Integrarea pe spaţii local compacte [PDF]
152 103 18MB
Romanian,Moldavian,Moldovan Pages 594 Year 1965
Coperta......Page 1
Prefata......Page 6
Tabla de materii......Page 10
Partea întîi......Page 16
1. Spatiul functiilor continue cu suport compact......Page 18
2. Definitia masurii......Page 22
3. Doua metode de a defini o masura......Page 28
1. Integrarea functiilor scalare în raport cu o masura vectoriala......Page 32
2. Masuri definite pentru functii scalare......Page 35
3. Masuri scalare......Page 40
4. Integrarea functiilor vectoriale în raport cu o masura scalara......Page 42
5. Masuri pozitive......Page 45
6. Masuri cu valori scalare......Page 49
1. Familii majorate de masuri reale......Page 53
2. Masuri majorate......Page 56
3. Masuri marginite......Page 61
§4. Suportul unei masuri......Page 63
1. Functii semicontinue inferior......Page 71
2. Integrala superioara a functiilor semicontinue inferior......Page 73
3. Masura exterioara a multimilor deschise......Page 76
4. Integrala superioara a functiilor pozitive......Page 78
5. Masura exterioara a multimilor oarecare......Page 88
1. Functii neglijabile pozitive......Page 89
2. Proprietati adevarate aproape peste tot......Page 91
3. Clase de functii echivalente......Page 92
4. Functii definite aproape peste tot......Page 93
5. Functii cu valori în \bar{R}......Page 94
1. Inegalitatile lui Hölder si Minkowski......Page 95
2. Seminormele N_p......Page 98
3. Spatiile F^p......Page 102
4. Spatiile L^p......Page 107
5. Relatii între spatiile L^p_E(\mu) si L^p_F(\mu)......Page 109
6. Relatii între spatiile L^p_E(\mu) si L^p_E(\nu)......Page 111
7. Functii reale p-integrabile......Page 112
8. Teorema lui Lebesgue......Page 118
9. Relatii între spatiile L^p_E(\mu) si L^q_E(\mu)......Page 120
10. Multimi filtrante în L^p......Page 121
1. Definitia functiilor integrabile în raport cu o masura majorata......Page 123
2. Integrarea în raport cu o masura scalara......Page 124
3. Integrarea functiilor scalare în raport cu o masura majorata......Page 127
4. Functii integrabile definite aproape peste tot......Page 128
5. Proprietatile functiilor integrabile......Page 130
6. Trecerea la limita în integrale......Page 132
7. Caracterizarea functiilor numerice integrabile......Page 135
8. Multimi integrabile......Page 138
9. Functii etajate integrabile......Page 147
10. Integrarea functiilor vectoriale în raport cu masuri vectoriale......Page 152
1. Definitia functiilor masurabile......Page 155
2. Functii compuse masurabile......Page 158
4. Functii numerice masurabile......Page 159
5. Multimi masurabile......Page 160
6. Functii masurabile definite pe multimi masurabile......Page 163
7. Principiul localizarii......Page 164
1. Functii cu valori în spatii metrice......Page 165
2. Functii cu valori în spatii Banach......Page 170
3. Functii numerice......Page 172
1. Aditivitatea integralei superioare......Page 177
2. Suportul functiilor p-integrabile......Page 180
3. Criterii de integrabilitate......Page 182
4. Calculul integralei superioare pentru anumite functii......Page 185
5. Functii masurabile definite local......Page 188
6. Functii boreliene......Page 192
1. Seminorma N_\infty......Page 194
2. Spatiul F^\infty......Page 196
3. Spatiul L^\infty......Page 197
1. Proprietatea de ridicare a lui L^\infty......Page 199
2. Proprietatea de ridicare a spatiilor de functii vectoriale......Page 203
3. Functii cu proprietatea de ridicare......Page 207
1. Inegalitatea lui Hölder......Page 212
2. Calculul seminormelor N_p......Page 214
3. Relatii între spatiile L^r si L^s......Page 230
Partea a doua......Page 236
1. Functii local integrabile......Page 238
2. Masuri definite prin densitati local integrabile......Page 240
3. Functii operatoriale simplu masurabile......Page 242
4. Functii operatoriale simplu local integrabile......Page 243
5. Masuri definite prin densitati simplu local integrabile......Page 245
6. Functii operatoriale slab masurabile......Page 247
7. Functii operatoriale slab local integrabile......Page 250
8. Masuri definite prin densitati slab local integrabile......Page 251
1. Familii filtrante de functii masurabile......Page 257
2. Integrala superioara în raport cu o masura pozitiva definita prin densitati......Page 259
3. Integrarea în raport cu o masura pozitiva definita prin densitati......Page 263
4. Integrarea în raport cu masuri definite prin densitati slab local integrabile......Page 267
5. Integrarea în raport cu masuri definite prin densitati simplu local integrabile......Page 272
6. Integrarea în raport cu masuri definite prin densitati local integrabile......Page 274
2. Masuri cu densitati local integrabile si baze pozitive......Page 277
3. Masuri cu densitati operatoriale......Page 282
1. Masuri pozitive absolut continue......Page 285
2. Teorema lui Lebesgue-Nikodym......Page 288
3. Masuri echivalente......Page 291
4. Masuri vectoriale absolut continue......Page 294
5. Gazul |gm| = |g||m|......Page 299
6. Masuri singulare......Page 302
7. Masuri difuze. Masuri atomice......Page 305
8. Operatii liniare pe spatiul L^p_E......Page 308
1. Familii sumabile de masuri pozitive......Page 322
2. Integrarea în raport cu suma unei familii de masuri......Page 324
3. Familii sumabile de masuri vectoriale......Page 328
1. Definitia imaginilor de masuri......Page 331
2. Integrala superioara în raport cu imaginea unei masuri pozitive......Page 333
3. Integrarea în raport cu imaginea unei masuri pozitive......Page 338
4. Integrarea în raport cu imaginea unei masuri majorate......Page 341
5. Proprietatile imaginilor de masuri......Page 343
6. Aplicatie. Masura Lebesgue ca imagine a masurilor difuze......Page 348
1. Definitia masurilor induse......Page 355
2. Integrala superioara în raport cu o masura indusa pozitiva......Page 357
3. Integrarea în raport cu restrictia unei masuri pozitive......Page 359
4. Proprietatile masurilor induse pozitive......Page 361
5. Integrarea în raport cu restrictia unei masuri majorate......Page 364
6. Proprietatile restrictiilor de masuri majorate......Page 366
1. Definitia masurilor pe un spatiu produs......Page 367
2. Integrarea în raport cu produsul a doua masuri......Page 373
3. Integrarea functiilor scalare în raport cu produsul a doua masuri vectoriale......Page 383
4. Proprietatile produsului de masuri......Page 386
5. Integrarea în raport cu un produs finit de masuri......Page 399
Partea a treia......Page 402
1. Grupuri topologice......Page 404
2. Grupuri local compacte......Page 406
3. Masuri invariante. Masura Haar......Page 408
4. Proprietatile masurii Haar......Page 415
5. Functia modulara......Page 420
1. Convolutia a doua masuri......Page 428
2. Integrarea în raport cu convolutia a doua masuri......Page 433
3. Convolutia unei masuri cu o functie......Page 435
4. Convolutia unei masuri marginite cu functii marginite......Page 441
5. Convolutia a doua functii......Page 446
6. Unitate aproximativa......Page 451
1. Algebra M^1......Page 454
2. Algebra L^1_A......Page 456
3. Algebre cu involutie......Page 459
1. Reprezentarile grupului G......Page 463
2. Reprezentarile algebrei L^1......Page 465
3. Reprezentari slab masurabile......Page 467
4. Reprezentarile regulate......Page 475
5. Reprezentari de grupuri comutative......Page 476
6. Grupul reprezentarilor......Page 481
1. Grupul caracterelor......Page 485
2. Transformata Fourier......Page 487
3. Functii de tip pozitiv. Teorema lui Bochner......Page 490
4. Formula de inversiune. Teorema lui Plancherel......Page 499
5. Teorema lui Pontriaghin......Page 509
6. Exemple......Page 511
1. Familii fundamentale......Page 516
2. Cîmpuri de vectori continue......Page 517
3. Proprietatile cîmpurilor de vectori continue......Page 518
4. Cîmpuri de vectori p-integrabile......Page 523
5. Cîmpuri de vectori masurabile......Page 524
7. Masuri definite pe cîmpuri de vectori......Page 529
8. Integrarea cîmpurilor de vectori......Page 531
9. Cîmpuri de operatii slab masurabile si slab local integrabile......Page 533
10. Masuri definite prin densitati......Page 537
11. Masuri absolut continue......Page 541
12. Operatii liniare pe spatiul L^p_A......Page 548
1. Spatiile O^\Phi_A......Page 553
2. Functii complementare în sensul lui Young......Page 560
3. Seminormele ||x||_\Phi......Page 564
4. Spatiile L^\Phi_A......Page 567
5. Operatii liniare pe spatiul L^\Phi_A......Page 579
Bibliografie......Page 588
Papiere empfehlen
![Integrarea pe spaţii local compacte [PDF]](https://vdoc.tips/img/200x200/integrarea-pe-spaii-local-compacte-c651cd358e5b33.jpg)
- Author / Uploaded
- Nicolae Dinculeanu
Datei wird geladen, bitte warten...
Zitiervorschau
Reflective
INTEGRAREA SPATIÎLOCAL COMPACTE
Coperta de Dumitru
Negrescu
N.
DINCULEANU
INTEGRAREA SPATIFLOCAL COMPACTE
EDITURA A C A D E M I E I REPUBLICII POPULARE R O M A N E BUCUREŞTI,
1965
Prefaţa Cartea de faţă este o continuare a tratatului de A n a l i z ă M a t e m a t i c ă de acad. Miron Nicolescu. în volumul III al acestui tratat este expusă teoria generală a măsurii şi a integralei pe un spaţiu abstract. Prezenta lucrare este dedicată teoriei integralei într-un caz special important: cazul spaţiilor local compacte. Importanţa acestui caz este justi ficată de următoarele considerente : 1. Spaţiile local compacte sînt suficient de particulare pentru ca măsu rile pe aceste spaţii să posede proprietăţi speciale, care să le apropie mai mult de modelul clasic — măsura Lebesgue pe dreaptă. Particularitatea spaţiilor local compacte constă în existenţa unei clase bogate de mulţimi cu proprietăţi remarcabile — mulţimile compacte. Una dintre proprietăţile importante ale spaţiilor local compacte este existenţa unei familii local numărabile de părţi compacte disjuncte, a căror reuniune diferă de spaţiul întreg printr-o mulţime neglijabilă. Datorită acestei proprietăţi, o serie de teoreme importante cum sînt: teorema lui Lebesgue-Nikodym şi teorema lui LebesgueFubini, sînt valabile pe spaţii local compacte fără nici o restricţie asupra măsurilor, în timp ce în cazul spaţiilor abstracte, aceste teoreme sînt demons trate, general, numai pentru măsuri a-finite. 2. Spaţiile local compacte sînt în acelaşi timp destul de generale pentru ea o teorie a integralei dezvoltată pe asemenea spaţii să poată fi aplicată cu succes în cea mai mare parte ă problemelor importante din analiza mate matică — de exemplu în analiza armonică pe grupuri local compacte. Deoa rece în analiza armonică se foloseşte în mod frecvent teorema lui Fubini, utilizarea în acest caz a teoriei generale a integralei pe spaţii abstracte ar impune condiţia restrictivă ca măsura Haar să fie a-finitâ, deci, cu o ase menea integrală, analiza armonică poate fi dezvoltată numai în cazul grupu rilor local compacte numărabile la infinit. 3. Menţionăm, în sfîrşit, că, aşa cum a arătat S. Kakutani, integrarea pe spaţii abstracte poate fi redusă totdeauna la integrarea pe spaţii local compacte.
•
6
în mod obişnuit, plecînd de la o măsură — definită ea funcţie de mul ţime — se construieşte integrala corespunzătoare, care este o funcţională liniară pe spaţiul funcţiilor integrabile. O teoremă clasică a lui F. Biesz, extinsă apoi de S. KaJcutani la cazul spaţiilor compacte, arată că, reciproc, orice funcţională liniară şi continuă pe spaţiul funcţiilor continue este o integrală în raport cu o anumită măsură regulată. Această teoremă -a permis identificarea măsurilor regulate cu funcţionalele liniare şi continue şi a condus grupul N. BourbaJci la construirea unei vaste teorii a integralei pe spaţii local compacte plecînd de la definiţia măsurii, nu ca funcţie de mulţime, ci ca funcţională. Adoptarea acestui punct de vedere oferă numeroase avantaje.
• în această carte am urmat îndeaproape punctul de vedere al lui N. Bour baJci, pe care l-am adaptat la cazul măsurilor vectoriale, definite ca operaţii liniare pe spaţiul funcţiilor vectoriale JC (T) cu valori într-un spaţiu Banach F. în cazul măsurilor majorate este suficient ca domeniul iniţial de defi niţie să fie spaţiul funcţiilor reale JC( T) iar domeniul valorilor un spaţiu Banach X, deoarece asemenea măsuri pot fi „prelungite" la spaţiul JC (T) cu valori în F, oricare ar fi spaţiile Banach E şi F astfel încît X d Jl(E, F). Cartea conţine trei părţi. în prima parte se studiază măsurile vectoriale, integrala superioară, spaţiile £ , funcţii integrale, funcţii măsurabile şi proprietatea de ridicare a spaţiului Jl . Această primă parte este consacrată în cea mai mare parte măsurilor pozitive (cu excepţia Cap. I). Partea a Il-a este consacrată în special măsurilor vectoriale. în această parte se studiază măsurile definite prin densitate, măsuri absolut continue şi teoreme de tip Lebesgue-Nikodym cu aplicaţii la reprezentarea integrală a operaţiilor liniare pe spaţiile J2?, sume de măsuri, imagini de măsuri, măsuri induse şi măsuri pe spaţii produs. Prin utilizarea unei ridicări a spaţiului Jd™, teoremele de tip Lebesgue-Nikodym şi teoremele de reprezen tare integrală a operaţiilor liniare pe J2. sînt demonstrate în condiţii foarte generale. în partea a IlI-a se studiază măsurile pe grupuri local compacte : măsura Haar, produsul de convoluţie (pentru funcţii vectoriale), algebre grupale (defuncţii şi măsuri vectoriale), reprezentările grupului şi ale algebrei grupale şi analiza armonică pe grupuri comutative. Tot în această parte se studiază măsurile definite pe spaţii de cîmpuri de vectori, spaţiile Lebesgue şi Orlicz de cîmpuri de vectori şi se dau teoreme de reprezentare integrală a operaţiilor definite pe aceste spaţii. E
E
p
a
00
v
• Trebuie observat că majoritatea rezultatelor demonstrate de N. Bourbaki pentru integrala superioară rămîn valabile şi pentru integrala superioară esenţială. în schimb, o serie de rezultate importante, cum sînt cele privitoare la măsurile definite prin densităţi, imaginile de măsuri şi restricţiile de măsuri, nu sînt în general valabile decît pentru integrala superioară esenţială.
7
Pentru o enunţare unitară a tuturor acestor rezultate am efectuat o modificare în definirea integralei superioare : am numit integrală superioară ceea ce Bourbaki numeşte integrală superioară esenţială. în conformitate cu aceasta am numit funcţie neglijabilă, respectiv integrabilă, ceea ce BourbaM numeşte funcţie local neglijabilă, respectiv esenţial integrabilă. Cu aceste modificări, toate spaţiile L se pot defini în mod unitar prin egalitatea L = JP/Tt, fie că 1 ^Cp < o o , fie că p — oo, Iii fiind mulţimea funcţiilor, neglijabile. De asemenea, inegalitatea lui Holder v
v
fg&\L
^CN
P
(/) N
Q
(g) este adevărată
pentru
funcţii
f > - 0 şi g^> 0,
chiar
şi în cazul cînd p — 1 şi q — o o . Teorema lui Lebesgue-Fubini nu este însă valabilă pentru funcţii esenţial integrabile. De aceea, în cadrul modificărilor menţionate mai sus, teorema lui Lebesgue-Fubini se enunţă în condiţia — aparent restrictivă — ca funcţiile să se anuleze pe complementara reuniunii unui şir de mulţimi deschise integrabile. De altfel, restricţii de acest fel se impun în unele propo ziţii relative la produsul de măsuri, chiar cu denumirile lui Bourbaki, Menţionăm, în sfîrşit, că majoritatea rezultatelor enunţate în această carte pentru măsuri cu valori în spaţii Banach se lasă uşor extinse pentru măsuri cu valori într-un spaţiu vectorial cu topologia definită de o seminormă şi apoi pentru măsuri cu valori în spaţii local convexe. N.
DlNCULEANU
Tabla
de
materii
Pag.
PARTEA
ÎNTÎI
CAPITOLUL I. MĂSURI P E SPAŢII LOCAL COMPACTE § 1. Definiţia măsurii 1. Spaţiul funcţiilor continue cu suport compact 2. Definiţia măsurii 3. Două metode de a defini o măsură
17 21 27
§ 2. Proprietăţile măsurilor 1. 2. 3. 4. 5. 6.
Integrarea funcţiilor scalare în raport cu o măsură vectorială Măsuri definite pentru funcţii scalare Măsuri scalare Integrarea funcţiilor vectoriale în raport cu o măsură scalară Măsuri pozitive Măsuri cu valori scalare
§ 3. Măsuri
31 34 39 41 44 48
majorate
1. Familii majorate de* măsuri reale 2. Măsuri majorate 3. Măsuri mărginite
52 55 60
§ 4. Suportul unei măsuri
CAPITOLUL II. SPAŢIILE JP.
FUNCŢII
INTEGRABILE
§ 5. Integrala superioară 1. 2. 3. 4. 5.
Funcţii semicontinue inferior Integrala superioară a funcţiilor semicontinue inferior Măsura exterioară a mulţimilor deschise Integrala superioară a funcţiilor pozitive Măsura exterioară a mulţimilor oarecare
70 72 75 77 87
10 Pag.
§ 6. Funcţii şi mulţimi neglijabile 1. 2. 3. 4. 5.
Funcţii neglijabile pozitive Proprietăţi adevărate aproape peste tot Clase de funcţii echivalente Funcţii definite aproape peste tot Funcţii cu valori în R
. . . . ,
§ 7. Spaţiile
88 90 91 92 93
p
J>
1. Inegalităţile lui Holder şi Minkowski
94
2. Seminormele N
97
p
3. Spaţiile Cf?
101
9
4. Spaţiile £
106
5. Relaţii între spaţiile J2.% (ţi) şi J2£ (JA)
108
6. Relaţu între spaţiile E. î n c a z u l cîrid T e s t e c o m p a c t , . JC (T) = & (T). D a c ă E = R, v o m scrie r e s p e c t i v X(T), X(T, A), &(T) î n l o c d e JC (T), JC (T, A), & (T). J£+(T) s a u 3£+ e s t e m u l ţ i m e a f u n c ţ i i l o r pozitive c o n t i n u e c u s u p o r t c o m p a c t d e f i n i t e p e T. S p a ţ i u l JC( T) e s t e o r d o n a t p r i n r e l a ţ i a / < ; g : E
E
E
E
E
E
E
B
R
/ E este o funcţie c o n t i n u ă c u s u p o r t c o m p a c t , , a t u n c i f se p o a t e p r e l u n g i l a o f u n c ţ i e c o n t i n u ă p e î n t r e g s p a ţ i u l T , c u s u p o r t u l c o m p a c t c o n ţ i n u t î n G, d î n d u - i v a l o a r e a 0 p e c o m p l e m e n t a r a l u i G. î n a c e s t fel se p o a t e i d e n t i f i c a s p a ţ i u l JC (G) c u s u b s p a ţ i u l JC ( T, G) a l l u i 3C (T), şi se p o a t e c o n s i d e r a c ă s p a ţ i u l JC (G) e s t e el î n s u ş i u n s u b s p a ţ i u al lui J£ (T). Amintim următoarele două propoziţii: P r o p o z i ţ i a 1 . Pentru orice mulţime compactă Kd T şi orice mulţime deschisă GZ)K, există o funcţie continuă cp pe T, cu valori în [ 0 , 1 ] , astfel ca y(t) = 1 pentru t(=K şi y(t) = 0 pentru t$G. P r o p o z i ţ i a 2 . Fie K d T o mulţime compactă. Orice aplicaţie con tinuă f definită pe K, cu valori într-un spaţiu Banach E, se poate prelungi la o funcţie f definită pe cu valori în E, continuă cu suport compact. Alte proprietăţi ale funcţiilor continue cu suport compact, care vor fi u t i l i z a t e m a i d e p a r t e , s î n t d a t e î n p r o p o z i ţ i i l e u r m ă t o a r e . P r o p o z i ţ i a 3 . Pentru orice mulţime compactă K (Z T , şi pentru orice acoperire finită (G^^^ a lui K, formată din mulţimi deschise, există o familie finită (fj^^n de aplicaţii continue ale lui T în [ 0 , 1 ] , astfel încît E
E
E
E
E
E
n
Yi f^t)
= 1
pentru
t 0 p e n t r u < e V , u n d e V — (J
i
^
V*. E e s t r i c ţ i a f u n c ţ i e i
S 9i(t) i=l l a m u l ţ i m e a c o m p a c t ă V e s t e c o n t i n u ă , d e c i p o a t e fi p r e l u n g i t ă l a o f u n c ţ i e r e a l ă h c o n t i n u ă p e T. A v e m h(t) =
pentru t i= l
9iW
teV.
DEFINIŢIA MĂSURII
Există de asemenea o funcţie continuă şi n u l ă p e C V- P e n t r u f i e c a r e i, 1 < ; i
19
[0, 1 ] , e g a l ă c u 1 p e K n, s ă p u n e m
/*(*) = 9i(t)