Guide D Onde Rectangulaire PDF [PDF]

Zitiervorschau

Ensa de Tanger

Projet guide d’onde rectangulaire

Université Abdelmalek Essaadi Ensa de Tanger Département de Télécoms

Projet Electromagnétique Master en Systèmes de Communication & Informatique

Guide d’onde rectangulaire

Janvier 2013

Année Universitaire: 2012 - 2013

Master en Systèmes de Communication & Informatique

Page | 1

Projet guide d’onde rectangulaire

Ensa de Tanger

Sommaire : ■ Introduction : …………………………………………………………………………….……………..…03 ■ 1 Contexte et conventions : …………………………………………………………………………..04 Contexte : ………………………………………………………………………….…04 Guides électromagnétiques étudiés.……………………………….……04 Classification des modes guidés ………………………………………..06 Solutions harmoniques ……………………………………………………… 07

1.1 1.2 1.3 1.4

■ 2 Guide d’onde rectangulaire :………………………………………………….08 2.1 Modes 𝐓𝐌……………………………………………………………………………….….10    

2.2   

2.3 2.4 2.5 2.6 2.7

Résolution de l’équation de propagation……………………10 Application des conditions aux limites………………………11 Expression des champs………………………………………………12 Existences des modes 𝑻𝑴……………………………………………..13 Modes 𝐓𝐄…………………………………………………………………………………....13 Valeurs propres………………………………………………………….14 Expression des champs…………………………………………….14 Existences des modes 𝐓𝐄…………………………………………….14 Etudes des modes de propagation : ……………………………………..…15 Etudes du mode dominant 𝑻𝑬𝟎𝟏 : ……………………………………………16 Puissance active transportée par le mode 𝑻𝑬𝟎𝟏 : …………………18 caractéristiques des guides d’ondes rectangulaires: …………19 Lignes de Champs………………………………………………………………………….20

■ 3 Annexe …………………………………………………….……...22 Contexte……………………………………………………………………………….………….22 Modes 𝐓𝐌………………………………………………………………………………………22

3.1 3.2      

Modes 𝐓𝐄…………………………………………………………………………...24

3.3      

3.4 3.5 3.6

Équation de propagation…………………………………………22 Fréquence de coupure…………………………………………….…22 Séparation des variables…………………………………………..23 Conditions aux limites………………………………………………23 Remarque importante………………………………………………..23 Expression des champs transverses……………………...23 Équation de propagation…………………………………………...24 Fréquence de coupure…………………………………………..…24 Séparation des variables…………………………………….…..25 Conditions aux limites……………………………………………..25 Remarque………………………………………………………………….25 Expression des champs transverses……………………..25

Dégénérescence………………………………….……26 Guides rectangulaires normalisés ………………………………..26 Exemples de guide rectangulaires…..…………………………..26

■ Bibliographies …………………………………………………………………………29 ■ Figures…………………………………………………………………………………….29 ■ Tables…………………………………………………………………...29

Master en Systèmes de Communication & Informatique

Page | 2

Ensa de Tanger

Projet guide d’onde rectangulaire

Introduction : Une onde véritablement plane ne peut exister que dans un milieu homogène infini. En pratique, la propagation se fait dans des milieux inhomogènes et finis. D’autre part, les ondes électromagnétiques émises à proximité de milieux conducteurs ou diélectriques étendus ont tendance à se propager parallèlement aux surfaces de ces milieux. Ceux-ci agissent comme des guides servant à transporter l’énergie électromagnétique d’un point à un autre. Cette propriété est appliquée dans une foule de dispositifs de grande importance :  Guide d’onde rectangulaire,  Guide d’onde circulaire,  Lignes de transport d’énergie électrique,  Fibres optiques, etc. Les cordons d’alimentation des appareils électriques sont des guides ou lignes électriques, de même que les interconnexions de circuits électriques en général. C’est pourquoi leur étude est de première importance, afin de les utiliser correctement, particulièrement aux fréquences élevées ou les temps de propagation deviennent relativement appréciables compares à la période.

Master en Systèmes de Communication & Informatique

Page | 3

Projet guide d’onde rectangulaire

Ensa de Tanger

Contexte et conventions :

1.1

Contexte

Un guide d’onde permet la propagation d’une onde électromagnétique selon une direction privilégiée, et ce idéalement sans atténuation ou distorsion du signal (tel que la dispersion). Dans ce cours, nous considérons la propagation selon le vecteur unitaire 𝑧̂ tel que représenté

Figure 1.1

1.2

Guides électromagnétiques étudiés

De manière générale, plusieurs types de guides électromagnétiques existent selon les fréquences que nous souhaitons transporter, tel que décrit Figure. 1.1. Nous allons ici étudier les guides d’ondes tels que les guides rectangulaire et circulaire, et étudierons ces guides sous une approche modale pour des fréquences couvrant les domaines

Master en Systèmes de Communication & Informatique

Page | 4

Projet guide d’onde rectangulaire

Ensa de Tanger

Figure 1.2 des micro-ondes et des hyperfréquences. Les autres types de guides d’ondes seront étudiés dans les autres parties du module, à savoir :

 la théorie des lignes (cf. partie du cours dispensée par L. Varani) concernant les lignes électriques pour hyperfréquences,

les

 les guides optiques (cf. partie du cours dispensée par R. Kribich), à savoir les guides planaires optiques ou les fibres optiques. Nous nous intéressons donc à des guides creux ou remplis de diélectrique linéaire, homogène et isotrope (LHI). Nous supposerons le milieu diélectrique isotrope dans ce projet, l’anisotropie étant introduite via la perméabilité magnétique m sinon. Les guides creux sont particulièrement adaptés à la propagation d’ondes hyperfréquences (typiquement pour les fréquences comprise entre le GHz et le THz). La dénomination usuelles des bandes micro-ondes est donnée table 1.2. Pour de plus faibles fréquences, nous utilisons les lignes coaxiales ou bifilaires, pour de plus hautes fréquences, i.e. l’infrarouge puis le visible, nous utilisons plutôt fibres optiques ou guides optiques planaires. Enfin, notons que l’utilisation de guides creux dans la gamme GHz est préférée aux câbles coaxiaux lorsque de fortes puissances doivent être transmises.

Master en Systèmes de Communication & Informatique

Page | 5

Ensa de Tanger

Projet guide d’onde rectangulaire

Table 1

1.3

Classification des modes guidés

De manière générale, il existe plusieurs types de propagation dans le guide. Si nous considérons la propagation selon ẑ, nous distinguerons les cas suivants : 

l’onde transverse électromagnétique 𝑻𝑬𝑴 : telle que champs électrique et

⃗ ⊥ 𝑧 &𝐻 ⃗ ⊥ 𝑧 magnétique sont orthogonaux à l’axe de propagation, i.e. 𝐸 

l’onde transverse électrique 𝑻𝑬 : telle que le champ électrique seulement est

⃗ ⊥ 𝑧 orthogonal à l’axe de propagation, i.e. 𝐸 

l’onde transverse magnétique 𝑻𝑴 : telle que le champ magnétique ⃗ ⊥ 𝑧 seulement est orthogonal à l’axe de propagation, i.e. 𝐻



l’onde hybride telle que ni le champ électrique ni le champ magnétique ne sont orthogonaux à l’axe de propagation.

La connaissance des composantes transverses sera importante dans ce ⃗ pour traduire de manière générale le cours. Nous utiliserons la notation V ⃗. champ électrique ⃗E ou l’excitation magnétique (ou champ magnétique) ⃗H

Master en Systèmes de Communication & Informatique

Page | 6

Projet guide d’onde rectangulaire

Ensa de Tanger

Nous exprimerons ainsi de manière générale un champ électromagnétique sous la forme :

⃗ = ⃗⃗⃗⃗ 𝑉 𝑉𝑇 + ⃗⃗⃗ 𝑉𝑧

1.1

⃗⃗⃗⃗T ⊥ ẑ est la composante transverse du champ et Où V

⃗⃗⃗ Vt = Vz Ẑ la

composante longitudinale du champ.

1.4

Solutions harmoniques

Nous nous intéressons ici aux solutions harmoniques pour la propagation selon ẑ, et noterons sous forme exponentielle les solutions harmoniques à la pulsation radiale ω:

⃗ = ⃗⃗⃗ 𝑉 𝑉0 (𝑥, 𝑦)𝑒 −𝛾𝑧 𝑒 𝑖𝜔𝑡

1.2

⃗ ou ~H en toute position z, et g la constante Où ⃗⃗⃗⃗ V0 (x, y) est la valeur de E de propagation se décomposant sous la forme :

𝛾 = 𝛼 + 𝑖𝛽𝑔

1.3

Ainsi, a correspond à l’atténuation (Np / m) et βg au déphasage (rad/m) accumulés longitudinalement. Notons que pour la propagation sans atténuation (α = 0), nous avons simplement γ = α + iβg et retrouvons simplement le terme habituel en ei(ωt−βgZ) pour une onde progressive. Ces notations sont importantes car elles seront utilisées tout au long du cours. Nous voyons Eq. 1.2 que nous considérons la propagation selon ẑ d’un profil V0(x, y) du champ électrique ou magnétique (selon que nous sommes dans un cas TE ou TM, respectivement) ne dépendant que des coordonnées transverses. La constante de propagation βg correspond donc à la propagation selon ẑ la composante transverse du champ.

Master en Systèmes de Communication & Informatique

Page | 7

Projet guide d’onde rectangulaire

Ensa de Tanger

Guide d’onde rectangulaire : Nous supposons un guide rectangulaire de dimensions a selon l’axe x et b selon l’axe y tel que représenté Fig. 2.1.

Figure 2.1

Un guide d'onde rectangulaire possède une section rectangulaire de largeur a sur l'axe x, et de hauteur b sur l'axe y. Un diélectrique- souvent de l'air - remplit l'intérieur du conducteur creux. Les champs se déplacent dans le diélectrique mais sont confinés dans l'espace par les 4 parois conductrices. L'axe z définit toujours la direction de propagation et on suppose a > b. Le diélectrique et le conducteur sont parfaits car les pertes pourront être considérées

ultérieurement

en

ajoutant

simplement

la

constante

d'atténuation sans modifier le reste, un peu comme dans les lignes de transmission à très faibles pertes.

Master en Systèmes de Communication & Informatique

Page | 8

Ensa de Tanger

Projet guide d’onde rectangulaire

Il faut voir que les modes supérieurs sont produits avec la combinaison de plusieurs ondes planes se réfléchissant selon divers patrons sur les parois. Les réflexions sur les plaques latérales seules donne des modes TEm0 tandis que les modes TE0n sont issus des réflexions sur les plaques inférieure et supérieure seules.

Figure 2.2

Figure 2.3 Pour obtenir l'ensemble des informations sur les champs, il faut solutionner l'équation d'onde issue de la résolution des équations de Maxwell en accord avec les conditions aux limites imposées par les parois du guide d'ondes. Deux modes supérieurs peuvent donc s'y propager:  le mode TE où le champ électrique est transverse avec: Ez = 0, et Hz ≠ 0,  le mode TM où le champ magnétique est transverse avec: Ez ≠ 0, et Hz = 0,

Master en Systèmes de Communication & Informatique

Page | 9

Projet guide d’onde rectangulaire

Ensa de Tanger

2.1 Modes 𝐓𝐌 Nous allons dans un premier temps nous intéresser aux modes de propagation TM. Résolution de l’équation de propagation

Nous avons vu que la résolution des modes TM passe par la détermination de l’équation de propagation concernant le champ excitateur Ez . Nous supposons les variables séparées pour ce champ excitateur et écrivons :

𝐸𝑧 (𝑥, 𝑦) = 𝑋(𝑥)𝑌(𝑦). L’équation de propagation ∆Ez + s2 Ez s’écrit donc :

𝑋̈𝑌 + 𝑌̈𝑋 + 𝑠 2 𝑌𝑋 = 0. soit en divisant cette dernière équation par YX :

𝑋̈ 𝑌̈ + + 𝑠 2 = 0. 𝑋 𝑌 Rappelons que s est une constante, ainsi nous avons la somme d’une ̈ X ne dépendant que de x, d’une fonction Y/ ̈ Y ne dépendant que fonction X/ de y, et d’une constante. Ceci n’est possible que dans le cas où les fonctions X00/X et Y00/Y sont constantes. Nous noterons ces constantes respectivement −k 2 x et −k 2 y avec ainsi :

𝑘2𝑥 + 𝑘2𝑦 = 𝑠2.

2.1

̈ X = −k 2 x donne donc une solution de la forme X = La résolution de X/ ̈ Y = −k 2 y donne donc une A cos(k x x) + B sin(k x x), et la résolution de Y/ solution de la forme X = C cos(k y y) + D sin(k y y), nous déduisons donc la forme du champ excitateur :

𝐸𝑧 (𝑥, 𝑦) = [𝐴 cos(𝑘𝑥 𝑥) + 𝐵 sin(𝑘𝑥 𝑥)][cos(𝑘𝑦 𝑦) + 𝐷 sin(𝑘𝑦 𝑦)]

Master en Systèmes de Communication & Informatique

2.2

Page | 10

Projet guide d’onde rectangulaire

Ensa de Tanger

Application des conditions aux limites

Afin de déterminer les constantes, nous appliquons les conditions aux limites, à savoir ici la condition de Dirichlet précédemment démontrée. Ainsi, le champ excitateur doit être nul sur le contour du guide, donc :

𝐸𝑧 (𝑦 = 0) = 0 𝐸𝑧 (𝑦 = 𝑏) = 0 𝐸𝑧 (𝑦 = 0) = 0 {𝐸𝑧 (𝑦 = 𝑎) = 0

∀𝑥 ∀𝑥 ∀𝑦 ∀𝑦

Nous déduisons de la première condition : [A cos(k x x) + B sin(k x x)] C = 0 quelque soit x, d’où nécessairement C = 0. De la deuxième condition nous déduisons par conséquence : [A cos(k x x) + B sin(k x x)] D sin(k y b) = 0 quelque soit x, d’où la condition :

𝑘𝑦 = 𝑛𝜋/𝑏.

2.3

où n est un entier positif, et D ≠ 0 (pour assurer l’existence des champs). De la troisième condition nous déduisons ensuite : AD sin(k y b) = 0 quelque soit y, d’où nécessairement A = 0 car D est non nul. Finalement, nous déduisons de la dernière condition : B sin(k x a) D sin(k y y) = 0 d’où la condition :

𝑘𝑥 = 𝑚𝜋/𝑎.

3.4

où m est un entier positif. Ainsi, nous avons l’expression du champ excitateur Ez : 𝑚𝜋𝑥

𝐸𝑧 (𝑥, 𝑦) = 𝐸0 sin (

𝑎

𝑛𝜋𝑦

) sin (

𝑏

).

2.5

avec l’expression des valeurs propres pour chaque mode transverse TM d’ordres (m, n) 𝑚𝜋 2

𝑠𝑚𝑛 2 = (

𝑎

𝑛𝜋 2

) +(𝑏)

2.6

Master en Systèmes de Communication & Informatique

Page | 11

Projet guide d’onde rectangulaire

Ensa de Tanger

Sachant que smn = 2π/λc nous pouvons aussi exprimer les longueurs d’onde et coupures des modes transverses en fonction simplement des dimensions du guide d’onde rectangulaire : 2

2

𝑚 𝑛 𝜆𝐶𝑚𝑛 = 1/√( ) + ( ) 2𝑎

2.7

2𝑏

2

2

𝑚 𝑛 𝑣𝐶𝑚𝑛 = 𝑣/√( ) + ( ) 2𝑎

2.8

2𝑏

Expression des champs

Nous avons relié précédemment (chapitre I) les champs transverses aux champs longitudinaux. Nous déduisons le champ électrique transverse pour le mode TM (pour lequel Hz = 0) :

𝐸⃗𝑇 =

1 (−𝛾𝑔𝑟𝑎𝑑𝐸𝑧 ), 𝑠2

d’où les expressions des composantes Ex et Ey :

−𝛾

𝑚𝜋

𝑚𝜋𝑥

𝑛𝜋𝑦

𝐸𝑥 = 2 𝐸0 𝑐𝑜𝑠 ( ) 𝑠𝑖𝑛 ( 𝑏 ) 𝑠 𝑎 𝑎 . { −𝛾 𝑛𝜋 𝑚𝜋𝑥 𝑛𝜋𝑦 𝐸𝑦 = 2 𝐸0 𝑠𝑖𝑛 ( ) 𝑐𝑜𝑠 ( ) 𝑠

𝑏

𝑎

2.9

𝑏

Nous déduisons maintenant le champ magnétique transverse pour le mode TM (pour lequel Hz = 0) :

𝐻𝑥 = 𝐸0

𝑖𝜔 𝑛𝜋

𝑚𝜋𝑥

𝑠𝑖𝑛 (

) 𝑐𝑜𝑠 (

𝑛𝜋𝑦

) 𝑏 𝑎 𝑏 . { 𝑖𝜔 𝑚𝜋 𝑚𝜋𝑥 𝑛𝜋𝑦 𝐻𝑦 = −𝐸0 2 𝑐𝑜𝑠 ( ) 𝑠𝑖𝑛 ( ) 𝑠2 𝑠

𝑎

𝑎

2.10

𝑏

À ce stade, nous avons donc calculé l’expression des champs électrique et magnétique pour les modes TMmn dans un guide rectangulaire :

Master en Systèmes de Communication & Informatique

Page | 12

Projet guide d’onde rectangulaire

Ensa de Tanger



Champ électrique :

𝐸𝑥 = 𝐸⃗𝑚𝑛 =

𝐸𝑦 =

−𝛾 𝑠2 −𝛾 𝑠2

𝐸0 𝐸0

𝑚𝜋 𝑎 𝑛𝜋

𝑠𝑖𝑛 (

𝑏 𝑚𝜋𝑥

{𝐸𝑧 = 𝐸0 𝑠𝑖𝑛 ( 

𝑚𝜋𝑥

𝑐𝑜𝑠 (

𝑎

𝑎 𝑚𝜋𝑥 𝑎

) 𝑠𝑖𝑛 (

𝑛𝜋𝑦

𝑏 𝑛𝜋𝑦

) 𝑐𝑜𝑠 ( 𝑛𝜋𝑦

) 𝑠𝑖𝑛 (

𝑏

𝑏

) 2.11

) .

)

Champ magnétique :

𝐻𝑥 = 𝐸0 ⃗ 𝑚𝑛 = 𝐻

𝐻𝑦 = −𝐸0

𝑖𝜔 𝑛𝜋 𝑠2

𝑏

𝑖𝜔 𝑚𝜋 𝑠2 𝑎

𝑚𝜋𝑥

𝑠𝑖𝑛 (

𝑎 𝑚𝜋𝑥

𝑐𝑜𝑠 (

𝑎

𝑛𝜋𝑦

) 𝑐𝑜𝑠 (

)

𝑏 𝑛𝜋𝑦

) 𝑠𝑖𝑛 (

𝑏

)

2.12

{𝐻𝑧 = 0 Existences des modes 𝐓𝐌

Il est important de remarquer que si m = 0 ou n = 0, alors le champ excitateur Ez est nul. Nous sommes donc en présence d’un mode TEM, or nous avions vu précédemment que celui-ci ne pouvait exister dans un guide creux. Par conséquence : Les modes 𝑻𝑴𝟎𝒊 et 𝑻𝑴𝒊𝟎 n’existent pas dans un guide rectangulaire.

2.2

Modes 𝐓𝐄

Nous pouvons effectuer une démarche similaire pour les modes TE, à savoir la résolution de l’équation de propagation afin de déterminer la forme du champ excitateur Hz , puis l’application des conditions aux limites afin de déterminer les valeurs propres ainsi que l’expression exacte de ce champ excitateur. Nous pouvons finalement utiliser les relations liant champs transverses et longitudinaux afin de déterminer l’expression des champs transverses.

Master en Systèmes de Communication & Informatique

Page | 13

Projet guide d’onde rectangulaire

Ensa de Tanger

Valeurs propres

Les valeurs propres pour chaque mode transverse TE d’ordre (m, n) sont : 𝑚𝜋 2

𝑠𝑚𝑛 2 = (

𝑎

𝑛𝜋 2

) +(𝑏) .

2.13

Ainsi, les valeurs propres pour les modes TEmn sont identiques à celles des modes TMmn ( Eq. 6.6). Par conséquence, ces modes auront les mêmes fréquences de coupures. Nous parlons dans ce cas de mode dégénérés. Les modes 𝑻𝑬𝑚𝑛 et 𝑻𝑴𝑚𝑛 sont donc dégénérés car ils sont associés à la même valeur propre.

Expression des champs

Nous obtenons aussi après un calcul similaire à celui présenté pour les modes TM, l’expression des champs suivants : 

Champ électrique : 𝑖𝜔𝜇 𝑛𝜋

𝐸𝑥 = 𝐻0 𝐸⃗𝑚𝑛 =

𝐸𝑦 = −𝐻0

𝑠2

𝑚𝜋𝑥

𝑐𝑜𝑠 (

𝑏

𝑖𝜔𝜇 𝑚𝜋 𝑠2

𝑎

𝑛𝜋𝑦

) 𝑠𝑖𝑛 (

𝑎 𝑚𝜋𝑥

𝑠𝑖𝑛 (

𝑎

)

𝑏 𝑛𝜋𝑦

) 𝑐𝑜𝑠 (

𝑏

)

2.14

{ 𝐸𝑧 = 0 

Champ magnétique

𝐻𝑥 = 𝐻0 ⃗ 𝑚𝑛 = 𝐻

𝐻𝑦 = 𝐻0

𝛾 𝑚𝜋 𝑠2 𝑎 𝛾 𝑛𝜋 𝑠2 𝑏

𝑚𝜋𝑥

𝑠𝑖𝑛 (

𝑐𝑜𝑠 (

𝑚𝜋𝑥

{𝐻𝑧 = 𝐻0 𝑐𝑜𝑠 (

𝑎 𝑚𝜋𝑥

𝑎

𝑎

𝑛𝜋𝑦

) 𝑐𝑜𝑠 ( ) 𝑠𝑖𝑛 ( 𝑛𝜋𝑦

) 𝑐𝑜𝑠 (

𝑏

𝑏 𝑛𝜋𝑦 𝑏

)

)

2.15

)

Existences des modes 𝐓𝐄 Contrairement aux modes 𝑻𝑴, tous les modes 𝑻𝑬 peuvent exister (même si 𝑚 ou 𝑛 est nul).

Master en Systèmes de Communication & Informatique

Page | 14

Projet guide d’onde rectangulaire

Ensa de Tanger

2.3

Etudes des modes de propagation :

Les modes de propagations sont définis par les valeurs des entiers 𝑚 et 𝑛 qui définissent la longueur d'onde de coupure (2.7) on définit ainsi les modes TEmn et TMmn. Etudions les différentes solutions en fonction des valeurs de m et de n. 𝒎 = 𝟎 et 𝒏 = 𝟎

Les expressions des composantes des champs 𝑇𝐸 et 𝑇𝑀 montrent qu'elles sont nulles. Il n'y a donc pas de propagation possible des modes 𝑇𝐸00 et 𝑇𝑀00 . 𝒎 = 𝟎 et 𝒏 = 𝟏

Dans ce cas la longueur d'onde coupure est égale à :

𝜆𝐶01 = 2𝑏

2.16

Les expressions 2.11 à 2.12 montrent que toutes les composantes de l'onde 𝑇𝑀01 sont nulles. Seules une onde 𝑇𝐸01 est possible. 𝒎 = 𝟏 et 𝒏 = 𝟎

Dans ce cas, la longueur d'onde coupure tirée de 2.7 est égale à :

𝜆𝐶01 = 2𝑎

2.17

Les expressions 2.11 à 2.12 montrent que toutes les composantes de l'onde 𝑇𝑀10 sont nulles. Seules une onde 𝑇𝐸10 est possible. 𝒎 = 𝟏 et 𝒏 = 𝟏

Dans ce cas, la longueur d'onde coupure tirée de (2.7) est égale à : 1

1

𝜆𝐶11 = 1/√(2𝑎)2 + (2𝑏)2

2.18

Les deux modes 𝑇𝐸11 et 𝑇𝑀11 sont possibles.

Master en Systèmes de Communication & Informatique

Page | 15

Projet guide d’onde rectangulaire

Ensa de Tanger

𝒎 et 𝒏

Dans ce cas, la longueur d'onde coupure tirée de 2.7 est égale à : 𝑚

𝑛

𝜆𝐶𝑚𝑛 = 1/√(2𝑎)2 + (2𝑏)2

2.19

Les deux modes 𝑇𝐸11 et 𝑇𝑀11 sont possibles. On peut donc représenter sur un graphique les différents modes de propagation en fonction de la longueur d'onde de l'émetteur.

Figure 2.4 On voit donc que pour une longueur d'onde :

𝜆𝐶10 < 𝜆 < 𝜆𝐶01

soit

2𝑎 < 𝜆0 < 2𝑏

2.20

Seul le mode 𝑇𝐸01 peut se propager, c'est une propagation monomode. On appelle ce mode le mode dominant. C'est dans cette gamme de longueur d'onde que l'on utilisera le guide rectangulaire.

Pour :

𝜆0 < 𝜆𝐶10

soit

𝜆0 < 2𝑏

2.21

Plusieurs modes sont susceptibles de se propager, c'est une propagation multimode.

2.4

Etude du mode dominant 𝑻𝑬𝟎𝟏 :

Il est caractérisé par 𝑚 = 0 et 𝑛 = 1 et une longueur d'onde de coupure égale à :

𝜆𝐶01 = 2𝑏

2.22

Master en Systèmes de Communication & Informatique

Page | 16

Projet guide d’onde rectangulaire

Ensa de Tanger

Dans ces conditions les expressions 2.14 à 2.15 permettent de déterminer les valeurs des composantes du champ 𝐸𝑀.

𝐸𝑥01 =

𝐻𝑦01 =

𝑗𝜔𝜇 𝜋 𝛾𝑐

2

𝜋𝑦

𝐻0 sin ( ) 𝑒 𝑗𝜔𝑡−𝛾𝑔 𝑧 𝑏 𝑏

𝛾𝑔 𝜋 𝛾𝑐

2

𝜋𝑦

𝐻 𝑠𝑖𝑛 ( ) 𝑒 𝑗𝜔𝑡−𝛾𝑔 𝑧 𝑏 0 𝑏 𝜋𝑦

𝐻𝑧01 = 𝐻0 𝑐𝑜𝑠 ( ) 𝑒 𝑗𝜔𝑡−𝛾𝑔 𝑧 𝑏 𝐸𝑦01 = 𝐸𝑧01 = 𝐻𝑥01 = 0

2.23

2.24

2.25

2.26

Ce qui permet de représenter les champs EM.

Figure 2.5 On voit que le champ électrique est maximum au centre du guide.

Master en Systèmes de Communication & Informatique

Page | 17

Projet guide d’onde rectangulaire

Ensa de Tanger

2.5

Puissance active transportée par le mode TE01

La puissance se calcule par le flux du vecteur de Pointing : 1

𝑃𝑧 = − 𝐸𝑦 𝐻𝑥 ∗

2.27

2

Ou 𝐸𝑦 𝑒𝑡 𝐻𝑥 sont donnés par (2.23) et (2.24) soit : 1

𝛾𝑔 𝜋2

2

𝛾𝑐 2 𝑏2

𝑃𝑧 = − 𝑗𝜔𝜇

𝜋𝑦

𝐻0 𝑠𝑖𝑛2 ( ) 𝑏

2.28

tenant compte du fait que :

𝛾𝑔 = 𝑗𝛽𝑔 2𝜋

𝛽𝑔 = 𝜆 𝛾𝑐 =

𝑔

2𝜋 𝜆𝑐

2.29

𝜆𝑐 = 2𝑏 𝐸0 𝐻0

{

𝜇

= √𝜀0

𝑐=

0

1 √𝜀0 𝜇 0

La densité de puissance s'écrit : 𝑎

1

𝜇0 𝜆

2

𝜀0 𝜆𝑔

𝑃 = 𝐸0 2 √

𝑏

𝜋𝑦

∫0 ∫0 𝑠𝑖𝑛2 ( 𝑏 ) 𝑑𝑥𝑑𝑦

2.30

Soit : 1

𝜇

𝜆

𝑃 = 𝐸0 2 √ 0 𝑎𝑏 4 𝜀 𝜆 0

𝑔

2.31

pour un guide rectangulaire travaillant en bande X à 10 Ghz, la puissance est limitée par le champ électrique que peut supporter le guide en son centre, dans le cas d'un guide rempli d'air sec, ce champ est de 10000V/cm., ce qui donne : 1

3

4

3.1

𝑃 = (15000)2 √4𝜋10−7 ∗ 36𝜋109

∗ 22.8610−3 ∗ 10.1610−3 = 476 𝑘𝑤.

Master en Systèmes de Communication & Informatique

Page | 18

Ensa de Tanger

Projet guide d’onde rectangulaire

Les guides d'ondes peuvent donc transporter des puissances 𝐸𝑀 très importantes, cela d'autant plus que les dimensions du guide sont grandes ce qui correspond à des fréquences d'utilisation plus basses.

2.6

Caractéristiques des guides d’ondes rectangulaires Bandes de fréquence micro-ondes

Table 2

Master en Systèmes de Communication & Informatique

Page | 19

Projet guide d’onde rectangulaire

Ensa de Tanger

Table 3

2.7

Lignes de Champs

Des équations des champs, il est possible ensuite de tracer les lignes de champs, i.e. les lignes selon lesquelles le champ garde la même amplitude. Cette représentation graphique est importante car elle offre un recul sur la répartition des champs dans le guide, à la fois au niveau longitudinal et transversal. Nous reprenons Fig. 6.2 les lignes de champs tracées pour un guide rectangulaire tracées par F. Gardiol dans Hyperfréquences (éditions Dunod).

Master en Systèmes de Communication & Informatique

Page | 20

Ensa de Tanger

Projet guide d’onde rectangulaire

Figure 2.6 Plusieurs grandeurs apparaissent directement sur cette figure. Nous observons par exemple que le mode TE10 est polarisé rectilignement car les lignes de champ électrique sont toutes verticales. Nous observons aussi la répartition sinusoïdale transverse du champ électrique, le champ étant concentré au centre du guide et nul sur les bords. Sur toutes les figures, nous observons une périodicité longitudinale, cette périodicité n’est autre que la longueur d’onde guidée lg, grandeur qui sera essentielle pour la réalisation de cavité à l’aide de ces guides d’ondes. Notons aussi que les lignes de champ magnétique sont fermées, conséquence directe de l’équation de Maxwell-Thomson. Remarquons enfin que les positions des maxima des champs électrique et magnétique sont opposition de phase dans la direction longitudinale, i.e. que l’un est maximal quand l’autre est nul. Il est ainsi possible de perturber le champ électrique (magnétique) sans directement perturber le champ magnétique (électrique) en usinant le guide à certaines positions. Cette propriété sera utilisée dans les cavités

Master en Systèmes de Communication & Informatique

Page | 21

Projet guide d’onde rectangulaire

Ensa de Tanger

hyperfréquences

afin

de

réaliser

diverses

composantes

passives

hyperfréquences.

Annexe 3.1

Contexte

Nous cherchons à déterminer les modes se propageant dans un guide creux de dimensions a selon x et b selon y. La propagation s’effectue selon z. Nous ne donnons ici que le fil conducteur de la méthode, les calculs étant effectués en cours. Nous considérons un guide de dimensions a selon x et b selon y.

3.2

Modes 𝐓𝐌

La détermination des modes TM passe par la détermination du champ excitateur Ez . Équation de propagation

L’équation de propagation du champ excitateur Ez est :

Δ𝐸𝑧 = −𝑠 2 𝐸𝑧 𝑎𝑣𝑒𝑐 𝑠 2 = 𝛾 2 + 𝜔2 𝜇𝜀. Cette équation est une équation aux valeurs propres, à chaque valeur propre s correspond un vecteur propre Ez . Une fois Ez déterminée, nous pouvons déterminer H puisque nous avions exprimé en début de cours les champs transverses en fonction des composantes longitudinales Fréquence de coupure

Dans un milieu sans perte, γ = iβ. Afin d’avoir propagation selon z, i.e. une constante de propagation longitudinale β réelle pure, nous déduisons de l’expression de s2 la condition ω > s/√ϵμ et définissons ainsi une fréquence de coupure vc = s/(2π√ϵμ). À chaque mode correspond une valeur propre s donc une fréquence de coupure.

Master en Systèmes de Communication & Informatique

Page | 22

Projet guide d’onde rectangulaire

Ensa de Tanger

Séparation des variables

Nous supposons possible la séparation des variables x et y et déduisons la forme du champ :

𝐸𝑧 (𝑥, 𝑦) = [𝐴 cos(𝑘𝑥 𝑥) + 𝐵 sin(𝑘𝑥 𝑥)][cos(𝑘𝑦 𝑦) + 𝐷 sin(𝑘𝑦 𝑦)] Avec

𝑘𝑥 2 + 𝑘𝑦 2 = 𝑠 2

Conditions aux limites

Les conditions aux limites pour le champ excitateur Ez imposent Ez = 0 sur les parois du guide, nous déduisons le champ Ez : 𝑚𝜋𝑥

𝐸𝑧 (𝑥, 𝑦) = 𝐸0 sin (

𝑎

𝑛𝜋𝑦

) sin (

𝑏

).

où m et n sont des indices tels que : 𝑚𝜋 2

𝑠𝑚𝑛 2 = (

𝑎

𝑛𝜋 2

) +(𝑏)

À chaque couple 𝑚 et 𝑛 correspond donc une valeur propre s. Remarque importante

Il est important de noter que si 𝑚 et/ou 𝑛 est nul, 𝐸𝑧 est nul. Or, 𝐻𝑧 est nul puisque nous cherchons le mode 𝑇𝑀, donc la solution correspond à un mode 𝑇𝐸𝑀. Or, nous avions vu au début du cours en reliant les composantes transverses aux composantes longitudinales qu’un mode TEM ne peut exister dans un guide creux, ainsi : les modes 𝑻𝑴0𝑛 et 𝑻𝑴𝑚0 n’existent pas dans un guide rectangulaire !

Expression des champs transverses

Nous avions exprimé en début de cours les champs transverses en fonction des composantes longitudinales des champs, nous déduisons donc l’expression des champs

Master en Systèmes de Communication & Informatique

Page | 23

Projet guide d’onde rectangulaire

Ensa de Tanger



Champ électrique : −𝛾 𝑚𝜋 𝑠2 𝑎 −𝛾 𝑛𝜋

𝐸⃗𝑇𝑀𝑚𝑛 = 𝐸0 

𝑐𝑜𝑠 (

𝑎 𝑚𝜋𝑥

𝑠𝑖𝑛 (

𝑠2 𝑏 𝑚𝜋𝑥

{𝑠𝑖𝑛 (

𝑚𝜋𝑥

𝑎

𝑎

𝑛𝜋𝑦

) 𝑠𝑖𝑛 (

𝑏 𝑛𝜋𝑦

) 𝑐𝑜𝑠 ( 𝑛𝜋𝑦

) 𝑠𝑖𝑛 (

𝑏

𝑏

)

) .

)

Champ magnétique :

3.3

𝑖𝜔 𝑛𝜋 𝑚𝜋𝑥 𝑛𝜋𝑦 𝑠𝑖𝑛 𝑐𝑜𝑠 ( ) ( ) 𝑠2 𝑏 𝑎 𝑏 𝑚𝜋𝑥 𝑛𝜋𝑦 ⃗ 𝑇𝑀𝑚𝑛 = 𝐸0 𝑖𝜔 𝑚𝜋 𝐻 𝑠𝑖𝑛 ( ) ( ) − 2 𝑐𝑜𝑠 𝑎 𝑏 𝑠 𝑎 { 0 Modes 𝐓𝐄

La détermination des modes TE passe par la détermination du champ excitateur Hz . Équation de propagation

L’équation de propagation du champ excitateur Hz est :

Δ𝐻𝑧 = −𝑠 2 𝐻𝑧 𝑎𝑣𝑒𝑐 𝑠 2 = 𝛾 2 + 𝜔2 𝜇𝜀. Cette équation est une équation aux valeurs propres, à chaque valeur propre s correspond un vecteur propre Hz . Une fois Hz déterminée, nous pouvons déterminer E puisque nous avions exprimé en début de cours les champs transverses en fonction des composantes longitudinales Fréquence de coupure

Dans un milieu sans perte γ = iβ. Afin d’avoir propagation selon z, i.e. une constante de propagation longitudinale β réelle pure, nous déduisons de l’expression de s2 la condition ω > s/√ϵμ et définissons ainsi une fréquence de coupure vc = s/(2π√ϵμ). À chaque mode correspond une valeur propre s donc une fréquence de coupure.

Master en Systèmes de Communication & Informatique

Page | 24

Projet guide d’onde rectangulaire

Ensa de Tanger

Séparation des variables

Nous supposons possible la séparation des variables x et y et déduisons la forme du champ :

𝐻𝑧 (𝑥, 𝑦) = [𝐴 cos(𝑘𝑥 𝑥) + 𝐵 sin(𝑘𝑥 𝑥)][cos(𝑘𝑦 𝑦) + 𝐷 sin(𝑘𝑦 𝑦) 2 2 Avec 𝑘𝑥 + 𝑘𝑦 = 𝑠 2 Conditions aux limites

Les conditions aux limites pour le champ excitateur Hz imposent Hz = 0 sur les parois du guide, nous déduisons le champ Hz : 𝑚𝜋𝑥

𝐻𝑧 (𝑥, 𝑦) = 𝐻0 sin (

𝑎

𝑛𝜋𝑦

) sin (

𝑏

).

où m et n sont des indices tels que : 𝑚𝜋 2

𝑠𝑚𝑛 2 = (

𝑎

𝑛𝜋 2

) +(𝑏)

À chaque couple 𝑚 et 𝑛 correspond donc une valeur propre s. Remarque

Notons cette fois-ci l’existence des modes 𝑇𝐸0𝑚 et 𝑇𝐸𝑛0, contrairement aux modes 𝑇𝑀. Expression des champs transverses

Nous avions exprimé en début de cours les champs transverses en fonction des composantes longitudinales des champs, nous déduisons donc l’expression des champs 

Champ électrique :

𝐸⃗𝑇𝑀𝑚𝑛

𝑖𝜔 𝑛𝜋 𝑚𝜋𝑥 𝑛𝜋𝑦 𝑐𝑜𝑠 𝑠𝑖𝑛 ( ) ( ) 𝑠2 𝑏 𝑎 𝑏 𝑚𝜋𝑥 𝑛𝜋𝑦 𝑖𝜔 𝑚𝜋 = 𝐻0 𝑠𝑖𝑛 ( ) ( ) − 2 𝑠𝑖𝑛 𝑎 𝑏 𝑠 𝑎 { 0

Master en Systèmes de Communication & Informatique

Page | 25

Projet guide d’onde rectangulaire

Ensa de Tanger



Champ magnétique : 𝛾 𝑚𝜋 𝑠2

𝑎 𝛾 𝑛𝜋

⃗ 𝑇𝑀𝑚𝑛 = 𝐻0 𝐻

𝑠2 𝑏

𝑚𝜋𝑥

𝑠𝑖𝑛 (

𝑎 𝑚𝜋𝑥

𝑐𝑜𝑠 (

𝑚𝜋𝑥

{𝑐𝑜𝑠 (

3.4

𝑎

𝑎

) 𝑐𝑜𝑠 ( ) 𝑠𝑖𝑛 (

) 𝑐𝑜𝑠 (

𝑛𝜋𝑦 𝑏

𝑛𝜋𝑦

𝑏 𝑛𝜋𝑦 𝑏

)

) .

)

Dégénérescence

Les modes TEmn et TMmn étant caractérisés par les mêmes valeurs propres, ils sont dits dégénérés, et présentent les mêmes fréquences de coupures.

3.5

Guides rectangulaires normalisés

Table 4

3.6

Exemples de guide rectangulaire

Master en Systèmes de Communication & Informatique

Page | 26

Ensa de Tanger

Projet guide d’onde rectangulaire

Figure 3.1

Figure 3.2

Master en Systèmes de Communication & Informatique

Page | 27

Ensa de Tanger

Projet guide d’onde rectangulaire

Figure 3.3

Figure 3.4

Master en Systèmes de Communication & Informatique

Page | 28

Ensa de Tanger

Projet guide d’onde rectangulaire

Bibliographie 

[1] P. Féron Propagation guidée de l’Enssat (Lannion).



[2] Hyperfréquences de F. Gardiol, aux éditions Dunod.



[3] Micro-ondes : Tome 1, Lignes, guides et cavités de P.-F. Combes, aux éditions Dunod.



[4] Électromagnétisme et transmission des ondes : Université Laval.



[5] Électromagnétisme. Propagation – lignes électriques de Jean-Luc Dion aux éditions Loze-Dion éditeur.



[6] http://hyper.dajax.fr/05propagguide/C05_2rect/C5_2rect.htm

Figures Figure 1.1 : .......................................................................................... 04 Figure 1.2 : ......................................................................................... 05 Figure 2.1 : ......................................................................................... 08 Figure 2.2 : ......................................................................................... 09 Figure 2.3 : ......................................................................................... 09 Figure 2.4 : ......................................................................................... 15 Figure 2.5 : ......................................................................................... 17 Figure 2.6 : ......................................................................................... 21 Figure 3.1 : ........................................................................................ 27 Figure 3.2 : ...................................................................................... 27 Figure 3.3 : …………………………………………………………………………………… 28 Figure 3.4 : ................................................................................ 28

Tables Table 1 : ............................................................................................. 06 Table 2 : ….......................................................................................... 19 Table 1 : ............................................................................................. 20 Table 2 : ….......................................................................................... 26

Master en Systèmes de Communication & Informatique

Page | 29