Haute Tension TE Volume XII [PDF]

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ÉCOLE POLYTECHNIQUE FÉDÉRALE DE LAUSANNE

Traité l'Électricité Ce document est la propriété exclusive de Edison Marcelo Palacios ([email protected]) - 02 juillet 2018 à 23:25

PUBLIÉ SOUS LA DIRECTION DE JACQUES NEIRYNCK

VOLUMEXII

ÉNERGIE ÉLECTRIQUE Michel Aguet et Jean-Jacques Morf

PRESSES POLYTECHNIQUES ROMANDES

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TRAITÉ D'ÉLECTRICITÉ

XII ÉNERGIE ÉLECTRIQUE

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TRAITÉ D'ÉLECTRICITÉ

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DE L'ÉCOLE POLYTECHNIQUE FÉDÉRALE DE LAUSANNE PUBLIÉ SOUS LA DIRECTION DE JACQUES NEIRYNCK

VOLUMEXII

ÉNERGIE ÉLECTRIQUE par Michel Aguet et Jean-Jacques Morf

PRESSES POLYTECHNIQUES ROMANDES

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Cet ouvrage fait partie d'une série de vingt-deux volumes dont les titres sont les suivants:

I INTRODUCTION A L'ÉLECTROTECHNIQUE Il MATÉRIAUX DE L'ÉLECTROTECHNIQUE I I I ÉLECTROMAGNÉTISME IV THÉORIE DES RÉSEAUX DE KIRCHHOFF V ANALYSE ET SYNTHÈSE DES SYSTÈMES LOGIQUES V l THÉORIE ET TRAITEMENT DES SIGNAUX V I I DISPOSITIFS A SEMICONDUCTEUR V I I I ÉLECTRONIQUE IX TRANSDUCTEURS ÉLECTROMÉCANIQUES X MACHINES ÉLECTRIQUES X l MACHINES SÉQUENTIELLES X I I ÉNERGIE ÉLECTRIQUE X I I I HYPERFRÉQUENCES X I V CALCULATRICES XV ÉLECTRONIQUE DE PUISSANCE X V I ÉLECTRONIQUE DE RÉGLAGE ET DE COMMANDE X V I I SYSTÈMES DE MESURE X V I I I SYSTÈMES DE TÉLÉCOMMUNICATIONS X I X FILTRES ÉLECTRIQUES XX TRAITEMENT NUMÉRIQUE DES SIGNAUX XXI ÉLECTROACOUSTIQUE X X I I HAUTE TENSION

Le Traité d'Electricité est une publication des Presses polytechniques romandes, fondation scientifique dont le but est principalement la diffusion des travaux de l'Ecole polytechnique fédérale de Lausanne. Le catalogue de ces publications peut être obtenu aux Presses polytechniques romandes, CH-1015 Lausanne.

Deuxième édition ISBN (série): 2-604-00002-4 ISBN (ce volume): 2-88074-052-5 © 1987, Presses polytechniques romandes CH-1015 Lausanne Imprimé en France

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INTRODUCTION

Place de ce volume dans le Traité d'Électricité, d'Électronique et d'Électrotechnique. Ce volume introduit le lecteur dans l'un des systèmes les plus complexes comprenant la production, le transport, la distribution et l'utilisation de l'énergie électrique. Parmi toutes les formes d'énergie utilisées par l'homme, l'énergie électrique présente deux particularités : elle n'est pratiquement pas disponible dans la nature et elle ne peut pas être stockée. En conséquence, chaque seconde, la totalité de l'énergie électrique utilisée par les consommateurs appartenant au système considéré doit avoir été produite, transportée, distribuée et comptabilisée dans le même temps. Ce système peut donc être considéré en gros comme la réunion de trois ensembles complémentaires, l'ensemble des centrales de production d'énergie à partir d'une source primaire d'énergie (pétrole, charbon, gaz naturel, énergie hydraulique, nucléaire, etc.), l'ensemble des consommateurs qui l'utilisent pour en obtenir du travail, de la chaleur, de la lumière, des réactions chimiques endothermiques, des signaux, etc., et, entre deux, l'ensemble des lignes électriques et des transformateurs. Les génératrices et les transformateurs des centrales de production sont l'objet du volume Machines électriques. Les chaudières, les réacteurs , les machines thermiques et hydrauliques entraînant les génératrices sortent du cadre du Traité mais ils sont évoqués dans les chapitres 1 et 8 de ce volume. Les consommateurs d'énergie électrique sont partiellement décrits dans les volumes Introduction à ΓÉlectrotechnique, Electromécanique et Machines électriques. Dans le présent volume, on décrit plus spécialement leur comportement à l'égard du système, soit simplement au cours du temps pour prévoir dans la mesure du possible l'évolution des puissances demandées, soit leur réaction à des fluctuations de la fréquence et des tensions. Le volume Électronique de puissance traite de la conversion des systèmes alternatifs aux systèmes continus et réciproquement. Il donne les bases des sous-systèmes de transmission à courant continu. Organisation générale de ce volume Le premier chapitre situe le rôle particulier de l'énergie électrique dans l'ensemble des flux d'énergie naturels et domestiqués. Un double handicap doit être surmonté : la multiplicité des unités d'énergie couramment utilisées par les spécialistes (une bonne centaine, en dehors du joule) et l'ambiguïté de l'équivalence entre énergie mécanique et énergie thermique. On verra que le recours simultané au premier et au second principe de la thermodynamique est indispensable, ce qui conduit à distinguer l'exergie de l'énergie.

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Vl

ÉNERGIE ÉLECTRIQUE

Le chapitre 2 définit et permet de calculer les caractéristiques longitudinales et transversales d'une ligne. On y verra notamment que la tension entre deux points éloignés n'a pas de signification et que l'inductance linéique peut fortement dépendre de la fréquence. Les modèles mathématiques d'une ligne doivent être adaptés au problème étudié et seront différents suivant qu'il existe ou non un courant dans le sol et suivant la rapidité du phénomène. Ceci sera illustré par les chapitres correspondant au fonctionnement triphasé équilibré (chap. 3 et 4), aux courts-circuits (chap. 5) et à la propagation de surtension (chap. 6). Le chapitre 7 est consacré aux techniques de coupure des courants et aux dispositifs de protection contre les surtensions. Enfin le chapitre 8 traite du fonctionnement du système dans des circonstances normales et en cas de perturbation. Les tables de conversion, les valeurs usuelles, les normes, les bilans énergétiques et exergétiques sont groupés dans le chapitre 9. Faute de place, plusieurs problèmes importants concernant les systèmes de production, de transport, de distribution et d'utilisation de l'énergie électrique n'ont pu être qu'effleurés.

Conventions Le Traité d'Electricité est composé de volumes (vol.) repérés par un chiffre romain (vol. V). Chaque volume est partagé en chapitres (chap.) repérés par un nombre arabe (chap. 2). Chaque chapitre est divisé en sections (sect.) repérées par deux nombres arabes séparés par un point (sect. 2.3). Chaque section est divisée en paragraphes (§) repérés par trois nombres arabes séparés par deux points (§ 2.3.11). Les références internes stipulent le volume, le chapitre, la section ou le paragraphe du Traité auquel on renvoie. Dans le cas de la référence à une partie du même volume, on omet le numéro de celui-ci. Les références bibliographiques sont numérotées continûment par volume et repérées par un seul nombre arabe entre crochets; les pages concernées sont éventuellement précisées entre parenthèses : [33] (pp. 12-15). Un terme apparaît en italique maigre la première fois qu'il est défini dans le texte. Un passage important est mis en évidence lorsqu'il est composé en italique gras. Un paragraphe délicat ou compliqué est marqué par le signe • précédant son repère numérique. Un paragraphe qui n'est pas indispensable à la compréhension de ce qui suit est marqué par le signe • précédant son repère numérique. Les équations hors texte sont numérotées continûment par chapitre et repérées par deux nombres arabes placés entre parenthèses et séparés par un point (3.14); une équation est mise en évidence par son numéro imprimé en caractère gras. Les figures et tableaux sont numérotés continûment par chapitre et repérés par deux nombres arabes précédés de Fig. (Fig. 4.12) ou Tableau (Tableau 4.13). Les notes sont groupées en fin de volume. Elles sont appelées par un seul chiffre placé en exposant à la fin d'une phrase.

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TABLE DES MATIÈRES

INTRODUCTION CHAPITRE

1

CHAPITRE 2

CHAPITRE 3

CHAPITRE 4

CHAPITRE 5

RÔLE DE L'ÉNERGIE ÉLECTRIQUE DANS L'ENSEMBLE DES FLUX D'ÉNERGIE 1.1 Sources naturelles d'énergie 1.2 Energies utiles : consommation 1.3 Vecteurs d'énergie 1.4 Puissances et énergies électriques 1.5 Choix des systèmes de tension CARACTÉRISTIQUES DES LIGNES 2.1 Introduction 2.2 Caractéristiques longitudinales 2.3 Répartition non uniforme du courant dans les conducteurs de phase et dans la terre 2.4 Caractéristiques transversales

ν

1 8 20 24 28

31 38 54 66

MODÈLES DES LIGNES 3.1 Introduction 3.2 Régime triphasé symétrique : schéma équivalent en π . . . 3.3 Puissances transmises par une ligne 3.4 Ligne en régime sinusoïdal non symétrique

77 80 95 109

CALCUL DE LA RÉPARTITION DES PUISSANCES 4.1 Introduction 4.2 Modèles analogiques et numériques 4.3 Choix des schémas équivalents des transformateurs . . . . 4.4 Modèles des charges aux accès 4.5 Réseau radial 4.6 Réseau maillé

117 120 123 128 139 143

CALCUL DES COURANTS DE COURT-CIRCUIT 5.1 Introduction 5.2 Machines synchrones en court-circuit

151 158

VlIl

ÉNERGIK ÉLI-CTRIQUF.

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5.3 5.4 5.5 5.6 5.7

Machines asynchrones en court-circuit Transformateurs en court-circuit Lignes en court-circuit Autres installations en court-circuit Court-circuit triphasé symétrique dans un réseau radial 5.8 Court-circuit non symétrique dans un réseau radial . . . . 5.9 Extension de la méthode à un réseau maillé 5.10 Dangers et limitations des effets

CHAPITRE

CHAPITRE

CHAPITRE

6

7

8

CHAPITRE 9

169 171 177 178 182 184 186 188

SURTENSIONS ET COORDINATION DES ISOLEMENTS 6.1 Introduction 6.2 Propagation de phénomènes transitoires sur les lignes 6.3 Surtensions internes temporaires 6.4 Mode de connexion du point médian à la terre 6.5 Surtensions internes transitoires (de manœuvre) 6.6 Surtensions externes transitoires de foudre 6.7 Essais diélectriques 6.S Coordination des isolements

203 212 217 219 231 236 239

APPAREILLAGE DE PROTECTION 7.1 Introduction 7.2 Matériel de protection contre les surintensités 7.3 Méthodes de protection contre les surintensités 7.4 Matériel de protection contre les surtensions 7.5 Postes de couplage

245 247 270 276 289

EXPLOITATION DU SYSTÈME PTDU 8.1 Introduction 8.2 Fonctionnement d'un système comportant un groupe producteur 8.3 Intérêt des interconnexions 8.4 Fonctionnement d'un système à forte interconnexion 8.5 Effets d'une modification brusque 8.6 Réglage des tensions et des puissances réactives

197

293 294 299 301 305 312

ANNEXES

9.1 9.2 9.3

Equivalences énergétiques, bilans Rayons et distances : moyennes géométriques Valeurs usuelles pour contrôle sommaire des calculs

319 325 326

TABLK DKS MATIKRKS

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9.4 9.5

Niveaux d'isolement normalisés pour le matériel Matériel de protection contre les surtensions et les surintensités

IX

328 334

BIBLIOGRAPHIE

335

INDEX ANALYTIQUE

341

GLOSSAIRE : SYMBOLES LITTÉRAUX

347

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CHAPITRE 1

RÔLE DE L'ÉNERGIE ÉLECTRIQUE DANS L'ENSEMBLE DES FLUX D'ÉNERGIE

1.1 SOURCES NATURELLES D'ÉNERGIE 1.1.1 Introduction La Terre peut être considérée comme un corps noir ou gris approximativement en équilibre thermique. D'une part elle émet dans l'Univers un rayonnement de l'ordre de 180 000 000 GW, d'autre part elle reçoit du Soleil un flux d'énergie équivalent, de sorte que la surface du Globe se maintient à une température plus ou moins constante située entre 200 K et 350 K. Sans le rayonnement du Soleil, la surface du Globe tomberait au voisinage de 40 K puisque seule l'activité nucléaire à l'intérieur de la Terre, estimée à 35 000 GW, subsisterait. Une telle température excluerait toute vie. Baignant dans ce flux d'énergie solaire, les techniciens de l'énergie se préoccupent de capter, transformer, stocker, transporter, utiliser, en un mot de domestiquer des flux d'énergie beaucoup plus modestes. En cette fin du 20e siècle, la totalité des flux d'énergie domestiqués est de l'ordre de 10000 GW. Donc l'Homme vit dans un ensemble de flux d'énergie naturels et artificiels infiniment complexe dont seule la partie artificielle relativement infime semble le préoccuper. Le recours à l'électricité, vecteur d'énergie purement artificiel, ne constitue lui-même qu'une modeste part, soit un quinzième des flux d'énergie domestiquée. Dans la section 1.1 figurent les principales sources naturelles d'énergie dont on peut tirer de l'énergie thermique, mécanique, puis électrique. On distinguera clairement les sources inépuisables constamment renouvelées dont les limites sont exprimées en termes de puissances, soit en GW, et les sources épuisables dont les réserves sont estimées en termes d'énergies, donc en exajoules (10 18 J) ou pour des raisons de commodité en terawattan (1 TWan « 31,6 EJ). La section 1.2 est essentiellement consacrée à l'usage final de tous les flux d'énergie domestiqués. A titre de repère un million d'habitants consomment sous cette dernière forme utile entre 0,1 et 20 GW (soit entre 3 et 600 PJ/an, suivant le pays). La section 1.3 traite les vecteurs d'énergie reliant les sources naturelles aux derniers consommateurs d'énergie. Parmi ces vecteurs, l'électricité et l'hydrogène sont produits artificiellement à partir de sources primaires d'énergie. Les sections 1.4 et 1.5 sont centrées sur l'énergie électrique et servent d'ouverture aux chapitres suivants.

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2

ÉNERGIE ÉLECTRIQUE

1.1.2 Flux solaire La principale source d'énergie dont dépend toute la vie sur la Terre est le Soleil. La puissance thermique émise par le Soleil sous forme de rayonnement est estimée à 390· 1015 GW. Cette énergie provient essentiellement de la fusion nucléaire et correspond à une perte de masse d'environ 4· 106 tonnes par seconde. Au voisinage de l'orbite terrestre, le flux d'énergie solaire est de l'ordre de 1400 W/m2 = 1,4 GW/km2 [I]. La Terre reçoitenv. 180000000 GW [1] dont un tiers est réfléchi directement par les couches supérieures de l'atmosphère et deux tiers parviennent à la surface du Globe. Une partie infime, environ 1 % o , est absorbée par photosynthèse. Le reste est renvoyé dans l'Univers, par réflexion et par rayonnement en produisant au passage les phénomènes météorologiques (vents, évaporation, précipitations). 1.1.3 Combustibles fossiles d'origine solaire On estime à environ 200 000 GW [2] la part de l'énergie solaire transformée en matière combustible par photosynthèse en passant par le règne végétal et animal. Ces matières se transforment lentement en produits combustibles, bois, tourbe, lignite, charbon, pétrole, gaz naturel. 1.1.4 PCS et PCI : définitions On désigne par pouvoirs calorifiques supérieur (PCS) et inférieur (PCI) la quantité d'énergie thermique dégagée lorsqu'on brûle un kg de combustible en condensant les vapeurs d'eau dégagée (PCS) ou sans les condenser (PCI). Des valeurs numériques sont données en annexe (§9.1.4). 1.1.5 Estimation des ressources d'énergie primaire d'origine fossile Les figures 1.1 et 1.2 donnent une évaluation des ressources énergétiques primaires disponibles dans la nature. On notera que le bois est considéré comme une source constamment renouvelée. Sa valeur énergétique doit être exprimée en EJ/an ou en GW (fig. 1.2) tandis que le charbon, le pétrole et le gaz naturel constituent des ressources épuisables à l'échelle humaine et doivent être exprimés en EJ ou en TWan (fig. 1.1). Les évaluations tirées de [3] et de nombreuses autres publications sont très diverses. Les estimations les plus faibles se rapportent aux gisements dont l'existence est prouvée et qui peuvent être exploités à des prix admis dans le système économique actuel, les estimations les plus élevées sont tirées de spéculations géologiques sans se préoccuper des coûts d'extraction. Pour les conversions d'unités se référer aux paragraphes 9.1.1 à 9.1.5 en annexe. 1.1.6 Ambiguïté de la valeur énergétique des combustibles Le flux de chaleur ou puissance thermique que l'on peut tirer d'un combustible est évidemment donné par le produit de son débit-masse (kg/s) et de son pouvoir calorifique (J/kg); il s'exprime en J/s = W. Après déduction des pertes de chaleur et des imbrûlés par la cheminée, le solde du flux de chaleur Q, disponible à la température absolue T, peut être utilisé de trois façons :

ROLK DK L'KNKRGIK ELECTRIQUE

I

."j lithium

[

~ deuterium

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uranium 235

"2 gaz nature]

"2 pétrole

charbon

—

10 9

10 b

"Ί ιο3

10"

»

'

1 ΙΟ6

'

Fig. 1.1 Ressources naturelles épuisables : ι contestées.

'

ι

1

10 12

ΓΙΟ9

l'o"

ΙΟ12

TW�an

EJ

ΙΟ15

ι, estimation des énergies disponibles; ZZZ υ , valeurs charbon

0

°p . [ \ consommation 1975 gaz naturel ° uranium 235 0

bois et tourbe r> O Ό

O O CO m OO 0\ ON ON ON

10

GW

3

10

Î0y

6

EJ/an

π—'—'—Γ ΙΟ�3

1

—1 ΙΟ 3

1

1

1 ΙΟ6

1

ι

ι ΙΟ9

τ

Fig. 1.2 Ressources naturelles renouvelées : °, puissances moyennes effectivement utilisées aux environs de 1975; I, consommation totale de 1905 à 1980; l l, estimation des puissances exploitables.

4

ÉNERGIE ÉLECTRIQUE

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• entièrement à l'usage du chauffage • pour du chauffage et de la production d'énergie mécanique ou électrique • uniquement pour de la production d'énergie mécanique ou électrique avec un rejet thermique important dans la nature. Le deuxième cas est le plus intéressant. En désignant par Q2 la puissance thermique utilisée ou rejetée à la température absolue T2 à des fins de chauffage et par Pmecl2L puissance mécanique utile obtenue, le premier et le second principes de la thermodynamique permettent d'écrire les relations (1.1) et (1.2) (voir aussi fig. 1.7). Pmec + 0 2 = Gl

W

(1.1)

Pmec Ie A u x calculé selon l'expression (2.7) est donc une valeur moyenne de tous les flux que l'on peut calculer pour chaque paire de fibres imaginables des conducteurs 3 et n, il en est de même pour l'expression (2.8); la démonstration est faite aux paragraphes 2.2.13 et 2.2.14. Pour les lignes aériennes, les rayons des conducteurs peuvent être négligés visà-vis des distances entre conducteurs, donc rH < rtj. et Les expressions de ∆Φ 3 „ 2 ∆Φ3ηη peuvent être déduites respectivement en changeant l'indice 1 en indice 2 et en indice η dans (2.7). Le flux ∆Φ 3 „ ,· peut avoir le même signe ou un signe opposé au courant /,· suivant la position relative du conducteur i qui détermine le signe du logarithme. Le flux ∆ Φ 3 Π ) 3 a toujours le même signe que Z3, tandis que ∆Φ 3 „ „ a toujours un signe opposé à In.

ι 2.2.7 Tension induite dans la boucle ABCDA Choisissons un contour ABCDA qui passe à l'intérieur des conducteurs 3 et η et aux abscisses x e t i + ∆χ (fig. 2.11). La tension induite par la variation du flux d'induction dans le contour ABCDA est égale à la dérivée du flux embrassé dû à tous les courants voisins, y compris le courant propre: (1∆Φ3, — V (2.9) at On peut exprimer ces deux grandeurs en remontant aux définitions de la figure 2.11. E . d/ =

B

\ E -àl

= R3AxI3

ou R's = P 3 IS 3 c

V

(2.10)

Ω/m

(2.11)

V

(2.12)

V

(2.13)

V

(2.14)

Wb

(2.15)

a

J E · d/ = u3n + — � Ax

B

dx

D

J* E · d/ = �RnAXin c A

ί Ε�

al=

�U3n

D

∆Φ 3 „ = X ∆ Φ 3 Μ k = l

où ∆Φ 3 „ 5 Α : est la part du flux dû au conducteur k et ^ 3 et Rn sont les résistances linéiques des conducteurs 3 et η définies par (2.17) où S1- est la section du conducteur i. ∆Φ3„,*

n r ik^oAxar

= / — /k3

R\ = PiIS1

2nr

=

µ0 ∆ χ I 2ir

rkn \ I" — ik \ rk3! Ω/m

Wb

(2.16) (2.17)

42

ÉNERGIE ÉLECTRIQUE

Comme à partir de (2.8) on a ∆ Φ 3 rt , rt

M 0 Ax = — ι In — I i„ 2π \ rn3

(2.18)

Wb

en introduisant la valeur de in donnée par (2.5) on obtient : µ0Αχί 2π

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∆ Φ 3«,Λ

Γ,ι3

I n � ( I

1

+ / 2 + ...+ *24

Fig. 2.13 Superposition des circuits a et b.

r

Dans ce cas on a r 14 = r23, S1 = S3, S 2 = ^4 > donc ^ 1 4 = g23 = £34 = £12 > i3 = >*33 = '"n e t I e RMG de S3 est g33 avec :

^3 r

(2.33)

In r33 dS3

In £33 S3 \

S3

24 = r44 e t I e RMG de S 4 est donné par g 44 avec : In ^ 4 4 = — S

J

4 s4

(2.34)

d £ 4 J In r 4 4 dS4 \

S4

!

Une difficulté mathématique est liée au fait que In 0 = - °° ce qui exige de lever une indétermination dans le calcul des expressions (2.33) et (2.34). L'inductance propre linéique du circuit b est alors : ML

Mo ,

= — In 2π

£34

H/m

(2.35)

g33#44

ou en généralisant, l'inductance linéique propre de la boucle in de la figure 2.11 est JiA'

Mn

M

°

1

g i n

= — 2TT In gu gnn

H/m

(2.36)

expression analogue à (2.22) où l'on a remplacé la distance rin par la DMG g(n et les rayons ru et rnn par les RMG gu et gnn.

2.2.20 RMG et DMG des configurations usuelles de conducteurs On trouvera en annexe (sect. 9.2) les RMG et DMG de quelques configurations usuelles de conducteurs, tirées de [9-14].

2.2.21 RMG des conducteurs toronnés Pour les conducteurs constitués de brins toronnés, les valeurs du RMG peuvent être calculées à partir de la section utile S du conducteur et du nombre de brins (fig. 2.14 et tab. 2.15).

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CARACTÉRISTIQUES DES LIGNES

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Fig. 2.14 Conducteurs toronnés à 3, à 7 et à 19 brins (coupes).

Tableau 2.15 RMG de conducteurs toronnés. Type

gn = RMG

Conducteur de section circulaire pleine Corde circulaire à 7 brins Corde à 3 brins sans âme centrale Corde circulaire à 19 brins Corde circulaire à 37 brins Corde circulaire à 61 brins Corde circulaire à 91 brins Corde circulaire à 127 brins

0,4394 0,4642 0,4750 0,4902 0,4982 0,5020 0,5038 0,5046

S 1/2 S 1/2 S 1/2 S 1/2 S 1/2 S 1/2 S 1/2 S 1/2

2.2.22 RMG des conducteurs en faisceaux Ainsi qu'il a été mentionné (§ 2.1.7), un conducteur de phase peut être constitué d'un faisceau de 2 ou plusieurs cordes de mêmes diamètres, disposées symétriquement les unes par rapport aux autres. Dans ce cas, il est utile de connaître le RMG résultant du faisceau (tab. 2.16). Tableau 2.16 RMG de conducteurs en faisceau: ^ 11 = RMG de chacune des cordes; G11 = RMG résultant du faisceau. Cas

Disposition

Formule

(8nd)1 8ll

8\\

G

— tri/S

il -Zn

_

£11

su

Λ 1/8

a

/72/3

1/4

Ga=2»*gl»d a

^3/4

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ÉNERGIE ÉLECTRIQUE

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2.2.23 Application des RMG et des DMG au cas d'un câble triphasé symétrique Une disposition particulière, mais intéressante, car elle est souvent rencontrée en pratique, est constituée par un câble triphasé, le conducteur de retour étant la gaine en plomb qui entoure le câble (fïg. 2.17). Les trois conducteurs en cuivre sont supposés pleins.

Dn=Di3=D23

Fig. 2.17 Câble triphasé. On suppose que la gaine est mince par rapport à son diamètre {e < D) et que la fréquence du courant est assez basse (par ex. 50 Hz) pour pouvoir négliger les effets pelliculaire et de proximité dont il sera question plus loin (sect. 2.3). Si le système triphasé est symétrique, on a: (2.37)

I1 + Z2 + h = 0 donc

(2.38)

0

En utilisant (2.31), il est aisé de montrer que, dans le cas 2 du tableau 9.7, et les cas 1 et 4 du tableau 9.8, les inductances linéiques valent : M12 = M 2 3 = M31 = /

•

!

/

•

'

'

—

/

—

In

.

2 Ή

. . -

' .

D Mo , In 2π 2 D12

—

'

g\2Snn

-

H/m

(2.39)

En appliquant (2.36) et les cas 1 du tableau 9.8 et 1 et 2 du tableau 9.7, on trouve que les inductances propres linéiques de chaque phase sont aussi égales. Af11 est l'inductance propre linéique de la boucle constituée par le conducteur 1 (aller) et la gaine η (retour) : M'X1

= M

2 2

2

gin

Mo = M 33 = — � In

2π

gngnn

2 π \ H/m

d

4 (2.40)

L'accroissement linéique de la tension sur la phase 1 peut être écrit à partir de (2.20) : -u{n

= RIi1 + Ml1 -! + RnI1 + Rni2 àt

+ M{2 - ^ +RnI3 + Mi3 - ^ dr àt V/m (2.41)

ou, compte tenu de (2.37) et de (2.39) : - W1

RIi1 +(Mi1

- M{2)

d/, àt

V/m

(2.42)

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CARACTÉRISTIQUES DES LIGNES

2.2.24 Définition : inductance cyclique L'expression L\ = (Af11 - M'n) dans (2.42) est appelée inductance cyclique, ou inductance équivalente par phase, ou encore inductance industrielle linéique. Pour les autres phases, on définit d'une manière analogue les inductances L \ = M22 - M\2 et L 3 = M'33 - M\2 qui sont égales dans le cas traité au paragraphe 2.2.23. Une définition plus générale de l'inductance cyclique est donnée par [10] ou par [15]. En utilisant l'inductance cyclique on peut donc, dans des cas particuliers qui obéissent aux conditions (2.37) et (2.39), calculer les tensions de chacune des phases indépendamment des autres, comme s'il n'existait aucun couplage entre elles. La matrice des impédances linéiques Z' de (2.20) peut être réduite dans ce cas à sa diagonale comme dans (2.43) : R\+L\V

0

0

R2 + L2P

0

0

0

R; + v,f

\

V/m

r U "

(2.43)

2.2.25 Différence d'inductance linéique pour conducteurs pleins et creux En revenant au calcul du paragraphe 2.2.23, mais cette fois en remplaçant les conducteurs pleins par des conducteurs creux, ^ 1 1 prend la valeur de d/2 au lieu de (d/2)e - 1 / 4 selon le tableau 9.7. L'équation (2.40) devient alors : Uo D = — In — H/m (2.44) 2π d En comparant (2.40) et (2.44), on constate par soustraction que le fait qu'un conducteur soit plein et non pas creux produit tout simplement une augmentation de l'inductance propre linéique, indépendante des dimensions du conducteur, donnée par : Mo AMi 1 = — = 0 0 5 mH/km (2.45) 8π M[x

= M22

= M^3

2.2.26 Conducteur en acier ou en métal ferromagnétique Si le conducteur plein est ferromagnétique de perméabilité relative \xr, le supplément d'inductance, par rapport au conducteur creux, devient : U(\ Ur

AMi1

= ^-^-^ 8π

-Q

= 50-10

µ,

H/m

(2.46)

2.2.27 Méthode de calcul Les remarques des paragraphes 2.2.25 et 2.2.26 suggèrent que l'on peut calculer en première étape toutes les inductances propres et mutuelles linéiques comme si tous les conducteurs étaient creux, puis ajouter le supplément d'inductance propre et, le cas échéant, d'inductance mutuelle correspondant aux conducteurs pleins. Dans ce cas, les

50

ÉNERGIE ÉLECTRIQUE

expressions (2.21) et (2.22) prennent une forme plus générale : ΆΛ>

^

ΆΛ>

0

= —

Mij� = Mn

r

ι

r

.

jn

In

— +

M11� = — In 2Ή ru rnn Ce document est la propriété exclusive de Edison Marcelo Palacios ([email protected]) - 02 juillet 2018 à 23:25

in

Vo µκη

kn

+

+ 8π

__.

. . ._.

H/m

(2.47)

H/m

(2.48)

8π

où µγη et [iri sont les perméabilités relatives du conducteur commun η et du conducteur i. Les facteurs kn et kt sont nuls si les conducteurs correspondants sont creux, ils prennent la valeur 1 s'ils sont pleins ou encore une valeur comprise entre 0 et 1 si le tube conducteur est d'épaisseur non négligeable, ou lorsqu'on veut tenir compte de l'effet pelliculaire décrit dans la section 2.3.

2.2.28 Inductance cyclique des cables tripolaires à une gaine Dans le cas des câbles souterrains tripolaires à une gaine (fïg. 2.5) la disposition symétrique des trois conducteurs permet de parler d'inductance cyclique (§ 2.2.24) et de simplifier les formules générales qui donnent les valeurs de l'inductance linéique propre ou mutuelle. Avec une disposition similaire à celle de la figure 2.17 et avec (2.40) et (2.39) on trouve pour l'inductance cyclique :

L[

= *»

ln

2n

m = υ» ( ln ^n + ι ) gn

2π \

4 /

d

H/m

(249)

2.2.29 Inductance cyclique de trois câbles unipolaires à gaines court-circuitées Lorsque la ligne est constituée par trois câbles unipolaires dont les gaines sont court-circuitées aux deux extrémités, des courants induits circulent dans les gaines. L'inductance cyclique de tels câbles subit une diminution due au fait que les courants dans les gaines circulent en sens inverse des courants dans les conducteurs et tendent à diminuer le flux qui entoure les conducteurs. Si rgl et rg2 sont les rayons intérieur et extérieur de la gaine conductrice, D12 la distance entre axes de deux conducteurs et ^ 11 le RMG d'un conducteur, l'inductance cyclique linéique d'un tel câble est I

τ'

Lx

=

µ

°

—

\2ÏÏ

ι

g l 2

M

\

gnJ

JJI

'

In —

7

1+

H/m

^ CfH

(2.50)

(R^/coM'y

où M' dans le terme de correction représente l'inductance linéique mutuelle cyclique par phase entre conducteurs et gaines : M'

= — In -22π >>i + rg2

H/m

(2.51)

Ω/iii

(2.52)

et Rg est la résistance linéique de la gaine : R^

= rr(rg2 � rgl ){rg2

+ rgl )

CARACTÉRISTIQUES DES LIGNES

51

• 2.2.30 Matrice des impédances linéiques pour les lignes non transposées Pour saisir l'avantage de la transposition des lignes aériennes (§ 2.1.6), nous allons considérer le cas d'un système de courants triphasés symétriques. On suppose que le conducteur de retour η est constitué par la terre représentée par un cylindre de très grand rayon rnn. Comme : (2.53)

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h + h +Z3=O

le courant de retour in est nul. Les trois phases 1, 2 et 3 sont disposées en une nappe à hauteur h au dessus du sol (fig. 2.18).

4* 2r

VX1 J7777777777777777777777777777777777777777, Fig. 2.18 Conducteurs en nappe.

Le diamètre de chaque conducteur supposé plein est 2r. Pour simplifier l'écriture par l'utilisation du calcul complexe, on supposera les trois courants sinusoïdaux. La démonstration est cependant valable aussi pour des courants de forme quelconque. Dans le cas de la ligne non transposée (fig. 2.19), l'accroissement linéique de la tension sur la phase 1 est d'après 2.20 : -U\n

= R[I1 +JCoATi1Z1 + )ωΜ\2Ι2

+ JCoJIf13Z3 +K(I1 V/m

Fig. 2.19 ligne triphasée non transposée.

+I2 + Z 3 ) (2.54)

Fig. 2.20 Ligne triphasée transposée.

52

ÉNERGIE ÉLECTRIQUE

En utilisant la relation (2.53), on trouve : -U\n

= R[I1 +JCo(Mi1 - M i 3 ) Z i +JCo(Mi 2 -Mi 3 )Z 2

V/m

(2.55)

avec ^ 11 = r e x p ( - l / 4 )

H/m

(2.56)

avec^ 1 2 =D

H/m

(2.57)

où les valeurs des inductances propres et mutuelles sont : 2

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M1'! = — 2π M[2

= —

In

In ^

2 7Γ

M^3 = ^ o

^

g\2gnn ln

2π

et

— g\\gnn

£!«£3«

a y e c

^i3

= / ) # 2

H / m

( 2 5 8 )

£i3£™

£1« = gin = g3n = h + r„„, #„„ = r w „ exp (�1/4)

on trouve �^1«

Mo / 2D 1\ M0 = ^ i i l + ίω — In — + � Z 1 + jco — (In 2) Z 2 2π \ r 4/ 2π V/m

(2.59)

Pour la deuxième phase, comme M 2 2 = M' n et M 2 3 = M'12, on obtient: Mo / # 1 \ + jco — In - + Z2 V/m (2.60) 2π \ r 4 / tandis que pour la troisième phase le résultat est similaire à celui de la phase 1: -Win

= ^ i

-Usn

= R'ili

2

JUo

/

2Z)

+ jco — In — 2π \ r

1 \

Lin

+ i 3 + jco — ( l n 2 ) / 2 4 J 2π V/m

(2.61)

ce qui donne sous forme matricielle la relation (2.62), valable à condition que

i l +Ii +Ii = o.

'^-H °

^ +jw S( in 7 + î) °

li2 V/m

(2.62)

2.2.31 Dissymétrie introduite par la ligne non transposée On constate dans la matrice (2.62) que : • l'inductance linéique Z/22 est plus petite que les deux autres inductances cycliques de la diagonaleL'n -L'33 = i 2 2 + (µ0Ι2π)\η2;

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CARACTÉRISTIQUES DES LIGNES

• pour les lignes non transposées il existe un couplage entre les phases latérales et la phase placée au milieu, couplage donné par le terme constant (]ωµ0/2π) In 2 typique pour une ligne en nappe; • comme en général Djr > 2, les termes hors diagonale peuvent souvent être négligés; • si on impose des tensions symétriques, par exemple en imposant à chaque extrémité de la ligne un système de tensions triphasé symétrique, ce sont alors les courants qui ne le sont plus. Tout le calcul doit être repris à la base puisque (2.53) n'est alors plus valable. 2.2.32 Ligne transposée La figure 2.20 indique comment on peut permuter les conducteurs 1, 2 et 3 au tiers et au deux tiers d'une ligne de longueur / donnée. La différence des tensions Uin (0) à l'abscisse 0 et Uin (l) à l'abscisse / se calcule pour chaque section de longueur 1/3 en utilisant la matrice (2.62), mais en permutant les indices 1, 2, 3 pour chaque tronçon. On obtient : U1n(O)-U1n(I)=

3

^ i i l + jw — In — + - I i i + j c o - — (In 2) I2 2π \ r AI 2n l

+ � 3 /

+� 3

Mo / + jco — In 2π \ µ0/ 2D * i i i + J < o — In — 2π \ r R[I1

D 1 � 4� � r 4 l\ µ0 + � i t + jco — (In 2) / 3 4 / 2π

V (2.63) or I2 + i 3 ""ii ( P ^e retour par le neutre) ce qui donne, en divisant par /, une valeur moyenne : 3 =

-Um

as

= R[Ii

Mo /

+ jco — In 2π \

rï D r

1\

+ " ii 4/

V/m

(2.64)

En raison de la disposition globalement symétrique des autres phases, les accroissements U2n et U'3n seront similaires à (2.64) où i?i, / 1 sont respectivement remplacés par R 2 , 1 2 puis par R 3 , 1 3 , ce qui, sous forme matricielle, permet d'écrire :

-u\ •u\

V/m

(2.65)

2.2.33 Réduction du calcul triphasé à celui d'une seule phase En comparant les résultats obtenus par (2.62) et (2.65), on voit que seule la ligne transposée permet de réduire le calcul triphasé à celui d'une seule phase avec :

U\n =

(R'+jœL')Il

V/m

(2.66)

54

ÉNERGIE ÉLECTRIQUE

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où L' a la même valeur pour les trois phases. On peut donc déduire que si les trois courants de ligne forment un système symétrique, les accroissements des tensions en formeront aussi un. Par conséquent, si les tensions simples ou composées en début de ligne forment un système symétrique, elles formeront aussi un système symétrique au bout de la ligne.

2.3 RÉPARTITION NON UNIFORME DU COURANT DANS LES CONDUCTEURS DE PHASE ET DANS LA TERRE 2.3.1 Introduction aux effets de proximité et pelliculaire On a vu que les courants alternatifs qui circulent dans les conducteurs créent un champ d'induction B qui existe non seulement entre les conducteurs, mais aussi à l'intérieur des conducteurs (fïg. 2.6). Ainsi, un contour fermé à l'intérieur d'un conducteur embrasse un flux d'induction variable et se trouve être le siège d'une tension induite qui provoque à son tour des courants induits dans le métal. Ces courants de Foucault (vol. IX et X) modifient la répartition, du vecteur densité de courant / , admise uniforme jusqu'ici en première approximation. Plus la fréquence est élevée et l'épaisseur des conducteurs forte, plus l'effet des courants de Foucault sera important. La répartition du courant à l'intérieur d'un conducteur plein ou d'un faisceau de conducteurs est différente en courant alternatif de ce qu'elle est en courant continu. On verra que le courant alternatif a tendance à emprunter des chemins aussi voisins que possible pour l'aller et le retour (effet de proximité). Pour des conducteurs pleins concentriques, le courant utilisera essentiellement la surface externe du conducteur intérieur (effet pelliculaire) et la surface interne du conducteur extérieur (effet de proximité). Ces effets se combinent et sont particulièrement marqués dans la terre. Les courants alternatifs circulant dans la terre passent essentiellement en surface (effet pelliculaire) et suivent le tracé de la ligne (effet de proximité). 2.3.2 Effet de proximité. Cas particulier Il arrive fréquemment que l'on relie par des entretoises conductrices deux ou plusieurs conducteurs en un faisceau pour conduire le courant d'une phase. Afin de s'affranchir de l'effet pelliculaire on considère ici des conducteurs creux à paroi mince. La figure 2.21 représente le groupement des conducteurs 1 et 2 en un faisceau pour conduire le courant i qui retourne par le conducteur η plus proche de 2 que de 1. On obtient au moyen de (2.20) les équations suivantes : -u[n = (/*(+ Rn) Z1 + M 11 — + Ki2 àt -U2n = Rn Z1 + M{2-

+ (R2 + Rn) dr

avec Z1 + Z2 = z.

+ M[2 — dt

V/m

(2.67)

Z2 + M22 — df

V/m

(2.68)

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CARACTERISTIQUES DES LIGNES

L3

-pnjdè

1

M+'2

I

r\n M + W'∆ JC

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rin

If

Θ\ η

II r

•in = h + *2 = *

nn

Fig. 2.21 Faisceau constitué par les conducteurs 1 et 2 supposés tubulaires.

En posant u\n = U2n = u\ en éliminant ι/ entre les deux équations et en séparant les variables Z1 et I 2 , on obtient : Rlh+(Mn-Mi2)

— = R^i2+(M22dr

M[2)

— àt

V/m

(2.69)

L', d'après (2.21) et (2.22) on a:

H=

Mo 2π

u

Mo

. . I ^ +In P i

H/m

(2.70)

1^1 � I n I ^

H/m

(2.71)

2π

/•22

''20

Il est évident que si rn et r22 sont égaux, i j est plus grand que L2. En général, on choisit les conducteurs du faisceau égaux, donc .Ri = R2 et r n = r 22 > m a i s l e s courants I1 et I 2 ne sont pas égaux. Dans le cas où les courants sont sinusoïdaux, on obtient : Z1

R2

+ JCoL 2

I2

R[ + JCoZZ1

(2.72)

D'autre part : I1 + 1

2

=1

A

(2.73)

Pour co petit ( c o l ' < R') et avec Z?i = ^ 2 , on obtient par (2.72) et (2.73) (2.74)

Io = - i

donc le courant se répartit par moitié dans chacun des conducteurs du faisceau. Pour ω élevé ( ω Ζ ' > R ' ) les relations (2.72) et (2.73) donnent : /,

=

/, =

: L[ Ll + Ll1

/

A

(2.75) (2.76)

56

ÉNERGIE ÉLECTRIQUE

2.3.3 Exemple Dans la figure 2.22 on a: •

r

U

= r

22

=

r

nn=

r

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• rn = r2n = Ar • rln=Sr

K®) (Jp

\M

2r

Ix+h=-L Fig. 2.22 Disposition de l'exemple.

On obtient dans ce cas, pour ω élevé (ωΖ/ >R'): I1

H1

I2

A'

In

In

Ar · Ar

r · Sr

4r · 8r

In 2

1

In

3

(2.77)

r · Ar

=

donc Z 1 = (1/4) I et T2 (3/4) 7. On voit que /β courant passe surtout dans le conducteur du faisceau qui est le plus voisin du conducteur de retour. 2.3.4 Définition : effet de proximité D'une façon plus générale, on pourrait démontrer que, pour les conducteurs multiples (faisceaux de 2 ou plusieurs conducteurs élémentaires), le courant alternatif se répartit différemment du courant continu. Plus la fréquence est élevée, plus les courants alternatifs ont tendance à choisir des chemins d'aller et de retour aussi voisins que possible. C'est ce que l'on nomme Y effet de proximité [16,17]. C'est ainsi que le courant de retour par le sol suit le tracé de la ligne, même si elle n'est pas rectiligne. 2.3.5 Définition : effet pelliculaire Le champ magnétique variable dans le temps dû à un courant variable dans un conducteur crée des courants de Foucault qui changent la répartition du courant à l'intérieur du conducteur. La densité de courant devient plus forte en surface qu'en profondeur ce qui donne naissance à Y effet pelliculaire [18,19]. 2.3.6 Effet pelliculaire : cas de conducteurs concentriques Lafigure2.23 représente une ligne composée de deux conducteurs concentriques parcourus par le courant i variable au cours du temps. Jusqu'à présent dans la section 2.2, on a supposé que le courant i se répartissait uniformément dans la section du conducteur considéré, du moins en première approximation. Or, cette hypothèse simplificatrice amène fatalement à une contradiction. En effet, un contour ABCDA à l'intérieur du conducteur numéro 1 (fig. 2.23) embrasse un flux d'induction %.BCDA

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CARACTÉRISTIQUES DES LIGNES

Fig. 2.23 Conducteurs concentriques. Densité de courant / .

non nul et variable dû à l'induction B créée par le courant à l'intérieur du conducteur (fîg. 2.6 et § IH.4.4.3). Or, la variation de ce flux crée une tension induite dans le contour fermé ABCDA d'où la relation: E · d/ =

àt

Φ A BCDA

(2.78)

58

ÉNERGIE ÉLECTRIQUE

qui est contradictoire avec l'hypothèse d'une densité de courant uniforme. En effet, dans le conducteur E = ρ J et le calcul de la tension induite le long du contour fermé donne :

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§E-dI = ΕΑΒ�Αχ

+ 0�ΕΌ"-∆χ

+ 0 = ρ·

&x(JAB�JDC)

qui doit être non nul en raison de (2.78), ce qui rend impossible l'hypothèse JAB = JDC. On constate, par le calcul et par l'expérience, que la densité de courant JAB au centre du conducteur central est plus faible en valeur efficace que la densité de courant JDC en surface (fig. 2.23). De plus, elle présente un certain retard de phase de sorte qu'à l'instant où i = 0, la densité de courant en surface change de direction avant la densité de courant en profondeur. La mise en équation de ces phénomènes est traitée dans le volume IX. On se contentera ici d'en donner quelques résultats fondamentaux.

2.3.7 Définition : profondeur de pénétration équivalente Pour rendre compte de l'augmentation des pertes par effet Joule dues à l'effet pelliculaire, on calcule une résistance effective R^, valable en courant sinusoïdal, plus grande que la résistance en courant continu R_. Le calcul s'effectue en remplaçant le conducteur plein par un conducteur creux fictif de même diamètre extérieur et d'épaisseur δ appelée profondeur de pénétration équivalente.

2.3.8 Formule approchée pour le calcul de la profondeur de pénétration équivalente Lorsque les dimensions transversales du conducteur sont grandes par rapport à la profondeur de pénétration, on peut utiliser la relation suivante [18] : δ = \/2ρΙµ0µτω

m

(2.79)

7

où ρ est la résistivité en Ωηι, µ 0 = 4 π · ΙΟ" H/m, µΓ est la perméabilité relative du conducteur, ω la pulsation en rad/s et δ la profondeur de pénétration en m.

Tableau 2.24 Profondeur de pénétration δ pour divers matériaux. f=50Hz

5 kHz

0,5 MHz

1 mm

0,1 mm

0,01 mm

10 mm

1 mm

0,1 mm

12 mm

1,2 mm

0,12 mm

eau de mer à ρ = 2 iîm Mr = 1

100 m

10 m

Im

terre à

1000 m

100 m

10 m

Matériaux acier

ρ = 100ηΩηι Mr = 500

cuivre 65 0 C ρ

= 20 ni2m

Mr = 1

aluminium

ρ = 29 niîm Mr = 1

ρ = 200 iîm Mr = 1

59

CARACTÉRISTIQUES DES LIGNES

2.3.9 Remarque On peut démontrer qu'à la profondeur δ, la valeur efficace de la densité de courant est réduite à J0Ie ( § III.6.2.2), où J0 est la valeur efficace de la densité de courant à la surface du conducteur.

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2.3.10 Ordres de grandeur de la profondeur de pénétration équivalente Le tableau 2.24 donne quelques valeurs numériques de δ. 2.3.11 Combinaison des effets pelliculaire et de proximité Les conséquences combinées des effets de proximité et pelliculaire sont illustrés dans les figures 2.25, 2.26 et 2.27. /

Fig. 2.25 Barres parallèles.

/

Fig. 2.26 Conducteurs concentriques.

Fig. 2.27 Conducteurs cylindriques voisins.

2.3.12 Conséquences des effets pelliculaire et de proximité Les deux effets ont plusieurs conséquences: • la résistance effective des conducteurs en courant alternatif augmente avec la fréquence', pour les fréquences suffisamment élevées, la résistance effective croît comme \ / / d è s que la profondeur de pénétration est plus faible que la plus petite dimension de la section;

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60

ÉNERGIE ÉLECTRIQUE

• le calcul des DMG et des RMG traité en section 2.2 doit tenir compte des effets de proximité et pelliculaire; les DMG diminuent et les RMG augmentent, de sorte que les inductances mutuelles et propres linéiques diminuent lorsque la fréquence augmente et tendent asymptotiquement vers des limites correspondant à des conducteurs creux; • en général, vu les distances entre conducteurs par rapport au diamètre, on peut négliger l'effet de proximité pour les conducteurs de phase des lignes aériennes, cette hypothèse n'est pas valable dans le sol; • dans les câbles, le toronnage des conducteurs de phase annule l'effet de proximité car la résistance transversale est plus élevée que la résistance longitudinale ; • par contre, l'effet pelliculaire à 50 Hz ne peut pas être négligé pour tous les conducteurs dont le rayon dépasse 10 mm; comme ordre de grandeur, on peut dire que le rapport R^ /R_ défini au paragraphe 2.3.7 prend les valeurs suivantes : 1,026 pour r = 10 mm, 1,324 pour r = 20 mm, 1,865 pour r = 30 mm et 2,396 pour r = 40 mm [10]; • pour le conducteur terre, il est indispensable de tenir compte de l'effet de proximité et de Veffet pelliculaire [20].

2.3.13 Impédance d'uneligne dont le retour du courant s'effectue par le sol Ce cas se présente pour les lignes monophasées ou lors d'un défaut à la terre pour les lignes triphasées; par conséquent, les effets pelliculaire et de proximité ne peuvent pas être négligés. La difficulté d'introduire dans les calculs le conducteur de terre provient du fait que les dimensions de la couche de terre par où passe le courant sont mal définies, que la répartition du courant dans cette couche n'est pas uniforme et que la résistivité du sol est irrégulière dans l'espace et variable au cours du temps. On doit aussi s'attendre à trouver toutes sortes de canalisations enterrées (eau, gaz, câbles, galeries, etc.), particulièrement au voisinage des tracés de lignes électriques. La résistivité du sol peut ainsi varier suivant l'endroit et les conditions météorologiques entre 0,1 et ΙΟ 6 Ωηι. L'influence de la distribution du courant dans le sol sur la valeur de l'impédance linéique d'une ligne a été traité par plusieurs auteurs et finalement Carson et Pollaczek sont arrivés, indépendamment l'un de l'autre, en 1926, à donner des formules qui permettent un calcul proche de la réalité. Ces formules supposent que le sol est un demi-espace infini et de résistivité uniforme.

2.3.14 Calcul d'après Carson D'après Carson [20], l'expression des impédances propre et mutuelle linéiques, dans le cas du retour du courant de ligne par le sol, est composée de deux termes : • un premier terme qui est égal à l'impédance linéique propre et mutuelle que l'on obtient dans le cas d'un sol parfaitement conducteur (p s o l -> 0) avec effets pelliculaire et de proximité totaux; • un terme de correction qui est fonction de la fréquence, du courant et de la résistivité du sol.

61

CARACTÉRISTIQUES DES LIGNES

I1 ^SK

yik

\î\.

ht

N

g/fc^N

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il

)

k

\gik*

> k* Ô i*

Fig. 2.28 Conducteurs i et k et leurs images i* et k* dans le cas du sol parfaitement conducteur.

On aura donc pour l'impédance linéique propre du conducteur i (fîg. 2.28) : Z'u = R'a + AR'a + j (X'u + AX'a)

Ω/m

(2.80)

et pour l'impédance linéique mutuelle entre les conducteurs i et k : Z'ik = AR'ik + j (X'ik + AX'ik)

Ω/m

(2.81)

où R'a est la résistance linéique du conducteur i, X'u et X'ik les réactances inductives linéiques propres et mutuelles pour un sol parfaitement conducteur; AR' et AX' les termes de correction de Carson. 2.3.15 Cas d'un sol parfaitement conducteur Pour établir l'expression des réactances linéiques propre et mutuelle dans le cas d'un sol parfaitement conducteur, on utilise la méthode des images (sect. III.3.4) [21] et [22] pour l'équivalence entre les charges électrostatiques et les courants. La méthode des images, dans le cas présent, consiste à remplacer le sol de résistivité zéro par un conducteur image disposé symétriquement au conducteur réel par rapport à la surface du sol (fig. 2.28). Pour le calcul du champ magnétique d'induction dans l'air, il faut tenir compte du fait que le sol étant considéré comme parfaitement conducteur, la surface du sol se comporte comme un miroir électromagnétique qui empêche toute pénétration des ondes électromagnétiques dans le sol. Par conséquent, pour le calcul des inductances propre et mutuelle des 2 lignes, i sol et k sol, il faut diviser par deux les valeurs des flux calculés entre i et i* ou entre k et k* comme si le sol n'existait pas. On obtient, à partir de la formule 2.36, l'impédance linéique propre : 2 Af Xa = ω — In � Ω/m 2π giï et de la formule 2.30 l'impédance linéique mutuelle : Mo gik* v, X ik = ω — In — 2 TT

gik

0 /

Ω/m

(2.82)

(2.83)

ÉNERGIE ÉLECTRIQUE

62

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où hf est la hauteur de la ligne au dessus du sol (la valeur moyenne de A1- est égale à la hauteur à mi-distance entre deux pylônes plus 1/3 de la flèche), gn le RMG du conducteur i, gik* et gik les DMG entre les conducteurs i et k* (image de k) et respectivement i et k. 2.3.16 Corrections dues à la résistivité non nulle du sol Carson a exprimé la correction due à la résistivité non nulle du sol par une intégrale dont l'expression générale est valable tant pour le terme de correction de l'impédance linéique propre que pour le terme de correction de l'impédance linéique mutuelle [20] : OO

pi;

2

A#(p,q)+jAX(p,q) = 4 ω / (y/ν + j � v ) e" cos(q*0 dv

Ω (2.84)

y= ο

où ν est une variable d'intégration et ρ et q deux paramètres définis comme suit : • pour l'impédance linéique propre : ρ = 2VMoCWp�A/

(2.85)

q = O • pour l'impédance linéique mutuelle : ρ = V M ω/ρ · (A1� + hk) 0

q =

(2.86)

\Ζµ0ω/ρ�γίίζ

où les paramètres hh hk, yik en (m) sont définis sur lafigure2.28, /est la fréquence en Hz et ρ la résistivité du sol en Î2m. La solution de l'intégrale de (2.84) a été donnée par Carson sous la forme de séries infinies mais convergentes pouvant être calculées numériquement [23]. Ce calcul est illustré par les figures 2.29 et 2.30 pour une ligne composée par un conducteur de cuivre plein de 10 mm de rayon suspendu à 10 m du sol. P sol-

300 Ω m

ρsol � 2 Ω m

r\\ = 10 mm Pi = 20 n f i m

Pso\=1 ... 300 Ω m

/[Hz] ICf1

1

10

10 2

103

10 4

105

10 6

Fig. 2.29 Résistance linéique en fonction de la fréquence (selon formule de Carson).

63

CARACTÉRISTIQUES DES LIGNES

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L'[mH/km]

C

p = 300£2m P= 2 Ωιτι

mm ι r u = 10 10 iT Î2m I

>

77777777777777,

= 2 ... 300 Î2m Pl = 2 0 η

Psol

retour sol /[Hz] 1O

�2

10

_1

�µ 1

10

1

10

2

10

3

10

4

10

s

10

6

Fig. 2.30 Inductance linéique en fonction de la fréquence (selon formule de Carson). 2.3.17 Approximation utile de l'effet du sol On peut cependant obtenir des résultats très voisins de ceux donnés par la formule de Carson à l'aide d'approximations astucieuses convenables pour chacun des cas particuliers considérés. 2.3.18 Approximation en courant continu ou à très basse fréquence Imaginons que le sol, utilisé pour le retour du courant, puisse être assimilé à un conducteur cylindrique plein de grand rayon, par exemple 1 000 km. Calculons R' et L' pour la boucle constituée par le conducteur 1 (rn = 10~2m) et le conducteur η (rayon rnn= 10 6 m) (fig. 2.31). On a /�,·„= 1 000 010 m, Ρ! = 20ηΩπι, Pn = IiIm. R\

2

OHz Pn

K« OHz

� 70

ιτιΩ/km

(2.87)

= 6�KT7

ηιΩ/km

(2.88)

π rn

1 1 3,8 mH/km (2.89) +� + � ll nn 4 4 Les deux termes µ0/8π sont présents puisque les deux conducteurs sont pleins (cuivre et terre). De plus h < rnn, l'inductance linéique L'0Hz ne dépend pas de h. Mo

L' OHz

�

In

(Tnn+hY r

r

2.3.19 Approximation pour 50 Hz Pour 50 Hz, le calcul précédant n'est plus admissible car la profondeur de pénétration est pour le conducteur 1 en cuivre : l/ δ

1

=

/

2-20-10" 9 7

7

V 4π·10" ·2π·50

"

1

0

mm

(2.90)

ÉNERGIE ÉLECTRIQUE

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/Z= 10 m

Pierre = 6 , 4 1 0 6 m

Fig. 2.31 Le conducteur terre supposé cylindrique pour / = 0.

pour le conducteur η (sol) : δ„ =

2�2 4π·10~ 7 ·2π·50

= 100

m

(2.91)

Il faut réduire fortement la section fictive du conducteur de retour dans le sol, en l'assimilant par exemple à un conducteur de 100 m de rayon. On obtient : Pn 2 nn

Krc50Hz

ιτιΩ/km

70

(2.92)

nr

La résistance du sol, qui était négligeable par rapport à celle du conducteur à 0 Hz, devient du même ordre de grandeur à 50 Hz. Simultanément l'inductance linéique est réduite à la valeur suivante : , (Tnn+ h)2 1 1 50Hz In 1 1— 2π ru �rnn 4 4 Ici h n'est plus négligeable et Z/SOHZ croît avec h. L

Mo ~

mH/km

(2.93)

2.3.20 Approximation en haute fréquence A 0,5 MHz, la profondeur de pénétration est encore plus réduite: O1 = 0,1 mm, δ„ = 1 m; on ne peut plus négliger ni l'effet pelliculaire dans le conducteur de cuivre, ni l'effet de proximité dans le sol (fig. 2.32). ^10,5MHz

Kη 0,5 MHz

Pl

π Pn 5 �6/7

2

2

[r n�^rn�S1) ] 2 1�60

= 3 200

= 33 000

ηιΩ/km

(2.94)

ηιΩ/km

(2.95)

65

CARACTÉRISTIQUES DES LIGNES

où δ„ = 1 m et la largeur de la bande de terre est approximée à 6h = 60 m Mo

LV5 MHz

2π

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\

In

, 2Α + δ„ ,

+0 + 0

1,54

conducteur réel

/

mH/km (2.96)

I

\ /

\ Bi*

/

y

\ ^ — surface du sol

%—sr—

®

= 1 m

retour réel du courant en surface sous le conducteur

h*= 10m

image symétrique du conducteur pour le calcul de B (y,z) Fig. 2.32 Effet pelliculaire dans le conducteur de cuivre, effet de proximité et pelliculaire dans le sol.

2.3.21 Comparaison entre les approximations Dans le tableau 2.33, on donne, à titre de comparaison, les valeurs de la résistance et de l'inductance propre linéique obtenue à différentes fréquences par le calcul approximatif ci-dessus et à l'aide des formules de Carson. Tableau 2.33 Comparaison entre les valeurs obtenues par un calcul approximatif et par un calcul à l'aide des formules de Carson.

Résistance linéique R'+Rn

Inductance linéique L'

Fréquence

0 Hz

50 Hz

0,5 MHz

formules approchées

70mi2/km

140 m H / k m

36 000 m H / k m

formules de Carson

70miî/km

113 m H / k m

35 600 m H / k m

formules approchées formules de Carson

3,8 mH/km

2,0 mH/km

1,54 mH/km

1,97 mH/km

1,57 mH/km

66

ÉNERGIE ÉLECTRIQUE

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2.4 CARACTÉRISTIQUES TRANSVERSALES 2.4.1 Introduction Dans les sections 2.2 et 2.3, on s'est occupé des phénomènes liés aux courants dans les conducteurs et aux champs magnétiques que ces courants créent, ce qui a permis de définir les caractéristiques longitudinales linéiques R ', M\ L\ X\ Z'. Lorsqu'il n'y a pas de courant dans le sol, notamment pour le calcul des impédances cycliques linéiques, on peut complètement ignorer la présence du sol, ce que l'on n'a pas le droit de faire pour l'étude des caractéristiques transversales. Les caractéristiques transversales rendent compte des effets des charges superficielles des conducteurs de phase et du sol. Ces charges superficielles provoquent un champ électrique perpendiculaire à la surface des conducteurs (fig. 2.6) qui engendre des courants capacitifs lorsqu'il varie et éventuellement des courants de conduction si la matière isolante entre conducteurs n'est pas parfaite (chap. II.4) ou si le seuil d'effet de couronne est dépassé (§ 2.1.8). Les phénomènes capacitifs liant les charges superficielles au champ électrique transversal, donc aux tensions, sont représentés par des capacités linéiques C' de différents types qui font l'objet essentiel de cette section. Les phénomènes de conduction transversale entre conducteurs dépendent des systèmes d'isolation utilisés pour maintenir les conducteurs isolés; on en tient compte en introduisant dans les calculs des conductances linéiques G' en parallèle avec les capacités linéiques C'. Les techniques d'isolation utilisées actuellement permettent de considérer les effets de ces conductances transversales comme négligeables, sauf pour les lignes à très haute tension de grandes longueurs. C'est pourquoi les méthodes de calcul des conductances transversales ne sont pas traitées dans le volume XII (voir vol. XXII). Dans la section 2.4, on se limite à l'étude de phénomènes à fréquence suffisamment basse pour que les distances entre conducteurs soient très petites devant la longueur d'onde λ des phénomènes étudiés. Ainsi, à toute paire de charges électriques de signes opposés situées en surface de deux conducteurs voisins correspond un champ électrique et une tension instantanément établis (fig. 2.6). Π η 'est plus possible de faire abstraction du sol qui, dans cette section, sera toujours considéré comme de résistivité nulle. Pour le calcul des capacités linéiques transversales, les effets pelliculaire et de proximité sont toujours considérés comme totaux; ainsi le fait qu'un conducteur soit creux ou plein ne joue ici plus aucun rôle.

2.4.2 Champ électrique d'un axe chargé Soit un cylindre de longueur infinie (conducteur métallique fin et très long) dont la charge linéique est q\ la permittivité du milieu environnant étant e = ereQ. L'espace entourant le conducteur est limité par un second cylindre coaxial de rayon oo et portant la charge -q'. Pour trouver l'intensité du champ électrique en un point situé à la distance r de l'axe (fig. 2.34), on fait passer par ce point une surface cylindrique de longueur ∆ χ dont l'axe coïncide avec l'axe chargé. On applique l'équation de Gauss (§ III. 1.2.5) qui exprime que le flux du vecteur D à travers une surface fermée qui renferme un volume V est égale à la somme des charges qui se trouvent à l'intérieur de ce volume. La surface fermée, dans la figure

CARACTÉRISTIQUES DES LIGNES

i

ι

+ + + + + + +/ + I

+ + + + + +

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67

Vt

/ 1 + "A V +

+

q'

lr\\ [ "\ +\+ �ι� + +"+ + +

^r

�t� + + + + + / +

+ + + + + + +V�H + /I+

ι

Ax

+ + +1,+ + +

T

Fig. 2.34 Surface cylindrique entourant un axe chargé.

2.34, est constituée par la surface du cylindre et par les deux bases. La somme des charges situées à l'intérieur du cylindre est (q 'Ax). Le flux du vecteur D ne traverse que la surface latérale car le champ électrique d'un axe chargé est radial. On obtient alors (2.97)

j> D-dS = q'-Ax Or, l'intégrale vaut 2nr · ∆χ *D (r) donc : D{r) =

q —

C/m2

2 iir

(2.98)

ou encore : a

I

V/m (2.99) 2�ne0err Pour connaître le potentiel scalaire par rapport au conducteur d'un point quelconque situé à la distance r de l'axe, il faut intégrer (2.99) de rn à r, on trouve E(r)

y

t

ν (r) = � / E dr = —q In —r V ri 2ne rn Cette intégrale n'est pas convergente pour r -> °°, ni pour rn -* O.

(2.100)

2.4.3 Champ électrique de deux axes parallèles dans l'air Soit une paire d'axes parallèles j et j * de longueur infinie éloignés de tout autre conducteur (fig. 2.35). Soit + q'j et - q'j les charges linéiques de l'un et de l'autre. En un point P la résultante de l'intensité du champ Ej est égale à la somme vectorielle des champs dus à chacune des charges avec : β02πηΡ

E*

"02πη*Ρ

V/m

(2.101)

V/m

(2.102)

où e 0 = 8,85 pF/m est la constante électrique du vide.

68

ÉNERGIE ÉLECTRIQUE

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Ej = E+ E*

Fig. 2.35 Champ électrique E, dû à deux axes parallèles avec charges opposées.

Si η ρ et η*Ρ sont les distances respectives du point P à j et à j * , le potentiel du point P dû à la paire de charges + qj et - q'j par rapport au plan médian sera, en séparant les influences de + q) et de - q) :

VP-

f'JU-ir-'f'-^L r

JP

Vp =

e02nr

*' InA

2ne0

ΊΡ

4j

2ne0

, rf*P •In ^

A/

(2.103)

dr* Vi

2πε 0

In

i*P n*

(2.104)

r

iP

Dans (2.103), la première intégrale a été calculée en suivant le chemin P B A et la seconde intégrale en suivant ACP (fig. 2.35).

2.4.4 Conducteurs de rayon fini Si au lieu de deux axes chargés, on a deux conducteurs qui ont un certain rayon r =r iî i*j* » ^e Pr°blème peut être résolu en introduisant pour chaque conducteur une charge linéique infiniment mince placée à une distance δ du centre de son conducteur [24]. En général, δ est assez petit pour qu'on puisse poser δ = 0 sans introduire de grandes erreurs (fig. 2.6).

2.4.5 Champ électrique d'une ligne au voisinage du sol. Méthode des images Soit un système de (n -1) conducteurs très longs soumis à des tensions électriques continues ou à basse fréquence. On peut considérer que les n conducteurs sont chargés chacun par une charge linéique q \ (l'indice de la charge correspond au numéro du conducteur). Les (n - 1 ) conducteurs métalliques sont tendus parallèlement à la surface du sol. Le n-ième conducteur est le sol. Il est considéré comme un conducteur parfait et on peut le remplacer par les images -q\ des (n -1) conducteurs (fig. 2.36), sans modifier le champ électrique au-dessus du sol.

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CARACTÉRISTIQUES DES LIGNES

69

Fig. 2.36 Coupe d'une ligne à η conducteurs.

Dans le plan de la coupe (fig. 2.36), qui n'est traversée par aucun flux d'induction magnétique variable, les tensions dérivent d'un potentiel fixé par les charges situées à la surface du sol et des conducteurs. Inversement, on peut dire que, pour faire apparaître les tensions entre conducteurs, il faut amener des charges à leur surface. Ces modifications de charges de surface engendrent à leur tour des courants capacitifs dans les conducteurs. Voir paragraphe 2.4.15.

2.4.6 Tension due à une paire de charges linéiques La tension entre un point P situé dans l'air et le sol, mesurée dans un plan normal, est donc égale au potentiel du point P par rapport au sol. En remplaçant le sol par les images des (n -1) conducteurs, le potentiel du point P sera donné par la somme des potentiels dus au système de charges + q'j et -q'j où j = 1, 2,.. η -1.D'après (2.104), la tension du point P due au conducteur j est égale à: upn due à/ = -^- In - ^ 2ve0 ηρ Le cas des câbles est traité dans le paragraphe 2 A.19

V

(2.105)

70

ÉNERGIE ÉLECTRIQUE

2.4.7 Tension due à un ensemble de paires de charges linéiques La tension totale du point P due aux (n -1) conducteurs et au sol sera alors : Σ Qj In —

uPn = -

2Ή!0

/=1

V

(2.106)

Γ ; ·ρ

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où ηΡ et r;·*p sont les distances entre le point P et respectivement les axes du conducteur j et de son image j * . 2.4.8 Définitions : coefficients de potentiel ou coefficients d'influence Si le point P est placé sur le conducteur k, la formule (2.106) permet de calculer la tension entre le conducteur k et la terre : ukn = 1 — 2πε0

Σ Qj In — j=i

V

(2.107)

rjk

où rjk et rj*k sont les distances entre l'axe géométrique du conducteur k et respectivement les axes du conducteur j et de son image j *. Pour le terme j = k, rk *k - 2 hk représente la distance entre le conducteur k et son image; hk est la hauteur de l'axe de ce conducteur par rapport au sol, tandis que rkk est le rayon du conducteur k. Les coefficients des charges q) dépendent uniquement des dimensions géométriques des conducteurs, de leur disposition réciproque et des propriétés diélectriques du milieu. Si l'on pose : Kkj =

Yj

In

^~

m/F

(2.108)

V

(2.109)

2ne0 rjk la tension ukn s'écrit : n-\

"Kn = Σ KkjQj /=i

Puisque rf*k = rk}* et rjk = rkj, on a Kjk =Kkj. Les coefficients Kjk sont appelés coefficients de potentiel ou coefficients d'influence. 2.4.9 Définition : matrice des coefficients de potentiel. Premier groupe des formules de Maxwell A partir de (2.109), on peut obtenir un système d'équations qui permet de calculer les tensions U1n ... ukn ... W(«-i)« par rapport à la terre lorsqu'on connaît les charges linéiques q\, ... qj,... qn_x des (n -1) conducteurs. Ce système d'équations est connu sous le nom de premier groupe de formules de Maxwell (ne pas confondre avec les équations de Maxwell traitées dans le volume III), et il s'écrit en notation matricielle : 1

In

'2n ^u(n-\)n'

\

/Kn

1 = I K 2i \-K(W-I)I

K\2

--^1(W-I)

K22

... ^ 2 (M-D

K(M_i)2... K(„_i)(w_i)/

\[q2

I V (2.110) \qn-\

71

CARACTÉRISTIQUES DES LIGNES

La matrice K est la matrice des coefficients de potentiel et c'est une matrice symétrique car Kjk = Kkj. Les tensions entre conducteurs sont :

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u

ik = ujn -ukn

V

(2.111)

2.4.10 Définition : matrice des capacités linéiques nodales. Deuxième groupe de formules de Maxwell Comme en général on connaît plutôt les tensions que les charges linéiques, il est utile de résoudre le système d'équations (2.110) par rapport aux charges. On peut alors écrire : (q') = (K)-1 (u)

C/m

(2.112)

En posant (CN') = (K)'1 on obtient en notation matricielle : '«Ί \ Q2 K

/CfT11

CN'12

...CW1(^1)

UlOVi1

CN'22

...CN'2{n^

Qn�V

^^^(n�l)l

\ W

CN(n_^2 ... C A ^ . j ) ( „ � i /

/U1n u2n ^"(π�1)«^

C/m

(2.113)

Ce système d'équations constitue le deuxième groupe de formules de Maxwell et les coefficients CN'jk, qui ont la dimension d'une capacité par unité de longueur, sont appelés coefficients capacitifs ou capacités linéiques nodales. On a la formule d'inversion : (CN') = (K)-1 = - i — (A) T F/m (2.114) det (A ) τ où det (K) est le déterminant de la matrice (K) et (Α) la matrice transposée des cofacteurs (mineur avec signe) de la matrice (K). La valeur des capacités linéiques nodales peut être déterminée aussi par voie expérimentale ; une des méthodes est décrite dans [24]. 2.4.11 Signe des capacités linéiques nodales D est possible de démontrer que tous les CN^ sont positifs tandis que tous les CN'jjç sont négatifs. 2.4.12 Définitions : capacités linéiques partielles à la terre et entre conducteurs. Troisième groupe de formules de Maxwell Le système (2.113) peut être écrit sous une autre forme en introduisant à la place des tensions à la terre uin les tensions entre conducteurs Ujk. Pour la charge q'k, due à la tension Ujn, (2.113) donne: CNkj ujn = CN'kj (Ujn - ukn + ukn) = - CN'kj ukf + CN'kj ukn

C/m (2.115)

et par conséquent : ϊκ = u

k n

\ CN'kf+

/=i

χ /=i j¥=k

(�CN'ki)ukj

C/m

(2.116)

72

ÉNERGIE ÉLECTRIQUE

Si l'on pose : C'kk

=

n-l

Σ CN'kf = somme de la ligne k de la matrice CN'

C'ki = �CN'kf

F/m

(2.117)

F/m

(2.118)

C/m

(2.119)

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on peut écrire : Qk ~ Ckk ukn + Σ

Ckj 2½/

j*k

et sous forme matricielle, en tenant compte de ukj� = ukn � Ujn :

Λ; \

/ ici,

I «2 1 1 " S i \Qn�l/

C12

···

Cl(«�1)

\

Σ C*2/ · · . ~^2(„�ι)

\~C[n�i)i ~C[n�l)2 ···

Σ C{n�\)j / /=1 C/m

I • I "2n

)

W�

1)"/

(2.120)

Ce système d'équations constitue le troisième groupe de formules de Maxwell. Les coefficients C'kk sont les capacités linéiques partielles à la terre, définies par (2.117), et les coefficients C'kj sont les capacités partielles entre conducteurs, définies par (2.118).

2.4.13 Signe des capacités linéiques partielles Du fait que Ckj- = - CNkj-f toutes les capacités partielles entre conducteurs sont positives; on peut démontrer (vol. IV) que Ckk est positif, bien que tous les CNkj soient négatifs pour j Φ k, ce qui signifie que n�l

CN'kk > � Σ

7=1

CN'kj

;*k

2.4.14 Addition, soustraction ou déplacement d'un conducteur D'après les formules (2.108), (2.114), (2.117) et (2.118), on voit qu'en ajoutant, supprimant ou déplaçant un conducteur de l'ensemble, on ajoute, supprime ou modifie une seule ligne et une seule colonne de la matrice des coefficients K. Par contre, toutes les capacités linéiques nodales et toutes les capacités linéiques partielles sont modifiées.

2.4.15 Liaison entre charges de surface et dérivée linéique du courant dans le conducteur Pour le conducteur j (fig. 2.37), on a les relations suivantes : 3 bt

(q'j djc) = ij- ( ij + — dx\

C/s

(2.121)

73

CARACTÉRISTIQUES DES LIGNES

d'où: C/sm

3i i(x,t)

qj-éx

ι

(2.122) /+

d.x

bx

| + + + + + + + + + + + + + + + I

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I

Γ I ι

I + +

+ +

+

+

x

+

+ +

+ �f

+

d x

conducteur j p

I + + + I

!

x + d*

I

Fig. 2.37 Variation du courant le long du conducteur due aux charges superficielles.

2.4.16 Exemple numérique Une ligne triphasée en nappe est composée de trois cordes de 38 mm de diamètre extérieur en aluminium avec âme d'acier. La distance entre conducteurs est de 6 m, la hauteur au-dessus du sol varie entre 8 m et 15 m (fig. 2.38). Les conducteurs de phase 1, 2 et 3 sont transposés au tiers et au deux tiers de la ligne. On demande de calculer les valeurs moyennes des capacités partielles linéiques à la terre et entre phases. Il n'y a pas de conducteur de garde. Puisque la ligne est transposée, la distance entre les conducteurs de deux phases données est de 6 m sur deux tiers de la ligne et de 12 m sur le tiers restant, on fait ainsi la moyenne arithmétique des flux (moyenne arithmétique de logarithme = moyenne

6m

6m

0 38 mm

15 m

Fig. 2.38 Ligne triphasée en nappe sans conducteur de garde.

74

ÉNERGIE ÉLECTRIQUE

géométrique de l'argument). On obtient:

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Ί 2 = >"23 = >*3i = ^ 6 � 6 � 1 2 = 7,56

(2.123)

m

Toutes les distances entre un conducteur de phase et les images des trois conducteurs de phase varient entre 16 m et 32,3 m. Un calcul précis de distance moyenne géométrique (DMG) n'a pas de sens à cause du relief du sol; on prend en général le double de la hauteur minimum 8 m · 2 plus deux tiers de la flèche (15 m - 8 m ) 2/3 (§ 2.3.15) et on obtient : r

l*l — r l*2 — r l*3 — r2*2 — r2*3 — r3*3 — 20,7

m

(2.124)

Les rayons des conducteurs valent : ru = >22 = r33 a 0,0185

m

(2.125)

A l'aide des relations (2.108) et (2.110) on trouve : 1

(2.126)

2πε 0 car In (20,7/0,0185) a 7 et In (20,7/7,56) a l . Le calcul de la matrice inverse selon (2.114) donne :

nef 27

C/m

(2.127)

Enfin, à l'aide de (2.118) et (2.117), on trouve les capacités linéiques partielles entre phases et par rapport à la terre : Ci 2 = C23 = C31 = +πβο/27 a 1 Cn

= C22 = C33 = + 6ne0/27

= 6

pF/m

(2.128)

pF/m

(2.129)

2.4.17 Représentation schématique Les effets capacitifs entre conducteurs de phase et par rapport à la terre peuvent être alors représentés par l'un des schémas des figures 2.39, 2.40, 2.41. Les schémas 2.40 et 2.41 ne sont utilisables qu 'en l'absence de toute charge homopolaire (§ 1.9.6.5) et, vu la symétrie, de toute tension homopolaire.

2.4.18 Exemple. Cas non transposé Soit à déterminer les capacités partielles linéiques pour la même ligne en nappe de la figure 2.38, mais non transposée. En appliquant la même méthode (§ 2.4.16), on trouve C'n = C33 = 6,3 pF/m, C22 = 5,6 pF/m, Cn = C23 = 1,4 pF/m et C3i = 0,5 pF/m. Vu la dissymétrie, il n'est plus possible de réduire le système à 3 capacités linéiques équivalentes par rapport à la terre, même si U1n+ U2n + U3n = 0.

CARACTÉRISTIQUES DES LIGNES

75

C 3i =1 pF/m

Hh1

. 1 pF/m

\

1 pF/πΛ

Hh�HH

1

2

3

T

T

1

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, 9 pF/m

t

9 pF/m

| 9 pF/m

T" ~r

I I

I I

I I

η

Fig. 2.39 Capacités linéiques partielles. Schéma complet.

Fig. 2.40 Simplification en Y. Seulement si U^n + U2n + U^n = 0. 3 pF/m

•Γ—Ii��),

X X

\

3 pF/m

V 3 pF/m 2 Fig. 2.41 Simplification en ∆. Seulement si ulw + U2n + W3n = 0.

2.4.19 Capacités linéiques des câbles à haute tension Tous les câbles à haute tension, à partir de 20 kV, sont constitués par des conducteurs toronnés dont la surface est rendue lisse par un ruban métallisé graphité, guipé ou par un semi-conducteur extrudé (fig. 2.4). Cette précaution est nécessaire afin d'homogénéiser les champs électriques et minimiser les risques d'amorçage de décharges électriques dans les interstices. De même lorsque trois conducteurs isolés pour la haute tension sont assemblés dans une seule gaine commune (fig. 2.5), l'isolation de chaque conducteur de phase est entourée par un écran métallisé graphité ou semi-conducteur plaqué contre la surface de la matière isolante afin d'éviter tout vide qui serait sujet à ionisation entraînant la dégradation de la matière isolante [25]. Le calcul des capacités linéiques partielles entre chaque conducteur de phase et l'écran, nécessairement mis au potentiel de la terre est donc immédiat : C 11 = 2ne0eT/\n—

F/m

(2.130)

'11

où er est la permittivité relative de l'isolement homogène du conducteur de phase (4 pour le papier imprégné d'huile et 2,3 pour le polyéthylène), 2ne0 = 55,6 pF/m; rn est le rayon du conducteur de phase et rg le rayon intérieur de la gaine métallisée. Vu la présence des écrans, tous mis à la terre, et entourant complètement chaque conducteur de phase, il n'y a aucune capacité linéique partielle entre les conducteurs de phase. 2.4.20 Pertes diélectriques dans l'isolant Les pertes électriques dans l'isolant conduisent à G' u = coC' n · tan δ (II, 4.6.5).

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76

ÉNERGIE ÉLECTRIQUE

2.4.21 Capacités linéiques de câbles à basse tension Pour les câbles à tension inférieure à 20 kV, on renonce souvent aux écrans; les trois conducteurs de phase isolés sont alors entourés d'une ceinture isolante. Dans ce cas, il convient de calculer séparément les trois capacités partielles entre chaque conducteur de phase et la gaine métallique commune, et les trois capacités partielles entre conducteurs de phase. La proximité des conducteurs et leur encombrement non négligeable dans l'espace isolant très restreint conduisent à des calculs compliqués [26] Comme ces capacités linéiques ont des effets négligeables en basse tension, il n'en sera plus question dans le volume XII.

CHAPITRE 3

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MODÈLES DES LIGNES

3.1 INTRODUCTION 3.1.1 Modèle général d'une ligne La figure 3.1 donne l'ensemble des caractéristiques linéiques d'une ligne dont le n-ième conducteur est le sol. On peut vérifier que ce modèle permet de retrouver les équations longitudinales (2.20) et transversales (2.113) ou (2.120). Pour être encore plus général, on aurait pu représenter des conductances partielles transversales G\j dx, chaque fois en parallèle avec C[j dx. Pour plus de commodité on rappelle ici les deux équations matricielles fondamentales: - - (uin) dx

= (R')(i)

+ - (Af)(O dt

V/m

(3.1)

- — ( / ) = (GN')(uin) +-(CW')(w/ J A/m (3.2) dx dt où uin est le vecteur des (n -1) tensions à la terre; i le vecteur des (n -1) courants; R' et M'les matrices définies dans la section 2.2; CN' la matrice des capacités linéiques nodales du paragraphe 2.4.10; GN' une matrice des conductances linéiques nodales dont l'effet peut en général être négligé, si les isolations sont convenablement dimensionnées et l'effet de couronne réduit au minimum.

abscisse χ

abscisse .v + d.v

Fig. 3.1 Modèle général d'un élément dx de ligne à (n — 1) = 4 conducteurs métalliques et retour commun par le sol n.

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ÉNERGIE ÉLECTRIQUE

3.1.2 Modèles simplifiés Comme on l'a déjà dit dans l'introduction du Traité, la principale qualité d'un modèle utilisé par l'ingénieur n'est pas d'être le plus complet possible; il lui faut par contre être adapté au problème posé. Or, les paramètres du modèle de la figure 3.1 sont trop nombreux pour résoudre rapidement des problèmes particuliers. Il s'agit donc de simplifier ce modèle en tenant compte de symétries, de conditions aux limites et en négligeant délibérément tout ce qui peut l'être. On retiendra que la nature du sol est mal connue, variable au cours du temps et le long de la ligne. Il serait donc absurde, dans certain cas même fallacieux, de calculer des phénomènes avec une trop grande précision apparente, en partant de caractéristiques qui sont de toute façon mal connues par nature comme on l'a vu dans la section 2.3. 3.1.3 But du chapitre Le chapitre 3 a pour principal but de présenter des modèles simplifiés, utilisables dans des conditions particulières. Les paragraphes 3.1.4 à 3.1.13 évoquent les principaux phénomènes rencontrés dans le fonctionnement des lignes électriques. La section 3.2 décrit le schéma équivalent en π et ses limites d'utilisation. La section 3.3 présente le comportement de la ligne en régime triphasé symétrique. La section 3.4 passe à l'étude des régimes non symétriques et se termine par une méthode de détermination expérimentale des caractéristiques linéiques. 3.1.4 Définition : ligne à vide Une ligne à vide est une ligne reliée à l'une de ses extrémités (début) à une source de tension, alors que l'autre extrémité (fin) n'est reliée à rien. On constate que les tensions qui s'établissent en fin de ligne sont en général plus grandes en valeurs efficaces qu'au début de la ligne. Ce phénomène, appelé effet Ferranti, peut être expliqué aussi bien par la méthode des ondes progressives et rétrogrades, que par un simple schéma équivalent en π (§ 3.2.22 et 3.2.23). La chute de tension, selon la définition du paragraphe 2.1.15, est négative. L'essai à vide permet de déterminer expérimentalement les constantes linéiques transversales (§ 3.4.12). 3.1.5 Ligne en charge symétrique Le calcul des courants et des tensions aux deux extrémités d'une ligne triphasée de construction symétrique, et en régime sinusoïdal symétrique, peut être fait à partir d'un schéma en π monophasé équivalent (sect. 3.2). On démontre que, pour une tension donnée et imposée au début de la ligne, les puissances actives et réactives que l'on peut obtenir en fin de ligne sont limitées (§ 3.3.14). La chute de tension peut être positive, nulle ou négative (chap. 4). Il y a en général deux solutions dont seule celle qui comporte le plus petit courant doit être retenue. 3.1.6 Ligne en surcharge symétrique Lorsqu'on surcharge la ligne en plaçant en fin de ligne des admittances dépassant une certaine valeur critique, les tensions en bout de ligne, ainsi que les puissances actives et réactives, décroissent (sect. 3.3). On se rapproche du fonctionnement en court-

MODÈLKS DKS LIGNKS

79

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circuit. Le fonctionnement en surcharge doit être limité dans le temps (chap. 7) pour éviter réchauffement excessif des conducteurs (§ 5.10.7). 3.1.7 Ligne en charge déséquilibrée Si les trois courants demandés en fin de ligne ne forment pas un système triphasé symétrique, une méthode consiste à décomposer ces trois courants en composantes symétriques (sect. 3.4 et § I. 9.6.5), on superpose les résultats obtenus séparément pour chaque composante. On doit s'assurer que dans toutes les relations, il y a proportionalité entre causes et effets, sans quoi la méthode de superposition η 'est pas applicable. 3.1.8 Ligne en court�circuit triphasé symétrique Lors de l'apparition subite de courts-circuits simultanés entre les trois phases en fin de ligne, on peut en général démontrer que la somme des trois courants de courtcircuit reste nulle même pendant la durée des phénomènes transitoires. Si tel est le cas, on peut conserver les trois schémas en π équivalents aux trois conducteurs de phase et calculer l'établissement des courants de court-circuit, soit en superposant les composantes sinusoïdales et les composantes transitoires (chap. 5), soit par les transformées de Laplace. Il faut vérifier que la somme des trois courants de court-circuit est bien identiquement nulle. Si tel n'est pas le cas, l'étude doit être menée comme pour un cas non symétrique. 3.1.9 Ligne en court-circuit non symétrique Les défauts d'isolement font apparaître des courts-circuits non symétriques; dans ce cas, le recours aux coordonnées symétriques est nécessaire (sect. 3.4 et chap. 5). 3.1.10 Télécommande centralisée à fréquences acoustiques On utilise les lignes à basse et à moyenne tension (< 35 kV) pour transmettre des signaux à des fréquences comprises entre 175 Hz et 2 000 Hz. Ces signaux, dont les tensions sont relativement basses (1 à 5 % de la tension à fréquence industrielle), sont détectés par des récepteurs comprenant à l'entrée un circuit accordé sur la fréquence choisie pour le signal et bloquant le passage du courant à fréquence industrielle. Ces récepteurs peuvent ainsi détecter et discerner des trains d'impulsions de signaux à fréquence acoustique, émis selon des codes précis, permettant d'enclencher ou de déclencher différentes catégories d'appareils à partir d'un poste central. C'est ce que l'on nomme la télécommande centralisée [27]. L'étude de la propagation de tels signaux sur les lignes doit être faite en choisissant pour les caractéristiques linéiques les valeurs correspondant à la fréquence du signal utilisé. 3.1.11 Télémesure et télécommande par onde porteuse On utilise fréquemment un ou plusieurs conducteurs de phase d'une ligne à haute tension comme support pour la transmission de signaux modulés. La fréquence de l'onde porteuse est de l'ordre de 0,5 MHz. Les schémas équivalents simplifiés utili-

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ÉNERGIE ÉLECTRIQUE

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ses pour la fréquence industrielle sont inutilisables pour l'étude de la propagation des ondes porteuses le long de la ligne et doivent être adaptés. 3.1.12 Propagation des surtensions de manœuvre Lorsqu'on ferme des interrupteurs, par exemple, on relie subitement entre eux deux extrémités de conducteurs qui, avant la fermeture, n'avaient pas la même tension à la terre. Cette fermeture provoque des ondes de tension non sinusoïdales qui se propagent le long des lignes, se réfléchissent et se réfractent aux endroits où deux lignes de caractéristiques différentes sont reliées, où plusieurs lignes sont raccordées à un même jeu de barres ou encore aux endroits où la ligne s'arrête. Le calcul de la propagation de ces surtensions de manœuvre est important pour le choix des isolements nécessaires (chap. 6). Le front des ondes de manœuvre est de l'ordre de 250 MS OU 75 km. L'étude de ces phénomènes recourt au modèle à constantes réparties, semblable au schéma équivalent de la figure 3.1, où les valeurs numériques sont choisies pour une fréquence de l'ordre de 1 000 Hz. Le terme de surtension est justifié par le fait qu'il s'agit d'un supplément de tension qui vient s'ajouter localement et temporairement à la tension correspondant au fonctionnement normal décrit sous 3.1.5. 3.1.13 Propagation des surtensions de foudre Lorsque la foudre tombe sur une ligne, sur le conducteur de garde (§ 2.1.4), sur un pylône ou simplement au voisinage de la ligne, des ondes de surtensions de foudre se propagent à partir du lieu d'impact. Ces ondes sont réfléchies, réfractées et atténuées comme les ondes de manœuvre décrites sous 3.1.12, mais le front de l'onde dure environ 1 MS et ne s'étale que sur 300 m. On choisit pour l'étude de ces phénomènes, non symétriques par nature, des méthodes faisant appel aux propagations d'ondes, en choisissant pour les caractéristiques linéiques des valeurs correspondant à 0,1 ou 1 MHz (chap. 6).

3.2 RÉGIME TRIPHASE SYMETRIQUE. SCHEMA EQUIVALENT EN π ι 3.2.1 Conditions de réduction d'un problème triphasé à l'étude de trois problèmes monophasés Le schéma équivalent de la figure 3.1 peut être ramené à l'étude d'un seul schéma équivalent monophasé, lorsque les dix conditions suivantes sont satisfaites: la ligne ne comporte que 3 conducteurs de phase régulièrement permutés ou disposés de telle façon que les conditions (3.5), (3.6) et (3.7) soient satisfaites; h +h +Z3=O

A

(3.3)

uln +U2n +U3n = 0

V

(3.4)

M'12 = M'23 = M31

H/m

(3.5)

C 12 = C 2 3 = C 31

F/m

(3.6)

C 12 = C 2 3 = C 31

S/m

(3.7)

R[

Ω/m

(3.8)

= R2

= R3

81

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MODÈLES DES LIGNES

Mi 1 = M 2 2 = M33

H/m

(3.9)

C 11 = C 22 = C 3 3

F/m

(3.10)

Cn

S/m

(3.11)

= G'22 = C33

La signification des symboles est donnée dans le chapitre 2. Les conditions (3.8) à (3.11) ne sont pas indispensables si l'on traite séparément chaque phase. Si les 10 conditions sont satisfaites, le schéma équivalent de la figure 3.1 peut être ramené à un seul schéma équivalent monophasé, donné par la figure 3.2, que Ton peut alors étudier séparément pour chaque phase ou par simple itération cyclique. Dans ce schéma ramené à une seule phase, il faut introduire des valeurs différentes de celles qui correspondent à une vraie ligne monophasée, à savoir : Ω/m

(3.12)

H/m

(3.13)

C — C 11 + 3 C23 = C22 + 3 C 2 3 = C33 + 3 C 2 3

F/m

(3.14)

C=

S/m

(3.15)

R' = R\ L' = M'n - M23

= M'22-M'23

=M'33-M'23

Cn + 3 C 2 3 = G22 + 3 C 2 3 = C 3 3 + 3 C 2 3

u (x, t) est la tension entre le conducteur de phase considéré et le sol (tension simple); i(x, t) est le courant dans le même conducteur de phase, tous deux mesurés à l'abscisse χ et à l'instant t. R'dx

L'dx

ι + — dx dx

conducteur de phase

sol de résistivité nulle conducteur η abscisse χ

abscisse χ + dx

Fig. 3.2 Schéma équivalent d'un élément dx de la ligne rapporté à une seule phase.

La démonstration de l'identité, pour les inductances, des deux schémas équivalents des figures 3.1 et 3.2, lorsque les dix conditions sont remplies, a été traitée au paragraphe 2.2.32. Pour les capacités et les conductances partielles entre phases, on remplace les trois éléments en triangle par trois éléments en étoile. Il faut alors encore prouver, à l'aide des relations (3.4), (3.6) et (3.7) que la tension entre le point médian de l'étoile ainsi constituée et le sol (conducteur n) est bien nulle, ce qui permet d'aboutir au schéma simplifié (fig. 3.2). 3.2.2 Equations des télégraphistes dans le cas de la ligne triphasée symétrique fonctionnant sous les conditions 3.2.1 La figure 3.2 permet d'écrire les équations suivantes: bu 3 = R'i + — (L'i) V/m (3.16) dx dt

82

ÉNERGIE ÉLECTRIQUE

- — = G' u + — (C'u) A/m (3.17) bx bt En l'absence de vent L9 et C' sont constants, on peut en déduire en combinant (3.16) et (3.17): YuU , t8b2 " , , o . W , ^ Ô W T r w LCC — — 2r = L - 2 + (R'C + LG')— + R9G9U bx bt ' bt Ce document est la propriété exclusive de Edison Marcelo Palacios ([email protected]) - 02 juillet 2018 à 23:25

3

V/m2

(3.18)

Cette équation est celle des télégraphistes déjà rencontrée dans le volume III au paragraphe 8.4.2. Les équations 3.16 et 3.17 sont valables pour chaque phase d'une ligne symétrique répondant aux conditions du paragraphe 3.2.1. 3.2.3 Cas d'une ligne monophasée à un conducteur et retour par le sol En supprimant les conducteurs de phase numéros 2 et 3 de la ligne triphasée précédente, on obtient, comme schéma équivalent, la même figure 3.2, mais avec d'autres valeurs numériques : R'numo=R\+K

Wm

(3.19)

L'mono = M'n

H/m

(3.20)

F/m

(3.21)

C'mono = Cn + 2^" R ,L mono ^ L , C mono < C , Gmono < G . π 3.2.4 Influence des conducteurs de garde, des écrans et des gaines Les conducteurs de garde (§ 2.1.4), les écrans conducteurs et les gaines métalliques de câbles peuvent être considérés comme faisant partie du conducteur sol n. Une méthode de calcul consiste à considérer en première étape tous ces éléments comme des conducteurs supplémentaires, puis d'exprimer soit que la tension à la terre est nulle tout au long de la ligne pour les conducteurs mis à la terre aux deux extrémités, soit que le courant y est nul si le circuit est interrompu [28]. On voit que le mode de liaison entre ces éléments et la terre peut modifier les caractéristiques de la ligne. On peut constater les influences suivantes : • augmentation des capacités partielles à la terre et diminution des capacités partielles entre phases; • augmentation de C9 dans le schéma de la figure 3.2. De plus, lorsque ces éléments sont reliés à la terre et entre eux aux deux extrémités ou tout au long de la ligne, on constate : • une diminution de L' (fig. 3.2); • une augmentation de R ' lorsque ces éléments entourent les conducteurs de phase ou en sont très voisins.

83

MODÈLES DES LIGNES

3.2.5 Solution des équations des lignes en régime sinusoïdal symétrique En régime sinusoïdal, on utilise le calcul complexe. Les équations (3.16) et (3.17) deviennent :

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dU -— =(£'+jo;Z/)/ dx

V/m

(3.23)

-— =(G'+jcoC')tf A/m (3.24) àx On retrouve les équations d'une ligne bifilaire (§ III. 8.3.2) toutefois avec une signification différente pour R\ L\ G' et C' étant donné les conditions du paragraphe 3.2.1. En posant : Z'

=R' + ]U>L'

Ω/m

(3.25)

Y'

= G ' + JOJC'

S/m

(3.26)

y

= VFT'

1/m

(3.27)

Zc

= y/Z'/Y'

Ω

(3.28)

et en séparant les variables U et £ on obtient le système : à2 U àx' ——2 àx

y2 U - y21

V/m2

(3.29)

A/m2

(3.30)

L'équation (3.29) admet pour solution toute tension Up ou Ur telle que Up(X) = UP(P) e?x

V

(3.31)

x

V

(3.32)

Ur(x)

= Ur(0) e1

tandis que (3.30) admet pour solution tout courant Ip ouIr qui d'après (3.23) a pour expression : 1 dUp(x) y Up(x) R'+'^L'

R'+ )o>Lr

djc

Zc

A 1

dUr(x)

J_r =

y

TJ

Ur(x)

Ur(x) =

= R' + jcoZ/

(3.33)

dx

R' + j w l ' " A La solution du système (3.23), (3.24) est alors donnée par

Zc (3.34)

U(x) = Up (x) + Ur (x)

V

(3.35)

Up (x)~ Ur (x) L(X) = ~P - ~rK Z.c

A

(3.36)

où les constantes Up (O) et Ur (Q) seront déterminées par les conditions aux limites. Si

84

ÉNERGIE ÉLECTRIQUE

celles-ci sont U(O) et 1(0) pour χ = 0, on obtient finalement à partir de (3.31), (3.32), (3.35) et (3.36): Up(x)

U(O) + ZcI(0) = =-—^

-yx e 1*

V

(3.37)

Ur(x)

=

e-

V

(3.38)

£/(*) = Ç/(0) cosh ( T * ) - Z C 7(0) sinh ( γ χ )

V

(3.39)

/ (JC) = � = � ^ sinh ( γ * ) +7(0) c o s h ( p )

A

(3.40)

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2 d'où

Pour une ligne de longueur / la tension et le courant au bout de celle�ci, en fonction de la tension et du courant à son début et de ses paramètres, seront donc U(I) = U(O) cosh(7/) -Zc 1(0) sinh (γ/)

V

(3.41)

U(O) 1(1) = � = � ^ sinh (γ/ ) + / ( 0 ) cosh(;y/) Zc

A

(3.42)

3.2.6 Définitions des paramètres de propagation Les paramètres définis par (3.25) à (3.28) ont les dénominations suivantes: • • • •

Z' Y' Zc γ

est Y impédance linéique cyclique complexe, est Yadmittance linéique cyclique complexe, est Y impédance caractéristique cyclique complexe, est Yexposant linéique de propagation cyclique.

On peut toujours poser : 7 = a+j/3

1/m

(3.43)

α = Re [7]

néper/m

(3.44)

β = Im [7]

rad/m

(3.45)

avec et où α est Y affaiblissement linéique cyclique, et 0, le retard de phase linéique cyclique. On retrouve des termes déjà utilisés dans le volume III au chapitre 6, mais appliqués cette fois à une ligne triphasée symétrique en régime sinusoïdal symétrique.

3.2.7 Définitions : ondes progressive et rétrograde En régime sinusoïdal établi, la tension complexe entre un conducteur de phase et le sol peut être donnée par l'une des expressions (3.35) ou (3.39), qui sont en fait identiques. De même, le courant en tout endroit χ est donné soit par (3.36), soit par (3.40), formules identiques, mais présentées de façon différente. Si, dans les expressions (3.35) et (3.36) on ne considère que les termes Up (x) et

85

MODÈLES DES LIGNES

Up (x)/Zc =Ip (x), on constate que l'on est en présence d'une onde progressive de tension et de courant qui se déplace dans le sens croissant de x. En effet, selon (3.31) et en réintroduisant les valeurs instantanées, on a selon le paragraphe I. 8.3.1 : up (x, t) = Re [y/2 e J " ' Up (x)]

V

(3.46)

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Compte tenu de (3.31) et de (3.43), on obtient alors en valeurs instantanées réelles: Up (x, t) = y/ϊϋρ

(0) e _ a * cos(cor + ap � βχ)

V

(3.47)

où dp est une phase initiale. On reconnaît une onde sinusoïdale qui s'atténue comme e~ax et qui se déplace à la vitesse de phase (ξ III. 6.2.5) : νφ = ω/β

m/s

(3.48)

V

(3.49)

Il s'agit donc bien d'une onde progressive. De même on peut démontrer que ur(x,t)

= V2Ur(0)e+ax

cos(coi + ar + βχ)

est une onde sinusoïdale se propageant à la vitesse de phase - ω/β (donc en sens inverse) et dont l'amplitude décroît lorsque x décroît. Cette onde rétrograde n'existe que s'il y a une réflexion en fin de ligne.

D 3.2.8 Cas limite de la ligne sans perte En recourant à des supraconducteurs, on obtiendrait : Rf

= O

Ω/m

G'

=O

S/m

L'C' = µ060 µν er

2

s /m

(3.50) (3.51) 2

(3.52)

où µγ et er seraient la perméabilité et la permittivité relatives de la matière isolante remplissant tout l'espace entre les trois conducteurs de phase et la gaine. Dans ce cas idéal, on obtient selon (3.25) à (3.28) : y = VjcoZ/jcoC' = ]ω\/µ0"0 µ.γζγ = ]ω VM r e r /c 0

m" 1

(3.53)

Alors, l'affaiblissement linéique α est nul et la vitesse de phase vaut quelle que soit la géométrie de la ligne : νφ = c?0/VMrer

m/s

(3.54)

De plus, l'impédance caractéristique devient purement réelle. En effet, selon (3.28): Zc = V(0+jcoZ/)/(0+jcoC') = y/L'IC'

Ω

(3.55)

Il en résulte que, dans une ligne sans perte, courant et tension progressifs sont en phase, tandis que courant et tension rétrogrades sont en opposition de phase. 3.2.9 Ligne de longueur infinie Si la ligne est de longueur infinie, il n'y a aucune onde rétrograde, donc J_r (x) = 0 et Ur (x) = 0. Dans ce cas, les relations (3.35) et (3.36) donnent, compte

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ÉNERGIE ÉLECTRIQUE

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tenu de (3.31): U(x) = Up (x) = Up (O) e-ï

V

(3.56)

/(JC) = Up (x)IZc

A

(3.57)

= Lp (0) e " ï W

Il en résulte cette singularité que le quotient U(x)/I(x) est égal à Zc quel que soit x. Dans ce cas particulier, pour la génératrice connectée au début de la ligne infinie, tout se passe comme si elle alimentait simplement trois impédances Zc en étoile, ou encore une ligne de longueur finie / terminée par trois impédances Zc en étoile (voir charge adaptée au sens de la ligne, paragraphe IH. 8.5.2). On peut aussi dire qu'en chargeant l'extrémité de la ligne par son impédance caractéristique, on supprime l'onde réfléchie. Mais, si cela est la règle en téléphonie et pour la transmission de signaux où l'on veut éviter des échos gênants, il n'y a pas de raison d'user du même artifice lorsqu 'il s'agit de transmettre de l'énergie avec le minimum de pertes. C'est pourquoi les lignes de transmission d'énergie électrique fonctionnent pratiquement toujours avec onde progressive et onde rétrograde, de sorte que le quotient U(x)/I(x) n'est plus égalàZc comme l'indiquent les relations (3.39) et (3.40). Voir également les paragraphes 3.3.19, 3.3.20 et 3.3.22.

3.2.10 Définition : longueur d'onde λ La distance entre deux maximums successifs de l'onde progressive (ou de l'onde rétrograde) est appelée longueur d'onde λ correspondant à la fréquence utilisée. D'après (3.47) ou (3.49), on retrouve : λ = 2π/β

m

(3.58)

qui correspond à la définition du paragraphe III. 6.2.4.

D 3.2.11 Ordres de grandeur des caractéristiques linéiques longitudinales La valeur de R' dans le schéma ramené à une phase (fig. 3.2) n'est pas toujours négligeable en regard de ωL'. On a en général les valeurs suivantes : • pour les lignes aériennes, quelle que soit la tension nominale L' a l à 2

mH/km

(3.59)

Ù)L' = 0,3 à 0,7

Ω/km

(3.60)

où ω = 314 rad/s en Europe et 377 rad/s aux Etats�Unis pour la transmission d'énergie électrique. La valeur presque constante de Z/ provient du fait que, pour éviter l'effet de couronne (§ 2.1.8), on doit donner aux conducteurs un diamètre d'autant plus grand que la tension est élevée. Ceci entraîne que le rapport du diamètre à la distance entre conducteurs varie peu en fonction du niveau de tension de la ligne. Par contre, R' est inversement proportionnel au carré du diamètre. Il en résulte que sa valeur est très variable. Pour les conducteurs utilisés en haute tension, on peut descendre à 0,01 Ω/km (ligne à 735 kV d'Hydro-Québec); en basse tension, on peut monter à 2 Ω/km pour des fils de 10 mm 2 , section pratiquement inutilisable en haute tension.

87

MODÈLKS DES LIGNES

• pour les câbles, de toutes tensions : L' = 0,2 à 0,7

mH/km

(3.61)

ω/,' a 0,06 à 0,25

Ω/km

(3.62)

Suivant la valeur relative de R' par rapport à col/, les approximations de calcul admissibles sont différentes. On retiendra les règles suivantes :

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• pour les lignes à basse tension et les câbles à basse et moyenne tension: R' > ωΖ/

Ω/m

(3.63)

• pour les lignes à moyenne tension et les câbles à haute tension : R' a ω/,'

Ω/m

(3.64)

Ω/m

(3.65)

• pour les lignes à haute tension : R' < ωΖ/

• 3.2.12 Ordres de grandeur des caractéristiques linéiques transversales La relation (3.52) peut être démontrée dans le cas où les vecteurs B et E sont perpendiculaires en tout point de l'espace. Cela est le cas lorsque les effets pelliculaires et de proximité décrits dans la section 2.3 se manifestent pleinement, ce qui implique la libre circulation du courant et une résistivité nuDe dans les conducteurs de phase, de garde, et dans le sol. Il s'agit d'une limite théorique vers laquelle on tend pour les fréquences élevées. En réalité, le champ d'induction magnétique B pénètre plus profondément dans les conducteurs que le champ E et la relation (3.52) doit être remplacée par une inéquation : L'C' > M 0 e 0 M r e r = M,e r /c 2

s 2 /m 2

(3.66)

H/m

(3.67)

On peut poser : L' = kpm \xrercZ\C

où kpm est un facteur de pénétration magnétique qui indique que le champ magnétique peut aller au-delà des écrans et pénètre dans la plupart des conducteurs. On a en général : kpm

= 1à 2

1

(3.68)

est

kpm particulièrement élevé lorsqu'on entoure chaque conducteur de phase d'une gaine concentrique mise à la terre en un seul endroit, comme on le fait pour les câbles [28]. La relation (3.67) permet de calculer rapidement L' quand on connaît C' et réciproquement C' quand on connaît L'. c" 2 = 11,11·10"18

s 2 /m 2

(3.69)

• Pour les lignes aériennes on a approximativement : C

= 6 à 12

nF/km

(3.70)

œC'

= 1,8 à 4,5

MS/km

(3.71)

nF/km

(3.72)

• Pour les câbles : C

= 3 0 à 800

88

ÉNERGIE ÉLECTRIQUE

coC" = 9 à 300

MS/km

(3.73)

A la fréquence industrielle, la conductance G' peut être négligée :

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G'

/l�j/?7(w^') dans le plan complexe. νφ ^ 1/VZ/C = c^\\l[irerkpm

m/s

(3.84)

à condition que l'inéquation (3.78) soit vérifiée. La longueur d'onde λ est donnée par (3.58) et (3.76) : 2π λ

=

2Ή β

'

=

co^

Re [/T^WTI^T]

m

(3.85)

En remplaçant ω par 2 π/, on obtient: λ = ν Jf

m

(3.86)

Le tableau 9.9 donne des valeurs usuelles de Rc, X0, α, β, νφ et λ pour les lignes et câbles les plus courants, à 50 Hz.

3.2.15 Contrôle du calcul de Zc En éliminant C' entre (3.67) et (3.74), on trouve : Zc

C0L

, η�

\R'KUL')

Comme en général R' = 0, µκ = 1, kpm

Ω = l , o n a Z c = ^ c = C0LVVe/.

(3.87)

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90

ÉNERGIE ÉLECTRIQUE

3.2.16 Schéma équivalent en π pour ligne longue Pour de nombreux problèmes, seuls les tensions et les courants aux deux extrémités de la ligne présentent de l'intérêt. Lorsqu'une ligne symétrique de longueur quelconque / fonctionne en régime symétrique sinusoïdal, il est toujours possible de la remplacer par un schéma en π équivalent. Pour ce faire, imaginons une impédance Z et deux admittances Y1 et Y2 montées en π comme l'indique la figure 3.4. Ce schéma n'est pas, à proprement parler, un quadripôle, mais le tiers d'un multipôle (§ IV. 5.5.2), car il est entendu que son étude implique la présence de deux autres schémas similaires correspondant aux deux autres phases de la ligne, mais non représentés. De plus, il est convenu que les dix conditions du paragraphe 3.2.1 sont satisfaites, ce qui limite l'emploi du schéma en π. On notera que le schéma représenté sans ses deux voisins, fait apparaître un courant dans le sol qui, en réalité, est identiquement nul. /(Q)

U(O) j

?

/(/)

"] Ji

Y21

Ii

) t.

777777777777π7777777777777777777!σ777777777777/ Fig. 3.4 Représentation symbolique d'une phase de la ligne symétrique.

Les équations de ce quadripôle sont : V

(3.88)

Y2U(I)

A

(3.89)

#(0)(1+Z JO-ZJ(O)

V

(3.90)

A

(3.91)

U(I)=U(O)-Za(O)-Y1U(O)) 1(1) = i ( 0 ) " Y1U(O)ou encore : U(I)= /(O

= 1(0)

(I+ZY2)-U(0)(Y1

+

Y2+ZY1Y2)

Ces deux dernières équations doivent si possible être identiques aux équations (3.41) et (3.42) qui représentent la solution des équations générales d'une ligne de longueur / en régime sinusoïdal. Par identification, on obtient quatre conditions : 1+£Γι = I + ^ T

2

= cosh(7/)

Z = Zc sinh(;y/) =�

Xi +12+ZY1Y2

sinh(T/)

1

(3.92)

Ω

(3.93)

S

(3.94)

Ω

(3.95)

S

(3.96)

Zc

Ces quatre relations sont satisfaites si l'on choisit : Z = Zc sinh(T0 = j Z c sin(�JT0 X = Γι = Xi = � tanh I 2� I = � 7

tan I �^=�

L'équation (3.96) η 'est pas valable si sinh τ/ = 0 et cosh y l = � 1. Dans ce cas particulier, on af d'après (3.41) et (3.42), U(I)=- U(O) et 1(1) = - 7 ( 0 ) .

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MODÈLES DES LIGNES

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3.2.17 Validité du schéma en π Les relations (3.95) et (3.96) sont valables quelle que soit la longueur de la ligne. Toutefois, lorsque cette longueur devient comparable à la longueur d'onde sin(-)jl) et t a n ( - j 7 / ) prennent des valeurs singulières. En première approximation, si la condition (3.78) est vérifiée, l'affaiblissement linéique a est voisin de 0 et le retard de phase linéique prend la valeur β = co\/L'C' (§3.2.14), d'où: 7 = ωL' ) est incapable de transmettre une puissance active Put ou un couple Mut sans chute de tension. En effet, la figure 3.15 montre que, pour Put > 0, il faut avoir Up> Uq� Enfin, les dérivées dPut/d&pq et dMut/dûpq peuvent être positives, nulle ou négatives. On peut démontrer que la dérivée positive à pour effet de maintenir les machines au synchronisme. L'expression dPut/d&pq s'appelle puissance synchronisante et l'expression dMut/d&pq couple synchronisant ([7] tome 2, § 3.2.2.1).

3.3.10 Limites d'utilisation d'une ligne Comme les machines (vol. X), les lignes ne sont utilisables que dans certaines limites. • La limite d'écart de phase ûpq max adm peut jouer un rôle important pour vérifier si les conditions de maintien du synchronisme sont assurées entre les machines raccordées aux extrémités de la ligne. En première approxima-

• Put Qut-^Q

Up = 1,2 Uq ^Up=OS uq

3 UfIZ1

Fig. 3.13 PutOpq), Qut&pq) P o u r ΨΙ = Ι > ' < " '· π 2

R

L

ÉNERGIE ÉLECTRIQUE

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3 U^IZi(\-cos

•3 U^ co^tl

Zi

φι)

ff/

�3 Uq sin Up et // >// c .

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ÉNERGIE ÉLECTRIQUE

- 5 π/6

/«if=/Ζ

Fig. 3.17 Tension Uq en fonction de

Iut.

3.3.17 Calcul approché de la chute de tension Il arrive fréquemment que Ton désire connaître la tension efficace Up nécessaire pour assurer la tension Uq avec une charge connue Sut = Put+]Qut· Lorsque la ligne est courte, le calcul peut être conduit comme suit (fîg. 3.18) : • • • • • •

le segment OJ le segment JD le segment BH le segment HA le segment OA le segment KM cherchée.

représente la composante réactive du courant//, soit Qut/3 Uq ; représente la composante active du courant//, soit Put/3 Uq ; représente le produit RiJ_i\ représente le produit jcoZ,/ Ty, représente Up ; = KH 4- HL 4- LM représente la chute de tension ∆I U\

En considérant le diagramme et les trois triangles semblables DJO, HKB et ALH, on tire la relation suivante : ∆ It/I = Rfutl3

Uq + ωΣM3

Uq + Up(l�cos

&pq)

V

(3.147)

En première approximation, ûpq est voisin de zéro et le dernier terme qui représente la différence entre le rabattement et la projection de Up en Uq peut être négligé. Finalement : ∆ΙΙ7Ι Un

R1PM

+OtL1QUt

3Ul

1

(3.148)

Cette dernière relation permet de calculer rapidement la chute de tension en valeur

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MODÈLES DES LIGNES

Qut/3 uq Fig. 3.18 Détermination de la tension de départ Up nécessaire. Commentaires au paragraphe 3.3.17.

relative. On notera que : 3U" 'q

(3.149)

Vl

^q comp

où Uq comp est la valeur efficace de la tension composée au nœud q.

3.3.18 Consommation de puissance de la ligne Le schéma de la figure 3.11 montre que la puissance complexe consommée par la ligne est la somme algébrique des deux puissances complexes entrant par les nœuds ρ et q. Il est intéressant de calculer séparément la puissance active Pugne et la puissance réactive Q ugne consommées par la ligne : P ligne = Ppq +Pqp = 3#'// ζ

2

vl + vl Qligne = Qpq + Qqp = l^L'llf

~ 3coC/

�±—J�

W

(3.150)

var

(3.151)

On voit dans l'expression (3.150), que la puissance active perdue par la ligne est ,nécessairement positive, elle correspond aux pertes par effet Joule qui provoquent réchauffement de la ligne. Par contre, l'expression (3.151) montre que la puissance réactive absorbée par la ligne est négative à vide (// = 0), nulle pour une certaine valeur de // (§ 3.3.19) et positive pour les valeurs élevées de //.

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ÉNERGIE ÉLECTRIQUE

3.3.19 Définitions; fonctionnement à puissance naturelle Chaque ligne est construite pour fonctionner normalement au voisinage d'une certaine tension appelée tension nominale, tension de service ou tension assignée suivant les auteurs. Lorsqu'on ne donne qu'une seule valeur numérique (par ex. 735 kV), il est entendu qu'il s'agit de la valeur efficace de la tension composée. Si l'on donne deux valeurs (par ex. 380/ 220 V), l'une est la tension composée, l'autre la tension simple. On appelle puissance naturelle Snat d'une ligne, la puissance que cette ligne supposée de longueur infinie absorberait si on lui appliquait la tension nominale. On peut donc aussi dire que c'est la puissance transmise par une ligne chargée par ses trois impédances caractéristiques Zc, à tension nominale : 3 U2

U2

^ ^ nom

Snat = —

^nomcomp

=

xrA

;

. „ _.

VA

(3.152)

J/m

(3.153)

3.3.20 Critère de la puissance naturelle Selon (3.151), on constate que Qugne = 0 si: U2+U2q L'If = C -2-

En choisissant (JJ2 + U2)/2 = U2om, on obtient la condition : U nom

Ω

I

(3.154)

On retrouve alors, pour la puissance transmise, l'expression (3.152); en d'autres termes, pour que la puissance réactive consommée par les inductances longitudinales de la ligne compense exactement la puissance réactive fournie par ses capacités transversales, il suffît de la faire fonctionner à sa puissance naturelle. • Les lignes qui fonctionnent à vide ou en dessous de leur puissance naturelle sont productrices de puissance réactive. L'effet capacitif est prédominant. • Les lignes qui fonctionnent en court-circuit ou en dessus de leur puissance naturelle sont consommatrices de puissance réactive. L'effet inductif est prédominant. En règle générale, on fait fonctionner les câbles en dessous de leur puissance naturelle. Par contre, les lignes aériennes fonctionnent souvent en dessus de leur puissance naturelle. 3.3.21 Modification artificielle des caractéristiques de la ligne Pour diminuer la réactance longitudinale d'une longue ligne, on peut insérer en son milieu des condensateurs en série Cs. Il faut alors remplacer Zx ( § 3.3.3) P^ Zicompense- : Zicompensé = * ' / + j ( ω / / / � —

J

Ω

(3.155)

Cette méthode est utilisée pour exploiter les longues lignes au-dessus de leur puissance naturelle.

109

MODÈLES DES LIGNES

Inversement, lorsqu'on prévoit un fonctionnement fréquent en dessous de la puissance naturelle, on place des inductances shunt Lp par exemple aux deux extrémités de la ligne; il faut alors remplacer Yx par Yt compensé Xtcompensé

= j