Grundkurs Wirtschaftsmathematik. Prјfungsrelevantes Wissen - Praxisnahe Aufgaben - Komplette Lusungswege 3834914142, 9783834914149 [PDF]

Zitiervorschau

Benjamin Auer / Franz Seitz Grundkurs Wirtschaftsmathematik

Benjamin Auer Franz Seitz

Grundkurs Wirtschaftsmathematik Prüfungsrelevantes Wissen Praxisnahe Aufgaben Komplette Lösungswege 2., vollständ ig überarbeitete Auflage

•

GABLER

Bibliog rafische Information der Deutschen Nationalbibliothek Die Deutsche Nationalbibliothek verzeichnet diese Publikation in der Deutschen Nationalbibliografie: detaillierte bibliografische Daten sind im Internet über abrufbar.

Dr. Franz Seitz ist Profe ssor für Volkswirtschaftslehre, insb esondere Geld und Finanzen sowie Wirtschaftsmathematik an der Hochschule für angewand te Wissenschaften Amberg-Weiden. Dipl .-Betriebsw. (FH) Benjamin Auer ist Doktorand an der wirtsc haftswissensc haftlichen Fakultät der Universität Leipzig sowie Buchautor in den Bereichen Mathematik, Statistik und Buchführung .

1. Auflage 2006 2. Auflage 2010 Alle Rechte vorbehalten © Gabler I GIfN Fachverlage GmbH, Wiesbaden 2010 Lektorat: Jutta Hauser-Fahr I Renate Schilling Gabler ist Teil der Fachverlagsgruppe Springer Seience-Business Media. www.gabler.de Das Werk einschließlic h aller seiner Teile ist urheberrechtlich gesc hützt. Jede Verwertung außerhalb der engen Grenzen des Urheberrechtsgesetzes ist ohne Zustimmung des Verlags unzulässig und strafbar. Das gilt insbesondere für Vervielfältigungen , Übersetzungen, Mikroverfilmungen und die Einspeicherung und Verarbeitu ng in elektronischen Systemen . Die Wiedergabe von Gebrauchsnamen, Handelsnamen, Warenbezeichnungen usw. in diesem Werk berechtigt auch ohne besondere Kennzeichnung nicht zu der Annahme, dass solche Namen im Sinne der Warenzeichen- und Markenschutz-Gesetzgebung als frei zu betrachten wären und daher von jedermann benutzt werden dürften. Umschlaggestaltung: KünkelLopka Medienentwicklung, Heidelberg Druck und buchbinderische Verarbeitung: Ten Brink. Mepp el Gedruckt auf säurefreiem und chlorfrei gebleicht em Papier Printed in the Netnertanos ISBN 978-3-8349-1414-9

Vorwort Vorwort zur 2. Auflag e Liehe Leserinnen und Leser,

mit dieser 2. Auflage erscheint "Grund kurs \'\!irtscbaftsmathematik" in \'ollsländig neuer Optik und in ha ltlich komplett überarbeitet. Konkrete Reche n be ispiele wurden in leserfreundlicher FOl1n vom theoretischen Text abgehoben und Gleichungen zur besseren Refe ren z nummeriert. Die Fehler, d ie sich in d ie 1. Auflage etngeschl ichen hatten, wurden korrigiert und die Inh alte um weitere The men he re iche erwe itert. So werden nun z.B. auch Abschreibungen , das r\l:wton-Vt.'rf:liuen zur Nullstellenbesummung. die Rege l von ], Ho spital. numerische tmcg rauonsve rfuh rc o. elementare Differenzialgleichungen. Matrizengleichungen Lind die line are üptimierung thematisiert. Auch d e r Online-Service zum Buch unter u.u-tn.u-ima-aucr-seitz.dc wurde überarbeill'l und e rwe itert. \'('ie hisher finden xich dort d ie Grafike n des Buche s zum Einsatz in der Vorlesung, e ine au f das Buc h abgestimmte Formelsammlung und zahlreiche Übungsaufgaben mit ausführlichen Lösungen. Darüber hinaus bieten wi r nu n auch e ine Vielzahl von M'i-Exce l-To ols , m it denen Rech c nbetsp te le und Verfahren einfach nachvollzogen und prakt isch umgesetzt werden können. Sie sind in der Pra xis insbesondere für finanzmathemat ische Frageste llunge n, n umerische Verfah re n un d d:IS Lösen von Gleichungssystemen rele vant. Imme r d ann , wenn zu einem Thema oder Beispiel ein en tsprechendes Tool im Online-Service zur Verfüg u ng steht, wurde d ies durch das Symbol Q. um Seitenrand kenntlich gemaein. ncnntzernamen Emd Passn-ort für den ZU,L:;mg zum Online-Service kö nn en Sie über das Kon taktmen u auf www.wima-auer-seitz.de anfordern . \Vir wünschen an dieser Stelle allen Lese rin ne n und Lese rn viel Erfo lg bel der Arbeit mit dem Lehrbuch und den ncuen Materialien. Wir d anken Glxela Hec ke r, Pro f. Dr. Han s ltc n ke r, Prof. Dr. Martl n Biewen, Pro f. Dr. Frank Brand , Pro f. Dr. Clandia Cottin , Prof. Dr. Ik g in:l Fisch e r, Pro f. Dr. Gcrt -Ha rald Frö h lich, Pro f. Dr. An d rc as Oad .usch . Dr. Andrcus Hil pc rt. BiOm jensen , Anas msia LUj:I, Prof. Dr. Volker Nollau, Stefan Rieh!, Pro f. Dr. Albe rt Hufr, Pro f. Dr. Ulrich Sax , Prof. Dr. Rain e r Schwabe. Pro f. Stcphun Dempe, Prof. Dr. jürgcn Strohel und Pro f. Dr. Rudolf Voller für wertvolle Hinwe ise und verbesserungsvorschlage. Be so nd e re r Dan k g ilt He rrn Steffen ß urk ha rdt für e in abschliege ndcs Ko rre ktu rle sen .

wetden i. d. O Pf. und Lei p zig , Augu .~t

2009 Prof. Dr. Franz Setrz Dipl --Betrie bsw. (1' 1[) Be njamin H, Aue r

VI

Vorwort zur 1. Auflage Lie be Leseri n nen und Leser,

mit d iese m Buch liegt Ihne n e in \X'crk vor , 0) V (Tl -7

3.

2 1

Sind so woh l T, als a uch Tl positiv bzw . nega tiv, gilt augerdem T -

T,

T,

fü rT, -l~> O _

(1.69 )

Es kann also auf beide n Seiten zum Ke hrwe rt übergeg angen werden, we nn das Ungleichheitszeichen umgedreht wlrd .

3. Grundlagen de r Arithmetik

35

Beis p iel e:

1.

3 -

2. -3 < -2

H

1 1 -- > -3

2

Die Rechenregel n 0 .(4 ) bis (1.69 ) sind be so nd e rs hei m Lö se n vo n Ungleichungen relevant. Wir wollen da her im f olge nd en unhund einiger Be isp iele veranschaulichen, wie Ungleichungen ge lös t werden . Beispiele : 1, Einfache Ungleichung:

5x - 4 6

,>3

Für die Lösung der Ungleichun g muss also in diesem Fall sowoh l x > -1 als auch x > 3 gelten, was insgesamt zu x > 3 füh rt.

2. Fall: 1+x ~'"n..n

Es also die Basis beizu be halten und e in neuer Exponent zu verw enden, der sich aus de m Prod ukt des alten und des zusätzlichen Exponenten ergibt. Beispiele : 1.

(X2)4= X24= X8

2.

(3 y')2=( 3) 2.( y 3f= 9 · y32= 9 y 5

3.

( _x~)2=( _1)2 '( XY)2= 1 · xY2= X2Y

3.4.2

Potenzen mit ganzzahligen Exponenten

Da wir in Abschnitt 3.4. l Pote nze n nur für natürliche Expo ne nte n definiert hatten. waren wir gezwungl'n hl'i der Division von Potenze n m it gle iche n Basen und un tersch iedlichen Exponen ten die drei Fiille (IB I) bis (I.H3) zu definieren. Du rch ein e Erweiteru ng der Pote nzdefinition auf ganzzahltge Expo ne nte n In E Z ) können w ir erreichen, dass (I.H I) in allen drei Fällen n > m. n = m und n < m gilt. Dam it Ll.Hl l auch im Fall n = m das rk btigl' Ergebnis liefe rt, muss offe nsichtlich die Bezie hung (I.H'i ) gelten. Dam it (1.81) auch für n < m das rk btige Ergebnis liefe rt, muss

a~" =...!... an

(I.Ho)

gehen. \,\'ir haben dami t auch Poten ze n mit ncgauven Exponenten de finiert. Die bc ha nde hc n Pote nzreche nre geln hl'sitzl' n für diese un veränderte Gül tigkeit.

I Allgemeine Grundlage n

42 Beispiele:

1.

X ~ · X - l =X 4 . ( - 1) =X3

2.

-x = x3-,." = x• J

,.,

alternativ:

3. 1

4.

5

[( " . ,1,

J]'

- v'

y=[[ ; :

Jr-

y"

{2ab)6

=

[1>''''1']' - y' = [1" 1' ]' - 1

6.

3.4.3

Potenzen mit gebrochenen Exponenten (Wurzeln)

Die Aufl ösung vo n Gleichungen de s Typs an = b nach de r Unb e kan nte n ;1 fühlt zum Begri ff der n- ren wurzcl der Größe h . Fü r h ~ 0 ist die n-te Wurzel von b dc-

finie rt als diejen ige ntctunegoure 7(/1.11 a, de ren O -It' Pote nz h ergibt. Die A ll fl ös u~ von an = b nac h a liefen also t h ~ 0 vorausgesetzn die utchtnegattve Zahl u = ~h . Formal gi lt dami t a'' = b H ;1 = !Jb . ( 1.87) b bezeichnen wir als Rad/kalif u nd n ab wurxetexponens. Aus ( I.H7J kön ne n w ir

für jedes b

;?;

0 ableiten. dass O.HH)

gilt. Das W'urzd zie he n (ode r Rad iziere n I ist also ei ne Umkehrung des Potenzie rens, näml ich die Auflös ung nach de r Basis. Eine Aufl ösun g der Gleich ung an '" b nach dem Expo nenten n he igt Logarithmie ren . Dies ist Thema von Abschnitt I .~ .4.4 . Es k önn en aufgruod de r Verh indu ng zur Pote nzierung zun ächs t folgen de Eige nsch afte n HHl \X.'urzeIn aufgeführt werden: ii = 1 da In = I , W = 0 da o" = 0 und J.jh = b da b' = b . D~"og. Q Ulldral ll 'l/ rzel 4b w ird abg ekürzt als Jb gcscbnebe,n.....J:s gilt zudem "jh~ = da b' auch bei negativem b po sitiv ist. Analog gilt

''" = Ibl .

Ibl ,

Beispiele:

1.

.Jg =3 Wir beantworten mit der Berechnun g des Wurzelwertes die F{~e , welche nichtnegative Zahl quadriert 9 ergibt. Dies gilt für die Zahl 3. Der Term ../9 = 3 ist also eindeut ig und stets positiv. Die Gleichung l '" 9 hingegen besitzt die zwei Lösungen 3 und - 3, da sowohl 32 '" 9 als auch (-3)2 '" 9 gilt. Es ist also zwischen Wurzelwert und Gleichungslösung zu unterscheiden.

43

3. Grundlagen der Arithmetik 2.

~ In diesem Fall existiert keine Losung, da der Wert unter der Wurzel gemäß unserer vorhergehenden Definition nicht negativ sein darf.

ln den vorhe rgehenden Abschnitten I 3.4.1 und I 3.4.2 wu rde n Pot enze n m it ganzza hligen Expo ne nte n be handelt. Eine we itere Erwe ite ru ng auf ge brochene Exponenten .!ll. m it n 'f- 0 und n E Q , ist zuliissig, da auch da bei alle behandelten Heehenregel" n für Potenzen weite rhin Sinn erge ben . So gilt etwa (a "") " =a ""'" = a 1 =a . Vergle iche n wir dieses Beispiel mit ( J.HH), so erkennen wir, dass für a ~ 0 der A usdruck

=b

log 10" = n

Be im Umgang m it Logarithmen gilt ei ne Reihe von Rechenregeln, die unmittelbar aus denen für Pore nze n entsteh en . \'('o lle n w ir z.B. den Logarithm us ein es Prod uktes zweier Faktoren II und v zur Basis a, also log, (uv ) be sum mc n. so können wir dies durch Summa tion der Loga rnhme n der e inzelnen Faktoren tun. l()g , (uv )=log ,u+l()g~v

().97)

Analog e rhalten wir auch den l.ogaritbmus eines Quot ien ten als log..

Bei spiele: 1.

In(5x) =ln5 +ln x

2.

In( %) =ln3 - ln 4 = -O,28768...

(~ ) = log , u -

log, \- .

(1.98)

46

I Allgemeine Grundlagen

(1.97) gilt auch für eine beliebige Anzahl n von Faktoren, d.h . I(Jg, r u.u, ...ll n) = log , u 1 + log, u ~ + ... + log" lI n =

,

L log , ,.,

ll k •

Sind alle u, = u, so erhalten wir log , u" = n . log, u ,

( 1.99 )

was besagt, dass e in Expo ne nt "vor den Logarithmus ge zogen" werden darf. (1.99) gilt nicht nur für natürliche, sondern auch für ganzzahhge und gebrochene Exponen ten , sodass auch gilt :

Beispi ele: 1.

Jn( x 2 ) = 2 · ln x

2.

In(,, 4x) = 10((4x)' ) = - . ln (4x) = - ' {In 4 + In x) 3 3

3f7":

l

1

1

Ein Logarithmus zu ein er be lie bige n Basis a kann jederzeit mittels dekadischer oder natürlicher Logarithmen berech net werden. Dabei machen wir uns (1.92) und die vorhergehend be handelten Re che nre geln zu Nu tze : tcach ( 1.92) gilt an = b ,

woraus nach l.ogarithmicrung

log b loga

n -toga = logb bzw . n = - -

res ultie rt. Da die gkidle Berechn ung auch m it de m natürlichen Lo garithmus e rfolgen kann , können wir für die A l1 fl ü,~ u n g e ine r Gleichung a" = b nach n an = b

H

n= 10g b = ln b loga ln n

(1.100)

festhalten. Da nun gerade n .. log, b ist, e rkennen wir daran au ch , dass wir log, b w ie folgt aus dekad ischen oder natürliche n Logarith men berechnen können: log h = 10g b = lo b • log a lna Beisp iel :

3' '" 7

H

x ", log 7 ", ln 7 = 1, 7712437... log3 ln3

(1.10\)

47

3. Grundlagen der Arithmetik

-

3.5 Weitere Gleichungstypen ln d iesem letzten Grundlagenabschnitt setzen w ir die unter Abschnitt I 3. 1.5 be gonnene Be hand lung vo n i\l(uivalenzumformungen in linearen Gleichungen fort . Darüber hinaus erweitern w ir das in der \'\'irtsd ta ftsmathe matik notwendige Spektrum \ '011 Gleichungen auch a uf q uadratische Gle ich unge n. De n \X,'urzel· und Logarith musgleichungen sow ie speziellen Produ kt- und Quotien tengleich ungen w idmen wir aurserdem separate Abschnitte.

3.5.1

Weitere äquivalente Umformungen

Neben den in Kapitel I 3. 1.5 besch riebenen Umfo rmu ngsregel n für Gle ichu ngen, können nac h Be hand lu ng von Po tenzen, W urzel n und Logarithmen we itere ~lög­ lkhkeiten äqutvalrener Umformungen angeführt werd e n, So d ürfen et wa neide Sei fell einer Gleich ullg z u ,. selbcn Basis a m it n *- 1 !J0fellzieI1 we rd en. Umgekeh rt sind damit d ie Ex po ne n ten zweier Po te n ze n mit gleicher pos itiver Basis a mit a ~ I id enti sch . f o rmal gilt also ( 1.102) T1 = T! H aT'=a T, für 0,a *- 1 Beispiele:

1. Auflösung einer einfachen Basisgleichung:

6 -" 5 _6. -3' = 0

1+6' -3.

6 -· ,5 = 6· ,3' Da (I. 102) gilt, c örten bei gleicher Basis beide Exponenten gleichgesetzt werden: - x + 5 = 4- 3x

x =-0,5 2. Auflösung einer einfachen Logarithmusgleichun g: Inx+2,ln2 = 4 Inx +ln2 0 und T, > 0, so ist für ein positives a (a cF- 1) Logarithmieren bei de r Gleichungxscltcn ei ne weite re äquivalente Umfo rmung. T, = Tl H log, T, = log " 'I~ fü r 1'" Tl > 0 und

,IE IR+\ ll ]

(L106)

3. Grundlagen der Arithmetik

49

Beispiele: 1. Auflösung einer einfachen Exponentialgleichung:

[Jn

e , -2 = 1 lne -" = ln 1

1+2

x -2 = O x ",2

2. Auflösung einer einfachen Bastsqlelctump: 2' = 4

I' og

log2 ' = log 4 x ·log 2 == log4

lo log 2

x == 2

3.5.2

Quadratische Gleichungen

während lineare Gle ich u ngen dadurch ch arakteris iert sind, dass man sie durch äqc ivulerue Umfo rm un gen in d it.' Form ux + h '" () bringen kann u nd damit nu r

e ine Lös un g lu-sitze n, ve rstehen wi r u nter e ine r quadransehen Gle ichu ng eine xolehe. die sich du rch äqu ivale n te Umformung als ax l + b x + c = O

'*

mit

;1 ,*0

( 1.107)

darstellen Hisst. Es muss dabe i a ge lten , da a ndernfalls keine q uad ra tisch e Gle ichung, sondern eine line are vorliegt. ü

Die Best immun g d er zwei Lösun gen vo n Gleichun gen die ses Typs e rfolgt m it l lilfe der Lösu ngsformel X 1.l

=

-h± JD 2a

mi t

( 1.108)

Gilt fü r d ie so g. tnsler inünantc 1) > 0, so be sitzt die Gle ich ung 2 Lös un ge n. Im Fa!· 11.' D .. 0 e rgibt sieb eine ei nzige u nd be i D c 0 keine Lö su ng. Beispiele : 1.

3x2 _ 4x == _5

1+5

2

3x - 4x +5 ==O x

=

1.2

D1) führen. Mit diesen Vorüberlegungen können wir nun die Gleichung lösen:

52

I Allgemeine Grundlagen

J x-1+JX =7

1'

{JX=1+.JX) 2= 7 2

(v'X"'=-l/ + 2 · ~ ·JX + (JX )2 = 49 x - 1+2 ·J )( - 1· .[;. + x = 49 2 · ~ ·JX =-2x + 50

1- 2x+ 1 1: 2

J (x 1) ·)( =:-x + 25 ../x2 -x = -x + 25 x 2 _ x = (25 _x )2

I'

x 2 - x = 25 2 - 2 . 25 . )( + x2

49x = 625

x =12,76 Im Zuge dieser Umformungen ist anfangs darauf zu achten. dass jeweils die gesamte Gleichungsseite und nicht etwa nur deren ein zelne Terme zu qua drieren sind . Da es sich bei den du rchgeführten Qua drierungen nun nicht um äq uivalen te Umformungen hande lt (vgL Abschnitt I 3.5.1 . . Potenzierung mit ge raden Exponenten), ist zudem zu prüfen, ob das resultierende Ergebnis x = 12,76 im Definitionsbereich der Gleichun g liegt. Dies ist hier der Fall. Auch ein Einsetzen der Lösung in die vorliegende Ausgangsgleichu ng ../12,76 1+ J12,76 = 7 füh rt zu einer wahren Aussage (7 = 7), d.h. die gefund ene Lösung erfüllt die Ausgangsgleichung.

2.

I' l-x + 6X- 9

~ =x -3 2

2

x -1 = x - 6x+ 9 - x 2 + 7x- 10= 0

Die Anwendung der Lösungsfo rmel (1. 108) liefert Xl = 5 und X2 = 2. Seide We rte liegen im Definitionsbereich 0 = [x I x z 1} der W urzel. Ein Einsetzen von Xl in di e Ausgangsgleichung liefert eine wahre Aussag e (2 = 2), wohingege n für X2 eine falsch e Aussage (1 = - 1) resultiert. Demnach ist nur Xl eine Lösung der Ausgangsgleichung.

3.

~1 20 - VX - 5 = 0

~1 20 - VX = 5 120 - tIx = 125 tIx = - 5 X=

-3 125

1+5

I'

1- 120 IHI

I'

Da hier der W urze lexponent bei allen Operation en ungerad e war , wurden nur äquiva lente Umformungen durchgeführt. Eine Überprüfung des Ergebnisses ist daher nicht erforderlich. Zudem umfass1 der Defini tionsbe reich der auft retenden Wu rze ln alle rellen Zahlen lR , d .h. es sind hier auch negative Radikanten zulässi g.

3.5.4

Logarilhmusgleichungen

Bei Logarnlunc sg tetch u ngcn handelt es sich um Gleichungen, bei den en die gcsuchte Variable unter e inem Loga rithmus vorkomm t. Gle ichungen dieses Typs

3. Grundlagen der Arithmetik

53

we rd e n durch Po ren zle rung zur Ba sis des vo rko mme nd e n Logarith m us gelüst. Die Ken nt nis de r Loga rith mus - und Po ten zge se tze sind also bte r essen ziell . Auch hie r t,>n tste ht wie bei d e n \Xrurzdgleich un gt.' n e int.' Dt.'finitions!lt,>rt.'ichsp ro!l[em'lIik, da der Lo ga rithm us nur für positive Te rme d efin iert ist. Beispiele: 1.

In5 = 4In(/ ) Der hier vorkommende Logarithmus ln (l ) ist auch für negative y positiv, sodass er lediglich im Fall y = 0 nicht definiert ist. Der Oefinitionsbereich des Logarithmus und der Gleichung ist damit 0 '" IR. \ {O}. Eine Auflösung der Gleichung liefert folgendes: InS = In(y2)'

[e

5 '" y8 y = ±~ y = ±1,22 Seide Werte liegen innerhalb des Defmiüonsbereiches und erfüllen die Ausgangsgleichung, sind also Lösungen der Gleichung. 2.

1+logx ",210g(x -1 )

110

Der erste Logarithmus ist nur für x > 0 der zweite für x > 1 definert. Dies ergibt als Oefinitionsbereich der Gleichung 0 '" {x I x > 1}. Die Gleichungsauflösung liefert folgendes: 10'010+In ~ + In l

(_1_) zx

)

+.J3x + I

Jx+2

Hinweis : Nahezu alle Aufgaben sind so gestaltet, das.s die Lösungen in die Definitio nshere iche der jeweiligen Logarithme n bz w. w urzel n liegen . Lediglich be i den Aufgaben i ) - p sind die Lösungen auf ihre Gültigkeit zu prüfen.

11

FI NA NZ MATHE MATI K

In der Finanzmathematik befassen wir uns mit Fragestellungen wie, welchen Wert ein heule oder in gewissen zeitlichen Abständen zinsbringend angelegtes Kapital in der Zukunft besitzt oder welcher Geldwert heute bzw. regelmä ßig angelegt werden muss, damit in Zukunft eine bestimmte Ausza hlung erhalten wird. Darüber hinaus interessieren wir uns dafür , wie aus einem gegebenen Anf angskapital regelmäßig wiederkehrende Auszahlungen vorgenommen werden können und wie die Tilgungsstruklu r von Krediten bestimmt werden kann. Auch die aus den Steuergesetzen bekannten Abschreibungen für die technische bzw. wirt schaftliche We rtmi nderung von Wirt schaftsgüt ern werden mit dem finanzmathematischen Intrumentarium anal ysiert und sind folglich ebenfalls Thema dieses Kapitels. Wesentlich e Grundlage für die Darstellung des unanzmathern atlschen Formelwerks sind sog . Zahlenfolgen. Sie basieren auf speziellen Funktionen (Bildungs gesetzen ). die aus der Menge der natürlichen Zahlen die Glieder der Folge liefern. In der Finanzmathem atik sind insbesondere die arithmetische und die geometrische Folge von Relevanz . So können etwa regelmä ßige Einzahlungen auf ein Konto als Zahle nfolge aufgefasst werden . Werden die Glieder einer Folge autsummiert. so erhält man sog. Reihe. Reihen finden daher überall dort Anwen dung , wo Ein- und Auszahlungen auf Konten stattfinden, die verzinst oder abqezinst werden . Kontostände stellen nämlich auch Zwische nsummen dar. die in Abhäng igkeit von den Zah lungszeitpunkt en die Glieder einer Folge bilden .

1•

Folgen und Reihen

In diesem Teilabsc hnitt legen wir mit arithmetischen und geomet rischen Folgen und Reihen das für die Finanzmathe matik notwend ige formale Fundament. Wir behandeln dabei unter 1.1 und 1.2 zunächst endliche Folgen und Reihen, das s heißt solche , deren Glieder abzählbar sind. Unter 1.3 gehen wir kurz auf spezielle unendliche Reihen ein. Wir werden

dabei unter anderem sehen. dass die Euler'sehe Zahl e aus einer unendlichen Reihe resuliert.

-

1.1 Folgen 1.1.1

Grundlagen

Unte r ein e r Fo lge [a,1 versteh e n wir allge mei n eine Funktion (ei n Bildungsgesetz), d ie (das) jeder na türlichen Za hl n e N oder einer Teilmenge von N eine reelle Zahl an E IR zuordnet. Dte reellen Zahlen a,. a,• ... , an E IR he ißen d ie Gliede r de r Folge mit a, als dem allgemeinen Glied. Beisp iel :

1a,, ] =n2 + 5 für n e N Der Term n" + 5 stellt das sog. Bildungsgesetz dar. Aus ihm resultieren durch Einsetzen der Elemente des Deünntonsberetchs (hier n e N ) die einzelnen Glieder der Folge, die in folgender Tabelle auszugsweise angegeben sind:

a,

a.

a,

"

Wert

W'ird d ie Zah l n a us ei ner begre nzten Zahle nmenge (z.B. n e Tl , 2; 3; 4; 5)) gcwühlt, so gilt d ie f olge als en d lic h . Andernfalls w ird sie als u ne n d lich bezeichnet. Ande rs als d ie Eleme nte einer .\knge können sich die Glied er e ine r Folge beliebig o ft w iede rholen, wie folge ndes Beispiel zeigt: Beisp iel : la,,] =0,25.(n+(-1)" .n) für n e {1;2; 3;4; 5; 6} Die Glieder dieser Folge ergeben sich zu 0, 1, 0, 2, 0, 3.

64

11 Finanzmathematik

Hesirzt e int;' I'ol ~e die Eigen s 0 ist die Folge mono ton wac hsend, für d < 0 monoton falle nd . Beisp iele: 1. Fall d > 0: Ein Student eröffnet zum 01.01.2009 durch Einzahlung von 1.000 Euro ein Bankkonto. Am Anfang jedes Folgemonats zahlt er jeweils einen um 500 Euro erhöhten Betrag auf dieses Konto ein. Wie hoch ist die Einzahlung im November 2009? Es ergeben sich al l '" 1000 + (11- 1) ·500 '" 6.000 Euro. 2. Fall d < 0: Ein Anlagegul mit einer betriebsgewöhnlichen Nutzungsdauer von 4 Jahren und Anschaffungskosten von 40.000 Euro soll linear abgeschrieben werden, d.h. die in der Bilanz gebuchten Anschaffungskosten werden 4 Jahre lang jährlich um den gleichen Betrag reduziert, bis ein Wert von Null erreicht wird. Die Anschaffung erfolgte zum 01.01.2004. Abgeschrieben wird jeweils zum 31.12. des Jahres. Wie hoch ist der Restbuchwert (a3) zum 01.01.2006 (3. Nutzungsjahr)? Die Folge der Restbuchwerte ist arithmetisch mit d '" - 40.000 1 4 . Es ergibt sich somit a 3 == 40.000 +( 3 - 1H-10.000) == 20.000 Euro.

1.1.3

Geometrische Folgen

h ei (~t geome trisc h, wen n der Q llofiellt zuv ser auf einander fo lgender Glieder eonstant ist. Sit.' tritt a uf, wenn rl'gel m~ g ig m it e inem konstanten Fak tor multipliziert (hzw. dividiert '" Multiplikat io n mit dem Keh rwe rt) w ird.

Eine Folge

Beispiel :

a, 2

4

16

8

32

Jedes Folgeglied resultiert hier jeweils durch Multiplikation des vorhergehenden Gliedes mit der Ziffer 2 (ao.l '" an . 2). Der Quotient zweier aufeinander folgender Glieder ist daher hier immer 2 (4/2 = 814 '" 16/8 '" 32/16 '" ... '" 2).

Eine Fo lge ist damit geometrisch, wenn q = a n . \ = konstant für alle n e N

(11.3 )

an

h zw . an" '" a o . q gilt. D ie Glieder einer geom et rischen Folge lau ten also ;1 , ' a • q, a , . q " , ;1 1 • q , . l

"

---..--.. ......-...---. "

'.,

""--.---'

"

Allgem ei n er gtb t sich für die Glit.'de r der geometrischen Fo lge

ao =

:l j .

q n- I

für alle ne N .

Für q > I ist die Folgt.' mo no ton wachsend, für q < l mo not o n fallen d.

m A)

66

11 Finanzmathematik

Beispie l: Die Eltern eines Schülers legen für diesen ein Konto an, welches jeweils am Jahresende einen Zins von 2 % auf das zu diesem Zeitpunkt auf dem Konto vorhandene Kapital zahlt. Am 1.1 .2009 zahlen sie einen Betrag in Höhe von 1.000 Euro (al) auf das Konto ein. Angenommen es kommt zu keinen weiteren durch den Schüler oder die Ellern veranlasst en Ein- oder Auszahlungen, wie hoch ist dann der Kontostand am 1.1 .2013 (bzw. nach n ", 4 Jahren)? Aus einem Zins von 2 % ergibt sich ein Wachstumsfaktor von 1 + 0,02 = 1,02, was zum 1.1.2013 zum Kapitalstand 3 5 = 1.000 . 1,02 4 - 1 = 1.06 1,2 1 Euro führt .

1.2

Reihen

1.2.1

Grundl agen

Summieren w ir d ie ers ten n Glieder einer Folge la) mit Jen Gliedern su ergibt sich die sog . n -Ie Te ilsu m me So =

" La, .., = ;1 1+:I ! +:1, + ... + 3

0

;1" ;}"

a., (11.) )

•

Die Fo lge der n-ten Te ilsummen lsJ heißt Reihe . Je nach zugrunde liegender Fo lge sprechen w ir von arithmetischen oder geometrischen Re-ihe n.

1.2.2

Arithmetisch e Reihen

Wie wir a us Abschnitt 1.1.2 wissen, erh alten wir d ie Glieder der a rithmetisch e n Fo lge über das tutd uogsgese tz a n = a l + (n - 1) · d . Bilde n w ir die ri -te Te ilsumme der Glieder der arithmetischen Fo lge, schreiben diese so wo hl in regulärer als auch in umgekehrter Reih e nfolge und addie re n jeweils die un tere inander stehenden Glieder, so erh alten w ir:

.s" =

al

+ a1 +

s = a, + (n-ll ·d+ " 2s o za, + (n l)·d +

d + ... + ;1 +( n- 2) ·d + ..+ 1

2;11 +

(0

1) .

s, + ( n -l)· d

;1 1 d + ..+ 2;11+ (0

1) . d

\X'i r erk ennen, da ss d ie Additio n beid er Sum men n-mal die gleiche n Glieder liefe n , sodass wir 2sn =n . [2a 1 + (n -1) · d l= n ' [:1 1 + a l + (n - J)·d J= 0(3 1+:l n ) erha lten. Die u-te Teils umm e der a rithmet ischen Hei he bet r~i gt dam it n 0'( 0-1) s'n =-. , -d . 2 (;1 I + a n )=0 ·" 1+

(11.6 )

Beispiele: 1. Oma Helena hat durch den Tod ihres Galten eine Barerbschaft in Höhe von 100.000 Euro gemacht. Da sie wenig Vertrauen in das Bankwesen hat, zahlt sie dieses Geld monatlich und in Teilbeträgen auf ein eigens dafür angelegtes Konto ein. Diese Zahlungen beginnen am 1. Januar des Jahres 2005 mit einem Betrag von 5.000 Euro (a-].

67

1. Folgen und Reihen

Am Anfang jedes Folgemonats zahlt sie allerdings nur noch einen um jeweils 100 Euro reduzierten Betrag (d = - 100 ) ein. Wie viel Euro der Erbschaft hat sie nach einem Jahr bzw. 12 Monaten (n = 12) noch bar Zuhause? Wenden wir (11.6) auf dieses Problem an, erhalten wir die Gesamtei nzahlun g innerhalb eines Jah res als

S'2 = 12 · 5.000 + 12 ·(12 - 1) ·( - 100) = 53 .400 ,

2

was zu ein em Erbschaflsrest von 100.000 - 53 .400 = 46.600 Euro führt.

2. Für d ie Summeder ersten n natürlichen Zahlen g ilt

"

" i = - .(1+n ) sn= 2: i. l 2 Dieser Zusammenhang wird noch besonders be i finanzmathem atisc hen Umformungen in den nachfolgenden Abschnitten relevant sein.

1.2.3

Geometrische Reihen

In Ahschntrt 11 1.1.3 wurde hereits behandelt, d:ISS d ie Glieder einer geometrische n Folge durch das Bildungsgesetz an = 3 , . q ~ - I beschriebe n sind. Bilde n wir die n-te Teilsumme s, de r geometrischen Folge- lind stellen diese r die mit dem Li kto r q muhi plizlc rte n-te Teilsumme gegenüber, so erhalten wir für die Differenz be ide r Ausdrücke: Sn

= a 1 +a j ·q +:1 1 . g l +

a 1 ·q+:l I ·q l + +0

+ :1 1 .q n _ l +:I ) . q n - l + :1 1 -q "

+ ... + 0

Es resultie rt also bzw .

· (I - q) = a 1 '(I _q n ) . Dara us folgt als allgemeine Formel zur Bestimm ung der n-ten Teilsumme der geo me trischen Reih e sn

u'+

Eine Fun ktion y = fex) besitzt allge mein e ine n Grenzwert q> an der Stellc x = U, we nn links- und rcchtssc uigc Grenzwe rte e xistieren und gle ich q> sind. Es gilt also lim f( x ) = lirn f( x) =q>

x-->u -

~ --> u+

H

lim ft x j

x ....11

e

o.

(111.1 4 )

Die Funktio n in Ahhild ung 111 14 bes itzt demnach an der Stelle x = (X ' keinen Gre nzwert, da die link s- und rccht sseitigc n Gre nzwert e ( 13 und X) un te rschiedlich sind .

1. Funktionsbegriff und Funktionseigenschaften

121

Bei spiel : Betrachten wir die folgende abschn ittsweise definierte Funktion :

f [x ] =

1

3x + l

für x s a

- x + 3 für x o z

Bei linksseitiger Annäherung an den Wert x : 2 ist in der Grenzwertbetrachtung der Term 3x + 1 zu verwenden, da diese r für x -:;; 2 die Funktionswerte besti mmt. W ir erhalten damit

urn

x..... 2-

f(x ) :

lim (3x+l ) =7 .

x..... 2-

Bei rechtsseitiger Annähe rung ist entsprechend der Term - x + 3 heranzuziehen, sodass lim f(x ) = lim (-x + 3) :1

x..... 2..

x..... 2+

gi lt. Folglich besitzt die Funktion f(x) an der Stelle x = 2 keine n Grenzwert.

Resultat einer links- oder rechtsseitige n Annähe rung an ei ne n \'( 'e n x '"' u ' kann auch ein unetgentltcher Grenzwert sein. Fa lls fix) bei Annäherung an c cvon links über alle Grenzen wachst bzw. un ter alle Grenzen fällt, erhalten w ir tim f(x )= +oo

bzw.

x.....a '-

lim ft x ) =-00 .

x.....a '-

Falls f(x) be i Annäherung an c ' von rech ts über alle Grenzen wächst bzw. unter alle Grenzen fällt , erg ibt sich lirn f( x)=+oo

x.....

bzw.

o.·..

tim f(x)=-oo.

x.....u "..

Bei spiele :

1.

1 f(x ) =x

Skizze :

y

1 . ,Im - =-t

x..... O+ X

2.

1 ,.im --=-=; x..... 4 - x- 4

Nähern sieb die 'x'e rte ei ne r Funktion y - 11x) bei un be g ren zt u-achseudem x immer mehr dem 'Xfen lp an , so ist lp der Grenruvrt d er Funletion und wir schreiben lim f t x ) = ,~ -

lp .

(1 11 .1')

122

11 1Funktione n ein er Variablen

Nähern sich d ie W'(;'rtto' von ((x) h t:i 1II11J_ X

Wenn eine Funkti o n y '" /( x) h l:'i unbegr enzt wachsendem (falle ndem ) x üher (un ter) alle Grenzen w:ichst Willt ), ordnen w ir ihr e be nfalls e inen unclgentlichcn Gre nzwe rt zu. Es sind dabei folge nde Eille denkbar:

lim f(x )= +c->

tim f( x) = --o

tim [( x) = +

ltm f( x ) = --o;o

Be ispiele : 1.

H

lim (x 2 + 1)= + ; _

,--

lim (x ,--

lim (x3+ 4 x+ 7) :+;

2,

H

2 + 1) : +

lim (x 3 + 4x + 7)=-oo _

Bei der Rechnung mit Gre nzwe rte n sind e ine Reih e wichtiger Vorschriften ( Grenzll'erlsülze) zu beachte n. Be vo r wir näher auf die se ei ngehe n, sind jedoch die Grenruvno unchtiger t-uneuoneu näher zu lx-trachte n, da uns diese zusammen mit den Grenzwertsätzen d ie Grcn zw crtbc surnmu ng se lbst hei kom plexen zusammengesetzte n Funktione n e rleicht e rn. ""'ir sk izziere n da bei ZUIll besse ren v e rsränd nts einige Beispi elfunktione n. Unte r Absch nitt 11 1 2 werden wir d iese speziellen Funktionen und ihre Eige nschafte n ausführl ich be ha nd eln . Für t'otenzfuntutonen (vg l. Abschnlü 1II 2. 1.1) und ihre Kehrsrene b·g!. Abs chn itt JII 2. 1.2) gil! Folg endes:

!im

XO

für n a R.+

(\I 1.1 7a )

n e N und ge rade für .fü r n e N un d ungerade

(IJ1.17h )

= +00

H_

limx " = {+OO x....._ --00

für

lim x" = 0

n e R.+

(1[1.1 7c )

X -H)

l'L'

v:-: .

'( 2

.. .-_.....i

,

1

v, = x

.

I

.

I

Inn = lirn - = () für n e R.+ x....._ XO x....._ x"

(lI1.1 7d )

,

f '

für

-........

lim - I : x.....o- X O

{+OO --00

für n e N un d ger ade für n e N und unger ade

(If1.l7e )

nn.rzr:

1. Funktionsbegriff und Funktionseigenschaften

123

Fü r lsxponenztatfuntatonen (vgl. Abschn itt 111 2 . 1.4 . 1) g ilt Fo lgen d es:

y =,,-X

. 1 "

\

\.

X

lim a =

v " J

(11I .IRa)

(IIl . IHh )

(1II.1Hc)

Be i der Inte rp retat io n von {JIl. IRd, (JIU R!» u nd d e r nebenste henden Grafik ist zu be ach ten , da ss

(.:l- f

X

=a ' b zw .

(.:l-)' =a- x .

Dadu rch kann jede Fu n ktio n mit 0 < a < 1 in e ine Fun ktio n m it u > 1 tran sform ie rt we rd e n. An d e r Gestalt der Fu nktio n ändert sich durch eine solche Tra nsform at io n nic hts. So ist z.B. 0,2' = 1/5' = 5-' , Für negative a nehmen d ie Grenzwerte (II l.1Ha ) b is m U Re) neg ative Vo rze ich e n an . Da e' stär ker wächst als je de Po te n z, e rhal ten wir

x"

lim -=0 , .....- e '

(IIl , IHt!)

fü r n e IR .

Augerdem gilt;

tim ( 1+ 2.)" = lim

( l + x)~

=e

(JII.I Re)

I [im 1- -')' = [im ( I -x )', =" ..... _ ( x ,, -->(1+ e

(JII.I Rf)

" ....._

x

" .....1)+

Fü r ingarith tnusf unizticmen (vg l. Absch n itt 111 2.1.4.2) g ilt: v

Jim log " x = +00

>1

fü r

:1

fü r

:1 > 1

für

:1

, ~-

tim log. x = 0

y = In x

([[1.19h >

, ~ ,

!im log" x = -00

x

>1

(111.1 9 1..' )

" .....0 +

Im Fall 0 < a < 1 kehren sieh die Vorze ichen in (IIl .ISa) und (111. 18e) um. Für a> 1 und a < 0 ist die Logarithmusfunktion n icht definie rt . Nehmen wir nun :10, dass d ie De finitio nsb e reiche xweier Funktio ne n f(x) und g(x) g leich sind nx r: = J)(g ») und für n E J)(f) h zw. c E J)(g ) d ie Grenzwert e

rp e Hm ff x ) un d ' .....C1

Cjl' =

lim gc x j ' .....C1

exixteren , so gelte n folgende s ect onregeln [iir Gn'I/ZIl'(.'I"te (Grenm-ensäuen

124

11 1Funktionen einer Variablen

Der G renzwen e ine r Summt: (D ifferenz) ist gleich der Summt' (Dilft'renz) der Grenzwerte , d.b.

lim (f( x ) ± g( x») = lirn If x ) ± lim g( x ) = lp ± rp".

x -tll

X-->ll

(111.20)

X-->0:

X-->0:

f( x ) x ) xlim -tO: - = C:""---~ g(x ) lim g( x I f(

lim -

X-->ll

H

=.!

für

~'

a

(1II.21a)

X-->ll

g(x ):;t:O

und lp' :;t: O

(11 1.21!J)

Ferner gelten im Zusammenhang mit Kort stamen k d ie folgenden Regeln : lim ft x J e k , falls f'( x j e k

(11 1.22)

[im ( f(x)+k)=li mf(x) + k= lp+k

(11 1.23)

[im k ·f(x)=k · [im f( x ) = k·lp

(11 1.24)

X-->n

x-->o:

x .....o:

x.....o:

x -->o:

Für Pote n ze n, ' xurzeln und Logarithmen gilt:

lim (f(x»" = (tim f( X»)" = lp" bzw . lim ~f(x) =

X-tll

x .....ll

X-->ll

f~

)

1;", f( X )

!i m ( n x ) = a.....a

r\

tim f(x) =

x..... ll

rfP

(111.25) (111 .26)

=a~

x-->O:

!im ,~ "

(]og~ fe x »~ = log, ( x..... Ihn f( x ») = o:

log a lp mit a > 0,

e > ()

( 111 .27)

Solange d ie Grenzwerte 'P und 'P. existieren, kann in t1l1.20) blx 01 1.27 ) überall a d urch + 00 oder -00 e rse tzt werden. Für u nc igentliche Grenzwerte geiten dle Formel n (II1.20) bis (11 1.27) im Allgeme ine n nicht. Beisp iele:

" 2.

3 ~1 lim (3 + x- 1) lim _+_'_ '" x....._ x..... _ e- x _ 1 lim (e- x _ 1) , ~-

Im 3 +

,, 1 Im

-

3 - =:: - 3 " x lim e- - lim 1 - 1

x-->_

x-t_ X

x-->_

x--> _

lim (10_e - 1,5 X) = ( lim 10) ' ( lim e - t •5X) =1 0 ' 0 =0

x -->_

x -->_

x ....._

Ein Pro b lem be i der Bestimm ung von Gre nzwerte n resultiert , wenn sich sog. un bestimmte Ausd rücke , w ie z.B. 00/00 ergeben, die eine Grenzwertangabe erschweren . Dies tritt vor allem be i gebmcbell rationalen Puntäioncn rvgl. Ahsdmitt 111 2.1.2 ) auf, da h ier be i Untersuch u ng des Verhaltens im Une ndli ch e n sowohl Zähler als auch Ken ner gegt:n unendl ich st reben können. Nclx-n der Nutzung der Regt'! von lHos p ttal (vgl. Abschnitt 111 3.Hl, die auch bei anderen Fu nktio nstyp e n u nd undercn Arte n unhestiuuutcr Ausdrücke anwendbar ist , können wir uns hier e tnes einfach e n Verfahrens be d ie n en, mit d e m wir dennoch e inen Gre nzwe rt bestimmen kön nen. Bei d iesem müssen wir zurräch....t jewei ls im Zähler und Nenner de r be-

125

1. Funktionsbeg riff und Funktions eigensc haften

trachteten Funktio n die höchste Poten z a usklammern . Da rart anschließend sind dre i Falle zu utucrschetden , d te w ir unm ittelbar unh arid von Beispi elen e rklären wollen : Beispiel 1: Zähle r und Nenner haben de n gleichen Grad.

5x2 + x -3 x2 _ 5x +1

lim x ---->_

um x---->_

,2 ' (5 + ..!. - ~-2 J x x x2 . (1 - ~ + ~ J x x2

5+ ..!. - ~-2

5 5 x x =-= l _E.+J.... 1 X x2

urn x----> _

Beispiel 2: Der Nenner hat einen größ eren Grad als der Zähler. 2

+ 4x+3 = lim x +x 2 _ 2 lI---->_

lim

x

x ---->_

3

x2 '(1 + ~x +2J 2 x =( x3 ' (1 +..!. - ~ J

xx3

..!.J .

lim

X

x ---->_

[

tim x---->_

1 + ~+ 2] 2 x x = 0 1= 0 1 + ..!. - ~

x x3

Beispiel 3 : Der Zä hler hat einen größeren Grad als der Nenner. 3

_x3_ 4x_ 1 5x-3

lim

lim

x -(

-1-?--~) =(

x{

l\---->_

5 - ~)

lim

X2).[ lim

l\---->_

lI...._

5 - -3 x

Da der zweite Grenzwert negativ ist (-0,2), verhält sich die Funktion wie -l

.

lim - x 2 =-00= lim

x ---->_

, d .h.

_x3

lI---->_

_ 4x_1 5x-3

In diesem Fall spielen also das Vorze ichen des zweiten Grenzwertes und der Grad des Terms beim ersten Teilgrenzwert die entsche idende Rolle.

zusammenfassend können wir also festhalten. dass bei verliegen einer gebrochen rationalen Funktio n

ye ft. x)

n

e

n -j

CC"""C';,-+ :"::"""c!:' x'c;;:;-+C::''C':+..:: ""' O'C+C'O"'C'_ I1 mX '"

+

I) m _ I X 1ll-1

+ •.• +

I) I X + I)0

drei Falle hins ichtlich der Grcnzwe rtbesnmmun g zu un terscheiden sind : Ist n

= 111 ,

d.h. der Grad des Zahlers gleich dem Grad des l'\enners , e rgiht sich a lim f(x)= l un f{x)=" , Ul I.2Xa ) x----> _ x...._ b lll

d .h. de r Gre nzwe n ist de r Q uotie nt der Koeffizie nte n de r höchsten Pote nze n. Es bildet also d ie Ger ade y '" an/ bm nach be ide n Seiten die Asym ptote (Gerade an die sich die Funktion an n ähert ). Ist n
_

d.h . die Abszh se (y

= 0)

x----> ___

bildet nach be iden Seiten die Asymptote der Funktio n.

Ist n > r n. also der Grad des Zählers größer als der Grad des Kenner, verhalt sich die Funk tion y = f( x ) im Unendlichen wie x"..." . .~gn(a /b) , wo be i sgn(a/ h m ) das Vorzeich en HlJ1 a I h ist. "

"

126

11 1Funkt io nen einer Variab len

8 . Stetigkeit An sch a ulic h be zei ch ne n wir e int: Fu n ktion als s(etig Inn e rhalb eines Inte rvalls I, we nn der Graph der Funktion in diesem Inte rvall ohne Unte rbrech ung ge zeich ne t werden kann . Abbild ung 111 t S verdeutlicht d ies. Eine ab sch nittsweise definierte Funktion kann demnach uns te tig sein , muss es uber nicht. y

st et ig

un stet ig

/ x

0 :

i

, :, ,

,

:,

:' , :,

n

x

Abb ild ung 1II 15: Stet ige und uns tetige Funktio ne n Mathematisch präzbl' gilt, dass eine Funktion y '" f(x) (/1/ otner Stelle x .. a ihres Definitio nsbe re ichs Ixn sfeli/? ist, wen n e in e ndlic her Gre nzwe n e xistiert und diese r gleich de m Funktio nswe n ist, d.h. Iim f( x ) = f(a ) < oo .

X....ll

0 11 .29 )

Beispiel: Die Funktion y '" f (x) = x 2 +4 isl an der Stelle x = 3 stetig, da der Funkli onswert an der Stelle 3 gleich f(3) = 32 + 4 == 13 ist und dies dem Grenzwert an selbiger Stelle entspricht: lim (x 2 + 4) == 13 . ~3

Eine Funktio n y ". f(x) heißt tn otnom tnten -atl I stetig. falls f(x) an jede r Stelle des Inte rvalls stetig ist. Allge mei n sind alle Polyno me t vgl. Abschnitt III 2.1.1) im gesam te n Definitionsbe re ich stetig. Gebrochen rationa le Funktio ne n tv gl. Abschnitt III 2. 1.2) sind m it Ausnahme der Nullstellen des Nenners ebenfalls überall stetig. Beispi ele : 1.

x- 1 f(x) == - - - 2 ist außer an der Stelle x '" - 5 überall stelig. (x + 5)

2.

f(x ) = e

3.

f(x) == ~ ist stetig, da Zähler und Nenner stetige Funktionen sind. 4 +1

x2

+

1 ist stetig, da x2 + 1 stetig und eQ{' ! für stetige g(x) ebenfalls stetig ist.

vx

Der Nenner besitzt keine Nullstelle und ist für ganz R. definiert, da x4 + 1 immer größer als Null ist.

127

1. Funktionsbegriff und Funktionseigenschaften

Ist e ine Funktion y = fex) an e ine r Ste lle x = a nicht stetig, so b e H~ t xie dort /II/slelig bzw. wir sagen, dass dort ein e Unstetigkeitsstelle vorliegt. In einem solchen Fail lieIert a lso d ie Annäh e rung an x : a aus verschiedene n Richtunge n nich t denselb en Gre nzwert ode r der Gre nzwe rt ist unendlich. \X'ir können allgemein drei Arte n \"(JIl U nstetIgkenssrellcn

LIn rc rsche idcn :

Eine sog. Pols/elle liegt be i ,whmchell ratt onalen Pnneuonen vor, wenn der fun ktio nswert bei Annä he rung un einen Wert x .. a gegen unendlich geht. Ande rs ausgedrückt ist eine Polst elle e ine Nullstelle des Nenners, d ie nicht gleichze itig dazu führt, dass auch der Zähler Null w ird (fü r Näheres da zu vgl. Absc hnitt 111 2. 1.2). Bei spiel : Die Funktion

. 1 ,Im _ = -00,

x-..o-

X

y .. lI x besitzt

an der Stelle x "" 0 eine Polstelte, da Folgendes g ilt:

,. 1 Im -= +

x-..o+ X

sprungnetten (vgl . rechte Gra fik in Abhild ung 11 1 I')) sind hnuftg be i Funktion e n anzutreffen, die aus verschiede ne n Stücken zusammengesetzt sind , d.h. be i absdlll illswe ise definierten Funktio ne n. Typ isch für e inen Sprung ist, dass links - lind redllsseitiger Grenzwert an der betrachtete n Stelle un tersch iedlich sind . Bei spiel : Für die folgende Funkti on kann vermut et we rden , dass an den Stell en x = 1 und x .. - 1 SprungsteIlen vorliegen . fü r

x

Y --+ -00

z. B, y=_3x

1,Y=_X

+00

2

Ein Polyno m ungeraden Grades strebt also auf e iner Seile imme r gegen +00 und a uf der anderen immer gegen - 0 0 , je nachdem welches Vorzeichen der Koeffizie nt der hö ch ste n Pote nz der Variablen be sitzt. Ein Polyno m geraden Grades strebt auf beiden Seiten gegen + 00 hzw . -00 je nach vorliegendem Vorze ichen des Koe ffizie nte n der höchsten Po te nz der unabhängigen Variablen. Wir wollen im Folge nde n eine Reihe speziell er Auspräg unge n von Polyno me n näher betrachte n, d ie wir v. u. im Zusammenhang m it ökonomischen Funktio ne n in Abscbntn 1lI 2..1 noch be nö tige n werd en .

n

~

2. Elementare Funktionen

131

1. Polynome e rs te n Grades

Eine Funktion des Typs y = p( x) = au + a[ , x

(111.3 1)

wird als lineare Funl etion oder Gerade beze ich net. Dabei gib t a. die Sleigtwg der Geraden und ;I " den Schn ittpunkt der Ge raden mit der v-Acbsc an. Je nachdem, welc hes Vorzeichen 3 , besitzt. steigt oder fällt die Gerade. Abbild ung JII 17 veranschaulicht dies, Ik silzt eine Gerade die Steigung ;L, - 0 und e inen absoluten Koe ffl ergi bt zie nt ;L" :;I:. 0, so iSI sie e ine Parallele z u r :r-Achse m it y - ;L" . Für ;L" - a. sich d ie Abszisse m it y - 0.

°

,.

P( O; a o )

x

x

y

x

Ab b ild un g 111 17: Lineare Fun ktio ne n

Die reelle Nulls telle einer Geraden (y '" 0) ergi bt sich bci a,

:;I:.

0 stets aus (11 1.32 )

Beispiel :

Die Nullstelle einer Geraden y = 2x - 1 liegt bei x = _ (- 1j = 0,5. 2

132

11 1Funktionen einer Variablen

Liege n zn-et hdiebigtl PlIllkre P,{U,; wir d ie Geradenstetgung übe r

13,)

und P,{U,;

13)

e iner Ge raden vor , können (J] 1.33 )

best immen , Abbild ung III IH veranschaulicht de n Hirnerg run d von 011.33) . y r:l.

_

e,

ß, ----------- --------------.

a,

x

a,

Abbildung 1II IR: Geradensteigung aus zwe i Punkte n Beispi el: Die Punkte Pl (1; 2) und Pd -3 ; 5) liegen auf einer Geraden. Wir können damit die Geradenste igung wie folgt ermitteln : 5 -2 3 a, = - - = - -3-1 4 lxt die Steigung a, einer Ceraden un d ein auf ihr liegender Punkt I'(U; 13) be ka nnt, kann die Ge radengleichung durch Einset ze n der vorliegenden \,\-'e ne in d ie sog. Pll llkISld g ll 1/g 'ifonn (ode r Puuktricht ungs fo rm} aufgestellt werden. Diese lautet y=a l · (x- u )+ j3 . (1]1.34)

Beispi el: Von einer Geraden sind der Punkt P(1; - 2) und die Steigung a, '" 2 bekannt. Als Gleichung der Geraden erhalten wir damit H y =2x -4 . y =2 ·(x -1) -2

Sind lediglich zwei Punkte I\ (U,; 13,) und " ,tu,; 13) e ine r GN ade n bekan nt, kann zun ächst d ie Steigung errechnet und ansehtlesend die Pun ktsre tg ungsfonn zur Ermiül ung der Ge radcngtetchung he rungezogen we rden . Vorteilhafter ist je doch di e Nutzung der sog. 7.u't'I"jm ntucfonn der Geradengtetctmug

,ß,_' ---!:ßL, u2- ul

-

ß, - -Y

- --

uj

-

x

H

y=

ß, - B, u2- uJ

•

' ( x - UJ ) + PJI

(111 .3-;)

die sich allc rdmgs a us e ben jener Vergehensweise ableite n liisst. W'ekhe Punkte dabei als 1', bzw. PJ gewählt werden, ist für d:IS Ergebnis bede ut ungslos.

2. Elementa re Funktionen

133

Beispiel: Die Punkte P1 (- 1; 2) und P 2(-3 ; - 5) liegen auf e ine r Ge raden, die durch die Gleichung Y ==

- 5- 2 · (x - (- 1»)+ 2 3 ( 1)

y == 3,5x + 5,5

beschrieben wird.

2. Polynome zweiten Grades Eine Fun ktion des Typs (111.36 )

w ird als quadra tische Punletion od er Pa rahel be zeichne t. Ihr Maximum bzw. Minimum hdgt Scheitel. \'('iedc r hat h ier das Vo rzeic he n dcs Koeffizie nte n vo r der höchsten Pote n z entscheidende Ausw irkunge n au f den v erlau f des Graphen . Für W'e ne a 1 > 0 ist die Pa ra bel nach o ben geöffnet, für a, < 0 nac h un ten geöffne t (vgl. Abbild ung 111 19 ).

,.

"

:.1 2

r.(-

l im r(x )=+«> .

' .... a +

De r Punkttonswert gelu also be i Annäherung an die Polstelle gew:n unendlich. Dies e ntspricht gcnuu de r Defin ition ein er Polstelle in Absch nitt 1II 1.4 (Punkt H}.

Das hier konstruierte Be ispiel ist nur ein möglicher Fall fü r das Verhallen de r Funktion an der Pols telle. Nach welcher Richtun g die Funktio n gerrau strebt. o h nach + 00 oder -00, hängt von den Vorzeiche n de r beiden Po lynome a b und ist im Einzel nen lekht zu emsehotden (vgl. nachfolgende Be ispiele ).

,. P n(X )\

,

:f

;. I

,~

:!

... .-' . . ;\..

P n( x)

rt x ) = - - q", (x )

\ /

r( x l

,. ; ;

q", ( x

) :

Abbildung 1II 22: Pols telle n bei gebrochen rationalen Funktio ne n Beisp iel : Bestimmung der Polstelle folgender Funktion: x3 - x r(x) = - -

» 5

1. Nunsetzen des Nenners: x + 5 = 0

H

X= - 5

2. Prüfung des Zählers: p(- 5) = (_5)3 - 3 = - 128 "'- 0 Bei x = -5 liegt demnach eine Potstelle vor.

Liegt im Nennerpolynom eine ei nfache Nullstelle vor, sprechen wir von e ine r etn f achen Polstelle. Be i einer mehrfachen Nullstelle hingegen handelt es sich um eine meh lfache Po/stelle.

141

2. Eleme nta re Funktionen

Existüerr ein r-fuchc Nullstelle des Nen nerpolynoms. so füh rt ein ungc rades r i01mer ZlI e in r ungeraden polsteile. bei der ein Zwe ig de r Funktion gegen + c.> und d....r andere gegen _00 strebt. Bei ge rade m r erhalten wir eine ge rade Pols/elle, bei der bctdc Zweige gegen +00 oder - 0 0 stre ben (vgl. Abb ildung 111 23). y

y

v = r( x )

~.

a :, ,, ,,

,, ,,

II a

x

y

rf x )

e

y

x

y y

c,

,, ,, ,

,, ,, ,

e

j

rt x )

x

:F X J

a

x

Abb ildung IJl 23: Gerade (links ) und un ge rade (rech ts) Pols telle n

5, Asym ptoten Nähe rt sich eine w.. bmchc n rationale Funktio n y ... rt x) '=' p/ x) / q..,(xl für x -e +c.> oder x -* imme r stärker eine r Ge radcn oder beliebigen anderen Kurve an , so ist diese Kurve die sog . Asymptote. Um diese zu bes timmen, kön ne n wir un s e ntweder unserer Erken ntnisse übe r ge broc hen rationale Funktione n aus Abschnitt 11 1 1.4 ( Punkt 7) bed ienen ode r, um a uch Aussagen über d ie Ann ähe rungsrichtu ng (von oben oder von un ten ) mach e n zu h in nen, Zähler durch Nenner divideren ( l'olyno md ivisionl uru eine Fonn -00

142

111 Funk tionen einer Var iab len

P (x )

_

i\ (x )

r( x) = -"-- = qn~1I1( X) + ---

q n,(x )

qm(x)

für

o x -4 -

gelten, Dies ist nur für x > 4 und x :s 0 erfüllt. Für den Definitionsbereich folgt damit insgesamt D{f) =-{ X E RJ X ~O vx > 4} . Es gibt eine Nullstelle bei

~ =- 0 ,-4

H

x =- o und einen Pol bei x =- 4.

Funkt ionen des Typs ft x j =!(; m it x ~ 0 (Urnk ehrfu n k üon zur Po tenzfu n k tion fex ) ... x") bctneo wu rzetfuntutonen. Sie verlaufen stets du rch den Pun k t 1'(1; I) und besitzen n ur im ersten Quad ran ten des Ko ordin atensystem s Punkttonswerte. Zudem w ird b ei zu nehmendem n d er Graph immer Flacher ( \'g l. Abbildung 1II 24) ,

y

Abb ildung 1II 24: \X" urze!funktlonen

2.1.4

Transzendente Funktionen

W'ie bereits e rwii h nt, sin d transzenden te Fun k tionen jene Fun k tion en, die sich n ich t mehr durch Pol ynome un d \X'urzeln ei ndeut ig beschreibe n lassen. Typ ische venreter dieser Klasse sind d ie Ex po n en ztal- und Log aruhm usfun ktlon. 2. 1 .~ .1

Ex pone nzial fu 11ktion

Ein e Fu nk tion des Ty ps

ye ft x i

e

u" mit a c- n ,

(l 1l.4S)

bei d er die III Ulbhtl/lg ige verä nderliche im Exponenten steht, b eif~t ttxponenz tatfnntato n zur 13(/sL~ Cl. Da die Exp on en zialfu n k tion nu r für positi ve Basen u > 0 im Hereich x E IR definiert iSI , ist der Funktionswert ebenfalls stets positiv , sodass fü r den 'x'ertebcretch = IR+ gilt.

wen

146

111 Funk tio nen einer Var iab len

Einen bedeut en de n Sonderfall von (IIlAH) ste llt die Hxponenztatfuntaion zur Basis (' (Euler's chc Zah l) oder kurz e-Puneuon. d.h. [(x) '" e', dar. Eine n Anwendungsfall derartiger Funktione n huben w ir bereits im Abschn itt 11 2.2.3 in renn der srettgon Ver zinsung k en nengele rnt . wegen kann jed e Fun ktion des Ty p s f( x) - a'

auch d urch eine e- Funk tion dargestellt werden : f ( x ) = a x = t.'x In a

Es sei außerdem e rwäh nt. duxs wir zur Ve rknüp furig von Exponenztalfunktionen d ie in Kap nc l I .he h :l n ~ld ten P (.l t e m:: r(· ~'h e nrege l n (I B O), O.HI ), (I.H4), (IiH6 1nflJld ( I.H9), d.h . a x . a) = a X +\ , ax / a' = a X - \ , :l " 'x = (ax )n , a- x = 1 / ax und :.I" = x , an wenden k ö nn en.

va

Die w ich tigsten Eigenschaften von Expune nzialfunktione n wollen wir im Folge nden im Detail be trach te n: •

Da eine Exp on cn zialfunktion fe x) = a' nur für u > 0 de finiert ist, gib t es grundsät zltch ke in x für d:lS a' den 'x'c rt Null annimmt. Es existieren also kei ne Nullsteilen und de r G ra ph verläuft l'ol/sttllldig oberbalh der Absz isse.

•

f ür x = () nimmt jed e Ex pon ero jal fu nk tto n den \'lcrt 1 an, da :1" Expo ne nztalfunkuon c n verlaufen also d urch den l'un kt l'(O; 1).

•

Abbi ld ung 111 25 zeigt das Funk tionsverhalten für versch iedene Werte von

=

I gilt. Alle 0 1\ ;1

0# 1

lind x >

ü

(11 1.-:19 )

be ze ich net , ist a lso nur für posit ive Base n definiert lind ihr De finition sb e reich ist auf die Halbachse x > 0 beschrankt (entspricht dem \'('e ne be reich der Exponenzialfunktion ). Zur wtederholung sei erwähnt, dass der Logarithm us zur Basis e als na türlicher Logarithmus hczc tc'hnet w ird, d.h. fex) = lOK. x = In x gilt, und wir un ter (km dekadischen Logarithmus den Logarithmus zur Basis 10, d.h . « x) = log l" x = log x verstehen . Je de r allgemei ne Loga rithm us ( lI I.49J kann an gerdem im mer a uf Jen natürlichen oder deka dischen Lo ga rithm us zurückge führt we rden , da gilt (vg l. Ahsdmill [ 3 .4.4) log x In x fex ) = log" x = - - = - - . loga In u Zudem ist zu beachten, dass fü r die verkn üpfu ng me hre re r Logarithmen die he re its in Ka pitel J aufgeführten Regeln ( 1.97) bis ( 1.99 ), d. h. log , tx . y ) '" lOK. x + l () au fgru nd vo n a" = J imme r an der Stelle x '" J er füllt. Alle Logarttlunusfu nktioncn bes itze n a lso dort eine Nullstelle . Es hande lt sich dabei Ulll e he ei l/zige NJlllstelle, J a die Logar uhruusfu nktion als Umkehrfun ktion zur Expo nentia lfunktion im gesamten Definhionsbc reich stetig 1/1/(1 sln'l/jl, 1II01lOtOl/ ste igend oder faltend ist. Folglic h schneiden alle Log arithmusfun ktion e n d ie Absz isse be i x '" 1.

148

111 Funktionen einer Variablen

•

Da jede Logar nhru us fun ktion in ihrem gesamten De finitio nshe re ich ~ tt.' t ig u nd streng monoton stt'igl'nd o de r fallend ist, ex tsue rcn keine iixtrema.

•

J ed e Logarithm usfun kno n Ist auserdein nac h oben un d unten nnheschränts,

•

Ahh;ingig von der Basis a des Logarithmus zeigt sich e in un terschiedlicher Verlauf des Fun ktionsgraphe n (vgl. Abbildung 1II 26 und Ul 27): a - I:

Ve rsuche n w ir log , x über (log x) / (log I ) zu be re ch ne n, stellen wir fes t, dass der Ausdruck .rufgru nd von log 1 - 0 nicht definiert ist. E~ ex isitcrt also ke ine Logar ith musfunktion für a - I.

a > I:

Die Ku rve ist .~ l1t>I I,~ mo noton -'/dgelld. Dies ist wiederum der ökonomisch releva nte Pali. Da run te r fallen au ch y =' log x L1nJ y In x. Fü r 0< x < 1 ist sie negativ und kommt steil nus dem W'e lteberei d l y - --00 . Oie y- Achse h t die Asymptot e , denn für x -? 0 geht Y -? --00 . Fü r I S; x < +00 s ind d ie Fu nktio nswe rte positiv und die Fu n ktio n wird mit zunehmendem x imme r flache r. Je gröser a ist, desto stärker gekrümmt verläuft die Fu n ktio n. 0:

0 < a < 1 : Die Kurve ist -,/ ,."IIg mo noton [a llcntl. Sie ist positiv im Inte rvall 0< x < I u nd kommt in d iesem steil von y '" 00. Die y-Achsc ist

Asym ptote , denn fü r x -? O ge h t y -e +00. Im Bere ich 1 S; x < +00 wi rd d ie Fu nktio n negativ und verläuft imme r flacher .

,. ,

It x j

w

,

(( xl=a ' (a>1)

,/ ,

fr x j

e

x

a ' (O I

,

/

/~

/ " ,

-:

..'.-.-

-"

'. '

....

,

.'

..... .. .. '

'

-,-..., .-' -

-'-. -.-.

,, ,, ,,

i

u -s

o

>u0

für « 0

Graf isch ergibt sich folgen der Funktionsverlauf:

y

-, Bei dieser Funktion han delt es sich also um eine stetig e Funktion, die etcts oberhalb der xAchse verläuft und ihr Minimum im Ursprung hat.

2.2.2

Minimum- und Maximumfunktion

Durc h die sog. Jf(/x i lll lllllj illlklio /l (l 1I5 1a)

f( x ) = max {g( x ); hex)}

wird e ine Funktio n

.

f( x )

=

{ A( X) falls g{ x);?: hex) hex ) falls g(x) < hex)

(1II.5l h)

dargestellt. Dies bedeute t, dass ff x) durch de n jeweils gröseren \X'en der beiden zur Auswa hl stehenden Funktione n glx) und hex) bes timmt wird. D il ' .11i 11im 1/ 1/(/; 111tuton f( x ) = m in {g(x ); lu x j]

01 1.')2,, )

is t dementsprechend de finiert als

f (x ) = {

g( X )

falls

g(x)

~

hex)

h(x )

falls

g(x )

> b (x ).

( lIJ.52b)

Für beide Funktionen kann die Gleic hheit g{x) - hex) auch in der jewe ils zwei ten Fallun terscheidung berücksichtigt werden. Zw ischen de r Mtn tmum- und Max im umfu nktio n besteht allgemein d ie Be zie hung

max {g( x ); br x j] =-m in {-g(x ); - ht xj}. Beisp iel :

011. 5.1 )

Die beiden Funktionen f(x) = maqs: x 2 - 1} und f(x ) = - min{-3:- x2 + 1} sind identisch.

~

2. Elementare Funktionen

151

Beisp iel zur Maximumfunktion : Gegeben sei die Funktion f(x) = max{x - 2; 1}: f

f x- 2 falls x -2 - 1

Da im Bereich x ~ - 1 die Funktion g(x) ,. 2 und im Bereich x > - 1 die Funktion h(x) ,. - x + 1 gilt, ergibt sich hier folgendes Bild: y

g(x) ,. 2

2 1

h(x) =-x+ 1

x

152

111 Funktionen einer Variablen

2.2.3

Vorzeichenfunktion

In tere ssiere n w ir uns nu r für d ie Vorzeichen der \Ver te einer Fu nk ti o n , kö nn en wir [']I d iese über d ie sog. vorzctcbenfuntuton ~

+l sig n(f( x))=

{

für ff x j c- O für

f(x)=O

- 1 für

F(x j c O

0

011.54)

ausdrücken. Grafisch ergibt sich die Vorzeichenfunktion w ie i n Ab bildu ng l f l 2H ve ranscha ulic ht. D iese Ab b il du ng zeigt , dass d ie Vorzeichen funktio n im m er d an n den We rt + I ann immt, wenn die betrac-hc te Fun kti o n ((x) übe r der x-Achse verbu h b zw . de n \,O ßX

166

11 1Funktion en eine r Variablen

,

=

" 6x · ':\'x + 3 · (f!.x ) + 4 ·;1x = "1m 6 ' Im

L!.X.....o

zx ' = lim 6x + 3 · D,x +4 = 6x +4

ex.....O

"' ~O

Diese Funktion f{x) = 6x + 4 gibt nun die Steigung der Funktion f(x) an der Stelle x an. Für de n konkreten W ert x '" 5 ergibt sich

f'( x) = 6x + 4 --+

1'(5) = 6 ·5 + 4 = 34.

Die Gleichung der Tange nte an de r Stelle x = 5 wäre da her

t{x) = ad x- a ) + ß = 34 ·(x - 5)+ 1(5) = 34x - 170 + 3 . 52 + 4 · 5 + 3 = 34x - 72.

Dieses Be isp iel verdeutlicht noc hmals , dass die Bestimmun g des Diffcren zia lq uo ue nte n im 'x'csenthche n e ine Grc nzwcrtbesummung ist. Wir erkennen außerdem , dass die ers te Ablei tung einer Punktio n y - f(x) l.d.R . sel bst wieder e ine Funk tion von x ist lind durch Einsetzen eines besti mmt en \'('en c s x - 0: die Steigung f'( U )

an d ieser Stelle bestimmt we rde n ka nn . Eills der Gre nzwen (111.73) für e ine Stelle x ~ c exis tiert und für jeden beliebige n Gre nzübergang öx ~ 0 stets eindeutig ist, heißt ein e Funk tion y - f(x) an der Stelle . . - c differenz ierbar. Existie re der Gre nzw ert für jede Stelle x des Definitio nsbe reiches und ist e r zudem e indeutig, so ist y - fIx ) im Resmnfe ll Def initionshereich differenzierbar. Da der Diffe re nzialq uotie nt d ie Steigung der Funktio n angibt, muss ei ne Fun ktio n, die a n e ine r Stelle x d ifferenzierbar sein soll , do rt auch stetig sein. Andernfalls wä re der Grenzwen nich t eindeutig. Es gilt daher, dass jede dtfferenrterbare Funl etion auch stetig ist. n ies gil! jedoch nich t unbed ingt a uch umgekehrt , wie Abh ildung 111 39 verdeutlicht . Be i den hie r dargestell ten Funktio nen , d ie bcide stetig sind , be reitet es näm lich Schwierigke iten a n de n Spitze n x - u eine eindeutige Steigung zu ermitteln . g( x) besitzt bei x - o: keine Ta ngent e, sodass w ir nich t mehr von Steigung sprechen können. ht x) besitzt bei x - c hingegen zwei Ta nge nte n. \'(.'ir erhalte n e ine andere Steigung je nachdem von welcher Seite wir uns annähern. Zusammenfassend können wir dahe r festh alten . dass nur eine stetige Funktio n, die keine Ecken , Spitzen oder Ähnliches aufweist , differenzierbar ist. y

y

zwei Tangenten

keine Ta nge nte

x Abbild ung 111 39: Nk ht differenzierbare, ubcr ste tige Funktio ne n

3. Differe nzialre chnung

-

167

3.3 Technik des Dillerenzierens Grun dsätzl ich können wir Diffe re nztalq uotiente n bzw . die ers te Ableitu ng ei ne r Funktio n y = f(xl im me r m it de m in Absch nitt 111 j .2 de finie rten Grenzwe rt be rech nen. Diese ve rge be nsweise ist jedoch re cht ze itraube nd und au fw ändig . Es habe n sich des halb Ableitu ngsregeln für ele ment a re Funktio nen etab liert. .~fit die se n wol len wir uns nun im Folge nde n e ingehend beschäftige n. \'( 'ir wer den da bei außerdem die Ableitungen bestimmte r lüiufig au ftrete nder Funktio ne n a ufnehme n. die sich ;tUS die sen Regel n a bleite n lassen .

I, potenzfunktlon Eine Pote nzfu n ktion w ird a bgeleitet, inde m der Expo ne nt um ein s redu ziert u nd die Variable mit dem ursprünglich en Exponenten multipliziert wird . r

= x''

--.,. y' = n . x n- 1

( 11I .74)

Beispiele : 1.

y =x 4

2.

y == - =x

1

x

-+

_,

y' = 4x3

-+ Y = - x

3.

-2 =- - 1

,2

4.

2. Na tü r lic he l.ogarithmusfunktion Die Able itung de r Logarithmusfunktio n zur un abh ängige n Veränderlichen .

I b sL~

e e ntspricht dem Keh rw ert der

y = In x --.,. y' =-

(11 1.7; )

x

3. Exponcnzialfunktion zur Basis e Die Ableitu ng der Exponcn zialfunkt io n zur Basis Ex po ne nzia JfunktIon.

I.'

liefert w ieder d ie urs prü ngliche (11 1.76 )

4 . Konstancenregel Die Ableitun g ein e r ko nstanten Funktion iSI gle ich Null, da der Gra ph einer konstanten Funktio n eine Pa ralle le zur x-Achse ist, die ü be rall d ie Steig ung Null besitzt. Ein ko ns tanter Fakto r ka nn be im Differe nzie re n stets vor dle Able itung gezoge n

werde n. y= a --.,. y'=0 y= a- g(x ) --.,.

y'=a-g'(x )

(] 11.77 a ) (1Il.77b)

168

11 1Funkt io nen einer Variab len

Beispiele: 1. 2.

y =:2 y

=:

y' =: O

--t

3x 3 --t y'

=:

9x 2

Es gill also allge mein y e e.x" --t y' e a .n xl'l- t .

5. Su m m e n re get Ergi bt sich e in e Fu nkt io n als Summe zweicr d iffe re nzi erbarer Funkt ionen fe x) u nd

g(x ), so ist die Ahlc itung d ieser Funktion gleich der Summe der Ableitungen un d g'( x ). y= f( x )±g:(x ) ~

y'= f'( x) +g'( x )

nx)

OIl.7H)

Beispiele : 1.

2.

y =2x 2 - lnx --) V' =4X -.2. x , 1 1 Y - -- - - -

-

Nebenrechnung: 3.

h(x) =: -

1

J>.

y =: ln(2x ) +x - 1 ·(·J'Xi Nebenrechnungen :

3x 2J;3

-)

....1 =: X 2

--t

, 1 _.3. 1 h (x) = __ X 2 = - - -

2

2&

y, = 2

x

, ,

f {x ) =ln (2x ) =ln 2 +ln x --t f'( x) =:O + .!. = ..!.

g(x) =x- 1 . (·J 'X)2 =x - 1 ,x =1

-t

g'(x) = O

6. Pr odukteegel

Ein Prod ukt zwelcr d iffe rc nzterbarc r Funk tion en wird nach de r Regt'! y= f(x )' g( x)

--+ y ' =f'( x ) · g(x ) + g'(x ) ·f(x )

011.79)

ab gel e ite t, wohe! es weg en de r Symmetrie der Fo r me l gle ichgültig ist, we lchen Faktor w ir als fe x) und w elchen als g(x ) h c zeichnc n. Ein Pro du kt ; I U S m eh r als zwe i differenzierbaren Punktion en kö nne n wi r d urch wiederhohe Anwen du ng d e r Pro duktregel diffe re n zieren . Im Falle dre ic r Fak to re n bzw . y = f( x ) · g ( x ) - hc x ) e rg tb r sich damit d ie Ahlt.'it u ng L I!. ZU

y' = ['(x ) · g( x ) · h ex ) + f( x ) · g'(x) · hex ) + f( x )· g( x ) · h'( x ) . Beisp iele: 1. y =x 4 .e X ~ y' = 4x 3 .e x +e X . x 4 = e x. (x 4 + 4x3) y' =2x .lnx+ .!. .x 2 =x ' (2Inx +1) x

2.

y =x 2.lnx

3.

y = (4 -2x) · (x -1)

4.

y e x .ev.lnx

~

~

~

y' = -2 ·(x -1 )+ 1· (4 -2x ) = -2x+2+4 -2x =-4x +6

Y' = 1· e. .inx e x.e • . Inx +x ·e • .-1 x x X X X = e -fn x + x -e .ln x + e = e ·(In x ·(1+ x)+ 1)

3. Differenzialrechnung

169

7 . Q uoCien te n regel

Ist e ine Funktion als Qu otient zweter differe nzier barer Fun ktion en da rste llba r, h ute t ihre er.. . tc Able itung [Cx }

y =- gl x)

.

0111

grx j

,

e O -?

Y=

f'(x) ·g(x) -g'( x) · f( x)

,

[g(xl]"

.~ u

( 11 1.80)

Anders als die Produ ktregel ist diese Formel wegen des Vo rze ichens im Ziihler nicht symmetrisch . Zähle r und Nenner de r A usgangsfu n kt to n dü rfen daher beim Ab leiten nicht verwe chselt werden. Bei spiel e:

3x 3 _3 x Z _ x 3_ 4

x3 + 4

1.

y = ~ -.

2.

Y=--;2

3.

xZ _ 1 x Z _ l y =- - - - x -1 x+ 2

Inx

~

(x _ 1)z 1, x z_ 2x In x

y' =x

x -2x ·lnx

1- 21n x

"

"

x4

, 2x (x - l) -(1,(x z - 1» -. Y = ( x _ 1)z ,

-. Y =

2x (x + 2) -(1, (x z - l) ) (x + 2)z

2x z _2x _x z +1

2x z + 4x _ x z + l

(x _ 1)z

(x + 2)z

-. y, = (X _1)z _ Xz + 4 X+ 1 = 1_ x z + 4 X+ 1 (x _ 1)z (x + 2)z (x + 2)z ,

(x + 2)z _( x z + 4x + l)

-. Y = = = '"'('-'-"+'::2"12>""-"-

x Z + 4x + 4 - x z - 4x -1 (x + 2)z

, 3 -. Y = - - -

(x + 2)z

8 . Kettenregel

Eine zusammenge....ctz tc Funktion y = ((g(x) ka nn be kann tlich du rch d ie Subst uunon z = g{ x ) in die Fo rm y = fez) ge bracht we rden. Die Funktion fez) ist dabe i die äuge re. g( x) d ie inne re Funktion. Die Ablei tung e rfolgt folg e ndennage n. .

y=l(z ) m it z=g( x ) -?

,

d f( z ) d g{x )

y = --

dz

., , · -- - = I (z ) ·g (x )

dx

(J] 1.8 \)

Die Able itung der äurscrcn Funkt ion e rfolgt ulso nach de r Substitutionsvariablen z, d ie Able itung der inn...rc n Funktio n nach der un ab h ängige n v e rändcrhcl u- n x. Nach dem Diffe ren ziere n ist e ine Kesubstttuticn d urchzu führe n, d.h . in de r Fo rme l muss für z w ieder g( x ) e inge se tzt we rden . Die Multiplikatio n m it de m Te r m g'(x ) w ird im Zusam me nha ng mit (111.81 ) auch uls X a cbdijJerr..'JlziereJl beze ichne t. Bei spiele:

1. Y = (x2 + 3X)5 Substitution: I (z) = z5 mit z = g(x) = XZ + 3 x

170

11 1 Funk tionen einer Var iable n -t

y' = f(z ) · g'(x) == 5 ·z 4 ·( 2x + 3)

Resubstitution : y' = 5 · (x 2 + 3X)4 . (2 x + 3)

2.

y=JX+1

JZ

Subs titution: I (z ) =

-t y' = f( Z).g'( X)= - '-

mit z = g(x ) = x + 1

2.J,

Resubslitulion : y' =

3.

y =e

x3

-

,

~

2"x +l

1

Substitution: I (z ) = e Z mit z = g{x ) = x3 _ 1 -t

y' = f(z ) ·g'(x) = e Z · 3x 2

Resubsl il ul ion: y' = 3x 2 . e 4.

XJ

-

1

y = In(3 x3 + 2) Substitution: I (z ) = In z mit z = g{x) = 3x 3 + 2 -t y'

= f(z ) · g'(x) =..!. .9x z

,

Hesubstituticn : y' =

2 9x 3x 3 + 2

Sind drei Fun ktione n in einer Fu n ktio n Y = f( g( h ( x » ) verschachte..lt, so lautet d ie ers te Ahleitu ng , =Jf(z) d gh_ v ) . dh'( x ) y -_ . _

dz

dw

dx

Beispiel:

y =[l n(3 x +l )j3 Substitution: 1(2) = z3 mit z =g(w ) =ln w und w = h{x) : 3x +l -t

v' = f'(z ) ·g'(w) ·h'( x) = 3z 2 . ..!.. 3 w

,

2

1

g .[ln(3x+ 1lf

Resubslilulion: y = 3 · [ln(3 x + 1)1 . - - · 3 '" ~c..,;..,.,-;-''-3x+ 1 3x + 1

9. Ableitung einer Umkehrfunktion \X'ie b ereit s beha ndelt wu rd e, exist iert zu jeder eineindeutigen Fun ktion y .. f(x:) ei ne Um k eh rfun ktio n x '" f - 1( y ) '" g ( y) . O hn e die U mk eh rfun ktion vo rhe r bc st tm-

rm -n zu mü ssen , ka n n ih re Ahle itung als Kebrtrert d er A hIt' f1I1I1~ d er Ursprl/ligsfl lllkfirm e rmittelt w e rden . Die s bsst sic h wtc fo lgt herleiten:

'7'

3. Differenzialrechnung

Nach der Kelle nregel gilt y e It x )

mit

x=g{y )=g(f( x » .

Leiten wi r bcide Seiten n ach x a b, e rha lte n wir a uf der lin ke n Seile 1 un d n-c hts nach der Kenemegel fo lge nden Ausd ruck: 1= dg. ~ dy dx

Die Able itung der umkehrfunk non x = f~ l (y ) = g( y ) der Fu n ktio n y '"' f(x ) ka n n damit defin iert werden als

dg

1

1

(I11.H2)

d y = ill=f'< x)'

dx Bei spiel :

"

y = f(X) =2x+ 4

~ y' = f'( x ) = ~ = 2 ~ dg = ~ dy

dx

2

·-----1·----.' Ableitung der Umkehrfun kt ion x = g(y ) =

2,

y =f (x ) =e~

~

1Y - 2

Y' = f'( x ) =~ =e~ ~ dg = ...!... =~ dx

d Ye~

Y,

'-- -- --.(---- -_.

Ableitung der Umkehrfunktio n x = g(y ) = In Y Würde n wir den Differenzialquollenten des natürlichen l ogarithmus also nicht kennen , könnten wir ihn wie hier beschrieben berechnen, da die Loqartthmustuoktion die Umkehrf unklion zur Exponenzial funktion ist.

10. Ableitung einer logarithmierten Funktion Un te r der Vor au sset zu ng , d ass g( x ) > 0 ist, kan n d ie Ableitu ng e iner logarith mie rte n Fun ktio n der Fo rm y - f(x ) ~ In(g(x)) m it Hilfe der Kettenr egel bestimmt werden. Es se t f(z ) "' In z mit z = g(x), woraus sich

,

Y' = ," (z )·g 'C) x =-" 'g (x)

ergih t. Die Re suh st itution füh rt d an n zum zus ammenfasse nd dargestellten Ergd Jnis y=ln( g(x »

~

, g'( x ) y = -g(x )

( JII.H;h)

Mitte ls ähnlicher Bewe isführun g Hisst sich die Ab lcnu ngsregel für e ine n Loganthmus zur allgemeine n B:lSis u he rleiten: -4

v' =

x,-',--

_ _ ",,-',-C

g(x ) ,ln a

(lJI. H3b )

172

11 1Funktion en ein er Variablen

Beispiele:

1 ,2.JX

1.

--+ Y ""

-r

.JX

v, »

1

1

== 2.JXJX == 2x

4x 2 = 2 2x .ln2 x ·tn 2

11. Ableitung e iner Exponenzialfunktion

Allgemein können wir jede Fu nktio n fe x) wie folgt umforme n. [( x l = [( x )

ln tft xu elnt f'(x j)

H Le ite n

wtr ht.' id e Sei len nac h x ab, e rhalten wi r un ter Beac ht ung von (I[ I.H.3a ) . f'( x )

[tnrftxn]

=-- . ft x )

Eine Ums tellu ng n ac h f'( x I liefert de n ge nerellen Zusammen ha ng

«xl == f( x )· [ln( fex » ]' . Setzen wir hie r z.B. die Expo nc nzialfunktio n y =

nx ) = a

x • [I n a x j'

f(

x) = a

(IlI.H4l X

m it a > 0 e in, e rgibt sich

= a x • lx . In a( = ax . In a .

Allge mt'in ka nn also für e int;' Expon c nzlulfunkrion zur Basis a m it u > 0 folg e nde Ableitungsformel festge ha lten we rden : y= a" mt r u > n --+ y'=a " ·ln a

(1 11$'5 )

Beispiele :

1. y =2' --+ y' =2x ·ln 2 2. y = e" -t y' = e" ·lne ==e x ·1 =e x

Soll e ine Funktio n y - a'" m it a > 0 nach x abgeleitet we rde n, so kö nnen wir für die Herleit ung ei ner allgemeinen Ablen un gsfo nnel e benfalls a uf den allgemei ne n zusammen bang (11 1.8 4 ) un d auf (111.8'; ) zurückgreifen . \'('ir e rhalte n d urch Einsetzen von y - a"" y= a l':( ~ l

-e

y'= allh ) .g'(x ).]n a .

(111 .86 )

~

!In y)

Beispiele: 1.

Y =2 x2 "'4 X ~ 1

2. y =

2 e3 x -7

-7

y' =2x 2 + 4X~1 . (2 X + 4) .ln2 2

2

y' = e3x . ex- fne e e3x -ex

Das geübte Auge erkennt hier, dass es sich dabei genau um das Ergebnis handelt, welches wir auch mittels Anwendung der Kettenreg el erhalten hätten.

3. Differenzialrechnung

173

Sollte ein Fall a uftrete n, be i dem d ie un abhängige ve ränderliche sowoh l im Expone nten als a uch in der Basis a ufrauc h t, kann direkt auf (1I1.8-H zurückgegriffen we rden. Das nachfolgen de Bei spiel verdeu tlicht dies . Beisp iel : y = XX ~

y' = XX . [In(x x )]' = XX -Ix · In(x)]' = XX -[ t.ln X + X . -; ] = x" . [Inx + 1]

12. Ab le itu ng e iner Lo g arithmus fun kCio n zu r Basis a:

Die Fun ktion y = log" x m it a > 0 hesitzt die Umkehrfunktion x = a'. \X.'erden hcide Seiten der Umkehrfunktionsgleichu ng nach x abgeleitet, so ergibt sich unter Nutzung von (H I.B6 ) . dy j

eln a -u''

ux '

woraus nach Auflösen die Ableit ung der Logarithmusfunktion rcsu hlc rt: dy -= =--dx a l ' - ln a x vlna

Die allgemeine Abletru ngsfor mel für ei ne Logarithmusfunk tion zur Basis lautet also y =

x -In a .

:1

mit a > 0 (JII.H7 )

Beisp iele: • 1 ~ Y = x . ln2

1. 2.

y =l n x

~

. 1 1 Y =--=x -Ine

x

13 . Höhe re Ab leit u ngen

Ist d ie er ste Able itung f'( x I e ine r Funktio n fe x) w iede r differenzie rbar, :-0 kann man stc ern eu t ableite n. ef'(x»' he igt da nn die zwcirc Able itun g vo n fe x) und wird a ls f"( x ) be zeic hn et. Die erste Ableill/ ug stellt ei n l\la g für die Än deru ngsrate des Fun ktionswe rtes bei Ände run g de r un abhängigen Variablen, d.h . für die Sleigllllg. Die mvue A blefl //IlR kann somi t als Änderu ngsrate der Steigu ng bei Änderung de r unabhängigen Variablen, d. h. als M a f~ für d ie Knimmmrg der Fun ktion aufgefasst we rden. Darauf w ird im folgen de n Absch nitt III 3.6 gerraue r ei ngegan gen . De r beschriebe ne Ablc nungsp roze-,s kann suk zessive Iortg es ctz t we rden, sodass ma n d ie dritteA hlettung f"'( xl , d ie rterte Ableitll llg ( l l(X) bis hin zur n-ten A bteiIUllg r nl(x) erh iilt. Es gilt also allgernein (Il I. HH)

174

11 1Funktion en ein er Variablen

Ab weit e re Sch re ibwelsen für d ie Ablcttu ngcn ei ner Fu n ktio n y .. «xl nach x [i nde n sich in der Lite ratur für d ie zweite , dritte lind n-te Ableitung a uch d ie Folgenden :

"))d y " =y "(x )=(y(x =-

(ur) Jly

= _., dx dx dx -

2y Y.. =y ..( x) = ( y '"( x ) =d - (d - ,) d x dx -

d\ ,' =dx

Beispiele: 1. Zu bestimmen sind sämtliche Ableitungen der Funktion y '" 2x 7 - O,25x 4 + 2x 2 + x - 1 . Wir erhalten: y' = 14 x6 _ x 3+ 4x+ 1 y' =84x 5 _3 x 2+ 4

y" '" 420x 4 - 6 x y(4) =1 .680x 3 _ 6 y ( 5 ) '"

5.040x2

y (6 ) '"

10 .080x

y ( 7)

y(..8 )

= 10 .080 = 0

2. Die ersten drei Ableitungen der Funktion y .. a' lauten wie folgt y' =aK ·lna

y' = a" . (lo a)2 y" = a" . (lo a)3 Es gilt also für diese Funktion allgemein y(n) '" a" . (Ine)" .

-

3.4 Das Differenzial Der Differen zialquot ient y' .. dy I dx giht die St O !l.x ...n tt.x t.x -> n

!l.x -o(1

Da tt.y gegen dy (alternative Schrei bwe ise df) und tt.x gege n dx stre bt, erg ibt sich das sog. Differe n zial dy e ine r Fun ktion y - [(x) als dy=f'( x) · dx ,

(IJ I.H9 )

w obei d y un d dx un endlich kleine Grögen sind . (JII.H9 ) kö nne n wir benutzen , um

a ngenäherte Funktio nswe rte in der Nähe ei nes Punktes zu bes timm en . Nehmen w ir etwa an, uns l ieg t e in Pun kt !'( U ; f(a)) und e ine Änderung tt.x vo r, so können w ir

zunächst d ie Veränderung des Fun ktionsw e rts up proxinticn-n, indem w ir die Differe nzia le d y und dx in (IJI.H9 ) d urch e ndliche Dtffc ren ze n erse tze n und x '"' u e insetze n . Dies liefert tt.y == f'( a ) · öx . Die Veränderung de r Tungc ntenordinnte w ird also zur Schä rzung der Ver änderung vo n y .. fex) he range zogen . Für die Näherung des Funktionswertex ABt Ru + tt.x) =. f( a) + ['(a ) · 8.x . W'ie Abbild ung 1II 40 zeigt, kann die Diffe re nz zwischen Nähe rungswe n und ta tsä chlic he m w e rt (Fehler F) jedoch beso nd e rs bei starker Krümmu ng und / oder grosem tt.x recht betr ächtlich werden . y

f( X) +f'( x) · ;lx ff x )

x + öx Abbild ung 111 40: Herle itung Diffe re nzial Bei spiel: Die Funktion f(x) "" e~2~2 besitzt die erste Ableitung f(x ) = eX2~2 . z x . An der Stelle x '" 1 gilt der Funktionswert f(1) '" l /e '" 0,3679 und die Steigung f'( 1) "" 0,7358. Wir können da- ~ mit für versch iedene öx folgende Näherungen bestimmen :

.,

0, 1 0,2 0,3 0,4 0,5

n

Funktionswert f(x + AX) 1(1,1) - 0,4538 1(1,2) 0,5712 1(1,3 ) : 0,7334 : 1(1,4) 0,9608 1(1,5) 1,2840

Näherung von f(x + ax ) 0,4415 0,3679 + 0,7358 . 0,1 0,5151 0,3679 + 0,7358 . 0,2 0,3679 + 0,7358 . 0.3 0,3679 + 0,7358 . 0,4 0,3679 + 0,7358 . 0,5

0,5886 0,6622 0,7358

Fehler -0,0123 -0,0561 -0,1448 -0,2986 -0,5482

176

11 1Funktionen einer Variab len

Wie sich zeigen lässt (vgl. Diskussion unter 111 3.6), weist die vorliegende Funktion in der Umgebung der Stelle x = 1 eine starke Krümmung auf. Mit zunehmend em öx weicht der Näherungswert dahe r deutlich vom tatsächlichen Funktionswert ab. Der Fehler wird also immer größer.

Die Betrachtung der zweiten Able itung führt uns zum sog. Differenzial zweiter Ordnung oder kurz zwei tem Diffe re nzia l der Funktio n y '" fex) d\'

(dx)!

= f~(x) ~ .

d!y=C"(x ) .(dx/.

tl11.90a)

Ersetzen der Diffe ren ziale durch endliche Diffe re nzen e rlau bt uns eine weite re Anniiheru ng des Fun ktio nswe rte s bei Veränderu ng der una bhängigen Variablen an einer Stt.'lle x um öx. An alog kö nnen w ir das Differenzial n-ter Ordnu ng ei ner nmal differenzierbaren Funk tion über

d"y = t~ " )(x) ·(dx) n

(II1.90h )

b ilden und zu Näherungszwecken hera nziehen.

-

3.5 Das Newton-Verfahren Im Verlauf dit..'st:s Buch t:s sind uns bere its mehrfach Problemstellu nge n begegnet, Iw i denen \'';''cl1t: der u nabhä ngtgen Veränderlichen x gesucht sind , dit: der Gletchung y = f(x) = 0 gen ügen. \X'ir waren also jt,.'weib a uf der Suche nach den Nullstellen x = Cl. e iner Funktion r = f 0 Steigung Null

f'(ct.2) '" 0

n.

11 1Funktionen einer Variablen

180

Beispiel 2: Für unsere Beispielfunktion I{xl = i x5 _ x3 + 1 lautet die erste Ableitung f'(x } =

i x4 _3 x2 .

Das Steigungsverhallen der Funkt ion können wir dam it wie folgt charakterisieren: Die Funkt ion ist streng monoton steigend für

(nx) =i X4 _ 3x 2 ) > 0. Zur genauen Angabe des Sleigu ngsinlervalls empfiehlt sich zunächst die Bestimmun g der Stellen , für die die Steig ung gleich null ist. W ir erhalten daraus I

t'{x ) = O

~

.2 x 4 _3 x 2 = x 2 . (.2 x 2_ S}= O 6

6

x == O

v

x == ±1,90 .

Mit den Nullstellen der ersten Ableitung können wir nun sagen , dass f(x} genau in dem Be-

reich steigt, in dem die Funktion " (xl überhalb der x-Achse liegt. Die Funktion !(x) steigt dah er in den Intervallen )--00; - 1,90[ und ]1,90; +( • Die Funkt ion ist streng monoton fallend für ( n x) == i X4 _ 3X2 ) < o. Das Intervall , in dem f(x) fällt , ist nun vergleichbar mit dem Bere ich , in dem die erste Able itung unterhalb der x-Achse liegt. f(x) fä llt daher streng monoto n im Intervall }-1 ,90; 1,90[ .

3. Krümmung Die Frage , ob eine Funktion y .. f(x) an einer Stelle x konkav oder konvex gekrü mmt ist, kann mitte ls ihrer z u-eisen A h/eil ullg f ~( x) beantwo rtet wer de n. fex) ist in ei ne m Inte rvall I konvex gekrümmt (die Steigung w ird im me r grögt'r), wenn die zwei te Ableitung für jedes x d ieses Intervalls pos itiv ist, un d ist in einem Inte rval l [ ko nkav gekrü mmt (d ie Steigung w ird imme r kle iner), we nn die zwe ite Ahlettung da rin ste ts negativ ist. r "(x ) > 0 Funktion konvex gekrümmt , wenn (11I.92 ) Funktion konkav gekr ümm t, wenn r "(x ) < 0 De r auanunenbang zu-tschen Steigu llg und Krümmung e iner Funkt ion y ,. rex) kann grafisch mittels Abb ildun g III 43 veranschaulicht werden . Konv e xe Fun ktionen (bzw. Fun kuon-bcrctche j sind dadurch gekennzeichnet, dass m it zunehmendem x d ie Steigung de r Pun ktion zun immt (angede utet d urch d ie gestrichelten Tangenten), d. h. die Steigungsänderungsrate (a usged rückt durch die zwei te Ableitung) ist pos itiv. Die Steigung konkave r Funktio ne n sinkt mit zunehmendem x. Die Sretgungsändcr ungsr.uc (u nd dam it d ie zweite Ableitung ) ist also negat iv. Beispiel : x 3 + 1 lautet die zwei te Ableitun g ' "(x ) == \~ x3 - 6x . Ihr Für unsere Funktion f (x) Krümmungsverhall en können wir damit wie folgt cha rakte risieren :

== i x5-

Die Funktion ist konkex gekrümmffür ( f"( x ) == 1~ x 3 _ 6X) > 0 . Wie bereits bei der Bestimmung der Ste igungsbereiche, empfiehlt es sich auch hier, zunächst die Stellen zu ermitteln , an denen die Krümmu ng gleich Null ist. W ir erhalten damit I

f"( x) ==O

-Jo

x=o

v

x = ±1,34 .

3. Differenzialrechnung

181

Die Funktion f{x) ist in dem Bereich konvex gekrümmt, in dem die zweite Ableitung überhalb der x-Achse verläuft. Dies gilt genau tür die Intervalle }-1,34 ; 01 und ]1 ,34 ; +[. Die Funktion ist konkav gekrümm t tür

(f"( X)='30 x3 _ 6X)< O, Entscheidend ist daher das Intervall, in dem die zweite Ableitung unterhalb der x-Achse liegt. Dies ist tür )-00; - 1,34{und 10; 1,34( der Fall.

,.

steigend : f '( x) > 0

v

steigend : f'( x ) > 0 konkav: r-( x) < o

k o nve x: ( x » O

~, r(x )

- + - - - - - - - - - . ; > ,. fallcnd:

I'( x j c O

k om'ex : f -( x »

O

f( x )

ftx )

- + - - - - - - - - - . ; >, y

falle nd :

f'(x ) < 0

ko nkav : f"( x) < 0

\ ,

f( x )

Abb ildu ng 111 43: Zusammenha ng zw ischen Steig ung und Krü mmu ng

4. Exrrerna Betracht e n w ir Abb ild ung IIJ 44 (links ), erk ennen w ir eine Funkt io n mit relativem Maximum ( x ... (X,) und relativem Minimum {x - a,> , 'X'ir se hen de utlich, dass die Ste ig ung der Ta ngente n an diesen Stellen gleich Null ist ( ho rizo ntale Tange nten), i\'o {U'('lIdig für die Existe nz e ines Ma ximum s oder Minimums a n e iner Stelle x = a ist also , dass dn- ers te Able itung dort Null ist, d.h . ('( al = () gilt. Abbild ung JIl 44 (rechts) zei gt, dass alle rdi ngs nicht a n jeder Stelle m it horizon tale r Tan gente ein Extrem um vorliege n m uss, Es kann sich auch um ein en ' x'ende punkr ( Krü mm ungsände rungspunkt ) m it hor izontaler Tangente ha ndeln , ",'ir be zeichnen einen solch en als Sattelpunkt.

182

11 1Funktione n eine r Variablen

y

y = f'( x )

,

ye ff x )

rel . Maximum

Sattel p un kt rel . .\linimu111

a

a, Abbildung III 44 : Extrcma und Sat tel punkte

Um Extrern a von Sattelpunkte n u nte rschei den zu kö nnen , m uss d ie Krü m m u ng ;10 den betroffenen Stellen mit hor izo nta ler Tungerne un ters uc ht werden . Offensichtlich ist e ine Funktio n an der Stelle des Maximum s ko nkav . an der eines Minim um s kon vex. t t inretc bende Bedi ngung für ei n Maxi mum a n einer Stelle x .. a ist daher (-( Ul< 0 , für ein Minim um (w(u) > O. Zusammenfassend können wir daher folgendes festha lte n. x = a i st ein Max imum, wen n

f'fu ) =0

1\

("( al< 0

x = a ist ei n M in imum, wenn

f'(u J = O

1\

( '{ Ul

(11 1.93)

>0

Im Fa lle n a ) = 0 1\ ("( u) = 0 kön ne n w ir nich t sofort auf e inen Sattelpunkt a n de r Stelle x .. a schließen. Eine Krümm ung von Null isl nämlich für d ie Existenz eines \\'endepunk tcs nich t ausreiche nd , w ie das nachfolgende Ik ispiel zeigt. Beispiel : 4 Für die Funktion y '" f(x} '" x gilt an der Stelle x '" 0 sowohl f'(O} '" 0 als auch f"(O) '" O. Trotzdem liegt offensichtlich kein St ättelpunkt sondern ein Minimum vor.

y

y ",x

•

x

Zur F('SIst,'lIll11,~ ei l/es Sattelpuntues für eine Funk tion y '" ftx) , ist w ie folgt vorzugehen: Es sei f "' 1( 0.) diejenige Ableitung höherer Ordn ung, die an de r Stelle x - 0. zum ersten Mal ungleich Null w ird , d.h . f'co.)=f"( o.l= ... =flnl-i J(o.)=ü und pm l( o.):1: O . Ist m ungerade , liegt :10 der Stelle x - u ein Sattelpunkt vo r. Bei geradem m erg ib t sich ein rela tives Maximum für f(lU J(a) < 0 und ein rela tives Minimum für f "'\ al > O. Beispiel 1: Für unsere Funktion f{ x)= i x5 - x3+ 1 mit f'( x} = .2x 4 _3x 2 und f"(x) = ~ x 3 _ 6 x sollen Extrema und eventuelle Sattelpunkte bestimmt wer~en. Dazu sind zun ächst die Nullste/len

183

3. Differenzialrechnung

der ersten Ableitung zu bestimm en, da eine Steigun g von Nu!I notwendige Bedingung für die Existenz eines Extremas ist. I

f'{x ) ==O

~ x 4 _ 3 x2== O

--)

Die Lösung diese r Gleichung haben wir bereits im Zusammenhang mit der Steigungsanalyse der Funktion besflrnmt. Wir erhalten also als mögliche Extrema x '" 0 und x '" ±1,90. Die Untersuchung der Krümmung an diesen Stellen liefert folgen des Ergebnis: 1"(- 1,90 ) = -1 1,46 < 0

--)

x = -1,9 0 isfMaximum

n+1,90 ) =+1 1, 46 > 0

-e

x = 1,90ist Minimum

1"(0) = 0 Wir können also ein Maximum und ein Minimum ide ntifizieren . Die Stelle x '" 0 erfordert weitere Betracht ungen. Wir bestimmen dazu die weitere Ableitung nx ) "" 10x 2 - 6, die f" (O) '" -6 liefert und damit d ie erste Ableitung ist. die für x = 0 einen von Null verschi edenen W ert liefert. Da m '" 3 und som it ungera de ist, liegt also an der Stelle x '" 0 ein Sattelpun kt vor. Bei spiel 2: 4

In unserem vorlet zten Beispiel hatten wir die Funktion y '" f(x) '" x betrachtet. Für sie gilt f'( x) "" 4x 3

--)

nx) == 12x 2

--t

f"{O) == 0

f"'(x) == 24x

--t

f"{O) == 0

f(4l (X) '" 24

--)

f'{O) "" 0

f {4}(O) '" 24 .

Erst die vierte Abteitung liefert für x '" 0 einen von Null verschiedenen Wert. Da dam it m '" 4 und ger ade ist. liegt ein Extremwert und kein SatteIpunkl vor. f{4}(O) = 24 ist zudem positiv. d.h. x '" 0 ist ein Minimum.

\'('ie wir in Abschnitt I!l 104 gesehen haben, sind ne ben den bereits abgeha ndelten relativ en Extrem e noch gloha le Extronra besttnuubar. Das glo bale Minim um (~ lax i ­ murrt) einer nu r a uf ei nem Inte rvall la ,; a J defin ierten Fun ktion y '" f(x) ist emwe der eines der in diesem Inte rva ll liegenden Minima (Maxim ul oder es ist e iner der Ran dw e rte . Zur Bestimm ung des glob alen Minim ums (Max im um s ) sind also zunäch st die relativen Minima O lax imJ ) im Interval l la, ; a ) zu bestimmen und dan n ihre Funktionswerte m it den Randwe rt en fCa,) und fC a) zu verg leichen. Besitzt e ine Fun ktio n ke ine relativen Extrema, w isse n wir sofort, dass die g lobale n Ex trc ma um Rand des De finition sbe re ich s a nge nomme n werden. Bei spiel: f(x ) =Ixl

für

XE

[-2; 1]

Wie die nachfol gende Skizze zeigt , besitzt die Funktion keine relativen Maxima . Es sind 1(-2} = 2 und f(l ) = 1. x = - 2 ist damit globales Maximum. f(x) hat ein relatives Minimum bei x = 0 mit f(O) = O. Da d ie Funktion im Definüionsbereic h keine kleineren W erte (auch nicht an den Rändern ) annimmt , ist x = 0 auch das globale Minimum .

184

111 Funktionen einer Variab len

Da es sich be i der hier untersuchten Abso lutfunktion um eine absch nittsweise defin ierte Funktion

Y=

)( 1

für

- x für

Y

X ;::O:O

2

xcO

handelt, können wir dieses Beispiel nutzen, um einen weiteren wichtigen Fakt feslzuhalten:

Relative Extrema können auch an den inneren Rändern der Teildefinitionsbereiche stetiger und abschn ittsweise def inierter Funktionen auftreten.

5. Wendepunkte Eine Stelle x .. c . an de r sich die Krüm mung einer Fun ktio n ändert (kon ve x auf konkav oder umge kehrt >wird als wendeueue. der zugehörige Punkt \'( '(a; [( al) als Well(/(jJll1l kl bezeichnet . Es muss also als 11011I'(' lI d ig e Bedi ng ung ["" = 0 gelt en , d.h . die zweite Ableitung fmuss Null se in . \X'ie unser Beispiel Y .. [(xl" x' gezeigt hat, ist diese Be ding ung nicht hinreichend . Es liegt jedoch imm e r e in Wendepunkt vor , we nn an e iner Stelle m it f"(a ) = 0 die dritte Ablei tung ungleich Null ist, d.h . die hinreichende Bedt ngu ng C"( a) "F- 0 gilt. Zusammenfass end gilt som it: x e u ist ein e w e ndestelle , wenn

f· (a) =O

1\

f"( a )=t:.O

(11I .9-4)

sollte f·( a )=O 1\ fM( a )=O gelten , sind w ieder so lang e höhere Able itunge n zu bilden bis ("' J(a) =t:. 0 erfüllt ist. Bei ungeradem m gilt da nn, dass x - a ein e w ende srolle Ist. Isl m gerade liegt hingegen ein Extre mwert vor (vgl. o bige n Punkt 4).

Bei spiel :

i

Für unsere Funktion f (x ) '" x 5 - x3 + 1 ein Nullsetzen der zweiten Ableitung I

nx) = O

--+

12. x 3 _ 6 x = 0 3

die mögliche n We ndestellen x = 0 und x '" ±1,34, die wir bereits im Zusa mmenhang mit der Krümmungsanalyse bestimmt haben. Da die Werte f'''{-1 ,34) = 11,96, " "(0) = -6 und 1"'(+ 1,34) '" 11,96 von Null verschieden sind , liegen dre i Wendestellen vor .

Genall genommen ist die Kurve ndis kussion no ch um d ie Be stimm ung des De flmtion sbercichex , der Unsrc ugke ttxste lle n, Asym ptot en , Symmemee tgenschaüen , usw . zu erweitern. Da derartige Analyse n a ber herci l.~ in früheren A bschn üren beha ndelt wurden, wird an dieser Stelle auf eine e rne ute Betracht ung verzichtet.

-

3.7 Diskussion ökonomischer Funktionen Die Vorschriften un d Erke nntnisse aus der Differenzial rechnung rbzw. der Kurve ndisk ussion des Abschnitts 11I j.6) lasse n sich auch auf ökonomische Funktion en (vgl . Abschnitt 111 2..3 ) übe rtrage n . Ist y - fix ) eine belie bige ökonomische Funktion rz.B. IIx) - C(x )), interessieren wir uns häufig da für. wie sich di ese verändert . wenn die unabhängige Variable um e ine Einhei t zu- od er abnimmt. Die Gröse

3. Differenzia lrechnung

185

± I) - f(x) bezeich nen w ir als Grenzfuntaten. Sie stellt nichts anderes als den Diffe re nze nq uoti e nte n

.6y '" f( x

.6y =f(x + .6x )-f(x) .6x

.6x

für e x '" ±I dar. Ochen w ir nun davon aus, dass eine Einhe it von x verschwindend gertng gegenü ber dem Niveau von x ixt, m it dem wir arbeiten (z .B. eine produz ierte Ein heit gegenüber Produ ktto nsme nge n von zehntausend Stück), unterscheidet stch öy nur sehr wenig von ['(x) . Gerade dah er und aufgrund d er Tatsach e, dass die Arbeit mit Ableit ungen bequemer ist ab jene m it D i ffere nzen bzw. D ifferenzenquouemen, wird in der Pra x is d ie A hleüung seihst (/ / ,1' Grt.'lIzfIUIA~(ioll aufgefasst. Sie g ibt uns an der Stelle x .. (X rnüherungswetse) die Änderung d er Funktion y '" f( x ) an , wen n die unabhängige Veränderliche ausgehend von x .. (X um e ine Einheit zuoder abn im m t. Faxsen wir d ie Grenzfunktion als D ifferenzial von v .. fex) für dx .. 1 auf, d.h . betrach ten w ir df = ['(x) , dx = f'{ x ) ' I = ['( x ) , können wi r d iesr: In terpretation der G renzfu nktio n ab ( nä he ru ng-w eise ) Fu nk ti o n sänd eru ng auc h aus der Defin ition des Differenzials ( q~l. A bschn itt 111 3.4) a ble iten. \'(Ii rd zur Berechnung des Fun ktio nsw ertes nn der Stelle d es um ei ne Ein he it veränderten Argu mentes (.6x '" ±I) d ie Gre nzfunktion herangezogen, gilt f ( x ± I) = f( x ) ± ['( x), 1. Es en tsteht somit ei n Fehler, der dem der Appro ximat ion de r D ifferenz d u rch das Dtfferen zral c ntsprtcbt . In d en fo lgen den Ab sclm utcn 11I j .7.l bis 11I 31.7.3 wollen wir nun die Grenzfun ktio ne n ei niger ökonomischer Fun kt io nen näh er be trachten un d analysieren , wozu wir d iesr: in der Praxis einse tzen könn en . Im Anschluss daran gehen w ir au f üasnz if ä l ('1/ und \Vllcbs(u msrlll en ein , die wei te re praxisrelev ante Anwendungsgebiete der Differen zial rech n u ng dars telle n.

3.7.1

Kostenfunktion

W'k ' w ir aus A b sch ni tt 11I 2.3.3 w issen , gibt die Gesamtkostenfunktion C(x) die Kosten i n Ab h än gig keit von der produzierten Mengl ' an. Fü r Unternehmer ist es nun nicht nu r v o n Inte resse, wie hoch diese Ge sumtkosren sind, sondern auch, wie sich dir: Ko sten verändern, w enn ausge hen d von e-ine m best imm ten l' rodu ktionsnivc uu x .. a die p ro du ziert e .\ll.'ngc um eine Einheit erhöht oder gesenkt wird. Um d ies zu er fahren, bed ienen wir un s de r sog . Gre nzkos ten fu n k tion C'( x ) , d.h. der ersten Ableitung der Ko sten fun k tio n C( x ) nach x. C{x)

--+

ch)=

d C< x ) dx

( 11I.9 0) )

Der \'('ert c'{ (X) gi bt n un (n ähe rungswetse) an , u m wie viele Gel d ein heiten sich die Ko sten eines Unt ern e hmen s verändern, wenn be i einer Pro d u k tio n von (X Stück eine Ei nhei t mehr od er weniger produziert wi rd . D ie Ko sten veränd eru ng ist dabei nur au f d ie v ariab len Ko sten zurückzuführen. An alog kön nen w ir auch d ie G ren zstückkos ten A C'( x ) in terpretie re n .

Beispiel: Gegeben sei die Kostenfunktton C(x) = 0,2 x 3 _1 00x 2 + 20.000x + 50.000. Untersuchen wir, welche Kosten eine bei einem Output von 300 Stück zusätzlich prod uzierte Einheit ve rursacht und wie sich die Stückkost en verändern.

186

11 1Funktione n eine r Variablen

Die Gesamt koste n erhöhen sich (näherungsweise) um 14.000 Geldein helte n, da C'(x) '" 0, 6)(2 - 200 x + 20.000 --t C'(300 ) '" 0, 6· 3002 - 200· 300 + 20. 000 '" 14. 000 . Die Stuckkos ten steigen (näherun qsweise) um 19,44 Geld einheiten. da 3

2

AC{x) '" 0,2 )( - 100)( + 20.000)(+ 50.000 '" 0,2x2 - 100x + 20.000 + 50.000

x

AC'{x ) ::= 0,4x - 100 _

50.~OO x

x

~

AC'(300) '" 0,4 ·300 - 100- 50.0~O '" 19, 44. 300

Die Gren zkoste n C'(x ) h l.'sit zen an ei ner Stelle x = Cl ei n Minim um , w en n d ingunge n C"'( U) = () A C"( a) > 0 e rfüllt sind.

die Be-

Beispiel : Für die Kosten/unktion aus dem letzten Beispiel gilt C' (x) = 1,2x - 200 und C'"(x) = 1,2. Wir erhalten damit folgendes Grenzkostenminimum: I

C' (x) = 1,2)( - 200= 0

~

x = 166,67 C-{166,67) = 1,2 > 0

Wir erkennen , das s das Ergebnis de rartige r Berechn ungen auch nicht-ga nze Zahlen sein können. Betrachten wir Produkte, deren Einheiten in z.B . kg oder Tonnen gemessen werde n, stellt dies kein Problem dar. Kön nen nur Prod ukte in ga nzen Stück hergestellt wer· den, ist ein solches Ergebn is problematisch und wir müs sen weitere Betrachtunge n anstetlen. Im hier vorliegend en Fall mü ssten wir also untersuchen ob ein Minimum bei x '" 166 oder x '" 167 vorliegt. Dazu bere chnen wir C'(166) = 33.336 und C' (167) = 33 .33 4. Da C'(166) > C' (167 ) g ilt, liegt also ein ökonomi sch sinnvolles Minimum be i x '" 167 .

Besitzen die Durchschnittskosten b zw . Stück ko sten AC( x ) an eine r Stelle x ,. a ein sttntnnnn, so sind Gren r - und l mrcbscbnittsleostcn an di eser Stelle identisch, d.h. es gi ll C'( a) = AC( a ).

(1]1.96)

Di esen Zusammen hang , der analog auch auf jede andere Fu n k tion übert ragba r ist, können wir beweisen , in dem w ir die erste Abl eit u ng von AC(x ) bestimm en und gleich Nu ll setzen: AC(x ) =C(X )

x

Ac'(x ) = O

->

....

._ ) dAC{ x ) c'(x ) · x -C(x ) AC ( x = = ,

~

dx

C'(x )' x -C(x)

,

x" C'(x ) x

=

C( x )

"

=0

.... ....

x-

C'cx ) 'x

c< x )=ü

,

,",

x"

,

Crx )

C( x)= -

x

-= AC{x )

Setze n wir hier x '" c ein, erha lten wir die Beziehung aus ( 11 1.96). Analog kö n ne n wir auch zeigen , dass sich an ei nem Extre m w ert x '" c der durc hschni ttlichen vanablen Kosten AVC(x) die Gren zkosten und die variablen Stückko sten sch ne ide n, d.h. C'l UJ = AVC( u ) g ill.

3. Differenzialrechnung

187

\X'ir wollen diese Be ziehunge n nun im Zusammenha ng m it de n un ter 111 2.j .j behandelten ert ragsgeset zl ich en Kos ten fu n knonen näh er analysiere n. Wie wir w issen, wei st ei ne solche einen s-förmigcn Ve rlau f auf lind besitzt damit sow o hl einen konvexe n als auch einen konkaven als a uch e ine n linearen Be re ich. Sx'ic Abbild ung 111 45 zeigt, sind für derartige Funkt ionen drei Outputwerte vo n be sonderem Inte resse. C(x)

C(

x)

wcndcpunkr

-+--------+-----+---+--- --7, coo. c'( x)

AC", ;n -

--

-----------------------------T---------~-----::::-:----+--:--~ - - -)L------,

:

AVCI1\;n

_

i

AC( x )

,

:

i x

Abb ild ung 1lI 45: Eigensc hafte n ert ragsgesetzlicher Koste nfun ktio nen Die sog. Sc h w e Ue des Ertragsgesetzes x = a.. ist d ie \Vendeste lle der Kost en fun ktion Cfx) bzw . das Minimum de r Gre nzkos ten C'( xl . Am sog. Betricbsmini.tnum x = c; e rre ichen die variablen Stückkoste n AVC(x ) ihr Minim um. De n dazugchörige n Funktion swe rt A VC( a~l) be ze ichnen wir als ku rzf ristige t' retsuntergrenre AVCm ," , da a b die se m Punk, zum indest e in Tei l de r Fixkoste n gedeckt sind. Die

166

11 1 Funktionen einer Var iablen

Grenzkosten e ntspreche n an der Stelle de s lk- rric bsrrurumums x ... Stückkosten. d.h. es gilt c'< a \l) = AVC< U ,\l ) = AVC min

c, de n variablen

•

Produziert bzw . verkauft e in Unte rnehme n zum Preis AVe ",,", so sind hei e iner Prudukttonsmenge von x .. a " gerade noch die variablen Koste n der Prod uktio n gedeckt. Ein Be itrag zur Deckung de r fixe n Koste n wird nicht geleistet. Da die fixen Koste n kurzfristig un ve rä nde rt a nfallen , auch wenn die Produ ktio n stückt, Ml ist es sinnvo ll , kurzfristig weiter zu produz iere n. Sinkt der Pre is u nter dn- Grenzt;.' AV e ",,,,, sind die va riable n Koste n nicl u mehr gedeckt. sodass ei n Mar kta u stritt sinnvoller ist als e ine \X'e itt.'r p ro du ktio n .

Das sog. Hetriebsoptimum x - u , liegt an der Stelle , a n der d ie Stückkosten AOx) ihr Min im um erreichen . Der \'('eTt AO llo ) wird dabei als Icmpfri.\·tige PreisII1I1"rgrellze AC"". be ze ich ne t. Es Ailt im u e rrte bso pttmum . d ass d ie Grenzkosten Aleir:b den Stückkosten sind , d.h. C'( a () ) = AO a o) = AC "'in .

\X"i rd zum Preis AC."" ve rka uft , ist fü r ei n Un tern ehm en zwar der Gew in n Aleir:h Nu ll, doch sind sowohl fixe uts auch varia ble Ko sten vollständig gedeckt.

Beispiel:

Bestimmen wir für die Funktion C(x) = x3 _ 12x 2 +54x +248 d ie Sch welle des Ertragsgesetzes, das Betriebsminimum und das Betriebsoptimum. Wir benötigen dazu folgende Fun ktionen : C'( x) = 3x 2 - 24 x + 54 --+ C-(x ) =6x-24 -t C"'{x) =6 AVC(x ) = x 2 - 12x + 54

AVC'(x ) =2x - 12

AC{x) = x 2 - 12 x +54 + 248

x

~

-t

AC'(x) = 2x _ 12 _

AVC·(x ) = 2

248 x2

~

AC. (x) = 2 + 496 x3

a) Schwelle des Ertrag sgesetzes: I

C·{ x)=O

6x -24 = O

~

C"'(4) =6 > O

~

x =4

H

x = 4 ist W endestelle von C{x ) und Minimum von O'(x )

b) Betrtebsmlnlmum: AVC'(x) = O

2x - 12 =O

~

AVC·{6 ) = 2 > 0

~

H

x=6

x = 6 ist Minimum von AVC(x)

I

Identitätsnachweis: C'(6) = 3 .6 2 - 24 ·6 + 54 = 18 AVC(6) = 6 2 - 12 ·6+ 54 = 18

C'(6) = AVC(6)

Die kurzfristige Preisuntergrenze liegt dam it bei 18 Gelde inheiten. c)

Betriebso ptimum: I

AC'(x ) =O

-t

246

2x -12 - -

"

=O

2x 3 - 12x 2 - 248=O

Das Newton-Verfahren liefert d ie Lösung x '" 7 ,958.

3. Differenzialrechn ung

189

AC· (7,9 58) = 2,98 > 0

--+

I

x = 7,958 ist Minimum von AC(x)

Identitätsnachweis:

C'(7,958) = 3 .7,96 2 - 24 ,7,96 + 54 = 53 AC(7,958) = 7,96 2 - 12 . 7,9 6 + 54 + 248 = 53 7,96

C'(7,958 ) = AC(7,958)

Die langfristige Preisuntergrenze liegt damit bei 53 Geldeinheiten. Zusa tzfrage:

Welchen Einfluss hat eine Erhöhung der Grundsteuer auf das Betriebsminimum dieses Unternehmens? Die Grundsteuer stellt einen Teil der Fixkosten dar, die auch anfallen , wenn nicht produziert wird. Die Steuererhöh ung ist also als Fixkostenerhöhung aufzufassen . Da das Betriebsminimum das Minimum der durchschnittlichen variablen Kosten darstellt, haben die erhöhten Fixkosten keinen Einfluss auf die kurzfristige Preisuntergrenze und die dort produzierte Menge. Auch die Grenzkosten sind von einer Fixkostenerhöhung nicht betroffen, da sie als additive Konstante der Gesamtkosten bei der Ableitung wegfallen.

3.7.2

Umsatzfunktion

Un ter 11I 2.•~ . 2 halt en w ir de n Um satz b zw . Erlös I{ als Produ k t :I US abges etzte r Menge und d em Prei s definiert. D ie erste Able itung de r Um satzfun kt o n I{(x ) ist die sog . Gre nzerlös fu n ktio n oder Gren zumsatzfunktion I{'ex ) . Sie gibt :111 , um w ieviele Geldeinheite n sic h der Erlö s (näherungswe ise ) ve rändert . wenn ei ne zusätzliche Einheit abgesetzt w ird.

lm Fall l'OlIstiilldiger K ontmrrene (An bictcr sin d Prei snehmer) gi lt R(x ) = p 'x --+ wobei

p

,

)

dRf x ) cl ,

_

Rt x = - - - = p ,

( 111.97)

de r fü r ei n e in zelnes unternehmen gegebene Mark tp reis isl. In d iesem

F:dl e ntspricht also der Gren ze rlös I{'(x ) dem nurcbscbntuserlae A I{( x ) ( AI{: Average Reven ue ), da gilt

Rt x ) P' x _ - = - - = p. x x

() = ARx

(11 1.98 )

Bei unr ollstdndiger Koniuc rn' II I (Anb ie te t hab en Preiseinfl u ss ) gilt h ingegen ( unter N utzung der Produ kt regen

R( x ) = p o. Die D iffere n z zwischen Gren z- und Durchschmuserlös ist so m it negativ. Daraus folgt für d en Zusam men hang der beiden Fu nk ti o n en H.'( x )

< M {(

(111.1 01)

x ).

Be i I{ ' ( x ) handelt es sich um de n Gre nze rlös be züglich der Me nge. Im Gegensatz dazu sprechen wir im Falle e ine r Preis -Ab-atz-Fun ktio n der Fo rm x xfp ) be i R'( p l vom Grenzerlös bezüglich des Preise s. Für diesen gilt ;z

---+

R( p ) = p'x( p J

,

d Rt p) = xcp j e P : x 'r p ) .

R ( r) = -

dp

Beispiel: Ein Unternehmer hai durch Erfahrung einen Maximalpreis von 1.000 Geldeinheiten und eine Sänigungsmenge von 5.000 Stück für sein Produkt festgestellt. Er geht zudem von elner linearen Preis -Absatz -Funk tion aus. Versuchen wir herauszufinden, bei welcher Menge das Erlösmaximum liegt (a) und welchen Einfluss es auf den Erlös hat, wenn der Absatz ausgehend von einer Absalzmenge von 2.000 Stück um eine Einheit erhöht wird (b).

a} Einsetzen von Pl(O; 1.000) und Pd5. 000; 0) in die Zweipunkteform der Geradengleichung liefert: p(x) ,= 0 -1000 . (x - 0) + 1000 == 1000 - 0,2x 5000 0 R(x) '=p(x) · x == (1.000 - 0,2x)· x '=1.000x - 0,2x 2

-t

R'(x} = 1.000 - 0,4x

Ohne Bildung der Erlösfunktion und ihrer Ableitung kann im Fall einer linearen PreisAbsatz-Funktion die Grenzerlösfunktion nach folgendem Muster ermittelt werden: R'(x) '= 1.000 - 0,4x p(x ) '=1.000 - 0,2 x

I

·2

t

Im Erlösmaximum gilt: R'(x),= O

-e

1.000 - 0,4x ,= 0

R·(2.500) '= - 0,4 < 0

-t

X

H

x '=2.500

'=2.500 ist Maximum

b) Der Erlös steigt (näherungsweise) um R'(2.000) '=1.000 - 0,4 2.000 = 200 Geldeinheiten. Zusatzfrage: Wie wirkt eine Preiserhöhung von 549 auf 550 Geldeinheiten auf den Erlös?

Die Bildung der Umkehrfunktion zu p(x) liefert x(p) = 5.000 - 5p, woraus wir direkt die Grenzerlösfunktion bezüglich des Preises A'(p) = 5000 -1 Op aufstellen können. Der Erlös sinkt damit um 490 Geldeinheiten, da A'(549) = 5.000 - 10 ·5 49 = --490.

3.7 .3

Gewinnfunktion

Di e G ewinnfu nk tion w urde im Ah sch n itt 1II 2.3.4 als G( x ) '"' R( x ) - C( x) de fin iert. lh re erste Ableit ung li efen die Gren zgew in n fun k lion G'(X ) , die rnäherungsw eise) die Änderung des Gew inns bei Erhöhung ode r Senkung de r produzierten

3. Differenzialrechnung

191

un d abgesetz ten ~! e nge x um e ine Einheit :.l ng ib t und n ic ht s a nde res als dl c Differenz aus Gre nze rlös- un d G ren zko stenfu n kt io n ist. G( x ) =!{(x ) - C( x )

-e G '(x ) = d GCx) = dR ( x ) _ d U x ) = lf(x ) -C'C x ) dx

dx

( 11 1.10Z)

dx

\' 0 gelten. Im r all e 1'01Istiilldiger KUli eurrenz resul tie rt also : x = a ist G ewinnmaximum

(1I 1.1 (4)

Zusam me nfassend erreich t also ein A nbictcr bei vollständiger Ko nk urr en z b ei de rjcn igen Angebot sm enge x - a sein Gc wtnnma xtm um. bei der d ie Gre nzkosten c'( a) gleich de m Marktprei s p sin d u nd di ese Angebot smen ge im ko n ve xen Bere ich der Kost en Fu nk tion liegt.

11 1 Funktionen einer Variablen

192

Zum gegebene n Mar ktpreis p wird der Uruemeluner also gerrau die Menge x = Cl anbieten , di t:' d ie Gleich u ng p = C'( x ) e rfüll t. LÜsI.'n w ir d ie G le ich un g p = C'( x ) nach x a uf, er ha lte n w ir d ie Ange bot sfun ktion x' .. f{ p ), die unter der Bed ing ung

der Ge w inn m aximierung d ie zu jede m Preis p angebotene Menge ang ibt. Sie entsp rich t dem ansteige nden Ast de r Grenzko sten fun ktion . da C'( x ) > o. Oie Angcborsfunknon ist langfristig allerd ings nur fü r p ;;:: ACm m defi n iert , d. h. nur fü r Preise,

die m indeste ns der langfrtsugc n Preisuntergrenze e ntsprechen. Langfristig m üssen nämlich so wohl fixe als auch var iable Kosten d urc h den e rzielten Preis gedeckt se in . Ein Angebot unter den Durch schmuskost en AC",m ist a uf Da ue r nicht denk bar (p < AC(x) Hp ' X < Cr xn. Kurzfristig ist sie auc h für Pre ise zwischen de r kurz und langfr istigen Pre tsumergrenze , a lso insge samt für p ;:: AVCm ;" definie rt. Kurzfri.~t ig kan n der Preis also a uch unter den Durch sch nittskoste n liege n . Es we rde n dan n alle d urch die Produktion ve rursachten va riab len Koste n und auc h ei n Te il de r Fixkoste n ge dec kt. Ein Ange bot unter de n d urchschnittlichen variablen Kost e n AVCm ;" ist a uc h kur zfristig nicht vorstellbar . d a hier nicht einmal d ie durch d ie Prod ukti on ve rursacht en Koste n ge deckt sind. Jede zusätzlk-h produzie rte Einh eit w ürde (las Betrieb se rgebnis (Gewinn ) m inde rn.

r

Arbeiten wir nicht di rekt mit der Angebot sfun ktion x' .. f( p ). so ndern m it = c'(x) selbst, können wir das kurz- und langfristige Artgebot ein es Unternehmens aus der Hetmchtung vo n Abbildung IIJ 46 und 111 47 ableite n, d ie un s in ähnlic her Fo rm be re its im Zusamm e nhan g mit der De finition des Betri ebsmin imums x .. a " und des Betriebsopt imu ms x .. c., unter 1lI .3 .7. 1 bege gnet ist. De m 'c'e n p .. ACm ," e ntspr icht die Ste lle x "" Cl., des Be trieb so ptim um s. Grö lkren p e ntspreche n x-werte recht s von x .. a" . Die Grenzkosten ub der Srelh- de s Bet rieb soptimum s. ste llen so mit die lan gfristige Angeb otsfu n k tio n e ines gewinnmaximierenden p olypolixt iseh en Anh ieter s dar. Analog stellen d ie Gre nzk oste n ab der Stelle des Betrie bsminimuns, d ie kurzfristige Angebot sfu nktion da r. Aus beiden Angebot sfun ktionen kön nen w ir hci gege bene m Pre is p d irek t a uf die gewinnmaximale Produ ktionsbzw . Ange bot erne nge x'er ) sc-hließen. c'(x )

C', .. .

P .---.---.--.----------------.-----.---)0

AC( x ) AVC(x )

AC''' in

f-- - - - - - - -",..,,r-- - , -

u" Abbi ldung 1II 46: L:mg frisliges Angebot

lan gfristiges Angvbot

193

3. Differenzialrechnung

c,

C'( x )

ACex ) AV« x )

p AVC m in

._

-

-

-

kurzfris tiges AngdJo t

Ab bil du ng [11 47: Kurz fristiges Angebo t

Abschließend noch zu r .\Hi ckg ell'i llll ll/ tl.\"i m iel"ll llg be t volls tän diger Kon k u rren z:

Aufgru nd von G(x) - p' x - «xl ht g(x) - P - A«x l lind dam it g'(x ) =-AC'( x ) sowie g ·(x ) = - AC·( x ) . An einer Stelle x - a li egt somit ei n Maximum vor , we n n di e Bezieh ungen g'( u )= O bzw. AC'( UJ=O und J.(( U ) < O bzw. AC"( u » O gelten . D as Maximu m des Stück gewinns g(xl liegt som it gera de an d er Stelle d es :\lin imums vo n A(( x ), d.h . an d er Stelle Cl" des Betrieb soptim u ms. Anders ausgedrück t max im iert also ein U ntern ehm en b ei vo llständ iger Ko nk urr en z seine n Stückgewinn bei de r bemehsoprimale n Ausbrtng un gsmenge x u" . 2

Beispiel 1: Lineare KostenIunktion Betrachten wir einen Anbieter bei vollständiger Konkurrenz mit der linearen Koste nfunktion C(x) = 4x + 350. Der Marktpreis betrage 18 Geldeinheiten je Mengeneinheil. Die Kapazitätsgrenze des Anbieters liege bei 90 Mengene inheiten . Wir erhalten in dieser Situation die Gewinnl unktion G{x ) = A(x ) - C(x) = l8x - (4 x + 350) = 14x - 350, die wie lo lgt skizziert werden kann:

G, A, C

Kapazitätsgren ze

A(x)

C(, )

GI' )

25

11 1Funktionen einer Variablen

194

Das Unte rnehmen tritt nach Übersch reitung der Produktionsmenge x '" 25, die wir durch Nullsetzen und Auflösen von G(x) bestimmen können, in die Gewinnzon e ein und er reicht bei der Kapazitäl sgrenze sein Gewinnm aximum von G(90) = 9 10 Geldeinheilen . Da die Gewinnfunktion linear ist, wird ihr Maximum durch den Rand ihres Definitionsbereichs bzw . die Kapazilätsgrenze bestimmt. Die Bedin gung, dass von einem Unternehmen bei vollständiger Konkurr enz und linearer Kosle nfunkt ion überhaupt ein Gewinn erzielt wird , ist, dass die Gewinnschwelle im Intervall zwischen Null und der Kapaziläl sgrenze liegt. W äre nämlich in unserem Beispiel de r Preis bei unveränderten Kosten z.B. 5 Geldeinh eiten je Menge neinheit, so wäre G(x) = x - 350 und die Gewinnsch welle dami t x = 350. Da die Produktionskapazität aber bei 90 Mengeneinheiten liegt, wäre das Unternehm en nicht in der Lage, d ie Gewinnzone zu erreichen. Vorausgesetzt, der Marktpreis ist hoch genug, d.h . die Gewinnsch welle liegt unterhalb de r Kapazitätsgrenze, wird also ein Unternehm en bei vollstän dige r Ko nkurrenz mit linearer Koste nfunkt ion immer an de r Kapazlt ätsqrenze produzieren. Bei konstantem Marktpr eis ist der Stüc kgewinn die Differenz zwischen Marktp reis und Stückkosten, d.h. G(x) = P . x - C(x) --+ g(x) = P - AC(x), lm vorlie genden Fall gilt

~

g(x) "" 14 - 350 x

g'(x ) '" 35 , x 20

sodass g'(x) keine Nullst ellen und damit g (x) kein Maximum besitzt. Ihr Maximum ist wie auch das der Gewinn funktion durch die Kapazitätsgrenze bestimmt. Dort nehmen die unter dem Preis p liegenden Stüc kkosten ihr (Rand-)Minimum an (vgl. nachfolgende Skizze ). g, p, AC

Kapazitätsgrenze

AC(x)

p

g(,j

F;~:Ig=, 90

25

x

Bei spiel 2: Ertragsgesetzliche Kostenfunktion Betrachten wir nun den Fall vollständiger Konkurrenz mit ertragsgesetzlich er Kostenfunktion C(x) = x3 - 12l + 54x + 248, Der Marktpre is liege bei 62 Geldeinheit en je Mengeneinnen. die Kapazitätsgrenze bei 14 Menoenelnhetten. Während wir im vorhergehenden Beispiel auf grund der Linearität der Kostenfunktion nicht von der Bedingung 15 = C'(x) zur Bestimmun g der gewinnmaximalen Menge Gebrauch machen konnten, können wir nun da rauf zurückgreifen.

,

p =C'(x )

--+

62 =3 x 2 -24x+54

Die Lösung dieser quad ratischen Gleichun g liefert zwei Lösungen, wovon jedoch nur der posive Wert x = 8,32 ökonomisc h sinnvoll ist. Da G(x) = _ x3 + 12x2 + 8x - 248, G'(x) = _ 3x2 + 24x + 8, G"( x) = -6x + 24 und damit G"(8,32) < 0 ist, liegt ein Gewinnma ximum bei x = 8,32 vor. Der Gewinn liegt dabei bei G{8 ,32) = 73,30 Geldeinheiten .

195

3. Differe nzia lrechnung

Der Stückgewinn ist an der Stelle des Betriebsoptimums x = co maximal. Es liegt in unserem Fall bei ao = 7,958 und AC"," = 53 (vgl. Beispiel unter 111 3.7.1). Daraus folgt für den maximalen Stuckgewinn gmax = P - AG...." = 62 - 53 = 9. Besti mme n wir nun noch die lang fristige Angebotsfunktion X = l{p). p = C'(x) liefert daz u 2 3x _ 24x + 54 = p bzw . l - Bx + (18 - P/3) '" 0, woraus sich nach Auflösung nach x S

x1.2 =

B± ~(-B )' - 4.' (1B-

~)

2 .1

ergibt. Da ökonomisch nur der Wert fü r "+· in Frage kommt . g ilt fur die Angebotsfunktion

xS =

B+ 1(-8)' - 4., .(, B-i') "

3 _

2 ·1

B+J-8 +4" B+2 JE.- 2 2

3 _

2

3

=

JF

4 + E _2. 3

Diese gi lt langfristig nur für p ;:0: (AC",," = 53 ). Für die Kapazitätsgrenze x = 14 liefert 3l 24x + 54 = P den Preis p = 306 , sodass der Definiti onsbe reich der langfristigen Anqebotsfunkt ion durch 53 s P s 306 gegeben ist.

Bet ra chte n wir n u n d ie Gewinnmaxim ierung ei nes Unte rne hmens be i unvolls tänd lger Konkur r e n z . Auch h ier gel te n für e in Gewinnmax imum x = c 0 11.101) un d 011.1 03 ), d .h. R'(U ) = c'(a )

1\

G '" 0, fällt bei E" < 0), u-ennx heix» a tim 1 % stdp,l. Es gilt allgemein (JIl.I (8)

Absolut gesehen kann d ie Elasti zhilt, die natürlich nur für eine differenz ierbare Fu nktio n y : f{x) definiert ist, jeden \'('e rt zwischen 0 und 00 an ne h me n. Ist an einer Stelle x • a d ie Be zieh u ng IE",I > I erfüllt, so I \(,'il~t y • Hx) bezügl ich x an der bet rachteten Stelle elastisch. Dies bedeutet, dass y • 11x) sehr sensibel auf i\nderangen von x reagiert, u nd zwar umso senxihler je höher IEv .! ist. Be im Grenzfall IE""I • 00 sprechen wir von einer I'ollkolllllle ll elastischen Reak tion. Ist an einer Stelle x '" a d ie Be zie hu ng IE,,.I < I erfüllt, so he igt y: f(x) hczügllch x an der betrachteten Stelle unelosuscb. Dil's bedeutet, dass y: fex) wenig sensibel auf Änderungen von x reagiert. J e kleiner 1 E"I ist, desto rob uster ist y : f(xl gcgenüber Änderungen vo n x. Im Grenzfall E, . : 0 he igt y: I~x ) ooltleonnnen unelasuscb oder sta rr, d.h. d ie Funktion reagiert auf Änderungen vo n x überhau p t nicht. Im Übergang von elast ischem zu unelastischem Verh alten, d.h . he i IE", I '" 1, nennen wi r y '" [(xl be züglich x ansgeglichen elastisch, einheitselastisch oder tso-

otasuscb.

Wir wollen uns nun drei beso nd e re n Elustizitäten zuwenden, die in den \,\'iI1schaftswissensch uften große Bed e utu ng haben . Dies sind die Preis elastizität der Nachfrage , d ie Kre u zp rc tsclasrlzn ät und d ie Hnkommenselasnzuät der Nachfrage. 1. Pretsel asnznät d er Nac h frage

Die Elastizi@ der Nachfrage t bzw . der nachgefragten ,\ le nge l be züglich des Pre ises ist definiert als E ~ .f'

=_ "_x . .E=x'(p) dp x x(p)

flI1.1 09 )

(l ll.l09) wird auch als Preiselastizität der Nachfrage bezeichnet und gibt an, wie sensibel Nachfrager auf Pre isän deru nge n reagieren. Sind die Nachfrager sehr flexibel (elastische Nachfrage), da sie 7:. B. auf Ersatzp rod ukte ausweichen könne n, geht die nachgefragte Me nge stark zurück oder stei gt stark an, Sind sie hingegen un flex ibe l funelastische Nac hfrage ), da z. B. das vnn ihnen bc nör tg te Gut n ur von c incm Anbictcr ange boten wird, ändert sich die nachge frngu- .\knge nur geringfügig oder gar n icht. Ah ldngig davon , welchen \Vert E, p a nn immt , ist d ie Nachfrage mehr oder weniger elastisch und ihr Gra ph zeig t einen anderen Verla uf. Abb ild u ng 11 1 50 veranschaulicht die möglichen Fälle und d ie dazu gehörigen Be ze ich nun gen (D: DCITI;lnd).

200

11 1 Funktionen einer Variablen

Voll ko m m l'lI u n elas ttsche Nac hfrage , lle i [c dcm t>c hchigl'n Prd s wird dito' gkkht' .\ 1 I

I

r,

._--------_._-_ ....

r,

------------------·1·--,,

p, -------------.! : 0 r, ----~

,,

, ,

~ kngt·n ;jnderung ,

, ,,

:

:

:

:

:

D

a, a ,

!

a,

x

,

a,

Elnhelts-Zlsoe lasttschc Nac h frage, Preis- u nd ;'I;al"h fragdndc ru ng sind proponiona! ( 7..11. Pr 0, d a d e r Term I/ E. r in ( [11 110) d an n zwischen 0 und -1 licgt.

F;1l1 5: -1 < E, p::; 0

De r Umsa tz su- igt, da die .r.. k nge wenige r sta rk zu rü ckgeht als der Prei s ste igt. Es gilt hier H'( x J < 0 , da der Te n n I /E, ~ in (11 1.110) kleiner als -1 ist. R( x )

R(

x)

i! y" gil t:

,,

(J )

---->

Yll

y,

(2 )

---->

Yo

Es g ilt n u n für u ie Vo rzeichen de r h ier bere chenbaren d iskre te n u nd stl.'t ige n \'(-'ach stumsT:lten Folgendes. w ~( J)= YI -Yo l

,.

o

J"" ''' '\\' w ;.( IJ=lnY I - lnyo,

w ;.( Zl=lnYo- lnY I

p,' ;l;\'

ßc i stetige n Renditen resultiert also b is auf das Vorzeichen der gl eich e W en: I w~ (l )I =l w;. ( 2 )1

Bei di sk reten Renditen dagegen u nte rscheidet sich n ic ht n ur d as Vo rze ich en , sondern wegen des un terschied lic hen Bezu gszeitp u n k ts auch de r \"" ert:

I w~ ( l)l "* I w~ ( 2 )1

2 10

11 1Funkt io nen einer Va riab len

Beispiel: Der Wert eines Aktienportfolios zeigt folgende Entwicklung: Jahr

1 1.000

Wert

1+1

1+2

1.500

1.000

Für die W achstumsraten in diesem Zeitraum gilt:

W~( 1 ) = 1500 - 1000 = 0,5= 50 % 1000

wd(2) = 1000 -1500 1500

y

=

-0.3333 = - 33 33 % '

w ~ ( 1 ) = In1 500 - ln 1000 = 0,4055 = 40,55

% }

IO, 4055! =

W~ (2) = In 1000 - ln 1500 = -0,4055 = - 40,55 %

•

I -O,4o5~

Eine sfet ige mchrperiodige w a cbsn n nsrate kann als summe d er d ll /wriodige ll Wach sllllnsral ell l."nnilt clt werden. InYI -]nY t_k = (In y ,-ln Yl-l) +(]nY l-l -lnYH)+ ' " ... + ([n Yl - k..J - lnY t_k )

(11 1.1 27 )

Bei dis kreten wachstumsrar en gil t h ing egen

,-,

n (I + W~, H ) - l .

(11 1.128 )

j=l

Beispiel : Ein Unternehmen siellI für einen Zeitraum von vier Jahren folgende stetige einperiodige Umsatzwachstumsraten Ueweils Vorjahresvergleich) fe st: Jah r

wi

5%

.+

1 1%

1+2

1+3

2%

1%

Für die W achstumsrate im gesamten Vierjahreszeitraum gilt nun nach (111 .127) ges w~ '" 0,05 + 0,01 + 0,02 + 0,0 1 == 0,0 9 == 9

%.

Für diskrete W achstumsraten wäre eine solc he Berechnung nicht zulässi g. Nehmen wir an , es würde sich be i den Zahlen obiger Tabelle um diskrete Wachstumsraten handeln, so kön nten wir die Gesamtwachstumsrate nur übe r

ge s w~ = (1+0,05) ·(1+0,01) · (1+0,02) · (1+0,0 1) - 1 = 0,0 925 = 9,25 % best imme n.

3. Differe nzialre chnung

-

211

3.8 Exkurs: Die Regel von I'Hospital lsr heim Gren zü bergang ein e r ge brochen ration ale n Funktio n der Z;i11Ier t b zw. der Nenner) un gleich Null, wä hrend der Ne nner (bzw. der Zäh ler) ge ge n Null ge ht, so können wir a uf e inen Grenzwen des Quot ie nten von un e ndlich (hzv..·. vo n Null) schließen. Dies ha be n wir bereits in Absc hnitt III 1,4 ge se hen . Da s gleichze itige Verschwin de n von Zähler und Nenne r hisst e ine n derartigen Schluss je doch nicht zu .

Ein Ausd ruck, de r ke ine ein deutige Aussage hinsich tlich des Grenzwertes zulässt, heigt unbestimmter Ausd ruck . Dabe i ge ht es um Fun ktionsverk nüpfun ge n f{ x )

= g( x) , f( x ) = g{x ) . ht x ), f( x ) = g{x ) ± h( x l oder f(x) = g( X )h~ x hex)

) ,

die beim Grenz wert

lim F( x)

x·....H .

Ausd rückt' der Form

o o -

- , - , 0' 00, 00- 00, t'" , 0° oder 00°

ergebe n. Mitte ls de r D i ff erenzlulrcch nung bzw . der sog. Regel von I' n ospnal ka nn jedoch das Grenz ve rhalten derartiger Ausd rücke untersucht werden. Diese Rege l geh t vorn Q uot ie nten zwc ie r Funktio ne n f{x )=g{X) he x) aus. wo bei beide Funktion en beim Gre nz übergang ge ge n Null streben. d.h.

lim gt x r e O

und

X ~q

lim hf x I e

ü

•

X ~q

Nehme n wir nun an, dass bcide Funktionen e twa gle ich schne ll gegen ihren Gre nz wert konve rgie ren ode r zum indest in ein em ko nsta nte n Verhllltms , dann we ise n d ie Funktio ne n in etwa d ie glek-hc- Ste igun g bzw. ein konstan te s Steig ungsverhält nis auf. De r Q uoti ent der Funktio ne n strebt in diesem Fall gegen e ine n e ndlichen Grenzwert . Dies ist im w ese nrltche n die Aussage der Regel von I' Hosp ita l. Sind g(x) und hex) n-ma l differenz ierbar, so gilt t!

g ( x) 1111-- =

s -s c

ht x }

t.

g'( x) 1111.=

»-s c h'(x )

(JIL129)

Ergibt de r Quotient zwcier Fun krioru-n also e inen unbestimmte n Ausdruck % oder 00/00, so kö nn en wir den Quotien te n de r Ableitungen beider Funktione n uuf seinen

Gre nzwert bin unt e rsuchen . Ergibt sich wiede r ein un be stimmte r Ausdruck . so wiede rho len wir de n Vo rga ng so lange, b i.~ ein bestimmt e r Ausd ruc k vorl iegt.

212

11 1Funktionen einer Variab len

Beispiele: 1.

2.

2+2x

lim x _8 x---;.-4 x+ 4

u,m -x5 -- 1 =

x.....1 x 4 - 1

,.

üm 2x+2 =_6 1

x..... -4

5'

4

,.

5

5

Im --= Im X= ll ..... -4 4 x3 x.....-44 4

Oie Regel von l ' Ho spit al ist aber n ich t nur auf d ie Untersuchung vo n Quot ienten

Funktionen beschrankt. Alle anderen unbestimmten Ausdrücke lassen sich nämlich durch ei nfache arithmetische Um fo rm un ge n in d ie Standurdquot ien tenfortn a ll .~

überführen . [(x)=g( x ) ·h(x ) mit Hrn gcxj

Fili i !:

x .....a

e

O lind lirn ht xl x .....a

e ee

Wir können hier die einfache umforme ng [ (x) = g(x )·h(x)=

g(x )

I /h(x)

=

h(x )

(]ILUO)

1 /g(x )

vo rne h me n, den-n Gre n zwe rt einen der beiden unhestimnuen Ausd rück e 0/0 oder 00/00 ergibt. Beispiel : Für f(x) -= x . Inx führt der Grenzübergang für x --) 0+ zum unbestimmten Ausdruck 0 . --oO+

x ,nx ==

,.Im Inx - == ,.Im -1/x - - == uIm

x....o+ 1 / x

X-->O + _ 1 / x 2

X--->O+

(-x ) == 0

f( x)==K(x ) ±ll( x) m it lirn gf x j e Hmht x j e ee

Fall 2:

>; --->0:

x --->O:

Hie r ist d ie Umfor mung f(x )==g(x )±h(x)==

[g(x )±h(x)] ·g( x) ·h(x) g(x ), hex )

==

I1 h( x) ± I / g( x ) 1 / (g( x ) · hex )]

(11 1.1 3 0

möglich. deren G renzwert einen un bestimmten Ausdruck de r Form % fert .

lie-

Beispiel : Für f(x) == 1/x + Jnx führt der Grenzübergang für x ...... 0+ zum unbestimmten Ausoruck » - o+ X

x + ...L

x·ln X+l

lim ~ == llm ~= lim

x--->o+ x .

nx

., . . 1 . . . . .

x --->o +

~ ,x

nx

x--->o+

te

x .t nx X

1

== lim - = o+ X

3. Differenzialrechnung Fall 3:

213

f( x)=g(X )hl xl m it

Hm fr x t e O'" , 00° oder I "" X.....ll

\'('ir k ön nen h ier die Um fo rm ung (JI l.I j 2 )

vornehmen, sodass lim !im f( x )= e'-'''

x....r:t

':" *:':'•

gilt . Damit si nd der unbest immte Ausdru ck 0" auf c.. .., 00" au f c.. .. u nd I "

auf

CO,"

zu rückge führt ,

Bei spiel : Für f(x) '" XX führt der Grenzübergang für x -lo 0+ zum unbestimmten Ausdruck 0°, Nach (IIL132) und (111 .129) erhalten wir unter Berücksichtigun g des Ergebnisses zu Fall 1 folgendes Ergebnis : lim

X .... o+

XX

.tu

I

lim

(x,lrlx)

= lim e v- = lim e X rlX = eO' x.....o+

x....o +

0

=e =1

4.

Aufgaben

Funkt tonsgrc nd tage n

Aufgabe 11I-1 Hande lt

e.~

sich be i Jen folgen den Kurve n um Funktio ne n? Begründe n Sie Ihre

Au ss:lgen ! y

he x)

g(x )

Aufgabe 11I-2 Bea ntwo rte n Sie folge nde Frag e n zu m Th em a Gerade n : a) Liegt der Punk t 1'(3 ; 4) au f der Geraden p{x) " .3 + 5x?

b i W'e lche Ger ade mit Steig ung 4 verläuft d urch den Punkt Pt I; - 21? c) welche Ge radengleichung geht d urch die Punkte 1',(3; 4) un d 1'/ - 2; -l )?

dj 'x'elcbe Beding ung müssen zwei Geraden erfüllen, dami t sie sich nich t seh ne t(k'n?

c ) Ge ben Sie zwei Ge rad en an , die sich im Punkt 1'(-1;

I)

schneiden!

A ufgab e 11I-3

nesnmmen Sie die Defi n iti onsberei che fol gender Funktionen :

"

, ) [( x)= 3x +4

e)

t" 2

für I x 15 2

216

11 1Funktionen einer Variab len

Aufg abe 111-4 Bestim m en Sie d il' Nullstellen d er fo lgend en Fu n kti o nen : a)

[(x)=ln(x- l)

10' )

f( x)=(x -4 )(2x +! )(x 2 _ J)

bj

f( x ) = 41 - x 2

n

fexJ= x J-2 x 2-x+2

g)

ft x) = x 2 +3x +2

c) fl x " - Sx + 6

i)

e)

lirn

I>

nJ lim e X! + 1 x-->o

. '

' --> .'1(x-3)~

,

lim

"

.3

" -->2

x

für

Aufgabe IIl-I O Skizzieren Sie den Verlauf folgender Funktionen! Begrün de n Sie de n Verlauf von a) u nd b i auch a nband d er verliegenden Null- und Polstellen sowie Asymp toten! a)

-.':l")(;,X_+-:l,,J' f r x ) = ~(X~·2;2 x

b ) f(x)=

cl

d) f(x )= max(x; x:\ )

· (x _ 4 )

( x -" l ( x _ 2)2( X (x-3 )

2

+ l)'~

·( x - I) 2

f(x)=m in ( lx l ; x - 1)

x e ) f(x )=min( l;e ) [)

f(x)= max{-x 2 , logx )

Experim en ti eren Sie im onlinc zur Verfügung gestellten Pu nktionsplotter mi t geb ro chen ration alen Fun k tio nen , um ein Gesp ü r für ihre vielfältigen Ve rlaufsmuster zu be kommen!

2 18

11 1Funktione n eine r Variab len

I) i ffe renzial rechnu ng allgemein

Aufgabe 11I-11 Hcwctsc n Sie die Gült igke it der Ableitungsrege ln (1ll.74) bis mUH ) d urch Be n- eh nung der en tsprech enden Gre nzwerte ! Aufgabe 11I-12

Begründe n Sie unte r Bezug nahme au f die nachfolgenden Grafi ken , warum bei einem derartigen Funktionsverlauf für e ine n \X'e nd t'pun kt x = a immer f~« (O = 0 und C"( a )

'* 0 gehen muss!

y = [(x)

y

y

./

Y = It x )

;,

.,

..--"

..' . a

"

a

x

x

Aufgabe III-13 B il den Sie d ie ersten Ahlenu nge n folgender Funktionen:

,

,

h ) f(x'= (lnx Z+.[;3)'

a) feX)=x - -l_ x-- 1 x- ]

x+ 1

11) ftx'=.[;. +l n(2x ) +x - I I

r.

c)

f(xl=

d)

2 , I( x ) = - -

e)

t( x)=3

" ex

{ J;:Y

i)

f( x )=l()g~(x -1)

j)

f(X)=~ln x x

l' - In x'

.

. ..!..!:.!L '

lJ fexJ=ln (Jx'\+x 2 ) m) fex) = ]Ogz(

g)

" 10).: 111 x I(x)=--

e'

t,' x

+ :~

-I)

4. Aufgaben

219

Aufg abe 111-14

Ermitte ln Sie \"00 folgenden Funktionen du- ers te, zweite lind dri tte A bleitung : :.1)

f( x)= ';;'

c) f( x) = x . ';;'

t;')

b ) f( x)= ln(Zx)

f(x )=x 'e-\

fJ ft x j

e

x vl n x

Aufga be 111·1 5 Bestimme n Sie mittels des Diffe re nzials für die folge nde n Funktio ne n näherungsweise die t\ nde rung de r Funk tion für d ie je wei ligen Ausgangs- und ve rände rungswerte vo n x un d vergleichen Sie ihre Appro xima tion mit der e xakten Fun ktion san de ruu g! a)

f( x ) = 7x!> + 2x 2 - x + 5

b) ft x) = x2e.... )·~x l c)

f(x ) = ~X2 + (In x )~

bei

x = .3

und

öx = 0,02

bei

x .. -1

und

öx '" 0,1

hei

x

unu

öx = - 1

>

10

Au fgabe 111-16 Be rechne n Sic mit de m Newto n-Verfah re n a uf drei Stellen nach de m Komma gcnau die Nullstellen de r Funktio n f(xl - x' - lnx - 2, we nn be ka nnt ist, dass die Punktion Nullstelle n in der N:i he der w e rte x - 0,2 lind x - 2 besitzt! Au fgabe IIl-I7 Bestimme n Sie, in wel che n Be reiche n d ie Fun ktion en a) • J ) steigen bzw. falle n un d in we lchen die Funktione n e) · g) kon ve x bzw. kon kav sind!

aI f( x ) = -2x 2 + 6x - 9

d)

f( x) =

x- I Xl

h ) ft x j

e

x-In x

e)

+X+1

g ) f( x l =x 2t: - \

f{ x ) = x 2 · ln x

x2 + I fJ f( x ) = - x -I

Aufga be 111·1 8 Bestimme n Sie die rela tiven Extrcma der Funktio ne n a) - d ) und die We ndestelle n der Funk tionen er - gJ!

a I f(x)= x i _ 2x1 +1

b) f{ x )=E · c- ~ cl

fr x j

e

zx- In x

f( x J = x l + - 1 x!> e ) f( x ) = x 1 - IOx 2 + 2x + 1 = O

b ) ft x j

e

x''

A llw~ml'in e

t!l

f(x )=x ·ln(x- I)

Diffe re nzia lrech nu ng b ei ökonomischen Fu n ktio ne n

Aufgabe 11I·21

Einem Unternehme n entsteh en bei d e r He rste llu ng e ines Prod u ktes monatlich fixe Ko ste n in Höhe \"00 100.000 Euro u nd var iabl e Stüc kkos ten in Hö he von 2.500 Euro . Die Nac hfrag e n ach diese m Pro d u kt Ist abhä ngig vom Pro du ktpreis P un d is t gegebe n d urch x = w o - O,O lp. a ) Ge b en Sie eine formebnatuge Darste llu ng der x o sre n funkuo n , der Umsatzfu n ktton , der Gewin nfun ktion und der De ck un gsbeit ragsfu nktio n an! b) Erm itteln Sie den maximal mög lich en Umsatz . den dazu gehörigen Pre is und d ie umsatzmaximale Auxb n ngungxmenge! c) Ermitteln Sie den maximalen Ge w in n und de n Preis, de r dann verlangt wi rd. \X'ie hoch ist d ie gewin nmax imale Prod u ktion? dj \X/ie vie le Produ kte muss das Unte rne h me n pro Monat m indeste ns herstellen, um einen Verl us t zu ve rmei de n? e) ',X/e iche r Pre is ist m inde ste ns zu forde rn und welcher Preis ka nn maximal verlangt werden , damit ei n Verlust ve rrutede n wird?

fl

W'ie ve rände rt sich t näh c-rungswcisc j de r Ge winn und der Decku ngsbeitrug. wen n bei ein e m Absatz vo n 40 Stück der Ab sat z u m ei ne Ein heit reduziert w ird?

Aufgabe 11I-22 Gegebe n sei d ie Gew innfunktio n G( x ) = 92,5 x - Ct x ) m it x als a bgesetzter hzw. produzierter Menge. Die Koste nfunktton laute C( x) = 225 + I j-::; x - I4x 2 + 0, 5x :l m it 0:5 ", :525. Be re ch ne n Sie d ie gew innmaximale Ab s.u xmc nge und den max imalen Gew in n!

4. Aufgaben

22 1

Aufgabe 111· 23 Gegeben .'id dle Ko sten fu nk ti on Ct x ) = O,5 x .i - 44x

2

+ 1.314 x .

Zeigen Sie, dass im Minim u m der Du rchsch nittskoste nfu n ktio n AC(x) gilt, da ss di e Gre nz koste n C'(x J gle ich de n Du rch sch ntnskostcn AC(x ) stnd! Aufgabe 111· 24

*

Ein Unte rne hme n bei volls tändiger Ko n ku rre nz produz iert ein in Tonneu (lind auch kleine ren Me ngen ) abgesetztes Gut m it C( x ) = x.i - 50x 2 + o.OOOx + ,,2.000 als Koste nfunktion. Die x apaznärsg re n ze liege be i x ... IHO Ton nen . De r Marktpreis pro To n ne be trage 3.100 Euro . 01 )

\\;,'t.'lche Kosten verursacht e int.' zus ätzlich produzie rte Ein heil an der Schwelle des Enragsgeselzes? Berechn e n Sie den Nähe ru ngswe n übe r d ie Grenzfunk tion und vergleichen Sit' ihn mit der exa kten Veränderung!

b ) Be stimme n Sie d ie Stellt.' des Bctric bs mi nirnums u nd die ku rzfrtxrige Prei sun tergrenze! cl Bestim men Sie die SIt.'llt.' des Bctriebsopt lrnums, wen n bek an nt ist, d ass die st.'s nah e 1% Ton ne n liegt! Wie ho ch ist d ie lang fristige Preisuntergrt.'nze?

d) Bei welcher Ange botsmenge ist der Stüc kgewinn max ima l? c ) \X' ie lau tet d ie gewinnmaximierende Angebo tsfunk tion p< x ) lind in welchem Bere ich ist sie langfri stig gültig? Aufga be 111· 25 Ein Unter nehmen bei volls tändiger Ko nkurrenz produziert m it der Kostenfun ktio n CIx) - Sx + )00. Sei ne Kapazitätsgre n ze liege bei x - 100 Stüc k. Es sieht sich e inem Ma rktp rei s von 15 Euro je Stüc k gegenüber. a)

Bere chnen Sie d ie Ge wirm sch wellc!

bJ Bei welchem Absa tz w ird der Ge winn ma ximal un d w ie

grof,~

ist dieser?

cl Be rechn e n Sie d as Minim um der s tück kos ten u nd d e n max imalen Srück gewinn!

Aufgabe 111· 26 Die Steuer T auf das Ein ko mme n Y eines Steuerpflichtigen soll sich nach der Steuerfun ktion T = a( b Y + l' )'~ + kY be re ch ne n, wobei a, b, c u nd k pos luve K on stan ten sind. De r Du rch sc-hnittste ue rsatz AT crg tbt xich als Q uo tient a us T u nd Y. Be re ch ne n Sie den Wert von Y, bei dem AT minimiert wird! ( Hin we is: Es ge n ügt die Ausw e rtung der notwend igen Be d ing u ng!) Hastizitäten ökonomischer Fun ktione n. Au fga be 111· 27 Mit welchem proz en tualen Rück gang der Nachfrage ist zu rec hnen , wenn der Preis be i ei ne r Nachfrage von 1 Mio. Stüc k tim e inen Pro zent erhöh t w ird und d ie N;Kh· frag efu nknon p{x ) = 400 - 0, Z.,J; lautet?

222

11 1Funktione n eine r Variab len

Aufg abe 111· 28 D ie Gesamt nachfragefunktion auf ei nem M ark t habe ein en linearen Ver tauf.

a ) Ermitteln Sie a us den in der Tabelle angegebenen 'c'erten die Nachfragefunkrion p(x ) und setzen Sie d ie fehlenden werte ei n! SIÜckpreis p

.. __ I.

, -------_ 2.

.

Absa tzmenge x

------------_10 .------------------ -------------_ R

Ce samt e rlös R

------_._------------------32

_. ---- ------- ---------_.. _.. -_ ---------------------------IR _--_ . __ ._-_. _-- ------------------_ _--------------------------"i. 5 . . ..... . --- _. ------ - ---- -- ----- - -----------------_ ---_. -----_.-..---------------_4.. . 6.

20

CI

b) \X'e k he w e rte haben Sautgungsmenge und ~lax imal preis (GrenzpreisP c) Wie hoch ist die Preise lastizität der Nachfrage be i einem Preis von 5 E u ro~ Au fga be 111-29 Die Ges amtkostenfunktion eines Unternehmens sei Ct x) '" O ,3x ~ + 2x + ,~. Die PreisAbsatz-Funkt io n laute t pf x ) = 300 - 0, 4x " Be re ch ne n Sie d il:' Nachfrageelast izität in Be zug auf den Pre is im Gewinnmaxim urn! Ge hen Sie dabei davon aus, dass nur ga nze Stück produziert werden k ön nen !

A ufgabe 111·3 0

Ein Unternehmen be i unvollständiger Ko nkurre nz hat für sein Produ kt eine PreisAbsatz-Fun ktion der Furm I?Cx) a -lOx + 1.4% ermittelt. Seine Koste nfunk tio n hat die Gestalt C( x ) = ~ x·i - xx" + 600x + 3.960 . x ist dabe i jeweils die abgesetzte hzw . produzierte .".Ie nge". Be re chne n Sie die Preis e lastizität der Nachfragt' im Ge w innm aximum und ge ben Sie d ie Höh e der fixe n und variablen Koste n im Gewinnmaximu m an! Aufgabe 111-31 Ein l.lruemchmcn be sitzt d ie Koste nfunktio n Cf x ) = 2x 2 + IOx + 32 " a ) Bei welcher Prod uktion x sind dx- Durchschnittskosten minimal?

b) Das Unte rnehmen produziert zunächst die unter a ) berech ne n- Me nge x. Aufgrund e ines Nachfrageanstiegs um 30 % will das Unternehmen die Produktion entsprechend ausdehnen. Um wie viel Pro ze nt verändern sich dadurch die GrenzkostenA ufgabe 111·3 2

Die Nachfragefunktion nac h Geld m se i gegeben durch m = e- n x m it o: > O. Dabe i stellt 1t d ie erwartete In fl ationsrute da r. a) Be rechne n Sie die Elastizität der Geldnachtrage b zgl . der erwarteten l n fla tionxrate , d.h. ( m.x ! b) Nehmen Sie an, die Nachfrage wäre isoelastisch . Welche Be zieh ung muss dann zwischen Cl lind 1t gel ten?

4. Aufgaben

223

Aufgabe 111-33 Der Zus:.rmrnenhang zwischen dem Einkommen Y und dem k o nsum a usgabe n C eines Haushalts kan n durch eine Konsumfun ktio n C = G Y) a ngegeben we rden , Das nicht für Konsumzwecke verwenden- Einkommen ist gegeben d urc h d ie Sparfunktio n S(Y) = I - C(Y). Berech nen un d interpre tieren Sie für l

S{Y)= y - 900 Y - "') .HRO,OOO Y + 7.500

an der Stelle Y .. 'i.()OO Euro de n \'\'e rt von E" . und Interprcttcrcn Sie diesen! Geben Sie außerdem an, w ie sich die Konsum ausga be n (nä hcrungswc isc) verändern, wenn steh das Einkomme n bei eine m Nivea u von "')500 Euro um 100 Euro e rhöht! wach Si urnsrate n: Aufgabe 111-34 In einem Land sind im vergangeneu j ab r d ie gesamten Ko nsum ausgabe n um H % und die d urchschninhchen Lebenshaltu ngsko ste n alle r Haushalte um 5 % gcwachsc n. Die Bevö lke rung nahm um 4 % zu, a) Um wie viel Prozent nahmen die realen (Inflatlon sbercm igte n ) Ko usuma usgaben zu (in stetiger Betractuu ngwe ise )? b I Wie hoc h war die Steigerung des reale n Pro- Kopf-konsums ( in stetiger Herrach tun gweise )? Aufgabe 111-3 5 ln e inem l.and bet rug im 3. Q ua rtal die (dis krete) annualisierte Quartals\Vachsllll1lsr:.lte R,2 %_ Be rechne n Sie a) die Wachst umsrate gegen üb e r dem Vorquartal. b) d ie stet ige a nnuulisicrte \X'achstulllsrate! Aufgabe 111-36 ln einem Land betrug im I. Qua rtal die (dis krete) Quartals-Wachsturnsrate des Bruttoinla ndsprodukts 0,4 % , Berechnen Sie a ) die an nualtstcrtc wachsrumscnc. b) d ie stl'tige Q ua rtals-wach surnsrate! Aufgabe 111·37 Ein Ko nve rge nzkrite rium des Maustricht-Ve rtrages besagt, dass die Schuldenquote Deines Landes 60 % nich t überste igen soll, Sie ist defi niert als D = wobei B der Schuldensta nd und Y das Bruuomla nds produkt (H[P) ist. a) Be rechne n Sie d ie d iskre te und ste tige Wachstumsrate von D, wen n B pro j ahr diseret um 1 % wächst und das dislerete 'x'trtschaftswachstum , gemessen am BIP, 2 % be tragt! b ) Berec hne n Sie die d iskrete und stet ige Wach stumsrute von D, wenn B pro j ahr stetl~ um I % wächst lind das slctige W'irtschaftswachstu m, gemessen um BlP, 2 % heu iigt!

f- ,

IV FU N KTI O NE N M E H R E R E R VARIABLEN

In vielen Fällen hängt eine Größe von mehr als nur einer unabh ängigen Veränderliche n ab. So wird beispielsweise die Güternac hfrage nicht nur vom Preis des entsprechenden Gutes , sonde rn auch vom Einkommen und den Preisen anderer Güter abhängen. Mit Funkt ionen mehrerer Variablen befassen wir uns im ersten Teil dieses Kapitels zunäch st allgemein, besprechen verschiedene Darstellungsformen und gehen auf wichtige Funktionseigenschaften ein. Eine besondere Rolle nimmt hier im Vergleich zu Funktionen mit einer Veränderlichen die Steigung ein, da sie nicht mehr eindeutig ist. Im zweiten Teil behandeln wir die Differenzialrechnung und insbesondere die Extremwertbestimmung bei derartigen Funktionen. Von besonderer Bedeutung wird dabei die Extremwertbestimmung unter Nebenbedingungen sein.

1•

Begriff, Darstellung, Eigenschaften

Nach einer begrifflichen Einführung in Funktionen mehrerer Variablen legen wir in diese m

Abschnitt unser Hauptaugenmerk auf Darstellungsmöglichkeile n derartiger Funktionen und ihre Eigenschaften. Neben der klassischen Funktionsgleichung und Wertetabellen werden wir für Funktionen mit zwei unabhängigen Veränderlichen Graphen im dreidimensionalen Raum näher betrachten. Bei den Funktionseigenschaften behandeln wir speziell Nullstellen , Extrema , Ste igung, Krümmung , Grenzwerte und Stetigkeit.

-

1.1 Begriff Hängt der We rt einer Funktion y von mehr als einer unabhänglgen Ve ränderlichen h zw . allgemein von n variablen X l . x 2 ' x ~ , ..., X n ab, so sprechen wir vo n einer

Tunetio n m ir

tI

lI/ /lIhhiil1g igell Va riabi en und schre iben

y=f(x ], x 2 '

" .,

xn

) .

u v .n

In der Prax is tref fen wir vielfach auf Funktio nen des Typs OV. I ). I nsbeson de re hei ökonom ischen Fragestellungen sind sie von Rele van z, wie d ie nachfolgenden Beispiele verdeu tlichen sollen. Beisp iele : 1. Nachfragefunktion: Die Nachfrage nach einem bestimmten Gut x ist i. d. R. nicht nur von seinem eigenen Preis p abhängig. Zusätzlich können z.B. das Einkommen y der Konsumenten und Preise von Substitutions- oder Komplementärgütern (pSull, pKOmp) die Nachfrage beeinflussen. Die Nachfragefunktion XC hat dann das Aussehen xC '" f(p, y, pSub, pKomp, ...) . 2. Angebotsfunktion: Das Angebot eines Gutes x wird bestimmt durch seinen Preis p, die Preise anderer Güter p", die Preise für Produktionsfaktoren pPF, den Stand des technischen Wissens T, usw. Für eine Angebotsfunktion XS gilt also allgemein xS = f(p, p" , pPF,T, ...). 3. Kostenfunktion: Stellt ein Unternehmen z.B. 4 Produkte her, so werden die Gesamtkosten C durch die jeweiligen Produklionsmengen der einzelnen Güter bestimmt Es gilt daher für die Kostenfunktion

228

IV Funktionen mehrerer Var iablen

Dam it l'S sich bei (lV.1) auch wirklich um e ine Funktion handelt, muss jedem sog. n-Tupel rx , x,• . . ., x) des De finition sbe re ichs D(O eindeutig e ine reelle Zahl y zu geordnet sein. Unte r einem n-Tupcl ve rstehen w ir dabei eine Zusammenstellung von n Zahl en x" x" . .., x. in vorgegebener Re ihen folge. Ein z-Tupel cx., x) heißt ein Paa r, ein 3-Tupel Lx" x,. Xl) ein Tripel, ein -t-Tupcl ( x, x,. x., x) ein Quad rupel. Für die wei teren möglichen Tupel existieren ke ine be so nd e re n K ilnen. Eine bt:somlers wichtige Klasse der Fun ktio ne n mehrerer v ariablen sind d ie ttnea/l'/I Funletionen. Hier tauc hen die unabhängigen Veränderlichen nur in erster Po u -nz auf und sind ausschließlich durch Ad d itio n lind Sub traktion verknü pft . Sie ha be n also die allgemeine Form y =f(x l ,

"

x ~ , ..., X,,)=;lo +a l · Xl + ;12 ·X ~ + ... + ;1" ·X" = ;10 + L ai · X; ,

(l V.2 )

;:1

wo bei die ß) immer vollstä ndig über der Funktion verläuft. Ik i e iner konkav ge krümmten Funktion liegt diese Ver bind ungslinie imme r unte rhalb der Fun ktion swe rte. Die in Abbil d ung IV 7 sk izzierte Funktio n ist so z.B. kon kav, da bei Verb inden de r durch Vierec ke oder Dre iecke gekennzeichne ten Punkte auffällt, dass d ie Verbindungslinie n stets unte r de r Funktio n verlaufen. y

Tangen te a n y= f( a . x !) in P

Abbildung IV 7: Steigung und Kr ümm u ng einer Fläche

s. Ste tigkeit Auch den Grenzwenbe griff und den Begriff der Ste tigke it können wir e infach von Fun ktio ne n r = fex) a uf y = [(x" x,) übertrage n . Strebt eine Funktio n y = [(x " x,J für Xl ~ 0. lind x, --+ t'} gegen den 'c'e rt 19, he i l~ t q> de r Gn' I/ ZU'('11 der Funktion y an der Stel le rc, 'Ö l, \,\'ir schreiben lim fe x " ~ (x,, ", l.....(n.u >

x2 ) =

q> ,

(l V.H)

Dieser Gre nzwelt q> ist nur dann definiert, we nn e r imme r er re icht wird , gleichgültig wie (una bh äng ig vo n der Richtung) wir uns der Stelle t u , 'Ö) nähe rn. Eine Funktion y = f(x " x) wird an de r Ste lle tc , ß ) ab Slel ig be ze ich net, we nn de r Funktio nswert an dieser Stelh- de m Grenzwe rt q> e nts pricht, d.h. we nn gilt: (I V.9)

Beispiel : Prüfen wir, ob d ie Funktion f (x l , x2) = 3xf +x2 +.jX;X; -5 an der Stelle (0 ; 0) stetig ist. lim f (x l • x2) = - 5, f(O; 0) = 3 .02 + O+.JQ.O - 5 = - 5 (x,.x2 ).....(0;0 ) Grenzwert und Fun ktions wert sind identisch. Die Funktion ist an der Stelle (0; 0) stetig.

2.

Differenzialrechnung

Im Abschnitt IV 1.3 hatten wir gesehen, dass sich in jedem Punkt einer Fläche unterschiedliche Steigungen (und auch Krümmungen) ergeben, je nachdem, für welche Schnittkurve durch den entsprechenden Punkt wir sie messen. Diese Problematik führt zur Berechnung einer richtungsabhängigen Steigung (bzw. Krümmung) und läuft formal auf die Bestimmung partieller Ableitungen einer Funktion mit mehreren unabhängigen Variablen hinaus (vgl. 2.2 und 2.3). Diese werden wir unter anderem in diversen ökonomischen Anwendungen (vgl. 2.4), bei partiellen und totalen Differenzialen (vgl. 2.5) und zur Exlremwertbestimmung mit oder ohne Nebenbedingungen benötigen (vgl. 2.6).

-

2.1 Allgemeines \'(' je wir in Kapitel IIJ gesehen haben, beschreibt d ie erste Ableitung einer Funktion y = [l x) die Steigung dieser Funktio n Es stellt sich nun die Frage , o b wir cim- derartige Ableitung au ch für eine Funktion m it mehreren unabh ängigen Ve riinde rlichen bestimmen können und o h sie ähnlich interpretiert werden kann. Abschnitt IV 1.j zeigte, dasx die Steig ung einer Fläche in einem Punkt nicht ein deutig ist. Je nachdem aus weil' her Richtung wir den Punkt betruchrcn , e rgibt sich eine andere Steigung. W'ir konnten festste lle n, dass die Steigung einer Fläche in einer de finie rte n Richtung gleich der Steigung der Schnittkurve ist, die hd einem Schni tt in der be treffenden Richtung e ntsteht. \'('ie wir au s der ceteris-pa ribus Herrachtung in Abschn itt IV 1.2 w issen , entstehen solc he Schn ürkurven dadurch , d.ISS alle bis auf eine unahhängtgc Veränderliche konstant gehalten we rden . Schnittkurven sind a lso Funktio ne n der noch übrig ge blie benen unabhnng tgc n Variablen, so dass ihre Steigung durch Differentiation nach der verbleihenden Va riab len bestimmt werden kann. Die Angabe der Richtung entspricht also formal der Ang abe, nach welcher unabh ängigen Va riablen abgeleitet w ird bzw. welche konstant gehalten werden. Wir gel angen so zu einer sin nvollen Inte rpre tatio n der A bleitllllg eil/er t'untaton mit mehreren nnabbdngigen veränderlichen. Man diJJc.,IY."/ z iert I/ach eil/er II IU/bhallg/Rell verä nderlichen IIIlIer Konstautbaltnng aller andervn. Diese Ableitung be ze ich ne t man als partteuen Differenziaiquotienten.

-

2.2 Partielle Ableitungen erster Ordnung Betrachten wir noch e inmal Abbildung IV 7 hzw . d ie Kurve y = ((x " t'}l in der Schn ittehene x, '" Ö, d.h. in Richtung der x,-Achse. D ie Ste igung dieser Kurve ist durc-h den Differenztalquotienten

240

IV Funktionen meh rere r Var iablen

d y = df( x ], t3l = lirn f( x ] + .1)( 1' Ö) - f ( x,,'ö) d Xl d XI !l.x,..... U 8.X [ beschrieben, d .h. d urch die Ableit ung nach X, un ter der Bedi ngun g x, '" t') kon sta nt. \'('ir bezeichne n diese n Ausdruc k als die part ielle Ableitun g ers ter Ordnung: nach der Variablen x, ode r als erste partielle Ableitung nach x" Zur Ke nnzeichnung: de r Tatsache , dass nur nach eine r Variable n unter Kon stan thaltu ng aller übr igen diffe renziert wird , we rde n in der Lite ra tur d ie Differenztale gewöhnlich mit geschriebe n . Auch w ir wo lle n uns d ieser Notarion anschließen. \'('ir sprechen jedoch weite rlu n "d y na ch d x,".

a

Ersetzen w ir in o biger Ableitu ng de n konkreten We rt t'} durch die variable X,. so kön nen wir die e rste p artielle Ab le itu n g einer Funktion y .. f(xl' x) nach d er Va r ia b le n x , als

iL =af( x ), x 2 ) = aX t

a Xt

lim f( x ) + ß X1,X 2 ) - f( x l ,X 1) .!l.x,"'o

ausd rücken. Die e rste parrtelle Ab le itu ng ei ner Funktio n y Va riab le n x , e rgibt sich analog zu

oy = a f( x \ , x 2 ) = li m f( x ax, ax ,j,x,"'O

OV. lO )

ßX 1

t, x 1

1

=

Kx, x) n ach der

+ßx 1 ) - f( X) , x 1 ) . ßX 1

(IV.l 1)

Alternat ive Schrei bwe isen für d ie partielle Ablei tungen sind oder

bzw. oder w obe i die Variable, nac h der d ifferenziert wird , jeweils im Index tid geste l!t ist. \,\'ir erk ennen daran, d;ISS partielle Ableit unge n in der Hegel wiederum Funktion e n der unabhängigen Ve rän derl ichen sind .

Hinxichtlich der Tech n ik d es Differenzicrens gibt es bei Funkt io ne n meh rerer unabhängiger Variab le n kei ne Besonde rheiten , aurscr de r Einschrä nkun g. dass a lle Variablen, nach J en e n nicht d ifferenz iert w ird, a ls Konstant en anzuse he n sind . Die in Kap itel 111 behandelte n Ableitungsrege ln besi tzen also a uch hier Gültigkeit. In dies em Zusam me nhang ist da rau f hinzuweisen , da ss die Produkt-, Quotienten- und Kettenrege l nur dann anzuwenden sind, we nn die Variable, nach de r differen ziert wird , in be iden Faktor e n ei nes Prod uktes, im Zähler und Kenner e ines Qu otiente n oder in der inne ren Funktion e iner zus amme nges etz ten Funktion auftritt. Die Regel n we rde n insbesondere nicht be nötig t, wenn versc hiedene Var iablen entsp rechend verknüpft sind .

2. Differenzialrechnung

241

Beispiele :

1. y =:f(x l , X2) ==x l +3 x2 Da bei der Bildung der ersten partiellen Ableitung nach Xl die Variable Xz als konstant angesehen wird, fallt der Term 3xz bei der Ableitung als additive Konstante weg: y~

, == 1

Analog fällt der Term stante weg:

X,

bei der partiellen Ableitung nach

Xz

als additiv verknüpfte Kon-

Y~2 = 3 2.

y ==f(x l . X2 ) ==X~ +X l ' X2 Es braucht hier nicht die Produktregel angewendet werden, da jeweils ein Faktor des Terms X, . xa beim Differenzieren als eine Konstante anzusehen ist: y~ , = 2xl + x2

3 . Y= f(x l , x2) = e 2-x,x 2 Unter Verwendung der Kettenregel erhalten wir:

,.x

y~ , = e 2 'X 2 • 2x2

4. y =f (x l • X2) =Jx l ·ln x2 Auch hier nutzen wir die Kettenregel und erhalten:

y' =..!..( Xl . ln x2fl . ln x2= }nx z x, 2 2 . .Jxl . ln x2

5. y = f (Xl ,X2) =x2 ·exf +x~ Bei dieser Funktion muss bei der partiellen Ableitung nach Xl die Ketlenregel ange wendet werden, Um die Ableitung nach xe zu bestimmen ist sowohl die Produkt- als auch die Kettenregel erlorde rlich:

""ie die ersten partiellen Ableitu ngen ein er Fun k tion y = f( x ]. x 2 ) zur Bestim mun g de r Steigung in einem Punkt tc. t}) herangezogen werden kö nnen, veranschau licht fo lgendes Beispiel:

242

IV Funktionen mehrerer Var iablen

Beispiel: Gegeben sei die Funkt ion y "" f (x l , x 2 ) "" x12 - Xl · X2 + In xa Bestimmen wir für diese de n Wert der Ste igung im Punkt (1;1) in Richtung der x-Achse und in Richtung der xs-Achse.

,

~

f~ I (Xl ' x2) = -2 ·x,

-2

- x2 =3" - x2 Xl

f;~ (Xl' X2) :

-X t + -

1

X2

Dur ch Einsetzen des Punktes in die jewei lige Ableit ung ergibt sich die Steigung in Richtung der x-Achse als

f;, (1;1) = -312 - 1 = - 3 und die Steigung in Richtung der xs-Achse als

1;2(1; 1 )

= -1+ ~ = O .

Es gil t allgemein. dass eine Fun ktion y .. f(x" x., ..., xn ) m it 11 unabhängigen Variab len ge na u n partie lle Ab lei tu ngen erste r Ord nu ng bes itzt. Es wird nach der i-ten Var iablen x, pa rtiell differenziert. indem nach x, un ter Kons tanthaltung alle r and e re n Variable n d ifferenziert wird : Xi ' ••. , X n )

(lV . 12 )

Beispiel : 2 Y '" 4x 1 X2

+ XjX 2XJ + X2 -

X4

y~ ,

'" 8x jx 2 + X2XJ

v; , = 4 xf + X1XJ + 1

Y~ 4 ", - 1

De n Schluss die ses Abschnit ts wollen wir nu tzen , um noch einmal deu tlich ehrrauf hinzuweisen (da häufige Fe hle rq uelle ), dass be i der pa rtie lle n Ablei tung ei ne r Fun ktio n r '" Rx., x" "' , x o ) nach Xl d ie üb rige n unabhängigen Ve rän de rlichen zwar w ie Ko nstante n be hand elt we rde n, jed och keine Konstanten sind . Sie sind nach wie vo r veränderliche Grö ßen . Dies l:i s.~ t sich mittels Abbi ld ung IV 7 für eine Funk tion y = [(x " x) ver anscha ulichen. Die Ste igung e ine r Kurvt;' y = f(x" ß ) können w ir zwar nu r in e inem Punkt zu x, = c; messen, lasse n wir den Punkt jedoch der Kurvt;' e ntlangwandern . besch re ibt d ie erste part ielle Able uu ng nac h X, die Stcigung in jedem Punkt zu x,, Dies wurde be reits im Zuge der lrlshe rigc n Hetrac ht un gen insbeso ndere der Steigu ngshes timmu ng deut lich . Ähnlich verhält t;'s sich fü r d ie Var iable xl' Variiere n w ir x,, so erhalten w ir parallele Schnitte mit jewei ls neucn Schnit tk urven, sod ass die Variable x, angibt, auf welc he r Kurve aus de r Kurve nschar wir uns befinde n. Die pa rtielle Ableit ung (IV. 10) beschre ibt also die Ste igung der Schmukurve im Punkt {x.; x,) in Richtung de r x,-Achse , Sie ist also in jedem Punkt r x., x. ), in dem d ie Funktio n differe nzierbar ist, e rkl ärt un d dam it Ld.R. se lbst eine Funktio n de r be ide n unabh änglgcn Vertlndcrlichcn x, und x,.

243

2. Differenzialrechnung

-

2.3 Partielle Ableitungen höherer Ordnung Wie für Funktionen y '" Hx} können auch für Funk tionen mit mehreren unabhängigen ve rände rliche n höhere Ableitungen gebilde t werden .

Leuen \... ir die erste pa rtielle Ableitung Y ~ , einer sowohl nach x, als auch nach x, zweimal d ifferenzierbaren Funktion y .. ft x, x,) erneut nach x, ab , e rhalten wir die zweite p artielle Ab le itu ng n ach x , und schreiben dafür a' y = ( .• ), ="

,

d x2

} x, x,

(lV . 13 )

) 11. ,1

0

"

2.6.2

Einbeziehen von Nebenbedingungen

Be i vielen ök onomischen Frageste llunge n macht ein e Extre mwe rtbestimmung er st un ter Nebenbedingunge n w irklich Sinn . So dürfte es klar sein, dass e in Unternehme r. der seine Kosten une ingeschrän kt minimie rt. sein absolutes Kosrerunin imum erreich t, wenn er nicht produziert, sein e Arbeite r e ntläss r lind sein Untern e hme n schüesr. Sinnvoll und für ihn von Interesse ist vielmehr e ine Koxtenminimic ru ng, die z.B. a uf ein bestimmtes r e rugungsprogramm unter Ausnu tzung vo rgege bener Ka pa zitäte n beschr änkt wird. Ein ähn liches Prob lem er gibt sich a uch be i der Gewinnmaximierung, da der Gewinn theore tisch unend lich ist. wenn vo n Prod ukte n

IV Funktionen mehrerer Variablen

254

mit posi tivem Deckungsbeitrag unendlich viele Stück ve rkau ft we rden . Auch hier sind es meis t technische , finanz ielle od e r absuzbcscb ränkcnde Nebenbedingun ge n. die bei de r Extrem we rt bestimm ung zu be rücksichtigen sind un d zu ein em sinnvollen Optuntc rungsproblcm führen . Die Extremwertbestimmung unter Nebenbedingungen zieh bei Funktionen mit zwei unabhä ngige n Veränderlichen darauf ab, für die Fun ktion y "" Kx., x .) e in Exrrcmu m zu finden, wo bei die Nebenbedin g ung gex,. x,J '" 0 e ingehalten we rde n soll . Die Funktion y '" f(x" x,) w ird in d iese m Zusa mm enhang auch als aelfuntatOll , die- unabhängigen Ver änderlichen x, und x, als tintscbetdungsra na bten und die Nebe nb edingung g (X " x.) '" (J als Restriktion be zeichnet. Die Menge a ller Fun kuon swertc. un ter we lchen de r Extre mwert zu suchen iSI , w ird als Iintscbcidnngsrau m bezeic hnet. Diese r wird durch die Restriktio n erngeschränk t. Beispiel : Betrachten wir eine Kostenfunktion K(r" r2) '" Pl rl + P2r2, die die Produktionskosten je Stück in Abhängigkeit von den Mengen rj und r2 zweier Produktionsfaktoren angibt, die einen Stückpreis von PI und P2 besitzen. Zudem liege die Produktionsfunktion x '" x(rl , r2) vor, bei der der Mindereinsatz eines Produktionsfaktors durch den Mehreinsatz des anderen Faktors ausgeglichen werden kann (sog. substitutionale Produktionsfunktion). Interessieren wir uns nun für die Mengen r; und r; , die bei einem Produktionsniveau von x '" o: Stück minimale Stückkosten liefern , stehen wir vor der Aufgabe das Minimum von K(r" r2) unter der Nebenbedingung x(r" r2) '" a (bzw. x(r" r2) - u '" 0) zu bestimmen. Grafisch können wir uns die Lösung dieses Problems mittels der nachfolgenden Abbildung veranschaulichen. In dieser ist die Restriktion x(rj , r2) '" c abgebildet, die nichts anderes als eine Isolinie (Isoquante) ist, die alle Faktorkombinationen beschreibt, die den gleichen Output x '" c erbringen. Die Kostenfunktion mit den Stückkosten K als Parameter beschreibt im n -rs-Syetem eine Schar paralleler Geraden (Isolinien), wobei auf einer Geraden mit K '" l( alle Faktorkombinationen liegen, die die gleichen Kosten l( verursachen. Um den Output x '" a zu erzielen muss eine Faktorkombination auf der Isoquanten gewählt werden (eingeschränkter Entscheidungsraum). Die zugehörigen minimalen Kosten ergebe n sich, in dem wir eine Kostenparallele durch diesen Punkt legen. Die Faktorkom bination , die die geringsten Kosten bei x '" a verursacht liegt, also gerade in dem Punkt, in dem die Kostengerade die Isolinie der Produktionslunktion tangiert.

255

2. Differenzialrechnung

Restriktio ne n müssen nicht in Gleichungsform vorhegen. Sie können durchaus auch in Ungle ich ungsform spe zifizie rt sein . Da in vielen öko no mische n Prob lemen negative 'x 'c rte de r Entsch eid un gsvariab le n nicht sinn voll sind (z. B. bei I'rod uktio nsmc nge n ), treffe n wir häufig au f Xichtnegaticitdtsheding tcngen de r F011ll x, ~ 0 und x, ~ O. Ge nau genommen hätten w ir also im vorhergehenden Be ispiel auch derartige Ntclunegattvttätsbedtngungen fü r die Faktorkomb inat ionen formulieren müssen . Im f olge nde n wolle n wir uns auf die Be ha ndlung von Nebenbedingungen in Form von Gle ich ungen und Zielfunktionen de s Typs y '" f

f'{x ) = ..:!. x ,5 g(, ) . -

5

270

V Integral rechnung Eingesetzt in (V.15) erhalt en wir damit:

i~ n x . x

5 4 dx = In x "s x -

f1 -; "5 5

5

x dx = ln x "sx -

f''5

X

4

x5 x5 dx = In x·- - - + c

5

25

Gibt es keine eindeutigen Hin weise auf e ine bestimmte \'('a l1 l, sollte zun ächst mit einer Varian te gerechnet und sich für die Alte rnative en tsch ieden werden, wenn man hc! d e r e rsten Varian te nich t we iterkommt. Ein Varian tenwechsel empfiehlt sich auch , wenn die "e infache re" Variante nicht zur Lösung führt , d.h . Jas neu en tstehende Inte gral auf der rechten Se ile von (V.15) sogar noch komplizierter wird als das ursprüngliche Integ ra l. Beispiel :

f X.2X dx Variante 1:

f(xl = 2 x

f'( x) = 2 x · ln 2

g'(x ) = x

g(X) = ..!. x 2 2

f2'

. x d x -_ 2'

f

"'2, X 2 -

f'

1 x 2 dx =2 x ' '2 1 x 2 -2 In2 ' 2 . x 2 dx 2 x .ln 2 '"2

Durch die hier durchgeführte partielle Integration erhöht sich der Komplexitätsgrad. Wir sind daher zu einem Variantenwechsel gezwungen. Variante 2:

f(xl :=

X

-'J

f'( x) == 1

2'

f '

g(x) = '02

2' x 2 dx = x . ~

I

2~

x ·2~

t

t .~ d x = ~ - ~ .

I

2~ dx

x · 2~ 1 2~ x ·2 x 2~ = - - - - · - + c := - - - - - + c In2 In2 In2 In2 (In2)2

Eine Partielle Inte gratio n kann auch mehrfach hintereinander durchgeführt werden, d.h. auf das In teg ral der rech ten Seite von (V. I) ) wiederholt angewendet werden, bis sich ein e infach zu ir ucgrfercnder Ausdruck ergibt. In Variante 1 des vorhergehenden Be ispiels können wir dies nicht durchführen, da sich dadurch d ie Koruplexirär des Integra ls erneut erhöhen würde und wir nie einen einfach zu in te grie re nden Ausdruck erhalten. Beispiel :

f~ · ex . ~ dx Es empfiehlt sich stets bei Produkten, die scheinbar aus mehr als zwei Faktoren zu bestehen scheinen, eine Umformung auf nur zwei Faktoren zu versuchen. Wir erhalten hier:

1. Begriff und Integrationstechnik

f~ · ex . ~ dx :=

f xL xL ex dx

271

e

f x 2 . e X dx

Eine erste partielle Integration dieses vereinfachten Ausdrucks liefert: f( xl := x 2

~

f'( x) := 2x

g'(x ) := e X ~

g(xl := e X

Jx 2 . e X dx = x 2 ·e x _ f 2x . e X dx =x 2 · e x _2 · f x . e x dx Für das neu entstehende (einfachere) Integral können wir nun erneut eine partielle Integration vornehmen: f x . e x dx f(xl := x

-t

f'(x) := 1

g'(x ) := e X

-t

g{x l := e X

Die Zusammenführung beider Ergebnisse liefert: Jx 2 . e x ox == x 2 · e x - 2 · (x · e x _ eX) + c == x 2 · e x - 2 x · e x _ 2· e x + c == e X. (x 2- 2x- 2)+ c [0 e inigen Fällen kann es auch von Vorte il sein , pa rtiell zu integ rieren , we nn ursp rünglich ke in Prod ukt zwe tcr Fun ktionen vorhegt . Als zwe ite r Faktor ko mmt nämlich imm e r d ie lek'ht zu inte grie re nde Funktion I in Frage .

Beispiel: Wir können Formel (v. a) wie folgt herleiten: Jln x dx '" JH n x dx

=..x!.

f( xl == Inx

f'(x )

g'(x ) == 1

g(x) := X

f ln x dx := x In x -

f~ · X dx := x . ln x - x + c

für x > 0

4 . In tegra tio n durch Sub s titut to n Zur Able itung ei ne r zusammengesetzten Funktion wird im Ra hme n de r Konenrege l die inn ere Funktion su bstituiert. so dass wir aus y == f(g< x )) mit z = g(x) eine von der Strukt ur he r vereinfachte Funkti on mit der neuen Veränderlichen z erh alten . Die Integra tion durch Substitu tion wende t gena u das gleiche Prinzip an . Durch Vurtablensubs muuon w ird hier versucht . ein e zusammengesetzte Funktio n so we it zu vere infachen, bis sie au f be kannte Inte grale zurückgeführt ist.

272

V Integralrechnung

Ko nkre t wird be i der Integrat ion du rch substturuon e tn Inte g ral des

Ty p.~

JH g( x ) . g'(x ) UX

durch die Substitution z

=::

g(x ) auf das Integral

f f( Z) dz zurückgeführt. da das Diffe re nzial der ncuen Variable d z = g'( x j dx lautet. Beispiel :

IJx 3

2 - 1. 3x dX

1. Schritt: Substitution JJZ . 3XZ dX

z = x3 _ 1 --+

2. Schritt: Ermittlung von dx z =x 3 _ 1

--+

z' ", dz =3x 2 H dx

dX = ~ . dZ ax

3. Schritt: Zusammenführung und Integration dz fJZ dz =3.. z~ +c =3. & fJZ ·3 x2 ._'3x 2 3 3 =::

»c

4. Schritt: Resubstil ul ion

IJx3 - 1· 3xz d x =~ . J(x3 _ 1)3 «c In diesem ers ten Beispie l entsprach der Integran d genuu de r in de r Re ge l defin ierten f o rm, d.h. e ine r der Faktoren des Inte gra nde n war ge na u die Ableitung der inneren Fun ktio n des a nd e re n Fak to rs. Das nac hfolgen de Ik isp id ze igt, d:ISS d iese Form je do ch nicht imme r exakt vorhegen muss, um d ie Substitutions regel anwenden zu können.

Beispiele: 1.

f ex2 . x dx

1. Schritt : Substitution f eZ' X dX

2. Schritt : Ermittlung von dx

z : x2

--'t

z, :dZ : 2x

d,

3 . Schritt: Zusammenführung und Integration

1 z 2" dz: '2. e +c fe' , x' 2x, dz fez e

1. Begriff und Integrationstechnik

273

4. Schritt : Resubstitutlon

I

e

xl

1

. x dX = '2 . e

Xl

-s c

W'ie d it' nac hfolge nde n Beispiele zetgen, können wir m it l fil(e d er Suhstituuonsregel die integrale wichtiger runtatonen her/ei/eil. \X/ir erkennen bei diesen Herleitu ngen außerdem, dass es ZUIll Te il notwendig ist, vor e iner Vanablensubsutuuon d ie Fun ktio n geschickt umzuformen . was viel Erfahrung VOf:.luSseIZI. Bei spiele : 1, Herfettunq von (V.7):

faxdx = Je1na'

dx = Je x'lna dx

1. Schritt:

z = x .lna

~

f eZ dx

2. Schri ritt:

z e x . Ina

~

dz Ina z' =-=

3. Schrill :

e I"

4. Schrill :

f ax

d,

H

,

dx e c-c-v dz Ina

"

,dz = - · e + c Ina In a

dx = _'_ .e X .ina -e c = - '-· a" e c In a

In a

2. Herleitung von (V.9): f ea'X+b dx

1. Schritt:

z =a >+b

2. Schritt :

z =a >+ b

~

~

feZdx d, d,

z =-= a

3. Schritt :

f

4. Schritt :

f ea X+b dx = ~ ea x+b + c

,

dx = - ·dz

dx = - ·dz

a

e Z · -1 dz = -1 · e Z -e c

a

a

3, Herleil ung von (V,10):

J(a , x + b)n dx 1. Schritt :

z e a . >+ b

~

Jzn dx

2. Schritt

z = a >+ b

~

z' = -d' =a

3. Schritt

I

4. Schritt:

d,

Zn ' ]. dZ = 1 .z"...,+c a a · (n +1)

,

(n+ 1)·( a

,

a

274

V Integralrechnung 4,

Herleitung von (V.11):

I- -' - d, a.x e b

1. Schritt :

z =a Hb

~

2. Schritt:

Z = 3'

, +b

~

3. Schritt : 4. Schritt:

HdX ,

dz

Z =-= 3

d,

Iz" a a, I-'- dx ,

t-7

,

dx =- ·dz

a

- ·_ ·dz = - .Inlzl+ c =-. Inla . x + bj + c a

a. x e b

Die Fo nn e in (V.9 ), (V.I O) und ( Vc l l ) sind spezielle Ausprägungen ei ne r a llge meinen Integrationsrege l. d ie sich aus der Inte gratio n durch Subs titution erg ibt. Sie besagt, Jass im Falle linearer Substitution imme r

I

r( 0 in [a, b] gilt. Kur in eine m solchen Fall ist (V. ll) pOSitil' und gibt d irekt die Fläche an, die zwischen der Funktio nskurve und der x-Achsc im Inte rvall [n, b] be gre nzt wird. Verläu ft die Funktio n jedoch unterhal b der x-Achse, d.h . gilt fe x) < 0 in [a, b], liefert (V.19) eine n negatnvn W'e n , der erst a ls Absolutbetrag zur Angab e des rlnchcnmhaltes verwendet werden kann rvgl. Abbildung V 4). y

y

= re x )

y

/ L~ a

Fah

, ,, , , ,,,,,, • b

I'~ h

Ir(x

=" ,

)

dx

"

x

= "Ire x ) ,

dx

b

J JJlv'

x

= re x )

/

Abbildung V 4: Bestimmte Integ ra le und Fläche n

278

V Integralrechnung

Beisp iel : Berechnen wir die Fläche, die zwisch en der Gera den y = f{x) = 2x + 1 und der x-Achse im Intervall [2; 6] eingeschlossen wird. Da hier die Funktion !(x) im betrachteten Zahlenbe reich stets oberhalb der x-Achse verläuft , ist keine "Betrags-Betrachtung" erforderlich. Wir können die Fläche (in Flächeneinheilen FE) also angeben als

2

6

6

F :6 = J(2X+ 1) dx 2

=[ x l + x+c J2= [ 62 + 6+c ] - [ 22 +2 +c J=36 FE. .

[F( x)l~

.

F(6)

.

F(2)

Wie zu erkennen ist, fällt die Integrations konstant e c im Verlauf der Berechnungen weg, wir können also im Rahmen bestimmter Integ rale generell auf ihre Angabe verzichten.

Die .\lüglichh'it negativer bestimmte r Integrale ist besonders dann zu beachten , we nn der Integrand im Integra tio nsinte rva ll se in Vorzeichen we chselt bzw. dort ein e oder me hre re Nullstelle n besitzt. Oie e ntsprechenden pos itiven Flächen (ü be r der Abszisse ) und nega tiven Plache n ( unte r der Abszisse) heben sich nämlich gegenseitig au f, wenn w ir übe r die Nullstelle n hinweg integrie re n . Um d ie ko rrekte Fbche zu best immen, gilt es, das lnte grauo nsinte rvull unharid der Nullstellen des Integra nde n zu zerlegen un d d ie Funktion ubschninsw c ise unter Be rücksichtig ung not wen d iger Absolutbet räge zu inte grie re n. Beisp iel : Bestimmen wir die Fläche A, die die Funktion y '" f{x} '" i - 3x + 1 im Intervall [-2,5; 2,5] mit der x-Achse einsc hließt. Würden wir dazu einfach das bestimmte Integ ral 21 (X3 _ 3X+ 1} dX = [ X: _ 3; 2 + x] 2.5 = 2,89 - (- 2,11)= 5,00 - 2.5

-2,5

berechnen, würden wir einen Fehler mach en, da die Funktion im Integrationsintervall mehr ere Vorzeich enwechsel vollzi eht (vgl. nachfolg ende Skizze). Es ist also eine "Aufleilung des Integrals" an de n Nullstellen der Funktion und eine "Betrags-Betrachtu ng" notwendig, um zu vermeiden, dass sich positive und negative Fläch en gegen seitig aufhe ben.

y Nullste llen der Funktion : X, = - 1, 88

x2 = 0,35 x3 = 1,53 - 2,5

:~

: :. :: ; -

2,5

n

~

27 9

1. Begriff und Integ rationstec hnik

Anhand des Graphenverlaufs und der vorli egen den Nullstellen können wir die gesuchte Fläche A durch folgende Teilin tegrale bestimmen:

f

- 1.88

A=

- 2,5

1,53

4

a

2,5

(x3 - 3x + 1) dx + f (x3 - 3 X+ 1) dX+ I (x3 - 3X+ 1) dX

- 1.88

= x4 _ 3~ + x

[

I

0.35

(x3 - 3x + 1) dx +

0,35

1,53

]-1.88 + [x44_3~+ a ]0 .35 + [X4_3;+x a ]1.53 [ 4 z ],.5 x + x4 _3~+ x - 2,5

4

- 1.88

0,35

1,53

= 10, 46 FE v erläuft e ine stetige Funk tio n fex) in einem Intervall [a, bl ste ts überha lb der Funktion g(x ) oder ist m it ihr ide ntisch , d .h. gilt fex ) ~ g( x), so gilt

o 0 I Hx ) d x ~ I g( X) d x

..

und wir können die Flüche , die in diesem Inte rvall [a, h] zw ischen den be iden Funktionen e inges ch loss en wird , als h

0

I: h = I H x ) dx - I g( X) d x

(V.22)

berech nen tvgl. Abbild ung V';) , Im Falle fe x) $; g(x) würde eine dera ttge Be rec h-

nu ng zu ei ne m negativen \'('el1 führen, sodass zur Plach e nangabe wieder e ine Berrags btldung erforderlich wäre . Alte rnativ ka nn in (V.22) na tür lich a uch die Reihe nfolge der Fun ktio ne n vertausch t we rden , um ein en postivc n \'('el1 zu erhalten.

y

~••••••.•

:: ,--

:: :::: .:: :- : :>-

7 j ,, a

y = g( x )

·,,, ·,, ··, , b

y = f< x )

x

Abbild un g V 5: Flächen zw ischen Funktione n Beispiel: Welche Fläche wird von den Funktionen l (x) = x2 und g(x) = x3 in einem abgeschlossenen Intervall begrenzt. das du rch die Schnitt -/Berührpun kte beider Funktionen definiert ist?

n

~

280

V Integral rechnung

1. Berechnung der Intervallgrenzen: An den Schnitt-Berührpunkten beider Funktionen sind die Funkttonswerte gleich , d .h. x 2 ""x 3

H

x3 _x 2 = O

x 2 , (x _ 1) = O

H

xeD

H

v

xef.

Grafisch zeigt sich folgendes Bild :

y

,, ,, ,

2 '

y =x

2.

, ,,,

",

, "

x

Berech nung der Fläche über das best imm te Integral:

Fa:, =

1

1

1

1

1

o

0

0

0

0

ff(X) dX- J9(X)dX= fx2 dX-

Jx3 dX = [~ x3 ]

1

- [{ x4J 0

'" (0,3 3 - 0 )- (0, 25 - 0) = 0,08 FE \'fit.' wi r a n den bish e rige n Re che n be lspie le n erkennen können , scheinen die im Rah me n un bestimmter Inte grale behandelte n tnteg ranonsrcg eln auch für hcxtimmte

I nt eg rale Gültigkeit zu besi tzen . \\;-'ir wollen d icM' Beobachtu ng nun konk retisieren;

•

Die Konstanter-Faktar-Rcgei gilt weiterhin: h

h

f k . f( x ) d x = k . f f< X) UX

•

Die summen reget hk'i lll eht:nf:llls erhalten. h

h

h

J lf( x ) + g(x)] dx = J f( x ) dx + J g ( X) dx Beispiel: 2

2

J x-1 + 2 dx = J x- 1 dx +

,

,

2

J2dx = [ln l xIJ~ + [2xl~ = 0, 69 + 2 = 2,69 ,

1. Begriff und Integrationstechnik

•

281

Auch d ie Ix ll1ielle tntegraüo nsrcg el bk' iht uneingeschränkt gü ltig: I,

.,

J n X) . g'(x) dx = [f< x ) . g(x)l:' - J n X) ' g< x) d x Hie rbe i ist zu beachten . dass in das Prod ukt f(x ) . g(x ) e benfalls di e Integratio nsgre n ze n e ingesetzt u nd entsprechende Diffe re n ze n gebild et werden . Beispiel :

,

JX. ln x dx 2

f(xl ", In x

f'(x) =..!. x

g'(x) '" x

9(Xl ", ..!.x 2 2

IxI n x dx = [ln x .~x2J: - j~.~ x2 dx = [l n x ~x2]: -[~ x2J:

2

2

=

•

[11,09 - 1,39] -[4 - 1] = 6,7

Im Falle einer t ntegranan du rcö suoatunton gib t es zwei xt ög hch ke ncn der Be re ch n ung des bestimmt e n Integra ls. Es müsse n en tweder d ie Inte gratio nsgrenzen mirt ran sfo r miert _ üm [-"!' +1J=O+ 1= 1 f ~x2 dX = b lim --->_ x2 X 1 b---> _ b b

,

,

2.

Okonomische Anwendungen

Die Integration wird in den Wirtschaftswissenschaften meist angewendet, um vom Grenzverhallen ökonomischer Funktionen auf die Funktion selbst zu schlie ßen. Neben dieser unmittelbar aus der Definiten der Integration als Umkehrop eralion der Differenziation ableitbaren Anwendung , die 2.B. im Kontext von Kosten -, Umsatz - und Gewinnfunk· tionen relevant ist, wollen wir uns in diesem Abschnitt mit den Themen Produzenl en- und

Konsumentenrente, Kapilalstock und Investitionen sowie ausgewählten Themen der Wahrscheinlichkeitsrechnung widmen. Im Zusammenhang mit l etzteren werden wir die Rechtecks- und Trapezinlegralion als Verfahren der numerischen Integration näher beleuchten.

-

2.1 Kosten-, Umsatz- und Gewinnfunktion \'('1(.: wir wissen, liefe rt d ie erste Abl e itung ei ner Kosten fu n k tion C( x) d ie G rcnxkosren funknon C'( xj. Int eg rie ren wir die Grenzkostenfunktion C'(x ), so können w ir je-

doch nur au f die varia blen Koste n C,,(x ) schli cHen, d a die fixen Koste n C, ia im ZUI-\c der Ablei tung weggefallen waren . Sind ne ben der Grenzkostenfunktion C'(x ) die fi xen Kos ten CI bek an nt , können w ir die tnteg rauonsko nstan te durch diese er-

setzen u nd d ie Koste nfu n ktio n C(x l damit als Cr x i

e

(v.26)

f c'( x ) d x = C,.( X) + C r

ermitteln.

Beispiel : Die Grenzkosten funktio n eines Unternehm ens lautet C'{x) 0: 4x3 + x. Unabhängig von der produzierten Menge fallen in diesem Unternehmen Kosten in Höhe von 1.000 Euro an. Die Kosle nfunktion lautet damit

C(x) := I (4x3 +x ) dx :=x 4 + O,5 x 2 + !EQg . C: (X)

Cf

Auc h fü r den Sch luss von der Grenzerlösfunktio n Wb; ) a uf die Umsatzfunktion) Rfx) kann die lme g ralrech n ung herangezogen we rd e n. Es gilt I{( x ) = I R'( X) dx ,

wo bei die In teg rauonskon stame ... hier d en \X't:rt Null annimmt.

(V .27)

286

V Integralrechnung

Beispiel : Die Grenzerlösfunklio n eines Unternehmens lautet R'(x) '" 2x + 1, W ir erhalten daraus die Erlös funklion

A(x) '" f (2X+ 1) dx '" )( 2 + X .

Liegen Grcn zgewtnn funktto n) G'(x) und fi xe Kosten C,

VOf,

kann die Gew i n n -

funkti on G(x» ermittelt werden als G(x)= f G '( X) dx =

In,< x) dx -- f c'( X) dx ,

(V .Z8)

w obe i für die dabei entstehende Integ rati o nsk o nsta nte t ' '" -C, gilt. Inte re ssieren wir uns fü r die lJeckllllRsbd/ mg'ifilll kfio1/ [X x}, können w ir analog vorgehen, wobei

w ir jedoch die Integrationskon stant e

C ..

0 setzen.

Beispiel : 3 Aus de r Grenzgewinnfun klio n G'(x) '" 10x + 5 und den fixen Kosten Cr '" 100 soll die Gewinn funktion G(x) ermittelt werden. W ir erhalten

G(x) = J (10x3 + S) dX= 2,5X + SX- 100 . 4

-

2.2 Konsumenten- und Produzentenrente \\'je w ir aus Absch nitt III 2..~.1 w issen, liegt auf einem Markt an der Stelle ein Ma rktgleichge wich t vor, an der sich Angebotsfun ktion p'(x) lind Nachfragefunktion r "(x) schneiden . Die in diesem Schn ittpunkt herrschende Menge x" wurde ab Gleichgewtcbtsme ngc . der Preis p. als Gle ichgew ichtspreis be zeic hnet. In die se r Ma rktsitua tio n sind in der ökonomischen Theorie zwe i Grösen von besonderer Bede utung : die Ko nsume nte n- und die Produze nte nre nte.

1. Konsumentenrente Wie Abbildu ng V 6 für den Fal l ein er linearen Nachfragefunktton zeigt , wäre n ein ige Nachfrager be reit gewesen, eine n höheren Preis ah Jen herrschenden Mark tpreis p. zu be zahle n. Da de r tutsac hliche Preis also niedriger ausfüllt als je ne r, den sie 7.U zahlen bere it gewesen wären, erg ibt sich für diese Nachfrager ei ne Ersp a rnis. Die Cesamtsumme dieser Erspa rnis für alle Ko nsume nte n wird als Konsumontouronto KR be ze ichnet. Rechne risch !:isst sich d ie Ko nsume nte nrente einfach als

"

KR = J p D( x ) dx - p· . x·

"

(V.29)

ermi tteln. Das Prod ukt p• . x" enrpricht da be i den auf dem Ma rkt für das betrachtete Gut tatsächlich getätigten Ausg abe n aller Ko nsument e n. Das Integra l ist zu interpre ttcre n als the oretische Ausgabe nhö he. die angefallen wäre. wenn alle Ko nsurn e rue n gcn nu den Pre is bezahlt hätte n, den sie ge rade noch zu zahlen be re it gewesen w äre n.

287

2. Ökonomische Anwendungen

p

.. ........

.; -:

< =:: KH::>:::: p. ,.,.,c.,.:,.'.'."'.:'.'-'-'.•c.,.:•.

,~

x

Abbild ung V 6: Konsume nte nre nte Bei spiel : Auf dem Markt für Kaolin gelle die Nachfragefunktion pO(x) '" - 2x + 50 und die Angebots funktion pS(x) = 3x + 20. Wie hoch ist d ie Konsumentenrente auf d iesem Markt ? 1. Ermilllung des Marktglei chgewich ts: Gleichsetzen der Nachfrage- und Anqebotsfunktion liefert - z x + 50 = 3x +20 und nach Auflöse n x' '" 6, woraus sich nach Einsetzen in pO(x) oder pS(x) der dazugehörige Preis p' '" 38 ergib t. 2. Berech nung der Konsume ntenrente nach (V.29): 6

KR == f {- 2X+ 50) dx - 38 · 6 == [ _ x 2 + 50x

6

Jo - 228 == 264 - 228 = 36

o 2. Produzentenrente Abbi ld ung V 7 zeigt fü r Jen Fall ein e r linearen Angebotsfu nkno n. Jass es auf eine m Markt Prod uze nte n gibt, die auch zu einem Preis anb iete n w ürden , der unter dem vorherrschenden Mar ktp reis p. liegt. Da sie aber zum Gle ichge wichtspreis p" verkaufen kö nne n, erz ielen d iese Produzente n einen z usätzlichen Geu-tnn. Die Summe alle r d ieser Gew inne bzw. Kosre ne rsparn l»,c über alle Produze nte n bezeich ne n w ir als produrentenrentc PH. Ihre Be rechnung erfolgt über

,

PR"'p· · x· -

fp'(' xJdx ,

(V.30J

n

wobei das Prod ukt P•. x· dem vo n alle n Produzente n e rwirtschaftete n Umsatz im Ma rktgleichgewicht e ntspricht. Das Integral liefe n den theoretische n Umsatz, den alle Produzent en zusammen erz ielt lütten, we nn sie gennu zu den Preise n ve rka uft hätten , zu de nen sie gerade no ch a nzubie te n be reit gewesen wären.

288

V Integralrechnung

p

p'

" Abbildung V 7: Prod uze nte nren te Beispiel : Die Angebots/unktion auf einem Markt sei gegeben durch pS(x) "" Sx + 7. Das Marktgleichgew ichl liege bei x' '" 5 und p' '" 22. Die Prod uzenl enrente auf diesem Markt ist damit 5

5

PR = 22 · 5 - f (3X+ 7) dX= 110 - [%x2 + 7xl = 110- 72,5= 37,5 .

o

-

2.3 Investitionen und Kapitalstock Die Funkt io n IU) mit I ~ 0 beschrei be die öcuotnrestittonen )(Hrullo1n\,cst itlo nen abztighch Abxchre jbungen) in einer Vo lkswi rtschaft in Ahh;ingigke it von der Zeit t. Mittels de s Integrals T

IHr> d t für t ~ 0

o

sind wir in de r Lage den Kapitalbestand zu be rechne n, welcher von t .. 0 bis t .. T erw irtschaftet wird. De r Kapttatstoce K(T) bzw. der Kapitalbestand einer Volkswi rtschaft zum Zeitpunkt T ergibt sich nun aus de m Kap ital, welches be reits zum Zeitpun kt t = 0 vorhanden war , also KU)), und aus dem von I = 0 bis t = T akk urnulierre n Ka pital, d. h. den getä tigte n Ne uotnvesunonen. Es gilt also T

KCI') = I\ (O) + JI (t) d [

für [;::0.

(V.3 D

u

Bei spiel : Zum Zeitpunkt t = 0 bet rage der Kapitalbestand einer Volkswirtschaft 1.500 Mrd . Euro. Die Nelloinvestitionen I(t) seien besch rieben durch die Funktion I(t) '" 10 · + In l .

Wt

a) Wie groß ist der Kapitalb estand nach 10 Jahren ? b) Wie hoch ist die Veränderung des Kapitalb estandes im 5. Jahr?

289

2. Ökonom ische Anwendunge n Lösung : a) Kapitalbestand nach 10 Jahren:

to K(10) '" 1.500 +

f(1 0 . ~ +I n l)

dl

o = 1.500 +[7,5 ,

~ + t- ln t

-11

0

= 1.500 + 174,61 = 1.674,61 Mrd Euro

b) Investitionen (= Zunahme des Kapitalbestandes) im 5. Jahr: 5

5

J(10 . ~ -elnt} dt '" [7, 5 ' ~ + 1. lnl - 11 '" 67,17 - 49,17 = 18 Mrd. Euro

•

-

2.4 Die Standardnormalverteilung ln der Statistik spielen Zufallsvar iablen ei ne zentrale Rolle. Unte r einer Zufallsva riablen X verstehen wir allgemein eine Gröse. deren Wert vorn Zufall abh äng t. So bilden et wa d ie Ergebnisse eines w ürfelwurfs eine Zufallsvar iable. die sechs verschiedene \X,'ene 1,2,3,45 oder 6 annehmen kann. Das Ergebnis jedes Wurfes hängt vom Zuf.1I1 ab, wobei jeder bestimm te Wen m it einer Wahrscheinlichkeit von 1/6 angenommen wird . Stellen wir di e möglichen Erge bnisse (X-Achse) den zugehörige n wahrsche tnttchke tren (Y-Achse) gegenüber, erhalten wir d ie sog. Wa h r sch e h rlic h keltsfu n k t lo n Jder Zufallsvariab len . Im Fall e ines w ürfelwurfs ist d iese disk ret, Kann e ine Zufallsva riable ) in einem Inte rvall jede n beliebige n Wen annehmen, beigt sle stetig. Für stetige Zufalls variablen X erlaubt die sog . D ichtefuoktion Q(x) ldiL' Bestimmung von w ah rsche inlich kciten Pt x. :s: X :::,; x), dass d ie Zufalls variable X einen \X/e n aus dem Inte rvall lx, x,l annimmt . Diese ixr nämlich gertau gleich der Fläche unter der Dichtefunktion im ernsprechenden Abschn itt lx, x.l, d .h. es gilt s,

P{ x j :::'; X :S: x 2 ) = J $( x ) d x .

(V,j2l

"

Abbildung V R veranschaulicht d ies. Aus (V.j2l !:isst sich e ine Beso nde rhe it ste tige r Zufallsvariablen ableiten , die besagt, das.~ die Wa hrscheinlichke it, dass X e in bestimmtes x an nimmt, im me r Null ist. Es gilt n ämlich auch hie r der Zusammenha ng (V.20), d .h.

,

I'( X = x ) =I'( x :S: X :::,; x ) = J qx. x ) dx = O .

,

(V.33l

Zudem gilt, dass die gesamte Flüche unter einer Dichtefunknon immer gleich Eins se in muss, Andernfalls dürfen wir die Fun ktio n nich t als Dichtefunktion beze ichnen.

-J

Ijl{x) dx = 1

(V,j4 )

290

V Integralrechnung

"

P(x t :5X :5 x! ) = J $(1) '" 0,8413 bzw. 84,13% enthalten. Für die beiden Schritlweiten 6.x '" 0,2 und 6.x '" 0,1 und den Startwert XC '" erhalten wir folgende Ergebnisse:

°

Ax

1 2

0,10 0,30 0,50 0,70 0,90

3 4

5 6

öx 0 ,1

0,2 0,995 0,956 0,882 0,783 0,667

7 6

9 10

0,05 0 ,15 0,25 0,35 0,45 0,55 0,65 0,75 0,85 0,95

4,283

0,999 0,989 0,969 0,941 0,904 0,860 0,810 0,755 0,697 0 637 8,559

Wir erhalten damit die beiden folgenden Näherungen: 1 öx '" 0,2: 4>(1 ) = r;;- ·Q,2· 4,283 +0,5 =0,8417

,2.

1 ex = 0,1 : $ (1) = /,,:,,"," , 0,1,8,559 + 0,5 '" 0,8 41 4

,,2.

Wie wir erkennen, wird die Approximation umso besser, je kleiner wir die Teilintervalle wählen, d.h. je mehr Teilintervalle wir berücksichtigen. 2. 'rrapezapproxtmanon

lst die Kurve einer zu integ riere nde n Funktio n Hx} nich t ge rade im gesamten Integrationsintervall konvex o der kon kav, lässt sich e in e Ve rb esse ru ng d er Fläche n n ähe rung dadurch erre ichen, das.~ wi r die Fläd le durch ei ne Summ e von Trapezen anstdll' von Re chteck en annähern ( \'gl. Ab bild ung V l ü}. Dadurch lässt sic-h nämlich e rreichen, d ass steh po sitive un d ncga th'e Fehler Oeilwebl'J aufheben. Die Plächc des Trapezes über dem Intervall Ix,,, x.l ist

0,5' (fh u ) + [( x l )) · .1.x . Als SU1ll1ll1'

der Trapezflächen e rhalten wir

0,::; ' (th (J)+ f( x j )) ·.1.x + O,S· (tü l l + f{ x 2 )) ·.1.x + ... + 0,5· ( Ih n_I ) + f(x n ») · öx '=

[

"-,

]

O,5· f(x u) + L f 0 und x > 0 liefert die Integration bei Zusammentassung der Integrations variablen die allg emeine Lösung In(y - 1) =x+ lnx+c

3.

Ho

y _1 = e H lnH C=ex . elnx .ec =ec .x .ex

Ho

y = e c · x _e x +1 .

Mit einer Anfangsbedingung von z.B. y(x = 1) = e + 1 erhalten wir c = 0 und dami t als spezielle Lösung y = x . eX + 1. Für (x2 + 1) · y' = zx y2 erg ibt sich

J-2.y2

dy =

J~ dx, x2 +1

woraus wir die allg emein e Lösung

-v' = ln(x2 + 1)+ c

H

v»

-1 In{x 2 + 1)+ c

erhalten . Aus einer Anfangsbed ingung von z.B. y(x = 0) = 0 ,5 erhalten wir c = - 2 und somit die spezielle Lösung y = 2 -ln{x 2 + 1)'

4. Für y' = y + x erhalten wir bei Berücksichtigun g der Substitution

z= y + x

dz = J1 dx, J-'zet woraus sich für z + 1 > 0 die allgemeine Lösung In(Z +1) = x +c H z +1 = e H C

Ho

z =ec ·e x _ 1

bzw. nach Resubstitution y =ec · e x _ x _ 1 erg ibt. Für z.B. y(x = 0) = 4 erhalten wir d ie spezielle Lösung y =5e x _x _ 1.

298

V Integralrechnung

Auc h geu-abnucbc li neare D/ffi'1'r!//zialgleic h llllj?,ell höhere r Ordnung können w i r

durch e infache Intcgrauonsp roz esse lösen , we nn sie vom speziellen Typ y'.' Y '" f(x) sind .

=

y m it

Beispiel: Die lineare Differenzialgleichun g 3. Ordnung y'" '" 50>? + 12 wird d urch drei hintereinander geschaltete unbestimmte Integration en gelöst , die jeweils eine neue Integralionskonstan te erfordern. Wir erhalten sukzessi ve

y" ", 20x3 + 12x+Cl

y' ", 5x4 + 6x2 +

C1 X

+ C2

Y :: x 5 + 2x3 + O,5cl X2 + C2X + C3 . Die Anzahl der in der al lgemeinen l ösung vorkommenden Integralionskonslanlen stimmt also mit der Ordnun g der Differ enzialgleichung überein. Im vo rliegenden Fall könn te eine spez ielle Lösung durch Vorgabe dreler Anfangsbedingunge n gewonne n werde n. Für die We rte y(O) = 7, y'(O) = 0, y"(O) = 1 bzw . durch Einsetzen in y, y' und ( erhalten wir nach 3 + 7. einande r C3 = 7, C2 = 0 und Cl = 1 und dami t die spezielle l ösung y '" x + 2x +

o,sl

2.6.3

Ökonomische Anwendungen separabler Differenzialgleichungen

Von den zahlreichen Anw e nd unge n separabler Diffe re nzialgleichunge n behandeln wir im Folgenden nu r das e xponenztelle \...'achs tum und Funktio ne n m it vorgegebe ner Eb stizit:it. 1. Expone nzi elle s Wac hstum In ökonomis che n Anwe nd unge n trete n gewöhnliche Düferenztalgtetchungen bäufig dann au f, wenn die Zeit t als una bhän gige stet ige Variable auftritt, d.h. y = nu gilt. In diesem Fall stell t d ie erste Ableitu ng y' näherungsweise die Ände ru ng von y pro Zc lu-inhc h dar und jed e Be zieh ung zwischen de n Bestands w ert en y und ihre n ze itlichen Änderu ngen y' kann durch e int: Diffe re nzialgl eichung besc-hrieben werden . Nehmen wir z. B. an , der zeitabhängige Bestand einer Be völke rung könne du rch eine Funk tio n bUl be schriebe n werden. Die Be völk e rungsän de rung je Zeite inlw it wird dann im Zeitpu nkt t durch dle erste Able itung h'(t) hcsc-hriehe n. Unterstellen wir, dass d ie ze itliche Ände run g b'{[) der Be völke rung in je de m Zeitpu nkt t propo rtiona l zum ge rade vorha ndenen ltc völk e rungsbesran d h(t ) ist (konstan ter Pro po rtionalitätsfaktor p) , gi lt die Be zie hung h'(t ) = p · b0.

(V.45)

299

2. Ökonom ische Anwe ndungen

Der lk sw nd ände rt sich also oxponenztell mit der stetigen Änderungsrute p (pro Zeiteinheit). Die totegruuonsko nsta rue k kann durch eine Anfungsbcdtngung bestimmt werden . Ist etwa de r Besta nd zum Zei tpunkt t ", 0 gle ich 100 (d.h. 100 "" bW) - k . 1.'" *' k), so lau tet d ie spezielle Bestandsfunktion brn .. 100 · e". Ist p pos itiv (negativ) , wächst tfältn der Bestand brn im Zei tablauf rvgl . Eige nschafte n de r Exponenztalfunktton in Abschnitt 11 1 2.1.4.\). Für p ". 0 bleibt der Besta nd unv erändert bei k hzw. hier 100. 2. Funktionen mit vorgegebenen ElasCizit äten

Die Def tnnton sgle tchung für die Elastizttiit ~\,. einer dilferenzierbaren Funk tion y ", fe x) c nspricht einer Differenz ialgleichung für die Funk tion y = f(x): E v •x

.

,

X

=y'-

y

Ist die Elastizitätsfunktion vorgegeben, könn en wir ve rsuche n, über die Lösung dieser Diffe re nzialgleichu ng d iejenigen Funktione n ausfindig zu machen , die das vergegebene Elastizitätsverh alten besitzen. Beispiel 1 : lineare Elasliz ilätsfunkt ionen Gege ben sei die Elastizitäl sfunktion Ey.• = ax + b mit a , b = konstant und x, y > 0 . W ir interessiere n uns nun dafür, welche Funktione n dieses Elastizitäts verhallen aufweisen. Zu lösen ist dazu d ie Differenzialgleichun g

i.; = ax+ b. y Anwendung von (V.43) führt zu H d Y",

Ka + ~) dx

ln y e ax e b.ln x s- c

~

bzw. zu den gesuchten Funktionen y ",eax+btnH c ", k · xb · ea•

k ", e c > 0,

mit

Jede Funktion, die sich als Prod ukt aus einer Potenzfunktion funknon ea.< ergibt , besitzt also eine lineare Elastiz itätstunktion .

x c-

ö

/ >und

.

einer Expone nzial-

Für den Sonderfall a .= 0 ergibt sich €y.• ", b, d. h. Y ist eine elementare Potenzfunktion y = k . xb• 1m Fall b .= 0 erhalten wir Ey .• = ax und die dazugehörigen Funktionen y = k . e"". Die elementaren Exponenzjalfun ktlonen sind also die einzigen Funktionen, dere n Elastizitätsfun ktione n Ursprungsgeraden sind . Bei spiel 2 : Übereinstimmende Elastizitätsfunktionen Gegeben sei die Elastizi tätsfu nktion Ey.• ", f(x), d .h. jetzt sind die Funktionen gesucht, die mit ihren Elastizitätsfunktionen übereinstimmen. Dazu lösen wir die Differenzialgleichung

y' x = y. y Wir erhalten dy = f2. dx f...!... y' x

~

- ..:!. oo ln x + c y

300

V Integralrechnung

bzw. -1

Y ""lnx+ c

für

x s üx e e" .

Mit der Anfangsbedingung 1( 1) "" 1 erhalten wir z.B. wegen 1 :: -1Ie bzw. c "" - 1 die spezielle Lösung

1 Y =1 - ln x ' Für diese Funktion stimmt an jede r Stelle x

E

;R+ \

{e} der Funklionswert y mit der Elast izi-

tät [ y,x überei n. An de r Stelle x = e besitzt y einen Pol. Die nachfolgende Skizze zeigt. dass

d ie Elastiz ität posit iv ist, solange x < e gilt. rst x > e , ist die Elastlziät negativ.

y, Ey,x

0 0

« 0

3.

Aufgaben

tnregrulr ech n u ng allgernei n

Au fgabe V·I

Be rechne n Sie d ie folge nden un bestimmten Integrale: a)

f -t+

2

b)

f..[lf;

cl

f( '" + ' )

Jl

J( x . ln x )- l Jx

dx

Zx"

xl

Xl + I feX--3 -

cl

) dX

dx

dx

;)

f- +-

I

P

f~ )- x

kl

f~1xdx

11

J e- x dx

fl

Jx!+2x +lx - 1 und - ) < AI < 0 ge -

1. Vektoren

3 11

wählt . De r Vek tor a ' wird also gestreckt , der Vektor a' gestaucht u nd im v orz cieben ge ändert. De r ne ue Vektor Ai . a ' + AJ . e ' e rnsteh t na ch dem Pa ralle logrammpr inz ip aus den durch die Skalare ver änderten Vektoren.

k, A, > 1

A, . a '

-1< A,hängtg. Analoges gilt auch für rn-dimensionale Vek to rräume.

VI lin ear e Algebra

3 14

k,

k,

a

a'

~ k,

, ,,

,,

k,

o

k,

k,

Abbildung VI 1: Linear un abhängige Vektoren im dre id imension alen Ra um Die dre i uoa bhiing igen Vektoren a ', a ' und a ' ;!US Abbildung VI 4 (rech ts) bilden eine sog. Basis des Vektorra um s R.:\. Un ter einer 8 a sis ve rstehen w ir im Allgemei nen eine Teilmenge von In linear un abhä ngtgen Vektore n a', a', ..., a" e ines mdimensionalen Vektorraums. mit denen der gesam te Vek torraum a ufgespa nnt bzw . jeder Vektor des Raums durch Lincarkornbinarioncn d ieser Vektoren ge neriert werden kann . D ie darin enthultcnen Vektoren a' ( i ., 1,2,. .. .m) heißen Basisreistoren. Beispiel:

Die drei Vektoren e' ,a2. a3 € :R 3

sind linear unabhängig und bilden damit eine Basis. Aus zwei dieser Vektoren ließe sich

eine Ebene in !R3 , durch alle drei de r gesamte Vektorr aum ;R3 aufspannen. Um den beliebigen Vektor

als Linearkombination dieser Basisvektoren darstellen zu können , stellen wir zunä chst die Be ziehung

1. Vektoren

315

auf. Aus der Forderung nach komponenten weise r Gleichheit resultiert daraus das Gleichungss ystem

- A,

+ A,

11" :

A, - A2

111:

Al + 3 A2 + 2A3

" 2 " 6 " -2

mit der Lösung Al = 2, A2 = -4 und A3 = 4. Der Vektor a ist also als Linearkombination von 1 1 3 2 3 8 , 'ii und a in der Form a = 2a _ 48 + 4a darstellbar.

Einheitsvektoren

1.4.3

Im zwei - und dre id imensionalen Raum sind die Ve kto re n in Achse nncht uog dadurch geke nnz eic hnet , dass nur jeweils ei ne Kom ponent e , nämlich die in Achse nrichtung, un gleich Kuli ist. Hat diese Koo rdina te den \'('1.'11 Ei n .~ , so be zeichnen wir den Vektor als Ein h e itsve kto r . W'ie Abbildu ng VI 5 (Hnks I zeigt, liegt in ]R3 auf jede r der dre i Achsen e in Einheit svekt o r. Die Einheit sve kto ren lau te n

k, a,

-> :

i

'. -",

"-- '.,.--r-''.-,,, ,

i: e

,

k, 1

e

,

-" '-.

,

,, ,,

k,

""-.

a

k,

.' .

'.

'.

0

0

k, k, Abbildung VI 5: Einheftsve ktore n im dreidime nsionalen Raum

VI lin ear e Algebra

3 16

Den Bcg rlff UC.'i Einhe itsve kto rs könne n wir au ch a uf de n m-dimension ule n Rau m erw e itern. Es gibt hie r gc nau m Einhe itsve kto re n e' {i .. 1,2,... ,m) in der Form

o 1 +- I-re Kom po nente .

e' =

( VI.1 1)

()

Einhe itsvektor en besitzen d ie besondere Eige nschaft, dass sie a ufe ina nde r senkrech t ste hen (vgl . Abb ild ung VI S, links) , W'ir bezeichnen sie dah e r als ortboganal (senkrecht). \X'e iterhin sind die m Einheits vektor e n eines rn-dimensionalen Vek torraums l inear IIIWbhällf!Jf.:. Sie bilde n demnach ein e Basis, aus der s ich durch Lineurko mbination alle Vektoren des Vektorraums generieren lassen. Es gilt

a

=

[] 'a:" 2

=a

j

•

e ' + ->

~

,

~

"" ~

(0; 0)

(11 ; 0)

x,

Zur Auffindung einer optima len l ösung setzen wir in der Ziellunklion zunächst z = 0, d.h. wir nehmen an, dass nicht produziert wird, wodurch wir die Gerade x, + X2 '" 0 ~ X2 '" - Xl erhalten. Sukzessives Erhöhen von z (z.B. z '" 2, 4, ... ) bedeutet, dass die Zielfunklicnsqerade X2 '" - Xl in X2 '" - Xl + 2, X2 '" - Xl + 4, .. . übergeht. Dies stellt nichts anderes als eine Parallelverschiebung der Zielfunkt ionsgeraden dar (vgl. folgende Skizze).

"

(10; 2)

" ' . " ",.,., --

-, -

-.

"

..

(11;0)

x,

Das maximale z '" X, + X2, das noch zu einer zulässigen Lösung (x, X2) gehört , erhalten wir, indem wir die Parallelverschiebung möglichst weit durchfü hren, sodass der zulässige Bereich und die verschobene Gerade noch maximal einen Punkt gemeinsam haben. Im hier vorliegenden Beispiel erhalten wir das Maximum, wenn wir die Zielfunktionsgerade so weit verschieben, bis sie durch die Ecke (10; 2) geht. Diese Ecke ist dann die gesuchte Lösung. Das optimale Produktionsprogramm sieht also vor Xl '" 10 Mengeneinheiten nach Verfahren 1 und X2 '" 2 Mengeneinheiten nach Verfahre n 2 zu produzi eren. Die maximal erzeugbare Menge beträgt also unter Einhaltung der gegebenen Restriktionen 12 Mengeneinheiten.

365

5. Lineare Optim ierung Bei spiel 2: Minimierungsproblem

Ein Viehzüchter ist bemüht, seine Tiere mit ausre ichend Vitaminen A, B, C und 0 zu versorgen , wofü r ihm zwei Futtermittel F 1 und F2 zur Verf ügung stehen . Die Preise beider Futtermittel (in Euro je 100g), die in ihnen enthaltenen Vitam ine (in mg je 100g Futtert und der Mindestbedarf an Vitaminen je Tier (in mg je Tag ) sind in folge nder Tabelle gegeben: Vitam ine

B

A 6 1 22

Fl F2 Mindestbedarf je Tier

7 4 71

0

C 6

3 9

10 120

Preis

1,50 1,00

72

W ir interessieren uns nun dafür , wie der Züchter sein Futter aus den beiden Sorten zu sammenstellen soflle, um den fina nziellen Aufwand daf ür möglichst gering zu hallen und g leichzeitig den Vita minbedarf der Tiere zu decken . Dabei ist zu beachten , dass ein Tier je Tag nicht mehr als 2 kg Fulter erhalten darf. Bezeichne n wir mit X, die Menge an F 1 und mit X2 die Menge an F2 (jeweils in 1009 je Tag ) erhalten wir daraus ein Minimierungsprob lem mit folgender Ziellu nktion (Kostenfunktion) und Nebenbedi ngungen :

Zleltunktton :

, ", "" , ,,

120

+9x 2

,

72

s

20

Nebenbedingungen :

6', +>,

z = 1, 5x l + x 2

6x 1 +10X2

3"

" +>,

Nichtnegativitätsbedingungen :

22

Xl ;::: 0

71

X2;::: 0

Ana log zum vorhergehenden Beispiel können wir erne ut Restrikt ionsgeraden zeic hnen . Bei der Bestimmung des zuläss igen Bereiches ist jedoch zu beachten , dass nun die ersten vier Nebenbedingungen Halbebenen oberha lb der jeweiligen Gerade n beschreiben und nur bei der letzten Nebenbedingung eine Halbebene unterhalb der Geraden vorliegt. W ir erha lten dann folgenden zuläss igen Bereich :

(0 ; 20)

(0,4; 19,6)

(1; 16)'

"

(5; 9)

\

~~..:(~',B ; 2) \ ,(15; 3) "

(20 ; 0)

x

n

~

V I lin ear e Algebr a

366

Die optimale Lösun g finden wir wiederum, indem wir d ie Nultgerade X2 '" - 1,5xl so lange nach rechts verschieben, bis sie erstmalig einen Punkt des zuläs sigen Bereichs errei cht. Anders als beim Maximierungsp rob lem wollen wir nun nämlich nicht, dass die Zielfunkli onsgerade möglichst weit von der Nulllage entfernt ist, sondern dass sie der Nulllage möglichst nahe ist, aber noch mindeste ns einen Punkt mit dem zulässigen Bereich gemeinsam hat. In unserem Beispiel erhalten wir damit die Ecke (5; 9) als Losung, sodass ein Tier in

dieser optimalen Konstellation 500 9 von Fl und 900 9 von F2 erhält. Die Kosten dieser Mischung liegen bei 1,5 . 5 + 9 '" 16,5 Euro. Dieser Betrag stellt unter den gegebe nen Bedingungen den minimalen Kostenbelrag dar.

Arthund der beiden vorhergehenden Beispiele ha be n w ir gesehen, dass das Optimum jewe ils an ein er Ecke des zulässigen Be re ic hs liegt. Dies gilt für he liehige lineare Op umte rungsprobteme. vorausgesetzt, xie ha ben eine eindeutige t ösung. Probleme der lineare n Optimie run g können jedoch auch mehrdeutige Lösu1Ige u bc xltzen . Dies ist z.B. der Fall we nn die parallel verschobene Zielfunktion sge rade in ihre r finalen Lage m it e ine r Restriktio nsge rade n zusammenfä llt. In ein e m solchen F:tlI sind alle Punkte auf der Begr en zung des zulässigen Be re ichs optimal , d te auf der Restriktio nsge raue n zw ischen zwe i zu Hissigen Ec ke n liegen. Da d ie Ecken Elemente dieser Strecke sind, bleibt d ie Auss:tge kor rekt , dass d ie optimale Lösu ng in min deste ns einer Ecke des zulässige n Bere ichs an genommen wird . Ein allgeme ines Lös un gsve rfuh re n muss also nu r die e ndlich vielen Ecke n durchgehen Li nd eine davon finden, in de r z o ptimal ist. E.s kann au ße rdem vorkommen, dass e in lineares Opum terungsprobtem keine LöslI ll g besitzt. Dies ist z.B. der Fall, wen n sich Restriktio ne n widers prechen (z. B.

"höchs tem I kg Futte r pro Tier pro Tag" in vorhergehen dem Be ispiel ). De r zulässige Be re ich ist da nn nämlic h lee r. Bei ;\lax imieru ngsprohlemen kann es außerdem vor komm e n, das.~ de r zulässige Bere ich nach rechts offen ist und so die Zielfu nktionsgerade un endlich parallel nach rech ts verschoben we rde n ka nn. Auch hier ex tsncrt kei ne optimale Lösung.

-

5.2 Das Simp lexverfahre n Da ei ne gra fische Lösung linearer O ptimierungsprobleme für praktische Zwecke wen tg effizient und für mehr als drei Variablen unmöglich ist, empfiehlt sich die Anwend ung des Slrn p le xvcefa h r -errs 0 statt X. - 0, so führt dies zu ei ner Zuna hme von z um ", . x" da z = " lX I + c! x! + ...+ l""x n . \X'ir er ha lten da mit ein Krite rium für die Auswah l der Ptvotspatre, das sog, Opttmalltätskrttertum- Wir wählen e ine Spalte , in welcher der \Fe11 der 7.ieljll Jlkf i oll Il eg a fit ' ist.

VI lineare Algebra

37 0

Sind alle 'x'cue der Zielfunküonszc ile positiv, haben wir Jas Endtablea u erreicht. Die optimale Lösun g ist dann d ie d iesem Ta bleau entsprechende Basislüsung. Nach W'ahl der Pivots pa he , in der e in Einhe itsve ktor erzeugt werden soll, ist no ch die Pivot ze ile zu wühlen, d.h. die Zeile, in der die I ernsehen soll. Durch eine geeig nete Wahl der Pivo lze ilt' können wir ga rant iere n, dass die entstehende neue Basislüsung zuWssig isl. Die Bed ing un g, die d ies gewäh rleiste t. he i!~1 En g passkri te rium und lautet wie folgt: Lie gt ein Simple xtableau vor und soll in der j-te n Spa lte ei n Einheusvektor erzeugt we rde n, wählen wir dasjen ige a" als Pivote lcmc nt, d.h . J iejen ige Zeile i als Pivot ze ile. für die der je we ilige Q uotient b/ a, seinen kleinsten positiven wen annnirnrnt. Zweckmätstgcrwetse führen wir im Tableau deshalb noch eine Spalte für die Q utie nte n h /a, ei n. Zusammenfassend können wir d ie Vergehensweise zur Lösung eines Standardma xim ierungsproblems mittels des Simplexve rfah rens m it folgender Abb ildung \ef".mscha uliehen.

I

Auf'!dkn d"" m,"h",m,"iwh

= I

+ X~

=0

=2

Besitze n die o b igen Gle ichu ngssysteme e indeu tige Lö su nge n? Begrü nd e n Sie Ih re Aussage n und be rech ne n d ie ggf. d ie Lösungen der Systeme!

VI linear e Algebra

376

Aufga be VI-14 Geg e ben se i folgendes lineare Gleichungssystem ( a E IR ): 2X

j+

;IX 2+X 3

=ü

- 2x I + ( 4 -2a )x z+ (;1- 5)x j = O 4x 1 + (3a - .i )x z+ 2x j ;1)

=()

Für welche werte von ;[ ist das Gle tchungssystem lösbar?

b I Bestimme n Sie die Lösung für a =

o.

A u fga be V1-15

DN linke obere Teil der folgenden Tabelle enthält sog. l/ el,11ech l l lllgsk oejJiz i ell tw . Sie ge ben den In put des in der Kop fze ile bezeichneten \'(Iilt -"l' hah szw e igl'!i an , der zur Prod uktio n eine r Leistungseinheu (L E ) des in der e rste n Spalte ge nannten Zweiges benötigt wird. So werden z.B. zur Erze ugung einer LE in der Landwirtschaft 0,2 LE landwirtschaftliche Prod ukte , 0,3 LE des ind ustriel le n Se kto rs 1 und 0,2 LE des industriellen Sektors 2 benötigt. Die Nachfragem atrix oben re chts enthält Angaben übe r die Ge samt nach frage . In der sog. Primäraufw a ndsmatrix unten links sind die Daten über die Arbe itsze it in Stunden je l.E und über Löhne in W:i1uungseinheilen je I.E enthalten. Output

Landwirt schaff

ludustri....se kto r I

Landwirt schuft

0 .2

Industriesektor 1

0.3

0."

Irrdustriese kto r

Inp ut

z

Arb.... itsz ei t Lehn....

Bea ntwo rte n Sie a uf

I h~ i s

lndust ri....-

-ekror z

Nachfrage

O..i

0,1 '5

UOO

0.2

0 ,4

0 ,25

600

0,04

O,OH

0,12

2,6

43

1.7

"00

dieser Da te n folg ende Fragen:

a ) \'(!e lche Outpulmengen müsse n di e ei nzel ne n Winschaftszweige e rb ring e n , um d ie bestehende Nachfrage zu befr iedigen? Nutzen Sie zur Beantwortung dieser fragestellung "IS- Exce l ~ bj \X'icv iele Stunden Arheitsze it müsse n zur Erb gingu rig der O utpu tmengen a ll .~

n)

geleistet we rde n, und w ie hoch ist d ie dabei anfallende Lohn summe-

c ) \X'ie wirken sich e ine Erhöhung der Nach fragen in der Landwlrtx rhaft um 40 LE und im Ind u strie se ktor 2 um IR I.E bei gleichzeitige r Verr ingerung der Nachfrage im Ind ustrie se kto r 1 um 70 LE au f die Arbe itsze it und die Lö hne aus, wenn diese zusätxliche Nachfrage d ur ch Erhö hung der Outpulmengen befrie digt werden soll?

n

lIIIIt

6. Aufgaben

377

Matrizengle ichu ngen AufgabeVI-t6 Gegeben .'ieien die Matrize n I und

B = Cl [

Cl

0

1 0

() o

1

welche Matrix X erfüll! d ie Gleichung A . X .. ß ' Nurzen Sie zur Besumm ung d e r Lösung MS-Excd !

Ir) ~

Aufgabe Vl-17 Gegeben sei d ie Matrizengleichung AB · X '" C . X + D. Es sind zudem d ie Dime nsio nen de r Matrizen A:\XI ' B lx.~ , C .!> x - lH X > 0

. - Lösu ng F.L1l 1: x

~

I

Fall 2 (0,5 :5 x < I ): 1,-II= -(x -I)= I - x -- Lösun g Fall 2:

--* 2x -I ~ 1 -XHx 2: i

i :5 x < 1

Fall 3 (x < 0,5 ):

Ix- 1I = -ex-1) = 1 - x 12x - I1= -(2x - 1) = \- 2x I - 2x :51-x

H

x

-- Lösu ng Fa ll 3: 0 :5 x < 0, 5

~ O

e) Fa ll 1 (x > I ): be ul e Nenner positiv x

+ I < 2{ x - I) H - x < -3 H x > 3

-- Lö su ng Fall 1: x > 3

Fall 2 (- I< x < I ): lin k er Nenner negativ, rechter Kenner po siti v x

+ I > 2< x - l ) H

-x > -3 H x < 3

-- Lösun g Fa ll 2: - \ < x < 1

Fall 3 (x < -I); bcide Nenner negativ

x + 1 < 2{ x - I ) H - x < -3 H x > 3

-- Lösung Fall 3: 0

Aufgahe 1-10

d)

( { _ y ),n_l)'n+l = (_y) ,n' _l =_y ,n' _l

n

r ~( sl

h)

Sl(S

_ 11 >('

+t

I

r

=

'

(y ,n-l _ 2y -nH

t s - 1J{s + m' r s ' r

s

+ t)

=

+ y -, n -.~ ) : y -n+l

(s - [)( '

rs'

= y..n -l

_

2y

+ y -. Barw e rt Bank B -+ Bank B ist zu be vo rzuge n. da dort weniger angelegt werden muss.

c) Zinssatz ve rgleich . i , = 0,06') "" 65 % i =' B

200.()()O

150 .000

- 1= 0,0592=5, 92 %

-+ Zinssatz Ba nk A .> Zinssatz Ban k B --+ Ba n k A macht das be sse re Angebot.

Be i allen .3 Vergle ichen muss sich no twendigerwe ise das gle iche Ergebnis ergeben . Aufgabe 11-2 Bd p hr liche r Ver zinsu ng erg ib t sich ei n End kapi tal von K, = lOo.non - t ,ne)' = 133.H22,60 Euro.

Gesu cht ist nun aber K, bei monatlicher Verzinsung. De r Zinxsatz p . m. lkgl hei 0,06 ~_ =--=0 ()(h=()) % 12 ' , was h d ., . 12 = 60 Monaten Anl ageZt:l1 zu folgendem Emdk apaa l führ t .

Kr.:> = IOO.()O{) ' 1.00.,(°' = 131.HH5, 06 Eu ro

Au fgabe 11·3 K" '" BI!',_ '" 999 Mrd . D~I , K"" '" BIP,,,,,. '" 25 24 Mrd . D.\1

Es g ilt 2.':;24 '" 999 . q" '" 999 . i=

fiC

VO:; n

(I +

0 "'. Dar aus ergi hl sich für die Wach st umsrat e i:

2.':;2·1 - - 1= 0, 03 14 =3, 11 %

1 ... ' -

999

392

VlJ Lösunge n

Aufgabe 11-4

a) Es gilt 40 = 30 · q '" = 30 . (l + D''', Dara us ergibt sich für d ie wachsrumsrate i: i '"

,Im vi) -1 = o,ü 292 = 2,92 %

!J) Gesucht ist hier n über den allgemeinen Ansatz In K n

n =

In K"

-

m it q = 1,0 292.

Jnq

Eine Einwohner zah l von ':;0 Mlo. (K) ausgehend von 30 Mio. 0 0;0

=

10 50 -1030

( K ,,)

wird in

17,74H2 Ja hren

In 1,0 292

erreicht. Im Jah r 200R (He rbst 200H ) wi rd das LInd ':;0 Mic . Einwoh ne r ha ben. Bis e ine Einwo hne rza hl von 60 Mio. ( K) ausgehend von 30 Mio. (K) e rre icht ist, werden n

,,cl

=

1060 -10",0 . = :21 OH la b re In 1,0292 ' .

vergeben. lmjah r 2015 (Anfang 20\ '5 ) wird das Land 60 :\Iio. Einwohne r ha ben. Aufgabe 11-5 Erster Lösung-weg: Umsatz im k -t cn Jah r: u.... 1,2 Mto . . ( I + 0,0'; )"

Die da tl"., I u. '" 1,0':; ,. ko n stant gilt, liegt e ine ge ometrische Fol ge vo r. Die kumuIicrten Umsätz e bi lden dam it e ine geometrische Reib e . sodass w ir d ie Summe der Umsätze nach 20 Ja hre n w ie folgt bestimmen können : 1- ( '"

I _ l OS.!< '

1- q

1- 1,05

S~,,=u , . _ _I_= 1, 2.

'

=39,68 Mio . Euro

Dividie rt du rch 20 J ahre erhalten wir den gesuchten du rschschniülichcn Jahresumsatz zu .W ,68 .\fio. I 20 '" 1,98 .\!io . Euro .

Zwe iter Lösu ngswe g . Um satz im 20 . Jahr: u .! + i ·( S" - 2t) + i ·( So - 31) + ... + i · (S" - (n - I) I ) = i . [n . Sn - (I + 21+ 31 + = i ·[n ·So -

1 ·O+2+ .~+

= i . [ n . s.,_ -cL.zl\J = O, 11· [ 2o .

I.n . ( ~ - 1)] ~

e

rn -1)))

20 ' 19] 1) . 0()0 - 7 ) 0 ' ~

I . "(I-q) _ J)

~

+ (n - ]}I)J

=17 .32-v Euro

) = 1.KK3, o. ~ \ Euro a = So ' q . - " = 1) .000 '1 ,11,, . ( 1- 1, 11 _'0 l -q 1- 1,11

400

VlJ Lösungen

Aufgabe 11-27 Nehmen wi r an , der Übergang e rfo lgt im Jahr m . w ürde n wir fü r das Ja hr m deg ress iv weüc rre ch ne n , e rhielten wir r~ = Rm_1 • i. Ein Üh e rga ng au f de n linea re n Fa ll ergii he

Rcsm lllZlIngsda lief Es soll nun

>R

R",_, n - ( m - l)

-

rn- )

.. I

ge hen , was durch Umformung zu folgende r Be zie h ung führt :

1;:: i -ln -

(m

- l)J

1 2= i · n - j · m+ i i ' m~i '(n + l) - l

1

q .e.d

m 2= n +l - i Aufgabe 11-28

Aus der Restwertform el (1 1.59 ) erhalten wir be i n Abxchnnbu ngsperiodcn für k .. n . . K - K "

LI = 2 · (T I ' n + Ku - K,, ) .

o·( n- I) · J

= r . n - CC-"--,-"---'-

2

"I

0' ( 0 - 1)

Fü r e ine dcgress tve Absch re ib un g muss d gelten :

~

() sein , d.h . für d ie Anfan gsrate m uss > Kr, - Kn