Identidad de Roy [PDF]

Zitiervorschau

Identidad de Roy La identidad de Roy se utiliza para obtener la función de demanda Marshalliana a partir de una función de utilidad indirecta. Ya que conocemos la ecuación de demanda para dos bienes xm= xm (Px, Py, M) y ym= ym (Px, Py, M); sustituimos x y y en la función utilidad que toma la forma de: U(x,y) = U(xm (Px, Py, M), ym (Px, Py, M)) Lo que podemos reescribir como una función de utilidad indirecta o función de valor máximo de la siguiente manera: U = V(Px, Py, M) Esto establece que la función de demanda marshalliana individal del consumidor es igual al negativo de la razón de las derivadas parciales de la función de valor máximo (función indirecta de utilidad) respecto al precio del bien y el ingreso de los consumidores. 𝑑𝑉 𝑑𝑃𝑥 𝑥𝑚 = − = 𝑥𝑚 ( 𝑃𝑥, 𝑃𝑦, 𝑀) 𝑑𝑉 𝑑𝑀 La identidad de Roy demuestra que se pueden deducir las funciones de demanda marshallianas si se conoce una función de utilidad directa, derivando y aplicando la identidad.

Lema de Shephard El dual al problema del consumidor consiste en minimizar el gasto necesario para alcanzar un cierto nivel de bienestar. Podemos llegar a la solución a este problema utilizando las demandas compensadas o demandas hicksianas: hx(Px, Py, U) y hy(Px, Py, U)

Y la función de gasto: E = e(Px, Py, U) = Pxhx(Px, Py, U)+ Pyhy(Px, Py, U) Como podemos observar existe una relación entre la función de demanda hicksiana y la función de gasto, lo que conlleva a intuir que se puede derivar la función de demanda compensada a partir del gasto mínimo de la siguiente manera: 𝛿𝑒 = ℎ𝑥 (𝑃𝑥, 𝑃𝑦, 𝑈) 𝛿𝑃𝑥

Lema de Hotteling Relaciona la función de beneficios de una empresa (π) con la oferta de un bien. El lema es el siguiente: Sea y(p) la función de la oferta neta de la empresa en términos de precio de un determinado bien p. Entonces: 𝑦(𝑝) =

𝛿𝜋(𝑝) 𝛿𝑝

Hay que tomar en cuenta que para la función beneficio de la empresa π, ésta debe estar en términos del precio del bien, suponiendo que p›0.

Teorema de la envolvente El teorema de la envolvente puede ser utilizado para dos casos, cuando no existen restricciones y cuando si existen. Puesto que nuestro análisis es microeconómico y el consumidor tiene una restricción presupuestaria con la cual maximiza su utilidad, solo se explicará el teorema de la envolvente con restricciones. Sea f(x) la función de valor en el problema de maximizar g(x, y) en y, sujeto a h(x, y) = c; es decir, f (x) = maxy: h(x,y)=c g (x; y). Si f es diferenciable en un cierto x; y λ es el multiplicador de Lagrange asociado al y óptimo en x, y(x), entonces:

Aplicaciones económicas Las aplicaciones económicas se dan en dos contextos. Por un lado, esto es de utilidad para analizar el problema de maximización de la utilidad (Identidad de Roy). Por otro, sirve para estudiar el problema de minimización de gasto (Lema de Shephard)

Anexos Para un análisis simplificado y sencillo se han omitido las demostraciones de la identidad de Roy y el Lema de Shephard. Sin embargo, en esta sección de anexos se incluirán para obtener una mayor comprensión de la aplicación del teorema de la envolvente para estos dos casos. 

Maximización de la utilidad

Definimos la función objetivo: U = U (x). Existen en ella n variables de elección, y ningún parámetro. Definimos la (única) restricción: m − px = 0. Existen en ella n variables de elección, y n+1 parámetros (n precios y la renta). Por último, definimos la función de valor: v = v (p, m) = U (x (p, m)) En este contexto, calculemos las derivadas a utilizar en el teorema:

Ahora ya podemos aplicar el teorema de la envolvente:

Así, nuestro primer resultado es que el multiplicador de Lagrange es la utilidad marginal del ingreso.

Así, nuestro segundo resultado es la identidad de Roy. 𝛿𝑣(𝑝, 𝑚) 𝛿𝑝𝑖 𝑥𝑖 = − 𝛿𝑣 (𝑝, 𝑚) 𝛿𝑚

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Minimización del gasto

Definimos la función objetivo: f (p, h) = ph. Existen en ella n variables de elección, y n parámetros (los precios). Definimos la (única) restricción: Ū − U (h)=0. Existen en ella n variables de elección, y 1 parámetro (el nivel de utilidad). Por último, definimos la función de valor: e = e(p,Ū) = ph (p,Ū). En este contexto, calculemos las derivadas a utilizar en el teorema:

Ahora, aplicamos el teorema de la envolvente:

Observamos que el multiplicador de Lagrange es el costo marginal de un aumento en la utilidad.

Así nuestro resultado es el Lema de Shephard. 𝛿𝑒(𝑝, Ū) = ℎ𝑖 𝛿𝑝𝑖