Itererte lineære rekursjoner og Schubert regning [version 14 Nov 2008 ed.] [PDF]

Zitiervorschau

ITERERTE LINEÆRE REKURSJONER OG SCHUBERT REGNING For æresdoktoratet i Bergen 28 august 2008

1. Adjunksjon av røtter 1.1 Notasjon. La A være en ring. For en A-algebra B betrakter vi HomA (B, A) som en B-algebra via multiplikasjonen av b ∈ B med u ∈ HomA (B, A) definert ved (bu)(b′ ) = u(bb′ ) for alle b′

i B.

1.2 Adjunksjon av en rot til et polynom. La B være en A-algebra og la f (T ) = T n − b1 T n−1 + · · · + (−1)n bn være et polynom med koeffisienter i B. Sett B[ξ] = B[T ]/(f ) der ξ er klassen til T modulo f . 1.3 Proposisjon. Vi har at B[ξ] er en fri B-modul med basis 1, ξ, . . . , ξ n−1 og vi har en splitting f (T ) = (T − ξ)g(T ) over B[ξ][T ]. For hvert element c ∈ C og hver A-algebra homomorfi ϕ : B → C har vi at ϕ kan utvides til en A-algebra homomorfi ψ : B[ξ] → C slik at ψ(ξ) = c, hvis og bare hvis (ϕf )(T ) := T n − ϕ(b1 )T n−1 + · · · + (−1)n ϕ(bn ) = (T − c)h(T ) i C[T ], det vil si, c er en rot i (ϕf )(T ). N˚ ar c er en rot i (ϕf )(T ) vil h(T ) = (ϕg)(T ) og homomorfien ψ er entydig bestemt av c. Bevis. Alle p˚ astandene i proposisjonen følger umiddelbart av definisjonen av restklasseringen B[T ]/(f ). Typeset by AMS-TEX

1

1.4 Definisjon. La ∂ : B[ξ] → B være den B-lineære homomorfien definert av  1 for i = n − 1 i ∂(ξ ) = 0 for 0 ≤ i < n − 1. 1.5 Lemma. (Thorup) Avbildningen av B[ξ]-moduler HomA (B, A) ⊗B B[ξ] → HomA (B[ξ], A) som avbilder u ⊗ f til f u∂ er en isomorfi. Spesielt vil HomA (A[ξ], A) være en fri A[ξ]-modul med basis ∂. Bevis. La v : B[ξ] → A være A-lineær. Vi skal vise at det finnes entydige homomorfier u0 , u1 , . . . , un−1 i HomA (B, A) slik at u0 ⊗ ξ 0 + u1 ⊗ ξ 1 + · · · + un−1 ⊗ ξ n−1 avbildes p˚ a v. Det vil si v(bξ i ) = u0 ∂(bξ i) + u1 ∂(bξ i+1 ) + · · · + un−1 ∂(bξ i+n−1 ) for alle b i B og i = 0, 1, . . . , n − 1. Setter vi suksessivt i til 0, 1, . . . , n − 1 f˚ ar vi i først v(b) = un−1 (b) som bestemmer un−1 entydig. Deretter f˚ ar vi v(bξ ) − un−i−1 (b) uttrykket ved verdiene til un−i , . . . , un−1 p˚ a elementer i B. Derfor f˚ ar vi, rekursivt etter i, bestemt un−1 , un−2 , . . . , u0 entydig slik at v = u0 ∂ + ξu1 ∂ + · · · + ξ n−1 un−1 ∂. Vi har dermed vist at avbildningen i lemmaet er surjektiv. Av entydigheten av u0 , u1 , . . . , un−1 følger det at den ogs˚ a er injektiv. 2. Adjunksjon av røtter og lineær rekursjon 2.1 Notasjon. La A være en ring og la p(T ) = T n − c1 T n−1 + · · · + (−1)n cn være et polynom med koeffisienter i A. 2.2 Setning. Det er en bijektiv korrespondanse mellom A-modul homomorfier u : A[ξ] → A og løsninger a0 , a1 , . . . av den lineære rekursjonen ai+n − c1 ai+n−1 + · · · + (−1)n cn ai = 0

for

i = 0, 1, . . . .

Korrespondansen tilordner til u sekvensen a0 = u(ξ 0 ), a1 = u(ξ), a2 = u(ξ 2 ), . . . . Bevis. En A-modul homomorfi u : A[ξ] → A svarer til en A-modul homomorfi v : A[T ] → A som er null p˚ a idealet generert av p(T ), det vil si, som er null p˚ a elementene T i (T n −c1 T n−1 +· · ·+(−1)n cn ) for i = 0, 1, . . . . Med andre ord svarer v til en sekvens a0 = v(T 0 ), a1 = v(T ), a2 = v(T 2 ), . . . av elementer i A slik at v(T i+n − c1 T i+n−1 + · · · + (−1)n cn T i ) = ai+n − c1 ai+n−1 + · · · + (−1)n cn ai = 0 for i = 0, 1, . . . . Dette viser setningen. 2

3. Splitting algebraer 3.1 Notasjon. La A være en ring og la p(T ) = T n − c1 T n−1 + · · · + (−1)n cn være et polynom med koeffisienter i A. For hver A-algebra ϕ : A → B betrakter vi p(T ) som et polynom i B[T ] via ϕ, det vil si, vi skriver (ϕp)(T ) = T n − ϕ(cn ) + · · · + (−1)n ϕ(cn ) = T n − c1 T n−1 + · · · + (−1)n cn = p(T ). 3.2 Definisjon. La 1 ≤ d ≤ n. En d’te splitting algebra for p(T ) over A er en Aalgebra som representerer den kontravariante funktoren fra A-algebraer til mengder som til en A-algebra homomorfi ϕ : A → B tilordner splittinger (ϕp)(T ) := T n − ϕ(c1 )T n−1 + · · · + (−1)n ϕ(cn ) = (T − b1 ) · · · (T − bd )g(T ) i B[T ] der b1 , . . . , bd er en sekvens av røtter i B. En A-algebra homomorfi ψ : B → C avbilder en slik splitting til ((ψϕ)p)(T ) = (T − ψ(b1 )) · · · (T − ψ(bd )(ψg)(T ). Røttene ξ1 , . . . , ξd i den universelle splittingen p(T ) = (T − ξ1 ) · · · (T − ξd )p′ (T ) av p(T ) over en splitting algebra kalles universelle røtter. N˚ ar d = n kaller vi en splitting algebra en total splitting algebra. 3.3 Setning. For hvert d finnes det en d’te splitting algebra. En splitting algebra er generert som A-algebra av de universelle røttene ξ1 , . . . , ξd , og som A-modul er den n! fri av rang (n−d)! generert av elementene ξ1h1 ξ2h2 · · · ξdhd

→

→

med

0 ≤ hi ≤ n − i

for

i = 1, . . . , d.

(3.3.1)

Bevis. Vi viser setningen ved induksjon etter d. For d = 1 har vi ved adjunksjon av en rot til p(T ) i Proposisjon 1.3 at A[ξ1 ] = A[T ]/(p) er en første splitting algebra med klassen ξ1 til T modulo p(T ) som universell rot, og A[ξ1 ] har egenskapene i setningen. Ved induksjonshypotesen har vi at det finnes en (d − 1)’ste splitting algebra ′ A [ξ2 , . . . , ξd ] for p(T ) p1 (T ) = T − ξ1 over A′ = A[ξ] som er fri som A′ -modul med basis ξ2h2 · · · ξdhd der 0 ≤ hi ≤ n − i for i = 2, . . . , d. Det er klart at A′ [ξ2 , . . . , ξd ] = A[ξ1 , . . . , ξd ] har A-modul basen (3.3.1). Det gjenst˚ ar ˚ a vise at A[ξ1 , . . . , ξd ] er en d’te splitting algebra. La ϕ : A → B være en A-algebra homomorfi og la (ϕp)(T ) = (T − b1 ) · · · (T − bd )g(T ) 3

være en splitting av (ϕp)(T ) over B[T ]. Ved tilfellet d = 1 finnes det en entydig A-algebra homomorfi ϕ′ : A′ → B slik at ϕ′ (ξ1 ) = b1 . Vi har at koeffisientene til ) ′ a de tilsvarende koeffisientene til p1 (T ) = Tp(T −ξ1 avbildes ved ϕ p˚ g ′ (T ) := (T − b2 ) · · · (T − bd )g(T ). Ettersom A′ [ξ2 , . . . , ξd ] er en (d − 1)’te splitting algebra for p1 (T ) over A′ f˚ ar vi ′ ′ en entydig A -algebra homomorfi ψ : A [ξ2 , . . . , ξd ] → B slik at ψ(ξi ) = bi for i = 2, . . . , d. Derfor avbilder ψ de universelle røttene ξ1 , . . . , ξd til b1 , . . . , bd respektive, og derfor gir den universelle splittingen p(T ) = (T − ξ1 ) · · · (T − ξd )p′ (T ) splittingen (ϕf )(T ) = (T − b1 ) · · · (T − bd )g(T ). 3.4 Alternativ konstruksjon av den totale splitting algebraen. Betegn med A[T1 , . . . , Tn ] polynomringen over A i de variable T1 , . . . , Tn og la ci (T1 , . . . , Tn ) være de elementære symmetriske funksjonene for i = 1, . . . , n. Da vil restklasseringen A[ξ1 , . . . , ξn ] til polynomringen A[T1 , . . . , Tn ] modulo idealet generert av elementene ci (T1 , . . . , Tn ) − ci for i = 1, . . . , n være en n’te splitting algebra for p(T ) over A, der klassene ξ1 , . . . , ξn til T1 , . . . , Tn respektive, modulo dette idealet er de universelle røttene. Den universelle splittingen p(T ) = T n − c1 T n−1 + · · · + (−1)n cn = (T − ξ1 ) · · · (T − ξn ) over A[ξ1 , . . . , ξn ] er indusert av splittingen (T − T1 ) · · · (T − Tn ) = T n − c1 (T, . . . , Tn )T n−1 + · · · + (−1)n cn (T1 , . . . , Tn ). Alle p˚ astandene er klare. 3.5 Lemma. La ∂ : A[ξ1 , . . . , ξd ] → A være den A-lineære avbildningen definert ved ∂(ξ1h1

· · · ξdhd )

=



1

om

hi = n − i

0

ellers, n˚ ar

for

i = 1, . . . , d

0 ≤ hi ≤ n − i

for

i = 1, . . . , d.

Da er ∂ sammensetningen av de A[ξ1 , . . . , ξi−1 ]-lineære avbildningene ∂ i : A[ξ1 , . . . , ξi ] → A[ξ1 , . . . , ξi−1 ] definert ved ∂

i

(ξihi )

=



1

om

hi = n − i

0

om

0 ≤ hi < n − i

for i = 1, . . . , d. Bevis. Dette er helt klart. 4

3.6 Setning. (Thorup) La A[ξ1 , . . . , ξd ] være en d’te splitting algebra for polynomet p(T ). Da vil A[ξ1 , . . . , ξd ]-modul homomorfien HomA (A, A) ⊗A A[ξ1 , . . . , ξd ] → HomA (A[ξ1 , . . . , ξd ], A) som avbilder u ⊗ f til f u∂ være en isomorfi. Med andre ord, HomA (A[ξ1 , . . . , ξd ], A) er en fri A[ξ1 , . . . , ξd ]-modul med basis ∂. →

Bevis. Vi viser setningen ved induksjon etter d. For d = 1 er setningen Lemma 1.5 med B = A. Anta at setningen gjelder for d − 1. Vi har da en isomorfi av A[ξ1 , . . . , ξd−1 ]-moduler HomA (A, A) ⊗A A[ξ1 , . . . , ξd−1 ] → HomA (A[ξ1 , . . . , ξd ], A).

(3.6.1)

→

′ Av Lemma 1.5 med B = A[ξ1 , . . . , ξd−1 ] f˚ ar vi en isomorfi av B[ξd ]-moduler

→ →

HomA (A[ξ1 , . . . , ξd−1 ], A) ⊗A[ξ1 ,...,ξd−1 ] A[ξ1 , . . . , ξd ] → HomA (A[ξ1 , . . . , ξd ], A). (3.6.2) Tensorierer vi begge sidene av (3.6.1) med A[ξ1 , . . . , ξd ] over A[ξ1 , . . . , ξd−1 ] og bruker (3.6.2) følger isomorfien i setningen av Lemma 3.5. 4. Residuer 4.1 Notasjon. En Laurent rekke er en formell potensrekke · · · + b2 T 2 + b1 T + b0 +

b−2 b−1 + 2 +··· T T

i positive og negative potenser av T med koeffisienter i en ring. La gi = · · · + gi,2 T 2 + gi,1 T + gi,0 + være Laurent rekker for i = 1, . . . , d. Vi setter g1,−1 g2,−1 Res(g1 , . . . , gd ) = det .. . gd,−1 La

gi,−1 gi,−2 + +··· T T2

g1,−2 ... g1,−d g2,−2 ... g2,−d

.. . gd,−2

.. . .. . . ... gd,−d

p(T ) = T n − c1 T n−1 + · · · + (−1)n cn være et polynom med koeffisienter i A. Vi definerer elementer si i A for alle heltall i ved 1 = s0 + s1 T + s2 T 2 + · · · . 1 − c1 T + · · · + (−1)n cn T n Da vil Ti = T i−n p(T ) 1−

c1 T

s1 1 s2 i−n (1 + + 2 + · · · ). cn = T n + · · · + (−1) T n T T 5

(4.1.1)

4.2 Lemma. Vi har at Res(g1 , . . . , gd ) er multilineær og alternerende i g1 , . . . , gd og den er null om minst en av gi ’ene er en potensrekke i T . Videre har vi sh −n+1 sh −n+2 ... sh −n+d 1 1 1 sh2 −n+1 sh2 −n+2 ... sh2 −n+d T hd T h1 .. .. .. ,..., ) = det .. Res( . . p p . . . sh −n+1 sh −n+2 ... sh −n+d d

→

d

d

Bevis. P˚ astandene følger umiddelbart av definisjonen p˚ a Res og av formelen (4.1.1) Ti for p(T ) . 4.3 Proposisjon. Sett

s1 s2 ... si−1 si s s ... s s i−2 i−1 0 1 .. . Ci = .. .. . . .. . . . . . 0 0

Da vil Res(

...

s0

s1

Tn T n−i+1 ,..., ) = det(Ci ) = ci p p

for i = 1, 2, . . . . →

Bevis. Den første likheten i proposisjonen følger umiddelbart av formelen i Lemma 4.2. For ˚ a vise den andre utvikler vi determinanten til si s1 s2 ... si−1 si s s s ... s s i−2 i−1 i−1 0 1 . . . . .. .. .. .. . . ... . s0

etter første søyle. Vi f˚ ar at

0 0 ...

0

s0

si − det(C1 )si−1 + · · · + (−1)i det(Ci )s0 = 0 for

i = 0, 1, . . . .

Det vil si 1 = (1 − det(C1 )T + det(C2 )T 2 − · · · )(s0 + s1 T + s2 T 2 + · · · ), som gir det(Ci ) = ci for alle heltall i. hd

h1

4.4 Setning. Sett R(T1h1 · · · Tnhd ) = Res( Tp , . . . , T p ). Vi har (1) R(T1h1

· · · Tdhd )

=



1

om

hi = n − i

0

ellers, n˚ ar

for

i = 1, . . . , d

0 ≤ hi ≤ n − i

for

i = 1, . . . , d.

(2) R(T1n−1

· · · Tdn−d Tj1

· · · Tji ) =

 n−i+1 n )   R(T1 · · · Ti  

0

ellers, n˚ ar 6

om

ji − i

for

i = 1, . . . , i og i ≤ d

0 < j1 < j2 < · · · < ji ≤ d.

Bevis. Betingelsene 0 ≤ hi ≤ n − i for i = 1, . . . , d betyr at d × d-matrisen (shi −n+j ) som definerer R(T1h1 · · · Tdhd ) er øvre triangulær. N˚ ar hi = n − i for i = 1, . . . , d har den 1 = s0 p˚ a diagonalen, og om hj < n − j for noe j har den en null p˚ a diagonalen i rad j. P˚ astand (1) følger at dette. For ˚ a vise p˚ astand (2) merker vi oss først at matrisen som definerer residuen hd h1 R(T1 · · · Td Tj1 · · · Tji ) har s0 p˚ a diagonalen og nuller til venstre om diagonalen unntatt i radene j1 , . . . , ji der den har s1 p˚ a diagonalen, s0 til venstre om diagonalen, og nuller til venstre om s0 . Spesielt er determinanten til matrisen som definerer R(T1h1 · · · Tdhd T1 · · · Ti ) lik det(Ci ). Videre er det(Ci ) = R(T1n · · · Tkn−i+1 ) s˚ a vi har vist første delene av (2). Om jh 6= h for noe h har vi jh−1 < jh − 1. Da har rekke jh − 1 elementet s0 p˚ a diagonalen og nuller til venstre om diagonalen, det vil si, den er lik rekke jh . Vi har derfor vist p˚ astand (2). Splitting algebraer og residuer 5.1 Notasjon. Som tidligere lar vi p(T ) = T n − c1 T n−1 + · · · + (−1)n cn være et polynom med koeffisienter i A. La A[T1 , . . . , Tn ] være polynomringen over A i de n uavhengige variable T1 , . . . , Tn . Vi identifiserer A[T1 , . . . , Tn ] med tensor Nn produktet A A[T ] p˚ a den naturlige m˚ aten. De elementære symmetriske funsjonene i de variable T1 , . . . , Tn betegner vi med c1 (T1 , . . . , Tn ), . . . cn (T1 , . . . , Tn ). Avbildningen Rp :

n O

A[T ] → A

A

definert ved Rp (f1 ⊗ · · · ⊗ fn ) = Res



fn f1 ,..., p p



er da den samme som avbildningen Rp : A[T1 , . . . , Tn ] → A definert ved Rp (f1 (T1 ) · · · fn (Tn )) = Res for alle f1 (T ), . . . , f (n(T ) i A[T ]. 7



f1 fn ,..., p p



5.2 Setning. Avbildningen Rp : A[T1 , . . . , Tn ] → A forsvinner p˚ a idealet genert av elementene ci (T1 , . . . , Tn )−ci for i = 1, . . . , n. Det vil si, den induserer en avbildning A[ξ1 , . . . , ξn ] → A p˚ a den fullstendige splitting algebraen for polynomet p(T ) som avbilder elementet f1 (ξ1 ) · · · fn (ξn ) til Res( fp1 , . . . , fpn ).

→

Bevis. Av lineariteten til Res rekker det ˚ a vise at Rp forsvinner p˚ a elementene p˚ a h1 hn formen T1 · · · Tn (ci (T1 , . . . , Tn ) − ci ) = 0 for alle h1 , . . . , hn og i = 1, . . . , n. For hvert polynom f (T ) i A[T ] kan vi skrive f (T ) = q(T )p(T ) + r(T ) i A[T ] med r(T ) av grad strikt mindre enn n. Bruker vi dette for T1 , . . . , Tn følger det av lineariteten av Res at vi kan anta at hi < n for i = 1, . . . , n. Ettersom Res er alternerende i de variable T1 , . . . , Tn og ci (T1 , . . . , Tn ) er symmetrisk i de samme variablene kan vi anta at n − 1 ≥ h1 > h2 > · · · > hn ≥ 0, det vil si hi = n − i for i = 1, . . . , n. Av Setning 4.4 følger det at det eneste leddet i T1h1 · · · Tnhn ci (T1 , . . . , Tn ) som gir bidrag n˚ ar vi bruker Res er T1n−1 · · · Tn0 T1 · · · Ti , og dette bidraget er ci . 5.3 Korollar. Setter vi sammen avbildningen A[ξ1 , . . . , ξn ] → A med avbildningen n−d−1 n−d−2 A[ξ1 , . . . , ξd ] → A[ξ1 , . . . , ξn ] vi f˚ ar ved multiplikasjon med ξd+1 ξd+2 · · · ξn0 f˚ ar vi den A-lineære avbildningen ∂ : A[ξ1 , . . . , ξd ] → A

→

definert i Lemma 3.5. Spesielt vil ∂(f1 (ξ1 ) · · · fd (ξd )) = Res(

f1 fd ,..., ) p p

for alle f1 (T ), . . . , fd (T ) i A[T ]. Bevis. Per definisjon avbilder sammensetningen A[ξ1 , . . . , ξd ] → A definert i kon−d−1 n−d−2 0 rollaret f1 (ξ1 ) · · · fd (ξd ) til Res( fp1 , . . . , fpd , T p , T p , . . . , Tp ) som klart er lik →

Res( fp1 , . . . , fpd ). At sammensetningen er ∂ følger av at den, ved Setning 4.4 (1), har samme verdier som ∂ p˚ a elementene ξ1h1 · · · ξdhd n˚ ar 0 ≤ hi ≤ n−i for i = 1, . . . , d, og disse elementene danner en A-modul basis for A[ξ1 , . . . , ξd ].

8

FORELESNINGEN For æresdoktoratet i Bergen 28 august 2008

1. Takk (1) Vanskelig ˚ a være originell. (2) Bedre i Bergen. Ble interessert i matematikk. (3) I dag, takk for grunnen til at jeg er her. 2. Innledning Alle kjenner lineære rekursjoner spesielt Fibonacci tallene 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21 som tilfredsstiller rekursjonen ai+2 − ai+1 − ai = 0 for

i = 0, 1, . . .

og a0 = a1 = 1. Alle geometre kjenner Schubert regning. Spesielt problemet med ˚ a finne antallet linjer som skjærer fire linjer i rommet. Emnet for min hovedoppgave i Bergen var lineære rekursjoner og halve min Ph.D. avhandling handlet om Schubert regning. Spesielt de siste ˚ arene har jeg beskjeftiget meg mye med Schubert regning. Sist jeg var i Bergen snakket jeg om studiet av lineære rekursjoner ved Matematisk Institutt i Bergen p˚ a 60’tallet. I forbindelse med foredraget oppdaget jeg at det i mange situasjoner er fordelaktig ˚ a betrakte lineære rekursjoner fra en litt annen synsvinkel enn den vanlige. Da jeg skulle forberede dette foredraget oppdaget jeg, til min store glede, at dette synspunktet leder til en generalisering av lineære rekursjonene som er helt analog med formalismen for Schubert regning. Jeg skal nu skissere hvordan dette gjøres. 3. Lineære rekursjoner og adjunksjon av røtter La A være en ring og la p(T ) = T n − c1 T n−1 + · · · + (−1)n cn være et polynom med koeffisienter i A. Typeset by AMS-TEX

9

Adjunksjon av en rot til p. La A[ξ] = A[T ]/(p) være restklasseringen av polynomer med koeffisienter i A-modulo p, der ξ er restklassen til T . Da er p(ξ) = 0 og A[ξ] en fri A-modul med basis 1, ξ, . . . , ξ n−1 . En A-lineær homomorfi u : A[ξ] → A er bestemt av en A-lineær homomorfi v : A[T ] → A som er null p˚ a elementene T i p(T ) for i = 0, 1, . . . . Det vil si, den er bestemt av en sekvens av elementer i A a0 = v(1), a1 = v(T ), a2 = v(T 2 ), . . . som tilfredsstiller v(T i (T n − c1 T n−1 + · · · + (−1)n cn ) = ai+n − c1 ai+n−1 + · · · + (−1)n cn ai = 0 for i = 0, 1, . . . . Vi ser at Løsninger a0 , a1 , . . . til den lineære rekursjonen ai+n − c1 ai+n−1 + · · · + (−1)n cn ai = 0

for

i = 0, 1, . . .

svarer til A-lineære homomorfier u : A[ξ] → A. Til den fundamentale løsningen til den linære rekursjonen 0, 0, . . . , 0, 1, an, an+1 , . . . svarer homomorfien ∂ : A[ξ] → A bestemt av i

∂(ξ ) =



0 n˚ ar 0 ≤ i < n − 1 1 f˚ ar i = n − 1.

Vi f˚ ar 0, 0, . . . , 1, an, an+1 , · · · = ∂(ξ 0 ), ∂(ξ 1), . . . , ∂(ξ n−1), ∂(ξ n), ∂(ξ n+1), . . . . 10

Omnummerering. Vi ser at det kan være praktisk ˚ a omnummererer fundamentalsekvensen ved ˚ a sette ∂(ξ i ) = si−n+1

for

i = 0, 1, . . .

s˚ a sekvensen blir 0, 0, . . . , 0, 1, s1, s2 , . . . og tilfredsstiller rekursjonen si+1 − c1 si + · · · + (−1)n cn si−n+1 = 0 for

i = 0, 1, . . . .

Dette er det samme som at elementene s0 = 1, s1 , s2 , . . . er den entydige løsningen til ligningen 1 = (1 − c1 T + c2 T 2 − · · · + (−1)n cn T n )(s0 + s1 T + s2 T 2 + · · · ). Merk. En fordel ved ˚ a betrakte lineære rekursjoner som lineære avbildninger er at vi kan forklare hvorfor ∂ er fundamental p˚ a følgende m˚ ate: HomA (A[ξ], A) er en fri A[ξ]-modul med basis ∂. 4. Analogi med geometrien La Pn−1 være det projetktive rommet av dimensjon n − 1. Vi kan se dette som rommet av linjer i det n-dimensjonale rommet F1 ⊆ E. Rommet Pn−1 har en kohomologiring H ∗ (Pn−1 ). Dette er en fri Z-modul med basis 1, ξ, . . . , ξ n−1 der ξ er klassen til et hyperplan i Pn−1 . Her er ξ n = 0 og vi har en naturlig Gysin homomorfi ∂ : H ∗ (Pn−1 ) → Z bestemt av i

∂(ξ ) =



0 1

0≤ i< n−1 i = n − 1.

Bemerkning. Vi ser at vi er i samme situasjon som for lineære rekursjoner n˚ ar n A = Z og p(T ) = T . I en mer generell situasjon n˚ ar E er en lokalt fri modul av rang n over et rom S med bivariant teori og vi betrakter P roj(E) f˚ ar vi A = H ∗ (S) og polynomet blir p(T ) = T n − c1 (E)T n−1 + · · · + (−1)n cn (E). I geometrien g˚ ar man lenger og studerer flag mangfoldigheter Flag2 (E) som parametriserer flag F1 ⊂ F2 ⊆ E der E er et fast rom av dimensjon n og F1 og F2 er underrom av E med dim(Fi ) = i. Mangfoldigheten Flag2 (E) har ogs˚ a en kohomolgiring H ∗ (Flag2 (E)). Denne f˚ ar vi som følger: 11

Sett ξ1 = ξ og p1 (T ) =

Tn p(T ) = T − ξ1 T − ξ1

og la Z[ξ1 , ξ2 ] = Z[ξ1 ][T ]/(p1 ) være restklasseringen av polynomer med koeffisienter i Z[ξ1 ] modulo p1 (T ), der ξ2 er restklassen til T . Vi har at Z[ξ1 , ξ2 ] er en fri Z-module med basis ξ1h1 ξ2h2

for

0 ≤ hi ≤ n − i.

Videre har vi en Z[ξ1 ]-lineær avbildning ∂ 2 : Z[ξ1 , ξ2 ] → Z[ξ1 ] bestemt av ∂

2

(ξ2i )

=



0

0≤i