Integrala Curbilinie de Prima Speta PDF [PDF]

Zitiervorschau

nts

Page 1

4.4. INTEGRALE CURBILINII DE PRIMA SPEŢĂ

Fie γ o curbă netedă şi fie x = x(t ) , y = y(t ) , z = z(t ) , t ∈ [a, b] o reprezentare parametrică a sa. O astfel de curbă este rectificabilă şi lungimea sa

L=∫

este

b a

x′2 (t) + y′2 (t ) + z′2 (t) d t .

Fie

de

x = x%(s) ,

asemenea,

stu de

y = y% (s) , z = z%(s) , s ∈ [0, L] reprezentarea normală a curbei γ şi fie f o funcţie

reală definită pe suportul curbei γ sau pe o mulţime din suport.

3

care conţine acest

Definiţia 4.4.1. Se numeşte integrala curbilinie de prima speţă a funcţiei f pe

curba γ, următoarea integrală definită: Pentru integrala curbilinie de prima

L

∫0 [ x%(s), y% (s), z%(s)] d s , dacă aceasta există. speţă se foloseşte notaţia: ∫ f ( x, y, z ) d s . γ

Aşadar avem:

∫ f ( x, y, z ) d s

γ

def

=

L

∫0 [ x%(s), y% (s), z%(s)] d s

(1)

Reamintim că am notat cu s elementul de arc, anume

s = λ (t) = ∫

t

0

x′2 (u) + y′2 (u) + z′2 (u) d u

∫ ( x + y + z ) d s , unde γ este elicea circulară

for

Exemplul 4.4.1. Să se calculeze

(2)

γ

ly

x = R cos t , y = R sin t , z = ht , t ∈ [0, 2π]. Aşa cum am arătat în Exemplul 3.4.2 reprezentarea normală a elicei circulare s hs s , y% (s) = R sin , z%(s) = , este: x%(s) = R cos R 2 + h2 R 2 + h2 R 2 + h2 s ∈ ⎡⎣0, 2π R 2 + h 2 ⎤⎦ . Rezultă 2π R 2 + h 2 ⎛ s s hs ⎞ f x , y , z d s = + R sin + ds = ( ) ⎜ R cos ∫ ∫0 2 2 2 2 2 2 ⎟ R +h R +h R +h ⎠ γ ⎝

On

⎛ s s h s2 ⎞ = ⎜ R R 2 + h 2 sin − R R 2 + h2 cos + ⋅ ⎟ ⎜ R 2 + h2 R 2 + h2 R 2 + h2 2 ⎟⎠ ⎝ 2

2

2

2π R 2 + h2

= 0

= 2hπ R + h . Dacă am cunoaşte reprezentarea normală a oricărei curbe, atunci formula (1) ar fi suficientă pentru calculul integralei curbilinii de prima speţă. De regulă, o

nts

Page 2

curbă se dă printr-o reprezentare parametrică în care parametrul t este oarecare, iar reprezentarea sa normală nu se cunoaşte. Teorema următoare permite calculul integralei curbilinii de prima speţă în cazul când reprezentarea parametrică este oarecare. Teorema 4.4.1. Fie γ o curbă netedă şi fie x = x(t ) , y = y(t ) , z = z(t ) ,

stu de

t ∈ [a, b] o reprezentare parametrică a sa. Dacă A ⊂ 3 este o mulţime care conţine suportul curbei γ şi f : A → Ρ este continuă, atunci există integrala curbilinie de prima speţă a funcţiei f pe curba γ şi b

∫ f ( x, y, z ) d s = ∫a f [ x(t), y(t), z(t)]

γ

x′2 (t) + y′2 (t) + z′2 (t) d t

(3)

Demonstraţie. Deoarece f este continuă şi funcţiile x, y, z sunt de clasă C1 pe [a, b], rezultă că integrala din membrul drept există. Pe de altă parte, funcţiile x% = x o λ −1 , y% = y o λ −1 , z% = z o λ −1 sunt de asemenea de clasă C1 pe intervalul [0,L] , deci şi integrala din membrul stâng există. Conform Definiţiei 4.4.1 avem: L

∫ f ( x, y, z ) d s = ∫0 f [ x%(s), y%(s), z%(s)] d s .

γ

Dacă facem schimbarea de variabilă s = λ (t ) , t ∈ [a, b] , rezultă x% o λ = x ,

∫

γ

for

y% o λ = y , z% o λ = z , ds = λ′(t )dt = x′2 (t ) + y′2 (t) + z′2 (t ) dt şi mai departe:

f ( x, y, z ) d s =

L

∫0

f [ x%(s), y% (s), z%(s)] d s =

λ −1( L )

∫λ −1(0) f [ x(t), y(t), z(t)] λ′(t) d t =

b

= ∫ f [ x(t ), y(t ), z(t )] x′2 (t) + y′2 (t) + z′2 (t ) d t . a

Reluând exemplul 4.4.1 şi ţinând seama de Teorema 4.4.1 obţinem: 2π

∫ ( x + y + z ) d s = ∫0

( R cos t + R sin t + ht ) R 2 sin 2 t + R 2 cos 2 t + h 2 d t =

γ

ly

⎛ t2 ⎞ = R + h ⎜ R sin t − R cos t + h ⎟ 2⎠ ⎝ 2

2π

2

= 2π 2h R 2 + h 2 . 0

Observaţia 4.4.1. În cazul unei curbe plane formula (3) devine b

On

∫ f ( x, y ) d s = ∫a f [ x(t)] , y(t)

γ

x′2 (t ) + y′2 (t ) d t .

Exemplul 4.4.2. Să se calculeze

nts

Page 3

∫ xy d s , unde γ este porţiunea din primul

γ

cadran a elipsei

x

2

a

2

+

y

2

b2

= 1 . O reprezentare parametrică a curbei γ este:

π 2

∫ xy d s = ∫0

stu de

⎡ π⎤ x = a cos t , y = b sin t , t ∈ ⎢0, ⎥ . ⎣ 2⎦ Conform Teoremei 4.4.1 avem

ab sin t cos t a 2 sin 2 t + b 2 cos 2 t d t .

γ

⎡ π⎤ Dacă facem schimbarea de variabilă u = a 2 sin 2 t + b 2 cos 2 t , t ∈ ⎢0, ⎥ ⎣ 2⎦

atunci rezultă du = 2 ( a 2 − b 2 ) sin t cos t dt şi mai departe,

∫ xy d s =

γ

ab

2 ( a2 − b2 )

a2

∫b2

u du =

ab

3( a2 − b2 )

u

32

a2

=

b2

ab ( a 2 + ab + b 2 ) . 3( a + b)

Observaţia 4.4.2. Dacă γ este o curbă netedă pe porţiuni (este o justapunere de curbe netede) atunci avem: P

∫ f ( x, y, z ) d s , unde ∫ f ( x, y, z ) d s = ∑ i =1 γi

for

γ

γ = γ 1 U γ 2 UKU γ p .

Observaţia 4.4.3. Integrala curbilinie de prima speţă nu depinde de orientarea curbei. Într-adevăr, funcţiile x = x% ( L − s ) , y = y% ( L − s ) , z = z% ( L − s ) ,

s ∈ [0, L] formează o reprezentare parametrică a curbei γ − . Dacă notăm cu u = L – s rezultă: L ∫ f ( x, y, z ) ds = ∫0 f [ x% ( L − s ) , y% ( L − s ) , z% ( L − s )] ds =

γ−

0

L

L

0

ly

= −∫ f [ x%(u), y% (u), z%(u)] du = ∫ f [ x%(u), y% (u), z%(u)] du =

∫ f ( x, y, z ) ds .

γ+

În continuare prezentăm interpretarea fizică a integralei curbilinii de prima speţă. Într-adevăr, să presupunem că un fir material de grosime neglijabilă are forma curbei γ netedă. Fie x = x%(s), y = y% (s), z = z%(s), s ∈ [0, L] , reprezentarea

On

normală a curbei γ. Notăm cu AB suportul curbei γ şi cu ρ : AB → Ρ+ funcţia (continuă) care exprimă densitatea firului material. Fie ∆: 0 = s0 < si < K < si −1 < si < K < sn = L o diviziune oarecare a interva-

lului [0, L] şi fie M i ∈ AB punctul de coordonate ( x%(si ), y% (si ), z%(si )) .

nts

Page 4

Precizăm că si reprezintă lungimea

arcului AM i . Dacă diviziunea ∆ este suficient de fină, putem presupune că pe

Fig. 1

stu de

porţiunea M i −1, M i densitatea firului este constantă şi anume este egală, de exemplu, cu valoarea funcţiei ρ într-unul din capete. Aşadar, presupunem că ρ ( M ) = ρ ( M i ) , ∀ M ∈ M i −1M i . Rezultă că masa porţiunii M i −1, M i a firului material este aproximativ egală cu produsul ρ ( M i )( si − si −1 ) ,

iar masa întregului fir AB , se aproximează cu suma

n

∑ ρ ( M i )( si − si −1 ) . Valoarea i =1

n

∑ ρ ( M i )( si − si −1) = ∫ ρ ( x, y, z ) ds ,

exactă a masei firului material va fi µ = lim

∆ →0 i =1

γ

sensul exact fiind următorul: ∀ε > 0 , ∃ δ ε > 0 astfel încât, oricare ar fi diviziunea n

∆ a intervalului [0, L], cu ∆ < δ ε avem µ − ∑ ρ ( M i )( si − si −1 ) < ε . i =1

În concluzie,

∫ ρ ( x, y, z ) ds

reprezintă masa unui fir material de grosime

for

γ

neglijabilă, care are forma curbei γ de suport AB şi de densitate ρ = ρ ( x, y, z ) , ∀ ( x, y, z ) ∈ AB .

Dacă notăm cu xG , yG şi zG coordonatele centrului de greutate ale firului material, atunci, procedând ca mai înainte, se arată că: ∫ xρ ( x, y, z ) ds ∫ y ρ ( x, y, z ) ds ∫ z ρ ( x, y, z ) ds

xG = γ

, yG = γ

ly

∫ ρ ( x, y, z ) ds

γ

∫ ρ ( x, y, z ) ds

γ

, zG = γ

∫ ρ ( x, y, z ) ds

γ

În cazul unui fir omogen ( ρ ( M ) = κ , ∀ M ∈ AB ), rezultă: , yG =

On

xG =

∫ x ds

γ

∫ ds

γ

∫ y ds

γ

∫ ds

γ

, zG =

∫ z ds

γ

∫ ds

γ

.

.