Guide Du Programme 5e Bénin [PDF]

Zitiervorschau

République du Bénin  ➢➢➢➢➢

MINISTERE DES ENSEIGNEMENTS PRIMAIRE ET SECONDAIRE  ➢➢➢➢➢➢➢➢

GUIDE DU PROGRAMME D’ÉTUDES

ENSEIGNEMENT SECONDAIRE CHAMP DE FORMATION MATHÉMATIQUE

Classe de 5e

DIRECTION DE L’INSPECTION PEDAGOGIQUE PORTO-NOVO

JUILLET 2006

SOMMAIRE INTRODUCTION ………………………………………………………………..3 1. ORIENTATIONS GÉNÉRALES……………………………………………..3 1.1 Clarifications conceptuelles…………………………………………….4 1.1.1Démarched’enseignement/apprentissage..................................4 1.1.2 Situations d’apprentissage ………………………………………….. 4 1.1.3 Stratégies d’enseignement /apprentissage ………………………4 1.2 Mode d’emploi du guide…………………………………………………5 2. DEVELOPPEMENT DES DIFFERENTES SITUATIONS D’APPRENTISSAGE. 2.1 Canevas général du déroulement d’une situation d’apprentissage…5-7 2.2 Planification des situations d’apprentissage …………………………….8 SITUATION D’APPRENTISSAGE N° 1 : CONFIGURATIONS DE L’ESPACE..……..8-12 DETAIL DES CONTENUS NOTIONNELS DE LA S.A. N°1 …………………………...12-17 SITUATION D’APPRENTISSAGE N° 2 : CONFIGURATIONS DU PLAN ………..18-22 DETAIL DES CONTENUS NOTIONNELS DE LA S.A. N° 2……………………………….22-48 SITUATION D’APPRENTISSAGE N° 3 : APPLICATIONS DU PLAN…………….49-53 DETAIL DES CONTENUS NOTIONNELS DE LA S.A.. N° 3……………………………….53-59 SITUATION D’APPRENTISSAGE N° 4 : ORGANISATION DES DONNEES……...60-64 DETAIL DES CONTENUS NOTIONNELS DE LA S.A. N° 4 …... …………………………………65-72

3. DOCUMENTS D’ACCOMPAGNEMENT………………………………………73 3.1 Document d’exploitation des situations de départ…………………74-77 3.1.1 3.1.2 3.1.3 3.1.4

Situation de départ n° 1………………………………………………………. Situation de départ n° 2 Situation de départ n° 3 Situation de départ n° 4

3.2

Documents d’appui…………………………………………………………78

3.2.1 Document d’appui à la S.A. n° 2 : Configurations du plan…………………..783.2.2 Document d’appui à la situation d’apprentissage n° 3 : Applications du plan

Guide du programme de mathématiques de la classe de cinquième.

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INTRODUCTION Le présent guide de l’enseignant (e) est produit pour accompagner les programmes de mathématiques selon l’approche par compétences dans les lycées et collèges d’enseignement général. Il s’est nourri principalement des options prises dans le cadre de la généralisation des Nouveaux Programmes d’Etudes au cours primaire dans leur évolution qualitative. Il s’est nourri aussi des acquis de la mise en œuvre des programmes d’études HPM (Harmonisation des Programmes de Mathématiques) pour ce qui est de l’aspect adéquation avec les nouvelles exigences académico-pédagogiques. Ce guide comporte trois parties essentielles. La première présente les orientations générales ; la deuxième concerne les situations d’apprentissage et la troisième a trait aux documents d’accompagnement. Les orientations générales portent sur la clarification de certains concepts et sur le mode d’emploi du guide. La partie concernant les situations d’apprentissage présente d’une part le cadre conceptuel et d’autre part leurs contenus notionnels assortis d’indications pédagogiques. Les documents d’accompagnement comprennent : un document d’exploitation des situations de départ qui expose l’esprit de ces dernières et donne quelques indications pouvant permettre de déboucher sur des contenus notionnels de chaque situation d’apprentissage. deux documents d’appui pouvant servir à la confection de fiches de séquence de classe sur les situations d’apprentissage n°1 et n°3. 1. ORIENTATIONS GÉNÉRALES Ce guide est l’une des deux composantes (programme et guide) produites pour l’enseignement de la mathématique en classe de cinquième. Il ambitionne d’une part de fournir aux professeurs des informations et des commentaires sur certains concepts et sur la mise en œuvre des situations d’apprentissage et d’autre part de suggérer des pistes et des activités pour une exploitation efficiente de ces mêmes situations d’apprentissage. Au demeurant, le processus de rénovation des programmes d’études en cours voudrait faire de l’enfant béninois un citoyen compétent c’est-à-dire capable de faire appel aux bonnes ressources qu’il peut combiner de manière efficace afin de les utiliser à bon escient. Pour cela, il est impérieux entre autres : - d’accompagner l’apprenant dans un cheminement d’apprentissage en adoptant une pédagogie de la découverte et de la production ; - d’éveiller la curiosité intellectuelle de l’apprenant et de soutenir son plaisir d’apprendre ; - de permettre à l’apprenant de s’interroger pour découvrir lui-même les vérités des choses plutôt que de chercher à le rendre dépendant en travaillant à sa place ; - de provoquer chez l’apprenant la remise en cause de ses schémas mentaux lorsque la nécessité s’impose et ce, par des moyens appropriés. Il est nécessaire, pour une bonne utilisation des situations d’apprentissage, de procéder à la clarification de certains concepts et de donner le mode d’emploi du guide.

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1.1 CLARIFICATION CONCEPTUELLE. 1.1.1 Démarche d’enseignement / apprentissage La démarche d’enseignement/apprentissage adoptée en mathématique est structurée autour de la compétence disciplinaire n°1 dont le libellé est le suivant: " Résoudre un problème ou une situation –problème en utilisant les concepts et procédures du langage et du raisonnement mathématiques". Faire les mathématiques consiste avant tout à résoudre des problèmes ou des situations–problèmes. Au delà des algorithmes, des règles de calculs, des techniques, et des formules, faire les mathématiques, c’est développer des capacités de résolution de problèmes. Deux autres compétences viennent prendre en compte les deux dimensions essentielles des mathématiques à savoir: les activités géométriques et les activités numériques dans le but de donner un contenu disciplinaire à la compétence n°1. Elles sont libellées comme suit: " Appréhender la mathématique dans ses aspects géométriques par l’appropriation d’outils et de démarches propres à la géométrie". "Appréhender la mathématique dans ses aspects numériques par l’appropriation d’outils, de techniques et de procédés conventionnels ainsi que par le traitement des données". Tout en étant dépendantes de la première du point de vue de la démarche de résolution de problèmes, ces deux dernières compétences se distinguent l’une de l’autre par les outils à acquérir et les procédures de raisonnement propres à chacune d’elles. Néanmoins, elles sont parfois simultanément exigibles pour résoudre certains problèmes; en cela, elles sont aussi complémentaires. 1.1.2 Situations d’apprentissage Une situation d’apprentissage est un document dans lequel figure un ensemble de tâches et de consignes avec leurs indications pédagogiques respectives, tâches et consignes auxquelles l’enseignant soumet l’élève par des stratégies d’enseignement appropriées afin de le rendre compétent en lui faisant construire, transférer et réinvestir le savoir. Ce document fournit aussi des renseignements sur le contenu de la formation, la durée, le matériel et les stratégies d’enseignement /apprentissage. NB : Une situation d’apprentissage n’est pas une fiche pédagogique. 1.1.3 Stratégies d’enseignement / apprentissage Ce sont les stratégies à utiliser par l’enseignant (e) et celles à faire mettre en œuvre par l’apprenant au cours du déroulement de la situation d’apprentissage. Les stratégies les plus recommandées sont : le «travail individuel », le « travail en petits groupes » et le « travail collectif ». a) Phase du travail individuel Au cours de cette phase, les élèves sont invités à travailler vraiment individuellement, même s’ils sont déjà disposés en petits groupes. L’importance de cette phase n’est plus à démontrer puisque si chaque élève ne s’efforce pas de circonscrire la question en jeu, l’échange dans le groupe en pâtira. Pour cela, l’enseignant (e) se doit de veiller à ce que chaque élève comprenne ce qu’on attend de lui, afin de trouver quelque chose à proposer aux autres membres du groupe.

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b) Phase du travail en petits groupes Les apprenants après la phase précédente discutent et échangent en petits groupes autour de leurs travaux respectifs. Ils retiennent après l’harmonisation des différents points de vue quelques résultats relativement à l’objet d’étude. L’un des éléments du groupe se charge de présenter à la classe au cours de la phase ultérieure ce que le groupe a retenu. c) Phase du travail collectif C’est au cours de cette phase que la classe entière prend connaissance des travaux réalisés au sein des différents petits groupes. L’enseignant (e) anime la classe de façon à faire dégager par les apprenants la réponse ou les réponses à donner à la question posée. 1.2 Mode d’emploi du guide. Les situations d’apprentissage proposées dans ce guide ne sauraient être assimilées à des fiches pédagogiques. Il s’agit, pour l’enseignant(e), d’opérer des choix pertinents en tenant compte des potentialités de ses apprenants, des indications pédagogiques, du matériel disponible, etc.… Il est recommandé à l’enseignant(e) de se référer aux documents d’accompagnement pour mieux comprendre l’esprit dans lequel les situations de départ ont été proposées et comment il pourrait les exploiter. 2. DÉVELOPPEMENT DES DIFFÉRENTES SITUATIONS D’APPRENTISSAGE. 2.1 Canevas général du déroulement d’une situation d’apprentissage Le déroulement de toute situation d’apprentissage se fera suivant le cheminement ciaprès:

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Activités

Indications pédagogiques

Cette phase est à conduire selon les indications du document « Situations d’apprentissage ». La situation de départ proposée n’est pas la seule pouvant servir à contextualiser les connaissances et techniques Activité 0 : cf. situation de départ proposée visées. pour la situation d’apprentissage L’enseignant(e) pourra s’en inspirer pour élaborer une autre prenant appui sur les réalités concrètes de son milieu. A ce stade, on n’exigera pas de réponses aux tâches et consignes qui accompagnent la situation de départ. Les tâches et consignes seront démultipliées tout au long du déroulement des activités. B - RÉALISATION Cette phase est à conduire selon les indications du document « Situations d’apprentissage » relatives aux Activité N°1 (découverte d’une ou de différentes stratégies d’enseignement/ apprentissage et plusieurs notions) aux trois étapes. L’activité n°1 est une activité qui s’appuie sur la situation de départ. Activité N°2 N° 3 Ces activités visent à dépouiller le concept de son . (décontextualisation) habillage concret pour le mettre à l’état pur (définition, . propriété, règle, procédure) . N°n Elles ont pour but de travailler le ou les nouveau(x) A - INTRODUCTION

Activité N°n +1 N°n +2 . . . N°n +p

concept(s) dégagé(s) décontextualisation.

suite

à

des

activités

(approfondissement)

Activité N°n + p +1 (découverte d’autres notions nouvelles) Activité en contexte à l’instar de l’activité N°1. ▪ ▪ ▪ ▪

Activités de décontextualisation Activités d’approfondissement ▪ ▪

ainsi de suite jusqu’ à épuisement des notions visées par la situation d’apprentissage

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de

C -RETOUR ET PROJECTION .Activité d’objectivation

.Activité d’autoévaluation

Exemples de questions que l’enseignant(e) peut poser aux élèves à la fin de l’apprentissage : -qu’as-tu découvert sur….. ? -qu’as-tu appris de nouveau sur…. ? -qu’as-tu trouvé difficile ? facile ? .qu’est-ce que tu as réussi ? .qu’est-ce que tu n’as pas réussi ? .qu’est-ce que tu vas faire pour améliorer ta production ?

.Activité de projection/réinvestissement Il s’agit de proposer des activités pour une utilisation ultérieure des acquis dans la résolution des problèmes de vie.

RECOMMANDATIONS Les situations d’apprentissage seront déroulées à partir : ➢ d’activités judicieusement conçues en s’appuyant sur les connaissances et techniques, les compétences disciplinaires, les compétences transdisciplinaires et les compétences transversales. ➢ de stratégies d’enseignement/apprentissage appropriées. ➢ d’une mobilisation par l’apprenant des capacités relatives à : •

l’expression de sa perception du problème ou de la situation- problème;

•

l’analyse d’un problème ou d’une situation-problème;

•

la mathématisation d’un problème ou d’une situation- problème ;

•

l’opération sur les objets mathématiques identifiés au cours d’un problème ou d’une situation-problème.

A cet effet, pour chaque situation d’apprentissage, les détails des connaissances et techniques se présentent comme suit :

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2. 2 Planification des situations d’apprentissage.

SITUATION D’APPRENTISSAGE n° 1 :

Configurations de l’espace

I. ÉLÉMENTS DE PLANIFICATION 1.1 Contenus de formation 1.1.1 Compétences a) Les compétences disciplinaires: - Résoudre un problème ou une situation-problème en utilisant les concepts et procédures du langage et du raisonnement mathématiques. - Appréhender la mathématique dans ses aspects numériques par l’appropriation des outils, techniques et procédés conventionnels ainsi que par le traitement des données. - Appréhender la mathématique dans ses aspects géométriques par l’appropriation d’outils et de démarches propres à la géométrie. b) Compétence transdisciplinaire : - Se préparer à intégrer la vie professionnelle dans une perspective de réalisation de soi d’insertion dans la société. c) Compétences transversales - Exploiter l’information disponible ; - Résoudre une situation-problème ; - Communiquer de façon précise et appropriée; - Exercer sa pensée critique; - Travailler en coopération. 1.1.2

Connaissances et techniques

Cône circulaire droit ; Prisme droit ; Division dans IN – Nombres premiers. N.B. : Confère détail des contenus notionnels de la situation d’apprentissage. 1.1.3 Stratégie objet d’apprentissage : Résolution de problèmes. 1.2 Durée : 15 heures 1.3 Stratégies d’enseignement / apprentissage : Brainstorming, travail individuel,

travail en groupe et travail collectif. 1.4 Matériel : objets familiers 2. DÉROULEMENT 2.0. Situation de départ Le congé de NOËL est arrivé. Jéni et ses quatre copains se préparent pour jouer au kaléta. Pour faire l’accoutrement du kaléta, Jéni a imaginé un modèle de veste sur lequel doivent être placés des objets en forme de cône et d’autres objets composés chacun de deux bases triangulaires superposables soutenues par des faces rectangulaires. Ces différents objets doivent être fabriqués avec du carton et rangés à intervalles réguliers sur des fils cousus au dos de la veste. Sur chaque fil doivent pendre des objets de même forme géométrique.

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Jéni et ses amis ont acheté tout le matériel nécessaire à la fabrication des objets prévus et se sont lancés dans une opération de découpage mais, très vite, ils sont confrontés à un problème d’assemblage.

Tâche Tu vas te construire des connaissances nouvelles en mathématique. Pour cela tu auras à :

Consignes exprimer ta perception de chacun des problèmes posés ; analyser chaque problème posé ; mathématiser chacun des problèmes posés opérer sur l'objet mathématique que tu as identifié pour chacun des problèmes améliorer au besoin ta production.

2.1- Introduction Cheminement d'apprentissage

Indications pédagogiques à l’attention de l’enseignant(e)

Contenus de formation

L’élève :

Exprime sa perception du problème posé -lit le texte de la situation de départ ; -reformule le problème ou la situation-problème en ses propres termes ; -formule toutes les idées et questions que lui inspire la situation de départ ; -reconnaît des situations similaires ; -anticipe éventuellement sur la réponse au problème.

L’enseignant(e) laisse les élèves exprimer librement leurs acquis antérieurs sur la situation de départ. Les questions doivent provenir des élèves et aucune justification n’est nécessaire à cette étape.

Les compétences visées.

2.2. Réalisation L’élève : 2.2.1- Analyse chaque problème posé. - indique le sens des termes et des symboles ; - recense les informations explicites ou implicites ; - situe le problème par rapport à des

Au cours de cette phase de réalisation l’enseignant(e) : -invite les élèves à recenser et exploiter judicieusement les informations contenues dans le texte de la situation de départ et à rechercher, au besoin, des données complémentaires -veille au bon fonctionnement des stratégies appropriées.

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problèmes similaires ; -identifie les éléments de l'hypothèse et ceux de la conclusion ; -reconnaît un objet géométrique ;

Au cours de l’étape du travail individuel elle ou il : -circule pour voir les apprenants au travail ;

-décrit un objet géométrique.

- reprécise au besoin la tâche à réaliser avec les consignes qui s'y rattachent ;

2.2.2- Mathématise le problème posé. -formule le problème posé en langage mathématique ; - identifie les concepts et les processus mathématiques acquis et qui sont appropriés ; -réalise des essais, dessins, figures codées, schémas, diagrammes, tableaux, manipulations . . . - conjecture ; -représente un objet géométrique ; -réalise un patron d’un objet géométrique ; -trace une figure géométrique ; -établit une relation entre un objet géométrique et un objet numérique ; -traduit une situation géométrique par une propriété caractéristique ; - établit des relations entre des objets géométriques ; 2.2.3- Opère sur l’objet mathématique identifié.

-ordonne ses idées ; -justifie ses points de vue en utilisant les mots et expressions du langage et du raisonnement mathématiques. -effectue des opérations ; - justifie les opérations effectuées ; - choisit une stratégie de résolution ;

-ne fait rien pour dérouter les apprenants même s'ils se trompent manifestement ; -exhorte chaque apprenant à faire l’effort de trouver quelque chose par lui-même d'abord en évitant de verser dans le plagiat, l'attentisme et la paresse qui sont autant d'attitudes préjudiciables entre autres à l’étape ultérieure du travail de groupe. -intervient pour qu'aucun apprenant ne soit perturbé dans son travail de recherche ; -repère les travaux individuels intéressants du point de vue de leur exploitation didactique. -commence à préparer le travail de groupe à partir des observations qu'il ou qu’elle a faites à l’étape du travail individuel ; Au cours de l’étape de travail de groupe, elle ou il : -circule pour voir comment les groupes fonctionnent ; -s'assure que les conditions pour un bon fonctionnement de chaque groupe sont réunies et y contribue le cas échéant ;

- remplace le cas échéant une stratégie de résolution par une autre ;

-intervient dans les groupes selon les observations qu'il a pu faire au cours de l’étape précédente ;

- vérifie l'état de progression de sa

-s'assure que les membres de chaque

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production ; - prouve qu'une conjecture est vraie ou fausse ;

- interprète les résultats obtenus dans leur pertinence vis-à-vis des données du problème ; -présente la solution du problème dans un langage mathématique approprié ; -vérifie au besoin l'adéquation entre les résultats obtenus et la réalité ; -répond à la question posée en respectant les contraintes du problème. -construit des figures géométriques ; -utilise des instruments de géométrie ; -fabrique un objet géométrique à partir d’un patron ; -utilise des relations entre des objets géométriques ; -utilise des propriétés d’un objet géométrique ; -calcule des mesures de grandeurs ; -exécute un programme de construction ; -utilise des relations entre objets géométriques et objets numériques ; -transforme un objet géométrique en un autre.

groupe coopèrent véritablement pour la confection d'un résultat à défendre et à justifier au cours de la troisième étape ;

-repère les travaux de groupe intéressants du point de vue de leur exploitation didactique ; -achève de préparer la gestion de l’étape suivante (travail collectif) au regard des observations qu'il ou qu’elle a pu faire ; Au cours de l’étape du travail collectif il ou elle : -organise les comptes-rendus des différents groupes et les échanges entre eux en vue de déboucher sur les résultats essentiels à retenir par le groupe-classe ; -invite les élèves à exécuter les tâches et activités appropriées ; -invite les élèves à noter et à retenir éventuellement les résultats essentiels validés par le groupe/classe ; L'évolution de ces travaux vers la mise en place des compétences visées, doit intégrer à la fois la rigueur scientifique, les exigences disciplinaires et les considérations d’ordre pédagogique.

2.3 Retour et projection L’élève : 2.3.1- Objective les savoirs construits et les démarches utilisées : - fait le point des savoirs construits ; - exprime comment les savoirs ont été construits ; - identifie les réussites et les difficultés rencontrées ; - dégage au besoin des possibilités d'amélioration. 2.3.2- Améliore au besoin sa production : consolidation/enrichissement - choisit des possibilités d'amélioration ; - réalise des améliorations.

- invite l’élève à dire ce qu’il /elle a appris et comment il/elle l’a appris. - invite l’élève à s’auto évaluer.

- invite l’élève à améliorer si possible sa production

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Compétence

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2.3.3- Réinvestit ses acquis dans d'autres situations de la vie : - identifie des situations dans lesquelles les savoirs construits et les démarches utilisées peuvent être investis ; - invite l’élève à identifier des - applique les savoirs construits et les situations de la vie courante pour démarches utilisées à des situations de la appliquer les savoirs construits et les vie courante. démarches utilisées.

transdisciplinaire: N°3 : Se préparer à intégrer la vie professionnelle et à s’insérer dans la société.

DETAIL DES CONTENUS NOTIONNELS DE LA SITUATION D’APPRENTISSAGE N°1 : Configurations de l’espace

Durée : 15heures

CONTENUS NOTIONNELS

INDICATIONS PEDAGOGIQUES Faire : - reconnaître le patron d’un cône circulaire droit. Le patron du cône circulaire droit, encore appelé le développement de ce cône est une surface plane comprenant deux parties : * un disque de rayon r (rayon de base) * une surface en forme de secteur circulaire d’angle de mesure α et de rayon a. En collant convenablement les bords libres du patron on obtient le cône. - décrire le patron d’un cône en utilisant le vocabulaire approprié : face latérale, disque de base, longueur de l’arc du développement de la face latérale, périmètre de base, apothème, rayon du cône. - remarquer que le patron d’un cône circulaire droit est tel que la longueur de l’arc du développement de la surface latérale est égale au périmètre du disque de base.

Faire : - réaliser le patron du cône circulaire droit.

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Lorsqu’on coupe le cône suivant une génératrice puis suivant le cercle de base jusqu’à un certain point, on obtient, par étalement, le patron de ce cône.

Faire : - fabriquer un cône circulaire droit. La fabrication d’un tel cône passe par la réalisation de son patron. On pourra faire ces manipulations à partir des données suivantes convenablement choisies : l’apothème, la mesure de l’angle du secteur circulaire représentant la surface latérale et le rayon du cône.

Faire : - reconnaître un prisme droit. -décrire un prisme droit en utilisant un vocabulaire propre à la géométrie : base, face latérale, sommet, arête, hauteur. Un prisme droit est un solide de l’espace limité par des faces latérales rectangulaires et deux faces polygonales superposables appelées bases. N.B. Cette définition n’est pas exigible des apprenants. On n’oubliera pas les cas particuliers de prismes droits : pavé droit, cube.

Faire : - dessiner un prisme droit ; Les règles de perspective cavalière ne devront pas être présentées avant la classe de quatrième.

Faire : - reconnaître un patron d’un prisme droit - réaliser un patron d’un prime droit -fabriquer quelques prismes droits.

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Le patron d’un prisme droit, encore appelé développement de ce prisme est une surface plane comprenant trois parties : * une bande rectangulaire * deux parties polygonales superposables disposées de part et d’autre de la bande. -

remarquer que le patron d’un prisme droit est tel que :

* la longueur de la bande rectangulaire est égale au périmètre de chaque polygone ; * la largeur de la bande rectangulaire est égale à la hauteur du prisme droit.

Faire - calculer l’aire : • de la surface latérale d’un prisme droit; • de la surface de base d’un prisme droit; • de la surface totale d’un prisme droit. Il s’agit de faire découvrir par les apprenants que l’aire de la surface latérale d’un prisme droit est la somme des aires de ses faces latérales ; le calcul de l’aire de la surface latérale du prisme droit se fera donc sa hauteur par son périmètre de base. L’aire de la surface de base se calculera lorsque la base est un rectangle ou un triangle ou un parallélogramme ; on pourra choisir des exemples de prisme droit où la base est u polygone quelconque que les apprenants découperont en triangles de telle sorte que l’aire cherchée soit la somme des aires des triangles obtenus. - calculer le volume d’un prisme droit. V est le volume, B l’aire de la surface de base et h la hauteur. Alors on a : V = B x h On pourra retrouver cette formule à partir de manipulation de remplissage d’un prisme droit par des cubes unités. L’apprenant devra s’exercer à calculer à partir de la formule du volume une inconnue connaissant les deux autres données.

Faire :

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- justifier qu’un entier naturel donné est multiple d’un entier naturel donné ; - justifier qu’un entier naturel non nul donné est diviseur d’un entier naturel donné ; - effectuer la division d’un entier naturel donné par un entier naturel non nul ; -

écrire l’égalité qui traduit cette division ;

a et b étant deux nombres entiers naturels avec b non nul, l’opération division se traduit par la recherche de deux entiers naturels q et r tels que : a = b x q + r et r < b r est appelé le reste q est appelé le quotient et b le diviseur a est appelé le dividende. - encadrer un entier naturel qui n’est pas multiple d’un autre entier naturel par deux multiples consécutifs de celui-ci. Si r ≠ 0 alors un encadrement de a est le suivant : b x q < α < b x (q + 1) b x q et b x (q + 1) sont deux multiples consécutifs de b qui encadrent a.

Faire : - définir un nombre premier ; Un nombre premier est un nombre entier naturel qui a exactement deux diviseurs : 1 et lui-même. -

reconnaître un nombre premier ; N.B. : On se limitera aux nombres de deux ou trois chiffres au plus. Insister sur le fait que 0 et 1 ne sont pas des nombres premiers ; les apprenants donneront des exemples de nombres premiers et retrouveront par le crible d’ERATOSTHENE les nombres premiers plus petits que 100. Pour vérifier si un nombre entier naturel est premier on le divise par les nombres premiers successifs jusqu’à trouver dans l’une des divisions, * soit un reste nul ; dans ce cas le nombre étudié n’est pas un nombre premier. * soit un quotient plus petit que le diviseur ; dans ce cas le nombre étudié est un nombre premier.

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Faire : -

décomposer un nombre entier naturel en un produit de facteurs premiers ;

Si un entier naturel plus grand que 1 n’est pas premier, alors il admet une décomposition en un produit de facteurs premiers.

Par exemple la décomposition de 135 en produit de facteurs premiers s’obtient par le procédé suivant : 135 45 15 5 1

3 3 3 5 1

135 = 3  3  3  5 * Faire - écrire la puissance d’un entier naturel - déterminer les diviseurs dans n d’un entier naturel à partir de ses facteurs premiers. Dans la décompositions de 135 en produit de facteurs premiers l’expression 3 x 3 x 3et notée 33

On saisira l’occasion qu’offre les décompositions en facteurs premiers pour amener l’apprenant à connaître et à utiliser la notion de puissance d’un entier naturel à exposant entier naturel et les propriétés qui en découlent. Faire : - écrire un produit de facteurs entiers naturels égaux sous forme d’une puissance d’un entier naturel ; - écrire une puissance sous forme de produit de facteurs égaux ; - calculer une puissance d’un nombre entier naturel Si a Є IN ; n Є IN et n plus grand que 1, an désigne le produit de n facteurs égaux à a : an = a x a x a x …..x a (n facteurs égaux à a) an se lit " a exposant n " ou " a puissance n ".

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Par convention, si a est un nombre entier naturel, a1 = a Si n est supérieur ou égal à 1 0n = 0 et 1n = 1

10n = 100….0 (n zéros)

- énoncer la règle de priorité dans une suite d’opérations ; Dans suite d’opérations sans parenthèses, les calculs de puissance sont prioritaires sur les additions, les soustractions, les divisions et les multiplications - calculer (a x b)n connaissant les entiers naturels a, b et n, n étant plus grand que 1 (a x b) n = an x bn - calculer an x am connaissant les entiers naturels a, m et n, m et n étant plus grands que 1. an x am = an+m Il s’agit de manipuler des exemples. Il n’est pas question de faire retenir des règles. - déterminer le ppcm de deux entiers naturels. - utiliser le ppcm de deux entiers naturels. Il s’agit d’amener l’apprenant à travers des cas simples à maîtriser un mécanisme de calcul du ppcm. La formulation d’une règle de calcul n’est pas exigible à ce niveau. L’apprenant s’exercera à résoudre des problèmes simples de son environnement nécessitant l’utilisation du ppcm.

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SITUATION D’APPRENTISSAGE n° 2 :

Configurations du plan

I. ÉLÉMENTS DE PLANIFICATION 1.1 Contenus de formation 1.1.1 Compétences a) Les compétences disciplinaires: - Résoudre un problème ou une situation-problème en utilisant les concepts et procédures du langage et du raisonnement mathématiques. - Appréhender la mathématique dans ses aspects numériques par l’appropriation des outils, techniques et procédés conventionnels ainsi que par le traitement des données. - Appréhender la mathématique dans ses aspects géométriques par l’appropriation d’outils et de démarches propres à la géométrie. b) Compétence transdisciplinaire : - Se préparer à intégrer la vie professionnelle dans une perspective de réalisation de soi d’insertion dans la société. c) Compétences transversales - Exploiter l’information disponible ; - Résoudre une situation-problème ; - Communiquer de façon précise et appropriée; - Exercer sa pensée critique; - Travailler en coopération. 1.1.2

Connaissances et techniques

Distance ; Angles ; Triangles ; Polygones particuliers ; Cercle ; Parallélogrammes ; Nombres décimaux ; Fractions ; Puissances. N.B. : Confère détail des contenus notionnels de la situation d’apprentissage. 1.1.3 Stratégie objet d’apprentissage : Résolution de problèmes. 1.2 Durée : 62 heures 1.3 Stratégies d’enseignement / apprentissage : Brainstorming, travail individuel,

travail en groupe et travail collectif. 1.4 Matériel : objets familiers 2. DÉROULEMENT 2.0. Situation de départ

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A2

B3

C5

B1

C6 C8

C3 B4

16,5 m

B7 A

C2 B6

B5

B2

B0

7,32 m

B10

C0

9,5 m

5,5 m 16,5 m

C10

C9

C7

16,5 m

C4

B9

120 m

A1

Pour la finale de la coupe de l’excellence, l’équipe "les caïmans" de Toli a été sélectionnée dans son pool par le principe du goal average pour rencontrer "les Béliers" de Zouti. Ce match a connu la victoire des Caïmans par un score de 1 – 0 ; but marqué par le n°9 à la 89 ième minute du jeu. Très déçu par cette défaite, le staffe technique des "Béliers″ s’est réuni pour analyser les photos prises sur le terrain quelques secondes avant le but, afin de voir si ce but ne pouvait pas être évité. Le schéma ci-dessus est celui de l’une des photos prises à l’instant même où le but est marqué.

Tâche Tu vas te construire des connaissances nouvelles en mathématique. Pour cela tu auras à :

Consignes Exprimer ta perception de chacun des problèmes posés ; Analyser chaque problème posé ; Mathématiser chacun des problèmes posés Opérer sur l'objet mathématique que tu as identifié pour chacun des problèmes Améliorer au besoin ta production.

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2.1- Introduction Cheminement d'apprentissage L’élève :

Indications pédagogiques à l’attention de l’enseignant(e)

Exprime sa perception du problème posé -lit le texte de la situation de départ ; -reformule le problème ou la situation-problème en ses propres termes ; -formule toutes les idées et questions que lui inspire la situation de départ ; -reconnaît des situations similaires ; -anticipe éventuellement sur la réponse au problème.

L’enseignant(e) laisse les élèves exprimer librement leurs acquis antérieurs sur la situation de départ. Les questions doivent provenir des élèves et aucune justification n’est nécessaire à cette étape.

Contenus de formation Les compétences visées.

2.2. Réalisation 2.2.1- Analyse chaque problème posé. - indique le sens des termes et des symboles ; - recense les informations explicites ou implicites ; - situe le problème par rapport à des problèmes similaires ; -identifie les éléments de l'hypothèse et ceux de la conclusion ; -reconnaît un objet géométrique ; -décrit un objet géométrique. 2.2.2- Mathématise le problème posé. -formule le problème posé en langage mathématique ;

Au cours de cette phase de réalisation l’enseignant(e) : -invite les élèves à recenser et exploiter judicieusement les informations contenues dans le texte de la situation de départ et à rechercher, au besoin, des données complémentaires -veille au bon fonctionnement des stratégies appropriées. Au cours de l’étape du travail individuel elle ou il : -circule pour voir les apprenants au travail ; - reprécise au besoin la tâche à réaliser avec les consignes qui s'y rattachent ;

- identifie les concepts et les processus mathématiques acquis et qui sont appropriés ;

-ne fait rien pour dérouter les apprenants même s'ils se trompent manifestement ;

-réalise des essais, dessins, figures

-exhorte chaque apprenant à faire

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codées, schémas, diagrammes tableaux manipulations . . . - conjecture ; -représente un objet géométrique ; -réalise un patron d’un objet géométrique ; -trace une figure géométrique ; -établit une relation entre un objet géométrique et un objet numérique ; -traduit une situation géométrique par une propriété caractéristique ; - établit des relations entre des objets géométriques ; 2.2.3- Opère sur l’objet mathématique identifié. -ordonne ses idées ;

l’effort de trouver quelque chose par lui même d'abord en évitant de verser dans le plagiat, l'attentisme et la paresse qui sont autant d'attitudes préjudiciables entre autres à l’étape ultérieure du travail de groupe. -intervient pour qu'aucun apprenant ne soit perturbé dans son travail de recherche ; -repère les travaux individuels intéressants du point de vue de leur exploitation didactique. -commence à préparer le travail de groupe à partir des observations qu'il ou qu’elle a faites à l’étape du travail individuel ; Au cours de l’étape de travail de groupe, elle ou il :

-justifie ses points de vue en utilisant les -circule pour voir comment les mots et expressions du langage et du groupes fonctionnent ; raisonnement mathématiques. -s'assure que les conditions pour un -effectue des opérations ; bon fonctionnement de chaque groupe sont réunies et y contribue - justifie les opérations effectuées ; le cas échéant ; - choisit une stratégie de résolution ; -intervient dans les groupes selon les observations qu'il a pu faire au cours - remplace le cas échéant une stratégie de l’étape précédente ; de résolution par une autre ; -s'assure que les membres de chaque groupe coopèrent véritablement pour - vérifier l'état de progression de sa la confection d'un résultat à défendre production ; et à justifier au cours de la troisième - prouve qu'une conjecture est vraie ou étape ; fausse ; - interprète les résultats obtenus dans leur pertinence vis-à-vis des données du problème ;

-repère les travaux de groupe intéressants du point de vue de leur exploitation didactique ;

-présente la solution du problème dans un langage mathématique approprié ;

-achève de préparer la gestion de l’étape suivante (travail collectif) au regard des observations qu'il ou qu’elle a pu faire ; Au cours de l’étape du travail collectif il ou elle :

-vérifie au besoin l'adéquation entre les résultats obtenus et la réalité ; -répond à la question posée en respectant les contraintes du problème. -construit des figures géométriques ; -utilise des instruments de géométrie ;

-organise les comptes-rendus des différents groupes et les échanges entre eux en vue de déboucher sur les résultats essentiels à retenir par le groupe-classe ;

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-fabrique un objet géométrique à partir d’un patron ; -utilise des relations entre des objets géométriques ; -utilise des propriétés d’un objet géométrique ; -calcule des mesures de grandeurs ; -exécute un programme de construction ; -utilise des relations entre objets géométriques et objets numériques ; -transforme un objet géométrique en un autre.

-invite les élèves à exécuter les tâches et activités appropriées ; -invite les élèves à noter et à retenir éventuellement les résultats essentiels validés par le groupe/classe ; L'évolution de ces travaux vers la mise en place des compétences visées, doit intégrer à la fois la rigueur scientifique, les exigences disciplinaires et les considérations d’ordre pédagogique.

2.3 Retour et projection 2.3.1- Objective les savoirs construits -invite l’élève à dire ce qu’il /elle a et les démarches utilisées : -

appris et comment il/elle l’a appris.

fait le point des savoirs construits ; exprime comment les savoirs ont été construits ; - invite l’élève à identifie les réussites et les s’auto évaluer. difficultés rencontrées ; dégage au besoin des possibilités d'amélioration.

2.3.2- Améliore au besoin sa production : consolidation/Enrichissement - choisit des possibilités d'amélioration ; - réalise des améliorations. 2.3.3- Réinvestit ses acquis dans d'autres situations de la vie : - identifie des situations dans lesquelles les savoirs construits et les démarches utilisées peuvent être investis ; - applique les savoirs construits et les démarches utilisées à des situations de la vie courante.

- invite l’élève à améliorer si possible sa production -invite l’élève à identifier des situations de la vie courante pour appliquer les Compétence savoirs construits et les démarches transdisciplinaire utilisées. : N°3 : Se préparer à intégrer la vie professionnelle et à s’insérer dans la société.

DETAIL DES CONTENUS NOTIONNELS DE LA SITUATION D’APPRENTISSAGE N°2 : Configurations du plan

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Durée : 62 heures 1- Distance Distance entre deux points

FAIRE : - énoncer la propriété : La distance entre deux points est un nombre positif ou nul Etant donnés deux points A et B on a : • AB > 0 si les points A et B sont distincts ; • AB = 0 si les points A et B sont confondus. L e professeur fera remarquer que AB = BA. - utiliser cette propriété - construire un point à une distance donnée d’un point donné - admettre la propriété : Dans un triangle la longueur d’un côté est inférieure à la somme des longueurs des deux autres. L’enseignant(e) insistera sur les trois inégalités suivantes : A, B et C étant trois points non alignés, on a; AB  AC + CB, AC  AB + BC et BC  BA +AC - utiliser cette propriété - admettre que : A, B et M étant trois points du plan, si AM + MB = AB, alors M appartient à un segment [A B] - Justifier que trois points sont alignés. Trois points sont alignés si l’une des distances entre ces points est égale à la somme des deux autres - Justifier que trois points ne sont pas alignés ; On utilisera les inégalités : AB AC + CB ; BC  BA +AC et AC  AB + BC et on fera remarquer que les points A, B et C sont alors les sommets d’un triangle. Attention : Une seule inégalité ne suffit pas pour conclure. Chacune des distances entre les points doit être inférieure à la somme des deux autres.

Médiatrice FAIRE : -

démontrer la propriété : Tout point de la médiatrice d’un segment est équidistant des extrémités de ce segment. - admettre la réciproque : Tout point équidistant des extrémités d’un segment appartient à la médiatrice de ce segment. - utiliser ces propriétés - construire à la règle et au compas la médiatrice d’un segment. L’enseignant(e) fera justifier cette construction en utilisant les propriétés précédentes Guide du programme de mathématiques de la classe de cinquième.

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A

(∆) (∆) est la médiatrice de [AB] B construire à la règle et au compas : • le milieu d’un segment • la perpendiculaire à une droite donnée passant par un point donné. Ces constructions ne sont que des conséquences de la construction précédente - caractériser les demi-plans déterminés par la médiatrice d’un segment. La médiatrice (∆) d’un segment [AB] détermine deux demi-plans. -

Si un point M appartient au demiplan contenant le point A, sans appartenir à (∆), alors MA< MB.

Si le point M appartient à la droite (∆) alors MA = MB M

Si un point M appartient au demi-plan contenant le point B, sans appartenir à (∆), alors MA > MB M

M A

A

B

(∆) Réciproquement si MA < MB, alors le point M appartient au demi-plan contenant le point A 2.

A B (Δ) Réciproquement si MA = MB, alors le point M appartient à la droite (∆)

B

(Δ) Réciproquement si MA > MB, alors le point M appartient au demi-plan contenant le point B.

Angles N.B. : Le degré est la seule unité de mesure d’angle utilisée en classe de cinquième. FAIRE : -

reconnaître des angles complémentaires définir des angles complémentaires

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Deux angles complémentaires sont deux angles dont la somme des mesures est 90° - reconnaître des angles supplémentaires - définir des angles supplémentaires Deux angles supplémentaires sont deux angles dont la somme des mesures est 180° - démontrer les propriétés : • Deux angles qui ont le même complémentaire ont même mesure. • Deux angles qui ont le même supplémentaire ont même mesure. Ces démonstrations sont immédiates. - admettre la propriété : Dans un triangle rectangle les deux angles aigus sont complémentaires. - énoncer les propriétés : • Dans un triangle, la somme des mesures des angles est 180°. La démonstration de cette propriété n’est pas exigible des apprenants. L’enseignant(e) pourra cependant concevoir des activités qui constitueront de bons outils d’apprentissage de la démonstration A titre indicatif, on peut découper tout triangle en deux triangles rectangles en traçant une hauteur. La somme des mesures des angles du triangle est donc égale à la somme des quatre angles deux à deux complémentaires : elle vaut 180°

• Un triangle qui a deux angles complémentaires est rectangle. D’après la définition des angles complémentaires et la propriété précédente, le troisième angle mesure 90°. - utiliser ces propriétés - reconnaître des angles opposés par le sommet ; - définir des angles opposés par le sommet. Deux angles opposés par le sommet sont deux angles dont les côtés de l’un sont des demi-droites opposées aux côtés de l’autre.

-

-

démontrer la propriété : Deux angles opposés par le sommet ont même mesure. Ils ont même supplémentaire donc ils ont même mesure utiliser cette propriété. reconnaître des angles alternes – internes

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-

reconnaître des angles correspondants

Les angles alternes - internes et les angles correspondants sont parfois définis seulement dans le cas de deux droites parallèles coupées par une sécante. Dans ce cas, l’énoncé des propriétés réciproques devient délicat. De ce fait, le point de vue retenu est celui exposé ci – dessous, ce qui évitera de parler d’angles « en positon de … » (D1) et (D2) sont deux droites coupées par une sécante (∆) Les angles xAv et uBy’ par exemple sont des angles alternes – internes. Les angles vAy et vBy’ par exemple sont des angles correspondants. u y (D2) 2 3 A

x

1 2

x’1

4 3

y’ (D1)

B4

v

-

démontrer les propriétés : • Si deux angles correspondants sont formés par deux droites parallèles et une sécante, alors ils ont même mesure. Pour la démonstration, utiliser une perpendiculaire commune aux deux droites parallèles. On obtient deux triangles rectangles qui ont l’angle ACD en commun. C B E

A D De plus, les angles correspondants CAD et CBE ont même complémentaire : ils ont donc même mesure. •

Si deux angles alternes – internes sont formés par deux droites parallèles et une sécante, alors ils ont la même mesure. Utiliser la propriété précédente et les angles opposés par le sommet. - démontrer les propriétés réciproques : • Si deux droites forment avec une sécante de deux angles correspondants de même mesure, alors elles sont parallèles. Les droites (x y) et (x’y’) sont coupés par la droite (UV) de telle sorte que les angles xIy et vJy’ ont même mesure. K est un point de (uv) qui n’appartient Guide du programme de mathématiques de la classe de cinquième.

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pas au segment [I J].La perpendiculaire à (x y) passant par K coupe (x y) en L et (x’y’) en M

v

K x

L

x’ J

M

y

y’

u

Les angles KIL et IKL sont complémentaires. Il en est donc de même des angles KJM et JKM . Le triangle JKM est donc rectangle. Les droites (x y) et (x’y’) ont donc une perpendiculaire commune : elles sont parallèles. • Si deux droites forment avec une sécante deux angles alternes – internes de même mesure, alors elles sont parallèles. Deux droites forment avec une sécante des angles alternes – internes vAx’ et yBu qui ont même mesure. Les angles yBu et vBy’ sont opposés par le sommet ; ils ont même mesure. Les angles correspondants x’Av et vBy’ ont donc même mesure. Par suite, les deux droites xx’ et yy’ sont parallèles. v 3 y’ B x’ 2 y

A x u

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-

Utiliser ces propriétés

FAIRE : 3- Triangles

-

reconnaître par manipulation que deux triangles sont superposables. utiliser le vocabulaire : sommets homologues, angles homologues, côtés homologues. Les éléments (sommets,côtés, angles) qui viennent en coïncidence dans le processus de superposition sont dits homologues. - admettre après des activités de manipulation les propriétés : • Lorsque deux triangles sont superposables, deux angles homologues ont même mesure. • Lorsque deux triangles sont superposables, deux côtés homologues ont même longueur. - utiliser ces propriétés - admettre après activités de manipulation, les propriétés : • Deux triangles dont les trois côtés ont respectivement la même longueur, sont superposables

•

Deux triangles qui ont un angle de même mesure, compris entre deux côtés respectivement de même longueur, sont superposables.

•

Deux triangles qui ont un côté de même longueur, compris entre deux angles respectivement de même mesure, sont superposables.

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-

- utiliser ces propriétés reporter un angle à la règle et au compas en utilisant le programme ciaprès :

Angle à reporter y

1- On trace un 2- On trace un côté [O’x’) arc centré au O’ sommet o. y C

O

3- On trace un arc de même rayon centré en O’. O’

x’ x’

O x

4- On écarte le compas de BC C O B

B’

B x 6- On trace le côté 5- On reporte manquant la longueur BC C’ C’ O’ O’ x’ x’ B’ B’

L’enseignant(e) fera justifier que les angles x’O’y’ et x O y ont même mesure - démontrer les propriétés : • Un triangle isocèle a un axe de symétrie qui est la médiatrice de la base. • Dans un triangle isocèle la médiatrice de la base est aussi la bissectrice de l’angle au sommet • Si dans un triangle, une bissectrice est aussi hauteur, alors ce triangle est isocèle - utiliser ces propriétés - démontrer la propriété : Les angles à la base d’un triangle isocèle ont même mesure - admettre la réciproque de la propriété précédente : Si un triangle a deux angles de même mesure, alors il est isocèle. - utiliser ces propriétés ; - construire un triangle isocèle connaissant : • son axe de symétrie et la longueur de sa base • les mesures d’un de ses angles et la longueur d’un de ses côtés • les longueurs de sa base et d’un autre côté - construire à la règle et au compas la bissectrice d’un angle ;

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x

On construit sur les côtés de l’angle xOy deux points A et B tels que OA =OB. O E On construit ensuite la médiatrice du segment [AB] qui est aussi la bissectrice de l’angle xOy B parce que le segment [AB] est la y base du triangle isocèle OAB N.B. : Le professeur fera justifier que la droite (OE) est la bissectrice de l’angle xôy. A

-

démontrer les propriétés : • Un triangle équilatéral a trois axes de symétrie ; ce sont les médiatrices des côtés. • Les angles d’un triangle équilatéral ont tous même mesure : 60° (propriété directe) • Si un triangle a ses trois angles de même mesure, alors il est équilatéral. (propriété réciproque) • Un triangle isocèle qui a un angle de 60° est équilatéral. - utiliser ces propriétés. - construire à la règle et au compas un triangle équilatéral dont on connaît un des côtés. - démontrer la propriété : Si un des côtés d’un triangle inscrit dans un cercle est un diamètre de ce cercle, alors ce triangle est un triangle rectangle et ce côté en est l’hypoténuse. Si A est un point du cercle de diamètre [BC], alors le triangle ABC est rectangle en A. [BC] est l’hypoténuse du triangle. En effet : Les triangles OAB et OAC sont isocèles donc ; A C mes Â1 = mes B et mes Â2 = mes Ĉ or mes Â1 + mes Â2 + mes B+ mes Ĉ = 180°

2 1 B

O

donc 2 (mes Â1 + mes Â2) = 180 ° mes Â1 + mes Â2 = 90° d’où l’angle BÂC est droit.

- utiliser cette propriété ; - construire à l’aide de la règle et du compas : • un triangle rectangle isocèle connaissant un des côtés de l’angle droit ;

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•

4- Cercle

un triangle rectangle connaissant la mesure de deux de ses côtés.

construire à l’aide de la règle, du compas et du rapporteur : un triangle rectangle connaissant la mesure d’un angle aigu et l’hypoténuse.

Régionnement du plan FAIRE : -

caractériser en termes de distances les parties du plan délimitées par un cercle. Le professeur fera bien apparaître les deux manières d’utiliser cette caractérisation. (C) est un cercle de centre A et de rayon r ; M est un point du plan. Si le point M est à l’intérieur de (C), alors AM < r (C)

Si le point M est sur le Si M est à l’extérieur du cercle (C) alors cercle (C) alors AM > r AM = r (C) •M (C)

•M x A

x

x A

A •M Si AM < r, alors M à l’intérieur de (C)

Si AM > r, alors M est à Si AM = r, alors M est l’extérieur de (C) sur le cercle (C)

- définir un disque : Le disque de centre A et de rayon r est l’ensemble des points M du plan tels que AM < r ou AM= r. - démontrer que les médiatrices d’un triangle sont concourantes. Leur point commun est le centre du cercle passant par les trois sommets du triangle. (Ce cercle est unique et est appelé cercle circonscrit au triangle) - définir le cercle circonscrit à un triangle. - construire le cercle circonscrit à un triangle. - énoncer la propriété : Le cercle circonscrit à un triangle rectangle a pour diamètre l’hypoténuse de ce triangle.

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A

1

2 C

I B ()

Cette propriété pourra être démontrée, par exemple, de la manière suivante : ABC est un triangle rectangle en A et (Δ) la médiatrice de [AB] ; (Δ) et (AC) sont toutes perpendiculaires à (AB) donc (Δ) et (AC) sont parallèles. Comme (AC) coupe (BC), (Δ) coupe aussi (BC). Soit I le point d intersection de (Δ) et (BC). I appartient à la médiatrice (Δ) de [AB] ; donc I A = I B. Le triangle IAB est donc isocèle. Les angles B et Â1 ont donc même mesure. Comme Â1 et Â2 d’une part et B et Ĉ d’autre part sont complémentaires, il en résulte que les angles Ĉ et Â2 ont même mesure. Le triangle IAC est donc isocèle de sommet principal I. D’où IA= IB= IC par suite I est le milieu de [BC] et le cercle de diamètre [BC] passe par A. - utiliser cette propriété 5- Parallélogrammes

Toutes les propriétés relatives aux parallélogrammes pourront être justifiées. FAIRE : -

énoncer les propriétés : • Dans un parallélogramme, deux angles consécutifs sont supplémentaires. • Dans un parallélogramme, deux angles opposés ont même mesure. • Si un quadrilatère a deux côtés opposés de même longueur et de supports parallèles, alors ce quadrilatère est un parallélogramme.

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Voici quelques démonstrations à titre indicatif : * Les droites (AD) et (BC) sont parallèles . Donc les angles correspondants DÂB et CBE ont même mesure. Les angles ABC et CBE sont supplémentaires .Donc les angles DÂB et ABC sont supplémentaires. C

D

A

E

B

Hypothèse :AB= CD et (AB)   (CD) Les angles alternes - internes A1 et C3 ont même mesure. De plus DC =AB par hypothèse. Les deux triangles ABC et ADC ont des angles de même mesure compris entre des côtés de même longueur, ils sont donc superposables. On en déduit que les angles A2 etC4 ont même mesure. Ces angles sont alternes - internes ; il s’ensuit que les droites (AD) et (BC) sont parallèles. Le quadrilatère ABCD a donc ses côtés opposés de supports parallèles : c’est donc un parallélogramme. *

A 2

B 1

4 D

3

C

- utiliser ces propriétés - énoncer les propriétés • Les diagonales d’un rectangle ont même longueur. • Si un parallélogramme a un angle droit, alors ce parallélogramme est un rectangle. • Si un parallélogramme a ses diagonales de même longueur, alors ce parallélogramme est un rectangle. Les diagonales du parallélogramme ABCD se coupent en leur milieu O. De plus, par hypothèse, ces diagonales ont même longueur. On en déduit que

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OA = OB = OD. Le point A appartient donc au cercle de diamètre  BD, le triangle ABC est donc rectangle en A. Le parallélogramme ABCD a un angle droit : c’est donc un rectangle. A

B O o C

D

-

utiliser ces propriétés

-

énoncer la propriété : Si un quadrilatère a ses côtés de même longueur, alors ce quadrilatère est un losange. A

B

D

C

Le point A étant équidistant des deux points B et D, il appartient à la médiatrice du segment BD .Il en est de même pour le point C. La médiatrice du segment BD est donc la droite (AC). On démontre de même que la droite (BD) est la médiatrice du segment AC. Les diagonales du quadrilatère ABCD se coupent en leur milieu : c’est donc un parallélogramme. Les diagonales du parallélogramme ABCD sont perpendiculaires : c’est donc un losange. -

utiliser cette propriété ;

-

énoncer les propriétés : •

Si un rectangle a ses diagonales perpendiculaires, alors ce rectangle est un carré.

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A

D

B

C

ABCD est un rectangle, c’est donc un parallélogramme. Les diagonales du parallélogramme ABCD sont perpendiculaires : c’est un losange .Les côtés du rectangle ABCD ont donc la même longueur ; c’est donc un carré. • Si les diagonales d’un losange ont même longueur, alors ce losange est un carré.

A

B

D

C ABCD est un losange ; c’est donc un parallélogramme. Les diagonales de ce parallélogramme ont la même longueur : c’est un rectangle. Le rectangle ABCD a donc ses cotés de même longueur : c’est un carré. (L’enseignent(e) fera remarquer qu’un carré est un rectangle et un losange) -

utiliser ces propriétés

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6- Polygones particuliers

FAIRE : - reconnaître un trapèze - définir un trapèze : Un trapèze est un quadrilatère dont deux côtés, appelés bases, ont leurs supports parallèles et dont les deux autres côtés ont leurs supports sécants. - construire un trapèze. L’enseignant(e) pourra faire construire un trapèze ABCD connaissant la base [AB], les angles  et B et la longueur du côté [AD]

D

C

A

B

- calculer l’aire d’un trapèze. On se ramènera à l’aire du parallélogramme en construisant la figure ciaprès

A

a

B

b

E

h

D

b

C

a F 1 h Aire (ABCD) = 2 Aire (AEFD) = 2 (a + b)

- reconnaître un trapèze rectangle - définir un trapèze rectangle. Un trapèze rectangle est un trapèze ayant un angle droit. - reconnaître un trapèze isocèle - définir un trapèze isocèle. Un trapèze isocèle est un trapèze dont les côtés de supports sécants ont même longueur. - démontrer les propriétés : • Un trapèze isocèle a un axe de symétrie qui est la médiatrice de ses bases • Si un trapèze est isocèle alors il a deux angles à la base de même mesure • Si un trapèze a les angles à la base de même mesure ; il est isocèle.

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* La deuxième propriété est une conséquence de la première.

*

Voici une démonstration possible de la troisième propriété : E

A

B

C

D

ABCD étant un trapèze et les angles à la base ADC et BĈD ont la même mesure, il en est alors de même pour leurs correspondants respectifs EÂB et EBA donc EAB est un triangle isocèle ; par suite : EA = EB ; or ED = EC car EDC est isocèle du fait que les angles D et C ont même mesure. D’où AD = BC. Par suite le trapèze ABCD est isocèle. - utiliser ces propriétés - reconnaître un hexagone Voici des exemples d’hexagones à partir desquels l’enseignant(e) fera découvrir les caractéristiques d’un hexagone. Figure 1 Figure 2

Les six côtés de cet hexagone ont même longueur, mais il n’existe aucun cercle sur lequel sont situés tous les sommets.

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Figure 3 Les sommets de cet hexagone C sont situés à égale distance du point O. Il existe donc un cercle, le cercle de centre O et de rayon OA, sur lequel sont situés tous les sommets : On dit que D l’hexagone ABCDEF est inscriptible dans un cercle.

B

O

A E

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F

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- définir un hexagone : Un hexagone est un polygone à six côtés. - définir un hexagone régulier : Un hexagone régulier est un hexagone inscriptible dans un cercle et dont les six côtés ont la même longueur. - construire un hexagone à l’aide du rapporteur ; On pourra faire construire un hexagone régulier à l’aide du rapporteur en procédant comme suit : a) Avec les instruments, tracer un diamètre d’un cercle et partager à l’aide du rapporteur chacun des angles plats obtenus en trois angles de même mesure. On obtient des angles de 60 degré. b) Démontrer que l’hexagone obtenu a tous ses côtés de même longueur ; donc qu’il est régulier. c) Démontrer que la longueur d’un coté de l’hexagone régulier est égale au rayon du cercle circonscrit. - construire un hexagone régulier à l’aide du compas. On pourra faire construire un hexagone régulier à l’aide du compas en procédant comme suit : Par un point A d’un cercle (C), avec un écartement égale au rayon, on marque sur le cercle un point B. Puis à partir de B, avec le même écartement de compas, on marque un point C et ainsi de suite. On obtient ainsi 6 points distincts : A, B, C, D, E et F. Ce sont les sommets de l’hexagone ABCDEF. On a : AB = BC = CD = DE = EF = r On prouvera que l’hexagone ainsi construit est bien régulier. A titre indicatif, on justifiera successivement que : • Les triangles OAB, OBC, OCD, ODE et OEF sont équilatéraux. • L’angle FÔA, mesure 60 degrés car l’angle DÔA mesure180 degrés et les angles DÔE et EÔF mesurent 60 degrés. • Le triangle FOA est équilatéral et FA = r

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8- Nombres décimaux relatifs Introduction et Comparaison

FAIRE : - associer une situation donnée à un nombre décimal relatif. L’enseignant(e) fera découvrir aux apprenants à travers des exemples variés l’insuffisance des nombres entiers naturels et des nombres décimaux arithmétiques pour traduire certaines situations. Par exemple, les nombres entiers relatifs et les nombres décimaux relatifs pourront être associés à des situations de : gain  perte recette  dépense Temps altitude  profondeur compte à rebours différence de buts (championnat sportifs) etc. - utiliser le vocabulaire et les notations appropriées positif, négatif, signe +, signe -, opposé, ensemble ℤ des nombres entiers relatifs, ensemble ID des nombres décimaux relatifs. On a ℤ ID. ID comprend des nombres positifs (nombres ayant le signe +) et des nombres négatifs (nombres ayant le signe -) Le seul nombre décimal relatif qui soit positif et négatif est zéro. Dans la pratique on le note 0. -

reconnaître, parmi des nombres décimaux relatifs ceux qui sont entiers, ceux qui sont positifs et ceux qui sont négatifs.

Les nombres décimaux relatifs peuvent s’écrire de diverses façons. Par exemple (+3,7) s’écrit aussi + 3,7 ou 3,7.On identifie ainsi l’ensemble des nombres entiers relatifs positifs et l’ensemble des nombres entiers naturels. On a donc I  ℤ. Le nombre entier naturel 2, par exemple, est un entier relatif. De même on identifie l’ensemble des nombres décimaux relatifs positifs et l’ensemble des nombres décimaux arithmétiques. - utiliser les symboles ∊, ∉, ⊂et ⊄ On écrira des phrases telles que : (-2,1) ∊ ID ; (+5) ∊ ID ; 40,03 ∊ 1 1 ID ; (-0,3)  ℤ ; (-8) ∊ ID ; 3,12  ℤ ;  ID ;  ID 3 5 N.B. : L’étude générale des fractions qui appartiennent ou n’appartiennent pas à ID n’est pas au programme. - graduer une droite avec les nombres entiers relatifs ; Guide du programme de mathématiques de la classe de cinquième.

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- graduer une droite avec les nombres décimaux relatifs ; - utiliser le vocabulaire : repère, abscisse, origine, unité ; - placer un point d’abscisse donnée sur une droite graduée ; - lire l’abscisse d’un point marqué sur une droite graduée En ce qui concerne la droite graduée, le professeur ne donnera pas de définition mais introduira le vocabulaire par des exemples. On se limitera à des cas simples. Remarque : Pour graduer une droite, il suffit de choisir un point origine et un point unité. C A I B (D)

-1

0

+1

+2

+3

+4

(A , I) est un repère de la droite (D). Le point A est l’origine de ce repère. Le point B a pour abscisse +2. Le point C a pour abscisse -1. Le point I a pour abscisse +1. 0 est l’abscisse du point A. -

déterminer la distance à zéro d’un nombre décimal relatif donné.

On parlera de distance à zéro au lieu de valeur absolue et on utilisera des exemples variés. Par exemple, la distance à zéro de (-3,4) est 3,4. Cette notion pourra être illustrée à l’aide d’une droite graduée. On multipliera les exemples de distance à zéro de nombres décimaux relatifs en vue de l’étude de la somme et du produit. -

déterminer l’opposé d’un nombre décimal relatif donné

Deux nombres opposés sont les abscisses de deux points symétriques par rapport à l’origine d’une droite graduée -

Comparer des nombres décimaux relatifs

On pourra utiliser la droite graduée comme support visuel. -

ranger dans l’ordre croissant ou décroissant des nombres décimaux relatifs

-

énoncer successivement les propriétés : • • •

Si deux nombres décimaux relatifs sont de signes contraires, alors le plus petit est le nombre négatif. Si deux nombres décimaux relatifs sont dans un ordre donné, alors leurs opposés sont dans l’ordre contraire. Si deux nombres décimaux relatifs sont négatifs, alors le plus petit est celui qui a la plus grande

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•

distance à zéro. Deux nombres décimaux relatifs opposés ont la même distance à zéro.

- utiliser ces propriétés

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C

-1

A

0

I

+1

B

+2

+3

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+4

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Somme et différence

FAIRE :

- calculer à partir de nombreuses situations concrètes la somme des deux nombres décimaux relatifs (déplacements, gains, pertes, différence de buts etc.…)

Règles :

•

La somme de deux nombres décimaux relatifs de même signe a : ** pour signe le signe de ces deux nombres ** pour distance à zéro, la somme des distances à zéro de ces deux nombres • La somme de deux nombres décimaux relatifs de signes contraires a : ** pour signe, le signe du nombre qui a la plus grande distance à zéro ** pour distance à zéro, la différence des distances à zéro de ces deux nombres On n’exigera pas des élèves de savoir énoncer ces règles mais de savoir les utiliser. Remarque : La somme de deux nombres décimaux relatifs opposés est égale à zéro. - calculer de manière performante, en déplaçant et en regroupant certains termes la somme de plusieurs nombres décimaux relatifs. Exemple : calculer

S = (+2.3) + (-1.5) + (1.7) + (-0.5) S = (+2.3) + (+1.7) + (-1.5) + (-0.5) S =

S = -

(+4)

(-2)

+2

calculer la différence de deux nombres décimaux relatifs.

La différence notée a – b, de deux nombres décimaux relatifs a et b est la somme de a et de l’opposé de b. a – b = a + opp (b)

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-

transformer une somme algébrique en une somme de nombres décimaux relatifs. Une somme algébrique est une suite de sommes et de différences de nombres décimaux relatifs. -

calculer une somme algébrique Exemple : a = (+2,3) – (+2,9) – (-5,2) + (-0,5) a = (+2,3) + (-2,9) + (+5,2) + (-0,5) a = (+4,1)

= 4,1 -

donner une écriture simplifiée d’une somme algébrique.

Une écriture simplifiée de a est : a = 2,3 – 2,9 + 5,2 – 0,5 -

Produit de nombres décimaux relatifs

calculer une somme algébrique donnée sous forme simplifiée. a = 2,3 – 2,9 + 5,2 – 0,5 a = -0,6 +5,2 - 0,5 a = 4,6 – 0,5 a = 4,1.

FAIRE : -

déterminer le signe du produit de deux nombres décimaux relatifs.

* Le produit de deux nombres décimaux relatifs de même signe est un nombre décimal relatif de signe + * Le produit de deux nombres décimaux relatifs de signe contraires est un nombre décimal relatif de signe – -

calculer le produit de deux nombres décimaux relatifs.

Pour calculer le produit p de deux nombres décimaux relatifs a et, on détermine : * le signe de p puis, * la distance à zéro de p (c’est le produit de la distance à zéro de a par celle à zéro de b)

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déterminer le signe d’un produit de plusieurs nombres décimaux relatifs Si le nombre de facteurs négatifs d’un produit de nombres décimaux relatifs est pair, alors ce produit est positif ; dans le cas contraire il est négatif -

-

9- Fractions

calculer de manière performante, en déplaçant et en regroupant certains facteurs, le produit de plusieurs nombres décimaux relatifs.

Les seules fractions considérées en classe de 5ième sont positives. Faire : - reconnaître une fraction irréductible Une fraction est dite irréductible lorsque le nombre 1 est l’unique diviseur de ses deux termes. - rendre irréductible une fraction Rendre irréductible une fraction, c’est déterminer la fraction irréductible qui lui est égale. Cela pourra se faire : • par simplifications successives, ou • par décomposition en produit de facteurs premiers puis simplification. - réduire deux fractions au même dénominateur Pour réduire deux fractions au même dénominateur, on peut choisir comme dénominateur commun le ppcm de leurs dénominateurs, mais ce n’est pas toujours le plus efficace. -

calculer la somme de deux fractions de dénominateurs différents.

Pour calculer la somme de deux fractions de dénominateurs différents, on les réduit au même dénominateur et on calcule la somme des deux fractions de même de dénominateur obtenue. -

admettre les propriétés : • si deux fractions ont même dénominateur la petite est celle qu’à le plus petit numérateur • si deux fractions ont même numérateur la plus petite est celle qui à le plus grand dénominateur - comparer deux fractions de même dénominateur - comparer deux fractions de même numérateur - comparer deux fractions quelconques -

comparer une fraction au nombre 1

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* Si une faction a le numérateur plus petit que le dénominateur, alors elle est plus petite que 1. * Si une fraction a le numérateur égal au dénominateur, alors elle est égale à 1. * Si une faction a le numérateur plus grand que le dénominateur, alors elle est plus grande que 1. -calculer la différence de deux fractions de dénominateurs différents On se limitera à des différences de fractions dont le résultat est positif. Pour calculer la différence de deux fractions de dénominateurs différents, on les réduit au même dénominateur et on calcule la différence des deux fractions de même de dénominateur obtenue. -

a r écrire une fraction b sous la forme q + b (avec r < b)

a a et b sont deux entiers naturels et b n’est pas nul. La fraction b peut r s’écrire sous la forme q + b où q est le quotient et r est le reste de la division de a par b. -

encadrer une fraction par deux nombres décimaux

* à une unité près, 2