Hochschild homologi til pullbacks [version 26 Jan 2001 ed.] [PDF]

Zitiervorschau

Per Re

Ho hs hild homologi til pullba ks

Hovedoppgave ved institutt for matematiske fag NTNU 26. januar 2001

Veileder: Bjrn I. Dundas Institutt for matematiske fag

Sammendrag

I denne oppgaven blir Ho hs hild homologien til T (V ) k T (W ) for k -moduler V og W , hvor k er en Q -algebra, beregnet ved at vi frst

deler opp problemet ved a se p a birelativ Ho hs hild homologi. Deretter splitter vi komplekset som brukes til  a beregne birelativ Ho hs hild homologi opp i mange underkompleks. Til slutt viser vi at de este av disse underkompleksene er asykliske. Dette gjres ved  a vise at disse underkompleksene kan sees p a som den totale avbildningskjeglen til et kubisk diagram av kjedeavbildninger.

i

ii

Innhold

Introduksjon

1

1 Kjedekomplekser og homologi

2

1.1 1.2 1.3 1.4

Kjedekomplekser . . . . . . . . . . . Kjedehomotopi . . . . . . . . . . . . Den lange eksakte sekvensen . . . . . Den algebraiske avbildningskjeglen .

.. .. .. ..

. . . .

. . . .

.. .. .. ..

. . . .

.. .. .. ..

. . . .

.. .. .. ..

. . . .

De nisjon av Ho hs hild homologi . . . . Relativ og birelativ Ho hs hild homologi . Normalisert Ho hs hild homologi . . . . . Tensor-algebra . . . . . . . . . . . . . . .

. . . .

. . . .

.. .. .. ..

. . . .

.. .. .. ..

. . . .

.. .. .. ..

. . . .

2 Ho hs hild homologi

2.1 2.2 2.3 2.4

. . . .

2 3 4 4

7

7 9 11 12

3 Bevis teorem 2.12

15

A Kuber

30

Referanser

32

iii

iv

Introduksjon

Den sakalte KABI konjekturen formoder at det er en sammenheng mellom K -teori og syklisk homologi for visse Q -algebraer [GRW89℄. I den forbindelse er det nskelig a ha noen beregninger av syklisk homologi. Det er en nr sammenheng mellom syklisk homologi og Ho hs hild homologi og vanligvis er det enklere a beregne Ho hs hild homologien til en k-modul frst, og deretter bruke dette som utgangspunkt for  a beregne den sykliske homologien. Det viktigste resultatet i denne rapporten er beregningen av Ho hs hild homologien til A = T (V ) k T (W ) for k-moduler V og W , hvor k er en Q -algebra. Dette resultatet kommer som et korollar til teorem 2.12, som sier at HH0 (A; I; J ) = 0 HH2n (A; I; J )  = HH2n 1(A; I; J ) = (V W ) n : Her er I = ker(A ! T (W )) og J = ker(A ! T (V )). I kapittel 1 blir det kort presentert en del de nisjoner og resultater fra algebraisk topologi som vi far bruk for senere. Vi de nerer ogsa avbildningskjeglen til en kjedeavbildning, og utvider denne ved a de nere den totale avbildningskjeglen til et kubisk dagram av kjedeavbildninger. Kapittel 2 inneholder en introduksjon til Ho hs hild homologi. Her er mye hentet fra [Lod92℄. Vi de nerer ogsa birelativ Ho hs hild homologi, som vi deretter bruker i beregninger av Ho hs hild homologien for pushouts og da spesielt T (V ) k T (W ). Kapittel 3 inneholder et bevis for teorem 2.12. Dette beviset gar kort sagt ut pa at vi deler opp Ho hs hild komplekset vart i mange underkompleks, og deretter viser at de aller este av disse underkompleksene er asykliske. I tilfellet nar k er en Q -algebra blir homologien til de restrerende kompleksene meget enkel a beregne.

1

1

Kjedekomplekser og homologi

1.1 Kjedekomplekser

I det flgende er k en kommutativ ring med enhet. De nisjon 1.1 (Kjedekompleks) Et (ikke-negativt) kjedekompleks C av k-moduler er en sekvens av k-modulhomomor er d d d d d ::: ! Cn ! Cn 1 ! ::: ! C1 ! C0 ! 0 (1) hvor d Æ d = 0. Vi flger den vanlige konvensjonen ved ikke a sette indeks pa randavbildningene d. Vi kaller elementene i Zn = Ker(d : Cn ! Cn 1) for n-syklene til C og elementene i Bn = Im(d : Cn+1 ! Cn) for n-render. De nisjon 1.2 (Homologi) Vi kan da de nere den n-te homologigruppen til kjedekomplekset C pa flgende vis: Hn(C; d) = Zn =Bn (2) Homologiklassen til en sykel x skriver vi som [x℄. Hn har en k-modul struktur ved at [x℄ + [y℄ = [x + y℄ og k1[x℄ = [k1 x℄. Som oftest skriver vi kun Hn(C ). De nisjon 1.3 (Kjedemor ) En kjedeavbildning eller kjedemor f av grad k mellom to kjedekomplekser C og C 0 er en serie linere avbildninger fn : Cn ! Cn0 +k som kommuterer med randavbildningen d: Cn

d / Cn

Æ

fn 

Dn+k

d0 /

1 fn 1



Dn+k 1

Dermed kan vi danne en kategori hvor objektene er kjedekompleks og mor ene er som de nert over. En kjedemor f : C ! C 0 induserer en avbildning f : Hn(C ) ! Hn(C 0). Hvis f er en isomor for alle n sier vi at f er en kvasi isomorfi av komplekser. De nisjon 1.4 Vi sier at et kjedekompleks C er asyklisk dersom Hn (C ) = 0 for alle n. Dette er ekvivalent med at C er eksakt. De nisjon 1.5 (Skiftet kompleks) La (C; d) vre et kjedekompleks og p et heltall. Da de nerer vi C [p℄ som komplekset hvor C [p℄n = Cn p med randoperator ( 1)pd. 2

1.2 Kjedehomotopi

To kjedemor er f; g : C ! D er kjedehomotope dersom det eksisterer en kjedeavbildning h : C ! D av grad 1 slik at dh + hd = f g: Vi sier da at h er en kjedehomotopi fra f til g. Lemma 1.6 Hvis f og g er kjedehomotope, er f = g : H (C ) ! H (D). Bevis: Se [Vi 94℄ 1.0.3. 

De nisjon 1.7

En presimplisiell modul

n  0 sammen med avbildninger

C

er en samling av moduler Cn,

di : Cn ! Cn 1 ; i = 0 : : : n

slik at = dj 1di; 0  i < j  n: P Lemma 1.8 La d = ni=0 ( 1)i di : Cn ! Cn 1 . Da er d Æ d = 0. Bevis: Se [Vi 94℄ 1.0.7. di dj



En presimplisiell homotopi h
mellom to kjedemor er f; g : C ! D er en samling avbildninger hi : Cn ! Dn+1; i = 0; : : : ; n slik at di hj = hj 1 di for i < j di hi = di hi 1 for 0 < i  n di hj = hj di 1 for i > j + 1 d0 h0 = f dn+1 hn = g : Lemma 1.9 Hvis h
er en presimplisiell homotopi fra f til g, da er h = Pn i i=0 ( 1) hi en kjedehomotopi fra f til g og dermed er f = g . Bevis: Se [Vi 94℄ 1.0.9. 

3

1.3 Den lange eksakte sekvensen Teorem 1.10 Hvis man har en eksakt sekvens av kjedekomplekser

0 ! C 0 ! C ! C 00 ! 0 gir dette en lang eksakt sekvens i homologi


H (C 0 ) ! : : :


! Hn(C 0) ! Hn(C ) ! Hn(C 00 ) ! n 1

limeavbildning
. For bevis se [Vi 94℄ 1.13.

med

1.4 Den algebraiske avbildningskjeglen

Gitt en kjedeavbildning f : C ! C 0. Vi kan da konstruere komplekset M = M (f ), som blir kalt den algebraiske avbildningskjeglen til f , hvor Mn = Cn 1  Cn0 ; d( ; 0 ) = ( d ; d 0 + f ) : Proposisjon 1.11 d : Mn ! Mn 1 tilfredsstiller da d2 = 0 og M blir dermed et kjedekompleks.

Bevis: d2 ( ; 0 ) = d( d ; d 0 + f ) = ( d2 ; d2 0 + df

Dette far vi siden d og f kommuterer.

fd ) = 0



Videre vil inklusjonen i : C 0 ! M og p : M ! C [1℄ ogsa vre kjedeavbildninger. Her er p projeksjonen p( ; 0 ) = . Dermed er p i Ef : 0 ! C 0 ! M ! C [1℄ ! 0 en kort eksakt sekvens av kjedekomplekser. Fra teorem 1.10 far vi dermed flgende resultat: Proposisjon 1.12 En kjedeavbildning f : C ! C 0 med avbildningskjegle M

gir en lang eksakt sekvens

p f i


! Hn(C 0) ! Hn(M ) ! Hn 1(C ) ! Hn 1 (C 0 ) ! : : : (3) Bevis: Dette er den lange eksakte sekvensen til Ef , hvor Hn (C [1℄)  = Hn 1(C ).

Det viser seg at lime-avbildningen blir homomor en indusert av f . (Se [Ma 63℄). 4

 Eksempel 1.13

Hvis vi har flgende diagram av kjedeavbildninger C;

f1

C2 

g1 / C1 g2

f2

/

C 12 

kan vi danne en kjedeavbildning g M (f1 ) ! M (f2 ) slik at gn : M (f 1 )n = Cn; 1  Cn2 ! Cn1 1  Cn12 = M (f 2 )n er gitt for ; 2 Cn; 1 og 2 2 Cn2 ved gn ( ; ; 2 ) = ( gn1 1 ( ; ); gn2 ( 2 )) noe som gjr at vi kan lage \den doble avbildningskjeglen" M (g). Her er M (g)n = M (f 1 )n 1  M (f 2 )n = Cn; 2  Cn2 1  Cn1 1  Cn12 med randavbildning d( ; ; 2 ; 1 ; 12 ) = ( d( ; ; 2 ); d( 1 ; 12 ) + g( 1 ; 12 )) = (d ; ; d 2 f 1 ;; d 1 g1 ; ; d 12 + f 2 1 + g2 2 ) Dette kan vi generalisere til en n-kube pa flgende vis: De nisjon 1.14 (Total avbildningskjegle) La S vre mengden f1; : : : ; ng, og la X vre en funktor fra P (S ) og inn i kategorien av kjedekomplekser, med andre ord en S -kube hvor nodene er kjedekomplekser. Vi skriver X (T ) som C T , og kaller kantene fT !T +ftg : C T ! C T +ftg for t 2 S . Da kan vi de nere den totale avbildningskjeglen M (X ) ved M M (X )n = CnT jT j T 2P (S )

med randavbildninger d( ; ; : : : ; T ; : : : ; S ) = (( 1)n d ; ; : : : ; X X ( 1)n jT j(d T + fT nftg!T ( T nftg )); : : : ; d S + fSnftg!S ( Snftg )) t2T

t2S

5

Vi kan ogsa beregne den totale avbildningskjeglen M~ (X ) til en n-kube X pa flgende sett: For en 1-kube X : C1 !f C2 setter vi M~ (X ) = M (f ). Fra appendiks A vet vi at en n-kube X kan sees pa som en avbildning mellom to n 1 kuber. Vi velger en slik oppdeling X: Y !Z : Vi antar at de totale avbildningskjeglene M~ (Y ) og M~ (Z ) er kjent. Da kan vi konstruere en g : M~ (Y ) ! M~ (Z ) som i eksempel 1.13. Vi setter da M~ (X ) = M (g) : ~ (X ) = M (X ). Lemma 1.15 For en valgt oppdeling av X f ar vi at M Bevis: Dette far vi ved a eksplisitt beregne M~ (X ) pa tilsvarende vis som i eksempel 1.13. 

Lemma 1.16 Legg merke til at vi f ar samme resultat opp til isomor uavhengig av hvilken oppdeling av

X

vi velger.

Bevis: Dette flger direkte fra forrige lemma.

6



2

Ho hs hild homologi

2.1 De nisjon av Ho hs hild homologi

La A vre en assosiativ unital k-algebra, og la M vre en bimodul over A. Vi kan da de nere Ho hs hild komplekset : b b b M A n 1 ! C (A; M ) = C (A; M ): : : : ! M A n ! (4) b b ::: ! M A! M

Randavbildningen b er gitt pa flgende simplisielle form b0 (m; a1 ; : : : an ) = (ma1 ; a2 : : : an ) bi (m; a1 ; : : : ; an ) = (m; a1 ; : : : ; ai ai+1 ; : : : ; an ) 1i 0. Den flgende proposisjonen er oppgave E.1.1.1 i [Lod92℄. Proposisjon 2.3 La A og A0 vre to unitale k-algebraer. Da tar HH sum p a sum:

HH (A  A0 )  = HH(A)  HH(A0 )

7

(6)

Bevis: For a vise den ovenstaende

proposisjonen ma vi ha to avbildninger

f : (A  A0 ) n ! A n  A0 n og g : A n  A0 n ! (A  A0 ) n slik at f Æ g og g Æ f er homotope med identiteten. De nerer f og g: f : (A  A0 ) n ! A n  A0 n (a0 ; a00 ) (a1 ; a01 )


(an 1; a0n 1 ) 7! (a0 a1


an 1; a00 a01


a0n 1) g : A n  A0 n ! (A  A0 ) n (a0 a1


an 1; a00 a01


a0n 1) 7! (a0; 0) (a1 ; 0) : : : (an 1 ; 0) + (0; a0 ) (0; a0 ) : : : (0; a0 )

0

1

n

1

Det kan lett vises at f og g kommuterer med randavbildningen til Ho hs hild komplekset. Videre ser vi at f Æ g = idA A0 . De nerer flgende avbildninger hi : (A  A0 ) n ! (A  A0 ) n (a0 ; a00 ) (a1; a01 )


(ai ; a0i) (ai+1; a0i+1 )


(an 1; a0n 1 ) 7! (a0 ; 0) (a1 ; 0)


(ai ; 0) (1; 0)

(ai+1; a0i+1 )


(an 1; a0n 1 ) + (0; a00 ) (0; a01 )


(0; a0i ) (0; 1)

(ai+1; a0i+1 )


(an 1; a0n 1 ) : n

n

Vi ser dermed at

b0 h0 = id(AA0 ) ; bi hj = hj 1 bi for i < j; bi hi = bi hi 1 for 0 < i  n; bi hj = hj bi 1 for i > j + 1; bn+1 hn = g Æ f: n

og hi blir dermed en presimplisiell homotopi. Hvis vi setter h = Pni=0( 1)n hi far vi bh + hb = id(AA0 ) g Æ f og g Æ f blir dermed homotop med identiteten. n

8



2.2 Relativ og birelativ Ho hs hild homologi

De nisjon 2.4 (Relativ Ho hs hild homologi) La I vre et tosidig ideal til A. Vi de nerer da komplekset C (A; I ) som ker(C (A) ! C (A=I )): (7) 0 / C (A; I ) / C (A) / C (A=I ) / 0 Den relative Ho hs hild homologien HHn(A; I ) de neres da som HHn (A; I ) = Hn(C (A; I )) : Fra den korte eksakte sekvensen (7) far vi dermed flgende lange eksakte sekvens:


! HHn(A; I ) ! HHn(A) ! HHn(A=I ) ! HHn 1(A; I ) ! : : : (8) Pa tilsvarende vis kan vi de nere birelativ Ho hs hild homologi. De nisjon 2.5 (Birelativ Ho hs hild homologi) La I og J vre to tosidige ideal i A. Vi de nerer kjedekomplekset C (A; I; J ) som den itererte kjernen til det flgende diagrammet: (Se appendiks A for de nisjonen av den itererte kjernen.) / C (A=J ) C (A)

C (A=I )

C (A=(I + J ))





/

Dette gir det flgende diagrammet hvor alle linjer og rader er korteksakte sekvenser. 0-ene i enden av de korteksakte sekvensene er ikke tatt med. / C (A; I ) / C (A=J; (I + J )=J ) C (A; I; J )

C (A; J ) 

C (A=I; (I + J )=I )

C (A) 



/

C (A=I ) 

/

9

C (A=J ) 

/

C (A=(I + J )) 

/

Vi de nerer da birelativ Ho hs hild homologi HHn (A; I; J ) = Hn(C (A; I; J )): Fra det ovenstaende diagrammet far vi den flgende lange eksakte sekvensen


! HHn(A; I ) ! HHn(A=J; I + J=J ) ! HHn 1(A; I; J ) ! HHn 1(A; I ) ! : : : : Pa tilsvarende vis kan vi de nere hyere-relativ Ho hs hild homologi ved a se pa de itererte kjernene til hyeredimensjonale kuber. Eksempel 2.6 Vi antar at I \ J = 0. Da vil vi fa flgende diagram i grad 0. /I /I 0 

J 

J

/





A /



/

A=I

A=J

A=(I + J ) 

/

Dermed ser vi at HH0(A; I; J ) = 0. Hvis vi videre antar at alle avbildningene splitter gjelder flgende kmodul isomor er: def B := A=(I + J )  = A=I \ A=J  A=I = J  B A=J  =I B A = I  J  B = A=I B A=J A=I \ J  =J A=J \ I  =I Siden alle avbildninger splitter vil dette ogsa gjelde for kjedeavbildningene, og dermed for homotopigruppene. Dette gir det flgende: HHn(A) = HHn (A=I )  HHn (A; I ) = HHn(A=J )  HHn(A; J ) = HHn(A=(I + J ))  HHn(A=I; (I + J )=I ) (9)  HHn(A=J; (I + J )=J )  HHn(A; I; J ) 10

Legg merke til at I \ J = 0 er ekvivalent med at A /

A=(I + J )



A=I

A=J 

/

er et pullba k-diagram.

2.3 Normalisert Ho hs hild homologi

Hvis A er unital er det en stor del av Ho hs hild-komplekset som er asyklisk og som dermed kan fjernes. Dette kan ofte forenkle beregningene. Vi lar Dn vre en submodul av M A n som er generert av de elementene (m; a1 ; : : : ; an) hvor minst en av ai-ene er lik 1. Dermed far vi et underkompleks D til Ho hs hild-komplekset. Videre setter vi A = A=k. Da er M A n=Dn = M A n. Det komplekset vi far da kaller vi det normaliserte Ho hs hild-komplekset og vi skriver det som C (A; M ) eller C (A) hvis A = M . Proposisjon 2.7 Komplekset D er asyklisk og avbildningen C (A; M ) ! C (A; M ) er en kvasi-isomor . For bevis se: [Lod92℄. Vi kan videre de nere det normaliserte relative Ho hs hild-komplekset C (A; I ) som C (A; I ) = ker(C (A) ! C (A=I )) . Proposisjon 2.8 Avbildningen f : C (A; I ) ! C (A; I ) er en kvasi-isomor . Bevis: Vi setter  (A) = H(C (A)); HH og tilsvarende   (A; I ) = H(C (A; I )) : HH Da vil vi ha flgende lange eksakte sekvenser fra (8), med isomor er: / HHn (A=I ) / HHn 1 (A; I ) / HHn 1 (A) / HHn 1 (A=I ) HHn(A) =

 (A )

 HH n

/

=

 n(A=I ) HH 

/

f

 n 1(A; I ) HH 

11



/ HH n



 =

 =

 n 1(A=I ) 1 (A) / HH 

Fra det ovenstaende diagrammet og 5-lemmaet far vi at f er en isomor og dermed at f er en kvasi-isomor .



Dette argumentet kan utvides pa tilsvarende vis til a gjelde for bi- og hyere-relativ Ho hs hild homologi. 2.4 Tensor-algebra De nisjon 2.9 (Tensor-algebra)

La V vre en k-modul. Videre lar vi  V 2




A = T (V ) = k  V

vre tensor-algebraen til V . Elementet (v1


vn) 2 V n sies a vre av lengde n og skrives v1 : : : vn. Produktet i T (V ) er gitt ved  : V n V m ! V (m+n) 0 )) = v1 : : : vn v0 : : : vm ((v1 : : : vn )(v10 : : : vm 1 Videre lar vi  sta for den sykliske permutasjonen. Det vil si at  (a1 a2 : : : an ) = an a1 : : : an 1 : Teorem 2.10 For en vilk arlig k-modul V har vi at Ho hs hild homologi til A = T (V ) er

HH0 (A)  = HH1 (A)  =

X m0 X m1

)  =

V m =(1 V

m


X m0

V m




HHn (A) = 0 n  2 :

Bevis: For bevis se [Lod92℄, 3.1.4.



Vi lar V og W vre k-moduler, og k vre en kropp av karakteristikk 0. Videre setter vi A = T (V ) k T (W ), gitt ved flgende pushout-kvadrat. / T (V ) A T (W ) 

/

12



k

Vi de nerer

I = ker(A ! T (W )) J = ker(A ! T (V )) :

Vi har da flgende resultater.

Teorem 2.11 Hvis vi antar at k er en kommutativ ring med enhet har vi

Bevis: Se kapittel 3.

HH0 (A; I; J ) = 0 HH1 (A; I; J )  =V  HH2 (A; I; J ) = V

W

W 

Teorem 2.12 Hvis vi antar at k er en Q -algebra f ar vi flgende Ho hs hild

homologi.

HH0 (A; I; J ) = 0 HH2n (A; I; J )  = HH2n 1(A; I; J ) = (V

Bevis: Se kapittel 3.

W ) n

n>0



Beregningene i forbindelse med beviset i neste kapittel viser at hvis k ikke er en Q -algebra, sa kan vi fa ere summander i HH(A; I; J ) i tillegg til den vi har hvis k er en Q -algebra. Men for alle x 2 HH(A; I; J ) hvor x er i et av de ekstra leddene sa vil det nnes en q 2 k slik at qx = 0. Korollar 2.13 For k-moduler V og W , hvor k er en Q -modul f ar vi at Ho hs hild homologien til A = T (V ) k T (W ) blir

HH0 (A)  =k

HH1 (A)  =

X m1

X

m1

V m =(1

V m






) 

X

m1 X
W m 

m1

HH2 (A)  =V W HH2n (A)  = HH2n 1(A) = (V

W ) n

W m =(1

)

V W n2

Dette far ved a sette resultatene fra de to ovenstaende teoremene inn i (9). Legg merke til at V 0 =(1  )  =k slik at X HH0(T (V ); I )  = ker(HH0(T (V )) ! HH0(k)) = V m=(1  ):

Bevis:

m1

13



Hvis vi lar V vre fri over k av rang 1 og med generator x, vil T (V ) vre polynom-algebraen k[x℄. Tilsvarende lar vi T (W ) vre k[y℄. Da blir T [V ℄ k T [W ℄ = k[xy℄=xy (altsa koordinataksene), I = xk[x℄ og J = yk[y℄. Hvis vi setter inn i resultatet i teorem 2.12 og antar at k er en Q -algebra far vi HH0 (A; I; J ) = 0 HHn(A; I; J )  =k n>0: Videre vet vi fra eksempel 2.2 at HH0 (k)  =k HHn (k) = 0 n>0 Og fra 2.10 har vi at HH0 (k[x℄)  = HH1(k[x℄) = k[x℄ HHn(k[x℄) = 0 n>1: Dermed far vi fra ligning (9) HH0 (k[xy℄=xy)  = k  xk[x℄  yk[y℄  HH1 (k[xy℄=xy) = k  k[x℄  k[y℄ HHn (k[xy℄=xy)  =k n>1: (Dette resultatet stemmer overens med [GRW89℄.) Eksempel 2.14

14

3

Bevis teorem 2.12

Heretter vil V og W vre k-moduler. Videre i dette kapittelet skal vi se pa beregninger av Ho hs hild homologi til A = T (V ) k T (W ), gitt ved det flgende pushout-kvadratet: / T (V ) A T (W ) 

Videre de nerer vi Vi ser at dette medfrer at

/



k

I = ker(A ! T (W )) J = ker(A ! T (V ))

I = ker(T (V ) ! k) J = ker(T (W ) ! k) :

Legg merke til at siden I \ J = 0 sa vil for alle v 2 V; w 2 W; vw = 0 i A. Vi skal vise at HH0 (A; I; J ) = 0 HH2n(A; I; J )  = HH2n 1(A; I; J ) = (V W ) n Dette vil vi gjre ved a se pa komplekset C (A; I; J ). Frst vil vi dele dette komplekset opp i mange underkompleks, og deretter vil vi vise at de aller

este av disse underkompleksene blir asykliske. Det vil vise seg at fora kunne bevise resultatet over sa ma vi anta at k er en Q -algebra. Vi far flgende diagram for beregning av birelativ Ho hs hild homologi. / C (A; I ) / C (T (V ); I ) C (A; I; J ) C (A; J ) 

C (T (W ); J ) 

/C

(A) 

C (T (W ))

C (T (V )) 

/



/

15

C (k) 

/

Dermed kan vi uttrykke det n-te leddet i kjedekompleksene i det ovenstaende diagrammet som flger. Her er Bi enten V j eller W l . Vi setter ogsa V 0 = k, og lar i = 1 : : : n. i

Cn (A) = (k  V

 V 2 


 W  W 2  : : : ) (n+1) =

Cn (k) = k k


k  =k Cn (T (V )) = (T (V )) (n+1)  =

n M O

(

n M O

(

ji ;li 2N i=0

Bi )

V j )

ji 2N i=0 n M O

Cn (T (W )) = (T (W )) (n+1)  =

i

(

ji 2N i=0

i

W j ) i

Ved a se pa kjernene til avbildningene far vi flgende. n M O

Cn (T (V ); I )  =

P j2>N0

(

i=0

ji

V j ) i

i

Cn (T (W ); J )  =

n M O

(

P j2>N0 ji

i=0

W j ) i

i

Cn (A; I )  =

n M O

(

P j 2>N0 ji ;li

i=0

Bi )

i

Cn (A; J )  =

n M O

(

P l >0 ji ;li

2N i=0

Bi )

i

Cn (A; I; J )  =

M

P j >0;

ji ;li

i

2PN

(

li >0

n O i=0

Bi )

HHn (T (V )) og HHn (k) er kjent (se kapittel 2). Dermed kan vi ogs a enkelt beregne HHn(T (V ); I ). Det vi mangler da fora kunne beregne HHn(A) er homologien til komplekset Cn(A; I; J ). Vi vil videre kun se pa de normaliserte kompleksene. Det vil si at vi vil se bort fra alle summander hvor k forekommer noen annen plass i produktet enn i det frste elementet (som B0). Vi vil ogsa unnlate a skrive nar dette ikke kan fre til misforstaelser. For eksempel vil vi skrive kV 2W i stedet for k V 2 W . Lemma 3.1 HH0 (A; I; J ) = 0

16

Bevis: Siden alle summander i C (A; I; J ) skal inneholde bade et V -element og et W -element ma C0 (A; I; J ) = 0. (Dette er samme resultat som vi kk i eksempel 2.6).

Vi far videre at C1 (A; I; J ) =



M

V j Wl i

li ;ji >0

i



M li ;ji >0

Wj V l : i

i

Summandene til Cn(A; I; J ) vil for n > 1 kunne deles opp i to grupper, avhengig av om summanden inneholder k. Legg ogsa merke til at de summandene i Cn som inneholder k vil vre nyaktige kopier av de summandene i Cn 1 som ikke inneholder k, med k satt foran. For eksempel vil V V W i C2 (A; I; J ) tilsvare kV V W i C3 (A; I; J ). Randavbildningene b vil vre de vanlige Ho hs hild-rendene, og vil kunne skrives pa simplisiell form som i (5). Legg merke til at bi blir ulik 0 for et enkeltledd i to tilfeller.  Hvis det frste elementet er k, vil b0 og bn bli ulik 0.  Hvis bade ledd Bi og Bi+1 begge er V -ledd eller begge er W -ledd vil bi bli ulik 0 og vil vre p a formen bi : : : : V j V j +1


! : : : V j +j +1 : : : : Legg ogsa merke til at hvis summanden ikke inneholder k og B0 og Bn er begge V - eller W -ledd sa vil bn vre ulik 0. Eksempel 3.2 For summanden V V W W V vil b0 , b2 og b4 vre ulik 0. i

i

i

i

Lemma 3.3 De simplisielle randavbildningene begrenset til en enkeltsummand vil vre isomor er hvis de er ulik 0. Bevis: Dette kommer av at vi regner med tensoralgebraer. v2 v3 w egentlig er v1 (v2 v3 ) w).

(Husk at v1



Alle underkompleksene som vi skal se pa vil ogsa ha denne strukturen pa summandene og randavbildningene. De nisjon 3.4 For en summand i Cn (A; I; J ) sier vi at total lengde til summanden er summen av lengdene til alle V - og W -elementene. Eksempel 3.5 kV 2 V W 3 har total lengde 6. 17

De nisjon 3.6 C n(A; I; J ) er underkomplekset til C (A; I; J ) hvor alle sum-

mander har total lengde n. C n(A; I; J ) er virkelig et underkompleks siden

Lemma 3.7 Randavbildningen b bevarer total lengde. Eksempel 3.8 C 2 (A; I; J ) vil vre flgende kompleks:

0 kV W

 kW V

VW

 WV



b



0 Heretter vil X vre en sekvens med n elementer B0 : : : Bn 1, hvor Bi enten er V j eller W j med ji > 0. De nisjon 3.9 En gruppe i X vil vre en sekvens av etterflgende V - eller W -elementer. Hvis b ade frste og siste element er et V eller W -element vil disse ogsa tilhre samme gruppe. Eksempel 3.10 V 2 V V W W V W V bestar av 4 grupper, hvor den frste gruppen bestar av de frste V -leddene, samt det siste V -leddet. De nisjon 3.11 Hvis Bi = V j og Bi+1 = V j +1 , eller hvis Bi = W j og Bi+1 = W j +1 har vi en sekvens Y som vi skriver B0 ; : : : ; (Bi ; Bi+1 ); : : : Bn 1 med n 1 ledd hvor Bi og Bi+1 er slatt sammen. Det vil si at hvis for eksempel Bi = V j og Bi+1 = V j +1 sa er (Bi; Bi+1 ) = V j +j +1 . Vi sier da at Y er en sammentrekning av X . Legg merke til at for en sammentrekning Y = B0; : : : ; (Bi ; Bi+1 ); : : : Bn 1 av X sa vil den tilsvarende simplisielle randavbildningen bi : X != Y vre en isomor . De nisjon 3.12 Pa tilsvarende vis kan vi danne en p-sammentrekning Y av X ved at vi foretar p sammentrekninger av X . Vi ser at Y vil ha (n p) elementer. Eksempel 3.13 Hvis X = V V V W W V V vil V 2 V W 2 V V vre en 2-sammentrekning til X som tilsvarer b0 Æb2 og V 2V V W W V vre en 1-sammentrekning til X som tilsvarer b0 . 

i

i

i

i

i

i

i

i

i

18

i

De nisjon 3.14 Sammentrekningsgraden til en sekvens X de neres som antall mulige sammentrekninger til X , det vil si antall simplisielle render pa X som blir ulik 0. Eksempel 3.15 V V V W W V V har sammentrekningsgrad 5. De nisjon 3.16 Vi de nerer komplekset C (X ) som det underkomplekset til C (A; I; J ) som inneholder X , sykliske permutasjoner  iX , alle sammentrekninger av disse, samt alle disse leddene utvidet med en k foran. Eksempel 3.17 C (V V W ) vil vre det flgende komplekset. 0 kV V W

 kW V V  kV W V 

b

V V W  WV V

 V W V  kV 2W  kW V 2 

b

V 2W

 WV 2 

0 La Y = B0 : : : (BiBi+1) : : : Bn 1 vre en sammentrekning av X tilsvarende bi. Vi har da en inklusjon C (Y ) ,! C (X ). Vi de nerer da kvotientkomplekset C~Y (X ) = koker(C (Y ) ,! C (X )). Vi ser at C~Y (X ) blir kvotientkomplekset til C (X ) hvor avbildningene som tilsvarer bi pa X settes lik 0. Videre kan vi danne en kjedeavbildning av grad -1 i : C~ (X ) ! C (Y ) som avbilder et en summand i C~Y (X ) pa den tilsvarende summanden i C (Y ) hvor elementene tilsvarende Bi og Bi+1 er slatt sammen, og med fortegn korrigert etter posisjon (se neste eksempel). Elementene i kBi+1 : : : Bi avbildes pa 0. Heretter vil jeg kalle en slik avbildning for en multiplikasjon. Eksempel 3.18 Vi setter X = B0 B1 B2 B3 B4 og antar at b0 , b2 og b4 er ulik 0. Videre lar vi Y = (B0B1 )B2 B3B4. Vi danner da 0 : C~Y (X ) ! C (Y ) 

19

ved at 0 virker pa enkeltsummander som 0 : k i X ! k i Y k0  i (b0 b1


b4 ) 7! ( 1)i+1 k0  i (b0 b1


b4 ); 0  i < 4 k0 b1


b4 b0 7! 0 0 :  i X !  i Y  i (b0 b1


b4 ) 7! ( 1)i  i (b0 b1


b4 );

0i n 1 ( ( 1)j l  iT +f g(X ) i+j +l n 1 j ( i T (X )) = j l + j U j i 1 ( 1)  T +f g (X ) i + j + l > n 1 j

j

j

j

j

Kanten C^T0 (T (X ))[p jT j℄ ! C^ 0(T +f g (X ))[p jT j 1℄ er representert ved ( 1)p jT jj . Legg merke til at det er forskjell mellom symbolet T (X ) i X og T (X ) i C (X ), som vist i det flgende eksempelet: Eksempel 3.22 Hvis vi setter X = V V W V V W sa vil ; (X ) = X i C (X ). Videre vil  3X = X i C (X ), men vi har ikke at  3;(X ) = ;(X ) i X . Videre er C 0(0 (X )) = C 0(3 (X )) som kvotientkompleks av C (X ), mens de er to forskjellige kompleks i X . Lemma 3.23 Hvis Y er en sekvens med m elementer som er slik at  i Y 6= Y for en i 2 [1; m 1℄, s a vil C^ 0 (Y )  = C 0 (Y ). Bevis: Vi ser fra de nisjonen av C 0 (Y ) at hvis  i Y 6= Y for i 2 [1; m 1℄, sa vil C 0(Y )m ha m summander, tilsvarende til det som C^ 0(Y ) har. Dette vil ogsa gjelde for C 0(Y )n 1. Videre ser vi at randavbildningene per de nisjon er de samme i begge kompleksene. j



Spesielt vil vi ha at Korollar 3.24 Hvis X er slik at  i X 6= X for i 2 [1; n

1℄, sa vil for alle 0 0  ^ T  S , C (T (X )) = C (T (X )). Bevis: Dette kommer direkte fra foregaende lemma hvor vi observerer at hvis X er slik at  iX 6= X for i 2 [1; n 1℄, sa vil  i T (X ) 6= T (X ) for i 2 [1; n jT j 1℄.



Vi lar Y vre en sekvens med m elementer som er slik at  iY = Y for en i 2 [1; m 1℄, og i er det laveste tallet med denne egenskapen. Fra gruppeegenskapene til  vet vi at i = n=p og at Y =  i Y =  2iY =


=  (p 1)iY . 22

Dette medfrer at vi kan lage en kjedeavbildning fY : C 0(Y ) ! C^ 0(Y ) som avbilder C 0(Y ) pa p \kopier" av C 0(Y ) ved at for y 2 Y , k0 2 k p 1 M

fY : k  j Y

!

fY (k0

 jy

fY ( j y) =

l=0

)=

p 1 X l=0

k  j +li Y p 1 X l=0

k0  j +liy

 j +li y

Videre vil vi hvis C (T (X )) = C (U (X )) i C (X ) for T; U  S , hvor T 6= U ogs a ha en avbildning C 0(T (X )) ! C^ 0(U (X )), som vil vre en isomor eller en avbildning pa ere summander, avhengig av om U (X ) =  iU (X ) for i 2 [1; : : : ; n jU j 1℄. Eksempel 3.25 (Konstruksjon av kube) I tilfellet X = V V V W W V W er det 3 mulige enkle multiplikasjoner, nemlig 0 : V V V W W V W ! V 2 V W W V W 1 : V V V W W V W ! V V 2 W W V W 3 : V V V W W V W ! V V V W 2V W: Videre er det tre muligheter for doble multiplikasjoner, nemlig 0 1 : V V V W W V W ! V 3 W W V W 0 3 : V V V W W V W ! V 2 V W 2 V W 1 3 : V V V W W V W ! V V 2 W 2 V W: Til slutt har vi en mulighet for tre multiplikasjoner, 0 1 3 : V V V W W V W ! V 3 W 2 V W:

23

Dermed ser vi at V V V W W V W tilsvarer flgende kube:  C 0(V V V W W V W )[ 3℄ 0 / C 0 (V 2 V W W V W )[ 2℄     1       

C 0 (V V 2 W W V W )[

    1       

3 0 /

2℄

C 0 (V 3 W W V W )[

1℄

3

3 3

C 0 (V V V W 2 V W )[

2℄



    1         

C 0 (V V 2 W 2 V W )[

1℄

0 /

0

C 0(V 2 V W 2 V W )[ 

/

    1        

1℄

C 0 (V 3 W 2 V W )

Hvis vi beregner den totale avbildningskjeglen M (X ) til kuben X som vi konstruerer som over far vi Lemma 3.26 Hvis X er slik at  i X 6= X for i 2 [1; n 1℄, s a vil C (X )  = M (X ) hvor X er kuben konstruert fra X . Bevis: Fra konstruksjonen av kuben ser vi at nodene i kuben tilsvarer alle mulige kvotientkompleks C 0(Y ) i C (X ). Videre vet vi fra lemma 3.23 at vi har en isomor C 0(Y ) ! C^ 0(Y ). Dermed far vi fra de nisjon 1.14 og konstruksjonen av kuben at C (X ) = M (X ) som graderte k-moduler. Videre ser vi fra de nisjon 1.14 at randavbildningen til en summand i avbildningskjeglen M (X ) blir lik randavbildningen i kvotientkomplekset C 0 (Y ) som summanden tilhrer, samt alle avbildninger ut fra noden. Som vi har sett fr tilsvarer rendene i C 0(Y ) de simplisielle randavbildningene hvor det ganges med k, mens avbildningene ut fra noden er multiplikasjoner som tilsvarer de resterende randavbildningene. 

Vi skal na regne videre pa M (X ), men frst vil vi vise at det for alle X nnes en kjedeavbildning C (X ) ! M (X ), og at vi dermed kan si en god del om Ho hs hild homologien til C (Y ) ut fra Ho hs hild homologien til M (X ). Lemma 3.27 La X vre slik at  i X = X , hvor i er minst mulig. Videre setter vi p = n=i. For enhver summand  i Y i C (Y ), hvor Y er en sammentrekning av X , nnes det da p kopier av  i Y i M (X ). 24

Vi vet fra de nisjonen pa C^ 0(X ) at den inneholder p kopier av X . Vi vet ogsa vi har en isomor X ! Y hvor Y er en sammentrekning av X . Tilsvarende isomor er nnes i C^ 0(X ). Dermed ma det for enhver Y i C (X ) nnes p kopier i C^ 0(X ), hver tilsvarende en av de p kopiene av X . Bevis:



Vi kan dermed lage en avbildning f som avbilder et element i C (X ) pa alle kopiene av elementet i M (X ). Lemma 3.28 f er en kjedeavbildning.

Bevis: Som vi har sett tidligere tilsvarer randavbildningene i M (X ) de van-

lige Ho hs hildrendene. For en summand Y i C (X ) vil vi ha p kopier av denne i M (X ). Videre vil bY ogsa ha p kopier M (X ). Siden randavbildningene i M (X ) tilsvarer de vanlige randavbildningene ma kopiene av Y i M (X ) avbildes p a kopiene av bY i M (X ). Dermed vil f kommutere med b: y

f /

Pp 1 ji j =0  y b

b 

by

f /

Pp 1 ji j =0  by 



Videre kan vi de nere \evaluasjonsavbildningen" g : M (X ) ! C (X ). Denne de neres ved at  iU (X ) 2 M (X ) avbildes pa  iU (X ) evaluert i C (X ). Siden vi kun har ett valg for hvor en enkeltsummand Z i M (X ) kan havne i C (X ) og kun et valg for hvor bZ kan havne ser vi fra hvordan b er de nert pa M (X ) at g ma vre en kjedeavbildning. Dermed ser vi at Lemma 3.29 g Æ f = p
id. P P Bevis: g(f (y)) = g( pj =01  ji y) = pj =01 y = p
y. 

Vi far dermed flgende lemma: Lemma 3.30 Hvis p = 1 s a vil M (X ) asyklisk medfre at C (X ) er asyklisk. Bevis: Hvis vi ser pa den induserte avbildningen ser vi pa grunn av funktorialitet at hvis H(M (X )) er asyklisk sa vil (g Æ f ) = 0. Videre vil for et element x 2 H(C (X )) (g Æ f )(x) = p
id(x) = px : Noe som medfrer px = 0. 25

 Lemma 3.31 Hvis k er en Q -algebra s a vil M (X ) asyklisk medfre at C (X ) er asyklisk, uavhengig av X .

Bevis: Hvis k er en Q -algebra p2k

og x 2 Z slik at px = 0.

og Z er en k-modul sa vil det ikke eksistere 

Lemma 3.32 For vilk arlig k vil H1 (M (X )) = 0 implisere H1 (C (X )) = 0, og H2 (M (X )) = 0 implisere H2 (C (X )) = 0. Bevis: Det frste Y -leddet hvor p > 1 ma minst ha 2 V grupper og 2 W

grupper. Dermed vil Cj (Y ) = 0 for j < 3. Videre ser vi at avbildningen ! C3(Y ) er surjektiv siden vi for hvert ledd i Z~ i C3 (Y ) vil ha et ledd i Z i C4(Y ) med Z~ = bZ . Dette kommer av at leddene i C4(Y ) uten k element har sammentrekningsgrad 1. Dermed vil C (Y ) ikke gi noe bidrag til homologien i grad  2.

C4 (Y )



Vi vil na se nrmere pa M (X ). Vi vil konstruere en eksplisitt homotopi som viser at hvis X er en q-kube, hvor q  1 sa vil M (X ) vre asyklisk. Hvis vi ser pa en 1-kube vil dette vre en avbildning mellom to kjedekompleks f : C^ 0(Y )[ q℄ ! C^ 0(Z )[ (q 1)℄, hvor Z er en 1-sammentrekning av Y og Y har m elementer. Skriver vi ut dette far vi flgende diagram av k-moduler: 0 0 C^ 0 (Y )[ q℄m 

q

/

bY

C^ 0(Z )[ q℄m

C^ 0 (Z )[ (q 

f2

1)℄m

q

bZ



q

1

^ (Z )[ (q 1)℄m 

f1 / 0 C

q

1

0 0 Heretter antar vi at q er odde. For q like, er beregningene det samme, men bY og bZ skifter fortegn. Som vi har sett over vil C^ 0(Y )[ q℄n p vre en direkte sum av m = n p + q summander, som jeg vil kalle k Y1 : : : k Ym . 



C^ 0 (Y )[ q℄n

p

=

26

m M i=1

k Yi

Jeg vil ordne nummereringen slik at Y1 er den summanden hvor f slar sammen er de to frste elementene, og videre nummerer jeg slik at Yi =  iY1. Vi ser at m M Yi C^ 0 (Y )[ q℄n p 1 = i=1

Pa tilsvarende vis vil C^ 0(Z )[ (q 1)℄n p og C^ 0(Z )[ (q 1)℄n en direkte sum av m 1 summander. C^ 0 (Z )[ (q C^ 0 (Z )[ (q

1)℄n p = 1)℄n

p

1=

m M1

i=1 m M1 i=1

p

1 vre

k Zi Zi

Vi nummererer slik at f1(yi) 2 Zi, for yi 2 Yi. Vi ser at bade  og de simplisielle randavbildningene bi som er ulik 0 alle er isomor er pa enkeltsummander og vi far dermed at k Yi  = kYj = k Zl = Zh: Dermed vil ethvert element i en av enkeltsummandene i de ovenstaende modulene tilsvare et entydig element i Y0. For i = 1 : : : m velger vi yi 2 k Y i yi0 2 Yi zi 2 k Zi zi0 2 Zi

slik at for en bestemt y0 sa er yi =  i y0 yi0 = b0 (yi ) zi = ( 1)i+1 f2 (yi ) zi0 = ( 1)i f1 (yi0 ) (= b0 (zi )) Randavbildningene blir da bY : yi 7! yi0 + ( 1)m+1 yi0+1 0i