Introduzione alla teoria della misura e all'analisi funzionale 8847007011, 9788847007017 [PDF]

Zitiervorschau

a Daniele^ Maria Cristina e Raffaele

Piermarco Cannarsa Teresa D'Aprile

Intro duzione alia teoria della misura e all'analisi funzionale

Spri ringer

PlERMARCO C A N N A R S A

Dipartimento di Matematica, Universita"Tor Vergata", Roma TERESA D'APRILE

Dipartimento di Matematica, Universita"Tor Vergata", Roma

ISBN 978-88-470-0701-7 SpringerMilan Berlin Heidelberg New York e-ISBN 978-88-470-0702-4 Springer-Verlag fa parte di Springer Science+Business Media springer.com © Springer-Verlag Italia, Milano 2008

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Impianti: PTP-Berlin, Protago IgK-Production GmbH, Germany (www.ptp-berlin.eu) Progetto grafico della copertina: Simona Colombo, Milano Stampa: Signum, Bollate, (Mi) Stampato in Italia Springer-Verlag ItaHa srl - Via Decembrio 28 -20137 Milano

Prefazione

Proprio la ricerca del senso, I'elogio del dubbio, il meraviglioso fascino della ricerca mi avevano catturato nelle pagine di uno del miei diari. L'autore era un matematico, cresciuto alia scuola di Renato Caccioppoli. Aveva convissuto con i numeri e con I'inquietudine febbrile della scoperta degli infiniti. Gli astronomi li frequentano, li cercano, li studiano. I filosofi li immaginano, li raccontano, li inventano. I matematici li rendono vivi, ci si avvicinano e li toccano. WALTER VELTRONI, La scoperta delValha

Questo libro si propone di avvicinare il lettore a teorie che svolgono un ruolo centrale nella matematica moderna, quali V integrazione e V analisi funzionale. Nella loro essenza, queste teorie sono estensioni di concetti che si incontrano nei corsi di base di matematica - e, sempre piu frequentemente, anche nella formazione pre-universitaria - quali quello di vettori ortogonali, trasformazioni linear! tra spazi euclidei e integrale di funzioni reali di variabile reale. In che cosa consiste allora I'estensione? Nel fatto che 1'ambiente in cui si fanno vivere questi concetti diviene via via piu generale: I'ortogonalita negli spazi di Hilbert, le trasformazioni lineari negli spazi di Banach, 1'integrazione negli spazi di misura. Queste sono strutture che si spogliano delle caratteristiche particolari della retta reale o del piano cartesiano, mettendo in evidenza i requisiti fondamentali che occorrono per studiare le proprieta che ci interesseranno di volta in volta. A questo punto e bene richiamare I'attenzione del lettore sul fatto che queste generalizzazioni non sono fini a se stesse, ne sono dettate da soli motivi estetici: procedendo in questo modo, come e tipico fare in matematica, da un lato si riassumono una grande quantita di risultati, talvolta classici, in pochi enunciati di portata molto generale che si dimostrano con argomenti essenziali, dall'altro si scoprono nuovi fenomeni e proprieta che altrimenti sarebbero totalmente al di la della portata delle nostre indagini. Nelle pagine che seguono

VI

Prefazione

abbiamo cercato di comunicare al lettore I'interesse per quest a operazione culturale, illustrandola con numerosi esempi e applicazioni. Tra queste ultime, ci place ricordare la deduzione del teorema di approssimazione di Weierstrass per funzioni continue dalle proprieta del prodotto di convoluzione. Le ripetute riforme degli ordinamenti didattici di questi ultimi anni hanno modificato profondamente la struttura dei corsi di studio. Di conseguenza, si e reso necessario ridistribuire e aggiornare i contenuti degli insegnamenti per renderli piii funzionali ad una rapida e matura acquisizione da parte degli student i. Inoltre, I'accresciuta autonomia didattica degli atenei ha portato come conseguenza un divario notevole tra corsi di laurea di sedi diverse. Anche di queste considerazioni si e tenuto conto nella stesura di questo testo. Da una parte, esso e rivolto a studenti di corsi di laurea magistrale in matematica, ai quali si propone di fornire conoscenze avanzate che dovrebbero far parte della cultura standard di chi voglia proseguire con lo studio di questa disciplina. Dall'altra, esso aspira ad essere di supporto a studenti e ricercatori di materie diverse dalla matematica, non presupponendo la conoscenza preliminare di argomenti che possono risultare specialistici, quali I'integrazione di Lebesgue in R"^ o i risultati di compattezza per famiglie di funzioni continue. Le appendici di fine trattazione spaziano su una variegata list a di argomenti, dalla funzione distanza al principio di Ekeland, rendendo il testo completamente autosufficiente per chiunque disponga delle nozioni di base di algebra lineare e analisi matematica. Un altro aspetto che ci preme sottolineare e che le due direttrici di base di questo testo, cioe I'integrazione e I'analisi funzionale, non sono argomenti indipendenti e giustapposti, ma teorie profondamente legate fra loro. Caratteristiche, queste, che si evidenziano spesso negli esempi e negli esercizi, di cui presentiamo un'offerta piuttosto ampia e spesso corredata da generosi suggerimenti risolutivi. Volendo trattare i due argomenti in un unico corso, e possibile coprire buona parte dei capitoli dal primo al sesto in un unico semestre, forse con un po' di impegno da parte degli studenti. Volendo invece ripartire il materiale su due semestri, si possono aggiungere alcuni degli argomenti contenuti nella terza parte, che comprende la teoria delle funzioni a variazione limitata (di una variabile reale) e delle funzioni assolutamente continue, le misure con segno, il teorema di Radon-Nikodym, la caratterizzazione dei duali degli spazi di Lebesgue e alcuni cenni alia teoria delle funzioni multivoche. Alio stesso tempo, il libro si presta, in larga misura, ad una presentazione indipendente dei due argomenti - scelta a volte obbligata dall'architettura dei corsi. I capitoli dal primo al quarto potranno allora fornire tutto il materiale necessario per un corso di teoria dell'integrazione rivolto non solo a studenti indirizzati verso I'analisi matematica. Ad esempio, la teoria della misura e sviluppata in astratto, per arrivare rapidamente al classico teorema di estensione delle funzioni d'insieme numerabilmente additive, strumento di uso frequentissimo in probabilita. I capitoli quinto e sesto costituiscono una introduzione all'analisi funzionale in cui si pone I'accento sugli aspetti geometrici degli spazi infinito-dimensionali. Per far si che questa parte del testo.

Prefazione

VII

depurata dagli esempi ambientati in spazi di misura, possa essere ospitata in corsi di laurea sia triennale che magistrale, abbiamo curato abbastanza a fondo la presentazione degli spazi i'^ i quali, non richiedendo particolari nozioni di teoria dell'integrazione, fanno capire con immediatezza i fenomeni nuovi che si presentano in dimensione infinita. In conclusione, vogliamo esprimere la nostra gratitudine verso tutti coloro che hanno contribuito alia realizzazione di quest'opera. In particolare, siamo molto riconoscenti a Giuseppe Da Prato che ha dato origine alia stesura di questo testo fornendoci utilissime ispirazioni sia per la scelta dei contenuti che per le metodologie. Ringraziamo I'amico Giro Giliberto per averci incoraggiato a far evolvere degli appunti di lezione - da noi redatti inizialmente in inglese - in un libro vero, scritto finalmente nella nostra lingua madre, e per averci messo in contatto con quella interlocutrice squisita che si e rivelata essere Francesca Bonadei. Siamo grati agli studenti del corso di Gomplementi di Analisi Matematica dell'Universita di Roma "Tor Vergata" che hanno letto versioni preliminari del testo e hanno affrontato molti degli esercizi che qui proponiamo. Infine, un grazie di cuore (e molto di piu) a Garlo Sinestrari e Francesca Tovena, che ci sono stati vicini con i loro preziosi consigli e la loro impagabile pazienza.

Roma, gennaio 2008

Piermarco Cannarsa Teresa D'Aprile

Indice

Parte I Misura e integrazione Spazi di misura 1.1 Algebre e cr-algebre di insiemi 1.1.1 Notazioni e preliminari 1.1.2 Algebre e cr-algebre 1.2 Misure 1.2.1 Funzioni additive e cr-additive 1.2.2 Spazi di misura 1.2.3 Lemma di Borel-Cantelli 1.3 Teorema di estensione 1.3.1 Classi monotone 1.3.2 Misure esterne 1.4 Misure di Borel in R ^ 1.4.1 Misura di Lebesgue in [0,1) 1.4.2 Misura di Lebesgue in R 1.4.3 Misura di Lebesgue in R ^ 1.4.4 Esempi 1.4.5 Regolarita delle misure di Radon

3 4 4 5 7 7 10 12 12 13 15 19 19 21 24 26 28

Integrazione 2.1 Funzioni misurabili 2.1.1 Immagine inversa di una funzione 2.1.2 Funzioni misurabili e funzioni di Borel 2.2 Convergenza quasi ovunque 2.3 Approssimazione con funzioni continue 2.4 Integrale di funzioni di Borel 2.4.1 Integrale di funzioni semplici positive 2.4.2 Funzione di ripartizione 2.4.3 Integrale archimedeo 2.4.4 Integrale di funzioni di Borel positive

35 36 36 36 42 44 47 47 48 50 53

X

Indice 2.5

2.4.5 Integrale di funzioni con segno variabile Convergenza di integral! 2.5.1 Convergenza dominata 2.5.2 Sommabilita uniforme 2.5.3 Integral! dipendenti da parametro

3

Spazi LP 3.1 Spazi J5f^(X,/x) e L^(X,/i) 3.2 Spazio L ^ ( X , /x) 3.3 Convergenza in misura 3.4 Convergenza e approssimazione in L^ 3.4.1 Risultati di convergenza 3.4.2 Sottoinsiemi densi in L^

4

Misure prodotto 4.1 Spazi prodotto 4.1.1 Misura prodotto 4.1.2 Teorema di Fubini-Tonelli 4.2 Compattezza in L^ 4.3 Convoluzione e approssimazione 4.3.1 Prodotto di convoluzione 4.3.2 Approssimazione con funzioni regolari

59 63 64 67 70 75 75 83 87 89 89 92 97 97 97 101 104 108 108 112

Parte II Analisi funzionale 5

Spazi di Hilbert 5.1 Definizioni ed esempi 5.2 Proiezione ortogonale 5.2.1 Proiezione su un insieme convesso chiuso 5.2.2 Proiezione su un sottospazio chiuso 5.3 Teorema di Rappresentazione di Riesz 5.3.1 Funzionali linear! limitat! 5.3.2 Teorema di Riesz 5.4 Succession! e has! ortonormali 5.4.1 Disuguaglianza di Bessel 5.4.2 Bas! ortonormali 5.4.3 Completezza del sistema trigonometrico

121 122 125 126 128 132 132 133 137 138 139 142

6

Spazi di Banach 6.1 Definizioni e esempi 6.2 Operator! linear! limitat! 6.2.1 II Principio di Limitatezza Uniforme 6.2.2 II Teorema dell'Applicazione Aperta 6.3 Funzionali linear! limitat!

147 148 150 153 155 159

Indice

6.4

6.3.1 II Teorema di Hahn-Banach 6.3.2 Separazione di insiemi convessi 6.3.3 II duale di ^^ Convergenza debole e riflessivita 6.4.1 Spazi riflessivi 6.4.2 Convergenza debole e proprieta di Bolzano-Weierstrass

XI 159 164 169 173 173 176

Parte III Capitoli sceiti 7

8

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Funzioni a variazione limitata e funzioni assolutamente continue 7.1 Funzioni monotone 7.1.1 Derivabilita delle funzioni monotone 7.2 Funzioni a variazione limitata 7.3 Funzioni assolutamente continue

189 190 191 196 201

Misure con segno 8.1 Confronto fra misure 8.2 Decomposizione di Lebesgue 8.2.1 II caso di misure 8.2.2 II caso generale 8.3 Misure con segno 8.3.1 Variazione totale 8.3.2 Teorema di Radon-Nikodym 8.3.3 Decomposizione di Hahn 8.4 II duale di LP{X, //)

211 212 213 213 216 218 219 221 222 224

finite

Funzioni multivoche 9.1 Definizioni e esempi 9.2 Esistenza di una selezione sommabile

229 229 231

Appendici A

Funzione distanza

237

B

Funzioni semicontinue

243

C

Spazi normati di dimensione

D

Lemma di Baire

251

E

Famiglie relativamente compatte di funzioni continue

253

F

Trasformata di Legendre

255

flnita

247

XII

Indice

G

Lemma di ricoprimento di Vitali

259

H

Principio variazionale di Ekeland

261

Riferimenti bibliografici

263

Indice analitico

265

Parte I

Misura e integrazione

Spazi di misura

Algebre e cr-algebre di insiemi - Misure - Teorema di estensione - Misure di Borel : ^ in>N

II concetto di misura di un insieme nasce dalla nozione classica di volume di un intervallo in R^. Partendo da questa nozione, mediante un processo di ricoprimento, e possibile associare a un generico insieme un numero non negativo che ne 'quantifichi I'estensione'. Tale associazione conduce alia definizione di una funzione di insieme, detta misura esterna, definita sulle parti di M^. La misura esterna e monotona, ma non additiva. Seguendo il metodo di Caratheodory, e poi possibile selezionare una sottoclasse di insiemi su cui la misura esterna ha ulteriori proprieta, in particolare e numerabilmente additiva; restringendo la misura esterna a questa sottoclasse si ottiene una misura completa. Questo procedimento porta alia costruzione della misura di Lebesgue in M^. La classe degli insiemi misurabili secondo Lebesgue e molto vasta: gli esempi di insiemi non misurabili sono ottenuti in maniera indiretta e non costruttiva. La teoria della misura di Lebesgue, benche sviluppata originariamente per spazi euclidei, e indipendente dalla geometria dello spazio e si puo applicare non solo a R ^ ma anche a spazi astratti; cio e import ante per le applicazioni, poiche la nozione di misura, nata inizialmente nella teoria delle funzioni di variabile reale, e stata successivamente utilizzata ampiamente nell'analisi funzionale, nella teoria della probabilita, nella teoria dei sistemi dinamici e in altre branche della matematica. Nel corso del capitolo svilupperemo la teoria della misura da un punto di vista astratto; infatti esporremo una generalizzazione del procedimento seguito per definire la misura di Lebesgue che permette di costruire un'ampia varieta di misure in un generico spazio X o nello stesso R^. Tra le misure in R^ particolare importanza ha la classe delle misure di Radon (a cui in particolare appartiene la misura di Lebesgue), che godono di interessanti proprieta di regolaritd.

Cannarsa P, D'Aprile T: Introduzione alia teoria della misura e all'analisi funzionale. © Springer-Verlag Italia, Milano, 2008

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1 Spazi di misura

1.1 Algebre e a-algebre di insiemi 1.1.1 Notazioni e preliminari Denoteremo con X un insieme non vuoto, con 3^{X) I'insieme di tutte le parti (cioe, i sottoinsiemi) di X, e con 0 I'insieme vuoto. Per ogni sottoinsieme A di X denoteremo con A^ il suo complement are, ossia

A'' = {xeX\ Per ogni A,B e 3^{X) poniamo A\B Sia {An)n una successione in ^{X). Morgan:

(

Definiamo^

oo

n=l

\ ^

I

x^A). = AnB"". Vale la seguente identita di De oo

n=l oo

limsupyln = n n=l

M ^fc,

liminf^n = M

k—n

n—\

oo

P i ^fek—n

Se L := l i m s u p ^ ^ ^ An = liminfn-^ oo An, allora poniamo L — \iin.n-^oo An, e diciamo che {An)n converge a L (in questo caso scriveremo An -^ L). Osservazione 1.1. (a) Si verifica facilmente che lim sup^.^^^ ^ n (rispettivamente, liminf^_).oo An) e costituito da quegli elementi di X che appartengono a infiniti An (rispettivamente, che appartengono a tutti i sottoinsiemi An tranne al piii un numero finito). Pertanto liminf An C limsupA (b) E anche immediato verificare che, se {An)n ^ crescente {An C A^+i, n G N), allora

lim An = I J An, n=l

mentre, se {An)n e decrescente {An D An-\-i, n G N), allora oo

lim An=^ C] An.

n—>-oo

' ' n=l

Nel primo caso scriveremo An ^ //, e nel secondo An -l- L' ^ Si osservi I'analogia con il limite inferiore e superiore di una successione {an)n di numeri reali. Si ha: limsup^.^^^ an = infnGN sup^>„ a^ e liminfn-xx) ^n = sup^^i^inffc>naA;.

1.1 Algebre e cr-algebre di insiemi

5

1.1.2 Algebre e (T—algebre Definizione 1.2. Un sottoinsieme non vuoto s^ di ^{X) in X se (a) 0,X e ^ , (b) A,B e ^ =^

(c) Aes^

=>

AuB

A"" e^.

si chiama algebra

e^,

Osservazione 1.3. E facile vedere che, se J^/ e un'algebra e A^B ^ s^^ allora Ar\B Q A\B appartengono a s^. Pertanto anche la differenza simmetrica

AAB:={A\B)V}{B\A) appartiene a s^. Inoltre s^ e stabile rispetto airunione e all'intersezione finita, cioe

Definizione 1.4. Un^algebra S in X si chiama cr-algebra se, per ogni successione {An)n di elementi di S', si ha U ^ i An ^ S'- Se (^ e una a-algebra in X, gli elementi di S si chiamano insiemi misurabili e la coppia (X, ^ ) 52 dice spazio misurabile. Esercizio 1.5. Provare che un'algebra S' in X e una cr-algebra se e solo se, per ogni successione {An)n di elementi disgiunti di ^ , si ha I J ^ i An E £'. Suggerimento. Data {An)n una successione di elementi di 2. Allora {Bn)n ^ una successione di elementi disgiunti di ^ e U'^^^An = U^^^B^ G ^ . Si noti che, se ^ e una cr-algebra in X e {An)n C 2. Allora {Bn)n e una successione di elementi disgiunti di c^, UnAn = Un-S^ G s^ e ii{Bn) < l^{An) per la monotonia di //. Pertanto //(Un^n) = /^{^nBn) = Yin f^i^n) < 5. Combinando i punti 3 e 4 si deduce che una funzione additiva sn s^ e cr-additiva se e solo se e a-subadditiva.

1.2 Misure Definizione 1.15. Una funzione additiva /i su un^algebra s^ C ^{X)

9 si dice:

• finita se ii{X) < CXD; • cr-finita se esiste una successione {An)n C s^ tale che I J ^ i An = X e fi{An) < cxD per ogni n E N. Esercizio 1.16. In X = N si consideri 1'algebra ^ = {Ae

d^{X) I A e finito, oppure A"" e finito}

dell'Esempio 1.6. Dimostrare che •

la funzione /i : J ^ —)- [0, CXD] definita da ( A\ — \ # A se A e finito, ^^ ' 1^ (X) se A^ e finito

•

(dove il simbolo # A denota il numero degli elementi di A) e cr-additiva; la funzione i/ : .«/ -^ [0, oo] definita da

{

>^ — se A e finito, oo

se A^ e finito

e additiva ma non cr-additiva. Per una funzione additiva la cr-additivita e equivalente alia continuita nel senso della seguente proposizione. Proposizione 1.17. Sia ji una funzione additiva su un^algebra s^. Allora (i) n}. 1.2.2 Spazi di misura Definizione 1.20. Sia S una a-algebra in X. • • •

Una funzione a-additiva /x :