Histoire de Math [PDF]

Zitiervorschau

Eléments d’histoire de l’arithmétique

mardi 20 septembre 2011

Eléments d’histoire de l’arithmétique Margarita Philosophica, de Gregor Reisch (1508)

mardi 20 septembre 2011

Arithmétique S. f. (Ordre encycl. Entend. Raison, Philos. ou Science, Science de la Nat. ou des êtres, de leurs qualités abstraites, de la quantité, ou Mathémat. Matth. pures, Arithmétique.) Ce mot vient du grec, nombre. C'est l'art de démontrer, ou cette partie des Mathématiques qui considere les propriétés des nombres. On y apprend à calculer exactement, facilement, promptement. Voyez NOMBRE. Jean Le Rond d’Alembert, Art. Arithmétique de l’Encyclopédie (2e moitié XVIIIe siècle).

mardi 20 septembre 2011

Nous appelons Arithmétique l’étude élémentaire des propriétés des nombres entiers et des nombres rationnels, établies avant le XVIIIe siècle, et Théorie des nombres les développements nés des recherches précédentes à partir de ce XVIIIe siècle. Mais il n’y a pas de frontière bien précise entre ces deux domaines.

Jean Itard, Arithmétique et Théorie des nombres, Que sais-je ? 1963

L' Arithmétique a un domaine qui lui est propre, la théorie des nombres entiers : cette théorie n'a été que très légèrement ébauchée par Euclide et n'a pas été cultivée par ses successeurs (à moins qu'elle n'ait été renfermée dans les livres de Diophante dont l'injure du temps nous a privés); les arithméticiens ont donc à la développer ou à la renouveler. Pierre Fermat, 1657

mardi 20 septembre 2011

Nous appelons Arithmétique l’étude élémentaire des propriétés des nombres entiers et des nombres rationnels, établies avant le XVIIIe siècle, et Théorie des nombres les développements nés des recherches précédentes à partir de ce XVIIIe siècle. Mais il n’y a pas de frontière bien précise entre ces deux domaines.

Jean Itard, Arithmétique et Théorie des nombres, Que sais-je ? 1963

L' Arithmétique a un domaine qui lui est propre, la théorie des nombres entiers : cette théorie n'a été que très légèrement ébauchée par Euclide et n'a pas été cultivée par ses successeurs (à moins qu'elle n'ait été renfermée dans les livres de Diophante dont l'injure du temps nous a privés); les arithméticiens ont donc à la développer ou à la renouveler. Pierre Fermat, 1657

mardi 20 septembre 2011

Mathematical Subject Classification 2010 • « arithmetic » n’est pas une division principale

• apparaît dans des titres de sous-division (« models of arithmetic » (03C62, dans Mathematical Logic), «arithmetic functions» (11K65), dans Number Theory, ...)

mardi 20 septembre 2011

Un exemple de classification des mathématiques Les Pythagoriens ont jugé bon de diviser la science mathématique entière en quatre parties. Ils ont rattaché l’une à la quotité [«combien nombreux»], l’autre à la quantité [« combien grand »] et ont établi chacune de ces parties en double […] Ils ont ainsi convenu que l’arithmétique considère la quotité en elle-même ; que la musique la considère par rapport à une autre ; que la géométrie considère la quantité comme étant immuable et que la sphérique la considère comme se mouvant sur elle-même. […] Mais certains, tels que Géminus, prétendent, au contraire, diviser la science mathématique d’une autre manière. […] Ils déclarent que l’arithmétique et la géométrie sont les deux premières et plus importantes parties de la mathématique qui traitent des choses intelligibles, et que les six parties de la mathématique ayant leur fonction dans les choses sensibles sont la mécanique, l’astrologie, l’optique, la géodésie, la canonique et la logistique. Par contre ils pensent que la tactique ne doit pas être comptée, […] ils pensent encore davantage que ni l’histoire, ni la médecine ne sont des branches de la mathématique […] Proclus, Commentaires sur le Premier Livre des Eléments d’Euclide, Prologue (trad. P. ver Eecke),Ve s.

mardi 20 septembre 2011

Enumération des sciences, d’après al-Fârâbi (IXe s.)

• La science du langage • La science de la logique • La science des préliminaires • La science de la nature • La science du divin • La science de la société mardi 20 septembre 2011

La science des préliminaires

• Arithmétique (pratique, théorique) • Géométrie (pratique, théorique) • Optique • Astronomie, astrology • Musique (pratique, théorique) • Science des poids • Science des machines, mécanique mardi 20 septembre 2011

Relations entre classifications et développement des mathématiques

• compliquées ! • parfois classifications suivent le changement (ou certains changements)

• parfois informent, voire contraignent en partie le développement

• nombres : interactions entre arithmétique,

géométrie et analyse (=>nombres réels), arithmétique et algèbre, analyse, géométrie => complexes), etc.

mardi 20 septembre 2011

Catalogue of Scientific Papers 1800-1900

mardi 20 septembre 2011

Arithmétique dans les Eléments d’Euclide ?

• Euclide (-3e s., Alexandrie) • Eléments : 13 livres • Manuscrits complets du 9e s., fragments antérieurs

• Livres 1 à 6= géométrie plane (et

rapports entre grandeurs), Livres 7 à 9 = «arithmétique», Livre X = incommensurables, Livres XI-XIII = géométrie solide

mardi 20 septembre 2011

Arithmétique dans les Eléments d’Euclide ? Début du livre VII (trad. Peyrard)

mardi 20 septembre 2011

Euclide : ΣΤΟΙΧΕΙΑ (Éléments) – Livre VII, Prop. 1

Deux nombres inégaux étant proposés et le plus petit étant retranché du plus grand de façon réitérée et en alternance, si le reste ne mesure jamais le reste précédent jusqu’à ce qu’il reste une unité, les nombres initiaux seront premiers entre eux. Texte établi par Heiberg, trad.Vitrac

mardi 20 septembre 2011

Trad. Peyrard

mardi 20 septembre 2011

Nombre: se dit vulgairement dans l’arithmétique d’une collection ou assemblage d’unités ou de choses de même espèce. M. Newton définit plus précisément le nombre, non pas une multiplicité d’unités comme Euclide mais le rapport abstrait d’une quantité à une autre de même espèce, que l’on prend comme unité ; d'après cette idée, il divise les nombres en trois especes, savoir, nombres entiers, c'est-à-dire, qui contiennent l'unité ou certain nombre de fois exactement & sans reste, comme 2, 3, 4, &c. , nombres rompus ou fractions (voyez FRACTION), & nombres sourds ou incommensurables, voyez INCOMMENSURABLE. Les nombres commensurables sont ceux qui ont quelque autre nombre qui les mesure, ou qui les divise sans aucun reste. Les nombres commensurables sont proprement les seuls et vrais nombres. En effet, tout nombre renferme l’idée d’un rapport... et tout rapport réel entre deux quantités suppose une partie aliquote qui leur soit commune... √2 n’est pas un nombre proprement dit, c’est une quantité qui n’existe point et qu’il est impossible de trouver. Les fractions même ne sont des nombres commensurables que parce que ces fractions représentent proprement des entiers [en prenant les parts pour véritable unité]. Art. Nombre, Encyclopédie de (Diderot et) d’Alembert, 2e moitié XVIIIe s.

mardi 20 septembre 2011

Thèmes arithmétiques •

Apparition des nombres entiers abstraits, systèmes métrologiques

•

Autres types de nombres (négatifs, fractions, décimaux, complexes, ...)

• • •

Noms des nombres

• •

Opérations ? Analogies ?

•

Problèmes dont les solutions sont des nombres

•

Systèmes numériques Opérations sur les entiers (lesquelles ? comment ?) 0, 1 ? Définitions de N

mardi 20 septembre 2011

Classements des entiers (nombres figurés, carrés, premiers, ...), propriétés

EGYPTE -3300 à -300 Etiquettes, seulement quelques Papyri conservés (Moscou, Rhind, ...) Tables, problèmes syst. num. : base 10 Réf. : J. Ritter, Chacun sa vérité, in M. Serres, Eléments d’histoire des sciences, Bordas, 1989, p. 39-61

mardi 20 septembre 2011

PAPYRUS RHIND Copie vers -1600 par un scribe («Ahmès») d’un texte du Moyen Empire (c. -1800) Tables (2 x inverses, ...) et problèmes

mardi 20 septembre 2011

Titre du pRhind

Original

mardi 20 septembre 2011

Titre du pRhind m xt tp-Hzb n hAt ! rx ntt nbt znkt […] SAt nbt jw jzt grt zpXr•n•tw Sfdw pn m HAt-zp 33 Abd 4 Ax[t Xr Hmn nzw-]bjt æA-Wzr-Ra dj anx m znrt r Sz n jzwt jry m haw n[zw-bjt Nj-MA]at-[Ra] jn Sz JAH-mz zpXr znn pn

Traduction

dans les choses, 1L’excellente méthode afin d’entrer ! de savoir toute chose qui existe, [toute] obscurité, […] tout secret. Or 2on a recopié ce rouleau en l’an 33, mois 4 d’et[é, sous la Majesté du roi de Haute et] de Basse Égypte Apophis Ier, doué de vie, conformément à l’écrit 3des temps anciens, fait au temps du r[oi de Haute et de Basse Égypte Amen-]m[-hat]. C’est le scribe Yah-mes qui a recopié ce livre.

mardi 20 septembre 2011

mardi 20 septembre 2011

pRhind 26

mardi 20 septembre 2011

pRhind 26 Une quantité; son 4 lui a été ajouté. Elle est devenue 15. Calcule à partir de 4. Tu feras leur 4 : 1. Total: 5. Calcule à partir de 5 pour trouver 15. \1 5 \2 10 3 en résultera Calcule à partir de 3, 4 fois. 3 1 6 2 \4 12 12 en résultera La quantité Son 4 Total 15 mardi 20 septembre 2011

12 3

1 4

12 3

pRhind 27

mardi 20 septembre 2011

pRhind 27 Une quantité. Son 5 lui a été ajouté. Elle est devenue 21. [Calcule à partir de 5. Tu feras leur 5 : 1. Total 6.]

[Calcule à partir de 6 pour trouver 21.]

[ [Calcule à partir de

]

, 5 fois.] La quantité Son 5 Total

mardi 20 septembre 2011

21

pRhind 27

mardi 20 septembre 2011

pRhind 34

mardi 20 septembre 2011

pRhind 34 Une quantité, sa 2 et son 4 lui ont été ajoutés. Elle est devenue 10.

[Calcule à partir de trouver 10.]

Vérification

, pour

Total



Le reste est



8

4

4

Total : la quantité

mardi 20 septembre 2011

c’est 14



7 Total 21

2

2

1

Difficultés et Tables Tout choix d’une technique mathématique facilite certaines opérations mais rend difficile d’autres.

Pour résoudre les difficultés les plus grandes, on utilise ici des tables.

Le pRhind contient deux tables : ‘2 : N’ (doublement des fractions impaires) ‘2/3’ (les 2/3 d’une fraction). mardi 20 septembre 2011

La table 2 : N

pUC 32159 (Lahun) mardi 20 septembre 2011

HISTOIRE DES SCIENCES MATHÉMATIQUES MASTER MATHEMATIQUES ET APPLICATIONS : ENSEIGNEMENT ET FORMATION

mardi 27 septembre 2011

Eléments d’histoire de l’arithmétique Margarita Philosophica, de Gregor Reisch (1508)

mardi 27 septembre 2011

Nous appelons Arithmétique l’étude élémentaire des propriétés des nombres entiers et des nombres rationnels, établies avant le XVIIIe siècle, et Théorie des nombres les développements nés des recherches précédentes à partir de ce XVIIIe siècle. Mais il n’y a pas de frontière bien précise entre ces deux domaines.

Jean Itard, Arithmétique et Théorie des nombres, Que sais-je ? 1963

L' Arithmétique a un domaine qui lui est propre, la théorie des nombres entiers : cette théorie n'a été que très légèrement ébauchée par Euclide et n'a pas été cultivée par ses successeurs (à moins qu'elle n'ait été renfermée dans les livres de Diophante dont l'injure du temps nous a privés); les arithméticiens ont donc à la développer ou à la renouveler. Pierre Fermat, 1657

mardi 27 septembre 2011

ARITHMÉTIQUE Terminologie confuse : arithmétique, arithmétique supérieure/avancée, théorie des nombres Selon les auteurs : problèmes concernant les nombres entiers, les nombres entiers et rationnels, « leurs généralisations » (ex : points à coordonnées rationnelles sur des courbes, …) Plus ou moins proches d’autres domaines (algèbre, analyse, combinatoire, probabilités, ...) Ex: Cours d’arithmétique, de J. P. Serre (1970), mardi 27 septembre 2011

Problème historique des origines : où commencer ? On pourrait lier à des problèmes actuels de théorie des nombres en cours toutes les civilisations, cultures, époques, … (ex : fractions égyptiennes, théorème des «restes chinois», …). Mais pas nécessairement le même objectif, le même contexte, les mêmes alternatives (ex: fractions égyptiennes : pb de calcul numérique dans un monde sans «autres nombres» => pb théorique sur les entiers)

mardi 27 septembre 2011

Problème historique des origines : où commencer ? On pourrait lier à des problèmes actuels de théorie des nombres en cours toutes les civilisations, cultures, époques, … (ex : fractions égyptiennes, théorème des «restes chinois», …). Mais pas nécessairement le même objectif, le même contexte, les mêmes alternatives (ex: fractions égyptiennes : pb de calcul numérique dans un monde sans «autres nombres» => pb théorique sur les entiers)

mardi 27 septembre 2011

On part in medias res : XVIIe s. et on cherche à comprendre les sources, les pratiques, les résultats choix du XVIIe s. : lien avec le programme du secondaire (diviseurs, nombres premiers, théorèmes de Fermat, de Bezout, ...) !

mardi 27 septembre 2011

PIERRE FERMAT (16??-1665) Magistrat aisé à Toulouse (et à Castres) Contact avec les cercles savants (Bordeaux, Paris), correspondance avec Mersenne, Descartes, Pascal, Roberval, ...

mardi 27 septembre 2011

PAS SEULEMENT FERMAT Marin Mersenne Bernard Frenicle de Bessy André Jumeau de Sainte-Croix René Descartes Blaise Pascal William Brouncker John Wallis John Pell etc...

mardi 27 septembre 2011

PIERRE FERMAT (16??-1665) Magistrat aisé à Toulouse (et à Castres) Contact avec les cercles savants (Bordeaux, Paris), correspondance avec Mersenne, Descartes, Pascal, Roberval, ...

mardi 27 septembre 2011

utilisation de l’algèbre pour résoudre des problèmes de géométrie et décrire des courbes calcul de centres de gravité, aires, volumes problèmes d’extrema probabilités

mardi 27 septembre 2011

optique théorie des nombres

LES DÉCOUVERTES DE FERMAT «SUR LES NOMBRES» Petit théorème de Fermat : p un nombre premier, a entier premier à p, p divise ap-1 -1. Grand «théorème de Fermat» (démontré en 1994...) : n entier ≥ 3, x, y, z, des entiers non nuls, alors xn+yn=zn est impossible Tout nombre premier impair de la forme 4n+1 est somme de deux carrés (et seulement ceux-ci), autres résultats sur les formes (tout nombre est somme de quatre carrés) Solutions rationnelles «en nombre infini» de certaines équations à coefficients rationnels mardi 27 septembre 2011

Presque pas de démonstrations publiées ou diffusées par lui (mais il annonce plusieurs fois qu’il les a !) Deux preuves connues «par descente infinie» «Méthodes» de résolution, parfois expliquées par ses correspondants (ex: Jacques de Billy, qui en publie sous le titre de Inventum Novum …après la mort de Fermat) ou laissées dans ses notes sur Diophante, elles aussi publiées après sa mort

mardi 27 septembre 2011

QUELQUES SOURCES DE FERMAT Livres VII à X des Eléments d’Euclide et leurs commentaires Les Arithmétiques de Diophante et leurs commentaires ou réécritures Fragments d’autres recherches (en particulier arabes) à travers divers traités (Fibonacci, Stifel, Cardan, etc.)

mardi 27 septembre 2011

mardi 27 septembre 2011

Commentaire de Bachet

Traduction de Bachet Observation de Fermat

mardi 27 septembre 2011

ARITHMÉTIQUE EUCLIDIENNE

«Est unité ce selon quoi chacune des choses existantes est dite une. Et un nombre est la multitude composée d’unités. Un nombre est une partie d’un nombre, le plus petit du plus grand, quand il mesure le plus grand».

mardi 27 septembre 2011

Est unité ce selon quoi chacune des choses existantes est dite une. Et un nombre est la multitude composée d’unités. Un nombre est un diviseur d’un nombre, le plus petit du plus grand, quand il divise le plus grand.

mardi 27 septembre 2011

ARITHMÉTIQUE EUCLIDIENNE

Définitions de la parité, de nombre premier (mesuré par une seule unité), premiers entre eux, nombres carrés, cubes, parfait (égal à la somme de ses diviseurs). Les nombres sont représentés par des segments Structure par définitions, axiomes, théorèmes, preuves (fournit modèle de preuve). Un exemple simple :

mardi 27 septembre 2011

Prop. 23: Si deux nombres sont premiers entre eux, le nombre qui mesure l’un d’entre eux sera premier avec celui qui reste A C B D Soient deux nombres premiers entre eux A, B, et qu’un certain nombre C mesure A. Je dis que C et B sont aussi premiers entre eux. Car si C et B ne sont pas premiers entre eux, un nombre mesurera C, B. Qu’il les mesure et soit D. Puisque D mesure C et que C mesure A, le D mesurera donc aussi A. Mais il mesure aussi B; donc D mesure A, B, qui sont premiers entre eux, ce qui est impossible. Donc aucun nombre ne mesurera les nombres C, B. Donc C, B sont premiers entre eux. Ce qu’il fallait démontrer.

mardi 27 septembre 2011

Prop. IX.20 : Les nombres premiers sont plus nombreux que toute multitude de nombres premiers proposée. B

A C E

D F

Preuve (esquisse) : Soit A, B, C trois nombres premiers, DE le plus petit nombre mesuré par les trois (=ppcm), DF l’unité, alors EF est premier ou non. Dans le premier cas, c’est fini, sinon soit G un nombre premier le mesurant, si G= A, B ou C, alors G mesure DE, or G mesure EF, donc G mesure DF l’unité, absurde.

mardi 27 septembre 2011

ARITHMETICA DE DIOPHANTE Diophante a vécu entre - 150 et 350 environ... 2 ouvrages connus : les Arithmétiques et le Traité sur les nombres polygonaux 13 livres annoncés au début des Arithmétiques : 6 en grec dans des copies du XIIe-XIVe siècles = ceux connus à la Renaissance en Europe, 4 traduits en arabe par Qusta ibn Luqa au IXe siècle et retrouvés en Iran dans une copie du XIIe s., c. 1970 !). Nombreuses traductions, adaptations, pillages … mardi 27 septembre 2011

Arithmetica : collection de résolutions en nombres rationnels de problèmes Utilise des abréviations pour désigner un nombre inconnu et ses puissances. Par exemple : pour arithmos (nombre), pour le carré mardi 27 septembre 2011

Il se peut que la matière paraisse plus difficile qu’elle ne l’est parce qu’elle n’est pas encore connue, et que les débutants désespèrent de réussir. Elle te deviendra cependant facile à comprendre, grâce à ton zèle et à ma démonstration ; car l’ambition jointe à l’enseignement mène rapidement à la science. Diophante à Dionysius, Livre I des Arithmetiques, trad. Ver Ecke

mardi 27 septembre 2011

Exemple, I. 28: Trouver deux nombres dont la somme et la somme des carrés sont données. Il faut toutefois que le double de la somme des carrés des nombres excède d’un carré le carré de la somme des nombres. Proposons donc que la somme des nombres forme 20 unités et que la somme de leurs carrés forme 208 unités.

mardi 27 septembre 2011

Il faut toutefois que le double de la somme des carrés des nombres excède d’un carré le carré de la somme des nombres. Diorisme (=conditions de possibilité d’un problème)

mardi 27 septembre 2011

Proposons donc que la somme des nombres forme 20 unités et que la somme de leurs carrés forme 208 unités. Problème toujours traité sur un exemple numérique

mardi 27 septembre 2011

Solution Que la différence des nombres soit 2 arithmes. Que le plus grand soit 1 arithme, augmenté de nouveau de la moitié de la somme des nombres, c’est-à-dire de 10 unités et que le plus petit nombre soit 10 unités moins 1 arithme ; ce qui établit de nouveau que la somme des nombres est 20 unités, et que leur différence est 2 arithmes. Il faut encore que la somme des carrés des nombres forme 208 unités. Mais la somme de leurs carrés forme 2 carrés d’arithme plus 200 unités. Ce que nous égalons à 208 unités et l’arithme devient 2 unités. Revenant à ce que nous avons posé, le plus grand nombre sera 12 unités, le plus petit nombre sera 8 unités, et ces nombres satisfont à la proposition.

Autrement dit : on cherche X et Y, avec X+Y=20 et X2+Y2=208. On pose X-Y=2x et aussi X =x+10 et Y = 10-x (ce qui est possible). Alors X2+Y2 = 2 x2+200 = 208, donc x=2, ce qui donne X = 12 et Y =8.

mardi 27 septembre 2011

mardi 27 septembre 2011

CLAUDE GASPARD BACHET DE MÉZIRIAC poète, grammairien, mathématicien Membre fondateur de l’Académie française en 1634 Edition, traduction, commentaires des Arithmétiques de Diophante Problesmes plaisans et delectables qui se font par les nombres

mardi 27 septembre 2011

1581-1638

>ROBLEMES P

L

A

I

S

A

N

S

ET

DELECTABLES, QVI se font par les nombres. Tarticrecueillis dediuers Autheurty partieìnuentex. de nottueau auec leur démonstration. I»ar CLAVDE GASPAR BACHET,$icut deMcziriac. Seconde de plusieurs Edition,reutue, etrri£ie>fo Augmentée de propositions,& plusieurs Problèmest par lemefme Attthtur. Trts-vtitepourtoutesforte*depersonnescurietiscs,qui scsentent fieMathématique. une nouvelle solution plus petite des équations (*) On recommence : suite strictement décroissante d’entiers solutions de (*), impossible dans N, d’où contradiction mardi 27 septembre 2011

FERMAT ET SES CORRESPONDANTS Vous m’avez envoyé 360 duquel les parties aliquotes sont au même nombre comme 9 à 4 et moi je vous envoie 2016 qui a la même propriété. Fermat à Mersenne, 20 février 1639 La seconde question [de M. de Saint-Martin] est celle-ci : un nombre étant donné, déterminer combien de fois il est la différence des côtés d’un triangle qui ait un quarré pour différence de son petit côté au deux autres côtés. le nombre qu’il donne est 1 803 601 800. Je réponds qu’...il y a 243 triangles qui satisfont à la question. Fermat à Mersenne, début 1643 Nous sommes icy à d’autres spéculations a scavoir donner quelques distances qu’on voudra entre nombres donnés dans laquelle distance ou différence il ne se rencontre aucun nombre premier ; par exemple donner 100000000000 nombres qui se suivent immédiatement dont nul ne soit premier. C’est une chose effroyable que cette spéculation des nombres tant pour la difficulté que pour l’immensité. Et je crois que Dieu est si immense que si nous envisagions un seul rayon de son immensité, nous mourrions tout soudain ou d’effroy ou d’admiration et desesperation Mersenne à Christiaan Huygens, 8 décembre 1646

mardi 27 septembre 2011

L'organisation de l'arithmétique dans le cercle de Mersenne • distinction classique entre problèmes et théorèmes (cf. Proclus) • Mersenne réclame des problèmes (transformation de théorèmes en problèmes pour la correspondance) "C'est contre le stile des Géomètres de proposer aux autres des questions qu'ils ne peuvent soudre euxmêmes" (Descartes) • évolution des échanges: problème, nombres, règles et méthode

mardi 27 septembre 2011

Diviseurs et nombres premiers Partie aliquote = diviseur propre s(k) : somme des parties aliquotes (ex: s(9)=1+3=4) Nombres parfaits: s(k) =k (ex: 6, 28) Nombres abondants : s(k) > k (ex: "sous-double", s(k) =2k) Nombres déficients : s(k) < k (ex: puissance d'un nombre premier) Euclide IX. 31: Si p =1+2+…+2k est premier, alors 2kp est parfait.

mardi 27 septembre 2011

Sous-doubles en progrès •1631: Mersenne demande s'il existe d'autres sous-doubles que le très connu 120: bof ? •1636 : Fermat donne 672 •1638 : Sainte-Croix donne 523 776, Descartes 1 476 304 896 •1640 : Frenicle et Fermat échangent règles et exemples •164? : Explications aux nouveaux-venus, étude de 2 -1: k

“Je supplie votre Révérence de me donner l’intelligence de cette question et de m’enseigner aussi la méthode pour trouver des nombres parfaits” (Thibaut à Mersenne, 18 décembre 1646)

mardi 27 septembre 2011

Le petit théorème de Fermat Juin 1640 ("fondements des nombres parfaits") Si k est composé, 2k-1 l'est aussi. Si k (impair) est premier, 2k-2 est un multiple de 2k. Si k (impair) est premier, et si p est un diviseur premier de 2k-1, alors 2k divise p-1.

Octobre 1640 Si p est premier, pour tout a premier à p, p divise un des nombres ak-1, où k divise p-1 (et tous ses multiples). C'est le petit théorème de Fermat: ap-1

mardi 27 septembre 2011

1 (mod p)

Il m’importe de vous dire le fondement sur lequel j’appuie les démonstrations de tout ce qui concerne les progressions géométriques, qui est tel : Tout nombre premier mesure infailliblement une des puissances -1 de quelque progression que ce soit et l’exposant de la dite puissance est sous-multiple du nombre premier donné -1; et après qu’on a trouvé la première puissance qui satisfait à la question, toutes celles dont les exposants sont multiples de l’exposant de la première satisfont tout de même à la question. Fermat à Frenicle, 18 octobre 1640

mardi 27 septembre 2011

…pour des applications rapides • • •

Ecrit: 'Il n'y a pas de nombres parfaits de 20 chiffres' Le candidat euclidien pour k=37 n'est pas parfait, autrement dit 237-1 n'est pas premier Seulement quelques diviseurs à tester:

•2x37+1= 75 (non premier), •4x 37+1= 149 (ne donne pas un diviseur), •6x 37+1= 223: donne 2 -1 =223x 616 318 177 37

mardi 27 septembre 2011

Factorisation Pour factoriser un entier n, Fermat propose de chercher à mettre n sous forme x2-y2=(x+y)(x-y). Donc de chercher si x2-n est un carré, en testant les entiers x (à partir de √n). Ex : 2 027 651 281 = 46061 x 44021

mardi 27 septembre 2011

Du côté des arithméticiens Un nombre étant donné, déterminer combien de fois il est la différence des (plus grands) côtés d'un triangle qui ait un quarré pour différence de son petit côté aux deux autres côtés. Le nombre qu'il donne est 1 803 601 800. Pour engendrer un Triangle rectangle en nombres a=2pqd, b=d(p2-q2), c=d(p2+q2) avec p et q premiers entre eux, p>q, p-q impair. La condition devient: a 2 4 6 2 2 2 2 2 a —> a —> a =a

•

1 2 a

3 2 a

2 2 ,a

A'4 A'1

4 2 a

+ + sont racines d'une équation quadratique, donc constructibles à la règle et au 2 4 2 2 compas: a + a =cos 2π/5=(√5-1)/4

A'3 A'2

•On en déduit tous les sommets Ai mardi 27 septembre 2011

A'1

Primalité et factorisation •

mardi 27 septembre 2011

Le problème où l'on se propose de distinguer les nombres premiers des nombres composés et de décomposer ceux-ci en leurs facteurs premiers, est connu comme un des plus importants et des plus utiles de toute l'Arithmétique… Aussi nous ne doutons pas que les deux méthodes suivantes dont nous pouvons affirmer la brièveté et l'efficacité d'après une longue expérience , ne plaisent aux amateurs de l'Arithmétique. (R. A., art. 329)

Primalité et factorisation •

1ère méthode : Principe : si n est un carré x2 modulo M, c'est un carré modulo m, pour tout m diviseur de M. Donc 1) on liste les restes ni de carrés mod M, 2) on exclut les m pour lesquels un ni ne marche pas. Ex. pour M= 997331 : les résidus ni = -6, 13, -14, 17, 37, -53 permettent déjà à eux seuls d’exclure tous les m Mais pas de classification des problèmes en tant qu’équations !

•

IXe s., al-Khwārizmī : classifications par types d’équations, résolution dans le cas quadratique (>0)

Mūḥammad ibn Mūsā al-Khwārizmī

mardi 4 octobre 2011

•

fl. IXe s. (remercie calife al-Ma’mūn), très peu d’infos fiables...

•

travaille dans la « Maison de la sagesse » à Bagdad

•

astronome, mathématicien

•

plusieurs livres connus par les biobibliographies arabes

•

• • •

Kitāb al-jabr wa-al-muqābala (Livre de la restauration et de la comparaison) (restent plusieurs manuscrits en arabe ≥13e s., trad. latines dont Gérard de Crémone au 12e s.: De algebra et almuchabola... )

Kitāb al-ĵām` wa-al-tafrīq (livre de réunion et de séparation) (perdu)

al-ḥ'isāb al-Hindi ( «Calcul indien ») (éditions latines, XIIe s.)

Zīj al-Sindhind (Tables astronomiques) http://fr.wikipedia.org/wiki/Fichier:Image-Al-Kitāb_almuḫtaṣar_fī_ḥisāb_al-ğabr_wa-l-muqābala.jpg

mardi 4 octobre 2011

Kitab al-jabr …

mardi 4 octobre 2011

•

Tradition de lexicographie, linguistique combinatoire, etc... => classification d’éléments abstraits

•

« J’ai voulu que [ ce livre] enferme ce qui est subtil dans le calcul et ce qui en lui est le plus noble, ce dont les gens ont nécessairement besoin dans leurs héritages, leurs legs, leurs partages, leurs arbitrages, leurs commerces, et dans tout ce qu’ils traitent les uns avec les autres lorsqu’il s’agit de l’arpentage des terres, de la percée des canaux, de la mensuration, et d’autres choses relevant du calcul et de ses sortes. » (Al-Khwarizmi. Le commencement de l’algèbre, éd., trad., comm., par R. Rashed, Paris : Blanchard)

mardi 4 octobre 2011

•

définition des termes primitifs : chose (al-shay’), carré (mal), nombre, ….

•

distingue 6 genres (ex : carrés + racines égaux à nombre, …)

•

opérations : transposition/restauration (al-jabr) et opposition/réduction

• •

algorithmes de résolution

•

résolution de problèmes, mesures et héritages

preuves, «cause» des algorithmes (par la géométrie euclidienne)

• Nombreux développements (cf. Histoire des sciences arabes, t. II) : Abu Kamil, Thabit ibn Qurra, as Samawal, etc.

• Travail sur les procédures de résolution, en particulier liens avec Eléments d’Euclide, livre II

• étude des quantités irrationnelles avec algèbre

• traduire les problèmes de géométrie en algèbre

mardi 4 octobre 2011

mardi 4 octobre 2011

•

Rque : Qusta ibn Luqa traduit Arithmetica de Diophante sous le titre «Art de l’algèbre» c. 870…

•

al-Karagi (10-11e s.) : application des lois de l’arithmétique à l’organisation de l’algèbre => polynômes et fractions rationnelles

•

Omar al-Khayyam (11e s.): classification des équations cubiques, obtention de racines d’équations cubiques par voie géométrique (intersection de courbes)

•

Sharaf al Din al-Tusi (12e s.) : classement par nombre de solutions, résolution numérique et construction géométrique de solutions

•

al-Qalasadi, Dévoilement de la science de l’arithmétique (15e s.) : symbolique algébrique plus développée

Un cube plus quelque nombre de côtés égal un nombre (version modernisée et simplifiée)

Extrait d’al Khayyam, Traité d’algèbre et d’al muqabala, p. 162

ment anachronique é est :

AB= a BC= b

est l’équation de cetteà parabole. 1) Ramener l’équation x3+a2x=a2b

en résolvant le pb géométrique : si un parallépipède de base carrée est donné, construire sur une base carrée un parallélipède [deàvolume] égal. cercle etdonnée à la parabole, satisfont : 2) Construire l’intersection du cercle x2+y2=bx et de la parabole x2=ay

Wednesday, March 24, 2010

mardi 4 octobre 2011

Et en Europe occidentale?

mardi 4 octobre 2011

•

Leonard de Pise (Fibonacci) : Liber abbaci (1202), Liber quadratorum (1225) : 1er et 2e degrés, approximation des racines

• •

Regiomontanus : 15e s : symbolisme

•

Nicolas Chuquet : Le triparty en la science des nombres (1484), équations, exposants, application à des problèmes de géométrie

•

Scipione de Ferro, c. 1500 : formules pour résoudre certaines équations cubiques (transmise à un élève Fiore)

•

Adam Ries, Coß, c. 1550 : symboles «cossiques» utilisés dans les formules de résolution d’équations de degré ≤4

• •

Pedro Nunes : Libro de Algebra en Arithmetica y Geometria, c. 1550

Luca Pacioli : Summa der Arithmetica, Geometria, Proportioni e Proportionalita (1494) : synthèse imprimée pour enseignement incluant équations

Robert Recorde : The Whetstone of Witte, etc...

Girolamo Cardano (1501-1576)

• médecin, ingénieur,

mathématicien, philosophe, astrologue, …

• 1539-1550 : querelle sur

les équations cubiques avec Tartaglia

• 1545 : Ars magna, sive de regulis algebricis

• 1575 : De vita propria liber (autobiographie)

mardi 4 octobre 2011

Le dessein et le désir de perpétuer mon nom se sont présentés à mon esprit aussi précocement que j’ai été lent à les réaliser...Je voudrais que l’on sache que j’existe, non que l’on reconnaisse ma valeur. Pour ce qui est de ma postérité, je n’ignore pas comme la chose est complexe et combien peu nous pouvons prévoir. Aussi autant qu’il était possible ai-je vécu pour moi-même, tout en dédaignant le présent dans l’espoir de l’avenir. Donc s’il peut y avoir une excuse à mon dessein, ce serait que mon nom survive, de quelque façon que ce puisse être. Ma vie, trad. J. Dayre et E. Wolff,

mardi 4 octobre 2011

La querelle des équations cubiques !

mardi 4 octobre 2011

•

Sources : les oeuvres et lettres des protagonistes (publiées au 16e ou rédécouvertes >19e)

•

Scipione del Ferro, prof. math. Bologne, c. 1520: sait résoudre certains cas des équations du 3e degré, transmis à Antonio Maria del Fiore

• •

Fior défie Niccolo Fontana «Tartaglia» (Venise) en 1535, et perd

• •

1543, Cardano apprend que del Ferro avait des solutions pour le 3e degré.

•

1546-1550 : Représailles de Tartaglia : Quesiti et inventioni diverse (1546), Le riposte a Ludovico Ferrari (1547-48)

Cardano (Milan) invite Tartaglia mars 1539, obtient solutions (en vers) en promettant de ne pas les publier (dit T.)

1545 : Ars magna : publie solutions de Tartaglia et d’autres (ex : autres cas, preuves,équations du 4e degré par son élève Ludovico Ferrari)

L’arithmétique, je l’ai étudiée toute entière, ainsi que les chapitres de ce qu’on appelle l’algèbre et toutes les propriétés des nombres, surtout de ceux qui ont un rapport de similitude entre eux. J’ai donné de mes découvertes et de ce qui était connu avant moi un exposé aisé ou admirable, ou les deux ensemble.

mardi 4 octobre 2011

Ars magna, ch. XI • cube + nombre de choses = nombre • Donne historique (del Ferro, Fiore,

Tartaglia, lui-même a trouvé preuve avec beaucoup de difficultés)

• Preuve (géométrique) • Règle • Exemples mardi 4 octobre 2011

Résolution de x3+px=q selon Cardan, Ars magna, livre XI

Thursday, March 25, 2010

mardi 4 octobre 2011

22

• Cardan mentionne les nombres négatifs comme solutions

• preuves géométriques • pas de formule générale unique • cas irréductible non traité • mention de solutions imaginaires dans un problème

mardi 4 octobre 2011

Rafael Bombelli

mardi 4 octobre 2011

•

1572 : Algebra (incomplet)

•

A connaissance de Diophante qu’il adapte dans son livre

•

Intègre nombres «complexes» dans sa résolution (complète) des équations cubiques : «piu di meno» (√-1), «meno di meno» (√-1). : «meno di meno via meno di meno fà meno»

•

défend l’algèbre comme discipline théorique

mardi 4 octobre 2011

François Viète (1540-1603)

•

études de droit à Poitiers, avocat, puis (1573) Conseiller au Parlement de Rennes, (1580) maître des requêtes au Parlement de Paris (et déchiffre lettres secrètes pour Henri IV c. 1589)

•

c. 1564, secrétaire de la famille (protestante) Soubise-Parthenay, puis précepteur de Catherine de Parthenay

Problème d’Adrianus Romanus

Du temps d'Henri IV, un Hollandais, nommé Adrianus Romanus, savant aux mathématiques, mais non pas tant qu'il croyait, fit un livre où il mit une proposition qu'il donnait à résoudre à tous les mathématiciens de l'Europe ; or, en un endroit de son livre il nommait tous les mathématiciens de l'Europe, et n'en donnait pas un à la France. Il arriva peu de temps après qu'un ambassadeur des États vint trouver le Roi à Fontainebleau. Le Roi prit plaisir à lui en montrer toutes les curiosités, et lui disait les gens excellents qu'il y avait en chaque profession dans son royaume. « Mais, Sire, lui dit l'ambassadeur, vous n'avez point de mathématiciens, car Adrianus Romanus n'en nomme pas un de français dans le catalogue qu'il en fait. -- Si fait, si fait, dit le Roi, j'ai un excellent homme : qu'on m'aille quérir M. Viète. » M. Viète avait suivi le conseil, et était à Fontainebleau ; il vient. L'ambassadeur avait envoyé chercher le livre d'Adrianus Romanus. On montre la proposition à M. Viète, qui se met à une des fenêtres de la galerie où ils étaient alors, et avant que le roi en sortît, il écrivit deux solutions avec du crayon. Le soir il en envoya plusieurs à cet ambassadeur, et ajouta qu'il lui en donneroit tant qu'il lui plairait, car c'était une de ces propositions dont les solutions sont infinies. Historiettes, Tallemant de Réaux (milieu 17e s.)

45x − 3795x3 + 95634x5 − 1138500x7 + 7811375x9 − 34512075x11 + 105306075x13 − 232676280x15 + 384942375x17 − 488494125x19 + 483841800x21 − 378658800x23 + 236030652x25 − 117679100x27 + 46955700.x29 − 14945040x31 + 3764565x33 − 740259x35 + 111150x37 − 12300x39 + 945x41 − 45x43 + x45 = N, N un nombre fixé (d’après : Wikipédia, Art. François Viète)

mardi 4 octobre 2011

Oeuvres sur l’algèbre

mardi 4 octobre 2011

•

In artem analyticem Isagoge (Introduction à l’art analytique), 1591

•

Zeteticorum libri quinque (Cinq livres des Zététiques), 1593

•

De recognitione et emendatione aequationum (De la reconnaissance et amélioration des équations) (post. 1615)

•

Ad logisticem speciosam Notae priores (Premières notes sur la logistique spécieuse) (pst. 1631)

Projet de Viète

mardi 4 octobre 2011

•

analyse vs synthèse : 2 approches dans l’art des mathématiques. La synthèse part des principes connus et arrive par déduction au résultat ; l’analyse suppose le résultat connu et le décompose jusqu’à comprendre ce qu’il est. Pour Viète, l’analyse est la vraie méthode de découverte des Anciens, cachée sous la présentation synthétique euclidienne. L’algèbre est sa méthode privilégiée. Elle permettra de «résoudre le problème des problème … : ne laisser aucun problème non résolu».

•

3 parties : Zetetique : mise en équation ou proportion des grandeurs cherchées dans un problème en fonction des connues (se divise en logistica numerica, sur les nombres, et logistica speciosa, sur les grandeurs). Poristique : traitement des énoncés sur les équations. Rhétique ou Exegétique : résolution des équations, ie construction des solutions

•

Références de Viète : grecques exclusivement ! cf. aussi son vocabulaire

• Notation par lettres (A, B, C, ... pour inconnues). Ex : A quadrato-cubus ou 1QC. Loi des homogènes.

5 pour A

• Nombreux procédés de transformation des équations nouveaux (ex : anastrophe =division par un terme de type E-U, U racine), considération de relations entre racines et coefficients (climactica paraplerosis), …

mardi 4 octobre 2011

mardi 4 octobre 2011

René Descartes (1596-1650) •

noblesse, études au collège de La Flèche, soldat, mathématicien, philosophe...

•

TRES grande influence...

•

Discours de la Méthode (1637), accompagné de Les Météorites, La Dioptrique et La Géométrie

mardi 4 octobre 2011

La Géométrie

•

Résoudre les problèmes de géométrie = donner des constructions des solutions

•

«Méthode» : choisir des lignes (=segments) à partir desquels exprimer le problème sous forme d’équations. La solution peut être : des points en nombre fini ou un «lieu» géométrique.

•

Inclut un nouveau traitement des équations (notations, réduction à des formes standards, relations entre coefficients et racines, nombre de racines d’une équation de degré n, etc.)

•

Redéfinit un corpus de courbes à étudier (celles associées à une équation, «courbes algébriques» pour nous). Définies ici à l’aide d’ «équerres», avec une classification spéciale. Etude de normales à une courbe, etc...

mardi 4 octobre 2011

Problème de Pappus On cherche le lieu des points P tels que le rapport d1d2:d3d4 soit donné. En choisissant habilement des axes de référence, Descartes montre que le lieu des points est toujours une conique

mardi 4 octobre 2011

mardi 4 octobre 2011

mardi 4 octobre 2011

Brève esquisse (peu) chronologique

•

Développement de la théorie des équations : classifications, solutions par radicaux, solutions numériques approchées, solutions par intersection de courbes. Polynômes et fractions rationnelles, calculs (//ceux sur les nombres).

•

Problème de la résolution par radicaux : bloque après 4 ! (preuve par Abel c. 1828), ex :X5 - 3X - 1=0

• •

=>Résoudre par d’autres fonctions que les «radicaux»

•

=>Comprendre pourquoi cela bloque et quand («théorie de Galois», groupe d’une équation)

•

Vers les structures (groupes, anneaux et corps) fin 19e s.

=> Trouver et caractériser des classes d’équations résolubles par radicaux

Master Mathématiques et applications : Enseignement et formation. Histoire des sciences mathématiques 1

Eléments d’histoire de l’analyse 1/2 :

« Calcul différentiel et intégral : sa naissance, sa diffusion et la question de ses fondements »

Le mardi 8 novembre 2011

Master Enseignement

1

Plan du cours (1/2) Introduction – lieux de science et circulation des savoirs au XVIIIe siècle : -  Les lieux de science : les académies -  Les correspondances -  Les journaux et périodiques I. La naissance d’un nouveau calcul 1. Un long héritage... 2. Le calcul fluxionnel newtonien 3. Le calcul différentiel et intégral leibnizien 4. La polémique sur l’invention du nouveau calcul II. La diffusion et le triomphe du calcul leibnizien 1. Les premiers pas du calcul différentiel et intégral en Europe 2. Son introduction à l’Académie des sciences de Paris 3. Son application à différents problèmes méchaniques 4. L’algorithmisation de la science du mouvement Le mardi 8 novembre 2011

Master Enseignement

2

Plan du cours (2/2) III. La question des fondements 1. La résistance de l’Académie royale des sciences de Paris 2. L’Analyste de Berkeley (1734) 3. Le Treatise of Fluxions de Maclaurin (1742) 4. L’article « Calcul différentiel » de D’Alembert dans l’Encyclopédie 5. La Théorie des fonctions analytiques de Lagrange (1797)

6. La synthèse de François-Sylvestre Lacroix (1797-1798) 7. Cauchy et l’effort de rigueur en Analyse

Le mardi 8 novembre 2011

Master Enseignement

3

Introduction (1/3) – Les lieux de science : les académies   La Royal Society de Londres : existe depuis 1661, elle ne reçoit aucun financement de la couronne et vit des cotisations de ses membres (qui devinrent fort nombreux).   L’Académie royale des sciences de Paris : -  Créée par Colbert en 1666. L’Observatoire de Paris naît en 1667 sous l’impulsion de l’Académie. -  Le 20 janvier 1699, Louis XIV lui attribue son premier règlement. Elle reçoit le titre d’Académie royale et est installée au Louvre. Elle fonctionnera avec ce règlement jusqu’en 1793, date de sa suppression par la Convention.   Au XVIIIe siècle, les Académies se multiplient en Europe : l’Académie de Berlin, créée en 1700 sous l’impulsion de Leibniz, reconnue en 1711 et réorganisée par Frédéric II en 1744 ; l’Académie de Petersbourg, créée en 1724, accueille de nombreux savants étrangers (Daniel Bernoulli, Euler) ; l’Académie de Turin (où Lagrange fait ses débuts), les Académies de Bologne, de Lisbonne, de Göttingen, d’Edinburgh, etc.   En France, on assiste de même à la naissance de nombreuses académies en Province (Montpellier, Lyon, Toulouse, etc.), de l’Académie de Marine de Brest, etc. Le mardi 8 novembre 2011

Master Enseignement

4

Introduction (1/3) – Les lieux de science : les académies

Jean-Baptiste Colbert présentant les membres de l’Académie royale des sciences à Louis XIV (H. Testelin, d’après une gravure de Lebrun) Le mardi 8 novembre 2011

Master Enseignement

5

Introduction (2/3) – Les correspondances

Le réseau de correspondance de D’Alembert (1717-1783) [document réalisé par I. Passeron] Le mardi 8 novembre 2011

Master Enseignement

6

Introduction (2/3) – Les correspondances

Le réseau de correspondance d’Euler (1707-1783) [document réalisé par S. Bodenmann] Le mardi 8 novembre 2011

Master Enseignement

7

Introduction (3/3) – Les journaux et les périodiques   L’impressionnante masse de travaux scientifiques des académiciens (en particulier) se traduit par une multiplication des journaux, gazettes, revues et publications périodiques.   Les périodiques académiques :

  Les journaux :

Fondées en 1665, les Les volumes de Philosophical Transactions l’Histoire de l’Académie correspondent à la première royale des science de revue strictement scientifique. Paris.

Le Journal des savants naît en 1665. Il traite de mathématiques, de philosophie naturelle, d’histoire, etc.

Le mardi 8 novembre 2011

Master Enseignement

8

I. La naissance d’un nouveau calcul Isaac Newton (1643-1727)

Gottfried Wilhelm Leibniz (1646-1716)

Le mardi 8 novembre 2011

Master Enseignement

9

Un long héritage...   Le calcul différentiel : détermination des tangentes associées à une courbe donnée. -  méthodes analytiques de Fermat et Descartes (XVIIe siècle). -  méthode géométrique d’Isaac Barrow (XVIIe siècle).   Le calcul intégral : détermination des aires comprises sous une courbe donnée. -  la méthode d’exhaustion : Eudoxe de Cnide, Euclide, Archimède, Thabit ibn Qurra, Ibn Al-Haytham... -  au XVIe siècle, Simon Stevin et Luca Valerio omettent le double raisonnement par l’absurde, Kepler abandonne les procédés classiques, Cavalieri, Roberval et Grégoire de Saint-Vincent développent la méthode des indivisibles. -  les méthodes de quadrature de Fermat et de Pascal au XVIIe siècle.   La découverte du calcul différentiel et intégral tient également à la constatation que ces deux calculs forment deux opérations réciproques : -  Isaac Barrow est le premier à reconnaître ce lien, mais son approche géométrique l’empêche d’en tirer parti. Le mardi 8 novembre 2011

Master Enseignement

10

Un long héritage... Gottfried Wilhelm Leibniz (1646-1716)

  Indépendamment l’un de l’autre, Newton et Leibniz réordonnent et systématisent l’ensemble de ces résultats.

Isaac Newton (1643-1727)

  Ils inventent des procédés algorithmiques de calcul facilement utilisables.   Ils identifient et manipulent le problème des tangentes comme le problème inverse des quadratures, et vice-versa.   La généralité de leurs méthodes va permettre à l’analyse infinitésimale de devenir une branche autonome, indépendante de la géométrie.   Leurs travaux dans ce domaine ne sont pas dénués de considérations métaphysiques (dans le cadre de leurs tentatives de justification du nouveau calcul)... Le mardi 8 novembre 2011

Master Enseignement

11

I.1. Le calcul fluxionnel newtonien (1/3)   Entre 1664 et les années 1690, Newton élabore trois versions du calcul infinitésimal : 1669 – Il communique son De analysi per aequationes numero terminorum infinitas à quelques mathématiciens anglais (mais ne le publiera pas avant 1711) Il y énonce trois règles : Règle 1 : Règle 2 :

Règle 3 :

Le mardi 8 novembre 2011

Master Enseignement

12

I.1. Le calcul fluxionnel newtonien (2/3) 1670-1671 – Rédaction du De methodis serierum et fluxionum (publié en 1736 !) Newton définit un algorithme de calcul d’inspiration cinématique : •  cet algorithme s’applique à des quantités qui « fluent » au cours du temps (le mouvement d’un point génère une ligne, celui d’une ligne une surface, etc.) •  les quantités générées par ce mouvement sont appelées les « fluentes » •  les vitesses instantanées correspondantes sont appelées « fluxions » •  les « moments » correspondent aux incréments infiniment petits par lesquels les quantités augmentent au cours de chaque intervalle infinitésimal de temps. avec o un intervalle infinitésimal de temps (notations introduites par Newton dans le courant des années 1690). 1670-1671 – Dans le courant des années 1670, Newton prend ses distances avec la « nouvelle analyse » et abandonne le calcul des fluxions « analytique » au profit d’une géométrie des fluxions sans infiniment petits. Le mardi 8 novembre 2011

Master Enseignement

13

I.1. Le calcul fluxionnel newtonien (3/3) 1680 (env.) – Newton compose le Geometrica curvilinea

Notion de limite d’un rapport de deux quantités

Il y introduit la méthode des « première et dernières raisons » et propose, grâce à elle, une reformulation du calcul des fluxions. Les quantités considérées sont géométriques et ne sont plus infinitésimales.

1687 – Publication des Principia mathematica philosophiae naturalis Les Principia contiennent un exposé du calcul des fluxions (le premier à être publié par Newton !) proche de celui du Geometrica curvilinea. 1691-1692 – Rédaction du De quadratura curvarum (publié en 1704) Le traité contient une version analytique du calcul exposé dans le Geometrica curvilinea et les Principia. Le mardi 8 novembre 2011

Master Enseignement

14

I.2. Le calcul différentiel et intégral leibnizien (1/2)

  « Nova Methodus pro maximis et minimis, itemque tangentibus, quae nec fractas, nec irrationales quantitates moratur, et singulare pro illis calculi genus », Acta Eruditorum, octobre 1684.

-  Texte court, elliptique et confus (publié à la hâte par crainte d’une indélicatesse de Tschirnhaus) -  Introduction de la différentielle (« differentia ») et de sa notation -  Enoncé des principales règles de la différentiation -  Introduction du quotient dy/dx pour exprimer la pente de la tangente en un point d’une courbe. -  Le mémoire traite du problème des quadratures

  « De geometria recondita et analysi indivisibilium atque infinitorum », Acta Eruditorum, juin 1686.

Le mardi 8 novembre 2011

-  Il est inspiré d’un mémoire de John Craig consacré aux quadratures et utilisant la notation différentielle introduite par Leibniz en 1684 -  Leibniz y introduit le symbole d’intégration et définit les opération de « sommation » et de « différentiation » l’une par rapport à l’autre. Master Enseignement

15

I.2. Le calcul différentiel et intégral leibnizien (2/2)

Le mardi 8 novembre 2011

Master Enseignement

16

I.3. La polémique sur l’invention du nouveau calcul   La querelle est initiée par Nicolas Fatio de Duillier, proche de Newton, dans son Linea brevissimi descensus investigatio geometrica (1699) : « Convaincu par l’évidence des faits, je reconnais que Newton fut le premier et de plusieurs années le plus ancien inventeur de ce calcul. »

  Excessivement longue et violente, elle implique de nombreux proches des deux savants et gagne le terrain des mathématiques en 1713, suite à l’implication de Jean Bernoulli par Leibniz, qui répondait lui même à une accusation de plagiat émanant de John Keill, proche de Newton (en 1711).   Un comité de la Royal Society est nommé pour arbitrer la dispute. Il tranche en faveur de Newton, qui préside l’institution depuis 1703 et rédige lui-même le compte-rendu (publié de façon anonyme en 1715) : « Il faut […] qu’il [Leinitz] renonce au droit qu’il prétend avoir à la méthode différentielle de M. Newton en tant que second inventeur : les seconds inventeurs n’ont pas de droit ».

  Elle finit par prendre des accents nationalistes, s’élargit aux newtoniens s’opposant au leibniziens puis aux Britanniques contre les Continentaux… Le mardi 8 novembre 2011

Master Enseignement

17

II. La diffusion du calcul leibnizien Gottfried Wilhelm Leibniz (1646-1716)

Jean I Bernoulli (1667-1748)

Jacques Bernoulli (1654-1705)

Guillaume de l’Hospital (1661-1704) Le mardi 8 novembre 2011

Master Enseignement

Pierre Varignon (1654-1722) 18

II.1. Les premiers pas du calcul différentiel et intégral en Europe   Dans une lettre du 15 décembre 1687, Jacques Bernoulli demande des précisions à Leibniz sur son nouveau calcul.   Leibniz, en voyage en Allemagne, en Autriche et en Italie, met trois ans à répondre... Jacques Bernoulli, de même que son frère Jean, s’initient donc seuls entre 1687 et 1690. Jacques Bernoulli (1654-1705)

Jean I Bernoulli (1667-1748)

  En contact étroit, Leibniz, Jacques et Jean Bernoulli appliquent le nouveau calcul à différents problèmes lancés sous forme de défis (d’abord aux cartésiens par Leibniz, puis à la communauté savante en général par l’un des trois géomètres).   Les trois savants sont rejoints par le Marquis Guillaume de l’Hospital après son initiation au nouveau calcul par Jean Bernoulli à l’occasion du voyage de ce dernier à Paris à l’hiver 1691-1692. Le mardi 8 novembre 2011

Master Enseignement

19

II.2. L’introduction du calcul à l’Académie royale des sciences de Paris   Guillaume de l’Hospital entre à l’Académie des sciences de Paris en juin 1693. En mai et août 1693, puis en juin 1694, il soumet trois mémoires utilisant – sans les détailler – les méthodes du calcul leibnizien.   En juin, juillet, septembre et novembre 1695, Pierre de Varignon fait la lecture de quatre mémoires utilisant le nouveau calcul.   En juin 1696, Guillaume de l’Hospital publie le premier traité de calcul différentiel : l’Analyse des infiniment petits pour l’intelligence des lignes courbes.

Pierre Varignon (1654-1722)

  Suite à cette parution, Sauveur présente le même mois le nouveau calcul devant l’Académie. Guillaume de l’Hospital (1661-1704) Le mardi 8 novembre 2011

Master Enseignement

20

II.3. Le nouveau calcul appliqué à des problèmes méchaniques   A partir des années 1690, les rares savants initiés au nouveau calcul (Leibniz, Jean Bernoulli, Jacques Bernoulli, Guillaume de l’Hospital et Varignon) se soumettent différents problèmes sous forme de défis par l’intermédiaire de journaux, de périodiques, ou dans le cadre de leur correspondance (Huygens y participe aussi le plus souvent, mais sans utiliser le calcul différentiel et intégral, auquel il reste réfractaire).   Une large part de ces problèmes a pour objet la détermination de trajectoires décrites, sous certaines conditions, par des corps en mouvement : -  le problème de la courbe isochrone : détermination de l’équation de la courbe suivie par un corps décrivant des espaces égaux en des temps égaux. -  le problème de la courbe brachystochrone : détermination de l’équation de la courbe décrite entre deux points dans le temps le plus bref par un corps soumis à la pesanteur. -  le problème de la caténaire ou de la « chaînette » : détermination de la courbe formée par un fil suspendu à ses extrémités et soumis à la pesanteur (donc à son propre poids, réparti de façon uniforme). -  le problème de la tractrice (courbes aux tangentes égales), etc. Le mardi 8 novembre 2011

Master Enseignement

21

II.3. Le nouveau calcul appliqué à des problèmes méchaniques Le problème de la courbe isochrone   En septembre 1687, Leibniz lance un défi aux cartésiens : « Trouver une ligne de descente, dans laquelle le corps pesant descend uniformément, et approche également l’horizon en temps égaux. L’Analyse de Messieurs les cartésiens le donnera peut-être aisément. » (Nouvelles de la République des Lettres, 1687, p. 956)

  Octobre 1687 : publication d’une première solution par Christiaan Huygens ne faisant pas usage du calcul différentiel et intégral.   Avril 1689 : Leibniz publie sa solution mais n’y a pas explicitement recours au nouveau calcul.   Mai 1690 : solution de Jacques Bernoulli (1ère apparition du terme « intégration »)   1690 [?] : solution de Jean Bernoulli Le mardi 8 novembre 2011

Solutions en deux parties : -  1ère partie : le problème physique est ramené à un problème de géométrie -  2e partie : résolution de ce problème grâce au calcul différentiel et intégral.

Master Enseignement

22

II.3. Le nouveau calcul appliqué à des problèmes méchaniques Le problème de la courbe brachystochrone   En juin 1696, Jean Bernoulli lance un nouveau défi : « Datis in plano verticali duobos punctis A et B, assignaremobili M viam AMB, per quam gravitate sua descendens, et moveri incipiens a puncto A, brevissimo tempore perveniat ad alterum punctum B. » (Acta Eruditorum, juin 1696, p. 269)

  Dans sa lettre du 16 juin 1696, Leibniz fait parvenir une solution à Jean Bernoulli.   Publication des solutions de Jacques Bernoulli, Jean Bernoulli et Guillaume de l’Hospital dans le numéro de mai 1697 des Acta Eruditorum.   Toujours des solutions obtenues en deux étapes : -  1ère étape : le problème physique est ramené à un problème de géométrie -  2e étape : résolution de ce problème grâce au calcul différentiel et intégral. Le mardi 8 novembre 2011

Master Enseignement

La courbe cherchée est un arc de cycloïde… 23

II.4. L’algorithmisation de la science du mouvement   Dans deux mémoires présentés les 5 juillet et 6 septembre 1698, Pierre Varignon élabore le concept de « vitesse dans chaque instant » :

(Registres manuscrits des procès-verbaux de l’Académie royale des sciences de Paris, t. 17, f. 298 v° - 299 r. [« 1er mémoire »]) Le mardi 8 novembre 2011

Master Enseignement

24

II.4. L’algorithmisation de la science du mouvement   Le 30 janvier 1700, Varignon présente un nouveau mémoire intitulé « Manière générale de déterminer les forces, les vitesses, les espaces, et les temps… ».   Il y traite de la question des forces centrales introduites par Newton dans ses Principia (1687) et de l’accroissement de vitesse (i.e. de l’accélération) qu’elles produisent :

(Histoire et mémoires de l’Académie royale des sciences. Partie mémoires, année 1700 (1703), p. 23.)

  Varignon se repose, ce faisant, sur les concepts physiques de vitesse et d’accélération instantanés introduits par Newton dans ses Principia. Il traduit, en quelque sorte, la physique newtonienne en langage leibnizien ! Le mardi 8 novembre 2011

Master Enseignement

25

III. La question des fondements

Jean Le Rond D’Alembert (1717-1783)

Georges Berkeley (1685-1753)

Colin Maclaurin (1698-1746)

Le mardi 8 novembre 2011

Augustin-Louis Cauchy (1789-1857)

Joseph-Louis Lagrange (1736-1813) Master Enseignement

26

III.1. La résistance de l’Académie de Paris à l’introduction du nouveau calcul   En février 1697, Philippe de La Hire (1640-1718) présente un court mémoire intitulé « Remarque sur l’usage qu’on doit faire de quelques suppositions dans la méthode des infiniment petits » : -  sans précautions, la « méthode des infinis » peut conduire à des erreurs -  la « géométrie ordinaire » (ou « géométrie des anciens ») demeure un garde fou nécessaire.   D’autres savants partagent les doutes de Philippe de La Hire, en particulier l’abbé Bignon, le père Gouye, l’abbé Gallois et Michel Rolle.   Le 6 août 1697, Varignon écrit à Jean Bernoulli : « M. le Marquis de l’Hospital est encore à la campagne de sorte que je me trouve seul ici chargé de la défense des infiniment petits, dont je suis le vray martyr tant j’ay desja soutenu d’assauts pour eux contre certains mathématiciens du vieux stile, qui chagrins de voir que par ce calcul les jeunes gens les attrapent et même les passent, font tout ce qu’ils peuvent pour la décrier, sans qu’on puisse obtenir d’eux d’écrire contre ». Le mardi 8 novembre 2011

Master Enseignement

27

III.1. La résistance de l’Académie de Paris à l’introduction du nouveau calcul   Le 17 juillet 1700, le débat débute avec la lecture d’un mémoire de Michel Rolle critiquant le manque de rigueur des concepts et principes fondamentaux du calcul différentiel et intégral leibnizien.   En l’absence du Guillaume de l’Hospital, Pierre Varignon prend la défense du nouveau calcul et répond à Rolle dans un mémoire présenté les 7 et 11 août 1700.   Dans quatre autres mémoires, Michel Rolle tente de montrer, à partir de l’étude de plusieurs exemples de courbes, que le nouveau calcul conduit à l’erreur… Registres manuscrits des procès-verbaux de l’Académie royale des sciences de Paris, t. 20, f. 183 r° - v° (séance du 21 mai 1700) Le mardi 8 novembre 2011

Master Enseignement

28

III.1. La résistance de l’Académie de Paris à l’introduction du nouveau calcul   Les trois difficultés soulevées par Michel Rolle contre le nouveau calcul dans son premier mémoire du 17 juillet1700 (d’après la réponse de Varignon) :   « Difficulté I. Si en geometrie il y a des infiniment grands, infinis les uns des autres ; et des infiniment petits, infiniment les uns des autres ». « L’Analyse ordinaire ne traite que des grandeurs finies : celle-ci pénètre jusques dans l’infini même. Elle compare les différences infiniment petites des grandeurs finies ; elle découvre les rapports de ces différences : et par là elle fait connoitre ceux des grandeurs finies qui comparées avec ces infiniment petits sont comme autant d’infinis. On peut même dire que cette Analyse s’étend au-delà de l’infini : car elle ne se borne pas aux différences infiniment petites ; mais elle découvre les rapports des différences de ces différences, ceux encore des différences troisiemes, quatriemes, et ainsi de suite, sans trouver jamais de terme qui la puisse arrêter. De sorte qu’elle n’embrasse pas seulement l’infini ; mais l’infini de l’infini, ou une infinité d’infinis. » (Guillaume de l’Hospital, Analyse des infiniment petits, préface, p. 1-2)

  « Difficulté II. Si une grandeur plus ou moins sa différentielle, peut estre prise pour egale a cette même grandeur ».   « Difficulté III. Si les différentielles sont des zéros absolus ». Le mardi 8 novembre 2011

Master Enseignement

29

III.2. L’Analyste de George Berkeley (1734)   Dans l’Analyste (1734), George Berkeley reprend l’essentiel des critiques de Michel Rolle concernant le manque de rigueur, mais vise à la fois le calcul fluxionnel de Newton et le calcul leibnizien : « Je ne discute en rien vos conclusions, mais seulement votre logique et votre méthode. Comment démontrez-vous ? De quel objet vous occupez-vous et les concevez-vous clairement ? Avec quels principes progressez-vous ? Quel en est la validité ? Et comment les mettezvous en œuvre ? […]

Georges Berkeley (1685-1753)

En vérité, on doit reconnaître que les mathématiciens modernes ne considèrent pas ces points [les fluxions et les infinitésimaux] comme des mystères, mais comme conçus clairement et maîtrisés par leurs esprits étendus. Ils n’hésitent pas à dire qu’à l’aide de cette nouvelle analyse, ils peuvent pénétrer jusque dans l’infini lui-même, qu’ils peuvent même étendre leurs vues au-delà de l’infini. […] J’admets qu’on puisse créer des signes pour dénoter quelque chose ou rien ; et que, par conséquent, dans l’expression primitive x + o, o a pu représenter, soit un incrément, soit rien. Mais alors, quoi que vous lui fassiez représenter, vous devez raisonner en conformités avec notre convention et ne jamais recourir à une ambiguïté. » Le mardi 8 novembre 2011

Master Enseignement

30

III.3. Le Treatise of Fluxions de Maclaurin (1742)   Dès la parution de l’Analyste, de nombreux mathématiciens choqués répondent aux attaques de Berkeley. Parmi eux, James Jurin, John Walton et Benjamin Robins.   Maclaurin décide également de répondre en rédigeant un ouvrage identifiant et démontrant rigoureusement les fondements du calcul des fluxions : « C’est pourquoi, dès que cette pièce [l’Analyste] fut tombée entre mes mains, (et avant que j’eus connaissance des Ouvrages que d’autres avoient entrepris pour la réfuter), je formai le dessein de démontrer ce élémens à la manière des Anciens, et de ne les appuyer que sur un petit nombre de principes incontestables, par les démonstrations les plus rigoureuses. » (Traité des fluxions, trad. par le Père Pézenas,1749, préface, p. ix.)

  Le Treatise of Fluxions de Maclaurin paraît en 1742.   Premier Livre : « Sur les Fluxions des Grandeurs Géométriques »   Second Livre : « Sur le calcul dans la méthode des fluxions » Le mardi 8 novembre 2011

Colin Maclaurin (1698-1746)

Master Enseignement

31

III.4. L’article « Calcul différentiel » de D’Alembert dans l’Encyclopédie « M. Newton […] n'a jamais regardé le calcul différentiel comme le calcul des quantités infiniment petites, mais comme la méthode des premieres & dernieres raisons, c'est-à-dire la méthode de trouver les limites des rapports. Aussi cet illustre auteur n’a-t-il jamais différentié des quantités, mais seulement des équations ; parce que toute équation renferme un rapport entre deux variables, & que la différentiation des équations ne consiste qu'à trouver les limites du rapport entre les différences finies des deux variables que l'équation renferme. […]

Jean Le Rond D’Alembert (1717-1783)

Quand une fois on l’aura bien comprise, on sentira que la supposition que l'on y fait de quantités infiniment petites, n'est que pour abréger & simplifier les raisonnemens ; mais que dans le fond le calcul différentiel ne suppose point nécessairement l'existence de ces quantités ; que ce calcul ne consiste qu'à déterminer algébriquement la limite d'un rapport de laquelle on a déjà l'expression en lignes, & à égaler ces deux limites, ce qui fait trouver une des lignes que l'on cherche. Cette définition est peut-être la plus précise & la plus nette qu'on puisse donner du calcul différentiel. » Le mardi 8 novembre 2011

Master Enseignement

32

III.5. La Théorie des fonctions analytiques de Lagrange (1797)   Dans sa Théorie des fonctions analytiques, publiée en 1797, Lagrange tente de fonder le calcul différentiel et intégral sur la base d’une approche radicalement différentes celles de Leibniz, Newton et Maclaurin, D’Alembert et Euler... ... réduire le calcul différentiel et intégral à l’algèbre en se dégageant, comme l’indique le titre complet de l’ouvrage, « de toute considération d’infiniment petits ou d’évanouissants, de limites ou de fluxions ».

Joseph-Louis Lagrange (1736-1813)

  Il évacue les notions de limite et d’infiniment petit pour ne conserver que celles de fonction (« continue », dans le sens qu’Euler donne à ce terme) et de séries entières.   Pour Lagrange, tout fonction d’une variable x considérée en x+i au lieu de x (avec i quantité quelconque) peut être développée en une série entière dans laquelle les coefficients p, q, r... sont de nouvelles fonctions de x, dérivées de la fonction f(x) et indépendantes de i (il s’agit de la formule de Taylor...). Le mardi 8 novembre 2011

Master Enseignement

33

III.6. La synthèse de François-Sylvestre Lacroix (1797-1798)   L’approche de Lagrange n’est pas rigoureuse car elle ne permet pas, en l’absence de la notion de limite, de démontrer la convergence des séries.   Les analystes du XIXe siècle rejetteront le développement en séries de Taylor comme fondement du calcul différentiel et intégral, mais reconnaîtront néanmoins la pertinence de l’approche de Lagrange en ce qu’elle : -  aura permis, dans la droite ligne d’Euler, à faire de la fonction le concept central de l’analyse, -  constitue un tournant théorique dans la recherche de fondements rigoureux.   Autre signe d’un désir partagé de fonder le calcul différentiel et intégral : la parution en trois volumes, en 1797 et 1798, du Traité du calcul différentiel et du calcul intégral de François-Sylvestre Lacroix, qui rassemble une synthèse très complète des travaux des savants du XVIIIe siècle dans le domaine de l’Analyse...

Le mardi 8 novembre 2011

Master Enseignement

34

III.7. Cauchy et l’effort de rigueur en analyse   Le mathématicien tchèque Bernard Balzano (1781-1848) est le premier à donner une définition claire des des notions de base du calcul différentiel et intégral (la limite, la continuité d’une fonction, sa dérivabilité et le lien entre continuité et dérivabilité), mais ses travaux passent inaperçus...   Dans son Cours d’analyse (1821), son Résumé des leçons sur le calcul infinitésimal (1823) et ses Leçons sur le calcul différentiel et intégral (1829), Cauchy fonde le calcul différentiel et intégral sur la notion de limite, dont il fait un concept arithmétique : « Lorsque les valeurs successivement attribuées à un même variable s’approchent indéfiniment d’une valeur fixe, de manière à finir par en différer aussi peut que l’on voudra, cette dernière est appelée la limite de toutes les autres ».

  Il définit en terme de limites les notions d’infiniment petit (suite convergente ayant zéro pour limite), de continuité, de dérivée d’une fonction continue (limite du taux d’accroissement), mais n’explicite pas le lien entre continuité et dérivabilité.   La notion de limite lui permet également de donner une première définition précise de l’intégrale... Le mardi 8 novembre 2011

Master Enseignement

Augustin-Louis Cauchy (1789-1857) 35

III.7. Cauchy et l’effort de rigueur en Analyse   Cauchy adopte, pour ce faire, l’approche leibnizienne consistant à interpréter l’aire sous une courbe comme une somme de rectangles. Soit une fonction f définie et continue sur un intervalle [x0, X], il subdivise l’intervalle en n sous-intervalles x1-x0, x2-x1, ..., X-xn-1 et démontre que la limite de la somme lorsque la longueur du plus grand sous-intervalle tend vers zéro existe si la fonction f est continue sur l’intervalle [x0, X] : « cette limite est ce que l’on appelle une intégrale définie ».   Cauchy se penche également sur la question de la convergence des séries : « Avant d’effectuer la sommation d’aucune série, j’ai dû examiner dans quels cas les séries peuvent être sommées, ou, en d’autres termes, quelles sont les définitions de leur convergence ; et j’ai à ce sujet établi des règles générales qui me paraissent mériter quelques attentions » (Cours d’analyse, 1821, Introduction, p. v).   Cet effort de rigueur sera poussé à son terme par le mathématicien allemand Karl Weierstrass, qui donne notamment une définition en termes « de deltas et d’epsilons » de la notions de limite. Le mardi 8 novembre 2011

Master Enseignement

Karl Weierstrass (1815-1897) 36

Master Mathématiques et applications : Enseignement et formation. Histoire des sciences mathématiques 1

Eléments d’histoire de l’analyse 2/2 :

« L’histoire du concept de fonction au XVIIIe siècle et le problème des cordes vibrantes »

Le mardi 15 novembre 2011

Master Enseignement

1

Plan du cours (1/2) Introduction : -  l’Encyclopédie de Diderot et D’Alembert (1751-1772) -  la question de l’organisation des savoirs mathématiques -  mathématiques pures et mathématiques mixtes. I. Emergence et premières définitions du concept de fonction 1. L’émergence de la notion de fonction (XVIIe et première moitié du XVIIIe siècles) 2. Les définitions eulériennes du concept de fonction (1748 et 1755) II. La querelle des cordes vibrantes 1. La naissance du calcul différentiel et intégral de fonctions de plusieurs variables 2. Le problème des cordes vibrantes : mise en équation moderne du problème 3. Le problème des cordes vibrantes avant D’Alembert (1ère moitié du XVIIIe siècle). 4. Le mémoire de D’Alembert de 1747 5. La polémique entre D’Alembert et Euler sur la question des solutions admissibles 6. Daniel Bernoulli et la question du développement en séries trigonométriques Conclusion : la naissance de l’analyse harmonique Le mardi 15 novembre 2011

Master Enseignement

2

Introduction (1/3) – L’Encyclopédie de Diderot et D’Alembert (1751-1765)

« Le but d'une encyclopédie est de rassembler les connaissances éparses sur la surface de la terre; d'en exposer le système général aux hommes avec qui nous vivons, et de le transmettre aux hommes qui viendront après nous; afin que les travaux des siècles passés n'aient pas été inutiles pour les siècles qui succèderont ; que nos neveux devenant plus instruits, deviennent en même temps plus vertueux et plus heureux; et que nous ne mourions pas sans avoir bien mérité du genre humain. » (Diderot, article ENCYCLOPÉDIE)

Le mardi 15 novembre 2011

Master Enseignement

3

Introduction (1/3) – L’Encyclopédie de Diderot et D’Alembert (1751-1765)   D’Alembert, art. GÉOMÈTRE, t. VII (celui de l’art. GENÈVE et de l’interdiction) : « Faites naître, s'il est possible, des géometres parmi ces peuples ; c'est une semence qui produira des philosophes avec le tems, & presque sans qu'on s'en aperçoive. L'orthodoxie la plus délicate & la plus scrupuleuse n'a rien à démêler avec la Géométrie. Ceux qui croiroient avoir intérêt de tenir les esprits dans les ténebres, fussent-ils assez prévoyans pour pressentir la suite des progrès de cette science, manqueroient toûjours de prétexte pour l'empêcher de se répandre. Bientôt l'étude de la Géométrie conduira à celle de la méchanique ; celle-ci menera comme d'elle-même & sans obstacle, à l'étude de la saine Physique ; & enfin la saine Physique à la vraie Philosophie, qui par la lumiere générale & prompte qu'elle répandra, sera bientôt plus puissante que tous les efforts de la superstition; car ces efforts, quelque grands qu'ils soient, deviennent inutiles dès qu'une fois la nation est éclairée. » Le mardi 15 novembre 2011

Master Enseignement

4

Introduction (1/3) – L’Encyclopédie de Diderot et D’Alembert (1751-1765)   1745 – Association de libraires pour traduire la Cyclopaedia or an Universal dictionary of arts and sciences d'Ephraim Chambers (2 vol., 1728). Gua de Malves, académicien, organise le travail.   1747 – Diderot et D’Alembert remplacent Gua de Malves et mettent en place un projet plus ambitieux (35 volumes au final, dont 17 de textes)   1749 – Diderot emprisonné à Vincennes (suite à la parution de sa Lettre aux aveugles), puis libéré.   1751 – Parution du premier tome contenant le Discours préliminaire de D’Alembert ainsi que le « Système figuré des connaissances humaines ».   1752 – Violentes attaques des jésuites et des jansénistes suivies d’un arrêt du conseil d’Etat. La publication reprend cependant.   1759 – Après une violente campagne, nouvelle interdiction (définitive), suivie d’une condamnation papale.   1765 – Parution des dix derniers volumes de textes, sans privilège et sous une adresse étrangère (+ onze volumes de planches publiés entre 1765 et 1772). Le mardi 15 novembre 2011

Master Enseignement

5

Introduction (1/3) – L’Encyclopédie de Diderot et D’Alembert (1751-1765)

Le mardi 15 novembre 2011

Master Enseignement

6

Introduction (2/3) – L’organisation des savoirs mathématiques

Le mardi 15 novembre 2011

Master Enseignement

7

Introduction (3/3) – Mathématiques pures et mathématiques mixtes   D’Alembert, art. MATHÉMATIQUE OU MATHÉMATIQUES (Encyclopédie, t. X, 1765) : « Les Mathématiques se divisent en deux classes ; la première, qu’on appelle Mathématiques pures, considère les propriétés de la grandeur d’une manière abstraite : or la grandeur sous ce point de vue, est ou calculable, ou mesurable ; dans le premier cas, elle est représentée par des nombres, dans le second, par l’étendue ; dans le premier cas les Mathématiques pures s’appellent Arithmétique, dans le second Géométrie. […] La seconde classe s’appelle Mathématiques mixtes ; elle a pour objet les propriétés de la grandeur concrette, en tant qu’elle est mesurable ou calculable ; nous disons de la grandeur concrette, c’est-à-dire de la grandeur envisagée dans certains corps ou sujets particuliers. […] Du nombre des Mathématiques mixtes sont la Méchanique, l’Optique, l’Astronomie, la Géographie, la Chronologie, l’Architecture militaire, l’Hydrostatique, l’Hydraulique, l’Hydrographie ou Navigation, &c. »

Le mardi 15 novembre 2011

Master Enseignement

8

I.1. L’émergence de la notion de fonction   A la fin de la 1ère moitié du XVIIe siècle, Fermat et Descartes appliquent l’algèbre à la géométrie et introduisent une relation de fonctionnalité par l’intermédiaire des équations algébriques :   Fermat, dans son Ad locos et solidos isagoge (écrit en 1637, publié en 1679) : « Aussitôt que deux quantités inconnues apparaissent dans une ultime égalité, il y a un lieu et le point terminal de l’une des deux quantités décrit une ligne droite ou courbe. »   Descartes, dans sa Géométrie (1737) : « Prenant successivement infinies diverses grandeurs pour la ligne y, on en trouvera aussi infinies pour la ligne x, et ainsi, on aura une infinité de divers points tels que celui qui est marqué C, par le moyen desquels on décrit la ligne courbe demandée. » -  Descartes fait pour la première fois le lien entre une équation en x et y et la dépendance entre deux quantités variables. -  Il restreint cette relation fonctionnelle aux courbes « géométriques » (c’està-dire algébriques) et en exclut donc les courbes « méchaniques » (c’est-àdire transcendantes). Le mardi 15 novembre 2011

Master Enseignement

9

I.1. L’émergence de la notion de fonction.   A la fin du XVIIe siècle, la notion de fonction en tant qu’objet mathématique n’est pas encore isolée. Il faudra, de fait, attendre le milieu du XVIIIe pour en avoir une première définition.   Néanmoins, l’introduction de la méthode de développement en séries entières (par Mengoli, Mercator et Newton) va permettre de représenter analytiquement les courbes transcendantes laissées de côté par Descartes : -  Dans le Logarithmotechnia (1668), Nicolas Mercator parvient à calculer l’aire sous l’hyperbole grâce à la réduction en série géométrique de 1/(1+x) puis à son intégration terme à terme. -  Isaac Newton obtient le développement en séries entières des fonctions sinus, cosinus, des fonctions trigonométriques inverses, etc.   De nouvelles courbes transcendantes sont ainsi découvertes et leur étude se popularise.   Leibniz, qui développera une dizaine d’années plus tard le calcul différentiel et intégral à partir de la géométrie des courbes, introduit pour la première fois le terme de « fonction » dans un manuscrit d’août 1673, non publié et intitulé « la Méthode inverse des tangentes ou à propos des fonctions ». Le mardi 15 novembre 2011

Master Enseignement

10

I.1. L’émergence de la notion de fonction   L’introduction du calcul différentiel et intégral par Leibniz et Newton va donner une place prépondérante au problème de recherche des lois de variations de quantités inconnues, permettant ainsi à la relation de fonctionnalité de devenir un objet mathématique à part entière.   En 1718, suite à une correspondance nourrie avec Leibniz, Jean Bernoulli donne une première définition de la notion de fonction : « On appelle fonction d’une grandeur variable une quantité composée de quelques manières que ce soit de cette grandeur variable et de constantes. »   Cette définition ouvre la voie à celle donnée par Euler quelques trente années plus tard…

Le mardi 15 novembre 2011

Master Enseignement

11

I.2. Les définitions eulériennes de la notion de fonction (1748, 1755)   Dans son Introductio in analysin infinitorum, publié en 1748, définit la fonction comme : « une expression analytique composée d’une manière quelconque de cette quantité variable et de nombres ou de quantités constantes. »   Le terme « analytique » désigne ici une expression obtenue à partir d’une combinaison d’opérations et de modes de calcul connus (opérations algébriques usuelles, exponentielle, logarithme, passage d’un arc à ses lignes trigonométriques), certaines de ces opérations pouvant être itérées un nombre infini de fois.   Partant de là, Euler établit une classification des fonctions sur la base des opérations et modes de calcul utilisés : « Je les ai d’abord divisées en algébriques et transcendantes. Les premières sont composées de quantités variables combinées entre elles par les opérations ordinaires de l’algèbre, et les secondes dépendent d’autres opérations ou des mêmes combinaisons que les précédentes, mais répétées une infinité de fois ».

  Il considère que toute fonction peut être développée en série.   Dans son application du concept de fonction à la géométrie, il distingue les fonctions « continues » (une seule expression analytique !) des fonctions « discontinues »… Le mardi 15 novembre 2011

Master Enseignement

12

I.2. Les définitions eulériennes de la notion de fonction (1748, 1755)

Extrait de l’Introductio in analysin infinitorum d’Euler (1748)

Le mardi 15 novembre 2011

Master Enseignement

13

I.2. Les définitions eulériennes de la notion de fonction (1748, 1755)   Dans ses Institutiones calculi differentialis, publiés en 1755, Euler fait état d’une évolution significative de sa définition de la notion de fonction : « Si des quantités dépendent d’autres quantités de telle manière que si les autres changent, ces quantités changent aussi, alors on a l’habitude de nommer ces quantités fonctions de ces dernières ; cette dénomination a la plus grande étendue et contient en elle-même toutes les manières par lesquelles une quantité peut être déterminée par d’autres. Si, par conséquent, x désigne une quantité variable, alors toutes les autres quantités qui dépendent de x de n’importe quelle manière, ou qui sont déterminées par x, sont appelées fonctions de x ».

Comment s’explique cette évolution de la définition eulérienne du concept ?...

Leonhard Euler (1707-1783) Le mardi 15 novembre 2011

Master Enseignement

14

II.1. La naissance du calcul différentiel et intégral de fonctions de plusieurs variables   La naissance du calcul différentiel et intégral de fonctions de plusieurs variables résulte d’un processus entamé à la fin du XVIIe siècle par les recherches de Leibniz, Jean I, Jacques I et Nicolas Bernoulli sur les familles de courbes dépendant d’un paramètre.   Le travail est continué par Euler qui, dans deux mémoires présentés en 1734 devant l’Académie de Pétersbourg (et publiés en 1740), parvient à la formulation d’un critère (dit « critère d’Euler ») assurant l’équivalence entre une équation aux différences partielles (EDP) du 1er ordre et la « différentielle complète » associée : est une « différentielle complète »… … c’est-à-dire telle qu’il existe une fonction y(x,t) vérifiant :   Clairaut est le premier à en faire usage dans le cadre d’une application à un problème physico-mathématique. Fontaine et lui retrouveront ce critère de façon indépendante d’Euler à la fin des années 1730. Le mardi 15 novembre 2011

Master Enseignement

15

II.1. La naissance du calcul différentiel et intégral de fonctions de plusieurs variables   Dans la foulée, D’Alembert généralise l’application du calcul différentiel et intégral de fonctions de plusieurs variables à la mise en équation de phénomènes physiques en « mathématisant » les milieux continus : problèmes des « cordes vibrantes » et de l’élasticité, écoulements (mécanique des solides) et résistance des fluides (mécaniques des fluides / hydrodynamique).   Il s’attaque conjointement à la question de l’intégration des EDP obtenues en tenant compte des caractéristiques physiques des problèmes étudiés (conditions initiales et conditions aux limites) : il est, en cela, considéré comme le fondateur de la théorie des EDP.

Jean Le Rond D’Alembert (1717-1783)

  Avec D’Alembert, Euler, Lagrange, Laplace, Condorcet, Monge contribueront au développement de la théorie des EDP dans la seconde moitié du XVIIIe siècle en suivant des diverses approches : géométrique, physico-mathématique ou purement mathématiques (étude de classes d’EDP).   Ces travaux seront à l’origine de nombreuses discussions et questionnements sur la notion de fonction : définition de la notion, « continuité », développement en séries polynomiales et trigonométriques, sauts de courbure, etc. Le mardi 15 novembre 2011

Master Enseignement

16

II.2. Le problème des cordes vibrantes : méthode moderne de mise en équation Problème : équation du mouvement longitudinal d’une corde d’amplitude y(x,t), de masse linéique µ, de longueur l, fixe en ses deux extrémités A et B (dans l’hypothèse de petites vibrations et en négligeant la force de pesanteur) Soient : -  dx un élément infinitésimal de cette corde, -  T(x,t) le module de la force de tension au point (x,y(x,t)) à l’instant t (force exercée par la partie droite de la corde sur la celle de gauche), -  et α(x,t) l’angle entre la force de module T(x,t) et l’axe horizontal   Hypothèse des petites vibrations (α géométries non archimédiennes, géométries finies, etc.). Discussion sur le rapport des axiomes entre eux (indépendance, consistance, etc.) => logique mathématique

vendredi 25 novembre 2011

Euclide

Hilbert

Un point est ce dont il n’y

Convention: Concevons trois

aucune partie

systèmes d’êtres : ... points, …

Une ligne est une longueur

eux certaines relations mutuelles :

sans largeur

«sont situés», «entre »....[décrits]au

droites, …plans...Qu’ils aient entre

moyen des axiomes

notions communes : les

ex : si A, B, C désignent trois points

choses égales à une même

sur une droite, et si B est situé entre

chose sont aussi égales

A et C, il l’est aussi entre C et A.

entre elles

vendredi 25 novembre 2011

HISTOIRE DES SCIENCES MATHÉMATIQUES MASTER MATHEMATIQUES ET APPLICATIONS : ENSEIGNEMENT ET FORMATION

jeudi 1 décembre 2011

Éléments d’histoire de la géométrie

jeudi 1 décembre 2011

La Géométrie D’abord géométrie =science des figures /arithmétique =science des nombres. Mais aussi : continu/discret Importance du modèle euclidien => le fondement de la rigueur mathématique est géométrique. De plus : la géométrie donne une représentation du monde (cf : Galilée, L’Essayeur, 1623 : « [le grand livre de l’univers ] est écrit dans le langage des mathématiques, et ses caractères sont des triangles, des cercles et autres figures géométriques»)

MAIS.... jeudi 1 décembre 2011

Les coniques comme intersection d’un plan et d’un cône (illustrations d’après Wikipedia, art. Coniques)

jeudi 1 décembre 2011

Michel Chasles (1793-1880) Entre à Polytechnique en 1812 (prof. en 1841) Mémoire sur la dualité et l’homographie (1837) Chaire de géométrie supérieure à la Sorbonne (1846) Académie des sciences (1851) Traité de géométrie supérieure (1852)

jeudi 1 décembre 2011

Qu’on prenne une figure quelconque dans l’espace, et l’une des propriétés connues ; qu’on applique à cette figure une transformation, et qu’on suive les diverses modifications (...) qu’éprouve le théorème qui exprime cette propriété, on aura une nouvelle figure, et une nouvelle propriété de cette figure, qui correspondra à celle de la première. Ces moyens (...) sont de véritables instruments, que ne possédait point l’ancienne géométrie, et qui font le caractère fort distinctif de la géométrie moderne. Michel Chasles, Aperçu historique sur l’origine et le développement des méthodes en géométrie (1837)

jeudi 1 décembre 2011

Quelques conséquences accent mis sur les transformations entre figures, étude explicite de certaines transformations et de leurs effets distinction entre divers types de propriétés (métriques, etc...), invariantes ou non par certaines transformations réflexion explicite et technique sur la généralité, la rigueur, l’intuition en mathématiques (et les moyens mathématiques de les garantir) débats sur les relations entre géométrie et analyse jeudi 1 décembre 2011

Un exemple :l’inversion Soit O un point du plan et k une constante. L’inversion de pôle O et de puissance k est la transformation plane P ->P’, telle OP.OP’=k et O, P, P’ alignés. «inverse de O» ? : point à l’infini équations : x' = kx/( x² + y² ) y' = ky/( x² + y² ) droite se transforme en cercle ! d’après http://jellevy.yellis.net/ jeudi 1 décembre 2011

Postulat des parallèles

1ers postulats d’Euclide : on peut mener une ligne droite de tout point à tout point ; on peut prolonger en ligne droite un segment ; on peut décrire un cercle à partir d’un centre et d’un intervalle ; les angles droits sont tous égaux. 5e postulat : si une droite tombant sur deux droites fait les angles intérieurs et du même côté plus petits que deux droits, les deux droites, indéfiniment prolongées, se rencontrent du côté où sont les angles plus petits que les deux droits.

jeudi 1 décembre 2011

Nombreuses tentatives de l’Antiquité au 19e siècle pour le prouver à partir des autres, ou trouver des postulats équivalents plus simples etc. Exemples : 1) pour toute droite D et tout point P n’appartenant pas à D, il existe une unique droite D’ parallèle à D passant par P dans le plan contenant D et P. («axiome de Playfair») 2) La somme des angles d’un triangle est égale à deux droits. 3) Etant donné un point à l’intérieur d’un angle, il existe au moins une droite D passant par ce point qui coupe les deux côtés de l’angle.

jeudi 1 décembre 2011

Géométrie non euclidienne Les essais de preuve par l’absurde n’aboutissent à aucune contradiction => existe-t-il une géométrie alternative, «étrange géométrie, tout à fait différente de la nôtre, … entièrement conséquente en elle-même» (Gauss) ? c. 1825-1830 : indépendamment : Nikolai Ivanovich Lobatchevski et Janos Bolyai exposent une géométrie logiquement cohérente où la somme des angles d’un triangle est inférieure à π (infinité de parallèles à une droite passant par un point extérieur) jeudi 1 décembre 2011

Il est incroyable que cette obscurité obstinée, cette éclipse éternelle, cette tare dans la géométrie, le nuage éternel sur la pure vérité puisse être supporté. [… Mais] tu ne dois pas tenter d’approcher le problème des parallèles. Je connais ce chemin jusqu’à sa fin. J’ai traversé cette nuit sans fin, qui a éteint toute lumière et toute joie de ma vie. Je t’en conjure, laisse de côté cette science des parallèles ...Je pensais me sacrifier au nom de la vérité, j’étais prêt à devenir un martyr qui enlèverait cette tare de la géométrie et la retournerait purifiée à l’humanité. J’ai accompli des travaux monstrueux, énormes... J’ai tourné le dos quand j’ai vu qu’aucun homme ne pouvait atteindre le fond de la nuit. J’ai tourné le dos inconsolé, me plaignant moi-même et toute l’humanité... Wolfgang Bolyai à son fils Johann

jeudi 1 décembre 2011

Géométrie différentielle 1827 :Disquisitiones generales circa superficies curvas (Recherches générales sur les les surfaces courbes), C. F. Gauss : étude intrinsèque des

Courbure >0 Courbure 180°) sur la sphère : les «droites» sont les cercles passant par les pôles. La consistance de cette géométrie est assurée par la géométrie euclidienne. jeudi 1 décembre 2011

1868: Saggio d’una interpretazione della geometria non euclidea (Essai d’une interprétation de la géométrie non euclidienne) Eugenio Beltrami interprète localement la géométrie de Bolyai («astrale») et Lobatchevski («imaginaire») comme celle d’une pseudosphère, les «droites» étant les géodésiques. jeudi 1 décembre 2011

Dessin montrant plusieurs géodésiques «parallèles» à une géodésique (r) donnée, passant toutes par un point P (d’après Cours Insa Lyon) jeudi 1 décembre 2011

Felix Klein • 1865-66: Université de Bonn pour étudier

physique et mathématiques

• 1868: Thèse de géométrie dirigée par Plücker en 1868

• 1870-71 : voyage à Paris avec Lie

• 1872 : Poste à Erlangen (programme d'Erlangen)

• 1875 : Professeur à Munich, nombreux étudiants • 1880-86: Professeur à Leipzig, concurrence

avec Poincaré sur les fonctions automorphes •1886: Professeur à Göttingen, travail

administratif intense (Mathematische Annalen, Encyclopädie der mathematischen Wissenschaften)

jeudi 12 novembre 2009 jeudi 1 décembre 2011

1849-1925

Dans le domaine géométrique également, le développement mathématique moderne prit en Allemagne son point de départ de l’influence française....L’intérêt se dirigea vers la géométrie algébrique. ... Je voudrais indiquer deux oppositions qui ont été d’une importance décisive dans ce développement. La première est la séparation entre les traitements analytique et synthétique de la géométrie. Les défenseurs de chaque direction mettaient leur honneur à ne travailler qu’avec leurs outils spécifiques....La géométrie analytique a pour elle les algorithmes confortables qui permettent les plus vastes généralisations, mais qui conduit aussi facilement à perdre des yeux l’objet propre de la géométrie : la figure et sa construction. Avec la géométrie synthétique menace en revanche le danger que l’esprit reste prisonnier du cas spécial considéré ou d’un nombre restreint de possibilités. Ce qui est à louer dans le traitement synthétique est la conscience claire de la racine vivante de toute géométrie, la joie de la forme ([Freude an der Gestalt]). Un développement sain se servira des deux méthodes ... L’autre opposition dont je voudrais parler est moins dans la nature des choses...Je parle de l’opposition des écoles, des cliques, tout le vaste domaine de la polémique scientifique...dans notre cas il s’agit du combat entre le tenant de la géométrie synthétique Steiner, appuyé par Jacobi et son cercle, et Plücker. Felix Klein, Vorlesungen über die Entwicklung der Mathematik im 19. Jahrhundert, 1926

jeudi 1 décembre 2011

Agenda de Felix Klein Préserver l’unité des mathématiques (contre la distinction arithmétique générale vs géométrie et physique) Préserver le lien avec les sciences physiques et la technique

jeudi 12 novembre 2009 jeudi 1 décembre 2011

Des géométries aux groupes

S’appuyant sur des idées de Cayley, Klein montre comment englober la géométrie euclidienne et les géométries de Riemann et de Bolyai-Lobatchevski dans la géométrie projective : celle-ci est la «géométrie absolue» 1872 : Considérations comparatives sur les recherches géométriques modernes (= «programme d’Erlangen»)

jeudi 1 décembre 2011

Programme d’Erlangen «La plus essentielle [des notions] est celle de groupe de transformations de l’espace» «Il y a des transformations de l’espace qui n’altèrent en rien les propriétés géométriques des figures...Si l’on remplace [ce] groupe principal par un groupe plus étendu, une partie seulement des propriétés est conservée» Programme : Etant donnée une multiplicité et un groupe de transformations, en étudier les êtres au point de vue des propriétés qui ne sont pas altérées par les transformations jeudi 1 décembre 2011

• Changer le point de vue: – s’intéresser aux groupes de transformation de l’espace plutôt qu’aux figures.

• Toute géométrie peut être conçue comme: – Un espace et un groupe de transformation qui agit sur cet espace [Euclide: plan et groupe des isométries]. Groupes

Position

Direc- Orien- Distance tion tation

Angle

Parallélisme

Collinéarité

Identité Translations Déplacements Isométries Similitudes Gr. affine Gr. projectif 21/05/2009

Révolutions du 19e siècle

39

Propriétés invariantes par quelques sous-groupes du groupe projectif (d’après J. Peiffer et A. Dahan, Routes et dédales)

09 jeudi 1 décembre 2011

Géométries non euclidiennes Aussi hors du champ des spécialistes ! Ex : «Si Dieu existe vraiment et si vraiment il a créé le monde, alors, comme nous savons tous, il l’a créé en accord avec la géométrie euclidienne et il a créé l’esprit humain avec la conception de seulement trois dimensions spatiales. Et pourtant il y a eu et il y a encore des mathématiciens et des philosophes...qui doutent que l’univers entier ..était créé seulement selon la géométrie euclidienne et ils osent même rêver que deux lignes parallèles qui selon Euclide ne se rencontre jamais sur terre, puissent se rencontrer quelque part à l’infini.» (F. Dostoievsky, Les Frères Karamazov) Problème de la liberté, du réalisme, de la vérité, etc... Approche générale de Riemann en dimension n encore hors du programme de Klein jeudi 1 décembre 2011

Vers de nouveaux fondements Plusieurs problèmes : géométries non euclidiennes, mais aussi nouveaux types d’objets en analyse (fonctions nulle part dérivables, ...). Sur quoi fonder ? Nombres entiers ? Nouveaux principes géométriques ? Rapport entre mathématiques et monde naturel ? Nature des objets mathématiques par rapport à l’expérience ? Nombreuses propositions 1899 : Grundlagen der Geometrie (Fondements de la géométrie), David Hilbert. Pour lui, l’axiomatisation est la solution : axiomatiser un domaine permet de voir clairement les problèmes et les voies de développement. La vérité mathématique est dans la cohérence des relations entre objets, dans la déduction logique à partir des axiomes.

jeudi 1 décembre 2011

Grundlagen der Geometrie Notions de base non «définies» : point, droite, plan Plusieurs groupes d’axiomes Des changements d’axiomes produisent d’autres géométries (y compris dans le rapport entre droite et nombres réels => géométries non archimédiennes, géométries finies, etc.). Discussion sur le rapport des axiomes entre eux (indépendance, consistance, etc.) => logique mathématique

jeudi 1 décembre 2011

Euclide

Hilbert

Un point est ce dont il n’y

Convention: Concevons trois

aucune partie

systèmes d’êtres : ... points, …

Une ligne est une longueur

eux certaines relations mutuelles :

sans largeur

«sont situés», «entre »....[décrits]au

droites, …plans...Qu’ils aient entre

moyen des axiomes

notions communes : les

ex : si A, B, C désignent trois points

choses égales à une même

sur une droite, et si B est situé entre

chose sont aussi égales

A et C, il l’est aussi entre C et A.

entre elles

jeudi 1 décembre 2011