Kort om linjär algebra [version 24 Jul 2014 ed.] [PDF]

Zitiervorschau

Kort om linjär algebra Lars Svensson och Oscar Mickelin 24 juli 2014

Innehåll 1 Förord

1

2 Grundläggande denitioner

2

2.1

Binära kompositioner . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2.2

Moduler över ringar

2.3

Strukturebevarande avbildningar

2.4

Strukturella delmängder av algebror

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5

2.5

Kärnor och bilder . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5

2.6

Några exempel

6

2.7

Metriska rum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7

2.8

Normerade rum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

8

2.9

Inreproduktrum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

8

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3 Vektorrum och linjära avbildningar 3.1 3.2

Bas för vektorrum

4 4

11

Linjärt beroende och oberoende . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.1.1

2

11

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

12

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

12

3.2.1

Koordinatavbildingar med avseende på en bas . . . . . . . . . . . . . . . .

12

3.2.2

Matrisrepresentationen av en avbildning relativt baser . . . . . . . . . . .

13

3.2.3

Projektioner

14

Linjära avbildningar

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3.3

Multilinjära avbildningar

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

16

3.4

Alternerande avbildningar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

16

3.4.1

Alternerande multilinjära avbildningar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

17

3.4.2

Cramers regel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

18

3.5

Adjugatet till en matris

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

18

3.6

Determinanten för en linjär avbildning . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

20

3.7

Egenvärden och egenvektorer

20

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3.7.1

Några beteckningar och konventioner . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

20

3.7.2

Invarianta delrum

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

21

3.7.3

Triangulering av avbildningar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

21

3.7.4

Diagonalisering av avbildningar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

22

3.8

Annihilerande polynom

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

23

3.9

Reducerade polynomet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

24

3.10 Struktursatsen för ändligt genererade moduler över Euklidiska ringar . . . . . . .

25

3.10.1 Välgrundade relationer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

25

3.11 Strukturen hos linjära avbildningar på ändligtdimensionella vektorrum . . . . . .

26

3.12 Adjungerad avbildning . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

28

2

3.12.1 Dualitetsteori . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

28

3.13 Normala, Hermitiska och unitära avbildningar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

29

3.13.1 Spektralsatsen för normala avbildningar . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

30

3.13.2 Singulärvärdesdekomposition

30

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4 Kvadratiska former

32

4.1

Kvadratiska former . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

32

4.2

Kanonisk bas

32

4.3

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4.2.1

Existens av kanonisk bas

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

32

4.2.2

Sylvesters tröghetssats . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

33

Matrisrepresentation av kvadratiska former

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5 Diverse

5.1

Algebrans fundamentalsats av Gauss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

33

36

36

Kapitel 1

Förord Detta kompendium innehåller en bearbetning av föreläsningsanteckningar som givits i samband med kursen i utvidgad linjär algebra vid KTH. Det är tänkt att fungera som ett självständigt, rigoröst och kompakt komplement till den typiska kurslitteraturen inom linjär algebra och innehåller dessutom några ytterligare denitioner inom algebra och smått och gott inom andra grenar av matematiken. Tanken är även att det skall kunna användas som något av ett uppslagsverk under de första åren på KTH då det innehåller ett ertal nyttiga denitioner och satser. Dock är det fortfarande under uppbyggnad och rapporter om eventuella tryckfel mottages tacksamt till [email protected].

1

Kapitel 2

Grundläggande denitioner Detta kapitel inleds med denitioner av de begrepp som kommer att användas för bevisen i resten av kompendiet. Sedan följer en rad exempel för att åskådliggöra dessa.

2.1 Låt

Binära kompositioner

M

vara en mängd. En avbildning

∗

M ×M →M

(2.1)

(x, y) 7→ x ∗ y

(2.2)

∗ är kommutativ om x ∗ y = y ∗ x x ∗ (y ∗ z) = (x ∗ y) ∗ z för alla x, y och z i M .

kallas en binär komposition eller en binär operation. och

y i M. ∗

är associativ om

för alla

x

Denition 1 (Distributivitet). Låt



∗

och



vara två binära kompositioner på

M.

Vi säger då att

∗

är distributiv över

om

Anmärkning 1.

x ∗ (yz) = (x ∗ y)  (x ∗ z)

(2.3)

(yz) ∗ x = (y ∗ x)  (z ∗ x) .

(2.4)

Den första likheten kallas vänsterdistributivitet och den andra högerdistribu-

tivitet.

Denition 2 (Enhet). Ett element

Observation 1.

e∈M

Om

e

kallas enhet eller identitet för

och

e0

är enheter så är

e = e0 , 2

∗

om

då

x ∗ e = e ∗ x = x ∀x ∈ M .

e ∗ e0 = e = e0 .

3

Linjär Algebra

Denition 3 (Inverser). Om

x∗y = e så kallas x vänsterinvers till y och y högerinvers för x. Om x∗y = y ∗x = e y invers till x och betecknas vanligen x−1 .

så kallas

Observation 2. är

y = z = x−1

slutsats att om

Om

y

x

z är högerinvers till x och om ∗ är associativ, så (y ∗ x) ∗ z = y ∗ (x ∗ z) ⇒ e ∗ z = y ∗ e ⇒ z = y . Vi får som

är vänsterinvers och

inversen till

x,

ty

har invers så är denna unik.

Med hjälp av dessa enkla begrepp kan ett antal matematiska strukturer denieras.

Denition 4 (Monoid). En monoiod är en mängd med associativ binär komposition med enhet.

Denition 5 (Grupp). En grupp är en monoid där varje element har invers.

Anmärkning 2. av typen

ax = b

Axiomen för en grupp är precis de som krävs för att garantera att ekvationer

har en entydig lösning

x

för givna element

a, b

i gruppen.

Denition 6 (Abelsk grupp). En abelsk grupp är en grupp med kommutativ binär komposition.

Anmärkning 3.

För abelska grupper är det vanligast att kompositionen betecknas

addition. Enheten betecknas

0

och kallas nolla. Inversen till

x

betecknas

+

och kallas

−x.

Denition 7 (Ring). R med två associativa binära kompositioner kallade addition (+) (·), sådan att multiplikationen är distributiv över additionen och där abelsk grupp. Vanligen har ringen en etta, dvs ett element betecknat 1

En ring är en mängd och multiplikation

(R, +)

är en

som är enhet vid multiplikation.

Denition 8 (Kommutativ ring). En kommutativ ring är en ring där multiplikation är kommutativ.

Lars Svensson, Oscar Mickelin

4

Denition 9 (Skevkropp). En skevkropp

K

är en ring där varje nollskilt element har multiplikativ invers och med

K 6= {0}.

Denition 10 (Kropp). En kropp är en kommutativ skevkropp.

2.2 Låt

Moduler över ringar

M

vara en Abelsk grupp med operationen

och nollan i

M

med

0.

+,

R

och

en ring. Vi betecknar nollan i

R

med

0

Antag att vi har en avbildning

R×M →M

(2.5)

(r, x) 7→ r · x

(2.6)

sådan att (i)

0·x=0

och

1 · x = x, ∀x ∈ M

(ii)

r · (x + y) = r · x + r · y, ∀r ∈ R, ∀x, y ∈ M

(iii)

(r + s) · x = r · x + s · x, ∀s, r ∈ R, ∀x ∈ M

(iv)

r · (s · x) = (rs) · x, ∀s, r ∈ R, ∀x ∈ M M K.

Då kallas

kroppen

en

R-modul.

Anmärkning 4.

Om

är en kropp

K

så kallas modulen

M

för ett vektorrum över

Vi kommer i fortsättningen använda den vanliga konventionen för parenteser

r · x + s · y = (r · x) + (s · y). och M med 0. 2.3

R

Oftast skriver vi

rx

istället för

r·x

och betecknar nollan i både

R

Strukturebevarande avbildningar

En avbildning

ϕ : M → M0

mellan två monoider som

∀x, y ∈ M

uppfyller

ϕ(x ∗ y) = ϕ(x) ∗0 ϕ(y) ϕ(e) = e

(2.7)

0

(2.8)

kallas en monoidmorsm. En avbildning

θ : G → G0

mellan två grupper som

∀x, y ∈ G

θ(x ∗ y) = θ(x) ∗0 θ(y) θ(e) = e θ(x

−1

0

uppfyller (2.9) (2.10)

−1

) = θ(x)

(2.11)

5

Linjär Algebra

kallas en grupphomomorsm.

ρ : R → R0

En avbildning

mellan två ringar sådan att

∀x, y ∈ R

ρ(x + y) = ρ(x) +0 ρ(y)

(2.12)

0

ρ(0) = 0

(2.13)

0

ρ(x · y) = ρ(x) · ρ(y) 0

ρ(1) = 1

(2.14)

(om ettan existerar)

(2.15)

kallas en ringhomomorsm.

T : M → M0

En avbildning

mellan två

R-moduler

sådan att

∀x, y ∈ M , ∀r ∈ R

T (x + y) = T (x) +0 T (y)

(2.16)

T (r · x) = r · T (x)

(2.17)

kallas en modulhomomorsm eller en linjär avbildning.

2.4

Strukturella delmängder av algebror

A av en monoid M är en delmängd A ⊆ M sådan att ∀x, y ∈ A så gäller att x∗y ∈ A e ∈ A. En delgrupp H av en grupp G är en delmängd H ⊆ G sådan att ∀x, y ∈ H : x−1 ∈ H och x ∗ y ∈ H . Det nns också en speciellt n typ av delgrupper N ⊆ G, kallade normala, som −1 uppfyller kravet att ∀x ∈ N ∀y ∈ G : y ∗ x ∗ y ∈ N. Ett ideal J i en ring R är en delmängd J ⊆ R sådan att 0 ∈ J och

En delmonoid och

∀x, y ∈ J x + y ∈ J

(i) (ii)

∀x ∈ J ∀z ∈ R zx ∈ J ,

(vänsterideal)

(iii)

∀x ∈ J ∀z ∈ R xz ∈ J ,

(högerideal)

En delmodul

L

av en

är en delmängd

L⊆M

sådan att

∀x, y ∈ L x + y ∈ L

(i)

∀x ∈ L ∀r ∈ R rx ∈ L

(ii)

Ett delrum

W

till ett

(ett vektorrum över

2.5 Om

R-modul M

K

K -vektorrum V är en delmängd K -modul).

som är en delmodul av

K -modulen V

är ju också en

Kärnor och bilder

ϕ : M → M0

är en monoidmorsm så denieras kärnan av

ϕ

av

ker(ϕ) = {x ∈ M : ϕ(x) = e0 }. Bilden

Im(ϕ)

(2.18)

denieras, som för funktioner i allmänhet, av

Im(ϕ) = {y ∈ M 0 : ∃x ∈ M ϕ(x) = y} = {ϕ(x) : x ∈ M } = ϕ(M ).

(2.19)

Kärna och bild för grupp-, ring- och modulhomomorsmer denieras på samma sätt och är delgrupper av domän respektive codomän av morsmen, där domänen av en avbildning

B

är

A

och codomänen är

B.

Domänen betecknas ibland med dom(f ).

f :A→

Lars Svensson, Oscar Mickelin

Övning 1.

Låt

ϕ : M → M0

Låt

θ : R → R0

vara en monoidmorsm. Veriera att

6

ker(ϕ)

och

Im(ϕ)

är del-

monoider.

Övning 2.

vara en ringhomomorsm.

(i) Visa att ker(θ) är ett ideal i dom(θ). (ii) Ge exempel som visar att

Övning 3. uler av

F : M → M0 M respektive M 0 .

2.6

Låt

Im(θ)

inte alltid är ideal i

R0 .

vara en modulhomomorsm. Visa att ker(F ) och Im(F ) är delmod-

Några exempel

Exempel 1. A vara en mängd. Vi uppfattar A som en mängd av tecken eller symboler eller bokA som ett sorts alfabet. Låt nu List(A) vara mängden av alla ändliga ordnade listor av element ur A. Vi inkluderar ovan den tomma listan som vi betecknar med (inget alls), dvs om a1 , a2 , a3 , . . . är i A så är a2 a1 a1 a3 a2 en 5−lista, a2 en 1−lista och det tomma ordet en 0−lista. Om Ln = {n-listor i L} och List(A) = L, så har vi att

Låt

stäver. Det vill säga att vi tolkar

L = L0 ∪ L1 ∪ L2 ∪ . . . = ∪n∈N Ln

(2.20)

L till en monoid genom att deniera ∗ genom konkatenation av listor. x ∈ L, y ∈ L, x = x1 x2 . . . xn och y = y1 y2 . . . ym där n, m ∈ N\{0}, xi ∈ A, yi ∈ A

Vi ska nu göra Låt

så sätter vi

x ∗ y = x1 x2 . . . xn y1 . . . ym

(2.21)

Det tomma ordet (eller listan) är identitet eller enhet. Uppenbarligen är binär komposition på

A.

L,

och

L blir

∗ en associativ

därvid en monoid. Den kallas den fria monoiden på

Detta är den mest naturliga monoiden.

Exempel 2. De naturliga talen

N = {0, 1, 2, . . .}

är en kommutativ monoid under addition.

Exempel 3. Mängden av icke-negativa funktioner från en mängd addition, dvs med

f : X → [0, ∞)

och

X

g : X → [0, ∞)

är en monoid under punktvis

så denieras

f + g : X → [0, ∞)

genom

(f + g)(x) = f (x) + g(x). De heltalsvärda funktionerna från

X

är en delmonoid.

(2.22)

7

Linjär Algebra

Exempel 4. Zn

är en Abelsk grupp under addition.

Exempel 5. S(X) från X X → X så idX : X → X .

Mängden av bijektioner

f

om

och

g

är bijektiva

identitetsavbildningen

till är

X är en grupp under sammansättning, dvs f ◦ g bijektiv X → X . Enheten i S(X) är

Exempel 6. Z

är en kommutativ ring under vanlig addition och multiplikation.

Exempel 7. Om

R

är en ring så är

koecienter i

R,

R[t],

mängden av polynom i den formella variabeln

en ring som är kommutativ om

R

t

med

är kommutativ.

Exempel 8. M atn (R),

mängden av matriser av format

n×n

med element i ringen

R,

är en ring

under addition och matrismultiplikation.

Exempel 9. Mängden av kontinuerliga funktioner

Rn → R

är en ring med punktvis dernierad

addition och multiplikation.

Övning 4.

Beskriv hur

Abelsk grupp

Övning 5. 2.7 Låt

M

G

Zn

kan tolkas som en

kan tolkas som en

Z−modul

och visa sedan på samma sätt att varje

Z−modul.

Hitta på er exempel.

Metriska rum vara en godtycklig mängd. En avbildning

d

M × M → [0, ∞) ⊆ R kallas en metrik på

M

om

(2.23)

Lars Svensson, Oscar Mickelin

• d

är symmetrisk, dvs.

• d

uppfyller triangelolikheten, dvs.

8

∀x, y ∈ M : d(x, y) = d(y, x). ∀x, y, z ∈ M : d(x, z) ≤ d(x, y) + d(y, z).

• ∀x, y ∈ M : x = y ⇔ d(x, y) = 0. 2.8 Låt

V

Normerade rum vara ett vektorrum över

R

eller

C.

En avbildning

k·k

V → [0, ∞) ⊆ R kallas en norm på

• ∀α ∈ R

(eller

V

C)

(2.24)

om

och

∀x ∈ V : kαxk = |α| · kxk,

• ∀x, y ∈ V : kx + yk ≤ kxk + kyk, • ∀x ∈ V : kxk = 0 ⇔ x = 0. En mängd

M

med en metrik kallas ett metriskt rum och ett vektorrum över

R

(eller

C)

med

en norm kallas ett normerat rum. Varje normerat rum är också ett metriskt rum med metriken

d(x, y) = kx − yk. 2.9

Inreproduktrum

En inre produkt på ett vektorrum

V

över

R

är en avbildning

h·,·i

V ×V → R

(2.25)

sådan att

• ∀y ∈ V

är

V 3 x 7→ hx, yi ∈ R

linjär,

• ∀x, y ∈ V hx, yi = hy, xi, • ∀x ∈ V hx, xi ≥ 0, • ∀x ∈ V hx, xi = 0 ⇔ x = 0. En inre produkt på ett vektorrum

V

över de komplexa talen

h·,·i

V ×V → C sådan att

• ∀y ∈ V V 3 x 7→ hx, yi ∈ C • ∀x, y ∈ V hx, yi = hy, xi, • ∀x ∈ V hx, xi ≥ 0, • ∀x ∈ V hx, xi = 0 ⇔ x = 0.

är linjär,

C

är en avbildning

(2.26)

9

Linjär Algebra

Exempel 10. På

V = Rn

är

hx, yi = xT y = x1 y1 + . . . + xn yn

en inre produkt (reella skalärer).

Exempel 11. På

V = Cn

är

Anmärkning 5.

hx, yi = xT y = x1 y1 + . . . + xn yn

en inre produkt (komplexa skalärer).

Inre produkter på reella vektorrum kallas ibland euklidiska och på komplexa

vektorrum kallas inre produkter unitära.

Anmärkning 6.

Vi betecknar

hx, xi med kxk2

och ska strax visa att

kxk = hx, xi1/2

är en norm.

Sats 1 (Cauchys olikhet). V är ett inreproduktrum så x och y är linjärt beroende.

Om då

Bevis. och

β

Om

x

eller

y

gäller

∀x, y ∈ V |hx, yi| ≤ kxk · kyk

är noll så gäller olikheten självklart, så antag

x

och

med likhet precis

y

är nollskilda. Om

α

är nollskilda skalärer så gäller

|hαx, βyi| = |α| · |β| · |hx, yi|

(2.27)

och

kαxk · kβyk = |α| · |β| · kxk · kyk,

(2.28)

kxk2 = kyk2 = hx, yi = |hx, yi|. Vi

dvs olikheten är invariant under skalning. Det räcker således att visa olikheten då

hx, xi = hy, yi = 1.

Vidare kan vi utan inskränkning anta att

hx, yi ≥ 0,

dvs

visar satsen endast i det komplexa fallet. Notera att

0 ≤ hx − y, x − yi = hx, xi + hy, yi − hx, yi − hy, xi = 1 + 1 − 2|hx, yi|

(2.29)

⇒ |hx, yi| ≤ kxk · kyk.

(2.30)

Sats 2 (Minkowskis olikhet, triangelolikheten). kx + yk ≤ kxk + kyk.

Bevis.

(2.31)

kx + yk2 = hx + y, x + yi = kxk2 + kyk2 + hx, yi + hy, xi = 2

2

2

2

(2.32)

2

= kxk + kyk + 2 · Rehx, yi ≤ kxk + kyk + 2kxk · kyk = (kxk + kyk) .

(2.33)

Lars Svensson, Oscar Mickelin

10

Korollarium 3. Om

V

är ett inreproduktrum så denierar

kxk = hx, yi1/2

en norm på

V.

Vi har således att varje inreproduktrum är ett normerat rum, och varje normerat rum är ett metriskt rum.

Kapitel 3

Vektorrum och linjära avbildningar Linjär algebra studerar egenskaper av vektorrum och detta kapitel innehåller denitioner av ett antal fundamentala egenskaper för dessa. Vi fortsätter sedan med att jämföra två givna vektorrum

V

V 0.

och

Ett naturligt tillvägagångssätt för detta är att studera de avbildningar

som bevarar strukturen av

V,

T : V → V0

nämligen de linjära avbildningar som denierades i Ekv. (2.16),

och detta görs nedan. Vid en första genomläsning kan det också vara till hjälp att tänka sig att

K

kroppen

C

n

som ingår i denitionerna som följer är

R

eller

C

och att vektorrummet är

Rn

eller

.

3.1

Linjärt beroende och oberoende

M av ett vektorrum V över K kallas linjärt beroende om det existerar v1 , . . . , vm α1 , . . . , αm i K som ej alla är noll sådana att α1 v1 + . . . + αm vm = 0. Om M saknar en delmängd säger vi att M är linjärt oberoende.

En delmängd i

M

och

sådan

Sats 4. Om

u1 , . . . , un

och

v1 , . . . , vm är vektorer i V sådana u1 , . . . , un så är v1 , . . . , vm linjärt

linjärkombination av

Bevis.

Vi använder induktion över

att satsen gäller för lägre

n.

n.

Om

n=1

att

m > n

och varje

är satsen trivial så xera ett

n>1

αj1 = 0

för

α11 6= 0.

och antag

v1 = α11 u1 + . . . + α1n un

(3.1)

v2 = α21 u1 + . . . + α2n un

(3.2) (3.3)

vm = αm1 u1 + . . . + αmn un Om

är en

Då har vi alltså

. . .

santagandet ger att

vj

beroende.

j = 1, . . . , m v1 , . . . , vm är

så kan

u1 , u2 , . . . , un

ersättas med

(3.4)

u2 , . . . , u n

och induktion-

linjärt beroende, så antag, efter eventuell omnumrering, att

Då följer att

vk −

αk1 v1 ∈ linspan{u2 , . . . , un }, k = 2, . . . , m α11 11

(3.5)

Lars Svensson, Oscar Mickelin

Enligt indutionsantagandet existerar då

β2 , . . . , β m

12

ej alla noll sådana att

    α21 αm1 β2 v2 − v1 + . . . + βm vm − v1 = 0 α11 α11  ⇒ som visar att

v1 , . . . , v m

Anmärkning 7. 3.1.1

−

α21 β2 αm1 βm − ... − α11 α11

(3.6)

 v1 + β2 v2 + . . . + βm vm = 0

(3.7)

är linjärt beroende.

Den tomma mängden är linjärt oberoende.

Bas för vektorrum

En ordnad delmängd av ett vektorrum som är linjärt oberoende och som spänner upp vektorrummet kallas en bas. Om basen är en ändlig mängd så kallas vektorrummet ändligtdimensionellt.

Sats 5. Om

Bevis.

u1 , . . . , un

och

v1 , . . . , v m

är baser för vektorrummet

V

så är

n = m.

v1 , . . . , vm vara linjärt beroende om m > n och u1 , . . . , un n > m. Således är n = m.

Enligt satsen ovan skulle

vara linjärt oberoende om

skulle

Denition 11. Dimensionen för ett ändligtdimensionellt och icke-trivialt vektorrum är antalet element i en bas.

Anmärkning 8.

Ett vektorrum skiljer sig från moduler över endast ringar i det att man kan

M = Z4 så nns det ingen mängd av linjärt oberoende

visa att alla vektorrum har en bas. En modul för vilket detta inte är sant är exempelvis

Z. Eftersom 4 · m = 0 för alla m ∈ M M och därför heller ingen bas.

över ringen element i

3.2

Linjära avbildningar

Vi denierade i Ekv. (2.16) vad som menas med att en avbildning vektorrum

V och W

över kroppen

K

T (αx + βy) = αT (x) + βT (y), 3.2.1 Låt

T : V → W mellan T linjär om

två

är linjär. Utskrivet i detalj är alltså

∀α, β ∈ K, x, y ∈ V.

(3.8)

Koordinatavbildingar med avseende på en bas

u1 , . . . , un

vara en bas i vektorrumet

V.

Då existerar för varje

x

i

V

unika

x1 , . . . , xn

i

K

sådana att

x = x1 u1 + . . . + xn un .

(3.9)

13

Linjär Algebra

Skalärlistan

x1 , . . . , xn kallas då koordinaterna för x i basen U = {u1 , . . . , un }. Om e1 , . . . , en K n så kan vi deniera den s.k. koordinatavbildningen   x1 U   (3.10) V 3 x = x1 u1 + . . . + xn un 7→ x1 e1 + . . . xn en =  ...  ∈ K n . xn n är U en linjär avbildning från V till K som också är en bijektion.

är standardbasen i

Uppenbarligen

Övning 6. Övning 7. 3.2.2

Veriera att koordinatavbildningen är en linjär bijektion. Visa att en linjär bijektion har en linjär invers.

Matrisrepresentationen av en avbildning relativt baser

T : V → W {b1 , . . . , bm } är en

Låt

vara linjär och antag att bas för

W.

A = {a1 , . . . , an }

är en bas för

V

samt att

A

V 3 x = x1 a1 + . . . + xn an 7−→ x1 e1 + . . . + xn en ∈ K n

(3.11)

B

W 3 y = y1 b1 + . . . + ym bm 7−→ y1 e1 + . . . + ym em ∈ K m Notera den något olämpliga notationen, då

e1 , . . . , e m

standardbasen i

K

B =

Deniera koordinatavbildningarna

m

e1 , . . . , e n

betecknar standardbasen i

(3.12)

Kn

och

, men vi får vara lite toleranta och förse oss med en kontextuell

språksyn. Vi vill nu nna en linjär avbildning

S : Kn → Km

så att diagrammet i Fig. 3.1

kommuterar.

Qak

)

V

T

/W

S

 / Km

A

 ek 

B

 Kn

Figur 3.1: Denition av avbildningen

S

i termer av

+

T (ak ) k S(e ) k 3 T

och koordinatavbildningar

Detta går, ty A och B är ju linjära och bijektioner, dvs har linjära inverser. Därför gäller att S = B ◦ T ◦ A−1 och T = B −1 ◦ S ◦ A, där A−1 (x1 e1 + . . . + xn en ) = x1 a1 + . . . + xn an och B −1 (y1 e1 + . . . + ym em ) = y1 b1 + . . . + ym bm . Då ser vi att

S(ek ) = (B ◦ T )(ak ) = B(T (ak )) och om

T (ak ) = α1k b1 + α2k b2 + . . . + αmk bm

(3.13)

så får vi



 α1k  α2k    S(ek ) = α1k e1 + α2k e2 + . . . + αmk ek =  .  . (3.14)  ..  αmk   α11 . . . α1n  .  Men då kan S representeras med matrisen M =  ..  av format m × n, i den αm1 . . . αmn meningen att S(ek ) = M · ek där punkten i högerledet betecknar matrismultiplikation, dvs S(x) = M x,

(3.15)

Lars Svensson, Oscar Mickelin

om

14

x ∈ K n.

Observation 3. 3.2.3

M ek

är k-te kolumnen i matrisen

M.

Projektioner

P : V → V från vektorrummet V till sig P också för en idempotent om P 2 = P .

En linjär avbildning

P ◦ P = P.

själv kallas en projektion om

Ibland kallas

Observation 4.

Om

P2 = P

så är

id − P

också en projektion och

Im(P ) = ker(id − P ), ker(P ) = Im(id − P ), (id − P ) ◦ (id − P ) = id − P − P + P 2 = id − P P (x) = 0 ⇔ x = x − P x = (id − P )x. ty

och

(3.16)

(id − P )x = 0 ⇔ x = P (x)

samt

Följande resultat är enkelt, men användbart.

Sats 6. Om M är ett delrum i ett ändligtdimensionellt vektorrum V så existerar en P : V → V sådan att Im(P ) = M . Vi säger att P är en projektion på M .

projektion

Bevis.

Låt u1 , . . . , um vara en bas för M och välj um+1 , . . . , un så att u1 , . . . , un är en bas V (att detta är möjligt ges som en övning för läsaren). Varje x i V kan skrivas unikt som x = x1 u1 + . . . + xm um + . . . + xn un (där x1 , . . . , xn är koordinaterna för x i basen u1 , . . . , un ). Deniera nu P : V → V genom för

Uppenbarligen är

dvs

P ◦P =P

P (x) = x1 u1 + . . . + xm um

(3.17)

P ◦ P (x) = P (x1 u1 + . . . + xm um ) = x1 u1 + . . . + xm um ,

(3.18)

P

linjär och

Dessutom ser vi att

Im(P ) = M ,

varför satsen är visad.

En mental bild för satsen ges i Figur 3.2. Ett av de mest centrala resultaten i linjär algebra är

Sats 7 (Dimensionssatsen). Om

V

och

W

är ändligtdimensionella vektorrum över

avbildning så är

Bevis.

K

och

T :V →W

är en linjär

dim(V ) = dim(ker(T )) + dim(Im(T )).

{a1 , . . . , ak } vara en bas för ker(T ). Utvidga denna till en bas {a1 , . . . , ak , ak+1 , . . . , an } V . Då spänner vektorerna T (ak+1 ), . . . , T (an ) naturligtvis upp Im(T ). Vi ska nu visa att dessutom är linjärt oberoende och därmed en bas för Im(T ). Så antag λk+1 T (ak+1 ) + . . . + λn T (an ) = 0 Låt

för hela de

⇒ T (λk+1 ak+1 + . . . + λn an ) = 0

(3.19)

⇒ λk+1 ak+1 + . . . + λn an ∈ ker(T )

(3.20)

⇒ λk+1 = . . . = λn = 0,

(3.21)

15

Linjär Algebra

 

• x        

• un

    

V

ker(P )=Im(id−P ) um+1 •

 

• 0

• u1

• u2

• um

• Px

M = Im(P )

Figur 3.2: Mental bild för Sats 6.

eftersom

a1 , . . . , ak

ju är bas för

ker(T )

och

a1 , . . . , a n

är linjärt oberoende. Således har vi visat

att

dim(ker(T )) + dim(Im(T )) = k + (n − k) = n = dim(V )

Observation 5.

W

(3.22)

behöver inte ha ändlig dimension.

En mental bild för satsen ges i gur 3.3.

/W V •