Lab1 SAR [PDF]

Zitiervorschau

Universitatea Tehnică a Moldovei Facultatea Calculatoare Informatică și Microelectronică Departamentul Inginerie Software și Automatică

RAPORT Lucrarea de laborator nr. 1 Sisteme Automate și Robuste

Tema: Reprezentările matematice ale sistemelor în spațiu stărilor

A efectuat: st.gr. AI 161,

Platon Vadim

conf. univ.,dr.

Cojuhari Irina

A verificat:

Chișinău (c) 2019

Scopul lucrării: de a reperezenta în pachetul software MATLAB în forma analitică sistemele în spațiu stărilor. Sarcina: 1. Funcția de transfer dată după varianta de a prezentat în formele: a. standart controlabilă; b. canonică observabilă; c. canonică diagonală. 2. În MATLAB din linia de comandă de făcut convertirea funcției de transfer în modelul intrare-stare-ieșire. 3. În Simulink de asamblat schema cu modelul obținut în forma ecuației de stare și de simulat sistemul cînd la intrare este aplicat semnalul treaptă unitară. Numărul variantei: 2 6 s +2 1 7 s2 +8 s+1 ; ; 8 s 2+ 2 s+1 15 s 2 3 s+1 4 s 2+ 3 s+ 1 Mersul lucrării: Pentru H ( s )=

6 s +2 ; 8 s 2+ 2 s+1

Forma standard controlabilă: 3 1 s+ 4 4 H ( s )= 1 1 s 2+ s+ 4 8 1 1 a 2=1; a1= ; a0 = ; 4 8 3 1 b 2=0 ; b1= ; b 0= ; 4 4 n=2; 0 1 x˙1 = 1 −1 x 1 + 0 u x˙2 x2 1 8 4 1 3 y= 0 x 4 4 Forma canonică observabilă: −1 3 1 x˙1 4 x 1 + 4 u = 1 x˙2 0 x2 1 8 4 Forma canonică diagonală: >> M=tf([6 2],[8 2 1])

[][ [

[]

][ ] [ ]

]

[ ][ ] [ ]

M= 6s + 2 ---------------

8 s^2 + 2 s + 1 >> [A,B,C,D] = tf2ss([ 2],[8 2 1]) A= -0.2500 -0.1250 1.0000 0 B= 1 0 C= 0

0.2500

D =0 >> [c, p, b0] = residue([2],[8 6 1]) c= -1 1 p= -0.5000 -0.2500 b0 = [] −1 1 + s−0.5 s−0.25 x˙1 0.5 0 x1 1 = + u 0 0.25 x 2 1 x˙2

H ( s )=

[][

][ ] [ ]

y=−0.5−0.25 x 1 x2

[]

Fig. 1. Curba de ieșire sistemului la care este aplicat semnal treapta unitară 1 15 s +3 s+1 Forma standard controlabilă: Pentru H ( s )=

2

1 15 H ( s )= 1 1 s 2+ s+ 5 15 0 1 x˙1 = x −1 −1 1 + 0 u x˙2 x2 1 15 5 1 y= 0 0 15 Forma canonică observabilă: 0 1 x˙1 = x1 + 0 u −1 −1 1 x˙2 15 5 x 2 15 y=1 0 x 1 x2

[][

][ ] [ ]

[][

][ ] [ ]

[]

Forma canonică diagonală: >> M=tf([1],[15 3 1]) M= 1 ---------------15 s^2 + 3 s + 1 Continuous-time transfer function. >> [A,B,C,D] = tf2ss([1],[15 3 1]) A= -0.2000 -0.0667 1.0000 0 B= 1 0 C= 0

0.0667

D= 0 >> [c, p, b0] = residue([1],[15 3 1]) c= 0.0000 - 0.1400i 0.0000 + 0.1400i p= -0.1000 + 0.2380i -0.1000 - 0.2380i b0 = []

−0.14 i 0.14 i + s +(−0.1+ 0.238i) s +(−0.1−0.238 i) x˙1 0.1−0.238 i 0 x1 1 = + u 0 0.1+0.238 i x 2 1 x˙2 x y=−0.14 i0.14 i 1 x2

H ( s )=

[][

][ ] [ ]

[]

7 s2 +8 s +1 4 s2 +3 s+1 Forma standard controlabilă: Pentru H ( s )=

7 2 1 s + 2 s+ 4 4 H ( s )= 3 1 s 2+ s+ 4 4 0 1 x˙1 = x −1 −3 1 + 0 u x˙2 x2 1 4 4 1 3 ∗7 ∗7 1 4 4 7 y= − 2− x+ u 4 4 4 4 y=−0.1875 0.68753.5

[][

][ ] [ ]

Forma canonică observabilă: 3 ∗7 4 1 2− x1 + 4 u 1 0 x2 ∗7 1 4 − 4 4 7 x y=1 0 1 + u x2 4

[ ][ ] [

−3 ˙x 1 = 4 −1 x˙2 4

[]

]

[]

Forma canonică diagonală: >> M=tf([7 8 1],[4 3 1]) [A,B,C,D] = tf2ss([7 8 1],[4 3 1]) [c, p, b0] = residue([7 8 1],[4 3 1]) M= 7 s^2 + 8 s + 1 --------------4 s^2 + 3 s + 1 Continuous-time transfer function. A=

-0.7500 -0.2500 1.0000 0 B= 1 0 C= 0.6875 -0.1875 D= 1.7500 c= 0.3438 + 0.6732i 0.3438 - 0.6732i p= -0.3750 + 0.3307i -0.3750 - 0.3307i b0 = 1.7500 0.3438+0.6732 i 0.3438−0.6732i + s +(−0.3750+0.3307 i) s+(−0.3750−0.3307 i) x˙1 0.3750−0.3307 i 0 x1 1 = + u 0 0.3750+0.3307 i x 2 1 x˙2 x y=0.3438+0.6732i 0.3438−0.6732i 1 +1.75 u x2

H ( s )=1.75+

[][

][ ] [ ]

[]

Fig 2. Semnal de ieșire a stistemului

Concluzii: În urma efectuării lucrării de laborator au fost reprezentate în diferite forme sisteme, precum în: a. standart controlabilă; b. canonică observabilă; c. canonică diagonală. În pachetul software MATLAB cu ajutorul liniei de comandă sa făcut convertirea funcției de transfer în modelul intrare-stare-ieșire. În Simulink a fost asamblată schema cu modelul obținut în forma ecuației de stare și sa simulat sistemul cu aplicare semnalul treaptă unitară la întrare. Sa stabilit că ambele sisteme sunt stabile (se stabilizează în punctul staționar) și controlabile.