Laseren : prinsipper og egenskaper 8251907039 [PDF]

Zitiervorschau

06688 Kjell Bløtekjær

LASEREN Prinsipper og egenskaper

3. opplag

Nasjonalbiblioteket Depotbiblioteket

TAPIR 1989

ISBN 82-519-0703-9

FORORD Denne boken er blitt til etter flere års forelesninger i faget Lasere ved Norges

tekniske høgskole. Faget er beregnet på studenter i fjerde årskurs ved Elektro­ teknisk avdeling. Målsetningen er å gi en forholdsvis grundig fysikalsk forståelse av laserens virkemåte og egenskaper. Fra tidligere årskurs har studentene en god

bakgrunn i matematikk og elektrodynamikk. Det må imidlertid forutsettes at kunnskapene om kvantemekanikk og atomfysikk er minimale. Boken bygger på disse forutsetninger, idet det klassiske bilde av en laser følges så langt det er

mulig, mens grunnlag fra kvantemekanikken hentes inn som emperiske fakta der det er nødvendig. Fra et slikt utgangspunkt forklares så alle de viktigste egenskapene som laserne har felles, samtidig som det er forsøkt å gi et inntrykk

av den mangfoldighet og den "artsrikdom" som begrepet laser omfatter. Jeg vil få takke de som har strevet med et vanskelig manuskript, og klart å

holde styr på den noe uvanlige bruk av skrifttyper, nemlig Anne Gunn Hårsaker, Britt Steinsvik Nygård, Grete Hauge og Liv Osmoen. En takk også til de studen­ ter som gjennom flittig lesning har rettet opp mange av de trykkfeil som fore­ kom i manuskriptets tidligste utgaver.

Kjell Bløtekjær

INNHOLD

1. Kvalitativ beskrivelse av laseren ................................................................... 1

2. Laserlysets egenskaper.................................................................................. 19 3. Klassisk modell av et lasermedium.

................................................ 54

4. Levetid og linjeforbredning............................................................................ 87

5. Rateligninger............................................................................................... 109 6. Laseroscillator i stasjonær tilstand - effektforhold................................... 126

7. Pumping av lasere...................................................................................... 153 8. Laseroscillator i stasjonær tilstand- frekvensforhold................................ 181 9. Ikke-stasjonær tilstand................................................................................ 222 10. Praktisk viktige lasere................................................................................. 247 Appendix A

Akseptabel bestråling i henhold til ANSI................................. 295

Appendix B

Kramers-Kronig-relasjonene....................................................... 302

Appendix C

Semiklassisk teori..................................................................... 306

Appendix D

Gaussiske stråler........................................................................318

Appendix E

En resonators modustetthet.................................................... 335

Om bruk av symboler

Kapittel 1 KVALITATIV BESKRIVELSE AV LASEREN

1.1

Innledning

En større oppfinnelse enn transistoren - ble det sagt da

den første laseren utfordret dagens lys i 1960.

Et

kostbart leketøy for forskere - sa de mer skeptiske.

Hvor står vi så i dag, et drøyt desennium senere?

må bli: et sted midt i mellom.

Svaret

Laseren har ikke, som

transistoren, funnet veien inn i de tusen hjem, den har hittil ikke hatt noen betydning for vårt daglige liv.

I forskningslaboratoriene, derimot, har laseren feiret Den har muliggjort vitenskapelige undersøkelser

triumfer.

som før var umulige, og i forskjellige varianter inngår

den nå som et instrument i et stort antall eksperimenter innen de forskjelligste grener av vitenskapen.

De tekniske

anvendelsene, utenfor laboratorienes beskyttede miljø,

har latt vente på seg.

Men en rekke anvendelser innen

så varierte områder som medisin, materialbearbeiding,

verkstedteknikk, mikroelektronikk, forurensningsbekjempelse, kommunikasjon, databehandling, kjemisk industri, bygnings­ teknikk,

landmåling og militærteknikk er allerede etablert,

og et enda større antall anvendelser synes å være nær

realisering. Hva er så en laser?

Enkelte forbinder den kanskje med

Lyn Gordons dødsstråle.

Men de fleste vet vel nå at den

har noe med lys å gjøre, at den er en lyskilde.

De mer

informerte vet også at det er et noe spesielt lys den

genererer, koherent lys.

Men hva det er, kan det vel

herske nokså uklare oppfatninger om.

Vi skal senere

komme tilbake til dette.

1.2

Laseren - forsterker og oscillator

Ordet laser *

er dannet av forbokstavene i Light Ampli-

fication by Stimulated Emission of Radiation, altså

La oss

gå inn for norsk uttale "laser" ,ikke "leiser"’

2

forsterkning av lys ved stimulert emisjon av stråling.

Lys og stråling er i denne forbindelse en og samme ting, og vi skal benytte disse betegnelsene om hverandre, uten å begrense begrepet lys til dets opprinnelige betydning,

nemlig den synlige del av det elektromagnetiske spektrum.

Vi stusser kanskje litt over ordet forsterkning.

Hvis

vi først skal benytte begreper fra elektronikken, vil

vi vel heller karakterisere en lyskilde som en oscillator

enn som en forsterker.

Og det er riktig, de utgaver av

laseren vi vanligvis omgås er oscillatorer, og kunne

derfor gjerne hett "loser”.

Men som så mange andre

oscillatorer er laseren laget ved å innføre en passende tilbakekobling i en forsterker.

Det finnes også lasere

som er virkelige forsterkere, lysforsterkere, men disse

har hittil ikke fått den samme praktiske betydning,

1.3

Maseren - laserens forgjenger

Laseren har lånt sitt navn fra sin forgjenger og nære

slektning maseren f hvor m står for mikrobølge.

Maseren

i den vanligste utgave er en sann forsterker, men det

finnes også nyttige oscillatorutgaver av den.

Laseren

og maseren bygger på samme grunnprinsipp, de arbeider bare i forskjellig

frekvensområde.

Og behovet for

komponenter er forskjellig i de to frekvensområdene,

derfor kjenner vi maseren som forsterker og laseren som oscillator.

begrenset.

Maserens anvendelse er forøvrig temmelig Den er den mest støysvake av alle mikro—

bølgeforsterkere, og brukes som inngangsforsterker i en

del systemer for radioastronomi og langdistanseradar. Maseren tilkommer imidlertid æren av å ha initiert fag­ området kvanteelektronikk f som omfatter elektroniske

innretninger basert på kvantemekaniske prinsipper.

Og

av dette fagområdet er igjen laseren et ektefødt oarn.

På grunn av dens minimale praktiske betydning skal vi ikke befatte oss mer med maseren.

Vi skal bare ta den

frem igjen der hvor forskjellen i frekvens mellom laseren og maseren fører til betydelige forskjeller i konstruksjon

3 -

eller virkemåte.

1.4

Stimulert emisjon

Tilbake til laseren.

Navnet sier at forsterkningen

skyldes stimulert emisjon.

Vi skal bruke det meste av

dette kapitlet til å forklare hva det er, og vi skal komme

tilbake i kapittel 3 av fenomenet.

med

en kvantitativ beskrivelse

Emisjon betyr utsendelse, i dette tilfelle

utsendelse av lys.

At emisjonen er stimulert, vil si at

den er forårsaket av lys.

Tilstedeværelsen av lys for­

årsaker altså utsendelse av mer lys, dette gir grunnlag for forsterkning.

1.5

Stasjonære tilstander - energinivåer

For å forklare stimulert emisjon, må vi kjenne noen

fundamentale prinsipper fra kvantemekanikken.

Et

isolert kvantemekanisk system kan eksistere i en rekke stasjonære tilstander, hver med sin bestemte konstante energi.

Med et kvantemekanisk system mener vi en par­

tikkel eller en samling av partikler,

f.eks. et atom,

et jon, et molekyl eller et fast stoff.

Alle disse

eksemplene benyttes i forskjellige lasere.

Den fysikalske

beskrivelse av tilstandene kan være svært forskjellig

for de forskjellige systemer.

I et atom er det ett

eller

flere av elektronene som inntar forskjellige "baner” rundt atomkjernen, med forskjellig kinetisk og potensiell

energi.

I et molekyl kan i tillegg de enkelte atomer

eller joner utføre svingninger, hvor de beveger seg i

forhold til hverandre. rotere.

Dessuten kan hele molekylet

I et fast stoff er hver enkelt tilstand knyttet

til en bestemt bevegelse av elektronene gjennom det periodiske potensial som utgjøres av krystallgitteret.

De forskjellige former for bevegelse som er knyttet til de forskjellige systemene, fører til at de tilsvarende energi spektra, som vi kaller samlingen av energinivåer

for de forskjellige tilstander, kan bli svært forskjellige.

4

Som vi skal se, er det avstanden mellom energinivåene som bestemmer laserlysets bølgelengde.

Mange vidt

forskjellige systemer tas derfor i bruk for å dekke et

stort bølgelengdeområde.

Disse vil bli beskrevet mer

i detalj under omtalen av de enkelte lasere. Selv om de forskjellige systemer er svært forskjellig

sammensatt, er deres oppførsel overfor lys nokså lik, og virkemåten for en laser kan beskrives temmelig detaljert uten at vi behøver å spesifisere systemet.

De følgende

betraktninger er således gyldige for alle systemer.

Vi

skal imidlertid unngå den noe abstrakte betegnelsen system, og heller bruke et atom som eksempel.

Når vi i

det følgende omtaler atomer, skal vi derfor ha i bak­ hodet at det hele kan overføres til andre kvantemekaniske

systemer med ubetydlige modifikasjoner.

Figur 1.1 viser energispektret for et atom som er aktuelt i lasersammenheng, nemlig helium.

En slik grafisk frem­

stilling av et energispektrum kaller vi et energidiagvam.

Figur 1.1

Energidiagram for heliumatom.

- 5 -

Hver enkelt strek markerer energien til en stasjonær tilstand.

Detaljer ved de forskjellige tilstander, så som elektronenes "baner", skal vi ikke bry oss om her, heller ikke de spektroskopiske betegnelsene som finnes ved hvert enkelt nivå. Disse kommer vi tilbake til i kapittel 10.

Det laveste nivået

kalles grunnivået eller grunntilstanden, de øvrige kalles

eksiterte nivåer eller eksiterte tilstander.

Som vi ser, kan et slikt energidiagram bli ganske komplisert.

For å forklare prinsipper benytter vi oss derfor av sterkt forenklede

atomer.

diagrammer, som ikke har tilknytning til bestemte

Et eksempel er vist i figur 1.2, hvor vi har nummerert

nivåene fra null og oppover.

Enkelte ganger har vi nytte av

diagrammer med bare to, tre eller fire nivåer.

4

3 2

tr

(D C

1 0

Figur 1.2

Forenklet, prinsipielt energidiagram.

Før vi gar videre kan vi merke oss at for de atomære

tilstander som er aktuelle i lasersammenheng, er det

oftest bare tilstanden, eller, "banen", til ett av

elektronene i atomet som er vesentlig forskjellig for de

forskjellige nivåer.

Om vi ønsker det, kan vi derfor

gjerne tale om elektronets tilstand og energi, i stedet for atomets.

1.6

Absorpsjon og stimulert emisjon

La oss så nærme oss vårt egentlige tema, stimulert emisjon. Hvis et atom, som befinner seg i en bestemt stasjonær tilstand, forstyrres av en ytre påvirkning, kan det

foreta en overgang til en annen stasjonær tilstand.

Den

forstyrrelse som er aktuell her, er tilstedeværelsen av

elektromagnetisk stråling, lys.

For at atomet skal kunne

foreta en overgang fra en tilstand med energi E^ til en annen tilstand med en høyere energi E ,, ma det til— d føres en energi lik differensen E^ - E^, og for å foreta

en overgang i omvendt retning, fra en høyere til en

lavere energi, må det avgi det samme kvantum av energi. Det er en fundamental kjensgjerning at elektromagnetisk

energi kan opptas

eller avgis

bare i diskrete kvanta,

fotoner, hvis energi er proporsjonal med frekvensen til det elektromagnetiske felt,

E =

hf - fiæ

(1.1)

hvor E er fotonets energi, f er frekvensen og u) - 2v f er vinkelfrekvensen.

Størrelsene h og H = h/2^ er

naturkonstaner, med verdiene

h - 6.63 x 10“34 Js

Fl = 1.05

x 10 -34 J Js

Konstanten h kalles Planck's konstant.

Overgang mellom

tilstander med energiene E^ og E . kan altså bare stimu­ leres av et elektromagnetisk felt med frekvensen

7

(1.2)

La oss nå betrakte en samling av et stort antall atomer,

f.eks. en edelgass, og la oss bare betrakte to av atomets

stasjonære tilstander, med energiene E^ og E, hvor E . > E .. Atomene utsettes for lys med frekvens aitt

Dersom vi antar at elektronets ladning er fordelt jevnt over

en kule med radius a, blir romladningen

e P ~ 1-- 3 3^

(3.10)

60

og fjærkonstanten

e

C1

2

(3.11)

. 3 4ire a o

I neste avsnitt skal- vi se på størrelsesordenen av denne f jærkonstanten,. såvel som den-som er gitt i ligning (3.7) .

Vi skulle etter det ovenstående ha en noenlunde tilfreds­

stillende begrunnelse for den tilsynelatende noksa grove

modell som vi har stillet opp i figur 3.1, både for et Vi kommer derfor i det følgende til

atom og et molekyl.

å omtale kulen i figur 3.1 som "elektronet", og hele

systemet som "atomet". 3.5

Frie svingninger i en harmonisk oscillator

Før vi går videre skal vi erstatte de noe ufysikalske

størrelsene C. og C~ med størrelser som er lettere mål-L Zø bare. Hvis vi først betrakter et frittsvingende atom, altså uten noe påtrykt elektrisk felt, og i første omgang

også neglisjerer dempningen, ser vi lett at løsningen av differensialligningen 2

(3.12)

= - C u

n,

dt2

er u -

uq

cQs((^a^ +

oa ø er vilkårlige konstanter, og w o a resonans frekvens, gitt av hvor u

(3.13)

er atomets

(3.14)

61

La oss se hvilken resonansfrekvens vi får for henholdsvis et atom og et molekyl etter de enkle modeller vi betraktet ovenfor.

Hvis vi for atomradien a i ligning (3.11)

setter inn en Bohr-radius, 0.053 nm, som er en typisk verdi

for atomære dimensjoner, og for m benytter elektronemassen, = 6.6 x 10

får vi resonansfrekvensen

Hz.

Fotonenergien

blir 27 eV, eller det dobbelte av 13.6 eV, som er energien til grunntilstanden i hydrogenatomet.

Det er likevel be­

tryggende å vite at størrelsesordenen er riktig. Bruker vi HC1 som eksempel for molekylsvingninger, så er -27 = 35 m^, som gir * m«= 1.67 x 10 kg. Avstanden mellom jonene er 0.127 nm. resonansfrekvens

Bruker vi den observerte 13 = 9 x 10 Hz til å bestemme konstanten

q, finner vi q = 6.8.

Uten nærmere kjennskap til de kvante-

mekaniske frastøtningskrefter kan vi vanskelig si om dette

er en rimelig verdi av q, men urimelig er den i hvertfall

ikke. Ligning (3.13) beskriver en udempet, rent harmonisk svingning Går vi et skritt videre og inkluderer

med frekvensen

dempningen, får vi løsningen

-6 t

(3.15)

u = u cos (co t > 0) e o a

som er en eksponensielt dempet harmonisk svingning.

vi antar at C

2

(3.58)

hvor E^ og E . er stasjonære energinivåer for det kvantemekaniske system.

At lys absorberes bare ved disse fre­

kvenser er ikke helt riktig.

I praksis er det alltid en

viss slingringsmonn, absorpsjonslin jen har en viss linjebredde.

Absorpsjonen som funksjon av frekvens ser i

virkeligheten ofte ut slik som i figur 3.4.

En av de mest

markante egenskaper ved et lasermedium kan altså for­ klares av vår primitive modell med harmoniske oscillatorer.

Vi må oppfatte den atomære susceptibilitet som et uttrykk for det som skjer når fotoner absorberes av atomene, og disse eksiteres fra en tilstand med lavere til en tilstand

med høyere energi.

Det er likevel mye som mangler på at

vårt uttrykk for susceptibiliteten gir en tilfredsstillende beskrivelse av det som faktisk skjer i et kvantemekanisk system.

For det første har vår lineære oscillator bare

én resonansfrekvens, mens et atom har mange.

Vi kan derfor

bare håpe at ligning (3.34) gir en rimelig beskrivelse av

73

det som skjer nær en av disse resonansfrekvensene.

Den

totale susceptibilitet kan vi skrive som en sum av bidrag fra alle atomets resonansfrekvenser:

(3.59) 1,0

hvor x*

ved æ... ^ Au)^, og Au) « Au), , eller en nesten rent inhomogent n D a n forbredet linje, hvor Aæ^ >> Aæ^ , og Aæ$ « Aæ^. 1 disse

to grensetilfeller er linjeformfunksjonen henholdsvis Lorentzsk og Gaussisk.

Vi skal senere se at det er vesentlige forskjeller mellom

egenskapene til en laser som er basert på en homogent for bredet spektrallinje og en som er basert på en inhomogent

forbredet linje.

Figur 4.5

Inhomogen forbredning som resultat av en super-

ponering av en rekke homogent forbredede linjer.

4.6

Linjeforbredning i gasser

De linjeforbredningsmekanismer som er av betydning i gasser er Dopplerforbredning og kollisjonsforbredning.

Den sist-

nenvte kalles også trykkforbredning fordi kollisjonsfrekvensen og derved linjebredden øker med gasstrykket.

I de fleste gasslasere, som f.eks. helium-neon- og argonlasere, er det Dopplerforbredningen som er den viktigste meka­

nismen, slik at de aktuelle spektrallinjene i disse laserne er inhomogent forbredet. Dopplerbredden for 633 nm-linjen i neon er ca. 1.5 GHz, og for argonlinjene er den ca. 3.5 GHz.

1.03

For karbondioksydlaseren og andre infrarødlasere er forholdet

et annet.

Dopplerforbredningen blir her mindre, på grunn

av at frekvensen er lavere.

Det aktuelle øvre lasernivå

i en CC^-laser har en spontant emitterende levetid på ca. 5 s, som gir en naturlig linjebredde på ca. 0.03 Hz.

Inelastiske kollisjoner forkorter levetiden til størrelses­ orden millisekunder, som gir en linjebredde på noen kHz. Dette er ubetydelig sammenlignet med Dopplerbredden som er

ca. 53 MHz. Kollisjonsforbredningen (på grunn av elastiske kollisjoner) er avhengig av partialtrykket til de forskjellige

gassene

i laseren, og kan for vanlige kontinuerlige lasere

variere mellom 10 og 100 MHz, altsa av samme størrelsesorden som Dopplerforbredningen. For pulsede CO2”lasere som opererer ved atmosfærisk trykk (TEA-lasere) er kollisjonsforbredningen

dominerende, den er da ca. 5 GHz.

Linjebredden

10.6 pm-linjen i CO^ som funksjon av CC^-trykket er

for

vist

i figur 4.6.

CC^-trykk, torr

Figur 4.6

4.7

Linjebredden for 10.6pm-linjen i C02 som funksjon av CO^-trykket

Linjeforbredning i faste stoffer

For laserjoner *

i et fast stoff er følgende mekanismer med

Det aktive kvantemekaniske system i en fast stofflaser er alltid et jon. Derfor bruker vi her betegnelsen laserjon. I en gass kan det aktive system være et atom, et jon eller et molekyl.

- 104 -

på å forbrede spektrallinjene:

Levetidsforbredning, dipol-

forbredning, inhomogenitetsforbredning og termisk fmforbredning. Levetids forbredningen er den samme mekanisme som for atomene

I et fast stoff er levetiden bestemt dels av

i en gass.

spontan emisjon av fotoner og dels av spontan emisjon av

fononer.

For mange spektrallinjer er fononemisjonen

dominerende, men for lasere forsøker man nettopp a finne

spektrallinjer hvor fotonemisjonen er dominerende. Leve­ tiden for øvre lasernivå for Cr3+—jonet i rubin er ca. 3 ms,

for Nd3+ i YAG er den ca. 0.55 ms, og for Nd3+ i glass ca. 0.3 ms.

Dipolforbredning er faststoff-ekvivalenten til kollisjons­

forbredning.

Det er en homogen forbredningsmekanisme som

skyldes at ét laserjon gjennom sitt oscillerende dipolmoment påvirker et nærliggende laserjon. Resultatet av dette er en "defasing" nær beslektet med virkningen av kol­ lisjoner i en gass.

Denne dipolvekselvirkningen er sterkt

avhengig av avstanden mellom laserjonene, og derfor av konsentrasjonen av laserjoner. Lasere basert på sjeldne jordarter (neodym f,eks.) kan operere med konsentra­ sjoner opp i titalls prosent. For disse høye konsentra­

sjonene kan dipolforbredningen spille en rolle. Laserjonene i et fast stoff påvirkes av det elektriske fele

fra jonene eller atomene i selve vertskrystallett. Det sål alte kry stallfeltet fører til en forskyvning av laserjonenes

resonansfrekvens.

Dersom krystallfeltet er forskjellig i

de forskjellige laserjoners posisjoner, vil dette føre til en inhomogen linjeforbredning. Et slikt varierende krystallfelt kan oppstå på grunn av feil i krystallet:

dislokasjoner,

fremmedatomer, manglende atomer, innebygde spenninger, etc. Den såkalte inhomogenitetsforbredning vil derfor være sterkt

avhengig av laserkrystallets kvalitet.

Høye konsentrasjoner

av laserjoner fører vanligvis til dårlig krystallkvalitet, med derav følgende stor inhomogenitetsforbredning. For gode rubinkrystaller kan inhomogenitetslinjebredden bli ca. 3 GHz.

1G5

Krystallfeilene er tilfeldig fordelt gjennom krystallet, Krystallfeltet og derved frekvensforskyvningen er derfor

ofte Gaussisk fordelt, slik at linjeformen blir den samme som for Dopplerforbredning i en gass.

Den viktigste årsak til linjeforbredning i faste stoffer ved romtemperatur er termisk fm-forbredning.

Mens de ter­

miske bevegelser i en gass gir opphav til Dopplerforbred­

ning, som er en inhomogen forbredning, forårsaker de i et fast stoff en homogen forbredning kalt termisk fm-forbred-

ning.

Forskjellen består i at jonene i et fast stoff

utfører svingninger med frekvenser av størrelsesorden

10

- 10

Hz.

To effektar gjør at resonansfrekvensen

forandres under disse svingningene, den ene er Dopplerforskyvningen, den andre er at laserjonene beveger seg i et område hvor krystallfeltet varierer.

Jonenes resonans-

frekvens vil altså fluktuere uregelmessig med typiske frekvenser 1012 - 1013 Hz. Vi kan si at feltet i den

emitterte stråling frekvensmoduleres av de termiske

svingningene, derav betegnelsen termisk fm-forbredning. Perioden for svingningene er typisk

-12 10 s, som er en kort

tid sammenlignet med alt annet som skjer i en laser.

Dette

betyr at et laserjon vil gjennomløpe alle mulige resonans-

frekvenser innenfor linjebredden i en tid som er kort i

forhold til andre ting som skjer med jonet.

Alle joner

vil derfor påvirkes like sterkt av et påtrykt felt, for-

bredningen er altså homogen.

Til sammenligning vil atomene

i en gass ha den samme Dopplerforskjøvne resonansfrekvens i

en tid tilsvarende kollisjonstiden, som typisk kan være _Q 10 s. Dette er ikke en kort tid i lasersammenheng. De

enkelte atomer i en gass beholder en bestemt resonansfrekvens lenge nok til at de kan bli individuelt preget av det påtrykte felt. gass inhomogen.

Derfor er Dopplerforbredningen i en

106

Figur 4.7 viser et typisk forløp for linjebredden som funksjon av temperaturen for laserovergangen i rubin.

Ved lave temperaturer er det inhomogenitetsforbredningen som dominerer. Linjebredden er da uavhengig av tempera­ turen. Ved temperaturer over ca. 100 K overtar den termiske

fm-forbredning, som øker sterkt med temperaturen.

For Nd3+ i YAG dominerer den termiske forbredning ned til meget lave temperaturer, fordi YAG fremstilles som meget gode, feilfrie krystaller. For Nd3+ i glass derimot, er inhomogenitetsforbredningen dominerende selv ved rom­

temperatur. Glass er et amorft materiale, hvor krystallfeltet varierer sterkt fra en Nd3 -posisjon til en annen, og gir de enkelte jonene meget forskjellige resonans" 12 13 frekvenser. Linjebredder på 10 - 10 Hz er typisk.

Figur 4.7

Linjebredden for 694 nm-linjen i rubin som funksjon av temperaturen.

- 107

OPPGAVER 4,1

Kollisjonsstatistikk

Betrakt et stort antall Nq partikler ved tiden t = 0.

Hvor mange av disse har kollidert en, og bare en gang før tidspunktet t ?

Hvor mange har kollidert to ganger

før tidspunktet t ?

Kan du ekstrapolere dette til å

. finne hvor mange som har kollidert i ganger, hvor i er et vilkårlig helt tall?

4.2

Spektral intensitet for kolliderende oscillator

Utled ligningene (4.17),

4.3

(4.18) og (4.20).

Kollisjonsforbredning av absorpsjonslinje

Studer elastiske kollisjoners innflytelse på absorpsjonen

på følgende måte:

Betrakt en dempet harmonisk oscillator som beskrives av ligning (3.17).

Anta at det påtrykkes et elektrisk felt

med frekvens a), og at den harmoniske oscillator undergår kollisjoner til vilkårlige tider, hvor oscillatorens fase

skifter helt vilkårlig.

Løs ligning (3.17) for tidsinter­

vallene mellom to kollisjoner, med begynnelsesverdier som svarer til et vilkårlig faseskift.

alle faser og alle tidsintervaller.

Foreta en midling over Gå videre som i

kapittel 3 for å beregne susceptibiliteten og derved svekningskoeffisienten a. linjeform. 4.4

Vis at denne får en Lorentzsk

Gauss' linjeformfunksjon

Foreta den samme beregning som i oppgave 3.3, men nå for

en Gaussisk linjeform.

ms -

4.5

Homogen og inhomogen forbredning

Når den homogene linjebredde for hvert atom er sammenlign­ bar med Dopplerforbredningen, må linjeformfunksjonen

beregnes som et foldningsintegral mellom de to funksjoner. Benytt datamaskin til å beregne dette integralet, og tegn

linjeformfunksjonen for forskjellige forhold mellom den

homogene og inhomogene forbredning. 4.6

Inhomogen linjeforbredning

Betrakt en resonans som er avhengig av et påtrykt magnet­ felt t f.eks. en elektronespinnresonans. er proporsjonal med et påtrykt magnetfelt

Resonansfrekvensen B.

Hvert enkelt

Atomene er dopet inn i

atom har en Lorentzsk linjeform.

en stav, og denne staven befinner seg i et magnetfelt som

ikke er helt konstant.

Det varierer lineært fra den ene

enden av staven til den andre. ene enden av staven er

Resonansfrekvensen i den

høyere enn i den andre.

Beregn

den resulterende linjeformfunksjon og linjebredde. 4.7

Levetid - linjebredde

Er det noen sammenheng mellom levetiden for en eksitert

tilstand og emisjonslinjebredden?

4.8

Homogen - inhomogen linjeforbredning

Forklar forskjellen mellom homogen og inhomogen linjeforbredning.

Nevn eksempler på fysikalske fenomener som gir

opphav til de to forskjellige typer forbredning.

LITTERATUR Den i kapittel 1 refererte bok av Siegman (kapittel 3 og 9)

dekker stoffet i dette kapittel. av Svelto (kapittel 2).

Det samme gjelder boken

109

Kapittel 5 RATELIGNINGER

5.1

Rateligninger for to-nivås system

Det sentrale resultat i kapittel 3 er uttrykket (3.81)

for den atomære susceptibilitet.

Når vi kjenner populasjons-

tetthetene n. og n ., og forøvrig de nødvendige material EDet påtrykkes et elektromagnetisk felt med en frekvens ai, som ligger innenfor absorpsjons­

lin jen for overgang’en mellom de to nivåene.

Vi kan med

en gang skrive opp et formelt uttrykk for endringen av

populasjonstetthetene, som inkluderer både stimulerte og

spontane overganger:

dn dn 2 dT = " dT = U(n2~nl) + ^2

(5-1}

Raten av stimulerte overganger er proporsjonal med popula-

sjonsdifferensen

- n^, og proporsjonalitetskonstanten

W er den stimulerte overgangssannsynlighet.

Raten av

spontane overganger er proporsjonal med populasjonstettheten

i det øvre nivå, og proporsjonalitetskonstanten

u) er den spontane overgangs sannsynlighet . vi innser uten videre at den må være det inverse av den spontane levetid,

w

TZ

(5.2)

110 -

Den stimulerte overgangsannsynlighet W kan vi også beregne. Den elektromagnetiske effekttetthet som absorberes av laser­

atomene er gitt av ligning (3.52) • p =

hvor

er

cl

svekningskoeffisienten som skyldes laseratomene, og

er flukstettheten, som igjen er relatert til energi­ tettheten w ved (3.50) : =

Antall fotoner som ab­

sorberes pr. volum- og tidsenhet er p/Tim.

For hvert

foton som absorberes, er det ett atom som går fra tilstand

1 til tilstand 2.

Vi får altså

a 6 a

W(n -n )

a

. 3 W

g U) II

(5.3)

av ligning (3.83) får vi

a

4>

1 3g " b w

(5.4)

b e

hvor vi har satt 0=0^, da laseratomene endrer lyshastigheten ubetydelig. Som ventet er den stimulerte overgangssannsynlighet proporsjonal med energitettheten i den elektromagnetiske stråling som stimulerer overgangene.

5.2

Kontinuerlig spektrum - Planck's strålingslov

Vi skal nå benytte rateligningene til å utlede Planck s * strålingslov, som uttrykker energitettheten i et strålingsfelt som er i termisk likevekt med omgivelsene.

At denne

kjente loven kan utledes fra vår teori må vi ta som en gledelig indikasjon på at teorien er riktig. Først må vi utvide våre rateligniner til å gjelde for et

spektrum av stimulerende stråling.

Dersom strålingen inne­

holder mer enn en frekvens innenfor absorpsjonslinjen, vil

overgangssannsynligheten W bli en sum av bidrag fra de

enkelte frekvenser.

Er spektret kontinuerlig, går denne

summen over til et integral:

-r 111

oo

W -

hvor

1 fl -7T— X, 7 "w dæ 8 0

(5.5)

er den spektrale energitetthet.

Alle størrelsene

under integraltegnet avhenger av frekvensen.

Dersom

strålingsspektret er bredt sammenlignet med linjebredden, kan vi imidlertid tilnærme integralet ved å si at w

og

varierer lite over det frekvensområdet hvor 7 " qir

bidrag av betydning.

Vi får da

(5.6)

på grunn av normaliseringen av Med dette uttrykk for W bruker vi nå rateligningene på

en samling atomer som er i termisk likevekt med strålingsfeltet.

Da må dn^/dt være lik null.

Vi antar også at vi

ikke har andre levetidsforkortende mekanismer enn spontan

emisjon av fotoner, slik at

t,

bakgrunnsmediet er vakuum.

Vi får da av ligning (5.1),

= r

.

Videre antar vi at

. 3 Xo yæ . . n2 (nr^2} = — e e

(5-7>

som gir følgende uttrykk for den spektrale energitetthet: 4#lÅo"3

(5.8)

I termisk likevekt er forholdet mellom populasjonstetthetene gitt ved Boltzmannfaktoren

(1.3), som gir

- 112

4h\ ~3 o_

(5.9)

us ~ ^æ/kT

Dette er Planck's strålingslov, slik den også kan utledes ♦ fra termodynamikken. At vi har utledet denne loven gir en betryggende garanti for at det er sammenheng i var

fremstilling.

Det er verd å merke seg at vi kunne ut­

ledet alle våre resultater i motsatt retning: s * ha startet med Planck

Vi kunne

strålingslov, og beregnet den

stimulerte overgangssansynlighet (V for et kontinuerlig spektrum.

A gå derifra til en enkelt frekvens er litt

mer komplisert enn å gå den motsatte vei, men det lar seg gjøre. Så kunne vi ha gått fra (V til a like lett som vi gikk fra a til W. Av a kan vi utlede Xa", og

tilslutt kan vi finne xa' via Kramers-Kronig-relasjonene. Vi kan altså utlede alle våre sentrale resultater uten å gå veien om den harmoniske oscillator.

Det gjøres da

også i mange lærebøker. 5.3

Rateligninger for flere nivåer

Kvantemekaniske systemer har mer enn to nivåer.

Rate-

ligningene for et slikt system kan vi stille opp ved

en enkel utvidelse av ligningene for et to-nivås system. Endringen av populasjonstettheten i et niva it ån^/åt , må ha bidrag fra både stimulerte og spontane overganger.

Stimulerte overganger til og fra alle andre nivåer må inkluderes, og overgangssannsynligheten må være propor­ sjonal med energitettheten i den del av strålingsfeltet

som har en frekvens som passer til energiforskjellen mellom nivåene.

Spontane overganger fra høyereliggende

Uttrykket (5.9) er ikke gitt eksplisitt i kapittel 2,

men kan utledes av de uttrykk for stråling fra svart

legeme som er gitt der.

Dette gjøres i oppgave 2.9.

113

nivåer må inkluderes, likeså spontane overganger til lavereliggende nivåer.

De spontane overgangssannsynligheter

er uavhengige av strålingsfeltet .

dn . -v-- V (y..(n.-nj dt 0 r

Vi kan altså skrive

y w. .n . + \

w . .n . 3

(5.10)

De stimulerte overganger er like sannsynlige i begge retninger, slik at

X

it

W. . - W.. J-z-

(5.11)

hvor indeksene ij referer til overgangene mellom nivåene i og J. De spontane overgangsrater kan uttrykkes ved tilsvarende

tldskonstanter

1

(5.12)

Ti P(EV)

Når sannsynligheten p(E) uttrykkes ved to Fermifordelinger, gir dette

1

_______ 1

___

/7 3

e

e

som utregnet blir EFL -

eL-EV

Betingelsen sier altså at avstanden mellom elektronenes og hullenes kvasiferminivåer må være større enn båndgapet.

Det

betyr at minst ett av, og helst begge, kvasiferminivåer ma ligge inne i de tillatte bånd, vi må ha en degenerert halvleder.

Et så kraftig avvik fra termisk likevekt som skal til for å bringe de to kvasiferminivåene så langt fra hverandre, kan

oppnås ved kraftig belysning (optisk pumping, avsnitt 7.2) eller bestråling med elektroner (elektronstrålepumping,

avsnitt 7.3).

Men den mest interessante form for pumping er

injeksjon i en pn-overgang.

Figur 7.9a viser båndstrukturen

i en overgang mellom en degenerert n-type og en degenerert

p-type halvleder i termisk likevekt.

Fermienergien er konstant

gjennom overgangen, hvilket betyr at lednings- og valensbåndene må bøye av.

Dette skjer ved afelektroner vandrer fra

n-området til p-området, og hull i motsatt retning, så det

oppstår et elektrisk ladet område,

utarmingsområdet, og over

dette får vi en elektrostatisk potensialforskjell. Figur 7.9b viser den samme overgangen med sterk strøm i forover retning.

Det injiseres en stor mengde elektroner i p-området

og hull i n-området.

De to kvasifermienergiene adskilles så

mye at man får et område hvor (7.32) er oppfylt.

Lys som kom­

mer inn i dette området, vil stimulere rekombinasjoner av elektroner og hull, og den utsendte rekombinasjonsstråling vil

17 4 være koherent med den stimulerende stråling.

vi at dioden.




(7.33)

2,

utarmings-

populasjons­ invers jon

(b)

Figur 7.9

Båndkanter og Ferminivå i en degenerert pn-overgang a) I termisk likevekt b) Med sterk strøm i foroverretning.

For å beregne den strøm som må sendes gjennom pn-overgangen for at laseren skal oscillere, betrakter vi en diode som vist i figur

7.10. Flatene som står normalt på lengderetningen, er polerte I lysemitterende halviederdioder

(LED) er det de spontane re-

kombinasjoner som utnyttes, slik at rekombinasjonsstrålingen

er inkoherent.

En LED opererer altsa under terskelnivået for

laservirkning.

Derfor behøver den ikke være dopet til de­

generasjon, og den behøver ikke pumpes sa hardt.

175 -

eller dannet ved kløving langs et krystallplan, slik at de

er reflekterende, med reflektans R bestemt av halvlederens brytningstall.

Resonatorens lengde blir lik krystallens

lengde 1 , og arealet som strømmen passerer er A. ingen av det aktive overgangsområdet er d .

Utstrekn­

Dette er av

størrelsesorden 1 pm, altså omtrent som bølgelengden.

Dette

gjør at lyset under sin gang mellom speilene ikke kan holde seg innenfor dette området.

På grunn av diffraksjon brer det

seg ut over et større område d^.

I og med at det aktive om­

rådet dekker bare en brøkdel d /d^ av strålen, vil forsterkningskoeffisienten

reduseres med den samme faktor.

betyr at uttrykket for terskelverdien An

eller (6.26) øker med en faktor d^/d^.

Dette

i ligning (6.25) Hvordan kan vi så

bruke f.eks. ligning (6.26) for en halvlederlaser?

Figur 7.10 Skjematisk fremstilling av en halvlederdiodelaser.

Ved lave temperaturer er Fermifordelingen meget skarp.

Den

"termiske bredden" er liten sammenlignet med andre dimensjoner i energidiagrammet, f.eks.

Er. Vi kan da betrakte te Lt L ledningsbåndet som fylt opp til E „T , og valensbåndet som te Lt tomt ned til som vist i figur 7.11. Når vi betrakter frekvenser

vil det ikke være noen stimulerte overganger

fra valensbåndet til ledningsbåndet, fordi det ikke er elektroner

tixgjengelig i toppen av valensbåndet.

Dette er ekvivalent med

at An = nL, tettheten av elektroner i ledningsbåndet.

Denne

- 176

tettheten kan vi relatere til strømmen gjennom dioden på

følgende måte:

Antall elektroner i overgangsområdet er

N

Figur 7.11

- nrAd L a

(7.34)

Elektronenes energiforde 1ing i det aktive området av en diodelaser ved lave temperaturer.

Når laseren ikke oscillerer, rekombinerer disse elektronene

spontant, med en levetid at det tilføres et antal

t

.

Strømmen må altså være så stor elektroner i tidsrommet

en rAd __ Li_«a

I -

Når vi setter n Lj = An

(7.35)

får vi følgende uttrykk for strømtett-

hetens terskelnivå

eA n , d _t cl T

(7.36)

l

Vi setter så inn den minimale verdi av An , gitt av (6.26),

korrigert med faktoren d^/d^ setter

=

k^,

og får

111

4tt

J

2

Au)

ed

= --- -^ x 3 “a bl

4tt

,

2

k.

2

ecd

= ----------- 1--- -A x 3 i o a

n

n

Aco

,

%

i- (cc, Z- +ln|) \ b a R (7.37)

hvor kvantevirkningsgraden n

>

(7.38) e

uttrykker den brøkdel av de injiserte ladningsbærere som

I en halvleder som

rekombinerer under emisjon av fotoner.

GaAs er denne høy, mellom 0.7 og 1. (7.37) har vi satt inn for

Ved lave temperaturer er

t.

I siste del av ligning

fra (6.13).

neglisjerbar.

Terskelverdien for

strømtettheten er da omvendt proporsjonal med lengden l .

Videre er den proporsjonal med den transversale utstrekning av lysstrålen.

I kapittel 10 skal vi se hvordan denne kan

reduseres. Talleksemplet som er gitt i avsnitt 6.3 gir en terskelverdi

t,min

« 500 A/cm

2

Eksperimentelle resultater ved lave temperaturer ligger noe

lavere enn dette.

Ved høyere temperaturer øker terskelnivået,

fordi absorpsjon i halvlederen blir av betydning.

I området -i mellom 77 K og 300 K varierer terskelverdien som T.

178

OPPGAVER 7,1

Pumping av 3-nivås laser

Still opp rateligningene for et 3-nivås lasermedium når laseren ikke oscillerer.

pumpenivået.

Pumping foregår bare mellom grunnivået og

Alle spontane overganger tas med.

Beregn populasjonen i de tre nivåene, og populasjonsinversjonen

i stasjonær tilstand.

Hvilke betingelser må være oppfylt for

at populasjonsinversjonen skal bli positiv?

Hva er den maksimalt oppnåelige populasjonsinversjon? 7.2

Overgang fra 4-nivås til 3-nivås laser

Dersom betingelsen (7.5) ikke er oppfylt, er lasermediet ikke et rent 4-nivås medium.

For å analysere et slikt medium, må

vi ta med "spontane" overganger fra grunnivået til nedre laser­

Slike overganger kan finne sted fordi de tilgjengelige

nivå.

termiske energier er store nok til å eksitere atomene til nedre

I tillegg til de spontane overganger

n fra XU X nivå 1 til nivå 0, må vi altså inkludere et ledd ^q-^q fra

lasernivå,

nivå 0 til nivå 1.

å uttrykke

Benytt forholdene ved termisk likevekt til

ved ^q-

Betrakt et lasermedium hwrpumpingen foregår med samme sann­

synlighet fra både grunnivået og nedre lasernivå til pumpe­ nivået, hvor levetiden for pumpenivået er meget kort, og alle

spontane overganger fra pumpenivået går til øvre lasernivå.

opp rateligninger for dette mediet.

inversjonen i stasjonær tilstand. ikke oscillerer.

Beregn

Still

populasjons-

Det forutsettes at laseren

Sammenlign resultatet med tidligere utledede

resultater for rene 3-nivås og 4-nivås lasere.

7.3

Selvkvelende pulsede lasere

Dersom levetiden i nedre lasernivå i en 4-nivås laser er lengre enn levetiden i øvre lasernivå, kan man ikke oppnå populasjons­

invers jon under stasjonære forhold. (7.19).

Dette fremgår av ligning

Man kan likevel oppnå en transient populasjonsinversjon,

og denne kan utnyttes for pulset operasjon av en laser.

179 -

Still opp rateligningene for et 4-nivås lasermedium, hvor pumpingen foregår bare mellom grunnivå og pumpenivå, og hvor

spontane overganger foregår bare fra pumpenivå til øvre laser­ nivå, derifra til nedre lasernivå, og derifra til grunnivået.

Levetiden for pumpenivået er meget kort.

Pumpingen er så svak

at populasjonen i grunnivået er nesten uforandret. oscillerer ikke.

for øvre.

Laseren

Levetiden for nedre lasernivå er større enn

Løs rateligningene under forutsetning av at alle

atomer er i grunnivået ved ved sma verdier av t.

t = 0.

Hva er populasjonsinversjonen

Finn et uttrykk for det tidspunkt hvor

populasjonsinversjonen når maksimum, og finn maksimalverdien.

Skisser tidsforløpet. 7.4

Sett inn

t71

=

5t7

.

Linjeform for halvlederlasere

Nær båndkanten er tilstandstettheten i ledningsbåndet for en

halvleder gitt ved

~ 'S

og i valensbåndet ved

9EV ~ f'Ey~E^

Proporsjonalitetskonstantene er uten interesse her. Anta at temperaturen er så lav at nederste del av ledningsbåndet

er fylt helt opp til kvasiferminivået , som ligger i lednings— båndet/ og at øverste del av valensbåndet er tomt ned til Epyf

- E = E - E , FL L V F /9 at overgangssannsynligheten er like stor for alle

som ligger i valensbåndet.

og dessuten

Anta videre at E

overganger mellom de to båndene.

Beregn den spektrale fordeling av den spontant emitterte stråling (som er det samme som forsterkningskoeffisientens frekvensavhengighet) .

isa LITTERATUR

Generell omtale av pumping finnes i Siegmans bok, kapittel

10.

Her gis også en analyse av He-Ne-laseren, og av en

halvlederlaser.

Yariv’s bok er mer sparsom med detaljer om

pumping, men en analyse av en 4-nivås laser finnes i avsnitt 5.6. Svelto har et eget kapittel om pumpeprosessen (kapittel 3). Ellers kan anbefales:

B.A. Lengyel, Lasers *

Wiley-Interscience, 1971, og

S.L. Marshall, Laser technology and applications3

McGraw-Hill 1968.

Særlig den siste gir en god innføring i halvlederlasere.

Kjemisk pumping er omtalt i A.N. Chester, CheTnicciZ lassvs : A survey of cuwent

research, Proc. IEEE, vol. 61, side 414-422, April 1973.

181

Kapittel 8 LASEROSCILLATOR I STASJONÆR TILSTAND - FREKVENSFORHOLD 8.1

Generelt om resonatorer

Hvilken frekvens, eller hvilke frekvenser, en laser oscil­ lerer på,avgjøres først og fremst av resonatoren.

For å

beskrive en lasers frekvensforhold trenger vi derfor en del kjennskap til resonatorer generelt, og til optiske resonatorer

spesielt. En elektromagnetisk resonator er et element med sterkt

frekvensavhengige egenskaper.

Den har en eller flere

resonansfrekvenser, hvor den anslås spesielt sterkt, dvs. de elektromagnetiske feltene i resonatoren blir spesielt

sterke for et gitt påtrykk.

Den praktiske utformingen av

resonatorer er forskjellig for forskjellige frekvenser. For audio- og radiofrekvenser utgjøres de av konsentrerte

elementer, dvs. spoler og kondensatorer, hvis dimensjoner

* er

mye mindre enn den elektromagnetiske bølgelengde ved

resonansfrekvensen.

De har som regel bare én resonans innen

det aktuelle frekvensområdet.

Resonatorer for mikrobølger har dimensjoner av samme stør­ relsesorden som bølgelengden.

De kan bestå av kortsluttede

eller åpne transmisjonslinjer, eller av nesten lukkede hul­ rom med metalliske vegger.

De har oftest et lite antall

resonanser innen det aktuelle frekvensområdet. Resonatorer for optiske frekvenser må nødvendigvis få dimensjoner som er store sammenlignet med bølgelengden. Hulromsresonatorer av samme type som for mikrobølger vil ha et meget stort antall resonanser innen f.eks. linjebredden

til en atomær overgang.

I appendix

E er det vist at antall

resonansfrekvenser innen et lite frekvensintervall dto er

182

8it7

Å3 hvor V er resonatorens volum» *

dæ

(8.1)

0)

Bruker vi de data for en

helium-neonlaser som er gitt i avsnitt 6.3, og regner

med en resonatordiameter på noen millimeter, gir dette q et antall resonanser av størrelsesorden 10 innenfor

linjebredden.

Vi ønsker selvfølgelig ikke at laseren

skal oscillere på alle disse frekvensene.

For å unngå det

introduserer vi store tap for de fleste av resonansene, slik at det blir igjen et lite antall resonanser med høy kvalitetsfaktor.

Antall resonanser AC innen den atomære linjebredde Aæ

er et tall som inngår implisitt i en del av de

uttrykk vi utledet i kapittel 6.

Som eksempel kan

ligning (6.26) skrives

LNt,min = 2

hvor &N =

x~ sl

er den totale populasjonsinversjon i

lasermediet, og vi har antatt at l

også antar at

=

Hvis vi

» kan den minimale kritiske fluor-

escenseffekt skrives på den enkle formen

P

Wt^min

som kan oppfattes slik:

= I 2

— M t.

u

Når laseren oscillerer, emit­

teres det spontant i løpet av resonatorens dempningstid

ett foton i hver resonans innenfor den atomære linje­ bredde (bortsett fra faktoren ff/2) .

183

Hvis vi tenker oss en resonator i form av en lang og tynn, hul»

metallisk sylinder med plane endeflater, så kan vi innføre tap i denne ved å erstatte sylinderveggene medet taps-

materiale, mens endeflatene fremdeles er ideelt reflekterende. Da vil de aller fleste resonansene bli sterkt dempet.

Bare

de resonanser hvis felter nesten ikke kommer i kontakt med sideveggene vil beholde en høy kvalitetsfaktor.

Det gjelder

de resonanser som fremkommer ved at en bølge reflekteres

frem og tilbake mellom sylinderens endeflater.

For at

bølgen skal treffe endeflatene gjentatte ganger, må den ha

utbredelsesretning praktisk talt langs sylinderens akse.

På denne måten får vi en betraktelig reduksjon av antall resonanser med høy Q-verdi. I praksis erstatter vi ikke metallveggene med tapsmateriale,

vi simpelthen fjerner dem, slik at bølger som ikke treffer endeflatene forsvinner ut av resonatoren.

En slik optisk

resonator blir altså en åpen resonator bestående av to

speil, slik vi allerede har beskrevet den i avsnitt 6.1.

Som

nevnt der, er speilene vanligvis ikke metalliske, men består av rianae lag av forskjellige dielektrika.

8.2

Fabry-Perotresonator

En Fabry-Perotresonator bestående av to parallelle, plane speil er beskrevet i avsnitt 6.1.

Vi skal her behandle det

vi har kalt den kalde resonator, som fremkommer når vi fjerner de aktive laseratomene.

Den komplekse feltamplitude for det lys som transmitteres gjennom resonatoren er gitt av ligning (6.4).

Flukstettheten

finner vi ved å multiplisere dette uttrykket med dets kom­ pleks konjugerte: Når vi setter k =kbog a = afc, får vi

1। । ^2 1 * ut-------------- ----------------- ---- 9 -2a, Z * i n 1- 2| A-2 | e a cosø + | | e

(8'2}

- 184

hvor fasevinkelen 0 er gitt av

0 = 2ko(l>Tla} + 2Ma‘M2 = Wa’9r92

(8.3)

hvor ©i og er fasevinklene til henholdsvis og ^2' Vi innfører størrelsene T^, TL^, °9 (•£> soin er definert i kapittel 6.

Ved å anta at alle disse størrelsene

er mye mindre enn 1, kan uttrykket (8.2) omformes til

*

47- T = ------ -- ------ --- --ut 7 9 (L+T,+T 9 ) + 16sin 0/2 -i- «w

(8.4)

4>.

hvor vi har introdusert resonatorens samlede tap *

L = L. + L_ + L, 1 z b Alle størrelsene

(8.5)

L, T , T , 0,, 0? og

varierer bare langsomt

med frekvensen, så vi kan anta at de er konstante *

Da får M£

maksima for frekvenser som gjør 0 lik et multiplum av 2it, dvs.

K. k 4. o

l

a

= /nu +

n

,

m = 1,

2

. . .

(8.6)

Dette gir for den mte resonansfrekvens f 01+02\ —(mi\ + —7—)/ Æ a

*

lr 2 ...

(8.7)

Merk at dette er en annen definisjon av L enn i avsnitt 6.6, hvor vi også inkluderte

185

eller

=

f

, 0,+0 9\ I m + —-- - ), 'i = 1, 2 . . .

b er

degenerert, fordi samme svingning også kan foregå i et plan normalt

på papirplanet.

Figur 10.14

CO^-molekylets vibrasjonsmodi.

-277-

Et vibrasjonsenergidiagram for C02-molekylet er vist i figur 10.15-.

Bare noen av de laveste tilstandene er vist.

Notasjonen som er

brukt er slik at de tre tallene angir antall vibrasjonskvanta i

hver av de tre modiene vist i figur 10.14 a, b og c, i den rekke­ følge.

Indeksen refererer til den degenererte bøyningsmodus b, og

er et kvantetall for dreieimpulsen om molekylets akse.

Dersom

svingningen foregår i et plan, er dreieimpulsen null, men dersom de to degenererte modi er eksitert med forskjellig fase vil atomene bevege seg i ellipser eller sirkler, og dreieimpulsen blir forskjellig fra null. Til hvert vibrasjonsnivå svarer det flere rotasjonsnivåer •

Som

nevnt i avsnitt 10.4 er rotasjonsenergien proporsjonal med J («7+1) , hvor J er rotasjonskvantetallet.

Utvalgsreglene tillater bare

overganger hvor J endres med + 1. Forskjellen i rotasjonsenergi mellom to nivåer med rotasjonskvantetall henholdsvis J og J-l blir proporsjonal med J(J+l)-(j-1)j = 2J.

Dette betyr at det til en

vibrasjonsovergang svarer et antall absorpsjons-eller emisjonslinjer Disse er delt 1 to grupper, kalt grener.

Den ene, P-grenen, består

av ekvidistante linjer med frekvens lavere enn det som tilsvarer forskjellen i vibrasjonsenergi.

Disse linjene skyldes overganger

mellom tilstander hvor det nedre nivået har rotasjonskvantetall

-278-

J mens det øvre har kvantetallet j-1.

Det motsatte er tilfelle ror

R-grenen, som består av ekvidistante linjer med frekvens høyere

enn det som tilsvarer forskjellen i vibrasjonsenergi. Som vist i avsnitt 4.4 er Dopplerbredden proporsjonal med frekvensen.

Den er derfor mye mindre for vibrasjons-rotasjonsoverganger enn for elektroniske overganger. far relativt større betydning.

Det betyr at kollisjonsforbredning

I CC>2 er Dopplerbredden ved rom­

temperatur ca. 50 MHz, og ved et trykk på omkring 10 torr er

kollisjonsforbredningen like stor (se figur 4.6).

Ved noen atmo-

sfærers trykk blir linjebredden så stor at de forskjellige rotasjons-

linjene flyter sammen til et bånd. CC^-laseren er den viktigste og vanligste av vibrasjons-rotasjons-

laserne.

Den består av et gassutladningsrør som inneholder CC^,

Nitrogen spiller en vesentlig rolle i pumpingen av det o øvre lasernivået, som er vibrasjonstilstanden (00 1). Det laveste

N_ og He.

vibrasjonsnivået i N2 har nemlig en energi som er nesten sammen­ fallende med (00°l) i CO2. Nitrogenmolekylene eksiteres lett ved kollisjon med elektroner, og energien overføres så til C00-molekylet ved resonant energioverføring under kollisjoner, på samme måte som i helium-neonlaseren. Det foregår også en elektronisk pumping av CO2 direkte til (00°l) eller via høyere nivåer. Alle disse prosessen

er meget effektive, og CO2-laseren har derfor høy virkningsgrad,

opp til 20%. Nedre lasernivå er enten (10°0) eller (02°0).

Førstnevnte gir

størst forsterkning, og er det vanligst brukte nivået. Bølgelengden er 10.6 pm. Med (02°0) som nedre nivå er bølgelengden 9.6 pm.

Den spontant emitterende levetid øker sterkt med avtakende frekvens (se avsnitt 3.14), og for de aktuelle CO2-nivåer er den av størrelses­

Det er derfor helt og holdent kollisjoner som bestemmer utvekslingen mellom de forskjellige nivåer, og xevetidene

orden sekunder.

er avhengig av partialtrykket til de forskjellige gassene. Leve­ tiden for øvre lasernivå (00°l) kan typisk være 0.5 ms. Mellom nivåene (10°0) , (02°0) og (0110) skjer det rask utveksling

( > 1, er linjeformfunksjonen a 2 2 nær konstant for den del av integrasjonsområdet hvor sin u/a gir bidrag.

Hele integralet blir da oo

00

c 2t

J — OO

. 2 S1^ 2 U-

f

g

_ du « 2tg " iø-2u/t 0) J

2

2 sl"

du = 2^tg"(C.23)

— OO

Altså blir, ifølge (C.19): ~

2tT | # , _ |

2

n, (t) =71,(0) + ---- g "(n_(0) - n. (0) 1 * (C.24) 1 1 ~2 u) 2 1 n Vi ser at populasjonstetthetene nå varierer lineært med tiden. Denne variasjonen kan selvfølgelig ikke fortsette i det uendelige.

Feilen vi har gjort, ligger i tilnærmelsen (C.21).

Ligning (C.24)

er i virkeligheten gyldig bare for tider som oppfyller betingelsen 1 △u)

(C.25)

« t > 1/Auj • Hvis vi ikke er interessert i detaljer i en a finere tidsskala enn dette, kan vi imidlertid bruke (C.27). Sammenligner vi (C.27) med (5.1), ser vi at spontane overganger

ikke fremkommer av den semiklassiske teori.

Kvantisering også

av det elektromagnetiske felt er nødvendig for å få med disse. Vi har imidlertid fått riktig form på det leddet som beskriver stimulerte overganger, og vi har utledet et uttrykk for den stimulerte overgangssannsynlighet :

u =---- gj = H2 æ

2i~|2

2Vl

X

9

gj' æ

2,,

j

= ^1^1 *

fc2e'

æ

(C.2 8) Sammenligner vi dette med (5.4), kan vi skrive

2 2 — = , * x dy|2 (C.29) Te fie' Å, D I kapittel 3 måtte vi bare slå fast at det klassiske uttrykket for levetiden ikke stemmer med virkeligheten.

Her har vi fått

en detaljert oppskrift på hvordan den kan beregnes ut fra kjennskap til de stasjonære tilstander i atomet.

Det er ikke

underlig at (C.29) kan gi resultater som er forskjellig fra

(3.79).

Integralet kan sogar være identisk lik null, slik at

den spontant emitterende levetid blir uendelig. om en forbudt overgang.

men lang levetid.

Vi snakker da

En mer raffinert teori gir da en endelig,

Hvis et nivå er slik at alle overganger til

lavereliggende nivåer er forbudt, sier vi at nivået er metastabilt. Det har da en uvanlig lang levetid.

Ved beregning må vi ta hensyn til at atomene har en vilkårlig orientering, slik at integralet må midles over alle orienteringer.

314

For å komme fra ligningene (C.13) til (C.27) har vi gått en merkelig omvei:

vi har først integrert ligningene, og så

derivert igjen, etter at vi midlet løsningene over linjeform-

funksjonen.

Og derivasjonen var ingen virkelig matematisk

derivasjon, vi beholdt et endelig tidsdifferensial.

Det vi

oppnådde med dette, var å eliminere en "finstruktur", raske

fluktuasjoner i en tidsskala som ikke interesserer oss.

For

at denne fremgangsmåten skulle være gylig, måtte vi forlange at det elektriske felt var svakt, så svakt at (C.20) er oppfylt. La oss se hva denne betingelsen innebærer.

Ved å benytte den

første ligningen i (C.28), og sette inn maksimalverdien av g " (2/irAu)^ for en Lorentz' linjeform) , kan betingelsen (C.20)

skrives

W