Il Super Enalotto [PDF]

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FACOLTÀ DI SCIENZE STATISTICHE CORSO DI LAUREA IN SCIENZE STATISTICHE, DEMOGRAFICHE E SOCIALI

TESI DI LAUREA

il Relatore

Candidato

Chiar.mo Prof. Giorgio Dall’Aglio

Riccardo Lampariello

matricola 04031320

Anno Accademico 1998/99

27 ottobre 1999

Il Super Enalotto 27 Ottobre 1999

Riccardo Lampariello

I Descrizione del gioco.....................................................................................................................................2 II Vincita media per un singolo concorso.........................................................................................................3 III Estrazione combinazione vincente: sestine incomplete e assenza del numero jolly...................................4 IV L’estrazione dei numeri: probabilità esatte e probabilità approssimate......................................................5 V Probabilità di realizzare il 5+1 quando nessuno fa il 6.................................................................................7 VI Estrazioni difettose......................................................................................................................................8 VI.1 Il gioco dell’Enalotto ..........................................................................................................................8 VI.2 Numeri più frequenti............................................................................................................................9 VI.3 Ipotesi di distribuzione non uniforme.................................................................................................11 VII Vincitori attesi e vincitori osservati.........................................................................................................12 VII.1 Modelli di scelta................................................................................................................................15 VII.2 Modelli di scelta all’estero................................................................................................................15 VII.3 Combinazioni preferite......................................................................................................................16 VIII Conclusioni.............................................................................................................................................17 IX APPENDICI..............................................................................................................................................18 APPENDICE A : L’estrazione in blocco al Super Enalotto..........................................................................19 APPENDICE B: Distribuzione di probabilità...............................................................................................22 Distribuzione di probabilità.......................................................................................................................24 APPENDICE C: Adozione di una nuova distribuzione................................................................................31 Calcolo della probabilità di uscita di una sestina al Super Enalotto.....................................................31 Valutazione probabilistica per la nuova distribuzione...........................................................................34 APPENDICE D: il SUPER ENALOTTO e gli INTERNATIONAL LOTTO GAMES...............................36 The UK National Lottery...........................................................................................................................37 Resto d’Europa.........................................................................................................................................43 USA...........................................................................................................................................................44 gli “Internet Lotto games".........................................................................................................................49

Keywords: Jolly è il numero determinato dalla ruota di Venezia Combinazione estratta (o anche combinazione vincente) è l’insieme dei sette numeri selezionati dalle sette ruote del Lotto Sestina estratta è la combinazione estratta escluso il jolly Jackpot è l’insieme dei montepremi precedenti non riscossi Lotto games è il nome inglese generico per descrivere giochi simili al Super Enalotto

Introduzione Il contenuto di questo lavoro è tratto integralmente dalla tesi di Riccardo Lampariello ‘IL SUPER ENALOTTO’ presentata in data 27 ottobre del 1999 presso l’Università agli studi di Roma ‘La Sapienza’ nella Facoltà di Scienze Statistiche. L’argomento è riportato secondo due livelli di lettura. Un primo discorsivo che occupa interamente la parte principale del lavoro ed un secondo tecnico –riportato nelle appendici- che spiega in modo esaustivo quanto detto nella parte centrale.

I

Descrizione del gioco

Il gioco del Super Enalotto consiste nel pronosticare correttamente una combinazione di sei 6 numeri più uno detto jolly: in totale sette numeri estratti casualmente su 90. Viene premiato chi indovina l’intera sestina (6) o cinque numeri della sestina ed il jolly (5+1), o 5 o 4 o 3 numeri della sestina. E’ possibile solo

Scienze Statistiche (Roma – La Sapienza) Relatore: G. Dall’Aglio

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un tipo di giocata: una combinazione di sei numeri al costo fisso di 800 lire. Si partecipa contemporaneamente a tutte e cinque le categorie di vincita. Il Super Enalotto è un gioco diverso dal tradizionale Lotto, da cui però è strettamente dipendente, dove lo scommettitore stabilisce quanti numeri giocare, quanto scommettere e su quale punteggio (ambo, terno, ecc.). Il montepremi totale è spartito in modo uguale fra le cinque categorie di vincita e infine diviso fra i vincitori della stessa categoria. Se nessuno realizza il 6 e/o il 5+1, allora la quota della categoria non vinta è accantonata per il concorso successivo nel jackpot per la stessa categoria. Il montepremi della categoria viene accumulato con il montepremi della stessa categoria nel concorso successivo, e così fino al concorso nel quale è realizzata la vincita con punti 6 e/o con punti 5 più il numero complementare 1. Nel vasto scenario internazionale, il Super Enalotto si caratterizza per i seguenti punti: - la bassissima probabilità di realizzare almeno una vincita: 1 su 318 contro una media di 1 su 40. - la forte iniquità ovvero solo il 34.6% dell’incasso è riservato al montepremi. Ciò corrisponde alla vincita media del gioco. - la dipendenza da un altro gioco dato che il Super Enalotto non possiede una propria ruota per l’estrazione ma usufruisce dell’estrazione dalle ruote del gioco del Lotto. La vincita del singolo giocatore è ovviamente una variabile aleatoria. Questa dipende dal numero di giocatori partecipanti, in quanto formano il montepremi, dai vecchi partecipanti, in quanto formano i jackpot, e dal numero totale di vincitori, in quanto si dividono i premi. E’ quindi possibile classificare il Super Enalotto come un “Gioco con probabilità oggettiva con vincita aleatoria dipendente dalla partecipazione dei giocatori al concorso in atto e a quelli passati”.

II

Vincita media per un singolo concorso

La vincita media generale è fissa e corrisponde alla quota non trattenuta dal banco, vale a dire 0.346 lire per ogni lira giocata. La vincita media per un singolo concorso la calcoliamo invece come il rapporto fra il totale dei premi distribuiti e il totale scommesso in quel determinato concorso ed il suo valore non è costante. Questo varia poiché non sempre il totale dei premi viene distribuito ma in caso di non vincita riversato nel jackpot. Il sistema dei jackpot non è equo. Chi gioca regolarmente ma non lo fa in caso di accumuli dei jackpot perde dei diritti finanziari e comunque, chi si limita a giocare solamente in presenza di jackpot elevati guadagna dei diritti (vincita media più elevata) a discapito dei giocatori che, nei concorsi precedenti, hanno permesso il gonfiarsi dei premi. Più equo Fino all’estrazione del 29 settembre ’99 non esistevano limiti all’accumulo del jackpot. Successivamente è stata introdotta una regola restrittiva a tale accumulo che, però, ha effetto solo quando i jackpot del 6 e del 5+1 raggiungono la quota, rispettivamente, di 50 e 25 miliardi. Superati tali valori, in caso di mancata vincita, il montepremi della categoria n questione non è più accumulato per intero nel jackpot, bensì solo una sua parte: il 20%. Il rimanente è ridistribuito nelle categorie minori. Il “freno” al jackpot è presente anche in molti paesi all’estero con modalità diverse. 1

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sarebbe distribuire sempre il montepremi non riscosso fra i vincitori di altre categorie, ma ciò renderebbe il gioco meno attraente.

Teoricamente con l’accumulo del jackpot si potrebbe arrivare ad un gioco favorevole, ossia in cui la vincita media è superiore a 1, ma questo finora non è mai accaduto. La figura 1mette in luce l’andamento della vincita media nei primi mesi del 1999. Figura 1: trend del rapporto fra la quantità di premi distribuiti (jackpots compresi) e l’ammontare dell’incasso totale nei concorsi fra il 13/1/99 e 14/4/99

1,0 0,9 0,8 0,7 0,6 0,5 0,4 0,3 0,2 0,1 0,0

I valori massimi raggiunti non hanno mai superato l’unità. Se tale valore fosse uguale a 1, lo svantaggio dovuto al banco verrebbe annullato ed il gioco diverrebbe equo; se fosse superiore a 1 il gioco sarebbe addirittura favorevole per il giocatore e converrebbe partecipare. Un’ipotetica semplice strategia vincente consistere nel partecipare al gioco solo quando il rapporto fra il valore dei premi distribuiti e totale giocato è uguale o superiore ad 1. La difficoltà di siffatta strategia è di non sapere con assoluta certezza quando la vincita media del concorso supererà l’unità. Infatti quando i jackpot crescono, come conseguenza, aumenta l’attrattiva al gioco e quindi il volume delle scommesse e quando cresce il numero delle scommesse cresce anche l’ammontare trattenuto e quindi lo svantaggio. Lo scommettitore può quindi solamente stimare l’afflusso al gioco e dunque decidere se partecipare. Difatti, l’elevata quota trattenuta dal banco rende l’implementazione di questa strategia impraticabile per il Super Enalotto. Al contrario, esistono dei Lotto games stranieri e in particolare alcuni gestiti solo su Internet, dove per il montepremi è riservato oltre il 70% dell’intero incasso e ciò rende più frequenti le occasioni in cui il gioco sia equo se non “favorevole”.

III

Estrazione combinazione vincente: sestine incomplete e assenza del numero jolly

Il Super Enalotto genera la propria combinazione estratta dai risultati di sette ruote del Lotto: Bari, Firenze, Milano, Napoli, Palermo, Roma e Venezia. La ruota di Venezia individua il numero jolly.

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In ordine alfabetico ciascuna ruota apporta un numero alla combinazione estratta del Super Enalotto: in generale il primo estratto Se il primo estratto di una ruota coincide con uno dei numeri già selezionati dalle ruote in ordine alfabetico precedenti allora viene scelto il secondo in ordine d’estrazione; se la stessa situazione si presenta anche per il secondo uscito allora viene selezionato il terzo, e così via. Questa procedura si applica anche nei confronti del numero jolly che è quindi sempre diverso dagli elementi componenti la sestina estratta. Poiché ogni ruota dà luogo a soli cinque numeri mentre la combinazione estratta ne richiede sette non uguali, si può verificare che uno e/o due elementi della combinazione (il sesto e il settimo) non siano determinabili. Qualora non sia possibile selezionare un numero dalla ruota di Roma, la combinazione estratta è composta da soli cinque elementi; in questo caso la realizzazione del 6 è impossibile e quella dei punteggi minori più difficile. Il montepremi della I categoria viene automaticamente accumulato nel jackpot del concorso successivo. Qualora manchi il contributo della ruota di Venezia, la combinazione estratta sarebbe priva del numero jolly: in questo caso il 5+1 non sarebbe realizzabile. Le combinazioni estratte possibili sono di quattro tipi e la tabella sottostante mostra le probabilità di ognuna. Tab 1: Tipi di estrazione possibili e relative probabilità.

ca s i fa v o r e v o l i s u po s s i b i l i

evento

v a l o r e pr o b . t à

sestina completa e con jolly

0.999999841

1:

1,000000159

sestina incompleta e con jolly

2.27535·10-8

1:

43.949.269

sestina completa e senza jolly

1.36521·10-7

1:

7.324.878

sestina incompleta e senza jolly

5.17722·10-16

1:

1.931.538 miliardi

La probabilità che la combinazione estratta (6 numeri + jolly) non sia completa per mancanza del sesto elemento e/o del jolly è 0.46 ⋅10 −7 .

IV

L’estrazione dei numeri: probabilità esatte e probabilità approssimate

I Lotto games stranieri estraggono, da una stessa ruota, tutti i numeri per la combinazione vincente uno dopo l’altro senza ripetizione. Una procedura simile è per definizione un’estrazione in blocco e la sua distribuzione di probabilità è la distribuzione ipergeometrica. Segue quindi che la probabilità di realizzare

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un punteggio x in un Lotto game (indicata con px) quando si scelgono k numeri su un totale di N possibili è

k   N − k    ⋅   x   6 − x   uguale a p x = . N   6  Al contrario, l’estrazione del Super Enalotto avviene con il contributo di 7 ruote diverse; assomiglia all’estrazione in blocco ma ne differisce, come appena visto, in quanto si potrebbe non avere il sesto numero e/o il numero jolly. Siccome la probabilità che ciò accada è molto bassa, dal punto di vista numerico la distribuzione di probabilità del Super Enalotto coincide alla distribuzione ipergeometrica mentre dal punto di vista teorico sono ben diverse. Se dalla ruota di Roma fossero estratti almeno 6 numeri, si dimostra (vedi appendice B) che l’estrazione di sei numeri da sei ruote diverse equivale esattamente all’estrazione di 6 numeri da un’unica urna. Poiché la sestina estratta non è completa con probabilità 1, la vera distribuzione di probabilità del Super Enalotto non ha la distribuzione ipergeometrica benché se ne avvicini molto. Distingueremo quindi le probabilità esatte, che

sono

quelle proprie

del Super Enalotto,

dalle

probabilità approssimate che derivano

dall’approssimazione del gioco ad un'estrazione in blocco. La tabella 2 riporta i valori delle probabilità esatte (vedi appendice B per le formule) di ottenere un punteggio x con una sestina qualunque. I valori delle probabilità approssimate non sono riportati poiché coincidono con quelli esatti entro le cifre considerate. Le differenze numeriche fra i valori delle probabilità esatte e quelle approssimate per ogni punteggio hanno tutte valore negativo ad eccezione per il punteggio 0 che è più facile da ottenere nel caso esatto. Piuttosto sono mostrati i valori sia esatti sia approssimati dei rapporti fra casi favorevoli e possibili. Tabella 2: probabilità esatta di totalizzare un punteggio x con una sestina. Valori esatti e approssimati (all’estrazione in blocco) del rapporto fra casi favorevoli su casi possibili.

punti 6 5+1 5 4 3 2 1 0

probabilità

casi favorevoli su casi possibili

esatta 1,60613⋅ 10-9 9,63678⋅ 10-9 7,99853⋅ 10-7 8,39845⋅ 10-5 0,00306077 0,04648544 0,29750681 0,65286218

valori esatti 1: 1: 1: 1: 1: 1: 1: 1:

622.614.644,2 103.769.121,1 1.250.230,2 11.907,0 326,7 21,5 3,4 1,5

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valori approssimati 1: 1: 1: 1: 1: 1: 1: 1:

622.614.630,0 103.769.105,0 1.250.230,2 11.907,0 326,7 21,5 3,4 1,5

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La probabilità di vincere almeno un premio è una su 317.9.

V

Probabilità di realizzare il 5+1 quando nessuno fa il 6

All’indomani di una vincita di prima categoria e nessuna di seconda, il montepremi del 5+1 sarà più elevato di quello del 6 per effetto del meccanismo del jackpot. La presenza di due jackpots indipendenti porterebbe dunque ad un paradosso: chi realizza il 5+1 vince più di chi fa il 6. Per evitare ciò il regolamento prevede che in nessun caso la vincita di una determinata categoria possa essere minore di una vincita di una categoria più facile da pronosticare e stabilisce che i montepremi delle categorie in questione devono essere fusi e distribuiti fra il totale dei vincitori delle due categorie inferiore 2. Quindi se in un concorso il montepremi del 5+1 è maggiore di quello del 6, chi realizza il 5+1 deve auspicarsi che nessuno contemporaneamente faccia il 6 in quanto così potrebbe tenersi il suo montepremi più cospicuo. Questo caso è preso in considerazione qui di seguito. Infatti è possibile ottimizzare la scelta della propria sestina conoscendo le preferenze degli scommettitori. Utilizzando la terminologia adottata dal prof. Giorgio Letta (1997), definiamo una sestina come -vergine se alla chiusura del concorso non è stata giocata da nessuno -contigua ad una sestina se ha in comune con questa esattamente 5 elementi. Inoltre, definiamo i seguenti eventi R -

la combinazione estratta è formata da una sestina estratta completa

V -

la combinazione estratta possiede il numero jolly.

I simboli R e V sono notazioni mnemoniche: derivano da Roma e Venezia. Dipende, infatti, dalle ruote di Roma e Venezia la completezza della sestina estratta e la presenza del jolly. Sia S la nostra sestina giocata ed Hi una generica sestina vergine e contigua a S. Affinché S realizzi il 5+1 e Hi il 6 si devono verificare i seguenti due eventi: 1) Hi deve coincidere con la sestina estratta C e in tal caso nessuno realizzerà il 6 dato che Hi è vergine 2) il sesto elemento di S, non in comune con Hi (quindi con C), deve coincidere con il numero jolly al fine di realizzare il 5+1 con S.

2

Una situazione del genere, in effetti, capita spesso sebbene non per lo stesso concorso: cioè accade che il premio per un 5+1 in un

concorso può essere più cospicuo del premio per un 6 in un altro concorso.

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Il primo evento ha probabilità p6 (realizzare il 6 con una sestina qualsiasi) mentre il secondo ha probabilità

P( V | R ) ⋅

1 in quanto il sesto numero di S ha una possibilità su 84 di coincidere con il numero jolly, 84

condizionata all’uscita della sestina estratta completa. La probabilità, denotata con γ, che la sestina giocata S totalizzi 5+1 punti e una sestina vergine e contigua a S, cioè Hi, totalizzi 6 è γ = P(R) ⋅ P(V | R) ⋅

1 C90 , 6

⋅

1 . 84

La realizzazione del 5+1, con la sestina S, senza vincitori di I categoria è possibile anche in altri modi. Tutte le sestine che sono vergini e contemporaneamente contigue a S (cioè che permettono a S di realizzare il 5+1) sono favorevoli all’evento richiesto: ciascuna con la stessa probabilità γ. Se indichiamo con n il numero di queste sestine, la probabilità di “realizzare il 5+1 quando nessuno fa il 6” diventa nγ. Un ultimo caso favorevole è quando C non è completa: in nessun modo può essere realizzato il 6 ed è quindi sufficiente che S totalizzi 5+1 punti. In definitiva la probabilità cercata è data da n⋅ P(R) ⋅ P(V | R) ⋅

1 C90 , 6

⋅

1 1 + P( R ) ⋅ P(V | R ) ⋅ 84 C90 , 6

(1). Si noti che n non è un valore fisso ma variabile. Infatti le sestine estratte vergini e contigue a S possono essere nessuna oppure fino ad un massimo nmax. Per individuare nmax dobbiamo ritornare nell’ottica delle settine. Le settine utili alla realizzazione del 5+1 con S sono C6,5·84; se sono tutte vergini, allora nmax=504. Nel caso nmax=n il primo addendo della (1) è alla probabilità di realizzare il 5+1 quando C è completa. Al fine di massimizzare il valore di n, si deve quindi scegliere una sestina “impopolare”. Poiché ogni sestina ha la stessa probabilità d’uscita, scegliendo una sestina del tipo {61, 62, 63, 64, 65, 66} che è da molti considerata meno probabile, in caso di realizzazione del 5+1 si avrebbero maggiori possibilità di riscuotere l’intero jackpot senza che quest’ultimo venga fuso con quello del 6.

VI

Estrazioni difettose

VI.1

Il gioco dell’Enalotto

Il meccanismo di selezione di “pescaggio” del Lotto è difettoso e pertanto l’estrazione dei numeri non è esattamente casuale. In questo paragrafo mostreremo il perché. Analizziamo come avviene un’estrazione del Lotto per una qualsiasi ruota. La ruota è una gabbia metallica ellissoidale inclinata. I numeri sono stampati su fogli di carta e inseriti in palline metalliche. L’imbussolamento avviene in ordine crescente così che i numeri alti entrano per ultimo. Una persona gira la ruota con tutte le palline per tre volte in avanti e tre volte indietro, poi un bambino bendato ne preleva una che generalmente proviene da quelle che si trovano in superficie. La pallina viene

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subito identificata e messa da parte. Si effettuano ulteriori rotazioni e si preleva una nuova pallina e così fino ad avere 5 palline estratte. Il meccanismo incriminato è l’imbussolamento fatto in maniera ordinata . Il rimescolamento che precede la prima estrazione non è sufficiente. Accade quindi che le ultime palline inserite –quelle con il numero più alto- rimangono in superficie, ossia dove di solito il bambino bendato pesca. L’idea di analizzare le frequenze passate dei numeri del Lotto ci è stata suggerita da una diceria diffusa fra gli scommettitori del vecchio gioco dell’Enalotto3. I giocatori dell’Enalotto ritenevano, senza saperne spiegare il motivo, che il segno 2 appariva nella colonna vincente in media più volte del segno 1 e del segno x, e pertanto suggerivano di puntare soprattutto sul 2. Questa diceria ha dato il via, da parte nostra, ad un’investigazione rigorosa sui risultati passati dell’Enalotto. Il lasso di tempo considerato è compreso fra il primo gennaio 1988 e il 15 maggio 1999, per un totale di 708 estrazioni. Poiché il gioco dell’Enalotto è cessato prima di maggio ‘99, gli ultimi risultati sono ricavati appositamente per questo studio. Nell’analisi non sono presi in considerazione i secondi estratti dalle ruote di Roma e Napoli, che componevano la colonna vincente dell’Enalotto, in quanto l’ipotesi di un insufficiente rimescolamento riguarda principalmente i numeri che appaiono come primi estratti. Si ottiene che su un totale di 7080 segni, 32.8% sono segni 1, 31.4% segni x e 35.7% segni 2. Il test del Chi-quadro, che verifica l’ipotesi nulla di distribuzione uniforme, effettuato sui tre segni è altamente significativo con un livello di fiducia α pari a 4.98⋅ 10-5.

p 2 − ˆp 2 È stato eseguito anche un test sulla proporzione del segno 2. Il test usato è

p2 =

p 2 ⋅ ( 1 − p 2 ) dove n

1 2325 , ˆp 2 = e n=7080. α risulta pari a 7.97⋅ 10-6. 3 7080

Per il vecchio Enalotto dunque era effettivamente consigliabile giocare sul 2 come gli appassionati scommettitori del gioco suggerivano. VI.2 Numeri più frequenti Si osservi ora la distribuzione degli estratti ripartiti in nove decine 1-10, 11-20, …, 81-90. La frequenza dei primi estratti è riportata nella tabella 3 per il periodo 1/1/88 – 15/5/99.

3

Il gioco dell’Enalotto è ormai scomparso con la nascita del Super Enalotto. Esso era abbinato ai numeri primi estratti di ogni ruota e ai

secondi estratti della ruota di Roma e di Napoli: in totale 12 numeri. Ognuno di questi dava origine ad un segno: se il numero era compreso nell’intervallo {1, …, 30} si attribuiva il segno 1, se in {31, …, 60} il segno x e altrimenti il segno 2. La sequenza dei segni 1, x, 2 posti in ordine alfabetico rispetto alla ruota di provenienza più i due segni dei secondi estratti di Roma e di Napoli originava la colonna dei segni vincente.

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Tabella 3: frequenza delle 9 decine nelle estrazioni dei numeri primi estratti per ciascuna ruota nel periodo 1/1/88 – 15/5/99. Totale primi estratti = 7.080, frequenza prevista =787 per decina. 1-10

11-20

21-30

31-40

41-50

51-60

61-70

71-80

81-90

738

805

789

752

723

748

795

824

906

Grafico 1: discostamento delle frequenze relative osservate dal valore atteso di

0.1 .

frequenze relative

distanza dal valore atteso

0,12

0,1

01-10

11-20

21-30

31-40

41-50

51-60

61-70

71-80

81-90

frequenze 0,1042 0,1137 0,1114 0,1062 0,1021 0,1057 0,1123 0,1164 0,1280

Si osservi che: -

La decina 81-90 ha una frequenza relativa elevata rispetto alle attese.

-

L’uscita dei numeri centrali e di quelli della prima decina sembra “svantaggiata”.

-

I numeri delle decine confinanti a quella centrale 41-50 diventano sempre più frequenti allontanandosi da questa.

Il test del Chi-quadro sulle frequenze delle nove decine è altamente significativo con un livello di significatività α=9.36⋅ 10-5. Nel grafico 1 sono mostrate le distanze delle frequenze relative osservate dal valore atteso di

1 = 0.1 . Escludendo dallo stesso test la decina 81-90 (per un totale di 7 gradi di libertà) 9

si perviene ad un livello di fiducia 1-α = 0.894. Questo mette in luce l’uniformità delle restanti otto decine. Al fine di verificare se alcuni numeri o decine escono con maggiore frequenza abbiamo eseguito il test sulla proporzione per ciascuna delle nove decine e la tabella 4 riporta i livelli di significatività trovati. Tabella 4: livelli di significatività per i test sulla proporzione di ciascuna decina. n=7080. p=1/9. Livelli di significatività ottenuti. 1-10

11-20

21-30

31-40

41-50

51-60

61-70

71-80

81-90

0.066

0.488

0.930

0.190

0.016

0.144

0.753

0.158

6.40⋅ 10-6

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Il test sulla decina 81-90 è fortemente significativo, quello sulla decina 41-50 un po’ meno. Sembra, dunque, che solo la decina 81-90 abbia effettivamente una probabilità d’uscita maggiore di quella attesa e la decina 41-50 minore. Nella tabella che segue viene riportato la frequenza dei numeri –raggruppati per decina- apparsi in 7.080 estrazioni e la loro frequenza relativa secondo l’ordine d’estrazione. Il totale dei numeri considerati è di 35.400. Il valore assoluto atteso da ogni decina è di 787 apparizioni.

Tabella 5: conteggio apparizioni di ogni decina per ciascun ordine di estrazione nel lasso di 7.080 concorsi . Valore atteso 787 per un ordine qualsiasi e 3933 per il totale. In parentesi, sono riportate le frequenze relative (valore atteso = 0.1 ).

81-90

primi secondi terzi quarti quinti tutti

71-80

61-70

51-60

41-50

31-40

21-30

11-20

01-10

906

824

795

748

723

752

789

805

738

(0,128)

(0,116)

(0,112)

(0,106)

(0,102)

(0,106)

(0,111)

(0,114)

(0,104)

854

(0,121)

822

(0,116)

804

(0,114)

803

(0,113)

773

(0,109)

777

(0,110)

724

(0,102)

781

(0,110)

742

(0,105)

848

811

826

764

751

738

772

808

762

(0,120)

(0,115)

(0,117)

(0,108)

(0,106)

(0,104)

(0,109)

(0,114)

(0,108)

824

(0,116)

853

(0,120)

741

(0,105)

767

(0,108)

726

(0,103)

798

(0,113)

789

(0,111)

768

(0,108)

814

(0,115)

826

790

762

764

814

831

781

741

771

(0,117)

(0,112)

(0,108)

(0,108)

(0,115)

(0,117)

(0,110)

(0,105)

(0,109)

4258

(0,120)

4100

(0,116)

3928

(0,111)

3846

(0,109)

3787

(0,107)

3896

(0,110)

3855

(0,109)

3903

(0,110)

3827

(0,108)

E’ interessante notare che le decine 81-90 e 71-80 hanno una frequenza di apparizione, per ciascun ordine di estrazione, sempre superiore al valore atteso. Nel caso opposto si trova la decina 41-50 i cui elementi hanno una frequenza molto bassa per i primi 4 ordini. Alla luce dei dati analizzati (gennaio 1988-maggio 1999) l’estrazione del Lotto appare effettivamente viziata. VI.3 Ipotesi di distribuzione non uniforme Tenendo conto delle osservazioni finora riportate, si è deciso di fare delle ipotesi per una nuova distribuzione, non più uniforme ma asimmetrica, per i numeri primi estratti al Lotto e di studiare come la distribuzione di probabilità al gioco del Super Enalotto ne viene modificata. Si scomponga lo spazio degli elementi in due sottoinsiemi:

Γ = {81, 82, 83, …, 89, 90} e Λ = {1, 2, …, 79, 80} e si attribuisca ai due sottoinsiemi le masse di probabilità ottenute dalla loro frequenza osservata nel periodo considerato, vale a dire 0.128 a Γ e 0.872 a Λ. Ne deriva che la probabilità per un numero x di

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eseere estratto come primo da una

0.0128 per x ∈Γ P(YZ , 1 = x) =  0.0109 per x ∈Λ

qualsiasi ruota Z non è uniforme ma assume i valori

(2)

Per le estrazioni degli altri quattro numeri si usi la distribuzione uniforme e si ipotizzi che la combinazione estratta abbia probabilità 1 di essere completa. Si adotti quindi la 2 come la nuova distribuzione di probabilità dei numeri al gioco del Lotto. A questo punto, premesse le ipotesi appena citate, si deriva la nuova distribuzione al Super Enalotto (vedi appendice D). La tabella 6 riporta i valori delle probabilità di realizzare un punteggio x con la sestina {81, 82, 83, 84, 85, 86}4 nel caso la distribuzione sia uniforme o asimmetrica. Se la distribuzione è asimettrica, la probabilità di almeno una vincita con la sestina {81, 82, 83, 84, 85, 86} diventa una su 214 rispetto a una su 318 precedente, con un sensibile miglioramento. Tabella 6: distribuzione di probabilità di uscita della sestina {81,82,83,84,85,86} secondo l’ipotesi di estrazione uniforme o non uniforme. Nell’ultima colonna è riportato il rapporto fra le due probabilità.

punti

distribuzione non uniforme

distribuzione uniforme

p' x px

6

3,75·10-9

1,60·10-9

2.34

5+1

2,22·10-8

9,63·10-9

2.31

5

1,62·10-6

7,99·10-7

2.03

4

1,44·10-4

8,39·10-5

1.72

3

4,53·10-3

3,06·10-3

1.48

tot

4,68·10-3

3,14·10-3

1.49

(*)

(*) p’ rappresenta la probabilità della distribuzione asimmetrica 2 e p con la distribuzione uniforme

VII

Vincitori attesi e vincitori osservati

Fissato il numero di schedine giocate, si può prevedere, con certe ipotesi, il numero di vincitori per ciascuna categoria. Si ipotizzi, per il momento, che ogni schedina sia giocata in modo indipendente dalle altre ossia che la scelta delle sestine da parte dei giocatori avvenga in modo del tutto casuale. Sia Xi la v.a. che indica il numero di scommettitori che realizzano punti i. La probabilità che ci siano esattamente k

n k 

k n- k vincitori con punti i è data (ribadendo l’ipotesi di indipendenza) da P( X i = k ) =   ⋅ pi ⋅ qi dove n è

il numero totale di schedine giocate e pi è la probabilità di totalizzare i punti con una sestina. La probabilità

4

Le considerazioni per {81, 82, 83, 84, 85, 86} valgono per qualsiasi combinazioni di 6 numeri appartenenti a Λ.

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di avere un certo numero di vincitori è data dalla distribuzione di Bernoulli. Sia n posto uguale a 100 milioni, la probabilità P(X6≠ 0)= 0.??? e P(X6>4)=0.00 . Per le categorie minori (III, IV e V) a causa degli elevati valori di n, molti elaboratori elettronici non sono in grado di calcolare le combinazioni Cn,k ed è necessaria un’approssimazione della distribuzione binomiale B(n, pi) alla normale N(n∙pi , n∙qi∙pi)5. Fissato un livello di fiducia 1-α, sotto l’ipotesi di indipendenza nelle scelte, si può trovare un intervallo di confidenza [k1,k2] in cui è atteso il numero di vincitori per ogni categoria, cioè P( k 1 ≤ X i ≤ k 2 ) = 1 − α . Con n ipotizzato uguale a 100 milioni abbiamo calcolato gli intervalli di confidenza (99.9%) per le categorie minori, e confrontato questi con i concorsi del 9/01/99 e del 20/02/99 quando furono giocate circa 100 milioni di combinazioni: per l’esattezza 100.335.545 nel il primo e 100.060.067 nel secondo. La tabella 7 riporta il confronto. Tabella 7: numero di vincitori osservati in due concorsi in cui si ebbero circa 100 ml di schedine giocate. Confronto con gli intervalli di confidenza. 6 5+1 5 4 3 intervallo di confidenza per 7.954 303.398 0-2 0-4 37 -123 100.000.000 giocate 8.843 308.756 (α=0.001) vincitori del 9 gen 0 2 79 10.170 357.825 100.335.545 giocate vincitori del 20 feb 0 0 61 5.831 224.726 100.060.067 giocate

I vincitori osservati per il 4 e il 3 cadono ben al di fuori degli intervalli previsti: il 9 gennaio i vincitori sono molto più numerosi, il 20 febbraio molto meno. Tale risultato può essere spiegato solo dal comportamento non casuale degli scommettitori. L’ipotesi di “scelta indipendente” non è valida. Di conseguenza il tipo di sestina estratta influisce profondamente sull’ammontare dei vincitori e le ripercussioni sul valore dei premi sono visibili. I singoli numeri, così come combinazioni fra questi, non sono giocati in modo casuale ed esistono fra gli scommettitori dei numeri e delle sestine più “popolari”. Una ulteriore fonte di non casualità è data dall’estesa popolarità delle giocate dove uno o più numeri vengono tenuti fissi e altri fatti ruotare così da generare combinazioni che hanno diversi elementi in comune. Se la combinazione estratta è composta da numeri “popolari”, come nel concorso del 9 gennaio 1999, le realizzazioni dei punteggi minori saranno superiori a qualsiasi attesa. Si è visto che a parità di giocatori partecipanti, il numero di vincitori dipende esclusivamente dal tipo di combinazioni vincenti. Ad esempio, negli otto concorsi dove l’afflusso al gioco fu compreso fra 27.2 e 27.9 milioni di giocate, la vincita del 5 variò fra 81 e 189 milioni, quella del 4 fra 520 mila e 1.3 milioni, quella del 3 fra 15 e 33 mila lire.

5

Tale approssimazione risulta idonea quando è soddisfatto il criterio euristico “np>15”. Qui il criterio è pienamente soddisfatto in considerazione dell’elevata affluenza al gioco.

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Per i punteggi maggiori, questo accade con minore evidenza in quanto la possibilità fra cui scegliere combinazioni di 6 elementi è assai più ampia e quindi le preferenze si “sparpagliano” in modo più omogeneo rendendo la scelta più “casuale”. Purtroppo non si hanno le distribuzioni esatte sulle preferenze degli scommettitori del Super Enalotto, ma alcune analisi statistico descrittive sul Super Enalotto e studi condotti all’estero su giochi simili (in diversi paesi le distribuzioni esatte sono accessibili) confermano la non casualità della scelta e tracciano dei modelli di scelta. Relativamente al periodo fra il 9 settembre 1998, entrata in vigore del nuovo regolamento, e il 14 aprile 1999 è stata eseguita un’analisi descrittiva del gioco dalla quale si evidenzia che -

la media delle colonne giocate è di 93 milioni.

-

il massimo di colonne giocate si ebbe in occasione del jackpot di 86 miliardi il 6 febbraio 1999. In tale data si giunse ad un totale di 150 miliardi in palio per un solo concorso.

-

le quote del 3, del 4 e del 5 sono soggette a consistenti variazioni lungo il tempo. La causa di questa intensa variabilità non è dovuta, alla variabilità dell’afflusso di gioco, né dal giorno della settimana in cui si è giocato, né dal valore del jackpot o ritardo. Le quote delle categorie minori non sono assolutamente influenzate da fattori “esterni”, ma la variabilità dipende dalle scelte dei giocatori che si orientano verso certe combinazioni e certi numeri rispetto ad altri. Quando la combinazione estratta si compone di numeri o combinazioni più popolari i vincitori a parità di giocatori sono più numerosi e dunque le vincite più basse.

-

il ritardo medio del 6 è di 8.0 concorsi. La matrice di correlazione mostra che - l’afflusso delle giocate è fortemente correlato con il valore del jackpot - esiste una leggera, non significativa, correlazione fra il numero di colonne giocate e il giorno della settimana. Ciò accade poiché il mercoledì in media l’afflusso è minore. -Le quote del 3, del 4 e del 5 sono incorrelate con il numero delle colonne giocate e con il valore del jackpot del 6. - Le quote del 3, del 4 e del 5 sono tra loro positivamente correlate. Se la scelta della sestina fosse fatta in modo del tutto indipendente e casuale, il numero dei vincitori attesi (da cui dipendono i valori dei premi) sarebbe proporzionale all’afflusso di gioco (da cui dipende il montepremi) e allora i valori dei premi rimarrebbero pressoché invariati. Le osservazioni, invece, mostrano che c’è una consistente variazione delle quote dei premi minori e una significativa correlazione fra le quote dei premi minori.

Ci sono stati 8 concorsi in cui l’afflusso fu pressoché costante e compreso fra 27.2 e 27.9 milioni di giocate. In questi otto concorsi si nota una forte correlazione fra i vincitori delle tre categorie minori. L’indice di correlazione fra i vincitori del 3 e del 4 è uguale a 0.969, fra i vincitori del 5 e del 4 è 0.375 e fra il 5 e il 3 è 0.305.

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Poiché una combinazione giocata non può vincere più di un premio, in caso di uniformità nella scelta delle sestine e di afflusso costante ci si aspetta che la correlazione bi-variata fra il numero di vincitori nelle diverse categorie sia circa zero o leggermente negativa. Infatti se ci fossero più realizzatori del 3 allora meno combinazioni sarebbero lasciate disponibili per realizzare un altro punteggio. Di nuovo emerge l’importanza del tipo di combinazione vincente nel determinare la vincita. Da questa constatazione nasce l’esigenza di individuare un modello che rappresenti la scelta dei giocatori. Infatti, evitando i numeri popolari, in teoria, si può avere un ritorno medio maggiore.

VII.1 Modelli di scelta Si identifichino due nuove variabili M e N. Sia M la variabile che, in ogni concorso, assume valore uguale alla somma dei valori dei sei numeri estratti. Sia N la variabile che conta quanti fra questi sono minori o uguali a 31. L’introduzione di N è suggerita dalla considerazione che molti scommettitori puntano su date del calendario. M ∈ {21, 22, …, 525}

N ∈ {0, 1, …,6}.

Sebbene la sola analisi della correlazione non sia in grado di individuare un modello di scelta dello scommettitore, risulta che se M cresce, cresce anche il valore dei premi delle categorie minori. Sembrerebbe che lo scommettitore preferisca mediamente i numeri bassi (precedentemente avevamo visto che proprio questi numeri hanno frequenze osservate minori della media). Questo “ragionamento” appare confermato dalla significativa correlazione negativa fra le quote dei premi minori e la variabile N. Al crescere di N diminuiscono i valori dei premi. L’intervallo {1, 2, …, 31} rappresenta i giorni del mese e sembrerebbe che i giocatori scelgano in base a ricorrenze, compleanni, date importanti, ecc. . VII.2 Modelli di scelta all’estero Numeri preferiti Per il Lotto game canadese (6 su 49) le frequenze marginali dei numeri scelti dai giocatori sono riportate settimanalmente sul periodico Luck. Ad esempio, nella tabella 8, è mostrata quella riferita all’estrazione del 6 novembre 1995. Ricordiamo che la frequenza attesa di ogni numero è del 2.04%. Tabella 8: distribuzione marginale dei numeri scelti dagli scommettitori canadesi per il concorso del 6 nov. 1995. Valore medio: 2.04%

Frequenza (%) [1.74 , 1.79] [1.82 , 1.89]

numeri ( in ordine crescente di popolarità ) 40 39 48 41 20 45 38 46 30 42

[1.90 , 1.99] [2.00 , 2.09] [2.10 , 2.19] [2.22 , 2.28] 2.65

37 22 18 31 7

29 36 44 49 35 47 15 34 14 33 32 26 28 43 10 24 21 2 16 25 23 1 19 6 13 4 12 17 8 27 5 9 3 11

Ziemba e altri (1986) analizzando nel tempo la popolarità dei 49 numeri in Canada, concludono che le frequenze riportate in tabella 8 rimangono pressoché costanti. In generale, i numeri più popolari risultano 7,

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11, 25 e 27 (Joe, 1987) mentre i meno graditi sono nell’ordine 40, 39, 20, 30, 41, 38, 42, 46, 29, 49, 48, 32, 10, 47, 1, 37, 28, 34 e 45 (Ziemba e altri, 1986). Per la National Lottery britannica (6 su 49) non sono disponibili dati relativi alle frequenze marginali dei numeri scelti dai giocatori ma diversi studi sono stati condotti per stimare le probabilità di scelta di ciascun numero. Queste stime si basano sugli andamenti degli ammontari delle vincite secondo il tipo di combinazione estratta. I risultati di Cox evidenziano che anche in UK il numero più giocato è il 7. La ricorrenza di date importanti, il ritardo di alcuni numeri, il verificarsi di avvenimenti eccezionali o persino risultati sportivi possono avere un’influenza significativa sulla scelta di determinati numeri ma circoscritta in un breve periodo. Questi eventi non sono quindi sufficienti a spiegare preferenze costanti nel tempo. Zaman e Marsaglia (1990) e Ziemba e altri (1986) sostengono che la “predilezione” degli scommettitori verso alcuni numeri è attribuibile alla disposizione grafica dei numeri all’interno della schedina su cui si gioca. Rileggendo i numeri meno popolari in Canada e in UK, si nota infatti che sono tutti disposti lungo i margini della schedina. VII.3 Combinazioni preferite Molto interessanti sono anche i dati relativi alla scelta di determinate combinazioni rispetto ad altre. Il contributo più interessante viene da Riedwyl (1990) il quale ebbe accesso a tutte le 16.862.596 schedine giocate nella sesta settimana del 1990 allo Swiss lotto (6 su 45). Anche per la Svizzera, l’interpretazione “grafica” per le preferenze dei giocatori risulta convincente. Le combinazioni possibili sono circa 8 milioni e quindi in media ogni sestina dovrebbe essere scelta circa due volte, invece i valori osservati sono ben lontani dal valore previsto. Due sestine corrispondenti alla diagonale principale e secondaria della matrice della schedina elvetica, furono giocate ognuna più di 24.000 volte e ben 5.754 altre sestine furono scelte ciascuna da più di 50 persone. In particolare ci sono 28 combinazioni giocate ciascuna oltre 2.500 volte. Alcune di queste sono: -le 3 sestine corrispondenti alle altre tre diagonali complete di sei elementi -le 7 sestine delle 7 righe complete -le 11 sestine corrispondenti agli 11 modi di prendere 6 numeri consecutivi in una colonna -le 3 combinazioni vincenti nei precedenti concorsi -la combinazione vincente dell’ultima estrazione al lotto francese Le combinazioni estratte dell’anno precedente erano tutte giocate almeno 295 volte, una combinazione estratta 4 anni prima fu giocata ben 59 volte in quel concorso. La combinazione vincente del concorso precedente, come già detto, fu tra le più giocate: 12.008 volte, ma furono molto giocate anche le due combinazioni derivanti da questa aggiungendo e sottraendo un’unità ai suoi elementi. Queste furono scelte rispettivamente 2.342 e 1.623 volte. Ritornando al Lotto game canadese, Haigh (1997) riporta che ci sono state numerose estrazioni in cui nessun giocatore ha realizzato il 5+1 mentre in due occasioni se ne ebbero 78 e 75.

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Per il Lotto game britannico in 17 occasioni su 96 non ci fu neanche un vincitore del 6 mentre in due occasioni si ebbero ben 133 e 57 realizzatori del 6.

VIII

Conclusioni

Abbiamo mostrato nella tabella 6 come le probabilità di realizzare un punteggio x con la sestina {81, 82, 83, 84, 85, 86}6 nel caso di distribuzione asimmetrica siano superiori che nel caso simmetrico. Questi numeri sono anche generalmente ignorati dalla massa degli scommettitori e pertanto quando si presentano nella combinazione vincente rendono i premi per ciascuna categoria in media più elevati. Una valutazione accurata di tale perdita non può essere ottenuta per mancanza di dati precisi sulla popolarità dei numeri giocati e dunque non è possibile calcolare il valore dei premi esatti. Se si moltiplica la probabilità di realizzare un certo punteggio x con la sestina, per esempio {81, 82, 83, 84, 85, 86} per la corrispettiva vincita media di x, che si suppone per esempio maggiorata del 50%, e poi si sommano i cinque prodotti, si ottiene una valutazione della vincita media per la sestina giocata {81, 82, 83, 84, 85, 86} sotto la nuova distribuzione. Tale valore risulta di 542 lire su 800 giocate, producendo un ritorno medio del 68% che è ben al di sopra del 34.6% solitamente ridistribuito per ogni lira spesa. Puntare su questi numeri, però, non assicura una vincita sicura, che comunque si sarebbe realizzata solo all’infinito, ma permette nel lungo termine di contenere la perdita certa. Una siffatta valutazione è valida esclusivamente se si considera la quota media di vincita per ciascuna categoria come un valore esogeno; cioè che gli scommettitori, ignari di una distribuzione non uniforme, continuino a giocare combinazioni “più e meno” probabili indistintamente come fatto sinora e continuino anche a preferire i numeri bassi. Allora il numero medio di vincitori continuerebbe ad essere lo stesso e di conseguenza le vincite medie per categoria. Oggi ci sono scommettitori che puntando sui numeri 81-90, beneficiano in media di un ritorno medio maggiore del 34.6%, altri che, puntando sui numeri 1-80, hanno un ritorno medio più basso e altri ancora che, giocando numeri di entrambi i gruppi, ricevono indietro un valore che è in media intorno al 34.6%. Se la massa degli scommettitori si riversasse, invece, verso le “combinazioni più probabili” allora il numero medio di vincitori aumenterebbe e di conseguenza le quote sarebbero in media più basse così da ritornare alla vincita media del 34.6%. Se solo il banco trattenesse una quota più significativamente più bassa, cioè simile a quelle degli altri paesi, allora una strategia vincente sarebbe stata implementabile e questo lavoro non sarebbe stato mai scritto.

6

Le considerazioni espresse per {81, 82, 83, 84, 85, 86} valgono e qualsiasi combinazioni di 6 numeri appartenenti a Λ.

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IX

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APPENDICI

Introduzione alle APPENDICI Nelle appendici sono sviluppati in maniera più approfondita gli argomenti trattati nella parte centrale. Riportiamo di seguito la simbologia che verrà ripresa nelle Appendici. Si identifichi con S la sestina pronosticata e con C la sestina estratta ricavata dai risultati del Lotto. Definiamo i seguenti eventi R -

la combinazione estratta è formata da una sestina estratta completa

V -

la combinazione estratta possiede il numero jolly.

I simboli R e V sono notazioni mnemoniche: derivano da Roma e Venezia. Dipende, infatti, dalle ruote di Roma e Venezia la completezza della sestina estratta e la presenza del jolly.

Si definisca quindi con

R l’evento “la sestina estratta manca del sesto numero”, mentre con V “il jolly è

assente”. Si adottino le seguenti notazioni:

- YZ,k indicante il k-simo numero estratto dalla ruota Z, dove Z ∈ {Ba, Fi, Mi, Na, Pa, Rm} e k ∈ {1, 2, 3, 4, 5}. Siccome il valore della P(YZ,k = y) non dipende dalla ruota in esame lo indicheremo spesso con P(Yk = y).

- XZ indicante il contributo della ruota Z alla sestina estratta. Per esempio, la notazione P(YFi,3 = y) indica la probabilità che sulla ruota di Firenze il numero y esca alla terza estrazione e P(XBa = x1, XFi = x2, XMi = x3) indica la probabilità che il primo numero della combinazione ordinata del Super Enalotto sia x1, il secondo x2 e il terzo x3, ossia che il contributo della ruota di Bari sia x1, di Firenze sia x2 e di Milano sia x3.

-

indichiamo con rk la probabilità condizionata

rk = P(Yk = x | Y1 ≠ x,...,Yk -1 ≠ x) il cui valore, per qualsiasi x, è dato da

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rk =

1 90 - k + 1

Si ha così che, per qualsiasi x e da qualsiasi ruota, valgono i seguenti valori

r1 =

1 1 1 1 1 , r2 = , r3 = , r4 = , r5 = 90 89 88 87 86

APPENDICE A : L’estrazione in blocco al Super Enalotto L’estrazione dei numeri I Lotto games stranieri estraggono, da una stessa ruota, tutti i numeri per la combinazione vincente uno dopo l’altro senza ripetizione. Una procedura simile è per definizione un’estrazione in blocco e la sua distribuzione di probabilità è la distribuzione ipergeometrica. Segue quindi che la probabilità di realizzare un punteggio x, indicata con px, quando si scelgono k numeri su un totale di N possibili è uguale a

k   N − k    ⋅   x   6 − x   px = N   6 

(A.1)

con x ∈{0, 1, … ,6}. L’estrazione del Super Enalotto avviene con il contributo di 7 ruote diverse; assomiglia all’estrazione in blocco ma ne differisce in quanto si potrebbe non avere la sestina completa e/o il numero jolly. Ipotizziamo che la combinazione estratta sia completa con probabilità 1, allora dimostreremo che la tipologia d’estrazione al Super Enalotto è uguale all’estrazione in blocco. A tale scopo è sufficiente far vedere che presa la sestina qualsiasi S {a, b, c, d, e, f} con a, b, c, d, e, f compresi fra 1 e 90 e tra loro

diversi, la sua probabilità di uscita (ossia che si realizzi il 6) è data dalla (A.1) cioè uguale a

1 C 90 ,6

e non

dipende dai numeri scelti.

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Il nostro scopo è trovare la probabilità di estrazione della sestina non ordinata S : iniziamo a calcolare il valore della probabilità (vedi Introduzione alle Appendici per la simbologia)

P(X Ba = a, X Fi = b, X Mi = c, X Na = d, X Pa = e, X Rm = f) cioè che esca la sestina ordinata {a, b, c, d, e, f}, ossia che si verifichi l’estrazione rappresentata nella figura A-1 appresso.

Figura A-1: contributo di ogni ruota all’individuazione della sestina ordinata {a, b, c, d, e, f}

ruota estratto(*)

Ba a

Combinazione estratta “ordinata” Fi Mi Na Pa Rm b c d e f

(*)Non si specifica l’ordine dell’estratto. Si evidenzia solo il contributo di ciascuna ruota alla combinazione estratta Si può scrivere che

P(X Ba = a, X Fi = b, X Mi = c, X Na = d, X Pa = e, X Rm = f) = = P(X Ba = a) ∙ P(X Fi = b | X Ba = a) ∙ P(X Mi = c | X Ba = a, X Fi = b) P(X Na = d | X Ba = a, X Fi = b, X Mi = c)∙ ∙P(X Pa = e | X Ba = a, X Fi = b, X Mi = c, X Na = d)∙P(X Rm = f | X Ba = a, X Fi = b, X Mi = c, X Na = d, X Pa = e) (A.2).

La probabilità

P(X Ba = a) , ossia che il numero a corrisponda al contributo della ruota di Bari alla

combinazione vincente, equivale alla probabilità

P(YBa,1 = a) , ossia che il numero a sia il primo estratto

dalla ruota di Bari. Si ha dunque che

P(YBa,1 = a) = r1 . L’evento che b sia il contributo della ruota di Firenze può verificarsi sotto due circostanze: il primo numero estratto dalla ruota di Firenze è b oppure il primo numero estratto è uguale a quello selezionato dalla ruota di Bari (cioè a) e il secondo è b, pertanto si può scrivere che

P(X Fi = b | X Ba = a) = = P[YFi ,1 = b ∪ (YFi,1 = a , YFi,2 = b )] = P(YFi,1 = b) + P(YFi,1 = a, YFi,2 = b) = r1 + r1 ∙r2 . Sostituendo gli appropriati valori si ottiene che

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P(X Fi = b | X Ba = a) =

1 1 1 1 + ⋅ = 90 90 89 89

Con simile ragionamento si ricava la probabilità condizionata di Milano

P(X Mi = c | X Ba = a, X Fi = b) = = P[YMi,1 = c ∪ ( YMi,1 = a ,YMi,2 = c ) ∪ ( YMi,1 = b ,YMi,2 = c ) ∪ ( YMi,1 = a ,YMi,2 = b ,YMi,3 = c ) ∪

∪ ( YMi,1 = b ,YMi,2 = a ,YMi,3 = c ) = r1 + r1 ∙ r2 + r1 ∙ r2 + r1 ∙ r2 ∙ r3 + r1 ∙ r2 ∙ r3 . Per il contributo della ruota di Milano si ottiene dunque, sostituendo ai valori di rx

P(X Mi = c | X Ba = a, X Fi = b) =

1 88

Allo stesso modo, per la ruota di Napoli, si ha che

P(X Na = d | X Ba = a, X Fi = b, X Mi = c) = r1 + D3,1 ∙ r1 r2 + D3,2 ∙ r1 r2 r3 + D3,3 ∙ r1 r2 r3 r4 = dove

Dn ,k =

1 87

n! , ossia uguale alle disposizioni semplici di n elementi presi k alla volta. ( n − k )!

Per la ruota di Palermo si ha

P(X Pa = e | X Ba = a, X Fi = b, X Mi = c, X Na = d) = = r1 + D4,1 ∙ r1 r2 + D4,2 ∙ r1 r2 r3 + D4,3 ∙ r1 r2 r3 r4 + D4,4 ∙ r1 r2 r3 r4 r5 =

1 86

e infine per Roma

P(X Rm = f | X Ba = a, X Fi = b, X Mi = c, X Na = d, X Pa = e) = = r1 + D5,1 r1 r2 + D5,2 r1 r2 r3 + D5,3 r1 r2 r3 r4 + D5,4 r1 r2 r3 r4 r5 + D5,5 r1 r2 r3 r4 r5 r6 =

1 (A.3) 85

Si noti la presenza di r6 che corrisponde alla probabilità condizionata del numero x di apparire come sesto estratto. Nel caso reale, tale valore è uguale a 0 poiché i numeri estratti dalla ruota del Lotto sono in tutto 5. Se però ipotizziamo, come abbiamo fatto in questa dimostrazione, che la combinazione estratta sia sempre completa allora segue necessariamente che dalla ruota di Roma si estraggano almeno 6 numeri e che quindi

r6 =

1 85

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Sostituendo i valori ottenuti nella (A.2) si ottiene la probabilità d’estrazione della sestina ordinata {a, b, c, d, e, f}.

P( X Ba = a, X Fi = b, X Mi = c, X Na = d, X Pa = e, X Rm = f ) =

1 1 1 1 1 1 ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ = 2,230736 ⋅ 10 -12 90 89 88 87 86 85

Dalle formule sovraesposte, si evince che la probabilità di una sestina ordinata non dipende dall’ordine dei suoi sei elementi; per ottenere la probabilità d’uscita della combinazione { a, b, c, d, e, f } è pertanto sufficiente moltiplicare il valore ottenuto per le 6! possibili sestine ordinate composte dai sei elementi. Si ottiene che

∑

(

)

P X = (x1 , x 2 , x3 , x 4 , x 5 , x6 ) =

x ={ a ,b ,c ,d ,e , f }

=

6! 1 = = 90 ⋅ 89 ⋅ 88 ⋅ 87 ⋅ 86 ⋅ 85 622.614.630

1 = 1.606129943 ⋅ 10 −9 90     6

(A.3)

c.d.d.

L’estrazione al Super Enalotto coinciderebbe all’estrazione in blocco solo se la combinazione estratta fosse completa con probabilità 1. Perché ciò si verifichi è sufficiente che la ruota di Roma estragga almeno 6 numeri e quella di Venezia almeno 7.

APPENDICE B: Distribuzione di probabilità

Probabilità d’estrazione Se si considera la reale estrazione al gioco del Lotto, si ha che la distribuzione di probabilità di fare un punteggio x al Super Enalotto non è più la distribuzione ipergeometrica benché se ne avvicini molto. Le probabilità che ciascuna ruota fornisca un determinato numero alla combinazione estratta sono le medesime di quelle trovate nell’Appendice A: coincidono esattamente fino alla ruota di Palermo. Per Roma infatti si ha la seguente probabilità a

r1 + D5,1 r1 r2 + D5,2 r1 r2 r3 + D5,3 r1 r2 r3 r4 + D5,4 r1 r2 r3 r4 r5

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(B.1).

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La probabilità nel caso reale (B.1) si distingue dal caso ipotetico precedente, in cui ci sono più di cinque estratti per Roma, per l’assenza dell’ultimo addendo

D5,5 ∙ r1 r2 r3 r4 r5 r6 che assume valore 0 nel caso

reale in quanto non è possibile estrarre un sesto numero dalla ruota di Roma. Deriva quindi che

P(X Ba = a, X Fi = b, X Mi = c, X Na = d, X Pa = e, X Rm = f) = = P(X Ba = a, X Fi = b, X M i = c, X Na = d, X Pa = e) ⋅ P(X Rm = f | X Ba = a, X Fi = b, X M i = c, X Na = d, X Pa = e) =

=

1 1 1 1 1 ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ P(X Rm = f | X Ba = a, X Fi = b, X M i = c, X Na = d, X Pa = e) = 90 89 88 87 86 =

1 1 1 1 1 1 ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ρ 90 89 88 87 86 85

dove ρ diviene il fattore di correzione che permette il passaggio dalla probabilità approssimata (nell’ipotesi di approssimazione all’estrazione in blocco) alla probabilità vera (la combinazione estratta completa non è un evento certo), ed è pari a

ρ=

P(X Rm = f | X Ba = a, X Fi = b, X M i = c, X Na = d, X Pa = e) = 0,999999977246 1 85

(B.2)

Il valore di ρ coincide esattamente con la probabilità che la sestina estratta C sia completa. Valore calcolato precedentemente. Si ricava quindi che

P( X Ba = a, X Fi = b, X Mi = c, X Na = d, X Pa = e, X Rm = f ) =

1 1 1 1 1 1 ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ρ 90 89 88 87 86 85

(B.3)

sostituendo nella (B.3) il valore della (B.2) e svolgendo i calcoli si ha la probabilità d’estrazione della sestina ordinata {a, b, c, d, e, f}

P(X Ba = a, X Fi = b, X Mi = c, X Na = d, X Pa = e, X Rm = f) = 2,230735981 ⋅ 10 −12 La probabilità d’uscita della combinazione non ordinata { a, b, c, d, e, f } è data da

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∑

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(

)

P X = (x1 , x 2 , x3 , x4 , x5 , x6 ) =

x ={ a ,b ,c ,d ,e , f }

ρ ρ = = 1.606129906 ⋅ 10 −9 622.614.630  90    6 (B.4)

Si noterà che la differenza, in termini numerici, fra la probabilità di estrazione della combinazione { a, b, c, d, e, f } nel caso approssimato (A.3) e quella reale (B.4), è praticamente nulla. Si differenziano per una quantità minore di 10-16.

Distribuzione di probabilità Benché la probabilità di avere la combinazione estratta (6 numeri + jolly) non completa è molto vicina a 0, nel calcolare la probabilità di realizzare un punteggio x bisogna tenere presente di questa eventualità. Distingueremo quindi le “probabilità esatte”, che sono quelle proprie del gioco, dalle “probabilità approssimate” che derivano dall’approssimazione all’estrazione in blocco. La probabilità del 6 La probabilità di realizzare il 6 corrisponde alla probabilità di uscita della combinazione {a, b, c, d, e, f} ed è stata già calcolata nella (B.4). In questo paragrafo, invece, seguiremo un procedimento diverso. Sia px la probabilità di realizzare un punteggio x con una singola sestina dove

x ∈ {0, 1, 2, 3, 4, 5,

6, 5+1} e sia I(x) l’evento “totalizzare un punteggio x con la sestina giocata S in un’estrazione in blocco”. Scommettiamo una qualunque sestina S di numeri non ordinati fra 1 e 90 e cerchiamo la probabilità p6. Le sestine estraibili sono C90,6, e dunque 1 su C90,6 è il valore della probabilità del 6

( P( I(6) ): in una

tipica estrazione in blocco. Questa, come abbiamo visto, è la probabilità approssimata di realizzare il 6 al gioco del Super Enalotto. Nel calcolare la probabilità esatta p6 si deve tenere in considerazione che C possa non essere completa e che sarebbe dunque impossibile realizzare il 6 (l’eventuale assenza del numero jolly è del tutto ininfluente). Si può allora scrivere che

p6 = P( I(6) ∩ (R∪ R ) ) = P( I(6) ∩ R) + P( I(6) ∩ R ) poiché l’insieme

I(6) ∩ R è vuoto, allora si ha P( I(6) ∩ R) = P(R)⋅ P(I(6)| R ).

La probabilità di realizzare il 6 è dunque

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p6 = P(R) ⋅

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1 P(R) = = 1.606129906 ⋅ 10 -9  90  622.614.630   6

(B.5)

ossia 1 su 622.614.644,2. La (B.5) e la (B.4) coincidono esattamente. La probabilità del 5+1 Per ricavare la probabilità esatta p5+1 bisogna procedere sulla falsa riga del paragrafo precedente, e considerare anche l’eventuale assenza del jolly.

[

]

p 5+1 = P[(V ∪ V ) ∩ I(5 + 1))] = P[(V ∩ I(5 + 1))] = P (R∪ R ) ∩ (V ∩ I(5 + 1)) =

[

]

= P ( R∩ V ∩ I(5 + 1) ) ∪ ( R ∩ V ∩ I(5 + 1) ) ) = per la legge delle probabilità totali

p 5+1 = P ( R∩ V ∩ I(5 + 1) ) + P( R ∩ V ∩ I(5 + 1) ) ) che indichiamo con

p 5 +1 = p 5 + + p 5 + .

(B.6)

La probabilità di realizzare il 5+1 equivale quindi alla somma della probabilità di totalizzare 5+1 nel caso che la sestina sia completa e nel caso che essa sia incompleta; ovviamente in presenza del jolly (evento V). Per la legge delle probabilità composte p5+1, i due addendi della (B.6) possono scriversi come

p 5 + = P(R) ⋅ P(V | R) ⋅ P( I(5 + 1) | R ∩ V) p 5 + = P( R ) ⋅ P(V | R ) ⋅ P( I(5 + 1) | R ∩ V) Il valore di

P( I(5 + 1) | R ∩ V) , così come quello di P( I(5 + 1) | R ∩ V) , non è determinabile con la

(A.1), e richiede di vedere il problema sotto un’ottica diversa. Non consideriamo più le combinazioni di 6

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elementi ma il nuovo riferimento è ora la settina. Chiamiamo settina una combinazione di 6 elementi affiancata da un settimo numero, il jolly, e non dunque una semplice combinazione di 7 numeri. Le settine possibili sono C90,6·84. Data la sestina giocata S, le settine favorevoli alla realizzazione del 5+1 sono C6,5·84. Segue quindi che

6    5 P( I( 5 + 1 )|R ∩ V) ) =    90    6 da cui

p5+

6    5 = P( R ) ⋅ P(V | R ) ⋅    90    6

(B.7).

Per indovinare 5+1 numeri con la sestina S quando la combinazione estratta ne ha solo cinque significa avere solo una possibilità di pronosticarli esattamente: cioè solo la sestina con i cinque elementi di C ed il numero jolly, quindi si ricava che

p 5 + = P( R ) ⋅ P(V | R ) ⋅

1  90    6

(B.8)

6    5 1 p 5 +1 = P( R ) ⋅ P(V | R ) ⋅   + P( R ) ⋅ P(V | R ) ⋅  90   90      6   6

(B.9)

ossia 1 caso su 103.769.121,2 .

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La probabilità del 5 La probabilità p5 dipende sia dalla completezza della sestina vincente sia dalla presenza del numero jolly. Si vengono a distinguere quattro eventi, tra loro incompatibili, in cui il 5 è realizzabile:

1- R ∩ V ∩ I ( 5 )

- indovinare 5 numeri quando la sestina estratta è completa ed è

presente il numero jolly 2- R ∩ V ∩ I ( 5 )

-

indovinare 5 numeri quando la sestina estratta è completa ed

è assente il numero jolly 3- R ∩ V ∩ I ( 5 )

-

indovinare 5 numeri quando la sestina estratta è incompleta

ed è presente il numero jolly 4- R ∩ V ∩ I ( 5 )

-

indovinare 5 numeri quando la sestina estratta è incompleta

ed è assente il numero jolly

rispettivamente con le probabilità indicate da

p R∩V , p R∩V , p R∩V

, p R ∩V

La probabilità di fare il 5 è la somma delle suddette probabilità

p5 = p R ∩V + p R ∩V + p R∩V + p R∩V

(B.10)

Si noti che I(5) non è lo stesso evento nei quattro casi sopra esposti poiché, mentre la sestina giocata S è sempre composta da 6 elementi, la sestina estratta C può non essere completa. Per la determinazione di I(5), e di I(x) in generale, useremo il rapporto fra il numero di “sestine utili” affinché si realizzi tale punteggio e le sestine possibili (=C90,6). Quindi, fissata la sestina estratta C (che può essere completa e non) conteremo il numero delle sestine fra cui scegliere per ottenere x punti. 1- Per realizzare esattamente 5, quando la sestina estratta C è completa ed è presente il numero jolly deve avvenire che 5 dei 6 elementi della sestina utile S coincidano con quelli di C e contemporaneamente che il sesto elemento di S sia diverso dal numero jolly onde evitare che si realizzi il 5+1. Quindi per il conteggio dei casi favorevoli, il sesto elemento di S deve essere scelto fra 84-1 numeri anziché 84.

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p R ∩V

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 6   83    ⋅   5 1 = P(R) ⋅ P(V | R) ⋅ P( I(5) | R∩ V ) = P(R) ⋅ P(V | R) ⋅      90    6

(B.11).

2- Quando il numero jolly è assente, non è possibile realizzare il 5+1 e in questo caso il sesto elemento di S può essere uno degli 84 che non compongono la sestina estratta C.

p R ∩V

 6   84    ⋅   5 1 = P(R) ⋅ P( V | R) ⋅ P( I(5) | R ∩ V ) = P(R) ⋅ P( V | R) ⋅      90    6

(B.12)

3- e 4- Se la sestina C è incompleta, il sesto elemento di S può essere:

-

in assenza del numero jolly: uno qualsiasi degli 85 restanti

-

in presenza del jolly: uno qualsiasi degli 84 restanti per evitare il 5+1.

p R∩V

 84  1 ⋅   1 = P( R ) ⋅ P(V | R ) ⋅ P( I(5) | R ∩ V ) = P( R ) ⋅ P(V | R ) ⋅    90    6

(B.13)

p R∩V

 85  1 ⋅   1 = P( R ) ⋅ P( V | R ) ⋅ P( I(5) | R ∩ V ) = P( R ) ⋅ P( V | R ) ⋅    90    6

(B.14)

Risulta quindi che

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 6   83   6   84   84   85    ⋅     ⋅       5  1  5  1  1 1 p 5 = P(R) P(V | R) + P(R) P( V | R) + P( R ) P(V | R ) + P( R ) P( V | R )  90   90   90   90          6 6 6 6 La probabilità del 4 e del 3 Diversamente dal 5, la probabilità di realizzare il 4 oppure il 3 non dipende dalla presenza del numero jolly, ma solo dalla completezza della sestina estratta. Il numero jolly può far parte della sestina giocata S in quanto non realizzerebbe un punteggio vincente: il 4+1 o 3+1 non sono premi previsti.7 Se C è composta di sei numeri, il numero di sestine “favorevoli” per totalizzare il 4 sono le combinazioni dei 6 numeri di C presi 4 a 4 per i modi di combinare gli 84 elementi non appartenenti ad C presi 2 a 2. Nel caso C sia incompleta, i casi favorevoli per il 4 sono uguali alle sestine non ordinate che si possono ottenere unendo le combinazione dei cinque elementi di C presi 4 a 4 con le combinazioni degli 85 numeri restanti (compreso il jolly) presi 2 a 2. Segue quindi che

p 4 = P(R∩ I(4)) + P( R ∩ I(4)) = P(R) ⋅ P(I(4) | R) + P( R ) ⋅ P(I(4) | R ) da cui

 6   84    ⋅   4 2 p 4 = P(R) ⋅      90    6

+

 5   85    ⋅   4 2 P( R ) ⋅      90    6

e similmente per il 3

 6   84    ⋅   3 3 p 3 = P(R) ⋅      90    6

7

 5   85    ⋅   3 3 + P( R ) ⋅      90    6

In alcuni Lotto games stranieri sono premiati punteggi simili. Es. il 2+1 in Israele, il 3+1 in Australia, il 4+1 e 3+1 a Singapore.

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La probabilità di realizzare x punti Riassumiamo i risultati ottenuti finora, riportando le formule per la determinazione delle probabilità esatte di totalizzare un punteggio x con una sestina qualsiasi.

p6 = P(R) ⋅

p 5 +1

1  90    6

6    5 = P(R) ⋅ P(V | R) ⋅   + P( R ) ⋅ P(V | R ) ⋅  90    6

1  90    6

 6   83   6   84   84   85    ⋅     ⋅       5  1  5  1  1 1 p 5 = P(R) P(V | R) + P(R) P( V | R) + P( R ) P(V | R ) + P( R ) P( V | R )  90   90   90   90          6 6 6 6

 6   84    ⋅   x   6 - x   p x = P( R ) ⋅  90    6

+

 5   85    ⋅   x   6 - x   P( R ) ⋅  90    6

con x ∈ {0, 1, 2, 3, 4}

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APPENDICE C: Adozione di una nuova distribuzione Assumiamo una nuova distribuzione dei 90 numeri che tiene conto di quanto osservato nei paragrafi precedenti ed in particolare della maggiore frequenza della decina 81-90. Si scomponga lo spazio degli elementi in due sottoinsiemi:

Γ = {81, 82, 83, …, 89, 90} e Λ = {1, 2, …, 79, 80} Si attribuiscano ai due sottoinsiemi le masse di probabilità ottenute dalla loro frequenza osservata nel periodo considerato, vale a dire 0.128 a Γ e 0.872 a Λ. Ne deriva che la probabilità di prima estrazione al gioco del Lotto per un numero x e per qualsiasi ruota diventa

0.0128 per x ∈Γ P(YZ , 1 = x) =  0.0109 per x ∈Λ

(C.1)

Per le estrazioni d’ordine superiore alla prima, si usi la distribuzione uniforme. Tale ipotesi è suffragata dall’assenza di una forte evidenza di non casualità per tali ordini e dal fatto che, dopo la prima estrazione, si opera un maggiore rimescolamento delle palline nell’urna e la distribuzione si “uniformizza”. Si ha così che, come nel caso uniforme, per qualsiasi x e per qualsiasi ruota, valgono i seguenti valori per le probabilità condizionate

P(Y2 = x) =

1 1 1 1 1 , P(Y3 = x) = , P(Y4 = x) = , P(Y 5 = x) = e P(Y6 = x) = 89 88 87 86 85

Per tali valori riprenderemo la notazione r2 , r3 , r4 , r5 e r6 mentre per P(YZ,1= x) poiché dipende da x, useremo r1(x) .

Calcolo della probabilità di uscita di una sestina al Super Enalotto La distribuzione asimmetrica adottata per i primi estratti dalle ruote del Lotto influisce sulla distribuzione di probabilità al gioco del Super Enalotto. Vogliamo quindi analizzare come la probabilità di uscita di una certa sestina sia cambiata con la nuova ripartizione. Tale analisi verrà eseguita sotto l’ipotesi di una combinazione estratta sempre completa, cioè sotto l’approssimazione dell’estrazione del Super Enalotto all’estrazione in blocco.

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Nell’Appendice B per il caso uniforme calcolammo la probabilità che si presentasse una situazione come quella riportata sotto in figura III-1 Figura III-1: contributo di ogni ruota all’individuazione della sestina ordinata {a, b, c, d, e, f}

Combinazione estratta “ordinata” ruota estratto(*)

Ba a

Fi b

Mi c

Na d

Pa e

Rm f

(*)Non si specifica l’ordine dell’estratto. Si evidenzia solo il contributo di ciascuna ruota alla combinazione estratta Similmente ad allora, si può procedere al calcolo della probabilità d’uscita della sestina ordinata {a, b, c, d, e, f} per poi giungere alla probabilità della stessa sestina ma non ordinata. Ricordando quanto raggiunto nell’Appendice A e la formula (A.2), troviamo che

P(X Ba = a) = P(YBa,1 = a) = r1 (a) P(X Fi = b | X Ba = a) = P(YFi,1 = b) + P(YFi,1 = a, YFi,2 = b) = r1 (b) + r1 (a) ∙r2 indicando con KFi la costante r2 si ha che

P(X Fi = b | X Ba = a) = r1 (b) + r1 (a) ∙ K Fi Per il numero della ruota di Milano si ottiene

P(X Mi = c | X Ba = a, X Fi = b) = = r1 (c) + r1 (a) ∙r2 + r1 (b) r2 + r1 (a) ∙r2 ∙r3 + r1 (b) ∙r2 ∙r3 = raccogliendo i termini in comune

= r1 (c) + r1 (a) [r2 + D1,1 ⋅ r2 ∙r3 ] + r1 (b) ∙ [r2 + D1,1 ⋅ r2 ∙r3 ] . Ponendo

[r2 + D1,1 ⋅ r2 ∙r3 ] uguale alla costante KMi e raggruppando si ha che

P(X Mi = c | X Ba = a, X Fi = b) = r1 (c) + K Mi [r1 (a) + r1 (b)] . Similmente si ottiene che

P(X Na = d | X Ba = a, X Fi = b, X Mi = c) = r1 (d) + K Na ⋅ [r1 (a) + r1 (b) + r1 (c)]

P(X Pa = e | X Ba = a, X Fi = b, X Mi = c, X Na = d) = r1 (e) + K Pa ⋅ [r1 (a) + r1 (b) + r1 (c) + r1 (d)]

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P(X Rm = f | X Ba = a, X Fi = b, X Mi = c, X Na = d, X Pa = e) = r1 (f) + K Rm ⋅ [r1 (a) + r1 (b) + r1 (c) + r1 (d) + r1 (e)] dove

K Na = r2 + D2,1 ∙ r2 r3 + D2,2 ∙ r2 r3 r4 K Pa = r2 + D3,1 ∙ r2 r3 + D3,2 ∙ r2 r3 r4 + D3,3 ∙ r2 r3 r4 r5 K Rm = r2 + D4,1 ∙ r2 r3 + D4,2 ∙ r2 r3 r4 + D4,3 ∙ r2 r3 r4 r5 + D4 ,4 ∙ r2 r3 r4 r5 r6

(C.2).

Sotto la nuova ripartizione, la probabilità di una sestina ordinata non dipende dall’ordine dei suoi elementi solo se la sestina è composta da elementi che hanno tutti la stessa probabilità di prima estrazione. Per ottenere la probabilità che esca una combinazione qualunque {a, b, c, d, e, f} si devono pertanto calcolare le probabilità di ciascuna delle 6! possibili sestine ordinate e sommarle. All’uopo, si è creato un programma che genera le 6! sestine, calcola la probabilità di uscita di ognuna di esse e infine ne esegue la somma. Si adotti la simbologia ř(n) per indicare la probabilità che venga estratta una sestina composta da n elementi di Γ. Per esempio ř(4) è la probabilità di uscita di una qualunque combinazione formata da 4 elementi di Γ e 2 di Λ. Nella tabella C-1 sono riportati i valori che può assumere ř(n).

Tabella C-1: probabilità ř (n) d’uscita di una sestina composta di n elementi provenienti da Γ

ř(n)

probabilità

6

3,75401⋅ 10-9

1:

266.381.737,2

5

3,19907⋅ 10-9

1:

312.591.074,6

4

2,72538⋅ 10-9

1:

366.921.063,8

3

2,32117⋅ 10-9

1:

430.817.267,6

2

1,97634⋅ 10-9

1:

505.985.875,7

1

1,68225⋅ 10-9

1:

594.441.290,9

0

1,43151⋅ 10-9

1:

698.562.514,2

casi favorevoli su totali

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Il Super Enalotto 27 Ottobre 1999

Riccardo Lampariello

Valutazione probabilistica per la nuova distribuzione Secondo la nuova distribuzione, è logico preferire i numeri appartenenti a Γ sia se si giochi al Lotto sia al Super Enalotto. Pensiamo allora di scommettere sulla combinazione S’ {81, 82, 83, 84, 85, 86} e analizziamo le sua probabilità di successo. Sia p’x la probabilità di realizzare x punti con S’ sotto la distribuzione (C.1). Probabilità del 6 La probabilità di realizzare 6 punti, cioè che la sestina estratta C coincida con S’ l’abbiamo già calcolata ed è dato dal valore di ř(6):

p '6 = r (6)

(C.3).

Probabilità del 5 Si scomponga ulteriormente l’insieme Γ in Γ1 = {81, 82, 83, 84, 85, 86} che contiene tutti e solo gli elementi di S’ e Γ2 = {87, 88, 89, 90}. La probabilità di realizzare 5 punti, data la combinazione giocata S’, si ottiene sommando le probabilità di tutte le possibili sestine favorevoli all’evento. Con l’elaboratore si calcola la probabilità di una sestina tipo {81, 82, 83, 84, 85, λ }. Dove λ ∈ Λ. Tale probabilità ha valore

ř(5). Siccome è indifferente prendere uno degli 80 elementi di Λ, le sestine favorevoli sono

 6   80   6  4 p '5 =   ⋅   ⋅ r (5) +   ⋅   ⋅ r (6) 5  1   5  1 

(C.4).

Il secondo addendo tiene conto che ci sono anche altre sestine favorevoli alla realizzazione di 5 punti dato S’. Queste sono quelle dove al posto di λ ci potrebbe essere un elemento di Γ2, che però ha probabilità ř(6). Probabilità del 4

 6   80   6   80   4   6   4 p '4 =   ⋅   ⋅ r (4) +   ⋅   ⋅   ⋅ r (5) +   ⋅   ⋅ r (6)  4  2   4   1  1   4  2

(C.5)

Probabilità del 3

 6   80   6   80   4   6   80   4   6  4 p '3 =   ⋅   ⋅ r (3) +   ⋅   ⋅   ⋅ r (4) +   ⋅   ⋅   ⋅ r (5) +   ⋅   ⋅ r (6) 3  3   3   2  1   3  1   2 3 3 (C.6)

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Probabilità del 5+1 Similmente al caso della distribuzione uniforme, per il calcolo della probabilità di realizzare 5+1 ci riferiamo alle settine-ordinate8, ossia una disposizione di 7 elementi ordinati. Con un nuovo programma, simile al precedente ma adattato alle settine-ordinate, si calcola la probabilità che venga estratta la combinazione non ordinata {81, 82, 83, 84, 85, 86, γ 2 } e {81, 82, 83, 84, 85, 86, λ}, dove γ 2 ∈ Γ2 e λ ∈Λ . Tali probabilità vengono indicate con ĵ(7) e ĵ(6). Contiamo i casi favorevoli. γ 2 può assumere 4 valori diversi dando origine a 4 possibili combinazioni non ordinate utili per fare 5+1 di probabilità ĵ(7). Bisogna però evitare di realizzare il 6 e quindi sottrarre da ĵ(7) la probabilità di tutte le settine-ordinate che hanno come primi 6 elementi proprio la sestina S’. Queste sono in numero di 6!. Poiché i primi sei elementi che permutano hanno tutti la stessa probabilità di prima estrazione, allora è sufficiente valutare, attraverso il programma, la probabilità di una qualsiasi di queste settine-ordinate con settimo elemento γ 2. Denotiamo questa probabilità con

ord

p7 ( γ 2 ) .

λ dà origine a 80 distinte combinazioni di probabilità ĵ(6) e nuovamente si devono escludere le settineordinate di probabilità

ord

[

p7 ( λ ) favorevoli al 6 e non al 5+1.

]

[

]

p' 5 +1 = 4 ⋅ ˆj( 7 ) − 6 ! ⋅ord p7 ( γ 2 ) + 80 ⋅ ˆj( 6 ) − 6 ! ⋅ord p7 ( λ ) .

(C.7)

ĵ(7) e ĵ(6) sono ottenute come somma delle probabilità di 7! settine-ordinate provenienti rispettivamente dagli insiemi {81, 82, 83, 84, 85, 86, γ 2 } e {81, 82, 83, 84, 85, 86, λ}.

8

Differentemente, nel capitolo II avevamo chiamato settina la particolare unione di una combinazione di 6 elementi con un settimo numero diverso dai primi sei.

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APPENDICE D: il SUPER ENALOTTO e gli INTERNATIONAL LOTTO GAMES Nell’articolo di Bellhouse (1991) si attribuisce a tutti i Lotto games moderni un'origine comune nel lotto genovese il quale risale al 1610 (Daston, 1988). Fuori dall’Italia il gioco si è diffuso solo dal XIX secolo e oggi quasi ogni stato possiede a livello nazionale almeno un Lotto game. Il primo Lotto game, strutturato nei modi che conosciamo, si ebbe in Germania nel 1955 (Moore,1997). In questo capitolo saranno passati a rassegna diversi Lotto games nazionali, raffrontandoli continuamente con il Super Enalotto italiano. In particolare tratteremo i Lotto games in Europa, soffermandoci sulla Gran Bretagna, poi in Usa e infine su Web. Per gli altri paesi citeremo solo quelli con aspetti interessanti e caratteristiche singolari. Le notizie, i dati, le descrizioni riportate in questo capitolo derivano, oltre che dagli articoli editi su riviste scientifiche e citati nella bibliografia, anche da molti siti Web (anch’essi riportati nella bibliografia) e da brochure raccolti in vari paesi del mondo.

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The UK National Lottery In Gran Bretagna i giochi d’azzardo hanno una tradizione secolare e il Regno Unito può considerarsi la culla di tutte le scommesse. Il giro d’affari stimato è visualizzato nella tabella D-1 suddiviso per tipologia di scommessa insieme al ritorno medio per lo scommettitore. I dati provengono dall’articolo di Moore (1997). Fra le varie forme di gioco d’azzardo nel Regno Unito, The National Lottery9, ovvero il Lotto game britannico, rimane in posizioni marginali per giro d’affari prodotto. Notevolmente maggiori sono i volumi di denaro prodotti dall’American roulette e dal Blackjack nei casinò, dalle slot-machines sparse un po’ dovunque e dalle scommesse sui cavalli. Per avere un termine di paragone, inseriamo anche una stima (tabella D-2) dell’afflusso di scommesse avuto in Italia nel 1998 per i principali giochi (Panorama 5 novembre 1998). Tabella D-1 Giro d’affari e ritorno medio di alcune forme di scommesse popolari in UK. Valori del 1995.

gioco American roulette Blackjack e giochi da casinò

ritorno medio previsto (%)

giro d’affari (in milioni di euro) stimato §

note

97.3 - 99.4

30.170

Il ritorno medio dipende dal gioco. Usando delle strategie particolari per alcuni giochi (es. contare le carte) si può ottenere un ritorno del 101%

70 - 75

13.780

Il ritorno medio è stabilito dall’operatore

95

1.240

Corse di cavalli (all’ippodromo)

70 - 80

1.480

Corse di cavalli (fuori dall’ippodromo)

67 – 77

10.050

≈ 30

1.390

50

7.350

Slot-machines Bingo

Schedine Totocalcio National Lottery

Alcuni premi, sebbene raramente, arrivano fino a 3 milioni di euri

Premio massimo è di 153.000 euri fino a 50 60 § In molti giochi d’azzardo durante una stessa giornata le vincite vengono spesso reinvestite subito. Per questo, soprattutto per i primi 5 giochi, l’ammontare effettivamente speso è considerevolmente più basso. FONTE: articolo di Moore (1997) pag.172

Altre lotterie

Tabella VI-2: giro d’affari, stimato per il 1998, per alcuni giochi a premi in Italia

gioco

Giro d’affari (in milioni di euri)

Lotto

5.320

Super Enalotto

1.650

Scommesse ippiche

1.240

9

Il termine lottery, che letteralmente ha il significato di lotteria, in inglese identifica sia un lotto game sia un concorso come la Lotteria di capodanno. L’uso di uno stesso termine ricorda quanto i due giochi non siano così diversi tra loro. In uno si acquista il biglietto con la serie di numeri già stampata, nell’altro è lo scommettitore a sceglierne una.

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Lotteria, gratta e vinci

930

Tris

900

Totocalcio

820

Totogol

770

Totip

103

Totoscommesse

25

FONTE: articolo su Panorama 5/11/98

Storia della lottery britannica L’origine storica della lottery è originale e rappresentativa di tanti aspetti singolari del paese d’oltremanica. Abbiamo ritenuto utile riportarla qui di seguito. La prima lotteria risale al 1569 (Moore,1997) e il suo scopo dichiarato era quello di finanziare la riparazione di Cinque Ports. Furono venduti 400.000 biglietti con premi in natura e in denaro. In seguito furono promosse nuove lotterie e per obiettivi diversi del tipo: finanziare le piantagioni in Virginia (1612) e la fornitura d’acqua corrente per Londra (1627 e 1631), riparare le barche dei pescatori danneggiate dagli spagnoli (1640). Lo stesso celebre ponte di Westminster è stato costruito grazie ai proventi della lotteria del 1739. Da allora fino ad oggi, le lotterie in Gran Bretagna hanno raccolto fondi per realizzare degli obiettivi “rispettabili” (Moore,1997) tanto da ricevere l’approvazione della Chiesa stessa (Chiesa Anglicana).

La moderna National Lottery si sviluppa con le stesse caratteristiche. Il suo scopo principale è quello di supporto per le good causes (“nobili fini”). La scelta del gestore fu fatta seguendo tale filosofia, e fu attribuita all’asta a chi garantiva l’ammontare maggiore per le good causes. Vincitore dell’asta fu la Camelot Group plc che assicurò £6.844 miliardi per le good causes nel giro di 7 anni. Le good causes da sovvenzionare sono stabilite per legge in numero di cinque e sono: Belle Arti, Beneficenza, Patrimonio storico, Sport e progetti per il Millenium. Il Parlamento britannico ha voluto puntualizzare che i proventi raccolti dalla National Lottery sono in aggiunta a quelli stabiliti per legge e non sono un sostituto ad essi. Montepremi (Stake) La partecipazione alla National Lottery avviene con l’acquisto di una schedina (ticket) del costo di una sterlina. L’ammontare di una sterlina deriva dalla seguente ripartizione: 45p al montepremi 28p alle good causes

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12p all’erario 5p al gestore 5p al rivenditore 5p riservati per futuri Super Draws10 e contributi alle scratchcards (gratta e vinci). Il ritorno medio per singolo concorso è, generalmente del 45% ; nel complesso è di circa il 50% poiché le quote accantonate di 5p per ogni colonna giocata sono riversate occasionalmente nel Super Draw. La vincita riscossa è già tassata.

10

Di tanto in tanto la Camelot stabilisce delle date in cui incrementare il montepremi del 6 tramite le quote accantonate durante varie estrazioni.

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Descrizione del gioco La moderna National Lottery nasce il 19 novembre 1994 ed inizialmente le estrazioni avvenivano solo di sabato. Dal 5 febbraio 1997 c’è anche un’estrazione infrasettimanale. Diversamente dal Super Enalotto, la National Lottery ha una propria ruota contenente 49 palline numerate all’esterno. Da essa sono estratti, bisettimanalmente, 6 numeri più il bonus number (jolly). Questi 7 numeri formano la combinazione vincente. Lo scommettitore pronostica sei numeri ed ha diritto ad un premio se indovina 6, 5+1, 5, 4 oppure 3 numeri. Stesse regole del Super Enalotto, ma con 49 numeri. Per partecipare al gioco, lo scommettitore deve annerire 6 numeri dei 49 riportati su apposite schede. La giocata minima permessa è di una combinazione. Non esistono giocate integrali oppure basi e varianti. La schedina britannica permette un tipo di giocata che il Super Enalotto non prevede. Si può, infatti, pagare al momento della scommessa il diritto alla partecipazione a più estrazioni con la stessa combinazione: alle due successive estrazioni, alle quattro successive, ecc., alle estrazioni del solo mercoledì o del solo sabato successivi. Questo tipo di giocata è molto comoda per chi partecipa in gruppo. Insieme i giocatori “investono” una somma per molti mesi senza dover ri-scommettere ad ogni concorso. L’estrazione avviene alle 20:08 in punto e le giocate sono ammesse fino a 38 minuti prima dell’estrazione. In Italia, fino a pochi mesi fa, le giocate si chiudevano circa tre ore prima; oggi si può scommettere fino ad un’ora e mezzo prima. L’estrazione L’estrazione dei numeri della National Lottery è trasmesso in diretta TV dalla BBC1 ed è inserita in un vero e proprio show televisivo dedicato alla Lottery della durata di 20 minuti. Allo show prendono parte personaggi famosi (altro che l’asettica estrazione del Lotto italiano su Rai Due!) con l’intento di pubblicizzare le good causes e mostrare come i fondi sono stati utilizzati. La ruota stessa è selezionata a sorte fra quattro possibili (alle ruote è stato attribuito anche un nome Arthur, Lancelot, Merlin e Guinevere), poi si seleziona, fra 10 possibili, anche il set di palline da inserire nella ruota. La ruota è di vetro trasparente e mescola i numeri in modo completamente automatico. Premendo un pulsante, si estrae una pallina che viene riversata in un cilindro trasparente dove è possibile vedere il numero segnato sulla pallina. Le palline, durante questa fase, non sono mai toccate. Un’estrazione simile è stata più volte proposta dalla Lottomatica S.p.A. per il Lotto italiano, ma senza successo (per comunicazione personale del Dott. Russo funzionario della suddetta società). Quote La suddivisione del montepremi fra i vincitori avviene nel seguente modo: 1. il 45% dell’intero incasso, arrotondato per difetto ai 10p, forma il montepremi 2. a tutti coloro che realizzano tre punti è assegnato un premio fisso di £10 3. il restante montepremi è suddiviso nelle quattro categorie secondo le seguenti percentuali: 52% al sei, 16% al cinque più uno, 10% al cinque e 22% al quattro.

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4. il montepremi di ciascuna categoria (escluso il tre) è diviso fra i vincitori della categoria corrispondente in modo paritario Notare che: -la quota d’ogni vincita è arrotondata per difetto all’unita, cioè alla sterlina (pragmatismo anglosassone) -se il montepremi, esclusi il jackpot, non è sufficiente a garantire £10 per ogni scommettitore che ha realizzato il tre, allora il montepremi viene diviso paritariamente fra tutti i vincitori (dal 3 al 6) in modo uguale. Non è possibile che il banco sbanchi! -la percentuale dell’intero montepremi assorbito dai vincitori del 3 nel corso del 1996 variava fra 22.8% e 51.7% con una media del 38.4%. Attualmente il valore dei singoli montepremi varia sostanzialmente fra l’estrazione del mercoledì e quella del sabato come mostrato in tabella D-3. Tabella D-3: montepremi medio per ciascuna categoria secondo il giorno d’estrazione

mercoledì

sabato

6

4.3 m

9.9 m

5+1

1.3 m

2.9 m

5

0.8 m

1.8 m

4

1.7 m

3.9 m

E’ interessante notare che la divisione del montepremi non è regolamentata per legge, come in Italia, bensì è sottoposta ad un regolamento stipulato dal gestore stesso. Fissata la quota in tasse e quella per le good causes, il gestore inglese ha un’ampia libertà. Jackpot L’accumulo dei montepremi, detto rolling over, è possibile solamente per la prima categoria. Il Super Enalotto è forse l’unico ad avere due sistemi d’accumulo separati per due differenti categorie. Se il ritardo si protrae per più di tre concorsi allora il jackpot accumulato è diviso fra i realizzatori del 5+1 e se mancano anche questi ultimi fra i realizzatori del 5 semplice. Considerando l’afflusso al gioco (≈ 60 milioni di combinazioni giocate) e le possibili sestine (= 13.983.816), un ritardo di 3 estrazioni è assai improbabile. Se non ci sono vincitori del 5+1, evento finora mai accaduto, allora il montepremi di categoria andrà a sommarsi al montepremi del 6 per lo stesso concorso. Se non ci sono vincitori del 5, il montepremi del 5 è riversato in quello del 4. Se non ci sono vincitori del 4, il montepremi è diviso fra i realizzatori del 3 (oltre le £10).

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Distribuzione di probabilità L’evento “combinazione completa” e “presenza del jolly” sono eventi certi e le probabilità di realizzare un punteggio x sono date dalla seguente formula dove a 49.

px =

p 5 +1

 6   43    ⋅    x  6 - x  49    6

6    5 =    49    6

con x ∈{0, 1, 2, 3, 4, 6}

p5 =

 6   42    ⋅    x  6 - x  49    6

I valori delle probabilità e i premi medi per la Gran Bretagna sono presentati nella tabella D-4.

Tabella D-4: probabilità di realizzare un punteggio vincente alla National Lottery e valori medi, in euro, dei premi. In piccolo i valori del Super Enalotto.

Categoria

Probabilità

Possibilità

Jackpot*

7.15112⋅ 10-8

1 su 13.983.816

Premio medio 3 ml

622.614.644

17 ml

5+bonus

4.29067⋅ 10-7

1 su 2.330.636

155.000

103.769.121

2 ml

5-match

1.84499⋅ 10-5

1 su 55.491

2.300

1.250.230

42.000

4-match

0.00096862

1 su 1.032

100

11.907

370

3-match

0.017650404

1 su 57

15

0,00306077

327

10

totale

0.018637974

1 su 54

1,60613⋅ 10-9

9,63678⋅ 10-9

7,99853⋅ 10-7

8,39845⋅ 10-5

*jackpot è il corrispettivo inglese del premio del 6. Per la National Lottery sono stati svolti anche degli studi sull’impatto del gioco fra le diverse classi sociali e King (1997) ne fornisce un’ampia descrizione.

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Resto d’Europa Tra gli altri paesi europei vale la pena citare lo Swiss Lotto svizzero, il Viking Lotto e il Lotto finlandese. Lo Swiss Lotto (6 su 45) ha una divisione del montepremi totale diversa rispetto ai giochi visti finora. Vengono pagati per primi i realizzatori del 5+1 che si spartiscono il 10% del montepremi totale. Poi i realizzatori del 3 e del 4 pagati rispettivamente con 6 e 50 franchi svizzeri. Infine le categorie del 5 e del 6 si spartiscono separatamente l’esatta metà di quel che è rimasto. Allo Swiss Lotto è abbinato il gioco del Joker. Un numero di sei cifre, detto joker, è estratto contemporaneamente alle 6 palline del Lotto. Su ogni schedina dello Swiss Lotto è stampato un numero di sei cifre. Se questo corrisponde al joker o corrispondono le prime 2, 3, 4 o 5 cifre allora si ha diritto ad un premio. In pratica, lo Swiss Lotto ha unito insieme Lotto game e Numbers game. Nel Viking Lotto finlandese sono selezionate 6 palline su 48 ma ci sono ben due numeri jolly. Nel Lotto, sempre finlandese, invece i jolly sono addirittura 3 e 7 sono i numeri estratti su un totale di 39. Vince chi realizza punti 7, 6+1, 6, 5 e 4. Infine va segnalato che, anche durante la guerra in Yugoslavia, il Lotto game serbo (5 su 36) ha proseguito le sue estrazioni. Queste avvenivano solo di giovedì e i realizzatori di 5 punti oltre alla quota spettante in denaro vincono anche un’auto Yugo Tempo 1.1.

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USA Se la Gran Bretagna è la patria storica del gioco d’azzardo, gli USA sono il paese in cui oggi si gioca di più. Le scelte sono innumerevoli e si trovano molti tipi anche di Lotto games. Ogni stato possiede le proprie lotterie e Lotto games; abbiamo scelto di presentare oltre al celebre Powerball, anche i giochi dello stato del Massachusetts dove, anni fa, Hermann Chernoff (1981) condusse uno studio approfondito sul Numbers Game. Stato del Massachusetts Nello stato del Massachusetts vengono attualmente giocati 4 Lotto games oltre al già citato Numbers Game. 1) Mass Milion 6/49 Il Mass Milion è il più “ricco” dei quattro. Al realizzatore del 6 è garantito un premio minimo di $1.000.000. I realizzatori del 5+1, del 5 e del 4 vincono una quota fissa di rispettivamente $50.000, $3000 e $100, mentre ai realizzatori del 3 viene offerta la partecipazione gratuita alla successiva estrazione. Il sistema d’accumulo è applicabile al solo 6. Il ritorno medio per lo scommettitore è in media11 del 55%. 2) Mega Bucks 6/42 Non c’è il jolly, quindi sono premiati solo i 6, 5, 4 e 3. Al 6 è garantito un premio di almeno $400.000 al 5 e al 4 l’ammontare fisso di $1.500 e $750. Ai 3 una giocata gratuita. Vincita media intorno al 50%. 3) Mass Cash

5/35

Vengono premiati solo i 5, 4 e 3 con rispettivamente $100.000, $250 e $10. Il jolly non è estratto. La vincita media è circa del 56%. 4) Big Game

5/50 + 1/36

Il jolly del Big Game, detto big money number, non è estratto dalla stessa ruota da cui provengono gli altri numeri selezionati nella combinazione vincente. Si estraggono 5 numeri fra 50 e il big money number fra 36. Lo scommettitore deve pronosticare 5 numeri più il big money number a parte. Le categorie vincenti, con i corrispettivi premi sono riportati in tabella D-5.

Tabella D-5: probabilità di ottenere un punteggio vincente al Big Game dello stato del Massachusetts.

punteggio

11

premio

probabilità

5&1

Jackpot*

1.31⋅ 10-8

5&0

$150.000

4.6⋅ 10-7

4&1

$5.000

2.9⋅ 10-6

si è detto “in media” poiché varia a seconda del numero dei realizzatori dei premi con quota fissa.

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4&0

$150

1.03⋅ 10-4

3&1

$100

1.30⋅ 10-4

3&0

$5

0.0045

2&1

$5

0.0019

1&1

$2

0.0098

0&1

$1

0.0160

*il jackpot consiste in una quota minima fissa più eventuali accumuli precedenti Si noti che si premia chi realizza 0&1 e non chi realizza 2&0, la cui probabilità di realizzazione è

0.0651. Per il calcolo delle probabilità px&b di realizzare un certo punteggio x al Big Game si usano le seguenti formule

 p x ⋅ pb p x&b =   p x ⋅ p b

dove

 5  45     x  5 - x   px =  50    5

, pb =

se b = 1

(D.1)

se b = 0

1 36

e

pb =

35 . 36

“Schedule” Per lo scommettitore dello stato del Massachusetts, il calendario dei giochi è molto fitto e la tabella D-6 ricorda i vari appuntamenti settimanali.

Tabella D-6: calendario delle estrazioni nello stato del Massachusetts

Numbers Game Sunday Monday Tuesday Wednesda y Thursday

Mega Bucks

6:55 p.m. 7:55 p.m.

Mass Milion

7:55 p.m.

The BIG Game

11:20 p.m.

11:10 p.m.

11:20 p.m.

7:55 p.m. 7:55 p.m.

Mass Cash

11:20 p.m. 11:20 p.m.

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Friday Saturday

Riccardo Lampariello

7:55 p.m. 7:55 p.m.

11:20 p.m.

11:10 p.m.

11:20 p.m.

Powerball Parallelamente ai giochi nazionali si scommette anche ad un gioco multi-stato: il Powerball, ossia il Lotto game più famoso al mondo grazie alle sue celebri vincite (300 miliardi di lire nel luglio del 1998). Vi partecipano 17 stati (lo stato del Massachusetts non vi fa parte). L’estrazione avviene bisettimanalmente da due ruote. Una ruota contenente 49 palline bianche numerate, un’altra di 42 palline rosse. Dalla ruota con le palline bianche si estraggono 5 numeri e dall’altra ruota un numero detto powerball. Lo scommettitore deve pronosticare 5 numeri fra 1 e 49 e a parte il powerball. Le probabilità di un punteggio x si ottengono dalla

(D.1) sostituendo 49 a 45 e ponendo

pb =

1 . 42

Il costo della giocata minima di una combinazione è di un dollaro. Ci sono ben 9 categoria di vincita e l’esatto pronostico di almeno il powerball garantisce un premio di 3 dollari. Nella figura D-1 sono riportate le categorie premiate insieme con i relativi premi oltre il rapporto fra casi favorevoli e casi possibili. La categoria 5+powerball è l’unica ad avere il sistema di rolling over che permette accumuli di montepremi in caso di non vincita: è comunque garantito un jackpot di 10 milioni di dollari per estrazione. Le altre categorie hanno tutte quote fisse.

Figura D-1: categorie di vincita del Powerball con corrispettivi premi e probabilità.

Il differente atteggiamento economico e finanziario statunitense si riflette anche nel gioco. Ai premi superiori è sempre garantito un premio minimo e agli altri una quota fissa. Così negli USA, come nel Lotto italiano, il banco può sbancare; in ogni modo se il banco americano perde una quantità superiore al 200%

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dell’incasso delle giocate intervengono delle leggi per ammortizzare la perdita. La quota riservata al montepremi è generalmente superiore al 50%. Le vincite delle categorie superiori possono essere riscosse in un’unica soluzione oppure sotto forma di annualità di 20-30 anni. Altri Lotto Games Negli altri paesi osservati, i Lotto games ricalcano quelli finora menzionati e allora è parso utile riportarne solo alcuni. Australia Anche qui, non c’è un solo Lotto game. Il principale, giocato in tutto il paese, è l’Oz Lotto. Si tratta di un’estrazione di 6 palline su 45 e di due numeri jolly. Le categorie di vincita sono 6, 5, 4 e 5+1 e 3+1 indovinando uno dei due jolly. Considerate le C45,6 combinazioni possibili, quelle favorevoli ai punteggi vincenti sono espressi in tabella D-7.

Tabella D-7: per i punteggio vincenti del Oz australiano, sono mostrati i casi favorevoli alla vincita. I possibili sono C45,6=8.145.060

punteggio

casi favorevoli

6

1

5+1

C6,5 · 2

5

C6,5 · C37,1

4

C6,4 · C39,1

3+1

C6,3 · C38,1 + C6,3 · C37,2

Canada In Canada ci sono estrazioni sia a livello federale sia per ogni singola Provincia. I due principali Lotto games sono: il Lotto 649 (6 su 49) il Super 7 (7 su 49).

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Israele Il Lotto game israeliano è 6 su 49. Vince anche il 2+1 Giappone Il Mini Lotto nipponico è il Lotto game con probabilità più elevate di vincita. Si estraggono 5 numeri su 31 più il jolly. Sono premiate le categorie del 5, 4+1, 4 e 3. Da notare che le estrazioni non avvengono periodicamente ma di tanto in tanto. Nell’estrazione che si tenne in luglio ’99 i realizzatori del 5 vinsero 13.6 milioni di yen. Il costo di una colonna è di 200 yen. Singapore Il Toto di Singapore è un Lotto game 6 su 45. Le estrazioni avvengono il lunedì e il giovedì. I punteggi vincenti sono il 6, 5+1, 5, 4+1, 4 e 3+1. Sono possibili varie giocate, tra cui la System Roll Entry simile alla giocata italiana basi e varianti. Si ricorda che la possibilità di poter scegliere fra varie tipologie di giocata è di solito molto esigua e, in genere, ristretta alla sola giocata normale.

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gli “Internet Lotto games" Nella vasta rete Internet esistono una smisurata quantità di giochi d’azzardo e Lotto games. I giochi d’azzardo e i concorsi a premi su Internet beneficiano di paradisi fiscali e di conseguenza il ritorno medio è in genere più alto. Di Lotto games su rete se ne trovano di due tipi: i primi che non sono altro che “cyber-ricevitorie” di tradizionali Lotto games nazionali, dove si può giocare da qualsiasi posto del pianeta; i secondi che vivono e risiedono esclusivamente su Web. Di questi ultimi, qui battezzati con il nome di Internet Lotto games12, ci interesseremo in questo paragrafo. I giochi su rete e in particolare gli Internet Lotto games in teoria potrebbero garantire un ritorno medio allo scommettitore che si avvicina al 100%. Infatti le spese di gestione richieste sono di gran lunga inferiori ai giochi tradizionali e non ci sono intermediari (es. ricevitorie) da pagare. In rete quindi grazie al sistema degli accumuli, caratteristica dei Lotto games, la strategia di gioco citata nel paragrafo I.8 (che propone di partecipare solo quando il gioco è favorevole) potrebbe essere implementata con successo. Tuttavia, su Web non è facile accertarsi della serietà del sito contattato, soprattutto quando ci sono grosse transazioni finanziarie. Tra tutti gli Internet Lotto games visionati, si riporta a titolo rappresentativo il gruppo di giochi proposto dalla Plus Lotto. I giochi della Plus Lotto sono ufficialmente riconosciuti dallo stato del Liechtenstein e devolvono tra il 10 e il 25% del totale incassato alla Croce Rossa Internazionale, quest’ultima fa quindi da garante per la serietà del sito. Tra il 5 e il 15 % dell’incasso è devoluto ad organizzazioni di beneficenza operanti all’interno del Liechtenstein. La somma pagata ai vincitori varia a seconda del loro numero: alcuni premi hanno un valore fisso. Per giocare al Plus Lotto bisogna collegarsi al sito www.pluslotto.com. E’ possibile partecipare a 3 distinti tipi di Lotto games: Mega Bucks, Big Easy e Little Big One. Il costo di una singola giocata è di SFR 1 e si può pagare tramite carta di credito, bonifico bancario, vaglia postale assegno oppure aprendo un conto presso la Plus Lotto. A parte le detrazioni per scopi filantropici non ci sono tasse né sulla scommessa né sulla vincita. La vincita media per lo scommettitore rimane piuttosto elevata e compresa fra 50 e 75%. Il gioco Mega Bucks è un Internet Lotto games settimanale 6/49. E’ garantito un montepremi settimanale di almeno 2 milioni di franchi svizzeri. Anche il Big Easy è settimanale: 6 su 25. Le probabilità di indovinare un punteggio vincente sono più elevate ma i premi meno cospicui. Infine il Little Big One: un mini Internet Lotto games. Ci sono solo 15 numeri in tutto da cui se ne vengono estratti 5. Le categorie di vincita variano dal 5 al 3. L’estrazione al Little Big One avviene ad ogni ora.

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ricordiamo che altrettanto diffuso è il termine lottery, da cui internet lottery e internet-only lottery.

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Per concludere vogliamo far presente che è proprio su rete che è nato il più ricco gioco di tutti i tempi (www.worldlotto2000.com). Il biglietto di partecipazione costa 100 dollari americani ma da diritto a partecipare a 822 estrazioni con premi da $1 milione ciascuno. Inoltre, il primo gennaio del 2000 si terrà, al Tropical Casino di Puerto Plata nella Repubblica Dominicana, l’estrazione di un premio di $500 milioni.

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