Le Grand Livre Des Tests Psychotechniques de Logique, de Personnalité Et de Créativité [PDF]

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2021 2022

Le Grand Livre des tests psychotechniques De  l ogique, de personnalité et de créativité

Bernard Myers Concepteur de tests logiques, rédacteur de la revue « Spécial logique ». Benoît Priet Professeur de tests psychotechniques et de français, préparateur aux concours à l’IPECO de Poitiers.

Dominique Souder Enseignant en mathématiques, secrétaire de la Fédération française des jeux mathématiques. Corinne Pelletier Formatrice aux concours à l’IPECO de Poitiers.

Direction et conception graphique : Élisabeth Hébert Photo de couverture : Adobe stock © tchebytchev Mise en page : Belle Page

© Dunod, 2021 11 rue Paul Bert, 92240 Malakoff www.dunod.com ISBN 978-2-10-082268-3

Table des matières Partie 1 : Aptitude numérique Chapitre 1 Chapitre 2 Chapitre 3 Chapitre 4 Chapitre 5 Chapitre 6 Chapitre 7 Chapitre 8 Chapitre 9 Chapitre 10 Chapitre 11 Chapitre 12 Chapitre 13 Chapitre 14

Conseils méthodologiques Nombres relatifs Calculs, priorités et estimations Puissances Racines Pourcentages Règle de trois, proportionnalité Grandeurs. Conversions. Mélanges Calcul mental rapide Équations Dénombrements Aires et volumes Suites Probabilités

3 11 20 36 43 49 57 68 82 97 108 119 129 135

Partie 2 : Aptitude logique Chapitre 15 Les séries graphiques Chapitre 16 Les séries alpha-numériques Chapitre 17 Les matrices Chapitre 18 Les ensembles et les intrus Chapitre 19 Les séries doubles Chapitre 20 Logique numérique Chapitre 21 Les dominos et cartes à jouer Chapitre 22 Les carrés logiques

147 159 166 173 181 195 208 222

III

Table des matières Chapitre 23 Les tests d’attention Chapitre 24 Autres épreuves logiques

234 241

Partie 3 : Aptitude verbale Chapitre 25 Le vocabulaire Chapitre 26 L’orthographe lexicale Chapitre 27 L’orthographe grammaticale  Chapitre 28 La conjugaison Chapitre 29 Tests de compréhension Chapitre 30 Logique verbale

265 277 285 300 312 325

Partie 4 : Personnalité et créativité Chapitre 31 Les questionnaires de personnalité Chapitre 32 Les tests projectifs Chapitre 33 Les tests de créativité individuels et collectifs

IV

345 355 359

Aptitude numérique

1.

Conseils méthodologiques

3

2.

Nombres relatifs

11

3.

Calculs, priorités et estimations

20

4.

Puissances36

5.

Racines43

6.

Pourcentages49

7.

Règle de trois, proportionnalité

57

8.

Grandeurs. Conversions. Mélanges

68

9.

Calcul mental rapide

82

10. Équations97 11. Dénombrements108 12. Aires et volumes

119

13. Suites129 14. Probabilités135

N

ul besoin d'être Einstein pour réussir aux questions d’aptitude numérique des concours. Si vous avez le niveau de la troisième en maths, vous pouvez vous en sortir ! Et ceux qui ont un niveau supérieur ou une certaine aisance avec les chiffres peuvent compter sur cette section pour faire monter leur moyenne. Le débat a longtemps faire rage : certains préconisent l’usage des maths pour opérer une sélection des candidats, car ils considèrent que l’aptitude mathématique est révélatrice d’intelligence, de logique, de rigueur et de bien d’autres qualités que l’on recherche chez les candidats. D’autres considèrent que les maths ne sont qu’un outil parmi d’autres et que les épreuves de maths trop poussées excluent des candidat(e)s avec de nombreuses autres qualités tout aussi nécessaires. Pour l’instant, à en juger par le niveau des épreuves, le balancier est plutôt dans le camp de ceux qui veulent limiter l’importance des maths. Ce n’est pas le cas dans toutes les régions, mais la difficulté des questions est nettement moins élevée qu’il y a quelques années. Cela ne veut pas dire qu’il faille négliger les maths pour autant ! Au contraire ! Considérez cette épreuve comme celle où vous pourrez consolider votre position. Pour cela, vous pouvez commencer par rafraîchir vos souvenirs scolaires avec les pages qui suivent. Ensuite, affrontez diverses questions pour vous remettre en forme. Au début, prenez votre temps, pour bien comprendre, bien assimiler. Ensuite, mettez-vous dans les conditions de concours, c’est-à-dire répondez dans un temps limité et sans calculette. (Si ce dernier point vous cause de grandes difficultés, il faut réviser vos tables de multiplications – elles s’oublient vite !

1

Comment s’organiser de façon à avoir le moins de travail possible pour aboutir au résultat d’un calcul… Nous ne voulons pas entrer ici dans le détail des astuces utiles de calcul mental, qui feront l’objet d’un chapitre entier, plus loin dans ce livre. Il s’agit seulement de vous sensibiliser à cette idée : « un calcul, cela se médite avant de le commencer ». Voici une dizaine exercices pour vous tester. Essayez de les faire avant de lire la solution qui suit, et surtout les commentaires sur la (ou les) bonne(s) tactique(s) de résolution…

Aptitude numérique

Conseils méthodologiques

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Exemples

1. Calculer : 500 × 3 + (7 + 500) – (500 ‒ 7) + 500 = … 2. Calculer : (8 ‒ 5)(8 ‒ 6)(8 ‒ 7)(8 ‒ 8)(8 ‒ 9) = … 3. Calculer : 12 ‒ 10 + 11 ‒ 9 + 8 ‒ 6 + 7 ‒ 5 + 4 ‒ 2 + 3 ‒ 1 = … 4. Calculer : 2014 + 2014 + 2014 + 2014 + 2014 + 2014 = … 2014 + 2014 +2014 5. Dans un théâtre il y a 30  rangées de 24  fauteuils au parterre, 20  rangées de 30 fauteuils au premier balcon et 16 rangées de 30 fauteuils au second balcon. Ce qui fait que le nombre total de fauteuils est… 2 2 6. Une opération nouvelle, notée * se définit ainsi : a * b = (a + b) – (a – b) . ab Calculer : 2 014 * (2 015 * 2 016) = … 7. Le tiers du quart de douze fois 2 014 est égal à… 8. Le chiffre des millièmes dans l’écriture décimale du quotient de 72 par 64 est… 9. Une salle rectangulaire a pour largeur 5,5 m et pour longueur 12 m. Son aire est égale à ….… m2. 10. Calculer : 987 654 321 + 123 456 789 = ……. Solutions

1. On factorise le plus possible… 500(3 + 1 ‒ 1 + 1) + 7 + 7 = 500 × 4 + 14 = 2 000 + 14 = 2 014. 2. Dans un produit de facteurs, si l’un est nul, le produit est nul. À cause de la parenthèse (8 ‒ 8) = 0 le résultat est ici 0. 3. On regroupe les structures équivalentes : (12 ‒ 10) + (11 ‒ 9) + ( 8‒ 6) + (7 ‒ 5) + (4 ‒ 2) + (3 ‒ 1) = 2 × 6 = 12.

3

1 Conseils méthodologiques 4. On factorise et on simplifie la fraction : 2014 + 2014 + 2014 + 2014 + 2014 + 2014 = 6 × 2014 = 6 = 2. 2014 + 2014 +2014 3 × 2014 3 5. On repère un facteur commun : 30 × 24 + 20 × 30 + 16 × 30 = 30(24 + 20 + 16) = 30 × 60 = 1 800 places. 6. Simplifions quand c’est possible : (a + b)2 – (a – b)2 a2 + 2ab + b2 – a2 + 2ab – b2 4ab = = = 4. ab ab ab Ainsi a * b vaut toujours 4, donc, par exemple 2 015 * 2 016 = 4. Par suite : 2 014 * (2 015 * 2 016) = 2 014 * (4) = 4. Le résultat final est 4. 7. On remarque que (1/3) × (1/4) × 12 = 12/12 = 1 et par suite le tiers du quart de douze fois 2 014 vaut 1 fois 2 014, soit 2 014. 8. Simplifions par 8 : le quotient de 72 par 64 est le même que celui de 9 par 8. Mais 9 = 8 + 1 donc 9/8 = 1 + 1/8 = 1 + 0,125 = 1,125. Le chiffre des millièmes est 5. 9. L’aire en m2 vaut 5,5 × 12 = 5,5 × (10 + 2) = 5,5 × 10 + 5,5 × 2 = 55 + 11 = 66. Ou encore : 5,5 × 12 = 5 × 12 + 0,5 × 12 = 60 + 6 = 66. On a utilisé la propriété de distributivité de la multiplication par rapport à l’addition. 10. Les additions en colonne concernent des nombres qui se complètent pour donner toujours 10. À part le chiffre des unités qui sera 0, les autres chiffres du résultat, qui doivent tenir compte d’une retenue de 1, seront des 1. Combien y aura-t-il de 1 dans l’écriture ? Les deux nombres à ajouter ont neuf chiffres, et leur total doit en avoir dix. Mis à part le 0 de droite il faut donc neuf chiffres 1 à sa gauche. Le résultat est 1 111 111 110.

QCM : comment être performant Les conseils qui vont suivre concernent les QCM dont la règle du jeu indiquée en début d’épreuve précise qu’il y a une bonne réponse et une seule parmi celles qui sont proposées. Si vous êtes bon en maths, vous allez avoir tendance à résoudre le problème posé sans tenir compte des propositions de solutions. Vous vérifierez que la réponse que vous avez trouvée figure bien parmi les propositions : si c’est le cas, vous vous direz « j’ai réussi » ; sinon vous chercherez une erreur dans vos calculs. Dans certains types de problème, cette tactique va vous faire perdre du temps et vous ne pourrez pas finir l’ensemble des QCM, contrairement à d’autres candidats plus ­malins et efficaces. Voici quelques exemples de problèmes où partir des valeurs proposées comme solutions permet d’être efficace et rapide. Exemple 1

4

Bacchus se verse à boire la moitié d’une bouteille pleine de bon vin. Il revient vers la bouteille et boit le tiers de ce qui reste. Puis il retourne boire le quart du dernier reste. Le contenu restant de la bouteille lui permet de se remplir enfin un dernier verre de 33 cL.

Conseils méthodologiques 1 Quelle est la capacité de cette bouteille ? ❏ a. 66 cL ❏ b. 100 cL ❏ c. 120 cL

❏ d. 132 cL

❏ e. 144 cL

Au lieu de se lancer dans des équations ou des calculs de fractions, on peut essayer de vérifier si l’on obtient le 33 cL final à partir d’une des valeurs pro­posées. Un premier essai astucieux est de partir de la valeur du milieu parmi les propositions : ici 120 cL. Bacchus verse 60 cL, il reste 60 cL. Il boit le tiers du reste soit 20 cL. Il reste 40 cL dans la bouteille. Il boit le quart de ce reste soit 10 cL, il reste 30 cL dans la bouteille et non 33 cL. Notre choix c. n’est pas le bon, mais comme il donne un peu moins que ce qu’il faut, on peut abandonner les essais pour une valeur moindre, et faire un autre essai avec la valeur du d. un peu supérieure : 132 cL. Bacchus verse 66 cL, il reste 66 cL. Il boit le tiers du reste soit 22 cL, il reste 44 cL dans la bouteille. Il boit le quart du reste, soit 11 cL. Il reste 33 cL dans la bouteille : c’est ce qu’on souhaitait, la bonne réponse est d.

Aptitude numérique

Solution

Apprivoisez une nouveauté : l’apparition de mini-problèmes dans les concours récents ! Dans cet exemple de mini-problème, les questions s’enchaînent : il convient d’utiliser la réponse du 1) pour trouver celle du 2), puis d’utiliser la réponse du 2) pour trouver celles du 3), etc. Chaque question n’est ni très longue ni difficile, mais il faut suivre rigoureusement l’enchaînement des questions.

La suite des entiers strictement positifs est écrite sous forme d’un tableau triangulaire dont voici le début…

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1 2 4 7 11

3 5

8 12

6 9

13

10 …

…

1.  Comparer le numéro de la ligne à partir du haut avec le nombre de nombres écrits dessus. 2.  Que vaut le premier terme de la 2 014e ligne du tableau ? 3.  Que vaut le dernier terme de la 2 014e ligne du tableau ? 4.  Que vaut la somme des termes de la 2 014e ligne du tableau ? 5

1 Conseils méthodologiques Solution du deuxième exemple 1.  Sur la ligne numéro n (à partir du haut du tableau) il y a n nombres écrits. Ainsi sur la ligne numéro 2 013 il y a 2 013  nombres, et sur la ligne numéro  2 014 il y a 2 014 nombres. 2.  Les lignes numéros 1 à 2 013 contiennent (1 + 2 + 3 +…+ 2 013) nombres. On rappelle que la somme des nombres de 1 à n vaut n(n +  1)/2. Ainsi : (1 +  2 +  3 +…+ 2 013) = 2 013 × 2 014/2 = 2 027 091. Le premier nombre de la ligne numéro 2014 vaut donc 2 027 091 + 1 = 2 027 092. 3.  Sur la ligne numéro  2014 il y a 2 014  nombres. Le dernier nombre de cette ligne est supérieur de 2013 au premier. Le dernier nombre de la ligne est 2 027 092 + 2 013 = 2 029 105. 4.  La somme des termes de la 2 014e ligne du tableau est une somme de nombres consécutifs égale à : 2 027 092 + 2 027 093 + … + 2 029 105 = (2 027 092 + 2 029 105) × 1 007 = 4 056 197 × 1 007 = 4 084 590 379. (En effet on peut regrouper les 2 014  nombres en 1 007  paires de même somme, celle-ci étant égale au total du premier et du dernier terme de cette progression arithmétique de raison 1)

Exercices d’entraînement 1. Ma sœur a autant de frères que de sœurs. Mon frère a deux fois plus de sœurs que de frères. Combien y a t-il d’enfants dans notre famille ? ❏ a. 5 ❏ b. 6 ❏ c. 7 ❏ d. 8

❏ e. 9

2. Je suis un nombre de deux chiffres. Si on intervertit mes deux chiffres, on ­obtient un nombre valant 1 de moins que ma moitié. Qui suis-je ? ❏ a. 32 ❏ b. 42 ❏ c. 52 ❏ d. 34 ❏ e. un tel nombre n’existe pas

3. Dans 20 ans, ton âge sera le carré de ton âge actuel. Quel âge as-tu ? ❏ a. 5 ans

❏ b. 6 ans

❏ c. 7 ans

❏ d. 8 ans

❏ e. 9 ans

4. Soient a, b, c trois nombres réels. Quatre des cinq relations ci-dessous sont équivalentes entre elles (reviennent au même après simplification).

Quelle est celle qui n’est équivalente à aucune autre ? ❏ b. b = (a + b + c) ❏ c. b = (2a + b + 2c) ❏ d. b = (4a + 2b + c) ❏ a. b = (a + c) 3 2 5 7 ❏ e. b = a – b + c 6

Conseils méthodologiques 1

5. Ludo écrit trois nombres. En les ajoutant deux par deux, il obtient les sommes 63, 65 et 68. Quel est le plus petit des trois nombres écrits ? ❏ a. 25 ❏ b. 28 ❏ c. 23 ❏ d. 31

❏ e. 30

6. Une mouche s’est écrabouillée sur l’extrémité d’une pale d’éolienne de 20 m de rayon. Celle-ci tourne régulièrement à la vitesse de 30 tours à la minute.

Quelle est la vitesse de déplacement du cadavre de la mouche (à 1 km/h près) ?

La géométrie est propice à des questions enchaînées, mais la forme du concours conduit à ne poser que des questions donnant des réponses chiffrées faciles à corriger, et l’on ne demande jamais de rédiger des démonstrations structurées du raisonnement qui est utile pour aboutir aux réponses. F

B

A

45°

E

Aptitude numérique

❏ a. 147 km/h ❏ b. 166 km/h ❏ c. 185 km/h ❏ d. 204 km/h ❏ e. 223 km/h

C D

7. Testez-vous maintenant sur cet exercice.

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Sur la figure ci-dessus : ll ABCD est un parallélogramme dont les côtés ont pour mesures en centimètre : AB = √2 et AD = 10. ll L’angle A vaut 45° ll Les droites (BE) et (DF) sont perpendiculaires à (AB) Le but du problème est de calculer la distance entre les droites (BE) et (DF) a. Calculer l’aire en cm2 du triangle ABE. b. Combien de cm mesure la hauteur issue de B dans le triangle ABE ? c. Calculer l’aire en cm2 du parallélogramme ABCD. d. Calculer l’aire en cm2 de BFDE e. Combien mesure la distance entre les droites (BE) et (DF) ? (Donner la valeur exacte en cm)

8. Lequel des nombres ci-dessous est le plus grand ?

9.

  a. 2 013   b. 2 014   c. 2 015    d. – 2 016 – 2 017 2 015 2 014 2 016   e. – 2 016 2 017 20 Auquel des nombres ci-dessous est égal le quotient 50 10 ? 100 10 10 25   a. 1/2   b. 5   c. 2   d. 2510   e. 5010 7

1 Conseils méthodologiques

10. Parmi les cinq expressions suivantes, l’une ne donne pas le même résultat que les quatre autres. Laquelle ?

  a. 0,25/2   b.   c. ( 1 + 1 )/ 4    d. 4 4 125   e. 1 000 11. Papy a un jardin rectangulaire dont l’aire est 70 m² et le périmètre 38 m. Quelle est en mètres la plus petite des deux dimensions ?   a. 21

  b. 7

  c. 14

  d. 5

  e. 19

12. L’ entier n tel que 2 014 = 1 + 2 + 3 + … + (n – 1) + n   a. N’existe pas   b. vaut 1 033   e. vaut 64

  c. vaut 62

   d. vaut 63

Corrigés des exercices 1. Réponse c. « Ma sœur a autant de frères que de sœurs » : il y a donc une fille de plus que le nombre de garçons. Essayons la valeur centrale proposée : 7  enfants, qui correspond à 4  filles et 3 garçons : une fille a autant de sœurs (3) que de frères (3), un garçon a deux fois plus de sœurs (4) que de frères (2). La solution est donc 7 enfants.

2. Réponse c. On peut faire des essais avec les quatre valeurs proposées. 52 est la solution, car l’interversion donne 25, et 25 + 1 = 26 est la moitié de 52.

3. Réponse a.

Il peut sauter à l’œil de suite que 5 + 20 = 25 est le carré de 5.

4. Réponse d. Partons de la première proposition b = (1 / 2) (a + c) et imaginons des valeurs qui la respectent, par exemple a = 1, b = 2, c = 3 car 2 = (1 / 2) (1 + 3). Les calculs des propositions suivantes conduisent à : a. (1 + 3) / 2 = 2 vrai.  b. (1 / 3) (6) = 2 vrai.  c. (1 / 5) (10) = 2 vrai.  d. (1 / 7) (11) = 2 faux. e. 2 = 2 vrai.  La formule différente des autres est donc d.

5. Réponse d.

Classons les propositions par ordre croissant : 23, 25, 28, 30, 31. La valeur centrale est 28 : essayons-la. Pour faire 63, il faut un deuxième nombre égal à 63 – 28 = 35. Pour faire 65 il faut un troisième nombre égal à 65 – 28 = 37. La somme de 35 et 37 fait 72 ce qui ne correspond pas à l’énoncé (68).

8

Conseils méthodologiques 1 Comme on trouve trop avec ces deux nombres obtenus par des soustractions, on va plutôt essayer les valeurs supérieures du petit nombre, ce qui, par soustraction à ces deux grands nombres, donnera moins. Prenons 30. Pour faire 63, il faut un deuxième nombre égal à 63 – 30 = 33. Pour faire 65, il faut un troisième nombre égal à 65 – 30 = 35. On obtient alors la somme 33 + 35 = 68 qui correspond à l’énoncé. La plus petit des trois nombres est 30.

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Le cadavre de la mouche parcourt un cercle de rayon 20 m, cela 30 fois à la minute donc 30 × 60 = 1 800 fois à l’heure. Le périmètre correspondant à un tour est 2 π R = 40 π (en mètres). La distance parcourue en une heure par le cadavre, en km, est : 40 π × 1 800 / 1 000 = 40 π × 1,8 = 72 π On sait que π vaut environ 3,14 ; mais ce qui importe, c’est que π est plus grand que 3. Comme 72 est plus grand que 70, le résultat cherché est supérieur à 70 × 3 = 210 km. Il n’y a qu’une seule proposition supérieure à 210 km, c’est 223 km. On peut éviter tout calcul précis dans ce QCM, et s’en tirer par une évaluation de l’ordre de grandeur du résultat confronté aux propositions. Ceci est vrai même si les propositions semblent précises (comme ici 147, 166, 204…)

7.

a.  Avec un angle droit et un angle de 45° le triangle ABE est rectangle et isocèle ; les côtés de l’angle droit mesurent Ö2. Son aire vaut : Ö2 × Ö2/2 = 1 cm2. b. Grâce au théorème de Pythagore dans le triangle rectangle ABE, AE2 = 2 +2 = 4 donc AE = 2. Dans ce triangle rectangle isocèle la hauteur issue de B est aussi médiane, et sa longueur est la moitié de celle de l’hypoténuse AE donc elle vaut 2/2 = 1 cm. c. La hauteur issue de B dans ABE est aussi la hauteur perpendiculaire aux côtés AD et BC du parallélogramme ABCD. Comme AD = 10 cm, l’aire de ABCD est 10 × 1 = 10 cm2. d. Les triangles ABE et FDC sont symétriques par rapport au centre du parallélogramme ABCD ; ils ont même aire 1 cm2. L’aire de BFDE vaut celle de ABCD diminuée de 2 fois celle de ABE, donc elle vaut 10 ‒ 2 = 8 cm2. e. Les droites (BE) et (DF) sont parallèles car elles sont toutes deux perpendiculaires à la même droite (AB). Comme on a aussi (BF) qui est parallèle à (ED), la figure BFDE a ses côtés parallèles deux à deux, donc c’est un parallélogramme. Son aire, qui vaut 8 cm2, est le produit de sa base BE (qui vaut Ö2 cm), par sa hauteur perpendiculaire (qui est la distance entre les droites (BE) et (DF). Celle-ci vaut donc : 8/Ö2 = 4Ö2 cm.

8.

La dernière proposition est un nombre négatif donc il n’est pas le plus grand. Il est important de voir que les autres fractions ont toutes la même allure : a/(a + 1). On sait que la fonction « inverse » est décroissante. Quand a augmente et donc quand (a + 1) augmente, le quotient 1/(a + 1) diminue. Remarquons que a/(a + 1) = 1 − 1/(a + 1). Si on enlève 1/(a + 1) de 1, on lui enlève de moins en moins quand a augmente, donc on progresse vers 1. Quand a est positif, la fonction f(a) = a/(a + 1) = 1 − 1/(a + 1) est croissante. Ainsi f(2 013) < f(2 014) < f(2 015) < f( 2 016). La plus grande valeur est

Aptitude numérique

6. Réponse e.

– 2 016 2 016 =  . Bonne réponse : d. – 2 017 2 017

9

s

1 Conseils méthodologiques

9.

D’une part 5020 = (5²)20 × 220 = 540 × 220. D’autre part, 10010 = (2² × 5²) 10 = 220 × 520.

R R O C 10

5020 se simplifie en 520, ce qui est égal à 2510 donc la bonne réponse est d. 10010

10.

Le a. et le b. donnent deux résultats différents (soit 1/8 = 0,125 et 1/6), donc il suffit de calculer un troisième nombre pour pouvoir répondre. Comme le dernier nombre (le e.) est clairement 0,125, on conclut que c’est le b. la valeur isolée.

11.

Quand on aime les chiffres on réagit à partir de 70 en imaginant 5 × 14, puis 5 + 14 = 19 dont le double est 38. On a deviné les dimensions du terrain : 5 et 14, et la bonne réponse est donc 5 soit le d.). Si l’on n’a pas cette intuition, il faut trouver deux nombres dont le produit est 70 et la somme 19, ce qui ramène à résoudre l’équation du second degré x² −19x + 70 = 0. On peut aussi, comme l’aire est le produit de deux dimensions, chercher parmi les propositions des diviseurs de 70 : il n’y en a que trois à envisager et tester : 5, 7 et 14.

12.

On sait que 1 + 2 + 3 + … + (n – 1) + n = n(n + 1)/2 et les valeurs proposées sont en majorité dans le même ordre de grandeur 62, 63, 64. Essayons la formule avec n = 63 : on obtient 63 × 64/2 = 2 016, c’est trop grand. Essayons la formule avec n = 62 : on obtient 62 × 63/2 = 1 953, c’est trop petit. Avec cet encadrement, les autres valeurs sont hors jeu, et on peut conclure que « n n’existe pas » (bonne réponse a.)

I

G

é

Le quotient

2

Nombres relatifs

Voici une série de 10 exercices à faire en 10 minutes pour évaluer votre niveau, puis vous donner un objectif de travail…

1. On invente une nouvelle opération notée * telle que pour tous les nombres x et y strictement positifs l’on ait x*y =  xy . Que vaut 10*2 ? x+y  a. 5/3   b. 5/2   c. 5   d. 20/3   e. 20

Aptitude numérique

Testez-vous

2. Dans le tableau incomplet ci-dessous, la somme de chaque ligne, chaque ­colonne, chaque diagonale doit être le même nombre. Que vaut Z ? Z  a. ‒ 6

  b. ‒ 5

‒8 ‒2

3 T ‒3

  c. 2

  d. 5

  e. 8

3. Sur une droite on donne 4 points A, B, C, et D alignés dans cet ordre en respectant les distances suivantes : AD = 35, AC = 22 et BD = 29. Quelle est la distance BC ?  a. 5

  b. 6

  c. 7

  d. 3

  e. 16

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4. Pascal a acheté 3 chemises dans une boutique. Les deux premières d’entre elles

étaient affichées au prix de deux pour 15 euros. Sachant que le prix moyen des trois chemises est 8 euros, combien Pascal a-t-il payé pour la troisième ?  a. 7 €

  b. 7,67 €   c. 8,50 €   d. 9 €

  e. 7,75 €

5. On sait que xy = 2 et que xy² = 8. Que vaut x ?  a. 0,5

  b. 2

  c. 4

  d. 8

  e. 16

6. Sachant que y = (x + 3)² à laquelle des expressions suivantes est égal (‒ 2x ‒ 6)² ?  a. ‒ 4y²

  b. ‒ 4y

  c. ‒ 2y²

  d. 4y²

  e. 4y

7. Bill possède des quarters (de 25 cents), des nickels (de 5 cents), et des

dimes (de 10 cents). Il a 4 quarters de plus que de dimes, et 3 dimes de plus que de nickels. Si n désigne le nombre de nickels en sa possession, laquelle

11

2 Nombres relatifs des formules suivantes représente en cents la valeur totale de toutes ses pièces ?  a. 40n + 205   d. 7n + 130

  b. 40n + 130   e. 3n + 10

  c. 40n + 7

8. Que vaut (10 − 9 + 8 − 7 + 6 − 5 + 4 − 3 + 2 − 1)(1 − 2 + 3 − 4 + 5 − 6 + 7 − 8 + 9 − 10) ?

9. L’opposé de 22 − 50 est…  a. 22 + 50   d. − 22 − 50

  b. 50 − 22   e. 1/22 + 1/50

  c.

1 22 – 50

10. Dans le buffet il y avait 7 assiettes dans une pile, 3 de moins dans une autre. Janine en place 6 sur la table, et 3 de moins sur la desserte. Combien reste-t-il d’assiettes dans le buffet ?

Solutions

1. 2. 3. 4. 5.

Bonne réponse a. Bonne réponse c. Bonne réponse e. La bonne réponse est d. La bonne réponse est b.

6. 7. 8. 9. 10.

La bonne réponse est e. La bonne réponse est a. Le produit final vaut (+ 5)(− 5) = − 25. Bonne réponse b. Le nombre d’assiettes qui reste est 2 ­assiettes.

Quel est votre niveau ? Notez-vous : un point par bonne réponse. Si vous obtenez : l moins de 3 points sur 10 : il vous faudra travailler intensément ce chapitre ; l entre 4 et 8 points, il vous faudra réviser et approfondir ce chapitre ; l 9 ou 10 points, vous pourrez passer ce chapitre en première étape de votre préparation générale. Le mot « relatif » peut s'entendre comme « relativement à zéro », et l'on considère donc des nombres qui peuvent être positifs (supérieurs à zéro) ou négatifs (inférieurs à zéro).

Comparer deux nombres relatifs ●●

Si l’un des deux nombres est positif et l’autre négatif : c’est le nombre négatif qui est le plus petit.` Exemple

12

– 2 < + 1.

Nombres relatifs 2 ●●

Si les deux nombres sont positifs : on applique la règle habituelle de com­paraison. Exemple

6  2.

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●●

Quand deux nombres sont opposés : leur somme est égale à zéro. Exemple

(– 4) et (+ 4) sont opposés : (– 4) + (+ 4) = 0.

Différence de deux nombres relatifs ●●

Pour soustraire un nombre relatif, il faut ajouter son opposé. Exemples

(+ 12) – (– 4) = (+ 12) + (+ 4) = (+ 16) (+ 10) – (+ 18) = (+ 10) + (– 18) = (– 8) 13

2 Nombres relatifs

Écriture simplifiée des relatifs ●●

Dans une suite d’additions de nombres relatifs, on peut supprimer les signes d’addition et les parenthèses. Un nombre positif écrit en début de calcul peut s’écrire sans signe (mais pas un nombre négatif).

Exemples

(+ 7) + (+ 11) + ( 16) peut s’écrire 7 + 11 – 16. ( 3) + (+ 2) + ( 5) peut s’écrire  3 + 2 – 5. Inversement, le calcul 5 – 8 + 11 peut s’écrire (+ 5) + ( 8) + (+ 11).

Effectuer une suite de calculs avec des nombres relatifs S’il n’y a pas de parenthèses encadrant les calculs : 1 tactique : on transforme les soustractions de nombres relatifs négatifs en additions, on supprime les termes opposés s’il y en a, puis on regroupe les termes positifs et les termes négatifs, et on effectue les sommes de ces termes. 2e tactique : on applique les règles de simplification des écritures, on sup­prime les opposés, on regroupe les termes positifs et négatifs et on effectue les sommes. ●● S’il y a des calculs encadrés par des parenthèses : on commence par effec­tuer les calculs dans les parenthèses, ensuite on applique une des méthodes précédentes. ●●

re

Multiplication de deux nombres relatifs Pour multiplier deux nombres relatifs, on multiplie leurs distances à zéro, puis on détermine le signe du produit : ●● si les deux nombres sont de même signe, le produit est positif ; ●● si les deux nombres sont de signes différents, le produit est négatif. Exemples

( 3) × ( 8) = (+ 24)    ( 2) × (+ 6) = ( 12) (+ 6) × (+ 7) = (+ 42)   (+ 8) × ( 3) = ( 24)

Multiplication de plusieurs nombres relatifs On compte le nombre de nombres négatifs dans ce produit : ●● si ce nombre est pair, le produit est positif  ; ●● si ce nombre est impair, le produit est négatif. Exemples

14

( 2) × ( 5) × (+ 7) × ( 6) =  420 (il y a trois négatifs donc le produit est négatif). ( 6) × (+ 5) × ( 5) × (+ 4) = + 600 (il y a deux négatifs donc le produit est positif).

Nombres relatifs 2

Division de deux nombres négatifs Pour diviser deux nombres relatifs (le diviseur n’étant pas zéro) : ●● on divise leurs distances à zéro ; ●● on applique la même règle de signe que pour la multiplication. Exemples

( 8) = (+ 4)    ( 15) = ( 3) (+ 5) ( 2)

●●

Si un calcul comporte des opérations entre parenthèses, celles-ci sont effec­tuées en priorité. Exemples

( 6) – (( 5) + ( 2)) = ( 6) – ( 7) =  6 + 7 = + 1. ( 2,5) × ( 4 + 8) = ( 2,5) × (+ 4) = ( 10). ●●

Aptitude numérique

Priorités

Si un calcul ne comporte pas d’opérations entre parenthèses, les multiplica­tions et les divisions sont effectuées en priorité sur les additions et les sous­tractions. Exemple

( 3) + ( 4) × (+ 3) =  3 + ( 12) = ( 15).

Conduire un calcul… On observe d’abord la présence éventuelle de parenthèses, puis d’opérations de priorités différentes... Mais pour faciliter le calcul de certaines expressions, on peut utiliser aussi la distributivité de la multiplication par rapport à l’addition ou à la soustraction :

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a × (b + c) = (a × b) + (a × c) a × (b – c) = (a × b) – (a × c) Exemples

( 8) × (+ 13) + ( 8) × ( 3) = ( 8) × (+ 13 + ( 3)) = ( 8) × (+ 10) = ( 80). ( 75) × (+ 102) = ( 75) × (100 + 2) = ( 75) × 100 + ( 75) × 2 =  7 500 – 150 =  7 650. Avant d’exécuter un calcul, on pourrait dire qu’il se médite…

15

2 Nombres relatifs

Exercices d’entraînement 0 0 1 5

Niveau 1 1. Ranger par ordre décroissant les nombres suivants :  11    11,8    18  + 11   10,8

2. Calculer x dans chacune des égalités suivantes : a. 6 + x =  2   b. x + ( 3) = + 1   c. (+ 5) + x =  8

3. Calculer les quatre nombres suivants : a. ( 14) – ( 11) =   c.  7 – 8 + 9 – 7 = b. (+ 25) + ( 7) =   d. 6 – 15 – 7 + 2 =

4. Calculer les deux nombres suivants : a. 17 – (( 3) – (+ 12)) =   b. (13 – ( 2)) – (9 – (+ 12)) =

5. Calculer : ( 2) × (+ 4) × ( 5) × ( 3) 6. Calculer : ( 7) + ( 3) × ( 2) – ( 9) 7. Calculer : 15 – [7 – [ 3 – ( 12)]] 8. Déterminer x sachant que : ( 5) + ( x) = 15 9. Calculer les trois expressions suivantes : a. ( 9)   b. 7 × ( 4)  c.  5 × ( 2 + 6) ( 3)

10. Calculer astucieusement : a. 970 × ( 13) + 30 × ( 13)   b.  99 × (+ 25)

11. Calculer :  8  ( 4) × 7 + ( 7) × 4 + ( 8) 12. Calculer : ( 35)/( 7)  5 × 6  8/( 2) 0 0 2 5

Niveau 2 13. Que vaut 3 – (2 – (1 – (3 – (2 – (1 – 3))))) ? ❏ a.  3

❏ b.  1

c. 0

❏ d. 1

❏ e. 3

14. Roméo et Juliette ont décidé d’explorer un gouffre dont le point le plus bas

16

est situé à  426 m par rapport au niveau de l’entrée. Ils arrivent à – 134 m et doivent descendre dans un puits pour atteindre un ruisseau souterrain qui coule à – 251 m. Lorsqu’ils ont atteint ce ruisseau, de combien de mètres doivent–ils ­encore descendre pour atteindre le fond du gouffre ?

Nombres relatifs 2 ❏ a. 41 m

❏ b. 175 m

❏ c. 185 m

❏ d. 292 m

❏ e. 309 m

15. Du cube de (– 1) on soustrait le carré de (– 4). Que vaut cette différence ? ❏ a. 65

❏ b. 7

❏ c. 63

❏ d.  15

❏ e.  17

❏ c. 20

❏ d. 24

❏ e. 42

16. – 22 – 22 = combien ? ❏ a.  23

❏ b.  20

17. Le nombre 1 – 2 + 3 – 4 + … + 2 005 – 2 006 n’est pas : ❏ c. inférieur à 500

18. Que vaut : 2 – 4 + 6 – 8 + … – 204 + 206 – 208 + 210 ? ❏ a. 104

❏ b. 106

❏ c. 210

❏ d.  208

❏ e.  210

❏ c. 0

❏ d. 1

❏ e. 2

19. Que vaut ( 1)2 006 – ( 1)2 007 ? ❏ a.  2

❏ b.  1

20. Parmi les nombres suivants, quel est le plus petit qui dépasse  ❏ a.  1,57

❏ b.  1,58

21. Que vaut – 2,333… ? ❏ a. 

5 3



(

❏ b.   2 +

❏ c.  1,56 3

10

❏ d.  11,7

) ❏ c. 2,34

❏ d. 

❏ c. 3 009

❏ d. 0



7 3



11 7

Aptitude numérique

❏ a. entier ❏ b. négatif ❏ d. multiple de 3 ❏ e. multiple de 2

 ?

❏ e.  11,71 ❏ e.  2,4

22. 2 006 – (1 – 2) – (3 – 4) – (5 – 6) –... – (2 005 – 2 006) = combien ? ❏ a. 1 003

❏ b. 2 006

❏ e. 4 012

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Corrigés des exercices 1.

Par ordre décroissant : + 11 > – 10,8 > – 11 > – 11,8 > – 18.

2.

a . 6 + x =  2 donne x = – 2 – 6 =  8 b. x + ( 3) = + 1 donne x = + 1 – ( 3) = + 4 c. (+ 5) + x =  8 donne x =  8 – (+ 5) =  13

3.

a . ( 14) – ( 11) =  14 + 11 =  3 b. (+ 25) + ( 7) = + 18 c.  7 – 8 + 9 – 7 =  15 + 9 – 7 =  6 – 7 =  13 d. 6 – 15 – 7 + 2 =  9 – 7 + 2 =  16 + 2 =  14

4.

a. 17 – (( 3) – (+ 12)) = 17 – ( 3 – 12) = 17 – ( 15) = 17 + 15 = + 32 b. (13 – ( 2)) – (9 – (+ 12)) = (13 + 2) – (9 – 12) = 15 – ( 3) = 15 + 3 = 18

17

C

O

R

R

I

G

é

s

2 Nombres relatifs

5.

( 2) × (+ 4) × ( 5) × ( 3) =  120, le résultat est négatif car il y a un nombre impair (3) de nombres négatifs dans le produit.

6.

( 7) + ( 3) × ( 2) – ( 9) =  7 + 6 + 9 =  1 + 9 = + 8.

7.

1 5 – [7 – [ 3 – ( 12)]] = 15 – [7 – ( 3 + 12)] = 15 – (7 – 9) = 15 – ( 2) = 15 + 2 = 17.

8.

( 5) + ( x) = 15 donne  5 – 15 = x, d’où x =  20.

9.

a. (– 9) = + 3 (– 3) b. 7 × ( 4) =  28 c.  5 × ( 2 + 6) =  5 × (4) =  20

10. a. 970 × ( 13) + 30 × ( 13) b.  99 × (+ 25) = (970 + 30) × ( 13) =  (100 – 1)(25) = 1 000 × ( 13) =  13 000 =  100 × 25 – ( 1) × 25 =  2 500 + 25 =  2 475. 11.

 8  ( 4) × 7 + ( 7) × 4 + ( 8) =  8  ( 28) + ( 28)  8 =  8 + 28  28  8 =  16

12.

( 35)/( 7)  5 × 6  8/( 2) = 5  30  ( 4) = 5  30 + 4 =  25 + 4 =  21

13.

Bonne réponse : e. 3 – (2 – (1 – (3 – (2 – (1 – 3))))) = 3 – (2 – (1 – (3 – (2 – ( 2))))) = 3 – (2 – (1 – (3 – (4)))) = 3 – (2 – (1 – ( 1))) = 3 – (2 – (2)) = 3

14.

Bonne réponse : b. Dans ce genre d’exercices, un dessin pourrait aider à mieux comprendre l’énoncé et à trouver rapidement la solution : Entrée du gouffre

0m

– 134 m

– 251 m (ruisseau) Distance recherchée

Fond du gouffre

– 426 m

Le  134 ne sert à rien. On calcule 426 – 251 = 175 m.

18

Nombres relatifs 2

15.

Bonne réponse : e. On écrit le calcul : ( 1)3 – ( 4)2 =  1 – (+ 16) =  17.

16.

Bonne réponse : a.  4 – 4 =  8 =  23. En l’absence de parenthèses, la puissance s’applique au 2 et non au signe –, de même que la multiplication a priorité sur la soustraction.

17.

Bonnes réponses : d. et e. Il faut d’abord effectuer le calcul : 1 – 2  +  3 – 4  +... 2 005 – 2 006 = – 1

= – 1

18.

Bonne réponse : b. Il y a 105 nombres, on laisse le premier 2, et les 104 autres peuvent être regroupés par paires (voir exercice précédent) soit 52 paires donnant chacune 2. D’où la somme : 2 + 52 × 2 = 106.

19.

Bonne réponse : e. 2 006 est pair, donc : ( 1)2 006 = 1 ; 2 007 est impair, donc : ( 1)2 007 =  1. On a donc : 1 – ( 1) = 2.

20.

Bonne réponse : a.  11 vaut environ  1,5714 ; le plus petit nombre supérieur proposé est  1,57. 7 Bonne réponse : d. Seul  7 donne la bonne valeur. 3 Au b. on trouve  2,3 ce qui n’est pas exactement la réponse mais seulement une valeur approchée.

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21.

22.

Aptitude numérique

= – 1

On remarque qu’on peut regrouper les nombres composant ce calcul par paires, chaque paire composant une soustraction et chaque soustraction étant égale à  1. Il faut donc calculer le nombre de paires. Il y a 2 006 nombres dans le calcul. Quand on les regroupe par deux, cela donne 2 006 = 1 003 paires. 2 Le résultat est donc :  1 × 1 003 =  1 003.  1 003 est un nombre entier négatif inférieur à 500, mais il n’est ni multiple de 3 ni multiple de 2.

Bonne réponse : c. 2 006 – ( 1 × 1 003) = 2 006 + 1 003 = 3 009.

19

3

Calculs, priorités et estimations

Testez-vous Voici une série de 10 exercices à faire en 10 minutes pour évaluer votre niveau, puis vous donner un objectif de travail…

1. Monsieur Laprune a vendu hier 98  kg de certains fruits pour 456  € et aujourd’hui 52 kg d’autres fruits pour 243 €. Quel est le prix moyen du kilo des fruits vendus en deux jours ?

2. Marco avait acheté pour un total de 300 € un lot de 125 paniers de fraises. Il a revendu chaque panier 2,50 €. A-t-il gagné ou perdu, et combien ?

3. La moyenne de 13 et de deux nombres égaux entre eux est 15. Quelle est la valeur des deux autres nombres ?

4. Pour le mouvement d’ensemble du concours de gymnastique, nous avons compté 24 rangs de 125 gymnastes chacun. Quand ils levaient les bras, combien voyait-on de bras levés ?

5. Parmi les nombres suivants, l’un est la moyenne arithmétique d’un entier et de son carré. Lequel ?   a. 4

  b. 9

  c. 16

  d. 25

  e. 36

6. Pour leur début de journée, les bus 9, 23 et 41 partent tous de la même station à 6 h du matin, puis respectivement toutes les 12, 15, et 20 minutes. À quelle heure repartiront-ils simultanément pour la deuxième fois ?

7. Calculer le produit du PPCM et du PGCD de 24 et 15. 8. Un nombre réel est compris entre 5 et 11. La moyenne arithmétique de ce nombre et de 6 et 10 ne peut pas être…   a. 7,1

  b. 7,9

  c. 8,5

  d. 8,9

  e. 9,1

9. Sylvain a fait entourer son pré d’une rangée de fil de fer qui revient posée à

30 € le mètre. Pour mesurer le tour du pré, on a posé 16 fois la chaîne d’arpenteur. Combien a coûté la clôture ?

10. Dans un théâtre il y a 30 rangées de 24 fauteuils au parterre, 20 rangées de 20

30 fauteuils au premier balcon et 16 rangées de 30 fauteuils au second balcon. Quel est le nombre total de fauteuils ?

Calculs, priorités et estimations 3

Solutions Prix moyen du kg = 4,66 €.

2.

Il a gagné 12,50 €.

3.

Chaque nombre vaut 16.

4.

Nombre de bras levés 6 000 bras.

5.

Bonne réponse e.

6.

Les bus se retrouvent ensemble pour la deuxième fois à 7 heures du matin.

7. 8. 9. 10.

Réponse : 360. Bonne réponse e. Le prix de la clôture est 4 800 €. Total = 1 800 places.

Quel est votre niveau ?

Aptitude numérique

1.

Notez-vous : un point par bonne réponse. Si vous obtenez : l moins de 3 points sur 10 : il vous faudra travailler intensément ce chapitre ; l entre 4 et 8 points, il vous faudra réviser et approfondir ce chapitre ; l 9 ou 10 points, vous pourrez passer ce chapitre en première étape de votre préparation générale.

Priorités Calculs sans parenthèses l

Dans un calcul sans parenthèses et formé uniquement d’additions et de sous­ tractions, les calculs s’effectuent de gauche à droite. Exemple

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39 – 5 + 6 = 34 + 6 = 40. l

Dans un calcul sans parenthèses, la multiplication et la division sont effec­tuées en priorité sur l’addition et la soustraction. Exemples

4 + 7 × 3 = 4 + 21 = 25 ;    7 – 6 / 3 = 7 – 2 = 5.

Calculs avec parenthèses Dans un calcul avec parenthèses, les calculs entre parenthèses sont effectués en priorité. 21

3 Calculs, priorités et estimations Exemples

15 – (8 – 3) = 15 – 5 = 10 ; (8 + 6 × 2) × (7 – 4 × 2) = (8 + 12) × (7 – 8) = (20) × ( 1) =  20.

 istributivité de la multiplication par rapport à l’addition D et à la soustraction Quels que soient les nombres a, b, c : l Les calculs : a × (b + c) et (a × b) + (a × c) donnent le même résultat : a × (b + c) = (a × b) + (a × c)

Ce résultat se note également : a (b + c) = a b + a c l

Les calculs : a × (b – c) et (a × b) – (a × c) donnent le même résultat : a × (b – c) = (a × b) – (a × c)

Ce résultat se note également : a (b – c) = a b – a c Exemples

•• Pour calculer 62 × 99 « de tête », on peut penser à effectuer : 62 × 99 = 62 × (100 – 1) = 62 × 100 – 62 × 1 = 6 200 – 62 = 6 138. •• Pour calculer de tête 7 × 35 + 7 × 45, on peut penser à effectuer : 7 × 35 + 7 × 45 = 7 × (35 + 45) = 7 × 80 = 560.

Parenthèses emboîtées S’il y a des parenthèses les unes dans les autres, on commence par les paren­thèses les plus internes. Exemple

Calculer le nombre N égal à (5 + (4 × (3 – 2))  6). N = (5 + (4 × 1) – 6) = (5 + 4 – 6) = 9 – 6 = 3.

Nombres en écriture fractionnaire

22

La valeur d’une fraction ne change pas si l’on multiplie (ou si l’on divise) son numé­ rateur et son dénominateur par un même nombre non nul : a k Si b et k ne sont pas nuls : a = (a × k) et a = . b b (b × k) b k

Calculs, priorités et estimations 3 Exemples

18 2 = (2 × 5) = 10 18 = 6 = 3  ; 3 (3 × 5) 15 12 2 12 6 3 est une écriture simplifiée de 18 . 2 12

Quand on ne peut plus simplifier une fraction, on a obtenu une fraction irré­ductible. La question  : «  mettre 18 sous forme de fraction irréductible  » aura pour 12 réponse : 3 . 2

Le résultat d’une division ne change pas si l’on multiplie ou si l’on divise le dividende et le diviseur par un même nombre. Cette règle permet, par exemple, de se débarrasser de nombres à virgule :

Aptitude numérique

Exemple

Exemple

1,25 = 100 × 1,25 = 125 = 5 ; 0,25 100 × 0,25 25 0,4 = (100 × 0,4) = 40 = (4 × 10) = 10. 1,24 (100 × 1,24) 124 (4 × 31) 31

Produit de deux fractions Pour calculer le produit de deux fractions, on multiplie les numérateurs entre eux et les dénominateurs entre eux : a × c = (a × c) . b d (b × d)

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Exemple 3 × 4 = 3 × 4 = 12 . 5 7 5 × 7 35

Somme et différence de deux fractions l

Pour calculer la somme ou la différence de deux fractions de même dénomi­ nateur : – on additionne ou on soustrait les numérateurs ; – on garde le dénominateur commun. a + b = (a + b) ; a − b = (a − b) c c c c c c Exemple 13 8 (13 − 8) = 5 = 1. −5= 5 5 5

23

3 Calculs, priorités et estimations l

Pour calculer la somme ou la différence de deux fractions dont les dénomi­ nateurs sont différents, on commence par écrire des fractions qui sont égales aux fractions données mais qui ont le même dénominateur (pour cela, on cherche un multiple commun aux deux dénominateurs). Exemples 5 + 7 = 10 + 7 = (10 + 7) = 17 . 6 3 6 6 6 6 1 − 1 = (4 × 1) − (3 × 1) = 4 − 3 = 1 . 3 4 (4 × 3) (3 × 4) 12 12 12

l

Si les nombres à additionner ou à soustraire ont des numérateurs et dénomi­ nateurs qui ne sont pas entiers, on commence par remplacer les fractions par des fractions égales où numérateurs et dénominateurs sont entiers. Exemple

2,5 + 1 = 25 + 10 = 25 + 20 = (25 + 20) = 45 . 32 32 3,2 1,6 32 16 32 32

Quotients de nombres en écritures fractionnaires L’inverse d’un nombre « a » non nul est le nombre qui multiplié par a donne 1. On le note : «  1  ». Et l’on peut écrire, pour toute valeur de a non nulle : a 1 a ×  = 1 ; a Exemples

•• L’inverse de 3 est 1 et on vérifie que 3 × 1 = 1.

3 3 4 3 4 3 4 × 3 = 12 = 1. •• L’inverse de est , en effet × = 3 4 3 4 3 × 4 12 •• L’inverse de  3 est  5 , car ( 3)× ( 5) = 15 = 1. 5 (5 × 3) 15 3

Pour diviser un nombre par un nombre non nul, on le multiplie par son inverse. Si a, b, c, d sont des nombres avec b, c, d différents de zéro, alors : a = a ×1 ; b b

Exemples

24

8 = 8 × 1  ; 3 3

a b a d ad = × = c b c bc d

3 4 = 3 × 2 = 3×2 = 6 = 3 4 5 4 × 5 20 10 5 2

Calculs, priorités et estimations 3 Il peut être judicieux de simplifier « tôt » au lieu de calculer les numéra­teurs et dénominateurs, puis de simplifier « tard ».

Exemple

Conventions On peut supprimer le signe « × » entre : l un nombre et une lettre ; l l un nombre et une parenthèse ; l l une lettre et une parenthèse.

deux lettres ; deux parenthèses ;

Aptitude numérique

Dans le calcul précédent, avant de calculer 6 on simplifie par 2, et on obtient 20 3 = 3. 2 × 5 10

Exemples

5 × a = 5a ; 7 × (a + b) = 7a + 7b ; a × (b + c) = a(b + c) = a b + a c ; (a + b) × (c + d) = (a + b) (c + d) ; a × b = a b.

Propriétés de la multiplication Multiplier plusieurs facteurs peut se faire dans n’importe quel ordre. Exemple

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3a × 4a2 × 2a3 = 3 × 4 × 2 × a × a2 × a3 = 24 a6. Quels que soient les nombres a et b : 1×a=a (– 1) × a = – a 0×a=0 1 × (a + b) = a + b (–1) × (a + b) = – (a + b)

Addition et parenthèses Quand les parenthèses sont précédées du signe « + » et qu’elles ne sont pas sui­vies de signes « multiplier » ou « diviser » :

25

3 Calculs, priorités et estimations l l

on peut supprimer ce « + » et les parenthèses ; on ne change pas les signes à l’intérieur des parenthèses. Exemples

5a + (6a – 5) = 5a + 6a – 5 ;     7 + ( 3a – 1) = 7 – 3a – 1. Par contre l’expression  : 4 + (5a – 2) × 3 ne peut pas se remplacer par  : 4 + 5a  2 × 3 car la multiplication par 3 finale ne s’appliquerait qu’au 2 alors qu’elle doit s’appliquer aussi à 5a.

Soustraction et parenthèses Quand les parenthèses sont précédées du signe «  » et qu’elles ne sont pas sui­vies de signes « multiplier » ou « diviser » : on peut supprimer ce «   » et les parenthèses à condition de multiplier par (1) l’intérieur des parenthèses. Exemples

8 – ( 3a + 4) = 8 + 3a – 4 ;

5a – (2a – 7) = 5a – 2a + 7

Division euclidienne Effectuer une division euclidienne d’un entier a par un entier b c’est trouver deux nombres entiers : le quotient q et le reste r. Exemple

Quand on divise 82 par 14, le quotient est 5 et le reste est 12 (on rappelle que 14 est le diviseur et que 82 est le dividende). dividende

8

2

1

reste

1

2

5

4

diviseur quotient

On a la relation 82 = (14 × 5) + 12. En général : Dividende = (diviseur × quotient) + reste soit a = b q + r l l

26

le reste est toujours inférieur strictement au diviseur ; le reste peut être nul (la division tombe juste avec un quotient entier), cela arrive quand le dividende est un multiple du diviseur.

Calculs, priorités et estimations 3 Exemple

7

0

14

0

0

5

On ne peut pas diviser par zéro.

Les moyennes

Aptitude numérique

La division de 70 par 14 donne un quotient égal à 5, le reste est zéro, on dit que 70 est un multiple de 14, ou que 14 est un diviseur de 70, ou encore que 70 est divisible par 14.

Moyenne arithmétique La moyenne arithmétique d’un ensemble de nombres s’obtient en divisant la somme des termes par le nombre de termes. Exemple

La moyenne des quatre notes 8, 12, 13, 17 est : (8 + 12 + 13 + 17) = 50 = 12,5 4 4

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Remarquons que le total des termes est égal au produit de la moyenne par le nombre de termes : cela sert souvent dans les exercices. Remarquons aussi que si l’on augmente tous les termes d’un même nombre, la moyenne arithmétique augmente elle aussi de ce nombre. Exemple

Si on ajoute 2 aux notes de l’exemple précédent, qui deviennent 10, 14, 15, 19 leur moyenne devient 12,5 + 2 = 14,5 (on peut vérifier que (10 + 14 + 15 + 19) / 4 = 58 / 4 = 14,5). Remarquons encore que si l’on multiplie ou divise tous les termes par un même nombre, la moyenne arithmétique est multipliée ou divisée elle aussi par ce nombre. Exemple

Dans l’exemple de départ, divisons les notes par 2. On obtient : 4 ; 6 ; 6,5 ; 8,5 dont la moyenne est (4 + 6 + 6,5 + 8,5) / 4 = 25 / 4 = 6,25 qui est bien la moitié de 12,5.

27

3 Calculs, priorités et estimations

Moyenne pondérée La moyenne pondérée (ou moyenne avec coefficients) est bien connue de ceux qui passent des examens où les matières n’ont pas la même valeur. On l’obtient en faisant la somme des termes multipliés par leurs coefficients, qu’on divise ensuite par le total de ces coefficients. Exemple

Quelle est la moyenne pondérée d’un élève à un examen où le français a comme coefficient 3, les maths le coefficient 5, et l’anglais le coefficient 2 ? L’élève a obtenu 9 en français, 12 en maths et 8 en anglais. On calcule (9 × 3 + 12 × 5 + 8 × 2) = 103 = 10,3. 10 (3 + 5 + 2) La moyenne pondérée est 10,3.

Remarquons que si l’on multiplie ou divise tous les coefficients par un même nombre, la moyenne pondérée ne change pas. Exemple

Dans l’exemple précédent, si l’on divise par 100 les coefficients, le français comptera pour 30 % soit un coefficient 0,3 ; les maths pour 50 % soit le coef­fi cient 0,5 ; et l’anglais pour 20 % soit le coefficient 0,2. La moyenne pondérée sera : (9 × 0,3 + 12 × 0,5 + 8 × 0,2) = 10,3 = 10,3, qui est donc inchangée. 1 (0,3 + 0,5 + 0,2)

Remarquons par contre que si l’on ajoute ou retranche un même nombre à tous les coefficients, cela peut changer la moyenne pondérée. Exemple

Dans l’exemple d’origine, ajoutons 4 à chaque coefficient : le français aura pour coefficient 7, les maths auront le coefficient 9, et l’anglais le coefficient 6. La moyenne pondérée sera : (9 × 7 + 12 × 9 + 8 × 6) = 219 = 9,95 environ : elle passera dans ce cas en dessous de (7 + 9 + 6) 22

10. On comprend que la matière forte (les maths) ne permettra plus alors de compenser les matières faibles (français et anglais) : son coef­fi cient ne fera plus jeu égal (5 = 3 + 2), il devient très inférieur à la somme des deux autres (9 < 7 + 6 = 13). Exercice

28

On dit qu’un vin fait ou pèse 10 degrés (10°) quand un hectolitre de vin con­tient 10  litres d’alcool pur. De même pour un vin titrant 12°, alors 100 litres de vin contiennent 12 litres d’alcool pur. On augmente le degré alcoolique d’un vin pauvre en alcool en le mélangeant avec un vin plus riche. Supposons qu’on mélange 3 hL de vin à 8° et 2 hL de vin à 12°. Quel sera le degré alcoolique du mélange ?

Calculs, priorités et estimations 3

Exercices d’entraînement 0 0:1 5

Niveau 1

Aptitude numérique

Solution La quantité d’alcool pur est : 8 × 3 + 12 × 2 = 48 litres. Le mélange fait 2 + 3 = 5 hL. Le degré du mélange est 48 / 5 = 9,6°. Cet exercice était un calcul de moyenne pondérée des degrés avec, pour coeffi­ cients, les volumes de chaque sorte de vin.

1. Simplifier les fractions suivantes :    a. 18    b. 4    c. 90 2.

3.

4. 5.

30 16 54 Ranger les fractions suivantes en allant de la plus petite vers la plus grande : 5 4 7 3  ;  ;  ; . 9 8 12 5 a. Calculer : 9 − 1 + 2 .   b. Calculer : 2 × 14 . 11 4 3 7 8

() ( )

24 Calculer : 10 = … 25 8 a. Calculer : 1 + 7 × 8 + 2 × 5 – 3. b. Calculer : (5 – (9 – 6) × 2 + (3 × 4 + 8)).

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6. Poser la division de 23 par 99, vérifier qu’elle ne tombera pas juste, et dire quel sera le dix-septième chiffre après la virgule.

7. Les années suivantes seront-elles bissextiles (c’est-à-dire divisibles par 4) : 2012, 2014, 2022, 2028 ?

8. Écrire grâce à la distributivité de la multiplication comment calculer de tête : a. 48 × 99

b. 53 × 101 ?

9. Quel chiffre faut-il mettre à la place de l’étoile si l’on veut que le nombre de cinq chiffres s’écrivant 25*81 soit divisible par 9 ?

10. Simplifier le produit (nombre) suivant : (4 a2)(3 a3)(– 5a4). 29

3 Calculs, priorités et estimations 0 0:2 5

Niveau 2

()

11. Quel est le nombre dont la division par 1 donne 0,018 ? q a. 0,006

q b. 0,06

q c. 0,54

3

q d. 0,054

q e. 3,018

12. En partant de 71,952, combien de fois au minimum faut-il ajouter 0,001 pour faire changer le chiffre des centièmes ? q a. 45 fois q b. 8 048 fois q c. 100 fois

q d. 8 fois

q e. 68 fois

13. Bien que des chiffres soient cachés par des étoiles, quels sont les couples de nombres que l’on peut comparer (c’est-à-dire dont on peut trouver à coup sûr quel est le plus petit ou le plus grand des deux) ? q a. 45,** et 29,*** q b. 7,2** et 7,2** q c. 4,*9 et 4,*8 q d. *,732 et 10,215 q e. 23,1*6 et 23,1*9

14. Une règle s’applique sur les carrés numériques suivants. Trouvez le nombre absent. 27

3

9

48

6

8

9

1

9

8

1

8

12

6

2

 ?

6

1

q a. 1

q b. 4

q c. 12   q d. 8

q e. 6

15. Voici une graduation, et quelques points placés sur cette graduation : N

0

1

2

Q

3

P

4

M

5

6

Parmi les affirmations suivantes, lesquelles sont-elles vraies ? q a. La graduation en coïncidence avec M est associée à 21. 4 17 q b. La graduation en coïncidence avec N est associée à . 8 q c. La graduation en coïncidence avec P est associée à 4,3. q d. La graduation en coïncidence avec Q est associée à 3,25. q e. La distance entre les graduations des points M et Q est un nombre entier positif.

16. On donne les nombres suivants :

30

X = 3 + 1 + 1   et  Y = 2 + 1 + 1 2 4 3 4 Parmi les réponses données aux calculs suivants, lesquelles sont vraies ? 4 5 q a. X = 3,75 et Y = 2,583 q b. X = et Y = 7 6

Calculs, priorités et estimations 3 q c. X =

15 31 et Y = 4 12

q d. X = 3 +

3 7 et Y = 2 + 4 12

15 et Y = 2,58333 4 17. Dans le calcul suivant, les étoiles remplacent des chiffres. *

*

*

*

4

8

*

*

*

3

6

*

9

Combien de dividendes différents peut-on obtenir en retrouvant les chiffres cachés ? (Dividende = le nombre que l’on divise.) q a. 1 q b. 2 q c. 3 q d. 4 q e. 5

18. Soit n le nombre « huit milliards vingt-sept mille ». Parmi les propositions suivantes, laquelle est vraie ? q a. n s’ écrit avec six 0. q b. n est compris entre 109 et 1010. q c. Le quotient entier de n par 100 000 est 8 000. q d. Le produit de n par 1 000 s’écrit avec treize chiffres. q e. La somme des chiffres de n est 35.

Aptitude numérique

q e. X =

19. Quatre enfants se partagent une collection de bandes dessinées. Le premier

prend le quart de la collection et le deuxième les deux-cinquièmes. Le troisième prend alors les quatre-septièmes de ce qu’il reste. Parmi les calculs suivants, quel est celui qui permet de trouver la fraction de la collection que prend le troisième enfant ? 1 2 1− − 2 4 1 2 4 4 5 1 q a. 1 − − × q b. 1 − − × q c. 4 5 7 7 4 5 4 4 2 2 4 7 1 1 q d. 1 − − × q e. 1 − − × 7 4 5 4 5 7

(

)

(

(

)

)

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Les exercices 20 à 24 portent exclusivement sur les moyennes

20. Avec son 1 au dernier devoir, Paul obtient une moyenne trimestrielle de 6. S’il

avait eu 10 à ce devoir sa moyenne aurait été 7,8. Combien y a-t-il eu d’interros ce trimestre ?

21. À la dernière interro, la moyenne de la classe est 13, celle des filles est 15 et celle

des garçons 12. Combien vaut le quotient du nombre de filles par le nombre de garçons ?

22. Soit la suite des nombres (1, 1, 2, 2, n, 3, 3, 2, 1). La moyenne des cinq premiers nombres est égale à la moyenne des six derniers. Combien vaut n ? 31

3 Calculs, priorités et estimations

23. La moyenne des âges dans notre équipe de foot (onze joueurs) est 22 ans. Notre

capitaine (et gardien) vient de se blesser et sort : la moyenne des âges de ceux qui restent sur le terrain tombe à 21 ans. Quel est l’âge du capitaine blessé ?

24. Dans les cours de formation pratique des jeunes à la pétanque, les épreuves sont

notées sur 100. Si Pascal obtient 73 à la prochaine évaluation, alors la moyenne de toutes ses évaluations sera 82. S’il obtient 94, sa moyenne sera 85. Combien a-t-il déjà fait d’évaluations ?

Corrigés des exercices Niveau 1 1.

a. 18 = 3    b. 4 = 1    c. 90 = 5

2.

En observant les fractions proposées : 5  ; 4  ; 7  ; 3 on voit qu’il y en a une qui est plus 9 8 12 5 petite que les autres 4 = 1 , en effet toutes les autres ont un numérateur supé­rieur à la 8 2

30

16

5

4

54

3

moitié du dénominateur. On peut comparer ces trois autres fractions en les mettant au même dénominateur : 180 = 9 × 20 = 12 × 15 = 5 × 36. 5 = 100  ; 7 = 105  ; 3 = 108 9 180 12 180 5 180 Comme 100 < 105 < 108, on obtient finalement : 4 0 et b > 0, a + b n’est pas égal à a + b. Par exemple : 16 + 9 = 25 = 5, alors que 16 + 9 = 4 + 3 = 7. • De même : a – b n’est pas égal à a – b. Par exemple 100 – 36 = 64 = 8, alors que 100 – 36 = 10 – 6 = 4. Quand on calcule la racine d’une expression compliquée, il faut donner la priorité au calcul de ce qui est sous le radical, avant d’extraire la racine carrée.

Comparaisons de nombres positifs s’écrivant avec des racines carrées Il revient au même de comparer leurs carrés. Exemple

52 est plus petit que 213 car (52)2 = 50 est plus petit que : (213)2 = 52.

45

5 Racines

Exercices d’entraînement 0 0:1 5

Niveau 1 1. Calculer :   a. 2 × 32  b. 3 × 3  c.

4 × 9

9 16

2. Soit l’expression A = x4 – 3 x2 + 2. Calculer A pour x = 2, puis pour x = –2. 3. Écrire les nombres suivants sans radical au dénominateur : 1 5   32

a. 1 3

105 1 b.  5 3 52  3  2 

3 10 c. 3 10 5 5

4. Mettre sous la forme ab où a et b sont des entiers et b le plus petit possible : a. 32

b. 150

c. 18 + 32

5. Calculer et mettre le résultat sous la forme ab : 245 × 10 × 63

6. Écrire sous la forme a les nombres suivants : b. 52

a. 25

7. Résoudre les équations suivantes, d’inconnue x : a. x5 = 5

b. x3 = 18

c. x2 = 32

8. Sans calculer de racines carrées classer dans l’ordre croissant les trois nombres : 46 ; 72 ; 97 0 0:2 5

Niveau 2 9. Simplifier 62 × 72 + 62 + 72 10. Simplifier −33 × 33 + 9 × 216 11. Simplifier −16 + 35 × 25 − 39 12. Simplifier −83 / 43 + 518 × 3 / 3150 13. 22 + 22 = ? q a. 1

q b. 2

q c. 4

q d. un entier

q e. un nombre non entier

14. (–3) = ? –2

q a. – 3

q b. – 1/3

q c. 1

q d. 3

q e. 3

q b. 0,0011

q c. 0,0101

q d. 0,0111

q e. 0,1011

15. 0,000121 = ? q a. 0,011 46

3

Racines 5

16. Que vaut la racine carrée de 0,0009 × 10– 2 ? q a. 0,3

q b. 0,03

q c. 0,003

q d. 0,0003

q e. 0,000045

q c. 16

q d. 144

q e. 150

q c. 49

q d. 121

q e. 7

17. Que vaut (196 – 16 – 36)2 ? q a. 4

q b. 12

18. Si  2 + x = 3 alors x = ? q a. 1

q b. 7

19. Dans la figure (inexacte) ci-dessous, les droites a et b sont parallèles. Que vaut x ? Aptitude numérique

b 5

a 2

x

5

q a. 2

 2 + x

q b. 5

q c. 25

q d. 2,52

q e. 10

q d. 4

q e. 5

20.  3 + 6 + 5 1 + 5 (1 + 6)2 = ? q a. 9

q b. 6

q c. 3

Corrigés des exercices

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Niveau 1 4

9

1 =1

 9 �  16 =  4

1.

a. 2 × 32 = 8   b. 3 × 3 = 3   c.

2.

Si x = 2, comme 2 = 2, on a x = 2, et x = 2 = 2 = 4, puis : A = 4 – 3 × 2 + 2 = 4 – 6 + 2 = 0 ; Si x = – 2, les calculs ne changent pas, car x2 = 2, et A = 0 aussi.

3.

3 3 a. 11 1== = 3

4.

a. 32 = 16 × 2 = 42  b. 150 = 25 × 6 = 56 c. 18 + 32 = 32 + 42 = 72

5.

245 × 10 × 63 = 2 × 645103 = 129 × 5 × 2 × 5 × 3 = 12 × 3 × 56 = 1806

6.

a. 25 = 20    b. 52 = 50

2

3 3 33 3 3 

2

5 5 10 10 5 b.  ==  =  10 2 2 2 

22 2

4

4

2

2

310 10 �� �5 3 3 10 10 10 3 2 2 33 5 533�� 3 5�5 3 52  c. == = 3 10  == = == = 2 2 32  55 5 5 5 55 5 5 

47

7. 8.

5 2  18  32 = 4 = 5   b. x3 = 518 donne x =  18 = 6 ;  32 = 4 2 5 2 3 3 2 5  2 2 5 32  18 c. x2 = 32 donne x =  = 4 2 = 4 5 2 2 3 a. 5 x = 5 donne x =

Comparer des nombres positifs revient à comparer leurs carrés. (46)2 = 16 × 6 = 96 ;  (72)2 = 49 × 2 = 98 ;  (97)2 = 97. Comme 96 < 97 < 98, on obtient : 46 < 97 < 72. On peut aussi transformer 46 en 96, 72 en 98, et classer 96 < 97 < 98

9.

62 × 72 + 62 + 72 = 6 × 7 × 2 + 132 = 84 +132.

10.

−33 × 33 + 9 × 216 = − 9 × 3 + 3 × 2 × 4 = −27 + 24 = −3.

11.

−16 + 35 × 25 − 39 = −4 + 3 × 2 × 5 − 3 × 3 = −4 + 30 − 9 = 30 − 13 = 17.

12.

−83/43 + 518 × 3/3150 = −2 + (5 × 32 × 3)/(3 × 56) = −2 + (156)/(156) = − 2 + 1 = − 1.

13.

Réponse e. En effet  22 + 22 = 8 n’est pas–2entier.  (–3)

14.

Réponse c. On a (– 3) –2 = 1 puis 1 = 1 . 9 9 3 Réponse a. Car (0,011)2 = 0,000 121.

15.



16.

Réponse c. Car 0,000009 = 0,003.

17.

Réponse c. En effet (14 – 4 – 6)2 = 42 = 16.

18.

Réponse c. On a 2 + x = 9 donc x = 7 et x = 49.

19.

Réponse d. Il y a proportionnalité entre les longueurs qui se correspondent sur les deux droites,

C

O

R

R

I

G

é

s

5 Racines

d’où x(2) = (5)(5) et x =

20.

48

5 5 2 puis x =  = 2,52 2 2

Réponse c. On calcule d’abord la racine de (1 + 6)2 ce qui donne 7 puis on remonte vers la gauche de proche en proche, et on obtient 3 + 6 = 9 = 3.

6

Pourcentages

1. Un limonadier lance sa pub « 21 + 3 gratuites » sur ses packs de 24 bouteilles. À quelle réduction cela correspond-il ?   a. 3 %   b. 10 %   c. 12,5 %   d. 14,28… %   e. 15 %

2. Si les 20 % d’un nombre valent 14, combien valent ses 50 % ?

Aptitude numérique

Testez-vous

3. Certaines plaques de verre ont la propriété de diminuer de 25 % l’intensité de n’importe quel rayon lumineux qui les traverse. Un rayon traverse successivement quatre de ces plaques. Qu’est devenue son intensité après la quatrième plaque ?   a. Elle est égale à 0.   b. Elle est égale à environ 0,03 % de ce qu’elle était au départ.   c. Elle est égale à environ 0,31 % de ce qu’elle était au départ.   d. Elle est égale à environ 3,15 % de ce qu’elle était au départ.   e. Elle est égale à environ 31,5 % de ce qu’elle était au départ.

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Solutions

1.

Bonne réponse : c.

2.

Comme 100  % c’est 5 fois 20  % le nombre à considérer est 14 × 5 = 70. Ses 50 % valent donc 35.

3.

Bonne réponse : e.

Quel est votre niveau ? Notez-vous : un point par bonne réponse. Si vous obtenez : l 0 ou 1 : il vous faudra travailler intensément ce chapitre ; l 2 points, il vous faudra réviser et approfondir ce chapitre ; l 3 points, vous pourrez passer ce chapitre en première étape de votre préparation générale.

49

6 Pourcentages 5 ou 0,05. 100 D'autre part, dire qu'un gâteau contient 5 % de sucre signifie que : •• dans 100 g de gâteau il y a 5 g de sucre ; •• dans un nombre N de grammes de gateau il y a 0,05 × N grammes de sucre. D'une part 5 % c'est le nombre

Appliquer un taux de pourcentage p % à un nombre x Cela consiste à multiplier ce dernier par :

p . 100

Exemple

Calculer 20 % de 50 euros. 50 × 20 = 50 × 0,2 = 10 100 donc 20 % de 50 euros c’est 10 euros.

Calculer un taux de pourcentage Exemple

Dans une école de 250 élèves, 80 sont des demi-pensionnaires. Quel est le taux de demi-pensionnaires dans cette école ? La fraction de demi-pensionnaires dans l’école est 80 , ce nombre est égal à 0,32, 250 soit 32 . 100 Le pourcentage de demi-pensionnaires est 32 %. On peut aussi dresser un tableau de proportionnalité, dans lequel un même coefficient de multiplication permet de passer de la première à la deuxième ligne, en cherchant quel nombre mettre dans la case de la deuxième ligne située en dessous du nombre 100 marqué en première ligne. Nombre d’élèves

250

100

Nombre de demi-pensionnaires

80

?

La valeur du point d’interrogation se calcule en appliquant la règle du « produit en croix » : 250 × ? = 80 × 100 donc on trouve la solution en calculant 80 × 100 , et on trouve 32. 250 En conclusion, le taux de pourcentage de x par rapport à y est égal à : x × 100 . y

50

Pourcentages 6

Augmenter un nombre de x %

(

)

x . Cela revient à le multiplier par : 1 + 100 Exemple

Un article coûte 200 euros, son prix augmente de 3 %. Quel est le nouveau prix ? On calcule 1 + 3 % = 1,03, puis 200 × 1,03 = 206. Le nouveau prix est 206 euros.

Cela revient à le multiplier par :

Aptitude numérique

Diminuer un nombre de x %

(1 – 100x ) .

Exemple

Un article coûte 150 euros, son prix baisse de 5 %. Quel est le nouveau prix ? On calcule : 1 – 5 % = 0,95 ; puis 150 × 0,95 = 142,50. Le nouveau prix est 142,50 euros.

Retrouver la valeur initiale après application d’un pourcentage Exemple

Après une augmentation de 8 %, un DVD coûte 27 euros. Quel était son prix avant l’augmentation ? Soit p le prix avant augmentation. On sait que 1 + 8 % = 1,08 donc p × 1,08 = 27, et on obtient p = 27 = 25. Le prix du DVD avant l’augmentation était 25 euros. 1,08

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On peut retenir, pour une augmentation de t % :

(

)

(

)

valeur initiale = (valeur finale)/ 1 + t 100 D’autre part, s’il y a eu une baisse de t % : t valeur initiale = (valeur finale)/ 1 − 100 Exemple

Si un prix est devenu 75 euros après une baisse de 20 %, c’est que le prix 75 initial était : = 75 = 93,75 soit 93,75 euros. 0,80 1 − 20 100

(

)

51

6 Pourcentages

Composer (enchaîner) des pourcentages Exemple

Dans un collège, les effectifs ont augmenté de 10 % l’an dernier, puis de 20 % cette année. De quel pourcentage global ont-ils augmenté pendant cette période de 2 ans ? Soit E l’effectif de départ, au bout d’un an il est devenu 1,10 E : en effet le cœfficient de multiplication pour passer d’une année à l’autre est : 1 + 10 % = 1,10. La deuxième année il est multiplié par 1,20 donc en deux ans il devient 1,2(1,1 E) = 1,32 E. Le passage de E à 1,32 E est une augmentation de 32 % car 132 % = 100 % + 32 %. Augmenter successivement de 10 % puis de 20 % revient à augmenter glo­ balement de 32 %.

Quelques situations qu’on pourrait traiter par un calcul mental l

l

l

« Multiplier par 3 » c’est augmenter de 200 % : Si le nombre de départ est 100, il devient 300, donc il a augmenté de 200 ce qui représente 200 % de 100. « Augmenter de 400 % » c’est multiplier par 5 : Si le nombre de départ est 100, augmenter de 400 permet d’obtenir 500, or ce nombre est 5 fois 100. « Baisser de 10 % puis augmenter de 10 % » est-ce revenir au point de départ ? Si le nombre de départ est 100, la baisse de 10 % le fait arriver à 90. Une hausse de 10 % de 90, soit 9, le conduit ensuite à 99. Globalement on est passé de 100 à 99 donc on a baissé de 1 %. « Baisser de 10 % puis augmenter de 10 % » revient globalement à baisser de 1 %.

52

Pourcentages 6

Exercices d’entraînement 0 0:1 5

Niveau 1

1. Quel est l’intérêt rapporté annuellement par une somme de 100 euros lorsque le taux du placement est 4,25 % ?

le capital et les intérêts. Quelle somme doit-elle verser ?

3. Placé à 4 %, un capital a rapporté 300 euros en un an. Quel est le montant de ce capital ?

4. Ayant emprunté 40 000 euros, une personne verse annuellement 2 500 euros

Aptitude numérique

2. Une personne a emprunté 3 600 euros à 5 %. À la fin de l’année, elle rembourse

d’intérêt. À quel taux a-t-elle contracté son emprunt ?

5. Un commerçant consent une remise de 5 % à un client sur le prix d’un appareil photo marqué 680 euros. Combien le client paie-t-il ?

6. Une note de restaurant s’élève à 80 euros auxquels s’ajoutent 12 euros de service. Quel est le taux de ce service ?

7. Le lait écrémé donne 14 % de son volume de crème. Combien faut-il écrémer de litres de lait pour en obtenir un litre de crème ?

8. Un fromage porte la mention 45 % de matières grasses. Combien de grammes de matières non grasses y a-t-il dans un fromage de 200 grammes ?

9. Un prix baisse de 20 %. De quel pourcentage faudrait-il augmenter ce nouveau prix pour revenir au premier ?

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10. Quel est le bilan, en pourcentage du prix d’origine, de deux baisses successives, l’une de 20 % puis l’autre de 10 % ?

0 0:2 5

Niveau 2

11. Quel est le pourcentage de remise quand on fait payer 231 euros un objet marqué 275 euros ? q a. 16 %

q b. 19 %

q c. 20 %

q d. 22 %

q e. 44 %

12. Le magasin X solde : – 30 % sur tout le stock. Un article marqué 300 euros est vendu : q a. 330 euros q b. 390 euros q c. 270 euros q d. 210 euros q e. une autre valeur

53

6 Pourcentages

13. Dans le magasin Y qui solde à – 20 %, j’ai acheté un petit meuble à 180 euros. Quel était l’ancien prix ? q a. 200 euros q b. 216 euros q c. 154 euros q d. 225 euros q e. une autre valeur

14. Si un œuf d’autruche pesant 200 g contient 12 % de protéines, 11 % de graisses, 11,5 % de sels minéraux, et le reste en eau, quelle quantité d’eau contient-il ? q a. 69 g q b. 199,10 g q c. 131 g q d. 13,10 g q e. 19,1 g

15. Une entreprise va être privatisée. L’État possède actuellement 52 % des parts. Un

actionnaire X possède 24 % des parts et un actionnaire Y possède 22 % des parts. L’actionnaire Y voudrait être sûr de prendre la majorité absolue. Si l’État vend toutes ses parts, Y doit acquérir le pourcentage suivant des parts mises en vente : q a. 28 % q b. 26 % q c. 54 % q d. 30 % q e. 48 %

16. À l’association sportive, on ne pratique que deux sports : le rugby et le foot. Le tiers des footballeurs jouent aussi au rugby, et 50 % des rugbymen jouent aussi au football. Quel est le pourcentage de ceux qui pratiquent à la fois les deux sports au sein de l’association ? q a. 40 % q b. 60 % q c. 25 % q d. 83,3 % q e. 100 %

17. Dans un étang de jardin il y a 100 poissons. 100  % d’entre eux sont rouges. La moitié des poissons sont retirés. Quelle est alors la proportion de poissons rouges dans l’étang ? q a. 0 % q b. 25 % q c. 50 % q d. 75 % q e. 100 %

18. Roméo a acheté 23 bouteilles de jus d’orange. Grâce à un marchandage, Juliette

a obtenu une réduction de prix de 8 % par bouteille ; elle a pu ainsi acheter pour le même prix 2 bouteilles de plus que Roméo. Quel était le prix initial en euros d’une bouteille ? q a. 1,5 q b. 1,3 q c. 1,2 q d. on ne peut pas savoir q e. 0,8

19. Une paire de chaussures, qui coûtait initialement 100 euros, a subi une première

augmentation de 60 %. Une seconde augmentation a ensuite amené le prix au double du prix initial. Quel est le taux de cette seconde augmentation ? q a. 20 % q b. 25 % q c. 40 % q d. 50 % q e. 80 %

20. Si je dors 8 heures par nuit pendant la semaine et 11 heures et demie durant cha-

cune des deux nuits du week-end, quel pourcentage de mon temps est consacré à dormir ? q a. 30 % q b. 33,3 % q c. 35 % q d. 37,5 % q e. 40 %

54

Pourcentages 6

Corrigés des exercices

1.

L’intérêt en euros est : 100 × 4,25 % = 100 × 0,0425 = 4,25 soit 4,25 euros.

2.

Ajouter 5 % c’est multiplier par 105 % soit 1,05. La somme à verser est : 3 600 × 1,05 = 3 780 euros.

3.

Soit C le capital, C × 0,04 = 300 donc C = 300 = 7 500 euros. 0,04 2 500 Le taux est : = 0,0625 soit 6,25 %. 40 000 Diminuer de 5 % c’est multiplier par 0,95. Le client paie : 680 × 0,95 = 646 euros.

4. 5. 6. 7.

Le taux est : 12 = 0,15 soit 15 %. 80 Si un litre de crème est 14 % du volume de lait, alors 1 % de ce volume c’est 14 fois moins de crème et 100 % c’est 100 fois plus. Ainsi 100 % de ce volume en litres c’est :

Aptitude numérique

Niveau 1

100 × 1 = 7,143 litres environ 14

8. Matières grasses

45

Non grasses

55

Total

100

200

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Le pourcentage de matières non grasses du fromage est : 100 % – 45 % = 55 %. Il faut multiplier par 2 pour passer de l’avant dernière à la dernière colonne. Les matières non grasses d’un fromage de 200 g pèsent 55 × 2 = 110 g.

9.

Quand on baisse de 20 %, on passe de 100 à 80. Quand on passe de 80 à 100 on augmente de 20 par rapport à 80, mais 20 c’est un quart de 80, donc pour annuler une baisse de 20 % il faut enchaîner avec une hausse de 25 %.

10.

La première baisse de 20 % fait passer de 100 à 80. La deuxième baisse, de 10 %, fait passer de 80 à 80 – 8 = 72. Le bilan est un passage de 100 à 72 soit une baisse de 28 %. Conclusion : baisser de 20 % puis baisser de 10 % revient à baisser d’un coup de 28 %.

Niveau 2 11. 12. 13.

Réponse a. On a 275 – 231 = 44 ; 44 = 0,16 donc le pourcentage de remise est 16 %. 275 Réponse d. On a 300 × 30 % = 90 ; 300 – 90 = 210 donc l’article est vendu 210 euros. Réponse d. Le prix soldé est 80 % du prix normal ; 180 × 100 = 225 donc l’ancien prix était 225 euros. 80

55

14.

Réponse c. Le pourcentage d’eau est 100 % – 11 % – 12 % – 11,5 % = 65,5 %. L’eau pèse 200 × 65,5 % = 131 g.

15.

Réponse c. Pour avoir la majorité absolue, Y doit posséder plus de 50 % des parts de l’entre­prise. Y doit donc acheter plus de 28 % des parts. L’État a 52 % des parts, donc il faut que e Y obtienne plus des 28 des parts de l’État, ce qui fait plus de leur moitié ; cela donne 52 environ 53,8  %, on en prend 54  % pour avoir la majorité absolue, toutes les autres

G

é

s

6 Pourcentages

propositions sont à rejeter car elles sont inférieures à 50 % des parts de l’État. Réponse c. Soit x le nombre de rugbymen non footballeurs, il y a alors x rugbymen footballeurs qui sont aussi les footballeurs rugbymen, et donc (2x) footballeurs non rugbymen. En tout il y a (4x) sportifs, et la proportion des adeptes des deux sports en même temps est x = 1 = 25 %. 4x 4

17.

Réponse e. Il n’y a que des poissons rouges : donc 100 % de rouges.

18.

La meilleure réponse est d. Mais les valeurs proposées sont toutes possibles… Soit x le prix initial d’une bouteille, après réduction de 8 % il devient 92 % de x, et le nombre de bouteilles achetées par Juliette est 23 + 2 = 25. Les 2 personnes paient le même prix : 23 x = 25(0,92 x) soit 23 x = 23 x. Comme cette équation est vérifiée par tout nombre x, on ne peut connaître le prix initial.

19.

Réponse b. 40 De 160 à 200 il faut augmenter de 40 ce qui fait  = un quart d’augmentation ou 25 %. 160 Réponse d. Total d’heures de sommeil : 5 × 8 + 11,5 × 2 = 63 heures. En une semaine il y a : 24 × 7 = 168 heures. Le sommeil représente 63 168 = 0,375 ou 37,5 % du temps.

O

R

R

I

16.

C

20.

56

7

Règle de trois, proportionnalité Testez-vous peut-il en effectuer par heure ?

2. Un héritage de 2 280 hectares est partagé entre trois frères proportionnellement à leurs âges : 13, 20, et 24 ans ; combien d’hectares reçoit le plus jeune ?

Aptitude numérique

1. Un ordinateur peut effectuer 10 millions d’opérations par seconde. Combien

3. Mady a 22 bouteilles identiques de jus d’orange. Avec 14 des bouteilles, elle

remplit exactement 35 petits verres, et avec les 8 bouteilles restantes elle remplit exactement 12 grands verres. Quel est le rapport du volume d’un grand verre à celui d’un petit ?   a. 1

  b. 5/3

  c. 3/2

  d. 7/4

  e. 4/7

4. L’ échelle d’une carte maritime est 1/250 000. Quelle est la distance réelle en km entre deux îles distantes de 8 cm sur la carte ?

5. Une diagonale d’un carré d’aire 2 015  cm² sert comme côté pour un autre carré. Quelle est l’aire de celui-ci ?

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Solutions

1.

36 milliards d’opérations à l’heure.

4.

La distance réelle est 20 km.

2.

Le plus jeune reçoit 520 hectares.

5.

L’aire demandée est 4 030 cm².

3.

Bonne réponse : b.

Quel est votre niveau ? Notez-vous : un point par bonne réponse. Si vous obtenez : l moins de 3 points : il vous faudra travailler intensément ce chapitre ; l 3 points, il vous faudra réviser et approfondir ce chapitre ; l 4 ou 5 points, vous pourrez passer ce chapitre en première étape de votre préparation générale.

57

7 Règle de trois, proportionnalité

Grandeurs proportionnelles Deux grandeurs sont proportionnelles si l’on peut calculer l’une en multi­pliant l’autre par un nombre, toujours le même. Exemple

Imaginons plusieurs voitures faisant le plein d’essence le même jour dans une même station. Le prix payé par chacune pour un plein d’essence est proportionnel à la quantité d’essence achetée, car on trouve ce prix en mul­tipliant le nombre de litres par le prix d’un litre. Règle Règle On peut dire que deux grandeurs x et y sont proportionnelles s’il existe un nombre « a » tel que y = a x. Le nombre « a » est appelé coefficient de proportionnalité.

Toutes les grandeurs ne sont pas proportionnelles.

Exemple

Si l’âge de Marc est 6 ans et celui de son père 30 ans, quand Marc aura 12 ans c’està-dire sera deux fois plus vieux, son père n’aura pas le double de 30 ans soit 60 ans, mais seulement 36 ans. Il n’y a pas proportionnalité entre les âges de Marc et de son père.

Tableau de proportionnalité En voici un, qu’on peut imaginer correspondre à l’achat d’essence valant 1,20 euro le litre. Nombre de litres Prix en euros

1

5

10

N

1,20

6

12

1,20 N

Les nombres de la deuxième ligne sont calculés en multipliant les nombres de la première ligne par le nombre 1,20 qui est appelé coefficient de cette propor­tionnalité. Si un nombre de la première ligne était effacé, on pourrait le retrouver en divi­sant par 1,20 le nombre situé au-dessous, à la deuxième ligne.

Diverses façons de compléter un tableau de proportionnalité… 1 En utilisant l’opérateur (le coefficient de proportionnalité) par lequel mul­tiplier 58

les nombres de la première ligne pour obtenir ceux de la deuxième. Si le coefficient n’est pas apparent, il faut commencer par le calculer.

Règle de trois, proportionnalité 7 Exemple

3 gâteaux au chocolat coûtent 4,50 euros, combien coûtent 4 gâteaux au chocolat ? Combien 7 gâteaux coûtent-ils ?

Prix en euros

3

1

4,50

 ?

4

7

On cherche le prix d’un gâteau :  4,50  = 1,50. Un gâteau coûte 1,50 euro, et le 3 coefficient de proportionnalité est 1,50. On multiplie 4 par 1,50, on trouve 6. Donc 4 gâteaux coûtent 6 euros. On multiplie 7 par 1,50, on trouve 10,50. Donc 7 gâteaux coûtent 10,50 euros.

2 En additionnant si c’est possible :

Aptitude numérique

Nombre de gâteaux

Si on connaît le prix de 3 gâteaux et celui de 4 gâteaux on peut trouver le prix de 7 gâteaux. Nombre de gâteaux Prix en euros

3

4

7=3+4

4,50

6

4,50 + 6 = 10,50

On retient qu’on peut ajouter les cases horizontales de plusieurs colonnes pour former une nouvelle colonne. 3 En multipliant si c’est possible : Si on connaît le prix de 3 gâteaux, on peut connaître le prix de 12 gâteaux ou de 30 gâteaux… Comme 12 vaut 4 fois 3, on multiplie par 4 le prix de 3 gâteaux pour avoir celui de 12 gâteaux. On obtient 4,50  4 = 18 donc 12 gâteaux coûtent 18 euros. Comme 30 vaut 10 fois 3, on multiplie par 10 le prix de 3 gâteaux pour avoir celui de 30 gâteaux. On obtient 4,50  10 = 45 donc 30 gâteaux coû­tent 45 euros. © Dunod - Toute reproduction non autorisée est un délit.

Nombre de gâteaux Prix en euros

3

12 = 3  4

30 = 3  10

4,50

4,50  4 = 18

4,50  10 = 45

On retient que dans un tableau de proportionnalité, on peut multiplier les cases verticales d’une colonne par un même nombre pour obtenir une autre colonne du même tableau. 4 En trouvant la quatrième proportionnelle, si on connaît le contenu de trois cases et si on cherche la quatrième case.

59

7 Règle de trois, proportionnalité Règle Règle Produit en croix

Première grandeur a b Deuxième grandeur c d Dans ce tableau de proportionnalité de 4 cases, le produit (a  d) est égal au produit (b  c). Par conséquent, si on connaît les trois nombres a, b, c et si on cherche le nombre d, on calcule ainsi : a  d = b  c donc : d = (b  c) a Exemple

2 baguettes de pain coûtent 1,60 euro, combien 3 baguettes coûtent-elles ? Soit p le prix cherché. Nombre de baguettes Prix en euros

2

3

1,60

p

La règle du produit en croix donne : 2  p = 1,60  3 donc p = 1,60  3 = 2,40. 2 Les 3 baguettes coûtent 2,40 euros. L’appellation quatrième proportionnelle vient de ce qu’on appelle proportion une suite de 4 nombres a, b, c, d vérifiant a = c . Le nombre d vient en qua­trième place b d dans l’ordre de l’écriture. Les nombres a et d s’appellent les extrêmes  (on les écrit en premier et en dernier), les nombres b et c s’appellent les moyens (on les écrit au milieu, en deuxième et troisième positions). Règle Règle La règle peut se retenir ainsi : dans une proportion, le produit des extrêmes est égal au produit des moyens. Les anciens utilisaient la règle de trois, qui était pratiquée en oralisant beau­coup : dans notre exemple des baguettes, on dirait : l il faut 1,60 euro pour acheter 2 baguettes, donc pour en acheter une il faut 2 fois moins d’euros, et pour en acheter 3 il faut 3 fois plus d’euros ; l on calcule donc  1,60   3 ou encore (1,60  3) et on trouve 2,40. 2 2

60

Règle de trois, proportionnalité 7

C omment s’assurer qu’il y a proportionnalité si on connaît diverses valeurs de deux grandeurs ? Les valeurs peuvent être regroupées dans un tableau, mais il faut bien faire attention à mettre sur la première ligne les valeurs d’une même grandeur, et sur la deuxième ligne les valeurs correspondantes de la deuxième grandeur. Exemple 1

Nombre de kg

10

25

Prix en euros

15

35

On peut calculer le prix d’un kg du premier cageot  : 15 = 1,50. Un kg coûte 10 1,50 euro. On peut calculer le prix d’un kg du deuxième cageot  : 35 = 1,40. Un kg coûte 25 1,40 euro. Ce n’est pas le même prix au kg : le coefficient multiplicatif n’est pas le même, selon les colonnes, pour passer d’une ligne à l’autre. Il n’y a pas pro­portionnalité. Autre méthode : on calcule les produits en croix des 4 cases de deux colonnes : 10  35 = 350 ; 15  25 = 375 ; comme 375 n’est pas égal à 350, il n’y a pas proportionnalité.

Aptitude numérique

Un cageot de 10 kg de pommes coûte 15 euros, et un cageot de 25 kg de pommes de même nature coûte 35 euros. Y a-t-il proportionnalité entre les prix des cageots et les poids de pommes ?

Exemple 2

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Un lot de 6 bouteilles de vin coûte 30  euros, un lot de 12  bouteilles identi­ques coûte 60 euros. Y a-t-il proportionnalité entre les prix des lots et leur quantité de bouteilles ? Nombre de bouteilles

6

12

Prix en euros

30

60

Le prix d’une bouteille du premier lot est 30 = 5 donc 5 euros la bouteille. 6 Le prix d’une bouteille du deuxième lot est 60 = 5 donc 5 euros la bouteille. 12 Il y a bien proportionnalité car c’est le même coefficient 5 pour les deux colonnes. Autre méthode : le produit en croix ; 6  60 = 360 ; 30  12 = 360 ; comme 360 = 360, il y a bien proportionnalité. 61

7 Règle de trois, proportionnalité

Partages proportionnels Exemple

Partager une somme de 2 400 euros en deux parties x et y proportionnelles à 7 et 5. y Ceci signifie que x = avec x + y = 2 400. 7 5 On peut dresser un tableau de proportionnalité, et ne pas oublier qu’on peut former une nouvelle colonne en additionnant horizontalement les cases des deux colonnes précédentes : x

y

x+y

7

5

12

Comme x + y = 2 400, on obtient x = 2 400 d’où x = 200 et x = 7  200 = 1 400. 12 7 7 Puis, y = 2 400 – 1 400 = 1 000. Les deux sommes seront partagées ainsi : 1 400 euros et 1 000 euros. Au lieu d’utiliser les propriétés d’un tableau de proportionnalité, on peut aussi justifier en disant que dans une suite de rapports égaux on peut en former un autre, égal, en prenant pour numérateur la somme des numérateurs et pour dénominateur la somme des dénominateurs.

Échelle Lorsque les dimensions du dessin d’un objet et les dimensions réelles de cet objet sont proportionnelles, on appelle échelle le quotient d’une longueur sur le dessin par la longueur réelle correspondante. Échelle = longueur sur le dessin longueur réelle Les longueurs sont exprimées avec la même unité.

Exemple

•• Une échelle de 1 signifie que 1  cm sur le dessin représente en réa­lité 10 000 10 000 cm. •• Une échelle de 3 signifie que 3 cm sur le dessin ne représentent que 1 cm dans la 1 réalité.Dans ce cas, le dessin est un agrandissement de la réalité.

62

Règle de trois, proportionnalité 7

Utiliser une échelle pour calculer une dimension Exemple

1  : 500 000 •• Par quelle longueur est représentée une route de 10 km ? •• Quelle longueur de route représente un segment de 4 cm ? Il faut utiliser la même unité : on convertit 10 km = 10 000 m = 1 000 000 cm. Dimensions sur la carte en cm Dimensions réelles en cm

1

?

4

500 000

1 000 000

?

On complète le tableau de proportionnalité selon sa tactique préférée, et on trouve que : •• 10 km sont représentés par 2 cm sur la carte ; •• 4 cm sur la carte représentent 2 000 000 cm soit 20 km.

Aptitude numérique

Sur une carte à l’échelle

Calculer une échelle Exemple

Sur une carte, 3 cm représentent en réalité 15 km. Quelle est l’échelle ? On doit exprimer toutes les longueurs avec la même unité : 15  km = 15  000  m =1 500 000 cm. Distance sur la carte en cm

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Distance réelle en cm

3

1

1 500 000

?

On trouve 1 500 000  1 = 500 000. Donc 1 cm sur le dessin représente 500 000 cm 3 1 . dans la réalité (soit 5 km) et l’échelle est 500 000

Réduction et agrandissement Réduire des dimensions, c’est multiplier les dimensions de départ par un nombre k plus petit que 1. l Agrandir des dimensions, c’est multiplier les dimensions d’origine par un nombre k plus grand que 1. Il y a proportionnalité entre les longueurs réelles et les longueurs sur un plan à une certaine échelle, mais attention : l quand on agrandit ou quand on réduit une figure, si les dimensions sont multipliées par le nombre k, alors l’aire est multipliée par k2. l

63

7 Règle de trois, proportionnalité Pour l’aire, la proportionnalité est double (il y a deux dimensions à considérer, donc le coefficient multiplicatif est à utiliser 2 fois, d’où le facteur k2). l quand on agrandit ou quand on réduit un solide, si les dimensions sont mul­tipliées par k, alors le volume est multiplié par k3. Pour le volume, la proportionnalité est triple (il y a trois dimensions à consi­dérer, donc le coefficient de multiplication est utilisé 3 fois, d’où le facteur k3). Exemple

1 , le côté 100 000 devient cent mille fois plus petit, soit 2 cm, mais l’aire d’origine qui est 4 km2 devient 4 cm2 ce qui est 10 milliards de fois plus petit. On a : 100 0002 = 10 000 000 000. Vérifiez que 1 km2 = 1 000 000 m2, que 1 m2 = 10 000 cm2 et donc que : 1 km2 = 1 000 000  10 000 cm2 = 10 000 000 000 cm2. •• Une voiture miniature à l’échelle 1 a une longueur qui est trente fois plus petite 30 que la voiture réelle, mais son volume est 27 000 fois plus petit car 303 = 27 000. •• Si un terrain carré de 2  km de côté est représenté à l’échelle

Exercices d’entraînement Niveau 1

0 0:1 5

1. Combien font les 2 de 225 litres ? 2. 3.

3 Un segment AB mesure 72 mm, combien mesure un segment dont la longueur est les 7 de AB ? 6 Quelle est la longueur d’une pièce d’étoffe sachant que les 3 de la pièce mesurent 4 48 m ?

4. Un engin « 4  4 » ayant parcouru 180 km, a utilisé 17 litres d’essence. Quelle distance pourra-t-il parcourir avec les 63 litres qui restent dans son réservoir ?

5. Une ménagère a payé 21 euros un rôti de bœuf pesant 1,250 kg. Un autre jour,

pour un rôti de même qualité, elle a payé 24,36 euros. Quel est le poids de ce deuxième rôti ?

6. Quelle longueur exprimée en mètres représente 1 cm lorsque l’échelle d’un plan est : 64

a. 1     b. 1     c. 1 5 000 80 000 200

Règle de trois, proportionnalité 7 1 , la distance entre deux villes est 16,5 cm. Calcu200 000 ler la distance réelle entre ces deux villes.

7. Sur une carte à l’échelle

8. On veut faire à l’échelle 1 le plan d’une pièce carrée dont le côté mesure 4 mètres. 50 Quelle dimension doit-on donner au dessin ?

9. Une distance de 12 km est représentée sur une carte par une longueur de 15 cm. Trouver l’échelle de cette carte.

aurait été l’intérêt annuel ? Quel était le montant du capital placé ?

0 0:2 5

Niveau 2

11. Un train roule toujours à la même vitesse : 90 km/h. Quel est le temps mis pour

Aptitude numérique

10. Un capital a été placé au taux de 6 %, et l’intérêt en 5 mois a été 45 euros. Quel

parcourir 150 km ? q a. 4 h q b. 5 h q c. 1 h 30 min q d. 1 h 40 min q e. 1,50 h 3 3 12. Le prix de 30 m de fil est « x » euros. Quelle longueur (en m) de fil peut-on acheter pour 80 euros ? q a. 3x q b. 80x q c. 2 400 q d. 80 q e. 24x 80 3 x 3x

13. Un airbus consomme 25,2 tonnes de kérosène pendant un vol de 5  heures. Quelle est sa consommation en 8 heures ? q a. 211,6 t q b. 40,32 t q c. 403,2 t

q d. 160 t

q e. 48 t

14. Un rectangle est partagé en 4 sous-rectangles par des segments parallèles à ses

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côtés. Les aires de 3 sous-rectangles sont indiquées dans la figure. Quelle est l’aire du quatrième ?

q a. 10

q b. 15

6

14

?

35

q c. 20

q d. 21

q e. 25

15. Sur une carte au vingt millième, une route rectiligne longue de 2 km est représentée par un segment de longueur : q a. 1 cm q b. 2 cm q c. 4 cm

q d. 10 cm

q e. 40 cm

16. Un tonneau contient 64 litres de vin. On remplace 16 litres de vin par 16 litres d’eau. On suppose que les deux liquides se mélangent parfaitement. Ensuite on remplace 16 litres de mélange par 16 litres d’eau. On mélange bien et on recommence : on remplace 16 litres de mélange par 16 litres d’eau. Combien reste-t-il de litres de vin dans le tonneau à la fin des opérations ? q a. 27 q b. 24 q c. 16 q d. 30 q e. 48

65

7 Règle de trois, proportionnalité

17. Papa bêche sa plantation quand il est seul en 6 heures. Si c’est papy qui le fait seul, il met 10 heures. Combien de temps mettent-ils s’ils bêchent ensemble ? q a. 8 heures q b. 5 heures q c. 3 h 45 min q d. 3 h 15 min q e. 3 heures

18. Une image numérique a pour largeur 375 pixels, pour hauteur 234 pixels et pour poids avant compression 87 Ko. On fait une image réduite de moitié pour chacune de ses deux dimensions. Quel est son poids en Ko, arrondi à l’unité ? q a. 44 q b. 43 q c. 36 q d. 22 q e. 21

Corrigés des exercices Niveau 1 1.

225  2 = 150 donc la réponse est 150 litres. 3

2.

72  7 = 84 donc la longueur est 84 mm. 6

3.

Si trois quarts font 48  m, un seul quart fait  : 48 = 16  m, et quatre quarts font  : 3 4  16 m = 64 m.

4.

On peut dresser un tableau de proportionnalité : Distance

180

Litres

17

63

63  180 = 667 environ, donc il pourra faire encore 667 km. 17

5.

Dressons un tableau : Prix Poids

6.

66

21

24,36

1,250

1,250  24,36 = 1,450 donc le deuxième rôti pèse 1,450 kg ou 1 450 g. 21 a. Lorsque l’échelle d’un plan est : 1 , 1 cm représente 200 cm = 2 m. 200 1 b. Lorsque l’échelle est , 1 cm représente 5 000 cm = 50 m. 5 000 c. Lorsque l’échelle est 1 , 1 cm représente 80 000 cm = 800 m. 80 000

7.

La distance réelle est : 200 000  16,5 cm = 3 300 000 cm = 33 000 m = 33 km.

8.

Le côté du carré sur le dessin doit mesurer : 4  m = 0,08 m soit 8 cm. 50

Règle de trois, proportionnalité 7

9. 10.

12 km = 12 000 m = 1 200 000 cm ; 1 200 000 = 80 000 donc l’échelle est 1 . 15 80 000 12 L’intérêt en euros sur 12 mois au lieu de 5 mois est : 45  = 108 euros. 5 Soit C le capital placé à 6 %, on obtient : 0,06 C = 108 donc C = 108 = 1 800 euros. 0,06

11.

12.

13. 14.

15.

© © Dunod Dunod -- Toute Toute reproduction reproduction non non autorisée autorisée est est un un délit. délit.

16.

17.

18.

Réponses b. et d. Pour faire 90 km, il faut une heure. Pour faire 150 km, il faut une heure multipliée par 150 et divisée par 90, soit 1  150 = 150 = 5 h =  3 + 2   h = 1 h + 2  h = 1 h 40 min. 90 90 3 3 3 3 Réponse c. Avec x euros on a 30 m, avec 80 euros on aura 30 m multiplié par 80 et divisé par x, soit (30)(80) = 2 400 . x

x

Réponse b. En 5 h, on consomme 25,2 tonnes, donc en 8 heures on consomme : 25,2  8 = 40,32 t. 5 Réponse b. Sur le dessin, les rectangles de même longueur horizontale ont des aires proportion­ nelles à leurs largeurs verticales. Ainsi, la part de 14 par rapport à 35 est la même que celle de 6 par rapport au nombre cherché. Tout se passe comme si le dessin était un tableau de proportionnalité : on passe de la première ligne du tableau à la deuxième par une multiplication dont le coefficient est 35 . 14 Pour trouver le nombre manquant, on calcule 6  35 = 15. 14 Réponse d. Les réponses proposées sont exprimées en cm, commençons par convertir : 2 km = 200 000 cm ; 200 000 = 10 ; la route mesure 10 cm sur le dessin. 20 000 Réponse a. Comparons ce qui est prélevé et le contenu initial : 16 = 1 . Comme le liquide est bien 64 4 mélangé, on enlève un quart du contenu de vin à chaque fois, donc le volume de vin contenu est multiplié à chaque fois par 3 . 4 On obtient 64   3    3    3  = 27, donc il reste 27 litres de vin. 4 4 4 Réponse c. Pour comparer les actions de papa et papy, il faut envisager un multiple commun de 6 et 10, donc 30 par exemple. En 30 heures, papa bêcherait 5 jardins, et papy 3, donc ensemble ils en bêcheraient 5 + 3 = 8. Pour en bêcher un seul ensemble, au lieu de 8, il leur faut seulement : 30 h = 3,75 heures soit 3 heures 3  ou 3 h 45 min. 8 4 Réponse d. La largeur est divisée par 2, la hauteur aussi ; donc il y a double proportionnalité : l’aire est divisée par 2 × 2 = 4. Le poids de l’image est proportionnel à son aire, donc le poids est divisé par 4. Il devient 87/4 = 21,75 Ko, mais on arrondit à l’unité, soit 22 Ko.

Aptitude numérique

Niveau 2

67

8

Grandeurs. Conversions. Mélanges

Testez-vous Voici une série de 10 exercices à faire en 10 minutes pour évaluer votre niveau, puis vous donner un objectif de travail…

1. Un camion pèse à vide 3 tonnes. Quand il porte une charge de 40 quintaux quel est le poids indiqué en kg par la bascule sur laquelle il passe ?

2. Avec une bouteille pleine d’un litre de vin on a versé dans chacun des 8 verres placés sur la table 12 cL de vin. Que reste-t-il dans la bouteille ?

3. En dix jours dont trois de repos, des cyclotouristes ont parcouru 1 281 km. Quelle est la distance moyenne parcourue chaque jour ?

4. Paulette a placé sur un plateau d’une balance Roberval trois masses de 1 hg, puis sur l’autre plateau, successivement 2 hg, 1 dag, un sachet de sable de 50 g. Combien de grammes manque-t-il pour faire l’équilibre ?

5. La vitesse de la lumière est 300 000 km/s. Quelle distance en millions de km la lumière parcourt-elle en une heure ?

6. Une marathonienne a bouclé son parcours en 3 h 15 min 18 s, et est arrivée 17 min 39 s après son mari. Quel est le temps de ce dernier ?

7. Un mélange est constitué de 1 litre de jus et de 18 litres d’eau. On y ajoute x litres de jus et y litres d’eau pour obtenir 54 litres d’un mélange constitué d’un tiers de jus et de deux tiers d’eau. Quelle est la valeur de y ?   a. 17 litres   b. 18

  c. 27

  d. 35

  e. 16

8. Une piscine rectangulaire de 6 m sur 25 m est vidée par une pompe de débit 4500 L/h. À quelle vitesse, en cm/h, le niveau de l’eau baisse-t-il ?

9. Dans un fût un vigneron a versé 6 daL de vin et il manque 7 litres pour que le fût soit plein. Quelle est, en litres, la contenance du fût ?

10. Quelle est la masse volumique, en kg/m3 d’un papier dont une feuille de 0,1 mm d’épaisseur pèse 90 g par m² ?

68

Grandeurs. Conversions. Mélanges 8

Solutions

1. 2. 3. 4. 5.

6. 7. 8. 9. 10.

7 000 kg. 4 cL. 183 km. 40 g. 1 080 millions de km.

2 h 57 min 39 s. Bonne réponse : b. 3 cm/h. 67 L. 900 kg/m3.

Notez-vous : un point par bonne réponse. Si vous obtenez : l moins de 3 points sur 10 : il vous faudra travailler intensément ce chapitre ; l entre 4 et 8 points, il vous faudra réviser et approfondir ce chapitre ; l 9  ou 10  points, vous pourrez passer ce chapitre en première étape de votre préparation générale.

Aptitude numérique

Quel est votre niveau ?

Lorsque dans un mouvement la distance parcourue est proportionnelle à la durée du trajet, le coefficient de proportionnalité s’appelle la vitesse moyenne. Une vitesse s’exprime généralement en kilomètres par heure ou en mètres par ­seconde, unités qu’on note km/h ou km · h– 1 et m/s ou m · s– 1. La distance parcourue d s’exprime en fonction de la durée du trajet t et de la vitesse moyenne v par la formule : d=v×t Exemple

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Si la vitesse est 90 km/h, la distance parcourue peut se calculer par la for­mule d = 90 × t. t (en h)

1

1,5

2

6

t

d (en km)

90

135

180

540

90 t

Attention aux unités qui doivent se correspondre : si d est exprimée en kilomètre et t en heure, alors v s’exprime en km/h.

Comment calculer une distance ? Exemple

Un TGV roule à 250 km/h pendant 1 h 30 min, quelle est la distance par­courue ? 1 h 30 min = 1,5 h, et d = 250 t donc la distance parcourue est 250 × 1,5 = 375 km.

69

8 Grandeurs. Conversions. Mélanges

Comment calculer une durée ? Exemple

Un cycliste parcourt 56 km à 28 km/h de moyenne, pendant combien de temps a-t-il roulé ? d = v × t donc t = d. Ici, d = 56 km et v = 28 km/h donc t = 56 = 2. Il a roulé 2 heures. v 28

Comment calculer une vitesse ? Exemple

Un chauffeur routier a parcouru 315 km en 4  h 30  min. Quelle est sa vitesse moyenne ? d = v × t donc v = d. Ici, d = 315 km et t = 4 h 30 min = 4,5 h. t Donc v = 315 = 70. La vitesse moyenne du chauffeur est 70 km/h. 4,5

Utilisation d’un tableau de proportionnalité Exemple

Un coureur de marathon avance régulièrement à la vitesse de 18 km/h. 1) Quelle distance a-t-il parcourue au bout de 2 h 15 min ? 2) Au bout de combien de temps passe-t-il devant la borne indiquant 30 km parcourus ? •• On convertit 2 h 15 min en 2,25 h, car 15 min c’est un quart d’heure soit 0,25 h. •• On dresse le tableau de proportionnalité suivant, où la vitesse est le coef­fi cient de proportionnalité 18 : Durée t en h

1

Distance d en km

18

2,25 30

Dans la case en dessous de 2,25 h, on fait le calcul 2,25 × 18 = 40,5. Il a parcouru 40,5 km en 2 h 15 min. Dans la case au-dessus de 30, on fait le calcul 30 = 5 soit environ 1,666 h, ce qui cor18 3 respond à 5 = 1 +   2  d’heure, soit 1 h + 60 min ×  2  = 1 h 40 min. 3 3 3 Il est passé devant la borne des 30 km au bout de 1 h 40 min. 70

Grandeurs. Conversions. Mélanges 8

Unités usuelles de longueur l l l

La mesure de la longueur d’un segment dépend de l’unité choisie. L’unité principale de longueur est le mètre : m. On utilise aussi : le décamètre : dam ; l’hectomètre : hm ; le kilomètre : km ; le décimètre : dm ; le centimètre : cm ; le millimètre : mm.

Comment convertir les unités de longueur ? l

À l’aide d’un tableau : on met un chiffre par unité, et on repère la position de la virgule qui correspond à l’unité choisie. Exemple

Aptitude numérique

1 dam = 10 m ; 1 hm = 100 m ; 1 km = 1 000 m 1 m = 10 dm ; 1 m = 100 cm ; 1 m = 1 000 mm

8,243 hm = 824,3 m km

l

hm

dam

m

dm

8

2

4

3

cm

mm

Directement en multipliant par 10, ou 100, 1 000, etc. : Exemple

1 hm = 100 m donc 8,243 hm = 8,243 × 100 m = 824,3 m. Pour additionner des longueurs exprimées dans des unités différentes, on com­mence par trouver une unité commune. Exemple

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2 cm + 15 mm = 2 cm + 1,5 cm = 3,5 cm ; ou bien 2 cm + 15 mm = 20 mm + 15 mm = 35 mm.

Unités d’aire l l

l

La mesure de l’aire dépend de l’unité choisie. L’unité d’aire principale est le mètre carré : m2. Un carré de 1 m de côté a une aire de 1 m2. Autres unités : le décamètre carré : dam2 ; l’hectomètre carré : hm2 ; le kilo­mètre carré : km2 ; le décimètre carré : dm2 ; le centimètre carré : cm2 ; le millimètre carré : mm2. 1 km2 = 100 hm2 ; 1 hm2 =100 dam2 ; 1 dam2 = 100 m2 1 m2 = 100 dm2 ; 1 dm2 = 100 cm2 ; 1 cm2 = 100 mm2

71

8 Grandeurs. Conversions. Mélanges l

Unités agraires (utilisées pour la grandeur des terrains, des bois, des champs) : l’are : a, et l’hectare : ha. 1 a = 1 dam2 = 100 m2 ; 1 ha = 100 a = 1 hm2 = 10 000 m2 Quand on calcule une aire à l’aide d’une formule, les dimensions doivent toutes être exprimées avec la même unité.

Exemple

L’aire d’un rectangle de 2 cm de long et 15 mm de large peut se calculer : •• en cm2 par 2 × 1,5 = 3 cm2 ; •• en mm2 par 20 × 15 = 300 mm2.

Comment convertir les unités d’aire ? l

À l’aide d’un tableau.

Il y a deux chiffres par unité !

Exemples

•• Convertir 5,6 m2 en cm2 : penser à 5,60 au lieu de 5,6 m2

dm2

cm2

5

60

00

mm2

5,6 m2 = 56 000 cm2. •• Convertir 13 km2 en m2 : km2

hm2

dam2

m2

13

00

00

00

13 km2 = 13 000 000 m2.

l

Directement, en multipliant par 100, 10 000, etc. 1 m2 = 10 000 cm2 donc 5,6 m2 = 5,6 × 10 000 cm2 = 56 000 cm2. 1 km2 = 1 000 000 m2 donc 13 km2 = 13 × 1 000 000 m2 = 13 000 000 m2.

72

Grandeurs. Conversions. Mélanges 8

Unités de volume l l

l

La mesure du volume dépend de l’unité choisie. L’unité principale de volume est le mètre cube : m3. Un cube de 1 m d’arête a un ­volume de 1 m3. Autres unités : le décimètre cube : dm3 ; le centimètre cube : cm3 ; le millimètre cube : mm3.

l

Unités de capacité : elles sont exprimées en : litre : L ; hectolitre : hL ; déca­litre : daL ; décilitre : dL, centilitre : cL ; millilitre : mL. 1 L = 1 dm3 = 1 000 cm3 = 10 dL = 100 cL ; 1 dL = 0,1 L = 10 cL = 100 cm3 1 cL = 0,01 L = 10 cm3 ; 1 mL = 0,001 L = 1 cm3

Aptitude numérique

1 dm3 = 1 000 cm3 ; 1 cm3 = 1 000 mm3 ; 1 m3 = 1 000 dm3

Pour calculer un volume à l’aide d’une formule, on doit préalablement expri­ mer toutes les dimensions avec la même unité.

Exemple

Le volume d’un pavé droit dont les trois dimensions sont 23 cm, 95 mm et 1,2 dm peut se calculer : •• en cm3 par : 23 × 9,5 × 12 = 2 622 cm3 ; •• en mm3 par : 230 × 95 × 120 = 2 622 000 mm3 ; •• en dm3 par : 2,3 × 0,95 × 1,2 = 2,622 dm3.

Comment convertir les unités de volume ?

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l

À l’aide d’un tableau.

Il y a trois chiffres par unité !

Exemple

Convertir 6,57 m3 en cm3 : m3

dm3

cm3

6

570

000

mm3

6,57 m3 = 6 570 000 cm3. 73

8 Grandeurs. Conversions. Mélanges l

Directement en multipliant ou en divisant par 1 000, 1 000 000, etc. 1 m3 = 1 000 000 cm3 donc 6,57 m3 = 6,57 × 1 000 000 cm3 = 6 570 000 cm3.

Comment convertir les unités de capacité ? l

À l’aide d’un tableau. Exemple

Convertir 6,238 hL en L : hL

DaL

L

dL

6

2

3

8

cL

mL

6,238 hL = 623,8 L. l

Directement. 1 hL = 100 L donc 6,238 hL = 6,238 × 100 L = 623,8 L.

Comment convertir des unités en « cube » aux unités en « litre » ? Exemple

Convertir 8,1 dL en cm3 : les trois cases « cube » sont à remplir : m3

dm3 hL

daL

cm3 L

mm3

dL

cL

mL

8

1

0

8,1 dL = 810 mL = 810 cm3.

Unités de temps 1 h = 60 min 1 min = 60 s 1 h = 3 600 s

74

1 min = 1s=

1 60

1 60

h

min

Grandeurs. Conversions. Mélanges 8

Comment convertir en minutes ou en secondes Exemple

Convertir 2 h 23 min en minutes puis en secondes : en minutes : 2 × 60 + 23 = 143 min ; en secondes : 143 × 60 s = 8 580 s.

Comment convertir en heures •• Convertir en heures décimales 3 h 18 min : 3 × 60 min + 18 min = 198 min ; 1 h = 60 min, donc 198 min = 198 h = 3,3 h et 3 h 18 min = 3,3 h. 60 On peut aussi convertir 18 min uniquement ce qui donne 0,3 h et ajouter à 3 h pour obtenir 3,3 h. •• Convertir en heures décimales 54 min 25 s (avec une précision d’un millième) : 54 min 25 s = 54 × 60 s + 25 s = 3 265 s. 1 h = 3 600 s donc 3 265 s = 3 265 h soit environ 0,906 h. 3 600

Aptitude numérique

Exemples

On fera bien attention à ne pas confondre 3,3 h et 3 h 3 min ; en effet 3,3 h = 3 h 18 min !

Unités de vitesse Quand on calcule le quotient de la distance parcourue par la durée du par­cours, on trouve une vitesse moyenne.

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Exemples

•• Si l’on fait 200 km en 2 heures, la vitesse moyenne est : 200 = 100 km en une heure, on la note 100 km/h ou 100 km · h– 1. 2 •• Si une tortue parcourt 5 mètres en 100 secondes, sa vitesse moyenne est 0,05 mètre par seconde ce qu’on note 0,05 m/s ou 0,05 m · s– 1.

Convertir des unités de vitesse 1 m/s = 3 600 m/h = 3,6 km/h Exemples

•• Un coureur fait le 100 m en 10 s : quelle est sa vitesse moyenne en km/h ? La vitesse est 10 m/s soit 10 × 3,6 = 36 km/h.

75

8 Grandeurs. Conversions. Mélanges •• Un train a parcouru son trajet à 180 km/h de moyenne : quelle est sa vitesse en

m/s ? Il faut 3,6 km/h pour faire 1 m/s donc la vitesse du train en m/s est 180 = 50 m/s. 3,6

Exercices d’entraînement Distances, vitesses, temps, débits… 0 0:0 8

Niveau 1

1. Un piéton parcourt 80 mètres en une minute, quelle est sa vitesse en km/h ? 2. Un cycliste roule à 30 km/h, quelle distance parcourt-il en 4 heures et demie ? 3. Un automobiliste parcourt 126 km à la vitesse moyenne de 72 km/h. Combien de temps a duré son trajet ?

4. En 2 h 10 un avion a fait 1 820 km. Quelle est sa vitesse moyenne en km/h ? 5. Un robinet laisse s’écouler 1,25 litre par minute. En combien de temps aura-t-il laissé couler un mètre cube d’eau ?

0 0:1 5

Niveau 2

6. À la vitesse de 5 km/h, un parcours est effectué en 6 minutes. En combien de temps, en minutes, sera-t-il effectué à 6 km/h ? q a. 7 q b. 6 q c. 5 q d. 4

q e. 3

7. Au cours d’un voyage de 480 km, une moitié de la distance est parcourue à la vitesse moyenne de 80 km/h, l’autre moitié à la vitesse moyenne de 120 km/h. Quelle est la vitesse moyenne du voyage ? q a. 98 km/h q b. 100 km/h q c. 96 km/h q d. 105 km/h q e. une autre valeur

8. Combien faut-il de tuyaux de 10 cm de diamètre intérieur pour fournir le même débit qu’un tuyau de 60 cm de diamètre intérieur, si l’eau circule à la même vitesse dans tous les tuyaux ? q a. 6 q b. 6 q c. 12 q d. 36 q e. 36

76

Grandeurs. Conversions. Mélanges 8

9. Un athlète parcourt 100 mètres en 11,16 secondes. Un pigeon voyageur parcourt 3 000 mètres en 2,5 minutes. Un cycliste parcourt 40 kilomètres en 1,24 heure. Parmi les phrases suivantes, laquelle est exacte ? q a. Les trois vitesses sont les mêmes. q b. Seules les vitesses de l’athlète et du cycliste sont les mêmes. q c. Seules les vitesses du cycliste et du pigeon voyageur sont les mêmes. q d. Les trois vitesses sont différentes. q e. Seules les vitesses de l’athlète et du pigeon voyageur sont les mêmes. j’ai parcouru les 18 premiers kilomètres à la vitesse moyenne de 15 km/h. La dernière partie du trajet était beaucoup plus dure, je l’ai effectuée à la vitesse moyenne de 10 km/h. Arrivé au sommet, j’ai pris 10 minutes de repos, puis je suis redescendu par la même route. Ma vitesse moyenne dans la descente a été le triple de celle de la montée. À quelle heure suis-je revenu ? q a. 11 h 30 q b. 11 h 40 q c. 11 h 58

q d. 12 h 02

Aptitude numérique

10. Parti à 9 h pour escalader à vélo le terrible col de l’Izoard (27 km de long),

q e. 12 h 10

Conversions 0 0:0 8

Niveau 1 11. Effectuer les opérations suivantes et donner le résultat en mètres : 2,750 km + 475 m + 3 dam – 17 dm

12. Convertir en hectares : q d. 103 a 6 ca q a. 3 120 a q b. 13 575 ca q c. 987 m2 2 Convertir en m  : q e. 45 a q f. 7,6 ha q g. 2 ha 3 a 46 ca q h. 0,013 dam2 q i. 193 dm2

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13. Convertir en litres : q a. 205 cL q b. 4,57 hL q e. 3 200 mL q f. 160 dL

q c. 45 mL q g. 8 dm3

q d. 2,78 daL

14. q a. Un train part de Paris à 21 h 40 min. Il arrive le lendemain à 10 h 55 min. Quelle est la durée du trajet ?

q b. Calculer 1 h 49 min 54 s + 2 h 39 min 47 s. q c. Calculer les mesures de temps suivantes : (1 h 25 min) × 3 ; (5 h 27 min). 3 15. a. Convertir 40 km/h en m/s. b. Convertir 70 m/s en km/h.

77

8 Grandeurs. Conversions. Mélanges 0 0:1 5

Niveau 2

16. Sachant qu’une piste mesure 4 km, combien de tours ai-je fait lorsque j’ai réalisé une course de 12 000 m ? q a. 3 q b. 30

q c. 300

q d. 4,8

q e. 3,33...

17. Sur un parcours de 10 km, Serge a couru 9  641 mètres, 3  456 décimètres et

12 340 millimètres avant de s’effondrer épuisé, peu avant la ligne d’arrivée. Combien de centimètres lui manquait-il pour réussir ? q a. 1 060 cm q b. 16 cm q c. 106 cm q d. 100 cm q e. 96 cm

18. La population des États-Unis en 1980 était de 226 504 825 habitants. La superfi-

cie du pays est de 3 615 122 miles carrés. Il y a (5 280)2 pieds carrés dans un mile carré. Lequel des nombres ci-dessous approche-t-il le mieux le nombre moyen de pieds carrés par habitant ? q a. 5 000 q b. 10 000 q c. 50 000 q d. 100 000 q e. 500 000

19. Un train met 2 heures et 34 minutes pour parcourir les 234 kilomètres séparant Bruxelles de Luxembourg. La vitesse moyenne du train arrondie à la première déci­male vaut, en km/h : q a. 91,2 q b. 93,6 q c. 95 q d. 100 q e. 101,7

20. Pour convertir en degrés Fahrenheit une température T donnée en degrés Celsius, on multiplie T par le nombre 1,8 puis on ajoute 32. Quelle est la mesure de tempé­rature qui s’exprime par le même nombre dans les deux systèmes ? q a. – 40 q b. – 32 q c. – 18 q d. 18 q e. 40

Corrigés des exercices Distances, vitesses, temps, débits… Niveau 1

78

1.

En une heure le piéton parcourt 60 fois plus qu’en une minute donc  : 60 × 80 m = 4 800 m, soit 4,8 km, d’où sa vitesse est 4,8 km/h.

2.

4 heures et demie, c’est 4,5 h. On applique la formule d = v × t = 30 × 4,5 = 135 ; il parcourt 135 km.

3.

On applique la formule t = d donc t = 126 = 1,75 soit une heure trois quarts ou 72 t 1 h 45 min.

4.

Convertissons : 2 h 10 min = 2 h +  10  h = 2 + 1  h =  (12 + 1)  h =  13 h. 6 60 6 6 d 6 Comme v = on obtient : 1 820 = 1 820 × = 840. L’avion fait du 840 km/h. 13 t 13 6 3 1 m = 1 000 litres, le nombre de litres écoulés et le temps sont proportionnels, le nombre de minutes nécessaire pour avoir un mètre cube est donc : 1 min × 1 000 = 800 min soit 1,25 13 h 20 min.

5.

Niveau 2 6.

Réponse c. 6 min, c’est un dixième d’heure, car 60 min = 6 min ; donc à 5 km/h, on parcourt en ce 10 temps d’un dixième d’heure : 0,5 km. Si la vitesse est 6 km/h, le temps en heure mis pour faire 0,5 km est : distance = 0,5 = 1 h, soit 60 min × 1 = 5 min. 12 6 12 vitesse

7.

Réponse c. Au début, pour faire 240 km à 80 km/h il faut 3 h. Ensuite pour faire 240 km à 120 km/h il faut 2 h. La durée totale des trajets est 3 + 2 = 5 h pour faire 480 km ; la vitesse moyenne en km/h du voyage est : 480 = 96 km/h. On remarque que ce n’est pas la moyenne des vitesses, qui serait 5 100 km/h. Il existe une formule permettant de calculer la vitesse moyenne Vm en fonction de la vitesse à l’aller Va et de la vitesse au retour Vr, c’est : 2 1 1  Vm =  Va +  Vr  vous pouvez vérifier que 2 = 1 + 1 . 96 80 120 Réponse d. Un débit est un volume pendant un certain temps. Ici, la longueur des tuyaux ne v­ arie pas selon les diverses propositions ; c’est seulement l’aire de la section des tuyaux qui change et modifie le volume.

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8.

Aptitude numérique

Grandeurs. Conversions. Mélanges 8

Le débit est proportionnel non pas au diamètre du tuyau mais à l’aire de sa sec­tion.

Dans celle-ci intervient le carré du rayon ; si le tuyau a son diamètre divisé par 6, son rayon est aussi divisé par 6 et l’aire de la section du tuyau est divisée par 62 = 36. Il faut 36 tuyaux de 10 cm de diamètre pour débiter autant qu’un tuyau de 60 cm de diamètre.

9.

Réponse b. La vitesse de l’athlète est 100 m/s. 11,16

79

10.

Niveau 1 11.

2,750 km + 475 m + 3 dam – 17 dm = 2 750 m + 475 m + 30 m – 1,7 m = 3 253,3 m.

12.

Conversions en hectares. a. 3 120 a = 31,2 ha b. 13 575 ca = 1,3575 ha c. 987 m2 = 0,0987 ha d. 103 a 6 ca = 1,030 6 ha Conversions en mètres carrés : e. 45 a = 4 500 m2 f. 7,6 ha = 76 000 m2 g. 2 ha 3 a 46 ca = 20 346 m2 2 2 h. 0,013 dam = 1,3 m i. 193 dm2 = 1,93 m2

13.

a. 205 cL = 2,05 L b. 4,57 hL = 457 L e. 3 200 mL = 3,2 L f. 160 dL = 16 L

14.

a. De 21 h 40 min à 24 h il s’écoule 2 h 20 min. De 0 h à 10 h 55 min il s’écoule 10 h 55 min. La durée du trajet est la somme : 2 h 20 min + 10 h 55 min = 12 h 75 min = 13 h 15 min. b. 1 h 49 min 54 s + 2 h 39 min 47 s = 4 h 29 min 41 s. On peut commencer par ajouter les secondes : 54 s + 47 s = 101 s = 1 min 41 s. Puis on ajoute les minutes (dont la retenue) : 1 min + 49 min + 39 min = 89 min = 1 h 29 min. Enfin, les heures (dont la retenue) : 1 h + 1 h + 2 h = 4 h ; et on récapitule : 4 h 29 min 41 s. c. (1 h 25 min) × 3 = 3 h 75 min = 4 h 15 min ; (5 h 27 min) = (5 × 60 + 27) min = 327 min = 109 min = 1 h 49 min. 3 3 3 a. 1 m/s = 3,6 km/h ; comme ≈ 11,1 on obtient 40 km/h ≈ 11,1 m/s. b. 70 m/s = 70 × 3,6 m/s = 252 km/h.

C

15.

80

Comme 40 km = 40 000 m, 1 h = 3 600 s, et 1,24 h = 1,24 × 3 600 s, la vitesse du cycliste 40 000 est = 400 = 100 m/s, on reconnaît alors cette valeur, donc l’athlète et le (1,24 × 3 600) 44,64 11,16 cycliste ont la même vitesse, soit environ 8,96 m/s. Quant au pigeon, il est beaucoup plus rapide avec sa vitesse de 3 000 = 20 m/s. (2,5 × 60) Réponse c. Le temps mis pour le premier tronçon est 18 = 1,2 h. Le temps mis pour le deuxième 15 tronçon est 9 = 0,9 h. Le temps total à l’aller est : 1,2 + 0,9 = 2,1 h. 10 Comme la vitesse est 3 fois plus importante au retour, le temps mis au retour est 3 fois plus court soit : 2,1 = 0,7 h. 3 Le temps total des trajets est donc : 2,1 + 0,7 = 2,8 h ou 2 h + (0,8 × 60 min) = 2 h 48 min. En tenant compte du temps de repos de 10 min, on obtient 2 h 58 min. Il est donc revenu à : 9 h + 2 h 58 min = 11 h 58 min.

Conversions

O

R

R

I

G

é

s

8 Grandeurs. Conversions. Mélanges

c. 45 mL = 0,045 L g. 8 dm3 = 8 L

d. 2,78 daL = 27,8 L

Grandeurs. Conversions. Mélanges 8

Niveau 2

17.

Réponse a. Convertissons 4 km = 4 000 m. Le nombre de tours s’obtient par l’opération : 12 000 = 3. 4 000 Réponse c. On prend la même unité pour toutes les dimensions. En m, on a : 9 641 + 345,6 + 12,34 = 9 998,94 m donc il manquait : 10 000 m – 9 998,94 m = 1,06 m = 106 cm.

18.

Réponse e. En voyant les réponses proposées qui ont des ordres de grandeurs très différents, on peut se contenter d’arrondir tous les calculs. 5 0002 = 25 × 106 ; 3,6 × 106 × 25 × 106 = 90 × 1012 Il y a environ 90 × 1012 pieds carrés pour environ 200 × 106 habitants. 12 On obtient un nombre moyen de pieds carrés par habitant égal à environ (90 × 10 6) , soit ) (200 × 10 45 × 104 ou 450 000 pieds carrés. Le nombre le plus proche proposé est sans aucun doute 500 000.

19.

Réponse a. Convertissons : 2 h 34 min = 154 min = 154 h. La vitesse est égale à la distance divisée 60 par le temps donc : 234 = 91,2 environ, en km/h. 154 60 Réponse a. On doit obtenir le même résultat avec les deux échelles : soit T pour l’une, et pour l’autre (1,8 T + 32) ; d’où l’équation : 1,8 T + 32 = T. Donc 0,8 T = – 32 et T = – 32 = – 40. 0,8 La température – 40 degrés Celsius est égale à la température – 40 degrés Fahrenheit.

Aptitude numérique

16.

 

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20.

81

9

Calcul mental rapide

Testez-vous Voici une série de 10 exercices à faire en 10 minutes pour évaluer votre niveau, puis vous donner un objectif de travail…

1. Que vaut (75 + 8)² − (75 − 8)² ? 2. Que vaut le produit : (1 − 1/2)(1 − 1/3)(1 − 1/4) … (1 − 1/99)(1 − 1/100) ? 3. Quel est le chiffre des unités du résultat de 2 0142014 ? 4. Calculer

(2 051 − 2 026)(2 051 − 2 026)(2 051 − 2 026) − (2 026 − 2 051)(2 026 − 2 051) (2 026 − 2 051) = ?

5. Que vaut la somme de tous les entiers relatifs de − 60 à + 50 compris ? 6. Calculer (2 × 3 × 4) × (1/2 + 1/3 + 1/4) = ? 7. Maëlyne invente une opération originale qu’elle note * : on a ainsi x*y = 2 + x + xy. Que vaut ((2*0)*1)*5 ?

8. Calculer 200 015² −200 014 × 200 016 = ? 9. Voici la carte d’un réseau autoroutier avec les tarifs de chaque tronçon. Quel est le coût minimum pour aller de A à B ? 4 20 7

6 4

10

2

30

10

A

4

12 6

50

30 10

3

10

20

11

10 B

15

10. Si on augmente le diamètre d’un cercle de π cm, de combien de cm augmente son périmètre ?   a. π/2 82

  b. π

  c. 3 π/2

  d. 2 π

  e. π²

Calcul mental rapide 9

Solutions 2 400. Le résultat est 1/100. Le chiffre des unités demandé est 6. 31 250. Le total final demandé est − 555.

6. 7. 8. 9. 10.

26. Résultat final : 62. 1. 46. Bonne réponse : e.

Quel est votre niveau ? Notez-vous : un point par bonne réponse. Si vous obtenez : l moins de 3 points sur 10 : il vous faudra travailler intensément ce chapitre ; l entre 4 et 8 points, il vous faudra réviser et approfondir ce chapitre ; l 9 ou 10 points, vous pourrez passer ce chapitre en première étape de votre préparation générale.

Aptitude numérique

1. 2. 3. 4. 5.

Multiplications et divisions Tables de multiplication

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Il est nécessaire de bien les maîtriser… Quelques produits particuliers reviennent souvent : l 5 × 20 = 100 ; 50 × 0,2 = 10 ; 5 × 0,2 = 1 ; l 4 × 25 = 100 ; 4 × 2,5 = 10 ; 0,4 × 2,5 = 1 ; 2,5 × 40 = 100 ; 250 × 0,4 = 100 ; l 8 × 125 = 1 000 ; 8 × 12,5 = 100 ; 8 × 0,125 = 1 ; 1,25 × 8 = 10 ; 12,5 × 80 = 1 000.

Comment se ramener à des calculs simples ? En décomposant l’opération l

l

l

l

l

pour diviser par 5 on peut multiplier par 2 et diviser par 10 (dans l’ordre qu’on veut). Ainsi 64/5 = 64 × 2/10 = 128/10 = 12,8 ; pour multiplier par 5 on peut multiplier par 10 et diviser par 2. Ainsi 98 × 5 = 980/2 = 490. pour diviser par 25 on peut multiplier par 4 et diviser par 100. Ainsi 130/25 = 130 × 4/100 = 520/100 = 5,2. pour multiplier par 25 on peut multiplier par 100 et diviser par 4. Ainsi 48 × 25 = 48 × 100/4 = 1 200 ; pour diviser par 125 on peut diviser par 1 000 et multiplier par 8. Ainsi 21/125 = 21 × 8/1 000 = 168/1 000 = 0,168 ;

83

9 Calcul mental rapide pour multiplier par 125 on peut multiplier par 1 000 et diviser par 8. Ainsi 56 × 125 = 56 000/8 = 7 000 ; l pour multiplier par 15 on peut multiplier par 10 et ajouter la moitié. Ainsi 62 × 15 = 620 + 310 = 930 ; l diviser par 0,1 c’est multiplier par 10 ; diviser par 0,01 c’est multiplier par 100, etc. Ainsi 45/0, 001 = 45 × 1 000 = 45 000. l

En s’aidant des règles de calcul par commutativité : 2 × 13 × 0,5 = 2 × 0,5 × 13 = 1 × 13 = 13. 12,5 × 42 × 8 = 12,5 × 8 × 42 = 100 × 42 = 4 200. 175 × 24 = 25 × 7 × 4 × 6 = 25 × 4 × 7 × 6 = 100 × 42 = 4 200. l par distributivité de la multiplication par rapport à l’addition ou la soustrac­tion : 41 × 12 = 41 × (10 + 2) = 41 × 10 + 41 × 2 = 410 + 82 = 492 ; 37 × 19 = 37 × (20 – 1) = 37 × 20 – 37 × 1 = 740 – 37 = 703. l

Exemple

Sophie achète 3 paquets à 17 € l’un, puis 7 paquets à 17 € l’un. Quelle est la dépense totale ? 17 × 3 + 17 × 7 = 17 (3 + 7) = 17 × 10 = 170 € grâce aux identités remarquables : (a + b)(a – b) = a2 – b2 donc : 52 × 48 = (50 + 2) (50 – 2) = 502 – 22 = 2 500 – 4 = 2 496 ; (a + b)2 = a2 + 2ab + b2 donc : 412 = (40 + 1)2 = 402 + 2(1)(40) + 12 = 1 600 + 80 + 1 = 1 681 ; (a – b)2 = a2 – 2ab + b2 donc : 392 = (40 – 1)2 = 402 – 2(1)(40) + 12 = 1 600 – 80 + 1 = 1 521. l

Multiplication par 11 On peut écrire facilement le résultat… Exemple

45 × 11 = 495 ; 6 253 × 11 = 68 783 On trouve comme chiffre des unités celui du nombre multiplié par 11. Pour avoir le chiffre des dizaines du résultat, on ajoute le chiffre des unités et le chiffre des dizaines du nombre. Pour avoir le chiffre des centaines on ajoute le chiffre des dizaines et le chiffre des centaines du nombre et éventuellement la retenue du résultat précédent, et on continue ainsi de la droite vers la gauche jusqu’à réécrire le chiffre de gauche augmenté éventuellement de la retenue du calcul précédent. 84

Calcul mental rapide 9 Exemple

Un dernier exemple, détaillé, avec 5 837 × 11 : Le chiffre des unités sera 7. Le chiffre des dizaines se trouve par 7 + 3 = 10 on écrira 0 et on retient 1. Le chiffre des centaines sera donné par 8 + 3 + 1(retenue) = 12, on écrira 2 et on retiendra 1. Le chiffre des milliers sera donné par 5 + 8 + 1 (retenue) = 14, on écrira 4 et retiendra 1. Le dernier chiffre à gauche sera 5 + 1 (retenue) = 6. Résultat final : 5 837 × 11 = 64 207

Aptitude numérique

Les carrés, cubes et racines carrées Quelques carrés à savoir par cœur X

1

2

3

4

5

6

7

8

9

X

1

4

9

16

25

36

49

64

81 100 121 144 169 196 225

X

16

17

18

19

20

25

30

X2

256

289

324

361

400

625

900

2

10

11

12

35

40

13

14

45

15

50

1 225 1 600 2 025 2 500

Remarquons que les carrés peuvent finir par 0, 1, 4, 5, 6, 9 comme chiffre des unités, mais jamais par 2, 3, 7, 8. Ainsi, sans savoir calculer une racine carrée on peut dire que 354 678 ne peut être le carré d’un entier car il finit par 8.

Calcul du carré d’un nombre finissant par 5

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Il se termine toujours par 25. Si le nombre dont on cherche le carré s’écrit d5, avec d représentant le nombre formé des chiffres à gauche du 5, il faut calculer le produit d(d+1) et écrire à sa droite 25. Exemple

Le carré de 65 s’obtient en considérant d = 6 donc d+1 = 7, calcu­lons 6 × 7 = 42. On écrit 25 à sa droite, et on trouve 652 = 4 225. Le carré de 105. On imagine d = 10 donc d + 1 = 11 ; on calcule 10 × 11 = 110, on écrit 25 à droite et on a 1052 = 11 025.

Quelques cubes à savoir par cœur X

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

X

1

8

27

64

125

216

343

512

729

1 000

1 331

1 728

3

85

9 Calcul mental rapide Remarquons que les cubes des nombres finissant par 0, 1, 4, 5, 6, 9 se termi­nent avec ces mêmes chiffres pour unités, et que pour les autres il y a un croi­sement des unités du nombre et de son cube : 2-8 ou 8-2, 3-7 ou 7-3. Exemple

•• Je réalise une réduction d’un objet, en divisant ses dimensions par 4. Par combien est divisé son volume et son poids ? Par 43 = 64, car si les dimensions sont divisées ou multipliées par le nombre k, les aires sont alors divisées ou multipliées par le nombre k2, et les volumes ou les masses sont divisés ou multipliés par le nombre k3. •• Si un modèle réduit de même matière que le modèle original a une masse 125 fois moindre, c’est que chaque dimension a été divisée par la racine cubique de 125, qui est 5 car je sais que le cube de 5 est 125.

Racines carrées Un calcul mental rapide permet aussi de simplifier des calculs avec des racines carrées : Exemple

98 × 50 = 49 × 2 × 2 × 25 = 7 × 2 × 5 = 70

Additions et soustractions Comment se ramener à des calculs simples ? En décomposant l’opération : – Pour ajouter 11 on ajoute 10, et on ajoute encore 1. – Pour retrancher 11, on enlève 10 puis on enlève encore 1. – Pour ajouter 9, on ajoute 10 et on enlève 1. – Pour retrancher 9, on enlève 10 et on ajoute 1. – Pour ajouter 99, on ajoute 100 et on enlève 1. – Pour retrancher 99, on enlève 100 et on ajoute 1. – Pour ajouter 999, on ajoute 1000 et on enlève 1. – Pour retrancher 999, on enlève 1000 et on ajoute 1. – De même : 53 – 19 = 53 – (20 – 1) = 53 – 20 + 1 = 33 + 1 = 34 ; 74 – 26 = 74 – (20 + 6) = 74 – 20 – 6 = 54 – 6 = 48 l En décalant Calculer 31 – 18 c’est, en décalant chaque nombre de 1, comme : calculer 30 – 17, donc cela fait 13. l

86

Calcul mental rapide 9 En s’aidant des règles de calcul Les règles de commutativité et d’associativité permettent de changer la place des nombres dans les calculs pour les rendre plus simples : 0,52 + 1 299 + 0,48 = 0,52 + 0,48 + 1 299 = 1 + 1 299 = 1 300. – 16 + 254 – 14 – 70 = – 16 – 14 – 70 + 254 = – 30 – 70 + 254 = – 100 + 254 = + 154. l

Les fractions l En décomposant la fraction 44 / 66 = 2/3 75 / 100 = 3 / 4 ; 13 / 52 = 1 / 4 36 / 48 + 75 / 35 = (3 × 12) / (4 × 12) + (5 × 15) / (5 × 7) = 3 / 4 + 15 / 7 = (21 + 60) / 28 = 81 / 28. l En remplaçant des nombres décimaux par des fractions simples 0,5 = 1 / 2 ; 0,25 = 1 / 4 ; 0,2 = 1/5 ; 0,75 = 3 / 4 ; 0,1 = 1 / 10 ; 0,125 = 1 / 8 ; 0,04 = 1 / 25 ; 0,025 = 1 / 40 ; 0,02 = 1 / 50 ; 0,05 = 1 / 20. Ainsi pour multiplier par 0,125 on peut diviser par 8. Inversement, pour diviser par 5 on peut multiplier par 0,2. Pour multiplier par 0,75 on peut prendre les trois quarts. Pour diviser par 0,75 on peut diviser par 3/4 donc multiplier par 4 / 3, c’est-à-dire multiplier par 4 et diviser par 3.

Aptitude numérique

Comment se ramener à des calculs simples ?

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Conversion de temps en fraction 15 min = 1/4 h ; 45 min = 3/4 h ; 20 min = 1/3 h ; 10 min = 1/6 h ; 40 min = 2 / 3 h. Ainsi si je roule pendant 40 min à 90 km / h la distance que je parcours est les 2 / 3 de celle qu’on fait en une heure, donc : 90 × 2 / 3 = (90 / 3) × 2 = 30 × 2 = 60 km.

Pourcentages Prendre 50 % d’un nombre c’est le diviser par 2 ou prendre la moitié. Prendre 20 % d’un nombre c’est le diviser par 5, ou prendre deux fois 10 %. Prendre 25 % d’un nombre c’est prendre le quart du nombre, soit la moitié de 50 %. Pour trouver un prix après remise de 20 % il est plus rapide de prendre 80 % ou de multiplier par 0,8 (en effet 100 % – 20 % = 80 %). Multiplier par 1,5 c’est ajouter 50 % (en effet on passe de 100 vers 150).

87

9 Calcul mental rapide Augmenter de 200 % c’est multiplier par 3 (en effet on passe de 100 vers 300, donc on multiplie 100 par 3). Si des prix ont été multipliés par 4, de quel pour­centage ont-ils augmenté ? De 300 %. (On passe de 100 à 400 en ajoutant 300).

Critères de divisibilité Un nombre est divisible par 2 (pair) si et seulement s’il se termine par 0 ou 2, 4, 6, 8. Un nombre est divisible par 3, ou par 9 si et seulement si la somme de ses chiffres est divisible par 3, ou par 9. Exemple

2 016 est divisible par 3 et par 9 car la somme de ses chiffres est 2 + 0 + 1 + 6 = 9 et ce nombre se divise par 3 et par 9. Par contre, 2013 est divisible par 3 mais pas par 9, car la somme de ses chif­fres, soit 6, est divisible par 3 mais pas par 9. Un nombre est divisible par 4 si et seulement si le nombre formé des deux derniers chiffres à droite est lui-même divisible par 4. Exemple

2 028 est divisible par 4 car 28 l’est, par contre 2 026 ne l’est pas car 26 ne l’est pas. Un nombre est divisible par 8 si et seulement s’il se termine par trois chiffres à droite donnant un nombre divisible par 8. Exemple

2 168 est divisible par 8 car 168 l’est (168 = 8 × 21). Un nombre est divisible par 11 si et seulement si la différence entre la somme de ses chiffres de rang pair à partir de la droite et de la somme de ses chiffres de rang impair est nulle ou multiple de 11. Exemple

453 761 est divisible par 11 car la différence entre 1 + 7 + 5 = 13 et 6 + 3 + 4 = 13 est nulle. 570 416 est divisible par 11 car la différence entre 6 + 4 + 7 = 17 et 1 + 0 + 5 = 6 est égale à 11. 777 n’est pas divisible par 11, la différence entre 7 + 7 = 14 et 7 n’est ni nulle ni égale à 11.

88

Un nombre est divisible par 5 si et seulement s’il se termine par 5 ou 0. Un nombre est divisible par 25 si et seulement s’il se termine par 25, 50, 75, ou 00. Un nombre est divisible par 125 si et seulement s’il se termine par trois chif­fres à droite qui donnent 000 ou des multiples de 125 (125, 250, 375, 500, 625, 750, 875).

Calcul mental rapide 9

Les ordres de grandeur Exemple 1

Puis-je acheter un rôti de 740 g de bœuf à 19,5 € le kilo avec 15 € ? Oui car le prix est inférieur à 0,750 × 20 = 20 × 3 / 4 = 15 euros.

Encadrer des racines carrées non évidentes grâce aux carrés parfaits qu’on connaît. Ainsi, si j’ai un carré de 179 m2 d’aire, je sais que son côté, qui est la racine carrée de 179, est encadré par 13 m et 14 m (car 132 = 169 et 142 = 196 encadrent 179).

Situations de proportionnalité

Aptitude numérique

Exemple 2

Exemple

12 litres d’essence m’ont coûté 17,4 euros. Combien vont me coûter 24 litres ? Au lieu de faire une règle de trois ou des calculs plus compliqués du prix au litre, je remarque que 24 étant le double de 12, le prix sera le double de 17,4 euros donc 34,8 euros.

Résolutions d’équations littérales On peut se poser (pas tout haut !) des questions qui aident à organiser les étapes de la résolution d’une équation et les calculs à faire… Exemple 1

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Quel nombre mettre à la place des pointillés si 3 × … – 7 = 11 ? De quel nombre faut-il enlever 7 pour trouver 11 ? C’est 11 + 7 = 18. Quel est le nombre qui multiplié par 3 donne 18 ? C’est 18 / 3 = 6. Les pointillés valent 6. Exemple 2

Combien vaut la lettre x telle que 38 / (4 + 5x) = 2 ? Par combien faut-il diviser 38 pour trouver 2 ? Par 38/2 = 19. Combien faut-il ajouter à 4 pour trouver ce 19 ? C’est 19 – 4 = 15. Comme 5x = 15 c’est que x = 15/5 = 3.

89

9 Calcul mental rapide

Exercices d’entraînement QCM de calcul mental rapide 0 0:0 4

Niveau 1 1. Comment s’écrit en chiffres romains le total de 111 + 48 ? q a. CLIX

q b. CIVIX

q c. CXLIX

q d. LCIX

q e. CLDIX

2. Il faisait 2 °C ce matin, puis la température a varié (baissé, augmenté, etc.) ainsi : –3, +2, –5 ; –2 ; +6. Quelle température fait-il maintenant ? q a. –2 °C q b. –1 °C q c. 0 °C q d. 1 °C

q e. 2 °C

3. Le rendez-vous prévu pour le jeudi qui précède le lundi 9 a été reporté de 12 jours, on sera alors le : q a. 24 q b. 21

q c. 18

q d. 17

q e. 15

q c. 3452

q d. 912

q e. 1112

q c. 7

q d. 6,5

q e. 35

4. À quel carré est égal 352 + 842 ? q a. 1192

q b. 1232

5. Que vaut T si 48 – 5T = 13 ? q a. 5

q b. 6

6. Je paie le total de 0,70 € + 2,60 € + 1,90 € en pièces de 20 cents uniquement. Combien me faut-il de pièces ? q a. 21 q b. 22 q c. 23

q d. 25

q e. 26

7. Quel est le prix de 750 g de viande à 12 € le kg ? q a. 9 €

q b. 8 €

q c. 7,50 €

q d. 9,50 €

q e. 10 € 0 0:0 4

Niveau 2 8. Quel est le Plus Grand Commun Diviseur de 792, 240 et 252 ? q a. 6

q b. 8

q c. 12

q d. 18

q e. 24

9. Le résultat du calcul (2 + 1/4) × 8/9 + (3/5)/6 est égal à : q a. 2/3 + 0,1

q b. 18,1

q c. 5,6

q d. 2,1

q e. 3/2 + 1/10

10. Le résultat du calcul : 2,7/0,75 + 3,2× 1,5 est égal à : q a. 3,6

q b. 4,8

q c. 5,9/2,25

q d. 4,2/3,95

q e. 8,4

11. Sachant que 3 572 = 76 × 47 quel est le quotient final de l’opération suivante : 90

(3 572 × 4)/47 ? q a. 764 q b. 76

q c. 4

q d. 256

q e. 304

Calcul mental rapide 9

12. Combien y a-t-il de centilitres dans un volume de 7 daL et 5 dL ? q a. 50,7

q b. 70,5

q c. 705

q d. 7 050

q e. 5 070

Exercices d’entraînement sans QCM Niveau 1

0 0:0 4

13. Calculer le prix de 250 autocollants à 18 euros la centaine. 14. Le périmètre d’un triangle est de 150 m. Le côté moyen mesure 10 m de moins

que le plus grand et 10 m de plus que le plus petit. Calculer la longueur des trois côtés.

Aptitude numérique

On calculera toujours de tête sans poser les opérations ni utiliser une calculatrice, mais on peut parfois écrire des modifications utiles d’énoncé ou des résultats intermédiaires.

15. Un champ a été payé 168 000 euros à raison de 140 000 euros l’hectare. Quelle est son aire en ares ?

16. Quel est le périmètre d’un carré de 196 m2 d’aire ? 17. Calculer le prix du kilogramme d’un savon de luxe vendu 175 euros les 25 kg. 18. On a jalonné le pourtour d’un carré en plantant 56 piquets espacés de 5 m chacun. Calculez le côté du carré.

19. Combien de décimètres cubes contient un tonneau que l’on a empli en y versant 15 seaux d’eau de 12 litres chacun ?

20. On estime que dans une chambre à coucher il faut au moins 25 mètres

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cubes d’air par personne. Une chambre destinée à recevoir un couple mesure 2,5 m × 5 m × 3,5 m. Répond-elle aux conditions ?

Niveau 2

0 0:0 6

21. Quel est le prix de 750 g de café à 1,9 euros le demi kilo ? 22. Le premier janvier étant un mardi, quel jour est le premier mars (année ordinaire non bissextile) ?

23. Une pendule retarde de 3 minutes par jour. On la met à l’heure aujourd’hui à

6 h du matin. Quelle heure marquera-t-elle demain quand il sera réellement 10 h du matin ?

24. Une horloge retarde de 2 minutes toutes les 6 heures. Quand l’avait-on mise à l’heure exacte si le dimanche à 13 h 05 min elle marquait 12 h 35 min ?

91

9 Calcul mental rapide

25. Calculer 292 + 312. 26. Une boîte cubique a 0,15 m d’arête. Quelle est la longueur totale de ses arêtes ?

Quelle est son aire latérale ? Quel est son volume ? Combien faudrait-il de cubes de 3 cm d’arête pour le remplir ?

27. Calculer 268 × 9 + 11 × 268. 28. Une auto met 5 h pour faire un trajet à la moyenne de 96 km/h. Si sa vitesse avait pu être plus élevée d’un quart, combien de temps aurait-elle mis ?

Niveau 3

0 0:1 0

29. On a vendu les 3/5 du vin contenu dans une barrique et il reste 48 litres de vin dedans. Quel est la contenance de la barrique pleine ?

30. Deux fûts contiennent ensemble 420 litres. L’un contient les 3/4 de l’autre. Quelle est la contenance de chaque fût ?

31. Quels sont les intérêts simples d’une somme de 12 400 euros placés à 4 % l’an pendant 15 mois ?

32. Calculer 8 × 374,7 × 125. 33. Un élève étourdi a multiplié un nombre par 68 au lieu de le multiplier par 62. Son résultat est trop élevé de 2 550. Quel était le nombre multiplié ?

34. Un père et son fils, se tenant par la main, parcourent ensemble 100 m. Le père a fait 125 pas. Le fils fait 8 pas quand son père en fait 5. Combien le fils a-t-il fait de pas ? Quelle est la longueur en centimètres du pas du fils ?

35. Une auto roulant sur un circuit privé à 144 km/h met 25 secondes d’un point à un autre. Quelle distance a-t-elle parcourue ?

36. Calculer 325 × 21. 37. Calculer 63 × 22. 38. Calculer 48 × 3,125. 39. Calculer 113 × 32 + 113 × 19 – 113. 40. Calculer x sachant que 9/7 = 36/x 41. Calculer x sachant que (– x)/(− 9) = 7 42. Dans la ville A, 3 familles sur 75 n’ont pas de téléphone portable. Dans une ville 92

B de 2 000 familles, la fréquence est la même. Combien de familles de la ville B n’ont pas de portable ?

Calcul mental rapide 9

43. Lors d’un contrôle routier, 19 voitures sur 95 ont dépassé la vitesse maximale

autorisée. Quelle est la fréquence des voitures respectant la vitesse limitée, ­exprimée en pourcentage ?

44. Les visiteurs de l’expo se succèdent régulièrement : 800 à l’heure. Combien de visiteurs se présentent aux guichets entre 10 h 10 et 11 h 55 ?

QCM de calcul mental rapide

Aptitude numérique

Corrigés des exercices

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Niveau 1 1.

Réponse a. 111 + 48 = 159 donc CLIX

2.

Réponse c. 2 – 3 + 2 – 5 – 2 + 6 peut être calculé en éliminant les compensations – 2 et + 2, puis en faisant le bilan positif 2 + 6 = 8, le bilan négatif – 2 – 6 = –8. Finalement tout se compense 8 – 8 = 0.

3.

Réponse d. Avant lundi 9 c’était jeudi 5, et 12 jours après ce dernier on sera le 17.

4.

Réponse d. Tout le monde a en tête le triangle rectangle de côtés 3, 4, 5 associés au théorème de ­Pythagore avec 32 +  42 =  52 et les triangles rectangles obtenus par proportionnalité comme celui de côtés 6, 8, 10, etc. Il peut être utile de se souvenir aussi du triangle rectangle de côtés 5, 12, 13 associés à 52 + 122 = 132 car 25 + 144 = 169. On a multiplié tous les côtés par 7 dans cet exercice pour obtenir 35, 84, 91.

5.

Réponse c. 48 – 13 = 5T donc 5T = 35 et T = 7.

6.

Réponse e. On obtient 5,20 €. Dans 1 € il y a 5 pièces de 0,20 cent. Ici on obtient 5 × 5 + 1 = 26 pièces.

7.

Réponse a. 750 g c’est les 3/4 d’un kg. Les 3/4 de 12 c’est 9.

Niveau 2 8.

Réponse c. Deux nombres sont proches : 240 et 252 ; leur différence est 12, et il est facile de voir qu’ils sont divisibles par 12 tous les deux car 240 = 12 × 20 et 252 = 12 × 21. Est-ce que

93

s

9 Calcul mental rapide

é

Réponse d. 2 + 1/4 = 9/4 ; 9/4 × 8/9 = 8/4 = 2. (3/5)/6 = 3/(5 × 6) = 3/30 = 1/10. 2 + 1/10 = 2,1.

G

10.

Réponse e. Comme 0,75 = 3/4 et comme diviser par 3/4 c’est multiplier par 4/3 on a : 2,7/0,75 = 2,7 × 4/3 = 0,9 × 4 = 3,6. Multiplier un nombre par 1,5 c’est lui ajouter sa moitié donc : 3,2 × 1,5 = 3,2 + 1,6 = 4,8. On obtient finalement 3,6 + 4,8 = 8,4.

11.

Réponse e. (76 × 47 × 4)/47 = 76 × 4 = 304.

R

12.

Réponse d. 1 daL = 10 L = 1 000 cL ; 1 dL = 0,1 L = 10 cL. 7 daL 5dL = (7 000 + 50) cL = 7 050 cL.

Exercices d’entraînement sans QCM

I

9.

R

792 est divisible par 12 ? Il est divisible par 4 car sa « fin » 92 l’est (92 = 4 × 23), et il est divisible par 3 car la somme de ses chiffres (7 + 9 + 2 = 18) l’est, donc il est divisible par 12. Le PGCD est donc 12 ou un multiple de 12. Ce ne peut être 24 car si 240 est divisible par 24 par contre 252 ne l’est pas. Le PGCD est 12.

C

O

Niveau 1

94

13.

18 × 250/100 = (18/100) × (1 000/4) = (18/4) × (1 000/100) = 4,5 × 10 = 45. Autre méthode : 18 × 2,5 = 18 × 2 + 18 × 0,5 = 36 + 9 = 45.

14.

Le périmètre vaut alors 3 fois le côté moyen. Celui-ci mesure 150/3 = 50 m. Les autres côtés font 40 m et 60 m.

15.

Le nombre d’hectares est 168/140 = 140/140 + 28/140 = 1 + 1/5 = 1 + 0,2 = 1,2. Comme 1 hectare = 100 ares, on trouve donc 120 a.

16.

La racine carrée de 196 est 14, donc le côté mesure 14 m et le périmètre vaut 4 × 14 = 56 m.

17. 18.

Prix du kg : 175/25 = 175/(100/4) = 175 × 4/100 = 700/100 = 7 euros.

19. 20.

15 × 12 = 15 × (10 + 2) = 150 + 30 = 180 litres = 180 dm3.

Pour avoir 56 piquets il faut 14 intervalles sur chaque côté (et 15 piquets par côté, ceux des coins sont comptés deux fois, on vérifie que 4 × 15 – 4 = 56). Le côté mesure : 5 × 14 = 70 m.

Le volume nécessaire pour deux est 25 × 2 = 50 m3. Le volume de la pièce est inférieur à 2,5 × 5 × 4 = 2,5 × 4 × 5 = 10 × 5 = 50 m3. En effet 3,5 est inférieur à 4. Pourquoi penser à prendre ce 4 à la place du 3,5 ? Tout simplement par attraction des calculs simples et « ronds » comme 2,5 × 4 = 10. Les associations d’idées de calculs de ce genre peuvent faire gagner beaucoup de temps. En conclusion de l’exercice, la pièce est trop petite en volume.

Calcul mental rapide 9

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21.

750 g = 3/4 kg. Le prix en euros est : (3/4) × (2 × 1, 9) = (3/2) × 1,9 = 1,9 + 0,95 = 2,85 €. On a utilisé la multiplication par 1,5 qui consiste à ajouter une moitié à l’unité.

22.

Janvier a 31 jours soit (4 × 7 + 3) ce qui donne un décalage de 3 jours entre les noms des premiers jours de janvier et de février. Si le premier jour de janvier est un mardi, les 8, 15, 22, 29 janvier sont aussi des mardis. Le 30 janvier est un mercredi, le 31 est un jeudi, et le premier février est un vendredi. On peut résumer par mardi + 3 = vendredi. Comme février compte 28 jours dans une année ordinaire, et comme 28 = 4 × 7 il n’y a pas de décalage entre les noms des jours de février et de mars. Le premier mars est aussi un vendredi.

23.

Entre 6 h du matin et 10 h du matin le lendemain, il y a 4 + 24 = 28 heures. Un retard de 3 minutes par 24 heures devient en 28 heures un retard de : 3 × 28/24 = 3 × 7/6 = 3/6 × 7 = 1/2 × 7 = 3,5 minutes. La pendule marquera 10 h – 3,5 min = 9 h 56 min 30 s.

24.

13 h 05 min – 12 h 35 min = 30 min. L’horloge a pris 30 min de retard soit 15 périodes de 2 minutes. 15 × 6 = 90 heures soit 72 + 18 = 3 × 24 + 18. Le décalage est donc de 3 jours et 18 h. 3 jours avant dimanche c’est jeudi. 18 h avant jeudi 13 h 05 min c’est mercredi, et comme 18 = 24 – 6, il est 13 h 05 min + 6 h, soit 19 h 05 min.

25.

292 + 312 = (30 – 1)2 + (30 + 1)2 = 900 – 2 × 30 + 1 + 900 + 2 × 30 + 1 = 1 802.

26.

Il y a 12 arêtes, leur longueur totale est : 0,15 × 12 = 1,5 + 0,3 = 1,8 m. L’aire latérale vaut 4 × 0,152 = 4 × 0,0225 = 0,09 m2. Le volume est : 0,153 = 0,0225 × 0,15 = 0,002 25 + 0,001 125 = 0,003 375 m3. On met 5 cubes de 3 cm de côté pour obtenir 15 cm de côté. Le nombre de petits cubes pour remplir le grand est 53 = 125.

27.

268 × 9 + 11 × 268 = 268 × (9 + 11) = 268 × 20 = 5 360.

28.

Augmenter d’un quart cela fait passer de 100 à 125, donc c’est multiplier par 1,25 ou multiplier par 5/4. Comme t = d/v le temps est inversement proportionnel à la vitesse. Si la vitesse est multipliée par 5/4, le temps est multiplié par 4/5. Quand la vitesse est plus grande, le temps mis est plus petit. 5 h × 4/5 = 4 h : l’auto mettra 4 heures.

Aptitude numérique

Niveau 2

Niveau 3 29.

En vendant 3/5 il reste 2/5, et cela représente 48 litres donc 1/5 c’est 24 litres et la contenance de la barrique est 24 × 5 = 120 litres.

30.

Si C est la contenance du grand fût alors 3/4 C est celle du petit, et C + 3/4 C = 7/4 C est la contenance totale. On a 7/4 C = 420 donc C = 420 × 4/7 = 420/7 × 4 = 60 × 4 = 240. Le grand fût contient 240 litres. Le petit fût contient : 3/4 × 240 L = 240/4 × 3 = 60 × 3 = 180 litres.

95

31.

15 mois c’est 15/12e d’année soit 5 / 4 d’année. Les intérêts sont de : 12 400 × 5/4 × 4/100 = 124 × 5 = 620 euros.

32.

8 × 374,7 × 125 = 374,7 × 8 × 125 = 374,7 × 1 000 = 374 700.

33.

Si le nombre a été multiplié par 68 au lieu de 62 il a été comptabilisé 6 fois de trop (68 – 62 =  6). Cela représente 2  550, donc le nombre multiplié vaut  :  2  550/6 = (2 400 + 150)/6 = 400 + 25 = 425.

34.

Le nombre de pas du fils est : 125 × 8/5 = 125/5 × 8 = 25 × 8 = 200. La longueur du pas du fils en mètres est 100/200 = 1/2, donc cela fait 50 cm.

35.

En une minute l’auto fait : 144/60 = (120 + 24)/60 = 2,4 km soit 2 400 m. En une seconde elle fait : 2 400/60 = 40 m. En 25 secondes elle fait : 40 × 25 = 1 000 m, soit 1 km. On sait qu’à 60 km/h on fait 1 km par minute, donc deux fois plus vite, à 120 km/h, on fait 1 km en deux fois moins de temps soit 30 secondes. On devait donc s’attendre avec une vitesse un peu supérieure, 144 km/h et un temps un peu plus court, 25 secondes, à un résultat voisin de celui qu’on trouve : 1 km.

36.

325 × 21 = 325 × (20 + 1) = 6 500 + 325 = 6 825.

37.

63 × 22 = 63 × 11 × 2 = 693 × 2 = 1 386.

38.

48 × 3,125 = 48 × (3 + 0,125) = 48 × (3 + 1/8) = 48 × 25/8 = 48/8 × 25 = 6 × 25 = 150.

39.

113 × 32 + 113 × 19 – 113 × 1 = 113 × (32 + 19 – 1) = 113 × (51 – 1) = 113 × 50 = 5 650.

40.

9/7 = 36/x d’où, comme 36 = 9 × 4, on a x = 7 × 4 soit x = 28.

41.

(− x)/(− 9) = 7 donc x/9 = 7 et x = 7 × 9 = 63.

42.

Il y a proportionnalité de résultats entre les 2 villes.

C

O

R

R

I

G

é

s

9 Calcul mental rapide

A

B

Nombre de familles

75

2 000

Nombre de familles sans portable

3

?

Le nombre de familles sans portable dans la ville B est 3 × 2 000/75 = 80. On peut remarquer que 3/75 = 1/25 et diviser 2 000 par 25. Diviser par 25 peut se faire en divisant par 100 puis en multipliant par 4. Ainsi, on calcule 2 000/100 = 20, puis 20 × 4 = 80.

96

43.

19 sur 95, c’est 1 sur 5, soit 20 % de délinquants. Il reste 80 % de gens respectueux de la vitesse autorisée.

44.

Entre 10 h 10 et 11 h 55, il y a 1 h 45 min, soit 1 h 3/4. Le débit de visiteurs est de 800 à l’heure. En 3/4 d’heure, cela fait 600 visiteurs et en 1 h 3/4 cela fait 800 + 600 = 1 400 visiteurs.

10

Équations

Voici une série de 10 exercices à faire en 10 minutes pour évaluer votre niveau, puis vous donner un objectif de travail…

1. Si 3x − 10 = 34 que vaut x ?   a. 44

  b. 14 + 2/3   c. 41

  d. − 0,8   e. 11 + 1/3

Aptitude numérique

Testez-vous

2. La somme de r et p est le double de s, et p est le double de la somme de r et de s diminué de 36. Que vaut r ?

3. Sachant que 1/2 − 1/4 + 1/8 − 1/16 = a/16 que vaut a ? 4. Par quel chiffre faut-il remplacer l’étoile pour que l’égalité ci-dessous soit juste ?

2** 2 = **5 5

5. À 36 ans, Sandrine connaît Hervé depuis 10 ans. À partir de quel âge aura-telle connu Hervé durant plus de la moitié de sa vie ?

6. En fonction de x, les deux dimensions d’un rectangle sont (2x + 3) et (3x +1). Combien vaut son périmètre si ce rectangle est un carré ?

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  a. 8

  b. 14

  c. 16

  d. 28

  e. 32

7. Demain, Marco aura terminé de lire un livre de 320 pages en 4 jours. Aujourd’hui

il a lu 20 pages de plus qu’avant-hier, mais 5 pages de moins qu’hier. Demain il lui restera 50 pages à lire ; combien Marco a-t-il lu de pages aujourd’hui ?   a. 35

  b. 50

  c. 80

  d. 95

  e. 100

8. La somme de deux entiers naturels est 266 et leur quotient est 13. Quel est le plus petit de ces deux nombres ?

9. Trois nombres x, y, z vérifient y − z = 43 et z = 19 + x. Que vaut (y − x) ? 10. Si l’on prend un certain nombre et qu’on le multiplie par le double de son inverse, alors le résultat obtenu est le nombre de départ ! Que vaut ce nombre ?

97

10 Équations

Solutions

1. 2. 3. 4. 5.

Bonne réponse : b. r = 24. a = 5. La réponse est 6. Quand Sandrine aura 52 ans, elle connaîtra Hervé 26 ans.

6. 7. 8. 9. 10.

Bonne réponse : d. Bonne réponse : d. Le plus petit de ces deux nombres est 19. y −x = 62. Ce nombre vaut 2.

Quel est votre niveau ? Notez-vous : un point par bonne réponse. Si vous obtenez : l moins de 3 points sur 10 : il vous faudra travailler intensément ce chapitre ; l entre 4 et 8 points, il vous faudra réviser et approfondir ce chapitre ; l 9 ou 10 points, vous pourrez passer ce chapitre en première étape de votre préparation générale. Résoudre une équation d'inconnue x, c'est trouver par quel(s) nombre(s) il faut remplacer la lettre x dans une phrase mathématique contenant une égalité, pour obtenir que celle-ci soit vraie. Les nombre(s) est(sont) alors appelé(s) solution(s) de l'équation. Exemple

Soit l’équation 3x + 5 = 2x + 7. Le nombre 2 est solution car si on remplace x par 2 on obtient : 3 × (2) + 5 = 2 × (2) + 7, ce qui est vrai. Par contre, si on remplace x par 1 on obtient 3 + 5 = 2 + 7 ce qui est une phrase fausse car 8 n’est pas égal à 9 ; le nombre 1 n’est donc pas une solu­tion de l’équation.

Il y a des équations qui n’ont pas de solution !

Exemple

0x = 2 n’a pas de solution car pour toute valeur mise à la place de x, le calcul de 0x donnera toujours 0 et jamais 2.

Il y a des équations qui ont une infinité de solutions !

98

Équations 10 Exemple

Ne confondez pas les deux questions suivantes : 1) L’égalité 3x + 5 = 2x + 7 est-elle vraie ? 2) Résoudre l’équation 3x + 5 = 2x + 7. Il convient de répondre à la première question que l’égalité n’est pas vraie puisque, par exemple, quand x vaut 1 on trouve 8 dans le membre de gauche, mais 9 dans le membre de droite de l’égalité. Il convient de répondre à la deuxième question que la solution de l’équa­tion est 2.

Comment résoudre une équation ?

Aptitude numérique

0x = 0 admet n’importe quel nombre x comme solution, car 0x fera toujours 0.

On la transforme par étape, pour aboutir à une équation de la forme x = a ou 0x = a (où a est un nombre concret). Mais il faut être bien sûr qu’à chaque étape, les équations obtenues aient la (les) même(s) solution(s). Pour cela il est possible : l de simplifier chacun des membres de l’équation ; l d’ajouter ou de soustraire un même nombre aux deux membres de l’équation ; l de multiplier ou diviser par un même nombre non nul les deux membres de l’équation.

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Exemple

•• 8x – 6 = 5x + 2 et 3x = 8 ont les mêmes solutions car on passe de la pre­mière équation à la seconde en ajoutant 6 aux deux membres et en enlevant (5x) aux deux membres : 8x – 6 + 6 – 5x = 5x + 2 + 6 – 5x   revient à avoir 3x = 8. •• 7x = 4 et x = 4 ont la même solution car on passe de la première à la seconde en 7 divisant les deux membres par 7. 7x = 4  revient à x = 4. 7 7 7 Exercice 1

Un exemple de résolution d’équation Résoudre : 4(5x – 2) – 3x + 1 = 2 – (x – 3).

99

10 Équations Solution • On simplifie au maximum chacun des membres après avoir enlevé les paren­ thèses : 20x – 8 – 3x + 1 = 2 – x + 3 puis 17x – 7 = 5 – x. • On élimine le terme contenant l’inconnue dans un des deux membres en ajou­ tant son opposé dans chaque membre : 17x – 7 + x = 5 – x + x puis 18x – 7 = 5. • On élimine de même le terme ne contenant pas l’inconnue dans l’autre membre : 18x – 7 + 7 = 5 + 7 puis 18x = 12. • On divise chaque membre par le coefficient de l’inconnue (s’il n’est pas nul) : 18x = 12 puis x = 12 . 18 18 18 • On simplifie éventuellement et on conclut : La solution est x = 2. x = 12 donc x = 2. 3 3 18

C omment mettre en équation un problème pour pouvoir le résoudre ? Exemple

Dans ma bibliothèque, il y a plusieurs étagères de même taille. Si je range 15 livres sur chaque étagère il restera de la place pour les prochains 10 livres que j’achèterai. Si je range 13 livres par étagère je n’ai pas rangé tous mes livres : il m’en reste 10 en main ! Combien y-a-t-il d’étagères ? l

l

l

l

100

l

Commençons par choisir une inconnue. C’est le plus souvent le nombre cherché, donc ici appelons x le nombre d’étagères. N’oubliez pas de préciser les conditions concernant l’inconnue. Ici, c’est un nombre entier positif. Traduisons les informations de l’énoncé en fonction de x (à l’aide de x) : – le nombre de livres est 15x ; – la contenance des étagères est 15x + 10 ; – 13x est égal au nombre de livres diminué de 10. Trouvons une équation : 13x = (15x) – 10 Résolvons l’équation : 13x + 10 – 13x = 15x – 10 + 10 – 13x puis 10 = 2x ; d’où x = 10 soit x = 5. 2 Concluons : il y a 5 étagères.

Équations 10 On peut vérifier le résultat en revenant à l’énoncé. Il y a 15 × 5 = 75 livres ; si on en met 13 sur chaque étagère cela donne 65 livres, il en reste donc 10 non placés.

Équations-produits Si un produit de deux facteurs est nul, alors un des facteurs au moins est nul. Ou encore : quels que soient les nombres a et b, si ab = 0 alors a = 0 ou b = 0. Exemple

Aptitude numérique

On peut parfois constater que des données n’ont pas servi (ici : qu’il restait de la place pour 10 livres quand on en mettait 15 par étagère ; ceci servirait si on demandait combien une étagère peut contenir de livres au maximum, la (75 + 10) réponse serait alors = 17). Trier les informations utiles et ne pas tenir 5 compte des informations superflues fait partie du jeu…

Résoudre l’équation : (3x – 12)(x + 5) = 0. Si ce produit est nul c’est que 3x – 12 = 0 ou x + 5 = 0. On obtient facilement les deux solutions : 4 et – 5.

Systèmes de deux équations à deux inconnues Définition Une équation du premier degré à deux inconnues x et y est de la forme : ax + by = c où a, b, et c sont des nombres donnés. Exemple

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3x – 2y = 7 est une équation à deux inconnues. Un système de deux équations du premier degré à deux inconnues x et y est de la forme : {ax + by = c et a′x + b′y = c′} avec a, b, c, a′, b′, et c′ nombres donnés. Exemple

{3x – 2y = 7 et x + 2y = 1} est un système de deux équations à deux inconnues. Résoudre un système de deux équations à deux inconnues, c’est trouver le (ou les) couple(s) des valeurs (x ; y) pour lequel (ou lesquels) les deux équa­tions sont vérifiées simultanément.

101

10 Équations Exemple

Le couple (2 ;– 0,5) est solution du système précédent car : d’une part : 3 × 2 – 2 × (– 0,5) = 6 + 1 = 7, et d’autre part : 2 + 2 × (– 0,5) = 2 – 1 = 1, sont deux suites d’égalités vraies.

Dans un couple de nombres (x ; y), l’ordre des termes est important. Par exemple dans le système précédent, contrairement au couple (2 ; – 0,5), le couple (– 0,5 ; 2) n’est pas solution. En effet, dès la première équation, il y a un souci : 3 × (– 0,5) – 2 × (2) = – 1,5 + 4 = 2,5 ce qui n’est pas égal à 7.

Comment résoudre un système de deux équations à deux inconnues ? l

Première méthode : combiner des lignes après les avoir éventuellement mul­ tipliées par certains coefficients, de façon à éliminer une des deux inconnues soit par addition, soit par soustraction de deux lignes. Exemple

Dans le système {3x – 2y = 7 et x + 2y = 1}, si on ajoute membre à membre les deux lignes, les 2y vont s’annuler : on obtient 3x – 2y + x + 2y = 7 + 1, puis 4x = 8 et x = 8 soit x = 2. 4 Si on multiplie la deuxième ligne par 3 on obtient 3(x + 2y) = 3(1) puis 3x + 6y = 3. Ensuite, on soustrait de ce qu’on vient d’obtenir la première ligne, membre à membre : (3x + 6y) – (3x – 2y) = 3 – 7 ce qui se simplifie en 8y = – 4 et y = – 4 soit y = – 0,5. 8 Le couple (2 ; – 0,5) est la solution du système. l

Deuxième méthode : on substitue (remplace) une inconnue par son expression en fonction de l’autre, de façon à obtenir une équation à une seule inconnue. Exemple

102

Dans le système précédent, on tire x de la deuxième ligne : x + 2y = 1 donc x = 1 – 2y On remplace x par cette expression contenant y dans la première ligne : 3x – 2y = 7 devient 3(1 – 2y) – 2y = 7 puis 3 – 6y – 2y = 7 et 3 – 8y = 7 3 – 7 = 8y d’où – 4 = 8y et y = – 4 soit y = – 0,5 8 On remplace y par sa valeur dans x = 1 – 2y et on trouve x = 1 – 2(– 0,5) = 1 + 1 = 2. Le couple solution est encore (2 ; – 0,5).

Équations 10

Exercices d’entraînement 0 0:1 5

Niveau 1 1. Dans chacun des cas suivants, trouver la valeur de la lettre « a » :

Aptitude numérique

q a. – 3 + a = – 7  q b. 4 = 12 – a q c. – a – 13 = 3

2. Dans chacun des cas suivants, trouver la valeur de la lettre « x » : q a. 7x = 91

q b. 6x = – 18 q c. 2,1x = 63 q d. – 2x = 8,2

3. Résoudre les équations suivantes : a. 3x = 5x – 10    b. 5x + 6 – x = 4x + 1    c. 3x + 7 = 2x + 8 + x – 1

4. Résoudre : 6x – (5 – 3x) = 13. 5. Résoudre :  x  +  3x  = 7 . 2

5

10

6. Un cycliste et son vélo pèsent 98 kg ; le cycliste pèse 90 kg de plus que son vélo. Quel est le poids du vélo ?

7. À la terrasse du café on paie :

– deux cafés et une menthe à l’eau : 3,20 euros ; – trois cafés et trois menthes à l’eau : 6,60 euros. Quel est le prix d’une menthe à l’eau ?

8. Résoudre :  3 x = 5 . 4

7

9. Trouver les nombres dont le carré est égal au triple. © Dunod - Toute reproduction non autorisée est un délit.

10. Résoudre : (x2 – 25)(x + 2) = 0. 0 0:2 5

Niveau 2

11. On remplit deux réservoirs avec 228 litres d’eau. Sachant que l’un des deux réser­ voirs contient le triple de l’autre, quelle est la capacité du plus petit des deux ? q a. 22,8 L

q b. 38 L

q c. 57 L

q d. 76 L

q e. 114 L

12. Un homme de 48 ans dit à son fils d’âge « x » années : « dans six ans, je serai deux fois plus âgé que toi ». Laquelle ou lesquelles des réponses suivantes sont justes ?

q a. L’équation du problème admet deux solutions, l’une positive, l’autre négative qui n’a pas de sens dans le contexte du problème. q b. L’équation du problème peut s’écrire 2x = 48 + 6. q c. L’âge du fils est 21 ans.

103

10 Équations q d. Il manque une information pour répondre. q e. Le système suivant {y = 2x et y = 48 – 6} peut traduire la situation du problème.

13. Blanche Neige partage entre les 7 nains rangés par taille sa récolte de 77 champi­

gnons. Elle sert d’abord le plus petit, et ensuite chaque nain reçoit un champignon de plus que le nain précédent. Combien de champignons aura le plus petit des 7 nains ? q a. 7

q b. 8

q c. 9

q d. 10

q e. 11

14. J’ai 65 bonbons, j’en mange un et je distribue les autres équitablement entre tous mes copains. Chacun en a alors un nombre égal au nombre de mes copains. Combien sommes-nous ? q a. 7

q b. 8

q c. 9

q d. 10

q e. 11

15. La moitié du nombre « a », diminuée de 2, dépasse d’une unité le tiers du nombre « a ». Que vaut « a » ? q a. 12

q b. 16

q c. 24

q d. 18

q e. 36

16. Lorsqu’elle met au monde son quatrième enfant, une mère a trois fois la somme des

âges de ses trois premiers enfants. Elle se dit alors que dans huit ans son âge sera la somme de ceux de ses quatre enfants. Quel est son âge actuel ? q a. 36 ans

q b. 35 ans

q c. 33 ans

q d. 30 ans

q e. 27 ans

17. La règle de construction de l’empilement de nombres ci-dessous est que la case qui repose sur deux autres porte la somme des nombres figurant sur ces deux dernières. Que vaut x ? 76

7

q a. 6 autre nombre

q b. 11

x

x

3

q c. 19

q d. 33

q e. un

18. Quinze jeunes filles viennent de quitter la salle de bal : il reste maintenant deux

fois plus de danseurs que de danseuses ; 45 garçons s’en vont alors et il reste cinq  jeunes filles pour chaque jeune homme. Quel était le nombre initial de jeunes filles ?

q a. 30 autre nombre

q b. 40

q c. 20

q d. 50

q e. un

19. On plie un fil de fer de 58 cm de long, de façon à obtenir le dessin d’une flèche symétrique.

104

Équations 10 f+7

f f+4

La valeur de « f » en cm est : q a. 17 q b. 5 4 autre nombre

q c. 6

q d. 41 7

q e.  un

20. Dans un certain lycée, il y a trois fois plus d’élèves garçons que d’élèves filles, et neuf fois plus d’élèves filles que de professeurs. Si on appelle g et f les nombres d’élèves garçons et filles, et p le nombre de professeurs, alors le nombre total de ces trois types de personnes est donné par l’expression : q a. 31 g q b. 37 g q c. 13 f q d. 37 f q e. 37 p 27 27

Aptitude numérique

f+1

Corrigés des exercices

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Niveau 1 1.

a. – 3 + a = – 7 donc a = – 7 + 3 = – 4. b. 4 = 12 – a donc a = 12 – 4 = 8. c. – a – 13 = 3 donc – 13 – 3 = a et a = – 16.

2.

a. 7x = 91 donc x = = 13. b. 6x = – 18 donc x = – 18 = – 3 ; 6 c. 2,1x = 63 donc x = 63 = 30. 2,1 d. – 2x = 8,2 donc x = 8,2 = – 4,1. (–2) a. 3x = 5x – 10 donc 10 = 2x et x = 5 ; b. 5x + 6 – x = 4x + 1 donc 4x – 4x = 1 – 6, puis 0x = – 5 ce qui est impossible, il n’y a pas de solution. c. 3x + 7 = 2x + 8 + x – 1 donc 3x + 7 = 3x + 7 ce qui est toujours vérifié : tout nombre est solution.

3.

105

4.

6x – (5 – 3x) = 13 donc 6x – 5 + 3x = 13, puis 9x = 13 + 5, 9x = 18 et x = 2.

5.

 2  +  5  = 10 ; on peut tout mettre au dénominateur 10 ou multiplier par 10 les deux

x

3x

7

6.

7.

Soit m le prix d’une menthe et c le prix d’un café, on obtient le système : {2c + m = 3,2 ; 3c + 3m = 6,6} Dans la deuxième ligne, on divise par 3 et on obtient : c + m = 2,2. Si l’on soustrait membre à membre cette dernière égalité de la première ligne on trouve directement : c = 3,2 – 2,2 donc c = 1. Ensuite : m = 2,2 – c = 2,2 – 1 = 1,2 La menthe coûte 1,20 euro.

8.

Diviser par la fraction  3  c’est multiplier par son inverse  4 . 4 3 3 x = 5 donc x = 5 × 4 = 20.  4 7  7   3  21 Soit x un tel nombre, alors x2 = 3x donc x2 – 3x = 0 et en factorisant x(x – 3) = 0. Un produit est nul quand un des facteurs est nul. On a deux solutions : soit x = 0, soit x – 3 = 0 qui donne x = 3. Conclusion : 0 et 3 sont les deux solutions.

R

I

é

membres. On obtient : 5x + 6x = 7, puis 11x = 7 et x = 7 . 11 Soit x le poids du vélo, le cycliste pèse (x + 90), et à eux deux le poids est : x + (x + 90) = 2x + 90 ce qui vaut 98 ; on en tire 2x = 8 et x = 4. Le vélo pèse 4 kg. Il ne fallait pas aller trop vite et répondre 98 – 90 = 8, vous ne l’avez pas fait, j’espère !

G

s

10 Équations

O

R

9. 10.

Niveau 2

C

11.

12.

106

On peut factoriser l’énoncé : (x2 – 25)(x + 2) = 0 donne (x – 5)(x + 5)(x + 2) = 0. Il y a trois facteurs qui peuvent être nuls : d’où les trois solutions x = 5, x = – 5, et x = – 2.

Réponse c. Soit x la capacité en litres du petit réservoir et donc (3x) celle du grand, on obtient : 228 x + 3x = 4x = 228 donc x = = 57 litres. 4 Réponse c. Dans six ans on aura : 48 + 6 = 2(x + 6) d’où 54 – 12 = 2x, puis 42 = 2x et x = 21. Attention, la proposition e. donne aussi x = 21 mais elle ne traduit pas l’exercice.

13.

Réponse b. Soit x le plus petit nombre distribué, on lui ajoute (x + 1), (x + 2), (x + 3), (x + 4), (x + 5), (x + 6) et on totalise les sept valeurs : 7x + 21 = 77 d’où 7x = 56 et x = 8. Le plus petit des nains aura huit champignons.

14.

Réponse c. Il reste 65 – 1 = 64 bonbons à distribuer. Soit n le nombre de copains, on traduit l’énoncé par 64 = n2 donc n = 8. J’ai 8 copains, mais en me comptant nous sommes 9.

15.

Réponse d.

Équations 10

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16.

Réponse a. Si « S » est la somme des âges des trois premiers enfants, alors la mère a « 3S » années. Dans 8 ans, chacun des quatre enfants aura 8 ans de plus, et la mère aura aussi 8 ans de plus ; on obtient : 3S + 8 = (S + 4 × 8) d’où 2S = 24 et S = 12. La mère est âgée de : 12 × 3 = 36 ans.

17.

Réponse b. Le premier étage donne de gauche à droite les cases (7 + x), (2x), (x + 3). Le deuxième étage donne les deux cases (7 + 3x), (3x + 3), et l’étage supérieur devrait donner (6x + 10) ; comme il faut obtenir 76, on a : 6x + 10 = 76 donc 6x = 66 et x = 11.

18.

Réponse b. Soit f le nombre initial de filles et g celui des garçons, on a g = 2(f – 15) ; ensuite 5(g – 45) = f – 15, d’où un système de deux équations à deux inconnues : {g – 2f = – 30 ; 5g – f = 210}. La deuxième ligne donne : f = 5g – 210 qu’on reporte dans la première ligne pour obtenir : g – 10g + 420 = – 30 et 450 = 9g d’où g = 50 puis f = 250 – 210 = 40.

19.

Réponse b. On a : 2(f + 7) + 2f + 2(f + 4) + (f + 1) = 58, d’où 7f = 35 et f = 5.

20.

Réponses b. et e. On traduit l’énoncé par {g = 3f ; f = 9p} ; on obtient g = 27 p, et : f + g + p = 9p + 27p + p = 37p donc la réponse e. est bonne. Mais on a aussi p = g donc la réponse 37 g est juste également. 27 27

Aptitude numérique

a – 2 = a + 1 ; en multipliant par 6 les deux membres, on se débarrasse des dénomi­ 3 2 nateurs et on obtient : 3a – 12 = 2a + 6 d’où a = 18.

107

11 Dénombrements Testez-vous Voici une série de 10 exercices à faire en 10 minutes pour évaluer votre niveau, puis vous donner un objectif de travail…

1. Combien d’entiers entre 100 et 1 000 ont 5 comme chiffre des dizaines ? 2. Dans un théâtre, le nombre de façons différentes de placer 10 personnes sur une rangée de 10 sièges est plus proche de quelle valeur ?   a. 109   d. 20 000 

  b. 40 000 000   e. 9 000

  c. 3 600 000

3. Les nombres 71, 73, 79 sont premiers. Combien le produit 71 × 73 × 79 a-t-il de diviseurs ?

4. Ethan a 200 morceaux de chocolat. Il coupe 60 % d’entre eux en quatre morceaux. Combien a-t-il de morceaux en plus maintenant ?

5. Que vaut la somme de tous les chiffres de tous les nombres de 1 à 100 ? 6. Quand les neuf pompiers ont fait demi-tour, quel est devenu le rang de celui qui était sixième ?

7. Dans le rang des élèves, Yves était le dix-septième et Pascal le deuxième. Combien y avait-il de camarades entre eux ?

8. Gary est né le 22 janvier 2012. Son 40e jour tombera à quelle date ? 9. La base d’une pyramide régulière a 2 015 côtés. Quelle est la différence entre le nombre d’arêtes de la pyramide et son nombre de faces ?

10. Quel est le chiffre des millièmes dans l’écriture décimale du quotient de 72 par 64 ?

108

Dénombrements 11

Solutions Il y a 90 nombres. Bonne réponse : c. 8 facteurs. 360. 901. Le 6e devient 4e.

7. 8. 9. 10.

14 camarades. N.B. 2012 est bissextile  ! Le 1er  mars 2012 sera son 40e jour. La différence demandée est 2 014. Le chiffre des millièmes est 5.

Quel est votre niveau ? Notez-vous : un point par bonne réponse. Si vous obtenez : l moins de 3 points sur 10 : il vous faudra travailler intensément ce chapitre ; l entre 4 et 8 points, il vous faudra réviser et approfondir ce chapitre ; l 9 ou 10 points, vous pourrez passer ce chapitre en première étape de votre préparation générale.

Aptitude numérique

1. 2. 3. 4. 5. 6.

Les piquets et les intervalles Exemple

Vous bordez votre jardin donnant sur la rue, d’une longueur de 20 mètres, par un grillage accroché à des piquets séparés d’un mètre chacun. Combien de piquets vous seront-ils nécessaires ? Il y aura 20 intervalles de 1 mètre, mais 21 piquets.

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Règle Règle Il y a toujours un piquet de plus que le nombre d’intervalles. Faites un dessin pour vérifier.

Les restes possibles dans une division Si on divise par 14, le reste peut prendre toute valeur de 0 à 13. Règle Règle Si le diviseur est un nombre « d », le reste peut prendre toutes les valeurs de 0 à (d – 1).

109

11 Dénombrements

La course Exemple

Il y a 7 concurrents, combien d’ordres d’arrivée différents peut-il y avoir ? Pour le premier, il y a 7 choix possibles, mais pour le deuxième il n’y en a que 6, pour le troisième 5, etc. Le nombre de classements différents s’obtient en mul­tipliant les nombres de choix différents pour chaque place, ici : 7 × 6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 5 040. Il y a 5 040 classements différents. Ce nombre s’appelle factorielle 7, et se note « 7 ! ». Pour comprendre pourquoi il faut multiplier les choix, on peut imaginer les ramifications d’un arbre : 7 branches principales correspondant à la première place, depuis lesquelles partent, de chacune des 7, cette fois-ci 6 branches secondaires, ce qui donne déjà 7 × 6 = 42 chemins différents sur l’arbre, et ainsi de suite. … … … … …

…

…

7

… … … …

… … … … ×

6

×

5

×

… … … 4

×

… … 3

×

2

×

1

Le tiercé Exemple

Dans une course de 7 chevaux combien de tiercés différents dans l’ordre peut-on obtenir ? Il suffit cette fois de multiplier 7 par 6 et par 5, car les trois premières places seulement nous intéressent. On trouve 7 × 6 × 5 = 210 tiercés différents dans l’ordre. Ce nombre s’appelle le nombre d’arrangements de 3 parmi 7. À noter que le classement ABC n’est pas le même que les classements ACB, BAC, BCA, CAB, CBA, et donc qu’avec trois chevaux on a 6 (soit 3 × 2 × 1) tiercés dans l’ordre différents.

Toujours le tiercé

110

Si l’on veut gagner, que ce soit dans l’ordre ou le désordre, on s’intéresse aux 3 chevaux qui finissent dans les 3 premiers, sans s’inquiéter du classement entre eux. On dit qu’on cherche le nombre de combinaisons de 3 chevaux parmi 7. Comme les situations ABC, ACB, BAC, BCA, CAB, CBA ne représentent qu’une seule et même combinaison, il faut diviser le nombre d’arrangements par 6, donc on trouve 210 = 35 combinaisons. 6

Dénombrements 11 Règle Règle

Le QCM Exemple

Il comporte 5 questions proposant chacune 2 réponses au choix, l’une vraie (V) l’autre fausse (F). Combien y a-t-il de façons différentes de remplir le questionnaire ?

Aptitude numérique

•• Le nombre d’arrangements de « p objets parmi n » s’obtient par la multiplication : n (n – 1) (n – 2) … (n – p + 1), qui comprend p facteurs consécutifs diminuant à partir du premier qui est n ; •• Le nombre de combinaisons de « p objets parmi n » s’obtient en calculant le quotient du nombre précédent par factorielle p soit : (n)(n − 1)(n − 2) × ... × (n − p + 1) (p)(p − 1(p − 2) × ... × (2)(1)

Chaque question offre 2 réponses différentes, avec 2 questions : il y a 2 × 2 = 4  façons différentes de remplir le questionnaire, et vous pouvez obtenir VV, VF, FV, FF. Vous pouvez aussi faire un dessin d’arbre des possibilités pour voir les bran­ches se diviser et comprendre pourquoi il faut multiplier par 2 à chaque fois qu’on rajoute un étage à l’arbre. Pour 5 questions, il y aura : 2 × 2 × 2 × 2 × 2 = 32 réponses possibles soit 2 à la puissance 5. Pour un questionnaire de 10 questions à deux choix chacune, il y aura 2 puissance 10 soit 1 024 réponses différentes. Si le questionnaire propose 3 réponses à chacune des 10 questions, c’est 3 à la puissance 10 que vaudra le nombre de façons différentes de remplir le ques­tionnaire.

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Les gants Exemple

Vous en avez mélangé 4 paires identiques dans un tiroir, et vous voulez en sortir une malgré une panne d’électricité qui vous laisse dans l’obscurité. Combien vous faut-il sortir de gants pour être sûr d’avoir une paire correcte ? Si vous n’avez pas de chance, vous pouvez tirer d’abord 4 gants droits par exemple et n’avoir pas encore de paire correcte. Heureusement, au cinquième gant vous ne pouvez tirer qu’un gant gauche, et vous aurez de quoi faire une paire…

111

11 Dénombrements

Les diviseurs Exemple

Combien de fois le produit des 53 premiers entiers, de 1 à 53, peut-il être divisé par 5 ? (C’est-à-dire : si on divise par 5 le nombre, puis son quotient par 5, puis le quotient du quotient par 5, etc., quel est le nombre maximum de divisions par 5 qu’on peut faire, qui tomberont justes et donneront un quotient entier ?) Les nombres divisibles par 5 se finissent par 5 ou 0. On prête donc attention dans le produit aux nombres 5, 10, 15, 20, 25, 30, 35, 40, 45, 50. Ce sont les seuls qui permettront une division par 5 du produit proposé. Attention parmi eux il y en a huit qui sont divisibles par 5 une seule fois : 5, 10, 15, 20, 30, 35, 40, 45, mais il y en a deux qui sont divisibles par 5 deux fois : 25 et 50. Finalement le nombre possible de divisions par 5 du produit est : 8 + 2 × 2 = 12.

Les poignées de mains Exemple

5 personnes se rencontrent et se serrent la main deux à deux. Combien y a-t-il de poignées de mains échangées ? La première personne serre 4 mains différentes, la deuxième en serre 3 nou­velles, la troisième en serre 2 nouvelles, la quatrième une autre, mais la cin­quième personne a déjà été comptabilisée dans toutes les poignées de mains échangées soit un total de : 4 + 3 + 2 + 1 = 10.

La somme des n premiers nombres entiers Elle est donnée par la formule : n(n + 1) 2 Exemple

La somme des cent premiers nombres est : 1 + 2 + 3 + … + 99 + 100 = 100 × 101 = 5 050 2 Cette somme est facile à retrouver, et cette astuce est plus importante à retenir que la formule citée plus haut. Imaginez la somme (S) écrite sur deux lignes consécutives, une fois à l’envers, une fois à l’endroit : S = 1 + 2 + 3 + … + 98 + 99 + 100 S = 100 + 99 + 98 + …+ 3 + 2 + 1 112

Dénombrements 11 Additionnez membre à membre les deux lignes, en remarquant qu’on peut faire cent additions verticales de deux nombres qui donnent toutes 101 (comme 100 + 1, 99 + 2, 98 + 3, etc.), il vient : 2 S = 101 × 100 donc S = 100 × 101 2

Les quotients dont l’écriture est illimitée périodique Quel est le 2 007e chiffre après la virgule quand on divise 1 par 7 ? Remarquons que dans une division par 7 il n’y a que 7 restes possibles : 0, ou 1, 2, 3, 4, 5, ou encore 6. Si une division par 7 se prolonge tellement qu’on calcule plus de 7 fois à la file un reste, on va retrouver un reste déjà obtenu avant. Si on pose la division à la main de 1 par 7, et qu’on est suffisamment persévé­rant, on s’aperçoit que le reste 1 revient, puis que les restes 3, 2, 6, 4, 5, etc., vont revenir en boucle. Les calculs vont se reproduire à l’identique : la division ne va jamais s’arrêter. Le quotient va donner des chiffres qui reviennent régu­lièrement : 0,142857 142857… (à l’infini). On appelle période ce bloc « 142857 » qui comporte six chiffres qui vont revenir sans cesse. 1

0 3

7 0 2

0,

1

4

2

8

5

7

0 6

0 4

0 5

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Aptitude numérique

Exemple

0 1

Si on écrit 2 007 chiffres après la virgule, combien de périodes complètes pourra-t-on écrire ? On calcule 2 007 : 6 et on trouve 334 comme quotient et 3 comme reste. Après la virgule, vous écrivez donc 334 fois la période puis trois chiffres : 142, et vous réalisez que le 2 007e chiffre après la virgule est un 2.

113

11 Dénombrements

Les tableaux à double entrée Exemple

Au club, nous pouvons pratiquer la chorale et le tennis de table, ou nous contenter de profiter des services et du cadre. Nous sommes 40, dont 32 font de la chorale, 22 font du tennis. Les plus actifs qui pratiquent les deux acti­vités sont 19. Combien y a-t-il de membres qui ne font rien ? On peut compléter un tableau à double entrée : à côté d’une colonne T (= Tennis de table) où se partagent sur deux lignes ceux qui font de la chorale (C), ou non (non C), on écrit une colonne « non T » qui se partage elle aussi en deux. On obtient alors les quatre cases reflétant tout ce qui peut arriver. La case située à l’intersection de la colonne T et de la ligne C correspond à ceux qui pratiquent les deux activités : ils sont 19. La case située à l’intersection de la colonne « non T » et de la ligne « non C » correspond à ceux qui ne font rien. On ajoute sur les côtés une colonne « total » et une ligne « total », qu’on remplit ainsi : le total des choristes est 32, le total des joueurs de tennis de table est 22. Le total des membres est 40 : c’est la case en bas à droite. T C

Non T

Total

19

32

22

40

Non C Total

Le tableau se complète de proche en proche par soustraction sur tout son contour : T

Non T

Total

C

19

13

32

Non C

3

Total

22

8 18

40

La case centrale qui nous intéresse peut se calculer de deux façons : l soit par 18 – 13 = 5 ; l soit par 8 – 3 = 5 (ce qui permet de se contrôler). Le nombre de membres du club qui ne font rien est 5.

114

Dénombrements 11

Exercices d’entraînement Niveau 1

0 0:1 5

1. Je plante 11 arbres séparés d’un mètre au bord de mon allée rectiligne : quelle est la distance entre les deux arbres extrêmes ? 10 chevaux ?

3. Dans la même course, combien faut-il jouer de combinaisons différentes de trois chevaux si l’on veut être sûr de gagner le tiercé, au moins dans le désordre ?

Aptitude numérique

2. Combien peut-on jouer de tiercés dans l’ordre différents lors d’une course de

4. Un QCM comporte 4 questions ayant chacune 5 réponses proposées dont une seule est exacte. Un candidat répond au hasard : il a une chance sur combien d’avoir tout juste ?

5. Dans un tiroir de meuble d’une pièce obscure, il y a 3 boules rouges, 4 vertes,

2 jaunes. Combien faut-il tirer de boules pour être sûr d’avoir au moins 2 vertes ?

6. Dans la situation précédente, combien faut-il tirer de boules pour être sûr d’avoir au moins une boule de chaque couleur ?

7. Combien vaut la somme des nombres suivants qui se succèdent de 2 en 2 : 2 + 4 + 6 + … + 94 + 96 + 98 ?

8. Dans une petite école primaire de 35 élèves, on peut étudier deux langues : l’an-

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glais, qui a attiré 22 élèves, et l’espagnol, qui a attiré 18 élèves. Tout le monde étudie au moins une langue, mais combien y a-t-il d’élèves qui étudient les deux ?

Niveau 2

0 0:1 7

9. Combien y a-t-il d’entiers positifs, compris entre 10 et 1 000, qui s’écrivent avec des chiffres dont la somme est 4 ? (exemple : 301) q a. 10 q b. 12 q c. 13 q d. 14

q e. 15

10. Une cave obscure renferme des bouteilles de vin de cinq sortes différentes.

Combien faut-il remonter de bouteilles pour être sûr d’en avoir trois de la même sorte ? q a. 6 q b. 7 q c. 9 q d. 11 q e. 16

11. Combien de montants différents, exprimés par un nombre entier de centimes d’euros, est-il impossible de payer en utilisant uniquement des pièces de 2 et

115

11 Dénombrements de 5 centimes, en admettant qu’on puisse avoir autant de ces pièces qu’on en a besoin ? q a. 0 q b. 1 q c. 2 q d. 5 q e. une infinité

12. Une montre à aiguilles marque midi. Combien de fois avant 15 h 32 min l’aiguille des heures et l’aiguille des minutes formeront-elles un angle droit ? q a. 0 fois q b. 1 fois q c. 3 fois q d. 6 fois q e. 7 fois

13. Une équipe de football est formée de onze joueurs et trois remplaçants. Avant

chaque match de foot, tous les membres de l’équipe ont l’habitude de se serrer la main. Le nombre de poignées de main échangées est : q a. 196 q b. 182 q c. 105 q d. 91

q e. 90

14. Un terrain rectangulaire de 150 m de long et 120 m de large est quadrillé en

carrés de 5 m de côté. Un arbre doit être placé en chaque sommet du quadrillage intérieur au terrain. Combien d’arbres faut-il ? q a. 667 q b. 690 q c. 696 q d. 704 q e. 720

15. Un concours de pétanque oppose 46 équipes. Selon le règlement, dès qu’une

équipe est battue, elle est éliminée. Combien de rencontres entre deux équipes faut-il orga­niser au minimum pour désigner le vainqueur du concours ? q a. 32 q b. 64 q c. 46 q d. 45 q e. un autre nombre

Corrigés des exercices Niveau 1

116

1.

Attention, avec 11 arbres il n’y a que 10 intervalles. La réponse est donc : 10 mètres.

2.

Il y a 10 × 9 × 8 = 720 tiercés différents.

3.

Le nombre de combinaisons est le nombre précédent (voir exercice 2) divisé par 6 donc 120.

4.

Le nombre de façons de remplir chaque question est 5, pour 4 questions c’est 54 = 625. Il y a une chance sur 625 d’avoir tout juste en répondant au hasard.

5.

Au pire, on tire tout ce qui n’est pas vert d’abord soit 3 + 2 = 5 boules, puis on tire 2 vertes, ce qui fait 7 boules pour avoir 2 vertes à coup sûr.

6.

Au pire, on tire les boules de deux catégories les plus représentées, soit 3 + 4 = 7 boules, puis on tire une boule jaune et alors toutes les couleurs sont présentes. Il faut donc 8 boules pour être sûr d’avoir chaque couleur.

Dénombrements 11

8.

La somme est égale à : 2 + 4 + 6 + … + 94 + 96 + 98 ; la somme est égale à : 98 + 96 + 94 + … + 6 + 4 + 2. En additionnant verticalement membre à membre on trouve des colonnes de deux nombres dont la somme est toujours 100 (exemples : 2 + 98 = 4 + 96, etc.). Le nombre de colonnes est 49 (car en divisant les nombres par 2, au lieu d’aller de 2 à 98 on va de 1 à 49 soit 49 nombres). Le total obtenu est 49 × 100 = 4 900, mais c’est deux fois la somme demandée donc celleci vaut : 4 900 = 2 450. 2 Comme 22 + 18 = 40 alors qu’il y a seulement 35 élèves, il y en a au moins : 40 – 35 = 5 qui font deux langues ; mais comme tout le monde fait au moins une langue, il ne peut y en avoir plus de 5 qui étudient les deux langues. La réponse est donc 5.

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Niveau 2 9.

Réponse d. Ce sont les nombres 13, 22, 31, 40, 103, 112, 121, 130, 202, 211, 220, 301, 310, 400 ; il y en a donc quatorze.

10.

Réponse d. Au pire, avant d’avoir 3 bouteilles d’une même sorte, on remonte 2 bouteilles de chacune des cinq sortes soit 5 × 2 = 10 bouteilles ; la onzième bouteille sera la bonne.

11.

Réponse c. Les montants 1 et 3 centimes sont impossibles à réaliser sans pièce de 1 cent ; ensuite 4 = 2 + 2 et 5 sont facilement obtenus. Comme 4 et 5 sont deux nombres consécutifs, si on utilise une pièce de 2 cents de plus on obtient les sommes de 4 + 2 = 6 et 5 + 2 = 7, puis avec une autre pièce de 2 cents, 6 + 2 = 8 et 7 + 2 = 9, etc., et la succession des entiers sans exception à partir du nombre 4. On peut tout obtenir sauf les montants 1 et 3, qui sont donc les deux valeurs impossibles.

12.

Réponse d. Il ne faut pas chercher les heures exactes donnant un angle droit, on peut se contenter de remarquer qu’il y a une solution entre 12 h 15 et 12 h 20, une entre 12 h 45 et 12 h 50, une entre 13 h 20 et 13 h 25, une entre 13 h 50 et 13 h 55, une entre 14 h 25 et 14 h 30, une entre 14 h 55 et 15 h ; ceci fait six solutions. Attention : il n’y en a pas une septième entre 15 h 30 et 15 h 35 car plus d’une demi-heure s’est écoulée depuis 15 h donc la petite aiguille a dépassé le milieu entre les chiffres 3 et 4, tandis que le grande aiguille à 15 h 32 n’a pas dépassé le milieu entre le 6 et le 7, et donc l’angle n’est pas assez grand pour être droit.

13.

Réponse d. On peut compter le nombre de poignées de mains différentes entre les 14 joueurs ainsi : le premier serre 13 mains différentes, le deuxième n’en serre que 12 diffé­rentes car sa poignée avec le premier joueur est déjà comptée, le troisième n’en serre que 11 différentes, etc., jusqu’au douzième qui serre 2 différentes, au treizième qui n’en serre qu’une différente, et au quatorzième et dernier qui ne serre rien de nouveau car ses poignées à lui ont déjà été comptabilisées. On peut remarquer que l’addition du numéro du joueur et de son nombre de poignées nouvelles à compter est toujours 14. Le total des poignées de main est : 13 + 12 + 11 +… + 2 + 1 = 91.

Aptitude numérique

7.

117

s

11 Dénombrements

14.

Réponse a. Combien y a-t-il de carrés sur la longueur ? 150 5

é G I R R O C

120 5

= 24.

Les arbres sont seulement à l’intérieur, il n’y en a pas sur le bord du terrain. Sur une longueur, on plante 30 – 1 = 29 arbres. Il y a 24 – 1 = 23 largeurs à considérer et donc on plante 29 × 23 = 667 arbres.

15.

118

= 30 ; sur la largeur ?

Réponse d. Quand le nombre d’équipes est une puissance de 2, l’élimination directe donne un nombre de gagnants qui divise par 2 le nombre de participants et diminue ainsi  : 32 – 16 – 8 – 4 – 2 – 1. Quand il y a 32 équipes, au premier tour on organise 16 parties ; au deuxième tour avec 16 équipes il y a 8 parties, etc., jusqu’à la partie finale entre les deux finalistes. Avec 46 équipes on commence à en opposer 28 ce qui donnera 14 vainqueurs qui rejoindront les 46 – 28 = 18 équipes qui n’ont pas encore joué, formant ainsi un nombre de 32 rescapés du premier tour, et on a rejoint le cas simple d’une puissance de deux. Pour désigner le vainqueur, le nombre de parties à faire est donc : 14 + 16 + 8 + 4 + 2 + 1 = 45 Autre solution (astucieuse) ne se préoccupant pas de l’organisation évolutive  : pour qu’une équipe gagne parmi 46 participantes, il faut que 45 perdent, donc 45 parties sont nécessaires. En général, dans ce type de concours, il faut une partie de moins que de participantes.

12

Aires et volumes

1. On donne un triangle ADC d’aire 24 cm², avec AC = 12 cm. Le point B est le pied de la hauteur issue de D. Que vaut BD ?   a. 2 cm

  b. 4 cm

  c. 6 cm

  d. 8 cm   e. 12 cm

2. Soit un carré de diagonale mesurant d, et le cercle circonscrit au carré (il

Aptitude numérique

Testez-vous

passe par les 4 sommets). On s’intéresse à la surface située à la fois à l’intérieur du cercle et à l’extérieur du carré. Quelle est son aire en fonction de d ?   a. d² ( π – 1 )   b. d² ( π – 1 )   c. d² ( π – 1 ) 4 2 4 4 2 2   d. d² (π – 1)   e. d² (π – 2)

3. Dans un losange de 10 cm de côté, la petite diagonale mesure 12 cm. Quelle est, en cm², l’aire du losange ?

4. Un seau est à moitié plein. En rajoutant 2 litres d’eau, il devient aux trois quarts plein. Quel est le volume du seau ?

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5. Sur une cuillère doseuse de sirop pour enfants sont marquées les graduations : I pour 50 mm3, II pour 100 mm3, III pour 200 mm3. La posologie indique qu’un enfant doit prendre 0,05  mL de sirop par kilo de son poids. Quelle quantité faut-il donner à un enfant de 10 kg ?   a. 1 cuillère remplie jusqu’au I   b. 1 cuillère remplie jusqu’au III   c. 1 cuillère remplie jusqu’au III et une cuillère remplie jusqu’au II   d. 2 cuillères remplies jusqu’au III   e. 2 cuillères remplies jusqu’au III et une cuillère remplie jusqu’au II.

6. Un triangle isocèle a une aire de 36 cm². Sa base vaut 6 cm. Combien la hauteur vaut-elle, en cm ?   a. 3

  b. 4

  c. 6

  d. 9

  e. 12

7. De l’eau coule à débit constant dans un vase conique sans pied, posé sur sa

pointe. La hauteur du cône est 20 cm, le rayon de l’ouverture circulaire est 10 cm. Pour atteindre la moitié de la hauteur du vase l’eau a mis 3 minutes, combien reste-t-il de temps à attendre pour que l’eau atteigne le bord ? 119

12 Aires et volumes

8. Que vaut l’aire grisée dans la figure ci-dessous, où apparaissent des carrés et

Que vaut l’aire du trapèze ci-dessous, dont les bases mesurent 5 cm et 11 cm, et les côtés latéraux 4 cm et 6 cm ? 64M2   a. 80 cm²   b. 40 cm²   c. cm² 3 64M2   e. cm²   d. 19 2 cm² 9

Solutions

1. 2. 3. 4.

L’aire du triangle = 4 cm. Bonne réponse : a. L’aire du losange est 96 cm². Le volume du seau est 8 litres.

5. 6. 7. 8.

Bonne réponse : e. Bonne réponse : e. 21 minutes. Bonne réponse : c.

Quel est votre niveau ? Notez-vous : un point par bonne réponse. Si vous obtenez : l moins de 3 points sur 8 : il vous faudra travailler intensément ce chapitre ; l entre 4 et 6 points, il vous faudra réviser et approfondir ce chapitre ; l 7 ou 8 points, vous pourrez passer ce chapitre en première étape de votre préparation générale.

Aires Pour déterminer l’aire d’une figure, on peut : l

l

l

utiliser un pavage permettant de compter directement le nombre d’unités contenues dans la figure ; appliquer une formule quand on reconnaît une forme célèbre, en faisant attention à ce que toutes les dimensions soient exprimées dans la même unité ; retrouver dans la figure des morceaux de formes connues à ajouter ou sous­ traire, déplacer mentalement des morceaux de figure, les découper mentale­ment, ou encore compléter la figure.

Aire totale d’un solide Voici un formulaire d’aires usuelles : l L’aire totale d’un prisme, d’un cylindre, d’un cône, d’une pyramide, est l’aire de son patron (voire les patrons pages suivantes). l L’aire latérale d’un prisme, d’un cylindre, est la somme des aires de toutes ses faces 120

Aires et volumes 12 autres que les bases. L’aire latérale d’un cône, d’une pyramide est égale à l’aire du patron diminuée de l’aire de la base. Un cube ayant six faces carrées de même taille, si son arête a pour longueur « a », alors l’aire totale du cube est : 6 a2. L’aire latérale d’un prisme, d’un cylindre, est égale au produit de sa hauteur par le périmètre de sa base.

l

Rectangle

Carré

Trapèze b

l

h B

L

c Aire :

c2

Aire :

Aire : Ll

B+b 2

h

Aptitude numérique

l

Losange

Parallélogramme d h

d a Aire : ah Aire :

dd 2

Cercle et disque

Sphère

r O

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r

Aire du disque : πr 2 (Périmètre du cercle : 2πr )

Aire : 4πr 2

Triangles

h

h

h

b

b Aire :

b

bh 2

121

12 Aires et volumes

Volumes Voici quelques solides usuels représentés.

Cube

Parallélépipède rectangle (ou pavé droit) Prisme droit à base triangulaire

Pyramide à base triangulaire

a

Cône de révolution b

r

Cylindre droit

h

Toutes les dimensions doivent être exprimées avec la même unité avant d’uti­ liser la formule.

𝒜 = aire de la base. h = hauteur du solide

122

Pour déterminer le volume d’un solide composé de plusieurs solides usuels, on additionne les volumes de ces morceaux. Il est possible aussi de procéder par décomposition et soustraction par exemple pour des solides troués.

Aptitude numérique

Aires et volumes 12

Exercices d’entraînement Aires Niveau 1

0 0:0 7

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1. Calculer la largeur en mètre d’un rectangle connaissant : a. la longueur 14 cm, et l’aire 84 cm2. b. la longueur 2 400 cm, et l’aire 360 m2. c. la longueur 350 dam, et l’aire 84 ha.

2. Un terrain ayant la forme d’un trapèze a une aire de 4 510 m2, sa grande base mesure 64 m et sa petite base 46 m. Calculer sa hauteur, en mètres.

3. a. Un triangle a pour base 12 cm et pour hauteur correspondante 14 cm. Quelle est son aire en cm2 ?

b. Un terrain triangulaire a pour aire 1 170 m2, sa hauteur est de 52 m. Combien mesure sa base, en mètres ?

4. Une boîte de conserve cylindrique a une hauteur de 15 cm, et le rayon de sa base est 6 cm.

Calculer l’aire de l’étiquette, c’est-à-dire l’aire latérale de la boîte (on prendra 3,14 pour valeur du nombre  et on arrondira l’aire au cm2 près).

123

12 Aires et volumes

5. Un losange a une diagonale de 12 cm et son aire est 48 cm2. Calculer la longueur de l’autre diagonale.

0 0:1 5

Niveau 2

6. ABCD est un rectangle ; O est un point de la diagonale [AC] ; les droites (EF) et (GH) sont parallèles aux côtés du rectangle et passent par O. On veut comparer les aires des rectangles GBFO et EOHD. A

G

E

F

O

D

B

H

C

q a. l’aire de GBFO est supérieure à celle de EOHD, q b. l’aire de GBFO est inférieure à celle de EOHD, q c. l’aire de GBFO est égale à celle de EOHD, q d. on ne connaît aucune mesure, on ne peut répondre, q e. la comparaison dépend de la place de O sur [AC].

7. Un disque de 1 m de diamètre contient 5 disques de mêmes rayons, disposés comme l’indique la figure cicontre. Que vaut l’aire, en m2, de la région hachurée ? q b. 4 q c. 5 q a.  9 9 36 q e.  q d.  11 36 6

8. Que vaut le quotient de l’aire du carré abcd par celle du carré xyzt ? (Sur la figure, x et t sont au tiers du côté.) q a. 1,06

q b. 1,1

q c. 1,125

q d. 3 2

q e. un autre nombre

a

b x

t

y

d

c z

9. Si l’unité d’aire est le carré hachuré, que vaut l’aire

124

de la figure S ci-contre ? q a. 9 q b. 28 3 q d. 9,5 q e. 9,6

S

q c. 9,4

Aires et volumes 12

10. Que vaut en mètres carrés l’aire totale de la figure cicontre formée de trois carrés et d’un triangle rectangle dont l’hypoténuse mesure 13 m et le petit côté 5 m ? q a. 144 q b. 169 q c. 338 q d. 368 q e. 325

13

5

Volumes 0 0:1 0

11. Une boite cylindrique a pour rayon de sa base 2 cm et pour hauteur 9 cm. Quel

est son volume ? (On prendra 3,14 comme valeur du nombre  et on arrondira le volume au cm3 près.)

Aptitude numérique

Niveau 1

12. Quel est en cm3 le volume d’un cube d’arête 1,5 dm ? 13. Quel est le volume d’une boule de pétanque de diamètre 74 mm ? (On prendra 3,14 comme valeur du nombre  et on arrondira le volume au cm3 près).

14. Le volume d’un parallélépipède rectangle est 52,800 dm3, sa hauteur est 32 cm. Calculer l’aire de sa base en cm2.

15. a. Une pyramide a pour hauteur 15 cm et sa base a une aire de 40 cm2. Calculer son volume.

b. Une pyramide a une base d’aire 36 cm2, et un volume de 108 cm3. Calculer sa hauteur.

16. a. Un cône a pour rayon 4 cm, et pour hauteur 9 cm. Quel est son volume ? (On

prendra 3,14 comme valeur du nombre  et on arrondira le volume au cm3 près.)

b. Un cône de volume 25,12 cm3 a pour rayon 2 cm. En prenant 3,14 pour valeur du nombre , calculer sa hauteur.

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Niveau 2

0 0:1 2

17. Dans une cerise, on peut estimer que la couche de chair a la même épaisseur

que le rayon du noyau. On peut également admettre que le noyau et la cerise ont la forme d’une boule. Le rapport entre le volume de la chair et celui du noyau est : q a. 7 q b. 8 q c. 26 q d. 27 q e. 1

18. Les différentes faces d’un parallélépipède rectangle ont pour aires 6 cm2, 9 cm2, et 24 cm2. Quel est le volume de ce pavé droit ? q b. 1 296 cm3 q c. 48 cm3 q a. 36 cm3 q d. il n’existe pas un tel pavé droit q e. 144 cm3

125

12 Aires et volumes

19. Une piscine a la forme d’un parallélépipède rectangle. Sa longueur est de 10 m, et sa largeur de 5 m. Lorsqu’elle contient 10 000 litres, quelle est en centimètres la hauteur atteinte par l’eau ? q a. 0,2 q b. 2 q c. 20 q d. 200 q e. il est impossible de répondre sans connaître la profondeur de la piscine

20. Un cube métallique plein de 20 cm d’arête pèse 64 kg. Combien pèse un cube plein d’un cm d’arête, du même matériau ? q a. 0,8 g q b. 8 g q c. 16 g

q d. 0,16 kg

q e. 3,2 kg

21. Le cube ci-contre a une arête de longueur 1 ; m, n, p, q sont les milieux des arêtes de la face abcd, et s est le centre de la face opposée. Le volume de la pyramide mnpqs est : q a. 1

9 1 q c. 4 q e. 1 2

s

q b. 1

6 q d. 1 3 q

p

d

c n

a

m

b

Corrigés des exercices Aires Niveau 1 1.

2. 3. 4. 5.

126

a. largeur = 84 = 6 cm soit 0,06 m ; b.  2 400 cm = 24 m, aire = 360 = 15 m ; 14 24 840 000 2 c. 350 dam = 3 500 m, 84 ha = 840 000 m , largeur = = 240 m. 3 500 (64 + 46) × h = 4 510 donc h = 2 × 4 510 = 82 m. 110 2 a. base × hauteur = 12 × 14 = 84 cm2. 2 2 base × 52 b. = 1 170 donc base = 2 × 1 170 = 45 m. 52 2 Aire latérale du cylindre = périmètre de la base × hauteur, soit environ (2 × 3,14 × 6) × 15 = 565,2 cm2 qu’on arrondit à 565 cm2. L’aire du losange est égale au demi-produit des diagonales. Le produit des diagonales (D × d) vaut 2 fois l’aire. 12 × d = 2 × 48 donc d = 96 = 8 cm. 12

Aires et volumes 12

6.

Réponse c. Une diagonale partage un parallélogramme ou un rectangle en deux parties d’aires égales donc les aires de ABC et ADC sont égales, celles de AGO et AFO sont égales, celles de OHC et OFC sont égales. Les deux aires qui nous occupent sont : l’aire de GBFO = aire ABC – aire AGO – aire OFC et l’aire de DEOH = aire ADC – aire AEO – aire OHC. Toutes les composantes des deux expressions sont égales deux à deux, donc les aires de GBFO et DEOH sont égales.

7.

Réponse a. Le rayon R du grand disque est 1 , celui des petits disques est r = 1 . 2 6   (9 4  – 5  )   2 2 = = . L’aire hachurée vaut R – 5  r = – 5  = 4 36 36 36 9

8.

Réponse c. Si L est la longueur du carré de départ, alors a x = a t = 2L, et le théorème de Pythagore 3 appliqué au triangle rectangle axt donne : a x2 + a t2 = x t2. D’où : x t2 = 4L2 + 4L2 = 8L2. 9 9 9 Ceci représente aussi l’aire du carré xyzt.

Aptitude numérique

Niveau 2

9

(L ) ×   9 2 8 = = 1,125 Le rapport demandé est (L ) 2 = L2 8 (8/9) L

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2

9.

Réponse d. On compte les 5 carreaux entiers intérieurs et on ajoute divers triangles dont l’aire dépend de leur base et de leur hauteur, en utilisant la formule : aire du triangle = base × hauteur. On obtient bien : 4,5 + 5 = 9,5 carreaux au total. 2 Il existe une formule (formule de Pick), qui permet de calculer ainsi : si p est le nombre de nœuds du quadrillage situés sur le bord de la surface, et si i est le nombre de nœuds de quadrillage intérieurs à la courbe, alors l’aire est 0,5 p + i – 1. On trouve ici : 0,5(13) + 4 – 1 = 9,5.

10.

Réponse d. Le théorème de Pythagore permet de trouver le côté de l’angle droit du triangle : son carré vaut 132 – 52 = 144 = 122, donc ce côté vaut 12. 12 L’aire demandée est : 122 + 132 + 52 + 5 ×  = 144 + 169 + 25 + 30 = 368. 2

Volumes Niveau 1 11.

Volume du cylindre =  R2 h = environ 3,14 × 4 × 9 = 113,04 cm3. On arrondit à 113 cm3.

12.

Convertissons pour avoir une unité homogène : 1,5 dm = 15 cm. Volume du cube = 153 = 3 375 cm3.

127

13.

Le rayon est la moitié du diamètre donc 37 mm. Le volume de la boule est 4R3, soit 3 environ 212 067 mm3 ou en arrondissant : 212 cm3.

14.

Conversion : 52,800 dm3 = 52 800 cm3 ; aire = volume = 52 800 = 1 650 cm2. hauteur 32 40 × 15 aire de base × hauteur a. Volume = = = 200 cm3. 3 3 b. Aire × hauteur = 3 × volume, donc hauteur = 3 × volume = 3 × 108 = 9 cm. aire 36 2 aire de base × hauteur (3,14 × 4 ) × 9 a. Volume du cône = = = 150,72 cm3. 3 3 3 On arrondit à 151 cm . b. Aire de base × hauteur = 3 × volume, donc hauteur = 3 × volume . aire de base h = 3 × 25,12 = 6 cm. (3,14 × 4)

15.

16.

I

G

é

s

12 Aires et volumes

17.

Réponse a. En doublant le rayon d’une boule on multiplie son volume par 8 ; comme 8 – 1 = 7 le volume de chair occupe 7 fois le volume du noyau.

18.

Réponse a. Si les dimensions sont L, l, h, on a : L × l = 6 ; l × h = 9 ; L × h = 24. On multiplie ces trois égalités membres à membres (les membres de gauche entre eux, les membres de droite entre eux) on obtient : L × l × l × h × L × h = (L l h)2 = 6 × 9 × 24 = 362, donc le volume, qui se calcule par la formule L l h, est égal à 36.

19.

Réponse c. Il faut privilégier une unité, par exemple le m. On sait que la piscine peut contenir 10 000 L = 10 m3, on ne se tracasse pas sur sa profondeur. Soit h la hauteur atteinte, le volume d’eau est : 10 × 5 × h = 10. D’où 50 h = 10, puis h = 10 soit h = 0,2 m ou encore 20 cm. 50

20.

Réponse b. 1 cm c’est un vingtième de 20 cm ; si les dimensions sont divisées par 20, le volume est divisé par 203 = 8 000, et la masse, qui est proportionnelle au volume (le coeffi­cient est la masse volumique), est aussi divisée par 8 000. Comme 64 kg = 64 000 g on a une nouvelle masse de 64 000 = 8 g. 8 000

21.

Réponse b.

C

O

R

R

Niveau 2

128

1×1 1 aire de base × hauteur L’aire de la base est ; le volume de la pyramide est :  soit 2 = 1. 2 6 3 3

13

Suites

Voici une série de 10 exercices à faire en 10 minutes pour évaluer votre niveau, puis vous donner un objectif de travail…

1. Le nombre  2 016  est la somme de trois nombres entiers pairs consécutifs. Quel est le plus grand de ces trois nombres ?

2. Sept nombres se suivent en progression arithmétique ; leur somme est 224,

Aptitude numérique

Testez-vous

et la somme des deux derniers termes est 379. Combien vaut la différence du cinquième et du deuxième terme ?

3. Quelle est la somme de tous les entiers finissant par 9 jusqu’à 2 009, c’est-­ à-dire : 9 + 19 + 29 + … +2 009 = ?   a. 204 809   b. 202 809   c. 202 800   d. 200 809   e. 201 800

4. On ajoute les nombres consécutifs 1, 2, 3, 4, etc. Quel est le dernier nombre ajouté qui permet au total de dépasser 1 000 pour la première fois ?

5. Une suite de 15 nombres est telle que la somme de trois nombres consécutifs de cette suite vaut toujours 2 015. Le quatrième de ces nombres est 600 et le quinzième est 300. Que vaut le quatorzième nombre ?

6. Dans la suite géométrique {x ; 2x +2 ; 3x +3 ;…} combien vaut le quatrième terme ?

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7. La somme 1 +  5 +  9 +  13 +  … + n est celle des termes d’une progression arithmétique de raison 4. Quel est le nombre total de termes sachant que cette somme vaut 1 540 ?   a. 23   b. 28   c. 32   d. 45   e. 54

8. Si Sn désigne la somme des n premiers termes de la suite arithmétique {1, 4, 7, 10…} alors S2n −Sn =…   a. 1/2(n)(5n + 7)   b. ½(n)(7n + 3)   d. ½(n)(3n − 1)   e. ½(n)(n + 1)

  c. (1/2)(n)(9n − 1)

9. Si Sn désigne la somme des n premiers termes de la suite arithmétique {1, 5, 9, 13…} alors S2n −Sn =…   a. (n)(2n − 1)   b. (2n)(4n − 1)   d. (n)(6n − 1)   e. (n)(6n + 1)

  c. (2n)(4n + 1)

10. Une suite arithmétique a pour premiers termes 2, 6, 10… La somme de tous ses termes est 1 250. Combien y en a-t-il ?

129

13 Suites

Solutions

1.

Le plus grand des trois nombres est 674.

2.

La différence du cinquième et du deuxième terme = 189.

3. 4.

Bonne réponse : b. Le dernier nombre ajouté sera 46.

5. 6. 7. 8. 9. 10.

Le quatorzième nombre est 1 115. Le quatrième terme vaut 13,5. Bonne réponse : b. Bonne réponse : c. Bonne réponse : d. Il y a 25 termes.

Quel est votre niveau ? Notez-vous : un point par bonne réponse. Si vous obtenez : l moins de 3 points sur 10 : il vous faudra travailler intensément ce chapitre ; l entre 4 et 8 points, il vous faudra réviser et approfondir ce chapitre ; l 9 ou 10 points, vous pourrez passer ce chapitre en première étape de votre préparation générale.

Les termes successifs d’une suite de nombres sont souvent notés Un avec n comme indice, c’est-à-dire un numéro, un nombre entier variant souvent à partir de 0 mais parfois à partir de 1 ou d’un entier supérieur. Parfois on peut calculer directement la valeur de tout terme d’une suite dont on connaît l’indice, c’est le cas si l’on a une formule générale. Exemple

La suite telle que pour tout n on ait Un =  n - 4 . La suite est définie à partir de n = 4 (pour un indice inférieur, il n’y a pas de termes car la racine carrée d’un nombre négatif n’existe pas) ; U4 = 0 ; U5 = 1 ; U6 =  2  ; U7 =  3 etc. ; U100 =  96 . Parfois pour calculer un terme d’une suite il faut connaître un ou plusieurs des termes précédents. Exemple

Soit la suite telle que pour tout entier naturel n l’on ait Un +2 = Un +1 + Un et telle que U0 = 1 et U1 = 2. On remarque dans la formule que pour calculer un terme il faut additionner les deux termes précédents. Ainsi pour calculer U4 il faut commencer par calculer U2 et U3. 130

Suites 13 U2 = U0 + U1 = 1 + 2 = 3 ; U3 = U2 + U1 = 2 + 3 = 5 donc U4 = U3 + U2 = 3 + 5 = 8.

Une suite est arithmétique quand on passe d’un terme au terme suivant en ajoutant toujours le même nombre réel r (qu’on appelle raison de la suite). Une suite est donc arithmétique quand pour tout entier naturel n, on a Un +1 – Un =  constante  ; cette constante est la raison r. Pour tout entier naturel n, on a Un +1 = Un + r ; Un = U0 + nr ; Un = Up + (n - p)r. Si la raison est positive, la suite arithmétique est croissante. Si la raison est négative, la suite arithmétique est décroissante. On représente une suite arithmétique par des points de coordonnées (n, Un) qui forment une droite de coefficient directeur la raison r.

Aptitude numérique

Suites arithmétiques

Somme des termes d’une suite arithmétique n  (n  +  1) Exemple de base : 1 + 2 + 3 + … + n =  2 Cas général : (premier terme  +  dernier terme) U0 + U1 + U2 + … + Un = (nombre de termes) × 2 = (n + 1) × U 0   +  U n 2 Exemple

Soit la suite arithmétique de premier terme U0 = 5 et de raison 10. Quel est le terme U13 ? C’est : 5 + 13 × 10 = 135. Quelle est la somme U0 + U1 + U2 + … + U13 ?

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C’est (13 +1) ×

(5  +  135)   = 14 × 140 = 14 × 70 = 980. 2 2

Suites géométriques Une suite est géométrique quand on passe d’un terme au terme suivant en multipliant toujours par le même nombre réel q (qu’on appelle raison de la suite). Une suite est donc géométrique quand pour tout entier naturel n, on a U n +1    = constante ; cette constante est la raison q.  U n   Pour tout entier naturel n, on a Un +1 = Un × q ; Un = U0 × qn ; et Un = Up × q (n – p)

131

13 Suites Quand la raison q est négative la suite alterne termes positifs et négatifs. Quand la raison q vaut 1 la suite est constante. Quand tous les termes sont positifs, une raison q > 1 correspond à une suite croissante, tandis qu’une raison telle que 0 0,3002 V – F 4. 46218347 > 46219347 V–F 5. X < V V – F 6. 7803,245 < 780,3245 V–F Et ainsi de suite pendant deux ou trois pages…

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Exemple 25

1. Si 6 = HH et si 6 = QQQQ, 2. Si _ = Ct et si C = t t quelle ligne a la plus grande valeur ? quelle ligne a la plus grande valeur ? A. 6 Q Q H Q H H Q A. t t C t _ C _ t B. 6 6 Q Q 6 Q Q 6 B. t _ t C t C C t C. Q Q Q H H 6 6 H C. C t _ C C t t _ D. H Q Q H 6 6 Q Q D. _ _ C t t t C t La difficulté ici ne vient pas de l’arithmétique, mais comme précédemment, de la répétition d’un même exercice avec un risque de baisse de la vigilance. Il faut par exemple éviter de reprendre par mégarde les équivalences d’un exercice précédent utilisant les mêmes symboles, ce qui fausserait tout. Il est donc recommandé de commencer par noter les valeurs relatives des symboles. Pour l’exercice 1, par exemple, on note 1 audessus de l’astérisque, 4 sur la croix et 2 sur l’étoile : ensuite il suffit de faire les additions en substituant ces valeurs aux formes. On note ensuite au fur et à mesure le total à la fin de chaque ligne et on coche celle qui est la plus élevée. Après une dizaine d’exercices, certains candidats saturent, d’autres au contraire ont pris le pli et fonctionnent à plein régime. Selon votre cas alternez avec d’autres questions ou au contraire restez fixe au poste !

Les substitutions arithmétiques Un autre petit test qui mêle attention et arithmétique  : le candidat doit faire une simple addition, mais en remplaçant certains chiffres par d’autres :

255

24 Autres épreuves logiques Exemple 26

1. Si les 4 étaient remplacés par des 2, les 2 par des 6 et les 6 par des 4, que serait le résultat de ces opérations ? A. 34 + 51 + 28 + 66 = B. 54 + 66 + 22 + 18 = 2. Si les 6 étaient remplacés par des 1, les 1 par des 0 et les 0 par des 9, que serait le résultat de ces opérations ? A. 96 + 56 + 34 + 40 = B. 46 + 60 + 19 + 19 = Cet exercice, qui n’est pas sans rappeler le test de Stroop où le nom d’une cou­leur est écrit dans une autre couleur (« vert » est écrit en rouge) n’est ici qu’un test de concentration. Mais, de la même manière que les personnes dyslexiques réussissent mieux au test de Stroop, avec ce test, les candidats les moins matheux risquent ici de réussir mieux que les autres. Si vous n’êtes pas trop porté sur l’arithmétique, voici donc votre revanche ! Les matheux voient une addition et trouvent la solution presque sans réfléchir. L’effort de comprendre 4 quand ils lisent 6, en revanche, est beaucoup plus difficile pour eux ! Si c’est votre cas, il peut être utile de barrer les chiffres qui changent et de noter au-dessus au crayon les nouvelles valeurs. L’ennui est que cette démarche prend beaucoup de temps. Ce test vient avec des variantes, notamment sous forme d’une grille de nom­bres où il faut faire les totaux des nombres de chaque rangée et de chaque colonne, mais en substituant certains nombres par d’autres de manière diffé­rente si on raisonne horizontalement ou verticalement…

Les combinaisons Cette tendance aux questions simples, répétées un très grand nombre de fois, peut s’appliquer à des sujets des plus variés, notamment aux combinaisons, comme : Exemple 27

Vous avez deux lampes et quatre ampoules de couleurs. Combien de com­binaisons différentes pouvez-vous obtenir avec les choix ci-dessous ? (Il faut tenir compte de l’ordre : rouge-vert et vert-rouge seront considérés comme deux combinaisons différentes, mais rouge-rouge, quelles que soient les ampoules utilisées, ne formera qu’une seule combinaison). A. Une ampoule rouge et trois vertes : … combinaisons B. Deux ampoules rouges et deux vertes : … combinaisons C. Une ampoule rouge, une verte et deux bleues : … combinaisons

Solutions petits exercices :

256

24. Comparaison numérique et alphabétique : 1V, 2F, 3V, 4F, 5F, 6F. 25. Les ensembles arithmétiques : 1B, 2C. 26. Les substitutions arithmétiques : 01 A = 195, B = 180. 02 A = 225, B = 78. 27. Les combinaisons A3, B4, C7.

Autres épreuves logiques 24

Exercices d’entraînement Pour ne pas alourdir cette section, nous n’avons pas mis de consignes pour les exercices chaque fois qu’ils reprennent exactement ceux décrits dans le cha­pitre. Si vous avez un doute, vous pouvez toujours vous référer aux instruc­tions données dans le chapitre.

Logigramme Igor, Jean, Kamel et Loïc ont créé une petite entreprise et travaillent d’arrache-pied. Juste cette semaine, ils ont chacun effectué un voyage dans une ville, Blois, Dijon, Nantes et Rouen, l’un pour y effectuer des achats, un autre pour vendre leur produit, un autre pour participer à un salon professionnel et le dernier pour signer un contrat. Trouvez à l’aide des affirmations suivantes ce que chacun a fait, quel jour et dans quelle ville. 1. Kamel s’est rendu à Blois soit mardi, soit jeudi. 2. Igor a voyagé mardi ou mercredi, après celui qui est allé à Rouen. 3. La vente s’est effectuée mardi à Dijon avant le voyage de Loïc. 4. Jean n’est allé ni à Nantes ni à Dijon, il n’est pas responsable des ventes, il n’a pas été au salon et il ne s’est pas déplacé un mercredi. 5. Les achats n’ont pas été effectués le lundi, pas à Rouen et pas par Kamel. 6. Celui qui est allé à Dijon ne s’est pas déplacé un mercredi. Aucune grille de vérité n’est fournie avec cette question. Vous noterez vos réponses en encerclant les initiales correspondantes dans le tableau ci-dessous.

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Nom

Ville

Raison

Aptitude logique

0 0:1 5

1. La petite entreprise

Jour

Igor

1

B D N R

5

A V S C

9

L Ma Me J

Jean

2

B D N R

6

A V S C

10

L Ma Me J

Kamel

3

B D N R

7

A V S C

11

L Ma Me J

Loïc

4

B D N R

8

A V S C

12

L Ma Me J

Cases à noircir 2.

L1: L2: L3: L4:

1 1 1 1 1 1 1

C1:1 C2:2 1 C3:1 C4:2

3.

L1:2 L2:1 L3:2 L4:1 1

C1:1 C2:2 C3:1 1 C4:2

257

24 Autres épreuves logiques

Les opérateurs 4.

C

1

L

C

2

U

L

U

4

5

6

3

Les positions logiques 5. Ces cinq jetons sont au verso, bleu, vert, jaune, rouge et noir. Donnez la couleur de chacun, sachant que… • Le jeton bleu est plus vers la gauche que le noir et plus vers la droite que le vert, • Le jeton bleu est juste à droite du jeton jaune, • Il y a deux jetons entre le noir et le rouge.

A

B

6. Notez sous chacune de ces cartes retournées, sa valeur et sa couleur, sachant qu’il y a trois As et deux Rois, deux cœur, deux carreaux et un trèfle, et que : • Les deux Rois qui n’ont pas le même signe sont côte à côte ; • Les deux carreaux ne se côtoient pas ; • L’As de trèfle est juste entre un cœur et un Roi ; • L’As de carreaux est juste à gauche d’un Roi.

J

Denis A

K

B HélèneC

E Isabelle

Les analogies visuelles 7. est à81 B

A41,5 1

258

Louisette D

2

62,5ce que

3

4

C

5

est à : 6

Autres épreuves logiques 24

Les analogies numériques A

8. 4 est à 16

et 8 à 64

ce que 3 est à …

9. 3584 est à 5

et 426 est à 4

ce que 198 est à …

Les correspondances 10. Limite : milite,  amidonné : mondaine, ordre : dorer, réalisation… q A. orientaliste q B. rationalisé q C. antiscolaire q D. résiliation

B

11. trépied : illustre, corbeaux : décor, anémique : banane, anticiper : …

12. Tendre : 20 q A. 3 q C. 9

Relancer : 18 q B. 6 q E. 24 q D. 12

q B. aberrant q D. patricien Gravier : 7

Champagne : …

13. Si le prénom de chacun correspond au dessin de son blason à qui revient le dernier : Dominique, Ernest, Catherine, Émilie ou Charlotte ?

J

Denis

Hélène

Louisette

Aptitude logique

q A. advient q C. cinémascope

Isabelle

14. Quel nombre s’inscrit logiquement dans le dernier rectangle ?

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K

41,5

81

62,5

259

24 Autres épreuves logiques

Spatialisation 15. Ces dés non-conventionnels sont identiques : combien y a-t-il de points sur la dernière face ?

? 16. Combien de ces assemblages sont identiques ?

1

2

3

4

5

6

Petits exercices 17. Comparaison numérique et alphabétique. Cochez V ou F après chaque question. 1. 625 < 732 q V – q F 2. G < J

qV–qF

3. 0,15 > 0,105

q V – q F 4. 18 > 15

qV–qF

5. S < R

q V – q F 6. 66266 < 66626

qV–qF

7. 30174 < 30164

q V – q F 8. 543,25 > 5432,54

qV–qF

9. 7829 < 7892

q V – q F 10. N < Q

qV–qF

11. T > R

q V – q F 12. 59 < 61

qV–qF

13. 530011 < 63110 q V – q F 14. 614 > 718

qV–qF

18. Les ensembles arithmétiques 1. Si s = n n et si n = k k 2. Si n = s s et si n = k k k k quelle ligne a la plus grande valeur ? quelle ligne a la plus grande valeur ? A. n s n k k s k k A. k s n k k k k k k k k B. s k n k k k k k B. s s s s s C. n s n n n C. n n n D. s k k k k s k s D. s n k k k k

260

3. Si s s = n et si n n = k 4. Si s = n k et si k = n n quelle ligne a la plus grande valeur ? quelle ligne a la plus grande valeur ? A. s s k k n n s A. n n n k k s s s B. k k k k n s B. s k k s n k k n k C. n s s s k k k k C. n s s s n n n n D. s s s s s s s D. k k k k k k k s

Autres épreuves logiques 24

Corrigés des exercices Igor, Dijon, ventes, mardi. Jean, Rouen, contrat, lundi. Kamel, Blois, salon, jeudi. Loïc, Nantes, achats, mercredi. Pour répondre à cette question, il est utile (voire indispensable) de se construire une grille de vérité. Vous auriez dû, donc, élaborer une grille qui ressemble dans les grandes lignes à celle ci-dessous. Plutôt que de détailler le raisonnement pas à pas, nous vous indiquons les grandes étapes par une notation analogue à celle utilisée dans le chapitre. Les cases ombrées indiquent une impossibilité et le numéro l’affirmation qui permet de l’établir. Les ronds donnent des conclusions, soit grâce aux affirmations (celles avec un numéro), soit parce qu’elles sont la seule possibilité restante. Une certitude rend tout autre choix impossible dans la rangée et la colonne correspondantes (flèches). Il faut apprendre à extraire le maximum d’informations des affirmations. Par exemple avec l’affirmation 2 on peut trouver qu’Igor n’a pas voyagé lundi ou jeudi, qu’il n’est pas allé à Rouen et que le voyage à Rouen s’est effectué mercredi ou jeudi…

IJKLL

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JAVSC

Ma Me

B D N R A V S C L MaMe J 2 2 2 4 4 4 4 4 5 1 1 1 3 3 3 3 3 1 3 3 2 1 6 3 2 3 5 3

2.

Les croix indiquent les certitudes

4.

4. Les 1re et 3e figures (C et C ) indiquent que   = répèter la forme à 90°. De la, avec les 2e et 5e figures (L et L), on déduit que   = inverser la couleur. La 4e figure est donc la forme de U qui a été doublée et tournée et dont la couleur a été inversée :

Aptitude logique

1.

3.

261

s

6.

R

I

G

5.

é

24 Autres épreuves logiques

7. 8. 9. 10. 11. 12. 13.

15.

B. Les deux mots ont les mêmes lettres dans des ordres différents (anagrammes). B. Les trois premières lettres du premier mot sont les mêmes que les trois dernières lettres du second mot. A. Rang alphabétique de la première lettre. C’est le blason d’Émilie. Autant de points que le rang alphabétique de la première lettre et de barres que de voyelles. 22. 1er nombre = nombre de flèches verticales multiplié par 2, nombre suivant = nombre de flèches horizontales divisé par 2. 2. Pour reconstituer le patron, on peut placer le 3 à la suite du six et le 2 au-dessous. Ensuite comme le 1 est sur des faces voisines du 2, du 5 et du 3 on peut compléter ces faces.

C

O

R

14.

Vert-Rouge-Jaune-Bleu-Noir. Comme il y a deux jetons entre noir et rouge et que bleu et jaune se côtoient, on voit que noir et rouge encadrent bleu et jaune. Comme bleu est à droite de jaune et plus vers la gauche que noir, ces quatre couleurs doivent venir dans l’ordre Rouge-Jaune-Bleu-Noir. Comme bleu est plus vers la droite que vert, vert doit être en 1. As carreau – Roi cœur – Roi carreau – As trèfle – As cœur. Cherchons les certitudes : il n’y a qu’un trèfle et celui-ci est un As. Les deux Rois ont des signes différents donc cœur et carreau, ce qui laisse un as de carreau et un de cœur. L’as de carreau et à gauche d’un roi et deux carreaux ne se côtoient pas. Nous savons donc déjà que de gauche à droite nous avons : As de carreau – Roi de cœur – Roi de carreau… Comme l’as de trèfle côtoie un Roi, vient donc l’as de trèfle et, tout à fait à droite, l’as de cœur. 5. La forme extérieure devient la forme intérieure. Chaque forme gardant sa couleur. 9. Carré du nombre. 6. Moyenne des chiffres.

16. 17. 18.

262

5 assemblages identiques : no 1, 2, 3, 4 et 5. Comparaison numérique et alphabétique. 1V, 2V, 3V, 4V, 5F, 6V, 7F, 8F, 9V, 10V, 11V, 12V, 13F, 14F. 1. Ligne D. Valeurs relatives : s = 4, n = 2, 2. Ligne A. Valeurs relatives : s = 2, n = 4, 3. Ligne C. Valeurs relatives : s = 1, n = 2, 4. Ligne B. Valeurs relatives : s = 3, n = 1,

k=1 k=1 k=4 k=2

Aptitude verbale

25. 26. 27. 28. 29. 30.

Le vocabulaire L’orthographe lexicale L’orthographe grammaticale  La conjugaison Tests de compréhension Logique verbale

265 277 285 300 312 325

D

ans les concours administratifs, les questions sur la maîtrise verbale sont fréquentes. Leur objectif est d’évaluer la maîtrise de l’outil de communication. Vous devez être à même de connaître ou de reconnaître le sens des mots, leur orthographe, et de résoudre des questions de logique à support verbal. Ces questions ne sont pas seulement présentes dans les épreuves de tests  ; le vocabulaire, l’orthographe, la compréhension sont sollicités dans des épreuves de synthèse, de composition, de dictée. Durant les épreuves spécifiques de tests, tout peut, en théorie, vous être demandé. En pratique, l’aptitude verbale est d’abord sollicitée pour des questions de vocabulaire, puis de logique ou de compréhension, un peu plus rarement d’orthographe. Dans le cadre de ce tout-en-un, notre objectif est de vous proposer toutes les règles et méthodes utiles pour les épreuves de tests psychotechniques (ou aptitudes professionnelles). Mais vous y trouverez aussi des conseils valables pour éviter tout piège en français, quelle que soit l’épreuve. Nous avons divisé cette partie en six chapitres : • Vocabulaire ; • Orthographe lexicale ; • Orthographe grammaticale ; • Conjugaison ; • Compréhension ; • Logique verbale. Chaque chapitre sera suivi d’exercices d’application. Si vous suivez le pro­gramme pas à pas, vos progrès seront réels, quel que soit votre niveau. Pour compléter ce travail, nous vous recommandons de vous munir d’un dic­ tionnaire de poche et d’acheter un simple petit cahier d’une centaine de pages. Dans ce cahier, notez sur les pages de gauche les définitions des mots que vous ignorez et que vous rencontrez dans votre préparation, sur les pages de droite, les orthographes des mots que vous ne maîtrisez pas. Vous vous constituerez ainsi un lexique personnel, qui vous aidera le moment venu.

25

Le vocabulaire Testez-vous

Voici une série de 10 exercices à faire en 10 minutes pour évaluer votre niveau, puis vous donner un objectif de travail…

1. Un document antidaté est :   a. antérieur à la date réelle   c. à la date réelle

  b. postérieur à la date réelle

2. Un animal est dit nyctalope :   a. quand il est agile   c. quand il voit la nuit

  b. quand il vit la nuit

3. La conjoncture désigne :

4. Quel animal croasse ?   a. un dindon

  b. un crapaud

  c. une corneille

5. Un individu pauvre, misérable peut être en...   a. haillons

  b. hayons

Aptitude verbale

  a. l’ensemble des circonstances   b. un ensemble d’hypothèses   c. un projet collectif

  c. ayons

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6. Si quelqu’un est très intelligent, on peut dire qu’il n’est pas...   a. saut   d. sceau

  b. seau

  c. sot

7. Qu’est-ce qu’une litote ?   a. une figure de style exprimant une idée de façon imagée   b. une figure de style par laquelle on dit moins pour faire entendre plus   c. une figure de style qui consiste à atténuer des idées choquantes   d. une figure de style qui consiste à inverser l’ordre naturel des mots

8. Les personnes réservées détestent les...   a. effusions   c. confusions

  b. infusions   d. transfusions 265

25 Le vocabulaire

9. Comment appelle-t-on celui qui donne son nom à quelque chose ?   a. un hyperonyme   c. un éponyme

  b. un ethnonyme   d. un patronyme

10. Quel est le bon antonyme d’étonnant ?   a. sépulcral   c. ahurissant

  b. trivial   d. magique

Solutions 1. a. Date fausse et antérieure à la vraie date ; 2. c. ; 3. a. Une conjecture est une hypothèse ; 4. c. Le crapaud coasse ; 5. a. ; 6. c. ; 7. b. Ne pas confondre avec l’euphémisme qui consiste à atténuer une idée choquante ou désagréable ; 8. a. Une effusion est une manifestation excessive des sentiments ; 9. c. Un ethnonyme est un terme ethnique ; 10. b. Sépulcral signifie qui a rapport au sépulcre, au tombeau.

Quel est votre niveau ? Notez-vous : 1 point par bonne réponse. Si vous obtenez : l moins de 3 points sur 10 : il vous faudra travailler intensément ce chapitre ; l entre 4 et 8 points, il vous faudra réviser et approfondir ce chapitre ; l 9 ou 10 points, vous pourrez passer ce chapitre en première étape de votre préparation générale.

Synonymes, antonymes, définition Règle Les synonymes sont des mots qui peuvent avoir une même signification dans au moins l’un de leurs sens. l Les antonymes sont des mots de signification contraire, c’est-à-dire diamé­ tralement opposée. l La définition est la délimitation sémantique (du point de vue du sens) la plus précise d’un mot ou d’une expression. l

266

Dans les épreuves de vocabulaire, ces trois catégories sont assez proches et sou­vent associées. Lorsque l’on connaît la définition d’un mot, on trouve plus faci­lement ses synonymes et antonymes. En concours, ces épreuves se présentent le plus souvent sous la forme de QCM (questions à choix multiples) dans lesquelles il faut retrouver parmi une liste proposée le terme le plus proche ou le plus différent du mot de référence.

Le vocabulaire 25 Ce type d’épreuve ne peut être préparé en apprenant une liste de synonymes ou de définitions. En français, n’importe quel nom commun peut avoir un syno­nyme et bien souvent, il en aura plusieurs. Il faut plutôt faire preuve de méthode. Lorsque vous lisez les propositions de réponses, il faut identifier les points communs entre elles, car si vous cherchez un sens particulier, dès lors que deux mots expriment ce sens, ni l’un ni l’autre ne peuvent convenir. Exemple

Trouvez, parmi les mots suivants, l’antonyme d’honnête : loyal, pernicieux, vulgaire, laid Il ne peut s’agir de loyal qui est un synonyme. Quant à vulgaire et laid, ils sont synonymes entre eux ; or on sait qu’il faut une seule réponse. L’antonyme est pernicieux ; on le trouve même sans connaître ce mot. Lorsque vous devez trouver des antonymes, pensez aux préfixes qui s’opposent en français. Par exemple : homogène/hétérogène (homo/hétéro).

Homonymes Règle

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Les homonymes sont des mots qui, n’ayant pas le même sens, sont identi­ques phonétiquement (homophones), et parfois graphiquement (homo­graphes)

Aptitude verbale

Lorsque se succèdent des séries d’exercices dans lesquels il faut trouver les synonymes puis les antonymes, ne continuez pas machinalement à chercher des synonymes dans le second exercice ; c’est une faute fréquente.

Il existe en français plusieurs centaines d’homonymes. Il peut s’agir : l d’homonymes lexicaux (distincts par leur sens) ; l d’homonymes grammaticaux (distincts par leur catégorie grammaticale) ; l d’homonymes verbaux (distincts par le verbe auquel ils appartiennent). Dans cette partie, nous traiterons des homonymes lexicaux ; les homonymes grammaticaux seront étudiés au chapitre Orthographe grammaticale, les homonymes verbaux au chapitre Conjugaison. En concours, les tests d’homonymes portent presque toujours sur les homophones. Il faut bien connaître leur définition et leur orthographe. Il est nécessaire de les connaître précisément. Étudiez avec atten­tion la liste qui suit.

267

25 Le vocabulaire

Homophones (les 50 indispensables) 1. acquis : possession, acquisition. / acquit : acquittement, soulagement. Remarque : on écrit par acquit de conscience et non « par acquis de conscience ». 2. air : gaz respirable. / mélodie. / aire : surface. / ère : période. / erre : vitesse en régression. / haire : chemise de pénitence. / hère : misérable. 3. aliéné : fou. / aliéner : soumettre à une contrainte ou vendre. 4. anche : languette vibrante du bec des instruments de musique. / hanche : partie du corps située sous la taille. 5. appas : charmes. / appât : produit utilisé pour attirer. 6. are : mesure agraire. / arrhes : avance financière. / art : création esthétique. / hart : pendaison. 7. auspices (n. m. pl.) : présages, plutôt favorables. / hospice (n. m.) : maison d’accueil des pauvres. 8. bailler : donner. / bâiller : ouvrir la bouche à cause de la fatigue ou de la faim. / bayer : dans l’expression bayer aux corneilles, ne rien faire, rêvasser. 9. balade : promenade. / ballade : poème chanté. 10. ban : bannissement. / banc : siège. 11. cahot : saut d’un véhicule dû aux ornières d’une route. / chaos : désordre. 12. cane : femelle du canard. / canne : bâton de soutien. 13. catarrhe : inflammation des muqueuses. / cathare : hérétique. 14. ceint : verbe ceindre, entourer. / sain : en bonne santé. / saint : parfait. / sein : poitrine. / seing : signature. 15. censé : supposé. / sensé : de bon sens. 16. chas : trou d’une aiguille. / chat : félin. / Shah : souverain en Orient. 17. chemineau : vagabond. / cheminot : employé de chemin de fer. 18. cuisseau : partie du veau. / cuissot : cuisse de gros gibier. 19. détoner : émettre un bruit violent en explosant. / détonner : changer de ton. 20. différend : désaccord. / différent : non identique. 21. écho : renvoi d’un son. / écot : part de chacun. 22. égailler : disperser. / égayer : rendre gai. 23. enter : greffer. / hanter : occuper, fréquenter. 24. envi : dans l’expression à l’envi, en rivalisant, sans limite. / envie : désir. 25. foi : croyance. / foie : organe du tube digestif. / fois : marque la fréquence. 26. fond : base. / fonds : somme d’argent. / font : verbe faire.

268

Le vocabulaire 25 27. fore : creuse. / fors : sauf, excepté. / fort : puissant. 28. geai : oiseau forestier. / j’ai : verbe avoir. / jais : pierre noire. / jet : lancer. 29. goûter : savourer. / goutter : couler goutte à goutte. 30. haillon : vêtement en loques, très usé. / hayon : élévateur. 31. héraut : messager. / héros : personne très brave, exceptionnelle. 32. lai : poème médiéval. / laid : sans beauté. / laie : femelle du sanglier. / lait : liquide blanc. / lé : largeur d’un papier peint. / les : article. / lez : près de. 33. li : mesure chinoise. / lie : dépôt du vin (ou) ce qu’il y a de pire. / lit : couche. 34. lice : chienne de reproduction. / lis (ou) lys : fleur blanche. / lisse : verbe lisser. 35. maire : élu local. / mer : étendue d’eau. / mère : maman (ou) pellicule à la surface du vinaigre. 36. marc : reste de fruits pressés. / mare : étendue d’eau. / marre : assez. 37. maure : du Maghreb. / mors : dispositif pour conduire un cheval. / mort : défunt. 38. pair : en nombre multiple de deux. / paire : duo. / perd : verbe perdre. / père : papa. / pers : de couleur bleu-vert. 39. plain : dans plain-pied, au niveau du sol. / plein : rempli.

41. prémices : premiers signes. / prémisse : proposition initiale d’un raisonnement. 42. rai : rayon. / raie : poisson (ou) ligne. / ré : note. / rets : filets, pièges. / rez : base.

Aptitude verbale

40. poids : masse d’un corps. / pois : légume. / poix : résine molle et collante.

43. ras : court. / rat : rongeur. / raz : courant de marée.

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44. résonner : renvoyer un son. / raisonner : réfléchir. 45. ri : verbe rire. / ris : plat conçu avec du veau, de l’agneau. / riz : céréale. 46. saut : bond. / sceau : cachet, signature. / seau : récipient. / sot : idiot. 47. taie : enveloppe d’oreiller. / tais, tait : verbe taire. / té : règle. / thé : boisson. 48. tain : étain appliqué derrière une glace pour en faire un miroir. / teint : verbe teindre (ou) coloration de la peau. / thym : plante vivace. / tint : verbe tenir. 49. tan : écorce de chêne réduite en poussière. / tant : autant. / taon : grosse mouche. / temps : moment, durée. 50. tribu : groupe d’individus. / tribut : ce qu’il faut donner.

269

25 Le vocabulaire

Paronymes Règle Les paronymes sont des mots qui ont une prononciation proche, mais qui n’ont ni la même signification, ni la même orthographe. En concours, les tests de paronymes sont généralement sous forme de QCM ; vous avez le choix entre des paronymes pour compléter correctement une phrase. Pour réussir cet exercice, vous pouvez procéder par élimination, si vous ne connaissez pas certains mots. Exemple

Cet enfant est … (imprudent / impudent) ; il peut être très désagréable envers ses aînés. Si vous ne savez pas ce qu’est l’impudence, vous savez ce qu’est l’imprudence, et ce n’est pas le fait d’être désagréable envers ses aînés. La solution est donc impudent. Évidemment, il peut arriver que l’on ignore le sens de plusieurs mots proposés ; voici les définitions des 50 paronymes difficiles qui sont fréquents en tests.

Les 50 indispensables 1. abhorrer : détester. / arborer : porter avec fierté. 2. abjurer : renoncer. / adjurer : demander avec instance. 3. acception : signification. / acceptation : accord. 4. affiler : aiguiser. / effiler : défaire un tissu fil à fil (ou) rendre mince et long. 5. affinage : amélioration finale d’un produit. / affinement : action de rendre fin. 6. agonir : insulter. / agoniser : mourir. 7. alternance : succession alternée. / alternative : choix. 8. amen : ainsi soit-il en hébreux, exprime le consentement. / amène : aimable. 9. amnistie : pardon général. / armistice : accord qui suspend les combats. 10. anoblir : donner un titre de noblesse. / ennoblir : donner de la dignité. 11. apurer : vérifier des comptes financiers. / épurer : rendre pur. 12. aréole : extrémité pigmentée du sein. / auréole : cercle lumineux.

270

Le vocabulaire 25 13. assentiment : consentement. / ressentiment : désir de venger une offense. 14. avanie : affront, offense. / avarie : dommage matériel subi lors d’un transport. 15. brume : brouillard léger. / bruine : pluie fine. 16. capiteux : qui enivre. / captieux : qui veut tromper, induire en erreur. 17. clouer : fixer avec des clous. / clouter : garnir de clous. 18. collision : choc. / collusion : entente secrète. 19. conjoncture : situation, circonstances. / conjecture : supposition. 20. (de) concert : ensemble. / (de) conserve : en suivant la même voie. 21. croasser : crier, tel un corbeau. / coasser : crier, telle une grenouille. 22. découpler : séparer un couple de choses. / décupler : multiplier par dix. 23. dénouement : fin d’une intrigue. / dénuement : misère, pauvreté. 24. déplier : étendre, ouvrir un objet. / déplisser : ôter les plis d’un objet. 25. édile : magistrat chez les Romains. / idylle : amourette. 26. effraction : fracture d’une porte pour voler. / infraction : violation d’une loi. 27. élucider : résoudre. / éluder : éviter.

29. exode : émigration massive. / exorde : début d’un discours. 30. fétu : brin de paille. / fœtus : embryon âgé de huit semaines. 31. flagrance : qualité de ce qui est flagrant. / fragrance : odeur agréable.

Aptitude verbale

28. épancher : répandre (ou) communiquer des sentiments. / étancher : arrêter.

32. grabat : lit inconfortable. / gravats : débris d’un bâtiment. 33. gradation : progression par degrés. / graduation : échelle graduée. © Dunod - Toute reproduction non autorisée est un délit.

34. habileté : qualité de celui qui est habile. / habilité : autorisé. 35. hiverner : passer l’hiver à l’abri. / hiberner : passer l’hiver endormi. 36. idiome : langage propre à une communauté. / idoine : adapté. 37. importun : qui dérange. / opportun : qui arrive au bon moment. 38. inanité : inutilité. / inanition : épuisement par manque de nourriture. 39. inclinaison : état de ce qui est penché. / inclination : penchant naturel. 40. infecter : contaminer. / infester : envahir, ravager. 41. magnificence : qui est magnifique. / munificence : générosité somptueuse. 42. perpétuer : faire durer, transmettre. / perpétrer : commettre.

271

25 Le vocabulaire

43. pogrom : massacre, pillage. / prodrome : signe annonciateur. 44. prédiction : annonce du futur. / prédication : instruction religieuse. 45. prescrire : ordonner, imposer, recommander. / proscrire : interdire. 46. somptueux : magnifique, fastueux. / (dépense) somptuaire : de luxe. 47. suggestion : action de suggérer, d’influencer. / sujétion : soumission. 48. tendresse : sentiment tendre. / tendreté : qualité des viandes tendres. 49. vénéneux : qui renferme un poison. / venimeux : qui a du venin. 50. vigie : surveillance. / vigile : veille d’une fête religieuse (ou) veilleur de nuit.

Exercices d’entraînement 0 0:3 0

1. Synonymes, antonymes, définitions. Identifiez la définition du mot en gras parmi les propositions. 1. Cette jeune fille semble ingénue, mais il ne faut pas se fier aux apparences. q a. sympathique    q b. naïve    q c. heureuse    q d. idiote 2. Les pauvres de ce pays sont dans un grave état de déréliction. q a. misère q c. malnutrition q b. abandon q d. fatigue 3. Ce professeur éminent devrait bientôt prendre sa retraite. q a. excellent q c. centenaire q b. intransigeant q d. principal 4. Ils sont tous empressés autour de leur oncle malade. q a. entassés q c. zélés q b. écrasés q d. hypocrites 5. Depuis sa dépression, Claire est asthénique. q a. sans force q c. sans vie q b. sans enthousiasme q d. sans sens de l’humour

272

6. André n’a pas hésité à nous faire l’apologie de son voisin qu’il ne connaît pourtant que depuis quelques jours. q a. l’éloge q c. la rencontre q b. la description q d. la critique

Le vocabulaire 25

2. Identifiez le mot de sens le plus proche du mot proposé en 1re colonne. A

B

C

D

1.

pitoyable

triste

lamentable

incantatoire

mielleux

2.

protestant

huguenot

opposant

antagoniste

disparate

3.

lucide

ombré

candide

perspicace

visible

4.

exubérance

protubérance

luxuriance

crainte

excoriation

5.

exutoire

collutoire

déferlement

dérivatif

médicament

6.

calamité

fléau

détresse

horreur

étrangeté

7.

pondéré

centriste

mesure

prude

modéré

8.

ermite

anachorète

moutonnier

insecte

grégaire

3. Identifiez le seul mot qui ne peut pas être synonyme du mot proposé en 1re colonne. B

C

1. nécessaire

contingent

essentiel

inéluctable

capital

2. abandon

abdication

confiance

capitulation

préoccupation

3. pari

risque

gageure

investissement

défi

4. pauvreté

misère

indigence

cupidité

pénurie

5. somnolence

sommeil

paresse

hibernation

torpeur

6. mobile

fantasque

mouvant

ambulant

changeant

7. boueux

maculé

tâche

souillé

vaseux

8. vigoureux

gaillard

solide

fort

impérieux

4. Synonymes, antonymes, définitions.

Trouvez l’antonyme le plus précis du mot proposé. 1. périgée ➱ 2. inculper ➱ 3. émerger ➱ 4. prologue ➱

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D

5. inhumer ➱ 6. implicite ➱ 7. a priori ➱ 8. hétérogène ➱

Aptitude verbale

A

5. Les homonymes.

Quel homonyme correspond à la définition proposée ? 1. Partie du corps située sous la taille. q a. hanche q b. anche q c. enche 2. Maison d’accueil pour les pauvres. q a. auspice q b. auspices

q c. hospice

3. Organe du tube digestif. q a. foi q b. foie

q c. fois

4. Sorte de grosse mouche qui pique. q a. tan q b. tant

q c. taon

273

25 Le vocabulaire 5. Trou d’une aiguille. q a. chat

q b. chas

q c. shah

6. Oiseau brun de la famille des corvidés. q a. jet q b. jais

q c. geai

6. Les homonymes.

Déterminez parmi les mots proposés lesquels complètent correctement les phrases suivantes. 1. Il déambulait sans savoir où aller ; ce pauvre … me fit pitié. q a. ère q b. erre q c. haire q d. hère

2. Cessez de … continuellement pendant mon explication ; c’est vexant ! q a. bayer q b. bâiller q c. baîller q d. bailler 3. Cette psyché quasi centenaire était de … sali, et on ne s’y voyait plus. q a. tain q b. tint q c. teint q d. thym 4. Dès le … du lit, je me sens frais et dispos pour la journée qui s’annonce. q a. sot q b. saut q c. sceau q d. seau 5. François 1er, voyant la déroute de l’armée française à Pavie aurait dit : « Tout est perdu, … l’honneur. » q a. fors q b. fort q c. fore q d. faure 6. Pierre n’a pas un mauvais …, mais il est extrêmement susceptible. q a. fonds q b. font q c. fon q d. fond

7. Les paronymes. Quelle est la bonne définition du paronyme proposé ?

274

1. abhorrer q a. porter fièrement q c. détester

q b. accoster q d. planter d’arbres

2. amnistie q a. choix q c. cession des combats

q b. pardon général q d. absence d’amande

3. collusion q a. entente secrète q c. petit en-cas

q b. heurt q d. agglutination

4. conjoncture q a. ensemble de circonstances q c. probabilité

q b. mot coordinateur q d. hypothèse

5. croasser q a. crier, telle la grenouille q c. crier, telle la pie

q b. manifester son dégoût q d. crier, tel le corbeau

Le vocabulaire 25

8. Les paronymes. Déterminez parmi les mots proposés lesquels complètent correctement les phrases suivantes. 1. Ces attentats ont été … par des groupes terroristes inconnus jusqu’alors. q a. perpétués q b. perpétrés 2. Le serpent est dangereux ; c’est un animal … q a. venimeux q b. vénéneux 3. Si je peux seulement vous faire une …, c’est de les laisser tranquilles. q a. sujétion q b. suggestion 4. François a réussi à vous tromper par des arguments … q a. captieux q b. capiteux 5. Ce fauteuil Restauration a été restauré ; sa lisière est minutieusement … q a. clouée q b. cloutée 6. Vous êtes en … lorsque vous dépassez la vitesse autorisée sur une route. q a. effraction q b. infraction

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1.

1. 2. 3. 4. 5. 6.

2.

1. B Incantatoire : qui relève de l’enchantement, de l’ensorcellement 2. A Huguenot : surnom donné aux protestants calvinistes disparate : divers. 3. C 4. B Luxuriance : état de ce qui est en surabondance Excoriation : légère écorchure. 5. C 6. A 7. D Pondéré : équilibré, modéré, calme 8. A Anachorète : religieux qui vit dans la solitude Grégaire : se dit d’un instinct qui pousse à se grouper avec ses semblables.

3.

1. A Contingent : qui peut être ou ne pas être, arriver ou ne pas arriver ≠ nécessaire : qui ne peut pas ne pas être, essentiel 2. D Confiance est synonyme d’abandon lorsque l’on dit que quelqu’un s’abandonne à quelqu’un d’autre

b. b. La déréliction peut également être le sentiment d’abandon. a. c. Plein d’ardeur, d’enthousiasme. a. L’ asthénie est une diminution de toutes les forces. a. Apologie peut également signifier défense.

Aptitude verbale

Corrigés des exercices

275

s

25 Le vocabulaire

4.

1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8.

5.

1. a. Ne pas confondre avec la languette vibrante de certains instruments à vent (b). « Enche » n’existe pas. 2. c. Ne pas confondre avec les présages (b). Auspices n’existe pas au singulier. 3. b. Ne pas confondre avec la croyance (a) ou la marque de la fréquence (c). 4. c. Se prononce bien « tan ». Ne pas confondre avec l’écorce d’arbre employée pour tanner les peaux (a) ou tellement, autant (b). 5. b. Ne pas confondre avec le félin (a) ou le souverain d’Orient (c). 6. c. Ne pas confondre avec le lancer (a) ou la pierre noire, variété du lignite (b).

6.

1. 2. 3. 4. 5. 6.

7.

1. c. Ne pas confondre avec arborer (a ou d) 2. b. Ne pas confondre avec armistice (c). Ne pas confondre l’amande (le fruit de l’amandier) et l’amende (la sanction). 3. a. Ne pas confondre avec collision (b) ou collation (c) 4. a. Ne pas confondre avec conjecture (c, d). Dans la mesure où c et d sont synonymes, il fallait les éliminer tous les deux pour trouver la bonne définition. 5. d. Ne pas confondre avec coasser (a). La pie jacasse.

8.

1. b. commis 2. a. Qui a du venin. 3. b. influence, conseil 4. a. trompeur 5. b. garnie de clous 6. b. violation de la loi

C

O

R

R

I

G

é

3. C Gageure  : action dont la finalité semble inaccessible, irréalisable, mais dans ­laquelle on s’engage néanmoins 4. C cupidité : désir excessif de posséder de l’argent, des richesses 5. B torpeur : état de somnolence, d’engourdissement prolongé 6. A fantasque : sujet aux fantaisies ou aux caprices 7. B tâche : travail, ouvrage à réaliser ≠ tache : salissure 8. D impérieux : autoritaire, à qui on ne peut résister

276

apogée. disculper (innocenter). immerger (plonger dans un liquide) : on retrouve le préfixe im– signifiant dans. épilogue (fin d’un texte) : on retrouve le préfixe épi– signifiant derrière. exhumer (sortir de terre) : on retrouve le préfixe ex– signifiant hors de. explicite. a posteriori (qui se fait grâce à l’expérience). homogène.

d. misérable. b. « Baîller » n’existe pas. a. Une psyché est un grand miroir pivotant. b. Vient du verbe sauter. a. Signifie excepté ; « faure » n’existe pas. d. « Fon » n’existe pas.

L’orthographe lexicale

26

Testez-vous Voici une série de 10 exercices à faire en 10 minutes pour évaluer votre niveau, puis vous donner un objectif de travail…

1. Ce sont des personnages...   a. influents

  b. influent

  c. influants

  b. cieuillir

  c. cueillir

  b. chatoiement

  c. agréement

2. Doit-on écrire :   a. ceuillir

3. Quel mot est incorrect ?   a. atermoiement

4. Quel mot n’existe pas en français ?   a. martyr

  b. inutil

  c. désir

  b. apporter

  c. apparenté

  a. appercevoir

6. Quelle est la bonne orthographe du mot suivant ?   a. ocurence   c. ocurrence

  b. occurence   d. occurrence

Aptitude verbale

5. Trouvez l’intrus graphique.

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7. Quel est le seul mot correct ?   a. addaptation   c. addipeux

  b. addiction   d. addhésion

8. Complétez correctement la phrase suivante : Le témoin... n’a rien...   a. oculaire/oculté   b. occulaire/occulté   c. oculaire/occulté   d. occulaire/oculter

9. Quel mot est bien orthographié au singulier ?   a. le houx   c. la grottes

  b. le champs   d. le puit

10. Trouvez l’intrus.   a. une fourmie   c. une truie

  b. une pluie   d. une carie

277

26 L’orthographe lexicale

Solutions 1. a. ; 2. c. ; 3. c. Agrément est une exception avec châtiment ; 4. b. Inutile prend toujours un -e ; 5. a. Apercevoir ; 6. d. ; 7. b. ; 8. c. ; 9. a. Puits prend toujours un -s ; 10. a. Une fourmi.

Quel est votre niveau ? Notez-vous : 1 point par bonne réponse. Si vous obtenez : l moins de 3 points sur 10 : il vous faudra travailler intensément ce chapitre ; l entre 4 et 8 points, il vous faudra réviser et approfondir ce chapitre ; l 9 ou 10 points, vous pourrez passer ce chapitre en première étape de votre préparation générale.

Les signes auxiliaires : accent, cédille, trait d’union Les accents Retenez bien l’accentuation des mots suivants concernant : l l’accent aigu/grave : élaborer, eldorado, genèse, féerie, feta, illettré, impétigo, irréligion, rehausser, repartie ; l l’accent circonflexe : affût/raffut, barème, châtaigne, crèche, crème/chrême, dîme, drôle/drolatique, eurêka, fève, la gêne/un gène, gnome, grâce/gracieux, icône/iconique, un jeune/le jeûne/à jeun, moelle, un poêle/une poêle, symptôme/syndrome, trêve.

Les autres signes auxiliaires La cédille se place sous le c devant a, o, u pour conserver le son/s/. Retenez l’orthographe de cercueil, écueil, cueillir et leurs dérivés qui conservent le son/k/en changeant euil en ueil. Retenez bien la présence ou l’absence de traits d’union dans les cas suivants : l les nombres (ou parties de nombres) inférieur(e)s à cent, sauf s’il y a « et » : quatrevingt-dix, mais vingt et un, cent dix, etc. l Les mots suivants : au-dessus/en dessous, au-delà, au travers, ayant cause, ayant droit, château fort, feu follet, garde champêtre, libre arbitre, va-t’en/va-t-il/va-t-on.

Les lettres muettes Voyelles 278

l

–a : muet dans août, curaçao (liqueur) saoul (ou soûl), toast.

L’orthographe lexicale 26 –e : il est muet : – au milieu d’un mot, associé à – au (ex. : beau) ainsi que dans féerie, soierie, vilebrequin, gaieté, – ou gaîté – etc. – comme lettre finale précédée d’une voyelle (ex. : pensée, vie, vue). Remarque : les mots en –ment qui dérivent de verbes en –er dont le radical ter­mine par une voyelle (ex. : renier → radical reni–, terminaison –er) prennent généralement un –e muet, sauf agrément et châtiment. l

Exemple

renier → reniement / éternuer → éternuement.

Pas de –e final dans les noms cérumen, cheptel, cholestérol, désir, han­dicap, imam, la plupart des noms féminins en –eur (candeur, pudeur) et les expressions à l’insu de, au vu de, au vu et au su.

–i est muet dans encoignure, oignon. l –o est muet dans bœuf, œuf, taon. l –u est muet dans l’unité phonétique qu (ex. : marque, paquet). l

Les consonnes finales sont souvent muettes (plomb, accroc, fusil, etc.). l –c : muet dans acquérir et ses dérivés, mais aussi quand il est placé entre un –s et un –e ou un –i (ex. : sceau, scie). l –h : – en début de mot, il est muet quand il n’est pas aspiré (ex. : l’homme), – au milieu d’un mot, il joue généralement le rôle d’un tréma (ex. : ahaner – res­pirer bruyamment –, envahir, brouhaha), mais il peut là aussi être muet. Retenez ces mots dans lesquels le –h est muet : abhorrer (détester), annihiler (anéantir), athée, blockhaus, cirrhose, dahlia, diarrhée, drachme (monnaie grecque), jacinthe, mythe, rhododendron (plante), thuya.

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l

Aptitude verbale

Consonnes

Les mots suivants ne prennent pas de –h : ankylose, azimut (angle), bitume, empyrée (paradis), ermite, étymologie, jante, orang-outan(g), papyrus.

–m : muet dans les mots automne, damner et leurs dérivés. l –p : muet devant un –t dans les mots baptiser, compter, dompter, exempt, prompt, sculpter, sept (et leurs dérivés). l –s : muet dans schéma et ses dérivés. l

279

26 L’orthographe lexicale

Le redoublement des consonnes Règle On ne double pas une consonne après une voyelle accentuée. l Les consonnes –j, –q, –v, –w, –x ne sont jamais doublées en français. l

Cas de redoublement de consonnes à observer B : Redoublé dans abbé, rabbin, sabbat et leurs dérivés. C : Toujours redoublé quand le mot commence par occu-, sauf dans les dérivés d’oculaire (oculiste, etc.). D : Rarement redoublé, notons addition, adduction, reddition et dérivés. F : Notons surtout la différence entre le soufre et il souffre, mais aussi affoler, boursouffler/souffler, persifler/siffler. G : Peu redoublé, sauf dans agglomérer, agglutiner, aggraver, suggérer et dérivés. L : Il est souvent redoublé. Notons accoler/colle, annuler/nullité, imbécile/imbécillité. M : Les mots en dom– prennent un seul –m, sauf dommage et ses dérivés. Remarque : Le –n devant –b, –m, –p devient –m (ex. : combien, comment, rompre), sauf dans bonbon, embonpoint, néanmoins, mainmise, mainmorte. N : Les mots en –nat prennent un –n sauf bâtonnat (fonction de chef de l’ordre des avocats), championnat, paysannat, quinquennat, pensionnat, septennat, triennat. P : Notons l’orthographe d’attraper, mais aussi les mots en –ap qui ne prennent pas –pp tels apaiser, apercevoir, apeurer, apitoyer, aplanir, aplatir, apostropher, apurer. R : Notons baril/barrique, chariot/charrette, courir/courrier. S : Il est redoublé pour conserver le son –s quand il est placé entre deux voyelles. Associé à une consonne, il conserve le son –s. Toutefois dans certains mots, bien qu’employé seul, il conserve le son –s : aérosol, asymétrie, dysenterie, présupposer, primesautier (qui agit impulsivement), resurgir, susurrer, vraisemblable. T : Les mots en -eterie prennent un seul –t, sauf billetterie, coquetterie, lunetterie, robinetterie, tabletterie. Notons en outre cahute/hutte. Z : Peu redoublé sauf dans blizzard, jazz, mezzanine, mozzarella, pizza, razzia.

280

L’orthographe lexicale 26

Les finales des mots Finales des verbes l

–aindre  : tous les verbes en –eindre prennent un –e, sauf craindre, plaindre, contraindre.

l

–andre : tous les verbes en –endre prennent un –e, sauf épandre, répandre.

l

–tier : tous les verbes en –cier prennent un –c, sauf balbutier, initier.

Finales des noms et adjectifs Certains noms finissent, au singulier, par un –s ou un –x. Retenez les 12 suivants : burnous, crucifix, houx, legs (don par testament), mets, pilotis, pouls, puits, relais, remords, remous, verglas. l Certains noms masculins ont une finale féminine. Retenez les 10 suivants : athée, caducée (symbole des pharmaciens), coolie, génie, hyménée, mausolée (monument aux morts), messie, pygmée, scarabée, trophée. l –assion : tous les mots en –ation prennent un –t, sauf compassion, passion. l –ussion  : tous les mots en –ution prennent un –t, sauf concussion (vol d’argent ­public), discussion, percussion, répercussion. l –euille : tous les noms masculins en –euil terminent par un –l, sauf chèvrefeuille (arbuste), millefeuille, portefeuille. l –é : tous les noms féminins en –é prennent un –e final (matinée), sauf acné, clé (ou clef), psyché (miroir) et la plupart des noms féminins en –té. Pour ces derniers, la règle est la suivante : les noms en –té n’ont pas de –e final (lâcheté, pauvreté), sauf les dérivés de mots finissant en –t (nuit ➱ nuitée), en –ette (assiette  ➱ assiettée), et les noms dérivés de verbes finissant en –ter (dicter ➱ dictée). l –i : tous les noms féminins en –i (sauf ceux en –is) prennent un –e final (vie), sauf fourmi. l –oi : tous les noms féminins en –oi (sauf ceux en–ois et –oix) prennent un –e final (soie), sauf foi, loi, paroi. l –oux : tous les noms féminins en –ou prennent un –e final, sauf toux. l –tiable : tous les mots en –ciable prennent un –c, sauf insatiable. l –u : tous les noms féminins en –u prennent un –e final (vue), sauf bru (belle-fille), glu, tribu, vertu.

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Aptitude verbale

l

281

26 L’orthographe lexicale

Exercices d’entraînement 0 0:2 0

1. L’emploi des signes auxiliaires.

Repérez, dans chaque série, le (ou les) élément(s) fautif(s).

1. a. cîme b. dîme 2. a. ici-bas b. lave-glace 3. a. couçi-couça c. aperçu 4. a. tout-à-fait b. au-delà 5. a. infâmie b. pâtisserie 6. a.. saucisson b. clavecin 7. a. bateau b. chateau 8. a. dites-le b. est-ce

c. mîme d. abîme c. ayant droit d. soixante douze b. au décrochez moi-ça d. déçimer c. grand-mère d. mi-chemin c. arôme d. grâce c. bicycle d. il recoit c. maton d. baton c. va-t-on d. va-t-en

2. Les lettres muettes.

Dans les listes suivantes, trouvez les mots mal orthographiés.

1. a. fond 2. a. baptistère 3. a. coût 4. a. brouhaha 5. a. voirie 6. a. enraiement 7. a. soie 8. a. danation

b. rond b. exempté b. dégoût b. jacinthe b. soirie b. dénuement b. voie b. diarrhée

c. gong c. comptine c. soûl c. éthymologie c. armoiries c. gentiment c. aloie c. dague

d. plong d. écoimpter d. oût d. bitume d. hoirie d. châtiement d. moie d. dahlia

3. Le redoublement des consonnes.

Déterminez dans chaque série quels mots redoublent les lettres proposées.

282

A

B

C

D

1. L

e…ipse

imbéci…ité

te…urique

coro…e

2. M

do…age

bonho…ie

ma…ifère

i…mam

3. S

di…ymétrie

dy…enterie

re…asser

su…urrer

4. C

ra…ommoder

o…ulter

o…uliste

a…astiller

5. B

a…atiale

sa…atique

a…onder

o…érer

6. T

marque…erie

table…erie

affé…erie

coque…erie

7. Z

a…alée

zé…ayer

ra…ia

la…i

8. D

bou…hique

a…itif

a…ultère

a…amantin

L’orthographe lexicale 26

4. Les finales des mots.

Dites si les séries suivantes comportent des mots fautifs. Entourez « V » si tout est correct, « F » si au moins un mot est incorrect. 11. Comprendre, étendre, épandre, méprendre. 12. Bévue, hurluberlu, glu, cru. 13. Fourchetée, matitée, maturité, aspérité. 14. Un tort, un cor, un remords, un remou. 15. Cercueil, écureuil, chèvrefeuille, chevreuil. 16. Une clé, une billevesée, une acné, une psyché. 17. Pauvreté, naïveté, promiscuité, inutilité. 18. Fourmi, discution, trophée, coolie. 19. Paroi, croix, soie, courroie. 10. Messie, pli, étui, géni.

q V q V q V q V q V q V q V q V q V q V

qF qF qF qF qF qF qF qF qF qF

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A

B

C

D

1

indemne

automnal

damnation

dilemne

2

un pâté

un été

un athé

un feuilleté

3

méprendre

entreprendre

épendre

appendre

4

aggraver

aggacer

agglomérer

agglutiner

5

bitume

aborer

étymologie

terme

6

diaconnat

paysannat

triennat

pensionnat

7

éternuement

maniement

agréement

balbutiement

8

ce cas-là

au-delà

par-dessus

en-deçà

Aptitude verbale

5. Trouvez dans chaque série le seul mot mal orthographié.

Corrigés des exercices 1.

1. a. cime, c. mime ; on dit que l’accent de la cime tombe dans l’abîme, c’est pourquoi il n’y a pas d’accent dans cime et qu’il y en a un dans abîme. 2. d. soixante-douze : nombre inférieur à cent, il faut des traits d’union ; notons qu’il n’y a pas de trait d’union dans ayant droit ni dans ayant cause (termes de droit pour désigner toute personne détenant le droit sur quelque chose). 3. a. couci-couça, d. décimer. 4. a. tout à fait n’est pas un nom composé, c’est une locution adverbiale. Remarque : pour savoir si un mot est un nom, vérifiez si vous pouvez le faire précéder d’un article ; ici on ne peut pas dire « un tout à fait ».

283

s

26 L’orthographe lexicale

é

5. a. infamie (mais infâme prend un accent circonflexe) ; grâce prend un accent circonflexe, mais pas gracieux. 6. d. il reçoit. 7. b. château (vient de castellum, la disparition du –s est marquée par l’accent circon­ flexe, d. bâton (vient de bastum) ; un maton est un gardien de prison. 8. d. va-t’en : il y a disparition de –oi dans toi, disparition marquée par l’élision. 1. d. plomb. 5. b. soierie (du nom soie) ; hoirie : héritage. 2. d. écointer (couper en coin). 6. d. châtiment. 3. d. août. 7. c. aloi (alliage) ; moie : couche tendre de terre. 4. c. étymologie. 8. a. damnation (le –m est muet).

3.

1. A, B, C, D. On écrit imbécillité mais imbécile. Tellurique : relatif à la Terre. 2. A, C. On écrit bonhomie mais bonhomme. 3. A, C. On écrit dissymétrie mais asymétrie. Ressasser est un palindrome, car il peut se lire dans les deux sens de la même façon. 4. A, B, D. Accastiller : garnir un voilier des accessoires pour les manœuvres. 5. A, B. Obérer : accabler d’une lourde charge financière. 6. B, D. Afféterie : attitude prétentieuse. 7. C, D. 8. A, B. Adamantin : qui a les propriétés du diamant.

4.

Les séries correctes sont : 1, 2, 5, 6, 7, 9. 3. matité (propriété de ce qui est mat). 4. un remous, des remous. 8. une discussion. 10. un génie.

5.

1. D : dilemme 2. C : athée 3. C : épandre (comme répandre). Appendre : suspendre. 4. B : agacer 5. B : abhorrer (signifie détester) 6. A : diaconat 7. C : agrément (exception avec châtiment) 8. D : en deçà (sans trait d’union)

C

O

R

R

I

G

2.

284

27

L’orthographe grammaticale Testez-vous

Voici une série de 10 exercices à faire en 10 minutes pour évaluer votre niveau, puis vous donner un objectif de travail…

1. Manon est une jeune ...... ravissante.   a. paysane

  b. paysanne

  c. paysâne

2. Et si ...... était à refaire, je n’hésiterais pas.   a. s’

  b. c’   c. ç’

3. Parmi les mots suivants, trouvez le seul mot masculin.   b. omoplate

  c. acoustique

4. Quel est le pluriel de lit-cage ?   a. lit-cages

  b. lit-cage

  c. lits-cages

5. Elle semblait ...... isolée au fond de la grande salle.   a. toute

  b. tout

Aptitude verbale

  a. effluve

  c. toutes

6. Ils ne ...... font que des remontrances. © Dunod - Toute reproduction non autorisée est un délit.

  a. leur

  b. leurre

  c. leurs

7. Huguette avait été ...... par ce petit singe joueur.   a. amusée

  b. amuser

  c. amusé

8. Les quelques gouttes de pluie qu’il est ...... n’ont pas suffi.   a. tombée

  b. tombées

  c. tombé

9. Le Brésil fait partie des pays ...... de l’Amérique du Sud.   a. émergents

  b. émergeant

  c. émergeants

10. Est-ce toi quoi ...... comme un fou ?   a. cour

  b. court

  c. cours

285

27 L’orthographe grammaticale

Solutions 1. b. ; 2. b. ; 3. a. ; 4. c. Les deux noms s’accordent ; 5. b. Tout est employé comme adverbe ; 6. a. Leur ne prend jamais de -s quand il est placé devant un verbe ; 7. a. Accord avec le sujet ; 8. c. Le participe passé d’un verbe impersonnel est toujours invariable ; 9. a. ; 10. c. Accord à la 2e personne du singulier.

Quel est votre niveau ? Notez-vous : 1 point par bonne réponse. Si vous obtenez : l moins de 3 points sur 10 : il vous faudra travailler intensément ce chapitre ; l entre 4 et 8 points, il vous faudra réviser et approfondir ce chapitre ; l 9 ou 10 points, vous pourrez passer ce chapitre en première étape de votre préparation générale.

Règles concernant le nom et l’adjectif Le genre du nom Règle1 Règle Certains noms ont un genre qui fait hésiter. Retenez les principaux : Masculin : abîme, aérolithe, agrume, amiante, anthracite, antidote, antre, apogée, arcane, armistice, aromate, asphalte, astérisque, cerne, chrysanthème, décombres, effluve, éloge, en-tête, épiderme, épilogue, équinoxe, exode, fastes, globule, haltère, hémisphère, intervalle, ivoire, obélisque, ovule, pétale, planisphère, pore, tentacule, termite, trille, vivres. Féminin : acné, acoustique, alcôve, algèbre, anagramme, anicroche, argile, arrhes, atmosphère, câpre, céréale, clepsydre, ébène, échappatoire, écritoire, encaustique, éphéméride, épithète, épître, icône, idylle, oasis, octave, omoplate, opale, oriflamme, réglisse, spore, stalactite / stalagmite, ténèbres, urticaire, vis. Règle2 Règle Le féminin s’obtient par addition d’un –e à la forme masculine quand celle-ci ne prend pas déjà un –e final. 286

L’orthographe grammaticale 27

Les mots en –eur ne suivent pas tous la même règle : – ceux qui dérivent du latin ont un féminin régulier (ex. : meilleur, meilleure) ; – ceux qui dérivent directement d’un verbe ont un féminin en –euse (ex. : menteur, menteuse) ; – les autres ont un féminin en –rice (ex. : destructeur, destructrice car le verbe « destructer » n’existe pas).

Le nombre du nom et de l’adjectif

Aptitude verbale

De nombreux cas font exception. Retenez les exceptions suivantes : l féminin en –esse pour âne, chanoine, diable, druide, hôte, maître, ogre, pape, poète, prêtre, prince, prophète, tigre, traître. l féminin avec doublement de la consonne finale pour les mots en –el, –eil, –en, –on (sauf mormon), –et (sauf préfet, complet, concret, désuet, discret, inquiet, replet, secret et dérivés) ainsi que gentil, nul, paysan, chouan, chat, boulot, maigriot, pâlot, sot, vieillot, bas, épais, gras, gros, las, métis, exprès, profès (= engagé en religion). l féminin en –que pour laïc, ammoniac, caduc, public, turc, franc (le peuple) ; l féminin en –ère pour des mots en –er (ex. : berger, bergère) ; l féminin en –guë pour des mots en –gu (ex. : aigu, aiguë) ; l féminin en –se pour les mots en –eux ainsi qu’époux et jaloux (ex. : sérieux, sérieuse) ; l féminin en –gne dans bénin et malin (ex. : malin, maligne) ; l féminin en –lle pour beau, jumeau, nouveau, fou, mou, vieux ; l ajout d’une consonne : d’un –t final dans coi, favori, rigolo (ex. : coite), d’un –s final dans andalou (ex. : andalouse), d’un –d final dans esquimau (ex. : esquimaude) ; l bref (brève), frais (fraîche), grec (grecque), sec (sèche), tiers (tierce).

Règle3 Règle

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Le pluriel s’emploie toutes les fois qu’on désigne plusieurs êtres ou choses. Il ne s’emploie donc pas : l quand un mot prend une valeur générale ou concerne une réalité non quantifiable (ex : des sacs de sable). l quand il désigne nécessairement une réalité unique (ex : des fruits à noyau). Règle 3.1 Exception Le nombre des noms et adjectifs composés dépend de la nature des termes pré­ sents dans le mot composé.

287

27 L’orthographe grammaticale Règles d’accord

Composition des mots

Exemples

• nom + nom • nom + adjectif • adjectif + adjectif

• des sourds-muets • des coffres-forts • des femmes sourdesmuettes

• nom + préposition (présence éventuelle d’une préposition entre les termes)

• des arcs-en-ciel • des tête-à-tête

Accord du 2nd terme

• mot invariable + nom • élément incomplet + nom • élément incomplet + adjectif • nu, mi, demi, semi + nom • nu, mi, demi, semi + adjectif

• des avant-projets • des gallo-romains • des hommes gallo-­ romains • des semi-remorques • des paupières micloses

Accord du 2nd terme ou pas d’accord selon le sens

• verbe + nom

• des couvre-lits • des réveille-matin

Pas d’accord

• verbe + verbe • verbe + mot invariable • phrase

• des peut-être • des touche-à-tout • des qu’en-dira-t-on

Accord des deux termes

Remarque : L’accord d’un adjectif dans un mot composé ne se fait pas si cet adjectif équi­vaut à un adverbe. Pour déterminer si l’usage est adverbial (et donc s’il est invariable), il faut rem­placer l’adjectif par une forme correspondante en –ment. Exemple

des personnes haut placées → des personnes hautement placées. Cette analyse justifie l’invariabilité de grand dans certains mots composés. Exemple

grand-soif, grand-tante, grand-messe. Exceptions : large ouvert, grand ouvert, raide mort, bon premier, premier-né, dernierné, et les adjectifs composés de frais varient normalement.

288

Demi s’accorde en genre dans une (deux, trois, etc.) heure(s) et demie, parce qu’on considère qu’il s’agit d’une heure et de la moitié d’une heure. En revanche, la locution à demi est toujours invariable.

L’orthographe grammaticale 27 Garde dans les mots composés peut être un nom ou un verbe. En tant que nom il varie, mais pas en tant que verbe. Pour distinguer les deux cas, il suffit de considérer qu’il s’agit d’un nom quand le mot composé désigne une personne, et d’un verbe quand il désigne un objet. Exemples : des gardes-malades (personnes)/des garde-robes (objets).

Règle 3.2 Exception Les noms propres et les noms occasionnels sont invariables. Exemple

Mes voisins sont les Martin. Avec des si et des mais, on mettrait Paris en bouteille. Règle 3.3 Exception Les adjectifs numéraux sont généralement invariables sauf vingt et cent qui varient en nombre quand ils sont multipliés et placés en fin d’un nombre. Exemple

quatre-vingts mais quatre-vingt-un (car vingt ne finit pas le nombre).

Règle 3.4 Exception Les adjectifs de couleur généralement variables sont invariables quand ce sont des adjectifs composés ou quand ils viennent d’un nom.

Aptitude verbale

Zéro, million et milliard ne sont pas des adjectifs, mais des noms. Ils varient normalement (ex. : Ce sont des zéros).

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Exemple

des pulls bleu marine / des livres orange. Exceptions : écarlate, mauve, pourpre et rose, pour­tant issus de noms, varient. Règle 3.5 Exception Les mots employés comme adjectifs, les adjectifs employés comme adverbes et les adjectifs du vocabulaire familier sont invariables. Exemple

Des gens bien (adverbe employé comme adjectif) Cette personne voit clair. (adjectif employé comme adverbe) Ils en sont tous restés baba. (adjectif familier)

289

27 L’orthographe grammaticale Règle 3.6 Exception L’accord de quelque, tout et même dépend de leur nature. Il faut les accorder quand ils sont des adjectifs. Ils complètent alors un nom ou un pronom (ex. : quelques amis / tous les élèves / les mêmes jeux). Il ne faut pas les accorder quand ils sont des adverbes. Ils complètent alors un adjectif ou un adverbe (ex. : quelque vingt ans nous séparent / la famille tout entière / les parents, les amis même). En tant qu’adverbe, tout peut varier pour que l’on entende le second –t, lorsqu’il précède un mot féminin commençant par une consonne ( ex : Elles sont toutes confuses).

Remarque : Tout peut également être nom. Il a alors un pluriel particulier : touts au masculin pluriel (ex. : Les touts précèdent leurs parties). Il peut aussi être pronom (ex. : Tous sont venus me voir à l’hôpital). Règle4 Règle Le pluriel s’obtient par addition d’un –s à la forme du singulier, sauf si le mot se termine déjà au singulier par un –s, –x, –z. Exemple

un nez, des nez Remarque : Tous les noms n’ont pas de singulier. Retenez les principaux : abdominaux, annales, archives, beaux-arts, fiançailles, funérailles, gens, obsèques, parages, ténèbres. Règle Exception 4 Certains noms et adjectifs prennent un –x au pluriel. C’est le cas des mots : l en –au et –eu (sauf landau, sarrau, bleu, émeu, lieu – le poisson –, pneu qui prennent un –s). l bijou, caillou, chou, genou, hibou, joujou, pou. l en –al dont le pluriel est en –aux (sauf bal, cal, carnaval, cérémonial, chacal, fatal, festival, final, glacial, jovial, mistral, natal, naval, récital, régal qui prennent un –s). l aspirail, bail, corail, émail, fermail, soupirail, travail, ventail, vitrail dont le pluriel est en –aux. l œil (yeux), ciel (cieux), aïeul (aïeux) sauf dans les mots composés (ex. : des ciels de lit). 290

L’orthographe grammaticale 27

Les homonymes grammaticaux Règle5 Règle Il faut savoir distinguer les homonymes grammaticaux, mots qui ont la même prononciation mais pas la même orthographe.

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Voici les principaux : → Moyen d’identification

a (verbe) à (préposition) alentour (adverbe) alentours (nom) aulx (nom) ô (interjection) au, aux (article) oh (interjection) ho (interjection)

→ → → → → → → → →

aussi tôt (adverbes) aussitôt (adverbe) bien tôt (adverbes) bientôt (adverbe) ça (pronom) çà (adverbe) sa (adjectif possessif) ceci, cela (pronoms) ceux-ci, ceux-là (pronoms) ce (pronom démonstratif) se (pronom personnel) ces (adjectif démonstratif) ses (adjectif possessif) davantage (adverbe) d’avantage(s) (nom) dès (préposition) des (article) dû (verbe) du (article) et (conjonction) est (verbe) hors (préposition) or (conjonction) la (article) là (adverbe) l’a (pronom + verbe) leur (adjectif ou pronom) leurs (adjectif ou pronom)

→ → → → → → → → → → → → → → → → → → → → → → → → → → → →

ni (conjonction) n’y (adverbes)

→ →

possède dans les autres cas autour (utilisé sans article) dans les autres cas pluriel d’ail introduit une apostrophe à le, à les exprime l’indignation pour appeler ou pour manifester un sentiment vif indique une comparaison tout de suite très tôt prochainement cela utilisé avec là la sienne remplace un mot singulier remplace un mot pluriel cela remplacer par me sert à désigner marque la possession plus de bénéfice, de profit à partir de indique une quantité participe du verbe devoir de le ainsi que présent du verbe être à l’extérieur indique la transition d’idées devant un nom féminin ici remplacer a par ont singulier pluriel Remarque : leurs ne peut pas être pronom personnel, mais seulement un possessif. souvent répété : ni … ni utilisé avec pas, point, rien

Exemples Il a une voiture. Une scie à bois. Il y a la forêt alentour. Il y a la forêt aux alentours. Des aulx à tunique. Ô temps ! suspends ton vol ! Rédiger au stylo. Oh ! le garnement ! Holà ! Ho ! venez-m’aider ! Il est parti aussi tôt que moi. Il est parti aussitôt. Je trouve qu’il arrive bien tôt. Je sais qu’il arrive bientôt. Ça a pris du temps. On voyait çà et là des oies. C’est sa chemise. Cela est évident. Ceux-là sont coupables. Ce sera très amusant. Il se dit que tout finit bien. Ces chaussures sont à moi. Il doute de ses capacités. Ce film me plaît davantage. J’y vois plus d’avantages. Nous partirons dès l’aube. Ils mangent des petits pois. Il faut payer son dû. La couleur du ciel. Paul et son père sont revenus. Il est temps de dormir. Il est hors de la ville. Il m’attendait ; or je l’ignorais. La poupée de chiffon. Il n’est pas là. Il l’a vu hier. Ils ont leur frère près d’eux. Ils ont leurs frères près d’eux. Ils leur disent la vérité (pers.). Ce sont les leurs (poss.). Il n’est venu ni lundi ni mardi. Il n’y a rien à espérer de cela.

Aptitude verbale

Liste d’homonymes

291

27 L’orthographe grammaticale notre / votre (adjectif) nôtre / vôtre (pronom ou adjectif) on (pronom) ont (verbe) ou (conjonction) où (pronom/adverbe) plutôt (adverbe) plus tôt (adverbes) pourquoi (adverbe ou pronom) pour quoi (préposition + pronom) près (adverbe) + de prêt (adjectif) + à quand (conjonction) quant + à (préposition) qu’en (pronoms) quelle (adjectif) qu’elle (conjonction + pronom) quelque (adverbe ou adjectif) quel que (adjectif + pronom) quoique (conjonction) quoi que (pronoms) sans (préposition) c’en (pronoms) s’en (pronoms) si (conjonction / adverbe) s’y (adverbes) ci (adverbe)

→ précède un nom → utilisé sans nom

→ → → → → → → →

jonctif bien que quel que soit ce que privation (opposé à avec) cela en remplacer par (je) m’en en supposant que, tellement se … à cela ou se … ici là

sitôt (adverbe) si tôt (adverbes) son (adjectif) sont (verbe) voir (verbe) voire (adverbe)

→ → → → → →

dès que tellement tôt remplacer par ses remplacer par est regarder et même

→ → → → → → →

nous avoir, remplacer par a ou bien indique le lieu de préférence avant (suivi de que) pour quelle raison

→ dans le but de

Il a pris votre voiture. Cette voiture est vôtre. On voit la mer au loin. Ils ont du temps à perdre. Veux-tu de l’eau ou du vin ? Où irez-vous en août ? Tout plutôt que le déshonneur. Il a dîné plus tôt que moi. Pourquoi vivons-nous ? Venir ! Pour quoi faire ?

à proximité de disposé à indique le temps pour ce qui est de que… de cela suivi d’un nom suivi d’un verbe

Il est près de moi. Il est prêt à tout. Quand nous reverrons-nous ? Quant à moi, je reste le même ! Qu’en est-il de votre santé ? Quelle heure est-il ? Il faut qu’elle m’écoute.

→ plusieurs ou aussi

Quelques personnes attendent.

→ suivi du verbe être au sub-

Quel que soit votre avis, on vous écoute. J’irai quoique ce soit risqué. J’irai quoi que tu dises. Une chemise sans poche. C’en est trop, je suis révolté. Il s’en aperçoit bien tard ! Si je viens, serai-je attendu ? Il est si facile de se tromper ! Il s’y consacre totalement. Ces temps-ci, il fait froid. Sitôt qu’il parla, il m’exaspéra. Il est si tôt que tous dorment. C’est son manteau. Ils sont partis. C’est ce que nous allons voir. Il est taquin voire exaspérant.

→ → → → → → →

Le verbe L’accord du verbe Règle6 Règle L’accord du verbe se fait en nombre et en personne avec le sujet.

292

Pour identifier le sujet, il faut se demander qui (pour une personne) ou qu’est-ce qui (pour un animal ou une chose) fait l’action exprimée par le verbe.

L’orthographe grammaticale 27 Exemple

Au printemps fleurissent les roses. → Qu’est-ce qui fleurit ? Les roses. • Si le verbe a deux sujets singuliers coordonnés, il faut l’accorder au pluriel. Exemple : Pierre et Paul jouent. • Si ces sujets ne sont pas à la même personne grammaticale, c’est la per­sonne la plus proche de la 1re qui commande le choix de personne. Ainsi, « moi + toi = nous », « moi + lui = nous », « toi + lui = vous ». Exemples : Ton frère et toi êtes très sympathiques. Toi et moi sommes les meilleurs amis du monde.

Règle 6.1 Exception Le participe présent est toujours invariable. Remarque : Le participe présent se construit en –ant (ex. : chantant). Il ne faut pas le confondre avec l’adjectif qui lui correspond et qui varie en genre et en nombre. Pour les distinguer, il faut noter que le participe exprime une action, et l’adjectif un état, une caractéristique. Des attitudes menaçant ma sécurité (elles font l’action de menacer). Des attitudes menaçantes (elles ont la caractéristique d’être menaçantes). Règle 6.2 Exception

Aptitude verbale

Exemple

Lorsque le sujet est la plupart, beaucoup, quantité, peu ou un équivalent désignant une quantité indéterminée, le verbe s’accorde au pluriel.

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Exemple

La plupart pensent que j’ai raison. Règle 6.3 Exception Lorsque le sujet est le pronom ce suivi du verbe être, ce verbe s’accorde avec l’élément attribut qui suit. Exemple

Ce sont des hommes. Cette règle ne s’applique pas quand l’élément attribut est nous ou vous, ou quand c’est un nom au singulier qui ne reprend pas un pluriel précédent.

293

27 L’orthographe grammaticale Exemple

Messieurs, c’est vous qui avez gagné le premier prix. C’est François et ses enfants qui arrivent (et non : ce sont…). Voici nos enfants : ce sont Pierre et Jean. Les locutions c’est-à-dire et si ce n’est restent toujours invariables.

L’accord du participe passé Règle7 Règle Emploi

Règles

Exemples

Emploi sans auxiliaire ou avec être

• accord avec le mot auquel il se rapporte

→ une nappe blanchie → la nappe est blanchie

Emploi avec avoir

• pas d’accord, ou • accord avec le COD* s’il est placé avant

→ le temps a blanchi la nappe → la nappe, le temps l’a blanchie (l’, féminin est COD)

Emploi avec avoir + être

• accord avec le sujet

→ ils ont été écoutés

Emploi avec avoir + avoir

• pas d’accord ou • accord avec le COD placé avant

→ ils ont eu fini → mes travaux, je les ai

eu finis (les est COD)

* Complément d’Objet Direct. Remarque : Quand il y a deux auxiliaires, celui qui est intercalé est toujours inva­riable. Pour bien accorder le participe passé employé avec l’auxiliaire avoir, il ne faut pas confondre le COD du participe avec : • Un complément circonstanciel (ex. : Les mille euros que ce meuble m’a coûté. Ce meuble a coûté combien – et non quoi. Mille euros n’est pas COD mais complément circonstanciel donc le participe ne s’accorde pas. • Un sujet apparent (ex. : Les sommes qu’il a fallu ont paru énormes. les sommes – remplacé par qu’ – est le sujet de falloir et non son COD. • Le COD de l’infinitif qui suit (ex. : Les chansons que j’ai entendu chanter. J’ai entendu chanter quoi ? des chansons ; chansons est COD de chanter. Exception : Le participe fait suivi d’un infinitif est toujours invariable.

294

L’orthographe grammaticale 27 Règle 7.1 Exception Dans les propositions absolues (groupe de mots isolés dans la phrase) compo­ sées d’un sujet et d’un participe attribut, le participe reste invariable lorsqu’il est placé avant le sujet et varie lorsqu’il est placé après. Exemple

Vu les circonstances, la vigilance s’impose. Tout le monde sera invité, y compris votre nièce. Tout le monde sera invité, votre nièce comprise. Lorsque le verbe au participe est étant donné, passé, mis à part, l’accord reste toujours possible. Exemple : Étant données les circonstances, il est préférable de se taire.

Règle 7.2 Exception Le participe passé précédé de en COD reste invariable. Exemple

Des regrets, j’en ai eu.

Exemple

Ce sont de vrais amis ; je n’oublierai pas les services que j’en ai reçus.

Aptitude verbale

Bien sûr, si en n’est pas COD, l’accord reste possible.

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Règle 7.3 Exception Le participe passé des verbes pronominaux est particulier. Alors qu’ils sont uti­ lisés exclusivement avec l’auxiliaire être, l’accord de leur participe passé se fait comme pour l’auxiliaire avoir. Rappel : Un verbe pronominal est un verbe qui se conjugue avec le pronom personnel se mis à la même personne que le sujet.

Exemple

se dire, se voir, se souvenir, s’apercevoir, etc. Si le pronom personnel peut être considéré comme un COD ou s’il y a un autre COD placé avant, on accorde. S’il n’y a pas de COD, on n’accorde pas. Pour déterminer si le pronom est COD, il suffit de remplacer être par avoir.

295

27 L’orthographe grammaticale Exemple

Elle s’est blessée au doigt. → Elle a blessé qui ? se (elle). Se est COD placé avant, donc on accorde. Ils se sont parlé durant une heure. → Ils ont parlé à qui ? à se (eux). Se est COI ; il n’y a pas de COD placé avant, donc pas d’accord.

Exercices d’entraînement 0 0:4 5

1. Le genre du nom. Déterminez si les termes et expressions en gras sont masculins ou féminins, puis entourez « M » pour masculin, « F » pour féminin, « M & F » si un même mot peut être masculin et féminin. 1. chrysanthème M F M&F 2. interview M F M&F 3. alcôve M F M&F 4. l’en-tête de la page M F M&F 5. entendre des trilles de rossignol M F M&F 6. verser des arrhes M F M&F

2. La construction du féminin du nom et de l’adjectif. Les correspondances nom / adjectif sont-elles correctes  ? Cochez V pour « vrai », F pour « faux ». 1. coit – coite q V q F 2. fraîs – fraîche q V q F 3. ministre – ministre q V q F 4. malin – maline q V q F 5. exigu – exiguë q V q F 6. moniteur – monitrice q V q F

3. La correspondance adjectif/adverbe est-elle correcte  ? Cochez les correspondances que vous jugez correctes. q 1. congru/congrument q 2. énorme/énormément q 3. joli/joliment

q 4. plaisant/plaisantement q 5. bref/brièvement q 6. cru/cruement

4. Le nombre du nom et de l’adjectif Complétez correctement les phrases suivantes.

296

1. Nous avons vu des ...... qui voletaient dans l’air doux.   a. rouge-gorges   b. rouges-gorges   c. rouges-gorge

L’orthographe grammaticale 27 2. Cette dame vient de fêter ses ...... printemps.   a. quatre-vingts   b. quatre-vingt 3. Avez-vous envisagé toutes les solutions ......   a. possibles   b. possible 4. Des pyjamas ......   a. chocolat   b. chocolats 5. Il est arrivé ...... temps après nous.   a. quelque   b. quels que 6. Cette voiture est ...... abîmée.   a. toute   b. touta

  c. quatres-vingts   c. possiblent   c. chocolas   c. quelques   c. tout

5. La construction du pluriel du nom et de l’adjectif.

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6. Les homonymes grammaticaux. Soulignez le mot qui, selon vous, complète les phrases suivantes. 1. C’était dans une forêt profonde, avec rien (alentour / alentours). 2. Ce ne sont pas (ses / ces) quelques ennuis-là qui vont nous dissuader de pour­ suivre notre entreprise. 3. Ce matin-là il faisait froid ; (plutôt / plus tôt) il avait gelé. 4. Ce n’est pas à (son / sont) intérêt que je pense, mais au mien. 5. Argent promis, argent (du / dû) ! 6. Mon ascenseur est en panne, le (vôtre / votre) fonctionne parfaitement. 7. Y a-t-il (d’avantage / davantage) à espérer que ce que nous avons eu ? 8. Nous (leur / leurs) renouvelons tous nos vœux pour cette nouvelle année. 9. François l’a trouvé particulièrement original, (voire / voir) excentrique. 10. Ce n’est pas à (cela / ceux-là) que je pense en disant : « ils sont coupables », mais bien à (ceci / ceux-ci).

Aptitude verbale

Identifiez les formes correctes du pluriel des mots suivants. 1. joujou q joujous q joujoux q jousjous q jouxjoux 2. attirail q attirails q attiraus q attirail q attiraux 3. nez q nezs q nezes q nez q nezx 4. œil q œil q œils q yieux q yeux 5. cercueil q cerceuils q cercueil q cercueilles q cercueils

7. L’accord du verbe. Rayez l’accord incorrect des mots en gras. 1. Claude est/sont un personnage atypique mais affectueux. 297

27 L’orthographe grammaticale 2. Ce sont/C’est les Romains et les Carthaginois qui s’affrontaient/s’affrontait durant les guerres puniques. 3. La plupart des habitants de Belgique parle/parlent le Flamand. 4. La foi, l’espérance et la charité sont/est les principales vertus chrétiennes. 5. C’est toi, personnage moqueur, qui empêche/empêches la discussion. 6. Il est des paroles qui chantent/chante à nos oreilles. 7. Votre père et moi changeons/changent d’avis comme de chemise. 8. La route que traversent/traverse les voitures mène à la plage. 9. Le peu de mots qu’il a prononcés a suffi/ont suffi. 10. Une foule d’hommes envisagent/envisage l’avenir avec pessimisme.

8. L’accord du participe passé. Mettez les verbes proposés en italiques au participe passé et accordez-les correc­ tement. 1. Ce vase a été ébrécher ………………………… 2. Étant donner ………………………… vos résultats, vous devrez vous représenter à l’examen. 3. Les cent mètres qu’elle a courir ………………………… l’ont épuisée. 4. Ils se sont rencontrer ………………………… à Paris. 5. Ce sont les hommes que j’ai voir ………………………… aller et venir. 6. Ils se sont habiller ………………………… comme des princes. 7. L’histoire que tu lui as raconter …………………… ne tient pas debout.

Corrigés des exercices

298

1.

1. 2. 3. 4. 5. 6.

chrysanthème est masculin. interview est masculin ou féminin. alcôve est féminin. en-tête est masculin. trille est masculin, au singulier comme au pluriel. arrhes est féminin. Ce terme est toujours employé au pluriel.

2.

1. 2. 3. 4. 5. 6.

coi sans le –t nécessaire pour construire le féminin coite. frais, fraîche, avec ajout de l’accent circonflexe. ministre n’a pas de forme distincte au féminin. malin a un féminin avec ajout du –g. Le tréma se met toujours sur la 2e voyelle. monitrice ne vient pas du verbe « moniter » → cas 3.

3.

Les correspondances correctes sont : 2, 3, 5. 1. congru/congrûment (exception des adverbes issus d’adjectifs en –u) 4. plaisant/plaisamment (l’adjectif en –ant donne un adverbe en –amment) 6. cru/crûment (exception des adverbes issus d’adjectifs en –u)

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L’orthographe grammaticale 27

4.

1. b. Nom composé d’un nom et d’un adjectif. 2. a. Vingt s’accorde, car il est multiplié et finit le nombre. 3. a. Possible n’est pas employé dans un superlatif. 4. a. Chocolat est un nom employé comme adjectif. 5. a. Quelque signifie un certain. 6. c. Tout est employé comme adverbe ; il signifie totalement.

5.

1. 2. 3. 4. 5.

6.

alentour = autour. ces : ceux dont il est question. plus tôt = avant, auparavant. son  = le sien, indique la possession. dû : verbe devoir. vôtre : ne précède pas un nom, mais est précédé d’un article ; c’est un pronom. davantage = plus. leur : pronom personnel (remplace des personnes) ; il ne peut prendre la marque du pluriel. 9. voire = et même. 10. ceux-là / ceux-ci : ces personnages-là et ces personnages-ci ; ces pronoms rempla­cent un pluriel.

7.

1. est : accord avec le sujet Claude. 2. verbe 1 → Ce sont : accord avec l’attribut Romains et Carthaginois. verbe 2 → s’affrontaient : accord avec qui mis pour Romains et Carthaginois. 3. parlent : avec la plupart, il faut toujours le pluriel. 4. sont : coordination, donc pluriel. 5. empêches : accord avec qui renvoyant à toi, 2e personne du singulier. 6. chantent : accord avec qui renvoyant à paroles 7. changeons : coordination de votre père (lui) + moi = nous 8. traversent : accord avec le sujet inversé voitures. 9. ont suffi : ce n’est pas le peu qui suffit, mais les mots. 10. envisagent ou envisage : ce sont les hommes qui envisagent ; mais l’accord avec foule est possible.

8.

1. ébréché : emploi avec l’auxiliaire avoir et l’auxiliaire être, accord avec le sujet vase. 2. donné(s)  : cas particulier de l’accord dans une proposition absolue  : accord avec ­résultats ou invariabilité. 3. couru : elle a couru combien de mètres (et non pas quoi de mètres) ; il n’y a pas de COD donc pas d’accord. 4. rencontrés : ils ont rencontré qui ? se (eux) ; se est COD, il commande l’accord au masculin pluriel. 5. vus : j’ai vu qui ? les hommes ; hommes est COD de voir et non pas d’aller et venir, donc on accorde au masculin pluriel. 6. habillés : ils ont habillé qui ? se (eux) ; se est COD, il commande l’accord au masculin pluriel. 7. racontée : tu as raconté quoi ? que (une histoire) ; que est COD, donc accord au féminin singulier.

joujoux est une exception. attirails ne fait pas partie des 10 noms en –ail faisant –aux au pluriel. nez. œils / yeux sont 2 pluriels possibles ; oeils ne se rencontre que dans les noms composés. cercueils a un pluriel régulier.

Aptitude verbale

1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8.

299

28 La conjugaison Testez-vous Voici une série de 10 exercices à faire en 10 minutes pour évaluer votre niveau, puis vous donner un objectif de travail…

1. Le temps composé qui correspond à l’indicatif présent est...   a. le passé antérieur   b. le plus-que-parfait   c. le passé composé

2. Quelle forme du verbe avoir est conjuguée au subjonctif ?   a. j’aie

  b. j’ai

  c. vous avez

3. Quelle forme est correcte ?   a. que vous soyiez   b. que vous soiiez   c. que vous soyez

4. La forme verbale « en arrivant » est employée...   a. au conditionnel   b. au gérondif   c. au participe passé

5. Quelle est la forme correcte du verbe aimer à l’indicatif futur simple, 1re personne du singulier ?   a. j’aimerai

  b. j’aimasse

6. Trouvez la seule forme incorrecte.   a. finis   c. ils finissèrent

  b. nous finîmes   d. finissant

7. Quelle est la forme incorrecte du verbe balayer ?   a. balaie   c. qu’ils balaient 300

  b. balayons   d. ils balayerons

  c. j’aimerais

La conjugaison 28

8. Trouvez l’intrus.   a. je peux      b. je sursoix      c. je vaux      d. je veux

9. Quel est le passé simple du verbe peindre ?   a. ils peignèrent   c. ils peignîment

  b. il peindirent   d. ils peignirent

10. « Nous moulons du poivre. » Le verbe « moulons » a pour infinitif...   a. moudre   c. mouler

  b. moulir   d. mouder

Solutions 1. c. ; 2. a. ; 3. c. ; 4. b. ; 5. a. ; 6. c. Ils finirent au passé simple ; 7. d. Ils balayeront, à la 3e personne du pluriel ; 8. b. Je sursois du verbe surseoir qui signifie différer ; 9. d. Ils peignèrent est une forme du verbe peigner ; 10. a.

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Notez-vous : 1 point par bonne réponse. Si vous obtenez : l moins de 3 points sur 10 : il vous faudra travailler intensément ce chapitre ; l entre 4 et 8 points, il vous faudra réviser et approfondir ce chapitre ; l 9 ou 10 points, vous pourrez passer ce chapitre en première étape de votre préparation générale.

Aptitude verbale

Quel est votre niveau ?

Temps simples et temps composés Tableau de correspondance des temps simples et composés Indicatif

• Présent (je chante) → Passé composé (j’ai chanté ) • Imparfait (je chantais) → Plus-que-parfait (j’avais chanté ) • Passé simple (je chantai ) → Passé antérieur (j’eus chanté ) • Futur simple (je chanterai ) → Futur antérieur (j’aurai chanté )

Conditionnel

• Présent (je chanterais) → Passé (j’aurais chanté ) Remarque : Il existe un conditionnel passé 2e forme ; il prend la forme du subjonctif plus-que-parfait avec la valeur du conditionnel passé. Exemple : Je n’eusse pas chanté, si tu n’étais pas venu.

301

28 La conjugaison

Subjonctif

• Présent (que je chante) → Passé (que j’aie chanté) • Imparfait (que je chantasse) → Plus-que-parfait (que j’eusse chanté)

Impératif

• Présent (chante) → Passé (aie chanté )

Infinitif

• présent (chanter) → Passé (avoir chanté )

Participe

• Présent (chantant) → Passé composé (ayant chanté ) • Passé (chanté ) → pas de temps composé correspondant

Gérondif

• Présent (en chantant) → Passé composé (en ayant chanté )

Remarque : Pour conjuguer aux temps composés il faut mettre l’auxiliaire au temps simple correspondant + participe passé. En maîtrisant la conjugaison des auxiliaires avoir et être vous saurez conjuguer tous les temps composés.

Conjugaison aux temps simples des auxiliaires avoir et être AVOIR Condi­ tionnel

Indicatif présent

imparfait

passé

futur

présent

Subjonctif présent

imparfait

ai

avais

eus

aurai

aurais

aie

eusse

as

avais

eus

auras

aurais

aies

eusses

a

avait

eut

aura

aurait

ait

eût

avons

avions

eûmes

aurons

aurions

ayons

eussions

avez

aviez

eûtes

aurez

auriez

ayez

eussiez

ont

avaient

eurent

auront

auraient

aient

eussent

Impératif présent : aie, ayons, ayez. Participe présent (et gérondif) : ayant / passé : eu. ÊTRE Condi­ tionnel

Indicatif présent

302

imparfait

passé

futur

présent

Subjonctif présent

imparfait

suis

étais

fus

serai

serais

sois

fusse

es

étais

fus

seras

serais

sois

fusses

serait

soit

fût

est

était

fut

sera

sommes

étions

fûmes

serons

serions

soyons

fussions

êtes

étiez

fûtes

serez

seriez

soyez

fussiez

sont

étaient

furent

seront

seraient

soient

fussent

La conjugaison 28 Impératif présent : sois, soyons, soyez. Participe présent (et gérondif) : étant / passé : été.

Verbes réguliers Verbes du 1er groupe : infinitif en –er (type : chanter) Condi­ tionnel

Indicatif présent

imparfait

passé

futur

présent

Subjonctif présent

imparfait

chant-e

-ais

-ai

-erai

-erais

-e

-asse

-es

-ais

-as

-eras

-erais

-es

-asses

-e

-ait

-a

-era

-erait

-e

-ât

-ons

-ions

-âmes

-erons

-erions

-ions

-assions

-ez

-iez

-âtes

-erez

-eriez

-iez

-assiez

-ent

-aient

-èrent

-eront

-eraient

-ent

-assent

Il ne faut pas confondre le participe passé avec l’infinitif. Pour cela, il suffit de remplacer le verbe du 1er groupe par un verbe du 3e groupe. Exemple : Je me suis press… (–é ou –er ?) → Je me suis dit (et non dire), donc ce n’est pas un infinitif ; la réponse est pressé.

Verbes du 2e groupe : infinitif en –ir avec ajout de l’affixe –ss (type : finir) Condi­ tionnel

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Indicatif présent

imparfait

passé

futur

présent

Aptitude verbale

Impératif présent : –e, –ons, –ez. Participe présent (et gérondif) : –ant / passé : –é.

Subjonctif présent

imparfait

fin-is

-issais

-is

-irai

-irais

-isse

-isse

-is

-issais

-is

-iras

-irais

-isses

-isses

-isse

-ît

-it

-issait

-it

-ira

-irait

-issons

-issions

-îmes

-irons

-irions

-issions

-issions

-issez

-issiez

-îtes

-irez

-iriez

-issiez

-issiez

-issent

-issaient

-irent

-iront

-iraient

-issent

-issent

Impératif présent : identique à l’indicatif présent aux mêmes personnes. Participe présent (et gérondif) : affixe + –ant / passé : –i.

303

28 La conjugaison La consonne finale du participe passé étant muette, il faut mettre ce parti­cipe au féminin pour identifier cette consonne (pris, prise) ou constater son absence (fini, finie).

Observations sur la conjugaison des verbes réguliers Règle1 Règle Les verbes qui prennent un –e muet à l’avant-dernière syllabe dans leur conju­ gaison, changent ce –e en –è, sauf les verbes en –eler et –eter qui redoublent leur consonne finale. Exemple

semer, semons → je sème / appeler, appelons → j’appelle. Certains verbes en –eler et –eter restent réguliers, prenant un accent grave : • ciseler, geler, démanteler, écarteler, harceler, marteler, modeler, peler, • acheter, crocheter, s’encasteler, fureter, haleter, et leurs dérivés.

Règle2 Règle Les verbes en –guer et – quer conservent les lettres –gu ou – qu dans toute leur conjugaison. Mais dès lors que l’on forme un adjectif à partir de ces verbes, ce groupe de lettres disparaît. Exemple

Une action provoquant des dégâts. / Une action provocante. Dans le premier cas, on a affaire au verbe provoquer (il exprime une action) ; dans le second, c’est un adjectif construit à partir du verbe. Règle3 Règle Les verbes en –yer ont diverses conjugaisons suivant la voyelle qui précède –yer. Les verbes en –oyer et –uyer changent leur –y en –i devant un –e muet [essuyons (pas de –e muet) → essuient (–e muet)]. l Les verbes en –ayer admettent l’orthographe en –y ou en –i (je paye ou je paie). l Les verbes en –eyer conservent toujours leur –y [il grasseye, vous grasseyez (prononcer les –r avec la gorge)]. l

304

La conjugaison 28 Règle4 Règle Lorsque je est placé après le verbe, principalement dans les phrases interroga­ tives, la finale –e des verbes en –er ainsi que les finales de devoir, pouvoir et être deviennent –é à l’indicatif présent et au subjonctif présent. Exemple

N’éprouvé-je pas alors le médiocre sentiment de jalousie ? En dehors des cas précédents, l’inversion n’est admise à l’indicatif présent que pour quelques verbes très courants : avoir, dire, faire, savoir, aller, vouloir, voir. On ne dira donc pas « cours-je », « peux-je », etc.

Verbes du 3e groupe Ce groupe rassemble les verbes en –ir qui ne prennent pas l’affixe –ss, les verbes en –re, et ceux qui ont une conjugaison irrégulière ou incomplète. Règle5 Règle

Exceptions  : assaillir, couvrir, cueillir, défaillir, offrir, ouvrir, souffrir, tressaillir  et leurs dérivés ont au présent de l’indicatif et au présent de l’impératif les mêmes terminaisons que le 1er groupe (ex. : ouvre, il assaille). Remarque  : les verbes en –oir prennent un –u à la place du –i en terminaison, à l’indicatif passé simple, au subjonctif imparfait et au participe passé, sauf asseoir, surseoir, voir et leurs dérivés qui prennent un –i.

Aptitude verbale

Les verbes en –ir ont les mêmes terminaisons que les verbes du 2e groupe, sans l’affixe (ex. : dormir).

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Exemples

je voulus, que je voulusse ;

que j’assisse, que je sursisse.

Pouvoir, valoir, vouloir ont un indicatif présent en –x, –x, –t, –ons, –ez, –ent.

Règle6 Règle Les verbes en –re ont les mêmes terminaisons que les verbes du 2e groupe à tous les autres modes et temps, sauf à l’indicatif présent. Les irrégularités por­tent plutôt sur le radical.

305

28 La conjugaison À l’indicatif présent, leurs terminaisons sont –s, –s, Ø, – ons, –ez, –ent. La 3e personne du singulier n’a pas de terminaison spécifique. Le verbe finit généralement par la dernière consonne de son radical : il prend, il met, il vainc. Dans les verbes en –re, on rencontre aussi bien des passés simples en –i (coudre, faire, luire → cousis, fis, luisis) qu’en –u (lire → lus). Règle Règle 7 Les verbes défectifs sont des verbes dont la conjugaison est incomplète. Peu de questions portent sur ces quelque 100 verbes. Il faut surtout savoir identifier les infinitifs qui correspondent aux formes verbales. Notons les cas les plus courants : l seoir (convenir à) : il sied, nous siéront ; l échoir : il échoit, il est échu ; l gésir (être étendu) : il gît ; l paître : il paît, nous paissons ; l

courre (ancienne forme de courir) : la chasse à courre.

Observations sur la conjugaison des verbes irréguliers Règle8 Règle Les participes passés dû, redû, mû, crû, recrû prennent un accent circonflexe au masculin singulier uniquement. En revanche les participes accru, décru, indu ne prennent jamais d’accent. Exemple

un salaire dû / une somme due Règle9 Règle Les verbes en –indre et –soudre ne conservent leur –d dans la conjugaison que s’il précède un –r ; les verbes en –aître et –oître ainsi que plaire ont un accent circonflexe sur le –i s’il précède un –t dans la conjugaison. Exemple

feindre, nous feindrons, il feint ; connaître, nous connaîtrons, vous connaissez / plaisant, il plaît 306

La conjugaison 28 Le participe passé du verbe faire est faites et non ‘faîtes’.

Homonymes verbaux Il faut savoir distinguer les homonymes verbaux. Certains verbes ont des formes semblables ou très proches. On peut vous interroger sur leur conjugaison notamment dans des épreuves d’intrus.

choir (tomber) : je chois chaloir (être important) : il chaut (défectif) coudre : je couds, nous cousons

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croire : je crois, il croit être : nous fûmes être : je fus être : je serai, tu seras faillir : je faux, tu faux, il faut fleurir : je fleuris, nous fleurissons mettre : je mis moudre : je mouds, nous moulons, ils moulent mouvoir : je mus, vous mûtes parer : je parais, il parait pleuvoir : il plut (défectif) recouvrir : je recouvris, tu recouvris savoir : je sus tenir : je tiens trier : je trie voir : que je visse

affermer (louer un bien rural) : affermons apparoir (apparaître à l’esprit) : il appert (défectif) choyer : je choie, tu choies

couder (plier en forme de coude) : je coude, nous coudons croître : je croîs, il croît fumer : tu fumes fuir : je fuis savoir : je saurai, tu sauras falloir : il faut (défectif) fleurer (dégager une odeur agréable) : je fleure, tu fleures, nous fleurons miser : je mise mouler : je moule, nous moulons, ils moulent muter : je mute, vous mutez paraître : je parais, il paraît, nous paraissons paresser : nous paressons plaire : je plus, il plut recouvrer (récupérer un bien dû) : je recouvrai, tu recouvras suer : je sue teindre : je teins teinter : je teinte triller (chanter tel un rossignol) : je trille visser : que je visse viser : que je vise

Remarque : Avec cette dernière règle, nous avons fini toutes les parties rela­tives à l’orthographe des mots. Certains exercices font appel à des règles qui se situent dans les trois chapitres qui viennent d’être vus. C’est le cas des épreuves de phrases fautives dans lesquelles il faut détecter la partie de phrase qui com­porte une faute. Vous trouverez des exercices de ce type à la suite de ceux de conjugaison.

Aptitude verbale

affermir : j’affermis, affermissons apparaître : il apparaît

307

28 La conjugaison

Exercices d’entraînement 0 0:2 0

1. Temps simples et temps composés. Les modes, temps et personnes des formes verbales ont été analysés. L’analyse est-elle correcte ? Cochez « V » pour vrai, « F » pour faux. 1. Je fus : Indicatif passé composé, 1re personne du singulier

q   V

q   F

2. J’eus été : Indicatif passé antérieur, 1 personne du singulier

q   V

q   F

3. Que nous ayions : Subjonctif présent, 1 personne du pluriel

q   V

q   F

4. Vous glapissiez : Indicatif imparfait, 2 personne du singulier

q   V

q   F

5. Trouvèrent-ils : Indicatif passé simple, 3e personne du pluriel

q   V

q   F

6. Applaudi : Impératif présent, singulier

q   V

q   F

7. En traquant : Gérondif présent

q   V

q   F

re

re

e

2. Verbes réguliers. Identifiez dans chaque ligne la seule forme verbale incorrecte. A

B

C

D

1

je danserai

je dansera

que tu danses

dansons

2

trahis

que tu trahisses

que nous trahîmes

vous trahissez

3

je viserais

j’aurai visé

il eut visé

qu’il eut visé

4

appuie

que nous appuyons

nous appuyions

ils appuient

5

nous vaquons

vacant

vaquant

vous vaquâtes

6

j’agréé

elle est agréée

que j’agréasse

Ils agréèrent

7

je harcèle

j’appèle

il gèle

il interpelle

8

tu paies

que tu paies

que tu paiasses

nous paierons

3. Verbes irréguliers. Identifiez la forme verbale fautive. 1. q a. je crains

q b. je nais

2. q a. tu assoirais q c. tu dormirais 308

q c. je vains

q d. je prends

q b.tu courras q d. tu cueillirais

La conjugaison 28 3. q a. il allât

q b. il finît

q c. il tient

q d.il sentisse

4. q a. nous couvrîmes q c. nous bouillûmes

q b. nous lûmes q d. nous servîmes

5. q a. ils pourraient q c. ils battent

q b. ils assoyeraient q d. ils joindront

4. Homonymes verbaux. Parmi les propositions suivantes, rayez la forme verbale intruse, c’est-à-dire celle qui n’appartient pas au même verbe. A

B

C

D

que je visse

nous vissons

qu’il voie

il verra

2.

tu plus

il pleut

plu

il plut

3.

nous fumons

nous fûmes

nous fumâmes

fumant

4.

tu couderas

cousu

vous coudriez

tu couds

5.

je sus

il saura

je serai

vous sauriez

6.

je fleurirai

nous fleurions

fleuris

fleurissant

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Aptitude verbale

1.

309

28 La conjugaison

5. Récapitulation orthographique : Phrases fautives. Identifiez quelle portion de phrase est incorrecte et cochez la case qui lui correspond. Si tout est correct cochez E. 1. q A Les cachets phosphorescents / q B disparurent / q C dans la mixture orangée / q D donné au vieillard cacochyme. / q E 2. q A Les aides-soignantes / q B avaient badigeonné / q C un antiseptique sur la plaie, / q D une morsure rebutante à l’aine. / q E 3. q A Ces gardes-malades / q B veillent à respecter la posologie / q C de chaque médicament et à aèrer la pièce / q D pour l’assainir. / q E 4. q A Un patient cholérique et un autre dysentérique / q B nécessitèrent une hydratation abondante / q C par voix naturelle / q D et par intraveineuse. / q E 5. q A Pour une auscultation, / q B il faut que nous prévoyons / q C un tensiomètre / q D et un stéthoscope. / q E 6. q A Une hémorragie, / q B heureusement bénigne, s’est déclarée ; / q C il faut que j’en conclus / q D que la cicatrisation est incomplète. / q E 7. q A A demi-penchés sur la plaie suturée, / q B deux chirurgiens se sont parlé / q C à mi-voix, / q D s’entretenant des effets postopératoires qu’elle laissait augurer. / q E 8. q A Les bébés-éprouvette / q B sont le résultat de la fécondation in vitro / q C d’une ovule / q D et non d’un processus naturel. / q E

Corrigés des exercices

310

1.

Propositions correctes : 2, 5, 7. Propositions incorrectes : (l’élément corrigé est en gras). 1. Je fus : Indicatif passé simple (j’ai été : passé composé). 3. Que nous ayons (et non « que nous ayions », forme inexistante). 4. Vous glapissiez : 2e personne du pluriel (tu glapissais à la 2e personne du sing.). 6. Applaudis : Impératif présent (applaudi : participe passé masculin sing.).

2.

1. B. je danserai ou il dansera 2. C. que nous trahissions au subjonctif présent ou imparfait ou nous trahîmes à l’indicatif passé simple 3. D. qu’il eût visé. L’auxiliaire du subjonctif plus-que-parfait prend un accent circonflexe à la 3e personne du singulier. 4. B. que nous appuyions au subjonctif présent 5. B. Ce n’est pas une forme verbale, c’est un adjectif.

La conjugaison 28

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3.

1.  c. je vaincs (vaincre et convaincre conservent leur –c au singulier de l’indicatif présent). 2. d. tu cueillerais. 3. d. il sentît ou ils sentissent au subjonctif imparfait dans les deux cas. 4. c. nous bouillîmes (les verbes en –ir font leur passé simple en –i, sauf la plupart des verbes en –oir). 5. b. ils assoiraient ou ils assiéraient, formes possibles du verbe asseoir au conditionnel présent.

4.

1. B (verbe visser à l’indicatif présent, au milieu de formes du verbe voir). 2. A (verbe plaire à l’indicatif passé simple, au milieu de formes du verbe pleuvoir). 3. B (verbe être à l’indicatif passé simple, au milieu de formes du verbe fumer). 4. A (verbe couder à l’indicatif futur, au milieu de formes du verbe coudre). 5. C (verbe être à l’indicatif futur simple, au milieu de formes du verbe savoir). 6. B (verbe fleurer au conditionnel présent, au milieu de formes du verbe fleurir).

5.

1. D. donnée (accord avec mixture) Cacochyme : faible, en mauvaise santé. 2. E. Le nom aide-soignant est composé d’un nom + un adjectif : les deux s’accordent. Aine : partie du corps faisant le lien entre la cuisse et le bas-ventre. 3. C. aérer (l’accent doit être aigu et non grave) Le nom garde-malade est composé d’un nom (puisqu’un garde-malade est une ­personne et non une chose) + un nom : les deux s’accordent. 4. C. voie (ne pas confondre la voix qui produit le son et la voie, le chemin) Cholérique : atteint du choléra (ne pas confondre avec colérique qui vient de colère). Dysentérique : atteint de dysenterie (sans accent). 5. B. que nous prévoyions (au subjonctif présent) 6. C. que j’en conclue (au subjonctif présent) Le féminin de bénin est bénigne (de même pour malin/maligne). 7. A. à demi penchés (l’expression à demi n’est jamais suivie d’un trait d’union ; en revanche demi et mi sont suivis d’un trait d’union) Se sont parlé ne prend pas de –s car se n’est pas COD mais COI (ils ont parlé à qui ?) 8. C. un ovule On écrit des bébés-éprouvette parce que ce mot est composé d’un nom + un nom complément (il faut comprendre des bébés en/par l’éprouvette).

Aptitude verbale

6. A. j’agrée. Il est inutile d’accentuer la finale de l’indicatif présent. 7. B. j’appelle. Il fait partie des verbes en –eler qui redoublent leur –l final. 8. C. que tu payasses. La forme en –i n’est pas disponible au subjonctif imparfait.

311

29

Tests de compréhension

Testez-vous Voici une série de 10 exercices à faire en 10 minutes pour évaluer votre niveau, puis vous donner un objectif de travail…

1. Complétez l’expression suivante : « L’eau va à ......  »   a. la mer

  b. la baie

  c. la rivière

2. Complétez l’expression suivante : « Franchir le ......  »   a. pied

  b. Rubicon

  c. Scylla

3. Qu’est-ce qu’une foire d’empoigne ?   a. un lieu très animé   b. une lutte sans merci   c. un conflit entre marchands

4. Quelle expression signifie « Ne pas être écouté » ?   a. Blanchir sous le harnais   b. Prêcher un converti   c. Prêcher dans le désert

5. Que signifie la citation : « Comme pour l’esprit rien n’est trop grand, pour la bonté rien n’est trop petit » ?

  a. L’esprit aime la grandeur et la bonté aime la médiocrité   b. On n’est jamais trop jeune pour être aimé   c. L’intelligence aime ce qui est élevé, la bonté ce qui est faible

6. Que signifie la citation : « L’œuvre qu’on portait en soi paraît toujours plus

belle que celle qu’on a faite. Tant de choses se perdent en ce voyage de la tête à la main » ?   a. On n’écrit pas ce que les hommes pensent   b. Entre ce qu’on pense faire et ce qu’on fait, il y a toujours un écart   c. Il n’est pas possible d’exprimer exactement ce que les mains disent à l’esprit

312

Tests de compréhension 29

7. Que signifie le proverbe : « Les chiens aboient la caravane passe » ?   a. Personne ne s’intéresse au sort des autres   b. Malgré la critique, il faut suivre son idée   c. Il est bien difficile de se faire entendre dans un monde en perpétuel mouvement   d. Les animaux de compagnie n’aiment pas les départs

8. Que signifie la citation : « Le bonheur est un mythe inventé par le diable pour nous désespérer » ?

  a. Croire au bonheur c’est faire son malheur   b. Le bonheur est aussi satanique que le malheur   c. L’invention du diable a pour but de nous faire croire au malheur   d. On ne peut être heureux sans croire au diable

9. Parmi ces expressions, laquelle n’existe pas ?   a. Marcher sur la tête   c. Donner le change

  b. Mâcher son chapeau   d. Tomber des nues

10. Que signifie la citation : « Le doute est un hommage rendu à l’espoir » ?

Solutions

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1. c. ; 2. b. Tel Jules César défiant ainsi le Sénat romain ; 3. b. ; 4. c. Blanchir sous le harnais signifie gagner en expérience, vieillir ; 5. c. Citation de Jean-Paul II ; 6. b. Citation d’Alphonse Daudet ; 7. b. ; 8. a. Citation de Gustave Flaubert ; 9. b. L’expression correcte est « Manger son chapeau » ; 10. c. Citation de Lautréamont.

Aptitude verbale

  a. Il faut rendre à l’espoir tout ce qu’il nous apporte   b. On ne peut espérer que si on doute beaucoup   c. C’est une façon de laisser la place à l’espoir que de douter un peu

Quel est votre niveau ? Notez-vous : 1 point par bonne réponse. Si vous obtenez : l moins de 3 points sur 10 : il vous faudra travailler intensément ce chapitre ; l entre 4 et 8 points, il vous faudra réviser et approfondir ce chapitre ; l 9 ou 10 points, vous pourrez passer ce chapitre en première étape de votre préparation générale. 313

28 Tests de compréhension

Proverbes et expressions françaises Pour réussir ces épreuves, il faut connaître précisément le sens des proverbes et des expressions afin de faire le tri entre des propositions assez semblables. Vous allez découvrir des expressions et proverbes fré­quents en concours et dont le sens n’est pas évident. Comme il y en a environ 180, nous vous proposons quatre exercices (exercices 1 à 4) qui vous feront tra­vailler à chaque fois cinquante proverbes et expressions (de A à C, puis de D à J, de L à P et de Q à V). Vous étudierez ces cinquante proverbes et expressions, puis vous pourrez passer à l’application. N’hésitez pas à cocher dans la marge les expressions que vous maîtrisez, pour voir votre progression.

Liste des principaux proverbes et expressions françaises

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À beau mentir qui vient de loin  : on peut mentir sans craindre d’être démenti, quand ce qu’on affirme n’est pas vérifiable. À bon chat, bon rat : l’agresseur trouve un opposant capable de lui résister. À bon vin point d’enseigne : ce qui est bon se recommande de soi-même. Air (l’) ne fait pas la chanson : l’apparence n’est pas la réalité. Aller à hue et à dia : aller dans tous les sens, sans direction. Aller à vau-l’eau : sans contrôle de ses actes, ni des conséquences. À malin, malin et demi : il y a toujours plus fort que soi. À méchant ouvrier point de bon outil : l’incompétent accuse toujours ses outils. À père avare, enfant prodigue ; à femme avare, galant escroc : un défaut fait naître dans son entourage le défaut contraire. Après la pluie, le beau temps : le bonheur succède au malheur. À quelque chose malheur est bon : les malheurs sont un bon enseignement. Arbre (l’) tombe toujours du côté où il penche : on finit toujours par céder aux pen­ chants de sa nature. Argent (l’) est un bon serviteur et un mauvais maître : l’argent fait le bonheur de qui sait l’employer, et le malheur de celui qui devient cupide, avare. À tire-larigot : en grande quantité. À tout seigneur, tout honneur : il faut honorer chacun selon son rang. Au diable vauvert : très loin. Au royaume des aveugles, les borgnes sont rois : même si l’on est médiocre, on peut briller au milieu des ignorants. Autant en emporte le vent : rien ne restera, tout sera emporté. Aux calendes grecques : jamais. Aux grands maux les grands remèdes : il faut des décisions énergiques contre les pro­blèmes graves. Aux innocents les mains pleines : la chance est du côté des simples d’esprit. Avaler des couleuvres : devoir accepter quelque chose contre sa volonté. Avec des si et des mais, on mettrait Paris en bouteille : avec des hypothèses, tout devient possible ; mais dans la réalité il en va tout autrement.

Tests de compréhension 28 Avoir le nez creux : avoir de l’intuition sur l’avenir. Avoir voix au chapitre : pouvoir donner son avis.

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Cahin-caha : tant bien que mal. Ce que femme veut, Dieu le veut : les femmes obtiennent ce qu’elles veulent. C’est cousu de fil blanc : c’est une histoire dont on devine facilement la fin. C’est là que le bât blesse : c’est là que se trouve le problème. C’est l’hôpital qui se moque de la charité : c’est la misère qui se moque de la misère. Chant (le) du cygne : la dernière grande réalisation d’un génie. Chat échaudé craint l’eau froide : on redoute ce qui vous a déjà nui. Chien qui aboie ne mord pas : celui qui crie le plus n’est pas le plus à craindre. Chiens (les) aboient, la caravane passe : malgré la critique, il faut suivre son idée. Clopin-clopant : en boitant. Clou (un) chasse l’autre : les choses se suivent faisant oublier les précédentes. Comme on connaît les saints, on les honore : on traite chacun selon son caractère. Comme on fait son lit on se couche : il faut assumer les conséquences de ses actes. Comparaison n’est pas raison : une comparaison ne prouve rien. Conseilleurs (les) ne sont pas les payeurs : ceux qui conseillent ne se préoccupent pas des conséquences et refusent toute responsabilité. Contentement passe richesse : le bonheur vaut mieux que la fortune. Crier haro sur le baudet : critiquer publiquement quelqu’un.

Aptitude verbale

Bâtir des châteaux en Espagne : vivre de rêves irréalisables. Battre la campagne : divaguer. Blanchir sous le harnais : gagner en expérience. Boire la coupe jusqu’à la lie : assumer les conséquences de ses actions. Boîte (la) de Pandore : la source, la cause d’une catastrophe. Bon chien chasse de race : on hérite généralement des qualités de sa famille. Bonne renommée vaut mieux que ceinture dorée : mieux vaut l’estime que l’argent. Bon sang ne saurait mentir : on finit toujours par être digne de ses nobles ancêtres.

De la roupie de sansonnet : pas grand-chose. Déshabiller Paul pour habiller Pierre : prendre à l’un pour donner à l’autre. Dès potron-minet / Dès potron-jacquet : de très bon matin. Donner du grain à moudre : donner matière à réflexion. Donner le change : tromper quelqu’un en lui donnant une fausse impression. Eau (l’) va à la rivière : l’argent va aux riches. En faire un pataquès : faire toute une histoire de pas grand-chose. Enfer (l’) est pavé de bonnes intentions : les bonnes intentions ne suffisent pas. Enfourcher Pégase : se lancer dans la poésie, le lyrisme littéraire. Entre chien et loup : à la tombée de la nuit.

315

28 Tests de compréhension Être comme chien et chat : se disputer constamment. Être Gros-Jean comme devant : subir une désillusion. Être mis au pilori : être livré à la vindicte populaire, exposé à la critique publique. Être réduit à quia : rester sans réponse, être démuni. Être sens dessus-dessous : être bouleversé. Faim (la) chasse le loup du bois : la nécessité contraint à faire des choses déplai­santes. Faire des gorges chaudes : se moquer. Faire feu de tout bois : utiliser tous les moyens. Fais ce que dois, advienne que pourra : fais ton devoir sans penser au résultat. Faute de grives, on mange des merles : contentons-nous de ce qu’on a faute de mieux. Fier comme Artaban : extrêmement fier, voire fat. Flèche (la) du Parthe : plaisanterie agressive qui clôt une discussion. Foire d’empoigne : lutte sans merci. Franchir le Rubicon : prendre une décision grave et irrévocable. Grandes douleurs (les) sont muettes : dans les vrais chagrins on ne se lamente pas. Habit (l’) ne fait pas le moine : il ne faut pas juger les gens sur les apparences. Homme de paille : un homme manipulé ou un prête-nom. Il ne faut jurer de rien : il ne faut jamais affirmer ce qu’on fera, ni ce qui va arriver. Il ne faut pas dire : « Fontaine je ne boirai pas de ton eau » : nul ne peut assurer de quelqu’un ou de quelque chose qu’il n’y recourra jamais. Il ne faut pas mettre la charrue avant les bœufs : commencer par où l’on devrait finir. Il ne faut pas parler de corde dans la maison d’un pendu : faire une allusion mala­ droite à un incident fâcheux. Il ne faut pas réveiller le chat qui dort : il ne faut pas réveiller une querelle assoupie. Il n’est pire eau que l’eau qui dort : les personnes d’apparence inoffensive sont sou­ vent celles dont il faut le plus se méfier. Il y a loin de la coupe aux lèvres : du désir à sa réalisation, il y a bien des obstacles. Jeter de la poudre aux yeux : chercher à paraître plus que l’on est. Jeter le bébé avec l’eau du bain : perdre de vue l’essentiel. Jeter le manche après la cognée : abandonner, se décourager. Lâcher la proie pour l’ombre : se laisser distraire de son objectif. Loups (les) ne se mangent pas entre eux : les méchants ne cherchent pas à se nuire.

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Mains froides, cœur chaud : la froideur des mains indique un tempérament amoureux. Manger dans la main : être obéissant, docile. Manger de la vache enragée : vivre des moments difficiles, subir des privations. Manger son blé vert : dépenser son revenu à l’avance.

Tests de compréhension 28 Manger son chapeau : admettre amèrement ses erreurs. Manger son pain blanc (noir) : profiter du meilleur d’abord, ignorant le lendemain. Mener une vie de bâton de chaise : mener une vie agitée, chaotique et sans but précis. Mettre la pédale douce : se faire oublier, se faire très discret. Mettre le doigt entre l’arbre et l’écorce : s’immiscer dans une affaire où il y a des inté­rêts contradictoires, vouloir concilier à ses dépens les inconciliables. Mettre un cautère sur une jambe de bois : action sans aucun effet. Mi-figue, mi-raisin : avoir deux attitudes opposées (ex. : être content et mécontent). Monnaie de singe : promesses sans valeur. Montagne (la) a enfanté une souris : de grands projets ont abouti à un maigre résultat. Morte la bête, mort le venin : un méchant ne peut plus nuire quand il est mort. Mouche (la) du coche : le petit élément perturbateur. Né avec une cuillère d’argent dans la bouche : né dans une famille riche. Nécessité fait loi : dans un péril extrême, on peut oublier toutes les conventions. Nul n’est prophète en son pays : on n’est pas apprécié justement là où on vit.

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Passer sous les fourches caudines : devoir subir la volonté de quelqu’un. Patience et longueur de temps font plus que force ni que rage : avec le temps les choses s’arrangent plus qu’avec l’empressement et la colère. Payer rubis sur l’ongle : payer une somme importante sans discussion. Petit à petit, l’oiseau fait son nid : à force de persévérance, on réalise ses projets. Petite pluie abat grand vent : peu de chose suffit pour calmer une grande colère. Petits ruisseaux (les) font les grandes rivières : les petits profits accumulés finissent par faire de gros bénéfices. Pierre qui roule n’amasse pas mousse : on ne s’enrichit pas en n’étant pas constant. Planche (une) de salut : dernière ressource, ultime recours. Pleuvoir (tomber) des hallebardes : pleuvoir de manière intense. Pluie (la) du matin n’arrête pas le pèlerin : une difficulté initiale ne décourage pas l’homme d’entreprise. Pont aux ânes : connaissance élémentaire que même le plus ignorant doit connaître. Prêcher dans le désert : ne pas être écouté. Prêcher un converti : tenter de convaincre quelqu’un qui est déjà convaincu. Prendre le taureau par les cornes : s’attaquer à un problème difficile. Prudence est mère de sûreté : c’est en étant prudent qu’on évite tout danger.

Aptitude verbale

Occasion (l’) fait le larron : les événements fortuits font faire des choses imprévues. On ne peut pas être et avoir été : on ne peut pas être toujours jeune. On n’est jamais trahi que par les siens : la trahison ne peut venir que de ceux aux­ quels on fait confiance. On n’est pas louis d’or : on ne saurait plaire à tout le monde. On reconnaît l’arbre à ses fruits : c’est aux actes qu’on connaît la valeur de quelqu’un.

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28 Tests de compréhension Quadrature (la) du cercle : problème impossible à résoudre. Quand le vin est tiré, il faut le boire : quand l’affaire est engagée il faut en accepter les conséquences, même fâcheuses. Qui a bu boira : on ne se corrige jamais d’un défaut devenu une habitude. Qui aime bien châtie bien  : un amour véritable ne craint pas d’user d’une juste sévérité. Qui n’avance pas recule : quand on ne fait aucun progrès, on perd ses avantages. Qui n’entend qu’une cloche n’entend qu’un son : pour bien juger, il faut entendre les deux parties. Qui prouve trop ne prouve rien : à multiplier les preuves on fait douter l’auditoire. Qui sème le vent récolte la tempête : celui qui produit les causes de la violence ne peut s’étonner d’en subir les conséquences. Qui se sent morveux, qu’il se mouche : que celui qui est critiqué sache en tirer parti. Qui trop embrasse mal étreint : qui entreprend trop ne réussit rien. Qui veut la fin veut les moyens : qui a un but doit accepter les moyens d’y accéder. Qui veut noyer son chien l’accuse de la rage : tout grief est bon pour perdre ses ennemis. Qui veut voyager loin ménage sa monture : il faut se ménager si l’on veut tenir plus. Qui vole un œuf vole un bœuf : on commet un petit vol puis un plus important. Revenir de Pontoise : être hébété, déconfit, décontenancé. Rien ne se perd, rien ne se crée : exprime l’idée de la permanence de la matière. Rien ne sert de courir, il faut partir à point : on ne rattrape jamais un retard initial. Rire homérique : un fou rire bruyant et incontrôlable. Rocher (le) de Sisyphe : travail interminable. Roi (le) n’est pas son cousin : il est si fier que le roi n’est pas pour lui un parent digne. Sans autre forme de procès : sans plus de considération. Sans coup férir : sans rencontrer de problème, de résistance. Se battre à fleuret moucheté : s’affronter sans heurt, évitant d’offenser l’adversaire. Se méfier de l’eau qui dort : se méfier de ce qui est considéré comme acquis. Sentir le vent du boulet : frôler une catastrophe, un problème grave. Si jeunesse savait, si vieillesse pouvait : les jeunes manquent d’expérience, les vieillards de force. Soleil (le) brille pour tout le monde : chacun a droit aux choses de la nature.

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Tant va la cruche à l’eau qu’à la fin elle se casse : à force de braver un danger, on finit par y succomber. Tel qui rit vendredi dimanche pleurera : le triomphe est bref, et le vent tourne. Tenir un tigre par la queue : être sur une affaire difficile, délicate. Tirer les marrons du feu : effectuer un travail difficile au bénéfice d’un d’autre. Tomber de Charybde en Scylla : sortir d’un danger puis en trouver un plus grand. Tomber des nues : comprendre, réaliser tardivement.

Tests de compréhension 28 Tonneau des Danaïdes : personne ou chose que l’on ne peut jamais satisfaire. Tous les chemins mènent à Rome : il y a maints moyens d’arriver au même but. Tout passe, tout lasse, tout casse : chaque chose est éphémère, provisoire. Travailler pour le roi de Prusse : travailler sans être payé. Trier le bon grain de l’ivraie : séparer le bien du mal. Une hirondelle ne fait pas le printemps : on ne peut rien conclure d’un seul fait. Une main de fer dans un gant de velours : celui qui semble doux mais se révèle fort. Un tiens vaut mieux que deux tu l’auras : posséder peu, mais sûrement, vaut mieux qu’espérer beaucoup, sans certitude. Vengeance (la) est un plat qui se mange froid : il faut savoir attendre pour se venger. Ventre affamé n’a point d’oreilles : l’homme qui meurt de faim n’écoute rien. Vérité au-deçà des Pyrénées, erreur au-delà : toute vérité est relative à un lieu. Victoire (une) à la Pyrrhus : une victoire si laborieuse qu’elle s’apparente à une défaite. Vogue la galère : advienne que pourra, à la grâce de Dieu. Vouer aux gémonies : considérer avec le plus grand mépris.

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Dans les concours, l’épreuve de traduction de phrases se présente sous forme de QCM. Une phrase d’auteur (le plus souvent classique) est proposée ; cette phrase est écrite dans un français littéraire avec des expressions typiques de l’époque. Il s’agit pour vous de déterminer la traduction qui se rapproche la mieux de la citation. Pour ce faire, procédez en trois étapes : 1. Identifiez la (ou les) portion(s) de phrase qui pose(nt) problème et essayez de comprendre son (leur) sens. Pour le comprendre vos armes sont : – la maîtrise des proverbes et expressions françaises qui contiennent sou­vent d’anciennes tournures ; – le rapprochement d’expressions connues avec celles proposées pour mettre en lumière leur sens ; – le contexte et le bon sens. 2. Cherchez vous-même le sens de la phrase proposée, pour éviter d’être ­influencé par les propositions. 3. Comparez le sens trouvé avec les propositions du questionnaire.

Aptitude verbale

Traduction de phrases

Exemple

Choisissez parmi les propositions de traductions, celle qui correspond la mieux à la citation proposée : Toute puissance est faible à moins que d’être unie. (La Fontaine) a. On peut être faible tout en étant fort. b. Il vaut mieux être unis que divisés. c. On a besoin des plus faibles. d. L’union fait la force.

319

28 Tests de compréhension Réponse : Application de l’étape 1 : Le problème est dans l’usage de la locution « à moins que » et le sens du mot « puissance » ; nous pouvons remplacer « à moins que » par « sauf si », et « puissance » par « ensemble, groupe » et non par « force », ce qui donnerait toute force est faible, avec une opposition absurde. Après ces deux traductions nous trouvons : « Tout groupe est faible sauf s’il est uni. » Application de l’étape 2 : Le sens est plus simple à déterminer. Cette phrase signifie : « Un groupe divisé est faible ; seule l’union fait la force ». Application de l’étape 3 : La proposition la plus proche de ce sens est d.

Exercices d’entraînement 0 0:2 0

1. Proverbes et expressions commençant par les lettres A à C. Déterminez quelle proposition correspond la mieux au proverbe ou à l’expression proposés.

320

1. À malin, malin et demi : q a. On trouve toujours son double. q b. Les malicieux attirent les malicieux. q c. On trouve toujours plus fort que soi. q d. Quand on fait le mal, les autres en font de même. 2. Comparaison n’est pas raison : q a. Comparer est absurde. q b. Comparer n’est pas prouver. q c. Comparer nuit à ceux qui sont en compétition. q d. On a toujours tort de se comparer aux autres. 3. Aller à hue et à dia : q a. Agir bêtement. q b. Agir de façon contradictoire. q c. Aller à l’échec. q d. Courir au-devant de difficultés. 4. Crier haro sur le baudet : q a. Inciter à la réaction. q b. Donner son avis. q c. Agir sans se soucier des critiques. q d. Critiquer publiquement quelqu’un.

Tests de compréhension 28 5. La boîte de Pandore : q a. Le début de la fin. q b. La source des malheurs. q c. Le repère de voleurs. q d. La cachette du butin volé. 6. Bâtir des châteaux en Espagne : q a. Avoir des projets chimériques. q b. Fabriquer du rêve. q c. Participer à la construction d’un monde nouveau. q d. Refaire sa vie à l’étranger.

2. Proverbes et expressions commençant par les lettres D à J.

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3. Il ne faut pas juger les gens aux apparences : q a. Les grandes douleurs sont muettes. q b. Fais ce que dois, advienne que pourra. q c. L’habit ne fait pas le moine. q d. Jeter de la poudre aux yeux. 4. De bon matin : q a. La flèche du Parthe. q c. Dès potron-jacquet.

Aptitude verbale

Déterminez quel proverbe correspond le mieux aux sens proposés. 1. Se disputer constamment : q a. Entre chien et loup. q b. Jeter le manche après la cognée. q c. En faire un pataquès. q d. Être comme chien et chat. 2. Subir une critique publique : q a. Être mis au pilori. q b. Il ne faut pas réveiller le chat qui dort. q c. Être réduit à quia. q d. Faire des gorges chaudes.

q b. Entre chien et loup. q d. Enfourcher Pégase.

5. Perdre de vue ce qui est essentiel : q a. Jeter le manche après la cognée. q b. Être sens dessus-dessous. q c. Mettre la charrue avant les bœufs. q d. Jeter le bébé avec l’eau du bain.

321

28 Tests de compréhension

3. Proverbes et expressions commençant par les lettres L à P. Faites correspondre les proverbes et expressions à leur traduction. Attention  : l’un des proverbes ou expressions n’a pas de traduction ; à vous de l’identifier et de noter en fin d’exercice votre réponse. 1. Les loups ne se mangent pas entre eux. 2. Manger son blé vert. 3. Mener une vie de bâton de chaise. 4. Mettre un cautère sur une jambe de bois. 5. Manger son chapeau. 6. Nécessité fait loi. 7. L’occasion fait le larron. 8. On ne peut pas être et avoir été. 9. On n’est pas louis d’or. 10. Passer sous les fourches caudines. 11. Petite pluie abat grand vent. 12. Pont aux ânes.

a. On ne peut plaire à tous. b. Action inefficace. c. Entre méchants on ne se nuit pas. d. Ce que tous doivent savoir. e. On peut négliger les règles dans le danger. f. Avoir une vie chaotique. g. Devoir subir la volonté de quelqu’un. h. Reconnaître par contrainte ses erreurs. i. Les circonstances font faire des choses imprévues. j. On ne peut rester toujours jeune. k. Dépenser son revenu à l’avance.

Proposition sans traduction : ……

4. Proverbes et expressions commençant par les lettres Q à V. Complétez correctement les expressions et proverbes suivants. L’orthographe doit être correcte. 5. Travailler pour le roi de … 1. Tomber de Charybde en … 6. Si jeunesse savait, si vieillesse … 2. Être voué aux … 7. Qui n’avance pas … 3. Le rocher de … 8. Se battre à fleuret … 4. Qui vole un œuf vole un …

5. Traduction de phrases. Voici un ensemble de dix citations d’auteurs. À vous de choisir parmi les proposi­tions de traductions, celle qui correspond la mieux. 1. Le vrai trésor de l’homme est la verte jeunesse, Le reste de nos ans ne sont que des hivers. (Pierre de Ronsard ) q a. Il ne faudrait jamais vieillir. q b. La jeunesse est belle et verte comme le printemps. q c. Être jeune, c’est être riche. q d. La jeunesse est le plus beau des biens. 322

2. En vain le roi sera aux armes invincible, S’il n’est juste et ne fait la justice garder. (Joachim du Bellay)

Tests de compréhension 28 q a. Inutile d’être le plus fort, si l’on n’est pas honnête. q b. Les hommes de pouvoir doivent être justes. q c. Le souverain doit à la fois être fort et juste. q d. Les gouvernants devraient faire appliquer la justice. 3. L’art de persuader consiste autant en celui d’agréer qu’en celui de convaincre. (Blaise Pascal) q a. Pour persuader il faut surtout écouter les autres. q b. La persuasion nécessite la démagogie. q c. Persuader passe par la force des arguments et la séduction. q d. On ne persuade jamais que ceux qui veulent bien l’être.

5. L’honneur est comme une île escarpée et sans bords ; On n’y peut plus rentrer dès qu’on en est dehors. (Nicolas Boileau) q a. L’honneur est inaccessible. q b. On ne retrouve jamais l’honneur perdu. q c. L’honneur n’est pas désirable. q d. L’honneur est raciste.

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6. Au lieu que c’est une vertu d’avoir pitié des moindres afflictions qu’ont les autres, c’est une espèce de lâcheté de s’affliger pour les nôtres propres. (René Descartes) q a. Il ne faut pas s’apitoyer sur le sort des autres. q b. Il vaut mieux pleurer les malheurs des autres que les siens. q c. La pitié envers les autres est grande et envers soi médiocre. q d. L’enfer, c’est les autres.

Aptitude verbale

4. Ce n’est pas l’amour qu’il fallait peindre aveugle, c’est l’amour-propre. (François Marie Arouet, dit Voltaire) q a. L’amour-propre est le pire des défauts. q b. L’amour-propre fait perdre toute lucidité, tout jugement. q c. L’amour et l’amour-propre se ressemblent. q d. L’amour-propre fait voir les choses autrement.

7. Ce n’est pas sans raison qu’on dit que qui ne se sent point assez ferme de mémoire, ne se doit pas mêler d’être menteur. (Michel de Montaigne) q a. Quand on est menteur, il faut éviter de se dédire. q b. Il faudrait toujours se souvenir de ses meilleurs mensonges. q c. La mémoire peut se perdre mais pas l’art du mensonge. q d. Il ne faut pas mentir. 8. Il se trouve que chacun va au bien commun, croyant aller à ses intérêts particuliers. (Charles de Secondat de Montesquieu) q a. Nul ne fait le mal volontairement. q b. Le mieux est l’ennemi du bien. q c. L’égoïsme de chacun fait le bien de tous. q d. Les hommes ne savent pas ce qu’ils font.

323

Corrigés des exercices

é

s

28 Tests de compréhension

1. c. 2. b. 3. b. Littéralement : « aller à droite et à gauche ». 4. d.

2.

R

1. d. 2. a. Faire des gorges chaudes signifie se moquer, mais pas nécessairement de façon publique. 3. c. Les grandes douleurs sont muettes ne dit pas qu’il ne faut pas juger, même si c’est une conséquence logique ; jeter de la poudre aux yeux signifie que l’on veut tromper, sans engager directement le jugement d’autrui. 4. c. On peut dire aussi dès potron-minet. 5. d. Jeter le manche après la cognée ne doit pas être employé dans le sens de jeter le bébé avec l’eau du bain, ce qui est une faute courante.

3.

1. c. 5. h. 9. 2. k . 6. e. 10. 3. f. 7. i. 11. 4. b. 8. j. 12.

4.

1. Scylla (ne pas écrire Sylla, du nom du tyran romain) : monstre marin du détroit de Messine, entre l’Italie et la Sicile. 2. Gémonies : à Rome, escalier où étaient exposés les suppliciés. 3. Sisyphe : roi légendaire de Corinthe, condamné aux Enfers à pousser éternelle­ment, sur le flanc d’une montagne, un rocher qui retombe avant d’atteindre le sommet. 4. bœuf 6. pouvait 5. Prusse : selon la tradition, le roi de 7. recule Prusse payait mal les mercenaires. 8. moucheté

5.

1. d. Par trésor, il faut comprendre bien, profit, possession. 2. a. 3. c. Agréer signifie plaire. 4. b. L’orgueil nous ôte toute lucidité sur nos défauts. 5. b. 6. b. Ce n’est pas vertueux de s’oublier, c’est vertueux de penser aux autres. 7. a. Avoir la mémoire ferme signifie avoir une bonne mémoire, et ne point se mêler d’être menteur signifie ne pas mentir. 8. c.

C

R

I

G

1.

O

Pour les exercices 1 à 4, reportez-vous à la liste des proverbes et expressions pour retrouver leurs traductions.

324

5. b.  En mythologie, Pandore est la 1re femme qui ouvre, par curiosité, la jarre contenant tous les maux. 6. a. Chimérique : imaginaire.

a. g. proposition sans traduction d.

30

Logique verbale Testez-vous

Voici une série de 10 exercices à faire en 10 minutes pour évaluer votre niveau, puis vous donner un objectif de travail…

1. Un est à unité, ce que plusieurs est à ......   a. pluralité

  b. multiplicité

  c. quantité

2. Quelle est l’anagramme de GUERISON ?   a. soigneur

  b. guéridons

  c. souligner

3. Tous les animaux sont beaux, Franck est beau. Par conséquent :

4. Trouvez l’intrus orthographique.   a. attirance

  b. attrocité

  c. attention

5. Quelle syllabe forme avec chacune des autres syllabes un mot ? flagorne… /confise… /paie…   a. …relle   b. …rage

Aptitude verbale

  a. Franck est un animal   b. Tout ce qui est beau est Franck ou animal   c. Parmi ce qui est beau, il y a des animaux

  c. …rie

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6. Trouvez l’intrus logique parmi les items suivants.   a. goût   c. odorat

  b. saveur   d. toucher

7. Trouvez l’anagramme du mot suivant : CHJETNAI   a. chantage   c. éjectai

  b. chantai   d. jacinthe

8. Quel couple de termes présente la même logique que le couple suivant : rigidité – raideur ?

  a. tendresse – fraîcheur   b. mouvement – déplacement   c. fascination – mésentente

325

30 Logique verbale

9. Trouvez l’intrus.   a. RTEV     b. NUAJE     c. RAMNRO     d. RIFES

10. Je suis la fille de la sœur de ta mère. Qui suis-je ?   a. ta grand-mère   c. ta nièce

  b. ta tante   d. ta cousine

Solutions 1. a. ; 2. a. Une anagramme complète doit reprendre toutes les lettres d’un autre mot ; 3. c. Franck et les animaux sont beaux, mais Franck n’est pas nécessairement un animal ; 4. b. Atro­cité ; 5. c. flagornerie, confiserie, paierie ; 6. b. Ce n’est pas un sens ; 7. d. ; 8. b. Association de syno­ nymes ; 9. d. Toutes ces anagrammes renvoient à des noms de couleurs (vert, jaune, marron) sauf FRISE ; 10. d. En partant de la fin, la sœur de ta mère est ta tante, et sa fille est ta cousine.

Quel est votre niveau ? Notez-vous : 1 point par bonne réponse. Si vous obtenez : l moins de 3 points sur 10 : il vous faudra travailler intensément ce chapitre ; l entre 4 et 8 points, il vous faudra réviser et approfondir ce chapitre ; l 9 ou 10 points, vous pourrez passer ce chapitre en première étape de votre préparation générale.

Analogies Règle Une analogie est un rapport qui existe entre des êtres ou des choses qui possè­ dent des caractéristiques communes. On peut dire, par exemple, que deux textes qui se ressemblent ont des analogies. Dans les tests, les analogies verbales se présentent sous la forme de couples de termes qu’il faut associer à d’autres couples proposés qui ont la même relation, ou bien de phrases incomplètes qu’il s’agit de compléter en déterminant la logique établie entre deux termes et en reproduisant cette même logique entre deux autres. Exemple

326

Complétez l’analogie suivante : Jean est à homme ce que Jeanne est à … Dans cet exemple une première logique se présente à nous : c’est le rapport qu’il y a entre Jean et homme. Ce rapport est simple : Jean est un homme, il appartient à la

Logique verbale 30 catégorie des humains de sexe masculin. Le second rapport est incomplet, et propose Jeanne, le féminin de Jean. Nous comprenons donc qu’il faut chercher la catégorie à laquelle appartient Jeanne : c’est un humain de sexe féminin. L’analogie complétée est : Jean est à homme, ce que Jeanne est à femme. Même si les logiques peuvent être très diversifiées, certaines sont récurrentes : Analogie de strict rapport logique (les plus courantes)  Types de rapports

Exemples

– du tout à la partie (du contenant et de son contenu, d’un objet et de ses propriétés, d’un genre à son espèce, etc.)

– valse est à danse ce que golf est à sport tasse est à café ce que bol est à lait tilleul est à arbre ce que rose est à fleur

– de la cause à la conséquence ou de la conséquence à la cause.

– pluie est à mouillé ce que soleil est à bronzé

– de l’objet à l’utilisateur, au fabricant.

– armoire est à ébéniste ce que maison est à maçon

– selon le nombre de lettres, de consonnes ou de voyelles.

– journal est à sept ce que papier est à six

l

Analogies lexicales 

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Types de rapports

Exemples

– Mise en relation de synonymes

– gentil est à sympathique ce que boute-en-train est à farceur

– Mise en relation d’antonymes

– jour est à nuit ce que chaud est à froid

– Mise en relation d’homonymes

– pair est à père ce que loup est à loue

– Mise en relation de paronymes

– habilité est à habileté ce que rabattre est à rebattre

l

Aptitude verbale

l

Analogies orthographiques et grammaticales  Types de rapports

Exemples

– selon les règles d’accord, l’orthographe

– bocal est à bocaux ce que mal est à maux

– selon la catégorie grammaticale (un mot associé à sa nature, un nom à son adjectif, son adverbe, son verbe, etc.)

– main est à nom ce que manuel est à adjectif – juteux est à jus ce qu’urbain est à ville

327

30 Logique verbale Il arrive souvent que sur les quatre termes de l’analogie deux soient absents. Dans ce cas, il faut utiliser le lien qui pourrait unir ces deux termes, ainsi que les propositions pour trouver la bonne réponse.

Exemple

Aimable est à … ce que … est à triste. a. affable / plaisant c. détestable / gai b. sept / six d. adjectif / adjectif On constate que les deux mots sont des adjectifs et qu’ils expriment pour le 1er une qualité, pour le 2e un sentiment. Cette 1re analyse ne doit pas nous entraîner à choisir d. Il faut lire l’analogie avec rigueur : aimable est un adjectif, mais adjectif n’est pas un triste. L’ordre des mots importe ! À présent, il faut procéder par élimination. a. semble proposer une analogie de synonymes, mais cela ne fonctionne pas car triste n’est pas synonyme de plaisant. b. semble associer un mot à son nombre de lettres : aimable compte 7 lettres et triste en compte six. Mais là encore, si on complète rigoureusement l’ana­logie cela donne : aimable compte sept lettres, tout comme six lettres comptent triste. Cela n’a pas de sens. c. propose une relation d’antonymes : aimable s’oppose à détestable comme gai s’oppose à triste. C’est la réponse c.

Anagrammes Règle Une anagramme est un mot dans lequel on a changé l’ordre naturel des lettres, formant ainsi un autre mot ou une suite chaotique de lettres. Dans les concours, il faut retrouver l’anagramme complète (avec toutes les lettres) d’un ou de plusieurs mots proposés, l’anagramme intruse, ou le plus possible d’anagrammes d’une suite de lettres sachant qu’il faut tenir compte des accents. Pour l’intérêt de l’épreuve, aucune réponse n’est proposée, mais on vous demandera le nombre de mots qui peuvent être formés avec les lettres proposées ou le sens de la suite de lettres, une fois leur ordre retrouvé. Règle Pour trouver les réponses, retenez ces règles de construction des mots français : Il y a davantage de mots qui commencent par une consonne, il faut donc d’abord essayer de placer une consonne en début de mot. l De nombreux mots terminent par un –e ou par les consonnes –s, –t. l Certaines lettres sont souvent associées : a/i, a/u, e/a/u, e/n, e/s, e/t, o/u, c/h, p/ h, m/b, m/p, qu, l/l, p/p, s/s, t/t. l

328

Logique verbale 30 Exemple

Combien pouvez-vous former d’anagrammes complètes différentes avec les lettres A R G E ? Il faut essayer toutes les combinaisons possibles puisqu’il n’y a que peu de lettres ; on trouve quatre mots : GARE, GERA (verbe gérer), GREA (verbe gréer – garnir un bateau de voile) et RAGE.

Mots à compléter, à construire L’épreuve de mots à compléter ou de composition de mots est assez ludique, mais elle nécessite également du vocabulaire. Dans les concours, il faut retrouver le mot ou la syllabe qui permet de compléter les mots ou syllabes proposés pour former de nouveaux mots. Le nombre de points, qui représentent le mot ou la syllabe à trouver, indique souvent le nombre de lettres à découvrir.

Cette épreuve se présente sous deux formes : l Retrouver une syllabe (ou un mot) commune à la composition de deux mots différents. Quelle syllabe forme avec chacune des autres syllabes un mot ? Arrê…rasse Réponse : ter (arrêter, terrasse). l

Retrouver un mot (une syllabe) commun à la composition de plusieurs mots composés.

Aptitude verbale

Exemple

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Quel mot forme avec chacun des mots proposés un mot composé ? …

feuille serviette avions

Réponse : porte (portefeuille, porte-serviette, porte-avions). Cette présentation est appelée « mots en éventail ».

Phrases à ordonner Dans une phrase, l’ordre des mots a été inversé (mais pas les lettres) et il faut le rétablir. Il arrive souvent que cette phrase soit un proverbe ou une expression courante. Dans ce cas, la connaissance du chapitre précédent vous sera utile. Mais il est égale-

329

30 Logique verbale ment possible que ce soit une phrase ordinaire. Dans ce dernier cas, le travail est plus difficile et se fonde davantage sur l’observation et la logique. l L’observation : (si les signes analysables n’ont pas été supprimés, ce qui peut arriver) relevez le mot qui commence par une majuscule sans être un nom propre (il devrait donc se situer au début de la phrase) ; relevez également les indices de ponctuation (mots suivis de virgules, points-virgules, points). La ponctuation peut nous en apprendre beaucoup : – s’il y a un point d’interrogation ou d’exclamation, il y a une inversion du sujet et du verbe ; – s’il y a un point-virgule, c’est qu’il y a plusieurs grandes propositions dans la phrase ; – s’il y a une virgule, c’est qu’il peut y avoir une énumération ; – s’il y a au moins deux virgules, c’est qu’il peut y avoir une portion de phrase (appelée incise) qui est placée entre deux virgules. l La logique : agencez de façon cohérente des noms et leurs déterminants et adjectifs, associez les verbes aux noms. Notons pour repère que : – les déterminants sont placés avant les noms et les adjectifs de ces mêmes noms, et s’accordent en genre et nombre avec eux ; – les verbes expriment l’action que font leurs sujets, et s’accordent avec le sujet. Il faut donc associer les mots-sujets et les verbes selon leur personne gram­ maticale et leur nombre ; – les adverbes ou les compléments circonstanciels, qui expriment le temps, le lieu, etc. sont soit en début de phrase, suivis d’une virgule, soit générale­ment après les compléments essentiels du verbe (COD, COI). Exemple

Réécrivez la phrase suivante dans l’ordre. printemps, nous tant et tulipes. anémones Au cueillir jonquilles, aimions Observation : – majuscule à Au qui ne peut être un nom propre, donc c’est le 1er mot. – point après tulipes qui termine la phrase. – virgule après printemps qui indique le temps et peut donc faire partie d’un complément circonstanciel ; virgule après jonquilles qui pourrait faire partie d’une énumération. Logique : – Au ne peut se rapporter qu’à printemps puisqu’il est au singulier. – nous doit être suivi de aimions qui s’accorde avec lui. – tant doit suivre aimions, et cueillir doit suivre tant car pour se rapporter à un nom tant a besoin de la préposition de et la phrase n’en contient pas. – jonquilles doit être le 1er élément d’une énumération qui continue avec anémones puis tulipes (dernier mot de la phrase). Réponse : Au printemps, nous aimions tant cueillir jonquilles, anémones et tulipes. 330

Logique verbale 30 Si votre réponse compte un simple oubli de mot ou une faute d’ortho­graphe, elle sera considérée fausse.

Intrus

Les tests des intrus sont des grands classiques des tests, quel que soit leur sup­port (graphique, numérique, verbal). En aptitude verbale, ces tests se présen­tent sous la forme de séquences dans lesquelles il faut identifier le mot qui diffère des autres par l’une de ses propriétés. Pour savoir résoudre ce type de test, il faut identifier le point commun des termes et voir celui qui est différent. Il ne faut donc pas commencer par cher­cher des différences mais des ressemblances. Les intrus peuvent être classés selon les catégories suivantes : l Intrus sémantiques ou lexicaux : un mot n’a pas le même sens, ou n’appar­tient pas au même domaine que les autres. Ce sont les plus courants. Exemple

Trouvez l’intrus. Orgueil, avarice, patience, jalousie. Le point commun entre ces mots est qu’ils expriment des défauts. L’intrus est celui qui n’exprime pas un défaut : patience. Intrus graphiques ou orthographiques : un mot n’a pas les mêmes propriétés graphiques que les autres, ou il est mal orthographié. Exemple

Trouvez l’intrus. Hérisser, hermétique, herpès, herratique. Tous ces mots commencent par un –h. L’intrus est celui qui ne prend pas de –h : erratique (irrégulier, instable).

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l

Aptitude verbale

l

Intrus grammaticaux : un mot n’a pas le même genre, le même nombre, la même nature que les autres. Exemple

Trouvez l’intrus. Grenier, perdurer, marchander, éternuer. Tous ces mots sont des verbes. L’intrus est celui qui n’est pas un verbe : grenier. l

Intrus de la conjugaison : une forme verbale n’est pas issue du même radical que les autres, ou elle est fautive. Exemple

Trouvez l’intrus. Nous fuîmes, je fuirai, je fus, elles fuissent. Toutes ces formes verbales appartiennent au verbe fuir. L’intrus est la forme verbale qui vient d’un autre verbe : je fus (verbe être).

331

30 Logique verbale

Syllogismes Cet exercice présente les bases de la logique de déduction. Il s’agit de comprendre ce que des affirmations proposées incluent et excluent. C’est donc une logique sur des ensembles. Le plus célèbre syllogisme nous vient du philosophe Aristote : l Tous les hommes sont mortels, l Socrate est un homme, l Donc Socrate est mortel. Ce syllogisme est vrai ; en revanche le suivant est faux : l Tous les hommes sont mortels, l Mon chien est mortel, l Donc mon chien est un homme. Nous pouvons représenter ces affirmations suivant le diagramme d’Euler qu’on appelle plus familièrement des patates pour vérifier le syllogisme. 1re proposition

2e proposition

1re proposition

Homme

Socrate

Homme

Homme

Mortel

Mortel

Conclusion

Socrate Homme Mortel

2e proposition Chien Conclusion

Homme

Mortel

Chien

Mortel

Nous voyons bien à présent que le 1er syllogisme est vrai : si les hommes appartiennent à la catégorie des mortels et que Socrate appartient à la catégorie des hommes, alors Socrate appartient à la catégorie des mortels. En revanche, le 2e syllogisme est faux : si les hommes appartiennent à la catégorie des mortels et que mon chien appartient à la catégorie des mortels, cela n’implique pas que mon chien soit un homme. Dans les concours, les syllogismes n’auront pas nécessairement de sens ; et s’ils en ont un, il faudra surtout s’attacher à la logique. Prenons un exemple pour appliquer la technique des patates à un syllogisme dont le sens est contestable. Exemple

332

– Tous les sportifs ont du surpoids. – Tous les inactifs ont du surpoids. – Certains inactifs sont sportifs. Quelle(s) conclusion(s) découle(nt) directement des affirmations suivantes ?

Logique verbale 30 a. Certains sportifs sont inactifs. b. Toutes les personnes en surpoids sont sportives. c. Toutes les personnes en surpoids sont soit sportives soit inactives. d. Certains inactifs ne sont pas sportifs Nous constatons que les propositions sont très contestables dans leur signification ; il est peu probabl e que tous les sportifs soient en surpoids ou que certains inactifs soient des sportifs. Mais cela n’a pas d’importance pour l’exercice. Pour résoudre le problème, représentons chaque proposition : 1re proposition

2e proposition

Sportif

Inactif

Surpoids

Surpoids

3e proposition et conclusion

Sportif

Inactif

Surpoids

Aptitude verbale

Quand le diagramme est bien réalisé, la réponse est évidente : a, d. b. est faux puisqu’il y a aussi des personnes en surpoids qui ne sont pas sportives, et c. est faux parce qu’il peut y avoir des personnes en surpoids qui ne sont ni sportives ni inactives.

Exercices d’entraînement 0 0:5 0

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1. Analogies. Complétez les analogies suivantes à l’aide des propositions qui conviennent. 1. Blanc est à noir, ce que courage est à … q a. rouage q c. témérité q b. lâcheté q d. abandon 2. Tarte est à fraise, ce que table est à … q a. bois q c. commode q b. repas q d. chaise 3. Été est à chaud, ce que hiver est à … q a. nuit q c. froid q b. glacial q d. long

333

30 Logique verbale 4. Arbre est à fruit, ce que travail est à … q a. jeu q c. fatigue q b. salaire q d. courbature 5. Heure est à vingt-quatre, ce que jour est à … q a. trente q c. un q b. trois cent soixante-cinq q d. trois cent soixante-cinq un quart 6. … est à action, ce que départ est à … q a. réflexion / arrivée q c. bourse / victoire q b. obligation / arrivée q d. passivité / arrêt 7. … est à page, ce que coffre est à … q a. roi / butin q b. ouvrage / fort

q c. livre / trésor q d. papier / bois

8. … est à vespéral, ce que aurore est à … q a. lacrymal / aube q c. estival / nuit q b. nuit / matin q d. matinal / crépuscule

2. Associez les couples proposés à d’autres couples qui ont la même relation. 1. homme – marcher q a. chien – aboyer q b. homme – courir 2. victoire – joie q a. jour – matin q b. fantaisie – originalité 3. fleuve – ruisseau q a. nain – géant q b. groupe – couple 4. bois – orme q a. eau – mer q b. règles – jeu 5. rouge – orange q a. bleu – mer q b. bleu – vert 6. image – représentation q a. lèvres – bouche q b. garantie – sécurité

334

q c. serpent – ramper q d. navigateur – piloter q c. bonheur – tristesse q d. course – fatigue q c. année – jour q d. misère – vanité q c. enfance – enfants q d. garantie – censure q c. vert – herbe q d. violet – noir q c. changement – élévation q d. sophistication – mensonge

Logique verbale 30

3. Anagrammes. Parmi ces anagrammes, laquelle ne représente pas … 1. … un nom d’arbre q a. TUOG q b. ERHTE

q c. LLUELIT

q d. CCAAAI

2. … une couleur q a. UELB

q b. ROIN

q c. RAMRON

q d. LUERCOU

3. … un sport q a. DUJO

q b. RIOPIRE

q c. BURYG

q d. YCEKHO

4. … un métier q a. EUIPLERP

q b. VRUROCUE q c. RIENIRADJ

q d. TESINEDT

5. … un fruit q a. NADEGRE q b. TOTECRA

q c. RAGONE

q d. EECPH

6. … un outil q a. TRAMEAU q b. EECPER

q c. ULLETRE

q d. PNECI

7. … un art q a. SANDE

q b. ULPTESUCR q c. GEALRIBOC q d. RUPINETE

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1. a. IBTINOLA

b. BATILION

c. NOITABIL

d. BERTONIALI

2. a. MOTECP

b. TEABEU

c. TUAES

d. MEUH

3. a. SURECO

b. NNIAETOF c. PITUS

d. SUAT

4. a. HECUBO

b. NACRE

d. PLOMOTAE

5. a. ETATENT

b. MOUTETE c. POTETE

d. TOTES

6. a. RME

b. RIAME

c. REMENT

d. MEER

7. a. TUGO

b. ESEPNE

c. CHOUTER d. TRODAO

8. a. NIPECHE

b. URQABE

c. ATEBUA

c. RASUDI

Aptitude verbale

4. Trouvez l’anagramme complète de chaque mot, puis chassez l’intrus.

d. VIOLRIE

5. Mots à compléter, à construire. a. Quel mot forme, tant avec le précédent qu’avec le suivant, un mot composé ? 1. avant (…..) boue 4. choux (…..) de lotus 2. pare (…..) fer 5. coupe (….) de loup 3. garde (….) de porc 6. rond (…..) virgule b. Quelle syllabe forme avec chacune des autres syllabes un mot ? 1. réus (…) ène 4. char (..) ageux 2. opu (….) eur 5. vé (..) tion 3. mu (…) afe 6. pour (..) tournelle 335

30 Logique verbale

6. Mots à compléter, à construire. Quelle syllabe forme avec chacune des autres syllabes un mot ? nade carna 1. … 9. … 5. na … pille ticolis esti

tège iandre pulent

2. …

vent pet pluie

rémoul 6. cir vid

…

10. …

nissage tige mifuge

3. …

mission pière pape

élec 7. gas mé

…

11. …

racle kado nable

4. …

serole quette oar

man 8. pal galip

…

12. …

bala sifier lacieux

7. Phrases à ordonner.

Réécrivez les phrases suivantes dans l’ordre, et sans fautes. Indice : Les cinq premières phrases sont des proverbes. 1. outil. point ouvrier A de bon méchant ......................................................................................................................................... 2. qui la de charité. se l’ C’ hôpital moque est ......................................................................................................................................... 3. rendre qui César, César qui Dieu Dieu. à à à à Il ce faut et est ce est ......................................................................................................................................... 4. né une avec Il argent la dans cuillère bouche. est d’ ......................................................................................................................................... 5. morveux mouche. se Qui qu’ sent il se ......................................................................................................................................... 6. printemps. J’ le du aime renouveau ......................................................................................................................................... 7. les Pourquoi ils la font guerre ? hommes ......................................................................................................................................... 8. j’ vingt Hier avais ans ! encore, ......................................................................................................................................... 9. Tulipe Sous on Régime, gais. et soldats les Ancien l’ appelait insouciants

336

......................................................................................................................................... .........................................................................................................................................

Logique verbale 30 10. César ouvrage raconté comment a il vaincu a Jules chevelue, Gaule la Gaules. Guerre dans la des son ......................................................................................................................................... .........................................................................................................................................

8. Intrus. Soulignez l’intrus dans chaque item. 1. vagabond, truand, brigand, cheminot. 2. alcôve, éloge, pore, exode. 3. laie, biche, hase, cochonne. 4. laudes, fiançailles, funérailles, psaumes. 5. je recouvris, tu recouvrais, il recouvrirait, tu recouvriras. 6. tu chois, il choie, vous choyez, nous choyâmes. 7. censé, cohérent, raisonnable, rationnel.

9. Relevez l’intrus dans chaque série. 1. trompette, cor, clavecin, tube, hautbois. 2. palais, château, hôtel, demeure, palace. 3. hémorragie, erréditaire, erreur, pierreux. 4. train, teint, tain, teins, thym. 6. eau, air, feu, mer, terre. 7. agréable, encourageant, décevant, déplaisant, coûteux.

10. Syllogismes.

Aptitude verbale

5. amerrir, mourir, quérir, bouillir, vêtir.

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Quelle(s) conclusion(s) découle(nt) directement des affirmations suivantes ? 1. Paul est un homme, Certains hommes sont chauves. q a. Paul est chauve. q c. Paul est chauve ou non chauve.

q b. Paul n’est pas chauve. q d. Paul peut être non chauve.

2. Tout A est B. q a. Tout B est A. q c. Certains A sont B.

q b. Certains B sont A. q d. Tout être est A ou B.

3. Les boulangers sont gourmands, Pierre et Paul sont boulangers. q a. Tout gourmand est soit Pierre soit Paul q b. Paul est plus gourmand que Pierre q c. Tout gourmand est boulanger q d. Pierre est gourmand

337

30 Logique verbale 4. Tous les Français aiment le football, Certains Anglais aiment le football. q a. Tous les Anglais sont français. q b. Certains Anglais n’aiment pas le football. q c. Seuls les Français et les Anglais aiment le football. q d. Tous les joueurs de football aiment les Français. 5. Si on donne aux infirmiers une blouse, aux humains un chapeau et aux mammifères du lait, existe-t-il un individu qui a reçu : q a. un chapeau, mais ni lait ni blouse q b. du lait, mais ni blouse ni chapeau q c. une blouse et un chapeau, mais pas de lait q d. un chapeau et du lait, mais pas de blouse 6. Tous les trucs et les non-trucs sont des machins, Certains machins sont des bidules. q a. Il existe des machins-bidules. q b. Tout bidule est un machin, un truc ou un non-truc. q c. Certains trucs peuvent être des bidules. q d. Certains non-trucs peuvent être bidules mais non machins. 7. Tous les hommes sont mortels, Tous les hommes sont raisonnables, Tous les hommes sont bipèdes. q a. Tout homme est soit raisonnable, soit bipède, soit mortel. q b. Certains hommes peuvent être raisonnables et bipèdes. q c. Certains êtres raisonnables peuvent ne pas être des hommes. q d. Tout bipède est raisonnable.

Corrigés des exercices 1.

338

1. b. Association des contraires. Abandon était moins précis puisqu’il peut avoir plusieurs sens ; témérité signifie courage excessif. 2. a. Association de l’objet et de sa matière première. 3. c. Association des contraires. Glacial est fautif parce qu’il représente un excès de froid ; son contraire n’est pas chaud mais torride. 4. b. Un élément associé à son produit. Fatigue ou courbature ne sont pas les fruits du travail, mais seulement ses conséquences.

Logique verbale 30

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2.

1. c. Lien d’un individu à son moyen ordinaire de locomotion. 2. d. Lien de cause à conséquence. 3. c. Lien du plus grand au plus petit. 4. a. Lien de la matière à l’une des choses qui en est composée. 5. b. Une couleur associée à son ton lorsqu’on y ajoute du jaune. 6. b. Lien de synonymes.

3.

1. a. goÛt (b : hêtre/c : tilleul/d : acacia) 2. d. couleur (a : bleu/b : noir/c : marron) 3. b. poirier (a : judo/c : rugby/d : hockey) 4. a. peuplier (b : couvreur/c : jardinier/d : dentiste) 5. b. carotte (a : grenade – fruit du grenadier/c : orange/d : pêche) 6. b. percÉe (a : marteau/c : truelle/d : pince) 7. c. bricolage (a : danse/b : sculpture/d : peinture)

4.

1. d. LIBERATION : toutes les autres anagrammes forment LIBATION. 2. b. BEAUTE n’est pas issu d’un verbe à la différence de compté, sauté, humé. 3. d. SAUT n’est pas synonyme de point d’eau à la différence de source, fontaine, puits. 4. a. BOUCHE n’est pas un os, à la différence de crâne, omoplate, radius. 5. c. POTETE ne permet de former aucun mot français, à la différence des trois autres (attente, mouette, sotte). 6. c. « MERENT » n’existe pas à la différence de mer, maire, mère, tous homonymes. 7. b. PENSEE n’est pas un sens à la différence du goût, du toucher, de l’odorat. 8. c. BATEAU est le terme générique. Péniche, barque, voilier ne sont que des types de bateau.

5.

Mots composés : 1. garde (avant-garde, garde-boue). 2. brise (pare-brise, brise-fer). 3. côte (garde-côte, côte de porc). 4. fleur (choux-fleur, fleur de lotus). 5. faim (coupe-faim, faim de loup). 6. point (rond-point, point-virgule).

6.

1. tor– (tornade, torpille, torticolis). 2. para– (paravent, parapet – partie supérieure d’un rempart –, parapluie).

Aptitude verbale

5. c. Un jour compte vingt-quatre heures. Les autres propositions n’étaient pas justi­fiées. Attention particulièrement « à b. et c. »… qui par leur précision peuvent faire penser que l’une doit nécessairement être la bonne. 6. a. Association de l’étape préliminaire à l’étape finale. 7. c. Rapport de contenant à contenu. d. inverse la relation : une page est en papier, mais un bois n’est pas en coffre ! 8. d. Association des contraires. La difficulté porte sur le sens du mot vespéral qui ­signifie relatif au soir et s’oppose donc à matinal ; lacrymal signifie qui concerne les larmes.

Mots simples : 1. sir (réussir, sirène). 2. lent (opulent – gros –, lenteur). 3. gir (mugir, girafe). 4. nu (charnu –  bien en chair –, nuageux). 5. lo (vélo, lotion). 6. ri (pourri, ritournelle –  chant répétitif  ).

339

s

30 Logique verbale 3. 4. 5. 6.

7.

1. À méchant ouvrier point de bon outil. 2. C’est l’hôpital qui se moque de la charité. 3. Il faut rendre à César ce qui est à César, et à Dieu ce qui est à Dieu. 4. Il est né avec une cuillère d’argent dans la bouche. 5. Qui se sent morveux, qu’il se mouche. 6. J’aime le renouveau du printemps. 7. Pourquoi les hommes font-ils la guerre ? Il fallait utiliser la ponctuation. Puisqu’il y a un point d’interrogation, il doit y avoir une inversion de sujet et verbe. 8. Hier encore, j’avais vingt ans ! 9. Sous l’Ancien Régime, on appelait Tulipe les soldats insouciants et gais. Il fallait se demander pourquoi il y avait des majuscules à Ancien, Régime, Tulipe, Sous. Tous ne pouvaient pas être en début de phrase. Or, le seul qui ne pouvait pas avoir de majuscule en milieu de phrase était sous. On pouvait facilement associer Ancien et ­Régime et le reste était plus facile. 10. Jules César a raconté comment il a vaincu la Gaule chevelue, dans son ouvrage la Guerre des Gaules. Là encore, il y avait beaucoup de majuscules. Mais seul le mot Guerre ne devait pas naturellement avoir de majuscule. C’était donc qu’il était soit en début de phrase, soit associé à une autre majuscule dans un nom de lieu, un titre, etc.

8.

1.  cheminot : n’est pas synonyme de truand. Il ne faut pas le confondre avec chemi­ neau qui signifie vagabond ou voleur. 2. alcôve : seul mot féminin. 3. cochonne : ne désigne pas la femelle du cochon, mais quelqu’un de sale. Cochon est un terme générique ; le mâle cochon est le porc, sa femelle est la truie. Rappe­lons que la laie est la femelle du sanglier, et la hase est la femelle du lièvre. 4. psaumes : seul mot qui existe également au singulier. Un psaume est un cantique religieux. Les laudes désignent un office chrétien du matin. 5. tu recouvrais : toutes les formes sont correctes, mais celle-là peut également appartenir au verbe recouvrer et pas seulement au verbe recouvrir. 6. tu chois : verbe choir et non verbe choyer. 7. censé : n’est pas synonyme de rationnel. Il ne faut pas le confondre avec sensé, qui signifie plein de bon sens.

C

O

R

R

I

G

é

sou– (soumission, soupière, soupape). cas– (casserole, casquette, casoar – grand oiseau coureur d’Australie). –val (carnaval, naval, estival). –eur (rémouleur – aiguiseur de couteaux –, cireur, videur) ou –age (rémoulage, ­cirage, vidage). 7. –trique (électrique, gastrique, métrique). 8. –ette (manette, palette, galipette). 9. cor– (cortège, coriandre – condiment –, corpulent – gros). 10. ver– (vernissage, vertige, vermifuge – qui expulse les vers intestinaux). 11. mi– (miracle, mikado, minable). 12. fal– (falbala – ornement de mauvais goût –, falsifier, fallacieux – trompeur).

340

Logique verbale 30

9.

1. 2. 3. 4. 5. 6. 7.

10.

1. c, d. Ni a ni b ne sont nécessaires, mais Paul est nécessairement a ou b.

tube : n’est pas un instrument de musique. hôtel : n’est pas forcément une maison luxueuse. héréditaire : seul mot mal orthographié. train : n’est pas homonyme des autres mots. amerrir : seul verbe du 2e groupe parmi des verbes du 3e groupe. mer : ne fait pas partie des cinq principaux éléments. coûteux  : le seul qui n’est pas par paire avec un antonyme (agréable/déplaisant, ­encourageant/décevant).

Chauve

Paul Homme

2. b, c. Certains B ne sont pas A, donc a est faux ; d n’est pas nécessaire.

A

3. d. Dire que les boulangers sont gourmands n’est pas dire que les gourmands sont tous boulangers, donc a et c sont faux ; quant à b, rien ne permet de le dire. Pierre/Paul

Aptitude verbale

B



Boulanger

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Gourmand

4. b. Il est possible que certains Anglais soient français mais pas qu’ils le soient tous ou alors tous les Anglais aimeraient le football et pas seulement certains ; c et d ne sont pas nécessaires. Il s’agit du même diagramme qu’en question 1.

Français

Anglais

Football

341

5. b, d. Il fallait penser qu’un infirmier est un humain et qu’un humain est un mammifère. Du coup a et c sont faux (ce serait un humain qui ne serait pas un mammifère). Infirmier/Blouse

é

s

30 Logique verbale

Humain/Chapeau

I

G

Mammifère/Lait

6. a, c. Tout bidule ne peut être un machin puisque seuls « certains machins sont des bidules » ; donc b est faux. Et puisque « tous (…) les non-trucs sont des machins », d est faux.

Machin

Bidule Truc

7. c. La réponse a est incorrecte parce qu’un homme peut être à la fois mortel, raisonnable et bipède. La réponse b est incorrecte parce que tous les hommes sont raisonnables et bipèdes et pas seulement certains. La réponse d est incorrecte parce que certains bipèdes peuvent ne pas être raisonnables.

O

R

R

Non-truc

Homme

C

Raisonnable

Mortel

342

Bipède

Personnalité et créativité

31. Les questionnaires de personnalité 345 32. Les tests projectifs 355 33. Les tests de créativité individuels et collectifs 359

C

ertains concours de la fonction publique soumettent les candidats à des tests de personnalité et de créativité.

Ils servent à appréhender, de façon plus ou moins globale, votre profil psychologique afin d’apprécier s’il est en adéquation avec celui du professionnel recherché. Ce sont des outils prédictifs qui permettront de faire des hypothèses sur ce que seront vos comportements au travail, en tenant compte des spécificités du métier et de son environnement. Cette partie vise, d’une part, à vous familiariser aux différentes épreuves auxquelles vous pourriez être confronté(e) et, d’autre part, à vous donner des conseils sur la méthode et l’attitude à adopter face à ces tests. Ces tests font peur car ils touchent à l’intimité de la personne, son inconscient. Leur passation est à dédramatiser. En effet, il n’y a pas de « bonnes » ou de « mauvaises » réponses. Restez confiant(e) et honnête. Ces tests ne permettent pas à eux seuls de valider ou d’invalider une candidature. Ils constituent une aide à la décision sous la forme d’un avis d’un psychologue transmis au jury de sélection.

Les questionnaires de personnalité

31

Comportement au travail, relations interpersonnelles, qualités humaines, capacités managériales, créativité, gestion du stress, aptitudes diverses… autant de facettes de la personnalité dévoilées par les questionnaires de personnalité. Il en existe de nombreux, composés d’un nombre plus ou moins élevé d’items (de 80 à 450), portant sur les opinions, les sentiments, les réactions et les attitudes du candidat, dans diverses situations professionnelles ou circonstances de la vie. Ils sont généralistes ou spécifiques. Les premiers cherchent à évaluer les principales dimensions psychologiques pour donner une vision globale de la personnalité de l’individu qui sera comparée par la suite au profil recherché pour le poste à pourvoir. Les seconds concernent une problématique ciblée et déterminante pour la réussite professionnelle du futur recruté. Dans cette dernière catégorie, on trouve les tests dits «  de motivation  » qui déterminent les leviers et les freins à l’implication dans le travail, les tests «  d’intelligence émotionnelle  » nécessaire aux postes de pilotage et d’animation d’équipe, et des tests conçus spécialement pour un métier, par exemple celui de sous-officier de la gendarmerie.

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Ils comprennent plusieurs questions ou items se rapportant à chaque dimension psychologique évaluée. Chaque réponse est notée et l’ensemble des notes pour les éléments mesurés est additionné pour former au final le profil psychologique du candidat. Les résultats des questionnaires de personnalité sont analysés par un psychologue. Certains traits de la personnalité du candidat sont cernés. Des hypothèses sont faites sur ce que devraient être ses comportements dans certaines situations professionnelles qui seront mises en relation avec ceux attendus dans le profil type du professionnel recherché.

Personnalité et créativité

Tous ces tests sont construits sur la base de questionnaires, le plus souvent informatisés, à choix multiples (vrai/faux, oui/non/je ne sais pas…) ou à préférence (choix parmi des affirmations, des adjectifs…). Ils sont souvent à réaliser dans un temps limité.

Ils ne sont pas éliminatoires, mais constituent une aide à la décision pour le jury de sélection finale. Nous vous proposons, dans une première partie, de découvrir quelques dimensions psychologiques fréquemment évaluées lors des concours de la fonction publique, leur définition et des exemples d’items permettant leur évaluation. Dans une seconde partie, nous vous proposons des conseils pour appréhender au mieux les questionnaires de personnalité.

345

31 Les questionnaires de personnalité

1. Les principales dimensions évaluées La fonction publique évolue, à la recherche d’une plus grande performance effective, comme toute entreprise, tout en respectant les valeurs qui sont les siennes. Les concours ont pour objectif de sélectionner des candidats ayant la personnalité et les qualités professionnelles requises pour devenir fonctionnaires, statut particulier à forte portée déontologique. Ci-après, quelques-unes des dimensions psychologiques fréquemment mesurées, leur définition et des exemples d’affirmations ou de questions permettant leur évaluation.

La discrétion professionnelle Un fonctionnaire ne peut pas divulguer les informations, les faits ou les documents dont il a eu connaissance dans l’exercice de sa fonction. Exemples d’affirmations et de questions mesurant la discrétion professionnelle

Répondez par « Oui » ou « Non » à cette question : « Avez-vous déjà rapporté des documents professionnels à votre domicile ? » q Oui q Non l Choisissez l’affirmation qui vous correspond le mieux : q J’aime partager mon vécu professionnel avec mon entourage. q Je préfère être discret(ète) au risque d’être moins apprécié(e) de mes collègues. l

La gestion du stress On mesure la résistance au stress du candidat et sa capacité à contrôler ses émotions. Exemples d’affirmations et de questions mesurant la gestion du stress

Cochez l’une des trois cases correspondant à votre réponse : « vrai » si vous êtes d’accord, « ne sait pas » si vous hésitez ou « faux » si vous n’êtes pas d’accord : « Vous considère-t-on comme quelqu’un sachant garder son sang-froid en toutes circonstances ? » q Vrai q Ne sait pas q  Faux l Répondez à la question suivante en cochant la réponse qui correspond le mieux à ce que vous pensez : « Que ressentez-vous coincé(e) dans un embouteillage ? » q de la frustration q de la colère q de l’ennui l Répondez à l’affirmation suivante par « Oui » ou « Non » : « Je suis très contrarié(e) si je suis interrompu(e) dans mon travail ? » q Oui q Non l

346

Les questionnaires de personnalité 31

La neutralité Un fonctionnaire doit assurer ses fonctions à l’égard de tous les administrés, en excluant toute discrimination de sexe, de croyances religieuses, de culture, d’idées politiques… Il doit s’interdire toute manifestation de ses opinions personnelles. Exemples d’affirmations et de questions mesurant la neutralité :

Cochez l’une des trois cases correspondant à votre réponse : « vrai » si vous êtes d’accord, « ne sait pas » si vous hésitez ou « faux » si vous n’êtes pas d’accord : « Le service public devrait s’adresser prioritairement aux personnes de nationalité française » q Vrai q Ne sait pas q Faux l Notez l’affirmation suivante sur une échelle de 1 à 5. Entourez la note la plus élevée si l’affirmation vous correspond parfaitement et la note la plus basse si elle ne vous correspond pas du tout. « J’apprécie de défendre mes choix politiques y compris dans le cadre professionnel » l

5 4 3 2

1

Le dynamisme C’est la mesure de l’enthousiasme, de l’énergie. Il caractérise les personnes tournées vers les autres et vers l’action.

l

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l

Choisissez l’action qui vous décrit le mieux : q Organiser q Agir q Ranger Répondez par « Oui » ou « Non » à cette question : « Vous aimez la compétition ? » q Oui q Non

L’esprit d’équipe L’esprit d’équipe traduit une implication dans la réussite collective plutôt qu’individuelle. Il participe, de façon indéniable, à l’efficacité professionnelle.

Personnalité et créativité

Exemples d’affirmations et de questions mesurant le dynamisme :

Exemples d’affirmations et de questions mesurant l’esprit d’équipe : l

Cochez l’une des trois cases correspondant à votre réponse : « vrai » si vous êtes d’accord, « ne sait pas » si vous hésitez ou « faux » si vous n’êtes pas d’accord : « J’aime partager mes idées avec mes collègues de travail » q Vrai q Ne sait pas q Faux 347

31 Les questionnaires de personnalité l

Notez l’affirmation suivante sur une échelle de 1 à 5. Entourez la note la plus élevée si l’affirmation vous correspond parfaitement et la note la plus basse si elle ne vous correspond pas du tout. « J’ai de l’ambition et je suis prêt(e) à tout faire pour devenir chef d’équipe à moyen terme » 5 4 3 2 1

Le sens de l’organisation Une personne organisée est prudente et réfléchit avant de prendre des décisions. Elle est ordonnée et rigoureuse dans son travail. Elle sait gérer les priorités et respecte les délais fixés. Exemples d’affirmations et de questions mesurant le sens de l’organisation :

Cochez l’une des trois cases correspondant à votre réponse : « vrai » si vous êtes d’accord, « ne sait pas » si vous hésitez ou « faux » si vous n’êtes pas d’accord : « Lorsque je fais quelque chose, je prends d’abord le temps de réfléchir à tout ce dont je vais avoir besoin » q Vrai q Ne sait pas q Faux l Choisissez entre les deux verbes proposés, celui qui vous correspond le mieux : Diriger - Organiser l

Le sens des responsabilités C’est la capacité à prendre une décision et à agir de façon adaptée et raisonnée. Exemples d’affirmations et de questions mesurant le sens des responsabilités :

Cochez l’une des trois cases correspondant à votre réponse : « vrai » si vous êtes d’accord, « ne sait pas » si vous hésitez ou « faux » si vous n’êtes pas d’accord : « Je tiens à respecter mes engagements » q Vrai q Ne sait pas q Faux l Notez l’affirmation suivante sur une échelle de 1 à 5. Entourez la note la plus élevée si l’affirmation vous correspond parfaitement et la note la plus basse si elle ne vous correspond pas du tout. « Je parle de mes difficultés si cela me permet de résoudre une situation » l

5 4 3 2 1

348

Les questionnaires de personnalité 31

La sociabilité C’est la tendance à rechercher les contacts sociaux et les relations interpersonnelles. Exemples d’affirmations et de questions mesurant la sociabilité :

Notez l’affirmation suivante sur une échelle de 1 à 5. Entourez la note la plus élevée si l’affirmation vous correspond parfaitement et la note la plus basse si elle ne vous correspond pas du tout. « Je préfère les sports individuels aux sports collectifs » 5 4 3 2 1 l Cochez l’une des trois cases correspondant à votre réponse : « vrai » si vous êtes d’accord, « ne sait pas » si vous hésitez ou « faux » si vous n’êtes pas d’accord : « Vous aimez recevoir des invités » q Vrai q Ne sait pas q Faux l Entourez parmi cette paire d’adjectifs, celui qui vous décrit mieux que l’autre : Structuré - Sociable l

La stabilité émotionnelle C’est la facilité avec laquelle l’individu s’adapte aux circonstances de la vie, fait face aux événements avec calme, se remet de ses échecs. La personne équilibrée a une perception positive et optimiste de la vie. Exemples d’affirmations et de questions mesurant la stabilité émotionnelle :

Notez l’affirmation suivante sur une échelle de 1 à 5. Entourez la note la plus élevée si l’affirmation vous correspond parfaitement et la note la plus basse si elle ne vous correspond pas du tout. « Lorsque l’on me démontre que j’ai fait une erreur, cela ne m’affecte pas longtemps » 5 4 3 2 1 l Cochez l’une des trois cases correspondant à votre réponse : « vrai » si vous êtes d’accord, « ne sait pas » si vous hésitez ou « faux » si vous n’êtes pas d’accord : « À votre avis, est-il préférable de ne pas trop attendre de la vie, pour éviter les déceptions ? » q Vrai q Ne sait pas q Faux l Entourez parmi cette paire d’adjectifs, celui qui vous décrit mieux que l’autre : Rêveur - Positif l Cochez l’une des trois cases correspondant à votre réponse : « vrai » si vous êtes d’accord, « ne sait pas » si vous hésitez ou « faux » si vous n’êtes pas d’accord : « Mon entourage dit de moi que je suis facilement préoccupé(e) » q Vrai q Ne sait pas q Faux

Personnalité et créativité

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l

349

31 Les questionnaires de personnalité

L’obéissance Tout agent public est tenu de se conformer aux instructions de son supérieur hiérarchique. Il respecte les lois et règlements en vigueur. Exemples d’affirmations et de questions mesurant l’obéissance :

Entourez parmi cette paire d’adjectifs, celui qui vous décrit mieux que l’autre : Discipliné - Créatif l Cochez l’une des trois cases correspondant à votre réponse : « vrai » si vous êtes d’accord, « ne sait pas » si vous hésitez ou « faux » si vous n’êtes pas d’accord : « J’aime faire les choses à ma guise, faire mes propres choix » q Vrai q Ne sait pas q Faux l

D’autres traits de la personnalité peuvent être mesurés à l’aide de questionnaires  : l’ascendance, la créativité, l’honnêteté, le leadership… Les réponses à chaque item sont notées et l’ensemble des notes pour chacune des dimensions évaluées, est additionné, formant le profil psychologique global du candidat. À partir de ces éléments, des hypothèses seront faites sur les comportements de ce dernier dans certaines situations professionnelles qui seront ensuite mises en relation avec ceux déterminés dans le profil type du professionnel recherché. Dans un certain nombre de concours de la fonction publique, les résultats de ces tests peuvent servir de base à un échange lors d’un entretien avec un psychologue. Il permet de dépasser leur simple profil psychologique pour évaluer comment certains traits de leur personnalité se manifesteront concrètement en situation professionnelle. Pour cela, le psychologue va questionner les candidats, leur demandant notamment de commenter certaines de leurs réponses au questionnaire de personnalité, de parler d’eux, de leur vécu et de donner des exemples illustrant la façon dont leur personnalité impacte leur comportement.

2. Conseils pour appréhender au mieux les questionnaires de personnalité L’attention Lisez attentivement les énoncés des tests, de façon à ne pas vous méprendre sur le sens de la question posée ou de l’affirmation proposée. Exemple

350

Si vous répondez « NON » à la phrase : « Vous n’avez jamais consommé de substance stupéfiante » q OUI q NON Cela signifie que vous avez déjà fait usage de drogue. Soyez également très attentif aux consignes et aux exemples donnés afin de comprendre ce que l’on attend de vous.

Les questionnaires de personnalité 31

La préparation Même s’il n’est pas possible de se préparer aux inventaires de personnalité, il est en revanche recommandé de se familiariser à leur forme et à leur contenu, afin d’éviter l’effet de surprise et de mieux gérer son éventuelle appréhension face à type d’épreuve. Il est nécessaire de rappeler que les tests sont souvent un préalable à l’entretien avec un psychologue que vous aurez également préparé et au cours duquel vous pourrez argumenter et illustrer vos choix de réponse aux inventaires de personnalité. De plus, les candidats ayant une faible maîtrise de l’ordinateur, pourront s’entraîner sur le fonctionnement des tests informatisés en réalisant des exercices proposés par des sites Web spécialisés dans ce domaine. Cet entraînement permettra de limiter l’effet de surprise et de gagner du temps le jour du concours.

La sincérité Il est facile d’orienter ses réponses de façon à donner une bonne image de soi. Mais il est préférable d’être honnête car les tests de personnalité prévoient des moyens de détection du mensonge. Ainsi, ils peuvent contenir des affirmations ou des questions auxquelles la majorité des personnes interrogées devraient répondre de façon défavorable. Exemples

« Vous êtes toujours ponctuel(le) à vos rendez-vous » q OUI q NON l « Vous n’avez jamais proféré de jurons » q OUI q NON Répondre OUI à ce type d’affirmations, démontre une tendance chez le candidat à « tricher » et rend suspectes toutes ses autres réponses au test. Par ailleurs, l’introduction dans le test de plusieurs questions ou affirmations très proches, permet de vérifier la cohérence des réponses. Si ces dernières ne sont pas sensiblement les mêmes, la fiabilité des résultats obtenus sera remise en cause. Certaines questions peuvent paraître incongrues ou anodines. Pour autant, ne remettez pas en cause la pertinence du test, conçu par des experts de la psychométrie et répondez toujours avec sérieux et sincérité. Rappelez-vous que l’important est de présenter un profil équilibré et cohérent.

La spontanéité

Personnalité et créativité

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l

Il n’est pas nécessaire de parcourir l’ensemble des questions avant de commencer le test. Répondez de façon intuitive, sans trop réfléchir. Il n’existe pas de bonnes ou de mauvaises réponses. L’objectif est, rappelons-le, de vérifier l’adéquation entre le profil du candidat et les exigences du poste à pourvoir. Même si vous n’avez pas de contrainte de temps, une lenteur excessive pour ce type d’épreuve ferait s’interroger l’examinateur présent sur la nature de vos difficultés. Répondez à toutes les questions et évitez de donner trop de réponses indécises du style « je ne sais pas », « peut-être », « ça dépend » ou mitigées « 3 » sur une échelle de 1 à 5. À défaut, vous pourriez être considéré(e) comme réfractaire au test ou comme quelqu’un d’indécis.

351

31 Les questionnaires de personnalité

Exercices d’entraînement Répondez aux huit questions suivantes. Entourez la lettre qui précède votre choix de réponse parmi les propositions fournies.

1. Votre supérieur vous reproche de ne pas être suffisamment impliqué(e) dans le travail en équipe. Comment réagissez-vous ? q a. Vous demandez plus de détails sur ce que l’on vous reproche. q b. Vous ne portez pas attention à cette remarque puisque votre travail est toujours, selon vous, bien fait. q c. Vous essayez de vous corriger en vous impliquant davantage. q d. Les réponses A et C. q e. Les réponses A, B et C.

2. Votre horaire de travail habituel est de 7 heures à 14 heures et votre responsable

vous demande pour la première fois de travailler jusqu’à 16 heures pendant les trois jours consécutifs. Vous n’avez rien d’important de prévu. Comment réagissez-vous à cette demande ? q a. Vous acceptez et vous cherchez ensuite à comprendre la raison de cette demande. q b. Vous lui demandez la raison de ce changement et, s’il en a une bonne, vous ­acceptez. q c. Vous lui faites comprendre poliment que vous ne pouvez accepter. q d. Vous demandez une journée de réflexion et vous en parlez avec vos collègues de travail. q e. Toutes ces réponses.

3. Votre supérieur peu disponible vous demande votre collaboration pour un tra-

vail qui nécessite des compétences que vous n’avez pas. Que faites-vous ? q a. Vous analysez la situation et vous déclinez l’offre, car vous avez d’autres tâches urgentes à exécuter. q b. Vous aménagez vos priorités et vous vous mettez à sa disposition. q c. Vous cherchez à comprendre le pourquoi de son manque de disponibilité et vous vous mettez à sa disposition. q d. Toutes ces réponses. q e. Aucune de ces réponses.

4. Une collègue critique négativement votre méthode de travail. Comment réagis-

352

sez-vous ? q a. Vous conservez votre méthode, puisque ce n’est pas votre superviseur qui la critique. q b. Vous dites poliment à votre collègue que cela ne le regarde pas. q c. Vous demandez des précisions sur les critiques de votre collègue. q d. Vous recevez positivement les critiques de votre collègue en apportant quelques changements à votre méthode. q e. Les réponses B et C.

Les questionnaires de personnalité 31

5. Un collègue vous manifeste beaucoup de sympathie en vous parlant sans cesse

de ses difficultés personnelles pendant le temps de travail. Quelle sera votre attitude envers lui ? q a. Vous l’écoutez, car vous trouvez important d’être disponible pour un collègue qui rencontre des difficultés personnelles. q b. Vous tentez de lui donner des conseils afin qu’il se sente mieux. q c. Vous lui proposez de consulter un professionnel. q d. Aucune de ces réponses. q e. Les réponses B et C.

6. Vous êtes en réunion de travail et un membre ne partage pas vos opinions. À

plusieurs reprises, il trouve que vos suggestions sont inappropriées. Vous commencez à être exaspéré(e) par son attitude. Comment réagissez-vous ? q a. Vous lui manifestez ouvertement votre agacement. q b. Vous prenez votre mal en patience. q c. Vous lui donnez raison pour lui faire plaisir. q d. Vous attendez la fin de la réunion pour lui faire partager votre agacement en face à face. q e. Les réponses B et D.

7. Vous ne vous sentez pas bien dans votre équipe de travail. Vous avez l’impres-

sion que l’on ne vous accepte pas. Que faites-vous ? q a. Vous n’en faites pas un problème et vous continuez de faire votre travail. q b. Vous décidez d’être gentil avec ceux qui le sont envers vous et vous ne vous occupez pas des autres. q c. Vous en parlez avec votre conjoint et vous suivez ses conseils. q d. Vous exposez le problème au chef d’équipe et au représentant syndical. q e. Aucune de ces réponses. qu’il vous satisfait entièrement. Quelle sera votre réaction ? q a. Vous décidez de rencontrer votre supérieur et vous lui faites part de votre satisfaction par rapport au logiciel actuel. q b. Vous parlez à un collègue en lui faisant part de votre satisfaction par rapport au logiciel actuel et vous lui demandez conseil. q c. Vous évaluez les implications de ce changement sur votre travail et vous en discutez avec les membres de l’équipe. q d. Vous parlez sincèrement à votre supérieur de votre insatisfaction par rapport au changement de logiciel et vous lui manifestez votre désir d’apprendre le plus tôt possible à vous servir du nouveau logiciel. q e. Toutes ces réponses.

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8. Le service où vous travaillez décide de changer le logiciel informatique alors

353

C

O

R

R

I

G

é

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31 Les questionnaires de personnalité

354

Corrigés des exercices Question

Dimension évaluée

Réponse attendue

1

Réaction face à la critique

D

2

Disponibilité

A

3

Prise d’initiative

B

4

Capacité de remise en question

C

5

Sens des priorités

D (l’écoute peut se faire en dehors du temps de travail)

6

Gestion des conflits

D

7

Capacité à résoudre un problème

E (la solution serait d’en parler à un collègue, voire à son supérieur)

8

Ouverture au changement

C

Les tests projectifs

32

Les tests projectifs, issus de la psychologie clinique, permettent l’expression de l’inconscient. Ils sont constitués d’épreuves qui vont favoriser à partir d’un matériel, plus ou moins structuré, une démarche introspective du candidat. Ce dernier va attribuer, à différents types de stimuli, c’est-à-dire vers l’extérieur ce qu’il ressent à l’intérieur. Il projette des caractéristiques de sa personnalité qui sont notées et interprétées pour aboutir à une évaluation psychologique. Leur passation ne peut être réalisée que par un psychologue diplômé et formé aux méthodes projectives. L’évaluation porte sur les réponses données mais aussi sur le temps de passation et les comportements du candidat. Ces tests sont difficiles à préparer sans une connaissance précise de leurs techniques d’interprétation.

1. Présentation des principaux tests projectifs

L’épreuve des «  taches d’encre  », conçue par le psychiatre Herman Rorschach en 1921, consiste à présenter au candidat des planches représentant chacune une tache d’encre noire ou colorée, obtenue par pliage, autrement dit symétrique. La consigne est volontairement floue  : «  Qu’est-ce que vous voyez  ?  » ou «  Qu’est-ce que vous imaginez ? » Il s’agit d’un test d’interprétation libre d’images fortuites. Il n’y a pas de bonnes ou de mauvaises réponses.

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Le test de Rorschach

Le T.A.T. (Test d’aperception thématique) Élaboré sous sa forme définitive par Henry Murray en 1943, il consiste à montrer au sujet un ensemble d’illustrations volontairement ambiguës mettant en scène des personnes et à lui demander d’imaginer une histoire. Les scènes présentées peuvent évoquer un conflit, une émotion ou une difficulté. La dernière planche est blanche. Le candidat est invité à raconter l’histoire de son choix. 355

32 Les tests projectifs

Les phrases à compléter Ces tests sont à mi-chemin entre l’inventaire de personnalité et le test projectif. Il en existe plusieurs, le plus connu étant le test de Stein. Il comporte 50 phrases à compléter qui explorent 6 dimensions de la personnalité du sujet : l Le passé Exemple

« Son expérience passée lui a appris que……………….……… » l

Les intérêts personnels Exemple

« Lorsque Sébastien avait des heures supplémentaires à faire, il……………… » l

Les craintes Exemple

« Il est confus à cause de…………………..……………… » l

Les attitudes devant les situations sociales traumatisantes Exemple

« Ne trouvant personne pour l’aider, Christine .............……… » l

Les attitudes devant les problèmes d’autorité Exemple

« Lorsqu’on a dit à Émilie de ranger sa chambre……………… » l

La position devant l’avenir Exemple

La plus grande ambition de Claire……………………………… »

Le test du village Créé par Henri Arthus en 1939, il se déroule en deux phases : la première non verbale, de construction d’un village à partir de pièces mises à disposition (commerces, église, éléments de paysage, murs, personnages, maisons…) et la seconde au cours de laquelle le sujet répond à une série de questions. L’idée sous-jacente est que la manière dont on construit le village illustre la vision que l’on a de la société selon l’emplacement des pièces sur le support, la structure globale du village et le positionnement d’éléments symboliques (la gendarmerie pour l’autorité, la gare pour le changement de vie, la prison pour la culpabilité…). Ce test peut constituer une épreuve individuelle ou collective. 356

Les tests projectifs 32

2. Conseils pour appréhender au mieux les tests projectifs Rappelons qu’il n’y a pas de « bonnes » ou de « mauvaises » réponses. Soyez confiant(e) sur votre capacité à réussir ce type d’épreuve. Entre le moment où vous êtes accueilli(e) par le psychologue et celui où vous quittez son bureau, pensez à appliquer les cinq conseils suivants :

Des réponses positives Positivez. Évitez toute référence à la violence, à l’agressivité, au sang, à la mort, à la maladie… Vos personnages devront être sociables, optimistes, responsables… Les sentiments évoqués devront refléter de bonnes relations avec les autres.

Des réponses réalistes Prenez vos histoires et vos exemples dans votre vie quotidienne. Identifiez-vous au personnage principal.

La modération Limitez strictement vos prises de parole aux réponses aux questions posées. Ne faites pas de commentaires sur le test, tant sur le fond que sur la forme ainsi que sur les conditions de l’épreuve. Ne justifiez pas vos choix. Vos histoires doivent être simples et précises.

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Évitez toute sorte de manifestations : geste d’énervement ou d’impatience, mimique d’ennui, ton agressif ou cassant… Tous vos comportements sont notés et analysés.

La spontanéité Montrez une certaine promptitude dans vos réponses. À défaut, le psychologue pourrait émettre des doutes sur votre sincérité ou l’interpréter comme l’expression d’un mécanisme de défense ou d’un blocage. Ne revenez pas sur les réponses données.

Personnalité et créativité

La maîtrise de soi

357

32 Les tests projectifs

Exercices d’entraînement 1. Ci-après une des 24 situations du Test de Rosenzweig. Vous êtes le personnage qui doit réagir à la situation. Notez rapidement votre réponse dans la bulle prévue à cet effet. Je ne peux pas vous voir ce matin bien que nous ayons fixé ce rendez-vous hier.

Votre réaction : ……………………………… ………………………………

2. Complétez les phrases suivantes : « Mes parents ………………………………………………………………… » ; « La société ………………………………..…………………………………. » ; « La plupart des gens sont …………………..……………………………… ».

Corrigés des exercices

358

1.

Le test de Rosenzweig mesure la capacité de l’individu à gérer une situation conflictuelle ainsi que sa résistance au stress. Dans chaque situation du test, trois sortes de réactions sont possibles : agresser son interlocuteur en retour, tenter de calmer le jeu ou se confondre en excuses (rejeter la faute sur soi). Dans la situation ci-dessous, le recruteur attend plutôt une réaction extrapunitive, c’està-dire tournée vers l’extérieur : « Ce n’est pas normal », « Je ne suis pas d’accord, vous devez respecter votre engagement ». La réaction doit être « normale », ni agressive, ni hostile. La personne qui insiste sur l’embarras causé par la situation exprime de la frustration. Cette attitude si elle est systématique, peut montrer une forme de vulnérabilité.

2.

Optez pour des réponses sereines (neutres), optimistes et créatives. « Mes parents forment un couple uni ». « La société est de plus en plus responsable ». « La plupart des gens sont agréables et serviables ».

33

Les tests de créativité individuels et collectifs

La créativité est une aptitude à part entière, celle qui permet de produire quelque chose de nouveau et adapté à un contexte particulier. Elle est un puissant moyen d’adaptation, une source de développement et de progrès, véritable atout pour certains métiers. Cette dimension est mesurée par des questionnaires spécifiques ou à l’aide de différents tests, à passation individuelle ou collective. Les tests de créativité peuvent se répartir en trois grandes catégories : l

des épreuves de pensée dite créative ou divergente, correspondant à des tâches dans lesquelles le candidat doit indiquer, en un temps limité, le maximum d’idées originales, en référence à des situations fictives, des objets existants ou encore des formes géométriques ;

l

des épreuves de pensée dite intégrative, dans lesquelles le candidat doit articuler ou intégrer différents éléments en un tout cohérent, dans les domaines graphique ou verbal ;

l

des problèmes à résoudre plus ou moins concrets ou mises en situation en lien ou non avec le futur environnement professionnel du candidat.

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Ce chapitre propose une sélection des tests individuels et collectifs et quelques conseils pour passer ces épreuves avec succès.

1. Les épreuves individuelles de créativité Ci-après quelques exemples de tests de créativité qui vont vous permettre de vous entraîner à ce type d’épreuves. Quel que soit le type d’exercice proposé, les réponses apportées doivent être de bon goût et refléter de l’originalité voire un peu d’humour. Soyez prêt(e) à argumenter et détailler vos choix. La notation peut porter sur la fluidité des réponses (nombre d’idées produites), leur originalité (rareté statistique des réponses), leur flexibilité (nombre de catégories de réponses différentes) ou leur élaboration (ajout de détails pour expliquer l’idée principale).

Personnalité et créativité

Toute personne a un potentiel créatif, même si certains l’exploitent peu. Une pratique régulière permet de le développer et faire face aux tests de créativité proposés dans les concours de la fonction publique.

359

33 Les tests de créativité individuels et collectifs

L’épreuve d’utilisations inhabituelles d’un objet Exemple l

Énoncez 10 façons d’utiliser un pneu dans des usages pour lesquels il n’ est pas prévu ? Vous disposez de 10 minutes pour réaliser cet exercice. 1– 2– 3– 4– 5– 6– 7– 8– 9– 10 –

Corrigé : une assise, une balançoire, une cible dans un jeu de lancer de balles, une jardinière de fleurs, un pied de table…

Le test des conséquences d’événements improbables On demande au candidat d’imaginer les conséquences qui se produiraient si des événements exceptionnels survenaient, si certaines choses fonctionnaient différemment, si certaines lois naturelles étaient différentes… Exemple : l

Imaginez les conséquences si : – les journées duraient 12 heures, – les produits alimentaires de base étaient gratuits, – le papier et le carton étaient détruits par un virus cellulophage…

Le test d’énumération Le candidat est invité à produire un maximum d’idées différentes et originales à partir d’un thème particulier. Exemples :

Faites une liste d’un maximum d’objets qui font du bruit. l Trouvez, en une minute, le maximum de prénoms commençant par V. l

360

Les tests de créativité individuels et collectifs 33

Les formes géométriques à transformer en dessins Ce type de test est basé sur une technique dite d’amorçage. On demande au candidat de réaliser un dessin à partir d’une ou plusieurs forme(s) géométrique(s) imposée(s). Exemple : l

Créez le dessin d’un objet/scène identifiable à partir du symbole représenté dans chaque case. Symbole 1 : Symbole 2 :

Pensez à ajouter un maximum de détails et des éléments contextuels afin de faciliter la reconnaissance de l’objet dessiné. Corrigés : Symbole 1 : encadrement d’une fenêtre, une des faces d’un dé, une valise… Symbole 2 : zoom d’un appareil photo, partie d’un œil, la cible d’un jeu de fléchettes, une assiette…

La rédaction d’un texte avec mots imposés Le candidat doit composer un texte en utilisant des mots donnés à l’avance.

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Rédigez un texte de 50 mots maximum comprenant les mots suivants : ours, véhicule, librairie, stade, jaune, prestement, longiligne, salon. ________________________________________________________________ ________________________________________________________________ ________________________________________________________________ ________________________________________________________________ ________________________________________________________________ ________________________________________________________________ ________________________________________________________________ ________________________________________________________________ ________________________________________________________________ ________________________________________________________________ ________________________________________________________________ ________________________________________________________________ ________________________________________________________________

Personnalité et créativité

Exemple :

361

33 Les tests de créativité individuels et collectifs Corrigé  : Dans le salon, des livres encombraient toutes les étagères. Une vraie librairie ! Sur le mur jaune, deux photographies, celle d’un ours brun et la seconde représentant une femme à l’allure longiligne dans les gradins d’un stade. Un véhicule s’engageait dans l’allée. Il fallait déguerpir prestement. Pour continuer à vous entraîner, rien de plus facile. Reprenez chacun des exercices précédents et modifiez légèrement les consignes en respectant le principe général des épreuves. Pour aller encore plus loin, essayez de donner des définitions à des mots inventés, de trouver des similitudes à des choses qui n’en ont pas de prime abord (exemple : une statue et un chat), de rédiger un texte à partir à partir d’un titre imposé, de décrire une photographie de manière originale, d’interpréter des dessins de la façon la plus imaginative possible…

2. Les épreuves collectives de créativité Certains concours comportent une épreuve de groupe dite de « réalisation collective » qui permet d’évaluer certaines capacités du candidat, et notamment sa créativité en interaction avec d’autres personnes. Plusieurs candidats (entre 5 à 15) sont réunis pour effectuer une tâche. La durée de l’épreuve est variable en fonction de l’exercice à réaliser. Les supports utilisés sont variés : texte à rédiger, énigme à résoudre, jeux de rôles, mise en situation professionnelle, conception d’un projet ou d’un concept (logo, slogan…). Voici deux exemples d’épreuves collectives de créativité : Exemples :

Énigme : « Dans la jungle, un serpent venimeux pique une personne. L’antidote doit être administré ¾ heure après la morsure. Les personnes présentes n’ont pas de montre. En revanche, elles disposent de deux cordes et d’un briquet. Chaque corde brûle en une heure. Mais les cordes sont inhomogènes, c’est-à-dire qu’elles ne brûlent pas partout à la même vitesse (pas de proportionnalité entre la longueur brûlée et le temps écoulé). Il n’est fait aucune hypothèse sur la longueur des cordes et leur similitude ». l Mise en relation forcée d’objets : Vous avez 30 minutes pour améliorer le concept de boîte d’allumettes (en papier et carton) en l’associant à trois autres éléments pris au hasard : feuille de papier, cire à chandelles, contenant à médicaments. Corrigés : l Énigme : il faut allumer la première corde aux deux bouts et au même moment, la deuxième à un seul bout. Quand la première corde a fini de brûler, il se sera écoulé une demi-heure. Pour calculer le quart d’heure restant, il faut alors allumer la deuxième corde à l’autre extrémité. En brûlant des deux côtés, il se sera écoulé un quart d’heure lorsqu’elle sera complètement consumée. l Mise en relation forcée d’objets : les allumettes et le paquet (papier et carton) sont inflammables. Pour éviter que le paquet d’allumettes prenne feu par accident, il pourrait être placé dans un contenant hermétique du genre flacon de médicaments. Les allumettes peuvent être insérées dans des barres de cire. Ainsi, l

362

Les tests de créativité individuels et collectifs 33 une fois allumée, elles servent également de chandelles. La feuille de papier peut permettre de masquer le contenu du flacon hermétique. Elle peut comporter un message sur les précautions de rangement et d’usage des allumettes.

3. Conseils pour réussir les tests de créativité La créativité, nous l’avons vu, est une démarche qui permet de produire seul ou en groupe quelque chose de nouveau.

Conseils méthodologiques En premier lieu, le ou les candidat(s) confrontés à un test de créativité doit(vent) chercher à comprendre et à analyser la tâche à réaliser (qui, comment, où, quand…). Pour cela, il est utile de formuler et reformuler la consigne jusqu’à obtenir une interprétation définitive et commune (test collectif) de l’épreuve. Ensuite, débute la recherche de solutions créatives qui doit être la plus large possible afin d’aboutir à des idées originales. Certaines seront écartées car elles ne seront pas adaptées aux contraintes posées par l’épreuve. Dans les tests en groupe, l’idée émise par un candidat est soumise à l’évaluation des autres participants. Elle peut aussi bien être rejetée, servir de tremplin pour générer de nouvelles idées ou être retenue de façon consensuelle par le groupe. En dernier lieu, le ou les candidat(s) va(vont) formuler une réponse au problème posé. L’évaluation de l’épreuve peut porter sur le résultat obtenu mais aussi sur le processus de réalisation de la tâche demandée. Pour les tests collectifs, il est important de rappeler que la notation peut également concerner la gestion du temps, l’écoute entre les participants, la qualité de la communication, la dynamique de groupe…

Pour mettre toutes les chances de votre côté, exercez votre créativité régulièrement. Essayez, tous les jours, de trouver des idées nouvelles aussi bien dans le cadre professionnel que dans votre quotidien. Osez penser différemment et sortir des sentiers battus. Multipliez les exercices en vous inspirant des épreuves figurant dans cet ouvrage et en consultant divers sites internet dédiés à la créativité. Il n’y a pas de bonnes ou mauvaises réponses. Il y a des réponses différentes.

Personnalité et créativité

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La préparation

363

33 Les tests de créativité individuels et collectifs

Exercices d’entraînement 1.

Trouvez un mot répondant aux définitions suivantes : « Un homme qui vit sur les toits » : ……………………………………..………. « Une fête organisée dans un jardin d’intérieur » : …………………..…………. « Un programme d’écriture automatique de la pensée » : ……………….………

2.

Trouver trois moyens différents pour voir le contenu d’un sac-poubelle avec un ouvre-boîte : 1– 2– 3–

Corrigés des exercices

364

1.

Un toituriste. Une serroparty. Un retranscripteur mental.

2.

1 – Percer le sac avec l’ouvre-boîte. 2 – Échanger l’ouvre-boîte contre un scanner à rayons X. 3 – Remettre l’ouvre-boîte à Popeye pour qu’il ouvre sa boîte d’épinards et lui demander en contrepartie d’ouvrir le sac-poubelle.