Henry Thonier Tome 4 [PDF]

Zitiervorschau

~-:...:

HENRY THONIER

CONCEPTION

ET CALCUL DES STRUCTURES '"

DEBATIMENT Tome 4

resses de lëcde nationale des onts et chaussées

SOMMAIRE

Tome!

~---

Introduction

l'

1. Rappels de Résistance des Matériaux. Étude des poutres soumises à la flexion

3

1. Calcul des co ntraintes dans une section .................. __ ..... .......... .............. 2. Calcul de l'effort tranchant V, du moment M, de la rotation ûl, de la déformée ou flèche y pour une charge p = p(x) ......................................... ..................... 3. Rotation à \' appui gauche pour une travée isostatique de portée L 4. Rotations dues à un moment C sur appui d' une travée à inertie constante 1 . 5. Calcul des moments sur appuis des poutres con tinues. ... ............ ...................... Théorème des trois mom ents . 6. Poutre continue. Calcul des moments su r appu is. Méthode de Caquot 7. Redistribution des moments e n béton armé ............. . .................. 8. Règles forfaitaires en béton armé ... ... ....... .... ............. 9. Portée de calcul. ............... ............. 10. Quelques rés ultats intéressants .......... .............. ................... ............... Il. Effort tranchant et cisaillement des pièces fl éc hi es ........... 12. Poutres con tinues. Sollicitations e n travées ..................... 13. Calcul des moments de travées isostatiques. Méthode générale ...... . 14. Exercices .....................

3

9 12 14 15 17 18 21 26 32 37

Tableaux de calcul de béton armé

....................

45

........ .....

69

2. Formulaire de calcul des poutres 1. Travée isos tatique sur deux appuis 2. Console e ncastrée à gauche 3. Travée sur deux appuis, encastrée à gauche ............. 4. Travée encas trée aux deux extrémités 5. Poutre co nlÎnue de deux travées ............... 6. Poutre continue de trois travées égales 7. Poutre continue de n travées égales

® LI

l'ItOTOCOPlLLAGE TUf Li lIYRE

3. Actions et descente de charges

En applicmion de la loi du Il mars 1957, il est interdit de reproduire intégralement ou partiellement le présent ouvrage, sur quelque support que cc soit, sans autorisation de J'auteur. de son éditeur ou du Centre françai s d'exploitation du droit de copie (CFC, 3. rue Hautefeuille, 75006 Paris).

ID 1996

Rresses. ont.'! et chaussées rk'ole nat ...... le.-

ISBN 2-85978-265-6 49, rue de l'Université 75007 ParÎs

1. Charges permanentes 2. C harges d 'ex ploitation 3. Action de la neige 4. Action du vent 5. Act ions sismiques 6. Prise e n compte des actions 7. Descente de charges 8. Combi naiso ns d'actions

............. .. ........... ........... . ............. ....... ..... .......

4 6 8

69 78 83 87 91 101 106 III III 114 116 11 8 129 168 173 193

III

197

4. Fondations superficielles 1. Contrainte du sol

199

2. 3. 4. 5.

Semelles filantes sous voile. Méth ode des bielles. Charge centrée Semelles rectangul aires sous poteau. Méth ode des bielles. Charge centrée Semelles fil antes avec fl ex ion .. ............ . Semelles rectan gul aires avec fl exion ...... ..-'. ".. ..... 6. Semelles excentrées ................ :-:::: .. ~ .. ...... . 7. Semelles nervurées 8. Semelles circul aires 9. Poutre sur sol élastique 10. Semelles filantes so us poteaux 1 1. Dallages 12. Radi ers généraux 13. Charges concentrées sur dallage. Formules 14. Dallage en béton de fibre 15. Pathologie 16. Résum é. Semelle sous poteau ou vo ile centré. Contrainte constante 17. Choix du type de fondation

224

Bibliographie

345

Index

349

23 1 236 238 27 1 288 291 296 306 321 330 332 339 340 342 343

Tome 2 5. Fondations profondes

351

1. Définition ..

...... ........ .. ................... .... ....... ........... .... ..... ... .... 2. Actions. ......... ... ....... .. 3. Combinaisons .............. . .............. ..... ...... ... 4. Force portante des pieux ........ .... ........ ... ... ... .... ..... ...... .. .. ......... ....... 5. Capacité du sol 6. Capacité du pieu ..... .. .. .......... .. .......... .. .. 7. Semelles sur pieux - Généralités ......... ............ .... .... ... ..... ..... .. .......... 8. Pieu x so umi s à un effort horizo ntal en tête 9. Semelles sur pieux ..... .......... .... . ........ .. ..... .... ..... . 10. Longrines .... ......... .. ............. . ....... ..... Il . Paro is moulées ... ......... ...... ... .......... .

35 1 353 353 354 355 358 366 370 410 460 462

Bibliographie ... ... .........

467

6. Dalles

.... ...........

........... .. .... ... ... ... ....... ......

1. Les planchers .. .. ......... . ... .. ...... 2. Les dalles .. ............................ ............. 3. Dalle rectangulaire arti cul ée sur ses qu atre côtés .. .... ......... 4. Dalle rec tangul aire. Deux cô tés arti cul és el chac un des deux autres étant encastré, arti cul é ou libre .... .. ....... 5. Dalle circulaire so us charge de révolu tion

IV

469 469 47 1 475 482 505

6. Calcul des dall es à la ruplure - Méth odes des lignes de rupture 7. Dalle précontrainte à cab les non-adhére nts 8. Plancher-dall e 9. Dalles précontraintes alvéolées 10. Dalles mi xtes béton à bacs collaborants 1 1. Dalles de form e quelconqu e 12. Dispos itions co nstru ctives 13. Charges sur planchers en co urs de travaux

510 53 1 549 570 589 595 601 605

Bibliographie

609

7. Poutres et planchers

61 3

1. Calcul des planchers 2. Calcul des poutres continues 3. Planchers à entrevo us 4. Planchers nervurés 5. Planchers à poutres croisées et planchers -cai ssons 6. Planchers métalliques 7. Liaisons éléments préfabriqués - Béton coul é sur place 8. Dalles avec prédall es 9. Plancher mixte - Poutre en ac ier et béton sur place 10. Planchers en bois Il. Calcul de la flèc he d ' un plancher 12. Acti ons des charges dynamiques sur les planchers 13. Points parti cul iers

613 615 616 633 653 670 686 687 695 736 745 751 758

Bibliographie

763

Index

771

Tome 3 8. Poteaux 1. Gé nérali tés 2. Flambement

3. Le fl ambement en béton arm é 4. Poteaux de bâtiments en béton armé so us charges centrées et d 'élancement inférieur à 70 5. Poteau en béton armé avec moment (o u excentricité) 6. Dispos itions constructi ves 7. Exemple de potea u en béton arm é 8. Programme « POTO » de calcul et ferraillage de poteau en béton armé 9. Poteau en béton armé suivant l' Eurocode 2 10. Poteau en acier suivant les CM 66 Il . Poteau en acier sui vant l'Eurocode 3 12. Poteau mixte acier-béton sui vant l'Eurocode 4 13. Poteau en bois sui vant l' Eurocode 5

779 779 782 804 818 820 824 827

830 835 840 847 852 858

V

15. Flexion déviée

860 862

Tableaux de calcul (flambement, déversement, poteaux en béton armé)

866

Bibliographie

874

14. Déversement des poutres en béton armé

9. Portiques et ossatures .............

i ~;~;d~i~sn:i~~i~~.::··::::: :::::.:::· 3. 4. 5.

6. 7.

.......................... .

... Portiques multiples en béton armé Ossature e n ac ier Programme de calcul des portiques Poutres treillis De la va lidité des résultats

5. Répartition de l'effort extérieur su ivant les différents éléments de contrevente ment 6. Voiles avec files d 'ouverture 7. Changements d ' inertie 8. Comment limiter les déformations e n tête de bâtiments dues au vent et au séis me 9. Co nception des contreventements

877

ZC-·

877

878 882 912 921 954 978

Bibliographie

981

10. Voiles et murs

983 983 984 987 991 999 1014 1032 1045 1048 1073 1085 1093 1095 1124

1. Généralités

2. Choix du type de voile e n fonction du site 3. Dispositions co nstru ctives des voiles en béton armé ou non armé 4. Résistance des voiles 5. Exemples 6. Murs en maçonnerie non armée 7. Voûtes de décharges 8. Linteaux 9. Poutres-cloisons ... ..................... ....... .. ..... .................... . 10. Maçonnerie armée 11. Ouvertures dan s les voiles et murs 12. Panneaux de maçonnerie sous charge hori zo ntale dans leur plan 13. Raccourc issement différentiel 14. Calcul des voiles en béton - Méthode pratique

Bibliographie Liste des programmes Annexe: Mode d'emploi des programmes de calc ul de poutres « POCO Index BAEL 91 Index général

»

+

1140 1143 1147 1277

1285

1430

12. Bielles et tirants

1431

1. Définitions 2. Étude d'une poutre courte sous charge conce ntrée 3. Élude d ' une poutre avec charge concentrée à mi-travée 4. Étude d'une poutre en Té avec charge répartie 5. Étude d ' un angle de portique avec moment négatif 6. Étude d'un angle de portique avec moment positif 7. Poutre échan crée en extrémité 8. Changement de section 9. Consoles 10. Ouvertures dans les dalles 1 1. Grande ouverture dans une poutre-cloison 12. Poutre baïonnette 13. Exemple-Étude d'une façade sans poteau par la méthode des bielles

1431 1441 1443 1445 1460 1462 1466 147 1 1472 1480 1481 1486 1487

Bibliographie

1493

13. Consoles-Escaliers

1494

1. Généralités 2. Consoles co urantes 3. Consoles courtes (corbeaux) 4. Co nsoles longues 5. Rampes 6. Esca li ers

1494 1494 1504 1514 1521 1524

Bibliographie

1538

14. Étude d'un bâtiment

1539

Bibliographie

11. Contreventement 1. Types de contreventement 2. Caractéristiques des voi les 3. Centre de torsion 4. Inertie équivalente

1291

Annexe A : Programme

1291 1293 1300 1315

1416 1423

Bibliographie

1. Définition du projet 2. Dimensionnement 3. Étude d'exécution-Plans de coffrage et de ferraillage

Tome 4

1327 1388 1411

1539 1547 1565 1609

«

Escadre »-Espacement des cad res de poutres

1611

Annexe B : Calcul des planchers à dalles alvéolées sous charges concentrées

16 19

LiSle des programmes

1651

Index

1657

1 VI VIl

11. CONTREVENTEMENT

1. TYPES DE CONTREVENTEMENT Le contreventement d'une constructi on est constitué de l'ensemble des éléments structuraux qui concourent à sa résistance aux actions autres que gravitaires, en général horizontales telles que le vent, les séismes, la poussée des terres. Le contreventement des constructÎ ons est assuré gé néral ement par un ou plusieurs des d ispositifs sui vants :

- portiques constitués de poutres et poteaux (voir chapitre 9, §. 3 à 5) ; - palées de contreventement (voir chapitre 9, §. 6.2) ; - voiles rigides simples ou composés (voir chapitre 10). Le contreve ntement peut être: - interne: vo iles de refends internes, cages d'escaliers, noyau central (Fig. 1) ; - ou ex terne: voiles de pignons, façades en X (Fig. 2).

~

~

~m~

Fig. 1 - Voiles intérieurs, cages d 'ascenseur et d 'escalier, noyau central.

1291

2. CARACTÉRISTIQUES DES VOILES pour un vo ile simple ou composé, on définit: - l'aire S = Ifdx dy = IfdS _ le moment statique (d it du premier ordre) par rapport à l'axe des abscisses

~x = If y dxdy = If y dS _ le moment statique (dit du premier ordre) par rapport à l'axe des ordonnées

1

~,= If xdxdy=

x_

If xdS

-le moment d'inertie (dit du deuxième ordre) par rapport à l'axe des abscisses lx =

If y' dxdy = If y' dS

- le moment d'i nertie (dit du deuxième ordre) par rapport à l'axe des ordo nnées l, =

If x

2

dxdy =

If x' dS

_ le moment d'inertie composée par rapport aux deux axes

Ix, b - contreventement en X (élévation)

a • voiles de pignon (coupe horizontale)

= If xy dxdy =

If xy dS

Pour un vo ile simple de dimension Il (parallèlement à Oy) et ( (parallèlement à Ox), on a par rapport à son centre de gravité et à ses deux axes de symétrie:

( 1) (2)

S = (h ~x = ~y= 0

Fig. 2 - Voiles de pignon, contreventement de façades en X.

n peut considérer deux lypes de voiles: voile simple rectan gulaire (droit ou en 1) d'épaisseur l et de longueur h, voile composé de plusieurs voiles simples, en forme de T, U, L H, Z, baïonnette, etc. assemblés de façon à former un ensemble rigide (Fig. 3).

Ix = (h' /12 l, = h (, / 12

(3)

Ix\, = 0

(5)

(4)

2.1. EFFETS D'UNE ROTATION D'ANGLE

-

0
1,03 MPa, valeur donnée par la

mét hode des bielles.

4.3.2. Pour une unité de charge p = 0,08 MN/m 4.3.3. Répartition des aciers

(Fig. 3 1)

O n obtient:

- un moment à mi-travée:

M=

pL

2

2

8 -

0,08 x 12

=1,44MNm ;

8

L

. maxima . 1 d' aC ier . d e l'lalso . n ta ble-nervure vau t : 1,925 P par uOIte .• d e 1on gue ur pour a sectIOn --

°. 1"

- un effort tranc hant à l'appui:

L

V = P2 =

0,08 x 12 2

=0,48 MN.

Par la méth ode c lassique, la var iation maximale de l'effort de compression de la tab le vaut M

z

entre les abscisses des points de moment nul el de mome nt maxi mum, M dés ignant Je

moment maximal.

Le débord de table de largeur FI =

~ b - bo z

2b

_

b-b 2

" en reprend une fraction FI:

1,44 0 ,35 = 0,504 MN 1

- -1-

D'après les résu ltats de la méthode des bielles (Fig. 30), la co mpression maxima le Ff de la. partie ex téri eure de table va ut 6, 125 unités de charge, soit 6,125 x 0,08 :;::: 0,49 MN pour on débord de 0,35 m.

1456

une longueur

z:;::: 1 m,

soit pour un ac ier de 500 MPa de limite é lastiq ue:

1,925 xO,8 x 1,15 x J04 (-A,) =3,54 cm'Im s ,= 500

pour une charge de 0,08 MN/m .

Alors que la mét hod e classique donne pour l'abscisse

(A,) = V(b - b,,),, s,

2zbj,

0,48 x 0,7 x 1, 15 x 10 2x l x l x500

4

x=0

et

V = 0,48 MN

=3,86 cm'/m .

La valeur moyenne de la section d'acier repre nant l'effo rt de compression du débord de tab le Vaut·

--..!L C'),= 0,5 La.,

avec

FI = 0,504 MN, soil

(~'), =

4

0,504 x 1, 15 x 10 = 1,93 cm 2/m. 500x 6

t457

On retro~ve b i e~ la moitié de la valeur précédente puisque la courbe ~'ef~ort tranchant a une l'allure triangu laIre pour une charge répartie. Sa valeur moyenne est bIen egaie à la moitié de sa valeur maximum.

Lo == distance entre points de moments {Jy

(av:::;

0,5 Lo pour une charge

répartie uniforme).

C'est pourquoi le BAEL 91, art. B6.7.2 propose, pour les bâtiments pour lesq uels les cisai ll ements ne dépassent pas ce rtaines va leurs, de prendre la valeur moyenne.

nuls

== distance entre points de moment maximal et de moment nul

On trouve ainsi:

0,7 2

vSd

=

2,5

T Rd

1,44 1 -1- (. = 0,084 MN/m < 0,2 x 16,67 x 0,15 = 0,50 MN/m

BAEL 91. Art. B.6.7.2

4

Bâtiments avec charges d'exploitation modérées

Avec reprise de bétonnage vertical

VSd -

A'f = SI

Sans reprise de bétonnage vertical

/ )'d

hl = (0,084-2,5xO,30xO, 15) X 1, 15x 10 =-0,66em2 h 2

VICC-

versa. 2. Les armatures d'un ti rant doivent être ancrées total e me nt au-delà de so n arrê t, so it 45 0 en scellement droit, ou un croc het à 135° avec une partie droite en retournement de 1 1 0 au li eU de 5 minimum, o u un U o u enco re un cadre.

1460

L'angle

e es t obte nu par constructio n à partir de l'a ng le su péri eur gau che (Fig. 33).

On Obtient:

1461

C,=T, C, = T, cotg e

C= T

C4 =T,.fi

CI=C,J2

T,

c,=- sine

0

(' ,45

C6= T, T2 = T, (1 + cotg e)

l,

1

C=T

lA'

al T

h

T

T,=T, TI T3

.... /45°

C4

',,~/c. CI 1" '1;.< 1(_____ / 1

sin(~

ba bu

< Obu = 13,33 OK

z',

h,-)..f2 - d'

m

0,547

= z, = 0,547 OK

z',

h,-)..f2-d'

m

0,347

= z', = 0,347 OK

)..,

c3 J2

m

0,130

m

0,084

bcr bu C,cosy

)..,

babu

> 1 doncy=45 °

0,5229

a',

"" + )..,/2 + d'

m

0,305

= a, = 0,305 OK

0,7854

As
//'

Iz

,~c,

"J __C:!__ \~; '"

T,

' '

tg(9+9,)+tg(9 - 9,) - 2tg9

d2

~t

a

1""

,

92

Tl

C,

I

:~

: 1

d2

d1[,

d1

, '

""f

,, '' ,, ''

l., ~

Ma h,

1""

L

»1
1

Fig. 48 - Console (z < a < 2 z) avec armatures complémentaires verticales.

Fig. 47 - Console (z < a < 2 z) avec armatures complémentaires verticales.

Pour deux bielles en partie gauche (Fig. 47), les efforts valen t : F sin(9+9, - 9 2) C, = sin 9 2 sin 29, , C,

tg e, Posons A = tg e , + tg 45 0 . On a alors:

=

T, A T2 T, = A T2 tg 45 ° T, = T4

Fsin(9 +9,-9)

2 = -,.--c:-"--.,---~ si n 9 sin 29,

C4 =

2

c; cos (9 + 9,) cos 9 2

C6 =A T 2

C, cos (9 - 9,) C, = -'------;;--'-. cos 8 2

C7=T2~Fcotge2

EXEMPLE NUMÉRIQUE

T, = C, sin 92 - C, sin (9 - 9 ,)

Données: h = 0,45,

T2 = F cOlg 92 Le schéma conv ient si CI > 0 , c'est-à-d ire si

1478

sin 8 3

AT C - - -2 5 - cos 450

C - -'-----;;--'-2 -

AT 2 tg 45 °

82 >

e- 81,

tg 9 = 0,415 soit :

D:46

so it

h, = 0,76,

L = 0,47,

d, = 0,4 d2 ,

F=I

9 = 42°,05

1479

9, = 18',

0,41 tg 9, = 0,25

soil

-t- --t,,, - t,,, - f,, ,

9, = 58',63

,,

On trouve: A = 0,621

tg 9 2 = 1,8 tg 9 - 0,4 tg(9 + 9,) - 0,4 tg(9 - 9,),

C,=I,113

C, = 0,630

C2 = 0,393

T2 = 1,332

C3 = 1,271

T 3 = 0,827

C. = 0,969

T. = 0,827

C, = 1,170

T, = 0,827

soit:

9 2 = 36',90

,, ,,

,

C7 = 1,332 Dans les trois exemples étudiés ci-dessus, on a un rapport des efforts dans les aciers complémentaires sur l'effort de tirant égaux à : 2T, - = 2 x 0,163 = 0,466

T2

2 x 0,216 = 0,718 0,602

T2

T 2

,

\J

1,,/

D

,, ,, ,, . ,, ,, ,, ,,, )-------.; , , ,,, ,,, , ,

/1

1\,

t-~-r-T

-,-±--

Face comprimée

Face tendue

Fig. 49 - Ouverture dans une dalle sous moment constant.

0,7

2T,

2T,

,,

:,

rDi '

T, = 0,310

C6 = 0,827

,, ,, ""

}--------{

2 x 0,31 = 0,466 1,332

11, GRANDE OUVERTURE DANS UNE POUTRECLOISON Exemple de grande ouverture dans une poutre-cloison (Fig. 50) de 30 cm d'épais,eur et 6,7 m de portée entre axes, supportant une c harge co ncentrée de 2,25 MN. ~F=2 ,25 MN

T, Ces exemples montrent la nécessité de disposer d'aciers complémentaires relativement importants par rapport aux aciers du tirant principal.

10, OUVERTURES DANS LES DALLES Dans une portion de dalle où l'on peut supposer le mome~t constant, une ouverture de moyenne ou grande dimension perturbe le cheminement des efforts de compression en fibre supérieure (moments positifs) et de traction en fibre inférieure. Les bielles ou tirants longitudi nauX interrompus par l'ouverture doivent être repris par des bielles et tirants inclinés telS qUe dessinés sur la figure 49 [1 1].

1480

2,6

e

,-

~ ',6

DI

1,6

Fig. 50 - Ouverture dans une poutre-cloison.

148 1

S'il n'y avait pas d'ouverture (Fig. 51), On aurait deux bielles uniques partant de la charge et allant vers les appu is. Décomposons la charge F en deux charges 0,5 F situées aux abscisses 2,10 m et 2,30 m. Le sys tème des trois bielles doit être funi culaire des deux charges, donc, avoir la même allu re que la courbe des moments à un coefficient près.

A'

-1:1', '1 ,~--

15° ~'

'T Cl,,',' ','Cl

'"en ~

..,.'

1,643+ 1,575= 3,2 18MNm M A -- 0,5Fa(L-a)+0,5Fa(L-a')= L L

'r,,' ~ ,

C~' ~

05 Fa (L - a') 0,5 Fa'(L - a') _ 1575 + 1 725 = 3,300 MNm ' + -" T L

1 1

0,1

' """,- ......

Yl':'Il'"X-',

Moments:

M A'-

~F

A

,

""

Il

"" x\ , ,

'C3

1

''N f" "

" ""'- "" ',_ ""'- "

\.

.....

11

l'V

4,3

T

" '_'-\ ...

~\ 0,2

R,

Réaction s d'appuis:

J,

- a') _ 0783" + 0 750, = 1 533 MN R,- 05 ' F L(L - a) + 0,5 F (L L

2,1

Rz

?t:J

4,6

}

Fig. 51 - Étude de la poutre sans ouverture,

0,5 Fa + 0,5 Fa' = 0,717 MN R, = - L L On disposera le nœud le plus haut à 10 cm de la fibre supérieure de la poutre afin que la bielle supér ieure ait une contrainte de compression inférieure à la valeur limite de

0,8!". = 1333 MP 1,5 ' a. Bras de levier:

MA

ZA' ;;;;

le côté gauche (sans ouverture), la bielle moyenne est inclinée de a tel que:

4,193 tg c< = - - = 1,9967 2, 1 De l'éq uilibre des nœuds, on tire: T = R, cotg c< = 0,767 MN

. SOIt c< = 63°,40.

(ee que l'on vérifie bien).

4,30 m

0,5 R, C, = - , - = 0,857 MN

_ 3,218

- MA' - 'A-

ZA -

POUf

sm

3,300 x 4,3 = 4,193 m (au prorata des moments, comme vu ci·dessus).

a

C,

C, = - - = 0,887 MN .

On admettra qu e les deux bielles inclinées s'épanouissent avec un angle de 15 ° d'ouverture

(voir chapitre 10, § 9.2.1).

Effort de traction du tirant inférieur : T;;;;

T, = C, sin 15 ° = 0,230 MN M A

ZA

Effort de co mpress ion de la bielle su périeure

compression:

1482

Cil

15

IJC"'';

III

ci

0,25 F

ci V,OJu

~~---------------, ~

~

1\ \

~l

',J

o.:J

0

al

0,5 R2

:::O,1...f2" +1,4+0.2

1 1

, 0,95 ;1 0,85 ,0,85 ,

~I !ôl,

.

\C4 1 1 1 1

~

..

,,'1

Fig. 53 - Deuxieme modele de bielles et tirants.

1 1

1

(il,

1

\/

~I

t

]~

0,2 0,5 R2

• Efforts et aciers (Fig. 54)

t

1,059 ~

,1,4 o~ 0,2

1,941

/

4,ro

T

'

C5 =0,5 R2 T, = 0,5 R2

.fi

C6 = 0,5 T T, =T

T 4 = 0,5 R2 T, = 2 T, = R2

::O,l...f2"+ 1,6+0,2

.fi

T 6 =O,5T

TB= 0,5 T

Fig. 52 - Modele 1 pour le côté avec ouverture.

L'équilibre du nœud supéri eur droit permet d'écrire les deux éq uations à deux inconnues: C) cos al = T2 cos 45 0

C, sin

Ct,

+ T2 sin 45 ° = 0,5 R2

, , 0,5 R2 d ou C, = . = 0,312 MN . cosa]+sm cx]

ct

T 2 = 0,435 MN.

On superpose un deuxième modèle au modèle précédent (Fig. 53).

1484

Tirant

Effort (MN)

Acier (cm 2 )

soit

T

0,767

17,64

4 HA20 + 2 HA20

T,

0,230

5,29

2 x 4 HAB/m

T2

0,435

10,01

4 HA20

T,

0,359

8,26

voir T5

T4

0,359

8,26

6 HA14

Ts

0,717

16,49

6 HA20

TB

0,384

8,83

voirT7

T,

0,767

17,62

6 HA20

T.

0,384

8,83

6 HA14

1485

13. EXEMPLE;ÉTUDE D'UNEFAÇADE SANS POTEAU PAR LA METHODE DES BIELLES

3x2HA14

#:

""HA20

Quadrillage selon BAEl

La façade de la figure 56 est caractérisée par le fait que l'on ne peut disposer de continuité verticale pour descendre les charges à l'exception des deux bords extrêmes.

AvstAh """ HA14

...r

/1"1

[[][[][[][[][[][[] [[][[][[]O[] [J[J[J[J[J[] [[][[][[]rJ[] [[][][][][][] [[][[][[][][] [][[][][[][J[J [[][[][[]r:JrJ [][][][[][[][J

4HA20 2HA20

Fig. 54 -- Ferraillage.

12. POUTRE BAÏONNETTE On a vu le cas de changement de section en 8 ci-dessus. La poutre baïonnette (Fig. 55a), avec ou sans changement de section, nous conduit à un raisonnement analogue. Intuitivement, on disposerait d'un acier continu avec boucle (Fig. 55b) et pour des efforts pas trop importants à un système de bielles et tirants comme indiqué sur la figure 55c. Pour des efforts importants, on évite le changement brusque de direction de la bielle comprimée, et on tient compte du grand rayon de courbure de l' acier inférieur (Fig. 55d). Il en résulte alors le ferraillage de la figure 55e.

! ~ IL=J ~ lU l!..········L-----· ~

;;;~

10.\

._----------

I l

Fig. 56 -- Façade sans poteau.

La solution consiste à considérer des systèmes de bielles verticales, puis inclinées, contournant les ouvertures.

1

1

a

1

b

1

c

Le schéma de transmission des efforts par des bielles est représenté sur la figure 57. 1

"

1

l

l

"

1

l

l

"

"

d

e

Fig. 55 - Poutre baïonnette.

1486

"

"

,

"

"

1

"

"

,

'[J' '[J' '[J' '[J' '[J' '[J' . . . . -,' "'r---ll ,, A'[J'" '[J' '[J' '[J' '[J'B , , , ..... -.... :, []~. -~[]; --:[]'~. -:'~'~. -r[]: -~.[] :, --1 ~ --''-[Jr - ,.~.--"r -"[Jr- "rJr" "rJ}--~', ---:1,,

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1 l J-_J,

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l , 1

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1

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1

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l

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A..._.A.

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1

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l

" ;_{,

"r-,'

'

,,

"

1

1 1 l

1 1 ,

1

1

.

Fig. 57 - Schéma de bielles.

1487

Ce système de bielles ne ~écessite pas d'acier d'équilibre, ce lui -c i étant assur~ par des bielles hori zontales. Cependan t, il faut que les deux bielles d'extrémité en A e t B sOIent éq uilibrées Ell es ne peuvent l'être que si les poteaux d'extrémité sont bloqués co ntre tout déplacemen~ horÎzontal, ce qui n'est pas le cas sauf dispositif spécial , ou bien par un acier re liant les pieds de bielles de A à B. Ceci revient au même que le système de biell es de la fi gure 58.

F

a

,,

,,

,,

,,

., l 1

G)

F;A'" " , ' ' U

~"

,

,,

,

F:1

1F

~

al = a sin

a

= d cos

a

F,

F

sin

Ct.

=F, cos a =F cotg a

ah

a h!

F = = a, b bd sin a . cos a

a .I· 1I

=

=

.&.. ys

= 500 = 434,8 MPa.

1,15

0,5

0,66667

0,8

1

1,25

1,5

2

1,6

"

33,69

38,66

45,00

51,34

56,3 1

63,43

57,99

57,51

0,4472

0,5547

0,6247

0,7071

0,7809

0,8321

0,8944

0,8480

0,8434

(l

a

1,57

0,8944

0,8321

0,7809

0,7071

0,6247

0,5547

0,4472

0,5300

0,5372

2 ,0000

1,5000

1,2500

1,0000

0,8000

0,6667

0,5000

0,6250

0,6369

"bbd K, = - F

0,500

0,667

0,800

1,000

1,250

1,500

2,000

1,600

1,570

2,500

2,167

2,050

2,000

2,050

2,167

2,500

2,225

0,207

0:

1

!

1 sinacoso.

1

Ascr s

2,000

1,500

1,250

1,000

0,800

0,667

0,500

0,625

0,637

K,F b, = - _

0,045

0,060

0,072

0,090

0,113

0,136

0,181

0,145

0,142

K2 F b2 = - -

0,226

0,196

0,186

0,181

0,186

0,196

0,226

0,201

0,200

b = Max lb, : b,l

0,226

0,'96

0,186

0, '81

0,186

0,196

0,226

0,201

0,200

9,81

7,9 1

9,38

9,50

1

K3 = - F

abud

(JSII

O'bu d

=

=0,85 m

Charge ultime pour 9 niveaux et par mètre de façade: p, = 9 ( 1,35 g + 1,5 q) = 427,36 kN/m

1488

.

cos (l

=

F,

., - - - - -

H hauteur d'étage 2,80 m h = hauteur du linteau = 0,90 m d = hauteur utile du linteau =h - 0,05 g = 24,062 kN/m et q = 10 kN/m

a H1

26,57

"b,bd K2 = - F

Ftg a F = - = -ab bd

A _ F, _ F cotg

• APPLICATION NUMÉRIQUE

car la fissuration peut se développer en biais par

tg "

= tg

En fonction de F, a et d et de l'épaisseur b de la façade et des linteaux, on a:

=

60 x 25 = 10 MPa 1,5

cotg a

Fig. 58 - Équilibre des bielles.

F,

'

Nous rechercherons le prix minimal pour différentes valeurs de l'inclin aison des bielles, de tangentes comprises entre 0,5 et 2 (comme nous l' autorise l'EC2).

sin

a = d cotg a

°

pour un ensemble d' une ouverture et d'un panneau plein et des linteaux associés de 3,60 m, on

1

,

0,60j' 28

= ()" b' = --yb

calcule le vo lume de béton en fonction de l'épaisseur de la façade b : V =(l,80 m x (2,8 m - 0,9 m) + 3,6 m x 0,9 m) b =6,66 b m' et le poids d'acier P" = A., X 10-4 X 7 850 kg/m ' x 3,60 m = 2,826 A, (A., en cm'), d'où le prix béton + ac ier: P = 6,66 b x 500 F/m' + 2,826 A, x 15 F/kg = 3330 b + 42,39 A.,.

1 ,

=

cisai ll ement verti ca l du lin teau et cell e de l'acier

1 1 1

(0

=

F l ,80 m x p, 769,2 kN Les contraintes du béton dans les bielles ne devront dépasser la va leur:

K3 F

15,82

14,72

'3,82

12,51

1',05

As = -

"" Prix _ 3330b

1447,96 1299,96 1224,16 1151 ,82 1102,89 1083,70 1100,68 , 082,09 1082,26

+ 42,39 As

1489

L'ava~t-d erni ère colonne correspond au prix minimal (obtenu par approxima~ions sU~ccss ives) On retI e ndra pour b la va leur arrondie la plus proche, soil 0,20 m (po ur un e épaIsseur mInimale . de 0, 18 1 m et une épaisse ur optimalement économique de 0,201 m). La dernière colo nne correspo nd à une épaissseur de 0,20 m. L'inclinaiso n des bielles est de 57,5°.

La sec ti on d ' acier retenue est de 9,50 cm 2, soit

moment isostatique

L'

3HA20 = 9,42 c m2.

!VI="ï6= 3 1,875 x

Ainsi, un étage sur deux , l'acier est positionné en haut de linteau et un étage sur deux, en bas de linteau (Fig. 59).

rrr.:-r ',ip:.:.:I' ,,,fro"'!' " '1p:.:.:I' ,,,ip:.:.:I' ,,,Ip:.:.: ,

nn n'''' il

!

il '

il ,

fi

i

li

Il

! i i • i i •

= zO'JU

Le pourcentage minimal vaut:

!

,! , [!

, , , ! , ,[ i "

[[! , [[! "

!Ji""

!Ji""

["

[!, [, [ l ' ! , [!!! [[! II111

OOOO[J rp::.'î rp:.: ir'

"~w '~'

jI

J, 28

T

b" d

=

0,23 x 2,1 4 500 x 0,20 x 0,85 x 10

= l ,55 cm

, > 0, 19

! ! , , , , , ! , , , , , ! , , il , i i i , i i

'\[:'(" 1r1'''' irl'''' iF'" 'F '''''''' '''...... '''' "

avec un bras de levÎer estimé à 0,80 m.

0,8 x 434,8

Les ac iers de tirants calculés (9,5 0 cm 2) sont nécessaires au niveau le plus bas. Nat ure llement, on diminuera la section pour les étages au-dessus sans descendre au-dessous de 2 fois 3HA 1O.

'II

Il

et une section d'acier:

Le linteau du niveau supérieur sera ferraill é avec 3HAJO en aciers supérieurs et e n aciers inféri eurs.

i il , il , ! , , il , il , il , il , il , il !

rr nrr

, ! , , , , ! , , i i i i ! i i

1 8' i6 = 6,46 kNm

soit 3HA 10(2,35 cm').

fro"'!'" ïp:.:.:i"" 1""-1' iF'

"~""

, moiti é en aciers inférieurs, moitié en aciers supérieurs:

4

0,23

[[][[][[][][ [][][][] r li"'" li"'"

2

!VI = 0,006 46 x 10 = 0, 19 cm'

A.I·

il ! il ! il ! !

p~

T~'",

TUJ

'l' " ,

"i1""'i1 Fig. 59 - Ferraillage des linteaux.

-

Linteau

9

8

7

6

5

4

3

2

1

Acier de tirant

9,50

8,44

7,39

6,33

5,28

4,22

3,17

2,11

1,06

Acier de poutre-linteau

0,1 9

0,19

0,19

0,19

0,19

0,19

0,19

0,19

0,19

Acier total

9,69

8,63

7,58

6,52

5,47

4,41

3,36

2,30

1,25

soit

3HA20 (1 )

3HA20

2HA20

2HA20

3HA16

3HA14

3HA12

3HA10

+

+

3HA10 (2)

lHA16

lHA14

1

(1) Il manque 9,69-3 X 3,14 = 0,27 cm 2 ;

les 3HA20 = 9,42 cm 2 peuvent être considérés comme sut-

;iSant~ pour reprendre l'effort de bielle (on a besoin de 9,50 cm 2 , OK à 0,8 % près) ; il suffit de considérerque es aCiers de poutre de 0,19 cm 2 sont dans les aciers de montage 3HA 1O. (2) Minimum 3HA 10.

• Acier minimal de linteau Chaq ue linteau reprend les charges de plancher sur une portée de 1,80 m : p = 1,35 x 12,5 + 1,5 x 10 = 31,875 kN/m Le linteau est encastré; nou s co nsidérons une redistr ibution des moments e n répartissant le

1490

POur les ac iers transversaux de linteaux, l'effort tranc hant maxima l vaut: V" = p

L

'2

= 3 1,875 x 0,9 = 28,69 kN

avec

L = l ,80 m

149 1

et le cisaillement

V" , , = b"d : : ;:

d'où une section d'aci er:

0, 17 MPa
1,6.

à limiter à 0 ,40 m (BAEL 9 1, art. A.5. 1.22).

On a ainsi de ux types de ferra ill age poss ibles (Fig. 60), s uivant le niveau.

3HA10

3HA20

(5] P. LEBELLE - Compte rendu d'expériences, Centre d'Etudes Supérieures de ,'ITBTP décembre 1934. [6J P. LEBELLE - Semelles de béton armé, Mém oires de l'Association Illternationale des Ponts Charpentes, Zurich, 1934, vol. 4

el

[7J J. BLEVOT eL R. FREMY - Semelles sur pieux. Méthodes de calcul, compte rendu d'essais, dispositions constructives, Annales de l'ITETp, février 1967. [8JW. RITIER - La méthode de construction de Hennebiq ue (Die Bauweise Hennebique), Schweizerische Bauzeitung, Zurich, 1899, vol. 17. [9J E. MORS CH - Construction en béton armé. Théo rie et applications (Der Eisenbetonbau-Seine Th eorie und Anwendul1g), Stuttgart, 1920-1922.

OU BIEN

[10] P. MARTI - Basic Tools of Reinforced Concrete Bearn Des ign , ACI Journal Proceedùzgs, V. 82, N" I , Jan .-Feb.1985.

3HA10 1 ead. + 1\P. HA6 , s = 400

1 ead. + 1 ep. HA6 , s = 400

Fig. 60 - Types de ferraillage des linteaux.

Il IJ J. SCHLAICH , K. SCHAFER, M. JEN NEWE IN - Toward a consistent design of structural concrete, PCI Journal, May/June 1987.

[12] J. SCHLA ICH. K. SCHAFER - Des ign and detaili ng of structural concrete using stru t-and-tie models , Th e Structural El1gineer. vol.69, N° 6, March 1991. [13] Bu lleti n d'information CEB nO146 - Shear, Torsion and Punching. Contribution à la 22e Session plénière du CEB (198 1), Munich, avri l 1982.

1492

1493

Le calcul des efforts tranchants el moments est effectué su ivant la Rés istance des Matériaux (chapitre 2, cas 24 el suivan ts) e n prenant comm e portée la longueur libre et avec les charges indiquées dan s la norme NF P 06-00 1 ( 1] (vo ir c i-dess us, chapitre 3, §. 2) et rappe lées c iaprès: _ charge unifo rm e de 3,5 kN/m 2 pour hab itation s et bureaux ou bien ch;lrge des locaux attena nts si la valeur est s upérie ure, va leur accrue jusqu'à 6 kl'dm 2 lorsqu'une acc umulation de personnes es t possible (cas des bâtiments recevant du public et précisés '1 dans les documents du marché) ; _ charge co ncentrée linéaire ho ri zonta le à 1,0 mètre de hauteur (e n tête du garde-corps) - pour les locaux privés: 0,4 kN/m pour un e largeur de slat~eme nt de personnes B perpendiculaire à la portée inférieure à 3,25 m et 1,3/B po ur une largeur B supérieure à 3,25 m, - pour les coursives et cages d'escaliers des habitat io ns collectives: 0,6 kN/m - pour les bâtiments recevant du publ ic: 1,0 kN/m. - pour les tribunes de stade: 1,7 kN/m (sauf au dro it des escaliers desservant les gradins o u tribunes et aux extrémités des gradin s débo uchant sur le vide: 1,0 kN/m ), - pour les montants de garde-corps, du fait des scell ements courants, le moment résistant ne peut être supérieur à 0,65 kNm par montant.

13. CONSOLES - ESCALIERS

1. GÉNÉRALITÉS O n rencontre dans les bâtime nts des poutres de formes particuli ères: - consoles que l'on peu t subdiviser en consoles courtes (auss i appelés corbeaux), en co nsoles de grande portée (auven ts de stade par exemple) et consoles courantes (balcons par exemple) ; - escaliers dro its qui sont la plupart assim ilables à des po utres inc li nées; - rampes droites; - escaliers et rampes courbes.

~~ (/),v,;

c§

.."

~.,

'§i!'

~'"

2. CONSOLES COURANTES Les consoles courantes, autres que les consoles courtes (voir e n 3 ci-après), sont principalement représentées par les balco ns et les auvents de faible portée. E lles peuvent être d'épaisseur constante (coffrage plus fac ile à réa li ser) ou d'épaisseur variable (économie de béto n). 2

1 -----...,

q = 3.5 kN/m

garde-corps béton

garde·corps Jéger

.......

~

1 1494

~

L

~

1

L

L

Fig. 1 - Consoles courantes. Balcons.

L

....

poutre de rive

Fig. 2 - Locaux privés. Charges sur balcons.

1495

2

La charge répartie est supérieure aux charges habituelles des planchers (1,5 kN/m pour les habitation s et 2,5 kN/m 2 pour les bureaux). Ceci pour ten ir compte d'un regroupement poss ibl e de personnes en ex trémités de balcon à la suite d'un certain nombre d'effondrements dus, en parti culier, à un mauvai s positionnement en altitude des aciers supérieurs. La hauteur minimale des garde-corps et les espacements entre barreaux doivent être inférieurs aux valeurs indiquées dans la norme NF P 01-0 t 2 [2], cec i pour des raisons de sécurité: _ distance libre maximale entre deux barreaux verti caux: 0, Il m ; _ distance libre maximuale entre deux li sses hori zon tales ou inclinées: 0,18 m ; _ la hauteur normale de protection et l'épai sseur du garde-corps doivent respectées les valeurs minimum du tableau su iva nt.

Charges variables verticales: ql

= 3,5

kN/m 2

Charges variables horizontales: q, = Min [0,4; 1,3/BJ q, = Min [0,4 ; 1,3/ 5J = 0,26 kN/m

L'

MomentELU=M,=(l,35g+ 1,5QI)"2 + 1,5q,x 1 m =26, 17kNmlm 'd . Moment re Ult :

Bras de levier:

~

M, 0,02617 = -,- = , = 0,128 < 0,37 d cr b, 0,12 x 14, 17

z=0,5d( 1 +JI-2 ~ ) =0, 111 7 m

Acier longitudinal supérieur (chapeau) : Garde-corps

Garde-co rps épais

minces

.. 0,20

Épaisseur E

1,00

Hauteur H

0,25

0,30

0,975 0,95

soit HAlO, s = 145 mm

0,40

0,45

0,50

0,55

0,925 0,90

0,85

0,80

0,75-

0,35

(*) Pour les habitations, cette valeur ne peut être inférieure à 0,80

A.vI =

"" 0,60 0,70-

m

Acier tran sversal supérieur :

Effort tranchant: Cisai lI ement : La vérifi cation en

M

4

,

0,02617 x 10 = 5,39 cm lm - 0,1117x435

u_

zcr.fli

A.~2 = A.rl /4 = 1,35 cm 2/ m ,

soit HA6,

s = 210 mm

V, = (1 ,35 g + 1,5 ql) L = 24,55 kN

°

V, 0,02455 0,07J'28 ",= -d = = 0,20MPa