La magia dei numeri. Come scoprire con la matematica tutti i segreti del paranormale 8874967829, 9788874967827 [PDF]

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Mariano Tomatis

La magia dei numeri Come scoprire con la matematica tutti i segreti del paranormale Kowalski - Apogeo s.r.l. socio unico Giangiacomo Feltrinelli Editore s.r.l. 2011 ISBN edizione cartacea: 978-88-7496782-7

Forse davvero, come dice il noto divulgatore Keith Devlin, se venisse spiegata con il gossip, tutto d'un tratto la matematica diverrebbe facile: anziché l'algida regina delle scienze, spogliata della corona e dello scettro, la riconosceremmo finalmente al bancone del bar. Una tipa cool, non così imprevedibile e a volte persino spiritosa. La tesi di questo saggio di divulgazione è che la matematica offre strumenti potenti non solo per destreggiarsi ogni giorno nella quotidianità, ma anche per esplorare le zone di confine della conoscenza, dove si addensano i fenomeni paranormali, i poteri della mente, le profezie, i grandi enigmi storici e i simboli esoterici. Ognuno di questi ambiti, che viene comunemente indagato dalle scienze umane, merita anche il vaglio dell'analisi scientifica poiché, in buona parte dei casi, ospita numeri, schemi matematici e precise strutture logiche. La matematica, pur flirtando con l'irresistibile fascino ludico, svela l'inganno. A Federica La magia su cui posso sempre contare

INTRODUZIONE Secondo Keith Devlin, la matematica è difficile da capire perché è espressa con un linguaggio troppo lontano da quello della vita quotidiana. Poiché il linguaggio più semplice e diffuso è quello del pettegolezzo, una buona divulgazione matematica dovrebbe tenerne conto, raccontandola come se si trattasse di una soap opera, la quintessenza del gossip. Il divulgatore inglese suggerisce di pensare a numeri, triangoli, cerchi, logaritmi o funzioni trigonometriche come fossero i personaggi di Twin Peaks, come Jack e i naufraghi sull’isola di Lost, o come gli strani personaggi che popolavano le puntate di X-Files. Quella di Devlin non è soltanto una provocazione: tutte le teorie matematiche costituiscono “universi finzionali”, simili a quelli dei grandi serial televisivi, i cui protagonisti sono equazioni, gruppi, spazi e oggetti che entrano in relazione l’uno con l’altro. Nelle pagine che seguono, tutti questi personaggi verranno coinvolti in mirabolanti avventure sullo sfondo di un mondo ambiguo e fascinoso: quello della magia e del paranormale. La matematica è come un coltellino svizzero multiaccessoriato. Tutti conosciamo le sue funzioni principali: ci è utile per pagare tre caffè al bar, calcolare il resto e fare qualche conto sulle rate dell’auto. Pochi sanno che, ben nascosti nel manico, la matematica offre strumenti altrettanto potenti per esplorare le zone di confine della conoscenza, dove si addensano i fenomeni paranormali, i poteri della mente, le profezie, i dischi volanti, i grandi enigmi storici e le simbologie esoteriche. In ognuna di tali aree oscure si celano numeri inaspettati, schemi matematici e precise strutture logiche: queste pagine vi condurranno alla scoperta del lato nascosto dei numeri, in bilico tra il rigore della scienza e il fascino dell’occulto. In questo libro mi sono preoccupato di mostrare quanto sia erroneo il pregiudizio di chi ritiene inconciliabili la matematica, la regina delle scienze razionali, e il mondo irrazionale del paranormale. La tecnologia moderna, che si appoggia su solide basi matematiche, ci offre oggi opportunità che i nostri antenati avrebbero considerato vere e proprie magie: la televisione sembra incarnare lo specchio magico attraverso il quale, nelle fiabe, si poteva vedere il mondo a distanza; le previsioni meteorologiche rispondono a interrogativi che in altri tempi avremmo rivolto a un indovino; accostare l’orecchio a un cellulare offre un’esperienza uditiva ancora più magica del semplice rumore del mare “catturato” da una conchiglia.

Nei sei capitoli del libro approfondiremo in particolare il ruolo che la matematica può avere quando, nascosta dietro le quinte, si pone l’obiettivo di creare intense esperienze magiche. Scoprirne i meccanismi significa entrare in quella affascinante sinergia in cui razionalità e irrazionalità diventano un tutt’uno, confondendo i rispettivi confini e rivelandoci quella che io ritengo essere l’unità profonda alla radice delle cose. Per indagare sui fenomeni paranormali, sulle esperienze extrasensoriali e più in generale su tutto ciò che è strano e anomalo, è certamente necessario un approccio multidisciplinare: le scienze umane possono offrire contributi fondamentali, ma senza un’adeguata attrezzatura di strumenti statistici e matematici, il rischio di commettere imbarazzanti errori di interpretazione è enorme. Nel corso di queste pagine, dunque, la matematica non verrà utilizzata soltanto per ricreare – in modo più o meno illusorio – i principali fenomeni paranormali, ma anche per studiare in modo rigoroso quei fenomeni che vengono descritti come tali e che, a volte, sotto l’impietosa lente della scienza, si rivelano di tutt’altra natura. Infine, leggendo questo libro, potreste scoprire che la matematica non sonnecchia affatto in polverosi dipartimenti universitari, ma è imparentata con i più folli bagonghi circensi, solca gli oceani alla ricerca di preziosi tesori nascosti e può descrivere minuziosamente la tana del bianconiglio di Alice e i suoi mirabolanti paradossi. Ciò potrebbe spingervi a innamorarvi dei suoi aspetti più divertenti e bizzarri, e ad approfondire per conto vostro i mille percorsi suggeriti, regalandovi ore e ore di intenso piacere intellettuale e di inaspettate sorprese. Se, consci del rischio, affronterete comunque la lettura di queste pagine, non ditemi che non vi avevo avvertito!

LEGGERE IL PENSIERO - LA TELEPATIA “Lei crede alla telepatia, crede all’ESP, alla chiaroveggenza, alla fotografa spiritica, alla telecinesi, ai medium scriventi e non scriventi, al mostro di Loch Ness, e alla teoria sull’Atlantide?” “Beh, se c’è lo stipendio fisso, io credo in tutto quello che dice.” Dal film Ghostbusters (1984) Le bionde sono più telepatiche? Cominciamo il nostro viaggio dal “laboratorio di studi paranormali” della Weaver Hall University – un locale che esiste soltanto nel mondo immaginario del film Ghostbusters. Utilizzando alcune carte, il dottor Peter Venkman sta valutando le facoltà telepatiche di due studenti (una bionda e un ragazzo con i capelli ricci): vuole determinare se siano o meno in grado di leggere nel pensiero. Nel corso di diverse prove, Venkman prende una carta, la solleva e si concentra sul simbolo che rappresenta; si tratta di semplici figure geometriche (un cerchio, un quadrato, delle onde, una croce e una stella) studiate proprio per ridurre al minimo le informazioni da trasmettere mentalmente al soggetto coinvolto. Quest’ultimo deve indovinare il simbolo pensato dallo sperimentatore: se ci riesce, totalizza un punto; in caso contrario, gli viene data una piccola scossa elettrica. Al termine di una serie di tentativi, i punti complessivi ottenuti dovrebbero fornire una buona misura delle facoltà telepatiche del soggetto. Nel corso dell’esperimento, però, Venkman dimostra un interesse più spiccato per la bionda che non per il rigore scientifico, a scapito del poveretto accanto a lei, vessato da continue scosse anche quando indovina. Anche la studentessa sbaglia sempre, ma lo sperimentatore – piuttosto ammaliato dal suo sguardo – conferma ogni volta le sue ipotesi, attribuendole un punto a ogni prova ed evitando di mostrare la carta corretta. L’esperimento si conclude – c’era da aspettarselo – con un invito a cena per la promettente sensitiva, mentre lo studente si allontana infastidito dal modo in cui il test è stato condotto. Abbiamo appena accennato a un ottimo esempio di come non si debba condurre un test sulla telepatia, a meno che il suo scopo non sia procurarsi una buona compagnia per la serata. Molti degli elementi messi in scena, però, si ispirano a studi realmente condotti negli Stati Uniti tra gli anni

Trenta e gli anni Sessanta: se le scosse elettriche ricordano quelle che gli sperimentatori infliggevano ai soggetti esaminati nell’ambito dell’Esperimento Milgram, i cinque simboli geometrici impressi sulle carte sono quelli utilizzati dal parapsicologo Joseph Rhine (1895-1980) durante i suoi esperimenti telepatici presso la Duke University. Si tratta delle “carte Zener”. I simboli di Karl Zener Le carte usate dal dottor Venkman prendono il nome dallo psicologo americano che le ha inventate, Karl Edward Zener (1903-1964). Un mazzo è costituito da 25 carte, suddivise in 5 serie composte ognuna da 5 simboli: un cerchio vuoto, una croce greca, tre righe ondulate, un quadrato vuoto e una stella a cinque punte vuota. Nel realizzarle, Zener aveva scelto simboli che fossero facilmente associabili ai numeri da 1 a 5, e con un semplice metodo mnemonico è facile ricordarli nell’ordine: il cerchio si può tracciare con un unico tratto di penna; la croce è composta da due segmenti uguali che si intersecano; le onde sono costituite da tre linee ondulate; il quadrato ha quattro lati; la stella presenta cinque punte. Da sinistra: Joseph Rhine, il soggetto analizzato e la dott.ssa Betty Humphrey da Joseph Rhine, “How Good Are Your Hunches?” in Mechanix Illustrated 4 (1949). Negli anni Trenta, i primi esperimenti telepatici erano condotti da Joseph Rhine con un metodo molto simile a quello del dottor Venkman: le carte venivano mescolate, lo sperimentatore ne pescava una e cercava di trasmetterne il valore. Il soggetto doveva cercare di leggere nel pensiero dello sperimentatore e prendere nota della percezione ricevuta. La prova veniva ripetuta più e più volte, tenendo il conto dei simboli indovinati. Ma in che modo il numero dei punti totalizzati forniva qualche indizio sulle capacità telepatiche della persona studiata? Quante carte doveva indovinare per dimostrare di possedere qualche potere straordinario? Medioman e il calcolo delle probabilità Se noi sottoponessimo a un test di 30 prove un individuo infallibile, costui raggiungerebbe sempre i 30 punti. Ma quanti punti totalizzerebbe in media una persona qualunque, che non possiede alcun potere telepatico (e che d’ora in avanti chiameremo Medioman)? Tirando completamente a caso, qualche volta indovinerebbe per pura fortuna. Per conoscere con una certa approssimazione il punteggio che otterrebbe Medioman, possiamo

usare la teoria delle probabilità, quella branca della matematica che si occupa di situazioni e fenomeni apparentemente incontrollabili, perché governati dal caso. Poiché le 25 carte presentano soltanto cinque varietà diverse di simboli, Medioman ha una probabilità su cinque di indovinarne una scelta a caso, pari al 20%. Associato a un qualsiasi fenomeno, il numero chiamato “probabilità” esprime e quantifica la possibilità che quel fenomeno accada: quando è pari a zero, significa che il fenomeno non accadrà per nessuna ragione; quando vale 100%, indica che il fenomeno accadrà certamente. In genere le probabilità dei vari eventi hanno valori compresi tra i due estremi: l’evento “Medioman indovina la carta tirando a caso”, per esempio, ha una probabilità di verificarsi del 20% (o, per esprimerla con una frazione, 1 su 5). Calcolata la probabilità di un evento, è facile sapere quante volte questo si verificherà in media nel corso di una serie di tentativi indipendenti: sarà sufficiente moltiplicarla per il numero di prove effettuate. Questo significa che, se dopo ogni tentativo il mazzo viene rimescolato, nel corso di 30 prove Medioman indovinerà mediamente 6 carte – dove il numero 6 è il risultato della moltiplicazione di 30 per la probabilità di indovinare, pari a 1/5. I matematici chiamano questo prodotto “valore atteso”: si tratta del numero di successi che ci aspettiamo da Medioman alla fine di 30 tentativi. Calcolare questo numero è fondamentale, perché ci consente di fissare all’altezza giusta l’asticella del test. Quando un individuo vorrà essere sottoposto a un test telepatico, si deciderà innanzitutto di quante prove sarà costituito (per esempio 30), e poi si calcolerà quante carte indovinerebbe Medioman nel corso delle stesse prove. Una volta trovato questo numero, la sfida assumerà questi termini: “Se tu non avessi alcun potere, indovineresti mediamente 6 carte. Se tu possiedi davvero qualche capacità telepatica, ci aspettiamo che azzeccherai ben più di 6 carte – al limite, se sei infallibile, le indovinerai tutte quante; se il tuo risultato finale si discosterà in modo significativo da 6, questo sarà un indizio delle tue facoltà extrasensoriali”. Un potere… “significativo”! Attenzione al testo della sfida: è facile fraintenderlo. Pensare al numero 6 come a un’asticella da oltrepassare è fuorviante, perché nel salto in alto

basta appena superarla per considerare la prova complessivamente un successo. In questo caso, invece, il testo parla di un superamento “significativo”; questo aggettivo è molto delicato, e tra gli stessi studiosi del paranormale ci sono dissensi sul suo significato. Torniamo ora a Medioman. Se la media di carte indovinate è pari a 6 prove, indovinerà mediamente 6 carte – non possiamo aspettarci ingenuamente che otterrà sempre e soltanto quel punteggio: qualche volta ne indovinerà 7, altre volte solo 5, o potrebbe addirittura capitare che ne indovini zero o le azzecchi tutte per un rarissimo colpo di (s)fortuna. I parapsicologi, quindi, hanno ragionato così: non limitiamoci a vedere quante carte indovinerà in media il soggetto, ma cerchiamo di scoprire quali altri risultati otterrà nella maggior parte dei casi. Teoricamente potrebbe indovinare un numero qualsiasi di carte tra 0 e 30, ma escludiamo le situazioni più rare e concentriamoci solo sulla maggior parte dei casi: quante carte indovinerà in media nel 99% delle prove? La statistica offre la possibilità di calcolare l’intervallo dei valori più probabili, e molti manuali dedicati ai test sulla telepatia riportano comode tabelle per evitare lunghi e noiosi calcoli. Nel caso di 30 prove, ci si aspetta che nel 99% dei casi Medioman indovinerà da 1 a 11 carte per puro caso. La vera asticella da superare è quindi fissata a 11 carte: se il soggetto ne indovinerà almeno 12, o è particolarmente fortunato, oppure possiede davvero facoltà extrasensoriali. La sfida parla, infatti, di “indizio”: bisogna sempre tenere a mente che il risultato potrebbe essere frutto di un caso fortunato. Se il soggetto è dotato, ripetendo l’intero test più volte, sarà in grado di replicare questo successo; in caso contrario siamo costretti a pensare che ha d’improvviso perso i suoi poteri o, più probabilmente, è stato molto fortunato ed è ricaduto in quell’1% di casi molto rari. È stata così chiarita la questione fondamentale: il punteggio finale deve essere superiore al “numero atteso” (che su 30 prove è di 6), e deve esserlo in modo “significativo”; con opportuni calcoli, possiamo trovare quante sono le carte da indovinare perché si accenda la spia rossa con la scritta “Sospetto soggetto telepatico!”. Ecco una pratica tabella che fissa l’asticella del test per sottoporre voi stessi e i vostri amici a un test telepatico con le carte Zener: Nel corso di… tentativi 10 15 20 25 30 35 40 45 50 60 Il soggetto deve indovinare

almeno… carte 6 7 9 11 12 14 15 16 18 20 L’homme moyen di Quételet Uno dei primi studi statistici delle caratteristiche di Medioman, l’uomo medio, risale al 1835, quando Adolphe Quételet (1796-1874) pubblicò un libro intitolato Sull’uomo e lo sviluppo delle sue facoltà. Molte pagine dello studioso belga erano ispirate alla locuzione latina “la virtù sta nel mezzo”; la mediocrità era da preferirsi in tutti gli ambiti: nella salute, nella statura, nel peso… Per anni Quételet raccolse dati per fissare la circonferenza toracica, la statura, il peso alla nascita standard, e poi passò alle questioni sociali: oltre all’homme moyen physique, un uomo medio dal punto di vista fisico, definì l’homme moyen moral, l’uomo medio dal punto di vista morale, considerandone le abitudini, i comportamenti e lo stile di vita “medio”. Lo studioso proponeva di punire chi si allontanava dagli estremi in maniera proporzionale alla distanza dalla media. Al di là degli ovvi limiti di questo approccio, pochi anni più tardi l’idea di studiare le capacità standard degli individui sarà utilissima in ambito parapsicologico, perché consentirà di fissare al punto giusto l’asticella dei test. Un esperimento a casa vostra Prima di leggere i resoconti degli esperimenti di Joseph Rhine, credevo che i laboratori che studiavano la telepatia fossero stanze piene di enormi apparecchiature scientifiche, fili ed elettrodi, lettini di costrizione per i soggetti analizzati e lunghi nastri su cui pennini appuntiti prendevano nota di onde cerebrali e chissà quali altre forze in gioco. Con mio enorme stupore, scoprii che gli esperimenti di telepatia erano infinitamente più semplici, e chiunque avrebbe potuto improvvisarli a casa propria o addirittura nel bar all’angolo! Immaginiamoci, quindi, nella situazione più familiare che possa esserci: ci troviamo nel nostro salotto di casa, un amico ha deciso di sottoporsi a un test telepatico e lo abbiamo fatto accomodare sul divano. Abbiamo quindi mescolato un mazzo di 25 carte Zener. Ne prendiamo una e ci concentriamo sul suo simbolo: secondo il nostro amico si tratta della stella. Esatto! Un punto per lui. Rimescoliamo le carte e ne peschiamo un’altra. L’amico dice: “Cerchio”. Esatto anche stavolta! Dopo 20 prove, ha indovinato complessivamente 18 carte: un risultato straordinario! Secondo

la tabella precedente, nel corso di 20 tentativi, per superare la prova ne avrebbe dovute indovinare almeno 9. Il suo punteggio finale non lascia spazio ai dubbi: siamo di fronte a un potenziale sensitivo! Il buonsenso, però, ci fa sorgere alcuni dubbi. E se fosse stato solo fortunato? Se avesse spiato i simboli nel riflesso del vetro della finestra dietro di noi? E se le carte fossero leggermente trasparenti? E se prima dell’inizio dell’esperimento le avesse contrassegnate, in modo da poterle riconoscere? Il seme del dubbio Il fatto che sorga qualche dubbio è assolutamente naturale: sin da bambini, abbiamo imparato a conoscere il mondo intorno a noi e ci siamo fatti un’idea, più o meno intuitiva, di come agisca. Non utilizziamo la telepatia per comunicare, perché abbiamo assodato che non funzioni un granché; siamo abituati a vedere gli oggetti cadere verso il basso e non il contrario. Se ci capitasse di vedere un vaso che vola verso l’alto, penseremmo subito a qualcuno che lo sta lanciando dal basso. La nostra mente funziona così: cerca sempre spiegazioni che non violino le regole apprese fino a quel momento. Se però fossimo a teatro e a far levitare il vaso fosse il mago Silvan, saremmo costretti a cercare una spiegazione diversa (forse nel vaso è nascosta una potente calamita?). Se invece vedessimo il filmato di alcuni cocci che prendono vita, si sollevano e si avvicinano magicamente, fondendosi tra loro e componendo un vaso che finisce per appoggiarsi sull’orlo di un tavolo, il nostro cervello non penserebbe alla calamita: con ogni probabilità, il vaso si è rotto cadendo, e la sua “storia” ci viene raccontata al contrario, attraverso l’inversione del filmato. Fenomeni incredibili ci stimolano a formulare ipotesi differenti. Soltanto quando non siamo in grado di trovare alcuna spiegazione razionale, siamo costretti ad avanzare un’ipotesi paranormale, pur sempre l’ultima elaborata dal nostro cervello. Se il nostro amico indovina 18 carte su 20, è naturale reagire con sorpresa, ma prima di essere sicuri di trovarsi di fronte a un sensitivo, è altrettanto naturale (e saggio) formulare qualche ipotesi alternativa. Perfino il dottor Venkman, durante il suo esperimento, scherza con la ragazza chiedendole se per caso la sua grande abilità non sia dovuta a un trucco: “Non è che per caso riesci a vederle? Mi stai fregando?” Svelare i trucchi con la matematica

Esistono libri interi dedicati ai trucchi per imbrogliare durante test scientifici come questo. Il grande divulgatore matematico e prestigiatore Martin Gardner ha scritto un libretto meraviglioso, intitolato Confessioni di un medium (1975), nel quale finge di essere un aspirante lettore del pensiero, pentito di aver ingannato per tanti anni gli scienziati che l’hanno esaminato. Gardner suggerisce di spiare il valore delle carte negli occhiali dell’esaminatore, di mettersi d’accordo con un assistente del laboratorio che può fare da compare, di collocare oggetti riflettenti dietro le spalle dello sperimentatore… Un metodo per conoscere segretamente il valore di una carta con uno specchietto nascosto (anni Venti). Joseph Dunninger, Enciclopedia completa dei giochi di prestigio, Sugar, Milano, 1968, p. 24. Altri hanno scoperto che alcune delle carte Zener utilizzate da Joseph Rhine erano stampate su una carta talmente sottile da consentire di intravederne il simbolo. Un trucco completamente diverso venne scoperto da Betty Markwick utilizzando la matematica: si tratta di un segreto così ingegnoso che possiamo usarlo ancora oggi per stupire i nostri amici. La Markwick stava studiando i test di Samuel George Soal (1889-1975), un matematico inglese a tal punto appassionato di esperimenti parapsicologici da aver condotto, nel corso di sei anni (dal 1936 al 1941) addirittura 120mila prove del tipo “Indovina la carta che sto pensando”. Nel corso di questi test, nessuno dei soggetti analizzati mostrò alcuna abilità fuori dall’ordinario. Poi arrivò Basil Shackleton. I risultati che Soal ottenne con lui furono talmente eccezionali da destare la sorpresa di tutti. Le carte utilizzate nel corso di questi test erano un po’ diverse da quelle Zener; invece dei simboli geometrici, venivano utilizzati degli animali: un elefante, una giraffa, un leone, un pellicano e una zebra. Poiché era scomodo scrivere sul foglio dei risultati il nome completo degli animali, a ognuno era stato associato un numero e, prima di cominciare l’esperimento, Soal scriveva una lunga serie di numeri da 1 a 5: questa lista costituiva il bersaglio, ovvero la sequenza di carte da indovinare. Il soggetto esaminato doveva quindi scrivere su un altro foglio i numeri corrispondenti alle carte che gli venivano trasmesse mentalmente. Alla fine della serie, le due liste venivano confrontate e ogni volta che i due numeri corrispondevano, Shackleton totalizzava un punto. Poiché i risultati da lui ottenuti erano sempre superiori alla media, i

giornali iniziarono a raccontare entusiasti del “sensitivo” che aveva conquistato il “bollino della scienza”. Ma non tutti i ricercatori credevano alla stampa: qualcuno si insospettì e accusò Soal di frode. Trascorse molto tempo prima che queste accuse venissero provate. Trent’anni più tardi, infatti, una delle sue assistenti, la signora Albert, ammise di averlo visto truccare il foglio dei risultati: in diverse occasioni, quando Shackleton doveva indovinare la carta con il numero 1 e si sbagliava indicando il numero 4, lo sperimentatore alterava segretamente il numero 1 con la penna, trasformandolo in un 4 e contandolo come un successo; lo stesso accadeva con il numero 5. Il numero 1 infatti era scritto appositamente come una piccola I, in modo da essere facilmente modificato in caso di necessità. Se le cose si fossero svolte senza trucchi, a fronte di queste dieci carte Shackleton avrebbe ottenuto 2 punti (esattamente come Medioman): Bersaglio 3 1 2 1 2 4 5 1 3 5 Ipotesi di Shackleton 2 5 2 3 4 1 3 4 3 1 Carte indovinate X X Ma se lo sperimentatore avesse alterato il bersaglio ogni volta che il soggetto aveva detto 4 o 5 e la carta da indovinare era l’1, “magicamente” Shackleton avrebbe ottenuto ben 4 punti: Bersaglio 3 5 2 1 2 4 5 4 3 5 Ipotesi di Shackleton 2 5 2 3 4 1 3 4 3 1 Carte indovinate X X X X Si sarebbe potuto fare addirittura meglio! Se Soal avesse alterato con la stessa tecnica gli 1 scritti da Shackleton, trasformandoli in 4 e 5, il nostro soggetto avrebbe addirittura superato l’asticella del test, ottenendo 6 punti: Bersaglio 3 5 2 1 2 4 5 4 3 5 Ipotesi di Shackleton 2 5 2 3 4 4 3 4 3 5 Carte indovinate X X X X X X Soal non ammise mai di aver usato questo trucco per ritoccare i fogli, ma Betty Markwick mise la parola fine a questa vicenda, dimostrando matematicamente che il bersaglio della prova era stato alterato. Supponiamo di voler programmare questa truffa e fissiamo un bersaglio che ci aiuterà a far ottenere al nostro soggetto il massimo punteggio. La cosa migliore sarebbe preparare una serie composta solo da numeri 1: in

questo modo, il soggetto indovinerebbe tre volte su cinque, scegliendo l’1, il 4 o il 5. Naturalmente, un bersaglio del genere desterebbe qualche sospetto alla fine della prova, perché in teoria dovrebbe essere scelto a caso, e quindi presentare una buona mescolanza delle cinque cifre. Dovremo dunque dare la parvenza di una certa casualità e contemporaneamente mettere il maggior numero di 1 possibile: molti di essi, dopo l’alterazione segreta in fase di conteggio dei punti, scompariranno perché verranno trasformati in 4 e 5. Sospettando che il bersaglio non fosse stato scelto casualmente bensì in maniera “pilotata”, Markwick fece un’approfondita analisi computerizzata dei numeri da indovinare, scoprendo che la sequenza era tutt’altro che casuale: addirittura una identica serie di 24 carte si ripeteva in due punti diversi del bersaglio. Un altro studioso, Christopher Scott, tentò di farsi consegnare una delle pagine utilizzate durante l’esperimento per analizzarle al microscopio ed evidenziare le eventuali alterazioni, ma Soal gli disse di averle perse. Se il caso fosse portato in tribunale, quindi, non avremmo a disposizione alcuna prova “fisica” della frode: dovremmo invece servirci della perizia matematica di Betty Markwick. Se capitasse anche a voi di imbattervi in risultati simili a quelli di Soal, chiedete di dare un’occhiata al foglio che registra i risultati. Se i numeri 4 e 5 compaiono con una frequenza doppia rispetto agli 1, questo vi deve far sospettare che lo sperimentatore abbia alterato le cifre, aumentando artificialmente le carte indovinate. La magia del feedback positivo Esistono trucchi matematici ancora più sottili per indovinare un numero di carte maggiore rispetto a quello che ci si aspetterebbe. Due di questi li ha descritti Persi Diaconis, brillante matematico e prestigiatore americano. In un celebre articolo intitolato “Problemi statistici nella ricerca sulla percezione extrasensoriale” (1978), Diaconis affronta gli esperimenti di telepatia utilizzando per i suoi esempi un comune mazzo di 52 carte francesi, quelle utilizzate anche in Italia per giocare a Scala Quaranta. Immaginiamo questo test: lo sperimentatore mescola il mazzo, si concentra sulla prima carta e chiede al soggetto di fare un’ipotesi, segnando su un foglio se ha indovinato o meno; poi passa alla seconda e ripete la richiesta, fino all’ultima carta del mazzo. Secondo l’autore, il solito Medioman, sottoposto a un test del genere, indovinerebbe in totale una carta.

Aggiungiamo ora all’esperimento un elemento apparentemente insignificante: consentiamo allo sperimentatore di dire ad alta voce “Esatto!” ogni volta che il soggetto ha indovinato. Secondo alcuni parapsicologi, offrire questo feedback positivo aiuterebbe l’autostima della persona esaminata e ne stimolerebbe le facoltà telepatiche, aumentando i suoi punti. Sembra incredibile, ma è proprio così: è stato verificato che esclamare “Esatto!” durante la prova migliora i risultati, e la media diventa di quasi due carte indovinate contro l’una che ci aspetteremmo. Persi Diaconis spiega molto bene il motivo di questa “magia”. All’inizio dell’esperimento, Medioman ha una probabilità di indovinare una carta pari a 1 su 52 (1,9%). Supponiamo che, arrivato alla sesta carta, dica “Tre di fiori” e lo sperimentatore esclami “Esatto!”. D’ora in avanti, dalla settima in poi, il compito di indovinare una carta diventerà un po’ più facile: poiché il tre di fiori è già uscito, sicuramente non si ripresenterà più, e quindi la probabilità di indovinare aumenterà, diventando di 1 su 51 (2,0%). Diaconis ha quindi calcolato che, dal punto di vista matematico, il semplice fatto di dare un feedback positivo al soggetto modifica il numero medio di carte che indovina Medioman, facendolo diventare di 1,7. È quindi vero che i soggetti azzeccano in media quasi due carte nelle prove in cui ricevono un feedback: la ragione, però, non ha niente a che vedere con l’autostima o i poteri telepatici! Nel suo articolo, Persi Diaconis porta alle estreme conseguenze l’idea di cambiare la procedura di indagine per aumentare in modo artificioso il punteggio dei soggetti. Aggiungiamo un secondo elemento, anche questo in apparenza di poco conto: facciamo in modo che lo sperimentatore, dopo aver trasmesso mentalmente ogni carta e preso nota del punto eventualmente totalizzato a ogni tentativo, appoggi sul tavolo la carta con la faccia rivolta verso l’alto. Con questa modifica, i soggetti indovinano in media più di quattro carte. La ragione è simile alla precedente: se Medioman ha una probabilità di indovinare la prima carta pari a 1 su 52, dopo aver visto depositare sul tavolo il sei di cuori, immediatamente sa che dalla seconda in poi potrà ignorarlo perché è già uscito; la probabilità di indovinare la seconda carta sarà dunque pari a 1 su 51. Ma una volta che anche la seconda carta, il re di quadri, viene depositata sul tavolo, le carte “bruciate” saranno due, e quindi dalla terza in avanti potrà scegliere solo tra le 50 restanti: la probabilità di indovinarla diventerà di 1 su 50, e così via, fino alla fine del mazzo. Se, come i grandi giocatori, Medioman ha una buona memoria e

riesce a ricordare le carte che compaiono, a ogni tentativo le probabilità di indovinare aumenteranno. Per l’ultima carta tale probabilità sarà addirittura del 100%, perché ormai sul tavolo si vedranno scoperte 51 carte e l’unica mancante sarà quella che sta pensando lo sperimentatore. È stato calcolato che il numero medio delle carte indovinate da Medioman nell’ambito di un esperimento come questo è di circa 4,5. Secondo Diaconis, molti dei punteggi più alti ottenuti in passato sono spiegabili senza tirare in ballo i poteri telepatici e piuttosto analizzando il tipo di sperimentazione effettuata; calcolare il numero di successi che ci aspettiamo da Medioman è fondamentale per fissare l’asticella, ma per farlo correttamente è necessario conoscere l’andamento della prova fino ai suoi più specifici dettagli: abbiamo visto quanto variazioni minime nel protocollo possano aumentare notevolmente i punti ottenuti in media da una persona che non possiede alcun potere telepatico! Un effetto telepatico quattrocentesco “A. si voltò di scatto, tendendo l’orecchio. Il rumore si ripeté.” A proposito di questa frase, Carlo Fruttero e Franco Lucentini scrivevano che una storia che la contenga sarà con ogni probabilità poliziesca o di fantascienza: “In entrambi i casi, la faccenda in relazione col rumore è un’incognita: ed è quest’ultima, non A., né qualsiasi altro personaggio, la vera protagonista del libro. Perché la storia sia poliziesca o di fantascienza, tuttavia, non basta che ci siano una o più incognite: bisogna che queste siano contenute nella storia allo stesso modo, appunto, delle incognite algebriche, e che la storia sia l’equazione che permette di risolverle.” Ma se trovare l’assassino di un romanzo giallo equivale a scoprire il valore di un’incognita, significa che risolvere un’equazione può diventare un’attività enormemente appassionante, da immaginare addirittura come passatempo sotto un ombrellone, tra altre attività ugualmente imparentate con la matematica – come i Sudoku o i cruciverba. Per scorgere in un’equazione qualcosa di interessante, però, è necessaria una capacità di vedere “oltre” non comune, che contraddistinse un frate francescano vissuto alla fine del Quattrocento, Luca Pacioli (1445-1514). Il religioso scrisse un libro che oggi è considerato il primo testo di giochi di prestigio della storia, dal titolo Sulla forza dei numeri (De Viribus Quantitatis). Pacioli aveva intuito che la matematica poteva essere utilizzata per stupire il prossimo, sfruttando quella che amava definire la “forza dei numeri”, ovvero il fatto che i numeri possedessero qualità che la

maggior parte degli individui ignorava e che, sfruttate nel modo giusto, potevano consentire a chiunque di leggere nel pensiero (o almeno di fingere di farlo), indovinare quanti soldi avesse in tasca un passante o addirittura l’età di una donna. I primi capitoli del libro sono tutti dedicati alla lettura del pensiero attraverso la matematica; per lo più i giochi suggeriti consistevano in quattro passi: la persona coinvolta pensava a un numero, effettuava una serie di operazioni e comunicava il risultato al mago; grazie a questo totale, il mago era in grado di indovinare quale fosse la cifra pensata inizialmente. Senza saperlo, molti studenti oggi alle prese con le equazioni a una incognita si trovano a risolvere problemi nei quali Pacioli aveva intravisto insospettabili potenzialità magiche. Immaginate di trovarvi di fronte a questa equazione con la richiesta di trovare il valore incognito di x: 10(5(2x + 5) + 10) = 950 Il compito non sembra entusiasmante: perché dovreste essere curiosi di scoprire quanto vale x? Per rendere interessante l’equazione, è necessario renderla “significativa”, magari inserendola in una storia che possa destare la vostra attenzione. Immaginate dunque che un certo Mario abbia appena pensato al numero x: risolvere l’equazione vi consentirebbe di millantare doti telepatiche e di stupirlo, leggendogli nella mente e scoprendo il numero che sta pensando. In quest’ottica, la cosa diventa molto più interessante… All’equazione appena citata Luca Pacioli dedica l’ottavo capitolo del suo libro; descrive, infatti, un gioco di lettura del pensiero che ancora oggi potete presentare con successo ai vostri amici. Eccolo: “Pensa a un numero, Mario. Ricordatelo: sarà il tuo numero d’oro! Raddoppialo e poi sommagli 5. Bene, ora moltiplicalo per 5 e sommagli 10. Moltiplicalo infine per 10. Quanto ti è venuto?” Appena Mario risponde: “Mi è venuto 950”, Pacioli chiude gli occhi, mette una mano sulla fronte e annuncia trionfante: “Lo vedo! Vedo nella tua mente! Il numero d’oro è di fronte a me! Hai pensato al numero 6!” Un po’ frastornato, Mario conferma. Come ha fatto il nostro frate a leggere nella sua mente? Non ha fatto altro che risolvere mentalmente l’equazione precedente, e ha scoperto che x, la sua incognita, valeva 6; tale equazione, infatti, non è che la traduzione matematica delle operazioni che Mario è stato invitato a fare. Nella forma in cui è scritta, sembra molto

complicata, e lo sono altrettanto le varie operazioni richieste a Mario, ma si tratta di una confusione voluta per dare l’impressione che sia del tutto impossibile risalire al numero iniziale. Al contrario, la matematica consente un’operazione chiamata “semplificazione” che – proprio come dice la parola – rende più semplice la soluzione dell’equazione. Pacioli ci semplifica l’equazione spiegando, con i suoi termini quattrocenteschi, in che modo trovare il numero pensato senza sforzi: Luca Pacioli, De Viribus Quantitatis, pp.19 verso e 20 recto. “Dicta che te l’arà, sempre ne cavarai 350 et lo remanente sempre partirai in 100, et quello […] sirà lo numero pensato”. Tradotto nell’italiano moderno: “Quando te l’avrà detto, sottrai 350 e dividi per 100. Il risultato che otterrai sarà il numero pensato”. Se proviamo con il numero 950, sottraendo 350 otteniamo 600 e dividendo per 100 arriviamo proprio a 6, il numero pensato. Una volta colto lo spirito del gioco descritto da Pacioli, diventa facile inventarne altri. Isoliamone gli elementi fondamentali. Mario pensa a un numero. Non lo conosciamo. Con una parola latina, i matematici direbbero che è “incognito”. Lo chiamiamo x. Facciamo quindi eseguire una serie di operazioni sul numero x. Ogni operazione può essere spiegata facilmente a voce, ma anche essere tradotta nel linguaggio della matematica. Ricostruiamo qui di seguito le varie fasi del gioco e le relative traduzioni. Pensa a un numero x = ? Raddoppialo 2x = ? Aggiungi 5 2x + 5 = ? Moltiplicalo per 5 5(2x + 5) = ? Aggiungi 10 5(2x + 5) + 10 = ? Moltiplicalo per 10 10(5(2x + 5) + 10) = ? Quanto ti è venuto? 10(5(2x + 5) + 10) = N L’ultimo passaggio completa la scrittura dell’equazione e ci offre la possibilità di scoprire l’incognita. È infatti sufficiente semplificarla e riscriverla così: Il numero pensato è ora facile da ricostruire: traducendo in italiano l’equazione, bisogna prendere il risultato finale N, sottrargli 350 e dividere il tutto per 100. L’aspetto notevole di questo gioco è che non importa quante e quali

operazioni faremo fare ai nostri “spettatori”, perché esisterà sempre un modo per risalire al numero pensato! Proviamo con numeri e operazioni un po’ diverse: Pensa a un numero x = ? Moltiplicalo per 5 5x = ? Aggiungi 3 5x + 3 = ? Raddoppialo 2(5x + 3) = ? Aggiungi 5 2(5x + 3) + 5 = ? Quanto ti è venuto? 2(5x + 3) + 5) = N Semplificando l’equazione all’incognita x, otteniamo:

finale,

ovvero

risolvendola

rispetto

Tradotto in italiano, si legge così: “Sottrai 11 al risultato finale e dividilo per 10: otterrai il numero pensato”. Vediamo se funziona… Pensiamo al numero 3. Moltiplicato per 5 dà 15. Aggiungendo 3 otteniamo 18. Raddoppiandolo arriviamo a 36. Aggiungendo infine 5, il risultato finale è 41. Usiamo il trucco che ci ha suggerito l’equazione finale e vediamo se ritorniamo al 3 di partenza: 41 meno 11 fa 30, che diviso 10 fa proprio 3. Funziona! Come esercizio, potete inventare una qualsiasi altra sequenza di operazioni, scrivere l’equazione che la descrive e semplificarla, trovando così il trucco da usare per ritornare al numero pensato. Le possibilità sono letteralmente infinite! Indovinare un oggetto pensato Sulla base di quest’ultimo gioco, il matematico e prestigiatore Jack Yates ha pensato di nascondere la matematica e sostituire i numeri con degli oggetti. Le sue idee hanno dato vita a un bellissimo gioco di lettura del pensiero che lui presenta regolarmente quando si trova in ambienti informali, come un salotto o il bancone di un bar. Ecco come potete presentarlo voi. “Signore e signori, ho bisogno dell’aiuto di alcuni di voi. Frugatevi nelle tasche o nelle borsette, e mettete qui sul tavolo di fronte a me alcuni oggetti: una moneta, uno scontrino, un portachiavi, un rossetto…” Man mano che gli oggetti vengono appoggiati al tavolo, contate le lettere che ognuno ha nel proprio nome. La parola “moneta” ha sei lettere quindi varrà 6, lo scontrino varrà 9, il rossetto 8 e così via. Quando due oggetti

hanno lo stesso numero di lettere, eliminatene uno, oppure fate in modo di chiamarlo con un sinonimo: se qualcuno metterà sul tavolo una chiave (6) e una moneta (6), chiamate quest’ultima “euro” e assegnatele mentalmente il valore 4. Quando diversi oggetti si troveranno sul tavolo (ne bastano tre o quattro), chiedete al solito Mario di pensarne uno. Ditegli quindi di contare le lettere che ha nel nome, e poi fategli fare le prime tre operazioni elencate per il gioco precedente: moltiplica il numero delle lettere per 5, aggiungi 3 e raddoppialo. A questo punto, per rendere ancora più misterioso il gioco, Yates suggerisce di coinvolgere un’altra persona e dirle: “Potresti essere così gentile da sussurrare all’orecchio di Mario un numero qualsiasi tra 1 e 9? Ricorda bene il numero che gli hai sussurrato, ma fa’ in modo che nessuno ti senta. Mario dovrà sommare il tuo numero a quello che ha in mente”. Questa operazione tende a confondere le idee dei presenti, perché se sin dall’inizio eravate all’oscuro del numero pensato, a questo punto non sapete neppure quali operazioni vengano svolte. Mario, infatti, ha appena sommato a un numero ignoto un altro numero altrettanto sconosciuto, pensato da una seconda persona. A questo punto, chiedete a Mario il numero finale e sottraete a mente 6. Il numero che otterrete sarà composto da due cifre – supponiamo che si tratti del numero 84. La prima cifra indicherà il numero di lettere dell’oggetto pensato, mentre la seconda cifra sarà il numero sussurrato: Mario avrà quindi in mente il rossetto (8 lettere) e gli avranno sussurrato il numero 4. Dando uno sguardo al tavolo, non vi sarà difficile risalire all’oggetto che contiene proprio quel numero di lettere. A questo punto dovete nascondere il fatto che state usando un trucco matematico per indovinarlo: fate finta di concentrarvi sulla mente di Mario, descrivete prima con parole confuse un oggetto affusolato che accende i colori, poi fingete che la visione psichica sia sempre più definita, e alla fine annunciate che sta pensando al rossetto, e godetevi l’applauso che ne seguirà. Poi, come se voleste dare un tocco finale al gioco, rivolgetevi alla persona che ha sussurrato il numero e ditele: “Ma non finisce qui. Il numero che hai bisbigliato prima… si tratta del 4, non è vero?” Studiare l’equazione di questo gioco, già in parte illustrata, ci aiuta a capire come funziona. Questa volta, però, le incognite sono due: il numero di lettere

dell’oggetto pensato (che chiameremo x) e il numero sussurrato (che chiameremo y). Grazie all’idea di Yates, riusciamo a indovinarli entrambi! Pensa a un numero x = ? Moltiplicalo per 5 5x = ? Aggiungi 3 5x + 3 = ? Raddoppialo 2(5x + 3) = ? Aggiungi il numero sussurrato 2(5x + 3) + y = ? Quanto ti è venuto? 2(5x + 3) + y) = N Questa volta ci conviene semplificare l’equazione in questo modo: N – 6 = 10x + y Sottraendo 6 al risultato finale, arriviamo a un numero che vale 10 volte x più y. Questo è un numero molto speciale: quando y è una cifra da 1 a 9, il numero 10x+y è composto dalle cifre di x seguite da y. Per verificarlo, prendiamo due cifre qualsiasi, per esempio 6 e 2. Moltiplicando 6 per 10 e sommando 2 si ottiene proprio il numero 62. Ecco perché, alla fine del gioco, possiamo conoscere i due numeri pensati senza alcuno sforzo, semplicemente separando le cifre che compongono il risultato. Tenete conto che, se arrivate al numero 119, il numero sussurrato sarà il 9 mentre l’11 corrisponderà al portachiavi o a qualunque oggetto abbia 11 lettere nel nome. Come leggere una carta nel pensiero La magia matematica, proprio come le altre discipline della scienza, ispira da secoli un vero e proprio filone di ricerca, con i suoi studiosi, congressi e articoli scientifici. Chi si dedica a questo ambito di studio, propone nuove scoperte, affina i principi già noti ed elabora versioni più astute dei vecchi giochi. È il caso di Harry Canar, che ha pensato di sostituire l’oggetto pensato di Yates con una carta da gioco. L’esperimento, molto simile a quello già descritto, si differenzia per il fatto che la scelta non cade su una serie di oggetti, bensì su una carta pescata dal mazzo mescolato, oppure semplicemente pensata da una persona. A ogni carta corrisponde un valore numerico: l’asso corrisponde all’1, le altre carte hanno il loro valore nominale, e le tre figure fante, donna e re valgono rispettivamente 11, 12 e 13. Chiedete alla persona coinvolta di

moltiplicare per 5 il valore della carta pensata, sommare 3 e raddoppiare il risultato. Ditele quindi di sommare un numero corrispondente al seme della carta pensata: se è una carta di cuori fate aggiungere 1, se è di quadri, fate aggiungere 2, se è di fiori 3 e se è di picche 4. Fatevi quindi comunicare il risultato finale. Utilizzando la stessa tecnica descritta sopra, ovvero sottraendo 6 al numero finale, la cifra più a destra corrisponderà al seme della carta pensata, mentre la cifra (o le due cifre) più a sinistra corrisponderanno al valore della stessa. Se dunque il risultato sarà 99, sottraendo 6 si otterrà 93 che corrisponde al 9 di fiori (3); se invece il risultato sarà di 138, sottraendo 6 si otterrà 132 e la carta pensata sarà il re (13) di quadri (2). In quale mano è? La matematica può essere utilizzata per leggere nel pensiero in un modo ancora più subdolo. Sin dal Seicento si rifetteva sulla possibilità di indovinare in quale mano si trovasse un oggetto facendo eseguire una serie di operazioni. Nel capitolo “Combinazioni e divinazioni” del libro Ricreazioni matematiche e di filosofia naturale, Jacques Ozanam (16401717) suggeriva di far prendere in mano a una persona un pezzo d’oro e uno d’argento. L’oro era associato al numero 8, l’argento al numero 3. Il soggetto doveva raddoppiare il numero del metallo nella mano destra, triplicare il numero di quello nella mano sinistra e sommare i due risultati. Facendosi comunicare il totale, se si trattava di un numero pari l’oro si trovava nella mano destra, se invece era dispari l’oro era a sinistra. Il problema del pezzo d’oro e del pezzo d’argento pubblicato nel 1694. Da Jacques Ozanam, Récréations mathématiques et physiques, C.A. Jombert, Parigi, 1778, p. 147. Da allora sono trascorsi diversi secoli, e oggi lo stesso risultato si può ottenere… senza farsi comunicare il risultato di alcuna operazione! Consegnate a una persona una moneta da 5 centesimi e una da 10, chiedendole di nasconderne una nella mano destra e una nella sinistra. Invitatela quindi a moltiplicare per 13 il valore della moneta che si trova nella destra. A questo punto potranno accadere due cose: se la persona dice di sì con la testa e si mostra serena, potete star certi che nella mano destra si trova la moneta da 10 centesimi; in caso contrario, infatti, si troverebbe a dover moltiplicare 13 per 5, che è un’operazione tutt’altro che semplice da fare a

mente, e la sua reazione sarebbe molto diversa: probabilmente vi chiederebbe qualche secondo di tempo, e sorriderebbe imbarazzata, guardando qua e là e muovendo la bocca mentre fa i calcoli. Se andasse proprio così, potreste immediatamente concludere che nella mano destra si trovano i 5 centesimi. Quando avrete capito quale moneta si trova nella destra, per esclusione conoscerete anche l’altra, e sarà giunto il momento di buttare via la matematica e fingere di utilizzare i poteri della vostra mente per leggere nel pensiero. Direte quindi: “Ho cambiato idea… Non voglio neppure conoscere il risultato dell’operazione che hai appena fatto: voglio provare con un approccio ‘per immagini’. Visualizza nella tua mente la moneta che hai nella mano destra… mi sembra di vederla… sì, percepisco che è un 5 [oppure 10] centesimi! È esatto?” Con ogni probabilità, avrete indovinato. Potrebbe però capitarvi di avere a che fare con una persona molto abile a fare di conto: in quel caso, se avesse nella mano destra i 5 centesimi, potreste fraintendere la sua velocità e concludere erroneamente che abbia la moneta da 10 centesimi. In quel caso, spiegate che si trattava di un primo esperimento per “scaldare” i vostri neuroni e che ora vi siete calibrati sulla sua mente, avete capito come funziona e potete procedere a un altro degli esperimenti già descritti, molto meno rischiosi! Telepatia matematica senza operazioni Se voleste leggere il pensiero a qualcuno che non ha nessuna voglia di fare di conto, la matematica vi consente di farlo attraverso un metodo antichissimo, oggi alla base dell’informatica moderna: il codice binario, un modo di scrivere i numeri analogo a quello decimale usato correntemente, che però funziona con due soli simboli (0 e 1) e che si basa sulle potenze di 2. Mentre noi in genere scriviamo il numero “dodici” come 12, perché è composto da 1 decina e da 2 unità (ovvero è il risultato di 1 × 10 + 2), avendo solo a disposizione due cifre in codice binario lo dobbiamo scrivere come 1100 perché è il risultato di (1 × 8) + (1 × 4) + (0 × 2) + (0 × 1), dove ogni cifra che lo compone viene moltiplicata per una potenza di 2. Chiedete a un amico di pensare a un numero qualsiasi tra 1 e 15. Consegnategli quattro tavolette che avrete ricavato da un pezzo di cartone, su cui avrete trascritto i numeri delle tabelle qui sotto. Ditegli di cercare il numero che sta pensando su ognuna delle tavolette: se lo trova, deve tenere in mano la tavoletta; se il numero non c’è, deve metterla via. Senza chiedergli di fare alcuna operazione, vi sarà sufficiente

concentrarvi sulle carte che ha in mano per scoprire il numero che sta pensando. Incredibile, vero? Il tutto è possibile perché, senza saperlo, il vostro amico vi comunicherà in codice binario il numero che ha in mente. Cominciamo da una versione un po’ più facile del gioco, poi arriveremo a quella che sembra coinvolgere davvero delle capacità paranormali. Invece di far reggere i cartoncini contenenti il numero pensato, fatevele consegnare. Supponiamo che l’amico vi restituisca le tabelle “tre” e “quattro”: a voi basterà sommare il numero in testa a ognuna delle tabelle per scoprire il numero pensato; in questo caso, il primo numero della tabella “tre” è il 4 e il primo numero della tabella “quattro” è l’8: dunque il numero pensato è il 12 = 4 + 8. Osservando con attenzione le tabelle, noterete che in testa a ognuna c’è sempre una potenza di 2. Le stesse potenze si utilizzano per decifrare i numeri binari e convertirli nel sistema decimale. Per esempio, se voglio convertire in decimale il numero binario 1100, devo scrivere sotto ognuna delle sue cifre le varie potenze di due in ordine decrescente: Numero binario 1 1 0 0 Potenze di 2 8 4 2 1 A questo punto, dove c’è uno 0 sulla prima riga, cancello il numero sotto, ottenendo: Numero binario 1 1 0 0 Potenze di 2 8 4 La somma dei numeri della seconda riga, 8 + 4 = 12, corrisponde al numero convertito in decimale: il numero binario 1100 corrisponde quindi al 12. Si inizia a intravedere una parentela tra questo metodo e il gioco telepatico. Proviamo a riassumere quest’ultimo con uno schema simile. L’amico ci consegna una serie di tavolette. Mettiamole in riga in questo modo: Tavoletta 4 3 2 1 Riconsegnata? Sì Sì No No Se invece di Sì e No scriviamo i numeri 1 e 0, otteniamo questo: Tavoletta 4 3 2 1 Riconsegnata? 1 1 0 0 La seconda riga presenta un numero binario: 1100. Non è un numero

qualsiasi: è quello che l’amico sta pensando in questo momento! Infatti, convertendolo in decimale, otteniamo 12. Il gioco funziona sempre perché le tabelle sono state costruite in modo che i numeri siano presenti soltanto nelle tavole “giuste”, e per decidere su quali tavolette collocare ogni numero, è stato usato proprio il codice binario. Per esempio, il numero 6 in binario è 0110. Dopo aver scritto le cifre da 4 a 1 seguite dal numero binario, le cifre 1 indicheranno le tavolette in cui si deve collocare il numero 6: Tavoletta 4 3 2 1 Numero 6 in binario 0 1 1 0 Compare sulla tavoletta? No Sì Sì No Primo numero della tavoletta 8 4 2 1 Il numero 6 comparirà quindi sulle tavolette “due” e “tre”. Se l’amico pensa il numero 6, sono le stesse tavolette che ci restituirà durante il gioco: noi potremo ricostruire il suo pensiero sommando i due numeri in cima alle rispettive tavolette, ovvero 4 + 2 = 6. Utilizzando un numero maggiore di tavolette, è possibile estendere il gioco a numeri più grandi. In generale, utilizzando un numero N di tavolette è possibile indovinare un numero pensato compreso tra 1 e 2N-1. Molte scatole magiche in vendita nei supermercati propongono il gioco con sei tavolette: i numeri che si possono pensare vanno da 1 a 63, che è 26-1. Con il metodo spiegato sopra, è facile costruire da sé le tavolette. Per esempio, su quali delle sei tavolette comparirà il numero 22? In binario corrisponde a 010110, quindi costruendo la tabellina: Tavoletta 6 5 4 3 2 1 Numero 22 in binario 0 1 0 1 1 0 Compare sulla tavoletta? No Sì No Sì Sì No posso concludere che il numero 22 si troverà sulle tavolette “due”, “tre” e “cinque”. Ripetendo questo procedimento per ognuno dei numeri che si vogliono scrivere, si potrà facilmente creare un set composto da un numero qualsiasi di tavolette. Il mago inglese Sid Lorraine (1905-1989) aveva fatto stampare le sei tabelle sul dorso del suo biglietto da visita e, per confondere le idee, le aveva mescolate, collocando i numeri da sommare in alto a destra:

Retro del biglietto da visita di Sid Lorraine da The Jinx Magazine, a cura di Theo Annemann, dicembre 1935, p. 74. A proposito di questo gioco Martin Gardner ha avuto un’idea geniale: perché farci restituire quelle contenenti il numero pensato, quando possiamo ottenere le stesse informazioni a diversi metri di distanza? Per farlo, ha suggerito di colorare in modo diverso il retro di ogni tavoletta. Se, come suggerito sopra, si colora di giallo il dorso della tavoletta “uno”, di rosso la “due”, di verde la “tre” e di blu la “quattro”, non c’è più alcun bisogno di sbirciare il numero in cima: l’amico, infatti, mette da parte quelle che non contengono il numero, tenendo ben sventagliate le tavolette “chiave”; poiché avrà i numeri rivolti verso di sé, questo lo rassicurerà sul fatto che non stiate spiando quello che ha in mano, ma inconsapevolmente vi comunicherà, attraverso i colori del dorso, i numeri che vi servono per conoscere il suo pensiero. Vi sarà sufficiente ricordare che il colore giallo corrisponde all’1, il rosso al 2, il verde al 4 e il blu all’8. Se dunque vedrete tra le sue mani un ventaglio composto da una carta gialla e una blu, potrete immediatamente sommare i due numeri corrispondenti ai colori (giallo=1, blu=8) e scoprire che sta pensando il numero 9 = 8 + 1. Gran parte del fascino di questo gioco telepatico consiste nel fatto che la matematica sembra essere ininfluente: un numero viene pensato da qualcuno, cercato su alcune tavolette, e misteriosamente voi siete in grado di annunciarlo a gran voce. Quale migliore dimostrazione dei vostri poteri? Letture consigliate Gli esperimenti di Joseph Rhine vengono analizzati in modo critico in un capitolo di Martin Gardner, Fads and Fallacies in the Name of Science, Dover, 1957 (trad. it. Nel nome della scienza, Transeuropa, Ancona, 1999). Chi desidera realizzare a casa propria degli esperimenti scientifici sui poteri della mente troverà molto utile un libro che contiene, tra l’altro, le tabelle per fissare correttamente l’asticella dei test: Massimo Polidoro, Sei un sensitivo? I test per provarlo, Avverbi, Roma, 1997. La letteratura sui trucchi da utilizzare per ingannare i ricercatori durante i test non è molto vasta: molti manuali dedicati ai prestigiatori suggeriscono tecniche adatte soltanto al contesto teatrale; sono invece una miniera di idee utili i due libretti scritti da Martin Gardner sotto pseudonimo: Uriah Fuller e Karl Fulves, Confessions of a psychic: the secret notebooks of Uriah Fuller, Karl Fulves, 1975 (trad. it. Martin

Gardner, Confessioni di un medium, CICAP, Padova, 2006) e Uriah Fuller, Further Confessions of a psychic: the secret notebooks of Uriah Fuller, Karl Fulves, 1980 (trad. it. Martin Gardner, Nuove confessioni di un medium, CICAP, Padova, 2009). La perizia matematica sugli esperimenti su Basil Shackleton si trova nell’articolo di Betty Markwick, “The Soal-Goldney experiments with Basil Shackleton: new evidence of data manipulation” in Proceedings of the Society for Psychical Research, Vol. 56, 1978, pp. 250-280. La magia del feedback positivo viene descritta matematicamente nell’articolo di Persi Diaconis, “Statistical Problems in ESP Research” in Science, New Series, Vol. 201, N. 4351. (14.07.1978), pp. 131-136. Del manoscritto sulle “forze dei numeri” è disponibile una trascrizione di Maria Garlaschi Peirani: Luca Pacioli, De viribus quantitatis, codice n. 250 della Biblioteca Universitaria di Bologna, Ente Raccolta Vinciana, Milano 1997. I giochi di Luca Pacioli sono analizzati dal punto di vista dell’illusionismo in Vanni Bossi e Antonietta Mira, Mate-magica – I giochi di prestigio di Luca Pacioli, Aboca Museum Edizioni, 2010. Gli esperimenti di Jack Yates e Harry Canar sono pubblicati in un testo ricco di altre idee interessanti: William Simon, Mathematical Magic, Dover, 1993. I quattro volumi delle Ricreazioni matematiche e di filosofia naturale di Jacques Ozanam sono pezzi d’antiquaria to di difficile reperibilità, ma disponibili su books.google. com; l’esperimento dell’oro e dell’argento è il quarto problema del capitolo X della prima parte dedicata all’aritme tica, pubblicato sul primo volume della serie. Il gioco delle tavolette è molto antico (compare già nel primo volume di Ozanam) ma viene proposto nella sua versione con le tavolette colorate in Martin Gardner, Mathematics, magic and mystery, Dover, 1956.

IL TERZO OCCHIO - LA CHIAROVEGGENZA Sul campanello c’era scritto Horus il chiaroveggente – Vede tutto, conosce tutto, prevede tutto. Quando ho suonato e mi ha risposto: “Chi è?”, mi sono detto: “Cominciamo bene…” Il “terzo occhio” dell’impiegato inglese In alcune culture orientali si ritiene che, in un passato remoto, gli uomini e gli dei vivessero gli uni accanto agli altri e fossero dotati di poteri straordinari. In seguito a un atto di presunzione, gli uomini subirono il castigo divino e alcune delle loro capacità vennero notevolmente ridotte. Nel 1956 fu un libro, intitolato Il terzo occhio, a far conoscere all’Occidente questa versione dei fatti; il suo autore, un lama tibetano di nome Tuesday Lobsang Rampa, raccontando la sua vita descriveva l’intervento chirurgico cui era stato sottoposto quando aveva soltanto otto anni: gli venne aperto un foro sulla fronte per riattivare il “terzo occhio” e così acquistare il dono della chiaroveggenza, la capacità di vedere con gli occhi della mente persone, cose e luoghi nascosti alla vista. Il libro ebbe un enorme successo, e ancora oggi viene regolarmente citato in molti testi sui poteri della mente. Nonostante il colpo di scena del 1958. Sì, perché in quell’anno Clifford Burgess, un investigatore privato, scoprì che Tuesday Lobsang Rampa era in realtà lo pseudonimo di un impiegato inglese che lavorava in una ditta di corsetti, il cui vero nome era Cyril Henry Hoskin. Il detective era stato assoldato da alcuni tibetani che, leggendo le pagine di Hoskin, si erano insospettiti e volevano smascherare il falso lama. In seguito all’imbarazzante rivelazione, l’editore del libro fu costretto ad aggiungere un’avvertenza nella quale ammetteva di non poter garantire la paternità del testo, ma ormai il mito del terzo occhio aperto con un intervento chirurgico era entrato nell’immaginario collettivo: con il passare degli anni, l’avvertenza sparì, e ancora oggi molti lettori rifiutano di credere che Tuesday Lobsang Rampa non sia mai esistito; il suo è soltanto uno dei molti casi in cui la narrativa è così potente da varcare il confine della fiction, diventando “realtà” per milioni di lettori. I racconti di Hoskins erano credibili perché mescolavano elementi autentici della tradizione tibetana ad altri di pura fantasia; il mito di un

terzo occhio, per esempio, era presente nella cultura buddista ben prima che se ne parlasse nel suo libro: lo dimostra l’iconografia delle statue del Buddha, che sin dal iv secolo presenta alcune caratteristiche fisiche simboliche tra cui, appunto, un foro tra gli occhi che rappresenta il “terzo occhio”, immagine della sua consapevolezza profonda. Vedere con la mente Se nella vita quotidiana è così raro imbattersi in fenomeni di chiaroveggenza ripetibili e convincenti, la narrativa ne è letteralmente piena: si tratta, per esempio, del potere che distingue alcuni supereroi dai comuni mortali. È nota la capacità che ha Superman di vedere attraverso le superfici opache grazie a una vista ai raggi X. L’Uomo Ragno invece avverte pericoli e minacce incombenti grazie a un misterioso “senso di ragno”. Pur essendo diventato cieco, Devil è stato in grado di affinare le sue facoltà a tal punto da acquistare il “senso radar”, che gli consente di vedere il mondo circostante come ombre, create dalle onde sonore che lo circondano. Da oltre un secolo la parapsicologia si occupa di studiare queste capacità, e i test scientifici che vengono effettuati in laboratorio sono molto simili a quelli sulla telepatia. Vengono utilizzate le stesse carte Zener, ma la procedura è un poco diversa: lo sperimentatore, infatti, non si concentra sui simboli delle carte da “comunicare”, ma estrae una alla volta le carte dal mazzo senza guardarle; in questo modo il soggetto è costretto a indovinare la carta coperta senza poterla eventualmente leggere nel pensiero dello sperimentatore. Nonostante queste differenze, l’analisi statistica dei risultati è identica a quella illustrata nel capitolo precedente: per dimostrare di essere chiaroveggenti, è necessario indovinare molto più di quanto farebbe Medioman. Arricchirsi con la chiaroveggenza Ci sono superpoteri che hanno un immediato riscontro pratico: volare come Superman ci eviterebbe il traffico nelle ore di punta, leggere nel pensiero ci avrebbe fatto comodo a scuola durante le interrogazioni, prevedere il futuro ci consentirebbe di vincere regolarmente al SuperEnalotto. Ma a cosa potrebbe servire la chiaroveggenza? Negli anni Settanta erano molto diffuse su alcune riviste popolari inserzioni pubblicitarie di magici occhiali “a raggi X”: i pruriginosi annunci promettevano la possibilità di vedere sotto i vestiti della gente.

Purtroppo per gli acquirenti, si trattava soltanto di uno scherzo: le lenti erano di cartone e presentavano un piccolo buco ricoperto da una pellicola trasparente rossa. Guardando una matita attraverso il foro, l’immagine veniva leggermente sdoppiata, e si creava l’illusione di vederne la mina interna. Il miracolo, però, finiva qui: a differenza di quanto promesso sulle pubblicità, non era possibile scorgere sotto i vestiti di nessuno – e in alcuni modelli, lo scherzo era esplicito, perché un bigliettino allegato recitava: “Indossali e… immagina!”. La truffa funzionava perché la vendita avveniva soltanto per corrispondenza e ci si accorgeva troppo tardi dell’inganno. Come gli antichi imbonitori di piazza, il diabolico inventore di questo gadget, Harold von Braunhut (1926-2003), aveva saputo promettere il dono della chiaroveggenza facendo leva sull’aspetto piccante di questo potere – e incarnando alla perfezione la massima di Ambrose Bierce secondo cui “La magia è l’arte di convertire la superstizione in denaro”. Matematica e hacking Può avere un (altrettanto discutibile) riscontro economico un’altra moderna versione della chiaroveggenza: quella che ci consente di impadronirci furtivamente dei dati di una carta di credito, magari custoditi all’interno di un computer dall’altra parte del mondo, senza neppure spostarci da casa. Si chiama hacking ed è un’arte informatica attuale, che ha però antenati illustri. Già nel XIII sec. a.C. si ha notizia di un mago, tale Siosiri, figlio di Osiride, che alla corte del faraone Ramesse “catturava” informazioni riservate leggendo all’interno dei papiri sigillati. Nel I sec. d.C. era il saggio brahmano Iarchas a dimostrare gli stessi poteri, leggendo una lettera chiusa nel suo rotolo: troviamo il racconto delle sue vicende nei libri di un testimone molto stupito, Apollonio di Tiana. All’epoca, chi dimostrava capacità simili era considerato un individuo potente e da temere: un chiaroveggente tra le fila nemiche, in grado di leggere a distanza documenti riservati, poteva costituire un serio pericolo. E poiché i sistemi di difesa erano perlopiù “fisici” – come appunto i sigilli, che garantivano al destinatario di un messaggio che nessuno lungo il cammino lo avesse violato – gli aspiranti chiaroveggenti dell’epoca dovevano escogitare metodi altrettanto “materiali” per conoscere il contenuto degli scritti. Nel II sec. d.C. Alessandro di Abonutico era diventato famosissimo in

Asia Minore per la sua capacità di rispondere a domande formulate su rotoli ben sigillati, e molti lo acclamavano come un dio. Oggi conosciamo le sue gesta grazie alla biografia scritta da colui che ne smascherò i trucchi, Luciano di Samosata: senza essere visto, usando un miscuglio di pece, polvere di talco, cera e gomma, Alessandro faceva un calco dei sigilli dei rotoli che gli venivano consegnati; quindi rompeva i sigilli, leggeva il contenuto dei rotoli e li richiudeva con un nuovo sigillo, modellato come l’originale attraverso il calco. Oggi le informazioni da proteggere sono aumentate esponenzialmente, dalla carta si è passati ai supporti elettronici e i metodi per “sigillare” i documenti sono diventati per lo più invisibili, perché costituiti da pura matematica. A chi oggi volesse impadronirsi delle informazioni di accesso a un conto bancario, i miscugli di pece servirebbero poco: sono ormai i numeri a difendere l’intera economia mondiale, che si appoggia a meccanismi di protezione basati su chiavi numeriche gigantesche, inattaccabili perfino dai più potenti computer. L’attività odierna degli hacker è molto simile a quella dei sensitivi che nelle carte leggono passato, presente e futuro dei propri clienti: sono spesso questi ultimi a fornire inavvertitamente le informazioni che li riguardano. Nell’Arte dell’inganno Kevin Mitnick, il più grande hacker del mondo, racconta di essere stato appassionato di magia sin da ragazzino, ammettendo che l’illusionismo è stata la molla che l’ha avviato sulla strada dell’hacking: “È stata la magia a farmi scoprire le gioie di quando ci si impossessa di saperi segreti”. Per descrivere l’hacker ideale, Mitnick usa proprio la figura del prestigiatore: “Qual è la più grave minaccia alla sicurezza dei vostri beni aziendali? È facile: l’ingegnere sociale, quel mago poco scrupoloso che vi induce a tenere d’occhio la sinistra mentre con la destra vi sgraffigna i segreti”. Ma se molti hacker hanno scelto la via dell’ingegneria sociale, che mira a ottenere informazioni riservate con diaboliche astuzie psicologiche, è perché le chiavi matematiche sono diventate quasi inespugnabili. Il sistema più utilizzato oggi per proteggere le comunicazioni elettroniche è il cosiddetto “cifrario RSA”, che si basa sui numeri primi – quei numeri che si possono dividere soltanto per uno e per se stessi. Nel III sec. a.C. Euclide aveva scoperto che tutti i numeri si possono scomporre nel prodotto di numeri primi, che quindi possono essere visti come gli “atomi” indivisibili che, combinandosi tra loro, costituiscono qualunque altro numero. Ma se nell’ambito della chimica esiste una tecnica, la

“spettroscopia”, che consente di riconoscere gli elementi costitutivi di una sostanza composta, nessuno ha mai trovato una tecnica matematica simile, in grado di scomporre facilmente un numero nei suoi “atomi” primi. Mentre è elementare moltiplicare tra loro due numeri (un computer ci impiega frazioni di secondo), se noi trascriviamo il risultato e buttiamo via i due fattori originali, diventa ben complicato tornare indietro e ritrovare i numeri da cui eravamo partiti – e anche un computer potentissimo potrebbe aver bisogno di milioni di anni per riuscirci. Basta una prova per vederlo: quali sono i due numeri che ho moltiplicato per ottenere il numero 364.229? Potete aiutarvi con una calcolatrice per scoprirlo; vi accorgerete presto che trovarli richiederà molto tempo. Per contro, provate a moltiplicare con la calcolatrice due numeri primi qualsiasi, per esempio 457 e 797. Quale sarà il risultato? Ma soprattutto, quanto avete impiegato a ottenerlo? Il cifrario RSA si basa proprio sulla difficoltà di scomporre in fattori primi numeri molto grandi. Il meccanismo si può riassumere in quattro passi. Supponiamo che A voglia spedire un messaggio a B. B sceglie due numeri primi molto grandi e li moltiplica tra loro, ottenendo un numero composto da svariate centinaia di cifre; poi lo pubblica in una specie di rubrica telefonica accanto al proprio nome. Poiché A vuole scrivere a B, cerca il suo nome sulla rubrica e usa il numero corrispondente per cifrare il messaggio da spedirgli. A manda il messaggio cifrato a B, senza preoccuparsi del fatto che qualcuno possa intercettarlo: il messaggio, infatti, è praticamente inespugnabile. B riceve il messaggio e, per leggerlo correttamente, utilizza i due fattori primi che solo lui conosce e lo decifra. Se riuscisse a intercettare il messaggio, un hacker per leggerlo dovrebbe cercare sulla rubrica telefonica il numero di B e scomporlo in fattori primi: se ci riuscisse, troverebbe la chiave per decifrare il testo. Sfortunatamente per lui (ma fortunatamente per noi) si tratta di un compito così arduo che nessuno è mai stato in grado, fino a oggi, di trovare un sistema per compiere questa operazione in tempi ragionevoli. Perfino uno dei più grandi matematici di tutti i tempi, Carl Friedrich Gauss (1777-1855), cercò a lungo di risolvere il problema – ben prima che questo diventasse la pietra angolare della sicurezza mondiale – ma non ci riuscì mai; due secoli più tardi, il matematico Peter Sarnak avrebbe scritto: “Se Gauss fosse vivo

oggi, sarebbe un hacker”. Oggi i servizi di sicurezza nazionali tengono d’occhio l’ambiente dei matematici, perché sanno che, al risolversi del problema della fattorizzazione, l’intera economia mondiale crollerebbe: ciò, infatti, getterebbe nel caos tutti i sistemi di sicurezza del pianeta. Le aziende che si occupano di sistemi crittografici ricordano bene la preoccupazione con cui, nell’estate 1998, lessero l’annuncio del matematico americano Joseph Silverman, che sosteneva di aver trovato alcuni indizi di una strategia efficace per violare il cifrario RSA. Fu un altro matematico, Neal Koblitz, a far tirare un sospiro di sollievo ai responsabili dei servizi di sicurezza: la tecnica dei numeri primi era in grado di resistere all’attacco suggerito da Silverman, grazie a un minuscolo dettaglio tecnico che era sfuggito al collega, e che ben presto venne battezzato “lo scudo d’oro”. La vicenda fu talmente curiosa che Koblitz tenne in diverse occasioni una conferenza significativamente intitolata: “Come la matematica pura fece quasi crollare l’e-business”. Oggi si stanno elaborando nuovi sistemi di protezione basati su oggetti matematici ancora più esotici dei numeri primi, alcuni sui cosiddetti “gruppi ciclici”: per essere violati richiedono altrettanti calcoli, e sono a disposizione nel caso qualcuno scoprisse che il sistema RSA può essere violato da qualche genio dei numeri. La sfida resta quindi aperta: quella che per gli hacker potrebbe diventare la forma di chiaroveggenza più redditizia trova un ostacolo insormontabile nella forza dei numeri. Sbancare un casinò Sembrò coinvolgere la chiaroveggenza anche l’exploit di sei geniali studenti del Massachussetts Institute of Technology, che nel 1994 guadagnarono svariati milioni di dollari giocando a Blackjack; in realtà, si trattava anche in questo caso di una manifestazione della “forza dei numeri”. Nel 1962 il matematico americano Edward Oakley Thorp aveva pubblicato un libro nel quale spiegava che il Blackjack è l’unico gioco d’azzardo con il quale si può sconfiggere il banco del casinò, perché è soggetto alla cosiddetta “probabilità continua”. Quando si gioca a dadi o alla roulette, la probabilità che esca un numero è sempre la stessa. Non importa che cosa sia capitato prima: dadi e ruota

della roulette non hanno alcuna memoria, e chi scommette sui numeri ritardatari si illude soltanto di avere maggiori probabilità di vincere. Nel Blackjack, invece, il gioco ha una memoria: dopo aver mescolato tra loro sei mazzi, le oltre trecento carte sono caricate in un sabot, una cassetta per la distribuzione delle carte. Se durante una qualsiasi distribuzione esce un 10, c’è un 10 in meno nel resto del mazzo, e la probabilità che la prossima carta sia un 10 è più bassa di prima. Nel suo libro, Thorp analizzava le varie possibilità che potevano presentarsi su un tavolo da gioco e spiegava che un sabot in cui rimanevano tante carte di valore basso era favorevole al casinò, mentre un altro che abbondava di carte alte aumentava la probabilità che a vincere fosse il giocatore. Se, quindi, qualcuno dotato di poteri di chiaroveggenza avesse potuto aggirarsi tra i tavoli di un casinò e “vedere” con gli occhi della mente quali sabot contenessero molte carte alte, avrebbe potuto scegliere dove giocare e aumentare così le probabilità di guadagno. Ma Edward Thorp aveva intuito che la “probabilità continua” gli avrebbe consentito di conoscere il contenuto dei mazzi nascosti senza far uso della vera chiaroveggenza: la matematica gli sarebbe stata più che sufficiente. Propose quindi il “sistema alto-basso”, un metodo molto semplice ed efficace di conteggio delle carte per massimizzare le vincite al tavolo da gioco. Il giocatore deve partire tenendo a mente il numero 0. A ogni carta che viene distribuita, se si tratta di una carta bassa (dal 2 al 6) il giocatore deve sommare 1, mentre se è alta (i 10 e le figure) deve sottrarre 1; i 7, gli 8 e i 9 si possono ignorare. Durante il gioco il punteggio ondeggia intorno allo 0, e può salire o scendere anche molto: quando il punteggio sale, ciò indica che il resto del mazzo è favorevole al giocatore, ed è quindi saggio aumentare le puntate; quando invece scende, aumentano le probabilità di perdere, ed è meglio lasciare il tavolo o almeno limitare le somme giocate. In altre parole, il numero è un indice continuamente aggiornato in grado di rivelare “magicamente” se e quanto il mazzo in gioco sia favorevole, che funziona nonostante le carte residue vengano sempre tenute nascoste. Il metodo, inoltre, è molto semplice da utilizzare perché non richiede una supermemoria: non c’è bisogno di ricordarsi quali carte siano uscite, ma soltanto l’ultimo numero cui si è arrivati dopo le varie operazioni. E nonostante sia spesso descritto come un metodo per “contare le carte”, si tratta in realtà di una tecnica che coinvolge soltanto banali somme e sottrazioni.

Nel ’94 sei studenti di matematica di Boston decisero di mettere in pratica le teorie di Thorp in un vero casinò, dando vita al segretissimo Blackjack Club. Partendo dal teorema di base, quello secondo cui le carte alte sono favorevoli al giocatore e quelle basse al banco, i sei organizzarono un raffinato gioco di squadra costituito da tre gruppi: gli “avvistatori” tenevano d’occhio i tavoli con il “sistema alto-basso” e segnalavano ai compagni – con dei codici gestuali – quali fossero più favorevoli; a questo punto intervenivano i “gorilla”, che puntavano grosse somme ai tavoli indicati; i “giocatori”, invece, seguivano una serie di strategie definite sulla base del sistema di Thorp, puntando somme di denaro che fluttuavano in accordo al famoso numero magico. Il sistema funzionò alla grande, dimostrando che – senza violare alcuna legge – la matematica può volgere a proprio favore la fortuna, sfruttando opportunamente le falle di un gioco: i sei guadagnarono così oltre tre milioni di dollari. Come riassunse bene uno di loro: “Scoprimmo che il Blackjack si poteva battere. Ricavandoci un mucchio di soldi. Non è magia, è soltanto matematica. Si tratta di tenere sotto controllo il mazzo mentre viene mescolato. È un esercizio di base sulla distribuzione delle probabilità. Detto questo è solo questione di pratica.” La vicenda verrà raccontata da Ben Mezrich nel romanzo Blackjack Club (2002) e nel film 21, con Kevin Spacey. Il libro riporta anche un’interessante appendice matematica nella quale Kevin Lewis, uno dei sei, rivela le finezze del metodo matematico che consentì loro di realizzare uno degli exploit più celebri nella storia del gioco d’azzardo. Professione: spia psichica Alla fine degli anni Sessanta, durante la Guerra fredda, si diffuse la voce secondo cui i russi spendevano milioni di rubli ogni anno per reclutare medium, sensitivi e individui dotati di capacità chiaroveggenti, per destinarli a mansioni di spionaggio e controspionaggio “psichico”. Nel 1963 il Time aveva pubblicato un articolo dedicato a Rosa Kuleshova, intitolato “Vedere con la punta delle dita”; l’idea che una ragazza russa di ventidue anni potesse leggere da bendata faceva tremare l’intelligence americana: come difendere i propri segreti dalle spie psichiche oltre la cortina di ferro? Sarà il matematico Martin Gardner, che già conosciamo, a smascherarne i trucchi nel 1981. Prova che lo spionaggio psichico è tutto un inganno?

Dipende dall’accezione del termine “chiaroveggenza”. Abbiamo già visto quanto la matematica possa essere utile per scoprire informazioni nascoste, e l’uso che ne ha fatto l’astronomo polacco Boudewijn F. Roukema ha tutta l’aria di un’operazione di raffinato spionaggio. Il 12 giugno 2009 si tengono le elezioni presidenziali iraniane: la sfida è fra Ahmadinejad, presidente uscente, e Moussavi, leader dell’opposizione. Il giorno dopo vengono annunciati i risultati. Ahmadinejad ha vinto con il 62,6%. Moussavi, però, denuncia irregolarità nel voto e chiede nuove elezioni. Il 14 giugno 2009 i risultati in dettaglio delle elezioni vengono pubblicati su Internet dal ministro degli interni iraniano; è da qui che Roukema li scarica, con l’idea di tentare una geniale operazione di spionaggio politico: vuole scoprire con la matematica se, a tremila chilometri di distanza, ci sono state irregolarità nel conteggio dei voti. Chiuso nel suo ufficio presso l’Università Niccolò Copernico di Turonia, l’astronomo utilizza per la sua indagine una legge matematica poco conosciuta ma molto potente: la “legge di Benford”. Nel 1938 Frank Benford aveva scoperto che, se si prende una raccolta di numeri tratti dalla vita quotidiana (la popolazione dei comuni di una regione, la quotazione delle azioni di una giornata, i numeri sulle porte di casa di una via), è più frequente che un numero cominci con una cifra piccola piuttosto che con una grande; in altre parole, la probabilità che un numero della raccolta inizi con l’uno è circa del 30%, e la stessa diminuisce via via fino a diventare minore del 5% quando si tratta della probabilità che inizi con il nove. Poiché ciò accade soltanto quando i numeri sono scelti da situazioni “naturali”, nel 1971 il matematico Hal Varian (oggi consulente di Google) ha l’idea di usare la legge di Benford per individuare eventuali falsificazioni nelle raccolte di dati, basandosi sul presupposto per cui chi modifica a mano delle liste di numeri, difficilmente riesce a farlo rispettando la distribuzione “naturale” delle prime cifre: più probabilmente sceglie i numeri senza pensarci troppo, lasciando quindi le impronte “matematiche” dell’inganno. Il metodo funziona così bene che negli Stati Uniti è molto spesso utilizzato per individuare le frodi fiscali. Per analizzare le elezioni iraniane, Roukema utilizza proprio questo metodo: città per città, analizza la prima cifra del numero di voti e confronta i suoi conti con quelli “naturali” che seguono la legge di Benford. Su un grafico, tratteggia la linea naturale e fa un pallino per ognuna delle prime cifre: l’1 compare circa il 34% delle volte, quindi lo

mette in alto; il 2 compare poco più del 15% delle volte, e così via. Tutto bene, fino al numero 7: questo compare troppe volte rispetto alle attese, e il pallino è molto distante dalla linea tratteggiata. È un campanello d’allarme. Il grafico si riferisce ai voti del terzo candidato, Mehdi Karroubi. Roukema approfondisce la questione, scoprendo che l’anomalia riguarda tre delle sei più grandi aree dell’Iran. Proprio in queste zone, il vincitore Ahmadinejad ha una proporzione di voti più alta rispetto alle altre. Le elezioni iraniane e la legge di Benford È stata la matematica a condurre lo scienziato polacco dove nessuna spia chiaroveggente è mai arrivata: a supportare statisticamente l’ipotesi di un broglio senza neppure spostarsi dalla propria scrivania! Un solo potere, tanti ordinali La chiaroveggenza si distingue tra gli altri poteri della mente per i diversi suoi sinonimi che fanno uso dei numeri ordinali. La scelta di tali numeri non è mai casuale, ma sempre legata all’idea che tale capacità estenda le normali caratteristiche dell’essere umano, aggiungendone una ulteriore. Poiché l’uomo è dotato di una sola vista, quella che fa uso degli occhi, per far riferimento a una visione “paranormale” il mago francese RobertHoudin conia il termine di “seconda vista”; quello della tradizione tibetana è un “terzo occhio” che si aggiunge ai due di cui dispone l’essere umano; dal momento che sono cinque i sensi attraverso i quali conosciamo la realtà, in parapsicologia si parla di “sesto senso” quando ci si riferisce alle percezioni extrasensoriali: l’omonimo film di Night Shyamalan racconta la drammatica storia di un bambino in grado di vedere addirittura le anime dei morti. È invece avvolta nel mistero l’origine di una tradizione popolare secondo la quale i “settimini” – ovvero i nati prematuri (di sette mesi, appunto) – possiederebbero spiccate doti extrasensoriali. Ancora oggi in alcune zone rurali, il termine “settimino” indica esplicitamente l’individuo che possiede poteri di chiaroveggenza. Uscendo dai sinonimi “ufficiali” e immergendosi nella più strampalata letteratura parapsicologica ed esoterica, ci si può imbattere in ordinali ancora più arditi. Ci sono autori che affermano che l’uomo è dotato in realtà di dieci occhi e cinque orecchie, ognuno legato a un chakra, un centro di energia che si troverebbe nel nostro corpo; il “quarto occhio”, per

esempio, sarebbe collocato sul dorso del naso. Ma poiché alla fantasia non si possono porre limiti, il medico israeliano Nader Butto ha ipotizzato l’esistenza di un “settimo senso”, al quale ha già dedicato diversi libri e conferenze pubbliche. Per arrivare a un “ottavo senso” bisogna varcare più esplicitamente (se non l’avessimo ancora fatto) la soglia del mondo della fantasia e rivolgersi ai Cavalieri dello Zodiaco, protagonisti di un celebre cartone animato giapponese: si tratta del senso posseduto dal Cavaliere della Vergine, che gli consente di varcare le soglie dell’aldilà senza morire. Di fronte a questo scenario, un piccolo suggerimento: nel caso voleste lanciarvi in qualche teoria su poteri “ulteriori”, se volete essere originali, cercate su Google a quale “occhio”, “orecchio” o “senso” siamo arrivati, e prendete quello successivo; i numeri ordinali sono infiniti, quindi ce n’è a sufficienza per accontentare tutti i lettori di queste pagine. Per me potrebbe essere anche un modo comodo per contarvi. Sarebbe bello ricevere e-mail come questa: “Ciao! Mi chiamo Carlo, ho letto il tuo libro e sono l’inventore del 758° senso, quello grazie al quale dal macellaio si può indovinare, senza assaggiarla, se la salsiccia è fresca.” I dadi nascosti Anche le idee più semplici possono nascondere grandi potenzialità. Da bambino scoprii, leggendo un libro di giochi matematici, che la somma dei punti su due facce opposte di un dado è sempre 7. La considerai solo una divertente curiosità, e pensai che avrei potuto costruirci intorno un giochetto relativamente banale (“Lancia il dado, somma la faccia superiore e quella inferiore, concentrati sul totale… fa 7, vero? Ti ho letto nel pensiero…”). Conoscendo più da vicino il mondo dell’illusionismo, ho imparato una regola fondamentale: i principi più elementari possono diventare potentissimi, se si è in grado di camuffarli opportunamente. Ecco una dimostrazione di chiaroveggenza che illustra bene questa idea. Chiedete a una persona di sovrapporre tre dadi l’uno all’altro, in modo da fare una piccola torretta; durante la sua costruzione, voltatevi di spalle per non guardare. Completato il compito dal vostro “pubblico”, giratevi di nuovo verso i dadi e copriteli con un bicchiere opaco, facendo attenzione che la torretta resti in piedi. Dite quindi: “La chiaroveggenza è la capacità di acquisire informazioni nascoste grazie all’uso di una certa sensibilità

extrasensoriale. Proviamo a mettere alla prova il nostro terzo occhio, stimolando l’immaginazione. Anche senza alzare il bicchiere, voi potete visualizzare nella vostra mente i tre dadi: una faccia del dado inferiore si trova a contatto con il tavolo, quindi è nascosta. I due dadi inferiori hanno due facce a contatto, che si nascondono a vicenda. Lo stesso avviene per i due dadi superiori. Se alcune facce sono nascoste, altre invece sono visibili – anzi, sarebbero visibili se sollevassimo il bicchiere. Vi chiedo di fare uno sforzo di immaginazione: riuscite, senza alzare il bicchiere, a contare le facce visibili?” Dopo qualche istante qualcuno risponderà “Tredici”, che è il numero corretto: ogni dado ha, infatti, le quattro facce laterali visibili, tranne quello superiore che ne ha cinque. Complimentatevi con chi ha indovinato: “Molto bene! Come hai fatto? Hai aperto il terzo occhio? Quella cui avete assistito è una piccola dimostrazione di chiaroveggenza: l’immaginazione, la logica e l’esperienza passata ci hanno consentito di ‘vedere’ quello che c’è sotto il bicchiere e di scoprire qualcosa sui tre dadi pur senza osservarli con gli occhi”. Questa spiegazione non convincerà molto i presenti. Continuate dunque così: “Lo so, quando si parla di ‘chiaroveggenza’ si pensa alla scoperta di cose impossibili da conoscere con il solo uso della logica. Se per esempio io vi dicessi che la somma delle facce nascoste fa 17, questo sarebbe davvero impossibile da conoscere. Siete d’accordo?” Senza aspettare una risposta, alzate il bicchiere e sollevate, uno a uno, i tre dadi, sommando le facce nascoste: il risultato è proprio 17! Per arrivare a scoprirlo, avete dovuto dire solo una piccola bugia, negando che con l’uso della logica si possa arrivare a conoscere tale somma senza sollevare il bicchiere. È infatti il principio del 7, e non il terzo occhio, quello che vi consente di “vedere” i dadi nascosti. Proviamo a ragionare sulle cinque facce nascoste. Due appartengono al dado inferiore, ed essendo una l’opposta dell’altra, la loro somma fa certamente 7. Altre due appartengono al dado centrale, e per lo stesso motivo la loro somma fa 7. Siamo quasi arrivati al traguardo: la somma di quattro delle cinque facce nascoste fa 14. Come si fa a conoscere il valore dell’ultima? Semplice: quando la torretta è pronta, mentre la coprite con il bicchiere vi sarà facilissimo guardare la sua faccia superiore. Supponiamo che mostri il 4. Per lo stesso principio sfruttato finora, anche senza capovolgere il dado potrete concludere che la faccia inferiore mostrerà il 3; in generale, vi sarà sufficiente sottrarre da 7 il valore della faccia

superiore. Abbiamo trovato il valore del dado che mancava all’appello. Aggiungendolo a 14, otterremo la somma complessiva delle cinque facce nascoste. Questo trucco può facilmente ingannare anche chi già conosce il principio del 7, proprio perché è molto ben camuffato: i dadi sono tre, le facce coinvolte cinque, e non sembra esistere nessun collegamento tra le facce nascoste e il numero 7. Inoltre, uno degli aspetti più affascinanti di questo esperimento sta nella sua struttura paradossale. Inizialmente fate un indovinello, che viene risolto da uno dei presenti. Suggerite che il numero sia stato indovinato grazie alla chiaroveggenza, ma incontrate lo scetticismo di chi ritiene che il ragionamento e la logica siano stati più che sufficienti. A questo punto l’ambiguità è portata all’estremo: da un lato ammettete che la chiaroveggenza sia “qualcosa di più”, che consente di conoscere fatti cui non si può arrivare con il semplice ragionamento, e contemporaneamente usate proprio il ragionamento per scoprire un numero all’apparenza impossibile da conoscere – dando quindi prova di essere chiaroveggenti! È proprio come sottrarre segretamente un portafoglio durante una lezione in cui si insegna come mettersi in guardia dagli scippatori. O per dirla con quello strano educatore: “Guardati da chi ti dà consigli e poi ti insulta… imbecille!” L’esperimento che ingannò Einstein Siamo a Londra, al Savoy Hotel. Il mago inglese Al Koran (1914-1972) sta presentando un incredibile esperimento di chiaroveggenza ai presenti, e tra il pubblico c’è un invitato di prestigio: Albert Einstein (1879-1955). Lo scienziato è confuso, e domanda: “Nascondi le monete nelle maniche, vero?” Il suo imbarazzo è comprensibile: sembra infatti trattarsi di un gioco matematico, che però sfugge completamente alla logica. Al Koran ripete il gioco, mostrando senza ombra di dubbio che non utilizza affatto le maniche della giacca, concludendo: “Qui non sono i numeri a ingannare… ma le parole!” State per imparare un gioco che ingannò perfino Einstein: si tratta di un classico esperimento di chiaroveggenza, che può essere presentato con delle monete, ma che descriveremo in una versione più semplice e portatile con una scatoletta di fiammiferi. Buttate sul tavolo una grossa manciata di fiammiferi (ma potete farlo

con delle mentine, dei chicchi di riso o qualsiasi altro piccolo oggetto) e dite a un amico di prenderne in mano un certo numero, senza contarli, lasciandone sul tavolo almeno la metà. Nel frattempo, voltatevi in modo da non vederlo. Quando avrà chiuso nel pugno un certo numero di fiammiferi, giratevi e prendetene anche voi un po’ dal tavolo. Esordite così: “Avete presente quei giochi televisivi in cui bisogna indovinare quanti chicchi di riso ci sono in una boccia di vetro? Quando ero bambino, mi sono allenato duramente in questa attività, e ora sono diventato infallibile. Il mio terzo occhio mi consente, addirittura, di farlo senza guardare i chicchi di riso. Per provarlo, cercherò di indovinare quanti sono i fiammiferi chiusi nella sua mano”. Rivolgetevi quindi all’amico e, concentrandovi sul suo pugno, ditegli: “Che tu ci creda o no, ho preso nella mia mano lo stesso numero di fiammiferi che sono nella tua. Anzi… no! Ne ho tre in più. Aspetta… Sto contando male: ne ho ancora di più… ne ho altri che più tardi ti consegnerò, facendo in modo che alla fine tu ne avrai nove”. L’amico, che ancora ignora quanti fiammiferi ha in mano, apre il pugno e ne mostra cinque. Aprendo la vostra mano, gli mostrate che voi ne avete esattamente quanti avevate previsto: cinque come lui, più tre, più altri quattro che gli consegnerete, facendo così in modo che lui arrivi a nove! Com’è possibile conoscere con tanta precisione il numero dei fiammiferi chiusi nella sua mano? Se lo chiedeva anche Einstein, ipotizzando che le maniche potessero essere utili per depositare o prelevare gli oggetti utili per azzeccare il risultato finale. E invece si tratta dell’ennesimo camuffamento di un principio semplicissimo ma estremamente efficace. Non dovrete far altro che assicurarvi di prendere un numero di fiammiferi maggiore rispetto all’amico e contare i vostri mentre li raccogliete dal tavolo. Supponiamo, come nell’esempio, che ne raccogliate dodici. Il trucco è quasi tutto qui! La frase che direte, infatti, è sufficientemente ambigua da convincere il vostro amico che siete in grado di guardare, con il terzo occhio, all’interno del suo pugno, mentre in realtà state solo parlando dei fiammiferi che avete voi in mano. Per elaborare la frase da pronunciare, scegliete un numero N sufficientemente piccolo, diciamo compreso tra 1 e 4, e tenetelo a mente. Poi sottraetelo mentalmente da 12, ottenendo così un nuovo numero R. Nell’esempio abbiamo scelto N = 3, e quindi R varrà 9 perché 12 – 3 = 9. La frase da pronunciare sarà quindi costituita da tre parti: 1) “Ho preso nella mia mano lo stesso numero di fiammiferi che sono nella tua.”

2) “Anzi… no! Ne ho N in più.” 3) “Sto contando male… Ne ho ancora di più… ne ho altri che più tardi ti consegnerò, facendo in modo che alla fine tu ne avrai R.” Per quanto possa sembrare incredibile, qualsiasi numero di fiammiferi abbia in mano il vostro amico, la frase annunciata descriverà perfettamente la situazione. Nell’esempio, l’amico ne aveva 5 e voi ne avevate presi 12. Ecco la situazione descritta: 1) “Ho preso nella mia mano lo stesso numero di fiammiferi che sono nella tua…” 2) “Ne ho 3 in più.” 3) “…ne ho altri che più tardi ti consegnerò, facendo in modo che alla fine tu ne avrai 9.” La cosa notevole è che se l’amico avesse avuto in mano soltanto 3 fiammiferi, le stesse frasi si sarebbero applicate altrettanto bene! Vediamolo: 1) “Ho preso nella mia mano lo stesso numero di fiammiferi che sono nella tua…” 2) “Ne ho 3 in più.” 3) “…ne ho altri che più tardi ti consegnerò, facendo in modo che alla fine tu ne avrai 9.” Uno dei punti di forza di questo esperimento sta nel suo poter essere ripetuto cambiando i numeri coinvolti, e prendendo ogni volta un numero di fiammiferi diverso: questo confonde parecchio le idee di chi osserva, perché sembra che la vostra stima numerica dipenda davvero dal numero di fiammiferi nascosti nella mano, mentre in realtà la frase che utilizzate è abbastanza ambigua da dare un’aura di mistero alla vostra esibizione. Proprio come diceva Al Koran, la matematica è certamente la chiave dell’enigma, ma sono le parole usate a rendere impenetrabile il segreto di questo esperimento. La spiegazione matematica di questo gioco è abbastanza semplice. Le tre affermazioni che fate si applicano a qualsiasi situazione perché prescindono completamente dal numero di fiammiferi nel pugno chiuso. Poniamo che questi siano un numero incognito X e che voi ne abbiate presi in mano Y (un numero che conoscete perché li avete contati). La prima parte della frase è sempre vera quando prendete un numero Y

di fiammiferi superiore a X: in mano avrete sempre almeno X fiammiferi. La seconda parte della frase fa una stima di quanti ne avete in più; sarà sempre vera se non esagerate. Se l’amico ne ha presi 4 e voi ne avete 6 in mano, tenetevi bassi e non dite di averne 4 in più di lui, perché non sarebbe vero. Per non sbagliare, quando buttate la manciata di fiammiferi sul tavolo all’inizio, guardate il mucchietto e poi tornate a guardarlo dopo il prelievo dell’amico: se ne ha presi quasi la metà, prendete tutti i rimanenti e utilizzate come N un numero piccolo. Se invece è evidente che ne ha presi pochi, prendetene parecchi e scegliete pure un numero N un po’ più grande. La terza parte della frase è sempre vera per un motivo più sottile. Contiamo i fiammiferi rimasti: ne avete già “impegnati” X con la prima parte (dicendo che ne avevate quanti lui), ne avete impegnati altri N nella seconda parte, e poiché eravate partiti con Y fiammiferi, ora ne saranno rimasti (Y – X – N). Voi state quindi dicendo che, sommando questi agli X che ha in mano, i fiammiferi diventeranno R. Le parole confondono le idee, ma con la matematica si può razionalizzare quello che avete appena affermato; ecco la traduzione di quello che avete appena detto: X + (Y – X – N) = R Perché questa affermazione è sempre vera? Per vederlo, semplificheremo in due passaggi questa espressione. Innanzitutto, ricordiamoci che non abbiamo scelto un numero R qualsiasi, ma l’abbiamo calcolato sottraendo al numero di monete che abbiamo in mano (Y) il numero N, e quindi R = Y – N. Quindi la nostra affermazione equivale a: X + (Y – X – N) = Y – N Ma poiché sottraendo X a X si ottiene zero, l’espressione diventa ancora più chiara: Y–N=Y–N Poiché dai due lati dell’uguale c’è la stessa espressione, questa sarà sempre (e banalmente) vera. Al cuore di questo mistero, quindi, c’è una comune uguaglianza che, attraverso un uso oculato e opportunamente ambiguo delle parole, diventa il seme che fa germogliare un mistero ingarbugliato e sorprendente. Così sorprendente da stupire addirittura Albert Einstein!

Ubi est anulus? Gli effetti magici che coinvolgono la chiaroveggenza hanno radici molto antiche. Ritrovare un anello nascosto nelle mani di qualcuno, indovinando addirittura il dito e la falange, costituiva uno dei giochi preferiti dei ciarlatani che si esibivano sulle piazze durante il Medioevo. Il segreto di questa esibizione ce lo ha rivelato Luca Pacioli, il frate già citato a proposito della trasmissione del pensiero: si tratta ancora una volta di un trucco matematico, che nel De Viribus Quantitatis viene chiamato “regula de’ 3 dadi”. Le istruzioni che Pacioli dà nel suo libro sono chiare e, basandosi su una sottigliezza matematica, funzionano perfettamente anche oggi. Il gioco si può fare con un numero qualsiasi di individui. 1) Numerate le persone coinvolte da 1 in poi, fino all’ultima; 2) Invitate un amico a raddoppiare il numero corrispondente alla persona che ha in mano l’anello; 3) Fate sommare 5 e poi moltiplicare per 5 il risultato; 4) Numerando le dita della sinistra dall’1 al 5 e quelle della destra dal 6 al 10, fate sommare al risultato il numero corrispondente al dito; 5) Fate sommare 10 e moltiplicare ancora per 10; 6) Fate ancora aggiungere il numero corrispondente alla falange del dito sulla quale si trova l’anello nascosto: 1 se è la prima sotto il polpastrello, 2 se è la seconda, 3 se si tratta della terza, e l’anello è alla base del dito. Quando l’amico vi avrà comunicato il risultato delle operazioni, sarà sufficiente sottrarre 350 per trovare un numero le cui centinaia corrispondono alla persona che ha l’anello, le decine al dito in cui si nasconde e le unità alla falange. Pacioli usa come esempio il numero 1022: sottraendo 350 otteniamo 672: i tre numeri 6, 7 e 2 indicano che l’anello è in possesso della sesta persona, che lo indossa nell’indice della mano destra (il settimo dito, partendo a contare dal pollice sinistro) sulla seconda falange. Poiché nel capitolo dedicato alla telepatia abbiamo già imparato a scomporre giochi come questo, seguendo passo passo le operazioni da effettuare e arrivando alla espressione fondamentale, limitiamoci ad analizzare questa: 10(5(2P+5)+D+10)+F in cui P corrisponde alla persona che nasconde l’anello, D al dito in cui si trova ed F la falange. Risolvendo l’espressione su riportata, si arriva a

questa: 100P+10D+F+350 che è molto più facile da leggere. Diventa molto più chiaro il motivo per cui Pacioli ci suggerisca di sottrarre 350 al numero che ci viene rivelato. Così facendo, infatti, si ottiene la quantità: 100P+10D+F che è composta dalle tre cifre P, D ed F nell’ordine. Verifichiamolo: provate con delle terne qualsiasi e otterrete sempre le stesse tre cifre messe in fila l’una dopo l’altra; ciò è dovuto al fatto che moltiplicare per 100 un numero P vuol soltanto dire “spostarlo” a sinistra di due posizioni, moltiplicare per 10 un numero D significa spostarlo a sinistra di una posizione, e sommando i due risultati al numero F non fa che disporli l’uno accanto all’altro a formare il numero PDF. Se proviamo con le cifre 3, 6 e 9, moltiplicando 3 per 100 otteniamo 300, moltiplicando 6 per 10 otteniamo 60 e sommando entrambi al 9 otteniamo 300 + 60 + 9 = 369. Dov’è l’anello? Di fronte a una piazza moderna, il gioco potrebbe essere presentato in una versione “aggiornata”, sfruttando un accorgimento matematico altrettanto sottile. Prima di presentarlo in dettaglio, partiamo da un indovinello. Ci troviamo su una lunga strada senza incroci, con marciapiedi e negozi su entrambi i lati. Siamo in piedi di fronte al negozio al numero 42 della via. Iniziamo a camminare lungo il marciapiedi guardando le vetrine, ma ogni tanto il nostro sguardo è attratto da quella di un negozio sull’altro lato della strada. Per raggiungerla, occorre attraversare. Dopo aver osservato innumerevoli vetrine e attraversato per 5 volte la strada, è trascorsa un’ora. Alziamo gli occhi e guardiamo il negozio cui siamo arrivati: siamo al numero 108 della via. Cosa c’è di impossibile in questo racconto? C’è un problema: poiché su un lato della strada ci sono tutti i numeri dispari e sull’altro tutti i pari, è impossibile partire dal “lato pari” (ovvero, dal numero 42), attraversare la strada per 5 volte e finire di nuovo sul “lato pari” (ovvero al numero 108); è facile vedere che a ogni attraversamento si passa dai pari ai dispari o dai dispari ai pari, quindi se si parte dal lato dei negozi pari, solo dopo 2, 4, 6… attraversamenti si può tornare su un negozio pari: dopo un numero dispari di attraversamenti (1, 3, 5…), se si era partiti su un lato non si può che finire sull’altro.

Proviamo a spostare questa idea sui due sessi. Immaginate di avere di fronte a voi cinque persone, tre uomini e due donne. Disponeteli l’uno accanto all’altro in modo alternato, in modo che nelle posizioni dispari si trovino gli uomini e nelle posizioni pari le donne: Date a un uomo un anello, chiedendogli di tenerlo in mano. Voltate le spalle alla fila in modo da non vedere cosa succede, e spiegate che tra qualche istante batterete le mani una volta: a quel segnale, chi ha in mano l’anello dovrà decidere se passarlo alla persona adiacente alla sua destra o alla sua sinistra; se chi ha l’anello si trova in fondo alla fila, non avrà scelta e dovrà consegnarlo all’unica persona che ha accanto. Poi batterete di nuovo le mani: a ogni battito, chi ha l’anello dovrà passarlo al vicino, seguendo la stessa regola. Il tutto avverrà alle vostre spalle, in modo che non possiate vedere dove va a finire l’anello. Al via, battete le mani una volta, poi fatelo ancora, e ancora fino ad aver battuto le mani cinque volte. Se osservate bene la fila, vi accorgete che ogni passaggio da una persona all’altra corrisponde a un attraversamento stradale: mentre prima passavate da un negozio pari a uno dispari e viceversa, in questa situazione a ogni battito di mani l’anello passa da un uomo a una donna e viceversa. Quindi, poiché all’inizio avete dato l’anello a un uomo, dopo un numero dispari di passaggi (corrispondenti ai cinque battiti di mani) l’anello non potrà che trovarsi nelle mani di una donna. Ora, giratevi verso le cinque persone e scrutatele, fingendo di vedere attraverso le loro mani chiuse. Dite alla prima e all’ultima persona della fila di sedersi, perché “sentite” in cuor vostro che non hanno l’anello in mano. Naturalmente avrete indovinato: trattandosi di due uomini, non possono averlo per un motivo strettamente matematico. A questo punto la situazione si è semplificata: Sono tre le persone rimaste in gioco, e l’anello si trova da qualche parte alle estremità della fila, in mano a una delle due donne. Se ci pensate bene, vi basterebbe battere una sola volta le mani per essere sicuri che l’anello finisca in mano all’uomo al centro della fila. Ma per depistare i presenti, e suggerire che ci sia la massima libertà di movimento, giratevi e battete le mani per tre volte, dando il tempo ogni volta di effettuare il passaggio. Poiché i battiti sono di nuovo in numero dispari, l’anello – partito da una donna – al termine non potrà che trovarsi in mano a un uomo. Ma poiché ce n’è uno solo nella fila, il gioco è fatto! Prima di voltarvi nuovamente, dite alle tre persone di mescolarsi tra di loro, alterando in qualche modo la fila. Ciò dovrebbe in teoria confondervi, mentre in realtà sapete già dov’è

l’anello. Giratevi verso i tre, fingete di nuovo di concentrarvi sui pugni chiusi e poi avvicinatevi all’uomo, annunciando che il vostro terzo occhio non mente, e che l’anello è nascosto nella sua mano. Se avete colto lo spirito del gioco, provate a rileggerlo ignorando il sesso delle persone coinvolte: vedrete che funziona ugualmente; potete quindi presentarlo con cinque persone qualsiasi, siano uomini o donne, lasciandoli disporre come meglio credono. È infatti il posto che occupano a essere la chiave del gioco. Iniziate consegnando l’anello a una persona in posizione dispari. Battendo le mani un qualsiasi numero dispari di volte, l’anello finirà in mano a una persona in posizione pari, quindi potrete far sedere chi si trova alle estremità (in posizione 1 e 5) senza il timore di escludere qualcuno che ha l’anello. Battendo di nuovo le mani un qualsiasi numero dispari di volte, l’anello finirà sempre tra le mani della persona in posizione centrale. Se volete complicare ulteriormente il gioco, fate ora sedere solo uno dei due alle estremità della nuova fila (per esempio, quello che occupa la posizione 2). Poiché ora restano in gioco soltanto due persone, in posizione 3 e 4, e l’anello è in mano alla persona 3, se batterete le mani un numero dispari di volte, l’anello finirà in mano alla persona 4, mentre se le batterete un numero pari di volte, l’anello tornerà alla persona 3. Scegliendo numeri diversi ogni volta e decidendo a chi far finire in mano l’anello, potrete confondere le idee di chi vi guarda e allontanare il sospetto che si tratti di un gioco automatico. Il grande mago della mente Lee Earle utilizza spesso questo gioco quando viene invitato a esibirsi nelle feste di compleanno o in occasione di importanti anniversari: invece dell’anello, porta con sé un pacco regalo per il festeggiato, che fa sedere in una posizione chiave della fila; battendo le mani in modo opportuno e facendo sedere una dopo l’altra le varie persone coinvolte, chiude il gioco facendo arrivare il regalo proprio tra le mani del festeggiato, dando l’impressione che ciò avvenga per magia. Il luogo del delitto L’idea matematica che consiste nel controllare la posizione di un oggetto che viene trasferito da una persona all’altra, contando il numero dei passaggi, può essere estesa alle due dimensioni, consentendo di presentare un effetto magico in chiave poliziesca – che trasforma in realtà il tema di fondo della serie televisiva Numb3rs, durante la quale si raccontano le

vicende di un giovane ricercatore che collabora con l’Fbi per risolvere i crimini grazie all’aiuto della matematica. A Villa dei Glicini è stato commesso un delitto. Per trovare l’assassino è stato convocato l’ispettore Poirot, che grazie alle sue capacità chiaroveggenti “sente” che il killer si trova ancora dentro la casa, in una delle sue nove stanze. Invitate un amico a interpretare la parte dell’assassino, chiedendogli di “nascondersi” in biblioteca; per farlo, dovrà solo appoggiare la punta del dito indice sulla stanza centrale. Voltatevi di spalle, e ditegli che a ogni schiocco di dita l’assassino dovrà cambiare stanza, muovendo il dito verso una stanza adiacente: potrà sempre muoversi verticalmente o orizzontalmente ma non diagonalmente, e senza mai saltare una stanza. Dalla biblioteca avrà quattro possibilità: potrà passare in salotto, in bagno, nell’ingresso o nella camera da letto; non potrà spostarsi nella cucina perché non sono consentiti movimenti in diagonale. Voi, l’ispettore Poirot, cercherete di scovarlo senza neppure entrare nella casa. Schioccate le dita tre volte, quindi ditegli: “Caro il mio assassino, con la mia mente mi sono proiettato all’interno della palestra, dove ho sentito un silenzio di tomba: evidentemente non ti trovi lì. Tira una croce sulla stanza, perché la chiudiamo per sempre: nessuno potrà più entrarci. Sento che non ti trovi neppure in cucina: elimina anche quella stanza dal gioco.” Le stanze via via escluse non sono più accessibili, e l’assassino non può più entrarci durante la fuga. Riprendete a schioccare le dita, questa volta cinque volte. Al termine dite: “L’ingresso mi trasmette una certa aria di pace: no, non sei nell’ingresso. Eliminiamolo. Il mio intuito mi suggerisce che non ti trovi neanche nel salotto. Confermi, vero? Chiudiamolo.” Schioccate le dita una volta e dite: “Caro il mio killer, il cerchio si stringe: escludo sia la tavernetta che la veranda!” Schioccate le dita ancora tre volte e dite: “C’è troppo silenzio in bagno: no, non ti trovi lì.” Concludete schioccando le dita un’ultima volta e dichiarando: “Ti ho in pugno: sei nella camera da letto!” È facile riconoscere in questo effetto lo stesso meccanismo del gioco dell’anello: a ogni schiocco di dita, l’assassino si sposterà alternativamente

da una stanza di numero dispari a una di numero pari, e viceversa. Nel caso della mappa, anche i nomi delle stanze sono stati studiati in modo da rispettare un vincolo simile: le stanze dispari hanno il nome che finisce con la A, mentre le altre finiscono con la O; tutte le volte che l’assassino si trova su una stanza che finisce con la A, noi eliminiamo stanze che finiscono con la O, e viceversa. Così facendo, non rischiamo mai di escludere la stanza in cui si trova, e soprattutto limitiamo le sue scelte successive, costringendolo a chiudersi nella camera da letto. Se avete capito il principio su cui si basa, potreste divertirti a definire nuovi percorsi per far finire l’assassino in una stanza o nell’altra: gestendo opportunamente il numero di schiocchi e le stanze man mano eliminate, potrete decidere dove far terminare la sua fuga; evitate soltanto di chiudergli il cammino, e quindi fate attenzione a non lasciare mai una stanza libera senza alcuna via d’uscita. Indovinelli e magia Abbiamo visto come il meccanismo nascosto alla base di un indovinello possa trasformarsi nel trucco che rende possibili sorprendenti dimostrazioni paranormali. La parentela tra questi due ambiti è molto stretta e… ambivalente. Da un certo punto di vista, una semplice domanda diventa un indovinello quando richiede, per essere “risolta”, un approccio originale e inconsueto. Un uomo si trova davanti al numero 42 della via e, dopo cinque attraversamenti, si trova davanti al numero 108. La situazione sembra ordinaria, ma la sfida intellettuale consiste nell’identificare il particolare nascosto che la rende impossibile; risolvere un indovinello richiede spesso di condurre i pensieri su strade nuove o poco battute, alla ricerca di quella chiave segreta. Cuore dell’enigma è quindi quel nucleo nascosto che si deve portare alla luce per “risolvere” la situazione proposta. Allo stesso modo, i giochi presentati finora si basano tutti su un trucco, quell’elemento nascosto che li fa funzionare e che ci consente di realizzare qualcosa di apparentemente impossibile; da parte di chi assiste a una nostra esibizione, scoprirlo significa perdere del tutto l’effetto magico e sorprendente; se invece il sotterfugio resta nascosto, l’esperienza vissuta dal pubblico può essere davvero intensa, perché l’illusione è quella di aver assistito a un autentico fenomeno paranormale. Sull’argomento, Tyler Barrett scriveva: “Gli appassionati di indovinelli si pongono nella prospettiva di cercare una soluzione, e quindi percepiscono la magia come un quiz da risolvere. L’emozione che tale

appassionato ricerca è quella del colpo di intuito che gli consente di risolvere un indovinello. L’emozione che il mago vuole produrre attraverso la sua magia è invece la meraviglia”. Non tutti, però, sono bendisposti verso l’esperienza della meraviglia “in sé”. Il grande prestigiatore Paul Harris descriveva quello che si può provare di fronte a un bel gioco di magia come “un istante di estatica beatitudine durante il quale la mente si svuota di ogni pensiero”. Per chi è in grado di regalarseli, tali istanti sono brevissimi, e spesso la nostra mente riprende in fretta il controllo dei pensieri, cacciando via la sensazione di meraviglia e formulando ipotesi su ipotesi: so come ha fatto, ce l’ha nella manica, è un trucco matematico, è un gioco di specchi ecc. Nel suo libro Magic and Meaning, il filosofo della magia Eugene Burger distingue tra l’atteggiamento di chi vive un gioco di magia come l’opportunità di fare esperienza del “mistero” e quello di chi lo affronta in modo solo analitico, come l’occasione per scoprire, risolvendolo, qualcosa di insolito. Generalmente gli appassionati di enigmi e giochi matematici sono più propensi per l’atteggiamento “analitico”. Ciò può privarli di un’esperienza di cui posso garantire il piacere profondo, intellettuale e spirituale. Proprio per metterli in guardia da questo, Tyler Barrett chiuse il suo intervento, durante un convegno a loro dedicato, con queste parole: “Ecco un enigma per voi appassionati di enigmi. Come fare a smettere di ‘risolvere’ la magia e lasciarvi semplicemente stupire?” La macchina della verità A conferma del fatto che al cuore degli indovinelli si nascondono meccanismi logico-matematici molto potenti, lungo il nostro cammino dobbiamo fermarci a Elka Park, in una piccola villetta in mezzo ai boschi nello stato di New York. Qui vive, insieme alla moglie e a tre cani, uno dei più prolifici e geniali inventori di indovinelli del mondo, Raymond Smullyan. Grande matematico ma anche prestigiatore dilettante, Smullyan ha svolto una lunga attività come autore e divulgatore di enigmi che uniscono il rigore della logica, il gusto del paradosso e il piacere dell’effetto magico e sorprendente. I suoi indovinelli più celebri sono quelli che coinvolgono due tribù che vivono su un’isola: quella dei cavalieri e quella dei furfanti. I primi dicono sempre la verità, i secondi mentono sempre. In ognuno dei suoi libri Smullyan presenta variazioni su questo tema, utilizzando gli “enigmi dell’isola” per spiegare, in modo semplice e intuitivo, i più difficili

concetti della logica matematica. Attraverso gli indovinelli, nel suo libro Forever Undecided arriva a spiegare addirittura il complicatissimo (e famosissimo) Teorema di Gödel. Sotto un gazebo installato nel giardino della villetta, Raymond si gratta la lunga barba bianca e ci propone il “classico dei classici”, l’indovinello dal quale sono nati tutti gli altri. Siamo sull’isola dei cavalieri e dei furfanti e ci troviamo a un bivio: dobbiamo raggiungere il villaggio, e non sappiamo se imboccare la strada di destra o quella di sinistra. A un tratto, passa di lì un uomo: si tratterà di un cavaliere o di un furfante? Chiederglielo sarebbe inutile: risponderebbe certamente: “Sono un cavaliere!”, sia che lo sia davvero e stia dicendo la verità, sia che si tratti di un furfante (che, mentendo, direbbe di essere un cavaliere). La nostra preoccupazione è, comunque, quella di imboccare la strada giusta per arrivare al villaggio. Quale domanda dobbiamo porgli per scoprire quale sia quella corretta? Se volete pensarci un po’, non proseguite nella lettura. Una domanda che potrebbe funzionare è: “Devo andare in città: se tu appartenessi all’altra tribù, quale strada mi indicheresti?” Vediamo perché è infallibile. Supponiamo che la strada giusta sia quella a destra. Un cavaliere penserebbe: “Se io appartenessi alla tribù dei furfanti, gli mentirei indicandogli la strada a sinistra” e risponderebbe quindi sinceramente: “Ti indicherei quella a sinistra”. Il furfante, invece, penserebbe: “Se io appartenessi alla tribù dei cavalieri, gli indicherei la strada giusta, quella a destra; ma poiché io mento sempre, gli dirò il contrario”, e risponderebbe: “Ti indicherei quella a sinistra”. In altre parole, la loro risposta sarebbe la stessa, e in entrambi i casi la strada suggerita sarebbe quella sbagliata. La domanda posta è così ingegnosa che possiamo tranquillamente ignorare la tribù di appartenenza di chi ci risponde: in entrambi i casi, la strada suggerita sarà quella da evitare, e sarà sufficiente imboccare l’altra. Lo stesso meccanismo si può utilizzare per scoprire chi, tra due persone, stia nascondendo una moneta in mano. Invitate due amici a partecipare a un esperimento di chiaroveggenza: mettete una moneta da un euro su un tavolo, voltate le spalle e chiedete che uno di loro, a vostra insaputa, la nasconda in mano. Anche l’altro dovrà chiudere la mano a pugno, in modo da non darvi nessun indizio visivo sulla posizione della moneta. Rigiratevi verso i due e raccontate loro la storia dell’isola dei cavalieri e dei furfanti, spiegando che i primi dicono

sempre la verità e i secondi mentono sempre. Aggiungete che ognuno di loro due dovrà decidere se aderire alla prima o alla seconda tribù; la loro scelta influirà sulle risposte che daranno da lì in avanti: nella veste di cavalieri, dovranno sempre dire la verità; da furfanti, invece, dovranno mentire sempre. Una volta presa la decisione, invitateli a confidarsi reciprocamente – e di nascosto da tutti – la tribù scelta. In questo modo, ognuno potrà controllare che l’altro risponda in modo coerente. A questo punto, avvicinatevi al primo e chiedetegli: “Appartenete alla stessa tribù?”. Questa non è una domanda casuale ma, come nell’indovinello di Smullyan, è una chiave molto potente. Vediamo perché. All’inizio del gioco, non sappiamo quale delle seguenti situazioni sia vera: 1. Il primo è un cavaliere, il secondo è un cavaliere. 2. Il primo è un cavaliere, il secondo è un furfante. 3. Il primo è un furfante, il secondo è un cavaliere. 4. Il primo è un furfante, il secondo è un furfante. Nella situazione 1, il primo risponderebbe sinceramente: “Sì, apparteniamo alla stessa tribù”. Nella situazione 2, il primo risponderebbe sinceramente: “No, apparteniamo a tribù diverse”. Nella situazione 3, il primo risponderebbe mentendo: “Sì, apparteniamo alla stessa tribù”. Nella situazione 4, il primo risponderebbe mentendo: “No, apparteniamo a tribù diverse”. Riassumendo le situazioni e le risposte, possiamo notare una cosa sorprendente: Tribù del primo Tribù del secondo Risposta del primo Cavalieri Cavalieri Sì Cavalieri Furfanti No Furfanti Cavalieri Sì Furfanti Furfanti No La seconda e la terza colonna sono molto simili: i “sì” corrispondono ai cavalieri e i “no” ai furfanti. In altre parole, in qualunque situazione e qualunque sia la tribù cui appartiene la persona cui abbiamo rivolto la

domanda, la sua risposta ci rivela se l’altro è un cavaliere o un furfante! Se infatti risponde di sì, il secondo è un cavaliere; in caso contrario è un furfante. A questo punto, scoperta la tribù del secondo, ci rivolgiamo a lui chiedendogli: “Hai in mano la moneta?” Poiché sappiamo già se sta dicendo una bugia o la verità, la sua risposta ci farà scoprire chi dei due abbia in mano l’euro. Immaginiamo di trovarci nella situazione 3 e che il primo abbia nascosto in mano la moneta. Alla domanda “Appartenete alla stessa tribù?”, essendo un furfante il primo dirà di sì – mentre è vero il contrario: i due appartengono a tribù diverse. La risposta “sì” ottenuta ci fa concludere che il secondo è un cavaliere. Quando ci rivolgiamo a lui, dunque, possiamo fidarci di quel che dice. Alla domanda “Hai in mano la moneta?”, il secondo risponderà di no, e poiché dice sempre la verità, concludiamo che l’euro si trova in mano al primo. Il gioco funziona sempre perché si basa su un principio logico infallibile. Si tratta di un esperimento di chiaroveggenza sorprendente, perché le domande non appaiono affatto stringenti, e dal momento che voi non sapete se le risposte siano o meno sincere, sembra che non possano rivelare nulla. In realtà, come sull’isola con la domanda giusta eravamo in grado di trovare la strada per il villaggio, attraverso lo stesso meccanismo possiamo simulare doti di chiaroveggenza e scovare una moneta nascosta in un modo che può lasciare di stucco chi ci osserva. Da Facebook alla moneta nascosta Al termine del campionato, gli undici calciatori di una squadra si salutano perché stanno per iniziare le vacanze. Per tenersi in contatto, decidono di iscriversi a Facebook e stringono amicizia l’un l’altro. La cosa più efficace sarebbe che ognuno stringesse amicizia con tutti i restanti 10, ma poiché Facebook può diventare una eccessiva distrazione, le loro 11 fidanzate impongono loro di limitare a 3 i compagni di squadra di cui diventare amici. I giocatori, sbuffando un po’, accettano questa limitazione, con il risultato che tutti e 11 hanno, ognuno, soltanto 3 amici tra i compagni di squadra. Perché questa situazione è impossibile? Per risolvere questo indovinello, esistono molti possibili approcci: uno consiste nel disegnare 11 punti in cerchio e iniziare a fare delle prove collegandoli tra loro, simulando in modo grafico le amicizie digitali; un

altro consiste nel calcolare tutte le possibili combinazioni di amicizie tra 11 individui, cercando di identificare quelle che rispettano le condizioni del problema; chi riconosce che al cuore di esso c’è il “principio di parità”, invece, impiega pochi secondi a risolverlo e a spiegare il motivo per cui tale situazione non può accadere. Per accorgersene, basta pensare al fatto che ogni amicizia su Facebook coinvolge due persone, e che quindi se il portiere diventa amico del centravanti, questo contatto conta doppio – in quanto vale sia per l’uno, sia per l’altro: il portiere si troverà sulla homepage del centravanti e questi sarà sulla homepage del portiere. Il numero complessivo di contatti, quindi, non potrà che essere un numero pari. Ma, se è così, non è possibile che 11 persone abbiano ognuna 3 contatti, perché 3 × 11 dà un numero dispari! C’è quindi qualcosa che non va: solo alcuni dei calciatori potranno avere 3 amici tra i compagni di squadra, e qualcuno dovrà accontentarsi di averne di meno (o convincere la fidanzata della necessità di averne di più). Vediamo come lo stesso principio ci può consentire una dimostrazione di chiaroveggenza molto ingegnosa. Appoggiate su un tavolo alcune monete: possono essere tre o quattro, ma è meglio se sono di più (e fate in modo che sia chiaro a tutti quale sia la testa e quale la croce degli euro sul tavolo); possono anche avere valori diversi. Voltate le spalle al tavolo e invitate qualcuno a capovolgere due monete contemporaneamente. Poi chiedete di rifarlo una seconda volta, scegliendo due monete qualsiasi: le stesse appena capovolte, oppure altre due, oppure una di quelle capovolte insieme a un’altra scelta a caso; non ha alcuna importanza quali: l’importante è che siano scelte casualmente. Aggiungete che, a vostra insaputa, potrà capovolgere le monete quante volte vorrà, con l’unica avvertenza di capovolgerne ogni volta due contemporaneamente. Al termine delle manovre, invitatelo a coprire una moneta qualsiasi con la mano. Tornate a osservare il tavolo: in pochi secondi potrete annunciare se la moneta nascosta mostri la testa o la croce! Il metodo da utilizzare per realizzare questo piccolo prodigio si basa proprio sul principio di parità: quando all’inizio appoggiate le monete al tavolo, fate un veloce calcolo di quante mostrino la testa, e tenete a mente se sono in numero dispari o pari. Supponiamo che siano pari: nel corso dei vari capovolgimenti, potete star certi che il numero di teste continuerà a essere pari! Vediamolo nella pratica, con cinque monete disposte in modo casuale; a ogni doppio capovolgimento, il numero di teste resta sempre pari:

Capovolgendo 3 e 4… Capovolgendo 1 e 3… Capovolgendo 2 e 3… Capovolgendo 4 e 5… Il fatto che la parità non cambi vi sarà utile alla fine dei capovolgimenti per indovinare se la moneta nascosta mostri la testa o la croce. Quando tornate a osservare il tavolo, contate di nuovo le teste: poiché all’inizio le teste erano in numero pari, se escludendo la moneta nascosta sono ancora pari, allora la mano nasconde una croce; se invece sono dispari, la moneta nascosta mostra la testa, ripristinando la parità che c’era all’inizio. Naturalmente, se all’inizio le teste erano in numero dispari, dovete ragionare allo stesso modo: se le teste visibili sono dispari, sotto la mano c’è una croce; se invece sono pari, la moneta nascosta nasconde una testa. Nell’esempio sopra, se la mano nasconde la prima moneta, resta visibile un numero pari di teste, esattamente 2: Poiché le teste erano pari anche all’inizio, sotto la mano non può che esserci una croce. Se invece la mano nasconde la quinta moneta, resta visibile un numero dispari di teste, esattamente una: Sotto la mano deve quindi esserci una seconda testa che ripristina il numero pari iniziale. Letture consigliate Le tecniche psicologiche e illusionistiche del più grande hacker del mondo sono descritte in Kevin D. Mitnick, The Art of Deception, Wiley Publishing, 2002 (trad. it. L’arte dell’inganno, Feltrinelli, Milano, 2005). Uno studio storico sull’origine delle stesse tecniche è pubblicato in Mariano Tomatis, La magia della mente, SugarCo, Milano, 2009. Affronta in modo approfondito il ruolo della matematica nei sistemi di sicurezza Marcus Du Sautoy, The Music of the Primes, HarperCollins, 2004 (trad. it. L’enigma dei numeri primi, Rizzoli, Milano, 2004). La storia dei sei studenti del MIT che utilizzarono la matematica per sbancare i casinò di Las Vegas è raccontata in Ben Mezrich, Bringing Down the House: The Inside Story of Six MIT Students Who Took Vegas for Millions, Free Milano, Press, 2002 (trad. it. Blackjack Club, Mondadori, Milano, 2008). I sei si ispirarono al libro di Edward Thorp,

Beat the Dealer, Blaisdell Pub. Co., 1962. Nel capitolo Martin Gardner, “Dermo-optical perception: A peek down the nose” in Science: Good, Bad and Bogus, Prometheus Books, Buffalo, 1981 viene spiegato il metodo che Rosa Kuleshova utilizzava per fingere di possedere poteri di chiaroveggenza: pur bendata, la donna riusciva a vedere attraverso uno spiraglio lasciato libero ai lati del naso. Il controverso articolo (in pubblicazione) dedicato alle anomalie matematiche delle elezioni iraniane è Boudewijn F. Roukema, “Benford’s Law anomalies in the 2009 Iranian presidential election”. Sull’uso della legge di Benford per individuare le frodi si può leggere Mark J. Nigrini, “Using Digital Frequencies to Detect Fraud” in The White Paper, aprile/maggio 1996, pp. 3-6. L’aneddoto di Al Koran che ingannò Einstein è raccontato in Penn F. Jillette e Raymond J. Teller, Penn&Teller’s how to play in traffic, Boulevard Books, 1997; il gioco è descritto già in un libro degli anni Venti: Walter B. Gibson, Popular Card Tricks, E.I. Company, New York, 1928, p.9. È dedicato al rapporto tra illusionismo ed enigmi matematici l’articolo di Tyler Barrett, “It’s All about Astonishment” in David Wolfe e Tom Rodgers (a cura di), Puzzlers’ Tribute – A Feast for the Mind, A.K. Peters, 2002. È il capostipite di una serie di intelligentissimi libri di giochi logici Raymond Smullyan, What is the name of this book?, Prentice Hall, 1978 (trad. it. Qual è il titolo di questo libro?, Zanichelli, Bologna, 1981).

PREVEDERE IL FUTURO - LA PRECOGNIZIONE “Fare previsioni è difficile, soprattutto sul futuro.” Niels Bohr Che cos’è il Tempo? A questa strana domanda, Sant’Agostino rispondeva in modo acuto: “Se nessuno me lo chiede, lo so bene, ma se me lo chiedono, non lo so più!” Secondo i fisici, il nostro mondo si estende in almeno quattro dimensioni: l’altezza, la larghezza, la profondità e il tempo; le prime tre, quelle “spaziali”, possono essere percorse avanti e indietro, mentre il tempo, la “quarta dimensione”, è più misteriosa perché si può percorrere in una sola direzione: in avanti. La freccia del tempo è sempre rivolta verso il futuro, e noi possiamo ricordare soltanto il passato. Perché non è possibile manipolarla, fermarla o invertirla come si fa con lo spazio a tre dimensioni? Questo mistero affascina da sempre l’umanità, e per gettare un sguardo oltre il presente molti si sono affidati alla magia. Profeti, oracoli e sibille hanno elaborato le tecniche più strane: dalla cartomanzia, l’arte di leggere il futuro nelle carte, alla chiromanzia, che cerca di interpretare le linee della mano, fino ad arrivare ai metodi più bizzarri e inverosimili – come la brontomanzia (che interpreta i rumori dei tuoni) o la lettura profetica delle secrezioni corporee. Alcune di queste tecniche coinvolgono i numeri e la matematica: l’aritmomanzia, per esempio, basa le sue predizioni sull’associazione tra le lettere dell’alfabeto e i numeri; nata nel XVI secolo da un’idea di Cornelio Agrippa, è diventata una delle materie di studio della mitica scuola di Hogwarts nella saga di Harry Potter. Il fascino delle previsioni del futuro ha coinvolto anche gli scienziati di diverse discipline: i sondaggi elettorali applicano la statistica per prevedere chi vincerà le elezioni; la meteorologia cerca di dirci in anticipo se il nostro weekend sarà assolato o sarà necessario l’ombrello; gli analisti della Borsa usano complicati indicatori per indovinare se un titolo salirà o scenderà. Il futuro e l’effetto farfalla La capacità di prevedere il futuro si intreccia a una delle più antiche controversie della filosofia: siamo liberi di decidere o il nostro destino è

già scritto? Nel Settecento, i filosofi positivisti credevano che un giorno saremmo arrivati a elaborare un’equazione cosmica in grado di spiegare tutto quanto è avvenuto in passato e prevedere ciò che deve ancora succedere. Dal loro punto di vista, l’Universo era come un perfetto meccanismo i cui elementi seguivano leggi matematiche rigide e precise: conoscendo velocità e posizione di tutte le sue particelle, sarebbe stato possibile prevedere il futuro con precisione assoluta. Ma che ne sarebbe della nostra libertà se noi fossimo soltanto dei robot costretti a seguire una sequenza di azioni prescritte in anticipo? Il sogno dei positivisti si infranse quando, nel 1927, Werner Heisenberg scoprì che è impossibile conoscere contemporaneamente la posizione e la velocità delle particelle microscopiche: ciò impediva di descrivere con precisione perfino ciò che sta avvenendo adesso, nel presente. Figuriamoci il futuro! Con il passare dei decenni, nell’ambito della meccanica quantistica si moltiplicarono gli indizi del fatto che la natura più profonda delle cose abbia a che fare molto più con la teoria delle probabilità che non con le certezze dei positivisti del Settecento, e si insinuò un secondo elemento di incertezza: il caos deterministico, più noto presso il grande pubblico con il curioso nome di “effetto farfalla”. Nel racconto del 1952 “Rumore di tuono”, Ray Bradbury immaginava che, grazie a una macchina del tempo, un viaggiatore tornato nella preistoria calpestasse per sbaglio una farfalla; questo minuscolo fatto provocava una catena di eventi che avrebbero radicalmente modificato il futuro dell’umanità. Lo spunto narrativo venne ripreso dal meteorologo Edward Lorenz, che nel 1979 intitolò una delle sue conferenze “Può il batter d’ali di una farfalla in Brasile provocare un tornado in Texas?” Ancora oggi l’idea che un fatto apparentemente insignificante possa avere conseguenze imprevedibili prende il nome di “effetto farfalla”. Il mistero che circonda il concetto di Tempo è così profondo che perfino la scienza ha dovuto ammettere i propri limiti di fronte alla possibilità di conoscere il futuro con precisione, e perfino gli astrologi sono costretti a confessare (con Tommaso d’Aquino) che Astra inclinant, non necessitant, ovvero che le stelle si limitano a influenzare gli individui, senza costringerli, e che quindi è impossibile un oroscopo troppo preciso. Virgole e Sibille Uno dei segreti delle profezie di successo è il fatto di essere ambigue,

oscure ed enigmatiche: poiché il futuro è incerto, anche la previsione deve avere caratteri sfumati e ammettere diverse interpretazioni. Non a caso, l’aggettivo “sibillino”, in origine riferito ai pronunciamenti delle Sibille, profetesse dell’antichità, oggi è sinonimo di arcano, incomprensibile, astruso. La più famosa profezia della storia è forse quella riferita nelle Cronache di un frate medievale, Alberico delle Tre Fontane. A un soldato che si rivolse a lei per conoscere l’esito della prossima battaglia, una Sibilla rispose: Redibis non morieris in bello. Interpretando l’oracolo come “Tornerai, non morirai in guerra”, il soldato andò sereno a combattere, ma morì sotto le armi nemiche. La Sibilla si era sbagliata? O fu piuttosto il soldato a interpretare male le sue parole? Il significato dipende, infatti, dal punto in cui si mette la virgola. Il soldato scelse di leggerla come Redibis, non morieris in bello, ma se l’avesse letta come Redibis non, morieris in bello, ci avrebbe pensato due volte prima di partire: la sua traduzione è infatti “Non tornerai, morirai in guerra”. La posizione della virgola può essere fonte di ambiguità anche in ambito matematico, e rivelare brutte sorprese. Supponiamo che il vostro capo vi prometta, per un lavoro extra, di pagarvi con un assegno a sette zeri. Facendo un veloce conto, pensate immediatamente a quanti desideri potreste esaudire con 10.000.000 di euro… fino a scoprire, a lavoro concluso, che dall’assegno potrete ricavare soltanto un euro. Il capo ha infatti scritto: € 1,0000000! Leggere Nostradamus con la matematica Uno dei più noti autori di profezie è certamente il francese Michel de Notre-Dame, più famoso come Nostradamus. Vissuto nel XVI secolo, scrisse un gran numero di quartine poetiche a carattere profetico, raccolte e pubblicate nelle sue Centurie. Ognuna farebbe riferimento a qualche evento futuro, anche se il linguaggio oscuro e pieno di simboli ne rende difficile l’interpretazione; in effetti, fino a oggi tutte le sue presunte predizioni sono state interpretate solo dopo che gli eventi stessi erano accaduti, e poiché la maggior parte delle quartine tratta di disastri di vario genere (terremoti, epidemie, guerre, inondazioni, omicidi…), senza precisare luoghi e date, è particolarmente facile trovare, dopo una qualsiasi calamità, una corrispondenza nelle parole del profeta francese. Gli attentati dell’11 Settembre sono stati rinvenuti da alcuni autori in questa quartina: “Cinque e quaranta gradi cielo brucerà / Fuoco avvicinare alla grande città nuova / All’istante grande fiamma diffusa salterà / Quando

si vorrà dei Normanni far prova”. Quali elementi del disastro raccontato da Nostradamus si applicano all’attacco alle Twin Towers? Non c’è nessuna indicazione temporale, si parla di una generica città nuova e di 5 e 40 gradi. Facendo qualche salto mortale, alcuni commentatori hanno fatto notare che New York è in qualche modo, sin dal nome, una città “nuova”, e che lo stato di New York si estende fino a toccare i 45 gradi di latitudine Nord (la città si trova invece a 40 gradi). Ma se questa libertà di interpretazione ci è concessa, allora la matematica può venirci in aiuto per trovare altri eventi storici descritti dalla quartina. Se invece di sommare 5 e 40 li leggiamo come 40.5, sul parallelo a 40.5 gradi Nord sorge la “città nuova” per eccellenza, il cui nome deriva dalle due parole in greco – Nea Polis: Napoli. Non fu proprio nei pressi della città partenopea che, nel 79 d.C., si vide il cielo bruciare e il fuoco del Vesuvio distruggere Pompei? Se invece di sommare i due numeri ne calcoliamo la differenza, a 35 gradi Nord sorge la grande città irachena di Kirkuk, che più volte vide il cielo accendersi di fuoco nel corso dei bombardamenti americani del 2004, e che dopo la pulizia etnica del 1975 si può ben definire “città nuova”. Ma 5 e 40 potrebbe essere anche l’orario di partenza della corriera che, in provincia di Brindisi, porta da Villanova – la “città nuova” in latino – a San Vito dei Normanni (ignorando il fuoco ma recuperando i Normanni). Il lettore può proseguire per conto suo il gioco delle interpretazioni in libertà! Quanto mi resta da vivere? La matematica può essere utilizzata anche per fare serie previsioni del futuro. Lo sanno bene le compagnie di assicurazioni, che prima di stipulare una polizza sulla vita vogliono conoscere in anticipo qual è il rischio che la persona assicurata muoia e soprattutto quanto le resta da vivere. Questo calcolo è affidato agli specialisti delle cosiddette “scienze attuariali”, che attraverso complicati metodi matematici e statistici compilano delle tabelle dette “di sopravvivenza”. Mescolando opportunamente informazioni come l’età della persona, il luogo in cui vive, il suo lavoro, le sue abitudini e le sue condizioni fisiche, si ottiene la cosiddetta “speranza di vita”: gli anni che, all’incirca, restano da vivere all’individuo. Naturalmente il risultato è approssimativo, e si basa su statistiche relative a persone ormai morte, che presentavano caratteristiche a lui simili: è ancora Medioman l’oggetto dello studio, e non il singolo individuo in questione.

Ogni anno il CIA World Factbook raccoglie numerosi dati statistici di tutti i Paesi del mondo, comprese le diverse speranze di vita degli abitanti. Nel 2009 in Italia la durata media della vita era di circa 80 anni. Tale numero presenta una caratteristica piuttosto paradossale. Una lettura ingenua, infatti, ci potrebbe far concludere che chi ha 75 anni deve avere una speranza di vita di 5 anni (ovvero 80 meno 75), e a un settantanovenne resti in media ancora un anno da vivere (80 meno 79). Errore! Altrimenti, chi ha 90 anni quale aspettativa di vita avrebbe? “Meno dieci” anni?! L’inghippo sta nel fatto che il numero 80 vale soltanto per i neonati: si tratta della speranza di vita di chi è appena venuto al mondo. Crescendo (e non morendo), la speranza di vita aumenta, perché quelli che nel frattempo sono già morti prima degli 80 anni hanno contribuito al calcolo della media con un numero più piccolo, e tra quelli rimasti vivi, ci si aspetta che qualcuno supererà invece gli 80 e la media continuerà ad attestarsi su quel valore. Ecco perché, compiuti i 75 anni, l’aspettativa di vita potrebbe essere di altri 9 anni, e compiuti gli 80 di altri 5 anni, e così via. Perfino chi compie 100 anni ha ancora una speranza di vita maggiore di zero. L’equazione “fine del mondo” Il calcolo preciso degli anni che ci restano ancora da vivere diventerebbe inutile nel caso in cui ci capitasse di assistere all’estinzione della specie umana. Eppure, l’idea che la matematica possa calcolare il tempo che resta da vivere all’umanità è alla base di una delle serie televisive di maggior successo degli ultimi anni: Lost. Un aereo precipita su un’isola sperduta. Nel tentativo di cercare soccorsi, i superstiti iniziano a esplorarla, imbattendosi in una serie di laboratori abbandonati: si tratta di stazioni utilizzate fino a pochi anni prima nell’ambito di un misterioso progetto di ricerca, il Progetto DHARMA. All’origine dello studio ci sarebbe un’equazione matematica sviluppata per calcolare quanti anni mancano alla fine dell’umanità. Siamo all’epoca della Guerra fredda, e i rischi di una crisi mondiale spingono il Consiglio di Sicurezza dell’Onu a incaricare segretamente un matematico sardo, Enzo Valenzetti, di trovare un’equazione in grado di prevedere quanto tempo manca all’estinzione del genere umano. I risultati dei suoi studi vengono secretati, ma il nucleo della scoperta consiste in sei variabili: 4, 8, 15, 16, 23 e 42. Tali numeri sarebbero in qualche modo collegati ai giorni, mesi e anni che restano all’umanità. Nel 1970 un magnate danese, Alvar Hanso, finanzia un vasto progetto

scientifico battezzato con l’acronimo DHARMA (Dipartimento di Euristica e Ricerca su Applicazioni Materiali) il cui scopo è quello di cambiare il valore di una qualsiasi delle sei variabili, in modo da dare all’umanità una possibilità di salvezza. Per conseguire tale risultato, vengono coinvolti esperti in meteorologia, psicologia, parapsicologia, zoologia, elettromagnetismo e scienze utopiche. L’isola, su cui trent’anni più tardi cadrà un aereo, presenta caratteristiche ottimali per il conseguimento di tale obiettivo, e viene quindi scelta come sede del progetto. Alcuni matematici vengono reclutati all’interno del Mathematical Forecasting Initiative, “progetto di previsioni matematiche”, il cui scopo è quello di prevedere in modo accurato eventi e tendenze future attraverso l’analisi delle condizioni attuali e la creazione di modelli matematici. Questo scenario narrativo è solo accennato nella serie televisiva, e maggiormente approfondito in un gioco interattivo realizzato dagli stessi autori su Internet nel corso del 2006, The Lost Experience. L’idea di prevedere l’estinzione dell’umanità attraverso metodi matematici si ispira a una teoria che è stata realmente proposta nel 1983 da Brandon Carter, oggi nota come “teoria dell’Apocalisse”. Lo scienziato si chiese se fosse possibile calcolare la speranza di vita dell’umanità sulla base del numero di esseri umani nati fino a oggi, e attraverso una serie di ragionamenti statistici molto controversi, concluse che l’umanità si estinguerà entro il 9120 con una probabilità del 95%. I segreti della serie numerica di Lost Nel dicembre 2007 annunciai su Internet di aver trovato un’equazione che ammetteva, come risultati, i sei numeri della serie di Lost. L’equazione era la seguente: x6 – 108x5 + 4405x4 – 87270x3 + 881464x2 – 4239552x + 7418880 = 0 I sei numeri che soddisfano l’equazione sono proprio 4, 8, 15, 16, 23 e 42. Mentre per alcuni fu una notizia di un certo interesse, diversi matematici di professione risero sotto i baffi: sapevano, infatti, quanto era stato semplice trovarla! Se in uno dei capitoli precedenti abbiamo parlato di “semplificazione”, in questo caso il trucco sta nel procedimento inverso, anche detto “svolgimento”. Scegliendo una serie di numeri qualsiasi, per esempio 1, 2 e 3, posso scrivere un’equazione che ammetta come risultato la stessa tripletta.

Eccola: (x – 1)(x – 2)(x – 3) = 0 Il meccanismo è elementare: se vogliamo che un’equazione ammetta come soluzione il numero A, basta scrivere (x – A) = 0; se ne vogliamo una risolta anche dal numero B, è sufficiente arricchirla con il fattore (x – B), ottenendo (x – A)(x – B) = 0. Scrivere un’equazione che venga risolta dai sei numeri di Lost diventa quindi un gioco da ragazzi: (x – 4)(x – 8)(x – 15)(x – 16)(x – 23)(x – 42) = 0 In questa forma, però, pochi sarebbero rimasti colpiti: era necessario offuscarla un po’, “svolgendola” tramite la moltiplicazione dei vari fattori che la componevano. Il risultato è quello riportato sopra. Il meccanismo può essere utilizzato per scrivere equazioni che vengono risolte da combinazioni di numeri che abbiano qualche significato personale – e che possono così diventare un regalo originale e durevole. Per esempio la successiva ammette come soluzioni i miei giorno, mese e anno di nascita: x3 – 1993x2 + 31687x – 108735 = 0 Sette carte o sette punti? La matematica è caratterizzata da un linguaggio molto diverso da quello della vita quotidiana: i suoi termini sono definiti con precisione e utilizzati in modo univoco, in modo da evitare qualsiasi incertezza. La lingua che parliamo tutti i giorni, invece, contiene in sé una certa ambiguità, che superiamo soltanto collocando una frase nel suo contesto o chiedendo spiegazioni a chi l’ha formulata. Gli enigmisti si trastullano allegramente su tali ambiguità: che cosa può voler dire, fuori dal suo contesto, la frase “Una vecchia porta la sbarra”? Mescolare il linguaggio della regina delle scienze con quello della vita quotidiana può avere effetti paradossali, e consentire esperimenti di precognizione che affondano le loro radici nel lontano Settecento. A offrirci un gustoso esempio è un mago toscano nato a metà del XVIII secolo, Giuseppe Pinetti, che nonostante le umili origini, ama vantarsi di antenati illustri e di essere un professeur de mathematiques. Nel 1784 scrive Divertimenti fisici, un piccolo e vivace manuale di esperimenti magici: già il titolo intende evitare accuse di stregoneria, riconoscendo

nella fisica e nella scienza gli ingredienti base dei suoi giochi. Il capitolo 15 presenta un curioso esperimento di precognizione, intitolato “Prevedere il pensiero di qualcuno assicurandolo che si scriverà prima su un foglio quanti punti sommerà il mazzo di carte che avrà scelto tra i due che saranno stati posati sul tavolo”. Prendete due mazzetti di carte: il primo dovrà essere costituito esclusivamente da quattro 7 (uno per seme), mentre il secondo conterrà altre sette carte qualsiasi. Metteteli a faccia in giù sul tavolo, uno accanto all’altro. Su un foglietto scrivete il numero 7, piegatelo e consegnatelo a un amico. Chiedetegli quindi di scegliere uno dei due mazzetti: sul foglio avete previsto la scelta che farà! Il trucco consisterà nell’approfttare dell’ambiguità del messaggio riportato sul foglio, e di spiegare – a seconda del mazzetto che verrà scelto – in che modo si applichi a quello che è successo. Il numero 7 può, infatti, avere due significati – e starà a voi spiegare cosa intendevate quando l’avete scritto. Se viene scelto il mazzetto costituito da tutti 7, capovolgete l’altro e fate notare che le carte di cui è costituito sono tutte diverse; poi girate quello scelto, e fate vedere che è stato scelto il mazzetto dei 7. Fate quindi aprire il foglietto, su cui c’è scritto il numero 7: dite che sentivate in cuor vostro che sarebbero stati scelti i 7, e quindi l’avete scritto con assoluta tranquillità. Se viceversa viene scelto il mazzetto costituito dalle sette carte diverse, non capovolgete nulla: limitatevi ad allargare le carte e fatele contare: quando tutti si saranno accertati che un mazzo è costituito da quattro carte e l’altro da sette carte, fate aprire il biglietto: spiegate che sin dall’inizio avevate avuto la sensazione che la scelta sarebbe caduta sulle sette carte, e quindi avete scritto quel numero. In entrambi i casi avrete dimostrato le vostre doti precognitive senza fare alcunché, se non sfruttando le ambiguità di un numero estrapolato dal contesto – brillante incarnazione del famoso detto “Testa vinco io, croce perdi tu”. Il sogno premonitore Una delle tecniche più diffuse per conoscere il futuro è interpretare i sogni: le immagini oniriche non vengono usate solo dagli psicologi per rivelare l’inconscio, ma anche trasformate in numeri da giocare al Lotto, nella speranza che possano fornire una cinquina vincente, o per conoscere

in anticipo ciò che accadrà l’indomani. Spesso i sogni contengono immagini simboliche molto confuse, ma in qualche caso possono essere estremamente precisi. Raccontate a un amico di aver fatto uno strano sogno: eravate voi e lui, e stavate discutendo in modo concitato. Prendete un foglietto e ditegli che scriverete come si concludeva il sogno, perché sentite che si trattava di un sogno premonitore. Di nascosto da lui, disegnate questo schema su un foglietto quadrato: Consegnateglielo piegato, chiedendogli di metterlo in tasca senza guardarlo. Continuate dicendogli che la discussione sognata può essere simboleggiata da una partita al gioco del tris, quindi prendete un altro foglietto bianco, tracciate lo schema vuoto e disegnate una X nella casella centrale, spiegando che eravate stati voi a introdurre il discorso, ma non ricordate in che modo lui vi avesse risposto. Chiedetegli quindi di giocare una partita contro di voi, e consegnategli la penna: lui dovrà rispondere alla vostra prima mossa tracciando una O in una qualsiasi delle caselle libere. La partita rappresenterà simbolicamente la discussione sognata, durante la quale ognuno cercava di imporsi sull’altro: entrambi, quindi, giocherete al meglio delle vostre forze per tentare di vincere. La partita finirà in parità, e questo – spiegherete – proprio come nel sogno, che si era concluso con un accordo che vi aveva del tutto pacificati. A questo punto potrete aprire il foglietto, e mostrare che non soltanto avevate previsto che avreste pareggiato… ma avevate sognato proprio la partita che si sarebbe svolta! Questo esperimento si basa su due principi molto sottili: il primo è quello della forzatura di un percorso univoco tra i molti possibili, il secondo è quello della simmetria rotatoria dei simboli utilizzati. Le partite di tris che possono essere giocate sono moltissime: alcune si concludono con la vittoria del primo giocatore, altre con la vittoria del secondo, altre con un pareggio. Se avete la prima mossa e il vostro avversario evita a ogni costo la sconfitta, c’è un modo per obbligarlo a mettere le sue O su alcune caselle, “forzando” la partita in modo che si allinei allo schema che avete disegnato all’inizio del gioco. In che modo è possibile farlo? Come prima mossa dovrete mettere la X al centro della griglia. Il vostro avversario potrà rispondere mettendo la O in otto caselle diverse, su un lato (casella pari) o su un angolo (casella dispari). La sua prima scelta determinerà le vostre risposte alle sue mosse nel

corso di tutto il gioco. Se, infatti, risponderà mettendo la O in uno degli angoli, da questo momento in avanti le vostre risposte dovranno sempre essere fatte sulla casella “successiva” alla sua, considerando che la corona dei numeri sia da percorrere in senso orario. Se per esempio risponde mettendo la O sul 3, voi dovrete rispondere mettendo la X sul 4. Tale regola varrà fino alla fine del gioco, quando avrete tracciato l’ultima X. Lui potrà giocare quella che gli sembra una partita del tutto ordinaria, rispondendo in difesa alle vostre mosse, mentre voi dovrete soltanto ricordarvi di rispondere alle sue in senso orario, mettendo la X sulla casella successiva a quella in cui ha tracciato l’ultima O. Se invece la sua prima scelta cadrà su uno dei lati, allora dovrete ragionare come sopra ma in senso antiorario: se mette la O sulla casella 2, dovrete rispondergli sulla casella 1, e per ognuna delle sue mosse successive, ogni vostra risposta dovrà essere sulla casella seguente in senso antiorario. Seguendo a ogni passo la regola fissata al momento della prima mossa dell’avversario (senso orario se sceglie una casella d’angolo, senso antiorario se sceglie una casella su un lato), la partita finirà sempre in parità, e potrà avere soltanto uno tra questi quattro possibili esiti: È a questo punto che entra in gioco il secondo principio: i due simboli utilizzati (la X e la O) presentano entrambi una simmetria rotatoria, ovvero possono essere ruotati di 90° a destra e a sinistra o di 180° senza cambiare il loro aspetto (lo stesso non sarebbe stato possibile se avessimo utilizzato come segni altre due lettere qualsiasi: la X e la O sono le uniche a presentare tale simmetria). Data questa particolare proprietà geometrica, la griglia può essere ruotata a piacimento. Per sfruttare questa potenzialità, al termine della partita aprite il foglietto su cui avevate tracciato la griglia “sognata”, e ruotatelo in modo che corrisponda alla partita che avete appena giocato: incredibile ma vero, esisterà sempre una rotazione che farà in modo di rendere la griglia del foglietto iniziale del tutto sovrapponibile alla partita appena giocata! Ricordate che la rotazione dovrà essere eseguita di nascosto, in modo che l’amico non si accorga che si tratta del principio alla base del gioco. Il fatto di usare un foglietto quadrato – anch’esso dotato di simmetria rotatoria – consentirà di ruotare il foglietto senza che ciò desti sospetto. Sembrerà che il vostro sogno sia stato davvero premonitore, e che voi abbiate sognato in anticipo una partita che si sarebbe potuta svolgere in mille modi diversi!

La busta chiusa Lo stesso principio della simmetria rotatoria utilizzato per il primo esperimento può essere sfruttato in un modo diverso per conoscere in anticipo quale simbolo verrà liberamente scelto su una griglia contenente sedici immagini diverse. Fotocopiate questa griglia e tagliate il foglio lungo il bordo esterno del quadrato. Consegnate una busta chiusa a qualcuno e spiegategli che custodisce un simbolo arcano: si tratta di un disegno magico, disperso in mezzo ad altri quindici simboli mistici. Chiedete a un’altra persona di fare un profondo respiro e di nominare, a voce alta, un numero qualsiasi compreso tra 1 e 16. Contate sulla griglia il simbolo corrispondente al numero scelto e fate aprire la busta: i due simboli corrisponderanno! Come avete potuto prevedere quale simbolo sarebbe stato scelto? Il gioco si basa su due sottigliezze: la prima consiste nel fatto che i sedici simboli non sono tutti diversi, ma uno si ripete per quattro volte, orientato in modi diversi. Si tratta di questo simbolo: che compare in alto a sinistra e nelle caselle 6, 8 e 14; sarà il disegno da chiudere nella busta. La seconda sottigliezza riguarda la possibilità di ruotare la griglia in modo che il simbolo cada in una qualsiasi delle 16 caselle. Se il numero scelto sarà 1, 6, 8 o 14, contate il simbolo corrispondente ed estraete dalla busta il disegno che lo riproduce, facendo attenzione a orientarlo proprio come compare sulla griglia. Ruotandola in senso antiorario, il simbolo comparirà nelle posizioni 2, 10, 12 e 13. Ruotandola invece in senso orario, corrisponderà alle posizioni 4, 5, 7 e 15. Infine, con una rotazione di 180° il simbolo finirà nelle posizioni 3, 9, 11 e 16. Per facilitare l’individuazione dell’orientamento della griglia, sul retro del foglio scrivete a matita i sedici numeri distribuiti sui quattro lati del quadrato, in modo che ognuno corrisponda al lato che deve trovarsi in alto perché il gioco funzioni: Il secondo sogno premonitore L’esperimento del tris può diventare ancora più stupefacente se collegato alla Smorfia, il ricco e variegato catalogo della tradizione napoletana che associa a ogni numero un oggetto, un animale o un personaggio. Raccontate di aver sognato un misterioso ragazzo che vi invitava a giocare a tris. Nel sogno non riuscivate a vederlo in volto, ma vi ricordate di aver

intrapreso una partita contro di lui. Dopo questa premessa, sfidate a una partita di tris un amico, dicendogli che a volte è più facile riportare alla memoria i sogni mettendoli in scena nella vita reale. Tracciate su un foglio di carta una griglia 3 x 3. Come indicatori, utilizzerete delle carte da gioco: le vostre saranno appoggiate alla griglia con il dorso in alto, quelle dell’amico con la faccia. Prima di iniziare, dovrete aver preparato segretamente le prime nove carte di un qualsiasi seme in questo modo: • Disponetele in ordine dall’Asso al 9, in modo che la prima carta di dorso sia l’asso e l’ultima in basso sia il 9. • Spostate l’8 tra l’Asso e il 2. • Spostate il 7 tra il 2 e il 3. Dovreste trovarvi con le carte in quest’ordine: Asso, 8, 2, 7, 3, 4, 5, 6, 9. Tenendo il mazzetto a dorso in alto, separate le carte in modo da avere le prime sei nella mano destra e le ultime tre nella sinistra. Appoggiate alla casella centrale della griglia, a dorso in alto, la prima delle carte che avete nella mano sinistra (il 5). Chiedete al vostro amico dove intende rispondere: potrebbe scegliere di mettere il suo simbolo su una delle quattro caselle laterali della griglia oppure su un angolo. Il caso delle caselle laterali Se sceglie una casella laterale, appoggiate le sei carte della destra sopra le due carte della sinistra (in questo modo il mazzetto complessivo avrà l’Asso come prima carta), prendete l’Asso e mettetelo a faccia in alto dove ha indicato. D’ora in avanti, dovrete sempre rispondere alle sue mosse mettendo il vostro simbolo (la carta coperta) sulla casella immediatamente adiacente in senso antiorario, pescando tutte le prossime carte in ordine dal mazzetto. Alla sua mossa laterale (e alle successive)… …rispondete, d’ora in avanti, sempre in senso antiorario. Se giocherà con l’obiettivo di non perdere, le risposte del vostro amico saranno tutte forzate. Ogni volta che sceglie la casella su cui giocare, prendete la carta successiva e collocatela sulla griglia a faccia in alto. Al termine della partita avrete pareggiato: Il caso delle caselle angolari Se all’inizio sceglie invece una casella angolare, appoggiate le due carte della sinistra sopra le sei carte della destra (in questo modo il mazzetto complessivo avrà il 6 come prima carta), prendete il 6 e mettetelo a faccia

in alto dove ha indicato. Per rispondere alla prima mossa del vostro amico, osservate la casella X che completa la diagonale su cui si trovano le due carte già giocate, e scegliete liberamente una delle due caselle laterali adiacenti a X. Da questo punto in poi, la partita sarà forzata verso il pareggio: fate di tutto per non perdere, perché a differenza del caso precedente, in alcuni momenti l’amico si troverà ad attaccare e voi a difendervi. Al termine della partita, girate le vostre carte in modo che abbiano la faccia in alto, e mostratevi stupiti: “Ora ho capito il significato del mio sogno! Tutto è collegato: il tris, la Smorfia, il ragazzo misterioso… La cabala napoletana associa al ‘Guaglione’, il ragazzo, il numero 15, e in effetti i numeri delle carte non sono casuali: la somma di ogni riga, colonna e diagonale fa sempre 15!” Alla sua mossa d’angolo… …rispondete su una casella adiacente alla X che completa la diagonale. Che ci crediate o no, il risultato finale sarà sempre una griglia matematica che risolve il famosissimo problema del quadrato magico! Ecco una delle possibili conclusioni della partita. Letture consigliate Affronta in modo critico gli scritti di Nostradamus James Randi, The mask of Nostradamus: the prophecies of the world’s most famous seer, Prometheus Books, 1993 (trad.it. La maschera di Nostradamus, Avverbi, Roma, 2000). Sui rischi delle previsioni matematiche, in particolare di quelle in ambito finanziario, ha scritto un libro molto polemico ma denso di idee interessanti Nassim Nicholas Taleb, The Black Swan: The Impact of the Highly Improbable, Allen Lane, 2007 (trad.it. Il cigno nero. Come l’improbabile governa la nostra vita, Il Saggiatore, Milano, 2008). Gli Amusemens Physiques, che riportano tra gli altri l’esperimento di previsione dei due mazzetti, sono disponibili in Joseph Pinetti, Divertimenti fisici: la storia di un mago nel XVIII secolo, Stampa Alternativa, 2001. “Il sogno premonitore” si basa su un’idea riportata da Bev Bergeron in “Child’s Play”, pubblicato su Syzygy Vol.1, n.11, pp.45 e 48. L’evoluzione con il quadrato magico è di Don Costello, ed è pubblicata in William

Simon, Mathematical Magic, Dover, 1993, pp.129-134. Il riquadro utilizzato per l’esperimento della busta chiusa è stato ideato da J. G. Thompson e T. A. Waters rielaborato da “Framedown” in New Thoughts for Old, Brains Trust Press, 1979, p.39.

SPOSTARE GLI OGGETTI CON LA MENTE - LA TELECINESI “Chi crede nella telecinesi, alzi la mia mano.” Francesco Tesei, Mind Juggling (2009) La telecinesi nella storia Quando dobbiamo spostare un oggetto, generalmente utilizziamo le nostre mani; a volte ci aiutiamo con qualche strumento (come la stecca per colpire le palle da biliardo), altre ci limitiamo a soffiare (come quando su un foglio appena cancellato restano minuscole tracce di gomma da rimuovere). Quest’ultima situazione è tra le più curiose, perché ci consente di produrre un movimento senza intervenire direttamente con il nostro corpo: si tratta di una vera e propria “azione a distanza”. La stessa può essere generata da un magnete: a tutti è capitato di giocare con una o più calamite, e di stupirsi di fronte alla loro capacità di attrarre o respingere gli oggetti metallici nei dintorni. Alcuni individui sostengono di poter influire a distanza sugli oggetti senza far uso di alcun mezzo fisico, ma con la sola forza del pensiero: questo particolare potere ha preso il nome di “telecinesi”. La parola deriva dal greco: tele è il prefisso che significa “distanza”, mentre kinesis rappresenta il movimento; la “telecinesi” è quindi la capacità di muovere gli oggetti a distanza. Oggi è molto diffuso anche il termine “psicocinesi”, che deriva invece da psyche e kinesis e significa “muovere con la mente”. Sono innumerevoli e controversi i fenomeni che, nel corso della storia, si dice abbiano coinvolto la telecinesi. Secondo alcuni, le pietre che compongono le piramidi d’Egitto sarebbero state troppo pesanti per essere sollevate attraverso strumenti tecnologici dell’epoca, e più probabilmente vennero spostate con la forza del pensiero. Secondo altri, l’apertura delle acque del mar Rosso di fronte agli Ebrei in fuga dall’Egitto non sarebbe che un mastodontico fenomeno telecinetico dovuto ai poteri di Mosè. All’inizio del Novecento, la polacca Stanislawa Tomczyk era in grado di muovere o far levitare piccoli oggetti messi sotto una campana di vetro senza toccarli. Più di recente, Uri Geller sembrava spostare con la forza del pensiero l’ago di una bussola. Da sempre, i guaritori ritengono che la sola imposizione delle mani consenta loro di curare le malattie a distanza, senza un diretto contatto con i pazienti.

È curioso come alcuni di questi casi siano stati “risolti” escludendo interventi della mente e mostrando come fossero all’opera proprio i mezzi elencati: senza essere vista, la Tomczyk sollevava leggermente l’orlo della campana di vetro e soffiava segretamente, producendo così il movimento a distanza; dal canto suo, Uri Geller sfruttava una calamita nascosta per fingere di poter deviare con la mente l’ago della bussola. Come spesso accade quando ci si occupa di questi argomenti “di confine”, il sospetto del trucco è sempre in agguato. Vediamo in che modo la matematica può aiutarci a distinguere tra la vera telecinesi e quella illusoria, per poi arrivare a usare i numeri per prodursi in mirabolanti esperimenti che sembrano coinvolgerla. Mummificare le uova Tra le innumerevoli applicazioni pratiche che potrebbe avere la telecinesi, soffermiamoci su una molto curiosa, seppure di dubbia utilità: la capacità di mummificare le uova. Nel 1995 una signora di Bologna si rivolse al chimico Luigi Garlaschelli, sperimentatore del CICAP (Comitato Italiano per il Controllo delle Affermazioni sul Paranormale), affermando di avere scoperto di possedere questa dote telecinetica: dopo aver rotto un uovo su un piattino e aver imposto le mani, nel giro di qualche giorno l’uovo “si mummificava”, diventando solido senza marcire. Riteneva, quindi, che le sue mani riuscissero a trasmettere una energia invisibile con la quale si sarebbero potute anche curare delle malattie. Garlaschelli pensò subito al personaggio chiave nelle indagini sui superpoteri: l’uomo che abbiamo imparato a conoscere come Medioman. Anche in questo caso, l’unico modo per verificare se i poteri della donna fossero “super”, era il confronto matematico (ma anche fisico) della sua performance con quella che avrebbe ottenuto Medioman, “l’uomo senza alcun potere”. Ma se per gli esperimenti con le carte Zener ci veniva in aiuto la teoria della probabilità, questo caso appariva più complesso: nessuna teoria matematica avrebbe potuto prevedere i risultati di Medioman su dieci uova in altrettanti piattini. Il chimico scelse, quindi, la via della statistica: poiché non conosciamo a priori quante uova sarebbe in grado di mummificare Medioman, diamogli altri dieci piattini con altrettante uova, e confrontiamo i suoi risultati con quelli della signora.

L’esperimento si svolse in modo molto semplice: le dieci uova assegnate alla signora furono da lei “trattate” tramite l’imposizione delle mani, mentre le dieci uova di Medioman vennero semplicemente messe da parte e non trattate (Garlaschelli ritenne giustamente che imporre le mani senza avere alcun potere era equivalente a non trattarle!). Dopo qualche giorno si constatò che tutte e venti le uova erano mummificate: sia quelle trattate dalla signora, sia le uova di Medioman; entrambi avevano ottenuto il 100% dei successi. Da ciò si concluse che non c’era alcun potere telecinetico nelle mani della signora: i suoi risultati erano, infatti, identici a quelli ottenuti da un individuo senza poteri; si capì, inoltre, che qualsiasi uovo rotto su un piattino, mantenuto in determinate condizioni di temperatura e umidità, non si decompone, ma tende a disidratarsi assumendo una consistenza gommosa. Se la signora si era convinta di possedere tale capacità, era stato perché nessuno le aveva mai spiegato l’importanza di confrontarsi con Medioman: il 100% dei successi ottenuti l’aveva ingannata. Tale errore concettuale fa pensare al tizio che, viaggiando in treno, ogni cinque minuti buttava dal finestrino una pallina di carta. “Perché butta continuamente delle palline di carta giù dal treno?”, chiese incuriosita una signora. “È un rito magico che tiene lontani gli elefanti”, rispose l’uomo. Al che, un altro passeggero replicò: “Ma da queste parti non ci sono elefanti!” “Lo vede che funziona?” concluse allegro il tizio. Aggiustare gli orologi L’individuo che maggiormente sfruttò le sue capacità telecinetiche per raggiungere la notorietà fu di certo il già citato Uri Geller. Oltre a sorprendenti esibizioni di chiaroveggenza (riusciva a indovinare disegni chiusi dentro una busta), il sensitivo israeliano era in grado di piegare con la mente il metallo di cucchiaini e chiavi, e far ripartire orologi rotti senza neppure toccarli. In particolare quest’ultima capacità era notevole, perché sembrava funzionare anche a grande distanza: non era necessario che Geller si trovasse nei pressi degli orologi, ma poteva proiettare le sue energie molto lontano, anche attraverso un programma radiofonico o televisivo. In genere, nel corso delle trasmissioni cui veniva invitato a partecipare, chiedeva al pubblico di recuperare dai cassetti gli orologi che non funzionavano più, e di stringerli tra le mani dicendo tra sé e sé: “Riparti!

Riparti! Riparti!” Con grande sorpresa, molti orologi ripartivano come per magia, e questa era considerata la “prova regina” delle facoltà telecinetiche di Uri Geller. Non sarebbe male averle anche noi. Pensate quanto sarebbe comodo far aggiustare i propri elettrodomestici a distanza, magari al telefono: nessun tecnico telecineta potrebbe mai addebitarci il costo dell’intervento a domicilio! Noi amici di Medioman, però, non ci accontentiamo di contare i successi di un sensitivo: vogliamo confrontarli con quelli dell’uomo senza poteri, per vedere quanto sarebbe in grado di fare quest’ultimo nelle stesse condizioni. La stessa idea venne nel 1977 a David Marks e Richard Kammann, due psicologi neozelandesi che fecero un interessante esperimento coinvolgendo alcuni studenti universitari. Costoro vennero invitati a scovare, tra amici e conoscenti, almeno una persona che avesse partecipato all’esperimento radiofonico di Geller: ne furono trovate tredici; cinque di loro avevano constatato che gli orologi erano ripartiti. Su questo campione, la percentuale di successo di Uri Geller era quindi del 38,5%. Gli stessi studenti, poi, furono invitati a interpretare la parte di Medioman: dovevano contattare qualcuno in possesso di un orologio rotto, e fornirgli le stesse istruzioni che Geller aveva dato alla radio; su trentadue persone coinvolte, ben ventidue constatarono che il proprio orologio era ripartito – nonostante gli studenti non possedessero alcun potere telecinetico: Medioman aveva quindi una percentuale di successo pari circa al 69%. Lo stesso esperimento venne realizzato attraverso l’uso del telefono. Al termine dei due esperimenti, Marks e Kammann avevano ottenuto i seguenti risultati: Orologi riattivati Orologi non riattivati Uri Geller 21 22 Medioman 35 26 Se confrontiamo le percentuali di successo, vediamo che Uri Geller non si discosta molto dalle performance di Medioman, e oltretutto sembra ottenere risultati meno entusiasmanti! Percentuale di orologi riattivati Uri Geller 49% Medioman 57% Le ricerche di Marks e Kammann, riportate in un articolo intitolato “I

poteri non sensitivi di Uri Geller” (1977), sollevarono diverse ipotesi sui sorprendenti risultati di Medioman. Dopo aver chiesto ad alcuni orologiai, scoprirono che oltre metà degli orologi di cui veniva chiesta la riparazione non presentava alcun problema meccanico, ma si era fermata a causa di polvere, sporcizia o cattiva lubrificazione. Il semplice gesto di riprenderli dai cassetti in cui si trovavano agiva sui meccanismi che, una volta scossi leggermente e scaldati dalle mani, riprendevano a funzionare. La precedente tabella d’esempio è fondamentale nell’ambito della ricerca medica ed epidemiologica: serve a valutare statisticamente se una medicina è efficace o meno. Come nel caso dei superpoteri, non è sufficiente contare i pazienti che guariscono prendendo una medicina: bisogna contare anche quelli che guariscono avendo preso soltanto acqua e zucchero, convinti di aver assunto la medicina (il cosiddetto “effetto placebo”). Nel 2005, per esempio, il dottor Richard B. Lipton fece una ricerca per valutare se l’Aspirina fosse efficace per contrastare gli attacchi di emicrania: presi 401 pazienti colpiti dal mal di testa, a 201 di loro diede un’Aspirina, mentre ai restanti 200 diede un’identica pastiglia amarognola, senza però alcun principio attivo. Dopo due ore, chiese ai pazienti se il mal di testa fosse passato, e ottenne questo risultato: Il mal di testa è passato … non è passato Aspirina 105 96 Placebo 68 132 Confrontando i risultati delle due righe, Lipton non fece altro che valutare la differenza tra i “poteri” dell’Aspirina e quelli di una sostanza inutile, e concluse che l’Aspirina aveva probabilmente una vera efficacia: Percentuale di pazienti guariti Aspirina 52% Placebo 34% Se da un lato può sembrare strano che gli stessi metodi statistici possano essere usati in ambiti così diversi – quello medico e quello degli esperimenti sul paranormale – il connubio tra questi due mondi ha in realtà radici antiche. Gerolamo Cardano (1501-1576), il primo teorico del calcolo delle probabilità, fu medico e autore del trattato Sui giochi di fortuna (1564); in questo importante libro affrontò il tema della casualità

proprio come un dottore di fronte a una malattia, scrivendo: “Quant’anche il gioco fosse un male, sulla base del gran numero di gente che gioca sembrerebbe un male necessario e andrebbe studiato da un medico come malattia incurabile”. Più nello specifico, essendosi occupato anche di astrologia, Cardano ammise di non aver mai visto un astrologo fortunato al gioco, né di aver mai constatato una maggiore propensione a vincere in chi seguiva i consigli degli astrologi. L’occhio pesante In Viaggio nel mondo del paranormale (1978) Piero Angela proponeva una versione calcistica della telecinesi particolarmente curiosa: “Non la si potrebbe per esempio osservare in uno stadio di calcio? […] Ricordo che c’era una volta un tifoso napoletano che affermava di essere capace di influenzare la traiettoria del pallone con lo sguardo. Lo chiamavano occhio pesante… A seconda delle circostanze, occhio pesante si metteva dietro la porta avversaria per attirare il pallone, oppure dietro quella del Napoli per deviare i tiri e i calci di rigore. Perché no? Del resto se si pensa all’effetto cumulativo di tutti i tifosi di uno stadio, non c’è una probabilità statistica […] che le loro spinte mentali riescano a correggere la traiettoria del pallone?” Il dottor Joseph Gaither Pratt (a destra) analizza l’occhio pesante di un soggetto che cerca di influenzare la caduta di un dado chiuso in una gabbia metallica, da Joseph Rhine, “How Good Are Your Hunches?” in Mechanix Illustrated 4 (1949). L’idea delle “spinte mentali” mi piaceva così tanto che il 19 marzo 2009 la misi alla prova di fronte a una platea di oltre settecento testimoni: per dieci volte invitai una persona a concentrarsi su una delle facce di una comune moneta – a volte “testa”, a volte “croce”; con il suo occhio pesante avrebbe dovuto influenzare la caduta della moneta sull’una o l’altra faccia. Come dotata di veri poteri telecinetici, questa persona spinse correttamente per dieci volte la moneta, facendola cadere sulla faccia da me richiesta – il tutto senza utilizzare una moneta truccata e senza sfruttare nessun principio illusionistico. Tutto si era svolto in piena luce, la moneta era stata lanciata in aria in modo del tutto casuale, e io stesso non potevo prevedere su quale faccia sarebbe caduta ogni volta. In che modo avevo trovato questo individuo straordinario, in grado di spingere la moneta con la sola forza del pensiero? L’occasione era stata offerta dal Festival della Matematica di Roma,

durante il quale ero stato invitato a tenere una lectio magistralis dal titolo “Matematica e paranormale”. Avevo aperto il mio intervento proprio con l’esperimento descritto, che – nonostante l’altissimo intento scientifico – aveva indotto grasse risate tra il pubblico. Il tutto, infatti, era avvenuto in un modo appena più complesso. Avevo chiesto a tutti gli spettatori di alzarsi in piedi e di partecipare al più grande gioco di “Indovina chi?” del mondo. Metà del pubblico era stata invitata a spingere mentalmente la moneta affinché cadesse sulla testa, l’altra metà sulla croce. Dopo ogni lancio, una parte del pubblico aveva spinto correttamente, mentre la restante metà aveva fallito nell’impresa: questi ultimi erano invitati a sedersi e a uscire dal gioco, che continuava soltanto con quelli che erano rimasti in piedi. Ogni volta avevo diviso in due gruppi i “superstiti”, e dopo ogni lancio metà degli spettatori usciva dal gioco sedendosi. Al decimo lancio erano due i “concorrenti” rimasti in piedi: l’uno venne invitato a spingere la moneta sulla testa, l’altro sulla croce. La moneta decretò lo spettatore che, per dieci volte, aveva spinto correttamente sulla testa o sulla croce, come da me richiesto: chiesi un applauso per lui, perché la sua impresa era stata straordinaria e probabilisticamente quasi impossibile; se avessi chiesto a chiunque di svolgere quel compito, la probabilità di spingere correttamente per dieci volte sarebbe stata più piccola di uno su mille. Feci notare che, se fossi stato un giornalista poco serio, avrei potuto riportare quel risultato come ho fatto in apertura di questo capitolo, nascondendo una parte della verità: il nostro presunto telecineta, infatti, proveniva da un campione di oltre settecento individui, e il procedimento proposto avrebbe sempre identificato, dopo dieci lanci, qualcuno che aveva spinto sempre correttamente. Il trucco sta, ovviamente, nel proseguire l’esperimento soltanto con chi fino a quel momento ha “spinto bene”, e poiché a ogni passo metà viene invitata a spingere da una parte e metà dall’altra, ci sarà sempre una metà che “spinge bene”. Chiamiamo questo stratagemma “trucco della selezione”, e vediamo come applicarlo in innumerevoli situazioni. La fortuna del principiante Nel suo libro Il cigno nero il trader e matematico Nassim Nicholas Taleb spiega che i giocatori d’azzardo ritengono i principianti quasi sempre fortunati; in seguito le cose peggiorano, ma all’inizio vincono sempre più di quanto previsto dalle leggi della probabilità.

Quale fondamento ha questa credenza? Taleb lo spiega in modo molto semplice: “Chi inizia a giocare d’azzardo potrà essere fortunato o sfortunato. […] I fortunati, che si sentiranno selezionati dal destino, continueranno a giocare; gli altri, scoraggiati, smetteranno e non appariranno nel campione. […] Coloro che continueranno a giocare ricorderanno di essere stati fortunati da principianti. Quelli che lasceranno perdere non faranno più parte della comunità dei giocatori d’azzardo attivi. Ecco spiegata la fortuna dei principianti”. Secondo Martin Gardner, lo stesso “trucco della selezione” sarebbe all’opera nell’ambito delle ricerche sul paranormale; questa volta, però, sarebbero i ricercatori a esserne vittima. Rhine e il trucco della selezione Nel commentare gli esperimenti di Joseph Rhine, Gardner scriveva: “Supponiamo che uno sperimentatore sottoponga cento studenti a un test in modo da selezionare quelli da sottoporre alla prova successiva. Secondo le leggi del caso, circa cinquanta studenti otterranno un punteggio superiore alla media e cinquanta inferiore. Lo sperimentatore decide che gli studenti con i punteggi più alti sono con più probabilità dei sensitivi e li chiama per un secondo test. Ancora una volta scarterà quelli con i punteggi più bassi e continuerà a lavorare con gli altri. Alla fine, rimarrà un solo individuo che ha realizzato un punteggio superiore alla media per sei o sette prove consecutive”. Fu Henry Louis Mencken a esprimere nel modo più netto questa obiezione a Rhine: “Rhine seleziona le persone che indovinano le carte grazie a dei notevoli colpi di fortuna, e poi adduce i colpi di fortuna come prove dell’esistenza di poteri misteriosi!” In realtà, il “trucco della selezione” potrebbe agire all’insaputa dei ricercatori in un modo più sottile. Immaginiamo che cento ricercatori, dopo aver letto un articolo sui lavori di Rhine, decidano di sottoporre a un test un solo individuo. Circa la metà di loro otterranno risultati sopra la media, e l’altra metà dei risultati più deludenti. Questi ultimi abbandoneranno la ricerca, e saranno solo i cinquanta più fortunati a effettuare un secondo esperimento. A questo punto, metà di loro otterrà risultati promettenti e proseguirà nelle indagini, mentre l’altra metà si fermerà. Così facendo, rimarrà un solo sperimentatore: quello che ha lavorato con un soggetto che, per puro caso, ha sempre ottenuto punteggi superiori alla media. Costui, che non sa dell’esistenza di altri novantanove ricercatori che hanno abbandonato le ricerche, crederà di trovarsi di fronte

a un soggetto dotato di facoltà paranormali, e racconterà nei dettagli l’indagine in una lettera che Rhine provvederà a pubblicare, con grande stupore di chi legge. Vincere ai cavalli La più spettacolare dimostrazione del “trucco della selezione” si deve a uno dei più geniali prestigiatori attualmente in attività, l’inglese Derren Brown. In uno special televisivo intitolato The System, andato in onda nel 2008 in Inghilterra su Channel 4, l’artista ha spiegato pubblicamente il suo metodo “garantito al 100%” per vincere puntando sulle corse dei cavalli. Secondo Brown, è possibile prevedere con assoluta certezza il cavallo che vincerà una corsa; per dimostrarlo, nel corso dello show viene raccontata la vera storia di una ragazza chiamata Khadisha, che per cinque gare consecutive era stata invitata a puntare su un cavallo, ogni volta diverso, che si era sempre rivelato il vincitore. Solo verso la fine dello show Brown spiega che la ragazza non è che la fortunata prescelta da un classico meccanismo di selezione basato su successive eliminazioni, e che quindi il “Sistema” non esiste. Qualche mese prima, Brown aveva contattato per e-mail 7.776 persone, dividendole in sei gruppi; a ogni gruppo aveva consigliato di puntare su un cavallo diverso. Dopo la corsa, un sesto delle persone poteva constatare che il consiglio era stato vincente, mentre i restanti cinque sesti delle persone non venivano più contattati. Brown aveva quindi proseguito con le 1.296 persone rimaste in gioco, che aveva suddiviso ulteriormente in sei gruppi, assegnando a ognuno un cavallo diverso. Ripetendo questa procedura per cinque corse, era rimasta soltanto una persona: si trattava di Khadisha. Per pura fortuna, lei aveva sempre ricevuto una previsione corretta da parte di Derren Brown, e non sapeva di far parte di un gruppo più grande. Il documentario è molto efficace nel tratteggiare la crescente convinzione, da parte della ragazza, di trovarsi di fronte a un vero e proprio, per quanto misterioso, “Sistema” previsionale – o forse all’occhio pesante di Brown che riesce a “spingere” un cavallo per farlo vincere. Invitata a fare una sesta puntata, questa volta Khadisha perde tutto, ed è tragicamente costretta a prendere coscienza dell’errore percettivo in cui è cascata, dovuto al “trucco della selezione”: la sua fortuna, infatti, si è esaurita con il quinto cavallo. Ma Brown è anche un abile prestigiatore e, in conclusione, tra le mani della ragazza, si materializza la ricevuta di una

puntata su un altro cavallo, quello vincente! I nostri risparmi in buone mani… E se il “trucco della selezione” fosse tra le cause della crisi economica che nel 2008 ha investito i mercati di tutto il mondo? È l’ipotesi avanzata dal già citato Nassim Nicholas Taleb, che in Giocati dal caso presenta un esempio particolarmente inquietante di selezione: quello che riguarda i gestori finanziari cui affidiamo i nostri risparmi nella speranza che li facciano fruttare. Se immaginiamo 10.000 investitori privi di qualunque competenza, 5.000 di loro alla fine dell’anno avranno guadagnato più della media e gli altri 5.000 avranno avuto performance negative. Possiamo pensare che questi ultimi si ritireranno dal mercato, e solo i 5.000 che possono vantare un anno di successi proseguiranno nella loro attività. Di questi 5.000 incompetenti, per puro caso metà otterrà buoni risultati nel secondo anno, mentre gli altri avranno risultati sotto la media. Suddividendo e selezionando gli investitori anno per anno, dopo cinque anni avremo 313 gestori che, per pura fortuna, hanno sempre ottenuto risultati sopra la media. Quando costoro si presenteranno a casa nostra, sarà impressionante vedere documentata la serie di colpi da loro messi a segno, e saremo facilmente propensi ad affidare loro i nostri risparmi, senza accorgerci che ci stiamo fidando di gestori del tutto incompetenti, che si pavoneggiano di risultati dovuti soltanto al caso e non a reali capacità. Un colpo da samurai Ironizzando sugli ambienti della finanza che contano, in uno dei suoi articoli satirici Umberto Eco raccontava di quel facoltoso signore che confidava a un conoscente: “Mettiamo che lei si trovi in Svizzera, ha perduto la credit card, le servono settanta, ottanta miliardi per comperare un giornale…” Alla domanda: “Costano tanto, in Svizzera?”, il miliardario rispondeva sorridendo: “Non intendevo dire una copia…” Qui, l’ambiguità risiede in quel numero “uno”, che non è chiaro se si riferisca a un numero del giornale oppure all’intera testata; la stessa ambiguità può essere sfruttata in ambito “telecinetico”. Annunciate di aver studiato una tecnica orientale che consente ai samurai di colpire i nemici senza neppure toccarli: convogliando l’energia con la mente, è possibile proiettarla a distanza con un semplice gesto delle mani. Chiedete a qualcuno di dire un numero qualsiasi tra 1 e 4;

supponiamo che vi dica 3. Indicate una banana che si trova in un cesto, muovete le mani come per definire una piccola “palla” di energia, poi fingete di schiacciarla e, con la mano destra spalancata, colpite l’aria per tre volte, come a voler affettare la banana a distanza. Senza avvicinarvi alla banana, chiedete a qualcuno di sbucciarla: tra lo stupore generale, la banana presenterà tre tagli netti materializzati sotto la buccia! Per realizzare questo piccolo prodigio dovrete procurarvi uno spillo con il quale tagliare il frutto prima di iniziare il gioco: cercate una macchia nera sulla buccia, introducete lo spillo in quel punto e fatelo ruotare all’interno della banana in modo da affettarla di netto, facendo in modo di tagliarne solo la polpa. Una volta estratto lo spillo, la banana sembrerà perfettamente intatta, mentre all’interno presenterà un taglio. Non preparatela con eccessivo anticipo: dopo qualche ora, infatti, la divisione tende a manifestarsi con un’ombra nera sulla buccia. Allenatevi a praticare un taglio il più preciso possibile. Quando avrete imparato, preparate due banane praticando un taglio nella prima e tre tagli nella seconda. Mettetele quindi in un cesto insieme ad altri frutti, assicurandovi di poter distinguere durante il gioco la banana 1 (quella co un taglio) dalla banana 3 (l’altra). Siete pronti per l’esperimento. Se sceglieranno il numero 1, puntate la banana 1 e mimate un solo, preciso fendente con la mano aperta: fate sbucciare il frutto e spiegate che, esattamente come richiesto, avete praticato “un” taglio telecinetico. Se il numero scelto sarà il 2, fate proprio gli stessi movimenti: una volta sbucciata la banana, spiegate che, come richiesto, avete tagliato la banana in “due” parti. A questo punto avrete colto l’arguzia: se il numero scelto è dispari, questo corrisponderà ai tagli effettuati; se invece è pari, al numero di parti in cui la banana è stata tagliata. Se quindi verrà scelto il numero 3, mimate tre fendenti e mostrate i tre tagli nella banana 3; se invece verrà scelto il numero 4, annunciate di aver tagliato in quattro la banana! La calcolatrice “touch” L’introduzione della tecnologia “touch” ha reso più semplice e immediata l’interazione con i dispositivi elettronici: su un moderno smartphone, “spostare” un file o scorrere le pagine di un documento sono diventate operazioni semplicissime, da eseguire direttamente con la punta

del dito. La stessa operazione sarebbe stata impensabile su una vecchia calcolatrice da ufficio, in cui si poteva interagire soltanto con la tastiera. A meno di possedere facoltà telecinetiche… Le operazioni di addizione e sottrazione consentono di presentare un esperimento molto curioso, che sembra coinvolgere la possibilità di rendere “touch”, grazie ai poteri della mente, anche un dispositivo pagato pochi euro. Per eseguirlo è sufficiente una calcolatrice standard, non scientifica. Come unico requisito, è necessario che, schiacciando il tasto con il +, non resti traccia dell’operazione sul visore: alcune calcolatrici moderne, infatti, fanno apparire un piccolo segno + accanto al numero, per indicare l’operazione che si sta eseguendo. La maggior parte delle calcolatrici economiche, invece, non ha questa funzione: è proprio questo il modello che ci serve. Partiamo da un gioco base: accendete la calcolatrice, premete il tasto 9, poi il tasto +, poi il tasto 0. A questo punto, la calcolatrice sembra appena accesa: se la mostrate a qualcuno, non ci sarà traccia del fatto che è stata “preparata” a sommare 9 al numero che verrà inserito; il numero 0 sul visore darà l’impressione che tutto sia regolare. Spiegate quindi di essere in grado di influire con la vostra mente sulle memorie interne della calcolatrice, e che riuscite a far “sballare” i numeri che compaiono sul visore. Per dimostrarlo, digitate il numero 12, in modo che questo compaia sul visore. Concentratevi, scuotete la testa, poi scuotete un po’ la calcolatrice e mostrate il risultato: le due cifre si saranno scambiate, e ora apparirà il numero 21! Basterà che, mentre scuotete il piccolo dispositivo, schiacciate il tasto con l’uguale (=). Per la calcolatrice, voi avete eseguito la somma 9 + 12 e quindi vi presenterà il risultato, pari a 21. Ma poiché chi vi osserva non sa che, prima di iniziare, avete inserito il numero 9 e il +, dal suo punto di vista non avete fatto altro che inserire il numero 12, scuotere la calcolatrice e ottenere che le cifre si scambiassero. La chiave del gioco sta nel numero magico 9, che – introdotto segretamente nella calcolatrice – consente il piccolo prodigio. Com’è facile intuire, tale numero è stato ricavato a partire dal “numero finale” e da quello “iniziale”: poiché vogliamo arrivare a 21 partendo dal 12, è sufficiente sottrarre il secondo dal primo per ottenere il numero magico 21 – 12 = 9. Una volta imparato questo principio, la fantasia può ispirare

innumerevoli esperimenti dello stesso tipo. Ecco qualche altra idea. Si può invertire un numero più lungo di due cifre: se vogliamo partire da 1.234 e arrivare a 4.321, il numero magico da inserire (seguito dal + e dallo 0) è 3.087 (= 4.321 – 1.234). È possibile anche “spostare” una cifra da un punto all’altro di numero: partendo da 12.345.678 e arrivando a 81.234.567, si ha l’impressione che l’8 si sia spostato dalla prima all’ultima posizione. Il numero magico si trova sempre allo stesso modo: 68.888.889 (= 81.234.567 – 12.345.678). Se, invece di scuotere la calcolatrice, si fa scorrere il dito sul visore, fingendo di “trascinare” la cifra dell’8 da una parte all’altra del numero, l’effetto è quello che ci si potrebbe aspettare da un dispositivo “touch”. Un’altro possibile trucco telecinetico è quello di ruotare un numero, facendo in modo che si debba capovolgere la calcolatrice per vederlo corretto. I due numeri 19.582 e 28.561, per esempio, sono l’uno l’effetto della rotazione dell’altro. Se si scrive il primo sulla calcolatrice e la si ruota, si può leggere il secondo (e viceversa). Trasformando, quindi, il primo nel secondo, si ottiene l’effetto di averlo ruotato. Il numero magico è in questo caso 8.979 (= 28.561 – 19.582). Le cifre possono anche esser fatte apparire o scomparire. Supponiamo che vi troviate a presentare questo gioco a un amico che indossa una canottiera da basket con il numero 23 stampato. Potrebbe essere curioso far apparire il numero 23 al centro di alcune cifre; sul momento, quindi, potete decidere di partire da 1.111 e di arrivare a 112.311: il numero magico che calcolate è quindi 112.311 – 1.111 = 111.200. Impostate quindi il 111.200 sulla calcolatrice, seguito dal + e dallo 0. Presentatevi dal vostro amico e, di fronte a lui, digitate il numero 1.111. Poi appoggiate la calcolatrice al suo petto, utilizzando questo gesto per nascondere la pressione del tasto =. Spiegategli che siete in grado di materializzare sul visore, con la sola forza del pensiero, un numero qualsiasi. Fatevi quindi ispirare dal numero che compare sulla canottiera, mostrategli di nuovo la calcolatrice, e vedendo il numero 112311, lui stesso potrà constatare che è apparso il numero 23 al centro del numero precedentemente inserito. L’esperimento può essere fatto a ritroso: se partite dal numero 112.311 e arrivate a 1.111, sembrerà che il numero 23 sia scomparso. Potrete quindi fingere di averlo “tolto” dal visore e depositato sulla canottiera, dove il numero si trova stampato. In questo caso vi sarà agevole partire dal numero 113.422 e premere il segno “meno” seguito dallo 0.

Questo collegamento con il mondo reale aumenta la credibilità dei vostri poteri, perché dà l’impressione che possiate adattarli a qualunque situazione quotidiana, e sono innumerevoli le occasioni in cui potrete esibirvi in questo esperimento: potrete trarre ispirazione dal numero civico di un palazzo, dalle cifre del giorno impresse su un calendario da tavolo o dal numero di serie di un arredo d’ufficio. Se trovate un modello di calcolatrice standard con un visore più ampio, a dodici cifre, potete eseguire l’esperimento con due numeri di telefono, trasformando il primo nel secondo o facendo apparire misteriosamente un numero da una serie di cifre tutte uguali. Procuratevi il numero di telefono di un collega e contate le sue cifre. Supponiamo che sia 333 1234567, e che dunque sia composto da dieci cifre. Scrivete il numero di telefono e sottraetegli il numero composto da dieci cifre 8 consecutive (ovvero 8.888.888.888). Otterrete il numero negativo –5.557.654.321. Premete ora il tasto + e lo 0. Dite al collega che siete in grado di materializzare sul visore della calcolatrice il suo numero di telefono. Chiedetegli di premere il numero 8 tante volte quante sono le cifre del suo numero, pensando mentalmente a ognuna delle cifre che lo compongono. Quando avrà terminato, scuotete la calcolatrice premendo il tasto = e comparirà il suo numero di telefono! Una smaterializzazione Il prestigiatore americano Paul Curry (1917-1986) ideò negli anni Cinquanta una serie di paradossi geometrici che possono essere presentati come curiosi esperimenti di smaterializzazione ottenuta attraverso un procedimento matematico. L’apparizione e la sparizione della materia costituirebbero la più spettacolare forma di telecinesi immaginabile: in questo caso, senza mai toccarla, riuscite a far scomparire da una vostra fotografia un angolo che, misteriosamente, scivola nella Quarta Dimensione. Per mostrare questo piccolo prodigio dovete fare un po’ di bricolage. Stampate una vostra fotografia (o l’immagine che preferite) nel classico formato 12 x 18 cm e ritagliatela in modo da ridurla alle dimensioni di 10 x 16,4 cm. Con un taglierino praticate tre tagli, indicati in figura con le prime lettere dell’alfabeto. Il taglio A parte dall’angolo in alto a destra della foto e finisce sul lato sinistro, a 12 centimetri dall’alto.

Il taglio B è orizzontale, e rimuove una striscia alta 2 centimetri lungo tutto il lato corto inferiore. Il taglio C è verticale, coinvolge il trapezio rettangolo rimasto ed è largo 2 centimetri. Capovolgete ora i quattro pezzi e rimontateli seguendo questo schema: Al rettangolo risultante mancherà l’angolo in basso a destra. Accostate i vari pezzi perché combacino il più possibile, e con una penna scrivete sul retro della fotografia una breve dedica, sullo stile di questa: Le ultime parole dovranno trovarsi sulla striscia in basso e la freccia dovrà indicare il quadratino mancante. Non sarà facile scrivere sul dorso della fotografia, dati i numerosi tagli, ma fate del vostro meglio perché la scrittura sembri regolare. Per finire, prendete i due pezzi più grandi e tagliateli ulteriormente in due parti: otterrete così un puzzle costituito in tutto da sei pezzi. Consegnateli ora a qualcuno, invitandolo a ricostruire la fotografia; il compito sarà svolto in pochi secondi. Fate quindi contare i pezzi che la compongono, in modo che più tardi si possa constatare che i pezzi in gioco sono sempre sei. Senza toccare nulla, invitate la persona a capovolgere tutti i pezzi e a ricomporre il messaggio scritto sul dorso della fotografia. Completato il nuovo puzzle, si vedrà che in basso a destra manca qualcosa, e leggendo il testo appena ricomposto, sembrerà che il quadratino sia scomparso grazie a qualche misteriosa forza telecinetica, che l’ha fatto “scivolare” in un’altra dimensione! Si tratta naturalmente di un’illusione: entrambe le figure hanno un’area pari a 164 cm2, ma poiché hanno una forma diversa, sembra che un pezzo del primo rettangolo scompaia capovolgendolo! L’esperimento clou Dopo aver eseguito l’esperimento qui sopra, potreste voler davvero esagerare, e far sparire (con la matematica!) svariate pagine di un libro – magari proprio di questo! Fate scrivere su un foglio un numero di tre cifre diverse tra loro in ordine crescente, e poi lo stesso numero invertito (per esempio il primo numero potrebbe essere 268 e il secondo 862). Fate quindi sottrarre il primo dal secondo (nell’esempio, fate eseguire 862 – 268 = 594). Fate ora sommare il risultato finale allo stesso risultato capovolto (quindi 594 + 495). Qualunque sia il numero iniziale, la somma farà sempre 1089. Fatevi

comunicare le prime due cifre del risultato (10) e spiegate che questo è il numero di pagine che farete scomparire. Fatevi quindi dire le ultime due cifre (89) e aggiungete che farete sparire 10 pagine a partire da pagina 89. Fingendo di prendere a caso un volume dalla vostra libreria, ecco tra le vostre mani proprio questo libro; concentratevi imponendo le mani sulla copertina, poi invitate la persona a cercare pagina 89: non la troverà, perché la foliazione è stata manomessa e i numeri di dieci pagine sono letteralmente spariti! Questo libro, infatti, è truccato, e i numeri dall’89 al 98 non sono stati stampati per permetterti di fare questo gioco. L’esperimento funziona perché il numero abc vale 100xa + 10xb + c mentre il suo inverso cba vale 100xc + 10xb + a. Sottraendo il primo dal secondo si ottiene 99x(c – a) che può essere soltanto uno dei seguenti multipli di 99: 198, 297, 396, 495, 594, 693, 792 o 891. Tutti questi numeri, sommati al proprio inverso, danno come risultato 1089. Letture consigliate L’esperimento della mummificazione delle uova è raccontata in Luigi Garlaschelli e Massimo Polidoro, Investigatori dell’occulto, Avverbi, Roma, 2001, pp.293 e segg. L’autobiografia di Uri Geller, My Story, Londra, 1975 (trad.it. La mia storia, Milano, Rizzoli, 1976) si apre con il racconto dell’esperimento degli orologi che vengono fatti ripartire a distanza. In Italia realizzò un esperimento simile Massimo Polidoro, i cui risultati sono discussi nel suo L’illusione del paranormale, Franco Muzzio Editore, Padova, 1998, pp.232 e segg. L’articolo “The Nonpsychic Powers of Uri Geller”, che mette a confronto i poteri telecinetici di Geller con quelli di Medioman, pubblicato originariamente sulla rivista The Zetetic, vol.1, n.2, 1977, pp.9-17, verrà ripreso nel libro di David Marks e Richard Kammann, The Psychology of the Psychic, Prometheus Books, Buffalo, 1980, pp.107 e segg. Lo studio sull’Aspirina è stato pubblicato da Richard B. Lipton e colleghi con il titolo “Aspirin Is Efficacious for the Treatment of Acute Migraine” in Headache, vol.45, n.4, aprile 2005, pp.283-292. Il Liber de ludo aleae (1663) di Gerolamo Cardano è disponibile in traduzione italiana nell’edizione curata da Vanni Bossi e stampata in proprio a Milano nel 2003.

Non parla soltanto dell’occhio pesante ma offre una gigantesca panoramica degli studi scientifici sul paranormale (con un interesse particolare per gli aspetti statistici) un libro che è una vera pietra miliare: Piero Angela, Viaggio nel mondo del paranormale, Garzanti, Milano, 1978. Offre diverse riflessioni sulla percezione distorta delle probabilità nell’ambito del paranormale il libro di Derren Brown, Tricks of the Mind, Channel 4 Books, Londra, 2006. Denuncia il trucco della selezione in ambito finanziario Nassim Nicholas Taleb, Fooled by Randomness: The Role of Chance in Life and in the Market, Random House, 2001 (trad.it. Giocati dal caso, Il Saggiatore, Milano, 2003). Gli esperimenti con la calcolatrice sviluppano la vecchia idea di due giapponesi che si facevano chiamare “The Napoleons”, pubblicata in Genii di settembre 1997 con il titolo “Heavy Digit”. È una buona raccolta di giochi magici matematici Arthur Benjamin e Michael Shermer, Secrets of Mental Math, Three Rivers Press, 1993. La forzatura del numero 1089 è descritta alle pp.200-201. L’idea di utilizzare “fisicamente” un libro per un gioco di prestigio mi è venuta sfogliando Penn F. Jillette e Raymond J. Teller, Penn & Teller’s Cruel Tricks for Dear Friends, Villard Books, 1989. Ai numeri e al loro uso fraudolento gli stessi Penn & Teller hanno dedicato l’esilarante nono episodio della quarta stagione della serie televisiva Bullshit!

DISCHI VOLANTI E CERCHI NEL GRANO - L’UFOLOGIA DISCEPOLO: Maestro, c’è vita nell’universo? MAESTRO: Mah… giusto un po’ il sabato sera. Corrado Guzzanti La nascita dell’ufologia Da sempre l’uomo vede in cielo oggetti luminosi che non è in grado di riconoscere: le cronache dell’autore latino Giulio Ossequente, vissuto nel iv sec. d.C., riferiscono di avvistamenti di oggetti infiammati dalla forma di lance avvenuti in epoche remote, sin dal 500 a.C. Il suo Libro dei prodigi è una curiosissima raccolta di fatti strani, molti dei quali riferiti proprio a fenomeni celesti che gli antichi non erano in grado di spiegare. Tale fenomenologia si è riproposta in ogni epoca, ma bisogna aspettare il 24 giugno 1947 perché nasca ufficialmente quella disciplina che oggi è chiamata “ufologia”: quel giorno, un ricco uomo d’affari americano, Kenneth Arnold, racconta di aver visto dal proprio aereo privato almeno nove oggetti a forma di disco librarsi in formazione nei pressi del monte Rainier, nello stato di Washington. Immediatamente ripreso dalla stampa popolare, questo avvistamento porta all’attenzione dell’opinione pubblica di tutto il mondo il fenomeno degli oggetti volanti non identificati, chiamati ufo dall’acronimo inglese Unidentified Flying Objects. Per diversi anni, le segnalazioni di ufo sono piuttosto sporadiche e sempre caratterizzate da caratteristiche comuni: l’oggetto fa la sua comparsa, viene avvistato e poco dopo sparisce, senza lasciare alcuna traccia. Questa imprevedibilità, ma ancor più la non riproducibilità del fenomeno, rende arduo un approccio scientifico alla materia: i primi a voler indagare su questi oggetti sono costretti ad affidarsi alle testimonianze di chi li ha osservati, senza mai poter accedere alla “materia prima” delle loro indagini. Come fa notare con una certa arguzia Charles Harvard Gibbs-Smith, lo studio degli ufo sembra un argomento per gli avvocati molto più che per gli scienziati, perché riguarda le testimonianze di chi vide alcuni oggetti e non gli oggetti stessi. Aimé Michel e l’ortotenia Il primo a suggerire un metodo per affrontare in modo matematico il

fenomeno è un ricercatore francese, Aimé Michel (1919-1992): nel mese di settembre 1954 la Francia è teatro di una serie crescente di avvistamenti di oggetti volanti non identificati. Michel si trova in Costa Azzurra, nella splendida villa del poeta Jean Cocteau a Saint-Jean Cap Ferrat. La conversazione tra i due cade sulle recenti segnalazioni che Michel sta pazientemente catalogando. Il poeta ha un’idea: “Dovresti vedere se questi oggetti si muovono lungo alcune linee, se stanno tracciando qualche disegno, o qualcosa del genere. Potresti cercare di scoprire se i loro movimenti coincidono in modo significativo con le linee magnetiche di forza, o con qualche altra linea”. Cocteau è un artista visionario, che riconosce negli ufo un tentativo, da parte di forze superiori, di mettersi in contatto con noi terrestri; è naturale per lui cercare di intuirne i messaggi leggendoli nelle traiettorie da loro descritte nel cielo, come se si trattasse di tratti eseguiti con la china su un gigantesco foglio da disegno. Nonostante la sua mentalità più vicina alla scienza, Aimé Michel si lascia ispirare dal poeta: inizia quindi a segnare, su una mappa della Francia, tutte le località presso cui sono segnalati avvistamenti, alla ricerca di un “disegno” globale. Seppure queste siano sparse piuttosto uniformemente su tutto il territorio francese, a tratti emergono delle regolarità che lo impressionano molto: alcuni punti sono allineati tra loro, a suggerire che i vari avvistamenti seguono la traiettoria di un oggetto che viaggia in linea retta. Il ricercatore capisce che è un momento storico per l’ufologia, e quattro anni più tardi, nel suo libro Misteriosi oggetti celesti (1958) scriverà: “Dal 17 settembre 1954 in poi, il fenomeno degli ufo iniziò a perdere quella fatale caratteristica di unicità – fatale perché essenzialmente antiscientifica, costituendo un serio ostacolo per gli studi. Ciò che emerse fu qualcosa che non era più soggetto all’incertezza della testimonianza umana; qualcosa che poteva essere esaminato, studiato e analizzato attraverso rigorosi metodi scientifici. A questo ‘qualcosa’ diedi il nome provvisorio di ortotenia”. Il termine deriva dall’aggettivo greco orthoteneis, che significa “disposto su una linea retta”. Nell’ambito degli ufo, una serie di avvistamenti che si disponessero lungo una retta potrebbero suggerire l’esistenza di qualche stimolo visivo che si manifesta su una traiettoria lineare. Con l’introduzione di questa ipotesi, l’ufologia si dotava della possibilità di esaminare matematicamente i punti disposti su una mappa, per valutare se gli allineamenti rilevati fossero dovuti al caso o se invece suggerissero

l’esistenza di “qualcosa” che viaggia linearmente e che quindi viene avvistato lungo “corridoi” privilegiati. Come studiare gli allineamenti Trovare qualche allineamento non basta: anche scegliendo a caso alcuni punti, questi potrebbero disporsi lungo linee rette. Come in tutti gli altri ambiti presentati sinora, anche in questo caso dobbiamo confrontare gli allineamenti riscontrati con quelli che si verificherebbero su una mappa popolata casualmente; in altre parole, dobbiamo fare i conti con la “mappa media”: non più con Medioman, l’individuo senza poteri, ma con Mediomap, la mappa i cui punti sono del tutto casuali. È Alexander D. Mebane il primo a proporre un confronto del genere, utilizzando una mappa della costa orientale degli Stati Uniti su cui ha riportato 27 avvistamenti avvenuti il 6 novembre 1957. I computer non sono ancora accessibili al grande pubblico, e quindi l’esperimento da lui suggerito è piuttosto artigianale, ma non meno efficace: “Chiunque abbia tempo e pazienza sufficienti, può provare a contare le linee pseudoortoteniche che si presentano in un gruppo di punti scelti casualmente. Per farlo, sparpagliate su un foglio di carta piatto dei piccoli semi alla rinfusa”. Si tratta del modo più veloce per realizzare una mappa casuale. Una volta fissati tali punti, bisogna tenerne traccia con un pennarello e collegarli due alla volta con una riga, verificando se i segmenti così tracciati incrociano altri punti. Alla fine si contano gli allineamenti ottenuti a caso in questo modo, tenendo nota di quanti siano gli allineamenti di 3 punti, 4 punti, 5 punti ecc. Il procedimento va ripetuto più volte, per poter fare la media dei risultati ottenuti nel corso dei vari tentativi, arrivando così a definire quanti allineamenti si presentino casualmente sulla Mediomap. Attraverso questo lungo e complicato procedimento, da lui effettuato con semi di erba gatta, Mebane mette a confronto gli allineamenti della mappa statunitense e quelli della Mediomap, ottenendo questi risultati: 2 punti 3 punti 4 punti 5 punti 27 avvistamenti dal 6 novembre 1957 278 17 2 1 27 punti casuali sulla Mediomap 252 25 4 0 Un semplice test statistico rivela che non esistono “allineamenti privilegiati” tra gli avvistamenti americani del 6 novembre 1957, perché è minima la differenza tra i risultati ottenuti sulla mappa e quelli ottenuti

sulla Mediomap. Arrivano i computer Nel 1966 Janine e Jacques Vallée pubblicano L’enigma UFO, una sfida alla scienza, un interessante studio scientifico sugli oggetti volanti non identificati: il loro approccio alla materia è rigoroso, e ampio spazio è dedicato all’ortotenia. Sull’argomento hanno una posizione di grande equilibrio, ammettendo che le osservazioni di Michel sono corrette, ma anche che “bisogna studiare con attenzione l’idea dell’ortotenia, specie il ruolo giocato dal caso nel realizzare le strutture lineari.” Con grande pazienza, i due autori registrano in un primo rudimentale database tutti gli avvistamenti di cui hanno notizia, in particolare quelli relativi al “caldo” autunno del 1954. Memorizzati in un computer, i punti vengono catalogati a seconda del grado di attendibilità della segnalazione e della data in cui è stato fatto l’avvistamento, in modo da poterli studiare suddivisi in giornate. A questo punto, entra in gioco l’analisi matematica. Se prendiamo una manciata di punti, tra tutte le possibili linee rette ce n’è una che è la più “vicina” ai punti stessi: si chiama “retta di regressione”. Calcolarla a mano è lungo e complicato, ma con un moderno calcolatore è questione di poche frazioni di secondo. A questo punto, calcolando la distanza dei vari punti da questa retta, possiamo dire che sono tutti “allineati” se tali distanze sono sempre inferiori a un valore predefinito. Ecco un esempio pratico. Consideriamo questi quattro punti: I punti non sono scelti a caso. Corrispondono infatti a quattro città italiane, dove potrebbero essere state avvisate strane luci nel cielo: Torino, Milano, Pavia e Venezia. Chiedendo al computer di calcolare la retta di regressione, si ottiene questo: Se calcoliamo la distanza in chilometri di ogni città da questa linea, otteniamo questi valori: Torino 10 km Milano 23 km Pavia 9 km Venezia 5 km Le città sono allineate o meno? Dipende da quanto siamo severi. Se concediamo alle città di trovarsi a una distanza massima dalla linea di 25

km, allora possiamo considerarle in qualche modo “allineate”. Se però siamo più severi, e concediamo soltanto una distanza massima di 10 km, vediamo subito che Milano è fuori dal limite consentito; per questo motivo, le quattro città si diranno “complessivamente non allineate”. Fissiamo un limite rigido: accettiamo qualsiasi allineamento tale per cui le città non siano più distanti di 1 km dalla retta di regressione. Poiché per parlare di allineamento si devono avere almeno 3 città, il computer passa in rassegna tutte le possibili triplette, ognuna con la sua retta, e per ognuna verifica se le città si trovano tutte entro un chilometro da essa. Durante l’analisi della tripletta costituita da Torino, Pavia e Venezia, il computer calcola questa retta di regressione: Le tre città si trovano tutte entro un chilometro dalla linea, quindi si possono dire “allineate”. Proseguendo nella scansione, il computer si trova a esaminare la tripletta di Torino, Milano e Venezia, la cui retta di regressione è questa: La linea è però troppo distante dai tre centri abitati: Milano è distante più di 20 km da essa, e quindi le tre città sono giudicate “non allineate”. Dopo aver esaminato tutte le triplette, il computer passa ai gruppi di quattro città, e così via, fino a verificare tutte le possibili aggregazioni dei punti in gioco. Nel caso delle quattro città finora considerate, le verifiche necessarie sono soltanto cinque, e l’unico allineamento degno di interesse è di 3 punti: quello che lega Torino, Pavia e Venezia: 3 punti Torino, Milano, Venezia Non allineate 3 punti Torino, Pavia, Venezia Allineate 3 punti Torino, Milano, Pavia Non allineate 3 punti Milano, Pavia, Venezia Non allineate 4 punti Torino, Milano, Pavia, Venezia Non allineate I moderni calcolatori consentono non soltanto di analizzare le mappe di avvistamenti, ma anche di elaborare le Mediomap in modo del tutto virtuale, evitando di sparpagliare semi di erba gatta sulla scrivania. Una volta definito con precisione che cosa sia un allineamento, occupiamoci di un caso reale che Aimé Michel considerò tra i più notevoli di quell’autunno 1954: i 31 avvistamenti registrati in Francia il 2 ottobre 1954.

Gli ufo del 2 ottobre 1954 Nel suo libro Misteriosi oggetti celesti Aimé Michel pubblicò questa mappa, mettendo in rilievo particolare l’allineamento di 6 punti lungo la direttrice Les Rousses, Dijon, Poncey, Provins, Voinsles e Maisoncellesen-Brie. Dobbiamo ora trasferire i punti dalla mappa al piano cartesiano: ogni avvistamento corrisponderà a un punto, e ogni punto sarà individuato dalle due coordinate x e y (espresse in chilometri). Ecco il piano corrispondente, seguito dall’elenco delle città che sono state teatro di avvistamenti: 1 Les Rousses (748, 283) 17 Willer (837, 412) 2 Dijon (665, 366) 18 Vichy (560, 265) 3 Poncey (643, 387) 19 Clermont-Ferrand (514, 199) 4 Provins (534, 498) 20 Chateaumeillant (467, 285) 5 Voinsles (508, 524) 21 Magnac-Laval (382, 236) 6 Maisoncelles (497, 537) 22 Savigny-les-Baume (646, 342) 7 Bassing (792, 539) 23 Avignon (669, 0) 8 Blanche-Eglise (775, 524) 24 Aurec (614, 153) 9 Aiguillon (306, 45) 25 La Grand-Combe (602, 40) 10 Pelleray (660, 390) 26 Vannes (96, 407) 11 Rians (515, 354) 27 Quimper (0, 455) 12 Vatan (431, 332) 28 St-Brieuc (100, 499) 13 Morestel (719, 186) 29 St-Paulien (587, 122) 14 Bourg (696, 248) 15 Comines (508, 727) V1 Jeumont (579, 686) 16 Cholet (240, 335) V2 Louhans (691, 295) Il computer calcola in pochi secondi tutti gli allineamenti entro un margine di tolleranza di 2 km, ottenendo questo risultato: 2 punti 3 punti 4 punti 5 punti 6 punti 31 avvistamenti del 2 ottobre 1954 149 59 19 1 1 Come si può vedere, il calcolatore si accorge dell’allineamento a 6 punti segnalato sulla mappa da Aimé Michel. Con lo stesso programma è

possibile calcolare gli allineamenti di una Mediomap delle stesse dimensioni della mappa utilizzata dal ricercatore francese; il loro numero medio, arrotondato all’unità, è il seguente: 2 punti 3 punti 4 punti 5 punti 6 punti 31 punti casuali sulla Mediomap 304 47 3 0 0 Se si effettua un test statistico per confrontare le due mappe, risulta che la mappa di Aimé Michel presenta un numero maggiore di allineamenti rispetto a quelli che ci si aspetterebbe dal caso; in parole semplici, gli avvistamenti si dispongono lungo corridoi molto più di quanto farebbero dei semi buttati a caso su un foglio di carta. È la prova che i dischi volanti viaggiano in linea retta? Avvistamenti tra i trulli Un aspetto curioso dell’ortotenia è il fatto che, nello studio delle Mediomap, si deve tenere conto della forma della mappa su cui sono stati registrati gli avvistamenti. Nel 1989 un appassionato pugliese scrisse a una rivista di ufologia segnalando 24 avvistamenti: collocati su una mappa della sua regione, molti si disponevano in linea retta. Ciò che non aveva tenuto in considerazione era il fatto che la Puglia coprisse un’area pari a quella di un lungo e stretto rettangolo di 350 x 50 chilometri, e che una regione dalla forma così allungata avrebbe naturalmente presentato molti allineamenti notevoli del tutto casuali. Per verificarlo, ho calcolato quanti allineamenti ci sono su una Mediomap di 350 x 50 chilometri che presenta 24 punti: concedendo un margine di tolleranza di 2 km, il risultato atteso è una media di tre allineamenti di ben 7 punti, dovuti esclusivamente al caso. Ecco un allineamento di questo tipo su una mappa i cui punti sono stati fissati casualmente: Se trovassimo tre allineamenti di 7 punti su una mappa della Lombardia, il fatto potrebbe stupirci e spingerci a indagare oltre. In Puglia, invece, data la sua forma allungata, un fenomeno del genere sarebbe del tutto naturale! Un altro aspetto da tenere in considerazione riguarda i luoghi in cui si addensa la popolazione. Non dobbiamo dimenticare che i punti segnati su una mappa non corrispondono a tutte le strane luci nel cielo che si sarebbero potute avvistare in un determinato periodo, ma soltanto a quelle

effettivamente adocchiate da una o più persone che si trovavano in quel luogo. Pensiamo a regioni molto montuose, come per esempio la Val d’Aosta: la probabilità di avvistare strane luci in zone scoscese quasi inaccessibili è più bassa rispetto a quella di vederle in zone più densamente popolate. Ma poiché le aree più abitate della regione si dispongono proprio lungo una linea retta (nei due tratti tra Pont-Saint-Martin e Saint-Vincent e da qui fino a Introd), è molto probabile che lo faranno anche gli avvistamenti, anche se il fenomeno fosse del tutto caotico, semplicemente perché non ci sarebbe nessuno a rilevarlo fuori dalla vallata principale. È difficile tenere in giusta considerazione questo aspetto nel creare una Mediomap. Se dovessimo realizzarne una da confrontare con una serie di avvistamenti registrati in Val d’Aosta, non basterebbe buttare a caso i semi sul foglio, ma dovremmo nascondere qualche piccola calamita sotto i principali centri abitati della regione e gettare piuttosto delle minuscole sferette di metallo: così facendo, terremmo in considerazione il fatto che è più probabile avvistare una strana luce nel cielo in un’area densamente abitata piuttosto che in cima a una montagna; le sferette, infatti, andrebbero a disporsi a caso sul foglio, ma con una certa preferenza per le zone più magnetizzate. Dal punto di vista matematico, ciò corrisponde all’utilizzare, per scegliere i punti a caso, una distribuzione di probabilità proporzionale alla densità di popolazione dell’area in studio. L’ortotenia e il trucco della selezione Aimé Michel riconosceva i problemi cui abbiamo accennato, ed era quindi piuttosto cauto nel proporre le sue mappe con gli allineamenti. Il ricercatore spiegava, inoltre, che bisogna considerare che la terra è sferica, e che quindi una linea “retta” dal punto di vista teorico è in realtà una curva che segue la superficie terrestre e descrive una circonferenza intorno al globo; studiare i punti su una mappa piatta, come quelle che abbiamo comunemente a disposizione, richiederebbe di tenere conto di questa distorsione. Inoltre, alcuni degli avvistamenti che si dispongono in linea retta potrebbero riferirsi ad aerei di linea, meteoriti o satelliti che non vengono riconosciuti come tali: scoprire che esistono allineamenti significativi dimostrerebbe soltanto che lo stimolo all’origine degli avvistamenti viaggia in modo lineare, ma non ci direbbe nulla sulla natura dell’oggetto stesso. Ma c’è un secondo problema, di cui Michel non parla, del quale però abbiamo qualche indizio. Se tornate alla mappa da lui proposta, vedrete

che due punti non seguono la normale numerazione, ma si chiamano V1 e V2. Il ricercatore li ha battezzati “dischi virgiliani”, dal nome del poeta latino Virgilio, che nell’Eneide – raccontando di un tremendo naufragio – parla di rari nantes in gurgite vasto, riferendosi a quei pochi nuotatori che compaiono sparsi qua e là tra le acque: si tratta di avvistamenti che non sembrano disporsi lungo alcun allineamento, e che quindi si ribellano a qualsiasi schema ortotenico, comparendo appunto sulle mappe in posizioni irregolari. Dei 31 avvistamenti indicati sulla mappa, soltanto 2 sono da lui considerati “virgiliani”, ma quanti altri avvennero quel giorno e non furono inclusi in questa lista? I 29 punti considerati sono forse una selezione di tutte le segnalazioni ricevute il 2 ottobre 1954? All’opera potrebbe esserci il già citato “trucco della selezione”; è Donald Menzel ad avanzare tale ipotesi in una lettera alla rivista inglese Flying Saucer Review, dove scrive: “Michel fa riferimento a oltre 600 avvistamenti francesi. […] Eppure ne considera solo alcuni nelle sue analisi statistiche, e non spiega perché ha selezionato alcuni avvistamenti e ne ha ignorati altri. […] I dati vengono suddivisi per date. Questo significa che un avvistamento dopo la mezzanotte dovrebbe essere attribuito al giorno successivo. […] Ma il 24 settembre alle tre di notte un avvistamento a Vierzon si trova vicino a una linea definita il giorno prima, e quindi Michel lo registra come avvenuto il 23-24 settembre e lo traccia sulla mappa del 23 settembre. […] A volte aggiunge un avvistamento avvenuto a Roma o in Africa, soltanto se si allinea a una traccia preesistente; chiaramente lo ignora se non si allinea”. Esiste anche il problema inverso, ovvero la possibilità che ulteriori avvistamenti vengano cercati proprio per completare linee altrimenti “scarse” – ed è sempre Menzel a segnalarlo: “Supponiamo che si individui su una qualche mappa un allineamento di quattro punti. [L’ufologo] potrebbe voler trovare altri avvistamenti che confermino la realtà di questa linea. È semplice farlo, scrivendo a qualche amico, al giornale locale o al postino di diverse città, chiedendo notizia di eventuali avvistamenti in una certa data. Si può star certi che almeno due risposte arriveranno: l’allineamento a quattro punti diventerà di sei punti”. In un suo articolo del 1963, Aimé Michel commise l’ingenuità di ammettere l’errore imputatogli da Menzel; a proposito della linea più famosa da lui identificata – la BAVIC, che attraversa Bayonne e Vichy – scrisse: “Era necessario organizzare un monitoraggio sistematico delle regioni attraversate dalla linea BAVIC. E questo è stato fatto qui in Francia

sin dall’autunno 1962”. Se l’area attraversata da una linea viene monitorata con più attenzione rispetto alle regioni confinanti, è ovvio aspettarsi un maggior numero di avvistamenti in quella zona, ma non a causa dell’ortotenia, quanto del fatto che è all’opera il solito “trucco della selezione”. L’approfondita analisi che Janine e Jacques Vallée fecero delle mappe di Aimé Michel prese il via da una verifica sistematica di ogni punto considerato. Ciò mise in luce un altro problema che poteva inficiare i risultati ottenuti: alcuni resoconti di avvistamenti, infatti, provenivano da articoli di giornale che non riportavano il luogo esatto dove era avvenuto, bensì la città di residenza del testimone; se il punto veniva collocato su quest’ultima, la mappa risultante era erronea, e qualsiasi analisi ne era gravemente inficiata. Altri avvistamenti dovevano essere esclusi dall’analisi perché effettuati da aerei in volo, che rendevano impossibile la registrazione del punto preciso del rilevamento. Verificando il database dei Vallée, emerge il fatto che diverse delle sei città lungo il “corridoio” rilevato il 2 ottobre 1954 (tra cui Les Rousses, Poncey e Provins) presentavano alcuni di questi problemi: in effetti tale linea resterà un caso isolato, successivi avvistamenti non daranno conferme della sua esistenza e verrà presto abbandonata. Il tema tornerà più volte al centro dell’attenzione degli ufologi, ma senza risultati di rilievo: perfino il più importante rapporto mai compilato sull’argomento, il Condon Report del 1968, si esprimerà in modo piuttosto critico nei confronti dell’ipotesi ortotenica, e lo stesso Michel arriverà ad ammettere tutti i limiti della pista da lui suggerita. La griglia globale Tra i lettori di Aimé Michel c’era anche Bruce Cathie, un pilota neozelandese autore di una complicata teoria secondo la quale l’intero pianeta era avvolto da una griglia di energia usata dai dischi volanti per stabilire le proprie traiettorie; le linee ortoteniche trovate da Michel altro non erano che frammenti di una più grande rete mondiale, e i punti in cui tali traiettorie si incrociavano costituivano punti energetici di grande importanza. Alcuni di tali incroci, altamente instabili, ospitavano in passato grandi città andate distrutte: la mitica Atlantide, ma anche le bibliche città di Gerico, Sodoma e Gomorra. Nel 1964, il ritrovamento di uno strano oggetto al largo di Capo Horn venne immediatamente incluso da Cathie in questo scenario apocalittico: a

quasi 4.000 metri di profondità, una macchina fotografica subacquea catturò l’immagine di quella che sembrava un’antenna radio. L’autore neozelandese la descrisse immediatamente come un “radiofaro di navigazione alieno”, e la inserì tra gli elementi di un inquietante “piano” che gli extraterrestri stavano portando a termine sul nostro pianeta. La teoria della griglia globale, proposta in Harmonie 33 (1968), era talmente ambiziosa che l’autore riteneva contenesse lo spunto per un’equazione “armonica” totale, in grado di risolvere tutti i misteri della scienza; in copertina compariva la straordinaria prova fotografica dell’antenna aliena. Con un po’ di megalomania, Bruce Cathie arrivò addirittura a modificare l’equazione di Einstein E = mc², ritenendo che fosse ormai datata. Nel 1971, il colpo di scena: l’oggetto che si trovava sulla copertina di Harmonic 33 venne identificato con una pianta – un sottile esemplare eretto di una spugna marina, la Cladorhiza concrescens. Improbabile che gli alieni la utilizzassero come radiofaro… La copertina di Harmonic 33 e un esemplare di Cladorhiza concrescens a confronto. Nonostante il libro di Cathie sia pieno di matematica, è impossibile analizzare con rigore la sua teoria, perché si limita a disquisire su griglie di sua creazione, adattate a posteriori – e senza alcuna logica precisa – agli avvistamenti ufo, e non è minimamente predittiva né in linea di principio falsificabile. Quella proposta in Harmonic 33 è dunque una degenerazione dell’ortotenia, che esula dalla verificabilità scientifica, pur mimandone il linguaggio e lo stile. Altrettanto curiosa fu la posizione espressa da un perito aeronautico appassionato di dischi volanti, Renato Vesco (1924-1999), che nel suo Operazione plenilunio (1972) ipotizzò che gli ufo non provenissero dallo spazio, ma fossero aeromobili segreti realizzati nella Germania nazista, e poi dopo la guerra in Gran Bretagna, che venivano inviati in missioni intorno alla Terra dalle montagne del Canada. Scrisse quindi, a proposito dell’ortotenia, che “certe ben definite ‘rotte antipodiche’ esistevano davvero e sarebbe bastato confrontarle con le traiettorie orbitali circumterrestri programmate da tempo per il lancio dei primi satelliti artificiali per constatare che ‘rotte antipodiche UFO’ e traiettorie orbitali combaciavano quasi alla perfezione”. Purtroppo l’affermazione non era sostenuta da alcuna evidenza, e a oggi

resta come bizzarra testimonianza di una delle tante ipotesi sostenute a partire dalle intuizioni di Aimé Michel. Dall’ortotenia all’isoscelia Nel 1979 all’ortotenia venne affiancata una seconda teoria, che prendeva in considerazione i punti non allineati degli avvistamenti. I maligni ritenevano che si trattasse di un ripiego, utile nel caso tre avvistamenti non si allineassero tra loro, ma i tre ricercatori che la proposero nel corso di una conferenza apparivano molto seri: Jean-François Gille, Philippe Schneyder e Jean-Charles Fumoux ritenevano, infatti, che gli atterraggi dei dischi volanti non si disponessero casualmente sul territorio, ma in modo da formare dei triangoli isosceli. In altre parole, fissato un disco volante, gli altri due si trovavano alla stessa distanza dal primo. Per dimostrarlo, i ricercatori presentarono una serie di mappe su cui erano tracciati numerosi triangoli isosceli, e attribuirono alla loro scoperta un tale valore da dichiarare solennemente: “L’isoscelia è la logica che governa gli avvistamenti di ufo”. A prima vista la condizione di “isoscelia” tra tre punti sembra più stringente rispetto all’allineamento; in realtà è vero il contrario: è più facile che tre punti costituiscano un triangolo isoscele rispetto al fatto che siano allineati. Lo si può vedere nell’immagine qui sotto, dove sono fissati due punti A e B e vengono mostrate le aree all’interno delle quali un punto C si trova o “allineato” o in condizione di “isoscelia” rispetto agli altri due punti (con un certo margine d’errore): Se per essere allineato il punto C deve trovarsi da qualche parte sulla retta che attraversa A e B, per determinare una condizione di isoscelia è sufficiente che sia collocato da qualche parte sull’asse del segmento AB oppure su uno dei due cerchi di raggio AB, puntati in A e in B; la larghezza delle fasce grigie dipende dal margine d’errore che accettiamo. È semplice istruire un software affinché passi in scansione una manciata di punti e rilevi quali terzine costituiscano dei triangoli isosceli; eseguendo la ricerca sulla mappa degli avvistamenti francesi del 2 ottobre 1954 con un margine di errore crescente, si evidenzia il sensibile aumento di triangoli dai 2 (accettando un errore di 50 metri) fino ai 96 (con un errore di 2 km, lo stesso tollerato nel calcolo degli allineamenti): Il più preciso è quello che collega Aurec, Clermont-Ferrand e Morestel: la distanza tra la prima città e le altre due è quasi identica. Il numero di

triangoli evidenziati su una mappa va confrontato con i triangoli dello stesso tipo che si trovano sulla Mediomap, e una semplice analisi mostra che non c’è uno scostamento significativo. Nel 1981 è il GEPAN (Gruppo di studio dei fenomeni aerospaziali non identificati) ad affrontare l’argomento in modo rigoroso: in un corposo dossier gli autori evidenziano la mancanza di significatività dei triangoli proposti da Gille, Schneyder e Fumoux, facendo notare tra l’altro che quando gli avvistamenti di ufo sono segnalati in località molto vicine tra loro, la frequenza di isoscelie aumenta moltissimo per ragioni esclusivamente geometriche: se infatti si sceglie un terzo punto a caso sulla mappa, è molto probabile che – entro i margini di errore fissati – questo si trovi alla stessa distanza dai due punti, perché questi sono quasi sovrapposti. Dalle tracce lineari a quelle… circolari All’inizio degli anni Ottanta comparvero in Inghilterra alcuni disegni nei campi di grano: visibili soltanto dall’alto, presentavano cerchi, archi e segmenti intrecciati, realizzati piegando al suolo le spighe lungo tracce geometricamente complesse. Sin dai primi ritrovamenti, le formazioni vennero collegate ai dischi volanti: si trattava forse dell’impronta lasciata dall’atterraggio di astronavi aliene? La storia ufficiale di queste tracce, chiamate in origine “cerchi misteriosi” o semplicemente “anelli”, risale al 1980, quando Terence Meaden ne scoprì uno in un campo di avena vicino a Bratton. Le formazioni di questo tipo si moltiplicarono a dismisura, guadagnando l’attenzione dei giornali con il nome di “cerchi nel grano” (o crop circles). Chi realizzava queste tracce, al passare degli anni sempre più complesse? Tra le tante ipotesi avanzate, Pat Delgado e Colin Andrews, i più noti studiosi del fenomeno dell’epoca, dissero che i cerchi potevano essere realizzati da “un laser ad alta definizione utilizzato dal fondo della galassia per comunicare con noi.” Terence Meaden era più scettico. Il fisico e meteorologo riteneva che le formazioni fossero il prodotto naturale di presunti “vortici di plasma”, un nuovo fenomeno meteorologico mai osservato che prevedeva una corrente d’aria che dall’alto scendesse verso il basso, contrariamente al normale comportamento dei fenomeni meteorologici noti. L’idea di ricevere testimonianze così spettacolari dell’esistenza di

intelligenze extraterrestri doveva essere irresistibile. Alcuni si spinsero a rifiutare qualsiasi ipotesi di un’origine umana del fenomeno; tra costoro c’erano Andrews e Delgado, che affermarono in modo categorico: “Non possono essere, in nessun modo, creazioni fatte da mano umana”. Delgado lo ripeté, particolarmente eccitato, di fronte a uno splendido cerchio comparso a Sevenoaks, nella regione inglese del Kent, nel settembre 1991. Ma questa volta c’era chi poteva contraddirlo. Si chiamavano Douglas Bower e David Chorley, ed erano gli autori di quella formazione. Qualche tempo prima, i due si erano presentati alla redazione del giornale inglese Today, dichiarando di essere gli artefici di alcune delle tracce di cui si discuteva da un decennio. Per dimostrarlo, i due avevano realizzato la formazione di Sevenoaks di fronte agli obiettivi fotografici di alcuni giornalisti, e poi avevano contattato Delgado per chiedere un suo parere. La rivelazione scosse l’ambiente dei ricercatori che, fino a quel momento, avevano cercato nelle lontane galassie o nelle più sfuggenti bizzarrie meteorologiche l’origine del fenomeno. Ma come i sociologi hanno riscontrato in situazioni simili, la confutazione di una credenza così radicata – che fossero gli uomini a realizzare i cerchi – produsse in alcuni, come effetto collaterale, un rafforzamento della fede stessa, e tracciò una più profonda linea di separazione tra i cosiddetti “credenti” e gli scettici. Il fenomeno dei cerchi nel grano non si esaurì con la confessione dei due inglesi: molti emuli ripresero la loro attività notturna, irrompendo illegalmente nei campi di grano e realizzando strutture sempre più complicate – così complesse da fornire ai credenti sempre nuovi elementi a sostegno della loro fede. Il piacere di tracciare cerchi nel grano Quasi tutti i libri sui cerchi nel grano insistono sulla straordinaria perfezione dei disegni, sulle mistiche esperienze vissute da chi li ha visitati e sulle innumerevoli “anomalie” che vi si possono riscontrare – dal ritrovamento di particelle sconosciute ai più strani effetti elettromagnetici. Tutti questi elementi sosterrebbero l’ipotesi che l’uomo non possa realizzare disegni con tali caratteristiche. Sono invece rarissimi, e poco noti al grande pubblico, i libri che rivelano un piacere diverso, molto vicino a quello che i lettori di queste pagine possono aver provato realizzando qualcuno degli esperimenti suggeriti nei

capitoli precedenti: quello di realizzare qualcosa che altri ritengono impossibile. Se finora abbiamo affrontato in questo modo i classici poteri della mente, con i cerchi nel grano stiamo entrando in una delle più avanzate forme di illusionismo della nostra epoca; realizzare un crop circle significa, infatti, utilizzare metodi semplici per realizzare strutture molto complesse che faranno vivere, a chi le osserva, un’esperienza magica e sovrannaturale. Come per i giochi di prestigio, tali metodi devono essere nascosti (“il trucco c’è… ma non si vede!”), ma in questo caso devono esserlo anche gli esecutori. Lo scopo di un’attività del genere può essere quello di prendersi gioco del maggior numero di sedicenti esperti, e in quest’ottica si colloca la confessione di Doug e Dave, che ai giornalisti di Today dichiararono: “La volta che ci divertimmo di più fu quando, in un’intervista, il profeta dei cerchi Pat Delgado dichiarò che responsabile del fenomeno doveva essere ‘un’intelligenza superiore’. Eravamo in macchina e stavamo ascoltando la radio; quando udimmo la notizia scoppiammo a ridere così di gusto da dover accostare e fermarci, perché con le lacrime agli occhi non vedevamo più la strada”. Si tratta dello stesso piacere di chi usa piccoli stratagemmi per vincere le scommesse al bar e bere a spese degli amici che ci sono cascati. I “credenti” hanno sempre biasimato questo atteggiamento, ritenendolo profondamente irrispettoso nei confronti di un fenomeno che considerano di natura mistica e spirituale. Per altri, invece, il piacere ha un carattere diverso: il fatto che semplici strumenti umani siano in grado di produrre immagini così evocative e di indurre sensazioni e credenze così radicate ha un fascino che va ben oltre quello della burla e dell’inganno. Lo testimoniano alcuni dei pochissimi libri pubblicati da chi realizza i cerchi nel grano, che esprimono una consapevolezza del fenomeno molto più matura. È il caso della Guida alla realizzazione dei cerchi nel grano per principianti (2004), realizzata da Rob Irving, John Lundberg e Rod Dickinson, tre noti creatori di cerchi nel grano. Secondo gli autori, i crop circles sarebbero “un mistero magico” che “riflette tutte le nostre credenze”, “la più potente forma d’arte del xx secolo”. La guida non si limita a fornire i dettagli tecnici della creazione dei cerchi, ma come i più avanzati libri sull’arte magica, insiste sugli aspetti interiori di un’esperienza del genere: “Se intendete affrontare la transizione da osservatori a partecipanti di un fenomeno così straordinariamente affascinante, considerate seriamente le conseguenze delle vostre azioni. Ci sono forze potenti là fuori, e molte vite sono

cambiate – non sempre in meglio – dopo l’incontro con queste energie. Siete stati avvertiti. Ci vediamo nel campo”. Lo spirito con cui i tre affrontarono l’impresa è espresso molto bene in un’intervista rilasciata dagli autori alla rivista Fortean Times, durante la quale Rob Irving confessò: “Iniziai a fare i cerchi per verificare le affermazioni dei cosiddetti ‘esperti’, secondo i quali noi miseri mortali eravamo incapaci di realizzare qualcosa di così grande e complesso nel tempo e nelle condizioni in cui appariva. L’unico modo per scoprire se fosse vero era provarci io stesso. Dopo qualche tempo, ne fui attratto come da un puro impulso artistico; può diventare una esperienza davvero potente”. La matematica dei cerchi nel grano Quando andavo a scuola, la chiamavamo “Educazione tecnica”: durante le ore di questa materia, si imparava a disegnare figure geometriche complesse utilizzando soltanto una riga e un compasso. Si trattava di un’arte affascinante, le cui origini risalivano all’antica Grecia, quando tutti i problemi geometrici coinvolgevano le “costruzioni”; perfino la più importante opera matematica dell’antichità, gli Elementi di Euclide, si apriva con un problema di costruzione: “A partire da un dato segmento, costruire un triangolo equilatero”. Il nostro insegnante era bravo a stuzzicare il nostro ingegno, e spesso ci assegnava qualcuno di questi compiti come se si trattasse di un indovinello da risolvere. Il primo problema di Euclide si risolveva così: dato il segmento AB, si apriva il compasso in modo che le due punte toccassero i punti A e B; facendo quindi perno sul punto A, si ruotava il compasso in senso antiorario, tracciando una parte di arco. Si riportava quindi il compasso su A e B, e questa volta si faceva perno su B, ruotando in senso orario e tracciando un secondo arco che incontrava il primo. Chiamando C il punto in cui si incontravano gli archi, il problema era risolto: con la riga, infatti, era sufficiente collegare A, B e C, e si otteneva un perfetto triangolo equilatero. Altre volte i problemi erano più impegnativi e per ottenere un risultato era necessario definire molti nuovi punti, ma l’impressione era quella di trovarsi di fronte a un videogioco a più livelli, sempre più difficili, ognuno dei quali richiedeva nuove tecniche e un guizzo di genio. Se all’inizio dell’anno scolastico eravamo partiti da figure geometriche semplici, con il passare dei mesi eravamo approdati a sfide davvero notevoli, come la

costruzione di spirali, ellissi e addirittura frattali. Dover riflettere su tali costruzioni, senza mandare a memoria niente, ci metteva nei panni di piccoli ricercatori, che “riscoprivano” regole e tecniche inventate millenni or sono. Così facendo, toccavamo con mano limiti e punti di forza di riga e compasso. C’eravamo accorti, per esempio, che a partire da un segmento unitario potevamo ottenere qualsiasi suo multiplo, ma anche suddividere lo stesso in un qualsiasi numero di parti; con il compasso potevamo addirittura costruire segmenti di lunghezza pari alla radice quadrata di un numero intero. Quello che invece non ci riusciva era “srotolare” la linea curva di un cerchio e disegnarne un segmento che avesse la sua stessa lunghezza; avremmo scoperto presto che si trattava di uno dei problemi più studiati nella storia della matematica (“Il problema della quadratura del cerchio”), che nel 1882 era stato classificato definitivamente come insolubile se affrontato con riga e compasso. Negli stessi anni in cui io e i miei compagni di classe usavamo il compasso, la riga e la matita per disegnare sui fogli di carta, Doug e Dave realizzavano le stesse costruzioni sui campi di grano, facendo uso di corde e stomper, particolari assi di legno con i quali si potevano piegare le spighe in modo regolare. Per quanto su scale molto diverse (i nostri cerchi avevano un’ampiezza di pochi centimetri, quelli inglesi di svariati metri), le tecniche geometriche di costruzione erano assolutamente identiche. Il ruolo della matita veniva svolto dai piedi dei due artisti. Quando era necessario un tratto più spesso, entrava in gioco lo stomper: costituito da un asse di legno cui era fissata una corda alle due estremità, veniva tenuto per le redini e guidato da uno dei due, che schiacciando l’asse al centro, produceva un ripiegamento regolare del grano per tutta la sua larghezza. Immagine da Rob Irving, John Lundberg, The Field Guide, Strange Attractor Press, 2006, p. 166. Affinché le tracce seguissero traiettorie circolari, era necessario che uno dei due fungesse da perno del compasso, tenendo un capo della corda, e il secondo si mantenesse a distanza fissa tenendo la corda tesa con l’altro capo in mano. Ruotando intorno al perno umano, il secondo schiacciava il grano con i piedi, definendo così delle sottili linee di costruzione, e una volta completato il giro, i due potevano procedere allo schiacciamento di tutto il grano interno al cerchio facendo uso dello stomper; ruotando sempre nello stesso senso (orario o antiorario), il disegno finale risultava

particolarmente regolare. Il ruolo della riga era affidato alla stessa corda, che quando veniva mantenuta tesa costituiva una guida precisa per i passi dei due disegnatori. Dotati quindi di strumenti che sostituivano egregiamente riga e compasso, i due artisti avevano a disposizione un’infinità di figure da costruire: tutte quelle analizzate dai matematici sin dall’antica Grecia; la fantasia era l’unico limite. Dai cerchi più semplici passarono quindi a figure sempre più complicate, così come era accaduto a noi nel corso di un anno scolastico. Sempre più difficile! La lettura del manuale di Irving, Lundberg e Dickinson testimonia una continua ricerca di tecniche di disegno avanzate, che sfruttano metri graduati al posto delle corde e si ispirano a strutture complesse, come i frattali o le griglie tipografiche. L’introduzione del metro graduato semplificò moltissimo la realizzazione di figure che si basavano sulla suddivisione del cerchio in un qualsiasi numero di parti uguali. Per realizzare un triangolo equilatero, gli artisti dei cerchi potevano sfruttare la costruzione proposta da Euclide. Con una corda, corrispondente a una normale riga non graduata, erano in grado di realizzare, con la stessa facilità, quadrati, pentagoni ed esagoni. L’eptagono, il poligono costituito da sette lati, presentava invece notevoli difficoltà: in effetti, dal punto di vista geometrico, non era possibile realizzarlo con precisione utilizzando soltanto la riga non graduata e il compasso. La corda non era dunque sufficiente: bisognava attrezzarsi con un metro, ed effettuare qualche calcolo in fase di progettazione. Oggi, con i metri graduati e l’aiuto del Teorema del coseno, il problema è stato risolto, e lo testimoniano splendide formazioni eptagonali realizzate nei campi di grano in diversi paesi del mondo. Supponiamo di aver appena tracciato un cerchio con un raggio di 20 metri. Io e il mio compare ci troviamo su un punto qualsiasi della circonferenza, in cui decidiamo di fissare il primo vertice dell’eptagono, e lui inizia a camminare lungo la stessa. Com’è possibile capire quando avrà percorso un settimo della circonferenza? Per farlo, dobbiamo innanzitutto calcolare il lato di un eptagono inscritto nella circonferenza; tale lato corrisponde alla corda che determina, al centro del cerchio, un angolo pari

a un settimo dell’angolo giro. La lunghezza della corda in questione (e quindi del lato) si calcola a partire dal raggio del cerchio e dall’angolo; secondo il Teorema del coseno è pari a: Questa formula, dall’aspetto particolarmente esoterico, è molto usata dai geometri quando fanno le triangolazioni con il teodolite, ed è più semplice da applicare di quanto possa sembrare: l’operazione chiamata “coseno” (sopra abbreviata come cos) è una funzione trigonometrica che si applica agli angoli e che si calcola con una calcolatrice o una opportuna tabellina. Nel nostro caso, due dei valori sono dettati dal cerchio che vogliamo realizzare: r è il raggio della formazione (che è pari a 20 metri), mentre a è l’angolo che determina la suddivisione che vogliamo realizzare. Anche a si calcola facilmente: basta dividere 360° per il numero di lati della figura da disegnare – ovvero 7 (ottenendo 51,4°). La formula diventa quindi: Avendo calcolato che il lato dell’eptagono dovrà essere lungo 17 metri abbondanti, è sufficiente che io tenga un capo del metro e che il mio complice, con l’altro capo in mano, si fermi lungo la circonferenza quando la lunghezza del metro teso tra di noi ha raggiunto i 17 metri e 35 centimetri. In quell’esatto punto cade il secondo vertice dell’eptagono. Riportando la stessa misura per altre cinque volte sulla circonferenza, si trovano con altrettanta facilità i restanti vertici, definendo con una buona approssimazione l’intera struttura dell’eptagono. La complessità emergente La matematica dei cerchi nel grano presenta un aspetto che potrebbe sembrare magico. Compiti elementari svolti ripetutamente possono dare vita a formazioni che incorporano rapporti matematici complessi e affascinanti. Proviamo a tracciare insieme una formazione, seguendo una serie di regole senza porci troppe domande sul risultato finale. Alla fine, osservando il risultato, ci stupiremo nello scoprire quante “cose” sono emerse nel nostro disegno. Se non è la stagione del grano, o non troviamo un contadino che ci autorizzi a piegare parte del suo raccolto, possiamo provarci in un cortile con della ghiaia, su una spiaggia oppure anche solo su un foglio di carta. L’esperimento funziona allo stesso modo se lo proviamo su un blocnotes o se, come fecero Irving, Lundberg e Dickinson, tracciamo un cerchio di quasi novanta metri di diametro su un campo di grano. Ecco le semplici

operazioni da eseguire con un compasso e un righello (oppure con una corda e uno stomper). Prima fase 1. Tracciate un cerchio qualsiasi. Chiameremo C il suo centro (fig.1). 2. Aprite il compasso in modo che una punta tocchi il punto più basso dell’ultimo cerchio tracciato, l’altra il punto più a destra (fig.2). Con la stessa apertura, tracciate un altro cerchio (più grande del primo) intorno al centro C (fig.3). 3. Ripetete il punto 2 a piacimento. Irving, Lundberg e Dickinson erano partiti da un cerchio di 7 metri abbondanti, e dopo aver ripetuto il punto 2 per cinque volte, avevano superato i 40 metri. Voi potete fermarvi quando volete: come regola generale, cercate di non uscire dai bordi della pagina (o di non uscire dai confini del campo). Supponiamo che vi fermiate dopo aver tracciato cinque cerchi: Di fronte a voi ci sono una serie di cerchi concentrici. Immaginate che si tratti di una torta da dividere tra 16 persone: cercate di tagliarla a spicchi tutti uguali. Se lavorerete su un campo di grano, la cosa sarà appena più difficile: il Teorema del coseno descritto in precedenza potrà tornarvi molto utile, oppure potrete fare una serie di bisezioni ripetute come fareste con riga e compasso. Su un foglio di carta, sarà facile come affettare una pizza. Colorate quindi il cerchio più interno (o, se siete su un campo, abbattete tutto il grano che circonda). Siete pronti per la seconda e ultima fase. Seconda fase Scegliete uno spicchio qualsiasi. Partendo dal cerchio più esterno, muovetevi a zig-zag all’interno dello stesso spicchio per raggiungere il cerchio successivo, poi il successivo, fino ad arrivare a quello centrale. Ripetete due volte la procedura, intrecciando il primo percorso con un secondo speculare. Ripetete il punto 1 per tutti i sedici spicchi. La figura cui arriviamo è qui illustrata: Senza accorgercene, abbiamo creato un’immagine densa di simbolismo esoterico. La prima fase di costruzione faceva in modo che ogni cerchio più grande

avesse un raggio pari al lato del quadrato inscritto nel cerchio più piccolo. Questa procedura, eseguita da noi meccanicamente, senza eccessive preoccupazioni simboliche, assume per i “credenti” nel fenomeno dei cerchi nel grano dei profondi significati alchemici. Ecco come la descrive Bert Janssen, uno studioso di simbologia dei crop circles: “Molte formazioni hanno mostrato connessioni più o meno nascoste con l’Alchimia e in particolare con l’interazione tra lo Spirito e la Materia. […] Cominciamo da un quadrato inscritto in un cerchio. Lo Spirito (la sfera) che circonda la Materia (il cubo). Un nuovo quadrato circonderà il cerchio e un secondo cerchio circonderà il secondo quadrato. Possiamo ripetere questa procedura più volte, generando una serie di cerchi e quadrati. Strati alternati di Spirito e Materia”. Avreste immaginato di realizzare qualcosa di così altamente simbolico? Probabilmente no: pensavate forse a tutt’altro durante i passi ripetuti della prima fase di costruzione. Eppure, il frutto del vostro lavoro incarna l’essenza della magia; come scrive Janssen, “La formazione mostra l’annidamento di cerchi e quadrati a partire da un grande cerchio all’interno del quale si ripetono cerchi sempre più piccoli. Ciò che è nel grande è come ciò che è nel piccolo. Ciò che è in alto è come ciò che è in basso.” Ma passiamo alla seconda fase, a vostra insaputa ancora più fertile di significati magici. I vari percorsi a zig-zag, realizzati pedestremente seguendo sempre la stessa regola, hanno prodotto una serie di spirali che si intrecciano in senso orario e antiorario e che i matematici chiamano “spirali logaritmiche di Fibonacci”. Si tratta di figure affascinanti non solo dal punto di vista estetico: hanno infatti proprietà matematiche talmente complesse che sembra impossibile poterle realizzare di notte al buio in un campo di grano o su un foglio di carta senza far uso di articolati calcoli. Per accorgerci di quanto l’immagine appaia complicata, dobbiamo mostrarla a qualcuno che non ha seguito la procedura di costruzione: difficilmente costui si accorgerà che non è che la ripetizione di tante righe a zig-zag, che collegano punti ottenuti tracciando un cerchio dentro l’altro. Potrebbe quindi ricordarvi che simili spirali orarie e antiorarie si intrecciano al centro dell’infiorescenza dei girasoli, e il rapporto tra il numero di tali spirali tende al numero phi (che i matematici chiamano anche “sezione aurea”), trattandosi del rapporto tra due numeri di Fibonacci sempre più grandi a seconda delle dimensioni del fiore. Qualche ricercatore della fazione dei “credenti” arriva a riconoscervi

addirittura un messaggio per l’evoluzione dell’intera umanità. Meditate con attenzione le formidabili parole di Adriano Forgione che descrivono il vostro cerchio: “Se l’uomo è destinato a tornare al cosmo, come avverrà tutto ciò? I crops sembrano ancora una volta contenere la risposta ed è ancora la spirale a indicarci la strada. […] Infatti la spirale aurea è basata sul valore di 1,615 che è un numero ricorrente in natura, riscontrato nel fiore di girasole così come nella spirale delle galassie. È inoltre presente nella doppia elica del dna. La sequenza numerica di Fibonacci, così concepita, basilare per la geometria sacra delle civiltà antiche, è la chiave per capire come la natura disegni le sue creature (alberi, fiori ecc.). È inoltre uno dei fondamenti della fisica convenzionale. È quanto stiamo scoprendo oggi, accettando il fatto che l’Universo abbia più dimensioni o passaggi intercomunicanti nei quali i nostri visitatori viaggiano senza problemi, utilizzando delle feritoie in una griglia interdimensionale che si dischiude esattamente come una spirale”. Supponiamo che vi troviate in tribunale e veniate accusati di aver realizzato il vostro cerchio con l’intento di nascondervi riferimenti allo Spirito e alla Materia, all’elica del dna, ai passaggi galattici interdimensionali e alla sequenza di Fibonacci. Al giudice potreste rispondere: “Mi creda, io ho seguito poche stupide regole che ho trovato su un libro: non avevo idea di che cosa stavo facendo, né intendevo minimamente realizzare quello che mi accusate di aver creato”. Occultamento colposo di simboli esoterici? L’unica vostra speranza è che il giudice si fidi delle vostre originali intenzioni, perché se dovesse giudicarvi per il risultato, sareste costretti ad ammettere che da poche regole è emerso come per magia qualcosa di evocativo. Si tratta di un fenomeno ben noto in ambito matematico, in particolare nella teoria del caos, ed è qualcosa che i circlemakers sono abilissimi a sfruttare per semplificare al massimo il loro lavoro pur realizzando opere che vengono ritenute troppo complicate per avere un’origine umana. Quello della “complessità emergente” è il trucco meglio custodito di questa branca dell’illusionismo. Rob Irving e John Lundberg descrivono così l’opera che abbiamo appena completato: “L’ispirazione ci venne dai dipinti di illusioni ottiche note come Op Art, create da artisti come Bridget Riley e Victor Vasarely. Questi artisti utilizzavano le illusioni ottiche per realizzare opere visive in grado di far vibrare la retina e sfidare il cervello a interpretare le immagini mentre queste sembravano muoversi e modificarsi in modi strani e apparentemente impossibili. Queste forme

sono l’ideale per i circlemakers che vogliano ottenere effetti che sembrino impossibili da realizzare, spingendo più in là i limiti di ciò che è considerato umanamente possibile in questo ambito. […] La chiave del successo di un cerchio nel grano di successo è una certa complessità visuale basata su semplici e ripetitivi elementi geometrici. […] Le curve [delle spirali] sono composte da piccoli segmenti tutti uguali, che si intrecciano all’interno di ognuno degli spicchi della formazione. Seppure appaiano complesse, in realtà sono molto semplici da costruire, e poiché gli elementi all’interno di ogni settore sono tutti identici, la costruzione può avvenire molto velocemente”. Se la matematica ci mette lo zampino, facendo saltar fuori la sezione aurea senza che l’avessimo preventivata, il resto ce lo mette l’immaginazione umana: basta rileggere i testi di Janssen e di Forgione per accorgersi di quante interpretazioni abbiano a che fare con la fantasia degli autori piuttosto che con un messaggio che ci arriva dallo spazio. Il più grande gioco di prestigio con le carte dell’universo Nonostante i cerchi nel grano siano una delle forme più moderne di illusionismo, il mondo dei prestigiatori non se n’è mai occupato, con una curiosa eccezione: quella dei Monkey Magic, quattro folli illusionisti, protagonisti di uno dei più bizzarri show di magia nella storia della televisione. I loro giochi di prestigio andarono in onda nel corso di due serie trasmesse su Channel Five. Per uno dei loro effetti, sobriamente intitolato “Il più grande gioco di prestigio con le carte dell’intero universo”, coinvolsero Irving, Lundberg e Dickinson, autori del manuale sui cerchi nel grano e curatori del sito circlemakers.org; ai tre artisti fu commissionata la creazione di una formazione nel grano che rappresentasse una carta da gioco, che venne realizzata nei primi giorni dell’agosto 2002 in scala 300:1, raggiungendo le considerevoli dimensioni di 27 metri per 21. Qualche giorno più tardi, una troupe televisiva si recò sul posto, portando con sé Pete Firman, uno dei quattro illusionisti, e una ragazza che venne coinvolta nell’effetto magico. Nel corso di un picnic, Pete la invitò a scegliere da un mazzo una carta qualsiasi. Si trattava del tre di fiori. La giovane venne quindi invitata a prendere parte a una breve escursione in elicottero. In pochi minuti si trovò a sorvolare un campo di grano sul quale, per magia, compariva una riproduzione della carta che aveva appena scelto: una formazione con le fattezze di un gigantesco tre di fiori!

Letture consigliate Il Liber Prodigiorum è disponibile nella traduzione italiana di Massimo Gusso: Giulio Ossequente, Prodigi, Mondadori, Milano, 2005. Il termine “ortotenia” compare per la prima volta nel libro di Aimé Michel, Mystérieux objets célestes, Arthaud, Parigi, 1958. I primi ad affrontare con il computer il calcolo degli allineamenti furono Jacques & Janine Vallée in Challenge to Science – The UFO Enigma, Neville Spearman, Londra, 1966. La più lucida critica alla teoria ortotenica è quella di Donald H.Menzel “Do Flying Saucers Move in Straight Lines?” pubblicata in Carl Sagan e Thornton Page, UFO: A Scientific Debate, W.W. Norton & Co., 1974, pp.163-173. Gli avvistamenti pugliesi collegati all’ortotenia sono segnalati nel bollettino del CISU (Centro Italiano Studi Ufologici) Rassegna casistica numero 4 dell’aprile 1989 e commentati da Enrico Bernieri in un articolo intitolato “Ortotenia, ancora se ne parla”. È Jacques Vallée, nel suo “The Menzel-Michel Controversy” in Flying Saucer Review, vol.10, n.4, luglio/agosto 1964, pp.4-6 a proporre per primo il metodo dei minimi quadrati per trovare il miglior allineamento tra una serie di punti. Con un atteggiamento raro e ammirevole nell’ambito della ricerca, Aimé Michel ammetterà gli errori commessi nelle sue prime analisi sull’ortotenia in un articolo intitolato “Reflections of An Honest Liar” in Flying Saucer Review, vol.11, n.3, maggio/giugno 1965. Le ipotesi di Bruce Cathie sono state pubblicate nel suo libro Harmonic 33, A.H. & A.W. Reed, Londra, 1968. Renato Vesco propone le sue teorie sull’origine terrestre dei dischi volanti in Operazione plenilunio, Milano, Mursia, 1972. Affronta l’isoscelia in modo critico Philippe Besse nel suo “Etude de l’Isocélie” pubblicato in CNES/GEPAN Note Technique, n.3 dell’aprile 1981. La miglior guida per realizzare i cerchi nel grano è quella di Rob Irving, John Lundberg e Rod Dickinson, A Beginner’s Guide to Crop Circles Making, FE, 1994. Il manuale è stato notevolmente ampliato in una nuova edizione: Rob Irving e John Lundberg, The Field Guide – The Art, History and Philosophy of Crop Circle Making, Strange Attractor Press, 2006. Il

crop circle di cui si descrive la costruzione è alle pp.187-194.

GEOMETRIE SACRE E TESORI NASCOSTI - LA NUMEROLOGIA “Forse c’è un tesoro nella casa accanto!” “Come?! Ma se non c’è nessuna casa!” “Bene, e allora? Costruiamola!” I fratelli Marx Love Calculator Un curioso spot pubblicitario reclamizza un’applicazione per cellulare piuttosto bizzarra: inviando per sms il proprio nome e quello della persona amata, e pagando pochi euro, si riceve una percentuale da uno a cento, ossia il grado di compatibilità di coppia; più alto è il numero, maggiore è la probabilità di costruire un rapporto durevole. Si tratta naturalmente di una ciarlatanata, usata come esca per convincere gli adolescenti ad acquistare loghi e suonerie per il cellulare; come potrebbe, infatti, dare un giudizio del genere senza alcuna altra informazione che i due nomi di battesimo? Eppure tale pretesa si fonda su una dottrina molto antica, che da sempre mima le tecniche della matematica e pretende di essere riconosciuta come scienza: la numerologia, una disciplina che utilizza i numeri per interpretare il carattere di un individuo e prevedere il suo futuro, basata sull’idea che la natura sia una rete di “relazioni simboliche” riconducibili a termini numerici. Tale visione mescola allegramente credenze antiche e scoperte scientifiche moderne, proponendo una macedonia di idee in cui si possono incontrare le piramidi d’Egitto, la forma delle galassie, i numeri atomici degli elementi, gli archetipi di Jung, i cerchi nel grano e molto altro ancora. La numerologia L’idea di cercare “relazioni simboliche” in natura oggi può far sorridere, ma per oltre duemila anni la fisica è stata studiata in questo modo; fu Aristotele (384-322 a.C.) il più grande sostenitore di questo approccio. Il filosofo greco scriveva che in natura esistono quattro elementi: l’Aria, l’Acqua, la Terra e il Fuoco. Per spiegare il movimento dei corpi, bisogna innanzitutto identificare l’elemento cui appartengono. Una pietra cade perché è un elemento della Terra, e il suo “luogo privilegiato” è in basso.

La fiamma, invece, sale perché la sua naturale tendenza è quella di ritornare al luogo privilegiato del Fuoco, che è in alto. Gli aspetti simbolici condizionavano l’osservazione dei fenomeni, e questo frenò per molti secoli il progresso scientifico. Questa concezione non convinceva affatto Galileo Galilei (1564-1642), che riteneva che per capire la natura fosse necessario esprimerla in termini matematici. Tale intuizione cambiò il corso della scienza e segnò l’ingresso della matematica nell’indagine del mondo naturale. Si passò quindi a descrivere con un’equazione la velocità di una pietra che cade, abbandonando l’idea che tale caduta fosse dovuta a una “tendenza” a ritornare dalla terra da cui proveniva. Attraverso l’osservazione sperimentale, dall’epoca di Galileo a oggi sono stati elaborati moltissimi modelli matematici per descrivere il mondo naturale, e la matematica si è rivelata lo strumento più potente per indagare e fare previsioni su ciò che accade. Non tutti però erano disposti ad abbandonare l’approccio simbolico: Francesco Sizzi, uno studioso fiorentino del Seicento, scrisse che i satelliti di Giove osservati da Galilei non esistevano – anzi, non potevano esistere; l’argomentazione era squisitamente simbolica: “Le finestre della testa sono sette: due narici, due orecchie, due occhi e una bocca. Così, nei cieli vi sono due stelle propizie, due infauste, due astri e il solo Mercurio inerte e noncurante. Dal quale fenomeno di natura, e da molti altri simili […] per esempio che i metalli sono in numero sette, comprendiamo che il numero di pianeti è necessariamente sette. Inoltre i satelliti sono invisibili a occhio nudo, dunque non hanno influssi sulla terra, dunque sarebbero inutili, dunque non esistono”. La svolta di Galileo provocò un vero e proprio terremoto culturale. Lo studio delle stelle prese due vie divergenti: gli astrologi continuarono a cercare relazioni simboliche e magiche tra il movimento dei pianeti e la vita quotidiana, mentre gli astronomi – in linea con le intuizioni dello scienziato di Pisa – costituirono una scienza basata sulla matematica e sull’osservazione sperimentale. Lo stesso avvenne in seno allo studio dei numeri: la numerologia prese una strada a sé, allontanandosi dalla matematica e proponendo un modo di descrivere la natura alternativo, ispirato a relazioni simboliche piuttosto che a precise equazioni. Ma qual è la differenza tra una relazione espressa in termini matematici e una espressa in termini numerologici?

Supponiamo di dover percorrere 50 chilometri per raggiungere un luogo dove siamo attesi tra un’ora esatta. Chiunque sa che, viaggiando a una velocità media di 50 km/h, impiegherà un’ora a compiere il tragitto. Questo calcolo, facile da fare mentalmente perfino mentre stiamo guidando, ci consente anche di prevedere che viaggiando ai 100 km/h arriveremo a destinazione in mezz’ora: ciò che rende possibili questi calcoli è una equazione (S = V × T) che descrive in modo preciso la relazione che esiste tra lo spazio S da percorrere, il tempo T impiegato e la velocità V mantenuta. L’esempio mostra che le relazioni definite in termini matematici sono “quantificate” con esattezza, e solo tale precisione ha consentito un progresso tecnologico tale da rendere possibili strumenti molto complessi come i computer, all’interno dei quali ogni secondo vengono eseguite miliardi di operazioni opportunamente coordinate, grazie alle quali ascoltiamo musica, vediamo un film o spediamo un’e-mail. Le relazioni descritte nell’ambito della numerologia, invece, sono espresse con un linguaggio molto più sfumato e ambiguo, ed è il caso, per esempio, del rapporto che esisterebbe tra il nome di una persona e il suo carattere. Per conoscere le caratteristiche psicologiche di una ragazza di nome Federica, un numerologo converte in cifre le lettere che ne compongono il nome, utilizzando una tabellina di questo tipo: 123456789 ABCDEFGHI JKLMNOPQR STUVWXYZ A ogni lettera corrisponde il numero che si trova in cima alla propria colonna; le cifre vengono quindi sommate più volte, fino a ottenerne una unica. Partendo da Federica, il numerologo ottiene il numero 6, infatti (6 + 5 + 4 + 5 + 9 + 9 + 3 + 1) = 42 e (4 + 2) = 6. Il numero finale si chiama “radice numerologica”, e così come ogni individuo ha un proprio segno zodiacale, ogni nome ha una sua particolare radice. Esistono quindi profili numerologici associati a ognuna delle nove cifre, che il numerologo può consultare per fornire una descrizione del carattere di Federica. Il numero 6 caratterizza un individuo dotato di carisma, grazia, capacità di conversare con tutti, diplomazia e perfezionismo; tali caratteristiche sarebbero legate a speciali proprietà matematiche dei numeri stessi: per

esempio il “perfezionismo” deriverebbe dal fatto che, se si prendono i primi tre numeri, la loro somma (1 + 2 + 3) e il prodotto (1 x 2 x 3) danno entrambi come risultato 6. Questo tipo di relazione, tra una caratteristica psicologica e la persona il cui nome ha una certa radice numerologica, è difficilmente “quantificabile” in modo preciso, e mostra piuttosto tutti i limiti di questa disciplina: i suoi concetti sono espressi in un modo così ambiguo da potersi applicare a situazioni diverse, ed è facile muovere verso tali profili le stesse obiezioni che da sempre si rivolgono all’astrologia e alle dottrine divinatorie. Il dottor Irving Joshua Matrix Secondo la numerologia, tutto il mondo non è che una rete di numeri, tra i quali esistono corrispondenze estremamente curiose e in qualche modo “significative”. Qualche anno fa, durante la visita a una mostra dedicata alla matematica, fui coinvolto in un ironico esperimento di numerologia computerizzata: un software si proponeva di trovare mistiche corrispondenze tra due numeri qualsiasi, scelti da me. Digitai sulla tastiera la mia età (29) e il mio giorno di nascita (11). In pochi secondi, l’applicazione mi rispose che, in ambito biblico, i due numeri sommati tra loro trovano una corrispondenza con il numero 40, pari ai giorni trascorsi da Gesù nel deserto, che determinano tra l’altro la lunghezza del periodo Quaresimale. Gli stessi numeri mostravano invece una bizzarra coincidenza nell’ambito dell’Antico Egitto: il software mi comunicava che il prodotto tra 29 e 11 (pari a 319) approsssimava molto bene la frazione dell’Occhio di Horus che costituiva la più piccola unità di misura egizia – L’Heqat, pari appunto a 1/320. Astronomicamente, invece, si poteva notare una notevole concordanza tra la stessa differenza (18) e la temperatura media superficiale del pianeta Saturno, di 180 gradi Kelvin, dieci volte il numero 18. Il computer era stato programmato a tentare milioni di operazioni che coinvolgessero i numeri specificati, e aveva a disposizione un dizionario di numeri significativi tratti dalla Bibbia, dagli Atlanti astronomici e dai libri di Egittologia; non appena il risultato di una qualsiasi operazione si avvicinava abbastanza a uno dei numeri nel dizionario, la “coincidenza significativa” veniva segnalata all’utente. Il messaggio era limpido: se si cerca con attenzione e soprattutto pazienza, è possibile scovare ovunque numeri che moltiplicati, sottratti, elevati a potenza o elaborati da una

qualsiasi funzione matematica risultino “imparentati” con angoli famosi, costanti trigonometriche, fisiche o distanze notevoli. Malgrado ciò, esistono interi libri che approfondiscono “strane connessioni” tra numeri che si presentano in ambiti completamente diversi, ritenendoli “rivelatori” di qualcosa di interessante e misterioso. Fu per prendersi gioco di questa vera e propria mania che negli anni Sessanta Martin Gardner inventò il personaggio del dottor Irving Joshua Matrix, “il più grande numerologo mai esistito”. Lo scrittore pubblicò su Scientific American una lunga serie di divertentissimi articoli in cui elencava una miriade di coincidenze curiose. Nel primo testo della serie, pubblicato nel gennaio 1960, il numerologo faceva notare che si sarebbe trattato di un anno fortunatissimo: il numero 1960 si può infatti scrivere come somma di due quadrati – 142 e 422 – entrambi multipli del mistico 7. Raccontando la vita di Richard Wagner, invece, il dottor Matrix sottolineava il fatto che le lettere nel suo nome e cognome sono 13, nacque nel 1813 (e la somma delle cifre dell’anno fa ancora 13), compose 13 grandi opere musicali, completò il Tannhäuser e il Parsifal il 13 del mese e attese 13 anni prima di mettere in scena il Lohengrin dopo averlo completato. Morì il 13 febbraio 1883. Imitando bene il linguaggio dei numerologi, Gardner faceva dire al dottor Matrix parole evocative ma estremamente ambigue: “Le date importanti non sono mai accidentali”, “Coincidenze come queste ricorrono troppo spesso per poterle giustificare con la teoria delle probabilità”, “I numeri hanno una loro propria vita misteriosa”. Le relazioni vere e le… supposte Esiste al mondo un’infinità di relazioni numeriche vere, utili e significative. Se calcolo la differenza tra l’anno in corso e la mia età, ottengo magicamente un numero pari al mio anno di nascita. Coincidenze tutt’altro che straordinarie… ma che si possono offuscare con poca fatica come suggerisce in un bell’esempio Ennio Peres, nel suo libro di magie matematiche L’elmo della mente: 1) Invitate qualcuno a scrivere il suo numero di scarpe e moltiplicarlo per 100; 2) Chiedetegli quindi di sottrarre dal numero ottenuto il suo anno di nascita. Fatevi dire il risultato dell’operazione finale: sommandogli mentalmente

l’anno in corso, otterrete un numero di quattro cifre: le prime due indicheranno il numero di scarpe, le altre due l’età della persona coinvolta. Potrete quindi annunciarle solennemente, e sarà tutt’altro che banale scoprire che avete usato proprio la relazione già citata per presentare questa piccola magia matematica. Altre relazioni “numerologiche” sembrano invece piuttosto dubbie: qualcuno ha fatto notare che l’attacco alle Twin Towers avvenne in una data che gli americani scrivono come 9/11, e negli States il numero di telefono per chiamare l’ambulanza è il 911. Che cosa ci rivela questa coincidenza? Nasconde qualcosa di significativo o è del tutto casuale? Una delle reazioni più sane di fronte a rivelazioni di questo tipo consiste nel porre l’interrogativo: “E quindi?” Pochi numerologi sono abituati a questa domanda, e ritengono che il loro lavoro si possa limitare a una collezione sempre crescente di coincidenze bizzarre. Ma citando il grande Totò, una volta constatate e messe da parte le relazioni vere, “le supposte dove le mettiamo?” Un esperimento numerologico Chiedete a un amico di pensare a un numero di tre cifre e di digitarlo su una calcolatrice per due volte, in modo da ottenere un unico numero di sei cifre le cui prime tre siano uguali alle successive (per esempio, se pensa 362 dovrà digitare 362.362). A questo punto fingete di riflettere intensamente, poi dite: “Il numero che hai pensato è sotto l’influsso di un numero mistico… il sette. Come sai, sette sono i giorni della settimana, sette sono i colli di Roma, sette i peccati capitali. E non erano forse sette i nani di Biancaneve? Prova a dividere per 7 il numero che hai digitato sulla calcolatrice e verifica se il risultato è un numero intero.” L’amico eseguirà l’operazione e constaterà che è proprio così (nell’esempio, avrà ottenuto 362.362 : 7 = 51.766). Continuate dicendo: “Avverto anche che il tuo numero si trova sotto un impulso biblico… Ricordi l’Ultima Cena di Cristo? Gesù non volle celebrare la prima Eucarestia di fronte a tutti i dodici apostoli, ma attese l’uscita di Giuda perché fossero soltanto undici. Il tuo numero è divisibile anche per 11: puoi confermarlo?” L’amico eseguirà la divisione e non potrà che confermare (nell’esempio, sarà arrivato a 51.766 : 11 = 4.706). Ditegli infine: “Alcune antiche civiltà basavano il loro calendario non sul moto del sole ma su quello della luna: i loro mesi erano quindi tredici. Sento l’influsso della luna sul tuo numero: è divisibile anche per 13, vero?” L’amico annuirà per la terza volta, ma

vedendo il risultato dell’ultima operazione avrà un sussulto: sulla calcolatrice si è ripresentato il numero pensato inizialmente (infatti 4.706 : 13 = 362). Il gioco funziona grazie a una piccola bugia. Sebbene ripetiate per tre volte: “Il numero che hai pensato è divisibile per…”, a esserlo è piuttosto quello di sei cifre, ottenuto ripetendo due volte quello pensato. L’operazione di ricopiare un numero di tre cifre in coda a se stesso, infatti, equivale a moltiplicarlo per 1001; ma a sua volta, 1001 è il risultato del prodotto 7 x 11 x 13, quindi è naturale che il numero pensato – moltiplicato per 1001 – sia divisibile per i tre numeri annunciati. Tale ovvietà, però, è ben nascosta dietro un meccanismo che lo rende utilizzabile come curioso esperimento numerologico. La piramidologia e il 2012 Una branca della numerologia è la “piramidologia”: i suoi sostenitori ritengono che alcune antiche popolazioni avessero raggiunto conoscenze scientifiche e numerologiche molto avanzate, e affinché questo “sapere” non andasse perduto, le codificarono nelle proporzioni di grandi opere artistiche e architettoniche. Alla fine dell’Ottocento il religioso Charles Taze Russell (1852-1916) aveva ribattezzato la Grande Piramide di Giza “la Bibbia di pietra”, ritenendo che si trattasse di un monumento di ispirazione divina, denso di messaggi a carattere matematico che rivelavano il Verbo di Dio. Oggi alcuni piramidologi si spingono oltre, ritenendo che le proporzioni di alcuni grandi monumenti contengano, in forma codificata, vere e proprie profezie relative all’esodo di Mosè dall’Egitto, alla crocefissione di Cristo, alla Prima guerra mondiale, fino alla fine del mondo. È il caso di Raymond Mardyks che, “decodificando” un messaggio nascosto sul dollaro americano, ha concluso che il mondo finirà nel 2012. Non è l’unico: intorno a questa data è nato un fiorente mercato catastrofista che, a partire da una tradizione maya, fissa all’anno 2012 una serie di sconvolgimenti per la Terra. È sufficiente approfondire un minimo la questione per scoprire che i Maya avevano elaborato un sofisticato calendario ciclico, i cui periodi duravano circa 5.125 anni. Il periodo in cui stiamo vivendo è iniziato l’11 agosto 3114 a.C. e terminerà il 21 dicembre 2012, ma non c’è nessun indizio sul fatto che si tratti dell’ultimo: al contrario, se i Maya esistessero ancora, organizzerebbero grandi celebrazioni, perché il passaggio da un ciclo all’altro era considerata

un’occasione di festa. Per dirla con Paolo Attivissimo: “Dedurre da questo che il mondo finirà è stupido come dire che il mondo finirà il 31 dicembre 2007 perché in quella data finisce il calendario sexy della Santarelli!” Il piramidologo Raymond Mardyks mostra almeno un po’ di fantasia nello scovare il numero 2012 in un luogo impensabile. Analizzando la piramide che compare al centro dei dollari americani, riconosce sulla base l’anno 1776 espresso in numeri romani: si tratta della data della Dichiarazione di Indipendenza degli Stati Uniti d’America. Poiché la piramide dei verdoni è costituita da 13 livelli sovrapposti, Mardyks ritiene che si tratti di un calendario: a ogni livello corrisponde un katun, un periodo maya di 7200 giorni (circa 19 anni). Calcolando l’inizio e la fine di ogni gradino, lo studioso fa notare che l’ultimo livello si chiude con l’anno 2012, e quindi sui dollari americani sarebbe codificato un messaggio che fa presagire la fine del mondo proprio in quella data! Le geometrie sacre Nell’ambito della piramidologia si ritiene che lo studio della geometria e le sue applicazioni in ambito architettonico possano diventare una forma di spiritualità. Nel definire le proporzioni di monumenti religiosi, piramidi, templi, ma anche di più modesti dipinti e statue, molti architetti e artisti del passato si sarebbero ispirati alle costanti matematiche più diffuse in natura (come il p e la Sezione Aurea) e ad alcuni numeri fondamentali (come la distanza tra la Terra e il sole, la durata del regno di Alessandro Magno ecc.): scegliendo numeri “significativi”, l’opera in questione si sarebbe integrata bene nel Grande Disegno Cosmico, rispettando la rete di relazioni matematiche che definisce la natura e attirando su di sé le più sottili energie positive. Si tratta di un argomento affascinante e delicato, perché strettamente intrecciato con la realtà. Ci sono indizi archeologici del fatto che alcuni popoli antichi si ispirassero alla natura per fissare le misure e le proporzioni delle loro opere. Pittori moderni, come Salvador Dalì (19041989), non hanno mai nascosto il fatto di utilizzare la Sezione Aurea nei loro dipinti: nella sua famosa Ultima cena l’artista fissò il piano del tavolo in modo da rispettare la proporzione aurea, e fece lo stesso con due degli apostoli ai lati di Cristo. Nel libro di Charles Bouleau La geometria segreta dei pittori sono documentati numerosi casi di artisti che hanno modellato le proprie opere seguendo precisi principi geometrici. Nonostante questo, alcune delle ipotesi avanzate dai numerologi sono un po’ troppo ardite per

essere accettate senza precisi riscontri storici. Alcuni ritengono che gli Egizi scelsero l’altezza della Grande Piramide in modo da riprodurre, secondo un opportuno fattore di scala, la distanza media tra il Sole e la Terra. Accettare un’ipotesi del genere significherebbe attribuire agli Egizi alcune conoscenze del tutto anacronistiche e incoerenti con quello che attestano tutte le fonti storiche dell’epoca. Altre corrispondenze potrebbero sorgere per puro caso. Supponiamo di aver rilevato le misure di un salone e aver calcolato che è largo 5 metri e lungo 8. Se siamo alla ricerca di coincidenze significative, potremmo presto accorgerci che il rapporto tra 8 e 5 (pari a 1,600) approssima alla prima cifra decimale il numero aureo f (1,618…). Affermare che l’architetto aveva in mente la Sezione Aurea in fase di progettazione del salone può indurci in errore: tale rapporto, infatti, può presentarsi in modo del tutto casuale, specie se accettiamo una sua qualsiasi approssimazione. Una piscina di 4 × 5 metri ha un rapporto tra le sue misure di 0,800 – valore che approssima addirittura alla seconda cifra decimale la metà del numero aureo, pari a 0,809. Un quadro di 100 × 30 centimetri rispetta una proporzione pari a 0,300 che ben approssima la metà di f-1. Torturando opportunamente i numeri, è facile dimostrare che approssimano qualche costante “significativa”; ciò deve invitarci a una sempre maggiore cautela nell’affermare che l’uno o l’altro artista hanno voluto comunicarci “qualcosa” attraverso rapporti matematici. Come nel caso dei crop circles, inoltre, alcune costanti si insinuano per conto loro nelle opere umane, senza che nessuno lo voglia in maniera esplicita. Facciamo un esperimento mentale. Siete l’architetto del grande faraone e dovete progettare la costruzione di una piramide. Vi viene data la massima libertà d’azione, quindi – per non complicarvi la vita – decidete di usare misure del tutto banali. Fissate l’altezza a 10 cubiti, prendete una ruota che ha il diametro di un cubito, segnate il punto in cui si trova e le fate fare 10 giri: lo spazio percorso dalla ruota costituirà la larghezza della piramide. Per scegliere le due misure non avete dovuto fare nessuna fatica, né imparare concetti di alta matematica o di profonda geometria sacra: le uniche abilità che dovevate avere erano quelle di contare fino a dieci e saper spingere una ruota. La piramide viene costruita dagli operai del faraone e l’opera resiste nel tempo. Trascorsi svariati millenni, un appassionato di numerologia si prende la

briga di misurare la base e l’altezza della piramide; le pietre sono un po’ consumate, ma le dimensioni originali si riescono ancora a intuire: il monumento era alto 10 cubiti e largo 31,4. Lo sprovveduto calcola al volo il rapporto tra la base e l’altezza dell’edificio e ha un sobbalzo: 3,14 è il valore di p! La notizia fa presto il giro del mondo, e i numerologi la presentano con sincero entusiasmo: “Siamo grati all’anonimo architetto che incise nella pietra di questa piramide un messaggio eterno, scritto nel linguaggio della matematica, che rimanda al cerchio e alla sfera, simboli di quella divinità in onore della quale si innalzò cotanto tempio ecc”. Se poteste sentire questi vaneggiamenti, probabilmente vi rigirereste nella tomba: messaggio cifrato?! Richiamo divino?! Ehi, noi non intendevamo nascondere proprio un bel niente! Eravamo pigri, e abbiamo scelto le misure così, come capitava… Come si spiega il fatto che p si sia “infilato” tra le misure della nostra piramide? Semplice coincidenza? Niente affatto. Tale rapporto “contiene” quella costante perché avete utilizzato una ruota per fissare la larghezza della base: poiché la stessa aveva un diametro di 1 cubito, facendole fare dieci giri avete ottenuto – senza alcuna intenzione simbolica o esoterica – una misura di 31,4 cubiti, dovuta al fatto che la circonferenza della curva si ottiene moltiplicando il diametro per p, e quindi ogni giro era lungo 3,14 cubiti. In altre parole, una costante può trasferirsi dallo strumento di misura utilizzato all’opera stessa, senza che l’architetto ne sia consapevole. L’esperimento si basa su dati storici reali: gli archeologi ritengono che, all’epoca delle piramidi, la misurazione di lunghe distanze potesse essere estremamente imprecisa quando veniva effettuata con corde in fibra di palma; dal Medio Regno in avanti, quando la ruota viene utilizzata per la prima volta, questo avrebbe spinto gli Egizi a utilizzare un apparecchio di misura concepito sull’idea dei più moderni “odometri”, in cui venivano contati i giri compiuti da una rotella e, tramite opportuni ingranaggi, tradotti in distanze. Per dimostrare che gli Egizi conoscevano p non sono quindi sufficienti fuorvianti indizi numerologici: ci vogliono documenti precisi, come il Papiro di Ahmes, composto tra il 2000 e il 1800 a.C., sul quale un anonimo autore scrisse che l’area di un cerchio con il diametro di 9 unità può essere approssimato dall’area di un quadrato con il lato di 8 unità. Un testo del genere ci dice con chiarezza che gli Egizi avevano una qualche idea di p:

utilizzando i dati forniti sul papiro, si può concludere che ne utilizzavano un’approssimazione pari a 3,16. Un’ulteriore relazione che non va sottovalutata è quella tra diverse costanti: estraendo la radice quadrata del numero aureo, per esempio, si ottiene un numero che si avvicina molto al rapporto tra 4 e p. Poiché quattro sono anche i lati alla base della piramide, una pura coincidenza matematica potrebbe acquistare, agli occhi di un numerologo sprovveduto, una “significatività” del tutto ingiustificata. Il tempio più grande del mondo Nel 1982 venne pubblicato Holy Blood Holy Grail, un libro che prendeva l’avvio da Rennes-le-Château, un piccolo paese sui Pirenei francesi, e proponeva una lettura alternativa della storia degli ultimi duemila anni: i tre autori, Michael Baigent, Richard Leigh e Henry Lincoln, sostenevano che Gesù avesse sposato Maria Maddalena e dato vita a una discendenza “divina” che, nel corso dei secoli, si sarebbe insediata nel minuscolo villaggio e sarebbe sopravvissuta fino ai giorni nostri. Il libro divenne presto un best seller, e vent’anni più tardi sarebbe stata la principale fonte di ispirazione per uno dei più grandi successi editoriali di sempre, Il codice Da Vinci di Dan Brown. Dal 1982 in avanti, molti storici si dedicarono ad approfondire l’ipotesi della discendenza di Cristo, scoprendo che si trattava di una gigantesca montatura costruita sulle opere di fantasia di un geniale esoterista francese, Pierre Plantard (1920-2000). Smentita la “notizia bomba”, Henry Lincoln si smarcò dagli altri due autori, pubblicando Il luogo sacro (1991), nel quale sosteneva che a Rennes-le-Château non ci fossero le prove della discendenza di Cristo, ma qualcosa di ancora più straordinario: gli indizi “geometrici” dell’esistenza del tempio a cielo aperto più grande del mondo. Ispirandosi all’isoscelia e seguendo la stessa tecnica di Aimè Michel, Lincoln aveva preso una cartina dell’area intorno al villaggio, fissato su alcuni punti degli spilli e cercato conformazioni “interessanti”. Dopo qualche tentativo, aveva trovato quella che faceva al caso suo. Un punto era collocato, ovviamente, a Rennes-le-Château. Un secondo punto cadeva sulle rovine di un forte noto come Blanchefort. Un terzo si trovava sui ruderi di un castello nei pressi della cittadina di Bezu. Collegati tra loro, i punti formavano un triangolo isoscele, con gli angoli alla base di 72° e il terzo di 36°: erano numeri interessanti, perché le cinque punte di una stella presentano tutte un angolo di 36°.

Il triangolo poteva dunque essere facilmente ampliato e diventare un pentagono regolare, a definire una perfetta stella a cinque punte. Lincoln calcolò dove cadevano i due punti restanti, ma non trovò riferimenti geografici altrettanto precisi: fissò uno spillo sulle pendici della montagna della Soulane, l’altro nei pressi di una vallata chiamata Serre de Lauzet. “Il luogo sacro” che dava il titolo al libro era quindi la regione intorno a Rennes-le-Château, che i primi abitanti della regione avrebbero popolato attratti dalle magiche proporzioni pentagonali ispirate alla “geometria sacra”. Dotati di conoscenze cartografiche poi andate perdute (che consentirono loro di accorgersi di un disegno del genere) tali popolazioni avrebbero scelto l’area per farne la sede di un gigantesco tempio a cielo aperto, delimitato dai cinque vertici della stella. Scriveva Lincoln: “Questo tempio non è caduto in rovina e in decadenza. È ancora reale e tangibile quanto lo era nel giorno del suo completamento, eppure, nonostante questo, è invisibile […] perché è troppo vasto per essere notato. […] Il tempio di Rennes-le-Château è forse la più grande struttura mai edificata dall’uomo sulla faccia della terra”. Non importa se tale figura non avesse alcun riscontro archeologico e documentale: lo sport lanciato da Lincoln era talmente suggestivo da produrre una vera e propria febbre per la ricerca di disegni notevoli sulle mappe della zona. Dai primi allineamenti di chiese, si passò presto a cercare cerchi, quadrati, esagoni e poligoni di ordine superiore, neppure sempre regolari. David Wood arricchì il già vasto groviglio geometrico introducendo nello scenario metafiore a carattere sessuale: ha un effetto più umoristico che drammatico una sua mappa ricoperta di linee, pubblicata su un libro che annuncia la fine del mondo, sulla quale identifica il corpo di una dea, i suoi organi genitali e una curva in cui lui riconosce un imene, da attraversare per ingravidarla. Elizabeth Van Buren ruppe del tutto gli schemi geometrici, cercando (e purtroppo, trovando) figure zodiacali sulle linee di quota delle mappe. Emerson DeAnna si spinse oltre: analizzando alcune mappe della superficie di Marte realizzate dalla Nasa, identificò un pentacolo che mise in relazione con quello di Rennes-le-Château, chiedendosi se tra i due non ci potesse essere un collegamento. La X indica il punto dove scavare La ricerca di schemi geometrici sulle mappe non ha confini, e risale almeno al 1921, quando Alfred Watkins (1855-1935) per primo ipotizzò

l’esistenza di allineamenti tra megaliti e monumenti preistorici in terra inglese, lungo linee di energia che sarebbero state in seguito battezzate Ley Line. Innumerevoli cultori della geometria sacra hanno scandagliato le mappe della propria regione in cerca di linee rette o disegni più o meno complessi, ma nessun luogo più di Rennes-le-Château ha visto fiorire così tante variazioni sul tema, in gran parte piuttosto strampalate. Il villaggio ha raggiunto tale notorietà anche grazie a una lunga tradizione, secondo la quale nella zona sarebbe nascosto un tesoro. Che si tratti del Sacro Graal, dell’Arca dell’Alleanza, del bottino dei Cavalieri Templari, di un vangelo perduto o del candelabro a sette braccia del Tempio di Gerusalemme, migliaia di visitatori ogni anno affollano la sommità della collinetta su cui sorge il paesino, molti dei quali alla ricerca di “qualcosa”. Ma poiché sin dal 1883, quando venne pubblicato L’isola del tesoro di Robert Louis Stevenson, un tesoro che si rispetti è indicato da una mappa opportunamente cifrata, le forme geometriche tracciate da Henry Lincoln accesero la fantasia dei “cercatori”: forse il pentacolo, o uno qualsiasi degli altri allineamenti, indicava il suo nascondiglio; lo stesso scrittore dedicò un intero capitolo del suo libro all’ipotesi che il tesoro si trovasse al centro della stella, allusivamente intitolato “La X sulla mappa del tesoro?”, dove possiamo leggere: “Mentre traccio le linee che individuano il centro della stella, mi rendo conto che questo è un posto notevole dove nascondere qualcosa. Ho forse trovato la X sulla mappa del tesoro? Conoscendo il disegno geometrico celato nelle montagne circostanti, questo luogo si può sempre rintracciare con precisione”. Lincoln individuò con facilità il punto, ma con una certa delusione si accorse che – come nel caso di La Soulane e della Serre de Lauzet – non corrispondeva ad alcuna cima: il monte più vicino, chiamato La Pique, si trovava a circa 250 metri a sudovest. Neanche questo costituiva un problema: la numerologia possiede, infatti, uno strumento infallibile, che possiamo chiamare “Testa-vinco-io-Croce-perdi-tu”. Quando una misura, una proporzione o un allineamento sono precisi, ci si stupisce per la straordinaria accuratezza che hanno avuto i nostri antenati, pur con i loro mezzi limitati, e la si considera una conferma alla teoria. Quando invece la precisione è carente, il fatto non è mai considerato un indizio contrario alla teoria, bensì un’ulteriore conferma, in quanto – diamine! – erano antichi: con i loro mezzi limitati, come potevano essere precisi? Scrive infatti Lincoln: “Cosa mi aspetto, un miracolo? Queste ‘strutture’ non sono state progettate e costruite per

conformarsi a un disegno. Sono elementi naturali del paesaggio. Trovare un’altra cima ancora, messa al posto giusto anche approssimativamente, in una posizione significativa, è una cosa che toglie il fiato”. Naturalmente, a oggi la X non ha consentito il ritrovamento di alcun tesoro. Un vero allineamento A Rennes-le-Château la febbre per l’oro era scoppiata nel 1956, quando un giornale locale aveva favoleggiato sul tesoro che avrebbe reso ricchissimo don Bérenger Saunière, vecchio parroco del posto. Da La Depeche du Midi, 12 gennaio 1956. Per oltre dieci anni, fino al divieto municipale di eseguire scavi, decine di persone armate di pala, piccone e dinamite si infilarono in qualsiasi anfratto per (ri)trovare il tesoro del sacerdote. Nel 1965 i paesani si accorsero di un bizzarro fenomeno: alcuni alberi erano ingialliti nonostante la bella stagione; le piante in questione erano stranamente allineate, e quelle intorno non presentavano l’anomalia. Quando il terreno iniziò a sprofondare, si svelò l’arcano: per raggiungere in segreto le fondamenta della chiesa, un “cercatore” abusivo aveva scavato una lunga galleria in linea retta che partiva dalla sua cantina e passava sotto alcuni alberi; lo scavo aveva danneggiato alcune radici, privando le piante dell’acqua necessaria e provocando l’ingiallimento. Ecco un caso in cui un (autentico) allineamento non conduce alla scoperta di un tesoro ma di un… cercatore di tesori! La tecnica della triangolazione In uno storico racconto a fumetti del 1937, Topolino e il tesoro di Clarabella, i due protagonisti Topolino e Orazio sono alla caccia di un tesoro con una vecchia mappa datata 1863: partendo da un grande albero, devono tirare una linea verso un albero più piccolo e “triangolare”. Il punto individuato, però, non è quello giusto. I due protagonisti capiscono che l’alberello non poteva essere lì all’epoca in cui il tesoro era stato nascosto, e si accorgono di aver sbagliato piante: quello che un tempo era il piccolo albero, oggi è diventato grande, e il vecchio “grande albero” è ormai caduto; se ne intravedono ancora i resti, e triangolando correttamente, ecco il tesoro. Molto citata in tutta la letteratura sulle cacce al tesoro, la

“triangolazione” è una antica tecnica trigonometrica che, prima dell’avvento del Gps, consentiva di individuare un luogo preciso a partire da tre altri punti. Se dovessimo nascondere un tesoro in un campo e volessimo tener traccia del punto X in cui si trova, cercare tre alberi nei dintorni e prendere nota degli angoli che insistono su di lui ci garantirebbe di ritrovarlo anche dopo diversi secoli – a condizione che le piante non vengano rimosse. Il gusto enigmistico per questo tipo di ricerca spesso si contrappone all’approccio più rigidamente accademico: gli archeologi di professione sono piuttosto scettici di fronte al fiorire di teorie a sfondo numerologico per ritrovare stanze nascoste ai piedi della Sfinge o la tomba di Maria Maddalena ai piedi della collina di Rennes-le-Château. Chi meglio di tutti ha saputo ironizzare sulla febbre dell’oro guidata da “ispirazioni simboliche” è stato Umberto Eco, nel suo romanzo Il pendolo di Foucault, in cui i temi esoterici e numerologici si intrecciano a straordinarie parodie del mondo dell’occultismo e delle cacce al tesoro sulle orme dei Cavalieri Templari. Il tema della triangolazione ritorna nel suo La misteriosa fiamma della regina Loana, dove il protagonista Yambo si trova nella vigna di fronte alla sua vecchia casa di campagna dove ha appena defecato, e – con una sferzante ironia – pensa a quando era bambino: “Forse se mi guardavo bene intorno trovavo ancora i resti della cacca che avevo fatto allora e, triangolando nel modo giusto, il tesoro di Clarabella”. Il tesoro di Masquerade Seppure nei romanzi sulle cacce al tesoro una mappa da decifrare attraverso tecniche geometriche non può mancare, sono rari gli esempi nella vita reale di forzieri e scrigni nascosti o ritrovati in questo modo. Al riguardo possiamo citare una curiosa contaminazione: Kit Williams, un pittore inglese, pubblicò nel 1979 un racconto intitolato Masquerade; magnificamente illustrato da una serie di grandi immagini a colori, dense di simbolismo, a prima vista presentava una semplice favola per bambini: il protagonista, Jack la Lepre, era stato incaricato dalla Luna di portare un dono al suo amato, il Sole. Una volta giunto a destinazione, Jack scopriva di aver perso il regalo, e invitava il lettore a ritrovarlo. Il compito era da prendere più alla lettera di quanto si potesse immaginare: una nota invitava a guardare bene le figure: “In ognuno dei disegni di questo libro c’è una lepre da qualche parte. Riesci a trovarla in

questa immagine?” Intorno a ogni figura erano state scritte alcune parole che sembravano incise nella pietra; alcune lettere, però, erano in rosso, e leggendo nell’ordine quelle della prima immagine, si otteneva la parola HARE, “lepre” in inglese. C’era di che insospettirsi… Il libro era, infatti, un gigantesco meccanismo che nascondeva indizi a carattere geometrico, frasi in codice e – al termine del complicato percorso di scoperta – uno scrigno contenente un gioiello a forma di lepre. Il piccolo forziere che lo conteneva era stato sepolto ad Ampthill (Bedfordshire) nei pressi di una statua di Caterina d’Aragona. Il punto poteva essere ritrovato seguendo l’ombra proiettata dal monumento a mezzogiorno di uno dei due equinozi. Il tesoro non venne trovato che tre anni dopo la pubblicazione, nel febbraio 1982. La più complicata caccia al tesoro che sia mai stata lanciata dalle pagine di un libro si deve invece all’illusionista David Blaine, che nella sua autobiografia Mysterious Stranger ha nascosto – con ogni tecnica matematica ed enigmistica immaginabile – una serie impressionante di messaggi in codice: opportunamente interpretati, conducevano a un tesoro nascosto ai piedi di un albero in un parco di Los Angeles. L’autrice del ritrovamento, Sherri Skanes, ha vinto il premio di centomila dollari messo in palio dalla casa editrice del libro. Oggi sono letteralmente migliaia i piccoli tesori che si possono ritrovare con relativa facilità: chiunque voglia partecipare a un curioso gioco di scambio può nascondere un oggetto in un qualsiasi luogo del mondo, registrarne le coordinate (eventualmente codificate) sul sito Geocaching. com e invitare tutti gli utenti a ritrovarlo; se invece vuole partecipare come “cercatore”, può sfogliare il motore di ricerca interno e scegliere un tesoro, da ritrovare con la guida delle informazioni registrate sul sito. Geometrie nascoste e matematica Se le triangolazioni o le teorie geometriche sulle mappe geografiche portassero alla scoperta di qualche tesoro nascosto, nessuno oserebbe contraddirle. Il problema è che, invece, molte teorie numerologiche sono del tutto autoreferenziali, e promettono rivelazioni che non hanno riscontri archeologici di alcun tipo. Alle costruzioni geometriche di Henry Lincoln si può rispondere anche con la matematica, con lo stesso approccio di analisi utilizzato per l’ortotenia: realizzando opportune Mediomap e confrontandole con le mappe di interesse, è abbastanza agevole scoprire se le geometrie che si

presentano sono notevoli o solo legate al caso. Prendendo in considerazione tutte le chiese del circondario, una mia analisi non ha riscontrato alcun risultato straordinario: gli allineamenti che si possono trovare sono paragonabili a quelli di qualsiasi altra mappa scelta a caso. Nel 2004 l’informatico David Williams è andato oltre, rilevando oltre 400 punti sulla mappa dell’area di Rennes-le-Château e classificandoli a seconda della loro natura (chiesa, castello, rovina, vetta di una montagna…). Dopo aver cercato tutti i possibili pentacoli definiti dai punti rilevati, il ricercatore ha concluso: “Se si tracciano le cinque linee suggerite da Henry Lincoln […], il risultato è con una buona approssimazione un pentacolo (sia utilizzando una mappa, sia attraverso le coordinate Gps). Per prendere a prestito una sua espressione, il Pentacolo di Montagne è quindi ‘riscontrabile e dimostrabile’. Ma lo sono altrettanto molti degli altri 174 pentacoli che ho trovato. E ci sono probabilmente migliaia di pentacoli in quell’area di Francia a causa della topografia della zona. Se il pentacolo di Lincoln fosse definito da cinque chiese (che sono molto meno numerose rispetto alle vette), la sua semplice esistenza potrebbe essere ritenuta statisticamente significativa. Ma non ci sono pentacoli del genere sulla mappa della zona. Mentre è facile mostrare quante geometrie pentagonali vengano alla luce quando dei punti vengono scelti a caso su un’area di dimensioni simili alla mappa considerata. […] Lincoln chiede al lettore: ‘Quanto spesso ci si può aspettare di trovare caratteristiche topografiche naturali tali da realizzare uno schema così complesso e regolare?’ Se la mia analisi è servita a qualcosa, spero che abbiate capito come rispondergli”. Letture consigliate La vita di Irving Joshua Matrix è raccontata in Martin Gardner, The Incredible Dr. Matrix, Charles Scribner’s Sons, New York, 1976 (trad.it. L’incredibile dottor Matrix, Zanichelli, Bologna, 1982): si tratta del miglior antidoto a qualunque libro di numerologia. Il gioco per indovinare l’età e il numero di scarpe è descritto da Ennio Peres nel libro pieno di giochi matemagici L’elmo della mente, Salani Editore, Milano, 2006, pp.46-47. Affronta l’uso della geometria nell’arte Charles Bouleau, Charpentes: La géométrie secrète des peintres, Seuil, Parigi, 1963 (trad.it. La geometria segreta dei pittori, Electa Mondadori, Milano, 1988).

All’uso di odometri da parte degli antichi egizi e al successivo incorporamento del p nelle misure della piramide è dedicato l’articolo di Manuel Bastioni, “La favola della sezione aurea: alcune opere d’arte contengono il numero d’oro per puro caso?”, in Indagini su Rennes-leChâteau, n.5, 2006, pp.243-250. Il libro che introduce l’ipotesi della discendenza di Cristo è Michael Baigent, Richard Leigh e Henry Lincoln, The Holy Blood and the Holy Grail, Jonathan Cape, Londra, 1982 (trad.it. Il Santo Graal, Mondadori, Milano, 1982). In un articolo pubblicato su L’Espresso del 23 agosto 2001 Umberto Eco lo considera un potenziale strumento ludico, scrivendo a proposito degli autori: “La loro malafede è così evidente che il lettore vaccinato può divertirsi come se facesse un gioco di ruolo”. Tre anni prima, la stessa casa editrice londinese aveva pubblicato Kit Williams, Masquerade, il racconto per bambini che nascondeva la caccia al tesoro risolta poi solo nel 1982. Nel 1988 il colpo di scena: un articolo del Sunday Times smaschera la frode del vincitore, che aveva trovato la soluzione solo grazie ad alcune indiscrezioni. L’isoscelia e il pentacolo di Rennes-le-Château vennero presentati dapprima in Henry Lincoln, The Holy Place, 1991 (trad.it. Il luogo sacro, Sperling & Kupfer, Milano, 2006), poi in maniera più estesa in Henry Lincoln, Key to the Sacred Pattern, 1997 (trad.it. Il codice segreto della croce, Sperling & Kupfer, Milano, 2000). I motivi geometrici a carattere sessuale sulle mappe di Rennes-leChâteau sono pubblicati in David Wood, Genesis: The First Book of Revelations, Baton Press, Tunbridge Wells, 1985. Le figure geometriche zodiacali rinvenute nella stessa area sono pubblicate in Elizabeth Van Buren, Refuge of the Apocalypse: Doorway into Other Dimensions, C.W. Daniel Company, Saffron Walden, 1986. Il pentacolo su Marte è collegato a quello di Rennes-le-Château in DeAnna Emerson, Mars/Earth Enigma, Lakeville, 1996. Sulle ley lines è prezioso l’approccio critico di Tom Williamson, Ley lines in question, World’s Work, Tadworth, 1983. È una spettacolare parodia della numerologia e delle cacce al tesoro fantastoriche il romanzo di Umberto Eco, Il pendolo di Foucault, Bompiani, Milano, 1988. Contiene una complicatissima caccia al tesoro nel mondo reale l’autobiografia di David Blaine, Mysterious Stranger, Random House,

2002. Le analisi di David Williams sono inedite ma disponibili su Internet all’indirizzo http://tr.im/davidwilliams.

EPILOGO Quando avevo sei anni, mio padre mi proponeva spesso un paradosso che non riuscivo a risolvere. “Quante dita ci sono in due mani?” mi chiedeva. Naturalmente io rispondevo: “Dieci”, ma lui mi diceva: “No, sono soltanto nove. Guarda!” Toccando una dopo l’altra le dita dal pollice al mignolo contava: “1, 2, 3, 4, 5…” A questo punto invertiva la marcia, e toccando l’anulare diceva: “6”, il medio valeva 7, l’indice 8 e infine il pollice 9. Fu il mio primo incontro con il lato oscuro dei numeri, di cui mio padre mi aveva dato una dimostrazione ludica: credevo che la matematica fosse il regno della precisione e dell’evidenza, ma di fronte a me avevo una mano con tutte le cinque dita, e non riuscivo a capacitarmi del fatto che 5 × 2 facesse 9… dove spariva il dito mancante? Nel corso degli anni avrei scoperto che l’uso dei numeri per ingannare era una vera e propria scienza segreta, utilizzata in ambiti opposti: in modo innocente nell’illusionismo teatrale ma in maniera sottilmente fraudolenta nell’economia, nella politica e nella scienza. Sull’argomento Darrell Huff ha scritto un libro divertente e inquietante al tempo stesso: si intitola Come mentire con le statistiche (1954) e, se da un lato lo si può leggere come un curioso manuale di illusionismo matematico, che insegna a distrarre l’attenzione del pubblico attraverso un’opportuna manipolazione di numeri, statistiche e grafici, dall’altro è preoccupante vedere quanto le stesse tecniche siano diffuse e utilizzate nei dibattiti politici, nelle pubblicità e dai maghi che tolgono il malocchio o, in giacca e cravatta, si fanno affidare i nostri soldi per farli fruttare in Borsa grazie alle loro capacità predittive. Beppe Grillo citava l’aneddoto di quel ministro che aveva fatto ampliare del 50% un’autostrada, aggiungendo una corsia alle due già presenti, poi l’aveva ridotta del 33%, rimuovendo la nuova corsia e riportandola a due: sottraendo la seconda percentuale dalla prima, in campagna elettorale poteva così vantarsi di aver aumentato del 17% l’autostrada – ottimo esempio di quella che Darrell Huff definisce “statisticolazione”. E come non pensare al tizio che portava con sé sull’aereo una bomba per evitare di trovarne altre a bordo? Il suo ragionamento sembrava filare: è improbabile che salga una persona con una bomba, ma lo è ancora di più che ne salgano due; dunque, se una la porto io, sarà praticamente

impossibile che ci sia un’altra bomba a bordo! Viaggiare con un cornetto portafortuna non è più efficace, ma il caso della bomba è più insidioso, perché la matematica sembra certificare la correttezza del ragionamento. Distinguere tra l’uso corretto e quello fallace dei numeri è un’arte difficile da padroneggiare, perché quando la matematica è applicata alla vita quotidiana, non basta saper fare di conto, ma bisogna saper quali dati raccogliere, come raccoglierli, come manipolarli e, soprattutto, come interpretarli. Per le sue caratteristiche, l’ambito del paranormale può essere ancora più insidioso, ma scoprire le fallacie, gli errori logici e le tecniche che consentono l’inganno può consentirci di acquisire strumenti più sofisticati per interpretare il mondo e ciò che ci circonda, evitando di cadere nelle stesse trappole che – durante la lettura di queste pagine – abbiamo teso noi stessi per stupire i nostri amici, millantando poteri sovrannaturali. I temi trattati in questo libro hanno dunque un interesse che va ben oltre gli aspetti ludici. E se qualcuno vi proporrà il giochetto di mio padre, rispondetegli che, per il ben noto (!) fenomeno della “regressione verso la media”, nelle due mani voi avete 11 dita: cominciate a contare alla rovescia partendo dal pollice della mano sinistra “10, 9, 8, 7, 6…” Arrivati al mignolo, sollevate la mano destra aperta e dite trionfalmente: “…più 5, undici!”

RINGRAZIAMENTI L’autore desidera ringraziare in modo particolare Luca Antonelli, Francesco Grassi ed Edoardo Russo. Un grazie anche a Stefano Bagnasco, Matteo Brambilla, Ferdinando Buscema, Daniela De Rosa, Andrea Ferrero, Giorgio Pidello, Massimo Polidoro, Paolo Turini e P.G. Varola.