Introducere în mecanica cuantică relativistă - Note de curs [PDF]

Zitiervorschau

C. Stoica Introducere în mecanica cuantică relativistă Note de curs 10/1/2011 Universitatea din București Facultatea de Fizică

1

2

1. Ecuaţia lui Dirac

În prima parte a acestui capitol vom prezenta metoda lui Dirac care permite găsirea unei ecuaţii relativiste care să descrie evoluţia particulelor de spin 1/2. Vom căuta, desigur, să scriem atât ecuaţia cât şi toate mărimile cinematice şi dinamice într-o formă covariantă. Vom considera la început cazul cel mai simplu: particula liberă. Vom porni de la ecuaţia de evolutie temporală obişnuită pentru particula liberă, ecuaţie care este corectă şi în cazul mişcării relativiste

i

 = H t

(1.1)

şi vom impune ca valorile proprii ale operatorului Hamiltonian, H , să satisfaca relaţia corectă , din punct de vedere relativist, între impulsul şi energia particulei:

E 2 = m 2c 4  c 2 p

2

(1.2)

Pentru exemplificare vom lucra în reprezentarea coordonatelor, în care operatorii ataşaţi energiei şi impulsului sunt: E i

 ; respectiv t

p  i 

(1.3)

sau, pe componente pi = i i = i i ,

(1.4)

i = 1,3

 , i  1,3 derivata covariantă. xi 1  Vectorul patru-impulsul p  de componente  E , p  este reprezentat în spaţiul c  configuraţiilor, conform principiului de corespondenţă, de 4-operatorii diferenţiali

unde am notat cu  i 

i   p  i  :  ,  i    i 0 , i i  c t 



3

/ i = 1,3



(1.5)

Notaţiile folosite aici sunt cele uzuale: xi =  xi

x0 = x0 = ct ;

 =

 x

i = 1,3 ;

,  = 0,3 1    :  ,    c t 

(1.6)

Metrica pe care o vom folosi se defineşte prin componentele tensorului:

g  = g 

 1 pt.  =  = 0    = 1 pt.  =  = 1,3   0 în rest  

(1.7)

sau sub formă matriceală 0 0 0 1  0 1 0 0   g =  0 0 1 0     0 0 0 1 

(1.7.a)

După cum se ştie, relaţiile   = g   definesc legătura dintre componentele contravariante şi cele covariante ale 4-gradientului.1 Transpusă conform principiului de corespondenţă sub forma unei ecuaţii de evolutie, relaţia (1.2) se scrie sub forma



2

 2 =  m 2c 4  2 t

c 2 

2 2

(1.8.a)

sau

1

Pestetot în cuprinsul acestei lucrări se foloseşte convenţia de sumare a lui Einstein atunci când indicii la care se referă sunt litere ale alfabetului grec.

4

2  1  2   mc 2   mc   2  2 2              = 0 c  t         

(1.8.b)

care este binecunoscuta ecuaţie Klein-Gordon. Ea poate fi scrisă în forma covariantă 2    mc          = 0    

(1.9.a)

împreună cu adjuncta ei: 2    mc   *        = 0    

(1.9.b)

în condiţiile în care  este o funcţie scalară cu valori complexe. Dacă în ecuaţia (1.9.a) înmulţim la stânga cu  * şi înmulţim tot la stînga cu  în ecuaţia (1.9.b) şi apoi scadem membru cu membru cele două relaţii astfel obtinute, găsim

 *        * = 0 sau

  ( *    * ) = 0 i ( *    * ) ) atunci ecuaţia de mai sus poate fi 2m pusă sub forma unei ecuaţii de continuitate

Dacă notăm cu j  =

 j = 0

(1.10)

sau, explicit  j =0 t

(1.11)

unde

5

j0 i i  * * 0 0 * *  = = (     ) = (  ) c 2mc 2mc 2 t t (1.12) ar trebui interpretată, pentru particula de spin 1/2, ca densitate de probabilitate de localizare, iar j =

i ( *  * ) 2m

(1.13)

ca densitatea curentului probabilităţii de localizare. Observăm două carenţe majore ale acestei construcţii teoretice: a) Densitatea de probabilitate de localizare (1.12) nu este pozitiv definită. b) Formula (1.2) şi apoi ecuaţia (1.8) permit existenţa unor valori negative ale energiei particulei libere, alături de cele pozitive, pentru acelaşi impuls p

E =  m 2c 4  c 2 p

2

(1.14)

Deci pentru particula liberă ar rezultă posibilitatea existenţei unor stări de energie negativă E  (, mc 2 ] [mc 2 , )

valorile pozitive şi negative ale energiei fiind separate de un interval energetic interzis, de lărgime 2mc 2 . Desigur, dacă particula de spin 1/2 s-ar gasi în câmpul extern al unei forţe conservative care conduce la apariţia unei energii potenţiale negative, atunci ar apărea nivele discrete de energie situate în intervalul energetic interzis, deoarece energia totală a particulei ar deveni mai mică decât mc 2 . Faptul că spectrul energetic nu este mărginit inferior lasă impresia că din sistem se poate extrage o cantitate de energie oricât de mare ( catastrofa radiativă ). Este cazul unei particule de spin 1/2 aflată iniţial în repaus şi supusă unei perturbaţii externe care să-i permită saltul peste intervalul de valori interzise E = 2mc 2 între continuum-ul de stări de energie pozitivă şi cel de stări de energie negativă. Este de asemenea pus în discuţie conceptul de stare staţionară stabilă. Astfel, stările legate ale electronilor atomici corespunzând unor nivele discrete de energie din intervalul  mc 2 , mc 2  ar fi instabile; atomii ar fi instabili, putând trece spontan dîntr-o stare legată într-o stare de energie 6

negativă cuprinsă în intervalul (, mc 2 ] , cu eliberarea unei cantităţi de energie oricât de mare. Pentru a preveni aceste inconveniente, P.A.M.Dirac a propus în 1928 o ecuaţie pentru particulele de spin 1/2 care ar trebui să satisfacă imperativ următoarelor exigenţe: 1. Trebuie să se prevină apariţia unei densităţi de probabilitate de localizare negativă; pentru aceasta, ecuaţia nu trebuie să introducă derivate în raport cu t de ordin mai mare decât 1 . 2. În virtutea covarianţei relativiste, ecuaţia trebuie să implice coordonatele spaţiale şi timpul într-o maniera simetrică , '' pe picior de egalitate ''; rezultă atunci că şi derivatele parţiale în raport cu coordonatele spaţiale pot fi cel mult de ordinul 1. Va fi vorba deci de o ecuaţie diferenţială cu derivate partiale de ordinul 1. 3. Ecuaţia trebuie să fie liniară pentru a satisface şi principiul superpoziţiei. Trebuie ca soluţiile acestei ecuaţii să satisfacă identic şi ecuaţiei Klein-Gordon, reflectând astfel relaţia relativistă corectă (1.2) între energia şi impulsul particulei. Să presupunem că ecuaţia ar avea forma i

      =  i c(1 1   2 2   3 3 )   mc 2  = H t  x x x  (1.15)

unde Hamiltonianul H ar fi H = i c(1

     2 2   3 3 )   mc 2 1 x x x

(1.16)

Tripletul 1 ,  2 ,3 , împreună cu  , trebuie să fie nişte mărimi independente de coordonate şi de timp, deci constante. Se ştie din teoria cuantică nerelativistă că particulele de spin 1/2 sunt descrise de operatori Hamilton care admit drept coeficienţi matricele 2  2 ale lui Pauli, iar starea cuantică a acestor particule este descrisă de vectori de stare cu două componente, numiţi spinori de undă. Tot în mecanica cuantică nerelativistă se arată că apariţia matricelor Pauli asigură invarianţa teoriei faţă de rotaţiile triedrului de referinţă din spaţiul euclidian tridimensional. Toate acestea ne fac să presupunem că 1 ,  2 ,3 şi  sunt 7

matrice constante, iar vectorul de stare  al electronului este o funcţie cu mai multe componente ( matrice sau vector coloană) de forma   1 (r , t )     ( r , t )    = 2     (r , t )   N 

(1.17)

cu care s-ar putea construi o densitate de probabilitate de localizare  1    N *   N  2  =  i* i   i =1    N 

 (r , t ) =   =  1*  2*

(1.18)

Ar mai trebui să aratăm că aceasta densitate de probabilitate, definită ca mai sus, reprezintă componenta temporală a unui 4-vector al curentului densităţii probabilităţii de localizare , care să satisfacă ecuaţiei de continuitate. Pentru ca Hamiltonianul (1.16) să poată acţiona şi la stânga trebuie ca 1 ,  2 ,3 şi  să fie matrice pătrate N  N. Dimensiunea lor o vom determina în cele ce urmează. Pentru simplitatea scrierii, vom nota cu  tripletul de matrice 1,  2 , 3 , astfel că Hamiltonianul H al particulei libere relativiste de spin 1/2 se scrie sub forma : H = i c     mc 2

(1.19)

Deoarece operatorul Hamiltonian H este autoadjunct, trebuie ca matricele  şi  să fie hermitice: i = i i = 1,3 şi   =  .





Reiterind în ecuaţia (1.15) aplicarea operatorului i



2

 rezultă : t

 2 = i c     mc 2 i c     mc 2  2 t







sau explicit



2

 2 =   2c 2 i j  i  j   2 m2c 4  i c  i    i   i  2 t 8

(1.20)

Ecuaţia de mai sus se reduce la ecuaţia Klein-Gordon numai dacă matricele 1 ,  2 ,3 şi  satisfac relaţiilor :

 ,  =   i

j

i

j

  j i = 2 ij 1N

 i ,   =  i    i = 0

,  i = 1,3

(1.21)

 2 = 1N Vom postula aceste relaţii şi atunci ecuaţia (1.20) ia forma ecuaţiei KleinGordon (1.8) , îndeplinind condiţia 4. Pentru a demonstra caracterul covariant al formalismului vom introduce matricele Dirac definite prin relaţiile

0 = şi

(1.22)

 i =  i , i = 1,3 Acestea satisfac relaţiilor





,    = 2 g  1N

(1.23)

precum şi

 0 =  0 ,  i =  i  = i   = i  = i =  i 

care pot fi scrise într-o singură formulă

   =  0  0 ,  = 0,3

(1.24)

Acestea vor fi condiţiile definitorii pentru matricele lui Dirac   . În continuare este util să notam cu  ansamblul matricelor  1,  2 ,  3. Vom defini în mod obişnuit şi matricele   = g    adică

 0 =  0 şi  i =  i , i = 1,3 . De asemenea, pentru un 4-vector arbitrar a de





componente contravariante a  :  a0 , a1, a 2 , a3   a0 , a vom folosi notaţia Feynman )

9

(

a    a  =  0a0    a

(1.25)

Din (1.21) rezultă că pentru i  j avem i j =  ji şi prin urmare

Det i j  = Det   ji  =  1 Det i j . Rezultă că matricele  şi  pot N

avea numai dimensiune pară : N=2,4,... Ele trebuie să fie, desigur, independente. Pentru N=2 există doar 3 matrice independente care anticomută, matricele lui Pauli din cazul nerelativist. Rezultă că dimensiunea N a acestor matrice trebuie să fie mai mare sau egală cu 4. Vom arata în paragraful următor că N=4, arătând că 4 matrice independente care satisfac relaţiilor (1.23) sunt suficiente pentru a construi cu ajutorul lor 15 matrice independente de dimensiunea 4  4 care, alaturi de matricea unitate , pot servi ca bază pentru descompunerea oricărei alte matrice de acest fel. După înmulţirea la stânga cu  0 =  , ecuaţia (1.15) se scrie sub forma

mc   3 k i  0 =  i   k  1   k =1  0

(1.26)

care poate fi explicitată pe componente după cum urmează : 4 4 mc   3 i  ij0 0 j =   i  ijk  k   ij  j j =1 j =1  k =1 

, i  1,4

Ecuaţia (1.26) mai poate fi pusă sub forma mc    1  = 0  i    

(1.27)

sau , pe componente , 4



  i    ij

mc

 

 ij  j = 0 , i  1,4

j =1

În sfârşit, o altă scriere pe care o vom folosi face apel la notaţia (1.25) , astfel că ecuaţia se poate pune sub forma mc   i   1  = 0   

(1.28)

10

sau , pe componente ,



4

  i 

ij



mc

 

 ij  j = 0 , i  1,4

j =1

Adjuncta ecuaţiei (1.27) este  

   i    

mc  1 = 0 

(1.29)

Săgeata de deasupra operatorului diferenţial arată că acţiunea acestuia se manifestă la stânga. Pe componente , ecuaţia de mai sus se scrie ca



4

  i    *

mc

ij

j =1

 

 ij  *j = 0

Dacă avem în vedere că    =  0   0 şi că   0  = 1 , atunci prin înmulţirea la 2

dreapta cu  0 a ecuaţiei adjuncte rezultă :  

  i   

mc  1 = 0 

sau  

 i  

mc  1 = 0 

(1.30)

unde am notat cu

 =   0 Soluţiile  cu patru componente ale ecuaţiei Dirac (1.27) se numesc bispinori. Dacă înmulţim ecuaţia (1.27) la stânga cu  şi ecuaţia (1.30) la dreapta cu  , iar apoi le adunăm membru cu membru, obţinem , într-adevăr, o ecuaţie având aspectul ecuaţiei de continuitate





         =     =  j = 0 unde 11

(1.31)

j =  

(1.32)

este 4-vectorul curentului densităţii de probabilitate de localizare. Ecuaţia (1.32) este o ecuaţie de continuitate în care componenta temporală , j 0 , a 4-curentului de densitate de probabilitate de localizare este chiar densitatea de probabilitate de localizare pozitiv definită :

 = j 0 =  0 =  

(1.33)

În ceea ce priveşte problema valorilor negative ale energiei, Dirac a dat o rezolvare deosebit de elegantă (inspirată) şi , pentru momentul respectiv (1930), extrem de inovatoare. Deşi acum poate părea desuetă , pentru continuitatea expunerii în spiritul ei original, dar şi în semn de apreciere a argumentelor teoretice aduse , îl vom cita intocmai pe P.A.M. Dirac:2 ''Un electron aflat într-o stare de energie negativă este un obiect străin experienţei noastre, dar pe care îl putem studia din punct de vedere teoretic; putem , în particular, prezice mişcarea sa într-un câmp electromagnetic dat oarecare. Rezultatul calculului, efectuat fie în mecanica clasică, fie în teoria cuantică, este că un electron de energie negativă este deviat de câmp exact ca şi cum ar fi un electron de energie pozitiva dacă ar avea o sarcină electrică pozitiva e în locul sarcinii negative obişnuite e . Acest rezultat sugerează imediat asimilarea electronului de energie negativă cu pozitronul. Am putea fi tentaţi să admitem că un electron aflat într-o stare de energie negativă este chiar un pozitron, dar aşa ceva este inacceptabil , pentru că pozitronul observat nu are defel o energie cinetică negativă . Putem obţine un rezultat mai bun utilizând principiul de excluziune al lui Pauli , în virtutea căruia o stare cuantică dată nu poate fi ocupata de mai mulţi electroni . Să admitem că în Univers, aşa cum îl cunoaştem noi , toate stările de energie negativă ar fi ocupate de electroni şi că distribuţia astfel obtinută nu ar fi accesibilă observaţiei noastre datorită uniformităţii sale în tot cuprinsul spaţiului . În aceste condiţii , orice stare de energie negativă neocupată , reprezentând o ruptură a acestei uniformităţi , trebuie să se reveleze observaţiei ca un fel de lacună (n.n. vacanţă/gol ). Putem admite că aceste goluri constituie pozitronii. Aceasta ipoteză rezolvă principalele dificultăţi ale interpretării stărilor de energie negativă. Un gol în distribuţia electronilor de energie negativă reprezintă o energie pozitivă , pentru că corespunde unui deficit local de energie negativă . În plus, mişcarea acestui gol într-un câmp electromagnetic oarecare 2

e

P.A.M. Dirac, '' THEORIE DU POSITRON ``, Rapport du 7 Conseil Solvay de Physique, Structure et Proprietés des Noyaux Atomiques, p.203, (1934)

12

este identică cu aceea a electronului necesar pentru a compensa acest gol. Putem trage de aici două concluzii : întâi că mişcarea golului poate fi reprezentată printr-o funcţie de undă Schrödinger analogă celei care descrie mişcarea unui electron , şi în al doilea rând că golul se comportă într-un câmp în acelaşi fel ca un electron pozitiv de energie pozitiva.`` Trebuie să menţionăm că, faţă de punctul său de vedere iniţial exprimat în articolul A Theory of Electrons and Protons , Proc. Roy. Soc., A126, 360, (1930), când Dirac considera că protonul este echivalentul lacunei (golului/vacanţei) de electron de energie negativă , datorită -spunea el -şi retinerii care exista în epocă faţă de introducerea teoretică a unor noi particule '' elementare '' , o serie de argumente teoretice legate de rata de anihilare electronproton în atomi, (Julius Robert Oppenheimer, Phys. Rev., 35, 562, (1930) ; Igor Tamm, Z. f. Phys., 62, 545, (1930)) l-au facut să se răsgândească (P.A.M. Dirac, Proc. Roy. Soc., 133, 60, (1931) ) şi să considere că golurile apar nu ca protoni, ci ca un tip nou de particule încarcate electric, de aceeaşi masa ca electronul . Această particulă , numită pozitron , a fost descoperită de către Carl D. Anderson în radiaţia cosmică , în 2 august 1932. În sfârsit , trebuie să mai spunem că dezvoltarea teoriei cuantice a câmpurilor a facut să nu mai fie necesară interpretarea antiparticulelor ca goluri ale unui continuum insesizabil, cu atât mai mult cu cât argumentele lui Dirac , bazate pe principiul lui Pauli , nu se pot susţine în cazul bozonilor. În locul acestei construcţii teoretice trebuie pusă o teorie multi-particulă care să cuprindă într-o manieră consistentă atât particulele cât şi antiparticulele. Acest deziderat se realizează în cadrul celei de a doua cuantificări , prin introducerea unor câmpuri cuantice capabile să creeze şi să anihileze particule.

13

2. Matricele lui Dirac Fie 4 matrice cu patru linii şi patru coloane ,   ,  = 0,3 , cu proprietăţile :





,    = 2 g  1

(2.1)

   =  0  0

 = 0,3

Vom defini , de asemenea , următoarele 16 matrice 4  4 : 1)

1 = 1

2)

2 = i 1 ;

3)

6 = i 2 3 ;

3 = i 2 ; 7 = i 3 1 ;

9 =  0 1 ;

10 =  0 2 ;

4 = i 3 ;

5 =  0 ;

8 = i 1 2 ; 11 =  0 3 ;

4)

12 = i 0 2 3 ; 13 = i 0 3 1 ; 14 = i 0 1 2 ; 15 =  1 2 3 ;

5)

16 = i 0 1 2 3 =  5

(2.2)

not .

Principalele proprietăţi ale acestor 16 matrice , rezultate din definiţiile (2.1) sunt următoarele3: A)

 i 

2

= 1 , i = 1,16

(2.3)

B) Pentru orice pereche  i şi  j există  k , i, j, k  1,16  astfel încât i  j = sk

(2.4)

unde s = 1 sau i.

3

Vezi R.H. Good , Jr., Rev.Mod.Phys., 27 ,187, (1955)

14

C) Pentru orice pereche  i şi  j avem i  j =  j i

(2.5)

D) Pentru oricare  i , cu exceptia lui 1 , există  j

, j   2,16  astfel încât

 j i  j = i sau i j   j i = 0

(2.6)

Din ultima proprietate rezultă că urma oricărei matrice  i este zero : Tr  i  = Tr  i  = Tr   j i j  = Tr  i 2j  = Tr  i  = 0

(2.7)

pentru oricare i = 2,16. E) Cele 16 matrice sunt liniar independente. Pentru a demonstra acest lucru , 16 considerăm o combinaţie liniară a lor, nulă :  i =1ai i = 0 . Rezultă , cu ajutorul formulei (2.7) , că Tr



16



a i = Na1 = 0 , deci a1 = 0 .

i =1 i

În continuare înmulţim întreaga combinaţie , pe rând , cu fiecare dintre matricele  j , j = 2,16 şi , folosind proprietatea (A) , rezultă în acelaşi mod că toţi ceilalţi coeficienţi sunt nuli : ai = 0 , i = 2,16 . În concluzie putem spune că nu pot fi reprezentate 4 matrice   ,  = 0,3 cu proprietatea (2.1) ca matrice pătrate de dimensiune mai mică decât 4, căci nu pot exista 16 matrice liniar independente  j , j = 1,16 de dimensiune mai mică. Dimensiunea minimă pentru 4 matrice care satisfac relaţiile (2.1) este 4  4 (reprezentarea ireductibilă ). Reprezentarile de ordin superior sunt reductibile la reprezentări cvasidiagonale . În consecinţă, cele 16 matrice  i formează o bază în spaţiul matricelor cu 4 linii şi 4 coloane , deci orice matrice A cu aceste dimensiuni poate fi reprezentată ca o combinaţie liniară de forma 16

A = ai i

(2.8)

i =1

unde , conform cu (2.3) , (2.4) şi (2.7) avem

1 ai = Tr  Ai  4

(2.9)

15

F) Orice matrice A care comută cu toate cele 4 matrice  este un multiplu al matricii unitate (lema lui Schur ) . Pentru demonstraţie vom face mai întâi observaţia că orice matrice A care comută cu toate cele 4 matrice  comută şi cu toate cele 16 matrice  . Atunci A = Ai2 = i Ai

, i  1,16 

(2.10)

Putem dezvolta pe A sub forma A = a j  j  ak  k

(2.11)

k j

unde am separat contribuţia uneia dintre cele 16 matrice ,  j , cu condiţia ca aceasta să nu fie matricea unitate 1 , deci j  1 . Conform proprietăţii (D) , există o matrice  i din mulţimea i   2,16  care anticomută cu  j , adică i  j i =  j . Astfel, dacă înmulţim relaţia (2.11) şi la stânga şi la dreapta cu  i şi avem în vedere ca A comută cu  i , precum şi proprietăţile A) şi C), obţinem :

A  i Ai = a j  j  ak i  k i = a j  j      ak  k k j

k j

Înlocuind pe A în membrul stâng conform relaţiei (2.11) , se obţine a j  j  ak  k = a j  j      ak  k k j

k j

Dacă înmulţim relaţia de mai sus cu  j în fiecare membru şi apoi calculăm urma , rezultă conform relaţiilor (2.3) , (2.4) şi (2.7) că a j = a j = 0 . Alegerea matricii  j a fost arbitrară , singura condiţie pe care am pus-o fiind aceea ca ea să nu fie matricea unitate 1 . Prin urmare toţi coeficienţii dezvoltării (2.8) ai unei matrice A care comută cu toate cele 4 matrice  se anulează , cu excepţia coeficientului a1 al matricii 1 = 1 . Atunci A este un multiplu al matricii unitate .

16

Teorema fundamentala a lui Pauli Teorema fundamentală a lui Pauli asigură invarianţa ecuaţiei lui Dirac în raport cu diferitele reprezentări posibile ale matricelor  . Teorema lui Pauli poate fi formulata după cum urmează : Toate reprezentarile ireductibile 4  4 ale matricelor Dirac cu proprietatea (2.1) sunt echivalente , până la o transformare unică , nesingulară şi unitară . ( Reprezentarile ireductibile ale algebrei Dirac (2.1) sunt unitar echivalente ) . Astfel , considerând două seturi de matrice care satisfac relaţiilor (2.1) ,   ,  = 0,3 şi  ' ,  = 0,3 , conform teoremei fundamentale a lui Pauli ,









există o matrice T unică , nesingulară şi unitară astfel încât cele două seturi de matrice ,  şi  ' , sunt legate printr-o transformare de echivalenţă ( similitudine ) de forma

 ' = T  T 1

(2.12.a)

 ' T = T  

(2.12.b)

sau

Pentru demonstrarea acestei afirmaţii vom considera matricele  i şi  'i





(i = 1,16) construite cu matricele   si, respectiv,  ' ,  = 0,3 după

modelul dat de (2.2) , precum şi matricea 16

T =  'i Ai

(2.13)

i =1

unde A este o matrice arbitrară 4  4 astfel aleasă ca T să fie nesingulară . Avem , conform relaţiei (2.4) : i  j = sij k unde sij = 1 sau  i

Atunci rezultă că i  j i j =  sij    k  =  sij  1 2

2

2

(2.15)

17

(2.14)

Dacă înmulţim relaţia de mai sus cu  j i şi ţinem sema de relaţia (2.3) rezultă: i  j =  sij   j i 2

(2.16)

sau  j i =  sij  i  j = ( sij )3 k 2

(2.17.a)

Evident că matricele  ' satisfac unor relaţii similare :

 ' j  'i = ( sij )3  'k

(2.17.b)

Vom prelucra relaţia (2.13) după cum urmează , înmulţind fiecare membru la stânga cu  ' j şi la dreapta cu  j , pentru oricare j  1,16  : 16

16

16

 ' j T  j =  ' j  'i Ai  j = ( sij )  'k Asij  k =  'k A k = T 3

i =1

k =1

(2.18)

k =1

sau, având în vedere relaţia (2.3) ,  j  1,16 

 ' j T = T  j sau T =  ' j T  j

(2.19)

În particular, pentru j = 2,3,4,5 avem :

 ' T = T  

(2.20)

Vom demonstra mai departe că matricea T este nesingulară . Pentru aceasta vom arăta mai întâi că se poate alege A astfel încât T să fie diferită de matricea 0 (cu toate elementele nule) . Vom proceda prin metoda reducerii la absurd . Astfel , vom considera că toate elementele matricii T ar fi nule pentru oricare matrice A :  4  Tmn =      'i mp  A pq  i qn  = 0 ,  m, n = 1,4 i =1  p ,q =1  16

(2.21)

Să alegem matricea A astfel încât elementele ei să fie de forma

 A pq =  pr qs

(2.22) 18

unde indicii r şi s sunt arbitrar aleşi . De pildă , pentru r=1 şi s=2 0 0 A= 0  0

1 0 0 0 0 0  0 0 0  0 0 0

(2.23) Dacă introducem elementele de forma (2.22) ale matricei A în relaţia (2.21) aceasta devine :

  '      = 0 16

i mr

i sn

,  s, n = 1,4

(2.24)

i =1

Adevarată pentru oricare s şi oricare n , relaţia (2.24) poate fi pusă sub forma compact matriceală 16

 ' 

i mr

i = 0

(2.25)

i =1

care contrazice liniar independenţa matricelor  i , pentru că coeficienţii   'i mr nu sunt toti nuli , din moment ce   'i  = 1 . Astfel , rezultă că există matricea A astfel încât T  0 . Mai departe vom demonstra că T este nesingulară . Fie 2

16

T ' = i A '  'i

(2.26)

i =1

( Aici am schimbat rolurile matricelor  şi  ' faţă de relaţia (2.13) ) . Un calcul analog celui care ne-a condus de la (2.13) la (2.19) ne dă că T ' =  jT '  ' j

 j  1,16 

(2.27)

Am arătat mai sus că există A ' astfel încât T '  0 . Atunci , înmulţind relaţiile (2.19) şi (2.27) membru cu membru, avem T 'T =  jT '  ' j  ' j T  j =  j (T 'T ) j ,  j  1,16  1

(2.28) 19

Aşadar matricea T 'T comută cu toate matricele  . Atunci , conform lemei lui Schur, rezultă că T 'T = c1 unde c  0 . Din moment ce T '  0 , rezultă că există T 1 = c1T ' . Atunci relaţia (2.20) poate fi scrisă şi sub forma

 ' = T  T 1

(2.29)

Pentru a demonstra că matricea T este unică vom proceda tot prin reducere la absurd . Astfel, vom considera că exista doua matrice, T1 şi T2 care satisfac simultan unor relaţii de forma (2.20.b) :

 ' = T1 T11 şi

 ' = T2 T21 sau

  = T21 ' T2 1  1 Atunci avem  ' = TT sau 1 2  ' T2T1 1  1  ' = TT 1 2   ' TT 1 2 

1

(2.30)

1 Deci matricea TT comută cu toate cele 4 matrice  ' şi , conform lemei lui 1 2 Schur , este un multiplu al matricii unitate 1 TT 1 2 = c1

sau

(2.31)

T1 = cT2

ceea ce demonstrează unicitatea matricii T , până la o constantă multiplicativă arbitrară , c . Această constantă poate fi fixată printr-o condiţie de '' normare '' de forma DetT =1

(2.32)

la o valoare egala cu 1 = 1 sau i . În sfârşit , vom demonstra că matricea T este unitară . Vom porni de la relaţia (2.20)  ' T = T   şi vom scrie adjuncta ei sub forma 1/ 4

20

T    '  =     T  



(2.33)

unde , conform cu (2.1) , avem    =  0  0 dar şi 

 ' 

 

=  '0  '  '0

  = 0,3 . Putem prelucra relaţia (2.33) după cum

urmează :

T  '0  '  '0 =  0  0T  sau, conform cu (2.29) T  T  0T 1 T  T 1 T  0T 1  = T T   0  0T 1 =  0  0T 

sau încă ,

T T    

0



 0 =  0  0 (T T )

Înmulţind ultima relaţie , membru cu membru, la stânga şi la dreapta , cu  0 şi având în vedere că   0  = 1 rezultă : 2

 T T    0



0



=    0T T  0 

  = 0,3

deci  0T T  0 ,    = 0

  = 0,3

Atunci , conform lemei lui Schur ,  0T T  0 = c1 . După repetarea aceleiaşi înmulţiri cu  0 rezultă că T T = c1 . Prin urmare avem : T  = cT 1

(2.34)

unde condiţia de normare (2.32) fixează constanta c = 1 . Atunci

T  = T 1

(2.35)

ceea ce înseamnă că matricea T este unitară .

21

3. Invarianţa relativistă a ecuaţiei Dirac În conformitate cu programul pe care ni l-am propus , vom cere în mod imperativ ca ecuaţia Dirac să-şi păstreze forma în orice sistem de referinţă inerţial , deci să fie covariantă. Acest deziderat presupune în primul rind ca forma (1.27) a ecuaţiei Dirac să fie Lorentz invariantă şi , în al doilea rând , presupune existenţa unor reguli clare de transformare pentru componentele bispinorului  , pe care le vom deduce în cele ce urmeaza. Să considerăm două sisteme de referinţă Lorentz , L şi L’ , şi o transformare Lorentz omogenă de forma x ' =   x

,  = 0,3

(3.1.a)

a coordonatelor spaţio-temporale măsurate de doi observatori în fiecare din cele două repere, pe care o putem pune sub forma compact matriceală x ' = x

(3.1.b)

Elementele matricei  trebuie să satisfaca relaţiilor de pseudo-ortogonalitate g  =     g 

care se pot scrie de asemenea sub o formă matriceală : g = g T . Transformarea (3.1) poate să descrie o rotaţie obişnuită a axelor carteziene , o transformare Lorentz specială ( de '' boost '' ), sau o combinaţie a acestora , după cum poate să descrie şi o inversie a unora dintre coordonatele Minkowskiene , adică o inversie spaţială sau temporală . Covarianţa teoriei presupune existenţa unei relaţii locale , bine definite de transformarea (3.1) , între bispinorii   x  şi  '  x ' care descriu o aceeaşi situaţie fizică observată în cele două sisteme de referinţă L şi L’ . Având în vedere că atât ecuaţia Dirac (1.27) cât şi transformarea (3.1) sunt liniare în raport cu coordonatele Minkowskiene , rezultă că relaţia locală dintre   x  şi  '  x ' trebuie să fie de asemenea liniară , cu coeficienţi care să depindă numai de elementele matricei  a transformarii , nu şi de punctul x , adică de forma

 '  x ' = S     x  =   x  = S      1x ' sau , pe componente spinoriale :

1

(3.2.a)

4

 'i  x ' = Sij    j  x 

i = 1,4

(3.2.b)

j =1

Independenţa de coordonatele spaţiale şi de timp a coeficienţilor Sij    care intervin în relaţia de transformare a bispinorului , când se trece de la un sistem de referinţă inerţial la altul , este consecinţa omogenităţii spaţiului şi a timpului , ipoteză fundamentală în teoria relativităţii restrânse. Coordonatele Minkowskiene x şi x ' se referă la acelaşi punct din spaţiu , reperat însă faţă de cele două sisteme L şi L’ . Am introdus astfel o matrice 4  4 , S    , care realizează legatura dintre componentele bispinorilor   x  şi  '  x ' , asociată transformarii (3.1) . Din motive evidente de simetrie , transformarea   x    '  x ' trebuie să fie inversabilă , astfel că vom avea şi

  x  = S 1    '  x ' = S 1    '  x  = S   1  '  x  (3.3) ceea ce demonstreaza că S 1    = S   1  . Din punct de vedere fizic existenţa transformarii inverse , de la bispinorul  '  x ' la bispinorul   x  , este firească , deoarece trecerea de la un sistem de referinţă la altul trebuie să fie posibilă în ambele sensuri. Misiunea noastră în cele ce urmează este să demonstrăm existenţa unei matrice S cu proprietăţile de mai sus, care să asigure invarianţa formală a ecuaţiei Dirac la o transformare Lorentz (3.1) . Pentru aceasta considerăm că   x  este o soluţie a ecuaţiei Dirac (1.27) mc    1   x  = 0  i    

(1.27)

Fie  '  x ' bispinorul care descrie observatorului din L’ aceeaşi situaţie fizică pe care   x  o descrie celui din L . Pentru ca teoria să fie Lorentz invariantă trebuie ca ecuaţia diferenţială căreia îi satisface  '  x ' în raport cu coordonatele x ' din L’ să aibă exact aceeaşi formă ca şi (1.27). Folosind transformarea (3.1) putem scrie că  x '     =  =    '  x x x '

,  = 0,3

(3.4)

Dacă introducem relaţiile (3.3) şi (3.4) în ecuaţia (1.27) , aceasta devine 2

mc  1    1  S    '  x ' = 0  i    '   

(3.5)

sau , după înmulţirea la stânga cu S    mc    1  1  '  x ' = 0  iS S    '   

(3.6)

Ecuaţia (3.6) este similară ecuaţiei (1.27) numai dacă există matricea S astfel încât matricele

 ' =   S  S 1 = S '' S 1 ,  = 0,3

(3.7)

să aibă proprietăţile (2.1) . În relaţia de mai sus am notat cu  '' matricele

 '' =    

,  = 0,3

(3.8)

Din moment ce toate reprezentările ireductibile ale algebrei Dirac sunt unitar echivalente , rezultă că putem considera că  ' =   . Atunci ecuaţia Dirac are în L’ aceeaşi formă ca şi în L : mc    1  '  x ' = 0  i '  '   

(3.9)

Într-adevăr , se poate verifica cu usurinţă că şi matricele  ' satisfac relaţiilor (2.1)

 ' ,  '  =  



 

S  S 1 ,   S  S 1 =     S   ,    S 1  2 g 1

= 2 g      = 2 g  1 (3.10)

întocmai ca şi matricele  '' :

 '' , ''  =  



 

  ,      = 2 g      = 2 g  1

3

(3.11)

astfel încât existenţa matricei S din formula (3.7) este asigurată prin teorema fundamentală a lui Pauli . Conform aceleiaşi teoreme , toate reprezentările ireductibile ale algebrei Dirac (2.1) sunt unitar echivalente , astfel încât putem face ca  ' =   ( = 0,3) printr-o alegere potrivită a constantei multiplicative până la care este determinată matricea S. Atunci ecuaţia (3.9) se scrie mc    1  '  x ' = 0  i  '   

(3.12)

iar formulele (3.7) devin un sistem de ecuaţii pentru determinarea matricei S    asociată unei transformări definita de matricea Lorentz  :

  =   S  S 1 ,  = 0,3

(3.13)

    = S 1  S

(3.14)

sau ,  = 0,3

Avem, de asemenea, şi relaţiile

   =  0  0

 = 0,3

sau explicit

 0 =  0 şi

(3.15)

 k  =  k

,

k = 1,3

Putem explicita relaţia (3.14) şi adjuncta ei sub forma 3

 0   k  k = S 1  S 

0

(3.16)

k =1

şi 3

 0   k  k = S  0  0 ( S 1 ) 

0

k =1

4

(3.17)

După ce înmulţim ambii membri ai ecuaţiei (3.17) cu  0 şi la stânga şi la dreapta 3

 0 ( 0 0   k k ) 0 =  0 S  0  0 ( S 1 )  0 k =1

şi avem în vedere că   0  = 1 şi că  0 k =  k 0 , (k = 1,3) se obţine : 2

 0 0   k  k =  0 S  0     0 S  0  3

1

(3.18)

k =1

Comparând relaţiile (3.16) şi (3.18) rezultă S 1  S =  0 S  0     0 S  0 

1

(3.19)

sau

  =  S 0 S  0     S 0 S  0 

1

,  = 0,3

(3.20)

Matricea S 0 S  0 comută cu toate matricele  şi este , conform lemei lui Schur , multiplu al matricei unitate , deci

S 0 S  0 = c1

(3.21.a)

Putem scrie această ultima relaţie în mai multe forme echivalente , astfel :

S 0 S  = c 0

(3.21.b)

S 0 S  = c* 0

(3.21.c)

S  0 = c 0 S 1

(3.21.d)

Din (3.21.a) rezultă că Det  S 0 S  0  = Det  0  Det (S ) Det (S  ) = Det ( S ) = c 4 2

2

5

(3.22)

deci se poate determina constanta prin condiţia Det (S ) = 1 de unde rezultă c = 1 . Folosind (3.21.d) şi (3.14) se poate scrie S  S = S  0 0 S = c 0 S 1 0 S = c 0  0   = 3 3     = c 0   00 0   0k  k  = c   00 1   0k  0 k  k =1 k =1    

(3.23)

Matricea S  S este hermitică şi nesingulară , iar valorile sale proprii sunt reale şi pozitive . Atunci şi Tr  S  S  > 0 . Având în vedere că Tr  0 k  = 0 , rezultă : Tr  S  S  = 4c00 > 0

(3.24)

deci c = sgn(00 ) ceea ce înseamnă că c = 1 pentru transformarile ortocrone (  00  1 ) şi c = 1 pentru transformarile anticrone ( 00  1 ) .

6

4. Transformări Lorentz ; transformarea soluţiilor ecuaţiei Dirac Să considerăm pentru început o transformare Lorentz omogenă proprie de forma ,  = 0,3

x ' =   x

(4.1)

sau sub formă matriceala x ' = x , Det () =1

(4.2)

O astfel de transformare realizează trecerea de la un sistem de referinţă inerţial , L , la un altul , L’ . Ea poate fi o simplă rotaţie a axelor de coordonate în spaţiul euclidean tridimensional , prin care nu se părăseşte sistemul de referinţă , sau poate fi o transformare Lorentz specială (''boost'' ). În ambele cazuri , transformarea considerată poate fi descompusă într-o succesiune (infinită ) de transformări Lorentz infinitezimale , adică transformari care modifică coordonatele Minkowskiene prin cantităţi arbitrar de mici . Matricea unei astfel de transformări diferă de matricea unitate prin termeni arbitrar de mici . Fie un al treilea reper inerţial , L’’, la care se ajunge din L’ printr-o transformare infinitezimală descrisă de matricea  . Trecerea de la bispinorul  ' la bispinorul  '' este descrisă de matricea U () . Să notăm cu  matricea care 



face diferenţa între transformarile Lorentz L  L’ şi L  L’’ şi cu  S matricea care face diferenţa între aceleaşi transformări Lorentz ale componentelor bispinorului  . O schemă a acestei transformări prezentată 

mai jos pune în evidenţă faptul că transformarea infinitezimală L’  L’’ poate fi descompusă ca succesiunea a doua transformari finite :   

L

 1



L'  L'' S  S 



S

U

 '  ''

S 1

7

La rândul ei , transformarea infinitezimală  poate fi descompusă sub forma 

produsului  =       1 = 1   1 astfel ca transformarea L’  L’’ are forma compact matriceala x '' = x ' = 1   1  x '

(4.3)

Se observă că matricea  asociată transformarii infinitezimale diferă de matricea unitate prin termenii arbitrar de mici  1 . Dacă   x  este o soluţie a ecuaţiei Dirac , care descrie o anumită situaţie fizică în sistemul inerţial L , atunci aceeaşi situaţie fizică va fi descrisă în sistemele L’ şi L’’ de bispinorii  '  x ' şi respectiv  ''  x '' care sunt soluţii ale ecuaţiei Dirac în sistemele respective . Noi nu ne propunem să rezolvam ecuaţia Dirac în fiecare sistem inerţial , ci să găsim soluţia ei în oricare sistem de referinţă Lorentz , atunci când o cunoaştem într-un anumit sistem particular . Pentru aceasta avem nevoie 

să ştim cum o anumita transformare Lorentz L  L’ determină transformarea S

corespunzătoare a bispinorului   x    '  x '

 '  x ' = S     x 

(4.4)

În schema de mai sus am notat cu  S diferenţa dintre cele două matrice care asociază lui   x  bispinorii corespunzători în sistemele L’ şi L’’ , adică  '  x ' respectiv  ''  x '' . Se poate şi în acest caz descompune transformarea infinitezimală a bispinorilor dată de matricea U () într-un produs de două transformări finite :

 ''  x '' = U () '  x ' =  S   S  S 1 '  x ' = (1   S S 1) '  x '  (4.5) Aşadar matricele  şi U () diferă de matricea unitate prin matrice ale căror elemente sunt mărimi infinitezimale :  = 1   1 = 1    U () = 1   S S 1 (4.6) 8

Am notat în mod generic cu  parametrul care descrie ''amplitudinea'' transformării ( în cazul nostru acest parametru ,  , este o mărime infinitezimală ) şi cu  matricea arbitrară care caracterizează natura acestei transformări. Este de dorit să introducem o parametrizare care să asocieze valorii  = 0 transformarea identică descrisă de matricea unitate. De pildă ,  poate fi un unghi în cazul în care transformarea este o rotaţie a axelor carteziene , iar elementele matricei  depind numai de directia axei de rotaţie . În cazul în care transformarea este un '' boost '' de viteza v ,  poate fi introdus v prin relaţia uzuală th =  = , unde am notat cu c viteza luminii în vid . c Atunci elementele matricei  sunt date de direcţia acestui '' boost '' , definită prin versorul v / v . Se poate arăta că matricea  este antisimetrică . Astfel , pornind de la relaţiile de pseudo-ortogonalitate cărora le satisface matricea  , rezultă după neglijarea termenilor pătratici în parametrul arbitrar de mic  g  =     g  =  g      g    g  =

(4.7) = g    (    )  ( 2 )

de unde rezultă că

  = 

(4.8)

Trebuie observat însă că       g  , astfel că relaţia (4.8) se poate scrie sub forma matriceală

 T   g g unde cu g am notat matricea asociată tensorului metric. Relaţiile de antisimetrie de mai sus satsisfăcute de cele 16 elemente ale matricei 4  4  arată ca aceasta are numai şase elemente independente, ceea ce reflectă de altfel proprietatea cunoscută a transformărilor Lorentz omogene care sunt caracterizate de 6 parametri independenti ( grupul transformărilor Lorentz omogene este un grup Lîe cu 6 parametri ) . Atunci este natural să construim matricea U () asociată acestei transformări infinitezimale tocmai ca o combinaţie liniară a acestor 6 parametri independeţi (elementele independente ale lui  ) având drept ''coeficienţi'' 6 matrice 4  4 constante , care nu depind de transformarea propriuzisă , pe care le vom nota cu G  şi le vom numi ''generatori infinitezimali'' : 9

1 U () = 1   S S 1 = 1    G  2

(4.9)

În expresia de mai sus  sunt numere, iar G  sunt matrice 4  4. Datorită faptului că  =  , matricele G sunt astfel definite încât G  = G

iar factorul 1/2 este introdus pentru a reduce la jumătate contribuţia termenilor egali de tipul 01G 01  10G10 . Dacă neglijăm din nou termenii de ordinul  2 rezultă că 1 U 1 () = 1    G  2

(4.10)

După cum am aratat în paragraful precedent , din motive legate de covarianţa teoriei , trebuie ca matricea U () asociată transformării Lorentz (4.3) să satisfacă unor condiţii de forma (3.14) U 1 () U () =    

,  = 0,3

(4.11)

sau , prin folosirea relaţiilor (4.9) şi (4.10) 1 1         1    G    1    G  = 2 2     1   g           g         2





(4.12)

Dacă neglijăm termenii de ordinul II în  putem scrie mai departe

   , G   =   g    g    

(4.13)

Întrucât cei 6 parametri  =  sunt liniar independenţi , rezultă că cei 6 generatori infinitezimali trebuie să satisfaca relaţiilor :   , G   =  g    g    

,

Observând că 10

 = 0,3

(4.14)

  ,   ,     =                          =   

=  2 g            2 g           



 2g



    2g  

 

 

= 4  g     g 







 





(4.15)



rezultă că putem identifica 1 1 G =   ,    =   4 2i

(4.16)

unde am notat i   =   ,    =   2

(4.17)

Putem observa imediat că  12 = i 1 2 = 8 ,  23 = i 2 3 = 6 ,  31 = i 3 1 = 7 ,  01 = i 0 1 = i9 ,  02 = i 0 2 = i10 şi  03 = i 0 3 = i11 . Vom defini următoarele matrice hermitice 1 =  23 = i 2 3 = 1  2 =  31 = i 3 1 =  2

(4.18)

3 =  12 = i 1 2 = 3

sau i =

1 3  ijk jk  2 j ,k =1

i = 1,3

(4.19.a) Ele pot fi reunite în tripletul    1 , 2 , 3 . Se poate scrie şi relaţia 3

 ij =  ijk  k k =1

Vom defini , de asemenea, matricea 11

 5 = i 0 1 2 3 = i 3 2 1 0 =  5

(4.20)

Putem observa că  =  5 0 

(4.21)

unde am notat cu  tripletul  1 ,  2 ,  3  . Se observă cu uşurinţă , chiar din definiţia (4.20) , că  5  = 1 . În acelaşi timp , se pot demonstra imediat relaţiile de comutare 2



,    = 0 ,   = 0,3

(4.22)

 5 ,    = 0 ,   , = 0,3

(4.23)

5

şi

Acestea rezultă imediat din definiţia (4.20) şi din proprietăţile (2.1). Mai observăm că 1 1   Det U  = Det  1   G   = 1    Tr  G   2 2  

  2

(4.24)

=0

astfel că este satisfacută şi condiţia ''de normare'' Det U  = 1

(4.25)

din moment ce Tr  G   = Tr    = 0

(4.26)

Conform relaţiilor de mai sus , avem 1 2

i 4

 S S 1 =   G  =     

(4.27)

Se pot explicita cei 6 generatori infinitezimali ai transformării Lorentz

12

1 1 1 1 1 1 G 01 =  0 1 = 1; G 02 =  0 2 =  2 ; G 03 =  0 3 =  3 2 2 2 2 2 2

1 i G12 =  1 2 =  3 ; 2 2 (4.28)

1 i G 23 =  2 3 =  1; 2 2

1 i G 31 =  3 1 =   2 2 2

Cei trei generatori infinitezimali G 0k , (k=1,2,3) sunt asociaţi transformării Lorentz speciale în care axele de coordonate din cele două sisteme de referinţă inerţiale sunt paralele (transformare “de boost” ) . Ceilalţi trei generatori infinitezimali G kj ( k , j=1,2,3 şi k  j ) descriu transformarea bispinorilor când are loc o rotaţie a axelor de coordonate în spaţiul euclidean tridimensional , fără părăsirea sistemului de referinţă considerat . Dacă integram ecuaţia (4.27) cu condiţia ca S ( )  =0 = 1 astfel încât valorii  = 0 a parametrului să-i corespunda transformarea identică, găsim că pentru o transformare finită ( corespunzatoare unei valori finite , oarecare a lui  ) avem n i       1 i   4 S   = e  1         (4.29) n ! 4   n =1 Există două clase de transformări proprii: a) rotaţiile sistemului de axe carteziene şi b) transformarile Lorentz speciale ( ''boost'' ) a)

În cazul rotaţiilor , rolul parametrului îl joacă unghiul de rotaţie , pe care îl vom nota cu  . Pentru rotaţia de unghi infinitezimal  , în jurul unei axe de rotaţie a carei directie în spaţiu este definită prin versorul n , avem relaţia de transformare r ' = r   n  r

(4.30)

sau , pe componente x '1 = x1    n2 x3  n3 x 2  x '2 = x 2    n3 x1  n1 x 3 

(4.31)

x '3 = x3    n1 x 2  n2 x1  13

de unde rezultă că elementele nenule ale matricei  sunt

12 = 12 = n3 ;  23 = 23 = n1 ;  31 = 31 = n2 Atunci putem scrie că

   = 2  12 12  23 23  31 31  = 2  n11  n22  n33  =  2n   (4.32)

iar relaţia (4.29) ne dă mai departe că S   = e

i  n 2

(4.33)

sau 

1i  S   = 1     n     k =1 k!  2

k

(4.34)

Adunând membru cu membru relaţiile (2.1) şi (4.17)





,    =         = 2g  1

  ,    =         = 2i 

vom putea scrie că

   = g  1  i 

(4.35)

astfel că , dacă avem în vedere şi relaţiile (4.22) , obţinem 3

i  j =  5 0 i 5 0 j =  i j =  g ij 1  i ij =  ij 1  i  ijk  k

(4.36)

k =1

=  i j

Atunci , pentru orice doi operatori vectoriali , A şi B , care comută cu matricele  , putem scrie relaţia ( Dirac ) : 14



  3  3 A   B   =  Ai i   B j  j  = A  B 1  i   A  B  i =1   j =1 













(4.37.a)

  3  3 A   B   =  Ai i   B j j  = A  B 1  i   A  B  i =1   j =1 

(4.37.b)

şi o relaţie similară care rezultă tot din (4.36) :















Pentru versorul n putem scrie prin urmare că



n    n2  1





n

2

(4.38)

deci



k

  1 =  n  

pentru k=par pentru k=impar

Atunci putem scrie pe S   în formula (4.34) astfel: k  1i   S   = 1 1        n    k = par k!  2   (4.39)



deci S   = 1 cos

 2





 i n   sin





1i     k =impar k!  2 

k

(4.40)

2

Faptul că în expresia matricei S   care realizează transformarea bispinorului la o rotaţie apare semiunghiul  / 2 ne arată că transformarea identică ( atunci când spinorul rămâne nemodificat ) se obţine nu pentru o rotaţie completă , cum am fi putut crede ,  = 2 , ci pentru  = 4 . De aceea , în teoria spinorială a lui Dirac , observabilele fizice trebuie să fie mărimi bilineare sau de ordin par în bispinorul   x  pentru ca acestea să nu se modifice la o rotaţie completă de unghi 2  . În cea mai uzuală reprezentare a lor , ( reprezentarea Dirac , sau standard ) matricele  au forma bloc-diagonală

15

0    0   

 =

 0   

1 0    0 1 

 =0 =

;



 =

 0  =  0   

 ; 0 

(4.41)

unde 1 şi 0 sunt matricea unitate şi respectiv matricea nulă 2  2 , iar   1 ,  2 ,  3  sunt matricele lui Pauli 0 1  0 i  1 0  ; 2 =  ; 3 =     1 0 i 0   0 1

1 = 

(4.42)

Astfel , în reprezentarea standard , matricea S care transformă bispinorul Dirac la o rotaţie de unghi  în jurul axei a treia (Oz) , ( n = e3 ) este





S  , e3 = 1 cos  i2 e   0 =  0    0

0 e

i

 2

0

 2

0 i



0

e2

0

0

 i3 sin



(4.43)

2

 0   0   0   i  e 2 

Se poate observa în oricare din formulele (4.33) , (4.34) sau (4.40) că , datorită faptului că matricele  sunt hermitice , atunci matricea S   este unitară : S 1   = S    = S    .

b) În cazul unei transformări Lorentz speciale (''boost'' ) corespunzatoare unei viteze v = c  = vn = c n cu care sistemul de referinţă L’ se deplasează faţă de L , matricea transformării (3.1) se poate pune sub forma de blocuri

16

    =    

 

unde  =

1 1  2

   ij    1 ni n j    

(4.44)

. Vom introduce parametrul  prin relaţia  = ch  1 . Astfel,

avem v c

 = = th şi

(4.45)

 = sh iar elementele matricei  pot fi scrise sub forma  ch  , n =    n sh 

 

   ij   ch  1 ni n j    n sh

(4.46)

Evident , pentru  = 0 , matricea  devine matricea unitate , asociată transformarii identice . Pentru a gasi matricea asociată unei transformari infinitezimale vom dezvolta în (4.46) elementele de matrice în jurul valorii  = 0 şi obţinem :  0 n     2  (4.47)   , n = 1     n 0   





Observăm că singurele elemente nenule ale matricei  (4.6) prin care   , n diferă de matricea unitate sunt  i 0   0i  0i  ni i = 1,3 . Atunci





putem scrie ( având in vedere că  0i = i 0 i = ii , i = 1,3 ) că

   = 2  01 01  02 02  03 03  = 2i(n11  n2 2  n33 ) = 2in  

 

astfel că matricea S  , n care realizează transformarea bispinorului în cazul unui boost de viteza v = c th în directia şi sensul date de versorul n este , conform relaţiei (4.29)

17





S  , n =e

1   n 2



1 1  = 1      n   2  k =1 k! 

k

(4.48)



Dacă avem în vedere relaţia (4.37.b) vom observa că n  



n 



k

pentru k=par   1 =  n   pentru k=impar

iar formula (4.48) devine k  1    S  , n = 1 1       n    k = par k!  2  





2





= 1 astfel că

(4.49)



1       k =impar k!  2  k

(4.50) = 1ch

 2





 n   sh

 2

Dintre transformarile improprii vom studia în particular inversia spaţială şi inversia temporală. c) Inversia spaţiala (IS) Matricea asociata acestei transformari are forma : 1 0 0 0   1 0   0 1 0 0    IS =   =    0 0  1 0  0 1     0 0 0 1

(4.51)

Vom nota cu P = S IS ( de la paritate ) matricea care realizează transformarea bispinorului Dirac şi care trebuie să satisfacă relaţiilor de forma (3.14)     = P1  P

,  = 0,3

(4.52)

sau , explicit

18

 0 = P 1 0 P şi

(4.53)

 k = P 1 k P , k = 1,3

Observăm din relaţiile de mai sus că putem lua matricea P ca fiind chiar  0 ( până la o fază arbitrară ignorabilă ) , având în reprezentarea standard forma deja cunoscută 1 0  P=0 = = P 1   0 1 

(4.54)

d) Inversia temporala (IT) Matricea transformarii este

 1  IT =   0

 1  0  0 = 1   0  0

0 0 0 1 0 0  0 1 0  0 0 1

(4.55)

Dacă notăm cu T = S IT matricea asociată care transformă bispinorii , atunci ecuaţiile (3.14) se scriu în acest caz sub forma  0 = T 1 0T şi

 k = T 1 kT

(4.56) , k = 1,3

Rezultă atunci că T =  5 0 =  5 0 şi

(4.57)

T 1 =  0 5 =  0 5

19

5. Covarianti biliniari ai bispinorilor Dirac În paragraful precedent am aratăt că matricele lui Dirac satisfac relaţiilor

 ,   = 0 

5

 = 0,3

şi

(5.1)

 5 ,   = 0

 , = 0,3

De asemenea , am arătat că matricea S asociată unei transformări Lorentz proprii (  = Det    = 1 ) are forma generală S  = e

i      4

(5.2)

Pentru o transformare improprie (  = Det    = 1 ) , aşa cum am arătat mai sus , matricea S este chiar  0 în cazul inversiei spaţiale şi  5 0 în cazul inversiei temporale . Având în vedere relaţiile (5.1) şi (5.2) putem scrie , pentru transformarile proprii   = 1 că

 5 , S    = 0

(5.3)

În cazul transformărilor improprii   = 1 avem , pentru ambele tipuri de inversii studiate , că

 5

, P = 0

şi

 5

(5.4) , T = 0

Putem combina relaţiile (5.3) şi (5.4) într-una singură de forma S     5 =  5 S   

(5.5)

Vom considera în continuare diferitele mărimi biliniare care pot fi construite cu bispinorii   x  şi   x  , soluţii ale ecuaţiei Dirac (1.27) şi (1.30) . Mai întâi ne vom reaminti că la o transformare Lorentz bispinorul Dirac se transformă potrivit relaţiei (3.2) 1

  x   '  x ' = S  x 

(5.6)

unde , conform relaţiei (3.21) avem

iar

S  0 = c 0 S 1

(5.7)

c = sgn  0 0 

(5.8)

Ne interesează pentru moment numai cazul transformărilor ortocrone ( c = 1 ) care pot fi rotaţii   = 1 sau inversii spaţiale   = 1. Din relaţiile (5.6) şi (5.7) rezultă ca bispinorul adjunct se transforma ca

  x   '  x ' =  '  x '  0 =    x  S  0 =    x  0S 1 =   x  S 1 (5.9) Vom vedea în cele ce urmează cum se transformă o serie de marimi bilineare în   x  şi   x  , ca rezultat al efectuării unei transformări Lorentz :

 '  x ' '  x ' =   x  S 1S  x  =   x   x 

(5.10)

Aşadar , mărimea   x   x  rămâne invariantă , având caracterul unui scalar faţă de transformarile Lorentz ortocrone . Conform cu (5.5) avem

 '  x '  5 '  x ' =   x  S 1 5 S  x  =   x  S 1S 5  x  = (5.11)    x   5  x 

deci mărimea   x   5  x  se comportă ca un pseudoscalar. Conform cu (3.14) avem

 '  x '   '  x ' =   x  S 1  S  x  =    x    x  deci mărimea   x     x  se comportă ca un 4-vector. Conform cu (5.1) avem 2

(5.12)

 '  x '  5  '  x  =   x  S 1  5 S  x  =   x  S 1  S 5  x   (5.13) =    x     5  x  =    x   5   x 

deci mărimea   x   5   x  se comporta ca un pseudo 4-vector. Conform cu relaţia (3.14) avem

 '  x '  '  x '  =   x  S 1          S  x   i 2

i =   x  S 1    SS 1     SS 1   S  x   2

(5.14) i =   x                  x   2 =      x    x 

Astfel, mărimea   x    x  se comportă ca un 4-tensor de rangul doi. Proprietăţile de transformare ale altor mărimi se pot deduce cu usurinţă , după modelul de mai sus , apelând de fiecare dată la proprietăţi ale matricelor lui Dirac pe care le-am invocat şi noi aici .

6 Reprezentari ale matricelor lui Dirac În paragrafele precedente am amintit deja reprezentarea standard ( Dirac ) a matricelor lui Dirac . Pentru această reprezentare , ca şi pentru celelalte pe care le vom defini mai jos , vom folosi notaţiile bloc-diagonale şi matricele lui Pauli (4.42). Astfel, avem 1 0    0 1 

 =  0 = 3 1 = 

(6.1) 3

0     0  

 = 1   =  

(6.2)

 0   

 =  = i 2   = 

  0 

(6.3)

0 1  1 0

 5 = 1  1 = 

(6.4)

 0   =  5 0  = 1   =   0    0

 0i = i 1   i = i i = i   i

(6.5)

i  0 

3

3

3

k =1

k =1

k =1

(6.6)  k 0

 =  ijk k =  ijk 1   k =  ijk  ij

0  k 

 0 1  T =  5 0 = i 2  1 =   1 0 

   0 

 5  =  3   = 

(6.7)

(6.8)

0   

(6.9)

Reamintim că în expresiile de mai sus 1 şi 0 sunt matrice 2  2 . O altă reprezentare , unitar echivalentă cu reprezentarea standard , este reprezentarea Majorana . Legatura acesteia cu reprezentarea Dirac este dată de relaţiile    Majorana = U  Dirac U

(6.10)

unde 4

1  1 2    2   2 1 

U = U  = U 1 =

(6.11)

Astfel, în reprezentarea Majorana avem:

2 

0

 =  0 = 1   2 = 

0 

 2

(6.12)

 0  1     1 0 

1 =  1   1 = 

(6.13)

1 0    0 1 

2 =  3  1 = 

 0   3

 3 =  1   3 = 

(6.14)  3  0 

(6.15)

 3 0    0 3 

 1 = i1   3 = i  (6.16)

0

 2 = i 2   2 = 

 2

 2  0 

(6.17)

 1 0    0 1 

 3 = i1   1 = i   2 0

5 = 3 2 = 

(6.18)

0   2 

(6.19)

După cum se poate observa , în reprezentarea Majorana toate cele 4 matrice     = 0,3 sunt imaginare. O altă reprezentare unitar echivalenta cu reprezentarea Dirac (reprezentarea chirală ) se obţine prin transformarea

5

   Chiral = U  Dirac U

(6.20)

cu 1  1 1    2 1 1 

U=

(6.21)

şi de asemenea U  = U 1 = U T . În această reprezentare matricele au forma:  0 1    1 0 

 =  0 =  1  1 =   0   

 = i 2   = 

(6.22)

  0 

(6.23)

1 0    0 1 

(6.24)

 i 0

(6.25)

5 = 

0   i 

 0i = i  3

 k 0

 ij =  ijk  k =1

0  k 

(6.26)

7. Alte proprietăţi ale matricelor Dirac Vom enumera (şi demonstra ) în continuare o serie de proprietăţi utile ale matricelor lui Dirac , alături de cele pe care le-am amintit deja . Trebuie să avem în vedere că 4-tensorul unitate complet antisimetric este astfel definit încât  0123 = 1 1)

5 =

i          4!

(7.1)

6

pentru că          = 4! 0123 0 1 2 3 = 

4! 5 i

2)

i 2

 5  =    

(7.2)

Rezultă din definiţiile matricelor respective că  i  i

 5  =                      4!  2 =

1   48

=

  g



      g       g        g               

 

1  1                =                  12 4

1 1 i =              =      ,    =     4 4 2 3)

4)

5)

6)

   = g  1 = 4

(7.3)

     =   2 g        = 2 

(7.4)

       =     2 g        = 2  ,    = 4 g 1

(7.5)

          =        2 g        = 2       4 g     (7.6)

= 2     

7

7)

            =          2 g         (7.7) = 2                 

În deducerea unora dintre relaţiile de mai sus se face apel la cele demonstrate înaintea lor. Mai departe , având în vedere definiţia (1.25) A =   A putem scrie, folosind aceste expresii , că 4’)

 A  = 2 A

(7.4')

 AB   = 4 A  B

(7.5’)

 ABC   = 2 CBA

(7.6’)

 ABCD   = 2  DABC  CBAD 

(7.7’)

5’)

6’)

7’)

Alte relaţii utile pot fi demonstrate după cum urmează : 8)





Tr  1

2



 2 n1

=0

(7.8)

pentru că putem scrie





Tr  1 =  1

2

2 n 1





 2 n1



Tr  1

 = Tr 

2



1  2

 2 n1





=0

8

 2 n1 2







 5 = Tr  5 1

2



 2 n1



5 =

9)





Tr  1

2



2 n

 = Tr 

2 n



 2

1



(7.9)

Pentru demonstrarea relaţiei de mai sus avem în vedere că



T

,   T  =   ,    = 2 g  1 T

şi că

  =   T 

 T

=  0T  T  0T

aşa cum rezultă din relaţiile (2.1) . Atunci , conform teoremei fundamentale a lui Pauli , există matricea unitara , C , astfel încât   = C T C 1 . Înlocuind în (7.9) putem scrie că





Tr  1

2



1T



2 n

= Tr 

= Tr 





2 n

 2T

 = Tr C

1T





 

 2

 2 nT

1



C 1 C

 = Tr   2 n 



 2T

 2

C 1

 C

 2 nT

C 1

 

  =

1 T



10) Având în vedere relaţia    = g  1  i  şi faptul că Tr    = 0 , putem scrie că Tr     = 4 g 

(7.10)

şi de asemenea

Tr  AB  = 4 A  B

(7.10’)

Putem arăta cu usurinţă , folosind relaţiile de anticomutare (2.1) , că

               = 2  g     g     g     

9

Atunci , folosind şi relaţia (7.10) , rezultă că Tr          = Tr         

(7.11) = 4  g  g   g  g   g  g  

precum şi

Tr  ABCD  = 4  A  B  C  D    A  C  B  D    A  D  B  C 

(7.11’)

şi de asemenea Tr  5  = 0.

12)

Tr  5   = 0

(7.12)

pentru că , fiind un produs a trei matrice Dirac,  5  este una dintre cele 15 matrice  j 13)

14)

15)

 j = 2,15.

Tr  5     = 0

(7.13)

Tr  5       = 0

(7.14)

Tr   5        = iTr  3 2 1 0        = (7.15)

 i  Tr1 = 4i  16)

AB = A  B  i  A B = 2 A  B  BA (7.16) de unde rezultă şi că  A  = AA = A2 . 2

10

8. Undele plane; o tratare necovarianta Pentru o particula libera de masa m , ecuaţia Dirac are forma

i

  = H

 r , t t



 r,t     

= i c     mc 2  r , t 



(8.1)

  

= c  P   mc 2  r , t

unde P = i  este operatorul impulsului care comută cu Hamiltonianul H . Prin urmare , ecuaţia (8.1) admite soluţii care corespund unor stări de energie şi impuls definite , descrise de funcţii de undă având forma unor ''unde plane'' :

 

 p r, t =

1

 2 

 

 p e 3/2

i

 pr  Et 

(8.2)

Dacă lucrăm în reprezentarea standard în care

0   ;  0   

 =

1

0

 =   0 1 

(8.3)

şi notăm cu  şi respectiv  spinorii cu două componente (Pauli ) care îl compun pe  sub forma   =  

(8.4)

atunci , prin introducerea soluţiei (8.2) în ecuaţia (8.1) , aceasta capătă forma unui sistem algebric omogen de 4 ecuaţii cu patru necunoscute , în care componentele bispinorului Dirac  joacă rolul “necunoscutelor” :





E = c  p   mc 2 

(8.5)

1

Dacă explicităm în forma bloc-diagonala matricele Dirac,  şi  , precum şi bispinorul  conform definiţiei (8.4) , atunci sistemul (8.5) se mai poate scrie sub forma     0 E   = c       p  

sau

p   0     2 1   mc      0  1 0      

(8.6)

  E  mc 2   c p    = 0   2  c p     E  mc   = 0

(8.7)

Sistemul omogen de mai sus are soluţie nebanală numai dacă determinantul

 E  mc 1

c p  

c p  

 E  mc2 1

2



= E 2  m 2c 4  c 2 p

 =0

2 2

Rezultă că 2

E =  m2c 4  c 2 p = 

(8.9)

Vom numi soluţii de energie pozitiva , respectiv negativă , bispinorii care corespund celor două cazuri E =  respectiv E =  . Interpretarea fizică a soluţiilor de energie negativă a fost parţial dată în primul paragraf , printr-un cuprinzător citat dintr-un articol al lui P.A.M Dirac . Mai târziu vom reveni asupra acestui subiect . Pentru moment , vom observa că în cazul în care E =  > 0 , a doua relaţie a sistemului (8.7) conduce la relaţia

=

c p     mc2 

care ne arată că  este de ordinul v / c în raport cu  , v fiind viteza particulei . Din acest motiv componentele spinorului  se numesc ''componente mari'' , iar componentele lui  se numesc ''componente mici'' . În schimb , în cazul energiilor negative , ( E =  < 0) , prima relaţie (8.7) ne arată că

=

c p      mc2  2

astfel încât situaţia se schimbă între spinorii  şi  : componentele mari vor fi cele ale lui  , iar componentele mici sunt cele ale lui  . De asemenea , relaţia (8.9) ne arată că avem 2 valori proprii diferite , E =  şi E =  , corespunzătoare aceluiaşi impuls p al particulei . În acelaşi timp , observăm că intervalul de energii  mc 2 ,  mc 2  este ''interzis'' particulei

libere . Să notăm cele doua tipuri de soluţii , corespunzătoare energiilor pozitive , respectiv negative , după cum urmează:

 

 p r , t =

1

 2



3/2

 

 p e

i

 pr  t 

(8.9)

unde  = 1 după caz . În acelaşi timp , bispinorul   p satisface sistemului de ecuaţii algebrice

 

 

   

H  p =   p  p

,

 = 1

(8.10)

unde H = c  p   mc 2

(8.10.a)

iar

 

2

 p = m 2c 4  c 2 p > 0

(8.10.b)

Prin urmare  este un număr cuantic '' bun '' , care clasifică (indexează) valorile proprii şi vectorii proprii ai operatorului Hamiltonian . Vom arăta că mai exista un număr cuantic care poate fi utilizat pentru indexarea stărilor particulei libere. Pentru aceasta vom introduce operatorul (matricea ) helicităţii p (8.11) = n   unde n = p iar  =  5 0  . Se poate arăta cu usurinţă că matricele  satisfac unor relaţii de comutare specifice pentru un moment cinetic

2

, conform cu (4.36)

3

i ,  j  = 2i  ijk k

(8.12)

k =1

3

identice relaţiilor pe care le satisfac matricele lui Pauli . Vom asocia acest operator matriceal unui moment cinetic intrinsec al particulei , fără legatură cu mişcarea ei în spaţiu , pe care îl numim ''spin'' . Observăm că operatorul helicităţii comută cu hamiltonianul (8.10.a) . Astfel , avem :

 H ,  = c  p   mc2 , n   = 3

3

i , j =1

j =1

= c  pi n j  i ,  j   mc 2 n j   ,  j  Să calculăm fiecare termen în parte , având în vedere că j =

1 3 i 3 kl   =  jkl k l   jkl 2 k ,l =1 2 k ,l =1

Atunci  0 i i 3 i 3 k l  i ,  j  =   ,  jkl   =  jkl  0 i k l   k l 0 i   2 k ,l =1   2 k ,l =1 i 3 =  jkl 0  2 g ik   k  i   l   k  2 g il   i l  =  g ik =  ik  2 k ,l =1





3

3

k =1

k =1

= 2i  ijk  0 k = 2i  ijk k

De asemenea , avem i 3   ,  j  =  jkl  0 ,  k l  = 0 2 k ,l =1

Atunci putem scrie că

H

3

,

 = 2ic p   ijk ni n j k = 0

(8.13)

i , j ,k =1

Să mai facem observaţia că H nu comută decât cu proiecţia lui  pe direcţia impulsului p. Este evident că este satisfăcută , de asemenea , relaţia P , 

 = 0. Din moment ce 

2





2

= n   = 1 , rezultă că valorile proprii ale 4

lui pot fi numai 1. Vectorii proprii comuni ai lui H şi vor fi indexaţi în mod corespunzător cu aceste valori proprii , pe care le vom nota cu s . Astfel , vom avea

 

 

 s p = s  s p

 

, s = 1

   

H  s p =   p  s p

(8.14.a)

,  = 1

(8.14.b)

unde H = c  p   mc 2 . Pentru simplitate , vom nota

1,1  u 



; 1,1  u 



; 1,1  v



; 1,1  v



(8.15)

Vom introduce spinorii cu două componente : u



 u1    =    u    2 

și v



 v1    =    v    2 

(8.16)

Pentru  = 1 , sistemul (8.14.b) se scrie sub forma explicită     mc 2  u1    c p   u2   = 0     2  c p   u    mc u =0    1 2  (8.17)

de unde rezultă u2  = 

c p    u   mc 2 1

(8.18)

Soluţia nebanala a sistemului de mai sus există , după cum am arătat , numai pentru

 2 = m 2c 4  c 2 p

2

5

Condiţia de ''ortonormare'' compatibilă cu definiţia (1.33) a densităţii de probabilitate de localizare

 

 



 p;s  p '; ' s ' = d 3 r p;s r , t  p '; ' s ' r , t =   ' ss ' p  p '



(8.19) ne conduce mai departe la relaţiile u

 p  u   p  = 1

 



având în vedere că u 



u

şi

 

 p u   p  = 0

 p  şi u   p  sunt ortogonali , pentru că corespund 

unor valori proprii diferite ( respectiv +1 şi -1 ) ale lui de normare u

     

u



(8.19’)

  

= u1

  

u2



. Aşadar avem relaţia

 u1               = u1  u1   u2  u2  = 1 u   2 

(8.20)

alături de care trebuie să ţinem seama şi de relaţia (8.18) . Rezultă , atât în cazul lui u    cât şi în cazul lui u    , că      

u2 u2 =

=

=

c2 p

c2

  mc  2

2

  mc 

 2  m 2c 4

  mc2 

2

 

 p   u   2



1

u1  u1    

2 2

u 2 1



     

u1 u1

(8.21)

  mc 2       = u u   mc 2 1 1

Introducând acest rezultat în (8.20) 1= u

     

u

   mc 2        2    = 1  u u1 = u   u1  2  1 2 1   mc    mc 

obţinem că 6

     

u1 u1

  mc 2 = 2

(8.22)

Pe de altă parte , sistemul (8.14.a) poate fi la rândul său explicitat prin introducerea spinorilor cu două componente , conform cu (8.15) şi (8.16) Astfel , atât pentru starile de energie pozitivă , cât şi pentru cele de energie negativă avem:     n   u1,2 = u1,2

(8.23.a)

    n   v1,2 = v1,2

(8.23.b)









Mai departe vom explicita şi spinorii Pauli care apar . Astfel , vom începe cu   u1  şi u2  : a   u1  =  1   b1  şi

(8.24)

a   u2  =  2   b2 

unde componentele a1 , b1 , a2 şi b2 sunt numere. Folosind reprezentarea (4.42) a maatricelor lui Pauli , se poate scrie că n n  =  3  n

n  n3 

(8.25)

unde n = n1  in2 . Atunci sistemul (8.23.a) se scrie sub forma n  a1   0   n3  1  n =  (n3  1)      b1   0 

(8.26) 2

cu determinantul coeficienţilor egal cu 1  n32  n n = 1  n = 0 . Rezultă atunci că n b1 = a1  n3  1 (8.27) 7

si de aici mai departe că u1 u1 =  a      

* 1

2   n  a1  2 2 2 b    = a1  b1 = a1 1   2 n  1    b1   3  * 1

(8.28)  n12  n22  2 2 = a1 1  = a1 2 1  n3   n3  1  2

Atunci condiţia de normare (8.22) ne dă constanta a1 până la un factor de fază arbitrar , pe care il vom lua egal cu 1 în mod conventional :

  mc 2 1 a1 = a1 = 1  n3  2 2 1  n3 

(8.29)

Atunci avem : 

u1

1  n3    mc 2 1 =   2 2 1  n3   n 

Pe u2   il scriem având în vedere relaţiile (8.18) şi (8.23.a) . Astfel , cp 1  n3  c p   1  n3  = n    n    mc 2  n    mc 2   



 n3   mc 2  n cp

=

=



n 1  n3   n3  n   

(8.30)

 2  m 2c 4 1  n3    mc 2 1  n3  =   mc 2  n    mc 2  n 

Rezultă , în sfârşit :

8

u



 1,1

  mc 2 p = 2

 

   1  n3     n  in  1  1 2    2 1  n3  c p    1  n3        mc 2  n  in    1 2  

(8.31)

  mc 2 = 2

   1  n3     n  in   1 2 1   2 1  n3     mc 2  1  n3        mc 2  n  in    1 2  

Dacă ne raportăm la un sistem de coordonate cartezian arbitrar şi scriem că n3 = cos , iar n1  in2 = ei sin  , atunci avem că 1  n3 = 2cos 2





n1  in2 = 2ei sin cos . Vom defini spinorul 2 2    cos  1  n3   1 2    n = =     2 1  n3   n1  in2   ei sin      2





2

şi

(8.32)

Atunci putem scrie că

u    1,1 

1/2

   mc 2  p    2 

 



    n   1/2   2     mc      n     mc 2    



(8.33)

Se observa că factorul cp   mc 2 =   mc 2   mc 2

p 2mc

v c

justificind denumirea de ''componente mici'' dată celor de-a treia şi a patra componente ale bispinorului. 9

În mod asemănător rezultă , pornind de la ecuaţia (8.23.a)     n   u1,2 = u1,2 



că

u

 

 1,1



     n 2     mc   1/2   p = 2     mc     2          mc 2   n      1/2

 



(8.34)

unde    este spinorul Pauli

  i  e sin  n1  in2   1 2    n = = (8.35)     2 1  n3   1  n3   cos      2  Pentru bispinorii corespunzători stărilor de energie negativă , relaţiile de normare se scriu sub forma



v

 

 p  v   p  = 1 

(8.36)

iar ortogonalitatea soluţiilor care corepund unor valori proprii diferite ale lui se exprima prin relaţia v

 

 p  v   p  = 0

(8.37)

Ecuaţiile (8.14) scrise în acest caz pentru  = 1 şi s = 1 iau forma

 c  p   mc  v   p  =  v   p  2

şi v







 p  = v    p  

(8.38)

(8.39)

Dacă introducem spinorii Pauli v1   şi v2   din relaţia (8.16)

10

v



 v1    p =    v    2 

 

şi explicităm matricele lui Dirac , atunci putem scrie sistemul algebric (8.38) sub forma     mc 2  v1    c p   v2   = 0     2  c p   v    mc v =0    1 2  (8.40)

sau , aşa cum rezultă din prima relaţie (8.40) , v1  =  

c p    v   mc 2 2

(8.41)

În acelaşi timp, sistemul (8.39) se poate scrie sub forma explicită     n   v1,2 = v1,2 



(8.42)

Relaţia de normare (8.36) se scrie 1= v

     

v



  

  

= v1



v2



 v1                     = v1 v1  v2 v2  v   2 



2  c2 p   2    c2 p             = v2 1   v2 = v2 1   v2  2 2 2 2   mc   mc         

= v2

 

(8.43)

   mc 2     2    v = v  v2  1   2 2 2 2   mc    mc 

sau      

v2 v2

  mc 2 = 2

(8.44)

11

Dacă repetăm calculele efectuate la normarea lui u    şi u    şi avem în vedere relaţia (8.41) în comparatie cu (8.18) , rezultă că avem

v    1,1 

   mc 2       n     mc 2   mc p =   2      n  

(8.45)

   mc 2      n    mc  2 p =    mc  2       n  

(8.46)

 



2



şi v    1,1 

 



2



Remarcăm din nou faptul că primele două componente ale bispinorilor care descriu starile de energie negativă sunt de ordinul

v (componente mici ) în c

raport cu a treia şi a patra componentă ( componentele mari ). Vom incheia consideraţiile din acest paragraf precizând din nou că : - bispinorul u    se asociază descrierii unei stări de energie pozitiva şi proiectie + / 2 a spinului pe direcţia impulsului p. - bispinorul u    se asociază descrierii unei stări de energie pozitivă şi proiectie  / 2 a spinului pe direcţia impulsului p. - bispinorul v   se asociază descrierii unei stări de energie negativă şi proiectie + / 2 a spinului pe directia impulsului p. - bispinorul v   se asociază descrierii unei stări de energie negativă şi proiectie  / 2 a spinului pe directia impulsului p.

12

9. Undele plane; tratarea covariantă Descrierea stărilor uniparticulă nu poate fi făcută cu bispinori de forma (8.9), care sunt funcţii nenormabile, ci cu combinaţii ale acestora (''pachete de unde'') care să poată fi normate şi care să conducă la o probabilitate de localizare finită pentru particula liberă. Astfel de superpoziţii se scriu, ca şi în cazul nerelativist, sub forma unor integrale Fourier peste tot spaţiul impulsului, p Datorită faptului că vom integra peste tot spaţiul impulsului p pentru construirea pachetelor de unde plane care vor descrie corect din punct de vedere fizic stările particulei libere, rezultă că putem scrie exponentul din formula (8.9) corespunzator valorilor negative ale energiei sub forma pr  p t

 

prin substituţia p   p , având în vedere faptul că

 

2

 

 p = m 2c 4  c 2 p =   p

Atunci putem pune soluţiile ''plane '' corespunzatoare celor două cazuri,  = 1 , sub o formă manifest covariantă , scriind factorul exponenţial care dă dependenţa de r şi de t ca un scalar Lorentz. Astfel, păstrând indicele s = 1 asociat celor două valori proprii ale operatorului helicităţii (altă formulare: care exprimă degenerarea valorilor proprii ale energiei după proiecţia spinului) , vom scrie bispinorii asociaţi stărilor de energie pozitivă sub forma

 (p,s)  x  = us  p  e



i

p x

s = 1

(9.1)

iar pe cei corespunzători valorilor negative ale energiei sub forma



( ) p ,s

 x  = vs  p  e

i  p x

s = 1

(9.2)



  

unde x este 4-vectorul coordonatelor Mikowskiene x   x0 , r  ct , r , p   este 4-impulsul de componente p  p 0 , p   , p  , iar p  x este produsul c  scalar p  x = p x  =  t  p  r . Patru impulsul p este un 4-vector temporal de





13

2   normă p =    p = m2c 2 > 0 , în interiorul conului luminos ''viitor'' în c cazul energiilor pozitive E =  şi în interiorul conului luminos ''trecut'' în cazul energiilor negative E =  . Introduse în ecuaţiile (1.27/28) sau în (1.30), soluţiile (9.1) şi (9.2) conduc la ecuaţiile algebrice 2

2



p  mc  us  p  =  p  mc  us  p  = 0 s = 1

(9.3)

us  p    p  mc  = us  p   p  mc  = 0 s = 1

(9.4)



respectiv

pentru stările de energie pozitivă şi









p  mc  vs  p  = p  mc vs  p  = 0 s = 1

(9.5)

respectiv





vs  p    p  mc  = vs  p  p  mc = 0 s = 1

(9.6)

pentru stările de energie negativă. Se poate calcula determinantul matricelor Det  p  mc1 = Det  p  mc1 =  p 2  m2c 2   2

=  p p   m2c 2  = 0 2

astfel că sistemele (9.3-9.6) admit soluţii nebanale. În sistemul propriu al particulei, în care p  mc,0 , ecuaţiile (9.3) şi (9.5)





capătă forma ( 0  1)us (0)  0

(9.7)

( 0  1)vs (0)  0

(9.8)

respectiv

14

unde am notat cu us (0) şi vs (0) bispinorii din sistemul propriu (SP). Dacă avem în vedere forma explicită a matricei  0 1 0    0 1 

0 

rezultă că soluţiile ortonormate ale ecuaţiilor (9.7) şi (9.8) sunt   us (0)   s  0 şi

(9.9)

0 vs (0)     s 

s  1 , unde  s sunt spinorii Pauli 1

 0

 

 

 1      respectiv  1      0 1

(9.10)

În acelaşi timp, bispinorii adjuncţi sunt us (0)  us (0) 0  us (0)    s

0

(9.11)

şi vs (0)  vs (0) 0  vs (0)   0   s 

(9.12)

Aceştia satisfac relaţiilor de ortonormare evidente us ' (0)us (0)   ss ' , vs ' (0)vs (0)   ss ' , vs ' (0)us (0)  0

(9.13)

Observând că p 2     p p  ( g   i  ) p p  p p  p 2  m2c 2 şi că produsul matriceal ( p  mc)( p  mc)  p 2  m2c 2  0 , rezultă că soluţiile ecuaţiilor (9.3) şi (9.5) ar putea fi reprezentate sub forma

us ( p)  cs (mc  p )us (0)

(9.14)

15

respectiv vs ( p)  ds (mc  p )vs (0)

(9.15)

unde cs şi d s sunt constante de normare care urmează să fie calculate . Întrucât mărimile de forma  sunt scalari Lorentz, rezultă că relaţiile de ortonormare (9.13) sunt relativist invariante şi trebuie să fie satisfăcute şi de soluţiile (9.14) şi (9.15) într-un sistem de referinţă oarecare, adică us ' ( p)us ( p)   ss ' , vs ' ( p)vs ( p)   ss ' , vs ' ( p)us ( p)  0

(9.16)

Folosind şi proprietatea cunoscută a matricelor  potrivit căreia    0   0  , adică p  0   0 p , atunci se pot scrie şi reprezentările bispinorilor adjuncţi, rezultate prin conjugarea relaţiilor (9.14) şi (9.15) : us ( p)  csus (0)(mc  p )

(9.17)

respectiv vs ( p)  d svs (0)(mc  p )

(9.18)

Astfel, relaţiile de ortonormare (9.16) se mai scriu sub forma

 ss '  us ' ( p)us ( p)  cs'csus ' (0)(mc  p ) 2 us (0)   2mccs'csus ' (0)(mc  p )us (0)  2mccs'csus ' (0)(mc    p )us (0) (9.19) Contribuţia celui de-al doilea termen din paranteză se poate calcula astfel: în primul rând, folosind forma concretă a bispinorilor us (0) şi a matricei  0 se poate scrie că us (0)   0us (0) , us (0)  us (0)  0 (9.20)

deci

us (0)  us (0)

Astfel , avem pe de-o parte , că us ' (0)  us (0)  us' (0) 0  us (0)  us ' (0) 0  us (0)

şi pe de altă parte , 16

(9.21)

us ' (0)  us (0)  us ' (0)   0us (0)

(9.22)

Adunând membru cu membru ultimele două relaţii rezultă că 1 us ' (0)  us (0)  us ' (0)(   0   0  )us (0)  g 0us ' (0)us (0) 2 şi deci

(9.23)

us ' (0) pus (0)  us ' (0) p   us (0)  p 0us ' (0)us (0)  (9.24)



 us ' (0)us (0) c Astfel , din (9.19) rezultă :

 2  ss '  2mccs'cs (mc  ) us ' (0)us (0)  2m cs (  mc 2 ) ss ' c

(9.25)

 ss '

Atunci constanta de normare cs pe care o luăm în mod convenţional reală , va fi cs  cs 

1

(9.26)

2m(  mc ) 2

Pentru calculul constantelor de normare d s se procedează în mod asemănător, dar având în vedere că vs (0)   0vs (0) , vs (0)  vs (0)  0

deci vs (0)  vs (0)

ceea ce conduce la formula



vs ' (0) pvs (0)   vs ' (0)vs (0) c

(9.27)

Rezultă că ds  ds 

1 2m(  mc 2 )

(9.28) 17

Atunci se poate scrie în sfârşit că us ( p ) 

(mc  p ) 2m(  mc ) 2

us (0)

(9.29)

vs (0)

(9.30)

şi vs ( p) 

(mc  p ) 2m(  mc 2 )

Matricele mc  p pot fi explicitate după cum urmează

   mc  c mc  p     p   

 p     mc  c

(9.31)

astfel că se poate scrie că     mc 2    s 2mc 2   us ( p )    p     s 2 2 m (   mc )  

(9.32)

p    s   2 2m(  mc )  vs ( p )       mc 2   s  2 2 mc  

(9.33)

şi

Cu reprezentările (9.32) şi (9.33) , densitatea de probabilitate de localizare are proprietaţile de transformare corecte, adică ale componentei temporale a unui 4-vector minkovskian

18

 (p,s)'  x  (p,s)  x   us ' ( p ) 0us ( p )  

1 us ' (0)(mc  p ) 0 (mc  p )us (0)  2 2m(  mc )



1 us ' (0)  0 m 2c 2  mc  p ,  0   p  0 p  us (0)  2 2m(  mc )



1     us ' (0)  0 m 2c 2  2 mc  2 p   0 m 2c 2  us (0)  2 2m(  mc ) c c  



 mc(  mc 2 )

us ' (0)(mc  p )us (0)

Dacă se ţine seama de formula (9.24) rezultă

 (p,s)'  x  (p,s)  x   us ' ( p) 0us ( p) 

 mc 2

 ss '

(9.34)

După un calcul asemănător în care se utilizează formula (9.27) se obţine şi că

 (p,s)'  x  (p,s)  x   vs ' ( p) 0vs ( p) 

 mc 2

 ss '

(9.35)

Astfel, densitatea de probabilitate de localizare capătă factorul suplimentar

=



 1  v 2 / c 2 

1/ 2

care compensează contracţia Lorentz pe direcţia mc 2 mişcării a elementului de volum din integrala de normare (8.19) şi permite astfel scrierea condiţiei de normare sub o forma Lorentz invariantă. Bispinorii us (0) şi vs (0) daţi de formule (9.9-9.10) care descriu particula în sistemul propriu pot fi folosiţi pentru a calcula produsele directe:

19

1 0 0 1   us  0   us  0    1 0 0 0       0 1 0 0     0 0 s 1     0 0 1 0  0  0

0 1 0 0

0 0 0 0

0 0  1   0  0 2  0

(9.36)

respectiv 0 0 0 0   vs  0   vs  0     0 0 1 0       0 0 0 1    0 1 s 1     0 1 0 0 0 0  0 0 0 0  0   1   0 0 1 0  2    0 0 0 1

(9.37)

Cu ajutorul acestor rezultate se pot exprima într-o formă compactă asemenea produse directe definite cu ajutorul solutiilor ecuaţiei Dirac într-un sistem de referinţă oarecare , date de reprezentările (9.29) şi (9.30). Astfel, vom defini operatorii  (  ) ( p )   us ( p )  u s ( p )

(9.38)

(  ) ( p)    vs ( p)  vs ( p)

(9.39)

s 1

şi

s 1

Semnificaţia fizică a acestora rezultă chiar din definiţiile de mai sus . Ei reprezintă proiectorii pe subspaţiile soluţiilor de energie pozitivă, respectiv negativă, subspaţii în care bispinorii us ( p) și vs ( p) , pentru s  1 , formează o bază ortonormată. 20

Prin folosirea reprezentărilor (9.29) aceşti operatori pot fi puşi sub forma  (  ) ( p) 

1   ( mc  p ) u (0)  u (0)  s s   (mc  p )  2m(  mc 2 )  s 1 

(9.40) 

1 (mc  p )(1   0 )(mc  p ) 2 4m(  mc )

respectiv  (  ) ( p) 

1   (mc  p )   vs (0)  vs (0)  (mc  p )  2 2m(  mc )  s 1 

(9.41) 

1 (mc  p )(1   0 )(mc  p ) 2 4m(  mc )

Dar



(mc  p ) 0 (mc  p )  2 (mc  p ) c (9.42)

astfel că rezultă  (  ) ( p) 

mc  p 2mc

(9.43)

 (  ) ( p) 

mc  p 2mc

(9.44)

şi

O primă observaţie care poate fi făcută în legătură cu operatorii (  ) ( p) se referă la exprimarea lor, conform relaţiilor (9.43) şi (9.44) , într-o formă manifest covariantă.De asemenea, cei doi operatori au proprietăţi specifice proiectorilor. Astfel 1)  (  ) ( p)   (  ) ( p)  1

(9.45) 21

2) 2

 (  ) ( p)   (  ) ( p)

(9.46)

 (  ) ( p )  (  ) ( p )   (  ) ( p)  (  ) ( p)  0

(9.47)

3)

Aşa cum rezultă chiar din faptul că satisfac ecuaţiilor (9.3) şi (9.5), bispinorii us ( p) şi vs ( p) sunt vectori proprii ai lui (  ) ( p) şi (  ) ( p) :

 (  ) ( p)us ( p)  us ( p) , s  1 (9.48)

 (  ) ( p)vs ( p)  0 , s  1 respectiv

 (  ) ( p)us ( p)  0 , s  1 (9.49)

 (  ) ( p)vs ( p)  vs ( p) , s  1 Rămâne să discutăm în continuare posibilitatea definirii unui proiector covariant pe spaţiul spinului, având în vedere că operatorul helicităţii (8.11) nu are o definiţie covariantă. În sistemul propriu al particulei, bispinorii (9.9) formează o bază ortonormată , iar proiectorii pe subspaţiile corespunzătoare proiecţiei spinului pe axa Oz egală cu  / 2 sunt 0  1 1 1  3 (1 + 3 )   1   3  2 2 0

respectiv

0  1 1 1  3 (1 - 3 )   1   3  2 2 0

O generalizare a acestora la un sistem de referinţă oarecare printr-o definiţie covariantă nu este însă posibilă fără o modificare simplă şi în fond neesenţială. Conform definiţiei sale,    5 0 . Dacă se consideră un patruvector , s(3) , ale cărui componente în SP al particulei să fie

22

[s(3) ]SP : (0,0,0,1)  (0, s3 ) unde s3 este versorul celei de-a treia axe carteziene, atunci se poate scrie că 3   5 3 0   5 (s3   ) 0   5[ s(3) ]SP  0   5[ s(3) ]SP  0 Operatorul de mai sus nu are o formă covariantă şi nu poate fi generalizat la un sistem de referinţă oarecare, datorită prezenţei matricei  0 . În schimb operatorul 3 0   5[ s(3) ]SP satisface acestui deziderat. De aceea, se pot defini operatorii covarianţi

1  (  ) ( s(3) )  (1   5 s(3) ) 2

(9.50)

În SP al particulei, aceştia devin 0  1 1 1  3  (  ) ( s(3) )   (1 + 3 0 )   SP 1   3  2 2 0

(9.51)

respectiv 0  1 1 1  3  (  ) ( s(3) )   (1 - 3 0 )   SP 1   3  2 2 0

(9.52)

După cum se poate constata cu uşurinţă, primul dintre aceştia este proiectorul pe subspaţiul generat de u1 (0) şi v2 (0) , iar al doilea este tot proiector , pe subspaţiul generat de u2 (0) şi v1 (0) . Proprietăţile definitorii pentru caracterul de proiectori al acestor operatori pot fi demonstrate cu uşurinţă. Astfel : 1)

(  ) ( s(3) )  ( ) ( s(3) )  1

(9.53)

2) 2

 (  ) ( s(3) )    (  ) ( s(3) )

(9.54)

(  ) (s(3) )( ) ( s(3) )  ( ) ( s(3) )(  ) ( s(3) )  0

(9.55)

3)

23

Pentru demonstrarea proprietăţilor 2 şi 3 se va ţine seama de faptul că { 5 ,   }  0 , ( 5 )2  1 şi  s(3)   1 , astfel că  5 s(3)   1 . 2

2

Putem demonstra, de asemenea, relaţiile de comutare (  ) ( p) ,  (  ) ( s(3) )   0 (9.56)

bazându-ne pe faptul că

 p ,  5 s(3)    5  p , s(3)   2 5 p  s(3)  2 5  p  s(3)   0 SP Există şi posibilitatea de a defini , mai general , doi proiectori cu aceleaşi proprietăţi ca şi cele enumerate mai sus 1  (  ) ( s)  (1   5 s ) (9.57) 2 unde s este un 4-vector spaţial arbitrar , normat la unitate şi ortogonal cu 4impulsul, numit vector de polarizare : s 2  s s  1 , s  p  s p  0 . Prin combinaţii ale operatorilor (  ) ( p) şi  (  ) ( s(3) ) se pot defini proiectori pe subspaţii corespunzătoare unor valori definite atât ale energiei cât şi ale spinului. În acest sens vom defini operatorii (matricele) P1   (  ) ( p ) (  ) ( s(3) ) P2   (  ) ( p ) (  ) ( s(3) )

(9.58) P3   (  ) ( p ) (  ) ( s(3) ) P4   (  ) ( p ) (  ) ( s(3) )

Ei au toate caracteristicile unor proiectori, ceea ce poate fi arătat pe baza proprietăţilor operatorilor (  ) ( p) şi  (  ) ( s(3) ) . Astfel: 1) 4

P 1 r 1

(9.59)

r

24

2)

Pr Pq  Pr rq (fără sumare implicită)

(9.60)

Dacă introducem notaţiile w1 (0)  u1 (0) , w2 (0)  u2 (0) , w3 (0)  v1 (0) , w4 (0)  v2 (0) (9.61)

pentru bispinorii care descriu electronul în sistemul propriu, atunci în acest sistem de referinţă sunt îndeplinite relaţiile

 Pr SP wq (0)  wq (0) rq

(fără sumare implicită)

(9.62)

Deoarece proiectorii Pr sunt definiţi , conform relaţiilor (9.58) , într-o formă covariantă, aceleaşi relaţii rămân adevărate într-un sistem de referinţă oarecare (9.63) Pr wq ( p)  wq ( p) rq (fără sumare implicită) unde bispinorii wq ( p) se obţin din bispinorii din sistemul propriu prin transformări de tipul (9.29) şi (9.30) .

25

10. Conjugarea sarcinii Ecuaţia de mişcare pentru o particula de masă m si sarcină q supusă interacţiei cu un câmp electromagnetic extern descris de potenţialele electrodinamice A şi  se obţine făcând în ecuaţia corespunzătoare particulei libere substituţiile P  P  qA

şi

H  H  q

(10.1)

unde P şi H sunt operatorii impulsului şi hamiltonianul sistemului. Această transformare se încadrează în ceea ce se numeşte cuplajul minimal şi asigură invarianţa teoriei la transformările de etalonare. În prezenţa interacţiei electromagnetice, ecuaţia lui Dirac va căpăta aşadar forma i

   r , t   H  r , t   c  P  q A   mc 2  q   r , t   t





     c     qA    mc 2  q   r , t  i   

(10.2) sau, după înmulţirea la stânga cu

1 0  , c

  0   k   0 k i   x 0   x k   q  A0   Ak   mc   x          (i   qA )  mc   x   0

(10.3)

  Am notat cu A componentele patru-potenţialului contravariant  , A  , iar cu c   x :  ct , r  ansamblul coordonatelor spaţio-temporale . Cu notaţia lui Feynman, ecuaţia de mai sus se scrie şi sub forma

i

  qA  mc   x   0

(10.4)

Tratarea pe baza acestei ecuaţii a celui mai important caz întâlnit până acum, atomul de hidrogen , pentru care

1

A0

,



Ze 4 0 r

a condus la rezultate aflate în acord cu observaţiile experimentale, confirmând corectitudinea modelului teoretic dezvoltat de teoria lui Dirac. Nu trebuie să uităm însă de un aspect inadmisibil al previziunilor teoretice : posibilitatea existenţei unui spectru continuu de valori negative ale energiei, nemărginit inferior, cuprins în intervalul  , mc 2  . În aceste condiţii nici un sistem atomic nu ar fi stabil. Soluţia propusă de Dirac este cunoscută: toate stările de energie negativă sunt ocupate în starea de vid, iar principul lui Pauli interzice electronilor de energie pozitivă tranziţiile în stările de energie negativă şi asigură astfel stabilitatea nivelelor fizice de energii pozitive. În schimb, un electron de energie negativă ar putea fi excitat într-o stare de energie pozitivă, lăsând în urma sa un gol, sau o vacanţă. Un astfel de deficit de sarcină electronică negativă faţa de starea de vid apare ca un surplus de sarcină elementară pozitivă care poate fi asociată unei particule având aceeaşi masă ca electronul, dar sarcină opusă: pozitronul. În afara acestor proprietăţi ale pozitronului, modelul sugerat de Dirac mai prezice unele fenomene, cum ar fi: - anihilarea perechii electron-pozitron (gol) : un electron de energie pozitivă este captat pe un nivel liber (gol) de energie negativă, procesul fiind însoţit de emisie de radiaţie. Din motive legate de conservarea impulsului şi energiei, sunt emişi cel puţin doi fotoni, cu excepţia cazului când procesul se desfăşoară în prezenţa unui nucleu capabil să absoarbă energie şi impuls. - crearea unei perechi electron-pozitron, din vid, de către un fascicul de fotoni incidenţi pe o ţintă capabilă să asigure conservarea energiei şi impulsului. Interpretarea antiparticulelor prin prisma teoriei golurilor nu poate fi însă susţinută în czul bozonilor, căci statistica Fermi (sau principiul lui Pauli) este argumentul principal al explicaţiei dată de Dirac stabilităţii nivelelor de energie pozitivă. De aceea, elaborarea unei teorii consistente atât în cazul fermionilor cât şi al bozonilor presupune reinterpretarea soluţiilor de energie negativă de asemenea manieră încât să fie asigurată stabilitatea nivelelor de energie pozitivă corespunzatoare stărilor fundamentale. Suntem astfel conduşi direct către o clasă de soluţii ale ecuaţiei Dirac corespunzătoare unor nivele de energie pozitive şi care descriu antiparticula electronului, pozitronul, având aceeaşi masă de repaus, dar sarcina opusă electronului.Astfel ecuaţia Dirac admite o transformare de simetrie corespunzătoare schimbării particulă  antiparticulă. 2

Vom căuta in continuare transformarea care schimbă funcţia de undă de asemenea manieră încât funcţia transformată să descrie antiparticula. Astfel, dacă electronul de sarcină q  e este descris de soluţia ecuaţiei (10.3), atunci antielectronul de sarcină q  e va fi descris de bispinorul  c , soluţie a ecuaţiei   (i   qA )  mc  c  x   0 (10.5) astfel încât fiecare soluţie de energie pozitivă a acesteia să corespundă în mod biunivoc unei soluţii de energie negativă a ecuaţiei (10.3) şi reciproc.Căutăm aşadar operatorul inversabil care realizează o transformare locală   c , sub forma

 c  Q

(10.6)

Pentru aceasta scriem mai întâi complex conjugata ec. (10.3) sub forma    * (i   qA )  mc  *  x   0

(10.7)

Comparând-o cu ec. (10.5) observăm că trebuie să căutăm transformarea (10.6) sub forma

 c  Q  UK  U *

(10.8)

unde K este operatorul conjugării complexe. În ce priveşte operatorul (matricea) U , inversabil, el ar trebui să satisfacă condiţiilor

U 1 U    * sau U   *U 1   

(10.9)

sau , încă

U   *   U

(10.10)

Pentru simplitate, vom căuta matricea U sub forma

U  C 0

(10.11)

astfel încât condiţiile (10.9) se scriu (avand in vedere că  0    0 ) sub forma 1

3

C  0  * 0  C 1   

(10.12)

Ştim că matricele  satisfac relaţiilor

 0   0    

(10.13)

Pentru concreteţe, putem să utilizăm reprezentarea standard în care 1 0  0 şi      0 1 

0 

 0 

(10.14)

fără a restrânge valabilitatea concluziilor obţinute deoarece, conform teoremei fundamentale a lui Pauli, toate reprezentările algebrei Clifford a matricelor Dirac sunt unitar echivalente. În această reprezentare  0   0* astfel că prin conjugarea complexă, relaţiile (10.13) se scriu sub forma

 0  * 0    T

(10.15)

unde cu   T am notat matricea transpusă.Condiţiile (10.12) se scriu atunci sub forma

C  T C 1   

(10.16)

Reamintim aici că matricele lui Pauli au forma 0 1   1T   1*  1 0

(10.17)

 0 i    2T   2*  i 0 

(10.18)

1 0    3T   3*   0 1

(10.19)

1 0    0T   0*   0 1

(10.20)

1  

2  

3   astfel că

0 

4

 0 1    1T   1*    1 0 

(10.21)

 0 2    2T   2*    2 0 

(10.22)

 0 3    3T   3*    3 0 

(10.23)

1  

2 

3 

Atunci relaţiile (10.16) se scriu sub forma: C 0C 1   0 sau C, 0   0 C 1C 1   1 sau C, 1   0

(10.24) C 2C 1   2 sau C, 2   0 C 3C 1   3 sau C, 3   0

Astfel, C poate fi de forma

C  i 2 0

(10.25)

Factorul imaginar i este introdus formal pentru ca C să satisfacă C 1  C

(10.26)

Într-adevăr, C 1 există şi satisface C 1 

1 2 0 1     i 2 0  C  C T  C   i

(10.27)

Demonstraţia existentei matricei C cu proprietăţile (10.24) (nesingulară şi inversabilă) în reprezentarea standard este suficienta . Conform teoremei fundamentale a lui Pauli, ea poate fi găsită în orice reprezentare. 5

În sfârşit, avem:

 c  U *  C 0 *  i 2 *

(10.28)

Dacă  descrie mişcarea unei particule Dirac de masă m şi sarcină q în câmpul A , atunci  c descrie mişcarea în acelaşi câmp a unei particule având aceeaşi masă, m, dar sarcină –q. Numim pe  c „conjugata” lui  . Se vede că

 c*  i 2*  i 2

(10.29)

astfel că funcţia conjugată a conjugatei este tot  :

 c c  i 2 c*    2     2

(10.30)

Pentru un operator A oarecare, media pe starea  este dată de relaţia A   A    , A    d 3r  A R

(10.31)

3

Media în starea conjugată  c va fi A c   c A  c   c , A c    d 3r c  A c   d 3r  i 2 *  A  i 2 *   

R3

R3

  d 3r * 2  A 2 *    d 3r *  2 A* 2   *    ,  2 A* 2   *

R

3



   2 A* 2

2*

 

2*

R

*

(10.32)

3

*

Vom folosi mai departe pentru bispinorii  notaţia obişnuită      

(10.33)

unde  şi  sunt spinori Pauli, cu două componente, de forma

6

 1   1  respectiv       2   2

 

(10.34)

Vom demonstra mai departe o serie de relaţii utile. Astfel

a)



c

 

(10.35)

Demonstraţie:



c

   2 0* 2

*

   2 0 2

*

   0*

*

 0  

b)

 c   0

c

 

(10.36)

Demonstraţie: pe componente

 2 c   0 2

   2  0 2   2 *

c

*

   2 0   2   2

*

   2 0

*

 2

*

 2

respectiv

i

c

  0 i

  0 i

*

   2  0 i   2 *

c

 i

*

*

   2 0 i 2

*

   2   0 i 2

*



 i

pentru i=1,3. Am folosit faptul că operatorul  este autoadjunct, astfel că media este un număr real.

       d 3r    d 3r   R3

R3

 0          0   

  

  d 3r         d 3r (  ) (  )     d 3r (  ) (  )*   real  număr  3  număr  număr număr  R3 R3 R

7

c) r

 r

c

(10.37)

deoarece *

r

c

*

        d 3r  2 r  2     d 3r  r   r  R3   R3 

2 * 2 *

  r 

*

 real  r

d) impulsul

P  P

(10.38)

c

deoarece *

P    2 P* 2 c

 P*

*

*

  P  real   P

e) momentul cinetic orbital L  r  P

L  L

(10.39)

c

deoarece

L    2 L* 2

*

c

 r  P*

*

*

*

  r  P   L  real   L

f) momentul cinetic de spin S   2 S  S

(10.40)

c

sau

  

(10.41)

c

Demonstraţie

    2* 2

*

c

Mai întâi explicităm produsul matriceal 8

 0  2    * 0   0  2    2 * 2       *    0   0 0 0   2     2 2

* 2

  *T   0

0    0       *T      0   *

Deci      real    şi, de asemenea, S c

g)

   2 * 2  0

c

 S

Momentul cinetic total J  L  S J

c

 J

(10.42)

după cum rezultă din (10.39) şi (10.40). h) Operatorul energiei (hamiltonianul) Pentru electronul de sarcină q acesta are forma





H (q)  c  P  qA  q   mc 2

(10.43)

iar pentru antiparticula de sarcină –q este





H (q)  c  P  qA  q   mc 2

(10.44)

Vom evidenţia o relaţie intre mediile acestora . Astfel, H (q)  c   P  cq   A  q    mc 2

(10.45)

H (q) c  c   P  cq   A  q  c   c mc 2

(10.46)

iar c

c

unde trebuie avuta in vedere relaţiile:



c

 

 c    2* 2

(10.47) *

   real   *

9

(10.48)

A  A

(10.49)

c

Într-adevăr, pornind de la relaţia

  A    2 (  A)* 2    2 * 2   A *

*

c

şi având în vedere forma concretă a matricelor  0  0 

  

se poate observa că

1  1*  1T  2   2*   2T  3   3*   3T Avem atunci relaţiile

 2 2* 2   2 0 2 2   2 0   2 respectiv

 2i* 2   2 0 i 2   0 i  i pentru i=1,3 Deci

 2 * 2  

(10.50)

Atunci,

  A    2 * 2   A    A  real    A *

*

c

(10.51)

Într-o manieră similară se demonstrează , ţinându-se însă seama că P*   P , că 10

 P   P

(10.52)

c

Având în vedere toate aceste formule şi comparând mediile (10.45) şi (10.46) rezultă că H ( q ) c   H ( q )

(10.52)

Sunt importante şi alte două observaţii legate de densitatea de probabilitate de localizare şi de curentul acesteia (componente spaţio-temporale ale patrucurentului densităţii de localizare) date de formulele

   

(10.53)

pentru densitatea de probabilitate de localizare, respectiv j  c 

(10.54)

pentru curentul acesteia. Astfel,

 c  c   i 2 *   i 2 *    * 2  2 *  

(10.55)   * *      real    *

respectiv

 c  c   

(10.56)

Concluzia care se poate formula pe baza acestor rezultate este următoarea: Soluţiile de energie negativă ale ecuaţiei Dirac pentru particula de sarcină q corespund in mod biunivoc soluţiilor de energie pozitivă pentru antiparticula de sarcină –q. Aceste din urmă soluţii au impulsul , spinul, momentul cinetic şi energia opuse, ceea ne permite să identificăm soluţiile de energie negativă (sarcină q, impuls p , spin s) cu soluţiile de energie pozitivă pentru sarcina (-q), impuls (- p ) şi spin (-s).

11

11. Interacţia cu câmpul electromagnetic. O teorie completă a mecanicii cuantice relativiste a electronului trebuie să includă şi studiul interacţiei acestuia cu câmpul electromagnetic. Metoda de tratare a acestei probleme reprezintă o generalizare a celei folosite în cazul nerelativist și constă în efectuarea substituțiilor (10.1) în ecuația Dirac pentru particula liberă. Așa cum s-a arătat în capitolul precedent, ecuația care descrie electronul în interacție cu un câmp electromagnetic extern decris de patru  potențialul A :  , A  se poate scrie sub forma covariantă c  (11.1) i   qA  mc   x   0 La o transformare de etalon a potențialelor de forma A  A  f  r , t  ,    -

f  r , t  t

(11.2)

ecuația (10.4) este invariantă dacă bispinorul  ( x) se transformă potrivit relației iq

f

 ( x)  e  ( x)

(11.3)

Sunt foarte puține cazurile în care ecuația (11.1) admite o soluție exactă . Unul dintre aceste cazuri este acela în care electronul se afla sub acțiunea unui câmp magnetic staționar și uniform. În continuare vom trece la rezolvarea ecuației Dirac care descrie această situație. Pentru simplitate vom alege un sistem de referință in care axa Ox3 este orientată în lungul vectorului inducție magnetică B  constant . Un astfel de câmp poate fi descris de un potențial scalar   0 și un potențial vectorial A : (0, Bx1,0) din care inducția magnetică derivă prin relația B    A . În acest caz, în ecuația Dirac i

 (r , t )  H (r , t ) t

(11.4)

operatorul Hamiltonian H  c  ( P  qA)  q   mc 2

(11.5)

1

nu depinde de timp, astfel că soluțiile ei sunt de forma

 ( r , t )   ( r )e

i  Et

(11.6)

unde  (r ) este soluția ecuației staționare H (r )  E (r )

(11.7)

Operatorul Hamiltonian poate fi explicitat sub forma matriceală dacă se ține seama de reprezentarea standard a matricelor  . Astfel  mc 2 c  ( P  qA)  H   2  c  ( P  qA)  mc  

(11.8)

unde  sunt matricele lui Pauli. Așa cum am procedat și în cazul particulei libere, vom reprezenta bispinorul  (r ) prin componentele sale mari, respectiv mici, sub forma   (r )  (11.9)  (r )      (r )  unde  și  sunt spinori cu două componente. Ecuația Dirac staționară (11.7) se scrie atunci sub forma  mc 2 c  ( P  qA)        E      2    c   ( P  qA )  mc    

(11.10)

sau c  ( P  qA)   ( E  mc 2 )

(11.11) c  ( P  qA)  ( E  mc 2 ) 

deci



c  ( P  qA)  ( E  mc 2 )

(11.12)

2

Combinând cele două ecuații (11.11) se poate scrie pentru componenta mare ecuația pătratică 2

  ( P  qA)     

E 2  m 2c 4  c2

(11.13)

Folosind proprietățile matricelor Pauli, membrul stâng al ecuației de mai sus poate fi prelucrat sub forma 2

  ( P  qA)    i j ( Pi  qAi )( P j  qA j )  ( ij  i ijk k )( Pi  qAi )( P j  qA j )   

   i j j i i j   ( P  qA)  iq ijk k  A P  A P  [ P , A ]    i  i A j   2

(11.14)  ( P  qA) 2  q k ( kij  i A j )  ( P  qA) 2  q  B (  A )k

Atunci ecuația (11.13) se scrie : E 2  m 2c 4 ( P )  ( P  qBx )  ( P )  qB 3     c2 1 2

2

1 2

3 2

(11.15)

și este o ecuație de valori proprii și vectori proprii ai operatorului O  ( P1 )2  ( P2  qBx1 )2  ( P3 )2  qB 3

(11.16)

După cum se poate observa , acesta comută cu operatorii P 2 , P3 , 2 și  3 , având vectori proprii comuni cu aceștia . Rezultă ca spinorul  poate fi exprimat sub forma 1 i ( p 2 x 2  p 3 x3 ) 1 2 3 (11.17) (x , x , x )  e Fs ( x1 ) , s  1 2 unde  f ( x1 )  F1 ( x1 )   1   0 

 0  respectiv F1 ( x1 )   1   f 1 ( x ) 

satisfac relațiilor 3

(11.18)

 3 Fs ( x1 )  sFs ( x1 ) ,

s  1

(11.19)  Dacă avem în vedere că în reprezentarea coordonatelor P1  i , rezultă că x1 funcțiile f s ( x1 ) sunt soluții ale ecuației   

2

2   d2 p2   E 2  m 2c 4 2 2 1 1  q B x  f ( x )  s qB   ( p3 )2  f s ( x1 )    s  1 2 2 (dx ) qB   c    

(11.20) După trecerea la variabila qB  1 p 2   x   qB  

(11.21)

această ecuație devine  d2 2   2    f s ( )   s f s ( )  d 

(11.22)

1  E 2  m2c 4 3 2 s  s   ( p )  qB  c2 

(11.23)

unde

Dacă se ține seama de comportarea soluției în limita asimptotică, când    , atunci se poate face substituția f s ( )  e /2 g s ( ) 2

(11.24)

unde g s ( ) verifică ecuația d 2 gs dg s  2   ( s  1) g s  0 d 2 d

(11.25)

Soluțiile care fac ca funcțiile f s să aibă o comportare corectă din punct de vedere fizic, în sensul că tind la zero în limita    , sunt polinoamele lui Hermite g s ( )  H n ( ) și se obțin cu condiția ca  s  1  2n , n  0,1,2... 4

Rezultă atunci o condiție de cuantificare a valorilor proprii ale ecuației (11.22)  s   n,s  2n  1 și ca urmare o relație de cuantificare a nivelelor de energie, așa cum rezultă din relația (11.23) : En2,s ( p3 )  m2c 4  c 2 ( p3 )2  (2n  1  s) qBc 2 , n  0,1,2... , s  1

(11.26) Funcțiile proprii corespunzătoare sunt f n,s ( )  e /2 H n ( ) 2

(11.27)

unde polinoamele lui Hermite satisfac relației de ortogonalitate 

 n  d e H n ( ) H k ( )  2 n!  n,k 2

(11.28)



Pentru simplitate, este util să lucrăm în continuare cu funcții de undă normate la unitate în raport cu integrarea după variabila x1 . Astfel, în locul lui f n ,s vom folosi funcțiile ortonormate un 

qB

1  2 /2 e H n ( ) 2 n n! 

(11.29)

Așa cum se poate observa din formula (11.26) , nivelele de energie En,s ( p3 ) sunt degenerate după valorile lui s . Astfel, atât f n ,1 cât și f n1,1 aparțin aceluiași nivel de energie. Cei doi spinori care aparțin aceluiași nivel de energie sunt atunci  0  u  (11.30) Fn,1   n  si Fn1,1    0  un1  Componentele mici ale bispinorilor rezultă din relația (11.12) :

 n,s 

 P3 P1  i ( P 2  qBx1 )  c  ( P  qA) c    n , s n,s ( E  mc 2 ) E  mc 2  P1  i( P 2  qBx1 )  P3 

(11.31) adică

 n,s 

1 2

i

e

( p 2 x 2  p3 x3 )

(11.32)

Gn,s

5

unde  p3  i 2a    c    F ( ) Gn ,s ( )  n ,s 2 3 E  mc  p   i 2a     

(11.33)

În relația de mai sus am notat   qB și cu a  și a operatorii de creștere și descreștere din teoria Dirac-Fock a oscilatorului linear armonic : a

1  d     d  2

, respectiv a  

1  d     d  2

(11.32)

Acțiunea acestora asupra funcțiilor ortonormate un este cunoscută: aun  n un1

(11.33) a un  n  1 un1

Rezultă atunci componentele mici ale bispinorilor din relația (11.33) :  p3  i 2a    c    F ( )  Gn ,1 ( )  n ,1 2 3 E  mc  p   i 2a     

(11.34)  p3   p3  i 2 a   u u  c    n   c   n     2 2  3 E  mc  p   0  E  mc   i 2 a  i 2n un1       

respectiv

6

 p3  i 2 a   c   F Gn1,1 ( )  ( )  2 3  n 1, 1  E  mc p  i 2a     

(11.35)  p3   i 2n un  i 2a    0   c   c     3   p   2 2   3 E  mc  p   un1  E  mc   un1   i 2a        

Bispinorii ortonormați aparținând valorii proprii En ( p3 ) sunt N 1 i ( p2 x2  p3 x3 )  Fn,1  1 i ( p 2 x 2  p 3 x3 )  n,1 ( x , x , x )  e e  n,1 ( x1 ) G   2  n,1  2 1

2

3

(11.36)

respectiv N 1 i ( p2 x2  p3 x3 )  Fn1,1  1 i ( p 2 x 2  p 3 x3 )  n1,1 ( x , x , x )  e e  n1,1 ( x1 ) G  2  n1,1  2 1

2

3

(11.37) Constanta de normare N 1 rezultă din condiția 

 dx  1

 n ,1

 n,1  1

(11.38)



adică

7



1  N 1

2

 dx  F 1

F  Gn,1Gn ,1  

 n ,1 n ,1



 2  ( p3 )2 2  c2 2 1 2 dx u (  )  u (  )  2 nu (  )  n n n  1    2 2 2   ( E  mc )    

 N 1

2

 N 1

2

(11.39)

  ( p3 )2  c2 2  2n   1  2 2  2   ( E  mc )  

În calculul de mai sus am folosit faptul că funcțiile un sunt normate la unitate în raport cu integrarea după x1 . De aici rezultă   c 2  2  ( p3 )2 N 1  1   2 n  2 2  2   ( E  mc )  

1/2

(11.40)

determinată până la un factor de fază arbitrar. Similar, pentru N 1 rezultă aceeași valoare.

8

12. CÂMPUL CENTRAL ATOMUL DE HIDROGEN

În capitolul urmãtor vom studia cazul general al unui sistem cuantic compus dintr-o particulă de masã m0 şi spin 1/2 supusă acţiunii unei forţe centrale care derivă dintr-un potenţial staţionar V  r  . Cazul concret pe care îl vom considera apoi în mod particular va fi al atomului hidrogenoid de  Z  1 ori ionizat , compus dintr-un electron de masă m0 = 9,10953*1031 Kg şi sarcină e ( e = 1,6 1019 C ) aflat în câmpul coulombian al unui nucleu de sarcina Ze unde Z este numărul atomic . În aceasta situaţie Ze2 V  r  = e  r  =  4 0 r

Din punct de vedere dinamic , evoluţia în timp a sistemului este descrisă de un vector de stare  care verifică ecuaţiei '' de mişcare '' i

 = H t

(12.1)

unde hamiltonianul relativist are forma H = c  P   m0c 2  V  r 

(12.2)

  

În cazul staţionar ecuaţia (12.1) are soluţii de forma  r , t = u r e

i  Et

unde E

şi u sunt valorile proprii , respectiv vectorii proprii ai operatorului hamiltonian: (12.3)

Hu = Eu

Spre deosebire de cazul nerelativist , hamiltonianul (12.2) nu comută cu operatorul pătratului momentului cinetic orbital al electronului L=rP

(12.4)

ale cărui componente

1

  L1 =  (sin   cot  cos  ) i     L2 = (cos   cot  sin  ) i  

L3 =

(12.5)

 i 

satisfac relaţiilor de comutare  Li , L j  = i  ijk Lk

(12.6)

L L = i L

(12.7)

sau

Pornind chiar de la definiţia lui L se pot demonstra cu uşurinţă şi relaţiile :  xi , L j  = i  ijk xk

(12.8)  Pi , L j  = i  ijk Pk

precum şi r L = PL = 0

(12.9)

care ne vor fi utile în cele ce urmează. Aşa cum am menţionat , comutatorul  H , L  = c  P , L  = c i e j  Pi , L j  =      

(12.10)  i ce j ijk i Pk = i c  P 2

este diferit de zero , iar H nu comută cu L , ceea ce înseamnă că în tratarea relativistă stările staţionare nu mai sunt stări de moment cinetic orbital bine 2

precizat ( L nu este o constantă de mişcare ) , iar numărul cuantic l asociat lui 2

L nu mai este un număr cuantic ''bun''. Totuşi , aşa cum vom arăta mai târziu , 2

el rămâne util ca un indicator al parităţii stării . De altfel , operatorul parităţii , , definit prin relaţia



 





 ' r =  r =   r =  r

(12.11)

comută cu hamiltonianul ( 12.2) , ceea ce înseamnă că starile staţionare în cazul câmpului central sunt stări de paritate bine definită , care se conservă în timp . În definiţia de mai sus a operatorului parităţii am folosit faptul că matricea 1

0

 =   0 1 

(12.12)

este asociată inversiei spaţiale , iar operatorul schimbă pe r cu r . Se poate observa cu uşurinţă că   comută cu H , având în vedere că potenţialul central este invariant la inversii , iar matricele lui Dirac anticomută ,

 = 

(12.13)

ca şi operatorii impulsului , P (vector ) şi inversiei spaţiale , P = P

:

(12.14)

Paritatea stărilor staţionare se conservă în timp , iar descrierea ei o face chiar numărul cuantic l , aşa cum vom vedea mai târziu. Putem , chiar în aceasta etapă , să tragem nişte concluzii suplimentare cu privire la comportarea componentelor ''mari'' şi respectiv ''mici'' ale bispinorilor în raport cu inversia spaţială . Pornind de la ecuaţia Dirac staţionară (12. 3) cu matricele 0     0  

 = 

(12.14)

obţinem  m0c 2  V  r   U A  c  P U A  = E     U  2  c  P  U B   m c  V r    B 0  

(12.15)

unde U A (componentele mari ) şi U B (componentele mici ) sunt spinori cu două componente:

3

U  u = A U B 

(12.16)

Ecuaţia (12. 15) pusă sub forma c  PU B = ( E  m0c 2  V  r )U A

(12.17) c  PU A = ( E  m0c 2  V  r )U B

ne arată clar că U A şi U B au parităţi opuse . Într-adevăr , în timp ce

coeficientul din membrul drept ,  E  m0c 2  V  r  , este evident scalar , produsul   P între vectorul P şi pseudovectorul (moment cinetic)  este un pseudoscalar care schimbă paritatea . Înainte de a trece la rezolvarea problemei relativiste , este util să considerăm limita ei nerelativistă , prin scrierea unei ecuaţii aproximative pentru elctronul cu spin . În principiu , aproximaţia constă în eliminarea componentelor mici din ecuaţia exactă şi obţinerea unei ecuaţii pentru componentele mari în care se vor 2

neglija termenii de acelaşi ordin de mărime cu cei omişi ( cel puţin p /(m0c)2 ). Astfel, în a doua ecuaţie (12.17) , se poate neglija potentialul V  r  şi se poate aproxima E cu valoarea energiei de repaus m0c 2 . Termenii omişi sunt de 2

ordinul p /(m0c)2 în raport cu cei rămaşi. Astfel , în cadrul aproximaţiei descrise , avem c  PU A = ( E  m0c 2  V )U B

2m0c 2U B

sau

(12.18) UB

1   PU A 2m0c

De asemenea , vom aproxima componenta mare a termenului  u după cum urmează :

 u 

A

= U B









1 1    P UA = P  iP   U A 2m0c 2m0c

4

(12.19)

Pornind de la ecuaţia exactă (12.3) putem obţine o ecuatie pătratică după cum urmează : ecuaţiei Dirac 1     P   m c  ( E  V ) 0   u = 0 c

(12.20)

1   îi vom aplica la stânga operatorul   P   m0c  ( E  V )  şi obţinem c  

1 1      P   m0c  c ( E  V )    P   m0c  c ( E  V )  u 

(12.21) 1 2  2  =  P   m0c   2 ( E  V ) 2   V     u = 0 c ic  

Mai întâi observăm că în cadrul aproximaţiei menţionate mai sus putem scrie că

 m0c 

2



1 1 ( E  V ) 2 =  2  E  m0c 2  V  E  m0c 2  V  2 c c 2 m0c 2

(12.22) 2m0  E  m0c 2  V 

De asemenea , având în vedere că potentialul V  r  este de tip central , avem V  r  =

dV r dr r

(12.23)

astfel că putem prelucra componenta mare a ultimului termen al ecuaţiei 12.21)

5

(

 V    u  A = =





1 dV r  P  iP   U A  2m0c dr r

1 dV  2i (i  LP  S P )U A  2m0c dr r r

=

(12.24)

i dV  2 LP  S P (  )U A 2 2m0c dr r r

Am notat mai sus cu LP şi cu S P =  operatorii momentului cinetic orbital şi 2 al spinului în teoria lui Pauli . Ei acţionează asupra unor spinori cu două componente , iar indicele P este folosit pentru a marca acest lucru. După aceste prelucrări vom putea deduce din (12. 21) ecuaţia pătratică aproximativă căreia îi satisfac componentele mari ale bispinorului sub forma 2   2  V  2m0

2   dV  2 LP  S P   (  )  U A =  E  m0c 2 U A  2   2m0c  dr r r

(12.25)

Ecuaţia de mai sus formează baza teoriei nerelativiste a lui Pauli pentru descrierea stărilor electronului cu spin aflat în câmp central . Ea reprezinta limita nerelativistă a ecuaţiei exacte ( 12.3). Hamiltonianul Pauli 2

  dV 2 LP  S P  HP =   V   (  )  2 2m0 r  2m0c  dr r 2

2

2

(12.26)

2

2

comută cu operatorii LP , S P , LP  S P , deci şi cu operatorul J P al pătratului momentului cinetic total J P = LP  S P

Faţă de Hamiltonianul Schrödinger , diferenţa constă în expresia 2

  dV 2 LP  S P  (  )   2 2 m c dr r r  0 

6

în care primul termen se datorează interacţiei momentului magnetic propriu al electronului

=

e S m0

(12.27)

cu câmpul magnetic din sistemul său propriu B SP =

1 1 dV L 2 m0c 2er dr

(12.28)

calculat cu considerarea precesiei Thomas a spinului electronic , iar al doilea termen nu are un corespondent clasic. Revenind la teoria relativistă exactă , momentul cinetic de spin (1/2) al electronului , S =  acţionează asupra unor bispinori ( cu patru componente) , iar 2  =  5

(12.29)

este matricea asociata spinului în teoria relativistă:  0  =  0   

(12.30)

Matricea  5 a fost definită prin relaţia

 5 = i 0 1 2 3

(12.31)

unde

0 = şi

(12.32)

 i =  i , i = 1,2,3 Ea are în reprezentarea standard forma :

7

0 1  1 0

5 = 

(12.33)

şi satisface relaţiilor

 5 



5

2

=1

,    = 0 ,  = 0,3

adică

(12.34)

 5 ,   = 0 şi  5 ,   = 0  

Rezultă că avem şi relaţia

 = 5

(12.35)

şi de aici

 5  =  5 = 

(12.36)

  = 

(12.37)

i  j =  5i  j =  5 ( ij  i ijk k ) =  5i j

(12.38)

2 3 2 sau  = 3 . Toate acestea ne vor 4 servi în continuare pentru obţinerea unor concluzii de ordin fizic cu privire la sistemul studiat. Mai întâi vom calcula comutatorul

2

Pentru particula de spin 1/2 stim că S =

 H , S  = c  P   m0c 2  V  r  ,   = c Pe   i j  i ,  j      2  2

8

=

c c     Pe Pe i j  5 i ,  j  = i j 5  i ,  j   2 2

(12.39) =

c Pe i j  5 2i ijk  k = i c  P 2

Combinând acest rezultat cu relaţia ( 12.10) observăm că H , J  = 0  

(12.40)

unde J = L  S este momentul cinetic total . În acelaşi timp 2  H , S 2  = c P  ,     i i j j   4 

2

=

c Pi 5 2i ijk   j  k   k  j  = 0 4 2

Deci operatorii H , J , J 3 și S

2

comută şi alcătuiesc sistemul complet de 2

2

observabile compatibile . Pe de altă parte , J , J 3 şi S comută de asemenea 2

cu L . Operatorul 2 1 2 3   3  J =  L   =  J L  2  2 4  

2

  

(12.41) 2 1 2 3 = J L  4 

2

  

specifică într-o teorie nerelativistă dacă spinul electronului este paralel sau antiparalel cu momentul cinetic total , adică dacă l este egal cu j  1/2 sau j  1/2 . Mai util este în teoria relativistă operatorul    J a cărui limita

nerelativistă este   J . Pornind de la rezultatele următoare , care derivă imediat cu ajutorul relaţiilor ( 12.13) şi (12. 39 )

H





,   = c     P = 2c  P

şi 9

(12.42)

 H ,   = 2ic  P  

(12.43)

rezultă că





H ,    J  = H ,     J   H ,   J      





=  H ,     J      H , J     H ,    J  0











 2c   P   J  2ic   P  J 











 2c 5   P   J  2ic 5   P  J     2c 5  P  J  i   P  J  i   P  J  = PS = P  2



  c 5   P =  c  P =



2

H





    

(12.44)

, 

Fie de asemenea operatorul K =  J   2

(12.45)

cu proprietatea

H

, K = 0

(12.46)

conform relaţiei (12.44) . O prelucrare simplă ne arată că

10

    K =     L      =    L  2  2  





(12.47)

Operatorul J comută cu   L :  J ,   L = 0  

(12.48)

dar şi cu  :  J ,   =  ,   = 0   2 

(12.49)

de unde rezultă că J , K  = 0  

(12.50)

Conform relaţiilor (12.40) , (12.46) şi (12.50 ) rezultă că operatorii 2

H , K , J , J 3 comută şi deci admit un sistem complet de vectori proprii comuni ; vom nota cu E ,  , j ( j  1) 2 şi m valorile proprii şi vom indexa vectorii proprii cu ajutorul numerelor cuantice respective . Vom deduce mai departe o relaţie importantă între 2 şi j . Astfel , observăm mai întâi că



K2 =   L 



2

 

 

 L 

= L 



= L  i  L  L  2   L 

2



2





(12.51)

=i L

2

= L  L 

2

2

=J 

1 4

2

ceea ce stabileşte o legătură între valorile proprii : 2

2

= j ( j  1)

2



1 4

2

1 = ( j  )2 2

Rezultă că avem

11

2

(12.52)

= ( j  1/ 2)

(12.53)

În cazul electronului de spin 1/2 , numărul cuantic j = l  1/2 este semiîntreg , deci poate fi un întreg diferit de zero , pozitiv sau negativ . În reprezentarea standard , forma explicită a operatorului K dat de formula (12.47) este   LP  K =  0 

    L P   0

(12.54)

Problema sa de valori proprii Ku = 

(12.55)

u

cu vectori proprii de forma (12.16) poate fi astfel explicitată:

  L

P

U



şi

  L

P

U



A

=

UA

(12.56) B

=

UB

În acelaşi timp avem 2    0   LP     2 U A  2      U A  = j ( j  1) 2  U A  J  =  U  2  U B   U B   B    0  L P     2    

(12.57)

şi

 

 LP   3 3 U A   2 J3   =  U B   0  

  U A    = m U L P   3   B  3 2  0

 

U A  U   B

(12.58)

deci JP

2

2 U A    U A    =  L P      = j ( j  1) 2  U B  U B  

12

2

U A    U B 

(12.59)

şi

 J  U P

3

UA   =  LP  B

U   U   3   A  = m  A  3 2  U B  U B 

 

(12.60)

Operatorul 2

2

LP = J P    LP 

3 4

2

(12.61)

2

comută cu   L P , J P şi cu J P , deci conform relaţiilor (12.56) , (12.59) şi (12.60 ) , spinorii cu două componente U A şi U B sunt şi vectori proprii ai lui L P . Să notăm cu l A  l A  1 2

2

şi lB  lB  1

cele două valori proprii , evident

2

2

diferite (căci dacă ar fi egale , atunci u ar fi vector propriu şi al lui L ) . Din ( 12.56) şi (12.61) rezultă că  = j ( j  1)  l A  l A  1 

1 4

şi = j ( j  1)  lB  lB  1 

1 4

Atunci avem următoarele doua cazuri care decurg din ( 12.53) Cazul I.

= j

1 2

l A  l A  1 = j 2  2 j 

lA = j 

3  1  3 =  j   j   4  2  2



1 2

(12.62)

şi lB  lB  1 = j 2 

1  1  1 =  j   j   4  2  2

 13

lB = j 

1 2

1  =  j   2 

Cazul II.

lA = j 

şi lB = j 

1 2

(12.63)

1 2

În ambele cazuri l A şi lB diferă printr-o unitate , ceea ce confirmă faptul că U A şi U B au parităţi opuse . Din teoria compunerii momentului cinetic orbital cu momentul cinetic de spin 2

2

2

1/2 , stim că j = l  1/2 şi că vectorii proprii comuni ai lui J , J 3 , L şi S de forma j, m, l , s  j, m sunt daţi în reprezentarea coordonatelor , conform teoremei Clebsch-Gordan , sub forma unor combinaţii  AY  ,    r |  l  1/2  , m = AYl ,m1/2  ,   BYl ,m1/2  ,  =  l ,m1/2   BYl ,m1/2  ,    CY  ,    r |  l  1/2  , m = CYl ,m1/2  ,   DYl ,m1/2  ,  =  l ,m1/2  DY  ,    l , m  1/2  

(12.64)

(12.65)

unde coeficienţii satisfac relaţiilor de ortonormare A  B =1

(12.66)

C  D =1

(12.67)

AC*  BD* = 0

(12.68)

2

2

2

2

Avem pentru j = l  1/2 : J  r |  l  1/2  , m =  l  1/2  l  3/2  2

2

 r |  l  1/2  , m

sau

14

(12.69)

L  S 2

=



2

2





2

 L S  L S  2 L3S3

  AY

  BYl ,m1/2  

l ,m 1/2

1/2

A l  l  1  3 / 4   m  1 / 2    B  l  1 / 2   m 2    2

1/2

A  l  1 / 2   m 2    2

=  l  1 / 2  l  3 / 2 

2



Yl ,m1/2 



 B l  l  1  3 / 4   m  1 / 2   Yl ,m1/2 

 AY

  BYl ,m1/2 

l ,m 1/2

(12.70) şi de aici relaţia

A l  1/2  m = B l  1/2  m

(12.71)

care , impreună cu (12.66) , (12.67) , (12.68) şi cu convenţia că toţi coeficienţii sunt reali , ne dă că l  1/2  m 2l  1

A = D =

(12.72)

şi B=C =

l  1/2  m 2l  1

(12.73)

Rezultă că vectorii proprii normaţi la unitate sunt  r |  l  1/2  , m =

1  l  1/2  mYl ,m1/2  ,     2l  1  l  1/2  mYl ,m1/2  ,  

pentru j = l  1/2

(12.74) şi  r |  l  1/2  , m =

1  l  1/2  mYl ,m1/2  ,     2l  1   l  1/2  mYl ,m1/2  ,   15

pentru j = l  1/2

(12.75) Vom introduce notaţiile

 j ,m  ,  =  r | j, m =

1  j  mY j 1/2,m1/2  ,     2 j  j  mY j 1/2,m1/2  ,  

pentru j = l  1/2

(12.76) şi 1  j  m  1Y j 1/2,m1/2  ,     pentru j = l  1/2  j ,m  ,  =  r | j, m = 2 j  2   j  m  1Y j 1/2,m1/2  ,    

(12.77) Funcţiile sferice Yl ,m au paritatea  1 la inversia spaţială , astfel că  j ,m şi  j ,m au parităţi opuse. În plus , aceşti spinori sunt ortonormaţi , iar coeficienţii Clebsch-Gordan sunt astfel aleşi încât 

l

r     j ,m =    j ,m =  j ,m r

unde

=

r r

(12.78)

Într-adevăr , 

   j ,m

1  cos =  2 j  ei sin 

ei sin    j  mY j 1/2,m1/2  ,      cos   j  mY j 1/2,m1/2  ,  

 i 1  j  m cos Y j 1/2,m1/2  ,   j  me sin  Y j 1/2,m1/2  ,     = 2 j  j  mei sin  Y j 1/2,m1/2  ,   j  m cos Y j 1/2,m1/2  ,  

(12.79)

Folosind relaţiile de recurenţă   l  m  1 l  m  1    l  m  l  m   = Y   l 1,m   Yl 1,m 2 l  1 2 l  3 2 l  1 2 l  1           (12.80) 1/2

cos Yl ,m

1/2

16



  l  m  1 l  m  2     l  m  l  m  1  e sin  Yl ,m =    Yl 1,m1    Yl 1,m1 2 l  1 2 l  3 2 l  1 2 l  1           (12.81) 1/2

1/2

i

  l  m  1 l  m  2     l  m  l  m  1  e sin  Yl ,m =   Yl 1,m1    Yl 1,m1 2 l  1 2 l  3 2 l  1 2 l  1           (12.82) 1/2

1/2

 i

rezultă după un calcul simplu că

    j ,m =  j ,m

(12.83)

şi de asemenea

    j ,m =  j ,m

(12.84)

Pentru simplitate vom introduce notaţia generică  lj ,m şi vom considera că  lj ,m este  j ,m în cazul când j = l  1/2 şi respectiv  j ,m dacă j = l  1/2 . Din consideraţiile de mai sus se desprinde în mod clar concluzia că soluţiile ecuaţiei Dirac pentru câmp central de forţe au forma generală 

u



l j ,m

 Fjl  r  lj ,m  ,   r = l   if  r     l  ,   j j , m  



(12.85)

Unitatea imaginară este introdusă în mod convenţional în cazul de faţă , când se lucrează în reprezentarea standard . În acelaşi timp , =   j  1/ 2  în cazul când j = l  1/2 şi = j  1/ 2 dacă j = l  1/2 , aşa cum rezultă din relaţiile (12. 62) şi (12.63) . Alături de ecuaţiile de bază cărora le satisfac spinorii cu două componente U A şi U B c  PU B =  E  m0c 2  V  r U A

c  PU A =  E  m0c 2  V  r U B

avem , conform cu ( 12.56 ) şi ecuaţiile :

17



  L PU A = 

 1U A

şi

(12.86)



  L PU B =

 1U B

Un calcul simplu ne conduce la o relaţie utilă :

  r   L  = r  L P

0





P









 i  r  L P = i  r  r  P    









= i   r r  P  r 2 P  = i   r r  P  ir 2   P  



sau

 P =

 r r2

 r  P  i  L   P

(12.87)  i   =     i    LP  r r  

Atunci avem , în conformitate cu ( 12.86) :  i       P U B =     i    L P U B =     i i  r r   r

1 U B  r 

(12.88) 1   i      U B r   r

şi  i       P U A =     i    L P U A =     i i r r r   

1 U A  r 

(12.89)   i    r

1    U A r 

În cazul nostru avem , conform cu ( 12.85) 18

U A = Fjl  r  lj ,m  , 

(12.90)

U B = if jl  r     lj ,m  , 

(12.91)

deci prelucrând relaţia (12. 17) obţinem

   P U B = i    r

 df jl 1     U B =  r  dr 

2 1 l  f j      lj ,m  ,    r 





1

1 =  E  m0c 2  V  r  Fjl  r  lj ,m  ,  c

(12.92)

şi  dFjl  r    P U A = i   dr 

 1 l Fj  r      lj ,m  ,    r 

1 =  E  m0c 2  V  r  if jl  r     lj ,m  ,  c

(12.93)

Rezultă că funcţiile radiale Fjl  r  şi f jl  r  satisfac ecuaţiilor diferenţiale cuplate  dFjl  c   dr 

1 l  Fj  = ( E  m0c 2  V ) f jl  r 

(12.94)

şi  df jl c   dr 

1 l  f j  = ( E  m0c 2  V ) Fjl  r 

(12.95)

Vom continua din acest punct cu un caz concret de câmp central : câmpul Coulombian al unui nucleu presupus fixat (în aproximatia masei nucleare infinite ) cu Z protoni , de sarcina Ze , sub acţiunea căruia se află un electron de sarcina –e . Sistemul este deci atomul hidrogenoid de Z  1 ori ionizat . Energia potenţială este în acest caz de forma 19

Ze2 Z V r  =  = c 4 0 r r

(12.96)

unde e2

=

4 0 c

=

1 137,036

(12.97)

este constanta structurii fine . Pentru simplitatea scrierii vom renunţa în continuare la indicii funcţiilor F jl şi f jl pe care le vom nota simplu F şi f . Vom avea însă în vedere în mod tacit dependenţa acestora de indicii respectivi . Împărţim ecuaţiile radiale (12.94) şi (12.95) cu m0c 2

Z  F   (m0c 2  E  c )f =0 r 

 dF 1  c  r  dr

 1   2   m0c 

(12.98)

Z  f   (m0c 2  E  c )F = 0 r 

 df 1  c  r  dr

 1   2   m0c 

notăm cu

=

E m0c 2

(12.99)

şi facem schimbarea de variabilă

=

m0c

r ;

d d = d m0c dr

; =

r

c

(12.100)

unde

c =

m0c

= 3,861  1013 m = 3,861 103 A

(12.101)

este lungimea de unda Compton a electronului . Atunci ecuaţiile devin :

20

dF 1   d 

F  (1   

Z )f =0  (12.102)

df 1   d 

f  (1   

Z )F = 0 

Pentru rezolvarea sistemului de ecuaţii de mai sus este util să studiem comportarea soluţiilor în zona asimptotică     şi în vecinatatea originii   0 . Astfel , în limita asimptotică     , termenii proporţionali cu 1/ pot fi neglijaţi iar ecuaţiile capătă forma aproximativă dFas  (1   ) f as = 0 d

(12.103) df as  (1   ) Fas = 0 d

sau d 2 Fas  (1   2 ) Fas = 0 2 d

(12.104) d 2 f as  (1   2 ) f as = 0 2 d

Dacă 1   2 < 0 (  =

E > 1 , adică E   , m0c 2    m0c 2 ,   ) soluţiile au 2 m0c 2

un caracter oscilant de forma e i  1  specific stărilor libere sau spectrului continuu de valori proprii ale Hamiltonianului . De acest caz ne vom ocupa mai târziu , după ce vom studia mai întâi cazul spectrului discret . Stări legate , corespunzatoare spectrului discret , există numai pentru valori ale lui E  = < 1 , adică pentru E   m0c 2 , m0c 2  . În acest caz 1   2 > 0 iar 2 m0c soluţiile finite ale ec. (12. 104) de forma

21

1 2 

Fas = Cas e  şi

(12.105)

f as = cas e 

1 2 

se anulează la infinit şi conduc la funcţii radiale de modul pătrat integrabil . Introducem soluţiile de mai sus în oricare din ecuaţiile (12. 103) şi obţinem că Cas 1  = cas 1 

(12.106)

În vecinatatea originii   0  , termenii dominanţi sunt tocmai cei proporţionali cu 1/ , astfel că ecuaţiile iau forma aproximativă dF0 1   d 

F0 

Z f =0  0 (12.107)

df 0 1   d 

f0 

Z F =0  0

Căutăm soluţii de forma F0 = C0  1 şi

(12.108)

f 0 = c0  1

Dacă introducem aceste soluţii în ecuaţiile ( 12.107 ) obţinem un sistem algebric omogen C0   

  c0 Z = 0 (12.109)

C0 Z  c0   

=0

care are soluţie nebanală numai dacă determinantul coeficienţilor săi este zero :

2 

2

  Z  = 0 2

(12.110) 22

Rezultă că avem soluţii nenule în zona originii numai dacă

 = 

2

1/2

2   Z   

1/2

2 2 =  j  1 / 2    Z    

(12.111)

Trebuie să alegem determinaţia pozitiva a radicalului pentru ca în origină  r = 0  comportarea funcţiilor radiale să fie acceptabilă din punct de vedere fizic , adică să dea o densitate de probabilitate de localizare nulă

r r

2 2  2



= r 2  0 . r 0

Comportarea funcţiilor radiale în zona asimptotică şi în vecinatatea originii ne sugerează mai departe schimbarea de variabilă

 = 2 1   2 = 2 1   2

r

c

;

1



= 2 1  2

1



;

d d = 2 1  2 d d

(12.112) şi substituţiile F = C 1     1e   /2G   

(12.113) f = C 1     1e   /2 g   

unde C este o constantă de normare ce va fi determinată ulterior , iar funcţiile G şi g verifică ecuaţiile dG   d  





1 1 1  Z   G    g = 0 2 2 1     

(12.114) dg   d  





1 1 1  Z   g   G = 0 2 2 1     

Introducem mai departe funcţiile auxiliare

23

1 = G  g  2 = G  g



1  G = 1  2   2   g = 1     1 2  2

(12.115)

după care adunăm şi scădem ecuaţiile ( 12.114) şi obţinem : d1   Z  1       d  1  2   

 2  =0 1  2  

Z



 d2   Z  2     2    d  1  2   

(12.116)

 1  =0 2 1   

Z



(12.117)

Este util să prelucrăm expresia   

   1   2 

Z

  = 1  2 

Z

2

 Z  

2

1  2

 Z  =  2 2

1 

2



(12.118)   Z   Z         1   2  1  2  

Observăm că coeficientul lui

2 din ecuaţia (12.116) nu poate fi zero . 

Demonstraţia se face prin metoda reducerii la absurd . Astfel , dacă ar fi zero , 

Z 1  2

(12.119)

=0

atunci , conform relaţiei (12. 118 ) , ar trebui fie ca (a)



 Z 1  2

=0

sau (b)



 Z 1 

2

=0 24

d1 = 0 , deci 1  constant , iar ec. (12. 117) d capătă în limita asimptotică forma aproximativă

În cazul (a) ec. (12.116) devine

d 2  2 = 0 d

(12.120)

cu o soluţie de forma 2 = e  care , combinată cu relaţia (12. 113) ar da funcţiilor radiale o comportare improprie la infinit , de tipul e  /2 . Deci cazul (a) trebuie exclus . Pe de altă parte, în cazul (b) ec. (12.116) se scrie d1   2 1 = 0 d 

(12.121)

şi are soluţia 1 =  2 care face densitatea de probabilitate de localizare radială să aiba în vecinătatea originii  r  0  o comportare de forma r 2r 2 2r 4 = r 2 şi să tindă către infinit când r  0. Rezultă că nici în cazul (b) nu se poate obţine o soluţie acceptabilă din punct de vedere fizic . Atunci aceasta înseamnă că 

Z 1  2

0

(12.122)

deci putem exprima pe  2 din ec. (12. 116) sub forma

2 = 

1

Z  1  2

 d1   Z     1  2  d  

  1   

(12.123)

şi să o introducem în ec. ( 12.117) care devine d 21 d1   Z    (2   1   )     1 = 0 d2 d  1  2 

(12.124)

adică tocmai ecuaţia hipergeometrică a lui Kummer zy''  (b  z ) y'  ay = 0

(12.125) 25

Aceasta are ca soluţie finită în origină funcţia hipergeometrică confluentă ( sau funcţia lui Kummer ) y( z) = 1 F1 (a, b; z)  (a, b; z)

(12.126)

Pentru 0 < Re  a  < Re  b  această funcţie admite reprezentarea integrală (a, b; z ) =

1  b b a 1 dte zt t a 1 1  t     a   b  a  0

(12.127)

şi poate fi exprimată prin seria hipergeometrică degenerată a z a  a  1 z 2 a  a  1 a  2  z 3 (a, b; z ) = 1     b 1! b  b  1 2! b  b  1 b  2  3!



(12.128)

a  k k =0  b  k 

zk k!

Simbolul lui Pochhammer  a k este definit prin relaţiile:

 a k = a  a  1 a  2   a  k  1 =  a 0 = 1

a  k  a

a

a

pentru k  0

(12.129)

Să notăm că el are valori finite chiar atunci când funcţiile Gamma care apar în definiţia sa sunt infinite . Daca a este un întreg negativ , atunci  a k = 0 pentru k > a . În limita asimptotică , comportarea seriei hipergeometrice este dată de raportul coeficienţilor puterilor succesive ale lui z

 a k 1 1  b k 1  k  1! a  k 1 1 =   a k 1 b  k k  1 k  k  b k k!

(12.130)

şi este aceeaşi că şi în cazul seriei exponentiale 26



zk e = k =0 k! z

(12.131)

Comparând ec. ( 12.124) şi (12.125) identificăm a= 

 Z 1  2

şi

(12.132)

b = 2  1

astfel că soluţia 1 a ec.( 12.124 ) este 

 Z



1  2

1    =    

 , 2  1 ;   

(12.133)

Pentru ca 1    să dea funcţiilor radiale o comportare la infinit acceptabilă din punct de vedere fizic , trebuie ca seria hipergeometrica să se reduca la un polinom . Condiţia de tăiere a seriei (12. 128) este , aşa cum am arătat , ca parametrul a să fie egal cu un număr întreg negativ , sau zero. În cazul nostru , această condiţie se scrie sub forma a= 

 Z 1 

2

= nr

,

nr = 0,1,2,

(12.134)

Aceasta este o condiţie de cuantificare ce restrânge mulţimea valorilor lui  , deci ale energiei , la un spectru discret corespunzător stărilor legate . Numărul nr se numeste număr cuantic radial . Prin urmare putem scrie că

1    = (nr , 2  1 ;  )

(12.135)

În cazul Re  b  > Re(a  1) > 1 (în cazul nostru b  a  1 = 2  nr > 0 ) se poate demonstra o relaţie utilă . Astfel , pornind de la reprezentarea integrală ( 12.127) şi integrând prin părţi , putem scrie că

z

1 1  b  b d b a 1 b  a 1 zt a (a, b; z ) = dt ze t 1  t = d  e zt  t a 1  t       dz   a   b  a  0   a   b  a  0

27

=

1  b b  a 1 ba 2 zt  a 1 a  dt e at 1  t  b  a  1 t 1  t           a    b  a  0

= a (a , b ; z)  a (a  1 , b ; z)

(12.136)

Prin prelungire analitică se poate arată că această relaţie este adevărată şi în cazul Re  a   0 . Atunci relaţia (12. 123) ne dă că

1

2    = 

Z 1  2



 d   Z     1  2  d  

    Z    , 2   1 ;     2 1      

 Z 1   2  1     Z , 2  1 ;     2 Z 1      2 1 

 =

(12.137)

deci nr

2    =



(nr  1 , 2  1 ;  )

Z

(12.138)

1   

2 1/2

În cazul în care nr = 0 , 1 = 1 şi 2 = 0 astfel că din ec. (12. 117) rezultă că 

deci =

Z 1 

2

(12.139)

=0

Z 1  2

(12.140)

0 şi j = l A  1/2 este exclus , indiferent de valoarea lui nr .

28

0,1,2, dacă = ( j  1 / 2)  0  nr =   1,2,3,  = j 1/ 2  0  dacă

(12.141)

Cu aceasta problema noastră este acum rezolvată . Condiţia (12.134) ne dă valorile energiei din spectrul discret: 2  Z     = 1  2   nr    

1/2

(12.142)

sau

 n, j

2   Z     = 1  2   n  ( j  1/2)      

1/2

(12.143)

unde n = nr 

= nr  ( j  1/2)

este numărul cuantic principal şi poate lua valorile n =1,2,3,

, în timp ce 1/2

2 2 1 < j  1/2 < n . (Conform relaţiei (12. 111),  =  j  1 / 2    Z   ).   Funcţiile radiale sunt , conform relaţiilor ( 12.113) , (12.115) , (12.135) şi (12.138 ):

n   F    = C 1     1e  /2 (nr , 2  1 ;  )  r (nr  1 , 2  1 ;  )  N  

(12.144) n   f    = C 1     1e  /2 (nr , 2  1 ;  )  r (nr  1 , 2  1 ;  )  N  

unde am notat cu N numărul cuantic principal aparent

29

N=

Z 1  2

=  n2  2  n 



  

1/2

(12.145)

Constanta de normare C urmează a fi calculata în cele ce urmează. Variabila radiala poate fi scrisa ca

 = 2 1  2

m0c

r=2

m0c Z rZ r r=2 =2 N aB N aN

(12.146)

unde aB =

m0c

= 0,53  1010 m = 0,53 A

(12.147)

este raza Bohr , iar a a= B Z

(12.148)

este raza Bohr redusă . Relaţia (12.143) pentru nivelele de energie ale starilor legate ale atomului hidrogenoid este cunoscută sub numele de ''formula structurii fine''.

 n, j

2  Z    = 1  2   n     

2   Z    = 1  2   nr    

1/2

 2 Z    = 1    n   j  1 / 2    j  1 / 2  2   Z  2  



   1/2 2    

1/2



1/2

(12.149)

Ea ne arată că , spre deosebire de tratarea clasică , nivelele de energie nu depind numai de numărul cuantic principal , n , ci şi de numărul cuantic al momentului cinetic total , j . Nivelele de energie rămân , totuşi , degenerate după numărul cuantic al momentului cinetic orbital , l . Folosind notaţia spectroscopică obişnuită , prezentăm mai jos valorile proprii ale energiei , corespuzatoare primelor nivele în ordine crescatoare , pentru atomul de hidrogen (Z=1).

30





Notaţia spectr. 1s1/ 2

n

nr

j

1

0

1/2

-1

0

1 2

-13,606

2s1/ 2

2

1

1/2

-1

0

1 1 2 2

-3,402

2 p1/ 2

2

1

1/2

1

1

1 1 2 2

-3,402

2 p3/ 2

2

0

3/2

-1

1

3 3 3 3 3 4 4 4 4 4 4 4

3s1/ 2 3p1/ 2 3p3/ 2 3d3/ 2 3d5 / 2 4s1/ 2 4 p1/ 2 4 p3/ 2 4d3/ 2 4d5 / 2 4 f5 / 2 4 f7 / 2

2 2 1 1 0 3 3 2 2 1 1 0

lA

1/2 1/2 3/2 3/2 5/2 1/2 1/2 3/2 3/2 5/2 5/2 7/2

-1 1 -2 2 -3 -1 1 -2 2 -3 3 -4

Eleg [eV ]

1

0 1 1 2 2 0 1 1 2 2 3 3

2

-3,401

4 -1,512 -1,512 -1,512 -1,512 -0,850 -0,850 -0,850 -0,850 -0,850 -0,850 -0,850 -0,850

(12.150) Dezvoltarea formulei ( 12.149) în serie de puteri ale parametrului  Z  ne dă : 2

 n, j =

En, j m0c 2

 Z  =1 2n 2

2

 Z   2n 3

4

 1 3   j  1/2  4n    

[ Z  ] 6

(12.151)

În afara de energia de repaus a alectronului , primul termen este chiar termenul nerelativist cunoscut . Observăm că degenerarea după j se ridică abia în ordinul 4  Z  ceea ce explică , pentru atomii uşori , de ce formula clasică descrie destul de bine schema nivelelor de energie .Corecţiile relativiste , de ordinul 4 6  Z  , şi cele radiative , de ordinul  Z  , sunt mai importante în cazul atomilor mai grei , cu Z 26. În afară de acestea , alte efecte fizice modifică 31

formula (12. 149) printre care enumerăm corecţiile de masă nucleară finită , sau cele datorate interacţiei între momentele magnetice ale electronului şi nucleului . În continuare vom trece la evaluarea constantei de normare a funcţiilor radiale date de formula (12. 144). În conformitate cu definiţia densităţii de probabilitate de localizare a electronului descris de bispinorul u U  2 2 2 2 P = u 0u = u u = U A U B   A  = u1  u2  u3  u4 U B 

(12.152)

relaţia de normare pentru bispinorul stării legate se scrie U  1 =  d 3 ru u =  d 3 r U A U B   A  =  d 3 r U AU A  U BU B   U B  R3 R3 R3 

= drr 2 0





l l l  d  F  r   j ,m   j ,m  f  r     j ,m

 4 



2

2

     

l j ,m

(12.153)

Cum spinorii sferici  j ,m sunt normaţi la unitate în raport cu integrarea pe sferă , rezultă că conditia de normare se scrie : 



1 = drr 0

2

 F r 

2

 f r 

2



3



2 2  aN  2 = d  F   f         2  0

3    aN  2  2    = C d  e (1   ) (nr ,2  1;  )     2    0 

 (1   ) (nr ,2  1;  )  

2

nr  (nr  1,2  1;  )   N 

nr  (nr  1,2  1;  )  N 

3   aN  2    2 1 = 2C  d  e  (nr ,2  1;  )     2  0    2

32



nr2

 N

2

2

  

(12.154)

 2 (nr  1,2  1;  ) 

2 nr  (nr ,2  1;  )(nr  1,2  1;  )   N 



 aN  = 2C    2  2

3

   

1



nr2

 N

2 

2

2 nr N

 3  

(12.155)

unde am notat 

= d  2 e   2 (nr ,2  1;  )

1

(12.156)

0



2

= d  2 e   2 (nr  1,2  1;  )

(12.157)

0



= d  2 e  (nr ,2  1;  )(nr  1,2  1;  )

3

(12.158)

0

Începem prin evaluarea integralei putem scrie : d

nr

d

nr

=

nr

e





nr  nr  1

2  nr





=e 

2

. Pentru aceasta observăm mai întâi că

n k  d k   d r 2  n  = C  k e   n k  r     k =0  d  d  r  nr

 nr  k  1 k!

k =0

1

k nr

 1

k

e   2  nr  2  nr  1

(nr )k (2  1) nr k    k ! (2   1) k =0 k nr

(nr )k  k = (2  1)n e    r k =0 (2  1) k k! 

2

nr

33

 2  k  1  2 k 

= (2  1)n e   2 (nr ,2  1;  )

(12.159)

r

Atunci avem pe de-o parte



n

1 dr 2  n e  (nr ,2  1;  ) = e   r nr (2  1)n d  r 

2



(12.160)

şi de asemenea (nr )k  k (nr ,2  1;  ) =  k =0 (2  1) k k! nr

(12.161)

Introducem relaţiile (12.160) şi (12. 161 ) în (12. 156) şi scriem 1 1 = (2  1) n

r





r (nr ) k 1 k d   2  nr d  e   n  r (2   1) k ! d  k =0 k 0 nr

n



(12.162)

k 

= 1

Pentru calculul lui 1  integrăm prin parti de k ori şi observăm că termenii integraţi se anulează . Obţinem : k

k  1



=  1 k!d 

d

k

0

nr k

d

nr  k

e





2  nr

 =  1 k!   2  1  n  k

r

k ,nr

(12.163)

iar 1 1 = (2  1)n

r

nr

(nr ) k 1 k  1 k!   2  1  nr  k ,nr  k k!

 (2  1) k =0

(12.164) =   2  1

nr! (2  1)n

r

Valoarea integralei

2

=   2  1

2

rezultă din

1

prin substitutia nr  nr  1 :

 nr  1!

(12.165)

(2  1)n

r 1

34

În sf\rsit , avem 1 3 = (2  1) n

r

nr 1







r (nr  1) k 1 2  n k d d  e   r   nr  d k =0 (2  1) k k! 0 n

k 

= 1

(12.166) 1 = (2  1) n

r

nr 1

(nr  1) k 1 k  1 k!   2  1  nr  k ,nr = 0 k =0 k k!

 (2  1)

pentru că suma se extinde numai până la termenul k = nr  1 . Rezultă că 3 nr!  aN   2C      2  1 (2  1) n  2    r 2

nr2

 N

  2  1 2

  (2  1) n 1  r 

 nr  1!

3  nr  2  nr   nr!  aN  = 2C   2   1 1  1     2  (2  1) n   2   N    r 2

(12.167) şi pentru că N 2 = nr  2  nr  

2

(12.168)

avem 3

nr! 2N  aN  1 = 2C   2   1    (2  1) n N   2  r 2

(12.169)

În sfârsit , constanta de normare rezultă ca 1 2  C=   2  Na 

3/2

 N   (2  1)nr nr!N   2  1

35

(12.170)

Mai departe reluăm în rezumat principalele formule rezultate din calculele de mai sus.

 n, j

2   Z    = 1  2   nr    

 2 Z    = 1    n   j  1 / 2    j  1 / 2  2   Z  2  

1/2



   1/2 2    

1/2



nr = n   j  1 / 2  1/2

2 2  =   j  1 / 2    Z  





( j  1 / 2) dacă j = l  1 / 2 A  =  j 1/ 2  dacă j = l A  1 / 2

n =1,2,3,

0,1,2, dacă  nr =  1,2,3,  dacă

1/2 < j < n  1/2 în pas de unitate

0





N = n2  2 n   j  1/2   j  1/2    

 = 2 1  2

m0c

r=2

1/2



= n2  2  n 

m0c Z rZ r r=2 =2 N aB N aN

36





 

1/2

nr  Fn, j    = Cn, j 1   n, j   1e  /2 (nr ,2  1;  )  N 

 (nr  1,2  1;  )  

nr  f n, j    = Cn, j 1   n, j   1e  /2 (nr ,2  1;  )  N 

 (nr  1,2  1;  )  

Cn, j

1 2  =   2  Na 

3/2



 N   (2  1)nr nr!N   2  1







U A r = Fn, j  r  lj ,m  ,  ; U B r = if n, j  r      lj ,m  ,  ;  =

 j ,m  ,  =

 j ,m  ,  =

1  j  mY j 1/2,m1/2    2 j  j  mY j 1/2,m1/2 

 j  m  1Y j 1/2,m1/2  1   2 j  2   j  m  1Y j 1/2,m1/2 

      =     j ,m

j ,m

37

pentru j = l  1/2

pentru j = l  1/2

r r

 j