Large Eddy Simulation turbulenter Stromungen GERMAN 3835101048, 9783835101043 [PDF]

Zitiervorschau

Jochen Fröhlich

Large Eddy Simulation turbulenter Strömungen

Jochen Fröhlich

Large Eddy Simulation turbulenter Strömungen Mit 145 Abbildungen und 14 Tabellen

Bibliografische Information der Deutschen Bibliothek Die Deutsche Bibliothek verzeichnet diese Publikation in der Deutschen Nationalbibliografie; detaillierte bibliografische Daten sind im Internet über abrufbar. Dr.-Ing. habil. Jochen Fröhlich, geb. 1961, Studium des Maschinenbaus an der RWTH Aachen 1980-1987, Promotion an der Université de Nice et Sophia-Antipolis in Frankreich, wissenschaftlicher Mitarbeiter an der Universität Kaiserslautern, dem Konrad-Zuse-Zentrum Berlin und dem Institut für Hydromechanik der Universität Karlsruhe (TH). Seit 2002 wissenschaftlicher Assistent am Institut für Technische Chemie und Polymerchemie der Universität Karlsruhe (TH). 2005 Habilitation im Fach Strömungslehre. Langjährige Arbeit auf dem Gebiet der numerischen Strömungsmechanik, insbesondere der Berechnung turbulenter Strömungen.

1. Auflage September 2006

Alle Rechte vorbehalten © B.G. Teubner Verlag / GWV Fachverlage GmbH, Wiesbaden 2006 Der B.G. Teubner Verlag ist ein Unternehmen von Springer Science+Business Media. www.teubner.de Das Werk einschließlich aller seiner Teile ist urheberrechtlich geschützt. Jede Verwertung außerhalb der engen Grenzen des Urheberrechtsgesetzes ist ohne Zustimmung des Verlags unzulässig und strafbar. Das gilt insbesondere für Vervielfältigungen, Übersetzungen, Mikroverfilmungen und die Einspeicherung und Verarbeitung in elektronischen Systemen. Die Wiedergabe von Gebrauchsnamen, Handelsnamen, Warenbezeichnungen usw. in diesem Werk berechtigt auch ohne besondere Kennzeichnung nicht zu der Annahme, dass solche Namen im Sinne der Warenzeichen- und Markenschutz-Gesetzgebung als frei zu betrachten wären und daher von jedermann benutzt werden dürften. Umschlaggestaltung: Ulrike Weigel, www.CorporateDesignGroup.de Druck und buchbinderische Verarbeitung: Strauss Offsetdruck, Mörlenbach Gedruckt auf säurefreiem und chlorfrei gebleichtem Papier. Printed in Germany

ISBN-10 3-8351-0104-8 ISBN-13 978-3-8351-0104-3

V

Vorwort Die Large Eddy Simulation (LES) ist eine Technik zur Berechnung turbulenter Str¨ omungen, die in den letzten Jahren mit zunehmenden Computerresourcen starke Verbreitung gefunden hat. In schneller Folge werden neue Modelle vorgeschlagen und Anwendungsgebiete erschlossen. Die explosionsartig wachsende Zahl entsprechender Zeitschriften– und Konferenzpublikationen gibt hiervon ein beredtes Zeugnis. LES findet daher auch immer mehr Eingang in die industrielle Praxis und viele kommerzielle und nicht-kommerzielle Codes besitzen inzwischen LES-F¨ahigkeit. Bei der Anwendung von LES k¨ onnen jedoch durch unsachgem¨ aße Wahl der Modellierung sehr leicht schlechte Resultate entstehen. Entsprechendes Know-How ist daher unbedingt erforderlich. Aufgrund ihres Potenzials wird sich LES schnell weiterentwickeln. Insbesondere werden zunehmend die Simulationen der Str¨ omung mit anderen Ph¨ anomenen wie z.B. Verbrennung, Akustik etc. gekoppelt. F¨ ur derartige Forschungsarbeiten ist aber ein tiefes Verst¨andnis der Methode unumg¨ anglich. Auf diesem Hintergrund besteht ein Bedarf an Literatur, die nicht nur das Grundkonzept erl¨ autert, sondern die Darstellung bis zu einem Niveau treibt, das den Zugang zur aktuellen Literatur erm¨ oglicht und diese in wesentlichen Teilen zusammenfasst. Das vorliegende Buch hat die Einf¨ uhrung in die Large Eddy Simulation zum Ziel. Es beschreibt in strukturierter Form Grundlagen und Anwendungen dieser Methodik und gibt ¨ einen Uberblick u ¨ ber den gegenw¨artigen Stand der Entwicklungen. Das Buch richtet sich an Studenten, Doktoranden und Wissenschaftler, die sich eingehend mit LES besch¨ aftigen wollen. Die Darstellung ist bewußt breit angelegt und mit sehr viel Text versehen, um die Lekt¨ ure zu erleichtern. Zahlreiche Referenzen erschließen die Literatur und geben Hinweise auf aktuelle Entwicklungen. LES vereinigt Elemente aus sehr unterschiedlichen Bereichen, insbesondere aus der Physik, der Numerik und der Turbulenzmodellierung. Dies f¨ uhrt oft zu Verst¨ andnisproblemen in den Feldern, die dem Leser weniger vertraut sind. Daher werden alle f¨ ur den weiteren Text ben¨ otigten Informationen aus den unterschiedlichen Fachgebieten in den Kapiteln 2 bis 4 sowie in drei Anh¨angen dargestellt. Zielgerichtet wurden dabei nur diejenigen Aspekte ausgew¨ ahlt, die f¨ ur die sp¨atere Diskussion relevant sind. Dadurch entsteht eine in sich geschlossene Darstellung, die selbst dem weniger erfahrenen Leser zug¨ anglich ist. Gleichzeitig bietet der Text aber auch dem mit LES Vertrauten Informationen und Anregungen durch teilweise neues Material, durch die Art der Zusammenstellung und Bewertung, sowie durch eingehende Diskussion und Interpretation der zahlreichen Gesichtspunkte. F¨ ur diesen Leserkreis mag es sinnvoll sein, nach dem Einleitungskapitel direkt mit Kapitel 5 fortzufahren und nur bei Bedarf in den vorherigen Kapiteln nachzuschlagen. Nach der Erl¨ auterung verschiedener methodischer Ans¨atze werden alle f¨ ur LES charakteristische Teilmodelle systematisch dargestellt, insbesondere f¨ ur Feinstruktur, wandnahe Str¨ omungen und k¨ unstliche Berandungen. Zur Pr¨asentation und Analyse dieser Modelle werden aktuelle Techniken eingesetzt und vor allem die Systematik und die entsprechende Einordnung und Bewertung der einzelnen Modelle in den Vordergrund gestellt. Aus Gr¨ unden der Notation und wegen ihrer Relevanz konzentriert sich der Text auf Str¨ omungen konstanter Dichte. Zahlreiche technische Hinweise, die in Zeitschriftenartikeln oft u ¨ bergangen werden, helfen dem potenziellen Anwender, selber erfolgreiche Simulationen durchzuf¨ uhren. Sie vertiefen dar¨ uber hinaus das Verst¨ andnis f¨ ur die Vorz¨ uge der Methode, aber auch f¨ ur ihre Grenzen. Auf ei-

VI nige ausgesprochen theoretische Aspekte wurde bewusst verzichtet, da der mathematische Aufwand zur Beschreibung nicht durch eine entsprechende Bedeutung f¨ ur die tats¨ achlich durchgef¨ uhrten Simulationen gerechtfertigt erscheint. Verschiedene Simulationen in Kapitel 9 illustrieren die Technik der LES in enger Verzahnung mir den vorangegangenen Theoriekapiteln. Diese Anwendungen werden weniger um ihrer selbst willen dargestellt, denn dies leisten die entsprechenden regul¨aren Zeitschriftenartikel, sondern mit durchg¨ angiger Betonung des methodischen Aspekts. Insbesondere werden bewusst f¨ ur jede Problemstellung unterschiedliche M¨oglichkeiten aufgezeigt, aus den gewonnenen LES-Daten physikalisch relevante Information zu extrahieren. Hier wird insbesondere auf die Fourier–Transformation und die neuere Wavelettransformation eingegangen. Die vorliegende Arbeit entstand w¨ahrend meiner T¨ atigkeit am Institut f¨ ur Hydromechanik der Universit¨ at Karlsruhe und in ihrer Endphase am Institut f¨ ur Technische Chemie und Polymerchemie derselben Universit¨at. Professor Wolfgang Rodi danke ich ganz herzlich f¨ ur seine langj¨ ahrige Unterst¨ utzung durch fachliche Diskussionen, organisatorische Tipps und Freiraum f¨ ur eigene Kreativit¨at. Mein Dank geb¨ uhrt ebenso Professor Henning Bockhorn, der es erm¨ oglichte, diese Arbeiten in seiner Gruppe fortzusetzen, und der sie tatkr¨ aftig f¨ orderte. In dieser Arbeit werden zahlreiche eigene Ergebnisse dargestellt. Viele wurden in Zusammenarbeit mit Angeh¨origen der Universit¨ at Karlsruhe sowie nationalen und internationalen Kollegen erzielt. Ihnen allen m¨ochte ich ganz herzlich f¨ ur die fruchtbare und spannende Zeit danken, die mir die gemeinsame Wissenschaft bereitet hat. Gef¨ ordert wurden diese Forschungen von der Deutschen Forschungsgemeinschaft im Rahmen des DFG-CNRS Programms “Numerical Flow Simulation” und zahlreiche anderer Projekte, unter anderem u aische ¨ ber den SFB 606. Wichtig war auch die Finanzierung durch die Europ¨ Kommission innerhalb des TMR Programms “LES of Complex Flows” und des LESFOIL Projektes. Das Land Baden–W¨ urttemberg trug durch Personalmittel und Bereitstellung von Großrechnern zu den Voraussetzungen dieser Arbeit bei. Neben den formalen Aspekten ist f¨ ur solch eine umfangreiche Arbeit auch die menschliche Seite von Bedeutung. In beiden genannten Arbeitsgruppen habe ich gute Freunde gefunden und mich u ¨ber die kollegiale Atmosph¨are gefreut. Ganz herzlich danke ich auch meinen Eltern, meinem Bruder und meinen Freunden f¨ ur die Unterst¨ utzung in allen Lebenslagen. F¨ ur die kritische Lekt¨ ure des Manuskripts oder von Teilen danke ich Henning Bockhorn, Jordan Denev, Beate Fr¨ohlich, Markus Kraft, Claus-Dieter Munz, Wolfgang Rodi, Dominic von Terzi, J¨ orn Wildhagen und Max Zimmermann. Carlos Falconi half engagiert bei der Gestaltung des Layouts. Schließlich trug auch die freundliche Betreuung durch Herrn Feuchte beim Teubner–Verlag zum Gelingen dieses Buches bei.

Karlsruhe, Juli 2006

Jochen Fr¨ohlich

VII

Aber das Verst¨andnis des inneren Zusammenhangs wiegt unendlich viel mehr als die einfache Versicherung Anderer, und selbst mehr als der h¨aufig wiederholte Versuch. 1 Galileo Galilei [181]

1 Aus

heutiger Sicht ist hier nat¨ urlich auch jede Art von Simulation einzuschließen.

Inhalt 1

Einleitung

1

1.1

Turbulenz und numerische Str¨omungsmechanik . . . . . . . . . . . . . . . .

1

1.2

Synopse der Berechnungsverfahren f¨ ur turbulente Str¨ omungen . . . . . . .

3

1.3

Historische Entwicklung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6

1.4

Zielsetzung und Gliederung des Buches . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

8

2

Eigenschaften und Beschreibung turbulenter Str¨ omungen

11

2.1

Ausgangsgleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

11

2.2

Turbulente Str¨omungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

14

2.3

Reynolds–Mittelung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

16

2.4

Isotrope Turbulenz

20

2.5

Turbulenz in Wandn¨ahe

2.6

Transition

3

DNS und RANS–Modellierung

3.1

Direkte Numerische Simulation

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

45

3.2

Statistische Turbulenzmodellierung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

49

4

Numerische Modellierung

57

4.1

Motivation und Systematik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

57

4.2

Diskretisierungsschemata im Raum

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

59

4.3

Diskretisierungsschemata in der Zeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

69

4.4

Spezielle Aspekte bei der Diskretisierung der NSG . . . . . . . . . . . . . .

73

4.5

Analyse der Diskretisierung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

85

4.6

K¨ unstliche Diffusion und nichtlineare Schemata . . . . . . . . . . . . . . . .

94

4.7

Numerische Fehler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

99

5

Methodische Ans¨atze f¨ ur LES

107

5.1

Grundidee der LES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

107

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

31

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

41 45

X

Inhalt

5.2

Homogene Filterung im Ort, Gleichungen der LES . . . . . . . . . . . . . .

108

5.3

Inhomogene Filterung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

120

5.4

Implizite Filterung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

127

5.5

Das Feinstrukturmodell als Filter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

129

5.6

Das numerische Verfahren als Filter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

133

5.7

Gleichungen f¨ ur die h¨oheren Momente der gefilterten Gr¨ oßen . . . . . . . .

139

5.8

Welche Resultate kann eine LES liefern ? . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

142

5.9

Statistische Resultate einer LES und Modelltest . . . . . . . . . . . . . . .

145

5.10

Modellierungsbedarf bei LES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

150

6

Feinstrukturmodelle

151

6.1

¨ Einf¨ uhrende Bemerkungen und Ubersicht . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

151

6.2

Feinstrukturmodelle in der RANS–Tradition . . . . . . . . . . . . . . . . .

154

6.3

Modellierung im Frequenzbereich . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

165

6.4

Selektive Prozeduren und selektive Modelle . . . . . . . . . . . . . . . . . .

167

6.5

Modelle mit Zerlegung der aufgel¨osten Skalen . . . . . . . . . . . . . . . . .

173

6.6

Explizite Filterung bei Zerlegung der aufgel¨ osten Skalen . . . . . . . . . . .

182

6.7

Modelle mit deterministischer Sch¨atzung der Feinstruktur . . . . . . . . . .

185

6.8

Stochastische Modelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

191

6.9

Modelle f¨ ur Skalartransport . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

193

6.10

Validierung und Auswertung, Realisierbarkeit . . . . . . . . . . . . . . . . .

197

6.11

Zusammenfassung verwendeter Konzepte und Beurteilung . . . . . . . . . .

198

7

Super–Grid Modelle: Rand– und Anfangsbedingungen

201

7.1

Problemstellung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

201

7.2

Periodische Randbedingungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

204

7.3

Einstr¨ ombedingungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

207

7.4

Ausstr¨ ombedingungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

214

7.5

Anfangsbedingungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

217

8

Modellierung der wandnahen Str¨omung

221

8.1

Grunds¨ atzliches zur Wandmodellierung bei LES . . . . . . . . . . . . . . .

221

8.2

Aufl¨ osen der Turbulenz in Wandn¨ahe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

222

8.3

Wandfunktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

234

XI

Inhalt

8.4

Verallgemeinerte Wandfunktionsmodellierung . . . . . . . . . . . . . . . . .

247

8.5

Parametrisierung f¨ ur Rezirkulationsgebiete . . . . . . . . . . . . . . . . . .

250

8.6

Wandmodellierung basierend auf Grenzschichtgleichungen . . . . . . . . . .

258

8.7

Detached Eddy Simulation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

262

8.8

Empfehlungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

264

9

Anwendungen

267

9.1

Zielsetzung dieses Kapitels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

267

9.2

Der Code LESOCC2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

268

9.3

Hochaufl¨osende LES einer Str¨omung u ugel ¨ ber periodische H¨

. . . . . . . .

274

9.4

Visualisierung koh¨arenter Wirbelstrukturen . . . . . . . . . . . . . . . . . .

288

9.5

WF–LES einer Str¨omung u ugel . . . . . . . . . . . . . . . ¨ber periodische H¨

294

9.6

Str¨ omung um einen langen Kreiszylinder . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

300

9.7

Kreiszylinder in Scherstr¨omung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

320

9.8

Kreiszylinder mit freiem Ende . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

328

10

Zusammenfassung und Ausblick

337

A

Anh¨ange

341

A.1

Fourier–Transformation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

341

A.2

Diskretisierung, Eigenwerte und effektive Wellenzahl . . . . . . . . . . . . .

353

A.3

Kontinuierliche Wavelettransformation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

363

A.4

Symbolverzeichnis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

367

Literaturverzeichnis

375

Sachverzeichnis

409

1

Einleitung

1.1

Turbulenz und numerische Str¨omungsmechanik

Str¨ omungsmechanische Vorg¨ange spielen eine zentrale Rolle in unz¨ ahligen Bereichen nat¨ urlicher und technischer Vorg¨ange. Dies reicht von der Str¨ omung in einem Mikromischer, der nur den Bruchteil eines Millimeters groß ist, u omungen in Gew¨ assern und um ¨ ber Str¨ Bauwerke, Str¨ omungen in Motoren und Turbinen, innerhalb von Lebewesen, Str¨ omungen um Fahrzeuge, Schiffe, Flugzeuge, bis hin zu astrophysikalischen Prozessen in einer Supernova. In vielen dieser Str¨omungen spielt die Turbulenz eine zentrale Rolle. Meist bestimmt sie den Widerstand bei der Bewegung von K¨orpern oder dem Transport in Rohrleitungen, die Kr¨ afte auf Einbauten, die Vermischung und Ausbreitung von W¨ arme und Stoffen, die L¨armentstehung, und viele andere wichtige Aspekte. Damit ist die Analyse und Vorhersage turbulenter Str¨omungen eine zentrale Voraussetzung zum Verst¨ andnis nat¨ urlicher und technischer Str¨ omungsvorg¨ange. Nur auf dieser Grundlage kann in den meisten F¨ allen die Funktion einer Anlage sichergestellt bzw. ihre Wirkungsweise optimiert werden. Grundlagenforschung auf dem Gebiet der Turbulenz wird im Wesentlichen seit den Experimenten von Reynolds im Jahr 1893 [486] durchgef¨ uhrt. Lumley und Yaglom konnten daher ¨ ihre k¨ urzlich erschienene Ubersichtsarbeit [350] mit Recht unter den Titel “A century of turbulence” stellen. Trotz dieser enormen Anstrengungen handelt es sich aber auch heute immer noch nicht um ein abgeschlossenes Gebiet. Zentrale Fragen nach den Mechanismen turbulenter Str¨ omungen sind bislang nicht definitiv gekl¨ art. Die Navier–Stokes–Gleichungen beschreiben zwar die Bewegung eines Fluids, sowohl im laminaren als auch im turbulenten Zustand und sind daher ein vollst¨andiges Modell, das alle diese Ph¨ anomene enth¨ alt. Was Turbulenz letztlich ist, machen sie jedoch nicht deutlich [193]. Dabei ist zu beachten, dass es die Turbulenz schlechthin nicht gibt, turbulente Schwankungen sind das Resultat des Ineinandergreifens von Mechanismen der Erzeugung, des Transports und der D¨ ampfung, die in einzelnen Str¨omungen unterschiedlich sind. Dies wurde von Batchelor sehr pr¨ agnant mit den folgenden Worten formuliert: “Turbulence is not a well–defined problem awaiting solution but is a state of motion with innumerable different facets which depend on the context in which it occurs. We do not regard the state of laminar flow as a single problem; much less should turbulence be thought of as a single and soluble problem. The properties of turbulence are flow dependent, and therein lies the difficulty. Each turbulent flow field which is studied reveals new aspects of turbulence, and we are a very long way from being able to assemble a comprehensive physical description of this many–sided state of motion.” G.K. Batchelor [31] (1.1)

2

1 Einleitung

Die numerische Str¨omungsmechanik, oft mit dem englischen K¨ urzel CFD (Computational Fluid Dynamics) bezeichnet, hat sich seit den 1970er Jahren als eigenst¨ andige Disziplin der Str¨ omungsmechanik neben dem experimentellen und dem theoretischen Ansatz etabliert [494]. Sie basiert auf der physikalischen Modellierung einer Str¨ omung in Form eines mathematischen Problems, das diese im Hinblick auf die zu untersuchenden Aspekte beschreibt, und seiner anschließenden numerischen L¨ osung. Damit wird der Computer zum zentralen Werkzeug. Die Leistung der verf¨ ugbaren Computer–Hardware hat sich jedoch w¨ ahrend der letzten f¨ unfzig Jahre in atemberaubendem Maße gesteigert [589]. Abb. 1.2 vermittelt einen Eindruck anhand der mit den jeweils verf¨ ugbaren Maschinen erzielten Rechenleistung, wobei die logarithmische Skalierung zu beachten ist. Zur Verdeutlichung sei in Erinnerung gerufen, dass die Leistung von 1 GFLOPS (Giga FLOPS= 109 FLießkomma Operationen Pro Sekunde) entsteht, wenn alle gegenw¨ artig auf der Erde lebenden ca. 6 Milliarden Menschen gleichzeitig innerhalb von sechs Sekunden mit einem Taschenrechner eine Gleitkommaoperation durchf¨ uhren – und das Ergebnis kommunizieren. Mit dieser Entwicklung einhergegangen sind Fortschritte im algorithmischen Bereich von ¨ ahnlichem Ausmaß. Zum Beispiel f¨ uhren die meisten Diskretisierungsverfahren auf sehr große lineare Gleichungssysteme, deren L¨osung nur iterativ m¨ oglich ist. Algorithmen zu diesem Zweck, von konjugierten Gradienten [236] u ¨ber Vorkonditionierung, Multigrid [55] bis hin zu algebraischem Multigrid [570], um nur einige zu nennen, haben diesen Vorgang in den letzten Dekaden um Gr¨ oßenordnungen beschleunigt. Ein anderes Beispiel ist die schnelle Fourier– Transformation [109]. Allein durch sie wurden die ersten direkten Simulationen isotroper Turbulenz u otigt Implementierung. Fortschritte ¨ berhaupt erst m¨oglich. Jede Numerik ben¨ im Bereich der Softwareentwicklung lassen sich zwar schlechter quantifizieren, haben jedoch ebenfalls zur Leistungssteigerung beigetragen. Durch optimierte Compiler, Programmbibliotheken, Parallelisierungsschnittstellen wie MPI [157], Debugger und andere Werkzeuge ist es heute m¨ oglich, auch extrem komplexe Aufgaben in vertretbarer Zeit zu l¨ osen und effiziente Programme zu erstellen. Aufgrund der geschilderten Entwicklung ergeben sich f¨ ur die numerische Str¨ omungsmechanik immer gr¨ oßere M¨oglichkeiten. Ihre Bedeutung f¨ ur Grundlagenuntersuchungen ist daher enorm gestiegen. In der Grundlagenforschung werden heute durch direkte numerische Simulation Transition und Turbulenz ¨ahnlich einem Experiment berechnet, jedoch mit Zugriff auf wesentlich mehr und komplexere Informationen. Dies hat das Verst¨ andnis sowie die Entwicklung physikalischer Modelle f¨ ur solche Str¨omungen wesentlich vorangetrieben [406]. In den Anwendungen kann man heute mit statistischen Modellierungen volle dreidimensionale, auch instation¨ are Simulationen mit sehr komplexer Physik durchf¨ uhren. Sprayausbreitung und –verdampfung, chemischen Reaktionen, Fluid–Struktur–Kopplung sind einige Beispiele. Preprocessing, d.h. Geometriedefinition und Gittergenerierung ist zu einem eigenen For¨ schungsgebiet geworden. Ahnliches gilt f¨ ur Visualisierung, wof¨ ur es heute eigene Lehrst¨ uhle gibt. Visualisierung und statistische Auswertung sind zentrale Aufgaben bei der Simulation, denn nach wie vor gilt der Ausspruch R. Hammings “The purpose of computing is insight, not numbers” [220], Die Weiterentwicklung der Software, insbesondere auch kommerzieller Art, f¨ ur Pre– und Postprocessing erlaubt es, CFD immer mehr in den industriellen Entwicklungsprozess einzubeziehen [141]. Aufgrund der gestiegenen Rechnerkapazit¨aten ist heute vielfach nicht mehr wie fr¨ uher die Rechenleistung und die dadurch erzwungene Beschr¨ ankung auf ein grobes Rechengit-

1.2 Synopse der Berechnungsverfahren f¨ ur turbulente Str¨ omungen

3

Abb. 1.1 Beispiel einer turbulenten Str¨ omung: Luftstrahl bei einer Geschwindigkeit von 12m/s aus einer D¨ use mit 5cm Durchmesser [600]. Hier kann u ¨ ber die Turbulenz hinaus auch die Transition vom laminaren Zustand am D¨ usenaustritt u at in Form von Wirbelringen ¨ ber eine Scherinstabilit¨ mit nachfolgender sekund¨ arer Instabilit¨ at hin zur Turbulenz beobachtet werden. Im turbulenten Bereich ist das gleichzeitige Auftreten gr¨ oßerer und kleinerer Wirbelstrukturen erkennbar.

ter mit den entsprechenden numerischen Fehlern der limitierende Faktor f¨ ur die Qualit¨ at der Resultate von CFD. Laminare Str¨omungen und die Mittelwerte turbulenter Str¨ omungen k¨ onnen heute meist durch die numerischen Gitter hinreichend aufgel¨ ost werden. Oft stellt nun statt dessen die korrekte Ber¨ ucksichtigung der Turbulenz in der Str¨ omung das schw¨ achste Glied dar. Daraus ergibt sich ein entsprechender Handlungsbedarf. Die M¨ oglichkeiten auf Seiten der Hardware einerseits sowie der große Bedarf auf Seiten von Anwendungen und Grundlagenforschung andererseits sind die treibende Kraft zur Weiterentwicklung von Modellierungs- und Simulationstechniken f¨ ur turbulente Str¨ omungen. Die Large Eddy Simulation geh¨ ort mit ihren Varianten zu den wichtigsten, zukunftstr¨ achtigen Ans¨ atzen in dieser Richtung.

1.2

Synopse der Berechnungsverfahren fu omungen ¨r turbulente Str¨

Die Navier–Stokes–Gleichungen beschreiben die Bewegung eines viskosen Fluids sowohl im laminaren wie im turbulenten Fall. Turbulente Str¨ omungen sind jedoch durch ein sehr breites Spektrum großer und kleiner Wirbelstrukturen charakterisiert (siehe Abb. 1.1 und Kapitel 2). Auf dieser Grundlage haben sich im Wesentlichen drei Simulationsverfahren zur Berechnung turbulenter Str¨omungen entwickelt. Sie werden mit den K¨ urzeln DNS, LES und RANS bezeichnet und sind in Abb. 1.3 skizzenhaft einander gegen¨ ubergestellt. Pr¨ azise Definitionen werden in sp¨ateren Abschnitten angegeben. Ebenso werden dort einige der zahlreichen Varianten dieser Ans¨atze diskutiert.

4

1 Einleitung 10

5

massively parallel computers

4 10

computing speed [Gflop/s]

3 10

2 10

1 10

0 10 ILLIAC-IV STAR-100 ASC

-1 10

Earth Simulator NEC SX (5120) Intel Itanium2 Tiger4 1.4GHz (4096)

ASCI White Pacific IBM SP Power 3(7424) ASCI Red Intel Pentium II (9632) Hitachi SR8000/112

VPP 5000/100

NEC-SX5/32 CRAY-T3E/512 NEC-SX4/32 VPP 300/16 VP 2600/20 HP ZX6000 Itanium2 1Ghz CRAY-YMP VPP 400 EX Pentium IV 3Ghz CRAY-2 AMD K7 600Mhz CRAY-XMP HP C240 Pentium III 600Mhz CYBER-205 Pentium II 233Mhz HP 9000/735

CRAY-1

Workstations

-2 10

Pentium P6

CDC 7600 CDC 6600

-3 10

PC's

HP 9000 Apollo

i486

IBM 7090

-4 10

i386 HP 9000 Series 200

IBM 704

1955

1960

1965

1970

1975

1980

1985

1990

1995

2000

2005

year

Abb. 1.2 Entwicklung der Rechenleistung in Giga FLOPS, d.h. Milliarden Gleitkommaoperationen pro Sekunde [499].

Direkte Numerische Simulation (DNS) bezeichnet Verfahren, bei denen das numerische Gitter so fein ist, dass auch die kleinsten in der Str¨omung auftretenden Wirbel durch das Diskretisierungsverfahren aufgel¨ ost und damit berechnet werden k¨onnen. Es werden also schlicht die Bewegungsgleichungen gel¨ ost, und zwar mit einem Gitter, das alle L¨angenskalen darstellt. Je h¨ oher die Reynolds–Zahl ist, desto feiner muss das Gitter jedoch sein. Außerdem ist grunds¨ atzlich eine dreidimensionale, instation¨are Simulation n¨otig, um die Wirbelbewegungen zu berechnen, so dass dieses Verfahren extrem aufw¨andig ist. Dem gegen¨ uber steht die statistische Betrachtung der Turbulenz auf der Grundlage der Reynolds–gemittelten Navier–Stokes–Gleichungen (RANS = Reynolds–Averaged Navier– Stokes). Dabei werden alle zeitlichen Schwankungen durch den Mittelungsprozess entfernt, so dass nur noch station¨ are Gleichungen f¨ ur diese Mittelwerte zu l¨osen sind. Die Fluktuationen erscheinen jedoch in ihrem Mittel noch in den Gleichungen. F¨ ur diese Terme wird ein Modell eingef¨ uhrt, ein so genanntes Turbulenzmodell (siehe Kapitel 3). Die Skizze der Zylinderumstr¨ omung in Abb. 1.3 veranschaulicht, wie stark die Reduktion durch die Mittelung ist. Bis auf die seitlichen Scherschichten verschwinden nahezu alle r¨aumlichen Strukturen und m¨ ussen durch das Turbulenzmodell repr¨asentiert werden. Insbesondere dann, wenn die Fluktuationen sehr stark durch die individuelle Geometrie gepr¨agt sind, etwa bei Str¨omungen um stumpfe K¨ orper wie den Kreiszylinder, ist es naturgem¨aß sehr schwer, ein universelles Modell bereitzustellen, das diese Aufgabe f¨ ur jede auftretende Geometrie erf¨ ullt. In solchen F¨ allen ist es vorteilhaft, die großen, energietragenden Wirbelstrukturen nicht zu modellieren, sondern explizit zu berechnen – ganz im Sinne des Zitats (1.1). Die weniger wichtigen, kleinskaligen Anteile werden nach wie vor modelliert, und zwar durch ein so genanntes Feinstrukturmodell. Diesen Ansatz bezeichnet man daher als Grobstruktursimu-

5

1.2 Synopse der Berechnungsverfahren f¨ ur turbulente Str¨ omungen





















-















































#



%

&









)

+

,

-

.

0

1 











#



-

3


kd statt. Aus (2.52) wird wegen des Faktors ν deutlich, dass kd umso gr¨ oßer ist, je kleiner die Viskosit¨ at bzw. je gr¨oßer bei sonst unver¨anderten Bedingungen die Reynolds–Zahl ist. F¨ ur ausgebildete Turbulenz bei hohen Reynolds–Zahlen ist kf < kd , so dass Energie– und Dissipationsbereich sich nicht u ¨berlappen (Abb. 2.1). In der Zone kf < k < kd ist dann allein der Tr¨ agheitsterm T wirksam, weshalb man hier vom Inertialbereich spricht. Unter diesen Verh¨ altnissen muß also allein dieser Term f¨ ur den Energietransport von groben zu feinen Skalen verantwortlich sein. In Abb. 2.1 ist die besprochene Situation skizziert. Im Inertialbereich h¨ angt die Form des Spektrums E(k) daher lediglich von der Wellenzahl k und der insgesamt zugef¨ uhrten und dissipierten Energie ε ab. Durch Dimensionsanalyse l¨ asst sich zeigen, dass dann E(k) = CK ε2/3 k −5/3

,

(2.53)

wobei CK die sog. Kolmogorov–Konstante ist, deren Wert aus Experimenten und Rechnungen zu CK ≈ 1, 5 bestimmt wurde [562]. Die geschilderten Mechanismen f¨ uhren also auf einen Transfer kinetischer Energie von großen zu feinen Skalen, der als Energiekaskade bezeichnet wird und in Abb. 2.1 illustriert ist. In der Tat, betrachtet man das Dissipationsspektrum D(k), so ergibt sich mit (2.49) und (2.53) im Inertialbereich ein Verhalten D(k) ∼ k 1/3 . D.h. die Dissipation findet, wie zun¨achst angenommen, tats¨ achlich auf den kleinen Skalen statt. Eng verkn¨ upft mit (2.53) k¨onnen charakteristische Skalen f¨ ur Geschwindigkeit und zeitliche Entwicklung (“Eddy Turnover Time”) eines Elementes der Gr¨ oße l = 2π/k definiert

24

2 Eigenschaften und Beschreibung turbulenter Str¨ omungen

werden: vk ∼ ε1/3 k −1/3

;

tk ∼ ε−1/3 k −2/3

.

(2.54)

Das folgende Resultat kann man durch Integration des Spektrums (2.53) gewinnen [159, Kap.6.3.2]. Da (2.53) jedoch aus einer einfachen Dimensionsanalyse folgt, kann man diese auch direkt anwenden: Wenn kd durch Verringerung von ν w¨ achst, ¨ andert sich die Fl¨ ache unter der Kurve E(k), also die Gesamtenergie K, nicht merklich. Daher kann man ansetzen kd = kd (ε, ν) und aus Dimensionsgr¨ unden kd = c ε1/4 ν −3/4 . Als charakteristische L¨ ange wird nun u ange definiert, die sich mit dem ¨ ber den Kehrwert der Wellenzahl diejenige L¨ Wert c = 1 der Konstanten ergibt also  η=

ν3 ε

1/4 .

(2.55)

Dies ist die sog. Kolmogorov–L¨ange. Analog werden die groben Skalen charakterisiert durch kf und die Energiezufuhr. Letztere h¨angt nicht von kd bzw. ν ab, ist jedoch wie gesagt gleich der Dissipation ε. Da E(k) f¨ ur k  kf abklingt, h¨ angt K von kf ab, also K = K(kf , ε) und −2/3 aus Dimensionsgr¨ unden K = c ε2/3 kf , woraus mit Setzen des Wertes 1 f¨ ur die Konstante die charakteristische L¨ange der großen Skalen L=

K 3/2 ε

(2.56)

folgt. Pope gibt als Anhaltswerte [473, S.237, S.244]: kd =

1 2π 60 η

;

kf = 6

2π 0, 43L

.

(2.57)

¨ Ein zentrales Ergebnis ist hier die Anderung von L/η mit der Reynolds–Zahl. Gebildet mit √ der charakteristischen L¨ange der großen Wirbel und der Geschwindigkeitsskala K, lautet √ diese ReL = KL/ν. Mit (2.55),(2.56) ergibt sich L 3/4 = ReL η

.

(2.58)

Der Inertialbereich w¨achst also nahezu proportional mit der Reynolds–Zahl. Im Dissipationsbereich selbst klingt das Spektrum E(k) wegen des Energieentzuges schneller mit k ab. Ebenso klingt E(k) f¨ ur k  kf ab. Hier spielt jedoch eine Rolle, wie in einer betrachteten Str¨ omung der Term F genau beschaffen ist. Beide angesprochenen Bereiche k¨ onnen durch Korrekturfunktionen ber¨ ucksichtigt werden, so dass der Prototyp eines dreidimensionalen turbulenten Energiespektrums lautet     k k E(k) = CK ε2/3 k −5/3 fF fD . (2.59) kf kd

25

2.4 Isotrope Turbulenz

Pope benutzt die Proportionalit¨at (2.57) und schl¨ agt als Modellspektrum isotroper Turbulenz E(k) = CK ε2/3 k −5/3 fL (kL) fη (kη) vor, [473, (6.246)], mit  5/3+p0 kL fL (kL) = ((kL)2 + cL )1/2 fη (kη) = e

−β

((kη)4 +c4η )1/2 −cη


(2.60)

;

p0 = 2; cL = 6, 78

(2.61)

;

β = 5,2; cη = 0.40

(2.62)

was durch Vergleich mit experimentellen Daten unterst¨ utzt wird. In Abb. 2.1 ist das Energiespektrum E(k) nach (2.60) f¨ ur ReL = 104 aufgetragen. Deutlich erkennt man die zuvor beschriebenen unterschiedlichen Bereiche des Spektrums. In dieselbe Grafik wurde das zugeh¨origen Dissipationsspektrum nach (2.49) eingetragen. Es steigt u ¨ ber weite Bereiche mit k an und verdeutlicht, dass die Dissipation vornehmlich auf kleinen E Skalen stattfindet. Die linke vertikale Linie kennzeichnet den Wellenzahlbereich k < k80 , in welchem f¨ ur die gew¨ahlten Paramter 80% der turbulenten Energie auftreten (hier ist E D = 30). Im Gegensatz dazu finden rechts der zweiten Linie, k > k20 , 80% der Dissipation k80 D statt (hier mit k20 = 150). Die Werte f¨ ur kf und kd betragen nach (2.57) mit diesen Parametern kf = 82 und kd = 105. Die in die Grafik eingetragenen Pfeile symbolisieren die entsprechende Dominanz von Energieeintrag, Transfer und Dissipation in den jeweiligen Bereichen. Das illustriert damit die zuvor bei der Ableitung gemachten Annahmen und fasst die Vorstellung der Energiekaskade schematisch zusammen. Mit diesen Informationen l¨aßt sich auch die immer wieder gestellte Frage beantworten, ob die NSG, die ja auf der Annahme eines Kontinuums beruhen, auch f¨ ur turbulente Str¨ omungen gelten. Da es wegen des schnellen Abklingens des Spektrums keine Bewegungen auf Skalen wesentlich kleiner als η gibt, ist die Betrachtungsweise gerechtfertigt, wenn η wesentlich gr¨ oßer ist als λ, die freie Wegl¨ange zwischen den Molek¨ ulen. Sie h¨ angt bei Gasen von Stoffart, Dichte und Temperatur ab und ist unter Atmosph¨ arenbedingungen λ = 10−7 . . . 10−8 m [1]. Bei L = 1m und η = 100λ ergibt sich nach (2.58) ReL = 108 , was unter diesen Bedingungen praktisch nie erreicht wird. Bei Fl¨ ussigkeiten verschwindet die freie Wegl¨ ange zwischen den Molek¨ ulen. Sehr wichtig f¨ ur den LES–Ansatz ist die in Abb. 2.2 dargestellte Reynolds–Zahl–Abh¨ angigkeit des kumulativen Spektrums [86]. Im oberen Teil der Abbildung sind Energie– und Dissipationsspektren f¨ ur verschiedene Reynolds–Zahlen aufgetragen, darunter die durch InE tegration von 0 bis k ermittelten kumulativen Spektren. Dort werden die Wellenzahlen k80 D und k20 definiert, bei der 80%, bzw. 20% des Gesamtwertes erreicht sind. Diese Wellenzahlen sind wieder wie in Abb. 2.1 in den Spektren selbst eingetragen. E Durch das starke Abklingen des Energiespektrums mit k ver¨ andert sich k80 nur wenig mit strebt der Wert vielmehr gegen eine Konansteigender Reynolds–Zahl. F¨ u r sehr große Re L ∞ D stante, da das Integral k κ−5/3 dκ f¨ ur positive k beschr¨ ankt ist. Der rechts von k20 liegende Dissipationsbereich – hier treten 80% der Dissipation auf – verschiebt sich dagegen immer weiter zu hohen Wellenzahlen. Entsprechendes gilt f¨ ur gr¨ oßere, bzw. kleinere Prozentanteile

26

2 Eigenschaften und Beschreibung turbulenter Str¨ omungen E 3(k)

10

E 3(k) D x 10 11 11 D x 10

0

10

-1

10

-2

T

E, D

10-3

10

-4

10-5

10

-6

10

-7

F

D E k80

100

101

D k20 102

103

104

k

Abb. 2.1 Energie– und Dissipationsspektrum isotroper Turbulenz nach (2.60) und (2.49). Die Darstellung erfolgt hier mit L = 1, ε = 1 und η = 0.001, so dass ReL = 104 . ——– : Energiespektrum - - - - : Dissipationsspektrum. Die vertikalen Linien kennzeichnen die im Text diskutierten 80%–Bereiche, die Pfeile illustrieren die turbulente Energiekaskade.

von Energie und Dissipation. Um einen vorgegebenen Prozentsatz der turbulenten kinetischen Energie isotroper Turbulenz aufzul¨osen, selbst f¨ ur beliebig große Reynolds–Zahlen, reicht also in jedem Fall ein fixer, beschr¨ankter Wellenzahlbereich aus, n¨amlich derjenige, ur beliebig hohe Reynolds– der sich f¨ ur ReL → ∞ ergibt. Dies ist die Grundlage der LES f¨ Zahlen. Abschließend soll noch erw¨ahnt werden, dass Kolmogorov [295] seine Theorie in Form von Hypothesen formuliert hat. Die geschilderten Sachverhalte ergeben sich als Konsequenzen, auch wenn dies hier der Einfachheit halber nicht herausgearbeitet wurde. Es lassen sich jedoch noch weitere Folgerungen, z.B. im Bezug auf h¨ohere Momente aufstellen und mit Messungen und Rechnungen vergleichen. Dabei wurden in der Literatur Defizite festgestellt, ¨ ¨ die zu einer Uberarbeitung der Hypothesen und der Modellierung f¨ uhrten (eine Ubersicht findet sich in [159, Kap.8]). Diese Verfeinerungen sind jedoch im Kontext der LES nicht von Bedeutung, da hierbei meist nur Momente niedriger Ordnung betrachtet werden und zweitens die Feinstrukturmodellierung der LES per se extrem grob ist. Es sei betont, dass auch 60 Jahre nach Kolmogorovs Theorie von 1941 [295] das Ph¨anomen der Turbulenz – selbst im einfachsten isotropen Fall – nicht definitiv verstanden ist. So wurden beispielsweise in DNS Rechnungen [607] intensive Wirbelr¨ohren gefunden, deren Durchmesser viel kleiner als ihre L¨ange ist. Solche “Worms” sind in Abb. 2.3 dargestellt (neuere Rechnungen mit h¨oherer Reynolds–Zahl, z.B. in [277]). Diese Beobachtung widerspricht der Charakterisierung der turbulenten Bewegung durch eine einzige L¨angenskala, wie es oben geschehen ist, und wirft neue Fragen nach der Rolle solcher koh¨arenter Strukturen auf, die noch nicht gekl¨art sind.

27

2.4 Isotrope Turbulenz 10

a

10

10

d=0.01 d=0.01 d=0.001 d=0.001 d=0.0001 d=0.0001

b

-2

10

-7

10

-8

10

-9

10

-10

10

-11

10

-12

10

-13

10

-14

10

-15

10

-16

D(k)

10

10

-4

-5

10-6

10

-7

10

0

10

1

10

2

10

3

10

4

10

k

1

c

d=0.0001

-3

E(k)

10

d=0.01 d=0.01 d=0.001 d=0.001 d=0.0001

0

-1

1

2

10

2

10

10

3

10

3

10

4

d=0.01 d=0.01 d=0.001 d=0.001 d=0.0001 d=0.0001

1

d

0.9

0.8

0.7

0.7

0.6

0.6

D rel

E rel

0.8

0.5

0.5

0.4

0.4

0.3

0.3

d=0.01 d=0.001 d=0.0001

0.2

0.2

0.1

0 -1 10

10

k

d=0.01 d=0.001 d=0.0001

0.9

0

0.1

10

0

10

1

10

2

10

3

10

4

k

0 -1 10

10

0

10

1

10

4

k

Abb. 2.2 Spektren isotroper Turbulenz mit anwachsender Reynolds–Zahl, dargestellt anhand des Modellspektrums (2.60) mit L = 1, ε = 1: – – – η = 0.01 (ReL = 464), ——– η = 0.001, (ReL = 10000), · · · · ·· η = 0.0001, (ReL = 215443). Links: Energiespektrum, rechts: Dissipationsspektrum. Oben: das Spektrum selbst, unten: kumulatives Spektrum, normiert mit dem jeweiligen Gesamtwert. Punktierte Geraden zeigen die im Text diskutierten 80%–Bereiche zu jedem Spektrum.

2.4.5

Anwendbarkeit der Theorie

Die dargestellten Resultate gelten zun¨achst einmal nur, wenn die Voraussetzungen, unter denen sie entwickelt wurden, erf¨ ullt sind. So wurde etwa eine gen¨ ugend hohe Reynolds– Zahl angenommen. Eine Vorstellung gibt der Grenzfall kf = kd , woraus mit (2.57),(2.58) ReL = 7890 folgt. Aber auch bei kleineren Reynolds–Zahlen, wenn sich Energie– und Dissipationsbereich u ¨ berlappen, bleiben die Mechanismen ¨ahnlich. Das Modellspektrum (2.60)– (2.62) l¨asst diesen Fall zu. Weiterhin wurde die Vorstellung einer Energiekaskade nur f¨ ur ¨ das statistische Mittel entwickelt. Uber lokalen und momentanen Energietransfer macht die Theorie keine Aussage. Rechnungen wie etwa in [660] zeigen, dass lokal und momentan durchaus Energie von den feineren zu den groberen Skalen u ¨ bertragen wird, was man als “Backscatter” bezeichnet. Dies wird jedoch durch den “Forwardscatter” zu anderen Zeiten kompensiert, so dass im Mittel ein Transfer der geschilderten Art entsteht. In [461] wurde gezeigt, dass bei isotroper Turbulenz an bis zu 50% der Gitterpunkte Backscatter auftreten kann.

28

2 Eigenschaften und Beschreibung turbulenter Str¨ omungen

Abb. 2.3 Darstellung sogenannter “Worms” in isotroper Turbulenz. Das Bild zeigt eine Isofl¨ ache konstanter Wirbelst¨ arke in einer Simulation mit 2563 Punkten aus [134].

Eine grundlegende Voraussetzung der Kolmogorov–Theorie ist die Annahme der statistischen Stationarit¨ at und des Gleichgewichtes. Daher werden transitionelle Str¨ omungen nicht erfasst, da sie nicht im Gleichgewicht sind und die Energieumverteilung durch sehr spezifische Transitionsmechanismen geschieht. Ein zweiter Fall des Nichtgleichgewichts tritt auf, wenn die mittlere Str¨omung die Turbulenz relativ schnell in einen Bereich transportiert, in dem andere Verh¨ altnisse vorliegen. Die feinsten Skalen passen sich wegen ihrer nach Gleichung (2.54) k¨ urzeren charakteristischen Zeit jedoch i.A. schneller an, als dies die groben Skalen tun. Sie sind daher eher im statistischen Gleichgewicht, was z.B. in [463] in seiner Relevanz f¨ ur LES illustriert ist. Daher gelten die obigen Vorstellungen oft zumindest f¨ ur den kleinskaligen Bereich des Spektrums. Eine weitere Voraussetzung der Theorie ist die Isotropie. Die meisten Str¨omungen sind anisotrop, was insbesondere immer f¨ ur den wandnahen Bereich gilt. Wiederum sind jedoch i.A. die feineren Skalen isotroper als die groben. Ein Beispiel hierf¨ ur ist die Str¨omung um einen Zylinder, die sp¨ ater in Kapitel 9.6 eingehend diskutiert wird. Die Karmansche Wirbelstraße mit ihren sehr anisotropen großr¨ aumigen Strukturen erzeugt einen starken monochromatischen Frequenzanteil im Spektrum mit entsprechenden Harmonischen. Auf feinen Skalen ist jedoch in Abb. 2.4 ein Verlauf ∼ k −5/3 zu erkennen, was als Indiz f¨ ur isotrope Verh¨altnisse gewertet wird.

2.4.6

Zweidimensionale Turbulenz

Es werden sp¨ ater LES Rechnungen diskutiert, bei denen unberechtigterweise eine zweidimensionale Str¨ omung angenommen wurde. Daher sollen die Mechanismen des turbulenten Austausches hier kurz dargestellt werden. Zweidimensionale Turbulenz tritt in reinster Form

29

2.4 Isotrope Turbulenz

Abb. 2.4 Experimentelles Frequenzspektrum im Nachlauf eines Kreiszylinders in uniformer Anstr¨ omung mit Re = 3900 aus [433]. Die Frequenzachse ist mit der Kolmogorovl¨ ange η normiert. Die gestrichelte Gerade hat eine Steigung von k −5/3 .

nur sehr selten auf, beispielsweise in Seifenfilmen. Effekte wie Rotation, Dichtegradienten und insbesondere geometrische Verh¨altnisse k¨onnen jedoch eine vornehmlich zweidimensionale Turbulenz der großr¨aumigen Strukturen erzeugen, wobei die kleinen Strukturen dreidimensional sind. Dies ist eine wichtige Klasse von Str¨ omungen, da sie viele Prozesse in der Atmosph¨ are und in flachen Gew¨assern einschließt. Die Theorie zweidimensionaler isotroper Turbulenz wurde von Kraichnan [298], Leight [321] und Batchelor [30] begr¨ undet. ¨ Eine Ubersicht und Diskussion verschiedener Situationen findet sich in [327, Kap.8]. Hier soll nur der statistisch station¨are Fall dargestellt werden, bei dem zur Kompensation der Dissipation kinetische Energie bei einer Wellenzahl k∗ injiziert wird. Die Gleichungen in Abschnitt 2.4.2, und 2.4.3 gelten unver¨andert, wenn = [−L /2, L /2]2 gesetzt wird, da nur spezifische Gr¨oßen auftreten. Das Dimensionsargument zur Ableitung des Spektrums ∼ k −5/3 bleibt demnach ebenso g¨ ultig. Da die Beschr¨ ankung der Indizes k im Austauschterm Tˆ auf zweidimensionale Vektoren den Energietransfer ver¨ andert, wird im zweidimensionalen Fall die kinetische Energie nicht von den großen zu den kleinen Skalen, sondern umgekehrt von den kleineren zu den gr¨oßeren transferiert, man spricht von einer inversen Energiekaskade. Der Zusammenhang 

E(k) = Cε2/3 k −5/3



(2.63)

gilt also f¨ ur k  k∗ . In zweidimensionaler Turbulenz findet keine Wirbelfadenstreckung statt, da Geschwindigkeits– und Wirbelst¨arkenvektor senkrecht aufeinander stehen [584, Kap.3.3]. Daher wird ohne Reibung auch die Enstrophie, das Quadrat der

Wirbelst¨ arke, er ˆk = 0 auch T halten: 1/2 ω 2 dx = const., denn man kann zeigen, dass jetzt neben k der Term in der Enstrophiegleichung ein reiner Austauschterm ist, d.h.

entsprechende 2ˆ arts–Kaskade der Enstrophie, und zwar von k k Tk = 0. Dadurch entsteht eine Vorw¨ oßeren Wellenzahlen. Dies hat ein Spektrum k∗ hin zu gr¨ 

E(k) = Cβ 2/3 k −3

(2.64)

zur Folge, wobei β die Enstrophiedissipation ist. Im Bereich k  k∗ wird keine Energie u ¨ ber die Skalen transferiert, im Bereich k  k∗ keine Enstrophie.

30

2 Eigenschaften und Beschreibung turbulenter Str¨ omungen

Die Mechanismen des Energieaustausches zwischen verschiedenen Skalen sind also im Zweidimensionalen grunds¨atzlich anders als bei dreidimensionaler Turbulenz. Ph¨ anomenologisch kann dies in Beziehung gesetzt werden mit der Tendenz zweidimensionaler Wirbel, bei gleichem Drehsinn leicht miteinander zu verschmelzen oder bei entgegengesetztem Drehsinn sehr stabile propagierende Dipole zu bilden. Solch ein Verhalten wird auch f¨ ur den Fall abklingender zweidimensionaler Turbulenz beobachtet. Hierbei stellt sich in vielen Simulationen ebenfalls ein Spektrum ∼ k −3 ein, in fr¨ uhen Stadien oft ∼ k −4 [53], was auch in eigenen Rechnungen gefunden wurde [175].

2.4.7

Skalartransport

Der Transport eines passiven Skalars in einer Str¨ omung wird durch das gekoppelte System der Gleichungen (2.1), (2.2), (2.7) beschrieben. Als neuer Parameter erscheint darin das Verh¨ altnis der Diffusivit¨aten ν/Γ, das als Prandtl–Zahl P r bezeichnet wird, wenn φ die Temperatur darstellt, und als Schmidt–Zahl Sc, wenn Stofftransport beschrieben wird. Die oben dargestellte Theorie dreidimensionaler isotroper Turbulenz kann entsprechend erweitert werden, um das Spektrum des Skalars zu beschreiben [584], [327]. Hier wird dies nur kurz anhand von Abb. 2.5 illustriert. F¨ ur Sc  1 werden feinskalige Anteile im Spektrum von φ st¨ arker ged¨ ampft als im Geschwindigkeitsspektrum. Die feinsten skalaren Fluktuationen haben dann die Gr¨oße der Corrsin–L¨ange ηC = Sc3/4 η. Dieser Fall ist relevant f¨ ur fl¨ ussige Metalle. Ist Sc  1, verh¨alt es sich umgekehrt, und das Spektrum des Skalars ragt u ¨ ber das der Geschwindigkeit hinaus zu feineren Skalen. Die feinsten skalaren Fluktuationen haben dann die Gr¨oße der Batchelor–L¨ange ηB = Sc−1/2 η. F¨ ur Wasser ist beispielsweise P r ≈ 7 und f¨ ur die Diffusion von Salz in Wasser Sc ≈ 1000 [1].

10

0

E(k) S(k) Sc> 1

10-1

E(k) S(k)

10

-2

10

-3

10

-4

10

-5

10-6

10

-7

10

0

10

1

10

2

10

3

10

4

k

Abb. 2.5 Spektrum skalarer Fluktuationen in isotroper Turbulenz. D¨ unne durchgezogene Linie: Geschwindigkeitsspektrum E, dicke durchgezogene Linie: Skalarspektrum S f¨ ur eine sehr kleine Schmidt–Zahl, Sc
1, - - - - : Skalarspektrum f¨ ur Sc = 1, − · − · −: Skalarspektrum f¨ ur Sc  1.

31

2.5 Turbulenz in Wandn¨ ahe

2.5

Turbulenz in Wandn¨ahe

2.5.1

Motivation

Der im vorigen Abschnitt behandelte Grenzfall der isotropen Turbulenz ist f¨ ur die Theorie bedeutsam, tritt jedoch in den meisten Anwendungen nicht in reiner Form auf. Er ist am ehesten relevant f¨ ur das Innere des Str¨omungsfeldes und feinskalige Anteile. Die meisten Str¨ omungen werden in bestimmten Bereichen durch das Vorhandensein von W¨ anden gepr¨ agt. Diese Vorg¨ange sind oft von zentraler Bedeutung, z.B. bei der Widerstandsbestimmung, der K¨ uhlung von Oberfl¨achen etc. Auch k¨ onnen die Auswirkungen auf die Str¨ omung insgesamt betr¨ achtlich sein, beispielsweise illustriert durch die von Details der Grenzschicht bestimmte Lage eines Abl¨osepunktes. Es soll daher hier ein weiterer Grenzfall turbulenter Str¨ omung betrachtet werden, n¨amlich die Turbulenz in der N¨ ahe einer ebenen Wand. Dies geschieht anhand der Str¨omung zwischen zwei ebenen Platten, in Anlehnung an die englische Nomenklatur auch als ebene Kanalstr¨omung bezeichnet. Durch die Pr¨ asenz der Wand wird die Str¨ omung sehr stark anisotrop und ist per definitionem inhomogen. Genauso wie sp¨ ater ein Feinstrukturmodell f¨ ur die feinskalige (i.A. als isotrop angenommene) Turbulenz im Innern der Str¨omung eingef¨ uhrt wird, kann ebenso die wandnahe Turbulenz durch ein Modell repr¨ asentiert werden. Hier werden also zun¨ achst deren physikalische Eigenschaften erl¨ autert. Die ebene Kanalstr¨omung selbst wird außerdem sehr h¨ aufig als Testfall f¨ ur LES verwendet und in dieser Funktion sp¨ater mehrfach diskutiert.

y

2δ

z x

Abb. 2.6 Geometrie der Str¨ omung zwischen zwei ebenen Platten.

2.5.2

Konfiguration und Bilanzgleichungen

In Abb. 2.6 sind die betrachtete Geometrie und das Koordinatensystem skizziert. Der halbe Plattenabstand wird mit δ bezeichnet. Weiterhin ist x die Hauptstr¨omungsrichtung, y die wandnormale Richtung (y = 0 . . . 2δ) und z die Spannweitenrichtung. Die entsprechenden Geschwindigkeitskomponenten sind u, v, w. Die Gleichungen f¨ ur die statistisch station¨are mittlere Str¨omung (2.27),(2.28) reduzieren sich aufgrund der Symmetrien sehr stark, so dass hier die mittlere Geschwindigkeit U =
u sowie alle Turbulenzgr¨oßen allein eine Funktion von y sind. Die Kontinuit¨atsgleichung ist dann mit
v =
w = 0 erf¨ ullt. Als treibende Kraft kann a¨quivalent ein Druckgradient aber auch eine a¨ußere Volumenkraft fungieren.

32

2 Eigenschaften und Beschreibung turbulenter Str¨ omungen

Hier wird im Hinblick auf die sp¨ateren Simulationen die zweite Formulierung verwendet. Die Impulsgleichungen lauten dann [584, S.150] dy
u

v

 + ∂x
p =

dy (νdy U ) +
Fx 

(2.65)

dy
v

v

 + ∂y
p =

0

(2.66)

ur alle y gleich ist, denn
v

v

 h¨ angt nicht von x ab, und da Aus (2.66) folgt, dass ∂x
p f¨ die Str¨ omung durch die mittlere ¨außere Kraft getrieben wird, ist hier ∂x
p = 0. Aus einer globalen Impulsbilanz folgt die mittlere Wandschubspannung zu
τw /ρ = δ
Fx , so dass nach Integration in y  y
τw 
u

v

 − νdy U = − 1 − δ ρ

.

(2.67)

Die aus turbulenter Scheinspannung und laminarer Schubspannung gebildete Gesamtschubspannug τ = ρ(νdy U −
u

v

) ist also linear.

2.5.3

Skalierung und universelles Wandgesetz

Die im Folgenden geschilderte Argumentation geht auf Millikan [394] zur¨ uck, hier in der Notation von [218]. Diese Technik wird auch sp¨ater in Abschnitt 8.5 zur Entwicklung einer neuen Wandmodellierung verwendet. Zur Gr¨oßenordnungsbetrachtung werden zun¨ achst in uhrt: (2.67) Referenzgr¨ oßen uref und lref eingef¨     U ν y lref
τw  1
u

v

 y − d . (2.68) = − 1 − u2ref uref lref lref uref lref δ ρ u2ref Innere Zone: W¨ahlt man als Referenzgr¨oße die Schubspannungsgeschwindigkeit


τw  , uref = uτ = ρ

(2.69)

so f¨ allt die Schubspannung heraus. Die charakteristische L¨ ange kann nun mit lref = lτ =

ν uτ

(2.70)

so gew¨ ahlt werden, dass die Reynolds–Zahl (uref lref )/ν = 1 ist. Einf¨ uhren von U + = U/uτ , y + = y/lτ liefert
u

v

+ − dy+ U + = −1 +

lτ + y δ

.

(2.71)

In einem Bereich sehr nahe der Wand sind die Schwankungen
u

v

+ =
u

v

/u2τ klein, da sie ja f¨ ur y = 0 verschwinden m¨ ussen. Dort ist ebenfalls y  δ, gleichbedeutend mit y +  δ/lτ , so dass (2.71) zu dy+ U + = 1 wird. Es folgt U + = y+i

.

(2.72)

33

2.5 Turbulenz in Wandn¨ ahe

Hier liegt also ein lineares Geschwindigkeitsprofil U = cy vor. Der Bereich direkt an der Wand, in dem die viskosen Kr¨afte dominieren, wird als viskose Unterschicht bezeichnet. Andererseits gibt es f¨ ur den Fall lτ /δ  1 die M¨ oglichkeit, dass y + zwar groß wird, der letzte Term in (2.71) aber dennoch verschwindet. ¨ Außere Zone: Unter Beibehaltung der Geschwindigkeitsskala ist in gr¨ oßerer Entfernung von der Wand die L¨angenskala lref = δ, so dass mit Y = y/δ
u

v

+ −

ν dY U + = −1 + Y uτ δ

.

(2.73)

F¨ ur hohe Reynolds–Zahlen Reτ =

uτ δ ν

(2.74)

wird also der Reibungsterm in dieser Gleichung bedeutungslos. Matching: Bei hoher Reynolds–Zahl gibt es nun einen Parameterbereich, in dem sowohl Reτ  1 als auch lτ /δ  1. In der inneren Zone ist dann die rechte Seite von (2.71) gleich −1 und h¨ angt somit nicht mehr von y + ab. Daher sollte es Funktionen f1 und g1 geben mit U + = f1 (y + )

;


u

v

+ = g1 (y + ) .

(2.75)

Bez¨ uglich der ¨ außeren Zone kann man motivieren, dass im Bereich der Kanalmitte, Y = O(1), die Differenz zur Geschwindigkeit U (y = δ) = Uδ maßgebend ist [584, Kap.5.1], so dass hier aus analogen Gr¨ unden Uδ+ − U + = f2 (Y )

;


u

v

+ = g2 (Y ) .

(2.76)

In dem hier betrachteten doppelten Grenzwert enthalten die Gleichungen (2.71), (2.73) und damit die Funktionen f1 bis g2 in den letzten beiden Gleichungen keine Parameter mehr. ¨ Im Ubergangsbereich m¨ ussen beide Gesetze gelten. Leitet man in beiden Zonen U + ab, ergibt sich y + f1
(y + ) = −Y f2
(Y ) = const.

,

(2.77)

wobei das zweite Gleichheitszeichen aus der Unabh¨ angigkeit der Variablen auf beiden Seiten herr¨ uhrt. Der Kehrwert der Konstanten wird i.a. mit κ bezeichnet und nach von Karman benannt. Integration von (2.77) liefert U + (y + ) =

1 log(y + ) + B κ

U + (Y ) =

1 − log(Y ) + C κ

(2.78) .

(2.79)

Die Werte von κ und B wurden aus Experimenten bestimmt, jedoch differieren diese in der Literatur [245], [658], und es hat sich bisher kein Wertepaar definitiv durchgesetzt. In Rechnungen wird meist κ = 0.40 oder κ = 0.41 und B = 5.2 oder B = 5.5 verwendet.

34

2 Eigenschaften und Beschreibung turbulenter Str¨ omungen a

b

20

1

15

U

U

+

0.8

10

Reo = 180 Reo = 180 Reo = 395 Reo = 395 Reo = 590 Reo = 590 + + U + = y+U + = y U = 1/0.4 *log(y+) + 5.2 + U = 1/0.4 *log(y+) + 5.2

5

0.6

0.4 Reo ==180 Re 180 Reoo = 395 Re 395 Reoo ==590 Reo = 590

0.2

10

0

10

1

+

10

0

2

0

0.25

y

7 Re = 180

o Reo = 180 Re=o = 395 395 Re o Re 590 Reo =o = 590

6

Reo = = 180 Re 180 o Reo = 395 Re 395 Reo o= = 590 Reo = 590

6 5

+

5

+

1

d

7

4

4

3

3

2

2

1

1

0 0 10

0.75

y

8

c

0.5

10

1

+

10

2

0

0

y

0.25

0.5

0.75

1

y

ur die ebene KaAbb. 2.7 Geschwindigkeitsprofil U + (oben) und Fluktuationen u

u

+ (unten) f¨ nalstr¨ omung aus DNS bei Reτ = 180, 390, 590 [412]. Darstellung links in inneren, rechts in ¨ außeren Koordinaten.

Abb. 2.7 zeigt den Verlauf der mittleren Geschwindigkeit anhand von DNS Daten. Die viskose Unterschicht erstreckt sich etwa u ur y + = 5 . . . 30 ¨ ber den Bereich y + = 0 . . . 5. F¨ ¨ beobachtet man einen Ubergangsbereich, die so genannte Pufferzone, wo Reibungseffekte noch vorhanden sind, aber nicht mehr dominieren. Der Bereich y + = 0 . . . 30 wird daher auch viskoser Bereich genannt [473, S.276] (wobei in dieser Referenz y + = 50 verwendet wird). Daran schließt sich f¨ ur y + > 30 der Inertialbereich mit logarithmischem Geschwindig¨ keitsprofil an. Hier beginnt, wegen der dargestellten Uberlappung, auch der ¨außere Bereich, wo lref = δ sinnvoll ist. Der Punkt, an dem sich die Kurven (2.72) und (2.78) schneiden, liegt bei ca. ys+ = 11.2, also in der Pufferzone. Der Wert ys+ ist daher als Anhaltspunkt hilfreich, die asymptotischen Verl¨aufe von U + haben aber hier keine G¨ ultigkeit. Um dem abzuhelfen, schlug Thompson [585] f¨ ur die Pufferzone die Funktion U + = c1 + c2 log(y + ) + c3 log2 (y + ) + c4 log3 (y + )

y + = 4 . . . 30

(2.80)

vor, mit c1 = 1,0828, c2 = −0,414, c3 = 2,2661, c4 = −0,324 [83, Gl.(8.2.22)]. ¨ Die geschilderten Uberlegungen gelten strikt nur f¨ ur große Reynolds–Zahlen. In Abb. 2.7 ur Reτ = 180 noch nicht wird z.B. an der Form des Profils U + (y + ) deutlich, dass dies f¨

35

2.5 Turbulenz in Wandn¨ ahe +

+

+ +

+

+ - +

7

+, +, +, - +

-

6 5 4 3 2 1 0

0

0.25

0.5

0.75

1

y

Abb. 2.8 Fluktuationen u

u

+ , v

v

+ , w

w

+ , −u

v

+ in ¨ außeren Koordinaten aus DNS bei Reτ = 590 [412].

voll erf¨ ullt ist. Abb. 2.7 zeigt ebenfalls die Fluktuationen in Hauptstr¨ omungsrichtung. Man erkennt, dass der Ort der maximalen Schwankungen mit lτ skaliert und in der Pufferzone bei y + ≈ 15 liegt. F¨ ur gr¨oßere y + wird allerdings immer noch eine Reynolds–Zahl–Abh¨ angigkeit beobachtet [634]. Beim Auftragen u außeren Bereich ¨ ber y fallen die Kurven dagegen im ¨ in etwa zusammen, und es ist ein nahezu linearer Verlauf zu beobachten. Ebenso ist u 2τ die richtige Referenzgr¨oße f¨ ur
u

u

, denn der Wert des Maximums h¨ angt f¨ ur gr¨ oßere Reτ nicht mehr von der Reynolds–Zahl ab. Die Frage der Reynolds–Zahl–Abh¨ angigkeit der Fluktuationen ist noch nicht abschließend gekl¨art [122]. In Abb. 2.8 sind alle Reynoldschen Spannungen zusammen aufgetragen. Deutlich ist die starke Anisotropie der Turbulenz anhand der unterschiedlich starken Fluktuationen in den einzelnen Koordinatenrichtungen zu erkennen,
u

u

 ist, besonders in der Pufferzone, wesentlich gr¨ oßer als die anderen Komponenten. Wichtig ist auch das im Außenbereich nach (2.73) mit Reτ  1 lineare Verhalten von
u

v

+ , das sich durch die Bedeutungslosigkeit des Reibungsterms in diesem Bereich ergibt. Bei gr¨ oßeren Reynolds–Zahlen, ansatzweise schon bei Reτ = 590 in Abb. 2.7 zu sehen, weicht die Kurve U + (y + ) f¨ ur y = O(δ) vom logarithmischen Gesetz (2.78) ab. Dies ist der ¨ sog. Nachlaufbereich. Er erstreckt sich u ande, die jenseits des Uberlappungs¨ ber Wandabst¨ bereiches liegen, in denen also (2.71) nicht mehr gilt, sondern nur noch (2.73). Auch f¨ ur den Nachlaufbereich gibt es Vorschl¨age zur Darstellung des Profils, indem die Konstante in (2.79) durch eine Funktion W (Y ) ersetzt wird [101]. Im Gegensatz zur Kanalstr¨ omung ist die Turbulenz im Außenbereich einer turbulenten Grenzschicht in laminarer Außenstr¨ omung stark intermittent zwischen laminaren und turbulenten Phasen, so dass der Nachlaufbereich

36

2 Eigenschaften und Beschreibung turbulenter Str¨ omungen inner region

20

logarithmic region viscous sublayer

buffer layer

15

U+

outer region

10

U+ linear U+ log law U+ 1/7-power law U+ van Driest

5

10

0

10

1

+

10

2

10

3

y

Abb. 2.9 Geschwindigkeitsprofile: linearer Verlauf, logarithmisches Gesetz, 1/7–Potenzgesetz und Profil nach van Driest. Die vertikalen Linien befinden sich bei y + = 5 und y + = 30, um die Einteilung in viskose Unterschicht, Pufferzone und logarithmischen Bereich zu veranschaulichen.

wesentlich deutlicher ausgepr¨agt ist. Die Darstellung der ¨ außeren Zone soll hier jedoch nicht weiter vertieft werden, da im Rahmen der LES nur der innere Bereich f¨ ur die Modellierung in Betracht kommt. In Abb. 2.9 werden weitere Approximationen des Geschwindigkeitsprofils in der inneren Zone dargestellt. Vielfach wurde und wird ein Potenzgesetz anstelle des logarithmischen Profils verwendet [517, Kap.20b],
1/7 U + = C1/7 y +

(2.81)

ahlt wird [638]. Dadurch wird die wobei f¨ ur ebene Verh¨altnisse u ¨ blicherweise C1/7 = 8.3 gew¨ Gerade U + = y + bei y + = 11, 81 geschnitten. Die letzte Kurve in Abb. 2.9 schließlich zeigt das Profil, das auf der in Abschnitt 3.2.7 erl¨auterten van Driestschen D¨ ampfungsfunktion (3.21) beruht und einen glatten Verlauf in der Pufferzone aufweist. In diesem Abschnitt wurde die klassische Theorie der turbulenten Wandgrenzschicht dargestellt, wie sie auf von K´ arm´ an und Millikan zur¨ uckgeht. Die Theorie dieser Str¨ omung ist jedoch noch nicht vollst¨andig abgeschlossen. So ist es gegenw¨ artig strittig, ob nicht insbesondere f¨ ur hohe Reynolds–Zahlen abschnittsweise andere Gesetzm¨ aßigkeiten als das logarithmische Wandgesetz das Profil der mittleren Geschwindigkeit besser beschreiben. In [648] wird beispielsweise eine “Meso–Schicht” im Bereich y + = 30 . . . 300 mit einer Abh¨ angigkeit ahert in der Tat auch ∼ log(y + + a+ ) favorisiert, die auch in [431] gefunden wurde. Sie n¨

37

2.5 Turbulenz in Wandn¨ ahe a

¡+ P+ + ¡ p-diff P + p-diff t-diff t-diff+ v-diff v-diff

0.2

b

¡+ P+ + ¡ p-diff P + p-diff t-diff t-diff + v-diff v-diff

0.2

+

+

+

+

0.15

+

+

+

0.15

+

+

+

0.1

0.1

0.05

0.05

0

0

-0.05

-0.05

-0.1

-0.1

-0.15

-0.15 -0.2

-0.2 10

-1

10

0

+

10

1

10

2

0

0.25

y

0.5

0.75

1

y

Abb. 2.10 Bilanz der turbulenten kinetischen Energie K in der ebenen Kanalstr¨ omung bei Reτ = 590 [412], a) in inneren, b) in ¨ außeren Koordinaten. In der Legende von oben nach unten Dissipation, Produktion, turbulente Diffusion durch Druck– und Geschwindigkeitsschwankungen sowie viskose Diffusion. Die Dissipation ist in beiden Bildern die unterste Kurve. Alle Gr¨ oßen sind mit uτ und lτ dimensionslos gemacht.

die Daten der hier besprochenen DNS mit Reτ = 180, 395, 590 besser an als das klassische Gesetz [648, Fig.11]. Im Gegensatz zu den vorgenannten Arbeiten favorisieren Barenblatt et al. [26] ein Potenzgesetz. Da der Exponent jedoch von der Reynolds–Zahl abh¨ angt, ist die Verwendung des logarithmischen Gesetzes mit von der Reynolds–Zahl unabh¨ angigen Werten f¨ ur die Praxis vorteilhafter [473, p.301]. In [67] wird u ¨ berdies gezeigt, dass weder Potenzgesetz noch logarithmisches Gesetz die verf¨ ugbaren Daten besser wiedergeben. Eine Diskussion dieser Aspekte anhand der hier verwendeten DNS Daten findet sich auch in [412]. Es soll hier jedoch betont werden, dass die klassische Theorie, wie sie in diesem Abschnitt dargestellt wurde und in Gleichung (2.78) m¨ undet, im Rahmen von LES v¨ ollig ausreichend ist. Modellierungen der Feinstruktur oder der wandnahen Str¨ omung insgesamt f¨ uhren wesentliche gr¨oßere Unsicherheiten ein als die in theoretischen Arbeiten verbleibenden Differenzen bez¨ uglich des Profils der mittleren Geschwindigkeit. Dies gilt vor allem dann, wenn die auf einer ebenen Grenzschicht ohne Druckgradienten beruhende Modellierung f¨ ur komplexe Str¨omungen, beispielsweise mit gekr¨ ummten W¨ anden eingesetzt wird. Abschließend ist zu erw¨ahnen, dass f¨ ur die Kanalstr¨ omungen verschiedene Reynolds–Zahlen gebr¨ auchlich sind. Neben der oben definierten, Reτ , ist vor allem die mit der mittleren auchlich. Geschwindigkeit ub (engl.: “bulk”) gebildete Reynolds–Zahl Reb = ub δ/ν gebr¨ Dean [117] stellte basierend auf experimentellen Daten die Korrelation Cf = 0,073(2Reb)−1/4

;

3000 < Reb < 300000

(2.82)

auf, was mit der Definition des Reibungsbeiwertes Cf = 2τw /(ρu2b ) zu Reτ = 0,0731/2 2−5/8 Reb

7/8

(2.83)

38

2 Eigenschaften und Beschreibung turbulenter Str¨ omungen

f¨ uhrt.

2.5.4

Raue W¨ande

Die Diskussion konzentrierte sich bis hierher auf glatte W¨ ande. In technischen Anwendungen treten jedoch vielfach raue W¨ande auf. In der Meteorologie ist dies immer der Fall. Auch f¨ ur die Str¨ omung in Gew¨assern ist dieser Aspekt von Bedeutung [422]. ¨ Ahnlich wie bei einer glatten Wand kann auch f¨ ur eine raue Wand ein logarithmisches Wandgesetz abgeleitet werden [584],[518]. Eine zus¨atzliche charakteristische L¨ ange ist dabei die Rauigkeitsh¨ ohe, meist im Sinne einer ¨aquivalenten Sandrauigkeit ks nach Nikuradse [426] charakterisiert. Als zus¨atzlicher Parameter tritt somit die Gr¨ oße ks+ = ks /lτ im Geschwindigkeitsprofil des Inertialbereiches auf. Es hat nun die Form U+ =

1 log(y + ) + B(ks+ ) , κ

(2.84)

d.h. der letzte Term ist nicht mehr konstant, sondern eine Funktion von ks+ . Eine viskose Unterschicht gibt es nur f¨ ur sehr kleine ks+ . Im Grenzfall glatter W¨ ande erh¨ alt man Gleichung (2.78), im Grenzfall einer sehr rauen Wand B(ks+ ) ≈ Br − κ1 log(ks+ ), wobei aus Messungen Br = 8,5 folgt [422]. Das logarithmische Profil wird also durch den Einfluss der Rauigkeit nach unten verschoben. Meist wird statt (2.84) die ¨ aquivalente Formulierung U+ =

1 log(y + E) κ

(2.85)

+

mit E = eκ B(ks ) verwendet. Dabei h¨angen die Funktionen B bzw. E von der Geometrie der Rauigkeitselemente ab. Die Messungen von Nikuradse f¨ ur Sandrauigkeiten [426] wurden von Gr¨ otzbach [213] durch ⎧ ⎪ 9,025 ; 0 ≤ ks+ < 5 ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ 41,35 (ks+)−0,945 ; 5 ≤ ks+ < 16 + E(ks ) = (2.86) ⎪ ⎪ ⎪ 115,8 (ks+)−1,318 ; 16 ≤ ks+ < 70 ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ 30,03 (ks+)−1,0 ; 70 ≤ ks+ approximiert. Mit κ = 0,41 ergibt sich hieraus B(ks+ = 0) = 5,5. Ebenfalls mit Br = 8,5 wird in [420] die N¨aherung

E(ks+ ) =

⎧ 9,0 ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ 9 ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩

1+

+ 0,3ks 1+ 20 + ks

e0,4Br ks+

;

0 ≤ ks+ < 5

;

5 ≤ ks+ < 70

;

70 ≤ ks+

f¨ ur den Bereich y + > 30 angegeben.

(2.87)

39

2.5 Turbulenz in Wandn¨ ahe

2.5.5

Energiebilanz

Das logarithmische Wandgesetz ist eines der zentralen Resultate der Turbulenztheorie. Es kann, wie das Kolmogorov–Spektrum der isotropen Turbulenz, auch direkt aus Dimensionsbetrachtungen gewonnen werden. Wenn mit lτ /δ  1 nach (2.71) dy+ U + = f3 (uτ , y + ), so legt dies aus Dimensionsgr¨ unden den Ansatz dy+ U + = uτ /y + nahe, woraus durch Integra¨ tion wieder (2.78) folgt. Tennekes und Lumley [584] unterstreichen die Ahnlichkeit beider Ph¨ anomene. In beiden F¨allen gibt es einen Innertialbereich, einen dissipativen Bereich und einen Bereich, in dem die Produktion dominiert. Die Produktion turbulenter kinetischer Energie K wird durch den entsprechenden Term in Gl. (2.30) bestimmt. Im vorliegenden Kontext erh¨ alt man ihn durch Multiplikation von + (2.71) mit d+ und im Falle lτ /δ  1 zu [218] yU P+ =


u

v

 1 dy+ U + = − u2τ 4



1 − dy+ U + 2

2 .

(2.88)

+ = 1/4 und sollte bei y + = 2/κ ≈ 5 erreicht werden. Das Maximum ist demnach Pmax ¨ Wie Abb. 2.7 zeigt, befindet sich dieser Punkt jedoch schon im Ubergangsbereich. Das Maximum tritt tats¨achlich bei einem etwas gr¨ oßeren Abstand auf, y + ≈ 10, also in der Pufferzone (Abb. 2.10). In dieser Abbildung sind neben der Produktionsrate auch die u ¨ brigen Terme in der Gleichung f¨ ur die kinetische Energie K, (2.30), aufgetragen. Zeitableitung und mittlere Konvektion sind hier Null. Man erkennt, dass im logarithmischen Bereich die Transportterme keine Rolle spielen. Hier ist die Turbulenz im Gleichgewicht, indem sich lokal Produktion und Dissipation die Waage halten. Energietransport durch die Schwankungsterme findet – im Mittel – haupts¨achlich in der Pufferzone und von der Pufferzone in die viskose Unterschicht statt, wo die Energie dissipiert wird.

Abb. 2.11 Momentane Wandschubspannung in der DNS einer ebenen Kanalstr¨ omung bei Reτ = 180 [285].

2.5.6

Koh¨arente Strukturen

In den vorangegangenen Abschnitten wurden zur Beschreibung haupts¨ achlich Einpunktwahrscheinlichkeiten verwendet. Wie bei isotroper Turbulenz kann man weitergehend ver-

40

2 Eigenschaften und Beschreibung turbulenter Str¨ omungen

suchen, die wandnahe Turbulenz ausgehend von den auftretenden Wirbelstrukturen zu verstehen. Typisch f¨ ur den wandnahen Bereich sind in Str¨ omungsrichtung langgezogene “Streaks” mit langsamerem Fluid, die sich in der Pufferzone bilden. Sie schlagen sich direkt in der momentanen Wandschubspannung nieder, die in Abb. 2.11 dargestellt ist. Durch Bestimmen der Geschwindigkeitskorrelationen kann ihre Ausdehnung in Spannweitenrichtung zu λ+ z ≈ 100

(2.89)

bestimmt werden, was in etwa auch der Ausdehnung in Wandnormalenrichtung entspricht ¨ [286]. Uber den “Streaks” bilden sich Haarnadelwirbel, die einem Lebenszyklus von “Lift– up”, “Ejection”, und Zerst¨orung im “Bursting” unterliegen [291], wie dies in Abb. 2.12 dargestellt ist. Dort sind auch die von Wallace [623] angegebenen Gr¨ oßenvorstellungen abgebildet. Aus Kontinuit¨atsgr¨ unden muss im Gegenzug schnelles Fluid aus den wandfernen Zonen in Richtung auf die Wand transportiert werden. Solche Ereignisse heißen “Sweeps”. Die L¨ ange der Haarnadelwirbel h¨angt mit der L¨ange der darunter liegenden Streaks zusammen. In Abb. 2.12 wird daf¨ ur der Wert λ+ x ≈ 1000 angegeben, jedoch vertreten Nezu und Nakagawa [422, Kap.10] die Ansicht, dass die ¨außere L¨ angenskala δ maßgebend ist, und oßere schreiben λx ≈ 2 − 3δ. In neuesten DNS [122] werden im Kanalinneren auch noch gr¨ Strukturen gefunden mit λx ≤ 5h, λz ≈ 2h. Abb. 2.13 zeigt f¨ ur eine ebene Kanalstr¨ omung zwei Schnitte in Spannweitenrichtung bei unterschiedlicher Reynolds–Zahl. Dargestellt ist dort die momentane Fluktuation der Geschwindigkeitskomponente u in Hauptstr¨ omungsrichtung zu einem beliebigen Zeitpunkt. Deutlich ist die Konzentration der Turbulenz in der Pufferzone erkennbar. Im unteren Bild werden zwei “Bursts” hervorgehoben. Solche Ereignisse sind f¨ ur 70–80% der Turbulenzproduktion in Wandn¨ ahe verantwortlich [286]. In Abb. 2.14 ist dieselbe Gr¨oße in einem wandnormalen Schnitt in Hauptstr¨ omungsrichtung abgebildet. Hier sind nicht nur langgezogene Strukturen in Str¨ omungsrichtung zu erkennen, sondern auch, dass sie mit der Wand einen Winkel bilden und sich mit wachsender Laufl¨ ange von ihr abl¨ osen, wie dies in den Skizzen von Abb. 2.12 angedeutet ist. 2 Zu den koh¨ arenten Strukturen in Wandn¨ahe gibt es eine sehr reichhaltige Literatur, die hier nicht wiedergegeben werden kann. Verschiedene Resultate und Modellvorstellungen werden z.B. in [422] diskutiert. Eine neuere grundlegende Arbeit zu diesem Thema ist [7].

2.5.7

Gu ¨ltigkeitsbereich

Die Turbulenz in einem ebenen Kanal stellt, wie die isotrope Turbulenz, eine Prototypsituation dar. Die Verh¨altnisse in einem Rohr sind ganz ¨ ahnlich, insbesondere f¨ ur hohe Reynolds– Zahlen. Weiterhin herrschen an der Sohle eines ebenen Kanals mit freier Oberfl¨ ache dieselben Bedingungen wie bei einem geschlossenen Kanal. Die ausgebildete Grenzschicht an einer ebenen Platte ohne Druckgradient, d.h. ohne Beschleunigung oder Verz¨ ogerung, weist ebenfalls die besprochenen Charakteristika auf, wobei das Wachstum in Str¨ omungsrichtung durch die Skalierung mit einbezogen wird und die Verh¨ altnisse im wandfernen Bereich von den Turbulenzeigenschaften der Außenstr¨omung abh¨ angen. Bei gekr¨ ummten W¨ anden oder 2 Der Autor bedankt sich bei M. Uhlmann f¨ ur die Zurverf¨ ugungstellung der in Abb. 2.13 und 2.14 dargestellten Grafiken.

41

2.6 Transition a

b

Abb. 2.12 Streaks und Haarnadelwirbel in einer Wandgrenzschicht. a) “Bursting” Prozess [14] und b) quantitative Angaben nach [623].

Beschleunigung bzw. Verz¨ogerung ¨andern sich die Verh¨ altnisse oft nur quantitativ, aber – solange die Str¨ omung anliegt – nicht qualitativ. Dieses Thema wird bei der Diskussion der LES Wandmodellierung in Kapitel 8 und der Simulation der Str¨ omung u ¨ ber periodische H¨ ugel in Abschnitt 9.5 wieder aufgegriffen.

2.6

Transition

2.6.1

Problematik transitioneller Str¨ omungen

¨ Als Transition bezeichnet man den Ubergang vom laminaren in den turbulenten Zustand, sowohl im Raum als auch in der Zeit. Dabei wird zwischen nat¨ urlicher Transition und Bypass–Transition unterschieden. Letzteres bedeutet, dass in einem Bereich laminarer Str¨ omung Transition durch Turbulenz in einem benachbarten Bereich erzeugt wird, z.B. in einer Grenzschicht durch die Turbulenz in der Außenstr¨ omung. Bei nat¨ urlicher Transition wird die laminare L¨ osung der NSG von sich aus instabil und durch kleine St¨ orungen aus dem Gleichgewicht gebracht. Dabei bilden sich je nach Konfiguration unterschiedliche Wirbel¨ ¨ strukturen und Szenarien des Ubergangs zur Turbulenz heraus. Eine Ubersicht u ¨ ber solche Ph¨ anomene, insbesondere in Wandn¨ahe geben [518] und [46]. Ein typisches Charakteristikum der Transition ist auch die Intermittenz, d.h. das zeitlich abwechselnde Auftreten turbulenter und laminarer Str¨omung am selben Ort. Wichtig im vorliegenden Zusammenhang ist, dass die in den letzten beiden Abschnitten 2.4 und 2.5 geschilderten Sachverhalte f¨ ur transitionelle Str¨omungen nicht oder nur ganz eingeschr¨ ankt g¨ ultig sind. Die turbulente kinetische Energie in transitionellen Str¨omungen ist sehr niedrig, und solche Str¨ omungen sind daher extrem empfindlich gegen¨ uber St¨orungen in Geometrie, Randbedingungen oder in den Gleichungen, bei ihrer Berechnung also auch bez¨ uglich Diskretisierungsfehler und anderer numerischer Einfl¨ usse. Transitionelle Str¨omungen stellen f¨ ur Beschreibung und Berechnung also eine besondere

42

2 Eigenschaften und Beschreibung turbulenter Str¨ omungen a

b





Abb. 2.13 Geschwindigkeitsfluktuationen in Hauptstr¨ omungsrichtung, u
= u − u, in Schnitten senkrecht zur Str¨ omungsrichtung. a) Daten aus DNS ebener Kanalstr¨ omungen bei Reτ = 180 und b) Reτ = 590 [596]. Rechts sind die Profile der statistisch gemittelten Fluktuationen in Str¨ omungsugten Quadrate haben eine Kantenl¨ ange von 100lτ . Im richtung, u

u

(y), aufgetragen. Die eingef¨ unteren Bild sind zwei “Burst” Ereignisse gekennzeichnet, bei denen langsames, wandnahes Fluid u ¨ ber die Pufferzone hinaus in Richtung der Kanalmitte transportiert wird.

Schwierigkeit dar. Die hier darzustellende Methodik der LES geht daher zun¨ achst immer von einer vollst¨ andig ausgebildeten turbulenten Str¨ omung aus. In den Anwendungen treten jedoch auch transitionelle Effekte auf, die dann geeignet ber¨ ucksichtigt werden m¨ ussen und sp¨ ater diskutiert werden.

2.6.2

Kritische Reynolds–Zahl

Nat¨ urliche Transition erfordert die Instabilit¨at der laminaren L¨ osung sowie das Vorhandensein von St¨ orungen, die verst¨arkt werden k¨onnen. Die Reynolds–Zahl, bei der der instabilste Mode weder D¨ampfung noch Anfachung, also indifferentes Gleichgewicht zeigt, wird Reind genannt [518]. Sind St¨orungen vorhanden, kann die Transition auch bei niedrigeren Reynolds–Zahlen erfolgen, bei besonders st¨ orungsarmen Verh¨ altnissen auch erst bei sehr viel h¨ oheren Werten. Die Reynolds–Zahl des laminar–turbulenten Umschlags wird ur Rohrstr¨ omungen liegt sie, mit dem als kritische Reynolds–Zahl Recrit bezeichnet. F¨ Durchmesser und der mittleren Geschwindigkeit ub gebildet, bei Reb,crit ≈ 2300 [518]. Bei der Str¨ omung zwischen zwei ebenen Platten sind die Verh¨ altnisse komplizierter. Hier

2.6 Transition

43

Abb. 2.14 Fluktuationen der Geschwindigkeitskomponente in Hauptstr¨ omungsrichtung, u
= u − u, in einem wandnormalen Schnitt in Str¨ omungsrichtung, z = const., aus DNS einer ebenen omung erfolgt von links nach rechts. Kanalstr¨ omung bei Reτ = 590 [596]. Die Str¨

ist Reb,ind = ub δ/ν|ind = 3530 [342]. In der Zusammenstellung von Dean [117] wird jedoch deutlich, dass in den Experimenten Transition im Bereich von einer Dekade auftreten kann, was vom Autor mit den speziellen Eigenschaften der Geometrie begr¨ undet wird. Die ¨ Ubersicht in [117, Fig.3] legt den Bereich Reb,crit = ub δ/ν|crit ≈ 750 . . . 1500 nahe, in welchem dies am h¨ aufigsten auftritt. Dieser Anhaltspunkt ist sehr wichtig, um Rechnungen wie in Abb. 2.7ff beurteilen zu k¨onnen. Die Reynolds–Zahlen Reτ = 180, 390, 590 entsprechen Reb = ub δ/ν von ca. 2813 [286], 6875 [9] und 10935 [9]. Insbesondere der niedrigste dieser Werte liegt nur knapp u ¨ ber dem kritischen Bereich. Simulationsergebnisse wie in Abb. 2.13a zeigen, dass die Str¨omung nur wenig turbulent ist. Angesichts der heute verf¨ ugbaren Resourcen sollten Modelltests daher bei h¨oheren Reynolds–Zahlen durchgef¨ uhrt werden.

3

DNS und RANS–Modellierung

3.1

Direkte Numerische Simulation

¨ Bei der in Kapitel 1 gegebenen Ubersicht u ¨ ber die verschiedenen Verfahren wurde deutlich, dass DNS und LES sehr eng miteinander verwandt sind. Viele Aspekte, wie die Berechnung von Statistiken oder die Definition von Randbedingungen, sind beiden Methoden gemeinsam. Auf Grund der thematischen Ausrichtung der vorliegenden Arbeit geschieht die Diskussion im Kontext der LES, so dass in diesem Kapitel das Augenmerk auf Aspekte ¨ gerichtet wird, die DNS von LES unterscheiden. Ausf¨ uhrliche Ubersichten finden sich in [406], [516].

3.1.1

Methode

Die NSG (2.1)(2.2) definieren mit entsprechenden Rand– und Anfangsbedingungen ein mathematisches Problem, das durch geeignete Diskretisierung numerisch gel¨ ost werden kann, egal, ob das Str¨ omungsfeld laminar oder turbulent ist. Es wird also die dreidimensionale, instation¨ are Wirbelbewegung direkt berechnet. Mittelwerte werden durch Aufsummieren der instation¨ aren L¨osung bestimmt. Dabei ist lediglich sicherzustellen, dass die Diskretisierung in Raum und Zeit fein genug ist, um alle Anteile der L¨ osung, auch die kleinskaligen, aufzul¨ osen. Da die vollst¨ andige turbulente Str¨omung explizit berechnet wird, muss kein Turbulenzmodell eingef¨ uhrt werden. Gelegentlich werden in der Literatur jedoch Rechnungen als DNS bezeichnet, die zwar kein Turbulenzmodell verwenden, bei denen das numerische Gitter aber zu grob ist, um die L¨osung ad¨aquat zu diskretisieren, was denselben Effekt wie eine Modellierung haben kann (s. Kapitel 4). Wir verwenden den Begriff DNS hier in einem engeren Sinne, n¨amlich mit der Maßgabe, dass der numerische Fehler vernachl¨ assigt werden kann, dass also eine gitterunabh¨angige L¨osung erreicht wird. Pr¨ aziser ist zu fordern, dass dies f¨ ur die gesuchte Komponente der L¨osung gilt [516]. So erfordern niedrige Momente wie z.B. Mittelwerte i.a. weniger Diskretisierungsaufwand als hohe Momente. Der Diskretisierungsbedarf kann also nicht absolut gesehen werden, sondern h¨ angt von der Fragestellung ab. Dies wird meist durch eine Gitterverfeinerungsstudie nachgewiesen.

3.1.2

Diskretisierungsbedarf und Aufwand

Betrachten wir den Fall isotroper Turbulenz aus Abschnitt 2.4, um einen Anhaltspunkt zu 3/4 gewinnen. Dort wurde gezeigt, dass L/η ∼ ReL gilt. Dabei bezeichnet L die Ausdehnung der gr¨ oßten Strukturen. Sie werden i.A. durch die Geometrie begrenzt, d.h. durch die Gr¨ oße

46

3 DNS und RANS–Modellierung

des Integrationsgebietes. Um Strukturen der Gr¨oße η numerisch aufzul¨ osen, muss also die Zahl der Gitterpunkte in jeder Raumrichtung Ni ∼ L/η sein, so dass insgesamt 9/4

N ∼ Ni3 ∼ ReL

(3.1)

Gitterpunkte ben¨ otigt werden. Sollen die kleinsten Strukturen auch in der Zeit gleichbleibend gut diskretisiert werden, muss der Zeitschritt proportional zum Ortsschritt kleiner werden. Die optimale Komplexit¨at eines Algorithmus, der in jedem Zeitschritt verwendet wird, ist linear mit der Zahl der Gitterpunkte, so dass sich insgesamt ein numerischer Aufwand tCP U ∼ Re3L

(3.2)

ergibt. Pope [473, Kap.9.1.2] hat den Diskretisierungsbedarf isotroper Turbulenz auch quantitativ abgesch¨ atzt und mit gemessenen Rechenzeiten verglichen. F¨ ur niedrige Reynolds– Zahlen ist der Anstieg etwas langsamer, jedoch wird f¨ ur h¨ ohere Reynolds–Zahlen in der Tat die aus der groben Betrachtung gewonnene dritte Potenz best¨ atigt. Damit steigen die Kosten bei der Verdoppelung der Reynolds–Zahl um etwa eine Gr¨ oßenordnung. Wie betr¨ achtlich dieses Anwachsen ist, wird illustriert durch die Beobachtung, dass zwischen der ersten DNS isotroper Turbulenz mit Reλ = 35 von Orszag und Patterson [437] und der DNS f¨ ur dieselbe Konfiguration mit Reλ = 150 von Vincent und Meneguzzi [607] trotz des rapiden √ Wachstums verf¨ ugbarer Rechenleistung 19 Jahre liegen [225]. Die Reynolds–Zahl Reλ ∼ ReL wurde in dieser Zeit nur um den Faktor 18 gesteigert, w¨ ahrend die Zahl der Gitterpunkte 440 mal so groß war. Auch f¨ ur andere einfache Konfigurationen kann der Bedarf an Gitterpunkten zahlenm¨aßig abgesch¨atzt werden. In [158] wird f¨ ur die DNS der Str¨ omung in einem Rohr mit L¨ange 5D bei Verwendung eines strukturierten Diskretisierungsverfahrens die Beziehung N=

5π 21/8 Reτ = 4.8 10−3 Reb 256

(3.3)

angegeben. Darin sind Reb die mit dem Gesamtmassenstrom und Reτ die mit der Schubspannungsgeschwindigkeit gebildete Reynolds–Zahl, Referenzl¨ ange ist f¨ ur beide der Durchmesser D. Wenn in einer komplexen Str¨omung die Bedingungen nicht uniform sind, sondern Gebiete mit feinen Strukturen und solche mit groben auftreten, schw¨ achen sich die Anforderungen bei einer gegebenen Reynolds–Zahl ab. Um davon profitieren zu k¨ onnen, muss allerdings eine entsprechend flexible Ortsdiskretisierung eingesetzt werden. Im Grenzfall sehr hoher Reynolds–Zahlen bleibt die Problematik jedoch erhalten, was hier am Beispiel einer Grenzschicht illustriert werden soll. Die Strukturen nahe der Wand skalieren in wandparalleler Richtung im wesentlichen mit der L¨ange lτ , die bei sonst unver¨ anderten Bedingungen in etwa proportional der Reynolds–Zahl ist. Andererseits reduziert sich die Dicke der Grenzschicht etwa in demselben Maß. Wenn man als Extremfall annimmt, dass in wandnormaler Richtung eine unver¨anderte Anzahl je nach Re verdichteter Gitterpunkte verwendet und der Kernbereich mit konstanter Punktzahl diskretisiert wird, bleibt f¨ ur die Gesamtzahl der Punkte immer noch der asymptotische Verlauf N ∼ Re2 [554]. Trotz der extrem optimistischen Absch¨ atzung ist dies nur wenig g¨ unstiger als N ∼ Re9/4 oben. In Abschnitt 8.2.1 wird dies ausf¨ uhrlicher diskutiert.

3.1 Direkte Numerische Simulation

3.1.3

47

Aufgabe der DNS

Aufgrund des vorigen Abschnittes ist festzuhalten, dass DNS grunds¨ atzlich nur f¨ ur Str¨ omungen mit niedriger Reynolds–Zahl eingesetzt werden kann. Auch wenn die Rechenleistung weiter steigt, wird es doch in den n¨achsten Dekaden keine DNS beispielsweise eines Flugzeuges geben. Dies ist jedoch auch gar nicht sinnvoll, denn der Entwicklungsingenieur ist gar nicht an der enormen Detailinformation interessiert, die eine DNS liefert. Oft gen¨ ugen globale Beiwerte f¨ ur Auftrieb und Widerstand bzw. grobe Druckverteilungen. Eine DNS w¨ are also schlichtweg “overkill” [169]. DNS ist vielmehr ein Forschungswerkzeug [406]. Sie kann sinnvoll zum Einsatz kommen, um prinzipielle Effekte zu studieren und Mechanismen zu kl¨ aren. Solche Untersuchungen haben Prototypsituationen zum Gegenstand, was eine relativ einfache Geometrie bedingt, damit die Aussagen m¨oglichst allgemeing¨ ultig bleiben. Im Gegensatz zur Geometrie ist die Str¨ omung selbst i.A. sehr komplex. Die Beschr¨ankung auf kleine Reynolds–Zahlen ist in einigen F¨ allen nicht einmal prohibitiv, n¨amlich dann, wenn ein Ph¨ anomen – zumindest weitgehend – von der Reynolds–Zahl unabh¨angig ist [406]. Der entscheidende Vorteil einer DNS ist, dass s¨ amtliche Information u omung gewonnen werden kann, ohne dass ¨ ber eine Str¨ Unsicherheit durch ein Turbulenzmodell auftritt. Eine DNS hat somit den Charakter eines sehr gut kontrollierten physikalischen Experimentes. Anders als bei Windkanalexperimenten gibt es aber keine nicht messbaren Gr¨oßen. Als Beispiel einer sehr einflussreichen DNS sei hier die Berechnung der turbulenten Str¨ omung zwischen zwei ebenen Platten von Kim, Moin und Moser [286] genannt. Sie wurde bei einer mit der Schubspannungsgeschwindigkeit gebildeten Reynolds–Zahl von Re τ = 180 durchgef¨ uhrt. In den folgenden Jahren wurde dies auf Reτ = 590 [412] und Reτ = 1900 [123] gesteigert. Aus derartigen Simulationen konnten beispielsweise die detaillierten Bilanzen aller Reynolds–Spannungen und der Dissipation f¨ ur die Kanalstr¨ omung bestimmt werden [358]. Solche Informationen sind sehr wertvoll, um damit Theorien und Modelle zu u ¨ berpr¨ ufen. Beispielsweise kann f¨ ur statistische Turbulenzmodelle jeder einzelne Term, der in den statistischen Gleichungen zu schließen ist, im Rahmen einer DNS getrennt berechnet werden. Damit lassen sich Modellannahmen direkt und separat u ufen, sowie neue ¨berpr¨ Modelle entwickeln. Ein Beispiel daf¨ ur ist die Kalibrierung von D¨ ampfungsfunktionen f¨ ur statistische Modelle in [502] (s. Abschnitt 3.2.7). Weit wichtiger als die Berechnung statistischer Gr¨ oßen durch DNS sind die Informationen, die mit diesem Ansatz u aren ¨ ber die Struktur der Turbulenz, d.h. das Verhalten der instation¨ Wirbelsysteme gewonnen werden k¨onnen. In der bereits erw¨ ahnten Arbeit von Vincent und Meneguzzi [608] wurde beispielsweise die Dynamik von Wirbelf¨ aden in isotroper Turbulenz ¨ untersucht. Ahnliches gilt f¨ ur die bereits besprochene Turbulenz in Wandn¨ ahe und viele andere Konfigurationen. DNS erm¨ oglicht auch, noch einen Schritt weiter zu gehen. Im Rahmen kontrollierter numerischer Experimente, die keinen physikalisch realisierbaren Str¨ omungen entsprechen, k¨ onnen Sensitivit¨ atsstudien bez¨ uglich einzelner Mechanismen angestellt werden. Beispielsweise wurden in [266] die genannten Wirbelf¨aden der isotropen Turbulenz aus der numerischen L¨ osung entfernt und das resultierende Abklingverhalten untersucht. Dies f¨ uhrte zu dem Nachweis, dass ihr Beitrag zur Wirbelst¨arke zwar groß, zur Dissipation aber nur sehr gering ist. Oft

48

3 DNS und RANS–Modellierung

wird auch durch die Wahl der Randbedingungen ein mathematisch/numerisches Modell erzeugt, das keinem physikalischen Experiment entspricht. Die genannte Str¨ omung zwischen zwei ebenen Platten wird beispielsweise mit periodischen Bedingungen in Str¨ omungs– und Spannweitenrichtung durchgef¨ uhrt (s. auch Abschnitt 7.2). In [264] wurde die Periodenl¨ ange drastisch reduziert, so dass ein als “Minimal Flow Unit” bezeichnetes Modellsystem entsteht, welches im Prinzip dasselbe Verhalten wie wandnahe Turbulenz aufweist, aber numerisch weniger aufw¨ andig zu berechnen ist. Eine solche Beeinflussung durch die Randbedingungen wird, wenn auch in schw¨acherem Maße, in vielen DNS vorgenommen und stellt eine wichtige Modellierung dar. Wenn DNS in der Literatur gelegentlich als “modellfrei” bezeichnet wird, so bezieht sich das also nur auf ein Turbulenzmodell. Die Modellierung in anderer Hinsicht kann u.U. recht stark sein. Neben dem Studium sehr einfacher Modellsysteme wird DNS auch zunehmend auf komplexere Str¨ omungen angewendet. Hier sind etwa transitionelle Str¨ omungen zu nennen, die mit statistischen Turbulenzmodellen i.A. nur sehr schwer zu erfassen sind. Ein weiterer Trend ist die Ber¨ ucksichtigung von Zusatzeffekten. Im Gegensatz zu einer Vergr¨ oßerung der Reynolds–Zahl ist der Mehraufwand durch Berechnen von Zusatztermen oder durch die L¨ osung einer weiteren Transportgleichung relativ gering. Es ist daher m¨ oglich, bei gleichbleibender Reynolds–Zahl komplexere Mechanismen zu untersuchen wie etwa den Einfluss von Rotation, den Transport von Skalaren oder Partikel, etc. Ganz enorme Bedeutung gewinnt DNS im Bereich reaktiver Str¨omungen [450]. Auch moderat komplexere Geometrie wird untersucht, wie etwa die zur¨ uckspringende Stufe [318]. Solche DNS dienen dann oft als Referenzen zum Test von Modellierungen derselben Str¨ omung mit LES– oder RANS– Methoden. Schließlich sei erw¨ ahnt, dass DNS auch ein wichtiges Werkzeug zum Studium der Turbulenzbeeinflussung und –kontolle ist. Hierzu z¨ahlen passive Kontrolle durch die Geometrie wie bei sog. “Ribblets”, die den Str¨omungswiderstand an einer ebenen oder m¨ aßig gekr¨ ummten Wand reduzieren, aber auch die aktive Kontrolle durch Aktuatoren unterschiedlichster Form und Funktion.

3.1.4

Numerische Verfahren fu ¨r DNS

Zur L¨ osung der instation¨aren NSG kann prinzipiell jedes numerische Verfahren eingesetzt werden. Wegen des extremen Rechenaufwandes spielt die Effizienz hier jedoch eine entscheidende Rolle. Da h¨aufig sehr einfache Geometrien untersucht werden, ist es vorteilhaft, speziell zugeschnittene Verfahren zu entwickeln wie etwa Spektralmethoden auf der Basis von Fourierreihen zur Berechnung isotroper Turbulenz. Um die L¨ osung mit m¨ oglichst wenig Gitterpunkten zu diskretisieren, werden bei DNS oft Verfahren h¨ oherer Ordnung eingesetzt, zu denen auch die Spektralmethoden geh¨oren, die in dem Standardwerk von Canuto et al. [74] beschrieben werden. F¨ ur komplexere Geometrien sind hybride Verfahren entwickelt worden, wie z.B. Spektralelemente, die in [353] verwendet werden. In j¨ ungster Zeit werden aber auch Diskretisierungen niedriger Ordnung benutzt, was durch eine gr¨ oßere Gitterpunktzahl kompensiert wird. Entscheidend f¨ ur die Wahl des numerischen Verfahrens sind neben dem Problem selbst aber auch Aspekte wie Parallelisierbarkeit, Codeentwicklung und zur Verf¨ ugung stehende Rechnerarchitektur.

3.2 Statistische Turbulenzmodellierung

3.2

49

Statistische Turbulenzmodellierung

Unter statistischen Turbulenzmodellen wird hier die Modellierung mit Hilfe der RANS Gleichungen f¨ ur die Einpunktwahrscheinlichkeiten verstanden. In diesem Abschnitt soll eine kurze Darstellung derjenigen RANS Modelle gegeben werden, die sp¨ ater als Basis f¨ ur Konzepte der LES–Modellierung dienen. Ausf¨ uhrliche Abhandlungen finden sich beispielsweise in [496], [642], [222], [218], [473], [140].

3.2.1

Ausgangspunkt

In Abschnitt 2.3 wurde das statistische Mittel definiert und auf die NSG angewendet. Die daraus resultierenden RANS Gleichungen (2.27),(2.28) stellen die Basis der statistischen Turbulenzmodelle dar. Sie enthalten den Reynoldsschen Spannungstensor Rij =
u

i u

j  .

(3.4)

Genau genommen lautet dieser f¨ ur konstante Dichte ρ
u

i u

j , jedoch hat sich die Bezeichnung von (3.4) als Spannungstensor f¨ ur diesen Fall eingeb¨ urgert. Wie erw¨ ahnt h¨ angt Rij nicht von den gesuchten Mittelwerten f¨ ur Geschwindigkeit und Druck ab. Eine L¨ osung der RANS Gleichungen erfordert also zus¨atzliche Informationen u ¨ ber Rij , die sog. Schließung der Gleichungen. Das Schließungsproblem tauchte bereits in Abschnitt 2.4 auf, weil in (2.41) das zweite Moment eˆ von dem Moment dritter Ordnung Tˆ abh¨ angt. Daher kann dieser Term nicht als Funktion von eˆ geschrieben werden. mod Die statistische Turbulenzmodellierung hat also zur Aufgabe, ein Modell Rij ≈ Rij bereitzustellen, das in geschlossener und damit l¨osbarer Weise definiert ist. Die Definition des Mittels, z.B. als Zeit– oder Phasenmittel, hat prinzipiell Auswirkungen auf den zu modellierenden Term, so dass unter Umst¨anden ein anderes Modell verwendet werden m¨ usste, was allerdings in der Praxis nicht geschieht. Ebenso k¨ onnte man “Mittelungen” verwenden, die die Eigenschaften (2.14)–(2.16), insbesondere (2.14), nicht besitzen. Dies erzeugt jedoch Zusatzterme, die ebenfalls durch ein Modell repr¨asentiert werden m¨ ussten. Es sei hier betont, dass die Schwierigkeit also nicht darin besteht, die “richtige” Definition eines Mittelwertes zu verwenden, sondern darin, f¨ ur dieses Mittel den daraus resultierenden Reynoldschen Term Rij geeignet zu modellieren.

3.2.2

Wirbelviskosit¨at und Klassifizierung

Aufgabe der Modellierung ist die Repr¨asentation des Tensors Rij durch ein geeignetes Modell zur Schließung des Gleichungssystems (2.27),(2.28). Dabei kann zwischen Modellen unterschieden werden, die Rij direkt darstellen und Modellen, die zun¨ achst durch den Boussinesq–Ansatz [52] 2 mod Rij = −2νt
Sij  + Kδij 3

(3.5)

uhren und diese dann aus weiteren Gr¨ oßen berechnen. In letzeine Wirbelviskosit¨at νt einf¨ terem Fall wird nach der Zahl der f¨ ur diese Zusatzgr¨ oßen gel¨ osten Transportgleichungen in 0–, 1– und 2–Gleichungsmodelle unterschieden.

50

3.2.3

3 DNS und RANS–Modellierung

Mischungswegmodelle

Eine konstante Wirbelviskosit¨at wird praktisch nur in Ausnahmef¨ allen verwendet [496]. Prandtl [477] wies darauf hin, dass νt aus Dimensionsgr¨ unden als Produkt einer L¨ angenskala l und einer Geschwindigkeitsskala q angesetzt werden kann, d.h. νt = l q

.

(3.6)

F¨ ur l kann der sog. Mischungsweg lm verwendet werden, der z.B. u ¨ber eine empirische Formel festgelegt wird. F¨ ur die Geschwindigkeitsskala wurden verschiedene Vorschl¨ age gemacht. In zweidimensionalen Scherschichten bietet sich q = lm |∂y
u|

(3.7)

an [477]. In allgemeineren Str¨omungen kann man q = lm |
S|

(3.8)

[547] oder mit dem Rotationstensor (2.5) q = lm |
Ω|

(3.9)

verwenden [24]. Dabei ist  die in den letzten beiden Gleichungen notierte Norm eines Tensors Aij definiert als |A| = 2Aij Aij . Die genannten Modelle basieren auf rein lokalen Ans¨ atzen und erfordern daher nicht die L¨osung zus¨atzlicher Transportgleichungen. Da andererseits die entsprechenden Transportmechanismen auf diese Art nicht repr¨ asentiert werden, ist die Qualit¨ at, insbesondere die Allgemeing¨ ultigkeit solcher Nullgleichungsmodelle begrenzt.

3.2.4

Eingleichungsmodelle

Prandtl [478] schlug vor, die Geschwindigkeitsskala in (3.6) mit Hilfe der mittleren turbulenten kinetischen Energie K (2.29) u ¨ber √ q = cK K (3.10) zu bestimmen und eine Transportgleichung f¨ ur K zu l¨ osen. Die exakte Gleichung wurde oben in (2.30) notiert. Mit verschiedenen Schließungsannahmen erh¨ alt man daraus die Modellgleichung   νt K 3/2 , (3.11) ∂t K +
uj ∂xj K = ∂xj ∂xj K + νt 2
Sij ∂xj
ui  − cD σK l wobei wieder νt = ql gesetzt wird. Die Modellierung gilt f¨ ur große Reynoldszahlen, weshalb ¨ z.B. der molekulare Term ∼ ν unber¨ ucksichtigt bleibt. Ubliche Werte f¨ ur die Konstanten sind cK = 0.55, σK = 1, cD cK = 0.08 [496]. Bei diesem Modell muss jedoch die L¨ angenskala l weiterhin empirisch vorgegeben werden, was seine praktische Verwendung unattraktiv macht. Von Spalart und Allmaras [553] wurde in j¨ ungerer Zeit ein neues Eingleichungsmodell vorgeschlagen, dessen Basismodell hier f¨ ur den sp¨ateren Bezug notiert werden soll. Es basiert auf

51

3.2 Statistische Turbulenzmodellierung

einer direkten Transportgleichung f¨ ur die turbulente Viskosit¨ at. Da jedoch in Wandn¨ ahe osung erfordert, wird als Rechengr¨ oße νt ∼ y 3 gilt [245], was eine hohe numerische Aufl¨ ν˜ = νt /fv1 (y + ) verwendet. Durch geeignete Wahl von fv1 erh¨ alt man ν˜ ∼ y, was leichter zu diskretisieren ist. Die Transportgleichung des SA–Modells lautet  2  2 

1  ν˜ ∂xj (ν + ν˜) ∂xj ν˜ + cb2 ∂xj ν˜ − cw1 fw ∂t ν˜ +
uj ∂xj ν˜ = cb1 S˜ν˜ + . (3.12) σν˜ d Darin stellen auf der rechten Seite der erste Term einen Produktionsterm f¨ ur ν˜, der zweite Term die laminare und turbulente Diffusion und der dritte Term eine Senke f¨ ur ν˜ dar. Hier bezeichnet d den lokalen Wandabstand. Die Hilfsgr¨ oßen sind folgendermaßen definiert S˜ = fv1

=

S+

χ3 χ3 + c3v1 

fw

=

ν˜ fv2 κ2 d2

g

1 + c6w3 g 6 + c6w3

(3.13) ,

fv2 = 1 −

χ 1 + χfv1

,

χ=

ν˜ ν

,

r=

ν˜ ˜ Sκ2 d2

1/6 ,

g = r + cw2 (r6 − r)

(3.14)

, (3.15)

mit 1 cb1 = 1,355 , σ = 2/3 , cb2 = 0,622 , cv1 = 7,1 , cw1 = cb1 /κ2 + (1 + cb2 )/σ , κ = 0,41 , cw2 = 0,3 , cw3 = 2 . Die Gr¨oße S im Produktionsterm wird u ¨ ber den Betrag der Wirbelst¨ arke definiert, S = |ω|, jedoch weisen die Autoren auf alternative Definitionen wie z.B. u ¨ ber den Deformationstensor Sij hin. In [553] finden sich auch Erweiterungen zur Ber¨ ucksichtigung laminarer Str¨omungen mit Transition. Das Spalart–Allmaras Modell hat in homogener Turbulenz Defizite [473], liefert aber f¨ ur aerodynamische Fragestellungen, f¨ ur die es konzipiert wurde, oft geeignete Resultate und wird in diesem Bereich immer mehr eingesetzt.

3.2.5

Zweigleichungsmodelle

Um die empirische Vorgabe des L¨angenmaßes l zu vermeiden, kann zus¨ atzlich zu der K– Gleichung eine zweite Transportgleichung f¨ ur eine Gr¨ oße Z = k m ln gel¨ ost werden. Am bekanntesten ist das K − ε–Modell [313]   νt ∂t K +
uj ∂xj K = ∂xj ∂xj K + P − ε (3.16) σK   νt ε ε2 ∂t ε +
uj ∂xj ε = ∂xj ∂xj ε + c1ε P − c2ε (3.17) σε K K mit einer Gleichung f¨ ur die Dissipation ε ∼ K 3/2 /l, die u ¨ber νt = cµ K 2 /ε die Wirbelviskosit¨ at liefert. Weiterhin ist P = νt 2
Sij ∂xj
ui  in (3.16),(3.17) der Produktionsterm der turbulenten kinetischen Energie. Herleitung und Begr¨ undung der Konstanten cµ = 0.09, c1ε = 1, 44, c2ε = 1, 92, σK = 1, σε = 1, 3 finden sich in [313]. In letzter Zeit 1 In

der Originalarbeit fehlt wegen eines Tippfehlers das Quadrat im Ausdruck f u ¨r cw1 .

52

3 DNS und RANS–Modellierung

finden ¨ ahnliche Zweigleichungsmodelle wie das K − ω–Modell [642] oder das SST–Modell [388], das eine Kombination aus K − ε– und K − ω–Modell darstellt. Es sei noch einmal betont, dass die Gr¨oßen K, ε, νt und ν˜ dieses und des vorigen Abschnittes ¨ als Reynoldsmittel definiert sind. Auf die Notation mit
 wurde der Ubersicht wegen verzichtet.

3.2.6

Direkte Modelle fu ¨r die Reynolds–Spannungen

Ein Nachteil des Wirbelviskosit¨atsansatzes ist die mit ihm verbundene Isotropieannahme. Die turbulente Viskosit¨at νt wirkt in alle Richtungen gleichermaßen. Dies schr¨ ankt die Qualit¨ at der Modellierung deutlich ein, etwa im Bezug auf Sekund¨ arstr¨ omungen oder bei ¨ Drall und Stromlinienkr¨ ummung. Ahnlich der K–Gleichung k¨ onnen aber aus den NSG auch Transportgleichungen f¨ ur die Komponenten des Tensors Rij hergeleitet werden, die mittels geeigneter Schließungsannahmen in l¨osbare Gleichungen zu u uhren sind. In einem sol¨ berf¨ chen Reynolds–Spannungsmodell werden 6 Transportgleichungen f¨ ur Rij gel¨ ost, sowie eine zus¨ atzliche Gleichung zur Bestimmung einer L¨angenskala, z.B. eine ε–Gleichung. Details der Modellierung beeinflussen jedoch u.U. das Resultat sehr stark. Außerdem sind diese Gleichungen sehr steif und numerisch schwierig zu l¨ osen, was den Aufwand zus¨ atzlich erh¨ oht [151]. Ergebnisse in den angesprochenen Bereichen sind aber oft besser als mit Zweigleichungsmodellen [79]. Ausf¨ uhrliche Darstellungen finden sich z.B. in [559], [312]. Eine M¨ oglichkeit, die L¨osung zus¨atzlicher Transportgleichungen zu umgehen, ist die Verwendung einer algebraischen Beziehung zwischen Rij und den Variablen eines Zweigleichungsmodells, etwa K und ε. Dies wird mit algebraischen Reynolds–Spannungsmodellen, z.B. [495], oder expliziten algebraischen Reynolds–Spannungsmodellen erreicht, wie etwa in [624]. Solche Modelle werden daher in neuester Zeit verst¨ arkt untersucht und getestet [254].

3.2.7

Modellierung bei aufgel¨ oster Wandgrenzschicht

Die bis hierher besprochenen Turbulenzmodelle gehen bei ihren Modellannahmen im Allgemeinen von einer hohen Reynoldszahl aus. Maßgebend sind daf¨ ur die lokalen Verh¨ altnisse, d.h. die mit den lokalen Fluktuationen und der zugeh¨ origen L¨ angenskala gebildete turbulente Reynoldszahl Ret = lq/ν. Mit (3.6) ergibt sich Ret = νt /ν. Nahe einer festen Wand werden die Fluktuationen jedoch stark ged¨ampft und sind auf der Wand selbst Null. Soll die Turbulenz der Str¨omung unter diesen Verh¨altnissen modelliert werden, sind die Modelle geeignet zu erweitern. Man spricht dann von “Low Reynolds Number Modellen”, da sie auch im Bereich kleiner Ret angewendet werden k¨ onnen. Die Korrektur der Modellierung geschieht durch Einf¨ ugen von zus¨atzlichen Summanden in die Gleichungen oder durch Reduktion von Termen mittels D¨ampfungsfunktionen. Diese haben an der Wand den Wert 0 und im Innern der Str¨omung den Wert 1. Sie werden u ¨ ber den dimensionslosen Wandabstand y + definiert oder u oße. Im Spalart–Allmaras–Modell ¨ber Ret , bzw. eine verwandte Gr¨ (3.12) taucht z.B. mit fw eine solche D¨ampfungsfunktion auf. F¨ ur eine detaillierte Diskussion verschiedener Low Reynolds Number Modelle sei auf [642, Kap.4.9] verwiesen. Zur Illustration und f¨ ur den sp¨ ateren Bezug soll hier jedoch die van

53

3.2 Statistische Turbulenzmodellierung

Driestsche D¨ ampfungsfunktion besprochen werden. In einer zweidimensionalen Grenzschicht ist die Scherspannung, mit der Nomenklatur aus Abschnitt 2.5.2, τ = ν∂y U −
u

v

 . ρ

(3.18)

Verwendet man zur Modellierung des Schwankungsterms den Prandtlschen Mischungsweg (3.7), so erh¨ alt man bei Division durch die Wandschubspannung und Umformung in innere Koordinaten  2 2
τ lm = ∂y+ U + − . (3.19) ∂y+ U + τw lτ Da innerhalb der Grenzschicht τ /τw ≈ 1, ergibt sich [218] ∂y+ U + =

2  1 + 1 + 4(lm /lτ )2

.

(3.20)

Als L¨ angenskala lm bietet sich in nat¨ urlicher Weise der Wandabstand an, bzw. lm = κy, wobei κ die von Karmansche Konstante ist. F¨ ur y + → ∞ strebt ∂y+
u+ dann gegen + 1/(κy ), was durch Integration auf das logarithmische Wandgesetz f¨ uhrt. Van Driest [598] angigkeit des Wandabstandes mittels schlug daher vor, das turbulente L¨angenmaß lm in Abh¨ einer D¨ ampfungsfunktion zu reduzieren, d.h. lm = κyfD (y + ) zu verwenden, und zwar mit y+

fD (y + ) = 1 − e− A+

,

(3.21)

+

wobei meist A = 25 gesetzt wird. Einsetzen in (3.20) und numerische Integration liefern die entsprechende Kurve in Abb.2.9, die sehr gut mit dem beobachteten Verlauf u ¨ bereinstimmt.

3.2.8

Wandfunktionen

Die Diskretisierung der Grenzschicht bis zur Wand erfordert bei hohen (globalen) Reynoldszahlen ein sehr feines Gitter in wandnormaler Richtung, um die viskose Unterschicht aufzul¨ osen. Dies macht die numerische L¨osung sehr aufw¨ andig. Setzt man voraus, dass in der Grenzschicht ein logarithmisches Geschwindigkeitsprofil (2.78) vorhanden ist, so kann dies an einem Punkt mit Wandabstand y = y1 ausgewertet werden. Dadurch l¨ asst sich die Wandschubspannung als Funktion des Abstandes y1 und der Geschwindigkeit an dieser Stelle,
u(y1 ), ausdr¨ ucken. Dies liefert eine Randbedingung f¨ ur die Impulsgleichung (zur Implementierung siehe Abschnitt 4.2). Man spricht hierbei von einer sog. Wandfunktion, die den viskosen Teil der Grenzschicht gewissermaßen u uckt. Wenn weitere Transport¨ berbr¨ gleichungen gel¨ ost werden, m¨ ussen auch f¨ ur die anderen Turbulenzgr¨ oßen Randbedingungen bereitgestellt werden. Die Annahme lokalen Gleichgewichtes zwischen Turbulenzproduktion und –dissipation liefert z.B. die Randbedingungen U2 K(y1 ) = √ τ cµ

,

ε(y1 ) =

Uτ3 κy1

(3.22)

achsten Gitterpunkt darstellt. Damit die f¨ ur das K − ε Modell [313], wobei y1 den wandn¨ getroffenen Annahmen bez¨ uglich des Geschwindigkeitsprofils und des lokalen Gleichgewichts

54

3 DNS und RANS–Modellierung

erf¨ ullt sind, muss der erste Gitterpunkt im logarithmischen Bereich liegen, beispielsweise y1+ = 20...100 [79], wobei die obere Grenze von der Reynoldszahl abh¨ angt. Die besprochene Wandmodellierung ist auf die ebene Grenzschicht ohne Druckgradienten zugeschnitten. Abweichungen treten einerseits dadurch auf, dass die Verh¨ altnisse nicht exakt repr¨ asentiert werden, wenn z.B. D¨ampfungsterme nicht dem bekannten asymptotischen Verhalten entsprechen. Andererseits wird die Wandmodellierung i.A. auch f¨ ur Bereiche der Str¨omung verwendet, die nicht der Prototypsituation entsprechen, wo z.B. kein logarithmisches Geschwindigkeitsprofil vorliegt. Vor allem bei Abl¨ osung und Wiederanlegen der Str¨omung ist dies kritisch. Oft ist aber kein besseres Modell verf¨ ugbar. Dies sollte f¨ ur die bei der Modellerstellung und –kalibirierung angestrebte Genauigkeit ber¨ ucksichtigt werden [473].

3.2.9

Bewertung

Die dargestellten statistischen Turbulenzmodelle repr¨ asentieren das gesamte Turbulenzspektrum durch einige wenige Gr¨oßen 2 . Die daraus resultierende Verdichtung der Information durch die entsprechend starke Modellierung ist hoch, so dass turbulente Str¨ omungen im Vergleich zu DNS und LES recht kosteng¨ unstig berechnet werden k¨ onnen. Folgende Aspekte sind dabei ausschlaggebend, die z.T. schon in Abschnitt 1.2 angesprochen wurden. RANS Modelle l¨ osen i.A. ein station¨ares Problem f¨ ur die Mittelwerte. Wird ein instation¨ arer Algorithmus verwendet, so hat dieser dann den Charakter eines Iterationsverfahrens zur Bestimmung des station¨aren Zustandes. Mittelwerte m¨ ussen also nicht, wie bei DNS, durch Aufsummieren einer u osung gewonnen werden. ¨ber einen langen Zeitraum berechneten L¨ Die Reihenfolge Mittelung – Rechnung ist umgekehrt. Weiterhin resultieren oft aus Symmetrien der Randbedingungen Symmetrien in den statistischen Gr¨ oßen, wie z.B. Invarianz bzgl. Translation in homogenen Richtungen. Die momentane turbulente Str¨ omung weist diese Symmetrien nicht auf. Daher kann bei einfachen Geometrien, wie einem langen Zylinder, oft statt eines dreidimensionalen ein zweidimensionales Problem gel¨ ost werden, was um Gr¨ oßenordnungen effizienter ist. In anderen F¨allen kann die RANS–Rechnung beispielsweise auf die H¨ alfte einer symmetrischen Konfiguration beschr¨ ankt werden. F¨ ur genuin dreidimensionale Geometrien, wie sie in den Anwendungen immer h¨ aufiger berechnet werden m¨ ussen, entf¨ allt dieser Aspekt jedoch. Schließlich sind Reynolds–gemittelte Gr¨ oßen immer glatter als die instation¨ aren Schwankungen. Daher ist der Diskretisierungsbedarf von RANS–Modellen per se niedriger als bei entsprechender DNS oder LES Rechnung zur Berechnung derselben Statistiken. Andererseits sind die Gleichungen f¨ ur Turbulenzgr¨ oßen oft numerisch schwierig zu l¨ osen. Mit den Gleichungen eines RANS Modells existiert ein gitterunabh¨ angiges physikalisches Modell, so dass der Diskretisierungseinfluss durch eine gitterunabh¨ angige L¨ osung ausgeschaltet werden kann. Dies steht, wie weiter unten diskutiert, im Gegensatz zu den meisten LES–Ans¨atzen. Aus den genannten Gr¨ unden werden in den Anwendungsrechnungen nahezu ausschließlich RANS Modelle eingesetzt. Die Auswahl des speziellen Modells erfolgt je nach den Eigenschaften der Str¨ omung, der gew¨ unschter Genauigkeit und den verf¨ ugbaren Resourcen. Der 2 Es gibt zwar in neuerer Zeit Zwei– und Mehrskalenmodelle, die dies erweitern, jedoch haben sie bisher nur wenig Anwendung gefunden.

3.2 Statistische Turbulenzmodellierung

55

Preis f¨ ur die im Vergleich zu DNS und LES niedrigeren Kosten ist eine entsprechend hohe Modellierungsunsicherheit. Das Resultat einer solchen Rechnung h¨ angt in sehr komplexer Weise von der Modellierung ab, so dass die sichere Anwendung ein hohes Maß an Erfahrung ben¨ otigt. Intensives Testen der Modelle unter verschiedensten Bedingungen wie etwa bei entsprechenden Workshops [233],[254] ist erforderlich, um diese Erfahrung zu gewinnen. Anhaltspunkte sind sehr konzis in [79] zusammengetragen.

4

Numerische Modellierung

4.1

Motivation und Systematik

Es wird sp¨ ater erl¨autert, dass f¨ ur LES prinzipiell alle Diskretisierungsverfahren eingesetzt werden k¨ onnen. Und in der Tat geschieht dies auch. Eine umfassende Diskussion aller g¨ angigen numerischen Methoden ist hier jedoch nicht m¨ oglich. Vielmehr sollen nur die f¨ ur die sp¨ atere Darstellung wichtigsten Aspekte angesprochen und in ihrem Grundprinzip erl¨ autert werden. Das Ziel dieses Kapitels besteht in der Selektion und zweckdienlichen Anordnung der Information, so dass f¨ ur weitgehend bekannte Sachverhalte Referenzen nur sparsam angegeben werden. Ausf¨ uhrliche Darstellungen numerischer Methoden in der Str¨ omungsmechanik finden sich in einer Reihe von B¨ uchern, die in ihrer Gesamtheit den aktuellen Stand auf dem Gebiet der inkompressiblen Str¨omungen in etwa erfassen citePeTa83, [74], [526], [246], [153], [151], [639]. Die meisten Diskretisierungsverfahren f¨ uhren letztendlich auf die L¨ osung großer linearer Gleichungssysteme. Dieser Aspekt ist zwar f¨ ur die Effizienz eines Codes von Bedeutung, er ist jedoch v¨ollig unabh¨ angig von der LES–Methodik und wird ¨ daher hier nicht behandelt (zu diesem Thema gibt beispielsweise [27] eine gute Ubersicht). In Kapitel 2 und 3 wurden kontinuierliche Gleichungen diskutiert, die die Bewegung eines Fluids konstanter Dichte beschreiben. Sie basieren selbst bei den vollst¨ andigen NSG (2.1),(2.2) auf physikalischer Modellierung, beispielsweise in der Definition von Stoffwerten. Hier soll nun als Startpunkt ein korrekt gestelltes Differentialgleichungsproblem betrachtet werden, d.h. die Gleichung selbst, sowie passende Rand– und Anfangsbedingungen seien gegeben. Diese Gleichungen k¨onnen bis auf akademische Spezialf¨ alle nicht exakt gel¨ ost werden, so dass man immer auf eine numerische L¨osung angewiesen ist. Die numerische L¨ osung ist jedoch mit zus¨atzlichen Modellierungseffekten verbunden, die hier diskutiert werden sollen. Im folgenden Kapitel 5 wird deutlich, dass bei LES die Eigenschaften des Diskretisierungsverfahrens eine zentrale Rolle spielen. Sie treten in Konkurrenz zur physikalischen Feinstrukturmodellierung, und k¨onnen sie sogar ersetzen. Dies ist ein wesentlicher Unterschied gegen¨ uber DNS und RANS. Betrachtet man ein komplexes instation¨ares Str¨omungsproblem, so wird deutlich, dass Raum at vieler Str¨ omungen basiert und Zeit eine sehr unterschiedliche Rolle spielen. Die Komplexit¨ beispielsweise auf einer komplizierten Berandung des Str¨ omungsgebietes Ω. Andererseits ist das Integrationsgebiet in der Zeit immer sehr einfach, n¨ amlich das Intervall t ∈ [0; T ], wobei T die Integrationszeit ist. Es verwundert daher nicht, dass Diskretisierungsverfahren im Raum meist komplexer sind als in der Zeit. Außerdem ist aufgrund des partiell elliptischen Charakters der Gleichungen eine Kopplung u ¨ ber das gesamte Integrationsgebiet zu gew¨ ahrleisten (Drucksignale breiten sich unendlich schnell aus), wohingegen ein schrittweises Voranschreiten in der Zeit m¨oglich ist und nur die Kopplung an sehr wenige fr¨ uhere Zeitniveaus erfordert. Die meisten numerischen Verfahren lassen sich daher durch die fol-

58

4 Numerische Modellierung

genden Schritte beschreiben: D1 R¨ aumliche Diskretisierung der L¨osung, d.h. Definition diskreter Unbekannter oder Frei¨ heitsgrade. Ubergang von einer Variablen φ(x) auf einen Vektor diskreter Werte φi , i = 1, . . . N , hier notiert als Φ ∈ N . D2 Definition diskreter Operatoren, z.B. Ersetzen der kontinuierlichen Ableitung ∂x durch eine Operation δx , die auf den Vektor Φ angewendet wird. D3 Diskretisierung in der Zeit, d.h. Festlegen einer Vorschrift, die Φn+1 zum Zeitpunkt tn+1 aus Werten Φn , Φn−1 , . . . ermittelt. Es sei angemerkt, dass D1 die Diskretisierung der Anfangsbedingungen einschließt, und dass in D1 bzw. D2 den Randbedingungen Rechnung getragen werden muss. Die grundlegende Systematisierung verschiedener numerischer Verfahren erfolgt anhand von Schritt D1. Je nach der hierf¨ ur verwendeten Definition spricht man von Finite–Differenzen– Verfahren, Finite–Volumen–Verfahren, Finiten Elementen, Spektralmethoden oder Partikelverfahren. Letztere basieren auf der Modellierung des Fluids durch ein statistisches Ensemble einzelner Partikel und haben bisher nicht so breite Anwendung gefunden wie die u ¨ brigen der genannten Verfahren. Da sie auch andere mathematische Werkzeuge zu Beschreibung und Analyse erfordern, soll diese Klasse hier ausgeklammert werden. F¨ ur eine ¨ Ubersicht und den Einsatz bei LES sei auf [395] verwiesen. Zu jeder der genannten Klassen gibt es unz¨ahlige Varianten. Auch existieren weitere Gruppen wie z.B. Splinemethoden [305], die den Finiten Differenzen aber auch den Finiten Elementen ¨ ahnlich sind und in [304],[302] f¨ ur LES verwendet wurden. Anstelle von Splines k¨ onnen auch Wavelets als Basisfunktionen eines numerischen Verfahrens gew¨ ahlt werden [174]. Sie erlauben auf nat¨ urliche Weise die Identifikation der energiereichen Anteile einer turbulenten Str¨ omung und somit die Konstruktion von adaptiven Algorithmen, die nur diese energiereichen Anteile der Str¨omung berechnen [175]. In j¨ ungster Zeit wurde die Effizienz derartiger Verfahren deutlich gesteigert [603], so dass sie sich zu einer interessanten Alternative zu anderen Diskretisierungsans¨atzen f¨ ur LES entwickeln k¨ onnten. Bei der Gegen¨ uberstellung numerischer Verfahren ist es prinzipiell nicht m¨ oglich, von grunds¨ atzlich besseren oder schlechteren Methoden zu sprechen. Vielmehr h¨ angt die geeignete Auswahl eines Verfahrens von den detaillierten Einsatzbedingungen ab. Dazu geh¨ oren: der Typ des Problems, die gew¨ unschte Genauigkeit, Komplexit¨ at und Programmieraufwand, verf¨ ugbare Rechnerarchitektur, know-how in einer Arbeitsgruppe, etc. Außerdem existieren unz¨ ahlige Untervarianten und Optimierung f¨ ur spezielle Konfigurationen, die hier nicht diskutiert werden k¨onnen. Zur Illustration wird in diesem Kapitel mit dem Ziel der Klarheit meist der eindimensionale Fall betrachtet und f¨ ur diesen die lineare Konvektions–Diffusionsgleichung mit Quellterm ∂t φ + U ∂x φ − Γ∂xx φ = f

(4.1)

versehen mit geeigneten Rand– und Anfangsbedingungen. Dabei sind U und Γ Konstanten. Ersetzt man U durch φ, erh¨alt man die nichtlineare Burgers–Gleichung, die die Nichtlinearit¨ at der NSG modelliert. Zur Vereinfachung der Notation wird hier der autonome Fall f (x, t) = f (φ(x, t)) betrachtet, jedoch gilt das Gesagte analog auch f¨ ur eine unabh¨ angig vorgegebene rechte Seite. Je nach Erfordernis ist es außerdem angenehm, Randbedingungen

4.2 Diskretisierungsschemata im Raum

durch x ∈

59

bzw. Periodizit¨at in x zu vermeiden.

4.2

Diskretisierungsschemata im Raum

4.2.1

Finite–Differenzen–Verfahren

Die Methode der Finiten Differenzen (FD) ist charakterisiert durch die Wahl der Freiheitsgrade φi = φ(xi )

,

i = 1, . . . , N

(4.2)

utzstellen sind. F¨ ur die Diskrein Schritt D1 des vorigen Abschnitts, wobei {xi }i=1,...,N St¨ tisierung von Ableitungen werden Finite–Differenzen–Ausdr¨ ucke benutzt, von denen hier zun¨ achst die Aufwind– und die Zentraldifferenzen in allgemeiner Form angegeben werden sollen (U > 0 in (4.1)) : ∂x φ|xi ≈ δxUDS φi =

φi − φi−1 xi − xi−1

(4.3)

∂x φ|xi ≈ δxCDS φi =

φi+1 − φi−1 xi+1 − xi−1

(4.4)

Die Approximationsg¨ ute, d.h. die Ordnung dieser Differenzenausdr¨ ucke, l¨ asst sich durch eine Taylorentwicklung bestimmen. F¨ ur die genannten Schemata ergibt sich ∂x φ|xi = δxUDS φi +

∂x φ|xi = δxCDS φi

xi − xi−1 ∂xx φ|xi + . . . 2

−

(xi+1 − xi )2 − (xi − xi−1 )2 ∂xx φ|xi 2(xi+1 − xi−1 )

−

(xi+1 − xi )3 + (xi − xi−1 )3 ∂xxx φ|xi + . . . 6(xi+1 − xi−1 )

(4.5)

(4.6)

wobei . . . Terme h¨oherer Ordnung in ∆x = xi+1 − xi bezeichnet. Die zus¨ atzlich zu den Differenzenausdr¨ ucken auftretenden Summanden stellen den sog. Abbruchfehler der Approximation des Differentialoperators dar. Man erkennt, dass f¨ ur ∆x = const. der UDS–Ausdruck alt von erster Ordnung und der CDS–Ausdruck von zweiter Ordnung in ∆x ist. Jedoch verh¨ sich auch bei ∆x = const. und parametrisierter Reduktion der Schrittweite der Fehler f¨ ur oherer Ordnung lassen sich rela(4.6) quadratisch in ∆x [151, Kap.3.3.1]. FD–Verfahren h¨ tiv leicht konstruieren. Dazu muss die Anzahl der in den Differenzenausdruck eingehenden St¨ utzstellen vergr¨oßert werden, damit sich im Abbruchfehler mehr Terme der Taylorentwicklung gegenseitig aufheben.

60

4 Numerische Modellierung

Einige Differenzensterne sollen hier f¨ ur den Fall ∆x = const. und U > 0 mit Angabe der Ordnung aufgelistet werden.

δxUDS1 φi =

1 (φi − φi−1 ) ∆x

δxCDS2 φi =

1 (φi+1 − φi−1 ) ; 2∆x

δxUDS2 φi =

1 (3φi − 4φi−1 + φi−2 ) 2∆x

δxQUICK φi = δxKK φi = δxUDS5 φi =

δxUDS7 φi =

;

O(∆x )

(4.7)

O(∆2x ) ;

(4.8) O(∆2x )

1 (3φi+1 + 3φi − 7φi−1 + φi−2 ) ; 8∆x

(4.9) O(∆3x )

1 (φi+2 − 2φi+1 + 9φi − 10φi−1 + 2φi−2 ) 6∆x

;

(4.10) O(∆3x )

1 (−3φi+2 + 30φi+1 + 20φi − 60φi−1 + 15φi−2 − 2φi−3 ) 60∆x

(4.11) ;

O(∆5x )

(4.12)

O(∆7x )

(4.13)

1 (4φi+3 − 42φi+2 + 252φi+1 + 105φi 420∆x −420φi−1 + 126φi−2 − 28φi−3 + 3φi−4 ) ;

F¨ ur die zweite Ableitung ∂xx φ|xi ist hier nur der Differenzenstern zweiter Ordnung CDS2 δxx φi =

1 (φi+1 − 2φi + φi−1 ) ∆2x

;

O(∆2x )

(4.14)

von Interesse. Zentrale Differenzen haben symmetrische Koeffizienten, Aufwindverfahren entstehen durch unsymmetrische Ausdr¨ ucke. Dabei wird hier nicht zwischen reinen Aufwindverfahren (“upwind schemes”), bei denen die Diskretisierungspunkte nur auf einer Seite liegen, und allgemeineren unsymmetrischen Verfahren (“upwind–biased schemes”) unterschieden, beide werden als Aufwindverfahren bezeichnet. Wechselt der Koeffizient U in (4.1) das Vorzeichen, werden die Nachbarindizes in entgegengesetzter Richtung gew¨ ahlt. Das UDS2–Verfahren zweiter Ordnung ist nicht sehr gebr¨auchlich, dient jedoch weiter unten zu Vergleichszwecken. Das QUICK–Verfahren [326] wird wegen seiner Beliebtheit bei RANS Rechnungen gelegentlich auch f¨ ur LES verwendet. Das Aufwindverfahren dritter Ordnung (KK) von Kawamura und Kuwahara [283] wurde in [576] f¨ ur LES ohne Feinstrukturmodell benutzt, was im folgenden Kapitel diskutiert wird. Die beiden Aufwindverfahren f¨ unfter und siebter Ordnung aus [482] wurden in [32] f¨ ur LES eingesetzt. F¨ ur nichtlineare Terme sind unterschiedliche Schemata gleicher Ordnung dadurch m¨ oglich, dass a ¨quivalente Umformungen im Kontinuierlichen i.A. nicht a ¨quivalent im Diskreten sind.

61

4.2 Diskretisierungsschemata im Raum

Ein Beispiel liefert die Nichtlinearit¨at der Burgers–Gleichung  2 φ2 − φ2i−1 φ φi+1 − φi−1 = i+1 φ∂x φ = ∂x , φi 2 2∆x 4∆x

.

(4.15)

Dieser Aspekt ist von Bedeutung f¨ ur die Konstruktion spezieller Verfahren mit zus¨ atzlichen Erhaltungseigenschaften, was in Abschnitt 4.7.4 diskutiert wird. Dirichlet–Randbedingungen werden in FD–Verfahren dadurch implementiert, dass an den Gitterpunkten, die auf dem Gebietsrand liegen, entsprechende Werte vorgeschrieben werden. Bei Neumann–Randbedingungen wird ein einseitiger Differenzenstern zu diesem Zweck eingesetzt, wobei zu ber¨ ucksichtigen ist, dass nach M¨ oglichkeit die Ordnung des Gesamtverfahrens erhalten bleiben sollte. Die Verallgemeinerung auf mehrere Dimensionen erfolgt in Tensorproduktform mit St¨ utzstellen xi,j,k = (xi , yj , zk ), i = 1, . . . , Ni , j = 1, . . . , Nj , k = 1, . . . , Nk , was ein kartesisches Gitter erzeugt. Krummlinige Koordinaten ξ werden durch eine Abbildung des physikalischen Gebietes auf ein Rechengebiet mit ¨ aquidistanter, kartesischer Diskretisierung realisiert: x = x(ξ) mit ξi,j,k = (i, j, k), wobei die Jacobi–Matrix der Transformation ebenfalls durch Finite–Differenzen–Ausdr¨ ucke approximiert wird.

4.2.2

Kompakte Finite–Differenzen–Verfahren

Mit den Differenzenausdr¨ ucken im vorigen Abschnitt wird eine N¨ aherung f¨ ur die Ableitung aus den Funktionswerten an den Nachbarstellen bestimmt. Bei kompakten Finiten– Differenzen–Verfahren (auch Pad´e–, Hermite– oder Mehrstellenverfahren genannt) werden zus¨ atzlich die Ableitungen an den Nachbarpunkten mit herangezogen, d.h. J b 1 J a b0 δx φ|i = aj φ|i+j + bj δx φ|i+j . (4.16) j=−Ja j=−Jb ,j=0 ∆x In der Praxis wird i.A. Jb = 1 gew¨ahlt. Die zweite Summe in (4.16) hat zur Folge, dass δx φ|i nicht direkt berechnet werden kann, sondern zur Bildung der Ableitung ein Gleichungssystem gel¨ ost werden muss. Es ist jedoch eindimensional und kann daher effizient mit einem Algorithmus f¨ ur Bandmatrizen gel¨ost werden. Durch die L¨ osung des Gleichungssystems steigt der Rechenaufwand, und an Gebietsr¨andern ist der Differenzenstern geeignet zu modifizieren. Andererseits kann mit einem wenig ausgedehnten Differenzenstern die Ordnung des Verfahrens deutlich gesteigert werden oder es k¨ onnen andere numerische Eigenschaften verbessert werden. Dies ist in Abb. A.8 des Anhangs illustriert und wird dort n¨ aher diskutiert.

4.2.3

Finite–Volumen–Verfahren

Speziell f¨ ur Erhaltungsgleichungen wird die Methode der Finiten Volumen (FV) eingesetzt. Sie ist durch die diskreten Unbekannten  1 φi = φ(x) dx , i = 1, . . . , N (4.17) |Vi | Vi des Integrationsgebietes mit dem in Schritt D1 charakterisiert. Dabei sind Vi Teilvolumina  ullen. Im Eindimensionalen kann Volumen |Vi | , die sich nicht u ¨berlappen und i Vi = Ω erf¨

62

4 Numerische Modellierung

beispielsweise Vi = [xi −∆x /2; xi +∆x /2] gew¨ahlt werden. F¨ ur Schritt D2 wird die Gleichung in Erhaltungs– oder Divergenzform angeschrieben. Durch Integration u ¨ ber jedes einzelne Kontrollvolumen Vi und Anwenden des Gaußschen Integralsatzes werden Ableitungen in ur die Modellgleichung (4.1) Randintegrale u usse U φ und Γ∂n φ umgeformt. F¨ ¨ ber die sog. Fl¨ erh¨ alt man beispielsweise    |Vi |∂t φi + U φ n ds − Γ ∂n φ ds = f dx , i = 1, . . . , N , (4.18) ∂Vi

∂Vi

Vi

wobei n die Richtung des Randes, in h¨oheren Dimensionen den Randnormalenvektor, und ds die Integration u ¨ ber den Rand des Teilvolumens, ∂Vi , bezeichnet. Die Randintegrale m¨ ussen im H¨ oherdimensionalen durch eine Quadraturformel gen¨ ahert werden, h¨ aufig die Mittelpunktsregel auf jeder Seitenfl¨ache. Die Werte von φ und seinen Ableitungen an den entsprechenden Quadraturpunkten auf dem Rand werden durch Interpolation aus den Werten φi berechnet. Damit entsteht wieder ein Gleichungssystem f¨ ur die Freiwerte {φi }i=1,...,N . ¨ Die Aquivalente einiger der im vorigen Abschnitt genannten FD–Schemata lauten dann in der eindimensionalen FV Formulierung   U U U φ n ds = A Fi+ , (4.19) 1 − F 1 i− 2

∂Vi

2

wobei A die Fl¨ ache der Zellen senkrecht zur x−Achse ist. Die Fl¨ usse werden berechnet aus U,UDS1 Fi+ 1

=

U φi

(4.20a)

U,CDS2 Fi+ 1

=

1 (U φi+1 + U φi ) 2

(4.20b)

U,QUICK Fi+ 1

=

1 (3U φi+1 + 6U φi − U φi−1 ) 8

2

2

2

F¨ ur den Diffusionsterm   Γ Γ Γ ∂n φ ds = A Fi+ 1 − F 1 i− 2

∂Vi

2

.

(4.20c)

(4.21)

ist sehr oft die zentrale Diskretisierung zweiter Ordnung Γ,CDS2 Fi+ =Γ 1 2

φi+1 − φi ∆x

(4.22)

CDS2 ausreichend, die dem Ausdruck δxx entspricht. F¨ ur konstante Koeffizienten l¨ aßt sich direkt die Beziehung ... ... ... δ... = Fi+ 1 − F i− 1 2

2

(4.23)

zwischen den Interpolationsformeln zur Flussberechnung und den entsprechenden Finiten– ¨ Differenzen–Ausdr¨ ucken herstellen, was die Aquivalenz beider Ans¨ atze in diesem Fall verdeutlicht.

4.2 Diskretisierungsschemata im Raum

63

FV Diskretisierungen haben gegen¨ uber allgemeinen FD–Verfahren zus¨ atzliche Eigenschaften, denn aufgrund der Konstruktion eines FV–Verfahrens u agt sich die Erhaltungsei¨ bertr¨ genschaft der Gleichung auf das diskrete System. Ohne Rand– und Quellterme gilt 



 i

φi

dx = Vi

φ(x) dx = const. .

(4.24)

Ω

 ¨ Mit Randtermen ergeben sich Anderungen von Ω φdx nur aus den Termen am Gebietsrand ∂Ω, denn die Fl¨ usse an inneren R¨andern der Teilvolumina heben sich in der Summe u ¨ ber i gegenseitig auf. Aus diesem Grund werden FV–Verfahren zur L¨ osung der Erhaltungsgleichungen der Str¨omungsmechanik oft bevorzugt, da sie die Erhaltungseigenschaften der kontinuierlichen Gleichungen auch im Diskreten aufweisen. Ein weiterer, haupts¨ achlich f¨ ur kompressible Str¨omungen bedeutsamer Grund ist, dass unstetige L¨ osungen mit der Integralform der Gleichungen beschrieben werden k¨onnen, nicht jedoch mit der differentiellen Form. Die Ordnung eines FV–Verfahrens h¨angt durch die Konstruktion von den beiden Schritten, Quadratur der Randintegrale und Flussapproximation ab. Wird nur eine der beiden Vorschriften allein in ihrer Ordnung verbessert, erh¨ oht sich die Ordnung des Gesamtverfahrens nicht. Zur Quadratur der Randintegrale werden meist die Mittelpunkts– oder die Trapezregel verwendet, d.h. der Fluss wird auf dem Fl¨ achenmittelpunkt oder den Ecken bestimmt. Beide sind von zweiter Ordnung. Wenn also weiter unten Interpolationsformeln zur Flussberechnung von h¨oherer als zweiter Ordnung angegeben werden, so liefern diese zwar i.A. ein etwas besseres Ergebnis, jedoch bleibt durch die Beibehaltung der Quadratur insgesamt die zweite Ordnung erhalten. Um tats¨ achlich eine h¨ ohere Ordnung zu erreichen, muss also auch die Quadratur der Integrale u achen der Kontrollvolumina ¨ ber die Seitenfl¨ verbessert werden. Dies erfordert gegen¨ uber der einfachen Mittelpunktsregel eine erh¨ ohte Anzahl an Quadraturpunkten, wie dies in [338] realisiert wurde, um ein Verfahren vierter Ordnung zu erhalten. Ein anderes Vorgehen besteht darin, ein Verfahren zweiter Ordnung sowohl auf dem gegebenen Gitter als auch auf einem doppelt so groben Gitter anzuwenden. Durch geeignete Kombination k¨onnen die Fehlerterme eliminiert werden, so dass ein Verfahren vierter Ordnung entsteht [606], [605], [645]. Randbedingungen werden bei FV Methoden durch das Festlegen der Fl¨ usse u ¨ ber Teilgebietsr¨ ander ∂Vi , die auf dem Rand des Integrationsgebietes ∂Ω liegen, implementiert. Beispielsweise legen Dirichlet–Bedingungen φ fest, und in der Differenzenformel f¨ ur die Ableitung ∂n φ auf dem Rand wird dieser Wert ebenfalls eingesetzt. Bei Neumann–Randbedingungen wird entsprechend umgekehrt aus dem Differenzenausdruck f¨ ur die Ableitung der Wert von φ auf dem Rand bestimmt. Die Verallgemeinerung zu h¨oheren Dimensionen im Raum kann mit beliebigen Teilvolumina geschehen, solange diese das Integrationsgebiet nur vollst¨ andig und u ¨ berlappungsfrei u at aus und sind ¨ berdecken. FV–Verfahren zeichnen sich durch hohe geometrische Flexibilit¨ im Gegenzug meist von niedriger Ordnung, was i.A. auch eine gewisse Robustheit mit sich bringt. Dies macht sie f¨ ur praktische Anwendungen interessant.

64

4.2.4

4 Numerische Modellierung

Finite–Elemente–Verfahren

Finite Elemente (FE) basieren auf der Diskretisierung φ(x) ≈ φN (x) =

N i=1

φi bi (x)

,

x∈Ω

(4.25)

wobei die Ansatzfunktionen bi nur auf einem sehr kleinen Bereich von Null verschieden sind. Dieser Bereich heißt Tr¨ager der Funktion. Einsetzen von (4.25) in die zu l¨ osende Gleichung, hier (4.1), Multiplikation der Gleichung mit sog. Testfunktionen θj (x), j = 1, . . . , N , und Integration u ¨ber Ω ergibt   N N ∂t φi bi (x) θj (x) dx + U φi ∂x bi (x) θj (x) dx (4.26) i=1

+

Γ

N i=1



i=1

Ω

φi

 ∂x bi (x) ∂x θj (x) dx =

Ω

Ω

f (x) θj (x) dx

,

j = 1, . . . , N

,

Ω

wobei im Diffusionsterm einmal partiell integriert wurde und Randterme unber¨ ucksichtigt sind. Wie die Funktionen bi sind auch die Testfunktionen θj nur lokal definiert. Dadurch haben die Matrizen, die durch die Integrale entstehen, Bandstruktur und lassen sich leicht anwenden und invertieren. Wenn bi (x) = θi (x), spricht man von einer Galerkin–Methode, ansonsten von einer Petrov–Galerkin–Methode. Beide werden zusammengefasst als “Methoden gewichteter Residuen” bezeichnet [152]. Mit dem Ansatz (4.25) existiert im Gegensatz zu den vorher besprochenen Verfahren eine an jedem Punkt des Integrationsgebietes definierte approximierende Funktion φN , was die mathematische Analyse der FE–Verfahren mit den Hilfsmitteln der Funktionalanalysis erlaubt. Hierzu gibt es eine sehr gut entwickelte Theorie, z.B. [54]. Der Ansatz (4.25) ist dimensionsunabh¨angig. Zun¨ achst werden sog. Finite Elemente definiert, die ebenso wie Finite Volumina das Integrationsgebiet u ¨ berdecken. (In der Tat lassen sich FV–Verfahren als FE–Methoden interpretieren, bei denen bi = χ[Vi ] , also die Indiaufig Dreiecke und katorfunktion des Volumens Vi ist.) Im Zweidimensionalen werden h¨ Rechtecke, im Dreidimensionalen Tetraeder und Hexaeder, aber auch Prismen und Pyramiden verwendet. Die Ansatz– und Testfunktionen werden dann u ¨ ber Kontrollpunkte, meist die Eckpunkte dieser Elemente, definiert. Da diese Zerlegung sehr flexibel geschehen kann, sind FE–Verfahren f¨ ur komplexe Geometrien gut geeignet. Oft werden st¨ uckweise lineare Funktionen gew¨ ahlt, was Verfahren zweiter Ordnung liefert. Glattere Funktionen erzeugen Verfahren h¨ oherer Ordnung. F¨ ur die Auswertung von Integralen wie auf der rechten Seite von (4.26) werden zu der jeweiligen Ordnung passende Quadraturformeln eingesetzt. Randbedingungen k¨onnen so implementiert werden, dass z.B. im Falle homogener Dirichlet– Bedingungen (φ|∂Ω = 0) nur Ansatzfunktionen in (4.25) ber¨ ucksichtigt werden, die auf dem Gebietsrand verschwinden. FE–Verfahren zeichnen sich wie FV–Methoden durch große Flexibilit¨ at aus, haben aber bisher in der Str¨omungsmechanik weniger Verbreitung gefunden als in der Stukturmechanik, wo sie heute eindeutig dominieren.

65

4.2 Diskretisierungsschemata im Raum

4.2.5

Spektralmethoden

Spektralmethoden [74], [451] beruhen wie FE–Verfahren auf einem Ansatz nach Gleichung (4.25), (4.26) und stellen daher auch “Methoden gewichteter Residuen” dar. Dazu werden ager das gesamte Integrationsgebiet ist jedoch jetzt Basisfunktionen bi verwendet, deren Tr¨ und die sehr glatt, d.h. beliebig oft differenzierbar sind. Dies sind meist trigonometrische Polynome oder Jacobi– insbesondere Tschebyscheff–Polynome. Hier soll der Einfachheit halber und zur sp¨ateren Ankn¨ upfung nur der trigonometrische Fall diskutiert werden. Im Eindimensionalen lautet der Schritt D1 der Diskretisierung dann φ(x) ≈ φN (x) =

N
k=−N


2πı kx L φˆN k e

x∈Ω

,

(4.27)

mit N
= (N − 1)/2 und ungeradem N zur Vereinfachung der Notation. Aus verschiedenen Gr¨ unden ist es nur sinnvoll, in (4.27) f¨ ur L die L¨ ange des Integrationsgebietes, z.B. Ω = [0; L], zu verwenden. Damit ist die numerische L¨ osung φN (x) der Gleichung (4.1) immer periodisch. Der Ansatz (4.27) ist also nur angebracht, wenn periodische Randbedingungen vorliegen. 1 Nichtperiodische Bedingungen werden mit Jacobi–Polynomen diskretisiert [74]. Wie bei FE–Verfahren wird Gleichung (4.1) nach Einsetzen von (4.27) mit Testfunktionen θj multipliziert und integriert, so dass die Form (4.26) entsteht. Die Wahl von θj = bj und die Orthogonalit¨at der Exponentialfunktionen (A.28) liefern 2 2 ˆN ˆN ˆN ∂t φˆN k + U 2πık φk + Γ4π k φk = fk

.

(4.28)

Man erkennt, dass sich – wie in (A.20) und Abschnitt A.2.3 diskutiert – Ableitungen im Wesentlichen zu Multiplikationen mit der Wellenzahl transformieren. Im station¨ aren Fall lautet die L¨ osung von (4.28) und damit (4.1) beispielsweise einfach φˆN k =

1 fˆN U 2πık + Γ4π 2 k 2 k

.

(4.29)

Integrale, wie zur Bestimmung von fˆkN , werden mit trigonometrischen Quadraturen berechnet. F¨ ur ¨ aquidistante St¨ utzstellen existieren daf¨ ur schnelle Algorithmen (FFT). Nichtlineare Terme wie φ∂x φ werden meist mit der sog. pseudo-spektralen Technik ausgewertet, die darin besteht, dass Ableitungen im Frequenzbereich und Produkte im Ortsbereich berechnet werden, was die kostspielige Faltung gem¨aß (A.23) vermeidet. Da, wie in Abschnitt A.1.6 des Anhangs diskutiert, glatte Funktionen sehr schnell abklingende Fourier–Koeffizienten haben, f¨allt der Approximationsfehler |φ − φN | f¨ ur gen¨ ugend große N extrem schnell mit N . Weiterhin werden Ableitungen von φN exakt diskretisiert (siehe A.2.3), so dass sehr genaue Verfahren resultieren, sobald N gen¨ ugend groß ist. F¨ ur zu kleine N erzeugt das Gibbs–Ph¨anomen Oszillationen, die auf weit gr¨ oßere Fehler f¨ uhren k¨ onnen, als sie mit Verfahren niedrigerer Ordnung und gleicher Zahl an Ansatzfreiwerten N erreicht w¨ urden [205, Kap.3]. 1 Streng genommen d¨ urfte man nicht von periodischen “Randbedingungen” sprechen, denn (4.1) mit Periodizit¨ at der L¨ osung ist kein Anfangs–Randwertproblem, sondern ein reines Anfangswertproblem. Der Sprachgebrauch hat sich jedoch eingeb¨ urgert.

66

4 Numerische Modellierung

In der Str¨ omungsmechanik fanden Spektralmethoden ihre erste bedeutende Anwendung bei der Simulationen isotroper Turbulenz [437]. In Abschnitt 2.4.2 wurden die NSG f¨ ur diese Situation im Bildbereich der Fourier–Transformation geschrieben. Dabei wurde die Intervalll¨ ange L beliebig groß und n ∈ 3 angenommen. Die Wahl von L definiert das zu l¨ osende physikalische Problem. (W¨ahlt man f¨ ur L einen endlichen Wert zur Approximation einer nichtperiodischen Situation, (L → ∞), so entsteht ein Modellierungsfehler, der an anderer Stelle diskutiert wird.) Gegeben sei also der periodische Fall, beispielsweise mit L = 1, und statt n ∈ mit einer endlichen Zahl von Basisfunktionen. Im H¨ oherdimensionalen muss (4.27) in Form eines Tensorproduktansatzes verwendet werden, so dass sich f¨ ur den dreidimensionalen Geschwindigkeitsvektor ui die numerische Approximation 









ui (x) ≈ uN i (x) =

N
n1

N


=−N


n2

N


=−N


n3 =−N


2πın·x u ˆN i (2πn) e

(4.30)

ergibt. Nun k¨ onnen durch Einsetzen die NSG im Frequenzbereich (2.38) nach dem soeben beschriebenen Verfahren numerisch gel¨ost werden. Die Attraktivit¨ at des Ansatzes (4.27) bzw. (4.30) beruht auf folgenden Aspekten: Die Periodizit¨ at ist durch die Basisfunktionen direkt implementiert. Die Approximationsg¨ ute f¨ ur glatte Funktionen ist sehr gut, man spricht von so genannter “spektraler Konvergenz” [205, Kap.3]. Ableitungen der Funktionen uN i werden exakt berechnet. Durch schnelle Fourier– Transformation resultieren sehr effiziente L¨oser f¨ ur lineare Gleichungen mit konstanten Koeffizienten. F¨ ur LES ergibt sich ein unmittelbarer Zugang zu Frequenz und Filterung einerseits und zu den Resultaten der Theorie isotroper Turbulenz andererseits. Der Nachteil des Ansatzes liegt in der vergleichsweise geringen geometrischen Flexibilit¨ at, auch wenn statt der Exponentialfunktionen Polynome verwendet werden, um nichtperiodische Probleme zu diskretisieren. Wird ein str¨ omungsmechanisches Problem nicht in allen Richtungen, sondern nur in einer Richtung mit periodischen Randbedingungen definiert, bietet sich oft eine partielle Fourier– ¨ Technik an. Das dreidimensionale Aquivalent zu (4.1) f¨ ur φ = φ(x1 , x2 , x3 ) lautet ∂t φ + Uj ∂xj φ − Γ∂xj xj φ = f

,

x ∈ [0; 1]3

.

(4.31)

Wird Periodizit¨ at in x1 gefordert, so legt dies den Ansatz φ(x) =

N
k=−N


2πıkx1 φˆN k (x2 , x3 ) e

(4.32)

nahe. Einsetzen in (4.31) und Koeffizientenvergleich liefert ∂t φˆN k

+ (U1 2πık1 + U2 ∂x2 + U3 ∂x3 ) φˆN k
 ˆN + Γ 4πk12 − ∂x2 x2 − ∂x3 x3 φˆN k = fk

(4.33) ,

k = 0, . . . N


.

Ein sinnvoller Einsatz erfordert konstante Schrittweite in x1 f¨ ur die Quadratur. Mit (4.32),(4.33) wird also ein dreidimensionales Problem in N
+ 1 zweidimensionale Gleichungen f¨ ur φˆN at drastisch reduziert. Die Bek (x2 , x3 ) transformiert, was die Komplexit¨ schr¨ ankung auf positive Indizes k ist wegen der Symmetrie (A.9) der Koeffizienten φˆN ur k f¨

4.2 Diskretisierungsschemata im Raum

67

reelle Funktionen φ m¨oglich. Die L¨osung dieser entkoppelten Probleme kann mit irgendeinem anderen geeigneten Verfahren, z.B. FD, FV oder FE, geschehen. Sind nichtlineare Terme vorhanden, z.B. wenn Uj = Uj (φ), so m¨ ussen diese vorher ausgewertet und mit dem Quellterm zusammengefasst werden, denn sie implizieren eine Kopplung der Moden. Weiterhin m¨ ussen sich die Randbedingungen geeignet transformieren lassen. So ist z.B. der lokale Wechsel zwischen Dirichlet– und Neumann–Randbedingungen auf den verbleibenden oglich. Dies illustriert typische Randfl¨ achen, also z.B. innerhalb der Fl¨ache x2 = 0 nicht m¨ Restriktionen der Randbedingungen bei Spektralmethoden. Das hier beschriebene Verfahren wird, mit zwei periodischen Richtungen, h¨aufig zur LES und DNS von Kanalstr¨ omungen und Grenzschichten verwendet. Noch h¨aufiger ist der Einsatz f¨ ur LES und DNS, wenn sich Geometrie und Rendbedingungen in einer Koordinatenrichtung nicht ¨ andern, wie z.B. bei einem langen Zylinder mit periodischen Randbedingungen in Spannweitenrichtung. Dann ist in dieser Richtung die obige Fourier–Methode attraktiv.

4.2.6

¨ Ubersicht

Im Eindimensionalen sind die geschilderten Diskretisierungsverfahren bei gleicher Ordnung sehr ¨ ahnlich. Man kann beispielsweise zeigen, dass zentrale FD zweiter Ordnung, FV zweiter Ordnung mit zentraler Berechnung der Fl¨ usse und FE mit linearen Ansatzfunktionen f¨ ur (4.1) exakt dasselbe diskrete Gleichungssystem erzeugen [452, Kap.4]. Auf dem Grundprinzip beruhende Unterschiede treten daher vornehmlich in h¨ oheren Dimensionen auf. Hierbei ist der Begriff der strukturierten Diskretisierung von Bedeutung. Er bezeichnet die Tatsache, dass jeder Gitterpunkt bzw. Freiheitsgrad dieselbe Anzahl und topologische Anordnung von Nachbarn hat. Der Prototyp ist das rechtwinklige kartesische Gitter. Daher ist z.B. im Dreidimensionalen eine Indizierung u oglich. Geo¨ ber ein Indextrippel (i, j, k) m¨ metriegr¨ oßen ergeben sich oft direkt aus den Indizes oder lassen sich einfach berechnen. Die Variablenanordnung im Speicher eines Rechners ist von vornherein bekannt, was f¨ ur effizienten Speicherzugriff bedeutsam ist. Der R¨ uckgriff auf Kombinationen eindimensionaler Algorithmen in jeder Indexrichtung ist m¨oglich. Dies wird z.B. bei ADI–Verfahren [438] und kompakten Finiten Differenzen (Abschnitt A.2) ausgenutzt. Ist die Geometrie durch gekr¨ ummte Berandungen gepr¨agt, so kann dies durch ein entsprechend verzerrtes strukturiertes Gitter ber¨ ucksichtigt werden. Es resultieren also krummlinige Gitterkoordinaten, die z.B. bei Finiten Differenzen auf ein rechtwinkliges kartesisches Gitter transformiert und dort diskretisiert werden. Unstrukturierte Diskretisierungen erf¨ ullen die genannte Bedingung bez¨ uglich der Nachbarschaften von Punkten nicht. Variablen k¨onnen flexibel angeordnet werden, wie dies in nahezu allen FE–Verfahren implementiert ist. Die Zuordnung erfolgt mit Listen. Geeignete Datenstrukturen sind hierf¨ ur besonders wichtig und werden mit fortschreitender Softwaretechnik immer effizienter. Der Aufwand pro Gitterpunkt ist jedoch i.A. h¨ oher als bei strukturierten Verfahren. Dies wird oft durch die sehr hohe geometrische Flexibilit¨ at kompensiert. Sie kann einerseits zur Darstellung komplexer Gebietsr¨ ander eingesetzt werden. Andererseits erm¨ oglicht sie auch ein Einsparen von Gitterpunkten in Bereichen einer glatten L¨ osung im Gebietsinneren. Auch wenn dies hier nicht vertieft werden kann, so ist in komplexen Anwendungen die Gittererzeugung ein Aspekt, der die Qualit¨ at der L¨ osung oft stark beeinflusst

68

4 Numerische Modellierung

und sich zu einem eigenen Forschungszweig entwickelt hat. In Kapitel 9 werden die Unterschiede zwischen einer strukturierten und einer unstrukturierten Diskretisierung anhand zweier LES f¨ ur dieselbe Konfiguration illustriert. Von praktischer Seite ergeben sich u.a. folgende Beobachtungen f¨ ur die besprochenen Verfahren. Große Differenzensterne sind nur f¨ ur strukturierte Diskretisierungen (FD, FV-strukturiert) sinnvoll, da ansonsten das Suchen weiter entfernter Nachbarn zu aufw¨ andig wird. Im Extremfall der Spektralmethoden u ¨ berdeckt der “Differenzenstern” das gesamte Rechengebiet. In Abschnitt 4.4 wird schließlich noch der Aspekt versetzter und nichtversetzter Diskretisierung diskutiert. Nichtlineare Terme werden oft dadurch linearisiert, dass die entsprechenden Vorfaktoren aus dem vorangegangenen Zeitschritt bestimmt werden oder bei iterativer L¨ osung aus der vorangegangenen Iteration. Besser ist jedoch eine Taylor– Entwicklung des Flusses gem¨aß (∂F/∂φ)n (φn+1 − φn ).... Hybride Verfahren entstehen auf unterschiedliche Weise. Zun¨ achst kann termweise eine andere Diskretisierung eingesetzt werden. Z.B. kann der Konvektionsterm in einer FE Methode mit einem FV Stern diskretisiert werden. Der Wechsel der Diskretisierung je nach Koordinatenrichtung in Abschnitt 4.2.5 ist ein weiterer Fall. Zweitens kann das Teilgebietskonzept verwendet werden. Ein bestimmtes Verfahren wird auf jedem Teilgebiet eingesetzt und diese in geeigneter Weise gekoppelt. Beispiele sind Spektral–Elemente–Verfahren, die einer erweiterten FE Technik entsprechen [444],[281], oder die Kopplung zwischen einer Spektralmethode und einem FE–Verfahren in einem Teilgebiet nahe einer Singularit¨ at [47]. Teilgebiete sind auch sinnvoll, um geometrische Flexibilit¨ at einer ansonsten strukturierten Diskretisierung zu erreichen. Auf jedem Teilgebiet wird dabei ein strukturiertes Verfahren eingesetzt, die Teilgebiete selbst aber unstrukturiert miteinander gekoppelt – man spricht in diesem Fall von block–strukturierten Verfahren . Solche Gebietszerlegungen sind derzeit auch Grundlage der Parallelisierung vieler str¨ omungsmechanischer Codes [151]. Details werden in Kapitel 9 anhand einer konkreten Implementierung erl¨ autert. Abschließend sei noch erw¨ahnt, dass es sich bei den bisher vorgestellten Diskretisierungsverfahren um lineare Diskretisierungen handelt; d.h. die Diskretisierung erfolgt unabh¨ angig von der L¨ osung. Nichtlinearit¨at kann zun¨achst dadurch entstehen, dass das verwendete Gitter an die aktuelle L¨ osung angepasst wird. Dabei wird die Diskretisierung w¨ ahrend der Rechnung st¨ andig lokal verfeinert, z.B. wo der Gradient der L¨ osung groß ist, und vergr¨ obert, wo dies nicht der Fall ist. Solche adaptiven Verfahren wurden f¨ ur LES bisher nicht eingesetzt. Der Aufwand zur Gitteranpassung ist nicht unerheblich und nur f¨ ur Anwendungen gerechtfertigt, bei denen sich der Charakter der L¨ osung sehr stark im Raum ¨ andert, wie beispielsweise beim Auftreten von Verdichtungsst¨ oßen oder Flammenfronten. Eine andere Art nichtlinearer Diskretisierung entsteht, wenn der verwendete Differenzenstern von der L¨ osung abh¨ angt. Auf dem Gebiet der kompressiblen Str¨ omungen wurden solche Verfahren mit dem Ziel entwickelt, das Auftreten numerisch bedingter Oszillationen in der N¨ ahe von Verdichtungsst¨oßen zu vermeiden. Einige dieser Schemata werden in Abschnitt 4.6.4 diskutiert. F¨ ur LES werden alle der genannten Diekretisierungsverfahren eingesetzt. Die Frage, ob es sich um ein FD–, FV– oder FE–Verfahren handelt, ist dabei nicht so bedeutsam, da alle drei ¨ ahnliche Eigenschaften besitzen k¨onnen. Wichtiger ist, wie genau diese Eigenschaften aussehen, d.h. die Datenstruktur und insbesondere der Diskretisierungsfehler, der in den

4.3 Diskretisierungsschemata in der Zeit

69

Abschnitten 4.5–4.7 eingehend besprochen wird. Spektralmethoden sind im Hinblick auf den Diskretisierungsfehler ideal, k¨onnen jedoch nur f¨ ur sehr einfachen Geometrien verwendet werden.

4.3

Diskretisierungsschemata in der Zeit

4.3.1

Klassifizierung

Es soll nun Schritt D3 aus Abschnitt 4.1 diskutiert werden, die Diskretisierung der NSG in der Zeit. Grundlegende Aspekte werden in diesem Abschnitt zun¨ achst anhand von Modellgleichungen dargestellt. Ein Spezifikum der NSG f¨ ur inkompressible Str¨ omungen ist das Fehlen eines Zeitableitungsterms f¨ ur den Druck. Dieser Aspekt und entsprechende Algorithmen werden im nachfolgenden Abschnitt angesprochen. Ausgangspunkt ist eine Ortsdiskretisierung, die auf den Vektor der diskreten Unbekannten Φ f¨ uhrt. Mit einem oberen Index werden Zeitniveaus tn gekennzeichnet, wobei ∆t = tn+1 − tn . Aufgabe ist nun, Φn+1 aus bekannten Werten Φn , Φn−1 , . . . zu berechnen. Dass ein solches in der Zeit fortschreitendes Verfahren sinnvoll ist, liegt, wie in Abschnitt 4.1 diskutiert, in der partiell parabolischen Natur der Gleichungen begr¨ undet. achst sollen alle Terme der r¨aumlich diskretisierten Gleichung außer dem ZeitableitungsZun¨ term in der rechten Seite R = R(Φ) zusammengefasst werden, so dass ∂t Φ = R

(4.34)

zu diskretisieren ist. Ein explizites Verfahren hat die Form Φn+1 = F(Φn , Φn−1 , . . .) ,

(4.35)

asst. Ein implizites so dass sich Φn+1 direkt durch Auswerten der rechten Seite berechnen l¨ Verfahren lautet G(Φn+1 ) = F(Φn , Φn−1 , . . .) .

(4.36)

Das Auftreten eines nichtlinearen Operators auf der linken Seite der Gleichung erfordert in jedem Fall Iterationen zur L¨osung der Gleichungen, was Linearisierung und Aktualisierung der darin auftretenden Koeffizienten erfordert. Daher wird das Schema oft so konstruiert, dass G ein linearer Operator, d.h. eine Matrix, mit bekannten Koeffizienten ist. Bei impliziten Verfahren muss also zus¨atzlich zur Auswertung der rechten Seite ein Gleichungssystem gel¨ ost werden, weshalb diese i.A. pro Zeitschritt rechenzeitaufw¨ andiger sind. Ihre Stabilit¨ atseigenschaften, die weiter unten diskutiert werden, sind jedoch deutlich besser, so dass gr¨ oßere Zeitschritte m¨oglich sind. Rein implizite Verfahren sind z.B. oft f¨ ur alle Werte des Zeitschritts stabil, w¨ahrend explizite Verfahren i.A. nur f¨ ur ∆t unterhalb eines kritischen Wertes stabil sind. Neben der Klassifizierung in explizite und implizite Verfahren wird auch zwischen Ein– und Mehrschrittverfahren unterschieden. Bei ersteren treten in (4.35) oder (4.36) nur Φ n+1 und Φn auf. Bei Mehrschrittverfahren werden auch weitere Niveaus Φn−1 , Φn−2 , . . . mit

70

4 Numerische Modellierung

einbezogen, um die Ordnung in der Zeit zu erh¨ohen. In Einschrittverfahren k¨ onnen zum gleichen Zweck Zwischenwerte Φ∗,1 , Φ∗,2 , etc. berechnet werden. Einschrittverfahren sind selbststartend, ben¨otigen also keine besondern Vorkehrungen, um Φ1 aus der Anfangsbedingung Φ0 zu berechnen und lassen problemlos variable Zeitschritte zu. Dies ist vorteilhaft, um den Zeitschritt genauigkeits– und stabilit¨ atsabh¨ angig anzupassen. Da die rechte Seite meist mehrfach ausgewertet werden muss, ist jeder einzelne Zeitschritt etwas teurer als bei Mehrschrittverfahren. Andererseits sind solche Verfahren oft genauer und stabiler als entsprechende Mehrschrittverfahren [151, Kap.6.2.3]. In der reichhaltigen Literatur zu gew¨ ohnlichen Differentialgleichungen wurden u omungsmechanik verwen¨ ber die in der Str¨ deten hinaus viele weitere Verfahren entwickelt und analysiert. Einen sehr guten Zugang gibt [124].

4.3.2

Ein– und Mehrschrittverfahren

F¨ ur den sp¨ ateren Bezug seien hier einige klassische Schemata genannt und eingeordnet. Als Spezialf¨ alle der Mehrschrittverfahren ergeben sich auch Einschrittverfahren niedriger Ordnung. Eine direkte Vorgehensweise zum Erstellen einer Zeitdiskretisierung ist das Verwenden von FD–Schemata, wie sie bei der r¨aumlichen Diskretisierung besprochen wurden. Große Differenzensterne f¨ uhren auf Mehrschrittverfahren, kleine auf Einschrittverfahren. Drei g¨ angige Einschrittverfahren f¨ ur den Zeitschritt tn → tn+1 in (4.34) erh¨ alt man durch folgende Ausdr¨ ucke f¨ ur die linke und rechte Seite der Gleichung zum Zeitpunkt tn + ∆t /2 ∂t Φ|tn +∆t /2 =

 1
n+1 − Φn + O(∆t ) Φ ∆t

(4.37)

und R|tn +∆t /2

=

Rn + O(∆t )

(4.38)

R|tn +∆t /2

=

Rn+1 + O(∆t )

(4.39)

R|tn +∆t /2

=

 1
n+1 + Rn + O(∆2t ) . R 2

(4.40)

Gleichung (4.38) erzeugt das Vorw¨arts–Euler–Verfahren, (4.39) das R¨ uckw¨ arts–Euler–Verfahren und (4.40) das Crank–Nicolson–Verfahren. Die beiden letztgenannten sind implizite Schemata. Ohne Zwischenschritte legt die Anzahl der in das Schema eingehenden Zeitniveaus die maximal erreichbare Ordnung fest. Da also Einschrittverfahren auf zwei Zeitniveaus beschr¨ ankt sind, kann mit diesem Vorgehen f¨ ur beliebige rechte Seiten nur ein Schema maximal zweiter Ordnung konstruiert werden. Es wird durch (4.40) realisiert. Ein explizites Verfahren zweiter Ordnung ist so nicht m¨ oglich. Dies erfordert Mehrschrittverfahren, wie z.B. das Adams–Bashforth–Verfahren mit R|tn +∆t /2 =

3 n 1 n−1 R − R + O(∆2t ) . 2 2

(4.41)

71

4.3 Diskretisierungsschemata in der Zeit

Anhand der Modellgleichung (4.1) wird nun beispielhaft die Gesamtdiskretisierung einer Erhaltungsgleichung dargestellt. Nach der Diskretisierung im Raum mit Hilfe eines der in Abschnitt 4.2 besprochenen Verfahren erh¨alt man die Gleichung ∂t Φ +

U Γ Dx Φ − 2 Dxx Φ = F . ∆x ∆x

(4.42)

Dabei stellt ∆1x Dx die Matrix dar, die aus der r¨ aumlichen Diskretisierung der ersten Ableitung resultiert, entsprechend ∆12 Dxx die Matrix f¨ ur die zweite Ableitung. Die Schrittweite x in Zeit und Raum sei konstant. Die genannten Mehrschrittverfahren lassen sich nun in der Form at,1 Φn+1 + at,0 Φn + at,−1 Φn−1 + . . . + − =

(4.43)


U ∆t Dx aU,1 Φn+1 + aU,0 Φn + aU,−1 Φn−1 + . . . ∆x
 Γ∆t Dxx aΓ,1 Φn+1 + aΓ,0 Φn + aΓ,−1 Φn−1 + . . . ∆2x
 . ∆t aF,1 Fn+1 + aF,0 Fn + aF,−1 Fn−1 + . . .

zusammenfassen. Um ein konsistentes Verfahren zu definieren (d.h. ein Verfahren, das im Grenzfall ∆x → 0 und ∆t → 0 die Differentialgleichung approximiert), m¨ ussen die Koeffizienten die Bedingungen  i

at,i = 0 ,

 i

aX,i = 1 , X = U, Γ, F

(4.44)

erf¨ ullen. Die Ordnung des Verfahrens u ¨bersetzt sich ebenfalls in Bedingungen an die Koeffizienten. Als Beispiel sei wieder das Adams–Bashforth–Verfahren zweiter Ordnung betrachtet, das sich mit at,1 = −at,0 = 1 ,

aX,0 =

3 2

,

aX,−1 = −

1 2

, X = U, Γ, F

(4.45)

ergibt, wobei die verbleibenden Koeffizienten Null sind. Insbesondere f¨ ur die Burgers– Gleichung und die NSG ist dies geeignet, da der nichtlineare Term explizit diskretisiert wird. Semi–implizite Verfahren bieten sich bisweilen aus Stabilit¨ atsgr¨ unden an. Sie entstehen, wenn nur einige der Terme explizit, andere implizit diskretisiert werden. Beliebt ist z.B., auch f¨ ur LES, das obige Verfahren (4.45) durch Diskretisierung des Reibungsterms mit Hilfe des Crank–Nicolson–Schemas zu modifizieren, d.h. aΓ,1 = aΓ,0 = 1/2, aΓ,−1 = 0 [457]. Der Term ist linear und kann leichter implizit behandelt werden als ein nichtlinearer Term. Andererseits ist er im Fall (lokal) kleiner Reynoldszahl wie z.B. in Wandn¨ ahe gelegentlich stabilit¨ atsbestimmend, so dass diese Beschr¨ ankung damit umgangen werden kann (siehe auch Abschnitt 4.5.4). F¨ ur die weitere Diskussion werden hier schließlich noch die Courant–Zahl C, auch als CFL–

72

4 Numerische Modellierung

Zahl bezeichnet, und die Diffusionszahl D eingef¨ uhrt C

=

U ∆t ∆x

D

=

Γ∆t ∆2x

(4.46) .

(4.47)

Die Zell–Peclet–Zahl ergibt sich aus ihrem Verh¨altnis U ∆x C = , Γ D und das Analogon in der Impulsgleichung wird als Maschen–Reynolds–Zahl P e∆ x =

(4.48)

U ∆x (4.49) ν bezeichnet. Diese Gr¨oßen reflektieren die Bedeutung des Konvektions– und Diffusionsterm in den diskretisierten Gleichungen sowie das Verh¨ altnis beider und k¨ onnen sowohl lokal als auch global im Sinne des Maximums u ¨ ber alle Gitterpunkte definiert werden. Re∆x =

4.3.3

Einschrittverfahren h¨ oherer Ordnung

Die bekanntesten Einschrittverfahren h¨oherer Ordnung sind die Runge–Kutta (RK) Verfahren . Dabei werden Zwischenwerte Φ∗,p berechnet und die rechte Seite f¨ ur diese ausgewertet. Allgemein l¨ aßt sich ein m–stufiges RK–Verfahren in der Form m Φn+1 = Φn + ap Φ∗,p (4.50) p=1

Φ∗,p

=

∆t R(t) (t + αp ∆t , Φn +

m q=1

βp,q Φ∗,q )

,

p = 1, . . . , m

(4.51)

darstellen [124, Kap.4.2.1], wobei dieses allgemeine Schema den Fall erlaubt, dass die rechte Seite direkt von t abh¨angt. Die maximal erreichbare Ordnung (die jedoch nicht immer realisiert werden kann) ist M = m, d.h. φn+1 − φ(tn+1 ) = O(∆M+1 ) . t

(4.52)

ur q ≥ p, ansonsten ist das Verfahren imEin explizites Verfahren ergibt sich mit βp,q = 0 f¨ plizit, was Iterationen erfordert, und daher nur in Ausnahmef¨ allen verwendet wird. Durch geeignete Wahl der Koeffizienten ap , αp , βp,q lassen sich die Ordnung sowie weitere spezielle Eigenschaften in gewissen Grenzen festlegen. Beispielsweise braucht mit ap = 0 f¨ ur ur q = p − 1 immer nur der aktuelle Zwischenwert Φ∗,p gespei0, . . . , m − 1 und βp,q = 0 f¨ chert zu werden, weshalb man von “low storage” Schemata spricht. F¨ ur m = 1, a1 = 1, arts–Euler–Verfahren (4.38). In der α1 = 0, β1,1 = 0 erh¨alt man als Spezialfall das Vorw¨ Str¨omungsmechanik tritt sehr h¨aufig die Situation auf, dass die rechte Seite nicht explizit von der Zeit abh¨ angt, sondern nur u angige Variable, hier Φ. Gleichung (4.51) ¨ ber die abh¨ ist dann zu ersetzen durch m Φ∗,p = ∆t R(Φn + βp,q Φ∗,q ) . (4.53) q=1

4.4 Spezielle Aspekte bei der Diskretisierung der NSG

73

Hierf¨ ur k¨ onnen die von Jameson et al. [255] vorgeschlagenen Schemata verwendet werden, die ’low storage’ Eigenschaften besitzen und durch die Koeffizienten  βp,q =  ap =

1 m+1−q

0

, p=q+1

,

1

, p=m

0

, sonst.

(4.54) sonst

(4.55)

gegeben sind. Ein solches Verfahren kommt in den weiter unten diskutierten Anwendungen zum Einsatz. Im allgemeinen Fall einer nichtlinearen rechten Seite R(Φ) sind diese Schemata f¨ ur m = 1 von erster Ordnung und f¨ ur m ≥ 2 von zweiter Ordnung, d.h. M = 2 in (4.52) [255]. Ist die rechte Seite ein linearer Ausdruck in Φ, so entfallen zahlreiche Anteile des Abbruchfehlers und das Verfahren hat die maximale Fehlerordnung M = m [45]. Trotz der im nichtlinearen Fall gleich bleibenden zweiten Ordnung werden Schemata mit m > 2 oft wegen ihrer besseren Stabilit¨atseigenschaft eingesetzt, wobei der Stabilit¨ atsbereich durch Anpassung der Koeffizienten βp,q an die verwendete Ortsdiskretisierung optimiert werden kann [380].

4.4

Spezielle Aspekte bei der Diskretisierung der Navier–Stokes Gleichungen

4.4.1

Druck–Geschwindigkeitskopplung bei der Zeitdiskretisierung

Bei einem System von Erhaltungsgleichungen wie den NSG sind die numerischen L¨ osungen f¨ ur die abh¨ angigen Variablen in den verschiedenen Gleichungen miteinander gekoppelt. Die Gleichungen f¨ ur kompressible Str¨omungen (2.8)–(2.10) wurden f¨ ur die Erhaltungsgr¨ oßen ρ, oße verwendet wird, so tritt ρui , ρe formuliert. Auch wenn statt der Energie eine andere Gr¨ doch f¨ ur jede Transportgr¨oße ein Zeitableitungsterm in den Gleichungen auf. Der Druck p ist keine Erhaltungsgr¨oße, jedoch u upft. In den ¨ ber eine Zustandsgleichung mit diesen verkn¨ Gleichungen f¨ ur inkompressible Str¨omungen (2.1), (2.2) gibt es solch eine Zustandsgleichung nicht. Hier hat der Druckgradient die Rolle eines Quellterms, der so bestimmt wird, dass das Geschwindigkeitsfeld divergenzfrei ist (eine sehr pr¨ agnante Darstellung findet sich in [151, Kap. 7.6]). Da der Druck nur mit seinem Gradienten in den Gleichungen auftritt, entsteht bei Verfahren f¨ ur inkompressible Str¨omungen die Problematik, die Berechnung von Druckund Geschwindigkeitsfeld aneinander zu koppeln. Das betrifft einerseits die Diskretisierung in der Zeit und die Konstruktion geeigneter Iterationsverfahren, was in diesem Abschnitt diskutiert wird. Andererseits muss auch die Ortsdiskretisierung bestimmte Eigenschaften erf¨ ullen, was im nachfolgenden Abschnitt 4.4.2 gezeigt wird. Nach der Diskretisierung im Ort k¨onnen die Gleichungen f¨ ur inkompressible Str¨ omungen

74

4 Numerische Modellierung

symbolisch in der Form dt V + N(V) + GP = DV

=

F

(4.56)

0

(4.57)

geschrieben werden. Dabei stellt der Vektor V = (U1 , U2 , U3 )T die diskreten Geschwindigkeitskomponenten, P die Werte des Drucks und G, bzw. D die diskretisierte Form des Gradienten– bzw. Divergenzoperators dar. Der obere Index (. . .)T kennzeichnet den transponierten Vektor. Der Ausdruck N(V) fasst nichtlineare Konvektionsterme und, je nachdem ob die Viskosit¨ at konstant ist oder nicht, lineare oder nichtlineare Reibungsterme zusammen. Die Randbedingungen sollen hier bereits in die Operatoren eingearbeitet sein. Da f¨ ur den Druck keine Transportgleichung besteht, sondern nur eine algebraische Nebenbedingung, wird das System (4.56), (4.57) auch als differential–algebraisch bezeichnet. Zur ¨ Uberwindung dieser Schwierigkeit wurden verschiedene Strategien entwickelt. Die erste besteht darin, das kontinuierliche Gleichungssystem so umzuschreiben, dass der Druck eliminiert und somit das Problem seiner Bestimmung umgangen wird. Hierzu geh¨ oren beispielsweise Stromfunktions–Wirbelvektor Formulierungen. Sie sind im Zweidimensionalen vorteilhaft, jedoch im Dreidimensionalen unhandlich, da die Implementierung von Randbedingungen schwieriger ist. In dieser Richtung gibt es zwar Entwicklungen, [153, Kap.17.4],[440], jedoch hat sich der Ansatz, insbesondere f¨ ur komplexe Probleme, nicht ¨ durchgesetzt. Ahnliches gilt f¨ ur Formulierungen, die die Geschwindigkeit und die Wirbelst¨ arke als Unbekannte verwenden. Ein Verfahren aus dieser Klasse soll allerdings hier erw¨ ahnt werden. Es wurde von Kim et al. [286] entwickelt und basiert auf einer Gleichung vierter Ordnung f¨ ur eine Geschwindigkeitskomponente, in diesem Fall die wandnormale Komponente, und einer Gleichung zweiter Ordnung f¨ ur dieselbe Komponente des Wirbelvektors. In [286], [412] wurde eine spektrale Diskretisierung dieser Gleichungen verwendet, um DNS der Str¨ omung zwischen zwei ebenen Platten durchzuf¨ uhren. Kravchenko et al. [305] entwickelten eine Diskretisierung derselben Gleichungen auf der Basis von B-Splines in zwei Dimensionen, auch mit lokaler Verfeinerung, die mit einem Fourier–Ansatz in der dritten Dimension gekoppelt wird. LES mit diesem Verfahren wurden in [304], [302] durchgef¨ uhrt. Derartige spezielle Formulierungen der NSG liefern f¨ ur eingeschr¨ ankte Problemklassen sehr effiziente Rechenverfahren, jedoch ist der versatile Einsatz in komplexen Geometrien schwierig. Daher wird in vielen F¨allen eine Formulierung der NSG in den sog. “primitiven” Variablen Druck und Geschwindigkeit bevorzugt. Werden Konvektions– und Diffusionsterm explizit in der Zeit diskretisiert, entsteht ein Gleichungssystem der Art c n+1 V + GPn+1 ∆t

=

RV

DVn+1

=

0

(4.58) ,

(4.59)

wobei c eine vom Zeitschema abh¨angige Konstante ist. Die Geschwindigkeit Vn+1 kann

4.4 Spezielle Aspekte bei der Diskretisierung der NSG

75

durch folgenden Algorithmus bestimmt werden [156]: V∗

=

∆t RV c

(4.60)

D GΦn+1

=

DV∗

(4.61)

Vn+1

=

V∗ − GΦn+1

(4.62)

mit Φ = (∆t /c)P. Interessiert der Druck nicht, sondern nur das Geschwindigkeitsfeld, so ist es bedeutungslos, welcher Zeitindex f¨ ur P verwendet wird. Anderenfalls ist auch das Zeitschema f¨ ur den Druck geeignet zu w¨ahlen, um etwa eine Approximation zweiter Ordnung in der Zeit zu erhalten. Gleichung (4.61) ist eine Poisson–Gleichung f¨ ur den Druck, die durch Einsetzen von (4.58) in (4.59) entsteht, und f¨ ur die Neumann Randbedingungen vorzusehen sind. Der Druck ist also nur implizit durch die L¨ osung dieser Gleichung gegeben. Das ist eine Konsequenz des differential–algebraischen Charakters des Systems, wenn V n+1 exakt divergenzfrei sein soll. Das Verfahren (4.60) – (4.62) ist eine sog. Projektionsmethode [96], [579]. Dabei wird in einem Pr¨ adiktorschritt zun¨achst ein Geschwindigkeitsfeld V∗ bestimmt, das die Kontinuit¨ atsgleichung nicht erf¨ ullt. Aufgrund des Helmholtz–Hodge Theorems [97, Kap. 1.3] kann jedes Vektorfeld, hier V∗ , zerlegt werden in einen divergenzfreien Anteil und einen Anteil, der sich als Gradient eines Skalarfeldes darstellen l¨asst. Dies geschieht in dem Korrektorschritt (4.62). Mit dieser Gleichung wird V∗ auf den Raum der divergenzfreien Vektorfelder projeziert, was der Methode ihren Namen gibt. Im Englischen spricht man auch von “fractional step”, da ein Zeitschritt in Teilschritte zerlegt wird, die verschiedene Terme bzw. physikalische Mechanismen ber¨ ucksichtigen. Zahlreiche Variationen sind dadurch m¨oglich, dass unterschiedliche explizite Schemata im Pr¨ adiktorschritt verwendet werden, wie z.B. Adams–Bashforth oder Runge–Kutta–Schemata. Weiterhin k¨ onnen auch semi–implizite Schemata eingesetzt werden, die beispielsweise den Reibungsterm implizit diskretisieren. Auch vollst¨ andig implizite Schemata sind m¨ oglich. In beiden F¨ allen ist es jedoch schwieriger, die Ordnung des Gesamtverfahrens in der Zeit zu garantieren. Bei vielen Methoden der Literatur ist der Druck bez¨ uglich der Zeit nur von erster Ordnung genau. Hier spielen die Wahl der Zwischengr¨ oßen, das Diskretisierungsschema im Ort und insbesondere die Wahl der Randbedingungen eine Rolle, was erst in allerj¨ ungster Zeit befriedigend analysiert wurde [63]. Solange der Reibungsterm linear ist und der Konvektionsterm explizit diskretisiert wird, sind die beschriebenen Verfahren im Allgemeinen direkt, d.h. es finden keine Iterationen statt, außer u.U. bei der L¨osung der Poisson–Gleichung. Anderenfalls k¨ onnen die nichtlinearen Terme durch eine ¨außere Iterationsschleife aktualisiert werden, was auf die weiter unten diskutierten iterativen Verfahren f¨ uhrt. Generell nimmt die L¨ osung der Druck– bzw. Druckkorrekturgleichung den wesentlichen Teil der Rechenzeit in Anspruch, so dass hierf¨ ur oft schnelle Poisson–L¨oser oder Mehrgitterbeschleunigung zum Einsatz kommen. Es existieren zahlreiche Verfahren f¨ ur die station¨ aren NSG, die r¨ aumlich diskretisiert in der

76

4 Numerische Modellierung

Form N(V) + GP

= F

(4.63)

DV

= 0

(4.64)

notiert werden k¨ onnen. Die instation¨aren Gleichungen mit impliziter Zeitdiskretisierung unterscheiden sich nur dadurch, dass ein zus¨atzlicher Term ∆ct V erscheint, wobei c eine vom Schema abh¨ angige Konstante ist. Werden einzelne Terme explizit diskretisiert, gehen sie statt dessen in die rechte Seite ein. Verfahren f¨ ur die station¨ aren Gleichungen k¨ onnen also in jedem Zeitschritt einer instation¨aren Rechnung angewendet werden. Eine Gruppe bilden die sog. “gekoppelten L¨oser”, bei denen (4.63), (4.64) als eine einzige Matrixgleichung f¨ ur den Vektor (V, P)T betrachtet und gel¨ ost wird. Wegen der hohen Dimension dieses Vektors und der entsprechenden Systemmatrix sind direkte, d.h. nichtiterative Algorithmen durch ihren hohen Speicher– und Rechenzeitbedarf meist nicht konkurrenzf¨ ahig [602]. Abhilfe wird geschaffen durch Umordnen der Variablen, so dass die zu einem Gitterpunkt geh¨ origen Unbekannten im Vektor der Unbekannten hintereinander stehen, wodurch sich auch die Struktur der Matrix entsprechend ¨ andert. Iterative Gleichungsl¨ oser, sog. Punktl¨ oser, resultieren dann in praktisch einsetzbaren Verfahren, wie etwa dem SCGS Algorithmus von Vanka [601], unter der Voraussetzung, dass Mehrgitterbeschleunigung verwendet wird. Bei der Methode der k¨ unstlichen Kompressibilit¨at [95] wird, in Anlehnung an die Kontinuit¨ atsgleichungen f¨ ur kompressible Fluide (2.8), ein Zusatzterm mit dem Charakter einer Zeitableitung des Drucks in die Kontinuit¨atsgleichung eingef¨ ugt. Statt der urspr¨ unglichen Gleichung wird dann nach der Bestimmung der Geschwindigkeiten aus der Impulsgleichung unter Verwendung des Drucks Pm die Gleichung  1
m+1 P − Pm + DVm+1 = 0 β

(4.65)

gel¨ ost. Hier ist m der Iterationsindex und β ein Parameter, der einer Pseudo–Schallgeschwindigkeit entspricht. Dadurch wird das Gleichungssystem voll hyperbolisch, womit Algorithmen, die f¨ ur den kompressiblen Fall entwickelt wurden, zur Berechnung inkompressibler Str¨ omungen eingesetzt werden k¨onnen. Bei Konvergenz der inneren Iteration verschwindet der Zusatzterm und die berechnete L¨osung erf¨ ullt das urspr¨ ungliche Gleichungssystem. Eine gewisse Schwierigkeit stellt die geeignete Wahl des Parameters β dar, der die Konvergenzrate deutlich beeinflusst und i.A. von Geometrie und Gitter abh¨ angt. Hierf¨ ur konnten bisher keine eindeutigen Regeln entwickelt werden [526]. In [574] wurden Druckkorrekturverfahren mit Verfahren k¨ unstlicher Kompressibilit¨at verglichen, wobei letztere sich bez¨ uglich Speicherplatz und Rechenzeit auf einem Vektorrechner als ung¨ unstiger herausstellten. K¨ unstliche Kompressibilit¨ at wird daher nur noch selten eingesetzt. Projektionsmethoden analog den vorher besprochenen direkten Verfahren werden auch bei semi–impliziter Zeitdiskretisierung recht h¨aufig eingesetzt. Ihren Prototyp stellt das SIMPLE–Verfahren [442] dar (engl.: “semi–implicit method for pressure–linked equations”). Es beruht darauf, Druck und die einzelnen Geschwindigkeitskomponenten getrennt zu be-

4.4 Spezielle Aspekte bei der Diskretisierung der NSG

77

rechnen. Eine Geschwindigkeit V∗ wird zun¨achst bestimmt durch V∗ = ΛN −1 (F − (N − ΛN )(Vm ))

(4.66)

wobei ΛN die Diagonalterme der Matrix enth¨alt, die die Linearisierung von N oder eines Teils darstellt. In einem nachfolgenden Projektionsschritt wird der divergenzbehaftete Anteil ¨ von V∗ subtrahiert. Außere Iterationen sind n¨otig aufgrund der Nichtlinearit¨ at von N und werden vermieden bei expliziter Diskretisierung des Konvektionstermes. Man erh¨ alt dann das oben beschriebene Pr¨adiktor–Korrektor–Verfahren (4.60)–(4.62). Weiterhin wird meist eine inkrementelle Formulierung gew¨ahlt, was auf die L¨ osung einer sog. Druckkorrekturgleichung f¨ ur Pm+1 − Pm f¨ uhrt. Außerdem werden Druck– und Geschwindigkeitsinkremente oft unterrelaxiert, um die Stabilit¨at der Iterationen zu erh¨ ohen. Zu diesem Grundverfahren existieren verschiedene Varianten wie SIMPLER [441], SIMPLEC [132] und PISO [251], die in [151, Kap.7.3.3] vergleichend diskutiert werden. Wittum [646] stellt einen Formalismus vor, der eine einheitliche Darstellung dieser Algorithmen als Iterationsverfahren f¨ ur das System (4.63), (4.64) erlaubt. In [452, Kap.6.3.1.4] wird auch die Methode der k¨ unstlichen Kompressibilit¨at als ein spezielles Projektionsverfahren interpretiert. Gegen¨ uber den vorher besprochenen direkten Verfahren haben die zuletzt besprochenen Methoden auf versetztem Gitter (s.u.) keine entscheidenden Vorteile [639, S.250], so dass i.A. die direkten Pr¨ adiktor–Korrektor–Verfahren bevorzugt werden.

4.4.2

Druck–Geschwindigkeitskopplung bei der Ortsdiskretisierung

Abgesehen von der Notwendigkeit, bei der Konstruktion von Zeitdiskretisierungen bzw. Iterationsverfahren f¨ ur die station¨aren Navier–Stokes–Gleichungen eine geeignete Kopplung von Geschwindigkeitsfeld und Druck zu realisieren, stellt dieser Aspekt auch gewisse Anforderungen an die Diskretisierung im Raum. Die Schwierigkeit l¨ aßt sich bereits im eindimensionalen Fall unter Vernachl¨assigung von Randbedingungen sehr gut illustrieren. Die Kontinuit¨ atsgleichung lautet dann ∂x u = 0

,

(4.67)

mit der exakten L¨osung u(x) = c, wobei c eine Konstante ist (wenn Randbedingungen gegeben sind, legen diese den Wert fest). Mit zentralen FD zweiter Ordnung und den St¨ utzstellen ¨ xi = i∆x lautet das diskrete Aquivalent dieser Gleichung δx2∆x u|i =

ui+1 − ui−1 =0 2∆x

.

(4.68)

Der obere Index h¨alt zur sp¨ateren Unterscheidung die Schrittweite des Differenzenausdrucks fest. Diese Differenzengleichung erzeugt keine Kopplung zwischen St¨ utzstellen mit geradem und ungeradem Index, was man als “odd–even–decoupling” bezeichnet. Daher wird die Differenzengleichnung (4.68) von den Werten ui = cosc (−1)i + c

(4.69)

ullt, was durch Abb. 4.1 illustriert wird. Mit dem gew¨ ahlten Differenzenf¨ ur beliebige cosc erf¨ schema ist also die diskrete L¨osung u ¨ber die Wahl der Konstanten hinaus mehrdeutig, denn

78

4 Numerische Modellierung

cosc wird durch die diskretisierte Gleichung nicht festgelegt. Solch einen Anteil bezeichnet man als “parasit¨ aren Mode” . Die Folgen dieses Diskretisierungseffektes sind recht unangenehm, da Matrizen nicht mehr invertierbar sind, d.h. direkte L¨ osungsmethoden versagen, oder iterative Algorithmen oft nicht mehr konvergieren. Ganz analog verh¨alt es sich, wenn Kontinuit¨atsgleichung und Impulsgleichung zusammen betrachtet werden, hier station¨ar und im eindimensionalen Fall: u∂x u + ∂x p = ν∂xx u

(4.70)

∂x u = 0 . Mit zentralen Differenzen erh¨alt man pi+1 − pi−1 ui+1 − ui−1 + ui 2∆x 2∆x ui+1 − ui−1 2∆x

(4.71)

= ν = 0

ui+1 − 2ui + ui−1 ∆2x ,

(4.72) (4.73)

so dass mit ν = 0 wieder die geschilderte Mehrdeutigkeit f¨ ur die Geschwindigkeit entsteht (s. Abb. 4.1). F¨ ur ν > 0 verhindert zwar der Reibungsterm, dass (4.69) das System exakt l¨ ost, jedoch ist der d¨ampfende Effekt f¨ ur große Reynoldszahlen, wie sie insbesondere ¨ bei LES auftreten, in der Praxis unzureichend. Ahnliches gilt auch f¨ ur Randterme, deren Einfluss im Gebietsinneren nicht mehr greift. Die diskrete L¨ osung f¨ ur den Druck hat ebenfalls die Gestalt (4.69). Hierbei liegt im Unterschied zur Geschwindigkeit der konstante Anteil jedoch durch die Physik nicht fest, wie dies im Rahmen der kontinuierlichen Gleichungen besprochen wurde. Es handelt sich daher nicht um einen Diskretisierungseffekt, also isum keinen parasit¨aren Mode. Abhilfe kann auch sehr einfach dadurch geschaffen werden, dass der Druck an irgendeinem Gitterpunkt fixiert wird. Die eigentliche Schwierigkeit stellt jedoch der oszillierende Anteil dar. Er wird bei der gew¨ ahlten Diskretisierung nicht ged¨ ampft. Es liegt also in der diskreten Form nicht nur “odd–even–decoupling” f¨ ur die einzelnen Gr¨ oßen u und p vor, sondern dar¨ uber hinaus eine Entkopplung zwischen u und p, denn beide parasit¨ are Moden treten unabh¨angig von der jeweils anderen Gr¨ oße auf. In Abb. 4.1 ist auch veranschaulicht, dass dieselben Verh¨ altnisse bei einer FV Diskretisierung mit linearer Interpolation der Werte auf den Zellr¨ andern entstehen. Die Kontinuit¨ atsgleichung lautet dann
∆x ∆x  δx u |i = 0 , (4.74) ¨ wobei der Uberstrich die Interpolation und hier speziell u∆x = 1/2(ui+1 + ui ) die lineare Interpolation mit Schrittweite ∆x bezeichnet. Es gilt die Beziehung

∆x ∆x  (4.75) |i = δx2∆x u |i , δx u wodurch wieder die zentrale Diskretisierung mit doppelter Schrittweite (4.73) entsteht. Ursache der diskreten Entkopplung ist die Schrittweite 2∆x bei der Diskretisierung. Werden Aufwinddiskretisierungen, z.B. δxUDS1 , eingesetzt, vermeidet dies die Problematik, liefert aber nur ein Verfahren erster Ordnung. Bei Aufwindverfahren zweiter und h¨ oherer

79

4.4 Spezielle Aspekte bei der Diskretisierung der NSG

u X

X KV Kont.

Abb. 4.1 Diskretisierung von (4.70), (4.71) auf nicht versetztem Gitter. Die linke H¨ alfte illustriert das Bestehen der im Text diskutierten parasit¨ aren Moden im FD Kontext, die rechte im FV Kontext durch die Kontrollvolumina (KV) f¨ ur Impuls– und Kontinuit¨ atsgleichung. Der Pfeil kennzeichnet den Punkt, an dem der Differenzenstern ausgewertet wird, die offenen Kreise die in ihn eingehenden Werte.

p X

X KV Impuls

i

i-1

i+1

i+2

Ordnung ist der Differenzenstern gr¨oßer als bei zentralen Differenzen , was aufw¨ andigere Gleichungsl¨ oser erfordern kann. Außerdem sind unsymmetrische Verfahren wegen der mit ihnen verbundenen numerischen D¨ampfung f¨ ur LES weniger geeignet, was im weiteren Verlauf diskutiert wird. Soll also dennoch ein zentraler Differenzenstern verwendet werden, so ergibt sich die M¨ oglichkeit, dies mit Hilfe eines versetzten Gitters , englisch “staggered mesh” , zu realisieren, wobei die diskreten Unbekannten des Drucks an den Stellen xi und der Geschwindigkeit an den Stellen xi+1/2 definiert sind. F¨ ur die Kontinuit¨ atsgleichung werden nun Differenzensterne mit den Zentralpunkten xi und f¨ ur die Impulsgleichung um die Punkte xi+1/2 = xi +∆x /2 ¨ gew¨ ahlt. Das diskrete Aquivalent zu (4.70), (4.71) ist dann ui+ 12

ui+ 32 − ui− 12 2∆x

+

pi+1 − pi ∆x

ui+ 12 − ui− 12 ∆x

ui+ 32 − 2ui+ 12 + ui− 12

=

ν

=

0 .

∆2x

(4.76) (4.77)

Der Konvektionsterm enth¨alt zwar immer noch die Schrittweite 2∆x , die anderen Ableitungen jedoch nicht mehr. Abb. 4.2 illustriert, dass auf diese Weise parasit¨ are Moden unterbunden sind. Wieder liefert eine FV Methode dasselbe System wie die geschilderte FD Diskretisierung, wenn die eingezeichneten versetzten Kontrollvolumina verwendet werden. Im Gegenzug ist keine Interpolation der Variablen auf die Volumengrenzen mehr n¨ otig, da sie genau dort definiert sind. Versetzte Gitter vermeiden parasit¨are Moden und wurden daher bis in die 1980er Jahre nahezu ausschließlich verwendet. Sie stellen auch heute noch f¨ ur rechtwinklige kartesische Gitter die bevorzugte Diskretisierung dar [639]. Problematisch ist die Technik allerdings bei krummlinigen, konturangepassten Gittern [657]. Ebenso sind Mehrgitteralgorithmen und Gebietszerlegungen schwieriger zu implementieren. Daher ergeben sich bei der Anwendung auf praxisnahe Str¨omungen mit komplexen Geometrien Schwierigkeiten, die mit einer nicht versetzten Anordnung der Gitterpunkte nicht auftreten [501].

80

4 Numerische Modellierung

u

KV Kont.

p

KV Impuls

i-1

i

i+1

i+2

Abb. 4.2 Wie Abb. 4.1 jedoch auf versetztem Gitter. Hier haben die eingezeichneten Moden keinen Bestand, da ihre diskreten Ableitungen auf dem versetzten Gitter nicht verschwinden.

Auf diesem Hintergrund wurden Techniken entwickelt, um bei nicht versetztem Gitter die Druck–Geschwindigkeits–Entkopplung zu vermeiden. Zun¨ achst k¨ onnen parasit¨ are Moden durch Filterung eliminiert werden, was jedoch wegen praktischer Schwierigkeiten nicht sehr weit verbreitet ist. Bei der Methode der k¨ unstlichen Kompressibilit¨ at wird wegen ihrer N¨ ahe zu kompressiblen Str¨omungen i.A. ein nicht versetztes Gitter verwendet. Auch wenn keine Poissongleichung f¨ ur den Druck gel¨ost wird, erf¨ ullen oszillierende Werte die station¨ aren Gleichungen, so dass parasit¨are Moden auftreten k¨ onnen. Daher werden unsymmetrische Interpolationen oder bei zentralen Schemata zus¨atzliche Terme vierter Ordnung zur D¨ ampfung eingesetzt [574]. In [452] schlagen die Autoren daher ein versetztes Gitter f¨ ur diese Methode vor. Heute wird bei der L¨osung der Gleichungen f¨ ur inkompressibles Fluid auf nicht versetzten Gittern meist die sog. Impulsinterpolation (engl. “momentum interpolation”) von Rhie und Chow [489] eingesetzt. Varianten finden sich beispielsweise in [393], [20]. Wird die Kontinuit¨ atsgleichung wie in (4.77) mit der Schrittweite ∆x diskretisiert, so sind bei nicht versetztem Gitter die Werte an den Halbpunkten durch Interpolation zu bestimmen. Bei linearer Interpolation erh¨alt man nach (4.75) ein Schema mit Schrittweite 2∆x . Die in [489] vorgeschlagene Abhilfe basiert auf der zeitlich und r¨ aumlich diskretisierten Impulsgleichung, die, hier f¨ ur den instation¨aren Fall, in der Form ui = Ri − ∆t δx2∆x p|i

(4.78)

geschrieben werden kann. Auf diesem Hintergrund wird die Interpolation uP W I |i+ 12 = R

∆x

|i+ 12 − ∆t δx∆x p|i+ 12

(4.79)

definiert. Hierbei handelt es sich jedoch nicht um eine Mittelung von (4.78), da der Druckgradient unter Beibehaltung der zweiten Ordnung anders diskretisiert wird. Statt von Impulsinterpolation spricht man daher auch von “druck–gewichteter Interpolation” (engl. “pressure– weighted interpolation” (PWI) [393]). Die Differenz zwischen linearer Interpolation und

4.4 Spezielle Aspekte bei der Diskretisierung der NSG

81

PWI ergibt sich zu u∆x |i+ 12 − uP W I |i+ 12 =

∆t ∆t 2 CDS (pi+2 − 3pi+1 + 3pi − pi−1 ) = p| 1 . ∆ δ 4∆x 4 x xxx i+ 2 (4.80)

Einsetzen liefert nun die diskrete Poisson–Gleichung 

 ∆x ∆t δx∆x δx∆x p |i = δx∆x R |i = δx2∆x R |i

(4.81)

f¨ ur den Druck, wobei das zweite Gleichheitszeichen nach (4.75) gilt. Mit linearer Interpolation h¨ atte sich statt dessen, wieder mit (4.75), die Gleichung 

∆t δx2∆x δx2∆x p |i = δx2∆x R |i (4.82) ergeben. Daher kann die Anwendung der PWI auch dargestellt werden als Addition des Terms
 1 CDS RiP W I = −∆t δx2∆x δx2∆x p|i − δx∆x δx∆x p|i = − ∆t ∆2x δxxxx pi (4.83) 4 auf der rechten Seite der Poisson–Gleichung (4.82) [393]. In dieser Form, und nicht u ¨ ber (4.79), ist die Impulsinterpolation in vielen Codes realisiert. Hier wurde mit (4.79) die Methode direkt f¨ ur den instation¨aren Fall formuliert. Mit der PWI wird also in jedem Zeitschritt das Geschwindigkeitsfeld uP W I divergenzfrei gemacht. Da die Zusatzterme in (4.79) bzw. (4.83) nicht mit der L¨osung aus (4.81) bestimmt werden, sondern nachhinken, sind neben etwaigen inneren Iterationen zur L¨osung der Poisson–Gleichung ¨ außere Iterationen zur Anpassung der Korrekturterme erforderlich (im Gegenzug m¨ ussen die inneren Iterationen zu Beginn nicht auskonvergiert werden) [639, Kap.6.7]. Festzuhalten bleibt, dass durch die PWI die Ordnung eines Verfahrens zweiter Ordnung im Raum nicht ver¨ andert wird, da der zus¨atzliche D¨ ampfungsterm vierter Ordnung in (4.83) wie der Abbruchfehler proportional zu ∆2x ist. Die Ordnung des Zeitschrittverfahrens wird jedoch, wenn sie gr¨oßer als 2 ist, von der Impulsinterpolation beeintr¨ achtigt. Siehe hierzu andert, was jedoch auf auch [505]. In eigenen Studien wurde der Faktor ∆t in (4.83) zu ∆2t ver¨ Probleme bei der Konvergenz der Iterationen f¨ ur die L¨ osung der Poisson–Gleichung f¨ uhrte [415]. Derselbe Effekt trat ein, wenn in (4.83) p durch das Inkrement pn − pn−1 = O(∆t ) ersetzt wurde. Tests der nicht versetzten Anordnung wurden beispielsweise in [393], [447], [501] durchgef¨ uhrt. Sie zeigten vergleichbares Verhalten im Bezug auf Genauigkeit und Konvergenz, so dass die nicht versetzte Anordnung aufgrund ihrer geschilderten Vorz¨ uge positiver beurteilt wurde. Die durchgef¨ uhrten Rechnungen waren allerdings station¨ ar, z.T. mit RANS– Modellierung der Turbulenz. Eine Diskussion des Einsatzes versetzter und nicht versetzter Gitter f¨ ur LES findet sich weiter unten in Abschnitt 4.7.4.

4.4.3

H¨ohere Dimensionen

Zun¨ achst kann die Verallgemeinerung des eindimensionalen Falls auf h¨ ohere Dimensionen unter Verwendung von rechtwinkligen, d.h. kartesischen Gittern geschehen. Morinishi et

82

4 Numerische Modellierung a

b

Abb. 4.3 Verschiedene Variablenanordnungen bei versetztem Gitter. a) MAC Gitter nach Harlow und Welsh [223], b) versetztes Gitter nach [156]. Der Punkt bezeichnet den Diskretisierungsort f¨ ur den Druck, die Pfeile den Ort f¨ ur die entsprechenden Komponenten des Geschwindigkeitsvektors.

al. [410] unterscheiden folgende strukturierte FD Gitter: a) regul¨ are Gitter, bei denen alle Variablen an denselben Punkten definiert sind, b) versetzte Gitter , c) kollokierte Gitter (“collocated grids”), die wie regul¨are Gitter nicht versetzt sind, bei denen jedoch Gradienten mit Hilfe der Halbpunkte gebildet werden, so dass dies einer FV Methode mit versetztem Gitter entspricht [410]. Bei versetzten Gittern gibt es mehrere Varianten. Das MAC–Gitter [223] ist das bekannteste, doch k¨onnen die Geschwindigkeitskomponenten auch an denselben Punkten definiert werden (Abb. 4.3). Die Kontrollvolumina (KV) werden jeweils so angeordnet, dass f¨ ur die Impulsgleichung in x–Richtung die x–Komponente der Geschwindigkeit, f¨ ur die Impulsgleichung in y–Richtung die y–Komponente der Geschwindigkeit und f¨ ur die Kontinuit¨ atsgleichung der Druck in der Mitte des KV liegen. Analog im Dreidimensionalen. Auch f¨ ur nicht versetzte FV Methoden entsteht bei variabler Schrittweite ein Unterschied, wenn eine knotenzentrierte (engl. “cell–vertex”) oder eine zellzentrierte Diskretisierung verwendet wird, von denen die zellzentrierte jedoch weiter verbreitet ist [452, Kap.6.2], [151, Kap.8.3]. Das MAC Gitter wird in der meteorologischen Literatur auch als Arakawa-C Gitter und das zellzentrierte, nicht versetzte Gitter als Arakawa-A Gitter bezeichnet [19]. Bei krummlinigen, konturangepassten Gittern existieren zwei Koordinatensysteme, das kartesische und das lokale, krummlinige. Daraus folgen zahlreiche Varianten f¨ ur die Formulierung der Navier–Stokes Gleichungen. Zun¨achst k¨ onnen die Gleichungen selbst in kartesischen oder krummlinigen Koordinaten formuliert werden. Letzteres hat zus¨ atzliche Coriolis– Terme zur Folge und wird i.A. nicht verwendet. Zweitens k¨ onnen die Geschwindigkeitskomponenten bzgl. des kartesischen Gitters oder in kontravarianter Form ausgedr¨ uckt werden. Hier hat sich bei nicht versetzten Gittern die Verwendung der kartesischen Komponenten bew¨ ahrt [526], [151]. Versetzte Gitter sind, wie bereits angedeutet, im krummlinigen Fall problematisch, da hier z.T. mehr Geschwindigkeitskomponenten gespeichert werden bzw. mehr Gleichungen gel¨ost werden m¨ ussen [657]. Deshalb wird in den allermeisten F¨ allen die nichtversetzte Anordnung der Variablen verwendet [356], [151].

4.4.4

Druck–Geschwindigkeitskopplung bei Finiten Elementen

Bei FE Methoden werden in der Regel Basis– und Testfunktionen so gew¨ ahlt, dass keine parasit¨ aren Moden auftreten. Die Diskretisierung der Kontinuit¨ atsgleichung erf¨ ullt dann eine sog. inf–sup–Bedingung [54, p.120]. Zur Erf¨ ullung dieser Bedingung wird meist die Zahl

83

4.4 Spezielle Aspekte bei der Diskretisierung der NSG a

b

c

Abb. 4.4 Verschiedene Finite–Elemente–Typen im zweidimensionalen Fall. a) Taylor–Hood Element, b) P1-isoP2 Element, c) Anordnung aus vier P1-P1 Elementen. Pfeile symbolisieren die St¨ utzstellen f¨ ur die Geschwindigkeitsvektoren, Punkte die St¨ utzstellen f¨ ur den Druck.

der Freiheitsgrade f¨ ur den Druck gegen¨ uber der Zahl der Freiheitsgrade f¨ ur die Geschwindigkeitskomponenten reduziert, indem der Polynomgrad der Ansatzfunktionen unterschiedlich gew¨ ahlt wird. Entsprechend sind f¨ ur die unterschiedlichen Variablen unterschiedliche Quadraturpunkte zu w¨ ahlen, an denen Werte gegeben werden. Das bekannteste Element ist das Taylor–Hood Element [203], das auch als P 1 − P 2–Element bezeichnet wird, da f¨ ur den Druck lineare und f¨ ur die Geschwindigkeit quadratische Ansatzfunktionen gew¨ ahlt werden (P 0 bezeichnet die konstanten Funktionen, P 1 die linearen Funktionen, u.s.w.). Abb. 4.4a zeigt die entsprechenden Quadraturpunkte im Fall eines Dreieckselementes. Das entsprechende P 0 − P 1– Element ist allerdings nicht brauchbar [250]. Sehr ¨ ahnlich dem Taylor–Hood Element ist das P 1 − isoP 2 Element [204]. Hier werden dieselben St¨ utzstellen verwendet, jedoch wird die Geschwindigkeit auf dem gewissermaßen verfeinerten Gitter mit linearen Basisfunktionen dargestellt (Abb. 4.4b). Die Anordnung im Dreidimensionalen ist analog zu den in Abb. 4.4 dargestellten zweidimensionalen Elementen. Eine verwandte Technik zur Vermeidung parasit¨ arer Moden basiert auf dem Einf¨ ugen zus¨atzlicher “Bubble”–Ansatzfunktionen f¨ ur die Geschwindigkeit. Auch hierdurch wird wiederum eine unterschiedlich feine Diskretisierung von Druck und Geschwindigkeit erreicht. Eine anderes Vorgehen zur Vermeidung von parasit¨ aren Moden bei FE Diskretisierungen ist die so genannte Arakawa–Methode [203], die trotz des v¨ ollig anderen Kontextes der PWI nach Gleichung (4.83) verbl¨ uffend ¨ahnlich ist. Ausgangspunkt ist eine Diskretisierung, die die inf–sup–Bedingung nicht erf¨ ullt, etwa ein P 1 − P 1–Element (Abb. 4.4c). Die “kompatible” Diskretisierung des Laplace-Operators in der Druckgleichung entsteht aus der Kombination des diskreten Gradienten– und Divergenzoperators und erzeugt effektive Schrittweiten von 2∆x ¨ahnlich (4.82), was parasit¨ are Moden zur Folge hat. Bei der “nicht kompatiblen” Diskretisierung wird direkt der Laplace–Operator mit der Schrittweite ∆x diskretisiert. Beide Terme werden mit den Gewichten (1 − ) und  summiert, wobei z.B.  = 0.05 Rollet–Miet et al. [504] gew¨ahlt wurde. Die Autoren weisen außerdem darauf hin, dass die schachbrettartigen parasit¨aren Moden bei unregelm¨ aßigen unstrukturierten Gittern oft gar nicht auftreten, selbst wenn die lokale Analyse des Schemas diese M¨ oglichkeit zeigt. Unstrukturierte Diskretisierungen sind hier also weniger anf¨ allig. Die Problematik der unterschiedlich feinen Diskretisierung f¨ ur Druck und Geschwindigkeiten wurde in [504] eindr¨ ucklich dargestellt. Das Gitter f¨ ur den Druck ist bei den ersten

84

4 Numerische Modellierung

Abb. 4.5 P1NCP1B–Diskretisierung f¨ ur unstrukturierte Gitter. Quadrate bezeichnen die Punkte, an denen der Druck definiert ist, Kreise die Punkte f¨ ur den Geschwindigkeitsvektor. Bild aus [36].

beiden Elementen um den Faktor zwei grober als bei dem P 1 − P 1–Element. Die erzielte Genauigkeit wird jedoch von diesem groberen Gitter bestimmt und nicht von dem feineren Gitter f¨ ur die Geschwindigkeit. Das hat f¨ ur LES eine zus¨ atzliche Gl¨ attung der berechneten L¨ osung zur Folge, was die Ergebnisse deutlich verschlechtert. Eine wesentliche Schwierigkeit bei FE–Verfahren r¨ uhrt daher, dass sie nahezu ausschließlich f¨ ur den unstrukturierten Fall konzipiert werden. In [36] wurde eine Diskretisierung entwickelt, die dem versetzten Gitter bei strukturierter Diskretisierung m¨ oglichst nahe kommt und als P1–non-konform-P1-bubble (P1NCP1B) bezeichnet wird. Sie kann aber auch im Finite–Volumen–Kontext interpretiert werden. Abb. 4.5 zeigt die Variablenanordnung. Es wird deutlich, dass die Dichte der Diskretisierungspunkte f¨ ur den Druck genauso groß ist wie f¨ ur die Geschwindigkeit und dass die Punkte auf dualen Gittern liegen. Die Anordnung im Dreidimensionalen ist analog. Eine herausragende Eigenschaft dieses Schemas ist, dass es mit geeigneter Zeitdiskretisierung, eine Kombination aus Adams–Bashforth und Crank–Nicolson, die kinetische Energie erh¨alt. Dadurch wird es f¨ ur LES interessant, was in Abschnitt 4.7.4 n¨ aher diskutiert wird.

4.4.5

Druck–Geschwindigkeitskopplung bei Spektralverfahren

Bei Spektralverfahren k¨onnen ebenfalls parasit¨are Moden auftreten. Dies geschieht i.A. nicht bei Fourier–Diskretisierungen, sondern wenn, wegen nicht periodischer Randbedingungen, Jacobi–Polynome als Basisfunktionen verwendet werden. Die Analyse geschieht wieder mit Hilfe der inf − sup–Bedingung [40]. Abhilfe wird meist durch eine Reduktion der Ansatzfunktionen f¨ ur den Druck geschaffen wie etwa der Art u(x) =

N n=0

an Tn (x)

,

p(x) =

N −1 n=0

bn Tn (x)

(4.84)

¨ in [167] zusammen mit einem versetzten Gitter. Eine Ubersicht u atze ¨ber verschiedene Ans¨ gibt Peyret [451]. Da bei einer Spektralmethode N groß ist, und die Koeffizienten in (4.84)

4.5 Analyse der Diskretisierung

85

f¨ ur n ≈ N sehr klein werden, spielt die Problematik der unterschiedlich feinen Diskretisierung der verschiedenen Variablen im Vergleich zu einer FE Methode keine Rolle.

4.4.6

L¨osung der Navier–Stokes Gleichungen fu ¨r kompressible Fluide

F¨ ur kompressible Fluide werden Druck und Geschwindigkeit durch die Zustandsgleichung und die Kontinuit¨atsgleichung miteinander gekoppelt, so dass die geschilderte Problematik hier nicht entsteht. Daher werden diese Gleichungen immer mit einem nicht versetzten Gitter diskretisiert. Bei kleinen Machzahlen, wenn die Verh¨ altnisse sich denen eines inkompressiblen Fluids n¨ahern, entstehen jedoch Probleme dadurch, dass die Gleichung die Ausbreitung von Schallwellen beschreiben, deren Ausbreitungsgeschwindigkeit im Verh¨ altnis zu Konvektion und Diffusion umso gr¨oßer ist, je kleiner die Machzahl wird. Außerdem muss auch wieder die abnehmende Kopplung zwischen Druck und Geschwindigkeit ber¨ ucksichtigt werden. Es gibt numerische Verfahren, die die kompressiblen Gleichungen auch im Grenzfall verschwindender Machzahl l¨osen [639], jedoch ist dies mit den meisten klassischen Verfahren problematisch. H¨aufig werden daher inkompressible Str¨ omungen auch mit kompressiblen Verfahren und einer Machzahl von 0.1 bis 0.2 berechnet. In diesem Bereich sind Kompressibilit¨ atseffekte vernachl¨assigbar, und die Ergebnisse stimmen gut mit denen der inkompressiblen Gleichungen u aufig ein Experiment bei Mach¨ berein. Analog wird auch h¨ zahlen im angegebenen Bereich mit Hilfe eines inkompressiblen Verfahrens beschrieben.

4.4.7

Randbedingungen

Randbedingungen f¨ ur die Geschwindigkeitskomponenten und skalaren Gr¨ oßen bei der L¨ osung der NSG f¨ ur inkompressibles Fluid sind i.A. Dirichlet– oder Neumann–Randbedingungen. Dabei wird der Funktionswert, bzw. seine Ableitung senkrecht zum Rand vorgeschrieben. Derartige Randbedingungen werden in den jeweiligen r¨ aumlichen Diskretisierungsverfahren so implementiert, wie dies oben skizziert ist. Einige Gesichtspunkte spielen bei LES jedoch eine besondere Rolle und werden daher in Kapitel 7 eingehend diskutiert. Aus mathematischer Perspektive sind bei der L¨ osung der inkompressiblen NSG f¨ ur den Druck keine Randbedingungen vorzuschreiben [237]. Je nach gew¨ ahltem Diskretisierungsverfahren in Raum und Zeit, bzw. Druck–Geschwindigkeits–Kopplung werden aber in zahlreichen Algorithmen in Zwischenschritten numerische Randbedingungen f¨ ur den Druck oder verwandte Gr¨ oßen ben¨otigt. Es handelt sich dabei um einen von der LES Methodik unabh¨ angigen Aspekt, der in der Literatur eingehend diskutiert wird [207], [206], [151] und daher in der vorliegenden Arbeit nicht vertieft werden soll.

4.5

Analyse der Diskretisierung

4.5.1

Einfu ¨hrende Bemerkungen

Eine zentrale Aufgabe der numerischen Str¨omungsmechanik ist die Entwicklung geeigneter Diskretisierungsverfahren f¨ ur die zugrunde liegenden Gleichungen. Daher wurden zur

86

4 Numerische Modellierung

Analyse dieser Verfahren eine Vielzahl von Methoden entwickelt, die in der am Beginn dieses Kapitels zitierten Literatur dargestellt werden. Hier kann und muss auf diesem Aspekt eingegangen werden, jedoch nur insoweit, als sich daraus Informationen speziell f¨ ur die Methodik der LES ergeben. Hauptaugenmerk liegt dabei auf der Diskretisierung im Raum. Die verschiedenen in Abschnitt 4.2 vorgestellten Verfahren weisen neben ihren Unterschieden ¨ auch gewisse Ahnlichkeiten auf. Beispielsweise werden in FD aber auch FV und FE Diskretisierungen Aufwindschemata eingesetzt, die sich in Details unterscheiden, aber dem gleichen Zweck dienen und a ¨hnliche Eigenschaften besitzen. Daher soll die Verfahrensanalyse im Folgenden kurz und beispielhaft an Finiten–Differenzen–Verfahren erfolgen, um prinzipielle Effekte darzustellen, die sich auch bei anderen Methoden in ¨ ahnlicher Weise wiederfinden. Aus demselben Grund werden nicht die vollen NSG, sondern Elemente der Diskretisierung wie der Ableitungsoperator betrachtet. Zuvor ist es hilfreich, einige zentrale Begriffe in Erinnerung zu rufen. Jede Diskretisierung hat zum Ziel, bei immer st¨ arkerer Verfeinerung der Schrittweite die kontinuierliche Gleichung immer besser und im Grenzfall exakt anzun¨ ahern. Dies bezeichnet man als Konsistenz und die Potenz, mit der dies geschieht als Konsistenzordnung oder kurz Ordnung eines Verfahrens. Davon wurde bereits Gebrauch gemacht. Zweitens muss ein Verfahren stabil sein, d.h. Rundungsfehler d¨ urfen sich nicht unbegrenzt verst¨ arken. Ein dritter Aspekt ist, nicht nur die Differenzialgleichung durch Konsistenz mit feiner werdender Schrittweite immer besser zu approximieren, sondern dadurch auch die berechnete L¨ osung immer mehr der exakten L¨ osung anzun¨ ahern, was mit dem Stichwort der Konvergenz bezeichnet wird. ¨ F¨ ur lineare Gleichungen besagt der Laxsche Aquivalenzsatz [493], dass aus zwei der genannten Eigenschaften die dritte folgt, z.B. aus Konsistenz und Stabilit¨ at die Konvergenz. F¨ ur nichtlineare Gleichungen gibt es jedoch keine allgemeing¨ ultigen Resultate. In der Praxis wird daher oft ganz pragmatisch die Konvergenz der L¨ osung f¨ ur ein spezielles Problem durch eine Gitterverfeinerungsstudie nachgewiesen. Im folgenden sollen insbesondere D¨ ampfungsund Stabilit¨ atseigenschaften von Diskretisierungsverfahren diskutiert werden.

4.5.2

Lineare Analyse mit Hilfe der Eigenwerte

In Anhang A.2 wird gezeigt, dass der kontinuierliche Ableitungsoperator ∂x die Eigenwerte λex k = 2πık

,

k∈

(4.85)

besitzt. Ein mit Hilfe eines Differenzensterns gebildeter diskreter Ableitungsoperator hat D ex diskrete Eigenwerte λF k , k = −K + 1, . . . , K mit K = 1/(2∆x ), die von λk abweichen. In Anhang A.2 wird dargelegt, dass diese Abweichungen zus¨ atzlicher, so genannter numerischer Diffusion und numerischer Dispersion entsprechen: D {λF − λex k k }

⇒ numerische Diffusion

D {λF − λex k k }

⇒ numerische Dispersion

(4.86) .

(4.87)

Abbildung 4.6 zeigt die nach (A.87) berechnete Lage der Eigenwerte f¨ ur einige der besprochenen Schemata auf einem Gitter mit N = 20 Punkten. Aufgrund der gew¨ ahlten Skalierung der Achsen verdichten sich die Symbole bei Gitterverfeinerung auf denselben Kurven.

87

4.5 Analyse der Diskretisierung 3

N=20

+

+

2

+

+

Im(h/2K)

1

0

+ + +

+

+ + + + +

+ +

-1

ex CDS2 UDS1 UDS2 QUICK KK UDS5 UDS7

+ +

+ -2

+

+

+

-3 -4

-3

-2

-1

0

1

2

Re(h/2K)

Abb. 4.6 Lage der Eigenwerte von L = −∂x bei der Diskretisierung mit den Verfahren (4.7)–(4.13). Hier wurden, zur Unterscheidung gegen¨ uber den Diagrammen in Abschnitt 4.5.4 unten, Symbole f¨ ur die einzelnen diskreten Eigenwerte auf dem gew¨ ahlten Gitter mit N = 20 Punkten verwendet.

Je h¨ oher die Ordnung des Schemas ist, desto besser schmiegt sich im Nullpunkt die Kurve der Diskretisierung an die imagin¨are Achse an, was durch den Vergleich von UDS1, UDS2, QUICK, UDS5, UDS7 illustriert wird. Verfahren gleicher Ordnung k¨ onnen durch sehr unterschiedliche Schemata realisiert werden, wodurch sich D¨ ampfungs– und Dispersionseigenschaften stark unterscheiden k¨onnen. Dies wird beispielsweise durch den Vergleich von CDS2– und UDS2–Schema illustriert, die beide von zweiter Ordnung sind. Bei dem KK– Aufwindschema f¨allt auf, dass zwar durch einen geraderen Verlauf der Kurve die imagin¨ are Achse u ¨ ber einen weiteren Bereich angen¨ahert wird als mit UDS1, dass jedoch andererseits die D¨ ampfung hoher Wellenzahlen außerordentlich stark ist, sogar st¨ arker als mit dem einfachen Aufwindverfahren erster Ordnung. Bei den Aufwindverfahren h¨ oherer Ordnung sinkt die D¨ ampfung nicht unbedingt mit der Ordnung, was der Vergleich von QUICK und UDS5 belegt. Die Verbesserung findet hier stattdessen besonders hinsichtlich des Phasenfehlers statt. Aus Gleichung (A.87) folgt, dass unsymmetrische Schemata Eigenwerte mit nichtverschwindendem Realteil besitzen und damit immer, je nach Wahl der Koeffizienten mehr oder weniger starke, numerische Diffusion erzeugen. ¨ Ahnlich der effektiven Wellenzahl , die weiter unten diskutiert wird, kann man durch Vergleich mit (A.66) einen numerischen Diffusionskoeffizienten Γnum (k) des Schemas definieren, der im Idealfall Null sein sollte. In dimensionsloser Form erh¨ alt man die Gr¨ oße Γnum (k) 2K {λk } 1 =−
k 2 U 2K πK

,

(4.88)

die in Abb. 4.7 aufgetragen ist. Dabei ist zu beachten, dass die numerische Diffusion selbst einen zus¨ atzlichen Faktor (k/K)2 enth¨alt. Wieder wird deutlich, dass die Ordnung eines

88

4 Numerische Modellierung 1 N=20

+

Kk 2K/U

0.75

0.5

+

+

+

+

CDS2 UDS1 UDS2 QUICK KK UDS5 UDS7

+ +

+ 0.25

+ + +

0 0

0.25

0.5

0.75

1

k/K

Abb. 4.7 Numerische Diffusion bei der Diskretisierung von U ∂x in Form des numerischen Diffusionskoeffizienten Γnum . k

Schemas nichts u ¨ ber das Ausmaß der mit ihm verbundenen numerischen Diffusion aussagt. Vielmehr haben z.B. UDS2– , QUICK– und KK–Schema ¨ ahnliche Abbruchterme vierter Ordnung, jedoch mit unterschiedlichen Vorfaktoren. Andererseits erkennt man auch, dass im Gegensatz zum physikalischen Diffusionskoeffizienten Γ die numerische Diffusion Γnum stark von der Wellenzahl abh¨angt. Insbesondere verschiebt sich ihr Maximum mit wachsender Ordnung des Schemas immer weiter zu hohen Wellenzahlen. Symmetrische Verfahren liefern bei konstanter Schrittweite Eigenwerte auf der reellen Achse und weisen daher keine numerische Diffusion auf. Sie besitzen, wie in A.2 erl¨ autert, nur einen Dispersionsfehler . Zur besseren Beurteilung bietet sich im Vergleich mit (4.85) die Definition einer effektive Wellenzahl D λF = 2πı keff (k) k

(4.89)

an. Der Vergleich der (reellen) Werte von keff und k ex = k erlaubt es, den dispersiven Fehler bei der Berechnung einer Ableitung in diskretisierter Form zu charakterisieren. ur einige symmetrische, explizite Differenzensterne Abb. 4.8 zeigt exemplarisch keff (k) f¨ gem¨ aß (A.88). Die in Abb. 4.8 zus¨atzlich eingetragene punktierte Gerade kennzeichnet eine Abweichung von 10% gegen¨ uber dem exakten Wert k ex = k. Daraus ergibt sich ein Bereich k/K < (k/K)10% , in welchem diese Schranke unterschritten wird. Er ist umso gr¨ oßer, je h¨ oher die Ordnung des Schemas ist. F¨ ur die abgebildeten Verfahren ergibt sich (k/K)10% = 0.25 (CDS2), 0.44 (CDS4), 0.54 (CDS6). Durch kompakte Finite–Differenzen–Sterne kann dies weiter verbessert werden [324] (s. Abschnitt A.2.7). Diskretisierungen h¨oherer Ordnung sind also hinsichtlich der Genauigkeit vorteilhaft. Jedoch kann dies auch durch ein feineres Gitter ausgeglichen werden, was in Anhang A.2

89

4.5 Analyse der Diskretisierung 1 k/K CDS2 CDS4 CDS6 k/K09

0.9 0.8 0.7

keff/K

0.6 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 0

0

0.25

0.5

0.75

1

k/K

Abb. 4.8 Effektive Wellenzahl f¨ ur einige zentrale Differenzensterne mit zweiter (CDS2), vierter (CDS4) und sechster (CDS6) Ordnung. Die punktierte Gerade kennzeichnet 10% Abweichung bez¨ uglich des exakten Wertes.

n¨ aher diskutiert wird. Wegen der gr¨oßeren Zahl an Freiheitsgraden w¨ achst nat¨ urlich der Rechenaufwand. Andererseits erfordern Diskretisierungen h¨ oherer Ordnung gr¨ oßere Differenzensterne, was die algorithmische Komplexit¨ at in der N¨ ahe von Gebietsr¨ andern erh¨ oht und oft zu schlechteren Stabilit¨atseigenschaften f¨ uhrt. Im Rahmen von LES ist interessant, dass Verfahren h¨ oherer Ordnung niederfrequente Anteile besser diskretisieren als Verfahren niedrigerer Ordnung. Dadurch werden bei gleichem Gitter grobskalige Strukturen durch numerische Fehler weniger beeintr¨achtigt. Die Meinung u ¨ ber die Verwendung von Diskretisierung niedriger Ordnung f¨ ur LES gehen daher auseinander. Dies wird an anderer Stelle noch eingehender diskutiert. Die dargestellte Analyse l¨asst sich entsprechend auf den Diffusionsterm ausdehnen, um die lineare Konvektions–Diffusionsgleichung (4.1) insgesamt zu behandeln, was aber hier nicht vertieft werden soll. Die getroffenen Aussagen gelten selbstverst¨ andlich unabh¨ angig davon, ob ein bestimmter Differenzenausdruck durch einen FD oder einen FV oder FE Ansatz motiviert wurde, solange diese auf dieselben Koeffizienten f¨ uhren. In ¨ ahnlicher Weise wie oben kann auch der Einfluss eines versetzten Gitters mit Hilfe seiner Dispersionseigenschaften untersucht werden [154]. Ein Vergleich der nicht versetzten Diskretisierung (4.73), (4.73) und der versetzten Diskretisierung (4.77), (4.77) zeigt, dass Druckgradient und Divergenz mit unterschiedlicher Schrittweite diskretisiert werden. Streicht man aus den NSG f¨ ur inkompressible Str¨ omungen Konvektions– und Reibungsterme, so beschreibt das verbleibende System Druckwellen. Das versetzte MAC Gitter (Abb. 4.3a) ist dabei in der Lage, Wellen bis zu einer Wellenl¨ ange ∆x aufzul¨ osen. Mit nicht versetztem Gitter gelingt dies nur bis hinab zu 2∆x . Daher wird dieser Mechanismus von einem

90

4 Numerische Modellierung

versetzten Gitter numerisch besser aufgel¨ost, und zwar so, als w¨ are das Gitter doppelt so fein (siehe auch Abb. A.7). Andererseits verbessert sich die Approximationsg¨ ute des f¨ ur die LES bedeutsamen Konvektionsterms nicht, da hier die Schrittweite 2∆x erhalten bleibt, atzliche Interpolation ben¨ otigt wird, um bzw. bei Verwenden der Schrittweite ∆x eine zus¨ die Ableitung an der Stelle auszuwerten, an der die Variable definiert ist [453, p.56].

4.5.3

Die Methode der ¨ aquivalenten Differentialgleichung

Die Methode der ¨aquivalenten Differentialgleichung (engl: “modified equation”) wurde zuerst von Hirt [247] vorgestellt und sp¨ater von anderen Autoren weiterentwickelt [629], [209]. Statt eine numerische L¨osung der diskretisierten Gleichungen als N¨ aherung der exakten Gleichungen zu betrachten, wird bei diesem Ansatz die Gleichung bestimmt, zu der die numerischen L¨ osung die exakte L¨osung ist. Terme h¨ oherer Ordnung werden dabei vernachl¨ assigt. Hier soll wieder die Konvektions–Diffusionsgleichung ∂t φ + U ∂x φ − Γ∂xx φ = 0

(4.90)

zugrunde gelegt werden. Ein Finites–Differenzen–Schema hat die Unbekannten φni = φ(xi , tn ) und lautet, im Falle eines Einschrittverfahrens   αj φn+1 βj φni+j , (4.91) i+j = j

j

wobei die Koeffizienten α und β von der Differentialgleichung sowie vom gew¨ ahlten Diskretisierungsschema und der entsprechenden Schrittweite in Raum und Zeit abh¨ angen. Als n¨ achstes wird jeder Wert φn+m durch eine Taylorreihe um einen geeigneten Punkt, z.B. i+j φni = φ(xi , tn ), ersetzt. φn+m i+j

= φni + m∆t ∂t φ + j∆x ∂x φ +

m2 2 j2 ∆t ∂tt φ + mj∆t ∆x ∂tx φ + ∆2x ∂xx φ 2 2

+

m2 j 2 mj 2 j3 m3 3 ∆t ∂ttt φ + ∆t ∆x ∂ttx φ + ∆t ∆2x ∂txx φ + ∆3x ∂xxx φ 6 2 2 6

+

...

,

(4.92)

wobei die Ableitungen bei (xi , tn ) auszuwerten sind. Einsetzen liefert am Entwicklungspunkt ∂t φ

+U ∂x φ − Γ∂xx φ

=

cxx ∂xx φ + ctt ∂tt φ + ctx ∂tx φ + cttt ∂ttt φ + cttx ∂ttx φ + ctxx ∂txx φ + cxxx ∂xxx φ

+

...

(4.93)

Alle Koeffizienten c... enthalten bei einem konsistenen Schema positive Potenzen von ∆t und ∆x , so dass die Konsistenzeigenschaft mit (4.93) nachgewiesen werden kann. Um die

4.5 Analyse der Diskretisierung

91

Interpretation zu erleichtern, werden schließlich auf der rechten Seite alle Ableitungen in der Zeit durch r¨aumliche Ableitungen ersetzt. Das wird durch entsprechende Ableitung von (4.93) nach der Zeit und Einsetzen in dieselbe Gleichung erreicht. Die resultierende Gleichung hat die Struktur ∂t φ + U ∂x φ − Γ∂xx φ = c˜xx ∂xx φ + c˜xxx ∂xxx φ + c˜xxxx ∂xxxxφ + c˜xxxxx ∂xxxxxφ + . . . (4.94) Die aus dem Diskretisierungsschema resultierenden Zusatzterme k¨ onnen nun im physikaliasentiert beispielsweise schen Sinne interpretiert werden. Der Term proportional ∂xx φ repr¨ die durch das Schema erzeugte numerische Diffusion, wie sie z.B. von Aufwindverfahren erster Ordnung f¨ ur den Konvektionsterm erzeugt wird. Bei Schemata h¨ oherer Ordnung ist oherer Ordnung diffusionsartiges c˜xx = 0, jedoch generieren auch die geraden Ableitungen h¨ Verhalten, wobei das Vorzeichen bestimmt, ob es sich um “Vorw¨ arts–” oder “R¨ uckw¨ artsdiffusion” handelt. Aus der Diskussion im vorigen Abschnitt und in Abschnitt A.2 wird deutlich, dass unsymmetrische Schemata grunds¨ atzlich diffusive Effekte erzeugen. Terme mit ungeraden Ableitungen rufen im Gegensatz zu denen mit gerader Ableitung dispersives Verhalten hervor. Wie stark dies ist, wird durch den Grad der Ableitung und die Gr¨ oße des vorstehenden Koeffizienten bestimmt. Im Grenzfall ∆x → 0 bestimmt der nichtverschwindende Term niedrigster Ordnung die L¨osung, so dass auch f¨ ur endliche ∆x meist nur die f¨ uhrenden Terme betrachtet werden. Schließlich sei hier noch angemerkt, dass eine Asymmetrie des Differenzensterns, bzw. Abbruchterme gerader Ordnung auch durch eine variable Schrittweite ∆x = const. erzeugt werden. Gleichung (4.6) macht dies f¨ ur den zentralen Differenzenausdruck deutlich. In LES– Anwendungen wird jedoch meist darauf geachtet, das Gitterstreckungsver¨ altnis sehr klein zu halten, so dass dieser Effekt vielfach nicht ins Gewicht f¨ allt. Die hier dargestellte Methode der ¨aquivalenten Differentialgleichung erlaubt es, im Gegensatz zur Analyse mit Hilfe der effektiven Wellenzahl , die Diskretisierung der Differentialgleichung insgesamt durchzuf¨ uhren, d.h. in Raum und Zeit, und gestattet dar¨ uber hinaus die Analyse nichtlinearer Gleichungen. Anders als im Rahmen der effektiven Wellenzahl ist auch die Ber¨ ucksichtigung einer variablen Gitterschrittweite m¨ oglich. Die Bedeutung des Hirtschen Ansatzes f¨ ur die Berechnung turbulenter Str¨ omungen liegt darin, dass die Auswirkungen der Diskretisierung als Zusatzterme in den Gleichungen interpretiert werden. Diese Zusatzterme k¨onnen dann mit Termen in Beziehung gesetzt werden, die aus der Turbulenzmodellierung stammen, wie dies in [637] durchgef¨ uhrt wurde und in Abschnitt 5.6.5 diskutiert wird.

4.5.4

Stabilit¨at

Ein numerisches Verfahren ist stabil, wenn kleine St¨ orungen, die aufgrund von Rundungsfehlern immer pr¨asent sind, nicht u onnen. Ohne diese Eigen¨ ber alle Maßen anwachsen k¨ schaft l¨ asst sich das Verfahren nicht sinnvoll einsetzen. Die Stabilit¨ at einer Diskretisierung in Raum und Zeit kann auf verschiedene Arten untersucht werden. Die bekannteste ist die von Neumannsche Stabilit¨atsanalyse . Sie erfolgt unter Vernachl¨ assigung der Randbedingungen und mit ∆x = const. Einschrittverfahren mit aX,−1 = 0, X = t, U, Γ, F in Gleichung

92

4 Numerische Modellierung

(4.43) lassen sich in der Form Φn+1 = MΦn

(4.95)

schreiben. Bei Mehrschrittverfahren wird eine entsprechende Matrixgleichung f¨ ur den Vektor asentiert also die gesamte Diskretisie(Φn , Φn−1 , . . .)T aufgestellt [452]. Die Matrix M repr¨ onnen wie in Anhang A.2 durch Einsetzen von Exponentialterrung. Ihre Eigenwerte λM k k¨ men bestimmt werden. Das Verfahren ist stabil, wenn alle Eigenwerte die Bedingung |λM k |≤ 1

,

k = −K, . . . , K

(4.96)

mit K = 1/(2∆x ) erf¨ ullen. Will man den Einfluss eines Zeitschemas allein studieren, geschieht dies i.A. mit Hilfe der linearen Modellgleichung ∂t φ = λφ ,

λ ∈ , {λ} ≤ 0

.

(4.97)

Dabei repr¨ asentiert λ die Eigenwerte des kontinuierlichen bzw. des ortsdiskretisierten Operators (vgl. (A.65) und die anschließende Diskussion). Diese Gleichung wird mit dem zu untersuchenden Schema in der Zeit diskretisiert, wobei die Matrix M in (4.95) zu einem at des Zeitschemas ist gegeben Skalar M = λM entartet. Der Bereich absoluter Stabilit¨ ur die die L¨ osung u ankt bleibt, d.h. Φn  < ∞ durch die Werte ∆t λ, f¨ ¨ ber alle Zeiten beschr¨ f¨ ur t → ∞. Zur Illustration seien die Euler–Verfahren betrachtet: Das explizite Euler–Verfahren liefert φn+1 = (1 + ∆t λ)φn

,

(4.98)

also λM = (1 + ∆t λ). Nach Gleichung (4.96) ist das Verfahren stabil, wenn z = ∆t λ in der komplexen Zahlenebene die Gleichung |z + 1| ≤ 1

(4.99)

erf¨ ullt. Es handelt sich also, wie in Abb. 4.9 dargestellt, um einen Kreis mit Mittelpunkt zo = −1. Das entsprechende implizite Verfahren ergibt φn+1 =

1 φn 1 − ∆t λ

.

(4.100)

Da Re{λ} ≤ 0 vorausgesetzt wurde, l¨ asst sich zeigen, dass damit λM = 1/(1 − ∆tλ) ≤ 1 f¨ ur ¨ alle ∆t erf¨ ullt ist. Dieses Verfahren ist also f¨ ur alle Zeitschritte stabil und Ahnliches gilt f¨ ur die meisten anderen impliziten Schemata zweiter Ordnung 2 . Explizite Verfahren hingegen unterliegen i.A. einer Zeitschrittbeschr¨ ankung. F¨ ur Runge–Kutta–Schemata verl¨ auft die Analyse entsprechend [639, Kap.5.8]. In Abb. 4.9 ist der Stabilit¨ atsbereich f¨ ur einige der diskutierten Zeitschrittverfahren aufgetragen. Die Linien verbinden dabei die Orte mit |λM | = 1. Innerhalb der Kurven ist |λM | < 1 2 Lineare

implizite Mehrschrittverfahren h¨ oherer Ordnung sind jedoch immer nur bedingt stabil [111].

93

4.5 Analyse der Diskretisierung

und damit das Verfahren stabil. Hier l¨asst sich nun die Verbindung zu der Analyse in Abschnitt 4.5.2 herstellen. Stabilit¨at des Gesamtverfahrens erfordert, dass alle Eigenwerte der r¨ aumlichen Diskretisierung innerhalb des Stabilit¨ atsbereiches liegen. Diskretisiert man also beispielsweise (4.1) f¨ ur Γ = 0 mit einem der Schemata aus Abb. 4.6, so m¨ ussen die entsprechenden Punkte innerhalb der Stabilit¨atskurve des Zeitschemas in Abb. 4.9 liegen. Anderenfalls ist dies u.U. durch Wahl eines kleineren Zeitschritts zu erreichen. Man erkennt allerdings auch leicht einen Fall, in dem dies nicht m¨ oglich ist, n¨ amlich die bekannte Instabilit¨ at des expliziten Euler–Verfahrens zusammen mit zentralen Differenzen f¨ ur die reine Konvektionsgleichung: die entsprechenden Eigenwerte liegen auf der imagin¨ aren Achse und somit f¨ ur ∆t = 0 immer außerhalb des Kreises f¨ ur das Euler–Schema. Die Skalierung der Achsen in Abb. 4.6 und 4.9 mit 2K = 1/∆x und ∆t zeigt, dass zur L¨ osung der Konvektionsgleichung (ohne Diffusion) die in (4.46) definierte Courant–Zahl C die f¨ ur die Stabilit¨at des Verfahrens charakteristische Gr¨ oße ist. Als CFL–Bedingung [110] wird oft die spezielle Bedingung C ≤ 1 bezeichnet. Durch die mit verschiedenen Orts– und Zeitschemata verbundenen unterschiedlichen Formen der Stabilit¨ atkurven erh¨ alt man jedoch im Allgemeinen C ≤ Cmax mit Cmax = 1. Durch physikalische oder numerische Diffusion werden die Eigenwerte der r¨aumlichen Diskretisierung nach links verschoben, meist in Richtung auf das Zentrum des Stabilit¨atsbereichs, was dann gr¨ oßere CFL–Zahlen erlaubt. Ist jedoch durch einen physikalischen Diffusionsterm in der Gleichung der Diffusionskoeffizient Γ unabh¨ angig w¨ahlbar, so wird bei zu großen Werten von Γ ebenfalls Instabilit¨ at erzeugt. Es ergibt sich also eine Beschr¨ankung f¨ ur die Diffusionszahl D (4.47) der Form D ≤ Dmax . Welche der beiden Beschr¨ankungen in einer Simulation mit explizitem Zeitschema die restriktivere ist, h¨angt von Str¨omungsfeld und Gitter ab. Variieren ∆x , Γ, U innerhalb des Rechengebietes, oder werden nichtperiodische Randbedingungen definiert, so ist die hier dargestellte von Neumann–Analyse nicht mehr strikt g¨ ultig. Sie trifft jedoch qualitativ zu. Je nach Zell–Peclet–Zahl (4.48) kann dann lokal das CFL Kriterium oder, z.B. bei starker Gitterverfeinerung wegen der quadratischen Abh¨ angigkeit von ∆x , das Diffusionskriterium bestimmend sein. In diesem Fall k¨ onnen, wie in Abschnitt 4.3.2 erw¨ ahnt, semi-implizite Verfahren die restriktivere der Bedingungen umgehen. Im H¨ oherdimensionalen gelten ¨ ahnliche Bedingungen. F¨ ur vollst¨andig explizite Schemata zweiter Ordnung im Raum gibt Schumann [528] die N¨aherungsformel  ∆t,crit = Ctemp

1 ui + 2Γ ∆xi ∆xi ∆xi

−1 (4.101)

angt dabei von dem an (i = 1, 2, 3 f¨ ur die Koordinatenrichtungen). Die Konstante Ctemp h¨ ur das Adams–Bashforth–Schema und gew¨ ahlten Zeitschema ab, wobei z.B. Ctemp = 0.2 f¨ Ctemp = 0.6 f¨ ur das dreistufige Runge–Kutta–Verfahren. Bei krummlinigen bzw. unstruk¨ turierten Diskretisierungen ist diese Formel ebenfalls hilfreich, wenn die Aquivalente zu ∆xi geeignet definiert werden. Schließlich kann hier auch illustriert werden, dass neben der Ortsdiskretisierung auch die Zeitdiskretisierung numerische Fehler, insbesondere numerische D¨ ampfung erzeugt. Dies ergibt sich aus einem Vergleich der exakten L¨osung φ(t) = e−λt φ0 von (4.97), bzw. φn+1 = e−λ∆t φn , mit den Ausdr¨ ucken λM , die das jeweilige Schema erzeugt. Gleichungen (4.98) und (4.100) sind daf¨ ur Beispiele. Eine weitere Perspektive bietet Abb. 4.9, in der rechts

94

4 Numerische Modellierung

der Verst¨ arkungsfaktor λM der betrachteten Schemata entlang der imagin¨ aren Achse aufgetragen ist. Wird ein zentrales Differenzenverfahren eingesetzt, so liegen die Eigenwerte der r¨ aumlichen Diskretisierung auf dieser Achse und erfahren die entsprechende D¨ ampfung bzw. Verst¨ arkung. Insbesondere f¨ ur die vierstufigen Verfahren wird dies in der Graphik recht deutlich. Die von Neumannsche Analyse f¨ uhrt die in den Abschnitten 4.5.2 und A.2 dargestellten Betrachtungen mit dem Ziel der Stabilit¨atsaussagen fort. Daher unterliegt sie denselben Beschr¨ ankungen bzgl. Linearit¨at der Gleichungen und Konstanz der Schrittweite wie bereits angesprochen. Sie liefert jedoch in vielen F¨allen geeignete und ausreichende Informationen zur Beurteilung eines Schemas. Alternativ lassen sich Aussagen zur Stabilit¨ at auch mit Hilfe der im vorigen Abschnitt dargestellten ¨aquivalenten Differenzialgleichung gewinnen, was hier jedoch nicht vertieft werden soll. Als Beispiel sei lediglich der Fall (Γ + c˜xx ) < 0 mit c˜xx von niedriger Ordnung in ∆x erw¨ahnt, der durch einen negativen effektiven Diffusionskoeffizienten die Instabilit¨at des Schemas anzeigt.

a

b

3

3

2

2

1

Im(h6t)

Im(h6t)

1

0

0

-1

-1

-2

-2

-3

-3 -4

-3

-2

Re(h6t)

-1

0

0.5

1

hM

1.5

2

Abb. 4.9 Stabilit¨ at und D¨ ampfung verschiedener Zeitschrittverfahren basierend auf Gleichung (4.97). ——– explizites Euler–Schema (4.37),(4.38), – – – Adams–Bashforth–Schema (4.37),(4.41), – - – - zweistufiges Verfahren nach (4.54),(4.55), · · · · · · dreistufiges Verfahren nach (4.54),(4.55), — — vierstufiges Verfahren nach (4.54),(4.55), — - - — klassisches vierstufiges Runge–Kutta–Verfahren [124]. a) Stabilit¨ atsbereich, b) Verst¨ arkungsfaktor entlang der imagin¨ aren Achse. Grafiken aus [415].

4.6 Ku ¨nstliche Diffusion und nichtlineare Schemata zur Ortsdiskretisierung 4.6.1

Die Rolle numerischer Diffusion in laminaren und RANS Rechnungen

Bei der L¨ osung konvektionsdominierter Probleme mit expliziten Verfahren treten h¨ aufig Instabilit¨ aten aufgrund der CFL–Bedingung auf. Hier kann D¨ ampfung durch zus¨ atzliche Diffusion vorteilhaft sein, um diese Tendenz abzuschw¨ achen, was bereits sehr fr¨ uh eingesetzt

95

4.6 K¨ unstliche Diffusion und nichtlineare Schemata

wurde [615]. Man spricht dann, im Gegensatz zur physikalischen Diffusion, von k¨ unstlicher Diffusion . Die Verwendung von Aufwindverfahren hat, wie bereits dargestellt, numerische Diffusion zur Folge, die als eine Spielart der k¨ unstlichen Diffusion gesehen werden kann. F¨ ur station¨ are laminare oder RANS Rechnungen ist daher z.B. das QUICK–Verfahren sehr beliebt. Je nach Ordnung des Abbruchterms sind die Charakteristika der Diskretisierungen quantitativ unterschiedlich zur physikalischen Diffusion. So ist dies f¨ ur das QUICK–Schema ein Term vierter Ordnung, der hohe Wellenzahlen st¨ arker bevorzugt als der physikalische Term zweiter Ordnung. Die Selektion von Anteilen mit hoher Wellenzahl ist sinnvoll, da diese einerseits durch den Dispersionsfehler am st¨ arksten verf¨ alscht werden und andererseits meist am anf¨ alligsten f¨ ur Instabilit¨aten sind. K¨ unstliche Diffusion kann durch verschiedene Ans¨ atze eingef¨ uhrt werden: a) Aufwindcharakter des Differenzensterns b) explizites Hinzuf¨ ugen eines Diffusionsterms c) Begrenzung numerischer Fl¨ usse. Hierzu gibt es eine sehr reichhaltige Literatur. Im Folgenden werden exemplarisch einige Ans¨ atze dargestellt, die f¨ ur die weitere Diskussion relevant sind. Dabei sind auch Verfahren von Interesse, die urspr¨ unglich zur L¨osung der kompressiblen Gleichungen entwickelt wurden. Einerseits k¨onnen sie im inkompressiblen Fall analog definiert werden, andererseits werden, wie in Abschnitt 4.4.6 diskutiert, LES Rechnungen f¨ ur inkompressible Str¨ omungen h¨ aufig auch mit Verfahren f¨ ur kompressible Str¨omungen durchgef¨ uhrt. Veranschaulichungen durch eindimensionale Testrechnungen finden sich beispielsweise in [628].

4.6.2

Das Hybrid–Verfahren und verwandte Schemata

Passt sich der Differenzenstern bzw. die Diskretisierungsmatrix eines Schemas der L¨ osung an, so entsteht ein nichtlineares Schema . Solche Diskretisierungen werden im Bereich der inkompressiblen Str¨omungen h¨aufig eingesetzt, meist mit dem Ziel der Stabilisierung des Gesamtverfahrens. Wie oben gezeigt, haben Aufwindverfahren durch numerische Diffusion stabilisierenden Effekt. Um jedoch die damit eingef¨ uhrten z.T. drastischen numerischen Fehler, insbesondere bei einer Ordnungsreduktion zu minimieren, bietet es sich an, nur lokal dort ein Aufwindschema einzusetzen, wo dies aus Stabilit¨atsgr¨ unden n¨ otig ist. Das a ¨lteste dieser Verfahren ist das Hybrid–Verfahren [557]. Hier wird je nach lokaler Zell–Peclet–Zahl zwischen UDS1– und CDS2–Schema umgeschaltet. Die Gr¨oße des Differenzensterns ¨ andert sich dabei nicht, was mit einer Reduktion der lokalen Ordnung erkauft wird. In FV Formulierung erh¨ alt man f¨ ur U > 0 U,Hybrid Fi+ = 1 2

⎧ 1 ⎨ U 2 (φi + φi+1 )

, P e∆ x ≤ 2

⎩ U φi

, P e∆ x > 2

;

P e∆ x =

U ∆x ν

.

(4.102)

Statt der Zell–Peclet–Zahl kann auch die Glattheit der L¨ osung als Kriterium f¨ ur das Umschalten zwischen verschiedenen Schemata gew¨ahlt werden. Eine geeignete Gr¨ oße daf¨ ur ist,

96

4 Numerische Modellierung

mit U > 0, Θi+1/2 =

φi − φi−1 φi+1 − φi−1

.

(4.103)

die selbst schon Aufwindcharakter besitzt. So schaltet beispielsweise das SOUCUP–Schema [662], ¨ ahnlich wie das Hybrid–Schema, je nach Wert von Θi+1/2 zwischen Aufwinddifferenzen erster und zweiter Ordnung sowie zentralen Differenzen hin und her. Das HLPA–Schema (engl. “hybrid linear parabolic approximation”) [661] folgt dem gleichen Gedanken und ist gegeben durch ⎧ ⎨ U φi + U (φi+1 − φi )Θi+ 12 , 0 < Θi+ 12 < 1 U,HLP A Fi+ = (4.104) 1 2 ⎩ U φi , sonst . In Bereichen einer glatten L¨osung ist das Verfahren von zweiter Ordnung, ansonsten degeneriert es zum UDS1–Verfahren erster Ordnung. Anders als bei den linearen CDS2– und QUICK–Verfahren liegen die Werte F U f¨ ur die beiden letztgenannten Schemata innerhalb des physikalisch sinnvollen Bereiches, der durch Minimum und Maximum von {U φi−1 , U φi , U φi+1 } gegeben ist, womit Oszillationen in der L¨ osung unterdr¨ uckt werden.

4.6.3

Ku ¨nstliche Diffusion durch D¨ampfungsterme

Jameson et al. f¨ uhrten in [255] bei der L¨osung der Eulergleichungen explizit numerische D¨ ampfungsterme von zweiter und vierter Ordnung ein, die oft auch bei der L¨ osung der atzlichen Term NSG angewendet werden. Dabei wird der konvektive Fluss F U um einen zus¨ (2)

(4)

D Fi+ |V 1 |(φi+1 −φi ) + εi+ 1 |Vi+ 12 |(φi+2 −3φi+1 +3φi −φi−1 ) (4.105) 1 A = −ε i+ 1 i+ 2 2

2

2

oßen darstellen. Die Koeffizierweitert, in dem |Vi+ 12 | die Zellgr¨oße und φ die Erhaltungsgr¨ enten lauten (2)

εi+ 1 = k (2) ψi+ 12 2

(4)

(2)

εi+ 1 = max{0 , k (4) − εi+ 1 } 2

2

,

(4.106)

wobei f¨ ur die Konstanten k (2) und k (4) die Werte 1/4 und 1/256 verwendet wurden. Als Sensor f¨ ur die Glattheit der L¨osung dient der Druck u ¨ber    pi+1 − 2pi + pi−1   ψi+ 12 = max{ψi , ψi+1 } . ψi =  (4.107) pi+1 + 2pi + pi−1  Dies entspricht im Sinne der ¨aquivalenten Differentialgleichung dem Erweitern der Konvektionsgleichung (4.1) (Γ = 0) um den Term Dad (φ) = ∆2x ∂x (ε(2) ∂x φ) − ∆4x ∂x (ε(4) ∂xxx φ) .

(4.108)

Die D¨ ampfung zweiter Ordnung vermeidet in der N¨ ahe von Verdichtungsst¨ oßen Oszillationen. Dort ist aus diesem Grund auch ε(4) = 0. In Bereichen glatter L¨ osung ist ε(2) klein,

4.6 K¨ unstliche Diffusion und nichtlineare Schemata

97

so dass der Term von vierter Ordnung in ∆x dominiert. Dieser Term wurde in [255] zur Stabilisierung des Verfahrens insgesamt ben¨otigt. Ausgehend von [255] wurden zahlreiche Varianten der expliziten Zugabe k¨ unstlicher Diffusion entwickelt. In [234] wird beispielsweise in der Impulsgleichung der D¨ ampfungsterm   (2) (2) (4) (4) (4.109) Dad = c1 + c2 |∇u| ∆2x ∇2 u − c1 + c2 |∇u| ∆4x ∇4 u verwendet, wobei u der Geschwindigkeitvektor ist. In manchen Anwendungen werden auch lediglich ortsunabh¨angige Vorfaktoren gem¨aß (2)

(4)

Dad = c1 ∆2x ∇2 u − c1 ∆4x ∇4 u

(4.110)

¨ eingesetzt [89]. Schließlich sei noch das Verfahren von [540] erw¨ ahnt. Hierbei wird Uber– bzw. Unterschwingen der berechneten L¨osung explizit detektiert und durch Diffusion des u ¨ berschwingenden Anteils, nicht der L¨osung selbst, beseitigt. Diese Separation und damit die Anwendung des Verfahrens ist jedoch nur f¨ ur Skalare m¨ oglich, die einem Maximum Prinzip gen¨ ugen.

4.6.4

Das flusskorrigierte Verfahren und TVD–Schemata

In großer Zahl wurden nichtlineare Schemata auf dem Gebiet der kompressiblen Str¨ omungen f¨ ur die Euler–Gleichungen entwickelt, um Str¨omungen mit Verdichtungsst¨ oßen zu berechnen, ohne dass Oszillationen in der numerischen L¨ osung diese unbrauchbar machen [333], also vornehmlich mit dem Ziel einer m¨oglichst genauen L¨ osung. Da bei LES i.A. Str¨ omungen mit großer Reynolds–Zahl betrachtet werden, bei denen der Reibungsterm klein wird, sind die Euler–Schemata hier von Interesse. Zur Diskussion der Euler–Schemata wird die Gleichung ∂t φ + ∂x F (φ) = 0

(4.111)

betrachtet, hier jedoch der Einfachheit halber nur mit dem linearen Fluss F = U φ, wobei U = const. Als Ausgangspunkt dient das (lineare) Lax–Wendroff–Schema [315], das daher zun¨ achst in Erinnerung gerufen wird. F¨ ur ein explizites Differenzenschema mit Zentraldifferenzen im Raum ergibt sich durch Taylorentwicklung die Darstellung n

(∂t φ + U ∂x φ)|i =

φn − φni−1 φn+1 − φni U2 i ∂xx φ|ni + O(∆2t , ∆2x ) , + U i+1 + ∆t ∆t 2∆x 2 (4.112)

wobei ∂tt φ = U 2 ∂xx φ wie bei der Technik der ¨aquivalenten Differentialgleichung hergeleitet wurde. Der Abbruchterm proportional zu ∆t ist immer negativ und stellt einen Diffusionsterm mit negativer Konstante Γnum = −∆t U 2 /2 dar. Das Verfahren ist also f¨ ur alle ∆t instabil. Die Idee des Lax–Wendroff–Schemas (LW–Schema) ist es, diesen Term durch Hinzuf¨ ugen eines weiteren Terms im Schema zu kompensieren n

(∂t φ + U ∂x φ)|i =

φn − φni−1 φn+1 ∆t U 2 φi+1 − 2φi + φi−1 − φni i + U i+1 − ∆t 2∆x 2 ∆2x

+ O(∆2t , ∆2x ) ,

(4.113)

98

4 Numerische Modellierung

Der eingef¨ ugte Term ist diffusiv mit Γad = ∆t U 2 /2 = −Γnum . Dieses Verfahren hat also insgesamt keine numerische Diffusion. Das Schema f¨ ur die Euler–Gleichungen l¨ asst sich auch in dem Form φn+1 = φni − C(φni+1 − φni−1 ) + i

C2 n (φ − 2φni + φni−1 ) 2 i+1

(4.114)

schreiben. Das FCT–Verfahren (engl.: “flux corrected transport”) von Boris und Book [49] basiert auf dem LW–Schema und folgender Idee: In einem Pr¨ adiktorschritt wird die Diffusivit¨ at des LW–Schemas vergr¨oßert   2
n
  C φ∗i = φni + C φni+1 − φni−1 + φi+1 − 2φni + φni−1 . (4.115) + νF+CT 2 In einem Korrekturschritt wird ein R¨ uckw¨artsdiffusionsterm verwendet
 φn+1 = φ∗i − νF−CT φ∗i+1 − 2φ∗i + φ∗i−1 = φ∗i + Fi− 12 − Fi+ 12 , i

(4.116)

wobei
 Fi+ 12 = νF−CT φ∗i+1 − φ∗i

(4.117)

als FV–Flussterme interpretiert werden k¨onnen. Bei νF+CT = νF−CT heben sich beide Zusatzterme auf. Die R¨ uckw¨artsdiffusion wird jedoch in Bereichen großer Kr¨ ummung der L¨ osung reduziert, indem F durch die korrigierten Fl¨ usse F c 

c Fi+ 1 2

  max 0, min{φ∗i −φ∗i−1 , νF−CT (φ∗i+1 −φ∗i ), φ∗i+2 −φ∗i+1 } , φ∗i+1 ≥ φ∗i =   − max 0, min{−(φ∗i −φ∗i−1 ), −νF−CT (φ∗i+1 −φ∗i ), −(φ∗i−2 −φ∗i+1 )} , φ∗i+1 < φ∗i (4.118)

ugte Anteil an den entsprechenden Stellen ersetzt wird. Dadurch wird der mit νF+CT hinzugef¨ nicht mehr kompensiert. Eine große Klasse von Euler–Verfahren sind so genannte TVD–Schemata (engl.: “total variation diminishing”) [229]. Sie erhalten oder vermindern die Gesamtvarianz der L¨ osung von einem Zeitschritt zum n¨achsten, d.h.   n+1 T V (Φn+1 ) = |φn+1 |≤ |φni+1 − φni | = T V (Φn ) . (4.119) i+1 − φi i

i

Das LW–Schema l¨asst sich auch schreiben als [153, Gl.(14.82)]  
φn+1 − φni + C φni − φni−1 − Fi− 12 − Fi+ 12 = 0 i

(4.120)

wobei Fi+ 12 =

1 C(1 − C)(φni+1 − φni ) . 2

(4.121)

99

4.7 Numerische Fehler

Der mittlere Term in (4.120) stellt ein Aufwindschema dar, das numerische Diffusion mit sich bringt. Diese wird korrigiert durch den dritten, mit Hilfe der Fl¨ usse formulierten Term. Um bei großer Kr¨ ummung der L¨osung die Erzeugung von Oszillationen zu vermeiden, muss letzterer ged¨ ampft, bzw. durch eine sog. Limiterfunktion Λ beschr¨ ankt werden. Statt Fi+ 21 wird dann in (4.120) der Fluss TV D Fi+ = Λ(θi )Fi+ 12 1

;

2

θi =

φi − φi−1 φi+1 − φi

(4.122)

verwendet. Dabei muss die Funktion Λ(θ) bestimmte Bedingungen erf¨ ullen, um die TVD– Eigenschaft (4.119) zu erzeugen [573]. Wie Θ in Gleichung (4.104) oben ist hier θ ein Maß f¨ ur die Glattheit der L¨osung. TVD–Schemata sind recht zahlreich, da unterschiedliche Limiterfunktionen gew¨ahlt werden k¨onnen, die z.B. in [333] diskutiert werden. Ebenso sind auch implizite Schemata mit dieser Eigenschaft m¨ oglich, die jedoch ebenfalls auf einer lokalen Ordnungsreduktion beruhen. Es existieren weitere nichtlineare Verfahren, die auf der Verwendung von Limitern beruhen, wie etwa die “piecewise parabolic method” [100], die hier aber aus Platzgr¨ unden nicht im Detail diskutiert werden k¨ onnen. F¨ ur inkompressible Str¨ omungen gibt [540] einen Vergleich durch Testrechnungen mit verschiedenen Verfahren aus der Literatur. Es ist festzuhalten, dass auch bei TVD–Schemata, wie bei dem FCT– Schema, selektiv numerische Diffusion eingesetzt wird, um Oszillationen in der N¨ ahe steiler Gradienten zu unterdr¨ ucken. Man kann zeigen, dass die TVD Eigenschaft dazu f¨ uhrt, dass das Verfahren die Monotonie der L¨osung erh¨alt [333, p.166]. Dadurch wird das Entstehen neuer, unphysikalischer Extrema vermieden.

4.7

Numerische Fehler

4.7.1

Approximationsfehler

Der Abstand der diskreten L¨osung von der exakten L¨ osung φ(x) einer Gleichung muss durch ein geeignetes Fehlermaß definiert werden. Sehr h¨ aufig wird die Summe, bzw. das Integral der Fehlerquadrate verwendet, was man auch als Energienorm bezeichnet. Bei FD–Verfahren bietet sich als Maß f¨ ur den Fehler die diskrete Norm N 2 eapp l2 = φi − φ(xi )l

(4.123)

an, mit f l2 =

 N i=1

−1/2 fi2

,

(4.124)

wobei hier also nur Funktionswerte an einzelnen Punkten verwendet werden. Prinzipiell N kann damit f¨ ur jede Funktion φ das Optimum eapp l2 = 0 durch φi = φ(xi ) erreicht werden. Ein anderer Fall sind FE und Spektralmethoden. Hier ist die kontinuierliche Norm auf der Basis der gesamten Funktion, nicht nur einzelner Werte, nat¨ urlich, d.h. N eapp L2 = φ (x) − φ(x)L2

(4.125)

100

4 Numerische Modellierung

mit 

1/2 f (x)2 dx

f L2 =

.

(4.126)

Die Approximation der Funktion ∞ φ(x) = φˆk e2πıkx

(4.127)

k=−∞

nach Gleichung (4.27), d.h. durch φN (x) =

N
k=−N


2πıkx φˆN k e

(4.128)

at (A.28) l¨ asst erfordert die Bestimmung der Ansatzfreiwerte φˆN k . Wegen der Orthogonalit¨ die exakten sich zeigen, dass der Fehler im Sinne von (4.125) minimiert wird, wenn φˆN k Werte ˆ φˆN k = φk

(4.129)

annimmt [74]. Dann ist eapp L2

=



1/2 k,|k|>N

|φˆk |2


,

(4.130)

wobei wieder Gleichung (A.28) bzw. (A.25) verwendet wurde. Selbstverst¨ andlich kann f¨ ur FE und Spektralmethoden auch die diskrete Norm und f¨ ur FD Methoden die kontinuierliche Norm eingesetzt werden. Das erfordert allerdings die kontinuierliche Definition der FD Operation, z.B. der Art (δx φ)CDS (x) = (φ(x + ∆x ) − φ(x − ∆x ))/(2∆x ). Als Beispiel sei die Funktion, φ(x) =

4 ∞ sin(2π(2m + 1)) ∞ = φˆk e2πıkx m=0 k=−∞ π2 (2m + 1)3

(4.131)

betrachtet mit φˆk = (2/π 2 )(ı/k 3 ) f¨ ur k ungerade und φˆk = 0 f¨ ur k gerade, die dritte Funktion aus Tabelle A.2. Abbildung 4.10a illustriert den Approximationsfehler gem¨ aß (4.130). Mit dem Fehlermaß (4.130) besteht also u.U. f¨ ur eine gegebene Funktion und gegebenes N
eine untere Schranke, unter die der Fehler nicht gesenkt werden kann. H¨ atte man den Fehler punktweise wie in (4.123) bestimmt, w¨are eapp = eapp = 0 m¨ oglich gewesen. Es gibt also l2 Kombinationen aus Diskretisierungen und Fehlernormen, bei denen ein Mindestfehler durch die Wahl des Gitters von vorn herein unumg¨anglich ist. Dieser Fehler wird als Approximationsfehler bezeichnet und stellt die untere Schranke f¨ ur den Fehler bei der numerischen L¨ osung einer Differentialgleichung dar. Sein Anteil ist jedoch i.A. vernachl¨ assigbar im Vergleich zu den anderen Effekten, die nun diskutiert werden sollen. Wie in jedem numerischen Verfahren treten auch bei CFD Rundungsfehler auf. Sie sind jedoch praktisch immer gegen¨ uber den anderen Fehlerarten vernachl¨assigbar, so dass sie hier nicht behandelt werden.

101

4.7 Numerische Fehler a

b 10

-1

c 10

-1

10

10-3

10

-4

10

-5

10

-4

10

-5

-1

10-2

|dx qk|

10-3

|qk|

10-2

|qk|

10-2

10

-3

10-4 10-6

10

10-6

-7

10

0

10

1

k

10

-7

10

0

10

k

1

10

-5

10

0

10

1

k

Abb. 4.10 Verschiedene Fehlerarten am Beispiel der Funktion (4.131) auf einem Gitter mit 51 Punkullte Quadrate ten. Die senkrechte Linie kennzeichnet die Gitterwellenzahl N
= 1/(2∆x ). Ausgef¨ stellen die exakten Koeffizienten der endlichen Reihe dar, offene Quadrate den Fehler, der durch den Reihenabbruch entsteht (siehe Text). a) Approximationsfehler durch Abbrechen der Fourierreihe, b) Aliasingfehler durch ”Zur¨ uckfalten” der h¨ oheren Frequenzen, c) Abbruchfehler bei der Berechnung der Ableitung. Volle Quadrate: exakte Ableitung, Rauten numerische Ableitung mit dem CDS2–Schema.

4.7.2

Abbruchfehler

Als Abbruchfehler wird die Differenz zwischen einem kontinuierlichen Operator, wie z.B. der ¨ Ableitung, und seinem diskreten Aquivalent bezeichnet. Sie l¨ asst sich beispielsweise durch eab = δx φ − ∂x φ

(4.132)

mit einer der genannten Normen quantifizieren. Entsprechende Definitionen stellt man f¨ ur andere Operatoren wie δxx , u(x)δx , etc. auf. F¨ ur die Identit¨ at ergibt sich als Spezialfall der vorher besprochene Approximationsfehler. Der Abbruchfehler wurde in den vorangegangenen Abschnitten bereits ausf¨ uhrlich diskutiert, denn er ist f¨ ur LES in verschiedener Hinsicht von Bedeutung. Traditionell wird die Konvergenzgeschwindigkeit untersucht, d.h. die Ordnung des Verfahrens, die durch die Pour ∆x → 0 abklingt. Diese Eigentenz von ∆x bestimmt wird, mit der der Abbruchfehler f¨ schaft beschreibt jedoch nur das asymptotische Verhalten, das sich in den Abbildungen 4.6 und 4.8 durch das Verhalten der Kurven am Nullpunkt widerspiegelt. In diesem Grenzfall hat die L¨ osung keine Anteile mehr, die von der Gr¨ oße der Gitterschrittweite oder wenig dar¨ uber sind. Bei LES sind solche Anteile jedoch i.A. vorhanden und f¨ ur die Energiedissipation von Bedeutung. Damit werden die Eigenschaften der Schemata insgesamt relevant, wie sie sich jeweils durch die gesamte Kurve eines Schemas in Abb. 4.6 bis 4.8 darstellen. Insbesondere die D¨ampfungseigenschaften sind hier von Bedeutung, da sie in Konkurrenz mit dem Turbulenzmodell treten. Zur Illustration sei wieder die oben gew¨ahlte Funktion (4.131) betrachtet, jedoch der Einfachheit halber in der Approximation (4.128), (4.129), d.h. mit |k| ≤ N
. Wertet man die Summe an den Stellen xi = i/N, i = 1, . . . , N mit N = 2N
+ 1 aus und bestimmt die FD Ableitung mit dem CDS2–Schema, so ergibt sich der in Abb. 4.10c dargestellte Abbruchfehler aus der Abweichung zwischen der exakten Ableitung (Quadrate) und der

102

4 Numerische Modellierung

numerischen Ableitung (Rauten). Unter Beachtung der logarithmischen Skala erkennt man, dass der Abbruchfehler durch die Approximation des Operators ∂x deutlich gr¨ oßer ist als der Approximationsfehler durch Beenden der Reihe bei k = N
(offene Quadrate).

4.7.3

Aliasingfehler

Bei dem Beispiel im vorigen Abschnitt wurde die FD Ableitung von φN statt von φ gebildet, weil dies einfacher war. Die Ursache ist der Aliasingfehler. Er bezeichnet den Unterschied zwischen diesen beiden Funktionen auf einem Gitter. Im Folgenden sei das oben definierte Gitter {xi }i=1,...,N betrachtet. Auswerten der Summe (4.127) an den Gitterpunkten ergibt φ(xi ) = =

∞ k=−∞

N
k=−N

φˆk e2πıkxi

φˆk e2πıkxi +


N






k=−N


m∈ ,m=0

φˆk+mN



. e2πıkxi (4.133)

Der erste Term stellt φN dar, der zweite Term ist der sog. Aliasingfehler. Er entsteht durch die Periodizit¨ at e2πı(k+mN )i/N = e2πıki/N . Die Koeffizienten φˆk , |k| > N
werden dadurch auf dem Gitter {xi }i=1,...,N als Frequenzen kleinerer Wellenzahl interpretiert, was die Aussage des Nyquist’schen Abtasttheorems ist. Abb. 4.10b stellt diesen Sachverhalt mit Hilfe des bereits verwendeten Beispiels dar: die offenen Quadrate repr¨ asentieren die unterabgetasteten Anteile und m¨ ussen zu den niederfrequenten Amplituden addiert werden. Die Abbildung macht auch deutlich, dass f¨ ur abklingende Koeffizienten φˆk der Aliasingfehler haupts¨ achlich die Wellenzahlen nahe der Gitterwellenzahl N
= 1/(2∆x) betrifft. Solange nur Funktionen zu approximieren sind, spielt Aliasing eine untergeordnete Rolle. Gleichung (4.133) stellt dann lediglich den in Abschnitt 4.7.1 diskutierten Approximationsfehler dar und den Grund f¨ ur die Abweichung der Fehlermaße. Bedeutend wird der Mechanismus jedoch bei Nichtlinearit¨aten in den Gleichungen. In den NSG tauchen in dieser Hinsicht nur Produkte auf, die also hier betrachtet werden m¨ ussen. Geht man davon aus, dass zwei Funktionen u(x) und v(x) auf dem Gitter {xi }i=1,...,N hinreichend genau dargestellt sind, ist das f¨ ur beide gleichbedeutend mit der Vernachl¨ assigung des zweiten Terms in (4.133). Das Bilden des Produktes w(x) = u(x)v(x) erzeugt jedoch Frequenzen, die gr¨ oßer als N
sind: w(x) =

2N
k=−2N


w ˆk e2πıkx

,

w ˆk =

N
l=−N


ˆ k−l gˆl h

(4.134)

(siehe Gleichung (A.23)). Die Anteile mit |k| > N
werden auf dem Gitter {xi }i=1,...,N nicht korrekt abgetastet, wodurch je nach Spektrum von u und v ein entsprechender Fehler entstehen kann. Bei komplexeren Termen wie dem Konvektionsterm in den NSG h¨ angt der Aliasingfehler von der Reihenfolge der Operationen und damit von der Formulierung ab [655]. Aliasingfehler spielen nahezu ausschließlich eine Rolle bei Verfahren h¨ oherer Ordnung, insbesondere Spektralmethoden [301]. Denn wie bereits festgehalten, betrifft dieser Fehler haupts¨ achlich die hohen auf einem Gitter dargestellten Frequenzen. Wird z.B. die Ableitung von w mit einem FD Operator niedriger Ordnung gebildet, so werden diese Anteile durch

103

4.7 Numerische Fehler

die Abweichung k − keff viel st¨arker ver¨andert als durch den Aliasingfehler, so dass letzterer unerheblich ist. Beim Bilden der Ableitung mit einer Spektralmethode ist keff = k und die entsprechende D¨ampfung tritt nicht auf. F¨ ur solche Methoden existieren daher Techniken des De–Aliasing [74].

10-1

Abb. 4.11 Berechnung isotroper Turbulenz ohne molekulare und turbulente Viskosit¨ at mit einem energieerhaltenden Verfahren. Die Anfangsbedingung ist ein Geschwindigkeitsfeld mit einem Spektrum, das dem Experiment entspricht (durchgezogene Linie entlang der gef¨ ullten Quadrate). Die Umverteilung der kinetischen Energie zu feineren Skalen ohne deren Dissipation f¨ uhrt zu einem quadratischen Spektrum [327, Kap.10], das durch die logarithmische Auftragung sehr gut zu erkennen ist (offene Quadrate). Die Rechnung wurde mit einem durch T. Lund bereitgestellten Code durchgef¨ uhrt.

4.7.4

10-2

E 10-3 Exp. Exp. t=42 N=32 Exp. Exp. t=42 N=32 vt=0, vt=0, DNS, t=0t=0 DNS, vt=0, vt=0, DNS, nt= 4.8 DNS, nt=48 48 t= t= 4.8

10-4 10

20

30 40

k

Erhaltungseigenschaften

Die NSG (2.1), (2.2) beschreiben die Erhaltung von Masse und Impuls im kontinuierlichen ¨ Sinn. Anderungen der u ¨ ber das Rechengebiet integrierten Masse, bzw. des Impulses, ergeben sich nur aus Quelltermen in den Gleichungen oder Effekten an den Gebietsr¨ andern. Ein konsistentes Diskretisierungsverfahren f¨ ur diese Gleichungen realisiert per definitionem die Konstanz der Erhaltungsgr¨ oße mit dem Abbruchfehler des Verfahrens, O(∆pt , ∆qx ). Man spricht von diskreter Erhaltungseigenschaft, wenn dieser Fehler nicht dem Abbruchfehler folgt, sondern immer exakt Null ist (von Rundungsfehlern abgesehen). Bei manchen Diskretisierungen ist diese Eigenschaft per se durch die Konstruktion garantiert, wie etwa bei Finiten–Volumen–Verfahren. Bei anderen, z.B. Finiten Differenzen, kann sie ebenso realisiert werden. Die kinetische Energie ist eine Gr¨ oße , deren Erhaltungseigenschaft f¨ ur reibungsfreie Str¨ omungen im inkompressiblen Fall aus den NSG folgt. Dies muss sich jedoch nicht notwendigerweise auf den diskreten Fall u ¨bertragen. Die diskreten Geschwindigkeiten werden aus den diskretisierten Impuls– und Kontinuit¨ atsgleichungen berechnet. Wenn daraus auch die Konstanz der kinetischen Energie folgt, ist das die Ausnahme und eine Folge von Details der Diskretisierung. Derartige Verfahren werden im Kontext inkompressibler Str¨ omungen als “energieerhaltend” bezeichnet. Morinishi et al. [410] haben verschiedene Finite–Differenzen–Verfahren auf diskrete Energieerhaltung hin untersucht, sowohl f¨ ur versetzte als auch f¨ ur nicht versetzte Gitter, und energieerhaltende Schemata f¨ ur regul¨ are und versetzte Finite Differenzen vorgeschlagen.

104

4 Numerische Modellierung

F¨ ur ein Finite–Volumen–Verfahren mit nicht versetzter Anordnung, in [410] als “collocated grid” bezeichnet, l¨asst sich der Konvektionsterm ebenfalls energieerhaltend von zweiter bzw. vierter Ordnung genau diskretisieren. Die Verwendung der Impulsinterpolation (4.79) zerst¨ ort diese Eigenschaft jedoch f¨ ur den diskretisierten Druckgradienten, sodass das Schema insgesamt nicht mehr energieerhaltend ist. Im Zusammenhang mit LES sind dabei zwei Aspekte von Bedeutung. Zum einen besitzen energieerhaltende Schemata gewisse Stabilit¨atseigenschaften. Da das Quadrat der Geschwindigkeitsvektoren konstant ist, k¨onnen deren Oszillationen nicht u ¨ber alle Maßen wachsen, so dass die Rechnung nicht divergiert, auch wenn sie v¨ ollig ohne molekulare Viskosit¨ at durchgef¨ uhrt wird. Das ist in Abb. 4.11 anhand einer Rechnung f¨ ur isotrope Turbulenz illustriert. Spricht dieser Mechanismus an, wird jedoch das Ergebnis in den meisten F¨ allen vom physikalischen Standpunkt aus unbefriedigend sein. Der zweite und f¨ ur die LES wichtigere Aspekt ist, dass diese Schemata frei von numerischer Dissipation sind, die in Konkurrenz zu der Feinstrukturmodellierung treten kann, bzw. sich zu ihr addiert. Wie wichtig diese Eigenschaft im Rahmen von LES ist, l¨ asst sich jedoch nur sehr schwer beurteilen. Die Modellierung der turbulenten Dissipation durch ein Feinstrukturmodell ist grunds¨atzlich mit relativ großen Unsicherheiten behaftet. Wird beispielsweise in einem Feinstrukturmodell, das auf einer Wirbelviskosit¨ at beruht, die Modellkonstante anders kalibriert, so f¨ uhrt dies ebenfalls zu einer ver¨anderten Dissipation und ist im Rahmen der Modellungenauigkeiten zu akzeptieren. Die Energieerhaltungseigenschaft des Schemas f¨ uhrt zu einer sauberen Trennung zwischen numerischer und physikalischer Modellierung der Dissipation, kann jedoch derzeit in ihrer quantitativen Bedeutung nur schwer eingesch¨ atzt werden. Das Dispersionsverhalten, dessen Bedeutung in [274] eindrucksvoll best¨ atigt wird, ist bei versetzter und nicht versetzter Anordnung ebenfalls unterschiedlich und wird durch die Eigenschaft der Energieerhaltung des Schemas nicht direkt ber¨ uhrt.

4.7.5

Numerische Au߬ osung

Der Begriff “numerische Aufl¨osung” beschreibt die Information, die von einem Diskretisierungsverfahren korrekt oder mit vernachl¨assigbarem Fehler dargestellt wird. Die numerisch gebildete Ableitung l¨asst sich zum Beispiel im Frequenzbereich schreiben als  δx φ = 2πı keff (k) φˆk e2πıkx , (4.135) k

wobei hier der Einfachheit halber nicht zwischen dissipativem und dispersivem Fehler unterschieden werden soll und komplexe Zahlen f¨ ur keff zugelassen werden. Durch Einsetzen ergibt sich dann der Fehler zu

. (4.136) δx φ − ∂x φ2 = k 4π 2 (k − keff )2 (φˆk )2 D.h. der Fehler kann auf zwei verschiedene Arten klein werden. Einmal dadurch, dass |keff − k| klein ist, was durch ein Verfahren hoher Ordnung erreicht wird (Abb. A.8). Zweitens kann auch |φˆk | klein sein, was durch ein feines Gitter erreicht wird (Abb. A.7). Welche Strategie zur Erzielung eines m¨oglichst kleinen Fehlers effizienter ist, h¨ angt von den Gegebenheiten ab. Die Gitterverfeinerung wird i.A. zun¨achst gew¨ ahlt, denn sie erfordert mehr oder weniger

4.7 Numerische Fehler

105

¨ ¨ nur die Anderung von Parametern. Der Ubergang zu einem Verfahren h¨ oherer Ordnung ist, je nach Typ des Verfahrens, z.T. mit erheblichem methodischem Aufwand verbunden. Ein Verfahren h¨ oherer Ordnung bietet dagegen den Vorzug, dass sich bei Gitterverfeinerung der Fehler wesentlich st¨arker reduziert, wodurch im Konvergenzbereich sehr kleine absolute Fehler erreicht werden k¨onnen.

5

Methodische Ans¨atze fu ¨r LES

5.1

Grundidee der LES

In Kapitel 2 wurden die physikalischen Eigenschaften turbulenter Str¨ omungen diskutiert und betont, dass es sich um ein Mehrskalenph¨anomen handelt: die kinetische Energie der turbulenten Bewegung ist mit einem kontinuierlichen Spektrum u aum¨ber mehrere Dekaden r¨ licher und zeitlicher Skalen verteilt. Aufgrund der oben diskutierten Mechanismen sind die Eigenschaften der großskaligen und der kleinskaligen Bewegung unterschiedlich. Tabelle 5.1 ¨ gibt eine Ubersicht. W¨ahrend die großen Skalen individuell, stark geordnet und energiereich sind, haben die feinen Skalen universelleren Charakter und tragen wenig zur Gesamtenergie bei. Sie erhalten ihre Energie durch den Zerfall der großen Skalen und sind f¨ ur den Großteil der Dissipation verantwortlich. Tab. 5.1 Eigenschaften der grobskaligen und der feinskaligen Turbulenz, nach [532]. große Skalen geometrieabh¨ angig werden von mittlerer Str¨ omung generiert oft stark geordnet inhomogen, anisotrop energiereich langlebig diffusiv

kleine Skalen universell Zerfallsprodukte der großen Skalen ungeordnet homogen, isotrop energiearm kurzlebig dissipativ

Die Idee der LES beruht darauf, die großen Skalen explizit aufzul¨ osen und zu berechnen, w¨ ahrend die kleinen Skalen modelliert werden. Hierbei werden die erw¨ ahnten Eigenschaften ausgenutzt und insbesondere die Tatsache, dass der Energietransport im Mittel von den großen zu den kleinen Skalen erfolgt. Weiterhin macht der universellere Charakter der feinen Skalen diese einer Modellierung leichter zug¨ anglich. Sie werden durch ein sog. Feinstrukturmodell repr¨asentiert. Die großen Skalen sind von der individuellen Konfiguration bestimmt und daher nur schwer durch ein allgemeing¨ ultiges Modell zu erfassen. Da sie außerdem den Großteil der turbulenten Energie ausmachen, braucht nur ein kleiner Teil der Bewegungsenergie modelliert zu werden. Damit reduziert sich im Vergleich mit RANS der Modellierungsbedarf deutlich. Die haupts¨achliche Funktion der Feinstrukturterme besteht gem¨ aß Tabelle 5.1 in der Dissipation der turbulenten kinetischen Energie. Dies wird bereits von einfachen Wirbelviskosit¨atsmodellen geleistet. Der Ausgangspunkt f¨ ur LES ist also die Trennung in große und kleine Skalen, entsprechend als Grobstruktur (GS) und Feinstruktur (FS) bezeichnet, wobei hier auch synonym die eng-

108

5 Methodische Ans¨ atze f¨ ur LES

lische Nomenklatur “grid scale” (GS) und “sub–grid scale” (SGS) verwendet wird. F¨ ur diese ¨ wird die Notation mit Uberstrich und Apostroph verwendet, wobei die pr¨ azise Definition aus dem Zusammenhang hervorgeht oder an der jeweiligen Stelle nicht von Bedeutung ist. Geschwindigkeit, Druck und Skalar werden also aufgespalten in ui = ui + u
i

,

p = p + p


,

φ = φ + φ


.

(5.1)

In der Literatur wurden f¨ ur diese Trennung der Skalen verschiedene Ans¨ atze entwickelt, von denen die wichtigsten hier besprochen werden. Der gegenw¨ artig meist verwendete Ansatz basiert auf der Definition einer r¨aumlichen Filteroperation [325]. Er wird zu Beginn in seiner einfachsten, homogenen Form beschrieben und stellt den Bezugspunkt f¨ ur die nachfolgenden Abschnitte dar. Neben den zitierten Originalarbeiten wurden f¨ ur diesen Abschnitt die ¨ Ubersichtsarbeiten [462],[41],[457],[169] verwendet.

5.2

Homogene Filterung im Ort, Gleichungen der LES

5.2.1

Definition der Filterung

Die von Leonard [325] vorgeschlagene r¨aumliche Filterung ist ein Konzept, das die Trennung in große und kleine Strukturen erlaubt. Die Darstellung erfolgt hier f¨ ur den homogenen Fall, was zun¨ achst erfordert, dass das betrachtete Gebiet homogen ist. Das ist der Fall, wenn die r¨ aumliche Koordinate unbeschr¨ankt oder periodisch ist. Im Folgenden wird der ¨ unbeschr¨ ankte Fall betrachtet, die Ubertragung auf periodische Verh¨ altnisse ist anhand der in Anhang A.1 beschriebenen Zusammenh¨ange recht einfach. Die Gr¨ oße u ist ein Skalar, die Anwendung auf Vektoren erfolgt komponentenweise. Eine Filterung kann – hier f¨ ur den allgemeinen, dreidimensionalen Fall ohne Gebietsr¨ ander – durch ein sog. Faltungsintegral  u(x) = G(x, y, ∆(x)) u(y) dy , x∈ (5.2) 3

dargestellt werden, was auch in der Form u = G∗u notiert wird. ∆ ist die i.A. ortsabh¨ angige Filterweite . In dieser Gleichung ist der so genannte Filterkern G eine im Bereich |x − y| = O(∆) lokalisierte Funktion mit  G(x, y, ∆(x)) dy = 1 . (5.3) 3

Damit ist die Existenz des Integrals f¨ ur beschr¨ankte u gesichert. Die zweite Bedingung sorgt außerdem daf¨ ur, dass der Mittelwert erhalten wird und eine konstante Funktion unver¨ andert bleibt. Die Faltung ist eine lineare Operation, denn es gilt u + cv = u + cv

,

(5.4)

wobei c eine Konstante ist. Im Allgemeinen wird G als Tensorprodukt eindimensionaler Funktionen 3 G(x, y, ∆(x)) = Gi (xi , yi , ∆i (xi )) (5.5) i=1

109

5.2 Homogene Filterung im Ort, Gleichungen der LES

dargestellt, was den dreidimensionalen auf den eindimensionalen Fall mit G = G(x, y, ∆(x)) und x, y ∈ zur¨ uckf¨ uhrt. Das Gebiet ist homogen, da jeder Punkt dieselben Eigenschaften hat, und in diesem Abschnitt soll auch weiterhin der homogene Fall betrachtet werden (er ergibt sich auch ganz analog im periodischen Fall). Das erfordert neben der Homogenit¨ at des Gebietes die Homogenit¨at der Operation, dadurch gekennzeichnet, dass G nur von der Differenz x − y abh¨angt. Gleichung (5.2) wird also im Eindimensionalen zu  u(x) = G∆ (x − y) u(y) dy . (5.6) Die Lokalisierung kann mit Hilfe einer “Mutterfunktion” g(x) durch die Vorschrift   x−y 1 g G∆ (x − y) = ∆ ∆

(5.7)

parametrisiert werden, wobei der Index ∆ oft weggelassen wird. Offensichtlich ist die gefilterte Funktion u umso glatter, je gr¨oßer ∆, d.h. je weniger lokalisiert G ist. In Abb. 5.1 ist dies anhand eines Beispiels illustriert. Dort wurde g = χ[− 12 ; 12 ] gesetzt, wobei die Indikatorfunktion χ durch  1 ; x ∈ [a; b] χ[a;b] (x) = (5.8) 0 ; sonst definiert ist. Es handelt sich um den sog. Rechteck– oder Box–Filter, der weiter unten noch eingehender besprochen wird. Dieser Filter wurde auch schon in den sehr fr¨ uhen Arbeiten von Deardorff [118] benutzt. Aldama [13] gibt eine ausf¨ uhrliche Diskussion verschiedener Filteroperationen. Eine LES zielt darauf ab, nur die grobskaligen Anteile der L¨ osung zu diskretisieren, was dann entsprechend nur ein groberes Gitter erfordert, als es f¨ ur die vollst¨ andige L¨ osung ben¨ otigt w¨ urde. Daher kann die Gitterschrittweite umso gr¨ oßer sein, je gr¨ oßer die Filterweite ist. In den meisten Ans¨atzen wird dar¨ uber hinaus sogar die Filterweite ∆ in Gl. (5.2)–(5.7) mit der Gitterschrittweite identifiziert. F¨ ur die weitere Diskussion ist es hilfreich, diese Dualit¨ at im Auge zu behalten.

5.2.2

Gefilterte Gleichungen

Im n¨ achsten Abschnitt wird gezeigt, dass mit Gleichung (5.6) Filter und Ableitungen vertauschbar sind. Wendet man also den Filter auf beide Seiten der NSG (2.1), (2.2) an, so ergeben sich die gefilterten Navier–Stokes Gleichungen (FNSG) ∂xi ui = 0 ∂t ui + ∂xj (ui uj ) + ∂xi p = ∂xj (2νS ij ) − ∂xj τij

(5.9) ,

(5.10)

worin S ij =

 1
∂xi uj + ∂xj ui 2

(5.11)

110

5 Methodische Ans¨ atze f¨ ur LES

a

u P P u

q P 6

u

b

u

-

u H H

j H 6

u

Abb. 5.1 Ungefilterte Funktion u, gefilterte Funktion u und zweifach gefilterte Funktion u, jeweils an ihrer h¨ oheren Glattheit zu erkennen, in Abh¨ angigkeit von x. Die Filterung wurde durch einen Rechteckfilter erreicht, dessen Breite mit Hilfe des eingetragenen Rechtecks dargestellt ist. Sie ist im unteren Diagramm gr¨ oßer als im oberen und hat daher eine st¨ arkere Gl¨ attung zur Folge. Die Abbildung entstammt [169].

der gefilterte Deformationstensor ist. Der Term τij = ui uj − ui uj

(5.12)

stellt den Beitrag der nicht aufgel¨ osten Bewegung in den Gleichungen der aufgel¨ osten Strukturen dar. Wie bei den statistisch gemittelten Gleichungen entsteht hier wieder ein Schließungsproblem, denn diese Feinstrukturspannungen k¨ onnen nicht direkt durch die gefilterten Geschwindigkeiten ui ausgedr¨ uckt werden. Es wird also ein Modell, das sog. Feinstrukturotigt. Zur Unterscheidung gegen¨ uber den exakten gefilterten modell, τij ≈ τijmod (u) ben¨ Gleichungen werden die durch ein Feinstrukturmodell geschlossenen Gleichungen ∂xi u˜i = 0

(5.13)

ui u˜j ) + ∂xi p˜ = ∂xj (2ν S˜ij ) − ∂xj τijmod ∂t u˜i + ∂xj (˜

(5.14)

im Weiteren als LES–Gleichungen (LESG) bezeichnet. Die Notation mit einer Tilde reflektiert hier, dass die L¨ osung der LESG aufgrund der Einf¨ uhrung eines Modells von der u ¨ ber einen Filter definierten L¨ osung ui abweicht.

111

5.2 Homogene Filterung im Ort, Gleichungen der LES

Tab. 5.2 Verschiedene in der Literatur h¨ aufig verwendete Filter mit ihren Definitionen im physikalischen Bereich und im Frequenzbereich, wobei der Rechteckfilter in der englischsprachigen Literatur auch als “tophat” oder “Box”–Filter bezeichnet wird. Der Fourier–cutoff–Filter wird hier meist als idealer Tiefpass bezeichnet. Die Grafiken wurden f¨ ur den Fall ∆ = 1 erstellt. Der Typ BU, UB, UU charakterisiert die Beschr¨ anktheit des Tr¨ agers im Orts– und Frequenzbereich. In der Spalte zur Positivit¨ at kennzeichnet das “±”–Zeichen das Auftreten sowohl positiver als auch negativer Werte. Typ

Beispiel

Physikalischer Bereich

BU

Rechteck

GB (x) =

1 ∆

0

Frequenzbereich

; |x| ≤ ; sonst

∆ 2

Box

ˆ B (ω) = G

Positivit¨ at

sin( ω∆ 2 )

GB ≥ 0

ω∆ 2

Box

1.25

1.25 1

1 0.75

G ^(t)

G(x)

0.75

0.5

0.25

0.5

0.25

0

0

-0.25 -0.25

-2

0

2

-20

x

UB

Fourier–cutoff

GF (x) =

-10

0

10

t

πx 1 sin( ∆ ) πx ∆ ∆

1 0

ˆ F (ω) = G Fourier

20

|ω| ≤ sonst

; ;

ˆB ± G π ∆

GF ±

Fourier

1.25

1.25 1

1 0.75

G ^(t)

G(x)

0.75

0.5

0.25

0.5

0.25

0

0

-0.25 -0.25

-2

0

2

-20

-10

x

GG (x) =

1 ∆


γ π

2

exp − γx ∆2 

10

20

Gauss

ˆ G (ω) = exp − ∆2 ω2 , γ = 6 G 4γ 





ˆF ≥ 0 G GG > 0

Gauss

1.25

1.25 1

1 0.75

0.75

G ^(t)

Gauß

G(x)

UU

0

t

0.5

0.25

0.5

0.25

0

0

-0.25 -0.25

-2

0

x

2

-20

-10

0

t

10

20

ˆG > 0 G

112

5 Methodische Ans¨ atze f¨ ur LES

Der zu modellierende Term τij h¨angt, wie aus der Definition (5.12) ersichtlich, allein von den Eigenschaften des Filters ab. Daher sollen diese im nachfolgenden Abschnitt eingehend diskutiert werden.

-1

10

-2

E(t)

10

10

-3

10

-4

10

-5

DNS Fourier Gauss Box 2 Box

10

0

10

1

10

2

t

Abb. 5.2 Das Resultat der Anwendung verschiedener Filter im Frequenzbereich. Fourier–cutoff– Filter, Gauss–Filter und Rechteckfilter. Analog zu Abb. 5.1 wurde der Rechteckfilter auch zweifach angewendet und mit Box2 bezeichnet. Zugrunde gelegt ist das Modellspektrum (2.60), hier mit DNS bezeichnet. Weiterhin wurden f¨ ur das dreidimensionale Spektrum sph¨ arische Filter verwendet.

5.2.3

Eigenschaften der homogenen Filteroperation

Im folgenden sei die Filterweite ∆ konstant. Dann ist unter den gegebenen Verh¨altnissen die Anwendung der Fourier–Transformation gem¨aß (A.1) vorteilhaft. Gleichung (5.6) kann dadurch mit Hilfe des Faltungssatzes (Gl. (A.26) auf den kontinuierlichen Fall u ¨ bertragen) in ¨aquivalenter Form als ˆ ˆ u(ω) = G(ω) u ˆ(ω)

(5.15)

geschrieben werden. Eine Illustration findet sich in Abb. 5.2. Mit der Fourier–Transformation steht ein sehr m¨achtiges Hilfsmittel zur Verf¨ ugung, das viele Betrachtungen wesentlich erleichtert und außerdem die Ankn¨ upfung an die Theorie der isotropen Turbulenz erlaubt. Im Allgemeinen werden symmetrische Filter gew¨ahlt, d.h. Filter mit G(x) = G(−x). Dies ˆ rein reell ist (A.11). Die drei in der Lihat zur Folge, dass die Fourier–Transformierte G teratur am h¨aufigsten verwendeten Filter sind der Rechteckfilter, der Gauß–Filter und der ideale Tiefpass oder Fourier–cutoff–Filter. Ihre Eigenschaften sind in Tabelle 5.2 dargestellt. Unabh¨angig davon, welche spezielle Funktion G als Filterkern verwendet wird, lassen sich f¨ ur Filter der Form (5.6), (5.15) die folgenden Eigenschaften zeigen.

5.2 Homogene Filterung im Ort, Gleichungen der LES

113

Linearit¨ at: Die Eigenschaft u + cv = u + cv

(5.16)

gilt bereits f¨ ur den allgemeinen Fall, daher auch hier. Glattheit, Differenzierbarkeit: Wenn u stetig bzw. differenzierbar ist, gilt dies auch f¨ ur u. Diese Eigenschaften sind mit dem Abklingverhalten der Fourier–Koeffizienten f¨ ur ω → ∞ ˆ ∼ ω p , p ≥ 1, und verkn¨ upft (s. Abschnitt A.1.6). Sinnvolle Filter erf¨ ullen asymptotisch G f¨ ur differenzierbare u gilt u ˆ ∼ ω q , q ≥ 3. Damit ist ˆ u ∼ ω p+q ˆ = Gˆ u

;

p+q >3

.

(5.17)

Die Glattheitseigenschaften von G und u “addieren” sich also. Lokalisierung im Frequenzbereich: Um seinen Zweck zu erf¨ ullen, muss G Tiefpasseigenschafˆ ten besitzen. Aus der Normierungsbedingung (5.3) folgt zun¨ achst G(0) = 1. Jenseits einer ˆ Frequenz, die proportional zu 1/∆ ist, hat G nur kleine Werte, so dass entsprechende Frequenzen im Signal u gem¨aß (5.15) unterdr¨ uckt werden. Andererseits sollten niedrige Freˆ f¨ quenzen m¨ oglichst unbeeinflußt bleiben. Je n¨aher also G ur ω ≈ 0 an 1 liegt, desto mehr ist dies der Fall. Gleichung (A.27) liefert  ∞ mˆ m dω G(ω)|ω=0 = (−ı) xm G(x) dx . (5.18) −∞

F¨ ur m = 0 ergibt sich die Normierungsbedingung (5.3). Je mehr Momente m = 1 . . . m0 also ˆ ˆ = 1 an. Rechteck– verschwinden, desto besser schmiegt sich G(ω) bei ω ≈ 0 an die Kurve G und Gauß–Filter haben ein verschwindendes Moment, der ideale Tiefpass unendlich viele. In Abb. 5.2 ist dies illustriert: je gr¨oßer die Anzahl verschwindender Momente ist, desto weniger stark werden die niedrigen Frequenzen des Spektrums durch den Filter beeinflusst. Rechteck– und Gauss–Filter haben einen ¨ahnlichen Einfluss, da sie beide die gleiche Anzahl verschwindender Momente haben. Man erkennt auch, dass diese Filter bereits Frequenzen deutlich niedriger als die nominelle Cutoff–Frequenz merklich d¨ ampfen. Lokalisierung im Ort: Die Breite eines Filters kann unterschiedlich definiert werden. Verschwindet das zweite Moment nicht, so kann diese Gr¨ oße benutzt werden. F¨ ur eine um den Nullpunkt zentrierte Funktion G wird danach die Breite ∆f definiert als

 ∆f =

12

x2 G(x) dx

.

(5.19)

Die Parametrisierung, d.h. die Wahl der Funktion g in (5.7) erfolgt dann so, dass ∆f = ∆. Der Normierungsfaktor 12 wurde anhand des Rechteckfilters gew¨ ahlt. F¨ ur den idealen Tiefpass wird die Wellenl¨ange der Grenzfrequenz ωc , also ∆ = π/ωc , verwendet. Grenzwert ∆ → 0: Die dargestellten Lokalisierungseigenschaften f¨ uhren zusammen mit der Skalierung (5.7) auf lim G∆ (x) = δ(x)

∆→0

,

(5.20)

114

5 Methodische Ans¨ atze f¨ ur LES

so dass lim∆→0 u = u. Der Einfluß des Filters verschwindet also im Grenzfall verschwindender Filterweite (zur δ–“Funktion ” siehe auch Abschnitt A.1.10). Galilei-Invarianz: Aufgrund der Homogenit¨at des Filters sind Filter und Verschiebung um einen Betrag X vertauschbar, d.h. u(x + X) = u(x + X) .

(5.21)

Kommutativit¨ at: Werden zwei Filter G1 und G2 nacheinander angewendet, so sind sie wegen (5.15) vertauschbar: G1 ∗ (G2 ∗ u) = (G1 ∗ G2 ) ∗ u = G2 ∗ (G1 ∗ u) .

(5.22)

Vertauschbarkeit von Filter und Ableitung: Da die Ableitung im Ort durch Multiplikation mit ıω im Frequenzbereich ausgedr¨ uckt werden kann, folgt diese Eigenschaft direkt aus (5.15). Ebenso ist die Filterung im Ort mit der Ableitung in der Zeit vertauschbar. F¨ ur die hier betrachteten Filter sollen noch einige weitere Eigenschaften diskutiert werden, die nicht mehr allein aus der Definition u ¨ ber ein Faltungsintegral folgen. Tr¨ ager: Als Tr¨ ager einer Funktion wird der Bereich bezeichnet, in dem diese von Null verschieden ist. In Tabelle 5.2 wurde eine Klassifizierung der Filter anhand der Kompaktheit ihres Tr¨ agers vorgenommen, d.h. ob der Tr¨ager unendlich groß ist oder nicht. U bezeichnet unbeschr¨ ankten, B beschr¨ankten Tr¨ager, der erste Buchstabe steht f¨ ur den Ortsbereich, der zweite f¨ ur den Frequenzbereich. Dabei ist zu beachten, dass ein kompakter Tr¨ ager im Ortsbereich und im Frequenzbereich gleichzeitig nicht m¨ oglich ist. Filter mit kompaktem Tr¨ ager im Ort, BU, werden geeignet im Ortsbereich angewendet, entsprechend UB–Filter im Frequenzbereich. Letztere sind daher insbesondere f¨ ur Spektralmethoden naheliegend. Filter des Typs UU k¨onnen sowohl im Ort wie auch im Frequenzbereich angewendet werden, wobei der Tr¨ ager durch Vernachl¨assigung kleiner Werte auf endliche Gr¨ oße reduziert wird [456]. Invertierbarkeit: Eng mit dem Tr¨ager im Frequenzbereich h¨ angt die Invertierbarkeit der ˆ Filteroperation zusammen. Filter mit G(ω) > 0 f¨ ur alle ω k¨ onnen nach (5.15) invertiert werden, denn u ˆ(ω) =

ˆ u(ω) ˆ G(ω)

(5.23)

ist dann definiert. Dies ist also f¨ ur den Gauß–Filter (UU) m¨ oglich. F¨ ur den Rechteckfilter ˆ ausgenommen werden. (BU) kann das n¨ aherungweise geschehen, wenn die Nullstellen von G Der ideale Tiefpass (UB) kann nicht invertiert werden. Projektionseigenschaft: Die zweifache Anwendung eines Filters entspricht nach (5.22) der Anwendung des mit sich selbst gefalteten Filters, G ∗ G. Mit Hilfe von (5.15) ergibt sich 2  ˆ ˆ u(ω) = G(ω) uˆ(ω) .

(5.24)

5.2 Homogene Filterung im Ort, Gleichungen der LES

115

Je nach Filter G k¨onnen nun verschiedene F¨alle auftreten. Zun¨ achst wird deutlich, dass im Allgemeinen u = u

,

(5.25)

2 ˆ ˆ = G(ω). Diese Eigenschaft hat unter den betrachteten denn Gleichheit erfordert (G(ω)) Filtern allein der ideale Tiefpass. Eine solche Abbildung, die bei mehrfacher Anwendung das Ergebnis nicht mehr ver¨andert, heißt Projektion. Ein anderes Verhalten weist der Gauß– Filter auf. Zweimalige Anwendung liefert wieder einen Gauß–Filter, jedoch mit einer um √ den Faktor 2 vergr¨oßerten Filterbreite. F¨ ur den Rechteckfilter schließlich tritt der allgemeine Fall ein, bei dem durch mehrfache Filterung ein Filter eines anderen Typs entsteht. Hier hat G ∗ G Dreiecksform [618]. In der Tat werden B–Splines durch mehrfache Faltung der Indikatorfunktion mit sich selber definiert. Der Rechteck– und der Dreiecksfilter sind die ersten beiden Elemente dieser Familie [116]. Die Differenz zwischen ein– und mehrfacher Filterung, Gleichung (5.25) im Ortsbereich, wird illustriert durch Abb. 5.1. Abb. 5.2 zeigt den Sachverhalt im Frequenzbereich nach Gl. (5.24) durch die Differenz zwischen den beiden gestrichelten Kurven, die das Resultat einmaliger und zweimaliger Anwendung des Rechteckfilters darstellen.

5.2.4

Filterung im Gegensatz zu Mittelung

Es wird hier zwischen Mittelung und Filterung unterschieden. Unter einer Mittelung wird eine Operation mit den Eigenschaften des Reynolds–Mittels verstanden. Ursache f¨ ur diese Eigenschaften ist die “Vollst¨andigkeit” der Mittelung, d.h. bei einem Ortsmittel h¨ angt die gemittelte Gr¨ oße nicht mehr vom Ort ab, bei einem Zeit– oder Phasenmittel nicht mehr von der Zeit bzw. der Phase. Bei einer Filterung dagegen besteht diese Abh¨ angigkeit noch. Eine Mittelung wird also nur im Grenzfall unendlicher Filterbreite erreicht. Das Analogon zu
u
v =
u
v, Gleichung (2.16), gilt f¨ ur eine Filterung nicht, denn f¨ ur jeden Filter endlicher Breite ist, abgesehen von speziell gew¨ ahlten Funktionen, uv = u v

,

(5.26)

was durch Einsetzen der Definitionen nachgewiesen wird. Der Vorzug einer Filterung liegt darin, dass je nach Filterbreite “verschieden stark gemittelt” werden kann, eine Eigenschaft, die dem Multiskalencharakter der Turbulenz entspricht und bei der Konstruktion von Feinstrukturmodellen vielfach zur Anwendung kommt. Schließlich sei noch darauf hingewiesen, dass r¨aumliche Filterung und zeitliche Mittelwertbildung, bzw. Phasenmittel oder Bilden des Erwartungswertes, vertauschbar sind, d.h.
u =
u ,

(5.27)

was durch Einsetzen der Definitionen nachgewiesen wird.

5.2.5

Grenzu ¨berg¨ange

Anhand von Abb. 5.2 lassen sich zwei wichtige Grenzf¨ alle diskutieren. Zun¨ achst kann bei festgehaltener Reynolds–Zahl die Filterweite ∆ variiert werden. Es ist offensichtlich, dass

116

5 Methodische Ans¨ atze f¨ ur LES

f¨ ur ∆  η keine Filterung mehr stattfindet und somit lim∆→∞ u = u. Die FNSG gehen also in die ungefilterten Gleichungen u ¨ ber, die LES wird zu einer DNS. Andererseits kann bei festgehaltener Filterweite ∆ die Reynolds–Zahl vergr¨ oßert werden. Damit sinkt die Kolmogrov–L¨ange η, und das DNS–Spektrum in Abb. 5.2 erstreckt sich immer weiter nach rechts (vergleiche Abb. 2.1). Im Grenzwert verschwindet der Beitrag des laminaren Reibungsterms zur Dynamik der aufgel¨ osten Anteile v¨ ollig, und allein der Feinstrukturterm repr¨asentiert die turbulente Energiekaskade und damit die Dissipation. Mit LES ist es daher prinzipiell m¨oglich, Str¨omungen beliebig großer Reynolds–Zahl zu berechnen. Die laminare Viskosit¨at kann in diesem Fall tats¨ achlich auf ν = 0 gesetzt werden. 1 Auch wenn feste W¨ande vorhanden sind, gilt Entsprechendes, jedoch nur, wenn eine Modellierung der wandn¨achsten Zone verwendet wird (siehe Kapitel 8). Im Zugang zu beliebig großen Reynolds–Zahlen liegt der entscheidende Vorteil von LES gegen¨ uber DNS. Streng genommen ist nicht nur der Grenz¨ ubergang lim∆→0 ui = ui , sondern auch lim∆→0 u ˜i = ui zu betrachten, wobei u ˜i durch die L¨osung der LESG definiert ist, die anstelle von τij das Modell τijmod enthalten. Von der Sensitivit¨at des turbulenten Geschwindigkeitsfeldes gegen¨ uber kleinen St¨orungen und der resultierenden Problematik im Bezug auf die Berechnung “benachbarter” L¨osung soll hier abgesehen werden. Mathematisch l¨ asst sich die Frage des Grenz¨ ubergangs dann in etwa so formulieren. Es sei φ die L¨ osung einer Gleichung mit asentiert. Die einem kleinen Parameter , d.h. L (φ ) = 0, wobei ε hier die Filterweite ∆ repr¨ L¨ osung der ungest¨ orten Gleichung sei φ mit L(φ) = 0. Aus dem Grenzwert lim →0 L = L folgt nun nicht notwendigerweise, dass auch die L¨ osung φ gegen φ konvergiert. Als Beispiel in der Str¨ omungsmechanik betrachte man den Wert der Geschwindigkeit an einer festen ¨ Wand f¨ ur den Ubergang von den Navier–Stokes–Gleichungen auf die Euler–Gleichungen mit  = 1/Re = 0. Hier liegt keine punktweise Konvergenz der L¨ osung vor, weil es sich in diesem Fall um ein singul¨ares Limit handelt [599], bei dem sich hier z.B. der Typ der Differentialgleichung ¨andert und damit die zul¨assigen Randbedingungen. Ein FS–Modell in einer LES muss nun gerade so konstruiert sein, dass kein singul¨ arer, sondern ein regul¨ arer Grenz¨ ubergang resultiert. Dies ist f¨ ur jedes Modell einzeln nachzuweisen und wurde beispielsweise in [42] f¨ ur ein dem Dekonvolutionsmodell in Abschnitt 6.7.2 ¨ ahnliches Modell durchgef¨ uhrt. Bei Wirbelviskosit¨atsmodellen, die immer noch die Mehrzahl der eingesetzten FS–Modelle darstellen, ist der regul¨are Grenz¨ ubergang dagegen offensichtlich. Die laminare Viskosit¨ at wird dabei lediglich durch die gest¨orte, d.h. hier vergr¨ oßerte, Viskosit¨ at νt +ν ≥ ν ersetzt, mit lim∆→0 νt = 0.

5.2.6

Zerlegung der Feinstrukturspannungen und Invarianzeigenschaften

Wie in Kapitel 2 erw¨ahnt, sind die Navier–Stokes Gleichungen Galilei–invariant gem¨ aß der in Tabelle 2.1 aufgef¨ uhrten Definition. Es zeigt sich dar¨ uber hinaus, dass jeder einzelne Term der NSG (2.1),(2.2) f¨ ur sich invariant ist, mit Ausnahme des Konvektionstermes ∂xj (ui uj ), der dies nur zusammen mit dem Zeitableitungsterm erf¨ ullt. Speziale [558] wies nach, dass ein Konvolutionsfilter (5.6) diese Eigenschaft nicht ver¨ andert: ist ein Ausdruck φ Galilei– invariant, so gilt dies auch f¨ ur φ. Grund ist die Homogenit¨ at des Filters, genauer Gleichung (5.21). Wegen ihrer nahezu identischen Struktur besitzen also auch die gefilterten Gleichun1 Dies

wird bei RANS–Modellen u aufig praktiziert [442]. ¨brigens h¨

117

5.2 Homogene Filterung im Ort, Gleichungen der LES

gen (5.9),(5.10) die Galilei–Invarianz . Insbesondere weist man durch Einsetzen nach, dass ur den Feinstrukturterm τij allein gilt, wobei Vi der r¨ aumdies wegen ui + Vi = ui +Vi auch f¨ lich konstanter Geschwindigkeitsvektor der Galilei–Transformation ist. Aus der Konstanz folgt V i = Vi . Um die Rolle der Feinstrukturspannungen genauer zu untersuchen, werden neben dem aufgel¨ osten Anteil die nicht aufgel¨osten Bewegungen dargestellt als u
i = ui − ui

.

(5.28)

Durch Einsetzen in (5.11) ergibt sich [325] τij = ui uj − ui uj + u
i uj + ui u
j + u
i u
j        =:Lij

=:Cij

.

(5.29)

=:Rij

Der sog. Leonard–Term Lij beschreibt die Feinstrukturspannungen, die durch das Produkt der groben Skalen entstehen, der Kreuzterm Cij beschreibt solche, die aus der Wechselwirkung der aufgel¨ osten mit den nicht aufgel¨osten Skalen entstehen, und Rij den Einfluss der nicht aufgel¨ osten Skalen auf die aufgel¨osten Skalen allein. Sehr illustrativ ist die Darstellung von (5.29) im Frequenzbereich f¨ ur den eindimensionalen Spezialfall u = cos(ω1 x) + cos(ω2 x)

,

ω1 < ωc < ω2

(5.30)

mit einem idealen Tiefpassfilters der Grenzfrequenz ωc . Das Spektrum ergibt sich sofort aus 2 cos(α) = exp(ıα) + exp(−ıα). Abb. 5.3 stellt qualitativ das Spektrum der verschiedenen Terme dar, aus denen Lij , Cij , Rij resultieren. Die gestrichelten Pfeile deuten an, dass die Zugeh¨ origkeit der jeweiligen Komponente zum grob- oder feinskaligen Anteil von den gew¨ ahlten Werten f¨ ur ω1 und ω2 abh¨angt. Es wird deutlich, dass Produkte grobskaliger Komponenten feinskalige Anteile haben k¨onnen und dass Produkte feinskaliger Komponenten grobskalige Anteile generieren. Betrachtet man f¨ ur einen beliebigen Filter die Galilei–Invarianz der einzelnen Anteile in (5.29), so stellt sich heraus, dass wegen (5.25) Lij und Cij jeweils nicht alleine Galilei– invariant sind. Dies gilt lediglich f¨ ur ihre Summe, Lij + Cij und den Term Rij . Eine Ausnahme entsteht bei der Verwendung des idealen Tiefpassfilters, denn f¨ ur ui = ui wird die getrennte Invarianz von Lij und Cij erreicht. Die Zerlegung (5.29) hat eine gewisse Bedeutung f¨ ur die Methodik der LES, da der Leonard– Term Lij durch Anwendung des Filters G direkt aus ui berechnet werden kann, also nicht modelliert werden muss. In fr¨ uhen Arbeiten, wie z.B. [25],[466] wurde daher wegen ui uj + Lij = ui uj die gefilterte Impulsgleichung (5.10) in der Form
 ∂t ui + ∂xj ui uj + ∂xi p = ∂xj (2νS ij ) − ∂xj (Cij + Rij ) (5.31) verwendet. Der zweite Filter im Konvektionsterm muss dabei im Code explizit angewendet werden und kann bis zu 50% der Gesamtdissipation bewirken [368]. Dies erzeugt eine gewisse Modellierungsunsicherheit bez¨ uglich der Kombination des angewendeten Filters mit dem f¨ ur τijCR = Cij + Rij verwendeten Modell [466]. Gleichung (5.31) hat vor allem aber

118

5 Methodische Ans¨ atze f¨ ur LES

u

u u


uu

u
u

u
u
ω −ωc

0

ωc

Abb. 5.3 Skizze des Spektrums verschiedener Terme, die in die Zerlegung des FS–Anteils eingehen. Darstellung f¨ ur die Funktion u nach Gl. (5.30).

den Nachteil, dass nun sowohl der Konvektionsterm als auch der verbleibende Feinstrukur sich alleine, sondern nur in Kombination miteinander invariant turterm τijCR nicht mehr f¨ sind. Wird ein Modell f¨ ur τijCR eingef¨ uhrt, so muss dies von sehr spezieller Struktur sein, damit insgesamt die Invarianz erhalten bleibt [558] (siehe auch Abschnitt 6.5.3). Um sauber zwischen Diskretisierung und Modellierung zu trennen, wird daher heute ausschließlich die urspr¨ ungliche Form (5.10) der gefilterten Impulsgleichung verwendet. Die Galilei–Invarianz der Feinstrukturmodellierung ist eine sehr wichtige Eigenschaft: bei gleicher Turbulenzstruktur soll das FS Modell denselben Beitrag liefern, egal, ob die feinskalige Struktur im Integrationsgebiet mit kleiner oder großer mittlerer Str¨omungsgeschwindigkeit bewegt wird. Germano [191] schlug daher eine modifizierte Zerlegung vor, bei der jeder der drei Terme f¨ ur sich Galilei–invariant ist, die Signifikanz dieser Terme aber a¨hnlich bleibt: τij = ui uj − ui uj + u
i uj + ui u
j − u
i uj − ui u
j + u
i u
j − u
i u
j          =:Lm ij

m =:Cij

.

(5.32)

=:Rm ij

Diese Zerlegung ist die Grundlage f¨ ur einige der in Kapitel 6 besprochenen Feinstrukturmodelle. ¨ Uber das bisher Gesagte hinaus kann man analog zeigen, dass die getroffenen Aussagen ebenfalls f¨ ur die verallgemeinerte Galilei–Invarianz in Tabelle 2.1 g¨ ultig bleiben. Der Term

5.2 Homogene Filterung im Ort, Gleichungen der LES

119

ullen auch die anderen dort genannten Inτij sowie die Anteile nach (5.29) und (5.32) erf¨ varianzen, was in [508, Kap.3.3.4] detailliert nachgerechnet wird. Spiegelung und Rotation erfordern, dass der Filter die entsprechende Symmetrie aufweist, d.h. G(x) = G(−x) bzw. G(x) = G(|x|). Letztere Eigenschaft wird durch den Tensorproduktansatz (5.5) nicht erf¨ ullt, jedoch ergibt sich dies f¨ ur ∆1 = ∆2 = ∆3 in ausreichend guter N¨ aherung. Die Bedeutung der Galilei–invarianten Form der Zerlegung zeigte sich beispielsweise in einer Arbeit von H¨ artel und Kleiser [226]. Dort wurde vorgef¨ uhrt, dass eine sinnvolle Analyse durch Zerlegung der Feinstrukturspannungen nur mit einer Galilei–invarianten Zerlegung m¨ oglich ist (wenn auch in dieser Arbeit mit einer leicht ver¨ anderten Zerlegung). Anderenfalls h¨ angt das Resultat sehr stark von der verwendeten Filterfunktion ab.

5.2.7

Differentialfilter

Differentialfilter (engl.:“Differential filters”) lassen sich zwar f¨ ur den einfachsten Fall auf eine Faltung zur¨ uckf¨ uhren, was im Folgenden gezeigt wird, haben jedoch spezielle Eigenschaften, die sie f¨ ur die theoretische Analyse und vor allem f¨ ur Verallgemeinerungen interessant machen k¨onnten. Da die Integration eine gl¨ attende Wirkung besitzt, kann man eine Gl¨ attungsoperation auch durch Integration einer Differentialgleichung erhalten [189]. Die gegl¨ attete Funktion wird dann als L¨osung einer linearen Differentialgleichung definiert, deren rechte Seite die Ausgangsfunktion ist, also L(u) = u

.

(5.33)

Mit Hilfe der Greenschen Funktion G des Differentialoperators L kann dies wieder als eine Faltung u = G ∗ u geschrieben werden. Mit G = G, ist also der Ansatz auf die Form (5.2) zur¨ uckgef¨ uhrt, was auch die Bezeichnung als Filter begr¨ undet. Entsprechend kann man simultane Gl¨ attungen in Raum und Zeit definieren, indem L z.B. auch eine erste Ableitung in der Zeit enth¨ alt [190]. Je nachdem, welche Eigenschaften der Differentialoperator besitzt, spricht man von einem hyperbolischen, elliptischen oder parabolischen Filter. Hier sei als ein Repr¨asentant der elliptische Filter im eindimensionalen Fall u − a2 ∂xx u = u

(5.34)

notiert. Mit homogenen Randbedingungen auf der reellen Achse l¨ aßt sich die L¨ osung u dann darstellen als  ∞ |x−y| 1 u(x) = e− a u(y) dy . (5.35) 2a ∞ |z|

Der Filterkern GE (z) = e− a ist also hier homogen, symmetrisch und strikt positiv. Im Frequenzbereich gilt dies analog ˆ E (ω) = G

1 1 + (aω)2

.

(5.36)

Daher ist dieser Filter invertierbar, was auch schon an (5.34) zu sehen ist, denn bei gegebenem u liefert diese Gleichung direkt u. Auch dieser Filter hat nur ein verschwindendes

120

5 Methodische Ans¨ atze f¨ ur LES

Moment. Die Normierung wird deshalb wieder so gew¨ ahlt, dass (5.19) mit ∆f = ∆ erf¨ ullt √ ist, also a = ∆/(2 6). Der Vorzug der Differentialfilter liegt f¨ ur den homogenen Fall in der theoretischen Analyse. So kann man beispielsweise wegen ihrer Invertierbarkeit den Kommutator von Filter und Produkt recht einfach in geschlossener Form als Funktion der gefilterten Gr¨ oßen ausdr¨ ucken [189] uv − u v = 2a2 (∂x u)(∂x v) + a4 (∂xx u)(∂xx v)

.

(5.37)

Invertierbare Filter beschreiben die Vorg¨ange bei einer tats¨ achlichen LES mit Diskretisierung jedoch unvollst¨andig, was im Abschnitt 5.4.2 erl¨ autert wird. Differentialfilter haben bisher nur wenig praktische Anwendung gefunden. Ihr Nachteil liegt darin, dass zur Filterung entweder eine Differentialgleichung gel¨ ost werden oder (5.36) im Frequenzbereich angewendet werden muss (die Berechnung durch Auswerten des Integrals in (5.35) ist zu kostspielig). Weiterhin sind die Tiefpasseigenschaften nicht so gut wie die des ˆ Gauß–Filters , da G(ω) f¨ ur ω → ∞ nur quadratisch und nicht exponentiell abklingt. Dem kann jedoch durch die Verwendung einer h¨oheren Ableitung in (5.34) abgeholfen werden. Außerdem sind bei beschr¨ankten Gebieten nicht triviale Randbedingungen f¨ ur die Differentialgleichung vorzugeben. Andererseits ist die im n¨ achsten Abschnitt behandelte Verallgemeinerung auf inhomogene Filterung mit diesem Ansatz direkt m¨ oglich. In [414] wurde ein Differentialfilter mit Hilfe eines speziellen Iterationsverfahrens implementiert. Die L¨ osung einer Differentialgleichung gew¨ahrleistet dort die Kontinuit¨ at der gefilterten Funktion, was ¨ bei der verwendeten Diskretisierung mit anderen Ans¨ atzen nicht erreicht wird. Uber den numerischen Aufwand der Filteroperation macht die Arbeit leider keine Aussagen.

5.3

Inhomogene Filterung

Die Diskussion in diesem Abschnitt erfolgt anhand des eindimensionalen Falles. Die Verallgemeinerung auf h¨ ohere Dimensionen u ¨ ber das Tensorprodukt (5.5) ist problemlos.

5.3.1

Problemstellung

Die in Abschnitt 5.2 diskutierte homogene Filterung basiert auf zwei Tatsachen. Erstens muss die Filterfunktion homogen sein, d.h. der Filter G muss die Gestalt G(x, y, ∆) = G∆ (x − y) mit ∆ = const. haben. Zweitens muss dies in einem translationsinvarianten ullt, so kann Gebiet definiert sein, d.h. x ∈ oder x ∈ . Sind beide Voraussetzungen erf¨ die Faltung G ∗ u als Produkt im Frequenzbereich der Fourier–Transformation geschrieben werden (5.15), was vor allem die Vertauschbarkeit von Filter und Ableitung zur Folge hat. Setzt man diesen Gedankengang fort, so ergeben sich im Wesentlichen zwei Situationen, die es erfordern, eine variable Filterweite zu verwenden. Die erste entsteht, wenn im Gebietsinneren die Filterbreite variiert. Dies geschieht in vielen Simulationen, wenn der Charakter der simulierten Turbulenz sich in verschiedenen Bereichen des Rechengebietes deutlich ¨ andert, beispielsweise quer zu einer Mischungsschicht. Dann wird meist das Gitter in Bereichen hoher turbulenter Aktivit¨at verfeinert, um mit einer gegebenen Anzahl von Gitterpunkten

121

5.3 Inhomogene Filterung

m¨ oglichst viele Schwankungen aufzul¨osen anstatt sie zu modellieren. Dies ist illustriert in Abb. 5.4a. Ein anderer Aspekt tritt an Gebietsr¨andern auf. Ist die exakte L¨ osung u auf einem Intervall x ∈ [a; b] definiert, so kann dies in x ∈ eingebettet werden, um eine homogene Filterung anzuwenden. D.h. u wird außerhalb von [a; b] mit 0 fortgesetzt und ist dadurch f¨ ur alle x ∈ definiert. Dabei wird aber wegen der konstanten Breite des Filters u = 0 f¨ ur x < a und x > b, wie dies in Abb. 5.4b dargestellt ist. Soll eine Differentialgleichung f¨ ur u gel¨ ost werden, wirft dies die Frage nach den Randbedingungen auf. Sie k¨ onnen unter diesen Bedingungen nicht direkt, sondern nur mit zus¨atzlicher Modellierung definiert werden. Die Problematik wird vermieden, wenn die Filterfunktion G nahe dem Gebietsrand unsymmetrisch ist, so dass nur Werte von u innerhalb des Intervalls in die gefilterte Gr¨ oße eingehen. Hier entsteht also ¨ u urfnis nach einer Anderung der Form des ¨ ber die Variation der Filterbreite hinaus das Bed¨ Filters. In beiden geschilderten F¨allen sind im Allgemeinen Ableitung und Filter nicht vertauschbar. Vielmehr ergibt sich aus der Definition f¨ ur ein beschr¨ anktes Gebiet und variable Filterweite 

b

G(x − y, ∆(x)) u(y) dy

u(x) =

(5.38)

a

der Zusammenhang [178]  dx u = dx u + (dx ∆) a

b

y=b

d∆ G(x − y, ∆(x)) u(y) dy + [G(x − y, ∆(x)) u(y)]y=a

. (5.39)

Wieder sind die beiden Einfl¨ usse erkennbar, zum einen die Ver¨ anderung der Schrittweite und der Form im zweiten Term der rechten Seite, zum anderen der Einfluss des beschr¨ ankten Integrationsgebietes im dritten Term. Diese beiden Terme stellen den sog. Kommutator [G∗, dx ]u = dx u − dx u

(5.40)

dar, wobei G∗ die Anwendung des Filters symbolisiert. Sind Ableitung und Filterung vertauschbar, so ist dieser Ausdruck Null. Ist das nicht der Fall, so treten in den Gleichungen f¨ ur die gefilterten Gr¨oßen zus¨atzliche nicht geschlossene Terme auf, die modelliert werden m¨ ussen. Sie entstehen dann bereits bei linearen Termen, z.B. in der Kontinuit¨ atsgleichung. In [604] wurden Filter definiert, deren Kommutationsfehler zwar nicht identisch verschwindet, jedoch proportional einer Potenz der Gitterschrittweite abklingt. Diese Konstruktion schließt fr¨ uhere Arbeiten [597],[202] als Spezialf¨ alle ein. Im Folgenden wird zun¨ achst der Fall der variablen Schrittweite bei unendlich ausgedehntem Gebiet diskutiert. Danach erfolgt die Erweiterung f¨ ur die Ber¨ ucksichtigung von Gebietsr¨ andern. Die hier gegebene Darstellung verzichtet im Gegensatz zu [604] auf die dort verwendeten Gitterkoordinaten, um die Grundgedanken deutlich herauszuarbeiten.

122 a

5 Methodische Ans¨ atze f¨ ur LES

5 u ubox

b

u ubox

.5

4 1 3

.5

2

1

0

0 .5 -1

0

0.5

1

-0.5

0

0.5

x

1

1.5

x

Abb. 5.4 Effekt eines Filters mit konstanter Schrittweite. Die d¨ unne Linie kennzeichnet die ungefilterte Funktion, die dicke Linie die duch Filterung mit einem Rechteckfilter konstanter Breite berechnete Funktion. a) Lokal h¨ oherfrequente L¨ osungsanteile werden mit konstanter Filterweite nicht ad¨ aquat behandelt (∆ = 0,00625). b) Einbettung und Filterung mit konstanter Filterweite und -form liefert Werte außerhalb des durch die vertikalen Linien gekennzeichneten Rechengebietes [0; 1], hier der Deutlichkeit halber mit ∆ = 0,3.

5.3.2

Nahezu kommutative Filterung bei variabler Schrittweite

Ausgangspunkt ist die Situation auf der reellen Achse und ein Filter mit fixer Form gem¨ aß (5.7), jedoch mit variabler Breite ∆ = ∆(x). Damit ist u(x) =

1 ∆(x)





∞

g −∞

x−y ∆(x)

 u(y) dy

.

(5.41)

Die Idee ist nun, Bedingungen an die Filterfunktion g zu formulieren, so dass der Kommutator (5.40) zwar nicht verschwindet, aber doch so klein wird, dass er gegen¨ uber anderen Termen vernachl¨ assigt werden kann. Die Koordinatentransformation z = (x − y)/∆(x) liefert  ∞ u(x) = g(z) u(x − ∆(x)z) dz . (5.42) −∞

Die Funktion u wird nun um den Punkt x in eine Taylorreihe gem¨ aß u(x − ∆(x)z) = u(x) +

∞ (−1)k ∆k (x) z k dkx u(x) k=1 k!

(5.43)

entwickelt. Diese Reihe konvergiert uniform, wenn das Spektrum von u in der Wellenzahl auf ω < ωmax beschr¨ankt ist, was durch die Existenz der Kolmogorov–L¨ ange ohne Probleme vorausgesetzt werden kann. Daher k¨onnen nach dem Einsetzen Integration und Summation

123

5.3 Inhomogene Filterung

vertauscht werden, so dass u(x) = u(x)M0 + wobei

 Mk =

∞

∞ (−1)k ∆k (x) dkx u(x) Mk k=1 k!

,

z k g(z) dz

(5.44)

(5.45)

−∞

die Momente der Filterfunktion sind, die nicht mehr vom Ort abh¨ angen. Die Konvergenz der Summe kann nachgewiesen werden f¨ ur lim

k→∞

|Mk+1 | =c |Mk |(k + 1)

(5.46)

mit c = 0, bzw. falls c > 0, f¨ ur ∆ < 1/(c ωmax) [604]. Gleichung (5.44) wird nun nach x abgeleitet, um dx u darzustellen. Andererseits kann auch dx u gem¨ aß (5.41) gefiltert werden. Entwickeln von dx u(x − ∆(x)z) in eine Taylorreihe um den Punkt x mit dx u statt u in (5.43) liefert dx u − dx u = −

∞ k=1

(−1)k k−1 (x)(dx ∆)Mk dkx u(x) . ∆ (k − 1)!

(5.47)

atzlich garantiert, weshalb der Term mit Die Bedingung M0 = 1 wird nach (5.3) grunds¨ k = 0 unproblematisch ist. Gesucht sind daher Filter mit ⎧ = 1 f¨ ur k = 0 ⎪ ⎪ ⎨ Mk (5.48) = 0 f¨ ur k = 1 . . . K ⎪ ⎪ ⎩ < ∞ f¨ ur k = K + 1 . . . . Wenn dkx u f¨ ur alle k beschr¨ankt ist, was ebenfalls aus der Annahme eines endlichen Spektrums folgt, so ist der Kommutationsfehler dann dx u − dx u = O(∆K )

.

(5.49)

definierte Funktion, so dass wie vorher Wie in Abschnitt 5.2 ist g(x) eine f¨ ur alle x ∈ das Hilfsmittel der Fourier–Transformation eingesetzt werden kann. Entsprechend lassen sich im Frequenzbereich mit Hilfe von Gl. (5.18) Filter konstruieren, die die gew¨ unschten Momentenbedingungen erf¨ ullen, bzw. lassen sich existierende Filter auf n¨ aherungsweise Kommutativit¨ at untersuchen. In Abschnitt 5.2.3 wurde bereits die Bedeutung der Momente diskutiert und festgehalten, dass Gauß– und Rechteckfilter jeweils ein verschwindendes Moment haben. Der Kommutationsfehler bei Variation der Filterbreite ist in diesem Fall also proportional O(∆2 ). Van der Ven hatte in [597] bereits auf anderem Weg eine Familie von LES–Filtern mit der Eigenschaft (5.49) f¨ ur K = 2m − 1 konstruiert:   ˆ m (ω) = exp −α ω 2m G m = 1, 2, . . . , (5.50) 2m

124

5 Methodische Ans¨ atze f¨ ur LES

wobei α ein Maß f¨ ur die Filterbreite ist. F¨ ur m = 1 ergibt sich der Gauß–Filter. Mit Gl. (5.18) l¨ asst sich direkt zeigen, dass Gm genau 2m − 1 verschwindende Momente hat. F¨ ur symmetrische Filter sind alle ungeraden Momente Null. Werden u ¨ ber K = 1 hinaus weitere verschwindende Momente gefordert, so muss die Funktion g(z) oszillieren. Eine Positivit¨ at des Filters ist dann nicht mehr m¨oglich.

5.3.3

Filterung an Gebietsr¨andern

Ausgangspunkt sei ein beschr¨anktes Gebiet x ∈ [a; b] und eine Filterung mit [604] u(x) =

1 ∆





b

g a

 x−y ; x u(y) dy ∆

∆ = const.

.

(5.51)

Im Gegensatz zu allen vorigen Definitionen wird hier eine Variation der Form des Filters in Abh¨ angigkeit von x zugelassen. Die Schrittweite gibt dabei ein Maß f¨ ur die Lokalisierung und wird konstant gesetzt. Einf¨ uhren der Koordinate z = (x − y)/∆ und Taylorentwicklung liefert wie vorher u(x) =

∞ (−1)k ∆k Mk (x) dkx u(x) , k=0 k!

(5.52)

wobei die Momente Mk des Filters nun vom Ort abh¨ angen und gegeben sind durch  Mk (x) =

x−a ∆ x−b ∆

z k g(z; x) dz

.

(5.53)

Ableiten von (5.52) nach x liefert dx u. Ersetzen von u(y) durch dy u(y) in (5.51) ergibt einen Ausdruck f¨ ur dx u, wobei f¨ ur dx u wieder eine Taylorreihe verwendet wird. Der Kommutator ist damit dx u − dx u = −

∞ (−1)k ∆k dx Mk (x) dkx u(x) k=0 k!

.

(5.54)

Formal sind die Unterschiede zum vorigen Abschnitt gering. Hier muss jedoch notwendigerweise zugelassen werden, dass die Form des Filters im Raum variiert. Nur so ist es m¨ oglich, bei konstanter Filterweite die Momentenbedingungen dx Mk (x) = 0

x ∈ [a; b]

k = 0, . . . , K

(5.55)

zu erf¨ ullen, die wie im vorigen Abschnitt den Kommutationsfehler auf O(∆K ) reduzieren. Aus (5.48) folgen auch die Bedingungen (5.55), so dass letztlich Filter gesucht sind, die trotz ver¨ anderlicher Form die Momentenbedingungen (5.48) erf¨ ullen. F¨ ur die Definition (5.53) erscheint die Eigenschaft Mk = 0 f¨ ur alle x sehr schwer zu gew¨ ahrleisten, und in der Tat wurde bisher in der Literatur keine Filterfamilie explizit angegeben. Die Situation ¨ wird in der Praxis allerdings erleichtert durch den Ubergang auf den diskreten Fall, der im n¨ achsten Abschnitt kurz angesprochen wird. Die Momentenbedingungen m¨ ussen dann nur an gewissen Punkten x erf¨ ullt werden.

125

5.3 Inhomogene Filterung

5.3.4

Definition der Filterung in transformierten Koordinaten

Die bisherige Perspektive hatte zum Ziel, das Auftreten zus¨ atzlicher Kommutatorterme in den gefilterten NSG zu vermeiden. Ein weiterer Aspekt entsteht, wenn in den diskretisierten LES–Gleichungen ein Filter explizit angewendet wird. Die Breite des Filters wird dabei i.A. direkt mit der Gitterschrittweite verkn¨ upft, so dass mit einer variablen Gitterschrittweite ¨ dieselbe Anderung der Filterweite einhergehen soll. Es ist dann algorithmisch deutlich einfacher, die Filteroperation nicht in physikalischen Koordinaten zu definieren, hier x, sondern in Gitterpunktkoordinaten ξ, in denen die Schrittweite konstant ist. Dies wird von Jordan [268] im Mehrdimensionalen eingehend diskutiert. Beide F¨ alle (5.41) und (5.51) umfassend, wird die Filterung dann in ξ definiert als [604] 

β

G∆f (ξ − η; ξ) v(η) dη

v(ξ) = α

(5.56)

mit konstanter Filterweite ∆f . Die Variation von ∆ wird also ersetzt durch die Koordinatentransformation ξ = f (x) und v(ξ) = u(f −1 (x)). Im physikalischen Raum ergibt dies 

b

u(x) = a

G∆f (f (x) − f (y); f (x)) u(u) dy f (y) dy

.

(5.57)

Die Analyse der vorigen Abschnitte bleibt im Wesentlichen unver¨ andert. ¨ In [604] werden einige der f¨ ur die Anwendung auf das diskrete Aquivalent von (5.56) ben¨ otigten Filter angegeben, die Momentenbedingungen bis zu einer gewissen Ordnung erf¨ ullen. aß Die Filterung geschieht dann ausgehend von diskreten Werten φi , i = 0 . . . imax gem¨ φi =

N f m=−Nf

am φi+m

.

Im diskreten Fall f¨ uhren die Momentenbedingungen auf  N f 1 ; k=0 k m am = m=−Nf 0 ; k = 1...K .

(5.58)

(5.59)

Zus¨ atzlich wird noch die Forderung gestellt, dass der Filter im Frequenzbereich bei der Grenzfrequenz π/∆ verschwindet, was sich in N f m=−Nf

(−1)m am = 0

(5.60)

u ¨ bersetzt [604]. In Tabelle 5.3 sind einige dieser Filter aufgelistet.

5.3.5

Kommutationsfehler in der LES einer Kanalstr¨ omung

Die oben beschriebene Analyse des Kommutationsfehlers liefert selbst f¨ ur die h¨ aufig diskutierten Gauß– und Rechteckfilter Kommutationsfehler von O(∆2 ). Hier muss jedoch betont

126

5 Methodische Ans¨ atze f¨ ur LES

Tab. 5.3 Diskrete Filter mit K = 1, 2, 3 verschwindenden Momenten nach [604]. K 1

a−2

2

a−1 1 4 1 8

2 3

−1 16

3 3

4 16 1 16

a0 2 4 5 8 7 8 10 16 12 16 15 16

a1 1 4 3 8 3 8 4 16 6 16 4 16

a2 −1 8 −3 8 −1 16 −4 16 −12 16

a3

a4

1 8

1 16 4 16

−1 16

werden, dass diese Betrachtung nicht, wie etwa bei der Analyse von Konvergenz und Konsistenz numerischer Schemata, f¨ ur den asymptotischen Fall ∆ → 0 eingesetzt wird. Bei einer LES hat ∆ eine endliche Gr¨oße und befindet sich in einem Skalenbereich, der turbulente kinetische Energie beinhaltet – dies gilt nat¨ urlich auch f¨ ur den Diskretisierungsfehler. Die tats¨ achliche Gr¨ oße des Kommutationsfehlers h¨angt von den Vorfaktoren ab und soll hier anhand eines Beispiels diskutiert werden. Fureby und Tabor [178] betrachten einen Filter konstanter Form mit variabler Filterweite proportional der Gitterschrittweite. Ausgehend von Gleichung (5.39) kann man dann die FNSG mit den vollst¨andigen Kommutatortermen angeben. Liegt eine L¨ osung u, p aus einer DNS oder LES vor, so k¨onnen diese Terme berechnet und in ihrer Gr¨ oße mit den anderen Termen der Gleichung verglichen werden. Solche Untersuchungen wurden in [178] anhand einer Kanalstr¨omung bei Reτ = 180 und 395 durchgef¨ uhrt. Es zeigte sich dabei, dass die Kommutatorterme wegen der Randterme und der dortigen Gitterverfeinerung auf den wandnahen Bereich beschr¨ankt sind. Maximalwerte erreichen dort an einigen Stellen das 20–fache des Konvektionsterms bzw. das 5–fache von Konvektions–, Reibungs– und Druckterm zusammen. Die Mittelwerte u ¨ ber das Rechengebiet sind deutlich niedriger und liegen bei 6–12% bzw. 2–4%. Insgesamt beschr¨ankt sich also der Einfluss dieser Terme auf die viskose Unterschicht und die Pufferzone. Zur Berechnung der Kommutatorterme muss eine Filterfunktion gew¨ ahlt werden. In [178] war dies ein anisotroper Gauß–Filter. Die Sensitivit¨ at bzgl. dieser Wahl ist jedoch nicht bekannt. Die Gr¨ oßenordnung der Kommutatorterme im Vergleich zum Modellfehler des FS–Modells und zum Diskretisierungsfehler, der insbesondere auch bei der numerischen Berechnung der Kommutatorterme eine Rolle spielt, wird in dieser Arbeit nicht berichtet.

5.3.6

Randbedingungen fu ¨r die gefilterten Gleichungen

In Abb. 5.4 wurde illustriert, dass bei einem Filter konstanter Breite die so definierte Funktion u u oglich, aus einer Rand¨ ber das Integrationsgebiet hinausragt. Dadurch wird es unm¨ bedingung f¨ ur u eine Randbedingung f¨ ur u herzuleiten. In praktischen LES Rechnungen werden dennoch grunds¨ atzlich f¨ ur u dieselben Randbedingungen wie f¨ ur u aufgepr¨agt. In Abb. 5.4 ist erkennbar, dass der u ¨ ber den Rand ragende Bereich proportional ∆/2 ist. Bei einem Filter ohne kompakten Tr¨ ager ist dies die gesamte

5.4 Implizite Filterung

127

reelle Achse, die Werte klingen jedoch in einem Abstand gr¨ oßer als ∆/2 sehr schnell ab. F¨ ur einen r¨ aumlich konstanten Filter der Breite ∆ entspricht also die Anwendung des Filters ¨ einer Abweichung in der Geometrie der Gr¨oßenordnung ∆/2. Ublicherweise wird daher folgende Vorstellung verfolgt. Reduziert man die Filterweite am Rand bis auf Null, so erh¨ alt man dort u = u und somit dieselben Randbedingungen f¨ ur die gefilterte wie f¨ ur die ungefilterte Geschwindigkeit. Dies entspricht einem Ausschalten des Filters am Rand. Gem¨ aß der obigen Analyse ist der Kommutationsfehler am wandn¨ achsten Gitterpunkt dann f¨ ur einen Rechteckfilter O(∆2 ). Bei glatten Filtern oder konstanter Filterweite kann durch Variation der Filterform, z.B. durch die Wahl unsymmetrischer Filter, dennoch u(x) = u(x) + O(∆K )

(5.61)

erreicht werden, wobei K eine nat¨ urliche Zahl ist, so dass sich Randbedingungen beliebig genau realisieren lassen [604]. Wenn Filter direkt angewendet werden sollen, wird dies dadurch erleichtert, dass die Filter nicht f¨ ur alle Punkte, sondern nur die Diskretisierungspunkte angewendet werden m¨ ussen.

5.4

Implizite Filterung

5.4.1

Skalentrennung durch die Diskretisierung

Der in den beiden vorangegangenen Abschnitten 5.2 und 5.3 beschriebene Ansatz basiert auf der Definition eines grobskaligen Geschwindigkeitsfeldes, unabh¨ angig von der nachfolgenden Diskretisierung. In den Anwendungen wird dann bei der Diskretisierung meist die Gitterschrittweite gleich der Filterbreite gesetzt. Dies macht einen alternativen methodischen Ansatz plausibel, der von Schumann [529] etwa gleichzeitig zum Filteransatz vorgeschlagen wurde. Bei der Diskretisierung der Gleichungen durch ein beliebiges numerisches Verfahren werden endlich viele diskrete Freiheitsgrade eingef¨ uhrt. Anteile, die h¨ oherfrequent als die Diskretisierungsschrittweite sind, k¨onnen auf dem numerischen Gitter nicht dargestellt werden. Die Diskretisierung legt damit die Unterscheidung zwischen aufgel¨ osten und nicht aufgel¨ osten und somit zwischen GS– und FS–Anteilen fest. Wenngleich dieser Ansatz auch f¨ ur andere Diskretisierungsverfahren praktiziert werden kann, soll er hier anhand der in der Originalarbeit verwendeten Finite–Volumen Methode dargestellt werden. Zur Illustration dient der in Abb. 5.5 dargestellte eindimensionale Fall. Ausgangspunkt ist die Unterteilung des Rechengebiets in finite Teilvolumina.  Die diskreten Unbekannten sind definiert als Integrale u ¨ ber diese Teilvolumina, V u = V u(x) dx (Indizes zur Bezeichnung der einzelnen Zellen werden hier nicht mitgef¨ uhrt). Der Gaußsche Integralsatz stellt eine Flussbilanz her und damit eine Beziehung zu Mittelwerten u ¨ ber die ur den entsprechenden Fluss u Oberfl¨ achen der Kontrollvolumina, wie z.B. j uv f¨ ¨ ber die Seitenfl¨ ache mit dem Index j. Diese Fl¨achenmittelwerte m¨ ussen nun als Funktion der Zellmittelwerte ausgedr¨ uckt werden, was in zwei Schritten geschieht. Wenn das Gitter hinreichend fein ist, kann, wie bei der Finite–Volumen Methode f¨ ur laminare Str¨ omungen, das Mittel des Produktes j uv durch j u j v ersetzt werden, wobei nur ein kleiner Approximationsfehler entsteht. Dies geschieht bei DNS. Wenn das Gitter nicht sehr fein ist, wird die Differenz

128

5 Methodische Ans¨ atze f¨ ur LES

jedoch groß, und der vom Gitter nicht aufgel¨oste Impulsfluss j uv − j uj v muss durch ein Modell, das “sub–grid scale” Modell repr¨asentiert werden, woher auch der Name r¨ uhrt. Anschließend werden die Mittelwerte der Variablen, j u etc., mit den Volumenmitteln V u in Beziehung gesetzt. Wenn eine versetzte Diskretisierung (“staggered mesh”) verwendet wird, werden beide miteinander identifiziert, ansonsten geschieht dies mit Hilfe einer Interpolationsformel. Der zu modellierende sub–grid Anteil h¨ angt demgem¨ aß direkt vom Diskretisierungsschema ab. D.h. gleichzeitig mit der Diskretisierung findet die Skalentrennung statt, und die Diskretisierung definiert die zu modellierenden Terme. Die Diskretisierungsvorschriften u → V u und u → j u bilden eine integrierbare Funktion auf diskrete Werte ab. Anders als beim Filteransatz wird keine kontinuierliche Grobstukturl¨ osung konstruiert. Skalentrennung, Diskretisierung und FS–Modellierung sind also hier untrennbar miteinander verkn¨ upft. Dies hat Vorteile, da Gitteranisotropien und Inhomogenit¨ aten durch Randbedingungen direkt konzeptionell ber¨ ucksichtigt werden [529]. Andererseits macht die enge Kopplung die Analyse der verschiedenen Beitr¨age sehr schwierig, weshalb dieser Zugang heute vielfach als zu restriktiv empfunden wird.

u Vu

H j H Xz X

∆x Abb. 5.5 Illustration des Schumannschen Ansatzes mit Hilfe derselben Funktion u(x) wie in Abb. 5.1 [169]. Die vertikalen Linien symbolisieren die Grenzen der Zellen mit Breite ∆x, u ¨ ber die integriert wird.

5.4.2

Zusammenhang zwischen Filteransatz und Diskretisierung

Der Filteransatz separiert Skalentrennung und Diskretisierung. Beispielsweise kann der Filter grober sein als das zur Diskretisierung verwendete Gitter. Die bei LES zu modellierenden Anteile sollten also eher als “sub–filter” denn als “sub–grid” Skalen bezeichnet werden, was aber nur in wenigen Arbeiten praktiziert wird. Vielmehr hat sich der Begriff “sub–grid scales” (SGS) historisch auch f¨ ur den Filteransatz eingeb¨ urgert. Die Problematik der englischen Nomenklatur wird durch den deutschen Begriff “Feinstruktur” vermieden, weshalb dieser hier bevorzugt wird. Er ist anwendbar f¨ ur jede Methodik der Skalentrennung.

5.5 Das Feinstrukturmodell als Filter

129

Der Filteransatz kann prinzipiell mit sehr unterschiedlichen Filterkernen G geschrieben werden. Es wurde bereits darauf hingewiesen, dass diese Operation in manchen F¨ allen inˆ > 0 im homogenen Fall. Langford und Moser [309] weisen jedoch vertierbar ist, etwa wenn G darauf hin, dass dies nur eine Art Variablentransformation gegen¨ uber einer DNS bedeutet, veranschaulicht durch Gleichung (5.23). Wenn diese Gleichung gilt, so kann aus einer LES– L¨ osung jederzeit die vollst¨andige DNS–L¨osung berechnet werden. D.h. in der LES m¨ ussen alle Skalen pr¨ asent sein, sie werden nur mit einem Gewichtungsfaktor multipliziert. Damit muss das Gitter auch entsprechend fein sein, um diese Skalen korrekt darzustellen. Ziel einer LES ist es jedoch, mit weniger Freiheitsgraden, also mit einem groberen Gitter zu rechnen als eine DNS. Daher muss notwendigerweise Information verloren gehen, so dass Invertierbarkeit nicht mehr m¨oglich ist. Dies kann und muss durch eine Filterfunktion realisiert werden, die entsprechende Eigenschaften hat. In [77] wird beispielsweise zus¨ atzlich zu einem invertierbaren Filter ein zweiter Filter in Form eines idealen Tiefpasses verwendet, um dem Rechnung zu tragen, also etwa G = GF ∗ GG , wobei der Tiefpass GF den Effekt der Diskretisierung im Bezug auf die Reduktion der Freiheitsgrade repr¨ asentiert. Auch wenn in den meisten Arbeiten die LES Methodik mit Hilfe eines Filters dargestellt wird, taucht i.A. im Algorithmus kein Bezug zu der verwendeten Filterfunktion G auf 2 . Einige Autoren [149] interpretieren dies so, dass im Prinzip der Schumannsche Ansatz verwendet wird. Als Illustration kann folgendes Beispiel dienen. Wird ein Rechteckfilter verwendet und anschließend eine Finite–Differenzen–Methode zur Diskretisierung, so f¨ uhrt das ausgehend vom Filteransatz auf dieselben diskreten Unbekannten u(xk ) = Vku , wie man sie nach dem Schumannschen Ansatz erh¨alt (k bezeichnet hier das Volumenelement Vk bzw. den Gitterpunkt xk ). Werden entsprechende Differenzensterne eingesetzt, so resultieren aus dem diskretisierten Filteransatz dieselben oder zumindest sehr ¨ ahnliche diskrete Gleichungen wie aus dem Schumannschen Ansatz. In der Literatur wird dies als “implizite Filterung” bezeichnet, in dem Sinn, dass die Diskretisierung den Filter realisiert. Die Funktion G, so die Vorstellung, wird durch die Diskretisierung erzeugt, ist aber in ihrer genauen Form nicht bekannt, weil die Zusammenh¨ ange zu komplex sind. Hier kann es sich jedoch nur um ein vages, qualitatives Verst¨andnis handeln. Der damit postulierte Zusammenhang u(x, t) = G ∗ u(x, t) des Filteransatzes soll ja mit zeitlich konstantem G f¨ ur alle x und t gelten. Dies muss nicht notwendigerweise der Fall sein und ist im Gegenteil extrem unwahrscheinlich, vor allem f¨ ur eine turbulente Str¨ omung mit hoher Sensitivit¨ at auf kleine St¨ orungen. Außerdem u ¨ bersieht dieser Gedankengang die Rolle des Feinstrukturmodells, die im folgenden Abschnitt diskutiert wird.

5.5

Das Feinstrukturmodell als Filter

5.5.1

Wechsel der Perspektive

In Abschnitt 5.2 wurde die Zerlegung in grobe und feine Anteile des Geschwindigkeitsfeldes mit Hilfe eines Filters G definiert, dessen Form den Feinstrukturterm τij bestimmt. Mason und Mitarbeiter [370],[369] haben nun die Blickrichtung umgekehrt: bei hypothetischer Kenntnis der exakten Werte von τij im Integrationsgebiet und f¨ ur alle Zeiten der Rechnung 2 Die

weiter unten besprochene Filterung im Rahmen der dynamischen Prozedur spielt eine andere Rolle.

130

5 Methodische Ans¨ atze f¨ ur LES

definieren die FNSG (5.9),(5.10) mit geeigneten Rand- und Anfangsbedingung die L¨ osung und somit die grobskaligen Anteile ui . Also erzeugt τij die L¨ osung ui und definiert damit den Filter G in ui = G ∗ ui . ¨ Wird, beim Ubergang auf die LESG (5.13),(5.14), τij durch ein Modell τijmod ersetzt, so andert sich die Evolution der L¨osung, und statt ui wird eine L¨ osung u˜i berechnet. Wenn ¨ τijmod ≈ τij , so haben Modellterm und exakter Term einen ¨ ahnlichen Effekt, z.B. im Bezug auf die D¨ ampfung feinskaliger Anteile. Man k¨onnte nun hoffen, dass durch die Verwendung von τijmod ein neuer Filter Gmod mit u ˜i (x, t) = Gmod (x) ∗ ui (x, t)

(5.62)

definiert wird. Wie bereits erw¨ahnt, ist jedoch die Existenz einer solchen, zeitlich konstanten Funktion Gmod mit dieser Eigenschaft praktisch nicht m¨ oglich. Trotzdem kann man noch einen Schritt weitergehen. G¨ abe es die Beziehung (5.62), so m¨ usste sie auch f¨ ur die Mittelwerte gelten. Nach (5.15) h¨ atte man, hier notiert f¨ ur den eindimensionalen Fall, ˆ mod (ω)|2 = |G

2 ˆ
|u(ω)| 
|ˆ u(ω)|2 

.

(5.63)

Ist also das Energiespektrum der ungefilterten L¨osung aus Experiment oder DNS bekannt, so kann dieser sog. Modellfilter berechnet werden [473], [354]. Wenn es den Filter Gmod g¨ abe, m¨ usste er notwendigerweise die Gestalt (5.62) besitzen. Er wird jedoch nicht im momentanen Sinn verstanden, da (5.62) i.A. nicht gilt, sondern dient der Charakterisierung von FS Modellen (siehe auch Kapitel 6).

5.5.2

Die Differentialgleichung als Filter

Im folgenden Exkurs wird die Wirkung als Filter, die durch einen Zusatzterm in einer Differentialgleichung wie dem Feinstrukturmodell hervorgerufen wird, anhand einfacher Beispiele n¨ aher beleuchtet. Betrachtet man die eindimensionale Diffusionsgleichung ∂t v − ∂x (Γ∂x v)

= 0

x ∈ ,t ≥ 0

v(x, t = 0) = v0 (x)

(5.64) (5.65)

mit Γ = const., so ist unter geeigneten Voraussetzungen die L¨ osung v gegeben durch das Poissonsche Integral [62, Kap.3.3.2.3.5]  ∞ x−y 2 1 1 √ v0 (x) e Γt dy . (5.66) v(x, t) = √ √ 4π Γt −∞


Die L¨ osung v zum Zeitpunkt t entsteht also durch Anwendung eines Gauß–Filters der Breite √ ∆ = Γt auf die Anfangsbedingung. Identifiziert man nun v0 mit der ungefilterten Funktion u, so wird die mit einem Gauß–Filter gegl¨attete Funktion u ¨ aquivalent durch die L¨ osung der Differentialgleichung zum Zeitpunkt t = ∆2 /Γ dargestellt.

131

5.5 Das Feinstrukturmodell als Filter

¨ Dieses Vorgehen l¨aßt sich verallgemeinern. Ahnlich dem Formalismus in Abschnitt 5.2.7 kann ein “Evolutionsfilter” definiert werden durch L(v)

=

v(x, t = 0) = u(x)

=

0

x ∈ ,t ≥ 0

u(x)

(5.67) (5.68)

v(x, t = T )

.

(5.69)

Die Form des Filters wird demnach bestimmt durch den linearen Differentialoperator L, die Breite durch die Evolutionszeit T , w¨ahrend der der Operator L einwirkt. Im Gegensatz zum Differentialfilter (5.33) tritt hier die ungefilterte Funktion als Anfangsbedingung und nicht als rechte Seite in der Differentialgleichung auf. Man kann die Skalentrennung nun u ¨ ber ¨ (5.67)–(5.69) definieren und auf die Aquivalenz mit einem Konvolutionsfilter verzichten. Dies geschieht, wenn statt eines linearen ein nichtlinearer Operator verwendet wird, oder wenn das Integrationsgebiet beschr¨ankt ist. In der Bildverarbeitung, wo man (5.64) als linearen Diffusionsfilter bezeichnet, ist dies weit verbreitet [635]. Dabei wird (5.64) auf einem Rechteckgebiet mit homogenen Neumann–  Randbedingungen gel¨ost, so dass die Normierungsbedingung u dx = u dx erf¨ ullt ist. Der Ansatz wurde f¨ ur die Bildverarbeitung durch die Einf¨ uhrung eines l¨ osungsabh¨ angigen Diffusionskoeffizienten weiterentwickelt, so dass sich spezielle Eigenschaften realisieren lassen. Am bekanntesten ist der nichtlineare Diffusionsfilter von Perona und Malik [448] mit Γ(v) =

1 1 + c2 (∂x v)2

.

(5.70)

Dadurch werden Gradienten |∂x v| ≥ 1/c verst¨arkt, wodurch sich v in Richtung einer st¨ uckweise konstanten Funktion entwickelt. Erweiterungen betreffen z.B. tensorwertige Diffusivit¨ at. Festzuhalten ist hier die M¨oglichkeit, Filterung durch einen Evolutionsfilter zu rea¨ lisieren, speziell die direkte Aquivalenz des linearen Diffusionsfilters mit dem Gauß–Filter, sowie die Verallgemeinerung durch Nichtlinearit¨ at und Randbedingungen.

5.5.3

Wahl der L¨angenskala im Feinstrukturmodell

Aufgrund seiner Definition h¨angt der zu modellierende Feinstrukturanteil τij = ui uj − ui uj von dem angewendeten Filter und insbesondere seiner Breite ab. Daher muss auch das entsprechende Modell diese Breite in der ein oder anderen Form als Parameter enthalten, hier zur Unterscheidung notiert durch τijmod,∆ . Bei der klassischen LES wird ∆ = ∆mod in Abh¨ angigkeit der Diskretisierungsschrittweite gew¨ ahlt, d.h. ∆mod ∼ ∆x

.

(5.71)

Dies ergibt sich zwingend beim Schumannschen Ansatz [529] (Abschnitt 5.4.1) und wird auch bei der Motivation durch den Filteransatz u ¨ blicherweise verwendet. Das hat folgende wichtige Konsequenz: In den FNSG, bzw. den LESG, taucht ∆ bzw. ∆mod als Parameter auf. Wird ein feineres numerisches Gitter gew¨ahlt, so ¨ andert sich mit (5.71) auch die zu l¨ osende Gleichung. Prinzipiell existiert daher keine gitterunabh¨ angige L¨ osung der LESG,

132

5 Methodische Ans¨ atze f¨ ur LES

solange (5.71) gilt. Der Grenzwert, der sich f¨ ur ∆x → 0 ergibt, sind dann die urspr¨ unglichen ungefilterten Gleichungen, wodurch die LES zu einer DNS wird. Das numerische Gitter ist bei diesem Vorgehen ein wesentlicher Teil der Turbulenzmodellierung, denn es bestimmt die Skalentrennung zwischen aufgel¨osten und nichtaufgel¨ osten Anteilen der Str¨ omung. Auf dem Hintergrund der vorangegangenen Abschnitte erscheint Gleichung (5.71) jedoch nicht zwingend notwendig. Vielmehr kann man auch so vorgehen, dass zun¨ achst festgelegt wird, welche Skalen aufgel¨ost und welche modelliert werden sollen, wodurch ∆mod bestimmt ist. Danach wird unabh¨angig davon ein Gitter gew¨ ahlt, das zur Berechnung geeignet ist, nat¨ urlicherweise mit ∆x ≤ ∆mod [370], [369], so dass nicht mehr die Gitterschrittweite, sondern nur noch die Filterbreite in den LES–Gleichungen erscheint. Bei Gitterverfeinerung andern sich die Gleichungen also nicht mehr, und die numerische L¨ osung strebt im Grenz¨ fall ∆x → 0 gegen die exakte L¨osung der LES–Gleichungen. Damit wird die prinzipielle Unabh¨ angigkeit von Gitter– und Filterweite praktisch umgesetzt. Mit dem geschilderten Ansatz ist es m¨oglich, den numerischen Diskretisierungsfehler bei der L¨ osung der LESG von dem Modellierungsfehler zu trennen, indem der Diskretisierungsfehler durch Gitterverfeinerung reduziert wird, so dass nur noch der durch das Modell bedingte Fehler vorhanden ist. Aus der Differenz ergibt sich der numerische Fehler. Dieses Konzept wurde in [618] verfolgt und von Geurts und Fr¨ohlich [198], [199] weiter untersucht. In [197, Kap.9] wird der Aspekt interagierender Fehler zusammenfassend diskutiert.

5.5.4

Terminologie

In der Literatur wird oft nicht zwischen den verschiedenen L¨ angenskalen von Gitter, Filter und Modell unterschieden. Die Zusammenh¨ange sind teilweise recht komplex und wurden in den vorangegangenen Abschnitten deutlich gemacht. Im Weiteren soll hier die in Tab. 5.4 aufgelistete Terminologie verwendet werden, die jegliche Missverst¨ andnisse ausschließt. Allein, wenn ein Filter z.B. durch eine Faltung explizit angewendet wird, soll dies mit einer Filterweite oder Filterskala gekennzeichnet werden. Die Gitterschrittweite oder Gitterskala ist offensichtlich, wobei lediglich die Problematik diskutiert werden muss, wie bei anisotropen oder in der Form variablen Diskretisierungselementen eine repr¨ asentative L¨ ange geeignet festgelegt wird. Wenn die Skalentrennung durch das Feinstrukturmodell in den LES–Gleichungen erfolgt, wird dies als Modellweite bzw. als Modellparameter bezeichnet. Soll nicht zwischen den verschiedenen Einfl¨ ussen unterschieden werden, bietet sich die Bezeichnung “aufgel¨oste Skalen” an. Zu dem Begriff der Modellweite ist anzumerken, dass die meisten FS–Modelle eine multiplikative Konstante C enthalten, deren Wert durch theoretische Analyse oder empirische Kalibrierung festgelegt wird. Wenn das Modell den Faktor C∆ enth¨ alt, ist die Modellweite genau genommen λ = C∆ [370]. Bei der Angabe von ∆ allein ist also immer der Wert der ¨ Konstanten zu ber¨ ucksichtigen und mit anzugeben. Anderungen in ∆, z.B. im Verh¨ altnis ∆/∆x , k¨ onnen durch eine andere Wahl der Konstante kompensiert werden, bzw. kann der entsprechende Einfluss auch durch den Wert von C gesteuert werden.

133

5.6 Das numerische Verfahren als Filter Tab. 5.4 Nomenklatur zur Unterscheidung verschiedener charakteristischer L¨ angen.

Bezeichnung

Symbol

Bedeutung

engl.

Filterweite

∆, ∆

filter scale

Gitterschrittweite

∆x , ∆x , ∆y , ∆z ∆mod , ∆ u˜i , ui

Breite eines explizit angewendeten Filters Charakteristische L¨ ange der Diskretisierungselemente L¨angenskala im FS–Modell L¨osungsanteile, deren zeitliche Evolution explizit berechnet wird

Modellweite aufgel¨ oste Skalen

5.5.5

grid scale model (length) scale resolved scales

Physikalische Perspektive

Muschinski [416] betrachtet die LESG mit einem speziellen Feinstrukturmodell, dem weiter unten besprochenen Smagorinsky–Modell, das auf einer Ver¨ anderung der Viskosit¨ at zur Modellierung der FS beruht. Diese Modifikation kann als konstitutives Gesetz zur Definition eines artifiziellen “Smagorinsky–Fluids” interpretiert werden. In [416] wird die in Kapitel 2 skizzierte Theorie isotroper Turbulenz auf diesen Fall angewendet. Es zeigt sich ein ganz a ur ein gew¨ohnliches Newtonsches Fluid mit konstanter Viskosit¨ at. ¨hnliches Verhalten wie f¨

5.6

Das numerische Verfahren als Filter

5.6.1

Konzepte

¨ In Abschnitt 5.4 wurde die implizite Filterung diskutiert, die aus dem Ubergang von einem kontinuierlichen auf ein diskretes Problem mit endlich vielen Freiheitsgraden resultiert (Schritt D1 in Abschnitt 4.1). Dadurch wird der Wellenzahlbereich der L¨ osung nach oben hin beschr¨ ankt. Im Folgenden soll nun der Schritt D2 bei der Diskretisierung betrachtet werden, die Approximation kontinuierlicher Operatoren durch diskrete Operatoren. Dabei wird der numerische Fehler als Zusatzterm in den Gleichungen interpretiert und kann dann genauso wie der Feinstrukturterm als Filter im Sinne des in Abschnitt 5.5 definierten Evolutionsfilters angesehen werden. Diese Dualit¨ at motiviert Rechnungen ohne explizites Feinstrukturmodell. Es k¨ onnen also die beiden folgenden Konzepte einander gegen¨ uber gestellt werden : • Physikalisches Konzept: Betrachten der gefilterten Gleichungen nach dem Filterkonzept. Bestimmen eines FS–Mo¨ dells aufgrund physikalischer Uberlegungen. L¨osen der LES–Gleichungen mit m¨ oglichst kleinem numerischen Fehler. • Numerisches Konzept : Ber¨ ucksichtigen der Eigenschaften des numerischen Verfahrens von Anfang an. Hat der numerische Fehler die gew¨ unschten Eigenschaften, kann er die Rolle des expliziten FS– Modells u ussig. ¨ bernehmen und macht es u ¨ berfl¨

134

5 Methodische Ans¨ atze f¨ ur LES

Der Diskretisierungsfehler resultiert aus dem gew¨ ahlten Schema und dem verwendeten Gitter. Noch mehr als bei dem in Abschnitt 5.4 besprochenen Schumannschen Ansatz sind also bei dem numerischen Konzept Diskretisierung und FS–Modellierung miteinander verwoben.

5.6.2

Einfluss der effektiven Wellenzahl

In Abschnitt 4.5.2 wurde der Effekt der Diskretisierung einer Ableitung mit Hilfe eines zentralen Differenzenverfahrens im Wellenzahlbereich dargestellt. Anstelle des exakten Verlaufes (∂x u)ˆk = 2π ı k uˆk

(5.72)

liefert die diskrete Approximation den Zusammenhang ˆk (δx u)ˆk = 2π ı keff (k) u

.

(5.73)

ˆ F D = keff (k)/k des Differenzensterns Nach Gleichung (5.15) liegt es daher nahe, den Filter G zu definieren, so dass ˆ F D (k) (∂x u)ˆk (δx u)ˆk = G

.

(5.74)

Die Erweiterung auf unsymmetrische Verfahren ist durch das Zulassen komplexer Werte f¨ ur keff m¨ oglich. Unabh¨angig davon, ob die Variable u in den obigen Gleichungen bereits aus einer Filterung resultiert oder nicht, wird durch die Berechnung der Ableitung mit einem derartigen Differenzenverfahren eine zus¨atzliche Filterung vorgenommen. Salvetti und Beux [513] haben Filter dieses Typs mit verschiedener Ordnung verwendet und damit Feinstrukturterme und Korrelationen berechnet. Es ergeben sich jedoch keine fundamentalen Unterschiede zu den klassischen Filtern aus Tabelle 5.2. Vielmehr n¨ ahert sich das Verhalten f¨ ur Differenzensterne mit h¨oherer Ordnung dem des idealen Tiefpasses, w¨ ahrend es bei niedrigerer Ordnung dem des Rechteckfilters entspricht. In einem vollst¨ andigen LES–Verfahren ist die Berechnung der Ableitung nur ein einzelner Baustein, und der Einfluss auf die berechnete L¨osung h¨ angt von den Details der Implementierung ab. Beispielsweise wird anhand der obigen Gleichungen sofort deutlich, dass sich die filternde Wirkung des Differenzensterns f¨ ur ∂xj (ui uj ) und uj ∂xj ui voneinander unter¨ scheiden. Die einfache Uberlegung (5.74) gibt aber bereits einen guten Eindruck von der Wirkung einer Diskretisierung im Sinne eines Filters.

5.6.3

Rechnungen mit Aufwindverfahren ohne FS–Modell

Aufgrund der Schwierigkeiten, ein optimales FS-Modell zu finden und wegen der stets pr¨ asenten Interaktion mit dem numerischen Verfahren, f¨ uhrten Kuwahara und Mitarbeiter zahlreiche instation¨are Simulationen turbulenter Str¨ omungsmodelle ohne Feinstrukturmodell durch, obwohl das Gitter f¨ ur eine DNS nicht fein genug war [576], [575]. Statt dessen kam ein Aufwindverfahren dritter Ordnung [283] zum Einsatz, das auch im vorigen Kapitel diskutiert wurde. In Folge der dritten Ordnung ist der Abbruchterm des Schemas proportional der vierten Ableitung und daher dissipativ.

5.6 Das numerische Verfahren als Filter

135

Die Analyse mit Hilfe der Eigenwerte in Abschnitt 4.5.2 hat allerdings auch sehr deutlich gemacht, dass neben der Ordnung des Verfahrens das Verhalten u ¨ber den gesamten Wellenzahlbereich von Bedeutung ist. Abb. 4.6 und 4.7 illustrieren, dass f¨ ur Wellenzahlen nahe der Gitterwellenzahl die Dissipation dieses Schemas sogar gr¨ oßer ist als die eines einfachen Aufwindverfahrens erster Ordnung. Niedrige Wellenzahlen werden also durch die h¨ ohere Ordnung des Verfahrens relativ wenig ged¨ampft, w¨ ahrend hohe Wellenzahlen durch die spezielle Wahl des Differenzensterns sehr stark ged¨ ampft werden. Verfolgt man den Ansatz der ¨aquivalenten Differentialgleichung (Abschnitt 4.5.3), so gehorcht die numerisch berechnete L¨osung also in f¨ uhrender Ordnung einer Impulsgleichung, in der zus¨ atzlich ein Term vierter Ordnung auftritt, z.B. f¨ ur die konservative Form τijnum ∼ ∆3xi ∂x4i (ui uj )

.

(5.75)

F¨ ur die a ¨quivalente Differentialgleichung ist es gleichbedeutend, ob ein Term durch explizites Hinzuf¨ ugen in der Ausgangsgleichung eingef¨ uhrt wird oder durch die numerische Diskretisierung. Insofern ist verst¨andlich, dass beide Ans¨ atze, explizite Feinstrukturmodellierung und Diskretisierung mit dissipativen Verfahren, zu ¨ ahnlichen D¨ ampfungen der berechneten L¨ osung f¨ uhren k¨onnen und damit beide f¨ ur LES anwendbar sind. Unterschiede treten jedoch auf, wenn man die Form der Zusatzterme, insbesondere die Vorfaktoren, genauer betrachtet. Der Term (5.75) ist beispielsweise nicht Galilei–invariant, weil hier der Faktor ui auftaucht. D.h. die Dissipation h¨ angt nicht nur von der Struktur der Turbulenz ab, sondern auch von der Geschwindigkeit, mit der sie sich durch das numerische Gitter bewegt. Insofern ist der Diskretisierungsfehler eines derartigen Verfahrens als FS– Modell nur schlecht geeignet.

5.6.4

Der MILES–Ansatz

Nahezu gleichzeitig mit Kuwahara vertrat Boris [48] die Auffassung, dass auch das in Abschnitt 4.6.4 definierte nichtlineare FCT–Verfahren als Pseudo–Feinstrukturmodell einge¨ setzt werden kann. Ahnliches gilt auch f¨ ur andere nichtlineare Euler–Schemata. Sie sind i.A. monotonieerhaltend, so dass f¨ ur diesen Ansatz die Bezeichnung “monotonically integrated LES” (MILES) gepr¨agt wurde [50]. In Abschnitt 4.6.4 wurde dargestellt, wie solche Verfahren lokal an Orten starker Gradienten zus¨atzliche Dissipation erzeugen, um Oszillationen der L¨ osung zu d¨ ampfen bzw. zu vermeiden. Da die haupts¨ achliche Aufgabe des FS–Modells ebenfalls die Realisierung eines geeigneten Maßes effektiver Dissipation ist, liegt es nahe, wie im vorigen Abschnitt die ¨aquivalente Differentialgleichung als Motivation f¨ ur den Ersatz des FS–Modells durch die numerische Dissipation zu sehen. Fureby und Grinstein [177] formulierten diese Gleichungen und wiesen nach, dass der durch das TVD–Verfahren erzeugte Zusatzterm an Stellen, wo der Limiter aktiviert ist, von der Gr¨ oße O(∆2t , ∆x ) ist und ansonsten O(∆2t , ∆2x ). Sie zeigten ferner, dass dieser Term zerlegt werden kann in die Summe zweier Terme, die konventionellen Modellans¨ atzen entsprechen, einem Wirbelviskosit¨atsmodell (6.3) und dem Clark–Modell (6.105). In dem Wirbelviskosit¨ atsterm taucht jedoch wie in (5.75) die Geschwindigkeit selbst anstelle des Gradienten auf und verhindert so Galilei–Invarianz. Außerdem ist bei konventioneller Modellierung

136

5 Methodische Ans¨ atze f¨ ur LES

(z.B. mit dem unten in Abschnitt 6.2.2 beschriebenen Smagorinsky–Modell) der FS–Term proportional zu ∆2x und nicht ∆x , also asymptotisch wesentlich kleiner. Der MILES Ansatz wird meist zur Berechnung kompressibler Str¨ omungen eingesetzt und wurde z.B. in [177] f¨ ur isotrope Turbulenz und einen Freistrahl, sowie in [176] zur Simulation der Str¨ omung u uckspringende Stufe verwendet. Dabei wurden ganz ¨ ahnli¨ ber eine zur¨ che Resultate wie mit konventioneller FS–Modellierung erzielt. In [367] wurden MILES– Rechnungen f¨ ur LES einer Tragfl¨ ugelumstr¨omung durchgef¨ uhrt und mit expliziter FSModellierung verglichen. Da das Gitter sehr fein war, sind die Unterschiede in den Resultaten relativ gering, jedoch schneidet der MILES–Ansatz etwas schlechter ab. Weitere Rechnungen ohne explizites Feinstrukturmodell unter Verwendung des AUSM–Schemas [343] finden sich in [381]. Die Autoren stellen fest, dass insbesondere bei hohen Reynolds–Zahlen die Eigenschaften des Schemas dominieren und sich die Ergebnisse bei Zu– oder Abschalten ¨ eines klassischen FS–Modells nicht ¨andern. Ahnlich verh¨ alt es sich bei Verwendung eines kompakten Finiten–Differenzen–Verfahrens in dieser Referenz, bei dem zur Stabilisierung ein expliziter Filter eingef¨ uhrt werden musste. Ein Nachteil des MILES–Ansatzes ist, dass sich die numerische Dissipation nicht steuern l¨ asst, was eine entsprechende Unsicherheit erzeugt, wenn sie zur physikalischen Modellierung eingesetzt wird. Prinzipiell ist es zwar m¨oglich, ihr Ausmaß in einer Rechnung im Nachhinein zu bestimmen, indem die entsprechenden Terme der ¨ aquivalenten Differentialgleichung berechnet werden [177], jedoch wird dies nur in den allerwenigsten F¨ allen durchgef¨ uhrt. Der Ansatz, numerische Dissipation anstelle des FS–Modells zu verwenden, ist daher umstritten. Von Garnier et al. [186] wurden verschiedene Euler–Schemata untersucht und ihre D¨ ampfungseigenschaften mit der durch klassische Feinstrukturmodelle erzeugten verglichen. Dabei zeigte sich, dass die hochfrequenten aufgel¨ osten Skalen nahe der Gitterwellenzahl deutlich st¨arker ged¨ampft werden als bei Verwendung eines zentralen Verfahrens und expliziter FS–Modellierung. Ist das Gitter relativ fein, so werden die groben Skalen ¨ in beiden F¨ allen ¨ ahnlich aufgel¨ost, was die Ahnlichkeit der Resultate in den oben zitierten Referenzen erkl¨ art. Auf groben Gittern tritt der Unterschied jedoch deutlich zutage. Auch von Mathey [373] wurden vergleichbare Erfahrungen berichtet. Dort wurde die “Piecewise Parabolic Method” (PPM) als Surrogat einer FS–Modellierung eingesetzt und im Vergleich zur expliziten Modellierung f¨ ur deutlich zu dissipativ befunden. Daher wurde in dieser Arbeit ein Kriterium benutzt, um die numerische Diffusion des Schemas im Falle dreidimensionaler Turbulenz zu unterdr¨ ucken und nur das FS–Modell zu verwenden. Durch die Addition der Dissipation aus beiden Quellen wird ansonsten die L¨ osung u uhr ¨ ber Geb¨ ged¨ ampft. Insgesamt erscheint es nicht zweckm¨aßig, beim Einsatz von monotonieerhaltenden Verfahren zus¨atzlich explizite FS–Terme in den Gleichungen mitzuf¨ uhren [186]. Die bei MILES verwendeten TVD–Verfahren wurden speziell f¨ ur die Physik der Euler– Gleichungen konzipiert. Dies hat beispielsweise zur Folge, dass unterschiedliche Variablen, wie Dichte und Geschwindigkeit, unterschiedlich ged¨ ampft werden, so dass nicht mehr von einer einheitlichen Filterl¨ange gesprochen werden kann [186]. Ebenso wurde in [177] beobachtet, dass bei der Berechnung isotroper Turbulenz die durch den MILES–Ansatz induzierte effektive Viskosit¨at nicht mit den Wirbelstrukturen korreliert (siehe Abb. 2.3 f¨ ur die Darstellung solcher Strukturen). Bei Verwendung klassischer FS–Modelle unter denselben Bedingungen ist dies jedoch der Fall. Die zu hohe Diffusivit¨ at in den MILES–Rechnungen

5.6 Das numerische Verfahren als Filter

137

ist nach Ansicht des Autors darauf zur¨ uckzuf¨ uhren, dass solche Schemata zum Ziel haben, Oszillationen vollst¨andig zu d¨ampfen, wie das bei der Berechnung von Verdichtungsst¨ oßen erforderlich ist. Das ist eine wesentlich st¨arkere Forderung als die nach einem physikalisch sinnvollen, durch die turbulente Energiekaskade bestimmten Maß an Dissipation. F¨ ur die Darstellung eines turbulenten Str¨omungsfeldes sind die hochfrequenten aufgel¨ osten Anteile nahe der Grenzwellenzahl nicht per se hinderlich. Es ist lediglich zu akzeptieren, dass ihre Evolution nur mit großen Diskretisierungsfehlern beschrieben wird. In der Tat berichten Garnier et al. [186], dass mit dem Jameson–Verfahren der k¨ unstlichen Diffusion (Gleichung (4.105)) verbesserte Ergebnisse erzielt werden, wenn die Standardwerte f¨ ur die Koeffizienten so modifiziert werden, dass ein geringeres Maß an Diffusion eingef¨ uhrt wird. Bez¨ uglich des MILES–Ansatzes besteht daher sicherlich noch weiterer Forschungsbedarf.

5.6.5

Aufwindverfahren in Rechnungen mit FS–Modellen

In vielen Arbeiten wird die Diskretisierung der mit einem FS–Modell versehenen LES– Gleichungen als unabh¨angiger Schritt betrachtet, der mit einem beliebigen Schema durchgef¨ uhrt werden kann. Obgleich dies zwar prinzipiell richtig ist – das war ja gerade der Vorteil des Filteransatzes von Leonard – haben numerische Effekte einen deutlichen Einfluss, und nicht jedes Schema ist f¨ ur diesen Zweck geeignet. Der Sachverhalt kann hier anhand der in Abschnitt 4.5 durchgef¨ uhrten Analyse der effektiven Wellenzahl diskutiert werden. Werden zentrale Differenzen verwendet, so entsteht dadurch keine numerische Diffusion. Lediglich bei variabler Schrittweite erh¨alt man einen derartigen Abbruchterm proportional zur Differenz benachbarter Gitterschrittweiten. Bei LES wird jedoch i.A. nur eine sehr geringe Gitterstreckung verwendet (eigene Erfahrungen legen Obergrenzen von 3–5% nahe), so dass dies nicht ins Gewicht f¨allt. Der Dispersionsfehler kann jedoch zu Gitterpunktoszillationen f¨ uhren, sofern diese nicht durch die laminare Viskosit¨ at oder das FS–Modell ged¨ ampft werden. Viele Anwender setzen daher z.B. das QUICK–Verfahren ein, das bei RANS Rechnungen sehr gute Resultate liefert. Anhand von Abb. 4.6 wird jedoch deutlich, dass hierdurch substantiell numerische Diffusion erzeugt wird, und zwar auf den feinen Skalen bis zur H¨ alfte der durch das einfache Aufwindverfahren erster Ordnung UDS1. Dies ¨ außert sich in entsprechenden LES Rechnungen und wurde beispielsweise in [56] illustriert. Solche Rechnungen sind daher ohne eine Abschw¨achung des FS–Terms oft zu stark ged¨ ampft. Von Beaudan und Moin [32] wurden die in Gleichung (4.12) und (4.13) notierten Aufwindverfahren hoher Ordnung verwendet. Sie besitzen neben der hohen Ordnung nur einen relativ geringen Aufwindcharakter, da der Differenzenstern lediglich um einen Punkt unsymmetrisch ist. Wie Abb. 4.7 zeigt, werden niedrige Wellenzahlen wegen der hohen Ordnung geringer ged¨ ampft als z.B. mit dem QUICK–Schema, im oberen Viertel des Spektrums wird jedoch dasselbe Niveau erreicht. In [32] wurde der entsprechende D¨ ampfungseffekt festgestellt und in [401] durch Vergleich mit einem zentralen Verfahren illustriert. Die berechneten Profile der mittleren Geschwindigkeit und der Fluktuationen im Fernfeld eines Kreiszylinders unterscheiden sich nicht sehr stark (was jedoch auch in anderen, sp¨ ater in [302] aufgekl¨ arten Effekten begr¨ undet ist). Das mit zentraler Diskretisierung berechnete Spektrum folgt jedoch wesentlich besser den experimentellen Daten. Eine sehr anschauliche Darstellung des Effektes einer Aufwinddiskretisierung in LES wur-

138

5 Methodische Ans¨ atze f¨ ur LES

de von Werner [637] gegeben. Die Analyse mittels der ¨ aquivalenten Differentialgleichung (siehe Abschnitt 4.5.3) wurde dort auf drei Finite–Differenzen–Verfahren mit versetztem Gitter angewendet. Dies waren erstens das Leap–Frog–Verfahren mit zentralen Differenzen im Ort, zweitens dasselbe Verfahren mit Retardation des Diffusionsterms (LF2TDL), sowie drittens das Adams–Bashforth–Verfahren mit zentralen Differenzen f¨ ur den Diffusionsterm und Aufwinddiskretisierung mittels QUICK f¨ ur den Konvektionsterm (AB2QZ). Der Koeffizient c˜xxx in (4.94) ist in allen F¨allen recht ¨ ahnlich, was auf ¨ ahnliche Dispersionseigenschaften schließen l¨asst. Im Bezug auf den Koeffizienten c˜xxxx , der die numerische D¨ ampfung beschreibt, traten jedoch große Unterschiede zu Tage. F¨ ur das LF2TDL–Schema ergibt sich  2  C 1 2 c˜xxxx = ν∆x , (5.76) − Re∆x 12 wobei C = U ∆t /∆x die Courant–Zahl und Re∆x = U ∆x /ν die Maschen–Reynolds–Zahl sind. F¨ ur das AB2QZ–Schema lautet dieser Koeffizient dagegen   Re∆x 11 5 2 c˜xxxx = ν∆2x + C − 4C 3 . (5.77) 16 12 4 Bei LES sind die Maschen–Reynolds–Zahlen typischerweise sehr hoch – wie erw¨ ahnt, deckt vom Prinzip her die Methodik den Fall ν → 0, d.h. beliebig große (Maschen–)Reynolds– Zahl, ab. Typische Werte liegen im wandfernen Bereich bei O(103 ) − O(104 ). Tritt also Re∆x als Faktor in c˜xxxx auf, so steigt die numerische Diffusion entsprechend an. Um zu zeigen, wie stark sich dieser Effekt in einer tats¨ achlichen LES bemerkbar machen kann, berechnete Werner [637] die Str¨omung in einem ebenen Kanal bei Reτ = 1954 mit dem Smagorinsky–Modell und einem relativ groben Gitter. Mit dem LF2TDL–Schema ergab sich in der Kanalmitte C = 0,14 und Re∆x = 1350 sowie eine turbulente Viskosit¨ at von νt /ν = 1,2. Die analoge Rechnung mit dem AB2QZ–Schema lieferte C = 0,15 und Re∆x = 1636 mit νt /ν = 0,9. Die von Neumannsche Analyse (s. Abschnitt 4.5.4) des Schemas f¨ ur eine lineare Konvektions–Diffusionsgleichung erlaubt die Bestimmung einer effektiven numerischen Viskosit¨at in Abh¨angigkeit von C und Re∆x . Hierbei ergab sich in der Kanalmitte νt /ν = 0,9 f¨ ur das LF2TDL–Schema, jedoch aufgrund der Verwendung des QUICK–Schemas νnum /ν ≈ 180 mit dem AB2QZ. Die durch die Aufwinddiskretisierung eingef¨ uhrte numerische Viskosit¨at u ¨ bersteigt also die durch physikalische Modellierung erzeugte Viskosit¨ at um zwei Gr¨oßenordnungen und u ¨berdeckt so jegliche physikalisch be¨ gr¨ undete Modellierung. Ahnliche Erfahrungen, wenngleich oft weniger quantitativ, wurden in vielen Arbeiten gemacht (siehe z.B. [115, Kap. 3.3]). Auf diesem Hintergrund propagieren einige Arbeiten die Verwendung energieerhaltender Schemata, wie sie in Abschnitt 4.7.4 diskutiert wurden. Derartige Diskretisierungen garantieren exakt eine verschwindende numerische Dissipation und trennen dadurch numerische und physikalische Modellierung dieses Aspektes. Wie oben diskutiert, erscheint dies zwar vorteilhaft, jedoch muss gefragt werden, ob die Forderung f¨ ur LES mit unausweichlichem Modellfehler und bis auf Spektralmethoden immer vorhandenem Dispersionsfehler nicht u ¨ berzogen ist (siehe auch die Diskussion in Abschnitt 4.7.4). In [401] wird außerdem berichtet, dass solche Verfahren sehr empfindlich auf Gitterstreckung und Definition der Randbe-

5.7 Gleichungen f¨ ur die h¨ oheren Momente der gefilterten Gr¨ oßen

139

dingungen reagieren, was allerdings in gewissem Maße auch f¨ ur andere zentrale Verfahren zutrifft. Insgesamt ist festzuhalten, dass Aufwindverfahren, auch wenn sie von hoher Ordnung sind und sich f¨ ur DNS und RANS bew¨ahrt haben, f¨ ur LES zusammen mit einem FS–Modell nicht geeignet sind. Hier sollten zentrale Verfahren mit geringer oder verschwindender Dissipation gew¨ ahlt werden. Ansonsten entsteht, wie oben im Zusammenhang mit MILES diskutiert, durch die Summe aus numerischer und physikalischer Dissipation eine zu starke Gesamtdissipation. Durch den dominanten Einfluss des Schemas l¨ asst sie sich auch nicht kontrollieren oder steuern.

5.6.6

ILES

Eine in diesem Zusammenhang interessante Entwicklung ist ILES (engl.: “implicit LES”). Die Idee ist, ¨ ahnlich wie bei MILES, statt konkurrierender Einfl¨ usse von Abbruchfehler und (diskretisiertem) FS–Modell den Abbruchfehler so zu gestalten, dass er die Rolle des FS– Modells spielt. Im Gegensatz zum MILES–Ansatz wird jedoch versucht, den Abbruchfehler genau so zu gestalten, dass ein bekanntes FS–Modell entsteht. In [6], [238] wird dazu ein WENO–Verfahren (engl: “weighted essentially non–oscillating”) verwendet, dessen Gewichte so angepasst sind, dass im Abbruchterm mit nur sehr kleiner Abweichung das sp¨ ater besprochene Smagorinsky–Feinstrukturmodell entsteht.

5.7

Gleichungen fu oßen ¨r die h¨oheren Momente der gefilterten Gr¨

5.7.1

Energieanteile

F¨ ur die weitere Diskussion sind zun¨achst verschiedene Gr¨ oßen zu definieren. Die (gesamte) lokale kinetische Energie des Str¨omungsfeldes ist Ktot =

1 ui ui 2

.

(5.78)

Zur Vereinfachung wurde hier nicht, wie bei der turbulenten kinetischen Energie K in (2.29), der Mittelwert der Geschwindigkeit subtrahiert. Die Energie der aufgel¨ osten Bewegung ist entsprechend Kres =

1 ui ui 2

.

(5.79)

Filtert man die Gleichung (5.78), so ergibt sich Ktot =

1 ui ui 2

(5.80)

mit den Fluktuationen
Ktot = Ktot − Ktot =

1 (ui ui − ui ui ) 2

.

(5.81)

140

5 Methodische Ans¨ atze f¨ ur LES

Der Beitrag der Feinstrukturspannungen ist Kτ =

1 1 (ui ui − ui ui ) = τkk 2 2

.

(5.82)

Er wird in der Literatur oft als “sub-grid scale kinetic energy” bezeichnet, was jedoch nur n¨ aherungsweise zutrifft. Vielmehr setzt sich die nichtaufgel¨ oste kinetische Energie zusammen
aus den beiden Anteilen Kτ + Ktot , von denen der zweite jedoch i.A. wesentlich kleiner ist und daher meist vernachl¨assigt werden kann: Ktot


= Kres + Kτ + Ktot

(5.83)

Ktot

= Kres + Kτ

(5.84)

.

Die zweite Gleichung zeigt, dass auch die nicht aufgel¨ osten Strukturen u ¨ ber Kτ einen grobskaligen Beitrag zur kinetischen Energie, also zu Ktot liefern.

5.7.2

Energiegleichungen

Ausgangspunkt sind die FNSG unter der Annahme homogener Filterung bzw. unter Vernachl¨ assigung von Kommutatortermen (5.9), (5.10) ∂xi ui = 0

(5.85)

∂t ui + ∂xj (ui uj ) + ∂xi p = ∂xj (2νS ij ) − ∂xj τij + F i

.

(5.86)

Multipliziert man (5.86) mit ui , so entsteht eine Gleichung f¨ ur die aufgel¨ oste turbulente kinetische Energie Kres [473, Gl.(13.121)].
 ∂t Kres + ∂xj (uj Kres ) + ∂xj uj p + ui τij − 2νui S ij = −εres − PF S + F i ui (5.87) mit εres

= 2νS ij S ij

PF S

= −S ij τij

(5.88) .

(5.89)

¨ Dabei repr¨ asentieren die Terme von links nach rechts die zeitliche Anderung von Kres , seinen konvektiven Transport durch die aufgel¨oste Str¨omung, die turbulente Diffusion durch Druckund Feinstrukturschwankungen, die Arbeit der Reibungskr¨ afte, die viskose Dissipation von Kres , sowie die Produktion kinetischer Energie der nicht aufgel¨ osten Strukturen, die durch Gleichung (5.92) unten beschrieben wird. Piomelli [456] verwendet die Identit¨ at ui ∂xj (2S ij ) = ∂xj (ui 2S ij ) − 2S ij S ij = ∂xj xj Kres − (∂xj ui )2

,

(5.90)

ur die viskose Dissipation um einen Diffusionsterm f¨ ur Kres und einen anderen Ausdruck f¨ zu erhalten (siehe auch die Diskussion zu Gl. (2.30)). Weiterhin lassen sich die Feinstrukturterme auch zusammenfassen als ∂xj (ui τij ) − S ij τij = ui ∂xj τij = ετ

.

(5.91)

141

5.7 Gleichungen f¨ ur die h¨ oheren Momente der gefilterten Gr¨ oßen

Mit Hilfe von (5.84), (5.87) und der Anwendung des Filters auf die entsprechende Gleichung ur Kτ abgeleitet werden [456] f¨ ur Ktot kann auch eine Gleichung f¨ ∂t Kτ

+

1 ∂xj (uj Kτ ) + ∂xj (uj ui ui − uj ui ui ) + ∂xj (uj p − uj p) − ∂xj (ui τij ) 2

=

ν∂xj xj Kτ − εF S + PF S + (Fi ui − F i ui )

.

(5.92)

¨ ¨ Ahnlich wie oben stellen von links nach rechts die beiden ersten Terme die Anderung in der Zeit und den konvektiven Transport durch die aufgel¨ oste Str¨ omung dar. Die folgenden Terme in Divergenz– und somit Erhaltungsform beschreiben den turbulenten Transport von Kτ , die sog. Druckdiffusion und den Transport durch die Feinstrukturschwankungen. Auf der rechten Seite findet sich die viskose Diffusion von Kτ , die viskose Dissipation,  , (5.93) εF S = ν (∂xj ui )2 − (∂xj ui )2 der Produktionsterm der nichtaufgel¨osten Energie PF S und schließlich die von ¨ außeren Kr¨ aften zugef¨ uhrte Energie. Letztere entf¨allt z.B. bei einem r¨ aumlich konstanten Kraftterm. Der vorletzte Term in Gleichung (5.87) wird gelegentlich auch als FS–Dissipation bezeichnet, was jedoch irref¨ uhrend ist. Tats¨achlich ist dies ein reibungsfreier Term, wie direkt anhand der Definition (5.89) ersichtlichs ist., Da er in der Gleichungen f¨ ur die aufgel¨ oste kinetiur die Kτ mit unterschiedlichem Vorzeichen sche Energie Kres (5.87) und in Gl. (5.92) f¨ auftritt beschreibt er vielmehr den Austausch von Energie zwischen aufgel¨ osten und nicht aufgel¨ osten Strukturen. Sein Vorzeichen liegt nicht fest, er kann positiv oder negativ sein. Im Mittel liefert die turbulente Energiekaskade PF S > 0, jedoch sind lokal und momentan negative Werte m¨oglich (“backscatter”). In manchen Str¨ omungen kann dieser Term auch im Mittel negativ sein, wie z.B. in Teilen der Wandgrenzschicht.

5.7.3

Gleichungen fu ¨r die aufgelo ¨sten Reynolds–Spannungen

Die Gleichung f¨ ur die momentanen aufgel¨osten Schwankungen lautet ∂t (ui uj ) + uk ∂xk (ui uj ) − ν∂xk xk (ui uj ) = −∂xk Θijk + Qij − ij − Πij + Fij , (5.94) wobei Θijk Qij ij Πij

= (p uj δik + p ui δjk ) + (uj τik + ui τjk )

(5.95)

= 2pS ij

(5.96)

= 2ν (∂xk ui ) (∂xk uj )
 = − τik S kj + τjk S ki

(5.97) .

(5.98)

oste Druck–GeschwindigDie Gr¨ oße Θijk beschreibt den Spannungstransport durch aufgel¨ keits–Korrelationen und Korrelationen zwischen aufgel¨ osten und nichtaufgel¨ osten Geschwindigkeitskomponenten, Qij die Umverteilung durch die aufgel¨ oste Druck–Scher–Korrelation,

142

5 Methodische Ans¨ atze f¨ ur LES

ij die viskose Dissipation der aufgel¨osten Str¨omung, Πij den lokalen Austausch zwischen aufgel¨ osten und nichtaufgel¨osten Anteilen, und Fij = F i uj die Wirkung a afte. ¨ußerer Kr¨ Nach Bilden des Erwartungswertes erh¨alt man das gesuchte Resultat [384] ∂t
ui uj 

+
uk ∂xk
ui uj  − ν∂xk xk
ui uj 

(5.99)

= −∂xk
Θijk  − ∂xk Ψij +
Qij  −
ij  −
Πij  +
Fij  , wobei der Term Ψij =
ui uj uk  −
uk 
ui uj 

(5.100)

hier durch die Formulierung des mittleren Konvektionsterms neu auftaucht. Die Gleichung f¨ ur
Kres  entsteht durch Kontraktion dieser Gleichung, d.h. Setzen von i = j, oder durch Bilden des Erwartungswertes in (5.87).

5.8

Welche Resultate kann eine LES liefern ?

5.8.1

Vorhersagbarkeit

Betrachtet man die Simulation einer turbulenten Str¨ omung mit dem Ziel, die Evolution einer bestimmten Anfangsbedingung zu berechnen, spielt die physikalische Eigenschaft turbulenter Str¨ omungen der “Sensitivit¨at bez¨ uglich der Anfangsbedingungen” eine Rolle, die in Abschnitt 2.2.1 angesprochen wurde. Sie ist charakterisiert durch ein exponentielles Wachstum kleiner St¨ orungen gem¨aß dem sog. Lyapunov Exponenten und wurde beispielsweise in [121] nachgewiesen. F¨ uhrt man eine DNS durch, so beeinflussen also auf lange Sicht kleinste numerische Rundungsfehler die Evolution der einzelnen L¨osung wesentlich. Nimmt man hingegen exakte Numerik an, so kann bei endlicher Reynolds–Zahl durch Verfeinern des Gitters u ¨ ber die Kolmogorov–L¨ ange hinaus wegen des schnellen Abklingens des Spektrums der Fehler in der Anfangsbedingung beliebig klein gemacht werden und somit – prinzipiell – die Evolution f¨ ur endliche Zeiten beliebig genau berechnet werden. Bei einer LES ist die Situation jedoch anders, da hier grunds¨ atzlich nicht alle Skalen berechnet werden [327, XI,XII.2.2]. Als Modell dient im Weiteren die Simulation isotroper Turbulenz mit einem Fourier–Filter bei der Wellenzahl k∆ im Inertialbereich. Die Anfangsbedingung f¨ ur eine LES ist dann u(t = 0). Betrachtet man zwei Realisierungen u(x, t) und v(x, t) mit gleichem Spektrum Eu = Ev = E und u = v aber u
= v
zum Zeitpunkt t = 0, so kann eine LES ohne Zusatzinformationen nicht zwischen beiden unterscheiden. Diese Unsicherheit bzgl. der Anfangsbedingung breitet sich in der L¨ osung aus und stellt, abgesehen von Modellierungs– und Diskretisierungsfehler, gewissermaßen den “Mindestfehler” dar, den eine LES immer machen muss. Um alle anderen Fehler auszuschließen, wird also die DNS der beiden genannten L¨ osungen u und v betrachtet. Da die Differenz zweier willk¨ urlich ausgew¨ ahlter Realisierungen nicht

5.8 Welche Resultate kann eine LES liefern ?

143

aussagef¨ ahig ist, betrachtet man den Erwartungswert des Fehlers
u− v(x, t), insbesondere im isotropen Fall sein Spektrum Ee mit  ∞ Ee (k, t) dk , (5.101)
|u − v|2 (t) = 2 0

wobei aus physikalischen Gr¨ unden Ee ≤ E [327, p.361]. Im vorliegenden Fall kann das Fehlerspektrum mit Hilfe statistischer Theorien bestimmt werden [322], [390]. LES Rechnungen mit dieser Zielsetzung wurden in [93] durchgef¨ uhrt. Das Ergebnis f¨ ur station¨ are isotrope Turbulenz lautet [390] Ee ∼ k 4

; k < ke

Ee ≈ E

; k > ke

(5.102) .

(5.103)

Dabei ist ke (t) die Grenzwellenzahl, bei der das Fehlerspektrum Ee sein Maximum annimmt, mit ke (t = 0) = k∆ durch die Anfangsbedingungen. Dies ist in Abb. 5.6 schematisch dargestellt. Die zeitliche Evolution ist f¨ ur große Differenzen ke (t = 0) − ke gekennzeichnet durch [390, Gl.(3.9)] ke ∼ ε−1/2 t−3/2

.

(5.104)

Es liegt also eine inverse Kaskade f¨ ur den durch die Anfangsbedingung erzeugten Fehler vor. Er breitet sich auch von beliebig großen Wellenzahlen in endlicher Zeit zu einer gegebenen Wellenzahl k aus. Asymptotisch ist diese Zeit nach (5.104) proportional zu ε −1/3 k −2/3 . Dies ist genau die “Eddy Turnover Time” tk der Wirbel mit der r¨ aumlichen Skala 1/k verbundenen Wirbel nach Gl. (2.54). Auch die gr¨ oßten Skalen werden also nach einer Zeit proportional der Anzahl eigener Umdrehungen beeinflusst. Der Simulation einer einzelnen Realisierung sind daher bei LES allein schon durch die Anfangsbedingungen prinzipielle Grenzen gesetzt, auch unter Annahme exakter Numerik. Man kann einzig und allein anstreben, dass die L¨osung zu einer bestimmten Anfangsbedingung in den großen aufgel¨ osten Skalen f¨ ur eine kurze Zeit von der Projektion der Anfangsbedingung auf die Wellenzahlen kleiner als k∆ unabh¨angig berechnet wird, n¨amlich so lange, wie die Unsicherheit in der Anfangsbedingung nicht zu diesen Wellenzahlen gedrungen ist. F¨ uhrt man ein FS–Modell ein, so entsteht ein zus¨ atzlicher Fehler, der sich in der N¨ ahe der Wellenzahl k∆ konzentriert. Ist der Abstand zu den energietragenden Wirbeln groß, so ist die Wirkung ¨ahnlich der einer anderen Anfangsbedingung, und die Bewegung kann f¨ ur kurze Zeiten vorhergesagt werden. Ist der Abstand gering, so wird die Evolution der energietragenden Skalen direkt beeinflusst.

5.8.2

Zielsetzung einer LES

Auf dem geschilderten Hintergrund ist es wichtig, die Zielsetzung einer LES zu diskutieren. Sie kann je nach Einsatzbereich unterschiedlich sein. Eine ganz bestimmte Realisierung einer turbulenten Str¨ omung zu erfassen, erscheint wegen der diskutierten Sensitivit¨at i.A. nicht nur unm¨oglich, sondern – mit Ausnahme der Wettervorhersage und weiterer Einzelf¨alle – auch gar nicht n¨ otig oder erw¨ unscht. D.h. selbst mit

144

5 Methodische Ans¨ atze f¨ ur LES

log E E(k) 2

~k

ï5/3

~k t 4

~k

Ee(k,t) ke(t=0)

log k

Abb. 5.6 Schematische Skizze des Fehlerspektrums bei station¨ arer isotroper Turbulenz, nach [390]. Der grau dargestellte Bereich kennzeichnet das Fehlerspektrum zum Zeitpunkt t = 0. F¨ ur t > 0 ist es durch die gestrichelten Linien dargestellt. Die charakteristische Wellenzahl ke bezeichnet den Ort des Maximums von Ee und sinkt mit wachsender Zeit.

einem nichtinvertierbaren Filter G ist es nicht das eigentliche Ziel einer LES, die gefilterte ur alle Zeiten exakt zu berechnen. L¨ osung u(x, t) = G ∗ u(x, t) mit Gleichheit f¨ Im Hinblick auf die momentane Str¨omung gen¨ ugt bei ingenieurtechnischen Anwendungen vielmehr eine qualitative Erfassung der koh¨arenten Strukturen, da sich hierdurch bereits ein Verst¨ andnis der jeweiligen Str¨omung ergibt und Designvarianten untersucht werden k¨ onnen. Außerdem sind bei diesen Anwendungen oft auch Geometrie und Einstr¨ ombedingungen nur ungenau bekannt. In Grundlagenuntersuchungen sind die Anforderungen etwas h¨ oher, und es wird angestrebt, dass die großen Strukturen in der momentanen Str¨ omung bez¨ uglich ihrer Ausdehnung und Dynamik m¨oglichst genau wiedergegeben werden. Da der durch die verschiedenen Enfl¨ usse erzeugte effektive Filter in einer tats¨ achlich durchgef¨ uhrten LES nicht bekannt ist, wird der Bereich der verl¨asslichen Skalen meist empirisch, bzw. beruhend auf Erfahrungen des Benutzers bestimmt [508, p.221]. Werden quantitative Daten ermittelt, so geschieht das in statistischer Form. Hier kann man also das Ziel formulieren, dass Statistiken der aufgel¨ osten Str¨ omung mit denen der durch die FNSG bestimmten L¨osung u ¨ bereinstimmen sollen. Dabei macht sich jedoch wiederum das Schließungsproblem bemerkbar, das in Abschnitt 5.9.1 diskutiert wird. Lesieur [327, p.381] weist darauf hin, dass diese Forderung anspruchsvoller ist als die vorherige, da in LES die Topologie koh¨ arenter Strukturen oft richtig wiedergegeben wird, auch wenn große Abweichungen in den Statistiken auftreten. In eigenen Untersuchungen an Drallstrahlen [183] wurde allerdings auch die gegenteilige Beobachtung gemacht, n¨ amlich, dass die berechneten Statistiken in etwa mit den experimentellen Daten u aumige ¨ bereinstimmten, jedoch großr¨ Wirbelstrukturen in gewissen F¨allen nicht beobachtet wurden.

145

5.9 Statistische Resultate einer LES und Modelltest

5.9

Statistische Resultate einer LES und Modelltest

5.9.1

A–posteriori–Test

Das Durchf¨ uhren einer LES bedeutet die L¨osung der LES–Gleichungen (5.13),(5.14), das ˜ ≈ u. Hierdurch wird jedoch nur ein Teil der L¨ osung u darheißt die Bestimmung von u ˜ miteinander gestellt, so dass die Frage entsteht, wie exakte L¨ osung u und LES–L¨ osung u verglichen werden k¨onnen. Soll eine LES–Methode validiert werden, so kann dies nach den Aussagen in Abschnitt 5.8.2 nur in einem statistischen Sinne geschehen. Es werden also dann die Mittelwerte der Geschwindigkeiten, die gemittelten Fluktuationen oder andere wichtige statistische Gr¨oßen miteinander verglichen. Hier taucht die Problematik auf, dass bei einer LES nur ein Teil der L¨osung explizit berechnet, ein anderer Teil jedoch modelliert wird. Es ist also zu kl¨aren, ob und inwiefern der Feinstrukturanteil der L¨ osung ber¨ ucksichtigt werden muss. Diese Frage wird hier im Sinne eines Modelltests formuliert, sie ist aber gleichbedeutend mit der Frage, was genau denn als Ergebnis der LES f¨ ur diese Gr¨ oßen anzusehen ist. F¨ ur die mittleren Str¨omungsgr¨oßen gilt
ui  =
ui  ≈
ui 

,

(5.105)

uber dem Filter. Das ist bei LES i.A. der Fall, denn wenn der Mittelwert
ui  glatt ist gegen¨ das Gitter (und somit der entsprechende Filter, auch wenn er nur hypothetischen Charakter hat) ist konzipiert, um den Großteil der Schwankungen aufzul¨ osen. Mittelwerte sind aber immer sehr viel glatter und werden daher durch den Filter nicht merklich beeinflusst. Ist
ui  aus Messungen oder DNS bekannt, so wird also ?


˜ ui  =
ui 

(5.106)

verglichen, bzw.
˜ ui  als Resultat der LES f¨ ur die mittlere Str¨ omung angesehen. F¨ ur den Druck spielen dar¨ uber hinaus weitere Aspekte der Feinstrukturmodellierung eine Rolle, die sp¨ ater diskutiert werden. Die Annahme, dass der Filter den Mittelwert nicht merklich ¨ gl¨ attet, unterscheidet sich im Ubrigen hier nicht gegen¨ uber der RANS Methodik, wo man ebenfalls davon ausgeht, dass eine f¨ ur die Mittelwerte ad¨ aquate Diskretisierungsschrittweite eingesetzt wird. Anders liegen die Dinge bei den Fluktuationen, oder Reynolds–Spannungen F¨ ur die Schwankungen u

i = ui −
ui  l¨asst sich zeigen [508, p.221]
u

i u

j 

=
ui uj  −
ui 
uj  ≈
ui uj  −
ui 
uj  =
τij  +
ui uj  −
ui 
uj  −
u
i 
uj  −
ui 
u
j  −
u
i 
u
j 

(5.107) ,

wobei wieder die Glattheit der Mittelwerte gegen¨ uber dem Gitterfilter verwendet wurde. Da die Mittelwerte der nicht aufgel¨osten Anteile
u
i  in sehr guter N¨ aherung verschwinden, fallen die letzten drei Terme weg. Mit dem Ziel τij ≈ τijmod und u˜i ≈ ui wird dann also ein

146

5 Methodische Ans¨ atze f¨ ur LES

Vergleich zwischen exakten Schwankungen und LES Resultat in der Form ?

˜j  −
˜ ui 
˜ uj  +
τijmod  =
ui uj  −
ui 
uj 
˜ ui u

(5.108)

durchgef¨ uhrt. Bei entsprechender Definition von Rij ergibt sich in kompakter Notation ?

u) +
τijmod  = Rij (u) . Rij (˜

(5.109)

Die Feinstrukturfluktuationen werden also durch die Addition des gemittelten Modellterms ber¨ ucksichtigt. Der LES–Ansatz beruht darauf, dass ein Großteil der turbulenten kinetischen Energie aufgel¨ ost und nur ein kleiner Anteil modelliert wird (siehe Abschnitt 5.1 und Abb. 5.2). Daher ist Rij 
τij  .

(5.110)

Dies motiviert, dass in den meisten Anwendungen die Addition des Feinstrukturterms unu) als Resultat der LES angesehen, bzw. terbleibt und Rij (˜ ?

Rij (˜ u) = Rij (u)

(5.111)

verglichen wird. Verf¨ ugt man u ¨ber zeitlich aufgel¨oste DNS Daten, so kann ein Vergleich ohne die obigen N¨ aherungen durchgef¨ uhrt werden, indem diese vor der Berechnung der Reynolds– Spannungen gefiltert werden, so dass der Test ?

Rij (˜ u) = Rij (u)

(5.112)

m¨ oglich ist. Hierzu werden allerdings einzelne DNS Felder der Str¨ omung ben¨ otigt. Die Kenntnis noch so vieler Einpunktmomente
ui ,
ui uj , etc. aus einer DNS bzw. einem Experiment ist dazu nicht ausreichend, da aus ihnen selbst unter der Annahme (5.105) nur
ui  und
ui uj , nicht jedoch
ui uj  bestimmt werden kann. Diese Variante ist also nur in Einzelf¨ allen und f¨ ur niedrige Reynolds–Zahlen sinnvoll und l¨ ost nicht die Frage, was denn als Ergebnis der LES bez¨ uglich der Fluktuationen anzusehen ist. Außerdem entsteht die Frage, welcher explizite Filter geeigneterweise zur Berechnung von u aus u herangezogen werden sollte. Das in diesem Abschnitt besprochene Verfahren bezeichnet man nach [466] als A–posteriori– Test. Dabei wird das endg¨ ultige Resultat einer vollst¨ andigen LES gem¨ aß (5.106) und (5.109), (5.111) oder (5.112) mit Referenzdaten verglichen. Diese Gleichungen illustrieren, dass je nach betrachteter Zielgr¨oße, hier
ui  und
ui uj , der Feinstrukturbeitrag ber¨ ucksichtigt werden muss oder in guter N¨aherung vernachl¨assigt werden kann. Ein Vergleich kann auch f¨ ur andere statistische Daten, wie zum Beispiel Turbulenzspektren oder h¨ ohere Momente ˜ einer durchgef¨ uhrt werden, wo sich diese Frage entsprechend stellt. Zum Gesamtergebnis u LES tragen verschiedene Komponenten wie Modellierungsfehler, Diskretisierungsfehler unterschiedlicher Terme und die Wahl anderer numerischer Parameter bei und lassen sich a

147

5.9 Statistische Resultate einer LES und Modelltest

posteriori nicht trennen. Die unterschiedlichen Fehler k¨ onnen sich auch gegenseitig kompensieren, was z.B. in [57] sowie in eigenen Simulationen beobachtet wurde. Wenn das Resultat unbefriedigend ist, kann daher meist keine Aussage u ur gemacht wer¨ber die Ursache daf¨ den. Aus diesem Grund werden vielfach so genannte A–priori–Tests einzelner Komponenten, insbesondere des Feinstrukturmodells, durchgef¨ uhrt, die im n¨ achsten Abschnitt besprochen werden.

5.9.2

A–priori–Test

Der A–posteriori–Test gibt, wie erw¨ahnt, keine Information u usse einzelner ¨ber die Einfl¨ Komponenten des LES–Verfahrens auf das Simulationsergebnis. Soll allein das FS–Modell untersucht werden, kann ein in [466] als A–priori–Test bezeichnetes Verfahren angewendet werden. Es wurde zuerst in [99] vorgeschlagen und ist seit dem eine weit verbreitete Methodik. Voraussetzung ist ein voll aufgel¨ostes Geschwindigkeitsfeld u, das typischerweise durch eine DNS bestimmt wird. Auch experimentelle Daten k¨ onnen eingesetzt werden und erm¨ oglichen Zugang zu h¨oheren Reynolds–Zahlen [345]. Eine Diskussion experimenteller Techniken zur Durchf¨ uhrung solcher Tests, sowie Referenzen zu entsprechender Literatur finden sich in [385, S.4]. Ausgehend von hoch aufgel¨osten Daten f¨ ur das Geschwindigkeitsfeld wird dies gem¨ aß  u = G(x − y) u(y) dy (5.113) explizit gefiltert, genauso wie die entsprechenden Produkte der Geschwindigkeitskomponenten. Der zu diesem Filter geh¨orige exakte FS–Term τij = ui uj − ui uj

(5.114)

kann also berechnet und mit den Werten verglichen werden, die das FS–Modell liefert: ?

τijmod (u) = τij (u)

.

(5.115)

Geeigneterweise wird dazu der Korrelationskoeffizient
α β γαβ = 
α2 
β 2 

(5.116)

mit α = τij und β = τijmod bestimmt. Illustrativ sind auch so genannte Scatterplots, bei denen an statistisch identischen Punkten des Str¨ omungsfeldes der modellierte gegen den exakten Wert aufgetragen wird [150]. Mit (5.115) bzw. (5.116) wird die Gleichheit komponentenweise abgefragt bzw. meist in u ¨ ber die einzelnen Komponenten gemittelter Form. Man spricht daher vom “Tensorniveau” des A–priori–Tests [99]. In der Impulsgleichung tritt ur den analog die Korrelation zwischen modelliertem und jedoch nur der Term ∂xj τij auf, f¨ exaktem Wert bestimmt werden kann. Dies wird als Vergleich auf “Vektorniveau” bezeichnet. Schließlich l¨ asst sich die Dissipation durch den Feinstrukturterm nach Gleichung (5.91) darstellen als ετ = ui ∂xj τij , so dass auch hierf¨ ur exakte und modellierte Werte verglichen werden k¨ onnen, was als “Skalarniveau” bezeichnet wird.

148

5 Methodische Ans¨ atze f¨ ur LES

DNS

LES

a

b

c

d

Abb. 5.7 Schnitte senkrecht zur Str¨ omungsrichtung in Rechnungen einer ebenen Kanalstr¨ omung bei Reτ = 590. Links: DNS von M. Uhlmann [596] unter Verwendung einer Fourier-ChebyshevFourier-Spektralmethode mit 600 × 385 × 600 Moden bei einem Rechengebiet von 2π × 2 × π in x−, y−, z−Richtung. Rechts: LES des Verfassers mit dem Finite–Volumen–Code LESOCC2 und 60×40×62 Gitterpunkten (inklusive Randpunkte) auf demselben Rechengebiet. Oben: Fluktuationen der Geschwindigkeitskomponente in Str¨ omungsrichtung, u

, unten: verwendetes Rechengitter. F¨ ur das DNS–Gitter ist dabei nur jeder vierte(!) Punkt in beiden Richtungen dargestellt. Beide Rechnungen wurden unabh¨ angig voneinander durchgef¨ uhrt, und die Zeitpunkte sind willk¨ urlich herausgegriffen. Weitere Daten der LES sind in Abb. 8.12 gezeigt.

Die in A–priori–Tests bestimmten Korrelationen sind h¨ aufig sehr niedrig, wof¨ ur im n¨ achsten Kapitel Beispiele angef¨ uhrt werden. Im Gegensatz zu den dargestellten A–priori–Resultaten liefern A–posteriori–Tests h¨aufig befriedigende Resultate f¨ ur FS–Modelle, die in A–priori– Tests nur schlecht abschneiden [488]. Sensitivit¨aten der Resultate bzgl. Parametervariationen in A–priori–Tests k¨onnen dann in A–posteriori–Tests, d.h. in tats¨ achlich durchgef¨ uhrten Rechnungen verschwinden [194]. Hierf¨ ur gibt es mehrere Gr¨ unde. Erstens wird als Qualit¨ atsmaßstab in A–posteriori–Tests h¨aufig die Berechnung statistischer Momente niedriger Ordnung verwendet, d.h. von Mittelwerten und Fluktuationen. Da die FS–Terme zu diesen nur wenig beitragen, sind die Folgen einer ungenauen Modellierung nur begrenzt. Diese Robustheit gegen¨ uber Modellierungsfehlern ist eine Folge des LES–Konzepts und belegt somit, dass der Ansatz sinnvoll und vorteilhaft ist. Zweitens werden A–priori–Tests h¨ aufig f¨ ur kleine Reynolds–Zahlen durchgef¨ uhrt, da nur in diesen F¨ allen DNS Daten verf¨ ugbar sind. Dann sind jedoch die Voraussetzungen, unter denen die FS–Modelle entwickelt wurden, oft nicht voll erf¨ ullt [473, S.601]. Andererseits werden die Modelle aber auch in LES f¨ ur diese

149

5.9 Statistische Resultate einer LES und Modelltest 25

1 20

0.75

15 0.5

10 0.25

log-law DNS: +

5 0

0

0

0

0 10

0.5

1

1 10

1

+

+ yy

2

2 10 1.5

10 2

Abb. 5.8 Diskretisierung des Geschwindigkeitsfeldes in der LES von Abb. 5.7. Dargestellt sind die Hauptstr¨ omungskomponente u (obere Kurven) und die Spannweitenkkomponente w (untere Kurven) auf beliebigen wandnormalen Gitterlinien zu einem bestimmten Zeitpunkt. D¨ unne Linien stellen momentane Werte dar, dicke Linien die entsprechenden Mittelwerte. Werte an Gitterpunkten sind durch Geradenst¨ ucke miteinander verbunden. Bild aus [169].

F¨alle eingesetzt. Drittens beeinflusst in einer LES das FS–Modell die L¨ osung im Sinne eines Filters, wie dies in Abschnitt 5.5 illustriert wurde. Es entsteht also ein Wechselspiel zwischen den aufgel¨osten und den modellierten Anteilen. Anders formuliert: der effektive Filter der LES, der eigentlich f¨ ur den A–priori–Test zu verwenden w¨ are, ist unbekannt und stellt sich je nach FS–Modell und weiteren Bedingungen, wie z.B. dem Diskretisierungsfehler, anders ein. Die Form des Filters hat jedoch Auswirkungen auf das Resultat des Tests [466], [480]. FS–Modell und aufgel¨oste Str¨omung passen sich also in einer LES aneinander an. Ist der Korrelationskoeffizient γτ ≈ 1, so handelt es sich um ein gutes Modell. Andererseits kann aus γτ < 1 nicht notwendigerweise geschlossen werden, dass das Modell unbrauchbar ist: “A bad model can produce good results because it is acting on a bad flow but is designed to compensate for it” [265]. Viertens ist festzuhalten, dass aus physikalischen Gr¨ unden nur ein sehr geringer statistischer Zusammenhang zwischen der Phase der groben und der feinen Strukturen besteht [265]. Letzterer kann also aus den aufgel¨ osten Strukturen nicht abgeleitet werden. Die Bestimmung der Interaktion erfordert aber die Kenntnis beider Anteile, so dass die Modellierung auf Tensorniveau schwer f¨ allt. Dennoch kann die Dissipation richtig modelliert werden und zu einem befriedigenden Resultat f¨ uhren. A–priori–Tests k¨ onnen also bei der Modellentwicklung wichtige Hinweise geben. Letzte Instanz bleibt jedoch der A–posteriori–Test. A–priori–Tests wurden in sehr vielen Arbeiten durchgef¨ uhrt, die hier nicht alle genannt werden k¨onnen. Neuere Arbeiten sind etwa [513], [480]. Einige zentrale Resultate solcher Tests werden im folgenden Kapitel zusammen mit den jeweiligen FS–Modellen diskutiert. Abschließend sei bemerkt, dass A–priori–Tests neben der FS–Modellierung auch in anderen

150

5 Methodische Ans¨ atze f¨ ur LES

Bereichen eingesetzt werden. Beispielsweise kann analog die Wandmodellierung untersucht werden [582]. Eine wichtige Anwendung stellt auch die Kalibrierung von RANS Modellen durch die Berechnung der zu schließenden Terme aus DNS Daten dar [502].

5.10

Modellierungsbedarf bei LES

Am Schluss dieses relativ theoretischen Kapitels soll ein illustratives Beispiel den Inhalt der nachfolgenden Kapitel motivieren. In Abschnitt 2.5 wurde die ebene Kanalstr¨ omung beschrieben. Abb. 5.7 zeigt nun Schnitte senkrecht zur Hauptstr¨ omungsrichtung durch das momentane Str¨ omungsfeld. Einander gegen¨ ubergestellt sind links eine DNS und rechts eine LES. Die physikalischen Parameter wie Gebietsgr¨ oße und Reynolds–Zahl waren in beiden Rechnungen identisch. Die DNS wurde mit ca. 140 Mio. Gitterpunkten und einem Spektralverfahren (Abschnitt 4.2.5) durchgef¨ uhrt. Die LES mit einem Finite–Volumen Code und ca. 150000 Gitterpunkten, das sind um einen Faktor von fast 1000 weniger. Es ist in der Abbildung deutlich zu erkennen, dass die LES–L¨osung nur die gr¨ oßten Wirbelstrukturen in der Str¨ omung repr¨ asentiert. Diese sind jedoch denen in der DNS sehr ¨ ahnlich. Alle im Gebietsinneren von der LES nicht aufgel¨osten Strukturen m¨ ussen hinsichtlich ihrer Wirkung durch ein FS–Modell repr¨asentiert werden. Die Konstruktion solcher FS–Modelle wird im anschließenden Kapitel besprochen. Beide Rechnungen erfolgten mit periodischen Randbedingungen in Str¨ omungs– und Spannweitenrichtung. Hierbei handelt es sich ebenfalls um eine Modellierung im Vergleich zu unendlich ausgedehnten Platten, eine sog. Super–Grid– Modellierung. Dieser Aspekt ist Thema von Kapitel 7. Schließlich f¨ allt auf, dass in Abb. 5.7 der wandnahe Bereich in der LES gar nicht fein aufgel¨ ost ist. In der Tat wurde in dieser Rechnung eine sog. Wandfunktion verwendet. Sie stellt eine zus¨ atzliche Modellierung des wandn¨ achsten Teils einer Grenzschicht bereit und wird in praktischen Anwendungen h¨ aufig eingesetzt. Die Notwendigkeit derartiger Modellierung sowie verschiedene Ans¨ atze werden in Kapitel 8 besprochen. Schließlich soll noch auf die numerische Modellierung Bezug genommen werden, die in diesem Abschnitt verschiedentlich diskutiert wurde. Abb. 5.8 zeigt die aufgel¨ oste Geschwindigkeit entlang wandnormaler Gitterlinien zu den LES Daten in Abb. 5.7. Werte an Gitterpunkten wurden dabei durch Geradenst¨ ucke verbunden. Die “Ecken” im Verlauf der momentanen Kurven machen deutlich, dass das Gitter zur Darstellung von ui , bzw. u ˜i , sehr grob ist. Es ist sofort einsichtig, dass ein Finite–Differenzen–Verfahren auf diesem Gitter Ableitungen der Geschwindigkeit nur mit großer Unsicherheit bestimmen kann. Das numerische Verfahren hat dann einen großen Einfluss auf die berechnete L¨ osung, so dass im Endeffekt bei einer LES immer bis zu einem gewissen Grad eine Mischung aus physikalischer und numerischer Modellierung entsteht.

6

Feinstrukturmodelle

6.1

¨ Einfu ¨hrende Bemerkungen und Ubersicht

6.1.1

Motivation

Das Modell f¨ ur die turbulente Feinstruktur (FS) ist einer der wesentlichen Aspekte, der LES auszeichnet und von allen anderen Verfahren zur Modellierung turbulenter Str¨ omungen unterscheidet. Daher hat sich ein Großteil der Forschung auf dem Gebiet der LES mit dieser Problematik befasst, und die Literatur hierzu wuchs und w¨ achst entsprechend explosionsartig. Herring [235] konnte 1979 den damaligen Kenntnisstand zu diesem Thema auf 6 Seiten mit insgesamt 26 Referenzen zusammenfassen. Das vorliegende Kapitel, das sich auf ¨ eine Ubersicht beschr¨ankt, zitiert circa 140 Referenzen. Dabei werden zweckm¨ aßigerweise nicht alle existierenden Varianten aufgef¨ uhrt. Ziel ist hier vielmehr, die wichtigsten Modellans¨ atze darzustellen sowie eine Struktur aufzuzeigen, die die F¨ ulle der Information gliedert. F¨ ur weitergehende Betrachtungen sei auf die entsprechenden Einzelver¨ offentlichungen ver¨ wiesen sowie auf die Ubersichtsarbeiten [385] und [508].

6.1.2

Die Rolle des Feinstrukturmodells

Das FS–Modell soll die Auswirkungen der nicht aufgel¨ osten Anteile der Str¨ omung auf die aufgel¨ osten Anteile, die Grobstruktur, repr¨asentieren. Ankn¨ upfend an Abschnitt 5.8 sei dies hier mit Hilfe von Abb. 6.1 diskutiert. Links ist das Anfangspektrum einer DNS und einer LES skizziert, rechts der zeitliche Verlauf eines Signals in der Str¨ omung, z.B. die Geschwindigkeit an einem Gitterpunkt. Dabei wird angenommen, dass verschiedene Rechnungen durchgef¨ uhrt werden mit Anfangsbedingungen, die sich nur im FS–Anteil, d.h. f¨ ur k > k∆ , unterscheiden. Eine DNS liefert f¨ ur jeden dieser F¨ alle eine andere Trajektorie (deren statistische Abweichung oben diskutiert wurde). Wird die DNS–L¨ osung nachtr¨ aglich gefiltert, bleiben die Signale unterschiedlich und werden nur gegl¨ attet. Eine LES mit einer gefilterten Anfangsbedingung erzeugt eine einzige L¨osung, wenn das FS–Modell deterministisch vom aufgel¨ osten Geschwindigkeitsfeld abh¨angt. Besitzt das FS–Modell eine stochastische Komponente, so erh¨alt man, ausgehend von derselben Anfangsbedingung, jeweils unterschiedliche L¨ osungen. Die heute verwendeten FS–Modelle sind zum u ¨ berwiegenden Teil deterministisch. Es wird aber sofort verst¨andlich, dass auch stochastische Modelle ihre Berechtigung haben. Ziel bei einer LES ist, wie in Abschnitt 5.8 diskutiert, dass die generierte L¨ osung die gew¨ unschten statistischen Eigenschaften besitzt. In dreidimensionaler Turbulenz wird im statistischen Mittel die turbulente kinetische Energie von groben zu feinen Skalen transferiert und in Strukturen von der Gr¨ oße der Kolmogorov–L¨ ange dissipiert. Daher ist die vornehmliche Aufgabe des FS–Modells, das richtige

152

u(t)

6 Feinstrukturmodelle

u(t)

t

log E

t

EDNS

u(t)

ELES

k6

log k

u(t)

t

t

Abb. 6.1 Schematische Darstellung der Feinstrukturmodellierung. Links: Skizze von DNS– und LES–Spektrum mit idealem Tiefpassfilter. Rechts: Geschwindigkeitsverlauf an einem Punkt in Abh¨ angigkeit von der Zeit f¨ ur Rechnungen mit identischem GS–Anteil der Anfangsbedingung. Von oben nach unten: DNS, gefilterte DNS, LES mit deterministischem FS–Modell, LES mit stochastischem FS–Modell. Abbildung nach [473, p.613].

Maß an Dissipation bereitzustellen, damit genauso viel Energie dissipiert wird, wie bei einer DNS derselben Konfiguration. Die Energiekaskade ist jedoch ein statistischer Prozess. Lokal und momentan kann der Austausch in entgegengesetzter Richtung stattfinden (Backscatter). Wenn die Gitter– bzw. Filterskala viel kleiner als die energietragenden Skalen der Str¨omung ist, kann selbst ein einfaches Modell die Anspr¨ uche erf¨ ullen. Erstens ist die Kopplung zwischen Anteilen der Str¨omung umso schw¨acher, je gr¨oßer der Abstand in der Wellenzahl ist. Zweitens, und teilweise als Folge dieser Tatsache, weisen die feinen Skalen eine gr¨oßere Universalit¨at auf als die groben, so dass ein einfaches Modell ausreichen kann. Ist auf der anderen Seite der Filter grober, so dass die Grenzwellenzahl nahe an die energiereichen, anisotropen Skalen heranreicht (siehe Abb. 6.2), werden FS–Modelle h¨oherer Qualit¨at ben¨otigt. Liegt die Grenzwellenzahl innerhalb der energiereichsten Strukturen, spricht man auch von VLES (engl.: “Very Large Eddy Simulation”). Auf diesem Hintergrund existieren zwei Strategien, um eine LES zu verbessern. Zum einen kann man versuchen, das FS–Modell zu verbessern, zum anderen kann das Gitter verfeinert werden. Im Grenzfall verschwindet der FS–Beitrag, und man erh¨alt eine DNS. Dieses Vorgehen findet jedoch schnell seine Gren-

¨ 6.1 Einf¨ uhrende Bemerkungen und Ubersicht

153

zen aufgrund des starken Anwachsens von Rechenzeit und Speicherbedarf (illustriert z.B. in [199]). Wird andererseits f¨ ur ein komplexeres FS–Modell etwa das L¨ osen einer zus¨ atzlichen Transportgleichung notwendig, so ist dies nur mit einem Mehraufwand von 10–20% verbunden, also vergleichsweise kostenarm. An dieser Stelle ist ein Caveat angebracht. Schemazeichnungen wie in Abb. 6.2 und weiter unten, bei denen die Trennung in FS und GS durch einen vertikalen Schnitt im Spektrum dargestellt wird, sind mehr oder weniger symbolisch zu verstehen. Auch wenn ein idealer Tiefpass verwendet wird und eine Spektralmethode zur L¨ osung der LESG, entspricht das berechnete Spektrum i.A. nicht einfach dem linken Teil des DNS Spektrums mit Null f¨ ur h¨ ohere Wellenzahlen. Statt dessen bewirken Modellierungs– und Diskretisierungsfehler einen glatteren Verlauf des a posteriori berechneten Spektrums (s. Abb. 6.3 und 9.45). Selbst wenn das Spektrum die gew¨ unschte Form haben sollte, ist dabei die Phase der Fourier–Koeffizienten und damit die r¨ aumliche Struktur der L¨osung nicht sichtbar. Sie muss demzufolge nicht mit derjenigen einer gefilterten DNS u ¨ bereinstimmen.

a

b

E

E

k

k

Abb. 6.2 a) Schematische Darstellung der Position der Grenzfrequenz bei LES und b) VLES.

6.1.3

¨ Ubersicht

In diesem Kapitel sollen verschiedene Modellans¨atze τijmod f¨ ur den FS-Beitrag τij = ui uj − ui uj

(6.1)

in der Impulsgleichung ∂t ui + ∂xj (ui uj ) + ∂xi p = ∂xj (2νS ij ) − ∂xj τij

(6.2)

diskutiert werden. Das geschieht mit Hilfe des Filteransatzes, wobei die abh¨angigen Variaucksichtigt blen mit ui etc. bezeichnet werden. Der Diskretisierungsfehler soll hier nicht ber¨ werden. Weiterhin gehen wir davon aus, dass Filter und Ableitungen vertauschbar sind, so dass keine zus¨atzlichen Kommutatorterme entstehen. In praktischen Rechnungen, z.B. mit variabler Gitterschrittweite, werden diese Anteile nahezu immer vernachl¨assigt.

154

6 Feinstrukturmodelle

Feinstrukturmodelle k¨onnen auf verschiedene Weise klassifiziert werden. Die Einteilung in deterministische und stochastische Modellierung wurde bereits erw¨ ahnt. Weiterhin kann man die Modelle danach unterscheiden, ob ein Wirbelviskosit¨ atsansatz gemacht wird, was dann im zweiten Schritt nur noch die Bestimmung der skalaren Wirbelviskosit¨ at erfordert, oder ob ein Modell f¨ ur den Tensor τij insgesamt bereitgestellt wird. Den ersten Ansatz kann man gem¨ aß der Terminologie bei A–priori–Tests als Modellierung auf Skalarniveau bezeichnen, den zweiten als Modellierung auf Tensorniveau. Zahlreiche Modelle, insbesondere in fr¨ uheren Arbeiten, basieren auf der formalen Analogie der unbekannten Feinstrukturspannungen bei LES mit den unbekannten Reynolds– Spannungen bei der statistischen Turbulenzmodellierung. Vorgehensweisen aus der RANS– Modellierung k¨ onnen daher auf LES u achst ¨bertragen werden. Diese Modelle werden zun¨ besprochen. Sp¨ ater wurde in der Literatur mehr und mehr der Multiskalencharakter der Turbulenz ber¨ ucksichtigt. Er motiviert, die aufgel¨ oste Bewegung selbst noch einmal in Anteile auf gr¨ oßeren und feineren Skalen zu unterteilen. Solche Modelle kommen in Abschnitt 6.5 zur Sprache. Eine dritte Klasse von Modellen in Abschnitt 6.7 basiert auf der Idee, eine Sch¨ atzung f¨ ur den nicht aufgel¨osten Anteil des Geschwindigkeitsfeldes bereitzustellen und das so rekonstruierte Gesamtfeld in die Definition (6.1) einzusetzen. Als Grundlage der Modellierung k¨onnen verschiedene Sachverhalte dienen [193]: einerseits k¨ onnen bekannte Eigenschaften der Turbulenz einfließen, d.h. im Allgemeinen statistische Informationen, beispielsweise das Energiespektrum. Andererseits k¨ onnen formale Eigenschaften wie Tensorinvarianzen, Filtereigenschaften oder die weiter unten definierte Germano–Identit¨ at eingesetzt werden. Basierend auf den genannten Einzelelementen ist eine ¨ große Zahl von Kombinationen und Varianten m¨ oglich. Eine systematische Ubersicht ist nach der Vorstellung der einzelnen Modelle am Ende des Kapitels zu finden.

6.2

Feinstrukturmodelle in der RANS–Tradition

6.2.1

Ansatz

In Abschnitt 5.1 wurde dargestellt, dass das FS–Modell den hochfrequenten, feinskaligen, nichtaufgel¨ osten Anteil der Str¨omung repr¨asentieren muss, und zwar hinsichtlich seiner Wirkung auf die aufgel¨osten Anteile. Im Gegensatz zur RANS–Modellierung handelt es sich nur um einen Teil des Spektrums, und es wurde festgestellt, dass dies geringere Anforderungen stellt als die Modellierung des vollst¨andigen Spektrums. Aufgrund der vielf¨ altigen ¨ Entwicklungen bei RANS–Modellen bietet sich eine Ubertragung dieser in Abschnitt 3.2 dargestellten Ans¨ atze auf die Feinstrukturmodellierung an. Prinzipiell erscheinen also algebraische Modelle, Ein– und Zweigleichungsmodelle sowie Reynolds–Spannungsmodelle f¨ ur die FS–Modellierung m¨ oglich. Zur Charakterisierung der nichtaufgel¨ osten Turbulenz liegt jedoch mit der Filterskala ∆ bereits ein geeigneter L¨ angenmaßstab vor [340]. In der Tat sind die energiereichsten Anteile der Feinstrukturspannungen diejenigen mit einer Wellenzahl nahe der Filterwellenzahl (siehe z.B. Abb. 6.2). Außerdem findet der Großteil des Austausches zwischen den Skalen [∆/2; ∆] und [∆; 2∆] statt [128]. Da also mit ∆ eine charakteristische L¨ange vorliegt, ist es nicht mehr n¨ otig, einen solchen L¨ angenmaßstab durch ein Turbulenzmodell zu bestimmen. Zweigleichungsmodelle, bei de-

6.2 Feinstrukturmodelle in der RANS–Tradition

155

nen ja eine der beiden zus¨atzlichen Transportgleichungen diese Aufgabe hat, werden daher zur FS–Modellierung i.A. nicht verwendet. Im Folgenden sollen einige Modelle beschrieben werden, die aus der RANS–Perspektive entwickelt wurden. Sie stellen, besonders mit dem Wirbelviskosit¨ atsansatz, die wichtigste Klasse der FS–Modelle dar. Zur Modellentwicklung wird h¨ aufig auch das Turbulenzspektrum, insbesondere f¨ ur den Inertialbereich, herangezogen. Solche Argumente treffen f¨ ur LES wesentlich besser zu als f¨ ur RANS–Modellierungen, da sie im Innern der Str¨ omung unabh¨ angig von der Struktur der groben Skalen prinzipiell f¨ ur hohe Reynoldszahlen zutreffen, sofern die Filterweite im Interialbereich liegt.

6.2.2

Das Smagorinsky–Modell

Das Smagorinsky–Modell (SM) [547] basiert auf zwei Schritten, dem Boussinesq–Ansatz und einer Formel f¨ ur die darin enthaltene Wirbelviskosit¨ at. Zun¨ achst wird also der Ansatz τija,mod = −νt 2S ij

(6.3)

verwendet, um den anisotropen Anteil des FS–Terms τija = τij − δij τkk /3 durch den Deformationsgeschwindigkeitstensor (hier kurz als Deformationstensor bezeichnet) auszudr¨ ucken. Hintergrund ist, wie bei der RANS–Modellierung, dass aus der Kontinuit¨ atsgleichung ∂xi ui = 0 auch S ii = 0 und somit die Spurfreiheit der rechten Seite in (6.3) folgt. Der nicht modellierte Anteil in 1 τij = τija + δij τkk 3

(6.4)

kann in der Impulsgleichung (6.2) mit dem durch die Dichte dividierten Druck zu einem Pseudo–Druck Π = p + τkk /3 zusammengefasst werden, der meist auch wieder mit p notiert wird. Bei der Auswertung von Simulationsergebnissen ist es dennoch m¨ oglich, z.B. die Druckverteilung auf einem K¨orper richtig wiederzugeben, da auf der Oberfl¨ ache wegen der Haftbedingung τij = 0 gilt. Wie oben in Abschnitt 3.2.3 erf¨ ullt die Wirbelviskosit¨ at νt aus Dimensionsgr¨ unden die Beziehung νt = lFS qFS

,

(6.5)

angen– bzw. Geschwindigkeitsmaßstab der wobei lFS und qFS einen charakteristischen L¨ Feinstruktur darstellen. F¨ ur letzteren kann q = lFS |S| gew¨ ahlt werden. Die Norm des FS 

ur die L¨ angenskala bietet sich die Filterweite Tensors ist hier definiert als |S| = 2S ij S ij . F¨ an, lFS = ∆, bzw. mit einer Modellkonstante lFS = CS ∆. Das ergibt νt = (CS ∆)2 |S|

(6.6)

und somit τija,SM = −2(CS ∆)2 |S| S ij

.

(6.7)

156

6 Feinstrukturmodelle

Zur Motivation dieses Modells k¨onnen verschiedene Begr¨ undungen herangezogen werden [150, Kap.4.2]. Beispielsweise kann der Ansatz als Verallgemeinerung des Prandtlschen Mischungsweges (3.7) gesehen werden [327, S.383]. Eine andere Herleitung geschieht u ¨ ber die Annahme des lokalen Gleichgewichts von Produktion und Dissipation [340], [456]. Diese Hypothese wird hier nur auf die feinen Skalen angewendet, nicht auf das gesamte Spektrum. Sie bedeutet in der Transportgleichung (5.92) f¨ ur Kτ = τkk /2 den Wegfall aller Zeit– und Ortsableitungen und damit das Gleichgewicht PFS = εFS

.

(6.8)

In der Tat passen sich die feinen Skalen wegen ihrer k¨ urzeren charakteristischen Zeit schneller an ver¨ anderte Bedingungen an als die groben Skalen, was z.B. in [463] nachgewiesen 3 wurde. Mit PFS = −τij S ij , und εFS = ε = qFS /lFS und durch Einsetzen der angegebenen a,mod entsteht (6.6). Das Vorgehen auf diese Art ist m¨ oglich, Ausdr¨ ucke f¨ ur qFS , lFS und τ da die nicht modellierte Spur τkk in (6.4) keinen Beitrag zu PFS liefert. Der Wert der Konstanten CS kann mit Hilfe der Theorie isotroper Turbulenz bestimmt werden [340]. Die mittlere Dissipation
ε ergibt sich einerseits als
ε = 2ν
S ij Sij  und andererseits aus dem isotropen, dreidimensionalen Spektrum analog zu (2.52), hier jedoch ∞ f¨ ur kontinuierliche Wellenzahl,
ε = 2 0 νk 2 E(k)dk, wobei hier zur Verdeutlichung der Mittelwert explizit notiert wurde. Gleichsetzen beider Ausdr¨ ucke liefert unter Einbeziehung des Filters  ∞  2 ˆ k 2 G(k) E(k) dk . (6.9)
|S|2  = 2 0

In diese Gleichung sind nun ein Ausdruck f¨ ur das Spektrum und ein Filter G einzusetzen. F¨ ur hohe Reynolds–Zahlen gilt
ε ≈
ετ  = −
τija S ij , wobei f¨ ur τija das Modell eingesetzt wird. Mit dem Kolmogorov–Spektrum (2.53), dem Fourier–Filter aus Tabelle 5.2 und der N¨ aherung
|S|3 2/3 ≈
|S|2 , f¨ ur die in [84] ein Fehler von nur 20% angegeben wird, ergibt sich 3/4  1 2 CS = . (6.10) π 3CK Mit CK = 1,5 liefert dies CS = 0,18, wobei in der Literatur gelegentlich auch andere Werte f¨ ur CK verwendet werden. Leslie und Quarini [332] haben unterschiedliche Filter untersucht und ¨ ahnliche Werte gefunden. Wichtig ist hierbei, dass CS in (6.10) nicht von ∆ bzw. ∆/η abh¨ angt. Das Modell ist also im Inertialbereich skaleninvariant. Das ist ein wichtiges Resultat, denn i.A. kann CS eine Funktion von ∆/η, d.h. abh¨ angig von der Aufl¨ osung oder der Reynolds–Zahl sein [150]. In [610] und [473] wurden Situationen mit ∆ im viskosen Bereich, also mit einem anderen Spektrum, betrachtet, f¨ ur die dies zutrifft und die weiter unten diskutiert werden. Eine zweite M¨ oglichkeit zur Bestimmung von CS ergibt sich durch A–priori–Tests . Clark et al. [99] fanden auf diese Weise CS = 0,18, was mit dem obigen Wert u ¨bereinstimmt. Eine dritte M¨ oglichkeit bieten schließlich A–posteriori–Vergleiche. Sie wurden mit abklingender ¨ isotroper Turbulenz durchgef¨ uhrt und ergaben in [307] CS = 0,206. Ahnliche Rechnungen omungen wird in [539], [18] lieferten Werte im Bereich CS = 0,19 . . . 0,24 [503]. In Scherstr¨

6.2 Feinstrukturmodelle in der RANS–Tradition

157

die Konstante i.A. reduziert, etwa auf CS = 0,1 [118], [466] oder CS = 0,065 [404]. 1 Canuto und Cheng [75, Gl.(12a)] ber¨ ucksichtigten das in einer Scherstr¨ omung ver¨ anderte Spektrum, was auf einen Ausdruck f¨ uhrt, in dem CS mit der Scherrate abnimmt und somit die Re¨ duktion der Konstanten theoretisch rechtfertigt. Ubersichten u ¨ ber verschiedene Werte, die in der Literatur f¨ ur die Konstante angegeben werden, geben z.B. Schumann [531] und Smagorinsky [548]. Da CS in (6.6) quadriert wird, entspricht eine Reduktion von 0,24 auf 0,1 der Reduktion des Vorfaktors in dieser Gleichung um den Faktor 5,8. Der heute am meisten verwendete Wert f¨ ur allgemeine, komplexe Str¨omungen ist CS = 0,1. A–priori–Tests f¨ ur das SM liefern durchweg niedrige Korrelationen. Zum Beispiel wurde in [99] f¨ ur die Korrelation auf Tensorniveau γτ = 0.35 bestimmt. Noch niedrigere Werte finden sich in [480]. Da sich Modellkonstanten der Art τ mod = C · . . . bei der Berechnung der Korrelation nach (5.116) herausk¨ urzen, ist dieses Verhalten von der Wahl der Konstanten unabh¨ angig. Das schlechte Abschneiden r¨ uhrt also daher, dass die Tensoren τija und S ij nicht kollinear sind, wie dies durch den Wirbelviskosit¨ atsansatz postuliert wird. Dadurch werden die Feinstrukturspannungen i.A. zu niedrig wiedergegeben. Andererseits ist die Korrelation auf Skalarniveau mit γε = 0.7 deutlich besser [99]. Das Modell stellt also die lokale Dissipation in etwa richtig dar. Soll nur die St¨arke der Dissipation richtig wiedergegeben werden, ist dies, anders als bei Vektor– oder Tensorniveau durch die Optimierung der Modellkonstante m¨ oglich. Die einzelnen FS–Spannungen werden dadurch jedoch u atzt, ¨bersch¨ so dass es nicht m¨oglich ist, beiden Anspr¨ uchen gleichzeitig zu gen¨ ugen [265]. In diesem Zusammenhang ist zu erw¨ahnen, dass eine konstante Wirbelviskosit¨ at νt = C in [99] auf Tensor–, Vektor– und Skalarniveau nahezu dieselben Korrelationen liefert wie (6.6). Allerdings wurde in dieser Arbeit der Test nur f¨ ur die Modellierung der Feinstruktur ohne den Leonard–Term durchgef¨ uhrt. Da νt nach (6.6) stets positiv ist, ist das Smagorinsky–Modell rein dissipativ, denn ετ = τija,mod S ij = νt |S| ≥ 0

.

(6.11)

Dies widerspricht dem Verhalten der meisten Str¨ omungen, wo lokal und momentan so genannter Backscatter auftritt, d.h. Energietransport von den feinen zu den groben Skalen (s. Abschnitt 2.4.4). Das Modell kann lediglich einen positiven Mittelwert der Dissipation korrekt wiedergeben. Ein anderes Problem stellen laminare Str¨ omungen dar. Hier ist durch den station¨ aren Anteil ebenfalls |S| > 0, so dass die Wirbelviskosit¨ at nicht verschwindet, obwohl keine turbulenten Schwankungen auftreten. Insbesondere nahe einer festen Wand herrschen in der viskosen Unterschicht laminare Verh¨altnisse, so dass hier νt ged¨ ampft werden muss. Diese Aspekte werden weiter unten besprochen. Viele Autoren sehen die Wahl von CS als Suche nach der “richtigen” Konstante [548], fast im Sinne einer Naturkonstanten. Die Argumentation von Jim´enez und Moser [265] legt dagegen ein sich einstellendes Gleichgewicht zwischen den feinen aufgel¨ osten Strukturen und der durch das Modell erzeugten Dissipation nahe. Abb. 6.3 und Abb. 6.4 illustrieren am Beispiel abklingender isotroper Turbulenz, was bei unterschiedlicher Wahl der Konstanten geschieht. F¨ ur CS = 0,22 wird mit dem dort verwendeten numerischen Verfahren (versetzte 1 Die Gitterschrittweite ging dabei in zwei Raumrichtungen mit dem Faktor 2 ein, so dass der effektive Wert der Konstanten der Wahl CS = 0.1 in [118] entspricht [404].

158

6 Feinstrukturmodelle Exp. t=42 Exp. t=98 Exp. t=171 nt= 0 t= .0 nt= 9 t= .9 nt= 20 t= 2.0

0.07 0.06 0.05 0.04

Exp. t=42 Exp. t=98 Exp. t=171 nt= 0 t= .0 nt= 9 t= .9 nt= 20 t= 2.0

0.07 0.06 0.05 0.04

0.03

0.03

0.02

0.02

0.02

0.01

0.01

0.01

E

E

E

0.03

a

b 10

k

20

30

Exp. t=42 Exp. t=98 Exp. t=171 nt= 0 t= .0 nt= 9 t= .9 nt= 20 t= 2.0

0.07 0.06 0.05 0.04

c

40 50

10

k

20

30

40 50

10

20

30

40 50

k

Abb. 6.3 Dreidimensionale Spektren berechnet aus LES abklingender isotroper Turbulenz mit N 3 = 323 Gitterpunkten. FS–Modellierung mit dem Smagorinsky–Modell und verschiedenen Werten der Konstanten: a) Cs = 0,11, b) Cs = 0,22, c) Cs = 0,44 (−−−−− t = 0, − − − t = 0.9, − · − · − t=2.0). Symbole kennzeichnen die experimentellen Werte von Comte–Bellot und Corrsin [106] zu denselben Zeitpunkten, an denen die berechneten Spektren ausgegeben wurden.

zentrale Differenzen zweiter Ordnung mit Energieerhaltungseigenschaft und Runge–Kutta– Verfahren dritter Ordnung f¨ ur inkompressibles Fluid) das experimentelle Spektrum recht gut getroffen. Der in Abb. 6.4 dargestellte Verlauf der kinetischen Energie folgt dem zeitlichen Verlauf des Experiments sehr gut. F¨ ur einen h¨oheren Wert der Konstanten wird die durch das FS–Modell eingef¨ uhrte Dissipation st¨arker und das Spektrum entsprechend deutlich ged¨ampft, Abb. 6.3c. Bei kleineren Werten der Konstante wird die kinetische Energie durch die Vorw¨artskaskade zu h¨oheren Wellenzahlen transportiert, dort aber zun¨achst nicht in gleichem Maße dissipiert, Abb. 6.3a. Dies geschieht erst, wenn die feinen aufgel¨osten Skalen st¨arker geworden sind, wodurch |S| w¨achst. Man gewinnt also den Eindruck eines “Energiestaus” (engl. “energy pile–up”) an der Grenzwellenzahl. Dies ist solange noch tolerierbar, wie die groben, energietragenden Skalen in ihrer Dynamik nicht beeinflusst werden. Bei den dreidimensionalen Spektren in Abb. 6.3 ist u ¨ brigens zu beachten, dass mit einem Gitter von 323 Punkten nur Wellenzahlen bis |k| = kmax,1d = 16 vollst¨andig aufgel¨ost werden, w¨ahrend gr¨oßere Wellenzahlen bis |k| = kmax,3d = 27,7 auftreten k¨onnen, aber unvollst¨andig aufgel¨ost sind (s. Abschnitt A.1.9). Ein Vorteil des Smagorinsky–Modells ist zun¨achst seine Einfachheit. Ausgehend von einem Code zur L¨osung der instation¨aren, dreidimensionalen NSG ist lediglich eine variable Viskosit¨at vonn¨oten, um LES betreiben zu k¨onnen. 2 Weiterhin ist das Modell ausgesprochen robust, was vor allem f¨ ur sehr komplexe Str¨omungen mit eventuell stark verzerrten Gittern vorteilhaft ist. Nachteile des SM liegen zun¨achst im Wirbelviskosit¨atsansatz begr¨ undet. Die isotrope Viskosit¨at d¨ampft Schwankungen in allen Richtungen gleichermaßen, auch wenn diese Skalen noch eine gewisse Anisotropie aufweisen. Anders formuliert, die Tensoren τij und S ij sind nur schwach miteinander korreliert. Ein zweiter Aspekt ist die Bestimmung von νt selbst. Sie erfolgt isotrop durch die Norm von S. Zus¨atzliche Unsicherheit entsteht durch die Wahl der Konstanten, die h¨aufig je nach Str¨omung anders gew¨ahlt wird, um des 2 Dass die Verh¨ altnisse tats¨ achlich weit komplizierter sind und spezielles Know–how erforderlich ist, wird sicherlich im Verlauf der vorliegenden Arbeit deutlich.

159

6.2 Feinstrukturmodelle in der RANS–Tradition

Resultat zu verbessern. Cs=0.11 Cs=0.11 Cs=0.22 Cs=0.22 Cs=0.44 Cs=0.44 Exp. N32 Exp. N32

0.7

0.6

0.5

0.4

E

Abb. 6.4 Zeitlicher Verlauf der Gesamtenergie in den Rechnungen von Abb. 6.3 f¨ ur Cs = 0,11 (− · −), Cs = 0,22 (—–), Cs = 0,44 (−−). Symbole kennzeichnen die experimentellen Werte aus [106].

0.3

0.2

0.1

0

50

100

150

t

Bei kleinen Reynolds–Zahlen, bzw. einer Aufl¨osung, die die Filterl¨ ange im Dissipationsbereich platziert, wird u at ν durch Bilden der Summe ¨ blicherweise die laminare Viskosit¨ νt = νSM + ν

(6.12)

at des Smagorinsky– ber¨ ucksichtigt. Dabei ist νSM die nach (6.6) bestimmte Wirbelviskosit¨ Modells. Dieses, allgemein auch f¨ ur andere Wirbelviskosit¨ atsmodelle verwendete Verfahren u ur hohe Reynolds–Zahlen ¨ bergeht die Tatsache, dass νSM aufgrund von Betrachtungen f¨ hergeleitet wurden. Voke [610] schl¨agt daher eine Variante f¨ ur kleine Reynolds–Zahlen vor. Hierbei wird in (6.9) nicht mehr das Kolmogorov–Spektrum, sondern eine andere N¨ aherung f¨ ur das Spektrum E(k) im Dissipationsbereich eingesetzt. Zusammen mit dem idealen Tiefpass f¨ uhrt dies auf den Vorschlag  νSM νt = νSM − βν 1 − e− βν , (6.13) wobei der Parameter zu β = 2/9 gew¨ahlt wird. Eine Anwendung auf Bypass–Transition findet sich in [612]. Pope [473, S.595] vertritt allerdings die Auffassung, dass das Verhalten im Grenzwert νSM → 0 nur untergeordnete Bedeutung hat, da hier die laminare Viskosit¨ at dominiert.

6.2.3

Wahl der L¨angenskala

Bei der Definition der Wirbelviskosit¨at geht die L¨ angenskala ein, die die Breite des LES– Filters charakterisiert. Der Filteransatz ist unabh¨ angig davon, welches Gitter zur L¨ osung der LESG eingesetzt wird. Aus Effizienzgr¨ unden wird dabei das Gitter so grob wie m¨ oglich gew¨ ahlt, in vielen Anwendungen zu ∆ = ∆x , wobei ∆x die Schrittweite des numerischen Gitters darstellt (dieser Aspekt wird an anderer Stelle noch eingehender diskutiert). Man spricht daher auch vom “Gitterfilter”. Aus physikalischen Gr¨ unden besteht bei einer LES stets der Wunsch, mit einem uniformen isotropen Gitter zu arbeiten. Es l¨asst sich methodisch am besten rechtfertigen. Anisotrope

160

6 Feinstrukturmodelle

100

Delta

10

dvol(x) dgeo(x) dmax(x) dsco(x)

1

0.1 0.01

0.1

1

10

100

dz Abb. 6.5 Berechnung der Filterweite ∆ mit den im Text genannten Beziehungen (6.14) (——–), (6.15) (– – –), (6.16) (- - - - ) und (6.17) (· · · · ·). Die Schrittweiten ∆x und ∆y wurden auf 1 ur ∆z < 1 ergeben sich flache Zellen, f¨ ur ∆z > 1 lange, nadelf¨ ormige normiert und ∆z variiert. F¨ Zellen, so dass beide Grenzf¨ alle abgedeckt sind.

und inhomogene Gitter sind jedoch aus geometrischen Gr¨ unden in den allermeisten F¨ allen nicht zu umgehen. Bei anisotropen Gittern ist nun eine einzige Referenzl¨ ange geeignet zu definieren. Hierf¨ ur gibt es verschiedene Vorschl¨ age. Deardorff [119] verwendete 1/3

∆ = (∆x ∆y ∆z )

1/3

= (V ol)

.

(6.14)

In [99] wurde das geometrische Mittel ∆=

1/2 1
2 ∆x + ∆2y + ∆2z 3

(6.15)

gew¨ ahlt. Der Gedanke, dass dreidimensionale isotrope Bewegung die Aufl¨ osung in allen drei Richtungen erfordert und Wirbel zerst¨ ort werden, sobald sie in einer einzigen Richtung nicht mehr aufgel¨ ost werden, motiviert [554] ∆ = max{∆x , ∆y , ∆z }

.

(6.16)

Diese Formeln gelten zun¨ achst f¨ ur kartesische Gitter. ur den Fall In Abb. 6.5 sind die Resultate dieser Beziehungen in Abh¨ angigkeit von ∆z f¨ ∆x = ∆y = 1 dargestellt. Der Grenzfall ∆z → 0 erzeugt scheibenf¨ ormige Zellen, der ormige Zellen. Dar¨ uber, welcher dieser Ans¨ atze zu bevorzugen Grenzfall ∆z → ∞ nadelf¨ ist, gehen die Meinungen in der Literatur auseinander. Die A–priori–Tests in [99] liefern bessere Korrelationen f¨ ur (6.15) als f¨ ur (6.14). Scotti et al. [536] fanden, dass (6.14) bessere Resultate liefert. In dieser Arbeit wird eine weitere Formel vorgeschlagen, die auf ∆ = f (a1 , a2 ) (∆x ∆y ∆z )1/3

(6.17)

161

6.2 Feinstrukturmodelle in der RANS–Tradition

mit ! f (a1 , a2 ) = cosh

# 4 " 2 log (a1 ) − log(a1 ) log(a2 ) + log2 (a2 ) 27

$ (6.18)

f¨ uhrt. Darin sind a1 = ∆x /∆z und a2 = ∆y /∆z die Seitenverh¨ altnisse der Gitterzellen. Die genannten Ausdr¨ ucke lassen sich verallgemeinern auf krummlinige Finite–Differenzen– Gitter oder Finite–Volumen–Gitter, sofern sie hexaederf¨ ormige Zellen besitzen. Bei Gitterzellen beliebiger Struktur, wie sie oft in unstrukturierten Verfahren auftreten, bietet sich die Definition u ¨ ber das Volumen (6.14) an, da sie sehr leicht zu verallgemeinern ist. In diesem Bereich liegen jedoch bisher nur wenige Untersuchungen vor.

6.2.4

Verallgemeinerungen des Smagorinsky Modells

Ausgehend vom Boussinesq–Ansatz (6.3) zusammen mit (6.6) gibt es sehr viele Vorschl¨ age, durch Erweiterung oder Modifikation algebraische Modelle zu gewinnen, die besser an verschiedene physikalische oder numerische Bedingungen angepasst sind. Dabei sollen Einfachheit und Robustheit m¨oglichst erhalten bleiben. ahlen sondern durch ein Zum einen kann man versuchen, den Parameter CS nicht fix zu w¨ Submodell zu bestimmen. Die weiter unten in Abschnitt 6.5.4 geschilderte dynamische Prozedur beruht auf dieser Idee. Ein anderer Ansatz dieses Typs wurde von Yoshizawa [653] vorgeschlagen. Hier werden die bei der Gleichgewichtshypothese vernachl¨ assigten Transporteffekte durch einen konvektiven Zusatzterm ber¨ ucksichtigt. Der Parameter wird CS dabei durch   CA CS = CS0 1 + Dt |S| (6.19) |S|2 bestimmt, worin CS0 = 0,16 sein Referenzwert ist, CA = 0,64 eine Modellkonstante und Dt |S| die substantielle Ableitung von |S|. Zweitens kann der “Sensor” |S| in (6.6) durch eine andere Str¨ omungsgr¨ oße ersetzt werden. In [359] und [99] wurde beispielsweise der Betrag des Wirbelst¨ arkenvektors verwendet. Dieses Modell konnte sich allerdings nicht durchsetzen. Es gibt zahlreiche weitere Modelle dieses Typs, die erfolgreicher sind, aber aus Gr¨ unden der Systematik erst in den folgenden Abschnitten dargestellt werden. Nach wie vor ist der Ansatz einer skalaren Wirbelviskosit¨ at trotz seiner isotropen Wirkung eine wichtige Komponente in vielen aktuellen Modellen. Ein dritter Weg ist die Verallgemeinerung von einer skalaren Wirbelviskosit¨ at zu einem Wirbelviskosit¨ atstensor. Hierf¨ ur kann man zwei Motivationen unterscheiden [508]: a) isotrope Str¨omung und anisotropes Gitter b) anisotrope Str¨omung und isotropes Gitter. In der Praxis ist man oft nicht frei in der Wahl des Gitters, was zu unterschiedlichen Isotropieeigenschaften von Gitter und Str¨omung f¨ uhrt. Meist werden f¨ ur anisotrope Str¨ omungen auch ganz bewusst anisotrope Gitter verwendet, wof¨ ur es wegen des großen Reichtums verschiedener Situationen bisher keine eindeutigen Empfehlungen gibt. Die im Folgenden diskutierten Grenzf¨alle k¨onnen jedoch zur Orientierung und Modellentwicklung dienen.

162

6 Feinstrukturmodelle

Bei isotroper Turbulenz und anisotropen Gittern muss zun¨ achst die im FS–Modell verwendete L¨ angenskala entsprechend berechnet werden, wie dies im vorigen Abschnitt geschildert wurde, ohne dass sich ansonsten das Modell ¨andert. Einen Schritt weiter geht man, wenn das Modell selbst in seiner Struktur die Anisotropie ber¨ ucksichtigt. Bardina et al. [25] machten den Vorschlag, das SM (6.7) durch zus¨atzliche Terme zu erweitern, die den unterschiedlichen Gitterschrittweiten Rechnung tragen: 
τija,mod = C∆2 |S| S ij + αrik S kj + βrik rjl S kl (6.20) mit rij = 2/3 diag{(∆x/∆)2 ; (∆y /∆)2 ; (∆z /∆)2 } und ∆2 = (∆2x + ∆2y + ∆2z ). Die Konstanten C, α, β sind Modellparameter. Ein anderer Vorschlag in [654] basiert darauf, den skalaren Wirbelviskosit¨atskoeffizienten durch einen diagonalen Tensor (νt )i zu ersetzen, wobei Gr¨ oßenordnungsbetrachtungen auf 2/9

(νt )i = C (∆1 ∆2 ∆3 )

3/3

∆i

|S|3

(6.21)

f¨ uhren. Diese Modelle haben jedoch wegen ihrer Einschr¨ ankung auf kartesische Gitter bisher kaum Anwendung gefunden. Erste Versuche, anisotrope Feinstrukturmodellierung auf isotropen Gittern zu formulieren, finden sich in [99] mit τijmod

=

τijmod

=

τijmod

=

C∆2 S ik S kj
 C∆2 Ωik S kj + Ωjk S ki
 C∆2 S ik S kj + Ωik Ωkj

(6.22) (6.23) .

(6.24)

Sie lieferten jedoch in den dort durchgef¨ uhrten A–priori–Tests mit isotroper Turbulenz, die ja als Grenzfall auch abgedeckt werden muss, unbefriedigende Resultate. Einen systematischen Zugang beschreiben Canuto und Cheng [75] durch die Darstellung von τija,mod als 10 τija,mod = Cn Tn , (6.25) n=1

wobei die Tensoren Tn alle sinnvollen Kombinationen der Tensoren S und Ω erfassen. onnen Ein a ¨hnliches Modell wurde zuvor auch in [351] vorgeschlagen. Die Konstanten Cn k¨ zur¨ uckgef¨ uhrt werden auf Konstanten, die in [187] und [471] f¨ ur die statistische Modellierung bestimmt wurden. Sie werden dann auch f¨ ur die LES verwendet. Durch diesen recht komplexen Ansatz entsteht ein algebraisches Modell f¨ ur die FS–Spannungen, in dem Scherung und Auftriebseffekte ber¨ ucksichtigt werden k¨onnen. Als Spezialfall von (6.25) ist das von Kosovi´c [297] vorgeschlagene Modell zu sehen, das auf dem Ansatz 
a
 τija,mod = −(CS ∆)2 2|S|S ij + C1 S ik S kj (6.26) + C2 S ik Ωkj − Ωik S kj √ beruht, bei dem im ersten Summand |S| durch Kτ /∆ ersetzt wird, und CS , C1 , C2 Modell¨ konstanten sind. Das oft beobachtete Uberschießen der tangentialen Fluktuationen wurde

163

6.2 Feinstrukturmodelle in der RANS–Tradition

mit diesem Modell in einer unteraufgel¨osten atmosph¨ arischen Grenzschicht deutlich verbessert [297]. Mit den geschilderten Modellen wird die Kollineari¨ at von τija und S ij , die der Wirbelviskosit¨ atsansatz (6.3) mit sich bringt, umgangen. Abb` a et al. [3], [4] versuchten dies durch Erweitern des Skalars νt auf einen Tensor νijkl = Cmn aim ajn akm aln

,

(6.27)

are Koordinatenbei dem Cmn eine symmetrische Koeffizientenmatrix ist und aij eine unit¨ transformation. Damit lautet das Modell
a τija,mod = −2 νijkl ∆2 |S| S kl . (6.28) Probleme ergeben sich jedoch bei der Wahl des durch aij bestimmten Koordinatensystems. Die Ergebnisse sind nicht eindeutig besser als mit einem Wirbelviskosit¨ atsmodell (Valdettaro, private Mitteilung 1998).

6.2.5

Eingleichungsmodelle

Die Annahme turbulenten Gleichgewichtes, auf der das SM beruht, ist in Str¨ omungen mit starker Inhomogenit¨at oder starker Scherung nicht erf¨ ullt. In diesem Fall bietet sich, wie bei den RANS Modellen, die L¨osung einer modellierten Transportgleichung an, um Transporteffekte zu ber¨ ucksichtigen. Wie in Abschnitt 6.2.1 erl¨ autert, liegt aus dieser Perspektive eine Gleichung f¨ ur die kinetische Energie der zu modellierenden Anteile nahe, hier also Kτ = τkk /2 [529], ∂t Kτ + ∂xj (uj Kτ ) = ∂xj (νt ∂xj Kτ ) − τijmod S ij − εmod

.

(6.29)

Die FS–Spannungen werden dann durch 2 τijmod = −2νt S ij + Kτ δij 3

(6.30)

dargestellt. Wirbelviskosit¨at und Dissipation ergeben sich aus  νt = CKτ ∆ Kτ

εmod = Cε ∆−1

 3 Kτ

.

(6.31)

¨ Man beachte die Ahnlichkeit mit Gleichung (3.11) bei der entsprechenden statistischen Modellierung. Die Konstante CKτ in diesem Ansatz kann analog zu dem Vorgehen bei der Bestimmung von CS in (6.10) berechnet werden, was auf nahezu denselben Ausdruck f¨ uhrt, lediglich mit dem Exponent 3/2 statt 3/4 [224]. Mit CK = 1,5 resultiert CKτ = 0,094. Andere Vorschl¨ age sind CKτ = 0,1 [403], CKτ = 0,048 [531] oder CKτ = 0,07 [178]. Werte f¨ ur Cε bewegen sich im Bereich Cε = 1,02 . . . 0,884 (je nach verwendetem Gitter) [531] bis Cε = 1,05 [178]. FS–Modelle dieses Typs wurden z.B. in [529] und [653] angewendet, zum Teil mit Modifikationen, die weiter unten in Abschnitt 6.4.4 besprochen werden. In den meisten F¨ allen konnte jedoch nur eine geringe Verbesserung gegen¨ uber algebraischen Modellen erreicht

164

6 Feinstrukturmodelle

werden. Wie das SM sind auch diese Modelle strikt dissipativ und durch die Wirbelviskosit¨ atsannahme eingeschr¨ankt. Ein methodischer Vorzug des Ansatzes dagegen ist, dass kein turbulentes Gleichgewicht angenommen wird. Zweitens steht hier ein Modell f¨ ur den gesamten FS–Tensor τij und nicht nur f¨ ur seinen anisotropen Anteil bereit. Bei der Auswertung der Resultate k¨onnen also aufgel¨oste und modellierte Spannungen gem¨ aß (5.109) angegeben und mit Referenzdaten verglichen werden. F¨ ur transitionelle Str¨ omungen ist der Ansatz nicht ohne Weiteres geeignet. Wenn beispielsweise am Einstr¨ omrand Kτ = 0 wegen laminarer Zustr¨omung und auf festen W¨anden Kτ = 0 durch die Haftbedingung, so osung entsteht, da besteht die Gefahr, dass Kτ = 0 im gesamten Integrationsgebiet als L¨ die Quellterme auf der rechten Seite der Transportgleichung (6.29) alle proportional zu K τ sind. Wenn dies vermieden wird, hat der Ansatz den Vorzug, in laminaren Bereichen keine Wirbelviskosit¨ at zu liefern (siehe auch Abschnitt 6.4.2). Im Gegensatz zu Str¨omungen ohne Skalartransport erscheint die L¨ osung einer Kτ –Gleichung vorteilhaft bei der Modellierung von Str¨omungen mit Auftriebseffekten oder Verbrennung [488]. Daher ist dieser Ansatz in der meteorologischen Literatur u aufig anzutreffen, ¨beraus h¨ wof¨ ur [403], [521], [368], [571] nur einige Beispiele sind. Ein anderes Modell beruht ebenfalls auf einer Transportgleichung, und zwar direkt f¨ ur die Wirbelviskosit¨ at νt [554]. Es ist das LES–Pendant zum statistischen Modell von Spalart und Allmaras [553] und wird sp¨ater unter dem Stichwort “Detached Eddy Simulation” (DES) besprochen (siehe Abschnitt 8.7).

6.2.6

Transportgleichungen fu ¨r die Feinstrukturspannungen

¨ Ahnlich wie im vorigen Abschnitt ein FS–Modell in Anlehnung an ein statistisches Eingleichungsmodell betrachtet wurde, kann man noch einen Schritt weiter gehen und das ¨ Aquivalent eines Reynolds–Spannungsmodells verwenden. Dies wurde von Deardorff [119] vorgeschlagen und von Fureby et al. [179] erneut untersucht. Es werden also zus¨ atzlich zu den NSG sechs Transportgleichungen f¨ ur die Komponenten des symmetrischen Feinstrukturspannungstensors τij gel¨ost. Dabei werden dieselben Schließungsannahmen wie bei dem statistischen Modell verwendet. Dies muss nicht notwendigerweise optimal sein, da ja nur der feinskalige Anteil durch das Modell erfasst werden soll [150]. 3 Durch diese Modellierung wurde in [119] eine Verbesserung der Resultate gegen¨ uber dem Wirbelviskosit¨ atsansatz festgestellt, jedoch steigt auch die Komplexit¨ at des FS–Modells erheblich, was in dieser Arbeit auch zu deutlich h¨oheren Kosten f¨ uhrte. Ziel der FS–Modellierung ist jedoch im Allgemeinen, aufgrund des reduzierten Anteils nichtaufgel¨ oster Fluktuationen mit einfacheren Modellen zu arbeiten. Fureby et al. [179] weisen darauf hin, dass bei der numerischen L¨ osung der Gleichungen f¨ ur inkompressible Fluide der Großteil der Rechenzeit zur L¨ osung einer Poisson–Gleichung f¨ ur Druck oder Druckkorrektur aufgewendet werden muss, so dass zus¨ atzliche Transportgleichungen vergleichsweise wenig ins Gewicht fallen. Dennoch hat dieser Ansatz bisher kaum Verwendung gefunden. In [503, S.112] wird die Hoffnung ge¨ außert, dass anstelle zus¨ atzlicher Transportgleichungen die in den aufgel¨ osten Skalen enthaltene 3 In

[119] wurden zus¨ atzliche Gleichungen f¨ ur Temperaturfluktuationen und die Komponenten des turbulenten W¨ armetransports gel¨ ost, was weitere vier Transportgleichungen erfordert, jedoch in [178] durch einen algebraischen Zusammenhang ersetzt ist.

165

6.3 Modellierung im Frequenzbereich

Information zur Verbesserung der Modellierung verwendet werden k¨ onnte. Solche Ans¨ atze werden in den n¨ achsten Abschnitten beschrieben. E 3(k) E 3(k) i* (C =1.4) i* (C K K=1.4)

1

0.8

Abb. 6.6 Dimensionslose Funktion ν ∗ nach Gleichung (6.36) f¨ ur den Wirbelviskosit¨ atskoeffizienten bei der Modellierung im Spektralbereich. Die gestrichelte Linie bezeichnet das Modellspektrum, die durchgezogende Linie νt∗ mit CK = 1,4 und kc = 100. Die senkrechte Linie kennzeichnet den idealen Tiefpassfilter mit dieser Wellenzahl.

i*

0.6

0.4

0.2

10

1

10

2

k

6.3

Modellierung im Frequenzbereich

6.3.1

Spektrale Wirbelviskosit¨at

Im vorigen Abschnitt 6.2 wurden Turbulenztheorien benutzt, um die Konstante CS in einem FS–Modell festzulegen. Geht man einen Schritt weiter, so erscheint es vorteilhaft, nicht nur eine Konstante, sondern das Modell selber durch eine Turbulenztheorie zu bestimmen,. Das erfordert zun¨achst, sich in den G¨ ultigkeitsbereich der Theorie zu begeben, hier den Fall isotroper Turbulenz. Homogene Turbulenz wird beschrieben durch die Gleichung im Frequenzbereich (2.38), also  
∂t + νk 2 uˆi (k) = −ıkq Pij (k) u ˆj (m)ˆ uq (k − m) + Fˆi (k) m

,

(6.32)

wobei Zeitabh¨angigkeit hier nicht explizit notiert wird. Die daraus abgeleitete Gleichung (2.47) f¨ ur das Energiespektrum E (2.46) ist unter der Annahme von Isotropie sinnvoll und koppelt u ¨ ber den nichtlinearen Term T alle Wellenzahlen. Werden, durch einen idealen Tiefpass festgelegt, nur Wellenzahlen |k| < kc aufgel¨ost, so kann dieser Austauschterm in zwei Anteile zerlegt werden. Die Gleichung f¨ ur das aufgel¨oste Spektrum Ec (k) = E(k) f¨ ur k < kc hat dann die Gestalt
 ; k < kc . (6.33) ∂t + 2νk 2 Ec = Fc (k) + Tc< (k) + Tc> (k) Darin bezeichnet Tc< den Anteil, der allein durch Wechselwirkungen der Wellenzahlen |k| < kc beschrieben und somit durch die Diskretisierung aufgel¨ost wird, und Fc den entsprechenden Kraftterm. Der Term Tc> umfasst alle verbleibenden Anteile des turbulenten

166

6 Feinstrukturmodelle

Austauschterms, die mindestens eine Komponente u ˆ i (k) mit |k| > kc enthalten und somit modelliert werden m¨ ussen. Definiert man nach Kraichnan [300]
νt (k, kc ) =

Tc> (k) −2νk 2 Ec (k)

;

k < kc

,

(6.34)

so kann der Term Tc> in (6.33) dadurch ber¨ ucksichtigt werden, dass auf der linken Seite ν durch ν +
νt (k, kc ) ersetzt wird. Die eckigen Klammern unterstreichen hier, dass es sich um eine statistische Gr¨oße handelt. Unter Verwendung der so genannten “Eddy–Damped–Quasi–Normal–Markovian”(EDQNM) Hypothese [436], [327] erh¨alt man [92]

  Ec (kc ) ∗ k
νt (k, kc ) = νt , (6.35) kc kc wobei Ec (kc ) die Energie an der Grenzwellenzahl kc kennzeichnet. Die dimensionslose Funktion νt∗ kann mit der EDQNM Hypothese oder einer anderen Turbulenztheorie bestimmt werden. Chollet [90] gibt als Parametrisierung   3,03 k 1  ∗ 0,441 + 15,2 e− k/kc (6.36) νt = 3 kc CK an, was in Abb. 6.6 dargestellt ist. Der steile Anstieg nahe der Grenzwellenzahl reflektiert die st¨ arkere Interaktion von Komponenten mit dicht beieinander liegenden Wellenzahlen und wurde in zahlreichen Rechnungen best¨atigt [87], [391]. Durch die gr¨ oßere “N¨ ahe” zu den nichtaufgel¨ osten Anteilen ist der Beitrag des Modells f¨ ur k ≈ kc gr¨ oßer als f¨ ur k  kc . Zur Berechnung homogener Turbulenz bietet sich ein Spektralverfahren an, d.h. eine Diskretisierung mit Hilfe von Fourier–Polynomen und uˆi (k) als Unbekannten (s. Abschnitt 4.2.5), was genau auf Gleichung (6.32) f¨ uhrt. Dabei ist das Abbrechen bei einer Wellenzahl kc im Inertialbereich der nat¨ urliche Filter, wenn statt einer DNS eine LES durchgef¨ uhrt werden soll. In diesem Falle kann zur Feinstrukturmodellierung, wie oben erl¨ autert, ν durch ν +
νt (k, kc ) ersetzt werden. Gleichung (6.35) stellt, abgesehen von der EDQNM Hypothese, noch kein Modell, sondern lediglich eine Umformulierung dar, und die nachfolgende Parametrisierung kann als sehr gute N¨aherung angesehen werden. Die LES–Modellierung findet haupts¨ achlich dadurch statt, dass die statistische Gr¨ oße
νt  zur Beschreibung des Austauschterms der momentanen L¨osung eingesetzt wird, was hier durch die Notation betont wird. Das Modell wurde zwar f¨ ur den isotropen Fall entwickelt, kann jedoch auch f¨ ur homogene Turbulenz mit anisotropen Eigenschaften verwendet werden, sofern die feinen aufgel¨ osten Skalen als n¨ aherungsweise isotrop angesehen werden k¨ onnen. Dies erm¨ oglicht kosteng¨ unstige LES grundlegender Effekte, insbesondere bei hohen Reynolds–Zahlen. In [462] wird auf die Bedeutung solcher Simulationen zum Verst¨andnis der Turbulenz hingewiesen, und es werden ¨ dort einige Resultate aus diesem Bereich in Ubersichtsform diskutiert. In [391] wurde eine Verallgemeinerung vorgeschlagen, bei der ein Spektrum ∼ k −m mit m = 5/3 ber¨ ucksichtigt werden kann. Eine Anwendung auf die Str¨ omung in einem ebenen Kanal

167

6.4 Selektive Prozeduren und selektive Modelle

findet sich in [308]. In [331] wurde das Modell dadurch erweitert, dass die Steigung m aus dem Spektrum der feinen aufgel¨osten Skalen bestimmt wurde, was zu guten Ergebnissen f¨ ur ¨ die Kanalstr¨ omung und eine Mischungsschicht f¨ uhrte. Eine Ubersicht u ¨ ber die Verwendung der EDQNM–Theorie zur Feinstrukturmodellierung gibt [330]. Nachteilig ist bei dem dargestellten Ansatz einer spektralen Wirbelviskosit¨ at, dass er die Berechnung im Frequenzbereich voraussetzt, was bei Str¨ omungen mit auch nur wenig komplexerer Geometrie nicht mehr m¨oglich ist. Vorteilhaft dagegen ist, dass das Modell bei hoher Aufl¨ osung keinen Beitrag liefert, weil dann Ec (kc ) ≈ 0 in (6.35).

6.3.2

Strukturfunktionsmodell

Da eine spektrale Wirbelviskosit¨at nur in speziellen einfachen Geometrien anwendbar ist, ¨ wurde die Ubertragung in den physikalischen Bereich vorgeschlagen. Grundlage ist die Strukturfunktion zweiter Ordnung 2

F2 (r) =
(u(x) − u(x+r)) ||r|=r

,

(6.37)

wobei hier wieder die Zeitabh¨angigkeit nicht explizit notiert wird. Die Strukturfunktion h¨ angt mit dem Spektrum u ¨ber    ∞ sin(kr) E(k) 1 − dk (6.38) F2 (r) = 4 kr 0 zusammen [28] und stellt somit sein Abbild im physikalischen Bereich dar. Ersetzt man die obere Integrationsgrenze ∞ durch kc , so ergibt sich mit dem Kolmogorov–Spektrum (2.53) die Beziehung [391]  −3/2 νtSF (x, ∆) = 0,105 CK ∆ F2 (x, ∆) . (6.39) Die Erweiterung auf nichtuniforme, orthogonale Gitter wird in [329] beschrieben, wo auch zus¨ atzliche Details und Anwendungen zusammengefasst sind. Mit der Definition einer skalaren Wirbelviskosit¨at nach (6.39) besteht jedoch nicht mehr die M¨ oglichkeit, verschiedene Wellenzahlen unterschiedlich zu d¨ ampfen, wie dies im Frequenzbereich mit (6.34) m¨oglich ist. Comte [103] wies dann auch nach, dass dieses Modell in der Tat dem Smagorinsky–Modell sehr nahe kommt, da f¨ ur den Grenzfall ∆ → 0 Gleichung (6.39) als  νtSF ≈ 0,777 (CS ∆)2 2S ij S ij + ωi ω i (6.40) osten Wirbelst¨ arke ist und das geschrieben werden kann, wobei ω i der Vektor der aufgel¨ verwendete Diskretisierungsschema zur Berechnung von F2 in (6.39) eingeht.

6.4

Selektive Prozeduren und selektive Modelle

6.4.1

Zielsetzung

In den vorangegangenen Abschnitten wurden verschiedene Modelle vom Wirbelviskosit¨ atstyp beschrieben. Ihre sichere Anwendung erfordert, dass die Hypothesen, unter denen sie

168

6 Feinstrukturmodelle

aufgestellt wurden, in hinreichender N¨aherung erf¨ ullt sind. Wie bereits angedeutet, ist dies in zahlreichen Situationen nicht der Fall. Die sehr anisotrope Str¨ omung in der N¨ ahe einer festen Wand ist hierf¨ ur das wichtigste Beispiel. In der Literatur gibt es daher verschiedene Maßnahmen, die ein Ausgangsmodell so erweitern, dass dem Rechnung getragen wird. Vielfach geschieht dies durch die Berechnung eines Kriteriums, welches als Maß f¨ ur die Anwendbarkeit des Modells dient, und einen Mechanismus, der das Modell in Abh¨ angigkeit von diesem Kriterium an– oder abschaltet. Wir wollen dieses Vorgehen hier als “selektive Prozedur” bezeichnen. Selektive Prozeduren wurden meist zur Verbesserung eines speziellen Modells entwickelt, k¨onnen dann aber prinzipiell auch f¨ ur andere Modelle eingesetzt werden. Weiterhin gibt es FS–Modelle, die in sich selbst eine gewisse Selektivit¨ at, z.B. im Bezug auf die Isotropie der Str¨omung tragen. Das in Abschnitt 6.4.7 weiter unten behandelte WALE–Modell ist von diesem Typ. Solche Modelle werden hier als “selektive Modelle” bezeichnet. Im Gegensatz zu den weiter unten diskutierten Modellierungen orientieren sich die hier betrachteten Modelle und Prozeduren allein an den physikalischen Eigenschaften der Str¨ omung und nicht an der jeweiligen Aufl¨osung, abgesehen von der Verwendung der Filter– bzw. Gitterschrittweite als L¨angenmaß.

6.4.2

D¨ampfungsfunktionen in Wandn¨ahe

In Abschnitt 2.5.3 wurden die physikalischen Aspekte der wandnahen Turbulenz anhand verschiedener Gr¨ oßen diskutiert. Insbesondere zeigt sich beim Vergleich der Fluktuationen in Abb. 2.7 die starke Anisotropie der Str¨omung. Das Vorhandensein der Wand d¨ ampft die turbulenten Schwankungen und zwar derart, dass die die Reibungskr¨ afte die Str¨ omung in der viskosen Unterschicht dominieren. Ist die wandnahe Str¨ omung mit LES zu berechnen, sollte also hier kein FS–Modell angewendet werden. Bei Verwendung des Smagorinsky– Modells ber¨ ucksichtigt man diesen Aspekt, indem die Wirbelviskosit¨ at νt in Abh¨ angigkeit vom Wandabstand durch eine D¨ampfungsfunktion reduziert wird, d.h.
2 νt = f (y + ) CS ∆ |S| .

(6.41)

F¨ ur die D¨ ampfungsfunktion f wurde in [404] und anderen Arbeiten die van Driestsche D¨ ampfung fD (y + ) = 1 − e−y

+

/A+

(6.42)

mit A+ = 25 eingesetzt, die bereits im Zusammenhang mit der RANS Modellierung in Abschnitt 3.2.7 erw¨ahnt wurde. oßen F¨ ur y → 0 bzw. y + → 0 (beide Grenzwerte sind gleich, da lediglich der Faktor lτ die Gr¨ unterscheidet) kann das Verhalten der einzelnen Geschwindigkeitskomponenten angegeben werden [245] u∼y

;

v ∼ y2

;

w∼y

.

(6.43)

Daraus folgt τ11 ; τ13 ; τ33 ∼ y 2

,

τ12 ; τ23 ∼ y 3

,

τ22 ∼ y 4

(6.44)

6.4 Selektive Prozeduren und selektive Modelle

169

ur kleine Filterweiten. Die wichtigste Komponente des sowie S 12 ∼ const. ⇒ |S| ∼ const. f¨ FS–Spannungstensors ist τ12 und sollte daher qualitativ korrekt widergegeben werden. Um dies zu erreichen, muss also νt ∼ y 3 gelten. Die D¨ ampfungsfunktion fD nach (6.42) f¨ uhrt hingegen auf νt ∼ y. Piomelli et al. [467] schlugen deswegen die Funktion  3 (6.45) fP (y + ) = 1 − e−(y+ /A+ ) vor, die mittlerweile in vielen Arbeiten bevorzugt wird. Eine andere Art der D¨ ampfung ist die Wahl der L¨ angenskala lF S = min{d, ∆}

(6.46)

im Feinstrukturmodell, wobei d der Wandabstand und ∆ = V ol 1/3 [427]. D¨ ampfungsfunktionen bieten die M¨oglichkeit, bekannte Informationen u o¨ber statistische Gr¨ ßen an ein FS–Modell weiterzugeben. Sie sind jedoch andererseits oft unbefriedigend, da es sich meist um Ad–hoc–Korrekturen handelt, deren Auswirkung schlecht abgesch¨ atzt werden k¨ onnen. Die Bestimmung des Wandabstandes f¨ ur jeden Gitterpunkt kann in komplexen Geometrien und bei Gebietszerlegung auch zu technischen Schwierigkeiten f¨ uhren, die aber behebbar sind.

6.4.3

Laminare Str¨ omungen und Transition

In laminaren Str¨ omungen liefert das SM wie andere einfache FS–Modelle einen nichtverschwindenden Beitrag, da auch in der laminaren Str¨ omung Geschwindigkeitsgradienten auftreten. Dies ist jedoch unerw¨ unscht, denn es existiert kein Feinstrukturanteil, der modelliert werden m¨ usste. Insbesondere bei transitionellen Str¨ omungen macht sich dies negativ bemerkbar und erzeugt unerw¨ unschte Abweichung vom physikalisch richtigen Verhalten, wie z.B. in [622] beobachtet. Das Modell sollte daher in diesem Fall auf die eine oder andere Weise “ausgeschaltet” werden. Piomelli et al. [469] verwenden zur Berechnung der Transition einer Grenzschicht solch ein physikalisches Kriterium, auf das in [58] hingewiesen wird. Eine Grenzschicht wird unter anderem charakterisiert durch den Formparameter H, der das Verh¨ altnis von Verdr¨ angungsdicke und Impulsverlustdicke bezeichnet. Im laminaren Fall ist H = Hlam = 2,5, im turur die in [469] verwendete Reynolds–Zahl. Somit bietet es bulenten Fall H = Hturb = 1,7, f¨ sich an, die Wirbelviskosit¨at ¨ahnlich wie bei der Wandd¨ ampfung (6.41) zu reduzieren und CS durch fH CS zu ersetzen mit fH (H) =

Hlam − H Hlam − Hturb

.

(6.47)

Damit liefert das Turbulenzmodell in den fr¨ uhen Stadien der Transition keinen wesentlichen Beitrag. Auch hier gilt derselbe Vorbehalt gegen¨ uber D¨ ampfungsfunktionen wie am Ende des vorigen Abschnitts ausgedr¨ uckt.

6.4.4

Abspalten der mittleren Deformationsrate

Prinzipiell k¨ onnte man den Einfluss des Gradienten der mittleren Str¨ omung im laminaren Fall dadurch vermeiden, dass die mittlere Str¨omung bei der Berechnung der Wirbelviskosit¨ at

170

6 Feinstrukturmodelle

subtrahiert wird. In der Tat existieren solche Ans¨ atze, sie wurden aber nach Kenntnis des Verfassers bisher nicht auf transitionelle Str¨omungen angewendet. Schumann [529] schlug ein solches Modell vor, um in voll ausgebildeter Turbulenz der Anisotropie der aufgel¨ osten Bewegung Rechnung zu tragen, da die verwendeten Gitter sehr grob waren. Basierend auf dieser Arbeit haben Moin und Kim [404] eine vereinfachte Variante entwickelt, die hier zun¨ achst beschrieben werden soll. Sie ersetzt den Boussinesq–Ansatz (6.3) durch einen Ansatz mit entsprechender Aufspaltung



τija,mod = −2νt S ij − 2νt∗
S ij  ,

(6.48)





uglich des Mittelwertes
S ij  darstellt. Dabei wobei S ij = S ij −
S ij  die Schwankungen bez¨



wird der isotrope Anteil νt wie vorher bestimmt, jedoch mit S anstelle von S in (6.6), und van Driestscher D¨ampfung (6.42). F¨ ur den anisotropen Anteil setzen die Autoren ∗ ∆z )2 |
S| νt∗ = CS∗ (fD

,

∗ fD = 1 − e−(y

+

/A+ )2

,

(6.49)

wobei in diesem Fall ∆z die Gitterschrittweite in Spannweitenrichtung darstellt und CS∗ = 0,065 sowie A+ = 25 gew¨ahlt wurde. Schumann [529] verwendet ebenfalls (6.48), jedoch eine komplexere Modellierung der beiden Anteile. Der isotrope Anteil wird mit Hilfe einer Transportgleichung f¨ ur Kτ modelliert. Der anisotrope Anteil wird in dieser Arbeit durch νt∗ = min{(CS∗ )2 ∆x ∆y , (κd)2 } dy
u

(6.50)

beschrieben, wobei d der Wandabstand, κ = 0,4 die von Karmansche Konstante und CS∗ = 0,1 ist. Dieses Modell wurde von Sullivan et al. [571] dahingehend erweitert, dass in τija,mod = −γ 2νt S ij − 2νt∗
S ij 

(6.51)

ein zus¨ atzlicher Isotropiefaktor



γ=





|S |

|S | + |
S|

(6.52)

verwendet wird. Die isotrope Wirbelviskosit¨at νt wird nach (6.29)–(6.31) bestimmt, aller

dings mit S ij anstelle von S ij im Produktionsterm der Transportgleichung. Die zweite Visur auftriebsbehaftete Str¨ omungen kosit¨ at, νt∗ , kann wie zuvor gebildet werden. In [571] wird f¨ ¨ eine Erweiterung vorgeschlagen, die die Monin–Obukhov–Ahnlichkeit solcher Str¨ omungen in Wandn¨ ahe ber¨ ucksichtigt. Die Resultate zeigen f¨ ur Rechnungen der atmosph¨ arischen Grenzschicht eine Verbesserung gegen¨ uber dem Basismodell von Schumann [529]. In den hier dargestellten Modellen erscheinen Mittelwerte der aufgel¨ osten Str¨ omung. Sie liegen w¨ ahrend der Rechnung nicht vor, da sie durch Integration u ¨ber die Zeit gewonnen werden m¨ ussen. Schumann verwendet als Sch¨atzung den Mittelwert u ¨ber wandparallele Ebenen in der von ihm betrachteten Kanalstr¨omung. Zus¨ atzlich ist es m¨ oglich, in der Rechnung durch ein “sliding average” sukzessiv u ¨ ber die bereits berechnete Zeit zu mitteln,

6.4 Selektive Prozeduren und selektive Modelle

171

wodurch auch in komplexeren Geometrien ein Sch¨ atzwert f¨ ur die mittlere Str¨ omung bereitsteht. Ohne zus¨ atzliche Ortsmittelung ist dieser jedoch in der Anfangsphase relativ schlecht. Die Abspaltung der mittleren Str¨omung trifft also besonders f¨ ur komplexe Str¨ omungen auf Schwierigkeiten und wird daher nur selten eingesetzt. Die weiter unten besprochene dynamische Prozedur erscheint heute als geeigneterer Ausweg.

6.4.5

Modelle mit Eingangsfilter

Im vorigen Abschnitt wurde der Beitrag sehr großskaliger anisotroper Anteile des Str¨ omungsfeldes,
S, durch Mittelung in der Zeit oder in homogenen Richtungen bestimmt und von der Berechnung des Feinstrukturmodells ausgenommen. Modelle mit Eingangsfilter (engl: “filtered models”) verfolgen diesen Gedanken in ¨ ahnlicher Weise, indem vor der Auswertung eines Feinstrukturmodells ein Hochpassfilter auf die L¨ osung angewendet wird. Es handelt sich hier also auch um eine “Prozedur” im oben diskutierten Sinn. Die Konstante des Basismodells muss jedoch i.A. vergr¨oßert werden, um insgesamt noch gen¨ ugend Dissipation zu liefern. Als Filter kann etwa die mehrfache Anwendung eines Laplace–Operators dienen. In [136] wurde ein derart modifiziertes Strukturfunktionsmodell zur Berechnung der Transition einer ebenen Grenzschicht verwendet. Weitere Modelle dieses Typs wurden in [509] vorgeschlagen und angewendet. Die Modifikationen erscheinen jedoch insgesamt recht willk¨ urlich, insbesondere im Gegensatz zu der sp¨ ater geschilderten dynamischen Prozedur, die ganz ¨ ahnliche Ziele verfolgt. Außerdem ist der Einfluss der numerischen Diskretisierung des Filters nicht klar.

6.4.6

Kriterium von David

Bei der Diskussion der physikalischen Eigenschaften turbulenter Str¨ omungen in Kapitel 2 wurde betont, dass sich zwei– und dreidimensionale Turbulenz hinsichtlich ihres Energietransfers grunds¨ atzlich unterschiedlich verhalten. Daher ist es problematisch, ein FS–Modell, das f¨ ur dreidimensionale turbulente Schwankungsbewegungen konzipiert ist, f¨ ur dominant zweidimensionale Str¨omungen zu verwenden. In seiner Dissertation [113] schlug David eine Prozedur vor, die die Isotropie der aufgel¨osten Str¨ omung kontrolliert und ein gegebenes Basismodell nur dann aktiviert, wenn die Fluktuationen hinreichend dreidimensional sind (siehe auch [329]). Die Wirbelviskosit¨at νt wird dann gebildet mit νt = f (θ, θref ) νt,Basis

.

(6.53)

Darin ist θ ein lokal und momentan bestimmtes Maß f¨ ur die Isotropie der Fluktuationen und f eine D¨ ampfungsfunktion mit f = 1 f¨ ur den dreidimensionalen und f = 0 f¨ ur den zweidimensionalen Zustand. Als Sensor wird $ %| |ω × ω θ = arcsin (6.54) % |ω| |ω| arke ist und %· die Anwendung eines gew¨ ahlt, wobei ω der Vektor der aufgel¨osten Wirbelst¨ % = 2∆ bezeichnet. Damit stellt θ den Winkel zwischen lokalen Filters, beispielsweise mit ∆

172

6 Feinstrukturmodelle

der lokalen Wirbelst¨arke und der u arke dar. In [113] ¨ber Nachbarwerte gemittelten Wirbelst¨ wurde  1 , θ > θref f= (6.55) 0 , sonst gew¨ ahlt, und zwar mit θref = 20◦ . Die glattere Funktion & ' tan4 (θ/2) f = min , 1 tan4 (θref /2)

(6.56)

wurde in [511] vorgeschlagen. Die n¨otige Wahl des Referenzwertes θref stellt jedoch eine Schwachstelle des Ansatzes dar, da dieser von der gew¨ ahlten Gitteraufl¨ osung abh¨ angt [329]. Aufgrund der effektiven D¨ampfung auch in dreidimensionaler Turbulenz ist weiterhin die Konstante des Basismodells geeignet zu vergr¨oßern.

6.4.7

WALE Modell

Ein selektives Feinstrukturmodell basierend auf der Wirbelviskosit¨ atsannahme ist das so genannte WALE–Modell (engl: “Wall–Adapted Local Eddy Viscosity”) [137]. Hier wird dieselbe Beziehung zwischen τija,mod und S ij benutzt wie beim Smagorinsky–Modell, jedoch wird die Wirbelviskosit¨at anders bestimmt. Grundlage ist der Tensor der Geschwindigkeitsgradienten g ij = ∂xi uj . Anstelle des Deformationstensors S ij = 12 (g ij + g ji ) wird der symmetrische Anteil des Quadrats von g ij verwendet, Gij = 12 (g ik gkj + g jk gki ). Sein spurfreier a Anteil Gij dient dann zur Berechnung der Wirbelviskosit¨ at gem¨ aß ! 6  a G  νt = Cw ∆2 (6.57) ! 5 .  5 S + Ga  ¨ (Die Notation mit Uberstrich wird hier der Einfachheit halber verwendet, obwohl wegen der Nichtlinearit¨ at Gij nicht durch Filterung aus einem entsprechend definierten Gij hervor+3 geht.) Dieser Ausdruck erzeugt das gew¨ unschte Verhalten νt ∼  y  nahe einer festen Wand,  a ur das oben bereits diskutiert wurde. In [424] wird gezeigt, dass G  = 0 und daher νt = 0 f¨ den Fall reiner Scherung, z.B. bei g ij = 0, außer g 12 = 0. Dies reduziert die Wirbelviskosit¨ at nicht nur in Wandn¨ahe, sondern auch in einer turbulenten Scherschicht, was in [583] f¨ ur die ¨ turbulente Uberst¨ omung eines H¨ ugels beobachtet wurde. Es soll hier betont werden, dass die Reduktion der Wirbelviskosit¨at bei diesem Modell nicht von der Glattheit der L¨ osung im Vergleich zur Gitterschrittweite beeinflusst wird, wie bei der weiter unten geschilderten dynamischen Prozedur, sondern allein von der Symmetrie der aufgel¨ osten Str¨ omung. In den meisten Rechnungen wird Cw = 0,1 [424] verwendet. Dies entspricht einer ¨ ahnlichen Redukur homogene Turbulenz hergeleitet tion im Vergleich zu dem Wert Cw = 0,5, der in [137] f¨ wurde, wie sie beim Smagorinsky–Modell gebr¨auchlich ist. Ein Vorzug des Modells ist, dass im Gegensatz zu der in Abschnitt 6.4.2 besprochenen D¨ ampfungsfunktion der Wandabstand nicht berechnet werden muss.

6.5 Modelle mit Zerlegung der aufgel¨ osten Skalen

6.5

Modelle mit Zerlegung der aufgel¨ osten Skalen

6.5.1

Ansatz

173

Typisch f¨ ur die in den Abschnitten 6.2 bis 6.4 besprochenen FS–Modelle ist die Verwendung des Geschwindigkeitsfeldes ui insgesamt und der auf der Gitterschrittweite basierenden L¨ ange ∆ zur Charakterisierung der Turbulenz. Ein historisch wesentlicher Schritt wurde vollzogen bei der Erkenntnis, dass das aufgel¨oste Geschwindigkeitsfeld sehr reichhaltige Informationen u aumlichen Skalen enth¨ alt. Turbulenz ist ¨ber Bewegungen auf verschiedenen r¨ ein Mehrskalenph¨anomen, und die Zerlegung der aufgel¨ osten Bewegung in einzelne Skalen erm¨ oglicht eine fundamentale Weiterentwicklung der Modellierung gegen¨ uber Modellen nach dem RANS–Muster. Voraussetzung hierf¨ ur war die Verwendung des in Abschnitt 5.4.2 beschriebenen Filteransatzes. Er trennt methodisch Filterung und Diskretisierung und bereitet den Weg f¨ ur wiederholtes Anwenden eines Filters, sei es nun derselbe Filter oder ein ur LES und wird groberer. 4 Die M¨oglichkeit einer solchen Zerlegung ist charakteristisch f¨ in dieser Form nur hier zur Turbulenzmodellierung eingesetzt. Wie in Abschnitt 6.4 kann man wieder Prozeduren und Modelle unterscheiden, von denen die wichtigsten im Folgenden diskutiert werden.

6.5.2

Wirbelviskosit¨atsmodell von Bardina und Mixed Scale Model

In [25] wird ein FS–Modell vorgeschlagen, das die Wirbelviskosit¨ at aus einem Sch¨ atzwert f¨ ur die lokale nicht aufgel¨oste turbulente kinetische Energie Ktot − KGS =

1 1 (ui ui ) − (ui ui ) 2 2

(6.58)

bestimmt, hier mit der Notation KGS = Kres . Filtert man die Geschwindigkeit ui ein zweites Mal, l¨ asst sich ebenfalls die dann noch aufgel¨oste kinetische Energie KGGS bestimmen und damit die Differenz KGS − KGGS =

1 1 (ui ui ) − (ui ui ) 2 2

.

(6.59)

Die ben¨ otigte Geschwindigkeitsskala wird nun mit Hilfe der Annahme Ktot − KGS ≈ Kτ durch  (6.60) qf = KGS − KGGS bestimmt und ist somit aus der aufgel¨osten Str¨omung berechenbar. Damit kann wie vorher die Wirbelviskosit¨at durch νt = Cq ∆qf gebildet werden. Entscheidend ist hier die zweite, explizite Anwendung eines Filters in (6.59) zur Modellierung. Die Geschwindigkeitsskala qf wird haupts¨achlich durch die feinsten aufgel¨ osten Anteile der Str¨ omung bestimmt, wie aus Abb. 6.7 deutlich wird. Demgegen¨ uber ber¨ ucksichtigt das Geschwindigkeitsmaß qS = ∆|S| des Smagorinsky–Modells die groben Skalen st¨ arker. Der 4 Die Zerlegung in Mittelwert und Fluktuationen bei Schumanns Modell (6.48) kann als Grenzfall gesehen werden, jedoch wird dies erst im Nachhinein deutlich, und es bestehen auch weitere methodische Unterschiede.

174

6 Feinstrukturmodelle DNS Box Box2

E

log(k)

Abb. 6.7 Illustration der Differenz ui = ui , die die Grundlage des Skalen¨ ahnlichkeitsmodells ist, anhand der einfachen und zweifachen Anwendung des Rechteckfilters auf das Modellspektrum (2.60).

Grund ist, dass S ij durch einmalige Ableitungen entsteht, wogegen der explizite Filter mindestens zweiter Ordnung ist, also ∼ k 2 im Frequenzbereich. Aufgrund dieser Beobachtungen schlugen Ta Phuoc Loc und Sagaut eine Kombination beider Geschwindigkeitsmaße vor, das sog. “Mixed Scale Model” (MSM) [507], bei dem die Wirbelviskosit¨ at durch 1−α

νtMSM = CMSM ∆1+α |S|α qf 2

(6.61)

bestimmt wird. Typische Werte sind α = 0,5 und CMSM = 0,06 [367] oder CMSM = 0,1 [583]. Die Konstante CMSM kann ebenfalls durch die Kombination der Konstanten der Einzelmodelle nach CMSM = Cq1−α CS2α ermittelt werden, wobei Cq = 0,2 [508, p.101] und der Wert der Smagorinsky–Konstante vorgegeben werden, z.B. CS = 0,1. ur allgemeine Die beiden geschilderten Modelle basieren auf der Ungleichheit ui = ui , die f¨ Filter gilt und in Abb. 6.7 dargestellt ist. Der ideale Tiefpass erf¨ ullt dagegen die Gleichheit, so dass sich hier kein Beitrag ergibt. Bei der Rechnung mit einem Spektralverfahren und √ diesem Filter wird daher die zweite Filteroperation mit einem um den Faktor 2 groberen Filter verwendet [150].

6.5.3

Skalen¨ahnlichkeitsmodelle

Neben dem im vorigen Abschnitt genannten Wirbelviskosit¨ atsmodell schlugen Bardina et al. [25] ein weiteres Feinstrukturmodell vor, das einen expliziten Filter beinhaltet. Der exakte Feinstrukturtensor τij = ui uj − ui uj

(6.62)

6.5 Modelle mit Zerlegung der aufgel¨ osten Skalen

wird dabei modelliert, indem ui durch ui ersetzt wird, was
 τijSSM = CSSM ui uj − ui uj

175

(6.63)

ergibt. Die Hypothese ist also, dass die Feinstrukturanteile, die mit den gefilterten Skalen ui gebildet werden, ¨ahnlich denen sind, die mit ui selbst gebildet werden. Dies motiviert den Namen Skalen¨ ahnlichkeitsmodell, engl. “Scale Similarity Model” (SSM). Die Konstante hat undungen u ¨ blicherweise den Wert CSSM = 1. In der Literatur finden sich auch andere Begr¨ f¨ ur (6.63), die auf der Beobachtung basieren, dass mit der Definition der Zerlegung u
i = ui − ui

(6.64)

u
i = ui − ui

(6.65)

exakt

folgt, jedoch weitere Annahmen einfließen lassen, die nur schwer zu begr¨ unden sind. Mathematische Analysen der mit diesem Modell erzeugten LES–Gleichungen wurden in [316], [317] durchgef¨ uhrt. Ein wesentlicher Unterschied zu allen bisher behandelten FS–Modellen ist die Tatsache, dass τijSSM nicht vom Wirbelviskosit¨atstyp ist. Hier wird im Gegensatz zu einem Diffusionsterm ein Ausdruck verwendet, der in seiner Form dem zu modellierenden Term v¨ ollig entspricht. Im Gegensatz zu Wirbelviskosit¨atsmodellen kann das SSM daher zu Backscatter f¨ uhren, d.h. zu lokalem und momentanem Energietransfer von feinen zu groben Skalen. Dies kann als Beleg f¨ ur eine gr¨oßere Realit¨atsn¨ahe gesehen werden. Der Vergleich mit der Zerlegung m m τij = Lm ij + Cij + Rij

(6.66)

in (5.32) zeigt, dass in der Tat τijSSM = Lm ij gilt. Das Modell entspricht also dem modifizierten m Produkte von u
i und ui und ist, da bei einer Leonard Term. In dieser Zerlegung enth¨alt Cij
LES i.A. |ui | < |ui | gilt, betragsm¨aßig kleiner als Lm alt. ij , welches nur Terme mit ui enth¨ m Dies gilt erst recht f¨ ur Rij = u
i u
j − u
i u
j , so dass Lm den dominierenden Anteil von τij ij darstellt. A–priori–Tests zeigen daher auch sehr gute Korrelationen zwischen τij und τijSSM [25], [480]. In einer tats¨achlichen LES wird jedoch anstelle von (6.63) der Term τijSSM = u ˜i u ˜j − u ˜i u ˜j

(6.67)

ausgewertet, wobei u ˜i die aktuelle L¨osung bezeichnet, die nicht nur durch die Approximation im Modell, sondern auch durch Diskretisierungsfehler beeinflusst ist. Außerdem muss der explizite Filter in diskretisierter Form angewendet werden. Bereits in den ersten Rechnungen stellte sich heraus, dass das SSM nicht dissipativ genug ist. Es wurde daher mit dem SM zu dem so genannten Gemischten Modell (engl.: “Mixed Model”, (MM)) kombiniert [25], wobei wie beim SM nur der anisotrope Anteil gem¨ aß τija,MM = (τijSSM )a + τija,SM

(6.68)

dargestellt werden muss. Wie die Rechnungen von Vreman [617, p.74] zeigen, kann die Konstante im Smagorinsky–Anteil in diesem Fall gegen¨ uber dem urspr¨ unglichen Modell reduziert werden, dort von Cs2 = 0,018 auf CS2 = 0,014.

176

6 Feinstrukturmodelle

In eigenen Rechnungen [182] wurde festgestellt, dass die Subtraktion der Spur des SSM– Anteils bei stark anisotropen Verh¨altnissen, wie sie beispielsweise auf groben Gittern und mit der im n¨ achsten Kapitel besprochenen Wandmodellierung durch Wandfunktionen auftreten, problematisch ist. Subtrahiert man die Spur von τijSSM , so wird dieser Anteil von einem entsprechenden Beitrag im (Pseudo–) Druck kompensiert. Dominiert eine der Diagonalkomponenten, z.B. wenn τ11  τ22 ≈ τ33 , so entsteht durch die Subtraktion von SSM /3 aufgrund des Terms τ11 in der ersten Komponente der Impulsgleichung ein entδij τkk sprechend großer Beitrag in den anderen Komponenten. Das kann zu einem Sprung im (Pseudo–) Druck f¨ uhren, der diesen Anteil kompensieren muss. In der Folge k¨ onnen, je nach verwendetem Diskretisierungsschema, r¨aumliche Oszillationen auftreten, die wiederum die berechneten FS–Terme negativ beeinflussen. Deutlich bessere Ergebnisse wurden erzielt, wenn der gesamte Feinstrukturtensor gem¨aß τijMM = τijSSM + τija,SM + pτ δij

(6.69)

modelliert wird, wobei der letzte Term im (Pseudo–) Druck aufgeht. Festzuhalten ist, dass die physikalische Modellierung mit der Modellierung (6.68) identisch ist. In fr¨ uhen Arbeiten, z.B. [466], wurde der Leonard–Term Lij = ui uj − ui uj bei der Rechnung explizit ber¨ ucksichtigt, indem anstelle von ∂xj (ui uj ) der Konvektionsterm ∂xj (ui uj ) berechnet wurde. Dabei ist der zweite Filter explizit anzuwenden. Ein Modell ist dann nur noch n¨ otig f¨ ur τij∗ = τij − Lij . Setzt man f¨ ur τij das SSM ein, so ergibt sich als Modellterm f¨ ur die Rechnung [25] τij∗,SSM = ui uj − ui uj

.

(6.70)

Speziale [558] wies darauf hin, dass ui uj und τij∗ alleine jeweils nicht Galilei–invariant sind, lediglich die Summe der Terme hat diese Eigenschaft. Deshalb kann in (6.70) keine multiuhrt werden, ohne dass die Invarianz verloren geht. plikative Modellkonstante CB = 1 eingef¨ Modelliert man jedoch, wie oben dargestellt, τij ≈ τijSSM insgesamt oder seinen anisotropen Anteil, so tritt der Effekt nicht auf, und die Konstante CSSM in (6.63) kann von Eins verschieden gew¨ ahlt werden. Dies ist f¨ ur Kombinationen mit anderen Modellen wichtig, die weiter unten beschrieben werden. Ein dem SSM sehr ¨ahnliches Modell wurde von Liu et al. [345] vorgeschlagen und anhand experimenteller Daten getestet. Hier ist lediglich der zweite Filter grober als der erste, z.B. % = 2∆: mit ∆  , (6.71) τijLMK = CLKM ui uj − u%i u%j wobei die Tests CLKM ≈ 1 ergaben. Auf dem Weg der Zerlegung der FS–Spannungen durch mehrfache Filteranwendungen gehen Jaberi und Colucci [252] mit der “serial decomposition closure” (SDC) noch einen Schritt weiter und schlagen τijSDC = φij + ψij

(6.72)

vor. Dabei kann der erste Anteil φij = τ (ui , uj ) + τ (u
i , uj ) + τ (ui , u
j ) + τ (u
i , u
j )

(6.73)

177

6.5 Modelle mit Zerlegung der aufgel¨ osten Skalen

osung berechnet werden. Der zweite mit τ (a, b) = ab − a b wegen (6.65) aus der gefilterten L¨ Term ψij = τ (vi , wj ) + τ (vj , wi )

(6.74)

mit 1 , wi = ui − 2ui + ui (6.75) (ui + 2ui + ui ) 2 muss modelliert werden, was dadurch geschieht, dass vi durch v i und wi durch w i ersetzt wird. F¨ ur dieses Modell gelten jedoch auch wieder die oben gemachten Bemerkungen bez¨ uglich des Einflusses der Diskretisierung der Gleichungen und der Diskretisierung des Filters. Es erscheint illusorisch, die Berechnung des Terms φij oder gar ψij als “exakt” zu verstehen. vi =

6.5.4

Die dynamische Prozedur

Bei den bisher besprochenen Modellen ist die Modellkonstante festzulegen. Dies geschieht u ¨ blicherweise durch Kalibrierung mit Hilfe eines Spezialfalls, beispielsweise anhand isotroper Turbulenz. In anderen Str¨omungen, bzw. sogar in unterschiedlichen Bereichen ein und derselben Str¨ omung, kann sich jedoch der optimale Wert der Konstanten ¨ andern. Die damit verbundene Unsicherheit ist von Nachteil und hat zu dem Bestreben gef¨ uhrt, eine Methode zu entwickeln, die die Konstante automatisch bestimmt. Wir sprechen daher hier im Weiteren nicht mehr von einer Modellkonstanten, sondern von dem Parameter oder Koeffizienten des Modells. Die von Germano et al. [194] vorgeschlagene sog. dynamischen Prozedur leistet dies. Sie wird hier zun¨achst in allgemeiner Form dargestellt, um das Prinzip herauszuarbeiten. Danach erfolgt die Anwendung auf das Smagorinsky–Modell. Ausgangspunkt ist ein beliebiges FS–Modell der Form τijmod (C, ∆, u) f¨ ur τij oder τija , dessen orige L¨ ange ∆ und ein Parameter Eingangsgr¨ oßen ein Geschwindigkeitsfeld ui , eine zugeh¨ C sind. Wendet man nach dem Filteransatz den sog. Gitterfilter G∆ an, so f¨ uhrt dies auf die Geschwindigkeit ui und die zu modellierenden Feinstrukturspannungen τij . 5 Die grundlegende Idee ist nun, das gleiche FS–Modell auch zur Modellierung der mit einem groberen Filter G∆ , dem sog. Testfilter, erzeugten Feinstrukturspannungen zu verwenden, % = 2∆ gew¨ ahlt. Es ergibt sich also wie dies in Abb. 6.8 illustriert ist. Dabei wird meist ∆ ∆–Niveau :

τij = ui uj − ui uj

≈

τijmod (C, ∆, u)

% ∆–Niveau :

%i u%j Tij = u( i uj − u

≈

% u) % τijmod (C, ∆,

(6.76) .

(6.77)

Die Geschwindigkeit u%i kann nun durch eine Anwendung des Filters G∆ auf die Geschwin)i u%j direkt aus digkeiten ui berechnet werden. Entsprechend kann der Term Lij = ui uj − u ui berechnet werden. Dies ist bei genauer Betrachtung derjenige Anteil der Sub–Test–Skalen Tij , der auf dem zu G∆ geh¨origen Gitter aufgel¨ ost wird (siehe Abb. 6.8). Aus den Definitionen der jeweiligen Gr¨oße ergibt sich die als Germano–Identit¨ at bezeichnete Gleichung Tij = Lij + τ) ij 5 Hier

,

(6.78)

¨ wird die zu ui geh¨ orige Filterweite ∆ mit Uberstrich versehen, um die Systematik deutlich herauszuarbeiten.

178

6 Feinstrukturmodelle nichtaufgelöste Skalen

aufgelöste Skalen

Tij o ij

E

L ij

//6^

//6

log(k)

Abb. 6.8 Schematische Darstellung der dynamischen Prozedur zur Illustration der Diskussion im Text.

die beide Niveaus miteinander verbindet. Auf der einen Seite kann also Lij aus der aufgel¨osten Bewegung berechnet werden. Auf der anderen Seite kann durch Einsetzen des Modells in die Germano–Identit¨at bestimmt werden, welches Resultat das verwendete Modell f¨ ur diesen Anteil liefern w¨ urde, n¨amlich % u) % − τijmod (C, ∆, u) . Lmod = τijmod (C, ∆, ij

(6.79)

Idealerweise w¨ urde nun der Parameter C so bestimmt, dass Lij − Lmod =0 ij

,

(6.80)

jedoch ist dies eine u ullt werden ¨ berbestimmte Gleichung, die nur in einem mittleren Sinn erf¨ kann. Hierf¨ ur schlug Lilly [341] die Minimierung im Sinne der kleinsten Fehlerquadrate vor, was Probleme der Robustheit in [194] teilweise beseitigt. Prinzipiell f¨ uhrt die sukzessive Anwendung der Filter G∆ und G∆ zur Bestimmung der % = ∆ % ist. Beim Gauß–Filter Geschwindigkeit u%i auf einen Filter, dessen effektive Breite ∆ bleibt der Typ des Filters erhalten, bei anderen Filtern, z.B. dem Rechteckfilter, entsteht sogar ein anderer Filtertyp, in diesem Fall ein Trapezfilter. In der Literatur wird dieser % geschrieben wurde. Was % anstelle von ∆ Aspekt nicht weiter verfolgt, weswegen hier auch ∆ letztendlich in die Berechnung mit der dynamischen Prozedur eingeht, ist das Verh¨altnis % Dieser Parameter zeigte jedoch bei A–posteriori–Tests in der beiden Filterweiten ∆/∆. [194] wenig Auswirkung auf die berechnete L¨osung. In der Tat erscheint die diskutierte Abweichung im Bezug auf den Testfilter unerheblich, wenn man sich vergegenw¨artigt, dass der effektive Filter in einer LES durch viele Faktoren, vor allem die Eigenschaften des

6.5 Modelle mit Zerlegung der aufgel¨ osten Skalen

179

numerischen Verfahrens beeinflusst wird. Dadurch kann die Form des Gitterfilters G∆ und seine Breite nur n¨aherungsweise angegeben werden, was im vorigen Kapitel herausgearbeitet wurde. Zur Illustration der dynamischen Prozedur soll diese nun, wie in [194] geschehen, auf das Smagorinsky–Modell als Basismodell angewendet werden. Durch Einsetzen der Definition (6.7) ergibt sich %S % + 2 C (∆2 |S|S ) , % 2 |S| La,mod = −2 C ∆ ij ij ij

(6.81)

wobei C = CS2 gem¨aß den Gepflogenheiten in der Literatur. Das SM modelliert nur den spurfreien Anteil, so dass in (6.78) auf beiden Seiten die Spur subtrahiert wurde. Um nun C bestimmen zu k¨onnen, muss der Parameter als r¨ aumlich nahezu konstant angenommen werden, damit er aus dem Filter herausgezogen werden kann. Tats¨ achlich variiert C jedoch im Raum, so dass hier eine gewisse Inkonsistenz entsteht. Angesichts der oben geschilderten Unsicherheiten erscheint diese aber marginal. Schreibt man f¨ ur die rechte Seite von (6.81) 2CMij , so liefert (6.80) mit der Minimierung der Fehlerquadrate C=

1 Laij Mij 2 Mij Mij

.

(6.82)

In dieser Gleichung kann aber statt Laij auch Lij selbst verwendet werden, da wegen S kk auch Mkk = 0 und daher Lkk δij Mij = 0. Das SM mit einem derartig bestimmten Koeffizienten bezeichnet man als dynamisches Smagorinsky–Modell (DSM). Sein Vorteil besteht darin, dass der Wert von C nicht mehr von außen vorgegeben werden muss, sondern von dem Modell selbst bestimmt wird. Im Mittel wird man einen positiven Wert des Koeffizienten erwarten, jedoch k¨ onnen lokal und momentan auch negative Werte auftreten. Dies wird i.A. als eine M¨ oglichkeit gesehen, dem Energietransport von feinen zu groben Skalen n¨aherungsweise Rechnung zu tragen, quasi als Simulation von Backscatter. Auch wenn die meisten numerischen Verfahren kurzzeitig und lokal negative Viskosit¨atskoeffizienten tolerieren, wird aus Gr¨ unden der numerischen Stabilit¨ at meist νt ≥ 0 oder νt + ν ≥ 0 vorgeschrieben. Gelegentlich wird aus demselben Grund auch eine obere Schranke f¨ ur νt gew¨ahlt. Wenn derartige Schranken h¨ aufig ansprechen, kann andern. sich allerdings allein durch sie der Mittelwert von νt nocheinmal deutlich ¨ Generell zeigt sich, dass die nach (6.82) berechneten Werte von C extrem stark in Raum und Zeit oszillieren. Um dem anders als durch Wertebeschr¨ ankung abzuhelfen, ist es unvermeidlich, C in der ein oder anderen Weise zu gl¨ atten. Meist werden Z¨ ahler und Nenner in dieser Gleichung in statistisch homogenen Richtungen der Str¨ omung gemittelt. Bei der LES eines ebenen Kanals kann dies beispielsweise in wandparallelen Gitterebenen geschehen [194]. Aus anderem Blickwinkel kann man sagen, dass die Variation von C nur eingeschr¨ ankt zugelassen wird, n¨amlich nur in einer Richtung, z.B. in Richtung der Wandnormalen. In A– priori und A–posteriori–Tests zeigte sich, dass das DSM sehr erfolgreich die Wirbelviskosit¨ at in Wandn¨ ahe und bei transitionellen Str¨omungen reduziert. Die Vorgabe einer Modellkon% stanten entf¨ allt. Mit dem Verh¨altnis ∆/∆ ist zwar immer noch ein Parameter zu w¨ ahlen, jedoch h¨ angen die A–posteriori–Resultate nur sehr wenig von diesem Wert ab [194]. Aus % Effizienzgr¨ unden wird nahezu ausschließlich ∆/∆ = 2 gesetzt.

180

6 Feinstrukturmodelle

Wenn die Konfiguration keine homogenen Richtungen besitzt, ist die r¨ aumliche Mittelung nicht m¨ oglich. Dann kann man den Modellparameter auch gem¨ aß C n+1 = C + (1 − )C n in der Zeit relaxieren, wobei der obere Index den Zeitschritt bezeichnet [60]. Typische Werte sind  = 0,001 oder  = 0,005, k¨onnen aber auch an den Zeitschritt gekoppelt werden. Ein anderer Weg ist, im letzten Term der Gleichung (6.81) den bekannten Wert C n einzusetzen. Dieses Modell wurde in [465] vorgeschlagen und als lokalisiertes dynamisches (Smagorinsky) Modell (LDSM) bezeichnet. Es vermeidet erstens die obige methodische Unsauberkeit und tr¨ agt andererseits zur Gl¨attung des Koeffizienten im Raum durch den Filter bei. Die Notwendigkeit homogener Richtungen wird ebenfalls vermieden. In eigenen Rechnungen erwies sich dieses Modell jedoch als sehr instabil und war nur mit zus¨ atzlichen Gl¨ attungsmaßnahmen funktionsf¨ahig. An dieser Stelle ist anzumerken, dass h¨ aufig das dynamische Smagorinsky–Modell kurz als dynamisches Modell bezeichnet wird. Da es sich aber um eine Prozedur handelt, die auf beliebige Modelle angewendet werden kann, wird meist das Basismodell mit genannt, um Unsicherheiten auszuschließen.

6.5.5

Details und Erweiterungen der dynamischen Prozedur

Die Entstehungsgeschichte des dynamischen Modells [194] und seine Weiterentwicklung wird in [193] aus der Sicht eines der Autoren berichtet. Ausgehend von [194] entstanden zahlreiche Erweiterungen, von denen einige hier kurz skizziert werden sollen. Zun¨ achst ist mit der Erkenntnis, dass es sich nicht um ein Modell, sondern eine Prozedur handelt, die M¨ oglichkeit gegeben, diese auch zur Bestimmung der Koeffizienten in anderen Modellen als dem SM zu verwenden. Zhang et al. [657] schlugen ein Gemischtes Modell auf der Basis von (6.68) vor, bei dem der Koeffizient des Diffusionsterms, CS , dynamisch bestimmt wird (DMM). Die Modellierung von τija auf Testfilterniveau geschieht mit  a % u % % 2 |S|S ij Tija = ui uj − u − 2CS ∆ i j

.

(6.83)

Aus Gr¨ unden der mathematischen Konsistenz wird in [618] statt dessen Tija

 a % % % 2 |S|S ij % % % % = ui uj − ui uj − 2CS ∆

(6.84)

verwendet. In [490] wurde dieses Modell zur Berechnung eines ebenen Strahls verwendet, mit a ¨hnlichen Ergebnissen wie das DSM. Stabilit¨atsprobleme konnten nur dadurch behoben werden, dass der Skalen¨ahnlichkeitsanteil nahe des Strahlaustritts stark ged¨ ampft wurde. Salvetti und Banerjee [512] f¨ uhrten einen zweiten Modellparameter als Vorfaktor des Skalen¨ ahnlichkeitsterms ein, wobei beide Parameter dynamisch bestimmt werden. A–priori– Tests lieferten gute Resultate, und das Modell wurde in [515], [514] f¨ ur LES eingesetzt. R.L. Street (private Mitteilung) berichtete allerdings auch hier von Stabilit¨ atsproblemen. In den erw¨ ahnten Rechnungen traten sie u.U. wegen numerischer D¨ ampfung nicht auf. Von Horiuti [249] stammt der erweiterte Ansatz 2

R,a τija,H = CL Lm,a ij + CB Lij − 2Cν ∆ |S|S ij

,

(6.85)

6.5 Modelle mit Zerlegung der aufgel¨ osten Skalen

181





der die vorgenannten Modelle als Spezialf¨alle enth¨ alt. Darin ist LR ij = ui uj − ui uj , was nach (6.65) aus ui berechnet werden kann. Entsprechende Testrechnungen f¨ ur die Str¨ omung in einem ebenen Kanal finden sich in [249]. Geht man noch einen Schritt weiter, so kann die Erweiterung auf beliebig viele Terme fortgesetzt werden [510]. Tests mit verschiedenen dynamischen Varianten des MM zeigten in [468] gute Resultate f¨ ur Finite–Volumen– oder Finite–Differenzen–Methoden niedriger Ordnung mit Wandaufl¨ osung. Dies wurde auch bei Rechnungen mit dem eigenen Code beobachtet [51]. Die oben geschilderten Beobachtung bez¨ uglich der Subtraktion der Spur beim Skalen¨ahnlichkeitmodell legen nahe, dies zuk¨ unftig auch bei den genannten dynamischen Varianten zu ber¨ ucksichtigen, um die Robustheit der Modellierung zu steigern. Zusammenfassend erscheint die Darstellung von Backscatter durch einen Skalen¨ ahnlichkeitsterm im FS–Modell vorteilhaft und f¨ uhrt in einigen Rechnungen zu verbesserten Resultaten. Andererseits k¨onnen gerade durch diesen nichtdissipativen Anteil Stabilit¨ atsprobleme auftreten. ¨ Ahnlich wie auf das MM kann die dynamische Prozedur auch auf weitere Modelle wie das SF Modell (6.39) und das MSM (6.61) angewendet werden [508, p.106]. Auch Eingleichungsmodelle lassen sich so erweitern [114]. Von Tsubokura [595] wurde die Spur von L m ij in

νt =

 C
uk uk − uk uk |S|

(6.86)

verwendet und C dynamisch bestimmt. In dieser Arbeit werden mit dem Ziel, der numerischen Diskretisierung in konsistenter Weise Rechnung zu tragen, weitere Varianten untersucht, von denen die hier notierte am besten abschneidet. Neben der Wahl des Basismodells stellt die oben besprochene Regularisierung des berechneten Modellkoeffizienten einen wichtigen Aspekt f¨ ur die praktische Anwendung dynamischer Modelle dar. Geometrien mit homogenen Richtungen liegen nicht immer vor, so dass nach Alternativen zu dieser bereits genannten Mittelung gesucht wurde. Ghosal et al. [201] schlugen einen Ansatz vor, der den Koeffizienten im zweiten Term der Gleichung (6.79) unter dem Filter bel¨ asst und auf eine Integralgleichung f¨ uhrt. Die Anwendung ist jedoch sehr rechenzeitintensiv und nicht durch entsprechende Verbesserung des Resultats gerechtfertigt. Meneveau et al. [387] verwendeten die Mittelung entlang von Stromlinien. Dabei werden Z¨ ahler und Nenner in (6.82) regularisiert, indem bei jedem Zeitschritt der lokal berechnete Wert an der Stelle xi mit dem Wert in Stromaufrichtung an der Stelle xi − ∆t ui relaxiert wird. Letzterer wird durch lineare Interpolation aus den Gitterpunktwerten gewonnen. Weitere Relaxationsverfahren finden sich in [139], sind jedoch f¨ ur die Anwendung weniger bedeutsam. Ein dritter Aspekt f¨ ur die dynamische Prozedur sind anisotrope Gitter. Ihre Verwendung, allerdings in isotroper Turbulenz, wird in [535] im Bezug auf den Testfilter untersucht. Die Autoren empfehlen f¨ ur den Testfilter einen isotropen Filter mit zweifacher Ausdehnung der gr¨ oßten der drei Gitterschrittweiten. Dies ist jedoch hinsichtlich der Implementierung unangenehm. Daher wird in den meisten Rechnungen die Anisotropie des Gitters in der dynamischen Prozedur nicht ber¨ ucksichtigt. Scotti et al. [535] bemerken, dass bei unterschiedlicher Anisotropie von Gitter– und Testfilter Formel (6.17) f¨ ur beide leicht mit verschiedenen Seitenverh¨ altnissen angewendet werden kann. Schließlich ist noch der Aspekt der Skaleninvarianz zu diskutieren. Das Basismodell wird

182

6 Feinstrukturmodelle

meist auf Gitterfilterniveau wie auch auf Testfilterniveau mit demselben Parameter verwendet und dieser dann mit Hilfe der Germano–Identit¨ at bestimmt. Das setzt eine gewisse Universalit¨ at des Spektrums voraus, die nicht immer gegeben ist. In [475] wird daher ein ¨ zweiter Testfilter mit der Breite 4∆ eingef¨ uhrt, um die Anderung des Parameters mit der Skala Rechnung zu ber¨ ucksichtigen. In Rechnungen einer atmosph¨ arischen Grenzschicht zeigten sich mit diesem Ansatz Verbesserungen, jedoch erscheint die Anwendbarkeit bei marginal aufgel¨ osten Str¨omungen in komplexen Geometrien fraglich. Ein anderer Ansatz zur Ber¨ ucksichtigung der eingeschr¨ankten Skaleninvarianz geht in ¨ ahnlicher Weise vor wie die zuvor geschilderte Variante des SM f¨ ur kleine Reynoldszahlen [610]. Mit Hilfe der Maschen– Reynoldszahl Re∆ = ∆2 |S|/ν [379] wird unter Ber¨ ucksichtigung der Form des Spektrums % erstellt und in die dynamische im viskosen Bereich eine Funktion f (Re∆ ) = C(∆)/C(∆) % Prozedur mit einbezogen, wobei das Verh¨altnis ∆/∆ vorgegeben wird [386]. Es sei aber auch auf eine interessante Arbeit von Pope [474] hingewiesen, in der eine von der Skaleninvarianz v¨ ollig unabh¨angige Begr¨ undung f¨ ur die Funktionsweise der dynamischen Prozedur gegeben wird, die auf der Formulierung eines Minimierungsproblems beruht, hier jedoch aus Platzgr¨ unden nicht ausgef¨ uhrt werden kann. Kritiker der dynamischen Prozedur f¨ uhren bisweilen folgendes Argument ins Feld. Wenn in komplexer Geometrie die Aufl¨osung nur marginal ist und z.B. den Inertialbereich gar nicht erreicht, ist die auf noch grobere Skalen reduzierte Testfilter–L¨ osung noch weniger “vertrauensw¨ urdig”. Sie zur Kalibrierung des Modells zu verwenden wird dann in Frage gestellt. Andererseits muss in solchen F¨allen auch die Kalibrierung der Konstante im Basismodell, die ja ebenfalls meist isotrope Turbulenz im Inertialbereich voraussetzt, in Frage gestellt werden. In diesem Fall weist das Basismodell ohne die dynamische Prozedur jedoch eine gr¨ oßere numerische Robustheit auf. Solche Erfahrungen wurden beispielsweise in [170] bei Verwendung eines relativ groben Gitters gemacht, wo das DSM deutlich zu hohe Wirbelviskosit¨ at lieferte.

6.6

Explizite Filterung bei Zerlegung der aufgel¨ osten Skalen

6.6.1

Strukturierte Gitter

Es sei im Folgenden φ eine skalare Gr¨oße, wie zum Beispiel auch eine Geschwindigkeitskomponente. In den FS–Modellen mit Zerlegung der aufgel¨ osten Skalen erscheinen Ausdr¨ ucke % Der innerste Filter bezeichnet den Gitterfilter, die LES berechnet also φ. der Form φ oder φ. Wir sehen hier zun¨achst von Diskretisierungsfehlern ab und nehmen an, dass der Filter G∆ in φ = G∆ ∗ φ bekannt ist. Urspr¨ unglich waren die Filteroperationen im kontinuierlichen Sinn durch eine Faltung definiert. W¨ahrend der Rechnung liegt φ jedoch nur in diskreter Form vor, beispielsweise durch Werte an Gitterpunkten oder Volumenmittelwerte. Die explizite Filteranwendung ist also im diskreten Sinn zu definieren. Wird eine spektrale Diskretisierung mittels einer Fourier–Reihe verwendet, so lassen sich Filter sehr einfach im Frequenzbereich durch Multiplikation mit der Transformierten des Filters anwenden. Im Ortsbereich ist die Situation etwas schwieriger. Bei kartesischen Gittern

183

6.6 Explizite Filterung bei Zerlegung der aufgel¨ osten Skalen q











xi qi

q iï1































 



















 











































































































































1/8



 









 

























































































 











 



















 







1/4

 



 

















 

















 



 



 

 



 

 





 



 

 

 





(G26* G6)(xïxi ) 



 

 

 

 

 

 



   

 



 

 

 

 



 

 

 

  

   



 

 











 

 















 



 

 



  



 

 













 



 

1/4



 





 

 





 

 

 



 





 



 





 





 









 





 

 



 





 





 



 

 

 









 

 

 



 





 

 







 



 

 

2/4











 











G26(xïxi ) 





 



 



 







 

 



  

  











 

1/4



1/8

 







6/8



















 







 





(G6* G6)(xïxi )









Abb. 6.9 Bestimmung der expliziten Filter f¨ ur Gitter– und Testniveau im Rahmen einer Finite– Volumen–Methode, mit Hilfe verschiedener kontinuierlicher Filterfunktionen. Die gepunkteten Linien kennzeichnen Zellgrenzen. Die Filterfunktionen sind ohne Normierung der vertikalen Achse dargestellt. Bezeichnungen sind im Text erl¨ autert.

























































































 















Ga(xïx i)



















 









 









G6 (xïxi )









q i+1





x 

  



 

2/4





 

 



1/4

k¨onnen Filter durch Tensorprodukte eindimensionaler Filter der Form  φi = ak φi+k k

x

(6.87)

realisiert werden, so dass also die Gewichte a0 , a−1 , a1 , a−2 , . . . festzulegen sind. Die Filterung in drei Dimensionen erfolgt dann durch  φi,j,k = al am an φi+l,j+m,k+n , (6.88) lmn

wobei die Indizes i, j, k den drei Raumrichtungen des Gitters entsprechen. Eine zweidimensionale oder eindimensionale Filterung erreicht man, indem die entsprechende Koeffizientenmaske in der Richtung, in der nicht gefiltert werden soll, auf ai = δi,0 gesetzt wird. F¨ ur eine Finite–Volumen–Methode auf ¨aquidistantem Gitter ist der Rechteckfilter G∆ =

1 χ ∆ ∆ ∆ [− 2 , 2 ]

(6.89)

nat¨ urlich (siehe auch Abschnitt 5.4.2). Wegen G ∗ (G ∗ φ) = (G ∗ G) ∗ φ w¨ are dann zur Bestimmung von φ ein Dreiecksfilter auf die kontinuierliche L¨ osung φ anzuwenden, wie er

184

6 Feinstrukturmodelle

in Abb. 6.9 skizziert ist. Der Filter muss jedoch durch (6.87) angen¨ ahert werden, was dem Filter  Ga = ak G∆ (x − xi+k ) (6.90) k

entspricht. Die dort dargestellte Aufteilung von G∆ ∗ G∆ auf die Nachbarzellen motiviert die Gewichte a∆ −1 =

1 8

a∆ 0 =

6 8

a∆ 1 =

1 8

(6.91)

f¨ ur die diskrete Anwendung gem¨aß (6.87) (alle anderen Koeffizienten sind Null). Zang et al. [656] kommen zu demselben Resultat, jedoch u ¨ ber Zwischeninterpolationsschritte. % = ¨ Ahnlich kann man vorgehen, um die Gewichte zur Anwendung des Filters G∆ mit ∆ 2∆ zu ermitteln, wie er f¨ ur die dynamische Prozedur oder Varianten des SSM ben¨ otigt wird. Einerseits kann man den Filter G2∆ auf die diskretisierte L¨ osung φi anwenden, oder vielmehr auf die entsprechende st¨ uckweise konstante Funktion. Das motiviert, wie in Abb. 6.9 dargestellt, die Gewichte a2∆ −1 =

1 4

a2∆ 0 =

2 4

a2∆ 1 =

1 4

.

(6.92)

ormige Form hat, auf Streng genommen wird jedoch der Filter G2∆ ∗ G∆ , der eine trapezf¨ φ angewendet. Die entsprechende Aufteilung in Teilvolumina liefert jedoch dieselben Ge% = wichte. Vreman et al. [618] argumentieren, dass ein Rechteckfilter mit der Breite ∆ % 2 + ∆2 )1/2 eine bessere Approximation im Sinne der kleinsten Fehlerquadrate an die(∆ sen trapezf¨ ormigen Filter darstellt und daher zu bevorzugen ist. Der Ansatz liefert leicht ver¨anderte Gewichte und eine um 12.5% gr¨oßere Filterweite, die als Koeffizient in der dynamischen Prozedur auftaucht. Angesichts der auch im Minimum noch vorhandenen Differenz der Filter und vor allem der anderen Modellunsicherheiten erscheint dieser Aspekt jedoch weniger bedeutsam. Die Gewichte (6.92) ergeben sich auch bei Anwendung der Simpson– Regel zur Integration u ¨ber dem Intervall [xi−1 ; xi+1 ], was bei einem Finite–Differenzen– Ansatz nahe liegt. Werden nicht¨ aquidistante kartesische Gitter eingesetzt, so kann dem durch entsprechende Anpassung der Gewichte des diskreten Filters Rechnung getragen werden. Da bei LES die Gitterstreckung typischerweise sehr klein ist, wird u ¨ blicherweise davon abgesehen. Entsprechend werden auch bei dem noch allgemeineren Fall krummliniger strukturierter Gitter die Zusatzterme vernachl¨assigt und die Gewichte unver¨ andert eingesetzt. Man kann dies interpretieren als Filterung in einem kartesischen Rechengebiet, auf das das physikalische Rechengebiet abgebildet wird [268].

6.6.2

Unstrukturierte Gitter

Im Fall unstrukturierter Gitter bei Finite–Volumen– oder Finite–Elemente–Methoden ist die explizite Anwendung eines diskreten Filters eine komplexe Aufgabe. Neben der Realisierung der gew¨ unschten Gl¨attungseigenschaften, etwa mit einer vorgegebenen Filterweite, ist f¨ ur die effiziente Anwendung die Ber¨ ucksichtigung der internen Datenstruktur vonn¨ oten.

185

6.7 Modelle mit deterministischer Sch¨ atzung der Feinstruktur a

b

Abb. 6.10 Explizite Filterung bei unstrukturierten Gittern. a) Verallgemeinerter Rechteckfilter, b) Volumenmittel u ¨ ber Nachbarelemente. Ein offener Kreis kennzeichnet den Knoten, an dem der gefilterte Wert berechnet wird, volle Kreise die Funktionswerte, die dazu benutzt werden.

Jansen [257] diskutiert verschiedene Verfahren im Zusammenhang mit Finiten Elementen. Der verallgemeinerte Rechteckfilter zeigte bei Testrechnungen die besten Eigenschaften [258]. Dieser Filter bestimmt in einem zweidimensionalen Dreiecksgitter oder dreidimensio% als arithmetisches Mittel der Nachbarnalen Tetraedergitter den gefilterten Knotenwert φ i

angig vom Abstand der werte φj (siehe Abb. 6.10a). Die Filtergewichte sind dabei unabh¨ einzelnen Nachbarn. Eine andere Variante, die leicht f¨ ur beliebige Elementformen angewen% uber das Volumenmittel der Nachbarzellen [419] gem¨ aß det werden kann, bestimmt φ i ¨  e % = 1 φ V olj φj i j V ol j j

,

(6.93) e

auft (Abb. 6.10b). Der Wert φj im Zenwobei der Index j u ¨ ber alle angrenzenden Zellen l¨ trum des Volumens wird durch Interpolation aus den Knotenwerten der jeweiligen Zelle bestimmt und mit dem Zellvolumen V olj gewichtet. Die neuesten Arbeiten zu diesem Thema behandeln der Konstruktion von Filtern f¨ ur unstrukturierte Gitter mit frei w¨ ahlbarer Zahl verschwindender Momente [360], [230]. Weiterhin wird die Berechnung des gefilterten Wertes an einem Knoten zur¨ uckgef¨ uhrt auf die Berechnung des Gradienten an diesem Knoten. Die entsprechende Datenstruktur ist in vielen Codes bereits implementiert, so dass diese Operation effizient durchgef¨ uhrt werden kann. Die in Abschnitt 5.2.7 erw¨ ahnten Differentialfilter k¨ onnen ebenfalls zur expliziten Filterung bei unstrukturierter Diskretisierung eingesetzt werden. Sie erfordern jedoch die L¨osung einer elliptischen Gleichung und erscheinen daher gegen¨ uber den hier besprochenen sehr lokalen Operationen vergleichsweise aufw¨ andig.

6.7

Modelle mit deterministischer Sch¨atzung der Feinstruktur

6.7.1

Ansatz

Die im Folgenden besprochenen Modelle basieren auf dem Gedanken, dass mit Kenntnis des Geschwindigkeitsfeldes ui der Feinstrukturanteil τij = ui uj − ui uj berechnet werden atztes Feld u∗i ≈ ui zu kann. Da ui selbst unzug¨anglich ist, kann man versuchen, ein gesch¨

186

6 Feinstrukturmodelle

beschaffen, das GS– und FS–Anteile enth¨alt und dann τijmod = u∗i u∗j − u∗i u∗j

(6.94)

τijmod = u∗i u∗j − ui uj

(6.95)

oder

zu bestimmen. Der zweite Ansatz entspricht der direkten Verwendung von u ∗i im Konvektionsterm (mit anschließender Filterung) und ist daher recht einfach, da kein expliziter Feinstrukturterm in den Gleichungen mehr erscheint. Wegen der Bestimmung von u ∗i handelt es sich hier um eine Modellierung auf Tensorniveau. Da kein Ansatz in Form einer Wirbelviskosit¨ at verwendet wird, sind diese Modelle nicht strikt dissipativ und k¨ onnen Backscatter darstellen. Verschiedene Modelle dieses Typs unterscheiden sich nun dadurch, wie u∗i bestimmt wird. In diesem Abschnitt werden nur solche Modelle diskutiert, die dies in deterministischer Weise allein auf der Basis der aufgel¨osten Str¨omung ui tun. Bei der Beschreibung wird hier der Filteransatz verwendet, der davon ausgeht, dass ein Filter G existiert mit u i = G ∗ ui . Die inverse Operation zu einer Faltung bezeichnet man als “Entfaltung” (engl.: “deconvolution”). Alternativ kann man auch von inverser Filterung sprechen (engl:“defiltering”). ˆ >0 Sie ist per se nur in den seltenen F¨allen m¨oglich, in denen G invertierbar ist, was G voraussetzt (siehe Abschnitt 5.2.3). Bei einer LES verhindern dar¨ uber hinaus zwei wichtige Aspekte die sinnvolle Anwendung eines inversen Filters [25] und erfordern spezielle Maßnahmen: Zum einen verf¨alschen numerische Diskretisierungsfehler die L¨ osung im Bereich ˆ −1 = 1/G ˆ w¨ der feinen aufgel¨ osten Skalen sehr stark, und die Anwendung von G urde diese Anteile u ber Geb¨ u hr verst¨ a rken, ohne dass ihnen physikalische Bedeutung zukommt. Zum ¨ zweiten entspricht die numerische Diskretisierung einem Verlust von Information u ¨ ber die nicht aufgel¨ oste Feinstruktur, insbesondere jenseits der Frequenzen π/∆, die dann in den diskreten Variablen nicht mehr enthalten ist und auch nicht wiederbeschafft werden kann. Daher muss bei der Bestimmung eines Sch¨atzfeldes u∗i aus ui immer eine Gl¨ attung oder Regularisierung vorgenommen werden. Germano [193, S.184] f¨ uhrt zwei Denkweisen bei der LES–Filterung an. Die erste sieht das Intervall ∆ als nicht aufgel¨ostes Intervall, in welchem eine Funktion analytisch definiert ist und durch Entfaltung oder Taylor–Entwicklung wiederhergestellt werden kann, wie dies in den folgenden Abschnitten beschrieben wird. Die zweite sieht ∆ als ein Unbestimmtheitsintervall und die Filteroperation als prinzipiell irreversibel. Die Wahrheit liegt in der Mitte. Wird in einer LES mit Spektralmethode und Dealiasing ein idealer Tiefpass verwendet, so liegt der zweite Fall vor. Wird hingegen ein anderer Filter, wie z.B. ein Rechteckfilter, zu¨ sammen mit dem Ubergang auf diskrete Unbekannte verwendet, k¨ onnen Strukturen feiner als die Gitterschrittweite nicht rekonstruiert werden. Die aufgel¨ osten Anteile werden jedoch teilweise auch ged¨ampft und k¨onnen bei bekanntem Filter entfaltet werden. Zu bedenken ist jedoch, dass mit dem numerischen Schema ein unbekannter Filter erzeugt wird, der auch die Phase des Signals beeinflusst. Es kann also bei Entfaltung und ¨ ahnlichen Techniken nur darum gehen, ein bez¨ uglich seiner Energieverteilung in etwa passendes gesch¨ atztes Geschwindigkeitsfeld zu generieren, das einen realistischen Energiehaushalt erzeugt.

6.7 Modelle mit deterministischer Sch¨ atzung der Feinstruktur

6.7.2

187

N¨aherungsweise Entfaltung

In einer Serie von Arbeiten entwickelten Stolz, Adams und Kleiser das “Approximate Deconvolution Model” (ADM) [564], [563], [566]. Wie im vorigen Abschnitt besprochen, wird dabei zun¨ achst ein gesch¨atztes Geschwindigkeitsfeld u∗i ≈ ui bestimmt und dann zur Modellierung gem¨ aß τijmod = u∗i u∗j − ui uj

(6.96)

verwendet. Ausgangspunkt ist der Filter G, f¨ ur den die Nyquist–Frequenz ωN y = π/(2∆) aus der Gitterschrittweite ∆ folgt. Die Grenzfrequenz ωc wird hier definiert durch die Frequenz, ˆ c ) = 1/2. Ziel des Modells ist es, alle Beitr¨ bei der G(ω age mit |ω| < ωc ad¨ aquat aufzul¨ osen und den Bereich ωc ≤ |ω| < ωN y zur Modellierung des Energietransfers zu verwenden. Die ˆ > 0 f¨ ur ω < ωN y . In [564] wird daher von Lele [324] definierten kompakten Filter erf¨ ullen G ein symmetrischer Filter zweiter Ordnung gew¨ahlt mit    1 1 1 αφi+1 + φi + αφi−1 = , (6.97) +α φ + φi + φi−1 2 2 i+1 2 wobei φ die zu filternde Gr¨oße und der Index i den Gitterpunkt kennzeichnet. H¨ ohere Dimensionen ergeben sich durch Anwendung in jeder Raumrichtung auf einem kartesischen Gitter (nicht ¨ aquidistante und krummlinige Gitter sowie h¨ ohere Filterordnungen werden in [566] besprochen). Mit ωc = (2/3)ωN y folgt α = 1/4 wegen α = −(1/2) cos(2∆ωc ) [563]. Die wesentliche Idee des ADM besteht darin, die n¨ aherungsweise Invertierung des Filters durch die mehrfache Vorw¨artsanwendung des Filters zu ersetzen und zwar gem¨ aß N n (I − G) , (6.98) G−1 ≈ QN = n=0

wobei meist N = 5 gew¨ahlt wird. Damit ergibt sich    φ∗ = φ + φ − φ + φ − 2φ + φ + . . . .

(6.99)

ˆ N beschr¨ankt, und die Summe in (6.98) konvergiert gleichm¨ F¨ ur alle N < ∞ ist Q aßig. Da jedoch f¨ ur ω > ωc die Werte sehr groß werden, muss hier eine Regularisierung eingef¨ uhrt werden, die durch eine zweite Filterung mit dem Filter G2 = G ∗ QN bewerkstelligt wird. ˆ 2 ≈ 1 f¨ anktheit ist G ur |ω| < ωc und Wegen der hohen Ordnung von QN und seiner Beschr¨ ˆ 2 < 1 f¨ G ur ωc < |ω| < ωN y und somit ein guter Tiefpassfilter. Dieser Filter wird in Form eines zus¨ atzlichen D¨ampfungsterms −χu (I − G ∗ QN ) ∗ ui in der Impulsgleichung implementiert. Dabei ist χu entweder ein heuristisch bestimmter fester Parameter [564], [563], oder zeitlich und r¨ aumlich variabel gem¨aß der in den Skalen ωc < |ω| < ωN y enthaltenen Energie [566] a ¨hnlich dem Vorgehen bei der dynamischen Prozedur. A–priori und A–posteriori–Tests wurden bisher haupts¨ achlich mit Spektralverfahren oder finiten Differenzen hoher Ordnung [565] durchgef¨ uhrt und lieferten gute Ergebnisse. F¨ ur Diskretisierungen niedriger Ordnung erscheint der Ansatz jedoch nicht so gut geeignet, da hier der Diskretisierungsfehler st¨arker zu Buche schl¨ agt. In [613] wurden derartige Rechnungen unternommen, doch zeigte sich wegen der niedrigen Reynolds–Zahl kein signifikanter Unterschied zu Simulationen ohne FS–Modell.

188

6 Feinstrukturmodelle

Mathew et al. [372] machen die Approximation, dass G ∗ u∗ ≈ G ∗ u = u und zeigen, dass ADM dann implementiert werden kann durch explizites Filtern der berechneten L¨ osung in jedem Zeitschritt mit dem Filter Q ∗ G. Da die Filter q und G anderweitig nicht explizit auftauchen, kann zu diesem Zweck jeder Filter E ≈ Q ∗ G verwendet werden, der Tiefˆ passeigenschaften hat und E(ω) ≈1u ¨ ber einen großen Frequenzbereich. Dieser Ansatz zur Feinstrukturmodellierungbeinhaltet keine physikalischen Aspekte mehr.

6.7.3

Inverse Modellierung

Ein Vorl¨ aufer des im vorigen Abschnitt beschriebenen ADM ist das sog. Inverse Modell von Geurts [195]. Hier wird f¨ ur G der Rechteckfilter zugrunde gelegt und ein zweiter Filter IL konstruiert, der die Anwendung von G n¨aherungsweise umkehren soll. Er wird konstruiert u ¨ ber u∗i (x)





x+∆/2

=

IL x−∆/2

x−ξ ∆

 ui (ξ) dξ

,

(6.100)

wobei die in beiden Filtern verwendete Breite ∆ ein Vielfaches der Gitterschrittweite ∆ x sein muss, ∆ ≥ 4∆x . Das Integral in (6.100) wird dann mit Hilfe einer Newton–Cotes– Formel diskretisiert, deren Gewichte so bestimmt werden, dass Polynome bis zum Grad 2L rekonstruiert, d.h. durch Anwendung von IL ∗ G nicht ver¨ andert werden. Auf der Basis von u∗i wird dann ein verallgemeinertes Skalen¨ahnlichkeitsmodell τijIM = u∗i u∗j − u∗i u∗j

(6.101)

vorgeschlagen. Eine dynamische Variante dieses, um einen Wirbelviskosit¨ atsterm erg¨ anzten Modells findet sich in [306]. In dieser Arbeit wurden auch A–posteriori–Testrechnungen anhand einer Mischungsschicht durchgef¨ uhrt, die jedoch sehr ¨ ahnliche Resultate wie das DSM lieferten.

6.7.4

Das “Estimation Model”

Domaradzki und Mitarbeiter haben in [131] und weiteren Arbeiten ein Modellierungskonzept vorgeschlagen, das dem zuvor besprochenen ¨ ahnlich ist, und es als “Subgrid–Scale Estimation Model” (EM) bezeichnet. Ein Zeitschritt l¨ asst sich am einfachsten im Frequenzbereich und mit dem idealen Tiefpassfilter beschreiben. Die aktuelle LES–L¨ osung ui besitzt die zum Gitter geh¨origen Moden und keine FS–Anteile. Daher wird auf einem doppelt so feinen Gitter das gesch¨atzte Geschwindigkeitsfeld u∗i bestimmt und im Konvektionsterm verwendet. W¨ urde man nun auf dem feinen Gitter einfach weiterrechnen, erg¨ abe sich, da kein Dissipationsmechanismus vorhanden ist (das Gitter sei f¨ ur eine DNS zu grob), ein unphysikalisches Ansteigen der Energie in den feinen Skalen, ¨ ahnlich dem in Abb. 6.3a. Daher wird am Ende des Zeitschritts der LES–Filter G explizit angewendet, um die L¨ osung zur¨ uck auf das Ausgangsgitter zu projezieren. Im n¨ achsten Zeitschritt muss dann zun¨ achst u∗i wieder neu gesch¨atzt werden. Die Dissipation wird also durch explizites Filtern realisiert. Ein zweites Merkmal des Modells ist, dass der nichtlineare Konvektionsterm selbst

6.7 Modelle mit deterministischer Sch¨ atzung der Feinstruktur

189

zur Generierung von u∗i herangezogen wird. Dies geschieht u ¨ ber u∗i = ui + CEM (Ni − N i ) ,

(6.102)

wobei CEM eine Konstante und Ni eine vereinfachte Version des auf dem verfeinerten Gitter berechneten konvektiven Terms ist. Eine verbesserte Variante in [651] erzeugt u ∗i durch Evolution der NSE auf dem feineren Gitter, aber mit eingefrorenem Anteil u i . In den genannten Arbeiten wird nicht der ideale Tiefpass, sondern ein anderer Filter verwendet. aherungsweise) invertiert werden. Daher muss dieser vor der Sch¨atzung von u∗i zuerst (n¨ Dies geschieht nur auf dem LES Gitter mit Schrittweite ∆, nicht auf dem verfeinerten Gitter. Das EM enth¨alt an etlichen Stellen Heuristiken und ist insgesamt relativ komplex. Andererseits kann damit jeder NSE–L¨oser f¨ ur LES verwendet werden, vorausgesetzt, dass Filterung, n¨ aherungsweise Invertierung des Filters und Interpolation auf ein feineres Gitter definiert werden. Erweiterungen finden sich in [130], [347], [288], [135]. Die Ergebnisse mit dem EM bei LES von Kanalstr¨ omungen sind bei gleichem LES–Gitter ¨ besser als mit dem DSM [131], [130]. Vergleicht man die Rechenzeiten, so erzeugt der Ubergang auf ein feineres Gitter eine Verdreifachung des Aufwandes gegen¨ uber einer Rechnung ohne Modell [130]. Andererseits sollten die Simulationen und ihre Ergebnisse auch mit klassischen LES auf dem feineren Gitter (mit typischerweise achtfachem Aufwand) verglichen werden.

6.7.5

Das Modell von Clark

Neben der n¨ aherungsweisen Entfaltung oder inversen Filterung ist die Taylor–Entwicklung der gefilterten Geschwindigkeit ui ein weiterer Ansatz, um Informationen u osung ¨ ber die L¨ auf Skalen kleiner als ∆ zu erzeugen. Die Einordnung dieses Ansatzes wurde oben in Abschnitt 6.7.1 diskutiert. Das heute nach Clark benannte Modell (CM) wurde unabh¨ angig voneinander in [325] und [99] vorgeschlagen und basiert auf der Darstellung φ=φ+

1 2 2 ∆ ∂ φ 24 j xj

+

O(∆4 ) ,

(6.103)

die f¨ ur den Rechteckfilter durch Einsetzen der Taylor–Entwicklung von φ in φ = G ∗ φ entsteht. Einsetzen in den exakten Ausdruck f¨ ur τij liefert τij =

1 2 ∆ (∂x ui )(∂xk uj ) 12 k k

+

O(∆4 )

.

(6.104)

¨ Ahnlich dem SSM wurde festgestellt, dass das Modell nur mit einem zus¨ atzlichen Wirbelviskosit¨ atsterm stabil ist, was auf τija,CM =

a 1
2 ∆k (∂xk ui )(∂xk uj ) 12

−

(CS ∆)2 |S|S ij

(6.105)

f¨ uhrt. Dieser Aspekt wird in [621] diskutiert. Dort wird auch durch Verwenden der dynamischen Prozedur ein praktisch einsetzbares Modell erzeugt und, wie auch in [622], anhand einer Mischungsschicht getestet. In [294] wird jedoch gezeigt, dass dieses Modell f¨ ur turbulente Kanalstr¨omungen, und damit f¨ ur wandnahe Str¨ omungen allgemein, nicht geeignet

190

6 Feinstrukturmodelle

ist, da in Wandn¨ ahe unphysikalische negative Diffusion entsteht. Dieser Aspekt erfordert weitere Kl¨ arung. Die Frage, ob prinzipiell die Taylor–Entwicklung eines gefilterten turbulenten Geschwindigkeitsfeldes zul¨ assig ist, wird kontrovers diskutiert. Auch ein turbulentes Geschwindigkeitsfeld hat, selbst bei sehr großer Reynolds–Zahl, ein endliches Spektrum und ist somit glatt. Damit konvergiert die Taylor–Entwicklung der ungefilterten Geschwindigkeit. Die Auswirkungen der Filterung, z.B. der Einfachheit halber mit einem idealen Tiefpassfilter, sind jedoch folgende: Ableitungen werden im Frequenzbereich zur Multiplikation mit Potenzen der Wellenzahl, so dass hohe Ableitungen nahezu ausschließlich durch die h¨ ochsten Frequenzen bestimmt werden. Das trifft bei einem Kolmogorov–Spektrum ∼ k −5/3 bereits f¨ ur die zweite Ableitung zu. Werden diese Anteile durch eine Filterung beseitigt, verf¨ alscht das die f¨ ur die Taylor–Reihe ben¨otigten Ableitungen entsprechend und macht sie unbrauchbar. Die Entwicklung konvergiert also tats¨achlich nicht mehr. Andererseits interessiert bei der hier besprochenen Modellierung gar nicht, ob die Reihe konvergiert oder nicht, sondern ob mit den ersten Termen ein funktionsf¨ahiges Modell konstruiert werden kann.

6.7.6

Das Inkrementmodell

¨ Ahnlich dem Clark–Modell wird das von Brun und Friedrich [64] entwickelte Inkrementmodell (INC) u ¨ ber eine Taylor–Entwicklung motiviert. Hier wird jedoch ein allgemeinerer Filter zugrunde gelegt, der auch unsymmetrisch und nichtseparierbar sein kann. Das f¨ uhrt auf [65] τijIN C = (2bkl − ak al ) δk ui δk uj

,

(6.106)

wobei ak das erste Moment des Filters G bez¨ uglich der Koordinate xk und bkl das zweite assigung von Moment bzgl. xk und xl kennzeichnet. Dieses Modell entsteht durch Vernachl¨ Termen h¨ oher als zweiter Ordnung. Die Gr¨oße δk ui = ui (xk +

∆k ∆k ) − ui (xk − ) 2 2

(6.107)

ist das Inkrement der gefilterten Geschwindigkeit auf der Distanz ∆k in k–Richtung und ist, insbesondere in einem Code mit versetztem Gitter, leicht verf¨ ugbar. Eine dynamische Variante des Modells wurde ebenfalls entwickelt. In den genannten Arbeiten wurden ausf¨ uhrliche A–priori und A–posteriori–Tests des Modells f¨ ur Rohrstr¨ omungen angestellt, die die gute Wirkungsweise besonders f¨ ur anisotrope Str¨ omungen und anisotrope Gitter belegen. F¨ ur komplexere Str¨ omungen liegen jedoch noch keine Erfahrungen vor.

6.7.7

Deterministische Mikrowirbel

Basierend auf einem Ansatz von Pullin und Saffman [481] schlagen Misra und Pullin [396] eine Modellierung vor, die in jeder Zelle die Existenz eines Wirbels annimmt, der durch das großskalige Geschwindigkeitsfeld deformiert wird (“Stretched Vortex Model”). Dies f¨ uhrt

191

6.8 Stochastische Modelle

auf die Modellierung  τij = (δij − ei ej )Kτ

,

∞

Kτ =

E(k) dk

,

(6.108)

kc

wobei kc die Grenzwellenzahl des Gitters kennzeichnet. Die Feinstrukturenergie K τ wird unter Annahme eines Spektrums, z.B. des Kolmogorov–Spektrums, aus S ij berechnet. Die Orientierung des Wirbels, gekennzeichnet durch den Einheitsvektor ei , kann mittels verschiedener Strategien bestimmt werden, beispielsweise parallel zu Eigenvektoren von S ij . Die Wahl der Orientierungen geschieht also deterministisch in Abh¨ angigkeit von den aufgel¨ osten Anteilen der Geschwindigkeit. Der Vorzug des Ansatzes besteht darin, dass durch die Wahl des Spektrums und Ver¨ kn¨ upfung zwischen Wirbelorientierung und Grobstruktur viele physikalische Uberlegungen eingehen k¨ onnen. So ist es m¨oglich, anisotrope Turbulenzstruktur zu ber¨ ucksichtigen, wie dies nahe einer Wand n¨otig ist [397]. In [609] wurde eine Version des Modells im physikalischen Raum entwickelt und anhand von Kanalstr¨ omungen getestet. Die mittlere Str¨ omung wird dabei sehr gut berechnet. Die verwendete Spektralmethode ist allerdings schon sehr genau und liefert beispielsweise ohne Modell Fluktuationen, die nur wenig von denen mit Modell abweichen. Da der Modellansatz in seiner Begr¨ undung durch Turbulenztheorien recht komplex ist, hat er bisher wenig Anwendung gefunden.

6.8

Stochastische Modelle

6.8.1

Ansatz

Die einf¨ uhrende Diskussion in Abschnitt 6.1 motiviert, dass FS–Modelle sowohl deterministischen als auch stochastischen Charakter haben k¨ onnen. Die Dissipation wird zwar von den großen Skalen bestimmt, jedoch gilt dies nur im statistischen Mittel. Die Betrachtung der NSE im Frequenzbereich zeigt, dass der Energieaustausch zwischen GS und FS in beiden Richtungen stattfinden kann. Bei festliegender GS h¨ angt das Vorzeichen des lokalen und momentanen Transfers dann von der Phase der FS–Anteile ab, die jedoch durch das Energiespektrum nicht festgelegt ist. Die Zielsetzung einer LES hinsichtlich der zu berechnenden Gr¨ oßen wurde weiter oben diskutiert. Sowohl mit deterministischen als auch mit stochastischen Modellen kann dies erreicht werden. Hintergrund f¨ ur die Entwicklung letzterer war meist das Bed¨ urfnis, Backscatter darzustellen, indem auf den feinen Skalen ein Energieeintrag stattfindet. Er kann mit den hier beschriebenen Ans¨ atzen detaillierter gesteuert werden. Die FS–Modelle vom Skalen¨ahnlichkeitstyp oder mit deterministischer Sch¨ atzung der Feinstruktur stellen jedoch auch Backscatter dar.

6.8.2

Stochastische Anteile im Frequenzbereich

Die Modellierung mit Hilfe einer spektralen Wirbelviskosit¨ at l¨ asst sich sehr gut mit den Theorien isotroper Turbulenz motivieren und kalibrieren. Da dieser Koeffizient jedoch immer positiv ist, handelt es sich um ein rein dissipatives Modell. Nach Leslie und Quarini [332] kann der Prozess aufgespalten werden in einen Vorw¨ arts– und einen R¨ uckw¨ artsanteil,

192

6 Feinstrukturmodelle

der dort als “eddy noise” bezeichnet wird. Beide Prozesse k¨ onnen dann getrennt modelliert werden, Vorw¨ artstransfer durch einen Wirbelviskosit¨ atsterm und Backscatter durch einen anderen Prozess, z.B. stochastischer Natur. In [43] und [87] wurden solche Modelle im Frequenzbereich vorgeschlagen und auf isotrope Turbulenz angewendet. Die Modellierung im Frequenzbereich macht jedoch die Anwendung auf komplexere Geometrien unm¨ oglich.

6.8.3

Stochastische Kraftterme im Ortsbereich

Leith [323], aber auch Mason und Thomson [371] schlugen vor, ein Wirbelviskosit¨ atsmodell durch einen stochastischen Kraftterm zu erweitern. Er wird direkt in die Impulsgleichung eingef¨ ugt, die im Ortsbereich gel¨ost wird. Bei der L¨ osung der Gleichungen f¨ ur inkompressibles Fluid ist es aus praktischen Gr¨ unden wichtig, dass dieser Term divergenzfrei ist. Ansonsten enth¨ alt der Druckterm einen Zusatzanteil, der zu starken Konvergenzproblemen bei der iterativen Bestimmung des Drucks f¨ uhrt. Daher wird in beiden Modellen ein Vektorpotenzial Φi eingef¨ uhrt und die Zusatzkraft durch Bilden der Rotation aus diesem Potenzial bestimmt. Das Vektorpotenzial in jedem Gitterpunkt und Zeitschritt wird durch eine Zufallszahl r bestimmt (Gaußsche Verteilung mit verschwindendem Mittelwert und Varianz 1). Die weitere Aufgabe besteht nun darin, diese abh¨angig von den Simulationsparametern geeignet zu skalieren, also darin, den Zusammenhang F in Φi = F(|S|, ∆t , ∆) r

(6.109)

festzulegen. Leigth [323] schl¨agt vor −1/2

F = CL |S|2/3 ∆t

∆2

(6.110)

mit CL = 0,4. Vor der Bildung der Rotation wird das Potential mit einem Filter der Schrittweite 2∆ gefiltert, um numerische Fehler zu reduzieren und die Stabilit¨ at des Verfahrens zu verbessern. In [371] wird ein ¨ahnlicher Ansatz mittels eines Vektorpotentials verwendet. Die Skalierung ist jedoch komplizierter und wird daher hier aus Platzgr¨ unden nicht detailliert. Wie in den vorgehend besprochenen Modellen haben auch andere Autoren Zusatzterme in der Impulsgleichung zur Erzeugung von Backscatter vorgeschlagen. Schumann [530] verwendet das Modell τij = νt S ij +

2 BS Kτ δij + rij 3

,

(6.111)

BS wobei der Backscatterterm rij den Mittelwert 0 hat und aus einem divergenzfreien, stochastisch fluktuierenden Geschwindigkeitsfeld bestimmt wird. Carati et al. [76] bestimmen eine stochastisch fluktuierende Kraft fi als Zusatzterm zu einem Wirbelviskosit¨ atsmodell. Bez¨ uglich der Details und einer Diskussion im Vergleich zu den vorher genannten stochastischen Modellen sei hier jedoch auf die Originalarbeit verwiesen.

Stochastische Zusatzterme haben sich auch als wesentlich herausgestellt f¨ ur die tiefengemittelte, also zweidimensionale, LES der Str¨omung in flachen Gew¨ assern [241]. Sie sind besonders von Bedeutung, wenn Instabilit¨aten auftreten, wie z.B. in einer Mischungsschicht,

6.9 Modelle f¨ ur Skalartransport

193

denn die nicht aufgel¨osten dreidimensionalen Fluktuationen beeinflussen die Wachstumsrate der Mischungsbreite. In [244] wurde zun¨achst ein stochastisch bestimmtes zweidimensionales Vektorpotential getestet. Die Ableitungen zur Berechnung des Quellterms verst¨ akten jedoch die feinskaligen Anteile der Zufallszahlen, und zwar in anisotroper Weise, was zu unbefriedigenden Resultaten f¨ uhrte. In [242] wird ein isotropes Modell vorgeschlagen, das auf die Divergenzfreiheit verzichtet, da dies durch die Bestimmung des Drucks kompeniert wird. Der Kraftterm in der Impulsgleichung wird darin zu fi = F Gp ∗ r ei

(6.112)

angesetzt, wobei ei der Einheitsvektor und r wieder eine Zufallszahl mit den obigen Eigenschaften ist. Der Filter Gp mit den Gewichten a−1 = 1, a0 = 0, a1 = 1 wird in der Zeit und im Raum (Tensorproduktform, auf krummlinigen Koordinaten entlang den Gitterlinien) angewendet. Im eindimensionalen ¨aquidistanten Fall ist seine Transferfunktion eine Parabel. Dieser Filter eliminiert Anteile nahe der Nyquist–Frequenz des Gitters. Dadurch wird zwar die Konvergenz des Druckl¨osers gegen¨ uber dem Fall fi = 0 immer noch etwas verschlechtert, jedoch bei weitem nicht mehr so stark wie ohne Filterung. Zweitens werden auch grobskalige Anteile in r eliminiert, die die aufgel¨osten Skalen der Str¨ omung beeinflussen w¨ urden.

6.8.4

Stochastische Mikrowirbel

Scotti und Meneveau [534] haben ein Modell entwickelt, bei dem mit Hilfe einer chaotischen Abbildung ein synthetisches FS–Geschwindigkeitsfeld generiert wird, das einen gew¨ unschten fraktalen Charakter hat. Legt man diesen Ansatz zugrunde, kann der FS-Tensor τij explizit berechnet werden, ohne das FS–Geschwindigkeitsfeld tats¨ achlich zu konstruieren. Meneveau (in einem Vortrag 2000) r¨aumte jedoch ein, dass der physikalische Gehalt des Basismodells zu gering sei und erst mit zus¨atzlichen Korrekturen ein praktikables FS–Modell entsteht. Dies illustriert einen Kritikpunkt, der den bisher beschriebenen stochastischen Modellen oft entgegengebracht wird, n¨amlich dass sie in ihrer r¨ aumlichen Struktur nur auf, ggf. gegl¨ atteten, Zufallszahlen basieren und zu wenig physikalisch sinnvolle r¨ aumliche Struktur enthalten. Sofern der stochastische Term nur auf Skalen nahe der Grenzfrequenz des Gitters agiert, erscheint diese Tatsache jedoch unkritisch. Hier ist sicherlich weiterer Forschungsbedarf vorhanden.

6.9

Modelle fu ¨r Skalartransport

6.9.1

Passive Skalare

Wird eine skalare Gr¨oße von der Str¨omung transportiert, ohne diese zu beeinflussen, spricht man von einem passiven Skalar. Die LES von Str¨ omungen mit Transport passiver Skalare hat große Bedeutung zur Simulation von Ausbreitungsvorg¨ angen im industriellen und umwelttechnischen Bereich. Beispiele sind Bauteilk¨ uhlung, Bestimmung der thermischen Erm¨ udung, Ausbreitungsvorg¨ange sowie die Beschreibung von Mischungsvorg¨ angen. Der Transport eines passiven Skalars φ wird durch Gleichung (2.7) beschrieben, und alles hier

194

6 Feinstrukturmodelle

Gesagte gilt gleichermaßen f¨ ur den Temperatur– wie auch den Stofftransport. Im zweiten Fall wird lediglich die entsprechende Kennzahl als Schmidt–Zahl Sc bezeichnet. In Abschnitt 2.4.7 wurde dargestellt, dass das hochfrequente Ende des skalaren Spektrums abh¨ angig von der molekularen Prandtl–Zahl P r weiter oder weniger weit reicht als das Spektrum der Geschwindigkeiten. Es ist daher m¨oglich, z.B. f¨ ur fl¨ ussige Metalle eine LES des Geschwindigkeitsfeldes und auf demselben Gitter eine DNS des Temperaturfeldes durchzuf¨ uhren. In diesem Fall ben¨otigt man kein FS–Modell f¨ ur den W¨ armestrom, da dieser vollst¨ andig aufgel¨ ost wird. Solche Arbeiten wurden beispielsweise von Gr¨ otzbach durchgef¨ uhrt und in [215] zusammengefasst. Ist das Gitter grober oder die Prandtl–Zahl gr¨oßer, muss bei einer LES der nicht aufgel¨ oste Fluss des Skalars τφi = ui φ − ui φ

(6.113)

modelliert werden. Am h¨aufigsten wird dazu ein turbulenter Diffusionskoeffizient Γt mit τφi = −Γt ∂xi φ

(6.114)

eingef¨ uhrt [145], [147]. Die einfachste Modellierung geschieht, wie bei statistischen Modellen, durch die Verkn¨ upfung mit der Wirbelviskosit¨at u ¨ ber eine turbulente Prandtl–Zahl P rt der Form Γt =

νt P rt

,

(6.115)

wobei in der Literatur f¨ ur Prt , bzw. Sct , Werte 0,3, . . . , 0,7 zu finden sind: Sct = 0,33, . . . , 0,7 [17], P rt = 0,4 [145], P rt = 0,4 [216], Sct = 0,3 [263], P rt = 0,33 [126]. Die Erweiterung auf eine dynamische Berechnung von Prt geschieht analog dem vorher dargestellten Verfahren [407]. In dieser Arbeit wurden A–priori–Tests durchgef¨ uhrt f¨ ur homogene Scherstr¨ omung und Gradienten des Skalars in verschiedenen Richtungen. Dabei kann, je nach Orientierung, ur eine Kanalstr¨ omung zeigen Prt ≈ P rt bis zu einem Faktor 2 differieren. A–priori–Tests f¨ 0,5 in der Kanalmitte und einen Anstieg von P rt an der Wand, sowie ein Anwachsen mit sinkender molekularer Prandtl–Zahl und Gitterverfeinerung. Da ein gr¨ oßerer Wert von P rt einer Reduktion des FS–Terms entspricht, ist diese Beobachtung im Einklang mit der obigen Bemerkung: der FS–Anteil des Konvektionsterms sinkt, da das skalare Spektrum bereits bei kleineren Wellenzahlen endet. In diesem Zusammenhang ist also die dynamische Berechnung von P rt vorteilhaft gegen¨ uber der Vorgabe dieses Wertes. Wie das DSM k¨ onnen auch die meisten anderen Modelle f¨ ur den FS–Anteil des Impulsstromes auf die Modellierung des Skalatransportes u ¨bertragen werden. Die oben gemachten Beobachtungen gelten analog. In [391] wird die Modellierung des Skalartransportes im Frequenzbereich mit Hilfe einer spektralen Wirbeldiffusivit¨ at durchgef¨ uhrt. Ebenso kann das ¨ gemischte Modell u des DMM f¨ ur den ¨ bertragen werden [147]. In [491] wurde das Aquivalent ¨ Skalartransport verwendet und mit dem bereits genannten Aquivalent des DSM verglichen. Beide lieferten in LES eines ebenen Strahls ¨ahnliche Ergebnisse, wobei jedoch das gemischte Modell besser abschnitt und daher empfohlen wird. Jim´enez et al. [263] diskutieren den “Backscatter” f¨ ur skalare Gr¨oßen und zeigen f¨ ur die Transition in einer Mischungsschicht,

195

6.9 Modelle f¨ ur Skalartransport

dass auch mit einem rein diffusiven FS–Modell der Skalartransport gut vorhergesagt wird, vorausgesetzt das Geschwindigkeitsfeld wird richtig berechnet. Bei voll ausgebildeter Turbulenz ist der skalare Backscatter vernachl¨assigbar [263]. Von Jaberi und Colucci [253] wurden verschiedene Modelle vom Skalen¨ahnlichkeitstyp f¨ ur den Skalartransport entwickelt und auf einfache Str¨ omungen angewendet. Dabei schnitten diese relativ komplizierten Modelle bes¨ ser ab als das Wirbeldiffusionsmodell oder das Aquivalent des DMM. Es bleibt jedoch zu untersuchen, ob dies auch f¨ ur komplexe Str¨omungen festgestellt werden kann. In [119] wurde sogar eine Transportgleichung f¨ ur ui φ und φ
2 gel¨ ost, was heute wegen des damit verbundenen Aufwandes meist nicht geschieht [179], wenn allein passive Skalare oder Auftriebsstr¨omungen berechnet werden. In einigen neueren Arbeiten wird dagegen eine Transportgleichung f¨ ur die Varianz des Skalars gel¨ ost [263], weil sie sehr h¨ aufig als Eingangsgr¨ oße zur Modellierung eines Reaktionsterms verwendet wird. Spezialf¨ alle des Transports passiver Skalare entstehen bei sehr kleinen und bei sehr großen Prandtl– bzw. Schmidt–Zahlen. Der erste Fall tritt bei fl¨ ussigen Metallen auf und ist unter anderem f¨ ur die Reaktorsicherheit von Bedeutung. Hier kann vielfach bei einer LES des Str¨ omungsfeldes das Skalarfeld im Sinne einer DNS vollst¨ andig aufgel¨ ost werden, da dies viel glatter ist (s. Abschnitt 2.4.7). Derartige Arbeiten werden in [215] zusammenfassend diskutiert. Der zweite Fall tritt z.B. bei dem Transport von Tracern in Fl¨ ussigkeiten auf. Hier ist bei niedrigen Reynolds–Zahlen umgekehrt die Situation m¨ oglich, dass das Geschwindigkeitsfeld im Sinne einer DNS vollst¨andig repr¨ asentiert werden kann, w¨ ahrend das Skalarfeld feinskalige Anteile enth¨alt, die nicht aufgel¨ ost werden. Der zu modellierende Feinstrukturterm in der Skalargleichung wird dann linear in φ. F¨ ur diese Situation schlagen Schwertfirm und Mannhart [533] eine Modellierung mit Hilfe der ADM vor. Sie resultiert in der L¨ osung der Transportgleichung ∗∗

∂t φ∗∗ + ∂xj (uj φ∗∗ )

=

ν ∂x x φ∗∗ Sc j j

(6.116)

f¨ ur φ∗∗ = (QN ∗ G) ∗ φ, mit den Definitionen von QN und G in Abschnitt 6.7.2. Die FSModellierung wird also durch die Anwendung des Filters QN ∗ G auf den Konvektionsterm in jedem Zeitschritt realisiert.

6.9.2

Aktive Skalare

Wird eine skalare Gr¨oße wie Temperatur oder Stoffkonzentration nicht nur mit der Str¨ omung transportiert, sondern beeinflusst sie diese auch, spricht man von einem aktiven Skalar. Ein Beispiel ist die Wirkung von Dichteunterschieden durch Erw¨ armung bei nichtvernachl¨ assigbarem Gravitationseinfluss. In vielen technischen Str¨ omungen spielen Gravitationseffekte keine Rolle, jedoch gibt es auch zahlreiche Anwendungen, in denen sie pr¨ agend sind. Dazu geh¨ oren Klimatisierung, Brandschutz, K¨ uhlung im Kraftwerksbereich, manche Verbrennungssysteme, etc. Ebenso sind Auftriebseffekte f¨ ur Str¨ omungen in der Atmosph¨ are, im Ozean oder in Seen wichtig. Auftriebseffekte wirken sowohl auf die großen, aufgel¨ osten als auch auf die nicht aufgel¨ osten Skalen. Physikalisch bewirkt eine stabile Schichtung eine Reduktion der turbulenten Schwankungen, eine instabile Schichtung eine Produktion. Dies kann durch einen Zusatzterm im

196

6 Feinstrukturmodelle

Ausdruck f¨ ur die Wirbelviskosit¨at ber¨ ucksichtigt werden [339], [647] ! 1 g νt = C∆ |S|2 − ∂z φ , P r φ0 2

(6.117)

wobei g die Erdbeschleunigung in Richtung der negativen z–Achse, φ die Temperatur und φ0 eine Referenztemperatur sind. Im Allgemeinen wird der Zusatzterm jedoch in komplexer Weise vom Temperaturgradienten abh¨angig gemacht, wof¨ ur es in der meteorologischen ¨ Literatur wie z.B. [369] Vorschl¨age gibt (siehe auch den Ubersichtsartikel von Schumann [531]). Beispielsweise wird oft anstelle der Korrektur (6.117) die turbulente Prandtl–Zahl von der Temperaturschichtung abh¨angig gemacht u ¨ ber [120]

P rt =

∆ ∆ + 2lφ

;

⎧ ⎪ ∂z φ < 0 , instabile Schichtung ⎨ ∆,  lφ = −1/2 √ ⎪ , ∂z φ > 0 , stabile Schichtung. ⎩ Cl Kτ φg0 ∂z φ (6.118)

Darin ist g die Erdbeschleunigung in negativer z−Richtung und Cl = 0,76 [402], [571], Kτ wird aus einer Transportgleichung bestimmt. Von der Modellierung her identische Verh¨ altnisse treten bei der Ber¨ ucksichtigung von Stoffkonzentrationen wie z.B. dem Salzgehalt in Wasser auf. Aktive Skalare in Form der Dichte und damit der Temperatur oder entsprechender thermodynamischer Gr¨oßen spielen eine wesentliche Rolle bei der Simulation kompressibler Str¨omungen. Deren FS–Modellierung des Impulstransportes, das sei hier kurz erw¨ ahnt, ¨ geschieht nahezu ausschließlich durch direkte Ubertragung der Modellierung f¨ ur den inkompressiblen Fall unter Verwendung des dichtegewichteten oder Favre–Mittels ρφ/ρ [225]. In [407] wird etwa das DSM f¨ ur diesen Fall formuliert. Dabei ist zu beachten, dass bei kompressiblen Str¨omungen der Deformationstensor nicht mehr spurfrei ist, so dass die Modellierung von τija durch den deviatorischen Anteil des Deformationstensors erfolgt und die Spur τkk getrennt bestimmt wird. In [147] wird jedoch nachgewiesen, dass der zweite Anteil bei Str¨ omungen mit einer Machzahl bis 0,4 vernachl¨ assigt werden kann. Weitere Modelle und entsprechende Testrechnungen finden sich beispielsweise in [622] und [104]. Neben dem Konvektionsterm treten in der Energiegleichung f¨ ur kompressible Str¨ omungen zahlreiche weitere nichtlineare Terme auf, die zu modellieren sind. In [620], [617] wurden A–priori–Tests durchgef¨ uhrt, um deren Bedeutung zu untersuchen und entspre¨ chende Modellvorschl¨age zu entwickeln. Eine gute Ubersicht u ¨ ber die Modellierung der FS–Terme in der Impulsgleichung und der Energiegleichung f¨ ur kompressible Str¨ omungen findet sich auch in [361]. Noch wesentlich komplexer ist die FS–Modellierung, wenn in reaktiven Str¨ omungen Dichte und Stoffumsatz durch chemische Reaktionen in d¨ unnen Flammenfronten innerhalb der ¨ turbulenten Str¨ omung bestimmt werden. Hierzu gibt [470] eine ausf¨ uhrliche Ubersicht.

6.10 Validierung und Auswertung, Realisierbarkeit

6.10

197

Validierung und Auswertung, Realisierbarkeit

Bei den in Abschnitt 5.9.1 diskutierten A–posteriori–Tests werden statistische Ergebnisse einer durchgef¨ uhrten LES mit Daten aus DNS oder Experiment verglichen. Deren Reynolds– Spannungen Rij (u) =
u

i u

j  werden dann gem¨aß Gleichung (5.109) ?

u) +
τijmod  Rij (u) = Rij (˜

(6.119)

modelliert. Dabei tritt f¨ ur Wirbelviskosit¨atsmodelle die Problematik auf, dass die Spur nicht mitmodelliert wird. (Wenn, wie dies h¨aufig geschieht, die FS–Anteile in den Reynolds– Spannungen vernachl¨assigt werden, weil die Anteile auf feinen Gittern sehr klein sind, stellt sich das Problem nat¨ urlich nicht.) Zur Veranschaulichung sei hier die mittlere Impulsgleichung in Wandnormalenrichtung f¨ ur eine ausgebildete ebene Kanalstr¨ omung notiert. Durch die Symmetrien des Problems fallen zahlreiche Terme weg, so dass sich f¨ ur ein reines Wirbelviskosit¨ atsmodell ∂y
v

v

 + ∂y
p + τkk /3 = −∂y
τija,mod 

(6.120)

ergibt. Als Unbekannte der Simulation taucht nur Π = p + τkk /3 auf, so dass die beiden Anteile nicht getrennt werden k¨onnen. Im Gegensatz zu einer laminaren Grenzschicht oder Kanalstr¨ omung ist im turbulenten Fall ∂y p = 0, was direkt an (6.120) sichtbar ist, wenn man den Fall einer DNS mit τij = 0 betrachtet. Es gibt nun, neben der Vernachl¨assigung der FS–Anteile, zwei Ans¨ atze zur L¨ osung dieser Problematik. Winckelmans et al. [644] betrachten die Aufgabe der Validierung einer LES– Methode. Sind die Reynolds–Spannungen Rij z.B. aus einem Experiment gegeben, so kann a = Rij − δij Rkk /3 bestimmt werden, was dann ebenso mit leicht deren spurfreier Anteil Rij den aufgel¨ osten LES–Daten geschieht. Eine Validierung durch den Vergleich von LES und Experiment ist dann u ¨ber ?

a a Rij (u) = Rij (˜ u) +
τija,mod 

(6.121)

m¨ oglich. In Anwendungen ist jedoch nach den vollst¨andigen Reynolds–Spannungen gefragt. Ein zweites Vorgehen besteht also darin, ein separates Modell f¨ ur die Spur des FS–Tensors bereitzustellen. Damit k¨onnen dann die vollst¨andigen Reynolds–Spannungen u ¨ ber 1 ?
u

i u

j  =
u

i u

j  +
τija,mod  +
τkk mod δij 3

(6.122)

bestimmt werden (man beachte die unterschiedliche Position des Index mod). Deardorff [118] verwendete das Smagorinsky–Modell mit CS = 0,1 und, basierend auf einer Theorie von Lilly [340], 1 2
νt 2 CS2
τkk mod = 3 3 (CS ∆)2 C12

,

C1 = 0,094 .

(6.123)

Ein analoger Vorschlag ist das Yoshizawa-Modell [652] mit CS = 0,16 und C1 = 0,0886. Entsprechend ist auch f¨ ur gemischte Modelle vorzugehen, sofern diese einen Wirbelviskosit¨ atsanteil enthalten. Bei Str¨omungen in Wandn¨ ahe gelten allerdings die Modellannahmen

198

6 Feinstrukturmodelle

nicht, so dass hier Vorsicht geboten ist. Eingleichungsmodelle mit einer Transportgleichung f¨ ur Kτ stellen aufgrund der Definition Kτ = τkk /2 die Spur des FS–Tensors bereit, was ein Vorzug solcher Modelle ist. Vreman [617], [619] schließlich diskutiert, dass zus¨atzlich zu Gleichung (6.123) die Bedingung √ C1 ≥

3 2 C 2 S

(6.124)

erf¨ ullt werden sollte, um den physikalischen Realismus des FS–Modells zu garantieren. Dieser Aspekt, der in der Literatur mit dem englischen Begriff “Realizability” bezeichnet wird, ist recht theoretisch und wird hier aus Platzgr¨ unden nicht im Detail besprochen. Er bezeichnet zun¨ achst die Tatsache, dass die Eigenschaften der Reynolds–Mittelung erzwingen, dass der Reynoldssche Spannungstensor immer positiv definit ist. Das ist von großer Bedeutung f¨ ur die Konstruktion von RANS–Modellen [473]. Bei LES ist dies nach Ansicht des Verfassers jedoch weit weniger der Fall: Bestimmte Filter f¨ uhren auf “nicht realisierbare” FS–Terme. Mit einem entsprechenden “nicht realisierbaren Modell” erg¨ aben sich jedoch auch hier sinnvolle Simulationen. Die aufgel¨osten Fluktuationen
u

i u

j  sind, da sie durch explizites Reynolds–Mitteln bestimmt werden, immer positiv definit, d.h. realisierbar.

6.11

Zusammenfassung verwendeter Konzepte und Beurteilung

Die Zahl der existierenden Feinstrukturmodelle ist u ¨beraus hoch, da sich ausgehend von Grundtypen vielgestaltige Varianten ergeben. In diesem Kapitel konnten daher nur die wich¨ tigsten Modelltypen besprochen werden. Abb. 6.11 stellt sie noch einmal in einer Ubersicht dar und nennt beispielhafte Vertreter. Im R¨ uckblick auf die Diskussion der FS–Modellierung sind einige zentrale Strategien zu beobachten, die in der ein oder anderen Form immer wieder auftauchen [169]. 1. Verfeinerung des Gitters. ¨ 2. Ubernahme von Modellans¨atzen f¨ ur RANS. 3. Streben nach Realismus durch Darstellung von Backscatter. 4. Ausnutzen des Multiskalencharakters der Turbulenz zur Modellierung. 5. Anbindung an Turbulenztheorien. 6. Verwendung formaler Beziehungen wie Tensorkalk¨ ul und Germano–Identit¨ at. Zur Erl¨ auterung des ersten Punktes sei folgendes angemerkt. Prinzipiell erwartet man bei Gitterverfeinerung eine Reduktion des FS–Anteils und damit eine Verbesserung des Resultats, da ja im Grenzwert eine LES in eine DNS u ¨bergeht und die Unsicherheit durch das FS–Modell entf¨ allt. In zahlreichen Arbeiten wird jedoch beobachtet, dass sich bei Gitterverfeinerung nicht notwendigerweise ein genaueres Ergebnis einstellt. Verbessert sich das Ergebnis nicht, kann dies durch die Dominanz anderer Effekte verursacht werden. Bisweilen wird das Resultat bei Gitterverfeinerung jedoch auch schlechter. Ein Grund ist, dass Gitter oft nicht parametrisiert in allen Richtungen gleichzeitig verfeinert werden. Als Folge a ¨ndern

199

6.11 Zusammenfassung verwendeter Konzepte und Beurteilung

deterministisch νt algebraisch

τij Transportgl.

algebraisch

SM Kτ –Gl. τij = fij (S, Ω) verallg. SM νt –Gl. SSM (u oder % u) WALE erweiterte SSM Selektive Prozeduren Gemischte Modelle Dynamische Prozedur

Transportgl.

Sch¨ atzung

τij –Gl.

ADM, IM EM CM, INC

stochastisch νt + Kraftterm

Mikrowirbel

¨ Abb. 6.11 Ubersicht u ¨ ber die in diesem Kapitel diskutierten Typen der FS–Modelle.

sich die Details der aufgel¨osten Dynamik und des FS–Modells in komplexer Weise, beispielsweise bei der Bestimmung der charakteristischen L¨ ange im FS–Modell. Dies wurde zum Beispiel bei der Str¨omung u ugel beobachtet (s. Abschnitt 9.5). Zweitens ist es ¨ ber einen H¨ f¨ ur die Verbesserung bei Gitterverfeinerung n¨otig, dass das Gitter bereits einen Großteil der turbulenten kinetischen Energie aufl¨ost. Eine dritte und damit verbundene Ursache k¨ onnen konkurrierende Effekte sein, die bei einer Gitterverfeinerung eine Rolle spielen. Sie sind beispielsweise gelegentlich bei der Simulation von Geometrien mit homogenen Richtungen, wie Tragfl¨ ugeln zu beobachten [383]. In dieser Arbeit werden einige Rechnungen mit sehr grobem Gitter in Spannweitenrichtung diskutiert, die etwa bzgl. der gesuchten Str¨ omungsabl¨ osung recht gut mit den experimentellen Daten u ¨bereinstimmen. Dabei trat jedoch der Effekt auf, dass durch die ungen¨ ugende Gitterfeinheit der Charakter der aufgel¨ osten Turbulenz k¨ unstlich in Richtung einer rein zweidimensionalen Str¨ omung verschoben wurde, die in diesem Fall eher zu Abl¨osung neigt. In solchen F¨allen f¨ uhrt ein feineres Gitter zu einer schlechteren L¨ osung, und erst bei einer drastischen weiteren Verfeinerung w¨ urden sich vermutlich bessere Resultate einstellen. Zusammenfassend handelt es sich also um zwei Mechanismen. Erstens muss der Diskretisierungsfehler eines numerischen Verfahrens zur L¨ osung einer gegebenen partiellen Differentialgleichung nicht notwendigerweise monoton abnehmen, auch wenn dieses Verfahren konsistent ist, denn monotones Abnehmen des Fehlers kann erst im Konvergenzbereich, d.h. mit bereits sehr feiner Diskretisierung erwartet werden. Zweitens ist bei einer LES das Gitter gewissermaßen ein Teil des Modells, und die zu l¨ osende Gleichung ¨ andert sich mit dem gew¨ahlten Gitter. Dadurch entsteht ein zus¨ atzlicher Einfluss, der u ¨ber die Betrachtung der numerischen Konsistenz und Konvergenz weit hinausgeht.

200

6 Feinstrukturmodelle

Die FS–Modellierung muss auch immer im Zusammenhang mit den methodischen Ans¨ atzen gesehen werden, die im vorigen Kapitel diskutiert wurden. Durch den Ansatz wird festgelegt, was unter der gefilterten Geschwindigkeit zu verstehen ist, wodurch in der Folge die zu modellierenden FS–Anteile definiert sind. Da die numerische Methode einen Einfluss auf die L¨ osung hat und ebenfalls als Filter wirkt, ist es sinnvoll, das FS–Modell in seiner diskreten Form zusammen mit der Diskretisierung der anderen Terme der Gleichung als eine diskrete Gesamtheit zu betrachten. Die Anwendung des Gitterfilters bei den Skalen¨ahnlichkeitsmodellen oder die Angabe seiner charakteristischen L¨ ange ∆ sind daher kritisch und im Sinne einer praktikablen N¨ aherung zu sehen. Die implizite FS– Modellierung durch die Dissipationseigenschaften des numerischen Verfahrens wurde im vorigen Kapitel diskutiert und hier nicht erneut aufgegriffen, da bei diesem Ansatz kein explizites FS–Modell existiert. Welches FS–Modell letztendlich das beste ist, ist auf dem geschilderten Hintergrund prinzipiell nicht allgemein zu beantwortet. Das Resultat der Modellierung h¨ angt meist von vielen Details der Implementierung ab. Einer der wichtigsten Punkte ist dabei die eingesetzte numerische Methode, mit der ja auch die FS–Terme diskretisiert werden, insbesondere, ob sie von hoher oder niedriger Ordnung ist. Auch spielt die betrachtete Str¨ omung eine Rolle, denn in manchen F¨allen ist die Sensitivit¨at im Bezug auf das FS–Modell nur gering. Allgemein kann aber festgehalten werden, dass komplexere Modelle, wie z.B. vom Skalen¨ ahnlichkeitstyp oder mit dynamischer Bestimmung von Modellkonstanten meist bessere Resultate liefern als einfache Wirbelviskosit¨atsmodelle. Hier ist die Darstellung von Backscatter ein Desiderium f¨ ur eine realistischere Modellierung. Der damit verbundene Preis ist jedoch i.A. eine geringere Stabilit¨at der Gesamtmethode, so dass sich auch hier das oft beobachtete Spannungsfeld zwischen Robustheit und Genauigkeit auftut. Schließlich sollte auch bedacht werden, dass außer dem FS–Modell zahlreiche andere Komponenten einer LES auf Modellierung basieren, wie z.B. Einstr¨ ombedingungen und Wandmodelle, die in den n¨achsten Kapiteln diskutiert werden. Sie sind oft von gr¨ oßerer Bedeutung f¨ ur das Gesamtresultat. Auch k¨onnen sie hinsichtlich ihres Einflusses nicht so leicht untersucht werden wie das FS–Modell. Der Einfluss des FS–Modells kann, mit den oben besprochenen Einschr¨ankungen, relativ leicht durch Gitterverfeinerung getestet werden, und ein Vergleich verschiedener Modelle kann die Sensitivit¨ at der Simulation in dieser Hinsicht aufkl¨ aren. Solch eine Studie sollte daher m¨oglichst immer erfolgen.

7

Super–Grid Modelle: Rand– und Anfangsbedingungen

7.1

Problemstellung

In den vorangegangenen Kapiteln wurde die numerische Modellierung der aufgel¨ osten Anteile der Str¨ omung mit Hilfe von Diskretisierungsverfahren diskutiert sowie die Modellierung der nicht aufgel¨ osten Feinstrukturanteile. In diesem Kapitel wird nun die Ber¨ ucksichtigung von Skalen thematisiert, die gr¨oßer sind als das diskretisierte Rechengebiet bzw. mit diesen zusammenh¨ angen, und daher in Analogie zu Sub–Grid–Skalen auch als Super–Grid–Skalen bezeichnet werden [91]. Nur sehr selten sind turbulente Str¨omungen von allen Seiten mit festen W¨ anden umgeben, wie z.B. in einem R¨ uhrwerk [143]. Außenstr¨omungen, etwa um Bauwerke oder Fahrzeuge, sind sie durch ein sehr großes physikalisches Gebiet gekennzeichnet. Daher muss ein sinnvolles Rechengebiet definiert werden, welches die hinreichend genaue Bestimmung der relevanten Gr¨ oßen erlaubt, aber dennoch effizient bearbeitet werden kann. Bei Innenstr¨ omungen treten entsprechend Zu– und Abl¨aufe auf. Wird der Rand des Rechengebietes teilweise so gelegt, dass die Str¨omung u ¨ ber ihn hinweg geht, so bezeichnet man diesen Teil des Randes als k¨ unstlichen Rand. Inkompressible Str¨omungen haben elliptischen Charakter im Raum, so dass prinzipiell jeder Punkt, auch jenseits des k¨ unstlichen Randes, Auswirkungen auf alle anderen Punkte hat. K¨ unstliche R¨ ander werfen zwei Fragen auf: erstens m¨ ussen die Grenzen des Rechengebietes hinsichtlich ihrer Lage festgelegt werden. Zweitens sind auf diesen Grenzen geeignete Randbedingungen vorzuschreiben. W¨aren die Str¨ omungsgr¨ oßen dort exakt bekannt, k¨ onnte man diese aufpr¨ agen, und es entst¨ unde kein Unterschied zur Rechnung mit einem unendlich ausgedehnten Gebiet. Aufgrund der Elliptizit¨at der Gleichungen werden diese Werte jedoch auch von der zu berechnenden Str¨omung im Gebietsinneren beeinflusst und k¨ onnen daher nur n¨ aherungsweise bekannt sein. Daher werden k¨ unstliche R¨ ander so platziert, dass die Unsicherheit dort m¨oglichst gering ist oder die Auswirkungen nur ungenau bekannter Randbedingungen auf die gesuchten Gr¨oßen m¨oglichst klein sind. Die Kopplung ist jedoch extrem nichtlinear und kann a priori meist nur schwer abgesch¨ atzt werden. Hier spielt die Erfahrung und das physikalische Verst¨ andnis des Bearbeiters eine wichtige Rolle. Sensitivit¨ atsstudien sind zwar m¨ oglich [494, Kap.2.10, Kap.6.9], werden jedoch nur selten durchgef¨ uhrt. Die Problematik der k¨ unstlichen R¨ander ist in fast allen CFD Rechnungen anzutreffen. Sie erlangt jedoch f¨ ur turbulente Str¨omungen besondere Bedeutung, da neben dem Mittelwert der Geschwindigkeit auch Information u ¨ ber die Turbulenz bereitgestellt werden muss. Bei Verwendung eines k − ε Modells ist beispielsweise die Dissipationsrate ε auf dem Einstr¨ omrand festzulegen. Diese Gr¨oße ist nicht direkt messbar und ihre Angabe daher oft mit Unsicherheit verbunden, was entsprechende Auswirkungen auf das Ergebnis haben kann

202

7 Super–Grid Modelle: Rand– und Anfangsbedingungen

Abb. 7.1 Illustration der Problematik bei der Definition von Einstr¨ ombedingungen anhand der Konstruktionszeichnung des in [239] experimentell untersuchten Drallbrenners. Die Str¨ omung verl¨ auft von links nach rechts. Außen verl¨ auft sie entlang der gewundenen Pfeile und tritt durch den schraffierten Drallerzeuger in den Ringspalt ein. Innen str¨ omt das Brenngas durch das gerade Rohr. Das f¨ ur die Verbrennungsrechnung interessante Gebiet befindet sich rechts des Austritts in die Umgebung und ist durch die gestrichelte Linie schematisch dargestellt. (Gr¨ oße nicht maßst¨ ablich)

[79]. Bei DNS und LES werden große Anteile des Spektrums explizit berechnet. Folglich m¨ ussen insbesondere die Randbedingungen am Einstr¨ omrand an jedem Gitterpunkt dieses Randes zeitlich aufgel¨oste, instation¨are Angaben u osten turbulenten Fluk¨ber die aufgel¨ tuationen enthalten. Die damit verbundene Informationsmenge ist sehr groß. Sie umfasst nicht nur die Momente der Einpunktwahrscheinlichkeitsdichte an diesen Punkten, sondern auch zeitliche und r¨aumliche Korrelationen, wie sie z.B. in entsprechenden Spektren zu Tage treten. Eine vollst¨andige Vorgabe all dieser Information ist, außer in den Sonderf¨ allen einer ausgebildeten Str¨omung, nicht m¨oglich. Daher sind hier N¨ aherungen bzw. Modellierungen zu verwenden, wie sie im Folgenden beschrieben werden. Die Vorgabe zeitlicher Fluktuationen ist also einerseits deutlich komplexer als die Vorgabe von Mittelwerten in RANS–Rechnungen. Andererseits sind zahlreiche Str¨ omungen aus physikalischen Gr¨ unden sehr empfindlich im Bezug auf die Eigenschaften der zustr¨ omenden Turbulenz, wie z.B. Str¨ omungen mit druckinduzierter Abl¨osung [276]. Die Generierung von Einstr¨ omsignalen f¨ ur LES ist daher in den letzten Jahren ein sehr aktives Forschungsgebiet geworden. Enth¨ alt die physikalische Definition des Problems eine laminare Zustr¨ omung, taucht diese Schwierigkeit nicht auf, jedoch um den Preis, dass die schwierig zu modellierende bzw. aufzul¨ osende Transition im Rechengebiet stattfindet. Als Keime f¨ ur Instabilit¨ aten werden in einigen Simulationen transitioneller Str¨omungen, haupts¨ achlich DNS, dem laminaren Einstr¨ omsignal stochastische Fluktuationen kleiner Amplitude u ¨berlagert [483], [136], [105], [275]. Bei LES u ¨ bernimmt diese Rolle oft das von dem groberen Gitter erzeugte numerische Rauschen. Grundlagenuntersuchungen und Anwendungsrechnungen stellen unterschiedliche Anspr¨ uche an die Definition der Randbedingungen. Bei Grundlagenuntersuchungen soll in der Regel eine abstrakt definierte Str¨omung berechnet werden, wie z.B. die Str¨ omung zwischen zwei

203

7.1 Problemstellung















































































 







 



 



 



 



 



 



 



 











 



 

















































































































































































































































































































































































































































































 

 



 

 



 

 

  

 

 

 

 

 

 

 

 



 



 

 

 

 





 

 

 

 



 

 

 



  

 

 

 



  

 

 

 

 

 

 

 





 

 

 

 





 

 

 

 





 

 

 







 

 

 



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Abb. 7.2 Schema der Modellkonfiguration eines Drallbrenners, wie sie in [455] verwendet wurde. Das schraffierte Gebiet stellt den im Text diskutierten Bereich zur Generierung eines Einstr¨ omsignals dar. Nahe dem Ausstr¨ omrand sind schematisch zwei Wirbel dargestellt, die das Integrationsgebiet verlassen sollen.

ebenen, unendlich ausgedehnten Platten (s. Abschnitt 2.5). Diese Situation wird in der LES meist mit periodischen Randbedingungen modelliert, wie sie nachfolgend diskutiert werden. Auch ein entsprechendes Experiment stellt nur eine N¨ aherung dar, z.B. durch seine endliche Ausdehnung in Str¨ omungsrichtung und das Vorhandensein von Seitenw¨ anden. ¨ Ahnlich verh¨ alt es sich, wenn eine bestimmte ausgebildete Str¨ omung vorgeschrieben bzw. angestrebt wird, wie z.B. bei der in Abb. 7.2 skizzierten Modellkonfiguration mit koaxialen Drallstrahlen. Bei Anwendungsrechnungen sind die Verh¨ altnisse komplizierter. Als Beispiel mag die Geometrie des Drallbrenners in Abb.7.1 dienen. Relevant ist dabei der Bereich stromab des Brenneraustritts, wo die Verbrennung stattfindet. In dem Bereich vor dem Austritt in die Brennkammer ist die Str¨ omung durch den Drallerzeuger in der Ebene A und die anschließende Umlenkung sehr komplex. Prinzipiell k¨ onnte eine vollst¨ andige DNS oder LES des abgebildeten Einstr¨ ombereichs durchgef¨ uhrt werden, jedoch w¨ are der Aufwand extrem hoch und daher nicht sinnvoll. Einen Ausweg stellt die LES eines Teils des Einstr¨ ombereiches mit sehr grobem Gitter dar [632]. Ein anderer Ausweg besteht darin, die Eintrittsebene des Rechengebiets in den Ringspalt vor den Brenneraustritt zu legen und dort synthetische Fluktuationen aufzupr¨ agen, die in den wichtigsten Charakteristiken dem physikalischen Signal entsprechen. Hierf¨ ur gibt es zahlreiche Varianten, die weiter unten diskutiert werden. Die Definition von Randbedingungen auf k¨ unstlichen R¨ andern stellt also eine z.T. drastische Modellierung dar. Sie kann in einzelnen LES–Rechnungen gr¨ oßere Auswirkungen haben als die FS–Modellierung und muss daher entsprechend kontrolliert werden. Derartige Modellierung wird i.A. auch bei DNS ben¨ otigt. In der Tat verwendet eine DNS kein Modell f¨ ur die Turbulenz innerhalb des Rechengebietes, sie enth¨ alt jedoch nahezu immer Super–Grid Modellierung. Die Diskussion in diesem Kapitel trifft daher analog auf DNS zu. Den gr¨ oßten Einfluss auf das Ergebnis einer LES haben naturgem¨ aß turbulente Einstr¨ ombedingungen, Ausstr¨ ombedingungen sind dagegen aus physikalischen Gr¨ unden meist unkritischer. Periodische Randbedingungen sind eine M¨ oglichkeit, Ein– und Ausstr¨ omr¨ ander zu vermeiden und werden daher zuerst besprochen. Betrachtet man das Rechengebiet ei-

204

7 Super–Grid Modelle: Rand– und Anfangsbedingungen

ner LES als ein Gebiet in Raum und Zeit, kann man auch die Anfangsbedingungen hier eingliedern. Sie werden am Ende des Kapitels diskutiert.

7.2

Periodische Randbedingungen

7.2.1

Ansatz und Beispiel

Die NSG erfordern zu ihrer L¨osung die Angabe von Anfangs– und Randbedingungen. Fordert man, dass die L¨osung periodisch im Raum ist, so erh¨ alt man ein reines Anfangswertproblem. Hierbei kann man im Rahmen der LES zwei F¨ alle unterscheiden, die am Beispiel der ebenen Kanalstr¨ omung, d.h. der Str¨omung zwischen zwei ebenen Platten (Abschnitt 2.5.2) diskutiert werden sollen: Periodizit¨at in Str¨omungsrichtung einerseits und Periodizit¨ at in Spannweitenrichtung andererseits. Die betrachtete Str¨ omung ist statistisch gesehen homogen in beiden plattenparallelen Richtungen. Daher ¨ andern sich s¨ amtliche statistische Gr¨ oßen nicht, sind also konstant und damit periodisch. Wenn hier von Periodizit¨ at gesprochen wird, ist damit aber immer die Periodizit¨at der tats¨achlich berechneten L¨ osung gemeint. Das ist bei Aufl¨ osen von instation¨aren Wirbelstrukturen mit LES aber nicht gegeben (Abb. 2.13 illustriert dies, wenn man zwei beliebige Schnitte im Str¨ omungsfeld miteinander vergleicht). Vielmehr entsteht durch diese Vorgabe der Periodizit¨ at eine Zwangsbedingung f¨ ur das momentane Geschwindigkeitsfeld, die in der Idealkonfiguration nicht existiert. Ursache ist, dass sich Symmetrien und Invarianzen der statistischen Gr¨ oßen, z.B. der Mittelwerte, bei turbulenten Str¨ omungen nicht auf die momentane, instation¨ are Str¨ omung u ¨ bertragen. Wenn die aufgepr¨agte Periodenl¨ange wesentlich gr¨ oßer als die gr¨ oßten in der Str¨ omung vorhandenen Strukturen ist, kann dieser Einfluss vernachl¨ assigt werden. Wie in Abschnitt 5.8 diskutiert, ist ja nicht das Ziel, die exakte Evolution einzelner Wirbel zu berechnen, sondern deren Verhalten im statistischen Sinn. Reduziert man die Periodenl¨ ange jedoch immer weiter, so ver¨andert dies die berechnete Str¨ omung mehr und mehr. Da Bewegungen gr¨ oßer als die Periodenl¨ange nicht mehr dargestellt werden k¨ onnen, werden die Fluktuationen in der periodischen Richtung im Grenzfall sehr kleiner Periodenl¨ange sogar v¨ ollig unterdr¨ uckt. Das Aufpr¨agen einer Periodizit¨at und die Wahl der Periodenl¨ ange stellt daher ein typisches Super–Grid–Modell dar – ein unendliches Gebiet wird durch eine unendliche Sukzession kleiner Teilgebiete repr¨asentiert. Informationen u oßer als ¨ber Strukturen, die gr¨ die Teilgebiete sind, werden damit unterdr¨ uckt und so (zu Null) modelliert. Die Ergebnisse der Rechnung enthalten also keine physikalische Information u ¨ ber diese Anteile. Zur Wahl der Periodenl¨ange kann entweder A–priori–Wissen u ¨ ber typische Wirbelstrukturen dienen oder, a posteriori, eine geeignete Auswertung der Ergebnisse. Im zweiten Fall bestimmt man typischerweise Zweipunktkorrelationen und weist nach, dass diese im Abstand der halben Periodenl¨ange abgeklungen sind [286]. F¨ ur die Str¨ omung zwischen zwei ebenen Platten mit dem Abstand Ly = 2δ wird nach [286], [412] meist Lx = 4πδ, Lz = (4/3)πδ . . . 2πδ f¨ ur kleine Reynoldszahlen verwendet, z.B. Reτ = 180, und Lx = 2πδ, Lz = πδ f¨ ur gr¨ oßere Reynoldszahlen. Neuere Analysen [262] dieser Daten und Experimente [287] zeigen jedoch, dass in diesen Konfigurationen auch wesentlich gr¨ oßere Wirbelstrukturen auftreten k¨ onnen, deren Eigenschaften noch nicht vollst¨ andig gekl¨ art sind. F¨ ur die meisten Fragestellungen, wie die Berechnung der mittleren Geschwindigkeit und der Fluktuationen,

7.2 Periodische Randbedingungen

205

zum Test der LES–Modellierung sind die oben angegebenen L¨ angen jedoch ausreichend. Periodizit¨ at in Str¨omungsrichtung kann nur in seltenen F¨ allen verwendet werden. Periodizit¨ at in Spannweitenrichtung wird aber bei zahlreichen LES eingesetzt. Diese Bedingung n¨ ahert Homogenit¨at besser an als eine Symmetriebedingung (verschwindende Normalkomponente der Geschwindigkeit und verschwindende Normalenableitung der Tangentialkomponenten auf dem Rand), da bei letzterer die Turbulenzstruktur nahe des k¨ unstlichen Randes anisotrop wird. Wie groß der Einfluss einer zu kurz gew¨ ahlten Periodenl¨ ange auf das berechnete Resultat einer LES ist, kann nicht von vorn herein abgesch¨ atzt, sondern muss durch Parameterstudien untersucht werden, wie etwa in [377] und [382]. Jim´enez und Moin [264] haben f¨ ur die ebene Kanalstr¨omung mit Lx = 2.55δ, Ly = 0.9δ die Reduktion bewusst so weit getrieben, bis ein k¨ unstliches dynamisches System entsteht, die sog. ”Minimal Flow Unit”, das ¨ ahnliche Eigenschaften wie die Kanalstr¨ omung besitzt, jedoch mit geringerem Aufwand pro Zeiteinheit berechnet werden kann. In [504] wurden entsprechende Validierungsrechnungen f¨ ur LES durchgef¨ uhrt. Leider steigt jedoch wegen der stark reduzierten Dynamik gleichzeitig auch die physikalische Zeit, u ¨ ber die gemittelt werden muss, um konvergente Statistiken zu erhalten. Diese Konfiguration ist daher f¨ ur LES–Testrechnungen nicht sehr vorteilhaft. Die Verwendung von periodischen Randbedingungen ist auch ein wesentlicher Aspekt bei der effizienten Simulation homogener Turbulenz, z.B. [607], oder der zeitlichen Mischungsschicht, z.B. [622]. Beide sind h¨aufig berechnete Konfigurationen f¨ ur Grundlagenuntersuchungen und Tests numerischer und physikalischer Modellierungen. Vor allem zur isotropen Turbulenz gibt es unz¨ahlige Arbeiten. Bei der zeitlichen Mischungsschicht wird Periodizit¨ at der momentanen L¨osung in Str¨omungs– und Spannweitenrichtung aufgepr¨ agt, bei der isotropen Turbulenz in allen drei Raumrichtungen.

7.2.2

Implementierung

Periodische Randbedingungen k¨onnen auf verschiedene Weise realisiert werden. Der direkte und oft effizienteste Weg bedient sich einer Fourier–Spektralmethode in der entsprechenden Richtung (s. Abschnitt 4.2.5). Da alle Basisfunktionen periodisch sind, ist es auch die Summe und damit die berechnete numerische L¨ osung. Die resultierende Implementierung ist dann jedoch beschr¨ankt auf den Einsatz mit periodischen Randbedingungen. Bei Verfahren niedriger Ordnung, wie z.B. Finiten Volumen, werden bei expliziter Zeitdiskretisierung meist die Werte des alten Zeitschrittes zuerst auf der gegen¨ uberliegenden Seite des Rechengebietes kopiert und dann wie Dirichlet–Randbedingungen verwendet. Bei impliziter Zeitdiskretisierung ist das Gleichungssystem entsprechend zu modifizieren. Hier kann eine Fourier–Transformation des Gleichungssystems seine L¨ osung beschleunigen. Dies geschieht entsprechend (4.33), wobei statt k1 die effektive Wellenzahl des in dieser Richtung verwendeten Schemas eingesetzt wird. Ein viel diskutierter Aspekt betrifft die Periodizit¨ at in Str¨ omungsrichtung bei der Simulation der ebenen Kanalstr¨omung. Da keine Impulsdifferenz zwischen Ein– und Ausstr¨ omrand entsteht, muss der Wandreibungskraft in anderer Weise das Gleichgewicht gehalten werden, um die Str¨ omung statistisch station¨ar aufrecht zu erhalten. Meist ist dies eine r¨ aumlich konstante Volumenkraft, wie sie etwa durch die Schwerkraft in einem vertikalen Kanal

206

7 Super–Grid Modelle: Rand– und Anfangsbedingungen

erzeugt wird. Zur Bestimmung der Gr¨oße dieser Kraft gibt es zwei Ans¨ atze in der Literatur: F1 konstante Volumenkraft F2 geregelte Volumenkraft mit dem Ziel konstanten Massenstroms. In fr¨ uhen Arbeiten wurde meist nach F1 verfahren, heute meist nach F2. Eine zeitlich konstante Volumenkraft fixiert gem¨ aß einer globalen Impulsbilanz die Wandschubspannung und damit Reτ = uτ δ/ν, wobei δ der halbe Plattenabstand ist. Werden uτ und δ als Referenzgr¨oßen gew¨ahlt, ist der Zusatzterm in der Impulsgleichung in Str¨ omungsrichtung genau 1. Die mittlere Geschwindigkeit ub und damit Reb = ub δ/ν stellt sich dann in der Simulation ein und ist ein Ergebnis, das im Vergleich mit experimentellen Daten, wie z.B. nach Gleichung (2.83), die Qualit¨at der Simulation reflektiert [286]. Bei F2 wird der Massenstrom in einer Querschittsebene berechnet und die Volumenkraft so justiert, dass Reb den gew¨ unschten Wert hat. Dann ist Reτ ein Ergebnis der LES. Piomelli (private Mitteilung, 1998) favorisiert dies aus folgendem Grund. In einem periodischen Gebiet endlicher L¨ ange schwankt der Wandreibungswiderstand um seinen Mittelwert, je nach der momentanen Ausbildung wandnaher Wirbelstrukturen. In einem sehr langen Gebiet muss der Massenstrom aus Kontinuit¨atsgr¨ unden unver¨ andert durchgesetzt werden. Eine st¨ andige Beschleunigung und Verz¨ogerung wie bei F1 ist nicht m¨ oglich. Daher ist F2 ein realistischeres Modell f¨ ur unendlich ausgedehnte Platten. Geht es jedoch nur um einen vergleichenden Test verschiedener Modelle, so sind beide Ans¨ atze praktikabel. Aus praktischer Sicht ist F2 etwas g¨ unstiger, da der statistisch station¨ are Zustand schneller erreicht wird, denn mit F1 wird die ¨außere Kraft konstant gehalten, und der Volumenstrom stellt sich nach einiger Zeit entsprechend ein. Bei F2 wird sofort die Volumenkraft vergr¨ oßert und der Massenstrom auf sein statistische Mittel gezwungen.

7.2.3

¨ Periodizit¨at mit Reskalierung oder Ubergangsbereich

Entwickeln sich Str¨omungen in Str¨omungsrichtung mit bekannter Gesetzm¨ aßigkeit, so kann eine von der Periodizit¨at abgeleitete Randbedingung verwendet werden. Eine Konfiguration, bei der dies angewendet wird, ist die turbulente Wandgrenzschicht ohne Druckgradient. Ihre Dicke w¨achst in Str¨omungsrichtung an, Homogenit¨ at in dieser Richtung liegt also nicht vor. Es ist jedoch bekannt, dass die Geschwindigkeiten mit dem dimensionslosen Wandabstand y + = y/lτ in Wandn¨ahe und mit Y = y/δ weiter außerhalb skalieren, ¨ ¨ analog den Ausf¨ uhrungen in Abschnitt 2.5.3. Uber diese Ahnlichkeitsgesetze k¨ onnen Ein– und Ausstr¨ omrand miteinander in Beziehung gebracht werden. Fluktuationen am Austrittsrand werden dann extrahiert, geeignet reskaliert und am Einstr¨ omrand als Eintrittssignal aufgepr¨ agt. Basierend auf den Arbeiten von Spalart [555], [551] wurde diese Methode von Lund et al. [352] vorgeschlagen und ist inzwischen weit verbreitet. In [561] werden jedoch L¨ osungsanteile beobachtet, deren Frequenz mit der Durchflusszeit durch das Rechengebiet zusammenh¨ angen und die daher Artefakte darstellen. Die in dieser Arbeit vorgestellte Methode ohne Periodizit¨at im Sinne einer reinen Einstr¨ ombedingung vermeidet diesen Effekt. Ein anderes Verfahren erg¨anzt das nichtperiodische Problem zu einem periodischen Pro¨ blem durch Hinzuf¨ ugen eines k¨ unstlichen Ubergangsbereiches [556], von den Autoren als ¨ “Fringe Method” bezeichnet. In diesem Ubergangsbereich (s. Abb. 7.3) werden heuristische Zusatzterme in die Gleichungen eingef¨ uhrt, die z.B. durch Entnahme von Masse die

207

7.3 Einstr¨ ombedingungen a

Rescale

b





























































































































 























 









































































 









 



 







 









 





 

 





 









 

 



 

 





 

 

 

 

 

 

 

 





 

 

 

 

 

 

 



 

 





 









 

 



Abb. 7.3 Erweiterte Periodisierung zur Erzeugung bzw. Vermeidung von Einstr¨ ombedingungen bei der Simulation einer ebenen Grenzschicht. Die gestrichelte Linie deutet die lokale Grenzschichtdicke an. a) Reskalierung von Mittelwert und Fluktuationen, b) Vervollst¨ andigung eines nichtperiodischen ¨ Problems zu einem periodischen Problem durch einen Ubergangsbereich (“Fringe Method”).

Dicke der Grenzschicht reduzieren, bevor diese auf der anderen Seite wieder in das Gebiet eintritt. F¨ ur selbst¨ahnliche Str¨omungen ist diese mit den Heuristiken verbundene Unsicherheit ein Nachteil gegen¨ uber dem Reskalierungsverfahren. Das so erzeugte Gesamtproblem ist andererseits periodisch, so dass eine effiziente Fourier–Methode eingesetzt werden kann. Weiterhin l¨ asst sich das Verfahren auch f¨ ur nicht selbst¨ ahnliche Str¨ omungen verwenden [344], jedoch muss die Ausdehnung in Str¨omungsrichtung stark vergr¨ oßert werden, um die R¨ uckkehr zum Gleichgewicht vor dem Wiedereintritt zu gew¨ ahrleisten.

7.3

Einstr¨ombedingungen

7.3.1

Anforderungen und Klassifizierung

Die besondere Schwierigkeit der Angabe von Einstr¨ ombedingungen bei LES und DNS, hervorgerufen durch den instation¨aren Charakter dieser Simulationen, wurde oben diskutiert. Eine gleichzeitige und zeitlich hoch aufgel¨oste Messung der momentanen, turbulenten Geschwindigkeit in einem Experiment an allen Gitterpunkten des Einstr¨ omrandes ist, im Gegensatz zur Messung statistischer Gr¨oßen, nicht m¨ oglich. Also m¨ ussen spezielle numerische Verfahren zur Generierung dieser Signale bereitgestellt werden. Sie sollen einerseits physikalisch m¨ oglichst realistische Daten liefern, andererseits kosteng¨ unstig sein. Weiterhin sollten sie in der Implementierung nicht zu komplex und leicht zu steuern sein. Zwischen den Extremen der reinen Zufallszahlen einerseits und der vollst¨ andigen DNS oder LES einer ausgebildeten Str¨omung andererseits wurden je nach Anforderungen zahlreiche Varianten entwickelt. Zum Einen wird versucht, Zufallszahlen mit physikalisch realistischen Eigenschaften auszustatten. Zum Anderen k¨onnen Hilfssimulationen abgewandelt werden, so dass sie selbst physikalisch weniger realistisch sind, in anderer Hinsicht aber Messwerten im Einstr¨ omquerschnitt besser entsprechen. Unterscheidungsmerkmal dieser zweiten

208

7 Super–Grid Modelle: Rand– und Anfangsbedingungen

Gruppe ist, dass in der ein oder anderen Weise auf die numerische L¨ osung der Navier– Stokes–Gleichungen zur¨ uckgegriffen wird. Da sich mittlere Geschwindigkeiten in einer Str¨omung relativ leicht messen lassen, wird oft der Mittelwert des Einstr¨omsignals aus einer Quelle bestimmt, z.B. Experiment oder RANS–Rechnung, und mit Fluktuationen komplettiert, die aus einer anderen Quelle stammen. Schon diese Trennung stellt i.A. eine Modellierung dar, da beide Anteile nicht notwendigerweise zueinander passen m¨ ussen.

7.3.2

Zufallszahlen

Die einfachste Methode zur Erzeugung von Einstr¨ ombedingungen verwendet reine Zufallszahlen (bzw. Pseudozufallszahlen, wegen ihrer deterministischen numerischen Realisierung) mit weißem Rauschen. 1 Die Zufallszahlen k¨onnen leicht so skaliert werden, dass Mittelwert und Varianz gew¨ unschten Werten entsprechen. Solch ein Signal enth¨ alt jedoch unphysikalische Fluktuationen, die nicht den Gleichungen gen¨ ugen. Stromab des Einstr¨ omrandes findet daher eine starke D¨ampfung der hochfrequenten Anteile statt, und das Niveau der Fluktuationen sinkt drastisch. Das muss dann durch eine h¨ ohere Amplitude am Einstr¨ omrand ausgeglichen werden, was in der Praxis delikat ist. Aber auch die verbleibenden niederfrequenten Anteile k¨ onnen nur bedingt realistisch sein. Die Vorg¨ ange in der “Einschwingzone” lassen sich nur schwer kontrollieren. Fureby [176] verwendete weißes Rauschen, dem experimentellen mittleren Geschwindigkeitsprofil u uckspringenden Stufe. Es wurde dennoch eine ¨ berlagert, am Einstr¨omrand einer r¨ ¨ gute Ubereinstimmung mit experimentellen Daten erreicht, da in diesem Fall die sehr grobskaligen Vorg¨ ange der massiven Abl¨osung an der schafen Kante die Str¨ omung dominieren. Hier ist zu erkennen, dass die angestrebte Qualit¨ at des Einstr¨ omsignals immer in Relation zu der Sensitivit¨ at der Str¨omung in dieser Hinsicht gesehen werden muss. Je gr¨ oßer diese ist, desto mehr Sorgfalt muss auf die Erzeugung der Eintrittsbedingungen verwendet werden.

7.3.3

Hilfssimulationen

Wesentlich vorteilhafter als die Verwendung von Zufallszahlen ist die Extraktion der Einstr¨ omdaten aus einer separaten LES oder DNS, deren Aufl¨ osung genauso fein oder feiner ist als die der Hauptsimulation. Insbesondere dann, wenn als Einstr¨ ombedingung eine ausgebildete parallele Str¨omung gefordert wird, ist dieses Vorgehen praktikabel und empfehlenswert. Beispiele sind Simulationen von Freistrahlen [381], Diffusoren [276], etc. Hierf¨ ur wird typischerweise eine ausgebildete Kanalstr¨omung mit periodischen Randbedingungen in Str¨ omungsrichtung verwendet. Die Implementierung von Einstr¨ombedingungen mittels einer Hilfssimulation kann in verschiedener Weise erfolgen, was in Abb. 7.4 schematisch dargestellt ist. Erstens k¨ onnen die Daten f¨ ur den Einstr¨omquerschnitt aus einem File eingelesen werden (Abb. 7.4a). Dazu muss eine Interpolation in Ort und Zeit erfolgen, wenn Gitter oder Zeitschritt der Hauptsimulation nicht mit der Hilfssimulation u atzliche Artefakte bzw. ¨ bereinstimmen, was zus¨ 1 Weißes Rauschen bedeutet, dass das Frequenzspektrum einer Zeitreihe alle Frequenzen mit gleicher Amplitude enth¨ alt [1].

7.3 Einstr¨ ombedingungen

209

a

b

c

Abb. 7.4 Verschiedene Implementierungen zur Erzeugung von turbulenten Einstr¨ omdaten durch eine Hilfssimulation. a) Lesen aus einem File, b) getrennte, gleichzeitige Hilfssimulation, c) Kopieren von Daten aus der Mitte des Str¨ omungsfeldes in die Einstr¨ omebene.

Gl¨ attung erzeugen kann. Der File kann beispielsweise ein Str¨ omungsfeld zu einer festen Zeit enthalten, das dann unter der Annahme der Taylor–Hypothese verwendet wird. Bei Kanalund Grenzschichtstr¨ omungen variiert jedoch die Hauptstr¨ omungsgeschwindigkeit mit dem Wandabstand, so dass die korrekte Realisierung schierig ist. Die Verwendung zeitlicher Daten, die in einer fixierten Ebene einer Hilfssimulation abgespeichert wurden, ist daher vorzuziehen. Wird die Hauptsimulation u uhrt, der l¨ anger ist, ¨ ber einen Zeitraum durchgef¨ als der Zeitraum, f¨ ur den Einstr¨ omdaten existieren, muss das Lesen des Files wieder von vorne begonnen werden. Dabei treten Spr¨ unge im Einstr¨ omsignal auf, die jedoch durch Gl¨ attungsfunktionen unterdr¨ uckt werden k¨ onnen [334]. Die mit den zyklischen Einstr¨ ombedingungen verbundene Anregungsfrequenz hatte bei den Rechnungen einer r¨ aumlichen Mischungsschicht in [334] keinen wesentlichen Einfluss auf das Resultat. Dieses Verhalten muss sich jedoch nicht notwendigerweise auf andere Str¨ omungen u ¨ bertragen. In [98] wird daher eine kombinierte Methode aus r¨ aumlicher und zeitlicher Evolution der Daten in der Hilfssimulation vorgeschlagen. In [417] wird ein eingefrorenes r¨ aumlich periodisches Feld einer DNS verwendet, bei dem die Amplituden stochastisch variiert werden, ohne die Phase und damit die r¨ aumliche Struktur des Signals stark zu ver¨ andern. Die zweite Implementierungsm¨ oglichkeit basiert auf der gleichzeitigen Durchf¨ uhrung von Hilfs– und Hauptsimulation. Interpolation, Einlesen von Files und deren Verwaltung entfallen dabei. Vor allem bei block–strukturierten Diskretisierungsverfahren ist dieses Verfahren leicht realisierbar, indem ein Teil des Rechengebietes abgetrennt wird. Zu beachten ist, dass zweckm¨ aßigerweise kein Informationstransfer von der Hauptsimulation auf den Ein-

210

7 Super–Grid Modelle: Rand– und Anfangsbedingungen

str¨ omgenerator erfolgen sollte (Abb. 7.4b). So wird erreicht, dass wirklich eine unabh¨ angige ausgebildete Str¨ omung erzeugt wird und dass St¨ orungen aus der Hauptsimulation diese nicht beeinflussen. Letzteres geschieht, wenn lediglich die Einstr¨ ombedingung aus der Mitte der LES auf die Einstr¨omebene kopiert wird (Abb. 7.4c). Dieses Vorgehen ist nicht zu empfehlen, da eine Trennung der Effekte durch Einstr¨ omsignal und Parameter der Hauptsimulation nicht mehr m¨oglich ist. Schließlich ist darauf zu achten, dass die Dimensionierung des Rechengebietes f¨ ur die Hilfssimulation ausreichend ist. Bei einer ebenen Kanalstr¨ omung sollte die Ausdehnung in Str¨omungsrichtung mindestens das Dreifache und in Spannweitenrichtung mindestens das 1,5–fache des Plattenabstandes betragen. Insbesondere bei der Berechnung von Str¨omungen um K¨orper in vergleichsweise breiten und hohen Kan¨ alen wird das leicht u uhren. ¨ bersehen und kann zu unphysikalischen Situationen in der Hilfssimulation f¨ Nach dem beschriebenen Ansatz wurde z.B. in [12] eine separate Grenzschichtrechnung zur Generierung des Signals f¨ ur eine r¨ uckspringende Stufe [12] verwendet. Auch Str¨ omungen, die sich im Nichtgleichgewicht befinden, k¨ onnen erzeugt werden, um als Einstr¨ ombedingungen zu fungieren. Meri und Wengle [389] beschreiben die Simulation der Str¨ omung durch einen Honneycomb, wie er in Windkan¨ alen zur Vergleichm¨ aßigung der Str¨ omung eingesetzt wird. In [476] wird noch ein Schritt weiter gegangen, indem nach einem Gitter am Eintrittsrand auch eine anschließende Kontraktion mitberechnet wird. Ziel in beiden Arbeiten ist nicht die genaue Simulation in allen Bereichen der Str¨ omung, sondern die Generierung realistischer Zust¨ande mit gew¨ unschten Charakteristiken stromab, entweder am Austritt dieser Hilfssimulationen oder vor dem Auftreffen auf ein zu untersuchendes Hindernis. Daher kann gerade am Eintrittsrand dieser Rechnungen die Diskretisierung von Honneycomb bzw. Gitter sehr grob und damit kosteng¨ unstig erfolgen. Die oben erw¨ ahnte Simulation des Drallbrenners in [632] geh¨ort ebenfalls in diese Gruppe.

7.3.4

Hilfssimulationen mit Erweiterungen

Durch zus¨ atzliche Kraftterme in den Gleichungen oder durch Umskalieren k¨ onnen Hilfssimulationen so ver¨andert werden, dass sie Signale mit speziellen statistischen Eigenschaften ¨ erzeugen. Der physikalische Realismus wird dabei reduziert, zugunsten einer Ubereinstimmung der niedrigen statistischen Momente mit gegebenen Daten. Durch Hilfssimulationen mit Periodizit¨at in Str¨omungsrichtung nach dem Verfahren in Abb. 7.4b kann z.B. bei der Simulation koaxialer Drallstrahlen in der Geometrie von Abb. 7.2 eine verdrallte Zustr¨ omung generiert werden. Genau wie zur Erzeugung des Massenstromes wird dazu eine r¨ aumlich konstante Umfangskraft fθ so eingestellt, dass ein bestimmter Drall entsteht. Es kann auch ein zeitlich fixiertes, r¨aumlich nicht konstantes Profil vorgegeben werden [455]. Entsprechend l¨asst sich auch ein gew¨ unschtes Profil der mittleren Umfangsgeschwindigkeit generieren,
vθ LES (r) =
vθ exp (r), wobei r die radiale Koordinate ist (analog f¨ ur ebene Str¨ omungen oder Geschwindigkeitskomponenten in Str¨ omungsrichtung). Dazu wird die Kraft fθ ebenfalls von r abh¨angig gemacht und fθ (r, t) mit Hilfe eines Reglers als Funktion der Differenz
vθ LES (r) −
vθ exp (r) erzeugt. Der Mittelwert
. . .LES wird dabei momentan durch Mittelung in Str¨omungs– und Umfangsrichtung gebildet. In [561] wird das Konzept des geregelten Eingriffs noch weiter getrieben. Hier werden im Stromaufbereich der Simulation einer Grenzschicht an mehreren Stellen lokale Kraftterme hinzugef¨ ugt,

7.3 Einstr¨ ombedingungen

211

die in einer LES mit Ein– und Ausstr¨omrand von den statistischen Abweichungen stromab gesteuert werden. Das so erzeugte System ben¨otigt eine relativ lange Einschwingzeit, liefert jedoch dann bessere Simulationen als die Reskalierungsmethode in [352]. Die zweite M¨ oglichkeit, eine Hilfssimulation in erweiterter Form zu benutzen, ist die Reskalierung des Signals. Sind beispielsweise f¨ ur eine Gr¨ oße φ der Mittelwert
φexp und die Fluktuationen
φ

φ

exp aus Messungen bekannt, so wird aus der Hilfssimulation (HS) ein Einstr¨ omsignal φin erzeugt mit


φ

φ

exp (φHS −
φHS ) , (7.1) φin =
φexp +
φ

φ

HS wobei die Mittelwerte der Hilfssimulation nicht in der Zeit, sondern nur in homogenen Richtungen gebildet werden [453]. Hierbei k¨onnen Hilfs– und Hauptsimulation auch verschiedene Randbedingungen aufweisen, so dass z.B. Daten homogener Turbulenz nach Skalierung als Einstr¨ omdaten f¨ ur eine Grenzschicht verwendet werden [612]. Wie oben bereits erw¨ahnt, k¨onnen f¨ ur Mittelwerte und Fluktuationen auch verschiedene Quellen herangezogen werden. Wang und Moin [626] berechneten die Str¨ omung um einen Tragfl¨ ugel mit einem statistischen Modell. Die Einstr¨ ombedingung f¨ ur die eingebettete LES der Hinterkantenstr¨omung wurde aus dem von der RANS Rechnung erzeugten Mittelwert und entsprechend skalierten Fluktuationen einer LES f¨ ur eine turbulente Grenzschicht synthetisiert und lieferte gute Resultate. Schl¨ uter et al. [519] verwendeten ebenfalls Gleichung (7.1) zur Kopplung von RANS und LES und w¨ ahlten das Signal φHS aus einer Bibliothek verf¨ ugbarer Daten. Auch hier wurden gute Resultate gewonnen.

7.3.5

Synthetische Turbulenz

In verschiedenen Arbeiten wurden Methoden entwickelt, um ausgehend von Zufallszahlen kosteng¨ unstig m¨oglichst realistische synthetische Turbulenz zu erzeugen. Dabei wird, einzeln oder in Kombination, eine Auswahl der folgenden Eigenschaften vorgegebenen Daten angepasst: Einpunktstatistiken, Einpunktkorrelationen zwischen verschiedenen Geschwindigkeitskomponenten, r¨aumliche und zeitliche Zweipunktkorrelationen, Divergenzfreiheit. Relativ leicht kann ein Signal mit einem bestimmten Energiespektrum generiert werden, wenn man im Frequenzbereich beginnt und eine inverse Fourier–Transformation durchf¨ uhrt, ein Ansatz, der auf Kraichnan [299] zur¨ uckgeht. Die Phase wird dabei zuf¨ allig gew¨ ahlt, so dass r¨ aumliche Strukturen in ihrer Form immer noch unphysikalisch sind, jedoch die richtige Energieverteilung besitzen. Eine solche Methode wurde von Lee et al. [320] angegeben und mit Hilfe der Taylor–Hypothese als Einstr¨ omsignal verwendet. Sie wurde auch zur Generierung isotroper Freistromturbulenz f¨ ur die Simulation laminar–turbulenter Transition verwendet [483]. Mit zuf¨allig gew¨ahlter Phaseninformation ist die Schiefe – also das dritte Moment – des Geschwindigkeitsgradienten Null, so dass im Mittel kein nichtlinearer Energietransfer stattfindet [352]. Nach relativ kurzer Zeit stellt sich jedoch ein realistischer Zustand ein. In [318] wurde eine zus¨atzliche Skalierung des erzeugten Signals mit dem Wandabstand eingesetzt, um synthetische Fluktuationen in einer turbulenten Wandgrenzschicht am Einstr¨ omrand einer LES zu erzeugen. Das Profil der mittleren Geschwindigkeit wurde

212

7 Super–Grid Modelle: Rand– und Anfangsbedingungen

getrennt bestimmt und addiert. In der DNS einer r¨ uckspringenden Stufe erzeugte das resul¨ ¨ tierende Signal eine deutliche Ubergangszone. Beim Ubergang von DNS auf LES derselben ¨ Str¨ omung stellten Akselvoll und Moin [12] fest, dass sich diese Ubergangszone aufgrund des groberen Gitters ausdehnte. Dies zeigt, wie schwierig die Kontrolle des Einflusses solcher Einstr¨ ombedingungen ist. In isotroper Turbulenz ist der Tensor der Reynolds–Spannungen Rij =
ui uj  diagonal, d.h. ur eine andere Str¨omung bestimmte Korrelationen aufgepr¨ agt werden, so Rij = Cδij . Sollen f¨ kann dies ausgehend von unkorrelierten stochastischen Geschwindigkeitssignalen ri erfolgen, wobei
ri  = 0 und
ri ri  = 1, ohne oder mit einer bestimmten spektralen Energieverteilung. Hierzu wird in [352] die Beziehung ui =
ui  + aij rj

(7.2)

mit ⎛

√ R11

⎜ aij = ⎜ ⎝ R21 /a11 R31 /a11

0

 R22 − a221 (R32 − a21 a31 )/a22

0 0

 R33 − a231 − a232

⎞ ⎟ ⎟ ⎠

(7.3)

vorgeschlagen. In [549] wurde eine Methode entwickelt, die eine derartige Diagonalisierung mit der zuvor beschriebenen Synthetisierung im Fourier–Bereich verkn¨ upft. Amplitude und Phase werden dabei ein f¨ ur alle Male als Zufallszahlen gew¨ ahlt. Um den Realit¨ atsgrad des Einstr¨omsignals zu erh¨ ohen, werden in manchen Publikationen r¨ aumliche Korrelationen erzeugt. Dies wurde besonders in japanischen Arbeiten verfolgt, wof¨ ur [296] ein Beispiel ist. Hier werden ausgehend von stochastischen Fluktuationen Amplitude und Phase in einer Fourier–Reihenentwicklung des Einstr¨ omsignals so justiert, dass ein gew¨ unschtes Spektrum und dar¨ uber hinaus zwischen benachbarten Punkten der Einstr¨ omebene gew¨ unschte Korrelationen entstehen, die sich beispielsweise an Messungen orientieren. Da die zugrunde liegenden Zufallszahlen in jedem Zeitschritt von dem vorherigen unabh¨ angig sind, erzeugen die Autoren ein divergenzfreies Signal, wobei die Zeitachse als Ortsachse interpretiert wird. Wird zur Generierung von Einstr¨ ombedingungen zun¨ achst ein r¨ aumliches Geschwindigkeitsfeld erzeugt, das dann unter Annahme der Taylor–Hypothese als Einstr¨ omsignal verwendet wird, ist es sinnvoll, die Divergenzfreiheit des Geschwindigkeitsfeldes aufzupr¨agen. Klein et al. [289] weisen jedoch darauf hin, dass der Begriff der Divergenzfreiheit auf einen zweidimensionalen Schnitt in einem dreidimensionalen Rechengebiet, n¨ amlich das Signal in der Einstr¨omebene, nicht angewendet werden kann. Wichtig ist vielmehr, dass zeitliche Korrelationen des Einstr¨ omsignals realistische Werte haben. Ansonsten werden hochfrequente Druckoszillationen erzeugt, die die numerische L¨ osung der Gleichungen sehr erschweren k¨onnen und in einer “Einschwingzone” herausged¨ ampft werden m¨ ussen. In [365] wurden zeitliche Signale an Messpunkten in einem Experiment f¨ ur die Einstr¨ omebene zugrunde gelegt. Sie wurden zeitlich unabh¨ angig und in gr¨ oßerem Abstand als die Gitterpunkte der Rechnung gewonnen. Mit Hilfe der ebenfalls bestimmten r¨ aumlichen Korrelation wurden dann im Sinne einer stochastischen Interpolation der gegebenen Signale

213

7.3 Einstr¨ ombedingungen

die Einstr¨ omdaten f¨ ur die LES erzeugt. Die Methode wurde von Maruyama und Morikawa [364], [409] vorgeschlagen. Eine andere Technik, aus wenigen Signalen in der Einstr¨ omebene ein Signal an jedem Gitterpunkt zu bestimmen, ist die von Adrian und Moin [8] entwickelte “Linear Stochastic Estimation”. Dies wurde in [133] f¨ ur eine zweidimensionale Mischungsschicht verwendet, wobei die Referenzsignale zu gleichen Zeiten aus einer DNS des Problems entnommen wurden. Bei diesem sehr stark von koh¨ arenten Strukturen gepr¨ agten Problem sind die Ergebnisse recht gut. Zus¨atzlich kann eine Reduktion der Dynamik mit Hilfe der “Proper Orthogonal Decomposition” (POD) [349] erfolgen. Dies wurde in [133] ebenfalls getestet, hatte im betrachteten Fall jedoch wenig Auswirkungen. In [289] wurde eine Methode f¨ ur praktische Anwendungen vorgeschlagen, bei denen nicht n¨ aherungsweise eine ausgebildete Str¨omung vorliegt. Durch Zufallszahlen wird ein r¨ aumliches Feld erzeugt, das mittels der Taylor–Hypothese als Einstr¨ omsignal verwendet wird. Zuvor werden diese jedoch mit digitalen r¨aumlichen Filtern gegl¨ attet, und zwar entsprechend einem gew¨ unschten L¨angenmaß. Da die Filter nur eine kurze L¨ ange besitzen, kann das Einstr¨ omsignal sukzessive f¨ ur aufeinander folgende Zeiten generiert werden. Zeitliche Korrelationen ergeben sich dann aus den r¨aumlichen, und die Korrelationen zwischen verschiedenen Geschwindigkeitskomponenten werden durch die Verwendung von (7.2), (7.3) aufgepr¨ agt. Abschließend sei die Methode stochastischer Wirbel (“random 2d vortex method”) vorgestellt, mit der f¨ ur den Einstr¨omquerschnitt synthetische Turbulenz im Ortsraum generiert wird [375]. Bei praktischen Anwendungen ist oft nur das mittlere Str¨ omungsfeld
u,
v,
w und die turbulente kinetische Energie K in der Einstr¨ omebene E bekannt. Hier wird das Verfahren notiert f¨ ur Einstr¨omen in x−Richtung, d.h. E mit x = const. und dem Einomungsfeld der heitsvektor ex senkrecht auf E. Die Grundidee ist, ein zweidimensionales Str¨ ¨ Fluktuationen v

, w

in der Ebene E durch Uberlagern von NΓ Einzelwirbeln zu erzeugen. Dazu wird zun¨ achst die Wirbelst¨arke der Fluktuationen synthetisiert mit ω(x) =



NΓ i=1

 Γi ξσ (x − xi ) ex

;

x, xi ∈ E

.

(7.4)

Die Formfunktion wird mit schnellem Abklingen gew¨ ahlt, und zwar ξσ (x) =

  |x|2 |x|2 e− 2σ2 − 1 e− 2σ2

1 2πσ

.

(7.5)

Parameter sind hier die Zirkulation Γi , die Varianz σ und die Positionen xi des i−ten Wirbels. Aus (7.4) k¨ onnen die tangentialen Geschwindigkeitsfluktuationen in der Einstr¨ omebene u ¨ ber das Biot–Savart–Gesetz berechnet werden u

ω =

N Γ i=1

Γi Kσ (x − xi ) × ex

x, xi ∈ E

;

.

(7.6)

mit Kσ (x) =

x |x|2

  |x|2 |x|2 1 − e− 2σ2 e− 2σ2

.

(7.7)

214

7 Super–Grid Modelle: Rand– und Anfangsbedingungen

Die Zirkulation Γi wird proportional zu eine Mischungsweghypothese σ=

1 K Cσ 2 ε

;

 K(xi ) gew¨ ahlt. F¨ ur die Gr¨ oße der Wirbel liefert

Cσ = 0,16 .

(7.8)

Die Geschwindigkeit in der Einstr¨omebene ist dann u v w

=
u + u

ω = =


v + vω


w + wω



(7.9) ,

(7.10) (7.11)

jedoch ist u

ω nach (7.6) Null. Hierf¨ ur kann statt dessen u

= −u

ω · g

(7.12)

gew¨ ahlt werden, wobei g der Einheitsvektor in Richtung des Gradienten der mittleren Str¨ omung ist [375]. Diese Wahl hat jedoch den Nachteil, dass in einer Grenzschicht oder einem Kanal u

= −v

und somit die turbulente Scherspannung
u

v

 = −2K/3 ist. Das ist f¨ ur eine Grenzschicht zu hoch und ein eventuell gegebener Verlauf f¨ ur diese Gr¨ oße kann nicht realisiert werden. Hier gibt es noch Forschungsbedarf. Um realistische Fluktuationen in der Zeit zu gewinnen, werden Γi und xi zeitabh¨ angig gemacht, derart, dass die Elementarwirbel stochastisch u ¨ber die Einstr¨omebene wandern und nach einer gewissen Zeit ihren Drehsinn ¨ andern. Weitere technische Aspekte wie die Erf¨ ullung der Randbedingungen und die effiziente Auswertung von (7.6) m¨ ussen geeignet fixiert werden. Einzelheiten der Methode und Varianten finden sich in [538], [375], [260]. In [374] wurde die Methode stochastischer Wirbel mit gutem Erfolg f¨ ur eine komplexe Str¨omung um einen stumpfen K¨ orper eingesetzt.

7.4

Ausstro ¨mbedingungen

7.4.1

Anforderungen

Str¨ omungen im Unterschall und daher auch im inkompressiblen Limit haben, wenn man von Spezialf¨ allen wie Grenzschichten etc. absieht, elliptischen Charakter im Raum. Daher beeinflussen die Randbedingungen an einem Ausstr¨ omrand die stromauf berechnete L¨ osung. Die Abh¨ angigkeit ist jedoch geringer als im Bezug auf die Einstr¨ ombedingungen. Vom numerischen Standpunkt aus gesehen bilden sich an Ausstr¨ omr¨ andern oft Druckoszillationen, die sich stromauf ausbreiten. Ihre Entstehung ist m¨ oglichst zu vermeiden. Bei station¨ aren Str¨omungen oder statistischer Turbulenzmodellierung ist auch die L¨ osung am Austrittsrand station¨ar. Hier ist es meist ausreichend, die Variablen aus dem Gebietsinneren auf den Ausstr¨omrand zu extrapolieren [151], z.B. durch Extrapolation 0–ter Ordnung mit der homogenen Neumann–Bedingung ∂n φ = 0 ,

(7.13)

wobei φ eine Geschwindigkeitskomponente oder eine transportierte skalare Gr¨ oße darstellt und n die Koordinate senkrecht zum Rand ist, positiv aus dem Gebiet hinaus. Bei DNS

215

7.4 Ausstr¨ ombedingungen

oder LES sind die Anforderungen ungleich h¨oher. Hier m¨ ussen die instation¨ aren, aufgel¨ osten Wirbel das Rechengebiet m¨oglichst st¨orungsfrei verlassen (s. Abb. 7.2). Prinzipiell kann auch der Fall eintreten, dass sich momentan die Str¨ omungsrichtung umkehrt, wenn die Fluktuationen gr¨oßer sind als die mittlere Str¨omung. Der Ausstr¨ omrand sollte daher so platziert werden, dass dies nicht auftritt. Bei Drallstr¨ omungen muss die Definition der Randbedingungen sehr sorgf¨ altig geschehen. Die LES einer Drallstr¨omung gem¨aß Abb. 7.2 wurde in [454] verglichen mit einer analogen Rechnung f¨ ur eine Konfiguration, die stromab um einen großen Beh¨ alter erg¨ anzt wurde. Im ersten Fall stellt sich bei xout aufgrund des Dralls ein starker radialer Druckgradient ein, im zweiten Fall nicht. Dadurch wird das Str¨omungsfeld auch weit stromauf stark ver¨ andert. Diese Sensitivit¨ at ist typisch f¨ ur Drallstr¨omungen und im Gegensatz zu dem vorher geschilderten Aspekt kein Spezifikum von LES.

7.4.2

Modellierung des Ausstro ¨mrandes

Obwohl aus den genannten Gr¨ unden eine Neumann–Bedingung bei LES und DNS nicht optimal ist, wird diese doch wegen ihrer Einfachheit in zahlreichen Arbeiten verwendet. Ein Beispiel ist die Simulation einer zur¨ uckspringenden Stufe in [176], bei der sich der Ausstr¨ omrand relativ weit stromab befindet. ¨ Eine zweite M¨ oglichkeit stellt die oben diskutierte Methode mit k¨ unstlichem Ubergangsbereich dar [556], bei der die Gleichungen lokal modifiziert werden. Auch f¨ ur nicht periodische Diskretisierungen k¨onnen in einer zus¨atzlichen D¨ ampfungsschicht die Fluktuationen so weit ged¨ ampft werden, dass am Austrittsrand aus dem Rechengebiet eine weitgehend station¨ are Str¨ omung entsteht, f¨ ur die dann einfache Randbedingungen, z.B. Neumann– ¨ Bedingungen ad¨ aquat sind. Der graduelle Ubergang soll dabei Reflexionen vermeiden. Dieser Gedanke kann verschiedenartig umgesetzt werden. In [568] werden die Gleichungen sukzessive zum Ausstr¨omrand hin parabolisiert, durch Reduktion der Viskosit¨ at und Ersetzen der momentanen Konvektionsgeschwindigkeit durch die mittlere Geschwindigkeit. Liu und Liu [346] vergr¨ oßern die Viskosit¨at am Ausstr¨omrand, um Fluktuationen zu d¨ ampfen. Bei sehr hohen Werten kann die Stabilit¨at expliziter Verfahren jedoch beeintr¨ achtigt werden. Wasistho et al. [630] d¨ampfen daher die Fluktuationen direkt gem¨ aß un+1 = uback + χ(x) (u∗ − uback )

,

(7.14)

wobei u∗ das ohne D¨ampfung berechnete vorl¨aufige Geschwindigkeitsfeld ist und χ(x) eine D¨ampfungsfunktion, die zum Ausstr¨omrand hin abf¨ allt und auf diesem selbst Null ist. Die ugung stehierf¨ ur ben¨ otigte station¨are Hintergrundl¨osung uback muss allerdings zur Verf¨ hen. So genannte “transparente Randbedingungen” werden auf dem Ausstr¨ omrand selbst aufgepr¨ agt, also ohne D¨ampfungsschicht. Sie k¨ onnen z.T. als Grenzf¨ alle der vorgenannten Methoden f¨ ur den Fall verschwindender Dicke der D¨ ampfungsschicht gesehen werden. Solche Randbedingungen gibt es f¨ ur die Wellengleichung, f¨ ur kompressible Fluide und f¨ ur inkompressible Fluide. Sie haben meist die Form einer sog. Sommerfeldschen Strahlungsbedingung, ∂t φ + Uout ∂n φ = 0 ,

(7.15)

216

7 Super–Grid Modelle: Rand– und Anfangsbedingungen

wobei die Ableitungen in der Zeit, ∂t , und senkrecht zum Gebietsrand, ∂n , geeignet zu diskretisieren sind. Es handelt sich hierbei letztlich um eine einfache Konvektionsgleichung, die ein Signal φ mit der Geschwindigkeit Uout transportiert. Auf dem Gebietsrand wird also eine andere partielle Differentialgleichung gel¨ost als im Gebietsinneren. Gelegentlich wird diese Gleichung auch als “one way wave equation” bezeichnet [485] und ist, im Gegensatz zur Gleichung im Gebietsinneren, hyperbolisch. Sie hat, wenn Uout positiv ist, eine reelle, aus dem Gebiet heraus weisende Charakteristik. Grundlagen transparenter Randbedingungen finden sich in [146]. In [217] wird eine solche Randbedingung f¨ ur eine Konvektions– Diffusionsgleichung untersucht, und eine ¨ahnliche Studie findet sich in [639, p.212]. Nichtreflektierende Randbedingungen f¨ ur den kompressiblen Fall werden in [587], [588] beschrieben und auch in [210] analysiert. F¨ ur den inkompressiblen Fall schlagen [435] und [221] Gleichung (7.15) vor, wobei Uout lokal und momentan in Abh¨ angigkeit von φ auf dem Rand und an Nachbarpunkten bestimmt wird. In [267] wird ein zus¨ atzlicher Reibungsterm −ν∂yy φ eingef¨ ugt, wobei y die tangentiale Koordinate ist, und ansonsten f¨ ur Uout die momentane randnormale Geschwindigkeit gew¨ahlt wird. Pierce [453] w¨ ahlt statt dessen in jedem Zeitschritt das Maximum der randnormalen Geschwindigkeit. In vielen Rechnungen wurden mit einem Finite–Volumen–Verfahren und der Randbedingung (7.15) gute Erfahrungen gemacht. Dabei wurde in den eigenen Simulationen sogar omrand gemittelte Uout = Ub = const. gew¨ahlt, wobei Ub eine u ¨ ber den gesamten Ausstr¨ Geschwindigkeit ist. Dies deckt sich mit der Empfehlung in [151, p.253]. In der Literatur zu inkompressiblen Str¨omungen wird (7.15), mit der momentanen oder einer mittleren Geschwindigkeit, auch als “konvektive Randbedingung” bezeichnet. Diese Bedingung wurde z.B. auch bei der Berechnung einer r¨ uckspringenden Stufe in [318] verwendet, wobei Uout u ankte ¨ ber den Querschnitt konstant gew¨ahlt wurde. Der Einfluss in den Resultaten beschr¨ sich auf einen Bereich nahe dem Ausstr¨omrand von ca. 1/6 der Kanalh¨ ohe [318]. Zusammenfassend kann festgehalten werden, dass die Ausstr¨ ombedingung bei einer LES, im Gegensatz zur Einstr¨ombedingung, unkritisch ist und mit (7.15) oder einer Variante zufrieden stellend modelliert werden kann.

7.4.3

Implementierungsaspekte

Bei Diskretisierungsverfahren hoher Ordnung, wie z.B. Spektralmethoden, k¨ onnen unphysikalische Oszillationen entstehen, wenn Gleichungen oder Koeffizienten abrupt ver¨ andert werden. Mittal und Balachandar [400] verwenden daher aufbauend auf [568] in ihrem semi– ¨ impliziten Algorithmus einen Ubergangsbereich nahe dem Austrittsrand, in dem die Gleichungen mehr und mehr parabolisiert werden. Unabh¨ angig von der Wahl des Diskretisierungsverfahrens wird auch bei vielen LES das Gitter zum Ausstr¨ omrand gestreckt, so dass durch die st¨ arkere implizite Filterung Fluktuationen ged¨ ampft werden, bevor sie das Rechengebiet verlassen. Zu dem gleichen Zweck kann die Viskosit¨ at in einer Schicht nahe dem Austrittsrand erh¨ oht werden. Sehr wichtig bei der L¨osung der NSG f¨ ur inkompressibles Fluid ist die Wahrung der globalen Massenerhaltung. Der Massenstrom u ¨ ber den Eintrittsrand Min liegt i.A. durch die Einstr¨ ombedingungen fest. Die Randbedingung am Ausstr¨ omrand muss nun so gew¨ ahlt werden, dass der resultierende Massenstrom in jedem Zeitschritt exakt dem Eintrittsmassenstrom

217

7.5 Anfangsbedingungen

entspricht. Ansonsten besitzt die zu l¨osende Poisson–Gleichung f¨ ur Druck oder Druckkorrektur keine L¨ osung, und entsprechende Iterationsverfahren konvergieren nicht oder nur unbefriedigend. Daher wird z.B. bei expliziter Zeitdiskretisierung nach dem Aufpr¨ agen der ∗ Randbedingung am Ausstr¨omrand der vorl¨aufige Massenstrom Mout bestimmt und die Ge∗ schwindigkeit am Ausstr¨omrand mit dem Faktor Min /Mout ≈ 1 multipliziert. Hier ist zu erkennen, dass Massenerhalt und Konvektionsgeschwindigkeit Uout voneinander unabh¨ angig sind. Der mittlere Massenstrom kann zwar, wie in [151, p.253] angegeben, einen Anhaltspunkt liefern, es ist aber auch jede andere Wahl m¨ oglich, ohne die Kontinuit¨ at zu verletzen. Dies schließt die Grenzf¨alle Uout = 0 und Uout → ∞ ein, die einerseits einer Dirichlet– Bedingung, andererseits der Neumann–Bedingung (7.13) entsprechen. Wird U out in etwa gleich der Ausstr¨omgeschwindigkeit gew¨ahlt, minimiert dies die Reflexionen. Diskretisiert man (7.15) mit einem expliziten Euler–Verfahren und UDS1, erh¨ alt man in einem Finite–Differenzen–Schema f¨ ur Uout = ∆x /∆t , d.h. CF L = 1, die einfache Vorschrift n φn+1 i+1 = φi

,

(7.16)

wobei der Punkt i + 1 auf der Berandung liegt.

7.4.4

Kopplung an eine RANS Simulation

Eine Verallgemeinerung der LES Ausstr¨ombedingung entsteht, wenn die LES mit einer stromab befindlichen RANS–Zone gekoppelt wird. Hier sind verschiedene Ans¨ atze m¨ oglich, die z.B. in [428] und [616] diskutiert werden.

7.5

Anfangsbedingungen

7.5.1

Klassifizierung von Simulationen

Bei der Berechnung turbulenter Str¨omungen kann man zwischen zeitlichen und r¨ aumlichen Simulationen unterscheiden. Im ersten Fall wird die zeitliche Entwicklung der Turbulenz untersucht, beispielsweise das Abklingen isotroper Turbulenz. Im zweiten Fall liegt typischerweise ein Ein– und ein Ausstr¨omrand vor, und das Ziel ist die Berechnung eines statistisch station¨ aren Zustandes. Dieser Fall ist in Anwendungen der weitaus h¨ aufigere und soll hier auch F¨ alle mit statistisch station¨arer ¨außerer Anregung enthalten. In dieser Situation gilt Analoges f¨ ur das Phasenmittel. Konfigurationen mit statistisch nicht konstanter instation¨ arer Anregung fallen in die Klasse der zeitlichen Simulationen. F¨ ur Grundlagenuntersuchungen werden oft r¨aumliche Simulationen durch zeitliche Simulationen angen¨ ahert. Ein illustratives Beispiel ist die Str¨ omung hinter einem Turbulenzgitter. In einem ortsfesten Rechengebiet findet Ein– und Ausstr¨ omen statt, das, wie oben diskutiert, z.T. schwierig zu modellieren sind. Bewegt sich das Rechengebiet mit der mittleren Str¨ omung, so klingt die Turbulenz in ihm langsam ab, und man kann in guter N¨ aherung r¨aumliche Homogenit¨at annehmen, so dass ein reines Anfangswertproblem entsteht. Durch geeignete Super–Grid–Modellierung entsteht also eine Konfiguration, die wesentlich einfa¨ cher zu berechnen ist und dennoch die Untersuchung vieler Fragestellungen erlaubt. Ahnlich

218

7 Super–Grid Modelle: Rand– und Anfangsbedingungen

¨ verh¨ alt es sich beim Ubergang von der r¨aumlichen auf die zeitliche Mischungsschicht durch Galilei–Transformation mit der mittleren Geschwindigkeit [473, Kap.5.4.2].

7.5.2

Zeitliche Simulationen

Bei zeitlichen Simulationen ist naturgem¨aß die Anfangsbedingung von zentraler Bedeutung, denn sie bestimmt ganz wesentlich die anschließende Evolution. Hier ist also mit Sorgfalt vorzugehen, um einen physikalisch realistischen Zustand zu definieren, der dann auch realistische Schlussfolgerungen erlaubt. Besonders f¨ ur isotrope Turbulenz gibt es zahlreiche Arbeiten zu diesem Aspekt. Beispielhaft sei hier folgende Methode dargestellt, die besonders praktikabel erscheint und realistische Turbulenzstrukturen liefert (T. Lund, private Mitteilung). Ausgangspunkt ist das gew¨ unschte Spektrum des Anfangszustandes. Daher wird zun¨ achst das Geschwindigkeitsfeld im Frequenzbereich mit diesem Spektrum initialisiert, wobei die Phasen zuf¨ allig gew¨ ahlt werden. Die r¨ aumlichen Strukturen sind also unphysikalisch. Dann wird ein Zeitschritt mit dem Verfahren berechnet, das auch f¨ ur die eigentliche Simulation eingesetzt wird. Anschließend wird das Spektrum berechnet und so skaliert, dass es wieder dem gew¨ unschten Spektrum entspricht. Nach einer gen¨ ugenden Anzahl von Zeitschritten haben sich physikalisch realistische Turbulenzstrukturen mit dem gew¨ unschten Spektrum herausgebildet. Dieses Geschwindigkeitsfeld wird dann als Anfangsbedingung beispielsweise f¨ ur eine Simulation des Abklingverhaltens verwendet.

7.5.3

R¨aumliche Simulationen

Bei r¨ aumlichen Simulationen ist das Ziel meist, einen statistisch station¨ aren turbulenten Zustand zu berechnen, um dann sowohl momentane Wirbelstrukturen darzustellen wie auch statistische Mittelwerte zu berechnen. Als Beispiel sei hier die Zylinderumstr¨ omung genannt, ¨ die in zahlreichen Arbeiten berechnet wurde (siehe auch Kapitel 9). Ahnliche Verh¨ altnisse liegen bei zeitlichen Simulationen vor, die durch eine Anregung aufrecht erhalten werden und sich ebenfalls statistisch station¨ar einstellen, wie z.B. die bereits diskutierte Kanalstr¨ omung. Außer beim Auftreten großskaliger Hystereseeffekte k¨ onnen turbulente Str¨ omungen als ergodisch angesehen werden, was besagt, dass unabh¨ angig vom Anfangszustand jeder turbulente Zustand erreicht wird [245]. Turbulenz zeigt chaotisches Verhalten, wie etwa in [327, Kap.I.4] diskutiert. Das bedeutet, dass sich der Unterschied ¨ ahnlicher turbulenter Zust¨ ande mit der Zeit exponentiell vergr¨oßert, so dass die Korrelation der momentanen Str¨ omung mit der Anfangsbedingung schnell auf Null absinkt. In [473, S.36] ist dies mit Hilfe der Lorenz–Gleichungen illustriert. Die Anfangsbedingung hat somit physikalisch keine Auswirkungen auf die im statistisch station¨aren Zustand berechnete momentane L¨ osung und ihre Mittelwerte, turbulente Str¨omungen “vergessen” die Anfangsbedingungen nach einer gewissen Zeit. Eine r¨ aumliche LES oder DNS einer turbulenten Str¨ omung besteht daher i.A. aus zwei Phasen, einer Startphase, in der der statistisch station¨ are Zustand erreicht werden soll, und einer Mittelungsphase, zur Akkumulation statistischer Daten. Aus praktischer Sicht sind somit folgende Fragen wichtig:

7.5 Anfangsbedingungen

219

1) Wird der statistisch station¨are Zustand erreicht ? 2) Wann ist dieser Zustand erreicht ? 3) Wie wird der statistisch station¨are Zustand m¨ oglichst schnell, d.h. mit m¨ oglichst wenig Rechenzeit, erreicht ? Der erste Punkt ist f¨ ur einige Anwendungen durchaus von Bedeutung. Bei Str¨ omungen mit kleiner Reynolds–Zahl geschieht es h¨aufig, dass die LES dieser Str¨ omungen, ausgehend von einer Anfangsbedingung, z.B. mit stochastischen Fluktuationen, auf einen laminaren Zustand f¨ uhrt. Besonders mit sehr diffusiven FS–Modellen wird dies beobachtet. Abhilfe schafft hier eine Vergr¨oßerung der initialen Fluktuationen oder besser noch das Abschalten des FS–Modells in einer Anfangsphase. Unter Wegfall des d¨ ampfenden Einflusses k¨ onnen sich dann physikalisch sinnvolle und gen¨ ugend energiereiche r¨ aumliche Strukturen herausbilden, bevor das FS–Modell wieder zugeschaltet wird. Ob eine Str¨ omung bzw. eine Rechnung den statistisch station¨ aren Zustand erreicht hat, kann meist nur qualitativ festgestellt werden. Dazu werden oft instation¨ are Kenngr¨ oßen u ¨ ber der Zeit aufgetragen wie z.B. der Auftriebsbeiwert bei der Zylinderumstr¨ omung. Solche Gr¨ oßen ¨ zeigen meist bereits anhand des Augenscheins die Startphase und den Ubergang in den eingeschwungenen Zustand recht gut an. Bei der Berechnung von Kanalstr¨ omungen mit fixem Massenfluss (s. Abschnitt 7.2.2) bietet sich zu diesem Zweck das Integral der Wandschubspannung an [88] oder die zur Aufrechterhaltung des Durchflusses n¨ otige Volumenkraft [643]. Wenn diese Gr¨oßen quasiperiodisches Verhalten aufweisen, kann die Str¨ omung als statistisch station¨ar angesehen werden. In anderen Arbeiten werden durch r¨ aumliche Mittelung Reynolds–Spannungen berechnet und mit den exakten Werten verglichen. Eggels et al. [144] vergleichen beispielsweise die so berechnete Scherspannung in einer Rohrstr¨ omung mit dem linearen Verlauf. Wie lange die Startphase dauert, h¨angt naturgem¨ aß von der Anfangsbedingung ab. W¨ ahlt man beispielsweise bei einer Zylinderumstr¨omung eine uniforme Geschwindigkeit, so stellt sich innerhalb weniger Zeitschritte eine Art Potentialstr¨ omung ein (durch alternative Vorgabe der Potentialstr¨omung als Anfangsbedingung wird also keine Einsparung erreicht), jedoch muss die Transition zur Turbulenz im Nachlauf zeitlich nachvollzogen werden, was entsprechend aufw¨ andig ist. Durch die Zugabe von St¨ orungen in der Anfangsbedingung kann ¨ der Ubergang beschleunigt werden, beispielsweise durch u ¨berlagerte stochastische Fluktuationen, oder eine St¨orung mit starker Asymmetrie, die die alternierende Wirbelabl¨ osung anregt. In vielen Arbeiten wird als Startl¨osung einer LES das Resultat einer RANS–Simulation verwendet. Da sich aber s¨amtliche Fluktuationen noch herausbilden m¨ ussen und dann die LES bestimmen, ist der Gewinn gegen¨ uber z.B. einer Potenzialstr¨ omung als Anfangszustand vermutlich unwesentlich. Auch hier kann es, wie beim Start von einer laminaren L¨ osung, hilfreich sein, die Anfangsbedingung mit stochastischen Fluktuationen oder besser synthetischen Turbulenzsignalen zu u ¨ berlagern [549]. Diese Autoren weisen auch auf den interessanten Bezug zu Methoden hin, die in station¨aren RANS–Rechnungen Partikeldispersion ¨ durch Uberlagerung eines synthetischen Geschwindigkeitsfeldes modellieren. Welche konkreten Maßnahmen der St¨orung von Anfangsbedingungen ergriffen werden k¨ onnen, h¨ angt von der jeweiligen Konfiguration ab. Eine zweite Strategie ist, dieselbe Str¨omung mit anderen Parametern als Anfangsbedingung zu verwenden, z.B. mit anderer Reynoldszahl, anderer FS–Modellierung oder anderem

220

7 Super–Grid Modelle: Rand– und Anfangsbedingungen

Gitter. Dieses Vorgehen ist sehr zu empfehlen [58], da hierdurch die Startphase erheblich verk¨ urzt werden kann. Außerdem ist es ein bew¨ahrtes Verfahren, eine Str¨ omung zun¨ achst auf einem groben Gitter zu berechnen, um die Implementierung von Gitter und Randbedingungen zu testen, so dass ohne Zusatzaufwand geeignete Startl¨ osungen f¨ ur die Rechnung auf feinerem Gitter vorliegen. Die Interpolation von einem Gitter auf ein anderes kann bei strukturierten Gittern unter Ausnutzung der individuellen Konfiguration relativ effizient durchgef¨ uhrt werden. Ein Beispiel ist die Verfeinerung in Spannweitenrichtung bei einem Kreiszylinder [173], die durch eindimensionale lineare Interpolation m¨oglich ist. Bei unstrukturierten Gittern oder unterschiedlicher Blockstruktur von Ausgangs– und Zielkonfiguration ist dies wesentlich aufw¨ andiger. Was die Verk¨ urzung der Startphase anbelangt, sollte der Anwender im Auge behalten, dass die Phase der Berechnung von Mittelwerten typischerweise wesentlich l¨ anger dauert als die Startphase, auch mit ung¨ unstigen Anfangsbedingungen. Daher fallen entsprechende Einsparungen im Bezug auf die Gesamtrechenzeit einer Simulation oft weniger ins Gewicht. Eine geeignete Zeitskala zur Beurteilung der Startphase ist in vielen F¨ allen die Durchflusszeit, also die Zeit, in der Fluidelemente, die zu Beginn im Rechengebiet vorhanden waren, aufgrund der mittleren Konvektion das Rechengebiet verlassen haben.

8

Modellierung der wandnahen Stro ¨mung

8.1

Grunds¨atzliches zur Wandmodellierung bei LES

Wie in Abschnitt 2.5 besprochen, sinkt in der N¨ ahe von festen W¨ anden die Gr¨ oße der dominierenden Wirbel im Gegensatz zur Außenstr¨ omung drastisch. Andererseits bestimmen diese Strukturen jedoch das Verhalten der wandnahen Str¨ omung. Die Idee der LES besteht darin, die energietragenden Wirbel einer Str¨omung aufzul¨ osen und nur die verbleibenden Anteile zu modellieren. Wird dies f¨ ur die wandnahe Str¨ omung umgesetzt, so spricht man von einer “wandaufl¨ osenden LES” (engl. “wall–resolving LES”), hier mit WR–LES abgek¨ urzt. Diese Situation ist in Abb. 8.1a dargestellt, wobei selbstverst¨ andlich auch ohne lokale Verfeinerung, also mit einem insgesamt sehr feinen Gitter gearbeitet werden kann. Bei WR–LES tritt die Modellierungsproblematik nur insoweit auf, als dass FS–Modelle an die spezielle Struktur wandnaher Turbulenz angepasst werden. Mit steigender Reynolds–Zahl reduziert sich die Grenzschichtdicke, und die Aufl¨ osung durch das Gitter ist nur noch eingeschr¨ankt m¨oglich. Dann muss die Str¨ omung direkt an der Wand modelliert werden, was hier unabh¨angig von der eingesetzten Modellierung mit WM–LES bezeichnet wird. Trivialerweise kann die Simulation damit keine neue Information u ¨ ber die Strukturen in diesem Bereich liefern. Ziel ist vielmehr, die Auswirkungen auf weiter entferntere Teile der Str¨omung korrekt wiederzugeben. Genau genommen handelt es sich wieder um eine Art der Feinstrukturmodellierung nicht aufgel¨ oster Strukturen. Man ist versucht, eine Analogie zu RANS mit Wandfunktionen (Abschnitt 3.2.8) und RANS Modellen f¨ ur kleine Reynolds–Zahlen (Abschnitt 3.2.7) herzustellen. Die Situation im Rahmen der LES ist aber komplexer. Wenn beispielsweise in einer kanonischen Grenzschicht der erste Gitterpunkt jenseits der Pufferzone liegt, findet innerhalb der wandnahen Zelle auf nicht aufgel¨osten Skalen die Produktion der turbulenten kinetischen Energie statt (Abb. 2.10). Bei LES existiert nun ein Wechselspiel zwischen modellierter und aufgel¨ oster kinetischer Energie. Der Energietransfer geht also, anders als bei der FS–Modellierung im Gebietsinneren, im Mittel von den nicht aufgel¨osten zu den aufgel¨ osten Skalen. Damit liegt zun¨ achst einmal keine Information u ¨ ber die energietragenden Strukturen vor. Die Bedeutung dieser Aspekte f¨ ur die Wandmodellierung wird vielerorts noch nicht deutlich genug gesehen. Es muss nicht nur die Wandschubspannung, sondern auch das “richtige” Maß aufgel¨ oster Fluktuationen generiert werden, um in der Nachbarschaft der Wand eine erfolgreiche LES durchf¨ uhren zu k¨onnen. Wandmodellierung ist daher deutlich komplexer als die klassische FS–Modellierung im Gebietsinneren. Auch heute noch sind vermutlich viele Wandmodellierungen durch ein gl¨ uckliches Zusammenspiel zwischen physikalischem Modell und numerischer Diskretisierung erfolgreich, ohne dass dies a priori kontrolliert werden kann.

222

8 Modellierung der wandnahen Str¨ omung

Im Folgenden werden zahlreiche Wandmodelle diskutiert, deren Ans¨ atze in Abb. 8.1b–d schematisch dargestellt sind. Die ersten Wandmodelle waren sog. Wandfunktionen, Abb. 8.1b. Dabei liegt der wandn¨achste Gitterpunkt jenseits der viskosen Unterschicht, und die Wandschubspannung wird durch eine Modellbeziehung aus der Geschwindigkeit an diesem Punkt gewonnen. Der Ansatz wird hier mit WF–LES bezeichnet. Bei Zweischichtenmodellen, Abb. 8.1c, werden statt einer algebraischen Beziehung im Inneren der wandnahen Zellen Grenzschichtgleichungen in tangentialer Richtung gel¨ ost, die dann die Wandschubspannung auf dem LES Gitter liefern. Detached Eddy Simulation (DES) ist ein Ansatz, bei dem auf einem senkrecht zur Wand feinen aber tangential grobem Gitter in den zu l¨ osenden Gleichungen zwischen einer statistischen Modellierung in Wandn¨ ahe und einer LES–Modellierung in gr¨ oßerem Wandabstand umgeschaltet wird, Abb. 8.1d. Zu allen Ans¨ atzen gibt es zahlreiche Varianten, die hier nur skizziert werden k¨onnen. Grunds¨ atzlich muss bei WM–LES statistische Information in die instation¨are LES eingebracht werden. Daraus ergeben sich zwei Problemkreise, erstens die “richtige” statistische Information bereitzustellen, zweitens, diese in geeigneter Weise zu verwenden. In diesem Kapitel wird die Nomenklatur aus Abschnitt 2.5 verwendet: x bezeichnet die Hauptstr¨ omungsrichtung, y die Wandnormalenrichtung und z die Spannweitenrichtung. Die entsprechenden Geschwindigkeitskomponenten sind u, v, w, und der wandn¨ achste Gitterpunkt des LES–Gitters wird durch den Index 1 gekennzeichnet. Zur Vereinfachung bezeichnet τw im Text stets den Betrag der Wandschubspannung, ist also ein positiver Skalar.

a

b

c

d

u1

u1

d< 6

y1

ow

ow

Abb. 8.1 Verschiedene Ans¨ atze bei der LES wandnaher Str¨ omungen. a) wandaufl¨ osende LES mit lokal verfeinertem Gitter, b) Wandfunktion, c) L¨ osen von Genzschichtgleichungen innerhalb der wandn¨ achsten Zelle, d) DES.

8.2

Aufl¨ osen der Turbulenz in Wandn¨ahe

8.2.1

Diskretisierungsbedarf

Chapman [86] formulierte als erster realistische Absch¨ atzungen f¨ ur den minimalen Diskretisierungsbedarf von WR–LES am Beispiel einer Grenzschicht. Ausgangspunkt ist die außeren Bereich Einteilung der Str¨omung in einen inneren Bereich y + ≈ 0 . . . 100 und einen ¨ von y + ≈ 100 bis y ≈ δ. F¨ ur jeden dieser Bereiche wird dann die ben¨ otigte Gitterschrittweite abgesch¨ atzt. F¨ ur den a¨ußeren Bereich greift die in Abb. 2.2 gemachte Beobachtung,

223

8.2 Aufl¨ osen der Turbulenz in Wandn¨ ahe

dass ein vorgegebener Energieanteil bei wachsender Reynolds–Zahl asymptotisch mit konstanter Gitterpunktzahl repr¨asentiert werden kann. In [86] werden hierf¨ ur 25 Punkte in Wandnormalenrichtung und 10 Punkte in den beiden anderen Richtungen angesetzt, d.h. 2500 Punkte, um das Volumen δ 3 zu diskretisieren. Wenngleich die Werte ausgef¨ uhrter LES Rechnungen weit streuen, ist dies realistisch [458]. F¨ ur die Grenzschichtdicke wird 0,2 δ ∼ ReL gesetzt, wobei ReL mit der Ausdehnung des Rechengebietes gebildet ist. Mit steigender Reynolds–Zahl ReL bleibt dann zwar die Zahl der Gitterpunkte in Normalenrichtung unver¨ andert, doch werden in den beiden tangentialen Richtungen entsprechend mehr Punkte ben¨otigt. Daher muss die Zahl der Gitterpunkte in der ¨ außeren Zone (Index “outer”) gem¨ aß Nouter = (Nx × Ny × Nz )outer = Couter Re0,4 L

(8.1)

wachsen. Im inneren Bereich (Index “inner”) skalieren die Wirbelstrukturen in Wandeinheiten, d.h. mit lτ = ν/uτ . Aufgrund der in Abschnitt 2.5.6 dargestellten Ausdehnung der + wandnahen Strukturen liegen sinnvolle Werte bei ∆+ x ≈ 100, ∆z ≈ 20 [86]. Chapman setzt geschachtelte Gitter voraus, deren Schrittweite in allen Richtungen mit dem Wandabstand steigt. Asymptotisch bestimmend ist somit der wandn¨ achste Block. Mit einer konstanten Zahl von Punkten in Wandnormalenrichtung ergibt sich dann Ninner = (Nx × Ny × Nz )inner ∼ Cf Re2L

,

(8.2)

wobei der Reibungsbeiwert f¨ ur eine ebene Platte mit Cf = 0.074Re−0,2 gesetzt wird, so L dass Ninner = Cinner Re1,8 L

.

(8.3)

Diese Abh¨ angigkeit ist wesentlich st¨arker als f¨ ur den ¨ außeren Bereich der Grenzschicht, was in Abb. 8.2 illustriert ist. Die dabei verwendeten Werte Cinner = 1,25 · 10−4 , Couter = 104 folgen aus den Ans¨atzen in [86]. Durch getrennte Betrachtung des inneren und des ¨ außeren Bereichs ist die Absch¨atzung g¨ unstiger als w¨ urde auch im ¨ außeren Bereich das Gitter mit uhrt auf Ntot ∼ Re2,7 lτ skalieren. Letzteres f¨ L [488]. Wie im Zusammenhang mit DNS erl¨autert, ist bei einer erh¨ ohten Ortsaufl¨ osung auch der Zeitschritt zu reduzieren. Die Rechenzeit zur Berechnung eines physikalischen Zeitabschnittes T ist dann tCP U ∼ (Ninner +Nouter )T /∆t . F¨ ur die Zeitschrittweite ist der innere Bereich −1/3 maßgebend, so dass 1/∆t ∼ (V ol)inner ∼ 1/∆x,inner ∼ Re0,9 L , wodurch der Rechenaufwand nach tCP U,W R−LES ∼ Re2,7 L

(8.4)

otigte Zeitschritt, der etwaige skaliert. 1 Zugrunde gelegt wird hier der physikalisch ben¨ Stabilit¨ atsbeschr¨ ankungen numerischer Verfahren außer Acht l¨ asst. F¨ ur eine Simulation des außeren Bereiches ergibt sich ¨  tCP U,W F −LES ∼ Re0,53 ≈ ReL . (8.5) L 1/3

1 Diese Absch¨ atzung ist ung¨ unstiger als in [458], da dort 1/∆t ∼ Ninner gesetzt wird, was die Reduktion ucksichtigt. des Zeitschritts durch Verkleinerung von ∆ y mit ReL nicht ber¨

224

8 Modellierung der wandnahen Str¨ omung

1e+12 1e+11 1e+10

Ninner Nouter Ntot Pentium III

N

1e+09 1e+08 1e+07 1e+06 1e+05 1e+04

1e+05

1e+06

1e+07

1e+08

1e+09

Re_L

Abb. 8.2 Zahl der Gitterpunkte zur Aufl¨ osung der Turbulenz im inneren und im ¨ außeren Teil der Wandgrenzschicht gem¨ aß Gl. (8.1) und (8.3) mit Cinner = 1,25·10−4 und Couter = 104 . Beispielhaft eingetragen ist die Kapazit¨ at eines Pentium III Rechners. Bild nach [458] (die Kurve f¨ ur Ninner in dieser Referenz erscheint jedoch fehlerhaft).

Dies entspricht, wie schon durch die Notation angedeutet, dem Aufwand einer LES mit Wandfunktion. WR–LES kann also nur f¨ ur Str¨omungen mit niedriger bis mittlerer Reynolds–Zahl verwendet werden. Die Skalierung (8.5) ist ¨ ahnlich ung¨ unstig wie tCP U ∼ Re3L f¨ ur DNS nach Gleichung (3.2), weshalb dieser Ansatz in [554] auch als “Quasi–DNS” bezeichnet wird. Bei DNS muss allerdings auch die Außenstr¨ omung gem¨ aß sinkender Kolmogorov– L¨ ange immer feiner diskretisiert werden. Die Konstanten in den Beziehungen f¨ ur tCP U sind also unterschiedlich, und WR–LES ist immer noch wesentlich g¨ unstiger als DNS. Der Vorteil wandaufl¨ osender LES gegen¨ uber LES mit Wandmodellierung liegt vor allem darin, dass sie prinzipiell f¨ ur beliebige Wandgeometrien g¨ ultig ist, da abgesehen von der FS–Modellierung keine weiteren Modellannahmen ben¨otigt werden. Zur Illustration sei die ebene Kanalstr¨omung betrachtet. F¨ ur diese Str¨ omung gilt die obige Absch¨ atzung in der inneren Zone, w¨ahrend im ¨außeren Bereich, d.h. im gesamten verbleibenden Teil des Rechengebietes, keine Abh¨angigkeit von der Reynolds–Zahl besteht [458]. Die “Grenzschichtdicke” entspricht immer der halben Kanalh¨ ohe. Solange ein strukturiertes Diskretisierungsverfahren verwendet wird, ist in jedem Fall die Aufl¨ osung nahe der Wand bestimmend, wobei in Wandnormalenrichtung eine Gitterstreckung eingef¨ uhrt wird. F¨ ur den Abstand y1+ des ersten Gitterpunktes von der Wand ist y1+ ≈ 1 zu empfehlen, f¨ ur + ¨ die tangentialen Richtungen wurde oben bereits ∆+ x ≈ 100, ∆z ≈ 20 genannt. Ahnliche Empfehlungen finden sich auch in anderen Arbeiten, z.B. y1+ < 2, ∆+ x = 50 . . . 150, onnen je nach den Aufl¨ osungseigenschaften ∆+ z = 15 . . . 40 in [462]. Die Anforderungen k¨ des Diskretisierungsverfahrens etwas variieren. In Abb. 8.3 ist eine WR–LES der Kanalstr¨omung mit dem in Abschnitt 9.2 dargestellen Finite Volumen Code LESOCC2 und zentralen Differenzen zweiter Ordnung bei nominell Reτ = 590 dargestellt. Zum Vergleich sind DNS–Daten aus [412] angegeben. Das Inte-

8.2 Aufl¨ osen der Turbulenz in Wandn¨ ahe

225

grationsgebiet ist Lx × Ly × Lz = 2π × 2 × π. Die y−Richtung wurde mit 159 Punkten u ¨ ber der gesamten Kanalh¨ohe diskretisiert, wobei diese in der Pufferzone verdichtet wurden. Der wandn¨achste Gitterpunkt liegt im verwendeten zellzentrierten Verfahren bei + ∆y1+ /2 = y1+ = 0,5 < 1. Die tangentiale Aufl¨osung ∆+ x = 50, ∆z = 16 entspricht ebenfalls den genannten Anforderungen. Zur FS–Modellierung wurde das DSM mit Testfilter parallel zur Wand verwendet. Aufgepr¨agt wurde der Durchfluss mit Reb = 10935 (s. Abschnitt 7.2.2). Der berechnete Wert von Reτ = 598,5 stimmt sehr gut mit dem DNS–Wert von Reτ = 587,19 [412] u oßen n¨ ahern ¨ berein. Auch die in Abb. 8.3 dargestellten statistischen Gr¨ die DNS–Daten recht gut an. Die Reynolds–Zahl ist f¨ ur derartige Rechnungen mit einem strukturierten Code jedoch bereits hoch. Im Gegensatz zu RANS–Rechnungen, bei denen die berechnete L¨ osung meist nicht oder nur wenig in tangentialer Rechnung variiert, ist f¨ ur eine LES die Aufl¨ osung in diesen Richtungen wichtig: W¨ ahrend bei RANS statistische Gr¨oßen diskretisiert werden, sind es ja bei LES die energietragenden, instation¨aren Wirbelstrukturen. Sehr h¨ aufig wird insbesondere in Spannweitenrichtung ein zu grobes Gitter verwendet. Abb. 8.4 stellt eine solche Rechnung dar, bei der gegen¨ uber der Rechnung in Abb. 8.3 lediglich das Gitter ver¨ andert wurde. Es ist in z−Richtung doppelt so grob und f¨ ur die eingesetzte Diskretisierungsmethode nicht mehr fein genug. In y−Richtung wurden 65 Punkte mit geometrischer Streckung von 11% verwendet. Diese Streckung muss f¨ ur das FV–Verfahren zweiter Ordnung als sehr hoch, wenn nicht gar zu hoch eingesch¨atzt werden. In dieser Rechnung wird mit Reτ = 504 eine deutliche Abweichung der Schubspannung festgestellt. Auch weichen die berechneten Mittelwerte und Schwankungsgr¨oßen deutlich von der DNS ab. Beobachtungen wie die hier geschilderten veranlassten Cabot und Moin [70], zwischen “wall– resolving LES” und “well–resolving LES” zu unterscheiden. Das Erste meint eine LES, bei der nur die Schrittweite senkrecht zur Wand reduziert wird, nicht aber tangential. Das Zweite meint eine LES, die auch tangential die zur Darstellung der instantanen Str¨ omung n¨ otige Aufl¨ osung verwendet. Diese einpr¨agsame aber etwas polemische Unterscheidung soll hier vermieden und unter wandaufl¨osender LES (WR–LES) immer der zweite Fall verstanden werden.

8.2.2

Feinstrukturmodellierung in Wandn¨ahe

Die Turbulenz in Wandn¨ahe hat, wie in Abschnitt 2.5 diskutiert, aufgrund ihrer Anisotropie und ihrer Inhomogenit¨at andere Eigenschaften als die Turbulenz im Inneren der Str¨ omung. Daher sind im Allgemeinen FS–Modelle in Wandn¨ ahe an diese Verh¨ altnisse anzupassen. In A–priori–Tests hat man versucht, Informationen bez¨ uglich der Energie¨ ubertragung zwischen Grob– und Feinstruktur f¨ ur die Modellierung bereitzustellen. Piomelli et al. [461] untersuchten den Austauschterm PF S = −τij S ij , der in der Gleichung der aufgel¨ osten turbulenten kinetischen Energie Kres = ui ui /2 mit negativem Vorzeichen und in der Gleichung der Feinstrukturenergie Kτ = τkk /2 mit positivem Vorzeichen auftritt (siehe Gl. (5.87) und (5.92)). Dieser Austauschterm wurde durch Anwendung eines Fourier–cutoff–Filters auf ahlt man den Filter DNS Daten von Kanalstr¨omungen bei Reτ = 180 und 390 berechnet. W¨ so, dass Kτ im Mittel 10% der gesamten turbulenten kinetischen Energie betr¨ agt, so ist oheren Reynolds–Zahl in etwa so groß wie die molekulare Dissipation ε GS , bei PF S bei der h¨

226

8 Modellierung der wandnahen Str¨ omung

a

b

DNS: uurms+ DNS: vvrms+ + DNS:ww uu DNS: rms DNS: vv + DNS: DNS:- ww DNS: +- LES: urms LES: u + LES:v v LES: LES: rms w+ LES: LES:w- rms + LES: -

20

+ rms + rms

3

+ rms

+ rms + rms + rms

15 2

+

+

10

log-law log-law

DNS: +

5

1

DNS: + LES:

+

LES: + 0

10

0

10

1

+

10

2

10

3

0

0

0.25

y

0.5

0.75

1

y

Abb. 8.3 Wandaufl¨ osende LES einer ebenen Kanalstr¨ omung bei Reτ = 590. An der Wand wurde die Haftbedingung aufgepr¨ agt. Die wandnahen Gitterzellen haben die Abmessungen ∆x+ = + +



+ 50, ∆z + = 16, ∆y1+ = 1 in Wandeinheiten. a) u+ , b) u+ rms , vrms , wrms , −u v  , wobei

u

/u2 , etc. Symbole stellen die LES–Daten an den Gitterpunkten der LES dar, u+ = u rms τ durchgezogene Linien sind DNS–Daten dieser Str¨ omung aus [412] zum Vergleich. Abbildung aus [169].


der niedrigeren etwa halb so groß, und im Mittel immer positiv. Die rms–Fluktuationen von PF S sind jedoch bis zu 6 mal so groß wie der Mittelwert. Beide, Mittelwert und Fluktuationen, haben ihr Maximum in der Pufferzone, nahe y + = 12. Die Gr¨ oße PF S fluktuiert also sehr stark. Positive Werte bedeuten Vorw¨artstransport kinetischer Energie von groben zu feinen Skalen, w¨ ahrend negative Werte R¨ uckw¨artstransport, d.h. Backscatter kennzeichnen. Eine Zerlegung in diese Anteile ist m¨oglich durch die Definition PF+S =

1 (PF S + |PF S |) 2

,

PF−S =

1 (PF S − |PF S |) 2

,

(8.6)

so dass PF S = PF+S + PF−S . Beide Terme werden dann jeweils getrennt in der Zeit gemittelt. Es zeigt sich, dass im Fall Kτ ≈ 0,1Ktot der mittlere Backscatter
PF−S  in etwa 4 mal so groß ist wie der Mittelwert
PF S . Backscatter tritt dabei an ca. 50% der Gitterpunkte auf. Hier sind sowohl der lokale Vorw¨arts– als auch der R¨ uckw¨ artstransport groß im Vergleich zur zeitgemittelten Nettosumme, wobei der Vorw¨ artstransport etwas gr¨ oßer ist. F¨ uhrt man die Analyse mit dem (realistischeren) Gauß–Filter durch, so reduziert sich
PF S  und noch mehr der Backscatter, so dass auch sein prozentualer Anteil sinkt. Er liegt dann f¨ ur Kτ = 0,22Ktot etwa bei 0,5
PF S  und tritt an 30% der Gitterpunkte auf [461]. Die Verh¨ alt¨ nisse sind also bei weitem nicht so drastisch wie bei dem Fourier–cutoff–Filter. Ahnliche Resultate ergeben sich mit dem Rechteckfilter. In einer sp¨ ateren Arbeit [468] wurde gezeigt, dass in der Pufferzone Vorw¨artstransfer mit Ejections und R¨ uckw¨ artstransfer mit Sweeps einher gehen. In gr¨oßeren Wandabst¨anden treten beide Richtungen des Energietransfers in Zusammenhang mit Ejections auf. Durch A–priori–Tests wurde in [129] nachgewiesen, dass der Energieaustausch zwischen Grob– und Feinstruktur auch bei wandnahen Str¨ omungen in erster Linie zwischen Skalen benachbarter Gr¨oße erfolgt.

227

8.2 Aufl¨ osen der Turbulenz in Wandn¨ ahe a

b

25

DNS: uurms+ DNS: vvrms+ + DNS: wwrms DNS: uu + DNS:DNS: - vv DNS: +ww LES: DNS: urms- LES: LES: vrms+uv LES: + LES: LES: wrmsw LES: -+ LES: -

4

+ rms + rms

+ rms

20 3

+ rms + rms + rms

15

+

+

2 10

log-law log-law

DNS: + DNS: +

5

1

LES: +

LES: + 0

10

0

10

1

+

y

10

2

10

3

0

0

0.25

0.5

0.75

1

y

Abb. 8.4 Rechnung der ebenen Kanalstr¨ omung mit Haftbedingung zur Illustration des Effekts unzureichender Aufl¨ osung. Die wandn¨ achsten Zellen haben die Abmessungen ∆x+ = 62, ∆z + = 30, ∆y1+ = 1,8. Konfiguration und Methode wie in Abb. 8.3, Linien und Symbole wie dort. Abbildung aus [169].

Zahlreiche A–priori–Analysen des Energieaustausches wurden auch von H¨ artel und Kleiser in [228], [226], [227] durchgef¨ uhrt. Hier ist jedoch zu beachten, dass der Ausgangspunkt eine LES mit expliziter Berechnung des Leonard–Terms Lij = ui uj − ui uj war. Der FS– Term besteht dann nicht aus τij = Lij + Cij + Rij (s. Abschnitt 5.2.6), sondern nur aus Qij = Cij + Rij . Auch hier wird in Kanalrechnungen Backscatter gefunden, und zwar in Verbindung mit Qxy und ∂u/∂y. Insgesamt ergibt sich also wie bei der wandfernen Str¨ omung f¨ ur die FS–Modellierung in Wandn¨ ahe die M¨oglichkeit, nur den resultierenden Energiefluss PF S zu modellieren oder Forwardscatter und Backscatter getrennt darzustellen. F¨ ur Grenzschichten im turbulenten Gleichgewicht ist die erste Variante m¨oglich und wurde in sehr vielen Arbeiten durch Verwenden rein dissipativer Modelle eingesetzt. Der bisweilen formulierte recht einfache Gedanke ist oft, dass die Wand turbulente Fluktuationen in Normalenrichtung d¨ ampft, so dass die d¨ ampfende Wirkung des FS–Modells reduziert werden muss, um ein realistisches Ergebnis zu erhalten. Obwohl, wie gezeigt, die Verh¨ altnisse tats¨ achlich komplizierter sind, lieferte dieses Konzept mit der in Abschnitt 6.4.2 besprochenen van Driestschen D¨ ampfung des Smagorinsky–Modells f¨ ur zahlreiche F¨alle brauchbare Ergebnisse. Die Variante des Smagorinsky–Modells f¨ ur kleine Reynolds–Zahlen von Voke [610] wurde ebenfalls mit dem Ziel einer besseren Beschreibung der wandnahen Turbulenz entwickelt. Obwohl das Modell anhand der Spektren isotroper Turbulenz erzeugt wurde, liefert es bessere Ergebnisse als ein Modell, in dem die Wirbelviskosit¨at aus den Geschwindigkeitsfluktuationen, also unter Abzug des mittleren Gradienten, nach dem urspr¨ unglichen Modell berechnet wurde. Bei entsprechend gew¨ahltem Gitter leisten auch die in Abschnitt 6.5.4 und 6.5.5 beschriebenen dynamischen Modelle eine ad¨aquate Reduktion des Modellterms [194]. R¨ aumliche Testfilter werden dabei in einfachen Str¨omungen meist nur parallel zur Wand verwendet. In A–priori–Tests zeigte sich, dass z.B. beim DSM die Wirbelviskosit¨ at νt automatisch so

228

8 Modellierung der wandnahen Str¨ omung

reduziert wird, dass der asymptotisch korrekte Verlauf νt ∼ (y + )3 entsteht [194]. Auch mit dem WALE Modell wird dieses Verhalten erreicht [424]. Nahezu alle in Kapitel 6 besprochenen FS–Modelle wurden f¨ ur wandnahe Str¨ omungen eingesetzt und z.B. mit Hilfe der Kanalstr¨omung getestet. Allgemein wird beobachtet, dass Modelle, die einen gewissen Anteil Backscatter erzeugen k¨ onnen, etwas bessere Ergebnisse liefern als reine Wirbelviskosit¨atsmodelle. Ein Beispiel ist in Abb. 8.5 gezeigt. Dort wurden f¨ ur WR–LES unter ansonsten gleichen Bedingungen SM, DSM, MM und DMM zur Berechnung einer Kanalstr¨omung eingesetzt [51]. Dabei wurde die mit dem Massenfluss gebildete Reynolds–Zahl von Reb = 6875 aufgepr¨agt. Die in der DNS berechnete Schubspannung liefert den Wert Reτ = 392.24. F¨ ur die einzelnen Modelle ergeben sich aus den Rechnungen folgende Werte. SM: Reτ = 420 (+7%), DSM: Reτ = 365 (-7%), MM: Reτ = 430 (+10%), DMM: Reτ = 395 (+0.1%). Bei Str¨ omungen mit Transition und im Nichtgleichgewicht ist eine ad¨ aquate FS–Modellierung noch wichtiger als im turbulenten Gleichgewicht. Hier liefern dynamische Modelle und Skalen¨ ahnlichkeitsmodelle deutlich bessere Resultate als das reine Smagorinsky–Modell [463]. a

22 20 18

22

Smagorinsky Smagorinsky Dyn. Smag. Dyn. Smag. Model, Cs=0.04 MixedMixed Model, Cs=0.04 Dyn. Mixed Model Dyn. Mixed Model DNS

b

Smagorinsky Dyn. Smag. Mixed Model, Cs=0.04 Dyn. Mixed Model DNS

3.5

20 3 18

DNS

16

14

14

12

12

10

10

8

8

6

6

4

4

2

2

Smagorinsky Dyn. Smag. Mixed Model, Cs=0.04 Dyn. Mixed Model DNS

2.5

2

+

+

u’ , v’ , w’

+

+

16

1.5

1

0.5

0 0 10

101

+

102

0

0

y

50

+

100

150

y

Abb. 8.5 LES einer ebenen Kanalstr¨ omung mit Reτ = 395 mit dem Code LESOCC. Verwendet wurden verschiedene FS–Modelle unter sonst gleichen Bedingungen : SM mit Cs = 0,065, DSM, DMM und MM mit Cs = 0,04. Bilder aus [51].

8.2.3

WR–LES mit strukturierter Diskretisierung

Aus den verschiedensten Gr¨ unden wurden und werden f¨ ur LES sehr oft strukturierte Codes eingesetzt. Wird solch eine Methode f¨ ur WR–LES verwendet, so muss die tangentiale Gitterschrittweite im Gebietsinneren fortgef¨ uhrt werden. Daher k¨ onnen die oben besprochenen Absch¨ atzungen von Chapman [86] f¨ ur den Diskretisierungsbedarf nicht umgesetzt werden. Senkrecht zur Wand kann jedoch das Gitter an der Wand verfeinert werden. Dies geschieht meist gem¨ aß einer geometrischen Streckung, d.h. ∆j+1 = r∆j , mit dem Streckungsfak-

8.2 Aufl¨ osen der Turbulenz in Wandn¨ ahe

229

tor r > 1, wenn an der Wand j = 1 ist. Dabei ist ∆j = yj+1 − yj die Schrittweite. Das Streckungsverh¨ altnis sollte bei LES nicht zu groß sein, d.h. im Bereich weniger Prozent, etwa r ≤ 1,05 , um den numerischen Fehler klein zu halten und die meist an die Gitterschrittweite gekoppelte Modellweite nicht zu abrupt zu ¨ andern. Gibt man r und die kleinste Schrittweite an der Wand vor, so errechnet sich aus der geometrischen Summenformel die Zahl der ben¨ otigten Gitterpunkte zu   1 L N= . (8.7) log 1 + (r − 1) log(r) ∆1 Dabei ist L die L¨ange des zu diskretisierenden Intervalls, z.B. bei einem ebenen Kanal die halbe Kanalh¨ohe, und ∆1 die wandn¨achste Gitterschrittweite. Man kann zeigen, dass mit dieser Vorschrift die Verteilung der Schrittweite linear mit dem Ort variiert, das heißt ∆j (yj ) = ∆1 − y1 (r − 1) + (r − 1)yj . Dies ist in Abb. 8.6a dargestellt. Aus der Positionierung der Symbole erkennt man außerdem die Verdichtung der Punkte am Intervallrand y = 0. Diese Verteilung der Gitterpunkte wurde in vielen eigenen Arbeiten mit gutem Erfolg eingesetzt. Auch in kommerziellen Gittergenerierungsprogrammen ist diese Vorschrift implementiert. Gelegentlich werden f¨ ur LES Gitter auch andere Streckungsvorschriften verwendet. In [404] etwa werden die Punkte gem¨aß einer tanh–Funktion angeordnet,    L j−1 yj = tanh − 1 arctanh(a) ; j = 1, . . . , N , (8.8) a N −1 hilfreich ist. 2 wobei f¨ ur die Auswertung die Identit¨ at arctanh(a) = (1/2) log((1 + a)/(1 − a)) Die Autoren geben zwar keine Quelle oder Begr¨ undung f¨ ur die Wahl dieser Funktion an, jedoch zeigt sich, dass hierbei die Streckung linear mit dem Ort variiert (s. Abb. 8.6b). Mit dieser Vorschrift werden daher die Punkte noch st¨ arker am Gebietsrand bei y = 0 konzentriert als mit der geometrischen Streckung. Daf¨ ur steigt die Gitterschrittweite f¨ ur große j nicht mehr so stark an. Besonders im Bereich kleiner j werden aber sehr schnell große Streckungen erreicht, die u.U. einen starken Diskretisierungsfehler zur Folge haben. Daher erscheint die geometrische Streckung vorteilhafter. In kommerziellen Gittergenerierungsprogrammen sind zahlreiche weitere Vorschriften w¨ ahlbar, jedoch sollte auch hier darauf geachtet werden, f¨ ur LES die Gitterstreckung m¨oglichst niedrig und ohne drastische Spr¨ unge zu gestalten. Beispiele von WR–LES einer ebenen Kanalstr¨omung wurden bereits oben in Abb. 8.3 und 8.4 diskutiert. Weitere Anwendungen werden im sp¨ ateren Verlauf der Arbeit aufgezeigt.

8.2.4

WR–LES mit unstrukturierter Diskretisierung

Ein unstrukturiertes Diskretisierungsverfahren erlaubt, die Gitterschrittweite lokal relativ frei zu w¨ ahlen. Je nach Methode existieren dabei gewisse Einschr¨ ankungen. Das Vorgehen besteht dann prinzipiell darin, zun¨achst eine Filter– bzw. Modellweite ∆ festzulegen, und zwar als Funktion des Ortes. Danach wird im Rahmen der M¨ oglichkeiten ein Gitter so 2 Der

Vorfaktor der rechten Seite von (8.8) ist in der Referenz fehlerhaft abgedruckt.

230

8 Modellierung der wandnahen Str¨ omung

a

b

1.2

stretch geo grid r= 1.04 stretch tanh grid a= 0.98

0.06

stretch

1.1

6y

0.04

1.0 0.02 6y geo grid r= 1.04 6y tanh grid a= 0.98 0.00

0

0.25

0.5

y

0.75

1

0.9

0

0.25

0.5

0.75

1

y

Abb. 8.6 Vergleich von geometrischer Verteilung mit r = 1.04 (Rauten) und tanh−Verteilung nach (8.8) mit a = 0.98 (Quadrate) auf dem Intervall [0;1] mit N = 31 Punkten. a) Gitterschrittweite angigkeit von der Position. in Abh¨ angigkeit von der Position, b) Streckung ∆j+1 /∆j in Abh¨

konstruiert, dass seine Schrittweite ∆x (x, y, z) in etwa ∆ bzw. dem gew¨ unschten Bruchteil von ∆ entspricht. Im Folgenden wird h¨aufig das Maß f¨ ur die Gitterschrittweite allgemein mit ∆x bezeichnet. Dieser Vorgang geschieht meist so, dass der Benutzer anhand gewisser Vor¨ uberlegungen und aufgrund seiner Erfahrungen direkt ein entsprechendes Gitter konstruiert. Es muss nicht nur Turbulenzstrukturen und Geometrie aufl¨ osen, sondern sollte auch so konstruiert sein, dass m¨oglichst geringe numerische Fehler erzeugt werden, d.h. geringe Seitenverh¨ altnisse und Gitterstreckungen aufweisen. Gegebenenfalls wird nach durchgef¨ uhrter Rechnung und Analyse ein verbessertes Gitter erzeugt und die Rechnung wiederholt. (Es wurde bereits darauf hingewiesen, dass bei LES wegen der u upfung von ¨ blichen Verkn¨ Gitter– und Filterweite das Gitter eine wichtige Rolle bei der Modellierung spielt.) Im Folgenden sollen nun verschiedene unstrukturierte Ans¨ atze dargestellt werden, die bisher f¨ ur LES verwendet wurden. Sehr verwandt den strukturierten Gittern sind block–strukturierte Gitter mit “non–matching cells”, d.h. Gitterzellen, die innerhalb strukturierter Bl¨ ocke in etwa gleich groß sind, an Blockgrenzen aber Schrittweitenspr¨ unge aufweisen, z.B. durch Reduktion der Schrittweite um den Faktor 2 in einer Richtung. Vorteilhaft ist dabei, dass auf den Teilgebieten immer noch ein strukturiertes Gitter vorliegt, f¨ ur das Speicherzugriff und Numerik sehr effizient sind. Ein Beispiel hierf¨ ur gibt [572], wo eine atmosph¨ arische Grenzschicht mit Hilfe des Eingleichungsmodells von [571] auf einem geschachtelten Gitter berechnet wurde. Dabei wird u ¨ ber einen Teil des mit einem groben Gitter diskretisierten Rechengebietes ein fei¨ neres Gitter gelegt. An der Ubergangsstelle wird die ansonsten verwendete Abh¨ angigkeit ∆ = ∆(∆x ) gegl¨ attet, um einen Sprung in der mit ∆ parametrisierten FS–Modellierung ¨ zu vermeiden. Eine fest vorgegebene Ubergangsfunktion wird so eingesetzt, dass nur eine Vergr¨ oßerung und keine Reduktion gegen¨ uber dem zuvor berechneten Wert stattfindet. Das Diskretisierungsverfahren ist geeignet f¨ ur WR–LES, jedoch wurde dies in der angegebenen Arbeit wegen der Pr¨asenz eines Auftriebsterms nicht realisiert.

8.2 Aufl¨ osen der Turbulenz in Wandn¨ ahe

231

Schmidt und Thiele benutzten ein ¨ahnliches, von ihnen als “semi–strukturiert” bezeichnetes Verfahren f¨ ur LES mit SM und einem Eingleichungsmodell sowie DES der Str¨ omung um einen quadratischen Zylinder und ein NACA 0012 Tragfl¨ ugelprofil [522], [523]. Durch die lokale Verfeinerung ist eine Konzentration der Punkte in Wandn¨ ahe m¨ oglich, die sonst nicht erreicht werden k¨onnte. Es wurden in dieser Arbeit allerdings in Spannweitenrichtung relativ wenig Gitterpunkte verwendet und keine lokale Verfeinerung durchgef¨ uhrt. Die Resultate leiden daher vermutlich an einem Mangel an entsprechender Aufl¨ osung, jedoch sind die Verh¨ altnisse in derartigen Str¨omungen aufgrund ihrer starken zweidimensionalen Anteile sehr komplex [383]. In [522] wird der durch die unterschiedliche Aufl¨ osung an den Blockgrenzen erzeugte Sprung der Wirbelviskosit¨ at in Abbildungen dargestellt. Ein v¨ ollig unstrukturiertes FV–Verfahren mit lokal dyadischen verfeinerten Hexaederzellen auf krummlinigen Koordinaten wurde von Schmid und Peri´c [520] f¨ ur die Umstr¨ omung einer Kugel bei einer Reynolds–Zahl von 50000 eingesetzt. Dyadisch verfeinert bedeutet, dass lokal immer eine Zelle in zwei gleich große Teilzellen zerlegt wird. Hierbei wurden die zu verfeinernden Bereiche von Hand ausgew¨ahlt (Schmid, private Mitteilung). In [520] wird erw¨ ahnt, dass an Orten mit Verfeinerung aufgrund des Aufl¨ osungssprungs von 1:2 in mindestens einer Koordinatenrichtung Oszillationen auftreten. Sie wurden durch Kombination des zentralen Verfahrens f¨ ur den Konvektionsterm mit einem 10–prozentigen Anteil Aufwinddiskretisierung erster Ordnung beseitigt. Die starke numerische D¨ ampfung, die damit verbunden ist, wurde in Kapitel 4 illustriert. Aufgrund der Spr¨ unge in der Gitterschrittweite sind auch hier vermutlich Maßnahmen zur Gl¨attung der Parameter in der FS–Modellierung hilfreich, wie sie oben im Zusammenhang mit [572] diskutiert wurden. Ein unstrukturiertes Verfahren mit Finiten Volumen beliebiger Form wurde in [427] f¨ ur LES der Str¨ omung um eine W¨ urfelmatrix mit Smagorinsky–Modell verwendet. Nahe der Wand wurden dabei zur Aufl¨osung der viskosen Unterschicht Hexaeder, weiter entfernt Tetraeder gew¨ ahlt. Solch ein hybrides Gitter wird f¨ ur RANS Rechnungen h¨ aufig eingesetzt, da geometrische Flexibilit¨at in Wandn¨ahe wenig bedeutsam sowie das Fehlerverhalten und die numerische Stabilit¨at mit Hexaedern g¨ unstiger sind. Im Gebietsinneren gelten die umgekehrten Argumente. Bei einer Rechnung in [423] auf einem relativ gleichm¨ aßigen Gitter mit block–strukturierten Hexaederzellen (also ohne unstrukturierte Verfeinerung) wurden jedoch unter sonst gleichen Bedingungen trotz 60% weniger Gitterpunkten etwas bessere Ergebnisse erzielt. Hierf¨ ur ist vermutlich der unterschiedliche Diskretisierungsfehler der Schemata, vor allem im Bezug auf die numerische Dissipation verantwortlich. In [138] wurde ebenfalls ein FV–Verfahren mit einem derartigen hybriden Hexaeder–Tetraeder Gitter verwendet, allerdings zur L¨osung der Gleichungen f¨ ur kompressibles Fluid, jedoch bei einer Machzahl von nur M = 0,25. Damit wurde die Str¨ omung in einem Rohr bei Reb = 5000 simuliert. Die unstrukturierte Diskretisierung vermeidet dabei die bei Zylinderkoordinaten entstehende Konzentration in Achsn¨ahe. F¨ ur Finite–Elemente–Schemata werden nahezu ausschließlich unstrukturierte Gitter verwendet. Jansen [256],[257],[258],[259] f¨ uhrte schon recht fr¨ uh LES der Str¨ omung um ein NACA 0012 Tragfl¨ ugelprofil mit Re = 1.64 · 106 und Anstellwinkel 12◦ durch. Dabei wurde das DSM eingesetzt. Aufgrund der Komplexit¨at des Problems, gekennzeichnet durch Transition, Abl¨ osung und große Korrelationsl¨angen in Spannweitenrichtung, waren die Resultate jedoch nicht voll befriedigend. In [173] wurde mit dem franz¨ osischen Code N3S ebenfalls

232

8 Modellierung der wandnahen Str¨ omung

ein unstrukturiertes FE–Verfahren f¨ ur WR–LES eingesetzt, und zwar f¨ ur die unterkritische Umstr¨ omung eines Kreiszylinders. Wie sp¨ater erl¨autert wird, arbeitete dabei die verwendete Wandmodellierung wie eine normale Haftbedingung. Mit deutlich weniger Gitterpunkten wurden bei vergleichbarer Rechenzeit pro Zeitschritt etwas schlechtere Ergebnisse als mit dem strukturierten Code LESOCC erzielt. Dies k¨onnte jedoch vermutlich durch ein verbessertes Gitter f¨ ur die unstrukturierte Rechnung und l¨ angere Mittelungszeit behoben werden. Den Finiten Elementen verwandt sind so genannte Spektralelemente [444], [281]. Im zweidimensionalen Fall werden polynomiale Ansatzfunktionen h¨ oherer Ordnung in jedem Element eines unstrukturierten Dreiecksgitters verwendet. Im Dreidimensionalen bieten sich Tetraeder an, jedoch ist bei Periodizit¨at in einer Richtung die Komplettierung mit einer Fourier–Methode ¨ahnlich dem Vorgehen in Abschnitt 4.2.5 wesentlich handlicher. Ma et al. [353] benutzten ein solches Verfahren zur Berechnung der Str¨ omung um einen Kreiszylinder mit DNS und LES unter Einsatz des SM ohne van Driest–D¨ ampfung. Aufgrund der polynomialen Diskretisierung ist die Festlegung der Modellschrittweite z.B. durch ∆ = (V ol)1/3 nicht mehr m¨ oglich. Hier wurde daher    13 π 2 ∆= A ∆z P

(8.9)

verwendet, wobei P der Polynomgrad und A die Dreiecksfl¨ ache f¨ ur die zweidimensionale Approximation und ∆z die Schrittweite der Fourier–Methode sind. Aufgrund der hohen Ordnung und der gleichzeitigen (zweidimensionalen) Flexibilit¨ at der Methode sind die Ergebnisse sehr gut. Wegen der Periodizit¨at der Ansatzfunktionen in Spannweitenrichtung k¨ onnen jedoch mit diesem Code keine dreidimensional komplexen Geometrien diskretisiert werden. Ein weiteres f¨ ur LES eingesetztes unstrukturiertes Verfahren ist die B–Spline–Methode von Kravchenko et al. [303], [305]. B–Splines Nk vom Grad k sind Funktionen mit kompaktem Tr¨ ager, die durch k−fache Faltung der Indikatorfunktion mit sich selber entstehen, z.B. N1 = χ[0;1] ∗ χ[0;1] [116]. Eine h¨ohere Ordnung der Diskretisierung ist durch die Vergr¨ oßerung des Splinegrades leicht m¨oglich. Der Grad k erzeugt die Ordnung k + 1 bei der Approximation einer glatten Funktion im Sinn der Fehlerquadrate [116]. Die Divergenzfreiheit der L¨ osung wurde in [303] direkt in die Konstruktion der Ansatzfunktionen eingearbeitet. Dieses Verfahren wurde in einer Dimension [303] und in zwei Dimensionen [305] realisiert und mit einer Fourier–Basis in den jeweils verbleibenden Richtungen gekoppelt. Die Verwendung periodischer Ansatzfunktionen erschwert jedoch die praxisnahe Anwendung. Bei den durchgef¨ uhrten Berechnungen von Kanalstr¨omungen [303] und Str¨ omungen um einen Kreiszylinder [304], [302] waren die erzielten Ergebnisse sehr gut. Verantwortlich hierf¨ ur ist sicherlich neben der h¨oheren Ordnung (Splinegrad 2 und 3, Fourier–Basis) auch der ¨ ¨ glatte Ubergang von einem feinen auf ein groberes Gitter, der durch die Uberlappung der Ansatzfunktionen entsteht. Außerdem wurde in den genannten Arbeiten die Variation der Schrittweite im Raum sehr gut dem Problem angepasst. In Abb. 8.7a ist ein derartiges Gitter f¨ ur eine Kanalrechnung senkrecht zur Hauptstr¨ omungsrichtung dargestellt. Die lokale Verfeinerung hat zur Folge, dass der Feinstrukturanteil entsprechend sinkt. Dies ist in Abb. 8.7b durch den Vergleich mit zwei strukturierten Rechnungen unter Beibehaltung aller anderen Parameter illustriert. Hier wurde das Gitter nur durch Streckung in Wand-

233

8.2 Aufl¨ osen der Turbulenz in Wandn¨ ahe

normalenrichtung verfeinert. Als Feinstrukturmodell wurde das DSM mit Testfilterung und Mittelung in wandparallelen Ebenen eingesetzt. Durch die lokale Verfeinerung in allen drei Koordinatenrichtungen, wie in Abb. 8.7a dargestellt, konnte in [303] die oben diskutierte Absch¨ atzung des Diskretisierungsbedarfs von Chapman [86] exakt umgesetzt werden. Als Konsequenz werden relativ viele Punkte f¨ ur den wandnahen Bereich ben¨ otigt. In dieser Rechnung befanden sich 70% aller Punkte in den wandnahen 10% der Kanalbreite.

a

b

Abb. 8.7 Wandaufl¨ osende LES einer ebenen Kanalstr¨ omung mit Reb = 46310, Reτ = 1140, Fig.2 und Fig. 18 aus [303]. An der Wand wird die Haftbedingung aufgepr¨ agt, und die wandnahen Gitterzellen haben die Abmessungen ∆x+ = 110, ∆z + = 20, ∆y1+ = 1 in Wandeinheiten. b) Feinstrukturanteil der Scheinspannung u

v

+ . Symbole stellen das Resultat einer Rechnung auf lokal verfeinertem Gitter mit f¨ unf Teilbereichen dar (vertikale Linien sind Bereichsgrenzen), gestrichelte Linien entstammen entsprechenden Rechnungen mit einem strukturierten Gitter. a) Beispielhaftes Gitter ¨ ahnlich dem in der Rechnung verwendeten, jedoch mit sieben statt f¨ unf Verfeinerungszonen.

8.2.5

WR–LES mit lokaler Super–Grid–Modellierung

Ein von der Methodik her interessanter, aber in der Handhabung f¨ ur komplexe Geometrien delikater Ansatz wurde von Pascarelli et al. [439] vorgestellt. Ausgangspunkt ist die Beobachtung, dass die lokale Makrol¨ange in Wandn¨ ahe sinkt. Daher reduzieren sich auch entsprechende Korrelationsl¨angen, z.B. in Spannweitenrichtung. Periodische Randbedingungen k¨ onnen dann mit k¨ urzerer Periodenl¨ange aufgepr¨ agt werden als im Inneren der Str¨ omung. Zun¨ achst wird also die Str¨omung senkrecht zur Wand in mehrere Bereiche aufgeteilt (s. Abb. 8.8). F¨ ur diese Bereiche werden unterschiedliche Periodenl¨ angen und damit unterschiedliche Ausdehnungen des Rechengebietes in Spannweitenrichtung gew¨ ahlt. Die in der Abbildung dargestellten Kreise sollen maximale Wirbelgr¨ oßen skizzieren (jedoch nicht implizieren, dass diese tats¨achlich auch kreisf¨ormig oder in dieser Weise angeordnet sind). Um am unteren Rand des zweiten und aller weiteren Teilgebiete ein instation¨ ares Signal als Block–Randbedingung festlegen zu k¨onnen, werden die berechneten Bl¨ ocke horizontal kopiert bzw. in der Implementierung nur der Datenaustausch so gesteuert. Damit wird die Wandturbulenz einerseits aufgel¨ost, jedoch entsteht durch die Periodizit¨ atsbedingung eine Art lokaler Super–Grid Modellierung in jeder horizontalen Schicht. Die Periodizit¨ at relaxiert

234

8 Modellierung der wandnahen Str¨ omung

in jeder Schicht relativ schnell mit dem Wandabstand, so dass das Ergebnis recht zufrieden stellend ist. Ein a ¨hnlicher Ansatz wurde in [367] zur Abspaltung und zweidimensionalen Berechnung des laminaren Außenbereiches einer Tragfl¨ ugelumstr¨ omung vorgeschlagen und auch in eigenen Arbeiten verwendet [383]. Die in [439] erzielte Reduktion im Bezug auf die Zahl der Gitterpunkte betrug nur 25–30%, da ein strukturiertes Gitter als Referenz und Ausgangspunkt diente. Wird diese Technik bei einem Gitter eingesetzt, dessen tangentiale Schrittweite von Block zu Block mit dem Wandabstand sinkt, so ist das Potenzial wesentlich h¨ oher. F¨ ur die Rechnungen in [303] w¨ are eine Reduktion auf 27%, bzw. 15% m¨oglich, je nachdem, ob diese Modellierung nur in Spannweitenrichtung oder auch in Str¨omungsrichtung eingesetzt wird [439]. Der Einsparung an Gitterpunkten und somit Rechenzeit steht die zus¨ atzliche Zahl von Parametern und die entsprechende Modellierungsunsicherheit gegen¨ uber. Der Ansatz ist nur geeignet f¨ ur Str¨ omungen mit mindestens einer homogenen Richtung und daher f¨ ur komplexe Geometrien nicht einsetzbar. In F¨allen, wo dies m¨oglich ist, wie z.B. Tragfl¨ ugel, ebene Turbinenschaufeln oder Diffusoren, kann er jedoch interessant sein. Die Kopplung von 3d–LES und zweidimensionaler a omung um ein ¨ußerer Simulation der Str¨ Tragfl¨ ugelprofil in [367], [383] stellt eine Variante dieses Ansatzes dar. In [366] wurde f¨ ur dieselbe Anwendung die Breite der LES–Bl¨ocke auch in in Str¨ omungsrichtung vergr¨ oßert, um gr¨ oßeren L¨ angenskalen weiter stromab Rechnung zu tragen.

Abb. 8.8 Schema zur Modellierung der wandnahen Str¨ omung nach [439]. Schnitt senkrecht zur Hauptstr¨ omungsrichtung einer Plattengrenzschicht. Tats¨ achlich berechnet wird die L¨ osung nur in den dick umrandeten Teilgebieten, in denen Kreise die typische maximale Gr¨ oße turbulenter Strukturen symbolisieren.

8.3

Wandfunktionen

8.3.1

Ansatz

Bei RANS–Methoden wurden bereits sehr fr¨ uh Wandfunktionen eingesetzt, um die Aufl¨ osung des viskosen Teils der Grenzschicht zu umgehen [313]. Solch eine Wandfunktion hat

8.3 Wandfunktionen

235

die Form
τw  = FRAN S (
u1 , y1 , . . .)

(8.10)

und stellt somit einen Zusammenhang zwischen der mittleren Wandschubspannung und der mittleren Geschwindigkeit in wandparalleler Richtung am wandn¨ achsten Gitterpunkt mit dem Abstand y1 her (s. auch Abb. 8.1a). Dieser Zusammenhang ist z.B. f¨ ur die Grenzschicht entlang einer ebenen Platte bekannt. Die Auslassungspunkte in (8.10) repr¨ asentieren weitere Eingangsgr¨ oßen, die m¨oglicherweise eingehen. In Kapitel 2 wurden verschiedene Modellierungsans¨ atze f¨ ur diesen Fall angegeben, wie z.B. das logarithmische Wandgesetz (2.78). Sie alle beschreiben das mittlere Geschwindigkeitsprofil in Wandn¨ ahe,
u+  als Funktion des + Wandabstandes in inneren Koordinaten y , d.h.
u+  = F (y + ) .

(8.11)  Setzt man die Definition u+ = u/uτ und y + = yuτ /ν mit uτ = τw /ρ ein, so kann aus jedem mittleren Geschwindigkeitsprofil (8.11) ein Zusammenhang der Form (8.10) abgeleitet werden. In manchen F¨allen ergibt sich dabei eine transzendente Gleichung, so dass F nur implizit gegeben ist und durch ein Iterationsverfahren ausgewertet werden muss. Die Gleichungen (8.10) und (8.11) liefern Aussagen statistischer Art, also bez¨ uglich der Mittelwerte. In einer LES werden jedoch nicht die Mittelwerte, sondern die (gefilterten) Momentanwerte berechnet, so dass entsprechend Randbedingungen f¨ ur das momentane Geschwindigkeitsfeld ben¨otigt werden. Die Modellierungsaufgabe besteht also darin, analog zu (8.10) eine Vorschrift der Form τ w = FLES ( u1 , y1 , . . .)

(8.12)

zu definieren. Der Vektorcharakter von Geschwindigkeit und der Wandschubspannung wird hier zun¨ achst nicht hervorgehoben, jedoch weiter unten bei der Definition der verschiedenen ¨ Randbedingungen ber¨ ucksichtigt. Zeitliche Abh¨angigkeiten werden der besseren Ubersicht wegen hier nicht explizit notiert. Im Folgenden werden zahlreiche Wandmodellierungen des Typs (8.12) beschrieben, die hier wie in der RANS Literatur als Wandfunktionen in der Literatur gelegentlich auch als Wandschubspannungsmodelle (engl.: “wall stress models”) bezeichnet werden. Im Gegensatz zur RANS Modellierung werden bei einer LES i.A. keine Randbedingungen f¨ ur weitere Turbulenzgr¨oßen wie z.B. ε ben¨otigt. Daher k¨ onnen diesbez¨ ugliche Annahmen auch nicht verletzt werden, und es ist problemlos m¨ oglich, den ersten Gitterpunkt z.B. auch in der Pufferzone zu platzieren, wo kein turbulentes Gleichgewicht zwischen K und ε vorliegt, wie dies etwa f¨ ur die Randbedingung der ε–Gleichung im Standard–K–ε–Modell vorausgesetzt wird.

8.3.2

Randbedingung von Deardorff

In einer bahnbrechenden Arbeit stellte Deardorff 1970 die ersten LES–Rechnungen f¨ ur eine ebene Kanalstr¨ omung vor [118]. Bedingt durch die zu dieser Zeit verf¨ ugbaren Ressourcen konnte das Gitter mit 24 × 20 × 14 Punkten nur extrem grob sein, so dass die wandnahe

236

8 Modellierung der wandnahen Str¨ omung

Schicht modelliert werden musste. An den wandn¨achsten Gitterpunkten des in dieser Arbeit benutzten versetzten Gitters wurden die Bedingungen ∂yy u = −

1 + ∂zz u κy 2

∂yy w = ∂xx w

(8.13) (8.14)

in diskreter Form aufgepr¨agt. Der Diskretisierungspunkt f¨ ur v liegt direkt auf der Wand, wo v = 0 vorgeschrieben wurde. Dieser Ansatz folgt nur bedingt dem obigen Schema, ¨ wird aber wegen seiner Ahnlichkeit hier auch erw¨ ahnt. Bildet man das statistische Mittel von (8.13), was den letzten Term eliminiert, kann durch Integration gezeigt werden, dass diese Bedingung auf ein logarithmisches Profil f¨ ur die mittlere Geschwindigkeit f¨ uhrt. Die Modellierung von Deardorff verwendet also das logarithmische Wandgesetz indirekt. Vor allem jedoch gilt sie nur f¨ ur sehr große Reynoldszahlen und setzt mit (8.14) Isotropie der wandparallelen Fluktuationen voraus. Der Ansatz konnte sich daher im Vergleich mit den sp¨ ater entwickelten anschaulicheren und flexibleren Modellierungen nicht durchsetzen.

8.3.3

Wandfunktion von Schumann

In [529] schlug Schumann vor, die momentane Wandschubspannung u ¨ ber einen linearen Zusammenhang aus der Geschwindigkeit am wandn¨ achsten Gitterpunkt zu bestimmen. Als Proportionalit¨ atsfaktor w¨ahlte er das entsprechende Verh¨ altnis der statistischen Gr¨ oßen und damit den Ansatz τw =


τ w  u1
u1 

.

(8.15)

Damit wird auch angenommen, dass die (gefilterte) Geschwindigkeit und die Wandschubspannung in Phase sind. Dies entspricht im Wesentlichen den experimentellen Daten [142], [484], [363], jedoch wird dort auch eine leichte Phasenverschiebung beobachtet, die sp¨ ater diskutiert wird. In [529] stellt u1 das Mittel u ¨ ber die wandnahe Gitterzelle dar. Daher wurde das logarithmische Wandgesetz von der Wand bis zum Punkt y1 integriert, was auf

$ $
τ w  1 y1
τ w  E −1 (8.16)
u1  = log ρ κ ν ρ f¨ uhrt. In dem Spezialfall des ebenen Kanals mit von außen aufgepr¨ agtem Druckgradient liegt
τ w  durch die globale Impulsbilanz fest. Dann kann
u1  mit Hilfe von (8.16) direkt berechnet werden, und der Vorfaktor in (8.15) ist zu Beginn der Rechnung bekannt. Die Auswertung von (8.15) ist damit unproblematisch. Im Fall komplexer Geometrie sind die mittlere Wandschubspannung
τ w  genauso wie die mittlere Geschwindigkeit
u1  vom Ort und von den Details der Str¨omung abh¨angig und ein Ergebnis der Simulation. Wenn die Geometrie homogene Richtungen aufweist, kann zu jedem Zeitpunkt ein Mittelwert bez¨ uglich dieser

237

8.3 Wandfunktionen

Richtungen gebildet werden [529],
u1 hom ≈
u1 . Gleichung (8.16) ist dann iterativ zu l¨ osen, um
τ w hom ≈
τ w  zu bestimmen. Anstelle der r¨ aumlichen kann f¨ ur statistisch station¨ are Str¨ omungen auch eine zeitliche Mittelung w¨ ahrend der Rechnung erfolgen, oder es k¨ onnen beide Mittelungen kombiniert werden [215]. Wenn in einem Code zu Zwecken der Auswertung bereits eine derartige Mittelung w¨ahrend der Rechnung durchgef¨ uhrt wird, ist der Bedarf des Mittelwertes im Ansatz (8.15) unproblematisch. Ansonsten macht dies die Methode unhandlich. Die iterative L¨osung von (8.16) l¨ asst sich sehr effizient mit einem Newton–Verfahren durchf¨ uhren, zumal mit dem im vorigen Zeitschritt berechneten Wert ein sehr guter Startwert vorhanden ist [241]. Der logarithmische Zusammenhang (8.16) gilt nur f¨ ur Wandabst¨ ande, die außerhalb der viskosen Unterschicht liegen. Wichtig f¨ ur den praktischen Einsatz ist jedoch eine m¨ oglichst große Robustheit, so dass die Wandfunktion auch sinnvolle Resultate liefern sollte, wenn der Wandabstand kleiner ist. Aus diesem Grund wurden sp¨ ater Abh¨ angigkeiten
u+  = F (y + ) + verwendet, die f¨ ur alle Werte y ≥ 0 gelten. Daher liegt das Zweischichtengesetz ⎧ ⎨ y+ ; 0 ≤ y + < 11,26 + , (8.17)
u  = ⎩ 1 log(y + ) + B ; 11,26 ≤ y + κ nahe, wobei der Schnittpunkt bei y + = 11,26 aus der Wahl B = 5,2 und κ = 0,4 herr¨ uhrt. Die Approximation nach (8.17) ist jedoch im Bereich der Pufferzone schlecht, da hier kein ¨ kontinuierlicher Ubergang, sondern eine “Ecke” entsteht (s. Abb. 8.11 weiter unten). Dies motiviert die Approximation in drei Schichten von Schmitt [524] ⎧ + y ⎪ ⎪ ⎪ ⎨
u+  = a log(y + ) + b ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ 1 + κ log(y ) + B

; 0 ≤ y+ < 5 ; 5 ≤ y + < 30 ; 30 ≤ y +

(8.18)

.

Darin ist a = ( κ1 log(30) + B − 5)/ log(6) und b = 5 − a log(5). Ein derartiges Profil wurde ¨ auch schon 1965 von Thompson vorgeschlagen, wobei im Ubergangsbereich zus¨ atzlich ein quadratischer und ein kubischer Term in log(y + ) auftreten [83, Gl. 8.2.22]. In [524] wurde das Geschwindigkeitsprofil (8.18) im Rahmen einer Finite–Volumen–Methode in integrierter Form eingesetzt. Wird eine der N¨aherungen (8.16), (8.17), (8.18) oder eine ¨ ahnliche Beziehung verwendet, liegt τ w,x als Randbedingung f¨ ur die Impulsgleichung in x−Richtung fest. F¨ ur die Geschwindigkeitskomponente in Wandnormalenrichtung ist die Impermeabilit¨ atsbedingung vw = 0

(8.19)

zu verwenden. Als Randbedingung f¨ ur die dritte Geschwindigkeitskomponente wird meist die laminare Bedingung τ w,z = ρν

w1 y1

(8.20)

238

8 Modellierung der wandnahen Str¨ omung

verwendet [508], [58]. In Schumanns Originalarbeit ist zwar von konstanter Wirbelviskosit¨ at die Rede, jedoch d¨ urfte der Unterschied wenig Auswirkungen haben. Dieser Aspekt entf¨ allt außerdem bei der folgenden Implementierung. In komplexen Geometrien ist die Richtung der tangentialen Geschwindigkeit an der Wand nicht von vorn herein bekannt. Daher wird zun¨ achst der Betrag der mittleren Tangentialgeschwindigkeit berechnet,der zum Beispiel f¨ ur eine Wand mit y = const. am ersten Gitterpunkt durch
v tan  ≈
u1 2 +
w 1 2 gen¨ahert wird. Mit diesem Wert kann der Betrag der mittleren Wandschubspannung
τ w  nach einem der genannten Gesetze bestimmt werden. Die Wandschubspannungen in x− und z−Richtung ergeben sich dann zu τ w,x =


τ w  u1
v tan 

,

τ w,z =


τ w  w1
v tan 

(8.21)

(siehe auch [370]). Numerische Probleme im Bereich von Staupunkten, wo
v tan  klein wird, k¨ onnen durch geeignete Implementierung umgangen werden.

8.3.4

Wandfunktion von Werner und Wengle

Die Wandmodellierung von Schumann basiert auf zwei Ingredienzien: der Linearisierung mit Hilfe der Mittelwerte und der Verwendung des logarithmischen Wandgesetzes. Ersteres erfordert eine Mittelung w¨ahrend der Rechnung und kann unhandlich sein, zweiteres erfordert Iterationen bei der Bestimmung der Wandschubspannung. Werner und Wengle [638] schlugen eine Wandmodellierung vor, die an beiden Stellen Abhilfe schafft. Dabei wird zun¨ achst der eigentlich nur im Mittel geltende Zusammenhang zwischen Wandschubspannung und Geschwindigkeit (8.10) momentan aufgepr¨agt, d.h. τw = FRAN S ( u1 , y1 )

,

(8.22)

also FLES = FRAN S . Diese Beziehung ist im Gegensatz zu (8.15) nichtlinear. Wieder wird jedoch Phasengleichheit von τw und u1 angesetzt. F¨ ur die Abh¨ angigkeit FRAN S wurde das 1/7−Potenzgesetz verwendet, das keine Iterationen erfordert, sondern direkt nach der Wandschubspannung aufgel¨ ost werden kann. Um den gesamten Wertebereich von y + abzudecken wurde eine Approximation in zwei Schichten verwendet ⎧ + ⎨ y+ ; 0 ≤ y + < ym (8.23) u+ = ⎩ C (y + )m ; y + ≤ y + m m + mit m = 1/7, Cm = 8,3 und daraus folgend ym = 11,81. Auch in [638] wurde eine Finite– Volumen–Methode verwendet und dieses Gesetz u achste Zelle integriert. Die ¨ber die wandn¨ Wandschubspannung ergibt sich dann zu ⎧ ν + 2 ρ 2ν u ; u1 ≤ 2∆y (ym ) ⎪ ⎪ 1 ⎨ ∆y1 1 2 0 1 1+m τw = 1+m  m 1+m  ⎪ 1−m ν 1+m ν ν + 2 ⎪ ⎩ ρ 1−m C + u ; u1 > 2∆y (ym ) , m 1 2 ∆y1 Cm ∆y1 1

239

8.3 Wandfunktionen

(8.24) wobei ∆y1 = 2y1 die H¨ohe der wandn¨achsten Zelle ist. Die Implementierung erfolgt sinnvollerweise wieder unter Verwendung der momentanen Tangentialgeschwindigkeit anstelle von u1 , wie dies oben beschrieben wurde τ w,x =

8.3.5

τw u1 v tan

,

τ w,z =

τw w1 v tan

.

(8.25)

Varianten der Modellierung mittels Wandfunktionen

Bei der bisher dargestellten Modellierung durch Wandfunktionen werden zwei Elemente otigt, der eine prinzipielle Bezieverwendet. Einerseits wird ein Zusammenhang FLES ben¨ hung zwischen u1 und τw schafft, zweitens der statistische Zusammenhang zwischen den entsprechenden Mittelwerten, der darin verwendet wird. Es liegt nahe, dass diese Elemente auch anders kombiniert und erweitert werden k¨onnen. Einerseits kann das logarithmische Wandgesetz auch momentan angesetzt werden, um die Berechnung des Mittelwertes zu vermeiden [370]. Andererseits kann beispielsweise das 1/7–Potenzgesetz in den Schumannschen Proportionalit¨ atsansatz (8.15) eingesetzt werden, um Iterationen zu umgehen. Im Vergleich zum Gesamtaufwand einer LES nimmt die iterative Berechnung der Wandschubspannung, besonders mit Newton–Iterationen, einen verschwindenden Rechenzeitanteil ein. Es k¨ onnen daher beliebige Funktionen
u+  = F (y + ) zu diesem Zweck verwendet werden, wie z.B. die N¨aherungsformel von Whitfield [640] oder von Thompson (siehe [83]). Hinterberger [241] ging noch einen Schritt weiter. Er approximierte das mittlere Geschwindigkeitsprofil aus einer DNS der ebenen Kanalstr¨ omung bei Reτ = 590 [412] durch acht Segmente und verwendete das integrierte Geschwindigkeitsprofil f¨ ur den momentanen Zusammenhang zwischen Wandschubspannung und Geschwindigkeit am ersten Gitterpunkt in einer Finite–Volumen–Methode. Dies ist bei Testrechnungen f¨ ur die ebene Kanalstr¨ omung vorteilhaft, da die mittlere Wandschubspannung dadurch f¨ ur alle Gitterschrittweiten sehr gut berechnet wird. Sie geht bei der Darstellung in Wandkoordinaten in die Skalierung ein, und inkorrekte Werte k¨onnen das Resultat stark verzerren. Wenn diese Abweichung ausgeschaltet wird, lassen sich daher andere Aspekte besser untersuchen. F¨ ur allgemeine Str¨ omungen mit krummlinigen Berandungen erscheint die Verbesserung des Profils gegen¨ uber dem Profil mit drei Schichten unerheblich, da i.A. die G¨ ultigkeit des Zusammenhangs nicht mehr oder nur n¨ aherungsweise gegeben ist. Weiterhin ist zu bedenken, dass durch den Ansatz von Proportionalit¨ at oder einer festen Phase in jedem Fall ein Modellierungsfehler erzeugt wird, der auch durch die Verwendung eines idealen statistischen Zusammenhangs zwischen den Mittelwerten nicht eliminiert wird. Hier ist also bei der Verbesserung einzelner Elemente der Wandmodellierung Augenmaß zu bewahren.

8.3.6

Wandfunktionen mit Verschiebung

In Experimenten wurde die Korrelation zwischen Wandschubspannung und Geschwindigkeit in Wandn¨ ahe
τw u bestimmt [484],[363]. Wie bereits erw¨ ahnt, wurde dabei beobachtet, dass die Korrelation ansteigt, wenn eine zeitliche Verz¨ ogerung zwischen den Signalen eingef¨ uhrt wird, oder wenn der Ort der gemessenen Wandschubspannung in Stromaufrichtung

240

8 Modellierung der wandnahen Str¨ omung

verschoben wird. Letzteres erh¨oht dabei die Korrelation etwas mehr. Die Ursache ist das Auftreten schr¨ ag angestellter Wirbelstrukturen in Str¨ omungsrichtung, wie sie in Abb. 2.14 und schematisch in Abb. 2.12 zu sehen sind. Piomelli et al. [464] haben die genannten Beobachtungen in ein entsprechendes Wandmodell umgesetzt. Dabei wird eine Verschiebung um einen Betrag ∆s in der Grundgleichung von Schumann eingef¨ uhrt τ w (x, z) =


τ w  u1 (x + ∆s , z) .
u1 

(8.26)

Die Verschiebung wird dabei u ¨ber den Winkel definiert, den die genannten Strukturen mit der Str¨ omungsrichtung bilden, ∆s = y1 cot(8◦ )

;

30 < y1 < 50 . . . 60 ,

(8.27)

◦

wobei f¨ ur gr¨ oßere Wandabst¨ande ein Winkel von 13 verwendet wird. Die in [464] betrachtete ebene Kanalstr¨omung ist in x− und z− Richtung homogen, so dass sich die Frage nach der Lokalisierung der Mittelwerte nicht stellt. F¨ ur komplexere Str¨ omungen, bei denen die Hauptstr¨ omungsrichtung nicht von vorn herein bekannt ist, muss die Richtung der Verschiebung geeignet bestimmt werden, was vor allem in der N¨ ahe von Ecken und Kanten die Implementierung erschwert. In [464] wurde eine Modellierung vorgeschlagen, die dem verschobenen Modell (8.26) ¨ ahnlich ist. Die mittlere Wandschubspannung wird wieder u ¨ ber einen statistischen Zusammenhang aus
u1  bestimmt. Die Fluktuationen von τ w werden jedoch mit der wandnormalen Geschwindigkeitskomponente v am ersten Gitterpunkt gebildet, da diese u ¨ ber “Ejections” und “Sweeps” wesentlich zum Impulsaustausch beitr¨ agt. Der Ansatz lautet dann τ w (x, z) =
τ w  +


τ w  v 1 (x + ∆s , z) .
uτ 

(8.28)

A–posteriori–Tests in [464] zeigten ¨ahnliche Resultate wie f¨ ur das Modell mit Verschiebung (8.26). A–priori–Tests mit experimentellen Daten in [363] ergaben jedoch deutlich schlechtere Korrelationen des Modells mit der exakten Wandschubspannung. In [363] wurde daher ein Ansatz vorgeschlagen, der Verschiebung und getrennte Modellierung der Fluktuationen kombiniert τ w (x, z) =
τ w  + α


τ w  (u1 (x + ∆s , z) −
u1 (x, z))
uτ 

.

(8.29)

Die Konstante wurde dabei zu α = 0,1 bestimmt. Die Korrelation dieser Modellierung mit Messungen in dieser Arbeit ist besser als f¨ ur das Modell von Schumann und das Modell mit Verschiebung, nach Gl. (8.26). Allerdings muss in (8.29) wieder der Mittelwert
u 1  in der LES bestimmt werden, um mit Hilfe eines statistischen Zusammenhangs wie z.B. dem logarithmischen Wandgesetz
τ w  und damit
uτ  zu liefern. Entgegen dem Modell von Werner und Wengle kann dem hier nicht durch die Anwendung im momentanen Sinne abgeholfen werden, da der Mittelwert weiterhin auch zur Bestimmung der Fluktuationen ben¨ otigt wird. Auch muss f¨ ur die Anwendung in komplexen Str¨ omungen die Richtung der Verschiebung bestimmt und Daten in geeigneter Weise interpoliert werden, was unhandlich ist.

241

8.3 Wandfunktionen

ow

DNS < ow > SW MW +

y = 30

0

0

u1

Abb. 8.9 Zusammenhang zwischen Tangentialgeschwindigkeit am wandn¨ achsten Gitterpunkt und momentaner Wandschubspannung. Die Kurven wurden aus den DNS–Daten der Kanalstr¨ omung f¨ ur Reτ = 590 bei y + = 30 bestimmt. Die Kurve mit der Bezeichnung “DNS” ergibt sich aus den DNS–Daten f¨ ur u+ (y + ), die Kurve “SW” folgt aus der Schumannschen Beziehung (8.15) und die Kurve “MW” aus (8.29) mit ∆s = 0 und α = 0,1. Der Mittelwert der Wandschubspannung ist durch die horizontale unterbrochene Linie dargestellt. Die Vertikalen Linien kennzeichnen den Mittelwert u1  sowie das durch die Standardabweichung und die zweifache Standardabweichung gegebene Intervall.

8.3.7

Implementierung in einer FV–Methode und vergleichende Analyse

Die Implementierung von Wandfunktionen reduziert sich auf eine Vorschrift zur Berechnung der momentanen Wandschubspannung τ w aus u1 , zu der einige Bemerkungen angebracht sind. Die Darstellung erfolgt mit Hilfe der bereits in Kapitel 2 verwendeten DNS–Daten einer Kanalstr¨ omung f¨ ur Reτ = 590 aus [412]. Der erste Schritt, die Entscheidung f¨ ur eine prinzipielle Form des Zusammenhangs, ist in Abb. 8.9 illustriert. Der Ansatz (8.15) von Schumann f¨ uhrt auf eine Gerade durch den Nullpunkt mit einem, ggf. erst nach einer Anfangsphase der Rechnung, festen Proportionalit¨ atsfaktor. Die Verwendung eines statistischen Zusammenhangs f¨ ur die momentanen Gr¨ oßen gem¨ aß (8.22) liefert dagegen eine nichtlineare Funktion. Es wird deutlich, dass der Schumannsche Ansatz nicht der Tangente an diese Funktion entspricht. Der Ansatz (8.29) aus [363] ist ebenfalls linear, verl¨auft jedoch nicht durch den Ursprung, sondern wird mit der experimentell kalibrierten Steigung gem¨aß α = 0,1 verwendet und approximiert die Tangente an (8.22) etwas besser. Die Kurven in Abb. 8.9 wurden f¨ ur den Punkt y + = 30 erstellt. Da die Absolutwerte von u1 und τ w von der Reynolds–Zahl abh¨ angen, sind die Achsen nicht mit Einheiten versehen. Die Standardabweichung der Geschwindigkeitsfluktuationen  ur eine Gauß–Verteilung enth¨ alt das Intervall bei y + = 30 ist σu+ =
u
u
+ = 2.47 . F¨ mit der Breite σu+ um den Mittelwert 69% und das mit der Breite 2σu+ mehr als 95% der Werte [631]. Auch wenn die Verteilung eine leichte Schiefe von -0.31 aufweist [412] (statt

242

8 Modellierung der wandnahen Str¨ omung

+ + + U

y

Abb. 8.10 Skizze zur Finite–Volumen–Diskretisierung bei stark gekr¨ ummten Funktionen. Die senkrechten Linien kennzeichnen Zellgrenzen. Kreuze : Funktionswerte in Zellmitte, Rechtecke : Zellmittelwerte (qualitativ).

0 f¨ ur eine Gauss–Verteilung), sind diese Intervalle als Anhaltspunkte n¨ utzlich und in Abb. 8.9 ebenfalls eingetragen. Die Abbildung verdeutlicht, dass es im Wesentlichen darauf ankommt, den Mittelwert
τ w  richtig wiederzugeben. In welcher Form die Schwankungen im ucksichtigt werden, ist dann sekund¨ ar, denn die Abweichungen sind Momentanwert τ w ber¨ relativ klein. Sie erh¨ ohen sich zwar f¨ ur gr¨ oßere y + , jedoch sinkt dann auch die Standardabweichung der Fluktuationen. Außerdem scheint das Resultat nur wenig empfindlich in dieser Hinsicht [571, p.251]. Sogar Rechnungen mit konstant vorgegebener Wandschubspannung entsprechend dem DNS–Wert liefern nahezu dieselben Ergebnisse wie Rechnungen mit variabler Wandschubspannung (Hinterberger, private Mitteilung). Die Ursache ist, dass andere Aspekte, wie die Wahl der Gitterschrittweiten bzw. des Seitenverh¨ altnisses oder die Feinstrukturmodellierung das Ergebnis st¨ arker beeinflussen als der Verlauf der Kurven τ w (u1 ) bei gegebenem Mittelwert. In einem zweiten Schritt muss, wie besprochen, der statistische Zusammenhang
u+ (y + ) gew¨ahlt werden. Hierf¨ ur bieten sich beispielsweise die logarithmischen Gesetze (8.17) oder (8.18) sowie das 1/7–Potenzgesetz (8.23) an. Sie sind zusammen mit DNS–Daten in Abb. 8.11a dargestellt. F¨ ur den Fall, dass der statistische Zusammenhang momentan angewendet wird, d.h. bei Verwendung von (8.22), ergeben sich durch Aufl¨ osen nach τw die Kurven in angen von der Normierung ab und sind ohne Abb. 8.11b. Die Zahlenwerte f¨ ur τw und u1 h¨ Bedeutung. Die rechte Skala in diesem Diagramm hat jedoch physikalische Signifikanz. Sie  ist nichtlinear und resultiert aus y + = (y/ν) τw /ρ. Eine Finite–Volumen–Methode basiert auf einer Bilanz u ¨ ber jedes einzelne Kontrollvolumen (siehe Abschnitt 4.2.3). In der Impulsbilanz werden dabei Impuls¨ anderungen in der Zelle zu Kr¨aften auf den Zelloberfl¨ achen in Beziehung gesetzt. F¨ ur eine wandnahe Zelle ist dies die Wandschubspannung, so dass eine Wandfunktion direkt implementiert werden kann. Bei der Interpolation auf die Zellgrenzen im Gebietsinneren, z.B. gem¨ aß (4.20a) etc., wird i.A. nicht gesondert ber¨ ucksichtigt, dass es sich bei den Unbekannten der Rechnung nicht um Funktionswerte, sondern um Zellmittelwerte handelt. Dies sind Effekte h¨ oherer Ordnung, die f¨ ur die Genauigkeit des Verfahrens unerheblich sind. Ebenso wird beispiels-

243

8.3 Wandfunktionen i 20

a

b

18

30

LL2p2 LL3p WWp SEGp LL2i2 LL3i WWi SEGi No slip < ow >

800

14

< u+ >

10

LL2p2 LL3p WWp SEGp LL2i2 LL3i WWi SEGi

8 6 4

ow

600

12

400

26.5

y+

16

20

200

2 0 0 10

p

1000

10

10

1

y+

10

2

0

0

100

200

300

400

500

u

Abb. 8.11 Im Text besprochene Approximationen f¨ ur Wandfunktionen. LL2p: (8.17), LL3p: (8.18), WWp: (8.23), SEGp: Approximation von DNS–Daten mit logarithmischen Segmenten. Der Index p kennzeichnet das punktweise, der Index i das entsprechende in y integrierte Gesetz. a) Verwendete Gesetzm¨ aßigkeit f¨ ur die mittlere Geschwindigkeit in inneren Koordinaten. b) Resultierender Zusammenhang f¨ ur die momentane Wandschubspannung in Abh¨ angigkeit von der momentanen Tangentialgeschwindigkeit am ersten Gitterpunkt und Vergleich mit der einfachen Haftbedingung (“No slip”). Die Zahlenwerte f¨ ur τw und u1 in diesem Bild sind beliebig und beruhen auf ν = 1, y1 = 1. Die Werte f¨ ur y1+ an der rechten Achse sind von dieser Wahl unabh¨ angig.

weise eine Haftbedingung am Gebietsrand bei Verfahren zweiter Ordnung mit Hilfe der einseitigen Differenzenformel ∂y u|w ≈ u1 /y1 vorgeschrieben. Ist das Gitter fein genug, so ist der Abbruchfehler klein, da u(y) aus physikalischen Gr¨ unden linear ist. F¨ ur eine lineare Funktion sind aber Funktionswert in der Zellmitte und Integral u ¨ ber die Zelle identisch. Die Unterscheidung ist also nicht n¨otig. Anders liegt der Fall, wenn das Gitter sehr grob ist, so wie in Abb. 8.10 dargestellt. Hier weichen aufgrund der Kr¨ ummung der Funktion Zellmittelwert und Funktionswert deutlich voneinander ab. Dadurch taucht die Frage auf, welche Gr¨ oße im Rahmen der Wandfunktion zu verwenden ist. Einerseits kann man das Wandgesetz
u+ (y + ) u ¨ ber die wandn¨achste Zelle integrieren und mit dem Zellmittelwert der Finite–Volumen–Methode u1 in Beziehung setzen. Andererseits kann man u1 als Funkurde tionswert an der Stelle y1 betrachten und direkt in das Wandgesetz einsetzen. Dies w¨ z.B. bei einer Finite–Differenzen–Methode geschehen. Aber auch hier ist zu bedenken, dass bei einer LES nicht die Geschwindigkeit selbst, sondern nur ihr gefiltertes Pendant diskretisiert wird. Ein Rechteckfilter mit der Breite der Gitterschrittweite f¨ uhrt beispielsweise wieder auf ein Integral u ¨ ber die wandn¨achste Zelle. Die u ¨ ber dem Intervall [0; 2y] integrierten Geschwindigkeitsgesetze sind ebenfalls in Abb. 8.11a dargestellt. Der aus den hier diskutierten Geschwindigkeitsgesetzen resultierende Zusammenhang zwischen u1 und τ w ist in Abb. 8.11b aufgetragen. Es ist ersichtlich, dass der Unterschied zwischen den einzelnen Approximationen sehr gering ist. Andererseits entsteht durch die Verwendung des integrierten oder des nicht integrierten Gesetzes ein anderes Niveau der Schubspannung. Dies dr¨ uckt sich in den Resultaten in erster Linie durch eine Reduktion der

244

8 Modellierung der wandnahen Str¨ omung

Geschwindigkeit am wandn¨achsten Gitterpunkt aus, w¨ ahrend die Werte an weiter entfernten Gitterpunkten fast unbeeinflusst bleiben. Das Resultat der LES sollte daher mit den entsprechend gefilterten Daten aus DNS oder Experiment verglichen werden. A–posteriori– Tests mit den hier dargestellten Wandfunktionen wurden f¨ ur die Str¨ omung u ¨ ber eine periodische H¨ ugelkette in [583] durchgef¨ uhrt und illustrieren die getroffenen Feststellungen. Gerade bei groben Gittern in Bereichen von Str¨omungsabl¨ osung an gekr¨ ummten W¨ anden zeigt sich aufgrund der physikalischen Situation eine Sensitivit¨ at des Resultats bez¨ uglich des verwendeten Wandmodells. Die Wandschubspannung wurde dort mit den integrierten Gesetzen besser vorhergesagt.

8.3.8

Raue W¨ande

Raue W¨ ande sind f¨ ur hydromechanische und technische Anwendungen in vielf¨ altiger Weise relevant [422], [443]. Hierbei ist es weder m¨oglich noch erw¨ unscht, jedes einzelne Rauhigkeitselement aufzul¨ osen, was WR–LES ausschließt und eine Modellierung zwingend erforderlich macht. Sie ist mit Wandfunktionen relativ einfach und verlangt lediglich die entsprechende Wahl des statistischen Zusammenhangs
u+ (y + ), wof¨ ur sich (2.84) oder (2.85) anbieten. In einer neueren Arbeit [39] wird zwar gezeigt, dass das Potenzgesetz nach [188] f¨ ur raue W¨ ande bei relativ kleinen Reynolds–Zahlen Messdaten u ¨ ber einen weiteren Bereich ann¨ ahert, jedoch tritt dies erst f¨ ur y + > 200 auf und d¨ urfte angesichts der anderweitigen Modellierungsannahmen bei der Verwendung als Wandfunktion nicht wesentlich ins Gewicht fallen. Gr¨ otzbach f¨ uhrte bereits sehr fr¨ uh Rechnungen mit (2.85) f¨ ur technische Anwendungen durch [213], [214]. Bei der Modellierung von Deardorff nach Gl. (8.13), (8.14) verschwindet dieser Aspekt durch die Normierung mit der Wandschubspannungsgeschwindigkeit, die von der Rauigkeit abh¨ angt [118]. Im Ansatz von Schumann [529] wird E in Gl. (8.16) gem¨ aß der Rauigkeit bestimmt. Geeignete Werte sind durch Gleichung (2.86) oder (2.87) gegeben. In meteorologischen Anwendungen wird grunds¨atzlich ein Wandfunktionsansatz gew¨ ahlt, um die Gel¨ anderauigkeit zu ber¨ ucksichtigen. Außerdem h¨ angt der Impulsaustausch zwischen Wand und Str¨omung auch von Auftriebs– bzw. Dichteschichtungseffekten ab. Die ¨ entsprechende Wandmodellierung auf der Basis der Monin–Obukhov–Ahnlichkeit wird z.B. in [403], [571], [284] ausf¨ uhrlich diskutiert.

8.3.9

Wandfunktionen fu ¨r die Temperatur

Analog dem Impulstransport kann auch der W¨armetransport bei groben Gittern in Wandn¨ ahe mit Hilfe von Wandfunktionen modelliert werden [213]. Entsprechend dem Schumannschen Ansatz (8.15) wird dort qw =
qw 

T1 − Tw
T1 − Tw 

(8.30)

verwendet, wobei die Indizes w und 1 wieder den Wert auf der Wand und am wandn¨ achsten Diskretisierungspunkt und q den W¨armestrom bezeichnen. Dadurch kann an der Wand entweder der W¨ armestrom oder die Temperatur vorgegeben werden. Der jeweils verbleibende

245

8.3 Wandfunktionen

Mittelwert wird dann aus dem logarithmischen Profil der Temperatur berechnet, das sich a asst [518, Gl. (17.49)]. ¨hnlich dem logarithmischen Geschwindigkeitsprofil ableiten l¨

8.3.10

Einfluss von Feinstrukturmodell und Numerik

Bei der Verwendung einer Wandfunktion sind per definitionem in der wandn¨ achsten Zelle und in den dar¨ uberliegenden Zellen die energietragenden Wirbelstrukturen nicht aufgel¨ ost [284]. Dadurch ist erstens der zu modellierende Anteil der turbulenten kinetischen Energie nicht vernachl¨ assigbar, so dass die Anforderungen an die FS–Modellierung steigen. Zweitens sind die Voraussetzungen, unter denen die meisten FS–Modelle entwickelt wurden, wie z.B. die Lage der Filterskala im Inertialbereich, nicht erf¨ ullt. Eine ad¨ aquate Feinstrukturmodellierung mit den existierenden Modellen kann also nicht mehr erwartet werden. Drittens spielen die numerischen Eigenschaften des Diskretisierungsverfahrens eine große Rolle [70]. Da die energiereichsten Skalen unter diesen Umst¨ anden diejenigen sind, die gerade noch durch das Gitter aufgel¨osten Skalen sind, werden sie durch Dispersions– und Dissipationseigenschaften des Schemas deutlich beeinflusst, sie sind also unteraufgel¨ ost. Beispielsweise wird die Berechnung der wandnormalen Ableitungen in S ij bei einem derartigen Gitter in Wandn¨ ahe ¨ außerst ungenau. Mason und Callen [370] schlugen aus physikalischen Gr¨ unden eine in Wandn¨ ahe modifizierte FS–Modellierung vor. Statt der L¨angenskala l0 = Cs ∆ im Smagorinsky–Modell wurde 1 1 1 = + l l0 κ(y + y0 )

(8.31)

benutzt, wobei y0 die Rauigkeitsh¨ohe und y der Wandabstand ist. Dieser Ansatz beruht auf einer Reduktion der turbulenten L¨angenskala gem¨ aß eines zum Wandabstand proportionalen Mischungswegs lm = κy. Aus demselben Grund wurde in an anderer Stelle in den Schumannschen Ansatz zur Feinstrukturmodellierung (6.48) ein Intermittenzfaktor



γ=





|S |

(8.32)

|S | + |
S|

eingef¨ uhrt [571]. Das Modell f¨ ur die FS–Spannungen lautet dann



τij = − γ 2νt S ij − 2νT
S ij  ,

3

(8.33)

wobei νt aus einer Transportgleichung f¨ ur die Feinstrukturenergie und νT aus der mittleren ¨ Str¨ omung unter Verwendung von Ahnlichkeitsannahmen bestimmt werden. A–priori–Tests in [272] zeigen die Defizite der FS–Modellierung bei Unteraufl¨ osung. Mit einem Wirbelviskosit¨atsmodell f¨ uhrt die Anisotropie der aufgel¨ osten Skalen zu einer u ¨ bergroßen Anisotropie der modellierten FS–Anteile, was wiederum die Anisotropie der aufgel¨ osten Skalen verst¨arkt. Bei Verwendung des Skalen¨ ahnlichkeitsmodells waren die negativen Auswirkungen der Unteraufl¨osung noch deutlicher.



3 Die entsprechende Gleichung in [571] ist mit S ij anstelle von S ij notiert, was jedoch aufgrund des Bezugs zu [529], [404] im Text als Druckfehler erkennbar ist.

246

8 Modellierung der wandnahen Str¨ omung

Cabot und Moin [70] diskutieren die Verwendung der dynamischen Prozedur in Wandn¨ ahe beim Einsatz einer Wandfunktion. Da aus den oben genannten Gr¨ unden die Voraussetzungen f¨ ur ihre Anwendung, n¨amlich die Lage der Filterskala im Inertialbereich und eine Selbst¨ ahnlichkeit bei Anwendung des Filters hier nicht erf¨ ullt sind, wurde der Smagorinsky– Parameter nur im Inneren der Str¨omung nach diesem Verfahren bestimmt. In den drei wandn¨ achsten Zellen wurde er durch Extrapolation aus dem Gebietsinneren berechnet, was h¨ ohere Werte der Wirbelviskosit¨at lieferte als mit dem unver¨ anderten dynamischen Modell. Dadurch verbesserten sich die Profile f¨ ur die mittlere Geschwindigkeit etwas, jedoch anderten sich die aufgel¨osten Fluktuationen nicht wesentlich. ¨ In anderen Arbeiten, wie z.B. [464], [22] wurden Wandfunktionen bei der Berechnung von Kanalstr¨ omungen recht erfolgreich eingesetzt. Auch eigene Ergebnisse waren oft befriedigend. Die Rechnung in Abb. 8.12 wurde z.B. mit denselben physikalischen Parametern durchgef¨ uhrt wie die Rechnungen in Abb. 8.4 und Abb. 8.3. Das Gitter hat jedoch eine konstante Schrittweite in der wandnormalen Richtung und ist mit Ny = 36 Zellen (Wandpunkte eingeschlossen) wesentlich grober. Das Gitter und ein Schnitt durch die u−Fluktuationen sind in Abb. 5.7 gezeigt. Die Ergebnisse in [583] f¨ ur WF–LES der Str¨ omung u ¨ ber periodische H¨ ugel sind ebenfalls gut, jedoch war dabei y + ≤ 14 auf dem groberen und y + ≤ 9 auf dem feineren Gitter, bei dem die Wandfunktionen eingesetzt wurden. Hierbei ist also wichtig, dass die verwendeten Wandgesetze auch in der Pufferzone geeignete Approximationen liefern. Eigene Erfahrungen zeigen, dass die Wahl der Gitterschrittweite in den tangentialen Richtungen, insbesondere in Spannweitenrichtung, einen deutlichen Einfluss auf das Resultat hat, jedoch oft nicht ausreichend beachtet wird. Die besten Ergebnisse wurden mit ∆z ≈ ∆y erzielt. Das Zusammenspiel zwischen Wandfunktion, FS–Modellierung und Diskretisierungsschema ist recht delikat und bisher nicht befriedigend gel¨ ost. A–priori–Tests von FS–Modellen allein [272] oder von Wandfunktionen allein [363] unter diesen Bedingungen k¨ onnen daher nur einzelne Aspekte erhellen. Tabelle 8.1 fasst Empfehlungen zur Wahl der Gitterschrittweite zusammen. a

b

DNS: uurms+ DNS: vvrms+ + uu DNS:DNS: ww rms DNS: vv + DNS:DNS: - ww DNS: - + LES:LES: urms u LES:LES: v v+ LES:rms w+ LES:LES: wrms - + LES: -

20

+ rms + rms

3

+ rms

+ rms + rms + rms

15 2

+

+

10

log-law 1

log-law + DNS: DNS:

5

+

LES:

+

LES: + 0

10

0

10

1

+

y

10

2

10

3

0

0

0.25

0.5

0.75

1

y

Abb. 8.12 LES einer ebenen Kanalstr¨ omung bei Reτ = 590 unter Verwendung der Wandfunktion von Werner und Wengle (8.22), (8.23). Die wandnahen Gitterzellen haben die Ausdehnung ∆x + = 62, ∆z + = 30, ∆y1+ = 31. Linien und Symbole wie in Abb. 8.3. Abbildung aus [169].

8.4 Verallgemeinerte Wandfunktionsmodellierung

8.3.11

247

WF–LES in komplexen Geometrien

In die Konstruktion der bisher besprochenen Wandmodellierung fließen statistische Informationen u ¨ber die mittlere Str¨omung ein, insbesondere die Annahme einer voll entwickelten turbulenten Grenzschicht ohne Druckgradient. Dabei ist zu beachten, dass diese Annahme nur den Bereich zwischen der Wand und dem wandn¨ achsten Gitterpunkt betrifft. Dies ist nur ein kleiner Teil der Grenzschicht. Wie sich die Str¨ omung weiter außen verh¨ alt, wird nicht modelliert, sondern simuliert. In komplexen Geometrien, wie etwa bei der Str¨ omung um einen W¨ urfel, ist der Einsatz von WM–LES nicht unumstritten. Konzeptionell auf festerem Grund steht WR–LES, jedoch u ugbaren ¨ bersteigt der Bedarf an Rechenleistung bei hohen Reynolds–Zahlen die verf¨ Ressourcen. In diesem Fall werden oft in Ermangelung besserer Modelle Wandfunktionen verwendet, wie z.B. in [500]. Hierbei ist zu beachten, dass manche Str¨ omungen aus physikalischen Gr¨ unden relativ unempfindlich im Bezug auf Details der wandnahen Str¨ omung sind. Vor allem wenn Abl¨osepunkte durch scharfkantige Geometrie festliegen, ist die Sensitivit¨ at wesentlich geringer, als wenn Str¨omungsabl¨osung an einer glatten gerundeten Wand auftritt [583]. In [377] wurde beispielsweise beobachtet, dass in einer LES der Str¨ omung um einen W¨ urfel die Wandschubspannung in den kleinen Rezirkulationsgebieten an der Vorderkante in einigen Rechnungen nicht gut vorhergesagt wurde. Dennoch stimmten die Statistiken im Inneren der Str¨ omung sehr gut mit den Referenzdaten u ¨berein. Vorteilhaft ist bei WF–LES, dass diese Modellierung eine direkte algebraische Beziehung zwischen der Wandschubspannung und dem benachbarten Gitterpunkt innerhalb der Str¨ omung verwendet und nicht, wie weiter unten beschrieben, z.B. eine Differentialgleichung in wandparallelen Richtungen gel¨ost werden muss. Dadurch wird die Implementierung derartiger Modelle vergleichsweise einfach. WF–Modellierung ist dar¨ uber hinaus sehr robust und f¨ uhrt i.A. nicht zu Stabilit¨ats– oder Konvergenzproblemen.

8.4

Verallgemeinerte Wandfunktionsmodellierung

8.4.1

Wandfunktion ohne Wandabstand

Bei komplexen Geometrien ist die Berechnung des Wandabstandes z.B. an Ecken und Kanten mit Unsicherheiten bez¨ uglich der Definition behaftet. In der Literatur zur RANS– Modellierung wird daher bisweilen auch der Wandabstand durch die turbulente kinetische Energie ausgedr¨ uckt, so dass die Berechnung rein lokal erfolgen kann und keine Analyse von Nachbarpunkten erfordert. Temmerman und Leschziner schlugen eine entsprechende Modellierung f¨ ur LES vor [583] 1

y1+

1

2 yCµ4 Kres,1 = ν

.

(8.34)

Dabei wird die aufgel¨oste turbulente kinetische Energie durch Bilden des zeitlichen (und/oder r¨ aumlichen) Mittelwertes in der LES gem¨aß Kres,1 =

1



1 1 ui ui =
(ui −
ui )(ui −
ui ) = (
ui ui  −
ui 
ui ) 2 2 2

(8.35)

248

8 Modellierung der wandnahen Str¨ omung

bestimmt, und Cµ = 0,09 gew¨ahlt, wie bei der RANS–Modellierung. Dieser Wandabstand wurde in (8.17) verwendet, mit geringf¨ ugig anderen Werten der Konstanten als oben angegeben. Die mit dem Modell berechneten Resultate in [583] zeigen jedoch gr¨ oßere Abweichungen gegen¨ uber hoch aufgel¨osten Simulationen als bei der Verwendung des geometrischen Wandabstandes in demselben Wandgesetz. Der Ansatz (8.34) ist daher noch genauer zu untersuchen, sollte aber in jedem Fall mit einem integrierten Gesetz verwendet werden. Im Gegensatz zu den bisher besprochenen Modellen bringt dieser Ansatz die aufgel¨ osten Fluktuationen ins Spiel. Wie aus Abb. 8.14b ersichtlich ist, hat eine Vergr¨ oßerung von y + bei festgehaltenem Wert der Geschwindigkeit eine Vergr¨ oßerung von τw zur Folge. Einerseits besteht dadurch die Gefahr, eine zus¨atzliche Sensitivit¨ at bez¨ uglich der oben besprochenen Diskretisierungsaspekte zu erzeugen. Andererseits kann eventuell die Konstante Cµ an spezielle Schemata oder physikalische Eigenschaften angepasst werden.

8.4.2

Kombination verschiedener Ans¨atze in komplexen Str¨ omungen

Die bisher diskutierten Wandmodelle gehen von einer ausgebildeten Grenzschicht ohne Druckgradienten in Wandn¨ahe aus. Oft sind jedoch in einer komplexen Str¨ omung diese Voraussetzungen nicht erf¨ ullt. Es gibt allerdings F¨ alle, in denen f¨ ur bestimmte Bereiche der Str¨ omung besondere Annahmen gemacht und in die Modellierung einbezogen werden k¨ onnen. Diese Methodik [162] [171] wird nun dargestellt und an einem Beispiel illustriert. Ausgangspunkt ist der Ansatz nach Schumann τ w =
τ w 

u1
u1 LES

.

(8.36)

Darin bezeichnet
.LES den w¨ahrend der Simulation berechneten Mittelwert, beispielsweise durch Mittelung in homogenen Richtungen und/oder in der Zeit. Wichtig ist die Beobachtung, dass sich auch die Haftbedingung in dieser Weise schreiben l¨ asst. Diskretisierung mit einseitigen Differenzen liefert µ τ w = µ∂y u|w ≈ u1 , (8.37) y1 wobei u = 0 auf der Wand vorausgesetzt wurde. Damit ergibt sich Gl. (8.36) mit τ w = (µ/y1 )
u1 LES . Ein Wechsel zwischen verschiedenen Modellierungsans¨ atzen ist durch die Linearkombination
τ w  = w(1)
τ w (1) + w(2)
τ w (2) + . . .

(8.38)

m¨ oglich. Dabei sind w(i) = w(i) (x) geeignete ortsabh¨ angige Fensterfunktionen mit i w(i) = ur die mittlere Wandschubspannung. Gleichung (8.38) 1, und
τ w (i) die jeweiligen Ans¨atze f¨ kann analog auch f¨ ur die momentane Wandschubspannung formuliert werden, jedoch sollte ¨ das Uberblenden aus Gr¨ unden der Robustheit auf der Basis der gemittelten Eigenschaften gestaltet werden. Das bereichsweise Umschalten zwischen Wandmodellierungen kann gut am Beispiel der unterkritischen Str¨ omung um einen langen Kreiszylinder illustriert werden [162], deren mittleres Str¨ omungsfeld in Abb. 8.13 dargestellt ist. Die Grenzschicht im Frontbereich ist laminar.

8.4 Verallgemeinerte Wandfunktionsmodellierung

249

Die Abl¨ osung erfolgt ebenfalls laminar, und Umschlag zur Turbulenz findet in der abgel¨ osten Scherschicht statt, so dass die rezirkulierende Str¨ omung turbulent ist [659]. Die alternierenden Wirbel im Nachlauf f¨ uhren zu einer schwachen Oszillation des vorderen Staupunktes (|φ| ≤ 3,7◦ bei Re = 105 [445]). Diese sind dar¨ uber hinaus vergleichsweise langsam, so dass die innere Struktur der Grenzschicht gegen¨ uber dem station¨ aren Fall unver¨ andert bleibt [445]. Die Grenzschicht kann also wie eine station¨ are laminare Grenzschicht mit Hilfe einer Integralmethode berechnet werden. Solche Methoden beschreiben die Grenzschicht durch Integrale u angungsdicke δ  oder die ¨ ber ihre wandnormale Ausdehnung, wie z.B. die Verdr¨ Impulsverlustdicke θ. F¨ ur diese Gr¨oßen werden dann gew¨ ohnliche Differentialgleichungen in Str¨ omungsrichtung gel¨ost. Eine solche Methode ist beispielsweise das Verfahren von Thwaites [82], womit die Wandschubspannung aus der Geschwindigkeit am Grenzschichtrand bzw. aus dem Wanddruck berechnet wird. Im Abl¨osebereich muss die Aufl¨ osung der Scherschicht und damit auch der Grenzschicht gut sein, so dass hier die Haftbedingung eingesetzt werden kann. Die mit der Integralmethode ebenfalls zug¨ angliche Grenzschichtdicke erlaubt die Gestaltung des entsprechenden Fensters in Abh¨ angigkeit des Verh¨ altnisses δ  /y1 . F¨ ur turbulente Grenzschichten existieren andere Integralmethoden [82], die in gleicher Weise eingesetzt werden k¨onnen. Auf der Zylinderr¨ uckseite kann als Drittes die weiter unten in Abschnitt 8.5 dargestellte Modellierung f¨ ur Rezirkulationsgebiete eingesetzt werden.

Abb. 8.13 Mittlere Stromlinien um einen Kreiszyliner bei ReD = 3900 aus einer in [173] beschriebenen Rechnung. Die Grauskala entspricht der mittleren Geschwindigkeit in der horizontalen Hauptstr¨ omungsrichtung.

8.4.3

Wandschubspannung aus Experimenten oder RANS–Rechnungen

Wu und Squires [649] verwendeten experimentelle Daten f¨ ur die mittlere Wandschubspannung
τw exp direkt in einer Gleichung ¨ahnlich dem Schumannschen Ansatz, d.h. τ w =
τw exp

u1
u1 z

,

(8.39)

wobei
·z den in der LES gebildeten momentanen Mittelwert in der homogenen Spannweitenrichtung darstellt. Hierzu m¨ ussen nat¨ urlich derartige Daten f¨ ur die gleichen Bedingungen wie in der Simulation vorliegen. Die Zielrichtung der LES kann dann die Analyse der Str¨ omung im Gebietsinneren sein und das Studium der Sensitivit¨ at des Resultats bzgl.

250

8 Modellierung der wandnahen Str¨ omung

a

b

LES1

ow

ow

LES2

LES1

u

LES2

LES2

LES1

u

Abb. 8.14 Lineare Wandgesetze. a) Nach Gl. (8.15), b) nach Gl. (8.40) .

der Wandmodellierung. Ein Vergleich mit einer LES unter Verwendung der Wandfunktion von Werner und Wengle, Gl. (8.23), ergab in dieser Arbeit nur geringe Unterschiede. Dies unterst¨ utzt die Aussage aus Abschnitt 8.3.7, dass in erster Linie der Mittelwert von τ w richtig wiedergegeben werden muss, jedoch spielen sicherlich auch die physikalischen Eigenschaften der untersuchten Str¨omung eine Rolle. In einer weiteren Rechnung dieser Arbeit wurde
τ w  aus einer RANS–Rechnung bestimmt und in (8.39) verwendet. Bei diesem Verfahren ist jedoch nachteilig, dass die RANS–Simulation die Bereiche verschwindender Wandschubspannung und damit u.U. Abl¨osepunkte etc. vorgibt. Durch die Verwendung des Mittelwertes
u1 z aus der LES ist immer u1 /
u1 z ≈ 1 und damit τ w ≈
τw RAN S , wie in Abb. 8.14a dargestellt. Das eventuell defizit¨ are RANS–Resultat kann daher die LES ung¨ unstig beeinflussen. Um diesen Effekt zu vermeiden, erscheint es sinnvoller, den Mittelwert
u 1  ebenfalls aus der Referenzrechnung zu bestimmen, d.h. τw =


τ w RAN S u1
u1 RAN S

.

(8.40)

Dieser scheinbar kleine Unterschied hat zur Folge, dass zwischen τ w und u1 Proportionalit¨ at mit einem festen, d.h. zeitlich konstanten aber ortsabh¨ angigen Faktor herrscht. Nulldurchg¨ ange der Wandschubspannung in der LES k¨ onnen somit an anderen Stellen auftreten als in der RANS Rechnung, womit das potentiell bessere Verhalten der LES nicht beeintr¨ achtigt wird. Dies ist in Abb. 8.14 illustriert.

8.5

Parametrisierung fu ¨r Rezirkulationsgebiete

Rezirkulationsgebiete treten in vielen komplexen Str¨ omungen auf. Daher erscheint es sinnvoll, die mit Hilfe der Theorie anliegender Grenzschichten entwickelte Wandmodellierung f¨ ur diesen Fall zu u ufen und ggf. eine modifizierte Modellierung zu entwickeln. Die ¨ berpr¨ Resultate dieses Abschnitts beruhen zum großen Teil auf Arbeit von Fabrice Mathey in

251

8.5 Parametrisierung f¨ ur Rezirkulationsgebiete

y

Abb. 8.15 Prinzipskizze zur R¨ uckstr¨ omgebieten.

UN

Wandmodellierung

yN

in

U

Zusammenarbeit mit dem Autor am IFH Karlsruhe, die bisher nur in dem unvollendeten Manuskript [376] und skizzenartig in [165] dargestellt ist.

8.5.1

Skalierung und Geschwindigkeitsverlauf in der Literatur

Wandnahe turbulente Str¨omungen in Rezirkulationsgebieten werden durch andere Mechanismen bestimmt als anliegende turbulente Grenzschichten. Beispielsweise ist die Produktion turbulenter kinetischer Energie direkt an der Wand im Gegensatz zu einer kanonischen Grenzschicht sehr klein [545]. Die Geschwindigkeitsfluktuationen sind daher von der mittleren Str¨ omung nahezu entkoppelt und werden vielmehr durch sie mehr oder weniger wie ein passiver Skalar konvektiert [5], [546]. Außerdem sind die Reynolds–Spannungen klein, und das Profil der mittleren Geschwindigkeit folgt nicht dem u ¨ blichen logarithmischen Wandgesetz [545]. Der letzte dieser Aspekte ist in Abb. 8.16 weiter unten illustriert. Simpson [543] wendete die in Abschnitt 2.5.3 dargestellte Vorgehensweise von Millikan an, um ein Geschwindigkeitsgesetz f¨ ur rezirkulierende Str¨ omungen aufzustellen. Dabei wird der Fall betrachtet, dass die Str¨omung nahezu parallel entlang einer ebenen Wand verl¨ auft. Wie zuvor bezeichnet U die mittlere Geschwindigkeit in der Hauptstr¨ omungsrichtung x. In Abb. 8.15 ist die Situation schematisch dargestellt. ¨ Außere Zone: Ausgangspunkt ist die Beobachtung, dass Geschwindigkeits– und L¨ angenskala bestimmt werden durch den Betrag der maximalen R¨ uckstr¨ omgeschwindigkeit UN und oßen den Wandabstand yN , an dem diese auftritt. Entsprechend dimensionslos gemachte Gr¨ werden im Folgenden mit einem Stern gekennzeichnet:

U∗ =

uref = UN

,

lref = yN

U = g(y ∗ ) UN

,

ly∗ =

y yN

(8.41) .

(8.42)

Damit kann eine f¨ ur die Rezirkulationszone charakteristische Reynolds–Zahl ReN =

UN yN ν

(8.43)

252

8 Modellierung der wandnahen Str¨ omung

gebildet werden. Innere Zone: In direkter Wandn¨ahe dominieren aufgrund der Haftbedingung Reibungseffekte, so dass hier

U+ =

uref = uτ

,

lref = lτ

U = f (y + ) uτ

,

y+ =

y lτ

(8.44) .

(8.45)

¨ In einem Ubergangsbereich m¨ ussen beide Gesetze gelten. Wie zuvor in Abschnitt 2.5.3 wird die Ableitung dU/dy in beiden Referenzsystemen formuliert und gleichgesetzt. Dies f¨ uhrt auf uτ +
+ y f (y ) = y ∗ g
(y ∗ ) = const. =: −A . (8.46) UN Durch Integration folgt g(y ∗ ) = −A log(y ∗ ) + B

.

(8.47)

Allerdings gilt damit nicht g(y ∗ = 1) = −1

,

g
(y ∗ = 1) = 0

,

(8.48)

unschen w¨ are (siehe Abb. 8.15). Bei was jedoch aufgrund der Definition von y ∗ und g zu w¨ ¨ großen Reynolds–Zahlen ist yN  lτ , so dass im Ubergangsbereich y +  y ∗  1. Daher modifizierte Simpson Gl. (8.46), indem er A durch A(1 − y ∗ ) ersetzte. Diese Wahl erf¨ ullt direkt die erste Bedingung in (8.48) und mit B = −1 − A auch die zweite. Es resultiert das Geschwindigkeitsprofil U ∗ = A(y ∗ − log(y ∗ ) − 1) − 1

.

(8.49)

Die experimentellen Daten in [543] wurden mit A = 0,3 sehr gut angen¨ ahert, jedoch zeig¨ ten andere Untersuchungen wesentlich schlechtere Ubereinstimmung, so dass A nicht als universelle Konstante angesehen werden kann [80], [125], [318]. Devenport und Sutton [125] erweiterten das Geschwindigkeitsgesetz, indem sie die wandnahe Schicht mit einbezogen. F¨ ur y + = O(1) muss, wie in einer anliegenden Grenzschicht, U + = −y +

(8.50)

gelten, wobei verschwindender Druckgradient vorausgesetzt ist. Ein Wechsel der Normierung f¨ uhrt auf  2 uτ UN yN ∗ ∗ , Φ= U = −Φy . (8.51) UN ν Damit kann ein kombiniertes Profil  ∗ −Φy ∗ , y ∗ < ym U ∗ (y ∗ ) = ∗ A(y ∗ − log(y ∗ ) − 1) − 1 , y ∗ ≥ ym

(8.52)

253

8.5 Parametrisierung f¨ ur Rezirkulationsgebiete

∗ ¨ die Ubereinstimmung des Funktierstellt werden. Fordert man am Schnittpunkt y ∗ = ym onswertes und der Ableitung, f¨ uhrt dies auf die beiden Bedingungen ∗ ym

1

= e− A   1 Φ = A − 1 ∗ ym

(8.53) .

(8.54)

∗ Das Geschwindigkeitsprofil (8.52) ist also durch Angabe eines der drei Parameter Φ, y m oder A festgelegt.

8.5.2

Direkte Verwendung des Geschwindigkeitsprofils

Im Weiteren wird angenommen, dass das LES Gitter fein genug ist, um den Bereich der maximalen R¨ uckstr¨omung in der Rezirkulationszone aufzul¨ osen. Damit k¨ onnen UN und yN aus der Rechnung durch Bilden eines fortlaufenden Mittelwertes bestimmt werden. Daraus 2 ergibt sich ReN . Mit der Definition des Reibungsbeiwertes Cf N = 2
τw /(ρUN ), wie u ¨ berall alt man durch Einsetzen in diesem Kapitel ist τw der Betrag(!) der Wandschubspannung, erh¨ Φ=

1 ReN Cf N 2

 ,

uτ UN

2 =

1 Cf N 2

.

(8.55)

∗ und Φ nach (8.53), (8.54) berechnet werden, Wenn dar¨ uber hinaus A bekannt ist, k¨onnen ym woraus Cf N und damit die Wandschubspannung folgt. Somit bietet sich die M¨ oglichkeit, diesen Ansatz als Wandmodell f¨ ur Rezirkulationsgebiete zu verwenden. Weil A jedoch wie erw¨ ahnt nicht als Konstante angesehen werden kann, muss der Wert in der Simulation bestimmt werden.

In einigen Rechnungen f¨ ur die in [377], [378] betrachtete Str¨ omung um eine W¨ urfelmatrix wurde versucht, die mittlere Geschwindigkeit U entlang wandnormaler Geraden zu bestimmen und den Parameter A durch Kurvenanpassung zu ermitteln, um damit auf dem geschilderten Weg
τw  zu berechnen. Dieses Vorgehen erwies sich jedoch als sehr schlecht konditioniert und instabil, was einen praktischen Einsatz unm¨ oglich macht.

8.5.3

Neue Skalierung

Zur Ableitung eines Wandgesetzes wurde in [376] eine andere Skalierung der Geschwindigkeit vorgeschlagen. Ziel ist dabei, vor allem auch den Fall großer Reynoldszahlen abzudecken. Die Reynolds–gemittelte Impulsgleichung in x−Richtung f¨ ur wandparallele Str¨ omungen mit abgesehen vom Druckgradienten vernachl¨assigbaren Ableitungen in Hauptstr¨ omungsrichtung und ohne ¨ außere Kr¨afte lautet dy (νdy U −
u

v

) =

1 ∂x P ρ

.

(8.56)

Hier ist P = ρ
p der mittlere Druck ohne Division durch die Dichte. Ohne Stromliniaherung. Integriert man (8.56) u enkr¨ ummung ist (∂x P )/ρ = const. eine gute N¨ ¨ ber das

254

8 Modellierung der wandnahen Str¨ omung

Intervall [0; yN ], folgt yN dx P = 1 −
u

v

+ |yN τw

.

(8.57)

Integration von (8.56) u ¨ber das Intervall [0; y] und Einsetzen von (8.57) liefert, wenn U mit UN normiert wird,  2 1 u τw dy∗ U ∗ −
u

v

∗ = (y ∗ − 1) − y ∗
u

v

∗ |yN . (8.58) ReN UN F¨ ur große ReN kann der erste Term vernachl¨assigt werden. In dieser Form h¨ angt
u

v

∗ 2 dann jedoch noch von (uτw /UN ) ab. Dividiert man durch diesen Faktor, folgt −
u

v

+ = y ∗ − 1 − y ∗
u

v

+ |yN

,

(8.59)

woraus deutlich wird, dass uτ und nicht UN bei großen ReN die geeignete Skala f¨ ur
u

v

 ist, denn y ∗ − 1 = O(1). Diese Skala f¨ ur die Geschwindigkeitsfluktuationen wird nun konsequenterweise auch f¨ ur die mittlere Geschwindigkeit selbst verwendet. Es sei angemerkt, dass der lineare Verlauf von
u

v

 im Rezirkulationsgebiet durch zahlreiche Messungen und Rechnungen best¨atigt wird [318], [273], [376]. Ebenfalls abweichend von [543], [125] wird nun nicht U sondern der Defekt U + U N mit ahnlich wie bei der Ableitung des logarithmischen Wandgesetzes. Das positive uτ normiert, ¨ Vorzeichen r¨ uhrt hier aus U < 0, UN > 0. Es gilt dann anstelle von (8.41), (8.42). ¨ Außere Zone: uref = uτ

,

lref = yN

U + UN = g(y ∗ ) uτ

,

ly∗ =

y yN

(8.60) .

(8.61)

Das obige Vorgehen wird analog wiederholt mit y ∗ g
(y ∗ ) = const =: −Cκ

,

(8.62)

bzw. zur Erf¨ ullung der Randbedingungen f¨ ur g bei y ∗ = 1 mit y ∗ g
(y ∗ ) = −Cκ (1 − y ∗ ) .

(8.63)

Daraus folgt U + UN = Cκ (y ∗ − log(y ∗ ) − 1) uτ

.

(8.64)

Die Matching–Prozedur aus Abschnitt 8.5.1 f¨ uhrt nach einigen Umformungen auf den Geschwindigkeitsverlauf ⎧ 1 ∗ , y ∗ < ym ⎨ − 2 ReN Cf N y ∗ ∗ ∗  U (y ) = (8.65) Cf N ⎩ C ∗ ∗ ∗ ∗ κ 2 (y − log(y ) − 1) − 1 , y ≥ ym .

255

8.5 Parametrisierung f¨ ur Rezirkulationsgebiete a

b 3

2

y/h

y/h

3

1

2

1

0

0

2

4

6

0

8

0

x/h

d

+

( U + UN )/utau

log-lin x/h = 0.5 x/h = 2.0 x/h = 4.0 x/h = 6.0 x/h = 7.0

u

4

6

8

x/h

c 20

2

10

5

x/h = 0.72 x/h = 1.43 x/h = 2.14 x/h = 2.86 x/h = 3.57 Backflow Law

4

3

2

1

0

1

+

100

0

0

y

1

0.5

y/yN

Abb. 8.16 Profile der mittleren Geschwindigkeit in der Str¨ omung u ugel in un¨ ber periodische H¨ terschiedlichen Skalierungen. Die Lage der Schnitte ist jeweils in den oberen Bildern angegeben. Links: Skalierung in Wandeinheiten und Vergleich mit linearem und logarithmischem Wandgesetz. Rechts: Defektskalierung gem¨ aß Gl. (8.64). Die unteren Bilder entstammen [583].

Das Resultat entspricht Gleichung (8.52) mit der Wahl ! Cf N A = Cκ . 2

(8.66)

Diese Skalierung motiviert nun, nicht wie zuvor bei Simpson [543] die Annnahme A = const. zu treffen und dies als festen Parameter zu w¨ ahlen, sondern Cκ = const. In der Tat zeigen A–priori–Tests, dass mit der von Karmanschen Konstanten κ = 0.41 Cκ =

1 κ

(8.67)

¨ Gleichung (8.65) eine sehr gute Ubereinstimmung mit berechneten Geschwindigkeitsprofilen ergibt. Dies wurde anhand verschiedener Konfigurationen in A–priori–Tests verifiziert, und zwar f¨ ur die Str¨ omung um eine W¨ urfelmatrix [376], um einen Kreiszylinder und im R¨ uckstr¨ omgebiet hinter einem H¨ ugel [583]. Die Ergebnisse aus der letztgenannten Arbeit sind in Abb. 8.16 dargestellt. Das linke Bild zeigt die mit uτ normierten Profile im Vergleich zu linearem und logarithmischem Verlauf im Abl¨ ose– und Wiederanlegegebiet. Es wird deutlich, dass die Skalierung in derartigen Situationen nicht gilt. Die rechte Seite zeigt Profile in der R¨ uckstr¨ omzone gem¨ aß der Skalierung (8.64). Der Vergleich mit Gl. (8.65) im ¨ außeren Bereich f¨ allt extrem gut aus. In einer k¨ urzlich erschienen Arbeit [273] wird ebenfalls die Defektskalierung verwendet und ihre G¨ ultigkeit durch detaillierte Analyse belegt.

256

8 Modellierung der wandnahen Str¨ omung

10

ReH = 3330 Back Front

0

ReH = 12000 Back Front

CfN

ReH = 60000 Backy/N Front

10

-1

Eq. BF Eq. LMK

z/H=0.

10

-2

10

1

10

2

10

3

ReN

Abb. 8.17 Zusammenhang zwischen Wandreibungskoeffizienten Cf N und ReN . Symbole: Wertepaare aus wandaufl¨ osenden Simulationen der Str¨ omung um einen W¨ urfel bei unterschiedlichen Reynoldszahlen. LMK: Gl. (8.71) bzw. obere Gleichung in (8.72), BF: Gl. (8.69) bzw. untere Gleichung in (8.72).

Gleichung (8.65) wurde hergeleitet f¨ ur große Reynolds–Zahlen. Ist diese Annahme nicht erf¨ ullt, wird in Gleichung (8.56) der Term
u

v

 vernachl¨ assigt, was dem laminaren Grenzfall entspricht. Normalisierung und zweifache Integration in y ∗ liefern mit den Randbedingungen U ∗ (0) = 0, U ∗ (1) = −1, dy∗ U ∗ (1) = 0 den parabolischen Verlauf U ∗ = (y ∗ )2 − 2y ∗

8.5.4

.

(8.68)

Wandmodellierung fu omungen ¨r rezirkulierende Str¨

∗ Setzt man in (8.65) y ∗ = ym , so folgt nach einigen Umformungen

ReN = Cκ

2 Cf N



1

e Cκ

2 Cf N

 −1

.

(8.69)

Bei fester Konstante Cκ l¨ asst sich also mit dieser Gleichung Cf N und folglich die mittlere Wandschubspannung
τw  aus yN und UN berechnen. Damit braucht in einer LES die wandnahe Str¨ omung in der Rezirkulationszone nicht mehr vollst¨ andig aufgel¨ ost zu werden, das Gitter kann also wesentlich grober sein. Lediglich der Bereich der maximalen R¨ uckstr¨ omgeschwindigkeit muss noch diskretisiert werden, wobei der Punkt yN im Allgemeinen nicht der wandn¨ achste Gitterpunkt ist. F¨ ur kleine Reynolds–Zahlen gilt (8.65) und damit (8.69) nicht mehr. Der parabolische Verlauf (8.68) f¨ uhrt statt dessen auf ReN =

4 Cf N

.

(8.70)

257

8.5 Parametrisierung f¨ ur Rezirkulationsgebiete

Diese Gleichung ¨ahnelt sehr der Relation −0,92

Cf N = 4,5 (ReN )

,

(8.71)

die von Le et al. [318] in DNS der Str¨omung u uckspringende Stufe empirisch ¨ber eine r¨ bestimmt wurde. In Abb. 8.17 sind die Verl¨aufe nach Gl. (8.71) und (8.69) zusammen mit Reibungsbeiwerten aus LES Rechnungen aufgetragen. Diese Simulationen wurden f¨ ur die Str¨ omung um eine W¨ urfelmatrix unter Verwendung der Haftbedingung auf einem wandaufl¨ osenden Gitter durchgef¨ uhrt (im Fall ReH = 60000 nicht u ullt, da y + ≈ 3 an einigen Stellen ¨ berall erf¨ außerhalb des Rezirkulationsgebietes). Die dargestellten Werte wurden an verschiedenen Stellen der Rezirkulationsgebiete vor und hinter dem W¨ urfel bestimmt. Die unterschiedliche Tendenz f¨ ur lokal große und kleine Reynolds–Zahlen wird dabei gut sichtbar. ¨ Auf der Basis der geschilderten Uberlegungen wurde in [376] als Wandmodell die Berechnung von Cf N gem¨ aß

ReN

⎧  1,087 2 ⎪ ⎪ , ⎨ 2,41 Cf N   =  2 κ ⎪ ⎪ ⎩ κ1 Cf2N e Cf N − 1 ,

ReN ≤ ReN,c (8.72) ReN > ReN,c

vorgeschlagen. Die Schnittpunkte beider Kurven befinden sich bei ReN,c = 75,1. Aus (8.72) ergibt sich also die mittlere Wandschubspannung, hier notiert als
τw BF . Wie bei der Wandfunktion von Schumann kann dieser Wert zur Definition einer instation¨ aren Randbedingung in der LES eingesetzt werden, und zwar durch den Ansatz τw =


τ w BF u1
u1 

.

(8.73)

Im Bereich der Vorw¨artsstr¨omung muss eine andere Wandfunktion, z.B. die von Schumann verwendet werden. Wegen der Verwendung von (8.72) ist diese Modellierung f¨ ur Rezirkulationsgebiete keine Wandfunktion im klassischen Sinn, da Eigenschaften jenseits der wandnahen Zelle wesentlich in die Bestimmung der Wandschubspannung eingehen. Die Implementierung dieser Wandmodellierung geschieht durch Ausf¨ uhren der folgenden Schritte an jedem Punkt auf einer festen Wand. Die mittleren Geschwindigkeitskomponenten im Str¨ omungsfeld werden durch eine inkrementelle Mittelung bestimmt. Zun¨ achst wird getestet, ob an der entsprechenden Stelle ein R¨ uckstr¨ omgebiet vorliegt. Dazu wird auf der Gitterlinie senkrecht zur Wand der Massenstrom aufintegriert und getestet, ob der Geschwindigkeitsvektor am wandn¨achsten Punkt einen Winkel gr¨ oßer als 90◦ mit diesem einschließt. Ist dies nicht der Fall, wird ein klassisches Modell verwendet. Im anderen Fall unge zu wird der Ort der maximalen R¨ uckstr¨omung yN und der Wert UN bestimmt. Um Spr¨ vermeiden, bietet es sich an, neben dem Wert des Maximums auch die Werte an den beiden − + + Nachbarpunkten des Profils mit einzubeziehen, (yN , u− N ), (yN , uN ) und beispielsweise die

258

8 Modellierung der wandnahen Str¨ omung

sehr robuste Mittelung ± wN

yN,neu

− + = u± N − min(uN , uN ) ,

=

+ wN = uN − min(u− N , uN ) ,

− − + + wN yN + wN yN + wN yN − + wN + wN + wN

(8.74) (8.75)

ose– und Wiederanlegepunkten kann zu verwenden, wobei UN unver¨andert bleibt. Nahe Abl¨ ¨ problemlos ein Ubergang zur Haftbedingung mit linearem Verlauf realisiert werden. In Abb. 8.18 ist das Resultat einer derartigen Rechnung f¨ ur die bereits erw¨ ahnte Str¨ omung u ugel in Form der Wandschubspannung aufgetragen. Die Rechnung mit ¨ ber periodische H¨ dem feinen Gitter wurde mit dynamischem Smagorinsky–Modell (DSM) und Haftbedingung ur alle wandnahen Punkte im Rezirkulationsgebiet. Das durchgef¨ uhrt, wobei y1+ ≤ 0,5 f¨ grobere Gitter f¨ uhrte zu y1+ ≤ 4 im Rezirkulationsgebiet, so dass die Aufl¨ osung dort immer noch recht hoch ist. Aus diesem Grund unterscheidet sich das Resultat nur wenig von dem mit der Werner–Wengle Wandfunktion berechneten. Mehr Resultate f¨ ur diese Str¨ omung finden sich in Abschnitt 9.3–9.5. Die dargestellte Modellierung ist so allgemein, dass sie auch auf sehr komplexe Str¨ omungen mit dreidimensionaler Geometrie angewendet werden kann. F¨ ur die bereits erw¨ ahnte Str¨ omung um eine W¨ urfelmatrix ergab sich bei Tests auf einem relativ groben Gitter ein deutlich anderer Verlauf f¨ ur die Wandschubspannung als mit einer klassischen Wandfunktion. In Abb. 8.19 sind beide in der Symmetrieebene aufgetragen und mit dem Resultat aus einer wandaufl¨osenden Rechnung verglichen. Weitere Tests sind sicherlich n¨ otig, um die Eigenschaften dieser Modellierung noch genauer kennen zu lernen. Abschließend sei angemerkt, dass in [273] ebenfalls Wandmodelle f¨ ur rezirkulierende Str¨ omungen mit entsprechenden A–priori–Tests vorgestellt werden. Sie setzen jedoch weiter entfernt von der Wand an und ben¨otigen vor allem dort die wandnormale Ableitung der mittleren Geschwindigkeit. Wie robust ihre Bestimmung durch das inkrementelle Mitteln w¨ ahrend der Simulation und die Wahl des entsprechenden Ortes sind, muss jedoch noch in A–posteriori–Tests gezeigt werden.

8.6

Wandmodellierung basierend auf Grenzschichtgleichungen

8.6.1

Gleichungen

Die Grenzschichtgleichungen beruhen auf der Beobachtung, dass in einer anliegenden Grenzschicht, z.B. entlang einer ebenen Wand, die wandnormale Geschwindigkeit klein ist und die Ableitungen in tangentialer Richtung wesentlich kleiner sind als in wandnormaler Richtung. Es k¨ onnen dann in den Bewegungsgleichungen zahlreiche Terme vernachl¨ assigt werden, was in Referenzen wie [518], [246]. detailliert besprochen wird. Der Grundgedanke bei der Verwendung zur Wandmodellierung ist, diese Gleichungen innerhalb der wandn¨ achsten Zelle zu l¨ osen, also im Intervall zwischen der Wand und dem ersten Gitterpunkt, y = 0 . . . y1 . Das Gitter entspricht also in tangentialer Richtung dem ¨ außeren LES–Gitter, ist jedoch in wandnormaler Richtung wesentlich feiner (s. Abb. 8.1).

259

8.6 Wandmodellierung basierend auf Grenzschichtgleichungen

0.05

0.04

DSM + WW DSM + BF Comp. 32

0.03 0.02 0.01 0

-0.01 0

1

2

3

4

5

7

6

8

9

x/h Abb. 8.18 Wandschubspannung an der unteren Wand der Str¨ omung u ugel. — ¨ ber periodische H¨ - LES mit sehr feinem Gitter und Haftbedingung, . . . . . LES mit groberem Gitter, DSM und Werner–Wengle Wandmodellierung, – – – LES mit groberem Gitter, DSM und Wandfunktion f¨ ur Rezirkulationsgebiete.

F¨ ur eine ebene Wand mit x2 = y = const. lautet die Grenzschichtn¨ aherung der LES– Gleichungen, d.h. der gefilterten Navier–Stokes Gleichungen, versehen mit einem Wirbelviskosit¨ atsmodell zur Darstellung der Feinstruktur, ∂t u˜i + ∂j (˜ ui u˜j ) + ∂i p˜ = ∂x2 p˜ = ∂xj u ˜j

=

∂x2 ((ν + νt )∂x2 u ˜i )

i = 1, 3 ,

j = 1, 2, 3 (8.76)

0 0

(8.77) .

(8.78)

Die Tilde repr¨ asentiert die Filterung allein in tangentialer Richtung. Cabot [68] verwendete dar¨ uber hinaus eine zus¨atzliche zeitliche Filterung. In Gl. (8.76) liegt wegen (8.77) der Druck durch die ¨außere Druckverteilung p1 fest, so dass der Term ∂xi p˜ = ∂xi p1 (i = 1, 3) ein bekannter Quellterm ist. Die Tangentialgeschwindigkeiten werden bei y = y 1 gleich den Werten auf dem a¨ußeren LES–Gitter vorgeschrieben, u ˜i = ui , und an der Wand zu Null. Gesucht ist die Wandschubspannung τ˜w,i = µ∂y u˜|y=0 , die dann wiederum mit τ w,i = τ˜w,i als Randbedingung f¨ ur die ¨außere LES eingesetzt wird. Balaras et al. [23] verwendeten ˜ νt = (κy)2 D(y + )|S|

y+

,

D(y + ) = 1 − e−( A+ )

,

D(y + ) =

3

A+ = 25

,

.

(8.79)

A+ = 17

(8.80)

In [70] wurde ˜ νt = κy + νD(y + )|S|

 2 y+ 1 − e− A+

gew¨ ahlt, und ebenfalls in [627] verwendet, jedoch mit A+ = 19.

,

260

8 Modellierung der wandnahen Str¨ omung RUN f RUN BF RUN WF

0.005

0

Cf

y/N

-0.005

z/H=0. -0.01

-2

-1

0

1

2

3

x/H

Abb. 8.19 Wandschubspannung in der Symmetrieebene an der unteren Wand der Str¨ omung um eine W¨ urfelmatrix bei ReH = 12000, wobei H die Seitenl¨ ange des W¨ urfels ist [376]. —- LES mit feinem Gitter und Haftbedingung, – – – LES mit groberem Gitter und Wandfunktion (8.72), . . . . . LES mit groberem Gitter und Werner–Wengle Wandmodellierung.

8.6.2

Algebraische Modelle

Vernachl¨ assigt man in (8.76) s¨ amtliche Terme auf der linken Seite außer dem Druckgradient, so kann nach Wang und Moin [627] durch geschickte Integration die Wandschubspannung τ˜w,i in den Tangentialrichtungen i = 1, 3 explizit berechnet werden zu    y1 ρ 1 u ˜i |y1 − ∂xi p1 τ˜w,i =  y1 1 dy . (8.81) ν + νt 0 0 ν+ν dy t

Um die Integrale in dieser Gleichung auswerten zu k¨ onnen, muss also wegen y + = yuτ /ν  und uτ = τw /ρ die Wandschubspannung bekannt sein, waseine iterative L¨ osung der

2 +τ 2 Gleichung erfordert. In [627] wird statt dessen der Wert τ˜w = τ˜w,1 ˜w,3 aus dem vergangenen Zeitschritt verwendet, was sicherlich eine gute N¨ aherung ist und die direkte Auswertung erlaubt. Wird der Druckgradient vernachl¨ assigt, wie z.B. in einer ebenen Kanalstr¨ omung m¨ oglicm¨ oglichh, entsteht mit (8.81) f¨ ur große y1+ das logarithmische Wandgesetz + und f¨ ur y1  1 der lineare Verlauf in der viskosen Unterschicht [627]. In dieser Arbeit wurden Tests mit und ohne Ber¨ ucksichtigung des Druckgradienten f¨ ur eine Profilumstr¨ omung durchgef¨ uhrt, die einen deutlichen Unterschied in der berechneten Wandschubspannung ergaben.

Ein Vorl¨ aufer der geschilderten Methode ist der Ansatz von Hoffmann und Benocci [248], wo unter Vernachl¨ assigung der konvektiven Terme in (8.76) der Ausdruck  y1 τ˜w,i = [(ν + νt )∂y u ˜i ]y1 − y1 ∂xi p + ∂t u˜ dy (8.82) 0

als Randbedingung eingesetzt wurde, ebenfalls mit einem Mischungsmodell f¨ ur νt sowie mit

8.6 Wandmodellierung basierend auf Grenzschichtgleichungen

261

einer Approximation des instation¨aren Terms durch Diskretisierung in der Zeit und weitere N¨ aherungen. Die Ans¨ atze (8.81) und (8.82) liefern also algebraische Wandfunktionen. Aus u i bzw. ∂y ui |y1 und dem ¨ außeren Druckgradienten wird direkt die Wandschubspannung berechnet, ein eingebettetes Gitter wie in Abb. 8.1c ist nicht n¨otig.

8.6.3

Zweischichtenmodelle

Werden alle Terme in (8.76) ber¨ ucksichtigt, k¨onnen diese Gleichungen nur noch numerisch gel¨ ost werden. Hier wird ein in die wandn¨achste Zelle eingebettetes Gitter verwendet, wie es in Abb. 8.1c dargestellt ist. Es beh¨alt in tangentialer Richtung die Gitterschrittweite des a ¨ußeren LES–Gitters bei, ist jedoch in wandnormaler Richtung sehr stark verfeinert. Bei Verwendung eines versetzten Gitters f¨ ur die ¨außere LES geschieht dies entsprechend von dem Punkt, an dem die Tangentialgeschwindigkeit definiert ist, zur Wand. Die wandnormale Geschwindigkeitskomponente wird mit Hilfe der Kontinuit¨ atsgleichung (8.78) bestimmt. In [23] wurden derartige Rechnungen mit einer Finite–Differenzen–Diskretisierung des ¨ außeren und des inneren Bereiches durchgef¨ uhrt. Dabei wurde der Konvektionsterm explizit und der Diffusionsterm implizit in der Zeit diskretisiert, um die Stabilit¨ atsbeschr¨ ankung durch das feine Gitter zu umgehen. Die Ergebnisse f¨ ur einen ebenen, einen quadratischen und einen rotierenden Kanal waren zufrieden stellend und z.B. f¨ ur den quadratischen Kanal besser als mit einer Wandfunktion. ¨ Ahnliche Rechnungen wurden in [68], [69], [70] f¨ ur eine r¨ uckspringende Stufe beschrieben. Dabei wurde kein Unterschied festgestellt, ob das Gitter zur L¨ osung der Grenzschichtgleichungen die gleiche tangentiale Schrittweite oder die doppelte aufwies. In [69] wird berichtet, ¨ dass eine Uberlappung des inneren und a aten ¨ußeren Gitters notwendig war, um Instabilit¨ zu vermeiden, jedoch wurden bei diesen Rechnungen Druckgradient und Konvektionsterm vernachl¨ assigt. Weiterhin scheint es vorteilhaft, die Wirbelviskosit¨ at νt zu reduzieren, wenn der Konvektionsterm in (8.76) ber¨ ucksichtigt wird, denn es muss dann nur der nicht aufgel¨ oste Anteil der Turbulenz durch νt repr¨asentiert werden [70]. Der Abgleich mit der aus der ¨ außeren L¨ osung berechneten Wirbelviskosit¨at f¨ uhrte in [70] zu einer Reduktion um mehr als die H¨ alfte und zu einer Verbesserung des Resultats. In [625], [627] wurde diese Strategie ebenfalls eingesetzt, jedoch vereinfacht durch Gleichsetzen der Wirbelviskosit¨ aten auf innerem und ¨ außerem Gitter. Daraus ergibt sich ein reduzierter Wert f¨ ur κ, der dann bei der L¨ osung im inneren Bereich verwendet wird. Die in diesen Arbeiten berechnete Str¨ omung um die Hinterkante eines Tragfl¨ ugelprofils stimmt gut mit dem Resultat einer WR–LES u ¨ berein, ausgenommen jedoch der Bereich des Druckminimums. Durch das Zweischichtenmodell konnte eine deutliche Verbesserung gegen¨ uber der einfachen Wandfunktion (8.81) mit und ohne Druckgradient festgestellt werden. In [127] wird ebenfalls berichtet, dass die mit dem Zweischichtenansatz (8.76), (8.79) berechnete L¨osung sensitiv bez¨ uglich der Wahl von κ und der Form von D(y + ) ist. Die Erweiterung auf das Spalart–Allmaras Modell im wandnahen Bereich anstelle der algebraischen Beziehung (8.79) f¨ ur νt erschien robuster und verbesserte bei der Berechnung einer zur¨ uckspringenden Stufe das Resultat f¨ ur den Wandreibungskoeffizienten. Die Auswirkungen auf die ¨außere Str¨ omung waren jedoch gering, was in der relativ schwachen physikalischen Kopplung beider Bereiche begr¨ undet ist.

262

8 Modellierung der wandnahen Str¨ omung

Insgesamt erlaubt die Zweischichtenmodellierung, mehr Effekte zu ber¨ ucksichtigen als bei ¨ einer einfachen Wandfunktion und ist daher universeller. Der Ubergang von den NSG auf die Grenzschichtgleichungen in Wandn¨ahe ist vorteilhaft, da die aufw¨ andige L¨ osung einer Poisson–Gleichung f¨ ur den Druck entf¨allt. Die Resultate sind besser als mit einfachen Wandfunktionen. Das eingebettete Gitter mit der Notwendigkeit, auf tangentiale Nachbarpunkte in diesem Gitter zuzugreifen, macht die Implementierung jedoch unangenehm und stellt die Verwendung f¨ ur komplexe Geometrien in Frage.

8.7

Detached Eddy Simulation

8.7.1

Definition der Methode

Das in Abschnitt 3.2.4, Gl. (3.12)–(3.14) dargestellte Spalart–Allmaras (SA) Modell basiert auf einer Transportgleichung f¨ ur eine turbulente Viskosit¨ at. Es handelt sich um ein statistisches Modell, das die Gesamtheit der turbulenten Bewegungen durch einen Wirbelviskosit¨ atsterm in der Impulsgleichung repr¨asentiert. Als physikalische L¨ angenskala erscheint hierbei der Wandabstand d. Da auch viele FS–Modelle eine Wirbelviskosit¨ at zur Modellierung der nichtaufgel¨osten feinskaligen turbulenten Schwankungen verwenden, lag die Idee nahe, eine a¨hnliche Transportgleichung f¨ ur die Feinstrukturwirbelviskosit¨ at zu verwenden. Spalart et al. [554] schlugen ein derartiges Modell vor, das auf einer Adaption des SA–Modells beruht. Um die zur Feinstrukturmodellierung n¨ otige Abh¨ angigkeit von der numerischen Aufl¨ osung zu erreichen, wurde im Inneren der Str¨ omung die L¨ angenskala d im Destruktionsterm durch ein Maß f¨ ur die Gitterschrittweite, ∆, multipliziert mit einer Modellkonstanten CDES , ersetzt. Da die L¨angenskala im Nenner steht, vergr¨ oßert sich der uhrt auf eine reduzierte Viskosit¨ at. Die WirbelvisDestruktionsterm f¨ ur d > CDES ∆ und f¨ kosit¨ at h¨ angt nun, wie f¨ ur ein FS–Modell erforderlich, nicht mehr von einer physikalischen L¨ ange, sondern von der numerischen Aufl¨osung ab, und man k¨ onnte den Ansatz zun¨ achst als ein weiteres Eingleichungsmodell f¨ ur die Feinstruktur verstehen. Die Besonderheit entsteht dadurch, dass in Wandn¨ ahe, d.h. f¨ ur d < CDES ∆, die physikalische L¨ angenskala d beibehalten wird. Insgesamt wird d also ersetzt durch d˜ = min(d, CDES ∆)

,

∆ = max(∆x , ∆y , ∆z ) ,

(8.83)

was in Abb. 8.1d illustriert ist. Durch Kalibrierung mittels isotroper Turbulenz wurde anderCDES = 0.65 bestimmt [541]. In Wandn¨ahe wird zwar wegen d˜ = d das unver¨ te SA–Modell eingesetzt, jedoch bedeutet dies nicht automatisch, dass die L¨ osung dort auch station¨ ar sein muss und somit die Voraussetzungen f¨ ur die statistische Turbulenzmodellierung erf¨ ullt. Vielmehr wird lediglich zwischen zwei verschiedenen Wirbelviskosit¨ atsausdr¨ ucken umgeschaltet und ansonsten die berechnete L¨ osung ui sich selbst u ¨ berlassen. W¨ ahlt man das Gitter auch in tangentialer Richtung sehr fein, so kann mit diesem Ansatz WR–LES betrieben werden [425]. Das Konzept der DES basiert jedoch auf dem Wunsch, die wandnahe Schicht statistisch zu modellieren, und zwar dadurch, dass die tangentiale Gitterschrittweite gr¨oßer als die wandnahen Turbulenzstrukturen gew¨ ahlt wird. Die wandnormale Gitterschrittweite dagegen muss so fein sein (∆y1+ > 1), dass die Grenzschicht

8.7 Detached Eddy Simulation

263

der mittleren Str¨omung aufgel¨ost wird. Nur so kann das statistische Modell korrekt arbeiten. Der Name “Detached Eddy Simulation” (DES) leitet sich aus der Zielsetzung her, die “anliegenden Wirbel” in Wandn¨ahe (statistisch) zu modellieren, w¨ ahrend die “abgel¨ osten ¨ Wirbel” im Inneren der Str¨omung aufgel¨ost werden. Damit entsteht eine gewisse Ahnlichkeit zu den Zweischichtenmodellen des vorigen Abschnitts. Bei diesen gibt es jedoch einen Sprung in der Gitterschrittweite zwischen dem ¨ außeren LES–Gitter und dem Gitter in¨ nerhalb der wandn¨achsten Zelle, w¨ahrend der Ubergang bei DES kontinuierlich erfolgt. In ¨ beiden F¨ allen wird der Ubergangspunkt unabh¨angig von der berechneten Str¨ omung festgelegt, bei Zweischichtenmodellen innerhalb der ersten Gitterzelle, bei DES abh¨ angig von der Wahl der tangentialen Gitterschrittweite. Damit kommt der Wahl des Gitters eine entscheidende Bedeutung zu. In jedem Fall sieht die Methode vor, die tangentiale Schrittweite in Wandn¨ ahe gr¨oßer als die dort vorhandenen Strukturen zu w¨ ahlen, um die entsprechende Skalierung mit der Reynolds–Zahl zu umgehen. In Tabelle 8.1 sind die entsprechenden Empfehlungen f¨ ur DES zusammengefasst.

8.7.2

Eigenschaften und Anwendungen

Eine der ersten Anwendungen von DES betraf die Str¨ omung um ein NACA0012 Tragfl¨ ugelprofil f¨ ur verschiedene Anstellwinkel α, besonders f¨ ur große Winkel bis 90◦ , bei einer Sehnen–Reynolds–Zahl von Rec = 105 [541]. F¨ ur kleine α war die L¨ osung station¨ ar und entsprach einer RANS–Simulation. F¨ ur große α findet eine massive Abl¨ osung an der Oberseite des Profils statt, und es entstehen in diesem Bereich starke instation¨ are Wirbel. Die dreidimensionale DES lieferte gute Resultate im Vergleich zu experimentellen Daten, wobei globale Gr¨ oßen wie Auftriebs– und Widerstandsbeiwert sowie die Druckverteilung verglichen wurden. Sie waren besser als mit einer zweidimensionalen instation¨ aren RANS–Rechnung und als mit einer zweidimensionalen DES. Die massive Abl¨ osung wird bei dieser Anwendung fixiert durch die Geometrie, und die Str¨omung ist relativ unempfindlich im Bezug auf die Verh¨ altnisse in Wandn¨ahe, vor allem im Abl¨osebereich. Insofern handelt es sich um eine Anwendung, f¨ ur die DES konzipiert wurde, jedoch liefern einfache LES–Modelle vermutlich sehr ¨ ahnliche Resultate. In [590] wurde DES zur Berechnung der Str¨omung um einen Kreiszylinder bei Re = 50000 und Re = 140000 verwendet. Dabei wurde der Konvektionsterm aus Stabilit¨ atsgr¨ unden mit einem Aufwindverfahren f¨ unfter Ordnung diskretisiert (ein zentrales Verfahren war instabil, insbesondere im RANS–Bereich). Die Resultate waren weniger befriedigend als andere Rechnungen mit klassischen LES–Modellen [173], [56]. Beispielsweise war die Rezirkulationsl¨ ange mit Lr = 1,1 deutlich gr¨oßer als im Experiment (Lr ≈ 0,5) [73] und in anderen Rechnungen (Lr = 0,42 . . . 0,7) [171]. Als wesentliche Ursache muss hierf¨ ur die Unteraufl¨ osung der separierenden Scherschichten und der in ihnen stattfindenden Transition angesehen werden: das DES Gitter war trotz lokaler Verfeinerung relativ grob in Wandnormalen– und Umfangsrichtung und wies u ¨ ber den Spannweitenbereich von Lz = 2D nur 42 Punkte auf (D ist der Zylinderdurchmesser). Damit k¨onnen weder die Scherschicht noch die energietragenden Wirbel im Nachlauf ad¨aquat aufgel¨ost werden. Andererseits ist das Modell nicht in der Lage, ¨ die Transition und insbesondere den Ubergang zur aufgel¨ osten Rechnung darzustellen. Die Anwendung von DES ist von der technischen Seite her leicht durchzuf¨ uhren, wenn das

264

8 Modellierung der wandnahen Str¨ omung

SA–Modell in einem Code bereits implementiert ist. Daher entstanden in schneller Folge Arbeiten, bei denen dieser Ansatz auf immer komplexere Probleme angewendet wurde. Beispiele sind die Str¨ omung um eine Kugel [108], ein Ellipsoid [107], einen Deltafl¨ ugel [411], sogar ein vollst¨ andiges Kampfflugzeug [155] oder ein Flugzeugfahrwerk [232]. Gegen¨ uber RANS– Rechnungen und instation¨aren RANS–Rechnungen sind diese Ergebnisse besser, weil durch die geringere Viskosit¨at ein gr¨oßerer Anteil der Wirbelbewegungen aufgel¨ ost wird. Zum Teil sind diese Str¨ omungen auch, wie bereits diskutiert, unempfindlich gegen¨ uber Defiziten in ¨ Wandn¨ ahe, so dass die Problematik des Ubergangs zwischen LES– und RANS–Region nicht aufscheint. Diese Kopplung wurde eingehend in [425] anhand einer ebenen Kanalstr¨ omung bei verschiedenen Reynolds–Zahlen untersucht. Dabei zeigte sich bei nahezu allen Rechnungen ¨ eine k¨ unstliche Pufferzone im Ubergangsbereich zwischen LES– und RANS–Modellierung. Sie wurde in mehreren Arbeiten festgestellt [21], [460], [219] und erwies sich als robust ¨ gegen¨ uber Maßnahmen wie Variation des Ubergangspunktes oder der FS–Modellierung im LES–Bereich [459]. Vielmehr bilden sich große, in Str¨ omungsrichtung gestreckte so genannte “Super Streaks” , die den Impulsaustausch zwischen diesen Bereichen ung¨ unstig beeinflussen [21], [459]. Dies macht die originale DES trotz ihrer Erfolge in anderen F¨ allen f¨ ur anliegende Str¨ omungen unattraktiv. Insgesamt ist jedoch in den letzten Jahren eine Vielzahl von Anwendungen der DES f¨ ur abgel¨oste Str¨omungen zu beobachten. Diese Entwicklung wird sich aus den geschilderten Gr¨ unden sicherlich in Zukunft intensivieren. In Tab. 8.1 sind Empfehlungen von Spalart [552] zu Gittern f¨ ur DES aufgef¨ uhrt.

8.7.3

Erweiterungen der DES

Die DES–Methodik ist nicht an das SA–Modell gebunden. Auch andere RANS–Modelle k¨ onnen auf diese Art zu einem hybriden Modell erweitert werden. In [569] wurde z.B. das SST–Modell [388], ein RANS–Modell mit zwei Transportgleichungen, in diesem Sinn verwendet. In [72] wurde eine entsprechende Kopplung zwischen dem Smagorinsky–Modell und dem Baldwin–Lomax Modell in Wandn¨ahe vorgeschlagen, jedoch nur qualitativ getestet. Eine wichtige Erweiterung entwickelten in allerj¨ ungster Zeit Piomelli et al. [459] durch Hin¨ zuf¨ ugen eines stochastischen Quellterms im LES–RANS–Ubergangsbereich. Bei einer ad hoc kalibrierten Amplitude, die zu einer Turbulenzproduktion von nahezu der H¨ alfte der Produktion in Wandn¨ahe f¨ uhrt, wurden die erw¨ ahnten “Super Streaks” zerst¨ ort und die unphysikalische Pufferzone vermieden. Auch wenn dieser Vorschlag noch weiterer Untersuchung und physikalischer Begr¨ undung bedarf, erscheint dies ein Weg, den DES–Ansatz auf anliegende Str¨ omungen auszudehnen.

8.8

Empfehlungen

Sehr viele unbefriedigende Resultate von LES und DES sind auf die falsche Wahl des numerischen Gitters zur¨ uckzuf¨ uhren [552]. Die Empfehlungen zur Wahl des Gitters in Wandn¨ ahe gehen in der Literatur jedoch auseinander. Tabelle 8.1 stellt daher einige von ihnen dar, zusammen mit denjenigen des Verfassers. W¨ahrend bei WR–LES die Angaben notwendi-

265

8.8 Empfehlungen

gerweise in Wandeinheiten gemacht werden m¨ ussen, erscheinen f¨ ur WF–LES ¨ außere Koordinaten sinnvoller: Je h¨ oher die Reynolds–Zahl ist, desto gr¨ oßer ist der Bereich, in welchem die Wandfunktion anwendbar ist. Andererseits gibt es mit den in dieser Arbeit dargestellage orientieren ten Funktionen keine untere Grenze f¨ ur ∆y oder ∆+ y . Die eigenen Vorschl¨ sich an einer Diskretisierung zweiter Ordnung. Bei Methoden h¨ oherer Ordnung k¨ onnen f¨ ur WR–LES gr¨ oßere Zahlenwerte verwendet werden. Im wandfernen Bereich ist eine konstante Schrittweite mit n¨ aherungsweise kubischen Zellen ideal. Dies kann jedoch oft aus geometrischen Gr¨ unden nicht realisiert werden, so dass versucht wird, diesem Ziel m¨ oglichst nahe zu kommen.

Tab. 8.1 Obergrenzen bzw. Bereiche f¨ ur die Wahl des numerischen Gitters in Wandn¨ ahe je nach verwendeter Simulationsmethode. Dargestellt sind Angaben aus der Literatur und eigene Empfehlungen. WF–LES sei f¨ ur die Grenzschicht in einer voll turbulenten Str¨ omung betrachtet. Der wandn¨ achste Gitterpunkt sollte i.A. bei y1 = ∆y /2 liegen. (1) In dieser Referenz wir jedoch ∆y = 0,005δ verwendet. (2) s ist die Gitterstreckung in y−Richtung.

WF–LES

∆+ x 10 100 50. . . 100 50 100. . . 600

DES, viskoser RANS–Bereich DES, a ¨ußerer RANS–Bereich

∆x < δ/5 0 ergeben sich jedoch andere Bereiche. Daher ist es durchaus m¨ oglich, dass diese Gr¨ oßen unterschiedliches spektrales Verhalten aufweisen. Tabelle 9.1 zeigt, dass die Spektren von u und p mit der Wellenzahl k abklingen. Hier werden also durch das entsprechende Kriterium die großen Strukturen mit kleinen k selektiert. F¨ ur Druckfluktuationen tritt dieser Effekt umso mehr auf, da Ep mit k st¨ arker abf¨ allt als Eu . Die Spektren der anderen Gr¨oßen steigen dagegen mit k an. Dieser Anstieg wird erst im Dissipationsbereich beendet. Das Spektrum der Wirbelst¨ arke verh¨ alt sich beispielsweise wie das Dissipationsspektrum (2.49) in Abb. 2.1. Der Faktor k 2 zwischen Eu und Eω l¨ asst sich hier sofort durch das Bilden der Ableitung erkl¨ aren, die einer Multiplikation mit k im Frequenzbereich entspricht und quadratisch eingeht, da Energiespektren betrachtet werden. F¨ ur andere Kriterien wie Q, λ2 und D ist der Anstieg mit k noch drastischer. Die Wahl eines Kriteriums f¨ ur die Visualisierung – druckbezogen, geschwindigkeitsbezogen oder mit den Geschwindigkeitsgradienten verkn¨ upft – entscheidet also u ¨ber die spektrale Lokalisierung der detektierten Strukturen. Wird ein derartiges Kriterium nun auf DNS–Daten mit vollst¨ andiger Aufl¨ osung der Str¨ omung angewendet, so werden durch ω, Q, λ2 und D Strukturen kurz vor bzw. im Dissipationsbereich selektiert, und zwar am st¨arksten mit der Diskriminante D. Bei LES wird der Dissipationsbereich nicht aufgel¨ost, sondern, sehr grob gesprochen, durch einen k¨ unstlichen Dissipationsbereich ersetzt. Die genannten Kriterien selektieren nun vorzugsweise Strukturen in diesem Bereich. Hier ist jedoch die aufgel¨ oste Str¨ omung wesentlich durch das FS–Modell bestimmt und mithin verf¨alscht. Zus¨atzlich zum Einfluss des FS–Modells werden diese Strukturen oft numerisch nur marginal aufgel¨ ost, was auch ausreichend ist, solange die großen Strukturen richtig simuliert werden. Bei niedriger FS–Dissipation sind diese Skalen i.A. unteraufgel¨ost und entsprechend durch numerisches Rauschen beeinflusst. Ist die FS–Dissipation hinreichend groß im Bezug auf die Gitterschrittweite, z.B. durch Wahl einer hohen Smagorinsky–Konstante, resultiert eine glatte L¨ osung der LES, und die Kriterien liefern ansprechende Bilder wie z.B. in [310] mit Hilfe des Q−Kriteriums. Diese Strukturen fokussieren jedoch einen Bereich, f¨ ur den LES vom Prinzip her nicht konzipiert ist. Die Daten aus einer LES k¨onnen auch vor dem weiteren Postprocessing explizit gefiltert werden, um feinskalige Anteile zu entfernen und mit den obigen Kriterien entsprechend gr¨ oßere Strukturen darzustellen. Wieder werden jedoch im durch den Filter definierten Bereich die kleinsten Strukturen ausgew¨ahlt, die entsprechend stark durch die Filteroperation beeinflusst sind. Außerdem f¨ uhrt die Filterung weitere Parameter und Unsicherheiten ein und ist daher delikat. Die explizit gefilterten Gr¨oßen erf¨ ullen z.B. die Transportgleichungen nicht mehr. Es erscheint hier also sinnvoller, ein physikalisch begr¨ undetes Kriterium einzusetzen, das von sich aus die entsprechende Selektivit¨at besitzt. Sofern nicht andere Kriterien mit noch st¨ arker negativen Exponenten f¨ ur k gefunden werden, erscheint in diesem Rahmen lediglich das Filtern des Drucks sinnvoll, um noch grobere Strukturen f¨ ur die Visualisierung zu selektieren [184]. Zusammenfassend ist festzuhalten: Die genannten modernen Kriterien zur Detektion koh¨ arenter Strukturen sind, im Gegensatz zu DNS, f¨ ur LES außer bei niedrigen Reynolds–Zahlen weniger geeignet. F¨ ur LES sollten daher vorzugsweise druck– oder geschwindigkeitsbasierte Kriterien gew¨ ahlt werden.

293

9.4 Visualisierung koh¨ arenter Wirbelstrukturen

a

b

Abb. 9.22 Rechengitter f¨ ur WF–LES der Str¨ omung u ugel [583]. a) Gitter 2, b) ¨ ber periodische H¨ Gitter 1. Eine entsprechende Darstellung des wandaufl¨ osenden Gitters 2 findet sich in Abb. 9.5. ¨ Tab. 9.2 Ubersicht u uhrten Testrechnungen der Str¨ omung u ¨ ber die in [583] durchgef¨ ¨ ber periodische H¨ ugel. Die Abk¨ urzungen sind im Text erl¨ autert.

Rechnung 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 21 22 23 24 25 26 27 31 32

Gitter 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1∗ 2 2 2 2 2 2 2 3 3

FS WALE WALE WALE WALE WALE WALE WALE SM + WD MSM LDSM SM + WD DSM DSM WALE WALE DSM WALE SM + WD DSM DMM WALE DSM

Wand NS WW WW-p LL2 LL2-i LL3 LLK WW WW WW WW WW WW NS LL3 BF WW WW WW WW NS NS

Code STREAMLES STREAMLES STREAMLES STREAMLES STREAMLES STREAMLES STREAMLES STREAMLES STREAMLES STREAMLES LESOCC LESOCC LESOCC STREAMLES STREAMLES LESOCC STREAMLES LESOCC LESOCC LESOCC STREAMLES LESOCC

(x/h)sep 1.12 0.46 0.52 0.54 0.41 0.53 0.49 0.50 0.45 0.47 0.45 0.50 0.45 0.38 0.34 0.37 0.32 0.32 0.30 0.30 0.22 0.20

(x/h)reat 2.17 4.00 3.06 2.95 3.95 2.98 3.38 3.59 4.18 3.56 3.60 3.20 3.25 3.45 4.32 4.14 4.56 4.70 4.23 3.85 4.72 4.56

294

9 Anwendungen

9.5

WF–LES einer Str¨omung u ¨ ber periodische Hu ¨gel

9.5.1

¨ Ubersicht und Modellierung

Im Folgenden werden LES–Testrechnungen f¨ ur die oben eingef¨ uhrte Str¨ omung u ¨ ber periodische H¨ ugel beschrieben. W¨ahrend in den beiden vorangegangenen Abschnitten die Methoden zur Analyse der physikalischen Eigenschaften im Vordergrund standen, sollen hier nun die Modellierungsaspekte, die sich mit LES ergeben, thematisiert werden. Ein Großteil der Ergebnisse entstammt [583], jedoch werden auch komplement¨ are Resultate berichtet, die ¨ dort keinen Platz fanden. Tabelle 9.2 gibt einen Uberblick u uhrten Rech¨ ber die durchgef¨ nungen, von denen hier nur eine Auswahl besprochen wird. Als Referenz dienen RUN 1 und RUN 2 aus Abschnitt 9.3, die als Rechnung 31 und 32 in Tab. 9.2 erscheinen. Die hier eingesetzten Gitter, Gitter 1 und Gitter 2 in Tab. 9.2, sind deutlich grober als das Gitter der zuvor besprochenen wandaufl¨osenden LES in Abb. 9.5, hier als Gitter 3 bezeichnet, so dass FS– und Wandmodellierung die berechnete L¨ osung beeinflussen. Diese beiden Gitter sind in Abb. 9.22 dargestellt. Gitter 1 enth¨ alt Nx × Ny × Nz = 112 × 64 × 92 innere Punkte, Gitter 2 enth¨alt 176 × 64 × 92 innere Punkte. Sie unterscheiden sich hinsichtlich der Aufl¨osung in x−Richtung, die bei Gitter 2 um ca. 50% besser ist und die Punkte im Abl¨ osebereich konzentriert, sowie in der st¨ arkeren vertikalen Verdichtung der Punkte am Unterrand bei Gitter 2. Diese Gitter erfordern den Einsatz von Wandmodellen, wof¨ ur zahlreiche der in Kapitel 8 dargestellten Modellierungen verwendet wurden. Wie dort bezeichnet WW die Wandfunktion von Werner-Wengle (Abschnitt 8.3.4), LL2 meint das logarithmische Wandgesetz mit zwei Schichten (8.17), LL3 das entsprechende Gesetz mit drei Schichten (8.18), LLK das Gesetz nach (8.34) und BF das “Backflow” Modell (8.73). Der Index p kennzeichnet ein nicht in Wandnormalenrichtung integriertes Gesetz, der Index i ein integriertes Gesetz. Fehlt der Index, so ist jeweils die andere Variante gemeint. Die Haftbedingung (NS) wurde auf Gitter 1 und 2 nur zu Vergleichszwecken eingesetzt. Als FS–Modelle wurden neben dem WALE–Modell (6.57) das Smagorinsky–Modell mit van Driest–D¨ ampfung (SM+WD), das DSM nach Germano–Lilly aus Abschnitt 6.5.4 und das ebenfalls dort besprochene lokalisierte dynamische Modell (LDSM) sowie das dynamische gemischte Modell (DMM) aus Abschnitt 6.5.5 und das “Mixed Scale Model” (MSM) nach Gl. (6.61) eingesetzt. Rechnung 13 entspricht Rechnung 12, jedoch wurde bei gleicher Schrittweite ∆z die Ausdehnung Lz verdoppelt. Dieser Rechnung entstammt Abb. 9.12 oben.

9.5.2

Einfluss des Rechengitters

Abbildung 9.23 stellt zun¨achst Ergebnisse mit gleicher FS–Modellierung auf den drei Gittern dar. Auf dem feinsten wurde die Haftbedingung, auf dem mittleren und dem groben in beiden F¨ allen die WW-Wandfunktion verwendet. Wie in den folgenden Bildern sind hier nur die aufgel¨ osten Anteile der Fluktuationen dargestellt. Es ist deutlich zu erkennen, dass auf dem mittleren Gitter die LES–Modellierung erfolgreich ist. Mit nur kleinen Abweichungen werden mittlere Str¨omung und Fluktuationen vorhergesagt, obwohl das Gitter deutlich grober als in der Referenzrechnung ist. Die FS–Modellierung f¨ uhrt zu einer vergr¨ oßerten Wirbelviskosit¨ at, die ebenfalls abgebildet ist. Auf dem groberen Gitter ist das Verh¨ altnis

295

9.5 WF–LES einer Str¨ omung u ugel ¨ber periodische H¨

uber der Referenzrechnung zu νt /ν entsprechend gr¨oßer, jedoch treten hier Defizite gegen¨ Tage. Die Ursache konnte im Wesentlichen auf die zu grobe Diskretisierung in x im Bereich der Abl¨ osung zur¨ uckgef¨ uhrt werden. Die Str¨ omung ist aus physikalischen Gr¨ unden sehr sensitiv in dieser Hinsicht, denn der mittlere Abl¨ osepunkt bestimmt die Position und die Richtung der Scherschicht und damit Rezirkulation und Wiederanlegebereich. In Abb. 9.24 ist diese Sensitivit¨at dargestellt. Eine Ver¨anderung des Abl¨ osepunktes um 0,15h f¨ uhrt in der Tendenz auf eine Verschiebung des Wiederanlegepunktes um ca. 1h. In dieser Grafik sind auch die Gitterschrittweiten von Gitter 1 und 2 im Abl¨ osebereich eingezeichnet, denn eine h¨ ohere Genauigkeit ist von einer Rechnung nicht zu erwarten.

3

a

3

b

G1 Dyn G2 Dyn Wall Resolved

G1 Dyn G2 Dyn Wall Resolved

2.5

2

2

y/h

y/h

G1 Dyn G2 Dyn Wall Resolved

2.5

1.5

1.5

1

1

0.5

0.5

0

0.5

1

0

0.2

0.4

/U b

3 G1 Dyn G2 Dyn Wall Resolved

2.5

d

G1 Dyn G2 Dyn Wall Resolved

2.5

2

2

y/h

y/h

0.8

3

c

1.5

1.5

1

1

0.5

0.5

0

0.02

0.04

0.06

0.08

0

0.02

2

0.04 2

/U b

/U b

3

3

f

G1 Dyn G2 Dyn Wall Resolved

2.5

g

G1 Dyn G2 Dyn Wall Resolved

2.5

2

2

y/h

y/h

0.6

/U b

1.5

1.5

1

1

0.5

0.5

0

1

2

/v

3

4

0

1

2

3

/v

Abb. 9.23 Vergleich der L¨ osung mit gleicher FS–Modellierung (DSM) auf den drei eingesetzten Gittern 1 − · − · −, Gitter 2 − − − ,und Gitter 3 −−−−− aus Rechnungen 12, 26 und 32 in Tabelle 9.2. Links: x/h = 2. Rechts: x/h = 6. Oben: mittlere Geschwindigkeit. Mitte: Fluktuationen in Hauptstr¨ omungsrichtung u

u

/Ub . Unten: Wirbelviskosit¨ at, νt /ν.

296

9 Anwendungen Grid 1 Grid 2 6xsep.,Grid 1 6xsep.,Grid 2

xreat/h

4.4

4

3.6

3.2

2.8 0.25

0.3

0.4

0.35

0.45

0.5

0.55

xsep/h

Abb. 9.24 Zusammenhang zwischen mittlerem Abl¨ osepunkt und mittlerem Wiederanlegepunkt [583]. Die Symbole + bezeichnen Resultate auf Gitter 1, X auf Gitter 2. Die horizontalen Linien kennzeichnen die Gr¨ oße der Gitterzellen im Abl¨ osebereich f¨ ur die beiden Gitter.

Grid 1 : DSM

Grid 1 : DSM Grid 2 : DSM Grid 2 : DSM Grid 3 : DSM

18

Grid 3 : DSM

16 14

12 10 8 6 4 2 0

0

2

6

4

x/h

8

Abb. 9.25 Wandabstand der wandn¨ achsten Zellmittelpunkte in Wandeinheiten am unteren Kanalrand in der Str¨ omung u ugel ¨ ber periodische H¨ f¨ ur die drei verwendeten Gitter [583]. Die Daten entstammen Rechnung 12, 26 und 32.

An dieser Stelle kann also bereits die an sich triviale Empfehlung festgehalten werden, bei Str¨ omungsabl¨ osung von glatten, gekr¨ ummten Oberfl¨ achen das Gitter im Abl¨ osebereich so fein wie m¨ oglich zu gestalten. Dies betrifft insbesondere die Hauptstr¨ omungsrichtung, denn Abb. 9.25 zeigt, dass das grobe und das mittlere Gitter zu Wandabst¨ anden f¨ uhren, die zwar jenseits der viskosen Unterschicht liegen, jedoch immer noch sehr moderat sind. Liegt die Abl¨ osung durch die Geometrie fest, z.B. an r¨ uckspringenden Kanten, ist die Frage der Aufl¨ osung in diesem Bereich f¨ ur das Resultat weit weniger kritisch.

9.5.3

Einfluss von Feinstrukturmodell und Wandmodellierung

Trotz seiner Schw¨ achen kann Gitter 1 zu Sensitivit¨ atsstudien herangezogen werden und wird dabei sogar Unterschiede eher betonen. In Abb. 9.26 werden Resultate verschiedener Wandmodelle unter Beibehaltung des FS–Modells verglichen. Die Fluktuationen mit LLK liegen zwar in diesem Bild am dichtesten an den Referenzwerten, jedoch ist das Resultat f¨ ur die mittlere Str¨ omung am weitesten von Rechnung 31 entfernt. Es zeigt sich vielmehr eine deutliche Tendenz zugunsten der WW-Wandfunktion. Dies kann auf den in Abschnitt 8.3.7 diskutierten Unterschied im Niveau der Wandschubspannung zur¨ uckgef¨ uhrt werden, der durch die Verwendung integrierter oder nicht integrierter Gesetze entsteht. Abb. 9.27 zeigt dies sehr deutlich beim Vergleich der mit WW und mit WW-p erzeugten L¨ osungen. Das LL2–Gesetz zeigt dieselbe Tendenz, ist jedoch im vorliegenden Fall mit Vorsicht zu beurteilen, da der wandn¨ achste Gitterpunkt in der Pufferzone liegt (Abb. 9.25), wo dieses Gesetz

297

9.5 WF–LES einer Str¨ omung u ugel ¨ber periodische H¨ x/h = 6.0

x/h = 6.0

a

b

3

2

y/h

Comp. 31 LL2 LL3 LLK WW

Comp. 31 LL2 LL3 LLK WW

2

y/h 1

1

0 0

3

0

0.2

0.4

0.6

0.8

0

1

0.02

/Ub

0.04

0.08

0.06

2

/Ub

Abb. 9.26 Einfluss unterschiedlicher Wandfunktionen auf die berechnete L¨ osung bei x/h = 6 f¨ ur Gitter 1 und WALE Modell [583]. x/h = 6.0

x/h = 6.0

a

b

3

2

y/h

Comp. 31 LL2 LL2-i WW-p WW

Comp. 31 LL2 LL2-i WW-p WW

2

y/h 1

1

0 0

3

0.2

0.4

0.6

/Ub

0.8

1

0 -0.02

2

/Ub

0

0.02

0.04

2

0.06

/Ub

Abb. 9.27 Einfluss der Verwendung punktweiser oder u achste Zelle integrierter Wand¨ ber die wandn¨ funktionen auf Gitter 1 unter Verwendung des WALE Modells bei x/h = 6 [583].

einen eher unphysikalischen Verlauf hat. LL3 ist in dieser Hinsicht vorteilhafter, liefert jedoch, wie Abb. 9.26 zeigt, nur eine wenig bessere L¨osung f¨ ur die mittlere Geschwindigkeit. Dies unterst¨ utzt ebenfalls die Aussage, dass der genaue Verlauf des zugrunde liegenden universellen Geschwindigkeitsprofils weit weniger entscheidend ist als die Abweichung, die sich durch die Integration u ¨ ber die wandnahe Zelle ergeben. Auf dem groben Gitter ist entsprechend auch die Sensitivit¨at bzgl. der FS–Modellierung am deutlichsten ausgepr¨agt. Abb. 9.28 zeigt eine Auswahl verschiedener Simulationen bei x/h = 6. Die Bandbreite der Abweichungen ist hier f¨ ur das eingesetzte Gitter geringer als bei Variation der Wandmodellierung. Es ist zu beobachten, dass verschiedene Modelle zu sehr unterschiedlichen Wirbelviskosit¨aten f¨ uhren k¨onnen, was in Abb. 9.29 veranschaulicht ist. Wie in Kapitel 5 diskutiert, gibt es dabei keine richtigen oder falschen Werte, sondern es verschiebt sich lediglich der effektive Filter und damit die Aufspaltung in aufgel¨oste und modellierte Anteile. Auf Gitter 2 sind die Unterschiede zwischen verschiedenen FS–Modellen naturgem¨aß kleiner ¨ als auf Gitter 1, was in Abb. 9.30 deutlich wird. Ahnliches ist auch f¨ ur die Wandmodellierung zu beobachten (Abb. 9.31). Schließlich wird in Abb. 9.32 ein Resultat mit dem “Backflow” Modell aus Abschnitt 8.5 gezeigt. Da dieses Modell vornehmlich die Rezirkulationszone

298

9 Anwendungen x/h = 6.0

x/h = 6.0

a

3

b

Comp. 31 SM + WD MSM LDSM

2

3

Comp. 31 SM + WD MSM LDSM

2

y/h

y/h

1

1

0

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

/Ub

0 -0.02

-0.01

2

/Ub

0

0.01

0.02

0.03

2

0.04

0.05

0.06

/Ub

Abb. 9.28 Vergleich der L¨ osungen mit verschiedenen FS–Modellen und der WW–Wandfunktion bei x/h = 6 auf Gitter 1 [583]. x/h = 6.0 Comp. 31 SM + WD MSM WALE DSM LDSM

3

2

y/h 1

0 0

1

2

/i

3

Abb. 9.29 Durch unterschiedliche FS-Modelle in Rechnungen mit Gitter 1 erzeugte Wirbelviskosit¨ at bei x/h = 6 [583]. Wandmodell war in allen F¨ allen WW.

beeinflusst, wurde hier zum Vergleich der Ort x/h = 2 gew¨ ahlt. Weitere Daten dieser Rechnung finden sich oben in Abschnitt 8.5. Die Darstellung der mit WR–LES erzielten Ergebnisse f¨ ur die Str¨ omung u ¨ber periodische H¨ ugel musste hier aus Platzgr¨ unden im Wesentlichen auf Profile bei x/h = 6 beschr¨ ankt werden. Eine vollst¨andige Beurteilung der verschiedenen Rechnungen ist so nur eingeschr¨ ankt m¨ oglich, jedoch werden in diesen Bildern die wichtigsten Trends deutlich, die die Aussagen aus den vorangegangenen Kapiteln illustrieren. Weitere Aspekte kommen in [583] zur Sprache.

299

9.5 WF–LES einer Str¨ omung u ugel ¨ber periodische H¨

3

b

G2 SM G2 DSM G2 DMM Wall Resolved

G2 SM G2 DSM G2 DMM Wall Resolved

2.5

2.5

2

y/h

2

y/h

G2 Smag G2 Smag G2 Dyn G2 Dyn G2 Scale Sim G2 Scale Sim Wall Resolved Wall Resolved

3

a

1.5

1.5

1

1

0.5

0.5

0

0.2

0.4

0.6

0.8

0

0.02

0.04 2

/U b

/U b

Abb. 9.30 Abh¨ angigkeit der berechneten L¨ osung bei x/h = 6 von der FS–Modellierung auf Gitter 2, Wandmodell war in allen F¨ allen WW.

x/h = 6.0

a

x/h = 6.0

b

3

Comp. 31 WW LL3 NS

2

3

Comp. 31 WW LL3 NS

2

y/h

y/h 1

1

0

0 0

0.2

0.4

0.6

/Ub

0.8

0

1

0.01

0.02

0.03

0.04

0.05

2

0.06

0.07

/Ub

Abb. 9.31 Mittlere u−Geschwindigkeit und Fluktuationen bei x/h = 6 f¨ ur Rechnungen mit drei verschiedenen Approximationen in Wandn¨ ahe und dem WALE Modell auf Gitter 2 [583].

3

3

a

2.5

2

2

y/h

y/h

G2 Dyn G2 Dyn G2 Dyn Backflow G2 Dyn Backflow Wall Resolved Wall Resolved

b

G2 Dyn G2 Dyn Backflow Wall Resolved

G2 Dyn G2 Dyn Backflow Wall Resolved

2.5

1.5

1.5

1

1

0.5

0.5

0

0.5

/U b

1

0

0.02

0.04

0.06

0.08

2

/U b

Abb. 9.32 Einfluss der Wandmodellierung mit dem “Backflow” Modell bei x/h = 2. a) Mittlere u–Geschwindigkeit. b) Zugeh¨ orige Fluktuationen u

u

/Ub .

300

9 Anwendungen

9.6

Str¨ omung um einen langen Kreiszylinder

9.6.1

Physikalische Aspekte der Stro ¨mung um stumpfe Ko ¨rper

Die Str¨ omung um einen langen Zylinder ist der Prototyp einer Str¨ omung um einen stumpfen K¨ orper. Eine derartige Str¨omung ist, im Gegensatz zu der um “stromlinienf¨ ormige K¨ orper”, wesentlich gepr¨ agt durch Abl¨ose– und Rezirkulationsgebiete. In manchen F¨ allen kann die Str¨omung auch wieder auf dem K¨orper anlegen, bevor sie erneut abl¨ ost, wie z.B. am freien Ende eines Zylinders endlicher L¨ange in Abschnitt 9.8. Hinter stumpfen K¨ orpern ist der Nachlauf deutlich ausgepr¨agt, und der Widerstand wird nahezu ausschließlich durch Druckkr¨ afte hervorgerufen (siehe Abb. 9.33). Leder [319] gibt eine ausf¨ uhrliche Diskussion derartiger Str¨ omungen. Stumpfe K¨orper sind in einer un¨ ubersehbaren Zahl von Anwendungen pr¨ asent, seien es Einbauten in Fließgew¨asser oder hydraulische Anlagen, Geb¨ aude, Fahrzeuge, Anbauten an Fahrzeugen wie der Dom eines Unterseebootes oder Bauteile an Flugzeugen, W¨ armetauscher, K¨ uhlrippen, etc. Stumpfe K¨ orper erzeugen durch ihre Geometrie großskalige instation¨are Wirbelsysteme. Sie f¨ uhren zu entsprechenden Oszillationen der Str¨omung und damit der Kr¨afte auf diese K¨orper und k¨ onnen sogar stark genug sein, dass es zu mechanischem Versagen der Bauteile kommt. Die ber¨ uhmtesten Beispiele sind das Versagen der Takoma Narrows Br¨ ucke 1940 und der Zusammenbruch der K¨ uhlt¨ urme von Ferrybridge 1965. Eine umfassende Darstellung str¨ omungserzeugter Schwingungen geben Naudascher und Rockwell [421]. Zylindrische, insbesondere kreiszylindrische stumpfe K¨ orper tauchen in den Anwendungen sehr h¨ aufig auf. Beispiele sind Geb¨aude und T¨ urme mit kreisf¨ ormigem Querschnitt, Rechen im Wasserbau, Rohrb¨ undelw¨armetauscher, Pf¨ahle von Offshoreplattformen, Kabel in Luft– und Wasserstr¨ omungen, etc. Hier, in Abschnitt 9.6, soll die idealisierte Str¨ omung um einen unendlich langen glatten Kreiszylinder betrachtet werden. Sie nimmt eine Sonderstellung ein, da die Geometrie durch eine einzige L¨ange fixiert ist, n¨ amlich den Durchmesser D. Daher ist die Reynoldszahl Re = Du∞ /ν der einzige Parameter, der diese Konfiguration bestimmt, wobei u∞ die konstante Anstr¨omgeschwindigkeit bezeichnet. Dennoch ist die Str¨ omung extrem komplex und entwickelt eine Vielzahl unterschiedlicher Regime. In [659] werden die beobachteten Ph¨anomene anhand experimenteller Daten in großer Ausf¨ uhrlich¨ keit besprochen. Eine neuere Ubersichtsarbeit, die auch numerische Ans¨ atze mit einbezieht, ist [430]. Im Folgenden sind die wichtigsten Aspekte kurz zusammengestellt und anhand von Tabelle 9.3 und Abb. 9.33 illustriert. In realen Str¨ omungen treten neben der Reynolds–Zahl, einzeln oder in Kombination, weitere Einflussfaktoren auf. Dies sind z.B.: Turbulenz in der Anstr¨ omung, Oberfl¨ achenrauigkeiten, Verdr¨ angungswirkung von seitlichen W¨anden in der N¨ ahe des Zylinders (“blockage”), axiale Beschr¨ ankung der L¨ange des Zylinders, Oszillation des Zylinders, etc. Entsprechende Effekte beeinflussen die Str¨omung und k¨onnen in ihrer Bedeutung u ¨ ber andere Parameter dominieren. In vielen Experimenten wird daher versucht, diese Einfl¨ usse gering zu halten, um dem Idealfall des “langen Zylinders in konstanter Anstr¨ omung” m¨ oglichst nahe zu kommen. Daher k¨ onnen weiter unten die Grenzbereiche der experimentell beobachteten Regime prinzipiell nur n¨ aherungsweise angegeben werden. Erste Experimente zu alternierenden Wirbelabl¨osungen wurden 1908 von B´enard durchgef¨ uhrt [33], [34]. Die theoretische Analyse gaben von Karman und Rubach in [614], so dass

301

9.6 Str¨ omung um einen langen Kreiszylinder

Tab. 9.3 Zusammenstellung der unterschiedlichen Regime in Abh¨ angigkeit von der Reynolds–Zahl bei der Str¨ omung um einen langen glatten Kreiszylinder ohne Turbulenz in der Anstr¨ omung. Recrit bezeichnet die untere Grenze im Bezug auf die Reynolds–Zahl f¨ ur das Auftreten des jeweiligen Reachst folgenden Regimes. Tabelle nach Zdravkovich gimes. Es erstreckt sich bis zu Recrit des n¨ [659]. Die Skizzen in der rechten Spalte sind in Anlehnung an [659] erstellt. Hier kennzeichnet L einen laminaren Bereich, T einen turbulenten Bereich der Str¨ omung und Tr den Ort der Transition. Die Richtung der Pfeile kennzeichnet die Verlagerung des Umschlagpunktes mit wachsender Reynolds–Zahl. Dies geschieht in komplexer Weise und kann f¨ ur die verschiedenen Unterregime in gegens¨ atzlicher Richtung erfolgen. Zustand

K¨ urzel

Regime

laminar

L1 L2 L3

anliegende Str¨ omung station¨ are Rezirkulation periodischer Nachlauf

Transition im Nachlauf

TrW1 TrW2

Transition im Fernfeld Transition im Nahfeld

Transition in Scherschichten

TrSL1 TrSL2 TrSL3

unterer Bereich mittlerer Bereich oberer Bereich

TrBL0 TrBL1 TrBL2 TrBL3 TrBL4

vor-kritisch eine Rezirkulationszone zwei Rezirkulationszonen super–kritisch post–kritisch

Transition in Grenzschicht

Recrit 0 4...5 30 . . . 48

L

L

180 . . . 200 220 . . . 250

Tr L

350 . . . 400 103 . . . 2 103 2 104 . . . 4 104 105 . . . 2 105 3 105 . . . 3,4 105 3,8 105 . . . 4 105 5 105 . . . 106 3,5 106 . . . 6 106

Tr

L

T

L

Tr

Tr

T

Tr Tr

T

Tr

man heute von der Karmanschen Wirbelstraße spricht. Es handelt sich dabei um eine Instabilit¨ at des Nachlaufs, die zu zweidimensionalen, achsenparallelen Wirbeln f¨ uhrt und beim Kreiszylinder f¨ ur Re > 30 . . . 48 beobachtet wird. Bei sukzessiver Steigerung der Reynolds– Zahl treten sekund¨are Instabilit¨aten auf, die mit Transitionsvorg¨ angen verschiedener Art verbunden sind [659]. Im Bereich Re = 180 . . . 400 findet eine Transition im Inneren des Nachlaufs statt (“transition in wake”, TrW), wobei verschiedene Unterbereiche definiert werden k¨ onnen. F¨ ur Re = 350 . . . 2 105 geschieht die Transition in den Scherschichten, die sich von dem Zylinder abl¨osen (“transition in shear layers”, TrSL). Die Grenzschicht entlang der Zylinderwand und die Abl¨osung selbst sind dabei noch laminar. Man spricht daher von unterkritischer Str¨omung. Im TrSL–Regime verlagert sich der Ort der Transition mit steigender Reynolds–Zahl zu immer k¨ urzeren Abst¨ anden vom Abl¨ osepunkt, bis sie den Zylinder erreicht. Bei noch gr¨oßeren Re geschieht der Umschlag auf der Zylinderoberfl¨ ache (“transition in boundary layer”, TrBL). Hier finden sehr komplexe Vorg¨ ange statt, bei de-

302

9 Anwendungen

Abb. 9.33 Widerstandsbeiwert CD , zerlegt in Druckanteil und Reibungsanteil sowie Fluktuationen des Auftriebsbeiwertes in Abh¨ angigkeit von der Reynolds–Zahl. Die K¨ urzel entsprechen den in Tabelle 9.3 verwendeten Bezeichnungen der einzelnen Regime. Abbildung aus [659].

nen die Transition zun¨achst auf einer Seite, dann auf beiden in einer laminaren Abl¨ oseblase mit anschließendem Wiederanlegen erfolgt. Durch die Turbulenz der Grenzschicht wird die Abl¨ osung stark nach stromab verschoben und die Breite des Nachlaufs deutlich reduziert. Da der Widerstand nahezu ausschließlich durch Druckkr¨ afte erzeugt wird, sinkt er in diesem Reynolds–Zahl–Bereich drastisch ab, so dass man von einer “drag crisis” spricht. In Abb. 9.33 sind die einzelnen Regime und die zugeh¨ orige Abh¨ angigkeit von Widerstands– und Druckbeiwert u ¨ ber der Reynolds–Zahl dargestellt.

9.6.2

Der lange Kreiszylinder als Testfall fu ¨r LES

Aufgrund der Bedeutung grobskaliger Wirbel f¨ ur die Str¨ omung um stumpfe K¨ orper ist LES in diesen F¨ allen RANS–Modellen schon zur Berechnung der mittleren Str¨ omung und ihrer Statistiken oft u ¨ berlegen [498]. Daneben ist ein derartiger Ansatz unverzichtbar, wenn die instation¨ aren Kr¨ afte auf solche K¨orper gesucht sind. Entsprechendes gilt f¨ ur den Einfluss der Str¨ omung auf den mittleren W¨arme– und Stofftransport sowie entsprechende instantion¨ are Gr¨oßen. Beispiele sind die Bauteilk¨ uhlung (siehe z.B. [378]), die thermische Belastung einer Struktur durch Temperaturfluktuationen [10] oder Flammenhalter in reaktiven Str¨ omungen [293]. ¨ In [496], [497], [611], [161], [498] finden sich Ubersichtsdarstellungen f¨ ur LES um stumpfe K¨ orper, insbesondere W¨ urfel und quadratische Zylinder. Vergleichende Rechnungen zur Bewertung verschiedener LES–Techniken wurden in zahlreichen Workshops angestellt, z.B. [233], [254], von denen die Dokumentation in [500] am detailiertesten ist. Da die Str¨ omung um einen Kreiszylinder eine der bekanntesten Str¨ omungen um stumpfe K¨ orper ist, entstanden zahlreiche Publikationen, in denen LES zu Berechnung dieses Falles eingesetzt wurde. In der ersten Arbeit von Beaudan und Moin 1994 [32] wurde aufgrund der Verf¨ ugbarkeit entsprechender experimenteller Daten Re = 3900 gew¨ ahlt und daher auch in Folgearbeiten wie [398], [399], [56] [173], [302], [353], [594], [270] verwendet. Bei h¨ oheren Reynolds–Zahlen wurde diese Str¨omung in [271], [269] und anderen Publikationen betrachtet. Sehr umfangreiche Messungen liegen f¨ ur Re = 140000 vor [73]. Da diese Reynolds–Zahl

303

9.6 Str¨ omung um einen langen Kreiszylinder Tab. 9.4 Allgemeines Klassifizierungsschema f¨ ur Str¨ omungen um stumpfe K¨ orper.

Kriterium Zustr¨ omung Abl¨ osepunkt Zustand am Abl¨osepunkt Spannweitenausdehnung

turbulent durch Geometrie fixiert turbulent kurz

laminar nicht fixiert laminar lang

zwar unterkritisch, aber doch sehr hoch ist und entsprechend viele Gitterpunkte erfordert, wurde sie nur in sehr wenigen Arbeiten berechnet [173], [57], [171], [593]. In [58], [81] wurde auch der u onnen jedoch noch nicht voll ¨ berkritische Fall behandelt. Diese Resultate k¨ befriedigen [81], und auch bei Re = 140000 gibt es noch Potenzial f¨ ur Verbesserungen. Im Folgenden wird daher nur die unterkritische Str¨ omung bei Re = 3900 im Detail diskutiert und es werden anhand eigener Resultate die typischen Ph¨ anomene bei der LES einer solchen Str¨ omung beschrieben. F¨ ur h¨ohere Reynolds–Zahlen gilt Analoges, weshalb auf die Darstellung dieser F¨ alle verzichtet und statt dessen auf die Literatur verwiesen wird. Zus¨ atzlich treten z.B. f¨ ur Re = 140000 Schwierigkeiten durch die N¨ ahe zum Transitionspunkt auf, die in [173] und [57] diskutiert werden. Zur besseren Einordnung der unterkritischen Str¨ omung um einen Kreiszylinder wird in Tabelle 9.4 ein allgemeines Klassifizierungsschema f¨ ur Str¨ omungen um stumpfe K¨ orper vorgeschlagen [162]. Es dient dazu, die Sensitivit¨at der Str¨ omungen im Bezug auf kleine St¨ orungen bzw. Modellierungs– und Diskretisierungsfehler zu charakterisieren. Eine hohe Sensitivit¨ at hat großen messtechnischen Aufwand zur Folge und erfordert entsprechende Sorgfalt, um verl¨ assliche Validierungsdaten aus Experimenten zu erhalten. F¨ ur die Validierung von LES ist sie von Bedeutung, weil sie analoge Schwierigkeiten bei der Simulation generiert. Einerseits machen sich Unvollkommenheiten der Modellierung stark bemerkbar, was f¨ ur eine Validierung vorteilhaft sein kann, andererseits ist Vorsicht geboten, wenn Aussagen auf andere Str¨ omungen u at besitzen. ¨ bertragen werden sollen, die eine geringere Sensitivit¨ Laminare Zustr¨ ombedingungen in LES haben eine Transition innerhalb des Rechengebietes zur Folge. Da transitionelle Str¨omungen bekanntermaßen sehr empfindlich auf kleinste St¨ orungen sind, tritt hier eine entsprechende Abh¨ angigkeit von der Erfassung des Transitionsprozesses auf. Die LES–Philosophie ist beim derzeitigen Stand nicht auf transitionelle Vorg¨ ange u omung in diesem Bereich ¨bertragbar. Statt dessen muss das Gitter die Str¨ vollst¨ andig bzw. nahezu vollst¨andig aufl¨osen, und das FS–Modell sollte im Transitionsbereich keinen wesentlichen Beitrag liefern. Handelt es sich um lange zylindrische K¨ orper, so ist die ben¨ otigte Aufl¨osung u ¨ ber den gesamten Bereich bereitzustellen. Aufgrund der Korrelationen des Geschwindigkeitsfeldes in Spannweitenrichtung muss des Rechengebiet eine Mindestausdehnung haben, um dem (fast) unendlich langen Fall zu entsprechen. Bei nicht langgestreckten K¨orpern wie z.B. einem W¨ urfel treten durch die Endeffekte h¨ ohere Turbulenzgrade auf, was die Sensitivit¨at der niedrigen Momente herabsetzt. Weiterhin ist die Lage des Abl¨ osepunktes entscheidend f¨ ur die Str¨ omung im Nachlauf und in Rezirkulationsgebieten. Wird dieser Punkt durch die Geometrie fixiert, wie bei einer r¨ uckspringenden Stufe, sinkt entsprechend die Abh¨angigkeit des Resultats von Details der Str¨ omung. Die ¨ Summe dieser Uberlegungen zeigt, dass die turbulente unterkritische Str¨ omung um einen

304

9 Anwendungen

Kreiszylinder eine sehr schwierig zu berechnende Str¨ omung ist. a

b

Abb. 9.34 Unterschied zwischen dreidimensionaler und zweidimensionaler LES anhand der Str¨ omung um einen Kreiszylinder bei Re = 140000. a) Dreidimensionale Simulation. Visualisierung der Str¨ omung durch Mitberechnen von Partikeln, die an der Vorderseite des Zylinders zugef¨ ugt werden. Abgebildet ist der Zeitpunkt t = 1,584D/u∞ nach Start der Zugabe von Partikeln in der Rechnung. b) Gleiche Str¨ omung zum selben Zeitpunkt und mit derselben Visualisierung, jedoch wurde eine zweidimensionale Str¨ omung erzwungen.

9.6.3

Zweidimensionale Rechnungen

Die Geometrie zylindrischer K¨orper ist invariant in Spannweitenrichtung und wird daher bisweilen auch als “nominell zweidimensional” bezeichnet. Mit entsprechenden Randbedingungen sind dann auch alle statistischen Gr¨ oßen zweidimensional, unabh¨ angig vom Str¨omungszustand. RANS–Rechnungen, die diese Gr¨ oßen als abh¨ angige Variablen verwenden, ben¨ otigen daher nur eine zweidimensionale Diskretisierung. F¨ ur Re < 180 bleibt auch die momentane Str¨omung um einen langen Kreiszylinder zweidimensional und zeigt lediglich die laminare, instation¨are Karmansche Wirbelstraße (Tab. 9.3). Bis zu dieser Reynolds–Zahl d¨ urfen also auch instation¨are Rechnungen zweidimensional durchgef¨ uhrt werden. Bei gr¨ oßeren Werten ist die Str¨omung jedoch turbulent und in ihren Momentanwerten dreidimensional. Eine entsprechende DNS oder LES muss also dreidimensional durchgef¨ uhrt werden. Geschieht dies nicht, sind die berechneten Fluktuationen unphysikalisch und damit auch die auf ihrer Mittelung beruhenden Statistiken. Ursache ist die in Abschnitt 2.4.6 diskutierte andersartige Kinematik von zwei– und dreidimensionaler Turbulenz. Diese Konsequenzen wurden z.T. recht fr¨ uh erkannt [576], jedoch erschienen auch nachfolgend immer wieder Arbeiten, in denen zweidimensionale LES f¨ ur Zylinder pr¨ asentiert wurden[537]. Konzeptionell kann man auch versuchen, die zweidimensionalen Schwankungen aufzul¨ osen und die dreidimensionalen Fluktuationen mit einem URANS–Modell zu erfassen, was aber hier nicht weiter vertieft werden soll. Abb. 9.34 illustriert eindrucksvoll den Unterschied zwischen zweidimensionaler und dreidimensionaler Rechnung und damit den Fehler, der bei einer zweidimensionalen LES– Modellierung gemacht wird (hier mit 2d–Version des SM). Im zweidimensionalen Fall neigen die Wirbel, die sich durch die Instabilit¨at in den Scherschichten bilden, nicht dazu zu zerfallen, sondern sie sind sehr stabil und gruppieren sich zu gr¨ oßeren Wirbeln. Im Dreidimensionalen ist die Str¨omung dagegen wesentlich instabiler, und es treten sehr starke

305

9.6 Str¨ omung um einen langen Kreiszylinder

¨ Tab. 9.5 Ubersicht u ur einen langen Kreiszylinder bei ¨ ber die hier diskutierten Rechnungen f¨ Re = 3900. tav bezeichnet die Dauer der zeitlichen Mittelung und ts bezeichnet die approximative Periodendauer der alternierenden Wirbelstraße, f¨ ur den eigenen Rechnungen zu ts = 5 gesetzt. F¨ ur CP3 betrug die Mittelungszeit also beispielsweise 250D/u∞ . (1) : Das verwendete Gitter hat am Abl¨ osepunkt eine Schrittweite in Umfangsrichtung, die ∆θs = 3,44 entspricht. (2) : analog f¨ ur diese Gitter ∆θs = 1,9. Winkel sind in Grad angegeben, gemessen vom vorderen Staupunkt. Die Rezirkulationsl¨ ange Lr wird von der Hinterkante des Zylinders bei x = 0,5 aus gemessen. Die u ¨ brigen Abk¨ urzungen sind im Text definiert. Run LRUN1 LRUN2 LRUN3 CP2 CP3 [302] Exp.

Ni × Nj × Nk 166 × 166 × 32 166 × 166 × 32 166 × 166 × 48 183 × 284 × 48 183 × 284 × 70 205 × 185 × 48

FS – SM SM DSM DSM DSM

tav /ts 44 81 86 64 50 7

St 0, 210 0, 210 0, 216 0, 209 0, 209 0, 210 0, 215 ±0,005 [78]

CD  1, 17 1, 08 1, 08 1, 09 1, 02 1, 04 0, 98 ±0.05 [429]

CLrms 0, 380 0, 229 0, 252 0, 294 0, 197

−Cpb  1, 15 1, 06 1, 03 1, 04 0, 97 0, 93 0, 90 ±0.05 [429]

θs 89, 0 (1) 88, 0 (1) 88, 1 (1) 88, 2 (2) 87, 1 (2) 88, 0 85 ±2 [550]

Lr 0, 96 1, 09 1, 09 0, 98 1, 36 1, 35 1, 33 ±0,2 [78]

Geschwindigkeitsfluktuationen in Spannweitenrichtung auf, die zu einem schnellen Zerfall der Scherschichten f¨ uhren und die zur Visualisierung verwendeten Partikel in Spannweitenrichtung transportieren. Andere Autoren beschreiben ¨ ahnliche Erfahrungen [61], [56], [302], [353]. Tamura et al. [576] erw¨ahnen, dass in zweidimensionalen Rechnungen die instation¨ aren Kr¨ afte auf den Zylinder wegen der großen, wenig zerfallenden Wirbel st¨ arker sind als bei korrekter dreidimensionaler Rechnung, so dass hier zum Zweck der Auslegung einer Struktur eine obere Schranke der Belastung bestimmt werden kann. Ansonsten haben derartige Rechnungen aber, außer zu Testzwecken, keine Relevanz. An dieser Stelle ist zu beachten, dass durchaus Situationen existieren, in denen Turbulenz aus physikalischen Gr¨ unden zweidimensional ist. Ein Beispiel ist die Str¨ omung in einem flachen Gew¨ asser. In diesem Fall ist eine zweidimensionale Modellierung angebracht, da die Str¨ omung selbst dominierend zweidimensional ist. In [243] wurde die Simulation eines Kreiszylinders in einer derartigen Str¨omung beschrieben. Allerdings ist die Modellierung der nicht aufgel¨ osten dreidimensionalen Strukturen von der Gr¨ oßenordnung der Wassertiefe und darunter sehr anspruchsvoll. Darstellungen von LES in flachen Gew¨ assern finden sich beispielsweise in [243], [244], [241] und den dort zitierten Referenzen. Am Rande sei bemerkt, dass das Aufpr¨agen von Symmetrien der statistischen Gr¨ oßen auf die momentane Str¨omung auch in anderen F¨allen i.A. nicht erlaubt ist. Beispielsweise ist es unzul¨ assig, eine LES nur f¨ ur eine H¨alfte einer ebenen Kanalstr¨ omung durchzuf¨ uhren, d.h. von einer Wand bis zur Mittenebene, und dort f¨ ur die momentane Str¨ omung eine Symmetriebedingung aufzupr¨agen. Die berechnete Str¨ omung modelliert statt dessen einen offenen Kanal mit einer freien Oberfl¨ache und f¨ uhrt im Bereich der Symmetriebedingung

306

9 Anwendungen a

b

0

0

2

Abb. 9.35 Gitter f¨ ur die Rechnungen LRUN1–3 in der x − y−Ebene. a) Das gesamte Rechengebiet, b) ein Aussschnitt in Zylindern¨ ahe.

zu einer g¨ anzlich anderen L¨osung als die Berechnung des vollst¨ andigen ebenen Kanals. Die Abweichung ist jedoch auf diesen Bereich beschr¨ ankt, und die Statistiken im verbleibenden Teil sind nahezu unver¨andert [241]. Diese Tatsache kann zur Super-grid-Modellierung verwendet werden, um Simulationen kosteng¨ unstig durchzuf¨ uhren. In [318] wurde z.B. eine r¨ uckspringende Stufe mit LES und Symmetriebedingung am Oberrand berechnet, obwohl die Geometrie des Experimentes spiegelsymmetrisch war. Die Auswirkungen der Randbedingungen auf die Str¨omung an der Stufe waren aber vernachl¨ assigbar.

9.6.4

Konfiguration der Rechnungen mit Re = 3900

Die hier diskutierten Rechnungen f¨ ur den Kreiszylinder bei Re = 3900 sind in Tabelle 9.5 zusammengefasst. Die ersten drei Simulationen in Tab. 9.5 LRUN1,2,3 sind detailiert in [173] beschrieben. Sie wurden mit der seriellen Version des Codes LESOCC durchgef¨ uhrt und sch¨opften zu diesem Zeitpunkt die verf¨ ugbaren Resourcen voll aus. Derartige Rechnungen ben¨ otigten mehrere Wochen auf einem Knoten einer VPP300. Die Simulationen CP2 und CP3 sind bisher unver¨offentlicht und wurden nur im Rahmen eines Workshops vorgestellt [163]. Die Daten von CP3 fanden Eingang in die FLOWNET Datenbank 3 unter Case W02 und stehen so der Allgemeinheit zur Verf¨ ugung. Die experimentellen Daten in Tab. 9.5 entstammen unterschiedlichen Referenzen, da in einer einzigen Arbeit aufgrund der Entscheidung f¨ ur eine bestimmte Messtechnik i.A. nicht alle Gr¨ oßen bestimmt werden k¨onnen. Außerdem ist auf zum Teil starke Abweichungen in diesen Daten hinzuweisen, die aus der oben beschriebenen Sensitivit¨ at der Str¨ omung resultieren. In [73] sind Literaturdaten f¨ ur die Strouhal–Zahl und den Widerstandsbeiwert zusammengetragen, die dies eindrucksvoll illustrieren. F¨ ur den vorliegenden Fall haben Laurenco und Shi [348] beispielsweise entgegen dem Wert in Tab. 9.5 Lr = 1,19 gemessen. Abb. 9.35 und 9.40 zeigen zweidimensionale Schnitte durch die verwendeten Gitter. In Tab. 9.5 ist die jeweilige Zahl der Gitterpunkte angegeben. Dabei bezeichnet N i die Zahl der ahlPunkte in radialer, Nj in azimutaler und Nk in axialer Richtung des Zylinders. Das gew¨ te Koordinatensystem hat seinen Ursprung auf der Zylinderachse, wobei die x−Koordinate 3 http://dataserv.inria.fr/flownet

307

9.6 Str¨ omung um einen langen Kreiszylinder a

omega 15.0

b

13.5 12.0 10.5 9.0 7.5 6.0 4.5 3.0 -3.0

0

-4.5 -6.0 -7.5 -9.0 -10.5 -12.0 -13.5 -15.0

0

2

4 omega 15.0 13.5 12.0 10.5 9.0 7.5 6.0 4.5 3.0 -3.0

0

-4.5 -6.0 -7.5 -9.0 -10.5 -12.0 -13.5 -15.0

0

2

4 omega 15.0 13.5 12.0 10.5 9.0 7.5 6.0 4.5 3.0 -3.0

0

-4.5 -6.0 -7.5 -9.0 -10.5 -12.0 -13.5 -15.0

0

2

4 omega 15.0 13.5 12.0 10.5 9.0 7.5 6.0 4.5 3.0 -3.0

0

-4.5 -6.0 -7.5 -9.0 -10.5 -12.0 -13.5 -15.0

0

2

4

Abb. 9.36 Momentane Wirbelst¨ arke in Spannweitenrichtung ωz in einer x−y−Ebene der Str¨ omung um einen Kreiszylinder bei Re = 3900. a) Daten aus LRUN2 mit einem Zeitintervall von ∆t f rame = 0.96. b) Entsprechende Daten aus einer Rechnung mit dem Code N3S in einem Zeitintervall von ∆tf rame = 1.

in Hauptstr¨ omungsrichtung, die y−Koordinate in Normalenrichtung und die z−Koordinate in Spannweitenrichtung weist. Das Rechengebiet ist in allen F¨allen zylindrisch mit einem Außenradius von 15D nach [61] und einer Spannweitenausdehnung von πD nach [32]. Dies f¨ uhrt zu einem Verbauungsgrad von 3%, was im unteren Bereich der bei Experimenten u ¨ blichen Werte liegt. Die Schrittweite in z−Richtung ist in allen F¨allen konstant, entsprechend der Zahl der jeweils gew¨ ahlten Punkte Nk . Abb. 9.35 zeigt eine x − y−Ebene des Gitters f¨ ur LRUN1,2,3, das dem Gitter in [61], [56] entspricht. Die Gitterlinien sind radial und im Frontbereich (x < 0) mit konstantem azimutalen Abstand angeordnet. F¨ ur x > 0 verdichten sich die Linien zur Mittenebene hin. In radialer Richtung sind die Punkte mit 3% gestreckt. Die wandn¨ achste Gitterzelle hat eine Ausdehnung von ∆r1 = 0,0025, was zu max{y1+ } ≈ 1 f¨ uhrt. O–Gitter haben den Vorzug der Orthogonalit¨at, was im Bezug auf den Approximationsfehler und die Kondition der zu l¨osenden Gleichungssysteme vorteilhaft ist.

308

9 Anwendungen

@ @ @ @ R @

I @ @ @ Abb. 9.37 Momentanbild zweier Iso–Druckfl¨ achen p = −0.34 = const. und p = −0.67 = const. Die zweite befindet sich innerhalb der ersten und ist durch Pfeile markiert.

In Tests wurde untersucht, ob eine Kr¨ ummung der radialen Gitterlinien in Richtung des Nachlaufs wie in [32] zur Verbesserung der Aufl¨osung in diesem Bereich vorteilhaft ist. Dies f¨ uhrte jedoch durch die Verzerrung der Gitterzellen zu Konvergenzproblemen bei der L¨ osung der Druckkorrekturgleichung und wurde daher nicht weiter verfolgt. Im Folgenden sind alle L¨ angen mit dem Durchmesser D, alle Geschwindigkeiten mit u∞ und alle Fluktuationen mit u2∞ dimensionslos gemacht. In der Rechnung ist also ν = 1/Re.

9.6.5

Resultate fu ¨r Re = 3900

Abbildung 9.36 zeigt in der linken Spalte eine typische Evolution des momentanen Geschwindigkeitsfeldes anhand der z−Komponente der Wirbelst¨ arke zu verschiedenen Zeitpunkten, die ca. 4/5 einer Wirbelabl¨oseperiode abdecken. Deutlich zu erkennen ist die d¨ unne Grenzschicht entlang der Zylinderwand, die in Form von laminaren Scherschichten an Ober– und Unterseite des Zylinders abl¨ost. Diese zerfallen in eine Vielzahl kleiner Wirbel. Aber auch großskaliges alternierendes Wirbelabl¨osen ist zu sehen. Auf der Unterseite befindet sich beispielsweise ein solcher Wirbel zun¨achst bei x ≈ 1,7, dann bei x ≈ 1,9, bei x ≈ 2,2 und schließlich bei x ≈ 2,5. Die rechte Spalte in Abb. 9.36 zeigt Resultate einer LES mit dem Code N3S auf unstrukturiertem Gitter. Diese Rechnung wird in Abschnitt 9.6.6 weiter unten besprochen. Die L¨osung ist in vergleichbaren Zeitabst¨ anden dargestellt, wobei der Anfangszeitpunkt mit derselben Phase wie auf der linken Seite gew¨ ahlt wurde. Man erkennt die alternierende Wirbelstraße hier noch deutlicher, da aufgrund des groberen Gitters weniger kleinskalige Strukturen auftreten. Wie bereits angedeutet, ist der Zerfall der laminaren Scherschichten von großer Bedeutung f¨ ur die quantitativen Eigenschaften der Str¨omung und mit entscheidend f¨ ur die Position des Abl¨ osepunktes. Abb. 9.37 zeigt eine dreidimensionale Visualisierung mit Hilfe von Iso– Druckfl¨ achen. An der Oberseite ist die Instabilit¨at der Scherschicht in Spannweitenrichtung zu erkennen. Durch sie wird Wirbelst¨arke in x−Richtung erzeugt, wie dies aufgrund experimenteller Daten in [633] beschrieben ist. Im unteren Teil des Bildes ist der Zerfall der Scherschicht durch Kelvin–Helmholtz–artige Wirbel anhand der kleinskaligen Einst¨ ulpun-

309

9.6 Str¨ omung um einen langen Kreiszylinder 1.4 1.2 1 0.8

0.6 0.4 0.2 0

-0.2 -0.4 -0.6 -0.8 150

200

250

300

350

400

450

500

550

600

Abb. 9.38 Typischer zeitlicher Verlauf von Widerstandsbeiwert CD (obere Kurve) und Auftriebsbeiwert CL (untere Kurve) u ¨ ber der Zeit. Daten aus LRUN2. a

b 1

0

0

y

1

-1

-1

0

1

2

3

0

1

2

3

x

Abb. 9.39 Stromlinien der mittleren Str¨ omung um einen Kreiszylinder bei Re = 3900. a) Resultat aus LRUN3, b) aus Simulation CP3 (siehe Tab. 9.5).

gen der Isofl¨ache zu erkennen. Die Struktur der Iso–Fl¨ache weiter stromab zeigt, dass sich hier die Karmanschen Wirbel bereits nicht mehr u ¨ber den gesammten Spannweitenbereich erstrecken. Die zeitliche Abfolge in Abb. 9.36 verdeutlicht, dass Abl¨osung und Zerfall der großen Wirbel unregelm¨aßig geschieht. Dies schl¨agt sich in den instation¨aren Kr¨aften auf den Zylinder nieder, deren zeitlicher Verlauf in Abb. 9.38 dargestellt ist. Dabei ist CD der Widerstandsbeiwert und CL der Auftriebsbeiwert. Deutlich ist ein aperiodischer Anteil zu erkennen, der uhrt. Die Oszillationen von CD sind u.A. zu einer Modulation der Oszillationen von CL f¨ sehr viel kleiner und erfolgen aus geometrischen Gr¨ unden mit der doppelten Frequenz wie die von CL . Die entsprechenden Mittelwerte sowie die aus CL (t) bestimmte Strouhal–Zahl sind in Tab. 9.5 angegeben. Hier wird auch deutlich, dass die Strouhal–Zahl recht insensitiv bzgl. der Details der berechneten Str¨omung ist. Daher ist dieses Kriterium nur bedingt geeignet, um die Qualit¨at einer LES f¨ ur stumpfe K¨orper zu beurteilen [500]. Widerstand
CD  und Druckbeiwert −
Cpb  = −(
pb  − p∞ )/(0,5ρu2∞ ) sind in den Rechnungen LRUN1,2,3 im Vergleich zum Experiment zu groß ( pb is der Druck bei x = 0,5, y = 0 ). Dies h¨angt mit der k¨ urzeren Rezirkulationsl¨ange Lr und der leicht verz¨ogerten Abl¨osung der Scherschichten zusammen, dargestellt durch den vom vorderen Staupunkt aus gemessenen Abl¨osewinkel θs . Die Gitterschrittweite in Umfangsrichtung ist allerdings trotz der verwendeten 166 Punkte am Abl¨osepunkt relativ grob und f¨ uhrt bei diesem Gitter zu einer azimutalen Aufl¨osung von nur 3,44◦. In Abb. 9.43 und 9.44 weiter unten sind Mittelwerte aus LRUN3 zusammen mit weiteren Simulationen und experimentellen Daten dargestellt.

310

9 Anwendungen

1.5

a

b 1

y

0.5

0

-0.5

-1

-1.5 -1

0

1

2

x

Abb. 9.40 Gitter f¨ ur die Rechnungen CP2 und CP3 in einer x−y−Ebene. a) Gesamtes Rechengebiet, b) ein Ausschnitt in Zylindern¨ ahe.

Die Rechnungen in Tab. 9.5 zeigen durch den Vergleich von LRUN1 und LRUN2, dass das FS–Modell aufgrund der immmer noch vergleichsweise niedrigen Reynolds–Zahl bei dem hier verwendeten Gitter nur wenig Einfluss auf die Str¨ omung hat. Das Smagorisky–Modell wurde hier wegen seiner gr¨oßeren Robustheit gew¨ ahlt. Es ist aus den in Abschnitt 6.2.2 dargestellten Gr¨ unden nicht ideal und wurde daher in den Rechnungen CP2 und CP3 durch das DSM ersetzt. Die h¨ohere Punktezahl in z−Richtung f¨ uhrte in LRUN3 auf eine leichte Verbesserung des Resultats, was, ebenso wie die Bedeutung des FS–Modells, in [173] auch anhand von Profilen statistischer Gr¨oßen gezeigt wird (hier nicht dargestellt). In [56] wurde unter sonst gleichen Bedingungen auch mit Nz = 64 im Bezug auf die Werte in Tab. 9.5 ein ahnliches Resultat erzielt. Die Aufl¨osung in z−Richtung ist, wie sp¨ ater noch deutlicher wird, ¨ von Bedeutung f¨ ur diese Str¨omung, jedoch limitieren offensichtlich in diesen Rechnungen andere Faktoren das Resultat. In [56] wurde festgestellt, dass mit Nz die Verwendung des DSM zur Feinstrukturmodellierung die L¨osung verbessert, indem z.B. Lr um 10% zunimmt. In Abb. 9.39a sind die mittleren Stromlinien aus der Simulation LRUN3 dargestellt. Die Anfangspunkte der einzelnen Linien wurden von Hand so gew¨ ahlt, dass die Str¨ omung m¨ oglichst in allen Bereichen gut sichtbar ist. Daher kann nicht, wie bei der Darstellung der H¨ ohenlinien der Stromfunktion mit konstantem Inkrement, aus der Dichte der Stromlinien auf die Str¨ omungsgeschwindigkeit geschlossen werden. Dies gilt f¨ ur alle in dieser Arbeit gezeigten Stromlinienbilder. Im Stromlinienbild Abb. 9.39 sind die Staupunktstr¨ omung vor dem Zylinder und die Ausdehnung des Rezirkulationsgebietes sehr gut zu erkennen. An der r¨ uckseitigen Zylinderwand sind unter ca. 135◦ vom vorderen Staupunkt zwei kleine sekund¨ are Rezirkulationsgebiete zu erkennen, die auch in anderen Simulationen dieser Str¨ omung [56] und Experimenten [550] beobachtet wurden. Ein Vergleich mit den Momentanbildern in Abb. 9.36 verdeutlicht allerdings auch, wie stark im vorliegenden Fall die momentane Str¨ omung von der mittleren Str¨omung abweicht. Es sei angemerkt, dass alle Mittelwerte in den hier besprochenen Rechnungen durch zeitliche Mittelung w¨ ahrend der Rechnung und Mittelung in Spannweitenrichtung gewonnen wurden.

311

9.6 Str¨ omung um einen langen Kreiszylinder

Der glatte und symmetrische Verlauf der Stromlinien zeigt, dass die gew¨ ahlte Mittelungszeit tav ausreichend war. Man k¨onnte zus¨atzlich u ¨ ber die beiden Halbebenen y > 0 und y < 0 mitteln, um eine weitere Verbesserung zu erzielen. Dies wird jedoch i.A. nicht durchgef¨ uhrt, denn die Symmetrie der resultierenden Daten kann zur n¨ aherungsweisen Kontrolle der Mittelungszeit dienen (s. Abschnitt 9.2.4). Die Rechnungen LRUN1,2,3 haben gezeigt, dass f¨ ur die hier betrachtete Str¨ omung die richtige Erfassung der Transition der Scherschichten entscheidend ist. Dazu muss das Gitter entsprechend fein gestaltet werden, damit dieser Bereich der Str¨ omung m¨ oglichst vollst¨ andig aufgel¨ ost wird. Erst weiter stromab kann das Gitter grober werden, so dass die Simulation dort LES–Charakter besitzt. Das Gitter f¨ ur die Rechnungen wurde daher in allen Richtungen verfeinert, besonders jedoch in Umfangsrichtung, was in Tab. 9.5 und Abb. 9.40 dargestellt ist. Der Bereich des Nachlaufs nahe der Mittenebene erh¨ alt dadurch in Umfangsrichtung ein weniger dichtes Gitter als bei LRUN1,2,3. Dies ist aber, wie die Resultate weiter unten zeigen, nicht sch¨adlich. Es wird lediglich im LES–Bereich der Str¨ omung der LES–Charakter verst¨arkt. Zwischen den Simulationen CP2 und CP3 wurde unter Beibehaltung aller anderen Parameter die Spannweitenaufl¨ osung um 50% gesteigert. Re=3900 CP3

Re=3900 CP3 vis vis 1.00E-03 1.00E-03 9.29E-04 8.57E-04 9.29E-04 7.86E-04 8.57E-04 7.14E-04 6.43E-04 7.86E-04 5.71E-04 5.00E-04 7.14E-04 4.29E-04 6.43E-04 3.57E-04 2.86E-04 5.71E-04 2.14E-04 5.00E-04 1.43E-04 7.14E-05 4.29E-04 0.00E+00

2.1 1 1.5

y ddeg+

2 1 0.5 0.5 1.9 0 0 1.8

3.57E-04 2.86E-04 2.14E-04 1.43E-04 7.14E-05 0.00E+00

-0.5 1.7 -0.5 -1

1.6 -1.5 -1 1.5 -2

b2.2 2.1 0.00044 2

3.9 0.0003 1.9

vis ddeg+

1.5

a2.22

-1.5 -1 84 -1

0 ddeg+ CP3 theta=0 0 theta=44 pm LRUN3 theta=90 0 0 theta=130

ddeg+ CP3

1.8 3.8 0.0002 1.7

3.7 1.6 0.0001 1.5 3.6 0

86 0 0

1

88

deg+ x

12

90

3

2

92

84

0.5

70 86

80 88 0.55

90

90

0.6 92

r deg+

at hat in Abb. 9.41 Effektive Viskosit¨ at νt + ν bei Verwendung des DSM. Die molekulare Viskosit¨ den gew¨ ahlten Einheiten den Wert 1/Re = 0,000256. a) Schnitt durch das momentane Feld. b) Momentanwerte entlang von Linien unter verschiedenen Winkeln.

Abb. 9.41a illustriert den zwischen DNS und LES wechselnden Charakter der Simulation ahe nahezu auf dem laminaren anhand der effektiven Viskosit¨ at ν +νt . Sie bleibt in Zylindern¨ Wert und nimmt erst weiter hinten im Nachlauf deutlich zu. In Abb. 9.41b sind die Werte entlang radialer Geraden unter verschiedenen Winkeln aufgetragen, die Winkel sind in Abb. 9.42a visualisiert. Auch in Abb. 9.41b erkennt man, dass νt  ν in Zylindern¨ ahe ist, wobei der unterschiedliche Wertebereich im Vergleich mit Abb. 9.41a zu beachten ist. Abb. 9.42a zeigt deutlich die abl¨ osende Scherschicht und ihre ungest¨ orte Existenz bis x ≈ 1. In Abb. 9.42b ist die momentane Azimutalkomponente der Geschwindigkeit entlang der in Abb. 9.42a eingezeichneten Geraden in Abh¨ angigkeit vom Radius aufgetragen. F¨ ur alle Schnitte bis mit 90◦ ist die Str¨ omung laminar, und es sind keine physikalisch bedingten Os-

312

9 Anwendungen Re=3900, CP3 0

Re=3900, CP3

1.5

u 1.41789 1.26594 1.11398 0.962028 0.810073 0.658118 0.506162 0.354207 0.202252 0.050296 -0.101659 -0.253615 -0.40557 -0.557525 -0.709481

u 1.41789 1.26594 1.11398 0.962028 0.810073 0.658118 0.506162 0.354207 0.202252 0.050296 -0.101659 -0.253615 -0.40557 -0.557525 -0.709481

1

y

0.5

0

-0.5

-1

b

1.5 1.4 1.3 1.2 1 1.1 1 0.9 0.5 0.8

vtan y

a

theta=0 0 theta=44 0 theta=90 0 theta=130

0.7 0.6 0 0.5

0.4 -0.5 0.3 0.2 0.1 -1 0 -0.1

-1.5 -1

0

1

x

2

-0.2 -1.5 -1 0.5

0.6

0 0.7

0.8

1 0.9

1

21.1

xr

Abb. 9.42 Numerische Aufl¨ osung von Grenz– und Scherschicht in Rechnung CP3. a) Zweidimensionaler Schnitt durch die momentane L¨ osung f¨ ur die u−Komponente. b) Tangentialgeschwindigkeit in Abh¨ angigkeit vom Radius entlang der in a) eingezeichneten Geraden unter dem Winkel von 0◦ , 44◦ , 90◦ , 130◦ bezogen auf den vorderen Staupunkt. Symbole kennzeichnen Gitterpunkte.

zillationen zu erwarten. Die Grafik zeigt, dass aufgrund des feinen Gitters trotz Verwendung eines zentralen Diskretisierungsschemas auch keine numerischen Oszillationen vorhanden sind. Im Bereich der niedrigsten Grenzschichtdicke bei θ ≈ 44◦ ist die Grenzschicht mit 12 Punkten aufgel¨ ost. Die Scherschicht kurz nach der Abl¨ osung enth¨ alt 20 und sp¨ ater noch 14 Punkte, bevor sie sich weiter stromab st¨ arker aufdickt. Interessant ist die Position unter 44◦ . Obwohl die Str¨ omung hier eindeutig laminar und gut aufgel¨ ost ist, liefert das DSM einen kleinen Beitrag. Dieser beruht auf der Differenz der aufgel¨ osten und explizit mit dem Testfilter gefilterten L¨ osung und wird durch die radiale Variation der Tangentialgeschwindigkeit verursacht. Der Beitrag ist am st¨ arksten im Bereich maximaler Kr¨ ummung des Profils, was durch den Vergleich mit Abb. 9.42b zu sehen ist. Da der hier verwendete diskrete Box–Filter ein verschwindendes Moment besitzt, l¨ asst er konstante Anteile der gefilterten Funktion unver¨ andert, ist “blind” f¨ ur rein lineare Anteile und spricht auf die zweite und h¨ ohere Ableitungen an. Der hier dargestellte Effekt illustriert dies sehr sch¨ on. Es ist also festzuhalten: Das DSM schaltet die turbulente Viskosit¨ at nicht aus, wenn die Str¨ omung laminar ist, wie in manchen Publikationen geschrieben. Vielmehr muss die Str¨ omung sehr gut aufgel¨ ost sein und zwar so fein, dass im Idealfall der Testfilter mit der ungefilterten L¨ osung identische Werte liefert, unabh¨ angig, ob der Zustand laminar oder turbulent ist. Der Beitrag von νt an der Zylindervorderseite ist im vorliegenden Fall sehr klein und f¨ ur die Dynamik unerheblich. Er wurde jedoch hier zur Illustration im Detail diskutiert. Die Abbildungen 9.43 und 9.44 stellen nun das Resultat der LES im Nachlauf dar. Die Werte der Experimente wurden durch Digitalisieren der Darstellungen in [32] gewonnen und beinhalten daher eine entsprechende Unsicherheit. Anhand von Abb. 9.43 und Tab. 9.5 wird bei dem Vergleich von LRUN3 und CP2 deutlich, dass die Verbesserung der Aufl¨ osung in der x−y−Ebene allein keine Verbesserung des Nahfeldes zur Folge hatte. Vielmehr hat die Rezirkulationsl¨ ange sogar abgenommen. Eine Vergr¨ oßerung der Aufl¨ osung in z−Richtung

313

9.6 Str¨ omung um einen langen Kreiszylinder um(y=0)

1

a

0.8

0.6

0.4

LRUN3 CP2 CP3 [LS] [OW]

0.2

0

-0.2

-0.4 0

2

4

6

8

10

x um(x=1.06)

b

vm(x=1.54)

1.4

c

1.2

0.4

0.3

1

LRUN3 CP2 CP3 [LS]

0.2

0.8 0.1

0.6 0

0.4

-0.1

0.2

0

-0.2

CP2 CP3 [LS]

-0.2

-0.3

-0.4 -2

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

-0.4

2

-2

-1.5

-1

-0.5

y

0.5

1

1.5

2

1.5

2

y

um(x=1.54)

d

0

vm(x=3)

1.4

e

1.2

0.4

0.3

1

CP2 CP3 [LS]

0.2

0.8 0.1

0.6

0.4

0

LRUN3 CP2 CP3 [LS]

0.2

-0.1

-0.2

0

-0.3

-0.2

-0.4 -2

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

-0.4

2

-2

-1.5

-1

-0.5

y

0.5

1

y

um(x=2.02)

f

0

vm(x=4)

1.4

g

1.2

0.4

0.3

1

CP2 CP3 [LS]

0.2

0.8 0.1

0.6 0

0.4

CP2 CP3 [LS]

0.2

-0.1

0

-0.2

-0.2

-0.3

-0.4 -2

-1.5

-1

-0.5

0 y

0.5

1

1.5

2

-0.4 -2

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2

y

Abb. 9.43 Mittlere Geschwindigkeitskomponenten u und v aus den Rechnungen CP2 und CP3 in unterschiedlichen Schnitten. Die Positionen in x wurden unterschiedlich gew¨ ahlt, da die experimentellen Daten nicht in denselben Schnitten zur Verf¨ ugung standen.

314

9 Anwendungen uu(x=1.54)

a

vv(x=1.54)

0.3

b

0.25

LRUN3 CP2 CP3 [LS]

0.2

0.5

0.4

0.15

0.3

0.1

0.2

0.05

0.1

0

LRUN3 CP2 CP3 [LS]

0

-2

c

0.6

-1.5

-1

-0.5

0 0.5 uv(x=1.54) y

1

1.5

2

-2

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2

y

0.2

0.15

LRUN3 CP2 CP3 [LS]

0.1

0.05

0

-0.05

-0.1

-0.15

-0.2 -2

-1.5

-1

-0.5

0 y

0.5

1

1.5

2

Abb. 9.44 Geschwindigkeitsfluktuationen aus den Rechnungen LRUN3, CP2, CP3 im Vergleich zu den Experimenten von [348] bei x = 1.54. a) u

u

, b) v

v

, c) u

v

.

erzeugt nun jedoch in CP3 eine deutliche Verbesserung. Die Resultate von CP3 stimmen insgesamt sehr gut mit den experimentellen Daten u ¨ berein, insbesondere was die Fluktuationen anbelangt (s. Abb. 9.44). Die Abweichung bei x = 2,02 entsteht durch die etwas gr¨oßeren Rezirkulationsl¨ange und die große Steigung der L¨osung in x−Richtung. In der Literatur wurden weitere Einflussfaktoren bei der LES der hier betrachteten Str¨omung untersucht. Wie in Kapitel 5 ausf¨ uhrlich diskutiert, ist der Einsatz von Diskretisierungsschemata mit Aufwindcharakter bei LES mit einem FS–Modell problematisch (siehe auch [56]). Die in dieser Weise zus¨atzlich eingef¨ uhrte D¨ampfung ist in Abb. 9.45c illustriert. Das CDS2–Fourier–Verfahren (gestrichelte Linie) f¨ uhrt in [399] zu einem Spektrum, das wenig D¨ampfung zeigt und erst relativ kurz vor der Grenzfrequenz des Gitters vom experimentellen Spektrum abweicht. Das mit einem Aufwindverfahren berechnete Spektrum in [32] klingt trotz der h¨oheren Ordnung des Verfahrens wesentlich st¨arker ab. Diese Beobachtungen best¨atigen die Analyse des D¨ampfungsverhaltens in Kapitel 4 recht eindrucksvoll. Das experimentelle Spektrum weist bei der vorliegenden Reynolds–Zahl einen deutlichen Inertialbereich auf, kenntlich gemacht durch die Geradenst¨ ucke mit Steigung k −5/3 . Auf der Mittenebene ist die Wirbelabl¨osefrequenz nur schwach zu erkennen (Abb. 9.45e, durchgezogene Linie). Vielmehr dominiert aus geometrischen Gr¨ unden die erste harmonische, also die doppelte Frequenz: ein Karmanscher Wirbel, der einmal die Mittenebene u ¨berquert, erzeugt ein positives und ein negatives Extremum. Außermittig ist die Frequenz der Karmanschen Wirbel mit St ≈ 0,2 dominant (Abb. 9.45e, gestrichelte Linie). Abb. 9.45b zeigt verschiedene Spektren aus LRUN3 in der Mittenebene. Sie weisen mit zunehmener x−Koordinate einen k¨ urzeren Inertialbereich auf. Dies ist einerseits physikalisch begr¨ undet, da die Turbulenz abklingt, wie in den experimentellen Spektren von Ong und Wallace [433] an verschiedenen Stellen des Nachlaufs deutlich wird (hier nicht repro-

315

9.6 Str¨ omung um einen langen Kreiszylinder

x

a

x

x

LRUN3

10

b

x

c

1










0.1 0.01 0.001 .0001 1e-05 1e-06 1e-07 1e-08 1e-09 0.01

x=2 x=3 x=5 ~k^(-5/3) 0.1

10

100

CP3

10

d

1

10

e

1 0.1

0.1

0.01

0.01

0.001

0.001

.0001

.0001

1e-05

1e-05

1e-06 1e-07 1e-08 1e-09 0.01

x=2 x=3 x=5 ~k^(-5/3) 0.1

1e-06 1e-07

1

10

100

0

CP3

1

1e-08 1e-09 0.01

x=3 y=0 x=3 y=1 ~k^(-5/3) 0.1

1

10

100

Abb. 9.45 Eindimensionale Energiespektrumsdichte der u−Geschwindigkeit, E 11 , im Nachlauf. a) Lokalisierung der Messpunkte (x). b) Spektren aus LRUN3 in der Mittenebene y = 0 bei x = 2, 3, 5. Das eingezeichnete Segment hat eine Steigung von k −5/3 . c) Spektren bei x = 5, y = 0 aus der Zusammenstellung in [399]. —- Experiment [433], • LES mit Aufwindverfahren hoher Ordnung in [32], die gestrichelte vertikale Linie markiert die Grenzfrequenz des Gitters. - - - LES mit CDS2–Fourier–Schema in [399], die Gitterfrequenz ist durch die vertikale durchgezogene Linie angezeigt. Die Achsbeschriftung wurde ausgeblendet, da sich die Normalisierung gegen¨ uber den anderen Grafiken unterscheidet. d) Spektren analog b) aus Run CP3. e) Spektren aus Run CP3 bei x = 1, y = 0 und x = 1, y = 1.

duziert). Andererseits vergr¨ oßert sich mit x auch die Schrittweite des LES–Gitters in der x − y−Ebene, so dass die Kapazit¨ at zur Aufl¨ osung feiner Strukturen sinkt. Der Vergleich von Abb. 9.45b und 9.45d illustriert diesen Gittereinfluss. Die Punkte des Gitters f¨ ur CP3 sind auf der Mittenebene wie erw¨ ahnt in Umfangsrichtung grober verteilt. Daher klingen dort die entsprechenden Spektren, die mit dem selben Diskretisierungsverfahren berechnet wurden, schneller ab. Aber auch bei x = 5 wird noch ein Teil des Inertialbereichs aufgel¨ ost. Die Experimente von Lourenco und Shih [348] werden in [302] kritisch diskutiert. Durch zahlreiche Rechnungen mit Parametervariationen kommen die Autoren zu dem Schluss, dass in diesen Experimenten wahrscheinlich ¨ außere St¨ oreinfl¨ usse vorhanden waren, die die Transitionsl¨ange der Scherschichten reduzierten. Diese Autoren vertreten die Auffassung, dass die Form des
u−Profils bei x = 1,06 eher U–f¨ ormig als V–f¨ ormig sein sollte. In

316

9 Anwendungen

a

b 1

0

-1

Y

Z 0

2

X

4

Abb. 9.46 Unstrukturierte Gitter f¨ ur LES um einen langen Kreiszylinder. a) Gitter f¨ ur Rechnung mit N3S in Zylindern¨ ahe. b) Gitter f¨ ur Rechnung mit PRICELES im gesamten Rechengebiet.

diesen Rechnungen wird jedoch durchg¨angig Lz ≤ π verwendet. Ma et al. [353] stellen dagegen durch DNS fest, dass diese Ausdehnung des Integrationsgebietes vermutlich zu kurz ist. In ihren Rechnungen ver¨anderte sich das Profil bei der Wahl Lz = 2π wieder zu einem V–f¨ ormigen Profil. Bei den LES von Breuer [56] trat mit Verdopplung von Lz keine Ver¨ anderung des Resultates auf. Dies kann jedoch, wie oben festgestellt, durch andere limitierende Faktoren wie die Aufl¨osung in Umfangsrichtung verursacht sein. Tremblay et al. f¨ uhrten ebenfalls f¨ ur Re = 3900 DNS [592] und LES [594] durch. Sie tragen in [594] die mittlere u–Geschwindigkeit verschiedener Simulationen in Abh¨ angigkeit von x/Lr auf, ¨ mit dem jeweils berechneten Lr jeder Simulation, und erhalten eine gute Ubereinstimmung zwischen den Rechnungen. Die Rezirkulationszone ist also lediglich gestreckt bzw. gestaucht, ohne dass sich die Form wesentlich ¨andert. Die U– bzw. V–Form des Profils bei x = 1.06 kann daher mit dieser Verschiebung erkl¨art werden. Die Diskussion in diesem Abschnitt macht deutlich, dass bei LES sehr viele Einflussfaktoren das Resultat bestimmen k¨onnen: Aufl¨osung in verschiedenen Richtungen, Gebietsgr¨ oße, FS– Modell, numerisches Schema, etc. Dies kann in verschiedenen Bereichen des Str¨ omungsgebietes in unterschiedlicher Weise geschehen. Einzelne Abh¨ angigkeiten sind i.A. nichtlinear und nur schwer zu quantifizieren, ohne eine gr¨oßere Anzahl von Simulationen durchzuf¨ uhren. Oft sind Effekte gegenl¨aufig oder es kann keine wesentliche Verbesserung des Resultats erzielt werden, wenn ein limitierender Faktor unver¨andert bleibt. Es ist daher nicht ungew¨ ohnlich, dass eine eindeutige Verbesserung wie eine Verfeinerung des Gitters zu einer Verschlechterung des Ergebnisses f¨ uhrt. Ein Beispiel gibt der Vergleich von LRUN3 und CP2 in Tabelle 9.5. Hier kann nur eine genaue Analyse helfen, kritische Aspekte zu erkennen und wenn m¨ oglich zu beheben.

9.6.6

Rechungen mit unstrukturierten Diskretisierungen

Unstrukturierte Gitter bieten gegen¨ uber strukturierten oder block–strukturierten Gittern eine wesentlich gr¨oßere Freiheit bei der Anordnung der Diskretisierungselemente. Dadurch k¨ onnen Gitterpunkte genau dort platziert werden, wo sie zur Aufl¨ osung der Str¨ omung ben¨ otigt werden. Die Herstellung eines derartigen Gitters ist nicht mehr “von Hand” m¨ oglich, sondern erfordert den Einsatz spezieller Algorithmen [586], die inzwischen auch recht ausgereift sind [2]. Meist werden Tetraeder in Finite–Elemente– oder Finite–Volumen–

9.6 Str¨ omung um einen langen Kreiszylinder

317

Verfahren verwendet. Die Kombination mit Hexaedern ist aber auch h¨ aufig anzutreffen, da Hexaeder bessere Approximationseigenschaften besitzen. Zur Verbindung zwischen beiden k¨ onnen Prismen eingesetzt werden. Wie bei unstrukturierten Verfahren spielt bei LES die numerische D¨ampfung der Diskretisierung eine wichtige Rolle, ist aber bei beliebiger Elementform noch schwerer zu kontrollieren. Die dynamische Prozedur ist zwar in einem gewissen Bereich zu einer Kompensation in der Lage, indem die Wirbelviskosit¨ at entsprechend reduziert wird [314], jedoch ergeben sich gr¨ oßere Probleme in schwach turbulenten oder gut aufgel¨ osten Str¨omungsbereichen. Erst in j¨ ungster Zeit wurden energieerhaltende Schemata f¨ ur unstrukturierte Diskretisierungen konstruiert [35], [37]. Weitere Diskussionen dieses Aspekts finden sich oben in Abschnitt 4.4.4. Die erste Simulation der Zylinderumstr¨omung bei Re = 3900 mit einem unstrukturierten Gitter wurde von Kessler und Laurence durchgef¨ uhrt und ist in [173] publiziert. Dabei kam der Finite–Elemente–Code N3S zum Einsatz. Er wurde in der Forschungsabteilung der Eletricit´e der France (EDF) u achlich f¨ ur ¨ ber viele Jahre entwickelt, und zwar haupts¨ RANS–Rechnungen. Bei den hier diskutierten Rechnungen wurde die in Abschnitt 4.4.4 beschriebene P1–P1–Diskretisierung verwendet. Dettailierte Informationen u ¨ ber den Code N3S und seine Verwendung f¨ ur LES sind in [504] zu finden, wo u.a. auch u ¨ber sehr erfolgreiche LES der Str¨omung in einem Rohrb¨ undel berichtet wird.

Abb. 9.47 Mittlere Stromlinien der mit N3S berechneten LES um einen Kreiszylinder bei Re = 3900.

Als Rechengebiet wurde das Parallelepiped [−5; 15] × [−5; 5] × [0; π] gew¨ ahlt. Der Verbauungsgrad ist mit 10% noch im Rahmen dessen, was in Experimenten anzutreffen ist, und am unteren Ende des Bereichs, in dem eine Erh¨ ohung der Strouhal–Zahl zu erwarten ist [492, Fig.5]. Das Gitter wurde wie bei den strukturierten Rechnungen zun¨ achst in einer x − y−Ebene erzeugt, die in Abb. 9.46a dargestellt ist. Das zweidimensionale Gitter wurde dann in 40 Ebenen parallel verschoben und so zu einem dreidimensionalen Gitter erweitert. Diese Konstruktion hat den Vorteil, dass sehr leicht Mittelwerte in Spannweitenrichtung erzeugt werden k¨onnen, was bei allgemeinen, v¨ ollig unstrukturierten Gittern wesentlich aufw¨ andiger ist. Um nahe der Zylinderwand eine hohe Aufl¨ osung zu erhalten, wurde im Bereich r = 0,5 . . . 0,6 ein Hexaedergitter mit 20 × 120 Elementen generiert und jedes Element diagonal geteilt. Außerhalb wurden Dreiecke so angeordnet, dass sie sich im Nachlaufbereich verdichten. Der deutliche Sprung in der Gitterschrittweite ist allerdings hierbei unvorteilhaft. Das endg¨ ultige Gitter besitzt 176286 Punkte. Dies sind 7,5 mal weniger als bei LRUN3. Als FS–Modell wurde wie in LRUN2,3 das Smagorinsky–Modell mit Cs = 0,1 verwendet. Die Randbedingungen wurden wie bei den Rechnungen des vorigen Abschnitts gew¨ ahlt:

318

9 Anwendungen 1

a

b

1.2

0.8 1

0.6

0.8

0.4

PRICELES N3S LESOCC [LS93] [OW96]

0.2

0.6 PRICELES N3S LESOCC [LS93]

0.4 0.2

0

0

-0.2 -0.2

-0.4 0

1

2

3

4

5

6

7

-2

-1.5

-1

-0.5

x

c

0.5

1

1.5

2

1.5

2

y

0.3

d PRICELES LESOCC [LS93]

0.25

0

0.3

PRICELES N3S LESOCC [LS93]

0.2

0.2

0.1

0.15

0

-0.1

0.1

-0.2

0.05 -0.3

0 -2

-1.5

-1

-0.5

0 y

0.5

1

1.5

2

-2

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

y

Abb. 9.48 Resultate aus den Rechnungen mit unstrukturierter Diskretisierung. a) u in der Mittenebene, b) u in einem Schnitt bei x = 1,54, c) u

u

(x = 1,54) und d) v(x = 1,54). Die mit LESOCC bezeichneten Daten entstammen LRUN3, die mit N3S berechneten [173] und die mit PPRICELES bezeichneten [171]. Bei der mit PRICELES druchgef¨ uhrten Simulation wurden Mittelwerte nur an weit auseinanderliegenden Punkten bestimmt und durch Geradenst¨ ucke verbunden.

konstante Einstr¨omgeschwindigkeit, konvektive Randbedingung am Ausstr¨omrand, Periodizit¨at in z−Richtung. Auf der Zylinderwand wurde die Werner–Wengle Wandfunktion 8.24 verwendet, jedoch ist das Gitter so fein, dass der wandn¨achste Punkt bei y1+ ≈ 2 liegt, so dass es sich hier in guter N¨aherung um eine Haftbedingung handelt. Nach einer Startphase betrug die Mittelungszeit 20 Zyklen, d.h. tav ≈ 100. Die berechnete momentane Str¨omung in einer x − y−Ebene ist in Abb. 9.36 rechts dargestellt. Auf dem wesentlich groberen Gitter werden dabei nur die Karmanschen Wirbel aufgel¨ost. Die Scherschichten sind allerdings gut zu erkennen, und die laminare Grenzschicht an der Zylinderwand ist gut wiedergegeben. Dies wird in [173] anhand von radialen Schnitten im Nahbereich des Zylinders belegt. In Abb. 9.47 ist das Stromlinienbild der mittleren Str¨omuung dargestellt. In Abb. 9.48 sind mit dem Label N3S Profile der in dieser Simulation berechneten mittleren Str¨omung aufgetragen. An der leichten Asymmetrie der Stromlinien und der Schnitte in y−Richtung erkennt man, dass eine Mittelung u ¨ ber einen l¨angeren Zeitraum vorteilhaft gewesen w¨are. Dies war den Autoren jedoch zu diesem Zeitpunkt mit den im industriellen Umfeld vorhandenen Resourcen nicht m¨oglich. In Abb. 9.48a zeigt sich, dass stromab von x = 3 das richtige Geschwindigkeitsniveau getroffen wird, jedoch

9.6 Str¨ omung um einen langen Kreiszylinder

319

oßeren ist die Rezirkulationsl¨ange Lr = 0,8 deutlich zu kurz. Dies geht einher mit einem gr¨ Abl¨ osewinkel von θ = 90◦ , h¨oherem Wiederstandsbeiwert
CD  = 1,45 und Druckbeiwert −
Cpb  = 1,59. Jedoch entspricht die Strouhal–Zahl mit St = 0,216 dem experimentellen Wert in [78], was die oben gemachte Aussage u at dieser Gr¨ oße ¨ ber die geringe Sensitivit¨ unterst¨ utzt. Die Rechenzeit pro Zeitschritt war in den Rechnungen LRUN3 und N3S in etwa vergleichbar, wobei die unterschiedliche Taktrate der verwendeten Rechner mit einbezogen wurde. Dies reflektiert die Tatsache, dass unstrukturierte Diskretisierungen i.A. pro Gitterpunkt kostenintensiver als strukturierte Diskretisierungen sind. Die Beschleunigung durch die reduzierte Zahl von Gitterpunkten wird dadurch abgeschw¨ acht und im vorliegenden Fall nahezu kompensiert. Da die Codierung unstrukturierter Methoden komplexer ist, existieren hier jedoch sicherlich noch Reserven zur Beschleunigung. Außerdem muss festgehalten werden, dass das in der Rechnung N3S verwendete Gitter in z−Richtung strukturiert ist und die Kapazit¨ at des Codes in dieser Hinsicht nicht voll aussch¨ opft. Insbesondere im Frontbereich sind zur Darstellung der L¨osung weniger Punkte n¨otig. Sie k¨ onnten andererseits im Nachlauf platziert werden und bei gleicher Punktezahl das Ergebnis verbessern. In einer nachfolgenden Entwicklung wurde von den franz¨ osischen Projektpartnern auf der Basis einer Kollaboration zwischen EDF und der franz¨ osischen Atomenergiebeh¨ orde CEA der Finite–Elemente–Code PRICELES (Platforme Rapide Industrielle CEA EDF de LES) entwickelt. Von Bieder [44] wurden in diesem Zusammenhang Testrechnungen mit diesem Code f¨ ur den Kreiszylinder bei Re = 3900 durchgef¨ uhrt und in [171] mit den vorher beschriebenen Rechnungen verglichen. Das Gitter dieser Simulation war ein vollst¨ andig unstrukturiertes dreidimensionales Tetraedergitter, bei dem besonderer Wert auf eine gleichm¨ aßigere Verteilung der Gitterschrittweite und geringe Seitenverh¨ altnisse gelegt wurde, um die Approximationsqualit¨at zu verbessern. Ein Schnitt durch dieses Gitter ist in Abb. 9.46b dargestellt. Rechengebiet und Randbedingungen sind identisch mit denen f¨ ur N3S gew¨ ahlt, lediglich die periodischen Randbedingungen wurden durch Symmetriebedingungen ersetzt und zum Ausgleich die Gebietsgr¨oße auf Lz = 5 erh¨oht. Das Gitter enth¨ alt insgesamt ca. 300000 Tetraeder mit etwa doppelt so vielen Geschwindigkeitspunkten. Die Ortsdiskretisierung in PRICELES geschieht mit dem f¨ ur diese Zwecke neu entwickelten P1NCP1B–Element, das in Abschnitt 4.4.4 beschrieben ist. Visualisierungen der berechneten momentanen Str¨ omung finden sich in [44]. An mehreren Punkten des Nachlaufs wurden Frequenzspektren bestimmt. Mittelwerte wurden lediglich u ¨ ber drei Zyklen und an weit auseinander liegenden Punkten gebildet, die von dem Rechengitter unabh¨ angig sind. Entsprechende Resultate sind in Abb. 9.48 dargestellt. Die Mittelungszeit ist zu kurz, um endg¨ ultige Schl¨ usse zu ziehen. Jedoch sind die Daten nicht wesentlich schlechter als in der mit N3S durchgef¨ uhrten Rechnung. Eine st¨ arkere Verdichtung des Gitters in Zylindern¨ahe sowie eine l¨angere Mittelungszeit w¨ urden das Ergebnis sicher drastsisch verbessern.

320

9 Anwendungen

9.7

Kreiszylinder in Scherstr¨omung

9.7.1

Physikalische Aspekte

Lange Kreiszylinder werden in Rechnungen und Experimenten meist mit gleichf¨ ormiger Anstr¨ omung betrachtet. In der Praxis sind diese Bedingungen jedoch oft nicht gegeben, Gradienten der Hauptstr¨omung sind vielmehr die Regel. Gradienten senkrecht zur Zylinderachse – also z.B. zwischen rechter und linker Flanke des Zylinders – ver¨ andern das Str¨ omungsfeld, f¨ uhren jedoch nicht auf grunds¨atzlich neue Ph¨anomene, da die mittlere Str¨ omung zweidimensional bleibt [659]. Anders verh¨alt es sich f¨ ur Gradienten in Richtung der Zylinderachse, denn hier wird diese Symmetrie, d.h. die Invarianz in z, gebrochen. Solche F¨ alle treten in der Geb¨ audeaerodynamik, in Fließgew¨assern, bei der Aero– und Hydrodynamik von Fahrzeugen ¨ sowie in industriellen Anwendungen auf. Ubersichten geben [208], [659]. Abbildung 9.49 zeigt Bilder aus Visualisierungsexperimenten von M. Kappler [278], [280] mit einem linearen Geschwindigkeitsprofil in Spannweitenrichtung. Durch Zugabe von Wasserstoffbl¨ aschen in einem Wasserkanal wurden die Wirbelkerne im Nachlauf sichtbar gemacht. Aufgrund der h¨oheren Anstr¨omgeschwindigkeit im oberen Bereich erfolgt die Wirbelabl¨ osung schr¨ ag. Intermittierend treten λ−f¨ormige Verzweigungen, sog. Defekte, auf, an denen zwei Wirbelkerne aneinander stoßen. An den Bildr¨ andern oben und unten sind rechteckige Endplatten sichtbar. Durch sie wird die Str¨ omung um den Zylinder von den sich entlang der Kanalw¨ ande oben und unten ausbildenden Grenzschichten isoliert. Die Reynolds– Zahl wird mit der Geschwindigkeit Um in der Mitte des Zylinders und dem Durchmesser D gebildet. Die Anstr¨omung war nahezu laminar mit einem Turbulenzgrad von 2 % [278]. In dem hier mit LES simulierten Experiment war Rem = 6250, was f¨ ur die Rechnung u ¨ bernommen wurde. F¨ ur einen Zylinder in uniformer Anstr¨ omung befindet sich dieser Wert im unterkritischen Bereich, genauer im TrSL2–Regime [659], wo die Transition nach Abl¨ osen der laminaren Grenzschicht innerhalb der Scherschicht durch Kelvin–Helmholtz–artige Wirbel geschieht. In diesem Regime ¨andert sich die Strouhal–Zahl St = f D/U praktisch nicht mit der Reynolds–Zahl. Bildet man bei Scherstr¨ omung die Strouhal–Zahl mit der lokalen Anstr¨ omgeschwindigkeit, sollte sich bei linearem Verlauf der Geschwindigkeit dann auch die dominierende Frequenz linear mit dem Ort ¨andern. Statt dessen wird jedoch ein zellenweise konstanter Wert der Abl¨osefrequenz beobachtet, wie er in Abb. 9.49 ganz rechts gezeigt ist. Die Messung erfolgte mit einem Heißfilm und ergab eine Ausdehnung dieser Zellen in Spannweitenrichtung von etwa 4D. Diese Beobachtung wurde auch in anderen Arbeiten gemacht [659].

9.7.2

Konfiguration der LES

Referenzgr¨ oßen sind im Weiteren die Geschwindigkeit Um in der Mitte des Zylinders und der Durchmesser D. Der Ursprung des Koordinatensystems liegt auf der Zylinderachse in der Mitte des Spanns. Die Ausdehnung in dieser Richtung ist Lz = L/D. Die x−Koordinate weist in Hauptstr¨ omungsrichtung, die y−Koordinate in Querrichtung und die z−Koordinate in Spannweitenrichtung. Die dimensionslose Anstr¨ omgeschwindigkeit bei linearem Verlauf ist dann u∞ (z) = 1 + β z

,

(9.12)

321

9.7 Kreiszylinder in Scherstr¨ omung 40

10

u∞

30

PSD, verschoben

10

20

10

10

10

0

10

ï10

10

0

1

10

10 Frequenz [Hz]

Abb. 9.49 Sichtbarmachung des Wirbelabl¨ osens in der Str¨ omung um einen Kreiszylinder mit linearem Geschwindigkeitsgradienten in Spannweitenrichtung [280]. Die Reynolds–Zahl ist Rem = 6250, das Verh¨ altnis von Zylinderl¨ ange zu –durchmesser L/D = 20,1. Der in Gl. (9.13) definierte dimensionslose Geschwindigkeitsgradient ist β = 0,04. Wasserstoffbl¨ aschen wurden vor dem Zylinder erzeugt, jedoch unsymmetrisch, so dass nur eine H¨ alfte der alternierenden Wirbel durch einen Laserlichtschnitt in der Mittenebene sichtbar gemacht wird. Die Grafik ganz rechts zeigt Spektren im Nachlauf an verschiedenen Positionen in Spannweitenrichtung. Die beiden st¨ arksten Amplituden eines jeden Signals sind durch Symbole hervorgehoben. Bilder aus [278].

wobei β=

d u∞ dz

(9.13)

der dimensionslose Geschwindigkeitsgradient oder Scherparameter ist. Die Konfiguration wird also insgesamt charakterisiert durch die Parameter Rem , β, Lz . Im Folgenden werden ausgew¨ ahlte Resultate des Autors aus [162], [171] dargestellt. F¨ ur eine zu dem Experiment in Abb. 9.49 analoge LES ist die Reynolds–Zahl Rem = 6250 bereits recht hoch, so dass die Ressourcen f¨ ur die Simulation mit einem Rechengebiet von Lz = 20 nicht ausreichten. Daher wurde die LES mit Lz = 8 durchgef¨ uhrt, was der Gr¨ oße von zwei Frequenzzellen entspricht. In einem zur Rechnung parallel durchgef¨ uhrten Experiment [279], [280] wurden die Endplatten der Konfiguration in Abb. 9.49 zur Mitte geschoben, so dass sie einen Abstand von L/D = 8 hatten und die Frequenzmessung wiederholt. Wie erwartet ergaben sich zwei Frequenzzellen (s. Abb. 9.53b). Der Gradient β = 0,04 wurde entsprechend dem Experiment gew¨ ahlt. Zu Vergleichszwecken wurde auch eine Rechnung unter ansonsten unver¨ anderten Bedingungen mit β = 0 durchgef¨ uhrt. Die Randbedingungen f¨ ur z = ±Lz /2 wurden in der LES als Slip–, d.h. Symmetriebedingungen gew¨ ahlt, da dies am besten die freie Anstr¨ omung mit vergleichsweise kleinen Endplatten ann¨ ahert. Auf der Zylinderwand wurde eine Haftbedingung verwendet. Das Rechengebiet hat einen Radius von 15D, wobei auf dem Einstr¨ omrand u = u∞ nach (9.12) und v = w = 0 aufgepr¨ agt wurde und am Ausstr¨ omrand, x > 0, eine konvektive Randbedingung. Das Gitter war ein O–Gitter mit 178 × 176 × 174 Punkten in radialer, azimutaler und axialer Richtung. Das SM wurde zur Feinstrukturmodellierung eingesetzt, hatte jedoch wenig Einfluss, da νt /ν ≤ 1,5 im ganzen Gebiet.

322

9 Anwendungen

Abb. 9.50 Momentane Iso–Fl¨ ache des Druckes im Nachlauf des Zylinders mit β = 0,04. Dargestellt ist nur ein Sektor des Rechengebiets.

b

4

c

4

4

3

3

2

2

2

1

1

1

0

0

z

3

z

z

a

0

-1

-1

-1

-2

-2

-2

-3

-3

-4

-3

-4 -4

-3

-2

-1

0

x

1

2

3

4

-4

-4

-3

-2

-1

0

1

x

2

3

4

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

x

Abb. 9.51 Mittelwerte in der Symmetrieebene der Str¨ omung um einen Kreiszylinder mit β = 0,04. ohenlinien −1,13 . . . 0,2, c) Stromlinien in der a) u, H¨ ohenlinien −0,33 . . . 1,11, b) p/ρ + τkk , H¨ Symmetrieebene. Grauwerte stellten die z−Komponente der mittleren Geschwindigkeit im Bereich w = −0,3 . . . 0,3 dar.

In der j¨ ungsten Literatur finden sich einige Simulationen runder Zylinder in Scherstr¨ omung, jedoch handelt es sich hierbei meist um Rechnungen bei sehr kleinen Reynolds–Zahlen, wie z.B. Rem = 131,5 in [413]. Im Gegensatz dazu ist die hier gew¨ ahlte Reynolds–Zahl deutlich h¨ oher und die Str¨ omung entsprechend schwieriger zu simulieren.

9.7.3

Momentane und mittlere Str¨ omung

Abbildung 9.50 zeigt eine Iso–Fl¨ache des dimensionslosen Druckes. Deutlich sichtbar ist die schr¨ age Anordnung der Wirbel und ein f¨ ur Defekte charakteristischer “Knick” des zylindern¨ achsten Wirbels. Weiterhin erkennt man “Braids” zwischen den von Karman–Wirbeln, die mit Wirbelst¨ arke in x−Richtung einhergehen. Aufgrund der mit z variierenden Anstr¨omung ¨andert sich der Staudruck entlang der Zylinderachse in Spannweitenrichtung. Dadurch entsteht eine Sekund¨ arstr¨ omung in dieser Richtung an der Frontseite in negativer z−Richtung und im Nachlauf, wo sie deutlich st¨ arker ist,

323

9.7 Kreiszylinder in Scherstr¨ omung

in positiver z−Richtung. Abbildung 9.51c zeigt dies eindrucksvoll anhand der Stromlinien und der durch die Grauwerte dargestellten w−Komponente. In den anderen Plots dieser Abbildung sind die mittlere Hauptstr¨omungskomponente und der mittlere Druck aufgetragen. Durch die Sekund¨arstr¨omung kommt den Randbedingungen in z−Richtung eine wesentlich gr¨ oßere Bedeutung zu als im Fall ohne Scherung, β = 0. Am oberen Rand entsteht sogar ein kleines Gebiet mit umgekehrter Str¨omung, d.h.
w < 0 (Abb. 9.51c). 100

1

0.01

Abb. 9.52 Vollst¨ andiges Spektrum der v−Geschwindigkeit im Nachlauf mit logarithmischer Auftragung f¨ ur drei Spannweitenpositionen, z = −3,9, z = 0, z = 3,9.

0.0001

1e-06 1e-08 0.01

a

z= -3.9 z= 0 z= 3.9 ~ k^(-5/3) 0.1

1

10

b

0.16 0.18 0.2 0.22 0.24 0.26

0.16 0.18 0.2 0.22 0.24 0.26

Abb. 9.53 Spektrum der v−Geschwindigkeit im Nachlauf mit β = 0,04 im Bereich der Wirbelabl¨ osefrequenz f¨ ur verschiedene Spannweitenpositionen. Horizontale Achse ist die Frequenz, vertikale Achse die Amplitude mit einem zus¨ atzlichen Inkrement entsprechend der Position in z. a) LES, b) Messdaten aus [280].

9.7.4

Frequenzspektren und Korrelationen

Im Nachlauf wurden an den Stellen (x, y, zn ) mit x = 2,5; y = 0,5; zn = n × 0,4; n = −10, . . . , 10 aus der Rechnung gleichzeitig Zeitsignale gespeichert (z = ±3,9 an den Enden), was in etwa den Positionen des Heißfilms im Experiment entspricht. Diese Signale haben eine Dauer von 220 dimensionslosen Zeiteinheiten, d.h. bei einer Strouhal–Zahl von ca. 0,2 in etwa 46 Abl¨osezyklen. Die dominierenden von Karman–Wirbel sind mit der

324

9 Anwendungen a

b

c

20

18

16

β = 0,04

14

12

10

8

6

4

2

150

200

250

150

300

200

250

300

150

200

t

250

300

t

d

e

f

20

18

16

β=0

14

12

10

8

6

4

2 200

250

300

350 t

400

450

200

250

300

350

400

450

200

250

300

350

400

450

t

Abb. 9.54 Analyse der LES–Zeitsignale im Nachlauf eines Zylinders in Scherstr¨ omung (oben) und ohne Scherung (unten). In allen Grafiken ist die horizontale Achse die Zeitachse t. Links: v−Zeitsignale. Mitte: Ridges, so wie im Text definiert. Der vertikale Versatz ist 0,15. Rechts: Intermittenzfaktor I f¨ ur die Frequenz 0,2. Die vertikale Koordinate ist z in Form der Nummer des ¨ Signals. Der kontinuierliche Ubergang wurde durch Interpolation mit Hilfe des Grafikprogramms erzeugt und dient der besseren Sichtbarkeit, ebenso wie die Beschr¨ ankung der Grauwertskala auf das untere Drittel des angenommenen Wertebereichs. Die Geradenst¨ ucke in c) wurden von Hand eingef¨ ugt.

Geschwindigkeitskomponente in Querrichtung verkn¨ upft, so dass sich die Analyse zun¨ achst auf die v−Komponente konzentriert. Abb. 9.52 zeigt Frequenzspektren in der Mitte und nahe den beiden R¨ andern des Rechengebietes. Die dominierende Wirbelabl¨ osefrequenz ist dort sehr gut zu erkennen, ebenso ein Inertialbereich, der sich u ¨ ber etwa eine Dekade erstreckt, sowie ein anschließendes steiles Abfallen, wie in Abschnitt 9.3.4 besprochen. W¨ahlt man die Amplitudenachse linear und tr¨agt alle Spektren mit geeignetem Versatz gem¨ aß ihrer Position in z in einem Diagramm auf, entsteht Abb. 9.53a. Die Entsprechung mit dem experimentellen Bild in Abb. 9.53b ist recht gut, auch wenn am oberen Ende die Frequenz im Experiment etwas gr¨oßer ist. Es werden also in der LES ebenfalls zwei Frequenzzellen mit derselben Ausdehnung wie im Experiment gefunden. Da die Zeitsignale simultan aufgezeichnet wurden, kann die Spannweitenkorrelation zwi-

9.7 Kreiszylinder in Scherstr¨ omung

325

schen ihnen bestimmt werden. Dabei ergibt sich ein deutlicher Einfluss des Gradienten. Die Korrelationsl¨ ange (hier nicht im Bild gezeigt) ist ohne Scherung etwa viermal so groß wie mit β = 0,04 [171]. Die Bestimmung derartiger r¨ aumlicher Korrelationen ist also eine weitere M¨ oglichkeit, LES–Rechnungen auszuwerten. Eine derartige Analyse ist nat¨ urlich nicht auf LES beschr¨ ankt und kann auch im Experiment durchgef¨ uhrt werden (nicht jedoch in typischen RANS–Rechnungen). In Simulationen f¨allt dies jedoch leichter als im Experiment, da beliebig viele Zeitsignale gleichzeitig gespeichert werden k¨ onnen. Grenzen entstehen durch den Speicherplatz und – im Gegensatz zum Experiment – oft dadurch, dass die Zeitsignale aus Gr¨ unden des Rechenzeitbedarfs meist k¨ urzer sind als im Experiment. Ein gewisser Ausgleich kann durch zus¨atzliche Signalpunkte geschaffen werden. Im hier betrachteten Fall w¨ are dies z.B. durch Hinzunahme der gespiegelten Punkte mit y = −0,5 m¨ oglich. Man erkennt in dieser Hinsicht einen komplement¨aren Charakter von LES und Experimenten mit klassischen Techniken wie Hitzdraht oder Heißfilm: nahezu beliebige statistische Gr¨ oßen in den Simulationen einerseits, jedoch mit hohem Aufwand, wenn lange Mittelungszeiten notwendig sind; einfache Mittelwerte in den Experimenten andererseits, da z.B. meist nur wenige Sonden verf¨ ugbar sind, aber problemlose Mittelungen u aume. Neuere ¨ber lange Zeitr¨ experimentelle Techniken wie PIV, LIV, Holographie etc. beheben dieses Problem, liefern jedoch i.A. nicht dieselbe zeitlicher Aufl¨osung.

9.7.5

Analyse mittels CWT

Die kontinuierliche Wavelettransformation (CWT) wird im Anhang A.3 definiert. Diese Technik bietet sich an, wenn in einem Signal intermittentes Verhalten analysiert werden soll. Wie im Folgenden deutlich wird, stellen die zuvor besprochenen Zeitsignale ein ideales Anwendungsfeld f¨ ur die CWT dar. Folgende Fragestellungen lassen sich damit unter anderem untersuchen: ¨ a) Andert sich die Wirbelabl¨osefrequenz in der Zeit, wenn ja, wie ? b) Weist die St¨arke der Oszillationen Intermittenz auf ? c) Durch welche Ereignisse werden Reynolds–Spannungen erzeugt ? In Abb. 9.55 ist zun¨achst ein beispielhaftes Signal zusammen mit der zugeh¨ origen CWT, d.h. dem Skalogramm aufgetragen. Dabei wurde das Morlet–Wavelet (A.100) verwendet. Wie in A.3 erl¨ autert, ist im Skalogramm die horizontale Achse die Zeitachse t und die vertikale Achse die Skala, bzw. die Frequenz, s. Die Frequenzachse ist in diesem Bild auf einen sehr kleinen Bereich eingeschr¨ankt, s = 0,1, . . . , 0,3, also auf die direkte N¨ ahe der f¨ ur Kreiszylinder beobachteten Frequenz von St ≈ 0,2 im Nachlauf. Das Signal im oberen Teil von Abb. 9.55 verdeutlicht, dass der Grundfrequenz in starkem Maße h¨ oherfrequente Anteile u ¨berlagert sind. Die CWT im unteren Teil des Bildes zeigt, dass die Grundfrequenz im Signal intermittierend vorliegt. Zu manchen Zeiten ist sehr regelm¨ aßiges Verhalten zu beobachten, wie in den Bereichen A und C. In anderen, wie C, variiert die Grundfrequenz mit einer Periode von ca. 6 Oszillationen. Schließlich kann dieser Anteil auch f¨ ur kurze Zeit verschwinden wie z.B. bei D. Der Ridge, definiert in Abschnitt A.3.2, wird in dieser und den folgenden Grafiken nur an den Stellen gezeichnet, wo der zugeh¨ orige Wert |W | mindestens 80% des Mittelwertes erreicht. Zu beachten ist, dass das Morlet–Wavelet (A.100) nicht nur eine, sondern mehrere Perioden der Oszillationen u ¨berdeckt (Abb. A.10), was durchaus beabsichtigt ist. Daher wird |W | durch einen einzigen “Aussetzer” nicht auf nahe Null

326

9 Anwendungen

a

1 0.75 0.5 0.25 0 -0.25 -0.5 -0.75

150

200

250

300

250

300

t

0.3

b

0.2

0.1

150

A

200

B

C

D

Abb. 9.55 a) Zeitsignal der v−Komponente im Nachlauf bei z = 0 f¨ ur β = 0,04 und b) zugeh¨ orige CWT dieses Signals. Die s–Koordinate des Skalogramms ist so skaliert, dass sie der Strouhal–Zahl entspricht und ist hier auf den Bereich [0,1; 0,3] beschr¨ ankt. Grauwerte entsprechen |W (s, t)| mit hellen Werten f¨ ur hohe Betr¨ age. Der Ridge ist dargestellt durch die schwarze Linie, jedoch nur, wenn |W (sR , t)| gr¨ oßer als 80% des Mittelwertes entlang des Ridges ist.

reduziert. Das Lesen eines Skalogramms insbesondere mit eingezeichnetem Ridge ist, wie hier deutlich wird, recht einfach und illustrativ. Sehr interessant ist es nun, f¨ ur den Zylinder in Scherstr¨ omung die CWT aller Signale u ¨ ber die Spannweite in Beziehung zu setzen. Dies ist in Abb. 9.54 geschehen. In den mittleren Bildern erkennt man, dass der Ridge, also die dominierende Frequenz, f¨ ur β > 0 insbesondere im oberen Bereich mit schnellerer Str¨ omung und st¨ arkerem Wandeinfluss stark onduliert. Ohne Scherung ist dies weit weniger der Fall. Außerdem sind f¨ ur β = 0,04 zahlreiche Zeitpunkte zu beobachten, bei denen die alternierenden Wirbel zusammenbrechen, weit mehr als ohne Scherung. Zur Analyse dieses Aspekts ist in den rechten Bildern der Intermittenzindex I nach Gl. (A.101) f¨ ur die Skala s = 0,2 aufgetragen. Hier sind diese Ereignisse noch deutlicher zu erkennen, sowie ihre Propagation vom langsamen zum schnellen Ende der Anstr¨ omung. Abb. 9.49 und Abb. 9.50 zeigen, dass die Erzeugung eines Wirbels und seine Abl¨ osung am oberen, schnellen Ende geschieht und sich dann von oben nach unten zum langsameren Ende fortsetzt. Die Propagation der “Aussetzer” in der Wirbelabl¨ osung geschieht also in entgegengesetzter Richtung und war in dieser Form bisher nicht bekannt. Der Vergleich mit dem identischen Bild f¨ ur β = 0 zeigt, dass in der Tat die Scherung hierf¨ ur verantwortlich ist und derartige Ereignisse ohne sie weit weniger h¨ aufig auftreten. Dennoch findet auch hier vereinzelt eine Reduktion der Intensit¨ at u ¨ ber einen relativ großen Bereich statt, wie z.B. bei t = 420, . . . , 450. Eine Fortpflanzung in z−Richtung ist, mit einer Ausnahme, nicht zu beobachten.

327

9.7 Kreiszylinder in Scherstr¨ omung 0

cospec 0.000812033 0.000690611 0.00056919 0.000447768 0.000326347 0.000204925 8.35035E-05 -3.7918E-05 -0.000159339 -0.000280761 -0.000402182 -0.000523604 -0.000645025 -0.000766447 -0.000887868

log10( strou )

. -0.25

. -0.50

-0.75

-1

R

150

250

200

R

300

R

t

Abb. 9.56 Zeit- und skalenaufgel¨ oste Beitr¨ age zu der Reynolds–Spannung R23 am Punkt x = 2,5, y = 0,5, z = 0 anhand des Co–Skalogramms von v und w. Die vertikale Skalenachse ist logarithmisch und reicht von s = 0,1 bis s = 1,0. Die horizontale Achse ist die Zeit. Quadrate wurden von Hand eingef¨ ugt und werden im Text erl¨ autert.

Reynolds–Spannungen sind durch die Integrale  1 t0 +T



ui uj dt Rij (x) = lim T →∞ T t 0

(9.14)

definiert und geben wichtige Informationen u ¨ber den Charakter der Turbulenz, z.B. im Bezug auf die Anisotropie. Zum Verst¨andnis einer Str¨ omung kann es sehr hilfreich sein zu untersuchen, welche Ereignisse bzw. Wirbelstrukturen die Reynolds–Spannungen verursachen. Mit der CWT kann derartige Information an den Punkten der Zeitsignale gewonnen werden. Grundlage ist Gleichung (A.102)  ∞  ∞ ∞ 1 f (t) g(t) dt = Cf g (s, t) dt ds , (9.15) cψ 0 −∞ −∞ wobei Cf g = {Wf conj{Wg }} das so genannte Co–Skalogramm ist. Abgesehen von der Normierung entsteht also mit f = u

i und g = u

j auf der linken Seite das Integral in Gleichung (9.14). Die Anteile der Geschwindigkeit, f¨ ur die das Co–Spektrum groß ist, tragen also zu dem Integral bei und erzeugen die Reynolds–Spannungen. Hier kann wieder eine Analyse hinsichtlich zeitlicher (und mit Taylor–Hypothese auch r¨ aumlicher) Skalen und deren Intermittenz erfolgen. Abb. 9.56 zeigt den Betrag des Co–Skalogramms von v− und w−Komponente. Da der Signalpunkt außerhalb der Mittenebene liegt, verschwindet hier R23 nicht. Wie erwartet tragen die großen Strukturen mit Strouhal–Zahl um 0,2 in der Hauptsache zu R23 bei, jedoch ist auch deutlich die starke Intermittenz zu erkennen. Die verwendeten Signale wurden in der Mitte des Spanns bei z = 0 aufgenommen. Der zugeh¨ orige Punkt hat die vertikale Koordinate 11 in Abb. 9.54c. Die Zeiten der dort zu erkennenden Minima von I sind mit Strichen in Abb. 9.56 markiert, die L¨ ocher in den “Ridges” des v−Signals in Abb. 9.56b mit R. Man erkennt deutlich den Zusammenhang zu Mustern von positivem–negativem–positivem Cvw , hervorgehoben durch von Hand eingef¨ ugte Rechtecke.

328

9 Anwendungen

¨ Ahnlich dem Co–Skalogramm kann auch die Phase zwischen beiden Signalen untersucht werden [171]. Weiterhin lassen sich auch der momentane und skalenweise Beitr¨ age zu anderen Korrelationen analysieren, wie z.B. Zweipunktkorrelationen zwischen Signalen an zwei verschiedenen Punkten [162].

a

b

Abb. 9.57 Skizzen des Str¨ omungsfeldes um einen wandmontierten Zylinder endlicher H¨ ohe aus [282]. a) Situation, bei der der Zylinder l¨ anger ist als die kritische L¨ ange f¨ ur alternierendes Wirbelabl¨ osen. b) Analoge Situation f¨ ur einen kurzen Zylinder.

9.8

Kreiszylinder mit freiem Ende

9.8.1

Konfiguration und Parameter

Die Str¨ omung eines wandgebundenen Kreiszylinders mit freiem Ende ist gegen¨ uber den zuvor diskutierten Str¨omungen wesentlich st¨arker durch dreidimensionale Effekte gepr¨ agt. F¨ ur einen relativ langen Zylinder kann die Str¨omung in der N¨ ahe des K¨ orpers in drei Bereiche gegliedert werden (s. Abb. 9.57a). Erstens der wandnahe Bereich, dort bildet sich ein Hufeisenwirbel. Zweitens der Bereich des Zylinderschaftes mit alternierendem Wirbelabl¨ osen, ¨ ahnlich einem sehr langen Zylinder. Der dritte Bereich wird durch das freie Ende erzeugt, wo die Str¨omung u ¨ ber den Zylinder hinweg in die Nachlaufzone eindringt und dort das Wirbelsystem nachhaltig ver¨andert. Reduziert man sukzessive das Verh¨ altnis von H¨ ohe zu Durchmesser H/D, so wird im Bereich H/D ≈ 6 bis H/D ≈ 2 das f¨ ur lange Zylinder typische alternierende Abl¨osen nach und nach durch symmetrische Wirbel ersetzt [282], [278]. F¨ ur kleinere Werte von H/D sind alternierende Wirbel fast nicht zu beobachten [432], ¨ [278]. Der Ubergang vollzieht sich dabei durch intermittierendes Auftreten symmetrischer und antisymmetrischer Wirbel, wobei die jeweilige H¨ aufigkeit von H/D abh¨ angt [278]. Durch die Bodenwand entsteht notwendigerweise eine Grenzschicht, deren Dicke mit δ be-

329

9.8 Kreiszylinder mit freiem Ende

y

z

x

Abb. 9.58 Rechengebiet f¨ ur die Simulation der Str¨ omung um einen wandmontierten Zylinder endlicher H¨ ohe.

zeichnet wird. Das Verh¨ altnis δ/H ist somit ein weiterer Parameter der Konfiguration. Hier sind die Extremf¨ alle δ/H  1 und δ/H  1 zu unterscheiden, wobei letzterer f¨ ur meteorologische Anwendungen charakteristisch ist. Ein dritter Parameter ist die Reynolds–Zahl, die mit der Anstr¨ omgeschwindigkeit und dem Durchmesser gebildet wird. Weitere Parameter sind der Turbulenzgrad der Anstr¨ omung T u, der Verbauungsgrad Bl, wenn die Str¨ omung in einem geschlossenen Kanal erfolgt, sowie Wandrauigkeiten. Tab. 9.6 Parameter der Simulationen f¨ ur die Str¨ omung um einen wandmontierten Kreiszylinder mit freiem Ende: Zahl der Gitterpunkte, Randbedingung an der Bodenwand, FS–Modell, Mittelungszeit ta zur Bestimmung der statistischen Daten und resultierender Widerstandsbeiwert CD .

Run G1SS G2SS G2WS G2WD

grid 1,0 106 6,4 106 6,4 106 6,4 106

bottom slip slip WW WW

SGS SM SM SM DSM

ta 155 123 100 83

CD 0, 32 0, 88 0, 88 0, 6

In diesem Kapitel werden LES–Rechnungen diskutiert, die ein von M. Kappler [278] durchgef¨ uhrtes Experiment modellieren. Dabei wurde in einem Wasserkanal ein Zylinder mit H/D = 2,5 mit einer Reynolds–Zahl von Re = 43000 angestr¨ omt. Die Grenzschichtdicke war δ/H = 0,1, Turbulenzgrad T u = 2% außerhalb der anstr¨ omenden Grenzschicht und Verbauung von Bl = 7,3%. Der Zylinder war aus Glas gefertigt und poliert. Das Rechengebiet ist in Abb. 9.58 dargestellt. Es wurde entsprechend dem Kanalquerschnitt gew¨ ahlt mit Ly = 5D, Lz = 7D, so dass ebenfalls Bl = 7,3% resultiert. Ursprung des Koordinatensystems ist der Schnittpunkt von Zylinderachse und Bodenwand. Der Einstr¨ omrand befindet sich bei x = −7,5D, der Ausstr¨ omrand bei x = 12,5D. Horizontale Schnitte durch das Rechengitter wurden bereits in Abb. 9.2 dargestellt. Am oberen Gebietsrand und an den Seitenw¨ anden wurden slip–Bedingungen aufgepr¨ agt, auf dem Zylinder eine Haftbedingung und an der Bodenwand die Wandfunktion von Werner und Wengle [638]. Dabei resultierte ur die wandn¨ achsten Gitterdie gew¨ ahlte Gitterschrittweite in Werten von y1+ = 40 . . . 80 f¨ punkte. Am Einstr¨ omrand wurde u = u∞ , v = w = 0 gesetzt. In der Rechnung entwickelt

330

9 Anwendungen a

Exp1 Exp2 G2SS G2WS G2WD

Y=1.5 Z=0.0 1.5

Y=1.5 X=1.0 1.5

1



1

b

0.5

0

-0.5 -2

c

-1

0

x

1

2

-0.5

3

Exp1 Exp2 G2SS G2WS G2WD

d

0.1

0.05

0

0.5

z

1

Y=1.5 X=1.0 0.2

1.5

Exp1 G2SS G2WS G2WD

0.15

0.15

Exp1 G2SS G2WS G2WD

0

Y=1.5 Z=0.0 0.2

0 -2

0.5

0.1

0.05

-1

0

x

1

2

3

0

0

0.5

z

1

1.5

Abb. 9.59 Mittlere Gr¨ oßen im Wandabstand von y = 1,5. Links: Profile entlang der Mittelebene, z = 0. Rechts: Profile bei x = 1. Oben: mittlere Geschwindigkeit in Str¨ omungsrichtung, u. Unten: zugeh¨ orige Fluktuationen u

u

. Linien zeigen Daten aus verschiedenen LES (s. Tab. 9.6). Symbole kennzeichnen Messwerte aus [278]. Die Daten entstammen dabei LDA Messungen mit unterschiedlicher Orientierung des Laserstrahls und damit des Messvolumens.

sich eine d¨ unne Grenzschicht am unteren Rand. In einer separaten Rechnung ohne Zylinder wurde diese Grenzschicht untersucht und mit der Grenzschicht in einem entsprechenden Experiment ohne Zylinder verglichen. Beide stimmten am sp¨ ateren Ort des Zylinders hinreichend gut miteinander u omrand wurde die konvektive Rand¨ berein [172]. Am Ausstr¨ bedingung mit Konvektionsgeschwindigkeit u∞ aufgepr¨ agt. Das SM wurde mit Cs = 0,1 verwendet, das DSM mit dreidimensionaler Filterung und zeitlicher Relaxation (ε = 0,001) und clipping 0 ≤ νt ≤ 100ν. Der Zeitschritt wurde in den Rechnungen automatisch an das Stabilit¨atskriterium des Diskretisierungsschemas angepasst und lag im Bereich von 0,001 dimensionslosen Zeiteinheiten. Im Weiteren sind alle Gr¨ oßen mit D und u∞ bzw. geeigneten Kombinationen dimensionslos gemacht.

9.8.2

Modellierungsaspekte

In [172], [170] werden vier Rechnungen der oben definierten Geometrie diskutiert, die in Tabelle 9.6 zusammengestellt sind. Mit diesen Rechnungen kann der Einfluss des Gitters, des FS–Modells und die Auswirkung der Randbedingung auf der Bodenwand untersucht werden. Die Ergebnisse dieser Studien werden hier nur kurz zusammengefasst. Die sp¨ atere Diskussion konzentriert sich auf die Rechnung G2WS, die im Vergleich zu den Experimenten die besten Resultate zeigt.

331

9.8 Kreiszylinder mit freiem Ende a

0.20 0.20 0.18 0.18 0.16 0.16 0.14 0.12 0.14 0.10 0.12 0.08 0.06 0.10 0.04 0.08 0.02 0.00

b 3

2

2

y

y

3

1

0 -2

c

0.06 0.04 0.02 0.00

1

-1

0

x

1

2

0 -2

3

d

3

-1

0

x

1

2

3

0.20 0.20

3

0.18 0.18 0.15 0.15 0.12

2

0.12

0.10

0.10 0.08

y

y

2

0.05 0.08

1

0.02

1

0.05

0.00

0.02 0 -2

-1

0

x

1

2

3

0 -2

0.00 -1

0

x

1

2

3

Abb. 9.60 Stromlinien der mittleren Str¨ omung (links) und mittlere vertikale Fluktuationen v

v

 in der Mittenebene [170]. Oben: Experiment, unten: LES G2WS. Die unterbrochenen Linien kennzeichnen die Koordinaten, an denen Schnitte senkrecht zur Hauptstr¨ omungsrichtung in Abb. 9.64 dargestellt sind.

Auf dem groben Gitter von G1SS wird die Zylindergrenzschicht und die abl¨osende Scherschicht nicht gen¨ ugend aufgel¨ost. Dadurch entstehen numerisch bedingte Fluktuationen, und der Abl¨osepunkt verlagert sich nach hinten, was einen schmaleren Nachlauf und damit einen deutlich geringeren Widerstandsbeiwert hervorruft. Die slip–Bedingung f¨ uhrt dazu, dass sich im unteren Bereich kein Hufeisenwirbel an der Vorderseite des Zylinders ausbildet. Mit Reibung an der Bodenwand entsteht eine Grenzschicht, die die Voraussetzung f¨ ur einen Hufeisenwirbel ist. Jedoch entspricht seine Ausdehnung der Grenzschichtdicke δ und ist daher im betrachteten Fall δ/H = 0,1 sehr klein. Die mittlere Str¨omung ¨andert sich nur unwesentlich gegen¨ uber dem Fall mit slip–Bedingung [170]. Das DSM schließlich f¨ uhrte in der Rechnung G2WD zu einer deutlich vergr¨oßerten Wirbelviskosit¨at. Hier wurde ein Faktor von etwa 4 beobachtet. Dies f¨ uhrte wieder zu einem engeren Nachlauf und einem reduzierten Widerstandsbeiwert, wenn auch bei weitem nicht so stark wie in G1SS. Quantitative Darstellungen der geschilderten Sachverhalte finden sich in Abb. 9.59. Trotz des einfacheren FS–Modells stimmt die Rechnung G2WS recht gut mit dem Experiment u ¨berein. Dies wird auch anhand der zweidimensionalen Grafiken in Abb. 9.60 deutlich. Der ausgesparte Bereich bei den experimentellen Daten in Wandn¨ahe r¨ uhrt daher, dass dort LDA Messungen aus optischen Gr¨ unden nicht m¨oglich waren [278].

9.8.3

Momentane Str¨omung

In Abb. 9.61 ist eine Iso–Fl¨ache momentaner Druckfluktuationen aus zwei unterschiedlichen Blickwinkeln dargestellt. Abb. 9.62 zeigt dieselben Daten von der Seite, wobei Anteile jenseits der Mittenebene ausgeblendet wurden, um ein klareres Bild zu erhalten. Diese Bilder

332

9 Anwendungen

a

b

Abb. 9.61 Momentane Iso–Fl¨ ache der Druckfluktuation bei der Str¨ omung um einen Zylinderstumpf auf einer Bodenplatte. a) Ansicht von schr¨ ag hinten, b) Draufsicht.

veranschaulichen die zahlreichen Wirbelsysteme, die sich aufgrund der komplexen Geometrie ergeben. Nahe der Bodenwand ist schwach der Hufeisenwirbel zu erkennen, zu manchen Zeitpunkten sogar mit Prim¨ar– und Sekund¨arwirbel. Auf dem Zylinderdach entstehen Wirbel in Spannweitenrichtung, die miteinander durch “helical pairing” wechselwirken und die Abl¨ osung an der Seiten– und Hinterkante beeinflussen. In diesem Bereich ist die Str¨ omung ausgesprochen komplex und weist sehr kleinskalige Bewegungen auf. Entlang des Schaftes findet dagegen u arente Abl¨ osung statt (Abb. 9.62). Die ¨ ber einen gr¨oßeren Bereich koh¨ Seitenansicht und Abb. 9.61a zeigen, dass die dort entstehenden Kelvin–Helmholtz–Wirbel deformiert und durch die dreidimensionale mittlere Nachlaufstr¨ omung umorientiert werden. In Animationen kann man dabei Ans¨atze zu “helical pairing” erkennen und zur Entwicklung von horizontalen “braids” zwischen den vertikalen dominierenden Wirbeln. Charakteristisch ist auch das Auftreten von Verdickungen in den von Karmanschen Wirbeln, das durch deren Wachsen von der Bodenplatte her und das in vertikaler Richtung variierende Geschwindig-

333

9.8 Kreiszylinder mit freiem Ende

Abb. 9.62 Momentane Iso–Fl¨ ache der Druckfluktuation. Gleiche Daten wie Abb. 9.61, jedoch Seitenansicht mit Ausblenden aller Daten jenseits der Mittenebene und Ausschnitt nahe dem Zylinder.

keitsfeld entsteht. In der Draufsicht (Abb. 9.61b) erkennt man auch, dass diese Wirbel im außeren Bereich des Nachlaufs recht glatt und ungest¨ orter sind als im Bereich |z| ≤ D/2, wo ¨ kleinskalige Turbulenz, die auf dem Dach entsteht, von der abw¨ artsgerichteten Str¨ omung in diese Wirbel hineingetragen wird. Das Auftreten von Karmanscher Wirbel ist im Einklang mit den erw¨ ahnten experimentellen Beobachtungen alternierender Wirbel f¨ ur H/D > 2. Da H/D = 2,5 nur wenig gr¨ oßer als dieser Wert ist, sind die alternierenden Wirbel nicht sehr stark und recht unregelm¨ aßig. Abb. 9.63 zeigt die aus diesen Wirblen resultierenden Kr¨ afte auf den Zylinder in Str¨ omungs– und Querrichtung. Der Widerstandsbeiwert fluktuiert nur wenig. Die Amplitude der Querkraft ist relativ klein, weist “Aussetzer” auf und schwankt stark in ihrer Amplitude. Die Strouhal– Zahl dieser Wirbel ist mit St = 0,16 deutlich geringer als f¨ ur einen langen Zylinder bei vergleichbarer Reynolds–Zahl, St = 0,189 ± 0,04 [430, Fig.1].

1

f z, f x

0.5

0

-0.5

450

500

550

t

Abb. 9.63 Querkraft in z−Richtung fz (untere Kurve) und Widerstandskraft fx (obere Kurve) f¨ ur Run G2WS [170].

334

9 Anwendungen

a3

b

1

0 -2

y

1

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2

z

0 -2

3

2

y

2

y

2

c

3

1

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

z

1.5

2

0 -2

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2

z

Abb. 9.64 Mittlere Str¨ omung in Schnitten x = const. senkrecht zur Hauptstr¨ omungsrichung [170]. a) x = 1 , b) x = 2, c) x = 3,5 (s. Eintr¨ age in Abb. 9.60). Stromlinien und Grauwerte proportional dem Absolutbetrag des Betrags der Sekund¨ arstr¨ omung v2 + w2 , Grauwertskala 0 . . . 0,6 in allen Bildern.


9.8.4

Mittlere Str¨ omung

Abb. 9.60 zeigt die Str¨omung in der Mittelebene. Deutlich erkennbar ist die starke Abw¨ artsbewegung im Bereich x > 1. Außerdem sind die vertikalen Geschwindigkeitsschwankungen relativ stark, sie erreichen in der Mittenebene Werte von
v

v

 = 0,19. Dies liegt u ¨ ber den Werten von
u

u

, die in Abb. 9.59 zu beobachten sind. Das mittlere Geschwindigkeitsfeld wurde weiterhin durch Schnitte mit x = const. analysiert, die in Abb. 9.64 gezeigt sind. Bei x = 1 zeigt sich ein Wirbelpaar mit Zentren bei y ≈ 1,7. Es handelt sich dabei um die vom Zylinderende ausgehenden Wirbelz¨ opfe in Abb. 9.57. Bei x = 2 existieren diese Wirbel jedoch nicht mehr. Weiter stromab bei x = 3,5 erscheint ein weiteres Wirbelpaar. Die Zusammenh¨ ange konnten mit Hilfe dreidimensionaler Stromlinien der mittleren Str¨omung aufgekl¨art werden, wie sie in Abb. 9.65 dargestellt sind. Ein Stromband (eine in einer Querrichtung verbreiterte Stromlinie) wurde von einem Punkt hinter der Oberkante des Zylinders aus verfolgt. Eine schwarze Stromlinie geht von der N¨ ahe der Hinterkante aus und zeigt eine Spirale innerhalb der breiten Linie. Sie a ¨hnelt den Wirbelz¨ opfen in Abb. 9.57. Die weiße Stromlinie verl¨ auft weiter außen und erreicht die Bodenplatte. Insgesamt erscheint ein sog. Bogenwirbel (“arch vortex”). Er wurde in ahnlicher Form ebenso in der Str¨omung hinter einem W¨ urfel gefunden [362], [500]. ¨ Das Stromband und die schwarze Stromlinie verlassen diesen Wirbel bei y ≈ 1. Sie gehen ein in das horizontale Wirbelpaar, das weiter stromab hinter dem Zylinder existiert und in Abb. 9.64c zu sehen ist. Dieser Wirbel ist nicht mit dem Hufeisenwirbel zu verwechseln. Letzterer ist wesentlich kleiner, n¨aher der Bodenplatte und nur im Schnitt x = 1 im Bereich z = ±0,7 rudiment¨ ar zu erkennen. Bei x = 3,5 ist er abgeklungen. Das Wirbelband verdeutlicht, dass seine Zirkulation im Vergleich zur axialen Geschwindigkeitskomponente wesentlich kleiner ist als im Bogenwirbel. Die mit den LES Daten durchgef¨ uhrte Analyse zeigt also, dass die Skizzen in Abb. 9.57 f¨ ur den vorliegenden Fall zu revidieren sind. Die beidseitig vom oberen Zylinder abgehenden Wirbelz¨ opfe befinden sich innerhalb des Bogenwirbels (“arch vortex”), der in Form eines umgekehrten U hinter dem Zylinder steht. Ihre Ausdehnung ist auf das Gebiet dieses Wirbels ¨ beschr¨ ankt. Weiter hinter dem Zylinder existiert durch die Uberstr¨ omung ein großer Wirbel

9.8 Kreiszylinder mit freiem Ende

335

mit horizontaler Achse. Außerdem werden die von Karman–Wirbel nicht, wie in Abb. 9.57a angedeutet, stromabw¨arts, sondern durch die vertikale Abw¨ artsbewegung zur Mittenebene und nach r¨ uckw¨ arts gebogen. Der Vergleich von Abb. 9.65 und Abb. 9.61 zeigt den großen Unterschied zwischen der gemittelten Str¨omung und der momentanen Str¨ omung. Hier ist also bei der Formulierung der Ergebnisse Vorsicht geboten. Die mittlere Str¨ omung kann auch sehr gut mit Hilfe von Wandstromlinien untersucht werden. In Abb. 9.66 ist dies geschehen, indem die Stromlinien der gemittelten Geschwindigkeit in den wandn¨achsten Zellen dargestellt sind. Hier lassen sich gut die “Fußabdr¨ ucke” der besprochenen Wirbelz¨opfe im oberen hinteren Bereich anhand der Foki in Abb. 9.66b erkennen. Weiterhin wird die starke Aufw¨artsbewegung an der r¨ uckw¨ artigen Zylinderwand sichtbar. Abb. 9.66a zeigt die Abl¨oselinie. Sie ist im Bodenbereich nur wenig gest¨ ort, verl¨ auft nach oben hin gerade und ist am oberen Ende nach hinten stark gekr¨ ummt. Die Abl¨ osung geht mit dreidimensionalen Effekten einher, da sich die Str¨ omungsrichtung an dieser Stelle deutlich a oselinie ist jedoch im Betrag deutlich ¨ndert. Die Geschwindigkeit hinter der Abl¨ kleiner als vor ihr. Im Gegensatz zum r¨ uckseitigen Bereich wird die Str¨ omung an der Vorderseite u achern ¨ ber einen großen Bereich nur wenig von den Endeffekten beeinflusst. Oben f¨ die Stromlinien auf, unten ergeben sich Str¨omungsumkehrungen durch den Hufeisenwirbel. Auf dem Dach des Zylinders ist die Abl¨osezone zu erkennen, die bis zur Mitte reicht. Die kreisf¨ ormige Berandung der Oberseite f¨ uhrt hier zu einem Auff¨ achern der Stromlinien und entsprechenden dreidimensionalen Effekten. Neuere Rechnungen mit noch h¨ oherer Aufl¨ osung in diesem Bereich zeigen allerdings eine Ausdehnung der Rezirkulationszone u ¨ ber fast die ganze Oberseite, die auch experimentelle Bilder in [278] besser ann¨ ahert [336].

Abb. 9.65 Wirbelstruktur der mittleren Str¨ omung anhand von zwei Stromlinien (schwarz und weiß) und einem Stromband [170].

336

9 Anwendungen

a

b

x ?x Abb. 9.66 Wandstromlinien der gemittelten Str¨ omung [170]. a) Ansicht von schr¨ ag vorne, b) Ansicht von hinten.

10

Zusammenfassung und Ausblick

Dem Verst¨ andnis und der Simulation turbulenter Str¨ omungen kommt eine große Bedeutung zu, denn fast alle ¨okonomisch und ¨okologisch relevanten Str¨ omungen sind turbulent. Nur um ein Beispiel zu nennen: Weltweit wird der Großteil der elektrischen Energie durch Str¨ omungsmaschinen wie Gas–, Dampf– und Wasserturbinen erzeugt. Sowohl experimentelle Techniken wie auch Berechnungsmethoden f¨ ur turbulente Str¨ omungen haben in den letzten 10 bis 20 Jahren enorme Fortschritte gemacht. Mit beiden, insbesondere numerischen Simulationen, k¨ onnen inzwischen immer reichhaltigere Daten gewonnen werden. Dachte man in den 80er Jahren noch, dass Simulationen langfristig Experimente u ussig machen ¨berfl¨ w¨ urden, so ist man sich heute bewusst, dass beide Ans¨ atze nicht konkurrierend, sondern komplement¨ ar gesehen werden m¨ ussen. CFD setzt sich jedoch in den Anwendungen immer mehr durch, was durch die enormen Umsatzsteigerungen der Unternehmen zum Ausdruck kommt, die sich mit der Erzeugung und Vermarktung kommerzieller Software in diesem Bereich besch¨ aftigen. Turbulenzmodellierung auf der Basis der RANS–Gleichungen ist heute g¨ angige Praxis in Forschung und Entwicklung. Viele Str¨omungen k¨ onnen so im Hinblick auf die jeweils zu untersuchende Fragestellung hinreichend genau beschrieben werden. Mit steigender Rechenleistung r¨ uckt aber immer mehr die Qualit¨ at der Turbulenzmodellierung ins Blickfeld. Grundlegende Verbesserungen sind hier, d.h. f¨ ur RANS, kaum noch zu erwarten. Zunehmende Rechenleistung und weiterentwickelte Software f¨ uhrten daher in den letzten Jahren zu dem allgemeinen Trend, Modellierung durch Simulation zu ersetzen. Damit werden im Idealfall Modellunsicherheiten durch die Investition von Rechenzeit beseitigt und Resultate verl¨ asslicher. Es sollte aber nicht u ¨ bersehen werden, dass langwierige detaillierte Simulationen allein noch keinen Erkenntnisgewinn darstellen. Vielmehr erhebt sich nun sogar noch dringender die Frage nach der Bedeutung, nach einer summarischen Beschreibung, kurz nach einem Modell der Str¨omung. Dieser Schritt erfordert im Anschluss an die Simulation die m¨ uhsame Arbeit des Auswertens und Beurteilens, die der Computer zwar unterst¨ utzen aber letztendlich nicht bew¨altigen kann. Bei DNS wird die Modellierung der Turbulenz durch ihre Simulation ersetzt. Es war unter Anderem ein Anliegen dieser Arbeit zu unterstreichen, dass auch DNS nicht v¨ ollig frei von Modellierung ist (s. Kapitel 7). LES und verwandte Ans¨ atze stellen ein Zwischenstadium dar, bei dem nur ein Teil der Modellierung durch Simulation ersetzt wird. Es ist nach pers¨ onlicher Erfahrung des Autors hilfreich, diesen Ansatz von seinem Charakter her nicht als Erweiterung der RANS–Methodik aufzufassen, sondern grunds¨ atzlich als DNS auf einem groben Gitter mit entsprechenden Korrekturtermen, also als “DNS des armen Mannes bzw. der armen Frau” zu betrachten. Viele Missverst¨andnisse werden dadurch vermieden. Die vorliegende Arbeit behandelt zwar vorrangig LES. Da jedoch durch Reduktion der Gitterschrittweite und Elimination der entsprechenden Modellierung eine DNS entsteht, gelten

338

10 Zusammenfassung und Ausblick

viele der hier gemachten Aussagen analog f¨ ur DNS, ohne dass darauf immer explizit hingewiesen wurde. LES kann heute viele Namen tragen, denn eine ganze Reihe formaler Zug¨ ange mit ¨ ahnlichen Eigenschaften wurde in der letzten Zeit entwickelt. Sie konnten hier nicht alle besprochen werden, und erst die weitere Forschung wird zeigen, ob einige von ihnen grunds¨ atzliche Vorteile bieten. Basis von LES und entsprechenden Methoden ist eine Gl¨ attungsoperation zur Elimination der feinskaligen Anteile der turbulenten Bewegung, auch wenn diese nicht explizit durchgef¨ uhrt wird, sondern durch das eingesetzte Modell entsteht. Dadurch m¨ ussen notwendigerweise die feinsten, in der Simulation gerade noch aufgel¨ osten Anteile von denen einer entsprechenden DNS abweichen. Die Grundidee der LES ist nun, dass die Auswirkungen der Gl¨ attung auf andere Str¨omungsgr¨oßen wie die mittlere Str¨ omung oder Momente niedriger Ordnung gering sind. Dadurch k¨onnen die Simulationskosten stark reduziert werden und/oder die Str¨omung in einem gr¨oßeren Reynolds–Zahl–Bereich berechnet werden. Das Versprechen der LES ist also, mit weniger Aufwand “dieselben” Resultate zu liefern wie eine DNS, allerdings nur f¨ ur bestimmte Gr¨oßen [196]. Dieser Aspekt wurde hier nicht nur bei den Grundlagen der Modellierung sorgf¨altig nachgewiesen, sondern auch unter dem Aspekt der Auswertung, insbesondere auch der Visualisierung diskutiert. Im vorliegenden Text wurden detailliert die verschiedenen Modellierungselemente in einer LES beschrieben: Feinstrukturmodelle, Wandmodelle, k¨ unstliche R¨ ander und numerische Diskretisierung. Wie in [58] wurde auch hier nicht durchg¨ angig ein besseres Verhalten des dynamischen Modells im Vergleich zu seiner Ausgangsversion festgestellt. Ob dies realisiert wird, h¨ angt von der Str¨omung und der Feinheit des Gitters ab. Die Rolle des Diskretisierungsverfahrens wurde lange Zeit stark untersch¨ atzt und fand erst in j¨ ungster Zeit ausreichend Beachtung. Diskretisierungsfehler in einer LES mit einem Verfahren niedriger Ordnung k¨ onnen nur mit unrealistischem Aufwand fast vollst¨ andig elminiert werden [198]. Vielmehr kommt es darauf an, eine geeignete Balance zwischen Diskretisierungs– und Modellierungsfehler zu erreichen [200], [301], [199]. Dabei hat sich gezeigt, dass Diskretisierungen, mit denen gute Erfahrungen bei RANS– oder DNS–Rechnungen gemacht wurden, f¨ ur LES oft nicht oder nur bedingt geeignet sind. Hier ist also ein Umdenken n¨ otig. Auch die Wahl anderer Elemente des Verfahrens muss im Hinblick auf LES kritisch gepr¨ uft werden. So sind z.B. explizite Verfahren der Zeitdiskretisierung, anders als bei RANS, f¨ ur LES durchaus geeignet und effizient. Da in einer praktisch ausgef¨ uhrten LES Diskretisierungsfehler also immer eine Rolle spielen, ist dies auch in der theoretischen Analyse zu ber¨ ucksichtigen. Hier sollte immer gefragt werden, wie sich derartige Resultate auf den diskreten Fall u ¨ bertragen und wie sensitiv sie im Bezug auf die zugrunde liegende Gl¨ attungsoperation sind, die ja i.A. w¨ ahrend der Simulation nicht bekannt ist. Da die Gitterschrittweite bei fast allen Ans¨ atzen die Trennung zwischen aufgel¨osten und modellierten Anteilen bestimmt, kommt der Wahl des Rechengitters bei LES eine noch bedeutendere Rolle zu als bei anderen Methoden. Außerdem ist die Kontrolle dieses Aspektes dadurch ungleich schwieriger. Vielfach werden in der Literatur LES im Hinblick auf Methodik und Leistungsf¨ ahigkeit anhand von Str¨ omungen bei sehr niedriger Reynolds–Zahl getestet. Hier ist stets zu hinterfragen, ob und inwieweit Resultate auch bei h¨oheren, praxisrelevanten Reynolds–Zahlen g¨ ultig bleiben. Auch wenn inzwischen einige kommerzielle Codes eine LES–Option besitzen, zeigt sich immer wieder, dass f¨ ur Konfiguration, Durchf¨ uhrung und Bewertung derartiger

10 Zusammenfassung und Ausblick

339

Rechnungen spezielles Wissen erforderlich ist. LES–Rechnungen k¨ onnen nicht als “Black Box” durchgef¨ uhrt werden. Eine der wichtigsten Grundlagen f¨ ur den Fortschritt der LES war und ist die Entwicklung der Computerhardware. Die Qualit¨at einer LES h¨ angt in hochgradig nichtlinearem Maße von der globalen und lokalen Feinheit des Gitters ab. Zur Durchf¨ uhrung einer LES f¨ ur eine bestimmte Konfiguration ist daher eine bestimmte Mindestanzahl an Gitterpunkten n¨ otig. Wird sie nicht erreicht, dominieren numerische Fehler, und die physikalische Bedeutung der aufgel¨ osten Anteile ist zweifelhaft. Die Zunahme von Rechengeschwindigkeit und Hauptspeicher hat dazu gef¨ uhrt, dass momentan f¨ ur immer mehr Str¨ omungen diese kritische Gitterpunktzahl erreicht wird [474]. Einen wesentlichen Anteil bei den Fortschritten der LES hat also auch die Verwendung feinerer Gitter. Nun wird an vielen Stellen das Versprechen eingel¨ ost, dass auch mit einfachen FS–Modellen gute Ergebnisse erzielt werden k¨ onnen. Nach wie vor besteht jedoch die Herausforderung in der Balance zwischen Qualit¨ at der Vorhersage und den aufgewendeten Kosten dieser oder alternativer Methoden. Schließlich ist aber auch darauf zu achten, inwieweit eine Konfiguration den Einsatz einer LES erlaubt bzw. besonders geeignet f¨ ur die Berechnung mit LES ist. Bei der unterkritischen Zylinderumstr¨ omung ist dies f¨ ur die direkte Zylindern¨ ahe zu verneinen, f¨ ur den Nachlauf jedoch eindeutig zu bejahen. Bei anderen, voll turbulenten Str¨ omungen kann schon auf vergleichsweise groben Gittern ein gutes Resultat erzielt werden, wie z.B. bei der Str¨ omung um eine W¨ urfelmatrix [377] oder bei Drallstr¨omungen [184]. LES soll und wird nicht das alleinige Werkzeug zur Berechnung turbulenter Str¨ omungen werden. Wichtig ist letztlich, wie bei allen Simulationen, welches Ergebnis mit welcher Genauigkeit gesucht ist. Trotz der teilweise kritischen und zur Vorsicht mahnenden Bemerkungen dieses Abschnitts ist der große Erfolg zu betonen, den LES in der letzten Jahren gemacht hat. Viele wichtige Untersuchungen konnten durchgef¨ uhrt und bedeutsame Resultate gewonnen werden. Dabei erweitert sich der Anwendungsbereich st¨andig und wird sicherlich immer mehr nicht nur in den universit¨ aren, sondern auch in den industriellen Forschungs– und Entwicklungsbereich vorstoßen. In methodischer Hinsicht ist die Analyse und Kontrolle der verschiedenen Fehler ein wichtiges Thema, das gegenw¨artig und zuk¨ unftig aktuell ist. Die dynamische Prozedur stellt einen ersten kleinen Schritt in diese Richtung dar. Die adaptive Simulation von Turbulenz, in [175] zusammen mit K. Schneider vom Autor realisiert, ist ein weiteres Element, heute als “Coherent Vortex Simulation” bezeichnet. Das Fernziel ist eine automatische Balance zwischen Kosten und Qualit¨at einer Simulation f¨ ur turbulente Str¨ omungen in allen Reynolds–Zahl– Bereichen. Auf die Verbesserung dieser Balance zielen auch aktuelle Entwicklungen zur Kopplung von LES und RANS, die zwar noch in den Anf¨ angen stecken, aber zuk¨ unftig immer wichtiger werden. Dabei wird in einem Teil des Rechengebietes ein RANS–Modell eingesetzt, in einem anderen ein LES–Modell. Das DES–Konzept ist ein Beispiel f¨ ur solch ein Verfahren. Es geh¨ort zu der Klasse so genannter “Auf die Verbesserung dieser Balance zielen auch aktuelle Entwicklungen zur Kopplung von LES und RANS, die zwar noch in den Anf¨ angen stecken, aber zuk¨ unftig immer wichtiger werden. Dabei wird in einem Teil des Rechengebietes ein RANS–Modell eingesetzt, in einem anderen ein LES–Modell. Das DES– Konzept (Abschnitt 8.7) ist ein Beispiel f¨ ur solch ein Verfahren. Es geh¨ ort zu der Klasse so genannter “nichtzonaler Verfahren”, bei denen das Modell bestimmt, an welcher Stelle das

340

10 Zusammenfassung und Ausblick

Umschalten zwischen LES und RANS geschieht. Im Fall der DES ist hierf¨ ur die Konstante CDES mit verantwortlich. Ein anderer Vorschlag dieser Art stammt beispielsweise von Speziale [560]. Bei “zonalen Verfahren” wird dagegen durch den Anwender von vorn herein festgelegt, wo und in welcher Art die Kopplung stattfinden soll. Dadurch ist es m¨ oglich, gezielt in den Informationsaustauch einzugreifen. Die gr¨ oßte Schwierigkeiten bereitet die Schnittstelle, wenn die RANS–Simulation stromauf und die LES stromab lokalisiert sind. Dann m¨ ussen, wie bei der Generierung von Einstr¨ omsignalen diskutiert, Fluktuationen bereitgestellt werden, die in der RANS–Rechnung nicht aufgel¨ ost sind. Den methodischen und technischen Schwierigkeiten steht ein großes Einsparungspotenzial gegen¨ uber, so dass diese Entwicklungen derzeit intensiv betrieben werden. Verf¨ ugt man mit LES u ¨ ber eine effiziente Beschreibung der instantanen Wirbelbewegung in einer Str¨ omung, so ist es interessant, sie durch die Kopplung an andere Ph¨ anomene zu erweitern. Ein solcher Einsatzbereich ist die Fluid–Struktur–Interaktion. Hier stellt LES nicht nur die instation¨ aren Str¨omungskr¨afte bereit, sondern es wird auch die Reaktion der Struktur ¨ und ihre R¨ uckwirkung auf die Str¨omung durch Anderung der Geometrie mit ber¨ ucksichtigt. Instation¨ are Randbedingungen sind ebenfalls bei der aktiven Turbulenzkontrolle im Spiel. Dieses zur Zeit sehr prosperierende Themenfeld baut notwendigerweise auf DNS bzw. LES auf. Mit LES sind die energietragenden turbulenten Schwankungen einer Berechnung und Analyse zug¨ anglich, und zwar in ihrer spektralen Zusammensetzung. Das ist die Voraussetzung zur Simulation der Entstehung von Turbulenzl¨ arm und seiner Ausbreitung, also Aeroakustik. Solche Rechnungen k¨onnen homogen erfolgen, d.h. mit direkter Berechnung der Schallwellen durch die L¨osung der kompressiblen Gleichung, oder heterogen, d.h. durch Kopplung der LES im Bereich der Schallerzeugung an spezielle Verfahren der Aeroakustik zur Berechnung des Fernfeldes der Schallausbreitung. Weitere Einsatzgebiete, in denen LES zuk¨ unftig eine große Rolle spielen wird, entstehen durch Kopplung der Turbulenz an weitere Ph¨anomene innerhalb der Str¨omung, Partikeltransport und Sprayausbreitung als Beispiele f¨ ur Mehrphasenstr¨omungen und besonders auch chemische Reaktionen. In den genannten Feldern sind bereits vielversprechende Anf¨ange gemacht worden, die in Zukunft sicher weiter ausgebaut werden.

Experimentelle Beobachtung und numerische Simulation, genauso wie die Analyse der mathematischen Gleichungen auf den unterschiedlichen Modellierungsebenen, sind die Werkzeuge der Str¨ omungsmechanik. Sie offenbaren immer wieder, neben den wissenschaftlich interessanten und wirtschaftlich verwertbaren Fakten, auch die Sch¨ onheit der Str¨ omungsph¨ anomene.

s isch lang summer gsi d wackes strecke d truckeni bickel us em bach Wendelinus Wurth [650]

A

Anh¨ange

A.1

Fourier–Transformation

Hier sollen die wichtigsten Definitionen und Eigenschaften in einer leicht zug¨ anglichen Weise bereitgestellt werden. F¨ ur mathematische Abhandlungen sei auf die Literatur, wie etwa [641], [337], [11] verwiesen.

A.1.1

¨ Uberblick u ¨ ber die verschiedenen Definitionen

Als Fourier–Transformation kann man jede Operation bezeichnen, bei der eine Gr¨ oße mit einem komplexen Exponentialterm eı... multipliziert wird (ı2 = −1) und anschließend eine Integration oder Summation durchgef¨ uhrt wird. Anwendung findet diese Technik in so vielen Bereichen, dass diese hier nicht einmal aufgez¨ ahlt werden k¨ onnen. Es gibt daher viele unterschiedliche Definitionen f¨ ur die Fourier–Transformation, jedoch ¨ andern sich nur die technischen Details. Die grundlegenden Eigenschaften sind stets dieselben und werden im Folgenden am einfachsten Fall dargestellt. In Tabelle A.1 sind einige Definitionen zusammengetragen. Dort bezeichnet die Menge der ganzen Zahlen, die reellen und die komplexen Zahlen. ist der Torus , d.h. das Intervall [0; 1] wobei Periodizit¨at aller Funktionen gefordert wird. In Tabelle A.1 erkennt man, dass verschiedene Objekte transformiert werden k¨onnen, Funktionen f (x), x ∈ , unendliche Zahlenfolgen fj , j ∈ , endliche Zahlenfolgen fj , j = 1, . . . , N , etc. Dabei sollen hier zun¨ achst alle Werte f (x) und fj komplexe Zahlen sein. Es handelt sich bei der Fourier– Transformation um eine eins-zu-eins Abbildung, bei der genau dieselbe Information einmal im so genannten Ortsbereich und einmal im Frequenzbereich dargestellt wird. Numerisch implementieren l¨ asst sich nur der vollst¨andig diskrete Fall, bei dem ein Vektor von N Zahlen fj in einen zweiten Vektor von N Zahlen fˆk u uhrt wird. Die anderen F¨ alle k¨ onnen ¨ berf¨ numerisch nur approximiert werden, beispielsweise durch Wahl von sehr großen N und fj = f (xj ), xj = j/N . Die in den Definitionen auftretenden Summen und Integrale m¨ ussen in jedem Fall existieren. Dadurch ergeben sich Bedingungen an die Objekte, die transformiert werden k¨ onnen. F¨ ur diesen Aspekt sei jedoch auf die Literatur verwiesen, wie etwa [11]. Hier gen¨ ugt es zun¨ achst festzustellen, dass in den technischen Anwendungen Intervalle i.A. endlich und Funktionswerte beschr¨ankt sind. In diesem Fall existieren alle auftretenden Summen und Integrale. In Tabelle A.1 wurden die Transformationen mit dem Faktor 2π im Exponenten formuliert. Dadurch werden Vorfaktoren vermieden, und die Darstellung ist f¨ ur numerische Aspekte geeignet [479].

342

A Anh¨ ange

H¨ aufig werden auch andere Definitionen verwendet, von denen einige kurz erw¨ ahnt werden sollen. Zur Unterscheidung wird hier der linke obere Index (1),(2), ... verwendet. Mathematiker und Physiker benutzen oft die Kreisfrequenz ω = 2πξ und definieren  ∞ ω (1) ˆ f (x)e−ıωx dx = fˆ( ) . f (ω) = (A.1) 2π −∞ Das zweite Gleichheitszeichen gibt die Beziehung zu der hier verwendeten Definition aus Tabelle A.1 an. Die R¨ ucktransformation lautet  ∞ 1 (1) ˆ f (x) = (A.2) f (ω)eıωx dω . 2π −∞ Sehr oft wird auch (2)

1 fˆ(ω) = 2π





∞

...

,

∞

f (x) =

....

−∞

(A.3)

−∞

verwendet [327]. Seltener sieht man  ∞ 1 (3) ˆ ... , f (ω) = √ 2π −∞

1 f (x) = √ 2π



∞

....

(A.4)

−∞

In der amerikanischen Literatur, wie [584], wird das Vorzeichen im Exponent h¨ aufig entgegengesetzt benutzt, d.h.  ∞ ω (4) ˆ f (x)eıωx dx = fˆ(− ) . f (ω) = (A.5) 2π −∞ Wichtig ist jedoch, dass sich trotz l¨astiger Umrechnungen die grundlegenden Eigenschaften nicht ¨ andern. Zur letzten Definition in Tabelle A.1 sei noch angemerkt, dass die so berechneten fˆk N –periodisch sind. Man kann also z.B. f¨ ur ungerade N die Indexgrenzen k = −(N − 1)/2, . . . , (N − 1)/2 w¨ahlen. Die Algorithmen zur schnellen Berechnung dieser diskreten Fourier–Transformation (FFT) sind von optimaler Komplexit¨ at und extrem effizient [109], [479]. Tab. A.1 Fourier–Transformationen in verschiedenen Zusammenh¨ angen Ortsbereich Darstellung ∞

f (x) =

−∞


Koordinate

fˆ(ξ) e

∞

f (x) =

2πıξx

dξ

fˆk e2πıkx

Frequenzbereich Darstellung fˆ(ξ) =

x∈ x∈ 

fˆk =

k=−∞ 1

fj =

0


fˆ(ξ) e2πıξx dξ

N

fj = k=1

j∈ 

1 0

∞ −∞

f (x) e

−2πıξx

f (x) e−2πıkx dx

fˆ(ξ) =


∞

fj e−2πıξj

Koordinate dx

ξ∈ k∈ ξ∈





j=−∞

fˆk e2πıjk/N

j = 1, . . . , N

fˆk =


N

j=1

fj e−2πıjk/N

k = 1, . . . , N

343

A.1 Fourier–Transformation

A.1.2

Periodische Funktionen als Fourier–Summen

Dieser Fall ist der anschaulichste und mathematisch einfachste und wird daher im folgenden zur Diskussion der Eigenschaften von Fourier–Transformationen benutzt. Die Formulierung f¨ ur die anderen F¨alle in Tabelle A.1 geschieht v¨ollig analog. Ausgangspunkt ist eine stetige und beschr¨ ankte Funktion f mit der Periode L, d.h. z∈

f (x) = f (x + zL)

, x∈ , f ∈

.

(A.6)

Jedes Intervall [x; x + L], beispielsweise [0, L], wird als Fundamentalintervall oder Periode bezeichnet. Ist f f¨ ur diese Werte gegeben, liegt die Funktion wegen (A.6) vollst¨ andig fest. Eine solche Funktion l¨asst sich darstellen als ∞ 2πx f (x) = (A.7) fˆk eık L k=−∞

mit 1 fˆk = L



L

f (x) e−ık

2πx L

dx

.

(A.8)

0

Die Darstellung (A.7) gilt auch noch, wenn f endlich viele Unstetigkeitsstellen besitzt, wobei die Summe dann gegen den Mittelwert des rechts– und linksseitigen Grenzwertes von f konvergiert. Durch die Wahl von L kann man verschiedene F¨ alle abdecken, insbesondere L = 1, L = 2π, L → ∞. Im weiteren sei ohne Beschr¨ ankung der Allgemeinheit L = 1.

A.1.3

Eigenschaften der Koeffizienten

Die Transformation (A.8) ist definiert f¨ ur f ∈ und f¨ uhrt i.A. auf fˆk ∈ Eigenschaften der Funktion f spiegeln sich in den Koeffizienten wider.

. Spezielle

• Reelle Funktion. Ist f ∈ , z.B. wenn f ein Zeitsignal an einem Punkt in einer Str¨ omung ist, folgt fˆk = conj{fˆ−k }

.

(A.9)

Damit ist |fˆk | = |fˆ−k | ,

(A.10)

d.h. das Amplitudenspektrum ist symmetrisch bzgl. k = 0. • Symmetrien – Achsensymmetrie bzgl. x = 0 f (x) = f (−x)

⇔

fˆk = fˆ−k

.

(A.11)

Ist dar¨ uber hinaus f ∈ , so folgt fˆk ∈ . – Antisymmetrie bzgl. x = 0 f (x) = −f (−x)

⇔

fˆk = −fˆ−k

.

F¨ ur reelle f folgt also fˆk ∈ , d.h. fˆk ist rein imagin¨ ar.

(A.12)

344

A Anh¨ ange

• Darstellung mit reellen Koeffizienten. Die Interpretation wird erleichtert durch die Zerlegung e2πıkx = cos(2πkx) + ı sin(2πkx)

.

(A.13)

F¨ ur reelle f ergibt sich dann f (x) =

∞ k=−∞

fˆk e2πıkx = a0 +

∞ k=1

(ak cos(2πkx) + bk sin(2πkx)) , (A.14)

mit ak = 2{fˆk }, bk = 2{fˆk }.

A.1.4

Operationen im Frequenzbereich

Ausgangspunkt ist die Definition  fˆk =

1

f (x) e−2πıkx dx

.

(A.15)

0

Operationen, die auf f (x) im Ortsbereich angewendet werden, k¨ onnen nun u ¨bersetzt werden in Operationen im Frequenzbereich und umgekehrt. • Die Fourier–Transformation ist linear. ⇔

f (x) = g(x) + h(x)

fˆk = λˆ gk

⇔

f (x) = λg(x)

ˆk fˆk = gˆk + h .

(A.16) (A.17)

D.h. einzelne Anteile u ¨ berlagern sich ungest¨ort. • Lineare Koordinatentransformation im Ort: – Verschiebung, Translation ⇔

f (x) = g(x + ∆x)

fˆk = gˆk e−2πık∆x

(A.18)

– Skalierung x f (x) = g( ) n Die Einschr¨ ankung n ∈

fˆk = gˆnk

⇔

n∈

(A.19)

ist hier vonn¨oten, damit f (x) dieselbe Periodizit¨ at wie g(x) hat.

• Ableitung und Integration – Ableitungen f (x) =

d g(x) dx

⇔

fˆk = 2πık gˆk

(A.20)

345

A.1 Fourier–Transformation

– Stammfunktion (so nur m¨oglich, wenn gˆ0 = 0)  1  x ˆk 2πık g ˆ f (x) = g(ξ)dξ ⇔ fk = 0 0 – bestimmtes Integral  1 C= f (x)dx

⇔

C = fˆ0

⇔

fˆk =

k = 0

(A.21)

k=0

(A.22)

0

• Produkte, Faltungssatz f (x) = g(x)h(x)

 l∈

ˆ k−l gˆl h

.

(A.23)

Die letzte Summe wird als Faltungssumme bezeichnet. Speziell folgt mit (A.22) 



1

1

f (x)dx = 0

g(x)h(x)dx

⇔

fˆ0 =

0

und insbesondere mit g = h  1  1 f (x)dx = g 2 (x)dx 0

⇔

fˆ0 =

0

 k∈

 l∈

ˆ −l gˆl h

gˆk conj{ˆ gk } =

(A.24)

 k∈

|ˆ gk |2 . (A.25)

D.h. die “Energie” von g(x) wird sehr einfach ausgedr¨ uckt durch die Amplitudenquadrate (Parsevalsche Gleichung). So wie aus einem Produkt im Ort eine Faltung im Frequenzbereich wird, so u ¨ bersetzt sich umgekehrt eine Faltung im Ort in ein einfaches Produkt im Frequenzbereich  1 ˆk . g(y)h(x − y)dy ⇔ fˆk = gˆk h (A.26) f (x) = 0

F¨ ur das Faltungsintegral schreibt man auch kurz f = g ∗ h. • Momente F¨ ur den kontinuierlichen Fall ist schließlich noch folgende Beziehung sehr n¨ utzlich, die sich durch Ableiten von (A.1) auf beiden Seiten nach ω ergibt  ∞  ˆ  xn f (x) dx = ın ∂ωn (1)f(ω) (A.27) ω=0

−∞

A.1.5

Orthogonalsystem

Die bisher genannten Eigenschaften sowie die Bezeichnungen zwischen Hin– und R¨ ucktransformation beruhen auf der Orthogonalit¨at der verwendeten Basisfunktionen bk (x) = e2πıkx

.

(A.28)

346

A Anh¨ ange

F¨ ur diese Funktionen gilt 



1

bk (x) conj{bm (x)}dx = δk,m = 0

1

k=m

0

sonst

(A.29)

Das Integral in (A.29) ist dabei das Skalarprodukt im Raum der Funktionen mit beschr¨ ankter Energie. Gleichung (A.29) und die Analoga f¨ ur die anderen in Tabelle A.1 definierten F¨ alle sind die Grundlage f¨ ur die vielen vorteilhaften Beziehungen und Algorithmen auf der Basis der Fourier–Transformation.

A.1.6

Glattheit

Die Glattheit oder Regularit¨at einer Funktion f bezeichnet die Stetigkeits– und Differenzierbarkeitseigenschaften. Je h¨aufiger eine Funktion differenzierbar ist, desto schneller klingen die Fourier–Koeffizienten ab. Einige Beispiele aus der Formelsammlung, zusammengestellt in Tabelle A.2, illustrieren dies. Ist also p die Zahl der stetigen Ableitungen, so klingen die Fourier–Koeffizienten mit k −(p+2) ab. Existieren alle Ableitungen, so klingen die Koeffizienten schneller als jede Potenz ab [205, S.27]. Hier ist auf den Bezug zum Spektrum isotroper Turbulenz hinzuweisen. Da das Geschwindigkeitsfeld beliebig oft differenzierbar ist, muss das Spektrum E(k) f¨ ur k → ∞ entsprechend schnell abklingen. Dies motiviert die Wahl eines Exponentialterms zur Beschreibung des Spektrums im Dissipationsbereich wie z.B. in Gleichung (2.62). Unstetigkeitsstellen k¨ onnen sich wegen der Periodizit¨ at auch an den Intervallr¨ andern ergeben, z.B. bei f (x) = sin( π2 x). Insbesondere wird deutlich, dass eine einzige Unstetigkeitsstelle in der Funktion oder einer Ableitung das Abklingverhalten der Koeffizienten drastisch ver¨andern kann. Eine sehr wichtige Anwendung dieser Eigenschaft ist die Fourier–Analyse von experimentellen oder numerischen Zeitsignalen. Diese sind endlich. Wird das Signal, so wie es ist, transformiert, entsteht durch die bei der Transformation implizit aufgepr¨ agte Periodizit¨ at i.A. eine Unstetigkeitsstelle am Intervallrand. Die Koeffizienten klingen also ab mit ∼ 1/k. Soll beispielsweise der Inertialbereich einer turbulenten Str¨ omung betrachtet werden, so kann der Effekt das erwartete Abklingen ∼ k −5/3 u ost wird das Problem ¨ berdecken. Gel¨ durch Multiplikation mit einer glatten Fensterfunktion w(x), z.B. w(x) = (1 − cos(2πx))/2

,

x ∈ [0; 1] ,

(A.30)

dem sog. Hann–Fenster. Die Funktion h(x) = w(x)f (x) und ihre Ableitung sind jetzt an den Intervallr¨ andern stetig, so dass die Koeffizienten von h mit 1/k 3 abklingen, wenn nicht die Eigenschaften von f (x) auf ein langsameres Abklingen f¨ uhren. Nur so kann man das gesuchte Verhalten ∼ k −5/3 sicher finden. Die Analyse dessen, was durch die Multiplikation von f mit w geschieht, erfolgt mit dem oben genannten Faltungssatz.

A.1.7

Lokalisierung

Grunds¨ atzlich hat eine erh¨ohte Lokalisierung im Ort eine geringere Lokalisierung in der Frequenz zur Folge und umgekehrt. Zur Illustration kann die Gauß–Funktion dienen, deren

347

A.1 Fourier–Transformation

Tab. A.2 Einige 1–periodische Funktionen und ihre Darstellung als sin– bzw. cos–Reihe [62]. Die Koeffizienten ergeben sich durch den Vergleich mit dem Ansatz (A.14). Ortsbereich 1 ] 2

Stetigkeit

Frequenzbereich

Rate

f (x) =

x x−1

x ∈ [0, x ∈ [ 12 , 1]

f unstg.

f (x) =

1 sin(2πx) ( 1 π

f (x) =

x 1−x

x ∈ [0, 12 ] x ∈ [ 12 , 1]

df dx

f (x) =

1 − π22 ( cos(2πx) + cos(2π3x) 4 12 32

f (x) =

x ( 12 −x) x ∈ [0, 12 ] 1 (1−x)( 2 −x) x ∈ [ 21 , 1]

unstg.

d2 f dx2

unstg. f (x) =

−

4 sin(2πx) ( 13 π2

sin(2π2x) 2

+

+...)

sin(2π3x) 33

∼

1 k

+. . . ) ∼

1 k2

∼

1 k3

+ ...)

Fourier–Transformation wieder eine Gauß–Funktion ist. Im kontinuierlichen Fall erh¨ alt man g(x) = √

x2

1 2πσ 2

gˆ(ξ) = e−2π

2

e− 2σ2

σ2 ξ2

ξ∈

x∈

(A.31)

,

(A.32)

was sich entsprechend in den periodischen Fall u agt. Die Varianz von g(x) ist σ, die ¨ bertr¨ Varianz von gˆ(ξ) ist proportional 1/σ. In Anlehnung an die Physik spricht man auch von Unsch¨ arferelation, weil das Produkt aus der Breite im Ort and der Breite im Frequenzbereich konstant bleibt. Diese Eigenschaft wurde bei der Definition der Fensterfunktion in Abschnitt A.1.6 benutzt. Die Funktion w(x) ist wenig lokalisiert, w ˆk dagegen sehr stark. Dadurch ist in weiten Beˆk = w reichen h ˆk ∗ fˆk ≈ fˆk sehr gut erf¨ ullt, d.h. die Koeffizienten der mit dem Fenster multiplizierten Funktion geben die urspr¨ unglichen Koeffizienten sehr gut wieder.

A.1.8

Das Spektrum

In der Literatur werden unterschiedliche Definitionen verwendet. Wir bezeichnen hier |fˆk |2 als Energiespektrum. Je nachdem, welche Definition f¨ ur fˆ verwendet wird, ergeben sich

unterschiedliche Vorfaktoren. Dies wird vermieden, wenn mit k |fˆk |2 normiert wird, was dann als Energiespektrumsdichte (’power spectrum density’ oder PSD) bezeichnet wird. Als wichtige Eigenschaft ist festzuhalten, dass das Spektrum |fˆk | und alle daraus abgeleiteten Gr¨ oßen keine “Informationen u oglich ¨ ber den Ort” enthalten. Es ist z.B. nicht mehr m¨ zu erkennen, an welcher Stelle eine Unstetigkeit in f (x) auftritt. Grund ist die Bildung des Betrages (siehe Gleichung (A.18) ). Die Gesamtenergie eines reellen Signals f ist E=

1 2



1

(f (x))2 dx = 0

∞ 1  fˆ2 |fˆk |2 = 0 + |fˆk |2 k=1 k∈ 2 2

(A.33)

348

A Anh¨ ange

wobei f¨ ur die zweite Gleichung die Eigenschaft (A.10) benutzt wurde. Man kann also die Energie E zerlegen in Betr¨age, die von den verschiedenen Frequenzen herr¨ uhren ∞ E = E0 + Ek ; Ek = |fˆk |2 . (A.34) k=1

Diese Eigenschaft ist wesentlich f¨ ur die Einsetzbarkeit der Fourier–Transformation als Analysewerkzeug. Wegen der Symmetrie der Koeffizienten fˆk eines reellen Signals (A.10) wird |fˆk | i.A. nur f¨ ur k ≥ 0 dargestellt, f¨ ur Ek gilt dies in jedem Fall.

A.1.9

Ho¨here Dimensionen

Alle in Tabelle A.1 aufgelisteten Transformationen lassen sich problemlos auch in mehreren Dimensionen durchf¨ uhren. Dies sei hier f¨ ur den dreidimensionalen Fall dargestellt. Im Zweidimensionalen oder bei noch h¨oheren Dimensionen verl¨ auft alles entsprechend. Die Funktion f ist weiterhin eine reelle oder komplexe skalare Funktion, nur jetzt abh¨ angig von xj , j = 1, 2, 3. F¨ ur periodische Funktionen (Def. (A.7), (A.8)) wird dazu x ∈ durch xj ∈ 3 ersetzt und k ∈ durch kj ∈ 3 (hier also L = 1, die Verallgemeinerung erfolgt analog). Die entsprechende Definition lautet dann  fˆ(x1 , x2 , x3 ) = (A.35) fˆk1 ,k2 ,k3 e2πı(k1 x1 +k2 x2 +k3 x3 ) . 3 (k1 ,k2 ,k3 )∈

Unterdr¨ uckt man die Indizes durch Vektornotation, k = (k1 , k2 , k3 ) und kennzeichnet das Skalarprodukt im Exponenten durch einen Punkt, erh¨ alt man auch optisch nahezu wieder Gleichung (A.7),(A.8)  f (x) e−2πık·x (A.36) fk = 3

f (x) =

 3

k∈

fˆk e2πık·x

.

(A.37)

Alle oben diskutierten Eigenschaften bleiben analog erhalten. Lediglich bei Energiespektren der Funktion f (x) ist zu ber¨ ucksichtigen, dass die Wellenzahl k jetzt ein dreidimensionaler Vektor ist. Daher wird u ¨ber Kugelschalen summiert : Ek =

1 |fˆk |2 k∈ 3 2 |k|=k

(A.38)




(k, nicht fett gedruckt, ist hier wieder eine Zahl, n¨ amlich k = |k|). In Abb. A.1 ist die Berechnung eines zweidimensionalen Spektrums aus Daten auf einem kartesischen Gitter illustriert. In diesem Beispiel ist das Gebiet [0; 2π]2 mit 9 Punkten in jeder Richtung diskretisiert. Wegen der Periodizit¨ at der Ortskoordinaten sind die Werte 0 und 2π identisch, so dass bei x1 = 2π und x2 = 2π keine Punkte eingetragen sind (Abb. A.1a). Analog zu Gleichung (A.35) kann nun die entsprechende Fourier–Summe f (x1 , x2 ) =

4 k1 =−4

4 k2 =−4

fˆk1 ,k2 e2πı(k1 x1 +k2 x2 )

(A.39)

349

A.1 Fourier–Transformation

berechnet werden, die die Daten interpoliert und in diesem Fall endlich ist. Die darin enthaltenen Fourier–Koeffizienten fˆk1 ,k2 werden nach dem Schema in Abb. A.1b angeordnet. Die Bestimmung eines zweidimensionalen Spektrums analog zu (A.38) erfolgt durch Summation u ¨ ber Kreisringe, hier k ∈ [0; 0,5], k ∈ [0,5; 1,5], etc. Der durchgezogene Kreis kennzeichnet die maximale vollst¨andig aufgel¨oste außere die oßte auftretende √ Wellenzahl kmax,1d , der ¨ √ gr¨ Wellenzahl insgesamt, kmax,2d = 2 kmax,1d (entsprechend kmax,3d = 3 kmax,1d ). Die Anteile zwischen beiden Wellenzahlen mit kmax,1d < k ≤ kmax,2d werden auf dem gegebenen Gitter nur unvollst¨andig erfasst, wie das Schema illustriert. a

Ortsbereich

b

Frequenzbereich

k2

2/

4

|k|

x2

0

0

k1

-4 0

x1

2/

-4

0

4

Abb. A.1 Illustration der zweidimensionalen Fourier–Transformation mit 9 × 9 Werten. a) Anordnung der Daten im Ortsbereich, b) Anordnung der Daten im Frequenzbereich.

A.1.10 Das kontinuierliche Spektrum In vielen Arbeiten wird das Turbulenzspektrum im kontinuierlichen Sinn diskutiert. Seine Beziehung zu dem bis hierher diskutierten diskreten Spektrum soll nun dargestellt werden. Die Definition von fˆ(ξ) in Tabelle A.1 erfordert, dass das Integral existiert. Dazu muss die Funktion f¨ ur x → ±∞ abklingen, wie beispielsweise die Gaußfunktion (A.31). Dies ist jedoch nicht der Fall, wenn es sich um ein turbulentes Zeitsignal handelt. F¨ ur f (x) = 1 existiert das Integral im u ¨ blichen Sinne z.B. nicht. In [245], Sec.1-12 wird die Problematik dadurch umgangen, dass nur endliche Intervalle betrachtet werden (L < ∞ in Gl. (A.40)–(A.43) weiter unten). Die Wellenzahl bleibt dann diskret. Dieser Abschnitt erweitert die vorigen unter Zuhilfenahme des Distributionenbegriffs in Anlehnung an [102], App. D, was auf eine kontinuierliche Variable im Frequenzbereich f¨ uhrt. Außerdem wird hier wie im Großteil der physikalischen Literatur die Kreisfrequenz verwendet. Die Verh¨altnisse werden wesentlich vereinfacht durch die aufgrund der Anwendungen m¨ogliche Einschr¨ankung auf beschr¨ankte und stetige Funktionen. Gegeben sei ein Signal f (x), x ∈ , das nicht abklingt, also z.B. das Zeitsignal einer turbulenten Str¨omung. Auf einem Intervall der L¨ange L wird die Funktion 0 1 L L ; x∈ − , (A.40) f (L) (x) = f (x) 2 2

350

A Anh¨ ange

definiert. Mit 2πk L

k∈

(A.41)

kann diese Funktion gem¨aß (A.7), (A.8) dargestellt werden als  f (L) (x) = Fωk eıωk x

(A.42)

ωk =

;

k∈

Fωk =

1 L



L 2

−L 2

f (x)(L) e−ıωk x dx

,

(A.43)

(L)

wobei Fωk = fˆk wegen der gew¨ahlten Voraussetzungen f¨ ur alle L, auch im Grenzfall L → ∞, existiert. (NB: Die Transformation “sieht” eine Unstetigkeit am Intervallrand, deren Bedeutung aber sp¨ater mit limL→∞ verschwindet.) Die “Energie” des Signals f (L) ist nach (A.25) 1 2



L 2

−L 2



2 1 f (L) (x) dx = L |Fˆωk |2 k∈ 2

.

(A.44)

Die Summe in (A.44), ohne den Vorfaktor L, dr¨ uckt also die spezifische Energie, d.h. die Energie dividiert durch L, aus. (L) Das diskrete Spektrum fˆk kann in Abh¨angigkeit von k aufgetragen werden. Sinnvoller ist uhren, daher die Notation aber, die “physikalische” Wellenzahl bzw. Kreisfrequenz ωk einzuf¨ Fωk . Verdoppelt man nun die L¨ange L, so wird das diskrete Spektrum Fωk dichter, der Abstand ∆ω = 2π/L zwischen den einzelnen Werten ωk sinkt auf die H¨ alfte. Es liegt daher uhren. Mit ∆ω l¨ asst sich nahe, den Grenz¨ ubergang limL→∞ mit festgehaltenem ω durchzuf¨ (A.42) auch schreiben als    1 f (L) (x) = (A.45) Fωk eıωk x ∆ω . k∈ ∆ω Da limL→∞ ∆ω = 0, kann im Grenzfall die Summe durch ein Integral ersetzt werden, d.h.  ∞ F (ω) eıωx , (A.46) f (x) = lim f (L) (x) = L→∞

−∞

wobei der Klammerausdruck in (A.45) im Grenzwert mit F (ω) bezeichnet ist, also $  L2 1 −ıωk x F (ω) = lim f (x) e dx . (A.47) 2π − L2 L→∞, ω fest otigt). (der obere Index (L) im Integral wird wegen der Definition von f (L) nicht mehr ben¨ Wenn man zul¨ asst, dass das Integral unendlich wird bzw. das Integral genau u ¨ber diesen Grenzwert definiert, erh¨alt man  ∞ 1 F (ω) = f (x) eıωx dx (A.48) 2π −∞

351

A.1 Fourier–Transformation

¨ Dies erlaubt den Ubergang von der diskreten Variablen ωk auf die kontinuierliche Variable ω und f¨ uhrt auf die bereits oben notierte Transformation F (ω) =(2)fˆ(ω), Gl. (A.3). Durch den Grenz¨ ubergang wird deutlich, was bei nicht abklingenden Funktionen f (x) geschieht, beispielsweise g(x) = 1. F¨ ur alle ωk , k ∈ {0} ist das Integral in (A.47) gleich 0. Nur f¨ ur k = 0 erh¨alt man den Wert L/(2π) → ∞. Bei der Bildung des Grenzwertes F (ω) ist hier jedoch Vorsicht geboten, denn in welchem Sinn der Grenzwert zu verstehen ist, regelt die Theorie der Distributionen, auch als verallgemeinerte Funktionen bezeichnet. In der Tat konvergiert (A.47) mit f (x) = g(x) = 1 gegen die Diracsche δ–Distribution, salopper auch “δ−Funktion” genannt. Diese “Funktion” δ(x) kann nicht an einzelnen Punkten x ausgewertet werden, sondern es sind nur integrale Ausdr¨ ucke definiert. Insbesondere gilt  ∞ δ(x) dx = 1 (A.49) −∞



∞

h(x) δ(x) dx = h(0) ,

(A.50)

−∞

wobei h(x) eine bei x = 0 stetige Funktion ist. Einsetzen von mit (A.50) f¨ ur das Beispiel, dass in der Tat  ∞ δ(ω) eıωx dω = eı0x = 1 = g(x) .

(2)

gˆ(ω) = δ(ω) in (A.3) zeigt

(A.51)

−∞

Einsetzen von (A.47) in (A.46) ergibt   ∞  ∞ 1
−ıωx

f (x) = f (x )e dω eıωx dω −∞ 2π −∞ und illustriert durch Umsortieren, dass  ∞
1 eıω(x−x ) dω = δ(x − x
) , 2π −∞

(A.52)

(A.53)

wieder mit den genannten Vorbehalten bzgl. der δ–”Funktion”. Es handelt sich hier um das kontinuierliche Analogon zu (A.29) im Diskreten. Ein Fallstrick ist, dass bestimmte Operationen mit Distributionen unzul¨ assig sind, was aus dem zu Gl. (A.49),(A.50) Gesagten folgt. So ist z.B. nur die Summe zweier δ–”Funktionen” und deren Produkt mit einer “normalen” Funktion definiert, nicht aber das Produkt zweier δ–”Funktionen” oder die Division durch eine solche ”Funktion”. Die Bestimmung der Energie eines Signals l¨asst sich beispielsweise, wie oben gesehen, sehr angenehm im Frequenzbereich durchf¨ uhren, indem dort quadriert und aufsummiert bzw. integriert wird. Wollte man dies f¨ ur die Funktion g(x) = 1 im obigen Beispiel anwenden, m¨ usste man δ(ω) quadrieren, was nicht erlaubt ist. F¨ ur eine Zerlegung der Energie in Beitr¨ age einzelner Frequenzen bleibt jedoch folgender Ausweg. Man kann g(x) zun¨ achst im Ort quadrieren, wie in (A.25) links, nur mit dem Integral u ¨ ber die ganze reelle Achse, und dann in den Frequenzbereich transformieren. Dies liefert die Gesamtenergie als Summe einzelner Frequenzbeitr¨ age, jedoch ohne Bilden des Produktes im Frequenzbereich. Der geschilderte Sachverhalt ist einer

352

A Anh¨ ange

der Gr¨ unde, weshalb die klassische Theorie isotroper Turbulenz [28] ausgeht vom Korrelationstensor Rij =
ui (x)uj (x + r), also dem Produkt im Ortsbereich, und erst danach den Spektrumstensor u ¨ ber die Fourier–Transformation von Rij bildet, dessen Spur dann das Spektrum E(k) ist.

A.1.11 Das kontinuierliche Spektrum einer periodischen Funktion und Periodisierung Es wurde skizziert, wie man durch sukzessive Vergr¨ oßerung des Integrationsgebietes im Grenzwert auch f¨ ur nicht abklingende Funktionen ein kontinuierliches Spektrum definiert. Eine periodische Funktion kann also sowohl durch eine Fourier–Summe mit der Periode L dargestellt werden und somit ein diskretes Spektrum haben, als auch, da sie wegen (A.6) auf der ganzen reellen Achse definiert ist, ein kontinuierliches Spektrum besitzen. Dieses Spektrum besteht dann aus einer Summe von δ–”Funktionen” [337]. Man kann also einerseits mit diskretem Spektrum und endlicher L¨ange L arbeiten (“flow in a box”), oder mit kontinuierlichem Spektrum und Distributionen. Ersteres ist technisch unkomplizierter, letzteres eleganter. Weiterhin kann man eine f¨ ur x ∈ gegebene Funktion f periodisieren, um eine 1–periodische Funktion f per zu erhalten. Dies geschieht u ¨ ber  f per (x) = f (x + n) (A.54) n∈

Ist f integrierbar, so trifft dies auch auf f per zu. Im Frequenzbereich ergibt sich das Spektrum durch Abtasten gem¨aß fˆk = fˆ(ω = k) ,

k∈

(A.55)

mit der Definition aus Tabelle A.1, was nach den vorangegangenen Bemerkungen auch wieder im kontinuierlichen Sinn u ¨ber δ–”Funktionen” verstanden werden kann.

A.2 Diskretisierung, Eigenwerte und effektive Wellenzahl

A.2

Diskretisierung, Eigenwerte und effektive Wellenzahl

A.2.1

Motivation

353

Bei der numerischen L¨osung einer partiellen Differentialgleichung entsteht ein Approxima¨ tionsfehler durch den Ubergang vom kontinuierlichen zum diskreten Problem. Zum einen wird eine stetige Funktion mit Hilfe von endlich vielen Freiheitsgraden dargestellt. Dar¨ uber hinaus werden Operatoren, insbesondere Ableitungsoperatoren, diskretisiert. Hier soll der Fehler betrachtet werden, der durch die Diskretisierung im Raum entsteht. Grundlage ist die Betrachtung im Frequenzbereich.

A.2.2

Kontinuierliches Problem

Als Modellgleichung wird die folgende Konvektions–Diffusionsgleichung f¨ ur die Variable φ = φ(x, t) betrachtet ∂t φ = −U ∂x φ + Γ∂xx φ

,

x∈ , t≥0

φ(x, t = 0) = φ0 (x)

(A.56) (A.57)

Hierbei handelt es sich um ein reines Anfangswertproblem, d.h. es gibt keine Randbedingungen. Außerdem kommen nur lineare Ableitungsoperatoren vor. Alle Ortsableitungen stehen auf der rechten Seite, Zeitableitungen auf der linken Seite der Gleichung. Zur Vereinfachung der Analyse sei φ komplex, d.h. φ ∈ , und die Konvektionsgeschwindigkeit U sei konstant. Die Diffusionskonstante ist aus physikalischen Gr¨ unden nie negativ, hier also Γ ≥ 0. F¨ ur den kontinuierlichen Ableitungsoperator ∂x gilt

1

∂x (eαx ) = αeαx

(A.58)

mit α ∈ . Damit wird deutlich, dass fα (x) = eαx eine Eigenfunktion dieses Operators ist. Der zugeh¨ orige Eigenwert ist α. Analoges gilt f¨ ur die Ableitung in der Zeit ∂t ∂t (eβt ) = βeβt

(A.59)

F¨ ur die L¨ osung φ von (A.56) bietet sich also ein Ansatz der Form φ(x, t) = eαx eβt

(A.60)

an. Physikalisch sinnvoll sind allerdings nur diejenigen L¨ osungen, bei denen φ(x, t) beschr¨ ankt ist. Daher muss α einen verschwindenden Realteil haben, denn sonst wird φ(x, t) entweder f¨ ur x → ∞ oder x → −∞ unendlich groß . ¨ Es sei also nun α ∈ , d.h. rein imagin¨ar. Zur besseren Ubersicht erfolgt die Substitution α = 2πik, k ∈ (kontinuierlich!). Die Skalierung mit 2π ist dabei nicht Standard und wird hier mit Blick auf sp¨atere Vereinfachung gew¨ ahlt. Einsetzen von (A.60) in (A.56) liefert βφ = −U αφ + Γα2 φ

(A.61)

1 Man h¨ atte hier auch die einfache Ableitung dx schreiben k¨ onnen, da es sich eigentlich nicht um eine partielle Ableitung handelt. So ist es jedoch auch richtig und bereitet die sp¨ atere Anwendung vor.

354

A Anh¨ ange

allgem. Eigenwert Im

C Konvektion in negative x-Richtung

Re

Diffusion

Konvektion in positive x-Richtung

Abb. A.2 Physikalische Interpretation der Eigenwerte von L.

und damit β = −2πıkU − 4π 2 k 2 Γ

,

(A.62)

das heißt 2 2

−4π k Γt φ(x, t) = eαx eβt = e2πıkx e−2πıkUt   e  

Definiert man die Amplitude A(t) = e−4π analog zur Frequenz k im Ort, ergibt sich

.

(A.63)

∈

∈ |.|=1

2 2

k Γt

und die Frequenz in der Zeit ω = kU ∈ ,

φ(x, t) = A(t) e−2πı(kx−ωt)

(A.64)

als die exakte L¨ osung von (A.56) mit der Anfangsbedingung φ0 (x) = e−2πıkx . Kompakt kann man Gleichung (A.56) mit dem linearen Differentialoperator L = −U ∂x + Γ∂xx schreiben als ∂t φ = Lφ .

(A.65)

Die Eigenwerte des kontinuierlichen Operators L sind nach (A.62) λL ∈ λL = −(4π 2 k 2 Γ) − ı(2πkU ) ,

k∈

.

mit (A.66)

Der Realteil von λL r¨ uhrt also vom Diffusionsterm her {λL } = −4π 2 k 2 Γ ≤ 0 .

(A.67)

Dagegen bestimmt der Konvektionsterm den Imagin¨ arteil {λL } = −2πkU < 0

(A.68)

und ist f¨ ur Konvektion in positive x–Richtung, d.h. U > 0, ebenfalls negativ. Das ist in Abb. A.2 dargestellt. Es soll nun untersucht werden, wie sich durch eine Diskretisierung die Eigenwerte ver¨ andert. Dabei wird die Situation auf dem Einheitsintervall [0; 1] betrachtet, was f¨ ur den gesamten Abschnitt gilt.

355

A.2 Diskretisierung, Eigenwerte und effektive Wellenzahl 60

N=20

U=1, K=0 K=0 U=0, U=1, K=0.01 U=0, K=0.01 K=0.01 U=1, U=1, K=0.01

40

Im(h)

20

Abb. A.3 Diskrete Eigenwerte bei Verwendung einer Fourier–Methode gem¨ aß (A.70) mit K = 10. Aufgetragen sind drei F¨ alle: reine Konvektion mit U = 1, Γ = 0, reine Diffusion mit U = 0, Γ = 0,01 Konvektion–Diffusion mit U = 1, Γ = 0,01.

A.2.3

0

-20

-40

-60 -60

-40

-20

0

20

40

60

Re(h)

Fourier–Methode

Bei einer Fourier–Methode basiert die Diskretisierung auf einer Entwicklung in komplexe Exponentialfunktionen ei... . Das sind aber gerade die Eigenfunktionen des obigen Operators L. Die L¨ osung φ(x, t) wird also angen¨ahert durch φK (x, t) =

K k=−K+1

φˆk (t) e2πıkt

.

(A.69)

Dadurch entstehen zwei Ver¨anderungen: Zum einen werden nur 1–periodische Funktionen verwendet. Das heißt, statt k ∈ nur k ∈ . Zum anderen ist −K + 1 ≤ k ≤ K. Die Summe wird hier unsymmetrisch angesetzt, um eine gerade Anzahl von Koeffizienten zu erhalten (so dass (A.74) gilt). Das ist f¨ ur Spektralmethoden der nahezu ausschließlich verwendete Ansatz [74].


Bilden der Ableitungen und Einsetzen zeigt, dass die diskreten Eigenwerte ou λF = −4π 2 k 2 Γ − ı(2πkU ) , k

k = −K + 1, . . . , K

(A.70)

den kontinuierlichen Eigenwerten entsprechen. D.h. hier macht sich die Diskretisierung nur in der Restriktion der m¨oglichen k bemerkbar (siehe Abb. A.3). Ein kontinuierlicher Operator bildet Funktionen auf Funktionen ab. Er hat, wie z.B. in (A.66) ersichtlich, unendlich viele Eigenwerte. Ein diskreter Operator bildet Vektoren der diskreten Unbekannten, φi , i = 1, . . . , N , auf Vektoren ab und kann im linearen Fall durch eine Matrix dargestellt werden. Er besitzt daher auch nur maximal N (diskrete) Eigenvektoren und Eigenwerte. Abb. A.3 zeigt den parabolischen Verlauf der Eigenwerte bei der linearen Konvektions– Diffusionsgleichung, der im Fall verschwindender Konvektion oder verschwindender Diffusion zu einem Verlauf entlang der reellen bzw. imagin¨ aren Achse entartet. Je geringer die Diffusionskonstante ist, desto st¨arker n¨ahert er sich der imagin¨ aren Achse. Eine Charakterisierung ist durch die Zell–Peclet–Zahl P e∆x = U ∆x /Γ m¨ oglich, die bei Impulstransport als Zell–Reynolds–Zahl bezeichnet wird. In Abb. A.3 sind demnach die F¨ alle

356

A Anh¨ ange 1 N=20

eff. wavenumber fou CDS2

eff. wavenumber fou eff. wavenumber eff. wavenumber CDS2

keff/K

0.75

0.5

0.25

0

0

0.25

0.5

0.75

Abb. A.4 Effektive Wellenzahl des CDS–Schemas (Rauten) im Vergleich zur exakten Wellenzahl.

1

k/K

P e∆x = 0, 5, ∞ repr¨ asentiert. Bezeichnet man den Winkel, den die Verbindungsgerade zwischen dem Punkt f¨ ur k = K und dem Nullpunkt mit der imagin¨aren Achse bildet, mit α, so ist tan(α) = 1/P e∆x . Bei LES Rechnungen liegen Zell–Reynolds–Zahlen typischerweise im Bereich O(102 ), . . . , O(104 ). In diesem Fall liegen also die Eigenwerte nahezu auf der imagin¨aren Achse.

A.2.4

Finite–Differenzen–Schemata

Gesucht sind nun die Eigenwerte eines Differenzenoperators δx , der den Differentialoperator ∂x ann¨ahert. Zwei einfache Schemata sollen das Prinzip der Analyse verdeutlichen. Das zentrale Finite–Differenzen–Schema (CDS) zweiter Ordnung lautet δxCDS φ =

φ(x + ∆x) − φ(x − ∆x) 2∆x

.

(A.71)

Man “r¨at”, dass fk (x) = φˆk e2πıkx Eigenfunktionen sind und setzt diese ein: 1 δxCDS φˆk e2πıkx = (e2πık∆x − e−2πık∆x ) φˆk e2πıkx    2∆x      fk (x)

Mit sin(α) =

eıα −e−ıα 2ı

= λCDS k

λCDS k

.

(A.72)

fk (x)

ergibt sich

2ı sin(2πk∆x) 2∆x

.

(A.73)

Die maximale Wellenzahl, die mit einem Gitter der Schrittweite ∆x aufgel¨ost werden kann, ist K=

1 2∆x

.

(A.74)

357

A.2 Diskretisierung, Eigenwerte und effektive Wellenzahl

Daher ist λCDS = 2πı k

K k sin(π ) . π K

(A.75)

Die exakten Eigenwerte von ∂x sind λk = 2πık

,

(A.76)

so dass es nahe liegt, eine effektive Wellenzahl keff zu definieren mit λCDS = 2πı keff k

.

(A.77)

Aus (A.75) folgt CDS keff =

K k sin(π ), π K

k = −K + 1, . . . , K

.

(A.78)

Die CDS Diskretisierung schl¨agt sich also nieder im Ersetzen k → keff . Dabei h¨ angt keff von k ab und ist in Abb. A.4 dargestellt. Als zweites Schema wird das Aufwindverfahren (UDS) erster Ordnung δxUDS φ =

φ(x) − φ(x − ∆x) ∆x

(A.79)

betrachtet. Geht man wie oben vor, ergibt sich   K k UDS −πı K = 2πi ) . λk (1 − e πı

(A.80)

Mit 2(sin α2 )2 = 1 − cos α folgt dann λUDS = 4K sin2 ( k

K k πk ) + 2πi sin(π ) , 2K  π  K 

k∈

, −K + 1 ≤ k ≤ K

.

(A.81)

=λCDS k

A.2.5

Interpretation und Vergleich

Eine anschauliche Interpretation ergibt sich durch Betrachten der reinen Konvektionsgleichung ∂t φ = −U ∂x φ

,

(A.82)

d.h. L = −U ∂x , Γ = 0 in (A.65)–(A.68) mit U = 1. Die entsprechenden Eigenwerte nach Diskretisierung erhalten also noch ein Minuszeichen und sind in Abb. A.5 in der komplexen Zahlenebene aufgetragen. Der Vergleich mit Abb. A.2 und A.3 illustriert den Effekt der Diskretisierung. Dabei ist zu beachten, dass aus Konsistenzgr¨ unden λ0 = 0 sein muss. Die entfernen sich mit wachsendem k zun¨ achst vom Nullpunkt, kehren dann aber Werte λCDS k

358

A Anh¨ ange 60

N=20FOU FOU CDS2 CDS2 UDS1 UDS1

40

Im

20

0

-20

-40

-60 -60

-40

-20

0

20

40

60

Re

Abb. A.5 Lage der Eigenwerte von L = −∂x nach der Diskretisierung der Ableitung in der komplexen Zahlenebene: Fourier–Methode, Zentrale Differenzen, Aufwinddifferenzen f¨ ur 20 Punkte auf dem Einheitsintervall [0; 1].

auf dem gleichen Graph wieder dorthin zur¨ uck, wie dies auch in Abb. A.4 deutlich wird. Die Werte von λUDS mit |k| ≈ K liegen am weitesten links, in der N¨ahe der reellen Achse. k Numerische Diffusion: Betrachtet man Gleichung (A.82) im Vergleich zu (A.56), so kann als effektive bzw. numerische Diffusion interpretiert nach (A.62) der Realteil von λUDS k werden ΓUDS = k

πk πk ) ) 4K sin2 ( 2K 1 sin2 ( 2K =
πk 2 2 2 4π k πK

.

(A.83)

2K

Dies wird verst¨andlich aus dem Vergleich von Abb. A.2 mit der entsprechenden Kurve in Abb. A.5. Auch wenn der Koeffizient ΓUDS mit k sinkt, so ist doch durch die Multiplikation k mit 4π 2 k 2 die Diffusion selbst f¨ ur große Wellenzahlen am st¨arksten, wie dies auch in Abb. A.5 deutlich wird. Eine eindr¨ uckliche Illustration des Effektes numerischer Diffusion liefert Abb. A.6. Dort ist die L¨osung von (A.56) mit U = 1 und Γ = 0.01 und einer Anfangsbedingung in Form einer Gauß–Funktion dargestellt. Die Zeitdiskretisierung f¨ uhrt wegen ihrer zweiten Ordnung und dem kleinen Zeitschritt keinen nennenswerten Fehler ein, so dass die Abweichungen allein auf der Diskretisierung im Raum beruhen. W¨ahrend das Verfahren zweiter Ordnung die L¨osung recht gut approximiert, ist die D¨ ampfung durch das UDS–Schema insbesondere in der Anfangsphase sehr hoch. Wenn es sich bei der betrachteten Gleichung um die Beschreibung von Impulstransport handelt, spricht man analog zur numerischen Diffusion von numerischer Dissipation. Numerische Dispersion: “Dispersion” bezeichnet die Tatsache, dass sich Wellen mit unterschiedlicher Wellenl¨ ange unterschiedlich schnell bewegen. Hier kann keff entsprechend interpretiert werden. Im kontinuierlichen Problem ∂t φ = −U ∂x φ

(A.84)

bewegen sich alle Wellen mit Geschwindigkeit U (s.a. Gleichung (A.64)). Beim CDS–Schema bewegt sich jedoch eine Welle der Wellenzahl k mit der Geschwindigkeit Ueff = keff (k)U ,

359

A.2 Diskretisierung, Eigenwerte und effektive Wellenzahl 1

0.8

Phi

0.6

0.4

0.2

0

0

5

10

15

20

25 X

30

35

40

45

50

Abb. A.6 Exakte L¨ osung von (A.56) mit einer Gauß–Funktion als Anfangsbedingung und Γ = 0,01, U = 1 (durchgezogene Linie). Numerische L¨ osung mit Crank–Nicolson–Schema und ∆t = 0,01, ∆x = 0,1, sowie zentralen Differenzen f¨ ur den Diffusionsterm. Aufwinddifferenzen f¨ ur den Konvektionsterm liefern die unteren Symbole, zentrale Differenzen die oberen.

wobei keff ≤ k und somit Ueff ≤ U . Tats¨achlich bewegen sich also in der numerischen L¨ osung Anteile mit verschiedener Wellenl¨ange verschieden schnell, je gr¨ oßer k desto mehr bleiben sie zur¨ uck. Die Wellen mit k = K bewegen sich gar nicht mehr. Dies ist eine Ursache f¨ ur das Entstehen numerischer Oszillationen (“Wiggles”). Eine solche Tendenz zu ¨ Uberschwingern ist, wenn auch nur schwach, in Abb. A.6 f¨ ur die zentralen Differenzen dadurch zu sehen, dass die L¨osung teilweise negativ wird. Außerdem erkennt man, dass die numerische L¨ osung der exakten hinterherhinkt. Weitere Aspekte numerischer Dispersion werden in [591] diskutiert.

A.2.6

Allgemeine Schemata

Nach dem dargestellten Prinzip k¨onnen allgemeine Differenzenschemata untersucht werden. Ein expliziter Differenzenstern f¨ ur die erste Ableitung hat die Form δx φ =

1 (. . . + a−2 φi−2 + a−1 φi−1 + a0 φi + a1 φi+1 + a2 φi+2 . . . ) . (A.85) ∆x

Eine Verallgemeinerung stellen kompakte Finite–Differenzen–Verfahren dar, auch Pad´e– Verfahren genannt. Sie beruhen auf einer Verkn¨ upfung der Ableitung an mehreren Punkten, d.h. auf einem Stern der Form J b b0 δx φ(x) + bj δx φ(x + j∆x) + b−j δx φ(x − j∆x) (A.86) j=1

=

1 ∆x

  J a aj φ(x + j∆x) + a−j φ(x − j∆x) a0 φ(x) + j=1

.

360

A Anh¨ ange

Die Eigenwerte von δx lauten dann mit (A.74)

πk 

a

Ja (aj + a−j ) cos πk a0 + Jj=1 λk j=1 (aj − a−j ) sin K j Kj +ı =



b

b 2K b0 + Jj=1 (bj + b−j ) cos πk j + ı Jj=1 (bj − b−j ) sin πk j K

.

(A.87)

K

Symmetrische Differenzensterne sind gekennzeichnet durch aj = −a−j (⇒ a0 = 0) und bj = b−j . Anhand von (A.87) wird deutlich, dass dann der Realteil von λk verschwindet, so dass solche Verfahren keine numerische Diffusion erzeugen. Der verbleibende Dispersionsfehler wird charakterisiert durch die effektive Wellenzahl, die in diesem Fall
πk 

Ja sym keff 1 j=1 2aj sin K j = (A.88)


b K π b0 + Jj=1 2bj cos πk Kj lautet. Die Koeffizienten des Schemas k¨onnen nun auch hinsichtlich gew¨ unschter Eigenschaften von keff optimiert werden [324]. Ebenso wird aus (A.87) deutlich, dass asymmetrische Verfahren immer numerische Diffusion erzeugen. Dies ist bei allen Aufwindverfahren der Fall. Wie groß dieser Einfluss ist, h¨angt dabei von den speziellen Koeffizienten ab. Schließlich sei noch erw¨ahnt, dass in gleicher Weise auch Differenzensterne f¨ ur h¨ ohere Ableitungen sowie andere Verfahren mit Hilfe der Eigenwerte des diskreten Ableitungsoperators untersucht werden k¨onnen, wie etwa Spektralmethoden in [74, Kap.4.2]. 120

eff. wavenumber fou

eff. wavenumber fou wavenumber CDS2, eff. eff. wavenumber CDS2, N=40 eff. eff. wavenumber CDS2, N=20 wavenumber CDS2,

110

N=40 N=20

100 90 80

keff

70 60 50 40 30 20 10 0 -10 -20

0

5

10

15

20

k

A.2.7

Abb. A.7 Effekt der Gitterverfeinerung bei zentralen Differenzen zweiter Ordnung (Wellenzahl nicht normiert).

Ordnung eines Differenzenschemas

Der Einfachheit halber betrachten wir symmetrische Schemata, die durch die effektive Wellenzahl vollst¨ andig beschrieben sind. Die Ordnung eines Verfahrens bezeichnet das Verhalten f¨ ur ∆x → 0 hier also K → ∞ (siehe Abb. A.7), d.h. die Geschwindigkeit, mit der der Diskretisierungsfehler bei einer Reduktion der Gitterschrittweite abnimmt. Dies ist in Abb. A.7 illustriert. Die L¨osung sei zun¨achst mit 20 Punkten diskretisiert (K = 10). H¨ohere Frequenzen soll diese L¨osung nicht enthalten. Beim Berechnen der Ableitung mit zentralen

361

A.2 Diskretisierung, Eigenwerte und effektive Wellenzahl 1 k/K CDS2 CDS4 CDS6 Pade6

0.9 0.8 0.7 0.6

keff/K

Abb. A.8 Effektive Wellenzahl symmetrischer Differenzensterne verschiedener Ordnung: zweiter Ordnung: CDS2 mit a1 = 1/(2∆x ), b0 = 1, vierter Ordnung: CDS4 mit a1 = 8/(12∆x ), a2 = −1/(12∆x ), b0 = 1, sechster Ordnung: CDS6 mit a1 = 3/(4∆x ), a2 = −3/(20∆x ), a3 = 1/(60∆x ), b0 = 1, sechster Ordnung kompakt: Pad´e6 mit a1 = 14/(18∆x ), a2 = 1/(36∆x ), b0 = 1, b1 = 1/(3∆x ). Die Normierung der Achsen erlaubt hier die Betrachtung des Grenzfalls K → ∞ (vergl. Abb. A.7).

k/K CDS2 CDS4 CDS6 Pade6

0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 0

0

0.25

0.5

0.75

1

k/K

CDS Differenzen zweiter Ordnung ergibt sich ein Fehler, der durch die Differenz k − keff entsteht. Wird das Gitter auf 40 Punkte verfeinert, sinkt diese Differenz im Bereich k = 0...10 deutlich. Das kann man fortf¨ uhren, indem K mehr und mehr vergr¨ oßert wird, das heißt die Zahl der Gitterpunkte erh¨oht. Es wird anschaulich, dass die Geschwindigkeit, mit der der Fehler sinkt, im Grenzfall ∆x → 0 nur von den Eigenschaften der Kurve keff (k) im Bereich k → 0 abh¨angt, also davon, wie gut sich diese Kurve an die exakte Kurve k ex = k anschmiegt.

Um dieses Verhalten zu untersuchen, betrachtet man die dimensionslose Wellenzahl k/K k und das Verhalten f¨ ur K → 0 durch Bilden der Taylor–Entwicklung. F¨ ur den Fall zentraler Differenzen zweiter Ordnung ergibt sich beispielsweise   πk K sin (A.89) π K       1 π 1 π πk  πk  πk  1 cos sin k− k 2 + ( )2 cos k3 . . . = 0+ 1! K k=0 2! K K k=0 3! K K k=0

CDS keff =

= k−

π2 k3 − ... K2 6

.

Mit (A.74) folgt CDS k − keff =

2π 3 k 3 3

∆x2 

+...

,

(A.90)

2.Ordnung

was die zweite Ordnung des Schemas nachweist. Bei einem Verfahren h¨ oherer Ordnung m¨ ussen entsprechend mehr Terme aus der Taylor–Reihe verschwinden. Das ist illustriert in Abb. A.8, wo f¨ ur verschiedene Schemata die nach Gleichung (A.88) berechnete effektive Wellenzahl aufgetragen ist. Der Vergleich von CDS4 und Pad´e6 illustriert, dass Pad´e–Verfahren

362

A Anh¨ ange

mit gleicher Ausdehnung des Differenzensterns eine h¨ ohere Ordnung realisieren, bzw. f¨ ur dieselbe Ordnung nur einen kleineren Stern ben¨otigen (daher auch der Name “kompakte Finite Differenzen” f¨ ur diese Schemata). Es wird außerdem deutlich, dass bei gleicher Ordnung durch einen kompakten Differenzenstern der lineare exakte Verlauf besser angen¨ ahert, der Dispersionsfehler also reduziert werden kann. Der Grund ist, dass mit den Koeffizienten bj zus¨ atzliche M¨ oglichkeiten der Optimierung gegeben sind, wie der Vergleich von CDS6 und Pad´e6 zeigt.

A.2.8

Zerlegung eines Differenzensterns

Abschließend sei noch eine sehr illustrative Art erw¨ ahnt, die Eigenschaften eines FD– Schemas darzustellen – hier f¨ ur die erste Ableitung notiert. Ausgangspunkt ist (A.85), also die Definition des Schemas u asst sich nun zerlegen in ¨ ber seine Gewichte aj . Jedes Schema l¨ einen geraden und einen ungeraden Anteil durch aj = agj + auj

(A.91)

mit agj

=

1 (aj + a−j ) 2

auj

=

1 (aj − a−j ) 2

(A.92) .

(A.93)

Der ungerade Anteil repr¨asentiert einen symmetrischen Differenzenstern f¨ ur die erste Ableitung, der gerade Anteil entspricht einer diskretisierten Ableitung gerader Ordnung. F¨ ur das UDS–Schema (A.79) schreibt man so z.B. δxUDS φ|i =

φ|i+1 − φ|i−1 ∆x φ|i+1 − 2φ|i + φ|i−1 − ∆x 2 ∆2x

(A.94)

und analog f¨ ur alle anderen im Text erw¨ahnten Schemata [231]. Auf diese Weise erh¨ alt man auch direkt den Vorfaktor der numerischen Diffusion. Entsprechendes gilt, wenn der Differenzenausdruck an einem Halbpunkt wie xi+1/2 ausgewertet wird. Die Ordnung eines FD Sterns l¨asst sich leicht durch die Momente der Koeffizienten ∞ Mm = j m aj (A.95) j=−∞

u ufen: Zur Diskretisierung einer ersten Ableitung muss M0 = 0 und M1 = 1 sein. Soll ¨ berpr¨ die Diskretisierung mit erster Ordnung p = 1 geschehen, gibt es keine weiteren Bedingungen. F¨ ur h¨ ohere Ordnung, p > 1, m¨ ussen dar¨ uber hinaus die Momente Mm , m = 2, . . . , p verschwinden.

A.3 Kontinuierliche Wavelettransformation

A.3

Kontinuierliche Wavelettransformation

A.3.1

Definition

363

Die kontinuierliche Wavelettransformation (CWT) wurde 1984 von Grossmann und Morlet definiert [212]. Zu den ersten Anwendungen geh¨ orte die Analyse turbulenter Zeitsignale [335], und inzwischen wird diese Technik in vielen Anwendungen der Signalanalyse verwendet, von den Geowissenschaften bis zur Verfahrenstechnik. Gegeben sei ein eindimensionales Signal f (t), hier z.B. eine Geschwindigkeitskomponente an einem Punkt in einer turbulenten Str¨omung, so dass die unabh¨ angige Variable im Folgenden die Zeit t ist. Der Einfachheit halber sei zun¨achst t ∈ . Die CWT des Signals f ist gegeben durch die Definition  ∞ Wf (s, τ ) = f (t
) conj{ψs,τ (t
)} dt
. (A.96) −∞

Darin ist ψs,τ ein Wavelet, gewonnen als eine skalierte und translatierte Version des Mutterwavelets ψ(t) gem¨aß √ ψs,τ (t) = s ψ (s(t − τ )) . (A.97) Der Parameter τ bedeutet also eine Verschiebung von ψ in der Zeit. Der Parameter s steuert die Skalierung und f¨ uhrt zu einem Auseinanderziehen oder Zusammenschrumpfen unter  Beibehaltung der Energie ||ψs,τ ||2 = ||ψ||2 = ψ 2 dx. Das Signal ist aufgrund der Anwendung reell, die Funktion ψ kann dagegen reell oder komplex sein. Die einzige Bedingung, die eine Funktion ψ erf¨ ullen muss, um durch (A.96) und (A.97) eine CWT zu definieren, ist, dass sie mittelwertfrei ist, bzw. genauer die Bedingung  cψ =

∞

∞

2 % |ψ(ω)| dω < ∞ |ω|

(A.98)

erf¨ ullt [112]. Aus praktischen Gr¨ unden sollte ψ dar¨ uber hinaus in der Zeit lokalisiert sein. Ein Beispiel ist die negative zweite Ableitung einer Gauß–Funktion ψG = −(4x2 − 2) e−x

2

.

(A.99)

In Abb. A.9 ist die Darstellung von W (s, τ ) in Form eines sog. Skalogramms mit Hilfe dieser Funktion illustriert. Die eingetragenen Kurven repr¨ asentieren die Signalanteile, die durch einen Wert von W an der entsprechenden Stelle dargestellt werden. W¨ ahrend der Begriff “Skala” im Text bewusst nur in einem qualitativen Sinn verwendet wird, hat der Skalenparameter s hier eine genau definierte Bedeutung und meint die vertikale unabh¨ angige Koordinate im CWT–Diagramm. Man kann dieses Diagramm so interpretieren, dass der Wert W (s, τ ) den Anteil der Frequenz s ωψ zum Zeitpunkt τ am Signal f (t) darstellt. Dabei ist ωψ die Basisfrequenz des Mutterwavelets ψ. In praktischen Rechnungen wird s auf ein Intervall s ∈ [smin ; smax ] eingeschr¨ ankt und nur f¨ ur Werte s = smin + n∆s , n = 0, . . . Ns berechnet. Ebenso liegt bei der Signalanalyse f (t) nur an diskreten Punkten ti vor, die geeigneterweise a¨quidistant sind. Der hier verwendete Code

364

A Anh¨ ange

log(s)

W (s, τ )

τ Abb. A.9 Prinzipskizze des Skalogramms. Die kleinen Kurven veranschaulichen, welche Anteile in dem Diagramm lokal dargestellt werden. Jeder Wert f¨ ur s und τ erzeugt eine skalierte und translatierte Version von ψ und damit einen Datenpunkt in der τ − s–Ebene (auf den Vorfaktor √ 2 wurde zur besseren Darstellung verzichtet).

wurde vom Autor implementiert und basiert auf einer Periodisierung des Signals und der gleichzeitigen Berechnung der Integrale (A.96) f¨ ur einen Wert s und alle t im Frequenzbereich. An den Intervallr¨andern entstehen in genau bekannten Bereichen Artefakte, die jedoch, im Gegensatz zur Fourier–Transformation, die Analyse nicht st¨ oren. Geeigneter als reelle Wavelets sind komplexe Funktionen wie das Morlet–Wavelet [112] 2

2

ψ(t) = π −1/4 (eiω0 t − e−ω0 /2 )e−t

/2

(A.100)

mit ω0 = 5. Dann kann man den Betrag |W | und die Phase in verschiedenen Diagrammen auftragen und analysieren [211]. Meist wird jedoch nur der Betrag verwendet. Die CWT ordnet einem eindimensionalen Signal f (t) ein zweidimensionales Feld W (s, τ ) zu. Die dadurch entstehende Redundanz wird zur leichteren Erkennung von Mustern benutzt. Andererseits vergr¨oßert sie die Datenmenge enorm. Da es außerdem bisher keine entsprechende drei– oder vierdimensionale Darstellung der CWT f¨ ur ein zweidimensionales Ausgangssignal gibt, wird die CWT nahezu ausschließlich f¨ ur eindimensionale Signale, z.B. Zeitsignale verwendet. 1

0.8

0.6

0.4

0.2

0

ï0.2

ï0.4

ï0.6

ï0.8

ï1 ï5

ï4

ï3

ï2

ï1

0

1

2

3

4

5

Abb. A.10 Real– und Imagin¨ arteil des Morlet–Wavelets (A.100).

A.3 Kontinuierliche Wavelettransformation

A.3.2

365

Abgeleitete Gr¨ oßen

Basierend auf der Transformation f (t) → W (s, τ ) k¨ onnen zahlreiche sekund¨ are Gr¨ oßen definiert werden, die spezielle Aspekte des Ausgangssignals reflektieren. Viele Ans¨ atze basieren darauf, dass man W (s, τ ) auf zwei unterschiedliche Arten lesen kann. Bei festgehaltenem t = t∗ ist W (s, t∗ ) eine Art lokales Frequenzspektrum, allerdings geeigneter als eine “windowed Fourier–Transform” [112], bei festgehaltener Frequenz s = s∗ stellt W (s∗ , t) die zeitliche Entwicklung dieser Frequenz dar. Dem ersten Gedanken folgend kann man zu jedem Zeitpunkt den Wert sR (t) = maxs {W (s, t)} bestimmen. Dies ergibt eine Art dominierende Frequenz des Signals. Die Kurve sR (t) wird als “Ridge” (deutsch: “Grat”) bezeichnet [578]. Insbesondere, wenn ein Signal eine Vorzugsfrequenz enth¨ alt, die sich zeitlich ¨andert, wie z.B. bei Wirbelabl¨ osung, kann diese Frequenz u ¨ ber die Zeit sehr genau verfolgt werden. Der Ansatz ist wesentlich robuster und einfacher als z.B. das Bestimmen von Nulldurchg¨angen. Dem zweiten Gedanken folgend kann bei fester Frequenz die Intermittenz dieses Anteils bestimmt werden und zwar u ¨ ber den Intermittenzindex [148] I(s, t) =

|W (s, t)|2
|W (s, t)|2 t

,

(A.101)

wobei im Nenner das zeitliche Mittel bei konstantem Wert s erscheint. Bemerkung: Man kann die CWT vollst¨andig in der Zeit mitteln. Das Resultat entspricht der Fourier–Transformation, die mit ψ% gefaltet wurde [449]. Die Vorteile der Zeitaufl¨ osung des Frequenzverhaltens, die die CWT besitzt, werden also durch die zeitliche Mittelung zunichte gemacht. Zus¨atzlich ist das so gewonnene “Waveletspektrum” wegen der Faltung mit ψ% verschmiert und daher weniger gut lesbar als das Fourier–Spektrum. Ein derartiges Waveletspektrum ist daher, außer zu Vergleichszwecken, nicht sinnvoll, da es dem reinen ¨ Fourier–Spektrum unterlegen ist. Ahnliches gilt f¨ ur die hier nicht besprochene diskrete Wavelettransformation.

A.3.3

Analyse von Korrelationen

So wie |W | bzw. |I| Auskunft u ¨ ber den momentanen Beitrag der Skala s zum Zeitpunkt t zur Gesamtenergie des Signals gibt, kann analoge Information u ¨ ber Korrelationen gewonnen werden. Grundlage ist die Gleichung  ∞  ∞ ∞ 1 f (t) g(t) dt = Cf g (s, t) dt ds , (A.102) cψ 0 −∞ −∞ wobei Cf g = {Wf conj{Wg }} das sog. Co–Skalogramm ist und cψ die in (A.98) definierte Konstante [434]. Dies l¨ asst sich beispielsweise auf die Reynolds–Spannungen Rij =
ui uj t

(A.103)

anwenden. Da Rij als Resultat der Integration des entsprechenden Co–Skalogramms von u

i und u

j aufgefasst werden kann, l¨asst sich an diesem ablesen, welche Skalen zu welchen Zeiten

366

A Anh¨ ange

zur gesamten Reynolds–Spannung beitragen. Man tr¨ agt dazu Cf g in ¨ ahnlicher Weise auf wie |Wf |. F¨ ur i = j erh¨alt man wegen Wf conj{Wf } = |Wf |2 die Analyse der Energieverteilung in dem Geschwindigkeitssignal. Dies rechtfertigt die oben nicht weiter begr¨ undete Aussage, dass |Wf | den entsprechenden Energieanteil von ψs,t im Signal charakterisiert.

A.4 Symbolverzeichnis

A.4

367

Symbolverzeichnis

Nachfolgend ist die Bedeutung der wichtigsten im Text verwendeten Symbole angegeben. ¨ Aufgef¨ uhrt werden zu Gunsten der Ubersichtlichkeit nur Bezeichnungen, die wiederholt vorkommen. Vereinzelt sind Buchstaben mehrfach belegt, wenn dies den u ¨ blichen Bezeichungen in der Literatur entspricht. Verwechselungen sind jedoch durch den Kontext ausgeschlossen. r¨ omisch, klein a, a... b, b... bi c cK d dt eˆ(k) f f f, g g g gij h h i, j, k k ks l lm lτ n p q q r s t tav u∞ uτ u, v, w ui x, y, z xi x

Konstante Konstante i-te Basisfunktion generische Konstante Konstante in der Beziehung f¨ ur die turb. Geschwindigkeitsskala Wandabstand beim SA–Modell Ableitung nach der Variablen t Energie des Modes k rechte Seite in Transportgleichung Frequenz generische Funktion Basisfunktion f¨ ur Filterkern Erdbeschleunigung Tensor der Geschwindigkeitsgradienten Wandabstand bei der ebenen Kanalstr¨ omung H¨ ugelh¨ohe bei der Str¨omung u ¨ber periodische Verengungen Vektorindizes Wellenzahl, Betrag des Wellenzahlvektors Sandrauigkeit turbulente L¨angenskala Prandtlscher Mischungsweg viskose L¨angenskala lτ = ν/Uτ nat¨ urliche Zahl Druck, dividiert durch die (konstante) Dichte Geschwindigkeitsskala W¨armefluss Zufallszahl Skala Zeit Mittelungszeit Anstr¨omgeschwindigkeit  Schubspannungsgeschwindigkeit, uτ = τw /ρ Geschwindigkeitskomponenten in x−, y−, z−Richtung Geschwindigkeitsvektor in Indexnotation Koordinaten in Str¨omungs–, Normalen– und Spannweitenrichtung Ortsvektor in Indexschreibweise eindimensionale Ortskoordinate

368 y y1 z

A Anh¨ ange

Wandabstand Wandabstand des wandn¨achsten Gitterpunktes komplexe Zahl

r¨ omisch, groß A A+ B Bl C Cpb CD CDES Cf Cf∗ CK CL CS Cij D D D E E F Fi F2 F... G H H I I K K K L L L Lr Lij M N P Pij

Parameter im Wandgesetz f¨ ur rezirkulierende Str¨ omungen Parameter in der van Driestschen D¨ ampfungsfunktion Konstante im logarithmischen Wandgesetz Verbauungsgrad (engl. “blockage”) Courant–Friedrichs–Levy–Zahl, CFL–Zahl Druckbeiwert an der R¨ uckseite eines (Kreis–)Zylinders momentaner Widerstandsbeiwert (engl. “drag”) Modellkonstante bei der DES zeitlich gemittelter Wandreibungskoeffizient mittlerer lokaler Wandreibungskoeffizient bezogen auf R¨ uckstr¨ omung Kolmogrorov–Konstante momentaner Auftriebsbeiwert (engl. “lift”) Smagorinsky–Konstante Kreuzterm Diffusionszahl Diskriminante Zylinderdurchmesser totale spezifische Energie Konstante im Wandgesetz Fourier–Transformierte a ¨ußere Volumenkraft Strukturfunktion zweiter Ordnung numerischer Fluss Filterkern Formparameter einer Grenzschicht Zylinderh¨ohe Identit¨at Intermittenzindex bei CWT turbulente kinetische Energie Zahl nicht verschwindender Momente maximale Wellenzahl L¨ ange L¨ ange eines Zylinders entlang seiner Achse Makrol¨ange der Turbulenz Rezirkulationsl¨ange Leonard–Term Moment einer Funktion nat¨ urliche Zahl, Zahl von Gitterpunkten und Freiheitsgraden Produktionsterm turbulenter kinetischer Energie Projektionsfaktor in den NSG im Frequenzbereich

A.4 Symbolverzeichnis

Pe Pr Q Q Qij Re Ret Rij Rij Sij Sc St T T T U Uτ UN Ub W X Y

Peclet–Zahl Prandtl–Zahl Quellterm in der Transportgleichung eines Skalars Gr¨oße zur Wirbeldetektion Druck–Scher–Korrelation Reynolds–Zahl turbulente Reynoldszahl Ret = νt /ν Reynoldscher Spannungstensor “Reynolds–Term” bei der Zerlegung des FS–Anteils Deformationsgeschwindigkeitstensor, auch kurz Deformationstensor Schmidt–Zahl Strouhal–Zahl Zeitintervall Temperatur Transferterm in den NSG mittlere Geschwindigkeit mittlere Schergeschwindigkeit mittlere maximale R¨ uckstr¨omgeschwindigkeit u ¨ ber Einstr¨omquerschnitt gemittelte Geschwindigkeit (engl. “bulk velocity”) Resultat der kontinuierlichen Wavelettransformation Rezirkulationsl¨ange mit δ normierter Wandabstand

griechisch, klein α β β γ δ δ(x) δij δx ε εij η θ θ κ λ λ λ2 λ µ ν νt

369

Konstante Konstante Scherparameter bei Zylinder in Scherstr¨ omung Korrelationskoeffizient Grenzschichtdicke Delta–Funktion, bzw. Delta–Distribution Kronecker–Delta, δij = 1 f¨ ur i = j, 0 sonst. diskreter Differenzenoperator turbulente Dissipation Dissipationstensor Kolmogorov–L¨ange Winkel Impulsverlustdicke einer Grenzschicht von Karmansche Konstante skalarer Faktor Eigenwert zweiter Eigenwert des Tensors Ωik Ωkj + Sik Skj Periodenl¨ange dynamische Viskosit¨at kinematische Viskosit¨at turbulente kinematische Viskosit¨ at

370 ρ τ τw τ τij φ χ[a;b] ψ ψ ω ω ωi

A Anh¨ ange

Dichte Schubspannung Wandschubspannung Zeitkoordinate bei CWT Feinstrukturtensor skalare Gr¨oße Indikatorfunktion, χ = 1 im Intervall [a; b], 0 sonst skalare Gr¨oße Waveletfunktion (Kreis–) Frequenz Betrag der Wirbelst¨arke Wirbelst¨arkenvektor (der verwendete Font druckt den Vektor nicht fett)

griechisch, groß Γ ∆ ∆f ∆x ∆x , ∆y , ∆z ∆t Θijk Λ Π Φ Ω Ω

Diffusionskoeffizient Filterbreite, Parameter im FS–Modell Filterweite Gitterschrittweite, gemeinsames Maß f¨ ur alle Richtungen Gitterschrittweite in x−, y− und z−Richtung Zeitschritt Druck–Geschwindigkeits–Korrelationen Limiter Austausch zwischen Grob– und Feinstruktur Vektor der diskreten Unbekannten r¨ aumliches Gebiet Rotationstensor

Indizes [ notiert f¨ ur eine beliebige Gr¨oße φ ] φ1 φb φcrit φd φef f φexp φf φi f (φ)|i φi φ[i] φij φaij φin φmax φmin φm φn

Wert am wandn¨achsten Gitterpunkt “bulk”–Wert, d.h. bezogen auf Querschnittsmittel kritischer Wert, z.B. f¨ ur Transition im Bezug zur Dissipation effektiver Wert experimenteller Wert im Bezug zur ¨außeren Kraft Wert der Gr¨oße φ am Gitterpunkt xi Wert des Ausdrucks f am Gitterpunkt xi Vektorkomponenten, i.A. i=1,2,3 (Summationskonvention) Vektorkomponenten, bei denen nicht u ¨ ber i summiert wird Tensorkomponenten, i.A. i=1,2,3 , j=1,2,3 (Summationskonvention) anisotroper Anteil eines Tensors φij , φaij = φij − δij φkk /3 am Einstr¨omrand Maximalwert Minimalwert bezogen auf die Mittenebene bei Zylinder in Scherstr¨ omung in Normalenrichtung

A.4 Symbolverzeichnis

φN φout φref φres φt φtan φτ φtot φ∞ ...− i ...− p φ+ φ∗ φ∗ φ ∆ φ φ
φ

φex φm φn φN φt φˆ φ% φmod φ˜ φ˜ φ˜

bezogen auf Ort und Geschwindigkeit maximaler R¨ uckstr¨ omung am Ausstr¨omrand Referenzgr¨oße aufgel¨oster Anteil (engl. “resolved”) “turbulente” Gr¨oße tangential bezogen auf FS-Tensor τij total, gesamt Freistromwert integrierte Wandfunktion punktweise ausgewertete Wandfunktion Gr¨oße in Wandeinheiten, skaliert mit Uτ und lτ = ν/Uτ durch (n¨aherungsweise) Entfaltung rekonstruierte Gr¨ oße Gr¨oße skaliert mit UN und yN gefilterte Gr¨oße explizite Anwendung eines Filters der Breite ∆ Fluktuation bzgl. einer gefilterten Gr¨ oße Fluktuation bzgl. des Reynoldsmittels
φ exakter Wert modifiziert Wert von φ im n−ten Zeitschritt Approximation von φ durch N Terme durch Symmetrietransformation transformierte Gr¨ oße Fourier–transformierte Gr¨oße mit explizitem Testfilter gefilterte Gr¨ oße Modellausdruck f¨ ur den Term φ durch die L¨osung der (modellierten) LESG bestimmte Gr¨ oße modifizierte Gr¨oße im Spalart–Allmaras Modell zweidimensionaler Filter bei der Wandmodellierung mittels Grenzschichtgleichungen

weitere Symbole conj{. . . } const. ∇ det(. . .) dx ∂x ∂Ω D E F F

Box [−L/2, L/2]d, d = 1, 2, 3 konjugiert komplexe Zahl generische Konstante Menge der komplexen Zahlen Nablaoperator Determinante Ableitung nach der unabh¨angigen Variable x partielle Ableitung nach der unabh¨ angigen Variable x Rand des Gebietes Ω Dissipationsspektrum Energiespektrum Spektrum des Kraftterms Funktional

371

372

A Anh¨ ange

ı2 = −1 nat¨ urlicher Logarithmus Imagin¨arteil einer komplexen Zahl linearer Differentialoperator nat¨ urliche Zahl rms mittleres Fehlerquadrat (engl: “root mean square”) {. . . } Realteil einer komplexen Zahl R Korrelationskoeffizient Menge der reellen Zahlen “Torus”: Intervall [0; 1] wobei die Endpunkte miteinander identifiziert werden. T Transferspektrum V ol Volumen einer Gitterzelle Menge der ganzen Zahlen k, u, x, A, S . . . Vektoren und Tensoren werden gelegentlich durch Fettdruck gekennzeichnet · Skalarprodukt zweier Vektoren
φ Reynoldsmittel, ggf. mit Index f¨ ur die Art der Mittelungsoperation |φ| Betrag des reellen oder komplexen Skalars φ Betrag des Vektors vi , |v| = (vi vi )1/2 |vi | |Aij | Betrag des Tensors Aij , |A| = (2Aij Aij )1/2 b [φ]a φ(b) − φ(a) [a; b] Intervall von a bis b [A, B] Kommutator der Operatoren A und B: A ◦ B − B ◦ A ◦ Hintereinanderausf¨ uhren von Operatoren ∗ Faltung ∼ Proportionalzeichen O(. . . ) Landausches Gr¨oßenordnungssymbol 2d zweidimensional 3d dreidimensional ı log {. . . } L

Abk¨ urzungen BF CFD CFL CDS CWT DES DNS DMM DSM FCT FD FE FFT FS FV

bezogen auf Rezirkulationsmodell (engl. “back flow”) Numerische Str¨omungsmechanik (engl. “Computational Fluid Dynamics”) Courant–Friedrichs–Levy (Bedingung) zentrales Differenzenverfahren (engl. “central differencing scheme”) kontinuierliche Wavelettransformation Detached Eddy Simulation Direkte Numerische Simulation Dynamic Mixed Model dynamisches Smagorinsky–Modell FCT–Schema (engl. “flux corrected transport”) Finite Differenzen Finite Elemente Schnelle Fourier–Transformation (engl.“Fast Fourier Transformation”) Feinstruktur Finite Volumen

A.4 Symbolverzeichnis

FNSG GS HLPA IC IFH ILES KK KV LDSM LES LESG LESOCC LL LW MFLOPS MILES MM MPI MSM NACA N3S NSG PRICELES PSD PWI QUICK RANS SA SGS SIP SM SSM STREAMLES TVD UDS URANS VLES WALE WD WF–LES WR–LES WM–LES WW

373

gefilterte Navier–Stokes–Gleichungen Grobstruktur, auch engl. “grid scale” monotones Konvektionsschema Imperial College Institut f¨ ur Hydromechanik der Universit¨ at Karlsruhe Implicit LES Aufwindverfahren 3ter Ordnung von Kawamura und Kuwahara Kontrollvolumen lokalisiertes dynamisches SM Large Eddy Simulation, Grobstruktursimulation Gleichungen der Large Eddy Simulation LES–Code (engl. “Large Eddy Simulation On Curvilinear Coordinates”) Logarithmic Law Lax–Wendroff–Schema Millionen Gleitkommaoperationen pro Sekunde Monotonically Integrated LES Mixed Model Kommunikationsbibliothek f¨ ur paralleles Rechnen Mixed Scale Model Vorg¨anger der NASA franz¨osischer LES–Code Navier–Stokes Gleichungen franz¨osischer LES–Code Energiespektrumsdichte (engl: “power spectrum density”) Impulsinterpolation (engl. “pressure–weighted interpolation”) Aufwindverfahren (engl: “upwind differencing scheme”) Reynoldsgemittelt(e) Navier–Stokes (engl. “Reynolds–averaged Navier–Stokes”) Spalart–Allmaras engl. “sub–grid scale”, Synonym f¨ ur Feinstruktur Strongly Implicit Procedure Smagorinsky–Modell Skalen¨ahnlichkeitsmodell (engl. “Scale Similarity Model”) LES–Code am Imperial College total variation diminishing Aufwindverfahren (engl: “upwind differencing scheme”) instation¨are RANS (engl. “unsteady RANS”) Very Large–Eddy Simulation Wall Adapted Local Eddy Viscosity Wandd¨ampfung beim SM LES mit Wandfunktion (spezielle Form von WM–LES) Wandaufl¨osende LES LES mit Wandmodell Werner–Wengle

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Sachverzeichnis δ–Funktion 352 λ2 −Kriterium 289, 292 a ¨quivalente Differentialgleichung 90, 136 1/7–Potenzgesetz 36, 238, 242 A–posteriori–Test 145ff., 156 A–priori–Test 156, 225 Abbruchfehler 59, 101 Abl¨ osung 286 Adams–Bashforth–Verfahren 70f., 75 Aliasingfehler 102 Anfangsbedingung 12, 18, 217f. Anfangswertproblem 353 anisotrope Feinstrukturmodellierung 162 Anisotropie 245 Approximate Deconvolution Model 187 Approximationsfehler 99 Auftriebseffekt 162, 164, 170, 195 Aufwindverfahren 59f., 78, 134, 137, 314, 357 Ausstr¨ ombedingung 203, 214 B–Spline–Methode 232 Backscatter 27, 141, 152, 157, 179, 191f., 194f., 226ff. Bildverarbeitung 131 Bogenwirbel 334 Boussinesq–Ansatz 49, 155, 170 Boussinesq–Approximation 13 Box–Filter siehe Filter, Rechteckfilter Burgers–Gleichung 58 CDS2 95 CFL–Bedingung 93f. Clark–Modell 135, 189 Co–Skalogramm 327, 365 collocated grid 104 Courant–Zahl 71, 93 Crank–Nicolson–Schema 71

D¨ ampfung numerische 87, 93 van Driestsche 53, 170 D¨ ampfungsfunktion im Feinstrukturmodell 168, 172 im RANS–Modell 47 univ. Wandgesetz 36 Deformationstensor 11, 155, 286 Dekonvolution 186 Detached Eddy Simulation 262 Diffusion numerische 94, 358 Diffusionszahl 72, 93 Direkte Numerische Simulation 4, 45 Dirichlet–Bedingung 217 Diskretisierung 128 adaptive 68 block–strukturierte 68 energieerhaltend 103, 138 explizite 69 implizite 69 semi-implizite 71 strukturierte 67, 228, 269 unstrukturierte 67, 229, 316 zellzentriert 82, 268 Diskretisierungsbedarf 45, 54, 222 Diskretisierungsfehler 146 Diskriminantenkriterium 289f., 292 Dispersion 358 numerische 87, 358 Dispersionsfehler 88, 138, 279 Dissipation 19 numerische 104, 136 Dissipationsbereich 23f. Dissipationsspektrum 26, 292 Divergenzfreiheit 212 Drallbrenner 202f.

410 Druck–Geschwindigkeitskopplung 73, 77, 82 Druckfluktuationen 285, 292, 332 Dynamic Mixed Model 180, 194 Dynamische Prozedur 177 dynamisches Smagorinsky–Modell 194, 276 Eddy Turnover Time 23, 143 effektive Wellenzahl 87f., 91, 134, 279, 356f., 361 Eigenwert 86, 357 Eingleichungsmodell 50, 163 Einpunktwahrscheinlichkeit 18, 39 Einschrittverfahren 69f., 72 Einstr¨ ombedingung 203, 207 Einstr¨ omrand 202 Ejection 240 Energie turbulente kinetische 18 Energie eines Signals 347 Energiebereich 23 Energieerhaltung 103 Energiekaskade 23 Energienorm 99 Energiespektrum 26, 347 Enstrophie 29 Entfaltung 186 Euler–Verfahren 92 Evolutionsfilter 131 Faltungsintegral 108, 345 Faltungssatz 345 Faltungssumme 345 Favre–Mittel 196 FCT–Verfahren 98, 135 Feinstruktur 107 Feinstrukturspannungen 117 Fensterfunktion 346f. filter idealer Tiefpass 165 Filter Differentialfilter 119 Dreiecksfilter 183 durch Feinstrukturmodell 129 Evolutionsfilter 131

Sachverzeichnis

explizite 182 Gauß–Filter 112f., 120, 124, 178, 226 Gitterfilter 159 Hochpassfilter 171 idealer Tiefpass 112f., 115, 117, 129, 134, 152f., 159, 165, 174, 186, 188, 190, 225f. Modellfilter 130 Rechteckfilter 109, 112f., 127, 134, 178, 183 Symmetrie 119 symmetrischer 187 Filter durch numerisches Verfahren 133 Filteransatz 128 Filtereigenschaften 112 Filterung 108, 124 implizit 127 inhomogene 120 inverse 186 Filterweite 108, 133, 160 variabel 122 Finite–Differenzen–Verfahren 59, 359 kompaktes 61 Finite–Elemente–Verfahren 64, 231, 317 Finite–Volumen–Verfahren 61, 231 Forwardscatter 27, 227 Fourier–Methode 66, 355 Fourier–Summe 343 Fourier–Transformation 20, 278, 341 Freiheitsgrad 58 Frequenzbereich 20, 66, 341 Frequenzspektrum 278, 323 Fringe Method 206 FS–Dissipation 141 Galilei–Invarianz 12, 114, 116ff., 135, 176 Gauß–Filter 111f. Gauß–Funktion 346, 358 Gemischten Modell 175 geometrische Streckung 228 Germano–Identit¨ at 177 Gitter kollokiertes 82, 268 strukturiertes 269 unstrukturiertes 67, 184, 316 versetztes 79, 82, 89

411

Sachverzeichnis

H¨ ugel 274, 294 Haarnadelwirbel 41 Hann–Fenster 346 Helical Pairing 285 Hilfssimulation 208, 210 HLPA–Schema 96 Homogenit¨ at 20, 109, 205 Hufeisenwirbel 332 Hybrid–Verfahren 95

aufgel¨ oste 140 Kolmogorov–Konstante 23 Kolmogorov–L¨ ange 24, 278 Kolmogorov–Theorie 23 Kommutationsfehler 121, 123, 125 Kommutativit¨ at 121 Kommutator 121 kompressible Str¨ omung 14 Konsistenz 86 Konvektions–Diffusionsgleichung 58, 65, 90, 353 konvektive Randbedingung 216 Konvergenz 86 Korrelation 19, 157, 280, 303, 323, 365 Autokorrelation 19 Korrelationskoeffizient 19 Zweipunktkorrelation 19 Korrelationskoeffizient 147 Kreisfrequenz 342 Kreiszylinder 263, 270, 300, 305, 320, 328 Kriterium von David 171

idealer Tiefpass 111f. implizite LES 139 Impulserhaltung 11 Impulsinterpolation 80 Indikatorfunktion 109 Inertialbereich 23f., 291 Inkrementmodell 190 Intermittenz 41 Intermittenzfaktor 245 Intermittenzindex 326, 365 Invarianz 12 inverse Filterung 186 Inverses Modell 188 Isotropiefaktor 170

L¨ angenskala 131, 159 laminare Str¨ omungen 169 Lax–Wendroff–Schema 97 Leistungsdichtespektrum 280 Leonard–Term 117 LES–Gleichungen 110 LESOCC, LESOCC2 268 Limiter 99 Linear Stochastic Estimation 213 Linearit¨ at 16 logarithmisches Geschwindigkeitsprofil 34 Lokalisierung 113, 346 Low Reynolds Number Modell 52

Jameson–Verfahren 96, 137

Maschen–Reynolds–Zahl 72, 355 Massenerhaltung 11, 216 Mehrschrittverfahren 69f. Mikrowirbel 193 MILES–Ansatz 135 Mindestfehler einer LES 142 Minimal Flow Unit 48, 205 Mischungsschicht 205 Mischungsweg 50

Gitterschrittweite 133 Gitterstreckung 228 Gitterunabh¨ angkeit 131 Gitterverfeinerung 198 Glattheit 113, 346 Gleichgewicht 23, 28, 39, 53, 163 Gravitation 195 Grenzschicht 328 Grenzschichtgleichungen 258 Grobstruktur 107 Grobstruktursimulation 5

K–ε–Modell 51 k¨ unstliche Diffusion 95f., 137 k¨ unstliche Kompressibilit¨at 76 k¨ unstlicher Rand 201, 203 Kanalstr¨ omung 31, 40 Kawamura–Kuwahara–Schema 60, 88 kinetische Energie 139

412 Mittelung 16, 115 Ensemblemittel 17 Ortsmittel 17 Phasenmittel 17 Reynolds–Mittel 16 statistische 16 Mittelwert 145 Mixed Model 175 Mixed Scale Model 174 Mode 21 Modellfilter 130 Modellierungsfehler 146 Modellweite 133 modifizierte Gleichung 90 Moment 18 Momentum Interpolation 80 Morlet–Wavelet 364 Navier–Stokes–Gleichungen 1, 3, 11f., 20 gefiltert 109 Neumann–Bedingung 214f., 217 Neumannsche Stabilit¨atsanalyse 91 nichtlineare Diskretisierung 95 Norm eines Tensors 50 Nullgleichungsmodell 50 One Way Wave Equation 216 Ordnung 86f., 360 Orthogonalsystem 345 Ortsbereich 341 Oszillationen numerische 359 Parallelisierung 269 parasit¨ arer Mode 78f. periodische Randbedingung 204, 276, 280 Periodizit¨ at 59 Piecewise Parabolic Method 136 Poisson–Gleichung 75 Positivit¨ at 124 Prandtl–Zahl 30, 194 Projektion 16, 114f. Projektionsmethode 75f. Pufferzone 34, 39f. Q–Kriterium 290, 292

Sachverzeichnis

QUICK–Schema 60, 88, 95, 137f. r¨ aumliche Simulation 217f. Randbedingung 12, 61, 63f., 85, 126, 235 Randbedingungen periodisch 65f. raue W¨ ande 38 Rauhigkeitsh¨ ohe 38 Realisierbarkeit 198 Rechteckfilter 111f. Reibungsbeiwert 37 Reskalierung 206 Reynolds–gemittelte Gleichungen 4, 18 Reynolds–Mittel 16 Reynolds–Spannungen 49, 141, 145f., 365 Reynolds–Spannungsmodell 52, 164 Reynolds–Zahl 12, 23f., 33, 37 kritische 42 Rohrstr¨ omung 42 Rotationstensor 12 Runge–Kutta–Verfahren 72, 75, 92 Scale Similarity Model 175 Scherparameter 321 Schließungsproblem 18 Schmidt–Zahl 30, 194 Schubspannungsgeschwindigkeit 32 selektive Prozedur 168 selektives Modell 168 Sensitivit¨ at bez¨ uglich Anfangsbed. 142 Serial Decomposition Closure 176 SIMPLE–Verfahren 76 Skala 20, 133, 363 Skalar 30 aktiver 13, 195f. passiver 13, 193 Skalarniveau 154, 157 Skalen¨ ahnlichkeitsmodell 174 Skalogramm 325 Smagorinsky–Fluid 133 Smagorinsky–Konstante 156f. Smagorinsky–Modell 155, 167, 173, 227 dynamisches 179 lokalisiertes dynamisches 180 SOUCUP–Schema 96 Spalart–Allmaras–Modell 50

413

Sachverzeichnis

Spektralelemente 232 Spektralmethode 48, 65, 165f., 182, 205, 216 Spektrum 349, 352 Stabilit¨ at 91 staggered mesh 79 stochastischer Quellterm 264 Stochastisches Modell 191 Strahl in Querstr¨omung 271f. Streak 40f., 287 Stretched Vortex Model 190 Strouhal–Zahl 306, 323, 333 Strukturfunktionsmodell 167 stumpfer K¨ orper 300, 303 Subgrid–Scale Estimation Model 188 Super Streaks 264 Super–Grid–Modell 204, 233, 280 Super–Grid–Skalen 201 Sweep 240 Symmetrie der mittleren Str¨omung 274, 305 der Randbedingungen 197 der Str¨ omung 172 des Filters 119 Fourier–Koeffizienten 67, 343, 348 Gleichungen 12f. Randbedingungen 31, 54 Str¨ omung 54 Symmetriebedingung 205, 306, 321 Taylor–Entwicklung 189 Taylor–Hood–Element 83 Taylor–Hypothese 19, 211f., 279 Tensorniveau 147, 154 Torus 341 Tr¨ ager 64, 114 Transition 28, 41, 169, 202 transparente Randbedingung 215 Turbulenz 1, 14, 107 dreidimensionale 171 isotrope 20, 66, 212 Spektrum 25 synthetische 211 Wandn¨ ahe 31 zweidimensionale 28, 171

Turbulenzmodellierung 6 TVD–Schema 97f. TVD–Verfahren 135 UDS1 95 UDS2 88 Unsteady RANS, URANS 6 van Driestsche D¨ ampfung 53 Vektorniveau 147 Very Large Eddy Simulation, VLES 6 viskose Unterschicht 38 Volumenkraft 205 von Karman Konstante 33 Vorhersagbarkeit 142 W¨ arme– und Stofftransport 13 Wahrscheinlichkeitsdichte 17 WALE–Modell 172, 277 wandaufl¨ osende LES 221 Wandfunktion 53, 221, 234, 294 f¨ ur die Temperatur 244 Kombination 248 mit Verschiebung 239 ohne Wandabstand 247 Rezirkulation 250 Schumannsche 236 Werner–Wengle 238, 329 Wandfunktionen f¨ ur raue W¨ ande 244 Wandgesetz logarithmisches 39, 235f. universelles 32 Wandgrenzschicht 206 Wandmodellierung 221, 276, 296 Wandschubspannungsmodell 235 Wandstromlinien 335f. Wavelet 363 Wavelettransformation 325, 363 Wirbelstrukturen 285, 288 Wirbelviskosit¨ at 49, 155, 159, 172f., 175, 331 Wirbelviskosit¨ atsmodell 135 Worms 26, 28 Zeitdiskretisierung 69 zeitliche Simulation 217f.

414 Zell–Peclet–Zahl 72, 93, 95, 355 Zentraldifferenzen 59, 79 Zufallszahlen 207 zweidimensionale LES 304

Sachverzeichnis

Zweigleichungsmodell 51 Zweipunktkorrelation 281, 328 Zweischichtenmodell 261