Inginerie Murarasu [PDF]

Zitiervorschau

ACADEMIA DE STUDII ECONOMICE BUCUREŞTI CATEDRA DE MONEDĂ

INGINERIE FINANCIARĂ APLICAŢII

Bucureşti 2012

CUPRINS

I. Opţiuni şi strategii pe bază de opţiuni ............................................................................3 II. Noţiuni elementare.........................................................................................................5 III. Modelul Binomial.......................................................................................................12 IV. Procese Stohastice.......................................................................................................17 V. Martingale şi Integrala stohastică ...............................................................................22 VI. Ecuaţia Black-Merton-Scholes şi Modelul Black-Scholes .......................................25 VII. Indicatori de senzitivitate, hedging static şi volatilitatea implicită..........................32 VIII. Operaţiuni de hedging utilizând opţiuni PUT-Protective ......................................41 IX. Evaluarea firmei utilizând modelul Black – Scholes (Modelul Merton pentru riscul de credit) ............................................................................................................................45 X. Evaluarea instrumentelor financiare derivate ............................................................53 XI. Obligaţiuni zero-cupon – cazul stocastic. Preţul de piaţă al riscului .......................60 XII. Evaluarea riscului de piaţă utilizând modelul Value at Risk ..................................62 BIBLIOGRAFIE...............................................................................................................63

2

I. Opţiuni şi strategii pe bază de opţiuni

I. Opţiuni şi strategii pe bază de opţiuni

1. Funcţia profitului ( Gt ) la scadenţă pentru o combinaţie de mai multe opţiuni având aceeaşi scadenţă t , în funcţie de preţul la scadenţă al activului-suport ( St ) şi de patru preţuri de exercitare Ei , i  1, 4 , este dată în tabelul următor: St

Panta:

E1

Gt St

0

E2

E3

5

-2

E4

5

0

Determinaţi două combinaţii diferite de opţiuni CALL şi PUT ce permit obţinerea profilului rezultatului dat în tabel. Reprezentaţi grafic profilul rezultatului şi determinaţi punctele moarte. (test seminar 2006)

2. i. Funcţia profitului ( Gt ) la scadenţă pentru o combinaţie de mai multe opţiuni având aceeaşi scadenţă t , în funcţie de preţul la scadenţă al activului-suport ( St ) şi de patru preţuri de exercitare Ei , i  1, 4 şi Ei  Ei 1 , este dată în tabelul următor:

St

Panta:

E1 Gt St

0

E2

E3

2

-1

E4

2

0

Determinaţi două combinaţii diferite de opţiuni CALL şi PUT ce permit obţinerea profilului rezultatului dat în tabel. Reprezentaţi grafic profilul rezultatului şi determinaţi punctele moarte. ii. Determinaţi profilul rezultatelor pentru strategia următoare: cumpărarea unei opţiuni put având prima p1 şi preţul de exercitare E1 , vânzarea a două opţiuni put având prima p2 şi preţul de exercitare E2 , cumpărarea unei opţiuni put având prima p3 şi preţul de exercitare E3 . Să presupunem că E1  E2  E3 . Opţiunile au aceeaşi durată de viaţă şi acelaşi activ suport. Ştiind că E2  E1  E3  E2 , arătaţi că p2 £ 0,5 ⋅ ( p1 + p3 ) . (test seminar 2007)

3. Să presupunem că C1 , C2 , C3 reprezintă preţurile a trei opţiuni call europene având preţurile de exercitare: K1 , K 2 , K 3 . Opţiunile au aceeaşi maturitate T şi acelaşi activ suport, respectiv o acţiune ce nu distribuie dividende. Ştiind că K 3  K 2  K1 şi

K 3  K 2  K 2  K1 , arătaţi că C2  0,5   C1  C3  .

(examen Inginerie fin. 2009)

3

I. Opţiuni şi strategii pe bază de opţiuni

4. Este posibil să construim o opţiune CALL sintetică, poziţie long, pe cursul de schimb euro-dolar utilizând două opţiuni, una pe cursul dolar-RON şi alta euro-RON? a) da, luând poziţie short pe opţiuni CALL dolar-RON şi poziţie long pe opţiuni CALL euro-RON; b) da, luând poziţie long pe opţiuni PUT dolar-RON şi poziţie long pe opţiuni CALL euro-RON; c) da, luând poziţie long pe opţiuni PUT dolar-RON şi poziţie short pe opţiuni PUT euroRON; d) sunt viabile toate cele 3 strategii de mai sus; e) nu putem clona opţiunea dată deoarece e posibil ca una din cele două opţiuni pe RON să fie în bani iar alta în afara banilor la exercitare. (Hull)

5. Funcţia profitului brut al unui instrument financiar denumit „happy call” este 1  max  ST , ST  K  , unde ST este preţul acţiunii suport la momentul T , iar K un preţ 2  (de exerciţiu) fix. Fie St preţul acţiunii suport la momentul t şi C1 , respectiv C2 , preţurile opţiunilor obişnuite cu preţurile de exerciţiu K , respectiv 2K . Preţul corect (fair price) al opţiunii happy call este de forma:

CH   St   C1   C2 , unde  ,  şi  sunt constante. a. Să se reprezinte grafic profitul brut al opţiunii happy call. b. Să se determine constantele  ,  şi  .

(Ødegaard)

4

II. Noţiuni elementare

II. Noţiuni elementare

1. Un investitor depune o sumă S0 într-un depozit bancar cu capitalizare, care plăteşte o dobândă la rata r , în procente pe an. Determinaţi suma finală de care va dispune investitorul după t ani, dacă capitalizarea se face: a) anual; b) semestrial; c) trimestrial; d) lunar; e) zilnic; f) în timp continuu. (***)

2. a) O acţiune Coca Cola este cotată simultan pe pieţele bursiere NYSE la preţul de 10$ pe o acţiune şi LSE la preţul de 9£ pe o acţiune, în condiţiile în care pe piaţa valutară cursul de schimb între cele două monede este 1£  1, 45$ . Propuneţi o strategie de arbitraj şi explicaţi mecanismele prin care preţurile pe cele trei pieţe se vor corecta. b) Presupunem că ratele de schimb spot şi forward pentru cursul de schimb £/$ sunt: spot S0  1,6080 , forward peste 90 zile F (0,90 zile)  1, 6056 şi forward peste 180 zile F (0,180 zile)  1, 6018 . Ce oportunităţi are un arbitrajor în următoarele situaţii: i) pe piaţă mai există o opţiune europeană CALL cu maturitatea peste 180 zile, cu preţul de exercitare E  1,57$ / £ şi care costă C0  0, 02$ ; ii) pe piaţă mai există o opţiune europeană PUT maturitatea peste 90 zile, cu preţul de exercitare E  1, 64$ / £ şi care costă C0  0, 02$ . Presupunem că valoarea timp a banilor este 0. (Hull)

3. Aplicaţii ale ipotezei absenţei oportunităţilor de arbitraj (notaţie AOA): i) Valoarea unei opţiuni CALL de tip european ( Ct ) va fi întotdeauna mai mică decât valoarea activului suport ( St ) şi mai mare decât valoarea activului suport mai puţin preţul

de exercitare E actualizat: St  Ct  St  E  e  r (T t ) . ii) Valoarea unei opţiuni PUT de tip european ( Pt ) va fi întotdeauna mai mică decât preţul de exercitare E actualizat şi mai mare decât preţul de exercitare E actualizat mai puţin valoarea activului suport ( St ): E  e r (T t )  Pt  E  e r (T t )  St . iii) Demonstraţi următoarea relaţie care are loc între preţurile opţiunilor CALL şi PUT de tip european, care au aceleaşi caracteristici (acelaşi activ suport, acelaşi preţ de exercitare, aceeaşi scadenţă şi aceeaşi piaţă de tranzacţionare):  r (T  t ) Ct  E  e  Pt  St , t  T .

(***)

4. Primele call, respectiv put, având aceleaşi caracteristici sunt: C  17, 2808 şi P  12,9118 . Se ştie că S  E  105 , iar T  t  6 luni . Să se calculeze rata dobânzii r . (Hull)

5

II. Noţiuni elementare

5. Se ia o poziţie long pe un contract forward cu suport o acţiune ex-dividend (fără dividend) la momentul t0  0 . Cursul spot al acţiunii la momentul t0 este S0  40$ iar rata dobânzii în timp continuu r  10% . a) Determinaţi preţul forward al contractului emis la momentul t0 cu scadenţa la T  1 an şi valoarea iniţială a acestui contract. b) După 6 luni ( t1  6luni ): St1  45$ , r  10% . Determinaţi preţul forward al

contractului emis la momentul t1 cu scadenţa la T  1 an şi valoarea contractului forward emis la t0 . (Hull)

6. Arătaţi că rata de creştere a preţului futures (cu suport un indice bursier de exemplu) este egală cu excesul de rentabilitate al indicelui peste rata fără risc (rata dobânzii şi cea a dividendului sunt considerate constante). (Hull) 7. Primele call, respectiv put (opţiuni cu aceleaşi caracteristici), sunt: C  23, 4530 şi P  8,8750 . Se ştie că S  185 , E  190 iar r  15% . Să se calculeze intervalul de timp T  t  rămas până la scadenţa opţiunilor. (Hull)

8. Care este rata dobânzii cu compunere continuă echivalentă cu o rată a dobânzii de 15% procente pe an, cu compunere lunară? (Ødegaard)

9. Un investitor din România are de făcut plăţi peste 9 luni în valoare de 6,6 milioane RON iar în acest scop el va primi 1 milion EUR şi 1 milioan USD. Cursurile de schimb în prezent sunt 1 EUR = 3,6 RON şi 1 USD = 3 RON. Ratele dobânzilor sunt reur  5%, rusd  4%, rleu  6%. Cercetaţi dacă investitorul poate utiliza o schemă de hedging utilizând contracte forward (cu suport EUR şi USD) astfel încăt să obţină o acoperire completă. (test seminar 2007)

10. La t 0 acţiunile ABC se tranzacţionează la cursul S 0  25 . Un investitor vinde forward o acţiune, cu scadenţa peste 6 luni, la preţul forward curent de F0  26.37 . Rata dobânzii fără risc este constantă la nivelul r1M  12% pe an cu compunere lunară şi acţiunile generează dividende cu o rata anuală instantanee a dividendului   2% . După trei luni de la iniţierea contractului forward (momentul t1 ) cursul acţiunii este S1  21 . a. Calculaţi rata dobânzii fără risc cu compunere continuă. (1 pct) Calculaţi preţul forward la momentul t1 pentru un contract cu aceeaşi maturitate ca cel iniţial (timpul rămas până la scadenţă este de 3 luni). (1 pct)

6

II. Noţiuni elementare b. Calculaţi valoarea la t1 a contractului short forward în care s-a angajat investitorul la momentul t 0 . (1 pct) (test seminar 2008)

11. Se consideră o opţiune PUT şi o opţiune CALL având acelaşi activ suport, acelaşi preţ de exerciţiu şi aceeaşi scadenţă. Activul suport plăteşte un dividend în valoare de D um cu o lună înainte de scadenţă. Primele celor două opţiuni sunt egale dacă: a) activul suport are volatilitate mare; b) activul suport are volatilitate mică; c) preţul de exerciţiu este egal cu preţul forward al activului suport; d) preţul de exerciţiu este egal cu cursul bursier al activului suport; e) preţul de exerciţiu este egal cu valoarea fructificată a cursului bursier al activului suport. (admitere DOFIN 2006) 12. Un contract forward oferă un hedging complet al expunerii la activul suport. Astfel, de exemplu, un long forward acoperă o poziţie short pe activul suport, eliminând complet riscul de pierdere în cazul creşterii cursului acţiunii, dar elimină complet şi potenţialul de câştig în cazul scăderii cursului acţiunii. Pe unii investitori îi deranjează pierderea potenţialului de câştig odată cu riscul de pierdere, astfel încât unele bănci oferă un contract forward exotic, denumit ‘participation forward’, cu următoarele proprietăţi:  încheiat cu o scadenţă prestabilită, T, la preţul participation forward FP ;  o poziţie long participation forward acoperă complet riscul de pierdere al unei poziţii short pe activul suport în cazul creşterii cursului acestuia peste FP , plătind la fel ca un contract forward obişnuit S T  FP ;  în cazul scăderii cursului activului suport sub FP , o poziţie long participation forward îi lasă investitorului cu poziţie short pe activul suport jumătate din profitul obţinut, acesta trebuind să plătească acum doar jumătate din plata aferentă unui contract forward echivalent: 0.5 ⋅ ( FP - ST ) ; 

preţul FP este stabilit astfel încât la iniţierea contractului între cele două părţi nu se face nici o plată (valoarea iniţială este zero, la fel ca la contractul forward obişnuit). Payoff T  S T  FP PayoffT = 0.5 ⋅ ( ST - FP )

, dacă S T  FP , dacă ST £ FP

a. Desenaţi funcţia de payoff şi calculaţi derivata payoff-ului în funcţie de preţul activului suport la scadenţă. Determinaţi un portofoliu format din activul suport, depozite/împrumuturi la rata fără risc r , contracte forward standard şi/sau opţiuni europene pe activul suport (pe piaţă sunt disponibile opţiuni pentru orice preţ de exercitare) care să replice exact contractul participation forward. (1 pct) b. Calculaţi diferenţa dintre preţul forward standard F şi FP pentru a fi îndeplinite condiţiile de mai sus. (1 pct) (test seminar 2008)

7

II. Noţiuni elementare

13. Se consideră o acţiune care nu plăteşte dividende, având cursul spot S  100 . Rata

instantanee a dobânzii fără risc este r  10% . 1. Sa se determine preţul forward pentru contractul forward cu scadenta peste 6 luni; 2. Presupunem că un investitor a intrat long pe contractul forward de la punctul 1. După 3 luni constată că valoarea contractului forward este 0. Să se determine cursul spot în acest moment, ştiind că rata dobânzii a crescut cu 50 bp. 3. Presupunem că un investitor a intrat long pe contractul forward de la punctul 1. După 3 luni cursul spot devine S  101 . Să se determine valoarea contractului forward în acest moment. Interpretare. (parţial Inginerie fin. 2009)

14. Ratele dobânzilor (compunere în timp discret) pentru diverse scadenţe sunt date de către următoarea structură la termen a ratelor dobânzii: Scadenţă 1M 2M 4M 6M 1Y Dobândă 5% 5,25% 5,5% 5,5% 6% La momentul 0, un investitor intră pe poziţie LONG pe un contract forward cu scadenţa 6 luni având ca activ suport o acţiune care plăteşte un dividend de 2 u.m. peste 1 lună şi un dividend de 3 u.m. peste 9 luni. Preţul forward la momentul 0 este 28,7785 u.m. a) Calculaţi cursul acţiunii în momentul încheierii contractului forward. b) Calculaţi valoarea peste 2 luni a contractului forward încheiat la momentul iniţial, ştiind că între timp preţul activului suport a scăzut cu 5% iar structura la termen s-a deplasat în jos cu 25 bp (1bp = 0,01 pp). Interpretare. (parţial Inginerie fin. 2010)

15. Ratele dobânzilor (compunere în timp discret) pentru diverse scadenţe sunt date de către următoarea structură la termen: Scadenţă 1M 2M Dobânda 5,25% 5,5%

4M 5,75%

6M 6%

1Y 6,25%

La momentul 0, un investitor intră într-o poziţie LONG pe un contract forward cu scadenţa 6 luni având ca activ suport o acţiune care plăteşte un dividend de 2 u.m. peste o lună şi un dividend de 3 u.m. peste 9 luni. Cursul spot al acţiunii suport la momentul 0 este 100 u.m. a) Calculaţi preţul forward la momentul 0. b) Calculaţi valoarea peste 2 luni a contractului forward încheiat la momentul iniţial, ştiind ca între timp preţul activului suport a scăzut cu 5%, iar structura la termen s-a deplasat în jos cu 25 b.p. (1 b.p. = 0,01 pp). Interpretare. (parţial Inginerie fin. 2011)

16. Se ştie că în intervalul  0,t  rata dobânzii fără risc este r1 , iar în intervalul  t , T  devine r2 . 1. Să se determine preţul forward la momentul 0 pentru un contract forward cu scadenţă T şi având activ suport o acţiune care nu plăteşte dividende.

8

II. Noţiuni elementare 2. Se consideră o opţiune call şi o opţiune put având activ suport o acţiune care nu plăteşte dividende, scadenţă T şi preţ de exerciţiu K . Să se determine relaţia de paritate, la momentul 0, dintre opţiunea call ţi opţiunea put. (parţial Inginerie fin. 2010)

17. Se consideră o acţiune fără dividend: S 0  100 u.m. şi r  10% (rata instantanee a dobânzii). Se consideră următoarele opţiuni, care au ca suport aceeaşi opţiune: a. Call, cu preţ de exerciţiu 100, maturitatea peste 3 luni şi preţul c  7,2209 ; b. Call, cu preţ de exerciţiu 105, maturitatea peste 3 luni şi preţul c  4,9225 ; c. Put, cu preţ de exerciţiu 105, maturitatea peste 6 luni şi preţul p  8,3816 ; d. Put, cu preţ de exerciţiu 100, maturitatea peste 3 luni şi preţul p  4,7519 ; e. Call, cu preţ de exerciţiu 105, maturitatea peste 6 luni şi preţul c  8,6431 ; f. Call, cu preţ de exerciţiu 110, maturitatea peste 6 luni şi preţul c  6,5208 . Să se construiască, dacă se poate, un portofoliu de arbitraj. (admitere DOFIN 2006)

18. Pe piaţă se tranzacţionează următoarele active financiare: -

o obligaţiune zero cupon cu scadenta peste 6 luni, având cursul 0.9512; o obligaţiune zero cupon cu scadenta peste 9 luni, având cursul 0.9277; un bull spread cu scadenţa 6 luni, cu preţuri de exerciţiu 100 şi 120, având prima 11.4562; - o opţiune call cu scadenţă 9 luni, cu preţ de exerciţiu 110 având prima 11.9646; - un bear spread cu scadenţa 6 luni, cu preţuri de exerciţiu 100 şi 120, având prima 7.4647. Să se construiască, dacă se poate, un portofoliu de arbitraj. (parţial Inginerie fin. 2009)

19. „Horror forward” cu preţuri de exerciţiu K1 şi K 2 este un activ financiar cu valoare zero (în momentul încheierii acestuia) având un payoff la scadenţă:  ST  K1 , dacă ST  K1  0, dacă K1  ST  K 2 .  S  K , dacă S  K 2 T 2  T

„Horror strangle” cu preţuri de exerciţiu K1 şi K 2 este un activ financiar cu valoare zero (în momentul încheierii acestuia) având un payoff la scadenţă:  K 2  ST , dacă ST  K1   K 2  K1 , dacă K1  ST  K 2 .  S  K , dacă S  K 1 T 2  T La momentul 0, pe piaţă se tranzacţionează următoarele active financiare: - obligaţiunea zero cupon cu scadenţa peste 6 luni, având cursul 0,9512 u.m.; - acţiunea ABC care nu plăteşte dividende, având cursul spot 100 u.m.;

9

II. Noţiuni elementare -

o opţiune put cu preţ de exerciţiu 110, activ suport acţiunea ABC, scadenţa peste 6 luni, având prima 4 u.m.; - un „horror strangle” cu preţuri de exerciţiu 90 şi 110, activ suport acţiunea ABC, scadenţa peste 6 luni, având prima 18 u.m.; - un „horro forward” cu preţuri de exerciţiu 90 şi 110, activ suport acţiunea ABC şi scadenţa peste 6 luni; Să se construiască, dacă se poate, un portofoliu de arbitraj. (parţial Inginerie fin. 2010)

20. Preţul curent al unei acţiuni este 10 u.m. iar volatilitatea acesteia este   9, 76% . Preţul de exerciţiu al unei opţiuni call care expiră peste o perioadă egală cu un trimestru este 10 u.m.. Pe piaţă există obligaţiuni zero-cupon care maturează peste un trimestru în condiţiile în care rata dobânzii fără risc este r  10,11% . a) Să se construiască un portofoliu de hedging care să elimine riscul indus de deţinerea opţiunii call, luând poziţii pe acţiunea suport şi activul fără risc. Care este costul acestei operaţiuni? b) Construiţi un portofoliu de arbitraj presupunând că datorită unor dezechilibre temporare preţul obligaţiunilor zero-cupon devine 0,9 u.m. în condiţiile în care toate celelalte variabile sunt cele de la punctul a). Explicaţi cum se vor regla ulterior preţurile astfel încât oportunitatea de arbitraj să dispară. (parţial Inginerie fin. 2012)

21. Considerăm o acţiune AAA al cărei preţ este azi 40$. Sunt observate de asemenea următoarele preţuri pentru opţiuni europene pe acţiunea AAA cu scadenţa peste 6 luni: Preţ de exercitare 25 50

Prima CALL 21 1

Sunt preţurile în echilibru sau există posibilitate de arbitraj? Explicaţi. (examen DOFIN 2005)

22. Opţiunile CALL cu scadenţa peste un an şi preţ de exercitare 50$ au preţul 2 $, iar cele cu preţ de exercitare 55$ au preţul 1,5$. Opţiunile PUT cu scadenţa peste un an şi preţ de exercitare 50$ au preţul 1,22$ , iar cele cu preţ de exercitare 55$ au preţul 3$. Preţul activului suport este 49$. Există oportunităţi de arbitraj? (examen DOFIN 2006) 23. Presupunem că există 2 stări posibile   1 , 2  . Piaţa financiară este compusă dintr-o obligaţiune cu rata de dobândă r (şi preţul iniţial B  0   1 ) şi o acţiune S   cu preţul iniţial S  0  şi preţurile viitoare posibile: S 1, 1   S d ; S 1, 2   Su ,

10

II. Noţiuni elementare astfel încât S d  Su . a. Să se arate că lipsa oportunităţilor de arbitraj este echivalentă cu: Sd S  S  0  u . 1 r 1 r

b. Să se calculeze probabilitatea neutrală la risc. 1 Obs. În timp continuu, termenul se înlocuieşte cu e-r⋅(T -t ) . 1+ r

(Lim)

11

III. Modelul Binomial

III. Modelul Binomial 1. Fie o acţiune suport care are cursul spot la momentul curent S0  50 u.m. ,   20% şi pentru care se emit opţiuni cu preţul de exercitare E  50 u.m. Rata dobânzii fără risc este r  10% . a) Să se evalueze opţiuni CALL şi PUT europene, americane cu şi fără dividend folosind modelul binomial pe 5 perioade ştiind că durata unei perioade este de 3 luni. În cazurile în care acţiunea suport plăteşte dividende, presupunem că acestea sunt plătite în perioada 4 şi reprezintă 10% din valoarea cursului din acel moment. b) Verificaţi relaţia de paritate PUT-CALL în cazul opţiunilor europene ex-dividend. c) Explicaţi de ce preţurile opţiunilor americane la emisiune sunt mai mari decât preţurile opţiunilor europene corespunzătoare. d) Demonstraţi că un CALL american cu suport o acţiune ex-dividend se exercită întotdeauna doar la scadenţă (fiind astfel echivalent cu un CALL european cu suport o acţiune ex-dividend). (***)

2. Să se calculeze utilizând modelul binomial, valoarea unei opţiuni PUT pe baza următoarelor date: S  100; E  200; T  1 an; n  40;   12%; r  8% (PUT). (examen Inginerie fin. 2006) 3. Calculaţi prima unei opţiuni put americane utilizănd modelul Cox-Ross-Rubinstein (modelul binomial) pe 3 perioade ştiind că preţul activului suport (S) este 95 u.m., durata de viaţă a opţiunii 3 luni iar volatilitatea  a activului suport este 34,64%. Preţul de exercitare (K) este 98 u.m. iar rata dobânzii cu compunere continuă este 7%. (test seminar 2008) 4. Să considerăm o opţiune put americană cu următoarele caracteristici:

S = 95 euro; T = 30 zile; K = 98 euro; r = 7% . Coeficientul de creştere u = 1,1 . Calculaţi preţul acestui put american utilizând modelul Cox-Ross-Rubinstein (modelul binomial) cu 2 perioade. Determinaţi preţul opţiunii call americane corespondente. Deduceţi o relaţie de arbitraj între cele două preţuri. (test seminar 2007)

5. a) Determinaţi prima unei opţiuni Call de tip european, cu următoarele caracteristici:

S  180; E  190; T  t  9 luni; r  9,5%;   32% , folosind un model binomial cu n  3 perioade. b) Formaţi o opţiune Put sintetică, poziţie short, folosind opţiunea Call de la punctul a) şi activul său suport S . c) Formaţi un contract forward sintetic folosind opţiunile Call şi Put de la punctele anterioare. Care este valoarea prezentă a acestui contract? (examen IDD 2010)

12

III. Modelul Binomial

6. Să considerăm un CALL european al cărui activ suport are preţul egal cu 100 EUR la data 0. Se cunosc următoarele date de piaţă: preţul de exercitare al opţiunii ( K ): 100 EUR; durata de viaţă a opţiunii: 3 luni; rata fără risc în timp continuu ( r ): 10%. a) Determinaţi prima opţiunii CALL la data 0 în următoarele cazuri: i) Utilizând modelul Cox-Ross-Rubinstein (modelul Binomial) cu 4 perioade, ştiind că coeficientul de creştere u al activului suport este 1,1. ii) Utilizând modelul Black-Scholes, ştiind că volatilitatea anuală a activului suport s este 0,39. b) Să presupunem că u -1 = 1- d . Determinaţi noile valori ale lui u şi d , astfel încât preţul dat de modelul Cox-Ross-Rubinstein cu o perioadă să fie egal cu preţul dat de formula de evaluare a lui Black şi Scholes (preţ calculat la punctul a). (examen Inginerie fin. 2006)

7. Să considerăm un PUT european pe o acţiune ce nu distribuie dividende. Preţul acţiunii ( S ) este egal cu 87€ la data 0. Se cunosc următoarele date de piaţă: preţul de exercitare al opţiunii ( K ) este egal cu 83€; durata de viaţă a opţiunii este de 3 luni; rata dobânzii fără risc anuală şi continuă ( r ) este de 7%, volatilitatea anuală a preţului acţiunii ( s ) este de 15%. i) Determinaţi prima opţiunii PUT la data 0 în următoarele cazuri: a) Utilizând modelul Cox-Ross-Rubinstein cu 4 perioade; b) Utilizând modelul Black-Scholes1. ii) Considerând cazul în care preţul acţiunii urmează o mişcare browniană geometrică, determinaţi un interval de încredere al valorii acţiunii la scadenţa opţiunii cu o probabilitate de 98,5%. Determinaţi primele două momente ale distribuţiei de probabilitate a preţului acţiunii la scadenţa opţiunii, E ( ST ) şi VAR( ST ) . (examen Inginerie fin. 2007) 8. Să considerăm o opţiune put europeană al cărei activ suport are preţul P la data 0. La data 1, acest activ suport poate avea două valori: P ⋅ (1 + i ) cu o probabilitate egală cu q şi P ⋅ (1- i ) cu o probabilitate egală cu 1- q . Folosind noţiunile de portofoliu fără risc şi de absenţa a oportunităţilor de arbitraj (AOA), i) Determinaţi prima opţiunii put ştiind că preţul de exercitare este P şi că rata dobânzii fără risc este r ; ii) Determinaţi prima opţiunii put utilizând un model binomial cu două perioade. Valorile 2 2 finale ale activului suport sunt (la data 2): P ⋅ (1 + i ) ; P ⋅ (1 + i )⋅ (1- i ) şi P ⋅ (1- i ) ; iii) Reluaţi punctele i) şi ii) considerând că: P = 1000 , i = 10% şi r = 0% . (test seminar 2006)

9. Se consideră un model binomial cu 2 perioade (o perioadă reprezintă 1 lună) şi o

acţiune cu preţul iniţial So  100 um . În fiecare perioadă preţul acţiunii poate să crească 1

Vezi capitolul VI. Ecuaţia Black-Merton-Scholes şi Modelul Black-Scholes.

13

III. Modelul Binomial cu u  1,1 cu probabilitatea p  0, 7 sau să scadă cu d 

1 . Rata dobânzii fără risc este u

10%. a) Stabiliţi prima unui unui contract call american cu suport acţiunea de mai sus şi preţ de exercitare E  95 . b) Stabiliţi prima unui contract cu activ suport acţiunea de mai sus şi payoff-ul la 1 , ST  E , iar E  95 . scadenţă egal cu  0 , ST  E (test seminar 2010)

10. Se consideră o acţiune care nu plăteşte dividende având cursul spot S  10.000 şi un

model binomial cu 60 de perioade cu u  1, 002 şi d  1 / u . Factorul de fructificare pe o perioadă este e rh  1.0015 . Un call pe call, având preţurile de exerciţiu K şi H, este un derivativ cu payoff-ul maxmaxST  K ,0   H ,0  . Un put pe call, având preţurile de exerciţiu K si H, este un derivativ cu payoff-ul max H  maxST  K ,0 ,0 . 1. Să se determine prima unei opţiuni call cu preţ de exerciţiu 11.200 şi scadentă peste 60 de perioade. Să se determine prima opţiunii put cu aceleaşi caracteristici; 2. Să se determine prima unui call pe call cu preţuri de exerciţiu 11.200 şi 50 şi scadenţă peste 60 de perioade. Să se determine prima unui put pe call cu aceleaşi caracteristici. (parţial Inginerie fin. 2009)

11. Se consideră o acţiune care nu plăteşte dividende având cursul spot S  100 şi

volatilitate   25% . Rata instantanee a dobânzii fără risc este r  10% . Un call de tip lookback cu preţul de exerciţiu K şi scadenţă T este un derivativ cu payoff





max max St  K , 0 . Un put de tip lookback cu preţul de exerciţiu K şi scadenţă T este 0 t T





un derivativ cu payoff max K  max St , 0 . Se consideră un model binomial având 0 t T

lungimea unei perioade de 3 luni. a) Să se determine prima unei opţiuni call cu preţ de exerciţiu K  d  S şi scadenţă peste 9 luni. Să se determine prima opţiunii put cu aceleaşi caracteristici; b) Să se determine prima unui call de tip lookback cu preţ de exerciţiu K  d  S şi scadenţă peste 9 luni. Să se determine prima unui put de tip lookback cu aceleaşi caracteristici. (parţial Inginerie fin. 2010)

12. Se consideră o acţiune care nu plăteşte dividende având cursul spot S  100 şi

volatilitate   25% . Rata instantanee a dobânzii fără risc este r  10% . Un call de tip asiatic cu preţul de exerciţiu K şi scadenţa T este un derivativ cu payoff max ST  K , 0 , unde ST repretzintă media geometrică a cursului activului suport în





intervalul  0,T  . Un put de tip asiatic cu preţul de exerciţiu K şi scadenţă T este un

14

III. Modelul Binomial





derivativ cu payoff max K  ST , 0 . Se consideră un model binomial având lungimea unei perioade de 3 luni. a) Să se determine prima unei opţiuni call de tip european cu preţ de exerciţiu K  d  S şi scadenţa peste 9 luni. Să se determine prima opţiunii put cu aceleaşi caracteristici. b) Să se determine prima unei opţiuni call de tip asiatic cu preţ de exerciţiu K  d  S şi scadenţa peste 9 luni. Să se determine prima opţiunii put de tip asiatic cu aceleaşi caracteristici. (parţial Inginerie fin. 2011)

13. Preţul curent al unei acţiuni este 10 u.m. iar volatilitatea acesteia este   9, 76% . Preţul de exerciţiu al unei opţiuni call care expiră peste o perioadă egală cu un trimestru este 10 u.m.. Pe piaţă există obligaţiuni zero-cupon care maturează peste un trimestru în condiţiile în care rata dobânzii fără risc este r  10,11% . c) Să se construiască un portofoliu de hedging care să elimine riscul indus de deţinerea opţiunii call, luând poziţii pe acţiunea suport şi activul fără risc. Care este costul acestei operaţiuni? d) Construiţi un portofoliu de arbitraj presupunând că datorită unor dezechilibre temporare preţul obligaţiunilor zero-cupon devine 0,9 u.m. în condiţiile în care toate celelalte variabile sunt cele de la punctul a). Explicaţi cum se vor regla ulterior preţurile astfel încât oportunitatea de arbitraj să dispară. (parţial Inginerie fin. 2011)

14. O opţiune call de tip american are maturitatea T  t  8 luni ; S  100 ; K  100 ;

r  15% şi   20% . a. Să se calculeze valoarea opţiunii în cadrul modelului binomial cu 2 perioade, ştiind că u  d  1. b. Să se calculeze valoarea opţiunii în cadrul modelului binomial cu 2 perioade, ştiind că probabilitatea (subiectivă) de creştere a cursului suport este q  1 2 .

(***)

15. Preţul actual al unei acţiuni este 400. La sfârşitul lunii preţul poate să fie 420 sau 380. Rata de dobândă este de 8% pe an. Acţiunea plăteşte după 4 luni un dividend compus dintr-o sumă fixă, egală cu 50, şi o cotă procentuală aplicată la preţ, egală cu 2%. Să se calculeze prima unei opţiuni put at-the-money de tip american cu maturitatea de 5 luni, care are ca suport această acţiune. (***) 16. Preţurile viitoare posibile ale unei acţiuni sunt 100 şi 200 iar preţul curent este 150. Preţul de exerciţiu al unei opţiuni put care expiră peste o perioadă este 150. Preţul unei obligaţiuni zero-cupon care maturează peste o perioadă este 0,8. Să se determine poziţiile în acţiune şi în activul fără risc, care elimină riscul indus de deţinerea opţiunii put. (Ødegaard)

15

III. Modelul Binomial

17. Cursul de schimb curent USD/GBP este 1,525. Valorile posibile ale acestuia după o perioadă de un an sunt 1,625 şi 1,475. Rata de dobândă pentru USD este 5%, iar pentru GBP 7%. Să se evalueze în cadrul modelului binomial o opţiune call ce are ca suport GBP, scadenţa peste 3 perioade şi preţul de exerciţiu 1,515. (Ødegaard)

18. O opţiune putere (power option) plăteşte la momentul T : max  ST  X  , 0  , unde 2

ST este preţul acţiunii la momentul T , iar X este preţul de exerciţiu. Să se evalueze

această opţiune în cadrul modelului binomial, pentru care: X  26 ; T  t  este 1 an; St  24 ; St  u  30 ; St  d  18 şi r  5% .

(Ødegaard)

16

IV. Procese Stohastice

IV. Procese Stohastice 1. Fie D preţul unui instrument financiar derivat şi S cursul activului suport. Să se scrie ecuaţia de dinamică pentru preţul derivativului D ştiind că S urmează un proces de tip Ito. (***) 2. Fie dinamica preţului unei acţiuni: S    S  t    S  z . Fie F = S ⋅ er (T -t ) preţul forward al acestei acţiuni. Care este dinamica preţului forward? Reprezentaţi această dinamică într-un mediu neutru la risc. (***)

3. Fie y randamentul la maturitate cu compunere continuă (yield to maturity) pentru o obligaţiune 0-cupon ce plăteşte o unitate monetară la scadenţă. Presupunem că y urmează procesul stohastic: dy  a  ( y0  y )  dt  c  y  dz , unde a, y 0 , c sunt constante pozitive. Care este procesul urmat de preţul obligaţiunii? (examen Inginerie fin. 2000)

4. Preţul valutei din ţara A exprimat în funcţie de preţul valutei din ţara B ( 1A  S  B )

urmează un proces de forma: dS  (rB  rA )  S  dt    S  dz unde rA , rB reprezintă ratele dobânzilor în cele două ţări. Care este procesul urmat de preţul valutei din ţara B exprimat în funcţie de preţul valutei din ţara A? (examen Inginerie fin. 2002)

5. Aplicaţi lema Ito funcţiei ln S şi demonstraţi că această variabilă urmează o

distribuţie normală ( S    S  t    S  z ).

(***)

6. Cursul unei acţiuni la momentul actual este 100. Cursul acţiunii urmează un proces dS  0,1 dt  0, 2  dz . S a) Care este rentabilitatea medie anuală a cursului acestei acţiuni? Dar volatilitatea corespunzătoare? b) Determinaţi intervalul de variaţie a cursului pe un orizont de 3 luni cu o probabilitate de i) 90%; ii) 95%; iii) 99%. (Hull) Ito de forma:

7. Cursul unei acţiuni este S0 , volatilitatea  şi rentabilitatea  . a. Să se deducă formula care cu probabilitatea s , dă intervalul închis în care se va afla cursul la momentul T: [ p, q ]. b. S0  100,   15%,   45%, T  3luni, s  99%.

17

IV. Procese Stohastice c. Să se deducă următorii indicatori de senzitivitate privind mărimea intervalului în care [q  p ] [q  p ] [q  p ] [q  p ] se va afla cursul: ; ; ; .   T s Formulele deduse la punctul c) vor fi aplicate pe exemplul de la punctul b). (examen Inginerie fin. 2005)

8. Rentabilitatea unui activ este  iar volatilitatea sa este  . Preţul de piaţă al activului este S0  1 . Ecuaţia de dinamică a preţului activului, S (t ) , este: dS    dt    dz , dz    dt ,   (0,1). S Se cere: (a) aplicând Lema lui Ito, să se arate că logaritmul preţului la momentul T , ln ST , este distribuit normal; (b) să se stabilească cu o probabilitate dată, p , intervalul în care se va găsi preţul ST la momentul T . (c) Fie ST   h1 , h2  , unde  h1 , h2  este intervalul dedus la punctual (b), cu

hk  hk (  ,  , ,  ), k  1, 2 . S-a notat cu  soluţia ecuaţiei N ( ) 

1 p . Să se calculeze 2

hk hk hk hk pentru k  1, 2 . Precizaţi cum se modifică ; ; ;   T  lungimea intervalului  h1  h2  la o creştere cu o unitate a fiecăruia din cei patru factori. indicatorii de senzitivitate:

(d) Aplicaţie:   15%;   45%; T  6 luni şi p  99%. (examen Inginerie fin. 2009)

9. Cursul unei acţiuni este S  90 u.m., iar volatilitatea sa este   27% . Ştiind că rentabilitatea medie a acţiunii este de 12% , peste 6 luni cursul acţiunii se va afla cu o probabilitate de 99%, în următorul interval: a) [40,56; 170,34]; b) [60,93; 140,20]; c) [62,95; 168,95]; d) [57,34; 153,46]; e) [68,03; 172,09].

(examen licenţă 2003) dSt   dt   dzt , unde zt St este un proces Wiener fundamental. Să se calculeze cu o probabilitate p  99% intervalul în care se va afla preţul acestei acţiuni peste T  9 luni , ştiind că   0, 2;   0,3; St  100. (examen IDD 2007)

10. Preţul unei acţiuni la momentul t urmează procesul Ito:

11. S  80,   45%,   16%. a) Să se calculeze cu o probabilitate de 99% intervalul în care se află cursul după o lună. b) Să se calculeze senitivitatea capetelor intervalului de la a) în raport cu variaţia lui  . (examen Inginerie fin. 2005)

18

IV. Procese Stohastice

12. Se cunosc:   0, 075 ;   10% şi S0  750 . Să se determine cu o probabilitate de 95% intervalul în care se va afla preţul activului la momentul T  8 luni . (examen IDD 2007)

13. Presupunem că: ln X t  ln X 0   t   Bt , unde m şi s sunt parametri constanţi, X 0 este cunoscut iar Bt reprezintă o mişcare browniană standard. Fie Yt  X arate că: a.

şi Z t  Yt e

m t

1      m   2 m 2 t 2  

, unde m este o constantă. Să se

dZ t   mZ t dBt ;

b.

E  X t X 0   X 0e

c.

E  X

m t

1 2

 t   2t

X 0   X e m 0

1 mt  m2 2t 2



d. Var  X t X 0   X 0 e 2

;

 2t

;



2

 1 e2 t  t . (examen Inginerie fin. 2006)

14. Să se arate, prin utilizarea lemei Ito, că St   Bt  S0  este soluţia ecuaţiei 2

diferenţiale stocastice dSt  dt  2 St dBt , unde S0 este cunoscut iar Bt reprezintă o mişcare browniană standard. (examen Inginerie fin. 2006)

15. Fie X  t   t  B  t  şi Y  t   e Bt t , unde B  t  este o mişcare browniană standard.

Determinaţi dinamica d  X  t   Y  t   .

(examen Inginerie fin. 2010)

16. X  t  are o dinamică stocastică având   X , t   c  X şi  2  X , t   X a unde a şi c sunt constante, iar c  0. Fie Y  t   X  t  . Cât trebuie să fie parametrul b astfel încât b

dinamica lui Y  t  să aibă coeficientul de difuzie constant? Care este dinamica lui Y  t  ? (examen Inginerie fin. 2010)

17. Fie X  t   t  B  t  şi Y  t   e Bt  , unde B  t  este o mişcare browniană standard.  X t   Determinaţi dinamica d   .  Y t   (examen Inginerie fin. 2010)

19

IV. Procese Stohastice

18. Rentabilitatea medie anuală a unei acţiuni este de 4,5%, iar volatilitatea anuală de 30%. Cursul acţiunii este de 120 um. Probabilitatea ca peste o lună cursul acţiunii să scadă este: a) strict mai mare decât 0,5; b) 0,5; c) strict mai mică decât 0,5; d) 1; e) 0. (admitere DOFIN 2006)

19. Se consideră procesul: dx  adt  bdW ; x0  5 ,

unde a  1, 75 ; b  2 şi dW este un proces Wiener fundamental. Să se determine media şi abaterea standard după 3 perioade  dt  3 pentru variabila dx . (***)

20. Preţul unei acţiuni urmează procesul: dS   Sdt   SdW . Să se deducă procesul urmat de către următoarele funcţii: a.

f S    S ;    ;

b.

f S   Sn ;

c.

f  S   e S ;    ;

d.

f S,t   S 2  t ;

e.

f  S , t   S    tS ;   0 ;

f.

f S,t   e

g.

f  S   cos  S  .

1 2

 S   2t

;   0;

(***)

21. Fie procesul Ito: dX t = m(t )dt + s (t )dBt . Determinaţi dinamica lui Yt = e X . t

(***)

22. Fie ecuaţia de dinamică stocastică: dX t = X t ⋅ q (t )dBt , unde X 0 = 1 şi q (t ) este o funcţie deterministă. Determinaţi procesul urmat de X T . (***)

23. Ştiind că: dQ  Q dt   Q dW ,

20

IV. Procese Stohastice

să se determine ecuaţia de dinamică pentru

d expQ  . expQ 

(***)

24. Ştiind că: dX   X dt   X dW şi dY  Y dt   Y dW ,

X d  d  XY  Y . să se deducă ecuaţia de dinamică pentru   şi  XY  X   Y 

(***)

25. În cadrul modelului binomial:









u  e r t 1    t ; d  er t 1    t .

Să se demonstreze că pe măsură ce n tinde la  , St converge către mişcarea browniană geometrică şi să se exprime media şi varianţa (la limită), calculate în funcţie de probabilitatea neutră la risc, pentru St . (Cairns)

21

V. Martingale şi Integrala stohastică

V. Martingale şi Integrala stohastică 1. Bt este o martingală. (***)

2. Bt 2  t este o martingală. (***)   Bt 

3. e

2 2

t

este o martingală. (***)

4. Calculaţi E[ Bt4 ] . (Bjőrk) t

5. Calculaţi integrala stocastică:  Bs dBs . 0

(Bjőrk)

6. Procesul Ornstein-Uhlenbeck: dxt  kxt dt   dBt , x0  y; k ,   cons.

Determinaţi xt , E  xt  , Var  xt  şi valoarea mediei pe termen lung a variabilei x . (***)

7. Particularizare a procesului Ornstein-Uhlenbeck – modelul Vasicek pentru dinamica ratei dobânzii:

dr  k (  r )dt   dBt , cu r0 , k ,  ,  constante .

Determinaţi: rt , E  rt  ,Var  rt  şi valoarea mediei pe termen lung a variabilei r . (test seminar 2008)

8. Se consideră un proces stocastic X t a cărui dinamică este dată de următoarea relaţie: dX t = k (q - X t )dt + s X t dBt , unde

k , q şi s

sunt constante. Să se calculeze

E ( X T X t ), VAR( X T X t ) şi media pe termen lung a variabilei X t . (modelul CIR pentru dinamica ratei dobânzii). (test seminar 2007)

9. Modelul Rendleman şi Bartter de dinamică a ratei dobânzii pe termen scurt: 22

V. Martingale şi Integrala stohastică drt   rt dt   rt dBt

cu  ,  constante. Determinaţi: rt , E  rt  ,Var  rt  şi valoarea mediei pe termen lung a variabilei r . Prezintă acest model proprietatea de revenire la medie (mean reversion) ca în cazul modelului Vasicek? (***)

10. Determinaţi procesul urmat de variabila stochastică Z (t ) (ecuaţia diferenţială stochastică) pentru următoarele situaţii: a) Z (t )  e x (t ) unde dx(t )   dt   dBt , x(0)  x0 . b) Z (t )  x(t ) 2 unde dx(t )   x(t )dt   x(t )dBt . 1 Z (t )  unde dx(t )   x(t )dt   x(t )dBt . Determinaţi în această situaţie expresia x(t ) pentru Z (t ) ca funcţie de  ,  şi B(t ) (test seminar 2007)

11. Să considerăm că într-un nivers neutru la risc preţul unei acţiuni urmează o mişcare T

1 browniană geometrică: dSt = rSt dt + s St dBt . Fie S = Su du , "t £ u £ T . S T - t òt reprezintă media temporală a preţurilor viitoare ce se realizează în intervalul T - t , unde t reprezintă data curentă. Determinaţi E éê S ùú . ë û (examen Inginerie fin. 2009)

12. Fie procesul stocastic: dX t = X t ⋅(m(t )dt + s (t )dBt ) . Determinaţi dinamica lui t

-

Yt = X t e

ò m ( s ) ds 0

T é ù ê ò m ( s ) ds ú . Deduceţi că X t = E ê X T ⋅ e t Ft ú . ê ú ê ú ë û

(***)

13. Determinaţi soluţia următoarei ecuaţii diferenţiale stocastice: dX t   X t dt  a  t  Bt dBt

ştiind că X 0  1 şi a  t   exp  t  . (examen Inginerie fin. 2010)

14.   x  este funcţia de densitate normală centrată standard. Arătaţi că, pentru T  0 , procesul

 B t   1   , 0  t  T , este o martingală. T t  T t 

(examen Inginerie fin. 2010)

23

V. Martingale şi Integrala stohastică

15. Se consideră un proces stocastic X t a cărui dinamică este dată de următoarea relaţie: dX t = -a X t dt + b X t dBt , unde a şi b sunt constante iar X 0  1 . Să se determine

media E ( X T X 0 ) , varianţa VAR( X T X 0 ) şi media pe termen lung a variabilei X t . (reexaminare Inginerie fin. 2010) k 16. Se notează cu Bt mişcarea geometrică browniană şi cu btk = E éê( Bt ) ùú , k ³ 2. Să se

ë

û

1 2 6 arate că: btk = k (k -1) ò bsk -2 ds. Să se calculeze: E éê( Bt ) ùú şi E éê( Bt ) ùú . 0 ë û ë û 2 t

(***)

24

VI. Ecuaţia Black-Merton-Scholes şi Modelul Black-Scholes

VI. Ecuaţia Black-Merton-Scholes şi Modelul Black-Scholes

1. Un contract forward cu suport o acţiune ex-dividend este un instrument financiar

derivat a cărui valoare depinde de valoarea activului suport. Verificaţi această afirmaţie folosind ecuaţia Black-Merton-Scholes. (Hull)

2. Cursul curent al unei acţiuni este St  100u.m. , volatilitatea sa este   20% , rata dobânzii fără risc pe piaţă este r  10% . Se emit opţiuni CALL şi PUT de tip european, cu scadenţa peste 6 luni şi care au un preţ de exercitare E  100 u.m. Determinaţi valuarea curentă a opţiunilor CALL şi PUT emise. (Hull)

3. Determinaţi valoarea unei opţiuni de tip european care dă dreptul la cumpărarea peste 9 luni a unui dolar canadian la preţul de 0,75 USD. Cursul spot este 1CAD = 0,75USD iar volatilitatea cursului de schimb CAD/USD este 4% pe an. Ratele de dobândă în procente pe an în Canada şi SUA sunt 9% şi respectiv 7%. (Hull) 4. Un activ are un curs de piaţă S0  100 u.m. Pentru acest activ se emit contracte futures cu scadenţa peste T  9 luni. Rata dobânzii pe piaţă este r  10%. Pentru contractele futures se emit opţiuni CALL şi PUT cu scadenţa tot peste 9 luni, preţul de exercitare fiind egal cu preţul la termen pentru ambele tipuri de opţiuni. Volatilitatea preţulu futures este   20%. Determinaţi prima opţiunilor emise. (Hull)

5. Un investitor dispune de o sumă de bani A cu care poate cumpăra exact 100 acţiuni

ale firmei M&N. În cazul în care suma este depusă la bancă cu dobândă continuă, după 9 luni ea devine B . Cu suma A investitorul poate cumpăra exact 1000 opţiuni CALL cu scadenţa peste 9 luni, având preţul de exercitare E  0, 01 B şi având ca suport această acţiune. Să se calculeze volatilitatea  a acţiunii (volatilitatea implicită). (examen Inginerie fin. 2003)

6. a) Să se stabilească relaţia de paritate PUT-CALL ştiind că la momentul T1  T pentru acţiunea suport se plăteşte dividendul D1 . Aplicaţie: S0  K  40; T  6 luni; T1  2 luni; D1  3; r  10%; C  4,8 . Să se calculeze P . b) O opţiune PUT şi una CALL au ca suport acţiunea XYZ, pentru care se cunoaşte: S0  40 , T  6 luni ; r  10% . Preţul de exerciţiu pentru ambele opţiuni este K . Să se determine intervalul în care se află K , ştiind că P  C . (examen Inginerie fin. 2000)

25

VI. Ecuaţia Black-Merton-Scholes şi Modelul Black-Scholes

7. Au fost emise opţiuni CALL şi PUT de tip european, având aceeşi acţiune suport şi

aceeaşi scadenţă. Ştiind că ambele tipuri de opţiuni au aceeaşi primă, să se precizeze care dintre afirmaţiile de mai jos este corectă:

a) volatilitatea acţiunii suport este foarte mare; b) preţul de exerciţiu este mai mare decât preţul acţiunii; c) opţiunile sunt „at the money”, respectiv preţul de exrciţiu este egal cu preţul acţiunii; d) volatilitatea acţiunii suport este foarte mică; e) preţul de exerciţiu este mai mic decât preţul acţiunii. (examen licenţă 2001)

8. Se consideră o opţiune CALL de tip european pe francul elveţian cu scadenţa peste 6 luni şi cu preţul de exerciţiu E  6 . Cursul actual este S  6 iar volatilitatea cursului de schimb este   15% . Se ştie că prima opţiunii CALL este C  0,357 , indicatorul NABLA este –0,5736 iar probabilitatea N (d1 )  0, 649 . Determinaţi rata dobânzii în Elveţia: a) 7,42%; b) 12%; c) 4,96%; d) 9%; e) 6,12%. (examen licenţă 2003)

9. Pentru o opţiune PUT şi o opţiune CALL se plăteşte în total 14,32 um. Opţiunile au

acelaşi activ suport, preţ de exercitare egal cu E  82 um şi scadenţa peste 6 luni. Activul suport are un curs egal cu S  80 um şi volatilitatea   32% . Se ştie că rata dobânzii este r  10% . Costul opţiunii CALL ( C ), respectiv al opţiunii PUT ( P ) este: a) C  9,56 şi P  4, 76; b) C  7, 20 şi P  7,12; c) C  10,12 şi P  4, 20; d) C  8,16 şi P  6,16; e) C  10,92 şi P  3, 40. (examen licenţă 2003)

10. Pentru o opţiune CALL şi una PUT cu acelaşi activ suport se ştie că:

S  100, E  115, r  20, 6%, iar durata până la scadenţă este T  1 an . Ştiind că prima CALL este C  14, 787021 , iar prima PUT este P  14, 208088 , rata dividendului este: a) q  5%; b) q  3%; c) q  4%; d) q  0%; e) q  6%. (examen licenţă 2006)

11. Deduceţi teorema de paritate put – call pentru cazul în care suportul în contractele pe opţiuni este: a) o valută; b) un contract futures;

(***)

12. Se cunosc caracteristicile unei opţiuni call de tip european, astfel: S  100 ; E  110 ;

T  t  6 luni ; r  10% şi prima CALL C  7,9263 . Aplicând relaţia de paritate put-call, să se calculeze prima put. (examen IDD 2007)

26

VI. Ecuaţia Black-Merton-Scholes şi Modelul Black-Scholes

13. Să se calculeze valoarea unui PUT european, cu preţul de exerciţiu 0,50 şi cu scadenţa peste 8 luni. Suportul este o valută al cărei curs de schimb curent este 0,47, volatilitatea 12%, rata fără risc internă este 8% iar rata fără risc externă este 4%. (Hull) 14. Se consideră un contract de cumpărare de franci elveţieni (CHF) încheiat în SUA.

cursul spot este S  0,52 USD/CHF, iar scadenţa T  4 luni . Volatilitatea cursului USD/CHF este   0,18 . Rata dobânzii în SUA este 5%, iar în Elveţia este de 7%. Preţul de exerciţiu este E  0,56 USD/CHF. Să se calculeze prima opţiunii CALL. (examen IDD 2005)

15. Un investitor are un portofoliu de opţiuni având următoarea structură: i. o opţiune CALL poziţie long cu preţul de exercitare E = 95 ; ii. o opţiune CALL, tot poziţie long cu preţul de exercitare E = 105 ; iii. 2 opţiuni CALL, poziţie short cu preţul de exercitare E = 100 ;

Acţiunea suport a acestor opţiuni prezintă următoarele caracteristici: S = 100; s = 30% , scadenţa opţiunilor este aceeaşi: T = 3 luni iar r = 10%. Se cere: a) Valoarea portofoliului, respectiv suma investită de investitor la momentul iniţial; b) Notândcu VT câştigul net al investitorului, care este funcţie de cursul acţiunii suport la scadenţă, respectiv VT = VT ( ST ) , să se completeze următorul tabel:

ST

90

95

96

98

100

102

104

105

110

115

VT ( ST )

(examen IDD 2006)

16. Se ştie că S = 78.000, E = 60.000, T = 5 ani, r = 12%, q = 4% . Pentru aceste date se

ştie că valoarea opţiunilor CALL e mai mare decât valoarea opţiunilor PUT cu 30.932,3 u.m. a) Să se calculeze diferenţa dintre C şi P pentru cazul în care T = 3 ani. b) Să se calculeze diferenţa dintre P şi C pentru cazul în care r = 8%.

(examen IDD 2005)

17. Explicaţi de ce raţionamentele aplicate pentru a deduce relaţia de paritate put – call pentru opţiuni europene nu pot fi aplicate în mod similar pentru opţiunile americane, pentru deducerea unei relaţii similare. (Hull) 18. Ecuaţia de dinamică a cursului unei acţiuni este dSt = mSt dt + s St dzt . Fie é ù æ s2 ö D(t , St ) = St ⋅ êê ln St + ççr + ÷÷÷⋅ (T - t )úú , unde r este data dobânzii. çè 2 ø÷ ëê ûú

27

VI. Ecuaţia Black-Merton-Scholes şi Modelul Black-Scholes i) Să se arate că D(t , St ) este preţul la momentul t al derivativului care la scadenţă ( T ) are un payoff f ( ST ) = ST ⋅ ln( ST ) ; ii) Utilizând lema lui Ito sa se determine ecuaţia de dinamică a lui D(t , St ) , precum şi volatilitatea acestuia. Să se arate că acest derivativ este mai riscant decât activul suport. (examen Inginerie fin. 2007)

19. Se presupune că 1 EUR = S USD, iar volatilitatea cursului de schimb S este  . Cele două rate ale dobânzii sunt rEUR şi rUSD . Să se determine relaţia dintre prima unei opţiuni CALL având ca activ suport EUR, scadenţa T , preţ de exerciţiu K şi prima 1 opţiunii PUT având ca activ suport USD, scadenţa T , preţ de exerciţiu . K (reexaminare Inginerie fin. 2010) 20. Să considerăm că piaţa este perfect descrisă de modelul Black-Scholes. Să se arate că S

-

2r s2

poate fi preţul unui activ financiar derivat. (examen Inginerie fin. 2007)

21. O opţiune call europeană cu suport o acţiune care nu distribuie dividende are scadenţa peste 3 luni. Preţul curent al acţiunii suport este egal cu preţul de exercitare actualizat cu rata dobânzii fără risc. În prezent preţul acţiunii este 15 euro iar analiştii au 2 estimat că Pr ob{S  e[ r (T t )  (T t )]  ST  S  e[ r (T t )] }  16%. Care este preţul curent al opţiunii? (examen Inginerie fin. 2008)

22. Să

considerăm o opţiune call europeană pe o acţiune ce nu distribuie dividende. Scadenţa opţiunii este 31 decembrie. Opţiunea este „la bani” (preţul curent al acţiunii este egal cu preţul de exercitare actualizat cu rata dobânzii fără risc). Ştiind că preţul acţiuniii este de 30 euro pe 30 iunie, rata dobânzii fără risc, anuală şi continuă, este de 5% şi că

probabilitatea ca

S  e t

 r  T  t   2 T t     

 r T  t  

 ST  St  e 

  8% , care este preţlunii pe 30

iunie? Considerăm căpiaţa este perfect descrisă de modelul Black-Scholes. (reexaminare Inginerie fin. 2012)

23. Să considerăm un put european pe o acţiune ce nu distribuie dividende. Preţul acţiunii ( S ) este egal cu 85€ la data curentă. Se cunosc următoarele date de piaţă: preţul de exercitare al opţiunii ( K ) este egal cu 90€; durata de viaţă a opţiunii este de 50 de zile; rata dobânzii fără risc anuală şi continuă ( r ) este de 5%. Probabilitatea ca opţiunea să fie executată la scadenţă este de 73,76%. 1o Determinaţi prima opţiunii put la data curentă utilizând modelul Black-Scholes. 2o Determinaţi cu ce probabilitate randamentul acţiunii cu media 0 şi varianţa 1 la scadenţa opţiunii este cuprins între -d 2 şi d 2 . În aceste condiţii, care este intervalul de încredere al preţului acţiunii, ST ?

28

VI. Ecuaţia Black-Merton-Scholes şi Modelul Black-Scholes 3o Determinaţi preţul opţiunii put la data curentă utilizând modelul Cox-Ross-Rubinstein cu 4 perioade. (examen Inginerie fin. 2009)

24. Preţul unei acţiuni St urmează, într-un univers neutru la risc, o mişcare browniană 2

æ Sö geometrică de forma: dSt = rSt dt + s St dBt . Fie X t = ççln t ÷÷÷ unde K > 0 este o çè K ø constantă. a) Poate fi X t preţul unui instrument financiar derivat la momentul t ? b) Poate fi X t o martingală? c) Poate fi X t payoff-ul unui instrument financiar derivat la scadenşa T ? (examen Inginerie fin. 2009)

25. Să considerăm că piaţa financiară este descrisă perfect de modelul Black-Scholes. Pe această piaţă există o acţiune ce nu distribuie dividende şi o opţiune Call europeană. E  ST2  Opţiunea este tranzacţionată cu un preţ de exercitare egal cu . Pe durata de viaţă a S opţiunii, randamentul acţiunii este zero. Probabilitatea ca preţul acţiunii la scadenţa opţiunii ( ST ) să fie mai mare decât media sa este de 48%. Ştiind că preţul curent al acţiunii ( S ) este de 35 €, durata de viaţă a opţiunii este de 3 luni, determinaţi preţul opţiunii Call europene. (examen Inginerie fin. 2010)

26. Preţul unei acţiuni St urmează o mişcare browniană geometrică de forma: dSt = m ⋅ St ⋅ dt + s ⋅ St ⋅ dWt , unde  şi  sunt constante iar Wt este o mişcare browniană standard. Fie Bt , preţul unei obligaţiuni de stat a cărui dinamică este descrisă de următoarea ecuaţie de dinamică stocastică: dBt = r ⋅ Bt ⋅ dt . Preţul unei opţiuni put de tip european ( Pt ) poate fi perfect replicat prin intermediul următorului portofoliu de active financiare: Pt = a ⋅ St + b ⋅ Bt . Determinaţi valoarea parametrilor  şi  astfel încât preţul Pt să fie perfect determinat în cadrul modelului Black-Scholes. (reexaminare Inginerie fin. 2010)

27. Pentru acţiunea H & S se cunosc următoarele elemente: S0  50;   15%;   30%. a. Să se calculeze intervalul maxim în care se poate afla cursul după 6 luni cu o probabilitate de 99%. b. Ştiind că r  10% , să se calculeze preţul unei opţiuni CALL având preţul de exerciţiu egal cu capătul din stânga al intervalului de la punctul a, precum şi preţul unei opţiuni PUT având preţul de exerciţiu egal cu capătul din dreapta al intervalului de la punctul a. Pentru ambele opţiuni T  6 luni . (examen Inginerie fin. 2003)

29

VI. Ecuaţia Black-Merton-Scholes şi Modelul Black-Scholes

28. i) Cursul de schimb dintre două valute urmează o mişcare browniană geometrică. Se

ştie că E Q  ST   St şi Pr Q  ST  St   46% , unde St şi ST reprezintă valorile cursului de schimb curent, şi, respectiv, peste trei luni, iar Q reprezintă o măsură de probabilitate neutră la risc. Determinaţi volatilitatea cursului de schimb. ii) Cursul de schimb dintre două valute urmează o distribuţie binomială. Se ştie că F  t , T   St şi Pr Q  ST  St   20% , unde F  t , T  reprezintă preţul forward al unui contract având ca suport cursul de schimb şi scadenţa peste 3 luni. St şi ST reprezintă cursul spot şi, respectiv, cursul peste 3 luni, iar Q este o măsură de probabilitate neutră la risc. Determinaţi volatilitatea cursului de schimb folosind modelul binomial cu 2 perioade. (examen Inginerie fin. 2012)

29. Se consideră o acţiune ex-dividend care în prezent costă 30 şi are volatilitatea   20% . Pe această acţiune există un contract futures cu scadenţa peste 8 luni, iar pe

contractul futures există o opţiune put de tip european cu scadenţa peste 4 luni şi preţul de exercitare 30. Pe piaţă rata dobânzii fără risc este 10%. Determinaţi prima opţiuniii put: a) Utilizând modelul Black. b) Utilizând modelul Cox-Ross-Rubinstein cu 4 perioade. (examen Inginerie fin. 2012)

30. Rentabilitatea unui activ financiar urmează următorul proces Ito: 1   n  1  n2  dSt  n  St  dt  St n  dZ t  , St  2 

unde Z t este proces Wiener fundamental. Să se arate că preţul acestui activ financiar la n

1   momentul t este S t   Z t  S 0n  .  

(Howison)

31. Formula V ( S , t ) 10  e r (T t )  N (d 2 ) oferă preţul unei opţiuni europene cu scadenţa 2 S  ln  t   (r  )  (T  t ) 40 2 T , unde d 2    . Care este payoff-ul (valoarea) opţiunii la   (T  t ) scadenţa T şi în ce condiţii posesorul opţiunii primeşte banii? (examen DOFIN 2006)

32. Un broker doreşte să vândă un nou tip de opţiune pe un anumit indice şi pretinde că este cea mai sigură investiţie de pe piaţă. Brokerul chiar oferă formula de calcul a preţului opţiunii:

30

VI. Ecuaţia Black-Merton-Scholes şi Modelul Black-Scholes

V ( S , t ) S  e



(T  t ) 2 2

 X  e r (T t ) ,

unde S este preţul acţiunii, T  t este perioada până la scadenţă, r este rata dobânzii. Poate fi preţul de mai sus preţul unei opţiuni? (examen DOFIN 2006)

33. Fie c  S , t  şi p  S , t  valorile opţiunilor call şi put de tip european, cu acelaşi preţ de exerciţiu şi aceeaşi maturitate. Să se arate că c  p satisface ecuaţia Black-Scholes, cu  r T t condiţia finală c  p  S  K , la momentul t  T . Să se deducă, astfel, că S  Ke   este o soluţie a ecuaţiei Black-Scholes şi să se interpreteze rezultatele. (Howison)

31

VII. Indicatori de senzitivitate, hedging static şi volatilitatea implicită

VII. Indicatori de senzitivitate, hedging static şi volatilitatea implicită 1. O acţiune are în prezent un curs de piaţă S0  180 , volatilitatea estimată este de

  32% iar rata dobânzii fără risc pe piaţă este r  9,5% . Se emit opţiuni CALL şi PUT

având ca suport această acţiune, preţul de exercitare E  190 şi scadenţa peste 9 luni. Determinaţi: a. Prima opţiunilor put şi call la momentul curent. b. Pentru cele două opţiuni să se determine indicatorii de senzitivitate:  (Delta);  (Gamma);  (Nabla); şi  (Vega). c. Determinaţi noua valoare a opţiunii call dacă valoarea acţiunii suport devine S1  181. d. Determinaţi noua valoare a opţiunii put în situaţia în care valoarea acţiunii suport devine S 2  177. e. Ştiind că un investitor are un portofoliu format din N1  2.500 opţiuni call, poziţie long şi N 2  3.200 opţiuni put, poziţie short, să se calculeze suma investită, precum şi indicatorii  (Delta);  (Gamma);  (Nabla); şi  (Vega)

ai portofoliului. f. Cu cât se modifică valoarea acestui portofoliu dacă cursul acţiunii suport scade cu o unitate? g. Să se precizeze numărul de acţiuni care trebuie cumpărate sau vândute, astfel încât portofoliul să devină   neutral . h. Ce poziţii trebuie să ia acest investitor pe cele două opţiuni existente pe piaţă şi pe activul suport a.î. portofoliul său să devină    neutral . (***)

2. Pentru acţiunile firmei M&N se cunosc: S  87,   28%, q  0 iar rata dobânzii pe piaţă este r  10% . Pentru o opţiune de tip CALL cu suport acţiunea M&N şi scadenţa peste 9 luni se cunosc următorii indicatori de senzitivitate:   0,5199 ,   0, 016846 şi 1  9, 4486 . Determinaţi prima opţiunii CALL. (Examen Inginerie fin. 2002)

3. Calculaţi volatilitatea implicită pentru preţul futures ştiind că preţul pe piaţă al unei opţiuni PUT cu suport contractul futures este 20 u.m. Preţul curent al contractului futures este F  525 u.m. iar preţul de exercitare al opţiunii este E  525 u.m. Scadenţa opţiunii este peste 5 luni iar rata dobânzii pe piaţă este 6%. Obs. Volatilitatea implicită reprezintă acea valoare a volatilităţii care egalizează preţul opţiunii obţinut din model cu preţul opţiunii observabil pe piaţă. (Hull) 32

VII. Indicatori de senzitivitate, hedging static şi volatilitatea implicită

4. Determinaţi volatilitatea implicită pentru o acţiune al cărei curs prezent este

S0  500 , ştiind că preţul unei opţiuni CALL cu suport această acţiune, cu preţ de exercitare E  500 şi scadenţa peste 6 luni este 29,2514. r  10%. (Hull)

5. a) Să se calculeze prima opţiunilor put şi call având ca suport o acţiune. Se cunosc următoarele elemente: S  100; E  125; T  t  3 luni; r  10%;   25%. b) Pentru cele două opţiuni să se determine indicatorii de senzitivitate:  (Delta);  (Gamma);  (Nabla);  (Vega) şi  (Rho). c) Ştiind că un investitor are un portofoliu format din N1  3.500 opţiuni call, poziţie long şi N 2  1.200 opţiuni put, poziţie short, să se calculeze suma investită, precum şi indicatorii  (Delta);  (Gamma);  (Nabla);  (Vega) şi  (Rho)

ai portofoliului. d) Să se precizeze numărul de acţiuni care trebuie cumpărate sau vândute, astfel încât portofoliul să devină   neutral . (***)

6. Se consideră opţiunile A şi B de tip CALL, având aceleaşi active suport şi aceeaşi

scadenţă. Preţurile de exerciţiu sunt K A  103 şi K B  100 . Se notează cu  A şi respectiv  B raportul de acoperire (de hedging) corespunzător celor două opţiuni. Să se precizeze care dintre afirmaţiile de mai jos este adevărată:  K ; d)  A   B ; e) K A   A  K B   B .  A a)  A   B ; b)  A   B ; c) A KB B (examen licenţă 2001)

7. Care este valoarea unei opţiuni CALL at-the money cu scadenţa peste 6 luni ştiind că indicatorul DELTA este 0,6248, indicatorul NABLA este -0,489, iar cursul activului suport este 100? a) 10,34; b) 9,72; c) 10,5793; d) 12,4172; e) 13,58. (examen licenţă 2004) 8. Au fost emise mai multe tipuri de opţiuni de tip european, toate având aceeaşi acţiune suport. Cursul acţiunii suport este S  90 u.m. , iar riscul este   30% . Rata dobânzii este r  10% . Pentru portofoliul de opţiuni se cunosc următorii indicatori: DELTA = 0,634; GAMA = 0,02; THETA = -11,906; VEGA = 25,152. Valoarea portofoliului este: a) 12,48 u.m.; b) 1,09 u.m.; c) 10,9 u.m.; d) 1,248 u.m.; e) 1,845 u.m. (examen licenţă 2003) 9. Se cunoaşte că în cazul în care cursul activului suport este S  120 , preţul de

exerciţiu este E  110 , perioada până la scadenţă este T  9 luni , iar rata dobânzii fără

33

VII. Indicatori de senzitivitate, hedging static şi volatilitatea implicită risc este r  12% , prima CALL este C  28, 4696 , indicatorul DELTA este 0,7418, iar indicatorul VEGA este 33,5846. În cazul în care volatilitatea creşte de la 45% la 46%, prima CALL se va comporta astfel: a) creşte cu 0,7418; b) scade cu 0,7418; c) creşte cu 0,133272; d) scade cu 0,335846; e) creşte cu 0,335846. (examen licenţă 2006)

10. Valoarea unei opţiuni PUT este P  4,8253 um , cursul acţiunii suport este S  80 um , iar preţul de exerciţiu este E  85 um . Rata dobânzii este r  10% . Se ştie că în cazul în care preţul de exerciţiu ar creşte la E  86 um , valoarea opţiunii ar creşte cu 0,4175 um. Indicatorul DELTA al opţiunii este: a) -0,4175; b) -0,5825; c) 0,4563; d) 0,5825; e) -0,3833. (examen licenţă 2005)

11. Prima opţiunii CAL respectiv PUT pe cursul de schimb USD/GBP cu următoarele

caracteristici: S  E  1,8 USD / GBP şi T  6 luni este C  0, 0976 USD respectiv P  0, 0814 USD . Să se precizeze care din următoarele afirmaţii este corectă. a) rata dobânzii este mai mare în Anglia decât în SUA; b) indicatorul VEGA al opţiunii PUT este mai mare decât cel al opţiunii CALL; c) rata dobânzii este aceeaşi în Anglia şi în SUA; d) preţul spot al GBP faţă de USD este egal cu preţul forward; e) rata dobânzii este mai mare în SUA decât în Anglia. (examen licenţă 2005)

12. Cursul unui activ suport este 100 u.m. Un investitor a cumpărat un portofoliu de opţiuni pe acest activ suport, care este format din următoarele poziţii: i) LONG 100 opţiuni CALL cu prima 5,2954 u.m. şi indicatorul DELTA 0,6179; ii) LONG 100 opţiuni PUT cu prima 3,4007 u.m. şi indicatorul DELTA -0,3357. Pentru a forma un portofoliu DELTA neutru investitorul trebuie: a) să cumpere activ suport în valoare de 2822 u.m.; b) să vîndă activ suport în valoare de 200 u.m.; c) să cumpere activ suport în valoare de 869,6 u.m.; d) să vândă activ suport în valoare de 869,6 u.m.; e) să vândă activ suport în valoare de 2822 u.m. (examen licenţă 2007)

13. A fost emisă o opţiune CALL având preţul de exerciţiu actualizat egal cu preţul acţiunii suport. Actualizarea s-a făcut pe baza ratei dobânzii practicate pe piaţă. Se ştie că mărimea indicatorului de acoperire (hedging) este 0,52. Prima opţiunii CALL va reprezenta următorul procent din preţul acţiunii suport: a) 14%; b) 2%; c) 52%; d) 4%; e) 10%. (examen licenţă 2002)

14. Se ştie S = 87, r = 10%, q = 2%. O opţiune de tip CALL cu E = 84 şi scadenţa T = 9 luni are prima C = 13,4257 şi indicatorul C  0, 6748 . a) Să se determine mărimea opţiunii put cu acelaşi E şi aceeaşi scadenţă T. b) Să se determine p .

(examen IDD 2004) 34

VII. Indicatori de senzitivitate, hedging static şi volatilitatea implicită

15. Se consideră că S = 100, r = 9%,   25% . Fie o opţiune de tip CALL şi una PUT cu E = 97 şi scadenţa T = 6 luni. Un investitor are un portofoliu format din o poziţie long pe 300 opţiuni PUT şi o poziţie short pe 100 opţiuni CALL. a) Să se determine primele celor două opţiuni. b) Să se determine valoarea portofoliului. c) Cu cât se modifică valoarea portofoliului dacă S scade cu o unitate monetară? (examen IDD 2004)

16. Un investitor îşi formează un portofoliu constituit dintr-o opţiune CALL şi o opţiune PUT, ambele poziţie long. Activul suport, comun pentru ambele opţiuni are următoarele caracteristici: S  E  80;   25% . Pentru ambele opţiuni scadenţa este peste 6 luni. Rata dobânzii este r = 8% . Se cere: a) Costul portofoliului; b) Valoarea indicatorului DELTA al portofoliului; c) Să se stabilească intervalul în care trebuie să se afle cursul acţiunii la scadenţă, a.î. investitorul să aibă un profit net pozitiv. (examen IDD 2005) 17. Se consideră un contract de cumpărare de franci elveţieni încheiat în SUA. Cursul spot este de S  0,52 USD/CHF, iar scadenţa T  4 luni. Volatilitatea cursului USD/CHF este   0,18 . Rata dobânzii în SUA este 5%, iar în Elveţia este de 7%. Preţul de exerciţiu este E=0,56. Să se calculeze prima opţiunii CALL. (examen IDD 2005) 18. Au fost tranzacţionate opţiuni CALL şi opţiuni PUT. Ambele tipuri de opţiuni au

scadenţa peste 8 luni şi preţul de exerciţiu E  78 . Se ştie că volatilitatea activului suport este   25% iar r = 9% . Mărimea primelor este: C  6,83655; P  5, 29419 . Se cere: a) Valoarea cursului spot al acţiunii suport; b) Mărimea indicatorului DELTA pentru cele două tipuri de opţiuni. (examen IDD 2005)

19. Un investitor deţine un portofoliu format dintr-o poziţie long 100 opţiuni CALL cu preţul de exercitare 120 u.m. şi o poziţie short 100 opţiuni CALL cu preţul de exercitare 130 u.m. Opţiunile CALL au aceeaşi scadenţă T - t = 9 luni şi acelaşi activ suport ( S = 125, s = 15% ). Rata fără risc este r = 10% . Să se calculeze indicatorul D pentru acest portofoliu şi rezultatul investitorului, dacă preţul activului suport la scadenţă este 127 u.m. (examen IDD 2006)

20. Pentru o opţiune CALL se cunoaşte:

S = 90; E = 94; T = 9 luni; r = 9%; C = 13,3259; DC = 0,5958 . Se cere: a) Preţul opţiunii PUT corespunzătoare, precum şi D P ; b) Care ar fi fost preţul CALL şi preţul PUT dacă S = 89 . (examen IDD 2006)

35

VII. Indicatori de senzitivitate, hedging static şi volatilitatea implicită

21. Pentru două opţiuni call şi put de tip european cu acelaşi activ suport şi aceeaşi scadenţă se cunosc: prima call c  6,7099 ; prima put p  3,2010 ; delta put  p  0,3596 ; nabla call  c  0,5481 ; maturitatea T  9 luni . Rata de dobândă fără risc este r  10% , iar activul suport nu generează venit. Să se determine preţul curent al activului suport S  , precum şi preţul de exerciţiu al celor două opţiuni E  . (examen IDD 2006)

22. Un investitor are un portofoliu format din o opţiune Call poziţie long cu preţul de

exercitare E1  100 şi o opţiune Put poziţie long cu preţul de exercitare E2  90 , ambele de tip european, cu suport o acţiune cu preţul curent S0  95 şi volatilitatea   10% . Scadenţa opţiunilor este peste T  6 luni luni iar rata dobânzii fără risc este r  10% . a) Determinaţi valoarea acestui portofoliu la momentul curent t  0 . b) Reprezentaţi profilul rezultatului la scadenţă şi determinaţi intervalul în care trebuie să se afle cursul acţiunii suport astfel încât investitorul să obţină un profit strict pozitiv. Pe ce a mizat investitorul, pe creşterea sau scăderea volatilităţii cursului suport până la scadenţa T ? c) Cum se modifică costul acestui portofoliu când volatilitatea  a cursului suport scade? Explicaţi ţinând cont de rezultatul de la punctul b). (examen IDD 2010)

23. Se consideră că S = 100, r = 9%,   25% . Fie o opţiune de tip CALL şi una PUT cu E = 97 şi scadenţa T = 6 luni. Un investitor are un portofoliu format din o poziţie long pe 300 opţiuni PUT şi o poziţie short pe 100 opţiuni CALL. a) Să se determine primele celor două opţiuni. (1p) b) Să se determine valoarea portofoliului. (1p) c) Cu cât se modifică valoarea portofoliului dacă E scade cu o unitate monetară? (1p) (test seminar 2006)

24. Preţul unui contract futures este 19 USD, rata de dobândă fără risc (exprimată anual) este 12%, iar volatilitatea preţului futures (exprimată anual) este 20%. a. Să se calculeze valoarea unei opţiuni put de tip european, ce expiră peste 5 luni şi care are ca suport acest contract futures. Preţul de exerciţiu este 20 USD. b. Să se calculeze valoare opţiunii call emisă în aceleaşi condiţii ca opţiunea put de la punctul a). c. Să se calculeze noul preţ al opţiunii put de la punctul a), dacă preţul futures creşte cu 0,5 USD. d. Să se calculeze noul preţ al opţiunii call de la punctul b), dacă volatilitatea preţului futures scade cu 1 punct procentual.

(test seminar 2007)

25. Se consideră o opţiune CALL de tip european având ca activ suport o acţiune care nu plăteşze dividende pe durata de existenţă a opţiunii. Preţul acestei opţiuni CALL creşte

36

VII. Indicatori de senzitivitate, hedging static şi volatilitatea implicită dacă: a) scade cursul bursier al acţiunii suport; b) scade indicatorul BETA al activului suport; c) scade volatilitatea activului suport; d) scade rata dobânzii; e) scade preţul de exerciţiu. (admitere Masterat 2010)

26. Se consideră o opţiune CALL de tip european având ca activ suport o valută pentru

care rata dobânzii este rf  2% . În cazul în care atât cursul activului suport ( S ), cât şi preţul de exerciţiu ( E ) scad cu 3% să se precizeze care dintre următoarele afirmaţii este adevărată: a) prima opţiunii nu se modifică; b) prima opţiunii creşte cu 3%; c) prima opţiunii creşte cu 2%; d) prima opţiunii scade cu 3%; e) prima opţiunii scade cu 2%. (admitere Masterat 2010)

27. Fie cursul EURRON 3.6125. Ratele dobânzilor cu compunere continuă sunt r = 9.5% pentru lei şi r f = 4% pentru euro, iar volatilitatea cursului este de 20%. Se emit opţiuni europene pe cursul EURRON cu scadenţa de 3 luni la preţul de exercitare K = 3.6125. a. (1 pct) Să se calculeze prima call. b. (1 pct) Să se calculeze prima put. D 2D c. (1 pct) Să se calculeze indicatorii   şi   pentru call şi put. S S 2 d. (1 pct) Dacă cursul valutar creşte la 3.6500 să se calculeze prima call prin aproximare Taylor de ordinul I (  ) şi de ordinul II (    ). (test seminar 2008)

28. Se consideră că S = 100, r = 9%,   25% . Fie o opţiune de tip CALL şi una PUT cu E = 97 şi scadenţa T = 6 luni. Un investitor are un portofoliu format din o poziţie long pe 300 opţiuni PUT şi o poziţie short pe 100 opţiuni CALL. a) Să se determine valoarea portofoliului. b) Cu cât se modifică valoarea portofoliului dacă E scade cu o unitate monetară? (test seminar 2008)

29. Un activ suport are în prezenta valoarea S = 200. Rata dobânzii fără risc este r = 10% , iar volatilitatea activului suport este s = 30% . Un investitor are un portofoliu format din opţiuni pe acest activ suport: - long 1000 opţiuni A cu   0.6 ,   0.05 şi   0.4 - short 700 opţiuni B cu   0.2 ,   0.04 şi   0.6 D D 2D ,  şi   . unde   2 S S  a. (1.5 pct) Să se calculeze indicatorii , ,  pentru portofoliu, ştiind că valoarea D . portofoliului este în prezent de 8000, iar   t b. (0.5 pct) Să se formeze un portofoliu  neutru pornind de la portofoliul dat. c. (1 pct) Să se formeze un portofoliu ,  neutru pornind de la portofoliul dat. 37

VII. Indicatori de senzitivitate, hedging static şi volatilitatea implicită d. (1 pct) Să se formeze un portofoliu , , neutru pornind de la portofoliul dat. (test seminar 2008)

30. Se consideră un contract CALL de tip european pentru a cumpăra lire sterline. Se ştie că scadenţa contractului este T  6 luni , cursul spot este S  1,9803 USD/GBP, preţul de exerciţiu este E  2, 0114 , volatilitatea cursului este   25% , rata dobânzii este în SUA este 5,2% iar rata de dobândă în Anglia este 6,8%. a) Să se determine prima opţiunii CALL; b) Să se precizeze modificarea primei opţiunii CALL în cazul în care rata dobânzii în SUA creşte cu 1 p.p. iar în Anglia cu  2 p.p. (examen Inginerie fin. 2008)

31. Se consideră o opţiune PUT de tip european. În cazul în care atât activul suport S , cât şi preţul de exerciţiu E cresc cu 20% să se precizeze care dintre următoarele afirmaţii este adevărată: a) prima opţiunii nu se modifică; b) prima opţiunii creşte cu 9,54%; c) indicatorul DELTA crşte cu 9,54%; d) prima opţiunii scade cu 9,54%; e) indicatorul DELTA nu se modifică. (admitere DOFIN 2006)

32. Pentru o acţiune se cunosc următoarele date: S0 = 80, s = 35% . Rata dobânzii este r = 10% şi ea coincide cu media rentabilităţii acţiunii. a) Să se calculeze intervalul în care se poate afla cursul acţiunii după o perioadă de 6 luni cu o probabilitate de 95%. b) Un investitor îşi formează un portofoliu format dintr-o opţiune CALL cu preţul de exerciţiu EC = 80 şi o opţiune PUT cu preţul de exerciţiu EP = 80 , ambele cu suport această acţiune, scadenţa T = 6 luni , şi poziţie long. Să se precizeze costul investiţiei, indicatorul D al portofoliului, precum şi funcţia de payoff. c) Să se precizeze câştigul net al investitorului pentru cazul în care ST se află la unul din capetele intervalului calculat la punctul a). (examen Inginerie fin. 2002)

33. Pe piaţă există o opţiune CALL a cărei primă creşte cu 0,4 u.m. când preţul de exerciţiu scade cu 1 u.m si cu 0,5 u.m. cand preţul activului suport creşte cu 1 u.m. Pe piaţă a mai apărut o opţiune care plăteşte 10 u.m. dacă opţiunea CALL respectivă se exercită şi 0 în caz contrar. Un investitor evaluează această opţiune binară în prezent, într-un mediu neutru la risc la o valoare: a) de 5 u.m.; b) de 10 u.m.; c) de 4 u.m.; d) de 0,4 u.m.; e) incertă, dar nu mai mare de 10 u.m. (admitere Dofin 2005) 34. O firmă din Aliteria, în care moneda naţională este A, are de făcut peste 1 an plăţi în valoare totală de 7,9 milioane A. În acest scop ea va primi 1 milion USD şi 1 milion

38

VII. Indicatori de senzitivitate, hedging static şi volatilitatea implicită EUR. Cursurile de schimb, în prezent sunt: 4A=1USD şi 3,7A = 1 EUR. Volatilităţile cursului de schimb sunt: A/USD: s1 = 15% ; A/EUR: s2 = 20% ; EUR/USD: s3 = 10% . Ratele dobânzilor sunt: zona EURO: r2 = 8% ; SUA: r1 = 6% ; Aliteria: r3 = 10% . a) Să se prezinte o schemă de hedging utilizând opţiuni care să asigure cel puţin 7,9 milioane A şi care să aibă un cost cât mai redus. Se va preciza tipul de opţiuni utilizat, preţurile de exerciţiu, precum şi dacă s-au utilizat scheme de tip „cross”. b) Să se prezinte şi o schemă utilizând contracte forward.

(examen Inginerie fin. 2002)

35. Pentru o opţiune CALL se cunosc: D = T = 9 luni; m =

¶C ¶C = 0, 663872;  = = -0, 426465; ¶S ¶E

¶C = -59, 74848; C = 31, 047577 . Se cere mărimea lui S şi mărimea ¶q

lui E . (examen Inginerie fin. 2004)

36. Se consideră formula BLACK-SCHOLES pentru o opţiune CALL, activul suport având rata instantanee a dividendului egală cu q . Se notează cu h =

E . Să se calculeze S

¶C care măsoară senzitivitatea costului opţiunii CALL în raport cu h . Să se ¶h interpreteze economic formula dedusă. (examen Inginerie fin. 2002)

formula

37. Pentru o opţiune CALL de tip european având ca suport o acţiune se cunosc următorii indicatori de senzitivitate: 2

d - 1 1 1 D = N (d1 ) ;  = -e ⋅ N (d 2 ) ; G = ⋅ ⋅e 2 S s T - t 2p E C Se definesc suplimentar următorii indicatori: a = şi f (a ) = . S S i) Ştiind că a = 0,85 ; D = 0,81401 şi  = -0, 69349 . Să se calculeze f (a) . -r⋅(T -t )

¶f (a ) ¶ 2 f (a) şi . ¶a ¶a 2 ştiind că G = 0, 00789 şi S = 10 să se

ii) Să se calculeze expresiile pentru indicatorii de senzitivitate iii) Pentru cazul numeric de la punctul i,

calculeze

¶ 2 f (0,85) . ¶a 2

(examen Inginerie fin. 2007)

38. Se consideră un portofoliu  format dintr-o opţiune CALL, poziţie long şi o opţiune PUT, poziţie short. Ambele opţiuni au acelaşi activ suport, al cărui preţ de piaţă este S iar volatilitatea  , acelaşi preţ de exerciţiu E şi aceeaşi scadenţă T . Rata de dobândă pe piaţa monetară este r . Se cere:

39

VII. Indicatori de senzitivitate, hedging static şi volatilitatea implicită     0. (a) Să se arate că sunt îndeplinite relaţiile: r  T şi T r  (b) În ipoteza că valoarea portofoliului  este egală cu zero, să se calculeze indicatorii c c Vega şi Rho ai opţiunii CALL: Vega  şi Rho  .  r (c) Aplicaţie. Pentru cazul de la punctul (b) să se calculeze valoarea opţiunii CALL, ştiind că S  120,   45% şi T  6 luni. (examen Inginerie fin. 2009)

39. Cursul unui activ suport este 100 u.m. Un straddle pe acest activ suport cu scadenţa peste 9 luni şi cu preţul de exercitare egal cu preţul forward la 9 luni valorează 11,5 u.m. Calculaţi indicatorul DELTA al acestui straddle. (admitere DOFIN 2006) 40. Preţul unei acţiuni este egal cu preţul de exercitare actualizat al unei opţiuni call de tip european care are ca suport acţiunea respectivă. Determinaţi prima acestei opţiuni în funcţie de cursul acţiunii suport şi de raportul de hedging (indicatorul delta). (examen licenţă 2003)

41. Un investitor emite 100.000 opţiuni call cu preţul de exerciţiu E  82 şi preţul

c  8,5183 , în condiţiile: S  82 ;   30% ; T  0,5 şi r  8% . Presupunem că acest investitor îşi gestionează portofoliul dinamic, iar pentru simplificare ca îşi revizuieşte portofoliul lunar. Să se reprezinte strategia investitorului şi să se compare rezultatul său în urma operaţiunilor de hedging cu cel în lipsa operaţiunilor de hedging, ştiind că preţul S al activului suport a evoluat conform cu următorul tabel: Luna 0 1 2 3 4 5 6

T 0,5 0,4167 0,3333 0,25 0,1667 0,0833 0

P 82 83,6 83 84,9 87,4 90,1 94

(***)

40

VIII. Operaţiuni de hedging utilizând opţiuni PUT-Protective

VIII. Operaţiuni de hedging utilizând opţiuni PUT-Protective 1. Un investitor dispune de o sumă W0  10 mil. u.m. pe care doreşte să o investească pentru o perioadă T  2 ani într-un portofoliu diversificat conţinând obligaţiuni zero cupon în sumă de B u.m. şi portofolii protective – put în valoare de W0  B a.î. la scadenţă valoarea portofoliului său să fie cel puţin egală cu valoarea AT  11,5 mil. u.m. Rata dobânzii fără risc pe piaţă este r  10% iar acţiunile din portofoliile protective – put au un curs S0  1000 u.m. şi o volatilitate   15%. a) Determinaţi costul de cumpărare al unui portofoli protective – put ( PP0 ) şi numărul de portofolii cumpărate. b) Valoarea la scadenţă a investiţiei, dacă valoarea acţiunilor la scadenţă este de 1200 u.m. (Examen Inginerie fin. 2004)

2. Un investitor doreşte să investească A = 1 milion u.m. în acţiuni având următoarele

caracteristici: S0=76,   16% ,   28% pe o perioadă de T = 9 luni. Pentru fiecare acţiune cumpără o opţiune PUT cu preţul de exerciţiu E, formând un număr de portofolii protective put. Fie V(E) nivelul minim, cert al acestei investiţii după 9 luni. Rata dobânzii este r= 10%. Să se deducă o condiţie de maxim pentru V(E) şi să se precizeze dacă punctul de maxim e atins. (Examen Inginerie fin. 2004)

3. Un investitor deţine un portofoliu format din 100 acţiuni X şi 100 acţiuni Y ce au

cursurile curente X 0  4 u.m. şi Y0  5 u.m. iar volatilităţile  X   Y  15% . Pentru conservarea valoarii portofoliului pe un orizont de 1 an (astfel încât valoarea portofoliului să fie cel puţin la nivelul celei curente), investitorul cumpără 100 opţiuni put cu suport acţiunea X şi 100 opţiuni put cu suport acţiunea Y, cu scadenţele peste 1 an. Determinaţi preţurile de exercitare ale acestor opţiuni astfel încât costul lor (şi deci al protecţiei) să fie minim. Investitorul se putea proteja utilizând contracte forward? Comentaţi diferenţele dintre cele două tipuri de protecţie prin prisma valorii finale a portofoliului. (Test seminar 2007)

4. Un investitor deţine un portofoliu de 400 mil. USD la fel de diversificat ca S&P500. Valoarea lui S&P500 este 1350. Volatilitatea portofoliului este   28% , iar rata dividendului q  4% . Aceleaşi caracteristici are şi S&P500. Rata dobânzii este r  10% . Investitorul doreşte să se asigure că valoarea portofoliului nu va scade în următoarele 6 luni cu mai mult de 5% din valoarea sa. În acest scop cumpără opţiuni PUT care să-l protejeze. a) Să se calculeze costul asigurării cu opţiuni PUT. b) Folosind paritatea PUT-CALL, să se prezinte schema care asigură protecţia prin cumpărarea de opţiuni CALL.

41

VIII. Operaţiuni de hedging utilizând opţiuni PUT-Protective c) În cazul în care investitorul decide să-şi asigure protecţia investind o parte din valoarea portofoliului în obligaţiuni, care este poziţia sa iniţială? (examen Inginerie fin. 2001)

5. Rata dobânzii este de r = 12% . Un investitor dispune de 15.000.000 um şi îşi propune ca peste 2 ani capitalul său să fie de cel puţin 16.912.452 um. Suma de care dispune poate fi investită fie în unităţi de portofoliu diversificat, fie depusă în conturi bancare. Valoarea unei unităţi de portofoliu este 2.500 um iar riscul său este s = 14% . Să se calculeze suma ce va fi depusă în conturi bancare, precum şi numărul de unităţi de portofoliu diversificat ce vor fi achiziţionate de investitor astfel încât să-şi asigure scopul propus. (examen Inginerie fin. 2002)

6. Un investitor dispune de suma W = 5.000 u.m. Rata dobănzii este r = 9%. Investitorul îşi elaborează un plan de investiţii astfel încât după 3 ani el să dispună de o sumă de cel puţin A3 = 5.722,6839 u.m. În acest scop el va investi o parte din sumă în obligaţiuni, iar o parte în portofolii diversificate având preţul unitar   10 u.m. şi riscul s = 15% . Pentru fiecare unitate de portofoliu investitorul cumpără câte un PUT protectiv. Să se precizeze mărimea sumei investite în obligaţiuni şi numărul de opţiuni PUT cumpărate. (examen Inginerie fin. 2004)

7. Un investitor deţine un portofoliu în valoare de P = 1.000.000 u.m. format 50% din acţiuni ABC şi 50% din acţiuni XYZ. Cursul acţiunii ABC este S1 = S = 100 u.m. , iar volatilitatea acesteia este s1 = s = 20% . Cursul acţiunii XYZ este S 2 = S = 100 u.m. , iar volatilitatea acesteia este s2 = s = 20% . Cursurile celor două acţiuni nu sunt corelate. Rata dobânzii este r = 10% . Investitorul doreşte să utilizeze o strategie cu opţiuni astfel încât după 1 an să nu piardă mai mult de 5% din valoarea portofoliului. Pentru aceasta are la dispoziţie două variante: Varianta A: să apeleze la o bancă pe piaţa OTC pentru a-i oferi o opţiune care să aibă ca activ suport portofoliul considerat. Specialiştii băncii ajung la concluzia că ecuaţia de dinamică a portofoliului investitoului este d t = mP t dt + s P t dzt , unde mP , s P reprezintă rentabilitatea aşteptată, respectiv volatilitatea portofoliului; Varianta B: să utilizeze opţiuni tranzacţionate la bursă care au activ suport acţiunea ABC, respectiv acţiunea XYZ. i) Să se determine costul operaţiunii în cazul în care se utilizează varianta A; ii) Să se arate că întotdeauna varianta A este mai avantajoasă pentru investitor decât varianta B. (examen Inginerie fin. 2007)

8. Cursul spot EURUSD este 1,42, iar volatilitatea acestuia este   15% . Cele două rate de dobândă sunt rEUR  1% şi rUSD  0,9% . Un exportator din SUA trebuie să primească, peste 3 luni, suma de 100.000 EUR. 42

VIII. Operaţiuni de hedging utilizând opţiuni PUT-Protective 1. Să se determine costul unei strategii de hedging de tip protective put care să îi asigure exportatorului, peste 3 luni, cel puţin 140.000 USD; 2. Utilizând eventual şi opţiunea call cu aceleaşi caracteristici, să se construiască o strategie de hedging cu cost zero care să îi asigure exportatorului, peste 3 luni, cel puţin 140.000 USD; 3. Să se determine cu cât se modifică valoarea portofoliului de la punctul 2 dacă cursul de schimb creşte cu 10 pips. Se consideră că indicatorul THETA al portofoliului este aproximativ egal cu zero. (examen Inginerie fin. 2009)

9. Cursul spot USDRON este 3,4116, iar volatilitatea acestuia este s = 25% . Cele două rate ale dobânzii sunt rUSD = 0,5% şi rRON = 6,5% . Un investitor din România a achiziţionat suma de 100.000 USD. i) Să se determine costul unei strategii de hedging de tip protective put care să îi asigure investitorului, peste 3 luni, cel puţin 335.000 RON; se cunoaşte faptul că indicatorul Gamma al opţiunii utilizate este 0,8853, iar indicatorul Vega este 0,6440; ii) Utilizând şi opţiunea call cu aceleaşi caracteristici, să se construiască o strategie de hedging cu cost zero care să îi asigure investitorului, peste 3 luni, cel puţibn 335.000 RON; iii) Să se determine cu cât se modifică valoarea portofoliului de la punctul ii) dacă, peste o lună, cursul de schimb creşte cu 150 pips iar volatilitatea creşte cu 1pp. (examen Inginerie fin. 2010)

10. Un exportator din România trebuie să primească, peste 6 luni, suma de 100.000 EUR şi să facă plăţi interne în RON. Cursul spot EURRON este 4,27 iar volatilitatea acestuia este   15% . Cele două rate ale dobânzii sunt rEUR  1,9% şi rRON  6% . (i) Realizaţi o strategie de hedging utilizând opţiuni put (fiecare cu suport un euro) care să îi asigure exportatorului, peste 6 luni, cel puţin 425.000 RON. Determinaţi preţul de exercitare al opţiunii şi apoi costul acoperirii. (ii) Utilizând opţiuni call cu aceleaşi caracteristici, să se construiască o strategie de hedging cu cost zero. Ce valoare în RON îi asigură exportatorului, peste 6 luni, această variantă? Este aceasta o strategie de tip arbitraj? Explicaţi. (iii) Ce aşteptări legate de evoluţia viitoare a cursului are acest exportator ţinând cont că preferă prima variantă de acoperire? Unde trebuie să se situeze cursul la scadenţă astfel încât prima variantă de acoperire să genereze la scadenţă o sumă mai mare decât cea de a doua variantă? (examen Inginerie fin. 2011) 11. Un importator din România va trebui să facă plăţi externe, peste 3 luni, în valoare de 100.000 USD. Cursul spot USDRON este 3,4 iar volatilitatea acestuia este estimată la   15% . Cele două rate ale dobânzii sunt rUSD  2% şi rRON  5% . Pe bursă, preţul de exercitare al opţiunilor cu suport un USD şi scadenţa la 3 luni este de 3,45 RON. Pentru a se acoperi la riscul unei evoluţii nefavorabile a cursului de schimb, importatorul poate achiziţiona opţiuni de pe piaţa bursieră, suportând costul dintr-un împrumut la rata fără risc internă. 43

VIII. Operaţiuni de hedging utilizând opţiuni PUT-Protective a) Specificaţi tipul opţiunilor achiziţionate şi determinaţi costul acoperirii. De ce sumă în RON va avea nevoie acest importator la scadenţă pentru a-şi acoperi obligaţiile de plată? b) Utilizând contracte forward, să se construiască o strategie de hedging cu cost zero. Specificaţi de ce sumă în RON are nevoie importatorul, peste 3 luni, pentru a-şi asigura cei 100.000 USD. c) Firma poate apela şi la piaţa OTC unde poate utiliza opţiuni cu suport întregul pachet de 100.000 USD la preţul de exercitare de 3,42 RON/USD. Calculaţi costul acoperirii în această situaţie.

Care dintre cele trei variante aţi recomanda-o firmei? Argumentaţi. (examen Inginerie fin. 2012)

12. Preţul acţiunii companiei X este azi 40$. De asemenea Su  60$ iar Sd  30$ , fiecare cu probabilitate 0,5 iar e r T  1, 25 . Un broker oferă o opţiune europeană PUT cu scadenţa T şi preţ de exercitare 45$. a) Cât este indicatorul  pentru această opţiune. b) Care este preţul opţiunii? c) Un broker vinde 100.000 de astfel de opţiuni şi primeşte cu 10 cenţi peste preţul determinat la punctul b. El doreşte să se protejeze prin hedging. Câte acţiuni trebuie să vândă sau să cumpere şi care va fi profitul la final? (examen DOFIN 2006)

13. Un investitor emite 100.000 de opţiuni call cu următoarele caracteristici:

S = E = 80 ; s = 30% ; r = 10% ; q = 0 şi T = 6 luni . Pentru a face o operaţiune de hedging static, el cumpără 100.000 acţiuni, utilizând bani împrumutaţi.

a) Să se precizeze profitul net maxim ce se poate obţine prin această schemă de hedging. Să se precizeze în ce condiţii operatorul este perfect acoperit. b) Să se calculeze, cu o probabilitate de 99% pierderea maximă pe care poate să o aibă operatorul. (examen Inginerie fin. 2002)

44

IX. Evaluarea firmei utilizând modelul Black – Scholes (Modelul Merton pentru riscul de credit)

IX. Evaluarea firmei utilizând modelul Black – Scholes (Modelul Merton pentru riscul de credit) 1. a) Valoarea activelor unei firme este A0, iar volatilitatea  A . Firma are luat un împrumut sub formă de bond zero cupon cu valoarea nominală F şi scadenţa T. Să se determine volatilitatea datoriei, a acţiunilor firmei şi coeficientul de corelaţie între acţiuni şi debit. b) A0 = 110.000, F = 90.000,  A  78% , T = 6 ani, r = 12%. Să se calculeze  D ,  E şi  DE , precum şi prima de risc aplicată creditului. c) Determinaţi valoarea medie de recuperare a creditului în caz de faliment. Care este probabilitatea de nerambursare a creditului? d) Presupunem că FS  60.000, FJ  30.000 (datoria firmei este formată dintr-un credit senior şi unul junior). Să se calculeze prima aplicată creditului senior, creditului junior, precum şi prima medie corespunzătoare întregului credit. e) Să se deducă pentru cazul general (A0 , FS , FJ,  A , r şi T se dau) formula de calcul a volatilităţii debitului junior  DJ . Aplicaţie: să se calculeze volatilitatea creditului junior de la punctul d). f) Să se demonstreze pentru cazul general că valoarea medie a primei plătite precum şi valoarea capitalului propriu, în cazul unui credit junior FJ şi a unui credit senior FS, nu FJ depind de structura creditului, respectiv de raportul . FS (Examen Inginerie fin. 2004)

2. Valoarea activelor unei firme este 100.000 u.m. iar volatilitatea acestora este  A  65% . Firma a beneficiat de un credit luat sub forma unei obligaţiuni zero cupon cu

valoarea nominală 80.000 u.m. şi scadenţa peste 6 ani. Rata dobânzii pe piaţă este r = 10% . Determinaţi: a) Valoarea iniţială a datoriei firmei şi volatilităţile datoriei respectiv acţiunilor firmei. b) La sfârşitul anului 3, firma decide să-şi refinanţeze creditul, în situaţia în care activele sale în acest moment valorau 125.000 u.m. Calculaţi ce primă de risc va fi aplicată firmei de către noii creditori. (Examen Inginerie fin. 2005)

3. Valoarea de piaţă a activelor unei firme este A  89.000 , ea având un credit

(obligaţiune 0-cupon) cu valoarea nominală F  70.000, T  5 ani,   60%, r  12%. a) Să se calculeze valoarea debitului D0 , precum şi prima de risc aplicată.

45

IX. Evaluarea firmei utilizând modelul Black – Scholes (Modelul Merton pentru riscul de credit)

b) Să se calculeze următorii indicatori de senzitivitate:

D0 D0 D0 D0 ; ; ; , A F  A T

menţionându-se monotonia funcţiei D0  D0 ( A, F ,  A , T ). (Examen Inginerie fin. 2005)

4. Valoarea activelor unei firme este A  2000 iar volatilitatea   45% . Rata dobânzii

pe piaţă este r  10% . O bancă acordă unei firme două credite, primul senior, iar al doilea junior, sub formă de obligaţiuni zero-cupon cu scadenţa T  5 ani .Valorile nominale sunt FS  1000 şi FJ  500 . Se ştie că la momentul iniţial au fost emise două tipuri de opţiuni pentru cumpărarea activelor firmei. Primul tip de opţiuni are preţul de exercitare E  1000 şi prima C  1452 iar al doilea tip are preţul de exercitare egal cu E  1500 şi prima C  1246 . Prima de risc aplicată pentru creditul junior este: a) 4,31%; b) 8,85%; c) 2,81%; d) 7,73%; e) 10%. (examen licenţă 2003)

5. O firmă a luat un credit sub formă de obligaţiuni zero-cupon în valoare de 4.500 um

şi scadenţa peste T  4 ani . Volatilitatea firmei este   32% , iar rata dobânzii este r  10% . Se ştie că valoarea de piaţă a firmei este A  6.000 , iar valoarea acţiunilor este C  3.173,59 um. Prima de risc aplicată la acordarea creditului este: a) 2,53%; b) 1,12%; c) 0,84 %; d) 2,04%; e) 1,62%. (examen licenţă 2003)

6. Valoarea activelor unei firme este A=80.000, iar volatilitatea acestora este s A = 65% . Rata dobânzii pe piaţă este r = 10% . Firma a luat un credit sub formă de bligaţiune zero-cupon cu valoarea nominală F = 15.000 şi scadenţa T = 5 ani . a) Să se determine mărimea capitalului firmei; b) Să se determine valoarea creditului şi prima de risc aplicată de creditor; c) Să se determine riscul creditului.

(examen IDD 2004)

7. Valoarea activelor unei firme este A0  500.000 , iar volatilitatea este  A  85% . Valoarea nominală a creditului este F  300.000 , cu scadenţa T  15 ani . Rata dobânzii este r  5% . Să se calculeze: a) Valoarea D0 a creditului; b) Valoarea E0 a capitalului propriu; c) Prima de risc  percepută de creditor; d) Volatilitatea  D  0  debitului în momentul iniţial.

(examen IDD 2007) 46

IX. Evaluarea firmei utilizând modelul Black – Scholes (Modelul Merton pentru riscul de credit)

8. Valoarea activelor unei firme este A=120.000, iar volatilitatea acestora este s A = 45% . Firma a luat un credit sub formă de bligaţiune zero-cupon cu valoarea nominală F = 90.000 şi scadenţa T = 12 ani . Rata dobânzii pe piaţă este r = 7% . a) Să se calculeze prima de risc aplicată la credit de către bancă; b) Să se calculeze primele de risc pentru cazul în care firma ar fi luat două credite, respctiv unul senior şi unul junior, fiecare având valoarea nominală de 45.000 . c) Se presupune că firma poate lua două credite, respectiv unul senior şi unul junior, F având valorile nominale FS şi FJ , cu FS + FJ = 90.000 . Se notează cu x = S , se FJ notează cu D0 S şi D0 J valorile celor două credite şi cu D0 = D0 S + D0 J = D0 ( x) . Să se

calculeze D0' ( x) (derivata lui D0 ( x) în raport cu x ). (examen Inginerie fin. 2007)

9. Valoarea de piaţă a activelor unei firme este A0  150.000 iar volatilitatea acestora  A  50% . Firma a luat un credit sub formă de obligaţiune zero-cupon având valoarea nominală F  84.000 şi durata până la scadenţă de 5 ani. Ştiind că rata de dobândă fără risc este r  10% , să se determine: a) valoarea iniţială a debitului D0 ; b) prima de risc aplicată de către creditor; c) să se precizeze creşterea lui D0 ( D0 ), dacă F creşte cu F . (examen Inginerie fin. 2008)

10. Valoarea de piaţă a unei firme, At este: At  Dt  Et , notaţiile fiind cele cunoscute. Firma a negociat cu o bancă două împrumuturi, sub formă de obligaţiuni zero-cupon, ambele avînd scadenţa peste 54 de luni. Primul, având valoarea nominală de FS  800 este un credit senior (principal), iar cel de-al doilea având valoarea nominală de FJ  500 este un credit junior (subordonat). După obţinerea creditelor, valoarea de piaţă a firmei a devenit A0  1500 iar riscul  A  50% . Se ştie că r  9% . Să se stabilească cu câte procente a scăzut cursul acţiunilor firmei, ştiind că firma are pe piaţă un număr de 100 de acţiuni, iar cursul era înainte de obţinerea creditelor egal cu 10. Să se stabilească rata dobânzii (rentabilitatea la scadenţă) cu care a fost acordat fiecare din cele două credite, prima de risc, precum şi riscul  D j a creditului senior. (examen Inginerie fin. 2000)

11. Valoarea activelor unei firme este de 80.000, iar volatilitatea lor este de 33%. Firma contractează un credit sub formă de obligaţiuni zero-cupon. Suma ce trebuie rambursată la scadenţă este de 65.000. Scadenţa creditului este peste 4,5 ani. Rata dobânzii fără risc este de 11%. 47

IX. Evaluarea firmei utilizând modelul Black – Scholes (Modelul Merton pentru riscul de credit) a) Determinaţi valoarea creditului la data iniţială şi valoarea capitalurilor proprii. b) Determinaţi primele de risc de faliment. c) Determinaţi riscul creditului. d) Să presupunem că investitorul îşi imunizează poziţia de creditor. Determinaţi media de recuperare a creditului în caz de faliment. Care este probabilitatea de nerambursare a creditului? (examen Inginerie fin. 2006)

12. Valoarea activelor unei firme este A0  10.000 , iar volatilitatea este s A = 42% . Firma a luat un credit, sub formă de obligaţiune zero-cupon având valoarea nominală F  8000 şi T  10 ani . Rata dobânzii fără risc este 10%. a) Să se calculeze valoarea acţiunilor, valoarea şi volatilitatea debitului, precum şi prima de risc aplicată de băncă; b) Să se recalculeze indicatorii de la punctul a pentru cazul în care firma acordă dividende cu q  2% . (examen Inginerie fin. 2003)

13. Valoarea activului unei firme este A = 10.000 , iar volatilitatea acestora este s = 50% . Firma a luat un credit având valoarea nominală F = 7.500 şi scadenţa T = 15 ani . Rata dobânzii este r = 10% . Firma a emis 1.000 de acţiuni.

i) Să se calculeze valoarea capitalului propriu, cursul bursier al unei acţiuni, valoarea şi volatilitatea creditului, precum şi prima de risc aplicată de băncă; ii) Să se detrmine câte acţiuni ale firmei trebuie să cumpere sau să vândă banca astfel încât valoarea expunerii băncii faţă de firmă să nu se modifice atunci când activul firmei se modifică cu o unitate. (examen Inginerie fin. 2007)

14. Valoarea activelor unei firme este A0  25.000 iar volatilitatea este  A  67% . Valoarea nominală a creditului este F  18.000 fiind sub forma unei obligaţiuni zero cupon, cu scadenţa T  5 ani , iar r  9% . Capitalul propriu al firmei este compus dintrun număr de 1.000 acţiuni. a) Să se calculeze valoarea unei acţiuni, valoarea creditului, prima de risc percepută de creditor şi volatilitatea datoriilor. b) Se ştie că după un număr de 2 ani, valoarea unei acţiuni a firmei a crescut de 2 ori. Să se calculeze valoarea creditului în anul t = 2. (test seminar 2006)

48

IX. Evaluarea firmei utilizând modelul Black – Scholes (Modelul Merton pentru riscul de credit)

15. Pentru o firmă se ştie că valoarea activelor este A=20.000,  A  45% . Firma a luat

un credit sub formă de obligaţiuni zero-cupon cu F  16.000 , T  8 ani . Se ştie că r  9% .

a) Să se calculeze valoarea activelor, volatilitatea şi valoarea debitului, precum şi prima de risc percepută de creditor; b) Să se precizeze care ar fi fost prima de risc în cazul în care volatilitatea firmei ar fi fost  A  50% , toate celelalte elemente fiind neschimbate. (examen Inginerie fin. 2003)

16. Valoarea activelor unei firme este A = 1200 , iar volatilitatea 30%. Rata dobânzii

este r = 9% . O bancă acordă firmei un credit, sub formă de obligaţiune zero-cupon, având valoarea nominală F = 800 şi scadenţa T = 3 ani. a) Să se calculeze valoarea iniţială a debitului D0 , precum şi prima de risc aplicată.

b) După un an banca constată că activele firmei au crescut numai cu 5%, iar riscul a crescut la 32%. În acelaşi timp, rata dobânzii a crescut la 10%. În aceste condiţii banca hotărăşte să vândă creditul, iar suma obţinută o investeşte integral pentru timpul rămas într-o obligaţiune zero-cupon emisă de o firmă a cărei valoare a activelor este A = 1000. În acest mod, la scadenţă banca va încasa o sumă cu 6,25% mai mare decât dacă ar fi păstrat prima obligaţiune. Să se calculeze: i) Riscul celei de a doua firme; ii) Prima de risc aplicată acesteia. (examen Inginerie fin. 2002)

17. Valoarea de piaţă At a unei firme este At  Dt  Et , D0 este valoarea actuală a unei obligaţiuni zero-cupon, având valoarea nominală F  1200 şi scadenţa peste 42 de luni. E0  600 reprezintă valoarea actuală a tuturor acţiunilor emise de firmă. Se cunoaşte că  A  55% , iar r  10% . Să se calculeze valoarea de emisiune D0 a obligaţiunii, rentabilitatea la scadenţă, prima de risc, precum şi riscul  D al obligaţiunii. (examen Inginerie fin. 2000)

18. Valoarea activelor unei firme este la momentul t = 0 egală cu A0 = 10000 . Rata dobânzii este r = 10% . Firma a luat un credit sub forma unei obligaţiuni zero-cupon cu valoarea nominală F = 6000 şi scadenţa peste 66 luni. Prima de risc aplicată creditului a fost de p = 3, 007% . Se cere: a) volatilitatea activelor firmei, s A ; b) volatilitatea creditului, s D ; (examen Inginerie fin. 2006)

19. Valoarea de piaţă a activelor unei firme este A  120.000. Firma are un credit sub forma unei obligaţiuni 0-cupon cu F  80.000, T  5ani. Se ştie  A  55%, r  12%.

49

IX. Evaluarea firmei utilizând modelul Black – Scholes (Modelul Merton pentru riscul de credit) Capitalul propriu este sub formă de acţiuni fiind emise pe piaţă un număr de 1.000 acţiuni. a) Să se specifice valoarea de piaţă a unei acţiuni precum şi prima de risc aplicată creditului. b) Să se deducă formula care dă volatilitatea debitului şi să se calculeze volatilitatea pentru firma considerată. c) Se ştie că A3  150.000. Firma doreşte să-şi stingă creditul contractat. Ce sumă trebuie să returneze băncii? (examen Inginerie fin. 2005)

20. Valoarea activelor unei firme este A  10.000 , iar volatilitatea acestora este

  40% . Firma a emis o obligaţiune zero cupon cu valoarea nominală F  7.500 şi scadenţă T  15 ani. Rata dobânzii fără risc este r  10% . De asemenea, firma are emise 1.000 de acţiuni. 1. Să se calculeze valoarea capitalului propriu, cursul bursier al unei acţiuni, precum şi valoarea, volatilitatea şi spread-ul obligaţiunii; 2. Cum se poate proteja cumpărătorul obligaţiunii astfel încât valoarea portofoliului pe care îl construieşte să nu se modifice atunci când activul firmei variază cu o unitate; 3. Să se determine volatilitatea capitalului propriu. Care este relaţia dintre volatilitatea activelor, volatilitatea capitalului şi volatilitatea obligaţiunii? (examen Inginerie fin. 2009)

21. Pe piaţa de capital s-au emis două obligaţiuni zero-cupon: una de către o firmă şi una fără risc, de către stat. Valoarea prezentă a obligaţiunii emise de stat este 5.000 u.m. Obligaţiunea corporatistă are aceeaşi scadenţă şi aceeaşi valoare nominală ca şi cea emisă de stat. Activele firmei sunt egale cu valoarea prezentă a obligaţiunii emise de stat (adică 5.000 u.m.) iar volatilitatea anuală a activelor firmei este 42%. Evaluaţi riscul împrumutului contractat de firmă prin emisiunea obligaţiunii zero-cupon. (examen Inginerie fin. 2009)

22. Valoarea de piaţă a unei firme este A0  1.600 iar datoriile sale către creditori de 819,62. Firma a negociat cu o bancă două împrumuturi pentru refinanţarea acestor datorii, sub formă de obligaţiuni zero-cupon, ambele având scadenţa peste 60 de luni. Primul, având valoarea nominală FS  1.100 este un credit senior (principal), iar cel de-al doilea având valoarea nominală FJ  910 este un credit junior (subordonat). După obţinerea creditelor, valoarea de piaţă a firmei a devenit At  1.650 iar riscul  A  51% . Se ştie că r  9% . a) Să se stabilească cu câte procente s-a modificat cursul acţiunilor firmei, ştiind că firma are pe piaţă un număr de 100 de acţiuni. b) Să se stabilească rata dobânzii (rentabilitatea la scadenţă) cu care a fost acordat fiecare din cele două credite şi prima de risc medie a împrumutului.

50

IX. Evaluarea firmei utilizând modelul Black – Scholes (Modelul Merton pentru riscul de credit) c) Care este probabilitatea ca banca să nu recupereze integral valoarea nominală a creditului junior? (examen Inginerie fin. 2010)

23. Se consideră 2010 firme cu caracteristici financiare identice. Valoarea activelor fiecărei firme este A  10.000 u.m., iar volatilitatea acestora este   47% . Activele firmelor nu sunt corelate. Fiecare firmă a emis F  7.500 obligaţiuni zero cupon cu valoarea nominală 1 u.m. şi scadenţă T  10 ani . Rata dobânzii fără risc este r  5% . De asemenea, fiecare firmă are emise 10.000 de acţiuni. Un investitor a cumpărat câte o unitate din fiecare din cele 2010 obligaţiuni. i) Să se calculeze (pentru fiecare firmă) cursul bursier, precum şi valoarea, volatilitatea şi spread-ul obligaţiunii; ii) Să se determine volatilitatea portofoliului investitorului; iii) Cum se poate proteja investitorul astfel încât valoarea portofoliului să nu fie influenţată de modificarea valorii activelor firmelor? (examen Inginerie fin. 2010) 24. Se consideră două firme cu caracteristici financiare identice. Valoarea activelor fiecărei firme este A=20.000 u.m. iar volatilitatea acestora este   45% . Activele firmelor nu sunt corelate. Fiecare firmă a emis F=15.000 obligaţiuni zero cupon cu valoarea nominală egală cu 1 u.m. şi scadadenţa T  10 ani. Rata dobânzii fără risc este r  3% . De asemenea, fiecare firmă are emise 10.000 acţiuni. Un investitor a cumpărat câte o unitate din fiecare din cele 2 obligaţiuni. a) Să se calculeze (pentru fiecare firmă) cursul bursier; b) Să se calculeze (pentru fiecare firmă) valoarea, volatilitatea şi spread-ul obligaţiunii; c) Cum se poate proteja investitorul astfel încât valoarea portofoliului să nu fie influenţată de modificarea activelor firmei? (examen Inginerie fin. 2011) 25. Valoarea activelor unei firme este A  10.000 , iar volatilitatea şi rentabilitatea medie

anuală a acestora este  A  35% şi respectiv  A  15% . Firma a emis n1  1.000 obligaţiuni zero cupon fiecare cu valoarea nominală 8,1 şi scadenţă T  10 ani. Rata dobânzii fără risc este r  10% . De asemenea, firma are emise n2  2.000 de acţiuni care formează capitalurile sale proprii. a) Calculaţi valoarea prezentă a unei obligaţiuni şi a unei acţiuni emise de firmă.

b) Arătaţi că acţiunile emise de firmă sunt mai riscante decât obligaţiunile sale însă, rentabilitatea medie anuală aşteptată este mai mare în cazul acţiunilor. Este preţul riscului de piaţă acelaşi pentru acţiunile cât şi pentru obligaţiunile firmei? c) Un investitor care deţine 10 obligaţiuni doreşte să se acopere la riscul de variaţie a valorii activelor firmei utilizând acţiuni emise de aceasta. Câte acţiuni trebuie să vândă sau să cumpere acest investitor?

51

IX. Evaluarea firmei utilizând modelul Black – Scholes (Modelul Merton pentru riscul de credit) Argumentaţi succint de ce acţiunile prezintă un risc mai mare decât obligaţiunile emise de firmă (în cadrul modelului Merton de evaluare a riscului de credit). (examen Inginerie fin. 2012)

26. Ecuaţia de dinamică care guvernează evoluţia activelor unei bănci comerciale este

dAt   At dt   At dzt . Valoarea activelor este A  10.000 um, iar volatilitatea acestora   20% . Această bancă a atras depozite în valoare de D  9.000 um şi scadenţă T  2 ani. Rata dobânzii fără risc este r  10% . Rata pasivă a dobânzii este egală cu rata dobânzii fără risc. Se consideră că există un fond de garantare al depozitelor care se angajează să restituie deponenţilor, la scadenţă, valoarea depozitelor in caz de faliment al băncii. i) Să se calculeze prima pe care trebuie să o plătească banca fondului de garantare; ii) Să se determine cu cât se modifică prima calculată la punctul anterior dacă valoarea activului băncii creşte cu 1 um. (examen Inginerie fin. 2012)

27. Valoarea activelor unei firme este 10.000 u.m., iar volatilitatea anuală este 45%. O bancă a acordat un împrumut acestei firme 6.547,21 u.m. sub forma unei obligaţiuni zerocupon. Obligaţiunea zero-cupon fără risc cu aceleaşi caracteristici valorează 10.000 u.m. Riscul împrumutului este: a) 25,5%; b) 22,5%; c) 15,5%; d) 17,48%; e) 21,82%. (admitere DOFIN 2006) 28. Singurul activ al firmei AM este un proiect de investiţii RD, a cărui valoare curentă este 100 mil. EUR. Valorile viitoare posibile ale proiectului RD sunt 120 mil. EUR şi 80 mil. EUR. Firma are o datorie cu valoare nominală 100 mil. EUR. Rata de dobândă fără risc curentă (pentru o perioadă) este 5%. Să se calculeze valorile curente pentru capitalul şi datoria firmei AM. (Ødegaard)

52

X. Evaluarea instrumentelor financiare derivate

X. Evaluarea instrumentelor financiare derivate

1. Să se evalueze un activ financiar derivat (contingent claim) al cărui payoff este: c, dacă Y (T )  c X (T )   unde Y (t ) 0, dacă Y (T )  c  ,  , c şi Y (0) sunt nişte constante.

este soluţia ecuaţiei:

dYt   dt   dBt

iar

(Examen Inginerie fin. 2007)

2. Se consideră procesele stocastice X (t ) şi Y (t ) ale căror ecuaţii de dinamică sunt: dX (t ) = a ⋅ X (t ) ⋅ dt - Y (t ) ⋅ dB(t ) dY (t ) = a ⋅ Y (t ) ⋅ dt + X (t ) ⋅ dB(t ) Se cere: a. Demonstraţi că procesul X 2 (t ) + Y 2 (t ) este determinist. b. Determinaţi procesul X (t ) şi calculaţi E[ X (t )] .

(Test seminar 2007)

3. Se consideră o acţiune care nu plăteşte dividende având ecuaţia de dinamică a cursului: dSt = mSt dt + s St dBt . Fie un derivativ al acestei acţiuni care are la scadenţa T un payoff egal cu ST2 ⋅ ST . Determinaţi preţul la momentul t < T al derivativului şi volatilitatea acestuia. (Examen Inginerie fin. 2008)

4. Se consideră o acţiune care nu distribuie dividende având ecuaţia de dinamică a cursului dSt = mSt dt + s St dBt . Fie un derivativ al acestei acţiuni care la scadenţa T are 2

un payoff egal cu [ln ST ] . a) Determinaţi preţul la momentul t < T al derivativului. b) Determinaţi volatilitatea acestuia.

(Examen Inginerie fin. 2008)

5. Fie o acţiune cu volatilitatea  şi cursul St . Rata dobânzii este r . Se consideră un derivativ care la scadenţa T are un payoff ( ST )  ST3 . Valoarea acestui derivativ la momentul t este: 2 2 2 a) St3 ; b) St3e[ (T t )] ; c) St3e[(2 r 3 )(T t )] ; d) St3e[(3r  4 )(T t )] ; e) St3e[(  r )(T t )] . Justificaţi. (test seminar 2008)

53

X. Evaluarea instrumentelor financiare derivate

6. Să se evalueze în condiţiile modelului Black-Scholes un derivativ care are payoff-ul: ïìST - K , dacă ST ³ K h ( ST ) = ïí , K cnst . ïïî0, dacă ST < K

Dacă numim această opţiune „CALL,” să se construiască opţiunea „PUT” corespunzătoare şi să se deducă relaţia de paritate. (Monoyios)

7. Ecuaţia de dinamică a cursului unei acţiuni este: dSt   St dt   St dBt . Se consideră : 5 2 2  r   (T t ) 9 

D(t , St )  St  3 St2  e 3

a) Să se arate că D(t , St ) este preţul la momentul t al unui derivativ care la scadenţa T

are un payoff egal cu ST  3 ST2 ; b) Utilizând lema lui Ito să se determine ecuaţia de dinamică a lui D(t , St ) , precum şi volatilitatea acestui derivativ. Să se arate că derivativul este mai riscant decât activul suport. (examen Inginerie fin. 2008)

8. Se consideră că ecuaţia de dinamică a cursului unei acţiuni este dS t  St dt  St dzt .







Fie Dt , S   S 3 exp 2r  3 2 T  t  , unde r este rata dobânzii fără risc.

1. Să se arate că Dt , S t  este preţul la momentul t al derivativului care la scadenţă (T) are un payoff egal cu ST3 . 2. Utilizând lema lui Ito să se determine ecuaţia de dinamică a lui Dt , St  ; 3. Să se determine rentabilitatea aşteptată şi volatilitatea derivativului. Este acest derivativ mai riscant decât activul suport? (examen Inginerie fin. 2009)

9. Utilizând metodologia Black-Scholes, să se evalueze o opţiune call asset-or-nothing de tip european pe o acţiune ce nu distribue dividende a cărei valoare la scadenţa T este: ìï0, dacă ST < K C (T ) = ï í ïïîST , dacă ST ³ K

unde ST este preţul acţiunii-suport la momentul T , iar K este preţul de exercitare. Preţul ST urmează o mişcare browniană geometrică. Deduceţi relaţia de paritate call-put pentru acest tip de opţiuni. (examen Inginerie fin. 2007)

54

X. Evaluarea instrumentelor financiare derivate

10. Cursul unei acţiuni are următoarea ecuaţie de dinamică: dSt = mSt dt + s St dzt . Un activ financiar are la momentul t o valoare de forma:  St   2   D  t , St   St   ln   r    (T  t )  2   S0   unde r reprezintă rata dobânzii fără risc ( r   ), S0 cursul activului suport la momentul emisiunii activului, iar T scadenţa acestuia. i) Arătaţi că D  t , St  poate fi preţul la momentul t al unui instrument financiar derivat care are drept activ suport acţiunea considerată. Care este payoff-ul acestui derivativ? ii) Utilizând lema lui Ito să se determine ecuaţia de dinamică pentru D  t , St  . Arătaţi că acest derivativ este mai riscant decât activul suport însă, rentabilitatea medie anuală aşteptată este mai mare decât cea a activului suport. iii) Un investitor are o poziţie LONG pe activul financiar D. Pe aceeaşi piaţă mai există o opţiune CALL de tip european, având drept activ suport acţiunea considerată, al cărei preţ curent este 10 u.m. pentru care cunoaştem indicatorii de senzitivitate  C  0, 2 şi C  0, 01 . Derivativul Dt costă 15 u.m. iar activul suport St  100 u.m. Formaţi un portofoliu     neutru folosind activele disponibile. Cât valorează acest portofoliu? (examen Inginerie fin. 2012)

11. Se consideră o acţiune care nu distribuie dividende având ecuaţia de dinamică a cursului: dSt   St dt   St dBt . Fie un derivativ al acestei acţiuni care la scadenţa T are

un payoff egal cu ST  ST .

i) Determinaţi preţul la momentul t  T al derivativului. ii) Determinaţi volatilitatea acestuia. (reexaminare Inginerie fin. 2012)

12. Cursul unei acţiuni ex-dividend este caracterizat de următoarea ecuaţie de dinamică: dSt = m ⋅ St ⋅ dt + s ⋅ St ⋅ dBt . Un activ financiar are la momentul t o valoare de forma  St   2   D  t , St   St   ln   r    (T  t )  , unde r reprezintă rata dobânzii fără risc 2   S0   ( r   ), S0 cursul activului suport la momentul emisiunii activului, iar T scadenţa acestuia. a) Arătaţi că D  t , St  poate fi preţul la momentul t al unui instrument financiar derivat

care are drept activ suport acţiunea considerată. Care este payoff-ul acestui derivativ? b) Utilizând lema Ito să se determine ecuaţia de dinamică pentru Dt , St  . Arătaţi că acest derivativ este mai riscant decât activul suport însă, rentabilitatea medie anuală aşteptată este mai mare decât cea a activului suport. c) Calculaţi preţul riscului de piaţă pentru acest instrument financiar derivat şi arătaţi că este invariant.

55

X. Evaluarea instrumentelor financiare derivate (reexaminare Inginerie fin. 2012)

13. Considerăm un instrument financiar derivat ce plăteşte la scadenţă  ST  unde ST n

este valoarea activului suport la scadenţa T . Activul suport are o distribuţie lognormală:

dSt   St dt   St dB a.

 St 

Arătaţi n

e

că

valoarea

1  2  2 n( n 1)  r ( n 1)  (T t )  

instrumentului

financiar

la

momentul

t

este:

.

b. Să se determine valoarea unui instrument financiar derivat ce plăteşte la scadenţă 2  ST  1 .

(examen DOFIN 2006)

14. Să se evalueze preţul unui derivativ care are payoff-ul STn . Să se arate că expresia obţinută verifică ecuaţia Black-Scholes. (***)

15. Fie un activ suport ce verifică ecuaţia stocastică: dS   Sdt   SdBt . a) Folosind lema Ito, să se scrie ecuaţia stocastică verificată de ln ST .

b) Să se determine valoarea unei opţiuni ce plăteşte 1 dacă ST  E  ST  .

(examen DOFIN 2006)

16. Preţul

unei acţiuni St urmează o mişcare browniană geometrică: dSt   St dt   St dBt . Fie D(T ) payoff-ul unui activ financiar derivat definit de:  ST  2 S  ln  , daca ln T  c  S D(T )   S  0, daca ln ST  c  S

unde c este o constantă. Să se determine preţul curent D(t ) , t  T , al activului financiar derivat. (examen Inginerie fin. 2009)

17. Preţul petrolului la momentul t, notat cu X t , urmează procesul Ito: dX t  aX t   ln X t  dt   X t dBt

unde a,  şi  sunt nişte constante estimate pe baza unei analize empirice. i) Ştiind că preţul curent al petrolului X 0  H unde H este o constantă, determinaţi media şi varianţa preţului petrolului la maturitatea T  0 . ii) Determinaţi preţul unui derivativ pe petrol, D(0) , având următorul payoff la scadenţa T : 56

X. Evaluarea instrumentelor financiare derivate  M , dacă X T  K , unde M şi K sunt constante pozitive. D T    0, dacă X T  K (examen Inginerie fin. 2012)

18. Un fond de investiţii evaluează o acţiune în mediu neutru la risc, a cărei valoare prezentă este S0 =100 şi ajunge la concluzia că preţul acesteia urmează un proces Ito de forma: dSt  0,1St dt  0, 2St dBt . Fondul îşi fundamentează investiţia pornind de la

valoarea aşteptată peste T  1 an a acestei acţiuni: E  ST / S0  . Pentru a se acoperi

împotriva înregistrării unor valori ale cursului acestei acţiuni, la scadenţa T , sub valoarea aşteptată, fondul cumpără de pe piaţa OTC o opţiune care plăteşte valoarea E  ST / S0  dacă ST  E  ST / S0  . a) Cât costă în prezent o astfel de opţiune? b) Cât costă la un moment t   0; T  oarecare această opţiune? Aplicaţie numerică:

t  3 luni; St  105. (examen Inginerie fin. 2010)

19. Dinamica preţului unui activ financiar este descrisă de următoarea ecuaţie stocastică: dX t   X t dt   X t dBt , unde  şi  sunt constante şi X 0  X . Pe piaţă este tranzacţionat un activ derivat a cărui valoare la scadenţa T este definită de relaţia:  RX T 2 , dacă X T  c D T    0, dacă nu X unde R  ln  T  X

  , iar c este o constantă. Determinaţi preţul derivativului D  0  .  (examen Inginerie fin. 2010)

20. Preţul unui activ financiar este descris de următoarea ecuaţie de dinamică stocastică:

dX t   X t dt   X t dBt , unde  şi  sunt constante şi X 0  X . Pe piaţă este tranzacţionat un activ derivat a cărui valoare la scadenţa T este definită de relaţia: 1 2  R , dacă X T  c D T    2 T 0, dacă nu X unde RT  ln  T  X

  , iar c este o constantă. Determinaţi preţul derivativului D  0  .  (examen Inginerie fin. 2010)

21. Rentabilitatea unui activ financiar urmează următorul proces Ito: 57

X. Evaluarea instrumentelor financiare derivate 1   n  1  n2  dSt  n  St  dt  St n  dZ t  , St  2 

unde Z t este proces Wiener fundamental. Să se arate că preţul acestui activ financiar la n

1   momentul t este S t   Z t  S 0n  .  

(Howison)

22. O opţiune Asset-or-Nothing (AoN) de tip call este o opţiune neobişnuită care plăteşte la scadenţă payoff-ul:

 S , dacă ST  X ,   ST    T  0, dacă ST  X

în timp ce o opţiune Asset-or-Nothing (AoN) de tip put este o opţiune care plăteşte la scadenţă payoff-ul:  0, dacă ST  X ,   ST     ST , dacă ST  X

unde ST este preţul la scadenţă al activului suport, iar X este preţul de exercitare. a. Să se reprezinte grafic payoff-ul la scadenţă pentru opţiunile AoN de tip call, respectiv put. b. Să se deducă relaţia de paritate între o opţiune AoN de tip call şi opţiunea put corespunzătoare. c.

ci

Să se refacă punctele (a) şi (b) în cazul în care suma plătită la scadenţă nu este ST 1 . ST (Ødegaard)

23. Să se arate că dacă V  S , t  este soluţie e ecuaţie Black-Scholes, pentru B constant, U  S , t    S B  V  B2 S , t  2

Satisface U 1 2 2  2U U 1     S   r   2  1  2  S  1  2   r   2  U  0 . 2 t 2 S 2 S  

(Howison)

24. Să considerăm un derivativ care are la scadenţă payoff-ul ST2 . Rata dobânzii r este constantă.

58

X. Evaluarea instrumentelor financiare derivate a) Presupunem că activul suport evoluează după legea: dSt = mSt dt + s St dBt unde m şi s sunt constante. Să se arate că în aceste condiţii preţul acestui derivativ (preţul Black2 Scholes) este: DBS (t , St ) = St2 ⋅ e( r +s )⋅(T -t ) . Să se determine volatilitatea acestui derivativ. b) Presupunem că activul suport evoluează după modelul de tip Hull-White (model cu volatilitate stocastică): ì dSt = mSt dt + st St dBt ï ï , dWt ⋅ dBt = 0. í 2 2 ï ï îd st = sV st dWt Presupunem că densitatea de repartiţie a lui u este: ( u-a )2 ïìï 1 ï ⋅ e 2 , u ³ 0 h(u) = ïí1- N (-a) ïï ïïî0, u < 0 T

1 unde u = ⋅ ò sS2 ds . Să se determine în aceste condiţii preţul acestui derivativ (preţul T -t t Hull-White). (examen Şcoala doctorală 2007)

25. Să considerăm un model de evaluare a opţiunilor cu volatilitate stocastică caracterizat de următoarele procese stocastice neutre la risc urmate de preţul acţiuniisuport şi de varianţa sa: ìïdSt = rSt dt + st St dB1t ïí ïïd st2 = k (q - st2 )dt + dst dB2t t î unde r , k , q şi d sunt parametri constanţi, iar B1t şi B2t sunt două mişcări browniene standard corelate instantaneu. Faţă de ce variabile trebuie să fie condiţionată legea de distribuţie a randamentului acţiunii-suport pentru ca această lege de distribuţie să fie normală? Determinaţi speranţa matematică condiţionată şi varianţa condiţionată a randamentului acţiunii-suport pentru acest caz. (examen Şcoala doctorală 2006)

59

XI. Obligaţiuni zero-cupon – cazul stocastic. Preţul de piaţă al riscului

XI. Obligaţiuni zero-cupon – cazul stocastic. Preţul de piaţă al riscului 1. a) Ecuaţia de dinamică a ratei dobânzii este: dr   dt   dz . Să se deducă ecuaţia de dinamică care modelează preţul unei obligaţiuni zero-cupon. b) Să se verifice că preţul obligaţiunii zero-cupon este dat de următoarea formulă:

P(t , T )  e

1 1  r (T t )  (    )(T t )2   2 (T t )3 2 6

. Verificaţi că această formulă satisface

ecuaţia de dinamică. c) Să se calculeze pentru cazul considerat rentabilitatea la scadenţă şi preţul forward. d) Să se identifice preţul riscului de piaţă şi să se demonstreze că joacă rolul preţului riscului de piaţă.

(examen Inginerie fin. 2004) dS = mdt + s dz , precum şi S mulţimea de opţiuni de tip CALL: {C ( S , Ek ); k = 1, 2,..., p} având ca suport acţiunea A şi preţul de exerciţiu Ek . Formând un portofoliu de opţiuni fără risc, să se demonstreze că există un indicator g (t , S ) , invariant în raport cu Ek , care caracterizează fiecare opţiune a g (t , S ) + m ⋅ S preţul de piaţă al riscului, să se familiei descrise. Notând cu l (t , S ) = s⋅S exprime l în funcţie de m, r şi s . Să se formuleze interpretarea financiară a formulei deduse. (examen Inginerie fin. 2006)

2. Se consideră acţiunea A având ecuaţia de dinamică:

3. Un număr de trei derivative au ca sursă de risc aceeşi variabilă  . Se cunosc următoarele ecuaţii:

d



 mdt  sdz

dfi   idt   idz fi cu i = 1,2,3. Unde i   ( , t );  i  ( , t ). a) Să se deducă expresia pentru preţul riscului de piaţă al factorului  . b) Se ştie că

 1  14%,  1  20% . Să se calculeze mărimea ratei dobânzii r .  2  16%,  2  25% (examen Inginerie fin. 2004)

60

XI. Obligaţiuni zero-cupon – cazul stocastic. Preţul de piaţă al riscului

4. Se ştie că obligaţiunea zero-cupon are preţul P(t , T , r ) unde dr  h( g  r )dt   dz . Să se deducă ecuaţia de dinamică pentru P(t , T , r ) . (examen Inginerie fin. 2003)

5. Procesul stocastic pentru rata instantanee a dobânzii este descris de ecuaţia: dr   dt   dz (modelul Merton) a) Să se deducă formula fundamentală privind dinamica preţului unei obligaţiuni zerocupon (ecuaţia analoagă cu ecuaţia Black-Merton-Scholes). b) Să se arate că pentru acest model preţul la momentul t , al unei obligaţiuni cu valoare nominală 1 şi scadenţa la T , este: P (t , T )  e A(T t )  r ( t )B (T t ) , unde

1 1 2  2 3  A(T  t )    (      )  (T  t )     (T  t ) . 2 6   B(T  t )  T  t c) Să se calculeze rentabilitatea la scadenţă, R (t , T ) , în momentul t , precum şi rata forward instantanee f (t , T ) , în momentul t . (examen Inginerie fin. 2007)

6. Se consideră preţul unei obligaţiuni zero-cupon P(t , T , r ) unde rata dobânzii descrie următoarea ecuaţie de dinamică: dr  u (r , t )dt  w(r , t )dz a) Să se deducă ecuaţia de dinamică pentru P(t , T , r ) ; b) Pentru cazul modelului lui Merton: dr   dt   dz . Să se arate că:

P(t , T )  e

1 2 1  (T t )3  (    )(T t )2  r (T t ) 6 2

c) Pentru cazul modelului lui Merton să se calculeze rentabilitatea la scadenţă R(t , T ) şi rata forward instantanee f (t , T ) . (examen Inginerie fin. 2003)

7. Preţurile acţiunii şi ale obligaţiunii descriu dinamica: dS  t   S  t   dt  S  t  dW  t  ,  dB  t   rB  t  dt unde r ,  şi  sunt constante. a. Să se determine preţul de piaţă al riscului pentru un activ al cărui preţ a (ipotetic) este X  t   S  t  ; b. Să se determine  , astfel încât X  t  să fie preţul unui activ tranzacţionabil.

(Cairns)

61

XII. Evaluarea riscului de piaţă utilizând modelul Value at Risk

XII. Evaluarea riscului de piaţă utilizând modelul Value at Risk

1. Cursul acţiunii A la momentul curent este 100 u.m. iar cel al acţiunii C este 150 u.m. Cursul acţiunii A urmează un proces Ito de forma:

dA  0,1 dt  0, 2  dB1,t iar cel al A

dC  0, 2  dt  0,3  dB2,t . Coeficientul de corelaţie dintre C cursurile celor două acţiuni este  A,C  0, 2 . Considerăm că anul are 252 zile de

acţiunii C un proces de forma: tranzacţionare.

a) Determinaţi intervalul de variaţie a valorii unui portofoliu format din 100 acţiuni A pe un orizont de 15 zile, cu o probabilitate de 90%. Cât ar fi acelaşi interval de variaţie în cazul unui portofoliu format din 100 acţiuni C? b) Determinaţi Valoarea la Risc (VaR) pentru portofoliul format din 100 acţiuni A pe un orizont de 15 zile, cu o probabilitate de 90%. Cât ar fi mărimea VaR, cu aceeaşi parametri, în cazul portofoliului format din 100 acţiuni C? c) Determinaţi intervalul de variaţie a valorii unui portofoliu2 format din 100 acţiuni A şi 100 acţiuni C pe un orizont de 15 zile, cu o probabilitate de 90%. Determinaţi mărimea VaR pentru acelaşi portofoliu, pe un orizont de 15 zile, cu o probabilitate de 90%.

Comparaţi rezultatele de la punctele a şi b cu cel de la punctul c punând în evidenţă beneficiiile diversificării portofoliilor de acţiuni. (examen Inginerie fin. 2012)

2. Se consideră o poziţie constând într-o investiţie de 300.000$ în aur şi 500.000$ în argint. Volatilitatea zilnică a acestor active este 1,8% şi, respective, 1,2%, iarcoeficientul de corelaţie dintre rentabilităţile acestora este 0,6. Determinaţi VaR pentru acest portofoliu, la un orizont de 10 zile cu o probabilitate de 97,5%. Care este beneficiul diversificării în acest portofoliu? (Hull)

2

Presupunem că rentabilitatea acestuia este, de asemenea, distribuită normal.

Bibliografie

BIBLIOGRAFIE

[1] Altăr, Moisă: „Inginerie Financiară”, http://www.dofin.ase.ro/lectures.php

Bucureşti

2002,

adresa

web:

[2] Bjork, Thomas: „Arbitrage Theory in Continuous Time”, Oxford University Press, Stockholm, 1998. [3] Cairns, Andrew: “Derivative Pricing and Financial Modelling”, adresa web: http://www.ma.hw.ac.uk/~andrewc/msc/ [4] De Giorgi, Enrico: “Derivatives and Financial Engineering”; adresa web: http://www.people.lu.unisi.ch/degiorge/#publ [5] Howison, Sam: “Mathematics for financial http://www.maths.ox.ac.uk/~howison/o10/o10.html

derivatives”;

adresa

web:

[6] Hull, John (2012): “Options, futures and other derivatives”, 8th Ed., Prentice Hall, Upper Saddle River. [7] Lim, Andrew: “Topics in Financial Engineering and Stochastic Control IEOR298”; adresa web: http://www.ieor.berkeley.edu/~lim/298/298.html [8] Monoyios, Michael; homepage: http://people.maths.ox.ac.uk/~monoyios/ [9] Negrea, Bogdan: „Evaluarea activelor financiare: o introducere în teoria proceselor stocastice aplicate în finanţe”, Ed. Economică, Bucureşti, 2006; [10] Ødegaard, Bernt Arne; homepage: http://finance.bi.no/~bernt/ [11] Shreve, Steven: „Stochastic Calculus and Finance”, 1997; adresa web: http://www.stat.berkeley.edu/users/evans/shreve.pdf [12] Wilmott, P., S. Howison, J., Dewynne: “The Mathematics of Financial Derivatives”, Cambridge University Press, 1995.