Laboratorio 1 [PDF]

Zitiervorschau

LABORATORIO 1

1. Propagación de una medicina. Un modelo matemático para la razón con la que se propaga una medicina en el torrente sanguíneo está dado por: dx =r−k · x dt Donde r y k son constantes positivas. Sea x (t ) la función que describe la concentración de la medicina en el torrente sanguíneo en el tiempo t. A. Resuelva la ecuación diferencial sujeto a x (0)=0. B. Determinar el valor de x(t) conforme t →+ ∞ C. ¿En cuánto tiempo la concentración es la mitad del valor límite del punto b? 2. Cadena cayendo. Una parte de una cadena de 8 pies de longitud está enrollada sin apretar alrededor de una clavija en el borde de una plataforma horizontal y la parte restante de la cadena cuelga descansando sobre el borde de la plataforma. Vea la figura abajo. Suponga que la longitud de la cadena que cuelga es de 3 pies, que la cadena pesa 2 lb/ pie y que la dirección positiva es hacia abajo. Comenzando en t=0segundos, el peso de la cadena que cuelga causa que la cadena sobre la plataforma se desenrolle suavemente y caiga al piso. Si x (t ) denota la longitud de la dx cadena que cuelga de la mesa al tiempo t=0, entonces v= es su velocidad. Cuando se dt desprecian todas las fuerzas de resistencia se puede demostrar que un modelo matemático que relaciona a v con x está dado por: xv

dv 2 +v =32 x dx A. Reescriba este modelo en forma diferencial. Resuelva la ecuación diferencial para v en términos de x determinando un factor integrante adecuado. Determine una solución explícita v(x). B. Determine la velocidad con que la cadena abandona la plataforma.

SOLUCIÓN

1- Propagación de una medicina. Solución general:

dx =r−k · x dt

dx =dt r−k · x dx

∫ r−k · x =∫ dt Integración por sustitución (1)

dx

∫ r−k · x u=r−k · x du=−k dx −1

∫ ku du −1 1 du k ∫u −1 ln ⁡∨u∨¿ k −1 ln ⁡∨r−k · x∨¿ k

−1 ln |r −k · x|+C k −ln |r −k · x| +C k Integración Directa (2)

∫ dt =t+C Igualando (1) y (2)

−ln |r −k · x| +C=t+C k −ln |r −k · x| =t +C−C k −ln |r −k · x| =t +C 2 k ln |r −k · x|=−k t +C2 r −k x=e−k t +C

2

r −k x=C3 e−k t −k x=C 3 e−k t – r k x=−C 3 e−k t +r k x=r −C3 e−k t x=

r−C 3 e−k t k

A. Resuelva la ecuación diferencial sujeto a x (0)=0. x=

r−C 3 e−k t k

r−C 3 e−k (0) 0= k

0=r−C 3 e−k(0) 0=r−C 3 e0 0=r−C 3

C 3=r Por lo tanto la solución particular punto A es: x=

r−ℜ−k t k

B. Determinar el valor de x (t ) conforme t →+ ∞ lim x t →+ ∞

lim r−ℜ−k t

t →+∞

k 1 lim r −ℜ−kt k t →+∞ 1 lim r − lim ℜ−k t k t →+∞ t →+∞ 1 lim r −r lim e− kt k t →+∞ t →+∞ 1 ( r−r ( 0 ) ) k 1 ( r −0 ) k 1 (r ) k ¿

r k

El valor de x (t ) conforme t →+ ∞es: r ¿ k C. ¿En cuánto tiempo la concentración es la mitad del valor límite del punto b? x ( t )=

r 2k

r r −ℜ−k t = 2k k rk =r−ℜ−k t 2k r =r−ℜ−k t 2 r =r (1−e¿¿−k t )¿ 2 r =1−e−k t 2r 1 =1−e−k t 2 e−k t =1−

1 2

e−k t =

2−1 2

e−k t =

1 2

ln e−k t =ln

−kt=ln

ln t=

( 12 )

( 12 )

( 12 )

−k

t=

ln ( 2 ) k

t=

0.69314 k

Por tanto, el tiempo que tarda en alcanzar la mitad es: t=

0.69314 k

2. Cadena cayendo. Punto A

-

Reescriba este modelo en forma diferencial.

xv

dv 2 +v =32 x dx

xv

dv 2 +v −32 x=0 dx

xv

dv + ( v 2−32 x ) =0 dx

dx xv

(

dv + ( v 2−32 x ) =dx ( 0 ) dx

(

dv + ( v 2 −32 x ) dx=0 dx

dx xv

)

)

( xv ) dv+ ( v 2−32 x ) dx=0 Por tanto: M ( v , x ) dv + N ( v , x ) dx=0 ∂M ( xv )=v ∂x ∂N 2 ( v −32 x )=2 v ∂v

∂M ∂ N ≠ ∂x ∂v

Determinando un factor integrante adecuado.

-

∂M ∂N − ( ∂ x ∂v ) −g ( x )= M ( v , x)

−g ( x )=

( v−2 v ) xv

−g ( x )=

−v xv

−g ( x )=

−1 x

g ( x )=

No es exacta

1 x ∫ 1x dx

μ ( x )=e

μ ( x )=x Luego: μ ( x ) ( M ( v , x ) dv ) + μ ( x ) ( N ( v , x ) dx ) =0 x ( ( xv ) dv ) + x ( v 2−32 x ) dx=0

( x 2 v ) dv + ( x v 2−32 x 2 ) dx=0 Operando: ∂M 2 ( x v ) =2 xv ∂x

∂N ( x v 2−32 x2 ) =2 xv ∂v ∂M ∂ N = ∂x ∂v

-

Es exacta

Determine una solución explícita v(x).

( x 2 v ) dv + ( x v 2−32 x 2 ) dx=0

∫ M ( v , x ) dv 1

∫ x 2 v dv= 2 x 2 v 2 ∂ 1 2 2 x v ∂x 2

(

)

¿ x v 2 dx Entonces:

( x v 2−32 x 2) dx −x v 2 dx ( x v 2−32 x 2−x v 2) dx ( x v 2−32 x 2−x v 2) dx −32 x2 dx

∫−32 x 2 dx −32 3 x + C1 3

Solución implícita:

1 2 2 32 3 x v − x =C1 2 3

1 2 2 32 x v =C1 + x 3 2 3 x 2 v 2=2 C 1+

32 3 x 3

x 2 v 2=2 C1 +

64 3 x 3

(

2

v=

2 C1

2

v=

√ v 2=

v=

x

2

+

64 3 x 3 x2

2 C 1 64 x + 3 x2

√

√

v ( x )=

2C 1 64 x + 2 3 x

2 C1 64 x + 3 x2

√

2C 1 64 x + 2 3 x

Resolviendo C 1: Condición v=0 pies/s x=3 pies Entonces: V (3)=0 Reemplazando: 0=

√

)

2 C1 64 ( 3 ) + 3 ( 3 )2

2

(0) =

(√

0=

2 C1 64 ( 3 ) + 3 ( 3 )2

2

)

2 C 1 64 ( 3 ) + 9 3

0=

2 C1 +64 9

−64=

2C 1 9

−64 ( 9 ) =C 1 2 −268=C1 Solución explicita: v ( x )=

√

v ( x )=

2 (−268 ) 64 x + 3 x2

√

−576 64 x + 3 x2

Punto B Determine la velocidad con que la cadena abandona la plataforma.

x=8 pies→ Al salir v ( x )=

v ( 8 )=

v ( 8 )=

√

−576 512 + 64 3

v ( 8 )=12.714820

pies s

√

√

−576 64 x + 3 x2

−576 64 ( 8 ) + 2 3 (8)

La velocidad con la que la cadena abandona la plataforma es de: 12.714820

pies s