Johdatus kvanttimekaniikkaan 9517451466 [PDF]

Zitiervorschau

Christofer Cronström ja Claus Montonen

JOHDATUS KVANTTIMEKANIIKKAAN

Johdatus kvanttimekaniikkaan

C. Cronström ja C. Montonen

Limes ry - Helsinki

Tämä kirja on ladottu Don E. Knuthin toteuttamalla Tf^dadontaohjelmistolla. Apuna on käytetty Leslie Lamportin suunnittelemaa iATgX-makrokirjastoa. Limes ry ISBN 951-745-146-6 1991 Limes ry:n graafiset laitokset, Helsinki

Esipuhe Tämä oppikirja Johdatus kvanttimekaniikkaan 011 suunniteltu Helsingin yliopiston teoreettisen fysiikan kurssin Kvanttimekaniikka I tarpeita silmällä pitäen. Kirja on tehty melkoisella kiireellä ja on kirjoitustyön aikana myös paisunut suunniteltua laajemmaksi. Toivomme, että kirja osoittautuisi käyttökelpoiseksi oppimateriaaliksi sekä kvanttimekaniikan opetuksessa että itseopiskelijoille. Ilman Limes ry:n julkaisusihteerin Päivi Tapperin ystävällistä mutta päättäväistä painostusta kirja olisi tuskin syntynyt (lähes) Limeksen toivoman aikataulun puitteissa. Haluamme kiittää Päivi Tapperia ja myös hänen seuraajaansa julkaisusihteerinä, Timo Kaihota, kirjan hienosta painoasusta sekä siitä epäilemättä suuresta vaivasta jota he ovat nähneet parantaessaan kirjan kieliasua. Lähtökohtana tälle kirjalle on ollut Claus Montosen ja Risto Raition kirjoittama luentomoniste Kvanttimekaniikan luennot. Risto Raitio ei voinut työkiireidensä vuoksi osallistua tämän kirjan kirjoittamiseen, mutta luovutti ystävällisesti osuutensa aikaisemmastamonisteestakäytettäväksemme. Lausumme hänelle tästä parhaat kiitoksemme. Suurin osa kirjastamme on kuitenkin uudestaan kirjoitettu, joten kysymyksessä on uusi kirja, eikä vain edellisen luentomonisteen uusittu painos. Työmme on jakaantunut seuraavasti: Chiistofer Cronström on pääasiallisesti ollut vastuussa luvuista 1, 4, 6 ja 7, kun taas Claus Montonen on vastannut luvuista 2, 3, 5, 8 ja 9. Olemme toki lukeneet toistemme tekstiä ja esittäneet parannusehdotuksia toisillemme silloin kun tämä on näyttänyt olevan tarpeen. Vastaamme siis yhdessä lopullisesta tekstistä, ja toivomme, ettei siinä esiinny sietämättömän monta painovirhettä eikä myöskään vaikeasti ymmärrettäviä (tai peräti virheellisiä) argumentteja. Otamme tietenkin kiitollisuudella vastaa ilmoituksia mahdollisista virheistä. Helsingissä 31.8.1991 Tekijät

Sisällys 1

2

3

Aaltomekaniikka 1.1 Johdatus aaltomekaniikkaan. Schrödingerin yhtälö 1.2 Aaltofunktion todennäköisyystulkinta. Koordinaatti-ja impulssi avaruuden aaltofunktiot 1.3 Aaltofunktion aikakehitys. Stationaarinen Schrödingerin yhtälö 1.4 Heisenbergin epämääräisyysperiaate 1.5 Minimiaaltopaketti. Hiukkasten paikallistettavuus koordinaattija impulssiavaruudessa 1.6 Erinäisiä yksiulotteisia sovelluksia 1.6.1 Hiukkanen potentiaalikuopassa 1.6.2 Deltafunktiopotentiaali 1.6.3 Jaksollinen potentiaali ja kidehila 1.7 Yksiulotteinen sironta. Esimerkkinä potentiaalimuuri 1.7.1 Alkutilan määrittely 1.7.2 Ajasta riippuvan Schrödingerin yhtälön ratkaiseminen . 1.7.3 Lopputilojen todennäköisyyksien laskeminen Kvanttimekaniikan yleinen rakenne 2.1 Tilat ja observaabelit 2.2 Kommutaatiosäännöt 2.3 Aikakehitys 2.4 XJnitaariset muunnokset 2.5 Yhteys aaltomekaniikkaan 2.6 Tiheysoperaattori 2.7 Mittaukset ja kvanttimekaniikan tulkinnat 2.8 Yhteenveto: Kvanttimekaniikan postulaatit Harmoninen värähtelijä 3.1 Operaattoritarkastelu 3.2 Aaltofunktiot .

. . . . . . . . . . .

7 7 11 17 20 23 27 27 33 35 40 41 42 47 53 53 58 61 63 64 66 70 71 74 74 77

4

SISÄLLYS 3.3

Nollapiste-energia

78

4

Kierto ja impulssimomentti 4.1 Kiertoryhmä 4.2 Kiertojen parametrisointi. Kiertoryhmän Lien algebra . . . . . 4.3 Aaltofunktioiden muunnosominaisuudet 4.4 Impulssimomenttioperaattorien matriisiesitykset 4.5 Symmetria kvanttimekaniikassa 4.6 Spin 4.7 Impulssimomentin yhteenlasku 4.8 Pallofunktiot

81 81 85 90 93 99 100 105 109

5

Liike k e s k e i s k e n t ä s s ä 5.1 Kaksihiukkassysteemi 5.2 Keskeiskenttä 5.3 Vetyatomi

115 115 116 120

8

L i k i a r v o m e n e t e l m ä t s s i d o t u t tilat 6.1 Variaatiomenetelmä 6.2 Häiriökehitelmä 6.3 Epäharmoninen värähtelijä 6.4 Degeneroitunut häiriökehitelmä 6.5 Starkin ilmiö

127 127 129 133 136 138

7

Sirontateoria 142 7.1 Sironnan peruskäsitteitä 142 7.2 Sirontaprosessi efektiivisenä yksihiukkasprobleemana 144 7.3 Aaltopaketit, vuotekijä ja vaikutusala 145 7.4 Aaltopaketit paikka- ja impulssiavaruudessa 147 7.5 Sirontaratkaisut, Schrödingerin yhtälö integraaliyhtälönä . . . . 150 7.6 Sirontaongelman Schrödingerin yhtälön ratkaisu ja sen ominaisuudet . . 156 7.7 Sironta-amplitudi ja vaikutusala 160 7.8 Sironta-amplitudi, Bornin approksimaatio ja Lippmaiinin-Schvvingerin yhtälö 163 7.9 Osa-aaltoanalyysi 167

S

Ajasta riippuvat ilmiöt 175 8.1 Kvanttimekaniikan dynamiikan kuvat, ajasta riippuva häiriöteoria 175 8.2 Siirtymät lopputilajatkumoon. Kultainen sääntö 179 8.3 Varatun hiukkasen ja sähkömagneettisen kentän vuorovaikutus 182 8.4 Atomi säteilykentässä 185

SISÄLLYS

8.5 8.6 9

5

Aika-energia epämääräisyysperiaate Feynmanin polkuixitegraali

Identtiset hiukkaset 9.1 Bosonit ja fermionit 9.2 N:n fermionin systeemi 9.3 Kuorimalli

189 190 194 194 196 198

Luku 1

Aaltomekaniikka 1.1

J o h d a t u s aaltomekaniikkaan. Schrödingerin yhtälö

Kvanttiteorian voidaan sanoa saaneen alkunsa tämän vuosisadan alussa, kun erinäiset koetulokset lähinnä atomi-, molekyyli- ja säteilyfysiikan alueilla (nykyterminologiaakäyttäen) olivat osoittaneet klassisen fysiikan käsitearsenaalin riitämättömäksi. Koetulosten ymmärtämiseksi tarvittiin erinäisiä "kvanttihypoteesejä", jotka on myöhemmin voitu sisällyttää suhteellisen yhtenäiseen kvanttiteoriaan. Mainittakoon ensimmäisenä tällaisena kvanttihypoteesinä M. Planckin mustan kappaleen säteilyä koskeva hypoteesi (M. Planck, 1900), jonka mukaan säteilyspektri voitiin selittää olettamalla, että sähkömagneettinen säteily koostuu diskreeteistä kvanteista (siis eräänlaisista valohiukkasista), joiden energia E on verrannollinen säteilyn jaksolukuun u, E = hi/,

(1.1)

missä verrannollisuuskerroin h oli määrättävissä koetuloksista. Tämän (sittemmin luonnonvakion aseman omaavan) Planckin vakion h nykyinen arvo on (viiden desimaalin tarkkuudella), h = 6.62608- 10~ 34 Js.

(1.2)

Kohta tämän jälkeen selitti Einstein edelleen valosähköisen ilmiön (A. Einstein, 1904-1905) Planckin kvanttihypoteesin pohjalta (tätälaajentaen mm. tuomalla esiin fotonin käsitteen). Voidaan sanoa, että nämä tulokset toivat esille säteilyn, jota perinteisesti pidettiin aaltoilmiöinä, tietyn hiukkasluonteen.

Luku 1 Aaltom ekaniikka

8

Kohta tämän jälkeen voitiin taas esimerkiksi vetyatomin kokeellinen energiaspektri selittää (silloisten koetulosten, edellyttämällä tarkkuudella), Bohrin atomimallin perusteella (N. Bohr, 1912). Tämä malli antoi jo tiettyjä viittauksia hiukkasten (elektronien) aaltoluonteeseen, joka myöhemmin sai sekä kokeellista että teoreettista lisävahvistusta. Tämä niin sanottu hiukkas - aalto dualismi sai yleisemmän muodon de Broglien käsissä (L. de Broglie, 1924); hän esitti yleisenä hypoteesina että hiukkasiin liittyy (periaatteessa mitattavia) aaltoja joiden aallonpituus A oli laskettavissa hiukkasen impulssista p seuraavasti, (1.3) missä h on edelleen P1 anekin vakio (1.2). Kohta tämän kvanttifysiikan alkuaikojen jälkeen luotiin varsinainen kvanttiteoria lähes sellaisena kuin tunnemme sen tänään; ehkä tärkeimmät tähän pioneerityöhön osallistuneet henkilöt (jo mainittujen lisäksi) olivat W. Heisenberg, E. Schrödinger, M. Born, P. Jordan, W. Pauli ja P. A. M. Dirac (kaikki sitten P. Jordania lukuunottamatta Nobelin palkinnon saajia.) Alla esitetään niin sanotun aaltomekaniikan alkeet johdatuksena hieman yleisempään kvanttiteorian formalismiin, joka esitetään myöhemmin luvussa 2.

E. Schrödinger esitti vuonna 1926 alun kvanttimekaniikalle muodossa, jossa keskeisenä elementtinä oli hiukkasten kuvaaminen ajasta i ja paikasta x riippuvalla aaltofunktiolla $(£,»). Vapaan hiukkasen tapauksessa de Broglien hypoteesin (1.3) ja relaation (1.1) kanssa sopusoinnussa oleva tietyn impulssin p ja energian E omaavan hiukkasen aaltofunktio on tasoaalto ${t,x)

=--

-

Nei(k-X~ut)^

(1.4)

missä muuttujina on impulssi p ja energia E tai aaltovektori k ja kulmataajuus u>, p as hk, E - hw.

(1.5)

Kaavoissa (1.5) esiintyvä vakio tl taas on Pianokin vakio jaettuna 27r:llä eli viiden desimaalin tarkkuudella, h = h/2-K =z 1.05457- 10~ 34 Js = 6.58212- 10" 16 eVs.

(1.6)

Tasoaallon lausekkeessa (1.4) esiintyvä suure N on kompleksiarvoinen vakio, joka (vaihetta vaille) periaatteessa määräytyy aaltofunktiolle asetetusta normitusehdosta. Tähän normituskysymykseen palataan kohta uudestaan.

1.1 Johdatus aaltomekaniikkaan.

Schrödlngerin

yhtälö

9

Esimerkkiaaltofunktio (1.4) antaa vihjeen siitä, miten sellainen havaittava suure kuin hiukkasen impulssi käsitellään aaltomekaniikassa. Operoimme tasoaaltofunktioon (1.4) gradienttioperaattorilla V kerrottuna — i/? :11a, -ihVV(t,x)

= p$(t,x).

(1.7)

Tasoaalto e x p ( i p - x / h ) on siis derivaattaoperaattorin ihdj ominaisfunktio ominaisarvolla pj. On siis olemassa tietty vastaavuus hiukkasen (klassisen) impulssimuuttujan p ja gradienttioperaattorin ifiV välillä, p

-ihv.

(1.8)

On melko tavallista lausua vastaavuus (1.8) (varsinkin vanhemmissa kvanttimekaniikan oppikirjoissa) sanomalla, että "kvanttimekaniikassakorvataan impulssi p kvanttimekaanisella operaattorilla —ihV\ Tämä sanonta on hieman harhaanjohtava. Sanotaan sen sijaan, että operaattori — iHV edustaa impulssia p ns. köordinaatiesityksessä. Kohta tullaan nimittäin näkemään, että on olemassa myös ns. impulssiesitys, jossa vuorostaan koordinaattimuuttujat samaistetaan tiettyjen derivaattaoperaattorien kanssa, kun taas impulssimuuttujat ovat reaaliarvoisia. Olkoon nyt $ funktio, jolle alla olevat derivaattalausekkeet ovat mielekkäitä, mutta muuten mielivaltainen. Yhtälön (1.8) mukaan on, d Pkxi§ = - i h — x i § =~4h6ki$ missä Ski Samoin

o n ns

d

(1.9)

- Kroeneckerin symboli, ts. 6^1 = 1 jos k = l ja 0 jos k -f- l. 0 xipk§ = - itixi- a öxk

(1.10)

Symbolien x ja p järjestys on siis merkityksellinen näitä symboleja sisältävissä lausekkeissa; vähentämällä lausekkeet (1.9) ja (1.10) toisistaan saadaan, {XiPk - PkXl)§ = [vhPk}§ = Yhtälössä (1.11) on tuotu esille kahden symbolin kommutaattori [A, B] = AB - BA,

(1.11) [,]: (1.12)

joka on ensiarvoisen tärkeä käsite kvanttimekaniikassa. Koska relaatio (1.11) pätee kaikille (mielekkäille) funktioille voidaan tämä relaatio yleistää x:ää ja p :tä koskevaksi kommutaatiorelaatioksi \xuPk\

= m

¥

.

(i.i3)

Luku 1 A ai t orn ekaniikka

10

Symbolit xi samaistettuna reaaliarvoisten koordinaattien kanssa, kommutoivat keskenään, [xuxk] = 0.

(1.14)

Samoin symbolit pk, samaistettuna derivaatta-operaattorien (1.8) kanssa, kommutoivat keskenään, \pi,Pk] = 0.

(1.15)

Relaatioita (1.13)—(1.15) sanotaan koordinaatien ja impulssien kanonisiksi kommutaatiorelaatioksi. Nämä relaatiot määrittelevät tietyn operaattorialgebran kyseisille symboleille, joka on yleisempi kuin se koordinaattiesitys, joka on johtanut kaavoihin (1.13)-(1.15). Mainittakoon toisena operaattorialgebran (1.13)-(1.15) toteuttavana esimerkkinä symbolien x ja p reaalisaatiot impulssiesityksessä, missä p^:t samaistetaan reaaliarvoisten muuttujien kanssa, kun taas d

Xl ^

opi

•

(1.16)

Tarkemmin operaattorien esityksiin palataan uudelleen luvussa 2. Lähtökohtana yllä on ollut vapaan hiukkasen tasoaaltofunktio, = Nexp(i(p-x-

E{p)t)/h),

(1.17)

missä nyt eksplisiittisesti merkitsemme E = E(p). Yhtälön (1.17) määrittelemä funktio x) toteuttaa seuraavan differentiaaliyhtälön ajan t suhteen, illdty{t, ®) = E{p) oo.

1.3 Aaltofunktion

1.3

aikakehitys. Stationaarinen

Schrödingerin

yhtälö

17

A a l t o f u n k t i o n a i k a k e h i t y s . S t a t i o n a a r i n e n Schrödingerin. y h t ä l ö

Palataan vielä Schrödingerin yhtälöön (1.23), ihdt^{t,x)

-h2 = ( — - V 2 + V{x))V{t,x) 2m

ee HV(t,x).

(1.56)

Yhtälö (1.56) on ensimmäisen kertaluvun differentiaaliyhtälö ajan t suhteen. Erikoisesti, jos funktio ^ ( i , x) annetaan tietyllä ajanhetkellä to, määrää yhtälö (1.56) funktion $(f,®) hieman myöhempänä ajanhetkenä t = t0 + At, iAt $(«,*) = f (t 0 ; ®) - —H9(t0ix)

+ 0{At)2.

(1.57)

Argumentti yllä on tietenkin ylimalkainen ja epätäydellinen; kysymys siitä, onko yhtälöllä (1.56) ratkaisu (annettavilla alku- ja reunaehdoilla), riippuu tietenkin tarkemmin Hamiltonin operattorista H, eli viime kädessä potentiaalin V(x) ominaisuuksista. Ei-patologisissa tapauksissa voidaan yhtälö (1.57) ottaa lähtökohdaksi ratkaisun x) olemassaololle; näissä tapauksissa siis todetaan, että Schrödingerin yhtälö määrää aaltofunktion aikakehityksen eli dynamiikan yksikäsitteisesti. Tässä mielessä kvanttimekaniikka on täysin kausaalinen; jos systeemin tila (=aalt( »funktio $ (f, x)) tunnetaan tiettynä ajanhetkenä f, on systeemin tila myöhempänä ajanhetkenä > t täysin määrätty. Esitetään nyt yleinen (muodollinen) ratkaisu yhtälölle (1.56). Oletetaan, että ratkaisu t,x) on olemassa ja voidaan esittää yleistettynä Fourier'in summaintegraalina, $(«,»)

= ] T y dECE^E^)e~^E{t-to)]

t0 = vakio.

(1.58)

Merkintä YI f kaavassa (1.58) tarkoittaa joko summausta tai integrointia E:n yli (tai molempia) riippuen siitä ovatko E:n arvot diskreettejä vai jatkuvia esityksessä (1.58). Tämä kysymys taas riippuu yhtälössä (1.56) esiintyvän Hamiltonin operaattorin H luonteesta, kuten kohta nähdään. Sijoittamalla esitys (1.58) yhtälöön (1.56) saadaan, J dECEH^E{x)e-r,E^) =

dECeE^E^^-^1-^.

(1.59)

Koska yhtälö (1.59) pätee kaikilla t:n arvoilla, täytyy olla H Tämä pitää sisällään, että kertoimet CE ovat täysin määriteltyjä. Nimittäin, normittamalla funktiot seuraavasti, J d3x(t, x), joka (ainakin muodollisesti) toteuttaa ajasta riippuvan Schrödingerin yhtälön (1.56) annetulla alkuarvolla $(

dx{{ih

eli suorittamalla vielä yksi osittaisintegrointi, 1 {-h)2 £


0.

(1.92)

Valitaan nyt parametri A puhtaasti imaginaariseksi ja kirjoitetaan ImA=~,

(1.93)

Luku 1 A alt om e kani ik ka

24

missä a on uusi reaali arvoinen ja positiivinen parametri. Funktion mitusintegraali on siten seuraava, roo (x-(x)f |A| 2 / dxe~ 2a- = 1.

nor-

(1.94)

J — oo

Käyttämällä tunnettua integraalia H J — OO

d x e - 0,

(1.95)

V K

saadaan seuraava ehto normitus vakiolle A kaavasta (1.94), |A| 2 = - L = . av27r

(1.96)

Valitsemalla vakio A reaaliseksi (ja positiiviseksi) saadaan lopuksi seuraava lauseke kaavan (1.90) määrittelemälle funktiolle 9{z) =

(1.97)

V ov27T

eli jakauma |$(a;)| 2 on ns. gaussinen normaalijakauma. Konstruktionsa mukaan kaavan (1.97) määrittelemä funktio $(a:) realisoi Heisenbergin epämääräisyysperiaatteen yhtälönä, ts. tilassa, jonka aaltofunktio on $(a:), pätee (A«)(Ap)=h.

(1.98)

On helppo todistaa, että yhtälö (1.98) on voimassa. Laskemme ensin (Aai):n, {Ax)=—= dx{x - (x))2e~ ay/2-K J-oo

2a2

.

(1.99)

Sijoituksella x-

{x) = V2at,

(1.100)

integraali (1.99) palutuu tunnettuun integraaliin, OO

/

-OO

o

dtf2e

i

= ^V^") £

(1-101)

joten yhtälöstä (1.99) saadaan (Aa;)2 = a 2 .

(1.102)

1.5 Minimiaaltopaketti.

Hiukkasten

paikallistettavuus

25

Parametri a on siis juuri funktion (1.97) määräämä keskihajonta (Ax). Vastaavan suureen (Ap) laskemiseksi voitaisiin sijoittaa kaavan (1.97) määrämä funktio St (e) lausekkeeseen (1.77). Tämä antaisi laskujen jälkeen tulokseksi h (Ap) = - ,

(1.103)

joten (riippumatta parametrista a) on (A*)(Ap) = hi.

(1.104)

Funktio (1.97) realisoi siis pienimmän mahdollisen arvon suureelle (Aa;)( Ap). nimittäin |/L Tästä syystä kaavan (1.97) määräämää funktiota kutsutaan rninimiaaltopaketiksi. Minimiaaltopaketin vastinetta tarvitaan vielä impulssiavaruudessa, eli funktion (1.97) Fourier-muunnosta $(p), 1 f °° $(p) = - 7 = / dze-sP^z). V2tt/?, J-OO

(1.105)

Sijoittamalla lauseke (1-97) kaavaan (1.105) saadaan (kun vielä merkitään £ = x - {x)), $(p) =

e-fiP(

x

)

_ /

r°°

s2

i,

, uf

(1.106)

Integraali (1.106) lasketaan (tunnetusti) täydentämälläintegrandin eksponenttifunktion argumentti täydelliseksi neliöksi. Lopputulos on (harjoitus), =

II V

7T

(1-107)

Impulssijakauma on siis myös gaussinen normaalijakauma, (1-108) josta jakauman keskihajonta (Ap) voidaan suoraan päätellä, (AP) = Ya'

(L109)

eli juuri kaavan (1.103) ilmoittama tulos. Tulokseen (1.109) päästään tietenkin myös suoraan laskemalla, t>oo (Ap) 2 = / dp{p~ (p)) 2 !$(p)| 2 , (1.110) J — oo

Luku 1 Aaltom

26

ekaniikka

kun kaavan (1.108) lauseke sijoitetaan integraaliiin (1.110). On mielenkiintoistatodeta, ettäminimiaaltopaketintapauksessa sekä koordinaattiavaruuden että impulssiavaruuden jakumat ovat gaussisia normaalijakaumia. N ä m ä jakaumat ovat komplementaarisia siinä mielessä, että pienentämäEä toisen jakauman keskihajontaa, suurenee toisen jakauman keskihajontavastaavasti, sillä näitä hajontoja sitoo aina relaatio (1.98). Palataan lopuksi vapaan hiukkasen käsitteeseen ja siihen kuinka tällaista hiukkasta pitäisi kuvata kvanttimekaniikassa. Kysymyksenasettelu saattaa tuntua turhalta; t ä m ä n luvun alussa on de Broglien hypoteesin (1.3) mukaisesti otettu lähtökohdaksi, että vapaa hiukkanen kuvataan tasoaallolla (1.4). Tasoaaltofunktio on impulssioperaattorin ominaisfunktio, joten impulssilla on tarkka arvo tässä tapauksessa. Sen sijaan avaruusjakauma on vakio tasoaaltotapauksessa, joten ei voida puhua hiukkasen paikasta edes likimain. Kuitenkin paikallistettavuus (edes jollakin tarkkuudella) tuntuu olevan oleellinen osa (pistemäisen) hiukkasen käsitteestä; paikallistamat on objekti ei täytä hiukkaskäsitteelle asetettavia (intuitiivisia) vaatimuksia. Paikallistettavuudella ymmärrämme nyt vaatimusta, että aaltofunktio käyttäytyy asymptoottisesti gaussisen minimiaaltopaketin tavoin, 9{x)

=

0{e~Xx2),

(1.111)

missä A on positiivinen parametri. Paikallistettavuus impulssiavaruudessa ei voi olla toisenlainen kuin paikka-avaruudessa, joten täytyy vaatia, että impulssiavaruuden aaltofunktio $(p) (ts. $(®):n Fourier-muunnos) myös käyttäytyy asymptoottisesti (p-avaruudessa) kuten sen koordinaattivastine, eli §(p) = 0 ( e - w 2 )

(1.112)

missä fj, on jokin toinen positiivinen parametri. Lisäämällä (sinänsä luonnollinen) vaatimus, että funktioita $(a:) ja $(/;) vastaavat jakaumat | $ ( k ) | 2 ja |$(x)| : ! olisivat symmetrisiä keskipisteidensä suhteen, voidaan todistaa, että funktiot $(a:) j a $(p) v ä l t t ä m ä t t ä ovat (vakiovaihetta vaille) identtiset minimiaaltopakettien kanssa. Paikallistettavuus teknisessä mielessä ((1.111) ja (1.112)) johtaa (lievien symmetriaehtojen kanssa) siis yksikäsitteisesti gaussisiin mimmaaltopaketteihin. Todistus perustuu tiettyyn tunnettuun Fourierin muunnoksia koskevaan teoreemaan, joka löytyy esim. E. C. Titchmarshin kirjasta "Introduction to the Theory of Fourier Integrals" (luku 6, kappale 6.13). Jos asymptoottiset vaatimukset (1.111) ja (1.112) lievennetään kertomalla nämä asymptoottiset lausekkeet äärellistä astelukua N olevilla polynomeilla, pätee lopputulos oleellisesti edelleen; aaltofunktiot ovat silloin v ä l t t ä m ä t t ä minimiaaltopaketteja kerrottuina astelukua N olevilla polynomeilla.

1.6 Erinäisiä yksiulotteisia

sovelluksia

27

V(x)

o^

O

vapaa

X -L

X

0

d

Kuva 1.1.

1.6

Erinäisiä yksiulotteisia sovelluksia

Tarkastellaan tässä pykälässä muutamia matemaattisesti mahdollisimman yksinkertaisia esimerkkejä kvanttisysteemeistä. Reaalisten kvanttisysteemien ymmärtäminen perustuu usein yksinkertaistetun mallin soveltamiseen järkevällä tavalla. 1.6.1

Hiukkanen potentiaalikuopassa

Aloitetaan tapauksesta, jossa vapaa hiukkanen on rajoitettu liikkumaan alueella —L < x < L. Tällöin potentiaali on seuraava (kuva 1.1)

Lähdetään tilanteesta Fo —> oo ("laatikko"). Alueella |®| < L aaltoyhtälö n2 d 2 2m dx2

= E L +

=

(1.115)

Jälkimmäisessä yhtälössä on oltava äärellisillä energian arvoilla $ = 0 kun \x\ > L rajalla Vq —• oo. Vaaditaan että pisteissä x = ±L sisä- ja ulkoalueen

Luku 1 Aaltom ekaniikka

28

aaltofunktioilla on sama arvo, jolloin saadaan reunaehto * ( - £ ) = 9 ( L ) = 0.

(1.116)

Yhtälön (1.114) yleinen ratkaisu on $ ( « ) = Asinkx + B coskx,

U-117)

k= y

Reunaehdot (1.117) ovat A sin kL + B cos kL = 0 Asm{-kL) + Bcos{-kL)

(1.118)

= 0 '

josta saadaan kaksi ratkaisujoukkoa I

A = 0 ja cos kL = 0

II

B = 0 ja sinkL = 0

(1.119)

(ei haluta että A = B = 0 jolloin aaltofunktio häviäisi kaikkialla), joten rt tt kL = — , (1.120) missä n on pariton kokonaisluku tapauksessa I ja parillinen tapauksessa II. Yhtälön (1.114) ratkaisut ovat siis

{

$i(a;) = B cos

x

n pariton

V

2L ' . (®) = A sin x n parillinen Aaltofunktion $ pariteetti määritelläänpariteettioperaattorin ominaisarvona,

P$i(x)

=

* i ( - a ) = *i(«)

n(»)

=

$n(-®) = - * n ( « ) ,

(1.121) = (1.122)

siis $i:n pariteetti on +1 ja $ n : n —1. Energian arvot ovat =

^

=

=


L. Oletetaan ensin, että E < Vo. (1.115):n ratkaisut ovat tällöin *(®) = Ce±KX, missä k = -E) > 0. Aaltofunktion tulkinnasta seuraa, että on vaadittava, ettei (x)j kasva äärettömäksi millään a;:n arvolla, ja näin ollen karsittava ne ratkaisut jotka kasvavat eksponentiaalisesti kun |xj —> oo. Hyväksyttävä ratkaisu alueella Ixl > L on siis

$(«) =

Ce~RX,

x > L x < -L

2m K =

(Vo - E).

(1.126)

Kuopan sisällä, Jas| < L, (1.117) on edelleen Schrödingerin yhtälön ratkaisu. Nyt on liitettävä yhteen ratkaisut (1.117) ja (1.126), ja ensin on pohdittava, mitkä reunaehdot- on asetettava pisteissä x = ±L. Jos aaltofunktio näissä pisteissä on epäjatkuva, on toinen derivaatta ääretön pisteissä x — ±L,

Luku 1 Aaltom

30

ekaniikka

eikä yhtälössä ole toista ääretöntä termiä kompensoimassa termin — singularitettia. Sama pätee, jos on jatkuva, m u t t a derivaatta epäjatkuva. On siis vaadittava, että sekä että ovat jatkuvia pisteissä x = ±L. (Toinen derivaatta -^f- on tälllöin mahdollisesti epäjatkuva, m u t t a sen hyppyä vastaa hyppy potentiaalitermissäF(z)\I?(a;).) Näin saadaan ehdot A sin kL + B cos kL = Ce~Kh = -nCe~KL

kAcos/bX - kBsinkL

(1.127) KL

-A sin kL + B cos kL = De~ k A cos kL + kBsinkL

=Pne~KL.

Näiden yhtälöiden käsittelyä helpottaa se, että voidaan, aivan kuten äärettömän syvän kuopan tapauksessa, jakaa aaltofunktiot parillisiin (pariteetti= +1) ja parittomiin (paritetti= - 1 ) funktioihin. T ä m ä on mahdollista, koska potentiaali V(x) on symmetrinen pariteeettimuunnoksessa. V(-x)

= V{x).

(1.128)

Tämänkaltaisille potentiaaleille nimittäin $(—a;) on myöskin Sclirödingerin yhtälön ratkaisu samalla ominaisarvolla, jos $(a:) on (sillä = -gjr). Siten voidaan muodostaa lineaariyhdistelmät $±(®) = $(a:) ± $ ( - x ) , jotka ovat (mikäli / 0) pariteettioperaattorin ja Hamiltonin operaattorin yhteisiä ominaistiloja. Parillisille funktioille ( * i ( - s ) = eli P = +1) C = D ja A = 0; saadaan ehto k tan kL = k.

(1.129)

Kun muistetaan, että sekä k että k riipuvat E\stä, nähdään että (1.129) on »ranskendenttinen yhtälö energian ominaisarvojen määräämiseksi. Käyttäen merkintää 2mV0 2 _ 2m(V0 - E) _ K ~~ h? voidaan kirjoittaa (1.129):n yhtälöksi &:lle. t w k L =

{ P = +1 tilat)

(L13

^

Parittomille funktioille taas C — —D j a B = 0, joten k cot kL = —k,

(1.131)

1.6 Erinäisiä yksiulotteisia

31

sovelluksia

Kuva 1.3. josta

=

( p = _1)

-

(L132)

Kuvassa 1.3 on esitetty yhtälöiden (1.130) ja (1.132) molempien puolien kuvaajat. Huomataan, e t t ä 1. Yhtälöillä (1.130) ja (1.132) on vain äärellinen määrä ratkaisuja. Niiden lukumäärä riippuu kuopan syvyydestä VQ. Kuitenkin on aina vähintään yksi ratkaisu olemassa. 2. Perustilan, s.o. tilan jolla on pienin E = aaltofunktio on aina parillinen (kuuluu luokkaan I). Sisäalueella sen aaltofunktio on $ i ( » ) = BcoskiX,

|z| < L

(1.133)

ja, kuten kuvasta näkyy, on < joten (1.133):lla ei ole nollakohtaa kuopan sisällä. Ulkoalueella aaltofunktio on eksponenttifunktio, joten sillä ei ole nollakohtia sielläkään. Perustilan aaltofunktiolla ei ole nollakohtia. (On helppo nähdä, että seuraavan tilan, ensimmäisen viritetyn tilan (kuvan ratkaisu 2), aaltofunktiolla on yksi nollakohta, sitä seuraavalla tilan (3) aaltofunktiolla kaksi nollakohtaa, jne.) 3. Aaltofunktioiden käyttäytymisestä kuopan ulkopuolella, yhtälö (1.126), nähdään, että todennäköisyystiheys | $ ( z ) | 2 häviää kuten e - 2 "'*', kun |z| —s- oo. Hiukkanen on siis sidottu kuopan läheisyyteen, löydetyt tilat

32

Luku 1 Aaltom ekaniikka ovat sidottuja tiloja. Vastaavat aaltofunktiot ovat normittuvia, integraali f ^ da;|$(ar)| 2 suppenee. (Kun on ratkaistu E, eli k ja k yhtälöstä (1.129) tai (1.131), saadaan (1.127):stä lasketuksi kertoimet A,B,C,D yhtä lukuunottamatta. Sen määräänormitusehto / f ^ da:|$(a;)| 2 = 1.) 4. Vaikkakin aaltofunktio häviää nopeasti kun siirrytään kuopan ulkopuolelle, on olemassa ~ ~ leveä alue kuopan ulkopuolella, johon hiukkanen voi nollasta eroavalla todennäköisyydellä tunkeutua. Tämä on puhtaasti kvanttimekaaninen ilmiö; klassisessa fysiikassa hiukkanen, jonka energia < VQ, pysyisi aina kuopan sisällä.

Siirrymme seuraavaksi tarkastelemaan tapausta E > VQ. Tällöin ulkoalueenkin ratkaisu on muotoa (1.117) m{x) = C sin k'x + D cos k'x, \x\ > L,

(1.134)

missä A' = - Vo). (1.127):ää vastaaville yhtälöille löytyy nyt aina ratkaisuja, s.o. mikä tahansa E > Vo on ominaisarvo. Ominaisfunktioiden muodostaa (1.134) nähdään kuitenkin, etteivät nämä aaltofunktiot lähenee nollaa äärettömyydessä. Tilat, joiden energiat E > Vo, eivät siis kuvaa sidottuja tiloja, vaan sirontatiloja. Tätä vastaava fysikaalinen prosessi on sirontaprosessi: Hiukkanen lähetetään kaukaa kuoppaa kohti, josta se siroaa ja poistuu taas. Tätä tilannetta tarkastellaan yksityiskohtaisesti tämän luvun kappaleessa 1.7. Sirontatilojen aaltofunktiot eivät ole normittuvia, kuten (1.134):stä näkyy. Kaiken kaikkiaan potentiaalikuopan Hamiltonin operaattorin spektri koostuu: • diskreetistä osasta 0 < Ei < E2 < • • • En < Vo (sidotut tilat, normittuvat aaltofunktiot) • jatkuvasta osasta E > Vo (sirontatilat, aaltofunktiot ei normittuvia) Yllä johdetut tulokset eivät rajoitu suorakulmaisen potentiaalikuopan tapaukseen, vaan ovat yleisiä yksiulotteisen liikkeen ominaisuuksia. Tarkastellaan mielivaltaisen muotoista kuoppaa V(x), joka lähestyy raja-arvoaan Vx nopeammin kilin \x\~x kun jxj —» oo (kuva 1.4), ja jonka minimi on Vo- Tällöin seuraavat tulokset ovat voimassa. (Johto alan kirjallisuudessa, esim. Landau - Lifschitz: Quantum Mechanics.) 1. On olemassa joukko degeneroitumattomia sidottuja tiloja, joiden energioiden ominaisarvot ovat Vo < E\ < E2 < • • • En < V», 1 < JV < oo. Aaltofunktiolla on n — 1 nollakohtaa. Perustilan aaltofunktiolla siis ei ole nollakohtia. Jos lisäksi V{x) — V( —a;) (symmetrinen kuoppa),

1.6 Erinäisiä yksiulotteisia

33

sovelluksia V(x)

Kuva 1.4. ominaistilat ovat myös pariteetin ominaistiloja (\Pn(ai) on siis parillinen tai pariton funktio); perustilan aaltofunktio on tällöin parillinen. Koska Schrödingerin yhtälössä (1-61) kaikki kertoimet ovat reaalisia, toteuttavat $ n (a:):n reaali- ja imaginaariosat saman yhtälön samalla ominaisarvolla En. Koska sidotut tilat eivät ole degeneroituneita, täytyy olla Im $71(2) cx Ke Sopivalla vaiheen valinnalla siis sidotun tilan aaltofunktio on aina reaalinen. 2. Jokaista E > V^ vastaa täsmälleen kaksi degeneroitunutta jatkuvan spektrin tilaa, jotka oc sinfca:, cos kx (k = - Voo) kun |a:| —> 00. Degeneraatiosta johtuen näistä voidaan muodostaa aidosti kompleksiset ratkaisut oc elkx, e~ikx. 1.6.2

Deltafunktiopotentiaali

Tarkastellaan tässä ns. deltafunktiopotentiaalia, V(x) = — n£(z), m

(1.135)

missä dimensioinen kerroin h2 jm on sisälletetty mukavuussyistä lausukkeeseen (1.135). Parametrin fi dimensio on siis l/pituus. Deltafunktio (oikeammin distribuutio) on singulaarinen funktio, joten Schrödingerin yhtälö (E = (1.136)

34

Luku 1 Aaltom ekaniikka

kaipaa tulkintaa pisteen x = O ympäristössä. Kirjoitetaan yhtälö (1.136) seuraavasti, 0, ts. =

.

(1.145)

Kappaleessa 1.7 palataan juuri muotoa (1.145) oleviin sirontaratkaisuihin ja niiden merkitykseen. Toinen mahdollinen ratkaisu olisi sellainen, missä kerroin C = 0. Merkitään tätä ratkaisua symbolilla Kaavojen (1.144) avulla saadaan, *(*) - I 1J

B{e

"1

~ l k X n ^ f1 X

) >

X
L ja tapauksessa x < —L. Tarkastellaan ensin aluetta x < —L. Sijoittamalla $j7'(a:):n kaavasta (1.195) saatava lauseke, kun x < —L, kaavaan (1.210), saadaan tulokseksi, =

1

f00

1

/»OO

.,

ififc2

(1.211) •f-.

2m '

X


L, kaavaan (1.210) saadaan tulokseksi 1 *(*,«)

=

r°° J ^

iht? + A ( K ) Y

K

* - ^

(1.222)

x > L. Approksimoimalla integraalia (1.222) jo tutulla tavalla saadaan, 9(t,

X)

ink n f) k n * c+T-f-'(1 + A ( k o ) ) ^ ( x -

(1.223)

x > L, joka taas edustaa tilannetta, jossa (likimain) alkutilan aaltopaketti muotoaan m u u t t a m a t t a , m u t t a moduloituna tekijällä (1 -f A(ko)) e x p ( ^ I f ) , liikkuu oikealle nopeudella hko/m alueella x > L. Todetaan, että kaavan (1.223) antama funktio on oleellisesti nollasta poikkeava kun x > L, vain jos (L224)

joka on sopusoinnussa epäyhtälön (1.218) kanssa.

50

Luku 1 Aaltom ekaniikka

Todennäköisyys sille, että hiukkanen suurilla t:n arvoilla (ts. epäyhtälön (1.218) ollessa voimassa) olisi alueella x > L on siten, kaavan (1.223) mukaan, />oo

P(>L)

=

J

dzi^t,*)!2

« II+A(mi2 JILL f d ^ r ^ - ^m i

2

foo

m oo

/

Edelleen, funktion

-oo

(1-225)

normituksen takia, on siis P{> L) « |1 + ^(fc 0 )| 2 .

(1.226)

Todennäköisyys (1.226) on siis todennäköisyys sille, että hiukkanen on "muuurin" oikealla puolella suurilla f:n arvoilla, eli todennäköisyys sille, että hiukkanen läpäisee muurin. Kerrointa A(k) kutsumme tästä syystä läpäisykertoimeksi. Todetaan, että todennäköisyyksien P(< —L) (kaava (1.221)) ja P(> L) (kaava (1.226)) summa on tasan l(niinkuin sietää ollakin) identiteetin (1.194) ansiosta. Todetaan vielä, että läpäisytodennäköisyys (1.226) yleesä on nollasta poikkeava myös kun ko < Uo eli silloin kun E

0 = ~
Eo, mutta kvanttimekaniikassa tämä on yleensä aina mahdollista tuloksen (1.226) mukaisesti. Tätä puhtaasti kvanttimekaanista ilmiötä kutsutaan tunneli-ilmiöksi. Tämä tärkeä ilmiö ei kuitenkaan suinkaan rajoitu vakiopotentiaalitapaukseen. Seuraavassa annetaan kavalitatiivinen analyysi tunneli-ilmiöstä yleisemmässä tapauksessa. Palataan ensin kaavoihin (1.191) tapauksessa k2 = k2 — Uo < 0. Käyttämällä tulosta (1.193) saadaan silloin ensimmäisestä kaavasta (1.191) 2k\K,\e~2ikL +

~~ 2fe|#e|cA(2|K|£) - i{k2 - \n\2)sh{2\K\L)'

Merkitsemällä läpäisy todennäköisyyttä symbolilla \T\2 on siis I1T I12 =

11 4 - 4 I12

=

—

(2A;j/c|)2

(2Jfe|*|2)» + (fca + |ie|»)W(2|*|I)"

{1-22%)

1.7 Yksiulotteinen

51

sironta. Esimerkkinä, potentiaalimmiri

V(r)

Coulombin E Ydinvoima

r=M R

b

o Kuva 1.8. Suurilla |fc|£:n arvoilla, siis jos muuri on korkea j a / t a i leveä, saadaan seuraava likimääräinen tulos kaavasta (1.229), (1.230) Tietyin edellytyksin voidaan yleisen potentiaalimuurin V(x) tapauksessa johtaa seuraava lauseke läpäisytodennäköisyydelle \T\2, \T\2 » tekijä xe-rJ

d-VMV(-)-is) }

(1.231)

missä integraali otetaan yli klassisesti kielletyn alueen E < V(x). Suorakulmaisen potentiaalimuuttujan tapauksessa (ts. kun V{x) = Vo, x € (-L,L)) redusoituu kaavan (1.231) integraali kaavassa (1.230) esiintyväksi eksponenttifunktion argumentiksi —4|/c| L. Tunneli-ilmiö tunnetaan erilaisissa fysikaahsissa yhteyksissä. Mainitaan tässä vain kolme esimerkkiä: a) a - h a j o a m i n e n Liikkukoon ytimessä energian E omaava a-hiukkanen ytimen muun osan aiheuttamassa ydinvoimakentässä, joka approksimoidaan kuvan 1.8 osoittamalla tavaUa. Kokeellisesti on Vo ~ lOMeV ja R ~ lfrn. a-hiukkasen todennäköisyys läpäistä muuri on (1.231):n mukaan \T\2 ~ e " K / n

dr

(1.232)

52

Luku 1 Aaltom ekaniikka

E

elektroni tiloja

a Puolijohde (n)

aukkotiloja

Puolijohde (p)

Kuva 1.9. Hiukkasen kuopassa viettämä aika on ~ , joka riippuu erittäin voimakkaasti E:stä. a-aktiivisten ydinten elinaikojen sytemiikan ymmärtäminen (1.232):n pohjalta oli kvanttimekaniikan ensimmäisiä menestyksiä ydinfysiikassa. b) tunnelidiodissa kaksi erityyppistä epäpuhtauspuolijohdetta on erotettu eristeellä, jonka paksuus on ~ 10~ 9 m (10 Ä) (kuva 1.9). Tällöin johteiden elektroneilla (aukoilla) on tietty todennäköisyys läpäistä eristeeen aiheuttama muuri. c) Josephsonin ilmiö Jos kahden suprajohteen väliin asetetaan eriste, on mahdollista, että suprajohteessa oleva elektronipari (Cooperin pari) läpäisee eristeen. Tällöin nähdään mielenkiintoinen ilmiö. Olkoot suprajohteet eri potentiaaleissa V\ ja Vi- Tällöin havaitaan radiotaajuusvärähtelyjä taajuudella U)

2eV

V =

VL-V2.

(1.233)

Fotonin energia E — hw ~ 2eV. Jos V = 1 fiV, u> on 484 MHz. voidaan tarkasti mitata tällä menetelmällä.

e/h

Luku 2

Kvanttimekaniikan yleinen rakenne 2.1

Tilat ja observaabelit

Huomattavin ero klassisen mekaniikan ja kvanttimekaniikan välillä on seuraava: Klassisessa mekaniikassa systeemin tilan tarkka tunteminen (esim. hiukkasista koostuvan systeemin jokaisen hiukkasen paikan ja nopeuden tunteminen tiettynä ajanhetkenä) mahdollistaa, ainakin periaatteessa, systeemin tulevan kehityksen ja systeemin kohdistuvan mittauksen tuloksen tarkan ennustamisen. Sanotaan, että klassinen mekaniikka on deterministinen. Kvanttimekaniikassa mahdollisimman tarkasti määritelty (mitä tämä määritelmä sisältää, selvitetään alla) systeemi kehittyy ennakoitavasti, deterministisesti, sen sijaan systeemiin kohdistettujen mittauksien tuloksia ei voida (tiettyjä poikkeustapauksia lukuun ottamatta) ennustaa; kvanttimekaniikka mahdollistaa vain suuren joukon identtisten kokeiden tulosten jakauman ennustamisen. Yksittäisessä mittaustapahtumassa kvanttimekaaninen systeemi käyttäytyy satunnaisesti, indeterministisesi. Mittauslaitteiston tutkittavaan systeemiin aiheuttamaa häirötä, joka klassisen fysiikan katsantokannan mukaan voidaan sopivilla järjestelyillä saada mielivaltaisen pieneksi, ei voida kvanttimekaniikassa periaatteessaakaan eliminioida eikä sen vaikutusta kontrolloida, ja tämä seikka heijastuu kvanttimekaniikan formalismiin. Tarkin mahdollinen systeemin määrittely eli preparointi asettaa systeemin puhtaaseen tilaan tai lyhyemmin vain tilaan, jota kvanttimekaniikka kuvaa tilavektorilla \ip). Tilavektorit voidaan laskea yhteen ja kertoa kompleksiluvuilla. Ne muodostavat siis kompleksikertoimisen vektoriavaruuden. Superpositioperiaate ilmoittaa, että vektoriavaruuden laskuoperaatioilla saadaan uusia tilavektoreita, eli jos \ipj) ja \ip2) ovat systeemin mahdollisia tilavektoreita, niin

Luku 2 Kvanttimekaniikan

54

yleinen rakenne

ci

) + 1ip2) on myöskin mahdollinen tilavektori. Tässä avaruudessa on lisäksi määritelty kahden vektorin |V>i) ja ^ 2 ) kompleksilukuarvoinen sisätulo (tpi\i/>2)> joka toteuttaa

(t^il

(^2)

=

+

-

missä |c%ip2 + c'tp'2) = ( # 2 ) +

1)*

(2-1)

+

(2.2)

V2)5

0,

(2.3)

missä yhtäläisyysmerkki pätee vain nollavektorille 0 = 0-|t/>) = \ip) - \ip). Vektorin \ip) normi on = + ^(ip\ip). Skalaaritulon {ip 1 ^ 2 ) ensimmäisen tekijän voidaan katsoa kuuluvan tilavektoriavaruuden duaaliseen vektoriavaruuteen (eli vektoriavaruuden kaikkien kompleksiluarvoisten lineaarikuvausten joukkoon). Duaalisen vektoriavaruuden vektoreita (i/>| kutsutaan Diracin mukaan bra-vektoreiksi, tilavektoriavaruuden vektorit \tp) taas ket-vektoreiksi (eng. bracket = sulku). Yhtälöistä (2.1) j a (2.2) seuraa, että bra-vektoreille on oltava

il + c2(1>2\.

(2.4)

Yhteys tilojen ja tilavektorien välillä ei ole kääntäen yksikäsitteinen: yhtä ja samaa fysikaalista tilaa vastaavat kaikki muotoa c\ift) olevat vektorit, missä c on nollasta eroava kompleksiluku. Tämä joukko on tilavektoriavaruuden säde; systeemin tilat ovat siis yksi yhteen vastaavuudessa tilavektoriavaruuden säteitten kanssa. Jos \ip) on normittuva vektori, s.o. H^H2 < °°> voidaan säteestä aina valita tilan edustajaksi vektori, jonka normi on 1: = 1, eli normittaa tilavektori. (Tällöin vielä \ip) ja eta\ip) (a reaalinen) kuvaavat samaa tilaa.) Kvanttimekaniikan matemaattisessa käsittelyssä käytetään vain normittuvia vektoreita, jolloin tilavektoriavaruus on ns. Hilbert-avaruus. Einormittuvia tiloja approksimoidaan tällöin normittuvilla vektoreilla.

Olkoon nyt A jokin fysikaalinen suure eli observaabeli, ja {a} A:n mahdolliset arvot. Kvanttimekaniikan mukaan on olemassa tiloja |a), jossa -4:n mittaus varmasti antaa tuloksen a. Oletetaan aluksi yksinkertaisuuden vuoksi, että A:n mahdollisten arvojen joukko {a} koostuu eristetyistä (reaali)luvuista eli ne muodostavat diskreetin joukon. Tällöin tilavektorit |a) ovat normittuv.ia, ja valitaan normitukseksi ||a|| = 1. Kun A mitataan systeemissä, joka on preparoitu yleiseen tilaan l^), saadaan tulokseksi arvot a, a', a " , . . . suhteellisilla todennäköisyyksillä |{o.j-0)|2, Kcz7)^)!2, K a " W I 2 jne. Jos |ip) 011 ykköseen

55

2.1 Tilat ja observaabelit

normitettu vektori (||^|| = 1), on P(a) = \(a\ip)\2 suoraan koetulosten jakauma mittaussarjassa, missä jokainen mitattava systeemi on saatettu tilaan \ip). Suuretta •4>{o) = {a\ip)

(2.5)

kutsutaan tilan |i,£>) aaltofunktioksi A-esityksessä. Erikoisesti jos A merkitsee hiukkasen paikkaa x = (x,y,z) on aaltofunktio »-esityksessä = (x\ip) Aaltofunktiota käytettiin luvussa 1 esittämään tilaa \ip). Koska |a) oh tila, jossa A:n mittaus varmasti antaa tuloksen a, on todennäköisyys sille, että mittauksessa saadaan tulos a' ^ a nolla, eli on oltava (a'\a) = 0,

(2.6)

a' / a.

Oletetaan ensin, että tilat a ovat kaikki normittuvia, ja vahtaan ||a|| = 1. Normitusehdon ja yhtälön (2.6) mukaan vektorit (|a)} muodostavat orotonormitetun joukon: (o'|a) = 6aal.

(2.7)

On huomattava, että erinäisissä tapauksissa /l:n arvo a voi varmasti esiintyä kun systeemi on yhdessä useammasta tilasta | a \ i ) , i = 1 , . . . , n a , tai niiden hneaariyhdistelmässä. Tällöin sanotaan että arvo a on degeneroitunut. Tiloista |a; i) voidaan aina muodostaa lineaariyhdistelmiä (esim. GramSchmidtin menetelmän avulla) siten, että ortonormitusehto (2.7) pätee muodossa (a'-j\a;i)

(2.8)

= SaalSij.

Todennäköisyys sille, että mittauksen tulos on jokin A:n mahdollisista arvoista {a}, on yksi. Olkoon |ip) normitettu tila, H^H2 = 1- Tällöin |(a|i/>)|2 on suoraan a:n esiintymistodennäköisyys. Nyt täytyy olla 1 = £

K | 2 = E

{a}

Yhtälössä (2.9) esiintyvä

W> =

{a}

l a )( a l

(2-9) {a}

on

erikoistapaus suureesta (2.10)

Luku 2 Kvanttimekaniikan

56

yleinen rakenne

joka voidaan käsittää lineaarisena operaattorina, joka kuvaa tilavektoriavaruuden itselleen: kw)

=

= YtiMrim i

Wi)-

(2.11)

i

Yhtälön (2.9) täytyy olla voimassa kaikille normitetuille tiloille l^). Näin on, jos operaattori £{a} ! a )( a l o n yksikköoperaattori 1 : {l\ip) = \tp) aina) Yl\a){a\

= l.

(2.12)

M Yhtälöä (2.12) kutsutaan tilojen |a) täydelellisyysrelaatioksi. esiintyy degeneraatiota, on (2.12) ymmärrettävä yhtälöksi

(Mikäli arvoissa

] T |a,i)(a,»| = i . {a,i}

(2.13)

Täydellisyysrelaatiosta seuraa, että jokainen tila \ip) voidaan kehittää tilojen ja) lineaariyhdistelmänä: =

=

(2.14) a

a

Kertoimina esiintyvät |i/>):n aaltofunktion arvot c a = (a\i/>) = tp(a).

(2.15)

Voidaan nyt laskea suureen A keskiarvon eli odotusarvon normitetussa tilassa \ip). Se on A:n mahdollisten arvojen painotettu keskiarvo, missä a:n paino on sen esiintymistodennäköisyys j {)\2 = #1 E {a}

=

(2-16)

{a}

Näin voidaan jokaiseen observaabeliin liittää lineaarinen operaattori A A = £)|a)ä{a|. {a}

(2.17)

Tilat |o) ovat sen orninaistilat: Ä\a') = a'\a'),

(2.18)

mikä seuraa ortonormitusehdosta (2.7), ja sen spektri eli ominaisarvojen joukko on sama kuin suureen A mahdollisten arvojen joukko. (2.17) on operaattorin A spektraaliesitys.

2.1 Tilat ja observaabelit

57

Operaattorin K adjungoitu operaattori K* määritellään seuraavasti (| Kip) —

K I^Jne): {ipi\Kip2)

jokaiselle

(2.19)

=

j ^ ) - Operaattorin (2.10) adjungoitu operaattori on

(2-2°)

? = i

sillä = = Jos sovelletaan operaatiota (2.20) operaattoriin (2.17) ja muistetaan, että luvut a fysikaalisen suureen mahdollisina arvoina ovat reaaliset, saadaan

= Ä.

(2.21)

Observaabelia vastaava operaattori on siis hermiittinen (itseadjungoitu). Olkoon B toinen fysikaalinen suure. Sen ominaistilat muodostavat myös täydellisen joukon: X » < * l = l.

(2.22)

m

Käyttämällä yhtälöitä (2.12) ja (2.22) saadaan yhteys tilan \ip) a- ja 6-esitysten aaltofunktioiden välillä:

i>{b) =

"£(b\a)i>(a). M

(2.23)

Operaattorille A voidaan taas kirjoittaa Ä=lÄl

= Y l \b)(b\A\b')(b'\ = J2 \b)Aw(b'\6,6'

(2-24)

6,6'

Yhtälö (2.24) on Ä:n matriisiesitys kannassa |6) ja Aw = (b\Ä\b') = £

(6|a)a(o|6')

{a}

on sen matriisielementti tilojen |6) ja |b') välissä. Muunnosfunktioiden (a\b) avulla voidaan siis siirtyä (2.23):n ja (2.24):n ilmoittamalla tavalla kannasta toiseen. Tietyn esityksen |a) käyttö kvanttimekaniikassa vastaa koordinaattien käyttöä geometriassa: Vektorin \ip) koordinaatit ovat aaltofunktion arvot

Luku 2 Kvanttimekaniikan

58

yleinen rakenne

(a|ip), lineaarinen operaattori B on matriisin Baai — {a\B\a') määrittelemä. Kutakin ongelmaa ratkaistaessa on syytä valita esitys siten, että tärkeimmät suureet ovat yksinkertaisessa muodossa. Yllä on oletettu, että ominaisvektorit ovat normittuvia, ja, kuten on mainittu, tämä edellyttää, että vastaavat ominaisarvot ovat diskreettejä. Jos tilojen |a) joukossa on vektoreita, joita ei voi normittaa, ||a|| = oo, vastaavan ominaisarvon on oltava osa jatkuvasta spektristä. Täydellisyysrelaatio (2.12) saa tällöin muodon |a)(a| -f f diskr. spektri

da|a)(o| = l

(2.25)

/ j a t k u v a spektri

missä jatkuvan spektrin vektorit on oletettu normitetuiksi siten, että (a|o') = S(a — a').

(2.26)

Vastaavasti A:n spektraaliesitys (2.17) on Ä=

]T diskr. spektri

2.2

|a)a(a| + f

do|o)a(o|.

(2.27)

/ j a t k u v a spektri

Kommutaatiosäännöt

Aikaisemmin todettiin, että operaattorin A ominaistilassa |a), suureen A mittaus antaa varmasti tuloksen a. Jos B on jokin toinen suure, onko mahdollista että myöskin B:n mittauksen tulos on varmasti ennustettavissa? Tämä tarkoittaisi, että |a) on myös operaattorin B ominaistila, eli operaattorien A ja B yhteinen ominaistila, jota merkitään ja, b): B\a, b) = b\a, b).

(2.28)

(Huomautettakoon, että samalla o:n arvolla voi esiintyä monta eri 6:n arvoa. Tällöin ominaisarvo a on tietenkin degeneroitunut, ja eri b:n arvot luetteloivat degeneroituneet tilat, eli b on indeksin i asemassa yhtälöissä (2.8) ja (2.13). Osoitetaan nyt, että ehto sille, että operaattoreilla A ja B on yhteiset ominaistilat, voidaan esittää lyhyesti seuraavasti: Hermiittisillä operaattoreilla A ja B on yhteiset ominaistilat täsmälleen silloin, kun niiden kommutaattori [.Ä,B) = ÄB-BÄ

(2.29)

[Ä,B] = 0.

(2.30)

häviää;

2,2

59

Kommuta-atiosSäanÖt

(Yhtälön (2.30) oikea puoli on nolla-operaattori 0|ip) = 0 (nollavektori) kaikille vektoreille \ip)-) Jos nimittäin operaattoreilla on yhteiset ominaistilat |a,b) [Ä, B]\a, b) = (ab - 6a)|a, b) = 0, josta seuraa [A,B] = 0, koska ominaistilat |a, b) muodostavat täydellisen joukon, Kääntäen, jos A ja B kommutoivat, eh toteuttavat ehdon (2.30), ja jos |a; i), i = 1 , . . . , n ovat A:n ominaitilat ominaisarvolla a, niin AB\a\i)

= BA\a\i)

= a5|a;i),

eli B\a\ i) on myöskin yi:n ominaistila samalla ominaisarvolla. Näin ollen tilan B\a,i) on oltava tilojen ja, i) lineaariyhdistehnä: n

B\a;i) = j=x

Kertoimien bji = (a]j\B\a]i) muodostama matriisi on hermiittinen: bji — (b{j)*, ja voidaan matriislaskun tulosten mukaisesti diagonalisoida similariteettimuunnoksella. Löytyy siis sellaisia tilojen |a; i) hneaariyhdistelmiä |a; b{), joille B\a; bi) = bi\a, bi). Tilassa |a, b) jonkun kolmannen suureen C mittauksen tarkka ennustettavuus tarkoittaa edelhsen mukaan sitä, että operattorit A, B ja C kommutoivat pareittain ja niillä on yhteiset ominaistilat \a,b,c). Yleensä pyritään löytämään maksimaalinen joukko komrnutoivia suureita, eh mahdollisimman suuri joukko toisistaan riippumatonta operattoria A, B , C , . . . ; jotka kaikki kommutoivat keskenään, ja joiden yhteisten ominaistilojen ja, b, c , . . . ) ominaisarvojen a,b,c,... luettelointi yksikäsitteisesti määrää tilavektorin. Yleinen tila voidaan kehittää näiden yhteisten ominaistilojen mukaan, eli esittää aaltofunktiona muuttujissa a, 6, c , . . . . Annetulle systeemille löytyy yleensä useampia maksimaalisia komrnutoivia suurejoukkoja, kuten jatkossa tullaan näkemään. Kääntäen, jos [A, B] ^ 0, suureiden A ja B mittausten tulokset eivät voi olla samanaikaisesti tarkasti ennustettavissa; tilanne, joka on kvanttimekaniikalle ominainen. Esiintyykö sitten suureita, joiden kommutaattorit eivät häviä? Klassisessa mekaniikassa hiukkassysteemin jokainen fysikaalinen suure voidaan lausua kanonisten suureiden, koordinaattien x ja impulssien p avulla. Kvanttimekaniikassakin operaattoreilla x ja p on keskeinen asema. Näiden lisäksi tarvitaan kuitenkin useimpien hiukkasten kuvaamiseksi operaattoreita, joilla ei ole vastinetta klassisessa mekaniikassa (spinoperaattorit).

Luku 2 Kvanttimekaniikan

60

yleinen rakenne

Hiukkasen paikka- ja impulssioperaattorit toteuttavat ns. kanoniset kommutaaatio säännöt. [xi,xj} = 0,

[pi,pj] = 0,

[xi,pj] = ifrSij,

(2.31)

missä h.— ^ ja h on Planckin vakio. Sillä, että kaikki observaabeleja vastaavat operaattorit eivät kommutoi, on suuri merkitys. Sen seurauksena johdetaan tässä yleinen epämääräisyysperiaate. Olkoot A ja B kaksi observaabelia, joille [A, B} = iC 0. Tämä tarkoittaa sitä, ettei A:lla ja J3:llä ei ole yhteisiä ominaistiloja, eli ettei molempia suureita voi samanaikaisesti mitata tarkkaan. A:n mittaustulosten hajonnan ilmoittaa operaattorin A varianssi AA: (AA) 2 = ((A - (A)) 2 ) =

(ip\{Ä

- (A)) 2 |^).

(2.32)

Jos määritellään uudet hermiittiset operaattorit A' = A — (A), B' = B voidaan siis kirjoittaa

(B),

(AA)\AB)2=\\Ä'm\2\\B'm\ Tilavektoriavaruudessa pätee Schwarzin epäyhtälö

\ \ m m 2 > \(m\2

(2.33)

( A A ) 2 ( A 5 ) 2 > \(ip\Ä' B'\rp)\2 =

(2.34)

jonka mukaan

m\{Ä'B'

+ B'Ä') + ±(Ä'B' -

B'Ä')\ip)\2,

Laskemalla todetaan [Ä',B'] = [Ä,B] = iC, ja kutsutaan M = A'B' + B'Ä' (Aft - M). (2.34) on tällöin (AA)2(A5)2

>

^ \ M + idm

=

\(\{M)\2

+

2

\(C)\2)>\\(C)\2

Tässä käytetään hyväksi sitä, että hermiittisen operaattorin odotusarvo on reaalinen = ( ^ l - ^ l ^ i ) => (tp\Ä\tp)* = (ij;\Ä\ip), jos Af = A), ja

2.3

61

Aikakehitys

toiseksi että sekä M että C ovat hermiittisiä (muistettakoon (Ai A 2 )t = Lopputuloksena on siis yleinen epämääräisyysperiaate AA- AB > i | ( C ) | .

Ä\Ä\).

(2.35)

Jos C ^ 0, on siis A:n ja B:n varianssien tulolle olemassa alaraja. Yritys pienentää AA:ta, eli mitata A tarkemmin, johtaa siihen, että AB kasvaa, eli B:n arvo tulee epämääräisemmäksi. Valitsemalla A — x^ ja B = pj. saadaan erikoistapauksena Heisenbergin epämääräisyysperiaatteen Axk-A pk>-h.

(2.36)

Täydellisyyden vuoksi liitetään tähän Schwarzin epäyhtälön (2.33) todistus. Otetaan reaaliluku x ja muodostetaan tila = \if>) + x\||2 -f 2x Re (ip\4>) + ®2|||j 2 + + a;2||^»||2.

Tämän epäyhtälön on oltava voimassa kaikille x. Näin ollen x:n neliömuodon diskriminantti ei saa olla positiivinen,

4|(#£)|2-4||VfW)

(2.37)

kautta. Koska yhtälö sisältää vain ensimmäisen derivaatan ajan suhteen, systeemin tila hetkellä t0 määrää sen tilan myöhempinä ajanhetkinä. Tämä voidaan ilmaista aikakehitysoperaattorin U(f, t0) avulla: ip{t)) = U(t,Ui)\1>{to)).

(2.38)

Luku 2 Kvanttimekaniikan

62 U(t,t0)

yleinen rakenne

määräytyy differentiaaliyhtälöstä ih~U{t,to)

= HU(t,to)

(2.39)

johon on lisättävä alkuehto U(to,to) = l.

(2.40)

Mikäli Hamiltonin operaattori ei riipu ajasta, voidaan yhtälöistä (2.39) ja (2.40) ratkaista: Ety, to) = e - ^ - ^ B t * ,

(2.41)

missä operaattorin eksponenttifunktio voidaan määritellä potenssisarjana: e x p ( l ) = 1 + A + ~Ä2 + i l

3

+ • • •,

(2.42)

tai A:n spektraaliesityksen (2.17) avulla exp(l) = J]|a)ea(a|. M

(2.43)

Systeemin Hamiltonin operaattorilla on näin ollen erittäin keskeinen asema. Voidaan sanoa, että (että äärellisen monen vapausasteen) kvanttimekaanisen systeemin määrittelee sen tilavektoriavaruus, siinä vaikuttavat operaattorit ja niistä muodostettu Hamiltonin operaattori. Miten löydetään Hamiltonin operaattori? Jos systeemillä on klassinen vastine, on eräs usein käytetty tapa korvata klassiset suureet (koordinaatit, impulssit) vastaavilla operaattoreilla (kanoninen kvantitisointi). Viime kädessä vain vertailemalla koetuloksiin voidaan päätellä, mikä on oikea Hamiltonin operaattori. Energiaesityksessä aaltofunktion aikariippuvuus on yksinkertainen. Merkitään Hamiltonin operaattorin ominaistilat |i?}:llä H\E) = E\E),

(2.44)

iP(E,t)=(E\iP(t))-

(2.45)

jolloin

Ajasta riippuvan Schrödingerin yhtälön mukaan saadaan t) = (E\ihM-

= (E\HW

= EiftE, t),

(2.46)

2.4 Unitaariset

muunnokset

M

4>{E,t) = e-*Etij>{E,0).

(2.47)

Kehittämällä mielivaltainen tila \ip) energian ominaistilojen mukaan:

(2-48)

W ) ) = T,\EME>t)> {E} voidaan sen aikariippuvuus kirjoittaa muotoon = £

\E)e-iEtcE,

(2.49)

{£?}

missä ce ~ ip(E,0) = {E\ip(0)). Jos erikoisesti \ip(0)) = | E ) , on Mt)) = e-iEt\E),

(2.50)

eli tällaisen stationaarisen tilan aikariippuvuus on pelkästään vaihetekijässä. Suureen A arvojen jakauma, P(a) = \(a\ip)\2 pysyy stationaarisessa tilassa ajallisesti vakiona. Käyttämällä ajasta riippuvan Schrödingerin yhtälön (2.37) lisäksi siitä saatavaa konjugoitua yhtälöä | = Wt)|£t

= {lp(t)\H,

(2.51)

voidaan laskea odotusarvon muutosnopeus

>

= =

±

{ m m t ) )

, m

|y = uw),

(2.55)

ja samalla muunnellaan operaattoreita A

A! = UÄUi

(2.56)

niin havaitaan, että kaikki skalaaritulot ja matriisielementit pysyvät muuttumattomina: = '{i,Pj] = 0 seuraa, että funktioiden / ; ( « ) , jotka yhtälö (2.59) j ä t t ä ä määrittelemättä, on toteutettava dfijx) dxj

=d

fjjx) dxi

eli f ( x ) = V(x). Impulssioperaattorin «-esityksen matriiselementit ovat siis (x\pj\x')

Ö = -ih—S3(x

- x') +

Ö(f)

-

x

')-

Tilan Pj\ip) aaltofunktio on nyt {xföty)

= J dVfclfcl»')**^) =

+

(2.60)

Aaltofunktioon vaikuttavana operaattorina impulssioperaattori on siis (2.60):n mukaan p = -iftV

+ W(j).

(2.61)

Luku 2 Kvanttimekaniikan

66

yleinen rakenne

Mielivaltaisesta skalaarifunktiosta0(a;) voidaan päästä eroon unitaarisella muunnoksella, jossa U = Tällöin eWx'^{x,t)

{x,t)=

•

(2.62)

puusi = e ^ p e ~ ^ )

(2.63)

xnusi = e ^ x e ' ^

(2.64)

Operaattorimuunnosten (2.63), (2.64) laskemiseksi käytetään yleistä kaavaa e2Be~2

= B + [Ä,B} + ^[Ä, [Ä, B}] + ^[Ä, [Ä, [Ä, B]]] + ....

(2.65)

Koska [(x),p\ = ihV(f)(x), [ — 0 lausekkeissa (2.60), (2.61). Nyt voidaan rakentaa Hamiltonin operaattorin S = ^

+

V(x)

(2.66)

matriisielementit «-esityksessä:

WH\X>) =

± - j dv

y. j=x,y,z

=

h2 -T:-VI,S3(x-X')

+ 83{X-X')V{X').

(2.67)

Aaltofunktion toteuttama Schrödingerin yhtälö on siis 0

=

(x\(-ih—

d

d - H)\rl>) = ih—{x\il>) - f

=

+

6?x'(x\H\x')(x'\^) (2.68)

Tämä yhtälö on identtinen luvun 1 ajasta riippuvan Schrödingerin yhtälön kanssa.

2.6

Tiheysoperaattori

Aikaisemmin on todettu, että täydellisin tieto, mitä systeemistä voi olla on, että se on puhtaassa tilassa, jota kuvaa tilavektori |lp). Vaihtoehtoinen tapa

2.6 Tih eysop eraattori

67

kuvata puhdasta tilaa on hermiittisen operaattorin, tiheys operaattorin (eli tiheysmatriisin) avulla. Tilaan \tp) liittyvä tiheysoperaattori on =

(2.69)

(Huomaa, että p(ip):ssa ei ole tilavektorin vaiheen valintaan liittyvää epämääräisyyttä; |ip) ja eia\ip) määrittelevät saman p(ip):n.) Yhtälössä (2.69) edellytetään, että j-0):n normi on 1: {ip\ip) = 1. (Muuten p — mikäli \tjj) ei ole normittuva, se on approksimoitava norrnittuvalla tilalla). Tiheysoperaattorin matriisiesitys observaabelin A ominaistilojen |a) muodostamassa kaimassa on Paa> = (a\4,)(ip\a').

(2.70)

Observaabelin B keskiarvo tilassa \ip) on = £ M a ) ( a | V > W > = Y . B - a ' P a ' a = ^ r B p . a,a1

(2.71)

a,a'

Erikoisesti seuraa normalisaatioehdosta (ip\tp) = 1, että p(ip):n jälki on normitettu l:een Tr

= 1.

(2.72)

Yhtälöstä (2.69) seuraa myöskin, että ^ = 1 ^ 1 ^ 1 = 1 ^ 1 = ?.

(2.73)

T ä m ä yhtälö taas implikoi, että p:n ominaisarvot voivat olla vain 0 tai 1 (koska ominaisarvojen r on myöskin toteutettava r 2 = r ) . Ominaisarvoa 1 vastaava ominaisvektori on ilmeisesti \ip) itse, ja koska operaattorin jälki on ominaisarvojen summa, on \ip) ainoa ominaisvektori ominaisarvolla 1. Geometriselta näkökannalta katsoen p(tp) on projektio-operaattori: Operoidessaan mielivaltaiseen tilaan se antaa tulokseksi |}:n projektion {ip\ip)\ip) suuntaan \%p). Huomautettakoon lisäksi, että skalaaritulon itseisarvo voidaan lausua tiheysoperaattorien avulla: Mv)\2

= W\ = |Ci| 2 . Voidaan siis valita Ci = 1. Jos oletetaan, että C n _i on valittu siten, että (n — 1|n — 1) = 1, saadaan C n :lle ehto (n\n) — 1 = =

|Cn|2(0|a"(^r|0) i r i2 ^ {n — l\aa'|n Cn-1 n—l '| IC

- 1)

2

2 (n — 1\N + [a,a*]|n — 1)

\Cn-l

|C n | 2

=

ICnl2 n~2 , |Cn-i|

=

^|Cn-i|2.

eli (3.11)

Rekursiorelaation (3.11) reaalinen ratkaisu alkuehdolla Ci = 1 on Cn = - L , /n!

(3.12)

josta saadaan lopullisesti |») =

V"'

(3.13)

4.3 Aaltofunktioiden muunnosominaisuudet

77

Tilat (3.13) ovat myöskin Hamiltonin operaattorin (3.6) ominaistiloja: H\n) = hu}(n+ - ) | n ) . 2

(3.14)

Harmonisen värähtelijän spektri koostuu siis energioista \hw, §/iw, |hu>,... ja on puhtaasti diskreetti. ä?:n ja p:n potenssien matriisielementit lasketaan helpoimmin lausumalla ensin nämä operaattorit a, a^ :n avulla yhtälöiden (3.4) mukaan. a:n ja a' :n tulojen matriisielementit saadaan yksinkertaisesti yhtälöstä (3.7) sekä (3.13):sta seuraavista yhtälöistä a f |n)

=

Vn + 1| n + 1)

a|n)

=

^/n\n — 1),

(3.15)

sekä N:n ominaistilojen ortonormitusehdosta (ni|n 2 ) =

(3.16)

Kappaleessa 3.3 lasketaan malliksi pari esimerkkiä.

3.2

Aaltofunktiot

Siirrytään laskemaan tilan |n) aaltofunktio tpn( x) = (a;|n). Alimman energiatilan eU perustilan aaltofunktiolle saadaan ehdosta (3.10) ja (3.2):sta

Imu)

, , .

/

ft

d , . .

Tässä käytettiin yhtälön (2.61) mukaan (®|p|0)

=

J dai'{:c|p|a:'){a:'|0)

=

-ih f dx'-^-S{x J d® „ihdMx) dx

=

-

x')j>0(x')

Luku 3 Harmoninen

78

värähtelijä

Perustilan aaltofunktio toteuttaa siis differentiaaliyhtälön dilintx)

mu> . . . + — x M * ) = 0,

, (3.17)

jonka ratkaisu on i/>o(z) = C e ~ m u x 2 ^ 2 n \

(3,18)

f°° 2 Normitusvakio C määräytyy ehdosta / dx\xpo{x)\ = 1. Jos se valitaan J — OO reaaliseksi ja positiiviseksi, saadaan f mu)\ 4

.

(3.19)

Muiden tilojen aaltofunktiot saadaan (3.13):n ja (3.2):n mukaan seuraavasti:

Vn! {2rrmui)niz 1 / d \n f mu>x — h — ) Vo(®)n da;/ v /n!(2/imu)) \

(3.20)

Hermiten polynomit Hn(£) voidaan määritellä kaavan =

j

(3.21)

mukaan. Ensimmäiset polynomit ovat Ho(£) = 1, # i ( £ ) = H-i{() = 4£2 - 2, jne. Vertaamalla yhtälöihin (3.20) ja (3.18) nähdään, että valitsemalla £ = saadaan

joka on sama kuin Schrödingerin yhtälön ratkaisusta saatu.

3.3

Nollapiste-energia

Lasketaan p:n ja z:n varianssit tilassa (n): Ensinnäkin (n|p|n) = (n|£|n) = 0, sillä molemmat voidaan lausua matriisielementtien (n|a|n) = y/n(n\n — 1) = 0

3.3

Nollapiste-energia

79

ja (n|at|n) = \/n -f l ( n | n + 1) = O lineaariyhdistelminä. odotusarvoille saadaan 2

(3.25)

Perustilassa n — 0 A£:n ja Ap:n tulo saavuttaa miniminsä, mikä on sopusoinnussa luvun 1 tuloksen kanssa, jonka mukaan minimiaaltopaketti on Gaussin funktio. Edellä johdetut tulokset tuovat esille klassisen mekaniikan ja kvanttimekaniikan välisen mielenkiintoisen eron. Klassisen värähtelijän liiketila, jossa energia on pienimmillään, on se, jossa hiukkanen on levossa pisteessä x = 0. Tässä 2 tilassa sekä kineettinen energia T = ^ että potentiaalienergia V = }}mio2x2 häviävät, ja kokonaisenergia on nolla. Kvanttimekaniikassa vastaavanlainen tila on epämääräisyysperiaatteen kieltämä, vaatisihan se sekä Ax = 0 että Ap = 0. Kvanttimekaanisessa perustilassa sekä liike-energian T että potentiaalienergian V keskiarvot ovat suurempia kuin nolla, kuten yhtälöistä (3.23) seuraa. Vastaavasti perustilan energia ei ole nolla, vaan Tätä energiaa kutsutaan nollapiste-energiaksi. Sen olemassaolo perustuu epämääräisyysperiaatteeseen.

80

Luku 3 Harmoninen

värähtelijä

Nähdään siis, että yritys pienentää systeemin energiaa rajoittamalla hiukkasen liike alueeseen, jossa potentiaalienergia on pieni, ei kvanttimekaniikassa välttämättä johda toivottuun tulokseen. Epämääräisyysperiaate asettaa tälle hinnan kineettisen energian kasvun muodossa. Esimerkkinä voidaan tarkastella elektronin liikettä ytimen lähellä Coulombin potentiaalissa a = Jos rajoitetaan liike alueeseen r < a, eli Ar ~ a, on epämääräisyysperiaatteen

2m

a

2

2 ma

a

(3.26)

Funktio (3.26) kasvaa kun a —> 0, ja sillä on minimi arvolla a0 S

h2 , ma

(3.27)

josta (3.28) (3.27) ja (3.28) yhtyvät tarkasti vedynkaltaisen atomin Bohrin säteeseen ja perustilan energiaan. Tämä on tietenkin vain sattuma, yllä olevan kaltainen tarkastelu voi vain antaa perustilan energian suuruusluokan.

Luku 4

Kierto ja impulssimomentti 4.1

Kiertoryhmä

Symmetrioilla on tärkeä merkitys fysiikasssa. Klassisen mekaniikan mukaisesti impulssin säilyminen on seuraus avaruuden homogeenisuudesta eh siirtosymmetriasta (translaatioinvarianssista). Impulssimomentin säilyminen taas johtuu avaruuden isotroopisuudesta eli kiertosymmetriasta. Kvanttimekaniikassa vallitsee samankaltainen yhteys symmetrioiden ja säilymislakien välillä. Tässä luvussa tarkastellaan lähinnä kiertosymmetriaa. Ensin tarkastellaan ns. kiertoryhmä ja tutkitaan miten kierrot vaikuttavat tilavektoreihin. Lopuksi tarkastellaan milloin fysikaalinen systeemi on kiertosymmetrinen ja mitä siitä seuraa. Yllä viitattiin kiertoryhmään. Ei ole aivan välttämätöntä hallita ryhmäteorian hienouksia esimerkiksi kiertojen ymmärtämiseksi, mutta ryhmäteoreettisista käsitteistä on kylläkin sen verran hyötyä, että annetaan tarvittavat ryhmiä koskevat peruskäsitteet seuraavassa. Abstraktina käsitteenä ryhmä on joukko alkioita, joille tietyt laskusäännöt ovat voimassa. Käsitellään ensin sitä tapausta, että alkioiden lukumäärä on äärellinen. Silloin puhutaan äärellisestä ryhmästä. Merkitään nyt tällainen (abstrakti) ryhmä kirjaimella G. Ryhmän alkiot merkitään myös symboleiUa gi (i = 1 , 2 , . . . , N), jolloin siis G = {.9j}f- Laskusäännöt joihin yllä viitattiin edellyttävät, että on määritelty kahden elementin laskutoimitus "tulo", jota nyt merkitään symbolilla , ja jolle seuraavat ehdot ovat voimassa: 1. Jos gi £ G ja gj G G, niin gigj G G. 2. Liitännäislaki on voimassa: [gi(}gj)^gk = di^idj^gk)3. On olemassa e G G siten, että mielivaltaiselle gi G G pätee: =

=

9i•

82

Luku 4 Kierto ja

impulssimomentti

4, Jos g E G on mielivaltainen alkio, on olemassa alkio h £ G siten, että gh = h M(gi)M(gj)) siten, että ryhmäpostulaatit (14) ovat voimassa matriiseille M(g). On huomattava, että yhdellä ja samalla ryhmällä voi olla useita (eridimensioisia) matriisiesityksiä. Vielä yleisemmin puhutaan vain (lineaarisista) esityksistä, nämä ovat silloin yllä annetut ehdot toteuttavia kuvauksia ryhmän alkioista g joihinkin määrätyntyyppisten vektoriavaruuksien (lineaarikuvauksiin. Kierrot avaruudessa voidaan periaatteessa tulkita kahdella tavalla. Ensimmäinen tulkinta on ns. aktiivinen tulkinta, jonka mukaan avaruus kierretään (ts. avaruudessa määritellyt tapahtumat) jonkun (mielivaltaisesti valitun) kiinteän koordinaatiston suhteen. Toinen ns. passiivinen tulkinta pitää sisällään, että avaruuden koordinaatistot kierretään. Nämä tulkinnat ovat muodollisesti ekvivalentteja. Seuraavassa pidetään kiinni passiivisesta tulkinnasta, ellei toisin mainita. Olkoon (3-ulotteinen) avaruus homogeeninen ja isotooppinen. Silloin voidaan parametrisoida avaruuden pisteet karteesisen (suorakulmaisen) koordinaatiston avulla, jonka origo O on kiinnitetty sopivasti, ja jonka suunta on niinikään sopivasti kiinnitetty. Olkoon avaruuden tietyn pisteen P paikkavektorin rp komponentit tälläisessa koordinaatistossa Xi, ja rp={x

i,x2,x3).

(4.1)

Voidaan tarkastella samaa pistettä P koordinaatistossa, joka on saatu määrätyllä kierrolla R ensin mainitussa koordinaatistosta. Tässä kierretyssä koordinaatistossa merkitään P:n paikkavektorin komponentit kirjaimilla x[, x'2 j a x'3, (kuva 4.1) rp = (x1,x2,x3)

4.1

Kiertoryhmä

83

Kuva 4.1. Komponentit x\ ovat komponenttien Xi lineaariyhdistelmiä, 3

x'i =

(4-2) j=i

missä Äij:t ovat reaalilukuja. Vektorin pituus säilyy muuttumattomana kierrossa, eli

I X i=l

==£>?•

(4-3)

i=l

Ehdosta (4.3) seuraa, että suureet Rij kaavassa (4.2) toteuttavat seuraavan ehdon 3

] T RijRik = 5 fk . »=i

(4.4)

Käyttämällä tavanomaista matriisikieltä voidaan ehdot (4.4) lausua ÄÄ T = RTR

= 1.

(4.5)

Ns. ortogonaalisuusehdot (4.4) (vaihtoehtoisesti (4.5)) ovat välttämättömiä sille, että 3 x 3 matriisi R = (Rij) määrittelee koordinaatiston kierron. Koska det RT = det R seuraa ehdosta (4.5), että det£ = ±l.

(4.6)

84

Luku 4 Kierto ja

impulssimomentti

Yksinkertaisin kierto on identiteettimuunnos x\ = jonka determinantti on +1. Kiertojen jatkuvuuden perusteella todetaan siten, että varsinaisille kiertomatriiseille R pätee det R = +1: tapaus det R = —1 esiintyy vain jos kyseessä on varsinainen kierto yhdistettynä peilaukseen (esim. x\ = — ®i, x'2 — x2, x'5 = »s). Seuraavassa tarkastellaan varsinaisia kiertomatriiseja R, jotka toteuttavat ehdot RRT

= RTR

= 1, det

R

= +1.

(4.7)

Ehdot (4.7) sisältävät kuusi riippumatonta ehtoa. Näin ollen voidaan siis yleinen kiertomatriisi esittää kolmen ( = 9 — 6) jatkuvan parametrin avulla. Geometrisesti tämä on helposti ymmärrettävissä; voidaanhan mielivaltainen kierto esimerkiksi esittää määrätynsuuruisena kiertona (1 kiertokulma) määrätyn kiertoakselin (2 suuntakulmaa) ympäri. Kiertomatriisit R määrittelevät ryhmän, jota kutsutaan nimellä S0(3), S 0 ( 3 ) = {R\RRT

= 1, d e t R = + 1 } .

(4.8)

Tässä luku 3 viittaa avaruuden dimensioon, kirjain 0 ortogonaalisuusominaisuuteen (4.5) ja kirjain S ("special") erikoisominaisuuteen det E = +1. Voidaan helposti todeta, että kaikki ehdot (4.7) toteuttavat matriisit muodostavat ryhmän; jos nimittäin matriisit RI ja R2 toteuttavat kyseiset ehdot, silloin niiden matriisitulo RIR2 toteuttaa myös samat ehdot. Edelleen ykkösmatriisi on (triviaali) kierto ja käänteismatriisi R~X on aina olemassa (R~ ä = R1) ja toteuttaa ehdot (4.7). Matriisien kertolasku on myös assosiatiivinen, joten kaikki ryhmäpostulaatit ovat voimassa. Toteamme vielä, että kiertojen järjestys on tärkeä, ts. yleensä R1R27L-R2RI.

(4.9)

Ominaisuus (4.9) ilmaistaan usein sanomalla, että kierrot eivät kommutoi eli kiertoryhmä on ei-kommutatiivinen (eli ei-Abelinen) ryhmä. Esimerkkinä kommutatiivisesta (siis Abelin) rymästä mainittkoon avaruuden siirrot, Xi

x'i = Xi + ai

(4.10)

missä parametrit ai määrittelevät kyseiset siirrot. Voimme nyt kysyä miten erilaiset funktiot voisivat muuntua kierroissa. / Yksinkertaisin on ns. skalaarifunktio jonka arvot eivät muutu koordinaatiston kierroissa. Siis, jos merkitään tällaista skalaarifunktiota symbolilla / , pätee 3

r

x

i

X

i

=

2—j Äijxj> j=1

/(X1,X2,X3) R

/ ' ( « I , X2,x'3) = f(xltx2,x

(4.11) 3).

4.2 Kiertojen parametrisointi.

Kiertoryhmän

Lien algebra

85

Ehdot (4.11) voidaan kirjoittaa yksinkertaisemmin käyttämällä vektorimerkintää x = («j, x2, X3), eli

x

x' ~ Rx

f ( x ) *> f'(x')

(4.12)

= f(x)

Skalaariehto merkitsee siis, että f ( x ) = f(R~1x),

(4.13)

joka määrittelee muunnosominaisuuden f —> /'. Vektorifunktio Vk(x), k = 1,2,3 taas on (kolmekomponenttinen) funktio, jonka komponentit muuntuvat samalla tavalla kuin paikkavektorin x komponentit, eli Vk(x)

4 Vl(x') = £ RkiVi(x) 1

(4.14)

ts. 3

V ^ ^ ^ R M R ^ x ) .

(4.15)

1=1

Klassinen vektori- ja tensorilaskukäsittelee monikomponenttisiafunktioita, joiden komponentit muuntuvat kuten vektorikomponenttien tulot. Nimenomaan kvanttimekaniikka on tuonut esille, että on olemassa myös muuntyyppisiä funktioita, ns. spinorifunktioita, joiden muuxmosominaisuudet määräytyvät suoraviivaisesti kiertoryhmän struktuurista. Näistä 2-komponenttiset spinorit kuvaavat elektroneja (yleisemmin spin-| hiukkasia) kvanttimekaniikassa. Näihin asioihin palataan kohta uudestaan. Ensin on kuitenkin käsiteltävä kiertojen parametrisoinnit hieman tarkemmmin kuin tähän asti.

4.2

K i e r t o j e n parametrisointi. K i e r t o r y h m ä n Lien algebra

Tarkastellaan nyt koordinaatistoa K , jonka (suorakulmaiset) koordinaatit merkitään symboleilla x, y ja z. Verrataan koordinaatistoa K toiseen koordinaatistoon K', joka on saatu isT:sta kiertämällä kulman a verran positiiviseen kiertosuuntaan z-akselin ympäri (kuva 4.2).

Luku 4 Kierto ja

86

impulssimomentti

Olkoon siis avaruuden määrätyn pisteen P koordinaatit ( x , y , z ) Joissa ja vastaavasti ( x ' , y ' , z ' ) K':ssa. Alkeellinen geometrinen konstruktio (kuva 4.2) antaa relaatiot x

x cos a — y' sin a

y z

x' sin a + y' cos a i Z

-

(4.16)

joista edelleen seuraa x cos a + t/ sin a —x sin a -f y cos a z

=

(4.17)

z.

Merkitään muunnosta (4.17), joka siis esittää koordinaatiston kiertoa ^-akselin ympäri kulman a verran positiiviseen kiertosuuntaan, matriisilla Rz(a),

Äz(a)

(

cos a sin a

sin a cos a

V

0

0

=

0 \ 0

(4.18)

1

Infmitesimaaliset kierrot ovat erityisen tärkeitä; kehitämme siis matriisin (4.18) sarjaksi a = 0 ympäristössä,

Rz(a)

/ 1 0 0 >\ f 0 0 i 0 = + -1 0 0 1 0 V

{

1 0 0

M 0

oj

(4.19)

4.2 Kiertojen parametrisointi.

Kiertoryhmän

Lien algebra

87

On tavallista sisällyttää kompleksiyksikkö i kehitelmiin (4.19) seuraavasti, 0 0 >\ 1 0 \+i 0 V0 1J/

M Rx{a) = [ 0

f o -i i 0 l 0 0

0 \ 0 j a -f 0/

0(a2)

(4.20)

eli / 0 -i z 0 \ 0 0

0 \ 0 0 /

=

—l

d Rz{o) da

= Sz.

(4.21)

a=0

Hermiittistä, kaavassa (4.21) määriteltyä matriisia sanotaan kiertogeneraattoriksi z-akselin ympäri. Syy tähän ilmenee seuraavassa. Tarkastellaan äärellistä kiertoa kulman a verran z-akselin ympäri positiiviseen kiertosuuntaan, ja jaetaan tämä kulma N:n yhtä suureen osaan a/N. Silloin ilmeisesti N

Rz(a) = (£,(-) a

(4.22)

K iitävän suurilla N:n arvoilla voidaan kiertoa Rz(a/N) (4.20) mukaisesti, joten

'N Rajalla N

approksimoida kaavan

(4.23)

~KN2'

'

oo saadaan seuraava tarkka tulos kaavasta (4.23), Rz{a) = eiaT"

(4.24)

kuten voidaan verifioida kehittämällä eksponenttifunktio (4.24) sarjaksi oo

n=l

A

n

(4.25)

n:

ja vertaamalla saatua tulosta kaavaan (4.18). Kierrot x- ja y- akselien ympäri käsitellään kuten kierrot 2-akselin ympäri. Annetaan siis vastaavat tulokset,

(1 0

Ä.(7) V

1

=

0 cos 7 - sin 7 f 0 0 0 0 i v 0

0 \ sin 7 cos 7 J 0 \ —i 0

)

=

vyEx

e

(4.26)

(4.27)

Luku 4 Kierto ja

88

impulssimomentti

Kuva 4.3. Ja cos/3 O - s i n / 3 Ry(P) = | O 1 O | = sin/3 O cos/3

(4.28)

(4.29)

Kiertogeneraattorit S x , ja £ z , jotka siis määräävät kaikki kierrot koordinaattiakselien ympäri, toteuttavat seuraavat kommutaatiosäännöt [Sa;,S y ] = [E B I E.] = »EB

(4.30)

[E z , E B ] = iT,y kuten helposti verifioidaan. Kommutaatiosäännöt (4.30), jotka siis viime kädessä johtuvat kiertoryhmän struktuurista, muodostavat kiertoryhmän SO(3):n ns. Lien algebran so(3). Lopussa käsitellään kiertoja mielivaltaisen kiertoakselin n ympäri (kuva 4.3). Kiertokulma olkoon ui. Infinitesimaalisen kierron tapauksessa 2 )

y'

-

-u)nzx

=

umyx - umxy + z + 0(u> )

z'

+ y + wnxz + 0{u>2)

(4.32)

2

Kierto (4.32) merkitään nyt R(n,u>):11a. Käyttämällä edellä johdetut kiertogeneraattorit Dj (i = x,y,z) todetaan, että R(n, u)

=

1 + iu(nxYlx

=

l + iw(n-£)

+ n y £ y + n z £ z ) + 0(u> 2 ) + 0{u>2).

(4.33)

Eksponentioimalla tulosta (4.33) samaan tapaan kuin aikaisemmin tässä luvussa saadaan Ä(n,w) =

(4.34)

joka on (tietenkin) tulosten (4.24), (4.26) ja (4.28) suoraviivainen yleistys. Siirtymällä takaisin indeksinotaatioon (x,y, z) (1,2,3) todetaan, että (Sk)im = —ie klm,

(4.35)

missä £kim on permutaatiosymboli, joka esiintyy myös kahden vektorin ristitulossa, ( A X B)k = E £kimAiBm. l,m

(4.36)

Käyttämällä tulosta (4.35) j a kehittämällä (4.34) sarjaksi on mahdolllista osoittaa, että 3

(R(n,u))ij

- (cos u)6ij + (1 - cos w ) n ; n j + (sin w) ^

£

ijfc«fc-

(4.37)

k= l

Tuloksen (4.37) avulla todetaan vihdoin mitkä ovat kiertoparametrien vaihteluväht. Kiertoakseli n ( | n j = 1) määräytyy kahden suuntakulman avulla, eli polaarikulman 0 (0 < 9 < t ) ja azimutaahkulman

n

-

L

^ ( x )

( 4 . 4 4 )

Kaavan

( 4 . 4 3 )

( 4 . 4 5 )

Muunnoskaava ( 4 . 4 5 ) voidaan yleistää aidoksi operaattorirelaatioksi seuraavasti. Todetaan, että ^{x) = (x\iP).

( 4 . 4 6 )

Muunnoksessa x

- >

x '

—

R x

( 4 - 4 7 )

4.3 Aaltofunktioiden

muunnosominaisuudet

91

täytyy olla

IV»)-»14>') = U(RM

(4.48)

missä U(R) on (R:stä riippuva) unitaarinen operaattori. Silloin il>'{») = (xW)

= J (x\U (R)\y) (y\ip) d 3 y.

(4.49)

Vertaainalla kaavoja (4.45) ja (4.49) todetaan, että U(R) =

(4.50)

missä L on impulssimomenttioperaattori, L - x xp.

( 4 -51)

[Li,Lj] = iheijkLk

(4.52)

Todetaan, että

suoraviivaisena seurauksena Sf ja p k - op eraat torien peruskommutaatiorelaatiosta (2.31). Kommutaatiorelaatiot ovat samat (lukuunottamatta tekijää h) kuin ne jotka kiertojen matriisigeneraattorit E; toteuttavat (vrt. (4.30)). Palataan vielä vektorifunktioiden muunnoskaavoihin (4.15), ts. 3

i=i Käyttämällä infinitesimaalista kiertoa (ui < 1) ja parametrisaatiota (4.33) saadaan 3

rP'k(x) = tpk(x + ™ x i ) +

^)kiMx)

+

(4.54)

;=i Edelleen, Taylorin kehitelmän avulla (analogisesti skalaarifunktiotapauksen kanssa), 3

V4(*) = M*)

.

i + E Twn' i=i

^klL + hlhlWl

(4.55)

eli, äärellisen kierron tapauksessa 4k(*)=£(^wri-J)kiM*) ;=i

(4.56)

Luku 4 Kierto ja

92

impulssimomentti

missä

(J)u = 8klL + h(2)u

(4.57)

Aidossa operaattoriformalismissa on ^(SB) = ( * , * # )

(4.58)

m * w ) = u(Rm.

(4.59)

ja

Relaatio ^k(x)=(x,k\i>')

= (x,k\U(RM

(4.60)

edellyttää nyt, kaavan (4.53) mukaisesti, että 3

U(R)\x,k)

= J2\Rx,l)Rlk i=i

(4.61)

eli, käyttämällä myös kaavoja (4.56) ja (4.57), U(R) = e^n 0

(4.81)

Epäyhtälöistä (4.81) seuraa edelleen, että on olemassa suurin arvo m , ja pienin arvo m p siten, että | - y / f ( j ) +\ 0). Kun k — 0 , 1 , 2 , . . ( 5 . 2 7 ) on yhtäpitävä rekursiorelaation afe+1 ak

2(k + Z + 1) - po (k + l)(Jfe + 2Z + 2)

kanssa. Mikäli sarja (5.26) ohsi päättymätön, suurten p:n potenssien kertoimet toteuttaisivat relaation ak+1

2

dj.

k

-

oo

0,

(5.29)

jolloin w(p) ~ e2p, mikä on vastoin reunaehtoa (5.14), kun p —> oo. Näin ollen sarjan (5.26) tulee päättyä ja w(p) on siis polynomi. Olkoon w(p) astetta N, eh ajv+i = 0, a^ 0. Tällöin saadaan relaatiosta (5.28) p0 = 2(N + 1+1),

1 = 0,1,2,...,

ja JV = 0 , 1 , 2 , . . . .

Sijoitetaan (5.30):een po:n lauseke (5.23) ja määritellään pääkvanttiluku n = N + l +1=^>1.

(5.30) n (5.31)

122

Luku 5 Liike

keskeiskentässä

Näin saadaan Z2

e2

\

Z2*2 2 1 f i C - j2, 2 n '

1

,

x

71 = 1 , 2 , 3 , . . .

Kaavassa (5.32) esiintyy luku a =

62 4tt €0hc

1 137,04

(5.33)

eli hienorakennevakio. Vetyatomin (Z = 1) perustilan energia ej on—13,595 eV (tällöin n = 1 ja l — 0). Energia a2 —m e l c 2 = 13,605 eV,

.

(5.34)

missä redusoitu massa on korvattu elektronin massalla, käytetään usein atomifysiikan energiayksikkönä, ja on nimeltään Rydberg. Sidottujen tilojen energia (5.33) voidaan myös kirjoittaa muotoon Z2e 2 8x60 a n 2 ' missä pituussuure a = a0 =

(5.35)

on likimain yhtä suuri kuin Bohrin säde,

2

me ie

= 0,5292-10"lom

(5.36)

(10~ 10 m = 1 ängström (A)). Sidottuja tiloja on äärettömän monta. Kun n —> oo niiden energia lähenee nollaa, josta jatkuva spektri (joka kuvaa ionisoitunutta vetyatomia) alkaa. Energian arvot riippuvat vain pääkvanttiluvusta n, En ~ Kaikki tilat ovat degeneroituneita, sillä ® kutakin l:n arvoa vastaa 21+1 magneettisen kvanttiluvun m arvoa —Z:stä +/:ään. e kutakin n:n arvoa vastaa (5.31):n mukaan n sivukvanttiluvun l arvoja nollasta (n — l):een. a energia ei riipu elektronin spinistä, jonka z-komponentti voi saada arvot ± | h.

123

•5.3 Vetyatomi

Taulukko 5.1. n = 1,2,3 radiaaliset aaltofunktiot. ra

l

Rni

1

0

2(f)1 e"?

2

1

^(f)1""-

3

»

i j s ( i +

3 1

5k( f ^ - e k »

&

^

81V3Ö

(Ö")

Energian En omaavien tilojen lukumäärä on siis n—1

2 ] T ( 2 i + 1) = 2n 2 . /=o Edellisen kappaleen 5.2 yleisten tarkastelujen mukaisesti odottaisi vain ensimmäiseen ja viimeiseen kohtaan liittyvää degeneraatiota. Ns. satunnainen degeneraatio (toinen kohta) liittyy siihen, että Hamiltonin operaattorilla - ~ on suurempi symmetria kuin pelkkä kiertosymmetria. Symmetriaryhmä on 0(4). Satunnaista degeneraatiota esiintyy myös potentiaalissa V(r) = k kr2, jolloin symmetriaryhmä on SU(3). Polynomi w(p) on Laguerren liittopolynomi (katso jotain erikoisfunktioiden oppikirjaa) w(p) L2l+%

(

=

V

_

(5.3?) /

l^at+l

(

n

+ 0

!

x -(2l+l)

d "

-

'

- 1

-mn+l.

Täydellinen normitettu aaltofunktio on ^nim{r, e, ) = Rnl{r)Ylm{0, missä Rnl(r)

=

^

),

(5.38)

v 124

Luku 5 Liike l(n-l

- 1 )\Z f2Z\l+1

,

- v •>[(»+oi--U)

zr 2/-t-i

keskeiskentässä /2Zr\

(5-39>

Tatdukkoon 5.1 on kirjoitettu muutaman radiaalisen aaltofunktion lausekkeet. Bohrin säteen a 0 (tai parametrin o) fysikaalinen merkitys selviää tarkastelemalla aaltofunktioiden r-käyttäytymistä. Perustilan aaltofunktio on

V>iooM,4>)= f ^ V Radiaalinen jakauma perustilassa on T*2 |*0IOO|2 pisteessä r = r n odotusarvo on

(5.40) x

r2e~2Zr/a,

jonka maksimi on

a ilmoittaa siis vetyatomin elektronikuoren ulottuvuuden suuruusluokan. Kaava (5.32), ns. Balmerin kaava, on tietenkin vain ensimmäinen approksimaatio todellisen vetyatomin energian ominaisarvoille. Sen mukaan vetyatomin spektri on kuvan 5.3 kaltainen. Tarkemmassa teoriassa on otettava huomioon (i) elektronin liikkeen relativistiset korjaukset ja sen spin (hienorakenne), (ii) protonin spin, magneettinen momentti ja äärellinen koko (ylihienorakenne) sekä (iii) vuorovaikutus sähkömagneettisen säteilykentän kanssa (Lambin siirtymä). (Ks. kuva 5.4)

•5.3 Vetyatomi

125

Kuva 5.3. Vetyatomin spektri.

J

Luku 5 Liike

v 126

E

keskeiskentässä

(eV)

3p 3/2 -1,51 - 3s 1/2

3

-3,39

2p 3/2 " 2p xr2 =

2s 1/2

-13,6 - i s

Pl/2 :

= k

j=l

3d 5/2 ' 3d 3/2 :

Hienorakenne } Lambin siirtymä

} Ylihienorakenne

(sel- s prot )

+s

Kuva 5.4. Osa vetyatomin spektristä sellaisella tarkkuudella, että mm. relativistiset efektit ovat näkyvissä. Energiaskaala on katkaistu kuvassa.

Luku 6

Likiarvomenetelmät: sidotut tilat 6.1

Variaatiomenetelmä

On hyvin vähän systeemejä, joissa Schrödingerin yhtälö voidaan ratkaista analyyttisesti, "paperilla". Nykyään ratkaistaan usein kvanttimekaniikan tehtävät tietokoneilla numeerisen analyysin menetelmiä käyttäen. Monessa yhteydessä osoittautuvat myös erilaiset likiarvomenetelmät hyödylhsiksi. Tässä luvussa käsitellään sidottujen tilojen energioiden ja aaltofunktioiden likimääräistä laskemista, ja aloitetaan variaatiomenetelmällä (jota myöskin kutsutaan Rayleighin-Ritzin periaatteeksi). Tarkastellaan systeemiä, jonka Hamiltonin operaattori on H ja vastaavat ominaisarvot En ja -tilat |n) H\n) = En\n),

E0(m-p)

m

771=0

(6.17)

p—0

missä on järjestelty yhtälön (6.17) oikealla puolella esiintyvän kaksinkertainen sarja sopivalla tavalla, ja missä = 0. Identifioimalla g:n potenssit yhtälön (6.17) molemmilla puolilla saadaan Tn

'

+

= E

,

[

E r?Mn)

(rn

~

P)

m = 0,

...

(6.18)

p=0

Huomattakoon vielä, että tilat \ipn) oletetaan normitetuiksi, {lpn\4n) = 1.

(6.19)

6.2

Häiriökehitelmä

131

Sijoittamalla sarjakehitelmä (6.15) normitusehtoyhtälöön (6.19) saadaan, oo E s

m r o

(l

E

771=0

P= 0

/

(0)

Vn|tM(m-p) = 1

(6.20)

(^n|^n)(0)=l

(6.21)

m

E

(p)

P =o

( ^ n | ^ > ( r a _ p ) = o, m > 1

(6.22)

Ehto (6.21) on voimassa identtisesti yhtälön (6.13) mukaisesti, jäljelle jäävät ehtoyhtälöt (6.22) sekä yllä johdetut yhtälöt (6.18) muodostavat yhtälöryhmän suureille \ i p } ja E£m) (m > 1). Tapauksessa m = 0 yhtälö (6.18) on identtisesti voimassa. Ensimmäinen ei-triviaali yhtälö saadaan tapauksessa m = 1, { m )

n

£o|^n>(l) + t > ^ n ) ( 0 ) = 4 0 ) | ^ n ) ( l ) + Kertomalla yhtälö (6.23) vasemmalta bra-tilalla

(6.23) ipn\ saadaan välittömästi

E™ =

(6.24)

T ä m ä on erikoistapaus yleisestä tilanteesta: kertalukua m olevat energiakorjaukset voidaan laskea kun tunnetaan tilavektori kertalukuun m — l asti. Korjausten 1 4 > n ) ^ laskemiseksi on tarkoituksenmukaista kehittää \ipnkannassa \y>n) (= (joka on oletettu täydelliseksi ja ortonormitetuksi kannaksi), !^n)

(1)

oo = E

(6.25)

771=0

Sijoittamalla kehitelmä (6.25) yhtälöön (6.23) saadaan tulokseksi, oo E

71=0

oo + v

\

=

Eon E

TO=0

C£lWm){0) + 4 1 ) | ^ ) ( 0 ) (6.26)

missä on käytetty tuloksia E0M = (6.24).

ja missä E^

on annettu yllä kaavassa

132

Luku 6 Likiarvomenetelmät:

Kertomalla yhtälöt (6.26) vasemmalla bra-tilalla

sidotut

tilat

saadaan yhtälö-

rylimä tuntemattomille kertoimille Cril, (.E0p - E0n)Cg)

- E^6pn

-

( ° ) ( V

P

( 6 . 2 7 )

Tapauksessa p = n yhtälö (6.27) on sama kuin yhtälö (6.24). Kun p ^ n saadaan C!S =

"

' ^ y JhQn ~ J^op

(6.28)

Tulokseksi on siis nyt saatu,

l +

E

(

( 0 )

^ m | F y n ) - ) l ^ ) ( 0 ) + 0 ( , 2 ) (6.32)

ia

V En = 4 ° ) + g ( ° > ^ n | % n ) ( 0 ) + 0 ( f f 2 )

(6.33)

missä merkintä 0(g2) tarkoittaa kertalukua g2 olevaa korjaustermiä. Todettakoon edelleen, että m ä ä r ä ä m ä t t ä jäänyt imaginaariluku Cnn lausekkeessa (6.32) kiinnittää vain epäoleellisen vaihetekijän, sillä jos Cnn — i a n , 1 + gCtt

= e*"» + 0(g2).

(6.34)

6.3 Epäharmoninen

värähtelijä

133

Periaatteessa voitaisiin laskea myös toisen ja korkeamman kertaluvun korjauksia tiloihin \ i f i n ) ja energian ominaisarvoihin E n . Tyydytään tässä antamaan energian ominaisarvo En toisen kertaluvun tarkkuudella,

* =E

0n

+j / nE 1 (0)^'yOj(0)'a + O t f )

+9

(6.35)

Tulos (6.35) johdetaan yksinkertaisesti käyttämällä kaavan (6.29) antamaa ensimmäisen kertaluvun korjausta kaavassa (6.18) tapauksessa m = 2. Tuntematon imaginaarivakio Cnn joka esiintyy l ^ ^ ^ t n lausekkeessa supistuu laskuista (kuten pitääkin), eikä näy lopputuloksessa (6.35). Edellä johdetut häiriökehitelmät suureille \ipn) ja En tunnetaan Rayleigh'nSchrödingerin häiriökehitelminä. Vaikka kyseiset kehitelmät voidaan laskea mielivaltaiseen kertalukuun saakka^-tulevat kuitenkin vain edellä annetut ensimmäisen ja toisen kertaluvun tulokset useimmiten kysymykseen käytännön sovelluksissa.

6.3

E p ä h a r m o n i n e n värähtelijä

Esimerkkinä häiriöteoriasta tarkastellaan epäharmonista värähtelijää, jonka Hamiltonin operaattori on P2 , 1 2-2 , 2^ + 2mU X +

fr H

=

1 4

,r g

—

*

qcs (6 36)

'

Edellisen kappaleen merkimiöin Ho — ^^r ^mu>2x2, V — m ^ x4. Energian ensimmäisen korjauksen määräämiseksi on yhtälön (6.24) mukaan laskettava (n|2 4 |n), missä |n) on harmonisen värähtelijän ominaistila. T ä m ä voidaan kätevästi tehdä lausumalla x 4 operaattorien 2 ja o) avulla käyttäen kaavaa (3.2). Tilojen |n) ortogonaalisuuden vuoksi vain ne termit, joissa sekä a j a a* esiintyvät kahdesti, antavat kontribuution diagonaaliseen matriisielementtiin (n|z 4 |n), eli x 4 = ( ä ^ b ) 2 [ 2 2 2 t 2 + 22+22* + 2 2 t z 2 + 2+222+ + 2*23+2 + 2 t 2 a 2 ] + (muita termejä). Soveltamalla edelleen relaatioita (3.15) saadaan (n|® 4 |n)

=

( - A - ) 2 [ ( n + 2 ) ( n + l ) + (rz + l ) 2 + n ( n + l ) +n(n + 1) + n2 + n(n - 1)] _n 3 k ( ^2 7mTu) 2 ( 2 n 2 + 2 n + 1 ) -

Ensimmäisen kertaluvun tulos on siis En

=

E0n +

g(n\V\n)

(6.37)

Luk u 6 Liki arvoine n et e lm ai: sidotut til at

134

=

tiu)(n + h + -^-(-ghuj{2n2 + z ib

=

M l + | ) ( n

+

i ) + | ^ n

2

n 2

+

1 )

( 6 . 3 8 )

.

Nähdään, että tarkastellulla häiriöllä on kahdenlainen vaikutus: se lisää (i) t a a j u u t t a määrällä % / 8 j a (ii) tilojen etäisyyttä A E energian (n:n) kasvaessa. Epäharmoninen yärähtelijä (6.36) on riittävän yksinkertainen, j o t t a voidaan vastata, iiielenkiintoiseen kysymykseen: Kuinka hyvä on häiriölaskun tulos? Tarkastellaan perustilan energiaa jolle häiriöteoria a n t a a lausekkeen oo

E0 = J 2 4 k ) 9 k -

(6-39)

k—O Oletetaan ensin, että potenssisarja (6.39) suppenee kun g < g„. Tällöin se suppenee kaikilla |c?| < g o, varsinkin kun g on negatiivinen. Potentiaalin U(x) = ^mu)2x2 + J < j • ' x4 käyttäytyminen positiivisilla j a negatiivisilla g on kuitenkin täysin erilainen (kuva 6,1). Kun g > 0, kyseessä on potentiaalikuoppa, jonka perustilan energia on positiivinen (nollapisteen energia!) m u t t a kun g < 0, U(x) on alhaalta r a j o i t t a m a t o n eikä perustilaa ole enää edes olemassa. (Voidaan rakentaa yriteaaltofunktio, jolle energian odotusarvo on mielivaltaisen pieni ottamalla funktio, joka on nollasta eroava riittävän suurilla |E|). Tila, jonka aaltofunktio hetkellä t = 0 on keskittynyt x — 0 ympärillä olevaan kuoppaan h a j o a a ennenpitkään tunneloitumalla potentiaalivallin läpi. Tällainen tila on korkeintaan metastabiili (vertaa a - h a j o a m i n e n , kappeleen 1 . 7 loppuosa). Nojautuen ylläolevaan fysikaaliseen argumenttiin voidaan odottaa, että oletus sarjan (6.39) suppenevuudesta ei ole perusteltu. Näin todellakin

6.3 Epäharmoninen

värähtelijä

135

on; C. M. Bender j a T . T . Wu (Phys. Rev. D7, 1620(1973)) osoittivat ensimmäisinä, että sarjan kertoimet k ä y t t ä y t y v ä t isoilla k seuraavasti

4 k ) = M ^ ) 1 / a ( - f ) f c r ( * + | ) ( 1 + 0(\)),

(6.40)

j a koska r(fc) ~ fc!, kertoimien kasvu on niin nopea, että (6.39):n suppenemissäde on nolla. Hamiltonin operaattorin (6.36) spektrin tarkastelu osoittaa, e t t ä perustilan energialla Eo g:n funktiona on singulariteetti, kiertopiste g = 0:ssa, j a näin ollen funktiota Eo(g) ei voida kehittää potenssisarjaksi t ä m ä n pisteen ympärillä. Häiriökehitelmä (6.39) ei kuitenkaan ole täysin käyttökelvoton, se on nim i t t ä i n ns. asymptoottinen sarja, jokardivergenssistään huolimatta voi a n t a a hyvän arvion E 0 :lle, kun g > 0. Asymptoottiseksi sarjaksi kutsut a a n funktion f ( z ) esitystä oo

( 6 - 41 )

f(z) = Yf*zk> 0

jolle (tietylle a r g z : n välille) pätee

n |/«-£/*z

f e

| 0)

voidaan muodostaa sarja

oo , k- 0 joka suppenee kun \za\ < 1, j a joka määrittelee analyyttisen funktion koko puolitasossa Rez > 0. Lisäksi pätee ,00

f(z)=

/

dte~tBf(zt)

(6.44)

Jo muodollisesti potenssisarjana; toisaalta integraali yhtälön (6.44) oikealla puolella suppenee. Yhtälö (6.44) on Borelin summakaava asymptoottiselle sarjalle (6.41) j a 5 / ( z ) on / : n Borelin muunnos. Epäharmonisen värähtelijän häiriösarja on siis Borel-summautuva.

Luku 6 Likiarvomenetelmät:

136

sidotut

tilat

Yllä kuvattu tilanne on kvanttimekaniikan häiriöteorian kannalta tyypillinen. Vain poikkeustapauksissa sarja suppenee, parhaimmissa tapauksissa se on asymptoottinen j a Borel-summautuva. Tapauksissa, missä häiriösarjan luonne on t u n t e m a t o n (ja niitä on riittämiin!) voimme vain n o j a u t u a häiriöteorian tulosten fysikaaliseen mielekkyyteen j a yhtäpitävyyteen koetulosten kanssa halutessamme oikeuttaa häiriöteorian käytön.

8.4

Degeneroitunut häiriökehitelmä

Tutkitaan seuraavaksi tapausta, että H:n ominaisarvo Eon, jonka häiriötermin gV aiheuttama korjaus haluamme laskea, on N (n)-kertaisesti degeneroitunut, ts. ominaisarvoyhtälöllä Ho\y>nk)

(6.45)

= Eon\n, £ ( - e ) * * a t , n ) i

(6.64)

« * = ] £i ( - « ) « *

(6-65)

y missä (,) on aaltofunktion sisätulo. on Lauseke elektronikuoren sähköisen dipolimomenttioperaattorin

z-komponentti koordnaattiesityksessä. Todetaan, että dipolimomentti on tavallinen polaarivektori, joka siis m u u t t a a merkkiään peilauksessa, pdp-1

=

= E ( - e ) ( - ® ' ) = -d

(6.66)

Jos tilat j $ a t,n) ovat degeneroitumattomia j a pariteettioperaattorin ominaistiloja, P\V*t,n) = *n|*.t,n),

Tn = ± 1

(6.67)

Luku 6 Likiarvomenetelmät:

140

sidotut

tilat

todetaan välittömästi, että sisätulo (6.64) häviää. Näissä olosuhteissa ensimmäisen kertaluvun energiakorjaus häviää identtisesti, joten energiakorjaukset ovat vähintään toista kertalukua ("kvadraattinen Starkin ilmiö"). Tarkastellaan seuraavassa yksi-elektronista atomia, jossa lineaarinen Starkin ilmiö on mahdollinen tilojen degeneraation takia. Systeemin Hamiltonin operaattori koordinaattiesityksessä on (vrt. luku 5) -h2 Ze2 H = -——V2 + e\E\z 2 /J, 47re0 r

(6.68)

missä Z = 1 vetyatomin tapauksessa. Häiriöttömän ( E = 0) systeemin ominaisfunktiot \? n z m (r) on annettu kaavoissa (5.38) ja (5.39). Todetaan edellisten tarkastelujen mukaisesti, että ensimmäiset ei-triviaalit ensimmäisen energiakorjaukset saadaan tapauksessa n = 2. Vastaavat ominaisfunktiot ovat (vrt. (5.38) j a (5.39)) , N =

$21m(r)

=

1 ,Z. j = 3 n = 2, / = 1, m = —1

j = 4

(6.70)

Merkitään vastaavasti häiriön e|23|z matriiselementtejä Veellä, Vjj' = (*2Jm,c|^|i-co8Ö$alw)

(6.71)

Käyttämällä kaavassa (6.69) esiintyvien pallofunktioiden Yj m lausekkeita

Ylo(e,

v w v (0,0,-Zq) \

/ \

/ \

/ \

Ns

^^

•

Kuva 7.3. Suihkuhiukkanen sirontaprosessin alkutilassa (f = 0) kuvataan aaltopaketilla, joka on keskittynyt pisteen (0,0, —z0) ympäristöön, jossa z0 on suurempi kuin sirontakeskuksen O voiman äärellinen kantama R. jotta aaltofunktio '5^(0, r) edustaisi hiukkasia, jotka suunnataan (pitkin zakselia) origossa (0,0,0) sijaitsevaa kohtiota O kohti. (Kuva 7.3) Seuraavassa kappaleessa käsitellään tarvittavat aaltopaketit yksityiskohtaisesti; tässä tarvitaan vain edellä mainitut kvalitatiiviset ominaisuudet. Yhden suihkuhiukkasen todennäköisyysjakauma paikka-avaruudessa hetkellä t — 0 on | $ ( 0 , r ) | 2 . Koska kaikki Na suihkuhiukkasta on preparoitu identtisesti, on suihkun (oikein normitettu) avaruusjakauma ^ = > ^ ( 0 , r)|2.

(7.5)

Pinta-alkion AA (ks. kuva 7.3) läpäisseiden hiukkasten lukumäärä A Na on siten r

ANA

p-zo + j

= Na

dxdy Jaa

j

dz|$^(0,r)|2,

J - z o - y

(7.6) —

eli — z 0 -keskeisessä, tilavuuden AA- L omaavassa "laatikossa" olevien hiukkasten lukumäärä, missä L on sopivasti valittu pituus. Itse asiassa, koska !^(0,T»)| 2 on hyvin pieni, paitsi pisteen r*0 — (0,0,— zQ) välittömässä läheisyydessä, voidaan ilman mainittavaa virhettä siirtyä rajalle L —* oo integraalissa (7.6). Edelleen, jos poikkipinta-ala on riittävän pieni (ja keskittynyt z-akselille), on hyvin suurella tarkkuudella oo

/

-CX)

cU|^(0,0,0,z)|2)AA

(7.7)

7.4 Aaltopaketit

paikka- ja imp nissiä vara u des s a

147

Integraali (7.7) antaa siis suoraan edellä määritellyn absoluuttisen vuon $^4, /•OO

dz|$A(0,0J0,2)|2.

= NA I

(7.8)

OO

Merkitään oo /

-00

dz\^A(Ö,0,0,z)\2.

(7.9)

Suuretta F , jonka laatu on l/pinta-ala, sanotaan seuraavassa vuotekijäksi. Palataan nyt vaikutusalan kaavaan (7.3). Sijoittamalla tulos (7.8), saadaan (huomioimalla ffr9)) 1 AN s

eli vaikutusala Aa on todennäköisyys AP (vrt. (7.2)) jaettuna vuotekijällä F, Afc|#(fc)|».

(7.15)

Tarkastellaan ftmktiota *J°(fe) :=

C

e~a^k-k^~ik-r\

(7.16)

missä k0, r0 ja a ovat parametreja, joiden merkitys ilmenee kohta, ja C on normitus vakio. Itse asiassa, käyttämällä tulosta

I l

=

f x

< "

7

>

j a normitusehtoa J d3fe|$g(fe)|2 = l,

(7.18)

saadaan \C\ = {a\f^)3/2.

(7.19)

TT

Todennäköisyysjakauma ^-avaruudessa on siten !$ro(fe)| 2 = {aJ^fe-2°2(k-k0r "fco

f

(7>20)

Tuloksesta (7.20) päätellään, että k:n keskiarvo tilassa, jonka (fc-avaruuden) aaltofunktio on $£°(fe), on k0, ja että parametri a m ä ä r ä ä jakauman hajonnan: Mitä suurempi parametri a on, sitä kapeampi jakauma (7.20), eli sitä pienempi on fc:n hajonta ko:n ympäri. Funktiossa (k) esiintyvä parametri rQ ei esiinny jakaumafunktiossa (7.20); t ä m ä n parametrin merkitys ilmenee ehkä selvimmin kun siirrytään paikka-avaruuteen,

(2tt)3/2

C J d 3 fce-° a ( f c - f c «) a + i f c -( r - P ( ') (2tt) 3 / 2 npiko-{r-ro) „ „ t (2tr)3/2

J

aU€

(7.21)

7.4 Aaltopaketit

paikka- ja

impulssiavaruudessa

149

jat symbolisesti esitettyinä (kuvassa 1-ulott.eisina). Käyttämällä tulosta (harjoitus)

J ^ue~a2u2+iu

A

=

,

(7.22)

saadaan

•EM = J ^ f n

t "

0

^

+ ik

°• ( ' - *>>) •

Gaussista Aä-avaruuden aaltofunktiota $£°(fe) vastaa siis gaussinen paikkaavaruuden aaltofunktio joka on keskittynyt pisteen r 0 ympäristöön. Parametrin ro merkitys on siten selvitetty. Todetaan lopuksi, että parametri a em. aaltofunktiossa säätelee vastaavien todennäköisyysjaukumien leveyden: Jos parametri a on suuri, on k - avaruusj akau rna kapea (mutta ravaruusjakauma leveä) ja jos a on pieni, on fc-avaruusj akauma leveä, m u t t a 7» - avaruusj akaum a kapea. Nämä ominaisuudet ovat tietenkin Heisenbergin epämääräisyysperiaatteen reaalisaatioita gaussisten aaltofunktioiden tapauksessa. (Kuva 7.4). Näiden alkuvalmistelujen jälkeen voidaan palata sirontaongelman alkutilaan $a(0,t»). Vaadittiin, että

R> 0),

(7.25)

ja C on normitus vakio (7.19). Sironta-ongelman kvanttimekaaninen käsittely edellyttää siis, että ratkaistaan Schrödingerin dynaaminen (ajasta riippuva) yhtälö, ihdt*{t,r)

= H*{t,r)

(7.26)

alkuehdolla lim $ ( t , r ) = $ A ( 0 , r ) , t->0+

(7.27)

missä funktio $4(0,1") on annettu kaavassa (7.24). Palautetaan mieleen ajasta riippuvan Schrödingerin yhtälön formaalinen ratkaisu. Tarkastellaan stationaarista ominaisarvoyhtälöä H*n{r)

= En$n(r),

(7.28)

missä siis {i?n} on H:n spektri (yksinkertaisuuden vuoksi oletettu diskreetiksi). Jos ajasta riippuvan Schrödingerin yhtälön alkutila $(0,r-) voidaan kehittää (yleistetyksi Fourierin) sarjaksi ominaisfunktioiden *J n (r) mukaan, *(0,r) = ]Tcn$n(r),

(7.29)

n

on seuraava ajasta riippuva funktio *(t,r) =

(7.30) n

Schrödingerin yhtälön ratkaisu annetulla alkuehdoUa. Sovelletaan edellä hahmoteltua formalismia sirontaprobleemaan. On siis löydettävä sopivia Schrödingerin yhtälön stationaarisia ratkaisuja, joiden mukaan sirontaprobleeman alkutilafunktio (7.24) voidaan kehittää yleistetyksi Fourierin sarjaksi tai integraahksi. Osoitetaan seuraavassa, että on olemassa tällaisia ns. sirontaratkaisuja.

7.5

S i r o n t a r a00 t k a i s u t , S c h r ö d i n g e r i n y h t ä l ö i n t e g r a a h y h t a l o1n a

1 ® "B i

Tarkastellaan edelleen sirontaprobleemaa efektiivisenä yksiliiukkasprobleemana, jonka Hamiltonin operaattori koordinaattiavaruudessa on H = - ^

2

+ V ( r ) ,

(7.31)

7.5 Sirontaratkaisut,

Schrödingerin yhtälö integraaliyhtälönä.

151

missä fj, on hiukkasen (redusoitu) massa ja potentiaali V(r) kuvaa voimakenttää sirontakeskuksen (origon) ympäri. Käsitellään ainoastaan elastista sirontaa (ei hiukkastuottoa). Useaan otteeseen aikaisemmin on oletettu, että voimilla on äärellinen kantama R. T ä m ä tarkoittaa, että potentiaali häviää identtisesti Ä-säteisen pallon ulkopuolella, V ( r ) = 0, | r j > R,

(7.32)

missä R on kiinteä parametri (mahdollisesti suuri luku jossakin mittakaavassa). Oletus (7.32) tehdään osittain mukavuussyistä; myöhemmin esitettävät laskut ovat helposti perusteltavissa, jos potentiaali on identtisesti nolla riittävän suurilla etäisyyksillä. Olisi myös mahdollista tulla toimeen lievemmällä asymptoottisella ehdolla, nimittäin oo

/

d r r 2 | F ( r ) | < oo

(7.33)

eli, oleellisesti Hm

r3V(\r\)

= 0.

T—>00

(7.34) '

Vaatimus (7.33) tai (vaihtoehtoisesti (7.34)) sulkee pois tärkeän Coulombin potentiaalin . . vakio y(P) = _ _

(7.35)

joka vaatii erikoiskäsittelyn sirontateoriassa. On myös tarpeellista rajoittaa potentiaalin mahdollista singulariteettia origossa; vaaditaan, että / d r r | V ( r ) | < oo Jo

(7.36)

Hm r2V{\r\)

(7.37)

eli, oleellisesti >0 +

= 0.

Ehtojen (7.33) j a (7.36) lisäksi täytyy vaatia, että potentiaali on (ainakin paloittain) säännöllinen ääreHisillä r:n arvoilla. 1 1

Potentiaalisironnan teoria on esitelty m a t e m a a t t i s e s t i melko tarkasti esim. teoksessa V. de Alfaro, T . Regge: Potential Scattering, N o r t h Holland (1965).

152

Luku 7

Sirontateoria

Tarkastellaan nyt stationaarista ominaisarvoyhtälöä, (

~CV2

+

= Ek*k(r)>

(7.38)

missä h2 k 2 Ek

=

(7.39)

Käytetään siis aaltovektoria k ominaisarvoparametrina yhtälössä (7.38), eikä energiaa E, joka on lausuttavissa fc:n avulla, kuten yhtälössä (7.39). Käyttämällä vielä lyhennettä U(r)

:= ^ V ( r )

(7.40)

kirjoitetaan yhtälö (7.38) seuraavasti, (V2 + k2)*k(r)

= U(r)Vk(r).

(7.41)

Yhtälöä (7.41) vastaava homogeeniyhtälö (U = 0) on (V 2 + fc2)$fc(r) = 0,

(7.42)

jonka sopivasti normitettu ratkaisu on P-43)

= < 5 ^ * * -

Kirjoitetaan nyt yhtälö (7.41) integraaliyhtälönä operaattorin V 2 + fe2 Greenin funktion G k avulla, *fc(') = * * ( ' ) + /

dVGfc(r,r')tf(r')*fe(r').

(7.44)

Yhtälön (7.44) määrittelemä funktio toteuttaa (ainakin muodollisesti) differentiaaHyhtälön (7.41), jos Greenin funktio toteuttaa yhtälön (V 2 + k2)Gk(r,r')

=

- r').

(7.45)

Operaattori V 2 j a distribuutio 6( 3 )(r—r') ovat translaatioinvariantteja, ts. muuttumattomia sijoituksissa r r -f a , r' r' -f a , missä a on mielivaltainen vakiovektori. Näin ollen on kohtuullista vaatia, että myös Gk(r,r') olisi translaatioinvariantti, eli Gk(r

+a,r'

+ cl) = Gk(r,r').

(7.46)

7.5 Sirontaratkaisut,

153

Schrödingerin yhtälö integraaliyhtälönä.

Yhtälön (7.46) ratkaisu on Gk(r,r')

= Gk(r-r'),

(7.47)

eli Greenin funktio G^ on ainoastaan avaruuskoordinaattivektorien erotuksen funktio (käytetään edelleen samaa funktiomerkintää Gfe yhtälön (7.47) oikealla puolella merkitsemistavan yksinkertaisuuden vuoksi). Greenin funktio on siis muotoa (7.47) olevan yhtälön (7.45) ratkaisu. Tiedetään yleisesti, että Greenin funktio määräytyy tarkasti vasta ongelman reunaehtojen kautta; t ä m ä seikka tulee myös kouriintuntuvasti esille ratkaistaessa (ainakin muodollisesti) yhtälöä (7.45) alla. Yhtälö (7.45) ratkaistaan helpoimmin Fourierin muunnoksen avulla, J d 3 r e ~ ^ r ( W 2 + k2)Gk{r

- 7»') = J d

-

r%

(7.48)

ts. j d3«e-^

tt

( V 2 + k2)Gk{u)

= 1.

(7.49)

Suorittamalla osittaisintegrointi kaavassa (7.49) saadaan (muodollisesti) (Jk2 - q2)Gk(q)

= 1,

(7.50)

missä Gk(q)

:= j

d3ue^uGk(u).

(7.51)

Todetaan ensin, että funktio G k ( q ) ei ole vektorimuuttujan k:n funktio, vaan riippuu ainoastaan k:n pituudesta Jatkossa muutetaan siten merkitsemistapaa hieman, Gk(q)

-

Ö„(q).

(7.52)

Kaavan (7.51) käänteiskaava on G k H

=

^ t f !

(7.53)

Todetaan nyt, että lauseke (7.50) määrittelee funktion Gk(q) kaikkialla paitsi pallopinnalla q2 = k2. Muodollisesti t ä m ä vaikeus voidaan ohittaa (ts. nollalla jakaminen ratkaistaessa Gk kaavan (7.50) avulla) lisäämällä imaginaariosan parametriin k, k —» k -f- ie-

(7.54)

Luku 7

154

Sirontateoria

Tarkastellaan siis funktiota

Lauseke (7.55) on hyvin määritelty kaikilla q:n arvoilla (kun e / 0). Otetaan siis lauseke (7.55) lähtökohdaksi ja tutkitaan myöhemmin rajankäyntiä e —> 0. Kaavan (7.53) mukaan on, 1

ei(lu

c

Lasketaan integraali (7.56) yksityiskohtaisesti alla, 1 /»oo p2tt p-k AqucosO Gk+Uu) = -—3 J / dqq 2 / d / d ö s i n ö — - — l (27r) Jo Jo Jo (« + ie)-* - q

(7.57)

Alkeellisten kulmaintegrointien jälkeen saadaan kaavasta (7.57), l Gk+Uu)

=

dgg2 eiqu rc 2 2 Jo (k + ie) — q

iqu

9 dq qeiqu dgge* "

f00

, .

,

4TT2U J_oo g 2 - (k + i e ) 2 '

Lasketaan nyt viimeinen integraali (7.58) residy-lauseen avulla. Jos parametri e > 0, suljetaan integroimistie integraalissa (7.58) ylemmässä puolitasossa ( Im q > 0), jonka jälkeen residylause antaa tulokseksi l

Gk+ie(u)

= - -

ei(k+ie)\u\

H

,

e>0.

(7.59)

Jos taas e < 0, suljetaan integroimistie alemmassa puohtasossa ( Im q < 0) ja saadaan vastaavasti 1 e-i(fc+«e)|ii| Gfc + i e (u) = - j j , 4-7T |li|

e 0 molemmat tulokset voidaan lausua seuraavasti, l

Gk±i0{u)

= -

4-7T

e±ik\u\

|M|

—

(

7

.

6

1

)

Merkin valinta Greenin funktion lausekkeessa (7.61) liittyy itse asiassa vastaavan yhtälön (7.44) ratkaisun asymptoottiseen reunaehtoon, kuten alla osoitetaan. Otetaan nyt Greenin funktioksi funktio G k + i o { u ) J a merkitään vastaava

integraaliyhtälönä.

155

yhtälön (7.44) ratkaisu \P^(T*):llä. Tämä ns. sirontaratkaisu yhtälön

toteuttaa siis

7.5 Sirontaratkaisut,

Schrödingerin yhtälö

= *fc(r) - ±

/

')$«(,')•

(7-62)

Tutkitaan nyt sirontaratkaisun asymptoottista käyttäytymistä suurilla r:n arvoilla. Koska potentiaali U poikkeaa nollasta vain Ä-säteisen pallon sisällä, on [r»'| < R efektiivisesti integraalissa (7.62), joten integraalissa voidaan käyttää approksimaatiota |r> — r'\

= =

\A—

2r- v'

I

r• r'

+

r12 -) = r-er.r'

+

0(

T

),

(7.63)

missä er on r : n suuntainen yksikkövektori. Merkitsemällä k' := ker

(7.64)

ja huomioimalla funktion r ) määritelmä (7.43) saadaan siten yhtälöstä (7.62) seuraava asymptoottinen lauseke kaavan (7.63) avulla, *(fc+V) = J ^

e i k

r

- £

/

+

7.65)

Huomautettakoon, että asymptoottinen lauseke (7.65) pätee myös lieveni ui ällä oletuksella kuin U(r) = 0, | r | > R; itse asiassa ehto (7.33) riittää. Merkitään vielä fk(Qr)

:= ( 2 7 r ) 3 / 2 { - i / d U ( r ' ) ^ \ r ' ) }

(7.66)

{k' = |fc|e P ). Suure joka siis on vektorin k itseisarvon k ja summan sekä myös suunnan er (eli Oy») funktio, on nimeltään sironta-amplitudi. Asymptoottinen kaava (7.65) saa siten muodon,

eli sirontaratkaisu koostuu suurilla |r|:n arvoilla tasoaallosta e l k ' r sekä (laajenevasta) palloaallosta elkr jr moduloitmia sironta-amphtudilla ffc(Qr ) Seuraavassa osoitetaan, että konstruoitua sirontaratkaisua voidaan käyttää sirontaongelman alkutilafunktion kehittämiseksi yleistetyksi Fourierin

Luku 7

156

Sirontateoria

integraaliksi. T ä m ä siis tarkoittaa, että Schrödingerin yhtälön (7.26) ratkaisu r ) alkuehdolla (7.27) voidaan konstruoida nimenomaan sirontaratkaisujen avulla. Sirontateorian oleelliset suureet (vaikutusala tms.) sisältyvät siis sirontaratkaisuihin

7.6

kuten kohta nähdään.

S i r o n t a o n g e l m a n Schrödingerin yhtälön ratkaisu ja sen o m i n a i s u u d e t

Palataan nyt ajasta riippuvaan Schrödingerin yhtälöön (7.26), jonka ratkaisu 9(t,r) etsitään alkuehdolla (7.27), ts. lim $ ( i , r ) = ^ ( O . r ) ,

(7.68)

missä funktio ^ ( O , r ) on gaussinen aaltopaketti (7.24). Todetaan ensin, yhtälöiden (7.21) j a (7.23) mukaisesti, että funktiolla -$^(0, r) on seuraava Fourierin integraaliesitys, *x(0,r) -

*i°o(r) =

J

funktio

(fc) on axmettu kaavassa (7.16) (vrt. myös (7.19) ja

d»Wg(fc)eA-f

(7.69)

missä taas (7,21)). Yhtälöiden (7.43) ja (7.62) mukaisesti on 1 I / 4 ih\V—7*'\ J ^ e ^

= *< fc +) (r) + l

f d ^ y - ^ U i r ' ) ^ ' ) .

(7.70)

Sijoittamalla kaava (7.70) yhtälöön (7.69) saadaan = /

d a f c # J ( f c ) « W ( r ) + Rj,

(7.71)

missä Rj on seuraava jäännöstermi

Rj = ±J

d^Hik)

j

dV^jlr(r')«i

+ )

(rO.

(7.72)

Halutaan nyt osoittaa, että jäännöstermi Rj on itse asiassa hyvin pieni, niin että se voidaan ilman oleellista virhettä j ä t t ä ä pois kaavan (7.71) oikealta puolelta. Todistus perustuu paitsi sirontaratkaisun ominaisuuksiin, myös siihen, että funktio (k) on gaussinen aaltopaketti (fc-avaruudessa), joka on keskittynyt pisteen k 0 ympäristöön. T ä m ä tarkoittaa sitä, että ainoastaan ne k:n arvot, jotka ovat lähellä k0:aa ovat tärkeitä integraalissa (7.72).

7.6 Sironi aongelman Schrödingerin yhtälön ratkaisuja

sen ominaisuudet 157

Nyt fe = k0 + (fe -

fco),

(7.73)

joten fe2

= fe2 + 2fe0-(fc - k0) + (fe - fe0)2 fe0 fe0

Kaavasta (7.74) seuraa, että

fe0 fe0 -

Ml

+

~

e u •«, ei,

.

«0

Kl)

=

(T.75)

&0 —. jfe0

Käyttämällä (edellä perusteltua) approksimaatiota (7.75) kaavassa (7.72) saadaan R j K

h i

d V

] S i *£>')

- r'i) - (7-76)

/

missä myös on approksimoitu

integraalimerkin alla. Yhtä-

lön (7.69) mukaan on (vrt. (7.21))

J

d 3 fe$£«(fc)exp (ifc.e f c o |r - r ' | ) =

^ f ^ e ^ r

- r'|).

(7.77)

M u t t a funktio on oleellisesti nollasta poikkeava vain pisteen r0 = (0,0, — zo) vähttömässä läheisyydessä (ts. eksponentiaalisesti pieni paitsi r*o:n välittömässäläheisyydessä), joten lauseke (7.77) on hyvin (eksponentiaalisesti) pieni kaikilla r:n ja r':n arvoilla. Näin ollen koko jäännöstermi (7.76) on hyvin pieni (voimien äärellisen kantaman takia r'-integrointi kaavassa (7.76) ei muuta suuruusluokkia). Siis hyvin suurella tarkkuudella on voimassa *£°o(r)« j dfe$£(fe)*W(r). (7.78)

$

Tässä palataan vielä siihen, miksi yllä on käytetty juuri sirontaratkaisua eikä esimerkiksi sitä toista ratkaisua ' ( r ) , joka saataisiin kaavasta

Luku 7

158

Sirontateoria

(7.44) valitsemalla Greeenin funktioksi Gk-io{r - f')- Yhtälö (7.78) on keskeinen tulos, joka perustuu sekä käytettyjen aaltopakettien ominaisuuksiin että funktion ominaisuuksiin, eli oleellisesti siihen, että funktio käyttäytyy asymptoottisesti kaavan (7.65) ilmoittamalla tavalla. Käyttämällä ratkaisua \ r ) ratkaisun sijasta ei olisi mahdollista johtaa yhtälön (7.78) kaltaista integraaliesitystä alkutila-aaltofunktiolle tntegraaliesitys (7.78) puolestaan mahdollistaa ajasta riippuvan Schrödingerin yhtälön ratkaisim esittämistä yksinkertaisella (ja sirontateorian kannalta tarkoituksenmukaisella) tavalla, kuten jo on todettu kappaleessa 1.7 yksiulotteisessa tapauksessa, j a kuten myös seuraavassa nähdään. Aikaisemmin on kiinnitetty sirontaprobleeman alkutila $ ^ ( 0 , r ) yhtälön (7.69) mukaisesti (vrt. (7.23) ja (7.24)). Ilman oleellista virhettä voidaan edellä esitetyn perusteella kiinnittää funktio seuraavasti, * 4 ( 0 , r ) = f d3fc$£«(fc)$j+V)-

(7.79)

Kaava (7.79) otetaan tästä lähtien alkutilafunktion ^ ( O , r) eksaktiksi määritelmäksi, joka siis hyvin suurella tarkkuudella yhtyy aikaisempiin määritelmiin (7.23), (7.24). Tulos (7.79) merkitsee itse asiassa, että Schrödingerin yhtälön (7.26) ratkaisu alkuehdolla (7.27) on seuraava (vrt. (7.28)-(7.30)), $(t,r) = J d 3 k ^ { r ) ^ ) { r ) e ~ ' J ^ ' t .

(7.80)

Aaltofunktion (7.80) laskemiseksi tarvitaan siis sirontaratkaisut jotka määräytyvät integraaliyhtälöstä (7.62) tai vaihtoehtoisesti Schrödingerin yhtälöstä (7.41) yhdessä asymptoottisten reunaehtojen (7.67) kanssa. On kuitenkin mahdollista saada tietoa funktion $(£, r) ominaisuuksista ilman yksityiskohtaista tietoa sirontaratkaisuista (r). Ensiarvoisen tärkeää aaltofunktion tulkinnan kannalta on t ä m ä n funktion asymptoottinen käyttäytyminen. Tähän kysymykseen paneudutaan seuraavassa. Tarkastellaan aaltofunktion $ ( f , r ) asymptoottista käyttäytymistä suurilla r : n arvoilla. Sijoittamalla sirontaratkaisun asymptoottinen lauseke (7.67) kaavaan (7.80) saadaan

*(l-r)

=

(dpi /

+

1 r eikr m2 8 ( 2 ^ J d W£W/fc(nr)—e-^-1.

(7.81)

7.6 Sirontaongelman

Schrödingerin yhtälön ratkaisuja

sen ominaisuudet

159

Käytetään tulosta fc2 = - f c 2 + 2k k0 + (fc - k0)2,

(7.82)

josta seuraa, että (A on mielivaltainen äärellinen kompleksiluku) exk

=e-Afeo-e2Afc'feo(l + 0(fe-fe0)2).

2

(7.83)

Sijoittamalla kaava (7.83) A:n arvolla —iht/2fi kaavaan (7.81) j a jättämällä ensimmäisessä approksimaatiossa pois jäännöstermi 0(k - fc0)2 saadaan iHk

o

1

r

/ d 3 fe$£° o (fc)exp

j

[ik.(r

hkn -

\

- ± t ) ) +

*sir(*,r"),

(7.84) missä

1 *sUt>r)

S

eikT

/"

ihk2 t

( 2 J

*

f7"85)

Kaavasta (7.84) seuraa edelleen (vrt. (7.21)),

n-0

+

= — . /J,

(7.86)

Ensimmäinen termi kaavassa (7.86) esittää (suurella tarkkuudella) alkutilaaaltopakettia, joka muotoaan m u u t t a m a t t a , m u t t a moduloituna tekijällä e x p l i i k k u u z-akselia pitkin "klassisella radalla" r = r0 + v0t.

(7.87)

Käyttämällä samalla tavalla approksimaatiota fc « fc0 lausekkeessa (7.85) saadaan (vrt. myös (7.75)), 9*(t,r)

*

=

d»fc^(fc)«p(ifc.(efcdr-«oO)

- «oO-

(7.88)

Muistetaan, että gaussinen aaltopaketti $ £ ° ( r ) on oleellisesti nollasta poikkeava vain pisteen r*o -— (0,0,— z 0 ) välittömässä läheisyydessä. Lauseke (7.88) sironneelle aallolle $ s i r (t, r ) edustaa siis funktiota, joka on oleellisesti nollasta poikkeava vain pallopinnalla r = -z0 + v0t

(7.89)

Luku 7 Sirontateoria

160

ja jonka, kulmariippuvuus sisältyy kokonaan sironta-amplitudiin f k g ( Q r ) Edellä annettu analyysi on hyvin suuressa määrin käyttänyt hyväksi funktion $T" (k) gaussissta luonnetta, jonka mukaan on voitu approksimoida k ~ fSo ko. Myös sirontaratkaisujen ominaisuudet (erityisesti asymptoottiset ominaisuudet) ovat olleet oleellisia yllä olevia tuloksia johdettaessa (vrt. vastaavat tarkastelut kappaleessa 1.7 yksiulotteisessa tapauksessa). On tietenkin mahdollista tarkastella yllä hahmoteltujen approksimaatioiden korjaustermejä. T ä m ä on vaivalloinen tehtävä, joka ei kuitenkaan tuo mitään u u t t a sirontateoriaan; joitakin "patologisia" erikoistilanteita lukuunottamatta edellä annettu analyysi riittää sirontateorian oleellisten käsitteiden (vaikutusalat) hallitsemiseksi.

7.7

Sironta-amplitudi ja vaikutusala

Palataan nyt aaltofunktion todennäköisyystulkintaan. Olkoon (yksihiukkassysteemin) aaltofunktio $ ( £ , r ) . Silloin vastaava todennäköisyystiheys p(t,r) on p(i,r) = |*(f,r)|2,

(7.90)

ja ns. todennäköisyysvirta j(t, r) on j(t,r) = -^:($*V$-(V$*)«), 2

(7.91)

missä p, on hiukkasen massa. ns. jatkuvuusyhtälö

Edellä määriteltyjä suureita sitoo toisiinsa

dtp

+ V - j { t , r ) = 0.

(7.92)

Todennäköisyys sille, että hiukkanen määrätyllä ajanhetkellä t sijaitsee annetussa (äärellisessä) tilavuusalkiossa AV, on PAV(t)=

f

d3rp{t,r).

(7.93)

Jav

Nyt halutaan käyttää em, todennäköisyystulkintaa sirontateoriassa, eri lopputilojen todennäköisyyksiä laskiessa. Efektiivisessä yksihiukkastapauksessa, jota koko a j a n on käsitelty, voidaan, silloin kun spin jätetään huomiotta, ainoastaan kysyä mikä on todennäköisyys sille, että hiukkanen siroaa tiettyyn (jollakin tarkkuudella määriteltyyn) suuntaan. T ä m ä on ekvivalentti seuraavan kysymyksenasettelun kanssa: Mikä on todennäköisyys sille, että hiukkanen jollakin riittävän suurella t:n arvolla (ja näin ollen riittävän kaukana

7.7 Sironta-amplitudi

ja

vaikutusala

161

Kuva 7.5. Katkaistu kartiomainen alue A F Ä 0 -säteisen pallon ulkopuolella summassa Cl — sirontakeskuksesta eli origosta) löytyy tilavuusalkiossa A F , joka on sopivan säteisen (Äo) pallonpinnan ulkopuolella oleva (katkaistu) kartiomainen alue, jonka suunta fl on annettu tarkkuudella Afl. (Ks. kuva 7.5.) Lopputilan todennäköisyys lasketaan nyt periaatteessa kaavan (7.93) avulla, missä $(£,?*) on sirontaprobleeman aaltofunktio (7.80) ja A F em. kartiomainen alue. Lasketaan ensin PAy(t):n aikaderivaatta kaavojen (7.93) ja (7.92) avulla, f d3rdtp{t,r) MF

d3r»V- j(t,r).

(7.94)

- P±v(t = 0) = - T dt f d 3 r V - j(t, r). Jo JAV

(7.95)

i-PAy(t)= at

= - / JAV

Integroimalla (7.94) välillä (0,i) saadaan PAV(t)

Todetaan ensin, että P \ v { t = 0) on häviävän pieni, koska alkutilan (t = 0) aaltofunktio on keskittynyt pisteen ro = (0, 0, — zo) ympäristöön. Rajoitutaan seuraavassa kysymyksenasettelussa niin, että ei tarkastella sirontaa etusuunnassa (0 = 0). Silloin on suurella tarkkuudella (ja kaukana origosta) tfsir(i,r),

(7.96)

= ~^(v? 5 * i r V* s i r - ( v s : i r ) * 5 i r ) .

(7.97)

ja i(t,r)

162

Luku 7 Sirontateoria

Koska nimenomaan tarvitaan todennäköisyysvirta j(t,r) lausekkeen suurilla r:n arvoilla riittää tarkastella funktion § s i r ( t , r ) asymptoottista lauseketta (7.88). Laskemalla vektorin j(t,r) komponenttien (asymptoottisia) arvoja lausekkeen (7.88) avulla todetaan, että r : ä ä vastaan kohtisuorat komponentit ovat r:ssä yhtä kertalukua pienempiä kuin radiaalinen komponentti jr = er • j. Näin ollen, kun käytetään divergenssiteoreemaa tilavuusintegraalin muuttamiseksi pinta-integraaliksi, saadaan (muistaen myös, että P&v(t = 0) ~ 0) P

A V

(t)^tdt[ R20dner-j{t,r)\T=Ro. Jo J An

(7.98)

Kaavan (7.98) johdossa on myös käytetty hyväksi sitä tosiasiaa, että häviää nopeasti äärettömyydessämielivaltaisellakiinteällä (vaikkakin suurella) t:n arvolla. Käyttämällä vihdoin funktion $ s ir (i, r ) eksplisittistä (asymptoottista) lauseketta (7.88) saadaan er-i(t,r)|r=JJo ~ ^ | * s i r | 2 = ^ o - ^ ^ f c ( e f /i ILQ O

e (

£ o - v0t)\2.

(7.99)

Todennäköisyys PAV(0 on siten kaavan (7.98) mukaan seuraava, PAV(«)W

/

J An

dn|/fc m

2

f Jo

dtvo\yr°(0,0,Ro-vot)\2.

(7.100)

Kaavassa (7.100) edellytetään, että aika t on riittävän suuri, j o t t a ^-integrointi kyseisessä kaavassa sisältäisi sen alueen (Rq — vot ~ — zo), missä funktio | Ko on oleellisesti nollasta poikkeava. Siis on oltava (7.101) Ilman oleellista virhettä voidaan nyt itse asiassa integroida kaikkien reaalisten arvojen yli ^-integraalissa (7.100), sillä funktio j on joka tapauksessa oleellisesti nollasta poikkeava vain sellaisilla f :n arvoilla, jotka toteuttavat approksimatiivisen yhtäläisyysmerkin kaavassa (7.101). Kaavan (7.100) lopullinen muoto on näin ollen seuraava, PAV(t)=

/ d f i | / f e (fi)| 2 d£|^:(0,0,£|2. J An J-oo ""O

(7.102)

M u t t a viimeinen integraali kaavassa (7.102) ei ole mitään muuta kuin kaavassa (7.9) määritelty vuotekijä F , joten vaikutusalan (7.11) määritelmän mukaisesti on, A

operaattorit

AH(t) = Ul{t, O ) Ä s U s { t , 0) = e*SstÄse~

$Sst

(8.6)

(erityisesti H g — H s = H ) . Matriisielementtien arvot pysyvät muuttumattomina:

s(M*)\Äs\Mt))s = H^x\ÄH(t)\^)H. Heisenbergin kuvan operaattorit toteuttavat liikeyhtälöt, jotka seuraavat aikakehitysoperaattorin liikeyhtälöstä (2.39) : ih~Us(t,0)

= HUs{t,0)-,

(8.7)

r\

-ih~ul{t,0)

=

ul(t,0)H.

Näin ollen =

+ ÄsH)Us(t,

0) = [ÄH(t),H].

(8.8)

Liikeyhtälö (8.8) on sama kuin klassisen Hamiltonin mekaniikan liikeyhtälö jos kommutaat t ori / ili korvataan Poissonin sulkusuureella. Heisenbergin kuva on muodollisesti lähempänä klassista mekaniikkaa kuin Schrödingerin kuva. Schrödingerin kuvan kommutaatiosäännöt pysyvät voimassa Heisenbergin kuvan samanaikaisina kommutaattoreina, sillä jos [As,i?s] = iCs, niin [Äii{t),BH(t)] = iCnit). Sen sijaan konmiutaattorin [y£#(f), J?#(f')], t ^ t', laskeminen vaatii jo liikeyhtälön (8.8) ratkaisemista. Schrödingerin ja Heisenbergin kuvien lisäksi voidaan ottaa käyttöön kuva, missä sekä tilat että observaabelit riippuvat ajasta. Hamiltonin operaattori jaetaan kahteen osaan: H = H0 + V, missä ainakin hermiittinen Ho ei riipu ajasta, ja määritellään kuvan (eli Diracin kuvan) tilavektorit \m)i=^Sotm))s-

(8.9) vuorovaikutus-

(8.io)

Observaabelien muoto määräytyy taas siitä, että matriisielementtien arvot tiettynä ajanhetkenä ovat samat kaikissa kuvissa, eli Är(t) = e^HoiÄse-iHot.

(8.11)

8.1 Ajasta riippuva

177

häiriöteoria

Vuorovaikutuskuvan tilojen liikeyhtälöksi saadaan

m)i eli, kun Hs =

Hq

= ^Sot(-Ho + Hs)\m)s

(8-12)

+ Vs (H0s = Hoi), =

(8-13)

Tilavektorin aikakehitys on siis operaattorin Vi(t) määräämä. Observaabelille saadaan ih^p- = -H0E^SOTÄSE-^SOT di

+ E%SOTÄSE-TSOTHO

= [ÄAt), %].

(8.14)

T ä m ä yhtälö on samanmuotoinen kuin Heisenbergin kuvan liikeyhtälö, m u t t a koko Hamiltonin operaattorin sijasta esiintyy vain sen osa H 0 Tilojen liikeyhtälö (8.13) voidaan taas ratkaista muodollisesti liKt))j = £ i ( t , t o M t o ) > j .

(8-15)

Tässä esiintyvä vuorovaikutuskuvan aikakehitysoperaattori Ui(t, to) toteuttaa yht älön A

iti-Ui{t,to) ot

= VMUfato)

(8.16)

ja alkuehdon UI{t0,t0)

= l.

(8.17)

Yhtälöt (8.16) ja (8.17) voidaan yhdistää integraaliyhtälöksi Ui(t,t0)

= l - j

f

n Jto

(8.18)

T ä m ä n yhtälön etu on siinä, että se mahdollistaa aikakehitysoperaattorin, ja samalla tilavektorin, systemaattisen kehitelmän operaattorin Vj potenssien mukaan. Jos V (ja siis Vj) on verrannollinen pieneen parametriin g, saadaan näin systeemin aikakehitys lausutuksi g:n potenssisarjana, ja eri asteen approksimaatiot katkaisemalla sarja vastaavan lukumäärän termien jälkeen. Edellä mainittu kehitelmä saadaan ratkaisemalla (8.18) iteratiivisesti Uj{t,to)

=

1 - j f dhVjiih) + C-)2 f df a f 'dt2VI(ti)VI(t2) + ... Il Jto » Jto Jto ™ i rt ftx rtu-1 £ ( - 7 ) n / db / di 2 - • • / df n Vj(ix) • • -Vi(tn). (8.19) n Jtn J tn Jto 71-0

Luku 8 Ajasta riippuvat

178

ilmiöt

On tärkeää huomata, että jokaisessa termissä operaattorien Vi(ti) järjestys on niiden aika-argumenttien määräämä: ti > t2 > • • • > tn. Jos V on heikko häiriö, on Uf.n ensimmäinen approksimaatio (8.20)

n jto Jos systeemin alkutila on ^ ( f o ) } / = |tpi), on siis |tf,{t))j ~

- J f

n Jto

d i ! Vi{h)\