Integral Garis [PDF]

Zitiervorschau

Universitas Indonusa Esa Unggul Fakultas Ilmu Komputer Teknik Informatika

Integral Garis

Integral Garis


Definisi Integral garis  Integral garis di bidang Misalkan persamaan parameter kurva mulus C ( di bidang) x=x(t), y=y(t) ; a ≤ t ≤ b b maka 2 2

∫ f (x, y) dS = ∫ f (x(t), y(t)) (x' (t)) + (y' (t)) dt

 Integral

C

a

garis di ruang Misalkan persamaan parameter kurva mulus C ( di ruang) x=x(t), y=y(t), z=z(t) ; a ≤ t ≤ b maka b

∫ f (x, y, z) dS = ∫ f (x(t), y(t), z(t)) (x' (t)) + (y' (t)) + (z' (t)) dt 2

C

5/12/2012

2

2

a

KALKULUS LANJUT

2

Sifat--sifat integral garis Sifat 1.

Jika C = C1UC2U … UCn, maka

A C1

C2

Cn B

∫ f (x, y) dS = ∫ f (x, y) dS + ∫ f (x, y) dS + ... + ∫ f (x, y) dS C

2.

C1

C2

Cn

Jika – C adalah kurva C dengan arah berlawanan denga C, maka

∫ f (x, y) dS = −∫ f (x, y) dS −C

5/12/2012

C

KALKULUS LANJUT

3

Contoh 1.

Hitung

∫ (x

3

)

+ y dS , C adalah kurva x=3t; y=t3 ; 0≤t≤1

C

Jawab. x’(t)=3; y’(t)=3t2

∫ (x C

3

)

∫ ((3t ) 1

+ y dS =

3

)

+ t 3 32 + (3t ) dt 2

0 1

= ∫ 28 t 3 9 + 9t 4 dt 0 1

= 84∫ t 3 1 + t 4 dt 0

1 = 84 1 + t 6

(

((

= 14 1 + t 5/12/2012

)

1

)

4 3/2

4 3 /2

)

1 0

  0

(

)

= 14 2 2 − 1

KALKULUS LANJUT

4

Contoh 2.

Hitung

∫ (2x ) dS , C adalah terdiri dari busur parabola C

y=x2 dari (0,0) ke (1,1) diikuti oleh ruas garis vertikal dari (1,1) ke (1,2). (1,2)

C2 C1

(1,1)

Jawab. Untuk C1: (0,0)  (1,1) , berupa busur y = x2. Persamaan parameter C1: misalkan x = t  y = t2 0≤ t ≤1 x’(t)=1 y’(t)=2t Sehingga

∫ (2x ) dS C1

5/12/2012

1

1

= ∫ 2 t 1 + (2t ) dt = ∫ 2 t 1 + 4 t 2 dt 0

KALKULUS LANJUT

2

0

5

Contoh (Lanjutan) Sehingga

1

∫ (2x ) dS = ∫ 2 t

2

1 + 4 t dt

∫ (2x ) dS

0

C1

(

1 2 = . 1 + 4t2 4 3 1 = 5 5 −1 6

(

)

3 /2

1

C2

2

= 2 t 1 = 2(2 − 1) = 2

Jadi,

Untuk C2: (1,1)  (1,2) (berupa ruas garis) Persamaan parameter C1: misalkan

5/12/2012

= ∫ 2 0 + 12 dt 1

0

)

x=1y=t x’(t)=0 y’(t)=1

2

∫ (2x ) dS = ∫ (2x ) dS + ∫ (2x ) dS C

1≤ t ≤2 KALKULUS LANJUT

C1

(

)

C2

1 5 5 −1 + 2 6 1 = 5 5 + 11 6

=

(

)

6

Latihan 1. Hitung ∫ (2 + x y)dS, C adalah setengah bagian atas C lingkaran lingkaran satuan x2+y2=1 2

2. Hitung ∫ (sin x + cos y) dS , C adalah ruas garis dari (0,0) C ke (π,2π) 3. Hitung 0≤t≤1

5/12/2012

∫ (2x + 9z)dS, C adalah kurva x=t; y=t2; z=t3; C

KALKULUS LANJUT

7

Kerja r Misalkan F(x, y) = M( x, y)ˆi + N(x, y)ˆj adalah gaya yang bekerja pada

pada suatu titik (x,y) di bidang F Q T r(t) A B Akan dicari: Berapa kerja (W) yang dilakukan oleh gaya F untuk memindahkan sebuah partikel menyelusuri kurva C dari A ke B? r Misal r = xˆir+ yˆj adalah vektor posisi Q(x,y) r dr vektor singgung satuan di Q T= ds r drr drr dt rr ' ( t ) T= = = r ds dt ds r ' ( t ) 5/12/2012

KALKULUS LANJUT

8

Kerja (2) rr r r Maka F.T = F T cos θ adalah komponen singgung F di Q

Kerja yang dilakukan oleh F untuk memindahkan partikel sejauh ∆s adalah rr ∆W = F.T ∆s

Kerja yang dilakukan oleh gaya F untuk memindahkan partikel dari A ke B adalah rr r drr dt r r W = ∫ F.T ds = ∫ F. ds = ∫ F.d r dt ds C C C r r d r dx ˆ dy ˆ diketahui = i+ j ⇒ dr = dx ˆi + dy ˆj dt dt dt Jadi, didapat W = ∫ M(x, y)ˆi + N(x, y)ˆj . dx ˆi + dy ˆj

(

)(

)

C

= ∫ M( x, y) dx + N( x, y)dy C

5/12/2012

KALKULUS LANJUT

9

Kerja (3) Dengan cara yang sama untuk r

F (x, y, z) = M(x, y, z)ˆ i + N(x, y, z)ˆ j + P(x, y, z)kˆ

gaya yang bekerja pada suatu titik di ruang, maka W = ∫ M(x, y, z) dx + N(x, y, z)dy + P(x, y, z)dz C

5/12/2012

KALKULUS LANJUT

10

Contoh 1. Tentukan kerja yang dilakukan oleh medan gaya r F (x, y ) = (x 3 − y 3 )ˆ i + x 2y ˆ j dalam memindahkan partikel

sepanjang kurva C : x = t2, y=t3 , -1 ≤t≤ 0 Jawab. Kerja yang dilakukan medan gaya F adalah ; dx = 2t dt, dy=3t2 dt W = ∫ M dx + N dy C

=

∫ (x

C 0

3

)

− y 3 dx + xy 2 dy

= ∫ ((t ) − (t ) )2t dt + t (t ) 3t dt 2 3

3 3

2

−1 0

=

∫ (2t

−1

7

)

− 2t 10 + 3t 10 dt =

1 1  − 7 = − − =  4 11  44 5/12/2012

3 2

2

0

∫ (2t

7

−1

KALKULUS LANJUT

− t 10

)

0

1 8 1 11 t dt = t − 4 11 −1

11

Contoh 2 2. Hitung integral garis ∫ ydx + x dy dengan kurva C : x = 2t, C y=t2-1 , 0 ≤t≤ 2 Jawab. Kerja yang dilakukan adalah ; dx = 2 dt, dy=2t dt W = ∫ y dx + x 2 dy

C 2

=

∫ (t

2

)

− 1 2 dt + (2t ) 2t dt

0 2

=

∫ (2t

2

− 2 + 8t 3

0

2

)

2

16 2 3 4 = − 4 + 32 dt = t − 2t + 2t 3 3 0

16 100 = + 28 = 3 3

5/12/2012

KALKULUS LANJUT

12

Latihan 1. Tentukan kerja yang dilakukan oleh medan gaya r F (x, y, z) = (2x − y )ˆ i + 2z ˆ j + (y − z)kˆ dalam memindahkan partikel sepanjang C, dimana C adalah ruas garis dari (0,0,0) ke (1,1,1) 2. Hitung integral garis ∫ ydx + x 2 dy dengan kurva C adalah ruas C

garis dari (1,1) ke (3,-1) r r r 2ˆ 2ˆ 3. Hitung ∫ F.d r dengan F = xy i + xy j sepanjang C

a. C = C1 U C2 b. C = C3

y C3

(3,5) C2

(0,2)

C1

(3,2) x

5/12/2012

KALKULUS LANJUT

13

Integral Garis Bebas Lintasan PENDAHULUAN r r r Hitung∫ F.dr dengan F = yˆi + xˆj atas lintasan C

a. C garis y = x dari (0,0) ke (1,1) b. C garis y = x2 dari (0,0) ke (1,1) c. C garis y = x3 dari (0,0) ke (1,1) TEOREMA r A: DASAR INTEGRAL GARIS Misalkan F(x, y) = M( x, y)ˆi + N(x, y)ˆj dengan C adalah kurva mulus sepotong-potong dengan titik pangkal (x0,y0) dan titik ujung (x1,y1). r r Jika F( x, y) = ∇f (x, y) maka r r F.d r = f ( x 1 , y1 ) − f ( x 0 , y 0 )

∫ C

5/12/2012

KALKULUS LANJUT

14

Integral Garis Bebas Lintasan(2) r r r Jika F( x, y) = ∇f ( x, y) makaF disebut gaya konservatif dan r disebut fungsi potensial dari F r ∂f ˆ ∂f ˆ ∇f = i+ j ∂x ∂y r Contoh: F = yˆi + xˆj dengan C kurva dari (0,0) ke (1,1) r r ˆ ˆ F = yi + xj = ∇f dengan fungsi potensial f = xy r r maka F.dr = f (1,1) − f (0,0) = 1.1 − 0.0 = 1

∫ C

Masalah: Bagaimana mengetahui bahwa F konservatif? (F(x,y)=gradien dari suatu fungsi f). Bagaimana memperoleh f(x,y) jika F(x,y) konservatif? 5/12/2012

KALKULUS LANJUT

15

Integral Garis Bebas Lintasan(3) r DEFINISI: Misal F = M ˆi + N ˆj + P kˆ r r r r maka Curl F = rot F = ∇ x F ˆi ˆj kˆ ∂ ∂ ∂  ∂P ∂N ˆ  ∂M ∂P ˆ  ∂N ∂M  ˆ = i +  k =  − −  j +  − ∂x ∂y ∂z  ∂y ∂z   ∂z ∂x   ∂x ∂y  M N P TEOREMA B r r ˆ ˆ ˆ F = M i + N j + P k maka F konservatif jika dan hanya jika Misalkan r r Curl F = rot F = 0 atau jika dan hanya jika ∂N ∂M ∂P ∂N ∂M ∂P = , = , = ∂x ∂y ∂y r ∂z ∂z ∂x r Khusus jika F = M ˆi + N ˆj maka F konservatif jika dan hanya jika ∂N ∂M = ∂x ∂y

5/12/2012

KALKULUS LANJUT

16

Contoh: r F = 2 xy

3 ˆ i + (1 + 3 x 2 y 2 )ˆj 1. Diketahui a. Tunjukkan F konservatif, dan tentukan f r bahwa r b. Hitung ∫ F .d r dengan C sebarang kurva dari (1,4) ke (3,1) C

Jawab. r ∂M ∂N = a. (i) F Konservatif ⇔ ∂ y ∂x M=2xy3 N=1+3x2y3

⇒ ⇒

∂M = 6 xy 3 ∂y ∂N = 6x y3 ∂x

∂M ∂N = ∂y ∂x

r Jadi F Konservatif r r (ii) F = 2 xy 3 ˆi + 1 + 3 x 2 y 2 ˆj = ∂ f ˆi + ∂ f ˆj = ∇ f ∂x ∂y ∂f ∂f = 2 x y 3 ……. (1) = 1 + 3 x 2 y 2 ……. (2) ∂x ∂y

(

5/12/2012

)

KALKULUS LANJUT

17

Contoh (Lanjutan) Integralkan (1) terhadap x, diperoleh f (x, y ) =

∫

2 x y 3 dx

f ( x , y ) = x 2 y 3 + C ( y ) ……. (3)

Turunkan (3) terhadap y, diperoleh ∂f = 3 x 2 y 2 + C ' (y ) ∂y

……. (4)

Dari (2) dan (4), diperoleh ∂f = 3 x 2 y 2 + C ' (y ) = 1 + 3 x 2 y 2 ∂y C ' (y ) = 1 C (y ) = y + C

Jadi fungsi potensialnya adalah f (x, y) = x2y 3 + y + C 5/12/2012

KALKULUS LANJUT

18

Contoh (Lanjutan) b.

∫ C

r r ( 3 ,1 ) F .d r = ∫ 2 x y 3 dx + 1 + 3 x 2 y 2

(

) dy

(1 , 4 )

= f ( 3 , 1 ) − f (1 , 4 )

(

) (

= 3 2 . 1 3 + 1 − 1 2. 4 3 + 4

, f ( x, y ) = x 2 y 3 + y + C

)

= 10 − 68 = − 58

5/12/2012

KALKULUS LANJUT

19

Contoh r 2. Diketahui F ( x , y , z ) = e x cos y + yz ˆi + xz − e x sin y ˆj + xy kˆ

(

)

(

)

a. Tunjukkanr bahwa F konservatif, dan tentukan f r b. Hitung ∫ F .d r dengan C sebarang kurva dari (0,0,0)ke (1,0,1) C

Jawab. ∂P ∂M ∂P ∂N r ∂M ∂N , = , = a. (i) F Konservatif ⇔ ∂ y = ∂ x ∂x ∂z ∂y ∂z ∂M ∂ M x = − e sin y + z M=ex cosy+yz ⇒ ∂z ∂y ∂N ∂N N=xz – ex siny ⇒ = − e x sin y + z ∂z ∂x ∂P P=xy = x ⇒ ∂P = y ∂y ∂x ∂P = Sehingga diperoleh, bahwa ∂ M = ∂ N , ∂y ∂x ∂x r Jadi F Konservatif

5/12/2012

KALKULUS LANJUT

= y = x

∂M ∂P ∂N , = ∂z ∂y ∂z 20

Contoh (lanjutan) r ∂f ˆ ∂ f ˆ ∂ f ˆ r x x ˆ ˆ ˆ (ii) F = e cos y + yz i + xz − e sin y j + xy k = i + j+ k = ∇f ∂x ∂y ∂y ∂f ∂f = e x cos y + yz ……. (1) = xz − e x sin y ……. (2) ∂x ∂y ∂f ……. (3) = xy ∂z

(

) (

)

Integralkan (1) terhadap x, diperoleh f (x, y , z ) =

∫ (e

x

)

cos y + yz dx

f ( x, y , z ) = e x cos y + xyz + C (y , z ) ……. (4)

Turunkan (4) terhadap y, diperoleh ∂f = −e x sin y + xz + Cy (y, z) ……. (5) ∂y

5/12/2012

KALKULUS LANJUT

21

Contoh (Lanjutan) Dari (2) dan (5), diperoleh ∂f = −e x sin y + xz + C y (y , z ) = xz − e x sin y ∂y C y (y , z ) = 0 C ( y , z ) = C ( z ) ……. (6)

Masukan (6) ke (4), diperoleh f ( x, y , z ) = e x cos y + xyz + C ( z ) ……. (7)

Turunkan (7) terhadap z, diperoleh ∂f = xy + C' (z) ……. (8) ∂z

Dari (3) dan (8), diperoleh

∂f = xy + C ' ( z ) = xy ∂y C '(z) = 0 C ( z ) = C ……. (9)

5/12/2012

KALKULUS LANJUT

22

Contoh (Lanjutan) Masukan (9) ke (7), diperoleh f ( x, y , z ) = e x cos y + xyz + C

Jadi fungsi potensialnya adalah f ( x, y , z ) = e x cos y + xyz + C

b.

∫ C

r r (1,0,1) x F .d r = ∫ e cos y + yz dx + xz − e x sin y dy + xy dz

(

)

(

)

(0,0,0)

= f (1 , 0 ,1 ) − f ( 0 , 0 ,0 )

(

) (

, f ( x, y , z ) = e x cos y + xyz + C

= e 1 cos 0 + 1 . 0 . 1 − e 0 cos 0 + 0

)

= e −1

5/12/2012

KALKULUS LANJUT

23

Penyataan berikut ekivalen r r 1. F = ∇ f untuk suatu f (F konservatif) r r 2. F .d r bebas lintasan

∫ C

3.

∫

r r F .d r = 0

C

Sudah Jelas???

5/12/2012

KALKULUS LANJUT

24

Latihan (

)

r r Tentukan apakah F konservatif? Jika ya, tentukan f F = ∇f r r ˆ ˆ 4. F = (2e y − yex )ˆi + (2xe y − e x )ˆj 1. F = (10x − 7 y)i − (7 x − 2y) j r r 2 2 2 2 2 2. F = (12x + 3y + 5y)ˆi + (6xy − 3y + 5x )ˆj 5. F = (2xy + z )ˆi + x ˆj + (2xz + π cos πz )kˆ r 3. F = (4 y 2 cos(xy 2 ))ˆi + (8x cos(xy 2 ))ˆj

Hitung integral garis berikut: ( 3,1)

6.

∫ (y

2

+ 2xy)dx + (x 2 + 2xy)dy

9. ∫ (cos x + 2yz)dx + (sin y + 2xz)dy + (z + 2xy)dz ( 0, 0, 0)

( −1, 2 )

(1,1, 4 )

(1,π ) 2

7.

( π ,π , 0 )

∫ (e

x

sin y )dx + (e cos y )dy x

( 0, 0, 0)

( 0, 0) (1,1,1)

8. ∫ (6xy + 2z )dx + (9x y 3

( 0, 0, 0)

5/12/2012

10. ∫ (yz − e −x )dx + (xz + e y )dy + (xy)dz

2

2

2

)dy + (4xz + 1)dz 11.∫ (3x

2

− 6 yz)dx + (2 y + 3xz )dy + (1 − 4xyz2 )dz

C

C adalah ruas garis dari (0,0,0) ke (1,1,1)

KALKULUS LANJUT

25

Teorema Green di Bidang


y C4

Misalkan C kurva mulus sepotong-potong, tertutup sederhana yang membentuk batas dari suatu daerah di bidang XOY. Jika M(x,y) dan N(x,y) kontinu dan mempunyai turunan kontinu pada S dan batasnya C maka ∂N ∂M M dx + N dy = ∫C ∫∫S  ∂ x − ∂ y dA Bukti. C = C1 U C2 U C3 U C4 Perhatikan S = {(x,y)|a ≤ x ≤ b, g(x) ≤ y ≤ f(x)} C3 y=f(x) S C1

a

5/12/2012

C2

∫ M dx = ∫ M dx + ∫ M dx + ∫ M dx + ∫ M dx C

C1 b

C2

C3 a

C4

b b  M dx = M( x, g( x )) dx + M( x, f ( x )) dx = −  M( x, f ( x )) dx − M( x, g( x )) dx  y=g(x)  a  C a b f (x) b a b f (x)   ∂ M ( x , y) ∂M x b M dx = − dydx = − dA ∂ y ∂ y  a g ( x )  C a g(x)

∫ ∫

∫

∫

∫∫

∫

∫

∫∫

KALKULUS LANJUT

26

Teorema Green di Bidang Sama halnya dengan memperlakukan S sebagai himpunan x sederhana, kita peroleh

∫ C

N dy =

∫∫ S

∂N dA ∂x

Sehingga diperoleh

∫∫ S

5/12/2012

∂N ∂M  dA = M dx + N dy −  ∂x ∂y  C

∫

KALKULUS LANJUT

27

Contoh Hitung ∫ y dx + 4xydy dengan C adalah kurva tertutup yang terdiri C dari busur parabola y = x2 dari titik asal (2,4) dan segmen garis (2,4) ke titik (0,0) Jawab. Akan kita coba mengerjakan dengan dua cara, yaitu dengan Integral garis biasa dan teorema Green 1. Integral garis Untuk C1: (0,0)  (2,4) , berupa busur y = x2. Persamaan parameter C1: misalkan x = t  y = t2 (2,4) 0≤ t ≤2 x’(t)=1 y’(t)=2t C 2

2

Sehingga

C1 (0,0)

5/12/2012

2

2 y ∫ dx + 4xy dy =

∫ (t )

C1

0

2 2

2

dt + 4.t.t 2.2t dt =

KALKULUS LANJUT

∫ (t

4

)

+ 8 t 4 dt

0

28

Contoh (Lanjutan) 2

=

∫ 0

2

288 9 5 = 9 t dt = t 5 5 0 4

Untuk C2: (2,4)  (0,0) (berupa ruas garis) Persamaan parameter C2: misalkan (x,y) = (2 , 4)+ t (0,0) - (2,4) x = 2 – 2t, y = 4 – 4t Sehingga 2 y ∫ dx + 4xy dy =

C2

⇒

x’(t)=-2 , y’(t)=-4 0≤ t ≤1

1

2 ( ) (− 2)dt + 4(2 − 2t )(4 − 4t )(− 4)dt 4 − 4 t ∫ 0

1

(

)

= − ∫ 160 − 320t + 160t 2 dt 0

5/12/2012

KALKULUS LANJUT

29

Contoh (lanjutan) 1

(

)

2 2 y dx + 4 xy dy = − 160 − 320 t + 160 t dt ∫ ∫ C2

0

1

320 2 160 3   = − 160 t − t + t  2 3  0 160 =− 3

Jadi,

2 y ∫ dx + 4xy dy =

2 y ∫ dx + 4xy dy +

C

C1

2 y ∫ dx + 4xy dy

C2

288 160 − 5 3 64 = 15

=

5/12/2012

KALKULUS LANJUT

30

Contoh (Lanjutan) 2. Teorema Green. ∂N ∂M ∫C y dx + 4xy dy = ∫∫S  ∂ x − ∂ y dA 2

y

2 2x

(2,4)

4

=

y=2x

0 x2 2

S

= ∫y

y=x2

(0,0)

2

Dengan: M=y2 N=4 yx

∫ ∫ (4y − 2y ) dy dx 2

0 2

x

2x x2

dx

= ∫ 4x 2 − x 4 dx 0

⇒ ⇒

∂M = 2y ∂y ∂N = 4y ∂x

2

4 3 1 5 32 32 64 = x − x = − = 3 5 0 3 5 15

S={(x,y)| 0 ≤ x ≤ 2, x2 ≤ y ≤ 2x} 5/12/2012

KALKULUS LANJUT

31

Latihan 1. Tentukan kerja yang dilakukan oleh medan gaya r F( x, y) = (sin x − y)ˆi + (e y − x 2 ) ˆj dalam menggerakkan suatu obyek mengitari satu kali x2 + y2 = 4 dalam arah positif.

∫

2. Hitung

2xy dx + y 2 dy dengan C kurva tertutup yang terbentuk

C

oleh y = x/2 dan x = y2 antara (0,0) dan (4,2) 3. Hitung

∫ xy dx + (x + y)dy dengan C segitiga yg titik-titik sudutnya C

(0,0), (2,0), dan (0,1) 4. Hitung ∫ (e 3x + 2y) dx + (x 2 + sin y) dy dengan C persegipanjang yg titik C

titik sudutnya (2,1), (6,1), (6,4) dan (2,4) 2 2 5. Hitung ∫ (x + 4x y) dx + (2x + 3y) dy dengan C ellips C

9x2 + 16 y2 = 144 5/12/2012

KALKULUS LANJUT

32

Universitas Indonusa Esa Unggul Fakultas Ilmu Komputer Teknik Informatika

Integral Permukaan

G Gi

Luas Permukaan

c

d

a

R

b




Ri

Misalkan diketahui partisi permukaan G berupa grafik z = f(x,y) atau F(x,y,z) = f(x,y) – z ∆Ti

r ∇F. kˆ cos γ i = r , ˆ ∇F k

∆Si

k ∇F

γ

γ

γ

f x2 + f y2 + 1

=

1 f x2 + f y2 + 1

sec γ i = f x2 + f y2 + 1

∆Si~ ∆Ti = ∆Ri sec γi ∆Si = luas Gi dan ∆Ri = luas Ri = ∆xi∆yi ∆Ti = luas bidang singgung yang terletak diatas Ri γi = sudut antara Ri dan Ti

Jadi ∆Si = f x2 + f y2 + 1 ∆R i Luas Permukaan G adalah

∫∫ G

5/12/2012

−1

cos γ i =

∆Ri

r dengan ∇F = f x ˆi + f y ˆj − kˆ

dS =

∫∫

f x2 + f y2 + 1 dA

R

KALKULUS LANJUT

34

Contoh Hitung luas permukaan G : z = x2 + y2 dibawah bidang z=4 Jawab. Bagian G yang dimaksud diproyeksikan pada daerah S (daerah yang dibatasi oleh lingkaran x2+y2=4).

Z

z=4

G x2+y2=4

S

x

y

Misalkan f(x,y)=x2+y2. Maka didapat fx= 2x, fy=2y Sehingga luas permukaan G adalah

∫∫ dS = G

∫∫

2

2

fx + fy + 1 dA =

S

∫∫

4x 2 + 4y 2 + 1 dA

S

dengan S={(x,y)| -2≤ x ≤ 2, − 4 − x 2≤y≤ 4 − x 2 } 5/12/2012

KALKULUS LANJUT

35

Contoh (Lanjutan) Dengan koordinat polar, batasan S berubah menjadi S={(r,θ)|0 ≤ r ≤ 2, 0≤ θ ≤ 2π } Jadi

∫∫ dS =

∫∫

G

S 2π 2

=

4x 2 + 4y 2 + 1 dA

∫∫

4r 2 + 1 r dr dθ

0 0 2π

=

∫ 0

=

5/12/2012

(

)

2 3/2 1 2 2 . 4r + 1 dθ 0 8 3

(

)

(

)

π 2π 1 17 17 − 1 .θ 0 = 17 17 − 1 6 12

KALKULUS LANJUT

36

Latihan Luas Permukaan 1. Hitung luas permukaan G : z = x2 + y2 dibawah bidang z =4 2. Hitung luas permukaan G : z = 4 − y 2 yang tepat berada di atas persegi panjang dengan titik sudut (1,0),(2,0), (2,1),(1,1) 3. Hitung luas permukaan G : silinder z2 + x2 = 16 di oktan I yang dipotong oleh bidang x =2, y = 1, y = 3 4. Hitung luas permukaan G : silinder z2 + y2 = 9 di oktan I antara y =x, y = 3x

5/12/2012

KALKULUS LANJUT

37

Integral Permukaan Misalkan g(x,y,z) terdefinisi pada permukaan G Misalkan permukaan G berupa grafik z G z = f(x,y) atau F(x,y,z) = f(x,y) – z -Misalkan R proyeksi G pada bidang (x , y , z ) Gi XOY


i

i

i

-Partisi R menjadi n bagian; R1, R2,…,Rn

c

a (x i , y i )

b x

dy R

-Pilih (x i , y i ) ∈ R i dan ( x i , y i , z i ) ∈ G i (partisi G yang bersesuaian dgn R) -Bentuk jumlah riemann n

∑ g(x , y , z )∆G , i

Ri

i

i

i

dengan ∆G i =luas G i

i=1

Integral permukaan dari g atas G n adalah

∫∫ g(x, y, z) dS = lim ∑ g(x , y , z )∆G ∫∫ g(x, y, z) dS = ∫∫ g(x, y, z) f + f + 1 dA P →0

G

atau

i

2 x

G

5/12/2012

i

KALKULUS LANJUT

i

i

i=1

2 y

R

38

Integral Permukaan (2) Dengan cara yang sama diperoleh 1. Jika permukaan G berupa grafik x = f(y,z), (y,z)∈ R (Proyeksi G pada bidang YOZ), maka

∫∫

g( x, y, z) dS =

G

2.

∫∫

g(f ( y, z), y, z) 1 + f y2 + f z2 dA

R

Jika permukaan G berupa grafik y = f(x,z), (x,z)∈ R (Proyeksi G pada bidang XOZ), maka

∫∫ G

5/12/2012

g( x, y, z) dS =

∫∫

g( x, f ( x, z), z) f x2 + 1 + f z2 dA

R

KALKULUS LANJUT

39

Contoh 1. Hitung

∫∫

Jawab.

z dS , G adalah permukaan z = 4 − x 2 − y 2

G

z = 4 − x2 − y 2

⇒

z2 = 4 − x2 − y2

z2 + x2 + y2 = 4

G bagian atas kulit bola dengan jari-jari 2. Z

R (proyeksi G pada XOY) berupa lingkaran x2+y2=4. Kita punya z = 4 − x 2 − y 2 , maka

2

G R

x

2 x2+y2=4

2

2

fx + fx 5/12/2012

2

y

( (

1 4 − x2 − y 2 2 1 fy = 4 − x 2 − y 2 2

fx =

) )

−1 / 2

. − 2x =

−1 / 2

. − 2y =

−x

4 − x2 − y2 −y

4 − x2 − y2 x2 y2 4 − x2 − y 2 4 +1 = + + = 4 − x2 − y 2 4 − x2 − y 2 4 − x2 − y 2 4 − x2 − y 2 KALKULUS LANJUT

40

Contoh (lanjutan) Jadi

∫∫ z dS = G

2

2

∫∫ z fx + fy + 1 dA R

=

∫∫

4 − x2 − y 2

R

4 dA 2 2 4−x −y

= 2 ∫∫ dA R

dimana daerah R={(r,θ)|0 ≤ r ≤ 2, 0≤ θ ≤ 2π }, sehingga

∫∫ z dS = 2∫∫ dA G

R 2π 2

= 2 ∫ ∫ r dr dθ = 8π 0 0

5/12/2012

KALKULUS LANJUT

41

Latihan Integral Permukaan 1. Hitung

∫∫

x 2 z 2 dS , dengan G bagian kerucut z2 = x2 + y2

G

di antara z = 1 dan z = 2 2. Hitung

∫∫ g(x, y, z) dS G

a. g(x,y,z) = x2 + y2 + z , dengan G: z = x+y+1, 0≤x≤1, 0≤y≤1 b. g(x,y,z) = x , dengan G: x+y+2z = 4, 0≤x≤1, 0≤y≤1 c. g(x,y,z) = x+y , dengan G: z =

4 − x 2 , 0≤x≤√3, 0≤y≤1

d. g(x,y,z) = 4x 2 + 4y 2 + 1, dengan G: z =x2-y2, 0≤x2+y2≤1 e. g(x,y,z) = x + y , dengan G adalah permukaan kubus, 0≤x≤1, 0≤y≤1, 0≤z≤1

5/12/2012

KALKULUS LANJUT

42