HIDRAULICA UTN - Capítulo 01 A 09 - Version 2015 [PDF]

Zitiervorschau

´Indice general 1. Propiedades de los fluidos 1.1. Definici´ on de fluido . . . . . . . . . . . . . . 1.2. Concepto de part´ıcula . . . . . . . . . . . . 1.3. Caracter´ısticas de los fluidos . . . . . . . . . 1.4. Gas perfecto . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.5. Ecuaci´ on de Newton - Viscosidad . . . . . . 1.6. Compresibilidad - M´ odulo de elasticidad . . 1.7. Tensi´ on superficial - Capilaridad . . . . . . 1.8. Tensi´ on de vapor de un l´ıquido - Cavitaci´on 1.9. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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2. Est´ atica de los Fluidos 2.1. Caracter´ıstica de la presi´ on en un fluido en reposo relativo . . . 2.2. Ecuaci´ on fundamental de la hidrost´atica . . . . . . . . . . . . . 2.3. Man´ ometros. Presi´ on absoluta y presi´on relativa o manom´etrica 2.4. Fuerzas sobre superficies sumergidas . . . . . . . . . . . . . . . 2.4.1. Fuerzas sobre superficies planas . . . . . . . . . . . . . . 2.4.2. Fuerzas sobre superficies curvas sumergidas . . . . . . . 2.5. Flotaci´ on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.5.1. Empuje . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.5.2. Estabilidad de los cuerpos sumergidos y flotantes . . . . 2.6. Masas fluidas sometidas a aceleraci´on . . . . . . . . . . . . . . 2.7. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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3. Movimiento de Fluidos 75 3.1. Planteo del problema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76 3.2. Punto de vista euleriano - punto de vista lagrangiano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77 3.3. Flujo permanente y no permanente, uni, bi y tridimensional . . . . . . . . . . . . . . . 77 3.4. Derivada parcial, total y sustancial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79 3.5. Ecuaciones del movimiento de los fluidos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83 3.5.1. Ecuaci´ on de continuidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83 3.5.2. Ecuaci´ on de cantidad de movimiento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91 3.5.2.1. Distribuci´ on de presiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93 on del momento de la cantidad de movimiento o momento cin´etico101 3.5.2.2. Ecuaci´ 3.5.3. Ecuaci´ on de la energ´ıa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104 3.6. Factores de correcci´ on de la cantidad de movimiento y de la energ´ıa cin´etica . . . . . . 116 3.7. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122 1

´INDICE GENERAL

2 4. An´ alisis Dimensional 4.1. Conceptos Generales . . . . . . 4.2. Teor´ıa de modelos - Semejanza 4.2.1. N´ umeros adimensionales 4.3. An´ alisis dimensional . . . . . . 4.4. Ejercicios . . . . . . . . . . . .

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5. Flujo Potencial Irrotacional o Ideal 5.1. Planteo del problema. Planteo de las ecuaciones b´asicas 5.2. Circulaci´ on, vorticidad, irrotacionalidad . . . . . . . . . 5.3. Funci´ on corriente, funci´ on potencial y funci´on compleja 5.3.1. Red de corriente . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.4. Ecuaci´ on de Bernoulli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.5. Soluciones elementales para flujos planos . . . . . . . . . 5.5.1. Corriente uniforme . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.5.2. Fuente y sumidero . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.5.3. V´ ortice libre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.6. Superposici´ on de flujos planos . . . . . . . . . . . . . . . 5.6.1. Fuente + Sumidero equidistantes del origen . . . 5.6.2. Doblete . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.6.3. Cilindro sin rotaci´ on . . . . . . . . . . . . . . . . 5.6.4. Cilindro con rotaci´ on . . . . . . . . . . . . . . . . 5.6.5. Im´ agenes - El efecto de pared . . . . . . . . . . . 5.7. Perfil alar de envergadura infinita . . . . . . . . . . . . . 5.8. Perfil alar de envergadura finita . . . . . . . . . . . . . . 5.9. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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6. Flujo Laminar 6.1. Planteo del problema y de las ecuaciones b´asicas . . . . . . . 6.2. Condici´ on de viscosidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.3. Ecuaciones de Navier-Stokes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.3.1. Estudio de los componentes del Tensor de Tensiones . 6.3.2. Analog´ıa entre el tensor de tensiones de un s´olido y un 6.4. Capa limite laminar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.4.1. Ecuaciones de Prandtl y soluci´on de Blasius . . . . . . 6.4.2. Ecuaci´ on de Von Karman . . . . . . . . . . . . . . . . 6.5. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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7. Flujo Turbulento 7.1. Planteo del problema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.2. Repaso de algunas propiedades de las variables estad´ısticas 7.3. Ecuaciones fundamentales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.3.1. Ecuaci´ on de Continuidad . . . . . . . . . . . . . . . 7.3.2. Ecuaci´ on de Cantidad de movimiento . . . . . . . . 7.3.3. Hip´ otesis de Turbulencia. Viscosidad de remolino . . 7.3.4. Distribuci´ on de velocidades sobre una placa plana . 7.3.5. Factor de Fricci´ on en una placa plana lisa . . . . . . 7.4. Separaci´ on de la capa l´ımite y flujos secundarios . . . . . . 7.5. Chorro libre turbulento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.5.1. Din´ amica del chorro plano . . . . . . . . . . . . . . . 7.5.2. Implicancias matem´ aticas . . . . . . . . . . . . . . . 7.5.3. Chorros axilsim´etricos . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.6. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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´INDICE GENERAL 8. Escurrimiento - Flujo incompresible 8.1. Planteo del problema y de las ecuaciones b´asicas . . . . . . . . . . 8.2. Ecuaci´ on de Darcy-Weisbach . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.3. Determinacion de las variables de que depende el factor de fricci´on 8.4. Ensayo de Reynolds, regimen laminar, cr´ıtico y turbulento . . . . . 8.5. Determinaci´ on del factor de fricci´ on . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.5.1. Determinaci´ on del factor de fricci´on en r´egimen laminar . . 8.5.2. Determinaci´ on del factor de fricci´on en r´egimen turbulento 8.5.2.1. Concepto de rugosidad . . . . . . . . . . . . . . . 8.5.2.2. Factor de fricci´ on para tubos totalmente lisos . . . 8.5.2.3. Factor de fricci´ on para tubos totalmente rugosos . 8.5.2.4. Expresi´ on de Colebrook-White . . . . . . . . . . . 8.6. Diagrama de Moody . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.7. F´ ormulas antiguas aplicadas al agua . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.8. P´erdida de carga localizada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.9. Casos t´ıpicos en una ca˜ ner´ıa simple . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.10. Conductos de secci´ on no circular . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.11. Longitud equivalente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.12. Ca˜ ner´ıas con presiones negativas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.13. Tuber´ıas ramificadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.14. Ca˜ ner´ıas en paralelo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.15. Resoluci´ on de redes de ca˜ ner´ıas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.16. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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9. Escurrimiento en Canales en R´ egimen Permanente 9.1. Conceptos generales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9.2. Flujo permanente y uniforme en un canal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9.2.1. F´ ormula de Chezy - F´ ormula de Darcy Weisbach . . . . . . . . . . . . 9.2.2. F´ ormula de Manning . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9.2.3. Energ´ıa Espec´ıfica en un canal. Flujo subcr´ıtico, cr´ıtico y supercr´ıtico ´ 9.2.4. Secci´ on Hidr´ aulica Optima . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9.2.5. Resoluci´ on de casos simples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9.2.6. M´etodo de las secciones m´ ultiples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9.3. Flujo permanente gradualmente (o uniformemente) variado . . . . . . . . . . 9.3.1. Ondas gravitacionales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9.3.2. Ecuaci´ on de la pendiente de la superficie libre . . . . . . . . . . . . . . 9.3.3. Curvas de remanso y ca´ıda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9.3.4. Resoluci´ on del flujo uniformemente variado . . . . . . . . . . . . . . . 9.4. Flujo permanente bruscamente variado. Resalto hidr´aulico . . . . . . . . . . . 9.4.1. Alturas conjugadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9.4.2. P´erdida de energ´ıa a trav´es del resalto . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9.4.3. Longitud del resalto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9.5. Canales con Cambio de Pendiente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9.6. Cambio de Secci´ on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9.7. Tablas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9.8. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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´INDICE GENERAL

Cap´ıtulo 1 Propiedades de los fluidos Contenidos 1.1. 1.2. 1.3. 1.4. 1.5. 1.6. 1.7. 1.8. 1.9.

Definici´ on de fluido . . . . . . . . . . . . . . . Concepto de part´ıcula . . . . . . . . . . . . . . Caracter´ısticas de los fluidos . . . . . . . . . . Gas perfecto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Ecuaci´ on de Newton - Viscosidad . . . . . . . Compresibilidad - M´ odulo de elasticidad . . Tensi´ on superficial - Capilaridad . . . . . . . Tensi´ on de vapor de un l´ıquido - Cavitaci´ on Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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Introducci´ on En este cap´ıtulo definiremos lo que entendemos por fluidos, enunciaremos las principales hip´otesis para el estudio de los mismos y definiremos las principales variables que intervienen en el mismo.

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CAP´ITULO 1. PROPIEDADES DE LOS FLUIDOS

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1.1 Definici´ on de fluido La materia tal como la conocemos se puede manifestar en tres formas. S´ olidos: Son aquellos que mantienen su forma. L´ıquidos: Son aquellos que adoptan la forma del recipiente que los contienen, en particular cuando el volumen del recipiente supera al volumen del l´ıquido se establecer´a una superficie libre. Gases: Son aquellos que ocupan totalmente el recipiente que los contiene, independientemente del volumen del mismo.

Figura 1.1 Los l´ıquidos y gases componen lo que se denomina fluidos y que constituyen el motivo de esta publicaci´ on. Se puede definir un fluido como una sustancia que cambia constantemente de forma en tanto est´e sometido a un esfuerzo de corte, por m´ as peque˜ no que sea. En contraposici´on, un cuerpo el´astico sufre un desplazamiento definido (o se rompe) cuando se lo somete al esfuerzo de corte. Como se muestra en la figura 1.1 el s´ olido expuesto a un esfuerzo de corte se deforma de modo que dicha deformaci´on queda caracterizada por el a´ngulo α que se mantiene constante mientras el esfuerzo cortante se mantenga constante. En cambio el fluido se deforma constantemente cuando se expone a dicho esfuerzo. Por lo tanto podemos decir que dicha deformaci´on no est´a caracterizada por el a´ngulo de deformaci´on sino por la velocidad con que se deforma dicho a´ngulo. Volveremos sobre este concepto en punto 1.5.

1.2 Concepto de part´ıcula Los fluidos se componen de mol´eculas que se mueven (vibran, se trasladan) y chocan entre s´ı. Por lo tanto si se quisiese realizar un estudio riguroso de un fluido habr´ıa que analizar el comportamiento de dichas mol´eculas. Sin embargo en la mayor parte de los problemas t´ecnicos estamos m´as interesados en el estudio de los valores medios de las manifestaciones de un conjunto de mol´eculas, susceptibles de ser medidos tales como temperatura, densidad, viscosidad, etc. Estas manifestaciones pueden suponerse establecidas en una distribuci´ on continua de materia, llamada continum o continuo. Este concepto permite simplificar el an´ alisis y el estudio de los fluidos y es la misma hip´otesis utilizada para el estudio de los s´olidos. Para que la hip´otesis del continuo sea v´alida, es necesario que el recorrido libre medio de las mol´eculas sea del mismo orden de magnitud que la distancia m´as peque˜ na que intervenga en el problema. El recorrido libre medio de las mol´eculas est´a relacionado con la cantidad de mol´eculas existentes en un volumen dado. Por ejemplo si en un cent´ımetro c´ ubico de fluido hay n mol´eculas el recorrido 1 libre medio de las mismas ser´a n− 3 cm. Por lo tanto, cuanto menor sea el n´ umero de mol´eculas por unidad de volumen m´ as impreciso ser´ a la hip´ otesis establecida. Es decir que la hip´otesis del continuo no ser´a aplicable, por ejemplo en gases a muy bajas presiones. En la mayor´ıa de los casos que se debe afrontar en la pr´ actica ingenieril (y en especial de la hidr´aulica) la hip´otesis es v´alida. Vamos en lo

1.3. CARACTER´ISTICAS DE LOS FLUIDOS

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que sigue a calcular cual es el recorrido libre de las mol´eculas de agua a 5 ◦C y el del aire a presi´ on atmosf´erica y 0 ◦C. Para ello recordamos que se define el N´ umero de Avogadro como la cantidad de mol´eculas que hay en 1 mol de materia, y que resulta ser igual a 6,022 × 1023 mol´eculas. Como 1 mol de agua tiene una masa de 18 g = 0,018 kg y el agua tiene una densidad de 1000 kg/m3 el volumen de 1 mol de agua ser´ a (ver punto 1.3). ρ=

m m 0,018 kg ⇒∀= = = 1,8 × 10−5 m3 ∀ ρ 1000 kg/m3

Donde: ρ: Densidad m: Masa ∀: Volumen Por lo tanto en 1,8 × 10−5 m3 hay 6,022 × 1023 mol´eculas y en 1 m3 habr´a: 6,022 × 1023 = 3,346 × 1028 1,8 × 10−5

No mol´eculas de agua en 1 m3 =

Entonces el recorrido libre de las mol´eculas X en metros ser´a: 1

Xagua a 5 ◦C = (3,346 × 1028 )− 3 = 3,1 × 10−10 m = 3,1 × 10−7 mm Para el aire recordando que 1 mol de un gas perfecto en condiciones normales de presi´on y temperatura (presi´ on atmosf´erica y 0 ◦C) ocupa 22,4 l es decir 22,4 dm3 = 0,0224 m3 . Entonces podemos calcular la cantidad de mol´eculas en 1 m3 . No mol´eculas de aire en 1 m3 =

6,022 × 1023 = 2,688 × 1025 0, 0224

Y por lo tanto el recorrido libre ser´ a: 1

Xaire a p.a.t.m. y 0 ◦C = (2,688 × 1025 )− 3 = 3,34 × 10−9 m = 3,34 × 10−6 mm Como se puede observar estos valores son mucho m´as peque˜ nos que cualquier part´ıcula que podamos imaginar en un problema de ingenier´ıa habitual.

1.3 Densidad, volumen espec´ıfico, peso espec´ıfico, densidad relativa, presi´ on, temperatura La densidad ρ de un fluido se define como la masa por unidad de volumen. La densidad de un fluido puede variar punto a punto por lo tanto es conveniente definir: ρ = l´ım

∆∀→0

∆m ∆∀

Donde m es la masa y ∀ el volumen. ∆∀ es un infinit´esimo de orden superior al cubo del recorrido libre de las mol´eculas. En el sistema M, K, S (metro, kilogramo, segundo), la unidad de masa es el kilogramo (kg), en tanto que la unidad de dimensi´ on es el metro (m), por lo tanto en el sistema M, K, S la unidad de densidad es: kg [ρ] = 3 m

CAP´ITULO 1. PROPIEDADES DE LOS FLUIDOS

8 Algunos valores t´ıpicos de densidad son:

kg m3 kg = 1,225 3 m

ρagua a 5 ◦C = 1000 ρaire a patm

y 15 ◦C

La densidad de los fluidos var´ıa con la presi´on y la temperatura. Es com´ un decir que la densidad del agua es 1, cosa que es cierta si agregamos las unidades: ρagua a 5 ◦C = 1

kg dm3

Ya que 1 dm3 = 11 la densidad del agua tambi´en puede establecerse como: ρagua a 5 ◦C = 1

kg l

En hidr´aulica es com´ un despreciar la variaci´on de la densidad del agua con la temperatura y en general se adopta: kg kg kg ρagua = 1000 3 = 1 3 =1 l m dm En los gases en cambio la variaci´on de la densidad con la presi´ on es muy importante y como veremos m´ as adelante cuando se duplica la presi´on absoluta la densidad se reduce a la mitad. El volumen espec´ıfico v es la inversa de la densidad: v=

1 ρ

Obviamente las unidades del volumen espec´ıfico en el sistema M, K, S ser´an las inversas de la correspondiente a la densidad. El peso espec´ıfico γ es el peso por unidad de volumen o sea: γ =ρ·g Donde g es la aceleraci´on de la gravedad. Por lo tanto al igual que la aceleraci´on de la gravedad, el peso espec´ıfico depende del lugar en que se mida (no as´ı la densidad). Las unidades del peso espec´ıfico en el sistema M, K, S ser´an: [γ] = [ρ] · [g] =

kg m · m3 s2

Y recordando que por definici´on una fuerza de 1 N es aquella que aplicada a 1 kg masa le produce una aceleraci´ on de 1 m/s2 resulta: N [γ] = 3 m Entonces el peso espec´ıfico del agua expresado en unidades M, K, S ser´a: γagua = ρagua · g kg m γagua = 1000 3 · 9,807 2 m s N γagua = 9807 3 m Si recordamos que por definici´ on una fuerza de 1 kg es aquella que aplicada a una masa de 1 kg le produce una aceleraci´ on de 9,8 m/s2 , el peso espec´ıfico del agua se puede poner: γagua = 1000

k~g m3

1.3. CARACTER´ISTICAS DE LOS FLUIDOS

9

La unidad k~g pertenece al denominado “sistema t´ecnico” de unidades. El sistema t´ecnico es ampliamente utilizado en nuestro pa´ıs en la industria y tiene la gran ventaja que en la tierra el m´ odulo de la masa y del peso son coincidentes. Sin embargo se debe advertir que mientras la masa mide la cantidad de materia, y es independiente del lugar donde se la mida, el peso mide la fuerza a que dicha cantidad de materia dar´a lugar cuando es expuesta a un campo gravitatorio. Matem´aticamente la masa es expresada por un escalar (o campo escalar), mientras que el peso es expresado por un vector (o campo vectorial). En esta publicaci´on utilizaremos cualquiera de los dos sistemas a fin que el lector se familiarice con ambos y tenga el elemento m´ as id´ oneo para utilizar cuando lo requiera. La densidad relativa de un fluido se define como el cociente entre la densidad del fluido y la densidad de otro admitido como patr´ on. Para los l´ıquidos el fluido patr´on es el agua y para los gases el aire, por lo tanto: ρ ρr = para l´ıquidos ρagua ρa patm y 15 ◦C ρr = para gases ρaire a patm y 15 ◦C Donde: ρr : Densidad relativa. ρ: Densidad del fluido. De la misma forma se define el peso espec´ıfico relativo: γ para l´ıquidos γagua γa patm y 15 ◦C para gases γr = γaire a patm y 15 ◦C γr =

Y como la relaci´on entre pesos espec´ıficos y densidades es la aceleraci´ on de la gravedad g es evidente que las densidades relativas y los pesos espec´ıficos relativos de una sustancia son coincidentes.

Ejemplo 1.1 Obtener el valor de las densidades y pesos espec´ıficos de un barro de densidad relativa 1,3 y del gas domiciliario que tiene un peso espec´ıfico relativo de 0,6 a presi´on atmosf´erica y temperatura de 15 ◦C. Para el barro (al que consideraremos como l´ıquido) la densidad resulta: ρbarro = ρrbarro · ρagua = 1, 3 · 1000

kg3 kg 3 = 1300 m m3

En tanto que el peso espec´ıfico expresado en el sistema M, K, S γbarro = γrbarro · γagua = 1, 3 · 9807

N N = 12 749 3 m3 m

O en el sistema t´ecnico:

k~g k~g = 1300 3 m3 m Para el gas domiciliario (compuesto principalmente por metano) la densidad ser´a: γbarro = 1, 3 · 1000

ρgas = ρrgas · ρaire = 0, 6 · 1,225

kg kg = 0,735 3 m3 m

En tanto que el peso espec´ıfico en el sistema M, K, S: γgas = γrgas · γaire = 0, 6 · 1,225

kg m N 3 · 9,807 2 = 7,208 m s m3

CAP´ITULO 1. PROPIEDADES DE LOS FLUIDOS

10 En el sistema t´ecnico:

γgas = γrgas · γgas = 0, 6 · 1,225

k~g k~g = 0,735 3 m3 m

Se define como presi´ on en un punto a la relaci´on: p = l´ım

∆A→0

fn ∆A

Donde fn es la fuerza normal al ´ area A como se muestra en la figura 1.2.

Figura 1.2 Las unidades de presi´ on ser´ an entonces: [p] =

[F ] [A]

En el sistema M, K, S: [p] =

N m2

que se conoce como Pascal [Pa]

Y en el sistema t´ecnico:

k~g m2 En general en la industria tanto el Pa como el k~g/m2 resultan muy peque˜ nos y da lugar a m´odulos muy grandes, por lo tanto es com´ un la utilizaci´ on del Kilopascal [kPa], Bares [bar] y del Megapascal [MPa] en el sistema M, K, S y del k~g/cm2 en el sistema t´ecnico. En particular esta u ´ltima unidad es la m´ as com´ unmente utilizada, las relaciones entre ellas son: [p] =

1 MPa = 106 Pa 1 kPa = 103 Pa 1 bar = 105 Pa k~g g 4 k~ 1 2 = 10 cm m2 k~g 1 2 = 9,8 Pa m En la que sigue no denominaremos al N/m2 Pascal sino que lo dejaremos expresado como N/m2 .

Ejemplo 1.2 Determinar la presi´on ejercida por una fuerza expresada en Newtons cuyas componentes son 10˘i; 8˘j; 20k˘ y que act´ ua sobre una superficie de 0,5 m2 ubicada en el plano x, y. Como la fuerza est´ a concentrada y no var´ıa con la superficie: p=

fn A

1.4. GAS PERFECTO

11

La componente normal al plano x, y tiene versor k˘ y por lo tanto la presi´on ser´a: p=

20 N N = 40 2 0,5 m2 m

Los fluidos pueden soportar esfuerzos de compresi´on importantes, sin embargo pr´acticamente no pueden soportar esfuerzos de tracci´ on. Por lo tanto la presi´ on es la tensi´ on normal que act´ ua en un fluido y es siempre de compresi´on. Si bien en mec´anica del s´olido las tensiones de compresi´on son negativas, en la mec´anica de los fluidos la presi´on (que es una tensi´on de compresi´on) ser´a positiva. Dado que los fluidos no soportan esfuerzos de tracci´ on las presiones negativas no tienen significado f´ısico. A nivel molecular la presi´on en el seno de un fluido es la manifestaci´on macrosc´opica de los choques intermoleculares, por lo tanto cuando se reduce el volumen de una determinada masa de fluido tambi´en se reduce el recorrido libre de las mol´eculas y por lo tanto aumenta la cantidad de choques y por lo tanto la presi´on (como se ver´a en el punto 1.6). Obviamente si la presi´on en el seno de un fluido es la manifestaci´ on del n´ umero de choques moleculares, la m´ınima expresi´ on es que no haya ning´ un choque. Desde este punto de vista tampoco pueden existir presiones negativas. Dado que la presi´ on en el seno de un fluido es la misma en cualquier direcci´on y sentido, matem´aticamente la presi´ on es representada por un escalar (o campo escalar). En el cap´ıtulo 2 veremos que tambi´en se puede expresar la presi´on como una columna de l´ıquidos de determinado peso espec´ıfico. La temperatura en un punto de un fluido es la expresi´on macrosc´opica del estado de vibraci´on de las mol´eculas. Cuanto mayor es el estado de vibraci´on mayor ser´a la temperatura. Las unidades de la temperatura en el sistema m´etrico decimal es el grado cent´ıgrado ◦C, que es una escala propuesta por Celsius basada en la temperatura de ebullici´on del agua a presi´ on atmosf´erica (100 ◦C) y el punto de congelaci´ on del agua (0 ◦C). La temperatura absoluta, en cambio, toma el cero como aquella temperatura para la cual no existe vibraci´on de las mol´eculas. Este punto se produce a −273,16 ◦C. La temperatura absoluta se expresa en grados Kelvin (kelvin) y la relaci´ on entre temperatura absoluta y la temperatura en grados cent´ıgrados viene dada por: T [K] = 273, 16 + T [◦C]

Ejemplo 1.3 Si la temperatura ambiente es de 17 ◦C ¿Cual ser´a la temperatura absoluta? T [K] = 273 + 17 = 290 K

(1.1)

Donde se ha redondeado la constante.

1.4 Gas perfecto Se conoce como gas perfecto a aquel que cumple con la siguiente ecuaci´on de estado: p·∀=m·R·T Donde: p: Presi´ on absoluta. ∀: Volumen del gas. m: Masa del gas.

(1.2)

CAP´ITULO 1. PROPIEDADES DE LOS FLUIDOS

12 R: Constante del gas. T : Temperatura absoluta del gas.

Los gases m´as comunes a presi´ on y temperatura cercanas a la atmosf´erica cumplen bastante bien con esta condici´ on. Recordando que m/∀ = ρ. La anterior la podemos rescribir: p=ρ·R·T

(1.3)

La constante del gas R es igual a una constante universal para todos los gases dividido la masa molecular del gas (recordar que el peso molecular o masa molecular es la suma de las masas o pesos at´ omicos de los elementos que lo componen). Es decir: R=

RM M

(1.4)

Reemplazando en la ecuaci´ on (1.3):

m · RM · T M Adem´ as como m/M = n donde n es el n´ umero de moles. p·∀=

p · ∀ = n · RM · T Si queremos encontrar la constante universal de los gases recordando que 1 mol de gas a presi´ on atmosf´erica y una temperatura de 0 ◦C ocupa un volumen de 22,4 l y reemplazamos en la anterior ecuaci´ on: n = 1 mol T = 273 K ∀ = 0,0224 m3 p = patm = 101 293

N m2

ver cap´ıtulo 2

p·∀ n·T 101 293 N/m2 · 0,0224 m3 = 1 mol · 273 K J = 8,311 mol K

RM = RM RM

Ejemplo 1.4 Determinar la densidad del aire a 196 000 N/m2 (2 k~g/cm2 ) y una temperatura de 60 ◦C. La masa molecular del aire es 29 g/mol De la ecuaci´ on ecuaciones (1.3) y (1.4): p=ρ·

p·M RM ·T ⇒ρ= M RM · T

Recordando que T es la temperatura absoluta (273 + 60 = 333 K) y que la masa molecular es la masa de 1 mol, o sea: g kg = 0,029 mol mol 196 000 N/m2 · 0,029 kg/mol kg ρ= = 2,054 3 8,311 N m/(mol K) · 333 K m

M = 29

´ DE NEWTON - VISCOSIDAD 1.5. ECUACION

13

A medida que los gases se aproximan al punto cr´ıtico el comportamiento de los mismos se aparta de la ecuaci´ on de estado. Para los gases reales la ecuaci´on de estado se puede escribir: p=Z ·ρ·

RM ·T M

Donde Z es el coeficiente de compresibilidad (que no se debe confundir con el m´ odulo de elasticidad que veremos en el punto 1.6). Obviamente para los gases ideales Z = 1. El apartamiento de Z respecto a la unidad indica cuanto se aparta el gas del comportamiento ideal. El coeficiente de compresibilidad es funci´on del gas en estudio, de la presi´ on y la temperatura a la que est´ a sometido. En este libro s´ olo estudiaremos el movimiento de gases ideales.

1.5 Ecuaci´ on de Newton - Viscosidad Sea un fluido entre dos placas planas como muestra la figura 1.3: ~ por efecto de la fuerza F~ . La placa inferior es fija en tanto la superior se mueve con velocidad V

Figura 1.3 Admitamos que el movimiento del fluido entre ambos es tal que las capas de fluido escurren unas sobre otras en forma ordenada como si se tratara de las hojas de una resma de papel que se deslizan unas sobre otras (a este r´egimen se lo conoce como r´egimen laminar). De la observaci´ on de la experiencia surgen las siguientes conclusiones: La capa de fluido adyacente a la pared fija no se mueve. La capa de fluido adyacente a la pared m´ovil se mueve con una velocidad igual a la de la placa. Concluimos que cuando un fluido se encuentra en contacto con un l´ımite s´olido la capa de fluido adyacente al mismo se “adhiere” a ´el tomando por lo tanto la velocidad del l´ımite s´olido. Adem´ as se puede apreciar que la fuerza requerida para mantener al l´ıquido en movimiento es directamente proporcional al ´area y a la velocidad de la placa e inversamente proporcional a la distancia entre las placas: V F ≈A· L Pero V /L es la velocidad angular con que se deforma el fluido, si el perfil no fuese lineal ser´ıa: F ≈A·

∂V ∂n

Donde n es la direcci´ on normal al movimiento del fluido. Y siendo: F =τ A

CAP´ITULO 1. PROPIEDADES DE LOS FLUIDOS

14 Donde τ es la tensi´ on de corte. Resulta:

τ≈

∂V ∂n

La constante de proporcionalidad de la ecuaci´ on anterior es la viscosidad absoluta o viscosidad din´ amica: τ = −µ ·

∂V ∂n

(1.5)

Donde el signo menos indica que la tensi´on de corte se opone a la velocidad del fluido. Esta ecuaci´ on se conoce como la ecuaci´on de Newton de la viscosidad. No todos los fluidos obedecen a esta ley. Algunos (generalmente muy viscosos) como los lodos, las pastas, la tinta de imprenta, los pol´ımeros y la sangre no responden a la ecuaci´on anterior. Los fluidos m´as comunes como el agua y el aire s´ı lo hacen. A los fluidos que cumplen con esta Ley se los denomina Newtonianos. Si representamos la tensi´on de corte en funci´on de la variaci´on de velocidad seg´ un la direcci´ on normal tendremos la clasificaci´on que se muestra en la figura 1.4.

Figura 1.4 De lo expuesto surge que la viscosidad es una propiedad de los fluidos que se opone al deslizamiento entre las capas del mismo. Se debe hacer notar que si la viscosidad fuese nula ser´ıa imposible frenar o acelerar un fluido pues no habr´ıa posibilidad de transferir cantidad de movimiento entre las distintas capas del mismo. Esta capacidad de transferencia de cantidad de movimiento que caracteriza a la viscosidad puede ser explicada si se examina las causas ´ıntimas (a nivel molecular) que dan origen a la viscosidad. La capacidad de un fluido de transferir cantidad de movimiento en r´egimen laminar se asocia a dos fen´ omenos: Las fuerzas de cohesi´ on entre mol´eculas. La transferencia de cantidad de movimiento que se pone en juego en los choques intermoleculares. Esto explica a su vez el diferente comportamiento de la viscosidad en los l´ıquidos y en los gases al aumentar la temperatura. En efecto, en el caso de los l´ıquidos las fuerzas de cohesi´ on intermoleculares son las dominantes. Dichas fuerzas disminuyen al aumentar la temperatura como consecuencia de la mayor actividad vibratoria de las mol´eculas. Por lo tanto al aumentar la temperatura disminuye la viscosidad de los l´ıquidos. En cambio en los gases las fuerzas de cohesi´on son peque˜ nas y los intercambios de cantidad de movimiento entre mol´eculas los predominantes. Al aumentar la temperatura aumenta el estado de movilidad de las mol´eculas y por lo tanto la cantidad de choques (transferencia de cantidad de movimiento) entre mol´eculas. Esto explica el hecho que al aumentar la temperatura aumenta la viscosidad de los gases.

´ DE NEWTON - VISCOSIDAD 1.5. ECUACION

15

Las unidades de la viscosidad din´amica en el sistema M, K, S pueden deducirse de la ecuaci´on de Newton: N 2 [τ ] kg Ns #= m = 2 = [µ] = " m s m m/s ∆V m ∆n En el sistema t´ecnico:

kg k~g s 2 = 9,81 m s m Las unidades en el sistema M, K, S dan valores muy peque˜ nos por lo cual es muy usado en la pr´ actica el sistema c, g, s, la unidad en este sistema se conoce como “poise”. [µ] =

P=

dyn s g = cm s cm2

Donde recordamos que la dina se define como la fuerza que es necesario aplicar a un gramo masa para producir una aceleraci´ on de 1 cm/s2 . Es muy com´ un encontrar la viscosidad expresada en centipoises que es la cent´esima parte del poise. La viscosidad del agua a 20 ◦C es de 1,002 cP. Se conoce como viscosidad cinem´ atica ν a la relaci´on: µ ν= ρ Por lo tanto las unidades de la viscosidad cinem´atica en el sistema M, K, S ser´an: kg 2 [ν] m s= m [ν] = = [ρ] s kg 3 m Nuevamente estas unidades son muy grandes para las viscosidades cinem´aticas usuales por lo cual se emplea el sistema c, g, s. En este sistema la unidad se conoce como stoke: St =

cm2 s

Es muy com´ un expresar la viscosidad cinem´atica en centistokes que es la cent´esima parte del stoke. La viscosidad cinem´ atica del agua a 20 ◦C es aproximadamente 1 cSt.

Ejemplo 1.5 A fin de determinar la viscosidad din´ amica y cinem´atica de un fluido, se lo vuelca en un aparato cil´ındrico como se muestra en la figura 1.5. Si el par que se mide en el eje es de 0,1 N m cuando la frecuencia es de 600 RPM (revoluciones por minuto), el radio del cilindro es de 5 cm y la longitud es de 20 cm, en tanto que el huelgo es de 0,2 mm, determinar las viscosidades din´ amica y cinem´atica del fluido si la densidad relativa del mismo es de 0,8. La fricci´ on del fluido en el espacio anular se opone al movimiento del cilindro. Como la velocidad de rotaci´on se mantiene constante debe haber un equilibrio entre el par aplicado y el par que produce las tensiones de corte: Meje = Mfricci´on Las tensiones de corte que se oponen al movimiento son las que act´ uan sobre las paredes laterales y las bases del cilindro. Admitimos que el movimiento es laminar, y por lo tanto las tensiones de corte vienen dadas por la ecuaci´ on de Newton (ecuaci´ on (1.5)): ∂V τ = −µ · ∂n

CAP´ITULO 1. PROPIEDADES DE LOS FLUIDOS

16

Figura 1.5 Estas tensiones multiplicadas por el a´rea en que act´ uan nos dar´ an las fuerzas actuantes, y si estas las multiplicamos por la distancia al eje obtendremos los momentos debidos a la fricci´on. El momento total ser´a la suma de los momentos ejercidos sobre el a´rea lateral y las dos bases y como las bases son ambas iguales podremos poner: Mfricci´on = M´area lateral + 2Mbase Puesto que la tensi´on de corte es la misma en cualquier punto del a´rea lateral (figura 1.6) el momento sobre ´esta ser´ a: M´area lateral = τ · Alateral · R = τ · 2π · R · L · R (1.6) En cambio sobre la base la tensi´ on de corte var´ıa porque var´ıa la velocidad con el radio y tambi´en var´ıa el brazo de palanca desde 0 hasta R.

Figura 1.6 Como la tensi´ on de corte y el brazo de palanca solo var´ıan con el radio, si planteamos la ecuaci´on de momento para un ´ area diferencial como la mostrada en la figura 1.7: dMbase = τ · 2π · r · dr · r y

ˆR τ · 2π · r2 · dr

Mbase =

(1.7)

0

La tensi´ on de corte como dijimos viene dada por: τ = −µ ·

∂V dn

(1.8)

Donde ∂V /∂n es la variaci´on de la velocidad en la direcci´ on normal a ´esta. Como el espacio anular es muy peque˜ no supondremos que la distribuci´on de velocidades tiene una distribuci´on lineal (en el

´ DE NEWTON - VISCOSIDAD 1.5. ECUACION

17

Figura 1.7

cap´ıtulo 6 veremos que en realidad es parab´olica. En este cap´ıtulo siempre haremos la suposici´on de distribuci´ on lineal). Volviendo a la pared lateral, como la velocidad del fluido sobre la superficie s´olida tiene la velocidad de ´esta, resulta el perfil de velocidades mostrado en la figura 1.8. Entonces: ∂V Vtang = ∂n e La velocidad tangencial viene dada por: Vtang = ω · R Donde ω es la velocidad angular, y como: ω=

2π · f 60

Donde f es la frecuencia en RPM (que es nuestro dato).

Figura 1.8 Sobre la base la distribuci´ on de velocidades ser´a: ∂V Vtang |r 2π · f · r = = ∂n e 60 · e

(1.9)

CAP´ITULO 1. PROPIEDADES DE LOS FLUIDOS

18

Figura 1.9 Reemplazando las ecuaciones (1.8) y (1.9) en ecuaci´on (1.7): ˆR Mbase = −µ ·

4π 2 · f · r3 · dr 60e

0

Mbase = −

µ · 4π 2 · f R4 · 60e 4

Y el momento total:

4π 4 · f µ · π2 · R3 · L − 2 · · f · R4 60e 60e Como el momento en el eje es entregado al fluido, es negativo y por lo tanto: Mfricci´on = −µ ·

Meje =

µ · π2 · f · R3 · (4L + 2R) 60e

De donde podemos despejar µ. µ=

60Meje · e π 2 · f · R3 · (4L + 2R)

Expresamos todos los valores en el sistema M, K, S. 60 · 0,1 N m · 0,0002 m · 60/s · 0, 053 · (4 · 0, 2 + 2 · 0, 05) m4 dyn s Ns = 1,801 × 10−2 P = 1,801 cP µ = 1,801 × 10−3 2 = 1,801 × 10−2 m m2 µ=

π2

Y donde: ν=

µ ρ

donde ρ = ρrfluido · ρagua = 0, 8 · 1000

kg kg = 800 3 m3 m

O sea: ν=

1,801 × 10−3 N s/m2 m2 cm2 = 2,25 × 10−6 = 2,25 × 10−2 = 2,25 × 10−2 St = 2,25 cSt 3 s s 800 kg/m

1.6 Compresibilidad - M´ odulo de elasticidad La compresibilidad de los fluidos est´ a asociada a su mayor o menor capacidad de variar su volumen cuando se lo somete a un esfuerzo de compresi´on. En general los l´ıquidos son poco compresibles y los gases muy compresibles. Sin embargo veremos m´as adelante que cuando un fluido se encuentra en movimiento los efectos de compresibilidad podr´an despreciarse o no, no solo por la caracter´ıstica del fluido, sino tambi´en por el tipo de movimiento. Por ejemplo para los l´ıquidos sometidos a bruscas variaciones de presi´on puede ser necesario tener en cuenta la compresibilidad. En cambio si la variaci´on

´ SUPERFICIAL - CAPILARIDAD 1.7. TENSION

19

de presi´on en un gas es muy peque˜ na se lo puede tratar como incompresible (es el caso del c´alculo de conductos de aire acondicionado y ventilaci´on). La caracterizaci´ on de la compresibilidad de un fluido se realiza mediante el coeficiente de elasticidad: dp d∀ ∀ El rec´ıproco del m´ odulo de elasticidad se denomina compresibilidad. Esta expresi´ on muestra la relaci´on que existe entre la presi´ on aplicada a un fluido y la variaci´on de volumen con respecto al volumen inicial del mismo. El signo menos indica que cuando la presi´on aumenta el volumen disminuye y viceversa. Cuanto m´ as incompresible es el fluido mayor ser´a el valor de K. Puesto que d∀/∀ es adimensional, las unidades del m´ odulo de compresibilidad son las mismas que las unidades de presi´ on ya vistas. El m´ odulo de elasticidad de los fluidos var´ıa con la presi´on y la temperatura. Los gases obviamente tienen factores de elasticidad mucho menores que los l´ıquidos, puesto que los gases se deforman mucho m´ as que los l´ıquidos para una misma variaci´ on de presi´on. Como para los gases adem´as es posible encontrar ecuaciones anal´ıticas que relacionen la evoluci´on del gas con la variaci´on de presi´on y volumen, como se ver´a al tratar flujo compresible, el coeficiente de compresibilidad se reserva para los l´ıquidos. En particular para el agua a 10 ◦C y presiones entre 25 y 50 k~g/cm2 , el coeficiente de elasticidad vale aproximadamente 21 000 k~g/cm2 , en tanto que para la misma temperatura y presiones entre 0 y 25 k~g/cm2 el coeficiente de elasticidad es de 20 700 k~g/cm2 . K=

Ejemplo 1.6 Se va a probar la resistencia mec´ anica de una ca˜ ner´ıa mediante una prueba de presi´ on con agua. Para ello se la requiere presurizar a 50 k~g/cm2 . Si para llenar completamente la ca˜ ner´ıa a presi´on atmosf´erica se utilizaron 2000 m3 de agua, y considerando que no hay dilataci´on de la ca˜ ner´ıa debido a la presi´on, calcular el agua a agregar para alcanzar la presi´on requerida. Considerar que el factor de elasticidad es de 21 000 k~g/cm2 . Esta es una prueba com´ un en la pr´actica ingenieril, pero no se puede dejar de considerar la deformaci´on el´ astica de la ca˜ ner´ıa como haremos aqu´ı por cuestiones de alcance y claridad. Inicialmente los 2000 m3 de agua se encuentran a presi´on atmosf´erica, y finalmente se comprimir´ an a 50 kg/cm2 , por lo tanto, el ∆p es de 50 k~g/cm2 y el volumen inicial de 2000 m3 . Como el coeficiente de elasticidad lo consideramos constante podemos poner: K=

∆p ∆∀ ∀

Y por lo tanto despejando la variaci´ on de volumen: ∆∀ =

∆p · ∀ 50 k~g/cm2 · 2000 m3 = 4,76 m3 = 4760 lagua = K 21 000 k~g/cm2

El volumen a agregar por la dilataci´ on de la ca˜ ner´ıa depende del material, el di´ametro y el espesor, y se puede calcular anal´ıticamente. Este volumen se debe adicionar al anterior para obtener el total a agregar.

1.7 Tensi´ on superficial - Capilaridad Consideremos un fluido en equilibrio como se muestra en la figura 1.10. Una part´ıcula en el seno del l´ıquido estar´a sometida a fuerzas de cohesi´on que ser´an las mismas en todas las direcciones dando

20

CAP´ITULO 1. PROPIEDADES DE LOS FLUIDOS

Figura 1.10

por lo tanto una resultante nula. En cambio una part´ıcula de fluido en la superficie estar´ a sometida a diferentes fuerzas de cohesi´on debido a la diferencia de cohesi´on entre l´ıquido y aire dando como resultado una fuerza neta dirigida hacia el seno del l´ıquido. Por lo tanto si se quiere “arrancar” una part´ıcula de la superficie habr´a que vencer esta fuerza de cohesi´on. O sea que la superficie de contacto entre l´ıquido y gas forman una pel´ıcula, capa o l´amina que se encuentra tensionada y que da lugar al nombre con que se conoce este fen´ omeno f´ısico. Esto se puede observar tambi´en colocando una aguja de coser peque˜ na sobre la superficie del l´ıquido en reposo. La aguja es soportada sobre la misma como se muestra en la figura 1.11.

Figura 1.11 Como se puede observar en la figura la fuerza que genera la tensi´ on superficial y que equilibra al peso se distribuye en todo el contorno de la interfase entre la aguja y el agua (es decir sobre una l´ınea). Analicemos lo siguiente. Sea un aro que est´a colocado sobre un l´ıquido como se muestra en la figura 1.12:

Figura 1.12 Si queremos sacar el aro y observamos atentamente, justo cuando la generatriz inferior va a salir del agua debido a las fuerzas de atracci´on entre l´ıquido y s´olido se forma un menisco debajo del aro, y es necesario un incremento de la fuerza, adicional al peso, para lograr separar el aro del l´ıquido. Esto se nota cuando se trata de extraer un balde de agua de un recipiente cuando el fondo del balde ya va a salir de la superficie. Se define la tensi´on superficial como la relaci´on entre la fuerza F~ y la l´ınea de interfase. En el caso del aro ser´ a: F~ σ= 2π · R

´ SUPERFICIAL - CAPILARIDAD 1.7. TENSION

21

Y en general: F~ L Es decir que la tensi´on superficial en el sistema MKS tendr´ a unidades de N/m en tanto que en el sistema t´ecnico ser´ a de k~g/m. La tensi´on superficial del agua en contacto con el aire a temperatura ambiente vale 0,073 N/m para la interfaz mercurio-aire: N σ = 0,514 m Puesto que la tensi´on superficial se manifiesta siempre que se produce una interfaz podemos encontrar una ecuaci´ on general para la misma como mostraremos en lo que sigue: Aislemos un elemento diferencial de la superficie deformada de la capa de interfaz, como se muestra en la figura 1.13. σ=

Figura 1.13 Si cortamos la superficie por los planos que contienen los radios de curvatura de la superficie R1 y R2 planteamos el equilibrio de fuerzas (figura 1.14).

Figura 1.14 Como se puede apreciar las componentes horizontales de las fuerzas debidas a la tensi´on superficial se compensan y por lo tanto solo hay componente seg´ un la direcci´ on normal a la superficie, las que deben equilibrar la diferencia de presiones en la interfaz: 2s · ds · sen α + 2s · dn · sen β = (p1 − p2 ) · dn · ds Y siendo: sen α ≈

dn ds sen β ≈ 2 · R2 2 · R1 2σ 2σ + = p1 − p2 2R2 2R1

CAP´ITULO 1. PROPIEDADES DE LOS FLUIDOS

22 Y por lo tanto:

 ∆p = σ ·

1 1 + R1 R2

 (1.10)

Que es aplicable a cualquier caso de tensi´ on superficial, veremos a continuaci´on algunos casos especiales. Sea una gota de forma esf´erica como se muestra en la figura 1.15.

Figura 1.15 Si se “corta” la gota a la mitad, y se ponen en evidencia las fuerzas que act´ uan sobre ella de forma tal de mantener el equilibrio roto al aislar la mitad del cuerpo, se advierte que la tensi´on superficial debe ser equilibrada por una presi´ on interna superior a la presi´on externa. Si aplicamos la ecuaci´ on (1.10), siendo R1 = R2 = R (radio de la gota), podemos rescribir: ∆p =

2σ R

Ejemplo 1.7 Cuando se destapa una botella de agua gasificada se observa que se producen peque˜ nas burbujas. Esto se debe a la reducci´ on de presi´on en el fluido. Suponiendo que el fluido es agua a 0 ◦C calcular la diferencia de presi´on entre el interior y el exterior de la burbuja si el di´ametro de la misma es de 1 mm. La tensi´ on superficial del agua a 0 ◦C es de 0,075 N/m (figura 1.16)

Figura 1.16

2 · 0, 075 N 0, 001 m2 2 N ∆P = 300 2 m

∆P =

Si consideramos ahora un tubo de vidrio de peque˜ no di´ametro sumergido en agua como se muestra en la figura 1.17. Vemos que se produce un ascenso de l´ıquido respecto a la superficie libre. A dicho ascenso lo denominamos ascenso capilar.

´ SUPERFICIAL - CAPILARIDAD 1.7. TENSION

23

Figura 1.17 Este ascenso se debe a que las fuerzas de cohesi´ on entre el agua y el vidrio son superiores que las fuerzas de cohesi´on entre las part´ıculas de l´ıquido entre s´ı. De estos l´ıquidos se dice, desde el punto de vista de la tensi´ on superficial que “mojan”. Si en cambio de agua el l´ıquido en el recipiente fuese mercurio ocurrir´ıa lo que se muestra en la figura 1.18.

Figura 1.18 Es decir que se produce un descenso capilar debido a que las fuerzas de cohesi´on del l´ıquido son mayores que las fuerzas de cohesi´ on entre ´este y el vidrio. De estos fluidos se dice que “no mojan”. Si queremos calcular el ascenso capilar, poniendo en evidencia las fuerzas que act´ uan, como se muestra en la figura 1.19.

Figura 1.19 Planteando la ecuaci´ on ecuaci´ on (1.10) y teniendo en cuenta que la superficie es un casquete esf´erico: p1 − p2 = 2 ·

σ R

Donde, por la ley fundamental de la hidroest´atica (ver cap´ıtulo 2), la p2 ser´a: p2 = p1 − γ · ∆h y Reemplazando: ∆h = 2σ · Donde ∆h se toma hasta la mitad del menisco.

R=

sen α γ·r

r sen α

CAP´ITULO 1. PROPIEDADES DE LOS FLUIDOS

24

Ejemplo 1.8 ¿Cu´al ser´a el ascenso capilar aproximado del agua en contacto con el aire, (tensi´on superficial 0,073 N/m) en un tubo limpio de vidrio de 5 mm de di´ ametro?. En el caso de tener mercurio (ρr = 13, 56, σ = 0,514 N/m y ´ angulo de contacto α = 50◦ ), ¿cu´al ser´ıa el descenso capilar?. No se da el a´ngulo de contacto con el agua porque es usual tomarlo como 90◦ (es decir la superficie del agua se hace tangente a la superficie del tubo). Entonces reemplazando en la ecuaci´on hallada. N m N = 2 · 0, 514 m

∆hagua = 2 · 0, 073 ∆hmercurio

sen 90◦ = 5,96 × 10−3 m = 5,96 mm 9800 N/m3 · 0,0025 m sen(−50◦ ) = −2,37 × 10−3 m = −2,37 mm · 13, 56 · 9800 N/m3 · 0,0025 m ·

Donde hemos tomado el ´ angulo de contacto negativo porque el menisco se forma hacia abajo.

1.8 Tensi´ on de vapor de un l´ıquido - Cavitaci´ on La temperatura a la cual un l´ıquido entra en ebullici´on depende de la presi´ on a la cual est´a expuesto. Por ejemplo el agua a presi´on atmosf´erica hierve a 100 ◦C pero si la presi´on absoluta disminuye a 0,023 83 atm la ebullici´on se producir´ a a 20 ◦C. Por ejemplo a 5000 m de altura donde la presi´on es de 2 53 991 N/m (ver ejemplo 2.1 del cap´ıtulo 2) el agua hierve a 83 ◦C aproximadamente. Cabe acotar que en numerosos lugares de la Cordillera de los Andes se alcanza esta altura. Cuando un l´ıquido pasa a vapor (como el agua) lo hace con un brusco aumento de su volumen, en tanto que cuando pasa de vapor a l´ıquido ocurre lo contrario. Cuando estos fen´omenos ocurren en el seno de un l´ıquido se produce un efecto llamado cavitaci´on, el cual es t´ıpico de las h´elices de barco, de las bombas y de las v´alvulas. El agua al aumentar su velocidad disminuye su presi´on, si dicha disminuci´on de presi´on es tal que la presi´on absoluta se ubica por debajo de la presi´on de ebullici´ on a la temperatura del agua (llamada tensi´on de vapor), se producen burbujas de vapor. Luego dichas burbujas viajan a zonas de mayor presi´on que la tensi´on de vapor del fluido haciendo que dichas burbujas pasen a estado l´ıquido. La brusca disminuci´ on de volumen hace que las part´ıculas de l´ıquido imploten lanz´andolas violentamente. Cuando dichas part´ıculas de l´ıquido golpean con superficies s´olidas producen una fuerte erosi´on que se conoce como cavitaci´ on. La tensi´ on de vapor por ser una presi´ on tiene las mismas unidades que ´este.

Referencias “Propiedades F´ısicas de los Fluidos” - Fernando C. Silva - P3DT1 - CEIT F.R.B.A. “Gu´ıa de Trabajos Pr´ acticos de Fluidodin´amica” - Ricardo A. Bastian´on - CEI “Elementos de Mec´ anica de los Fluidos” - Vennard y Street “Mec´ anica de Fluidos” - Irving H. Shames “Mec´ anica de los Fluidos” - Victor L. Streeter “Principles of Fluid Dynamics” - W. H. Li and S. H. Lam “Engineering Data Book” - Gas Processors Suppliers Association “Flujo de Fluidos en V´ alvulas, Accesorios y Tuber´ıas” - Crane

1.9. EJERCICIOS

25

Referencias audiovisuales “Introduction to the Study of Fluid Motion” - Hunter Rose - Iowa Institute of Hydraulic Research. “Characteristics of Laminar and Turbulent Flow” - Hunter Rose - Iowa Institute of Hydaulics Research.

1.9 Ejercicios Ejercicio 1.1: ¿Cu´al ser´a el peso, expresado en N y en k~g de un cuerpo de masa 10 kg en un planeta donde la aceleraci´ on de la gravedad es de 4,9 m/s2 ?. ¿Cu´al ser´a el peso de dicho cuerpo en la Tierra?. Respuesta: peso = 49 N; 5 k~g/98 N; 10 k~g Ejercicio 1.2: ¿Cu´anto vale la aceleraci´ on de la gravedad en m/s2 en un planeta donde un cuerpo de 10 kg de masa pesa 147 N?. ¿Cu´ al ser´ a la masa en kg de dicho planeta respecto a la masa terrestre?. Ejercicio 1.3: Un l´ıquido tiene una densidad relativa de 1,3 y una viscosidad cinem´atica de 2 cSt. Determinar su peso espec´ıfico relativo, su densidad (expresada en kg/m3 ), su peso espec´ıfico (expresado en N/m3 ) y su viscosidad din´ amica (expresada en cP). Respuesta: γr = 1, 3; ρ = 1300 kg/m3 ; γ = 12 753 N/m3 ; µ = 2,6 cP Ejercicio 1.4: Un l´ıquido tiene peso espec´ıfico relativo de 1,2. Encontrar cuanto vale la densidad relativa, el peso espec´ıfico (expresado en N/m3 ) y su densidad (expresada en kg/m3 ). Ejercicio 1.5: Si un barril de petr´oleo tiene un volumen de 159 l y pesado en b´ ascula con su contenedor pes´ o 1500 N en tanto que el peso del contenedor es de 100 N determinar cuanto vale la densidad de dicho petr´oleo expresada en kg/m3 y cuanto vale su densidad relativa. Respuesta: ρpetr´oleo = 898 kg/m3 y ρr = 0, 898 Ejercicio 1.6: El gas licuado contenido en una garrafa de 10 k~g de peso neto tiene una densidad relativa de 0,8; encontrar que volumen ocupa el l´ıquido (expresado en l) que contiene la garrafa. Despreciar el espacio de vapor. Ejercicio 1.7: Una fuerza expresada en N vale F~ = 4˘i + 3˘j + 9k˘ y act´ ua sobre un ´ area cuadrada de lado 5 cm en el ˘ plano X, Y . ¿Qu´e presi´ on y esfuerzo de corte producir´a?. Repetir los c´alculos para F~ = −4˘i + 3˘j − 9k. Expresar los resultados en N/cm2 .

26

CAP´ITULO 1. PROPIEDADES DE LOS FLUIDOS

Respuesta: σ = 0,36 N/cm2 y τ = 0,2 N/cm2 ; σ = 0,36 N/cm2 y τ = 0,2 N/cm2 Ejercicio 1.8: La cabeza de un pist´on (parte circular) est´ a sometida a una presi´ on de 40 atm. Si el pist´on tiene un di´ ametro de 100 mm, encontrar la fuerza transferida a un v´astago que lo mueve (expresarla en N). Ejercicio 1.9: Un ca˜ no´n neum´atico dispara un proyectil de masa 0,2 kg; si se supone que no hay efecto de rozamiento, y se sabe que la presi´on en el momento de ponerse en movimiento el proyectil es de 9,8 N/cm2 y que la misma es aplicada durante una d´ecima de segundo en forma constante y el di´ametro del ca˜ n´on es de 10 cm. Determinar cu´al es la velocidad en m/s a la que saldr´a la bala si el ca˜ n´ on se dispone horizontalmente. Respuesta: V = 385 m/s Ejercicio 1.10: Encontrar la densidad relativa y la densidad absoluta (expresada en kg/m3 ) del di´oxido de carbono (CO2 ) a presi´ on atmosf´erica y 15 ◦C. Ejercicio 1.11: Un dirigible se va a llenar con helio, He, que tiene una masa molecular MHe = 4 g/mol. Encontrar cu´al es la densidad relativa del helio y cu´al ser´a la presi´on en N/cm2 a la que estar´a sometido dentro del dirigible si su temperatura ser´a de −20 ◦C, y la densidad que llega a tener es del 20 % de la correspondiente al aire a presi´ on atmosf´erica normal y temperatura normal. Respuesta: ρrHe = 0, 14; p = 12,88 N/cm2 Ejercicio 1.12: Un veh´ıculo va a ser convertido a gas natural. Para ello se le instalar´an dos cilindros con un volumen de 75 l cada uno. Sabiendo que el gas natural ser´a inyectado a 200 atm absolutas a una temperatura de 15 ◦C y la masa molecular del gas es de 18 g/mol, encontrar en cuanto se incrementa el peso del veh´ıculo cuando los tanques de gas est´ an llenos. Expresar el valor en N. Ejercicio 1.13: Se transporta gas natural a una presi´on absoluta de 588 N/cm2 y a una temperatura de 15 ◦C. Calcular la densidad del fluido en kg/m3 si la masa molecular de dicho gas es de 19 g/mol. Respuesta: ρgas = 46,675 kg/m3 Ejercicio 1.14: Siendo la masa molecular del aire 29 g/mol, calcular la densidad relativa y absoluta del mismo (en kg/m3 ) cuando se lo somete a una presi´on absoluta de 19,6 N/cm2 y una temperatura de 215 ◦C. Ejercicio 1.15: Sabiendo que la viscosidad del gas natural es 0,013 cP a 70 k~g/cm2 absolutos y 15 ◦C, y de 0,011 cP a 1,033 k~g/cm2 y 15 ◦C y siendo la masa molecular de dicho gas de 17,777 g/mol, encontrar cuanto vale

1.9. EJERCICIOS

27

la viscosidad cinem´atica de dicho gas a las presiones y temperaturas indicadas. Expresar el resultado en cSt. Respuesta: ν = 0,254 cSt/14,61 cSt Ejercicio 1.16: Sabiendo que el ox´ıgeno es un gas diat´ omico (O2 ), que la masa at´omica del ox´ıgeno es 16 y que la viscosidad din´amica del mismo a presi´on de 98 N/cm2 y 50 ◦C es de 0,022 cP encontrar el valor de la viscosidad cinem´ atica expresada en cSt. Ejercicio 1.17: Tres fluidos tienen las siguientes velocidades de deformaci´on y tensiones de corte. Determinar a qu´e tipo de fluido corresponden. dV / dn[1/s] τ [N/m2 ] dV / dn[1/s] τ [N/m2 ] dV / dn[1/s] τ [N/m2 ]

0 10 0 0 0 0

2 20 0,3 10 0,3 10

4 30 0,9 20 0,6 20

6 40 2,1 30 0,9 30

Respuesta: Pl´ astico ideal; no newtoniano; newtoniano. Ejercicio 1.18: Para el fluido pl´ astico ideal del problema 17, calcular cuanto vale la tensi´ on de corte en N/m2 cuando su gradiente de velocidad en la direcci´ on normal es de 3,2/s. Ejercicio 1.19: Un bloque cuadrado, figura 1.20, que pesa 25 k~g y tiene 20 cm de arista se deja deslizar por un plano inclinado en el que existe una pel´ıcula de aceite, cuya viscosidad es igual a 2,2 × 10−4 k~g s/m2 . ¿Cu´al es la velocidad l´ımite a que descender´a si se supone que el espesor de la pel´ıcula de aceite es de 0,025 mm? La distribuci´ on de velocidades se postula lineal. Expresar el resultado en m/s.

Figura 1.20 Respuesta: V = 24,29 m/s Ejercicio 1.20: Un cilindro de acero de 7800 kg/m3 de densidad cae verticalmente por un tubo. El di´ ametro del cilindro es de 10 mm y su longitud 10 mm, en tanto el di´ametro interno del tubo es de 10,1 mm y existe entre ambos una pel´ıcula de lubricante. Si se alcanz´ o una velocidad l´ımite de 15 m/s encontrar cuanto vale la viscosidad din´ amica del lubricante. Expresar el resultado en cP. Ejercicio 1.21: Un cuerpo c´ onico, figura 1.21, gira a una velocidad constante igual a 10 rad/s. Una pel´ıcula de aceite de

28

CAP´ITULO 1. PROPIEDADES DE LOS FLUIDOS

viscosidad 2,2 × 10−4 k~g/(s m2 ) separa al cono del recipiente que lo contiene. El espesor de la pel´ıcula es de 0,25 mm. ¿Qu´e par se necesitar´ a para mantener el movimiento? El cono tiene una base de 5 cm de radio y una altura de 10 cm. Utilice la distribuci´ on de velocidades lineal y la viscosidad newtoniana. Expresar el resultado en N m.

Figura 1.21 Respuesta: M = 0,002 737 N m Ejercicio 1.22: La distribuci´ on de velocidades en r´egimen laminar en un conducto de secci´on circular viene dada por:   r 2  ∆p Vz = · R2 · 1 − 4µ · L R Donde ∆p es la ca´ıda de presi´on a lo largo del conducto; r es un radio gen´erico, L es la longitud en la cual se produce la ca´ıda de presi´ on; R es el radio del conducto y µ es la viscosidad del fluido. Sabiendo que la ca´ıda de presi´ on en 100 m es de 9800 N/m2 , y el radio del ducto es de 5 cm encontrar cuanto vale la tensi´ on de corte sobre la pared. Expresar el resultado en N/m2 . Ejercicio 1.23: El espacio entre dos placas planas paralelas separadas por una distancia h, figura 1.22, est´a ocupado por un fluido de viscosidad constante µ. La placa superior se desplaza a una velocidad constante V0 con respecto a la inferior. Encontrar los perfiles de velocidad y tensi´ on de corte en el fluido, considerando que la presi´ on es constante en todo el campo fluido.

Figura 1.22 Respuesta: τ = −µ · V0 /h Ejercicio 1.24: Encontrar cuanto valdr´ıa la tensi´on de corte del ejercicio 1.23 s´ı la distribuci´ on de presiones fuese parab´ olica. Ejercicio 1.25: Un v´astago hidr´aulico de 200 mm de di´ametro y de 1 m de longitud se mueve dentro de un cilindro

1.9. EJERCICIOS

29

conc´entrico de 200,2 mm de di´ametro; el claro anular est´a lleno de aceite de densidad relativa 0,85 y su viscosidad cinem´atica es de 400 mm2 /s. Calcular la fuerza viscosa que resiste el movimiento del v´ astago cuando ´este se desplaza a 120 mm/s. Expresar el resultado en N. Respuesta: F = 256 N Ejercicio 1.26: Para el v´ astago del ejercicio 1.25. ¿Cu´ al ser´a la potencia en W generada por la fricci´on?. Ejercicio 1.27: Una pel´ıcula uniforme de aceite de 0,1 mm de espesor separa dos discos ambos de 200 mm de di´ ametro, montados coaxialmente. Despreciando los efectos de borde calcular el par torsor necesario para hacer girar a uno de los discos en relaci´on al otro a una velocidad de 7/s, si el aceite tiene una viscosidad de 0,14 N s/m2 . Expresar el resultado en N m. Respuesta: M = 9,67 N m Ejercicio 1.28: Para el ejercicio 1.27 graficar como var´ıa el par torsor con respecto al resbalamiento entre discos (diferencia de velocidad angular entre ellos). Ejercicio 1.29: El espacio entre dos paredes grandes, planas y paralelas, separadas entre s´ı por 25 mm est´a lleno con l´ıquido de viscosidad absoluta de 0,7 N s/m2 . Dentro de este espacio se tira de una placa delgada plana de 250 mm por 250 mm con una velocidad de 150 mm/s y a una distancia de 6 mm desde una pared, manteni´endose la placa y el movimiento paralelos a las paredes. Suponiendo una variaci´on lineal de la velocidad entre la placa y las paredes determinar la fuerza en N ejercida por el l´ıquido sobre la placa. Respuesta: F = 1,43 N Ejercicio 1.30: Calcular la potencia te´orica en watt que se pierde por fricci´on en un cojinete de 100 mm de di´ ametro y 200 mm de longitud que gira a 1500 RPM dentro de un alojamiento de 100,1 mm si el lubricante es aceite con viscosidad de 100 cP. Despreciar los efectos sobre las tapas. Ejercicio 1.31: Calcular el coeficiente de elasticidad de un l´ıquido que tiene un volumen de 1,232 l cuando es sometido a una presi´on de 10 atm y un volumen de 1,231 l cuando se lo somete a una presi´on de 25 atm. Expresar el resultado en N/m2 . Respuesta: K = 1,87 × 109 N/m2 Ejercicio 1.32: Una ca˜ ner´ıa se va a probar hidr´aulicamente a 120 atm. Se la llena con 5000 m3 de agua hasta presi´on ambiente. Despreciando la dilataci´on de la ca˜ ner´ıa y considerando un m´odulo de elasticidad de 21 000 k~g/cm2 determinar el volumen de agua en m3 a agregar para alcanzar la presi´on de prueba.

30

CAP´ITULO 1. PROPIEDADES DE LOS FLUIDOS

Ejercicio 1.33: El m´ odulo de elasticidad del agua a una determinada presi´on y temperatura es de 21 000 k~g/cm2 . ¿Cu´anta presi´on ser´ a necesario aplicar al agua para reducir su volumen en 1 %?. Expresar el resultado en N/cm2 . Respuesta: p = 2058 N/cm2 Ejercicio 1.34: Calcular como var´ıa la densidad del agua y la del aire cuando se comprimen desde presi´on atmosf´erica a 100 atm a temperatura constante de 15 ◦C. Ejercicio 1.35: Determinar cuanto ascender´a el agua en mm con respecto a la superficie libre entre dos placas paralelas separadas 5 mm. Respuesta: ascenso capilar = 3 mm Ejercicio 1.36: Determinar cuanto descender´a el mercurio en mm si se encuentra 15 ◦C encerrado entre dos placas separadas 1 mm. Ejercicio 1.37: ¿Qu´e diferencia de presi´on en N/m2 habr´a entre el interior y el exterior de un chorro de agua cil´ındrico de 0,1 mm de di´ ametro?. Respuesta: ∆p = 1460 N/m2 Ejercicio 1.38: ¿Qu´e trabajo te´ orico en J deber´a realizarse para dividir un litro de agua en gotas de 0,5 mm de di´ ametro?. Ejercicio 1.39: Calcular la diferencia de presi´on en N/m2 entre el interior y el exterior de una pompa de jab´on si el di´ametro de la misma es de 2 mm suponiendo que el fluido es agua (tensi´ on superficial 0,073 N/m). Tener en cuenta que la soluci´ on jabonosa forma una pel´ıcula en cuyo interior hay aire. Respuesta: p = 292 N/m2 Ejercicio 1.40: Se desea generar pompas de jab´on como las del ejercicio 1.39 con un caudal de 1 l/s. ¿Cu´al ser´ a la potencia te´ orica necesaria expresada en W?. Ejercicio 1.41: Una pared plana, figura 1.23, est´a sumergida en una gran masa de agua. Tomando en cuenta la tensi´on superficial del agua, determinar la forma de la superficie del l´ıquido. Haciendo la hip´otesis de que las

1.9. EJERCICIOS

31

irregularidades de la superficie son suficientemente peque˜ nas, se puede postular que la curvatura de la misma es aproximadamente: 1/r = d2 y/ dx2 . El a´ngulo de contacto θ es dato. Determinar la altura h.

Figura 1.23 p Respuesta: h = cot θ · σ/γ Ejercicio 1.42: Cu´al ser´a el ascenso capilar aproximado del agua en contacto con el aire, (tensi´on superficial 0,073 N/m) en un tubo limpio de vidrio de 1 mm de di´ ametro. Ejercicio 1.43: Sobre una h´elice de barco se tiene una presi´on absoluta m´ınima en un punto de 0,03 atm. Si la temperatura del agua es de 15 ◦C. ¿Se producir´a cavitaci´on?. Respuesta: No

32

CAP´ITULO 1. PROPIEDADES DE LOS FLUIDOS

Cap´ıtulo 2 Est´ atica de los Fluidos Contenidos 2.1. 2.2. 2.3. 2.4.

Caracter´ıstica de la presi´ on en un fluido en reposo relativo . . . . . . . Ecuaci´ on fundamental de la hidrost´ atica . . . . . . . . . . . . . . . . . . Man´ ometros. Presi´ on absoluta y presi´ on relativa o manom´ etrica . . . . Fuerzas sobre superficies sumergidas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.4.1. Fuerzas sobre superficies planas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.4.2. Fuerzas sobre superficies curvas sumergidas . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.5. Flotaci´ on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.5.1. Empuje . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.5.2. Estabilidad de los cuerpos sumergidos y flotantes . . . . . . . . . . . . . . . 2.6. Masas fluidas sometidas a aceleraci´ on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.7. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

34 34 36 40 40 44 48 48 49 49 56

Introducci´ on En este cap´ıtulo se desarrolla la teor´ıa de los l´ıquidos en reposo. Se deducen las ecuaciones fundamentales que los gobiernan, la medici´on de presiones, el concepto de presi´on absoluta y manom´etrica, las presiones sobre cuerpos sumergidos (b´ asica para el c´alculo de esfuerzos sobre compuertas), el concepto de empuje y los fluidos en reposo relativo (sin movimiento entre sus capas a pesar de estar acelerados los recipientes que los contienen).

33

34

´ CAP´ITULO 2. ESTATICA DE LOS FLUIDOS

2.1 Caracter´ıstica de la presi´ on en un fluido en reposo relativo La est´atica de los fluidos es un caso particular de la Fluidodin´amica en el cual no hay movimiento relativo de las diversas capas de fluido. Por lo tanto no existen tensiones de corte puesto que en todo punto dV / dn = 0. Esto implica una gran simplificaci´on de las ecuaciones matem´ aticas y permite la resoluci´ on anal´ıtica exacta de la mayor parte de los problemas. Consideremos el equilibrio de fuerzas sobre un elemento fluido en reposo mostrado en la figura 2.1 en el cual, para simplificar, hemos tomado el caso bidimensional.

Figura 2.1 Dado que no hay tensiones de corte ni fuerzas de inercia las u ´nicas fuerzas actuantes ser´an la presi´on y las fuerzas de gravedad, siendo las fuerzas de presi´on sobre las paredes: F3 = p3 · dz · ds F2 = p2 · dy · dz F1 = p1 · dx · dz S´ı ahora planteamos las ecuaciones de equilibrio sobre los ejes. Sobre el eje X: p2 · dy · dz − p3 · dz · ds · sen α = 0 Y como: ds · sen α = dy ⇒ p2 = p3 Sobre el eje Y : 1 p1 · dx · dz − p3 · dz · ds · cos α − ρ · g · dx · dy · dz = 0 2 1 p3 − p1 + ρ · g · dy = 0 ⇒ p3 = p1 y p1 = p2 = p3 2 Puesto que el elemento puede elegirse en cualquier orientaci´ on y es arbitrario, concluimos que la presi´on en un fluido en reposo es la misma en todas las direcciones es decir es is´otropa. Si bien para simplificar hemos considerado el caso bidimensional (el tridimensional ser´ıa un prisma de base triangular en lugar de rectangular), la demostraci´on es v´alida para cualquier caso.

2.2 Ecuaci´ on fundamental de la hidrost´ atica Supongamos un elemento de fluido en reposo tal como se muestra en la figura 2.2, y de dimensiones dx, dy, dz. Si la presi´ on en el centro del cubo es p, la presi´ on en cada cara ser´a la mostrada en la figura 2.2, de acuerdo a la hip´ otesis del continum establecida en el punto 1.2.

´ FUNDAMENTAL DE LA HIDROSTATICA ´ 2.2. ECUACION

35

Figura 2.2 El equilibrio de fuerzas nos permite escribir: Sobre el eje X: ∂p dx p− · ∂x 2

! · dy · dz −

∂p dx p+ · ∂x 2

! · dy · dz = 0 ⇒

∂p =0 ∂x

O sea que p es constante para Z, Y constantes. Sobre el eje Z: ! ! ∂p dz ∂p dz ∂p p− · · dx · dy − p + · · dx · dy = 0 ⇒ =0 ∂z 2 ∂z 2 ∂z

(2.1)

(2.2)

O sea que p es constante para X, Y constantes. Sobre el eje Y : ! ! ∂p dy ∂p dy p− · · dz · dx− p + · · dz · dx − ρ · g · dx · dy · dz = 0 ∂y 2 ∂y 2 dp = −ρ · g dy

(2.3)

Que es la ecuaci´ on fundamental de la hidrost´atica. Integrando: ˆp2

ˆy2 dp = −

p1

ρ · g · dy y1

Para fluidos incomprensibles ρ = cte y entonces: p2 − p1 = −ρ · g · (y2 − y1 )

(2.4)

Las ecuaciones (2.1) y (2.2) implican que para y = cte (cuando la aceleraci´on de la gravedad act´ ua seg´ un este eje) se obtiene planos isobaricos (la presi´on es constante). Para un gas ideal (ecuaci´ on (1.2)): p=ρ·R·T ⇒ρ=

p R·T

´ CAP´ITULO 2. ESTATICA DE LOS FLUIDOS

36 Reemplazando en la ecuaci´ on (2.3): dp p =− ·g dy R·T

ˆp2 y

dp = p

p1

ˆT2

1 · dy T

(2.5)

T1

Si encontramos una relaci´ on entre la temperatura absoluta y la altura podremos integrar la ecuaci´ on anterior para obtener la variaci´ on de presi´on con la altura. Un caso cl´asico de est´atica de fluidos compresibles lo constituye la atm´osfera terrestre. La presi´on atmosf´erica se debe a la columna de aire que existe sobre la corteza terrestre. Se encontr´o que desde el nivel del mar hasta los 11 000 m de altura, la temperatura del aire var´ıa en forma aproximadamente lineal. Esta relaci´on viene dada por: T = (288 K − 0,006 507

K · y) m

Donde para y = 0 (nivel del mar) se admite que la temperatura es de 15 ◦C (288 K) en tanto que disminuye a medida que subimos.

Ejemplo 2.1 Admitiendo que la presi´on (absoluta) al nivel del mar es de 101 300 N/m2 encontrar cuanto vale la presi´ on atmosf´erica a 5000 m de altura. La temperatura a 5000 m ser´ a 255,5 K y dT = −0,006 507 K/m · dy. Reemplazando en la ecuaci´ on (2.5): ˆ

P5000abs

PN.

Marabs

dp g =− · p R

255,5 ˆ

1 dT · T −0, 006507

288

g P5000 255,5 ln p|101 · 153, 68 · ln T |288 300 = R p5000abs 255, 5 g ln 2 = 153, 68 · R · ln 288 101 300 N/m g 255,5 N P5000abs = 101 300 2 · e153,68· R ·ln 288 m Donde g es la aceleraci´ on de la gravedad: 9,8 m/s2 y R es la constante del aire. Rmol 8,311 N m/(mol K) = Maire 0,029 kg/mol Nm R = 286,58 kg K kg K 255,5 2 N P5000abs = 101 300 2 · e153,68 m/K·9,8 m/s · 285,58 N m ·ln 288 m N P5000abs = 53 991 2 m Que es la presi´ on absoluta a 5000 m y resulta poco mayor a la mitad de la presi´on a nivel del mar. R=

2.3 Man´ ometros. Presi´ on absoluta y presi´ on relativa o manom´ etrica El man´ ometro es un instrumento que sirve para medir presiones. En la pr´ actica ingenieril el man´ometro m´ as utilizado es el denominado man´ ometro de Bourdon.

´ ´ ABSOLUTA Y PRESION ´ RELATIVA O MANOMETRICA ´ 2.3. MANOMETROS. PRESION

37

Consta b´ asicamente de un tubo circular con secci´on el´ıptica al cual se le inyecta la presi´on a medir. Cuando act´ ua la presi´on interior el tubo tiende a enderezarse por la diferencia de presiones en el interior y el exterior (la presi´ on exterior es directamente la presi´ on atmosf´erica del lugar). En la figura 2.3 se esquematiza un man´ ometro de Bourdon.

Figura 2.3 Es decir que la presi´on medida por este tipo de aparato es la presi´on relativa a la atm´osfera, la cual recibe tambi´en el nombre de presi´ on manom´etrica. Es decir que cuando la presi´ on a medir sea mayor que la atmosf´erica la aguja del man´ometro girar´a en el sentido de las agujas del reloj y si la presi´on a medir fuese menor que la atmosf´erica la aguja girar´ a en sentido contrario. Los man´ometros que tambi´en pueden medir presiones mayores o menores que la atmosf´erica se llaman manovacu´ ometros. En el gr´afico de la figura 2.4 se puede visualizar con claridad cuales son las presiones absoluta, manom´etrica y el vac´ıo.

Figura 2.4 Recu´erdese que la presi´ on atmosf´erica se debe a la columna de aire sobre la superficie de la Tierra y que por lo tanto var´ıa del Ecuador (m´ aximo) hacia los polos (m´ınimo). Tambi´en var´ıa con la altitud del lugar. La presi´on atmosf´erica se puede medir mediante la experiencia de Torricelli (1643) la cual consiste en tomar un tubo de vidrio de largo apropiado lleno de mercurio con un extremo abierto y el otro cerrado y sumergirlo en un recipiente con mercurio (figura 2.5) con el extremo abierto sumergido en el l´ıquido. Se observa que el mercurio en el tubo conserva una altura h, es decir no toma el nivel del recipiente. Si se desprecia la presi´ on de vapor del mercurio y aplicando la ecuaci´on (2.4). pabs = ρHg · g · h Siendo h al nivel del mar 760 mm. kg m k~g k~g patm = 13 600 3 · 0,76 m · 9,8 2 = 101 300 Pa = 1013 hPa = 1,033 2 = 10 330 m s cm m2 Que son los valores que usualmente usaremos en los c´alculos. En la pr´actica ingenieril es com´ un referirse a la “presi´on” a secas con lo cual se interpreta que se est´a refiriendo a la presi´on relativa o manom´etrica. En cambio cuando se refiere a presiones absolutas se lo debe enunciar taxativamente.

´ CAP´ITULO 2. ESTATICA DE LOS FLUIDOS

38

Figura 2.5 Hay que tener en cuenta que presiones absolutas negativas no tienen sentido f´ısico. Esto deviene inmediatamente si se recuerda que la presi´ on es originada por el choque intermolecular. En el vac´ıo absoluto no hay choques y por lo tanto pabs = 0. En cambio s´ı es posible tener presiones relativas negativas a las cuales gen´ericamente se las conoce como vac´ıo. Podemos escribir entonces: pmanom´etrica/vac´ıo = pabs − pabs N´ otese que la presi´ on en la ecuaci´ on de estado de los gases es la presi´on absoluta. Otro man´ ometro que se usa com´ unmente para presiones peque˜ nas es el tubo en “U” (figura 2.6).

Figura 2.6 Si queremos hallar la presi´ on en A podemos poner: p2 = p1 Donde hemos echado mano a de la propiedad que dedujimos que en planos normales a la gravedad la presi´on (dentro del mismo fluido) es constante. Obs´ervese que si hubiese otro fluido en el medio esta igualdad ser´ıa falsa. Aplicando ahora la ecuaci´on fundamental de la hidrost´atica para fluidos incompresibles (ecuaci´ on (2.4)). p2abs = pabs + γ1 · h1 p1abs = pAabs + γ2 · h2 ⇒ pAabs + γ2 · h2 = patm + γ1 · h1 pAabs = pabs + γ1 · h1 − γ2 · h2

´ ´ ABSOLUTA Y PRESION ´ RELATIVA O MANOMETRICA ´ 2.3. MANOMETROS. PRESION

39

La pAabs hallada es la presi´on absoluta en el punto A la presi´on manom´etrica en A ser´ıa directamente. pA = γ1 · h1 − γ2 · h2 Que ser´ıa la que indicar´ıa un man´ ometro situado en el punto A. N´otese que directamente se podr´ıa haber escrito esta u ´ltima ecuaci´on realizando el trayecto entre A y la superficie libre del l´ıquido manom´etrico sumando o restando las columnas de acuerdo a como se des cienda o ascienda. N´otese tambi´en que si fuese un gas y el l´ıquido manom´etrico agua u otro similar o de mayor densidad se podr´ıa despreciar γ2 · h2 por ser el peso espec´ıfico de los gases mucho menor que el de los l´ıquidos: pAabs = patm + γ1 · h1

o

pA = γ1 · h1

Otra variante de man´ometro en U muy utilizado en la pr´actica es el microman´ometro de rama inclinada. Es muy utilizado en la medici´on de velocidades con tubos Pilot, que como se ver´ a m´as adelante requiere la medici´ on de una diferencia de presiones. En el ejemplo 2.2 se ilustra el funcionamiento de este man´ ometro.

Ejemplo 2.2 La longitud de la columna de l´ıquido para una presi´on diferencial dada, es aumentada inclinando el brazo del man´ ometro. Para el man´ ometro mostrado en la figura 2.7 la raz´on de di´ametros de la cisterna al tubo del man´ ometro es 10. Determinar el ´angulo α si la verdadera presi´ on diferencial es 12 k~g/m2 cuando L = 30 cm, donde L es medida desde la posici´on de presi´ on cero del fluido en el man´ ometro en el tubo inclinado.

Figura 2.7 Cuando las presiones en 1 y 2 son iguales el nivel de l´ıquido en la cubeta y en el tubo son iguales. En este estado la lectura sobre la escala graduada que se encuentra sobre el tubo inclinado indica 0. Cuando se aplica una mayor presi´on en 1 que en 2, el nivel en el tubo inclinado debe ascender para compensar la diferencia de presi´ on. Entonces parte del l´ıquido en la cubeta debe desplazarse hacia el tubo para compensar el volumen requerido en la longitud L. Este desplazamiento de l´ıquido hace que disminuya el nivel en la cubeta. Dado que el l´ıquido manom´etrico lo podemos considerar incompresible, el volumen desplazado en la cubeta debe ser igual al volumen que llena el espacio L del tubo, es decir: π · D2 π · d2 · ∆x = ·L 4 4 Con lo cual el descenso de l´ıquido en la cubeta ∆x ser´a: ∆x =

d2 d2 · L ·L= = 0, 01L ⇒ ∆x = 0, 01 · 0,3 m = 0,003 m 2 D 100d2

Si γ es el peso espec´ıfico del l´ıquido manom´etrico, en tanto el peso espec´ıfico del fluido en 1 y en 2 es despreciable, mediante la ecuaci´on de la hidrost´atica podemos encontrar la presi´on manom´etrica en 1: p1 = p2 + γ · L · sen α + ∆x · γ

y

p1 − p2 = ∆p = γ · (L sen α + ∆x) = γ · h

´ CAP´ITULO 2. ESTATICA DE LOS FLUIDOS

40 Llamando h a:

h = ∆x + L · sen α O sea que reemplazando por los valores dados: 12

k~g k~g · h ⇒ h = 0,015 m 2 = 800 m m3

Y como: h = ∆x + L · sen α

y

sen α =

h − ∆x L

0,015 m − 0,003 m = 0, 04 0,3 m α = arc sen 0, 04

sen α =

α = 2,29◦ Estos microman´omenos ya tienen incluido en la escala el error que se comete al no considerar la disminuci´on de nivel en la cubeta. En general vienen con ´angulos predeterminados que se pueden variar y mediante tablas con el valor de L que se mide y el a´ngulo de inclinaci´on utilizado se obtiene la lectura de presi´ on.

2.4 Fuerzas sobre superficies sumergidas 2.4.1 Fuerzas sobre superficies planas Sea la superficie plana sumergida que se muestra en la figura 2.8. Evidentemente debido a las presiones sobre cada cara se producir´a una fuerza cuya magnitud y ubicaci´on trataremos de determinar. Si la placa est´a totalmente sumergida la resultante ser´a nula. Nosotros supondremos que sobre una cara act´ ua la presi´ on hidrost´ atica y sobre la otra la presi´on atmosf´erica.

Figura 2.8 La fuerza que act´ ua sobre la cara superior, dF1 ser´a: dF1 = p · dA

2.4. FUERZAS SOBRE SUPERFICIES SUMERGIDAS

41

Mientras que por la hip´ otesis asumida la fuerza sobre la cara inferior ser´a dF2 : dF2 = patm · dA De acuerdo a lo visto en el punto 2.1 la presi´on sobre la cara superior ser´a: p = ρ · g · h + patm Como: h = l · sen α dF1 = ρ · g · l · sen α · dA + patm · dA La fuerza neta dF ser´ a: dF = dF1 − dF2 dF = ρ · g · l · sen α · dA + patm · dA − patm · dA dF = ρ · g · l · sen α · dA Podemos observar que como es l´ogico, dado que la presi´on atmosf´erica act´ ua sobre todo el sistema la misma se cancela. Por lo tanto cuando la presi´on atmosf´erica act´ ua en todo el sistema podemos operar directamente con la presi´ on manom´etrica lo que nos permitir´ıa escribir en forma directa. ˆ dF = ρ · g · l · sen α · dA y F = ρ · g · l · sen α · dA A

ˆ F = ρ · g · sen α ·

l · dA A

´

Donde el t´ermino A l · dA es el momento est´atico o de primer orden del a´rea respecto al eje 0–0 y vale lc · A, donde lc es la distancia desde el eje 0–0 al centro de gravedad, por lo tanto: F = ρ · g · lc · sen α · A = ρ · g · hc · A Donde el t´ermino ρ · g · hc es la presi´ on en el baricentro. Haciendo: ρ · g · hc = pc ⇒ F = pc · A De donde sacamos el corolario general de que para una superficie plana sumergida la fuerza es igual al area multiplicada por la presi´ ´ on en el baricentro. N´otese que los dF deben tener direcci´on normal a la superficie, pues de otra forma existir´ıa una componente paralela a la superficie que dar´ıa lugar a un movimiento del fluido lo cual contradice el postulado de que el flujo est´a en reposo, con lo cual la resultante F tambi´en es normal a la superficie. Para encontrar el punto de acci´on de la fuerza (al que denominaremos centro de presiones) deberemos plantear momentos respecto de dos ejes ortogonales. Tomando momentos respecto al eje 0–0. ˆ dM = dF · l ⇒ dM = ρ · g · sen α · l2 · dA ⇒ M = ρ · g · sen α · l2 · dA A

´

Donde A l2 · dA es el momento de inercia o de segundo orden del ´area con respecto a 0–0, que denominaremos I0–0 Por Steiner: I0−0 = Ic + lc2 · A

´ CAP´ITULO 2. ESTATICA DE LOS FLUIDOS

42 Donde Ic es el momento de inercia baric´entrico:

M0−0 = ρ · g · sen α · (Ic + lc2 · A) M0−0 = F · lcp

como: lcp =

ρ · g · sen α · (Ic + lc2 · A) M0−0 = F ρ · g · sen α · lc · A Ic ∴ lcp = + lc lc · A

Donde cp se denomina centro de presiones y es el punto donde act´ ua la resultante. De la ecuaci´on anterior surge claramente que el centro de presiones debe estar siempre por debajo del baricentro puesto que lc es siempre positivo. Tomando ahora momentos respecto al eje 0–L: ˆ ˆ 0 0 0 M0−L = F · lcp = dF · l ⇒ ρ · g · lc · sen α · A · lcp = ρ · g · l · sen α · dA · l0 ∴

0 lcp

1 = · lc · A

A

ˆ 0

l · l · dA A

ˆ

l · l0 · dA = Il−l0

pero: A

0 ∴ lcp =

Ic 0 Il−l0 = l−l + lc0 lc · A lc · A

Donde Il−l0 es el momento centr´ıfugo del a´rea respecto al eje 0 − L, e Icl−l0 es el momento centr´ıfugo del ´ area respecto del baricentro. Si la figura es sim´etrica Icl−l0 = 0 y el centro de presiones se ubica sobre la l´ınea del centro de gravedad.

Ejemplo 2.3 La descarga de un canal est´a controlada por una compuerta basculante contrapesada tal como muestra la figura 2.9. La compuerta rectangular es de 2 m de altura por 3 m de ancho. Determinar el valor del peso P , de modo que el agua se vierta justamente cuando la profundidad de ´esta en el canal es de 1 m.

Figura 2.9 Puesto que la compuerta puede girar con respecto al punto O, y dado que el valor del peso deja al sistema en equilibrio, conviene plantear una ecuaci´on de equilibrio de momentos respecto al punto O. N´otese que las fuerzas que act´ uan sobre la compuerta son el empuje del agua, el peso P y la reacci´on de v´ınculo en el punto de pivote. Al plantear la ecuaci´ on de momentos respecto a este punto, anulamos esta inc´ognita. Como la presi´on atmosf´erica act´ ua sobre todo el sistema el momento que producir´a ser´ a nulo.

2.4. FUERZAS SOBRE SUPERFICIES SUMERGIDAS

43

La ecuaci´ on de equilibrio por lo tanto ser´ a: O Magua = MPO

Donde: O Magua : Momento que ejerce el empuje del agua con respecto a O. O MP : Momento que produce el peso P con respecto a O. Para averiguar el momento del agua calculamos la fuerza y su punto de aplicaci´on. La fuerza la obtenemos de la expresi´ on: F = pc · A Donde pc es la presi´ on en el baricentro y vale: pc = ρ · g ·

H 2

El ´ area es A = b · a, donde a es el ancho, entonces: H ·b·a 2 k~g 1 m F = 1000 3 · · 2m · 3m 2 m F = 3000 k~g

F =ρ·g·

Siendo la compuerta rectangular el momento de inercia baric´entrico es: Ic = a ·

b3 12

Entonces la distancia del punto de aplicaci´on de la fuerza hasta la superficie libre vale:

Icp

b3 a· Ic 12 + b = 2 b = + lc = lc · A 2 3 b ·b·a 2

Y el momento del agua con respecto a la articulaci´on O: 2 1 O Magua = F · (b − lcp ) = F · (b − b) = F · b 3 3 1 O Magua = · 3000 k~g · 2 m = 2000 k~g m 3 El momento del peso respecto de la articulaci´on O vale: MPO

  1 = P · c · cos θ = P · 0,5 m · cos arc sen 2

Igualando ambos momentos: 2000 k~g m = P · 0,5 m · 0, 866 P = 4618,8 k~g Otra forma de resolver el problema es como sigue. El diferencial de momentos con respecto a O que la fuerza dF~ produce sobre un elemento dA ser´a: O dMagua = dF · (b − y)

´ CAP´ITULO 2. ESTATICA DE LOS FLUIDOS

44

El diferencial de fuerza debido al empuje del agua es: dF = ρ · g · h · dA = ρ · g · y · sen θ · a · dy Donde a es el ancho de la compuerta (en nuestro caso 3 m) como se apunt´o m´ as arriba. Reemplazando: O dMagua = ρ · g · y · sen θ · (b − y) · a · dy

Y por lo tanto: O Magua

ˆ2 m = ρ · g · sen θ · y · (b − y) · a · dy 0

O Magua

O Magua

 2 m  ˆ2 m y 3 y2 − = ρ · g · sen θ · a · y · (b − y) · dy = ρ · g · sen θ · a · b · 2 3 0 0   k~g (2 m)3 (2 m)3 ◦ = 1000 3 · sen 30 · 3 m · − 2 3 m

O Magua = 2000 k~g m

El momento que produce el peso P , con respecto a O, en tanto valdr´a: MPO = P · c · cos θ Igualando con el valor hallado: P · 0,5 m · cos 30◦ = 2000 k~g m

siendo P = 4618,8 k~g

2.4.2 Fuerzas sobre superficies curvas sumergidas Sea la superficie curva sumergida mostrada en la figura 2.10, sobre una cara act´ ua la presi´on hidrost´atica y sobre la otra la presi´ on atmosf´erica. Debido a la columna de l´ıquido actuando sobre la compuerta en cada punto de la misma existir´ a una presi´on p que ser´a variable de acuerdo al nivel de l´ıquido sobre cada punto. Dado que la presi´ on atmosf´erica act´ ua sobre la superficie libre y sobre la cara opuesta las fuerzas debidas a la misma se equilibran. ~ de la compuesta actuar´a una fuerza dF~ tal que: Entonces sobre un elemento dA ~ dF~ = p · dA Donde p es la presi´ on manom´etrica o sea: p=ρ·g·h Por lo tanto: ~ dF~ = ρ · g · h · dA Si queremos encontrar la fuerza total que se ejerce sobre la compuerta no podemos integrar la anterior directamente porque los dF~ no son colineales. Para poder integrarlos, descomponemos la fuerza dF~ en dos componentes seg´ un los ejes coordenados (dFH y dFV ). Ahora estas componentes si son colineales y por lo tanto se podr´an integrar para dar como resultado las componentes FH y FV de donde podremos obtener, por composici´ on vectorial la resultante F~ . Observando la figura 2.10.

2.4. FUERZAS SOBRE SUPERFICIES SUMERGIDAS

45

Figura 2.10

dFH = | dF~ | · sen α Y reemplazando por la anterior: dFH = ρ · g · h · dA · sen α

y

dFV = ρ · g · h · dA · cos α

dA · sen α = dAV

y

dA · cos α = dAH

Pero: ~ seg´ Donde dAH y dAV son las respectivas proyecciones de A un la horizontal y vertical seg´ un surge de la figura 2.11.

Figura 2.11 ˆ

Entonces: FH = ρ · g · La

´

h · dAV AV

h · dAV es el momento est´ atico del a´rea proyectada respecto de la superficie libre.

AV

∴ FH = ρ · g · hc · AV Donde AV es el ´ area proyectada sobre la vertical y hc el baricentro del ´area proyectada. Lo anterior se puede reescribir: FH = pcv · AV Donde pcv : presi´ on en el baricentro del ´ area proyectada. Es decir el mismo resultado que para la placa plana proyectada sobre el eje horizontal. La resultante vertical ser´ a: ˆ ˆ FV = ρ · g · h · dA · cos α ⇒ FV = ρ · g · h · dAH A

FV = ρ · g · ∀

AH

´ CAP´ITULO 2. ESTATICA DE LOS FLUIDOS

46 Donde

´

h · dAH · cos α es el volumen de l´ıquido sobre la superficie curva hasta la superficie de nivel.

AH

Tomando momentos se deduce que la resultante de las fuerzas horizontales est´a sobre el centro de presi´on de la superficie proyectada y la resultante de las fuerzas verticales sobre el baricentro del volumen de l´ıquido sobre la superficie curva.

Ejemplo 2.4 Calcular el valor de la fuerza T que mantiene la compuerta en la posici´on indicada en la figura 2.12. Despreciar el peso propio de la compuerta.

Figura 2.12

Las fuerzas que act´ uan sobre la compuerta son las debidas a la presi´on hidrost´atica, el peso de la compuerta, la fuerza T aplicada y la reacci´on en el punto de pivote O. Como el peso propio de la compuerta se desprecia, para mantener en equilibrio la compuerta solo necesitamos plantear: O Magua = MTO

Es decir el equilibrio de momentos de la presi´on hidrost´atica y de la fuerza T con respecto al punto de pivote, dado que al elegir este como centro de momentos, eliminamos el momento de la fuerza de reacci´ on sobre ´este. Para averiguar el momento de las fuerzas hidrost´aticas comenzamos averiguando las resultantes verticales y horizontales. La resultante horizontal ser´a la fuerza ejercida sobre la proyecci´on horizontal de la superficie curva que en nuestro caso es una placa vertical de altura RO y longitud infinita (seg´ un la direcci´on perpendicular al papel). Entonces por unidad de longitud la fuerza horizontal resultante es: FH = pcv · AV RO FH = ρ · g · · RO · 1 m 2 2 R FH = ρ · g · O · 1 m 2 La resultante vertical en tanto ser´ a el peso del volumen de l´ıquido sobre la superficie (figura 2.12): La resultante de la fuerza por unidad de longitud vertical ser´a entonces:

FV = ρ · g · π ·

2 RO · 1m 4

2.4. FUERZAS SOBRE SUPERFICIES SUMERGIDAS

47

Considerando los momentos de las fuerzas y los brazos de aplicaci´ on que se muestran en la figura 2.13:   1 4RO O Magua = FH · RO + FV · · 1m 3 3π   3 RO π 4 O 3 Magua = ρ · g · + ρ · g · RO · · · 1m 6 4 3π   3 3 ρ · g · RO ρ · g · RO O Magua = + · 1m 6 3 3 ρ · g · R O O Magua = · 1m 2

Figura 2.13 El momento de la fuerza T respecto a O vale: MTO = T · RO Igualando con la anterior resulta: 3 ρ · g · RO · 1m 2 2 ρ · g · RO T = · 1m 2

T · RO =

Tambi´en podemos resolver el problema teniendo en cuenta la simetr´ıa ineherente al mismo. Si observamos la figura 2.14 vemos que todos los dF~ pasan por el punto A y por lo tanto podemos plantear que el momento de cada fuerza dF~ vale: O dMagua = dF · d

Figura 2.14 Y por trigonometr´ıa: d = RO · cos θ

´ CAP´ITULO 2. ESTATICA DE LOS FLUIDOS

48 El diferencial de fuerza valdr´ a:

dF = ρ · g · h · dA Siendo: h = RO · sen α dF = ρ · g · O dMagua

y

2 RO

dA = RO · dθ · 1 m

· sen θ · dθ · 1 m

3 = ρ · g · RO sen θ · cos θ dθ · 1 m

Estos momentos son vectores colineales y por lo tanto pueden ser integrados directamente con lo cual: π

ˆ2 O Magua

=ρ·g·

3 RO

sen θ · cos θ · dθ

· 1m · 0

Esta integral se puede resolver por cambio de variables, haciendo el reemplazo sen θ = t y cos θ · dθ = dt resulta: 1 ˆ1 t2 1 t · dt = = 2 2 0

0

Y finalmente: O Magua =ρ·

3 g · RO · 1m 2

Igualando en el momento de T nuevamente: T =

2 ρ · g · RO · 1m 2

Como se puede observar cuando las superficies curvas guardan cierta simetr´ıa este u ´ ltimo m´etodo puede simplificar los c´ alculos.

2.5 Flotaci´ on 2.5.1 Empuje El principio de Arqu´ımedes dice que un cuerpo sumergido en un fluido, recibe un empuje hacia arriba con una fuerza igual al peso del fluido desplazado. Este principio surge ahora como corolario del tema visto en el punto 2.4. Supongamos un cuerpo sumergido en un fluido como se muestra en la figura 2.15.

Figura 2.15 De acuerdo a lo visto sobre la superficie A–B–C se produce una fuerza vertical hacia abajo igual al peso del l´ıquido 1–A–B–C–2.

´ 2.6. MASAS FLUIDAS SOMETIDAS A ACELERACION

49

En la superficie A–D–C se produce una fuerza vertical hacia arriba que es igual al peso del volumen 1–A–D–C–2. La resultante es una fuerza ascencional igual al peso del fluido cuyo volumen es el cuerpo A–B–C–D mostrado. De lo anterior surge que si un cuerpo tiene una densidad mayor que el fluido se hundir´a, si las densidades son iguales quedar´ a a media agua y si es menor flotar´a.

2.5.2 Estabilidad de los cuerpos sumergidos y flotantes Para los cuerpos sumergidos la estabilidad requiere que el centro de empuje est´e sobre el centro de gravedad (figura 2.16). En cambio en los cuerpos flotantes esta condici´ on es la opuesta pues la diferencia de vol´ umenes sumergidos causa un par restituto (figura 2.17).

Figura 2.16

Figura 2.17

2.6 Masas fluidas sometidas a aceleraci´ on Consideremos un recipiente que contiene un fluido y que est´a sometido a una aceleraci´on lineal constante, tambi´en admitiremos que no hay movimiento relativo entre las part´ıculas del fluido y el recipiente. Dado que no hay movimiento relativo entre las part´ıculas del fluido no existir´ an tensiones de corte, y por lo tanto se trata de un problema est´ atico. Consideremos una part´ıcula en el seno del fluido expuesto a una aceleraci´on a que podemos descomponer en ax y ay (figura 2.18). Planteando las ecuaciones de equilibrio: Sobre el eje X: −

∂p · dx · dy = ρax · dx · dy ∂x ∂p − = ρ · ax ∂x

(2.6)

´ CAP´ITULO 2. ESTATICA DE LOS FLUIDOS

50

Figura 2.18 Sobre el eje Y : −

∂p · dy · dx − ρ · g · dx · dy − ρ · ay · dx · dy = 0 ∂y ∂p − = ρ · (g + ay ) ∂y

(2.7)

Si queremos encontrar las l´ıneas isobaras recordando que: dp =

∂p ∂p · dx + · dy ∂x ∂y

Y para las isobaras dp = 0 0 = −ρ · ax · dx − ρ · (g + ay ) · dy ax dy =− ∴ dx g + ay

(2.8)

Esta ecuaci´ on define las l´ıneas de presi´ on constante. Como la l´ınea de nivel es una l´ınea de presi´on constante el nivel en el recipiente se podr´ a describir con la expresi´ on anterior.

Ejemplo 2.5 Para el recipiente de la figura 2.19 (mostrado en reposo) determinar la l´ınea de nivel de agua, la altura en A y en B y la presi´ on en los puntos A y B.

´ 2.6. MASAS FLUIDAS SOMETIDAS A ACELERACION

51

Figura 2.19 Cuando comenzamos a acelerar al recipiente, el agua contenida en ´el, se desplaza hacia atr´as debido al efecto de la aceleraci´on (figura 2.20). Luego de este estado transitorio se llega a uno estacionario en el cual no hay m´as desplazamiento relativo entre las capas de fluido y el recipiente. Para este instante y posteriores la pendiente de la superficie libre vendr´a dada por la ecuaci´on (2.8). tan θ =

dy ax 3 m/s2 · cos 30◦ = −0, 313 =− =− dx g + ay 9,8 m/s2 − 3 m/s2 · sen 30◦

Figura 2.20 Y por lo tanto el ´ angulo θ que forma la superficie libre con la horizontal ser´a: θ = arctan −0, 313 = −17◦ 220 4800 Obs´ervese que se debe poner atenci´on de respetar la direcci´on de los ejes respecto de las f´ormulas deducidas. Por consideraciones trigonom´etricas: BM − bm = − tan θ · 1 m = 0, 313 · 1 m = 0,313 m

y BM = 0,313 m + bm

Reemplazando en la ecuaci´ on del volumen: 0,5 m3 = (0,313 m + 2bm ) ·

1 m2 2

bm = 0,3435 m BM = (0, 313 + 0, 3435) m = 0,6565 m Los planos de presi´on constante ser´an paralelos a la l´ınea de nivel de agua puesto que ´este es un plano isob´ arico. Por lo tanto la variaci´on de presi´ on se produce seg´ un la direcci´on normal al plano de la superficie libre a la que llamaremos h. Para la direcci´ on h por Pit´agoras resulta: v !2 !2 u ∂p ∂p dp u t = + dh ∂x ∂y

´ CAP´ITULO 2. ESTATICA DE LOS FLUIDOS

52 Y como de acuerdo a las ecuaciones (2.6) y (2.7) es:

∂p kg m N = −ρ · ax = −1000 3 · 3 2 · cos 30◦ = −2598 2 ∂x m s m m ∂p m m N kg = −ρ · (g + ay ) = −1000 3 · (9,8 2 − 3 2 · sen 30) = −8300 2 ∂y m s s m m dp p N = (−2598)2 + (−8300)2 2 dh m m Como lo anterior es una diferencial perfecta se la puede integrar entre el punto O y el O0 (que tiene la misma presi´ on que B) para encontrar la presi´on en el punto B: pB = pO0 = pO + 8697

N ·H m2 m

(2.9)

Donde pO es la presi´on atmosf´erica pues estamos sobre la superficie libre. Si vamos a encontrar la presi´ on manom´etrica pO = 0. H por consideraciones trigonom´etricas vale: H = bm · cos θ H = 0,3435 m · cos 17◦ 220 4800 H = 0,328 m N pB = 8697 2 · 0,328 m m m N pB = 2851 2 m De la misma forma: H 0 = 0,6565 m · cos 17◦ 220 4800 H 0 = 0,6265 m N pA = 8697 2 · 0,6265 m m m N pA = 5448 2 m

Ejemplo 2.6 En el problema anterior se coloca una tapa que confina al fluido sin comprimirlo (para lo cual se practica un orificio peque˜ no en O) pero sin permitir que exista superficie libre (figura 2.21). Encontrar la presi´ on en A y en B. Las isobaras van a tener la misma pendiente que en el problema anterior, por lo cual sigue siendo v´ alida: dp N = 8697 2 dh m m Como en O la presi´ on es la atmosf´erica: N · 0,5 m · cos 17◦ 220 4800 m2 m N pb = 4150 2 m

pB = 8697

´ 2.6. MASAS FLUIDAS SOMETIDAS A ACELERACION

53

Figura 2.21 La presi´on sobre la tapa se incrementa en la direcci´ on de B porque al fluido se le impide incrementar su energ´ıa potencial y entonces la presi´ on en A ser´a: pA = 8697

N · H 0 [m] m2 m

Ya que la isobara que pasa por O tiene una presi´on manom´etrica cero (presi´on atmosf´erica). Por relaciones trigonom´etricas resulta: H 0 = 0,5 m + 1 m · tan θ · cos θ H 0 = 0,776 m Y finalmente: pA = 8697

N N · 0,776 m = 6748 2 m2 m m

Si se trata de un recipiente cil´ındrico que gira sobre su eje (figura 2.22), para un elemento de fluido tendremos: ∂p =ρ·g ∂y ∂p − = −ρ · ω 2 · r ∂r

−

(2.10) (2.11)

Y para las isobaras: − ρ · g · dy + ρ · ω 2 · dr dy ω2 · r = dr g 2 2 ω ·r y= +C 2g ∴

(2.12)

Es decir que las isobaras describen un paraboloide de revoluci´on, y por lo tanto tambi´en lo ser´ a la superficie libre. A este tipo de movimiento circular en que el fluido se comporta como un s´olido se lo conoce como v´ ortice forzado.

Ejemplo 2.7 Si el recipiente cil´ındrico de la figura 2.23 gira a 60 RPM encontrar cual ser´a la altura que alcanzar´a en los bordes y en el centro y la presi´ on en el punto A. De acuerdo a la ecuaci´ on (2.12) la expresi´ on de la superficie libre ser´a: y=

ω2 · r2 +C 2g

´ CAP´ITULO 2. ESTATICA DE LOS FLUIDOS

54

Figura 2.22

Donde: ω = 2π ·

60 1 1 f 1 1 = 2π · 1 = 2π 1 60 s 60 s s

Nuevamente el volumen inicial debe ser igual al volumen final: φ

φ2 π· ·H = 4

ˆ2 

ω2 · r2 +C 2g

 · 2π · r · dr

0

φ φ φ ω 2 · r4 2 r2 2 H· = +C· 8 8g 0 2 0 2

ω 2 · φ2 +C 16g ω 2 · φ2 C=H− 16g 4π 2 1/s2 · 1 m2 C = 0,5 m − = 0,248 m 16 · 9,8 m/s2

H=

Entonces el nivel respecto del fondo en el centro del recipiente ser´a:

yO =

ω 2 · r2 + 0, 248 = 0, 248 2g r=0

´ 2.6. MASAS FLUIDAS SOMETIDAS A ACELERACION

55

Figura 2.23 En tanto que en los bordes ser´ a: ω 2 · r2 +C yφ = 2 2g φ 2

4π 2 1/s2 · 0, 52 m2 yφ = + 0,248 m 2 2 · 9,8 m/s2 y φ = 0,752 m 2

Es decir que lo que se eleva en los bordes es lo mismo que lo que desciende en el centro (por la propiedad del volumen del paraboloide de revoluci´on independientemente de las dimensiones, fluido y velocidad de rotaci´ on). Para encontrar el valor de la presi´ on en A podemos razonar de la siguiente forma: Seg´ un la ecuaci´on (2.11) para un r dado la presi´on no var´ıa. De acuerdo a la ecuaci´on (2.9) la variaci´on de presi´ on es: ∂p − =ρ·g ∂y En el borde en el punto O la presi´ on es la atmosf´erica, entonces integrando la anterior: pA = pO + ρ · g · y φ 2

Si operamos con presiones manom´etricas: pA = ρ · g · y φ 2

m kg pA = 1000 3 · 9,8 2 · 0,752 m m s N pA = 7369,6 2 m Si pusi´esemos una tapa sobre la superficie libre de forma que el fluido quedase confinado obtendr´ıamos una depresi´ on en el centro y en el punto superior (ver figura pto. O0 ) que valdr´ıa: pO0 = (0, 248 − 0, 5) m · 1000

kg m N 3 · 9,8 2 = −2469,6 m s m2

En tanto que en el borde del recipiente en el punto superior obtendr´ıamos una sobre presi´on (punto O00 de la figura): kg m N pO00 = (0, 752 − 0, 5) m · 1000 3 · 9,8 2 = 2469,6 2 m s m

´ CAP´ITULO 2. ESTATICA DE LOS FLUIDOS

56

Referencias “Equilibrio de los fluidos” - Fernando C. Silva - P3DT1 - CEIT F.R.B.A. “Gu´ıa de Trabajos Pr´ acticos de Fluidodin´amica” - Ricardo A. Bastian´on - CEI “Elementos de Mec´ anica de los Fluidos” - Vennard y Street “Mec´ anica de Fluidos” - Irving H. Shames “Mec´ anica de los Fluidos” - Victor L. Streeter “Principles of Fluid Dynamics” - W. H. Li and S. H. Lam

2.7 Ejercicios Ejercicio 2.1: Para medir el nivel de l´ıquido en un tanque se mide la presi´on en el fondo del mismo. Si el fluido tiene una densidad relativa de 0,8 y la presi´on manom´etrica medida en el fondo es de 7,84 N/cm2 . ¿Cu´al es el nivel de l´ıquido?. Respuesta: 10 m Ejercicio 2.2: Un lodo tiene una densidad relativa de 1,4. ¿Cu´al ser´a la presi´on a una profundidad de 10 m?. Ejercicio 2.3: A fin de separar el petr´oleo del agua se dispone de tanques cortadores, donde la emulsi´on se separa por diferencia de densidad, luego de un tiempo de residencia. Si en uno de dichos tanques los 6 m superiores tienen petr´oleo con una densidad relativa de 0,8 y los 2 m inferiores agua, ¿cu´al ser´a la presi´ on en el fondo del tanque medida en N/cm2 ?. Respuesta: 6,66 N/cm2 Ejercicio 2.4: Indicar, seg´ un la figura 2.24, si la presi´on en las secciones 1–1 y 2–2 son iguales. Justificar su respuesta.

agua

aceite

2.7. EJERCICIOS

57 Figura 2.24

Ejercicio 2.5: En una atm´ osfera adiab´atica la presi´ on var´ıa con el volumen espec´ıfico de la siguiente manera: p·v k = cte, donde k es una constante igual a la relaci´on de los calores espec´ıficos cp y cv . Deducir una expresi´on para la elevaci´on h en funci´on de la presi´on para esta atm´osfera, utilizando como referencia el nivel del suelo. Respuesta: k Raire · T h= · · k−1 g

"

psuelo p

 k−1 k

# −1

Ejercicio 2.6: Calcular la altura de un cerro considerando v´alida la expresi´ on anterior si la temperatura medida en la cima es de −5 ◦C, la presi´on en la cima es de 588 mmmercurio , la presi´on en el pie del cerro es de 749 mmmercurio y la constante del aire R = 287 J/(kg K). Comparar con el resultado obtenido suponiendo atm´ osfera normalizada. Ejercicio 2.7: Sabiendo que para un gas perfecto en y = 0 la presi´ on es p0 y la densidad ρ0 encontrar una expresi´on que vincule la diferencia de presi´ on cuando se pasa a otra altura y1 (encontrar una expresi´on p = f (y)). Suponer que la temperatura se mantiene constante y no var´ıa en funci´on de la altura y. −g·y

Respuesta: p = p0 · e R·T Ejercicio 2.8:

Para los mismos valores de presi´on y temperatura del ejercicio 2.6 pero para la distribuci´on de presiones encontradas en el ejercicio 2.7 determinar la altura correspondiente. Compararla con la anterior y la obtenida de la atm´ osfera normal. Ejercicio 2.9: En el cap´ıtulo 1 se defini´ o al m´ odulo de elasticidad de un l´ıquido como K = − dp/ d∀/∀ que tambi´en puede expresarse como K = dp/ dρ/ρ, suponiendo el m´odulo de elasticidad constante encontrar c´omo var´ıan la densidad y la presi´on a medida que se desciende en un l´ıquido (−y) desde la superficie donde la presi´ on manom´etrica es nula y la densidad vale ρ0 . Respuesta: ρ=

K g·y+

K ρ0

;

p = −K · ln

ρ · g · y  0 +1 K

Ejercicio 2.10: Si el punto del oc´eano m´as profundo est´a a aproximadamente 11 000 m de profundidad y la densidad relativa del agua al nivel del mar es de 1,2 encontrar cu´anto vale la densidad y la presi´on a dicha profundidad. Comparar el valor de presi´ on con el que se obtiene considerando al agua como incompresible. Considerar K = 206 000 N/cm2 .

´ CAP´ITULO 2. ESTATICA DE LOS FLUIDOS

58 Ejercicio 2.11:

Cuando se necesita medir una presi´on con gran precisi´on se utiliza un microman´ometro. En la figura 2.25 se muestra uno de ellos. En este sistema se emplean dos l´ıquidos inmiscibles de pesos espec´ıficos γ1 y γ2 respectivamente. Supondremos que los fluidos de los dep´ositos A y B, cuya diferencia de presiones queremos medir son gases de pesos espec´ıficos despreciables. Calcular la diferencia de presiones pA − pB en funci´ on de δ, d, γ1 y γ2 .

Figura 2.25 Respuesta: pA − pB = γ1 · (δ − d) + γ2 · d Ejercicio 2.12: Para el ejercicio 2.11 si el ´area de la secci´on recta del tubo del microman´ometro es a y las de los dep´ositos C y D son iguales a A, determinar δ en funci´on de d, mediante consideraciones geom´etricas. Explicar por qu´e cuando a/A es muy peque˜ no y γ1 es igual a γ2 , una peque˜ na diferencia de presiones pA − pB producir´ıa un gran desplazamiento d, lo que dar´a lugar a un instrumento muy sensible. Ejercicio 2.13: ¿Cu´al es la presi´on paire en la figura 2.26. El aceite tiene ρr = 0, 8. Expresarla como presi´on manom´etrica y como presi´ on absoluta en N/m2 . Adoptar presi´on atmosf´erica 101 300 N/m2 .

aire aceite agua

Figura 2.26 Respuesta: pman = 1764 N/m2 ; pabs = 103 066 N/m2 Ejercicio 2.14: En el ejercicio 2.13 expresar el resultado en k~g/cm2 , en mcolumna de aire , en mcolumna de aceite y en mcolumna de agua .

2.7. EJERCICIOS

59

Ejercicio 2.15: En el man´ometro de la figura 2.27, de rama inclinada se lee 0 cuando los puntos A y B est´an a la misma presi´on. El di´ ametro del dep´ osito es de 4 cm y el di´ametro del tubo inclinado es de 5 mm. Para un ´angulo θ = 20◦ y un l´ıquido manom´etrico de peso espec´ıfico relativo de 0,8 encontrar pA − pB en N/m2 en funci´ on de la lectura manom´etrica R.

Figura 2.27 3

Respuesta: pA − pB = 2807 N/m · R Ejercicio 2.16: ¿Cu´al es la presi´on absoluta dentro del tanque A en el punto a (figura 2.28)?. Expresar el resultado en k~g/cm2 y en kPa.

Figura 2.28

Ejercicio 2.17: Por los tubos A y B fluye agua. Se conecta a ellos un tubo en “U ” tal como se muestra en la figura 2.29. La parte superior del tubo en “U ” invertido, est´a lleno de aceite (γr = 0, 8) y las ramas inferiores de mercurio (γr = 13, 6) determinar la diferencia de presiones (pA − pB ) en unidades de N/m2 .

agua

aceite

Figura 2.29

´ CAP´ITULO 2. ESTATICA DE LOS FLUIDOS

60 Respuesta: pA − pB = 25 181 N/m2 Ejercicio 2.18:

Los tanques mostrados en la figura 2.30 almacenan agua. Mediante el man´ ometro en “U ” de mercurio se mide la diferencia de nivel entre los mismos. Para la deflexi´on mostrada, calcular dicha diferencia.

agua

agua

Figura 2.30

Ejercicio 2.19: Se desea conocer la presi´on absoluta en el recipiente con aire, indicado en la figura 2.31 en N/cm2 . En el recipiente hay aire (ρaire = 1,22 × 10−3 g/cm3 ) y el l´ıquido manom´etrico es mercurio (ρHg = 13,6 g/cm3 ). La presi´ on atmosf´erica es patm = 101 300 N/m2 .

Figura 2.31 Respuesta: pAabs = 12,79 N/cm2 Ejercicio 2.20: Encontrar la altura de nivel de l´ıquido en el dep´ osito c´ onico de la figura 2.32, si el tubo en “U ” marca un desnivel de 0,5 m. El l´ıquido del dep´osito es agua y el del tubo en “U ” mercurio.

agua ?

2.7. EJERCICIOS

61 Figura 2.32

Ejercicio 2.21: En la figura 2.33 se esquematiza un man´ometro de campana invertida. Consta de una campana cil´ındrica de eje vertical, que a medida que aumenta la presi´on p2 , se desplaza verticalmente, venciendo la resistencia de un resorte calibrado. Dependiendo de la presi´on p1 (que puede ser atmosf´erica, o vac´ıo) podr´a medir presiones manom´etricas o absolutas. Si la presi´on p1 , no cambia, y la presi´on p2 aumenta en 1 mmcolumna de agua , ¿qu´e desplazamiento vertical se puede esperar de la campana?, siendo la constante del resorte k = 200 N/m y el radio de la campana de 100 mm.

resorte campana invertida

p2

Figura 2.33 Respuesta: ∆y = 1,54 mm Ejercicio 2.22: El aire en el recipiente mostrado en la figura 2.34 se comprimi´o debido a la columna de agua de 1 m del tubo en “U ”. Encontrar el incremento de temperatura del aire en el recipiente si el bar´ometro de Torricelli indica una presi´on de 750 mm y la temperatura ambiente era de 15 ◦C (despreciar el volumen de aire en el tubo en “U ”).

aire

agua Figura 2.34

Ejercicio 2.23: Determinar la diferencia de presiones p1 − p2 ; indicada en el man´ometro de la figura 2.35.

´ CAP´ITULO 2. ESTATICA DE LOS FLUIDOS

62

Figura 2.35 Respuesta: p1 − p2 = ρ1 · g · (h4 − h3 − h1 + h2 ) + ρ2 · g · (h3 − h2 ) Ejercicio 2.24: El recipiente de la figura 2.36 contiene agua y aire, ¿cu´al es la presi´on absoluta y manom´etrica expresada en, N/m2 y en k~g/cm2 , en los puntos A, B, C y D?. Vuelque los datos en la tabla de resultados. Punto

Unidades

A

k~g/cm2 N/m2

B

k~g/cm2 N/m2

C

k~g/cm2 N/m2

D

k~g/cm2 N/m2

pman

pabs

Figura 2.36

Ejercicio 2.25: Un man´ometro diferencial (figura 2.37) se utiliza para medir el aumento de presi´ on a trav´es de la bomba que impulsa el agua. El l´ıquido del man´ometro es mercurio (γr = 13, 6). La deflexi´on observada en el man´ometro es de 760 mm y el mismo est´a conectado a la bomba como se indica en la figura. ¿Cu´ al es el aumento de presi´ on p2 − p1 ?.

bomba

Figura 2.37

2.7. EJERCICIOS

63

Respuesta: p2 − p1 = 93 845 N/m2 Ejercicio 2.26: ¿Cu´ al es la densidad relativa del fluido A mostrado en la figura 2.38?.

Figura 2.38

Ejercicio 2.27: Determinar el peso W que puede soportarse con los 50 k~g aplicados sobre el pist´on de la figura 2.39. La diferencia de nivel entre los pistones se considera despreciable.

Figura 2.39 Respuesta: W = 1676 k~g Ejercicio 2.28: Una bomba hidr´ aulica suministra una presi´ on de 980 N/cm2 , y acciona sobre un pist´ on de 200 mm de di´ ametro. ¿Qu´e peso expresado en N y toneladas podr´a levantar dicho pist´on?. Ejercicio 2.29: Calcular la fuerza expresada en N y en toneladas que deber´a resistir la compuerta plana de la figura 2.40 si su ancho es de 3 m. Determinar el punto de aplicaci´on de la misma respecto al nivel de l´ıquido.

´ CAP´ITULO 2. ESTATICA DE LOS FLUIDOS

64

Figura 2.40 Respuesta: F = 940 800 N = 96 t; lcp = 16,03 m Ejercicio 2.30: En un acuario mostrado en la figura 2.41 se colocar´an ventanas de vidrio circulares de 1 m de di´ametro, si la parte superior de la ventana se encuentra a 2 m de profundidad calcular cual ser´a la fuerza que act´ ua sobre ella y su punto de aplicaci´ on respecto del nivel del l´ıquido.

Figura 2.41

Ejercicio 2.31: En el recipiente de la figura 2.42 la presi´ on en la zona superior, donde hay aire, es de 50 000 N/m2 , si la compuerta es cuadrada y de 1 m de lado, encontrar la fuerza que se ejerce sobre la misma. ¿Cu´ al es la direcci´ on y sentido de dicha fuerza?.

aire

agua

Figura 2.42 Respuesta: F = 27 457 N, desde el exterior hacia el interior Ejercicio 2.32: En el ejercicio 2.31 encontrar cu´al deber´ıa ser la presi´on absoluta del aire para que la resultante sobre la compuerta sea nula. Ejercicio 2.33: Determinar el valor de la fuerza que act´ ua perpendicularmente a la superficie del tri´angulo ABC de la figura 2.43: a. Mediante integraci´ on. b. mediante f´ ormula.

2.7. EJERCICIOS

65

Figura 2.43 Respuesta: F = 8103 N Ejercicio 2.34: Un tanque tiene una boca de hombre circular de 762 mm de di´ ametro (figura 2.44). Si la altura del nivel de l´ıquido dentro del tanque es de 8 m, la densidad relativa de 0,95 y sobre la superficie libre del mismo se mantiene una presi´on manom´etrica de 100 mmcolumna de agua , encontrar a qu´e esfuerzo estar´ an sometidos los bulones que cierran la entrada de hombre.

detalle bulones

Figura 2.44

Ejercicio 2.35: El tanque de almacenamiento ilustrado en la figura 2.45 est´a dividido en dos compartimentos separados por una compuerta cuadrada de 60 cm de lado, articulada en la parte superior y con un tope en el fondo del tanque. El lado izquierdo contiene petr´oleo de ρr = 0, 9 y el lado derecho, nafta de ρr = 0, 75. El lado del petr´oleo est´a lleno hasta una profundidad hp = 1,5 m. Determinar la profundidad de la nafta hn , de forma tal que no se ejerza fuerza sobre el tope.

´ CAP´ITULO 2. ESTATICA DE LOS FLUIDOS

66

Figura 2.45 Respuesta: hn = 1,76 m Ejercicio 2.36: ¿Qu´e altura h del agua har´a girar la compuerta en el sentido de las agujas del reloj (figura 2.46)?. La compuerta tiene 3 m de ancho. Despreciar el peso de la compuerta.

agua

Figura 2.46

Ejercicio 2.37: El man´ometro de la figura 2.47 a la derecha indica una presi´on de 20 000 N/m2 . Si la compuerta de cierre es rectangular de 1 m por 2 m y pivota alrededor del punto A encontrar la fuerza vertical F necesaria para mantenerla cerrada. Expresarla en N y t. El l´ıquido es agua.

Figura 2.47 Respuesta: F = 11 158 N/1,14 t Ejercicio 2.38: Para el ejercicio 2.37 determinar la fuerza resultante si sobre la mitad superior de la compuerta act´ ua petr´ oleo de densidad relativa 0,8 en lugar de agua. Ejercicio 2.39: Calcular el esfuerzo al que estar´a sometida la costura entre el casquete esf´erico inferior y la pared cil´ındrica del tanque de agua a´ereo mostrado en la figura 2.48. El di´ametro del casquete es de 4 m y la altura del pelo de agua sobre la costura de 8 m. Expresar el resultado en kN.

2.7. EJERCICIOS

67

Figura 2.48 Respuesta: F = 1149 kN

Ejercicio 2.40: Calcular el esfuerzo en la misma costura que en el tanque anterior pero cuando el fondo es tronco c´onico con un ´ angulo del cono de 90◦ y sobre la superficie libre act´ ua una presi´on de 100 mmcolumna de agua . Ejercicio 2.41: La esfera que se muestra en la figura 2.49 almacena gas licuado de densidad relativa 0,8. En la parte superior de la esfera act´ ua la presi´on de vapor del gas licuado que en este caso se estima en 40 N/cm2 . Calcular el esfuerzo que debe soportar la costura meridional (vertical al terreno) y la costura paralela al terreno suponiendo que la esfera est´a completamente llena de l´ıquido. El di´ametro de la esfera es de 12 m. Expresar el resultado en kN.

Figura 2.49 Respuesta: Fmeridiano = 50 559 kN, Fparalelo = 54 106 kN Ejercicio 2.42: En la figura 2.50 se muestra una ca˜ ner´ıa seccionada diametralmente. En ella se ha puesto en evidencia las tensiones sobre las paredes que, de acuerdo a la teor´ıa del cuerpo libre, debe equilibrar la presi´on interior. Si se considera despreciable la variaci´on de presi´ on con la altura dentro del ca˜ no respecto a la presi´ on interior p, tratando a la ca˜ ner´ıa como una placa curva demostrar que la tensi´ on sobre la pared vale σ = p · D/2e.

´ CAP´ITULO 2. ESTATICA DE LOS FLUIDOS

68

Figura 2.50

Ejercicio 2.43: El cilindro contiene el agua en la forma indicada en la figura 2.51. Determinar: a. La fuerza por metro que lo mantiene oprimido contra la presa. b. Su peso por metro de longitud. c. Su peso espec´ıfico relativo.

Figura 2.51 Respuesta: Fx = 1413 N/m; Fy = 10 592 N/m; γr = 0, 955 Ejercicio 2.44: Se muestra un vertedero cil´ındrico (figura 2.52), que tiene un di´ ametro de 3 m y una longitud de 6 m. Calcule la magnitud y la direcci´ on de la fuerza resultante respecto de la direcci´on horizonal, causada por los fluidos sobre el vertedero. Exprese los resultados en kN.

agua

agua

Figura 2.52

Ejercicio 2.45: Determinar — por metro de longitud — la fuerza resultante que act´ ua sobre la cara AO de la superficie

2.7. EJERCICIOS

69

curva (figura 2.53) y los puntos de aplicaci´on de la fuerza horizontal y vertical. Exprese los resultados en kN.

Figura 2.53 Respuesta: Fresultante = 429,85 kN; xcp = −1,64 m; ycp = 0,40 m Ejercicio 2.46: ¿Cu´al es la fuerza horizontal sobre la compuerta semiesf´erica AB?. (figura 2.54) La densidad relativa del aceite es de 0,8. Exprese los resultados en kg.

Figura 2.54

Ejercicio 2.47: Una placa que pesa 300 k~g/m2 , est´a suspendida por una charnela al mismo nivel del agua del dep´osito mostrado en la figura 2.55. El otro extremo es libre de moverse tal como se muestra. Calcular el a´ngulo θ para el cual la placa est´ a en reposo, utilizando 1000 k~g/m3 como peso espec´ıfico del agua.

Figura 2.55 Respuesta: θ = 63,44◦ Ejercicio 2.48: En la figura 2.56 se muestra una compuerta radial muy usual en obras hidr´aulicas. Para moverla se hace girar mediante un motor el´ectrico el eje de la misma que se dispone sobre el centro de la circunferencia. Despreciando el peso de la compuerta, determinar el par (momento) que debe realizar el motor. Determinar la fuerza horizontal y su l´ınea de acci´on, la fuerza vertical y su l´ınea de acci´ on que act´ uan sobre la compuerta radial.

70

´ CAP´ITULO 2. ESTATICA DE LOS FLUIDOS

Figura 2.56

Ejercicio 2.49: Un cilindro de 50 cm de di´ametro (figura 2.57), 1 m de longitud y cuyo peso es de 34 k~g flota en agua, con su eje en posici´on vertical. Un ancla de densidad 2400 kg/m3 cuelga de su extremo inferior. Determinar el peso del ancla suponiendo que el fondo del cilindro est´a sumergido 90 cm bajo la superficie del agua. Expresar el resultado en kN.

Figura 2.57 Respuesta: Pancla = 2,398 kN

Ejercicio 2.50: Un globo aerost´atico se sustenta mediante el calentamiento del aire, lo cual reduce la densidad del mismo. Determinar el di´ametro del mismo para soportar un peso total de 5000 N, si la temperatura ambiente en el momento del despegue es de 20 ◦C y la m´ axima temperatura a la que se puede calentar el aire en el interior del globo es de 60 ◦C.

Ejercicio 2.51: Determinar la densidad relativa del tubo de pared gruesa mostrado en la figura 2.58 si el mismo se mantiene estable en la posici´ on mostrada. El fluido en el que flota es agua.

2.7. EJERCICIOS

71

Figura 2.58 Respuesta: ρr = 0, 33 Ejercicio 2.52: Para la barcaza mostrada en la figura 2.59 determinar cual es el m´ aximo peso que puede transportar si su peso propio es de 300 kN y el calado m´ aximo de 1,5 m.

Figura 2.59

Ejercicio 2.53: Una presa r´ıgida de altura h (figura 2.60) est´a compuesta de un material ρd . ¿Cu´ al debe ser el espesor m´ınimo b de la presa necesario para prevenir su rotaci´on alrededor del punto O, cuando el agua alcance su extremo superior (densidad del agua = ρ). Suponer que la presi´ on hidrost´ atica m´ axima act´ ua sobre el fondo de la presa q.

´ CAP´ITULO 2. ESTATICA DE LOS FLUIDOS

72

Figura 2.60 Respuesta: s b=

γ · h2 1 · 3 (γd − γ)

Ejercicio 2.54: Suponiendo una distribuci´ on lineal de tensiones sobre la base de la presa de la figura 2.61, calcular: a. La resultante vertical. b. La posici´ on donde la resultante de las fuerzas corta a la base. c. La m´ axima y m´ınima tensi´ on de compresi´on en la base. Suponer el empuje ascensional hidrost´atico como una carga distribuida linealmente en la base, de valor 0,5 de la presi´ on hidrost´ atica en A y nula en B. Suponer el peso espec´ıfico relativo del hormig´on γr = 2, 4

Figura 2.61

Ejercicio 2.55: Un tanque como se muestra en la figura 2.62 est´a parcialmente lleno de agua. Este tanque ser´ a transportado en un veh´ıculo cuya aceleraci´on es 2/3 de la gravedad. ¿Cu´al ser´ a la altura a la que debe ser llenado para que el agua no derrame?.

Figura 2.62 Respuesta: h = 11,25 cm Ejercicio 2.56: En un cuerpo acelerado uniformemente se desea medir la diferencia de presiones entre dos puntos con un tubo en “U ”, tal como muestra la figura 2.63. Calcular la correcci´on a efectuar para la geometr´ıa indicada, si el fluido manom´etrico es alcohol y la aceleraci´on horizontal de 4,9 m/s2 . ¿C´omo se puede evitar en forma pr´ actica tal correcci´ on?.

2.7. EJERCICIOS

73

Figura 2.63

Ejercicio 2.57: El impulsor de una bomba centr´ıfuga se puede esquematizar como un recipiente cil´ındrico cerrado y completamente lleno de l´ıquido. Si gira a 1500 RPM y el di´ ametro del mismo es de 200 mm y el fluido que mueve es agua, ¿cu´ al ser´ a el incremento de presi´on en el extremo del mismo?. Respuesta: ∆p = 49,35 N/cm2

74

´ CAP´ITULO 2. ESTATICA DE LOS FLUIDOS

Cap´ıtulo 3 Movimiento de Fluidos Contenidos 3.1. 3.2. 3.3. 3.4. 3.5.

Planteo del problema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Punto de vista euleriano - punto de vista lagrangiano . . . . . . . . . . Flujo permanente y no permanente, uni, bi y tridimensional . . . . . . Derivada parcial, total y sustancial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Ecuaciones del movimiento de los fluidos . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.5.1. Ecuaci´ on de continuidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.5.2. Ecuaci´ on de cantidad de movimiento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.5.2.1. Distribuci´ on de presiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . on del momento de la cantidad de movimiento o momento 3.5.2.2. Ecuaci´ cin´etico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.5.3. Ecuaci´ on de la energ´ıa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.6. Factores de correcci´ on de la cantidad de movimiento y de la energ´ıa cin´ etica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.7. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

76 77 77 79 83 83 91 93 101 104 116 122

Introducci´ on El objetivo de esta unidad es estudiar los conceptos b´asicos y deducir las ecuaciones fundamentales que nos permitan la modelaci´on de un fluido en movimiento. Se comienza por el estudio de la cinem´ atica del movimiento y posteriormente las ecuaciones fundamentales se desarrollan en su forma integral.

75

CAP´ITULO 3. MOVIMIENTO DE FLUIDOS

76

3.1 Planteo del problema En la mec´anica del s´olido se vio que el movimiento de un cuerpo r´ıgido queda totalmente definido si se conoce la funci´on del vector velocidad en algunos puntos (usualmente tres puntos no colineales) y las caracter´ısticas el´ asticas del mismo. En un fluido en movimiento en cambio por su car´ acter de permanentemente deformable es necesario conocer el movimiento de cada punto, o lo que es lo mismo, el campo de velocidades del fluido. Adicionalmente se requiere conocer dos variables termodin´amicas como ser la densidad y la presi´on en cada punto. O sea que desde un punto de vista formal tendremos como inc´ ognitas las tres componentes del vector velocidad seg´ un tres ejes y dos variables termodin´amicas: Vx : Componente del vector velocidad en un punto gen´erico seg´ un la direcci´on X. Vy : Componente del vector velocidad en un punto gen´erico seg´ un la direcci´on Y . Vz : Componente del vector velocidad en un punto gen´erico seg´ un la direcci´on Z. ρ: Densidad en un punto gen´erico. p: Presi´ on en un punto gen´erico. Es decir que tenemos cinco inc´ ognitas. Si se quiere resolver el problema ser´a necesario plantear cinco ecuaciones. Estas son: Ecuaci´ on de conservaci´ on de la masa. Ecuaci´ on de cantidad de movimiento seg´ un el eje X. Ecuaci´ on de cantidad de movimiento seg´ un el eje Y . Ecuaci´ on de cantidad de movimiento seg´ un el eje Z. Ecuaci´ on de la energ´ıa. La ecuaci´ on de conservaci´ on de la masa (o ecuaci´ on de Lavoisier) estipula que la masa de un sistema no se crea ni se destruye. La ecuaci´ on de cantidad de movimiento (o segundo principio de Newton) establece que la resultante de las fuerzas exteriores aplicadas a un sistema es igual a la variaci´on de cantidad de movimiento del mismo. La ecuaci´on de la energ´ıa (o primer principio de la termodin´amica), nos dice que la diferencia entre el calor entregado a un sistema y el trabajo realizado por el mismo es igual a la variaci´on de energ´ıa total de dicho sistema. Todas estas ecuaciones han sido desarrolladas en cursos de f´ısica y se entiende que el lector se encuentra familiarizado con las mismas. Estas ecuaciones incluyen variables vectoriales y el resultado de ellas puede ser un vector o un escalar. Por lo dicho desde un punto de vista puramente formal el problema de modelar el movimiento de un fluido se encuentra resuelto. Sin embargo cabe apuntar las siguientes salvedades: Generalmente las ecuaciones de cantidad de movimiento y la ecuaci´on de la energ´ıa no son independientes entre s´ı. Esto obliga a plantear una ecuaci´on adicional que tiene en cuenta alguna caracter´ıstica del flujo en estudio. Como se puede observar las ecuaciones que resuelven el problema est´ an siempre referidas a un sistema, siendo un sistema una parte del Universo que se a´ısla para su estudio. Es decir que si “pintamos” determinada cantidad de materia a la cual definimos como nuestro sistema deberemos seguir esta porci´on de materia a trav´es de sus diferentes posiciones y analizar los cambios que se producen a medida que transcurre el tiempo.

3.2. PUNTO DE VISTA EULERIANO - PUNTO DE VISTA LAGRANGIANO

77

Para un fluido el sistema puede cambiar de posici´on, cambiar de forma y cambiar de volumen con lo cual se hace muy dif´ıcil de seguir. Por ello en muchos problemas resulta conveniente plantear las ecuaciones a un espacio indeformable a fin de simplificar el estudio. Esto se realiza en el punto 3.5. Es decir que aparecen dos posibles puntos de observaci´on.

3.2 Punto de vista euleriano - punto de vista lagrangiano De acuerdo a lo dicho una forma posible de estudio del problema ser´ıa identificar cada part´ıcula del fluido y analizar los cambios cinem´ aticos (trayectoria, velocidad) y termodin´ amicos (presi´on, densidad, entalp´ıa, entrop´ıa) a trav´es del tiempo sobre cada una de ellas. Es decir que es como si el observador “viajase” sobre cada part´ıcula. Este m´etodo es ampliamente utilizado en el an´alisis din´amico de part´ıculas s´ olidas y se conoce como “punto de vista lagrangiano”. Otra forma de estudio consiste en identificar cada punto en el espacio que ocupa el fluido y analizar los cambios que ocurren en cada uno de ellos a trav´es del tiempo. A ´este punto de vista se lo conoce como “punto de vista euleriano”. En el punto de vista euleriano cada propiedad ser´ a funci´ on del punto analizado (x, y, z) y del tiempo t. Es decir que desde el punto de vista lagrangiano, si llamamos s a la trayectoria de una part´ıcula gen´erica de fluido, una variable cualquiera del mismo, (por ejemplo la velocidad), es una funci´ on de la trayectoria y del tiempo, o sea: ~ =V ~ (~s, t) V En tanto desde el punto de vista Euleriano, cada variable es una funci´ on del punto en estudio y del tiempo, por lo tanto: ~ =V ~ (x, y, z, t) V En ambos casos se trata de una funci´ on vectorial. En este u ´ ltimo caso la funci´on que describe la velocidad en cada punto se conoce como “campo de velocidades”.

3.3 Definici´ on de l´ınea de corriente. Flujo permanente (o estacionario) y no permanente (o no estacionario). Flujo uni, bi y tridimensional Definimos como l´ınea de corriente al lugar geom´etrico de los sucesivos puntos tangentes al vector velocidad en un instante determinado. En la figura 3.1 se muestran algunas l´ıneas de corriente. Como el vector velocidad es siempre tangente a la l´ınea de corriente, no hay transferencia de masa a trav´es de las l´ıneas de corriente. Esta propiedad es muy importante y la utilizaremos en los cap´ıtulos que siguen. Definimos como flujo permanente o estacionario a aquel en el cual las variables del fluido no dependen del tiempo, en tanto que definimos como flujo no permanente o no estacionario a aquel en el cual las variables del fluido s´ı dependen del tiempo. Es decir que, si analizamos un fluido desde el punto de vista euleriano, si en cada punto del espacio fluido las variables no cambian con el tiempo el flujo es permanente. Debe advertirse que un fluido acelerado desde el punto de vista Lagrangiano es no permanente porque la velocidad de la part´ıcula cambia con el tiempo. Sin embargo desde el punto de vista euleriano si bien el fluido est´a acelerado si el vector velocidad en cada punto no cambia con el tiempo el flujo es permanente. Por lo tanto para aquellos casos de flujo permanente (desde el punto de vista euleriano) el analizarlo desde este punto de vista simplifica las ecuaciones matem´ aticas pues se independiza de la variable tiempo. En lo que sigue cuando nos refiramos a un flujo como “permanente” sobreentenderemos que nos estamos refiriendo al mismo desde el punto de vista euleriano.

CAP´ITULO 3. MOVIMIENTO DE FLUIDOS

78

Figura 3.1

Por lo tanto en r´egimen permanente cualquier variable del fluido (por ejemplo la velocidad) ser´a una funci´ on. ~ =V ~ (x, y, z) V Cuando un fluido es no permanente el punto de vista Lagrangiano puede ser m´as apropiado. Puesto que para un flujo permanente el vector velocidad en cada punto del espacio ocupado por el fluido es el mismo a trav´es del tiempo, las l´ıneas de corriente no variar´an instante a instante. En cambio si el flujo es no permanente las l´ıneas de corriente si variar´an instante a instante. Como la trayectoria de una part´ıcula es siempre tangente al vector velocidad en r´egimen permanente la trayectoria de las part´ıculas coincide con las l´ıneas de corriente, no as´ı en r´egimen no permanente. Por lo tanto si a una corriente de aire con velocidad uniforme (el vector velocidad es el mismo en todos los puntos) que embiste un cuerpo se le inyecta humo se pueden visualizar las l´ıneas de corriente, tal como se muestra en la figura 3.2.

Figura 3.2 Si en un flujo el cambio de variables se da a lo largo de un eje se dice que el movimiento del fluido (flujo) es unidimensional. Cuando el cambio de variables se produce en un plano se dice que el flujo es bidimensional y si se da en el espacio se lo llama tridimensional. En la figura 3.3 se muestran los tres tipos de flujos.

Unidimensional

Bidimensional

Tridimensional

Tipos de flujo Figura 3.3 Si bien todos los movimientos de fluidos reales son tridimensionales, dependiendo del caso a analizar el fluido puede idealizarse como unidimensional o bidimensional. Por ejemplo, para el estudio del flujo a lo largo de una ca˜ ner´ıa o un canal, la suposici´on de flujo unidimensional es apropiada. Para el estudio de un perfil alar, lejos de los extremos del ala la suposici´on de flujo bidimensional tambi´en aporta informaci´ on apropiada.

3.4. DERIVADA PARCIAL, TOTAL Y SUSTANCIAL

79

En el desarrollo de los cap´ıtulos posteriores mucho de los movimientos se estudian como bidimensionales a fin de simplificar el manejo matem´ atico. Sin embargo en general ser´a relativamente simple pasar al caso tridimensional.

3.4 Derivada parcial, total y sustancial Estos tres tipos de derivadas expresan en realidad tres puntos de vista del observador. Si nos situamos en un punto del espacio fluido y analizamos los cambios de una variable cualquiera del fluido (por ejemplo A) con respecto al tiempo y realizamos el cociente: ∆A ∆t Obtenemos la derivada parcial de la variable A con respecto al tiempo. Esta derivada nos indica la variaci´ on de la variable desde un punto de vista euleriano (variaci´on en el punto). La derivada es parcial porque s´olo incrementamos la variable tiempo, sin observar los cambios que ocurren cuando incrementamos x, y o z. S´ı realizamos la misma operaci´on pero en lugar de ubicarnos en un punto del fluido nos movemos en una trayectoria determinada (como si fu´esemos en un submarino), lo que obtenemos es la derivada total de dicha funci´ on. Esta derivada es total porque no solo observamos la variaci´ on con el tiempo, sino tambi´en la variaci´ on con respecto a x, y, y z. Finalmente si realizamos la misma operaci´on dej´andonos “arrastrar” por la corriente, es decir que nos movemos sobre una part´ıcula del fluido, lo que obtenemos es una derivada particular que llamamos derivada sustancial. Es decir que la derivada sustancial es una derivada total pero en la direcci´on de la trayectoria. Esta derivada sustancial indica los cambios a trav´es del tiempo producidos en la variable A desde el punto de vista Lagrangiano. Propong´amonos hallar la aceleraci´ on de un fluido. Como sabemos de f´ısica, la aceleraci´ on es la derivada total de la velocidad con respecto al tiempo: l´ım

∆t→0

~ dV dt Y dado que la velocidad es funci´ on del punto en cuesti´on y del tiempo, o sea: ~a =

~ =V ~ (x, y, z, t) V ~ dx ∂ V ~ dy ∂ V ~ dz ~ ~ ∂V ∂V dV = · + · + · + dt ∂x dt ∂y dt ∂z dt ∂t Si para evaluar los cambios en la velocidad nos movemos sobre la corriente; tendremos que dx, dy, dz ser´ an las distancias recorridas por la part´ıcula en el tiempo dt y por lo tanto: dx dy dz = Vx ; = Vy ; = Vz dt dt dt Esto implica una simplificaci´ on importante en la anterior y entonces podemos reescribir: ~a =

~ ~ ~ ~ ∂V ∂V ∂V DV = · Vx + · Vy + · Vz Dt ∂x ∂y ∂z

Recordando que: ~ = Vx · ~ex + Vy · ~ey + Vz · ~ez V Entonces: ~ ∂ ∂V = (Vx · ~ex + Vy · ~ey + Vz · ~ez ) ∂x ∂x ~ ∂V ∂Vx ∂~ex ∂Vy ∂~ey ∂Vz ∂~ez = · ~ex + Vx · + · ~ey + Vy · + · ~ez + Vz · ∂x ∂x ∂x ∂x ∂x ∂x ∂z

CAP´ITULO 3. MOVIMIENTO DE FLUIDOS

80

Como los versores son siempre ortogonales y colineales las derivadas parciales respecto de cualquier direcci´ on entre ellos resulta nula y por lo tanto: ~ ∂V ∂Vx ∂Vy ∂Vz = · ~ex + · ~ey + · ~ez ∂x ∂x ∂x ∂x Y de la misma forma para las derivadas en Y y Z: ~ ∂V ∂Vx = · ~ex + ∂y ∂y ~ ∂Vx ∂V = · ~ex + ∂z ∂z

∂Vy ∂Vz · ~ey + · ~ez ∂y ∂y ∂Vy ∂Vz · ~ey + · ~ez ∂z ∂z

Como: ~a = ax · ~ex + ay · ~ey + az · ~ez Resulta: ∂Vx ∂Vx ∂Vx ∂Vx · Vx + · Vy + · Vz + ∂x ∂y ∂z ∂t ∂Vy ∂Vy ∂Vy ∂Vy ay = · Vx + · Vy + · Vz + ∂x ∂y ∂z ∂t ∂Vz ∂Vz ∂Vz ∂Vz az = · Vx + · Vy + · Vz + ∂x ∂y ∂z ∂t

ax =

A los t´erminos que indican la variaci´ on de la velocidad con respecto a los ejes coordenados se los denomina aceleraci´on convectiva. En tanto los t´erminos que indican la variaci´on de la velocidad con respecto al tiempo forman lo que se denomina aceleraci´on temporal. La convecci´on es un fen´omeno de transporte por el cual una masa de fluido intercambia cantidad de movimiento con otra adyacente (del mismo fluido o distinto). Es por ello que a los t´erminos citados se los conoce como aceleraci´ on convectiva, pues la aceleraci´on se produce como resultado de estar en contacto con otras part´ıculas con distinta velocidad.

Ejemplo 3.1 Encontrar las componentes de la aceleraci´on en coordenadas cil´ındricas. Recordamos que en coordenadas cil´ındricas la posici´ on de un punto se define por la posici´ on del punto respecto a un eje Z, la distancia desde dicho punto al eje (radio vector r) y el ´angulo entre el radio vector y una direcci´ on arbitraria θ (figura 3.4).

Figura 3.4 Entonces el vector velocidad en coordenadas cil´ındricas es: ~ =V ~ (r, θ, z, t) V ~ = Vr · ~er + Vθ · ~eθ + Vz · ~ez V

3.4. DERIVADA PARCIAL, TOTAL Y SUSTANCIAL Y la aceleraci´ on: ~a =

81

~ dr ∂ V ~ dθ ∂ V ~ dz ~ ~ ∂V ∂V DV = · + · + · + Dt ∂r dt ∂θ dt ∂z dt ∂t

Como: dr dθ Vθ dz = Vr ; = ; = Vz dt dt r dt ~ Vθ ~ ~ ~ ∂V ∂V ∂V ∂V · Vr + · + · Vz + ~a = ∂r ∂θ r ∂z ∂t

(3.1)

Desarrollamos ahora cada derivada parcial: ~ ∂V ∂Vr ∂~er ∂Vθ ∂~eθ ∂Vz ∂~ez = · ~er + Vr · + · ~eθ + Vθ · + · ~ez + Vz · ∂r ∂r ∂r ∂r ∂r ∂r ∂r Los versores ~er ; ~eθ ; ~ez se mantienen colineales cuando se incrementa r, por lo tanto su derivada parcial respecto de este eje es nula y: ~ ∂V ∂Vr ∂Vθ ∂Vz = · ~er + · ~eθ + · ~ez ∂r ∂r ∂r ∂r

(3.2)

Desarrollamos ahora la derivada parcial con respecto a θ: ~ ∂Vr ∂~er ∂Vθ ∂~eθ ∂Vz ∂~ez ∂V = · ~er + Vr · + · ~eθ + Vθ · + · ~ez + Vz · ∂θ ∂θ ∂θ ∂θ ∂θ ∂θ ∂θ Aqu´ı debemos ser cuidadosos al evaluar las derivadas de los versores, porque si bien los versores son siempre ortogonales no son siempre colineales cuando se incrementa θ, en particular los versores er y eθ . Para el an´alisis recordamos la definici´on de derivada que dice, la derivada de una variable es el l´ımite del cociente entre la variable incrementada y la variable sin incrementar cuando el incremento tiende a cero. Calculemos la ∂~er /∂θ: ∂~er ~er |θ+∆θ − ~er |θ = l´ım ∆θ→0 ∂θ ∆θ Obs´ervese que en el numerador tenemos una diferencia vectorial. Como r y θ son coplanares, supongamos una direcci´ on arbitraria de la part´ıcula como se muestra en la figura 3.5. Cuando ∆θ tiende a cero la diferencia de los versores da un vector que es normal a los mismos, es decir que tiene direcci´on de θ en tanto que el m´ odulo tender´ a al arco que vale el radio (de m´odulo 1) por el ´angulo. Por lo tanto: ∂~er ~er |θ+∆θ − ~er |θ ∆θ · ~eθ = l´ım = = ~eθ ∆θ→0 ∂θ ∆θ ∆θ

Figura 3.5 Calculemos ahora: ∂~eθ ~eθ |θ+∆θ − ~eθ |θ = l´ım ∆θ→0 ∂θ ∆θ

CAP´ITULO 3. MOVIMIENTO DE FLUIDOS

82

Figura 3.6

Obs´ervese que en el numerador tenemos una diferencia vectorial. Supongamos una direcci´on arbitraria de la trayectoria como se muestra la figura 3.6. Cuando ∆θ tiende a cero el vector diferencia se hace normal al versor e˘θ y por lo tanto tiene la direcci´ on de er pero sentido opuesto. El m´ odulo de la diferencia, por su parte tiende al valor del arco que vale el radio (de m´ odulo unitario) por el ´ angulo. Luego: ~ ∂V ~eθ |θ+∆θ − ~eθ |θ ∆θ · (−~er ) = l´ım = = −~er ∆θ→0 ∂θ ∆θ ∆θ Obviamente el versor ~ez en la direcci´on de θ var´ıa colinealmente y por lo tanto su derivada parcial respecto a θ es nula y entonces: ~ ∂Vr ∂Vθ ∂Vz ∂V = · ~er + Vr · ~eθ + · ~eθ − Vθ · ~er + · ~ez ∂θ ∂θ ∂θ ∂θ

(3.3)

Y finalmente por ser nulas las derivadas de los versores respecto a la direcci´on Z: ~ ∂V ∂Vr ∂Vθ ∂Vz = · ~er + · ~eθ + · ~ez ∂z ∂z ∂z ∂z

(3.4)

Y la derivada parcial respecto al tiempo: ~ ∂V ∂Vr ∂Vθ ∂Vz = · ~er + · ~eθ + · ~ez ∂t ∂t ∂t ∂t

(3.5)

Reemplazando las ecuaciones (3.2) a (3.5) en la ecuaci´on (3.1): ! ∂Vr ∂Vθ ∂Vz ~a = · ~er + · ~eθ + · ~ez · Vr + ∂r ∂r ∂r +

+ +

∂Vr ∂Vθ ∂Vz · ~er + Vr · ~eθ + · ~eθ − Vθ · ~er + · ~ez ∂θ ∂θ ∂θ ! ∂Vr ∂Vθ ∂Vz · ~er + · ~eθ + · ~ez · Vz + ∂z ∂z ∂z ∂Vr ∂Vθ ∂Vz · ~er + · ~eθ + · ~ez ∂t ∂t ∂t

Y recordando que: ~a = ar · ~er + aθ · ~eθ + az · ~ez

! ·

Vθ + r

3.5. ECUACIONES DEL MOVIMIENTO DE LOS FLUIDOS

83

Las componentes de la aceleraci´ on son: ∂Vr + ∂r ∂Vθ aθ = Vr · + ∂r ∂Vz + az = Vr · ∂r ar = Vr ·

∂Vr ∂Vr Vθ ∂Vr Vθ2 · − + Vz · + r ∂θ r ∂z ∂t ∂Vθ ∂Vθ Vθ ∂Vθ Vθ · Vr · + + Vz · + r ∂θ r ∂z ∂t ∂Vz ∂Vz Vθ ∂Vz · + Vz · + r ∂θ ∂z ∂t

Donde: −Vθ2 /r: es la aceleraci´ on centr´ıpeta. (Vθ · Vr )/r: es la aceleraci´ on de coriolis.

3.5 Ecuaciones del movimiento de los fluidos aplicadas a vol´ umenes de control En el estudio del movimiento de los fluidos encontramos b´asicamente dos tipos de problemas: Aquellos problemas en que es posible definir un perfil de velocidades a priori y se necesita determinar alguna caracter´ıstica macrosc´opica del sistema, por ejemplo fuerzas que act´ uan sobre un volumen determinado, potencia de equipos, etc´etera. Aquellos problemas en que no es posible definir a priori el perfil de velocidades y por lo tanto es necesario analizar punto a punto como var´ıa el vector velocidad. Como ya queda dicho las ecuaciones de continuidad, cantidad de movimiento y de la energ´ıa resultan b´asicas en la resoluci´on de estos problemas. Ahora bien estas ecuaciones se pueden presentar en forma integral o bien en forma diferencial. En el primer caso conviene expresar las ecuaciones en forma integral. En el segundo caso es conveniente echar mano de las ecuaciones en su forma diferencial. Para la forma integral el volumen inercial al cual se referir´an las ecuaciones ser´a un espacio finito. Para la forma diferencial en cambio dicho volumen ser´ a un paralelep´ıpedo elemental. En lo que sigue se desarrollar´ a la deducci´ on de las ecuaciones en su forma integral, y luego partiendo de ´estas, se desarrollar´ an la forma diferencial de las mismas. Como ya dijimos todas estas ecuaciones est´ an referidas a un sistema, pero cuando tratamos con fluidos en movimiento el sistema se deforma e incluso puede cambiar su volumen (si se trata de fluidos compresibles), por lo tanto vamos a tratar de referir estas ecuaciones a un volumen inercial e indeformable, finito o diferencial. Comenzamos por vol´ umenes finitos.

3.5.1 Ecuaci´ on de continuidad (o de conservaci´ on de la masa) El principio de conservaci´on de la masa o ley de Lavoisier expresa que la masa de un sistema permanece constante, o en otras palabras la masa de un sistema no se crea ni se destruye. Es decir que si en un instante determinado el sistema tiene una masa m en cualquier otro instante la masa seguir´ a siendo m. msistema |t = msistema |t+∆t Vamos a intentar expresar esta ley para un fluido en movimiento pero en lugar de referirla a un sistema la referiremos a un volumen fijo (o con movimiento rectil´ıneo y uniforme) e indeformable. Sea el campo de flujo representado por las l´ıneas de corriente de la figura 3.7. Vamos a tratar de referir la ecuaci´ on de continuidad respecto al espacio A fijo e indeformable, al cual denominaremos “volumen de control”.

CAP´ITULO 3. MOVIMIENTO DE FLUIDOS

84

Figura 3.7 Recordemos que se define como sistema a una porci´on del universo que se a´ısla para su estudio. En nuestro caso el sistema en el instante de tiempo t ocupa el espacio A. Como el fluido (y por consiguiente las part´ıculas que componen el sistema) se est´a moviendo, al cabo de un cierto tiempo ∆t el sistema ocupar´a una posici´on en el espacio distinta a la anterior. En particular en el instante ∆t el sistema habr´ a abandonado parte del espacio que ocupaba en A, parte lo seguir´a ocupando y parte del sistema pasar´ a a ocupar un espacio B. Por lo cual el sistema que en el tiempo t ocupaba el espacio A, en el tiempo t + ∆t ocupar´a el espacio A m´as el espacio B menos el espacio C. Como por el principio de conservaci´on de la masa, la masa del sistema no var´ıa, la masa del sistema en el tiempo t + ∆t debe ser igual a la masa del sistema en el tiempo t: msistema(t) = msistema(t+∆t) mA (t) = mA (t + ∆t) + mB (t + ∆t) − mc (t + ∆t) Dado que estamos tratando con sistemas en circulaci´on estamos m´as interesados en encontrar la velocidad con que var´ıa dicha masa por unidad de tiempo que su valor atemporal. La variaci´on de masa por unidad de tiempo resultar´ a, reordenado: l´ım

∆t→0

[mA (t + ∆t) − mA (t)] [mC (t + ∆t) − mB (t + ∆t)] = l´ım ∆t→0 ∆t ∆t

(3.6)

Cuando el intervalo de tiempo tiende a cero el sistema tiende a A. Si al espacio A lo hacemos coincidir con el volumen fijo al cual vamos a referir la ecuaci´ on de continuidad y al que denominaremos “volumen de control” el t´ermino a la izquierda es la variaci´on de masa con respecto al tiempo en el volumen de control: l´ım

∆t→0

∂(mVC ) [mA (t + ∆t) − mA (t)] = ∆t ∂t

El t´ermino:

mC (t + ∆t) = Qmingresa ∆t Es la masa por unidad de tiempo que ingresa al volumen de control a trav´es de la superficie de control I-II-III entre el instante de tiempo t y t + ∆t (figura 3.7). El t´ermino: l´ım

∆t→0

l´ım

∆t→0

mB (t + ∆t) = Qmegresa ∆t

3.5. ECUACIONES DEL MOVIMIENTO DE LOS FLUIDOS

85

Es la masa por unidad de tiempo que egresa del volumen de control a trav´es de la superficie de control I-IV-II entre el instante de tiempo t y t + ∆t (figura 3.7). La masa por unidad de tiempo que atraviesa una superficie lo llamamos caudal m´ asico. La ecuaci´ on (3.6) la podemos reescribir entonces: ∂ (mVC ) = Qmingresa − Qmegresa ∂t

(3.7)

Que de acuerdo a la definici´on anterior se puede leer como: El caudal m´ asico que ingresa al volumen de control menos el caudal m´ asico que egresa del volumen de control es igual a la variaci´ on de masa por unidad de tiempo dentro del volumen de control. Para hallar la masa en el volumen de control primero calculamos la masa para una part´ıcula elemental cualquiera de volumen d∀ (figura 3.7) si ρ es la densidad media de la part´ıcula (masa/volumen) entonces: dm = ρ · d∀ Si sumamos todas estas part´ıculas elementales dentro del volumen de control obtendremos toda la masa del volumen de control y entonces la variaci´on de masa por unidad de tiempo en el volumen de control vale: ˚ ∂(mVC ) ∂ ρ · d∀ = ∂t ∂t VC

Donde la integral triple indica que la operaci´on se extiende a un volumen. Para calcular los caudales m´asicos que ingresan y egresan del volumen de control por unidad de tiempo en la figura 3.8 se esquematiza lo que ocurre sobre un diferencial de a´rea en la superficie de control (en la figura se muestra un diferencial por donde egresa masa).

superficie de control

Figura 3.8 ~ , esta velocidad se podr´a descomponer en una direcci´on Si sobre el diferencial de a´rea la velocidad es V tangente y en otra normal a la superficie de control. La componente tangencial no puede incorporar o extraer masa del volumen de control porque no atraviesa el mismo. Por lo tanto la u ´nica componente que puede transportar masa a trav´es de la superficie es la componente normal. Para calcular dicha masa imaginemos un pist´on de ´area dA que se mueve dentro de una camisa (figura 3.9). El volumen barrido en el intervalo ∆t por el pist´on ser´a: d∀barrido = ∆x · dA Y el volumen barrido por unidad de tiempo: d∀barrido ∆x = dQbarrido = · dA ∆t ∆t

CAP´ITULO 3. MOVIMIENTO DE FLUIDOS

86

posición inicial del pistón

posición final del pistón

Figura 3.9 Pero:

∆x =V ∆t

Y entonces: dQbarrido = V · dA Y la masa barrida por el pist´ on la obtenemos multiplicando por la densidad, o sea: dQmbarrida = ρ · V · dA Imaginando cada dA como un pist´ on: El diferencial de masa que egresa a trav´es de la superficie dA (diferencial de caudal m´asico) valdr´a: dQmegresa = ρ · Vn · dA ~ tal que su m´odulo sea dA de direcci´on normal a la superficie y en sentido Si definimos un vector dA saliente respecto a la superficie de control, por la propiedad del producto escalar: ~ · dA ~ Vn = V Y reemplazando: ~ · dA ~ dQmegresa = ρ · V Si queremos encontrar el total de caudal m´asico que egresa a trav´es de la superficie de control: ¨ ~ · dA ~ Qmegresa = ρ·V SCI-II-IV

Donde la integral doble indica que la operaci´on debe extenderse a toda la superficie de egreso. La masa que ingresa (caudal m´asico que ingresa) se puede calcular en forma similar pero hay que tener ~ Vn y dA son opuestos (el ´angulo comprendido es de en cuenta que por la definici´on del vector dA, ◦ 180 ) y por lo tanto el producto escalar es negativo. Es decir: ¨ ~ · dA ~ Qm =− ρ·V ingresa

SCI-II-III

Reemplazando en la ecuaci´ on (3.7): ˚ ¨ ¨ ∂ ~ ~ ~ · dA ~ ρ · d∀ = − ρ · V · dA − ρ·V ∂t VC SCI-II-III SCI-II-IV Y como la superficie de control entrante y saliente conforman una superficie cerrada que envuelve al volumen de control resulta: ‹ ˚ ∂ ~ ~ ρ · V · dA = − ρ · d∀ (3.8) ∂t SC

VC

3.5. ECUACIONES DEL MOVIMIENTO DE LOS FLUIDOS

87

Que se puede leer como, el caudal m´asico neto a trav´es de la superficie de control debe ser equilibrado por la variaci´ on de masa por unidad de tiempo dentro del volumen de control. El signo menos indica que si el flujo m´asico neto aumenta la masa por unidad de tiempo en el volumen de control debe disminuir y viceversa. Cuando el flujo es permanente no hay variaci´on con respecto al tiempo y por lo tanto el caudal m´asico que entra a trav´es de la superficie de control debe ser igual al caudal que egresa a trav´es de la superficie de control. Cuando el fluido es incompresible no puede variar la masa en el volumen de control (porque es indeformable) y por lo tanto el segundo t´ermino es nulo aunque el flujo no sea permanente. En general si a trav´es de una superficie fluye un fluido diremos que el caudal m´asico que atraviesa dicha superficie es: ¨ ~ · dA ~ Qm = ρ·V sup

Y las unidades ser´ an:

[M ] [T ] Es decir de masa por unidad de tiempo. Por lo tanto el caudal m´ asico en el sistema M, K, S se expresa en kg/s. Si el fluido es incompresible: ¨ ~ · dA ~ Qm = ρ · V [QM ] =

sup

Llamamos caudal volum´etrico, o simplemente caudal que fluye a trav´es de una superficie. ¨ Qm ~ · dA ~ Q= = V ρ sup

Obviamente las unidades de caudal ser´ an: [Q] =

[∀] [T ]

En el sistema M, K, S se expresar´ a en m3 /s. En la pr´actica el caudal m´asico se utiliza fundamentalmente en los sistemas que sufren cambios de fase (l´ıquido - gas/vapor). Por ejemplo en la generaci´on de vapor es usual expresar los consumos o la capacidad de las calderas en t/h o sea toneladas por hora. Para los sistemas l´ıquidos generalmente se utiliza el caudal volum´etrico y las unidades dependen de los vol´ umenes en juego. Por ejemplo el caudal de r´ıos y canales importantes se expresa en m3 /s (metros c´ ubicos por segundo) en tanto que en sistemas de agua y otros l´ıquidos com´ unmente se utiliza l/s (litros por segundo) o bien m3 /h (metros c´ ubicos por hora). Para los sistemas gaseosos lo usual es usar el caudal volum´etrico, pero como el volumen var´ıa con la presi´on y la temperatura, lo usual es expresarlos en “condiciones est´andar” que es el volumen que ocupar´ıa el gas a presi´on atmosf´erica y a 15 ◦C (288 K) de temperatura. A veces en lugar de “condiciones est´andar” se utilizan las “CNPT”, condiciones normales de presi´on y temperatura que est´ an referidas a la presi´ on atmosf´erica y 0 ◦C (273 K). Por ejemplo los compresores de aire utilizados para los martillos neum´ aticos, en las reparciones en la v´ıa p´ ublica liberan un caudal de 2,5 a 4 m3 /min est´andar y presi´ on en el tanque pulm´ on de descarga es de 7 kg/cm2 . El consumo de gas natural en Bs. As. un d´ıa de oto˜ no puede ser de 30 000 000 m3 /d est´ andar. En todo lo que sigue siempre que nos refiramos al caudal m´ asico la notaci´on que aplicaremos ser´ a Qm , en tanto que para el caudal volum´etrico utilizaremos Q y en general nos referiremos a ´este como caudal. Si en una secci´on a trav´es de la cual fluye un caudal la densidad es constante, la velocidad media ser´a: ¨ Q 1 ~ · dA ~ Vm = = · V A A sup

CAP´ITULO 3. MOVIMIENTO DE FLUIDOS

88 Donde: Vm : Velocidad media. Q: Caudal (volum´etrico). ´ A: Area transversal de la secci´ on. ~ V : Velocidad en un punto gen´erico de la secci´on. ~ Diferencial de ´ ~. dA: area con velocidad V

Ejemplo 3.2 Por la rama principal del sistema de ca˜ ner´ıas mostrado (figura 3.10), circula agua con un caudal constante de 100 m3 /h. Si la velocidad media en la rama 2 es de 2 m/s y su a´rea de 0,01 m2 , calcular el caudal y la velocidad en la ca˜ ner´ıa 3 si el ´area es igual al ´area de la rama 2.

Figura 3.10 Seleccionamos un volumen de control que incluya las secciones a trav´es de las cuales fluye el agua (en punteado en la figura 3.11) y aplicamos la ecuaci´on de continuidad ecuaci´on (3.8). ‹ ˚ ∂ ~ ~ ρ · V · dA = − ρ · d∀ ∂t VC SC

Figura 3.11 Para mayor claridad dibujamos el volumen de control en perspectiva en la figura 3.11 (se supuso secciones circulares arbitrariamente).

3.5. ECUACIONES DEL MOVIMIENTO DE LOS FLUIDOS

89

Como el caudal se mantiene constante el flujo es permanente y todas las derivadas temporales se hacen nulas. Por lo tanto el miembro de la derecha es nulo; es decir: ‹ ~ · dA ~=0 ρ·V SC

Como el fluido es incompresible la densidad es constante y sale de la integral como la ecuaci´ on est´ a igualada a 0 resulta: ‹ ~ · dA ~=0 V SC

Esta integral se extiende a toda la superficie de control. Como sobre la superficie lateral el vector velocidad y el vector a´rea son normales su producto escalar es nulo (obvio porque el l´ıquido no atraviesa la envoltura), entonces la integral cerrada anterior se podr´a expresar: ¨ ¨ ¨ ~ ~ ~ ~ ~ · dA ~=0 − V · dA + V · dA + V SC1

SC2

SC3

Donde el signo menos en la integral sobre la superficie de control 1 indica que el caudal ingresa al volumen de control (el producto escalar es negativo porque los vectores est´ an desfasados 180◦ ) en tanto el producto escalar sobre las otras ´areas es positivo porque el caudal egresa del volumen de control. Con lo cual: ¨ ¨ ¨ ~ · dA ~= ~ · dA ~+ ~ · dA ~ V V V ˜

SC1

SC2

SC3

~ · dA ~ es el caudal que ingresa por la rama 1 y es dato. Para la rama 2 tenemos como dato la La SC1 V velocidad media y el ´ area, entonces: ¨ ~ · dA ~ = Vm · A2 V 2

SC2

Entonces: Q1 = Vm2 · A2 + Q3

y

Q3 = Q1 − Vm2 · A2

3

Q3 = 100

m m 3600 s m3 − 2 · 0,01 m3 · = 28 h s h h

Para encontrar la velocidad media en la rama 3: Vm3 · A3 = Q3 Vm3 =

Q3 28 m3 /h 1 m = · = 0,78 2 A3 3600 s s 0,01 m

Ejemplo 3.3 Un compresor de aire suministra un caudal constante de 4 m3 /min est´andar durante 1 min al recipiente mostrado en la figura 3.12. En el mismo lapso de tiempo el consumo se mantiene constante y en 3 m3 /min. Si la presi´on inicial en el tanque es de 5 kg/cm2 absolutos en el instante inicial, determinar cual ser´a la presi´on en el instante final. El volumen del tanque es de 1 m3 y la evoluci´on del gas se supone isot´ermica (temperatura constante).

CAP´ITULO 3. MOVIMIENTO DE FLUIDOS

90

volumen de control Figura 3.12

Nuevamente elegimos un volumen de control como el mostrado en punteado y le aplicamos la ecuaci´ on (3.8). ‹ ˚ ∂ ~ ~ ρ · V · dA = − ρ · d∀ ∂t SC

VC

En este caso el t´ermino de la derecha no se anula pues como el caudal m´asico que ingresa es mayor que el que egresa aumentar´ a la masa en el volumen de control (coincidente con el recipiente). Nuevamente ~ · dA ~ no se hace nulo son la 1 y la 2 por la las u ´ nicas secciones de control en las cuales el producto V cual: ¨ ¨ ~ ~ ~ · dA ~ = −∆Qm ρ · V · dA + − ρ·V − SC2

SC1

Donde: ∆Qm =

∂ ∂t

˚ ρ · d∀ VC

El primer t´ermino de la izquierda es el caudal m´asico que ingresa del volumen de control en tanto el segundo es el que egresa. Como dichos caudales est´an expresados en un caudal volum´etrico referido a condiciones est´ andar de presi´ on y temperatura y en el punto 1.3 del cap´ıtulo 1, vemos que ρaire a p. atm y 15 ◦C = 1,225 kg/m3 (condiciones est´ andar). Entonces el caudal m´ asico que ingresa ser´a: Qmingresa = 4

kg kg m3 · 1,225 3 = 4,9 min min m

Y el caudal m´ asico que egresa ser´ a: Qmegresa = 3

m3 kg kg · 1,225 3 = 3,675 min min m

y

∆Qm = (4, 9 · 3, 675)

kg kg = 1,225 min min

Al cabo de 1 min la masa habr´ a incrementado en: minicial = ∆Qm · ∆t = 1,225

kg · 1 min = 1,225 kg min

Como de acuerdo a la ecuaci´on de estado de los gases vista en el punto 1.4 del cap´ıtulo 1 para un instante dado: p·∀=m·R·T

3.5. ECUACIONES DEL MOVIMIENTO DE LOS FLUIDOS

91

y como la constante de estado, la temperatura y el volumen no var´ıan entre el estado inicial y el final: pi pf = mi mf Para calcular la masa inicial en el tanque: RM ·T M N 8,311 N m/(mol K) · 288 K 490 000 2 · 1 m3 = mi · 0,019 kg/mol m 490 000 · 0, 019 mi = = 3,89 kg 8, 311 · 288 pi · ∀ = mi ·

Y finalmente: pf = 5

k~g (3, 89 + 1, 225) kg k~g = 6,57 2 · 3,89 kg cm cm2

3.5.2 Ecuaci´ on de cantidad de movimiento o segundo principio de Newton De acuerdo al segundo principio de Newton las fuerzas exteriores que act´ uan sobre un sistema es igual a la variaci´ on de la cantidad de movimiento del sistema con respecto al tiempo. Matem´aticamente: X

dP~ F~ext = dt

Donde P~ es el vector cantidad de movimiento y viene expresado por: ~ P~ = m · V ~ la velocidad del mismo. Obs´ervese que la anterior es una expresi´on Donde m es la masa del sistema y V vectorial que puede ser descompuesta en tres ecuaciones escalares respecto de tres ejes ortogonales. Ahora bien refiri´endonos a la figura 3.13 imaginemos que hay un conjunto de fuerzas que act´ ua sobre el sistema en todo momento (es decir en el instante t y en el instante t + ∆t). Con un razonamiento totalmente an´alogo al utilizado en la ecuaci´ on de continuidad, la variaci´ on de cantidad de movimiento del sistema la podemos calcular como la cantidad de movimiento del sistema en el instante t + ∆t menos la cantidad de movimiento del sistema en el instante t. Refiriendonos a las cantidades de movimiento en los espacios A, B y C resulta: ∆P~ = P~sist (t + ∆t) − P~sist (t) ∆P~ = P~A (t + ∆t) − P~C (t + ∆t) + P~B (t + ∆t) − P~A (t) Donde: ∆P~ : Variaci´ on de cantidad de movimiento del sistema entre el instante t + ∆t y el instante t. P~A (t + ∆t) − P~C (t + ∆t) + P~B (t + ∆t): Cantidad de movimiento del sistema en el instante t + ∆t. P~A (t): Cantidad de movimiento del sistema en el instante t.

Por lo tanto la variaci´ on de cantidad de movimiento por unidad de tiempo ser´a: ∆P~ P~A (t + ∆t) − P~A (t) P~B (t + ∆t) P~C (t + ∆t) = l´ım + l´ım + l´ım ∆t→0 ∆t ∆t→0 ∆t→0 ∆t→0 ∆t ∆t ∆t l´ım

CAP´ITULO 3. MOVIMIENTO DE FLUIDOS

92

Figura 3.13 Donde: X DP~ ∆P~ = = F~ext ∆t Dt ∂ P~ P~A (t + ∆t) − P~A (t) l´ım = ∆t→0 ∆t ∂t

(3.9)

l´ım

∆t→0

(3.10) A

P~B (t + ∆t) = P~˙egresa del VC ∆t→0 ∆t P~C (t + ∆t) l´ım = P~˙ingresa al VC ∆t→0 ∆t l´ım

(3.11) (3.12)

La ecuaci´on (3.9) es la variaci´on total de cantidad de movimiento del volumen de control, que es igual a la sumatoria de todas las fuerzas externas que act´ uan sobre ´el. Las fuerzas externas que habitualmente act´ uan sobre el volumen de control son: Fuerzas debidas a campos exteriores (por ejemplo el campo gravitatorio). Fuerzas superficiales o que act´ uan sobre la superficie de control (por ejemplo la presi´on, los esfuerzos de corte). Fuerzas impuestas (por ejemplo reacciones). La ecuaci´on (3.10) es la variaci´on de cantidad de movimiento en cada punto interior al volumen de control. Dado que la cantidad de movimiento de cada part´ıcula es el producto de la masa de la part´ıcula por el vector velocidad y vimos que la masa de cada part´ıcula es ρ · d∀, la cantidad de movimiento dentro del volumen de control ser´ a la suma de todas ellas resulta: ˚ ∂ P~˙ ∂ ~ · d∀ = ρ·V (3.13) ∂t ∂t VC≡A

VC

3.5. ECUACIONES DEL MOVIMIENTO DE LOS FLUIDOS

93

La ecuaci´on (3.11) es el caudal de cantidad de movimiento que egresa del volumen de control a trav´es de la superficie de control I–II–IV (figura 3.13). Para calcular este caudal de cantidad de movimiento que egresa debemos multiplicar el caudal m´asico en cada punto sobre la superficie de control donde egresa masa por el vector velocidad en dicho punto y luego sumar estos vectores en toda la superficie o sea: ¨ ~ · (V ~ · dA) P~˙egresa del VC = ρ·V SCI-IV-II

La ecuaci´on (3.12) es el caudal de cantidad de movimiento que ingresa al volumen de control a trav´es de la superficie de control I–II–III (figura 3.13). Para calcular el caudal de cantidad de movimiento que ingresa operamos de la misma forma, pero teniendo en cuenta que por la convenci´ on adoptada la masa que ingresa tiene signo negativo: ¨ ~ · (V ~ · dA) P~ingresa al VC = − ρ·V SCI-III-II

Por lo tanto las ecuaciones (3.11) y (3.12) se pueden reescribir como: ‹ ~ · (V ~ · dA) ~ ρ·V

(3.14)

SC

Reemplazando las ecuaciones (3.13) y (3.14) en la ecuaci´ on (3.9), la ecuaci´ on vectorial de la cantidad de movimiento se puede reescribir: X

∂ F~ext = ∂t

˚

‹ ~ · d∀ + ρ·V

VC

~ · (V ~ · dA) ~ ρ·V

(3.15)

SC

Que se puede leer como, las fuerzas externas que operan sobre un volumen de control son iguales a la variaci´ on de cantidad de movimiento con respecto al tiempo en el volumen de control m´as el caudal neto de cantidad de movimiento a trav´es de la superficie de control. Por tratarse de una ecuaci´on vectorial, esta ecuaci´on se puede descomponer en tres ecuaciones escalares seg´ un los tres ejes coordenados. La ecuaci´on desarrollada es una ecuaci´on de equilibrio entre las fuerzas externas y las fuerzas de inercia. De acuerdo al primer principio de Newton si sobre un cuerpo act´ ua un sistema de fuerzas en equilibrio, este permanece en reposo o bien con movimiento rectil´ıneo y uniforme. Por lo tanto la ecuaci´ on deducida es v´alida cuando el volumen de control se encuentra en reposo o bien con movimiento rectil´ıneo y uniforme.

3.5.2.1 Distribuci´ on de presiones cuando las l´ıneas de corriente son rectas paralelas Consideremos un flujo permanente compuesto por l´ıneas de corriente rectas paralelas (figura 3.14). Si ha dicho volumen de control le aplicamos la ecuaci´on de cantidad de movimiento ecuaci´on (3.15): X

∂ F~ext = ∂t

˚

‹ ~ · d∀ + ρ·V

VC

~ · (V ~ · dA) ~ ρ·V SC

Como dijimos esta ecuaci´on es una ecuaci´on vectorial que se puede descomponer en tres ecuaciones escalares. A fin de conocer la distribuci´ on de presiones en la direcci´on normal a las l´ıneas de corriente vamos a desarrollar la componente de la ecuaci´ on en la direcci´on Y .

CAP´ITULO 3. MOVIMIENTO DE FLUIDOS

94

Y

Figura 3.14 Teniendo en cuenta que hicimos la hip´otesis de flujo permanente o estacionario la ecuaci´on seg´ un el eje Y ser´ a: ‹ X ~ · (V ~ · dA) ~ F~ext = ρ·V y

SC

Como el flujo no tiene componente de velocidad seg´ un Y resulta: X F~exty = 0 Como ya fue dicho las fuerzas exteriores pueden ser de tres tipos: Debidas a campos exteriores: En nuestro caso ser´a el campo gravitatorio o sea el peso del volumen de control. Fuerzas que act´ uan sobre la superficie de control: La presi´on sobre cada cara normal a Y . Las Tensiones de corte en este caso no dan componentes seg´ un Y por la geometr´ıa del problema. Fuerzas de v´ınculo: En nuestro caso no existen. Por lo tanto; por unidad de profundidad ser´a: −ρ · g · ∆x · y · 1 + p2 · ∆x · 1 − p1 · ∆x · 1 = 0 Y finalmente: p2 − p1 = ρ · g · y Ecuaci´ on igual a la encontrada para la presi´on en un punto de un fluido en reposo. Concluimos entonces que cuando las l´ıneas de corriente son rectas paralelas, la distribuci´on de presiones seg´ un la direcci´ on normal a las mismas es hidrost´atica. Obs´ervese que si la aceleraci´ on de la gravedad estuviese actuando seg´ un el eje Z resultar´ıa p1 = p2 . Tambi´en debe observarse el hecho que lo anterior puede aplicarse a flujos compresibles o incompresibles. Asimismo debe notarse que puede hacerse tan peque˜ no como sea, por lo cual aunque las l´ıneas de corriente tengan curvatura, se puede considerar que si en una secci´on las l´ıneas de corriente son paralelas, la distribuci´ on hidrost´ atica de presiones es v´alida. Veremos que esta demostraci´on es una poderosa herramienta que nos ayudar´a en muchos de los problemas y desarrollos posteriores.

Ejemplo 3.4 Un ´alabe con 60◦ de inclinaci´on (figura 3.15) se mueve con una velocidad constante Va´labe = 5 m/s y recibe un chorro de agua que sale de una tobera con una velocidad inicial VCH = 30 m/s. La tobera tiene un a´rea de salida ACH = 3000 mm2 . Determinar la fuerza total sobre el ´alabe m´ovil.

3.5. ECUACIONES DEL MOVIMIENTO DE LOS FLUIDOS

95

Figura 3.15 Si bien en el problema no se aclara espec´ıficamente, nosotros vamos a suponer que la tobera est´a fija, es decir que no se mueve con el ´ alabe. Dado que necesitamos encontrar la fuerza que act´ ua sobre el a´labe deberemos plantear la ecuaci´ on de la cantidad de movimiento a un volumen de control que incluya el ´alabe. En este problema hay que ser cuidadoso en la elecci´on del VC. Nosotros vamos a seleccionar un VC que se mueva con el ´ alabe a velocidad constante. N´otese que la ley de newton (de donde se deriva la ecuaci´on de cantidad de movimiento ) es valida para sistemas en reposo o con movimiento rectil´ıneo uniforme (a estos dos sistemas se los conoce como inerciales) y por lo tanto es absolutamente valido seleccionar un VC que se mueve con movimiento rectil´ıneo y uniforme. En muchas ocasiones se tiende a tomar el VC desde la boquilla e incluyendo el a´labe. Esto no es valido porque como la boquilla esta fija y el a´labe se mueve un VC como ese se deformar´ıa continuamente lo que contradice la deducci´ on de la cantidad de movimiento donde el VC debe ser indeformable. Viendo el VC en perspectiva en la figura 3.16. La ecuaci´on de la cantidad de movimiento es: ˚ ‹ X ∂ ~ · d∀ + ~ · (V ~ · dA) ~ F~ext = ρ·V ρ·V ∂t VC

SC

Figura 3.16 Ecuaci´ on vectorial que se puede descomponer en tres ecuaciones escalares seg´ un los ejes X, Y , Z. A nosotros solo nos interesan las ecuaciones seg´ un X e Y , ya que seg´ un el eje Z no hay variaci´on de la cantidad de movimiento y por lo tanto no hay fuerzas actuando sobre el ´alabe en esa direcci´on.

CAP´ITULO 3. MOVIMIENTO DE FLUIDOS

96 Seg´ un el eje X: X

∂ F~extx = ∂t

˚

‹ ~x · d∀ + ρ·V

VC

Seg´ un el eje Y : X

∂ F~exty = ∂t

~x · (V ~ · dA) ~ ρ·V SC

˚

‹ ~y · d∀ + ρ·V

VC

~y · (V ~ · dA) ~ ρ·V SC

Como el caudal que sale por la boquilla y la velocidad del ´alabe son constantes, el movimiento es permanente o estacionario (en cada punto del VC δ/δt = 0 para cualquier variable del fluido) y por lo tanto el primer t´ermino del segundo miembro es nulo en ambas ecuaciones, con lo cual las anteriores quedan: Seg´ un el eje X: ‹ X ~x · (V ~ · dA) ~ F~ext = ρ·V x

SC

Seg´ un el eje Y :

‹ X

F~exty =

~y · (V ~ · dA) ~ ρ·V SC

Recordamos que las fuerzas exteriores pueden ser de tres tipos: Fuerzas superficiales: Fuerzas que act´ uan sobre las superficies de control, tal como la presi´on o las tensiones de corte. Debido a que consideramos despreciables las fuerzas de fricci´on las tensiones de corte ser´ an despreciables. En cuanto a la presi´ on si tenemos en cuenta que en todo el chorro las l´ıneas de corriente son rectas paralelas de acuerdo al teorema de flujo uniforme la distribuci´ on de presiones es hidrost´atica y si suponemos que g act´ ua normalmente al plano del papel la distribuci´ on de presiones es constante y como la descarga es a la atm´osfera la presi´on en todos los puntos es la atmosf´erica y por lo tanto se equilibra. N´otese que aunque g no actuase normalmente a la direcci´on del papel la incidencia en la distribuci´on de presiones es despreciable. De lo anterior resulta que la resultante de las fuerzas superficiales es nula. Fuerzas debidas a campos exteriores (gravedad): Dado que consideramos que la aceleraci´on de la gravedad act´ ua seg´ un Z no habr´a fuerzas de gravedad actuando seg´ un X e Y . Aun si as´ı no fuera en este problema las fuerzas debidas al peso del fluido son despreciables. Por lo tanto las fuerzas debidas a la gravedad son nulas. Fuerzas debidas a v´ınculos externos: El a´labe tiende a moverse en la misma direcci´on del chorro y a distinta velocidad que ´el por lo tanto debe haber reacciones seg´ un X e Y que la mantienen en dicha posici´ on. Llamaremos a dichas fuerzas Rx y Ry y son justamente las componentes que buscamos. Por lo tanto las ecuaciones anteriores las rescribimos: Seg´ un el eje X:

‹ ~ · dA) ~ ρ · Vx · (V

Rx = SC

Seg´ un el eje Y :

‹ ~ · dA) ~ ρ · Vy · (V

Ry = SC

Donde hemos supuesto que Rx y Ry son positivas (seg´ un los ejes X e Y ). De no ser as´ı el resultado dar´ a con signo negativo. Nos queda evaluar ahora las integrales cerradas sobre la superficie de control. Si observamos el volumen de control s´olo hay transferencia de masa a trav´es de las superficies de control A y B, por lo tanto sobre toda la envoltura lateral no habr´ a transferencia de masa ni de cantidad de movimiento lo cual nos permite rescribir las anteriores:

3.5. ECUACIONES DEL MOVIMIENTO DE LOS FLUIDOS Seg´ un el eje X:

¨

¨

Rx = −

ρ · VxA

~ · dA) ~ + · (V

A

Seg´ un el eje Y :

~ · dA) ~ ρ · VxB · (V B

¨ Ry = −

97

¨ ρ · VyA

~ · dA) ~ + · (V

A

~ · dA) ~ ρ · VyB · (V B

~ · dA) ~ y su producto por el signo Donde el signo se obtiene evaluando el signo del producto escalar (V de la proyecci´on de la velocidad. Como en este caso todas las proyecciones son positivas el producto coincide con el producto escalar. Si alguna de las proyecciones de la velocidad hubiere sido negativa hubiese cambiado el signo del t´ermino respecto al producto escalar. Esto se debe a que estamos evaluando el producto de un escalar (el caudal) por un vector (la velocidad). Si analizamos las variables dentro de cada integral vemos que ρ es constante porque el fluido es incompresible y la velocidad y sus componentes son constantes tambi´en en toda la secci´ on con lo cual la anterior se puede rescribir: Seg´ un el eje X: ¨ ¨ ~ · dA) ~ +ρ·V ~x · ~ · dA) ~ ~x · Rx = −ρ · V (V (V (3.16) A

B

A

Seg´ un el eje Y :

B

¨ ~y · Ry = −ρ · V A

¨ ~ · dA) ~ +ρ·V ~y · (V B

A

~ · dA) ~ (V

(3.17)

B

Si aplicamos la ecuaci´ on de continuidad al VC. ‹

~ · dA ~= ∂ ρ·V ∂t

SC

˚ ρ · d∀ VC

Como el r´egimen es permanente ∂/∂t = 0 y s´olo hay flujo m´asico a trav´es de A y B, por lo tanto: ¨ ¨ ~ · dA ~=0 ~ · dA ~+ρ· V V −ρ · B

A

¨

¨

~ · dA ~=Q V

~ · dA ~ =ρ· V

ρ· A

B

Reemplazando en las ecuaciones (3.16) y (3.17): Seg´ un el eje X: ~x · Q + ρ · V ~x · Q Rx = −ρ · V A B

(3.18)

Seg´ un el eje Y : ~y · Q + ρ · V ~y · Q Ry = −ρ · V A B

(3.19)

Aqu´ı se debe ser muy cuidadoso con los valores de velocidad y del caudal. De acuerdo a la ecuaci´on del movimiento relativo de Galileo: ~abs = V ~rel + V ~arr V Donde. ~abs : Es la velocidad absoluta para un observador en una terna fija. V ~rel : Es la velocidad para un observador que se mueve con el volumen de control. V ~arr : Es la velocidad con que se mueve el volumen de control. V

N´ otese que esta es una ecuaci´ on vectorial.

CAP´ITULO 3. MOVIMIENTO DE FLUIDOS

98

Como el VC se mueve con una velocidad de arrastre y nosotros estamos planteando las ecuaciones desde este VC las velocidades que se deben considerar son las velocidades relativas. Si el volumen de control estuviese fijo entonces en las ecuaciones se deber´ıan considerar las velocidades absolutas. En la secci´ on A entonces las velocidades resultar´an: ~arr = V ~´alabe = 5 m ~abs = V ~CH = 30 m ; V V A s s Con lo cual. ~rel = V ~abs − V ~arr = V ~CH − V ~´alabe V A A A Como las velocidades son colineales la resta vectorial se transforma en una resta escalar: ~rel = 30 m − 5 m = 25 m = V ~abs V A A s s s ~y = 0 V A Dado que la secci´on del chorro se mantiene constante al viajar por el ´alabe y puesto que hemos considerado despreciable a la fricci´ on: ~rel = V ~rel = 25 m V A B s Descomponiendo seg´ un el ´ angulo del ´ alabe: ~x = V ~x · cos θ = 25 m · cos 60◦ V B A s ~y = V ~x · sen θ = 25 m · sen 60◦ V B A s Reemplazando en las ecuaciones (3.18) y (3.19). Seg´ un el eje X: Rx = −ρ · VxA · Q + ρ · VxA · Q · cos θ Seg´ un el eje Y : Ry = −ρ · VyA · Q + ρ · VyA · Q · sen θ En cuanto al caudal puede calcularse para la secci´on A recordando: 3

´ A = 25 m · 3000 × 10−6 m2 = 0,075 m Q = VA · Area s s

N´otese que no todo el caudal que sale de la boquilla ingresa al VC, dado que al irse alejando el a´labe de la boquilla parte de la masa queda en el camino. Seg´ un el eje X: Rx = −ρ · VxA · Q · (cos θ − 1) = 1000

m3 kg m ◦ 3 · 25 s · 0,075 s · (cos 60 − 1) m

Seg´ un el eje Y : Ry = −ρ · VyA · Q · sen θ = 1000

kg m m3 · 25 · 0,075 · sen 60◦ s s m3

Rx = −937,5 N Ry = 1623,8 N N´otese que Rx y Ry son las fuerzas que equilibran al VC. El signo negativo en el resultado de Rx indica que esta es opuesta a la direcci´on del eje X, en tanto el signo positivo en Ry indica que esta tiene el sentido de Y . En general cuando el problema involucra un chorro libre (no confinado por l´ımites s´olidos) la distribuci´on de presiones es la del medio que lo rodea (generalmente atmosf´erica) y por lo tanto la resultante neta de las fuerzas de presi´ on es nula.

3.5. ECUACIONES DEL MOVIMIENTO DE LOS FLUIDOS

99

Cuando el chorro est´ a confinado las presiones generalmente no se anulan entre s´ı. Esto se ver´a m´as claramente en el siguiente ejemplo.

Ejemplo 3.5

ju nt a

En un codo horizontal de una ca˜ ner´ıa el ´ area de la secci´on transversal se reduce a A1 a A2 . Encontrar las fuerzas que act´ uan sobre las juntas cuando se descarga un caudal Q con una presi´on p1 en la secci´ on 1 de la figura 3.17, en tanto la presi´on en la secci´on 2 es p2 .

junta vo

n de co lu m e n

tro l

2

Figura 3.17 En la ca˜ ner´ıa (codo) mostrada se producen dos fen´omenos f´ısicos: Hay una variaci´ on de direcci´ on de la masa de agua, lo que implica una variaci´on de la cantidad de movimiento. Hay un aumento de la velocidad en la salida del codo, la que tambi´en implica una variaci´on de cantidad de movimiento y adicionalmente una transformaci´on de energ´ıa cin´etica en energ´ıa de presi´ on. No podemos encontrar esfuerzos sobre cada junta sino la resultante de dichos esfuerzos sobre ambas. Obviamente deberemos recurrir a la ecuaci´on de cantidad de movimiento. ˚ ‹ X ∂ ~ ~ · (V ~ · dA) ~ ~ ρ · V · d∀ + ρ·V Fext = ∂t VC

SC

Esta ecuaci´on vectorial se descompondr´a seg´ un los tres ejes coordenados. En nuestro caso por ser el problema en dos dimensiones s´ olo interesan las componentes en X y en Y . Adem´ as por ser el flujo estacionario ∂/∂t = 0. Por simplicidad consideramos que el codo est´a en un plano horizontal con lo cual el peso estar´a actuando sobre el eje Z normal al plano. Las fuerzas que act´ uan sobre la superficie de control las analizaremos como siempre:

CAP´ITULO 3. MOVIMIENTO DE FLUIDOS

100

Fuerzas superficiales: Si consideramos despreciable el rozamiento entre el l´ıquido y la superficie lateral del codo, las u ´nicas fuerzas superficiales a considerar ser´an las presiones sobre las superficies de control. Debido a la simetr´ıa de revoluci´on las presiones se equilibran alrededor de la superficie lateral. Fuerzas debidas a campos externos (gravedad): Como la gravedad act´ ua seg´ un Z, en el plano X, Y no hay fuerzas de este tipo. Fuerzas de v´ınculos externos: Son las fuerzas de reacci´on que act´ uan sobre las juntas y que llamaremos R. Por lo tanto procediendo a descomponer la ecuaci´on de cantidad de movimiento sobre los ejes X e Y resulta: Seg´ un el eje X: ‹ ~ · dA) ~ Rx + p1 · A1 − p2 · A2 · cos θ = ρ · Vx · (V SC

Seg´ un el eje Y :

¨ ~ · dA) ~ ρ · Vy · (V

Ry − p2 · A2 · sen θ = SC

Como se puede visualizar hemos tomado en forma arbitraria, las resultantes como positivas. El resultado entonces nos dir´ a si lo son o no. Con respecto a las fuerzas debidas a la presi´on debemos recordar que la presi´on es siempre un esfuerzo de compresi´on, por lo cual se debe considerar la direcci´on de las mismas sobre los ejes teniendo en cuenta que dichas presiones comprimen al volumen de control. Para resolver las integrales planteadas recordemos que no hay flujo m´asico sobre la superficie lateral ~ son ortogonales) y por lo tanto la integral sobre dicha superficie resulta nula. Entonces dichas ~ y dA (V integrales se reducen a la integral sobre las tapas. Secciones 1 y 2 (figura 3.17). Dado que la densidad es constante ρ puede salir fuera de la integral, con respecto a las velocidades y sus componentes como vamos a operar con las velocidades medias las mismas son constantes y pueden salir fuera de la integral. En lo que respecta a los signos de la integral se debe advertir lo siguiente: La ~ · dA ~ = dQ) por un vector (velocidad), por lo tanto se integral surge de un producto de un escalar (V tiene que evaluar el signo del producto escalar de acuerdo a la convenci´ on establecida y la proyecci´ on del vector velocidad con respecto a los ejes en la direcci´on propuesta. Luego: Seg´ un el eje X: Rx + p1 · A1 − p2 · A2 · cos θ = −ρ · Vx1 · Q + ρ · Vx2 · Q Seg´ un el eje Y : Ry − p2 · A2 · sen θ = ρ · Vy2 · Q Siendo: Vx1 = V1 =

Q A1

Q · cos θ A2 Q = V2 · sen θ = · sen θ A2

Vx2 = V2 · cos θ = Vy2 Reemplazando: Seg´ un el eje X:

Rx + p1 · A1 − p2 · A2 · cos θ = −ρ ·

Q2 Q2 +ρ· · cos θ A1 A2

Seg´ un el eje Y : Ry − p2 · A2 · sen θ = ρ ·

Q2 · sen θ A2

3.5. ECUACIONES DEL MOVIMIENTO DE LOS FLUIDOS

101

De donde podemos despejar Rx y Ry resultando:   cos θ 1 2 Rx = ρ · Q · − − p1 · A1 + p2 · A2 · cos θ A2 A1 Ry = ρ · Q2 · sen θ + p2 · A2 · sen θ

3.5.2.2 Ecuaci´ on del momento de la cantidad de movimiento o momento cin´ etico La ecuaci´ on del momento de la cantidad de movimiento es una consecuencia de la anterior y no una ecuaci´on independiente m´as. Es decir que cuando se plantea un problema de movimiento de fluidos se usa ´esta o la anterior y no las dos al mismo tiempo, pues est´an linealmente relacionadas. La ecuaci´ on de cantidad de movimiento es particularmente u ´til cuando se aplican pares torsores sobre el volumen de control y el movimiento del fluido es eminentemente circular. Sea el volumen de control mostrado en la figura y sea r el radio vector de una part´ıcula cualquiera perteneciente al volumen de control (figura 3.18).

rri de co a e n í L

e n te

Figura 3.18 Si multiplicamos vectorialmente por ~r la ecuaci´on de cantidad de movimiento 3.15 tendremos: X

∂ ~r × F~ext = ∂t

˚

‹ ~ · d∀) + ~r × (ρ · V

VC

~ · (ρ · V ~ · dA) ~ ~r × V SC

Donde el signo × implica un producto vectorial. Y como: X X ~ ext ~r × F~ext = M

CAP´ITULO 3. MOVIMIENTO DE FLUIDOS

102 Podemos reescribir: X

~ ext = ∂ M ∂t

˚

‹ ~ ) · d∀ + ρ · (~r × V

VC

~ ) · (V ~ · dA) ~ ρ · (~r × V

(3.20)

SC

Donde: P ~ ∂ ˝ ~ ) · d∀: Variaci´on Mext : Sumatoria de todos los momentos que act´ uan sobre el VC. ρ · (~r × V ∂t VC con ‚ respecto al tiempo de momento cin´etico en el VC. ~ ) · (V ~ · dA): ~ Caudal neto de momento cin´etico a trav´es de la superficie de control. ρ · (~r × V SC

Recordemos que de acuerdo a la f´ısica si sobre un cuerpo act´ ua un sistema de pares en equilibrio, el cuerpo contin´ ua en reposo o bien con movimiento circular uniforme. Por lo tanto siendo la ecuaci´on encontrada una ecuaci´on de equilibrio entre pares aplicados y momentos de cantidad de movimiento, la misma ser´a aplicada a vol´ umenes de control en reposo o bien con movimiento circular uniforme.

Ejemplo 3.6 Por el aparato de la figura 3.19 circulan 50 l/min y carece de rozamiento. Determinar el n´ umero de revoluciones por minuto a que gira si el di´ametro de la boquilla es de 6 mm.

Planta Volumen de control

Vista R = 20cm

Volumen de control

Figura 3.19

El aparato mostrado es un t´ıpico regador de jard´ın. Cuando el agua comienza a fluir por el eje de rotaci´on el regador comienza a girar hasta adquirir una cierta velocidad de rotaci´on. Una vez alcanzada la misma, esta se mantiene mientras no se modifique el caudal. Es decir que se produce en el regador un movimiento circular uniforme. Obs´ervese que el u ´ nico par externo es el correspondiente a las fuerzas de rozamiento (ya que no hay ning´ un “motor” que lo impulse). Como nos dicen que carece de rozamiento no hay pares externos aplicados.

3.5. ECUACIONES DEL MOVIMIENTO DE LOS FLUIDOS

103

Adoptando un volumen de control que incluye a todo el aparato, como se muestra en la figura 3.19, dado que dicho volumen est´a girando con movimiento circular uniforme, le podremos aplicar la ecuaci´on del momento cin´etico ecuaci´ on (3.20): Por ser el flujo estacionario ∂/∂t = 0. P ~ Como no se entrega ni transmite energ´ıa: Mext = 0. Y por lo tanto: ‹ ~ ) · (V ~ · dA) ~ =0 ρ · (~r × V SC

Esta ecuaci´ on es de tipo vectorial y por lo tanto se puede descomponer en tres ecuaciones escalares seg´ un los ejes coordenados. Nosotros s´olo estamos interesados en la ecuaci´on seg´ un el eje Z, que es el eje seg´ un el cual gira el aparato. Adem´as por simplicidad tomaremos como centro de momentos el punto donde el eje interseca al plano del regador. Obviamente esta integral es nula sobre las superficies de control sobre las cuales no hay transferencia de masa, que son las superficies laterales que coinciden con las paredes s´olidas (el vector velocidad y el vector dA son normales y por lo tanto el producto escalar es nulo). Es decir que la integral anterior s´olo debe ser evaluada sobre las superficies 1, 2 y 3. Pero la velocidad en la secci´on 3 es paralela al eje Z y por lo tanto no da momento sobre el eje Z. Finalmente adoptaremos como radio los 20 cm mostrados y despreciaremos la peque˜ na diferencia que se produce por la inclinaci´ on de las boquillas de salida. Finalmente podremos escribir: ¨ ¨ ~ ~ ~ · dA) ~ =0 ρ· R · Vt1 · (V · dA) + ρ · R · Vt2 · (V SC1

SC2

Donde Vt1 y Vt2 son las velocidades tangenciales absolutas en las secciones 1 y 2 y son las u ´ nicas componentes de la velocidad que pueden producir momento cin´etico, porque las radiales forman un ´angulo nulo con el radio R y por lo tanto el producto vectorial es 0. Como Vt1 y Vt2 son constantes (porque la velocidad de giro es constante) pueden extraerse de la integral y por lo tanto: Vt1 · Q1 + Vt2 · Q2 = 0 Donde Q1 y Q2 son los caudales volum´etricos en las secciones 1 y 2. Como Q1 y Q2 son iguales a Q/2 y distintos de cero, lo anterior para cumplirse requiere que: Vt1 = Vt2 = 0 Siendo, de acuerdo al principio de Galileo: ~abs = V ~rel + V ~arr V La velocidad tangencial relativa (Vtr1 y Vtr2 en la figura), es la velocidad que ver´ıa un observador parado sobre la boquilla, en tanto que la velocidad de arrastre es la velocidad tangencial del aparato. Para calcular la velocidad tangencial relativa podemos aplicar la ecuaci´on de continuidad al volumen de control seleccionado: ‹ ˚ ~ · dA ~=−∂ ρ·V ρ · d∀ ∂t SC

VC

Como el movimiento del fluido en el regador es estacionario, s´ olo fluye caudal a trav´es de las secciones 1, 2 y 3 y el fluido es incompresible lo anterior se puede escribir: ¨ ¨ ¨ ~ · dA ~+ ~ · dA ~− ~ · dA ~=0 V V V SC1

SC2

SC3

La integral sobre la secci´on 3 es dato y como el caudal por la condici´ on de simetr´ıa se reparte en partes siguales: 2Vrel · Ab = Q

CAP´ITULO 3. MOVIMIENTO DE FLUIDOS

104

Donde Vrel es la velocidad relativa y Ab es el ´area de la boquilla. Despejando: Vrel =

Q 2Ab

Esta velocidad relativa tiene la misma direcci´on que la boquilla (a 45◦ ) y por lo tanto la velocidad relativa tangencial ser´ a: Vtr = Vrel · sen 45◦ Entonces por el principio de Galileo citado: 2π · f · R 60 Q 2π · f · R · sen 45◦ − 0= 2 60 D 2π · b 4

Vt = 0 = Vrel · sen 45◦ −

Donde: f : frecuencia (RPM). Db : di´ ametro de la boquilla.

Y finalmente: −3

50×10 Q m3 /s 60 · sen 45◦ 60 · sen 45◦ 60 = · − 2 2π · r 2π · 0,2 m Db (0,006 m)2 2π · 2π 4 4 f = 497,53 RPM

f=

3.5.3 Ecuaci´ on de la energ´ıa De acuerdo al primer principio de la termodin´amica para un sistema: Qc − W = ∆E Donde: Qc : calor intercambiado por el sistema con el medio. W : trabajo intercambiado por el sistema con el medio. ∆E: variaci´ on de energ´ıa del sistema.

Que nos dice que el calor suministrado al sistema menos el trabajo realizado por el sistema es igual a la variaci´ on de energ´ıa total del sistema. Refiri´endonos a la figura 3.20 donde se muestra un sistema al que se le aporta calor y el cual entrega un trabajo. Qc − W = E(t + ∆t) − E(t) Donde: E(t + ∆t): Energ´ıa del sistema en el instante t + ∆t. E(t): Energ´ıa del sistema en el instante t

3.5. ECUACIONES DEL MOVIMIENTO DE LOS FLUIDOS

105

Figura 3.20 Que referidos a los espacios A, B y C se puede reescribir: E(t + ∆t) − E(t) = EA (t + ∆t) − EC (t + ∆t) + EB (t + ∆t) − EA (t) Y refiriendo toda la expresi´ on a la unidad de tiempo resulta. l´ım

∆t→0

EA (t + ∆t) − EA (t) EB (t + ∆t) EC (t + ∆t) QC − W = l´ım + l´ım − l´ım ∆t→0 ∆t→0 ∆t→0 ∆t ∆t ∆t ∆t

Donde: QC = Q˙ ∆t W ˙ l´ım =W ∆t→0 ∆t l´ım

∆t→0

(3.21) (3.22)

Si adem´as definimos la energ´ıa espec´ıfica (que no debe confundirse con la energ´ıa espec´ıfica en la secci´on de un canal que se ver´a en el cap´ıtulo 9 como la energ´ıa total por unidad de masa e = E/m podremos escribir: ˚ e · ρ · d∀

E=

(3.23)

VC

Y por lo tanto: ˚ ∂E ∂ EA (t + ∆t) − EA (t) = = e · ρ · d∀ ∆t→0 ∆t ∂t ∂t VC ¨ EB (t + ∆t) ~ · dA) ~ l´ım = e · ρ · (V ∆t→0 ∆t SCI-IV-II ¨ EC (t + ∆t) ~ · dA) ~ l´ım = e · ρ · (V ∆t→0 ∆t l´ım

SCI-III-II

(3.24)

(3.25)

CAP´ITULO 3. MOVIMIENTO DE FLUIDOS

106

La ecuaci´ on (3.21) es la potencia calor´ıfica entregada al sistema. La ecuaci´ on (3.22) es la potencia entregada por el sistema. La ecuaci´ on (3.23) es la variaci´ on de energ´ıa total dentro del volumen de control. La ecuaci´ on (3.24) es el caudal de energ´ıa saliente a trav´es de la superficie de control. La ecuaci´ on (3.25) es el caudal de energ´ıa entrante a trav´es de la superficie de control. Si se desprecian la energ´ıa el´ectrica, magn´etica, nuclear, qu´ımica y de tensi´on superficial la energ´ıa total de un sistema fluido se compone de la suma de las siguientes energ´ıas: U : energ´ıa interna. (1/2)m · V 2 : energ´ıa cin´etica. m · g · z: energ´ıa potencial. Por lo tanto:

U 1 + V2+g·z m 2 Donde U/m = u es la energ´ıa interna por unidad de masa. Y entonces la ecuaci´ on de la energ´ıa la podemos reescribir como:  ˚ ‹  ∂ 1 2 ˙ ˙ ~ · dA) ~ Q−W = e · ρ · d∀ + u + V + g · z · ρ · (V ∂t 2 e=

VC

SC

La energ´ıa interna del fluido est´a asociada al nivel de energ´ıa de las mol´eculas, por lo tanto, mientras no se produzca cambio de fase, la energ´ıa interna es solo funci´on de la temperatura del fluido. Cuando se produce un cambio de fase (por ejemplo el fluido pasa de l´ıquido a vapor) lo hace a temperatura constante, pero la energ´ıa interna aumenta. Esto se debe a que la energ´ıa de la mol´ecula est´ a asociada a las fuerzas de atracci´ on molecular y al estado de vibraci´on de las mol´eculas. Como vimos al tratar la temperatura en el cap´ıtulo 1, ´esta es la manifestaci´ on macrosc´opica del estado de vibraci´on de las mol´eculas y por lo tanto a medida que aumenta la misma aumenta el estado vibratorio y por lo tanto tambi´en lo har´a la energ´ıa interna. Cuando se produce un cambio de fase de l´ıquido a vapor las fuerzas de atracci´on molecular disminuyen y la energ´ıa liberada por las mismas queda disponible en forma de energ´ıa interna liberada. Este proceso puede verse claramente en el caso del agua. Supongamos que colocamos agua en un recipiente abierto y que la temperatura del agua sea de 15 ◦C. Si la calentamos en una hornalla veremos que en un tiempo determinado el agua alcanza los 100 ◦C, en tanto que requeriremos un tiempo mucho mayor (aproximadamente 4 o 5 veces mayor) para evaporarla. Tambi´en podremos observar que mientras se produce la evaporaci´on la temperatura del agua contenida en el recipiente se mantiene constante (100 ◦C) la energ´ıa t´ermica entregada produce un aumento de la energ´ıa interna, que hasta que se produce la ebullici´on (100 ◦C) es proporcional al aumento de temperatura, en tanto que cuando se produce la ebullici´on es proporcional a la cantidad de masa que pasa de l´ıquido a vapor. Como la energ´ıa interna est´ a asociada a la temperatura absoluta, la energ´ıa interna en la pr´ actica nunca es 0, siempre tendr´a un valor definido. Si no hay cambio de fase o de temperatura entre dos instantes determinados la variaci´ on de energ´ıa interna entre dichos instantes ser´a nula. En el t´ermino de potencia se haya involucrada la potencia entregada por el sistema, la potencia producida por las fuerzas de presi´on y la potencia producida por las fuerzas de corte que act´ uan sobre la superficie de control. En efecto siendo la potencia en cada punto sobre la superficie de control (figura 3.21): ˙ = dF~ · V ~ dW La tensi´on resultante sobre la superficie de control se puede descomponer en una tensi´on normal y una tensi´on de corte. La tensi´on normal es producida por la presi´ on. Cuando la velocidad es normal a la

3.5. ECUACIONES DEL MOVIMIENTO DE LOS FLUIDOS

107

Superficie de control

Figura 3.21

superficie de control (como ocurre en los flujos unidimensionales), el flujo de trabajo de las fuerzas de corte es nulo porque la fuerza debida a las tensiones de corte son normales y act´ uan en una cara perpendicular a la superficie de control. En este caso s´ olo existir´ a potencia debida a las fuerzas de presi´on. Dicha potencia ser´a entonces: ~ ~ ˙ = l´ım dFn · ∆~s = dF~n · d~s = dF~n · V dW ∆t→0 ∆t dt Donde s es la trayectoria de la part´ıcula y por lo tanto de la fuerza sobre ella. La fuerza debida a la presi´ on en cada punto sobre la superficie de control (figura 3.21) vale: ~ dF~n = p · dA Y por lo tanto la potencia debida a la presi´on en cada punto valdr´a: ˙ presi´on = p · V ~ · dA ~ dW Y finalmente sobre toda la superficie de control la potencia que realizan las fuerzas de presi´on valen: ‹ ˙ ~ · dA ~ Wpresi´on = p·V SC

Es decir que la presi´ on que produce el resto del fluido sobre el volumen de control se comporta como pistones ficticios que producen o reciben trabajo. Por lo tanto: ˙ =W ˙ eje + W ˙ presi´on W ˙ eje es la potencia entregada o recibida por el volumen de control a trav´es de un eje. En el caso Donde W de los fluidos esta potencia est´ a relacionada con la presencia de una turbom´ aquina (turbina, bomba, compresor, ventilador). Adoptamos la convenci´on que cuando la potencia es generada por la circulaci´on del fluido (turbina), la potencia es positiva, cuando la potencia es absorvida por el fluido (bomba, ventilador) la potencia es negativa. Teniendo en cuenta lo anterior la ecuaci´ on de energ´ıa la podemos reescribir como: ˙ eje = ∂ Q˙ − W ∂t

˚ VC

 ‹  1 2 p ~ · dA) ~ e · ρ · d∀ + u+ V +g·z+ · ρ · (V 2 ρ

(3.26)

SC

Que constituye la expresi´ on de la ecuaci´on de la energ´ıa aplicada a un volumen de control, y que se puede leer: La potencia calor´ıfica entregada a un volumen de control menos la potencia entregada por ´este es igual a la variaci´on de energ´ıa espec´ıfica con respecto al tiempo en el volumen de control m´as el caudal neto de la suma de energ´ıa interna, energ´ıa cin´etica, energ´ıa potencial y energ´ıa de presi´on, a trav´es de la superficie de control.

CAP´ITULO 3. MOVIMIENTO DE FLUIDOS

108

Como puede observarse en esta expresi´ on la presi´on se puede considerar como una energ´ıa m´as del fluido, lo cual se puede visualizar si se tiene en cuenta que sus unidades son las de una energ´ıa por unidad de volumen. Para los gases perfectos se define la entalp´ıa como: p i=u+ ρ Con lo cual para los gases perfectos se puede escribir la ecuaci´on anterior:  ˚ ‹  1 ˙ eje = ∂ ~ · dA) ~ Q˙ − W e · ρ · d∀ + i + V 2 + g · z · ρ · (V ∂t 2 VC

(3.27)

SC

Supongamos un tubo de corriente tal como se muestra en la figura 3.22 y admitamos que no varia la temperatura a lo largo del mismo. Aclaramos que definimos como tubo de corriente a un tubo cuyas generatrices son l´ıneas de corriente. Admitamos que el flujo en el mismo es permanente o estacionario. Tambi´en admitiremos que no hay intercambio de calor y que el fluido es incompresible. Bajo estas hip´otesis aplicaremos la ecuaci´on (3.26). Obviamente el volumen de control que consideramos es el tubo de corriente.  ‹  1 2 p ~ · dA) ~ =0 u+ V +g·z+ · (V 2 ρ SC

Figura 3.22 Debido a que no hay intercambio de calor, no hay eje a trav´es del cual se entregue o reciba trabajo, y el fluido es permanente e incompresible, la ecuaci´on (3.26) se reduce a:   ¨  ¨  1 2 p 1 2 p ~ ~ ~ · dA) ~ =0 − u+ V +g·z+ · (V · dA) + u+ V +g·z+ · (V 2 ρ 2 ρ 1

2

Si admitimos que las variaciones de velocidad, energ´ıa interna, altura y presi´ on son despreciables en cada secci´ on transversal individual.   ¨   ¨ 1 2 p1 1 2 p2 ~ ~ ~ · dA ~ u1 + V1 + g · z1 + · V · dA = u2 + V2 + g · z2 + · V 2 ρ 2 ρ 1

Y por continuidad:

¨

2

¨ ~ · dA ~= V

1

~ · dA ~=Q V 2

3.5. ECUACIONES DEL MOVIMIENTO DE LOS FLUIDOS

109

Como el flujo es uniforme: 1 p1 1 p2 u1 + V12 + g · z1 + = u2 + V22 + g · z2 + 2 ρ 2 ρ Como admitimos que la temperatura no var´ıa entre la secci´on 1 y 2 la energ´ıa interna ser´a la misma en ambas secciones, por lo tanto: 1 2 p1 1 p2 V1 + g · z1 + = V22 + g · z2 + 2 ρ 2 ρ Dividiendo por la aceleraci´ on de la gravedad y reagrupando: p1 V2 p2 V2 + 1 + z1 = + 2 + z2 γ 2g g 2g Como las secciones 1 y 2 fueron elegidas en forma arbitraria podemos reescribir: p V2 + + z = cte γ 2g Que constituye la ecuaci´ on de Bernoulli para flujos incompresibles. Una deducci´ on m´ as rigurosa de este ecuaci´on se ver´a en el cap´ıtulo 5. Obs´ervese que haber admitido que la temperatura no var´ıa entre la secci´on 1 y 2 significa haber despreciado las fuerzas de rozamiento (tensiones de corte) del tubo de corriente con respecto al resto del fluido. En el cap´ıtulo 5 se ver´a que cuando en un fluido donde no se intercambia calor ni trabajo y el rozamiento se pueda considerar despreciable la ecuaci´on anterior se puede aplicar entre dos puntos cualquiera aun que no se pueda definir un tubo de corriente.

Ejemplo 3.7 Dado que DA = 15 cm, DB = 7,5 cm y el agua fluye con un caudal de 34 l/s, encontrar la magnitud de la deflexi´ on del man´ ometro de mercurio (ρr = 13, 6) mostrado en la figura 3.23. En todos los problemas debemos asegurarnos de entender el esquema y el enunciado del mismo. En este caso se trata de una ca˜ ner´ıa con una ampliaci´on de la misma. ¿Qu´e ocurrir´ıa con la deflexi´on del man´ometro si no circulase caudal? Obviamente no se producir´ıa deflexi´on del man´ometro porque para un fluido est´ atico las l´ıneas de nivel de presi´on son normales a la aceleraci´on de la gravedad. Entonces surge una segunda pregunta. ¿Por qu´e al circular agua por la ca˜ ner´ıa el man´ ometro deflecta, indicando una diferencia de presi´ on? Si nos fijamos en la conversi´on de energ´ıa entre la secci´on A y la secci´on B, notaremos que debido a la mayor secci´on en A con respecto a B la velocidad en B es mayor que la velocidad en A y por lo tanto la energ´ıa cin´etica en B es mayor que la energ´ıa cin´etica en A. Como de acuerdo al primer principio de la termodin´amica la energ´ıa se debe mantener constante, dado que no hay transferencia de energ´ıa con el medio la u ´ nica posibilidad de variaci´on es la de alguna forma de energ´ıa del propio fluido. Si establecemos que la p´erdida por rozamiento es despreciable, no existir´a variaci´on de temperatura (el rozamiento da lugar a un aumento de la temperatura) o sea que la energ´ıa interna no debe variar; por lo tanto solo nos queda analizar la energ´ıa potencial y la presi´on. La energ´ıa potencial no puede variar porque es funci´ on de la posici´ on (la cual es absoluta en este caso). Por lo tanto debe variar en A la presi´on con respecto al caso en que el fluido no se mueva. Como en A la energ´ıa cin´etica disminuy´ o, la presi´on debe haber aumentado respecto al caso est´atico. Esto es lo que refleja la deflexi´on del man´ ometro. Por lo tanto debemos plantear una ecuaci´on que refleje estos cambios de energ´ıa. Hay dos posibles soluciones para este problema, una es aplicando la ecuaci´on de la energ´ıa y la otra es aplicando la ecuaci´ on de Bernoulli. Veremos ambas resoluciones.

CAP´ITULO 3. MOVIMIENTO DE FLUIDOS

110

Figura 3.23

Para definir el volumen de control debemos asegurarnos que el mismo incluya los lugares donde la transferencia de energ´ıa est´a teniendo lugar, es decir la ampliaci´ on de la ca˜ ner´ıa. En la figura 3.24 hemos dibujado el volumen de control, vi´endolo en proyecci´on. Ahora escribimos la ecuaci´ on de la energ´ıa: ˙ eje = ∂ Q˙ − W ∂t

˚

‹  e · ρ · d∀ +

VC

1 p u+ V2+g·z+ 2 ρ



~ · dA) ~ · ρ · (V

SC

Analizamos cada t´ermino: ˙ Calor transferido con el exterior a trav´es del VC, es igual a 0 porque no existe ninguna fuente de Q: calor. ˙ eje : Potencia transferida con el exterior a trav´es del VC, mediante un eje, es igual a cero. W ∂ ˝ ρ·e·dV : Variaci´on temporal de la energ´ıa dentro del VC. Como el caudal no var´ıa el movimiento ∂t VC es permanente o estacionario  y por lo tanto: ∂/∂t = 0. ‚  p 1 2 ~ · dA): ~ Energ´ıa neta que atraviesa la superficie de control. u + 2 V + g · z + ρ · ρ · (V SC Como a trav´es de la superficie de control no hay flujo de materia, no puede haber flujo de energ´ıa y por lo tanto la integral es nula. Es decir que solo hay flujo de energ´ıa a trav´es de las superficies A y B. Por lo tanto la ecuaci´ on queda:   ¨  ¨  1 2 p 1 2 p ~ ~ ~ · dA) ~ − u+ V +g·z+ · ρ · (V · dA) + u+ V +g·z+ · ρ · (V 2 ρ 2 ρ B

A

Donde el signo de las integrales viene dado por la convenci´on del producto escalar. A continuaci´ on analizaremos como se comportan las variables en la secci´on B: La presi´ on es constante en toda la secci´on valdr´a: pB . La energ´ıa interna es constante en toda la secci´on y valdr´a: uB .

3.5. ECUACIONES DEL MOVIMIENTO DE LOS FLUIDOS

111

Figura 3.24 La velocidad la consideramos constante e igual a la velocidad media en la secci´on: VB . El nivel es el mismo en toda la secci´ on y vale: zB . Es decir que lo que est´ a entre par´entesis es una suma de constantes y por lo tanto es una constante, que puede ser extra´ıda de la integral. Este mismo an´ alisis es aplicable a la secci´on A. Teniendo en cuenta que tambi´en ρ es constante (incompresible), la ecuaci´on de la energ´ıa queda:   ¨ pB V2 ~ · dA)+ ~ − + uB + B + g · zB · ρ · (V ρ 2 B   ¨ VA2 pA ~ · dA) ~ =0 + + uA + + g · zA · ρ · (V ρ 2 B

(3.28) Si aplicamos la ecuaci´ on de continuidad al VC. ‹ ˚ ∂ ~ ~ ρ · V · dA = − ρ · d∀ ∂t SC

VC

Nuevamente por tratarse de flujo estacionario: ∂/∂t = 0. ρ: Es constante (incompresible). ‚ ~ · dA: ~ Es nula sobre las caras laterales y s´olo tiene valor sobre las secciones A y B. ρ·V SC

Por lo tanto:

¨

¨ ~ · dA ~+ρ· V

−ρ · B

~ · dA ~=0 V A

¨

¨ ~ · dA ~= V B

~ · dA ~=Q V A

CAP´ITULO 3. MOVIMIENTO DE FLUIDOS

112

La cual es evidente porque el caudal volum´etrico es el mismo a trav´es de ambas secciones. Retornando a la ecuaci´ on (3.28):     pB 1 pA 1 + uB + VB2 + g · zB = + uA + VA2 + g · zA ρ 2 ρ 2 Si establecemos que no hay p´erdidas por fricci´on resulta que la energ´ıa interna no varia entre A y B, o sea: uA = uB Con lo cual podemos rescribir reagrupando:  2  VB − VA2 pA − pB = ρ · + ρ · g · (zB − zA ) 2

(3.29)

Obs´ervese que tambi´en podemos resolver el problema mediante la ecuaci´on de Bernaolli. En efecto, teniendo en cuenta que se trata de un fluido incompresible, estacionario, que no hay intercambio de calor ni trabajo, y que los esfuerzos de fricci´on pueden despreciarse, podemos aplicar la ecuaci´on citada entre dos puntos cualquiera sobre la superficie A y B para encontrar: pA V2 pB V2 + A + zA = + B + zB γ 2g γ 2g  2  VB − VA2 pA − pB = · ρ + ρ · g · (zB − zA ) 2 Id´entica a la ecuaci´ on (3.29). Las velocidades VB y VA son las velocidades medias de la secci´on, o sea: 4Q Q = 2 AA π · DA Q 4Q VB = = 2 AB π · DB VA =

(3.30) (3.31)

La diferencia de presiones entre A y B est´an relacionados con la deflexi´on del man´ometro mediante la ecuaci´ on de la hidrost´ atica. Aqu´ı el lector debe visualizar que no hay movimiento del fluido en la rama del man´ometro. En efecto cuando el fluido comience a circular se produce un movimiento en dicha rama pero luego de establecida una determinada deflexi´on (alcanzado el regimen permanente), ya no habr´a ning´ un movimiento en dicha rama. Recordar que nosotros estudiamos el fen´omeno estacionario no el transitorio. Entonces sobre la rama del man´ ometro (figura 3.23) podemos plantear: pA + ρ · g · (zA − zB ) + ρ · g · X + ρ · g · d = pB + ρ · g · X + ρHg · g · d Reagrupando: pA − pB = −ρ · g · (zA − zB ) − ρ · g · d + ρHg · g · d pA − pB = −ρ · g · (zA − zB ) − ρ · g · d + ρrHg · ρ · g · d pA − pB = −ρ · g · (zA − zB ) + ρ · g · d · (ρrHg − 1)

Igualando con ecuaci´ on (3.29): ρ·

VB2 − VA2 − ρ · g · (zA − zB ) = −ρ · g · (zA − zB ) + ρ · g · d · (ρrHg − 1) 2

Despejando d: d=

VB2 − VA2 2g · (ρrHg − 1)

3.5. ECUACIONES DEL MOVIMIENTO DE LOS FLUIDOS

113

Reemplazando por ecuaciones (3.30) y (3.31): Q2 16 · 2 · π d=

1 1 4 − D4 DB A

!

2g · (ρrHg − 1)

Reemplazando por los valores que surgen del enunciado (0,034 m3 /s)2 16 · · π2

1 1 − 4 (0,075 m) (0,15 m)4

!

d=

2 · 9,8 m/s2 · (13, 6 − 1) d = 0,224 m = 22,4 cm

Obs´ervese que la deflexi´on no est´a relacionada con la inclinaci´ on de la ca˜ ner´ıa pues se han simplificado los valores de diferencia de nivel. Tambi´en puede observarse que si medimos la deflexi´on podemos calcular el caudal que circula. Es decir que esta puede ser una forma de medir el caudal (ventur´ımetro).

Ejemplo 3.8 La potencia suministrada al fluido por la bomba de la figura 3.25 es de 10 CV. Para H = 20 m y p´erdidas en el sistema dadas por ∆H = 8V 2 /2g, determinar el caudal desaguado y la altura de impulsi´ on de la bomba Hp .

Figura 3.25 Mediante la bomba se entrega energ´ıa al fluido para transformarla en energ´ıa potencial y tambi´en para vencer las p´erdidas por fricci´ on. En este problema se produce una conversi´ on de energ´ıa del fluido que pasamos a analizar: El fluido gana energ´ıa potencial pues las part´ıculas de agua sobre la superficie en el dep´osito de la izquierda se elevan hasta la superficie de agua del tanque de la derecha. Debido al rozamiento en la ca˜ ner´ıa que transporta el agua desde un recipiente al otro se pierde energ´ıa (las que en el enunciado menciona como p´erdidas en el sistema y que son funci´on de la velocidad en la ca˜ ner´ıa por lo tanto tambi´en del caudal). Obviamente para poder aumentar la energ´ıa potencial del fluido y vencer las p´erdidas en el sistema debe haber una entrega de energ´ıa desde el exterior. Esta energ´ıa es aportada por la bomba intercalada entre uno y otro recipiente. Lo dicho podr´a verse claramente planteando la ecuaci´on de la energ´ıa a un VC que incluya a todos los elementos enunciados. Dicho VC se muestra en perspectiva (figura 3.26):

CAP´ITULO 3. MOVIMIENTO DE FLUIDOS

114

Figura 3.26 La ecuaci´ on de la energ´ıa es: ˙ eje = ∂ Q˙ − W ∂t

˚

‹  e · ρ · d∀ +

VC

1 p u+ V2+g·z+ 2 ρ



~ · dA) ~ · ρ · (V

SC

Donde: ˙ Potencia calor´ıfica transferida al fluido es igual a 0. No hay calor entregado o recibido por el fluido. Q: ˙ eje : Potencia transferida al fluido. La de la bomba que como es entregada es negativa. W Si bien no lo dice en el enunciado supondremos que la superficie de los tanques es suficientemente grande como para despreciar las variaciones de nivel en ellos. Esto sumado al hecho que la potencia de la bomba se mantiene constante permite suponer que el flujo es permanente por lo cual: ∂/∂t = 0. ˙ eje : Con estas simplificaciones y teniendo en cuenta el signo de W  ‹  1 p ˙ eje = ˙ W u+ V2+g·z+ · ρ · (V˙ · dA) 2 ρ SC

Esta integral se anula en la superficie lateral de los recipientes, los ca˜ nos y la bomba por lo cual solo no es nula sobre las superficies libres de los tanques. Llamando A y B a las mismas:   ¨  ¨  1 p 1 p ˙ eje = ~ · dA) ˙ + ~ · dA) ˙ u+ V2+g·z+ W u+ V2+g·z+ · ρ · (V · ρ · (V 2 ρ 2 ρ B

A

Ahora nos resta resolver cada una de estas integrales. La presi´ on sobre ambas superficies es la atmosf´erica si utilizamos presiones relativas p = 0 en cualquier punto sobre ellas. La velocidad sobre las superficies A y B tambi´en es constante y es despreciable (no hay variaci´on de la altura del tanque a trav´es del tiempo): VA2 V2 = B =0 2 2 El nivel es constante sobre la superficie de cada tanque, lo mismo que la energ´ıa interna, por lo tanto todos los t´erminos del par´entesis dentro de las integrales son constantes y su suma tambi´en lo ser´a, teniendo en cuenta que ρ = cte: ¨  ¨    ˙ ~ ~ ~ · dA ~ Weje = −ρ · (u1 + g · z1 ) · V · dA + ρ · (u2 + g · z2 ) · V (3.32) A

B

3.5. ECUACIONES DEL MOVIMIENTO DE LOS FLUIDOS

115

~ · dA. ~ Donde el signo (−) deviene del producto escalar V Si ahora planteamos a dicho VC la ecuaci´ on de continuidad: ˚ ‹ ∂ ~ ~ ρ · V · dA = − ρ · d∀ ∂t SC

VC

Con los mismos razonamientos anteriores: ¨ ¨ ~ · dA ~+ρ· ~ · dA ~=0 −ρ · V V A

B ¨

¨ ~ · dA ~ =ρ· V

ρ· A

~ · dA ~=Q V B

Y en definitiva la ecuaci´ on (3.32) queda: ˙ eje = ρ · Q · [u2 − u1 + g · (z2 − z1 )] W Donde: z2 − z1 : es la diferencia de nivel H entre la superficie de los dep´ositos. u2 − u1 : es la energ´ıa perdida por unidad de masa. Como el dato es la energ´ıa perdida por unidad de peso: ∆H = 8V 2 /2g la energ´ıa perdida por unidad de masa la obtendremos multiplicando por g, o sea que: u2 − u1 = 8V 2 /2, donde V es la velocidad en la tuber´ıa. Como: V = Q/A, donde A es el ´ area de la tuber´ıa: A = π · φ2 /4 resulta: V =

4Q π · φ2

y

V2 8Q2 = 2 4 2 π ·φ

Por lo tanto: 8V 2 64Q2 = 2 4 2 π ·φ   2 ˙ eje = ρ · Q · 64Q + g · H W π 2 · φ4 64Q2 w˙ eje = ρ · 2 4 + g · H · Q π ·φ Ecuaci´ on de tercer grado en Q que podemos resolver por tanteo: Recordemos que: k~g m kg m m kg m2 1CV = 75 2 = 75 · 9,8 2 = 735 3 s s s s Por lo tanto: 10 · 735

kg m2 64 · 1000 kg/m3 · Q3 (m3 /s)3 kg m m3 = + 1000 · 9,8 · 20 m · Q s s3 π 2 · 0, 154 m4 m3 s2 3 7350 = 12 808 999,02Q + 196 000Q

Que satisface para: l m3 = 34,76 s s Finalmente nos piden encontrar la altura de impulsi´on de la bomba (Hp ). Se define la altura de impulsi´ on de la bomba como la altura que alcanzar´ıa el l´ıquido si no existiese p´erdidas en el sistema. Q = 0,034 76

CAP´ITULO 3. MOVIMIENTO DE FLUIDOS

116 Por lo tanto la altura de impulsi´ on de la bomba ser´a:

8V 2 64Q2 +H = 2 4 +H 2g π ·φ ·g 64 · 0, 034762 m/s2 + 20 = 21,58 m Hp = 2 π · 0, 154 m · 9,8 m/s2

Hp = ∆H + H =

Quiere decir que la bomba bombea un caudal de 34,76 l/s con una altura de impulsi´on de 21,58 m.

3.6 Factores de correcci´ on de la cantidad de movimiento y de la energ´ıa cin´ etica Cuando aplicamos las ecuaciones integrales generalmente hacemos la suposici´on de perfil de velocidades uniforme, es decir que reemplazamos al perfil de velocidades verdadero por un perfil como el antedicho y cuyo m´odulo es igual a la velocidad media. Evidentemente esto da lugar a un error en la evaluaci´on de la cantidad de movimiento y en la energ´ıa cin´etica que conviene cuantificar. Sea un tubo de corriente como el de la figura 3.27 (llamamos tubo de corriente a un tubo cerrado cuyos l´ımites lo constituyen l´ıneas de corriente) y sea A una secci´on gen´erica.

Figura 3.27 El caudal m´ asico a trav´es del ´ area A es:

¨ ~ · dA) ~ ρ · (V

Qm = A

El que se puede expresar tambi´en en funci´on de la velocidad media: Qm = ρm · Vm · A Donde Vm es la velocidad media en la secci´on y ρm es la densidad media en la secci´on. Por lo tanto resulta: ¨ 1 ~ · dA) ~ Vm = · ρ · (V ρm · A A

Y si el fluido es incompresible (ρ = cte): Vm

1 = · A

¨ ~ · dA) ~ (V A

´ DE LA CANTIDAD DE MOVIMIENTO Y DE LA ENERG´IA CINETICA117 ´ 3.6. FACTORES DE CORRECCION El caudal de cantidad de movimiento a trav´es de A es: ¨ ~ · (V ~ · dA) ~ P˙ = ρ·V A

El cual se puede escribir en funci´ on de la velocidad media como: P˙ = ρm · Vm2 · A · β Donde β es un factor de correcci´ on que tiene en cuenta que el perfil no es uniforme como el supuesto. A ´este factor se lo denomina factor de correcci´on de la cantidad de movimiento y su expresi´on es: ¨ 1 ~ · (V ~ · dA) ~ β= · ρ·V ρm · Vm2 · A A

Y si el fluido es incompresible: 1 · β= 2 Vm · A

¨ ~ · (V ~ · dA) ~ V A

En forma similar el caudal de energ´ıa cin´etica a trav´es de la secci´on A resulta: ¨ 1 ~ · dA) ~ E˙ C = ρ · V 2 · (V 2 A

El cual se puede expresar en funci´ on de la velocidad media de la siguiente forma: 1 E˙ C = α · ρm · Vm3 · A 2 Donde α es un factor de correcci´on que tiene en cuenta que el perfil no es uniforme como el supuesto. A ´este factor se lo denomina factor de correcci´on de la energ´ıa cin´etica y su expresi´on es: ¨ 1 ~ · dA) ~ · ρ · V 2 · (V α= ρm · Vm3 · A A

Y si el fluido es incompresible: α=

1 · 3 Vm · A

¨ ~ · dA) ~ V 2 · (V A

Ejemplo 3.9 La velocidad en una ca˜ ner´ıa de radio R en flujo laminar de un fluido incompresible (l´ıquido), vale:   r 2  V = Vm´ax · 1 − R Y en flujo turbulento: h  r i 17 V = Vm´ax · 1 − R Donde Vm´ax es la velocidad en el centro de la ca˜ ner´ıa (que es donde se produce la velocidad m´axima, figura 3.28) y r es la distancia desde el eje de la ca˜ ner´ıa hasta un punto gen´erico. Determinar la velocidad media, el factor de correcci´ on de la cantidad de movimiento β y el factor de correcci´ on de la energ´ıa cin´etica α. El objetivo de este problema es advertir de los errores que se cometen al aplicar las ecuaciones de cantidad de movimiento y de energ´ıa cuando se considera la velocidad media en lugar del perfil de velocidades real.

CAP´ITULO 3. MOVIMIENTO DE FLUIDOS

118

Figura 3.28

Recordamos la definici´ on de la velocidad media:

Vm

1 = · A

¨ ~ · dA ~ V A

Que para el caso del perfil laminar resulta:

Vm

Vm =

2 R2

Vm =

2 R2

2 R2 Vm´ax = 2

Vm = Vm

ˆR

  r 2  Vm´ax · 1 − · 2π · r · dr R 0   ˆ R ˆR 1 · Vm´ax ·  r · dr − 2 · r3 · dr R 0 0 R R ! R2 1 r4 · Vm´ax · − 2· 2 0 R r 0   2 2 R R 2 R2 · Vm´ax · − = 2 · Vm´ax · 2 4 R 4

1 = · π · R2

para el perfil parab´olico

´ DE LA CANTIDAD DE MOVIMIENTO Y DE LA ENERG´IA CINETICA119 ´ 3.6. FACTORES DE CORRECCION Por definici´ on del factor de correcci´ on de energ´ıa cin´etica: α=

1 · A · Vm3

¨ ~ · dA) ~ V 2 · (V ˆR

1

α= π·

R2

·

3 Vm´ ax 8

3 Vm´ ax

!·

  r 2 3 · 1− · r · dr R

0

Y para el perfil parab´ olico resulta:  R   ˆ          2 4 6 r 16 r r 3 1 − 3 · · V · α= 2 + 3 · − · r · dr m´ ax 3   R · Vm´ R R R ax 0  R  ˆ ˆR ˆR ˆR 3 3 1 16  r · dr − 2 · r3 · dr + 4 · r5 · dr − 6 · r7 · dr α= 2 · R R R R 0 0 0 0 4 R 6 R 8 R ! 2 R r 16 3 r 3 r 1 r α = 2 · − 2 · + 4 · − 6 · R 2 0 R 4 0 R 6 0 R 8 0  2  2 2 16 R 3 R R α= 2 · − R2 + − R 2 4 2 8   1 3 1 1 α = 16 · − + − 2 4 2 8 α=2

para el perfil parab´ olico (flujo laminar)

Por definici´ on del factor de correcci´ on de la cantidad de movimiento: 1 · β= A · Vm2

¨ ~ · (V ~ · dA) ~ V A

Para el perfil parab´ olico en un ducto circular: 1

β= π· β=

8 R2

β=

8 R2

β=

8 R2

8 R2 4 β= 3 β=

ˆR 2 Vm´ ax

  r 2  2 · 1− · 2π · r · dr R

· 2 Vm´ ax 0 ·   R4 ˆ    r 2  r 4  + · r · dr · 1−2·   R R 0  R  ˆ ˆR ˆR 5 3 r r ·  r · dr − 2 · 2 · dr + · dr R R4 0 0 0 2 R 4 R 6 R ! r 2 r r · − · 2 + 4 2 0 4 R 0 6R 0  2  R R2 R2 R2 − + =8· · 2 2 6 6

R2

CAP´ITULO 3. MOVIMIENTO DE FLUIDOS

120

Con las mismas definiciones repetimos los c´alculos para el perfil turbulento:

Vm

1 = · A

¨ ~ · dA ~ V A

Vm

Vm

ˆR

 r  17 Vm´ax · 1 − · 2π · r · dr R 0   R ˆ  1  r 7 Vm´ax  1− · 2π · r · dr · = π · R2 R 1 · = π · R2

0

Vm =

2Vm´ax · R2

ˆR 

1−

r  17 · r · dr R

0

Sustituyendo 1 − r/R = u entonces du = − dr/R, por lo tanto dr = −R · du. Asimismo:

r = (1 − u) · R Vm

Vm´ax · = −2 · R2

ˆ0

1

u 7 · (1 − u) · R2 · du 1



2

ˆ0

ˆ0



1 8 Vm´ax · R  · u 7 · du − u 7 · du R2 1 1   7 8 0 7 15 0 · u 7 + · u 7 = −2 · Vm´ax · 8 15 1 1     7 7 49 = −2 · Vm´ax · − + = −2 · Vm´ax · − 8 15 120 98 = Vm´ax = 0, 817Vm´ax 120

Vm = −2 · Vm Vm Vm

El factor de correcci´ on de la energ´ıa cin´etica:

1 α= · A · Vm3

¨ ~ · dA) ~ V 2 · (V 1

α= π · R2 ·

98Vm´ax 120

ˆR !· 0

 r  37 3 Vm´ · 1 − · 2π · r · dr ax R

´ DE LA CANTIDAD DE MOVIMIENTO Y DE LA ENERG´IA CINETICA121 ´ 3.6. FACTORES DE CORRECCION Con el mismo reemplazo anterior: 2

α=− R2 · α=−

98 120

ˆ0

3

u 7 · (1 − u) · R2 · du

!3 · 1

! 7 10 0 7 17 0 u 7 − u 7 17 10

2

!3 · 1 1 98 120  3    3 120 7 7 120 (−119 + 70) α = −2 · · − + =− · ·2 98 10 17 108 170  3 120 49 · = 1, 058 α=2· 170 108 Con el mismo procedimiento para β: ¨ 1 ~ · (V ~ · dA) ~ V β= · A · Vm2 A

1 β= · π · R2 · Vm2 β

β β β

ˆR

 r  27 2 Vm´ · 2π · r · dr ax · 1 − R

0

ˆ0 2 − 2 · Vm´ 2 ax = · u 7 · (1 − u) · R2 · du !2 98 1 2 R2 · · Vm´ ax 120  2   120 7 9 0 7 16 0 7 7 = −2 · · · u − · u 98 9 16 1 1 2    2    7 7 120 −112 + 63 120 · − + = −2 · · = −2 · 98 9 16 98 144  2   120 49 = −2 · · = 1, 020 98 144

Resumiendo en la siguiente tabla: Variable

Perfil Laminar

Perfil Turbulento

vm α β

0, 5Vm´ax 2 1,33

0, 817Vm´ax 1,058 1,020

Conclusiones: Cuando se aplica el perfil uniforme en el c´ alculo de la energ´ıa cin´etica de un conducto en r´egimen laminar se comete un error del 100 %, en cambio en r´egimen turbulento el error es de 5,8 %. Cuando se aplica el perfil uniforme en el c´alculo de la cantidad de movimiento en un conducto en r´egimen laminar el error que se comete es del 33 %, en tanto que en r´egimen turbulento es del 2 %. Esto se debe a que la turbulencia genera un mezclado que achata el perfil de velocidades acerc´andolo m´ as al r´egimen uniforme. En canales artificiales es usual adoptar α = 1, 1 y β = 1, como se ver´a oportunamente en el cap´ıtulo 9.

CAP´ITULO 3. MOVIMIENTO DE FLUIDOS

122

Referencias “Movimiento de los Fluidos” - Fernando C. Silva - P3DT2 - CEIT F.R.B.A. “Gu´ıa de Trabajos Pr´ acticos de Fluidodin´amica” - Ricardo A. Bastian´on - CEI “Elementos de Mec´ anica de los Fluidos” - Vennard y Street “Mec´ anica de Fluidos” - Victor L. Streeter “Principles of Fluid Dynamics” - W. H. Li and S. H. Lam “Din´ amica de los Fluidos” - Hughes-Brighton “Fundamentals of Hydro and Aeromechanics” - Prandtl and Tietjens “Transporte de Calor y Masa” - Bird-Stewart-Lightfoot

Referencias audiovisuales “Fundamentals Principles of Flow” - Hunter Rose - Iowa Institute of Hydraulic Research “Flow visualizaion” - Stephen J. Kline - Stanford University “Eulerian and Lagrangian descriptiosns in fluid Mechanics” - john L. Lumley - The Pennsylvania State University

3.7 Ejercicios Ejercicio 3.1: Calcular el valor de las componentes de la aceleraci´on para los siguientes casos: a. Vx = C; Vy = C b. Vx = C · x; Vy = C c. Vx = C; Vy = C · y d. Vx = C · x; Vy = C · y Respuesta: a. ax = 0; ay = 0 b. ax = C 2 · x; ay = 0 c. ax = 0; ay = C 2 · y d. ax = C 2 · x; ay = C 2 · y

Ejercicio 3.2: Calcular el valor de las componentes de la aceleraci´on para los siguientes casos: a. Vr = 1/r; Vθ = 0 b. Vr = 0; Vθ = Γ/r

3.7. EJERCICIOS

123

c. Vr = 1/r; Vθ = Γ/r

Ejercicio 3.3: Dado el siguiente campo de velocidad: ~ = (3y 2 + z)˘i + 3y˘j + (2z + z 3 )k˘ V a. Calcular el valor de las componentes de la aceleraci´on. b. ¿Cu´ al es el valor de la aceleraci´ on para una part´ıcula en (5, 3, 2)?. Respuesta: a. ~a = (18y 2 + 2z + z 3 )˘i + 9y˘j + (4z + 8z 3 + 3z 5 )k˘ b. ~a · (5, 3, 2) = 174˘i + 27˘j + 168k˘

Ejercicio 3.4: En un flujo bidimensional en torno a un cilindro circular, la descarga entre l´ıneas de corriente (L.C.) es de 0,028 m3/s por m de profundidad. A una distancia grande, las L.C. est´an separadas 0,60 cm y en un punto cerca del cilindro est´ an a 0,30 cm de distancia. Calc´ ulese la magnitud de la velocidad en estos dos puntos. En la ilustraci´on las L.C. se han dibujado de manera que, por unidad de tiempo, el volumen que fluye entre 2 L.C. adyacentes es el mismo (y la unidad de profundidad se considera perpendicular al plano de la figura 3.29).

Figura 3.29

Ejercicio 3.5: Entre dos l´ıneas de corriente bidimensionales de un escurrimiento incompresible la velocidad es de 2 m/s y las l´ıneas est´ an separadas 1 cm. Calcular la velocidad entre las mismas dos l´ıneas de corriente en un punto donde se separan 0,6 cm. Respuesta: 3,33 m/s Ejercicio 3.6: Para el mismo problema anterior encontrar la misma velocidad pero si el escurrimiento es con aire de masa molecular 29 g/mol y la presi´on absoluta var´ıa desde 20 N/cm2 a 15 N/cm2 absolutos y evoluciona de acuerdo con la ecuaci´ on de las adiab´ aticas: p = cte ρk Donde la constante k = 1, 4 y la temperatura inicial es de 15 ◦C.

CAP´ITULO 3. MOVIMIENTO DE FLUIDOS

124 Ejercicio 3.7:

Encu´entrese el flujo (por metros de profundidad en la direcci´on “z”) a trav´es de cada lado del cuadrado (figura 3.30) con esquinas (0, 0); (0, 1); (1, 1) y (1, 0), debido a: h i m h i m ~q = Vx˘i + Vy ˘j = (16y − 12x)˘i + (12y − 9x)˘j s s

Figura 3.30 Respuesta: Q1 = −8 m3 /s, Q2 = 4,5 m3 /s, Q3 = −4 m3 /s, Q4 = 7,5 m3 /s Ejercicio 3.8: En una ca˜ ner´ıa de 100 mm de di´ ametro escurre agua, y la velocidad media de la misma es de 2 m/s. Calcular: a. El caudal volum´etrico (expresado en m3 /h). b. El caudal m´ asico (expresado en kg/h).

Ejercicio 3.9: Por una ca˜ ner´ıa de 600 mm de di´ametro escurre gas natural a una velocidad de 10 m/s. Si la presi´on en el punto donde se midi´ o la velocidad es de 600 N/cm2 y la temperatura de 15 ◦C, calcular: a. El caudal volum´etrico (expresado en m3 /s). b. El caudal m´ asico (expresado en kg/s). c. El caudal volum´etrico en millones de m3 por d´ıa pero en condiciones est´andar (es decir a presi´on atmosf´erica y 15 ◦C). El peso molecular del gas natural es de 19 g/mol. Respuesta: a. 2,83 m3 /s b. 134,79 kg/s c. 14,48 Mm3 /d

Ejercicio 3.10: Calcular el caudal volum´etrico y el caudal m´asico por unidad de profundidad que circula a trav´es de una secci´on vertical a la pared (figura 3.31) si la distribuci´ on de velocidades es lineal. El flujo es incompresible y su densidad es ρ.

3.7. EJERCICIOS

125

Figura 3.31

Ejercicio 3.11: Resolver el mismo problema anterior suponiendo una distribuci´on de velocidades parab´olica: V = V0 ·

 y 2 h

Respuesta: Q = h · V0 /3; Qm = ρ · h · V0 /3 Ejercicio 3.12: Se fuerza agua hacia adentro del aparato con un caudal de 0,1 m3 /s a trav´es del tubo A (figura 3.32), a la vez que un aceite con ρr = 0, 8 se fuerza con un caudal de 0,03 m3 /s a trav´es del tubo B. Si los l´ıquidos son incompresibles y forman una mezcla homog´enea de gotas de aceite en agua, ¿cu´al es la velocidad promedio y la densidad de la mezcla que sale a trav´es del tubo C que tiene un di´ametro de 0,3 m?.

Figura 3.32

Ejercicio 3.13: Una cuneta rectangular de 10 m de ancho tiene un fondo inclinado tal como se muestra en la figura 3.33. Se agrega agua con un caudal Q = 100 l/s. ¿Cu´anto vale dy/ dt cuando y = 1 m?. ¿Cu´anto tiempo demora la superficie libre en pasar desde y = 1 m hasta y = 1,2 m?.

Figura 3.33 Respuesta: dy/ dt = 0,0027 m/s; t = 82,3 s Ejercicio 3.14: En un oleoducto de 500 km de longitud y 300 mm de di´ametro en un espacio de una hora la presi´ on

126

CAP´ITULO 3. MOVIMIENTO DE FLUIDOS

pas´o de 400 N/cm2 a 600 N/cm2 . Si el coeficiente de elasticidad se adopta como 200 000 N/cm2 , y el aumento de presi´ on se debe a que se inyecta m´as de lo que se extrae, calcular cu´al es el exceso de caudal inyectado. Ejercicio 3.15: En un gasoducto, de 500 km de longitud y 600 mm de di´ametro ingresan desde la planta de tratamiento 10 000 000 m3 /d de gas natural en condiciones est´ andar (patm y T = 15 ◦C) entre la hora 8 y la hora 9. 3 En esa misma hora el consumo es de 9 000 000 m /d, tambi´en en condiciones est´andar. Suponiendo que todo el gasoducto se encontraba a la hora 8 a una misma presi´on absoluta de 500 N/cm2 , calcular cu´al ser´ a la presi´on absoluta en N/cm2 a la hora 9. El gas natural tiene una masa molecular de 18 g/mol y la temperatura se mantiene constante a 18 ◦C. Respuesta: pabs = 503 N/cm2 Ejercicio 3.16: Una bomba impulsar´a un caudal de agua de 200 m3 /h. Si la velocidad de agua recomendada en la succi´on es de 1,5 m/s y en la descarga de 2,5 m/s, calcular los di´ametros de succi´on y descarga de dicha bomba. Nota: Tomar los di´ ametros comerciales variando de 50 en 50 mm. Ejercicio 3.17: Un conducto de ventilaci´on de 1,2 m de di´ametro transporta 340 m3 /min de aire en condiciones normales de presi´on y temperatura (patm y T = 0 ◦C). Debido a razones constructivas el conducto debe reducirse en un determinado punto a 1 m de di´ ametro. Calcular las velocidades en ambas secciones expresadas en m/s. Nota: Debido a las bajas presiones involucradas en este tipo de instalaciones se puede considerar al flujo como incompresible. Respuesta: V1 = 5,01 m/s; V2 = 7,21 m/s Ejercicio 3.18: En un intercambiador de calor se calientan 50 kg/min de aire de masa molecular 29 g/mol a una temperatura de 150 ◦C y una presi´on de 20 N/cm2 . Calcular el di´ ametro de la ca˜ ner´ıa que lo transportar´a si la velocidad recomendada es de 10 m/s. La variaci´ on de presi´on y temperatura a lo largo de la ca˜ ner´ıa se consideran despreciables. Ejercicio 3.19: El caudal m´asico de descarga de gases de una chimenea es de 6400 kg/h, y la temperatura de descarga de 450 ◦C. Si descarga a la atm´ osfera por un conducto de 800 mm de di´ametro y el peso molecular del gas es 29 g mol, calcular la velocidad de salida de los gases. Respuesta: V = 7,234 m/s Ejercicio 3.20: Mediante una ca˜ ner´ıa de 65 mm se alimenta una lanza de agua que tiene una boquilla de 25 mm de di´ ametro. Si la velocidad en la ca˜ ner´ıa es de 3 m/s, calcular la velocidad en la boquilla.

3.7. EJERCICIOS

127

Ejercicio 3.21: En un canal rectangular de ancho 1 m escurre agua con un tirante (altura entre el fondo y la superficie del agua) de 0,5 m (figura 3.34). Debido a un cambio en la pendiente del canal m´as adelante el tirante disminuye a 0,3 m. Si el r´egimen es permanente calcular el caudal de agua que circula por el canal y la velocidad en la secci´on con menor tirante si la velocidad media del escurrimiento en donde el tirante es mayor es de 1 m/s. Las escalas verticales est´an exageradas. Considerar que la normal a la solera del canal (fondo) coincide con la vertical del lugar.

Figura 3.34 Respuesta: Q = 0,5 m3 /s; V2 = 1,67 m/s Ejercicio 3.22: El caudal que fluye a un embalse (figura 3.35) es de 1500 m3 /s. Si todo este caudal debe desaguarse por un vertedero de 150 m de largo y el agua escurrir´a por la cima del mismo con una velocidad media de 5 m/s calcular la altura del pelo de agua.

Figura 3.35

Ejercicio 3.23: El sedimentador de una planta de tratamiento de desag¨ ues cloacales consiste en un gran dep´ osito de estructura circular de hormig´on en el cual el agua se separa de los barros por gravedad. El agua a tratar ingresa por la parte central inferior y sale perimetralmente por una serie de vertederos triangulares como se muestra en la figura. Si el caudal por cada vertedero es: 5

q = 6, 5H 2 [

m3 ] s

Encontrar el caudal que desagua el vertedero en su conjunto cuando el pelo de agua se ubica a 2/3 de la altura, como se muestra en la figura 3.36.

128

CAP´ITULO 3. MOVIMIENTO DE FLUIDOS

Figura 3.36 Respuesta: Q = 3,228 m3 /s Ejercicio 3.24: Un flujo entra por el centro del disco plano mostrado en la figura 3.37 y con bafles internos es obligado a salir con un a´ngulo de 30◦ respecto al radio como se muestra en la figura. Siendo el fluido incompresible y la velocidad de salida 3 m/s calcular el caudal volum´etrico en m3 /h que ingresa por el centro del disco y su velocidad de entrada.

Figura 3.37

Ejercicio 3.25: ¿Con qu´e frecuencia y en qu´e sentido deber´ıa girar el aparato del problema anterior para que un observador fijo al terreno viese salir el fluido en direcci´on radial?. Respuesta: f = 71,62 RPM; sentido horario.

3.7. EJERCICIOS

129

Ejercicio 3.26: Un caudal de 0,3 m3 /s de agua entra por el centro del aparato (en el eje de rotaci´ on), y dirige radialmente hacia fuera por medio de tres canales id´enticos cuyas a´reas de salidas son de 0,05 m2 cada una. En la figura 3.38 se esquematiza el recorrido del flujo para un observador que se mueve con el aparato. Si ´este rota en el sentido de las agujas del reloj con una velocidad angular de 10 rad/s: a. Dibujar el tri´ angulo de velocidades en alguna de las superficies de salida. b. ¿Cu´ al es la velocidad absoluta del fluido que sale de uno de estos canales?

Figura 3.38

Ejercicio 3.27: En un canal, en el cual el agua escurre en r´egimen permanente, la superficie libre es paralela al fondo del canal (solera). Si el tirante (altura desde el fondo hasta la superficie libre) es de 1 m y la inclinaci´ on del canal es peque˜ na de forma que la normal al fondo y la direcci´ on de la aceleraci´on de la gravedad se pueden considerar iguales, determinar cu´al es la presi´on en el fondo del canal expresada en mcolumna de agua y c´ omo es la distribuci´ on de presiones desde la superficie libre hasta el fondo. Respuesta: p = 1 mcolumna de agua ; lineal Ejercicio 3.28: En una ca˜ ner´ıa instalada horizontalmente escurre agua en r´egimen permanente (caudal constante). Si el di´ametro de la ca˜ ner´ıa es de 0,3 m: ¿cu´al ser´a la diferencia de presi´on entre la parte superior y la inferior del conducto y como var´ıa? Expresarlo en mcolumna de agua . ¿Esta diferencia de presi´on se modifica si el flujo es laminar o turbulento?. Ejercicio 3.29: Una boquilla descarga aire a la atm´osfera. Si se puede considerar que el chorro de aire desagua como l´ıneas de corriente rectas y paralelas: ¿cu´ anto valdr´ a la presi´ on en el interior del chorro y como ser´ a su distribuci´ on?. Respuesta: p = patm ; constante Ejercicio 3.30: La superficie fija mostrada en la figura 3.39 divide al chorro de agua de tal forma que 28,3 l/s fluyen en las direcciones mostradas. Para una velocidad de chorro inicial de 14,6 m/s; encontrar las componentes

130

CAP´ITULO 3. MOVIMIENTO DE FLUIDOS

“x, y” de la fuerza requeridas para conservar a la superficie en equilibrio (expresadas en N). Despreciar la resistencia debida a la fricci´on teniendo en cuenta que el ´area de la secci´on 2 es igual al ´area de la secci´ on 3. Nota: dado que no hay fricci´on el fluido no se frena y las velocidades son las mismas en todas las secciones.

Figura 3.39

Ejercicio 3.31: ¿En cu´anto aumenta la reacci´ on seg´ un la componente del peso por el flujo del chorro permanente que entra en el dep´ osito de la figura 3.40?. Expresarla en N y kg.

Figura 3.40 Respuesta: Ry = 815 N = 83 kg Ejercicio 3.32: En un canal abierto fluye agua por debajo de una compuerta tal como se muestra en la figura 3.41. El flujo en las secciones 1 y 2 es uniforme, es decir las l´ıneas de corriente son rectas y paralelas. Determinar la magnitud y direcci´on de la fuerza que se ejerce sobre la compuerta, siendo a el ancho de la misma.

Figura 3.41

3.7. EJERCICIOS

131

Ejercicio 3.33: Para el canal de la figura 3.42 calcular el esfuerzo sobre el vertedero mostrado, suponiendo que el flujo es uniforme en las secciones 1 y 2. El ancho del vertedero es de 3 m.

Figura 3.42 Respuesta: Fx = 50 320 N Ejercicio 3.34: En el codo a 90◦ que se muestra en la figura 3.43 la presi´on manom´etrica interna es de 20 N/cm2 . Si el caudal de agua que circula por el mismo es de 60 m3 /h y el di´ ametro del mismo es de 100 mm, encontrar los esfuerzos que se producen sobre las costuras de soldadura que lo unen al resto de la ca˜ ner´ıa.

Figura 3.43

Ejercicio 3.35: A trav´es del codo de doble salida (figura 3.44) se mueve agua en forma permanente con V1 = 5 m/s. El volumen interno del codo es 1 m3 . Encuentre las fuerzas vertical y horizontal que se ejercen sobre el codo. Suponga V2 = 10 m/s. Nota: Despreciar la resistencia debida a la fricci´on.

Figura 3.44

CAP´ITULO 3. MOVIMIENTO DE FLUIDOS

132 Respuesta: Fx = 9360 N; Fy = 7720 N Ejercicio 3.36:

En una ca˜ ner´ıa horizontal de 300 mm de di´ ametro fluye agua (figura 3.45). La velocidad media en la secci´on 1 es 0,6 m/s. En una corta distancia dos ca˜ ner´ıas agregan 0,003 m3 /s cada una. Encontrar la diferencia de presiones p1 − p2 entre la secci´on aguas arriba y aguas debajo de la inyecci´on.

Figura 3.45

Ejercicio 3.37: En la figura 3.46 se muestra un eyector de l´ıquido. Por el tubo central se impulsa un l´ıquido de densidad ρ0 con una velocidad media V0 . Este l´ıquido arrastra otro de densidad ρ1 con una velocidad media V0 /3. En el tramo A–B se completa la mezcla de los dos l´ıquidos. Despreciando la fricci´ on sobre las paredes, deducir una expresi´ on para el incremento de presi´on entre A y B.

Figura 3.46 Respuesta: pA − pB = ρm ·

VB2

V2 + 0 · 3

2 · ρ2 − ρ1 3

!

Ejercicio 3.38: Una operaci´ on de dragado bombea 18 000 l/min de una mezcla de barro y agua de ρr = 3 hacia una barcaza estacionaria (figura 3.47). ¿Cu´al es la fuerza (expresada en kN) sobre la barcaza que tiende a separarla de la draga?. El ´ area de la boquilla de salida es de 0,93 m2 .

Figura 3.47

3.7. EJERCICIOS

133

Ejercicio 3.39: A trav´es de la v´alvula de seguridad mostrada en la figura 3.48 escurre una caudal m´asico de 20 000 kg/h, correspondiente a un gas natural de peso molecular 18 g/mol. La presi´on absoluta a la entrada es de 300 N/m2 y la temperatura de 15 ◦C en tanto que a la salida desagua a la atm´osfera y por efecto de la expansi´on la temperatura baja a 5 ◦C. Si el di´ametro de entrada es 100 mm y el di´ametro de salida 150 mm, determinar la componente horizontal de la fuerza que act´ ua sobre la v´alvula expresadas en N.

Figura 3.48 Respuesta: Fx = −141,9 N Ejercicio 3.40: Una turbina como la mostrada en la figura 3.49 se probar´a en banco. Si la masa de aire que ingresa es de 320 kg/s, la masa de combustible de 80 kg/s, la boca de succi´on tiene un di´ametro de 1,2 m, la densidad del aire a la entrada es de 1,2 kg/m3 y la velocidad de escape de los gases es de 600 m/s; calcular la reacci´ on horizontal (en kN) que deber´a realizar el banco en el cual se va a probar.

Figura 3.49

Ejercicio 3.41: La turbina anterior en el momento de frenaje invierte el flujo de gases 180◦ . Encontrar cu´anto vale el esfuerzo de frenaje para las mismas condiciones. Respuesta: Fx = −315,5 kN Ejercicio 3.42: Calcular el caudal de combustible que se necesita si son datos los mostrados en la figura 3.50.

Figura 3.50

134

CAP´ITULO 3. MOVIMIENTO DE FLUIDOS

Ejercicio 3.43: La boquilla mostrada en la figura 3.51 descarga agua sobre el deflector de 180◦ mostrado. Si el caudal que desagua la boquilla es de 60 m3 /h y la aceleraci´on de la gravedad es normal al plano del deflector, encontrar la reacci´on que deber´ıa ejercerse sobre el deflector para mantenerlo en equilibrio. El di´ ametro de la boquilla es de 60 mm.

Figura 3.51 Respuesta: Rx = −197 N Ejercicio 3.44: Un a´labe curvo estacionario desv´ıa un chorro de agua de 50 mm de di´ametro, a trav´es de un a´ngulo de 150◦ (figura 3.52). Debido a la fricci´ on sobre la superficie, el agua que sale del ´ alabe conserva s´olo el 80 % de su velocidad original. Calcular el caudal volum´etrico necesario para producir sobre el ´alabe una fuerza de 2000 N.

Figura 3.52

Ejercicio 3.45: Calcule la magnitud y direcci´ on de las componentes de fuerza vertical y horizontal y la fuerza total ejercida sobre este ´ alabe estacionario por un chorro de agua de 50 mm de di´ametro que tiene una velocidad de 15 m/s (figura 3.53). Despreciar la fuerzas por fricci´on y suponer que la gravedad act´ ua en el sentido del eje z.

3.7. EJERCICIOS

135

Figura 3.53 Respuesta: Fx = 695 N; Fy = −91,5 N Ejercicio 3.46: Una boquilla estacionaria descarga un chorro de agua a una velocidad de 60 m/s, el cual empuja una paleta a una velocidad de 15 m/s en l´ınea recta (figura 3.54). La paleta absorbe energ´ıa del chorro a raz´ on de 50 hp(M) . El di´ametro del chorro es de 7,5 cm. Despreciando la fricci´ on calcular el a´ngulo con el cual es desviado el chorro de agua a su paso por la paleta.

Figura 3.54

Ejercicio 3.47: Un a´labe con 60◦ de inclinaci´on se mueve con una velocidad constante de 5 m/s y recibe un chorro de agua que sale de una tobera con una velocidad de 30 m/s (figura 3.55). Si la tobera tiene una secci´on de 25 cm2 determinar la fuerza sobre el ´ alabe m´ovil.

Figura 3.55

136

CAP´ITULO 3. MOVIMIENTO DE FLUIDOS

Respuesta: Fx = 781,25 N; Fy = −1353,17 N Ejercicio 3.48: ¿Qu´e fuerza neta se requiere para sostener la placa de orificio que se muestra en la figura 3.56 pegada a la tuber´ıa?. El chorro descarga en la atm´osfera.

Figura 3.56

Ejercicio 3.49: Una v´alvula aguja es un dispositivo utilizado en la descarga de algunas centrales hidr´aulicas y permiten regular el caudal que circula por la/s m´aquina/s y disipar la energ´ıa del agua descargada a fin de no afectar las obras de reposici´on. Esquem´aticamente se trata de un cono que obtura la salida de una ca˜ ner´ıa y el caudal se regula aproximando o alejando dicho cono (figura 3.57). Debido al aspecto del flujo a la descarga que usualmente es visible desde la represa se lo denomina “velo de novia”. Para el cono mostrado en la figura y un caudal de 1 m3 /s encontrar cuanto vale el esfuerzo sobre el cono.

Figura 3.57 Respuesta: Fx = 86 289 N Ejercicio 3.50: En un tubo de di´ametro interior de 600 mm fluye aire con densidad constante igual a 1,22 kg/m3 que luego descarga a la atm´ osfera. En el extremo de salida y coaxial con ´este se encuentra un cono con di´ametro de base de 750 mm y ´angulo de v´ertice 90◦ (figura 3.58). El flujo en el tubo se controla moviendo el v´ertice del cono hacia adentro del tubo, escapando el aire a lo largo de la superficie exterior del cono. La velocidad media en el tubo aguas arriba del cono es de 15 m/s y el aire deja el cono (en donde ´este tiene 750 mm de di´ ametro) con una velocidad media de 60 m/s paralela a las generatrices. Suponiendo que los cambios de temperatura y los efectos de fricci´on son despreciables, calcular: a. La fuerza axial neta ejercida por el aire sobre el cono. b. El espesor “e” del flujo a la salida.

3.7. EJERCICIOS

137

Figura 3.58

Ejercicio 3.51: Una manguera de incendio que tiene una lanza con un di´ ametro de 25 mm precisa de un hombre para manejarla (figura 3.59), ¿por qu´e una de 45 mm de di´ametro requiere para su manejo de tres hombres?.

Nota: comparar las fuerzas sobre las boquilla.

Figura 3.59 Respuesta: F45 mm = 3, 24F25 mm Ejercicio 3.52: Por la reducci´ on vertical mostrada en la figura 3.60 circula, en direcci´on ascendente, aceite de densidad relativa 0,86 con un caudal de 450 l/s. La presi´ on manom´etrica en la secci´on mayor es de 1,5 k~g/cm2 . Despreciando las p´erdidas determinar la fuerza ejercida sobre la contracci´on. Nota: volumen cono truncado = 1/3 · [h · π · (R2 + R · r + r2 )

Figura 3.60

138

CAP´ITULO 3. MOVIMIENTO DE FLUIDOS

Ejercicio 3.53: Por el tubo vertical mostrado circula agua con un caudal permanente (figura 3.61). Luego se mueve radialmente saliendo como chorro libre a la atm´osfera. Si se desprecia la fricci´on y la presi´on manom´etrica en A es de 69 kN/m2 ; calcular: a. El caudal que circula por el aparato. b. La fuerza ejercida sobre la tapa.

Figura 3.61 Respuesta: Q = 0,41 m3 /s; Fz = 7,105 kN Ejercicio 3.54: Por un codo de 90◦ con reducci´on tal como se muestra en la figura 3.62 circula agua en r´egimen estacionario. A la entrada del codo la presi´ on es de 2000 N/m2 y el a´rea transversal es de 3 × 10−3 m2 . A la salida el ´area transversal es de 2 × 10−3 m2 y la velocidad del fluido es de 15 m/s. Calcular las fuerzas seg´ un x e y que act´ uan sobre el codo.

Figura 3.62

Ejercicio 3.55: Por el codo de la figura 3.63 circula agua en r´egimen estacionario. Tiene un di´ametro al ingreso del

3.7. EJERCICIOS

139

agua de 300 mm y a la salida de 150 mm. Circula un caudal de 300 m3 /h y el volumen del codo es de 80 l. Si la presi´ on de entrada es de 150 000 N/m2 , calcular las fuerzas que act´ uan sobre el mismo.

Figura 3.63 Respuesta: Fx = 10 701 N; Fy = 2074 N Ejercicio 3.56: Por un codo a 90◦ de 10 mm de di´ametro fluye aceite de densidad relativa 0,8. El codo se dispone en un plano horizontal y la presi´on de entrada es de 100 000 N/m2 . El caudal de aceite es de 300 l/h. Calcular las fuerzas que act´ uan sobre las soldaduras del mismo al resto de la ca˜ ner´ıa. Ejercicio 3.57: Si en el problema anterior el perfil de velocidades dentro de la ca˜ ner´ıa es parab´olico: ¿cu´ anto valdr´ an las componentes de las fuerzas?. Respuesta: Fx = 7,95 N; Fy = 7,95 N Ejercicio 3.58: Por una boquilla de 5 cm de di´ametro emerge un chorro de agua a 60 m/s incidiendo sobre un ´alabe recto como se indica en la figura 3.64. Los a´labes giran con una frecuencia f = 250 RPM. Determinar la fuerza que ejerce sobre el ´ alabe y la potencia desarrollada expresada en kW. Nota: El flujo se ha dibujado como lo ver´ıa un observador que se mueve con el ´alabe.

Figura 3.64

Ejercicio 3.59: El sistema de la figura 3.65 est´a compuesto por 4 toberas cada una de las cuales descarga 7 l/s y tiene un di´ametro de 25 mm. Si el sistema gira con una frecuencia f = 100 RPM calcular la potencia desarrollada.

140

CAP´ITULO 3. MOVIMIENTO DE FLUIDOS

Nota: El flujo se ha dibujado como lo ver´ıa un observador que se mueve con el ´alabe.

Figura 3.65 Respuesta: potencia = 1404 W Ejercicio 3.60: Calcular el momento flector ejercido por el agua en el punto D del sistema de ca˜ ner´ıas de agua (figura 3.66). El caudal se mantiene constante.

Figura 3.66

Ejercicio 3.61: Una rueda hidr´aulica gira con una frecuencia f = 200 RPM (figura 3.67). Recibe un chorro de 6 cm de di´ ametro. Asumiendo que no hay p´erdidas, calcular: a. El momento desarrollado por el fluido sobre la rueda. b. La potencia desarrollada.

Figura 3.67 Respuesta:

3.7. EJERCICIOS

141

a. Mz = 6403 N m

˙ = 134 kW b. W

Ejercicio 3.62: En un punto de un cilindro embestido por una corriente uniforme como el mostrado en el ejercicio 1 la velocidad del escurrimiento es nula. En otro punto del cilindro la velocidad es de 2 m/s. Si el fluido que embiste al cilindro es agua, y considerando que el cuerpo del cilindro es una l´ınea de corriente, calcular la diferencia de presi´ on entre dichos puntos. Expresarla en N/m2 , ¿qu´e punto tiene mayor presi´on?.

Ejercicio 3.63: Un tubo que conduce agua reduce su secci´ on transversal en forma gradual de 0,3 m2 en A hasta 0,15 m2 en B (figura 3.68). La velocidad media en A es de 2 m/s y la presi´on de 150 000 N/m2 . Si se consideran despreciables los efectos de la fricci´on determinar la presi´ on en B, que se encuentra 6 m por encima de A.

Figura 3.68 Respuesta: pB = 85 201 N/m2

Ejercicio 3.64: Un medidor venturi vertical conduce un l´ıquido de ρr = 0, 8 (figura 3.69). El di´ ametro de entrada es de 150 mm y el di´ametro de salida es de 75 mm. La conexi´on de presi´ on en la garganta se encuentra a 150 mm por encima de la entrada. Si el caudal volum´etrico es de 40 l/s, calcular:

a. La diferencia de presi´ on entre la entrada y la salida.

b. La diferencia de nivel en un man´ometro de mercurio de tubo en U conectado entre esos dos puntos, si los tubos por encima del mercurio est´an llenos de l´ıquido (teniendo en cuenta que la ρr del mercurio es 13,6).

CAP´ITULO 3. MOVIMIENTO DE FLUIDOS

142

Figura 3.69

Ejercicio 3.65: Recalcular los valores del problema anterior considerando que el perfil de velocidades obedece a la potencia un s´eptimo. Respuesta: pE − pS = 33 713 N/m2 ; x2 = 26,3 cm Ejercicio 3.66: En un canal con secci´on transversal rectangular fluye un l´ıquido a trav´es de una secci´on rectangular gradual (figura 3.70). Dada la profundidad y velocidad media antes de la secci´on contra´ıda, encontrar la profundidad en la garganta de la contracci´on.

Figura 3.70

Ejercicio 3.67: En la figura 3.71 se muestra un sif´ on. Si se desprecia la fricci´on calcular: a. La velocidad en el punto C. b. La presi´ on en el punto B. c. La altura m´axima a la que puede estar el punto B sobre el pelo del agua sin que se produzca un defecto en la operaci´on del sif´on por cavitaci´ on (considerar que la tensi´ on del vapor del agua a 15 ◦C es de 0,1799 mcolumna de agua ).

3.7. EJERCICIOS

143

Figura 3.71 Respuesta: a. VC = 6,86 m/s; b. pBman = −35,290 N/m2 ; c. H = 7,76 m Ejercicio 3.68: La velocidad en el punto A es de 18 m/s (figura 3.72). ¿Cu´al ser´a la presi´on manom´etrica y absoluta en B si se ignora la fricci´ on?.

Figura 3.72

Ejercicio 3.69: Para la tobera mostrada en la figura 3.73 encontrar la expresi´on de la velocidad de salida del agua. Desprecie todas las p´erdidas. La velocidad sobre la superficie libre del tanque se considera despreciable.

Figura 3.73 Respuesta: V =

√

2g · H0

Ejercicio 3.70: Calcular la velocidad (m/s), el caudal volum´etrico (m3 /h) y m´ asico (kg/h) desaguado por la tobera del problema anterior si la secci´on de salida de la tobera es de 100 cm2 , la diferencia de altura es de 10 m y la densidad del agua de 1000 kg/m3 . Ejercicio 3.71: En el problema 69 sobre la superficie libre se ejerce una presi´on de 5 N/cm2 . Recalcule el caudal desaguado con esta nueva condici´ on. Respuesta: V = 17,2 m/s; Q = 619,4 m3 /h; Qm = 619 400 kg/h

144

CAP´ITULO 3. MOVIMIENTO DE FLUIDOS

Ejercicio 3.72: El tubo Venturi es el aparato mostrado en la figura 3.74 y sirve para la medici´on de caudal en ca˜ ner´ıas. Demostrar que el caudal te´ orico (sin considerar las p´erdidas) viene dado por: s   A2 p1 − p2 Q= v · 2g · !2 u γ u A 2 t1 − A1 Tener en cuenta que en la contracci´ on las l´ıneas de corriente son rectas paralelas.

Figura 3.74

Ejercicio 3.73: En la figura 3.75 se muestra una tobera de aforo que sirve para medir caudales. Demostrar que la expresi´on siguiente es v´alida para este aparato. Considerar que en la boquilla las l´ıneas de corriente son rectas paralelas.

Figura 3.75

Ejercicio 3.74: El sistema mostrado en la figura 3.76 se denomina tubo de choque y sirve para medir caudal en ca˜ ner´ıas. Para el sistema mostrado calcular el caudal de agua que circula. Expresado en l/s.

Figura 3.76

3.7. EJERCICIOS

145

Ejercicio 3.75: En la figura 3.77 se muestra una canaleta Venturi que sirve para medir caudales en canales. Consta de un mont´ıculo de altitud “δ”. Si consideramos al canal de gran anchura, despreciamos la fricci´on y consideramos que donde se produce la m´axima contracci´on las l´ıneas de corriente son rectas paralelas, deducir la f´ ormula para el caudal por unidad de longitud.

Figura 3.77 Respuesta: s q=

(h − δ − d)2 2g · d · 1 − (h − δ − d)2 



Ejercicio 3.76: Para la tobera mostrada en la figura 3.78 encontrar la expresi´ on de la velocidad de salida del vapor de agua si i es la entalp´ıa espec´ıfica del vapor. Desprecie todas las p´erdidas. La velocidad del fluido en el tanque se considera despreciable. Compare este resultado con el ejercicio 3.69.

Figura 3.78

Ejercicio 3.77: Calcular la velocidad (m/s) y el caudal m´asico (kg/h) de vapor que circula por la tobera de problema anterior si la diferencia de entalp´ıa espec´ıfica es de 45 000 J/kg, la superficie de salida de la tobera es de 10 cm2 y la densidad del vapor a la salida es de 2 kg/m3 . Compare con los valores obtenidos en el problema anterior (los valores de entalp´ıa dados corresponden a una diferencia de presi´on en el vapor de aproximadamente 20 mcolumna de agua ). Respuesta: V = 300 m/s; Qm = 0,6 kg/h Ejercicio 3.78: Demostrar que si las distancias H1 y H2 son iguales, los dos chorros mostrados se interceptan a la misma distancia x que se muestra en la figura 3.79.

146

CAP´ITULO 3. MOVIMIENTO DE FLUIDOS

Figura 3.79

Ejercicio 3.79: En la figura 3.80 se muestra un sistema de succi´on. Calcular el caudal a trav´es del conducto principal en el instante en que comienza a funcionar, sabiendo que el l´ıquido es agua (γ = 9800 N/m3 ).

Figura 3.80 Respuesta: Q = 4,7 m3 /h Ejercicio 3.80: Deducir la expresi´on que vincula el caudal con la lectura del man´ ometro para el ventur´ımetro que se muestra en la figura 3.81.

Figura 3.81

Ejercicio 3.81: Para el tanque de la figura 3.82 determinar cual ser´a la m´axima restricci´on posible en la ca˜ ner´ıa de desag¨ ue sin que se produzca cavitaci´ on, la cual dar´ıa lugar a un taponamiento del flujo y una sensible disminuci´ on del caudal por la formaci´ on del vapor. La temperatura del agua es de 60 ◦C y se desprecian todas las p´erdidas.

3.7. EJERCICIOS

147

Figura 3.82 Respuesta: Dm´ın = 86 mm Ejercicio 3.82: En el sistema de la figura 3.83 determinar cual es la m´axima elevaci´on posible para que no se produzca cavitaci´ on. La temperatura del agua es de 45 ◦C y se desprecian todas las p´erdidas.

Figura 3.83

Ejercicio 3.83: Por la ca˜ ner´ıa de la figura 3.84 circulan 100 m3 /h de agua. La diferencia de nivel entre los dep´ ositos es de 10 m y los mismos tienen un volumen tal que se puede despreciar la variaci´ on de nivel. Calcular la p´erdida por fricci´ on por unidad de peso, por unidad de masa y la p´erdida total (expresada en kW).

Figura 3.84 ˙ = 2,72 kW Respuesta: 10 m; 98 m2 /s2 ; W Ejercicio 3.84: Los embalses unidos por el canal mostrado en la figura 3.85 tienen una diferencia de nivel de 20 m, siendo los embalses lo suficientemente grandes para despreciar su variaci´on de nivel. Si por el canal circula un caudal de 10 m3 /s determinar cu´anto vale la p´erdida por fricci´on en las paredes del canal por unidad de peso, por unidad de masa y la p´erdida total expresada en kW.

CAP´ITULO 3. MOVIMIENTO DE FLUIDOS

148

Figura 3.85

Ejercicio 3.85: El recipiente de la izquierda contiene aire a una presi´on de 300 N/cm2 en tanto el de la derecha contiene aire a una presi´ on de 280 N/cm2 (figura 3.86). Si la presi´on en los recipientes se mantiene constante y por la ca˜ ner´ıa que los une circula un caudal m´ asico de 1 kg/s determinar la p´erdida por fricci´ on en la ca˜ ner´ıa expresada en kW. Despreciar la variaci´on de energ´ıa potencial y considerar la densidad como la correspondiente a la presi´ on media de los recipientes. La temperatura del aire es de 15 ◦C.

Figura 3.86 ˙ = 5,7 kW. Respuesta: W Ejercicio 3.86: Circulan 6800 kg/h de vapor a trav´es de una turbina que genera 1100 kW mediante un generador acoplado a su eje. Si la entalp´ıa espec´ıfica de entrada del vapor es de 3508 kJ/kg y la velocidad de entrada 60 m/s en tanto la entalp´ıa espec´ıfica de salida es de 2796 kJ/kg y la velocidad de salida de 270 m/s, encontrar cu´ anto calor se entrega a la turbina y el rendimiento de la misma. Ejercicio 3.87: A trav´es de la m´ aquina mostrada en la figura 3.87 fluye un gas perfecto en r´egimen permanente. El peso molecular de dicho gas es de 38 g/mol. Se le suministra calor a una tasa de 1350 J/s. Calcular el trabajo mec´anico realizado por la m´aquina. Las condiciones para cada corriente son las mostradas en la tabla:

Temperatura Presi´ on Abs. Velocidad ´ Area

Corriente 1

Corriente 2

Corriente 3

15 ◦C 30 N/cm2 10 m/s 2000 cm2

15 ◦C 60 N/cm2 10 m/s 500 cm2

15 ◦C 90 N/cm2 600 cm2

Figura 3.87

3.7. EJERCICIOS

149

˙ = 2203 W Respuesta: W Ejercicio 3.88: Un compresor succiona y descarga aire de masa molecular 29 g/mol a trav´es de una tuber´ıa de 200 cm2 de secci´ on (figura 3.88). Se realiz´ o un ensayo dando los siguientes resultados:

Presi´ on Temperatura Velocidad

Succi´on

Descarga

15 N/cm2 150 ◦C 120 m/s

50 N/cm2 250 ◦C ?

El calor espec´ıfico a volumen constante es Cv = 716 J/(kg K). Determinar la potencia requerida.

Figura 3.88

Ejercicio 3.89: En la descarga de un embalse se intercala una turbina como se muestra en la figura 3.89. Si la velocidad de salida de la ca˜ ner´ıa es de 3 m/s calcular la potencia que genera la turbina despreciando todas las p´erdidas.

Figura 3.89 ˙ = 2805 kW Respuesta: W Ejercicio 3.90: Encontrar cual ser´ıa la potencia generada por la turbina del ejercicio 3.89 si las p´erdidas de carga en la conducci´ on fuesen de 1 mcolumna de agua . Ejercicio 3.91: Encontrar la potencia requerida en la bomba para elevar el agua como se muestra en la figura 3.90. Despreciar todas las p´erdidas.

150

CAP´ITULO 3. MOVIMIENTO DE FLUIDOS

Figura 3.90 Respuesta: 10,39 kW Ejercicio 3.92: Encontrar cual ser´ıa la potencia requerida en la bomba del ejercicio 3.91 si las p´erdidas de carga en la conducci´ on fuesen de 1 mcolumna de agua . Ejercicio 3.93: Encontrar la potencia requerida en la bomba para elevar el agua como se muestra en la figura 3.91. Despreciar todas las p´erdidas.

Figura 3.91 Respuesta: 10,46 kW Ejercicio 3.94: La bomba mostrada en la figura 3.92 succiona de un dep´ osito ubicado 3 m por debajo de ella e impulsa el agua en la forma mostrada. Si el di´ametro de succi´on es de 150 mm y el de descarga de 100 mm, el di´ ametro de la boquilla de 50 mm y la velocidad de salida por la boquilla es de 12 m/s, despreciando las p´erdidas determinar la potencia requerida por la bomba y la altura de impulsi´on de la misma.

Figura 3.92

Ejercicio 3.95: Para el esquema mostrado en la figura 3.93 calcular cu´ anto vale la potencia generada por la turbina si la diferencia de nivel H entre los embalses es de 50 m, el caudal que circula es de 20 m3 /s; el di´ametro de la tuber´ıa es de 3 m, las p´erdidas en la tuber´ıa son de 3 m y el rendimiento de la turbina generador es: ηt = 85 %.

3.7. EJERCICIOS

151

Figura 3.93 ˙ = 7830,2 kW Respuesta: W Ejercicio 3.96: La potencia generada por una turbina hidr´aulica o la requerida por una bomba se puede expresar: ˙ =γ·Q·H W Donde γ es el peso espec´ıfico, Q es el caudal volum´etrico y H es la altura de impulsi´on. Derivar esta expresi´ on de la ecuaci´ on de la energ´ıa y analizar el significado de H. Ejercicio 3.97: Las v´alvulas reductoras de presi´on logran el efecto deseado regulando la abertura del orificio de pasaje de fluido. Se instala una de ´estas en una ca˜ ner´ıa de 200 mm de di´ametro que transporta un caudal de agua de 200 m3 /h (figura 3.94). La presi´on aguas arriba de la v´alvula es de 300 N/cm2 en tanto la presi´on aguas abajo (regulada y reducida) es de 100 N/cm2 . Calcular la p´erdida de energ´ıa a trav´es de la v´alvula (expresarlo en kW). ¿Qu´e ocurrir´ıa si en lugar de la v´alvula reductora se instalase una turbina hidr´ aulica?.

Figura 3.94 ˙ = 111,11 kW. Respuesta: W Ejercicio 3.98: En una ca˜ ner´ıa que conduce aire se instala una v´alvula reductora de presi´on. La presi´on absoluta aguas arriba de la v´alvula es de 600 N/cm2 , y la presi´on absoluta aguas debajo de 200 N/cm2 (figura 3.95). El caudal m´asico de aire es de 10 kg/s. El di´ametro de la ca˜ ner´ıa aguas arriba de la v´alvula es de 100 mm, el di´ametro aguas debajo es de 150 mm. ¿Qu´e ocurrir´ıa si en lugar de la v´alvula reductora se instalase una turbina hidr´ aulica?.

Figura 3.95

Ejercicio 3.99: La figura 3.96 muestra en forma esquem´ atica una v´alvula de exceso de flujo. Despreciando todas las p´erdidas calcular el caudal (expresado en m3 /h) para el cual se va a cerrar. La reducci´on de secci´on en

152

CAP´ITULO 3. MOVIMIENTO DE FLUIDOS

la ca˜ ner´ıa, donde se toma la presi´ on, tiene un di´ametro de 70 mm, el diafragma tiene un di´ametro de 5 cm, el resorte ejerce una fuerza hacia abajo de 50 N. El fluido que circula es gas licuado de densidad 0,8 y el di´ ametro de la ca˜ ner´ıa es de 100 mm.

Figura 3.96 Respuesta: Q = 127 m3 /h Ejercicio 3.100: Desde un dep´ osito de superficie infinita el agua fluye por una ca˜ ner´ıa y al salir de ´esta, golpea una l´amina deflectora fija a 90◦ , como se muestra en la figura 3.97. Si se mide un empuje horizontal de 1000 N sobre el deflector. ¿Cu´al es la potencia desarrollada por la turbina?. Considerar todas las p´erdidas despreciables.

Figura 3.97

Cap´ıtulo 4 An´ alisis Dimensional Contenidos 4.1. Conceptos Generales . . . . . . . . . . . . . . 4.2. Teor´ıa de modelos - Semejanza . . . . . . . . 4.2.1. N´ umeros adimensionales . . . . . . . . . . . . 4.3. An´ alisis dimensional . . . . . . . . . . . . . . . 4.4. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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154 154 157 163 170

Introducci´ on En este cap´ıtulo desarrollaremos los principios fundamentales que se utilizan en los ensayos de modelos a escala y una de sus herramientas m´as importantes que es el an´alisis dimensional y el teorema π de Buckingham.

153

´ CAP´ITULO 4. ANALISIS DIMENSIONAL

154

4.1 Conceptos Generales Cuando un fen´ omeno f´ısico no puede ser resuelto completamente mediante m´etodos anal´ıticos o bien se requiere corroborar los valores obtenidos por la v´ıa anal´ıtica, se debe recurrir a los ensayos experimentales. Esto es particularmente cierto en Hidr´aulica y en Mec´anica de Fluidos en general, pues la caracter´ıstica aleatoria de la turbulencia no permite establecer modelos totalmente anal´ıticos. En esta unidad se dar´a una idea general de como deben realizarse dichos ensayos experimentales para que los mismos sean representativos del fen´omeno f´ısico real, y como, cuando se conocen las variables que intervienen en un problema f´ısico se las puede correlacionar. La primera parte se resuelve a partir de la teor´ıa de modelos en tanto que la segunda tiene que ver con el an´alisis dimensional. Justamente son estos dos temas los que desarrollaremos a continuaci´on.

4.2 Teor´ıa de modelos - Semejanza En el estudio o resoluci´on de algunos problemas de la mec´anica de fluidos es conveniente desarrollar un “modelo” a escala del “prototipo” real a fin de obtener los resultados correspondientes. Algunos casos t´ıpicos de ensayos experimentales con modelo a escala (tambi´en llamada maqueta) son: Ensayo de diques, r´ıos, estuarios, etc. Ensayo de turbinas y bombas en bancos de prueba. Ensayos aerodin´ amicos de edificios en t´ uneles de viento. Ensayos de barcos en canales de experiencia. Ensayos de aviones y carrocer´ıas en t´ uneles de viento. De los resultados de los ensayos sobre el modelo se podr´ a determinar el comportamiento del prototipo, siempre que el modelo se realice con experiencia, sentido com´ un, ingeniosidad y paciencia. Si se quiere que los resultados obtenidos en el modelo sean v´alidos para el prototipo se deben mantener tres semejanzas b´ asicas: La semejanza Geom´etrica. La semejanza Cinem´ atica. La semejanza Din´ amica. La semejanza geom´etrica establece que el modelo y el prototipo deben tener la misma “forma” o “apariencia”, es decir que las relaciones entre magnitudes hom´ologas se deben mantener. Con referencia a la figura 4.1: dm lm = dp lp Y por lo tanto: Am = Ap



dm dp

2

 =

lm lp

2 y

∀m = ∀p



dm dp

3

 =

lm lp

3

Donde el sub´ındice p indica que pertenece al prototipo y el sub´ındice m indica que pertenece al modelo. La semejanza cinem´atica implica que las relaciones entre los m´odulos de las velocidades y las aceleraciones correspondientes en puntos hom´ ologos del espacio f´ısico de modelo y prototipo son las mismas y que los vectores tienen la misma direcci´on y sentido (figura 4.1). Esto conduce al hecho que las l´ıneas de corriente (el campo fluido) deben ser geom´etricamente semejantes. Siendo el modelo y el prototipo una l´ınea de corriente m´as del campo fluido esto nos lleva a la conclusi´on que si entre modelo y prototipo hay semejanza cinem´atica habr´a tambi´en semejanza geom´etrica entre ellos. Obviamente la

4.2. TEOR´IA DE MODELOS - SEMEJANZA

155

Figura 4.1

rec´ıproca no es necesariamente cierta, es decir que la semejanza geom´etrica no implica la semejanza cinem´ atica. De lo anterior surge que existiendo semejanza cinem´atica se puede escribir:       ~m ~m ~m V V V   =   = ··· =   ~ ~ ~ Vp V p V p 1

2

n

Donde el sub´ındice del par´entesis identifica puntos hom´ologos entre el modelo y el prototipo. De la misma forma para las aceleraciones:       |~am | |~am | |~am | = = ··· = |~ap | 1 |~ap | 2 |~ap | n La semejanza din´amica implica que la relaci´on entre las fuerzas que act´ uan en puntos hom´ologos correspondientes debe ser siempre la misma, y la direcci´on y sentido de los vectores fuerza deben ser coincidentes (figura 4.1). Es decir:         F~m F~m F~m   =   = · · · =   = mm · |~am | ~ ~ ~ mp · |~ap | n Fp Fp Fp 1

2

n

Donde m · a son las fuerzas de inercia. De esto surge que, si las distribuciones de masas entre modelo y prototipo en el campo fluido son similares, los flujos son cinem´aticamente semejantes, y como ya se vio, cuando los flujos son cinem´aticamente semejantes tambi´en son geom´etricamente semejantes. Por lo tanto en el caso que la distribuci´on de masa sea similar en modelo y prototipo la semejanza cinem´atica asegura las otras dos. En otro sentido s´ı existe semejanza geom´etrica y din´amica debe existir semejanza cinem´atica. Para fluidos incompresibles la densidad es constante y por lo tanto para ellos la distribuci´on de masa en modelo y prototipo se mantiene siempre igual. Puesto que la masa del modelo de una part´ıcula de fluido puede ponerse: dmm = ρm · d∀m En forma similar para el prototipo: dmp = ρp · d∀p Por lo tanto en un punto cualquiera del fluido la relaci´on de masas ser´a: dmm ρm d∀m = · dmp ρp d∀p

´ CAP´ITULO 4. ANALISIS DIMENSIONAL

156

S´ı los fluidos que se utilizan para el ensayo en modelo y prototipo se comportan como incompresibles, la relaci´ on de densidades permanece constante en todo el espacio fluido, al igual que la relaci´ on de vol´ umenes, que resulta igual a la escala al cubo. Por lo tanto en el caso de fluidos incompresibles la relaci´ on de masas est´ a asegurada. Asegurar la semejanza cinem´ atica entre modelo y prototipo resulta t´ecnicamente muy complicado, en cambio asegurar la semejanza geom´etrica es sencillo y veremos que tambi´en es relativamente sencillo asegurar la semejanza din´ amica. Para un punto cualquiera del espacio fluido tanto en el modelo como en el prototipo se puede escribir, para un punto gen´erico n, de acuerdo al segundo principio de Newton: X  F~m = (mm · ~am )n n

Para el modelo, de la misma forma para el prototipo: X  F~p = (mp · ~ap )n n

Las fuerzas que act´ uan en un punto cualquiera son: Fuerzas de presi´ on: F p Fuerzas viscosas: F v Fuerzas gravitatorias: F g Fuerzas el´ asticas: F e Fuerzas de tensi´ on superficial: F σ Para un punto n gen´erico en el modelo podemos poner: (F~ pm + F~ vm + F~ gm + F~ em + F~ σm )n = (F~ im )n Y para el punto hom´ ologo en el prototipo: (F~ pp + F~ vp + F~ gp + F~ ep + F~ σp )n = (F~ ip )n Donde F i son las fuerzas de inercia. Para cada punto del espacio fluido debe ocurrir que los vectores correspondientes entre las fuerzas sean paralelos y la relaci´ on entre sus m´ odulos debe ser constante (figura 4.2), es decir:             F~ pm F~ vm F~ gm F~ em F~ σm F~ im             = = = = = ~ ~ ~ ~ ~ ~ F pp F vp F gp F ep F σp F ip n

n

n

n

n

n

Figura 4.2 Si construimos los poligonos de fuerzas los mismos ser´ an semejantes como se muestra en la figura 4.2. El u ´ltimo t´ermino como es obvio de la ecuaci´on de Newton se satisfar´a s´ı se satisfacen los cinco primeros t´erminos, puesto que es la relaci´ on entre las resultantes de los mismos.

4.2. TEOR´IA DE MODELOS - SEMEJANZA

157

4.2.1 N´ umeros adimensionales A fin de adimensionalizar la semejanza din´amica es com´ un referir los m´odulos de las fuerzas a una de ellas. Usualmente se toma como par´ametro para adimensionalizar a la fuerza de inercia con lo cual resulta que se debe cumplir para exista semejanza din´amica:             F~ ip F~ im F~ ip F~ im F~ ip F~ im   =    =    =   ;  ;  ~ ~ ~ ~ F pm F pp F~ vm F vp F~ gm F gp n n n n  n n    ~  ~  ~ ~ F ip F im F ip F im   =    =   ;  ~ ~ F em F ep F~ σm F~ σp n

n

n

n

Donde:  −1 |F~ i| 1 N´ umero de Euler - E 2 · |F~ p|   12 |F~ i| N´ umero de Froude - = |F~ g|  12  |F~ im | N´ umero de Mach - M |F~ em | |F~ i| N´ umero de Reynolds - < |F~ v| ~ |F i| N´ umero de Cauchy - C |F~ e| |F~ i| N´ umero de Weber - W |F~ σ| Se debe notar que elevar la relaci´on a una potencia cualquiera o multiplicarla por un n´ umero no modifica la relaci´ on de dichas fuerzas entre modelo y prototipo. Es decir, que para que exista semejanza din´amica deber´a ser: (Em )n = (Ep )n (Mm )n = (Mp )n

;

( Yc , = < 1 como surge de la curva de energ´ıa espec´ıfica. Siendo para el caso analizado el tirante mayor que el tirante normal, como surge de la 9.6 el numerador de la ecuaci´on de la pendiente es positivo, mientras que por ser el n´ umero de Froude menor que 1 el denominador de la ecuaci´ on de la pendiente de la superficie libre es positivo.

Figura 9.24 Para este caso resulta dY / dx > 0 pues el numerador y el denominador son positivos y por lo tanto se trata de una curva de remanso que deber´a desarrollarse desde el tirante uniforme hasta el tirante infinito. Teniendo en cuenta que para el tirante tendiendo al tirante uniforme la superficie libre se hace asint´ otica con la pendiente del canal y que para el tirante tendiendo a infinito la superficie libre se hace asint´ otica con la horizontal, resulta la curva D1 (ver figura 9.24), donde la letra D contempla el hecho que se trata de una curva d´ebil y el sub´ındice 1 indica que la curva se desarrolla en el tirante superior. Esta es probablemente una de las curvas m´as com´ unmente encontrada en la pr´actica. Subcaso b.2) El tirante del canal es menor que el correspondiente al r´egimen uniforme, pero mayor que el correspondiente al tirante cr´ıtico: Y0 > Y > Yc Que es el caso de un escurrimiento lento pues siendo Y > Yc , = < 1 como surge de la curva de energ´ıa espec´ıfica. Siendo para el caso analizado el tirante menor que el tirante normal, como surge de la ecuaci´on el numerador de la 9.8 de la pendiente es negativo, mientras que por ser el n´ umero de Froude menor que 1 el denominador de la ecuaci´ on de la pendiente de la superficie libre es positivo. Para este caso resulta dY / dx < 0 pues el numerador es negativo y el denominador es positivo y por lo tanto se trata de una curva de ca´ıda que deber´ a desarrollarse desde el tirante uniforme hasta el tirante cr´ıtico. Teniendo en cuenta que para el tirante tendiendo al tirante uniforme la superficie libre se hace asint´ otica con la pendiente del canal y que para el tirante tendiendo al tirante cr´ıtico la curva tiende a

392

´ CAP´ITULO 9. ESCURRIMIENTO EN CANALES EN REGIMEN PERMANENTE

infinito, resulta la curva D2 (ver figura 9.25), donde la letra D contempla el hecho que se trata de una curva d´ebil y el sub´ındice 2 indica que la curva se desarrolla en el tirante intermedio.

Figura 9.25

Subcaso b.3) El tirante del canal es menor que el tirante del canal en r´egimen uniforme y menor que el tirante cr´ıtico: Y0 > Yc > Y Que es el caso de un escurrimiento r´ apido pues Yc > Y , = > 1 Siendo para el caso analizado el tirante menor que el tirante normal, como surge de la ecuaci´on el numerador de la ecuaci´ on de la pendiente es negativo, mientras que por ser el n´ umero de Froude mayor que 1 el denominador de la ecuaci´ on de la pendiente de la superficie libre es negativo.

Figura 9.26 Para este caso resulta dY / dx > 0 pues el numerador y el denominador son negativos y por lo tanto se trata de una curva de remanso que deber´a desarrollarse desde la solera del canal (tirante cero) hasta el tirante cr´ıtico. Teniendo en cuenta que para el tirante tendiendo a cero la pendiente es finita y que para el tirante tendiendo al tirante cr´ıtico la superficie libre tiene pendiente infinita, resulta la curva D3 (ver figura 9.26), donde la letra D contempla el hecho que se trata de una curva d´ebil y el sub´ındice 3 indica que la curva se desarrolla en el tirante inferior. Caso c) Pendiente Cr´ıtica Este caso es simplemente te´orico pues los canales no se dise˜ nan para la pendiente cr´ıtica pues en este r´egimen el flujo es muy inestable y pulsante lo cual da lugar a una r´apida erosi´on. El caso en cuesti´on corresponde a S0 = Sc o sea Y0 ≡ Yc . Por lo tanto solo son posibles dos casos: Subcaso c.1) El tirante es mayor que el cr´ıtico y por lo tanto mayor que el correspondiente al tirante en r´egimen uniforme y permanente, es decir: Y > Yc ≡ Y0 Que es el caso de un escurrimiento lento pues Y > Yc , = < 1 como surge de la curva de energ´ıa espec´ıfica. Siendo para el caso analizado el tirante mayor que el tirante normal, como surge de la 9.6 el numerador de la ecuaci´on de la pendiente es positivo, mientras que por ser el n´ umero de Froude menor que 1 el denominador de la ecuaci´ on de la pendiente de la superficie libre es positivo.

9.3. FLUJO PERMANENTE GRADUALMENTE (O UNIFORMEMENTE) VARIADO

393

Para este caso resulta dY / dx > 0 pues el numerador y el denominador son positivos y por lo tanto se trata de una curva de remanso que deber´a desarrollarse desde el tirante cr´ıtico (que coincide con el uniforme) hasta el tirante infinito. Teniendo en cuenta que para el tirante tendiendo al tirante cr´ıtico la superficie libre tiende a infinito y que para el tirante tendiendo a infinito la superficie libre se hace asint´otica con la horizontal, resulta la curva C1 (ver figura 9.27), donde la letra C contempla el hecho que se trata de una curva cr´ıtica y el sub´ındice 1 indica que la curva se desarrolla en el tirante superior.

Figura 9.27

Subcaso c.2) El tirante del canal es menor que el cr´ıtico y por lo tanto menor que el correspondiente al tirante en r´egimen uniforme y permanente, es decir: Y < Yc ≡ Y0 Que es el caso de un escurrimiento r´apido pues Y < Yc , = > 1 como surge de la curva de energ´ıa espec´ıfica. Siendo para el caso analizado el tirante menor que el tirante normal, como surge de la ecuaci´on el numerador de la 9.8 de la pendiente es negativo, mientras que por ser el n´ umero de Froude mayor que 1 el denominador de la ecuaci´ on de la pendiente de la superficie libre es negativo.

Figura 9.28 Para este caso resulta dY / dx > 0 pues el numerador y el denominador son negativos y por lo tanto se trata de una l´ınea de remanso que deber´ a desarrollarse desde el tirante cero hasta el tirante uniforme. Teniendo en cuenta que para el tirante nulo la pendiente de la superficie libre tiende a un valor finito y que para el tirante tendiendo al tirante uniforme la superficie libre se hace asint´otica a la pendiente del canal resulta la curva C3 (ver figura 9.28), donde la letra C contempla el hecho que se trata de una curva cr´ıtica y el sub´ındice 3 indica que la curva se desarrolla en el tirante inferior. Caso d) Pendiente nula En este caso el r´egimen permanente y uniforme no es posible. A medida que la pendiente tiende a cero el tirante en r´egimen uniforme tiende a infinito como puede observarse inspeccionando la ecuaci´ on de Manning, es decir para este caso S0 = 0 e Y0 = ∞. Por lo tanto solo son posibles dos subcasos: Subcaso d.1) El tirante del canal es mayor que el tirante cr´ıtico: Y0 > Y > Yc Que corresponde a un r´egimen lento pues para Y > Yc , = < 1 como surge de la curva de energ´ıa espec´ıfica. Siendo para el caso analizado el tirante menor que el tirante normal, como surge de la ecuaci´on el numerador de la 9.8 de la pendiente es negativo, mientras que por ser el n´ umero de Froude menor que

394

´ CAP´ITULO 9. ESCURRIMIENTO EN CANALES EN REGIMEN PERMANENTE

1 el denominador de la ecuaci´ on de la pendiente de la superficie libre es positivo. Para este caso resulta dY / dx < 0 pues el numerador es negativo y el denominador es positivo y por lo tanto se trata de una curva de ca´ıda que deber´a desarrollarse desde el tirante uniforme hasta el tirante cr´ıtico. Teniendo en cuenta que para el tirante tendiendo al tirante uniforme la superficie libre se hace asint´ otica con la pendiente del canal (que por ser en este caso nula coincide con la horizontal) y que para el tirante tendiendo al tirante cr´ıtico la curva tiende a infinito, resulta la curva N1 (ver figura 9.29), donde la letra N contempla el hecho que se trata de una curva de pendiente nula y el sub´ındice 1 indica que la curva se desarrolla en el tirante superior.

Figura 9.29

Subcaso d.2) El tirante del canal es menor que el tirante cr´ıtico: Y0 > Yc > Y Que corresponde a un r´egimen r´apido pues para Yc > Y , = < Y como surge de la curva de energ´ıa espec´ıfica. Siendo para el caso analizado el tirante menor que el tirante normal, como surge de la 9.8 el numerador de la ecuaci´ on de la pendiente es negativo, mientras que por ser el n´ umero de Froude mayor que 1 el denominador de la ecuaci´ on de la pendiente de la superficie libre es negativo.

Figura 9.30 Para este caso resulta dY / dx > 0 pues el numerador y el denominador son negativos y por lo tanto se trata de una curva de remanso que deber´a desarrollarse desde la solera del canal (tirante cero) hasta el tirante cr´ıtico. Teniendo en cuenta que para el tirante tendiendo a cero la pendiente es finita y que para el tirante tendiendo al tirante cr´ıtico la superficie libre tiene pendiente infinita, resulta la curva N2 (ver figura 9.30), donde la letra N contempla el hecho que se trata de una curva de pendiente nula y el sub´ındice 2 indica que la curva se desarrolla en el tirante inferior. CASO e) Pendiente adversa En este caso al igual que el anterior el r´egimen permanente y uniforme no es posible. El tirante que corresponde a este flujo en r´egimen uniforme es imaginario (ver ecuaci´on de Manning), es decir para este caso S0 < 0, Y0 = imaginario. Para este caso por ser la pendiente del canal negativa, en tanto que la p´erdida S es siempre positiva resulta que el numerador (S0 − S) ser´a siempre negativo. Por lo tanto solo son posibles dos subcasos: Subcaso e.1) El tirante del canal es mayor que el tirante cr´ıtico: Y0 > Y > Yc

9.3. FLUJO PERMANENTE GRADUALMENTE (O UNIFORMEMENTE) VARIADO

395

Que corresponde a un r´egimen lento pues para Y > Yc , = < 1 como surge de la curva de energ´ıa espec´ıfica. Como se dijo m´as arriba el numerador es negativo, mientras que por ser el n´ umero de Froude menor que 1 el denominador de la ecuaci´ on de la pendiente de la superficie libre es positivo.

Figura 9.31 Para este caso resulta dY / dx < 0 pues el numerador es negativo y el denominador es positivo y por lo tanto se trata de una curva de ca´ıda que deber´a desarrollarse desde el tirante infinito hasta el tirante cr´ıtico. Teniendo en cuenta que para el tirante tendiendo a infinito la superficie libre se hace asint´otica con la horizontal y que para el tirante tendiendo al tirante cr´ıtico la curva tiende a infinito, resulta la curva A1 (ver figura 9.31), donde la letra A contempla el hecho que se trata de una curva de pendiente adversa y el sub´ındice 1 indica que la curva se desarrolla en el tirante superior. Subcaso e.2) El tirante del canal es menor que el tirante cr´ıtico: Yc > Y Que corresponde a un r´egimen r´ apido pues para Yc > Y , = > 1 como surge de la curva de energ´ıa espec´ıfica..

Figura 9.32 Como se dijo m´as arriba el numerador es negativo, mientras que por ser el n´ umero de Froude mayor que 1 el denominador de la ecuaci´ on de la pendiente de la superficie libre es negativo. Para este caso resulta dY / dx > 0 pues el numerador y el denominador son negativos y por lo tanto se trata de una curva de remanso que deber´a desarrollarse desde el tirante nulo hasta el tirante cr´ıtico. Teniendo en cuenta que para el tirante nulo la pendiente de la superficie libre tiende a un valor finito y que para el tirante tendiendo al tirante cr´ıtico la curva tiende a infinito, resulta la curva A2 (ver figura 9.32), donde la letra A contempla el hecho que se trata de una curva de pendiente adversa y el sub´ındice 2 indica que la curva se desarrolla en el tirante inferior. Todo lo anterior se resume en la tabla 9.2 de la p´agina 409.

9.3.4 Resoluci´ on del flujo uniformemente variado A fin de encontrar la forma de la superficie libre, es decir los valores del tirante a lo largo de la longitud del canal debemos integrar la ecuaci´ on: dY S0 − S = dx 1 − =2

396

´ CAP´ITULO 9. ESCURRIMIENTO EN CANALES EN REGIMEN PERMANENTE

Siendo la p´erdida de energ´ıa y el n´ umero de Froude a su vez funciones del tirante, no es posible integrarla en forma anal´ıtica, excepto para el caso de canales de gran anchura con pendiente nula. Hubo numerosas resoluciones de este tipo para el caso general. Aqu´ı veremos solo la resoluci´on por el m´etodo tramo a tramo tambi´en llamado de paso directo que es adecuado para la resoluci´on de canales prism´ aticos y tiene la ventaja de poder instrumentarse f´ acilmente en una planilla de c´ alculo. De la ecuaci´ on de la energ´ıa (punto 9.3.2) para un volumen de control diferencial de longitud dx (figura 9.33): V2 =0 S · dx + dY − S0 · dx + d 2g

Figura 9.33 Esta misma ecuaci´on aplicada a un volumen de control finito constituido por un tramo de canal ∆x entre dos secciones 1 y 2 resultar´ a: S · ∆x + Y2 − Y1 − S0 · ∆x +

V22 − V12 =0 2g

Reagrupando:   V22 V12 (S0 − S) · ∆x = Y2 + − Y1 + 2g 2g Despejando ∆x y como Y + V 2 /2g = E resulta: ∆x =

E2 − E1 S − S0

(9.12)

El valor de la p´erdida de energ´ıa S se puede calcular de acuerdo a la f´ormula de Manning como el valor medio entre las secciones 1 y 2 o sea: P1 + P2 n2 · Q2 · 2 S1 + S2 S= = ! 10 2 3 A1 + A2 2

! 34 (9.13)

Como los valores que adopta el tirante son conocidos para determinar los niveles de la superficie libre se opera de la siguiente forma: a) Para un valor dado de Y1 se calculan el a´rea A1 , el per´ımetro mojado P1 , y la Energ´ıa espec´ıfica E1 correspondientes. b) Con un nuevo valor de Y que se adopta como Y2 se calculan A2 , P2 y E2 . c) Mediante la ecuaci´ on (9.13) se calcula S.

´ 9.4. FLUJO PERMANENTE BRUSCAMENTE VARIADO. RESALTO HIDRAULICO

397

d) Con el valor de S calculado y los valores de E1 y E2 mediante la ecuaci´on . . . se calcula ∆x. De esta forma se puede graficar el tirante a lo largo del canal. Conviene verificar los valores que se obtienen para distintos valores de intervalo de tirante a fin de acotar el error a lo que se estipule.

Ejemplo 9.6 En un canal que transporta un gasto de 900 m3 /s y pendiente de solera 3 × 10−4 de secci´on transversal aproximadamente trapecial, ancho de fondo Bf = 60 m y taludes 1:10, se interpone un dique que eleva el tirante 10 m (figura 9.34).

Figura 9.34 Determinar el perfil longitudinal del canal hasta un nivel que difiere del uniforme en 3 %. Comenzamos calculando el tirante normal y el tirante cr´ıtico, los cuales los obtenemos de las ecuaciones de Maning y de la expresi´ on de Froude haciendo ´este igual a 1. Mediante una hoja de c´ alculo obtenemos las tablas 9.4 y 9.5 en la p´agina 411. Es decir que el tirante normal es de 8,73 m en tanto el tirante cr´ıtico de 2,29 m. Los valores del intervalo ∆x los calculamos mediante la tabla 9.6 en la p´agina 412. Es decir que se trata de una curva D1 que se extiende por 10,835 km.

9.4 Flujo permanente bruscamente variado. Resalto hidr´ aulico Cuando en un canal una corriente r´ apida se encuentra con una corriente lenta (usualmente ocasionado por alg´ un elemento f´ısico tal como un vertedero, una ampliaci´on de la secci´on, etc.) se produce un resalto hidr´ aulico que se manifiesta por un brusco aumento del tirante. En la figura 9.35 se representa un escurrimiento r´apido donde se ha interpuesto un obst´aculo que obliga a elevar el tirante.

Figura 9.35

Es decir que mientras en el flujo uniformemente variado se presenta una variedad de posibilidades (curvas de remanso) el estudio del movimiento bruscamente variado se reduce a estudiar un solo fen´ omeno que es el Resalto Hidr´ aulico. Las caracter´ısticas f´ısicas que representa el resalto hidr´aulico a primera vista son:

398

´ CAP´ITULO 9. ESCURRIMIENTO EN CANALES EN REGIMEN PERMANENTE El resalto se produce en una corta distancia. Por lo tanto las diferencias de altura de la solera pueden ser despreciadas. Se forma un torbellino con sentido antihorario para el flujo en el canal de izquierda a derecha (visto desde el punto de vista del lector) el cual evidencia a trav´es de la espuma una incorporaci´on importante del aire del ambiente. Esto indica que debe aumentar la energ´ıa interna del fluido (por efecto t´ermico inducido por el rozamiento) en detrimento de la energ´ıa mec´anica (cin´etica m´ as potencial).

Uno de los puntos que son inter´es del Ingeniero es determinar la altura del tirante aguas abajo del resalto si se conocen las caracter´ısticas geom´etricas del canal y el tirante aguas arriba.

9.4.1 Alturas conjugadas Se llaman alturas conjugadas a las alturas del tirante aguas arriba y aguas abajo del resalto. Para simplificar las ecuaciones nos remitiremos a canales de gran anchura, es decir que la influencia de las paredes laterales es despreciable y por lo tanto puede ser estudiado como un canal de ancho unidad. Apliquemos ahora las ecuaciones fundamentales a un resalto en un canal de gran anchura y con solera horizontal (como vimos es despreciable su incidencia) como se muestra en la figura 9.36.

Figura 9.36 Tomando un volumen de control como el mostrado, donde las secciones de entrada y salida (1 y 2) se encuentran en zonas del flujo donde las l´ıneas de corriente se pueden considerar rectas paralelas, la ecuaci´ on de continuidad queda: ‹ ˚ ~ · dA ~= ∂ ρ·V ρ · d∀ ∂t SC

VC

V 1 · A1 = V 2 · A2 Y referido a la unidad de ancho resulta: V 1 · A1 = V 2 · A2 = q A su vez la ecuaci´ on de cantidad de movimiento: ˚ ‹   X ∂ ~ ~ ~ ~ · V ~ · dA ~ F(ext) = ρ · V · dA + ρ·V ∂t VC

SC

Nos interesa desarrollar esta ecuaci´ on en la direcci´on del movimiento. Para dicha direcci´on y el volumen de control mostrado las u ´nicas fuerzas externas son las debidas a la presi´on en el seno del l´ıquido. A su vez la distribuci´on de presiones en el l´ıquido debe ser lineal (hidrost´ atica) pues las l´ıneas de corriente en las secciones 1 y 2 son rectas paralelas. Por lo tanto la ecuaci´on de cantidad de movimiento en la direcci´ on del mismo resulta: γ·

Y1 Y2 · A1 − γ · · A2 = −ρ · V12 · A1 + ρ · V22 · A2 2 2

´ 9.4. FLUJO PERMANENTE BRUSCAMENTE VARIADO. RESALTO HIDRAULICO

399

Que se puede reagrupar: γ·

Y1 Y2 · A1 + ρ · V12 · A1 = γ · · A2 + ρ · V22 · A2 2 2

A los t´erminos a cada lado de la igualdad se los conoce en alguna literatura como “momenta”. Si volvemos a referir la ecuaci´ on a la unidad de ancho (para canales de gran anchura): γ·

Y2 Y12 + ρ · V12 · Y1 = γ · 2 + ρ · V22 · Y2 2 2

Siendo γ = ρ · g y V2 · Y2 = V1 · Y1 , por continuidad reemplazando en la anterior resulta: Y12 V 2 · Y1 + 1 2 g Y12 Y2 − 2 2 2 Y12 Y22 − 2 2 2 Y1 Y2 − 2 2 2

= = = =

1 · (Y1 − Y2 ) · (Y1 + Y2 ) = 2

Y22 V2 · V1 · Y1 + 2 g V1 · Y1 · (V2 − V1 ) g   V1 · Y1 V1 · Y1 · − V1 g Y2   V1 · Y1 V1 · Y1 − V1 · Y2 · g Y2 V12 · Y1 · (Y1 − Y2 ) Y2 · g V12 · Y1 Y2 · g

1 · (Y1 + Y2 ) = 2 Y22 Y1 V 2 · Y1 + · Y2 − 1 =0 2 2 g

(9.14)

Que es un binomio cuadrado perfecto en Y2 que se puede resolver: s Y1 2V 2 · Y1 Y12 Y2 = − + + 1 2 4 g s Y2 8V12 1 1 =− + · 1+ Y1 2 2 Y1 · g s Y2 8V12 1 1 =− + · 1+ Y1 2 2 Y1 · g Expresi´on que nos permite encontrar la altura del resalto aguas arriba si se conoce la altura del resalto aguas abajo para un canal de gran anchura. Siendo el t´ermino V12 (Y1 · g) = F r12 si se reemplaza en la anterior se obtiene:  q 1 Y2 = · 1 + 8=21 − 1 (9.15) Y1 2 De la cual se desprenden las siguientes conclusiones: Para valores del n´ umero de Froude = = 1 ⇒ Y2 = Y1 y por lo tanto no hay resalto. Para valores del n´ umero de Froude = > 1 ⇒ Y2 > Y1 y por lo tanto hay resalto. Para valores del n´ umero de Froude = < 1 ⇒ Y2 < Y1 lo cual no coincide con las observaciones f´ısicas. Demostraremos m´ as adelante que ´esta alternativa no tiene sentido f´ısico.

400

´ CAP´ITULO 9. ESCURRIMIENTO EN CANALES EN REGIMEN PERMANENTE

La ecuaci´ on (9.15) es v´ alida para cualquier secci´on. Siendo, para un canal de gran anchura, por continuidad: V1 · Y1 = V2 · Y2 y el n´ umero de Froude: V12 /(Y1 · g) = =21 y V22 /(Y2 · g) = =22 despejando el valor de la velocidad del n´ umero de Froude y reemplaz´ andolo en la ecuaci´ on de continuidad resulta: p p =21 · Y1 · g · Y1 = =22 · Y2 · g · Y2 3

3

=21 · Y12 = =22 · Y22   23 Y2 =1 = Y1 =2 Y reemplazando en la ecuaci´ on mencionada: 

=1 =2

 32

1 = · 2

q

8=21

1+ √ 8 · =1

 −1

=2 =   32 p 1 + 8=21 − 1

(9.16)

Esta expresi´ on relaciona el N´ umero de Froude aguas arriba del resalto con el N´ umero de Froude aguas abajo del mismo. Por ser una expresi´ on adimensional no depende de la forma del canal y es v´alida para hallar el n´ umero de Froude aguas abajo conociendo el n´ umero de Froude aguas arriba para cualquier secci´ on del canal.

9.4.2 P´ erdida de energ´ıa a trav´ es del resalto Como ya dijimos en el resalto se produce una transformaci´on de energ´ıa mec´anica en energ´ıa interna del fluido lo cual representa una p´erdida de energ´ıa mec´anica. Para encontrar cuanto vale esta p´erdida planteamos la ecuaci´ on de la energ´ıa:  ˚ ‹    ∂ 1 2 ˙ ˙ ~ · dA ~ QC − WC = e · ρ · d∀ + u+ V +g·z ·ρ· V ∂t 2 VC

SC

Como podemos suponer que no hay intercambio de calor entre el fluido y el medio, teniendo en cuenta que el flujo es permanente y no hay intercambio de potencia con un eje podemos reescribir:  ‹    1 2 p ~ · dA ~ 0= u+ V +g·z+ ·ρ· V 2 ρ SC

Teniendo en cuenta que solo hay flujo por las secciones extremas, que la energ´ıa interna y la velocidad del fluido son constantes en toda la secci´ on (no entre secciones distintas) , y las l´ıneas de corriente son rectas paralelas con lo cual p/ρ + g · z = cte = g · Y para toda la secci´on: V12 V2 = g · Y2 + u2 + 2 2 2 V12 − V22 u2 − u1 = Y1 − Y2 + g 2g

g · Y1 + u1 +

Donde el t´ermino (u2 − u1 )/g es la variaci´ on de energ´ıa interna del fluido en metros de columna de l´ıquido y que debe ser num´ericamente igual a la p´erdida de energ´ıa mec´anica ∆H. Por lo tanto la anterior la podemos reescribir: ∆H = Y1 − Y2 +

V12 − V22 2g

´ 9.4. FLUJO PERMANENTE BRUSCAMENTE VARIADO. RESALTO HIDRAULICO

401

Ecuaci´ on que nos da la p´erdida de energ´ıa mec´anica para un canal. Vamos a tratar de expresar esta p´erdida en funci´on del resalto aguas abajo y aguas arriba exclusivamente. La anterior la podemos reescribir:   V22 V12 ∆H = Y1 − Y2 + · 1− 2 2g V1 Siendo de acuerdo a la ecuaci´ on (9.14) vista en el punto anterior: 1 V 2 · Y1 · (Y1 + Y2 ) = 1 2 Y2 · g   1 Y2 V22 ∆H = Y1 − Y2 + · (Y1 + Y2 ) · · 1− 2 4 Y1 V1 Y como de acuerdo a la ecuaci´ on de continuidad resulta: Y2 V22 = 12 2 V1 Y2 ∆H ∆H ∆H ∆H ∆H

  1 Y2 Y12 = Y1 − Y2 + · (Y1 + Y2 ) · · 1− 2 4 Y1 Y2   3 Y2 Y1 Y12 = Y1 − Y2 + · Y1 − 2 + Y2 − 4Y1 Y2 Y2 2 2 Y2 Y Y Y1 = Y1 − Y2 + − 1 + 2 − 4 4Y2 4Y1 4 2 2 3 3 Y Y = Y1 − Y2 − 1 + 2 4 4 4Y2 4Y1
1 = · 3Y12 · Y2 − 3Y22 · Y1 − Y13 + Y23 4Y1 · Y2

Siendo el t´ermino entre par´entesis en el numerador un cuatrinomio cubo perfecto (Y2 − Y1 )3 resulta: ∆H =

(Y2 − Y1 )3 4Y1 · Y2

(9.17)

Como esta ecuaci´on solo tiene sentido f´ısico para ∆H positivo resulta que el tirante aguas abajo del resalto siempre tiene que ser mayor que el tirante aguas arriba que el resalto es decir Y2 > Y1 . Lo cual corrobora lo dicho anteriormente que no puede existir resalto si el n´ umero de Froude de la corriente aguas arriba es menor que uno es decir que para que exista resalto hidr´aulico es condici´ on “sine equanon” que F r > 1 para la corriente aguas arriba.

9.4.3 Longitud del resalto Dadas las caracter´ısticas del fen´omeno estudiado es necesario saber de antemano donde se localizar´a y que longitud ocupar´ a a fin de evaluar la revancha a dar al canal y especificar el tipo de revestimiento del mismo a la parte del resalto, pues debido a este fen´omeno el canal sufrir´a una erosi´on importante. La localizaci´ on del resalto surge del estudio de las curvas de remanso en cuanto a su longitud solo se tienen estudios emp´ıricos. En la figura 9.37. Se muestra la longitud del resalto en funci´on del n´ umero de Froude aguas arriba en relaci´ on al tirante aguas abajo del mismo de acuerdo a las recomendaciones del U.S. Bureau of Reclamation extractado de Ven Te Chow “Hidr´aulica de los Canales Abiertos”. En la figura 9.38 se muestra la forma de los diferentes tipos de resaltos.

Ejemplo 9.7 Aguas abajo de un canal rectangular de ancho B1 = 15 m se produce un resalto hidr´aulico. El tirante aguas arriba del mismo es de y1 = 1,5 m y la velocidad de 20 m/s.

402

´ CAP´ITULO 9. ESCURRIMIENTO EN CANALES EN REGIMEN PERMANENTE

Figura 9.37

Figura 9.38

Calcular: a) El n´ umero de Froude de ingreso y salida del resalto. b) El tirante y velocidad aguas abajo del resalto. c) Potencia disipada en kW.

´ 9.4. FLUJO PERMANENTE BRUSCAMENTE VARIADO. RESALTO HIDRAULICO

403

d) Longitud. e) Eficiencia Porcentual. a) De acuerdo a la ecuaci´ on (9.2) el n´ umero de Froude vale: == √

V q · Dh

Siendo Dh = A/T para un canal rectangular: Dh =

B·Y =Y B

Por lo tanto: == √

V g·Y

Y el n´ umero de Froude aguas arriba del resalto: =1 = √

V1 20 m/s = 5, 216 =p g · Y1 9,8 m/s2 · 1,5 m

Para calcular el n´ umero de Froude aguas abajo del resalto podemos utilizar la ecuaci´on (9.16): √ √ 8 · =1 8 · 5, 216 =2 =   32 = p  32 = 0, 288 p 2 2 1 + 8=1 − 1 1 + 8 · 5, 216 − 1 b) El tirante aguas abajo lo podemos obtener del Froude calculado en a) o bien mediante la ecuaci´ on (9.15): q Y1 1,5 m p Y2 = · 1 + 8=21 − 1 = · 1 + 8 · 5, 2162 − 1 = 10,34 m 2 2 Con el tirante aguas abajo y la ecuaci´ on de continuidad podemos calcular la velocidad aguas abajo: V1 · B · Y1 = V2 · B · Y2 Y1 m m 1,5 m V2 = V1 · = 2,9 = 20 · Y2 s 10,34 m s c) La p´erdida de energ´ıa por unidad de peso a trav´es del resalto la podemos calcular mediante la ecuaci´ on (9.17): (Y2 − Y1 )3 (10,34 m − 1,5 m)3 ∆H = = 11,135 m = 4Y1 · Y2 4 · 1,5 m · 10,34 m Si queremos obtener la energ´ıa disipada por unidad de tiempo (Potencia) debemos multiplicar la anterior por el caudal en peso o sea: ˙ p = γ · Q · ∆H = γ · V1 · Y1 · B · ∆H W ˙ p = 9800 N · 20 m · 1,5 m · 1,5 m · 11,135 m W s m3 ˙ Wp = 49 105 350 W = 49 105,35 kW d) Para calcular la longitud del resalto de la figura 9.37 para un Froude de 5,216 resulta L/Y2 = 6, 05 y por lo tanto la longitud del resalto: L = 6, 05 · Y2 = 6, 05 · 10,34 m = 62,6 m e) La eficiencia porcentual relaciona la potencia aguas arriba del resalto (inicial) con la potencia disipada: ˙p W η% = · 100 ˙ inicial W

´ CAP´ITULO 9. ESCURRIMIENTO EN CANALES EN REGIMEN PERMANENTE

404

La potencia inicial del flujo est´a dada por su energ´ıa potencial y cin´etica aguas arriba del resalto. Esta potencia por unidad de peso viene dada por: 2 2 ˙ inicial = Y1 + V1 = 1,5 m + (20 m/s) = 21,91 m W 2g 2 · 9,8 m/s2

Y por lo tanto: η% =

11,135 m · 100 = 50,83 % 21,91 m

Es decir que este resalto disipa la mitad de la energ´ıa inicial del flujo aguas arriba.

9.5 Canales con Cambio de Pendiente Cuando en un canal prism´atico se produce un quiebre debido a un cambio en la pendiente del mismo sin que se produzca un cambio de secci´on o de la rugosidad la superficie l´ıquida adquiere la forma mostrada en la figura 9.39 de acuerdo al valor de la pendiente aguas arriba y aguas abajo del quiebre.

Figura 9.39 Estas curvas se pueden obtener, en la mayor´ıa de los casos, de las curvas obtenidas para una canal simple teniendo en cuenta lo siguiente: Suficientemente lejos aguas arriba y aguas abajo del quiebre el tirante l´ıquido debe tender al tirante normal correspondiente al canal con la pendiente que corresponde. Cuando la pendiente aumente aguas abajo del quiebre el tirante tiende a disminuir y viceversa. Cuando el quiebre se produce entre pendientes del mismo tipo (suave-suave o fuerte-fuerte) la superficie libre evoluciona de acuerdo a una u ´ nica curva (que es la correspondiente al caso en cuesti´on) y que queda determinada por las condiciones de los tirantes normales aguas arriba y aguas abajo.

9.5. CANALES CON CAMBIO DE PENDIENTE

405

Cuando el quiebre se produce entre curvas de distinto tipo (fuerte-d´ebil o d´ebil-fuerte) la superficie libre debe pasar por el tirante cr´ıtico. Como ya se hab´ıa puntualizado al aproximarse a la profundidad cr´ıtica el flujo deja de ser gradualmente variado pues las l´ıneas de corriente no se pueden considerar paralelas en la secci´ on y por lo tanto el perfil de la superficie libre no se puede predecir exactamente, por esta misma raz´on no se puede asegurar que la profundidad cr´ıtica ocurra exactamente por encima del quiebre. Como se vio al tratar el resalto hidr´aulico ´este se produce cuando se intenta pasar de flujo supercr´ıtico a subcr´ıtico. En estos casos el resalto puede ocurrir aguas arriba o aguas abajo del quiebre. Con estas premisas analizaremos cada uno de los casos mostrados: a) Pendiente d´ebil a pendiente m´ as d´ebil: El tirante aguas abajo tiene un tirante mayor que el de aguas arriba. El canal pasa a trav´es de pendientes del mismo tipo (ambas d´ebiles) por lo tanto la curva que unir´ a ambos tirantes normales ser´a una curva d´ebil D. Como el tirante siempre est´a por encima del tirante normal (que por tratarse de pendientes d´ebiles es siempre mayor que el tirante cr´ıtico) la curva que une ambos tirantes ser´ a la curva D1 . b) Pendiente d´ebil a pendiente menos d´ebil: Aqu´ı el tirante aguas abajo es menor que el tirante aguas arriba. Por las mismas razones que en a) el tipo de curva que une ambos tirantes ser´a del tipo D. Sin embargo aqu´ı se produce la duda respecto al tipo de curva pues la curva pasar´a por tirantes que son inferiores al tirante normal aguas arriba pero superiores al tirante normal aguas abajo. Sin embargo se debe advertir que por tratarse de pendientes d´ebiles, las condiciones que mandan son las de aguas arriba porque las ondas gravitacionales tienen mayor velocidad que el flujo y por lo tanto el flujo aguas arriba es alcanzado por las perturbaciones aguas abajo. Por lo tanto para seleccionar la curva se debe comparar los tirantes con el tirante aguas arriba. Como la curva debe tener tirantes menores que el tirante normal (el cual es mayor que el tirante cr´ıtico por ser la pendiente d´ebil), la curva deber´a ser de tipo D2 . Esto adem´as es coherente con este tipo de curva que es una curva de ca´ıda como lo requiere la geometr´ıa de las superficies libres. c) Pendiente fuerte a pendiente menos fuerte: Tambi´en se trata de un caso donde se pasa de un tipo de pendiente a otro del mismo tipo, por lo cual y de acuerdo a lo dicho la transici´on se da a trav´es de una curva del mismo tipo. Como la pendiente es menor aguas abajo que aguas arriba el tirante es menor aguas arriba que aguas abajo y por lo tanto se debe pasar a trav´es de una curva de remanso. En este caso como el fluido viaja a velocidades mayores que las de la de onda dominan las condicione aguas abajo. Entonces la curva fuerte que debe unir ambos tirantes normales pasa a trav´es de tirantes que son inferiores al tirante normal aguas abajo, el cual obviamente por tratarse de una pendiente fuerte es menor que el tirante cr´ıtico y por lo tanto la curva es F3 (observar que para este caso las curvas F1 y F3 son ambas de remanso). Observe que el flujo aguas arriba contin´ ua con el tirante normal hasta que se encuentra con el quiebre. Esto se debe a que la porci´on aguas arriba del flujo no le llega la informaci´ on que aguas abajo existe un quiebre de la pendiente. d) Pendiente fuerte a pendiente m´ as fuerte: Es un caso similar al anterior pero ahora el tirante aguas arriba es mayor que el tirante aguas abajo por lo cual la curva de transici´on debe ser una curva de ca´ıda. Como dominan las condiciones aguas abajo, los tirantes de la curva de transici´ on son mayores que el tirante normal aguas abajo y por supuesto menor que el tirante cr´ıtico, por lo tanto la curva ser´a del tipo F2 . e) Pendiente d´ebil a pendiente fuerte: Por tratarse de dos tipos de pendiente diferente la transici´ on de la l´ınea de la superficie libre se har´ a a trav´es de dos curvas de distinto tipo una d´ebil D y una fuerte F . Obviamente en este caso

406

´ CAP´ITULO 9. ESCURRIMIENTO EN CANALES EN REGIMEN PERMANENTE

la curva pasa a trav´es de la profundidad cr´ıtica, la cual supondremos que coincide con el cambio de pendiente aunque esto no es rigurosamente cierto. Como de acuerdo a lo visto anteriormente para el caso de la pendiente d´ebil dominan las condiciones aguas arriba, la curva de transici´on en el tramo de pendiente d´ebil discurre entre el tirante normal aguas arriba y el tirante cr´ıtico, por lo tanto la curva ser´a del tipo D2 . Para el tramo aguas abajo dominan las condiciones aguas abajo y por lo tanto la curva de transici´on fuerte discurre entre el tirante cr´ıtico y el tirante normal del tramo fuerte, es por lo tanto una curva F2 . f) Pendiente fuerte a pendiente d´ebil: En este caso como una corriente r´apida se encuentra con una corriente lenta, y por lo tanto se produce un resalto hidr´ aulico. Se pueden dar dos casos: f.1 El resalto hidr´ aulico se produce aguas arriba del cambio de pendiente. Se da cuando el tirante y2 (profundidad secuente) calculado tomando a y1 como su conjugado es menor que el tirante normal correspondiente al canal con pendiente d´ebil. En este caso se produce el resalto, y luego desde el tirante y2 hasta alcanzar el tirante normal y01 la superficie libre describe una curva fuerte F dado que el resalto se produce en dicho tramo. Como los tirantes pasan desde un punto por encima de la profundidad cr´ıtica (porque se produjo el resalto), que a su vez es mayor que la profundidad normal en el tramo de pendiente fuerte, hasta alcanzar el nivel del tirante normal en el tramo d´ebil, la curva en cuesti´on ser´a del tipo F1 . f.2 El resalto hidr´ aulico se produce aguas abajo del cambio de pendiente. Se obtiene cuando el tirante y2 (profundidad secuente) calculado tomando a y01 como su conjugado resulta mayor que el tirante normal correspondiente al canal con pendiente d´ebil. En este caso el resalto se forma en el tramo d´ebil, y la profundidad secuente (y2 ) coincide con la profundidad normal del tramo con pendiente d´ebil y02 . Por lo tanto sabiendo el tirante conjugado aguas abajo del resalto se puede calcular el tirante conjugado aguas arriba del resalto mediante la ecuaci´on (9.15), por aproximaciones sucesivas. La curva de transici´on entre el tirante normal del tramo con pendiente pronunciada (o fuerte) y el tirante y1 calculado anteriormente es del tipo D (por producirse en el tramo D´ebil, y como esta curva tiene lugar entre el tirante normal del tramo fuerte y un punto del tirante inferior al tirante cr´ıtico (que para el tramo d´ebil es inferior al tirante normal), se trata de una curva D3 . g) Canal de pendiente d´ebil que desagua en un embalse o en otro canal de pendiente nula. Se pueden dar dos casos: g.1 Que el nivel de agua en el embalse sea superior al tirante normal en el canal. Como los tirantes de la curva de transici´ on pasan por valores superiores al tirante normal en el canal y la pendiente del canal es d´ebil, dicha curva ser´a del tipo D1 . g.2 Que el nivel de agua en el embase sea inferior al tirante normal en el canal. A su vez pueden darse dos subcasos: g.2.1 El nivel del embalse es mayor que el tirante cr´ıtico del canal. Aqu´ı los tirantes de la curva de transici´on discurren entre el tirante normal y el nivel del embalse que es mayor que el cr´ıtico, por lo cual la transici´on se realiza a trav´es de una curva D2 . g.2.2 El nivel del embalse es menor que el tirante cr´ıtico en el canal. Aqu´ı los tirantes entre el tirante normal y el cr´ıtico pasan a trav´es de una curva como la anterior (D2 ), pero luego se produce una ca´ıda brusca hasta el nivel del embalse. h) Canal de pendiente fuerte que desagua en un embalse o en otro canal de pendiente nula: Se pueden dar dos casos: h.1 El nivel de agua en el embalse sea superior al tirante normal en el canal. Por tratarse de una corriente r´ apida que se encuentra con una corriente lenta (en este caso quieta), se producir´ a un resalto para el cual se pueden dar dos casos:

´ 9.6. CAMBIO DE SECCION

407

h.1.1 El nivel del embalse es mayor que el tirante secuente (y2 ) calculado con el tirante (y01 ) como tirante conjugado del resalto. En este caso se produce un resalto que eleva el tirante hasta el nivel y2 y luego se alcanza el tirante correspondiente al nivel del embalse a trav´es de una curva F1 , dado que se produce en tramo de pendiente fuerte y los tirantes son mayores que el tirante uniforme. h.1.2 El nivel del embalse es menor que el tirante secuente (y2 ) calculado con el tirante (y01 ) como tirante conjugado del resalto pero mayor que el tirante normal del canal. En este caso se produce un resalto imperfecto que lleva el tirante desde el tirante normal al tirante correspondiente al embalse. h.2 El nivel de agua en el embase sea inferior al tirante normal en el canal. Se produce una ca´ıda brusca desde el nivel normal del canal hasta el nivel del embalse. De la misma forma se pueden analizar los casos de varios cambios de pendiente en canales suficientemente largos como para considerar que en cada tramo se alcanzan las condiciones de flujo uniforme. Para ello es conveniente proceder como sigue: Se grafica el perfil del canal con escalas horizontal y vertical apropiadas. Para cada tramo se calcula la profundidad normal y se gr´afica. Para cada tramo se calcula la profundidad cr´ıtica y se grafica. Se localizan todas aquellas secciones cuya profundidad es conocida, como por ejemplo las secciones cr´ıticas, los vertederos, presas, compuertas, etc. Se determina que tipo de curva/curvas permiten la transici´on entre dichas alturas usando los casos analizados para el cambio de pendiente. Finalmente se las grafica.

9.6 Cambio de Secci´ on Un caso particular de inter´es pr´ actico lo constituye el cambio de secci´ on que ocurre ya sea variando el fondo del canal, el ancho del mismo o ambos a fin de lograr una secci´ on contra´ıda a los fines de medici´on de caudal o de control del mismo. De esta forma midiendo el tirante en dicha secci´on se puede conocer el caudal que circula por la misma, dichos dispositivos se conocen como Ventur´ımetros. Estos dispositivos deben funcionar como m´ aximo a la velocidad cr´ıtica. Si en los mismos no se produce velocidad supercr´ıtica y se los dise˜ na adecuadamente la p´erdida de energ´ıa en los mismos es m´ınima. En la figura 9.40 se muestra un ventur´ımetro donde la contracci´on se produce mediante un escal´on de altura X. Si conocemos las dimensiones del canal, el tirante y la velocidad media, podremos determinar la altura X requerida para producir las condiciones cr´ıticas. En efecto si aplicamos la ecuaci´on de la energ´ıa a un volumen de control como el mostrado, tomando como l´ınea de referencia de las alturas geom´etricas el fondo del canal resulta. Y1 +

V12 V2 = YC + X + C 2g 2g

Figura 9.40

408

´ CAP´ITULO 9. ESCURRIMIENTO EN CANALES EN REGIMEN PERMANENTE

La profundidad YC se puede obtener de la ecuaci´on haciendo el n´ umero de Froude igual a 1 o sea: AC ·

Q √ =1 g · Dhc

Donde debemos reemplazar la expresi´on del ´ area cr´ıtica y la profundidad hidr´aulica por su valor en funci´ on del tirante cr´ıtico. Finalmente mediante la ecuaci´ on de continuidad: V1 · A1 = VC · AC = Q Nos permite mediante sustituciones encontrar el valor de X que hace cr´ıtica a la secci´on. Para el caso de la contracci´ on lateral o de ambas contracciones el procedimiento es el mismo. Obs´ervese que si la velocidad se hiciese mayor que la cr´ıtica a la salida del ventur´ımetro se producir´ıa un resalto hidr´ aulico al querer frenar nuevamente el flujo, lo cual disipar´a energ´ıa que no estar´a disponible para el transporte.

9.7 Tablas

Y0 = Imaginario

S0 < 0

Y0 → ∞

S0 = 0

Y0 > Yc

S0 < Sc

Y0 = Yc

S0 = Sc

Y0 < Yc

S0 > Sc

Valor de la pendiente

Adversa

Nula

Suave

Cr´ıtica

Pronunciada

Tipo de pendiente

Tabla 9.2

Casos 9.7. TABLAS 409

´ CAP´ITULO 9. ESCURRIMIENTO EN CANALES EN REGIMEN PERMANENTE 410

Secci´ on

Y

´ Area A

1

Per´ımetro Mojado P

Y

Radio Hidr´aulico Rh

b

1

Ancho Superficial T

Y

Y

Profundidad Hidr´ aulica Dh





(B + z · Y ) · Y B + 2z · Y

!

sen θ ·D 2

B + 2z · Y

sen θ θ

·D

(B + z · Y ) · Y √ 1 + z2

1−

z·Y √ 2 1 + z2

B + 2Y ·

b·Y b + 2Y

√

1 + z2

1 · 4

Y 2

b + 2Y

B + 2Y ·

1 + z2

D 2

1  θ − sen θ ·D · 8  θ  2

sen

2z · Y

b·Y

(B + z · Y ) · Y

2Y ·

θ·

√ z·Y2

1 · (θ − sen θ) · D2 8

Tabla 9.3: Caracter´ısticas geom´etricas de las secciones m´ as usadas

60

900

60

m

m3 /s

0,02

b

Q

Ancho del canal

Datos a ingresar

900

m

m3 /s

n

0,02

0,0003

b

Q

Ancho del canal

Caudal

n

S0

Caudal

Coef. de rugo.

Coef. de rugo.

Pend. tirante uni.

Datos a ingresar

10

z

Pend. talud

10

z

Pend. talud

208,10

m2

b+z·y

A

´ Area

481,19

m2

b+z·y

A

´ Area

Tabla 9.4

3,17

m

A/P

Rh

Radio hidr´aulico

109,44

m

P √ b + 2y · 1 + z 2

Per´ımetro

Tabla 9.5

1,90

m

A/P

Rh

Radio hidr´aulico

Caracter´ısticas geom´etricas

109,20

m

b + 2z · y

T

Ancho sup.

151,15

m

b + 2z · y

T

Ancho superficial

C´alculo del tirante cr´ıtico Yc

151,61

m

P √ b + 2y · 1 + z 2

Per´ımetro

Caracter´ısticas geom´etricas

C´alculo del tirante uniforme Y0

Yc

= √ Q· T √ 3 A2 · g

2,46

m

Tirante cr´ıtico

Nro. de Froude para Y0

1,00

4,56

m

Y0

Tirante uniforme

0,279 858

=√ Q· T √ 3 A2 · g

N´ umero de Froude para Y0

!2

0,003 18

A · R3

2

Q·n

Sc

Pendiente cr´ıtica

Caracter´ısticas hidr´ aulicas

0,00

1 2 1 0 = Q − · A · Rh3 · S02 n

Ecuaci´on de Manning

Caracter´ısticas hidr´ aulicas

9.7. TABLAS 411

´ CAP´ITULO 9. ESCURRIMIENTO EN CANALES EN REGIMEN PERMANENTE 412

Yi m

Altura perfil

3 × 10−4 3 × 10−4 3 × 10−4 3 × 10−4 3 × 10−4 3 × 10−4 3 × 10−4 3 × 10−4 3 × 10−4 3 × 10−4 3 × 10−4 3 × 10−4 3 × 10−4 3 × 10−4

S0

Pendiente tirante uniforme

0,02 0,02 0,02 0,02 0,02 0,02 0,02 0,02 0,02 0,02 0,02 0,02 0,02 0,02

n

Coeficiente de rugosidad

900 900 900 900 900 900 900 900 900 900 900 900 900 900

Q m/s

Caudal

60 60 60 60 60 60 60 60 60 60 60 60 60 60

b m

Ancho del canal

10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10

z

Pend. talud

154,47 156,48 158,49 160,50 162,51 164,52 166,53 168,54 170,55 172,56 174,57 176,58 178,59 180,60

Pi m

Per´ımetro mojado para canal trapez.

502,90 518,40 534,10 550,00 566,10 582,40 598,90 615,60 632,50 649,60 666,90 684,40 702,10 720,00

Ai m2

Area transversal

1,79 1,74 1,69 1,64 1,59 1,55 1,50 1,46 1,42 1,39 1,35 1,32 1,28 1,25

Vi m/s

Vel.

3,26 3,31 3,37 3,43 3,48 3,54 3,60 3,65 3,71 3,76 3,82 3,88 3,93 3,99

Ri m

Radio hidr´ aulico

Cruva de remanso

4,70 4,80 4,90 5,00 5,10 5,20 5,30 5,40 5,50 5,60 5,70 5,80 5,90 6,00

Tabla 9.6

Sfi

Pendiente l´ınea de energ´ıa

0,000 254 0,000 234 0,000 216 0,000 199 0,000 184 0,000 170 0,000 157 0,000 146 0,000 136 0,000 126 0,000 117 0,000 109 0,000 102

Sfmedio

Promedio pendiente

4,86 4,95 5,04 5,14 5,23 5,32 5,42 5,51 5,60 5,70 5,79 5,89 5,98 6,08

Ei m

Energ´ıa total

2000 1390 1093 918 802 721 661 614 577 548 523 503 485

∆x m

0 2000 3390 4483 5400 6203 6924 7585 8199 8776 9324 9847 10349 10835

x m

0,000 265 0,000 244 0,000 224 0,000 207 0,000 191 0,000 177 0,000 163 0,000 151 0,000 141 0,000 131 0,000 121 0,000 113 0,000 105 9,88 × 10−5

9.8. EJERCICIOS

413

Referencias “Escurrimiento en canales en r´egimen permanente” - Fernando C. Silva - P3DT4 - CEIT F.R.B.A. “Hidr´ aulica - Mec´ anica elemental de fluidos” - Hunter Rose “Hidr´ aulica” - Ballofet, Gotelli y Meoli “Mec´ anica de Fluidos” - Victor L. Streeter “Elementos de Mec´ anica de Fluidos” - Vennard & Street “Hidr´ aulica en Canales Abiertos” - Ven Te Chow

Audiovisuales propuestos “Fluid Motion in a Gravitational Field” - Hunter Rose - Iowa Institute of Hydraulic Research. “Waves in Fluids” - Arthur E. Bryson - Harvard University

9.8 Ejercicios Ejercicio 9.1: El escurrimiento del agua sobre el pavimento se lo puede estudiar como un canal de gran anchura. Determinar cu´al es el m´aximo tirante de un canal de gran anchura con pendiente 1:10.000 para que el flujo en el pavimento sea laminar. Utilizar la f´ ormula de Darcy Weisbach y la expresi´ on del factor de fricci´ on en r´egimen laminar. Respuesta: 6,34 mm. Ejercicio 9.2: Recalcule el tirante del problema 1 calculando la velocidad con la f´ormula de Manning. Considere el factor de Manning n = 0, 01. Compare el resultado obtenido con el anterior y reflexione acerca de que metodolog´ıa le parece m´ as adecuada y por qu´e. Ejercicio 9.3: Encontrar la relaci´ on entre el factor de fricci´on f y el coeficiente de Chezy C. Calcular el valor de C para f = 0, 02. Respuesta: r 1 8g m2 C= ; C = 62,6 f s Ejercicio 9.4: Calcular el radio hidr´aulico o´ptimo para un canal de secci´on de sector circular de di´ametro D y a´ngulo 2α (figura 9.41).

414

´ CAP´ITULO 9. ESCURRIMIENTO EN CANALES EN REGIMEN PERMANENTE

Figura 9.41

Ejercicio 9.5: Para un canal rectangular de 2 m de ancho donde escurre agua con un tirante de 1 m, el coeficiente de Manning es 0,02. Determinar el coeficiente de Chezy y el factor de fricci´on correspondientes a dicha condici´ on. 1

Respuesta: C = 44,54 m 2 /s; f = 0, 04 Ejercicio 9.6: Para el canal anterior calcular el caudal que escurre si la pendiente del canal es de 0,001 aplicando la ecuaci´ on de Chezy, la ecuaci´ on de Manning y la ecuaci´on de Darcy-Weisbach. Ejercicio 9.7: Para un canal rectangular de 1 m de ancho determinar cual ser´a el factor n de Manning correspondiente a una rugosidad absoluta de granos de arena de 5 mm para los siguientes tirantes: 0,05 y 0,5 m. Nota: Considere que el factor de fricci´on en todos los casos corresponde al factor de fricci´on en r´egimen turbulento totalmente rugoso. Respuesta: n1 = 0, 016; n2 = 0, 0158 Ejercicio 9.8: Calcular el caudal que circula por un canal de secci´on transversal conformada por un tri´angulo equilatero con el v´ertice hacia abajo y con un tirante 1 m, s´ı la pendiente es de 1:500 y est´a construido en chapa con coeficiente de Manning n = 0, 015. Ejercicio 9.9: Calcule el m´ aximo caudal que escurre por un canal´on de secci´on simecircular de 2 m de di´ ametro, cuando se lo instala con una pendiente de 1:1000. El coeficiente de Manning para dicho canal´on es de 0,015. Respuesta: Q = 2,086 m3 /s Ejercicio 9.10: ¿Qu´e pendiente de solera se requiere para transportar 1 m3 /s de agua en un canal de secci´ on rectangular de ancho 1 m y tirante 0,5 m, construido con hormig´on de coeficiente n = 0, 02. Ejercicio 9.11: Determinar la pendiente requerida para que una alcantarilla circular de 3 m de di´ametro, construida

9.8. EJERCICIOS

415

con chapa corrugada, transporte 10 m3 /s, si el tirante es de 2 m (figura 9.42). El coeficiente de Manning del material es de 0,015.

Figura 9.42 Respuesta: S0 = 1,075 × 10−3 Ejercicio 9.12: Calcular el tirante normal para un canal rectangular de 2 m de ancho de solera que tiene una longitud de 5000 m con un desnivel de 10 m cuando conduce un caudal de 5 m3 /s. El caudal est´a construido de ladrillo comunes (n = 0, 015). Ejercicio 9.13: Calcular el tirante normal en un canal de secci´ on triangular (figura 9.43) con el v´ertice hacia abajo y ´angulo de 60◦ , si el caudal que circula es de 5 m3 /s; la pendiente de 1:500 y el factor de Manning de 0,015.

Figura 9.43 Respuesta: Y0 = 2,11 m Ejercicio 9.14: Calcular el tirante normal de un canal de secci´on trapecial (figura 9.44) de base de solera 1 m con pendiente lateral 1:2 por el cual circula un caudal de 5 m3 /s; con pendiente 1:500 y factor de Manning 0,015.

Figura 9.44

Ejercicio 9.15: Calcular el tirante normal en un canal constituido por una ca˜ ner´ıa corrugada de 2 m de di´ametro por el caul circula un caudal de 5 m3 /s; con pendiente 1:500 y factor de Manning 0,015.

416

´ CAP´ITULO 9. ESCURRIMIENTO EN CANALES EN REGIMEN PERMANENTE

Respuesta: Y0 = 1,413 m Ejercicio 9.16: Dado el canal y la planicie de inundaci´ on de la figura 9.45, calcular el caudal que circula en el canal y planicie de inundaci´ on, siendo el canal principal de tierra en condiciones normales y la planicie de inundaci´ on de pasto, con una pendiente de solera S0 = 0, 0005 y una inclinaci´on de talud de 8:1.

Figura 9.45

Ejercicio 9.17: Para el canal del ejercicio 9.16 calcular el tirante normal en el canal principal si el caudal que circula es de 150 m3 /s. Respuesta: 4,6 m Ejercicio 9.18: Para un canal rectangular de ancho b = 5 m y un caudal Q = 15 m3 /s, graficar la curva de energ´ıa espec´ıfica en funci´on del tirante. Calcular el tirante cr´ıtico y la energ´ıa espec´ıfica m´ınima. Graficar el valor del caudal en funci´on del tirante para una energ´ıa espec´ıfica dada. Verificar que se cumple Yc = 2/3 · Em´ın . Graficar el valor del caudal en funci´on del tirante para una energ´ıa espec´ıfica E = 1 m. Ejercicio 9.19: En una secci´on de un canal rectangular de 2 m de ancho de solera escurren 5 m3 /s con una energ´ıa espec´ıfica de 1,5 m. Calcular los posibles tirantes. Respuesta: Y1 = 1,316 m; Y2 = 0,593 m Ejercicio 9.20: En una secci´on de un canal de secci´on triangular con el v´ertice hacia abajo y a´ngulo de 90◦ , el caudal que circula es de 5 m3 /s y la energ´ıa espec´ıfica de 2,5 m. Calcular los posibles tirantes. Ejercicio 9.21: En una secci´on de un canal de tipo trapecial como se muestra en la figura 9.46 escurre un caudal de 5 m3 /s con una energ´ıa espec´ıfica de 1,5 m. Calcular los posibles tirantes.

Figura 9.46

9.8. EJERCICIOS

417

Respuesta: Y1 = 1,461 m; Y2 = 0,551 m Ejercicio 9.22: En una secci´on de una conducci´ on de secci´on circular de 3 m de di´ametro, escurre 10 m3 /s. S´ı la energ´ıa espec´ıfica es de 2,5 m calcular los posibles tirantes. Ejercicio 9.23: Para el canal y la planicie de inundaci´ on del problema 16, calcular los tirantes posibles si la energ´ıa espec´ıfica en la secci´ on es de 3,5 m. El caudal que circula es de 72,95 m3 /s. Respuesta: Y1 = 3,433 m; Y2 = 0,985 m Ejercicio 9.24: En un canal de experiencias que tiene un tirante de 2 m y una longitud de 30 m, se generan olas en un extremo del mismo. Considerando a las olas generadas como peque˜ nas perturbaciones determinar el tiempo que le demandar´a a cada una alcanzar el otro extremo del canal cuando el agua est´a quieta, y cuando el agua se mueve en la direcci´ on de la onda a 2 m/s. Ejercicio 9.25: En cualquier canal las peque˜ nas perturbaciones que producen las paredes dan origen a ondas oblicuas estacionarias cuando el agua est´ a en movimiento. Estas son visibles en el escurrimiento de agua en el cord´ on cuneta. Para un canal rectangular de ancho 1 m, donde escurren 2 m3 /s determinar el ´ angulo de dichas ondas para profundidades de 0,5 m de tirante. Respuesta: α = 33,62◦ Ejercicio 9.26: En el problema anterior determinar cual ser´ a el tirante m´aximo para el cual se podr´ a formar dichas ondas estacionarias. Ejercicio 9.27: Determinar la variaci´on del tirante en un canal de secci´on rectangular de ancho igual a 20 m y tirante 5 m, en el cual escurre un caudal de 200 m3 /s cuando el ancho b del canal se reduce a 15 m (figura 9.47). Considerar que la transici´ on es lenta y las p´erdidas se pueden despreciar.

Figura 9.47 Respuesta: Y = 4,812 m

418

´ CAP´ITULO 9. ESCURRIMIENTO EN CANALES EN REGIMEN PERMANENTE

Ejercicio 9.28: Despreciando las p´erdidas determinar el tirante en la contracci´ on s´ı el caudal que circula por el canal rectangular de ancho 1 m es de 1 m3 /s y el tirante de 1 m (figura 9.48).

Figura 9.48

Ejercicio 9.29: En el canal de gran anchura mostrado en la figura 9.49 la diferencia de nivel se realiza en forma gradual de modo que es posible despreciar las p´erdidas de carga. Si escurre un caudal de 1 m3 /(s m) y el tirante aguas arriba es de 1 m, calcular el tirante aguas abajo.

Figura 9.49 Respuesta: Y = 1,217 m Ejercicio 9.30: Calcular el tirante cr´ıtico, la pendiente cr´ıtica y el tipo de escurrimiento para el canal del ejercicio 12. Ejercicio 9.31: Calcular el tirante cr´ıtico, la pendiente cr´ıtica y el tipo de escurrimiento para el canal del ejercicio 13. Respuesta: Yc = 1,725 m; Sc = 5,8 × 10−3 ; subcr´ıtico. Ejercicio 9.32: Calcular el tirante cr´ıtico, la pendiente cr´ıtica y el tipo de escurrimiento para el canal del ejercicio 14. Ejercicio 9.33: Calcular el tirante cr´ıtico, la pendiente cr´ıtica y el tipo de escurrimiento para el canal del ejercicio 15. Respuesta: Yc = 1,074 m; Sc = 4,52 × 10−3 ; subcr´ıtico. Ejercicio 9.34: Calcular el tirante cr´ıtico, la pendiente cr´ıtica y el tipo de escurrimiento para el canal del ejercicio 16.

9.8. EJERCICIOS

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Ejercicio 9.35: Calcular el caudal que circula en un canal rectangular de 1 m de ancho con pendiente suave si en la descarga a boca libre del mismo la altura del pelo de agua es de 20 cm. Respuesta: Q = 0,28 m3 /s Ejercicio 9.36: Calcular el caudal que circula en una ca˜ ner´ıa de 1 m de di´ametro con pendiente d´ebil y que trabaja como canal, si desagua a boca libre con un tirante de 0,3 m. Ejercicio 9.37: Calcular la altura de cresta de que se requiere para que produzca flujo cr´ıtico en una secci´on de un canal rectangular de 1 m de ancho, pendiente 1:1000 y factor de Manning 0,015, por el cual circula un caudal de 1 m3 /s (figura 9.50). Despreciar la p´erdida por fricci´on.

Figura 9.50 Respuesta: X = 0,35 m Ejercicio 9.38: Trazar las posibles curvas de la superficie libre correspondientes al perfil longitudinal de la figura 9.51:

Figura 9.51

Ejercicio 9.39: Para la altura X variable de la cresta mostrada en la figura 9.52 dibujar las curvas posibles para flujo sobre la cresta subcr´ıtico, cr´ıtico, y supercr´ıtico, con pendiente del canal suave.

Figura 9.52

420

´ CAP´ITULO 9. ESCURRIMIENTO EN CANALES EN REGIMEN PERMANENTE

Ejercicio 9.40: Para el cambio de pendiente mostrado en la figura 9.53 deducir las curvas para los siguientes casos: a. Pendiente d´ebil a pendiente menos d´ebil. b. Pendiente fuerte a pendiente menos fuerte. c. Pendiente fuerte a pendiente d´ebil. El r´egimen es permanente y el caudal y rugosidad tambi´en.

Figura 9.53

Ejercicio 9.41: Sabiendo que por el canal de la figura 9.54 escurre un caudal de 130 m3 /s y el flujo en la descarga es cr´ıtico, y que suficientemente lejos de la descarga el flujo es uniforme, calcular: El tirante normal, el tirante cr´ıtico y determinar el tipo de curva entre el tirante normal y la desembocadura. El canal es rectangular, revestido de hormig´ on (n = 0, 012) de 15 m de ancho, y su pendiente es de 2 × 10−5 .

Figura 9.54 Respuesta: Y0 = 9,07 m; Yc = 1,971 m; curva: D2 Ejercicio 9.42: Dos embalses son unidos mediante un canal de pendiente uniforme S0 menor que la pendiente cr´ıtica (figura 9.55). La longitud del canal no es lo suficientemente larga como para que se alcance el tirante uniforme en ning´ un punto. Si el embalse aguas arriba no cambia su nivel (Y1 = cte) mientras que var´ıa el nivel del canal aguas abajo desde una altura igual a la del embalse aguas arriba hasta la profundidad cr´ıtica, indicar el tipo de curvas de remanso que se formar´an e indicar como variar´a el caudal en cada caso.

Figura 9.55

9.8. EJERCICIOS

421

Ejercicio 9.43: Demuestre que en un canal de pendiente nula (horizontal) de gran anchura, la ecuaci´on de la superficie libre se puede integrar en forma directa para dar: L=

 3 · Y 2 13 · (q · n)

13 3

13

− Yi 3



+

 3 · Y 2 4g · n

4 3

4

− Yi 3



Ejercicio 9.44: En un canal de pendiente nula de gran anchura donde circula un caudal de 10 m3 /(s m) se produce una curva de remanso pasando el tirante de 1 m aguas arriba a 1,5 m aguas abajo. Determinar la longitud en la cual se desarrollar´ a esta curva si el factor de Manning es de 0,015. Ejercicio 9.45: Un canal de pendiente 0,0005 cambia su rugosidad de 0,012 a 0,020. El canal es rectangular de base 3 m y circula un caudal de 9 m3 /s. Graficar las curvas de la superficie libre. Respuesta: Y01 = 1,831 m; Y02 = 2,74 m; Yc = 0,972 m; curva D1 Ejercicio 9.46: En un canal rectangular de hormig´on de 30 m de ancho, pendiente del 5 h y rugosidad n = 0, 013, se interpone una pared que eleva el tirante a 3,2 m, para un caudal de 73,4 m3 /s (figura 9.56). a. Calcular el tirante uniforme y el tirante cr´ıtico. b. Se produce resalto. Calcular los tirantes conjugados y la longitud del mismo. c. Dibujar en escala la curva de remanso, el resalto y la l´ınea de energ´ıa.

Figura 9.56

Ejercicio 9.47: En un canal rectangular de laboratorio de 1,2 m de ancho y pendiente 2 × 10−4 se interpone una compuerta de fondo que deja una abertura de 0,1 m de altura (figura 9.57). Al final del canal existe otra compuerta que trabaja como vertedero, su altura es de 0,3 m y su carga total es de 0,15 m. Si para un caudal de 0,45 m3 /s se requiere que el resalto termine a por lo menos 3 m de la compuerta de salida. ¿Cu´al es la distancia m´ınima que debe haber entre las dos compuertas?. Graficar la superficie libre y la l´ınea de energ´ıa. Adoptar n = 0, 013.

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´ CAP´ITULO 9. ESCURRIMIENTO EN CANALES EN REGIMEN PERMANENTE

Figura 9.57 Respuesta: Lm´ın = 8,18 m Ejercicio 9.48: Un canal rectangular de 6 m de ancho consiste en tres tramos de distintas pendientes (figura 9.58). El canal tiene una rugosidad n = 0, 015 y transporta 14 m3 /s. Determinar el tirante normal y el cr´ıtico en cada tramo y los posibles del agua.

Figura 9.58

Ejercicio 9.49: Dado el perfil longitudinal de la solera de un canal rectangular de 3 m de ancho, determinar el perfil de la superficie e indicar que tipo de curvas y/o resaltos se forman (figura 9.59). Cada tramo de canal es suficientemente largo como para permitir que se alcance el tirante uniforme correspondiente. Aguas arriba de la compuerta el tirante es igual a 2,6 m y aguas abajo de la misma es de 0,3 m. Indicar las evoluciones en las curvas de energ´ıa espec´ıfica. El caudal es de 17 m3 /s y n = 0, 015. Calcular todos los tirantes singulares.

Figura 9.59

Ejercicio 9.50: En el canal de gran anchura mostrado en la figura 9.60 se produce resalto entre las secciones 1 y 2. En

9.8. EJERCICIOS

423

el embalse la altura de agua Y0 vale 6 m y su velocidad es despreciable. En el tramo 1 el tirante es de 1 m y el valor del escal´on h es de 0,5 m. Despreciando el rozamiento en todos los tramos (excepto el 1–2 donde se produce el resalto) encontrar el valor de los tirantes 2 y 3.

Figura 9.60

Ejercicio 9.51: La solera de un canal rectangular revestido de hormig´on, de un ancho B = 15 m y por el cual escurre un caudal Q = 130 m3 /s experimenta un brusco cambio de pendiente pasando la misma de S01 = 4 × 10−3 a S02 = 2 × 10−5 (figura 9.61). La rugosidad es n = 0, 012. a. ¿Se producir´ a resalto?. ¿De qu´e tipo?. b. ¿En qu´e tramo del canal se produce?. c. Calcular los tirantes conjugados, la p´erdida de energ´ıa y la eficiencia del resalto. d. Resolver a, b y c para el caso que la pendiente aguas abajo sea 9 × 10−4 . Respuesta: Pendiente

a

b

2 × 10−5 9 × 10−4

S´ı – Ondulante S´ı – Ondulante

Tramo 1 Tramo 2

c Y01 = 1,45 m Y02 = 2,35 m

Y2 = 2,62 m Y1 = 1,63 m

∆H = 0,105 m ∆H = 0,024 m

η = 3,19 % η = 0,78 %

Figura 9.61

Ejercicio 9.52: Un canal de riego recibe alimentaci´on de un canal principal, el cual a su vez se alimenta desde un embalse. Siendo el canal principal de hormig´on, rectangular y con una pendiente de 0,0003 y la base del mismo de 4 m y una longitud de 200 m, calcular la curva de descarga del mismo si el tirante aguas arriba es de 1 m.