La Lecture Des Ondes de Coup de Bélier Sur Le Tracé de Bergeron [PDF]

Zitiervorschau

296

LA

HOUILLE

BLANCHE

N°

SPÉCIAL

A/1957

La lecture des ondes de coup de bélier sur le tracé de Bergeron, Reading of water hammer waves on a Bergeron diagram P A R A. SCHLAG PROFESSEUR DIRECTEUR

1HJ

A

L'UNIVERSITÉ

LABORATOIRE

Dans une conduite soumise au phénomène du coup de bélier, l'épure de Bergeron permet de déterminer les « états » pression-débit, en autant de sections de la conduite et en autant d'instants qu'on le désire. Elle permet aussi de connaître tes ondes d'Alliéui F et f exprimant tes variations conjointes de débit et de pression depuis l'origine du phénomène. En fait, le phénomène du coup de bélier consiste en une succession d'ondes qui parcourent la conduite, en se croisant et se réfléchissant plus ou moins complètement aux points singuliers : extrémités, changements de section, nœuds... Plutôt qu'à des ondes se superposant à l'état i n i t i a l , on a affaire à des ondes, à front plus ou moins raide, qui modifient l'état existant immédiatement avant leur passage. // est montré que ces ondes peuvent être lues sur l'épure de Bergeron. Leur considération conduit à l'établissement d'un tableau très représentatif du phénomène; elle permet aussi le calcul, souvent aisé, de tous les é t a t s successifs dans les diverses sections de la conduite.

L a s o l u t i o n des p r o b l è m e s d e c o u p d e bélier d a n s les c o n d u i t e s est b a s é e s u r les é q u a t i o n s c l a s s i q u e s d'Allievi :

et :

— ( c — c) = F ( / - - ^L)—f(t+ 0

JL)

() 2

D a n s ces é q u a t i o n s , F et f s o n t d e u x o n d e s de p r e s s i o n q u i p a r c o u r e n t la c o n d u i t e avec d e s vitesses égales à ± ci, et (g/a) F et (g/a) /, d e u x o n d e s d e v i t e s s e q u i a c c o m p a g n e n t ces o n d e s de pression. D a n s son r e m a r q u a b l e o u v r a g e : Du coup de bélier en hydraulique au coup de foudre en

DE

HÈGE,

I)'H YDIÏ A U M Q U E

GENERALE

Jn a pipe subjected to the phenomenon of water hammer, the Bergeron diagram allows the détermination of the pressure-ftow conditions in as many sections of the pipe and at any instant desired. One can also détermine the Âllievi wave F and f, expressing the twin variations of flow and pressure from the lime the phenomenon hegins. In fact, the phenomenon of water hammer consists of a succession of waves which traverse the pipe, passing and reftecting each other more or less entirely, between given points i.e. the ends of the pipe, changes in section, branches, etc. Rather than waves superimposing themselves f r o m t h e s t a r t , we have a System of waves, more or less sieep fronted, which modifu the state cxisting i m m e d i a t e l y aheacl. It is shown that thèse waves may be plotted on a Bergeron diagram. Their considération leads to the establishment of a chari which truely represents the phenomenon and also makes the subséquent calcula lion of ail the successive s h i t e s in the varions sections of the pipe easy.

électricité, L o u i s B E R G E R O N é n o n c e c o m m e suit les lois e x p r i m é e s p a r les f o r m u l e s d'Allievi : « 1° E n u n t e m p s et u n lieu q u e l c o n q u e s le l o n g d ' u n e c o n d u i t e , la v a r i a t i o n d e p r e s s i o n depuis Vorigine du phénomène e s t é g a l e à la s o m m e d e d e u x o n d e s de p r e s s i o n F et / q u i s'y c r o i s e n t à cet i n s t a n t ; « 2° S i m u l t a n é m e n t , la différence F — f de ces d e u x o n d e s est égale à a/g fois la v a r i a t i o n d e la v i t e s s e à ce t e m p s et e n ce lieu depuis Vorigine du phénomène. » (C'est n o u s q u i s o u l i g n o n s les m o t s « d e p u i s l'origine du p h é n o m è n e ».)

* La résolution directe des équations est assez s o u v e n t l o n g u e et p a r f o i s

Article published by SHF and available at http://www.shf-lhb.org or http://dx.doi.org/10.1051/lhb/1957006

d'Allievi difficile.

N"

SPÉCIAL

A/1057

A.

Mais, L o u i s B E R G E R O N a d é v e l o p p e et m i s a u point u n e m é t h o d e g r a p h i q u e de résolution act u e l l e m e n t b i e n c o n n u e de t o u s les h y d r a u l i ciens. D a n s la p r é f a c e à l ' o u v r a g e d e B E R G E R O N , M. E . G. B A R I L L O N , m e m b r e d e l ' I n s t i t u t , é c r i t : « D e t o u t ce q u i se lit s u r le b e r g e r o n , le lect e u r d u p r é s e n t v o l u m e se r e n d r a c o m p t e ; il p e u t ê t r e a s s u r é q u e d a n s ces v o y a g e s à t r a v e r s les c o n d u i t e s h y d r a u l i q u e s ou les r é s e a u x élect r i q u e s , d a n s l e s q u e l s L o u i s B E R G E R O N le g u i d e p a s à p a s et lui m o n t r e les m o i n d r e s p a r t i c u l a r i t é s , il a p p r e n d r a b e a u c o u p , et q u e s'il est d é j à p r é p a r é p a r la l e c t u r e d ' o u v r a g e s t r a i t a n t la question p a r des méthodes p u r e m e n t m a t h é m a t i q u e s , il a u r a le p l a i s i r d e r e c o n n a î t r e a u p a s sage d e s p h é n o m è n e s q u i , j u s q u ' a l o r s , n e lui étaient pas a p p a r u s d a n s toute leur clarté. » L e b u t d e l a p r é s e n t e n o t e est d e m o n t r e r u n d e ces a s p e c t s q u i , à n o t r e c o n n a i s s a n c e t o u t a u m o i n s , n ' a p a s e n c o r e été s i g n a l é .

O n s a i t q u e , p o u r le t r a c é du b e r g e r o n , on r e m p l a c e , d a n s l ' é q u a t i o n (2) les v i t e s s e s c p a r les d é b i t s Q. L e s é q u a t i o n s (1) et (2) d e v i e n n e n t ainsi : H

Hn

F

t

+ f{t+

JL

(4)

et : (Qo — Q)

a

•f

* \

^

a

(5)

S é t a n t la s u r f a c e d e la section t r a n s v e r s a l e de l a c o n d u i t e . L e t r a c é p e u t d o n n e r 1' « état » ( p r e s s i o n , débit) p o u r t o u t e s les s e c t i o n s et à lous les i n s t a n t s q u e l'on d é s i r e (*). C o m m e l'a m o n t r é B E R G E R O N (fig. 9 d e son o u v r a g e ) , il p e r m e t a u s s i d e c o n n a î t r e la g r a n d e u r des d e u x o n d e s d e p r e s s i o n en u n h e u et en

SCHLAG

u n t e m p s q u e l c o n q u e s où le r é g i m e est c o n n u . Si A>t est le p o i n t r e p r é s e n t a t i f d e Y état d a n s la s e c t i o n A à l ' i n s t a n t t, les o n d e s d e p r e s s i o n , d a n s c e t t e s e c t i o n , et à cet i n s t a n t , s o n t r e p r é s e n t é e s s u r le b e r g e r o n , p a r la m o i t i é d e s l o n g u e u r s m a r q u é e s 2 F et 2 / (fig. 1) (**). R e m a r q u o n s qu'il s'agit bien, c o m m e B E R G E RON l ' i n d i q u e l u i - m ê m e , d ' o n d e s a y a n t p r o v o q u é u n e v a r i a t i o n de p r e s s i o n depuis l'origine du phénomène. Les ondes c o r r e s p o n d a n t e s de débit sont rep r é s e n t é e s p a r la m o i t i é d e s l o n g u e u r s : 2.

a

.F

et

2.

S^-.f a

Bien e n t e n d u , il s'agit e n c o r e d ' o n d e s a y a n t p r o v o q u é u n e v a r i a t i o n de d é b i t depuis l'origine du phénomène.

L'image du phénomène, déduite directement des é q u a t i o n s d'Allievi, le r e p r é s e n t e donc c o m m e d û à la s u p e r p o s i t i o n à Vétat initial., d e s d e u x o n d e s F et / d e p r e s s i o n , a c c o m p a g n é e s des d e u x o n d e s d e d é b i t (gS/a) F et (gS/a) f. N o u s p e n s o n s q u ' u n e r e p r é s e n t a t i o n p l u s fidèle et p l u s p a r l a n t e c o n s i s t e r a i t à c o n s i d é r e r que chaque état d a n s u n e section q u e l c o n q u e r é s u l t e de l'état immédiatement précédent dans la m ê m e section, modifié p a r le p a s s a g e , l ' a r r i vée ou r é m i s s i o n d ' u n e ou p l u s i e u r s o n d e s c o n j o i n t e s d e p r e s s i o n et d e débit, c i r c u l a n t d a n s chaque tronçon à caractéristique unique. A u x o n d e s [ F , (gS/a) F ] et [f,(gS/a)f], superposées à l'état initial,, n o u s p r o p o s o n s d e s u b s t i t u e r , p o u r c h a q u e i n t e r v a l l e d e t e m p s , u n e ou p l u s i e u r s o n d e s se superposant à Vétat At p o u r d o n n e r l ' é t a t i m m é d i a t e m e n t s u i v a n t Àt' L ' e x p o s é d e n o t r e c o n c e p t i o n est p l u s s i m p l e d a n s le cas d ' u n e p e r t u r b a t i o n d e c a r a c t è r e i n s t a n t a n é , e n t r a î n a n t d a n s les d i v e r s e s s e c t i o n s d e la c o n d u i t e des v a r i a t i o n s brusques d'état. Nous nous placerons d'abord d a n s cette hypothèse. Nous a u r o n s , p a r exemple, d a n s u n e section q u e l c o n q u e où la p r e s s i o n à l ' o r i g i n e é t a i t H la s u c c e s s i o n des p r e s s i o n s r e p r é s e n t é e figure 2, 0

FIG.

(*) N o u s a d o p t o n s l e s n o t a t i o n s H e t Q p o u r l e s « é t a t s » e t 7i et q p o u r l e s p r e s s i o n s e t d é b i t s t r a n s portés p a r les ondes.

2

(**) B e r g e r o n é c r i t ( p . 15) q u e « ce n ' e s t l à q u ' u n e curiosité s a n s intérêt p o u r la r é s o l u t i o n des p r o b l è m e s q u i se p o s e n t .

LA H O U I L L E

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Selon l a c o n c e p t i o n c l a s s i q u e , l a p r e s s i o n est é g a l e à l a p r e s s i o n à l ' o r i g i n e H a u g m e n t é e d e l a s o m m e a l g é b r i q u e ( F + f) d e s p r e s s i o n s des o n d e s d'Allievi. Nous proposons de considérer que la press i o n H* r é s u l t e d e l a p r e s s i o n e x i s t a n t à l ' i n s t a n t p r é c é d e n t H _ a u g m e n t é e d e l ' o n d e (ou d e la s o m m e d e d e u x o n d e s ) d e p r e s s i o n h. 0

t

l 5

E n n o u s r e p o r t a n t à l a l i g u r e 1, n o u s v o y o n s a i s é m e n t q u e l ' o n d e [ F , (gS/a) F ] p e u t ê t r e r e p r é s e n t é e p a r le v e c t e u r A O . a e t l'onde [ A ( # S / a ) f]

par

le v e c t e u r

a.

N° SPÉCIAL A/1957

BLANCHE

Si les p o i n t s At e t At' s ' a l i g n a i e n t s u r u n e d i r e c t i o n 4 ~ o u — a, c e l a signifierait q u ' u n e s e u l e onde serait à envisager.

* P o u r mieux illustrer notre conception, nous a v o n s t r a i t é le d é b u t d u p h é n o m è n e d u c o u p d e b é l i e r d a n s le c a s s i m p l e s u i v a n t : Conduite constituée de d e u x t r o n ç o n s AB et BC, l o n g s r e s p e c t i v e m e n t d e 100 e t 180 m , d e s e c t i o n s 0,1 e t 0,2 m e t p o s s é d a n t d e s c é l é r i t é s r e s p e c t i v e s d e 1.000 e t 900 m / s . Si le t r o n ç o n A B est a i n s i p a r c o u r u p a r l ' o n d e e n u n t e m p s h/ùx 2

At.

Considérons m a i n t e n a n t deux états consécutifs d a n s u n e m ê m e s e c t i o n (fig. 3) Af e t A f .

FIG.

3

L e s o n d e s d'Allievi ( d e p u i s le d é b u t d u p h é n o m è n e ) s o n t r e p r é s e n t é e s r e s p e c t i v e m e n t p a r les t r a c é s v e c t o r i e l s A O . a . A f et A O . a ' . A f . P o u r p a s s e r d e l ' é t a t Af à l ' é t a t i m m é d i a t e m e n t s u i v a n t A f , o n voit q u ' o n p e u t s u i v r e le tracé vectoriel dessiné en trait fort Af.fc.Af. L e s v e c t e u r s At.b e t fc.Af r e p r é s e n t e n t p r é c i s é m e n t r e s p e c t i v e m e n t les o n d e s i n c i d e n t e et réfléchie q u e n o u s p r o p o s o n s d e c o n s i d é r e r . Ces v e c t e u r s s o n t s o u v e n t d e s s i n é s à p r i o r i s u r le bergeron. Ces o n d e s s e r o n t é v i d e m m e n t s o u m i s e s , e n ce q u i c o n c e r n e le coefficient a n g u l a i r e d e s v e c t e u r s q u i les r e p r é s e n t e n t , à l a m ê m e r è g l e d e s i g n e q u e les o n d e s [ F , (g$/a)F] et [/, (gS/a)f] : coefficient angulaire négatif pour l'onde [ F , (gS/a) F ] q u i r e m o n t e l a c o n d u i t e e t coeffic i e n t a n g u l a i r e positif p o u r f o n d e [/"> ( # S / a ) / ] q u i d e s c e n d la c o n d u i t e . Ce coefficient a n g u l a i r e e s t =t gS/a. P o s o n s , p o u r la facilité d e l ' é c r i t u r e , gS/a — a. Nous écrirons donc : pour

une onde

remontant

la conduite

pour

une onde

descendant

la conduite

: h — — aq : h

=

-f-

a

g

20,00 FIG.

-354,24 4

N°

A. SCHLAG

SPÉCIAL A/1957

q u e n o u s p r e n o n s c o m m e u n i t é d e t e m p s , le t r o n ç o n BC s e r a p a r c o u r u e n u n t e m p s égal à 2 unités. C o n d i t i o n s i n i t i a l e s : p r e s s i o n H = 200 m ; débit Q = 200 1/s. Coup d e b é l i e r créé p a r la f e r m e t u r e c o m p l è t e et i n s t a n t a n é e d e l ' e x t r é m i t é C. O n n e t i e n t pas compte du frottement. L e s d i v e r s états o n t été relevés s u r le b e r g e r o n et r e p o r t é s à la figure 4 s o u s la f o r m e c o n v e n t i o n n e l l e H / Q (*). O n c o n s t a t e r a q u e , a i n s i q u e cela est c o n n u , e n u n p o i n t q u e l c o n q u e , ces états varient d'une façon discontinue. Les divers états sont séparés p a r des droites o b l i q u e s q u i r e p r é s e n t e n t les o n d e s q u e n o u s p r o p o s o n s d ' e n v i s a g e r et q u i c i r c u l e n t à chaque instant d a n s la conduite; nous avons indiqué l e u r s v a l e u r s . Il n e s'agit d o n c p a s des o n d e s [F, (gS/a) F ] et [fAgS/a)f]) exprimées depuis l'origine d u p h é n o m è n e . Si n o u s d é s i g n o n s p a r H ' / Q ' et H " / Q " d e u x é t a t s consécutifs dans une m ê m e s e c t i o n , ce s o n t ces o n d e s q u i font p a s s e r H ' à H " et Q ' à Q". P a r e x e m p l e , l ' é t a t d e la s e c t i o n b, a u m i l i e u de BC, a v a n t le t e m p s 4, est : 0

0

299

et p o u r l ' o n d e réfléchie : h = zp oc q r

(2)

r

p u i s q u e ces d e u x o n d e s c i r c u l e n t e n s e n s verses. L ' é t a t , q u i é t a i t Qt/B. avant l'arrivée l ' o n d e z et sa réflexion, d e v i e n t a p r è s ;

inde

t

Qt+i/Hf . + 1

L ' é t a t (t -f- 1) suivantes :

doit

satisfaire