Gruppi: Una introduzione a idee e metodi della Teoria dei Gruppi 978-88-470-0622-5, 978-88-470-0623-2 [PDF]

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A Matilde

Antonio Machì

Gruppi Una introduzione a idee e metodi della Teoria dei Gruppi

~ Springer

ANTONIO MACHl

Dipartimento di Matematica Università La Sapienza, Roma

ISBN 13 978-88-470-0622-5 Springer Milan Berlin Heidelberg New York Springer-Verlag fa parte di Springer Science+ Business Media springer.com © Springer-Verlag Italia, Milano 2007

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Prefazione

Questo libro raccoglie le lezioni di Teoria dei Gruppi da me tenute per vari anni presso il Dipartimento di Matematica dell'Università di Roma "La Sapienza". Riprendendo il filo di un discorso iniziato anni fa nel volume Introduzione alla teoria dei gruppi, pubblicato dall'editore Feltrinelli e dedicato principalmente ai gruppi finiti, mi sono proposto di ampliare il contenuto di quel mio lavoro, in particolare per quanto riguarda i gruppi di permutazioni e la coomologia. Ho trattato anche questioni relative ai gruppi infiniti (gruppi liberi, generatori e relazioni, proprietà residue) e problemi di carattere logico (problema della parola, decidibilità). Ho seguito in questo il rinnovato interesse per i gruppi infiniti al quale si è assistito negli ultimi anni , e acui non è probabilmente estranea la soluzione del problema della classificazione dei gruppi semplici finiti, senz'altro il risultato più importante della storia recente della Teoria dei Gruppi (anche se per alcuni studiosi la cosa non è ancora completamente chiarita). Un problema che, sulla scorta del "programma di H6lder" ha orientato buona parte della ricerca per tutto l'ultimo secolo. Il libro si rivolge agli studenti del terzo anno del corso di laurea e a quelli della laurea specialistica in Matematica, senza escludere gli studenti di Fisica e di Chimica che volessero acquisire una solida base per affrontare in seguito questioni della teoria di più diretto interesse applicativo. Sono molte le persone che devo ringraziare per l'interesse mostrato per questo mio lavoro, spingendomi a continui miglioramenti con utilissime osservazioni; in particolare, Tullio Ceccherini- Silberstein, Alessandro D'Andrea e Marialuisa J. de Resmini. Va da sé che io resto l'unico responsabile per gli errori e i punti oscuri che ancora fossero presenti.

Roma , giugno 2007

Antonio Machì

Indice

Notazioni ...................................................... XI 1

Nozioni introduttive e primi teoremi. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 1 1.1 Definizioni ed esempi .................................... 1 Esercizi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 23 1.2 Classi l aterali e teorema di Lagrange . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 25 Esercizi ... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . .34 . .. ... .. 1.3 Automorfismi ........................................... 36 Esercizi . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . .39 . .. ... ..

2

Sottogruppi normali, coniugio e teoremi di isomorfismo . . .. 41 2.1 P rodotto di Frobenius . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 41 2.2 Sottogruppi normali e gruppi quoziente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 43 Esercizi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 52 2.3 Coniugio............................................... 53 2. 3.1 Il coniugio in 58 Esercizi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 61 2.4 Normalizzant i e centralizzanti di sot togruppi . . . . . . . . . . ... . 62. . Esercizi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 65 2.5 Il programma di H6lder . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 66 2.6 Prodotto diretto. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 71 Esercizi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 76 2.7 Prodotto s emidiretto ..................................... 77 2.8 Gruppi simmetrici e a terni. l . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 82 Esercizi ... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . .88 . .. ... .. 2.9 Il derivato. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 88 Esercizi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 91

sn ... ... ... .. ... .. ... ... .. ... ... .. ..

3

Azione di un gruppo su un insieme . . . . . . . . . . . . . . . .... 93 ... .. 3.1 Azione ................................................. 93 Esercizi . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ... . . .. . . .. .103 .. .. ...

VIII

Indice

3.2 Il teorema di Sylow .. ... .. ... ... .. ... .. ... ... .. ... ... .. .. 105 Esercizi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119 3.3 Formula di Burnside e caratteri di permutazione ... ... ... .. .. 123 Esercizi ................................................ 127 3.4 Azione indotta .......................................... 130 Esercizi ................................................ 132 3.5 Automorfismi di (C, il) .................................. 133 Esercizi ................................................ 136 3.6 Permutazioni e inversioni ................................. 138 Esercizi .... ... .. ... ... .. ... ... .. ... .. ... ... .. ... ... .. .. 141 3.7 Semplicità di alcuni gruppi ............................... 142 3.7.1 Il gruppo semplice di ordine 168 ... ... ... .. ... ... .. .. 142 3.7.2 Gruppi lineari proiettivi speciali ..................... 146 Esercizi ................................................ 151 4

Generatori e relazioni ...................................... 153 4.1 Generatori .............................................. 153 Esercizi ................................................ 157 4.2 Il sottogruppo di Frattini .. ... ... .. ... .. ... ... .. ... ... .. .. 158 Esercizi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161 4.3 Gruppi abeliani fini tamente generati ... .. ... ... .. ... ... .. .. 162 4.4 Caratteri di un gruppo abeliano ........................... 176 Esercizi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177 4.5 Gruppi liberi ............................................ 178 Esercizi ................................................ 181 4.6 R elazioni ............................................... 182 Esercizi ................................................ 187 4.7 Sottogruppi di un gruppo libero ........................... 187 Esercizi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 190 4.8 R ela zioni e gruppi semplici ... ... .. ... .. ... ... .. ... ... .. .. 191 4.9 Il problema della parola .................................. 193 4.10 P roprietà residue .... ... .. ... ... .. ... .. ... ... .. ... ... .. .. 195 Esercizi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 198

5

Gruppi nilpotenti e gruppi risolubili ....................... 199 5. 1 Serie centrali e gruppi nilpotenti ........................... 199 Esercizi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .216 5.2 Gruppi p-nilpotenti ...................................... 218 Esercizi ................................................ 223 5.3 N ormalizzanti di p-sottogruppi e coniugio .................. 224 Esercizi .... ... .. ... ... .. ... ... .. ... .. ... ... .. ... ... .. .. 225 5.4 Automorfismi senza punti fissi e gruppi di Frobenius ......... 226 Esercizi . ... ... .. ... ... .. ... ... .. ... .. ... ... .. ... ... .. .. 231 5.5 Gruppi risolubili ......................................... 232 Esercizi . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ... . . .. . . .. .244 .. .. ...

Indice

IX

6

Rappresentazioni lineari ................................... 247 6.1 Definizioni ed esempi .................................... 247 6.2 Teorema di Maschke ..................................... 251 6.3 Caratteri ............................................... 253 6.4 Tavola dei caratteri ...................................... 266 6.5 Gruppi compatti ........................................ 271

7

Ampliamenti e coomologia ................................. 275 7.1 Omomorfismi crociati .................................... 275 7.2 Il primo gruppo di coomologia ............................ 278 Esercizi ................................................ 281 7.2.1 L'anello di gruppo Z7r .............................. 283 Esercizi ................................................ 287 7.3 Il secondo gruppo di coomologia ........................... 287 7.3.1 Ampliamenti e Hl ................................. 293 7.3.2 H 2 (7r , A) per 7r ciclico finito ........................ 294 Esercizi ................................................ 296 7.4 Il moltiplicatore di Schur ................................. 297 7.4.1 Rappresentazioni proiettive ......................... 298 7.4.2 Ricoprimenti ...................................... 300 7.4.3 M (7r) e presentazioni di 7r .......................... 305

8

Soluzione degli esercizi .................................... 311 8.1 Esercizi del Capitolo 1 ................................... 311 8.2 Esercizi del Capitolo 2 ................................... 313 8.3 Esercizi del Capitolo 3 ................................... 318 8.4 Esercizi del Capitolo 4 ................................... 326 8.5 Esercizi del Capitolo 5 ................................... 329 8.6 Esercizi del Capitolo 6 ................................... 335 8.7 Esercizi del Capitolo 7 ................................... 337

Bibliografia .................................................... 341 Indice analitico ................................................ 343

Notazioni

[~], 26

A , 176 [a, b], 88 A·B, 41 a 9 ,93 a e , 94 aO",6 An , 83 Aut(G) , 36 Bl(X, Y), 278 B 2(X , Y), 291 B -l.., 177 C , C*5

Ce(x) , 56 Ce(H),64 Ce(1r),275 C e (H/K),209 Xp, 253 Xl = le, 253 cl(x),53 Cn ,20 CpOO , 23 .1(G), 92 D n ,14 D oo , 79 End(G) , 49 F(G) , 208 F q ,12 O si ha una contraddizione con la minimalità di m. Ne segue r = O, cioè n multiplo di m e H ç (m) . Poiché H , contenendo m , contiene tutti i multipli di m , è anche (m) ç H, e quindi H = (m).

2. Gruppi lineari. Sia V uno spazio vettoriale di dimensione finita o infinita su un campo K. L'insieme delle trasformazioni lineari invertibili di V in sé è un gruppo, sottogruppo di Sv: si tratta delle permutazioni 'P dell'insieme V che conservano la struttura di spazio vettoriale:

'P(V + w) 'P(kv)

= 'P(v) + 'P(w) , = k'P(v), k E K.

Questo gruppo è il gruppo lineare generale su K; si denota con G L(V). La cardinalità di G L(V) è uguale al numero (cardinale) delle basi ordinate di V. Per dimostrarlo, occorre fissare una base ordinata di V. Infatti, sia B = {v,\}, À E A, una tale base; se {w,\}, À E A, è un'altra base ordinata, un'applicazione 'P : v,\ -+ w,\ si estende in modo unico a una trasformazione lineare invertibile di V. Viceversa, se 'P E GL(V), allora 'P determina la base ordinata B' = {'P(v,\)}. Ciò dimostra che gli elementi di GL(V) sono in corrispondenza biunivoca con le basi ordinate di V. Se il campo è finito, e di ordine q (è noto che q è una potenza di un numero primo), si denota con F q , o, se q = p, primo, anche con Zp e se V è di dimensione finita n su F q allora è finito e consta di qn elementi; determiniamo il numero delle basi ordinate. Il primo elemento di una base si può scegliere in qn - 1 modi (qualunque vettore non nullo) , il secondo in qn - q modi (qualunque vettore non dipendente dal primo) ,... , l'n -esimo in qn _ qn- l modi. Abbiamo cosÌ:

t Ricordiamo che il principio del minimo intero afferma che un insieme non vuoto di

interi positivi contiene un intero minimo. È equivalente al principio di induzione.

1.1 Definizioni ed esempi

13

È noto che, fissando una base di V , a ogni trasformazione lineare 'P resta associata una matrice non singolare M'P' e a lprodotto 'PtP di due trasformazioni lineari resta associato il prodotto righe per colonne delle due matrici M'P e M 1jJ . Questo gruppo di matrici, che si denota con GL(n, K), o con GL(n, q) se K = Fq,è isomorfo a GL(V) nell'isomorfismo 'P -+ M'P . Le matrici a determinante 1 formano un sottogruppo, che si denota con SL(n, K) (SL(n , q)), e il sottogruppo che ad esso corrisponde in G L(V) è il gruppo lineare speciale, che si denota con SL(V).t Il sottogruppo di GL(n ,Q) che consta delle matrici a coefficienti interi (matrici intere) le inverse delle quali sono anch'esse intere si denota con GL(n, Z). Si tratta delle matrici intere che hanno il determinante uguale a 1 o -1. 3. Matrici di permutazione. Tra le trasformazioni lineari di uno spazio V di dimensione n vi sono quelle che operano permutando gli elementi di una base fissata. Le matrici corrispondenti hanno un solo 1 in ogni riga e colonna e O altrove (e, precisamente, 1 nel posto (i , j) se 'P(Vi) = Vj) . Se 'P(Vi) = Vi sulla diagonale abbiamo 1 nel posto (i , i); la somma degli elementi sulla diagonale (la traccia della matrice) dà allora il numero dei vettori della base fissati da 'P . È chiaro che questo gruppo di matrici è isomorfo a nella corrispondenza che associa a 'P la permutazione a che porta i in j se 'P porta Vi in Vj (v. es. 26). Si ha cosÌ che GL(n, K) contiene una copia di

sn,

sn.

4. Gruppo di Klein. Fissato nel piano un sistema di riferimento ortogonale, le riflessioni rispetto agli assi x e y e all'origine O, che denoteremo rispettivamente con a, b e c, formano, assieme all'identità, un gruppo abeliano di ordine 4. Si osservi che il prodotto di due elementi non identici, in qualunque ordine, è uguale al terzo:

ab = ba = c, ac = ca = b, be = cb = a. Le quattro trasformazioni portano un punto di coordinate (x,y) rispettivamente nei punti: I: (x, y) -+ (x, y), a : (x, y) -+ (x , -y) , b : (x , y) -+ (-x, y), c: (x , y) -+ (-x , -y) .

Questo gruppo si denota con

V.+

5. Più in generale, per uno spazio euclideo di dimensione 3, le riflessioni rispetto a tre piani ortogonali e all'origine costituiscono il gruppo abeliano di ordine 23 = 8 delle trasformazioni (x, y, z) -+ (±x, ±y , ±z); analogamente, in uno spazio di dimensione n, si ha il gruppo abeliano di ordine 2n delle trasformazioni:

(Xl,X2, ... ,X n ) -+ (±Xl,±X2, ... , ± x n ). t Nell'uso si confondono spesso i gruppi di trasformazioni lineari e quelli delle :j:

matrici corrispondenti. Iniziale del tedesco Vierergruppe.

14

1 Nozioni introduttive e primi teoremi

6. Gruppi diedrali Dn. È noto dalla geometria che un poligono regolare a n vertici ammette 2n simmetrie (isometrie): n di queste sono rotatorie attorno al centro del poligono, ottenute come potenze di una rotazione di e altre n sono simmetrie assiali, così distribuite. Se n è dispari, esse si ottengono come ribaltamenti rispetto agli n assi che passano per un vertice e il centro del lato opposto. Se n è pari, ve ne sono ~ rispetto agli assi passanti per coppie di vertici opposti (simmetrie diagonali), e a lt re ~ rispetto agli assi passanti per i punti medi di lati opposti. In ogni caso si hanno in tutto n simmetrie. Definendo il prodotto di due simmetrie S l e S2 come il loro prodotto operatorio, cioè come la simmetria che si ottiene applicando prima 81 e poi 82, si ha un gruppo. Infatti, il prodotto così definito è associativo; l'identità è la simmetria identica, quella cioè che lascia fissi tutti i punti del poligono, l'inversa di una simmetria assiale è la simmetria stessa, e l'i nversa di una rotazione è la rotazione dello stesso angolo ma in senso inverso. Questo gruppo prende il nome di gruppo diedrale, e si denota con Dn. Si osservi che D n , considerato come gruppo di permutazioni degli n vertici del poligono, è isomorfo a un sottogruppo di Numerando ciclicamente con 1,2, ... , n i vertici del poligono, e fissando un vertice, ad esempio 1, una simmetria porta questo vertice in un certo vertice k, e poiché, conservando le distanze , essa porta lati in lati, due vertici consecutivi vanno in due vertici consecutivi. Se l'ordine della numerazione è conservato, la simmetria si ottiene ruotando il poligono attorno al centro di 2(k~1)1f; se è invertito, la simmetria si ottiene ribaltando il poligono attorno all'asse passante per il vertice 1 e poi ruotando dell'angolo detto. Si hanno così in tutto 2n simmetrie, che per quanto visto si possono descrivere come:

2;,

sn.

I, 1', 1'2, ... ,l'n-l, a, al', ar 2 , ... ,ar n - 1 , dove a è la simmetria rispetto all'asse passante per il vertice fissato, l' la rotazione attorno al centro di e I la rotazione identica (che indicheremo anche con 1). Tutti gli elementi hanno quindi la forma

2;

ahr k ,

h = 0,1, k = 0,1, ... , n - 1,

(1.5)

dove ahrk è la simmetria ottenuta operando sul poligono prima la simmetria e poi la r k (e aO = 1'0 = 1 è la simmetria identica). Si ha, in particolare, che Dn ha ordine 2n ed è generato dai due elementi a e r. Se dopo al' si opera di nuovo il ribaltamento a il risultato finale sarà lo stesso che se si fosse ruotato il poligono in senso inverso: ara = 1' - 1; in generale si ha, con lo stesso argomento, ah

arka = l' -h,

ovvero, poiché per una simmetria assiale si ha a = a-l, rka=ar - k .

Si ha da qui, in particolare, che Dn è un gruppo non commutativo, come del resto è chiaro per ragioni geometriche.

1.1 Definizioni ed esempi

15

Osserviamo che la precedente uguaglianza permette di ridurre il prodotto di due elementi della forma (1.5) a un elemento della stessa forma:

(prendendo gli esponenti di a modulo 2 e quelli di r modulo n). Il gruppo Dn è anche generato dalle due simmetrie a e aro Infatti, il più piccolo sottogruppo di Dn che contiene a e ar contiene anche il prodotto a· ar = r, e dunque contiene a ed r che generano Dn. Se n è dispari, a e ar sono simmetrie rispetto ad assi passanti per due vertici adiacenti; se n è pari, ar è una simmetria rispetto a un asse passante per i punti medi di lati opposti. Nel piano euclideo, se si pone il poligono con il centro nell'origine di un sistema di coordinate ortogonali e i vertici nei punti (cos 2~1l" , sin 2~1l") le n rotazioni si ottengono come trasformazioni lineari di matrici cos 2k" ( . 21(" sm - n

_

sin 2k" 21J" cos - n

)

, k

= 0,1, .. . ,n -

1.

7. Isometrie del cubo. Fissata una numerazione 1,2, ... ,8 dei vertici di un cubo, una isometria porta il vertice 1 in un vertice i. Vi sono 8 scelte per i, e per ciascuna di queste vi sono 3 scelte in corrispondenza ai tre vertici che giacciono sui tre spigoli passanti per i: il cubo può infatti ruotare di 2k7r /3, k = 1,2,3, attorno alla diagonale per i. Ciò determina completamente l'isometria, e vi sono dunque in tutto 8 . 3 = 24 isometrie. Sia ora G un gruppo, x un fissato elemento di G. Moltiplicando (a destra) tutti gli elementi di G per x, l'insieme dei prodotti che si ottengono riproduce di nuovo G. Infatti, se due prodotti gx e hx sono uguali, allora g = h, cioè già g e h erano lo stesso elemento. Inoltre, ogni elemento g di G si ottiene come prodotto di un certo elemento y di G per x, e questo y è gx- 1 . In altri termini , fissato x E G, la corrispondenza G -+ G data da g -+ gx è una permutazione di G (o meglio, dell'insieme sostegno di G). Denotiamo con O"x la permutazione di G indotta da x e consideriamo l'applicazione G -+ SG che associa a x E G la permutazione O"x. Questa applicazione è iniettiva: se O"x = O"Y' allora gx = gy , per ogni g E G , e quindi x = y (si osservi che basta che l'uguaglianza gx = gy valga per un elemento g E G , perché poi valga per tutti). Inoltre, dalla proprietà associativa g(xy) = (gx)y segue l'uguaglianza O"xY

=

O"xO"y·

Definiamo gruppo di permutazioni di un insieme Quanto appena visto dimostra il seguente teorema.

n un sottogruppo di SD.

1.22 Teorema (CAYLEY). Ogni gruppo è isomorfo a un gruppo di permutazioni (del proprio insieme sostegno). In particolare, se il gruppo è finito di ordine n esso è isomorfo a un sottogruppo di

sn.

16

1 Nozioni introduttive e primi teoremi

1.23 Definizione. L'isomorfismo del Teor. 1.22 prende il nome di rappresentazione regolare destra del gruppo. 1.24 Corollario. sn contiene una copia di ogni gruppo di ordine n.

Il numero dei gruppi non isomorfi di ordine n è al più uguale al numero di operazioni binarie che si possono definire su un insieme finito C di ordine n, ovvero al numero di funzioni da C x C a C , e cioè nn 2 • Dal corollario precedente si ottiene una maggiorazione dello stesso ordine di grandezza. Si ha infatti che il numero cercato è al più uguale a quello dei sottoinsiemi di ordine n in sn, cioè (~!) ,. . ., (n!)n -l ,. . ., nn(n-l) . Vedremo (Cor. 1.57) che questa stima si può abbassare a n n log2 n. Anche moltiplicando a sinistra gli elementi di un gruppo C per un fissato x E C si ottiene una permutazione T dell'insieme C, come si vede con lo stesso ragionamento di prima. Tuttavia, in questo caso la corrispondenza x -+ T x non è un isomorfismo in quanto, dalla (xy)g = x(yg) segue T x y = TyTx (si tratta di un anti- isomorfismo). Per ottenere un isomorfismo occorre associare a x la permutazione T'ottenuta moltiplicando a sinistra per l'inverso X-l , perché allora (xy) -l g = (y -lx-l )g = y-l (X -l g), e quindi T~y = T~T~. Si ottiene così la rappresentazione regolare sinistra. 1.25 Nota. Nella definizione di prodotto operatorio aT di due permutazioni a e si può scegliere se far agire prima a e poi T, come abbiamo fatto noi , definendo in questo modo l' azione a destra, oppure prima T e poi a: a"T = (a T)" , definendo l' azione a sinistra. I termini destra e sinistra si spiegano col fatto che, essendo naturale usare una notazione per la quale su a agisce prima l'elemento che si trova più vicino ad a, si scrivono, nel primo caso gli elementi del gruppo a destra: aa, di modo che a(aT) = (aa)T , e nel secondo a sinistra: aa, per cui (aT)a = a(Ta) . Si hanno così due teorie perfettamente analoghe. L'azione a destra di aT è l'azione a sinistra di Ta. Se a e T permutano, Ta = aT e perciò l'azione a destra di aT è l'azione a sinistra di aT: la differenza tra destra e sinistra cade. La situazione è analoga a quella della teoria dei moduli su un anello, dove se l'anello è commutativo non ha luogo la distinzione tra moduli destri e sinistri . Si osservi che, malgrado le denominazioni possano far pensare diversamente, nelle due rappresentazioni destra e sinistra di un gruppo viste sopra si tratta sempre di azioni a destra in quanto in entrambi i casi l'azione di un prodotto xy si ottiene facendo agire prima x e poi y . Le denominazioni derivano dal fatto che si moltiplica in un caso a destra e nell 'altro (anche se per l'inverso) a sinistra.

T,

Sia a E C, ed esista un intero positivo k tale che a k = 1. Per il principio del minimo intero esiste allora un intero positivo minimo n tale che a n = 1. 1.26 Definizione. Sia a E Ci il più piccolo intero positivo n tale che a n = 1 si chiama ordine o periodo di ai si denota con o( a). Se per nessun intero positivo k si ha a k = 1, a si dice di ordine o periodo infinito. Si osservi che 0(1) = 1, e che l'unità è l'unico elemento di periodo 1.

1.1 Definizioni ed esempi

17

Se G è un gruppo finito , le potenze a k di a E G non possono essere tutte distinte. Sia ah = a k con h > k; allora a h- k = 1, e quindi a ha periodo finito. Tutti gli elementi di G hanno perciò periodo finito. Nel gruppo degli interi km = O, k > O, implica m = O; tutti gli elementi diversi da O hanno quindi periodo infinito. Il gruppo moltiplicativo dei razionali Q*(-) ha l'elemento -1 che è di periodo 2 in quanto (_1)2 = 1, e tutti gli altri (escluso 1) di periodo infinito. Se o(a) è finito , a si dice anche elemento di torsione. Se tutti gli elementi di un gruppo hanno periodo finito il gruppo si dice di torsione (o periodico); si dice privo di torsione (o aperiodico) se nessun elemento (a parte l'elemento neutro) ha periodo finito. Se vi sono elementi sia di periodo finito che infinito, il gruppo si dice misto. Se gli ordini degli elementi di un gruppo periodico sono uniformemente limitati, il loro minimo comune multiplo si chiama esponente del gruppo. 1.27 Teorema. Sia a E G. Si ha: i) se o(a) = n e ak = 1, allora n divide k; ii) un elemento e il suo inverso hanno lo stesso ordine; iii) se a e b sono di ordine finito e permutabili, allora o( ab) divide il minimo comune multiplo mcm(o(a),o(b)); iv) se a e b sono di ordine finito e permutabili e non hanno potenze non banali in comune (in particolare ciò accade se (o( a), o(b)) = 1), allora o( ab) = mcm( o( a) , o(b)) (che se (o( a), o(b)) = 1 è uguale al prodotto o( a)o(b)); v) un elemento non identico coincide con il proprio inverso se e solo se ha ordine 2 (un tale elemento si chiama involuzione); vi) ab e ba hanno lo stesso ordine; vii) a e b-1 ab hanno lo stesso ordine; viii) se o(a) = n, allora o(a k ) = (n~k)' e in particolare l 'ordine di una potenza di a divide l'ordine di a; ix) se o(a) = n = rs con (1', s) = 1, allora a si scrive in modo unico come prodotto di due elementi permutabili di ordini l' ed s; x) in un isomorfismo, un elemento e la sua immagine hanno lo stesso ordine. Dim. i) Dividiamo k per n: k = nq + 1', con O ~ l' < n. Si ha:

> O si va contro la minimalità di n. Ne segue l' = O e k è multiplo di n. ii) Sia o(a) = n < 00. Si ha (a - 1 )n = (a n )- l = l - l = 1 e perciò 0(a- 1 )ln. Dunque anche 0(a- 1 ) è finito ed essendo (a - 1 )- 1 = a si ha, simmetricamente, n = 0(a)lo(a- 1 ) , e quindi la tesi. iii) Per ogni t, (aW = abab·· ·ab = aa·· ·abb···b = atb t . Se t = m = mcm(o(a) , o(b)) , allora a m = bm = 1 e quindi (ab)m = 1, da cui o(ab)lm. Può ben accadere che o(ab) < m; basta prendere b = a - l, perché allora o(ab) = 0(1) = 1. iv) Da (ab)t = 1 segue atb t = 1 da cui a t = b- t e, se a e b non hanno potenze non banali in comune, a t = 1 e b- t = bt = 1. Quindi t è multiplo di Se

l'

18

1 Nozioni introduttive e primi teoremi

o(a) e o(b) , e perciò t 2: m = mcm(o(a) , o(b)). Se t = o(ab) si ha ovviamente (ab)t = 1, e per quanto appena visto o(ab) 2: m. Ma sappiamo che o(ab)lm, e perciò o( ab) = m. Se (o( a), o( b)) = 1, a e b non hanno potenze non banali in comune. Se infatti ah = bk , allora (ah)o(b) = bko(b) = (bo(b»)k = 1, per cui o(a)lho(b), ed essendo primo con o(b), o(a) divide h. Allora ah = 1. v) Se a = a- l, moltiplicando ambo i membri per a si ha a2 = 1. Viceversa, se a2 = 1, moltiplicando ambo i membri per a- l si ha a = a- l. vi) Sia o(ab) = n < 00. Si ha: 1

= (ab)n = abab·· . ab = a(ba··· ba)b = a(ba)n- lb,

da cui, moltiplicando a destra per b- l e a sinistra per a- l, (ba)n - l = a- lb- l , e quindi , moltiplicando ambo i membri per ba, (ba)n = 1. Allora o(ba)ln = o(ab). Lo stesso argomento applicato a ba porge o(ab)lo(ba), e quindi si ha l'uguaglianza o(ab) = o(ba). Se o(ab) = 00 e o(ba) = n < 00, per quanto appena visto si avrebbe anche o(ab) = n. vii) Se o(a) = n, (b - 1 abt

= b- 1 abb- 1 ab · · · b- 1 abb- 1 ab = b- 1 a(bb- 1 )a ... a(bb- 1 )ab = b- 1 a n b = b- 1 b = 1,

e quindi o(b- lab) è finito e nlo(b- lab). Se (b- lab)k = 1, k < n, allora come sopra 1 = (b- lab)k = b- lakb, da cui a k = bb- l = 1, contro l'ipotesi o(a) = n.

viii) Si ha (a k ) (n~k) = (a n ) (n\ ) = 1, e quindi o(ak)1 (n~k)' Ma (ak)o(a k ) = ako(a k ) = 1, e perciò nlko(a k ). Ne segue ko(a k ) = nt, e dividendo entrambi i membri per (n , k), (n~k) o(a k ) = (n~k) t. Allora (n~k) divide (n~k) o(a k ), ed essendo primo con (n\) divide o(a k ). ix) Con due interi u e v tali che ru+sv = 1 si ha a = al = a TU + SV = aTUa SV . Ora , o(a SV ) = (n n = r ' in virtù di viii) e del fatto che r e v ,sv) = (rsTS,sv) = TS s sono primi tra loro. Analogamente, o(aTU ) = s , e avendosi (r , s) = 1 si ha il risultato. Per l'unicità si veda l' es. 15. x) Se o(a) = n e o( 4, H deve contenere j o k; ma se contiene l'uno contiene anche l'altro perché deve contenere il prodotto con i. Ne segue che H = Q. Allora, i sottogruppi propri non banali di Q sono, oltre a {l, -l} , quelli visti sopra, e sono tutti ciclici. 1 .33 Teorema. Un gruppo ciclico di ordine n contiene uno e un solo sottogruppo di ordine m per ogni per ogni divisore m di n. Dim. Sia G = (a) e IGI = n. Se mln, l'elemento a';;' ha ordine (n~,;;,) = (~) = m, e quindi genera un sottogruppo di ordine m. Viceversa, se H ::; G

e IHI = m, sia H = (a k ), k ::; n; avendosi o(a k ) = m, e o(a k ) = (n~k)' si ha m = ~" n (n k) =.I!:.. per cui .I!:.. divide k. Sia k = .I!:..t· allora m' m m'

e quindi (ah) ç (a';;') . Ma questi due sottogruppi hanno entrambi ordine m, ed essendo uno dei due contenuto nell'altro sono lo stesso sottogruppo.

Questo teorema si inverte come segue: se un gruppo finito ha al più un sottogruppo per ogni divisore dell'ordine allora è ciclico (e dunque, per il teorema, ne ha uno e uno solo). Si veda l'Es. 2 di 2.11. Il gruppo degli interi è generato da 1 e anche dal suo opposto -1, e solo da questi interi. Un gruppo ciclico finito generato da un elemento a è anche t

Più precisamente, gruppo delle unità dei quaternioni.

22

1 Nozioni introduttive e primi teoremi

generato da a - l (a e a - l hanno lo stesso ordine). Ma possono esserci altri elementi che generano il gruppo. Ad esempio, Zs è generato, oltre che da 1 e 7 (7 è congruo a -I mod 8), anche da 3 e 5. Vedremo tra un momento che in Zp , p primo, tutti gli elementi non nulli sono generatori. 1.34 Definizione. La funzione di Eulero 1, e ciò significa che esiste almeno un p-pIa del tipo (a, a, ... , a), con a -::f. 1. Ma allora a è un elemento di ordine p.

1.51 Nota. Il caso particolare p = 2 si è già visto nell' es. 7. Vedremo più in generale (Cap. 3, teorema di Sylow) che se pk è una qualunque potenza del primo p che divide l'ordine di G allora esiste in G un sottogruppo di ordine pk .

1.52 Definizione. Sia p un numero primo. Un p-elem ento in un gruppo G è un elemento di ordine una potenza di p. G è un p-gruppo se tutti i suoi elementi hanno ordine una potenza del primo p. Un p-sottogruppo di G è un sottogruppo di G che è un p-gruppo.

Abbiamo già visto esempi di p-gruppi: il gruppo ciclico di ordine una potenza di un primo p; i diedrali D n , con n potenza di 2, e il gruppo dei quaternioni sono 2-gruppi. Il gruppo Cp~ è un p-gruppo infinito. 1.53 Teorema. Un gruppo finito è un p-gruppo se e solo se ha ordine una potenza di p.

1.2

Classi laterali e teorema di Lagrange

33

Dim. Se ICI = pn , avendosi a p n = 1 per ogni a E C , si ha o(a)lpn e dunque o(a) = pk , k :S n; perciò C è un p-gruppo. Viceversa, se C è un p-gruppo, e qllCI con q primo, q -::f- p, per il teorema di Cauchy esiste in C un elemento di ordine q, contro l'ipotesi.

1.54 Esempi. 1. Dimostriamo che esistono due soli gruppi di ordine 6: quello ciclico ed S3 (o D 3 ). Se C ha un elemento di ordine 6 è ciclico. Escluso questo caso, siano a, b E C con o(a) = 2 e o(b) = 3; questi due elementi esistono per Cauchy. Se ab = ba allora o( ab) = 6 e C è ciclico. I sei elementi 1, b, b2 , a , ab , ab 2 sono distinti (ogni uguaglianza porta a una contraddizione; ad esempio, se b2 = a, allora b4 = 1, mentre o(b) = 3). L'elemento ba deve essere uno dei sei scritti, e si vede subito che non può che essere ab 2 . Come nel caso dei gruppi diedrali (Es. 6 di 1.21) , l'uguaglianza ba = ab 2 determina il prodotto del gruppo, e la corrispondenza ahb k ---+ ahr k , con h = 0,1 e k = 0, 1,2, è un isomorfismo tra C e il gruppo D3. 2. Gruppi di ordine 8. Conosciamo Cs , D 4 , Q, il gruppo delle riflessioni rispetto ai tre piani coordinati (che denotiamo con Z~3)) e il gruppo U(15). Nella tabella che segue i numeri della prima colonna denotano gli ordini, e all'incrocio della riga che riporta l'ordine i con la colonna j è segnato il numero di elementi di ordine i che ha il gruppo j:

D4

1 1

Z~3) 1 7

U(15)

1 2

1 3

1

4

2

O

4

2

8

4

Cs

O

O

Q 1

5

1 6

O

O

Poiché due gruppi isomorfi hanno lo stesso numero di elementi per ogni dato ordine, i cinque gruppi sono a due a due non isomorfi. Vedremo (Es. 5 di 2.74) che non vi sono altri gruppi di ordine 8. 1.55 Definizione. Un sottogruppo proprio H di un gruppo C si dice massimale rispetto a una proprietà P se non è contenuto propriamente in alcun sottogruppo proprio di C avente la proprietà P. In altri termini, se H ha la proprietà P, e H :S K , allora o H = K oppure K non ha proprietà P.

Ad esempio, se P è la proprietà di essere abeliano, allora "abeliano massimale" significa "non contenuto in alcun altro sottogruppo abeliano" , ecc. Dicendo semplicemente "sottogruppo massimale", senza altra specificazione, si intende che P è la proprietà di essere un sottogruppo proprio. In questo caso, se H è massimale, e H :S K, allora o H = K oppure K = C. Un gruppo finito contiene certamente sottogruppi massimali, e anzi ogni sottogruppo è contenuto in uno massimale. Nel gruppo degli interi, i sottogruppi generati dai numeri primi sono massimali (e solo questi lo sono). Ma un gruppo infinito può non averne. Ad esempio, nel gruppo C p = i sottogruppi

34

1 Nozioni introduttive e primi teoremi

formano una catena infinita crescente (es. 28) e dunque nessun sottogruppo può essere massimale. 1.56 Teorema. In un gruppo di ordine n esiste sempre un sistema di generatori la cui cardinalità non supera log2 n.

Dim. Sia M un sottogruppo massimale del gruppo G in questione e sia x (j. M. Il sottogruppo (M, x) contiene propriamente M e dunque coincide con G. Avendosi M < G , possiamo per induzione supporre il teorema vero per il gruppo M, e cioè che M può essere generato da log2 m elementi, dove m = IMI. Allora G è generato da log2 m + 1 elementi. D'altra parte, per il teorema di Lagrange m divide n, e dunque m ~ n/2. Ne segue log2 m + 1 ~ log2 ~ + 1 = log2 n - log2 2 + 1 = log2 n. Il logaritmo del teorema precedente nasce in questo modo. Sia

una catena di sottogruppi ciascuno massimale nel precedente. Poiché l'indice [Hi : Hi+ll è almeno 2, i = 0,1 , ... , s - 1, ed essendo il prodotto di questi indici uguale all 'ordine n di G, abbiamo n ::::: 2·2···2 = 28 , e passando ai logaritmi s ~ log2 n. Facciamo vedere che G si può generare con s elementi . Prendendo un elemento Xl in G\H I , per la massimalità di Hl in G si ha G = (HI , XI)' Analogamente se X2 E Hl \ H 2 abbiamo Hl = (H2,X2), e dunque G = (Xl, X2, H 2). Procedendo in questo modo si ha G = (Xl, X2,"" x s ), come si voleva. 1.57 Corollario. Il numero dei gruppi non isomorfi di ordine n è al più nnlog 2 n.

Dim. Il prodotto di due elementi di un gruppo G è determinato una volta che si conosce il prodotto di un qualunque elemento di G per gli elementi di un insieme X di generatori di G. Ciò segue dalla proprietà associativa; infatti, dati g, h E G , se h = XIX2 ... Xt si ha:

dove si è posto gi = gi- IXi (go = g). Dunque il numero di operazioni di gruppo su n = IGI elementi è al più uguale al numero delle funzioni da G x X -+ G, cioè IGI IGI·lx l. Poiché, per il teorema precedente, possiamo scegliere un insieme X con al più log2 n elementi, il numero di operazioni di gruppo su n = IGI elementi è al più uguale a n n log2 n.

Esercizi 30. Una relazione di equivalenza definita in un gruppo G si dice componibile a destra (a sinistra) se apb =} agpbg (gapgb), per ogni g E G . Dimostrare che una relazione di equivalenza componibile coincide con una delle due relazioni che danno le classi laterali di un sottogruppo.

1.2 Classi laterali e teorema di Lagrange

35

31. Se H :::; G, H è l'unico laterale di H che è anche un sottogruppo di G. 32. Se H,K:::; G e Ha = Kb per certi a,b E G allora H = K. 33.

>

1 e a sono due interi e (a , n) = 1, allora

DI FERMAT . )

Se p è un numero primo che non divide a,

(TEOREMA DI EULERO) .

a'P( n )

== 1 mod n .

34. (PICCOLO TEOREMA allora a P - 1 == 1 mod p.

Se n

35. Dimostrare che il teorema di Lagrange si inverte per i gruppi diedrali D p , p primo, e che se p > 2 isottogruppi di Dp sono dati da (r) e (ar i ), i = 0,1 , 2, ... ,p-l. (Vedremo in seguito che il teorema di Lagrange si inverte per tutti i D n , per ogni intero n). 36. Determinare i sottogruppi dei gruppi D4 e D p , p primo . 37. In un gruppo di ordine dispari ogni elemento è un quadrato (cioè, dato x E G esiste y E G tale che x = y2). 38. Nel caso di un gruppo finito, dimostrare direttamente che due classi laterali di un sottogruppo H o coincidono o sono disgiunte, e usare questo fatto per dimostrare il teorema di Lagrange. 39. Dimostrare che esistono due soli gruppi di ordine 2p , il ciclico e il diedrale. 40. Un sottogruppo di indice finito di un gruppo infinito ha intersezione non banale con ogni sottogruppo infinito del gruppo. 41. Dimostrare che i laterali di Z in R sono in corrispondenza biunivoca con i punti dell'intervallo [0,1). 42. Dimostrare che il gruppo di ordine 8 dell ' Es. 5 di 1.21 ha 7 sottogruppi di ordine 2 e 7 sottogruppi di ordine 4.

Se a, b, c, a + b, a + c, b + c, a + b + c sono i 7 elementi del gruppo dell' es. precedente, i corrispondenti sottogruppi di ordine 2 sono i punti del piano di Fano, il piano proiettivo di ordine 2, e i 7 sottogruppi di ordine 4 le 7 rette di questo piano. Vi sono 3 punti su ogni retta (tre elementi in un sottogruppo, più lo zero) e 3rette passanti per ciascun punto (tre sottogruppi si intersecano in un sottogruppo di ordine 2). Si può rappresentare come segue (lo zero non è segnato): a

a+b+c

b

b+c

c

36

1 Nozioni introduttive e primi teoremi

1.3 Automorfismi 1.58 Definizione. Un isomorfismo di un gruppo con se stesso si chiama automorfismo.

L'insieme degli automorfismi di un gruppo G è un gruppo rispetto al prodotto operatorio, come subito si vede. Si denota con Aut(G). Inoltre, essendo un automorfismo una corrispondenza biunivoca e quindi una permutazione, Aut(G) è un sottogruppo di SG. 1.59 Esempi. 1. Sia G un gruppo ciclico, G = (a). Se g E G, allora g = ak , per un certo intero k, e se a EAut(G) si ha a(g) = a(a k ) = a(a)k, per cui a è determinato dal valore che assume sul generatore a di G. Distinguiamo due casi.

1. G finito, di ordine n. Se a( a) = a k , si ha o( a k ) = o( a) = n, in quanto a conserva gli ordini, e perciò (n , k) = 1 (Teor. 1.27, viii)). Viceversa, se (n, k) = 1, la corrispondenza a : aS -+ a sk , s = 0,1, ... , n-I , è iniettiva in quanto se a sk = atk con s > t allora a(s - t)k = 1 e n divide (s - t)k , ed essendo primo con k divide s - t, che è minore di n , assurdo . Poiché G è finito è anche surgettiva. Inoltre, a S • at = a s+t -+ a(s+t)k = a sk . atk , per cui a conserva l'operazione, ed è perciò un automorfismo. L'ordine di a è il più piccolo intero m tale che k m == 1 mod n. La corrispondenza Aut(G) -+ U(n) , che associa all 'automorfismo a l'intero k minore di n e primo con n che esso determina, è un isomorfismo. Ne segue che Aut(G) è abeliano e ha ordine [G : K]IKI IHnKI -

=

IGI

,

e dunque G = HK. Dalla dimostrazione del Teor. 1.48 si ha [G : H n K] :::; [G : H][G : K], e per quanto visto sopra entrambi i fattori a secondo membro dividono il primo, e quindi, trattandosi di numeri relativamente primi, anche il loro prodotto lo divide. Il caso generale segue per induzione.

2.2 Sottogruppi normali e gruppi quoziente

43

2.2 Sottogruppi normali e gruppi quoziente Abbiamo denotato con H a la classe laterale di un sottogruppo H di un gruppo G a cui appartiene l'elemento a E G. Avendosi Ha = {ha, h E H}, l'insieme H a coincide con il prodotto di Frobenius dei due sottoinsiemi H e {a}. Ci chiediamo ora: sotto quali condizioni per H il prodotto di due qualunque classi laterali: Ha· Hb = {hla· h 2 b; hl, h 2 E H} è ancora una classe laterale? Intanto, questo prodotto contiene la classe H ab (che si ottiene per h 2 = 1), e dunque se è una classe laterale sarà necessariamente la classe H ab. Ci chiediamo allora sotto quali condizioni per H si abbia, per ogni a, bE G, Ha·Hb=Hab.

(2.2)

Resta dunque da stabilire in quale caso Ha·HbCHab.

(2.3)

Se la (2.3) è soddisfatta per ogni hl, h 2 E H, esiste h3 E H tale che h l a·h 2 b = h 3ab, cioè ah 2 = h l l h 3a = h' a. Allora, condizione necessaria affinché sussista la (2.3) è che, dato comunque h E H , esista h' E H tale che ah = h'a.

(2.4)

Ma la (2.4) è anche sufficiente; da essa si ha infatti:

cioè la (2.3). La (2.4) si può esprimere anche come segue: per ogni a E G,

(2.5)

aH=Ha

ovvero le classi laterali destre e sinistre di H coincidono, e anche come

(2.6) per ogni a E G e h E H , ovvero a- l Ha = H. La (2.4) è equivalente alla seguente condizione su H: x,y E G e xy E H

~

yx E H;

(2.7)

in parole: se H contiene il prodotto di due elementi di G in un certo ordine, allora contiene anche il prodotto dei due elementi nell'ordine inverso. Infatti, per la (2.4) con a = X-l e h = xy abbiamo X-l(xy) = h'x - l , cioè y = h'x- I, ovvero yx = h' E H, cioè la (2.7). Viceversa, se sussiste la (2.7) consideriamo, per a E G e h E H, l'elemento aha- l . Con ha- l = x e a = y abbiamo

44

2 Sottogruppi normali, coniugio e teoremi di isomorfismo

E H; per ipotesi, yx = h' E H; ma yx = aha- l , e dunque l aha- = h', cioè la (2.4). Il fatto che H soddisfi le condizioni equivalenti (2.4) e (2.7) ha la seguente notevole conseguenza: l'insieme delle classi laterali di H è un gruppo rispetto all'operazione (2.2). Infatti: i) proprietà associativa:

xy

= ha- l. a = h

Ha· (Hb· Hc) = Ha· (Hbc) = Ha(bc), (Ha· Hb)· Hc = H(ab)· Hc = H(ab)c ,

e per la proprietà associativa di G i due prodotti sono uguali. ii) Elemento neutro. È la classe H: Ha· H

= Ha· Hl = H(a ·1) = Ha

e analogamente per H . Ha. iii) Inverso; l'inversa (Ha) -l della classe Ha è la classe cui appartiene l'inverso di a: Ha· Ha - l = Haa - l = Hl = H, e analogamente per H a -l . Ha. 2.8 Definizione. Un sottogruppo H di un gruppo G che soddisfa una delle condizioni equivalenti (2.2) , (2.4), (2.5) , (2.6), (2.7) si dice normale. Si scrive H::::! G (se H è proprio, H pks = o(x), contro la massimalità di o(x). Sia o(y)lo(x); allora (x), essendo ciclico, contiene un sottogruppo di ordine o(y), il quale, essendo unico, è necessariamente il sottogruppo (y). Dunque y E (x). Questo risultato si può anche esprimere nel modo seguente. Sia 1{ l'insieme dei sottogruppi del gruppo (finito) G, e D l'insieme dei divisori dell'ordine di G. Se l'applicazione 1{ ---+ D che associa a un sottogruppo il suo ordine è iniettiva, allora è anche surgettivat (e il gruppo è ciclico). Quanto detto si può utilizzare per dimostrare che un sottogruppo finito del gruppo moltiplicativo K* di un campo K è ciclico. Ciò segue dal fatto che in un campo K, anche infinito, K* ha al più un sottogruppo di ordine m per ogni intero m. Se infatti IHI = m, allora hm = 1 per ogni h E H, e dunque h è radice del polinomio xm - 1. Poiché questo polinomio ha al più m radici in K, non può esistere in K* più di un sottogruppo di ordine m. In particolare, se K è finito , K* è ciclico.

Vediamo ora che relazione c'è tra i sottogruppi di G e quelli di un quoziente. 2.12 Teorema. Esiste una corrispondenza biunivoca tra i sottogruppi di G/N e i sottogruppi di G che contengono N. In questa corrispondenza si conservano la normalità e gli indici: H/N:::! G/N se e solo se H:::! G, e se N :::; K :::; H allora [H: K] = [H /N: K/N]. Dim. Sia S = {N, N a,Nb, ... } un sottogruppo di G /N , e consideriamo K = NUNaUNbU .... K è dunque l'insieme degli elementi di G che appartengono alle classi laterali di N che sono elementi di S. K è un sottogruppo di G: se xa, yb E K, allora t L'unicità dell 'immagine implica la sua esistenza.

48

2 Sottogruppi normali, coniugio e teoremi di isomorfismo

xa . yb = XV' ab = zab con z E N , e dunque K è chiuso rispetto al prodotto. Inoltre, 1 E N e perciò 1 E K , e infine se xa E K , allora xa E N a E S e (xa) -l = a - l x - l = Xl a - l E Na- l ; ma Na- l E S perché Na E Se S è un sottogruppo. N e segue che S consta dei laterali di N cui appartengono gli elementi di K e poiché N ç K , si ha S = K j N. In questo modo S determina un sottogruppo di C che contiene N , e cioè il sottogruppo K. Viceversa, se K è un sottogruppo che contiene N , allora i laterali di N che contengono gli elementi di K formano un gruppo: Nk l Nk 2 = Nk l k 2 , e k l k 2 E K implica Nk l k 2 E KjN. Inoltre N E KjN, e se Nk E KjN allora (Nk) - l = Nk- l E KjN. Ne segue KjN ::; CjN. Si osservi che, per K = N, si ha NjN = {N}. Per quanto riguarda la normalità, sia S = KjN:::! CjN; facciamo vedere che allora K :::! C. Infatti, siano k E K, x E C, e consideriamo l'elemento x-lkx. Si ha: Nx-lkx = Nx- l NkNx = (Nx) -l NkNx = Nk'

per un certo k' E K , per la normalità di KjN. Allora x-lkxk,-l E N ç K, e dunque x-lkx E K. In altre parole, se KjN è normale in CjN allora K è normale in C. Viceversa, se K ~ N e K:::! C, (NX) -lNkNx = Nx-lkx = Nk' E KjN

per ogni k E K e x E C, cioè KjN:::! CjN. Infine, se N ::; K ::; H la corrispondenza Kh --+ (KjN)Nh è ben definita: Kh = Kkh --+ (KjN)Nkh = (KjN)Nh

in quanto Nkh e Nh differiscono per un elemento di KjN: Nkh(Nh)-l

= Nkhh- l = Nk.

È iniettiva: (KjN)Nh

= (KjN)Nh'

:::} Nhh,-l

= NhNh,-l

E KjN

e dunque hh, - l E K per cui Kh' = Kh. Che sia surgettiva è ovvio.

Se H è un sottogruppo di C che non contiene necessariamente N, e S è l'insieme delle classi laterali di N cui appartengono gli elementi di H:

allora, per quanto visto nella dimostrazione del teorema precedente, S è un sottogruppo di C j N, e il sottogruppo di C contenente N che ad esso corrisponde è K = N H (per l'Es. 9 di 2.9 sappiamo che N H è un sottogruppo). Dunque S = NHjN.

2.2 Sottogruppi normali e gruppi quoziente

49

Se N:::! C e C/N è dotato dell 'operazione (2.2), la corrispondenza

r.p: C -----+ C/N,

(2.8)

ottenuta associando a un elemento di C la classe modulo N a cui esso appartiene, è tale che r.p(ab) = Nab = NaNb = r.p(a)r.p(b). 2.13 Definizione. Siano C e Cl due gruppi. Un omomorfismo tra C e Cl è un'applicazione r.p : C ---+ Cl tale che, per a, b E C ,

r.p(ab) = r.p(a)r.p(b).

(2.9)

Se Cl = C, r.p è un endomorfismo. L'insieme degli endomorfismi di C si denota con End(C). Se r.p è surgettiva diremo che Cl è omomorfo a C. Se r.p è surgettiva e iniettiva, allora (Def. 1.5) Cl è isomorfo a C. Ritroviamo cosÌ la nozione di isomorfismo come caso particolare di quella di omomorfismo. L'applicazione data dalla (2.8) è un omomorfismo, che prende il nome di omomorfismo canonico. Se r.p è un omomorfismo, r.p(I) = 1, come si vede prendendo a = b = 1 nella (2.9); inoltre, r.p(a- l ) = r.p(a) - l (si prenda b = a- l). Sia K l'insieme degli elementi di C che hanno per immagine l'elemento neutro di Cl, K = {a E C I r.p(a) = I}. Allora K è un sottogruppo di C , in quanto: i) r.p(I) = 1, e quindi 1 E K; ii) se a E K, allora r.p(a- l ) = r.p(a) - l = 1, e perciò a- l E K; iii) se a, bE K allora r.p(ab) = r.p(a)r.p(b) = 1 . 1 = 1, e dunque ab E K. Inoltre, K è un sottogruppo normale di C: se k E K, r.p(x- lkx) r.p(x - l )r.p(k)r.p(x) = r.p(X) - lr.p(X) = 1. 2.14 Definizione. Se r.p : C ---+ Cl è un omomorfismo, l'insieme degli elementi di C che hanno per immagine l'elemento neutro di Cl è il nucleo dell'omomorfismo r.p. Si denota con Ker(r.p).

Come abbiamo visto, Ker(r.p) è un sottogruppo normale di C. Se r.p : C ---+ Cl è un omomorfismo, e due elementi di C hanno la stessa immagine secondo r.p, r.p(a) = r.p(b) , allora r.p(a)r.p(b) - l = 1 = r.p(ab- l ), cioè ab- l E Ker(r.p) , e dunque a e b appartengono allo stesso laterale di Ker(r.p). Viceversa, se a e b appartengono allo stesso laterale di Ker(r.p), si ha ab- l E K er( r.p). Se ne conclude che due elementi hanno la stessa immagine secondo r.p se e solo se appartengono allo stesso laterale del nucleo di r.p. In altri termini, la relazione di equivalenza "apb se r.p(a) = r.p(b)" coincide con la relazione "apb se ab- l E K er( r.p)" ; le sue classi sono dunque le classi laterali di K er( r.p). La corrispondenza r.p( a) ---+ K a tra gli elementi dell'immagine di r.p e gli elementi del gruppo quoziente C / K, dove K = K er( r.p) è quindi biunivoca. Si tratta inoltre di un omomorfismo, in quanto se r.p( a) ---+ K a, r.p(b) ---+ Kb

50

2 Sottogruppi normali, coniugio e teoremi di isomorfismo

allora ip(a)ip(b) = ip(ab) -+ Kab = KaKb. Denotando con Im(ip) l'immagine di ip abbiamo cosÌ: 2.15 Teorema (PRIMO TEOREMA DI ISO MORFISMOt) . Se G e G l sono due gruppi e ip : G -+ G l è un omomorfismo, allora:

Im( ip) :::: G / K er( ip). Un omomorfismo G -+ G l si compone quindi di un omomorfismo surgettivo G -+ G / K er( ip) seguito da uno iniettivo G / K er( ip) -+ I m( ip) ç G l . 2.16 Corollario. Tutti e soli i gruppi omomorfi a un gruppo G sono, a meno di isomorfismi, i gruppi quoziente G / N, dove N è un qualunque sottogruppo normale di G.

Dim. Se G l è omomorfo a G in un omomorfismo ip, allora G l = Im(ip) , e cosÌ per il teorema precedente G l :::: G / N con N = K er (ip). Viceversa, se N::::) G, già sappiamo che il gruppo G/N è omomorfo a G (nell'omomorfismo canonico).

Uno stesso sottogruppo normale può essere nucleo di diversi omomorfismi (le immagini saranno però tutte isomorfe): il sottogruppo normale {l}, ad esempio, è il nucleo di tutti gli automorfismi. È chiaro che in un omomorfismo ip : G -+ G l sottogruppi vanno in sottogruppi: se H ::; G, ip(hdip(h 2 ) = ip(h l h 2 ) E ip(H), e cosÌ per l'unità e l'inverso. Nell'omomorfismo canonico ip : G -+ G /N sappiamo (Teor. 2.12) che l'immagine di un sottogruppo H di G è NH/N. 2.17 Teorema (SECONDO TEOREMA G. Allora: i) HnN::::) H; ii) NH/N::::H/H n N.

DI ISOMORFISMO).

Siano H ::; G e N::::)

Dim. Sappiamo che N H è un sottogruppo perché N è normale. Consideriamo allora l'omomorfismo canonico del gruppo N H dato da ip : N H -+ N H/N. L'immagine del sottogruppo H di NH è NH/N, e dunque la restrizione di ip ad H è surgettiva: ip lH : H -+ N H/N. È ovvio che ip lH è ancora un omomorfismo. Il suo nucleo è dato dagli elementi di H che appartengono al laterale N di N in N H, e dunque si tratta degli elementi di H n N . Essendo il nucleo di un omomorfismo, HnN è normale, da cui la i). Il Teor. 2.15 applicato alla

restrizione iplH fornisce la ii). 2.18 Teorema (TERZO TEOREMA DI ISO MORFISMO ) . Siano H e K due sottogruppi normali di un gruppo G con K ç H. Allora,

i) H/K::::) G/K; ii) (G/K)/(H/K):::: G/H. t Noto anche come "teorema fondamentale degli omomorfismi" .

2.2 Sottogruppi normali e gruppi quoziente

51

Dim. La i) è stata già vista (Teor. 2.12) , ma qui la ritroviamo facendo vedere che H / K è il nucleo di un certo omomorfismo. La corrispondenza G/K -+ G/H data da Ka -+ Ha è ben definita: se Ka = Kb allora a = kb, per un certo k E K, e dunque H a = Hkb = Hb, essendo k E K ç H. Si tratta inoltre di un omomorfismo in quanto K a . Kb = K ab -+ H ab = H a . Hb, ed è ovviamente surgettiva. Il nucleo è costituito dai laterali K a tali che a EH , e dunque è H/K, e si ha la i). La ii) segue dal Teor. 2.15.

2.19 Teorema. Se r.p : G -+ G l è un omomorfismo, e a E G con o(a) finito, allora l'ordine dell'immagine r.p (a) divide l'ordine di a.

Dim. Sia o(a) = n. Allora r.p(a)n = r.p(a n ) = r.p(I) = 1, e dunque o(r.p(a)) divide o( a).

2.20 Corollario. Se G è un gruppo finito e N::::! G, l'ordine di una classe laterale di N, come elemento del gruppo quoziente G/N, divide l'ordine di ogni elemento contenuto nella classe.

Dim. È il teorema precedente relativamente all'omomorfismo canonico

G-+G~.

Può ben accadere che l'ordine di una classe divida propriamente l'ordine di ogni elemento che essa contiene. Ad esempio, nel gruppo dei quaternioni sia N = (i); allora G/N = {N, Nj}, e la classe Nj = {j, -j, k, -k} è un elemento di ordine 2 e gli elementi j, -j, k, -k hanno ordine 4. 2.21 Nota. La considerazione di sottogruppi e gruppi quoziente di gruppi finiti permette spesso di dimostrare teoremi usando il principio di induzione. Vediamo come si può usare questo principio nella forma del principio del minimo intero (v. p . 13 in nota). Sia C una classe di gruppi finiti definita da una certa proprietà (essere abeliano, ciclico, di ordine divisibile per un dato primo p, ecc.) e sia T un teorema riguardante i gruppi appartenenti a C. Se T è falso , esiste almeno un gruppo di C per il quale T è falso, e questo gruppo avrà un certo ordine n. L'insieme I degli interi che sono ordini di gruppi per i quali il teorema è falso è quindi non vuoto. Poiché si tratta di interi positivi , per il principio del minimo intero I contiene un intero positivo minimo m . Questo intero m sarà ordine di un gruppo G E C. G è un minimo controesempio al teorema. Per tutti i gruppi della classe C di ordine minore di IGI il teorema T è dunque vero. Se allora s i riesce a dimostrare che un certo sottogruppo proprio H di G o un quoziente proprio G/N appartengono a C, e dunque per questi T è vero, e che da ciò segue che è vero per G, avremo la contraddizione

"T falso per G"

=?

"T vero per G".

(2 .10)

Un tale G , e quindi l'intero m , non può esistere, e perciò l'insieme I è vuoto. Allora T è vero per tutti i gruppi della classe C.

2.22 Esempi. 1. Dimostriamo il teorema di Cauchy per gruppi abeliani (Teor. 1.50) usando la tecnica vista nella nota precedente. La classe C è ora la classe dei gruppi abeliani di ordine divisibile per un dato primo p , e il teorema T

52

2 Sottogruppi normali, coniugio e teoremi di isomorfismo

afferma che un gruppo della classe C contiene un elemento (un sottogruppo) di ordine p. Sia C un minimo controesempio, e sia 1 i:- a E C. Se a ha un ordine che è multiplo di p, o(a) = kp, allora o(a k ) = p, e quindi l'implicazione (2.10). Se p f o(a), sia H = (a). Allora H::::! C perché C è abeliano, pIIC/HI e dunque C/H E C, e poiché H i:- {l}, si ha IC/HI < ICI, e pertanto T è vero per il gruppo C/H. Esiste perciò un elemento del gruppo C/H , cioè una classe H a, di ordine p. Ma l'ordine di una classe divide l'ordine di ogni elemento in essa contenuto (Cor. 2.20); dunque o(a) = kp, e siamo nel caso precedente. In ogni caso, l'esistenza del minimo controesempio C porta a una contraddizione. Se ne conclude che C non esiste e pertanto T è vero per tutti i gruppi della classe C. 2. Come altro esempio di questa tecnica dimostriamo che il teorema di Lagrange si inverte per i gruppi abeliani. La classe C è ora quella dei gruppi abeliani finiti. Sia C un minimo controesempio al teorema, e sia mlICI. Se m = p , primo, basta applicare l'esempio precedente. Se m non è primo, e p è un primo che divide m, sia H un sottogruppo di ordine p. Ovviamente C/H E C; inoltre, IC /H I < ICI e ~IIC/HI , e dunque esiste in C/H un sottogruppo K/H di ordine ~. Ma ~ = IK/H I = IKI/IHI implica IKI = m, e K è il sottogruppo cercato. Esercizi 1. Un sottoinsieme H di un gruppo G è un sottogruppo di G se e solo se l'inclusione H -+ G è un omomorfismo (e quindi un omomorfismo iniettivo).

2 . i) L'operazione (2.2) è ben definita se e solo se H è normale. ii) Se H :::lG, la (2 .2) è l'unica operazione tra laterali di H per la quale la proiezione G -+ G / H è un omomorfismo. 3. Se G è finito, l'unico omomorfismo tra G e il gruppo degli interi è quello banale che manda tutto G nello zero. 4. Un sottogruppo normale di ordine primo con l'indice in un gruppo finito G è unico del proprio ordine in G. 5. Se p > 2 è primo, il sottogruppo delle rotazioni è l'unico sottogruppo normale di Dp . [Sugg. v. es. precedente] . 6. Se G è un gruppo ciclico finito e plIGI, allora G contiene IGI /p elementi che sono potenze p-esime. [Sugg. : la corrispondenza x -+ x P è un omomorfismo; considerare il nucleo]. 7. Se G è finito e H è un sottogruppo di indice 2, allora H contiene tutti gli elementi di ordine dispari di G. [Sugg.: X2k- l = 1 implica x = (X2)k] . 8. Se G ha due sottogruppi normali di indice p, primo, e di intersezione {l}, allora G ha ordine p2 e non è ciclico. 9. Se A , B :::; G , H:::l G, H (A/H)(B/H) = AB/H.

ç

A n Be (A/H)(B/H) :::; G/H, allora AB :::; G e

2.3 Coniugio

53

2.3 Coniugio Se a e b sono due elementi di un gruppo G abbiamo visto (Teor. 1.27, vi)) che gli elementi ab e ba, pur essendo in generale diversi, hanno tuttavia lo stesso ordine. Si osservi ora che ba si può ottenere da ab mediante la (2.11) 2.23 Definizione. Due elementi x e y di un gruppo G si dicono coniugati se esiste g E G tale che y = g- lxg. Diremo allora che y è coniugato a x mediante g. La relazione tra gli elementi di G:

x ,...., y se esiste g E G tale che y = g- lxg è di equivalenza. Infatti, x ,...., x mediante 1 (o mediante una qualunque potenza di x); se x ,...., y mediante g, allora y ,...., x mediante g- l, e infine se x ,...., y mediante g, e y ,...., t mediante s, allora x ,...., t mediante gs.

2.24 Definizione. La relazione di equivalenza ora definita tra gli elementi di un gruppo G si chiama coniugio. Le classi di questa equivalenza sono le classi di coniugio (o classi coniugate). Due elementi si dicono coniugati se appartengono alla stessa classe di coniugio. Un elemento si dice autoconiugato se è coniugato solo di se stesso. La classe di coniugio alla quale appartiene l'elemento x si denota con cl(x). In questo linguaggio, dati due elementi a, b E G la (2.11) dice allora che gli elementi ab e ba sono coniugati. Il teorema che segue mostra come quello espresso dalla (2.11) sia l'unico modo in cui due elementi di un gruppo possono essere coniugati. 2.25 Teorema. Due elementi x e y di un gruppo G sono coniugati se e solo se esistono due elementi a e b tali che x = ab e y = ba.

Dim. La condizione è sufficiente per la (2.11). Per la necessità, sia y

g- lxg; ponendo allora g = a e g- lx = b otteniamo il risultato. Dalla (2.6) o (2.7) abbiamo così che un sottogruppo è normale se e solo se assieme a un elemento contiene tutti i suoi coniugati. Dal Teor. 1.27, vi) e vii) si ha: 2.26 Corollario. Due elementi coniugati hanno lo stesso ordine. 2.27 Corollario. Un gruppo è abeliano se e solo se le classi di coniugio constano tutte di un solo elemento. Fissato ora un elemento g di un gruppo G, consideriamo la corrispondenza --+ G che manda un elemento x E G nel suo coniugato mediante g:

Ig :G

54

2 Sottogruppi normali, coniugio e teoremi di isomorfismo

I g : x -+ 9

- l

xg.

(2.12)

La I g è iniettiva (se g- lxg = g-l yg allora x = y) e surgettiva (x E G proviene da gxg - l ); inoltre,

per cui I g conserva l'operazione. Ne segue che I g è un automorfismo. 2.28 Definizione. L'automorfismo I g del gruppo G dato dalla (2.12) si chiama automorfismo interno indotto dall'elemento 9 E G. L'automorfismo identico è interno (e indotto, ad esempio, da 9 = 1). L'automorfismo inverso Ig l è indotto da g- l: Ig l = I g-', e il prodotto 1919' è indotto dal prodotto ggl. Gli automorfismi interni di un gruppo G formano dunque un sottogruppo del gruppo degli automorfismi Aut(G) di G; si denota con I(G). Dalla (2.6) si ha allora un'altra definizione di sottogruppo normale: un sottogruppo è normale se e solo se è mutato in sé da ogni automorfismo interno (è invariante per automorfismi interni). Infatti, se a- lha E H per ogni h e a , ovvero a - l Ha ç H per ogni a, si ha anche, con a - l al posto di a, aH a - l ç H. Ma dalla a -l H a ç H segue, moltiplicando per a, H ç aH a - l, da cui l'uguaglianza aHa- 1 = H, per ogni a, e a-1 Ha = H. (Se G è infinito, può però accadere che, per dati a e H, si abbia a-1 Ha C H, e a - IHa:j:. H; v. Es. 4 di 4.1). È chiaro che se un gruppo G è abeliano, il solo automorfismo interno è quello identico: I(G) = {I}. Viceversa, se I(G) = {I}, allora il gruppo G è abeliano. In un gruppo non abeliano invece esistono sempre automorfismi interni che non sono l'identità: se x e y sono due elementi tali che xy :j:. yx , allora l'automorfismo Ix non è l'identità perché manda y in x-lyx che è diverso da y. Se C è una classe di coniugio di un gruppo G e a E Aut(G) , allora l'insieme delle immagini degli elementi di C secondo a, è ancora una classe di coniugio di G in quanto, se x e y sono coniugati mediante g, x a e ya sono coniugati mediante ga . Se a è interno, allora per definizione ca = C, ma possono esistere automorfismi che fissano tutte le classi di coniugio e che tuttavia non sono interni t . Il sottogruppo I(G) è normale in Aut(G): se a E Aut(G) abbiamo, scrivendo x a per l'immagine di x secondo a,

ca,

e dunque, coniugando mediante a E Aut(G) l'automorfimo interno indotto da un elemento g, si ottiene l'automorfismo interno indotto dall'immagine di 9 secondo a. t Per un esempio si veda HUPPERT, p . 22 .

2.3 Coniugio

55

2.29 Definizione. Il gruppo quoziente Aut(C)jI(C) prende il nome di gruppo degli automorfismi esterni di C. Si denota con Out(C).

È chiaro che se C è abeliano, allora I( C) = {l}, e dunque in un gruppo abeliano nessun automorfismo è interno (eccetto l'automorfismo identico, ovviamente) . Due elementi 9 e 91 di C possono indurre lo stesso automorfismo interno: 9

- 1

- 1

x9 = 91 X91,

\.I

vX

E

C,

(2.13)

e ciò accade se e solo se 9911X = X991 1, per ogni x E C. In altre parole, r g = r gl se e solo se 991 1 permuta con tutti gli elementi di C. Consideriamo allora l'insieme Z(C) degli elementi di x E C che permutano con ogni elemento di C: Z(C)

= {x

E C

I xy = yx,

Vy E C}.

xy = yx allora x-1y = yx - 1 , e dunque se x E Z(C) anche X-l E Z(C) , e infine se X1,X2 E Z(C) ,

È chiaro che 1 E Z(C). Se

e anche il prodotto X1X2 E Z(C). Z(C) è quindi un sottogruppo di C. 2.30 Definizione. Il sottogruppo Z( C) ora definito prende il nome di centro di ct.

Ovviamente Z(C) è abeliano e normale (come ogni suo sottogruppo), e consta degli elementi di C che sono autoconiugati. Inoltre, se x E Z( C) e a E Aut(C) allora

per ogni y E C, e dunque xC< permuta con tutte le immagini secondo a degli elementi di C, ed essendo a biunivoca, con tutti gli elementi di C, cioè xC< E Z( C). In altre parole, il centro è un sottogruppo caratteristico. Infine è chiaro che C è abeliano se e solo se coincide con il proprio centro. La discussione di sopra si può ora riassumere come segue: 2.31 Teorema. i) Due elementi inducono lo stesso automorfismo interno se e solo se appartengono allo stesso laterale del centro . ii) I(C) ::: CjZ(C).

Dim. La i) è stata vista sopra. Per la ii) , la corrispondenza C --+ I(C) data da 9 --+ rg è surgettiva e il nucleo è precisamente il centro.

t Z è l'iniziale del tedesco Zentrum.

56

2 Sottogruppi normali, coniugio e teoremi di isomorfismo

L'argomento che dimostra come il centro sia un sottogruppo dimostra più in generale che l'insieme degli elementi che permutano con un dato elemento di C è un sottogruppo. 2.32 Definizione. Il centralizzante in C di un elemento x E C è il sottogruppo degli elementi di C che permutano con x: Ca(x)

= {g

E

C I gx

= xg}.

Il seguente teorema è immediato. 2.33 Teorema. i) Il centro di un gruppo è l'intersezione dei centralizzanti di tutti gli elementi del gruppo; ii) x E Z(C) se e solo se Ca(x) = C.

L'indice del centralizzante di un elemento x permette di determinare quanti sono gli elementi coniugati a x : 2.34 Teorema. Si ha:

Icl(x) 1= [C : Ca(x)]'

(2.14)

cioè il numero (cardinale) degli elementi coniugati a x è uguale all'indice del centralizzante di x . In particolare, se G è finito questo numero divide l'ordine di C. Dim. La dimostrazione è analoga a quella del Teor. 2.31, come si vede considerando la (2.13) relativamente a un fissato elemento x di C.

Un gruppo C è unione disgiunta delle classi di coniugio, per cui, se C è finito, (2.15) dove Xi appartiene alla i-esima classe. Nella (2.15) possiamo raccogliere gli elementi del centro e scrivere

ICI = IZ(C)I

+

L Icl(Xi) l·

(2.16)

La (2.16) prende il nome di equazione delle classi. Vediamone due applicazioni. La prima è la proprietà fondamentale dei p-gruppi. 2.35 Teorema. Il centro di un p-gruppo finito è non banale. Dim. Se ICI = pn, n > O, per il Teor. 2.34 l'ordine di una classe di coniugio è una potenza di p. Ogni addendo della somma che compare nella (2.16) è maggiore di 1, e dunque è della forma pk , k > O. Detta somma è pertanto

2.3 Coniugio

57

divisibile per p, e poiché IGI è divisibile per p , anche IZ(G)llo è. In particolare, Z(G) f:. {l}. 0 2.36 Teorema. Un gruppo G di ordine p2, P primo, è abeliano. Dim. Per il teorema precedente Z = Z(G) ha ordine almeno p, e quindi (Lagrange) IZI = p o p2. Nel primo caso, sia x (j. Z. Allora Cc(x) contiene Z e x e perciò ha ordine maggiore di p. Ne segue IC c (x) I = p2, cioè Cc (x) = G. Ogni elemento di G permuta allora con x e ciò significa x E Z, contro la scelta di x. Non vi sono dunque elementi al di fuori del centro, e perciò Z = G e G è abeliano. Un altro modo di ottenere questo risultato è il seguente. Come sopra, sia x (j. Z, e sia H = (x) . Allora HZ è un sottogruppo di G che contiene propriamente Z e dunque HZ = G. Pertanto G è abeliano: hz· h'z' = hh'· zz' = h'h· zz' = h'z'· hz. 0

2.37 Esempi. 1. Riprendiamo l'Es. 1 di 2.22 e dimostriamo il teorema di Cauchy nel caso di un qualunque gruppo finito G. Possiamo supporre G non abeliano, equindi esiste x (j. Z(G) . Se p divide ICc(x) l, essendo ICc(x) 1 < IGI il teorema si ha per induzione. Supponiamo quindi che p non divida l'ordine del centralizzante di alcun elemento x (j. Z( G). Allora p divide l'indice di ciascuno di questi sottogruppi, e ricordando che Icl(x) 1 = [G : Cc (x)], p divide tutti gli addendi della somma nella (2.16), e quindi divide anche la somma. Dividendo IGI , p divide IZ(G)I. Ma Z(G) è abeliano, e basta ora fare appello all'Es. 1 di 2.22. 2. Il teorema di Lagrange si inverte per i p-gruppi, e in più un p-gruppo contiene un sottogruppo normale per ogni divisore dell'ordine. Se IGI = pn, n > 0, i divisori di IGI sono le potenze pi, con i = 0,1, ... , n. Sappiamo che Z = Z( G) f:. {l}, e dunque per Cauchy esiste un sottogruppo H di ordine p in Z , che come sottogruppo del centro è normale. G / H ha ordine pn- l, e per induzione ammette sottogruppi normali Kd H di ordine pi per i = 0,1, ... , n-L Ma allora i Ki sono normali in G e hanno ordine pi+l. 2.38 Lemma. Due involuzioni in un gruppo finito o sono coniugate oppure entrambe centralizzano una terza involuzione. Dim. Siano x e y le due involuzioni, e distinguiamo due casi.

i) o(xy) = m, dispari. Il fatto che xy = yx Y (scrivendo x Y per x 'Y y ), permette di scrivere un prodotto di potenze di x e di y portando tutte le x a sinistra e tutte le y a destra; l'uguaglianza xyxy· .. xy = 1, m volte, diventa

e questa, essendo m dispari e o(x) = 2, diventa xyy x y ... y x y = x (X yy y ... y X) y ( y Xy ... y X) y = l' ,

posto a = yyX y . .. yX e b = yX y . .. yX y si ha allora a = b- 1 da cui

58

2 Sottogruppi normali, coniugio e teoremi di isomorfismo

e x e Y sono coniugate. ii) o(xy) = 2k. Allora o((xy)k)

x-1(xy)kx

=2

e

= (x- 1xyx)k = (yx)k = (y-lX-l)k = (xy)-k = (xy)k,

per cui x centralizza l'involuzione (xy)k. Analogamente per y.

2.39 Teorema (BRAUER). Sia G un gruppo finito di ordine pari in cui non tutte le involuzioni sono tra loro coniugate. Se m è l'ordine massimo per il centralizzante di un'involuzione si ha IGI < m 3 . t

Dim. Sia y un'involuzione, Cl = C G(y), e siano y = Yl, Y2,···, Yt le involuzioni contenute in Cl. Se Ci = C G(Yi), i = 1,2, ... , t, per l'unione insiemistica dei Ci si ha I

t

U Cii

i=l

~

t

t

2:: i =l (ICi l-l)+1 ~ 2:: i =l (m-l)+1

e avendosi t

< ICI I~

= (m-l)t+l = mt-(t-l) ~ mt,

m (Cl contiene 1 che non è un'involuzione),

I

t

U Cii

i=l

~ mt

< m2.

Sia x un'involuzione tale che ICG(x) 1 = m, e siano x = X1,X2, ... ,Xh gli elementi di G coniugati a x (tutte involuzioni!). Allora [G : CG(x)] = h (Teor. 2.34) e pertanto IGI = mh. Basta allora dimostrare che h < m 2 . Se y è un'involuzione non coniugata a x, che esiste per ipotesi, il lemma precedente assicura l'esistenza di un'involuzione z che centralizza x e y, e poiché allora z E Cl, Z è una delle Yk contenute in Cl. Ma x E CG( z) = C G(Yk), e dunque x E U;=l Ci, e ciò vale per tutte le h involuzioni coniugate a x. Ne segue h < m 2 , e il teorema è dimostrato.

L'ipotesi che il gruppo abbia più di una classe coniugata di involuzioni è necessaria nel teorema precedente. Il gruppo diedrale D5 ne ha una sola (v. es. 21), e il centralizzante di un'involuzione ha ordine 2. Il teorema darebbe ID51= lO < 23 = 8.

2.3.1 Il coniugio in

sn

sn

Una permutazione di è un prodotto di cicli disgiunti, e dunque una sua coniugata mediante una permutazione (J è il prodotto dei coniugati di questi cicli mediante (J. Il coniugio si riduce allora al coniugio dei cicli. m 2 ! gruppi semplici nei quali il centralizzante di un'involuzione ha ordine m . Risultati di questo tipo rientrano nel programma di Brauer per la determinazione di tutti i gruppi semplici.

t Si può dimostrare che esistono al più

2.3 Coniugio

2.40 Teorema. Sia c

= (1,2, ... , k)

un ciclo di

sn,

e sia

C!

E

59

sn . Allora:

In parole: il coniugato di un ciclo c mediante una permutazione C! è il ciclo nella cui scrittura compaiono ordinatamente le immagini secondo C! degli elementi di c. Dim. Sia

Cl

= (10" , 20" , ... , kO"),

e sia i E

Cl ,

i

= jO".

Si ha:

e dunque C! - l cC! e Cl hanno lo stesso valore sugli i che compaiono nel ciclo Se i (j. Cl, cioè i -::j:. jO" per ogni j , j = 1, 2, ... , k, allora i C1 = i ,

Cl.

'0" - 1CO" = (( Z'0" - 1) C)O" = (Z'0" - 1)0" = z,.

Z

e

C! - lcC!

e

Cl

hanno lo stesso valore anche sugli i che non compaiono nel ciclo

O

~.

sn

2.41 Definizione. Due elementi C!, T E si dicono avere la stessa struttura ciclica [k l , k 2 , ... , knl se, quando C! si spezza in k i cicli di lunghezza i , i = 1,2, ... , n, lo stesso accade per T. Si ha allora 1 . kl + 2 .k 2

+ ... + nkn

= n

(ovviamente, qualcuno dei k i può essere zero) . Dal Teor. 2.40 si ha subito che due elementi coniugati hanno la stessa struttura ciclica. Viceversa: 2.42 Teorema. Se due elementi di sono coniugati.

sn hanno la stessa struttura ciclica allora

Dim. Siano: C!

= (i l , i 2 ,

••• ,

i r, )(jl,l2, ... , j r2) '" (k l , k 2, ... , k rl ),

T = (PI , P2, . .. , Pr,) (ql, q2 , ... , qr2) . .. (tI, t2 , . . . ,t rl )·

Allora la permutazione

'T)

definita al modo seguente:

ottenuta cioè mettendo C! sopra T in modo da far corrispondere cicli della stessa lunghezza, porta C! in T: 'T) - 1C!'T) = T. O 2.43 Esempio. In S9, C!

= (1,3)(2,4,5,7)(8,9)(6), e

T

= (1,3)(4,6,5,8)(7,9)(2)

hanno la stessa struttura ciclica [1,2, 0,1,0,0, 0,0, O], e una è, ad esempio,

'T)

che le coniuga

60

2 Sottogruppi normali, coniugio e teoremi di isomorfismo

'T)

= (13: 2457: 8 9: 6) = (1 , 7,8)(2, 4,6)(3,9)(5).

79:4658:13:2 Avendosi (1 , 3) 'T)

coniuga a e

I

= (3,1), (7, 9) = (9, 7) e (4,6,5,8) = (5,8,4, 6), anche =

(1324 57689) 315846297 = (1 ,3)(2,5, 4,8,9,7,6)

T.

sn

2.44 Teorema. Il numero di elementi di che hanno una data struttura ciclica (k 1 , k 2 , ... , k n ), e quindi il numero di elementi di una data classe di coniugio, è

n!

(2.17)

Dim. Le cifre 1,2, ... , n possono comparire in tutti gli n! modi possibili per dar luogo a un prodotto di k i i-cicli disgiunti, i = 1,2, ... , n. Ma data una di queste scritture, la permutazione che ne risulta è la stessa di quelle che si ottengono scambiando tra loro i k i cicli in tutti i modi possibili, cioè in k i ! modi. Inoltre, per ciascun i- ciclo vi sono i scritture, ed essendoci k i cicli, vi sono i ki scritture possibili per gli i- cicli. Per ogni i , la stessa permutazione si ottiene allora i ki volte, da cui il risultato. (Si ponga O! = 1).

sn.

Determiniamo ora il numero delle classi di coniugio di Ricordiamo che una partizione di un intero positivo n è un insieme di interi positivi nl ~ n2 ~ ... ~ nk la cui somma è n. Una classe di coniugio di è determinata da una struttura ciclica [k 1 , k 2 , . .. , k n ], mentre data una tale struttura i k i > O danno le molteplicità degli interi i in una partizione di n. Viceversa, data una partizione di n in interi i ciascuno con molteplicità k i , considerando tutti i prodotti di k i cicli di lunghezza i, abbiamo, al variare di i, tutte le permutazioni che hanno la struttura ciclica [k 1 , k 2 , ... , knl (ponendo kj = O se nella partizione non compare j). Abbiamo così:

sn

2.45 Teorema. Il numero delle classi di coniugio di delle partizioni di n.

sn

è uguale al numero

2.46 Esempio. Determiniamo le classi di coniugio di S4 e di A 4 . Intanto il loro numero è 5 in quanto vi sono 5 partizioni di 4, che sono:

4 = 1 + 1 + 1 + 1, 4 = 1 + 1 + 2, 4 = 1 + 3, 4 = 2 + 2, 4 = 4. Vi sono allora 5 possibili strutture cicliche: 4 cicli di lunghezza 1, due cicli di lunghezza 1 e uno di lunghezza 2, ecc. Le 5 classi constano allora degli elementi (le cifre che non compaiono si intendono fissate):

2.3 Coniugio

61

Cl = {(1)(2)(3)(4)} = {I}, C2 = {(l, 2), (1,3), (1,4), (2, 3), (2,4), (3, 4)}, C3 = {(1,2,3),(1,3,2),(1, 2,4),(1,4,2),(1,3, 4),(1,4,3),(2,3, 4),(2,4,3)}, C4 = {(l, 2) (3,4) , (1,3) (2, 4), (1 , 4) (2, 3)} , C5 = {(1,2, 3, 4),(1 , 4,3, 2),(1 , 2,4, 3),(1, 3, 4, 2),(1 , 4, 2,3),(1 , 3, 2,4)}. Esercizi lO. Se G è un gruppo finito con due sole classi di coniugio allora l'ordine di G è 2. [Sugg. : equazione delle classi] .

11. Se x = ala2 ... a n , le permutazioni cicliche delle ai sono tutte coniugate a x. [Sugg. : ab e ba sono coniugati] . 12. Dimostrare che se n :::: 3 il centro di

sn è identico.

13. Dimostrare che il centro di D n ha ordine 1 o 2 pari. 14. Se y - l x y

= X-l

aseconda che n sia dispari o

allora y2 E Cc( x) . [Sugg. : coniugare due volte con y].

15. Se o(x) = p, primo, e y -l xy = x k, (p , k) = 1, allora xyp-l = yp-I X. [Sugg.: coniugare p - l volte con y E G e applicare il piccolo teorema di Fermat]. 16. Se H è l'u nico sottogruppo di ordine 2 in un gruppo G allora H ç Z(G) . Se G è finito si ha più in generale che se H è l'u nico sottogruppo di ordine p , dove p è il più piccolo divisore dell 'ordine di G, allora H ç Z(G). 17. Dimostrare che se n è un intero sono equivalenti: i) (ab)n = (bat , per ogni a,b E G; ii) xn E Z(G) per ogni x E G. 18. Se (ab)2 = (ba)2 per ogni a,b E G , allora ogni elemento di G permuta con tutti i propri coniugati. 19. i) Se il prodotto di due elementi appartiene al centro i due elementi sono permutabili; ii) un elemento x appartiene al centro se e solo se x = ab =} x = ba. [Sugg.: ab è autoconiugato, ma è anche coniugato di ba] . 20. Se H ::::: G e se, per ogni h E H, si ha cl(h) [Sugg.: per ogni x , h E H si ha x -l hx = h] .

nH

= {h} , allora H è abeliano.

21. Un gruppo diedrale D p , p > 2 primo, ha una sola classe di coniugio di involuzioni , e il centralizzante di un'involuzione ha ordine 2. [Sugg. : l'indice del centralizzante di un'involuzione divide 2p]. 22. Se C e C' sono due classi di coniugio di un gruppo allora CC' = C'C . (Oss.: ciò estende il caso in cui ICI = Icl(x)1 = 1, cioè x E Z(G)) . [Sugg. : xy = y(y-l xy)] . 23. Se il quoziente rispetto al centro, o a un sottogruppo del centro, è ciclico, allora il gruppo è abeliano.

62

2 Sottogruppi normali, coniugio e teoremi di isomorfismo

24. Il gruppo degli interi Z non può essere il gruppo degli automorfismi di un gruppo. Lo stesso accade per un gruppo ciclico finito non identico di ordine dispari. 25. i) Un gruppo che contiene un elemento non identico che è potenza di ogni altro elemento non identico non può essere il gruppo degli automorfismi interni di un gruppo G ; ii) un 2- gruppo con un solo elemento di ordine 2 (ad esempio un 2- gruppo ciclico o il gruppo dei quaternioni) non può essere il gruppo degli automorfismi interni di un gruppo G . 26. Dimostrare che tutti gli automorfismi di S3 sono interni t . 27. Se G è un p- gruppo finito e M un suo sottogruppo massimale, allora M è normale e ha indice p. 28. Il centro di un gruppo è contenuto in tutti i sottogruppi massimali di indice composto (non primo) . [Sugg. : se Z = Z(G) Cf:. M , allora M Z = G; v. es. precedente]. 29. Se H è un sottogruppo di indice 2 di un gruppo finito G, una classe di coniugio di H o è una classe di coniugio di G oppure ne contiene la metà degli elementi. 30. Se H è un sottogruppo di indice 2 di un gruppo finito G tale che Cc(h) ç H per ogni h E H, dimostrare che gli elementi di G \ H sono involuzioni tutte tra loro coniugate. 31. (G . A. Miller) . Se un gruppo finito ammette un automorfismo che manda più di 3/4 degli elementi nei loro inversi allora è un gruppo abeliano. Dare un esempio di un gruppo non abeliano con un automorfismo che manda esattamente 3/4 degli elementi nel loro inverso. 32. Se G ha più di due elementi, Aut(G) ha più di un elemento. 33. Se il centro di G è identico, anche il centro di Aut(G) lo è. 34. In un gruppo G, sia p(a) il numero di elementi il cui quadrato è a. Dimostrare che: i) L: aEC p(a)2 = L: aEC p(a 2). ii) L:a EC p(a)2 = L:aEC I(a), dove I(a) è l'insieme degli elementi x di G che invertono a (cioè tali che x- l ax = a-l). iii) Chiamiamo ambivalente una classe di coniugio se assieme a un elemento contiene anche il suo inverso. Dimostrare che Ibl L:aECp(a)2 = c'(G), dove c'(G) è il numero delle classi ambivalenti di G. iv) Verificare la ii) nel caso di un gruppo di ordine dispari e nei quaternioni.

2.4 Normalizzanti e centralizzanti di sottogruppi Se H:::; G, e IX è un automorfismo interno di G, scriviamo HX per l'immagine di H secondo IX ' HX consta dunque dei coniugati mediante x degli elementi di H; si ha cioè H X = x-l Hx. t Ciò è vero per tutti gli

sn, n =I 2,6 (v. Teor. 2.88).

2.4 Normalizzanti e centralizzanti di sottogruppi

63

2.47 Definizione. Il sottogruppo

H X = X- l Hx

= {x - lhx, h E H}

si dice coniugato di H mediante x. Se H, K ::; G, ed esiste x tale che HX allora H e K si dicono coniugati. Si scrive H '" K.

= K,

Come nel caso degli elementi, questa relazione di coniugio è una relazione di equivalenza, questa volta nell'insieme dei sottogruppi del gruppo. Denoteremo con cl(H) la classe di coniugio alla quale appartiene il sottogruppo H. Due sottogruppi isomorfi di un gruppo hanno lo stesso ordine, ma non in generale lo stesso indice. Ad esempio, in Z isottogruppi (2) e (3) sono isomorfi ma hanno indice 2 e 3, rispettivamente. Ma: 2.48 Teorema. Due sottogruppi coniugati hanno lo stesso indice.

Dim. Siano H e H X due sottogruppi coniugati. La corrispondenza

fra i laterali di H X e quelli di H è ben definita e iniettiva:

HXy = HXz {:} z = x - lhxy {:} Hxz = Hxx - lhxy = Hxy.

È anche surgetti va: H y proviene da H X z, z =

X- l

y.

Se x e y danno luogo allo stesso coniugato di H, H X = HY , allora H XY H. Siamo pertanto condotti alla seguente definizione.

- 1

=

2.49 Definizione. Il normalizzante in G di un sottogruppo H è il sottoinsieme di G:

N a(H)

= {x

E

G I H X = H} ,

che si vede subito essere un sottogruppo. Il normalizzante di H consta dunque degli elementi x E G per i quali, dato h E H, esiste h' E H tale che xh = h' x . Si tratta pertanto del più grande sottogruppo di G che contiene H come sottogruppo normale. Per definizione, H::::! N a(H), e dunque H::::! G se e solo se N a(H) = G. Se x E N a(H) diremo che x normalizza H (o che x è permutabile con H). Due elementi x , y E G danno allora luogo allo stesso coniugato di H se e solo se appartengono allo stesso laterale del normalizzante di H. Ne segue: 2.50 Teorema. Se H ::; G,

Icl(H)1 = [G : N a(H) ]. In particolare, se G è finito, il numero dei sottogruppi coniugati a un dato sottogruppo divide l'ordine del gruppo.

64

2 Sottogruppi normali, coniugio e teoremi di isomorfismo

Se H:::! C, e x E C , l'automorfismo interno di C indotto da x induce un automorfismo di H (non interno, se x ~ H), dato da:

Si ha così una corrispondenza C ---+ Aut(H), data da x ---+ a x , che è subito visto essere un omomorfismo. Lo stesso argomento mostra che si ha un omomorfismo tp : N a(H) ---+ Aut(H). Il nucleo di tp consta degli elementi di N a(H) che inducono l'automorfismo identico di H, cioè che permutano con H elemento per elemento. 2.5 1 Definizione. Il centralizzante in C di un sottogruppo H è l'insieme degli elementi di C che permutano con H elemento per elemento: Ca(H)

= {x

E

C I xh

= hx , Vh

E H}.

Dal primo teorema di isomorfismo segue allora: 2.52 Teorema. (TEOREMA N/C). Sia H ::; C. Allora: i) Ca(H) :::! N a(H) . In particolare, se H è normale in G anche il suo centralizzante lo è; ii) N a(H)/Ca(H) è isomorfo a un sottogruppo di Aut(H). Questo teorema permette a volte di ottenere informazioni sul modo in cui un gruppo H può essere contenuto in un altro gruppo C. Ad esempio, se H = C4 , allora H può essere contenuto come sottogruppo normale in un gruppo C soltanto se permuta elemento per elemento con almeno la metà degli elementi di C. Infatti, essendo Aut(C4) ~ C2 si ha INa(C4)/Ca(C4)1 = IC/C a (C4 )1=1 o 2. Se è 1, allora C a (C4 ) = C e dunque C a (C4 ) ç Z(C); se è 2, allora Ca(C4) contiene la metà degli elementi di C. Altri esempi sono C3 e Z. Abbiamo visto che la normalità non è in generale transitiva (Es. 12 di 2.9). Osserviamo però che se H non solo è normale, ma è caratteristico in K e K è normale in C, allora H è normale in C. Infatti, per ogni 9 E C la corrispondenza k ---+ g- l kg è un automorfismo di K, che dunque lascia fisso H: H = g- l Hg. Pertanto H:::! C. 2.53 Teorema. Sia H :::; C. L'intersezione K = nXEa H X di tutti i coniugati di H è un sottogruppo normale di C contenuto in H, e ogni sottogruppo normale di G contenuto in H è contenuto in K. (In questo senso, K è il più grande sottogruppo normale di G contenuto in Il). Dim. Sia k E K, x E C. Allora k E H (H fa parte dell'intersezione) e quindi k X E H X, per ogni x E C, cioè k X E K, da cui la normalità di K. Se L:::! C e L ç H, allora L = LX ç HX per ogni x , e dunque L ç K.

2.4 Normalizzanti e centralizzanti di sottogruppi

65

2.54 Teorema (POI NCARÉ). Se un gruppo ha un sottogruppo di indice finito , allora ha anche un sottogruppo normale di indice finito. Dim. Sia H di indice finito in G. Il normalizzante di H, contenendo H, ha a fortiori indice finito, e quindi per il Teor. 2.50 H ha un numero finito di coniugati. Ma questi hanno anch'essi indice finito (Teor. 2.48), e la loro intersezione ha pure indice finito (Teor. 1.49). Questa intersezione è normale (Teor. 2.53), ed è il sottogruppo cercato.

sn

2.55 Teorema. i) Gli elementi di che permutano con un n - ciclo c sono soltanto le potenze di c, e pertanto Csn (c) = (c),. ii) il normalizzante in del sottogruppo generato da un n- ciclo ha ordine n· nl > n2 > ... > nl - l > nl = 1 tale che ognuno degli ni divide il precedente e il quoziente è un numero primo. Ad esempio, con n = 120, abbiamo 120

> 40 > 20 > lO > 2 > 1

che fornisce, di seguito, i quozienti 3,2,2,5,2. Ma una successione di questo tipo non è unica: 120 > 60 > 30 > 6 > 2 > 1 è un'altra successione, di quozienti 2,2,5,3,2. I numeri primi che compaiono sono però, a meno dell'ordine, gli stessi; in particolare, le due successioni hanno la stessa lunghezza, e il prodotto dei primi che compaiono è l'intero di partenza. (Questo fatto è un modo di esprimere il teorema fondamentale dell'aritmetica) . Nel caso di un gruppo, i gruppi semplici che si ottengono come quozienti di composizione giocano il ruolo dei numeri primi ora visto. 2.61 Definizione. Due serie di composizione di un gruppo G si dicono isomorte se hanno la stessa lunghezza, e i quozienti di composizione di una sono isomorfi, a meno dell'ordine in cui compaiono, a quelli dell'altra. Il teorema che segue è di primaria importanza. Esso ha origine in teoria di Galois dove si dimostra il seguente risultato: siano il (x) ed h (x) due polinomi a coefficienti in un campo K, di gruppi di Galois rispettivamente

2.5 Il programma di H61der

69

G l e G 2. Aggiungendo al campo le radici di h(x) il gruppo G l si riduce a un sottogruppo normale G~ , e aggiungendo le radici di h(x) il gruppo G 2 si riduce a un sottogruppo normale G~. Allora (Jordan) [G l : G~l = [G 2 : G~l e (Holder) i quozienti GdG~ e G2IG~ sono isomorfi. 2.62 Teorema (JORDAN-HoLDER). Due serie di composizione di un gruppo finito G sono isomorfe. Dim. Siano G :J G l :J G 2 :J ... :J GZ - l :J G s = {l} G :J Hl :J H 2 :J ... :J H t - l :J H t = {l}

(2.19)

due serie di composizione di G. Dimostriamo il teorema per induzione sull'ordine di G. Se IGI = 1 non vi sono due distinte serie di composizione, e dunque il teorema è vero a vuoto. (Se si vuole un gruppo con almeno due serie si consideri il gruppo di Klein, per il quale il teorema si verifica direttamente). Se G l = Hl = L , le due serie di L , che ha ordine inferiore a quello di G , L:J G 2 :J ... :J G s - l :J G s = {l} L :J H 2 :J ... :J H t - l :J H t = {l}

sono isomorfe per induzione, e quindi anche le (2.19) lo sono (il primo quoziente è lo stesso). Sia allora G l i- Hl· Il sottogruppo G1Hl contiene propriamente entrambi i sottogruppi G l e Hl, ed è normale, come prodotto di sottogruppi normali. Per la massimalità di G l (o di Hd si ha allora G1Hl = G. Ne segue, posto K = G l nHl , (2.20) Si osservi che Hd K e Gd K sono gruppi semplici perché isomorfi, rispettivamente, ai gruppi semplici GIGi e G IHl. Una serie di composizione di K si può allora estendere a una di G l e a una di Hl, e queste, a loro volta, a due serie di G. Abbiamo cosÌ quattro serie, le (2.19) e queste due nuove serie: i) G:J G l :J G 2 :J ... :J {l}, ii) G:J G l :J K :J ... :J {l} , iii) G:J Hl :J K :J ... :J {l}, iv) G:J Hl :J H 2 :J ... :J {l}.

La serie ii) ha i quozienti GIGi e G l I K isomorfi, per la (2.20), rispettivamente ad Hd K e G IHl della iii); i restanti quozienti di ii) e iii) sono quelli della serie di K prescelta. Dunque ii) e iii) sono isomorfe. Le serie i) e ii) hanno il primo quoziente uguale e gli altri isomorfi per induzione: si tratta infatti di quozienti di Gl, che ha ordine minore dell'ordine di G. Ne segue l'isomorfismo

70

2 Sottogruppi normali, coniugio e teoremi di isomorfismo

tra i) e ii). Lo stesso accade per iii) e iv), per induzione su Hl. Le i) e iv) sono allora isomorfe.

In virtù di questo teorema, un gruppo finito determina univocamente un insieme di gruppi semplici: i quozienti di composizione. A partire da questo fatto si può enunciare il programma di H6lder per la determinazione di tutti i gruppi finiti: i) determinare tutti i gruppi semplici; ii) dati due gruppi K e H determinare tutti i gruppi C che contengono un sottogruppo normale isomorfo a K e tale che il quoziente sia isomorfo ad H. Un tale gruppo C si chiama ampliamento (o estensione) di K mediante H. Dato un insieme di gruppi semplici Sl,S2, ... ,SI-1 (in quest'ordine) e sapendo risolvere ii) possiamo costruire tutti i gruppi C i cui quozienti di composizione sono gli Si. Poniamo infatti CI = {l} e C I - 1 = SI - l , e determiniamo tutti i gruppi C I - 2 che contengono un sottogruppo normale isomorfo a SI - 1 e tali che il quoziente sia isomorfo a SI -2. Avremo così un certo numero di gruppi CI -2 e per ciascuno di questi una serie

i cui quozienti sono SI - 2 e SI - l. Proseguendo in questo modo si arriva a un certo numero di serie (2.18) che hanno tutte come quozienti i gruppi semplici dati Sl, S2, ... , SI - l. È chiaro però che tra i gruppi che si ottengono alla fine uno stesso gruppo può essere ripetuto più volte. Vediamo la cosa su esempi. 2.63 Esempi. 1. Ritroviamo con il metodo ora esposto i gruppi di ordine 8 (v. Es. 2 di 1.54). Sappiamo che un tale gruppo ha un sottogruppo normale di ordine 4 e questo un sottogruppo di ordine 2 ovviamente normale (un gruppo di ordine 4 è abeliano). Una serie di composizione ha dunque necessariamente la forma: C :J Cl :J C 2 :J {l} a quozienti {C2, C2, C2}. A partire da questi tre gruppi semplici applichiamo il metodo detto. Si ha C 2 = C2, e CdC2 ':::' C2. Cl ha allora ordine 4, e sappiamo pertanto che vi sono due possibilità: Cl ':::' C4 o Cl ':::' V:

Infine, C IC4 ':::' C2 implica C ':::' Cs , D 4 , Q , U(15), mentre C IV ':::' C2 implica C ':::' D 4 , Z~3), U(15). Otteniamo così i cinque gruppi di ordine 8, con ripetizione. 2. Con {C3, C2} otteniamo due gruppi, C 6 e S3 , mentre con {C2, C3} uno solo: C 6 (v. Es. 3 di 2.60). Uno stesso gruppo (in questo esempio, il gruppo C6 ) si può ottenere dunque anche con una diversa disposizione dei gruppi semplici.

2.6 Prodotto diretto

71

Da quanto detto si comprende l'importanza dei gruppi semplici nella teoria dei gruppi. Essi sono i "mattoni" con cui è possible costruire, almeno in linea di principio, tutti i gruppi finiti. Il problema generale dell'ampliamento trova la sua collocazione naturale nell'ambito della coomologia dei gruppi. Ci occuperemo di questo nel Cap. 7. Nei due paragrafi che seguono consideriamo due particolari ampliamenti: il prodotto diretto e il prodotto semidiretto. Per quando riguarda invece il punto i) del programma di H61der vedremo, nel §2.8, una famiglia infinita di gruppi semplici finiti , i gruppi alterni, e nel Cap. 3, un'altra famiglia infinita di gruppi semplici, anche infiniti, i gruppi lineari proiettivi speciali (v. §3.7).

2.6 Prodotto diretto Dati due gruppi H e K, l'ampliamento più immediato di H mediante K è il loro prodotto diretto o, in notazione additiva (in particolare nel caso di gruppi abeliani) somma diretta. Sia H x K l'insieme delle coppie (h , k), con h e k appartenenti rispettivamente agli insiemi sostegno di H e K. Si introduce allora in H x K il prodotto componente per componente:

ottenendo un nuovo gruppo, che ha (1,1) (le unità di H e di K) come unità e (h - l,k - 1 ) come inverso di (h,k); l'associatività si riporta a quella dei due gruppi di partenza (fattori o addendi). In notazione moltiplicativa, si denota ancora con il simbolo di prodotto cartesiano H x K il gruppo cosÌ ottenuto, in notazione additiva si usa invece H EB K. Come si vede dalla definizione, la struttura di questo gruppo è interamente determinata da quella dei fattori. I sottoinsiemi H* = {(h , 1), h E H, 1 E K} e K* = {(l , k), 1 E H, k E K}

formano due sottogruppi isomorfi rispettivamente ad H e a K. Avendosi (h, 1)(1, k)

= (h, k) = (1, k)(h , 1)

ogni elemento di G è prodotto di un elemento di H* per uno di K*, e inoltre due tali elementi sono permutabili. In particolare, H* , K* ::::! G. Identificando H* con H e K* con K abbiamo i)G=HK;

ii) H,K::::! G; iii) H

nK

(2.21)

= 1,

(prodotto diretto interno). Viceversa, se un gruppo contiene due sottogruppi H e K tali che i), ii) e iii) sono soddisfatte, G è prodotto diretto interno di

72

2 Sottogruppi normali, coniugio e teoremi di isomorfismo

H e K , ed è isomorfo al prodotto diretto sopra definito (se si vuole, esterno). Infatti, da i) e iii) segue che un elemento 9 E C si scrive in modo unico come prodotto di un elemento h E H per uno k E K (v. Dim. del Teor. 2.5). Da ii) e iii) si ha poi che H e K permutano elemento per elemento (Teor. 2.10). La nozione di prodotto diretto si estende subito al caso di un numero finito n qualunque di gruppi H l , H 2 , ... ,Hn (ma v. Nota 2 di 2.64 qui sotto), considerando n- pie in C = Hl X H 2 X ... x Hn invece di coppie. Con il prodotto componente per componente, come nel caso di due fattori , C è un gruppo, e al variare di h i E Hi le n-pie (1,1, ... , 1,h i , 1, ... ,1) formano un sottogruppo isomorfo ad H i , che indicheremo ancora con Hi. Gli Hi sono a due a due permutabili elemento per elemento e il loro prodotto è C. Inoltre, Hi n Hj = {I} , i i:- j. Ma si ha di più: un Hi ha intersezione {I} non solo con gli altri H j , ma anche con il loro prodotto, in quanto un prodotto di n- pie che hanno 1 nel posto i avrà ancora 1 nel posto i. Diciamo allora che C è prodotto diretto dei suoi sottogruppi Hl, H 2, ... ,Hn se

i) C

= HlH2 ... Hn;

ii) Hi :::! C, iii) Hi

n HlH2··· Hi - lHi+l ... Hn

(2.22) = {I},

i = 1,2, ... , n. La (iii) garantisce che la scrittura di un elemento 9 E C come prodotto 9 = h l h 2 ... h n , h i E Hi è unica. In particolare, se C è finito, ICI = IHll·IH21·· ·IHnl· 2 .64 Note. 1. Un sottogruppo normale in un fattore diretto H di un gruppo G è normale in G. Infatti, H permuta elemento per elemento con gli altri fattori diretti. 2. Le n-uple di elementi appartenenti ai fattori H i di un prodotto diretto sono le funzioni dall 'insieme {I, 2, ... , n} all 'unione degli H i tali che f(i) E Hi, e il prodotto componente per componente corrisponde al prodotto di funzioni fg(i) = f(i)g(i) . L'unità è la funzione che vale 1 su ogni i (la n- upla che consta di tutti 1), e f-1 è la funzione che su i vale f(i) - l. Si può allora considerare lungo questa linea il prodotto diretto di una famiglia infinita di gruppi {H)..}, dove À varia in un qualunque insieme di indici A: si tratta dell'insieme delle funzioni f : A --+ U )..EA H).. tali che f(À) E H).. , e f(À) "# 1 solo per un numero finito di indici À (funzioni "a supporto finito" ), con il prodotto fg(À) = f(À)g(À). L'unità e l'inversa sono definite come sopra. Non c'è bisogno dell'assioma della scelta per affermare che il prodotto diretto di una famiglia infinita di gruppi è non vuoto. Poiché un gruppo ha un elemento privilegiato (l'unità), c'è sempre almeno la funzione f che sceglie l'unità in ciascuno dei gruppi . Questa f è poi l'unità del prodotto diretto. Se si prendono tutte le funzioni, e non solo quelle per cui f(À) "# 1 solo per un numero finito di indici, si ha il prodotto cartesiano dei gruppi H).. .

2.65 Teorema. (Notazione additiva) Sia G un p-gruppo abeliano di ordine pn nel quale tutti gli elementi hanno ordine p. Allora G è somma diretta di n copie di Zp.

2.6 Prodotto diretto

73

Dim. Ogni elemento di G genera un sottogruppo di ordine p, e dunque G è prodotto di sottogruppi isomorfi a Zp. Sia k minimo tale che G sia somma di k di questi: G = Hl + H 2 + ... + Hk, Hi ':::' Zp. Allora la (iii) di (2.22) è soddisfatta, in quanto se l'intersezione di uno degli Hi con la somma degli altri fosse diversa da {l} , trattandosi di un sottogruppo di Hi sarebbe tutto H i , e G sarebbe prodotto di k - 1 dei sottogruppi H j , contro la minimalità di k. Ne segue

e dunque pn = pk, k = n e G = Zp EB Zp EB ... EB Zp, n volte. Un p-gruppo abeliano nel quale tutti gli elementi hanno ordine p si dice abeliano elementare. In un tale gruppo, gli elementi non identici si distribuiscono a p-l a p-l in sottogruppi di ordine p. Se il gruppo ha ordine pn, il numero dei sottogruppi di ordine p è allora pn -1 ___ = pn- l p-l

+ pn- 2 + ... + p + 1.

Nel gruppo additivo di uno spazio vettoriale su Zp tutti gli elementi hanno ordine p, e poiché tale gruppo è abeliano, è abeliano elementare, e dunque un prodotto diretto, in questo caso una somma diretta, di copie di Zp. Come già osservato nell' Es. 3 di 1.59, su un campo primo, come è il caso di Zp , la struttura additiva V( +) è sufficiente per stabilire quella di spazio vettoriale V, in quanto la moltiplicazione di un vettore per uno scalare si riduce a una somma del vettore con se stesso. Una somma diretta Zp EB Zp EB ' .. di copie di Zp è dunque uno spazio vettoriale V su Zp, e isottospazi di V sono i sottogruppi di V (+ ). In particolare, in una tale somma non vi sono sottogruppi caratteristici (v. Es. 4 di 1.63). Gli Zp sono gruppi semplici abeliani, ma la cosa è vera in generale, cioè per prodotti diretti di gruppi semplici isomorfi anche non abeliani, come dimostra il Teor. 2.68 qui sotto. La nozione duale a quella di sottogruppo massimale (Def. 1.55) è la nozione di sottogruppo minimale. 2.66 Definizione. Un sottogruppo H :j:. {l} di un gruppo G si dice minimale rispetto a una proprietà P se non contiene alcun sottogruppo proprio non banale di G avente la proprietà P. In altri termini, se H ha la proprietà P, K ::; H, e K ha la proprietà P , allora K = H oppure K non ha la proprietà P. Se la proprietà P è semplicemente quella di essere un sottogruppo, poiché allora H minimale non ha sottogruppi propri non banali, H è un sottogruppo di ordine primo.

74

2 Sottogruppi normali, coniugio e teoremi di isomorfismo

Un sottogruppo H -::f- {l} si dice normale minimale se è minimale nella famiglia dei sottogruppi normali di G, vale a dire se non contiene propriamente alcun sottogruppo normale non banale di G: se K :::; H , e K ::::!G , allora o H = K oppure K = {l}. In particolare, H è privo di sottogruppi caratteristici t . 2.67 Esempio. Un gruppo senza torsione, ad esempio Z, non ha sottogruppi minimali. Un gruppo finito non semplice ha sempre sottogruppi minimali e anche normali minimali. 2.68 Teorema. Un gruppo finito è privo di sottogruppi caratteristici se e solo se è semplice oppure è un prodotto diretto di gruppi semplici tra loro isomorfi.

Dim. Se G è semplice non c'è niente da dimostrare. Se non è semplice, allora ammette un sottogruppo normale, ed essendo finito un sottogruppo normale minimale H. Siano H = Hl, H 2 , ... , Hm le distinte immagini di H secondo i vari automorfismi di G. Queste immagini sono anch'esse normali minimali, in quanto immagini automorfe di un sottogruppo normale minimale, e il loro prodotto è ovviamente caratteristico e diverso da {l}, e perciò coincide con G. Sia n minimo tale che G sia prodotto di n degli H i : dopo un eventuale cambiamento di indici sia G = H1H2 ... Hn. Allora, per ogni i,

Questa intersezione infatti è normale in G e contenuta in H i , e per la minimalità di Hi è {l} o Hi. Ma se è Hi allora questo sottogruppo è contenuto nel prodotto degli altri, contro la minimalità di n. Le (2.22) sono allora soddisfatte. Infine, gli Hi sono semplici, come osservato nella Nota 1 di 2.64. Per dimostrare il viceversa abbiamo bisogno di due lemmi. 2.69 Lemma. Sia G

{I}. Allora K ç H 2

= Hl X ...

X H 2 x··· x Hn, Z(Hd x Hn.

= {l},

K::::!G e KnH l =

Dim. Sia k E K e k = h l h 2 ... h n , h i E Hi. Ora, K e Hl sono normali e di intersezione {l} , e quindi permutano elemento per elemento: se h E Hl allora

dove la seconda uguaglianza segue dal fatto che Hl permuta elemento per elemento con tutti gli H i , i -::f- 1. Ne segue hh l = hlh, per ogni h E Hl, e quindi hl E Z(Hd = {l}, e hl = 1. Allora k = h2h3··· h n , e il risultato. 2.70 Lemma. Sia G come nel lemma precedente con gli Hi semplici non abeliani. Allora i soli sottogruppi normali non banali di G sono gli Hi e i loro prodotti a due a due, a tre a tre, . . . , a n-l a n-L

Dim. È ovvio che quelli detti sono sottogruppi normali. Viceversa, se K ::::!G , avendosi per la semplicità, Z(Hd = {I}, per il lemma precedente è K C t Un tale gruppo viene anche detto

caratteristicamente semplice.

2.6 Prodotto diretto

75

H 2 x· .. x Hn. Se vale il segno di uguaglianza, K è del tipo richiesto. Altrimenti il risultato si ha per induzione su n.

Torniamo ora alla dimostrazione del Teor. 2.68. Dim. Il caso degli Hi semplici abeliani è stato già visto (Teor. 2.65). Siano allora gli Hi semplici non abeliani. Un sottogruppo caratteristico K è in particolare normale, e dunque è uno di quelli previsti dal lemma precedente. Ma una qualunque permutazione degli Hi dà un automorfismo di G, e se K = HjH, ... H s e H t non compare in K , la permutazione che scambia Hj con H t e fissa tutti gli altri Hi muove K, a meno che non compaiano tutti; ma in questo caso K = G, e G è l'unico sottogruppo caratteristico.

2.71 Definizione. Una serie normale (Def. 2.59) si dice invariante se i G i sono normali in G. Una serie invariante si dice principale se G i è massimale nell'insieme dei sottogruppi normali di G contenuti in G i - l , i = 1,2, ... , l (Go = G); i quozienti della serie si dicono allora quozienti principali di G. Si osservi che un quoziente principale è un sottogruppo normale minimale di G/G HI .

Da questa definizione si ha che le serie principali stanno alle serie invarianti come le serie di composizione stanno alle serie normali. La condizione di massimalità implica che i sottogruppi di una serie principale sono tutti distinti. Inoltre, i quozienti di composizione sono gruppi semplici, ma i quozienti principali possono non esserlo perché possono esistere sottogruppi normali di G i - l contenenti propriamente G i . E cosÌ come un gruppo finito determina gruppi semplici, cioè privi di sottogruppi normali , come quozienti di composizione, esso determina anche gruppi privi di sottogruppi caratteristici come quozienti principali. Infatti, se un quoziente principale non è semplice è però prodotto diretto di gruppi semplici tra loro isomorfi. Un tale quoziente Gi-dG i è un sottogruppo normale minimale di G/G i in quanto se H/G i è un sottogruppo normale di G /G i contenuto in Gi-dG i , allora H è un sottogruppo normale di G contenuto in G i - l , e se H è diverso da G i - l e da G i si contraddice la massimalità di G i . Allora Gi-dG i è privo di sottogruppi caratteristici, e per il Teor. 2.68 è del tipo detto. 2.72 Teorema. Sia G = Hl Allora:

X

H2

X ...

x H n , e sia Ki ::::! H i , i = 1,2, ... , n.

i) Ki ::::! G; ii) G/KIK 2 ·· ·Kn ~ HdKI x H2/K2 x··· x Hn/Kn. Dim. La i) è stata già vista nella Nota 1 di 2.64. Per la (ii) si osservi che g E G si scrive in modo unico come g = h l h 2 ... h n , h i E H i , per cui la corrispondenza

76

2 Sottogruppi normali, coniugio e teoremi di isomorfismo

data da 9 -+ (K l hl, K 2h 2, ... ,Knhn ), è b en d feinita. È chiaro che si tratta di un omomorfismo surgettivo, di nucleo KlK2 ... Kn.

Esercizi 50. Se H::; G, e {G;} ;=o è una serie normale di G , allora {H;} ;=o, dove H i = HnG i, è una serie normale di H , e ogni quoziente H i è isomorfo a un sot togruppo del quoziente Gi/Gi+ l. 51. i) Se H è subnormale e K ::; G , allora H n K è subnormale in K ; ii) l'intersezione di due sottogruppi subnormali è subnormale; iii) l'immagine di un sottogruppo subnormale in un automorfismo del gruppo è subnormale; iv) il prodotto di due sottogruppi subnormali non è necessariamente subnormale; v) un sottogruppo subnormale di ordine primo con l'indice è normale, e pertanto unico del proprio ordine. 52. Il prodotto diretto di gruppi è commutativo, nel senso che cambiando l'ordine dei fattori si ottengono gruppi isomorfi, ed è associativo. 53. Siano H l , H 2 , . • . , H n sottogruppi finiti di un gruppo a due a due permutabili elemento per elemento. Dimostrare che il prodotto degli H i è un sottogruppo, ed è un prodotto diretto se e solo se ha per ordine il prodotto degli ordini degli H i . 54. Sia G = Hl X H 2 x · .. x H n finito e siano gli H i di ordini a due a due relativamente primi . Dimostrare che: i) se K ::; G , allora K è prodotto diretto dei sottogruppi KnHi, i = 1, 2, . . . n; , ii) Aut(G) è isomorfo al prodotto diretto dei gruppi Aut(Hi ). 55. Se H , K ":J G, allora Gj(Hn K) è isomorfo a un sottogruppo di GjH x GjK. Se gli indici di H e K sono finiti e relativamente primi, allora Gj(H n K) è isomorfo a GjH x GjK. [Sugg.: considerare l'omomorfismo G -+ GjH x GjK dato da x-+ (H x, Kx) ]. 56. Dimostrare che

smx sn è isomorfo

a un sottogruppo di

sm+n .

57. Il centro di un prodotto diretto è il prodotto diretto dei centri dei fattori. 58. In un prodotto diretto finito non abeliano nel quale ogni sottogruppo abeliano è ciclico i fattori diretti sono sottogruppi caratteristici. Se il gruppo è abeliano non è più vero. [Sugg. se un primo p divide gli ordini di due fattori si ha un sottogruppo Gp x Gp ]. 59. Un gruppo G si dice completo se Z( G) = {I} e tutti gli automorfismi sono interni. Se Z(G) = {I}, G è isomorfo a I(G) , e se è completo è isomorfo ad Aut(G). Dimostrare che un gruppo completo è fattore diretto di ogni gruppo nel quale è contenuto come sottogruppo normale. 60. Sia n un intero per il quale esiste un solo gruppo di ordine n. Dimostrare che n è privo di quadrati, cioè è prodotto di primi alla prima potenza. (v. Cap. 5, es. 45). [Sugg. : se p21n esistono almeno due gruppi .]

2.7 Prodotto semidiretto 61. Sia G = AH, A :::l G abeliano, H minimale se e solo se H è massimale.

nA

=

77

{l} . Dimostrare che A è normale

2.7 Prodotto semidiretto Torniamo ora al problema dell'ampliamento di un gruppo K mediante un gruppo H , e consideriamo un prodotto che generalizza il prodotto diretto di due gruppi (ma non di un numero qualunque di gruppi). Nella definizione di prodotto diretto di due sottogruppi (2.21) si richiede che H e K siano entrambi normali. Se si lascia cadere questa ipotesi, richiedendo che soltanto uno dei due sia normale: i)G=HK;

ii) K::::! G; iii) H n K

(2.23)

= 1,

abbiamo il prodotto semidiretto di H per K. Il sottogruppo H è un complemento di K in G; si osservi che, in questo caso, K ammette un sistema di rappresentanti delle proprie classi laterali che forma un sottogruppo (H , appunto). È chiaro inoltre che se G è abeliano ed è un prodotto semidiretto, allora è diretto. In un prodotto semidiretto, avendosi h-1 kh E K, h E H, k E K, la corrispondenza 1).

ICI

Dim. Per la transitività, ICI = 2: g E G X(g). Se X(g) ~ 1 per ogni 9 si ha = X(I) + 2:l#9EG X(g) ~ X(I) + ICI - 1, da cui Inl = X(I) = 1. O

3.50 Nota. Un risultato molto più profondo afferma l'esistenza di un p-elemento che muove tutti i punti di Sl .

3.51 Corollario. Un gruppo finito C :j:. {I} non può essere unione insiemistica di sottogruppi propri tra loro coniugati. Dim. Sia C = UxEG H X , H :j:. C. C agisce transitivamente sull'insieme dei laterali di H, e poiché se 9 E C allora 9 = X-l hx per certi x e h, 9 fissa il laterale H x. Dunque ogni elemento di C fissa qualche punto, contro il corollario precedente (v. es. 70 più oltre). O

Sia ai il numero di elementi di 9 E C che fissano i punti, cioè tali che X(g) = i. Si ha allora 2:~0 iai = 2: g E G X(g), dove n = Inl. Il numero totale degli elementi di C è 2:7= 0 ai; la (3.6) si può allora scrivere n

n

Liai = N Lai. i=O

i=O

(3.8)

3.3 Formula di Burnside e caratteri di permutazione

125

3.52 Esempi. 1. Colorando i lati di un quadrato in tutti i modi possibili con due diversi colori otteniamo 16 quadrati. Il gruppo diedrale D4 agisce su questo insieme D di quadrati: se a E D, a g è il quadrato che si ottiene da a applicando la simmetria g. Si ha:

g E D4 id. roto di % roto di %1r roto di 1r simm. diag. altra simm. diag. simm. assiale altra simm. assiale

X(g) 16 2 2 4 4 4 8 8

descrizione dei quadrati fissati tutti lati dello stesso colore lati dello stesso colore lati opposti dello stesso colore lati diag. opposti dello stesso colore lati diag. opposti dello stesso colore due lati opposti dello stesso colore due lati opposti dello stesso colore

Abbiamo così, per la (3.6), N = 1~41 L: 9E D 4 X(g) = ~ ·48 sono B e N , le sei orbite constano, rispettivamente, di:

= 6, e, se i colori

1. 1 quadrato con tutti i lati B; 2. 1 quadrato con tutti i lati N; 3.4 quadrati con un lato B e 3 N; 4. 4 quadrati con un lato N e 3 B; 5. 4 quadrati con due lati consecutivi B e gli altri due N; 6. 2 quadrati con due lati opposti B e gli altri due N. Ciò significa che vi sono 6 modi essenzialmente distinti di colorare i lati di un quadrato nel modo detto. Il criterio secondo il quale due quadrati sono da considerare distinti si riflette nella scelta del gruppo che si fa agire sull'insieme dei quadrati. Se si prende il sottogruppo H di D4 che consta dell'identità e della rotazione di ~ si ottengono lO orbite: si può dire allora che per il gruppo H vi sono lO modi essenzialmente distinti di colorare il quadrato. In generale, se H ::; C, poiché le orbite di C sono unioni di orbite di H , più H è piccolo, più distingue. Il caso estremo è il sottogruppo identico, che distingue tutti gli oggetti dell'insieme su cui opera. 2. Vediamo in quanti modi si possono colorare i vertici di un quadrato con 4 colori (ogni vertice un colore diverso; in altre parole, in quanti modi essenzialmente distinti si possono numerare i quattro vertici di un quadrato). Vi sono 4 scelte per il primo vertice, 3 per il secondo, 2 per il terzo, 1 per il quarto. In tutto 24 quadrati. Facendo agire D 4 , una simmetria diversa dall'identità porta un quadrato in un altro diverso dal primo. Dunque X(g) = O per g -::f- 1, ed essendo X(l) = 24 si ha N = 284 = 3. Le tre orbite si possono rappresentare con i quadrati numerati come segue: 1234, 1243, 1324 (in senso orario e partendo dal vertice a sinistra in alto; V. Es. 6 di 1.45). Il seguente teorema fornisce alcune proprietà della funzione X. 3.53 Teorema. i) Se x e y sono coniugati, allora X(x) = X(y);

126

3 Azione di un gruppo su un insieme ii) se x e y generano lo stesso sottogruppo, allora X( x) = X(Y); iii) due azioni simili hanno lo stesso carattere.

Dim. i) x fissa o: se e solo se g-l xg fissa 0:9 ; ii) se un elemento fissa un punto, lo stesso accade per ogni sua potenza; poiché x e y sono potenza l'uno dell'altro, si ha il risultato; iii) dalla rp(0:9) = rp(0:)O(9) si ha che 9 fissa o: se e solo se 8(g) fissa rp(o:) .

3.54 Nota. In sn, se due elementi x e y generano lo stesso sottogruppo sono coniugati. Infatti, se o(x) = m e (x) = (y), allora y = xk con (m, k) = 1; per ogni ciclo c di x si ha allora o(e k ) = o(e) e dunque ek e c hanno la stessa lunghezza. Le partizioni di n indotte dai cicli di x e y sono allora le stesse, e x e y sono coniugati. In sn, quindi, ii) segue da i). Per la i) del teorema precedente X assume lo stesso valore sugli elementi di una classe di coniugio: si dice per questo che X è una funzione di classe o funzione centrale La iii) del Teor. 3.53 non si inverte: due azioni con lo stesso carattere non sono necessariamente simili, come mostra l'esempio 3.56 qui sotto. Prima un teorema. 3.55 Teorema. Nell 'azione di G sui laterali di un suo sottogruppo H si ha, per 9 E G,

x(g) = ICa(g) llcl(g)nHI IHI .

(3.9)

In particolare, le azioni di G sui laterali di due sottogruppi H e K hanno lo stesso carattere se e solo se

Icl(g)nHI = Icl(g)nKI ,

(3.10)

per ogni 9 E G. Dim. Un laterale H x è fissato da tutti e soli gli elementi di H X ; i coniugati di 9 che lo fissano quindi sono gli elementi di cl(g) n H X • Ma la corrispondenza cl(g) n H --+ cl(g) n H X data da a- 1 ga = h --+ (ax)-lg(ax) = h X è biunivoca, e dunque Icl(g) n H XI = Icl(g) n Hl. In una griglia come quella del Teor. 3.45 mettiamo in ascissa i coniugati gl, g2, ... di g, e in ordinata i laterali H Xl, H X2, ... di H, e segnamo un punto all'incrocio della colonna per gi e della riga per HXj se gi fissa HXj. Sull'orizzontale per HXj i punti segnati sono in numero di Icl(g) n H X; I = Icl(g) n Hl; sulle orizzontali sono dunque segnati in totale Icl(g) n HXI . [G : Hl punti. Sulla verticale per gi i punti segnati sono X(gi), e poiché due elementi coniugati fissano lo stesso numero di punti, sulle verticali vi sono in tutto Icl(g) Ix(g) punti. La (3.9) segue.

3.56 Esempio. Si considerino i seguenti sottogruppi di 56: V1 = {I, (1 , 2)(3,4)(5)(6) , (1,3)(2, 4)(5)(6), (1 , 4)(2, 3)(5)(6)} , V2 = {I, (1 , 2)(3,4)(5)(6) , (1, 2)(5, 6)(3)(4), (3, 4)(5, 6)(1)(2)}.

3.3 Formula di Burnside e caratteri di permutazione

127

VI e V2 sono entrambi isomorfi al gruppo di Klein. Le orbite di VI sono {I, 2, 3, 4}, {5} , {6}, quelle di V2 sono {I, 2} , {3, 4} , {5, 6} , e pertanto VI e V2 non sono coniugati. Sia 9 E S6; se 9 = 1, cl(l) = {I} , e la (3.10) è soddisfatta. Se 9 =f. 1, e la struttura ciclica di 9 è (i,j)(h, k)(l)(m), allora tutti gli elementi diversi da 1 di VI e V2 stanno nella stessa classe di coniugio di g , e dunque Icl(g) n VII = Icl(g) n V2 = 3. Se 9 non è del tipo detto, 9 non può essere coniugato ad alcun elemento di VI o V2 , e quindi entrambe le intersezioni sono vuote. La (3.10) è allora soddisfatta per ogni 9 E S6. Le azioni di S6 sui laterali di VI e V2 hanno, per il teorema precedente, lo stesso carattere, ma non sono simili perché VI e V2 non sono coniugati (v. anche gli es. 78 e 79). t 1

Il carattere è una funzione additiva: se G agisce su DI e D 2 con caratteri Xl e X2, allora agisce anche su DI U D 2, e il numero dei punti fissati da 9 E G in questa azione è la somma dei punti fissati su DI e D 2: X(g) = Xl (g) + X2 (g). Ciò permette di definire la somma X = Xl + X2 di due caratteri Xl e X2 come il carattere X dell'azione di G su DI U D2 . Per definire il prodotto di due caratteri, consideriamo dapprima il prodotto diretto G x G e la sua azione su DI x D 2 data da (a,(3)(g,h) = (a g, (3h). Si ha X( (g, h)) = Xl (g)x2 (h). Il sottogruppo "diagonale" {(g, g), 9 E G} di G x G èisomorfo a G, ciò che permette di definire un'azione di G su DI x D 2 : (a , (3)g = (a g, (3g). Se X è il carattere di questa azione si ha X(g) = Xl (g)x2(g) , e questa formula permette di definire il prodotto X di Xl e X2. 3.57 Nota. Se A e B sono due matrici di permutazione che rappresentano g, X(g) è, nel caso della somma, la traccia della matrice di permutazione che ha sulla diagonale due blocchi uguali ad A e B e zero altrove, mentre nel caso del prodotto è la traccia del prodotto tensoriale di A per B (il prodotto tensoriale di A per B è la matrice che si ottiene sostituendo la matrice B al posto degli 1 della matrice A ; v. Nota 6.10) . Esercizi 61. Quanti quadrati essenzialmente distinti si ottengono colorando i lati in tutti i modi possibili usando n colori? E se si richiede che ogni quadrato abbia un colore diverso? [Sugg. Seguendo l'ordine dell'Es. 1 di 3.52, gli elementi di D4 fissano rispettivamente n 4 , n, n, n 2 , n 2 , n 2 , n 3 , n 3 quadrati].

62. i) Sia G ciclico di ordine n, G = (g) . Dimostrare che la (3.6) si può scrivere come N = ~ L:d ln X(gd)rp(~) , dove rp è la funzione di Eulero. ii) Usando n perle di a colori diversi quante collane si ottengono? 63. Se H :::; G, dimostrare che L:xEG ICH(X) I H su G per coniugio e applicare la (3.7)] .

= L:yEH ICG(y) l.

[Sugg.: fare agire

64. Sia c(G) il numero delle classi di coniugio di G . Dimostrare che se H < G , allora i) c(H) < c(G) [G : H] e ii) c(G) :::; c(H) [G : H], e che se nella ii) vale il segno "=" allora H è normale, ma il viceversa non è vero. [Sugg. Nell'azione per coniugio t v. Teor. 6.20 e l'osservazione che segue.

128

3 Azione di un gruppo su un insieme

di G su se stesso X(g) = IC c (g) I, e se c( G) è il numero delle classi di coniugio, per la (3.6) si ha c(G) = (l/IGI) 2: 9E C IC c(g) l, e analogamente per H . Per la ii) vedi l'es. 4]. 65 . Se G agisce in modo non banale con N orbite esiste un elemento di 9 E G che muove meno di N elementi: X(g) < N . (Per G transit ivo, N = 1, s i ottiene il Cor. 3.49). 66 (Jordan)t . Sia G un gruppo t ransitivo. Dimostrare che gli elementi di G tali che X(g) = O sono almeno IDI - 1. 67. Sia G un gruppo di permutazioni t ransitivo. Dimostrare che: i) se G ha grado n, X(g) :::; 1 per ogni 1 =I 9 E G se e solo se per n - l elementi di G si ha X(g) = O; ii) se G ha grado p, primo, e X(g) :::; 1 per ogni 1 =I 9 E G, allora G ha un solo sottogruppo di ordine p ; iii) se G è come in ii) , allora G è isomorfo a un sottogruppo del gruppo affine sugli interi modp (Cap. 2, Es. 2, ii) , di 2.74)+ , e le due azioni sono simili. 68 . Dimostrare che il Cor. 3.51 implica il Cor. 3.49 (si ha così equivalenza tra i due) . 69 . Sia a E Aut(G) , plo(a) , p fiGI. Dimostrare che a non può fissare tutte le classi di coniugio di G. [Sugg. : se H = {g E Giga = gl, esiste 9 E G tale che cl(g) n H = 0, altrimenti G = U XEC H X (Cor. 3.51)]. 70. Un gruppo infinito può essere l'unione dei coniugati di un sottogruppo proprio. [Sugg. : considerare G = GL(V), V di dimensione maggiore di 1, un vettore v =I O, H l'insieme degli x E G che hanno v come autovettore; allora H < G. Se il campo è il campo complesso, ogni x E G ha un autovettore u ed esiste 9 E G tale che v 9 = U; ne segue che G è l'unione dei coniugati di H] . 3 .58 Definizione. Il rango di un gruppo transitivo G è il numero di orbite su D dello stabilizzatore G a di un elemento a . (Per la transitività, questo numero non dipende da a) .

71. Dimostrare che il rango di un gruppo G è uguale al numero dei laterali doppi di Ga . [Sugg.: se G = U~=l GaXiGa, allora gli insiemi Di = {a 9 , 9 E GaXiGa , i = 1, 2, ... , t} sono le orbite di G a ]. 72 . Se r è il rango del gruppo transitivo G dimostrare che rlGI = 2: 9E C X(g)2 . [Sugg . Sia D = {1,2, ... ,n}, G = U := IGlti, h = 1; 9 E G fissa i se e solo se 9 E r;I Glti, e se X(g) = r, 9 appartiene ad esattamente r coniugati di G I . Sommando sui coniugati di Gl, che sono in numero di t, il contributo di 9 è allora X(g)2 . Se un sottogruppo non è un coniugato di Gl , il suo contributo alla somma è zero]. 3 .59 Definizione. G si dice 2-transitivo se date due coppie ordinate (a, ;3) e Cì', J) di elementi distinti di D esiste 9 E G tale che a 9 = "( e ;39 = J. Più in generale, t Una traduzione in Teoria dei numeri e in Topologia di questo risultato si trova

:j:

in J .-P. Serre, On a theorem of Jordan , Bull. Am. Math. Soc. 40 , N. 4, 2003, 429-440. Per questo motivo, l'a zione di un gruppo transitivo in cui ogni elemento ha al più un punto fisso si dice affine.

3.3 Formula di Burnside e caratteri di permutazione

129

G si dice k-transitivo se date due k-ple ordinate (al , a2, . .. ,ak) e (31, (32, ... ,(3k ) di elementi distinti di [l esiste 9 E G tale che af = (3i, i = 1, 2, .. . , k . In altre parole, G agisce sull'insieme [l' delle k-ple ordinate di elementi distinti di [l come (al, a2, ... , ak)9 = (ai , a§, ... , a%), e questa azione è transitiva. Se esiste un unico elemento che porta una k-pla sull 'altra, G si dice strettamente k-transitivo. Si osservi che l-transitivo è sinonimo di transitivo. Inoltre, se l[ll = n , allora 1[l'1 = n(n -1) · · · (n - k + 1). 73 . Dimostrare che i) G è 2-transitivo se e solo se è di rango 2, cioè se Go. è transitivo su [l \ {a} ; allora, per l'e s. 11, G è 2-transitivo se e solo se G = Gcx U GcxxGcx . ii) G è k-transitivo se e solo se lo stabilizzatore Ga l n ... n G a k_ l è transitivo su [l \ {al , ... ,ad.

74 . A n è n - 2 transitivo, ma non n - l transitivo. 75 . Dimostrare che se G è k-transitivo si ha IGI = n(n-l) ·· · (n-k+l)Gcx l ,CX2, ...,CXk_ l ' 76 . Sia G di grado n e k-transitivo, k 2: 2. Dimostrare che: i) se G contiene una trasposizione, G = s n; ii) se G contiene un 3- ciclo, G ~ A n . 77. Se X' è il carattere di G su [l' (v. Def. 3.59) dimostrare che X'(g) = X(g)(X(g)1) ... (X(g) - k+ 1). Concludere che G è k-transitivo se e solo se IGI = 2: gE G X' (g) . 78 . Due sottogruppi H e K di un gruppo G si dicono quasi coniugati se sussiste la (3 .10) per ogni 9 E G. Dimostrare che se H e K sono due gruppi con lo stesso numero di elementi dello stesso ordine (ad esempio, i due p-gruppi non isomorfi Zp EB Zp EB Z p e il gruppo di ordine p3 dell ' Es. 7 di 2.74) , le loro immagini in s n, n = IHI = IKI nella rappresentazione regolare sono quasi coniugate. 79 . Determinare due azioni del gruppo di Klein su un insieme di 12 elementi con lo stesso carattere ma non equivalenti. 3.60 Definizione. Sia [l = {l , 2,... n} . Un elemento di a E s n si dice avere una discesa nel punto i se a( i) ::; i . La discesa è propria se a( i) < i . 80. i) Sia da il numero di discese di a . Dimostrare che per un gruppo G ç s n si ha 1.1 1 2: aEG da = n~N, dove N è il numero delle orbite di G . [Sugg. : imitare la dimostrazione del Teor. 3.48 segnando un punto sulla figura nel caso in cui a(i) ::; i . Il numero totale di punti sulle righe è 2:aEG da, e sulle colonne 2:7=1 I{ala(i) ::; i} l· Spezzare quest 'ultima somma nei contributi delle singole orbite; ogni orbita porta un contributo pari a IGI(nk + 1)/2 dove nk è la cardinalità della k-esima orbita] . ii) Sia d~ il numero di discese proprie di a. Dimostrare che 1.1 1 2:aEG d~ = n-;N . iii) La differenza da - d~ è uguale a X(g). Si ottiene la formula di Burnside (3.6) sottraendo membro a membro la formula di ii) da quella di i) . 81. Sia G ::; s n, a E G, e sia zk(a) il numero d ei k-cicli di a. Se Ok è l'i nsieme dei k-cicli che compongono gli elementi di G, il gruppo G agisce per coniugio su Ok: se c = (1 , 2, . .. , k) è un k-ciclo di T E G , ca = (la , 2a , ... , ka) è un k-ciclo di T a E G . Dimostrare che:

130

3 Azione di un gruppo su un insieme

i) gli elementi di G che contengono un fissato ciclo c E a sono quelli che appartengono al laterale Ha , dove H è il sottogruppo degli elementi di G che fissano le cifre del ciclo; ii) lo stabilizzatore di c è G c = U ~~~ H a i, dove a contiene c (unione disgiunta); iii) l'orbita di c ha cardinalità Icc i = IGI/kIHI; iv) Il numero totale delle orbite di G su Ck è Pk = 1.1 1 L:O" EC kZk(a) (PI è il numero delle orbite di G sulle n cifre) ; v) per k = 1 si ottiene la formula di Burnside (3.6) (l 'azione è sui cicli di lunghezza 1, cioè sulle n cifre); vi) sia C = U ~= I Ck ; allora nell'azione di G per coniugio su C il numero delle orbite è n . (La n-pia P = (PI , P 2 , ••• , Pn ) prende il nome di vettore di Parker del gruppo G). vii) Il vettore di Parker di s n è (1 ,1, .. . ,1), n volte 1.

3.4 Azione indotta In questo paragrafo vediamo come un'azione di un sottogruppo si possa estendere a un 'azione del gruppo. Sia H ::; G di indice finito , e sia data un'azione di H su un insieme n. Sia T un sistema di rappresentanti per i laterali destri di H. Se 9 E G e x E T, l'elemento xg appartiene a un certo laterale Hy, y E T , e dunque resta individuato un elemento h E H tale che xg = hy. Si può definire allora un'azione di G sull'insieme prodotto n x T in questo modo: (a , x)g = (ah, y). Si tratta di un'azione: se g,gl E G, e yg1 = h 1z , Z E T, allora ((a,x)g)g1 = (ah,y)g, = (a hh1 ,z), ed essendo x(ggd = (xg)gl = (hy)gl = h(yg1) = hh 1z è anche (a , x)991 = (a hh1 , z). 3.61 Definizione. L'azione ora definita di G sull'insieme n x T si dice indotta dall'azione di H su fl. Vedremo tra un momento che cambiando sistema di rappresentanti si ottengono azioni simili.

Osserviamo che se l'azione di H è transitiva anche quella di G su n x T lo è. Infatti, dati (a, x) e (3, y) , esiste h E H tale che ah = (3; allora con 9 = x - 1hy si ha (a,x)g = ((3 ,y). 3.62 Esempi. 1. Sia Inl = IHI = 1. Gli elementi di T sono allora gli elementi di G, e l'insieme n x T è l'insieme delle coppie (a, x), dove x E G e a è l'unico elemento di n. Il grado dell'azione indotta è allora IGI. Se xg = y (cioè xg = 1· y) si ha (a,x)g = (a,y) = (a,xg). È chiaro che questa azione è simile a quella che dà luogo alla rappresentazione regolare di G: x g = xg (con 'P : x -+ (a , x)). Pertanto: la rappresentazione regolare di un gruppo G è

indotta dalla rappresentazione di grado 1 del sottogruppo identico.

2. Sia ancora Inl = 1 e sia H un qualunque sottogruppo di G. Si vede subito allora che l'azione indotta è quella di G sui laterali di H. Se H è normale abbiamo la rappresentazione regolare di G /H.

3.4 Azione indotta

131

3. Consideriamo ora la rappresentazione regolare di un sottogruppo H. In questo caso il = H. L'azione di G sulle coppie (h,x) è data da (h,X)9 = (hh1,y) = (hhl,y) , dove xg = hly. Se a E G, a si scrive in modo unico come prodotto a = hx. La corrispondenza r.p : a --+ (h, x) è dunque biunivoca: r.p(a)9 = (h, x)9 = (hh l , V), ed essendo ag = hxg = hhly , r.p(a 9 ) = r.p(ag) = (hhl , y). Quindi: la rappresentazione regolare di un gruppo è indotta dalla rappresentazione regolare di uno qualunque dei suoi sottogruppi. Vediamo ora che l'azione indotta non dipende dalla scelta di T. Sia T = {Xl,X2 , ... ,Xm }, T' = {Yl,Y2 , ... , Ym}. L'idea è quella di passare da T a T ' sostituendo uno alla volta gli Xi con gli Vi. Prendiamo, per fissare le idee, Xl, e consideriamo Ti = {Yl, X2, ... ,x m }: l'azione di G su il x T è simile a quella su il x Ti. Infatti, definiamo

come segue. Se Yl = hl Xl, per le coppie il cui secondo elemento è Xl poniamo: r.p(a , xd = (ah;-', Yd (la corrispondenza a --+ ah;-' è una permutazione di il); per le altre coppie prendiamo per r.p l'identità. Si ha allora, per le prime, se Xlg = hXj , r.p((a , xd 9 ) = r.p(ah,xj) = (ah,xj) = (ah;-'h,h , Xj) = (a h;-',Yd 9 , in quanto Ylg = hlXlg = hlhxj. Per le altre coppie, se xig = h'xk, r.p((a , xi)9) = r.p(ah' , xk) = (ah' , xk) = (a,xi)9 = r.p(a,xi)9. Le azioni di G su il x T e il x Ti sono dunque simili. Analogamente, l'a zione di G su il X Ti è simile a quella su il x T 2, dove T 2 è ottenuto sostituendo un elemento di Ti, diciamo X2: T 2 = {Yl, Y2, X3 , · .. , xm} . Proseguendo in questo modo, l'azione di G su il x T risulta simile a quella su il x T'. Siano ora H e K due sottogruppi di G, con H ç K. Se H agisce su il, consideriamo l'azione di K indotta da quella di H, e poi quella di G indotta da questa azione di K. Come vedremo nel teorema che segue, il risultato è lo stesso di quello che si ottiene inducendo direttamente da H a G. Ricordiamo che se Ti = {Xl, X2 , ... } è un sistema di rappresentanti di H in K e T 2 = {Yl,Y2, ... } uno di K in G, allora T = {XiYj,Xi E Tl,Yj E T 2} è un sistema di rappresentanti di H in G. 3.63 Teorema (TRANSITIVITÀ DELL'AZIONE INDOTTA). Siano H ç K due sottogruppi di G con H che agisce su il. Allora l'azione indotta da H a G è simile a quella che si ottiene inducendo prima da H a K e poi da K a G.

Dim. Con la notazione di sopra, l'azione indotta da H a K su il X Ti è data da (a , xi)k = (ah,xj) , dove Xik = hXj, e quella indotta da K a G (su (il x Ti) x T2) è ((a , xi),Yj)9 = ((a,xi)k,ys) = ((ah,xj),Ys) , dove Yjg = kys. Ma XiYjg = hXjYs , e dunque l'azione di G su il x T è (a , xiYj)9 = (ah,xjYs). La corrispondenza r.p : (a,xiYj) --+ ((a,xi),Yj) è biunivoca, e, per quanto appena dimostrato, conserva l'azione di G.

132

3 Azione di un gruppo su un insieme

Vediamo ora il comportamento dei caratteri rispetto all'induzione. Denotiamo con XG il carattere del gruppo G indotto dal carattere X di un suo sottogruppo H. 3.64 Teorema. i) XG(g) = O se 9 non è coniugato ad alcun elemento di H; ii) posto X(Y) = O se y (j. H si ha:

XG (g) =

1 ~ ( -l ) THI ~ X xgx .

(3.11)

xEG

Dim. i) Se nell'azione indotta 9 E G fissa un elemento di (a, Xi) E fl x T, allora da Xig = hXj si ha (a, Xi)9 = (ah, Xj) = (a, xd, e in particolare, Xi = Xj e perciò xigxil = h E H; ii) dalla i) abbiamo, se m è l'indice di H, XG(g) = 2::::1 x(xigxil). Ora, se h E H, per la i) del Teor. 3.53 è X(hxigxi l h-l ) = x(Xigxil), e . d·l X ( Xig x i- l) -- THT l 'L..h " E H X (h xgx -l h- l ) . N e segue ",m qUlll L..i= l X ( Xig x i- l) -liI l 2::::1 2::: h E H X(hXigxi l h -l ). Al variare di h H e di Xi tra i rappresentanti dei laterali di H, i prodotti hXi esauriscono gli elementi di G, da cui il risultato.

Esercizi 82. Sia H ::; G, K il nucleo di un'azione di H, KI quello dell 'azione di G indotta dall 'azione di H . Dimostrare che se K:,:! G allora K ç KI . 83. Denotiamo con TH il carattere della restrizione al sottogruppo H del carattere T di G . Dimostrare che se X è un carattere di H si ha X GT = (XTH)G . 84. i) Sia G = HK, H,K ::; G, e sia data un'azione 'P di H su un insieme n. Dimostrare che le seguenti azioni di K sono equivalenti: i) l'azione ottenuta inducendo a G l'azione di H e poi restringendola a K; ii) l'azione ottenuta restringendo ad H n K l'azione di H e poi estendendola a K. 85. (Mackey). Sia G = Ua HaK la partizione di G in laterali doppi di H e K. Sia T un sistema di rappresentanti dei laterali di H in G, e T a l'insieme degli elementi di T che appartengono ad HaK. Se H agisce su n, dimostrare che: i) n x T = Ua(n x T a), e K agisce su ciascuno degli n x T a; ii) l'azione di K su n x T a è simile a quella di K indotta dall'azione di a-l HanK su n definita da a X = aaxa- ' , per x E a-l Ha n K. 86. Dimostrare che se H ::; G , e X è un carattere di H :

X

G(

( I~ X(X i ) g) = ICG g) ~ ICH(X i )l'

(3.12)

dove gli Xi, i = 1,2, . . . ,r, sono rappresentanti delle classi di coniugio di H contenute nella classe di coniugio di g in G , e dove XG(g) = O se H n cl(g) = 0.

3.5 Automorfismi di (G, il)

133

3.5 Automorfismi di (G, n) Sia A l'insieme delle permutazioni di D che commutano con l'azione di G:

per ogni a E D e g E G. L'insieme A è un gruppo, sottogruppo di SD. Infatti, 1 E A; se ip,1jJ E A allora (ip1jJ)(a g) = ip (1jJ(ag)) = ip(1jJ (a )g) = (ip (1jJ(a)))g (( ip1jJ ) (a))g. Inoltre, con a = ip ((3 ) , ip-l (a g) = ip-l (ip ((3)g) = ip-l (ip ((3g )) (3g = ip-l(a)g, e dunque anche ip-l E A. 3.65 Definizione. Il gruppo A ora definito si chiama gruppo degli automorfismi di (G, D). Se G ~ A è il centralizzante di G in

sn,

sn.

3.66 Nota. È appena opportuno osservare che gli automorfismi di (G, il) non vanno confusi con gli automorfismi del gruppo G.

Il nostro scopo è ora quello di determinare, nel caso di un gruppo transitivo G, la struttura di A a partire da quella di G. Mostreremo che A è isomorfo a un quoziente di un sottogruppo di G. Si tratta di un'ulteriore dimostrazione di come la transitività permetta di restare sempre all'interno del gruppo che agisce. Supporremo, in tutto il paragrafo D finito, IDI = n. Quando parleremo di un gruppo di permutazioni si tratterà perciò sempre di un sottogruppo di Vediamo dapprima qualche proprietà di A nel caso di azioni particolari.

sn.

3.67 Definizione. Sia G un gruppo di permutazioni. G si dice semiregolare se G ex = {l} per ogni a E D. Si dice regolare se è semiregolare e transitivo. 3.68 Note. 1. Se un gruppo agisce su un insieme il ed è semiregolare, allora è necessariamente un gruppo di permutazioni di il in quanto, essendo tutti gli stabilizzatori uguali a {l}, il nucleo dell'azione è {l} . 2 . In teoria di Galois, sia K' = K(al, a2, ... , a n ) l'ampliamento di un campo K ottenuto aggiungendo le radici ai di un polinomio f(x). Allora il gruppo di Galois G di f(x) , cioè il gruppo delle permutazioni delle ai che mutano relazioni algebriche tra le ai su K ancora in relazioni, è un gruppo semiregolare se e solo se il polinomio f(x) è un polinomio normale, cioè se le a i si possono esprimere tutte come una funzione razionale (polinomio) di una qualunque di esse (ognuna delle a i è allora un elemento primitivo del campo K') . Se inoltre il polinomio f(x) è irriducibile su K , allora G è transitivo, e dunque regolare. In generale, se "( è un elemento primitivo di K', K' = K("(), e G 1 è il gruppo di Galois del polinomio minimo g(x) di "( su K, allora G 1 è isomorfo a G come gruppo astratto, e come gruppo di permutazioni delle radici di g(x) è un gruppo regolare (G 1 fornisce la rappresentazione regolare di G).

Sia G semiregolare e si abbia a g = (3 e anche ah = (3 . Allora a g = ah, gh a - l = a e dunque gh- l = 1 e g = h. Semiregolare significa quindi che, dati a e (3, esiste al più un elemento di G che porta a su (3. Se G è transitivo, un

134

3 Azione di un gruppo su un insieme

tale elemento esiste; regolare significa perciò che dati a e13 esiste esattamente un elemento che porta a su 13 . Si osservi inoltre che un sottogruppo H di un gruppo semiregolare è anch'esso semiregolare (se Ho: i:- {I}, anche Go: i:- {I} perché contiene Ho:). 3.69 Teorema. Sia G semiregolare. Allora le orbite di G hanno tutte la stessa cardinalità, e questa cardinalità è IGI. In particolare, se G è regolare, IGI = n , cioè l 'ordine è uguale al grado. Dim. La (3.1) diventa in questo caso laGI = [G : Go:] Se G è regolare, essendo a G = D, è IDI = IGI.

= [G

: {I}]

= IGI.

Ne segue che un sottogruppo proprio H di un gruppo regolare non è mai regolare (si avrebbe IHI = n = IGI). 3.70 Corollario. Sia G un gruppo semiregolare. Allora ogni elemento di G ha tutti i cicli della stessa lunghezza. Dim. Il sottogruppo generato da 9 E G è anch'esso semiregolare, e le orbite sono i cicli di g.

3.71 Nota. I cicli di due diverse permutazioni possono però avere lunghezza diversa.

3.72 Definizione. Una permutazione si dice regolare se tutti i suoi cicli hanno la stessa lunghezza. Si ha così che un gruppo è semiregolare se tutti i suoi elementi sono permutazioni regolari. 3.73 Teorema. Se G è transitivo, A è semiregolare. Dim. Basta far vedere che se r.p E A fissa un elemento, allora li fissa tutti. Sia r.p(a) = a, e sia 13 E D. Per la transitività di G, esiste 9 E G tale che aB = 13. Allora r.p(j3) = r.p(a B) = r.p(a)B = aB = 13. .

3.74 Teorema. Sia G un gruppo che agisce su un insieme D. Allora due elementi a e 13 di D hanno lo stesso stabilizzatore se e solo se esiste r.p E A tale che r.p(a) = 13 . Dim. Dimostriamo dapprima che se r.p(a) = 13 allora Go: = Gj3. Si ha: 9 E Go: {::} aB = a {::} r.p(a B) = r.p(a) {::} r.p(a)B = r.p(a) {::} 9 E G 2, e, sottraendo un opportuno multiplo della seconda riga dalla prima, anche al,2 = O, equindi al,i -::f- O per i -::f- 2. Il procedimento termina quando si arriva ad an,n, e a questo punto si ha QA = D, con D=diag(l,l, ... ,l,an ,n ). Ma prendendo i determinanti dei due membri della QA = D si ha da un lato det(QA) =detQ·detA = l·d, in quanto Q è prodotto di matrici Ei,j(a) che hanno tutte determinante 1, e dall'altro detD=an,n; ne segue an,n = d. In particolare, se A E SL(n, K), è d = 1, D è identica e A = Q, prodotto di trasformazioni elementari.

= {a E SL(n,K) del vettore u. Allora le trasvezioni di centro u:

3.96 Lemma. Sia u E V, G u

I a(u) = u}

lo stabilizzatore

T(V) = V + f(v)u , al variare di f E V*,f(u) = O, formano un sottogruppo abeliano normale Tu di G u . Inoltre, SL(n,K) è generato dai coniugati di Tu in SL(n,K). Dim. i) Tu è abeliano: T f T9 (V) e analogamente il risultato. Ciò spazio duale V* ii) Tu::::! G u .

= Tf(V + g(v)u) = v + g(v)u + f(v + g(v)u)u = v + g(v)u + f(v) + g(v)f(u) = v + (f + g)(v)u,

T9 Tf(v) = v + (g + f)(v)u. Avendosi f + g = g + f si ha dimostra anche che Tu è isomorfo al gruppo additivo dello di V. Sia a E G u . Allora:

a - lT f a(v) = a - l(a(v)

+ f(a(v))u)

= v

+ f(a(v))a - l(u)

= v

+ f(a(v))u,

per cui a -l Tf a = Tf", anch'essa una trasvezione di centro u. iii) I coniugati di Tu generano SL(n, K):

(T:; I a E SL(n, K)) = (T,,(u) I a E SL(n , K)) = (Tv I v E V) = SL(n, K) dove la seconda uguaglianza segue dalla transitività di SL(n, K), e la terza dal fatto che le trasvezioni generano SL(n , K).

3.97 Lemma (lwAsAwA). Sia G un gruppo di permutazioni primitivo su un

insieme D, e sia A un sottogruppo abeliano e normale di G a , e tale che i suoi coniugati secondo i vari elementi di G generano G. Allora ogni sottogruppo normale non banale di G contiene il derivato G ' di G. In particolare, se G = G' , G è un gruppo semplice. Dim. Sia N -::f- {l} un sottogruppo normale di G; N è transitivo (es. 102). Allora N Cl G a , per qualche a, e per il Teor. 3.22 (o per la massimalità di G a , es . 100) G = NG a . A::::! G a implica N A::::! NG a = G , e poiché allora A9 ç N A per ogni g E G, e questi coniugati di A generano G, è G = N A. Ne segue GIN = N AI N ':::' AI A n N, abeliano, e pertanto N ;2 G ' .

150

3 Azione di un gruppo su un insieme

3.98 Lemma. Se n :::: 3, o se n = 2 e

IKI > 3,

allora:

GL(n, K)' = SL(n, K)' = SL(n, K). Dim. (Scriviamo GL per GL(n, K) ed SL per SL(n, K)). Poiché GLI SL ~ K* , è GL' ç SL, e poiché SL' ç GL' basta dimostrare che SL ç SL', e per questo che ogni trasvezione appartiene a S L'. i) n :::: 3. In questo caso, le trasvezioni sono coniugate in SL (Lemma 3.94, ii)) e pertanto appartengono tutte allo stesso laterale di SL'. Sia Tu una trasvezione di centro u, f(u) = 0, e siano u' 1:- -u, f(u') = 0, e Tu' una trasvezione di centro u'. Allora Ti T!, = T!+u' è ancora una trasvezione, e pertanto appartiene alla stessa classe di Tu' mod SL': SL'TuTu' = SL'Tu" da cui SL'Tu = SL' e Tu E SL'. ii) n = 2. Essendo SL' ::::! GL, e la coniugata di una trasvezione ancora una trasvezione, se una di queste appartiene ad SL' tutte vi appartengono. Sia {V1,V2} una base di V, e T la trasvezione T(vd = V1 e T(V) = v + V1 (di centro V1, iperpiano (V1) e f(v) = 1). Poiché IKI :::: 3, esiste d E K tale che d2 1:- 0,1. Sia o-(vd = dV1 e o-(vd = d- 1V2; per il commutatore [a,T - 1] si ha, su V1, a - 1TaT - 1(vd = a - 1Ta(vd = a - 1T(dvd = a - 1(dvd = V1 , e su V2, a - 1TaT - 1(v2) = a - 1Ta(v2 + vd = a -1 T(d-1 v2 + dV1)a - 1(d- 1V2 + d- 1v1 dvd = v2+d-2 v1 -V1 = v2+(d- 2 -1)V1. Ne segue che il commutatore [a, T-l ] è la trasvezione Tv = V + f(V)V1 (f(v) = (3(d- 2 - 1) per v = aV1 + (3v2), di centro V1 e iperpiano (V1) , da cui il risultato.

Ricordiamo che se V è uno spazio vettoriale di dimensione n , i sottospazi (v) di dimensione 1 ("rette" ) costituiscono i punti dello spazio proiettivo pn - 1(K). In altri termini , pn- 1(K) è l'insieme delle classi di equivalenza di vettori non nulli di V rispetto alla relazione "upv se esiste À 1:- in K tale che u = Àv". Se K = F q , ogni classe di equivalenza consta di q-l vettori, e poiché V ne ha qn, lo spazio pn-1 (K) ha qn-1 + qn-2 + ... + q2 + q + 1 punti. SL(n, K) agisce su pn- 1(K) (manda rette in rette): (V)17 = (v 17 ), ma gli elementi del centro, che sono moltiplicazioni per scalari, fissano tutte le rette, e quindi è il gruppo quoziente PSL(n , K) , il gruppo lineare proiettivo speciale che agisce: se a = (v), a Z17 = (v)ZI7 =def (v 17 ) (v. es. 123). Siano ora (a1,a2) e (b 1,b2) due coppie di punti distinti, ai = (Ui), bi = (Vi), i = 1,2. Essendo i punti distinti, i vettori U1 e U2 sono indipendenti, e pertanto fanno parte di una base U1, U2, ... ,Un' Analogamente si ha una base V1, V2, ... ,vn , e quindi esiste a E GL(n, K) che porta ordinatamente Ui su Vi. Se a ha determinante d 1:- 1, si può ottenere una a' E SL(n, K) procedendo come della dimostrazione del L emma 3.94, ii): si consideri a' = aTJ dove TJ( ud = ~U1 ed TJ( Ui) = Ui , i :::: 2. La a' manda allora U1 in ~V1 e Ui in Vi, i :::: 2, per cui (U1)17' = (u() = ((~vd) = (V1) In altri termini, Za' E PSL(n , K) porta ai = (Ui) su bi = (Vi) , i = 1,2. Abbiamo dimostrato:

°

3.7 Semplicità di alcuni gruppi

151

3.99 Lemma. Il gruppo PSL(n , K) è 2-transitivo sui punti dello spazio proiettivo p n-l (K).

Abbiamo ora tutti gli elementi per dimostrare il risultato principale di questa sezione. 3.100 Teorema. Il gruppo PSL(n, K) è un gruppo semplice se n = 2 e IKI > 3.

> 2, o se

n

Dim. Scriviamo SL per SL(n, K), PSL per PSL(n, K), e verifichiamo che PSL soddisfa le ipotesi del Lemma di Iwasawa. Per il Lemma 3.96, SL contiene il sottogruppo normale abeliano Tu i coniugati del quale generano SL, e pertanto PSL contiene il sottogruppo normale abeliano TuZjZ i coniugati del quale generano SLjZ = PSL. Ne segue che un sottogruppo normale non banale di PSL contiene il derivato PSL'. Ma siamo nelle ipotesi del Lemma 3.98, e quindi SL = SL', e poiché PSL' = (SLjZ)' = SL'Z jZ = SLjZ = PSL si ha la tesi.

Nel caso di un campo finito , questo teorema fornisce così una nuova classe infinita di gruppi semplici finiti, che fa seguito a quella dei gruppi alterni che già conosciamo. Per gli ordini dei gruppi SL(n , q) e PSL(n, q) abbiamo: 3.101 Teorema. Sia K = Fq. Allora: i) ISL(n , q)1 = IGL(n, q)lj(q-l) = (qn _1)(qn _q) ... (qn_qn - l )j(q-l); ii) IPSL(n,q)1 = ISL(n,q)l j(n,q -1).

Dim. i) L'ordine del gruppo GL(n, q) è stato calcolato nell' Es. 2 di §l.2l. Il risultato segue dal fatto che SL(n, q) è il nucleo dell'omomorfismo che manda una trasformazione lineare nel determinante di una sua matrice. L'immagine di questo omomorfismo è il gruppo moltiplicativo del campo, che ha ordine q - l. ii) PSL(n, q) è l'i mmagine di SL(n, q) secondo un omomorfismo di nucleo le radici n-esime dell'unità di F;, e poiché F; è ciclico di ordine q-I, le radici n-esime formano un sottogruppo di ordine (n , q-I).

F;

I gruppi PSL(2, 2) e PSL(2 , 3) esclusi dal Teor. 3.100 hanno ordine rispettivamente 6 e 12, e quindi non possono essere semplici (sono isomorfi ad S 3 e A 4 , rispettivamente; v. es. 126). Per n = 2 e q = 3, GL(3 , 2), che abbiamo visto essere l'unico gruppo semplice di ordine 168, si ritrova come PSL(3 , 2) (su un campo con due elementi non c'è distinzione tra GL(n, K), SL(n, K) e PSL(n,K)) o come PSL(2 , 7). Il gruppo alterno A5 è isomorfo a PSL(2 , 4) e a PSL(2, 5). Esercizi 118. Dimostrare che GL(n , K) è il prodotto semidiretto di SL(n , K) e del gruppo moltiplicativo K* di K.

152

3 Azione di un gruppo su un insieme

119. Data una trasvezione

T ,

determinare una E i ,j (a) coniugata a

T.

120. Dimostrare che se la dimensione dello spazio è 2, e -1 non è un quadrato in K, le due trasvezioni El ,2(I) ed E 1 ,2(-I) non sono coniuga te in SL(2,K). 121. Siano

e T v due trasvezioni relative allo stesso iperpiano. Dimostrare che Si ottiene cosÌ un isomorfismo tra il gruppo delle trasvezioni con lo stesso iperpiano e il gruppo additivo dell'iperpiano. Tu Tv

Tu

= T u +v .

122. Dimostrare che se n:::: 3, ogni E i ,j (a) è un commutatore. 123. Dimostrare che l'azione di PSL(n , K) sui punti di p n-l (K) è ben definita e fedele. I due esercizi che seguono permettono di dare una nuova dimostrazione della semplicità di PSL(n , K) per n:::: 3.t 124. Sia n :::: 3, O' E SL(n , K) \Z; allora esiste u tale che 0'( u) = v =1= u. Il piano (u , v ) è contenuto in un iperpiano H. Sia T u una trasvezione relativa ad H. Dimostrare che per O = O'Tu O' - I T ;:1 si ha: i) 0=1=1 (usare l'esistenza di un vettore w ~ (u , v)) ; ii) o(v) - v E (u , v) , per ogni v E V; iii) o(H) ç (H) , o(v) = v + h , h E H e perciò o(H) = H ; iv) se Opermuta con tutte le trasvezioni relative ad H, allora fissa H elemento per elem ento e quindi si tratta di una trasvezione relativa ad H ; v) esiste una trasvezione T u relativa ad H t ale che 0' = OTu O - 1 T ;:1 =1= 1. 0' è allora prodotto di due trasvezioni (OTu O - 1 e T ;: I) di iperpiani beH) e H ; ma beH) = H , e quindi si tratta di due trasvezioni relative allo stesso iperpiano, e pertanto 0' è una trasvezione relativa a d H . 125. Sia n :::: 3, N normale in SL(n, K) , N rz. Z . Dimostrare che i) N contiene una trasvezione. [Sugg. : se O' E N \ z , N contiene o O O'(Tu O' - IT;: I) oppure 0' = O(Tu O- 1 T;:I)] ; ii) N contiene tutte le trasvezioni (Lemma 3.93) . Concludere che PSL(n , K) è un gruppo semplice. 126. Dimostrare che PSL(2, 2) è isomorfo a S 3 e PSL(2 , 3) ad A 4 [Sugg. : PSL(2 , 2) agisce fedelmente sui tre punti della retta proiettiva pl(F2 ) (le tre rette dello spazio V = {O , u , v , u+ v }) , e PSL(2 , 3) sui qua ttro punti di pl (F3) (le quattro rette dello spazio W = {O , u , -u, v , -v , u + v , u - v , -u + v , -u - v} )] . 127. Dimostrare che PSL(2, 4) :::: PSL(2 , 5) :::: A 5 . 128. Dimostrare che i due gruppi semplici PSL(3 , 4) e PSL(4 , 2) , che hanno lo stesso ordine 20160, non sono isomorfi. [Sugg.: dimostrare che il centro di un 2-Sylow di PSL(3 , 4) è un Klein considerando le matrici unitriangolari superiori (§3.32, Es. 1) ; quelle del centro sono le

(~~ ~) , con x OO 1

E F 4 . Il centro di un 2- Sylow di

PSL(4 , 2) è invece un O2. (L'uso delle matrici è giustificato dal fatto che ip-Sylow di PSL(n , q) , q= p f, sono isomorfi a quelli di SL(n , q))]. t Cf. S. Lang, Algebra, II ed., p. 476.

4

Generatori e relazioni

4.1 Generatori Ricordiamo che il sottogruppo generato da un insieme di elementi S di un gruppo a è l'insieme di tutti i prodotti: (4.1) dove Si E S (non necessariamente distinti) , ti = ±1 e m èun intero positivo (Teor. 1.20). Per semplicità è opportuno scrivere, raccogliendo gli Si consecutivi uguali, S~' S~2 ... s~~, con gli h i interi relativi (s? = 1). Nella forma (4.1) gli elementi di (S) sono parole nell' alfabeto SUS - 1 U{I}. Si può analogamente definire il sottogruppo normale generato da S, detto anche chiusura normale di S , e che si denota con (S) G . Esso è generato dagli elementi di S e dai loro coniugati, e coincide con l'intersezione dei sottogruppi normali di a (c'è almeno a stesso) che contengono l'insieme S. Se gli elementi di S permutano tra loro, allora (S) è abeliano. Inoltre, se S è finito e tutti i suoi elementi hanno periodo finito e sono permutabili, allora anche (S) è finito. Infine, un sistema di generatori di un gruppo è minimale se nessun suo sottoinsieme proprio genera il gruppo. Scriveremo f.g. per "finitamente generato". Se a è f.g. e N :::! a, allora a/N è f.g. (dalle immagini dei generatori di a). Ma un sottogruppo di un gruppo f.g. non è detto che sia f.g. (v. Es. 3 e 4 di 4.1 qui sotto). 4.1 Esempi. 1. Il gruppo degli interi (notazione additiva) è generato dall'insieme S = {I} e anche da S = {2, 3}. Sono entrambi insiemi di generatori minimali. La cardinalità di un insieme di generatori non è dunque determinata, nemmeno nel caso minimale.

2. Il gruppo additivo Q = Q( +) dei razionali. Si tratta di un gruppo che non può essere f.g. Infatti, se S = {~ }, i = 1,2, ... ,n, è un insieme finito di numeri razionali , per un elemento r del sottogruppo (S) si ha, per certi ti , e A. Machì, Gruppi © Springer-Verlag Italia, Milano 2007

154

4 Generatori e relazioni

dopo aver ridotto allo stesso denominatore, r = 2:~-1 mi Ei. = L:i-J t i Al va.qi ql q2" 'qn riare di r in (S) gli elementi 2:7=1 ti cosÌ ottenuti costituiscono un sottogruppo degli interi (perché (S) è un sottogruppo) , che come tale è ciclico, generato da un certo intero h. Allora anche (S) è ciclico, e generato da ql q2"h 'qn . In altre parole, ogni sottogruppo f.g. dei razionali è ciclico (un gruppo con questa proprietà si dice localmente ciclico). Ma i razionali non sono un gruppo ciclico: dato un razionale r ne esistono sempre altri che non sono multipli interi di r. Nel gruppo dei razionali non esistono sistemi di generatori minimali. Anzi, ogni elemento di un sistema di generatori è superfluo. Infatti, siano Q = (S) e s ES, e facciamo vedere che anche S \ {s} genera Q. Sia H il sottogruppo generato da S \ {s } e sia y E H. Esistono allora due interi n e m tali che ns = my, e quindi ns E H. Ora, per n intero non nullo, ~s deve potersi esprimere nella forma ~s = 2: misi +ks con Si E S\ {s}; ma allora s = 2: nmisi +nks E H, in quanto somma di due elementi di H. Ne segue Q = (S) = (S\ {s}) = H, e l'elemento s è superfluo. 4.2 Nota. Nel caso di Q , o in casi simili , in un insieme S di generatori ogni elemento è superfluo, e si potrebbe quindi pensare di togliere a uno a uno tutti gli elementi SI, S2, .. . da S fino ad arrivare all'insieme vuoto e all'assurdo Q = (0) = {O}. L'assurdo nasce dal fatto che l'operazione di togliere gli elementi da un insieme infinito S corrisponde a una proposizione con un numero infinito di congiunzioni, che non può essere una proposizione della teoria.

Da questa dimostrazione si vede anche che Q non ha sottogruppi massimali: se infatti M < Q è massimale, sia x (j. M; allora Q = (M, x), e come sopra Q = (M) = M. Un insieme di generatori per Q è dato da S = {~, n = 1, 2, ... }: si ha 1 !:. qui si ha !:.s = (r(s - 1)!)-\, s = r s . Un altro insieme di generatori è {-hl,}: . s. k = 1, 2, ... ; esso permette di rappresentare Q come unione di sottogruppi in modo analogo a Cp "" : 1

1

(1) C (2!) C (3!) C ...

-h,

((1) è il gruppo degli interi). Si osservi che, posto Ch = Q ha un sistema di generatori Cl, C2, ... tali che Cl = 2C2, C2 = 3C3 , ... , cn = (n + I)C n H, ... (cfr. Es. 3 di 1.36). Nel gruppo degli interi tutti i sottogruppi non banali hanno indice finito; in Q si verifica il caso opposto: tutti i sottogruppi non banali hanno indice infinito (v. Es. 7 di 1.45). Ogni elemento di Q/H ha però periodo finito. Sia infatti H + a E Q/H , ~ E H e a = ~. Allora r = s~ E H, e dunque pr E H. Ma rqa = pr E H, e perciò rq(H + a) = H.

3. Sia H una somma diretta infinita (nei due sensi) di copie di H = ... ffi

Z2

ffi Z2 ffi Z2 ffi ...

Z2:

4.1 Generatori

155

H non può essere f.g. (se lo fosse, poiché è abeliano e i suoi elementi hanno periodo finito, sarebbe finito). Consideriamo l'automorfismo di H dato da a(xi) = Xi+l, dove Xi è il generatore dell'i-esimo addendo, i E Z. È chiaro che il prodotto semi diretto di (a) per H è generato da uno degli Xi, ad esempio Xo, e da a, perché ogni altro Sk si ottiene come ak(xo):

G

= (H, a) = (xo, a).

Quindi G è generato da due elementi e contiene H che non è f.g. Si osservi che in questo caso si ha addirittura una catena discendente di sottogruppi f.g. la cui intersezione non è f.g. Infatti, a partire da xo, Xl e a 2 si ottengono tutti gli elementi di H , e dunque (H, a 2 ) = (xo , xl , a 2 ) , e in generale (H, a 2k ) k (xo, Xl, ... ,X2Ll, a 2 ). Abbiamo così la catena di sottogruppi: k

G = (H, a) => (H, a 2 ) => ... => (H, a 2 ) => ... , e l'intersezione di tutti i sottogruppi della catena, che sono f.g. , èil sottogruppo

H:

n (H,a 00

k

2 )

= H,

i= l

che non è f.g. t 4. Consideriamo le due trasformazioni affini della retta reale: S:

X ---+ 2x, t: X ---+ X + 1

e il gruppo G = (s , t) da esse generato (nel gruppo affine della retta). In questo gruppo gli elementi:

sono tali che Sk = SZ+ l' e dunque (Sk) C (Sk+l)' Il sottogruppo di G

non può essere f.g.; in particolare, H -::f- G. Si osservi, inoltre, che coniugando Sk+l con

S

si ottiene Sk:

Vi sono due casi che assicurano in generale che un sottogruppo di un gruppo f.g. è anch'esso f.g. È quanto vedremo nei due teoremi che seguono. t :j:

Il gruppo G è il lamplighter group (gruppo dellampionaio) . Si ha così un esempio di coniugio che "restringe" un sottogruppo.

156

4 Generatori e relazioni

4.3 Teorema. Un sottogruppo di indice finito di un gruppo f.g. è f.g. Il teorema è una conseguenza immediata del lemma seguente: 4.4 Lemma. Sia G un gruppo, H un sottogruppo di G, T un sistema di rappresentanti dei laterali destri di H, con 1 E T. Sia X un sistema di generatori di G. Allora gli elementi di T XT - l che appartengono ad H formano un sistema di generatori di H: H = (T XT - I n H).

Dim. Sia h E H dato da h = YIY2·· ·Yn, Yi E X U x - l, e sia Y E Ht l · Allora YI = hlt l , per cui hl = Ylt1l = 1 . ylt 11 = (tlxl ·1) - 1 e dunque hl è l'inverso di un elemento di TXT - l . Analogamente, tlY2 = h2t2, e quindi, se Y2 = X2 , si ha h 2 = t1X2t:;1 E TXT - I e se Y2 = X:;l è h 2 = (t2X2tll) - I. Ne segue: h = Ylt 11 . tlY2 . Y3··· Yn = lYlt 11 . tlY2 t:;1 . t2Y3 ... Yn = ... = lYlt 11 . tlY2 t:;1 ... tn - 2Yn - It;;'~1 . tn- IYn = hl h2 ··· h n- l . tn- IYn, e poiché tn- IYn

= tn- IX n . 1 = (h l h 2 ··· hn_ d - Ih

E H, si ha il risultato.

Per costruzione, in un elemento h = tlx2t:;1, t2 è il rappresentante della classe cui appartiene t1X2. Scrivendo t2 = tlx2, h assume la forma h = tIX2(tIX2) - I. Se h = tIX:;lt:;l , allora h2t2X2 = tI, e tI è il rappresentante della classe cui appartiene t2X2; in questo caso:

h = tIX:;lt:;1 = (t2X2tll) - 1 = (t2X2· (t2X2) - I) - I. In altre parole, il lemma precedente dice che H = (tX(tX) - I, t E T, x E X). 4.5 Teorema. Un sottogruppo di un gruppo abeliano f.g. è f.g.

Dim. (Notazione additiva). Per induzione sul numero n di generatori del gruppo. Se n = 1, il gruppo è ciclico, e così pure ogni suo sottogruppo. Se n > 1, Xl, X2, ... , Xn sono generatori e H è un sottogruppo, possiamo scrivere, per h E H , (4.2) Sia S il sottoinsieme di Z costituito dagli interi che compaiono come coefficienti di Xl nella scrittura di qualche elemento di H. Se hl = tXI + ... e h 2 = l'Xl + ... , allora t - l' compare come coefficiente di Xl dell'elemento hl - h 2 E H. Ne segue che S è un sottogruppo di Z, e come tale è ciclico, generato, diciamo, da s. Sia h' un elemento di H che ha s come coefficiente di Xl: h' = SXI + ... , e sia h come nella (4.2). Allora mI = ps e in h-ph' non compare Xl; pertanto, h - ph' E K = (X2, X3, ... , x n ). Poiché K è generato da n -1 elementi, ogni suo sottogruppo è, per ipotesi induttiva, finitamente generato; in particolare lo è HnK: HnK = (Yl, Y2, ... , Ym). Ma h-ph' E HnK, e dunque h E (h', Yl, Y2,···, Ym), ed essendo h generico in H, è H ç (h', Yl, Y2,· .. , Ym). L'altra inclusione è ovvia in quanto h' e gli Yi sono tutti elementi di H.

4.1 Generatori

157

Esercizi 1. Sia G un gruppo abeliano, n un intero. Dimostrare che nG = {na, a E G} e G[n] = {a E Gina = O} sono sottogruppi di G e che nG:::: GjG[n].

4.6 Definizione. In un gruppo G, un elemento x si dice divisibile per l'intero n se esiste y E G tale che x = ny (o x = yn in notazione moltiplicativa) e si dice divisibile se è divisibile per ogni n . Il gruppo G si dice divisibile se ogni suo elemento lo è. In altre parole, G è divisibile se e solo se nG = G per ogni n (v. es . precedente). Ad esempio, il gruppo additivo dei razionali Q( +) è divisibile (y = :;;:), come pure il gruppo moltiplicativo dei complessi C * (y = y'X) . 2. Se (o(x), n)

= 1, allora x

è divisibile per n .

3. Sia G un gruppo abeliano divisibile. Dimostrare che: i) G è infinito, e ogni suo quoziente proprio è ancora divisibile; ii) il sottogruppo di torsione di G è divisibile; iii) il sottogruppo di torsione del gruppo moltiplicativo dei numeri complessi è isomorfo al gruppo additivo QjZ (l'operazione è la "somma modulo 1" , e i p-elementi costituiscono il gruppo Q P dell' Es. 4 di 1.36); iv) se G è privo di torsione, allora è uno spazio vettoriale sui razionali. [Sugg.: si definisca la moltiplicazione esterna di un razionale ~ per x come my, dove y è l'unico elemento tale che x = ny] ; v) G è divisibile se e solo se è divisibile per ogni primo; vi) G è divisibile se e solo se non contiene sottogruppi massimali; vii) usare i) per dimostrare che Q( +) non ha sottogruppi di indice finito , e in particolare non ha sottogruppi massimali; viii) una somma diretta di gruppi divisibili è divisibile. 4. Dimostrare che

Cp ~

è divisibile.

5. Dimostrare che Cp ~ è isomorfo a ogni suo quoziente proprio. [Sugg. : usare gli es. 1 e 3 ricordando che un sottogruppo di Cp ~ è costituito dalle radici p n - esime dell 'unità, per un certo n , e quindi dagli elementi z tali che zpn = 1]. 6. Utilizzare i generatori X = {!h, k = 1, 2, ... } di Q( +) per dare una nuova dimostrazione del fatto che Q( +) è localmente ciclico (v. Es. 2 di 4.1) . 7. Siano pl, P2 , ... , p n primi distinti. Dimostrare che i prodotti

Pi =

PIP2 . .. Pi-1 Pi+ l ... pn, i = 1,2, ... , n ,

formano un sistema di generatori minimale di Z . 8. Se eX)

= G e ex è un automorfismo di

G, allora eX" )

= G.

9. Se G è f.g. la sua cardinalità è quella del numerabile. lO. Un gruppo è localmente finito se ogni suo sottogruppo f.g . è finito . Dimostrare (Schmidt) che se N:::l G e GjN sono localmente finiti anche G lo è. [Sugg. : sia {x;} finito; le immagini XiN generano un sottogruppo finito di GjN]. 11. Dimostrare che:

i) i razionali della forma ;:, p primo, m, r interi, formano un sottogruppo Qp di Q(+) che non è divisibile. [Sugg.: Sia n primo con m e p] .

158

4 Generatori e relazioni ii) Qp/Z:::: Cp ~ , e dunque è divisibile (è il gruppo dell'Es. 4 di 1.36). iii) Qp =1= Qq, p =1= q. iv) p Qp è il gruppo degli interi.

n

12. Dimostrare che il sottogruppo H dell ' Es. 4 di 4.1 è normale e abeliano (e anzi localmente ciclico) e che il quoziente G / H è ciclico.

4.2 Il sottogruppo di Frattini Un elemento x di un gruppo si dice non- generatore se ogniqualvolta x assieme a un insieme S genera G , allora già S da solo genera G: (S, x)

=G

:::} (S)

= G;

in altri termini, x può essere eliminato da ogni insieme di generatori. L'unità è un non-generatore: se (S,I) = G, poiché (S) è in ogni caso un sottogruppo, 1 E (S), e quindi (S) = G (se S = {I}, S \ {I} = 0, e sappiamo che (0) = {I}). Se x è un non-generatore, e se X- l assieme a S genera G, allora poiché x = (X - l) - l E (S,X - l), si ha G = (S, X- l) = (S, x) = (S). Il fatto più interessante è che se x e y sono due non-generatori, anche il loro prodotto xy lo è. Infatti, sia G = (S,xy); dato che (S, xy) ç (S,x,y), si ha G ç (S, x, y) e perciò G = (S, x, y) . Essendo y un non-generatore, (S, x) = G, ed essendo x un non-generatore, (S) = G, che è quanto si voleva. L'insieme dei non- generatori è quindi un sottogruppo. 4.7 Definizione. L'insieme dei non- generatori di un gruppo G è il sottogruppo di Frattini di G. Si denota con ~ (G). Si tratta di un sottogruppo normale, e anzi caratteristico. Infatti, sia a un automorfismo di G, x E ~ e (S, xc» = G. Allora, applicando a - l,

Può ben accadere che il sottogruppo di Frattini coincida con tutto il gruppo. È il caso ad esempio del gruppo dei razionali, per il quale, come abbiamo visto, ogni elemento di un sistema di generatori è superfluo (Es. 2 di 4.1: se Q(+) = (S) allora H = (S \ {s}) = Q(+)). Il fatto che il Frattini sia un sottogruppo proprio o meno è legato all'esistenza di sottogruppi massimali (sappiamo che Q(+) non ne ha): se M < G è massimale e x (j. M, x non può essere un non-generatore: si ha infatti (M, x) = G ma (M) = M -::f- G. Per ogni elemento x che non appartenga a un sottogruppo massimale, c'è almeno un sistema di generatori di G dal quale x non può essere soppresso. C'è da supporre allora che i non - generatori siano gli elementi che appartengono a tutti i sottogruppi massimali; ed in effetti è così. Per dimostrarlo abbiamo bisogno del Lemma di Zorn, nella forma seguente:

4.2 Il sottogruppo di Frattini

159

Sia F una famiglia non vuota di sottoinsiemi di un insieme ordinata per inclusione e tale che ogni sottofamiglia totalmente ordinata (una catena) {HoJaEI di elementi di F ammetta un confine superiore H appartenente a F: 3H E F

I Ha ç

H , \fa E I.

Allora esiste in F un elemento massimale, cioè un sottoinsieme M E F non contenuto propriamente in alcun altro sottoinsieme di F.

Di solito, per dimostrare che la famiglia {Ha} ammette un confine superiore in F si cerca di dimostrare che l'unione U degli Ha appartiene a F, e poiché ovviamente Ha ç U per ogni a, si avrà che tale confine esiste. Scatta allora il lemma, e si ha l'esistenza di un sottoinsieme massimale in F (da non confondere però con l'insieme U). 4.8 Lemma. Sia H :::; G e sia x (j. H. Allora esiste un sottogruppo M di G contenente H e massimale rispetto alla proprietà di escludere x.

Dim. La famiglia F dei sottogruppi di G che contengono H ma non x è non vuota (c'è almeno H). Se {Ha} è una catena di elementi di F allora anche l'unione U = Ua Ha appartiene a F in quanto ogni Ha contiene H e se x E U allora x E Ha per qualche a, contro il fatto che Ha E F. La famiglia F soddisfa allora le ipotesi del lemma di Zorn, e dunque esiste in F un elemento

massimale M.

Questo lemma ci permette di dimostrare che un gruppo f.g. ammette sempre sottogruppi massimali. Più precisamente: 4.9 Teorema. Sia G f.g., H un sottogruppo proprio di G. Allora H è contenuto in un sottogruppo massimale.

Dim. Sia G generato da S, e sia SI il primo degli Si che non appartiene ad H. Sia MI ;2 H, massimale rispetto alla proprietà di non contenere SI. Se (MI , SI) = G, MI è il sottogruppo richiesto, in quanto ogni sottogruppo di G che contiene propriamente MI contiene SI, e dunque coincide con G. Se (M1, Sl) < G, sia S2 il primo elemento di S non contenuto in (M 1,Sl) , e sia M 2 ;2 (MI, SI) massimale rispetto alla proprietà di non contenere S2. Continuando in questo modo, si ottiene un sottogruppo Mi tale che Mi ;2 (Mi - l, Si- l) ;2 ... ;2 H con (Mi, Si) = G. Mi è il sottogruppo massimale

cercato. 4.10 Teorema. Le seguenti proposizioni sono equivalenti: i) (G) < G; ii) G ha almeno un sottogruppo massimale.

Dim. Abbiamo già osservato che ii) implica i). i) implica ii). Poiché < G, esiste x E G e x (j. , e quindi un insieme S tale che

160

4 Generatori e relazioni

(S, x) = G, (S)

-I- G;

(4.3)

in particolare, x (j. (S). Sia M :;2 (S) massimale rispetto alla proprietà di escludere x. Allora M è massimale tout court (è massimale nella famiglia di tutti i sottogruppi di G). Se infatti M < L , allora S C L e perciò L deve contenere anche x: L contiene S e x e dunque anche (S, x) = G, e pertanto L=G. O

-I- {l}, e sia ~(G) finitamente generato. Allora G ha almeno un sottogruppo massimale.

4.11 Corollario. Sia G un gruppo, G

Dim. Altrimenti G

~(G)

= G , e dunque

se

~(G)

= (Xl, X2 , ... ,xn ) si

ha

= ~(G) = (Xl, X2,···, x n) = (Xl, X2,···, Xn - l) = ... = (Xl , X2) = (Xl) = (0) = {l} ,

(v. Nota 4.2). Con la stessa dimostrazione del Teor. 4.10 si ottiene: 4.12 Teorema. Per un gruppo G si ha: i) ~(G) = G, oppure: ii) ~(G) è l'intersezione di tutti i sottogruppi massimali di G.

Dim. Se ~(G) < G esiste per il Teor. 4.10 almeno un sottogruppo massimale M, e già sappiamo che un non-generatore non può stare fuori da un sottogruppo massimale; dunque ~(G) ç M. Viceversa, sia X E M e X (j. ~(G). Siamo allora nella situazione (4.3), e proseguendo come nel Teor. 4.10 troviamo un sottogruppo massimale L che non contiene x, assurdo. O

n

n

4.13 Esempio. Il gruppo di Heisenberg H su Z. È il gruppo delle matrici 3 x 3 acoefficienti interi:

1 b ,a, b, c ( OlaC)

E

Z,

OO 1

con l'usuale prodotto di matrici. H si può anche descrivere come l'insieme delle teme (a , b, c) di interi con il prodotto

Facendo corrispondere alla tema (a, b, c) la matrice precedente, questo prodotto corrisponde al prodotto di matrici; l'unità è (O, O, O), e l'inverso dell'elemento (a, b, c) è (-a, -b, -c + ab). Inoltre, per n:::: 2,

(a , b,c)n = (na,nb,nc+ (;)ab)

4.2 Il sottogruppo di Frattini

161

per cui (a,b , c) = (O , b,O)(a, O,O)(O , O, c) = (O,l,O)b(l,O,o)a(O,O , l)C , e poiché (0 , 0,1) = [(1 , 0, O) , (O, 1, O)], H è generato dai due elementi (1,0 , O) e (0,1 , O). In generale il commutatore di due elementi è [(al , bI , cd, (a2, b2, C2) ] = (0 , 0, a l b2 - a2bd, e quindi è del tipo (0,0, c). Avendosi poi (a, 0, o)n = (na,O,O), (O,O,c)n = (O,O,nc), gli elementi (a,O , c), con a,c E Z, formano un sottogruppo isomorfo al prodotto diretto Z x Z. Se (a, b, c) permuta con (1 , 0, O) deve essere b = 0, come subito si verifica; se permuta con (0,1 , O) è a = O. Un elemento che permuta con entrambi, e dunque con tutti gli elementi del gruppo, è della forma (0,0, c), e poiché un tale elemento permuta effettivamente con tutti gli elementi di H abbiamo che il centro di H è dato da Z(H) = {(O, 0, c) , c E Z} , e quindi è ciclico e generato da (0,0,1). Ma abbiamo visto che per il commutatore di due elementi x, y si ha [x, y] = (0,0, c) e dunque H' ç Z(H); d'altra parte [(1 ,0, O), (O, 1, O)] (0,0,1), generatore di Z(H) , e così H' = Z(H). Inoltre H/Z(H) ::: Z x Z, dove questo quoziente è generato dalle immagini dei due generatori di H (le potenze di questi due elementi hanno solo (0,0, O) in comune con Z(H)). Consideriamo ora il sottogruppo:

Hp = {(hp, b, c), p primo, h, b, c E Z} , e dimostriamo che si tratta di un sottogruppo massimale. Infatti, sia Hp < L , e sia (a , b, c) E L \Hp ; allora p non divide a, e dunque esistono due interi m ed n tali che na + mp = 1. Siano 9 = (a, b, c)n = (na, nb, c'), h = (mp, -nb, n2abc'); allora h E Hp e gh = (1,0, O) E L. Ma (0,1, O) E L, e così L = H. Ciò è vero per ogni primo p. Sia H = Hp = {(O, b, c), b, c E Z} , dove l'intersezione è estesa a tutti i primi. Analogamente, Kp = {(a , kp, c) , p primo, k , b, c E Z, è massimale; sia K = Kp = {(a , 0, c) , a, c E Z}. Allora HnK = {(O, 0, c) , c E Z} = Z(H) , per cui 2. Posto

dove a~ = ai/d, i = 1,2, ... , n-l, e d è il MCD dei primi n-l ai, abbiamo, per induzione su n , che nel sottogruppo H generato da UI, U2 , ... , Un-l esistono n - 2 elementi V2 , V3 , ... , Vn -1 tali che H = (V ' ,V2,V3 , ... ,Vn -I). Ne segue a = (Ul, U2,···, Un) = (H, Un) = (v', V2, V3,···, Vn-l, Un). Ora, v = dv' +anun

4.3 Gruppi abeliani finitamente generati

e (d,a n ) = 1. Come nel caso n pertanto G = (v , V2, .. . ,v n ).

=

2, (v',u n )

=

163

(v,v n ), per un certo v n , e

4.15 Nota. 1. Questo lemma dimostra, in un altro linguaggio, che ogni n-pia di interi {ad a MCD uguale a 1 è la (prima) riga di una matrice n x n a coefficienti interi invertibile sugli interi (come abbiamo visto nel caso n = 2) . Si tratta della matrice che permette di esprimere i Vi in termini degli U i; con l'inversa si esprimono gli U i in termini dei V i. Che la condizione sul MCD sia necessaria si vede osservando che, sviluppando secondo gli elementi della prima riga, il determinante della matrice è uguale a L: aiAi, dove A i è il complemento algebrico di ai , e questa somma deve essere uguale a 1 (o -1). 2. Può ben accadere che l'elemento V del lemma sia uguale a zero. Ad esempio, per G = Z , G = (UI , U2) con Ul = 2, U2 = 3, e V = alUI +a2u2 , con al = 3 e a2 = -2. Qui e = = 1 e Vi = Ul + e .U2 = -1 . 2 + 1 . 3= 1. Il lemma fornisce allora G = Z = (v, Vi) = (0 , 1) = (1) . In altri termini , se v = il sistema di generatori dato non è minimo.

t

t.

°

4.16 Esempio. La dimostrazione del lemma contiene un algoritmo che permette di costruire un sistema di n generatori del quale fa parte v. Descriviamo esplicitamente il funzionamento di questo algoritmo con una differenza: il MCD d = (al , a2 , ... , a n ) dei coefficienti di v non è necessariamente uguale a 1. L'algoritmo fornisce un sistema di generatori {Vl,V2,""V n } nel quale Vi ha come coefficienti degli Ui gli interi ad d, i = 1,2, ... , n. Posto do = al, sia, per k = 1,2, ... ,n -1, dk = (dk - l , ak+l), Yk = dk - ddk , Zk = akH/dk , e per k > 1 sia Xk = Yk - 1Xk- l + Zk - 1Uk. Inoltre, Xn = Yn - 1Xn- l + Zn - 1Un e Xl = Ul. Calcoliamo poi le coppie ek,fk tali che ekYk + fk Zk = 1, per k = 1, 2, ... , n-L Infine, per k = 2, ... , n calcoliamo Vk = - fk - 1Xk- l + ek - l Uk· Con Vi = Xn il nuovo sistema di generatori è {Vl,V2,""Vn }, Se n = 3, siano G = (Ul,U2,U3), v = alul +a2u2 +a3u3, d = (al, a2, a3) = ((al, a2), a3). Cerchiamo V2, V3 tali che G = (aJ Ul + al U2 + Q:J!.d U3,V2 , V3). Posto X2 = a,()Ul + a2()U2 (il v' del lemma), sappiamo che al ,a2 al ,a2 COnV2 = -!lul+elU2,dove e l a, ( ) + !l a2 - () = l , siha(x2 , v2) = (Ul,U2) , e al,a2 al ,a2 dunque G = (Ul , U2,U3) = (X2,V2,U3). Con v = 12ul +18u2+27u31'algoritmo fornisce Vi = 4Ul + 6U2 + 9U3, V2 = -Ul - U2, V3 = -2Ul - 3U2 - 4U3· 4.17 Teorema. Sia G un gruppo abeliano f.g. e sia n il più piccolo intero tale che G è generato da n elementi. Allora G è somma diretta di n gruppi ciclici. Dim. Per ogni sistema di generatori S, con ISI = n, sia ks il minimo tra gli ordini degli elementi di S. Sia k il minimo dei ks al variare di Seui, U2 , ... , Un un sistema di generatori in cui uno degli Ui, e sia Un, ha ordine k (non si esclude k infinito). Se n = 1, G è ciclico e non c'è niente da dimostrare. Sia n :::: 2; il sottogruppo H = (Ul,U2, ... ,Un- l) non può essere generato da meno di n-I elementi, altrimenti G = (H, un) sarebbe generato da meno di n. Per induzione su n, H è somma diretta di gruppi ciclici, e basta allora dimostrare che si ha H n (un) = {O}. Se cosÌ non fosse , si avrebbe, per certi interi ai,

164

4 Generatori e relazioni

+ a2U2 + ... + an-l Un-l - a nUn = O, dove possiamo supporre a n > O e a n < O( un) (altrimenti dividiamo per o( un) e otteniamo una relazione come la precedente con il resto r della divisione minore di o(u n ) al posto di a n ). Se d = (al, a2,·· ., a n ), l'elemento v = a~ Ul + a~u2 + ... + a~_l Un-l - a~un con ai = a;jd è tale che il massimo comun divisore degli ai è 1 , edunque per il Lemma 4.14 esistono V2, .. . ,Vn tali che = (v, V2 , ... , v n ). Ma dv = O, e cosi o(v) è finito; se o(u n ) è infinito, ciò contraddice la scelta del sistema {ud, e

lo stesso se o(u n ) è finito in quanto o(v) ::; d::; a n < o(u n ).

al UI

e

Si osservi che il fatto di prendere n minimo nella dimostrazione del teorema è essenziale. Ad esempio, per Z si ha n = 1; ma Z è anche generato da 2 e 3, che formano un insieme minimale ma non minimo, e infatti Z non è somma diretta di (2) e (3).

In un gruppo abeliano gli elementi di periodo finito formano un sottogruppo, il sottogruppo di torsione, che denotiamo con T. Se è finitamente generato, anche T lo è (Teor. 4.5), e quindi è finito. In ogni caso, il quoziente e /T è privo di torsione, in quanto se n(T + x) = T allora nx ET, e dunque m(nx) = O per un certo m , e perciò (mn)x = m(nx) = O, cioè x E T. Ora /T è finitamente generato, e per il Teor. 4.17 si ha

e

e

con m minimo. Il sottogruppo H di

e generato dagli Xi

è privo di torsione perché se L hiXi ET, allora L hiXi + T = L h i (Xi + T) = T, ed essendo la somma diretta, hi(Xi + T) = T per ogni i, e e/T sarebbe di torsione. Ne segue T n H = {O} e e = H ffi T. Applicando ad H il Teor. 4.17, essendo H privo di torsione, gli addendi devono essere ciclici infiniti; abbiamo cioè m copie di Z: H = Z ffi Z ffi ... ffi Z.

Per quanto riguarda T, si ha, se IT I =

p~" p~2

... p~t ,

dove gli Si sono i pi-Sylow di ordine p7 i , e per il Teor. 4.17 ciascun Si è somma diretta di gruppi ciclici, dunque di Pi-gruppi ciclici:

dove hl

+ h 2 + ... + h r

= ni. In definitiva:

4.18 Corollario (TEOREMA FONDAMENTALE DEI GRUPPI ABELIANI F.G.). Un gruppo abeliano f.g. è isomorfo a una somma diretta di gruppi ciclici nella quale ciascun addendo è isomorfo a Z oppure è un p- gruppo.

4.3 Gruppi abeliani finitamente generati

165

Una decomposizione come quella del Cor. 4.18 non si può raffinare ulteriormente: né Z né un p-gruppo ciclico si possono infatti spezzare nella somma diretta di sottogruppi non banali. Per il Teor. 4.17 questi sono allora i soli gruppi abeliani f.g. per cui ciò accade, e quindi i soli irriducibili rispetto alla somma diretta. Il Coro 4.18 fornisce anche un mezzo per stabilire, dato un intero n , quanti sono i gruppi abeliani di ordine n. Infatti sia P un p-gruppo abeliano di ordine pm. Sappiamo che P è prodotto diretto di gruppi ciclici (torniamo alla notazione moltiplicativa) P = Cphl X C ph2 X ... X Cpht , dove hl + h 2 + ... + ht = m (il p-gruppo P si dice allora di tipo (hl, h 2 , ... , ht) e gli ordini ph 1 , ph 2, ... ,ph t sono i suoi divisori elementari). Gli interi h i che compaiono nella decomposizione costituiscono quindi una partizione di m. Viceversa, data una partizione di m come quella detta, si ottiene un p-gruppo abeliano come prodotto diretto dei gruppi ciclici di ordine Cphi , i = 1,2, ... , t. Ne segue che il numero dei p- gruppi abeliani di ordine pm è uguale al numero 7f( m) delle partizioni di m. In particolare, questo numero non dipende dal primo p, ma soltanto dall'esponente m. Ad esempio, i gruppi abeliani di ordine 16 = 24 sono in numero di cinque, in quanto le partizioni di 4 sono in numero di 5: alla partizione 4=4 corrisponde il gruppo ciclico C 16 , alla 4=1+1+2 il gruppo C2 x C2 X C4 , ecc. Per lo stesso motivo, sono in numero di cinque i gruppi abeliani di ordine 34 , 19 4 , ecc. Un gruppo abeliano G di ordine n = p'{"p';'2 ... pr;." è prodotto diretto dei propri Sylow. Per quanto appena visto, per ciascuno di questi Sylow di ordine P'7: i , espresso come prodotto diretto di gruppi ciclici, abbiamo una partizione di mi, e viceversa. Ragionando allo stesso modo per ciascuno dei Sylow possiamo quindi concludere con il seguente: 4.19 Corollario Il numero dei gruppi abeliani di ordine n = p'{" p';'2 ... pr;." è uguale al prodotto 7f(md7f(m2) ... 7f(m r ), dove 7f(m;) è il numero delle partizioni dell 'intero mi. In particolare, il numero dei gruppi abeliani di ordine n non dipende da n, ma soltanto dagli esponenti dei numeri primi che compaiono nella sua decomposizione.

Ad esempio, i gruppi abeliani di ordine 36 sono quattro: avendosi 36 = 22 .3 2, abbiamo 7f(2)7f(2) = 2 . 2 = 4. In corrispondenza alle due partizioni di 2 abbiamo i 2 -gruppi C4 (2 = 2) e C2 x C2 (2 = 1 + 1), e i 3-gruppi C3 x C3 e Cg . I prodotti diretti di un 2- e di un 3-gruppo danno i quattro gruppi. Il numero degli addendi Z dati dal Cor. 4.18 è il rango del gruppo. Questo numero è un invariante del gruppo: non può aversi cioè un'altra decomposizione di G con H somma di un diverso numero di addendi, come dimostra il teorema che segue. 4.20 Teorema. Se un gruppo è contemporaneamente somma diretta di m e di n copie di Z, allora m=n.

166

4 Generatori e relazioni

Dim. Sia K il sottogruppo di H che consta dei multipli px degli elementi x di H , per un certo primo p. Allora H / K è generato da K + Xl , K + X2 , ... , K + Xm , dove Xi genera l'i- esima copia di Z nella somma di m copie, ed è un p-gruppo finito in cui tutti gli elementi non zero hanno ordine p. La somma dei (K +Xi) è diretta: se infatti I:= ai(K +Xi) = K, allora I:= aixi E K e dunque I:= ai Xi = px, per un certo x. Sia X = I:= bixi; ne segue I:=(ai - pbi)xi = 0, ed essendo la somma delle copie di Z diretta, si ha (ai - pbi)xi = 0, da cui, avendosi O(Xi) = 00, ai - pb i = 0, ai = pb i , aiXi = pbixi E K , e tutti gli addendi della I:= ai (K + xd sono uguali a K. N e segue che H / K è un gruppo di ordine pm. Analogamente, H / K ha ordine pn, e pertanto m = n.

4.21 Nota. H / K è uno spazio vettoriale su Zp, e m è la sua dimensione, che dunque è ben determinata.

4.22 Definizione. Un gruppo abeliano A si dice libero se è somma diretta di gruppi ciclici infiniti (anche in numero non finito); in altri termini, esiste un sottoinsieme X di A tale che

A=

L

EIl

(x), o(x) =

00.

xEX

Ogni elemento di A si scrive dunque in modo unico come combinazione lineare di un numero finito degli ai a coefficienti interi: gli elementi di X costituiscono una base libera di A e il gruppo si dice libero su X di rango la cardinalità IXI di X. 4.23 Teorema. Sia A un gruppo abeliano libero su un insieme X e G un gruppo abeliano qualunque. Sia f una funzione f : X ---+ G. Allora f si estende univocamente a un omomorfismo 1> : A ---+ G: A

x dove 1> o ~ = f e ~ è l 'inclusione.

f

G

Dim. La dimostrazione è analoga a quella dello stesso teorema per gli spazi vettoriali. Intanto, se un tale 1> esiste, è unico in quanto se a E A è a = I:= hiXi, e dunque

(4.4) per cui 1> ha necessariamente la forma (4.4). Viceversa, se 1> è definita come in (4.4) , allora è ben definita in quanto gli h i sono univocamente determinati dall'elemento a; che poi si tratti di un omomorfismo è ovvio.

4.24 Teorema. Ogni gruppo abeliano è quoziente di un gruppo abeliano libero.

4.3 Gruppi abeliani finitamente generati

Dim. Sia C un gruppo abeliano, A la somma diretta di

ICI

167

copie di Z:

Allora A è libero su X = {x g , 9 E C} e per il Teor. 4.23 l'applicazione f : x g ---+ 9 si estende a un omomorfismo cp : A ---+ C che è surgettivo perché già f lo è. Dunque C :::: AI K er( cp). (È chiaro che non è necessario prendere tutti gli elementi di C: basta prendere un insieme di generatori).

Sia C un gruppo abeliano f.g., C = (Sl , S2,'" ,sn). L'omomorfismo A---+ C, dove A è libero su {U1, U2 , ... , un}, indotto come nel teorema precedente dalla corrispondenza Ui ---+ Si, è surgettivo. Se R = Ker(cp), gli elementi di R sono le combinazioni lineari 2:7=1 aiui tali che 2:7=1 aisi = 0, e prendono il nome di relatori. Come sottogruppo di un gruppo abeliano f.g. , R è anch'esso f.g.: R = (r1 , r2 , ... , r m ), e ogni relatore si scrive perciò come combinazione lineare degli ri. Nel gruppo C, allora, ogni relazione tra i generatori Si è conseguenza delle relazioni cp( r i)' Viceversa, sapendo che C è generato dagli elementi SI, S2,"" Sn, soggetti a un numero finito relazioni 2:7=1 aiSi = 0, è possibile determinare C? La risposta è affermativa: basta considerare il sottogruppo R di A generato dai relatori 2:~1 aiUi e il quoziente AI R; questo quoziente è isomorfo a C. 4.25 Definizione. Una presentazione di un gruppo C è una coppia che consta di un insieme di generatori X e un insieme di relazioni R tra gli elementi di S. La presentazione è finita se sia X che R sono finiti. Si scrive C = (X I R). Per un gruppo abeliano f.g. esiste sempre una presentazione finita. Le immagini dei generatori del nucleo R del morfismo cp sopra considerato danno un insieme finito di relazioni tra i generatori di C. Data ora una presentazione finita di un gruppo abeliano C è possibile determinare la struttura di C? Dicendo "determinare la struttura di C" intendiamo in questo caso "stabilire quali sono i gruppi ciclici nei quali C si spezza in base al Teor. 4.17". È quanto ora vedremo. Se A è abeliano libero, le seguenti operazioni portano una base Ui di A ancora in una base di A: 1. scambiare tra loro due elementi Ui e Uj; 2. moltiplicare un elemento Ui per -1; 3. aggiungere a un elemento Ui un elemento Uj moltiplicato per un intero k -::/:- 0, lasciando inalterati gli altri elementi.

I coefficienti ai,j delle relazioni di R permettono di formare una matrice a m righe e n colonne, dove m = IRI e n = IXI. Chiameremo questa matrice matrice delle relazioni. Le operazioni ora definite corrispondono, su questa matrice, alle operazioni seguenti:

168

4 Generatori e relazioni

1'. scambiare tra loro le colonne i e j; 2'. moltiplicare gli elementi della i - esima colonna per -1; 3'. sottrarre dalla colonna j la colonna i , moltiplicata per k. Queste operazioni sulle colonne determinano un cambiamento di base in A: un elemento di coordinate al, a2, ... ,a n nella base Ui ha, nella nuova base {Ul,U2,'" , Ui + kUj,'" , Uj , '" ,un}, le coordinate al,a2, ... , ai, ... , aj kai, ... ,a n . Le operazioni 1',2' e 3' effettuate sulle righe della matrice trasformano la base Ui di R in un'altra base di R. Le operazioni suddette, sulle righe o sulle colonne di una matrice, si chiamano operazioni elementari. Esse si possono effettuare moltiplicando la matrice per opportune matrici elementari Ei,j(a) (v. §3.7.2): ad esempio, sottrarre dalla colonna j la colonna i moltiplicata per k equivale a moltiplicare la matrice a destra per Ei ,j( -k) (moltiplicando a sinistra si ottiene un'analoga trasformazione sulle righe). 4.26 Teorema. È sempre possibile, mediante operazioni elementari, portare una matrice m x n a coefficienti interi M = (ai ,j) nella forma:

D=

co

OO O ... O) O O e2 O O ... O

: :: : O O O O em O O ... O

con ei I eHi, i = 1,2, ... ,m - 1. Dim. Sia d il più piccolo elemento di M (in modulo) , e portiamolo, mediante permutazioni di righe e colonne, al posto (1 , 1). Possiamo supporre, applicando un'operazione di tipo 2' se necessario, che d sia positivo, e cerchiamo di annullare gli altri elementi della prima riga. Se questi elementi sono tutti multipli di d, e sia al ,j = kjd, sottraiamo dalla colonna j la prima colonna moltiplicata per k j , j = 2,3, ... , n (operazione di tipo 3'), e otteniamo il risultato voluto. Se, per qualche j , al,j non è multiplo di d, la divisione di questo elemento per d fornisce un quoziente q e un resto O ~ l' < d. Sottraendo dalla colonna j la prima moltiplicata per q, e scambiando poi questa colonna con la prima, abbiamo una matrice che ha al primo posto l'intero positivo l' < d. Proseguendo la divisione e operando le sottrazioni e lo scambio come prima, si arriva ad avere al primo posto il massimo comun divisore di al,j e d (l'ultimo resto non nullo delle divisioni successive), e a l posto (l,j) un suo multiplo. Come sopra, possiamo allora annullare l'elemento di posto (1, j), e procedendo allo stesso modo, tutti gli elementi della prima riga diversi dal primo. Si osservi che in questo processo il posto (1 ,1) della matrice viene occupato da interi positivi via via decrescenti; sia l" l'elemento che occupa il primo posto alla fine di questo processo. Annulliamo ora gli elementi della prima colonna escluso il primo. Se questi elementi sono tutti multipli di 1" , sottraendo dalle varie righe la prima

4.3 Gruppi abeliani finitamente generati

169

moltiplicata per il multiplo corrispondente otteniamo il risultato voluto. Altrimenti, se aj,i non è multiplo di r ' , procediamo dividendo e sottraendo come sopra e scambiando le due righe abbiamo una nuova matrice la cui prima riga non ha più, in generale, tutti zeri dal secondo posto in poi, ma che al primo ha un intero minore di r ' . Ripetendo allora il processo di annullamento degli elementi della prima riga visto sopra otteniamo una matrice che ha al primo posto un intero r" < r ' . Ricominciando con gli elementi della prima colonna il procedimento termina quando questi sono tutti multipli del primo, e questo momento arriva certamente perché il posto (1,1) della matrice viene occupato da interi positivi sempre più piccoli. Sia allora M' la matrice ottenuta al termine del processo ora descritto e a' l'elemento di posto (1,1). Se qualche elemento b della matrice B di dimensione (m - 1) x (n - 1) ottenuta sopprimendo la prima riga e la prima colonna della matrice M' non è multiplo di a', aggiungiamo alla prima riga di M' la riga cui appartiene b, e applichiamo di nuovo il procedimento precedente ottenendo al primo posto il massimo comun divisore di a' e b e zero al posto di b. Annulliamo analogamente tutti gli altri elementi della prima riga; al primo posto c'è ora un intero che divide tutti gli elementi della riga di b. Ripetendo il procedimento, otteniamo alla fine una matrice M " che ha uguali a zero gli elementi della prima riga e della prima colonna, salvo l'elemento di posto (1,1). Questo elemento, diciamo ei, divide tutti gli elementi della matrice B' ottenuta dalla M" sopprimendo la prima riga e la prima colonnna. Applicando lo stesso procedimento alla matrice B' otteniamo una matrice con al primo posto un elemento e2 che divide gli elementi restanti. Poiché e2 è ottenuto prendendo massimi comun divisori, ed ei divide tutti gli elementi di B', ei divide e2 . Analogamente si ottengono gli altri ei richiesti dal teorema.

La matrice D del Teor. 4.26 è la forma normale di Smith della matrice M dello stesso teorema. Un altro modo di enunciare il Teor. 4.26 è il seguente: 4.27 Teorema. Sia H un sottogruppo del gruppo abeliano libero A, e sia A di rango n. Allora H è libero di rango m :::; n, e inoltre si può sempre trovare una base {Vi, V2 , ... , v n } di A ed m interi positivi ei , e2, ... ,e m , con ei che divide eHi, i = 1,2, ... , m - 1 , etali che i) eiVi, e2V2, ... , emV m è una base per H; ii) A/H = Z/(ei) EI:l Z/(e2) EI:l ... EI:l Z /(e m ).

4.28 Corollario. Se H ha indice finito in A , e A è di rango n, allora anche H è di rango n. Dim. Se il rango m di H è minore di n, nel quoziente A/H vi sono n - m fattori isomorfi a Z.

4.29 Esempio. Sia G generato da tre elementi Ui, U2, U3 soggetti alle relazioni 2Ui -

U2

+ 3U3

= O,

3Ui

+ 5U2

-

2U3

= O.

170

4 Generatori e relazioni

La matrice M delle relazioni nella base

U1, U2 , U3

(2-1 3) 3

5 -2

è allora:

.

Scambiando la prima colonna con la seconda otteniamo:

(-12 3) 53-2

nella nuova base

U2, U1, U3.

'

Moltiplicando la prima colonna per -1 otteniamo

( 12 3) -53-2

'

nella base -U2 , U1, U3, e sottraendo dalla seconda colonna la prima moltiplicata per 2:

(-!

e qui la base è -U2 moltiplicata per 3:

+ 2U1, U1, U 3.

0 13

-D,

Sottraendo dalla terza colonna la prima

( -5113O13O) '

con base -U2 + 2U1 + 3U3 , U1, U 3 . Fin qui le relazioni non sono state toccate; denotiamole con 1'1 e 1'2. Aggiungiamo alla seconda riga la prima moltiplicata per 5:

(~103103) ' e ora i generatori sono quelli del passo precedente, ma le relazioni sono 1'1,1'2 + 51'1. Sottraiamo infine la seconda colonna dalla terza:

( 1O 13OO) O

'

e qui i generatori cambiano in -U2 + 2U1 + 3U3, U1 + U3, U3 e le relazioni restano quelle di prima. Il gruppo G è allora:

G = {O} EI:l Z13 EI:l Z ':::' Z13 EI:l Z. Le basi del teorema sono, per A, V1 = 2U1 - U2 + 3U3, V2 = U1 + U3 , V3 = U 3, e per R, 1· V1, 13v2. Si noti che 1'2 + 51'1 = 3U1 + 5U2 - 2U3 + IOU1 - 5U2 + 15u3 = 13u1 + 13u3 = 13v2. Anche l'invarianza degli ei si può ottenere considerando l'effetto delle operazioni elementari sulla matrice delle relazioni M. Queste operazioni, infatti, non cambiano il valore del MCD dh dei minori di ordine h della matrice M, h = 1,2, ... , m. Per dimostrarlo, osserviamo che ciò è evidente per le operazioni di tipo l' e 2'. Per una operazione di tipo 3', se un minore non contiene elementi delle colonne (righe) i e j il suo valore non cambia dopo l'operazione. Se contiene elementi di entrambe le colonne è noto che un determinante non

4.3 Gruppi abeliani finitamente generati

171

cambia se si aggiunge a una colonna (riga) un'altra moltiplicata per un numero k. Se contiene elementi della colonna i ma non della colonna j il valore del nuovo minore è la somma del minore prima della trasformazione e dello stesso minore moltiplicato per k (come si vede sviluppandolo secondo gli elementi della colonna i). Vediamo allora che d h divide tutti i minori di ordine h della nuova matrice, e perciò anche il loro MCD, e, al termine delle operazioni, d h divide il MCD dei minori di ordine h della matrice D. Poiché ei lei+l, un momento di riflessione mostra che questo MCD è ele2'" eh . Ma le operazioni elementari sono inverti bili , e tornando alla matrice M, a partire dalla D, lo stesso argomento mostra che ele2'" eh divide d h . Si ha così l'uguaglianza. Si osservi che, in particolare, el è il MCD degli elementi di M. Gli interi ei si chiamano fattori invarianti del gruppo. Il Teor. 4.27 non vale più se il gruppo è una somma diretta infinita di gruppi ciclici infiniti: A = (al) EB (a2) EB " 'EB (ak) EB ' .. Si consideri infatti l'omomorfismo cjJ di A nel gruppo additivo dei razionali Q indotto dall 'applicazione ak -+ I numeri bk = sono un sistema di generatori per Q (Es. 2 di 4.1) e sono legati dalle relazioni 2C2 - Cl = 0,3C3 - C2 = 0, ... ,kCk - Ck-l = 0, .... Il nucleo R di cjJ è allora generato dagli elementi 2a2 - al, 3a3 - a2," ., kak - ak -l, ... , e AI R ':::' Q. Ma Q non è una somma diretta, e dunque non esistono i Vi e gli ei del Teor. 4.27.

il.

il

Diamo ora una nuova dimostrazione della decomposizione data dal Teor. 4.17 nel caso di un gruppo finito (v. p. 164). 4.30 Lemma. Sia G un gruppo, x, y E G, ym = x t e mlo(y). Allora o(y) = mo(x)/(o(x), t), e se o(y)lo(x) allora ml(o(x) , t).

Dim. (Se m = 1 si tratta del Teor. 1.27, vii)). Si ha: m

o(y )

=

o(y) _ o(y) o(x t ) _ o(x) (o(y), m) - m ' - (o(x), t)'

da cui il risultato. Scrivendo ml(o(x), t).

(o(:,;,t)

= ~i~l si ha che, se o(y)lo(x) , anche

Con la dimostrazione vista nell'Es. 2 di 2.11 si ha: 4.31 Lemma. Sia G abeliano, x un elemento di G di ordine massimo, y un qualunque elemento di G. Allora o(y) divide o(x).

Il risultato cruciale è dato dal seguente lemma t : t Che è falso per gruppi non abeliani: nel gruppo dei quaternioni , la classe

{j , -j, k, -k} del quoziente rispetto a (i) ha ordine 2 e non contiene elementi di ordine 2.

172

4 Generatori e relazioni

4.32 Lemma. Sia G un gruppo abeliano, x un elemento di ordine massimo, H = (x), e sia H y una classe di ordine m. Allora esiste in H y un elemento di ordine m.

Dim. Si ha (Hy)m = H , cioè ym E H e ym = x t per un certo t . Poiché l'ordine di una classe divide l'ordine di ogni elemento della classe, si ha mlo(y). Allora, per i due le mmi precedenti, ml(o(x) , t). Consideriamo allora z = yx -((o(x),t) /m)( t/(o(x), t)) = yx- t / m . L'elemento z appartiene alla classe Hy, e quindi mlo(z), ed è tale che zm = ymx - t = 1, per cui o(z)lm. Dunque o(z) = m, e z è l'e lemento cercato.

4.33 Teorema (TEOREMA FONDAMENTALE DEI GRUPPI ABEL IANI FINITI) . Sia G un gruppo abeliano finito. Allora:

dove i Ci sono ciclici di ordine ei. Inoltre: i) eHI divide ei; ii) il prodotto degli ei è uguale all'ordine di C; iii) gli ei sono univocamente determinati dalle proprietà i) e ii) t . Dim. Induzione su ICI, essendo il teorema banalmente vero per il gruppo

{l}. Sia ICI > 1, gl un elemento di C di ordine massimo el e Cl = (gl). Per induzione, il teorema è vero per C/CI:

dove i gruppi (CIg i ) hanno ordini ei, con eHI el i, i = 2, 3, ... , t - l , e dove, per il Lemma 4.32, possiamo prendere gi di ordine uguale all 'ordine della classe CIgi a cui esso appartiene, e cioè O(gi) = ei. Sia H il prodotto dei sottogruppi

(gi) :

e dimostriamo che si tratta di un prodotto diretto. Per questo occorre far vedere che l'o rdine di H è uguale al prodotto degli ordini dei (gi), cioè IHI = e2e3 ... et · Ma IHI ::; l(g2) II (g3) 1·· ·1(gt)1 = e2e3 ··· et , e nell'omomorfismo canonico

f: (ek,fk) (ek,fk) se J'

l

1, e ricordando che eh > fh il confronto tra le due espressioni di A fornisce la contraddizione IAI > IAI·

Come il Teor. 4.17, anche questo teorema fornisce un modo per determinare il numero dei gruppi abeliani di ordine un dato intero n. Si ha infatti: 4 .34 Corollario . Il numero dei gruppi abeliani di ordine n è uguale al numero di modi di decomporre n come prodotto e1 e2 ... et di interi ei tali che eiH divide ei. Così, ad esempio, i quattro gruppi abeliani di ordine 36 determinati in precedenza si possono ritrovare in corrispondenza alle decomposizioni 36 = 36 (che dà C36 ), 36 = 18·2 (C 18 x C2 ), 36 = 12·3 (Cl2 x C3 ) e 36 = 6·6 (C6 x C6 ). Un gruppo abeliano libero, di rango finito o infinito, ha la seguente proprietà proiettiva (è proiettivo). 4.35 Teorema. Sia A abeliano libero, G abeliano, H ::; G. Allora se 4> è un omomorfismo A ---+ G / H esiste un omomorfismo 'l/J : A ---+ G tale che ì'l/J = 4>, dove ì è l'omomorfismo canonico G -----+ G / H: A

G

ì

G/H

(Più sinteticamente: ogni omomorfismo di A in un quoziente G / H di un gruppo G si solleva a un omomorfismo di A in G). Dim. Sia X una base di A , 4>(x) l'immagine di un elemento x di X e gx un elemento di G tale che ì(gx) = 4>(x). L'applicazione x ---+ gx si estende a un omomorfismo 'l/J tale che ì 'l/J = 4>.

174

4 Generatori e relazioni

4.36 Corollario. Sia G I H = A con A libero. Allora G :::: H ffi A. In altre parole, un gruppo abeliano libero è addendo diretto di ogni gruppo abeliano del quale sia un quoziente. Dim. Si consideri la figura precedente con 1> = id, identità. Per il teorema, esiste 'lj! tale che ,'lj! = id. La 'lj! è iniettiva, perché tale è l'identità, e dunque Im('lj! ) :::: A. Se g E Im('lj! ) n H, si ha g = 'lj! (x) e O = , (g) = ,'lj!(x) = id(x) = x. Il risultato segue.

Date due presentazioni per un gruppo abeliano G:

(4.5) con A e Al liberi, vi è una stretta relazione fra loro. È quanto afferma il seguente lemma.

4.37 Lemma (SCHANUEL). Siano date le due presentazioni (4.5) del gruppo abeliano G. Allora: Dim. Siano f : A --+ AI K e h : Al --+ Ad KI gli omomorfismi canonici. Avendosi f : A ---+ AI K :::: G :::: Ad K I , si ha un omomorfismo A --+ Ad KI di A (che chiamiamo ancora f); per il Teor. 4.35 esiste un omomorfismo , : A --+ Al tale che h , = f. Ora, dato al E Al e la sua immagine h(ad , esiste a E A tale che h(ad = f(a) (f è surgettiva). Ma f = h" e quindi h(ad = f IÌ (a), ovvero al - , (a) E Ker(fd = KI· Ogni elemento al E Al è perciò della forma al = , (a) + k l , a E A, kl E KI. Consideriamo allora l'applicazione 'lj! : A ffi KI ---+ Al data da (a, k l ) --+ , (a) + k l , che abbiamo appena visto essere surgettiva, e che, essendo Al abeliano, è un omomorfismo. Vediamo qual è il nucleo: se ,(a) + k l = O, allora h , (a) + h (kd = O, e quindi h , (a) = O = f(a) e a E Ker(f) = K. Ne segue Ker('lj! ) = {(k,kd I , (k) = -kd. L'applicazioneK --+ Ker('lj! ) datadak --+ (k,kd è certamente iniettiva. Ma è anche surgettiva; dato k E K, esiste k l E KI tale che , (k) = -kl . Infatti, h,(k) = f(k) = O per cui ,(k) E K I , e ,(k) = -k l per un certo k l E KI. Abbiamo dimostrato che K er('lj! ):::: K e Al:::: A ffi KdK. Essendo Al libero, per il Coro 4.36 (e la sua dimostrazione) , si ha K ffi Al :::: KI ffi A.t

Il diagramma:

A

G

H

t Questo lemma sussiste più in generale, e con la stessa dimostrazione, per moduli

sopra un qualunque anello, e non solo per i gruppi abeliani (che sono moduli sull 'anello degli interi) .

4.3 Gruppi abeliani finitamente generati

175

ottenuto da quello del Teor. 4.35 sostituendo "quoziente" con "sottogruppo" e invertendo la direzione delle frecce, fornisce la nozione duale di quella di gruppo proiettivo: un gruppo abeliano A si dice iniettivo se ogni omomorfismo

vanno in 1 E G , e quindi questo nucleo è R. N e segue G :::: F j R. Abbiamo dimostrato: 4.45 Teorema. Ogni gruppo è quoziente di un gruppo libero.

La cosa si può anche vedere come segue. Sia G un gruppo, e consideriamo l'insieme X = {x g , g E G} e il gruppo libero F su X. La biiezione j : X -+ G si estende a un omomorfismo 1> : F -+ G, e poiché già j è surgettiva, 1> lo è. Dunque G :::: FjK , dove K = Ker1>. Dalla dimostrazione del Teor. 4.45 si ha più precisamente che un gruppo generato da un insieme X è quoziente del gruppo libero su un insieme di generatori che ha la stessa cardinalità di X (o,

4.6 Relazioni

183

più semplicemente, del gruppo libero su X). Si possono pensare i generatori del gruppo libero su Y come delle variabili, le parole come espressioni in queste variabili, e gli elementi del gruppo C generato da X come i valori che assumono queste espressioni quando alle Yi si sostituiscono le Xi. Viceversa, partiamo dal gruppo libero F su X, e sia N un sottogruppo normale di F; allora il gruppo C = F / N ha come generatori le classi XiN e come relazioni r(xiN, xjN, ... ) = 1, dove r(xi, Xj,"') varia nell'insieme degli elementi (parole) di N. Infatti, q( Xi, Xj, ... ) = 1 è una relazione in C se e solo se q(Xi, Xj, .. .)N = N, cioè se e solo se q(Xi, Xj, ... ) E N. Gli elementi di N sono quindi in corrispondenza biunivoca con le relazioni soddisfatte dagli elementi di C. 4.46 Esempio. Sia A il gruppo abeliano libero di rango n (somma diretta di n gruppi ciclici infiniti). Allora A è quoziente del gruppo libero F di rango n, A :::: F / K. Essendo F / K abeliano, il derivato F' di F è contenuto in K, e dunque F/K:::: (F/F')/(K/F').

Ma F / F' è un gruppo abeliano con n generatori (e non meno, altrimenti A sarebbe generato da meno di n elementi) , e quindi F/F' :::: A. Abbiamo così dimostrato: se F è di rango n , F / F' è un gruppo abeliano libero di rango n. Sia ora C = (X), e sia Ro un insieme di relazioni tra gli elementi di X. Se r = r(xi , Xj , ... ) = 1 è una relazione dedotta dalle relazioni di Ro mediante l'applicazione delle operazioni (4.11), (4.12) e (4.13) un numero finito di volte, r si dice conseguenza delle relazioni di Ro. Con lo stesso argomento di sopra, l'insieme di queste relazioni r è un sottogruppo normale di F, la chiusura normale di R o , ed è il più piccolo sottogruppo normale di F che contiene Ro; si denota con Rfj. (Si ha così che la relazione logica di conseguenza r -1 R si traduce nella relazione insiemistica di inclusione r E Rfj). È chiaro che Rfj :::; R , dove R , come visto sopra, è l'insieme di tutte le relazioni. Si ha: C:::: F/R:::: (F/Rfj)/(R/Rfj),

(4.14)

cioè C è un quoziente del gruppo Cl = F / Rfj. Se Rfj = R , tutte le relazioni di C sono conseguenza di quelle di R o , e si ha C l = C; diremo allora che Ro è un insieme di relazioni di definizione per C, e che C è definito dai generatori X e dalle relazioni di Ro. Scriviamo per semplicità R al posto di Ro; come nel caso abeliano, la scrittura C = (XIR)

si chiama presentazione di C con generatori e relazioni (di definizione). Se X e R sono finiti, la presentazione è finita e C si dice finitamente presentato. Il gruppo C / R che si ottiene è il "più grande" gruppo generato da X e che soddisfa alle relazioni R, nel senso del teorema che segue. Per il gruppo libero si scrive F = (XI0) o F = (X I ), in quanto i generatori di un gruppo libero non soddisfano alcuna relazione (una parola ridotta ha una sola scrittura, e

184

4 Generatori e relazioni

ciò è vero, in particolare, per la parola vuota 1; se w = 1, allora tutti i fattori di w sono già uguali a 1). Inoltre, essendo un gruppo libero privo di torsione (es. 39, non può aversi w n = 1 senza che w sia già la parola vuota. 4.47 Teorema. Se C = (XIR) e Cl = (X IR1 ) dove R ç R l , allora Cl è un quoziente di C. (In altre parole, aggiungendo relazioni si ottiene un quoziente del gruppo).

Dim. Nel gruppo libero F su X si ha R :::; R l , e quindi, con l'argomento

che porta alla (4.14), C l è un quoziente di C. Prendendo C = F in questo teorema si ottiene il Teor. 4.45. Il Teor. 4.47 si può enunciare nella forma seguente, e prende allora il nome di test di sostituzione. 4.48 Teorema. Siano C = (XIR) e H due gruppi, e sia f un'applicazione X ---+ H. Allora f si estende a un omomorfismo : C --+ D oo indotto da a --+ A e b --+ B. Essendo, per ogni h E Z , A h =

(~ ~ )

, A ha periodo infinito, e dunque anche a per

cui gli elementi ah sono tutti distinti. Ma anche gli ahb E lo sono perché, se ahb E = a k b1J , allora a h- k = bE- 1J che in D oo diventa Ah- k = B E- 1J, che è possibile solo se entrambi i membri sono la matrice identica, per cui h = k e E = 7]. Ciò dimostra anche che Ker(4)) = {I} (se AhBE = I è h = E = O): C è allora isomorfo a D oo . Posto e = ab, il gruppo C ha anche la presentazione (b, e I b2 = 1, e2 = 1); l'elemento be = a-l ha periodo infinito. 4. Gruppo dei quaternioni. Sia

C = (a, b I ab = b-l a, ba = a-l b). Si ha: i) a 2 = b2: a -2b2 = a- l(a- lb)b = a- l(ba)b = (a - lb)(ab) = (ba)(b- la) = (a - lb)(b- la) = a- la = 1; ii) a 4 = 1 e b4 = 1: a 4 = a(a 2 )a = aW)a = (ab)(ba) = (b - la)(a- lb) = b-l b = 1, e analogamente b4 = 1.

186

4 Generatori e relazioni

iii) Ogni elemento di C è della forma ahb k , h = 0,1,2, 3, k = 0, 1. Infatti, un generico elemento è del tipo ahlbklah2 .. ·ah=b k=, hi,ki E Z, e si ha:

ba b- la ba- l b-l a - l

= a- lb, = ab,

= ba3 = b(a 2 )a = b(b2 )a = b3 a = b-l a = ab, = b- l a 3 = b- l (a 2 )a = b- l b2 a = ba = a-l b.

iv) Inoltre, ab 2 = aa 2 = a 3 , ab 3 = a(b 2)b = a(a 2)b = a 3 b, e quindi un elemento di C è uguale a uno tra 1, a, a 2 , a 3 , b, ab, a 2 b, a 3 b, da cui ICI ::; 8. L'applicazione C --+ Q, dove Q = (i,j) è il gruppo dei quaternioni, data da a --+ i , b --+ j si estende a un omomorfismo; ne segue C :::: Q.

5. Sia C = (a , b, c I a 3 = b3 = c4 = 1 " ac = ca- l aba- l = bcb- l ) e facciamo vedere che si tratta del gruppo identico C = {I}. Si ha 1 = ab 3 a- l = béb- l ~ é = 1, ed essendo anche c4 = 1 è c = 1. La relazione aba- l = bcb- l fornisce allora aba- l = bb- l = 1, e quindi b = 1, e dalla ac = ca- l si ha a = a - l cioè a 2 = 1, che assieme alla a 3 = 1 implica a = 1. Si definisce deficienza di una presentazione finita (XIR) la differenza

IRI·

IXI-

4.50 Teorema. Un gruppo definito da una presentazione a deficienza positiva è infinito.

Dim. Se IXI = n, sia F il gruppo libero con base X = {Xl, X2, ... , xn} e K la chiusura normale delle relazioni rl, r2, ... , r m. Sia ai,j la somma degli esponenti di Xi che compaiono in rj, e consideriamo le m equazioni n

L ai,jYi = 0, j = 1, 2, ... , m. i=l

Poiché n > m, esiste una soluzione non nulla (31, (32, ... , (3n, e benché i (3i siano in generale razionali , possiamo supporli interi. Per dimostrare che C è infinito costruiamo un omomorfismo da C a un sottogruppo non identico di un gruppo ciclico infinito C = (c). Sia f : X --+ C data da f(Xi) = C{3i; allora f si estende a un omomorfismo cjJ da F a C. La scelta degli ai,j e dei (3i assicura che cjJ(rj) = 1, j = 1,2, .. . ,m, e quindi anche cjJ(k) = 1, per ogni k E K. Si ha allora un omomorfismo 'ljJ da F/ K a C dato da 'ljJ (Kg) = cjJ(g) , per ogni 9 E F. Il fatto che i (3i non siano tutti nulli mostra che l'immagine di F e di F / K è un sottogruppo infinito di C, e perciò F / K, e quindi C , è infinito. Questo risultato è analogo a quello della teoria dei sistemi lineari, secondo il quale un sistema che ha più incognite (generatori) che equazioni (relazioni) ha infinite soluzioni. Ci si può chiedere se un gruppo a deficienza negativa sia necessariamente finito. La risposta è no, come mostra il seguente esempio.

4.7 Sottogruppi di un gruppo libero

187

4.51 Esempio. Sia

G

= (x, y I x 3 = y3 = (xy) 3 = l),

e consideriamo le due permutazioni dell'insieme degli interi: (J"

= ... (O

"

l 2) (3 4 5) . ..

'"

T

= ... (1

2 3) (4 5 6) ...

""

.

Si ha (J"T = ... (-5, -3, -1)( -2, 0,2)(1 , 3,5)(4, 6,8) "' , da cui ((J"T) 3 = 1. C'è dunque un omomorfismo di G sul gruppo ((J", T) , e quest'ultimo gruppo è infinito perché contiene l'elemento (J"T 2 = (... , -12, -9, -6, - 3,0,3,6,9,12, ... ) ... (le altre cifre sono fissate), che ha periodo infinito. Esercizi 40. Sia G = (a, bi a 2 = b2 ). Dimostrare che: i) se si aggiunge la relazione b2 = (ab)2 si ottiene il gruppo dei quaternioni; ii) se si aggiunge b2 = 1 si ottiene D oo . 41. P er n G=

= 1, 2,3,4, (Xl ,

determinare il gruppo:

X2, ... , Xn I Xl X2 = X3, X2X3 = X4, . .. , Xn- l Xn =

Xl ,

XnX l = X2 ).

42 . Determinare il gruppo G = (a , b I a = (ab) 3, b = (ab) 4). 43 . Dimostrare che G = (x, y I x- lyx = y2 , y - l x y = x 2) è il gruppo identico. 44. Dimostrare che se N :':! G e G / N sono finitamente presentati anche G lo è.

4.7 Sottogruppi di un gruppo libero Scopo di questo paragrafo è la dimostrazione del teorema di Nielsen-Schreier secondo il quale un sottogruppo di un gruppo libero è anch'esso libero. Un insieme S di elementi di un gruppo libero F = (X), rappresentati da parole ridotte, è un sistema di Schreier se, assieme a un elemento g, contiene anche tutti i suoi segmenti iniziali:

i ~ t,

ai

E X U X-l . In particolare, S contiene 1, la parola vuota.

4 .5 2 Lemma. Sia F libero, H ~ F. Allora esiste un sistema di rappresentanti per le classi laterali di H che è un sistema di Schreier. Dim. Costruiamo induttivamente una funzione di scelta dei rappresentanti nel modo seguente. Definiamo la lunghezza l(Hu) di un laterale Hu come la lunghezza minima tra quelle dei suoi elementi. O. Se l(Hu) = 0, allora l E Hu e dunque Hu = H , e scegliamo 1 come rappresentante di H.

188

4 Generatori e relazioni

1. Se l(Hu) = 1, scegliamo un qualunque elemento di Hu di lunghezza 1. 2. Se l(Hu) = 2, sia ala2 E Hu; allora al appartiene a una classe di

lunghezza 1, e sia al il rappresentante scelto al passo precedente per questa classe. Si ha al = haI per un certo h E H, e quindi ala2 = hala2 E Hu. Scegliamo allora al a2 come rappresentante di H u. 3. Supponiamo di aver scelto i rappresentanti per le classi di lunghezza n, e sia 9 = ala2··· anan+l E Hu , l(Hu) = n + 1. Se s = ala2··· a n , allora s = hala2 ... a n e quindi sanH E Hu. Prendiamo san+l come rappresentante di Hu. Per costruzione, il sistema S così ottenuto è di Schreier.

Il sistema S del lemma si chiama anche trasversale di Schreier. 4.53 Esempi. 1. SiaF = (a,b), Rlachiusuranormaledi {a 2 ,b2 ,a- l b- l ab}. F / R è il gruppo di Klein , per cui R ha quattro laterali , e prendendo come sistema di rappresentanti S = {I, a, b, ab} si ha un sistema di Schreier. Anche {I, a, b, ab-l } è un tale sistema, mentre ad esempio {I, a, b, a-l b- l } non lo è. 2. Se R = (a n , b2, abab) (F / R è il gruppo diedrale Dn) abbiamo il sistema di Schreier 1, a , a2, ... ,an-l, b, ab, a 2b, ... , an-l b.

Nei lemmi che seguono S è un sistema di Schreier di rappresentanti dei laterali destri di un sottogruppo H di un gruppo libero F = (X). 4.54 Lemma. i) Se s E S, x E X U X - l, e u = sX(SX)-l, allora u oppure u è ridotta; ii) se u i:- 1 la scrittura di u è unica.

1

Dim. i) s e sx sono ridotte, e quindi , se c'è una cancellazione in u, questa può avvenire solo tra s e x oppure tra x e (SX) - l. Nel primo caso, stermina con X-l: s = YlY2·· ·YtX-\ da cui sx = YlY2·· ·Yt E S , essendo S di Schreier; allora sx = sx e u = 1. Nel secondo caso, (SX) -l comincia con x-l e dunque sx termina con x: SX = YIY2·· ·YtX. Ne segue Hsx = HYlY2·· ·YtX, Hs = HYlY2 ... Yt e perciò Yl Y2 ... Yt = s, sx = sx e u = 1. ii) Sia sX(SX)-l = SlXl(SlXd- l . Se s e SI hanno la stessa lunghezza, essendo per i) le due parole ridotte, è s = SI e x = Xl. Se l (s) < l (sd , sx è un segmento iniziale di SI, e dunque sx ES. Allora sx = sx e u = 1.

Si osservi che, posto SI

= sx , si ha

(sX(SX) - l )- 1 = SlX(SlX- l )- 1.

4.55 Lemma. Siano VI = sxE(SXE)-l, V2 = tyii(tyii) -l, con s, t E S , x, Y E X, E, J = 1, -1, VI i:- 1, V2 i:- 1, V2 i:- vl l . Allora nel prodotto VI v2 né x E né yii possono venire cancellati. Dim. Per assurdo. Sia cancellato prima (sxE) -1 = a-;;l ... y - iiaJ; l .. ·al l . Dunque tyO e quindi tyii = tyii, da cui V2 = 1, escluso. allora sx E • X-E = s (la classe di sx E è H sx E

yii. Allora t = al a2 ... ah e è un segmento iniziale di sx E , Se viene cancellato prima xE, e quindi quella di sx E • X-E è

4.7 Sottogruppi di un gruppo libero

189

H sx c . x -c = H s , e quindi il suo rappresentante è s). Pertanto, SX C = sx c e VI = 1, escluso. Se la cancellazione di XC e tyJ è simultanea, si ha t = SX C e yJ = x - c e V2 = v 11

4.56 Corollario. Un prodotto VI V2 ... Vm , Vi -::/:- 1, Vi+l -::/:- viI, con i Vi della forma del lemma precedente, non può mai essere l'identità.

Dim. Per il lemma, le cancellazioni tra Vi e Vi+l non possono interessare gli XC e yJ di Vi e Vi+!. Ne segue che, scrivendo i Vi in termini dei generatori e loro inversi, tutti quegli elementi restano, e il prodotto non può mai essere la parola vuota.

Se H :::; F = (X) , prendendo come sistema di rappresentanti di H un sistema di Schreier S sappiamo, (Lemma 4.4) che gli elementi sx(sx) - I, con s E S e x E X, formano un insieme di generatori per H. 4.57 Teorema (NIELSEN- SCHREIER). Ogni sottogruppo di un gruppo libero è libero.

Dim. Sia H :::; F; gli elementi u = sX(SX) - 1 -::/:- 1 generano H , e saranno generatori liberi di H se nessun prodotto negli u o u' che sia una parola ridotta è uguale all'identità (cioè si riduce alla parola vuota quando viene espressa in termini dei generatori). Per il Cor. 4.56 si ha il risultato.

4.58 Teorema. Sia F libero di rango r e Hun sottogruppo di indice finito j. Allora H è di rango 1 + (r - l)j.

Dim. Gli elementi u = sx(sx) - 1 sono, in questo caso, in numero di rj; per avere il rango di H dobbiamo allora togliere gli u = 1. Sia So = S \ {l} e consideriamo la seguente applicazione T di So nell'insieme degli u = 1: se s E So e s termina con X- l, T : S ---+ sx(sx) - \ se s termina con x, s = SIX e T: S ---+ SIX(SIX) - I. L'applicazione T è iniettiva; facciamo vedere che è anche surgettiva. Se u = s'x(S'X) - 1 = 1, x si deve cancellare o con un elemento di s' o con uno di (S'X) - l. Nel primo caso, s' = SIX- 1 e così u proviene da s'. Nel secondo, (S'X) - l comincia con X- l e perciò s'x termina con x (e anzi s'x = s'x); allora u proviene da s'x. Gli u = 1 sono quindi in numero di ISol = j - 1, e perciò il rango di H è rj - (j - 1) = 1 + (r - l)j, come si voleva. Si osservi, in particolare, che, se F è di rango r > 1, allora ogni suo sottogruppo di indice finito ha rango maggiore di r.

4.59 Esempi. 1. La chiusura normale R del sottogruppo generato da a 2 , b2 , e [a , bl nell' Es. 1 di 4.53 ha indice 4, e poiché F ha rango 2, il rango di R è 1 + (2 - 1)4 = 5. Determiniamo cinque generatori liberi di R come nella dimostrazione del Teor. 4.57. Prendiamo S = {l, a, b, ab} come sistema di Schreier. Allora, con X = {a, b}, si ha:

la· (la) - 1 = a . a- l = 1, 1b· (lb) - 1 = b· b- l = 1,

190

4 Generatori e relazioni

aa. (aa) - l

= a2

.

(a 2 ) -

1

= a 2 .1 - 1 = a 2 ,

ab· (ab) -l = ab· (ab) -l = 1, ba· (ba) -l = ba· (ab) -l = bab-l a- l , bb . (bb) -

l

aba· (aba) - l abb· (abb) -l

= b2 . (b 2 ) - l = b2 . 1- l = b2 , = aba· (b) - l = abab- l , = ab 2 . (ab 2)-1 = ab 2(a) -1 = ab 2a- l .

La chiusura normale R ha dunque i 5 generatori liberi: a 2 " b2 [b - l " a- l] abab- l , ab 2 a- l . 2. Sia ICI = n, C = (X) con X = C. Se C = F/K , con F libero su X, per il Teor. 4.58 K ha rango p = (n - l)n + 1, e C = (XIR) , con R = p. Il teorema che segue fornisce , tra l'altro, un ulteriore esempio di un gruppo f.g. che contiene sottogruppi non f.g. 4.60 Teorema. Se F = (x, y) è il gruppo libero di rango 2, il derivato F' di F ha rango infinito.

Dim. F/F' è abeliano libero di rango 2, generato da F'x e F'y. Ogni elemento di F/ F' si scrive quindi in modo unico come F'x m . F'yn = F'xmyn, m , n E Z ; ogni classe laterale di F' contiene allora un unico elemento della forma xmyn (prima gli x e poi gli y). Questi elementi formano un sistema di Schreier S. Un elemento della forma ynx non appartiene a S , e quindi ynx :j:. yn x . Ne segue u = ynx(ynx) -l :j:. 1, per ogni n > 0, e quindi la base

di F' , data da sx(sx) -l, contiene infiniti elementi. 4.61 Corollario. Il gruppo libero F di rango 2 contiene sottogruppi liberi di qualunque rango finito o numerabile.

Dim. F contiene il sottogruppo F' di rango infinito, e questo contiene sottogruppi liberi di qualunque rango finito o numerabile.

Esercizi 45. Dimostrare, usando il teorema di Nielsen-Schreier, che se due elementi u e v di un gruppo libero permutano, allora sono potenze di uno stesso elemento. [Sugg.: considerare (u , v) l. 46. Se in un gruppo libero u h e v k permutano, h, k :j:. O, allora u e v sono potenze di uno stesso elemento. [Sugg .: considerare (u , v)l . 47. In un gruppo libero la relazione "x py se x e y" sono permutabili è una relazione di equivalenza. 48. In un gruppo libero il centralizzante di un elemento è ciclico. 49. Un elemento u inverso.

cF

1 di un gruppo libero non può essere coniugato al proprio

4.8 Relazioni e gruppi semplici

191

4.8 Relazioni e gruppi semplici Consideriamo ora la nozione di gruppo semplice nel quadro dei gruppi dati con generatori e relazioni. Vi sono interessanti analogie con alcune questioni di logica e di topologia. 4.62 Teorema. Sia G = (XIR) un gruppo dato con generatori e relazioni. Allora G è un gruppo semplice se e solo se ogniqualvolta si aggiunge a R una parola w che non è uguale a 1 in G si ottiene il gruppo identico:

G l = (XIR, w) = {I}. Dim. Sia G semplice, w -::j:. 1, e w G il sottogruppo normale generato da w (cioè il più piccolo sottogruppo normale che contiene w). Poiché w -::j:. 1, è anche w G =I- {l}, e perciò, per la semplicità di G, w G = G. Ma (Teor. 4.47) G l = (XIR,w) = G/w G , e dunque G l = {I}. Viceversa, sia G =I- {I}, G non semplice, {I} < N :iEi , il che è escluso dal fatto che la scrittura è ridotta. La IJ"i è dunque finora ben definita; le immagini delle altre cifre secondo IJ"i possono essere prescritte in modo arbitrario (in modo ovviamente che risulti una permutazione) e tale che il prodotto delle IJ"i sia diverso da 1. La f si estende allora a un omomorfismo F --+ snH, il cui nucleo K nOn contiene x, e prendendo N x = K si ha il risultato.

4.75 Corollario. L'intersezione di tutti i sottogruppi di indice finito in un gruppo libero è {l}. Dim. Per ogni elemento x che nOn contiene x.

i-

1 esiste un sottogruppo N x di indice finito

L'importanza di una proprietà residua sta tra l'altro nel fatto che la sua esistenza permette di risolvere il problema di decisione corrispondente a una relazione p; è possibile cioè stabilire se due elementi siano o meno nella relazione p. Per p la relazione di uguaglianza si ha:

4.10 Proprietà residue

197

4.76 Teorema. Per un gruppo C finitamente presentato e residualmente finito il problema della parola è risolubile. Dim. Sia F libero di rango n, R finitamente generato e C = F j R .Sia w una parola di Fi dobbiamo decidere se w E R o no. Cominciamo allora due procedure: con la prima enumeriamo effettivamente gli elementi di Ri con la seconda, facciamo una lista delle tavole di moltiplicazione dei quozienti finiti di F j R. Allora basta aspettare perché necessariamente o w compare nella prima enumerazione, e allora w E R, oppure, se w (j. R è wR i- R, e dunque, essendo FjR residualmente finito, esiste HjR:::! FjR tale che (FjR)j(HjR) è finito e wR (j. H j R ,e pertanto wR comparirà nella lista dei quozienti finiti di FjR.

4.77 Definizione. Un gruppo si dice hopfiano se non è isomorfo a un suo quoziente proprio. In altri termini, un gruppo è hopfiano se ogni omomorfismo surgettivo del gruppo in sé è iniettivo (e quindi è un automorfismo). 4.78 Teorema (MALCEv). Un gruppo f.g. e residualmente finito è hopfiano. Dim. Sia cjJ : C --+ C un omomorfismo surgettivo, e siano, per un n fissato, Hl, H 2 , ... , H k i sottogruppi di indice n di C (Teor. 3.14, i)). Ora, Hi pensato come appartenente a cjJ(C), è immagine di un sottogruppo Li: Hi = LijK , dove K = K er (cjJ) , e

Se Li = L j , allora Hi = H j , e quindi gli Li sono tutti distinti, e avendo essi indice n, l'insieme degli Li conci de con quello degli Hi. Ne segue che il nucleo K è contenuto in tutti gli Hi. Essendo n qualunque, l'argomento precedente si applica a tutti i sottogruppi di indice finito, e dunque K ç n [G:Hl, ottenuto mandando l'elemento x E G nella funzione che associa a À l'elemento xN>, di G>,. Il nucleo di questo omomorfismo è N >,. Se questa intersezione è {l} , G è isomorfo a un sottogruppo di G>,. Ne segue:

IL

n>,

4 .81 Teorema. Un gruppo che ha residualmente una data proprietà è isomorfo a un sottogruppo di un prodotto cartesiano di gruppi che hanno la stessa

proprietà. 4.82 Corollario. Un gruppo libero è isomorfo a un sottogruppo di un prodotto cartesiano di gruppi finiti.

Esercizi 50. Se A e B sono residualmente finiti , anche il loro prodotto diretto A x B lo è. [Sugg .: ricordare che un sottogruppo normale in un fattore diretto di un gruppo è normale nel gruppo]. 51. Un gruppo abeliano f.g. è residualmente finito , e quindi hopfiano. 52. Se il gruppo non è f.g., il Teor. 4.78 non è più vero. [Sugg .: considerare il gruppo libero F di rango infinito su X l ,X2, ... ; se N = (Xl)G , è GIN:::: F]. 53. Se G soddisfa la CCA (condizione della catena ascendente: ogni catena ascendente di sottogruppi si ferma) per i sottogruppi normali, G è hopfiano. 4 .83 Definizione. Un gruppo si dice co-hopfiano se non è isomorfo a un sottogruppo proprio. In altri termini, un gruppo è co- hopfiano se ogni omomorfismo iniettivo del gruppo in sé è surgettivo (è la nozione duale di quella di gruppo hopfiano) . 54. Dimostrare che: i) un gruppo finito è hopfiano e co-hopfiano; ii) il gruppo additivo dei razionali è hopfiano e co- hopfiano; iii) il gruppo degli interi è hopfiano ma non co- hopfiano, e ciò è vero per ogni gruppo abeliano infinito e f.g . iv) il gruppo Cp ~ è co- hopfiano ma non è hopfiano . v) un gruppo libero f.g. è hopfiano (teoremi 4.74 e 4.78) ma non co- hopfiano.

5

Gruppi nilpotenti e gruppi risolubili

5.1 Serie centrali e gruppi nilpotenti 5 .1 Definizione. Siano x, y, z E G. Definiamo:

[x, y, z] = [[x, y]' z], e induttivamente:

Siano, inoltre, H , K ::; G; definiamo: [H, K]

= ([h , k],

h E H , k E K),

e induttivamente: [Hl ,H2 , ... ,Hn] = [[Hl ,H2 , ... , H n- l ],Hn]

(e quindi [H l , H 2 , ... ,Hn-l ,Hn] = [[H l ,H2 ],H3 ] ... ]Hn-l ],Hn]). Si ha [H, K] = [K, H] e [H, K] :::! (H, K). Se H, K:::! G, allora [H , K]:::! G e [H,K] ç HnK , e, se 'P è un omomorfismo di G , [H,K]'P = [H 'P, K 'P ]. Va osservato che se sussiste l'ovvia inclusione

non si ha però in generale uguaglianza, come mostra il seguente esempio. 5 .2 Esempio. In A5 siano

Hl = {I , (1,2)(3 , 4)}, H 2

= {I, (1 , 3)(2,5)} , H3 = {I , (1 ,3)(2, 4)}.

Con hl = (1,2)(3 , 4), h2 = (1,3)(2 , 5) e h3 = (1,3)(2 , 4) si ha [h l ,h2 ,h3] = (1,4,5 , 2,3) , mentre [hl, h 2 , h 3 ] = 1 se uno dei tre elementi è 1. Ne segue A. Machì, Gruppi © Springer-Verlag Italia, Milano 2007

200

5 Gruppi nilpotenti e gruppi risolubili

([h l ,h2, h 3J, h i EHi) = ((1 , 4,5, 2,3)). Ora [Hl , H2l contiene [h l , h 2F = (1,2 , 4, 5,3) e perciò [Hl , H2, H3l contiene [[hl , h 2F, h 3 l = (1 , 3,5). 5.3 Lemma. i) Se H, K ::; G allora K ç Nc(H) se e solo se [K, Hl ç H. In particolare, H:::! G se e solo se [G, Hl ç H. ii) Siano K, H ::; G con K ç H. Allora sono equivalenti: a) K :::! G e H / K ç Z (G / K); e

b) [H,Gl ç K.

Dim. Segue dalle definizioni. 5.4 Definizione. Una catena di sottogruppi di un gruppo G: (5.1) si dice centrale se per ogni i: (5.2) cioè xHi , per x E H iH , permuta con tutti gli elementi di G/Hi , ovvero (5.3) per ogni g E G cioè: (5.4) In altri termini, l'azione di G su G /H i , data da (xHi)g = x gH i , è banale su H iH / H i , cioè (xHi)g = xHi , ovvero x - lx g E Hi. Viceversa, la (5.4) implica la (5.2). Poiché Hi ç Hi+l , i sottogruppi di una catena centrale sono normali in G. Una particolare catena centrale è la {I}

= Zo ç

Zl

= Z(G) ç Z2 ç ... ç Zi ç

ZiH

ç ...

dove Zi+dZi = Z(G/Zi ). Con Hi = Zi si ha dunque uguaglianza nella (5.4): si prende l'intero centro di G /Hi invece di un suo sottogruppo. Pertanto, ZiH consta di tutti gli elementi x E G per i quali sussiste la (5.3): ZiH = {x E G I [x,gl E Zi, Vg E G}. Ovviamente, se la (5.1) è centrale si ha Hi ç Zio Partendo ora da G e usando la (5.4) definiamo i sottogruppi r i come segue:

Si noti che

r2 = [rl ,rll = G', il derivato di G. Si ha

= ri(G)

5.1 Serie centrali e gruppi nilpotenti

201

Se x Eri , [x,g] E ri+l , per ogni g E G, e dunque

cioè Xri+! permuta con tutti gli elementi di G / ri+!. In altri termini,

e si tratta anche qui di una catena centrale. 5.5 Definizione. Se per un certo n si ha Hn = G, la catena (5.1) prende il nome di serie centrale. Un gruppo si dice nilpotente se ammette una serie centrale. Per definizione di Zi, si ha che se Hn = G allora Zn = G. Il teorema seguente mostra, tra l'altro, che se Zn = G allora è anche rn+1 = {l}. 5.6 Teorema. Sia G un gruppo nilpotente, (5.1) una serie centrale con Hn = G. Allora: (5.5)

Dim. La seconda inclusione è stata già vista. Per la prima, dimostriamo per induzione su j = n - i che rj +! ç H n - j , inclusione che è vera per j = O. Suppostala vera per j, si ha rj+2 = [rj+l, G] ç [Hn - j , G] ç Hn - (j+I) , che è quanto si voleva.

5.7 Corollario. Nelle due serie {l} = Zo C ZI C ... C Zc - I C Zc = G,

G=

rl

:J r 2 :J . . .:J rr :J rr+l =

{l},

si ha r = c.

Dim. Sia n = c nella (5.5). Per i = O si ha r c+ 1 ç Zo = {l} , e quindi c :::: r. Prendendo poi come Hi la serie dei r i in senso ascendente:

per i

=r

si ha Hr

=rl =G

e Hr

ç

Zr' Ne segue Zr

=G

e perciò r :::: c.

In parole, questo corollario afferma che in un gruppo nilpotente le serie degli Zi e dei r i arrivano a G e a {l}, rispettivamente, nello stesso numero c + 1 di passi. 5.8 Definizione. Se un gruppo G è nilpotente, l'intero c del Cor. 5.7 è la classe di nilpotenza di G. La serie degli Zi è la serie centrale ascendente (la serie centrale che arriva a G più rapidamente di tutte); la serie dei r i è la

202

5 Gruppi nilpotenti e gruppi risolubili

serie centrale discendente (la serie centrale che arriva a {I} più rapidamente di tutte). Si tratta in entrambi i casi di serie invarianti (Def. 2.71). I gruppi abeliani sono nilpotenti, di classe c ::; 1, e viceversa (se c = O è G = {I}). Se c ::; 2 si ha {I} C Z C G, e dunque GIZ = Z(GIZ), GIZ è abeliano e perciò G ' ç Z; viceversa, questa inclusione implica c ::; 2. È il caso ad esempio, del gruppo D4 o del gruppo dei quaternioni. L'intero c misura quanto il gruppo si discosta dall'essere abeliano. Si osservi che se G è di classe c, G I Z è di classe c - l. La nilpotenza di un gruppo è ereditata da sottogruppi e quozienti. 5.9 Teorema. Sottogruppi e immagini omomorfe di un gruppo nilpotente di classe c sono nilpotenti di classe al più c.

Dim. i) Se H ::; G, riH(H) = [ri(H),H] ç [ri(G),G] ç ri+l(G), e dunque, se riH(G) = {l}, è anche riH(H) = {l}. ii) Se ip è un omomorfismo di G, e H,K::; G, si ha [h,k]'P = [h'P , k'P], e {I} , quindi riH(G'P) = rrt , G'P] = ri+l(G)'P. Ne segue che, se ri+l(G) anche la sua immagine è uguale a {I}.

5.10 Esempi 1. Un gruppo G -::f- {I} a centro identico non può essere nilpotente: una sua serie centrale è necessariamente del tipo {I} = Ho = Hl = ... , e dunque non arriva mai a G. In particolare, nessun sn, n > 2, è nilpotente. Per la serie centrale discendente di sn si ha = An, r 3 = [r2 , sn] = An, e così la serie è sn => An = An = ... , che non arriva a {I}.

rz

2. Sia G = D4 X C2 (v. Es. 3 di 2.92). Il centro di G è il prodotto dei centri dei fattori, e dunque è un Klein V. G IV ha ordine 4 e quindi è abeliano, e perciò coincide con il proprio centro. G è nilpotente perché ammette la serie centrale ascendente {I} C V C G. Il derivato di G coincide con il derivato = C2 , e poiché questo C2 è contenuto nel centro di G, è di D 4 ; dunque r3 = [rz, G] = {I}. La serie centrale discendente è perciò G => rz => {I}. Si noti che r 2 è contenuto in Zl, come deve essere per la (5.5), ma non coincide con Zl. Le inclusioni della (5.5) sono quindi in generale proprie.

rz

5.11 Nota. La nozione di nilpotenza proviene dalla teoria degli anelli. In questa teoria, un ideale J di un anello associativo A si dice nilpotente se una sua potenza Jn è l'ideale nullo {O} . Per definizione,

e dunque J è nilpotente se un qualunque prodotto XIX2 ... X n di n suoi elementi è zero. Facciamo ora vedere come in un anello con unità un ideale nilpotente dia luogo a un gruppo nilpotente (sottogruppo del gruppo degli elementi inverti bili dell 'anello) . Il gruppo G consta degli elementi: G 1. G è un gruppo:

= 1 + J = {l + x,

x E J}.

5.1 Serie centrali e gruppi nilpotenti

i) chiusura: (1

+ x)(l + y) = 1 + (x + Y + xy),

ii) elemento neutro: 1; iii) inverso: (1

+ x)(l -

x

203

e x y E J se x, y E J ;

+ X2 - ... ± xn- l) = 1. 1 + J k. L'ideale J k è nilpotente

2. G è nilpotente. Sia Hk = in quanto (J kt J nk = {O}, e quindi , per 1, gli Hk sono sottogruppi. Inoltre, J k = J k- l . J ç Jk - l , e perciò H k ç Hk - l , Infine, la serie

{l}

= Hn ç

Hn- l

ç ... ç Hl = G

è centrale. Dimostriamo, infatti, che

a E H k ~ [a,g] E H k+l, \;/g E G, cioè [a, g] E 1+ J k+l, ovvero [a, g]- 1 E J k+l . Ora,

[a ,g]-l = a-l g-l ag -1 = a-l g-l (ag - ga) , e con a

= 1 + x,

x E J k, e 9

= 1 + y,

y E J, abbiamo

ag - ga = (1 + x)(l + y) - (1 + y)(l + x) = 1 + y + x + xy - 1 - x - y - yx = xy - yx E Jk . J - J . Jk ç Jk+l, e perciò [a , g] - 1 E J k+l .

5.12 Esempi. 1. Nell'anello delle matrici n x n triangolari superiori, quelle a diagonale nulla formano un ideale nilpotente J, e si ha Jn = O. Se I è la matrice identica, G = 1+ J è il gruppo delle matrici unitriangolari superiori. Nel caso delle matrici n x n su un campo finito F q , G è un gruppo nilpotente . . n(n-l) di ordme q-2-.

2. Se V è uno spazio vettoriale di dimensione n su un campo K e

dove V tali che

= (Vl,V2,""V n) e Vn- i = (Vi+l,""V n), le trasformazioni 1';,1> ç 1';,-1 formano un ideale J , che è nilpotente in quanto

lineari

1>

per ogni v E V , e quindi 1>11>2" ' 1>n = O e Jn = {O}. Le matrici delle trasformazioni lineari 1> sono le matrici dell'ideale J dell ' Es. 1. Vediamo ora alcune proprietà dei gruppi nilpotenti. 5 .13 Teorema. Se G è nilpotente eH < G allora H < N c(H) ("i normalizzanti crescono").

Dim. Sia {rd la serie centrale discendente, e sia i tale che r i Cl:. H e r i+l ç H. Allora [ri, Hl ç [ri, Gl = r i+l ç H, e pertanto r i normalizza H e non è contenuto in H.

204

5 Gruppi nilpotenti e gruppi risolubili

5.14 Corollario. Un sottogruppo massimale di un gruppo nilpotente è normale, e dunque ha indice primo. 5.15 Corollario. In un gruppo nilpotente il derivato è contenuto nel sottogruppo di Frattini.

Dim. Se M è massimale, per il Coro 5.14 è normale e quindi G 1M ha ordine primo e perciò G ' ç M. Poiché ciò vale per ogni M, G ' ç M = t)(G).

n

5.16 Teorema. Sia G un gruppo nilpotente, N i- {l} un suo sottogruppo normale. Allora N n Z (G) i- {l}. In particolare, ogni sottogruppo normale minimale di G è contenuto nel centro e ha ordine primo.

Dim. Sia {n} la serie centrale discendente di G esia i tale che r i nN i- {l} e r i+l n N = {l}. Allora [ri n N,G] ç [ri,G] ç r iH perché la serie {rd è centrale, e [ri n N, G] ç N perché N è normale. Ne segue [ri n N, G] ç r iH nN = {l}, e quindi Nn Z(G) i- {l} perché contiene ri nN i- {l}. Se N è minimale, si ha N ç Z(G): i sottogruppi di N sono normali in G e quindi N non ha sottogruppi propri e INI = p.

Un confronto con i corollari 3.25 e 3.26 mostra che, nel caso finito, i pgruppi godono delle stesse proprietà dei gruppi nilpotenti. Si ha infatti: 5.17 Teorema. Un p- gruppo finito di ordine pn è nilpotente, di classe al più n-l. Dim. La serie centrale ascendente si costruisce subito ricordando che il centro di un p-gruppo è non banale: la serie si ferma quando G I Zi = I, cioè Zi = G. Dunque G ha una serie centrale, e perciò è nilpotente. Se è di classe c, abbiamo

Tutti i quozienti hanno ordine almeno p, perché sono tutti non banali, ma non tutti hanno ordine p. Infatti Z clZ c-l = GIZc- l non può essere ciclico; se così fosse, il quoziente di GIZc-2 rispetto al proprio centro Zc -l/Zc -2 sarebbe ciclico, perché isomorfo aGI Zc - l , e quindi G I Zc - 2 sarebbe abeliano (Cap. 2, es. 23) e coinciderebbe perciò con il proprio centro Zc- l/Zc-2 . Allora G = Zc -l , contro il fatto che G è di classe c. Poiché vi sono c quozienti, il prodotto dei loro ordini è maggiore di pC. Dunque pn > pC, C < n e così c 1, cioè T k, a k fissa almeno k :::: 2 elementi (quelli del k-ciclo), e a k :j:. 1 perché la potenza k-esima dell'h-ciclo è diversa da 1. ii) Per quanto visto in i), a è regolare su n \ { o:}. Allora C a è semiregolare

su n \ {o:} e quindi il suo ordine divide n-L Gli elementi che non fissano alcun punto formano , assieme all'unità, un sottogruppo K. È questo il contenuto di un teorema di Frobenius, che non dimostriamo t , ma del quale ci serviremo. È chiaro che K è normale: due elementi coniugati fissano lo stesso numero di punti (zero, in questo caso). 5.77 Definizione. Il sottogruppo degli elementi che non fissano alcun punto in un gruppo di Frobenius prende il nome di nucleo di Frobenius. 5.78 Teorema. Il nucleo di Frobenius è regolare.

Dim. Per quanto appena visto, il nucleo K è semiregolare. Basta allora dimostrare che è transitivo. Sia Inl = n. Per la transitività di C, [C : Cal = n, e poiché C = ( U Ca) U K, Ca n C{3 = {l}, aES?

abbiamo

IKI = n.

ICI = (ICal Ora, dalla o:K

l)n + IKI, da cui, ricordando che ICain = ICI, segue = [K : Kal e Ka = {l} segue o:K = IKI = n .

5.79 Teorema. Sia C un gruppo di Frobenius e H = Ca. Allora: i) G è prodotto semidiretto di H per K : G=HK,. ii) K~C,. iii) HnK={I}; iv) due complementi di K sono coniugati,. v) IHI divide IKI- l,. vi) N G(H) = H. t Per una dimostrazione si veda Isaacs, p. 100- 101.

5.4 Automorfismi senza punti fissi e gruppi di Frobenius

229

Dim. Le prime tre seguono da quanto visto sopra e dal fatto che se K è un sottogruppo transitivo di un gruppo C e a E D, allora C = CaK. Inoltre, per la transitività di C due stabilizzatori sono coniugati, e si ha iv). La v) è la ii) del Teor. 5.76, ricordando che IKI = n. Per la vi) si osservi che gli elementi

di Hg fissano a g, e dunque se Hg = H è a g = a, cioè 9 E H. 5.80 Teorema. Sia G un gruppo finito che contiene un sottogruppo H disgiunto dai propri coniugati e che si autonormalizza: i) HnH x = {l}, x f. H,. ii) N G(H) = H. Allora G è un gruppo di Frobenius con complemento H.

Dim. Facciamo agire C sui laterali di H. Lo stabilizzatore di un laterale H x è il sottogruppo H X, e pertanto è diverso da {l}. Se 9 fissa due laterali Hx e Hy , è 9 E H X n HY i per i) si ha allora 9 = 1 oppure H X = HY, cioè xy - l E N G(H) = H e Hx = Hy.

5.81 Teorema. i) Un elemento non identico di H non permuta con alcun elemento non identico di K,. ii) il centralizzante di un elemento di K è contenuto in K.

Dim. i) Se hk = kh, h E H = C a , allora a hk = a kh e dunque a hk (ah)k = a k = akh, cioè h fissa a k , e poiché a k -::j:. a , h fissa due elementi distinti, escluso. ii) Se x f. K, allora x E Ca per qualche a , e quindi per i) non può essere permutabile con un elemento di K.

Dalla i) di questo teorema si hanno gli automorfismi s.p.f. di cui abbiamo detto in precedenza. Infatti gli elementi h di un complemento inducono per coniugio automorfismi di K: CJh : k -+ h- lkh , e poiché h- lkh -::j:. k si ha CJh(k) -::j:. k per ogni 1 -::j:. k E K. Abbiamo osservato che gli elementi di H agiscono s.p.f. su K. Il teorema che segue mostra che questo fatto caratterizza i gruppi di Frobenius tra i prodotti semidiretti. 5.82 Teorema. Sia C = HK un prodotto semidiretto, K::::! C, e supponiamo che l'azione di H su K sia s.p.f. Allora G è un gruppo di Frobenius di nucleo K e complemento H.

Dim. Facciamo vedere che H è disgiunto dai propri coniugati e si autonormalizza. La tesi seguirà dal Teor. 5.80. Se 9 E C, 9 = hk, e dunque Hg = H k . Sia H n H k -::j:. {l}i allora hl = k - l h 2 k, e moltiplicando per h 21 otteniamo h l h 2 l = k - l h 2kh 2 1 = k - l(h2kh21) E K, per la normalità di K. Quindi h l h 2 l E H n K = {l} e hl = h 2. Ciò significa che k permuta con hl, e il fatto che l'azione sia s.p.f. implica k = 1, per cui H k = H. Dunque, se 9 f. H è H n Hg = {l}, e inoltre Hg -::j:. H se 9 f. H, ovvero nessun elemento fuori di H normalizza H.

230

5 Gruppi nilpotenti e gruppi risolubili

5.83 Lemma. Sia C un gruppo finito che ammette un automorfismo s.p.! (J di ordine 2. Allora C è abeliano e di ordine dispari. Dim. Se x E C, si ha x = y -l y" per un certo y E C. Ne segue x" = y _"y,, 2 = y-"y = (y - Iy") - l = X-l.

Allora (J è l'automorfismo x -+ X-l, e un gruppo che ammette questo automorfismo è abeliano. Inoltre, essendo (J s.p.f. , se x i:- 1 si ha x i:- X-l, e perciò non vi sono elementi di ordine 2. C è allora di ordine dispari.

5.84 Teorema. Sia G un gruppo di Frobenius con complemento H di ordine pari. Allora il nucleo K è abeliano. Dim. Un elemento di ordine 2 di H induce un automorfismo s.p.f. di K di ordine 2. Applicare il lemma precedente.

5.85 Esempi. 1. (v. Es. 2 di 2.74). Sia K un campo (finito o infinito), e consideriamo il gruppo A delle trasformazioni affini di K:

cPa,b : x -+ ax + b, a

i:- O.

In questo gruppo distinguiamo due sottogruppi: il sottogruppo delle omotetie: M = {/-la: x -+ ax, a E K*},

isomorfo al gruppo moltiplicativo K* di K, e il sottogruppo delle traslazioni T = {Tb : x -+ x

+ b,

b E K} ,

isomorfo al gruppo additivo K( +) di K. Il gruppo A è transitivo sugli elementi di K, e anzi già T lo è: dati s, t E K esiste una traslazione che porta s su t, ed è la Tt -s : x -+ x + t-s. Sia ora s un elemento di K. Se s = 0, s è fissato dagli elementi di M, e solo da questi: Ao = M. Se s i:- 0, s è fissato da tutte e sole le affinità della forma cPa,s-as : x -+ ax + s - as , al variare di a in K, come si vede risolvendo rispetto a b l'equazione as + b = s. Queste affinità formano un sottogruppo A s , che si ottiene coniugando gli elementi di M = Ao mediante la traslazione T s :

Ts/-laT;l : x -+ x - s -+ ax - as -+ ax - as

+ s.

Se un elemento cP E As fissa t, cP(t) = at+s-as = t, da cui (a-l)s = (a-l)t. Se a i:- 1, s = t, se a = 1, cP(x) = x, per ogni x, e dunque cP = 1. In altri termini, As n At = {l} se s i:- t, e poiché As i:- {l} per ogni s siamo in presenza di un gruppo di Frobenius. Se un'affinità cPa,b non è una traslazione, è a i:- 1 e cPa,b fissa l~a. Le traslazioni sono dunque le sole affinità che non fissano alcun punto. Il nucleo di Frobenius è allora T , e come complemento H si può prendere uno qualunque dei sottogruppi As. Poiché H è isomorfo al gruppo moltiplicativo di K, se K è finito, IKI = q, si ha IHI = q-I , e

5.4 Automorfismi senza punti fissi e gruppi di Frobenius

poiché T è isomorfo al gruppo additivo di K è IAI = (q - l)q.

ITI =

q. Infine, A

231

= HK

e

2. A 4 è un gruppo di Frobenius di nucleo un Klein e complemento C3 . Si può vedere come gruppo delle affinità del campo con quattro elementi K = {a, 1, x , x + I}, con il prodotto modulo il polinomio X2 + x + 1.

3. Il gruppo ciclico C 5 = (a) ammette l'automorfismo (J = (a,a 2 ,a4 ,a3) di ordine 4, e il prodotto semidiretto C 5 ((J) è isomorfo al gruppo delle trasformazioni affini del campo Z5. Infatti, il gruppo additivo di questo campo è generato da 1; identificando 1 con la traslazione TI : x -+ x + 1, e coniugando questa con la moltiplicazione J-l2 si ha J-l2TIJ-l2I : x -+ X + 2. Si ha così l'automorfismo di Z5 (+) dato dalla permutazione ciclica (1,2,4,3). Facendo corrispondere questa a (J , e i (o Td ad ai si ha l'isomorfismo cercato. 4. Sia G il prodotto semidiretto di C7 = (b) per C 3 = (a), dove a agisce su b secondo ba = b2 , e dunque in G è a-I ba = b2. La permutazione indotta da a su C 7 è (1)(b,b2,b4)(b3,b6 , b5). Solo 1 è fissato da a, e dunque anche da a-l, e perciò G è di Frobenius. G ha ordine 21, ed è un sottogruppo del gruppo semplice di ordine 168 (normalizzante di un 7- Sylow). Un altro gruppo che contiene G è il gruppo delle affinità del campo Z7, che ha ordine 42, ed è prodotto semidiretto di C6 e Z7 (+); il nostro gruppo G è il prodotto semidiretto del C 3 di C 6 e di Z7 (+ ).

Esercizi 49. Se (T è s.p.f. e x" è coniugato a x, allora x = 1. In altre parole, (T permuta le classi di coniugio del gruppo fissando soltanto la classe {I}. [Sugg.: Teor. 5.71 , i)]. 50. Se (T è s.p.f o((T)

= n,

2

3

allora xx" x" x" ... x"

n-l

= 1.

51. Se (T è s.p .f e o((T) = 3, allora x e x" sono permutabili, per ogni x. (Si può

dimostrare che il gruppo è nilpotente). 52. Se (T è s.p.f e I è il gruppo degli automorfismi interni di G, allora la classe laterale (T I di I in Aut( G) consta di automorfismi senza punti fissi , e tutti fra loro coniugati. 53. Un p-sottogruppo P (T-invariante di G è contenuto nell 'unico p-Sylow S (T-invariante di G . [Sugg. : si consideri un sottogruppo H massimale rispetto alla proprietà di contenere P e di essere (T-invariante, e dimostrare che H = S] . 54. Due automorfismi s.p.f. e permutabili fissano lo stesso p-Sylow (v. Teor. 5.71 , iii)). In particolare, se H è un gruppo abeliano di automorfismi s.p.f. di un gruppo G, gli elementi di H fissano tutti lo stesso p-Sylow di G . 55. Sia a E Aut(G) (non necessariamente s.p.f.) che fissa un solo p-Sylow S per ogni p. Allora CG(a) = {x E G I xC> = x} è nilpotente. [Sugg. : dimostrare che Ca(a) ç NG(S)].

232

5 Gruppi nilpotenti e gruppi risolubili

56. Se G è infinito, il Lemma 5.83 non è più vero. [Sugg. : considerare Doo (Es. 3 di 4.49)]. 57. Scrivere esplicitamente le 12 affinità dell' Es. 2 di 5.85. 58. Sia G un gruppo di Frobenius di nucleo K e complemento H . Dimostrare che se N:,:! G, allora o N ç K oppure K ç N .

5.5 Gruppi risolubili Una serie centrale è una serie invariante nella quale un quoziente H / K è contenuto nel centro di G /K, e dunque è in particolare abeliano. Possiamo allora generalizzare la nozione di serie centrale a quella di serie invariante a quozienti abeliani. La successiva generalizzazione, serie normale a quozienti abeliani è fittizia in quanto non si ottiene una più larga classe di gruppi. È ciò che vedremo tra un momento. Questo fatto è legato all'esistenza della serie derivata, che ora definiamo. 5.86 Definizione. La catena di sottogruppi: G = G(O) ~ G' = [G , G] ~ Gli = [G' , G'] ~ ... ~ G(i) ~ ...

(5.14)

è la catena dei derivati di G. Essendo G(i+l) il derivato di G(i), i quozienti G(i) /G(iH) sono abeliani. Se G(n) = {I} per qualche n, allora la (5.14) è la serie derivata di G.

I sottogruppi G(i) sono caratteristici in G: se a è un automorfismo di G = G(O) si ha (G(O))", = G(O); per induzione allora (G(i))'" = G(i), e dunque (G(i+l))", = [G (i),G(i) ]'" = [(G(i))", , (G(i))",] = [G (i),G(i) ] = G(iH). 5.87 Teorema. Sia

una serie normale a quozienti abeliani. Allora G(i) ç H(i), i = 1,2, ... , m. In altri termini, se una serie normale a quozienti abeliani arriva a {l} in un numero m di passi la serie derivata arriva a {I} in al più m passi. Dim. Per induzione su m. Si ha G = G(O) ç H(O) = G; supponiamo G(i) ç H(i). Essendo Hi/ Hi+l abeliano è Hl ç Hi+l, e in particolare (G(i)), = G(i+l)

ç

Hi+l.

Si ha cosÌ che se un gruppo ha una serie normale a quozienti abeliani ha anche la serie derivata e quindi anche una serie invariante a quozienti abeliani. In altri termini: 5.88 Teorema. In un gruppo G, le seguenti proprietà sono equivalenti: i) G ha una serie invariante a quozienti abeliani;

5.5 Gruppi risolubili

ii) G ha una serie normale a quozienti abeliani; iii) G ha la serie derivata C(i).

233

5.89 Definizione. Un gruppo si dice risolubile se soddisfa una delle condizioni equivalenti del Teor. 5.88. L'intero n per il quale si ha c(n) = {l} si chiama lunghezza derivata di C. 5.90 Esempi. 1. Un gruppo abeliano è risolubile, di lunghezza derivata 1. Un gruppo nilpotente è risolubile: C' = n ; per induzione, C(i) = [C (i -1) , C(i-1) l C_ [rt, Cl = r ,+1·

e

2. S 3 è risolubile, con serie derivata S 3 :J 3 :J {l}, e anche S4, con serie S4 :J A 4 :J V :J {l}. La semplicità di An, n ::::: 5, implica che sn non è risolubile: i termini della serie derivata coincidono con An da C' = An in poi. 3. Un gruppo semplice risolubile ha ordine primo. 5.91 Teorema. i) Sottogruppi e quozienti di un gruppo risolubile G sono risolubili di lunghezza derivata al più quella di G; ii) se N :::) C è risolubile e C / N è risolubile allora C è risolubile. Dim. i) Se H::; C è H(i) ç C(i), e dunque se c(n) = {l} anche H(n) = {l}. Se N :::) C si ha (C / N) (i) = C( i) N/N, come segue facilmente per induzione. ii) Se (C/N)(m) = N , allora c(m) N/N = N e quindi c(m) ç N. Se N(r) = {l}, c(m+r) = (c(m)t ç N(r) = {l}.

5.92 Nota. Come sappiamo, la ii) del teorema precedente non è più vera se si sostituisce "risolubile" con "nilpotente" .

Sia ora N un sottogruppo normale minimale di un gruppo risolubile C. Essendo N anch 'esso risolubile, il derivato N ' è propriamente contenuto in N. Ma N ' caratteristico in N:::)C implica N ' :::)C, e quindi , per la minimalità, N ' = {l}, e perciò N è abeliano. Se N è finito, sia p un primo che divide INI. Gli elementi di ordine p formano allora un sottogruppo che, essendo caratteristico e non identico, deve coincidere con N. Pertanto, N è un p-gruppo abeliano elementare. 5.93 Teorema. Sia N un sottogruppo normale minimale di un gruppo risolubile G. Allora: i) N è abeliano; ii) se G è finito , N è un p- gruppo abeliano elementare. Si ha cosÌ il fatto notevole che in un gruppo finito risolubile esiste sempre un p-sottogruppo normale N :j:. {l} per qualche p (supporremo tacitamente qui e nel seguito che il gruppo non è banale). L'intersezione dei p-Sylow relativi al primo p , contenendo N, è diversa da {l}.

234

5 Gruppi nilpotenti e gruppi risolubili

5.94 Nota. In un gruppo nilpotente, anche infinito, un sottogruppo normale minimale è uno Z p. In un gruppo risolubile finito un sottogruppo normale minimale è una somma diretta di copie di Z p.

5.95 Corollario. I quozienti principali di un gruppo finito risolubile sono abeliani elementari. 5.96 Corollario. In un gruppo finito risolubile G un sottogruppo normale minimale è contenuto nel centro di F(G). In particolare, F(G) -::f- {I} e un sottogruppo normale di G incontra F(G) in modo non banale.

Dim. Per il Teor. 5.29, F( G) centralizza i sottogruppi normali minimali di G. Se N è un tale sottogruppo, N è un p-gruppo, dunque nilpotente. Ne segue N ç F(G) e quindi N ç Z(F(G)). Se H ::::!G, H contiene un sottogruppo normale minimale N, che è contenuto in F(G) , e così H n F(G) -::f- {I}.

5.97 Nota. Nei gruppi finiti risolubili il sottogruppo di Fitting ha quindi il ruolo che il centro ha nei gruppi nilpotenti.

Se un gruppo risolubile ha una serie di composizione, i quozienti di composizione, essendo semplici e risolubili, hanno ordine primo (in particolare, il gruppo è finito). Viceversa, una serie di composizione a quozienti di ordine primo è una serie normale a quozienti abeliani che arriva a {l}: un gruppo con una tale serie è quindi risolubile. Tenuto conto del Coro 5.95, abbiamo la seguente caratterizzazione dei gruppi risolubili finiti: 5.98 Teorema. Sia G un gruppo finito. Allora sono equivalenti: i) G è risolubile; ii) i quozienti di una serie principale di G sono abeliani elementari; iii) i quozienti di composizione hanno ordine primo.

5.99 Corollario. Un gruppo risolubile ammette una serie di composizione se e solo se è finito.

Il Cor. 5.96 si può utilizzare nel caso di un gruppo finito risolubile per costruire una serie invariante la cui lunghezza si può considerare una misura di quanto il gruppo si discosti dall'essere nilpotente. Definiamo induttivamente

Fi+l è quindi la controimmagine del sottogruppo di Fitting F( G / F i ) nell'omomorfismo canonico G ---+ G / Fi . Si ha così una catena di sottogruppi

nella quale, se G è risolubile, le inclusioni sono proprie (Cor. 5.96), e dunque essa si ferma solo quando arriva a G. 5.100 Definizione. Sia G un gruppo finito risolubile. La serie

5.5 Gruppi risolubili

{l}

= Fo

C Fl C F 2 C ... C F n -

1

C Fn

235

=G

prende il nome di serie di Fitting di G, e l'intero n altezza, o lunghezza di Fitting di G. 5.101 Esempi. 1. Fo = G se e solo se G = {I}; Fl = G se e solo se G è nilpotente. Inoltre, se Fn = G per un certo n, G è risolubile: Fl è risolubile perché nilpotente, e supponendo per induzione Fi risolubile, si ha Fi+l j Fi nilpotente, quindi risolubile, da cui Fi+l risolubile (Teor. 5.91, ii)). 2. La serie di Fitting di S4 è {l} C V C A 4 C S4.

Se H e K sono due sottogruppi normali di un gruppo G con K C H per azione di G su H j K si ha un omomorfismo G ---+ Aut (H j K) di nucleo Cc(Hj K) (v. Def. 5.31). Se denotiamo con Autc(Hj K) l'immagine abbiamo Autc(HjK) ':::' GjCc(HjK).

Nel Teor. 5.33 abbiamo visto che il sottogruppo di Fitting si ottiene come intersezione dei centralizzanti in G dei quozienti di una serie principale {Hd, i = 1,2, ... ,l, di G. Ne segue: l

GjF(G) ::;

II Autc(HdHi+ d· i= l

Se G è risolubile, i quozienti Hd H i+ l sono abeliani elementari, e quindi spazi vettoriali su campi con un numero primo di elementi, per vari primi. Autc(Hij H i+ d è allora un gruppo lineare. Inoltre, poiché non vi sono sottogruppi normali di G tra Hi e Hi+l , questi spazi non hanno sottospazi G-invarianti: G è irriducibile. Se G è un gruppo finito risolubile, la struttura di G jF( G) è quindi determinata da quella dei sottogruppi risolubili irriducibili dei gruppi lineari di dimensione finita su campi primi finiti. Vediamo ora alcune proprietà del sottogruppo di Fitting di un gruppo finito risolubile. 5.102 Teorema. Sia G un gruppo finito risolubile, F = F(G) il suo sottogruppo di Fitting. Allora: i) Cc(F) = Z(F); Sia F ciclico; allora: ii) G ' ciclico; iii) se p t Wl un p-Sylow è abeliano; iv) se F è un p- gruppo ciclico, p è il più grande divisore primo di IGI. Dim. i) Sia H = FCc(F). Si ha F(H) = F, CH(F) = Cc(F), e dunque, se H < G, per induzione CH(F) = Z(F(H)) e si ha la tesi. Sia allora G = FCc(F); ne segue:.

236

5 Gruppi nilpotenti e gruppi risolubili

{I}

-I-

Z(F)

ç

FnCG(F)

ç

Z(G)

= Z,

e CG(F)IZ ç C G/z(FIZ) = Z(F(GIZ)) = FIZ,

dove la prima uguaglianza si ha per induzione. Allora C G(F) ç F e si ha la tesi. ii) Poiché F è abeliano, F ç CG(F) = Z(F) ç F, e dunque CG(F) = F. Avendosi G I F = NG(F)/CG(F) isomorfo a un sottogruppo di Aut(F), che è abeliano perché F è ciclico, si ha G ' ç F , ciclico. iii) Se Wl = pn , IGIFI divide IAut(F)1 = ..(g) = X(g).>..(g) è anch'esso un carattere

6.5 Gruppi compatti irriducibile. [Sugg. : ricordare che se

et

è una radice dell'unità, allora

eta

271

= 1].

11. Determinare la tavola dei caratteri di S4. 12. Se H è un sottogruppo di un gruppo finito G, dimostrare che 1~ - lG è un carattere. 13. Completare la tavola di A 5 come segue: i) determinare J-LG, dove J-L è un carattere non identico di un sottogruppo H di ordine 5, H = 0 5 = (g), J-L(g) = E, radice quinta dell 'unità diversa da 1; ii) dimostrare che J-LG - X3 è un carattere; iii) dimostrare che X4 = J-LG - X3 - X2 è un carattere, e che è irriducibile; iv) se v è un altro carattere irriducibile di H, v(g) = 1'2, si ottiene X5 analogamente a X4 · 14. (SOLOMON). Dimostrare che la somma degli elementi di una riga della tavola dei caratteri è un intero non negativo. [Sugg.: come nella rappresentazione regolare, siano V s , sE G , i vettori di una base di V e sia p la rappresentazione di G indotta dal coniugio: Pt : V s ---+ Vt-l st ' Si ha X(t) = leG(t)l . Considerare il numero di volte m i in cui la rappresentazione Pi, di carattere Xi , compare in p] .

6.5 Gruppi compatti Nella dimostrazione del teorema di Maschke sulla completa riducibilità abbiamo dimostrato l'esistenza di un complementare G-invariante Wo del sottospazio G-invariante W C V costruendo una proiezione ;ro : V ---+ W che permuta con l'azione di G. Tale proiezione è stata ottenuta facendo la media sul gruppo della proiezione ;r associata alla decomposizione W \Il V', dove V' è un qualunque complementare di W (v. (6.1)). Nel caso di gruppi infiniti non si può sempre ottenere la completa riducibilità, come abbiamo visto nell' Es. 3 di 6.7 per il gruppo degli interi. In questo paragrafo daremo alcuni cenni riguardo alla possibilità di estendere i suddetti risultati al caso di gruppi infiniti. Questa estensione si ottiene considerando, invece di gruppi finiti , gruppi topologici compatti. Se G è un tale gruppo, allora esiste una misura J.l-invariante per l'azione di G, che assegna misura finita al gruppo G: la finitezza di G viene così sostituita dalla finitezza della misura J.l(G). Nel caso discreto, la compattezza significa che il gruppo è finito, la misura invariante è quella che conta gli elementi, e J.l(G) è semplicemente la cardinalità di G. Vediamo dapprima alcune definizioni ed esempi. 6.41 Definizione. Un gruppo topologico G è un gruppo dotato di una struttura di spazio topologico di Hausdorff, rispetto alla quale le applicazioni dallo spazio prodotto G x Gin G, data da (a, b) ---+ ab, e da G in G data da a ---+ a-l sono continue. Ogni gruppo diventa un gruppo topologico se viene dotato della topologia discreta.

272

6 Rappresentazioni lineari

6.42 Esempi. 1. Il gruppo dei reali R=R( +) con la topologia della retta reale è un gruppo topologico. Le funzioni (x, y) -+ x + Y e x -+ -x so-

no continue. Analogamente, sono gruppi topologici l'insieme R n delle n-pIe x = (Xl, X2, ... ,X n ) con la topologia che ha come base di aperti i parallelepipedi aperti ak < Xk < bk , k = 1, 2, ... ,n, e l'insieme cn delle n-pIe di numeri complessi C n = (Zl, Z2, ... , zn ), Z k = Xk+iYk, dove Xk , Yk E R , k = 1, 2, ... , n, rispetto all'usuale operazione di somma componente per componente. A una tale n-pIa resta associata la 2n-pla (Xl , Yl, X2, Y2, ... , Xn , Yn) di R 2n; la corrispondenza che così si crea è biunivoca, e ciò permette di considerare come aperti di C n le controimmagini degli aperti di R 2n. Diremo naturali queste topologie su R n e C n . 2. I gruppi GL(n, R) e GL(n, C). Una matrice A = (ai ,j ) di GL(n, R) si può considerare come un punto (al,l, al,2,"" al,n, a2 ,l, ···, a2 ,n, ···, an,l,··· , an,n ) di R n2 , e si può quindi munire GL(n, R) della topologia indotta da quella di R n2 . In questo modo, GL(n, R) diventa uno spazio topologico, e anzi un gruppo topologico. Infatti, l'inversa di A = (ai,j) è la matrice dei cofattori (~~'A ), ma sia i cofattori che il determinante sono polinomi negli elementi della matrice, e quindi funzioni continue di questi. Analogamente, sono polinomi i prodotti righe per colonne che danno gli elementi della matrice prodotto. Ne segue che, munito della topologia naturale, GL(n, R) è un gruppo topologico. Una base di intorni per una matrice A = (ai,j) è data dalle matrici inverti bili B = (bi ,j ) per le quali, fissato E> O, lai ,j - bi,j l < E, i,j = 1,2, ... ,n. Si 2 osservi che GL(n , R) è un aperto di R n : la funzione che associa a una matrice il suo determinante è una funzione continua GL(n, R) -+ R, e GL(n, R) è la controimmagine del complementare del chiuso {O} di R. Quanto detto sussiste, con ovvie modifiche, per GL(n, C).

3. Un sottogruppo di un gruppo topologico diventa un gruppo topologico munendolo della topologia indotta. Con questa topologia, SL(n , R) è un sottogruppo di GL(n, R); come controimmagine di {I} dell'applicazione continua data dal determinante, si tratta di un sottogruppo chiuso. Il gruppo ortogonale O(n,R), o semplicemente O(n), consta delle matrici A = (ai ,j ) tali che AAt = I; si ha allora L:k ai,k aj,k = bi,j (le righe sono ortonormali). Queste somme sono continue, e O(n) è un sottogruppo chiuso GL(n , R). Per intersezione con SL(n, R) si ottiene il sottogruppo chiuso SO(n) (gruppo ortogonale speciale). Analogamente, il gruppo unitario U(n) (matrici tali che AA t = I) è un sottogruppo chiuso di GL(n , C), come pure il suo sottogruppo SU(n), ottenuto per intersezione con SL(n, C). 4. Il gruppo O(n) è compatto. Per la condizione di ortonormalità, la somma dei quadrati degli elementi di ogni riga è 1, e quindi la somma dei quadrati degli elementi della matrice è n. Una matrice di O(n) è allora un punto sulla superfice della sfera di centro l'origine e raggio "fii, per cui O(n) è un insie2 me limitato di R n , ed essendo chiuso è compatto. Analogamente, il gruppo

6.5 Gruppi compatti

273

unitario è compatto. 5. Il gruppo SO(n), come sottoinsieme chiuso dello spazio compatto O(n), è anch'esso compatto. Consideriamo il caso n

=

2. Sia

(al,l al,2) E SO(n). a2 , 1 a2 , 2

La condizione di ortogonalità implica le uguaglianze 2

a 1 ,1

+ a 21 ,2 - _ 1 , a22 ,1 + a 22 ,2 - -

1 ,a1,l a 2,1

+ a1 ,2 a 2 ,2

-- O·,

si ha poi l'ulteriore condizione a1 ,la2 ,2 - a1,2a2,1 = 1 data dal fatto che il determinante è 1. La prima condizione permette di porre a1,1 = cos a e al 2

,

. e,( cosa -sena) . l dalle altre segue che la matnce = -sen a, a E [0,27r; sena

cosa

Il gruppo SO(2) consta quindi delle matrici di rotazione rispetto all'origine del piano. Se a una matrice di rotazione di un angolo a facciamo corrispondere il numero complesso é" abbiamo un isomorfismo 'P di SO(2) sul gruppo SI = R/27rZ della circonferenza di centro l'origine e raggio 1. Definendo gli aperti di SI come le immagini secondo 'P degli aperti di R/27rZ , 'P diventa un omeomorfismo. 6.43 Definizione. Una rappresentazione (complessa) di dimensione finita di un gruppo topologico G è un omomorfismo continuo di G nel gruppo topologico GL(n, C). 6.44 Esempio. In questo esempio vediamo come, in una rappresentazione di un gruppo infinito, si possa effettuare un'operazione di media, analoga alla (6.1) del teorema di Maschke. Sia f una funzione continua di SI a valori in uno spazio V. Definiamo media di f su SI l'integrale

Grazie all'invarianza per traslazioni della misura di Lebesgue su R, e alla periodicità della funzione e H f (e iO ), si ha che (10 Lg) = (1) per ogni g E SI, dove Lg indica la moltiplicazione a sinistra per g. Se p : SI -+ GL(V) è una rappresentazione di SI e f(e iiJ ) = p(eiiJ).v per qualche v E V, allora f soddisfa anche la proprietà come si vede calcolando: p(eia )(f) = p(e ia )

2~

1

27r

p(e iB)vd8 =

2~

1

27r

p(e i (a+Bl )vd8 =

2~

1

27r

p(e iB' )vd8' .

Si vede così che la media (1) della funzione f(e iO ) = p(eiO).v fornisce un elemento G-invariante di V. Si noti che la continuità dell'azione p serve a garantire il passaggio dell'azione lineare sotto il segno di integrale. Utilizzando questa operazione di media sul gruppo topologico SI, la dimostrazione del teorema di Maschke continua a valere per SI in caratteristica

274

6 Rappresentazioni lineari

zero: le rappresentazioni lineari complesse continue di Si sono quindi completamente riducibili. La possibilità di costruire una media invariante sulle funzioni definite su Si = R/21rZ è stata permessa dalla proprietà della misura indotta su Si dalla misura di Lebesgue su R, che è invariante per traslazione ed è finita sui compatti. Come per la misura di Lebesgue sui reali , in un qualunque gruppo localmente compatto si può definire una misura invariante per traslazione e finita sui compatti. 6.45 Definizione. Sia G un gruppo topologico localmente compatto. Una misura di Haar invariante a sinistra (risp. destra) per G è una misura J.1 definita sulla a-algebra di Borel t di G tale che: i) J.1(U) = J.1(gU) (risp. J.1(U) = J.1(Ug)) per ogni U C G , g E Gi

> O se U un sottoinsieme aperto di iii) J.1(K) < +00 per ogni compatto K C G. ii) J.1(U)

Gi

6.46 Teorema (HAAR). Ogni gruppo topologico localmente compatto G possiede una misura di Haar invariante a sinistra, che è unica a meno di moltiplicazione per scalari. Se G è compatto (o anche se G è abeliano, nel qual caso l'invarianza destra e quella sinistra coincidono) tale misura è anche invariante a destra.

Se ora G è un gruppo compatto, e J.1 è una misura di Haar su G , allora J.1(G) è finita. Se p : G -+ GL(n, C) è una rappresentazione lineare continua di G, allora la media: (v) =

M(~) fa p(g)v dM,

è un elemento G- invariante di V. Ciò permette di costruire, come nel caso finito, proiettori G-invarianti. L'esistenza di una misura di Haar per un gruppo compatto G permette quindi di stabilire, come visto in precedenza, la completa riducibilità delle rappresentazioni continue di G.

t La a-algebra di Borel di uno spazio topo logico X è la più piccola a-algebra di X

tra quelle che contengono tutti gli aperti di X.

7 Ampliamenti e coomologia

Tra gli argomenti dei quali ci occuperemo in questo capitolo c'è il problema degli ampliamenti, problema al quale abbiamo accennato nel Cap. 2 a proposito del programma di Holder per la classificazione dei gruppi finiti. Come vedremo, la soluzione di questo problema, proposta da Schreier negli anni venti del '900, permette di classificare i gruppi che sono ampliamenti di un gruppo abeliano A mediante un gruppo Ir tramite classi di equivalenza di funzioni Ir x Ir -+ A. Non si ha però un sistema di invarianti per le classi di isomorfismo dei gruppi che così si ottengono, perché funzioni non equivalenti possono dar luogo a gruppi isomorfi.

7.1 Omomorfismi crociati 7.1 Definizione. Dati due gruppi Ir e G, e un omomorfismo