) formează un continuum de funcţii, fiecare funcţie fiind caracterizată printr-o valoare a vectorului real k. Undele parţiale Uzm(k ;r)

154

(16.45)

l= O m = ~ l

în cazul Vo constantă pozitivă (barieră de potenţial). Trataţi separat cazurile

O O (barieră de potenţial) şi Vo < O (groapă de potenţial).

17.5

lmprăştierea

pe

potenţial.

Cazul 3D

Aşa cum am menţionat la începutul secţiunii §17.2, este natural să ne gândim că pentru a descrie împrăştierea pe potenţial trebuie să rezolvăm ecuaţia Schri.idinger

169

Capitolul 17.

ELEMENTE ALE TEORIEI IMPRĂŞTIERII PE POTENŢIAL

17.5. IMPRĂŞTIEREA PE POTENŢIAL. CAZUL 3D

t emporală

pornind de la o stare iniţială potrivită pentru a descrie particula în prima Cum în această etapă particula este departe de centrul de forţe, funcţia de undă va fi practic o soluţie a ecuaţiei Schr6dinger pentru particula liberă , adică un pachet de unde de Broglie (o suprapunere continuă de soluţii de Broglie, vezi §3.10) 2 • Pachetul de unde trebuie să descrie cazul unei distribuţii înguste în impulsuri, centrată pe valoarea medie a impulsului iniţial al particulei care defineşte direcţia de incidenţă. Cu trecerea timpului, funcţia de undă va fi afectată de potenţial, corespunzând intrării particulei în zona câmpului de forţe. Mai t ârziu , pachetul de unde va lua valori apreciabile în zona de detecţie şi va redeveni un pachet de unde de Broglie. Acest pachet va diferi de cel iniţial. Analizându-l am afla o distribuţie de impulsuri diferită de cea iniţială, ca urmare a acţiunii câmpului de forţe. şi am calcula secţiunea eficace. Operaţiile descrise nu sunt imediat e; ele necesită folosirea unui computer şi a unor metode de lucru adecvate. Au fost dezvoltat e şi metode de aproximaţi e, cea mai simplă fiind aproximaţia Born pe care am prezentato în §17.3. Ea trat ează interacţia particulei cu centrul de forţă ca o perturbaţie dependentă de timp aplicată unei particule libere. parte a

lncă

elastică ecuaţiei

experienţei.

din perioada de început a mecanicii cuantice s-a recunoscut că împrăştierea poate fi descrisă ca un proces staţionar, folosind o soluţie particulară a Schrodinger temporale w(+) (r, t )

= u(+\k ;r)e- iEt ,

n2 k2 E=2M'

(17.40)

unde funcţia proprie a energiei u (+) (k; r) - numită soluţie staţionară de împrăştiere elastică , va fi definită în paragraful următor. Situaţia este asemănătoare celei întâlnite în problema lD a reflexiei şi transmisiei.

17.5. 1

Soluţia staţionară

de

împrăştiere

='Te referim la un câmp de forţe pentru care energia potenţială îndeplineşte condiţi­ ile descrise la începutul secţiunii 5.2, fără a fi neapărat central. Presupunem că spectrul energiilor are o porţiune de spectru continuu care se întinde de la O la infinit. Unei valori proprii din spectrul continuu îi corespund o infinitate de funcţii proprii liniar-independente, toate neintegrabile în modul pătrat. Soluţia staţionară de împrăştiere este o funcţie proprie particulară definită unic de comportarea ei la distanţe 2

Situaţia este ceva mai complicată pentru potenţiale cu rază lungă de acţiune.

170

mari u(+)(k; r)---+ uit\k ;r )

=

/n

~Q/') [

exp(ik. r)

+ f( r ; k) exp ~ikr)] ,

r---+ oo .

(17.41) cum se vede, soluţia este indexată cu ajut orul unui vector a cărui lungime este legată de valoarea proprie E prin relaţia (17.40) , dar are direcţia oarecare. Definiţia are sens, deoarece funcţia uit ) (k; r) satisface ecuaţia Schrodinger a particulei libere, dacă sunt neglijaţi termeni de ordin superior în 1/ r faţă de cei existenţi în uit>. Mai precis: După

- primul termen, desemnat ca unda plană. este soluţie exactă a ecuaţiei Schrodinger a particulei libere şi este şi funcţie proprie a operatorilor asociaţi componentelor impulsului, - al doilea termen este denumit undă sferică diverg e ntă. dat orită funcţiei 1P+ (r.t)

= e i( kr -

ft)

r

(17.42)

care apare în factor la distanţe mari în contribuţia sa la soluţia staţionară (17.40) asociată; în expresia precedentă exponentul ia o valoare dată pe suprafaţa unor sfere a căror rază creşte proporţional cu timpul. Este uşor de verificat că funcţia exp( ikr) / r este şi ea soluţie a ecuaţie Schrodinger independente de timp pentru particula liberă, ca şi unda plană , - factorul f(r ) care înmulţeşte unda sferică divergentă , numit amplitudine de împrăştiere elastică, aduce termeni de ordin superior în 1/r faţă de cei existenţi în rezultatul acţiunii operatorului energiei particulei libere asupra funcţiei uit) . Expresia pe care o ia funcţia u(+) (k: r) la distanţe mari o defineşte unic. ~u vom justifica acgastă afirmaţie în cazul general; mai târziu ne vom convinge de valabilitatea ei în cazul unui câmp de forţe central. 1n comportarea asimptotică a soluţiei staţionare de împrăştiere, unda plană este particulei incidente cu impulsul nk. iar termenul cu unda sferică divergentă este asociat particulei după interacţia cu câmpul de forţe. ~e convingem de sensul acestor afirmaţii analizând densitatea de curent de lornlizare la distanţe mari. Conform (3.11), în starea descrisă de funcţia de undă w(r, t) densit atea de curent J este asociată

J(r , t) =

~ (w* v w - w Vw*). 2iM 171

(17.43)

•

ELEMENTE ALE TEORIEI IMPRĂŞTIERII PE POTENŢIAL

Capitolul 17. Soluţia

17.5. IMPRĂŞTIEREA PE POTENŢIAL. CAZUL 3D

de împrăştiere (17.40) conduce la densitatea de curent independentă de timp J(+)(r)

= ~ Im

pe care avem posibilitatea s-o descriem la a soluţiei (17.41) ca

( u(+ )* v

u( + )) ,

distanţe

(17.44)

mari. Scriem întâi forma asimp-

totică

ut>(k; r) Cu

= Uinc(k ; r)

+ uîmpr(k; r),.

avem

n' = f

Uinc

= (2 7r)3/ 2 '

(17.-16)

f (n ' , k)

eik-r

exp( ikr ) r

uîmpr=( 2 7r)3/2

(1 , .47)

La distanţe mari , densitatea de curent de probabilitate de localizare va fi notată cu J Acest vector este suma a trei vectori care au proprietăţi diferite

t).

n

-Im(u* M inc T7 VUinc )

~ Im

Jinterf

Prin calcul direct,

lăsat

,

J împr =

( Uinc V Uîmpr)

+ ~ Im

în seama cititorului, se

Vuinc = ikuinc,

~ Im

( Uîmpr V

( Uîmpr V

'Uîn1pr)

(17.49) (17.50)

Uinc )

obţine

.k

V 'Uîmpr ~ Z . ll

I

Uîmpr.

In ultima expresie au fost neglijaţi termenii aduşi de gradientul lui 1/r şi de gradientul amplitudinii f deoarece ei contribuie cu termeni de ordin superior în 1/r faţă de termenii păstraţi. Cu aproximaţiile precedente, obţinem 1

nk

Jinc=( 2 7r) 3 Mn, Jinterf =

2

1

JÎmpr =

~: r (n + n') { f expi(kr - k · r)

(

nk f I

2

1

,

2 7r) 3 M ~ n ,

+ f* exp[-i(kr -

172

2) Vectorul Jîmpr are direcţie radială şi descreşte ca 1/r2 . El depinde de cele două direcţii n şi n' prin intermediul amplitudinii f . Fluxul său prin suprafaţa dS = r 2 dD f, decupată de unghiul solid dD pe o sferă de rază r , Jîmpr ·

(17.51)

k · r)]} ( ~ )3 . 2 (17.-52)

dS

=

nk M

4JTrl

---+ -

dfl

I

M r 2 n O(n - n ) Im f ,

(17.53)

(17 .54)

pe baza formulei asimptotice pentru unda plană din anexa E. Relaţia simbolică (17.54) exprimă tendinţa curentului Jinterf de a deveni neglijabil la distanţe mari, cu excepţia direcţiilor înainte şi înapoi.

17.5.2

Legăt ura

unea

dintre amplitudinea de împrăştiere elastică şi secţi­ de împrăştiere

diferenţială

Interpretarea care este dată în cele ce urmează termenilor din expresia de distanţe mari a densităţii curentului de probabilitate JC+) este bazată pe proprietăţile lor (direcţie, dependenţă de distanţă) şi este intuitivă. Ea este justificată mai temeinic de o descriere a procesului de împrăştiere cu ajutorul unui pachet de unde 17). Cele ce urmează se referă la împrăştierea într-o direcţie n' #- n . i) Fluxul vectorului Jinc joacă rolul fluxului curentului înainte de împrăştiere IIinc, adică mărimea Jinc · n este interpretată ca reprezentând probabilitatea de incidenţă a particulei prin unitatea de suprafaţă , perpendiculară pe direcţia de incidenţă n în unitatea de timp. ii) Fluxul vectorului Jîmpr prin suprafaţa asociată unghiului solid dD pe sfera de rază r cu centrul în origine, adică mărimea Jîmpr · n' dSr este identificată cu probabilitatea dPîmpr de împrăştiere în elementul de unghi solid dD în unitatea de timp. 173

•

I f I2

nu depinde de distanţa r , dar depinde de direcţiile descrise de n şi n ' , prin intermediul amplitudinii f. 3) Curentul Jinterf din (17.52) are componente de-a lungul direcţiilar n şi n' şi descreşte ca 1/r. Ca funcţie de distanţă, curentul Jinterf oscilează, frecvenţa oscilaţiilor creşte cu unghiul dintre n şi n '. Oscilaţiile lipsesc când acest unghi este zero sau 1T . Se poate justifica formula asimptotică

(17.48)

unde

Jinc

constantă.

J interf

+ Jîmpr + J interf,

J t ) = J inc

rezultatele calculului: 1) Vectorul Jinc are o direcţie constantă , de-a lungul vectorului k şi o mărime

(17.45)

notaţiile

ll=k ,

Analizăm

Capitolul 17.

ELEMENTE ALE TEORIEI IMPRĂŞTIERII PE POTENŢIAL

Atunci, folosind expresiile curenţilor Ilio, şi,

l hk 3 (2n) M'

Jinc şi Jîmpr

din (17.51) , obţinem nk

l dPÎmpr

17.6. IMPR.4.ŞTIEREA PE POTENŢIA.L CENTRAL

(2 7f) 3 M

I

f

2 1

dO )

(17.55)

în final ,

dcrc1 = Evident,

secţiunea totală

de

f( n '; kn)

I

2

1

d0 0

împrăştiere elastică

CYeJ

=

n':/= n .

, ,

dată

este

11 f(n ' ; kn) 1d0

(17.56)

de

Prima integrală este nulă deoarece integrandul este impar. In a doua integrală, conform ( 17 .57) , apare tocmai secţiunea eficace totală de împrăştiere elastică. In al treilea termen integrala se efectuează pe baza proprietăţii fundamentale a funcţiei c5(n - n'). Simplificând cu hk/M, obţinem următoarea relaţie de legătură între secţiunea totală de împrăştiere elastică (17.2) şi amplitudinea de împrăştiere elastică "înainte" ( n ' = n) : 4n CYe[ (17.59) klmf(n , kn ). Relaţia exprimă

2

(17.57)

0 ,.

teorema

optică.

Denumirea de teorema optîcă este legată de analogia posibilă între (17.59) şi dintre constanta dielectrică a unui mediu şi partea imaginară a indicelui de refractie complex care caracterizează acest mediu. relaţia

In concluzie, contribuţia termenului J interf a fost neglijată, cu justificarea în comportarea (17.54), iar vectorii Jinc şi J împr au fost asociaţi cu starea pa rticulei înainte şi, respectiv, după ciocnire. Constatăm că secţiunea eficace diferenţială de împră.ştiere elastică se ob: ir1P din amplitudinea de împrăştiere elastică. Ca urmare, scopul principal al teo'; i împrăştierii pe potmţial est e calculul amplitudinii f. ;\Je vom ocupa de aceas·, problemă în cazul unui câmp central de forţe în §17.6.

17 .5.3

Teorem a

lmprăşti erea

pe

pot enţial

central

Arătăm

în continuare că pentru un câmp central de forţe amplitudinea de îmse exprimă ca o serie de polinoame Legendre, având ca variabilă cos 8 , cu 8 unghiul de împrăştiere , coeficientul polinomului de indice l fiind determinat o dată cu defazajul 61 al undei parţiale cu numărul cuantic l . prăştiere elastică

opt ică

In cazul lD am văzut că ecuaţia de continuitate conduce la o concluzie ii p ortantă: suma coeficienţilor de reflexie şi transmisie este egală cu l. Evidenţiem acum relaţia la care conduce teorema optică în cazul 3D, atunci când descriem împrăşt ierea pe potenţial cu ajutorul soluţiei staţionare de împrăştiere (17.40). Pentru o 8oluţie staţionară ecuaţia de continuitate cere ca divergenţa densităţii curentului de probabilitate de localizare J (+) să fie nulă. Integrăm ecuţia de continuitate pe volumul unei sfere de rază R şi aplicăm teorema lui Gauss; rezultă că fluxul vectorului J(+) prin suprafaţa :En a sferei considerate este zero {

}r:,R

J(+)

· d Sn

= O.

Dacă raza sferei este suficient de mare, folosim p entru J( +) expresia sa asimptotică (17.48), cu termenii individuali având expresiile (17.51) şi (17.52) , şi avem

r[

17.6

nk + 11.f flk ~ }r:,R M r2 M r

_ 47ffl I ll .111 o(n - n) Im f r2

174

l · r r dO =

O.

(17.58)

•

17.6. 1

D escom punerea unde i

staţionare

în unde

parţiale

In cazul câmpului central de forţe , unei valori proprii E = h 2 k 2 /2A1 îi corespund două categorii de funcţii proprii: un continuum de unde staţionare de împrăştiere u(+l(k ;r ) diferind una de alta prin direcţia vectorului k, a cărui lungime este fixată de energie, şi infinitatea de unde parţiale Utm ( k; r) , cu l şi m variabili ( l întreg nenegativ , I m l:S:: l) şi k fixat. O soluţie dintr-o categorie poate fi exprimată ca o suprapunere liniară a funcţiilor din cealaltă categorie. Situaţia este asemănătoare celei întâlnite în §16.3, unde unda plană a fost exprimată ca o serie de unde parţiale ale particulei libere. In cazul unui câmp central de forţe, arătăm în continuare cum se exprimă o undă staţionară de împrăştiere ca o suprapunere de unde parţiale. Din acest calcul vom extrage o expresie analitică pentru amplit udinea de împrăştiere elastică.

Scriem descompunerea în unde u(+\k; r )

=

1 ,,.

parţiale

~ "< ! ?

f

a unei unde

t

l=O m= - l

175

staţionare

A;~(k)u1m(k; r ).

de

împrăştiere

ca

(1 7.60)

Capitolul 17.

ELEMENTE ALE TEORIEI IMPRĂŞTIERII PE POTENŢIAL

17.6. IMPRĂŞTIEREA PE POTENŢIAL CENTRAL

Avem de determinat coeficienţii Aj~ (k). Observăm întâi că pentru particula liberă unda staţionară de împrăştiere se reduce la unda plană, iar formula precedentă se reduce la (16.45), care are la bază formula lui Rayleigh, coeficienţii fiind [vezi H.6))

elastică

(17.60) este

u( +)(k; r ) = u(+)(k, cos8 , r) A lm (O) (k)

Determinarea coeficienţilor (17.41), scrisă ca

= 4 1r i

Aj ~ (k)

(21r) 312 u(+)(k; r) - exp(ik. r)

-+

Y,*

lm

(k) ·

se face impunând condiţia asimptotică

J(r; k) exp(ikr), r

r-+ oc .

(17 62)

Se înlocuiesc cele două funcţii din membrul stâng prin dezvoltările lor în m ,de apoi funcţiile radiale se înlocuiesc prin expresiile lor asimpt otice (1 6.:=~) . In continuare , se exprimă cele două funcţii sinus prin exponenţiale şi se grup1 a ză termenii după cele două unde sferice, divergentă şi convergentă, care apar fol o< nd formula lui Euler, -+

C+ exp(ikr)

+ c_ exp(-ikr)'

r

r

r-+ oo ,

Vom prefera, de obicei, u (-t ) ( k , cos e , r) .

C+

oo

~ ~

'°'

L (2Z + 1) i 1 exp[ic51(k )] R1(k; r) Fi( cos 8) . l=O

notaţia generală

u( +) (k; r),

(17.67) mai compactă decît

In încheiere, arătăm cum se inversează relaţţa (17.60), conducând la exprimarea unei unde parţiale ca o suprapunere continuă de unde staţionare de tipul u( +) (k; r) corespunzând aceleiaşi energii E. Pentru a inversa relaţia menţionată o înmulţim cu o funcţie sferică Yi,,w(k) şi integrăm peste direcţia vectorului k, ceea ce, pe baza proprietăţii de ortogonalitate a funcţiilor sferice, izolează termenul corespunzător undei parţiale de indice l ca Ufm(k;r)

In

=

1

1 (21r)3/2 (-i/ exp(-iclz) Yim(k)u(+)(k;r)df1k. 4n k '

absenţa potenţialului,

17 .6.2 l -2ik

00

A

(17.68)

formula trece în (16.46).

(17.63 ,.

cu

c_

2

(17.61)

parţiale,

(21r) 312 u(+\k; r ) - exp(ik · r)

1

= ( 1r)3/2

Amplitudinea de

împrăştiere elastică

I

~ e l=O m= - l

l oo I ~ 2ik ~ ~ ~

e

il~

- i[?I. 2

[A(+) ( . ') l m exp - i Uf

-

[A(+) ("') Im exp iu1

A(O)]Yi (') Im Im r .

-

A l(o) ] Yil m ( r' ) ' m

(17. 6-1 )

Scopul major al calculului precedent este determinarea amplitudinii de îmRevenind la formula (17.63) cu C+ dat de (17.65), găsim o expresie pentru coeficientul undei sferice divergente, mărime care este totuna cu amplitudinea de împrăştiere elastică f din (17.41)

prăştiere elastică.

(17.65 J

l=O m= - l

I

oo

Condiţia asimptotică

(17.62) cere ca numai primul termen din (17.63) să fi e prezent. Este deci necesar ca să se anuleze coeficientul C_ . Seria care îl redă pP C_ se poate anula doar termen cu termen, dat fiind liniar-independenţa funcţiilor sferice. Această cerinţă determină coeficienţii căutaţi

Aj~(k) = Aj~(k) exp[ic51(k)J = 41ri1 Yi~(k) exp[ic51(k)]. Inlocuind coeficienţii

Aj~ (k)

= f(r;k) =

2~k

L L

(l ';".GG)

în formula (17.60) şi folosind teorema de adun are

(-i)1

Aj~(k) [exp(2ic51)- l]Yim(f)

(17.69)

l=O m=-l

sau

y(f; k) = ::

a funcţiilor sferice (H.5), rezultatul obţinut pentru soluţia staţionară de împrăşti ere

176

C+

00

/

l=O

m= - l

L (e2i81(k) - 1) L

Yi~(k)Yzm(f).

(17.70)

In ultima relaţie suma după numărul cuantic m conduce, pe baza teoremei de adunare a funcţiilor sferice (H.5), la polinomul Legendre de ordin l şi de variabilă cose=

k. r.

177

.

(17.71)

ELEA1ENTE ALE TEORIEI IMPRĂŞTIERII PE POTENŢIAL

Capitolul 17.

Am ajuns astfel la formula

f (i:; k) =

finală

1 ik 2

1

k

pentru amplitudinea de

L (2Z + 1) [exp(2i5z(k)) -

17.6. IkIPRĂŞTIEREA PE POTENŢIAL CENTRAL

împrăştiere elastică

ortonormare a polinoamelor Legendre (H.l), conducând la o expresie cu o simplă pentru secţiunea totală de împrăştiere elastică,

CX)

l] Pz(cos8)

l=O

L (2l + 1) CX)

CTe1(E)

e' 61 (k)

sin oz(k) P1(cos8).

2

I

1

I

arătat

Amplitudinea de împrăştiere elastică este tuturor undelor parţiale, având structura

47T

CTz'1(E),

· 2

constituită

din

contribuţia aditivă

L (2l + 1) fz(k) Pz(cos 8).

k

smoz.

1

k

Im f(k , cos 8) =

(17.75) elastică

(17. 74),

L (2l + 1) sin CX)

2

Oz P1(cos 8).

(17.76)

Z=O

=

(17. ,3)

O oricare din polinoamele Legendre sP reduce la 1, avem

Im f(k, 8 =O)=

l=O

k1

~ 0

(2l

l=O

numeşte amplitudine parţială de împrăştiere elastică. Ea e... te de modul de alegere a defazajului, adăugarea unui termen egal cu un număr impar de 1T la defazaj aducând după sine o schimbare de semn în fiecare din factorii exp( i Oz) şi sin Oz . In secţiunea diferenţială de împrăştiere elastică

2 1

Verificăm acum direct valabilitatea teoremei optice, demonstrată în §17.5.3 pe baza ecuaţiei de continuitate şi fără ipoteza de câmp de forţe central. Conform (17.72), partea imaginară a amplitudinii f are expresia

a

fz (k) se

fz

Se constată că, spre deosebire de secţiunea diferenţială de împrăştiere nu conţine termeni de interferenţă.

Cum pentru 8

fz(k) = exp(ibz) .

I

secţiunea totală

CX)

Yiărimea

f

CT1(E) = k2 (2l + 1) sm Oz = 41T (2l + 1)

Obsen1 ăm

f(k, cos 8) =

dD =

(17.72)

în capitolul precedent, 8 este unghiul de împrăştiere elastică. imediat că i) amplitudinea de împră.ştiere elastică nu depinde de modul de alegere a defazajelor, care sunt definite doar modulo 1T, ii) amplitudinea de împrăştiere elastică se anulează în cazul 5 = O modulo 1T (cazul particulei libere), iii) amplitudinea de împrăştiere elastică depinde doar de două variabile k şi cos 8 şi nu de cinci ( k şi f) , aşa cum se întîmplă pentru un câmp de forţe necentral. cum am

Jf

l=O

l= O

Aşa

=

•

structură

adică regăsim relaţia

(17.59) care

exprimă

. 2 k + 1) sm 01 = 1T CTet, 4

teorema

(17.77)

optică.

independentă

:

1

=

I: I:

(2Z' + 1) (2l + l)fz"'i(k) fz(k) Pz,(cos 8) Pz(cos 8)

(17.74)

l=O l'=O

există două

categorii de termeni, unii cu Z' = l, asociaţi unei unde parţiale date, alţii cu l' i-l, asociaţi unei perechi de unde parţiale (termeni de interferenţă).

17 .6.4

Imprăştierea

la energii joase

Prezentăm în acest paragraf situaţia cea mai simplă în care formula (17.73) pentru amplitudinea de împrăştiere elastică este utilă - împrăştierea la energii joase. ~e vom referi în cele ce urmează la împrăştierea pe potenţial cu rază scurtă de acţiune, la energii foarte joase, definite ca în §16.2.5 prin condiţia kro « 1. La energii joase care nu sunt în vecinătatea unei rezonanţe, defazajul ia o valoare cu atât mai mică cu cât valoarea numărului cuantic l este 'h iai ridicată. astfel încât

fz =

17.6.3

Secţiunea totală

de

împrăştiere elastică şi

teorema

optică

Expresia stabilită pentru amplitudinea de împrăştiere elastică permite să se efectueze integrarea peste direcţia de împrăştiere a proiectilului, folosind relaţia de 178

şi

atunci. folosind expresia

fz+1

Oz+1

T;:::;:;T;:::;:;

exp(2i6z)- l;:::;:; oifk 2i k

aproximativă

(17.78)

(16.37) pentru tangenta defazajului, avem

tano1+1 /31+1 - (l + 1) f3z + l + I (kro) 2 tanoz;:::;:; !31-z !31+z+2(2z+3)(2z+1)" 179

(17.79)

Capitolul 17.

ELEMENTE ALE TEORIEI IMPRĂŞTIERII PE POTENŢIAL

17.7. IMPRĂŞTIEREA A DOUĂ PARTICULE

Cu cât energia este mai joasă, cu atât contribuie mai puţini termeni în seria (17. 73). Strict la limita E _, O, avem

o

lim f(k,cos8) = lim fo(k) = lim _Q = -ao ,

E -,O

E -,O

k ->O

k

E -> O

H

2

= I ao I .

cu

+ 3fi (k) cos 8 =

eioo sin oo k

+3

ei 01 sin 01 k cos 8.

' -' · '-'~2)

Acum, secţiunea diferenţială este redată aproximativ de suma dintre conr rib uţia undei parţiale s şi a termenului de interferenţă între undele s şi p. dCYeJ sin2 Oo dfl ~ --,;,z-

+6

sin Oo sin 01 z,. 2

cos(

oo -

01) cos 8 .

_

.83)

In legătură cu aplicaţiile formulei (17.73), pentru comparaţia dintre teori• ,_ exîn analiza împrăştierii elastice în diferite sisteme fizice reale, în p a r· , ular particule elementare, sunt dezvoltate procedee de extragere a informaţiei desprt> defazaje din măsurători de secţiuni diferenţiale şi totale de împrăştiere elastic ă. perienţă

Cu totul altfel se prezintă comportarea secţiunilor de împrăştiere elastică în vecinătatea unei energii de rezonanţă [vezi §16.2.5]. Atunci , pentru una din undele parţiale , al cărei indice este notat cu lo. este îndeplinită egalitatea (I iî.42). In aceste condiţii , putem face aproximaţia f310 (k)

~ -(lo + 1) + (E -

Erez) ( ~;)

, E = Erez

180

(17.84)

f1 0 /2 fi' , rez

fi' _

(17.85)

notaţia

(17.81)

In limita energiilor joase secţiunea eficace diferenţială -de împrăştiere elast ică (in sistemul centrului de masă) este izotropă, adică este independentă de unishiul de împrăştiere. ~ăsurarea acestei mărimi (prin extrapolarea rezultatelor de la energii joase) determină modulul lungimii de împrăştiere ao. La energii foarte joase, doi atomi care se ciocnesc pot fi asimilaţi cu d , •na particule cu interacţie centrală , atunci când se află departe unul de celălalt. P roblema calculului precis al lungimii de împrăştiere în asemenea situaţii a devenit r1Tent importantă pentru întelegerea ciocnirilor dintre atomi 11 reci" (atomi care se mişcă cu viteze de ordinul câtorva centimetri pe secundă). Pe măsura ce energia creşte, începe să se simtă şi contribuţia undei parţiale p (l = 1) , amplitudinea de împrăştiere elastică fiind acum aproximată de

J(k; cos 8 ) ~ fo(k)

tan 0/ 0 ~

(17.80)

unde ao este lungimea de împrăştiere. deja definită prin (16.39). Ca urmare, dCY lim dn

de unde , folosind şi (16.42) , găsim pentru (16.37) ,

r1

(kro)21+1

2

[( 2l - l)!!]2 ( ~) E=Erez

(17.86)

In vecinătatea rezonanţei , valoarea secţiunii de împrăştiere este de obicei dominată de contribuţia undei parţiale la. In aceste condiţii secţiunea totală este bine aproximată de secţiunea parţială CYz 0 , care este redată aproximativ de expresia

(rzo/2)2

411' CYziz

= k2 (2lo + 1) (E - Erez)2 + (rzo/2)2 .

(17.87)

Secţiunea precedentă

are un maxim la energia de rezonanţă Erez· Formula aproxipentru secţiunea de împrăştiere este formula Breit- Wigner. din paragraful de faţă s-a referit la cazul unui potenţial cu rază finită

mativă obţinută Discuţia

de

acţiune.

17. 7

Imprăştierea

a

două

particule

Teoria prezentată în secţiunile precedente a presupus centrul de forţe fix. Amintindu-ne că problema evoluţiei a două particule se reduce la problema evoluţiei a două sisteme fictive, centrul de masă şi o particulă cu masa egală cu masa redusă , ajungem la concluzia că distribuţia unghiulară dată de formula (17.56) este distribuţia unghiulară în sistemul de referinţă în care centrul de masă este în repaus • (sistemul centrului de masă). Trecerea între cele două distribuţii se face pe baza relaţiei de transformare pentru elementul de unghi solid [vezi [l], §13.1 sau [7], §2.lJ. In aceste condiţii în relaţiile din acest capitol masa M a proiectilului trebuie înlocuită cu masa redusă a celor două particule care se ciocnesc. a două particule identice trebuie ţinut seama de principiul Cea mai simplă situaţie , singura pe care o menţionăm aici , este cea a doi bozoni identici fără spin, caz în care funcţia de stare care descrie sistemul trebuie să fie simetrică în coordonatele particulelor. La permutarea coordonatelor celor două particule, coordonatele centrului de masă nu se schimbă , vectorul poziţiei relative îsi schimbă sensul. Lucrând în sistemul centrului de masă şi adop t ând punctul de vedere

In cazul

împrăştierii

simetrizării.

181

Capitolul 17.

ELEMENTE ALE TEORIEI IMPRĂŞTIERII PE POTENŢIAL

independent de timp, pentru o energie potenţială dependentă doar de distanţa dintre particule, este firesc să folosim o soluţie simetrică a ecuaţiei Schrodinger independente de timp construite din soluţia de împrăştiere , v( +) (k;r) +u(+)(k;-r).

Ea conduce la o amplitudine dP

Anexa D

împrăştiere

J(e , cp) + f(1r - e, cp + 1r), deoarece unghiurile polare pentru -r sunt 1r -

e şi cp + 1r.

Secţiunea eficace dife-

A R MONICELE SFERICE CA BAZĂ CANONICĂ A MOMENTULUI CINETI-C ORBITAL

renţială

:~ =I J(e, cp) 12 + I f(1r - e. cp + 1r) 12 +2Re[J(e, cp) f*(1r conţine

-

e, cp + 1r)J

(17.88)

un termen de interferenţă. Existenţa sa este confirmată experimental şi constituie una din nenumăratele dovezi în favoarea principiului simetrizării.

:"Je referim la momentul cinetic orbital al unei particule, studiat în §4. 7. :"Je amintim că, transcrişi în coordonate sferice, operatorii asociaţi momentului cinetic sunt operatori care acţionează numai asupra unghiurilor polare e şi cp. Este atunci comod ca la început să considerăm spaţiul liniar al unor funcţii f ( cp) (independente de variabila radială r) care îndeplinesc condiţiile de regularitate şi pentru care integrala Jg-'r f01r I f 12 sine de def> există. Spaţiul este infinit-dimensional şi devine un spaţiu unitar prin introducerea produsului scalar (notat cu paranteze duble)

e,

r27r Jr f* g sin ede def! .

(U I g ) ) = J

O

(D.l)

O

Operatorii momentului cinetic orbital acţionează în acest spaţiu. Funcţiile sferice sunt funcţii proprii pentru operatorii L 2 şi Lz ,

Yi m(e, cp)

L

2

Yim = l (l + 1) ri2 Ycm,

Lz Yc m

= mn Yc m

I m I:) = }27r,

şi ţinând

-m cote) Pzm(w)

= -( Vl-w 2 funcţiilor

seama de structura (D.6) a

+

2 ( J1 - w !!__ dw

cu Fim (w) funcţiile Legendre asociate, pe care le scriem, în vederea calculului care urmează, ca

= -mw (1 _

mw

v'l -

w2

d~ + v'~:

1112

)

P1m(w),

sferice avem

r1 2 Fim

) (1 - w 2

w2)1/2+m/2 - l

Fim+ (l _ w2)1/2+m/2 dFzm

dw

P1m(w)

C/m

(1 - w

r/

2

Fi dl+m lm = dv}+m (w 2 -

F'zm(w) ,

li.

21 + 1 (l - m) ! 1 - 2- (l + m) ! 21 n .

(-ir

Czm

2

+mw (l _

w2)m/2 - l/2

Fim= (l _

w2)(m + l)/2

ddF1lm. w

(D.6)

Facem apel la expresiile (4.51) ale operatorilor de moment cinetic scrişi în coordonate sferice,

Revenind la (D.10), constatăm că din funcţiile care apar se poate forma, până la factor, armonica sferică de indici l şi m + 1,

L+ Yz m =

-n m+1 () q m

dl+m+l

(1 - w 2)(m+i)/ 2 J l+m+ 1 (w 2 W

-

l = _-53..!!.!:_ ii Yzm+1 . C[m+ l

1

(D.11) iii (sin cp :(} +cot(} cos cp ~) ,

Lx

(D .7)

Dar C/m

Ly din care

rezultă

-iii ( cos :(} - cot (} sin~)

Aplicăm

imediat

(D }-)

+ i. L y --

operatorul L+ unei

funcţii

ia

n e

i ( &

â(}

+

i

o)

. cot (} â

sferice: Derivata în raport cu se

(D.9)

Exerciţiu: Aplicaţi operatorul L_ primei relaţii (D.3), folosiţi pentru produsul de operatori L _ L+ expresia (13.15) şi._j ustificaţi în acest mod a doua relaţie (D.3).

efectuează

şi rezultă

Observaţie.

ria

L+ Yzm = ii

ei(m+l) (

~

d ) d(} - m cot(} Ptm(w).

+ m + 1)! = -j(Z _ m) (l + m + 1),

astfel încât, revenind la (D .11), constatăm că am demonstrat prima relaţie (D .3). Conform teoriei generale expuse în Cap.13, putem afirma că a doua relaţie (D.3) este şi ea îndeplinită o dată cu prima relaţie.

direct

L + -- L x

(l - m)! (l

Ctm+l

generală

i)

Este posibil să deducem expresia armonicelor sferice exploatând teoa momentului cinetic în felul următor:

determinăm funcţia

ecuaţiei

Yz-t pe baza

(D.10) L_ Yz

Derivata în raport cu (} o exprimăm prin derivata în raport cu w = cos(}. variabila de care depind funcţile Legendre asociate,

!!._ d(}

= dw

!!__

d(} dw

= - sin (}

!!__ dw

184

= -

J1 -

w2

îi) generăm celelalte [5], anexa 4.

funcţii

_t

sferice prin

= O,

(D.12)

acţiunea

!!__ . dw

185

•

operatorului L+. Vezi, de ex.,

Anexa E DETER MINAREA SPIN ORILOR SFERICI

In §13.7.1 am introdus spinorii sferici , notaţi I ljm). >Jumerele cuantice l şi j care apar în acelaşi ket sunt legate: pentru l :/- O numărul j este fie l + l/2 , fie l - 1/2 , iar dacă l = O atunci j este egal rn 1/ 2. Totalitatea spinorilor sferici cu l şi j fixaţi formează o bază canonică de pondere j în raport cu momentul cinetic total al unei particule de spin 1/ 2. Descriem aici calculul spinorilor sferici. In §13.7.2 am stabilit că spinorii sferici au structura redată de (13.91). Transcriem relaţia citată în forma simplificată

I ljm) = Cm Yim - 1/ 2 I t ) + dm Yim+ l / 2 IT/)· lăsând

şi

de o parte indicii l

(E.1)

j pe care îi considerăm fixaţi.

E. 1 B aza canonică de p ondere j = l

+~

Spinorul I l l + ~ l + ~ ) care corespunde valorii proprii maxime ( m = j = l + ~ ) pentru operatorul Jz este unic determinat până la factor. Se alege factorul de fază astfel încât 1

1

1z z + 2 z + 2 ) = Yiz I t).

(E.2)

Pornind de aici, toţi ceilalţi vectori ai bazei canonice de pondere Z+l/2 sunt bine deprin acţiunea repetată a operatorului J _ . Pentru a-i determina explicităm conţinutul ecuaţiei (13.49) terminaţi

J_ folosind

relaţiile

(13.56)

s_ I t ) = n I TJ ) ,

şi

I ljm)

= O:jmh

I ljm-1

).

(E.3)

(D.3) S_

I T/ ) = I zero ) , 187

L _ Yim

= O:zm Yim - 1 ·

(E.4)

Anexa E. DETERMINAREA SPINORILOR SFERICI

Aplicând efectiv operatorul J _ , membrul stâng al J _ I ljm)

ecuaţiei

(E.3) devine

=

h[CmO'./m- 1/ 2 Yim- 3/ 2 1 ~ ) +(cm + dmO:/ m+1; 2) Yim - 1/ 2 IT/)], (E.5) iar membrul drept este

O'.jmh I ljm-1)

=

Atunci, din (E.3) , prin egalarea fun cţiilor care înmulţesc, în membrul stâng membrul drept, cei: doi spinori I () şi I TJ) , rezultă două relaţii O'.z m- 1/ 2 Cm'

O:jm dm - l

Cm +

CY.z

Prima relaţie este o relaţie de recurenţă, care pentru j l l

Cm- 1 Aplicăm

repetat

relaţia ,

+ m -1/2 + m + 1/2

şi

în

(E.7)

m+l / 2 dm ·

(E.8)

= l + ! devine

l + m -1/2 l+n+l / 2 Cn ,

Cm- 1 = y

= l + 1/2 din

(F O)

relaţia precedentă

se

obţine

eiif>z - 1; 2

=

1.

Aceeaşi relaţie ne arată că dacă pentru un anumit m avem eim = 1, atunci eim - 2 = 1 ş.a.m.d. Deci o dată cu eim ( 4>m real) şi găsim ei ef>m = ei ~m- 1 , deci coeficienţii Cm diferă de modulul lor printr-un factor de fază independent de m; relaţia (E.19) conduce la acee~şi proprietate pentru coeficienţii dm. _Deci, dacă alegem unul dintre coeficienţii dm egal cu modulul său , toţi coeficienţii dm vor awa această proprietate. Se face această alegere

dm =I dm

/l-m+l/2 Jll-1/2m) = -y l+l Yim- 1;2J~)+ 2

(E.21)

J

1 I~), I o 1/2 1;2 ) - J4n

Cm-

V

m

7:: -1z- 7:

(E.22)

·

Folosim în final acelaşi tip de notaţie ca în cazul j Cz1- 1/ 2m=Cm,

Dll - l / 2m

I zz-

= dm ·

=

-1

1

--~+.112)

Dz l- l/2m -

(E.23)

190

•

I o 1/1

I

J l m -1/2 1/2) + /

+ m + 1/2 2l + 1

l

:/= O

(E.24)

-1/2) --

1~ Jry). J4n

(E.26)

1

1 2 -"77 ~ 1 / J l m + 1/2, -1/2),

1 2 1 2 / llm-1/21/2)+,;z+"77~ 1 / Jlm+l/2, -1/2), Z:/=O.

1

i= O relaţiile

pot fi inversate, cu rezultatul

- 1;2 1/2 ) =

1 2 l + m + ! I l l 1/2 m) 2z+1 + z m - 1/2, -1/2) =

/z - m + 112 J l l V",,,

/ l - m + 1/2 J l l 1/2 ) 21+1 + m+\ l

(E.25)

1;2 m) =

I zm

= l + 1/2 ,

In definitiv , pentru j = l - 1/2 am stabilit cll - 1/ 2m

12

l +2

Pentru l

2Z+l

2l + 1

I z 1+ 1/2 m) =

2

+ 1/2

2 + 1/ Yim+l/2 I TJ) ·

Transcrierea rezultatelor (E.15) şi (E.25) arată că spinorii sferici se exprimă simplu prin spinorii proprii comuni operatorilor L 2 , Lz şi S 2 , notaţi I l mz ms ) , cu ms= ±1/2, (E.27) I l mz ms)= Yim 1 J 1/2 ms), 1 spinori folosiţi în §13.8. Relaţiile de legătură sunt

Atunci şi coeficienţii Cm sunt bine determinaţi prin (E.19)

___ /z -

z+ m

cum am menţionat , există o singură bază canonică cu l - O, caz în care j = 1/2 . Cei doi spinori sferici care o formează sunt

In continuare, condiţia de normare (13.93) ţinând seama de (E.19), determină JdmJ =

deci

Aşa

obţine

dm

şi

;z +

1/2 m)

m + 1/2 J l l - 1/2 'l1,1

,

(E.28)

) m.

(E.29)

1 Atenţie la notaţie, atât în parantezele ket din stânga cât şi în cele din dreapta apar trei numere cuantice, dar semnificaţia a două dintre ele este diferită.

191

Anexa F F UNCŢIILE

Funcţiile

ale

B ESSEL SFERICE

Bessel sferice de prima speţă j z( z) sunt soluţiile mărginite în origine

ecuaţiei diferenţiale

d f + ~ df + [ l _ l (l + 1) ]f = O. dz 2 z dz z2 2

(F.l)

Variabila z poate fi complexă. In urma schimbării de funcţie

ft(z) = z 1 :Fz(z) ,

(F.2)

obţinem ecuaţia

V_ d2 2(l + 1) .!!:_ z-d2+ d z +l. z z

Vz:Fz =O, Pentru

ecuaţia precedentă

este

valabilă

proprietatea de

Vz :Fz = O -+ Dz+ 1 (

1 d:F1)

;

dz

recurenţă

(F.3)

= O,

proprietate pe baza căreia soluţiile ecuaţiei se construiesc din aproape în aproape. Rezultă , folosind şi (F .2), că funcţia

)l :Fo

1 1 d fz(z) = Cz z ( ; dz

este

soluţie

a

ecuaţiei

Bessel (F.l),

Vo:Fo = O

dacă

sau

:Fo este d2

soluţie

2 d

(F.4) a

ecuaţiei

[-+--+l]:Fo=O. dz 2 z dz 193

Anexa F.

FUNCŢIILE

BESSEL SFERICE

Printr-o schimbare de funcţie transformăm ecuaţia de ordinul al doilea cu coeficienţi constanţi

precedentă

într-o

ecuaţie

dife-

renţială

xo(z) = z Fo(z) pentru care

soluţia generală

[

prin calculul derivatei conduce la formula

zl

d2 -+

şi

dz 2

j i(z)

+ l]xo(z) = O,

Prin introducerea factorului de fază funcţiile sferice de prima speţă

(-1) 1 ,

J1(z) = (-1)1 zl

1

Jo = Fo = sin z / z.

(F.7)

adoptăm următoarea expresie pentru

(F.5)

Bessel sferice de speţa a doua sunt generate de funcţia Jo = Fo = cos z / z . Prin alegera factorului constant egal cu ( -1) l+I , adoptăm următoarea expresie pentru funcţiile sferice de speţa a doua

(!~)/ z dz

cos z z

Comportarea pentru

(F.6 )

funcţia

Jt

folosim

(!z ~)/ ~ (-l)n z2n dz ·

Seria, convergentă pentru J z J< 1, poate fi derivată termen cu termen. Prin aplicarea o dată a operatorului puterea z 2 n trece în 2nz 2n - 2 . La aplicarea de l ori a acestui operator, primul termen care dă contribuţie nenulă este puterea z 21 . Ceilalţi termeni conţin puteri nenule şi pozitive ale variabilei, deci sunt termeni de ordin superior, începând cu z 2 . Termenul dominant provine astfel din I (

1 d) -;; dz 194

l

(-1 )l Z 21 (2l + 1)!

Z-+ 0.

(F.8)

Expresia generală (F.5) a funcţiilor sferice Jt ne arată că termenul dominant pentru r -+ oo se obţine prin derivarea de l ori numai a funcţiei sinus, derivarea factorilor 1/z existenţi în expresie aduce contribuţii de ordin superior. Este comod să scriem compact rezultatul pe baza observaţiei dsin z

Pentru a găsi termenul dominant în vecinătatea originii pentru dezvoltarea în serie a funcţiei sinus din (F.5)

(i iJ

zl+I

I z I-+ oo

-sin(z -

originii

L...., n=O

1

z

Y1(z)-+ -(2l - 1)!! z- 1- 1,

--;I;-= cos z =

j1(z) = (-1)1 zl

1

Ceilalţi termeni , care ar ţine seama de existenţa funcţiei cosinus sunt de ordin superior. Rezultatul final este

1 (!z ~) sin z dz z ·

Y1(z) = (-1)1+1 zi

d) -1= (-1)(2!-1)!-. 1

(z dz

Funcţiile

(-l)

z-,Q,

+ 1)!! '

In cazul funcţiilor Bessel de speţa a doua, situaţia este mai simplă. Termenul dominant este un termen care creşte indefinit; el provine din derivarea lui 1/ z

Funcţiile Bessel sferice de speţa întâi sunt generate de funcţia

vecinătatea

(21

unde (2l + 1) !! reprezintă produsul numerelor impare de la 1 la 2 l + 1 .

este

xo(z) = C1 sin z+C2 cos z.

Comportarea în

-+

1r

2

l 1r , dl sin z = (-1) 1 sin(z- 2) dz 1

),

de unde formula asimptotică . ( ) z -

]l

· ( z - 17r) sm 2 ' z

Iz 1-00.

(F.9)

Se arată că pentru valabilitatea formulei precedente rn formulă de aproximaţie a jz este necesar ca I z I» l. In cazul funcţiei Yl , folosind o scriere înrudită cu cea precedentă pentru derivata funcţiei cosinus, se stabileşte funcţiei

Y1(z) _, _ cos(z - l;) z şi ,

Iz 1-00.

(F.10)

Alte funcţii Bessel sferice folosite în aplicaţii sunt funcţiile Hankel sferice de prima respectiv, a doua speţă

hjl)(z)

= J1(z) + iy1(z),

h}2\z) 195

= j1(z) -

iyz(z).

(F.11)

Anexa F.

F UNCŢIILE

BESSEL SFERICE

In mecanica cuantică întâlnim cel mai des funcţii Bessel cu variabilă reală sau pur imaginară. Pentru variabilă reală, formulele (F.9) şi (F.10) arată că orice soluţie a ecuaţiei (F.1) este mărginită la distanţe mari. Pentru variabilă pur imaginară situată pe semiaxa pozitivă , aceleaşi formule ne arată că singura soluţie mărginită (chiar scă.zătoare) la valori mari ale modulului variabilei este funcţia Hankel de prima speţă

·- l

(1)

Z

--t- e

h1 (it) -

- t

t - +oo.

,

(F .12)

~1enţionăm proprietăţile simple, care se pot verifica direct cu ajutorul expresiilor

Anexa G NORMAREA UNDELOR

PARŢIALE

compacte (F.5) şi (F.6),

[jz(z) ]* = jz(z*) ,

jz(-z) = (-ll jz(z) ,

[yz(z)]* = yz(z*).

Yz ( - z) = (-1) Z+l Yz (z) ,

(F.13) F .14)

Pentru oricare din funcţiile Bessel de acelaşi tip sunt valabile relaţiile de rec irenţă

f n- 1(z)

+ f n+1(z) =

2n+ 1 fn(z) , z

dfn(z) dz = nfn- 1(z) - (n

+ 1) f n+1(z ) .

:\Te referim la funcţiile proprii radiale corespunzătoare la valori proprii din spectrul continuu. Arătăm că dacă alegem factorul arbitrar până la care sunt definite ele astfel încât să fie valabilă formula (16.28), pe care o transcriem mai compact Rz(k: r) -

F .15)

atunci este I

.16)

sin az(k; r) kr

a 1(k;r)

7r

= kr - l 2 + oz(k),

r-oo,

(G.l)

valabilă relaţia

funcţia radială

de ortonormare (16.20). Cazul particulei libere în care este funcţia Bessel sferică este şi el cuprins în formula precedentă

pentru 01 =O.

In încheiere redăm expresia câtorva funcţii Bessel sferice:

jo(z) Yo(z)

-

sin z

--

z

. ( )

]l

'

cos z

---

z

z

sin z

z

Yi (z) = _

'

cos z

= -2 - - - - '

z cos z _ sin z . z z2

r !·

17) 18)

Demonstraţia se bazează pe teorema wronskianului (16.7) pe care o aplicăm pentru funcţiile Fi = x1(k1 ; r) = r Rz(k1; r) şi F2 = xz(k2; r) = r Rz(k2; r) , cu limitele a = O şi b o distanţă mare la care este valabilă expresia asimptotică precedentă. In origine wronskianul celor două funcţii se anulează dat fiind comportarea lor în vecinătatea lui r = O ( anulare ca r l+l ) , iar la distanţe mari wronskianul se calculează folosind (G.l). Obţinem

Următoarele se pot calcula pe baza relaţiei de recurenţă (F.15).

(k~-kf)

lob x1(k1;r)xz(k2 ; r)dr=W21(b)

cu W21 ( b)

= ; sin az (k2; b) cos az ( k1; b) - ; 2

Adăugând şi scăzând

sin a1 ( k1; b) cos az (k 2; b) .

1

un termen ales convenabil, transformăm expresia wronskianu-

lui, W21 (b)

196

1 .

1

2

2

1

= k sm[ (k2 - k1) b + Oz(k2) - 01(k1)] + ( k - ki) sin a1(k1; b) cos az(k2; b) 197

Anexa G. şi

NORMAREA UNDELOR

PARŢIALE

în continuare avem

lb

XL ( k1; r)

xz (k2; r) dr

1 sin[(k2 - k1) b + 01(k2) - 81(k1)] k2 (k1 + k2) (k2 - k1) sin[k1 b - l 1 + 81(k1)] cos[k2 b - l 1 + 81(k2)] k1 k2 (k1

+ k2)

Din primul termen, prin dezvoltarea sinusului desprindem o funcţie care, atunci când limita de integrare b creşte indefinit, generează o funcţie 8, 1 sin[(k2 - k 1) b] k2 (k1 + k2) (k2 - k1) cos[81(k2) - 81(k1)]--, 2:2 8(k2 - k1) '

Anexa H FORMULA LUI RAYLEIGH

b--,oo,

1

în timp ce ceilalţi termeni care sunt mărginiţi şi oscilează indefinit nu mai cont ează. In felul acesta am justificat relaţia (16.20). Ea este valabilă atât pentru particula liberă cât şi în prezenţa câmpului de forţe.

Pentru ecuaţia (.6. + k ) u = O se cunosc două seturi de soluţii care formează sisteme complete de funcţii: mulţimea continuă a undelor plane eik-r , caracterizate prin diferitele orientări ale vectorului real k cu mărime fixată, şi mulţimea infinită a undelor parţiale j1(kr) Y1m(e, rp), obţinută dând valori întregi nenegative indicelui Z şi valori întregi indicelui m, respectând condiţia / m /:::; l. Dacă ne referim la cazul în care axa Oz este dirijată după vectorul k , unda plană devine o funcţie dependentă doar de r şi e, iar undele parţiale care interesează sunt j1 (kr) Pi (cose) , deoarece independente de unghiul rp sunt funcţiile sferice cu m = O şi, până la factor [rel. (4. 78)], aceste funcţii se reduc Ia polinoame Legendre. Pentru a determina coeficienţii dezvoltării 2

00

eikz

=

eikrw

=

L afii(kr) Pi(w),

w = cose ,

l=O

folosim relaţia de ortogonalitate a polinoamelor Legendre

1 1

2

Pi(w) Pz,(w) dw = - -

2 1+ 1

- 1

şi obţinem

2

-z afi1(kr) = 2 +1

1

ou,

(H.l)

1

- 1

P1(w) eikrw dw.

(H.2)

Egalitatea precedentă este valabilă pentru orice valoare a coordonatei r. Pentru a detemina coeficientul a1 nu este necesar să evaluăm în mod exact integrala din membrul drept, este de ajuns să o considerăm pentru o valoare particulară a variabilei. Cel mai uşor este să folosim o valoare mare pentru r, la care pentru membrul 198 199

Anexa H. FORMULA LUI RAYLEIGH

stâng folosim expresia valabilă la distanţe mari (F.9). Extragem termenul dominant la distanţe mari din membrul drept al egalităţii (H.2) prin integrare prin părţi 1

1 _1

primul termen To se To

1 1

n( ) ikrwd r 1 w e w prelucrează

_ Pi(w) eikrw

=

ikr

1 = T,o - -:--k i r _1

dP1(w)

d

w

e ikrwd.w ;

în continuare

,w=l = w=-1

oo

eikr _ ei1rl e - ikr

2il

= -

ikr

kr

şi

sin(kr-l~) kr

deci

1 . ( = -2i sm kr

kr

-

Ytm(n) Yzm(n')

2

ajungem la urmi'itoarea eik-r

-,

s:( ') - exp( -ikr) us:( n +n ')] -27r - [exp( ikr) un-n ~ r r k

n=

k'

n '- r r

(H.3)

In acest fel am justificat formula 00

eikz

=

L i (2l + l)j1(kr) Pz(cosB). 1

,! ...t)

l=O

De la acest rezultat se obţine imediat cel general: atunci când axa Oz şi vector' i k nu mai au aceeaşi direcţie, formula precedentă este valabilă dacă în locul ungJ1,. ilui B este pus unghiul 8 dintre cei doi vectori k şi r. :\fai departe, folosind f o1 :iula de adunare a funcţiilor sferice l

Pz(n · n') =

4 -7rl ~ Ytm(n)Yzm(n') 2 +1 ~

1H.5)

m= - l

cu n şi n' , în general versorii a două direcţii oarecare, în cazul nostru n = n' = r jr, găsim rezultatul dorit oo

eik-r

=

I

l=O

k/k

şi

oo

L L

A~m(k) j1(kr) Yzm(r) =

m= - 1

L il (2l + 1) j,(kr) Pz(cos 8 ) . l=O

* A1m(k) = 41ri Yzm(k), o

A

·I

A

200

cose =

k. r .

(H.7)

relaţie simbolică

JT) l- , 2 ·

az = i 1 (2 l + 1).

= 5(n - n')

l=O m=-l

Am folosit relaţiile P1(l) = 1, Pz(-1) = (-1) = e i1rl. Repetarea integrării prin părţi în integrala rămasă generează un termen cu un factor 1/r suplimentar faţă de cel existent în To; repetarea a l + 1 integrări face să dispară integrala. generând un număr finit de termeni, toţi de ordin superior în 1/r faţă de termenul To. Revenind la formula (H.2) şi considerând termenul de ordin cel mai scă zut la distanţe mari, avem 2 2 Z+ 1

I

L L

. . 7T sm ( k r - l - ) .

1

- - - a1

In încheiere, menţionăm că dacă în formula precedentă considerăm cazul r -, oo, aplicăm formula (F.9) asimptotică pentru funcţia Bessel, exprimăm funcţia sinus cu ajutorul formulei Euler, folosim în al doilea termen obţinut proprietatea de paritate (4.76) a funcţiilor sferice şi apoi facem uz pentru ele de relaţia de completitudine (10.39)

(H.6)

201

r-;oo .

(H.8) (H.9)

BIBLIOGRAFIE

[1] B. H. Brandsen şi C. J. Joachain, Introducere în mecanica cuantică, Editura Tehnică, Bucureşti,

1999; ed. 2-a (în limba engleză), Prentice Hall, Harlow,

2000 [2] B. H. Brandsen şi C. J. Joachain, Fizica Atomului şi Moleculei, Editura Tehnică, Bucureşti, 1998; ed. 2-a (în limba engleză) , Prentice Hall, Harlow, 2003 [3] Cl. Cohen-Tannoudji, B. Diu et F. Laloe, Mecanique quantique (2volume) , Hermann, Paris. 1973; limba engleză, John Willey & Sons 1977 [4] M. Dondera şi V. Florescu, Capitole de fizică atomică teoretică, Editura Universităţii din Bucureşti, 2005 [5] V. Florescu, Mecanica cuantică, partea I-a. Tipografia Universităţii din Bucureşti,1979 (reeditare 1983) [6] V. Florescu, Mecanica cuantică, partea II-a, Tipografia Universităţii din Bucureşti , 1981 [7] C. J. Joachain, Quantum Collision Theory, 3rd edn., ::'>Jorth-Holland, Amsterdam, 1983 [8] P. Roman, Advanced Quantum Theory, Addison-Wesley, Reading, 1965 [9] S. Ţiţeica, Mecanica Cuantică, Editura Academiei. Bucureşti, 1984 .

203

I]ATA . RESî!TUJRfi

ii

/! ..-

2 3 -11 - 201i 1o. :mi 201h, .2 ~ -1r ?D11 f_1 t ~EC. 2014

~ ~

......

Tiparul s-a executat sub c-da nr. 2246/2008, la Tipografia Editurii Universităţii din Bucureşti

p!A~/oc,

JD~·