Hydraulique Maritime-EHTP-Modèle de La Houle Linéaire [PDF]

Zitiervorschau

Partie 1 Hydraulique maritime Théorie de la houle : Modèle au premier ordre Sommaire : Hypothèses générales- équations – solution (modes propagatifs -modes évanescents)- types de houle- Cinématique- champ de vitesse - champ de pression- énergie- réfraction – déferlementdiffraction réflexion Annexes

1. Hypothèses générales

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r r r Ecoulement bidirectionnel : VM = u ( x , z, t ) x + w ( x , z, t )z

•

r r Extension du domaine infinie dans les 2 directions x et - x

•

Hauteur d’eau h, entre le fond et la surface libre au repos, constante

•

Fluide incompressible (eau)

•

Fluide parfait : viscosité négligeable ⇒ pas d’adhérence aux parois ⇒ pas de couches limites au fond ou à la surface

2. Equations 2.1. Equation fondamentale

1

Pas de couches limites ⇒ pas de production de rotationnel aux interfaces et s’il n’y a pas de r r tourbillons convectés alors l’écoulement est irrotationnel : rot V = 0 ∀M et t 1. ⇒ il existe une fonction scalaire φ(x,z,t) dite potentiel des vitesses telle que : ∆φ( x , z, t ) = 0 ∀x, z, t 2 (1)

∂φ ∂x . avec ∂φ w= ∂z L’équation fondamentale à résoudre est l’équation (1) (équation de Laplace).En coordonnées cartésiennes elle s’écrit : ∂ 2φ ∂ 2φ + = 0 ∀x , z, t . ∂x 2 ∂z 2 Cette équation a une infinité de solutions parmi lesquelles il faut retenir celles qui vérifient les conditions aux limites particulières associées à la propagation de la houle. u=

2.2 Conditions aux limites 2.2.1 Conditions cinématiques •

au fond, soit en z = -h, le champ de vitesse doit vérifier : r r VM // x soit w(x,z = -h,t) = 0 ∀x,t, soit :

 ∂φ  =0    ∂z  z = − h

(2)

•

à la surface libre, c’est plus compliqué car celle ci n’est pas connue a priori, elle sera déduite de la solution du problème. Cette particularité conduit à un problème non linéaire. Notons η(x,t) l’équation de la surface libre. Cette surface est aussi une surface fluide. La condition cinématique à la surface libre consiste à dire qu’en x donné la vitesse verticale de déplacement de la surface libre est égale à la vitesse de la particule fluide située sur la surface libre, d’où : dη = (w ) z=η dt dη ∂η ∂η or = + u z =η (dérivée particulaire 3). dt ∂t ∂x

r r r r r ∂w ∂v r ∂u ∂w r ∂v ∂u r En cartésien si V = ux + vy + wz , rotV = ( − )x + ( − ) y + ( − )z ∂y ∂z ∂z ∂x ∂x ∂y r ∂u ∂v ∂w 2 fluide incompressible ⇒ divV = + + = 0 (divergence du champ de vitesse nulle), si ∂x ∂y ∂z r r r rot V = 0 ∃ φ : V = gradφ (gradient de φ) alors 1

r divV = div(gradφ) = 0 or div(gradφ) = ∆φ (laplacien de φ)

3

dérivée totale par rapport à t d’une fonction composée f[x(t),y(t),z(t),t].

2

Hypothèse supplémentaire (fondamentale pour le modèle de Stokes) : faible cambrure soit a 1 cm) • pression uniforme (Pa) partout au dessus de la surface libre. La surface libre est une surface isobare ⇒ P(x,z = η,t) = Pa = cte On applique le théorème de Bernoulli généralisé à tous le domaine fluide (écoulement irrotationnel et incompressible) ⇒ à chaque t : 2 ∂φ ρ + 12 ρ gradφ + P + ρgz = cte / espace ∂t 2

avec, en cartésien, gradφ = u 2 + w 2 . A la surface libre la relation de Bernoulli devient : 2  ∂φ  ρ  + 12 ρ gradφ  + Pa + ρgη = cte / espace   z=η  ∂t  z = η or le potentiel est défini à une constante près et en adaptant les conditions initiales on peut écrire : 2  ∂φ  ρ  + 12 ρ gradφ  + ρgη = 0 (4)   z=η  ∂t  z = η Bilan : le problème consiste à trouver des solutions de l’équation (1) satisfaisant les conditions (2), (3) et (4).

en z = η

∆φ( x , z, t ) = 0 ∀x, z, t

3

 ∂φ  =0    ∂z  z = − h dη = (w ) z=η dt 2  ∂φ  ρ  + 12 ρ gradφ  + ρgη = 0   z=η  ∂t  z = η L’équation (1) est linéaire, de même la relation (2). Les conditions (3) et (4) ne sont pas linéaires puisqu’on ne connaît pas la forme de la surface 2

libre η = η(x,t). De plus (4) n’est pas linéaire à cause du terme grad φ . On cherche maintenant à linéariser le problème.

2.3 Linéarisation du problème Hypothèses : η