Класична и уљна хидраулика Klasična i uljna hidraulika [1 ed.] 86-7083-317-4 [PDF]

Zitiervorschau

Univerziteta u Beogradu Masinski fakultet

Edicija:

Mehanika fluid a i· Hidraulicne masine

Masil!1sid fakuilet Univerziteta UI Beogratch.n

Edicija:

Mehanika fluids i hidraulicne masine @

Klasicna i uljna hidraulika. I izdanje, 1998. - ova Imjiga

€&

Izabrcma poglavlja iz hidrodinamike. I izdanje, 1998.

Crnojevic C. Cantrak S. ~

Statika i kinematika fluida. II izdanje, 1998.

Saljnikov V. ®

Mehanika fluida = Teorrija i praksa. VI izdanje, 1998.

Cantrak S., Marjanovic P., Benisek M., Pavlovic M., CmojeviC C. @I

Prirucnik za proracl.ln strujanja siisljivog flu ida. V izdanje, 1997.

Pavlovic D. M, Stefanovic Z. PB)' tada ce B mikromanometar imati pokazivanje l. NaCi zavisnost raziike /1 .......--=--=-...,.... --"---_._--"" pritisaka od pokazivanja p rnikromanometra. Poznate b) a) velicine su: A o ' n, fa ,R, Pm' Slika P.I.l-4 -~--,--

L--'-~";"'-

RESE.NIE:

a) lednaCina hidrostaticke ravnoteZe manometra daje: 6.p= PA - PB = (Pm - p)ghsina .

b) Prime nom jednacina hidrostaticke ravnoteze i jednakosti zapremina, dobija se

J

lo a 6.p:= P1 - P2:= pg ( lc,~vs R +TI . a

Polje pritiska. lvianometri

11

Problem 1.1-5. U rezervoaru se meri pritisak pomocu tri redno povezal1a manometra. Prvimanometar (1), jednim svojim krajem otvoren je prema atmosferi i ima unutrasnji precnik D. Druga dva manometra (2) i (3) medusobno su jednaka i imaju unutrasnji precnik cevi d. Manometri su postavljem tako da kada je potpritisak u rezervoaru P',o mvoi manometarskih tecnosti u sva tfi manometra su isti. Nivo tecnosti u rezervoaru je konstaa) pp ntan. Kada se potpritisak u rezervoaru (I) (2) m (3) m poveca na Pv ' odrediti koliko je pokazivanje Pa manometra (1). Poznate velicine su: Pvo'

o"IW"ot U In

'~p

Pv ' d, D, Pm' p, Po' 0'"

RESEN.fE: Da bi niva tecnosti u sva tri

b)

manometfa, u pocetnom trenlltkll, bio isti, potrebno je ove manometre postaviti na Slika P.U-5 visinu Ho' Ova visina dobija se iz jednaCine hidrostaticke ravnoteze, postavljene za nivo 0-0 Po = Po - Pva + Pagho' 1 lznOSl: Ho = Pvo / pog· Kada se II vazdusnom prostoru rezervoara potpritisak poveca, sa Pvo na Pv' tada ce donji nivoi razdvajanja flllida u manometrima biti: 1-1, 2-2 i 3-3 (vo sl. P.l.1-5h). Tom prilikom, pokazivanje prvog manometra je y, a drug a dva je isto i iznosi x. Za odredivanje pokazivanja prvog manometra, potrebno je postaviti jednaCine hidrostaticke ravnoteze za sledece ekvipritisne povrsi: 1-11

Pa=Pl+pmgy,

2-21

Pl+pg(yI2+xI2)==P2+Pmgx,

3-31

P2+pgx==P a -P v +pog(Ho -xI2)+P nr gx,

pri c.emu su pritisci PI i P2 na gornjim povrsinama razdvajanja fluida fiktivno uvedem zbog lakseg pisanja jednacina hidrostaticke ravnoteie. Za nalazenje dopunske veze izmedu nepoznatih velicina x i y, koristi se jednaCina jednakosti 2

2

zaprerrrina nestisljivih fluida: YD n/4 = xd n/4 iz koje sledi x = y(D I d)2. JednaCina jednakosti zapremina nestisIjivog flliida (jednaCina zapreminskog bilans a) veoma cesta se koristi u hidrostatici, iobicno predstavlja dopunsku jednacinu iz koje se dobijaju veze izmedu nekih duzina, Iz sistema hidrostatickih jednaCina ravnoteze, eliminacijom nepoznatih PI,172 ix, dobija se pokazivanje prvog manometra, koje iznosi:

Pv - Pvo

Problem 1.1-6. Izmedu rezervoara A i B nalaze se dva redno povezana manometra koji su postavljeni 11a razliCitim visinama. Na osnovu poznavallja vrednosti svih gustina tecnosti (Pl = 800kg 1m3 , P2 I OOOkg I m3, Pm = 13,6 t I m3 ) i

12

Polje pritiska. Manometri

merodavnih visina (11 == 1m, h) == O,Sm, h2 == O,gm; H) "" 2m, H2 == 2m) odrediti razliku apsolutnih pritisaka izmedju prostora rezervoara A i B koji su ispunjeni vazduhom. RESENfE-

PA - PB == Pm + PI' == [Pm (h) +h2)-p(h+h))- PJH] + P2 H 2jg == 162650Pa.

D

H

p

Slika P.1.l-6

ShIm P.1.l-7

Problem 1.1-7. Rezervoar R, u kome se nalaze dye tecnosti koje se ne mesaju, spojen je sa dva redno povezana diferencijalna manometra razliCitih precnika d i D. Kada u rezervoaru nema natpritiska vazduha iznad tecnosti gustine PI (Pm == 0) tada su u oba diferencijalna manometra nivol tecnosti na ravnoteznoj visinj 0-0. Usled dejstva natpritiska Pm nivoi tecnosti u rezervoaru i u manometrima zauzimaju polozaje prikazane na s1. P.1.1-7. Za ovaj polozaj odrediti korelacioni izraz Pm"" Pm (H). Poznate veliCine su : P, PI' P2' Pm' hI' h2' a, d, D. Pm "" pga - Pigh + P2gh2 + Pmg( 1+ (~)

l

_RESENfE-

z

o

:~]h

2] Ii.

Problem 1.1-8. Kada fluid gustine 3 P == 1000 kg / m miruje u cevi tada je ravnoteZui nivo manometra 0-0. Uspostavljanjem strujanja kroz cev izmedu prikljucaka A iB ostvarice se pad pritiska f¥J. Ovaj pad pritiska je mali, te se zato u prikljucnimvodovimaugraduju pojacavaCi pritiska. Manometar tada imapokazivanje h=100mm. U pocetnom stanju mirovanja manometra klipovi u pOJacavaclma pritiska se nalaze na istom nivou. Odrediti razliku pritiska koju meri diferencijailli manometaL. Poznatipodaci su: D=100mm d == 2Smm, do"" lOmm, Pm == 13600kg/ m

SIika P.1.1-8

3

.

Polje pritiska. Manometri

13

RESENJE: Da bi se mogla postaviti jednuCina hidrostaticke ravnoteZe rnanometra, potrebno je odrediti pritiske PI' i P2 'iza pojacavaca pritiska. Kako je povri3ina klipa ravna i poklapa se sa izobarskom povrsi, to ce sila pritiska bid jednaka proizvodu pritiska i povrsine Idipa. Iz jednacina nivnotde sHa koje deluju na klipove pojacavaca D2T[ d 2 T[ (PI + pgy) -4- + G == p'j

4-

dobijaju se pritisci 2

P'I = (PI + pgy)(D / d)2 +4G / d T[

Pomeranje klipa x je u direktnoj vezi sa pokazivanjem manometra 11, a dobija se iz .

.

.

d 2 re

2

1d n

"

•

I do 2

o Jednakosh zapremma: -4-X=2-4h, 1 lznosl: X==2(d) h. Postavljanjem jednacine hidrostaticke ravnoteie za ekvipritisnu povrsinu I-I

PI '+pgz == P2'+pg(z+2x-h)+ Pmgh ,

te uvrStavanjem nadenih velicil1a: PI' ,P2' ix, dobija se razEka pritisaka d 2 {Pm do) 2fLCd) D2 -1 /:o,.P==(D) --I-(d

.p

J} pgh=625,4Pa ..

Jednacina hidrostaticke ravnoteie manometra za ekvipritislll1 povrsinu I-I, moze se i direktno pisati, bez uvodenja medupritiska PI' i P2'. Ali, tada treba mnogo vise paznje posvetiti korektnoll1 pisanju ove jednacine, te se iz tih razloga ovaj naGin pisanja jednaCine ne preporucuje. U slucaju da je pretvarac istih c1ill1enzija (D / d 1), dobijeni izraz za razliku pritisaka se svodi na poznati izraz (p'rell1a P.l.l-I.) 6.p = (Pm - p)gh, koji odgovara razlici pritisaka na diferencijalnom manometm bez pretvaraca pritisaka. PretvanlCi pritiska koriste se kada treba povecati iIi smanjiti ulazni pritisak, a nivo povecanja ili umanjenja pritiska zavisi od odnosa precnika pretvaraca Did. Pr(lblem 1.1-'9. Kada je manometar prikazan na sl. P.l.l-9. c1irektno spojen na merna mesta OIl ima pokazivanje ho ' Kako je ovo pokazivanje veliko to se a prikljucllim vodovima Ulanometra ugraduju pretvaraCi pritiska. Odrediti pokazivanje manometra sa ugradenim pretvaracima pritiska. Poznate veliCine sa: p, Pm' ho' d, D, G. RESENJE' KoristeCi metodologiju proracuna kao i u primeru P.1.l-S, dobija se: h =ho(d/D).

--D -

.--, h Pm

Stika P.1.1-9

Problem 1.1-Ut Kada se na prikljuccima zvonastog mikroll1anometra A i B spoje pritisci napajanja Pi i P2' tad a mikromanometar ima pokazivanje

14

Polje pritiska, Manometri

jI>:- 0

H=50mm. Na osnoVll ovog pokazivanja odrediti razlikupritisaka kojil meri mikromanometar. Poznati podaci su: Dl = 158mm, . D2 = 160111111,

-v-

D3

p

B --

--

--

_. --

G

P

= 200111m, p =1000kg/ m3 .

RE'SENJE' Primenom jednaCina: ravnoteie sila,

hidrostaticke ravnoteZe i jednakosti zapremina, dobija se razlika pritisaka flp= Pl - P2

= [(D2 / Dl)2 -l]pgH = 12,5Pa.

Problem lL.Jl.-:U. U torusnom manometru precnika D i unutrasnjeg precnika cevi d na1azi se tecnost gustine p. Na torusu, na rastojanju R, pricvrscen je protiv-teg mase m (s1. P.1.1-11a). Ovaj sistem je obrtan oko horizonta1ne ose O. Prikljucenjem Slika P.l.l-lO manometra mi ptitiske gasa Pl i P2 (P2 > Pl) torusna cev sa protiv-tegom zauzima novi ravnoteZri polozaj koji je prikazan na sl. P.I.I-11b. Ova promena poloiaja manometra omogucava merenje razlike pritisaka flp = P2 - Pl' Odtediti zavisnost razlike )ritisaka flp od ugla a koji definise poloiaj protiv-tega. Komentarisati ulogl1 manometarske tecnosti na tad manometra.

L

A

D[ D2

flp(c/-) = P2 - Pl

Slika P.l.I-ll

:=:

Dd8R2rc mgsina':

Dobijeno resenje pokazuje da merena razlika pritiska ne zavisi od gustine manomefarske tecnosti. Prema tome, manometarska tecnost ima sarno ulogu razdvajanja prostora koji su pod pritiskomgasa.

15

:1.20 MIROVANJE STISLJIVOG FLUIDA 1.2.1. Jledmllcina sbll11lja ideain(]lg galla

Pod idealim gasom podrazumeva se onaj gas kod koga se medjumolekularne sile mogll zanemariti. Svako stanje gas a, pa i idealnog, odreduju tri tennicke veliCine stanja, ito: p-apsolutni pritisak, p -gustina i T-apsolutna temperatura. Svaka funkcionalna veza flp, p ,1)=0, izmedu ove tri veliCine stanja, naziva se jednacinom .rtanja. Kako se neki stvarni gasovi, na pI. vazdllh, u uslovima veCih temperatura i nizih pritisaka mogu smatrati idealnim to se za njih jednacina stanja idealnog gas a moze pisati u jednom od sledeCih oblika: I pV = mRT -+ pv = RT -+ P = pRT I (1.2.1) pri cemu su: V - zapremina koju ispunjava gas, m = pV - masa gasa, v = 1/ p - specificna zapremina, R - gasna konstanta (koja za vazduh ima vrednost R=287 J/lcgK). Izrazi (1.2.1) predstavljaju jednu jednaCinll samo napisanu u razlicitim oblicima. U pnellmatici, pod kojom se grubo receno podrazumeva primena vazduhapod pritiskom, najceSce se koriste prvi i treCioblik jednacine stanja idealnog gasa (1.2.1 ). 1.2.2. Jellin3cina stanja reaiulIJ)g gasa

Svi gasovi su u sustini realni gasovi. Uticaj realnosti gasa posebno treba ~eti u obzir pri uslovima povecanog pritiska i snizene temperature. Za realne gasove postoji citav niz poluempirijskih jednaCina stanja. Jedna od njih je i Van-der Waals-ova jednacina, koja glasi: 1 2· 3 P = I-bp (pRT-ap +abp-) ,

pri cemu su a i b koeficijenti koji uzimaju u obzirrealnostgasa, aodreduju se eksperimentalnim putem za svald gas. U praksi se jednaCine tipa Van-der Waalsove rede koriste. Jednostavniji ,--,_. -·---~k¢r 4 _ 11 proracuni izvode se pomocu 3 jednaCine stanja realnog gasa ~ 2 pV= ZmRT -+

I p= ZpRT I ~~d

u kojoj je koeficijent Z funkcija od pritiska i temperature, odnosno Z = Z(p,T), i naziva se ./alctor reablOg gasa, iii koeficijent kompresibilnosti. Faktor realnog gasa se odreduje iz dijagrama sa s1.1.2.2. Ovaj dijagram je dat za

2.5

TfT

8:§

-O.8~ ~

2

1.0

~

1.2):; I-c-'- - - - -

"'L1

0.4 0.3 0.2

~

,

j

,. =

/'

/ ·--1- _.-

0.1 0.1

0.20.30_5

2 3

5

10

p/PK

Slika 1.2.2. Faktor realnog gasa

2030 50

I

\ 1

16

Mirovanje stisljivogjluida

redukovane uslove. u odnosu na kriticno termodinamicko stanje (odredeno velicinama Pk i Tk)' pod kojim se podrazumevaono stanje kod koga nastaje direktni prelaz iz gasovite u tecnu fazu bez prethodne pojave magle. Sa aspekta pneumatike interesantno je kriticno stanje· vazduha, koje je odredenovelicinama: Pk = 37,74bar i tk ==-140,75D C. Problem 1.2-1. Odrediti stanje vazduha kao realnog gasa, pri sledecim usiovima: a) pi Pie =2, T!7k =1,2 ;b) pi Pie =30, TITle =2 ;c) P =100 bar, t=57,8 D C. RE..fENJE· Za redukovane usiove stanja vazduha, date iii formirane, odredene odnosima pip kiT I TIC' sa dijagrama s1.1.2.2. oCitavaju se koeficijenti kompresibilnosti Z::= Z(p,T). Iz istih odnosa dobijaju. se apsolutne vrednosti pritiska p == ~ Pie

i temperature T == ~ ~C" Koriscenjem jednaCine stanja vazduha

p::= ZpRT, i odnosa redukovanih veliCina, dobija s.e gustina vazduha: p p= ZRT =

p

TkPk

1

Cp;;KY)T; ZR

Ovako odredene veIiCine stanja date su u tabeli 1.2-1. Zadatak pod

t

pi Pk

TITle

Z

-

-

-

bar

DC

P 3 kg/m

1,2 2 2,50

0.65 2.15 0.95

75.5 1132.2 100

-114.3 -8.4 57.8

254.7 693 110.8

a 2 b 30 c 2,65 Tabela 1.2-1.

P

1.2.3. Jedllll3CillJl3l pl"omellJle shmja Ako se u nekoj zapremini nalazi gas tada je njegovo termodinamicko stanje odredeno velicinama: p, V (iIi p) i T. Ukoliko se iz nekog razloga promeni neka od ovih velicina ana za sobom povlaci promenui ostalih veliCina stanja. Ove promene opisuju se jednacinom koja se zovejednaCina pTomene stanja. U opstem slucaju ove promene su veoma slozene i pri inZenjerskoj primeni aproksimiraju se tzv. politropskom promenom stanja koja se opisuje jednaCinom:

l pV

n ::=

canst.

-0-

pi pn

= const.l

(1.2.2)

gde je n stepen politrope. Ova jednaCina ima i dva specijalna oblika, ito: a) pri izotermskoj promeni stanja (T = const), kadaje 11==1

pV=const. , p/P=COl1st. b) pri izentropskoj promeni stanja (n=K), lcadanema olcoliriom ni rada sile trenja K

pV == const. ,

ill

razmene topJote sa

IC

P / P == const.

pri cemu je 1C stepen izentrope (za vazduh je K =1,4). U uslovima mirovanja iii kvazistacionarnog kretanja gasa nema sile trenja pa se izentropa svodi na

Mirovanje stisljivog fiuida

17

adijabatu. U jednaCinama promene stanja sa P je oznacen opJ'o/utnipniisoic, koji se odreduje kao P = P a + Pm u slucaju natpritiska, iIi P = Pa - Pv u slucaju potpritiska u zapremini gasa. PrimenjujuCi, na pr., jednacinu politropske promene stanja za dva stanja gasa oznacena sa "I" i "2" dobija se operativno upotrebljivi oblik ove jednaCine : P1 / P111 Problem JL2-2. U pneumatskom cilindru moze da se krece, bez trenja, klip teZine G= WON. Nakon dejstva sile F=500N, klip ce zauzeti novi ravnotezni polozaj. Odrediti za koliko ce se spustiti klip, ako vazduh menja stanje: a) izoterrru;ki, b) adijabatski. Dati podaci su: D=IOOmm, a=400mm, Pa =IOOOmbar.

= P2

/

n

P2'

Stika P.1.2-2

RESENJE: Za pocetno i krajnje stanje ravnoteze vaie jednakosti sila: D 2rr:

.

G= Po"" Pmo -4-' iz kojih se dobijaju natpritisci :

D'71

F+G = Pm!-4-

4G

.

4(F+G)

Pmo = D2rr:' Pm] = D2rr: . a) Iz jednaCine izotermske promene st;"nja pV = const. napisane u oblilru (Pa + Pmo) dobija se pomeranje Idipa x=

2 D rr: _ 4 a-

(Pa + Pm1)

Pm, - Pmo Pa + Pm!

~ 4

(a-x),

a=144mm. lC

b) Izjednacine adijabatske promene stanja pV =const. napisane u obliku

2

(Pa + Pmo)(D4 rr: a)lC

dobija se pomeranje klipa [ x= 1-(

J 2

= (Pa + Pm1t D4 rr:(a-x)

,

11]

P + Pm a

]K

0)

Pa + Pm!

t(

a=109,5mm.

Problem 1.2-3. Rad 5:lllbijal!l.ja gasa

U pneumatskom cilindru se nalazi vazduh pod pritiskom PI' koji ispunjava zapreminu VI' Usled dejstva sile na ldip vazduh upneumatskom cilindru menja stanje i u novom ravnoteznom polozaju je podpritiskom P2' Odrediti rad sabijanja vazduha, ako je promena stanja: a) izotermska, b) politropska, i c) nacrtati proces up-Vi T-S dijagramu . RESENJE' U proizvoljnom polozaju na klip deluje sila pritiska P = pA, koja pri elementarnom pomeranju za rastojanje dx daje rad BW =: Pdx= =: pAdx. Kako je

18

Mirovanje stisljivog jluida

element zapremine dV == Adx to ce obavljeni rad biti oW:= pdV . Iz ovog izraza se dobija rad sabijanja vazduha: v (1.2.3) W::= - v' pdV

f

1

pri eemu je male minus posledica usvojene konvencije po kojoj je rad sabijanja kompresije negativan jer se u toku prQcesa troili, dok je radsirenja· ekspaIJzije pozitivan, jer se u toku procesa dobija. a) Za izotermsku promenu stanja T::= canst. vazi pV == P1VI , odnosno p:= Plfli IV, te ce prime nom izraza (1.2.3) rad sabijanja biti v,

rv ::= -

J

V,

dV PIVI - V

::=

VI

P2

2

1

PIVI In -V = P1VI In--p'

b) Za politropsku promenu stanja (pV I1

= canst.)

(1.2.4)

promena pritiska je odredena

izrazom p::= PI (VI I V)11 , pa se integraljenjem izraza (1.2.3) dobija dV =_1_. VLr(~)n-I_1Jl,",PI~lr(1l)~~!-lJl. w==-f PI vn Vn n -1 V n-1 p

(1.2.5) I PI I v, 2 1 Izraz (1.2.5) definise opsti (politropski) rad sabi: anja gasa. Ako se u njega uvrsti n =: K dobiee se adijabatski rad sabijanja. c) Procesi sabijanja u p-V i T-S dijagramu prikazani su na s1. P.1.2-3, pri cemu eksponent politrope uzima vrednosti l:s: n :S:oc. Vrednost eksponenta n=l odgovara izotermi, a vrednost n ::= k adijabati.

t

r'I

.2~3~1211}.1I1 .....2'~

;2 ..... n=1

n1C

-

P2 =cC:,nst. 2' /~.~1C

n=ro '-.

').

~

71~~/JO,~/ n=(l) j

,

"

.(

p .............................

.

?

-

..< 1C

fA'

4-------------~----~

n>lC / '

/

~-" va 3-4) odvija uz ,//(: postepenu promenu preonst zapremine. Da hi rad sabijanja kompresora s v bio sto manji pozeljno je da se ekspanzija b) a) gasa odvija bez razmene koliCine toplote sa okoliIiom, tj.Q34 = 0, Slika 1.2.4.3. Kruzni proces klipnog kompresora. Da bi se ostvario sto manji rad kompresora treba teziti i da je proces kompresije izotermski (kriva 1-2) a ne izentropski (kriva 1-2') Cime se u radu vrsi uSteda kojaje na p-V dijagramu predstavlja povrSinu 12'2. Kod realnih kompresora definise se mdna zapremina Vi, = Ah , gde su A i h povrsina cilindra i hod klipa redosledno, kao i relativna steina zapremina I> = Vc /Vh , koja zavisi od konstruktivnih karakteristika kompresora. 1.2.4.4. Visestepenii k@mpnsoJri

Ponekad postoji potreba za obezvedjivanje vecih pri::lsaka gasa, naroCito za potrebe transporta gas a gasovodima, a sto moze dase ostvari uzastopnim sabijanjem gasa u vise cilindara. Ovakvi kompresori nazivaju se /llJb'/epem:

Mirovcmje siiSljivogjluida

21

Na sl.l.2.4.4a sematski je prikazan jedan visestepeni kompresor sa z cilindara. Ako se posmatra bilo koji stepen kOInpresora, na pr. Hi stepen, tada moze da se definise stepen porasta pritiska - stepen kompresije TC i =

P2,i / Pl,i

i izentropska promena temperature gasa: 'T'

-

" 2 '; -

T,l,i ( P2,i / PI'; )(K-l)IK

-

T,l,i TC (lC-l)llC , i(= 1, 2, ... ,z ) I

pri cemu prvi indeks oznacava stanje: 1 - na ulazu i 2 - na izlazu iz stupnja, a drugi indeks oznacava posmatrani stnpanj kompresora. Ocigledno je iz ovih relacija da ce zbog porasta pritiska pri kompresiji gasn porasti temperatura, cime se namece potreba za hladjenjem gas a izmedjn susednih stupnjeva. To medjuhladjenje je najbolje obaviti tako da temperatura gasa na ulazu u sledeCi srupanj bude 7;,1 = 7;,2 =... = 7;,i =... == 7;,z == 1; == canst., Cime se prakticno priblizavamo izotermskoj kompresiji jednog jednostepenog kompresora koji bi imao isti stepen kompresije kao i visestepeni, a sto .ie til

s>

0)

P =p. 1

1,1

p =const

z

7'

/

/

~/

/

p/=const /

p =const

/! // 2.:;'-/'.2,1// 2 ./ 2,1

/

~~:.:.Y..,.'Y4~I~ ,J.,/t'i:; ~/~~:~nst

~/

T l . . . .... ...

/1,J-

~~::-'