Interpretarea Geometrica A Derivatei [PDF]

Zitiervorschau

Interpretarea geometrica a derivatei 1.Ecuatia tangentei la graficul functiei Daca f :E→ este derivabila in x0 E atunci f ‘(x0) reprezinta panta tangentei la graficul functiei f in punctul de coordonate (x0 , f(x0) ) . Daca f’(x0 ) = 0, atunci tangenta este paralela cu axa Ox. Daca f’(x0 ) = atunci tangenta este paralela cu axa Oy. Ecuatia tangentei la graficul functiei f in punctul de coordonate (x0 , f(x0) ) este data de formula: y - f(x0) = f’(x0 )( x - x0) .

Exemplu: Fie f :→ , f(x) = x3 – 2x + 3 . Scrieti ecuatia tangentei la graficul functiei f in punctul x0 = 1. Rezolvare: Avem f(x0) = f(1) = 1 -2 +3= 2 f’(x) = 3x2 -2 f’(x0) = f’(1) = 3 – 2 = 1 Ecuatia tangentei este : y - f(x0) = f’(x0 )( x - x0) y – 2 = 1(x – 1) y – 2 = x – 1  x – y + 1 = 0. 2.Puncte de intoarcere Daca f :E→ este continua in x0 E si f’d(x0) =  si f’s(x0)= -, sau invers , atunci punctul x0 se numeste punct de intoarcere al graficului functiei f.

Exemplu:Aratati ca 2 este punct de intoarcere pentru graficul functiei f(x) = x x x  2, x  2 Rezolvare: f(x) =  2  x, x  2 x f’d(2) =  si f’s(2)= -,deci 2 este punct de intoarcere.

x2

.

3.Puncte unghiulare Daca f :E→R este continua in x0 E daca exista f’d(x0) si f’s(x0) si cel putin una dintre ele este finita, dar f nu este derivabila in x0 , atunci punctul x0 se numeste punct unghiular al graficului functiei f.

Exemplu: Demonstrati ca x0 = 0 este punct unghiular pentru graficul functiei f :→ , x ,x  0 sin x , x  0 . f(x) =   2

Rezolvare:f- continua f’s(0)= lim x0

f ( x )  f (0) x 0

=

f’d(0) = lim x0

f ( x )  f (0) x 0

= lim x 0

x0

x0

lim x0 x0

x 0

x2 x

sin x x

=0

=1

f’s(0)=0 ≠1= f’d(0)  f-nu e derivabila in 0  0 – pct. unghiular Fisa de lucru

1. Sa se determine punctele unghiulare sau punctele de intoarcere pentru functiile f :→: a). f(x) = c). f(x)=

0, x  1 3 ( x  1) 2 , x  1 

b).f(x)=

3

( x  1) 2

x 1 x 1

2. Sa se scrie ecuatiile tangentelor la graficele functiilor de mai jos in punctele indicate : a). f(x) = x 2  5 x  4 , x = 4 x2  1 b). f(x) = 2 , x = -1 x 1 c). f(x) = ln(x + 3) , x = -2 d). f(x) = arcsin2x

, x=

1 4

e). f(x) = 2xcosx + (x2 -2)sinx , x = 0 f). f(x) =

x x  1  x2

, x=0.

Tema de casa : E7,E8,E10,E11, A6 , A10, A13,A14,A17 pag 230 manual