Komplexe Zahlen für Dummies Das Pocketbuch [1. Auflage] 352770728X, 9783527707287 [PDF]

Zitiervorschau

h le n g a r n Komplexe Z a

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Potenzen

Frank Kretzsc

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Frank Kretzschmar

Komplexe Zahlen fürDummies Das Pochetbuch Fachkorrektur f/on Dr. Patrick Kühne/

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WILEY­ VCH

WILEY-VCH Verlag

&

Co. KGaA

I

I I I I I

�

Komplexe Zahlen für Dummies UmrechnunfJ der DarstelluntJs(ormen der komplexen Zahlen

z Re(z) + i · Im(z)

II Algebraische Normalform: II Exponentialform:

=

z lzl· ei·arg(z) =

mit 0::; arg(z) < 21r

Re(z) lzl· cos(arg(z)) und Im(z) lzl· sin(arg(z)) =

lzl

=

=

V[Re(z)]2 + [Im(z)]2 0, für �e(z) > 0 und Im(z) 0 1r, für Re(z) < 0 und Im(z) 0 =

�' für Re(z)

�1r, arg(z)

=

=

=

für Re(z)

artcan artcan artcan

0

=

und Im(z) > 0

0

und Im(z) < 0

( �:i:i), ( �:i:i) 1r, ( �i:i)

im

+

+

21r,

1.

Quadranten

im 2. und 3. Quadranten im 4. Quadranten

I I I I I

KompleJre Zahlen für Dummies

V Algebraische Normalform:

z1 Re(zi) + i · Im(z1) und =

zz Re(zz) + i Im(zz) ZJ lz1l · ei·arg(z!) =

·

V Exponentialform:

=

und

Zz lzzl · ei·arg(Zz) =

V Addition:

Z3 z1 + zz [Re(zi) + Re(zz)] + i · [Im(zi) + Im(zz)] =

=

V Subtraktion:

z3 z1- z2 =

=

[Re(zi)- Re(z2 )] + i [Im(zi)- Im(zz)] ·

V Multiplikation:

Exponentialform:

Z3 ZJ. Zz [izii·Izzll· ei[.p(arg(z!)+arg(zz))] =

=

Algebraische Normalform:

Z3 z1 · Zz [Re(zi) · Re(zz)- Im(zi) · Im(zz)] =

=

+ i · [Im(zi)·Re(zz) + Re(zJ) lm(zz)] ·

V Division:

Exponentialform:

z3

=

Z1 Zz

=

[�] lzzl

.

ei·[(arg(zJ)-arg(z2))]

Algebraische Normalform:

Z3

=

z1 zz

-

=

Re(zi) Re(z2 ) + Im(z1) · Im(z2 ) ---''---..:.-';-;:�';i;-� ::-c --'-;-=�;[Re(zz)J2 + [Im(zz)J2 --'--=-:... ·

. Im(z1) · Re(zz)- Re(z1) Im(zz) +!·--�=-������� [Re(zz)J2 + [Im(zz)J2 •

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Bibliografische Information der Deutschen Nationalbibliothek

Die Deutsche Nationalbibliothek verzeichnet diese Publikation in der Deutschen Nationalbibliografie; detaillierte bibliografische Daten sind im Internet über http://dnb.d-nb.de abrufbar.

1. Auflage 2011 © 2011 WILEY-VCH VerlagGmbH & Co. KGaA, Weinheim Alle Rechte vorbehalten inklusive des Rechtes auf Reproduktion im Ganzen oder in Teilen und in jeglicher Form. All rights reserved including the right of reprodi.Iction in whole or in part in any form. Wiley, die Bezeichnung »Für Dummies«, das Dummies-Mann-Logo und darauf bezogene Cestallungen sind Marken oder eingetragene Marken von John Wiley & Sons, Inc., USA, Deutschland und in anderen Ländern. Wiley, the Wiley logo, Für Dummies, the Dummies Man logo, and related trademarks and trade dress are trademarks or registered trademarks of John Wiley & Sons, Inc. and!or its affiliates, in the United States and other countries. Used by permission.

Das vorliegende Werk wurde sorgfältig erarbeitet. Dennoch übernehmen Autoren und Verlag für die Richtigkeit von Angaben, Hinweisen und Ratschlägen sowie eventuelle Druckfehler keine Haftung.

Printed in Germany Gedruckt auf säurefreiem Papier

Korrektur: Frauke Wilkens, München Satz: Mitterweger und Partner, Flankstadt Druck und Bindung: AALEXX BuchproduktionGmbH, Großburgwedel ISBN: 978-3-527-70728-7

lnhaltsflerzeichnis 6

EinführuniJ

Teil I Was über Zahlen bereits bekannt ist

9

Kapitef 1

Zahfen afs Vektoren auf dem Zahfenstrahf

11

Kapitef 2

Rechnen mit Vektoren

18

Teil II Komplexe Zahlen -ein neuer Zahlent1Jp Kapitef 3 Kapitef 4 Kapite( 5

Die imaiJinären Zahfen Die kompfexe Zahf - die Summe aus reeUer

25 27

und imatJinärer Zahf

40

Die Grundrechenarten mit kompfexen Zahfen

57

Teil 111 Die tJ.rundletJ.enden Funktionen im Komplexen

83

Kapite( 6

Die kompfexe e-Funktion

85

Kapitef 7

Die kompfexe LotJarithmus-Funktion

97

Kapitef 8

Potenzen kompfexer Zahfen

Teil J(/ Der Top�Ten�Teil Kapitef 9

(10 + Oi) Tipps zum Bestehen der Kfausur

Stichu!ortllerzeichnis

105

123 125 127

Einführung Willkommen! Sie nehmen sich Zeit, um einen Blick in das Packetbuch Komplexe Zahlen für Dummies zu werfen. Der Grund ist gewiss nicht, dass Sie mit diesem Wissen bei einer Party glänzen wollen. Also was ist dann der Grund? Vielleicht müssen Sie im Beruf ein Problem lösen, welches Wissen über komplexe Zahlen voraussetzt. Oder vielleicht hat Ihr Mathe­ Lehrer erwähnt, dass es noch andere als die in der Schule behandelten reellen Zahlen gibt. Vielleicht aber kommen Sie einfach nicht an den komplexen Zahlen vorbei, wenn Sie in Ih­ rem Studium die Mathe-Prüfung bestehen wollen. Was auch immer der Grund sein mag, bitte lesen Sie noch die nächs­ ten beiden Seiten und entscheiden Sie dann, ob Ihnen dieses Buch helfen kann. Über dieses Buch

Dieses Buch führt Sie in das Thema der komplexen Zahlen ein. Dabei wird gezeigt, dass es von den aus der Schule bereits bekan'nten reellen Zahlen nur ein kleiner Schritt bis zu den komplexen Zahlen ist. Ziel ist es, dem Leser die komplexen Zahlen auf der Basis des Wissens der 10. Klasse zu erklären. Was Sie nicht lesen müssen

Falls Sie den Schulstoff bis zur 10. Klasse sehr gut beherr­ schen, reicht es sicher aus, den ersten Teil mal schnell zu überfliegen. Aber Vorsicht! Der zweite Teil baut auf dem im ersten Teil vermittelten Stoff auf. Und falls die Mehrwertigkeit der komplexen Logarithmus­ Funktion für Sie bereits eine Selbstverständlichkeit ist, dann

Einf ü h r u n g

7

investieren Sie das Geld besser in ein anderes für Dummies­ Buch. Törichte Annahmen über den Leser

Ich nehmen an, dass Sie gute Gründe haben, sich mit dem nicht ganz alltäglichen Thema der komplexen Zahlen zu be­ schäftigen. Ich nehme weiter an, dass Sie noch kein mehrjäh­ riges Mathematik-Hochschulstudium hinter sich haben und Sie deshalb nicht die Nase rümpfen werden, wenn in diesem Buch eher anschaulich denn formal korrekt in diese Mate­ rie eingeführt wird. Auch können Sie damit leben, dass wir schnell auf den Punkt kommen und nicht jede Aussage ma­ thematisch exakt herleiten. Wie dieses Buch auftJebaut ist

Teil 1: Was über Zahlen bereits bekannt ist

Zu Beginn wird das Wichtigste wiederholt, was aus der Schule. über Zahlen bereits bekannt ist. Ich zeige Ihnen, wie Sie den Zahlen auf dem Zahlenstrahl Vektoren zuordnen können und umgekehrt. Anschließend erkläre ich Ihnen, wie Sie mit die­ sen Vektoren rechnen können. Teil II: Komplexe Zahlen -ein neuer Zahlent1Jp

Hier werden nun die komplexen Zahlen eingeführt. Sie er­ fahren, wie Sie sich komplexe Zahlen durch Vektoren veran­ schaulichen können und wie Sie mit ihnen die Grundrechen­ arten ausführen.

8

Kom plexe Zahle n fü r D u m m i e s

Teil 111: Die grundlegenden Funktionen im Komplexen

Nachdem Sie die Grundrechenarten beherrschen, werden Sie hier erfahren, wie Sie von komplexen Zahlen die e-Funktion, den Logarithmus und Potenzen berechnen. Teil/(/: Der Top-Ten-Teil

Hier finden Sie noch einmal zehn (Als Komplexe Zahl: 10+0i) leider etwas unbequeme Tipps, die Ihnen helfen sollen, die Prüfung zu bestehen. S1Jmhole1 die in diesem Buch eierwendet werden

� Manchmal ist es unumgänglich, einen neuen Begriff � oder ein neues Symbol einzuführen. Hier ist es mal

wieder soweit. Lesen Sie erst weiter, wenn Sie sich im Klaren darüber sind, was der neu eingeführte Begriff bedeutet oder wie das Symbol zu interpretieren ist! Anderenfalls riskieren Sie, den nachfolgenden Text nicht zu verstehen.

� Dieses Symbol weist auf eine mathematische Aussage '11l.) oder einen Zusammenhang hin, den Sie sich merken sollten.

f.iii\ � � � -

Ein Beispiel sagt manchmal mehr als tausend Worte. Dieses Symbol weist auf ein solches hin. Die Mathematik hält viele Fallstricke bereit. Dieses Symbol weist Sie auf einen solchen hin und zeigt, wie Sie nicht straucheln.

Teil I

Was über Zahlen bereits bekannt ist

ln diesem Teil . . .

wird wiederholt, was Sie schon aus der Schule wissen könn­ ten. Vergewissern Sie sich, dass Ihnen noch alles in Erinne­ rung ist! Es wird im Besonderen gezeigt, dass 1.

2. 3. 4. 5.

die verschiedenen Zahlenbereiche aufeinander aufbauen und jeweils nur bestimmte Rechenoperationen uneinge­ schränkt zulassen, eine reelle Zahl aus zwei Teilen besteht, nämlich ihrem Betrag und ihrem Vorzeichen, jeder reellen Zahl eindeutig ein waagerechter Vektor zuge­ ordnet werden kann und umgekehrt, der Betrag einer reellen Zahl gleich der Länge des ihr zu­ geordneten Vektors ist, beim Vorzeichen - (Minus) vor einer Zahl der ihr zugeord­ nete Vektor nach links zeigt und bei einer Zahl ohne Vor­ zeichen der ihr zugeordnete Vektor nach rechts zeigt.

Zu Beginn dieses Teiles erfahren Sie, was Sie über Vektoren wissen müssen, um den Stoff im weiteren Verlauf des Buches zu verstehen. Daran anschließend werde ich anschaulich erläutern, wie Sie mit den Vektoren der Zahlen die vier Grundrechenarten (Addition, Subtraktion, Multiplikation und Division) durch­ führen können. Das Wissen darum, wie Rechenoperationen mit Vektoren von reellen Zahlen durchzuführen sind, wird Ihnen dabei helfen, auch die Operationen mit Vektoren von komplexen Zahlen zu verstehen.

Zahlen als Vektoren auf dem Zahlenstrahl

1

Vorbemerkun9en zu Vektoren

Da der Begriff des Vektors in diesem Buch eine überragende Rolle spielt, möchte ich zu Beginn erläutern, was darunter zu verstehen ist. Vektoren sind sehr einfache mathematische Ob­ jekte. Am anschaulichsten beschreibt man einen Vektor durch einen Pfeil in einem Koordinatensystem, der eine vorgege­ bene Länge hat und in eine vorgegebene Richtung zeigt. Er besteht entsprechend Abbildung 1. 1 aus dem Anfangspunkt, dem Endpunkt und der geraden Verbindungsstrecke zwischen beiden. Die Länge der Verbindungsstrecke ergibt sich au­ tomatisch, wenn Sie die Lage von Anfangs- und Endpunkt kennen. Beachten Sie also immer, dass die Lage des Vektors im Koordi­ natensystem keine Rolle spielt! Wichtig sind nur die Richtung und der Abstand zwischen Anfangs- und Endpunkt. Natürlich wollen Sie nicht immer ein Bild wie das in Ab­ bildung 1 .1 zeichnen, um einen Vektor darzustellen. Des­ halb wird ein Vektor formelmäßig durch zwei Zahlen festge­ legt:

12

K o m plexe Zahlen für D u m m i e s

y 3 2

Verbindung�strecke

' "

Anfangspunkt '

1

1

2

3

X

Abbild ung 1.1: Ein Vektor un d seine Komponenten im Koordina­ tensystem

1.

Die Differenz der x-Koordinaten von End- und Anfangs­ punkt

2.

Die Differenz der y-Koordinaten von End- und Anfangs­ punkt

Diese beiden Zahlen schreiben Sie dann untereinander in eine Klammer. Dadurch ist der Vektor eindeutig bestimmt (siehe Abbildung 1.2) . Um auszudrücken, dass es sich bei einem mathematischen Objekt um einen Vektor handelt, schreiben Sie über den Buchstaben, der den Vektor bezeichnet, einen kleinen Pfeil . Auch das wird in Abbildung 1 .2 gezeigt.

1 )o- Z a hlen a ls Vektoren a u f d e m Zahlenstrahl

13

y

3 2

Differenz der X-Koordinaten: 3-1=2 Differenz der y-Koordinaten: 2-1=1

1

(- 3)

( -2 )

1

2

3

X

Abbildung 1.2: Zwei Beispiele für die formelhafte Darstellung von Vektoren

DarsteltuniJ der bisher bekannten Zahlen durch Vektoren

In der Schule haben Sie gelernt, dass jeder Zahl eindeutig ein Punkt auf dem Zahlenstrahl (genau genommen müsste man sagen »auf der Zahlengeraden«) zugeordnet ist und um­ gekehrt. Gleichwertig damit ist die Vorstellung, dass einer Zahl eindeutig ein waagerechter Vektor zugeordnet ist, der

14

K o m plexe Z a hlen f ü r D u m m i e s

im Nullpunkt beginnt und der in dem der Zahl zugeordne­ ten Punkt des Zahlenstrahls endet. Bei diesen Vektoren ha­ ben Anfangs- und Endpunkt die gleiche y-Koordinate. Deshalb müssen Sie deren Differenz nicht extra angeben, sie beträgt immer Null.

� Sie können jeder Zahl eindeutig einen waagerechten � Vektor zuordnen. Welchen Vektoren Sie aber umgekehrt auch eine Zahl zuordnen können, hängt vom betrachteten Zahlenbereich ab.

zwischen einer Zahl und dem ihr zugeordneten Vektor unterscheiden zu können, wird im Weiteren der Vektor durch einen Pfeil über der Zahl gekennzeichnet.

Um

r.iii\ Die Zahl 5 wird gekennzeichnet durch: 5. Der V_: ktor, � welcher der Zahl 5 zugeordnet ist, wird durch 5 gekennzeichnet.

Natürliche Zahlen

Die Punkte zweier aufeinanderfolgender natürlicher Zahlen haben auf dem Zahlenstrahl immer den gleichen Abstand zu­ einander. Die kleinste Zahl ist die 0 (Null). Sie liegt ganz links und hat als einzige natürliche Zahl keinen Vorgänger. Jede andere natürliche Zahl hat genau einen Vorgänger und ge­ nau einen Nachfolger. Beispiele von Vektoren, die natürlichen Zahlen zugeordnet sind, zeigt Abbildung 1.3.

� Es sind nur die Vektoren einer natürlichen Zahl zuge­ 'fl.I.J ordnet, die nach rechts zeigen und deren Längen ein ganzzahliges Vielfaches der Länge des Vektors f sind .

15

1 > Za hlen a ls Ve kto r e n a uf d em Z a hlenstrahl

1

,I

--------7'

3

I

Abbildung 1.3: Die Vektoren der natürlichen Zahlen 1 und 3

Im Zahlenbereich der natürlichen Zahlen sind von den vier Grundrechenarten nur die Addition und die Multiplikation uneingeschränkt ausführbar. Bei Division und Subtraktion ist es möglich, dass Sie kein Ergebnis innerhalb der natürlichen Zahlen erhalten. Ganze Zahlen

Die ganzen Zahlen erweitern die natürlichen Zahlen in der Form, dass auf dem Zahlenstrahl auch Zahlen links von der 0 zugelassen sind. Die Zahlen rechts von 0 werden nun als po­ sitiv bezeichnet und die Zahlen links von 0 als negativ. Die negativen Zahlen werden durch ein vorangestelltes - (Minus) gekennzeichnet. Die den positiven Zahlen zugeordneten Vek­ toren zeigen nach rechts und die den negativen Zahlen zu­ geordneten Vektoren zeigen nach links (siehe Abbildung 1.4). Auch für eine ganze Zahl gilt, dass die Länge des ihr zuge­ ordneten Vektors ein ganzzahliges Vielfaches der Länge des Vektors f ist. Es gibt jetzt im Gegensatz zu den natürlichen Zahlen je­ weils zwei Zahlen, deren Vektoren die gleiche Länge a haben, nämlich der der Zahl a zugeordnete Vektor und der der Zahl (-a) zugeordnete Vektor.

16

Komplexe Z a hlen f ü r D u m mies

1

0

I 1

I 2

3

Abbildung 1.4: Die Vektoren der ganzen Zahlen 2 und (-2)

Sie können nur denjenigen Vektoren eine ganze Zahl zuordnen, deren Länge ein ganzzahliges Vielfaches der Länge des Vektors f ist. Die Vektoren können sowohl nach rechts als auch nach links zeigen. Nach rechts gerichteten Vektoren werden positive Zahlen zugeordnet und nach links gerichteten Vektoren werden negative Zahlen zugeordnet.

� Im Zahlenbereich der ganzen Zahlen sind von den IJ}]J,.) vier Grundrechenarten die Addition, die Subtraktion und die Multiplikation uneingeschränkt ausführbar, nicht aber die Division.

Reefte Zahlen

Die reellen Zahlen schließen nun die bestehenden Lücken bezüglich der Zuordenbarkeit der Vektoren zu den Zahlen.

� Sie können jedem Vektor unabhängig von seiner l!l.JJ.} Länge und Richtung eine reelle Zahl zuordnen (siehe Abbildung LS).

Im Zahlenbereich der reellen Zahlen sind alle vier Grundrechenarten, also auch die Division, un­ eingeschränkt ausführbar. Außerdem können Sie innerhalb dieses Zahlenbereichs von jeder positiven reellen Zahl die Wurzel ziehen. Die Wurzel einer

1 )o- Zahlen als V e kto ren a u f d e m Zahle n strahl �

0

21

1

(

�

aneinander gelegt ung umkehren)

2,25

2

3

4

5

Abbildung 2.3: S ubtraktion der Vektoren zweier positiver Zahlen

Als Nächstes soll auch für die Subtraktion gezeigt werden, was geschieht, wenn Sie den Vektor einer negativen Zahl von einem Vektor einer positiven Zahl subtrahieren. In Abbil­ dung 2.4 wird demonstriert, wie der der Zahl ( - 1,5) zugeord­ nete Vektor von dem der Zahl 3 zugeordneten Vektor subtra­ hiert wird. Das Ergebnis ist erwartungsgemäß der der Zahl4,5 zugeordnete Vektor. __.,.

--------;:> 4,5 (Ergebnis) aneinander gelegt ------7 1,5 (Richtung umkehren)

0

1

2

3

--->

3,0

4

5

Abbildung 2.4: S ubtraktion eines Vektors einer negativen Zahl von einem Vektor einer positiven Zahl

Multiplikation und Diflision flon Vektoren

Es ist möglich, nur mit Zirkel, Bleistift und Lineal (wel­ ches nur zum Zeichnen von geraden Linien genutzt wird) so­ wohl den Produkt-Vektor (bei Multiplikation) als auch den

22

Kom plexe Zahle n für D u m mies

Quotienten-Vektor (bei Division) zu konstruieren. Dabei wird ausgenutzt, dass in ähnlichen Dreiecken bestimmte Seiten­ verhältnisse gleich sind. Allerdings soll hier eine stark vereinfachte Form dieser Me­ thode erläutert werden. Die hier eingeführte Methode wird ausreichend sein, um später darauf aufbauend auch die Mul­ tiplikation und Division der Vektoren von komplexen Zahlen erläutern zu können. Von der Multiplikation und Division von Zahlen ist bekannt, dass der Betrag des Produkts beziehungsweise des Quotienten zweier reeller Zahlen gleich dem Produkt beziehungsweise Quotienten der Beträge dieser beiden Zahlen ist. Dieser Satz ist vielleicht beim einmaligen Lesen etwas verwirrend, des­ halb stellen die nachfolgenden Symbole diesen Sachverhalt noch einmal formelhaft dar.

!lll.i\ Für zwei reelle Zahlen a und b gilt: �

� �

la·bl = lal·l bl und � = � b lbl Beispiel: Wenn Sie a = 3 und b = -4 setzen, so ergibt sich für die Multiplikation: linke Seite: 13 · (-4)1 = 1 (-12)1 = 12 rechte Seite: 13 1· I ( -4) I = 3 ·4 = 12 Beide Seiten ergeben also denselben Wert.

Nach dem Betrag des Ergebnisses müssen Sie auch noch des­ sen Vorzeichen bestimmen, und dafür gibt es eine sehr einfa­ che Regel: Das Ergebnis einer Multiplikation beziehungsweise Division reeller Zahlen hat kein Vorzeichen, wenn die beiden zu mul-

2 � Re c h n e n mit Vekto ren

23

tiplizierenden oder durcheinander zu dividierenden Zahlen gleiche Vorzeichen haben (entweder kein Vorzeichen oder Mi­ nus). Ansonsten ist das Vorzeichen des Ergebnisses - (Minus).

r.iii\ Es sollen Zahlen mit den Beträgen 2 und 3, aber � unterschiedlichen Vorzeichen, miteinander multipliziert werden:

2 ·3 = 6

(-2). (-3) = 6 (-2). 3 = (-6)

Au� den Regeln für die Multiplikation und Division mit reel­ len Zahlen lassen sich die Regeln für die Multiplikation und Division mit deren Vektoren ableiten: Multiplikation beziehungsweise Division zweier Vektoren wird ausgeführt, indem 1.

der Ergebnisvektor eine Länge bekommt, die gleich dem Produkt beziehungsweise Quotienten der Längen der bei­ den zu multiplizierenden beziehungsweise durcheinander zu dividierenden Vektoren ist,

2.

der Ergebnisvektor nach rechts zeigt, wenn die beiden zu multiplizierenden beziehungsweise durcheinander zu dividierenden Vektoren in die gleiche Richtung zeigen, und nach links zeigt, wenn die beiden zu multiplizie­ renden beziehungsweise zu dividierenden Vektoren in verschiedene Richtungen zeigen.

r.iii\ Abbildung 2.5 zeigt, wie aus den Vektoren der Zahlen � 3 und 2 ihr Produkt-Vektor entsteht. Seine Länge be­

trägt 6, denn 6 ist das Produkt aus 2 und 3. Und er ist nach rechts gerichtet, denn die Vektoren von 2 und 3 zeigen in dieselbe Richtung.

24

Kom plexe Zahle n f ü r D u m m i e s

--------'7 --------0>

2,Ö

______"

________

1

0

2

---->

---->

6,0 (Ergebnis)

3,0

II

4

3

6

5

Abbildung 2.5: M ultiplikation der Vektoren zweier positiver Zahlen

r.lfi\ Abbildung 2.6. zeigt, was geschieht, wenn die zu � multiplizierenden Vektoren in unterschiedliche

Richtungen zeigen. In diesem Fall zeigt der Produkt­ Vektor nach links, wobei seine Länge gleich dem Produkt der Längen der beiden zu multiplizierenden Vektoren ist. ------;,

-4,0 (Ergebnis) -->

-2,0

-->

2,0

•

I -4

II

-3

-2

-1

0

1

2

Abbildung 2.6: M ultiplikation zweier in verschiedene Richtungen zeigender Vektoren

Teil II

Komplexe Zahlen ein neuer Zahlent1Jp

»Was 9enau wollten wir nochmal beweisen?«

ln diesem Teil

... ·

werden aufbauend auf dem im ersten Teil erworbenen Wissen die imaginären und die komplexen Zahlen eingeführt, indem sie durch Vektoren in einer Ebene (der Gaußsehen Zahlen­ ebene) veranschaulicht werden. Sie erfahren weiterhin, wie die Grundrechenarten mit imaginären und komplexen Zah­ len durchzuführen sind. Folgende Themen werden behandelt: I.

der Zahlenstrahl der imaginären Zahlen,

2.

die den imaginären Zahlen zugeordneten Vektoren,

3.

die Grundrechenarten mit den Vektoren, die den imaginären Zahlen zugeordnet sind,

4.

die Grundrechenarten mit imaginären Zahlen,

5.

die Gaußsehe Zahlenebene,

6.

die den komplexen Zahlen zugeordneten Vektoren,

7.

die Grundrechenarten mit den Vektoren, die den kom­ plexen Zahlen zugeordnet sind,

8.

die algebraische Normalform und die Exponentialform der komplexen Zahlen,

9.

die Grundrechenarten mit komplexen Zahlen,

10.

die Rechenregeln

Die imatJinären Zahlen

3

In diesem Kapitel werde ich Ihnen die imaginären Zahlen und die Durchführung der Grundrechenarten mit diesen erläutern. Dabei gehe ich so vor, dass ich zunächst die Dar­ stellung der imaginären Zahlen mittels der ihnen zugeord­ neten Vektoren erläutere. Darauf aufbauend erkläre ich die Regeln für die Durchführung der Grundrechenarten mit den imaginären Zahlen beziehungsweise den ihnen zugeordneten Vektoren. Sie werden sich fragen, wozu ein solcher Aufwand nötig ist. Aber am Ende des Kapitels wird sich das Geheim­ nis lüften. Nur so viel: Sie werden dann in der Lage sein, die Wurzeln von negativen reellen Zahlen zu ziehen. Der Zahlenstrahl für die imaiJ.iniiren Zahlen

So wie reelle Zahlen werden auch imaginäre Zahlen den Punk­ ten auf einem Zahlenstrahl, eben dem imaginären Zahlen­ strahl, zugeordnet. Sie können sich diesen Zahlenstrahl ganz einfach als den um 90° gegen den Uhrzeigersinn gedrehten Zahlenstrahl für die reellen Zahlen vorstellen (siehe Abbil­ dung 3.1). Da das Ganze wie ein Koordinatensystem aussieht, spricht man in Analogie zur x- und y-Achse im Koordinaten­ system jetzt nicht mehr von den Zahlenstrahlen für die reellen und imaginären Zahlen, sondern einfach von der reellen und der imaginären Achse.

28

Komplexe Za hlen f ü r D u m m i e s

Wie schon im Reellen können Sie auch hier jeder imaginären Zahl sowohl einen Punkt auf der imaginären Achse als auch einen auf dieser Achse liegenden oder zu dieser Achse paralle­ len Vektor zuordnen. Dieser Vektor beginnt im Nullpunkt und endet im Punkt der Zahl auf der imaginären Achse. Der Vektor einer imaginären Zahl zeigt somit nach oben für eine positive imaginäre Zahl und nach unten für eine negative imaginäre Zahl (siehe Abbildung 3.1). Imaginäre Achse

3 i2 .1-

"07

21

1iReelle Achse

I

(-3)

I

(-2)

I

I

1

(-1) (-1)i(- 2)i-

I

2

T=2);

(-3)iAbbildung 3.1: Reelle und imaginäre Zahlenachse sowie die Vektoren 2T und (-2)i

I

3

3 � Die i m a ginären Zahlen

29

Um zwischen reellen und imaginären Zahlen zu unterschei­ den, steht hinter dem Wert der imaginären Zahl immer noch ein »i«. (zum Beispiel 2i, sprich: »zwei i«). Wie im Reellen soll auch der einer imaginären Zahl zugeordnete Vektor durch den darüberstehenden Pfeil gekennzeichnet werden. Damit sind die imaginären Zahlen schon erklärt. Als Nächstes werde ich Ihnen die Grundrechenarten mit den Vektoren der imaginären Zahlen erklären. Addition und Subtraktion

Die Addition und Subtraktion der Vektoren zwei er imaginärer Zahlen wird genau so durchgeführt, wie wir es schon für die reellen Zahlen kennen. Die VE:ktoren werden einfach aneinan­ der gelegt. Das bedeutet, dass der Ergebnis-Vektor auch senk­ recht steht und somit wieder der Vektor einer imaginären Zahl ist. Die Regel für das Addieren und Subtrahieren der imaginären Zahlen selbst lässt sich nun sehr einfach ableiten.

� Für zwei imaginäre Zahlen a · i und b · i gelten IJJJf.} folgende Beziehungen: a · i + b · i = (a + b) · i a · i - b · i = (a - b) · i Beispiel aus Abbildung 3.2: 2i + (- 1,5)i = (2 - 1,5)i 0,5i =

30

K o m plexe Z a h len f ü r D u m m i es

3i 2i 1i

(-3)

(-2)

aneinander gelegt

1 .. 1

(-1) (-1)i (-2)i

, , ." . ,,,, ,

2

3

---7

{-l,S)i

(-3)i Abbildung 3.2: Addition der Vektoren zweier imaginärer Zahlen

Multiplikation

Zur Erläuterung der Multiplikation soll zunächst eine neue Darstellungsweise für die Vektoren der Zahlen eingeführt werden. Statt der Richtung, in welche der Vektor zeigt (nach links, nach rechts, nach oben oder nach unten), können Sie auch den Winkel angeben, den er mit der positiven reellen Achse im positiven Drehsinn (das ist gegen den Uhrzeiger­ sinn) einschließt. Für diesen Winkel (bezeichnen wir ihn mit

3 > Die imaginä r e n Zahlen

31

4>, sprich: "Fie") gibt es in Abhängigkeit vom Zahlentyp und dem Vorzeichen nur vier Möglichkeiten (siehe Abbildung 3.3). 1.

Vektor einer positiven reellen Zahl:

2.

Vektor einer positiven imaginären Zahl: 1> =

3.

Vektor einer negativen reellen Zahl:

4.

3 Vektor einer negativen imaginären Zahl: 1> = 21r

1> = 0 1> =

i

1r

Wenn Sie nun Vektoren von Zahlen darstellen, indem Sie ihre Längen und Winkel angeben, so lässt sich die Regel für die Multiplikation zweier Zahlen anschaulich über die ihnen zu­ geordneten Vektoren formulieren. Diese Regel gilt dann un­ abhängig vom Typ der beiden zu multiplizierenden Zahlen. Zwei Zahlen, für deren Vektoren jeweils die Länge und der Winkel gegeben sind, werden miteinander multipliziert, indem 1. der Ergebnis-Vektor eine Länge bekommt, die gleich dem Produkt der Längen der Vektoren der zu multiplizierenden Zahlen ist,

32

K o m plexe Za hlen für Dum m i e s

Abbildung 3.3: Darstellung der den Zahlen zugeordneten Vektoren durch Längen und Winkel

2. der Ergebnis-Vektor einen Winkel bekommt, der gleich der Summe der Winkel der Vektoren der zu multiplizierenden Zahlen ist, 3. ermittelt wird, welcher Zahl der Ergebnis-Vektor zugeordnet ist. Einige Beispiele sollen diese einfache Regel noch einmal ver­ deutlichen.

r.iii\ Beispiel 1: 2 ( -2,5) (Multiplikation zwei er reeller � Zahlen) ·

1. Die Vektoren dieser beiden Zahlen haben die Längen 2 und 2,5. Das Produkt von 2 und 2,5 ist 5.

3 >- D i e im aginä re n Zahlen

33

20 Die Vektoren dieser beiden Zahlen haben die Winkel 0 und 7fo Die Summe der beiden Winkel ist somit 7fo 30 Der Ergebnis-Vektor hat also die Länge 5 und den Winkel 7fo Dieser Vektor ist der reellen Zahl ( -5) zugeordnet. 2 3i (Multiplikation von reeller und imaginärer Zahl)

Beispiel 2:

o

1. Die Vektoren dieser beiden Zahlen haben die Längen 2 und 30 Das Produkt von 2 und 3 ist 60 20 Die Vektoren dieser beiden Zahlen haben die Winkel 0 und 7f/z o Die Summe der beiden Winkel ist somit 7f/zo 30 Der Ergebnis-Vektor hat also die Länge 6 und den Winkel 7r/zo Dieser Vektor ist der imaginären Zahl 6i zugeordnet. Beispiel 3: 2i 0 4i (Multiplikation zweier imaginärer Zahlen) 1. Die Vektoren dieser beiden Zahlen haben die Längen 2 und 40 Das Produkt von 2 und 4 ist 80 20 Die Vektoren dieser beiden Zahlen haben jeweils den Winkel 7r/zo Die Summe der beiden Winkel ist somit 7fo 3o Der Ergebnis-Vektor hat also die Länge 8 und den Winkel 7fo Dieser Vektor ist der reellen Zahl ( - 8) zugeordnet.

34

Kom plexe Z a hlen für D u m m i e s

Wie Sie an den Beispielen sehen, hat die Regel für die Multi­ plikation zweier Zahlen folgende Konsequenzen: 1. 2.

3.

Das Ergebnis der Multiplikation zweier reeller Zahlen ist immer eine reelle Zahl. Das Ergebnis der Multiplikation einer reellen mit einer imaginären Zahl ist immer eine imaginäre Zahl. Das Ergebnis der Multiplikation zweier imaginärer Zahlen mit gleichem Vorzeichen ist immer eine negative reelle Zahl.

� Bei der Addition der Winkel zweier Vektoren kann das

� Ergebnis gleich oder sogar größer als 21r sein. Dies

entspricht einem Winkel von mehr als einer ganzen Umdrehung. In diesem Fall zieht man einfach wieder 21r von dem Ergebnis ab.

Wenn Sie zum Beispiel zwei negative imaginäre Zahlen miteinander multiplizieren, werden Sie zunächst für den Ergebnis-Vektor einen Winkel von 37r erhalten. Wenn Sie davon 21r abziehen, erhalten Sie 1r. Dies ist das endgültige Ergebnis. Die Tatsache, dass die Multiplikation zweier imaginärer Zah­ len mit gleichem Vorzeichen immer eine negative reelle Zahl ergibt, macht die imaginären Zahlen interessant. Dies erläutere ich im Folgenden detailliert. Dazu stelle ich die Frage, wann eine positive reelle Zahl a die Wurzel einer reellen Zahl b ist. Diese Frage ist natürlich sehr einfach beantwortet. Es gilt in diesem Fall nämli ch a a b. Sie wissen auch, dass Sie im Falle einer negativen reellen Zahl b keine reelle Zahl a finden können, die diese Gleichung erfüllt. Und genau an dieser Stelle schließen die imaginären ·

=

3 )- D i e i m a ginäre n Zahlen

35

Zahlen die Lücke. Um das zu verstehen, schauen Sie sich an, was geschieht, wenn imaginäre Zahlen mit sich selbst multi­ pliziert werden.

r.liiii\ Beispiel 1: 2i 2i � 1 . Der Vektor von 2i hat die Länge 2. Das Produkt ist ·

somit 4. 2. Der Vektor von 2i hat den Winkel 1r/2. Die Summe ist somit 1r. 3. Der Ergebnis-Vektor hat also die Länge 4 und den Winkel 1r. Dieser Vektor ist der reellen Zahl ( -4) zugeordnet. Beispiel 2: (-2)i . (-2)i

1. Der Vektor von (-2)i hat die Länge 2. Das Produkt ist somit 4. 2. Der Vektor von ( -2)i hat den Winkel 3/z 1r. Die Summe ist somit 37r- 27f 7f. 3. Der Ergebnis-Vektor hat also die Länge 4 und den Winkel 1r. Dieser Vektor ist ebenfalls der reellen Zahl ( -4) zugeordnet. =

Da Vektoren von imaginären Zahlen immer den Winkel Vz (positive) oder 3fz 1r (negative) haben, wird der Winkel ihrer Quadrate immer 1r betragen. Das heißt aber nichts Anderes, als dass die Quadrate der imaginären Zahlen immer nega­ tive reelle Zahlen sind. Dies bedeutet wiederum, dass die

36

Komplexe Z a hl e n f ü r D u m mies

imaginären Zahlen die Wurzeln der negativen reellen Zahlen sind. Für positive imaginäre Zahlen (a > 0) gilt: (a·i) 2 = (-a2 ) Für negative imaginäre Zahlen (b < 0) gilt: (b . i) 2 = ( -lbl 2 ) Umgekehrt gilt für negative reelle Zahlen (c < 0): ye = Jlcl· i und ye = ( - vfcf) · i

r:l41 Wie Sie im vorherigen Warnungstext sehen konn­

� ten, werden zwei Lösungen angegeben, wenn Sie .Jf

von einer negativen reellen Zahl die Wurzel ziehen. Darin unterscheiden sich diese Lösungen von den Wurzeln positiver reeller Zahlen im Reellen, für die Sie ja immer nur die entsprechende positive Zahl angeben, obwohl es auch eine negative Zahl gibt, die mit sich selbst multipliziert die ursprüngliche positive Zahl ergibt, von der Sie die Wurzel ziehen. Der Grund hierfür ist die sogenannte Mehrwertigkeit von Funktionen im Komplexen, die ich auf Seite 100 noch genau erläutern werde.

Dic!ision

Die Division zwei er Zahlen ist leicht erklärt, denn sie ist ja die Umkehrfunktion der Multiplikation und leitet sich somit aus ihr ab.

3 � Die i m a ginä r e n Z a h l en

37

� Zwei Zahlen, für deren Vektoren jeweils die Länge und IJlJI.) der Winkel gegeben sind, werden durcheinander divi­ diert, indem

1 . der Ergebnis-Vektor eine Länge bekommt, die gleich dem Quotienten der Längen der Vektoren der zu dividierenden Zahlen ist, 2. der Ergebnis-Vektor einen Winkel bekommt, der gleich der Differenz der Winkel der Vektoren der zu dividierenden Zahlen ist, 3. ermittelt wird, welcher Zahl der Ergebnis-Vektor zugeordnet ist. Auch hier soll diese Regel wieder anhand einiger Beispiele erläutert werden.

r.li\ Beispiel I: ( -5) : 2,5 (Division zwei er reeller Zahlen) � 1 . Die Vektoren dieser beiden Zahlen haben die

Längen 5 und 2,5. Der Quotient von 5 und 2,5 ist 2. 2. Die Vektoren dieser beiden Zahlen haben die Winkel rr und 0. Die Differenz der beiden Winkel ist somit 1r. 3. Der Ergebnis-Vektor hat also die Länge 2 und den Winkel 1r. Dieser Vektor ist der reellen Zahl ( -2) zugeordnet. Beispiel 2: ( -5) : 2,5i (Division von reeller durch ima­ ginäre Zahl)

1. Die Vektoren dieser beiden Zahlen haben die Längen 5 und 2,5. Der Quotient von 5 und 2,5 ist 2.

38

Komplexe Zahlen f ü r Dummies

2. Die Vektoren dieser beiden Zahlen haben die Winkel 1r und 7r/2 . Die Differenz der beiden Winkel ist somit ?r/2 . . 3. Der Ergebnis-Vektor hat also die Länge 2 und den Winkel 7r/2. Dieser Vektor ist der imaginären Zahl 2i zugeord­ net. Beispiel 3:

len)

( -2)i : 4i (Division zwei er imaginärer Zah­

1. Die Vektoren dieser beiden Zahlen haben die Längen 2 und 4. Der Quotient von 2 und 4 ist 0,5. 2. Die Vektoren dieser beiden Zahlen haben die Winkel 3/2 1r und 7r/2 . Die Differenz der beiden Winkel ist somit 1r. 3. Der Ergebnis-Vektor hat also die Länge 0,5 und den Winkel n. Dieser Vektor ist der reellen Zahl ( -0,5) zugeord­ net.

� Bei der Subtraktion der Winkel zweier Vektoren

� kann das Ergebnis kleiner als 0 sein. In diesem Fall -·

addieren Sie den erhaltenen (negativen) Wert zu 21r dazu. Wenn Sie zum Beispiel eine negative reelle Zahl durch eine negative imaginäre Zahl dividieren, werden Sie zunächst für den Ergebnis-Vektor einen Winkel von 1r - 3/2 1r (- ?r/2) erhalten. Diesen Wert addieren Sie nun zu 2n hinzu und erhalten endgültig das Ergebnis 3/2 1r. (Achtung! Einen negativen Wert addieren , bedeutet, den Absolutwert zu subtrahieren.) =

3 � Die imaginären Zahlen

39

Abschließend sollen noch einige interessante Beziehungen für imaginäre Zahlen angegeben werden. Von diesen werde ich noch Gebrauch machen. Überprüfen Sie diese an den Re­ geln für die Multiplikation und Division für die Vektoren ima­ ginärer Zahlen!

r.liii\ l! � �

=

(-1)i

Für n 0, 1, 2, 3, . gilt: =

.

.

(1i)4n 1 (1i)4n+l 1i (1i)4n+2 ( - 1) (1i)4n+3 ( - 1)i =

=

=

=

Wenn Sie den in diesem Kapitel vermittelten Stoff verstanden haben, sind Sie bestens gerüstet für den letzten Schritt hin zum Verständnis des Aufbaus der komplexen Zahlen.

Die komplexe Zahl- die Summe aus reeller und imaiJ.iniirer Zahl

4

Bisher wurde die Darstellung der reellen und imaginären Zahlen durch Punkte auf den entsprechenden Zahlenstrahlen und durch waagerechte beziehungsweise senkrechte Vekto­ ren erläutert. Weiterhin haben Sie die vier Grundrechenarten mit Hilfe der den Zahlen zugeordneten Vektoren kennenge­ lernt Dabei trat bei der Multiplikation beziehungsweise Divi­ sion von imaginären Zahlen der bis dahin unbekannte Effekt auf, dass Sie die Winkel der den Zahlen zugeordneten Vek­ toren zu addieren beziehungsweise subtrahieren hatten, um den Winkel des Ergebnis-Vektors zu ermitteln. Vielleicht ist Ihnen aufgefallen, dass ich zwar für die Multipli­ kation beziehungsweise Division eine Regel erläutert habe, die für beliebige Zahlen gilt, die Addition beziehungsweise Sub­ traktion aber bislang nur für zwei reelle oder zwei imaginäre Zahlen erläutert wurde. Da stellt sich doch die Frage, ob Sie nicht auch eine reelle Zahl zu einer imaginären Zahl addieren können. Schauen Sie sich also einmal in Abbildung 4.1 an, was geschieht, wenn Sie ganz formal die Vektoren der beiden Zahlen 1 und 1i addieren!

4 >-Summe aus reeller und imaginärer Zahl

41

Dabei müssen Sie 1.

den Anfang des Vektors der reellen Zahll in den Nullpunkt des Koordinatensystems legen,

2.

den Anfang des Vektors der komplexen Zahlli in das Ende des Vektors der Zahl 1 legen,

3.

einen Vektor bilden, der seinen Anfang im Nullpunkt des Koordinatensystems und sein Ende im Endpunkt des Vektors der Zahl li hat. 2i-

1i-

I

(-2)

l;r Wi 1

I

(-1)

1r

1

I

2

(-1)i-

(-2)i-

Abbildung 4.1: Addition des Vektors der reellen Zahl 1 mit dem Vektor der imaginären Zahl 1 i

Der entstehende Vektor kann weder einer reellen Zahl noch einer imaginären Zahl zugeordnet werden, denn er ist weder waagerecht noch senkrecht. Deshalb erinnern Sie sich ein­ mal an den Anfang des Buches zurück. Bei den natürlichen

42

K o m p l exe Za hlen f ü r D u m mies

und den ganzen Zahlen gab es auch Vektoren, die keiner Zahl zugeordnet waren. Und was habe ich in dieser Situation ge­ tan? Richtig! Ich habe einen neuen Zahlenbereich definiert. Ich habe die reellen Zahlen eingeführt, welche die Gesamtheit aller Punkte auf der reellen Achse abdecken, und damit auch die waagerechten Vektoren mit beliebiger Länge. Der neue Zahlenbereich der komplexen Zahlen, den ich jetzt einführe, deckt die Gesamtheit der Punkte des Koordinatensystems ab, das durch die reelle und die imaginäre Achse gebildet wird. Mit anderen Worten, jeder Punkt dieses Koordinatensystems ist einer komplexen Zahl zugeordnet und umgekehrt. Und ge­ nau wie schon bei den reellen Zahlen ist dies gleichbedeutend damit, dass jeder komplexen Zahl auch ein Vektor zugeordnet ist, der im Nullpunkt des Koordinatensystems beginnt und im entsprechenden Punkt der Zahl im Koordinatensystem endet. Und damit sind Sie nun definitiv bei den komplexen Zahlen angekommen.

tm\ Eine komplexe Zahl ist die Summe aus einer reellen � Zahl und einer imaginären Zahl. Die reelle Zahl

nennt man dabei den Realteil der komplexen Zahl und die reelle Zahl vor dem i in der imaginären Zahl nennt man den Imaginärteil der komplexen Zahl. So hat die komplexe Zahl 2 + Si den Realteil 2 und den Imaginärteil 5.

Im weiteren Verlauf werde ich den Realteil einer komplexen Zahl z mit Re(z) bezeichnen und den Imaginärteil mit Im(z). Ganz gewiss ist es zunächst einmal gewöhnungsbedürftig, dass eine Zahl selbst wieder durch zwei Zahlen festgelegt wird. Bisher hatten die Zahlen etwas Elementares an sich, so wie

4 >-Su mme aus r e e l l e r u n d imaginärer Zahl

43

die Atome in der Physik. Es fällt Ihnen aber einfacher, dies zu akzeptieren, wenn Sie Zahlen nicht mehr als eine Anzahl von Objekten (Äpfel, Birnen, Euro und so weiter) betrachten, son­ dern als Punkte in einem Koordinatensystem. Und die Lage eines Punktes in einem Koordinatensystem beschreiben Sie nun einmal durch seine Koordinaten. In unserem Fall sind diese Koordinaten der Realteil für die waagerechte Richtung und der Imaginärteil für die senkrechte Richtung. Das Koordinatensystem, welches durch die reelle und die imaginäre Achse gebildet wird, heißt Gaußsehe Zahlenebene. Abbildung 4.2 erläutert die Begriffe, welche im Zusammenhang mit der Gaußsehen Zahlenebene verwendet werden. imaginäre Achse

2.

Quadrant (Re(z)O)

I (-2)

2i li -

I

( cl ) (- l ) i -

3. Quadrant (Re(z)O)

I

1

I

2

4. Quadrant (Re(z)>O, l m(z)-Summe aus reeller und imaginärer Zahl

47

stellung den Betrag und das Argument der komplexen Zahl ablesen zu können. Exponentialform z l z l · ei ·arg(z) =

.

7[

Beispiel: z 3 · e' · 2 =

Dies ist die komplexe Zahl, deren Vektor die Länge 3 hat und mit der reellen Achse den Winkel 1r/2 ein­ schließt. Wir wissen bereits, dass dies der Vektor der Zahl z 0 + 3i 3i in algebraischer Normalform ist. =

=

Abbildung 4.4 gibt zur Veranschaulichung noch einmal einige komplexe Zahlen als Vektor, in algebraischer Normalform und in Exponentialform an. Zusammenfassend kann man sagen, dass Sie eine komplexe Zahl dann in der Exponentialform angeben können, wenn Sie den Betrag l z l und das Argument arg(z) kennen. In der Praxis stehen Sie häufig vor dem Problem, dass eine komplexe Zahl in einer der beiden Darstellungsformen ge­ geben ist, aber gerade die andere benötigt wird. So kann es zum Beispiel in der Elektrotechnik sein, dass Sie den komple­ xen Gesamtwiderstand einer Schaltung in der algebraischen Normalform bestimmt haben, nun aber die Exponentialform brauchen, da das Argument des errechneten komplexen Wi­ derstandes gleich der erzeugten Phasenverschiebung in dieser Schaltung ist.

48

Komplexe Zahlen für D ummies

i+""Ü

------7 =

F2 . /7

Abbildung 4.4: Beispiele für die verschiedenen Da rstellungsfor­ men der komplexen Zahlen

Die BestimmunfJ der Exponentialform aus der alf}ebraischen Normalform Um die beiden Darstellungsformen ineinander umzurechnen, bedient man sich der Geometrie am rechtwinkligen Dreieck . Die für uns wichtigsten Beziehungen werden im nachfolgen­ den Kasten erläutert . In Abbildung 4.1 ist sehr gut zu se­ hen, dass die Vektoren des Realteils, des Imaginärteils und der komplexen Zahl selbst ein rechtwinkliges Dreieck bilden. Da­ bei sind die beiden Vektoren des Real- und Imaginärteils die Katheten und der Vektor der komplexen Zahl selbst die Hypo­ tenuse.

4 � S umme aus r e e l l e r und imaginä r e r Zahl

49

50

Komplexe Zahlen für Dummies

Um eine komplexe Zahl in der Exponentialform anzugeben, benötigen Sie den Betrag lzl und das Argument arg(z) die­ ser Zahl. In der algebraischen Normalform sind aber Realteil Re(z) und Imaginärteil Im(z) gegeben. Ist eine komplexe Zahl in der algebraischen Normal­ form l zl Re(z) + Im(z) i gegeben und wollen Sie daraus die Exponentialform bestimmen, so können Sie den Betrag und das Argument nach folgenden Formeln ermitteln: =

·

4 � S u mme a u s r e e l l e r u n d imaginär e r Zahl

lzl

=

51

J[Re(z)] 2 [Im(z)] 2 +

0, für Re(z) > 0 und Im(z) 0 w, für Re(z) < 0 und Im(z) 0 =

=

7r

2 ' für Re(z) 0 und Im(z) > 0 =

3 2 w, für Re(z) 0 und Im(z) < 0 =

arg(z)

( �:i:i), im 1 . Quadranten artcan (�:i:i) w, im 2. und 3. Quadranten artcan ( �:i:i) 2w, im 4. Quadranten

=

artcan

+

+

�' Wenn Sie mit Ihrem Taschenrechner im Bogenmaß � rechnen wollen, dann müssen Sie ihn zuvor dafür -

einstellen. Machen Sie sich also kundig, wie Sie Ihren Taschenrechner zwischen den Modi für Rechnung im Gradmaß und Rechnung im Bogenmaß umschal­ ten können! Überprüfen, ob Sie sich im Modus für Rechnung im Bogenmaß befinden, indem Sie cos(w) berechnen! Im Modus für Rechnung im Bogenmaß muss das Ergebnis genau (-1) sein.

Die sehr umfangreiche Fallunterscheidung bei der Bestim­ mung des Arguments hat drei Ursachen: Im (z ) 1. Wenn Im(z) 0, dann ist immer 0, unabhängig vom Re ( z ) Wert von Re(z) . Eine Zahl mit einem Imaginärteil gleich 0 ist aber eine reelle Zahl. Deshalb liegt der Vektor der Zahl auf der reellen Achse. Er zeigt nach rechts und somit ·

=

52

Komplexe Za h l e n f ü r Dummies

ist arg(z) 0, wenn Re(z) > 0. Wenn hingegen Re(z) < 0 ist, dann zeigt er nach links und somit ist arg(z) n . . Im(z) . mc ht d ef'1 mert, Wenn Re ( z ) 0 , d ann 1 st un. Re ( z ) abhängig vom Wert von Im(z). Eine Zahl mit einem Realteil gleich 0 ist aber eine imaginäre Zahl. Deshalb liegt der Vektor der Zahl auf der imaginären Achse. Er zeigt nach oben und somit ist arg(z) 7r/z, wenn Im(z) > 0 ist. Wenn hingegen Im(z) < 0 ist dann zeigt er nach unten und somit ist arg(z) 3fz n . =

2.

=

--

=

=

=

3.

Ihr Taschenrechner kann als Ergebnis für den Arkus­ tangens nur Werte zwischen -7r/2 und +7rf2 ermitteln. Das liegt daran, dass von jeder beliebigen Zahl der Arkustangens zwischen diesen beiden Werten liegt. Wenn Sie zum Beispiel die beiden komplexen Zahlen z1 1 + 1i und z2 (-1) - 1i betrachten, dann wird in =

=

beiden Fällen

�:g;

=

1 sein. Der Taschenrechner hat

dann zum Zeitpunkt der Berechnung des Arkustangens keine Information mehr darüber, wie diese 1 zustande gekommen ist und wählt deshalb als Ergebnis eine Zahl zwischen _7r/z und +7r/z (in diesem Fall +7rf4) . Deshalb muss das mit dem Taschenrechner ermittelte Resultat von arctan

( �:g;) für die verschiedenen Quadranten

korrigiert werden. Da in unserem Beispiel der Punkt von z2 im dritten Quadranten liegt, gilt arg(z) 7r/4 + 1r 5f4 7r. =

=

4 >-Summe aus reeller u n d imaginärer Zahl

53

Nachfolgend möchte ich noch an einigen Beispielen demons­ trieren, wie Sie konkret vorgehen, wenn Sie eine in der alge­ braischen Normalform vorliegende komplexe Zahl in die Ex­ ponentialform umformen.

r.iiS\ Beispiel ! : z = 2 - 2i � 1. Berechnung des Betrags:

l z l = V22 + 22 = v'4+4 l z i = VS 2. B erechnung des Arguments: Punkt der Zahl z liegt im ersten Quadrant, deshalb gilt: arg(z) = arctan

( �:i:�) arg(z) = arctan ( � ) = arctan(l) 7f

arg(z) = 4

3. Darstellung der Zahl in Exponentialform: . 'Fr z = V8 . et · -:r Beispiel 2:

z = ( - 1) + J3i

1. Berechnung des Betrags: l z l = V(- 1) 2 (J3) 2 = JI+3 = v'4 +

lzl = 2 2. Berechnung des Arguments: Punkt der Zahl z liegt im zweiten Quadranten, des­ halb gilt: + 1r arg(z) arctan =

( �:i:�)

54

Komplexe Zahlen für Dummies

arg(z) = arctan =

t i)

(� )

+ n = arctan(- -J3") + n

+n

2 arg(z) = 3 n

30 Darstellung der Zahl in Exponentialform: '·2 Z = 2 e :pr .

o

z = ( -3) - J3i

Beispiel 3:

1 . Berechnung des Betrags: lzl = v(- 3) 2 + (-J3) 2 = J9+3 lzl = v'l2 20 Berechnung des Arguments: Punkt der Zahl z liegt im dritten Quadranten, des­ halb gilt: Im(z) +n arg(z) = arctan Re(z)

( ) ( - J3 )

( )

J3 + n arg(z) = arctan ---=-3 + n = arctan 3

=

(i)

+n

7 arg(z) = 6 n

30 Darstellung der Zahl in Exponentialform: 7 z = JI2 e ' · F .

°

4 � S u m m e aus reel ler u n d im aginärer Zahl

55

Die BestimmuntJ. der altj.ebraischen Normalform aus der EJ(ponentialform

In der Exponentialform sind der Betrag und das Argument der komplexen Zahl gegeben. Wenn daraus nun der Realteil und der Imaginärteil bestimmt werden sollen, um die komplexe Zahl in der algebraischen Normalform auszudrücken, bedient man sich der folgenden Formeln:

� �

Re ( z) Im(z)

=

=

J z J · cos (arg(z)) JzJ - sin(arg(z))

Diese Beziehungen können Sie leicht verstehen, wenn Sie sich noch einmal in Abbildung 4.3 anschauen, wie Sie den Kosinus und den Sinus von arg(z) mittels JzJ , Re(z) und Im(z) berech­ nen können. Sollten Sie sich nicht mehr sicher sein, wie man Kosinus und Sinus eines Winkels im rechtwinkligen Dreieck bestimmt, so schauen Sie noch einmal auf Seite 49 nach! Ich möchte auch hier an einem Beispiel demonstrieren, wie Sie die Exponentialform praktisch in die algebraische Normal­ form umwandeln.

r.IS\ �

Beispiel: z

3

2 · e'T rr .

=

1. Berechnen von Real- und Imaginärteil:

Re (z ) Re(z)

I m (z)

Im(z)

2.

z

=

=

=

=

J zl · cos(arg(z) )

=

J zJ · sin(arg(z))

=

(-\1'2) v'2

2 · cos ( � 7r) 2 =

· t � vtz)

2 - sin G 7r) 2 · � v!z =

Darstellung der Zahl in algebraischer Normalform: (-\1'2) + v'2i

=

56

Komplexe Zahlen f ü r D u m m ies

Die konjuiJ.iert komplexe Zahl

Zu j eder komplexen Zahl existiert eine konjugiert komplexe Zahl.

Zu einer komplexen Zahl z wird diej enige komplexe Zahl die zu ihr konj ugiert komplexe Zahl z genannt, die den gleichen Realteil hat, deren Imaginärtei l aber ein entgegengesetztes Vorzeichen aufweist. Beispiel: z = 5 + 2i

z = 5 - 2i

Liegt die Zahl z in der Exponentialform vor, so hat die kon­ jugiert komplexe Zahl z den gleichen Betrag wie z, das Argu­ ment von z ist jedoch zu berechnen, indem man das Argument von z von 2n subtrahiert.

fwlii\ �

algebraische Normalform:

z = 3 + 2i z = 3 - 2 i Z = 3 2 = 3 Z = 2i z = ( - 2)i Exponentialform:

. 3 . (z 1r - 4"3 1r) = 2 · '. ' 4"5 7r 7r e Z = 2 · e ' ' 4" 2 - · cP3 + 4! cP4 + 5! - D ie ko m p l exe e -F u n ktio n

93

Problem dadurch gelöst, dass Sie einfach nach Bedarf 21r ad­ diert beziehungsweise subtrahiert haben. Dieses Konzept will ich jetzt weiterentwickeln. Jede Zahl lässt sich als Vielfaches einer anderen Zahl und einem Rest darstellen. Wollen Sie zum Beispiel die 18 als ein Vielfaches von 5 und einen Rest darstellen, so können Sie schreiben: 18 3 · 5 + 3. Genau so können Sie auch eine Zahl, in diesem Fall das Argument, in ein Vielfaches von 21r und einen Rest zerlegen. Sie können also schreiben: arg(z) = 21r · k + ( arg (zi ) ) +2 7r · k )] . ei · (Re(z2 ) ( 1>(arg (zi ))+ 2 7r · k ) +Im(z2 ) ·1n( lzi i )] ·

� Wenn Sie von den komplexen Zahlen z1 = [ z1 [ · e i·arg (zi ) lJJJf.J und z2 = Re(z2 ) + i · Im(z2 ) die Potenz z�2 bilden, so gilt für das Ergebnis w: [wk [ = e [Re(z2) ·1n( lzi i ) -Im (z2 ) · ( ct>( arg (zi ) )+ 2 7r· k )J

arg(wk ) = Re(z2 )

· ( 4> (arg(z 1 )) + 2n · k) + Im(z2 ) · ln( [ z 1 [)

Sie werden nun Ihr neu erworbenes Wissen nutzen, um ein Beispiel zu rechnen und das Ergebnis zu diskutieren. r.iiii\ Es soll w = ( 1 + i) 2- i berechnet werden.

� Für die Basis gilt: [ z1 [ � = V2 und (arg(z l )) = 7r/4 =

Für den Exponenten gilt: Re (z2 ) = 2 und Im(z 2 ) = - 1 Mit diesen Werten können Sie nun den Betrag und das Argument von w ausrechnen.

[2 n( v'2) - ( - 1 ) · ( i + 2 7r · k)] [w [ = e ·1

arg(w) = 2 =

·

(i

+ 2n · k

1 ,224 + 4n · k

)

+ (-1)

· ln( V2)

1 08

Komplexe Zahlen f ü r Dummies

Indem Sie also beliebige ganzzahlige k in die Glei­ chungen für den Betrag und das Argument einsetzen, können Sie alle Ergebnisse berechnen, zum Beispiel: k = ( -1): lw l e - 4 , 804 und arg(w) = - 1 1,342 k 0: l wl e 1 , 479 und arg(w) 1,224 k = 1 : lw l = e7 , 762 und arg(w) = 13,790 =

=

=

=

Sie können weiterhin Folgendes aus der allgemeinen Lösung ablesen:

1. Es kann zu den Lösungen keine gemeinsamen Hauptwerte geben, da jede Lösung einen anderen Betrag hat (Schauen Sie sich noch einmal auf Seite 93 an, wie der Hauptwert einer komplexen Zahl definiert ist und wann verschiedene Zahlen in der Exponentialdarstellung den gleichen Hauptwert haben) . Denn wenn alle Lösungen einen anderen Betrag haben, können sie nicht den gleichen Punkt in der algebraischen Normalform beschreiben. 2. Für alle Lösungen gilt: 3 verhalten. Zu jed_e r Lösung für k > 3 gibt es auch eine Lösung für 0 ::::; k ::::; 3 , die den gleichen Hauptwert hat. Und selbst wenn k eine negative Zahl ist, wird eine der Lösungen mit 0 ::::; k ::::; 3 den gleichen Hauptwert haben. Vielleicht sollten Sie die Lösungen einmal überprüfen, indem Sie jede Lösung drei Mal mit sich selbst multiplizieren. Es

8 � P otenzen komplexer Za hlen

1 13

muss sich dann wieder die ursprüngliche Zahl ergeben, von der wir die vierte Wurzel bestimmt haben. Berücksichtigen Sie dabei auch, dass einige Argumente größer als 27T werden und Sie deshalb zum Schluss noch cjJ bestimmen müssen. Ich möchte abschließend noch einige Anmerkungen zur Dar­ stellung reeller Wurzeln von komplexen Zahlen in den meis­ ten Mathematik-Büchern für Ingenieure machen. Dort liest man oftmals, dass die m-te Wurzel einer komplexen Zahl genau m Lösungen hat. Sie verstehen nun nach dem oben Erläuterten, wie das zu interpretieren ist. Es bedeutet nämlich eigentlich, dass es m Lösungen gibt, die verschiedene Haupt­ werte haben. Alle anderen Lösungen besitzen einen dieser Hauptwerte. GanzzahliiJe Wurzeln tlon netJatitlen reeUen Zahlen

Wenn Sie im Bereich der negativen reellen Zahlen arbei­ ten, dann sind Sie im Allgemeinen nicht in der Lage, von diesen Zahlen Wurzeln zu ziehen. Es gibt lediglich einige Spezialfälle, zum Beispiel ungeradzahlige Wurzeln. So ist � = (-1). In Kapitel 3 haben Sie schon festgestellt, dass die imaginären Zahlen gerade die Quadratwurzeln der nega­ tiven reellen Zahlen sind. Jetzt werden Sie untersuchen, wie sich das ganz allgemein mit den ganzzahligen Wurzeln von negativen reellen Zahlen verhält. Dazu können Sie die For­ meln auf S eite 1 1 1 verwenden. Es ist jetzt der Betrag der Ba­ sis (also der Zahl z1 ) gleich dem Betrag der negativen reellen Zahl. Weiterhin können Sie arg(zi) = 7T setzen, da es ja eine negative reelle Zahl ist. Dann ergibt sich:

l wk l = �

und

1 14

Kom plexe Zahlen f ü r D u m m i es

(2k + 1) 1 arg(wk ) = - · (7r + 27r · k ) = · 1r m m Oder zusammengefasst: --

� Für eine ganzzahlige Wurzel einer negativen reellen IJl.JJ.) Zahl z 1 gilt: 1 %1 = �

(2k + 1) 1 1r mit 0 ::::; k ::::; m m Auch hier soll ein Beispiel demonstrieren, wie diese Formeln anzuwenden sind: arg( ylzl) =

--

·

-

r.iii\ Es soll w � bestimmt werden. \!!/ Für den Betrag der Lösungen gilt: lwk l = I� = ijf-8f = � = 2 =

Für die Argumente der Lösungen gilt: 2·0+1 7r · 1r für k = 0: arg(wo) 3 3 2·1+1 für k = 1 : arg(wi) = 3- · 1r = 1r =

--

=

-

-

2·2+1 5 · 1r = -1r 3 3 Interessant ist, dass sich hier gerade für k = 1 eine reelle Lösung ergibt, nämlich die negative reelle Zahl (-2). Das ist eine Lösung, die Sie sich auch im Reellen herleiten könnten. Die beiden anderen Lösungen haben aber auch imaginäre Anteile. Auf diese Lösungen können Sie nicht kommen, wenn Sie nur im Reellen rechnen. für k = 2: arg(wz) =

---

8 � P ote n z e n ko m pl e x e r Z a h l e n

1 15

Es ist sicher wieder eine gute Übung, jede der Lösungen 2 Mal mit sich selbst zu multiplizieren, um zu überprüfen, ob sich dann die Zahl ergibt, von der ursprünglich die dritte Wurzel gezogen wurde. Ganzzalrfi9e Wurzeln rlon positirlen reellen Zahlen

Nachdem Sie festgestellt haben, dass bei den ganzzahligen Wurzeln von negativen reellen Zahlen Lösungen existieren, die erst durch die Einführung der komplexen Zahlen möglich wurden, sollten Sie jetzt untersuchen, wie es sich mit ganz­ zahligen Wurzeln von positiven reellen Zahlen verhält. Sie ge­ hen wieder von den Formeln auf Seite 1 1 1 aus und berück­ sichtigen, dass nun noch zusätzlich arg(z 1 ) = 0 gilt (Positive reelle Zahlen haben ein Argument gleich 0.) und dass für eine positive reelle Zahl der Betrag der Zahl die Zahl selbst ist.

� Für eine ganzzahlige Wurzel einer positiven reellen IJlJf.) Zahl z1 gilt: 1\!Zl l = VZl arg ( yZ]) 27f =

·

� mit 0 :::; k :::; m - 1 m

Und das ist auch wieder ein überraschendes Ergebnis. Bisher war für Sie bei den positiven reellen Zahlen die Welt absolut in Ordnung. Es gab eine eindeutige Lösung. Es gab zum Bei­ spiel von 4 eine Quadratwurzel, und das war die 2, wobei Sie sich darüber im Klaren waren, dass auch ( -2) 2 4 gilt, aber diese Lösung wurde per Definition verworfen. Und die dritte Wurzel von 27 war ganz einfach die 3, wobei Sie auch wussten, dass es jetzt keine negative reelle Zahl x geben kann, für die x3 27 gilt. Im Bereich der komplexen Zahlen gibt es aber of­ fensichtlich noch weitere Lösungen. Dies möchte ich Ihnen =

=

1 16

Komp l e x e Zahlen für Dummies

nun einmal an zwei Beispielen veranschaulichen, wobei ich in einem Beispiel eine geradzahlige Wurzel verwende und in dem anderen eine ungeradzahlige Wurzel . 1 . Es soll {/64 bestimmt werden.

Für den Betrag der Lösung gilt:

lwk l = 1 {/64 1 = 2 Für die Argumente der Lösungen gilt: 0 für k = 0: arg(wo) = 2n · 6 = 0 1 7r für k = 1: arg(w! l = 2n · - = 6 3 -

2

2

·

4

4

·

-

für k = 2: arg(w2 ) = 2n = - 1r 6 3 3 für k = 3: arg(w3 ) = 2n · 6 = 1r ·

für k = 4: arg(w4 ) = 2n - = -n 6 3 5 5 für k = 5: arg(ws) = 2n = - n 6 3 Für k = 0 und k = 3 erhalten Sie die positiven und negativen reellen Lösungen, die Sie schon von den reellen Zahlen her kannten. Die anderen Lösungen waren Ihnen von den reellen Zahlen her nicht bekannt, da sie eine imaginäre Komponente enthalten .

8 >- P otenzen komplexer Zahlen

1 17

2. Es soll VI25 bestimmt werden. Für

den Betrag der Lösung gilt:

l wk l = I VI25 1 = 5

Für

die Argumente der Lösungen gilt: 0 für k = O: arg(wo ) = 21f · - = 0 3 1 2 für k = 1: arg(w i ) = 21r · - = - 1r 3 3 für k = 2: arg(wz ) = 21r

·

2 4 = -1r 3 3

-

Die Lösung für k = 0 ist die Ihnen von den reellen Zahlen her bekannte positive, reelle Zahl. Alle anderen Lösungen sind Ihnen neu, denn sie ent­ halten imaginäre Anteile. UND: Sie finden hier erwartungsgemäß, im Gegensatz zu Beispiel 1, keine negative reelle Lösung. Nachdem Sie sich ausgiebig mit ganzzahligen Wurzeln be­ schäftigt haben, will ich Ihnen nun zeigen, was geschieht, wenn die Potenz (also z2 ) eine natürliche Zahl ist. Der Exponent der Potenz ist eine natürliche Zahl

Für natürliche Zahlen ist der Imaginärteil gleich 0, also Im(zz) = 0. Deshalb können Sie entsprechend den Formeln auf Seite 107 für den Betrag des Ergebnisses schreiben:

1 18

Kom plexe Z a h l e n f ü r D u m m i e s

l wk l e [Re(z2 ) · ln( ! z1 1 ) - 0· ( ( arg (z l ) ) + 2n ·k)J ( ) lwk l e [Re(z2 ) ·ln( !z1 ! )J e ln[ !z1 !Re '2 ] lwk l l z 1 1 Re(z2 ) Im Falle von reellen Zahlen (und natürliche Zahlen sind auch reell) sind sowohl der Betrag als auch der Realteil gleich der Zahl selbst. Außerdem kommt das k nicht mehr vor. Es haben also alle Lösungen den gleichen Betrag: =

=

=

=

l wl l zi i 22 Als Nächstes müssen Sie die Argumente der Lösungen be­ trachten. =

arg(wk ) Re(zz) · ((arg(zi ) ) + 21f · k) + 0 · ln(lzi i) arg(wk ) zz · (arg(zJ)) + z 2 · k · 21f =

=

Da aber z2 eine natürliche Zahl ist, wird der zweite Summand immer ein ganzzahliges Vielfaches von 21f sein. Damit gibt es aber nur einen Hauptwert Ist der Exponent einer Potenz eine natürliche Zahl, so haben alle Lösungen den gleichen Hauptwert, für wel­ chen gilt: lw l l zi i 22 arg(w) zz · (arg(zi )) =

=

Nachdem Sie eine Menge Potenzen mit reellem Exponenten untersucht haben, will ich Ihnen nun abschließend noch zei­ gen, was geschieht, wenn Sie es mit einem rein imaginären Exponenten zu tun haben.

8 >- P ote n z e n kom plex e r Z a h l e n

1 19

Potenzen mit imalJ.inärem Exponenten

Imaginärer Exponent heißt: Re(z2 ) 0 und Im(z2 ) =f:. 0. Das be­ deutet aber nach den Bedingungen für die Existenz von ver­ schiedenen Lösungen einer Potenz mit gemeinsamen Haupt­ werten (siehe Seite l l O), dass es hier keinen gemeinsa­ men Hauptwert geben kann. Wegen Im(z2 ) =f:. 0 hat jetzt jede Lösung einen anderen Betrag, womit keine gemeinsa­ men Hauptwerte mehr möglich sind. Nach den Formeln auf Seite 107 gilt nun: =

l wk l

=

e-Im(z z ) · ((arg(z ! ) ) + 2n · k )

arg(wk ) Im(z2 ) · ln(lz l l) Damit kommt k in der Formel zur Bestimmung des Argu­ ments der Lösung nicht mehr vor. Zusammenfassend gilt dann: =

� Für Potenzen mit imaginärem Exponenten gilt: V1Jf.J 1 . Es gibt keine Lösungen mit einem gemeinsamen Hauptwert

2. Alle Lösungen haben das gleiche Argument, aber unterschiedliche Beträge. Die Lösungen ergeben sich aus: lwkl e -Im ( zz ) · ( (arg (z! )) +2n · k) arg(w) Im(z2 ) · ln(lz l l) =

=

Auch hier sollen noch zwei Beispiele die Anwendung dieser Formeln veranschaulichen.

1 20

Komplexe Zahlen f ü r D u mmies

r.iiii\ Beispiel ! : Es soll w = 1i bestimmt werden. � Es gilt hier: lz1 l = 1 1 1 = 1, arg(z l l = 0, Im(zz) = 1 Mit diesen Werten ergibt sich: lwk l = e -l · (0 +2.". · k) = e _ z .". . k und arg(wk ) = 1 · ln(1) = 0 Die Lösungen sind positive reelle Zahlen, nämlich e _ z ."..k_ Beispiel 2 :

Es soll w = ii bestimmt werden.

Es gilt hier lz 1 l = 1 1 1 1, arg(z l l Ir/2, Im(zz) Mit diesen Werten ergibt sich: 4 -k+l .". - 1 · ( 2.". + z ."..k) - = e 2lwk l = e und =

=

=

1

.

arg(wk ) = 1 - ln(l) = 0 Auch diese Lösungen sind positive reelle Zahlen, - 4 ·k+l nämlich e -2- . .".. Abschließende BemerkuniJen

Ziel dieses Buches war es, ausgehend von den reellen Zahlen mit ihren waagerechten Vektoren zunächst die imaginären Zahlen mit ihren senkrechten Vektoren und dann die kom-

8 > Potenzen ko m p lexer Zahlen

121

plexen Zahlen mit Vektoren einzuführen, die i n eine beliebige Richtung zeigen können. Ich hoffe, t/

ich konnte Ihnen vermitteln, dass es nur ein kleiner Schritt ist von der aus der Schule bereits bekannten Vorstellung, dass reelle Zahlen einem Punkt auf dem waagerechten Zahlenstrahl zugeordnet sind hin zu der Vorstellung, dass komplexe Zahlen einem Punkt in der Gaußsehen Ebene zugeordnet sind.

t/

ich konnte Ihnen vermitteln, dass es zwei Darstel­ lungsformen für komplexe Zahlen gibt, nämlich die algebraische Normalform und die Exponentialform.

t/

ich konnte Ihnen vermitteln, dass die vier Grundre­ chenarten für komplexe Zahlen eine Erweiterung der Grundrechenarten für reelle Zahlen sind, die sich sehr einfach durch die Operationen mit den ihnen zugeordne­ ten Vektoren erläutern lassen.

tl'

ich konnte Ihnen vermitteln, dass die komplexe e-Funk­ tion im Zahlenbereich der komplexen Zahlen eine sehr viel fundamentalere Bedeutung hat als die reelle e-Funktion im Zahlenbereich der reellen Zahlen, da sie die beiden Darstellungsformen für komplexe Zahlen, nämlich die algebraische Normalform und die Expo­ nentialform, über die Eulersche Formel miteinander verbindet.

tl'

ich konnte Ihnen anhand der komplexen Logarithmus­ Funktion vermitteln, was Mehrwertigkeit bedeutet. Das Verständnis dieses Begriffs, den Sie von den reellen Zahlen her noch nicht kannten, ist unbedingt notwen-

1 22

Komplexe Zahlen f ü r Dummies

dig, um zu verstehen, warum komplexe Potenzen (und übrigens auch andere komplexe Funktionen) mehrere Lösungen haben können. t/

ich konnte Ihnen vermitteln, was der Hauptwert einer komplexen Zahl ist und warum manchmal Potenzen von komplexen Zahlen nur eine endliche Anzahl von Lösun­ gen mit unterschiedlichen Hauptwerten haben, es aber manchmal auch unendlich viele Lösungen geben kann, die alle einen anderen Hauptwert haben.

Und zuletzt hoffe ich auch, die Zeit, die Sie in das Studium die­ ses Buches investiert haben, hat sich gelohnt und Sie können das neu erworbene Wissen in Zukunft nutzbringend anwen­ den.

Teil J(l

Der Top- Ten- Teil

8 0

0 0

( 1 0 + Oi) Tipps zum Bestehen

der Klausur

9

Neuen Stoff SIJStematisch erlernen

Beim Erlernen eines neuen Themengebiets gibt es drei Pha­ sen: 1. Sie lernen die neuen mathematischen Objekte kennen (zum Beispiel Vektoren, Matrizen, komplexe Zahlen, . . . ) 2. Sie lernen die Operationen kennen, durch welche die neu erlernten Objekte manipuliert werden können. 3 . Sie lernen bestehende Gesetze bezüglich der neuen Objekte und Operationen kennen. .

f/orlesuniJ regelmäßiiJ besuchen

Die heute in Mode gekommenen Vorlesungsskripte ersetzen nicht die Vorlesung. Besuchen Sie also die Vorlesungen! Selbststudium

Planen Sie mindestens den 1,5-fachen Zeitaufwand der Vorle­ sungsdauer für Ihr Selbststudium ein! Übungsaufgaben lösen

Das Lösen von Übungsaufgaben in Lehrbüchern ist die effek­ tivste Form des Lernens. Wenn Sie eine Aufgabe nicht lösen können, sehr gut! Da ist etwas, das Sie noch nicht wissen.

1 26

K o m plexe Z a h l e n fü r D u m mies

LösuntJsuletJe dokumentieren

Legen Sie sich einen eigenen Ordner für gelöste Übungs­ aufgaben an! Machen Sie sich auf den Blättern Notizen zur Lösungsidee, Lösungsweg und zu hilfreichen Literaturstellen. Gruppenarbeit or9anisieren

Treffen Sie sich regelmäßig in Übungsgruppen! Oftmals hat mindestens einer aus der Gruppe etwas verstanden. Up to date bleiben

Bleiben Sie immer am Ball! In der Mathematik baut der neue Stoff auf dem vorher Erlernten auf. Weiterhin ist es unmöglich, sich das für die Prüfung notwendige Wissen in­ nerhalb von einer Woche »reinzuziehen«. Alte Klausuren auswerten

Bemühen Sie sich um Klausuren Ihres Professors aus den zurückliegenden Jahren! Vielleicht können Sie daraus seine bevorzugten Prüfungsthemen ersehen. LösuntJsuletJe naclulollziehbar aufzeitJen

In einer Klausur müssen Sie dem Professor beweisen, dass Sie den Stoff beherrschen, nicht der Professor Ihnen, dass Sie ihn nicht beherrschen. Gewöhnen Sie sich also an, Lösungsweg und Ergebnis klar darzustellen. Konset{uent bleiben

Beherzigen Sie die vorangegangenen neun Tipps!

Stichwortrlerzeichnis A

Exponentialform 4 7 Bestimmung aus der algebrai­

Addition

schen Normalform 50

imaginärer Zahlen 29

komplexer Zahlen 59

von Vektoren imaginärer Zahlen

29

von Vektoren komplexer Zahlen

58

von Vektoren reeller Zahlen 19

Algebraische Normalform 45

Bestimmung aus der Exponen­

G

Gaußsehe Zahlenebene 43

Gradmaß 3 1

H

Hauptwert

tialform 55

Bedingungen für gleiche 110

Argument einer komplexen Zahl

46

8

Betrag

einer komplexen Zahl 93

L

Logarithmus-Funktion komplexe 99

einer komplexen Zahl 46

einer reellen Zahl 17

Bogenmaß 3 1

M Mehrwertigkeit einer Funktion

D

100

Division

Multiplikation imaginärer Zahlen 31

imaginärer Zahlen 3 6

komplexer Zahlen 65

komplexer Zahlen 7 1

von Vektoren imaginärer Zahlen

von Vektoren imaginärer Zahlen

30

36

von Vektoren komplexer Zahlen

von Vektoren komplexer Zahlen

62

68

von Vektoren reeller Zahlen 21

von Vektoren reeller Zahlen 21

p

E

e-Funktion als Taylorreihe 88 komplexe 95

Eulersche Formel 90

Potenz Berechnung 107

Definition für komplexe Zahlen

106

1 28

Komplexe Zah l e n für D ummies

V

S Subtraktion

Vektor 1 1

einer imaginären Zahl 29

imaginärer Zahlen 29

einer komplexen Zahl 45

komplexer Zahlen 60

einer reellen Zahl 16

v o n Vektoren imaginärer Zahlen

29 von Vektoren komplexer Zahlen

60 von Vektoren reeller Zahlen 20

T Taylorreihe 86

u Umkehrfunktion 97

z

Zahl ganze 15

imaginäre 27

komplexe 42

konj ugiert komplexe 56 naturliehe 14 reelle 16

Zahlenstrahl der imaginären Zahlen 27

der reellen Zahlen 13

Von den Grundlagen bis zur Anwendung -

verstehen, was es mit komplexen Zahlen auf sich hat Es gibt Situationen, da kommen Sie an ihnen nicht vorbei. Frank Kretzschmar erklärt Ihnen behutsam und Schritt für Schritt, was Sie über komplexe Zahlen wissen müssen. Zu Beginn erläutert er, was komplexe Zahlen sind und stellt Ihnen dann die Grundrechenarten mit komplexen Zahlen vor. Abschließend weiht er Sie noch in ihr Verhalten bei e-Funktionen, Logarithmen und Potenzen ein.

ISBN 978-3-527-7072ß-7

91 ~llllll~ 1 1 ~1 1 1 1 1