Grenzschicht-Theorie [10., überarbeitete Auflage] 9783540230045, 3540230041 [PDF]

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Vorwort zur zehnten Auflage

Im Jahre 2004 feierte die Grenzschicht-Theorie ihr hundertjähriges Bestehen. Es existieren nicht sehr viele Theorien, die bei einem derartigen Jubiläum noch so aktuell sind und sich nach wie vor so großer Beliebtheit bei der praktischen Anwendung erfreuen wie die Grenzschicht-Theorie. Dieses wurde bei einem im Jahre 2004 in Göttingen abgehaltenen internationalen Kongress eindrucksvoll bestätigt, wie der Tagungsband G.E.A. Meier, K.R. Sreenivasan, H.-J. Heinemann (Eds.): „IUTAM Symposium on One Hundred Years of Boundary Layer Research“, Springer, Dordrecht, 2006, erkennen läßt. Als Ludwig Prandtl im Jahre 1904 die Grenzschicht-Theorie konzipierte, wollte er damit Strömungen bei großen Reynolds-Zahlen (d.h. bei kleiner Reibung) berechnen. Dazu betrachtete er die Strömungen mit kleiner Reibung als Störungen der entsprechenden Strömungen ohne Reibung (Potentialströmungen). Da letztere nicht die Haftbedingung an der Wand erfüllen, handelt es sich bei der Berechnung der Strömungen bei großen Reynolds-Zahlen um ein sogenanntes „singuläres Störungsproblem“. Die von Ludwig Prandtl formulierte Grenzschicht-Theorie ist inzwischen eine in der Mathematik gängige Methode zur Lösung von singulären Störungsproblemen, und zwar unter der Bezeichnung „Methode der angepaßten asymptotischen Entwicklungen“ (vgl. W. Eckhaus: Matched Asymptotic Expansions and Singular Perturbations. North-Holland, Amsterdam, 1973) Singuläre Störungsprobleme treten jedoch nicht nur in der Strömungsmechanik auf, sondern auch in vielen anderen Bereichen der Naturwissenschaften und Technik, z.B. Festkörpermechanik, Bruchmechanik, Astronomie, Plasmaphysik, Chemie, Biologie, Ozeanographie. Obwohl sich das vorliegende Buch allein der strömungsmechanischen Anwendung widmet, sind die Methoden der Grenzschicht-Theorie von allgemeiner Bedeutung. Seit dem Erscheinen der 9. Auflage sind inzwischen acht Jahre vergangen. Es war daher erforderlich, neuere Literatur in den Text einzuarbeiten. Besonders dankbar bin ich Herrn Professor Wilhelm Schneider, Wien, für etliche Hinweise auf Ergänzungen und Textverbesserungen. Frau Ursula Beitz hat mich bei allen Literaturangelegenheiten wieder in dankenswerter Weise unterstützt. Bei Erscheinen der ersten Auflage dieser Grenzschicht-Theorie im Jahre 1951 hat wohl niemand geglaubt, dass dieses Buch in seiner Weiterentwicklung nach über 50 Jahren noch immer so informativ und interessant sein würde. Bochum, Juli 2005

Klaus Gersten

Vorwort zur neunten Auflage

Zweifellos gehört die Grenzschicht-Theorie von Hermann Schlichting zu den wichtigsten Büchern auf dem Gebiet der Strömungstechnik der letzten Dekaden. Kurz vor seinem Tode hat Hermann Schlichting noch die achte Auflage herausgebracht, die er unter Mitwirkung seines ehemaligen Kollegen und Freundes Friedrich Wilhelm Riegels neu bearbeitet hatte. Als diese Auflage vergriffen war und der Verlag eine Neuauflage anstrebte, habe ich diese Aufgabe gern übernommen. Während meiner fünfzehnjährigen Tätigkeit am Institut meines hochverehrten Lehrers Hermann Schlichting war ich bereits bei früheren Auflagen des Buches beteiligt und hatte einige Kapitel überarbeitet. Erleichternd kam hinzu, daß die Grenzschicht-Theorie im weitesten Sinne seit vielen Jahren mein bevorzugtes Forschungsgebiet ist. Es wurde sehr schnell klar, daß eine völlig neue Überarbeitung notwendig war. Dieses war auch schon Hermann Schlichting bewußt. Im Vorwort zur achten Auflage schrieb er dazu: „Im Interesse einer Systematik unseres heutigen Wissens wäre es wünschenswert gewesen, die Darstellung völlig zu überarbeiten. Doch hätte ein solches Vorgehen das Erscheinen um einige Jahre hinausgeschoben.“ Gegenüber der achten Auflage mußte die Literatur der letzten 15 Jahre berücksichtigt werden, und neuere Entwicklungen, z.B. bei den Turbulenzmodellen, waren zusätzlich aufzunehmen. Um jedoch den Umfang des Buches in etwa zu belassen, mußten manche Ergebnisse, die bei den heutigen Möglichkeiten des Computereinsatzes nicht mehr so wichtig erscheinen, gekürzt dargestellt oder gänzlich weggelassen werden. Damit ergab sich die Notwendigkeit, den Text praktisch völlig neu zu schreiben. Die Grundeinteilung des Buches wurde jedoch beibehalten. Es bestehen nach wie vor die vier großen Abschnitte: Grundgesetze der Strömungen von viskosen Fluiden, laminare Grenzschichten, Einsetzen der Turbulenz, turbulente Grenzschichten. Es wurde jedoch ein neuer fünfter Abschnitt über numerische Verfahren der Grenzschicht-Theorie angefügt. Die Kapiteleinteilung mußte etwas geändert werden, um die Systematik in der Darstellung des Stoffes zu verbessern. Wegen der notwendigen Straffung des Stoffes bestand das Bestreben, sich auf die eigentliche Grenzschichttheorie als die Theorie der Strömungen bei hohen Reynolds-Zahlen zu konzentrieren. So entfiel beispielsweise das Kapitel über „schleichende Bewegungen“, also über Strömungen bei sehr kleinen Reynolds-Zahlen. Es lag nahe, den Stil und das Niveau der Darstellung mit der gleichen Zielgruppe wie bei Hermann Schlichting anzustreben. Das ständig wachsende Forschungsgebiet der Grenzschicht-Theorie hat inzwischen eine solchen Umfang angenommen, daß ein einzelner den gesamten Überblick

VIII

Vorwort zur neunten Auflage

praktisch nicht mehr haben kann. Daher bin ich zwei Kollegen äußerst dankbar, die mich tatkräftig unterstützt haben. Herr Professor E. Krause schrieb das neu hinzugefügte Kapitel über die numerischen Verfahren der Grenzschicht-Theorie, und Herr Professor H. Oertel Jr. besorgte die Neubearbeitung des Abschnittes über das Einsetzen der Turbulenz (Stabilitätstheorie). Weitere Hilfe wurde mir verschiedentlich zuteil. Den Herren Dr.-Ing. Peter Schäfer und Dr.-Ing. Detlef Vieth verdanke ich zahlreiche neue Beispielrechnungen. Herr Dr. Vieth hat außerdem den gesamten Text kritisch gelesen. Ihm verdanke ich zahlreiche Verbesserungsvorschläge. Frau Renate Gölzenleuchter gebührt ganz besonderer Dank für die Anfertigung der Bilder, die bis auf einen kleinen Teil neu erstellt wurden. Bei Frau Ursula Beitz möchte ich mich für die sorgfältige und mühevolle Überprüfung des Literatur- und Namensverzeichnisses besonders bedanken. Frau Marianne Ferdinand und Herr Eckhard Schmidt haben tüchtig mitgeholfen. Es konnten bei weitem nicht alle Literaturzitate übernommen werden, so daß für spezielle Literaturhinweise zu früheren Arbeiten eventuell auf die achte Auflage zurückgegriffen werden muß. Die äußerst fruchtbare Zusammenarbeit mit der Satzfirma Jörg Steffenhagen sei besonders lobend erwähnt. Mein Dank gilt auch dem Springer-Verlag für die angenehme Zusammenarbeit. Ich hoffe, wir konnten im Sinne von Hermann Schlichting sein Werk weiterführen. Bochum, Oktober 1996

Klaus Gersten

Inhaltsverzeichnis

Einleitung

XIX

Teil A: Grundlagen der Strömungen mit Reibung 1

Einige Grundzüge der Strömungen mit Reibung

1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 2

3

Wirkliche und ideale Fluide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Viskosität . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Reynolds-Zahl . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Laminare und turbulente Strömungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Asymptotisches Verhalten für große Reynolds-Zahlen . . . . . . . . . . Vergleich von Messungen mit der reibungsfreien Grenzlösung . . . Zusammenfassung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1

1 2 4 9 12 13 24

Grundzüge der Grenzschicht-Theorie

27

2.1 2.2 2.3 2.4 2.5 2.6 2.7

27 28 31 34 35 37 47

Grenzschicht-Konzept . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Laminare Grenzschicht an der längsangeströmten ebenen Platte . . Turbulente Grenzschicht an der längsangeströmten ebenen Platte . Ausgebildete turbulente Strömung im Rohr . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Grenzschicht am Tragflügelprofil . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Ablösung der Grenzschicht . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Übersicht zum folgenden Stoff . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Feldgleichungen für die Strömungen Newtonscher Fluide

49

3.1 3.2 3.3 3.4 3.5 3.6

49 50 50 52 55

3.7 3.8 3.9 3.10

Beschreibung von Strömungsfeldern . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Kontinuitätsgleichung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Impulsgleichung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Allgemeiner Spannungszustand verformbarer Körper . . . . . . . . . . . Allgemeiner Verformungszustand strömender Fluide . . . . . . . . . . . Beziehung zwischen Spannungen und Verformungsgeschwindigkeiten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Hypothese von Stokes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Volumenviskosität und thermodynamischer Druck . . . . . . . . . . . . . Navier-Stokes-Gleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Energiegleichung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

61 63 64 66 68

X

Inhaltsverzeichnis

3.11 3.12 3.13 4

72 76 77

Allgemeine Eigenschaften der Bewegungsgleichungen

83

4.1 4.2

83

4.3 4.4 4.5 4.6 4.7 4.8 5

Bewegungsgleichungen für beliebige Koordinatensysteme (Zusammenfassung) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Bewegungsgleichungen für kartesische Koordinaten in Index-Schreibweise . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Bewegungsgleichungen in speziellen Koordinatensystemen . . . . . .

Ähnlichkeitsgesetze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Ähnlichkeitsgesetze für Strömungen mit Auftriebskräften (gemischte erzwungene und natürliche Konvektion) . . . . . . . . . . . . Ähnlichkeitsgesetze für die natürliche Konvektion . . . . . . . . . . . . . Wirbeltransportgleichung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Grenzfall sehr kleiner Reynolds-Zahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Grenzfall sehr großer Reynolds-Zahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Mathematisches Beispiel zum Grenzübergang Re → ∞ . . . . . . . . Mehrdeutigkeit der Lösungen der Navier-Stokes-Gleichungen . . .

87 90 92 94 94 97 99

Exakte Lösungen der Navier-Stokes-Gleichungen

101

5.1

101 101

5.2

5.3

5.4

Stationäre ebene Strömungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.1.1 Couette-Poiseuille-Strömungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.1.2 Jeffery-Hamel-Strömungen (ausgebildete Düsen- und Diffusor-Strömungen) . . . . . . . . 5.1.3 Ebene Staupunktströmung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.1.4 Parabel-Umströmung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.1.5 Kreiszylinder-Umströmung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Stationäre axialsymmetrische Strömungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.2.1 Kreisrohr-Strömung (Hagen-Poiseuille-Strömung) . . . . . . 5.2.2 Strömung zwischen zwei konzentrischen rotierenden Zylindern . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.2.3 Axialsymmetrische Staupunktströmung . . . . . . . . . . . . . . . 5.2.4 Strömung an einer rotierenden Scheibe . . . . . . . . . . . . . . . . 5.2.5 Axialsymmetrischer Freistrahl . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Instationäre ebene Strömungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.3.1 Strömung an einer plötzlich in Gang gesetzten ebenen Wand (Erstes Stokessches Problem) . . . . . . . . . . . . 5.3.2 Strömung an einer oszillierenden Wand (Zweites Stokessches Problem) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.3.3 Zeitlicher Anlauf der Couette-Strömung . . . . . . . . . . . . . . . 5.3.4 Instationäre asymptotische Absaugung . . . . . . . . . . . . . . . . 5.3.5 Instationäre ebene Staupunktströmung . . . . . . . . . . . . . . . . 5.3.6 Oszillierende Kanalströmung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Instationäre axialsymmetrische Strömungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.4.1 Zeitlicher Wirbelzerfall . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

104 110 115 117 117 117 118 118 120 125 126 127 129 130 131 132 138 140 140

Inhaltsverzeichnis

5.5

XI

5.4.2 Instationäre Rohrströmung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141 Zusammenfassung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142

Teil B: Laminare Grenzschichten 6

7

Grenzschichtgleichungen der ebenen Strömung; Plattengrenzschicht

145

6.1 6.2 6.3 6.4 6.5

145 150 152 155 156

Aufstellung der Grenzschichtgleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Wandreibung, Ablösung und Verdrängung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Dimensionsbehaftete Darstellung der Grenzschichtgleichungen . . Reibungswiderstand . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Plattengrenzschicht . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Allgemeine Eigenschaften und exakte Lösungen der Grenzschichtgleichungen für ebene Strömungen

7.1 7.2

7.3

7.4

7.5

7.6

Wandbindung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Ähnliche Lösungen der Grenzschichtgleichungen . . . . . . . . . . . . . . 7.2.1 Herleitung der gewöhnlichen Differentialgleichung . . . . . A Grenzschichten mit Außenströmungen (U (ξ )  = 0) . . . B Grenzschichten ohne Außenströmung (U (ξ ) = 0) . . . . 7.2.2 Keilströmungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.2.3 Strömung im konvergenten Kanal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.2.4 Trennungsschicht . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.2.5 Gezogene Platte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.2.6 Freistrahl . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.2.7 Wandstrahl . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Transformation der Koordinaten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.3.1 Görtler-Transformation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.3.2 von Mises-Transformation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.3.3 Crocco-Transformation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Reihenentwicklungen der Lösungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.4.1 Blasius-Reihe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.4.2 Görtler-Reihe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Asymptotisches Verhalten der Lösungen stromabwärts . . . . . . . . . . 7.5.1 Nachlauf hinter ebenen Körpern . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.5.2 Grenzschicht an einer bewegten Wand . . . . . . . . . . . . . . . . Integralsätze der Grenzschicht . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.6.1 Impulssatz der Grenzschicht . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.6.2 Energiesatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.6.3 Impulsmomentensätze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

167

167 169 169 171 174 174 176 177 179 179 182 184 184 185 186 187 187 189 189 189 192 193 193 195 196

XII

8

Inhaltsverzeichnis

Näherungsverfahren zur Lösung der Grenzschichtgleichungen für stationäre ebene Strömungen

8.1 8.2 8.3

Integralverfahren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Ablösungskriterium nach Stratford . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Vergleich der Lösungen des Näherungsverfahrens mit exakten Lösungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.3.1 Verzögerte Staupunktströmung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.3.2 Divergenter Kanal (Diffusor) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.3.3 Kreiszylinder-Strömung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.3.4 Symmetrische Strömung um ein Joukowsky-Profil . . . . . .

9 Temperaturgrenzschichten ohne Kopplung des Geschwindigkeitsfeldes an das Temperaturfeld

9.1 9.2 9.3 9.4 9.5 9.6

Grenzschichtgleichungen für das Temperaturfeld . . . . . . . . . . . . . . Erzwungene Konvektion bei konstanten Stoffwerten . . . . . . . . . . . . Einfluß der Prandtl-Zahl . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Ähnliche Lösungen der Temperaturgrenzschicht-Gleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Integralverfahren zur Berechnung des Wärmeüberganges . . . . . . . . Einfluß der Dissipation; Verteilung der adiabaten Wandtemperatur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

10 Grenzschichten mit Kopplung des Geschwindigkeitsfeldes an das Temperaturfeld

10.1 10.2 10.3

10.4

10.5

Vorbemerkung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Grenzschichtgleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Grenzschichten mit mäßigem Wärmeübergang (ohne Schwerkrafteinfluß) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10.3.1 Störungsrechnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10.3.2 Methode der Stoffwertverhältnisse (Temperaturverhältnisse) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10.3.3 Methode der Referenztemperatur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Kompressible Grenzschichten (ohne Schwerkrafteinfluß) . . . . . . . . 10.4.1 Aufgabenstellung und Stoffgesetze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10.4.2 Einfache Lösungen der Energiegleichung . . . . . . . . . . . . . . 10.4.3 Transformation der Grenzschichtgleichungen . . . . . . . . . . 10.4.4 Ähnliche Lösungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10.4.5 Integralverfahren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10.4.6 Grenzschichten bei Hyperschallströmungen . . . . . . . . . . . . Natürliche Konvektion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10.5.1 Grenzschichtgleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10.5.2 Transformation der Grenzschicht-Gleichungen . . . . . . . . . 10.5.3 Grenzfall großer Prandtl-Zahlen (Tw = const) . . . . . . . . .

199

199 205 206 206 208 209 212

213

213 215 219 222 226 230

235

235 236 237 237 241 244 245 245 248 250 253 260 266 268 268 273 275

Inhaltsverzeichnis

10.6 10.7

10.5.4 Ähnliche Lösungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10.5.5 Allgemeine Lösungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10.5.6 Variable Stoffwerte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10.5.7 Einfluß der Dissipation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Indirekte natürliche Konvektion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Gemischte Konvektion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

11 Grenzschichtbeeinflussung (Absaugen/Ausblasen)

11.1 11.2

11.3

Die verschiedenen Arten der Grenzschichtbeeinflussung . . . . . . . . Kontinuierliches Absaugen bzw. Ausblasen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.2.1 Grundlagen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.2.2 Massives Absaugen (vw → −∞) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.2.3 Massives Ausblasen (vw → +∞) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.2.4 Ähnliche Lösungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.2.5 Allgemeine Lösungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.2.6 Ausblasen und Absaugen bei natürlicher Konvektion . . . . Zweistoffgrenzschichten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.3.1 Überblick . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.3.2 Grundgleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.3.3 Analogie zwischen Wärme- und Stoffübertragung . . . . . . . 11.3.4 Ähnliche Lösungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

12 Axialsymmetrische und dreidimensionale Grenzschichten

12.1

12.2

Axialsymmetrische Grenzschichten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12.1.1 Grenzschichtgleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12.1.2 Mangler-Transformation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12.1.3 Grenzschichten an Rotationskörpern ohne Rotation . . . . . 12.1.4 Grenzschichten an Rotationskörpern mit Rotation . . . . . . . 12.1.5 Freistrahl und Nachlauf . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Dreidimensionale Grenzschichten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12.2.1 Grenzschichtgleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12.2.2 Grenzschichten am Zylinder . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12.2.3 Grenzschichten am schiebenden Zylinder . . . . . . . . . . . . . . 12.2.4 Dreidimensionaler Staupunkt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12.2.5 Grenzschichten in Symmetrie-Ebenen . . . . . . . . . . . . . . . . 12.2.6 Allgemeine Konfigurationen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

13 Instationäre Grenzschichten

13.1

Grundlagen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13.1.1 Vorbemerkung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13.1.2 Grenzschichtgleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13.1.3 Ähnliche und halbähnliche Lösungen . . . . . . . . . . . . . . . . .

XIII

276 280 282 284 284 287 295

295 299 299 301 303 305 310 314 315 315 315 320 321 325

325 325 327 328 331 335 339 339 344 345 346 348 349 351

351 351 352 353

XIV

Inhaltsverzeichnis

13.2

13.3

13.4

13.1.4 Lösungen für kleine Zeiten bzw. große Frequenzen . . . . . 13.1.5 Ablösung instationärer Grenzschichten . . . . . . . . . . . . . . . . 13.1.6 Integralsätze und Integralverfahren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Instationäre Bewegung von Körpern in ruhender Umgebung . . . . . 13.2.1 Anfahrvorgänge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13.2.2 Oszillation von Körpern in ruhender Umgebung . . . . . . . . Instationäre Grenzschichten bei einer stationären Grundströmung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13.3.1 Periodische Außenströmung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13.3.2 Stationäre Strömung mit schwacher periodischer Störung . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13.3.3 Zeitlicher Übergang zwischen zwei nur wenig verschiedenen stationären Grenzschichten . . . . . . . . . . . . . Kompressible instationäre Grenzschichten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13.4.1 Vorbemerkung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13.4.2 Grenzschicht hinter einer Stoßwelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13.4.3 Längstangeströmte ebene Platte bei zeitlich veränderlicher Außengeschwindigkeit und Wandtemperatur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

14 Erweiterungen der Prandtlschen Grenzschichttheorie

14.1 14.2 14.3 14.4 14.5 14.6

Vorbemerkung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Grenzschichttheorie höherer Ordnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Hyperschall-Wechselwirkung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Dreierdeck-Theorie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Marginale Ablösung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Massive Ablösung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

354 355 356 356 356 363 367 367 369 370 371 371 372

375 377

377 378 388 392 403 408

Teil C: Übergang laminar–turbulent 15 Einsetzen der Turbulenz (Stabilitätstheorie)

15.1

15.2

Einige experimentelle Ergebnisse über den laminar–turbulenten Übergang . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15.1.1 Übergang bei der Rohrströmung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15.1.2 Übergang in der Grenzschicht . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Grundlagen der Stabilitätstheorie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15.2.1 Vorbemerkung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15.2.2 Grundlagen der primären Stabilitätstheorie . . . . . . . . . . . . 15.2.3 Orr-Sommerfeld-Gleichung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15.2.4 Berechnung der Indifferenzkurve und der Indifferenz-Reynolds-Zahl . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15.2.4a Plattengrenzschicht . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

413

413 413 417 422 422 423 426 433 435

Inhaltsverzeichnis

15.3

15.4

15.2.4b Einfluß des Druckgradienten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15.2.4c Einfluß der Absaugung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15.2.4d Einfluß des Wärmeüberganges . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15.2.4e Einfluß der Kompressibilität . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15.2.4f Einfluß der Wandrauheit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15.2.4g Weitere Einflüsse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Instabilität der Grenzschicht bei dreidimensionalen Störungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15.3.1 Vorbemerkung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15.3.2 Grundlagen der sekundären Stabilitätstheorie . . . . . . . . . . 15.3.3 Grenzschichten an gekrümmten Wänden . . . . . . . . . . . . . . 15.3.4 Grenzschicht an der rotierenden Scheibe . . . . . . . . . . . . . . 15.3.5 Dreidimensionale Grenzschichten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Lokale Störungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

XV

443 456 459 461 466 470 472 472 474 478 482 483 490

Teil D: Turbulente Grenzschichten 16 Grundzüge der turbulenten Strömungen

16.1 16.2 16.3

16.4 16.5

16.6

Vorbemerkung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Mittlere Bewegung und Schwankungsbewegung . . . . . . . . . . . . . . . Grundgleichungen für die mittlere Bewegung turbulenter Strömungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16.3.1 Kontinuitätsgleichung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16.3.2 Impulsgleichungen (Reynolds-Gleichungen) . . . . . . . . . . . 16.3.3 Gleichung für die kinetische Energie der turbulenten Schwankungsbewegung (k-Gleichung) . . 16.3.4 Thermische Energiegleichung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Schließungsproblem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Beschreibung der turbulenten Schwankungsbewegung . . . . . . . . . . 16.5.1 Korrelationen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16.5.2 Spektren und Turbulenzballen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16.5.3 Turbulenz der Außenströmung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16.5.4 Berandung turbulenter Gebiete und Intermittenz . . . . . . . . Grenzschichtgleichungen für ebene Strömungen . . . . . . . . . . . . . . .

17 Durchströmungen

17.1

Couette-Strömung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17.1.1 Zweischichten-Struktur des Geschwindigkeitsfeldes und logarithmisches Überlappungsgesetz . . . . . . . . . . . . . . 17.1.2 Universelle Wandgesetze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17.1.3 Widerstandsgesetz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17.1.4 Turbulenz-Modelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

495

495 497 500 500 501 504 506 507 508 508 509 511 512 513 517

517 517 522 534 537

XVI

Inhaltsverzeichnis

17.2

17.3

17.1.5 Wärmeübertragung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Ausgebildete Durchströmungen (A = const) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17.2.1 Kanalströmung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17.2.2 Couette-Poiseuille-Strömungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17.2.3 Rohrströmung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Schlankkanal-Theorie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17.3.1 Ebene Düsen und Diffusoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17.3.2 Einlaufströmung für Kanal und Rohr . . . . . . . . . . . . . . . . .

18 Turbulente Grenzschichten ohne Kopplung des Geschwindigkeitsfeldes an das Temperaturfeld

18.1

18.2

18.3

18.4

18.5

18.6

Turbulenz-Modelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18.1.1 Vorbemerkung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18.1.2 Algebraische Turbulenzmodelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18.1.3 Turbulente Energiegleichung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18.1.4 Zweigleichungs-Modelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18.1.5 Reynolds-Spannungs-Modelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18.1.6 Modelle für die Wärmeübertragung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18.1.7 Niedrig-Reynolds-Zahl-Modelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18.1.8 Grobstruktur-Simulation und direkte numerische Simulation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Anliegende Grenzschichten ( τw  = 0) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18.2.1 Schichtenstruktur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18.2.2 Grenzschichtgleichungen in Defekt-Formulierung . . . . . . 18.2.3 Widerstandsgesetz und Kenngrößen der Grenzschicht . . . 18.2.4 Gleichgewichtsgrenzschichten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18.2.5 Grenzschicht an der längsangeströmten ebenen Platte . . . Grenzschichten mit Ablösung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18.3.1 Stratford-Strömung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18.3.2 Quasi-Gleichgewichtsgrenzschichten . . . . . . . . . . . . . . . . . Berechnung ebener Grenzschichten mit Integralverfahren . . . . . . . 18.4.1 Direktes Verfahren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18.4.2 Inverses Verfahren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Berechnung ebener Grenzschichten mit Feldverfahren . . . . . . . . . . 18.5.1 Anliegende Grenzschichten ( τw  = 0) . . . . . . . . . . . . . . . . . 18.5.2 Grenzschichten mit Ablösung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18.5.3 Niedrig-Reynoldszahl-Turbulenzmodelle . . . . . . . . . . . . . . 18.5.4 Zusätzliche Einflüsse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Berechnung thermischer Grenzschichten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18.6.1 Grundlagen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18.6.2 Berechnung thermischer Grenzschichten mit Feldverfahren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

540 541 541 543 548 553 553 555

557

557 557 559 560 562 565 568 571 571 572 572 574 577 579 583 588 588 591 594 594 598 598 598 601 602 604 607 607 609

Inhaltsverzeichnis

19 Turbulente Grenzschichten mit Kopplung des Geschwindigkeitsfeldes an das Temperaturfeld

19.1

19.2

19.3

Grundgleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19.1.1 Zeitliche Mittelung bei variabler Dichte . . . . . . . . . . . . . . . 19.1.2 Grenzschichtgleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Kompressible turbulente Grenzschichten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19.2.1 Temperaturfeld . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19.2.2 Überlappungsgesetz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19.2.3 Reibungsbeiwert und Nußelt-Zahl . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19.2.4 Integralverfahren für adiabate Wände . . . . . . . . . . . . . . . . . 19.2.5 Feldverfahren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19.2.6 Stoß-Grenzschicht-Interaktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Natürliche Konvektion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

20 Axialsymmetrische und dreidimensionale turbulente Grenzschichten

20.1

20.2

Axialsymmetrische Grenzschichten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20.1.1 Grenzschichtgleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20.1.2 Grenzschichten ohne Körperrotation . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20.1.3 Grenzschichten mit Körperrotation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Dreidimensionale Grenzschichten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20.2.1 Grenzschichtgleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20.2.2 Berechnungsverfahren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20.2.3 Beispiele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

XVII

611

611 611 613 616 616 619 621 623 624 625 626

631

631 631 632 635 637 637 641 642

21 Instationäre turbulente Grenzschichten

21.1 21.2 21.3

645 Mittelung und Grenzschichtgleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 645 Berechnungsverfahren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 648 Beispiele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 649

22 Turbulente freie Scherströmungen

22.1 22.2 22.3

22.4 22.5 22.6

Vorbemerkung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Gleichungen für ebene freie Scherschichten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Ebener Freistrahl . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22.3.1 Globale Bilanzen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22.3.2 Fernfeld . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22.3.3 Nahfeld . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22.3.4 Wandeffekte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Trennungsschicht . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Ebener Nachlauf . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Axialsymmetrische freie Scherströmungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22.6.1 Grundgleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22.6.2 Freistrahl (U∞ = 0,  = 8α(x − x0 )) . . . . . . . . . . . . . . . .

653

653 655 660 660 660 665 666 667 669 671 671 672

XVIII

Inhaltsverzeichnis

22.7

22.8

22.6.3 Nachlauf (|UN |  U∞ ,  = λ(x − x0 )1/3 ) . . . . . . . . . . Auftriebsstrahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22.7.1 Ebener Auftriebsstrahl . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22.7.2 Axialsymmetrischer Auftriebsstrahl . . . . . . . . . . . . . . . . . . Ebener Wandstrahl . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

674 675 675 677 678

Teil E: Numerische Verfahren der Grenzschicht-Theorie 23 Numerische Integration der Grenzschichtgleichungen

23.1

23.2 23.3 23.4 23.5

Laminare Grenzschichten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23.1.1 Vorbemerkung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23.1.2 Bemerkungen zu den Grenzschichttransformationen . . . . 23.1.3 Explizite und implizite Diskretisierung . . . . . . . . . . . . . . . . 23.1.4 Lösung der impliziten Differenzengleichungen . . . . . . . . . 23.1.5 Integration der Kontinuitätsgleichung . . . . . . . . . . . . . . . . . 23.1.6 Ermittlung des Grenzschichtrandes und der Wandschubspannung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23.1.7 Integration der transformierten Grenzschichtgleichung mit dem Box-Schema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Turbulente Grenzschichten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23.2.1 Methode der Wandfunktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Niedrig-Reynoldszahl-Turbulenzmodelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Instationäre Grenzschichten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Stationäre dreidimensionale Grenzschichten . . . . . . . . . . . . . . . . . .

681

681 681 682 683 687 688 689 690 694 694 699 700 702

Verzeichnis häufig verwendeter Formelzeichen

707

Literatur- und Namenverzeichnis

715

Einleitung

Kurze geschichtliche Übersicht Am Ende des 19. Jahrhunderts war die Strömungsmechanik in zwei Richtungen auseinandergefallen, die kaum noch miteinander in Berührung standen. Auf der einen Seite war die theoretische Hydrodynamik, die von den Eulerschen Bewegungsgleichungen ausging, zu großer Vollkommenheit entwickelt worden. Da jedoch die Ergebnisse dieser sogenannten klassischen Hydrodynamik in vielen Punkten in krassem Widerspruch zur Erfahrung standen – besonders bezüglich der sehr wichtigen Frage des Druckverlustes in Rohren und Kanälen sowie des Widerstandes eines durch ein Fluid bewegten Körpers –, hatte sie für die Praxis wenig Bedeutung. Aus diesem Grund hatten auf der anderen Seite die Ingenieure, konfrontiert mit praktischen Problemen der Strömungsmechanik, ihre eigene stark empirisch ausgerichtete Wissenschaft, die Hydraulik, entwickelt, die sich auf eine große Menge von Versuchsdaten stützte und sich in den Methoden und den Zielen von der theoretischen Hydrodynamik sehr stark unterschied. Es ist das große Verdienst von L. Prandtl, zu Anfang des 20. Jahrhunderts den Weg aufgezeigt zu haben, wie diese beiden auseinanderstrebenden Richtungen der Strömungsmechanik wieder zusammengeführt werden konnten, sowie aus der Synthese von Theorie und Experiment eine Entwicklung angebahnt zu haben, die in der modernen Strömungsmechanik in der ersten Hälfte des 20. Jahrhunderts zu ungeahnten Erfolgen geführt hat. An sich war es schon damals bekannt, daß die starke Diskrepanz zwischen den Ergebnissen der klassischen Hydrodynamik und der Wirklichkeit in sehr vielen Fällen von der Vernachlässigung der Reibung in der Theorie herrührt. Darüber hinaus waren auch die vollständigen Bewegungsgleichungen der Strömungen mit Reibung (Navier-Stokes-Gleichungen) seit langem bekannt. Wegen der großen mathematischen Schwierigkeiten dieser Gleichungen hatte man aber (abgesehen von wenigen Einzelfällen) noch keinen Zugang zu der theoretischen Behandlung der Strömungen mit Reibung gefunden. Für die technisch wichtigen Fluide Wasser und Luft ist jedoch die Viskosität sehr klein, und infolgedessen sind auch die von der Viskosität verursachten Reibungskräfte im großen und ganzen recht klein im Vergleich zu den übrigen Kräften (Schwerkraft, Druckkraft). Es machte deshalb lange Zeit große begriffliche Schwierigkeiten einzusehen, daß die in der klassischen Theorie vernachlässigten Reibungskräfte einen entscheidenden Einfluß auf den Ablauf der Bewegung haben sollten. In seinem Vortrag „Über Flüssigkeitbewegung bei sehr kleiner Reibung“ auf dem Heidelberger Mathematiker-Kongreß im Jahre 1904 hat L. Prandtl (1904) den Weg gezeigt, wie Strömungen mit Reibung gerade für die praktisch wichtigen Fälle ei-

XX

Einleitung

ner theoretischen Behandlung zugeführt werden können. Prandtl zeigte durch theoretische Überlegungen zusammen mit einigen einfachen Experimenten, daß man die Strömung in der Umgebung eines Körpers in zwei Gebiete einteilen kann: eine sehr dünne Schicht in der Nähe des Körpers (Grenzschicht), wo die Reibung eine wesentliche Rolle spielt, und das übrige Gebiet außerhalb dieser Schicht, wo die Reibung vernachlässigt werden kann. Mit Hilfe dieses Konzeptes konnte nicht nur eine physikalisch sehr einleuchtende Erklärung für die wichtige Rolle der Viskosität beim Widerstandsproblem gegeben werden, sondern gleichzeitig wurde unter weitgehender Zurückdrängung der mathematischen Schwierigkeiten der Weg für die theoretische Behandlung der Strömung mit Reibung freigelegt. Seine theoretischen Überlegungen stützte Prandtl schon damals durch einige sehr einfache Versuche in einem kleinen, selbst gebauten Wasserkanal. Damit war der Anfang gemacht, die verlorengegangene Verbindung zwischen Theorie und Praxis wiederherzustellen. Die Theorie dieser sogenannten Prandtlschen Grenzschicht oder Reibungsschicht hat sich als außerordentlich fruchtbar erwiesen und der weiteren Entwicklung der Strömungsforschung seit Anfang dieses Jahrhunderts einen entscheidenden Antrieb gegeben. Unter dem Einfluß der damals aufblühenden Flugtechnik hat sich die neue Theorie recht schnell entwickelt und ist bald zusammen mit anderen wichtigen Fortschritten – Tragflügeltheorie, Gasdynamik – zu einem der Grundpfeiler der modernen Strömungsmechanik geworden. Zu den wichtigsten Anwendungen der Grenzschicht-Theorie gehört die Berechnung des Reibungswiderstandes von umströmten Körpern z.B. des Widerstandes einer längsangeströmten ebenen Platte, des Reibungswiderstandes eines Schiffes, eines Tragflügelprofils, eines Flugzeugrumpfes oder einer Turbinenschaufel. Eine besondere Eigenschaft der Grenzschicht ist, daß unter gewissen Umständen in unmittelbarer Wandnähe Rückströmung auftritt. Damit ist dann eine Ablösung der Grenzschicht vom Körper und eine mehr oder minder starke Wirbelbildung auf der Rückseite des umströmten Körpers verbunden. Dadurch wird eine starke Änderung der Druckverteilung auf der Rückseite des umströmten Körpers verursacht. Hieraus resultiert der Druckwiderstand der umströmten Körper, zu dessen Berechnung die Grenzschicht-Theorie somit den Zugang liefert. Die Grenzschicht-Theorie gibt eine Antwort auf die wichtige Frage, welche Form ein umströmter Körper haben muß, damit die schädliche Ablösung vermieden wird. Aber nicht nur bei der Umströmung des Körpers kann Ablösung auftreten, sondern auch bei der Durchströmung eines Kanals. Somit können auch die Strömungsvorgänge in den Schaufelkanälen von Strömungsmaschinen (Pumpen, Turbinen) sowie in Diffusoren und Düsen durch die Grenzschicht-Theorie beschrieben werden. Auch die Vorgänge bei Maximalauftrieb eines Tragflügels, bei denen ebenfalls Ablösungen von Bedeutung sind, lassen sich nur aufgrund der Grenzschicht-Theorie verstehen. Auch für den Wärmeübergang zwischen einem Körper und dem ihn umströmenden Fluid spielen die Vorgänge in der Grenzschicht die entscheidende Rolle. Zunächst wurde die Grenzschicht-Theorie hauptsächlich für laminare Strömungen eines inkompressiblen Fluids entwickelt, für die der Ansatz für die Reibungskräfte mit dem Stokesschen Reibungsgesetz bereits vorlag. Dieses Teilgebiet ist später in zahlreichen Arbeiten so weitgehend erforscht worden, daß es heute in seinen wesent-

Einleitung

XXI

lichen Zügen als geklärt gelten kann. Später wurde die Theorie auch auf die praktisch wichtigeren turbulenten inkompressiblen Grenzschichtströmungen ausgedehnt. Für turbulente Strömungen hatte zwar bereits O. Reynolds um 1890 den grundlegend wichtigen Begriff der turbulenten Scheinreibung eingeführt, vgl. O. Reynolds (1894). Dieser gestattete aber noch nicht die theoretische Berechnung der turbulenten Strömungen. Die Einführung des Begriffes des Prandtlschen Mischungsweges, vgl. L. Prandtl (1925), brachte hier wesentliche Fortschritte und machte zusammen mit systematischen Versuchen auch turbulente Strömungen der theoretischen Behandlung mit Hilfe der Grenzschicht-Theorie zugänglich. Eine rationelle Theorie der ausgebildeten turbulenten Strömungen steht auch heute noch aus. Später sind, veranlaßt durch das starke Anwachsen der Geschwindigkeit in der Flugtechnik, auch die Grenzschichten bei kompressibler Strömung eingehend untersucht worden. Dabei bildet sich neben der Strömungsgrenzschicht eine Temperaturgrenzschicht aus, die für den Wärmeübergang zwischen dem strömenden Medium und dem umströmten Körper von großer Bedeutung ist. Bei großen Mach-Zahlen tritt infolge innerer Reibung (Dissipation) eine starke Erhitzung der beströmten Körperoberfläche auf, die insbesondere für die Flugtechnik und den Satellitenflug ein schwieriges Problem darstellt („Hitzemauer“). Die für die gesamte Strömungsmechanik fundamental wichtige Erscheinung des Überganges der laminaren Strömungsform in die turbulente wurde zuerst von O. Reynolds in den achtziger Jahren des 19. Jahrhunderts bei der Rohrströmung näher untersucht, vgl. O. Reynolds (1883). Im Jahre 1914 konnte Prandtl am Beispiel der Kugelströmung auf experimentellem Wege zeigen, daß auch die Grenzschicht laminar und turbulent strömt und daß der Ablösungsvorgang und damit das ganze Widerstandsproblem von diesem Übergang laminar-turbulent beherrscht wird, vgl. L. Prandtl (1914). Die theoretischen Untersuchungen über den Übergang laminarturbulent gehen von der Reynoldsschen Vermutung der Instabilität der Laminarströmung aus. Sie wurden 1921 von Prandtl in Angriff genommen. Nach manchen vergeblichen Versuchen gelang erstmalig W. Tollmien (1929) und H. Schlichting (1933) die theoretische Berechnung der Indifferenz-Reynolds-Zahl für die längsangeströmte ebene Platte. Es dauerte jedoch mehr als zehn Jahre, bis die Theorie durch die sehr sorgfältigen Experimente von H.L. Dryden (1946–1948) und seinen Mitarbeitern bestätigt werden konnten. Auch der Einfluß anderer Parameter auf den Übergang (Druckgradient, Absaugung, Mach-Zahl, Wärmeübergang) konnte durch die Stabilitätstheorie der Grenzschicht aufgeklärt werden. Diese Theorie hat u.a. bei den Tragflügelprofilen mit sehr geringem Widerstand (Laminarprofile) eine wichtige Anwendung gefunden. Eine zusammenfassende Darstellung der Stabilität und des Übergangs laminar–turbulent der Grenzschicht stammt von P.J. Schmidt; D.S. Henningson (2000). Ein wesentliches Kennzeichen der modernen Strömungsforschung im allgemeinen und auch des Teilgebiets „Grenzschichtforschung“ im besonderen ist die sehr enge Verbindung von Theorie und Experiment. Die entscheidenden Fortschritte sind meist durch einige wenige Grundlagenversuche zusammen mit theoretischen Überlegungen erreicht worden. Eine Übersicht über die Entwicklung der GrenzschichtTheorie unter besonderer Betonung der gegenseitigen Befruchtung von Theorie und

XXII

Einleitung

Experiment hat vor längerer Zeit A. Betz (1949) gegeben. Forschungsarbeiten über Grenzschichten, wie sie von Prandtl 1904 angeregt wurden, waren in den ersten zwanzig Jahren, bis etwa zu Prandtls Wilbur-Wright-Gedächtnisvorlesung vor der Royal Aeronautical Society in London, L. Prandtl (1927), fast ausschließlich auf Prandtls Institut in Göttingen beschränkt. Erst seit etwa 1930 haben sich auch andere Forscher, zunächst vor allem in England und USA, an dem weiteren Ausbau der Grenzschicht-Theorie beteiligt. Heute ist die Grenzschicht-Theorie über die ganze Welt verbreitet; sie bildet zusammen mit anderen Teilgebieten einen der wichtigsten Grundpfeiler der modernen Strömungsforschung. Mitte der fünfziger Jahre wurden die mathematischen Methoden der singulären Störungsrechnung systematisch entwickelt, vgl. S. Kaplun (1954), S. Kaplun; P.A. Lagerstrom (1957), M. Van Dyke (1964b), siehe auch W. Schneider (1978). Dabei wurde deutlich, daß die von Prandtl heuristisch entwickelte GrenzschichtTheorie ein klassisches Beispiel zur Lösung eines singulären Störungsproblems darstellt. Danach ist die Grenzschicht-Theorie eine rationale asymptotische Theorie zur Lösung der Navier-Stokes-Gleichung für große Reynolds-Zahlen. Damit eröffnete sich die Möglichkeit der systematischen Erweiterung zur Grenzschicht-Theorie höherer Ordnung, vgl. M. Van Dyke (1969), K. Gersten (1972), K. Stewartson (1974), K. Gersten; J.F. Gross (1976). Die zunächst für laminare Strömungen entwickelten asymptotischen Methoden wurden dann Anfang der siebziger Jahre auch auf turbulente Strömungen übertragen, vgl. K.S. Yajnik (1970), G.L. Mellor (1972). Literaturübersichten zur asymptotischen Theorie turbulenter Strömungen findet man bei K. Gersten (1987, 1989c), A. Kluwick (1989a) und W. Schneider (1991). Die systematische Anwendung asymptotischer Methoden (reguläre und singuläre Störungsmethoden) auf die Theorie reibungsbehafteter Strömungen wurde von K. Gersten; H. Herwig (1992) gegeben. Auch im Buch von P.A. Libby (1998) werden bevorzugt asymptotische Methoden eingesetzt. Die meisten charakteristischen Eigenschaften der asymptotischen Theorie für große Reynolds-Zahlen findet man bereits in Prandtls Arbeiten, vgl. K. Gersten (2000). Bei der Turbulenz-Modellierung führt die von Prandtl (1925) entwickelte Mischungsweg-Hypothese auf ein algebraisches Turbulenz-Modell. Zwanzig Jahre später wurde von L. Prandtl (1945) der Weg gewiesen, wie durch Verwendung von Transportgleichungen für turbulente Größen, wie kinetische Energie der Schwankungsbewegung, Dissipation, Reynoldssche Schubspannungen, Verbesserungen der Turbulenz-Modelle möglich sind. Berechnungsverfahren für turbulente Grenzschichten mit derartig verfeinerten Turbulenz-Modellen wurden beispielsweise von P. Bradshaw et al. (1967), W.P. Jones; B.E. Launder (1973), K. Hanjalic; B.E. Launder (1976), J. Rotta (1973) entwickelt. Übersichten zu Turbulenz-Modellierungen wurden unter anderem von W.C. Reynolds (1976), V.C. Patel et al. (1985), M. Hallbäck et al. (1996), T. Cebeci; J. Cousteix (1999) and T. Cebeci (2004) gegeben. In zwei äußerst bemerkenswerten Veranstaltungen an der Stanford-Universität in den Jahren 1968 und 1980/81 wurden die jeweils bestehenden Berechnungsverfahren für turbulente Grenzschichten untereinander verglichen und durch besonders ausgewählte Experimente überprüft, vgl. S. Kline et al. (1968) und S. Kline et al. (1981). Erwähnens-

Einleitung

XXIII

wert ist auch eine zusammenfassende Darstellung der Reynoldszahl-Einflüsse auf turbulente Wandgrenzschichten von M. Gad-el-Hak; P.R. Bandyopadhyay (1994). Die rasante Entwicklung im Bereich der Großrechneranlagen (Super-Computer) läßt die Tendenz in der Strömungsmechanik erkennen, in Zukunft verstärkt die Navier-Stokes-Gleichungen ohne jegliche Vereinfachung direkt numerisch zu lösen und auch turbulente Strömungen durch direkte numerische Simulation (DNS), d.h. ohne Turbulenz-Modelle oder mit Modellierung nur der hochfrequenten turbulenten Schrankungsbewegungen („large eddy simulation“), zu berechnen, vgl. D.R. Chapman (1979). Numerische Verfahren zur Berechnung von Strömungen bei hohen Reynolds-Zahlen, die in der Praxis überwiegend vorkommen, werden jedoch nur dann effizient sein, wenn sie die besondere „Schichten“-Struktur der Strömung, wie sie sich aus der asymptotischen Theorie ergibt, berücksichtigt, etwa bei der Erstellung eines geeigneten Rechennetzes. Die Grenzschicht-Theorie wird daher auch in Zukunft ihre fundamentale Rolle bei der Berechnung von Strömungen mit hohen Reynolds-Zahlen behalten. Die erste zusammenfassende Darstellung hat die Grenzschicht-Theorie in zwei kurzen Artikeln von W. Tollmien (1931) im Handbuch der Experimentalphysik erfahren. Einige Jahre später folgte Prandtls umfassender Beitrag zu dem von W.F. Durand herausgegebenen Handbuch der Aerodynamik, L. Prandtl (1935). In den seitdem verflossenen sechs Jahrzehnten hat dieses Forschungsgebiet einen außerordentlich großen Umfang angenommen, vgl. H. Schlichting (1960) sowie auch I. Tani (1977), A.D. Young (1989), K. Gersten (1989a) und A. Kluwick (1998). Nach einer von H.L. Dryden (1955) gegebenen Übersicht erschienen im Jahre 1955 etwa 100 Arbeiten über Grenzschichten, und heute ist diese Zahl auf etwa 800 Arbeiten pro Jahr angewachsen. Dieses Teilgebiet der Strömungsforschung hat damit, ebenso wie manches andere Gebiet, einen so großen Umfang angenommen, daß es von einem einzelnen Forscher in all seinen Einzelgebieten kaum noch überblickt werden kann. Es ist aber andererseits ein klarer Hinweis auf die große Bedeutung der GrenzschichtTheorie.

1 Einige Grundzüge der Strömungen mit Reibung

1.1

Wirkliche und ideale Fluide Für die theoretischen Untersuchungen der Strömungsmechanik wurde im vorigen Jahrhundert meist das ideale, d.h. viskositätsfreie, inkompressible Fluid zugrunde gelegt. Erst seit diesem Jahrhundert wird der Einfluß der Viskosität und der Kompressibilität in stärkerem Maße berücksichtigt. Bei der Strömung eines viskositätsfreien Fluids treten zwischen angrenzenden Schichten keine Tangentialkräfte (Schubspannungen), sondern nur Normalkräfte (Drücke) auf. Dies ist gleichbedeutend damit, daß das ideale Fluid einer Formänderung keinen inneren Widerstand entgegensetzt. Die Theorie der Strömungen idealer Fluide ist mathematisch sehr weit entwickelt und liefert in vielen Fällen auch eine befriedigende Beschreibung für die wirklichen Strömungen, wie z.B. bei der Wellenbewegung oder der Bildung von Flüssigkeitsstrahlen. Dagegen versagt die Theorie der idealen Fluide völlig bei dem Problem der Berechnung des Strömungswiderstandes eines Körpers. Sie liefert hier die Aussage, daß ein Körper, der sich mit Unterschallgeschwindigkeit gleichförmig durch ein unendlich ausgedehntes Fluid bewegt, keinen Widerstand erfährt (D’Alembertsches Paradoxon). Dieses unannehmbare Ergebnis der Theorie der idealen Fluide ist darauf zurückzuführen, daß in wirklichen Fluiden sowohl zwischen den Schichten im Inneren als auch zwischen Fluid und einer beströmten Wand außer den Normalkräften auch Tangentialkräfte übertragen werden. Diese Tangential- oder Reibungskräfte wirklicher Fluide hängen mit einer Eigenschaft zusammen, die man die Viskosität der Fluide nennt. Im idealen Fluid ist auf der Grenzfläche zwischen einem festen Körper und dem Fluid wegen des Fehlens von Tangentialkräften im allgemeinen ein Unterschied der Tangentialgeschwindigkeiten vorhanden, d.h. es findet ein Gleiten des Fluids an der Wand statt. Beim wirklichen Fluid dagegen werden an einer beströmten festen Wand Tangentialkräfte übertragen, weil das Fluid an der Wand haftet. Das Vorhandensein von Tangentialspannung (Schubspannung) und die Haftbedingung an festen Wänden machen den wesentlichen Unterschied zwischen den idealen und den wirklichen Fluiden aus. Einige praktisch besonders wichtige Fluide, wie Wasser und Luft, haben eine sehr geringe Viskosität. Die Strömungen solcher Fluide kleiner Reibung stimmen in vielen Fällen recht gut mit denen des idealen Fluids überein, weil im großen und ganzen die Tangentialkräfte sehr klein sind. In der Theorie des idealen Fluids hat man deshalb die Viskosität vernachlässigt, weil dadurch so wesentliche Vereinfachungen der Bewegungsgleichungen erreicht werden, daß eine

2

1 Einige Grundzüge der Strömungen mit Reibung

ausgedehnte mathematische Theorie möglich ist. Es ist jedoch wichtig, darauf hinzuweisen, daß auch bei Fluiden mit sehr kleiner Viskosität gegenüber dem idealen Fluid die Haftbedingung bestehen bleibt. Diese Haftbedingung führt jedoch in manchen Fällen zu starken Abweichungen zwischen den Strömungsgesetzen der wirklichen und der idealen Fluide. Insbesondere hat die oben angegebene starke Diskrepanz zwischen dem Widerstandsgesetz des wirklichen und idealen Fluids ihre physikalische Ursache in der Haftbedingung an der Wand. Dieses Buch beschäftigt sich mit den Strömungsgesetzen der Fluide mit kleiner Viskosität, weil diese eine große praktische Bedeutung haben. Dabei wird sich herausstellen, wie man das teilweise weitgehend übereinstimmende und teilweise stark abweichende Verhalten der idealen und der wirklichen Fluide erklären kann.

1.2

Viskosität Das Wesen der Viskosität eines Fluids kann man sich am einfachsten durch den folgenden Versuch klarmachen: Es wird die Strömung zwischen zwei sehr langen parallelen ebenen Platten betrachtet, von denen die eine in Ruhe ist, während die andere mit konstanter Geschwindigkeit U in ihrer eigenen Ebene bewegt wird. Der Plattenabstand beträgt h (Bild 1.1). Der Druck sei im ganzen Fluid konstant. Aus dem Experiment erhält man die Aussage, daß das Fluid an den beiden Platten haftet, so daß an der unteren Platte die Geschwindigkeit null ist, während sie an der oberen Platte mit der Geschwindigkeit U der Platte übereinstimmt. Ferner herrscht zwischen den Platten im einfachsten Fall (Newtonsches Fluid, konstante Temperatur) eine lineare Geschwindigkeitsverteilung. Somit ist die Geschwindigkeit dem Abstand y von der unteren Platte proportional, und es gilt u(y) =

y U. h

(1.1)

Um den Bewegungszustand aufrechtzuerhalten, muß an der oberen Platte eine Tangentialkraft in der Bewegungsrichtung angreifen, die den Reibungskräften des Fluids das Gleichgewicht hält. Nach den Versuchsergebnissen ist diese Kraft (Kraft pro Einheit der Plattenfläche = Schubspannung τ ) proportional zu U/ h, wofür im allgemeinen Fall auch du/dy gesetzt werden kann. Der Proportionalitätsfaktor zwischen τ und du/dy, der mit µ bezeichnet werden möge, hängt von der Natur des Fluids ab, d.h. ist ein Stoffwert des Fluids. Er ist klein für die sog. „leichtviskosen“ Fluide

Bild 1.1. Geschwindigkeitsverteilung eines viskosen Fluids zwischen zwei parallelen ebenen Wänden (CouetteStrömung)

1.2 Viskosität

3

wie Wasser, Alkohol und Luft, dagegen groß für die sog. sehr viskosen Fluide wie Öl und Glyzerin. Wir haben somit das Elementargesetz der Fluid-Reibung in der Form τ =µ

du . dy

1)

(1.2)

Die Größe µ ist eine von der Temperatur stark abhängige Materialkonstante des Fluids, die als Viskosität des Fluids bezeichnet wird. Das durch Gl. (1.2) gegebene Reibungsgesetz heißt Newtonsches Reibungsgesetz. Die Gl. (1.2) kann als Definitionsgleichung für die Viskosität aufgefaßt werden. Es muß jedoch betont werden, daß die hier betrachtete Bewegung einen sehr einfachen Spezialfall darstellt. Die Strömung nach Bild 1.1 wird auch als einfache Scherströmung oder Couette-Strömung bezeichnet. Die Verallgemeinerung dieses elementaren Reibungsgesetzes ergibt das Stokessche Reibungsgesetz (vgl. Kap. 3). Die physikalische Einheit der Viskosität kann aus Gl. (1.2) sofort abgelesen werden2 . Die Schubspannung τ hat die Einheit kg/ms2 oder N/m2 und der Geschwindigkeitsgradient du/dy die Einheit s−1 . Somit hat µ die Einheit kg Ns [µ] = = 2 = Pa s . m s m Bei allen Strömungen, bei denen Reibungskräfte mit den Trägheitskräften zusammenwirken, spielt eine wichtige Rolle der Quotient aus der Viskosität µ und der Dichte , der als kinematische Viskosität ν bezeichnet wird: ν=

µ 

[ν] =

m2 . s

3)

(1.3)

Fluide, bei denen ein nichtlinearer Zusammenhang zwischen der Schubspannung τ und dem Geschwindigkeitsgradienten du/dy besteht, heißen nicht-Newtonsche Fluide. Da alle Gase und sehr viele technisch wichtige Flüssigkeiten, z.B. Wasser, Newtonsches Verhalten zeigen, für die also Gl. (1.2) gilt, werden in diesem Buch nur Newtonsche Fluide betrachtet. Wie bereits gesagt, ist die Viskosität ein Stoffwert. Da sie für den Impulstransport senkrecht zur Hauptströmungsrichtung sorgt, wird die Viskosität auch als Transporteigenschaft des Fluids bezeichnet. Es gibt auch entsprechende Stoffwerte des Fluids für Wärme- und Stofftransporte, wie in Kap. 3.10 und Kap. 11.3 noch gezeigt wird. 1 Nach der DIN-Norm 1342 (Viskosität Newtonscher Flüssigkeiten) wird die Viskosität mit

η bezeichnet. Da jedoch η im folgenden eine dimensionslose Koordinate bedeutet, wird in diesem Buch in Abweichung von der DIN-Norm die Viskosität mit µ bezeichnet. 2 Es wird das internationale Einheitssystem SI verwendet, also: das Meter (m), die Sekunde (s), für die Masse das Kilogramm (kg), für die Kraft das Newton (N) und für den Druck das Pascal (Pa). Es ist: 1 Pa = 1 N/m2 = 1 kg/m s2 . Als gesetzliche Einheit des Druckes gilt noch 1 bar = 105 Pa. Zum früher üblichen Maßsystem bestehen die Beziehungen 1 kp = 9,80665 N und 1 at = 0,980665 bar. 3 Ein anderes Maß für die Viskosität ist das Poise P = 0,1N s/m2 . Die kinematische Viskosität wird auch in Stokes S = 10−4 m2 / s gemessen.

4

1 Einige Grundzüge der Strömungen mit Reibung

Die Viskosität ist im allgemeinen eine Funktion von Temperatur und Druck. Dabei dominiert die Temperatur-Abhängigkeit. Mit wachsender Temperatur nimmt im allgemeinen die Viskosität von Gasen zu, die von Flüssigkeiten ab. Zahlenwerte für die Viskosität verschiedener Stoffe sind in Kapitel 3.11 angegeben.

1.3

Reynolds-Zahl Es stellt sich jetzt die grundsätzliche wichtige Frage, wann die Fluid- Strömungen um zwei geometrisch ähnliche Körper bei gleicher Anströmungsrichtung zueinander geometrisch ähnlich sind, d.h. wann sie einen geometrisch ähnlichen Verlauf der Stromlinien haben. Solche Strömungen mit geometrisch ähnlicher Begrenzung und geometrisch ähnlichem Stromlinienbild heißen mechanisch ähnliche Strömungen. Damit die Strömungen um zwei geometrisch ähnliche Körper (z.B. um zwei Kugeln) bei verschiedenem Fluid, verschiedener Geschwindigkeit und verschiedener Größe des Körpers mechanisch ähnlich sind, muß offenbar die Bedingung erfüllt sein, daß in allen ähnlich gelegenen Punkten die auf ein Volumenelement wirkenden Kräfte in gleichem Verhältnis zueinander stehen. An einem Volumenelement greifen im allgemeinen folgende Kräfte an: Reibungskräfte (proportional zur Viskosität µ), Trägheitskräfte (proportional zur Dichte ), Druckkräfte und Volumenkräfte (z.B. Schwerkräfte). Im folgenden soll zunächst nur das Verhältnis von Trägheitskräften und Reibungskräften betrachtet werden. Dieses muß demnach bei mechanisch ähnlichen Strömungen in ähnlich gelegenen Volumenelementen gleich sein. Für eine Bewegung, die im wesentlichen in der xRichtung verläuft, beträgt die Trägheitskraft pro Volumeneinheit  du/dt, wobei u die Geschwindigkeitskomponente in der x-Richtung und d/dt den substantiellen Differentialquotienten bedeuten. Für eine stationäre Bewegung kann dafür auch  ∂u/∂x × dx/dt = u ∂u/∂x geschrieben werden, wobei ∂u/∂x die Geschwindigkeitsänderung mit dem Ort bedeutet. Die Trägheitskraft pro Volumeneinheit ist somit  u∂u/∂x. Für die Reibungskraft läßt sich leicht aus dem Newtonschen Reibungsgesetz Gl. (1.2) ein Ausdruck ableiten. Für ein Volumenelement, dessen x-Richtung mit der Bewegungsrichtung zusammenfällt, beträgt nach Bild 1.2 die Resultierende der Schubkräfte
 ∂τ ∂τ τ+ dy dx dz − τ dx dz = dx dy dz . ∂y ∂y Die Reibungskraft der Volumeneinheit ist somit ∂τ/∂y, was nach Gl. (1.2) gleich µ ∂ 2 u/∂y 2 ist. Damit wird die Bedingung der mechanischen Ähnlichkeit, daß in ähnlich gelegenen Punkten das Verhältnis der Trägheitskraft zur Reibungskraft gleich sein muß: Trägheitskraft  u∂u/∂x = = const . Reibungskraft µ ∂ 2 u/∂y 2

1.3 Reynolds-Zahl

5

Bild 1.2. Reibungskräfte amVolumenelement

Es ist jetzt zu überlegen, wie sich diese Kräfte ändern, wenn sich die charakteristischen Größen der Strömung ändern. Diese sind die Dichte , die Viskosität µ, eine charakteristische Geschwindigkeit, etwa die Anströmgeschwindigkeit V , und eine charakteristische Längenabmessung des Körpers, etwa der Kugeldurchmesser d. Die Geschwindigkeit u in irgendeinem Punkt des Strömungsfeldes ist proportional der Anströmungsgeschwindigkeit V , der Geschwindigkeitsgradient ∂u/∂x ist proportional V /d, und ebenso ist ∂ 2 u/∂y 2 proportional V /d 2 . Damit wird das Verhältnis von Trägheitskraft zu Reibungskraft u ∂u/∂x V 2 /d V d Trägheitskraft = . ∼ = 2 2 2 Reibungskraft µ ∂ u/∂y µV /d µ Da der Proportionalitätsfaktor in ähnlich gelegenen Punkten gleich sein muß, ist die mechanische Ähnlichkeit der Strömungen also erfüllt, wenn die Größe V d/µ für beide Strömungen den gleichen Wert hat. Die Größe V d/µ, die mit µ/ = ν auch in der Form V d/ν geschrieben werden kann, ist eine dimensionslose Zahl; sie heißt die Reynolds-Zahl Re. Mechanische Ähnlichkeit der Strömung ist also vorhanden, wenn die Reynolds-Zahl Re =

Vd V d = µ ν

(1.4)

für beide Strömungen gleich ist. Dieses Gesetz wurde von O. Reynolds (1883) bei der Untersuchung der Strömung in Rohren entdeckt und heißt nach ihm das Reynoldssche Ähnlichkeitsgesetz. Daß die Reynolds-Zahl dimensionslos ist, kann man sofort bestätigen, wenn man für die einzelnen Größen ihre Einheit einsetzt: [] = Es wird

kg kg m . , [V ] = , [d] = m, [µ] = m3 s ms



V d µ

 =

ms m kg = 1, × × m× m3 s kg

und somit ist die Reynolds-Zahl dimensionslos. Dimensionsbetrachtung. Anstatt von Betrachtungen der mechanischen Ähnlichkeit auszugehen, kann das Reynoldssche Ähnlichkeitsgesetz auch aus einer Dimensionsbetrachtung hergeleitet werden. Hierbei geht man von dem Prinzip aus, daß alle physikalischen Gesetze sich

6

1 Einige Grundzüge der Strömungen mit Reibung

in einer Form darstellen lassen müssen, die nicht von dem gewählten Maßsystem abhängig ist. Im vorliegenden Fall sind die für den Strömungsverlauf maßgeblichen physikalischen Größen die Anströmungsgeschwindigkeit V , eine charakteristische Körperlänge d sowie Dichte  und Viskosität µ. Aufgrund der Dimensionsbetrachtung stellt man jetzt die Frage: Gibt es eine Kombination aus diesen vier Größen in der Form V α d β γ µδ , welche dimensionslos ist? Bedeuten K das Symbol der Kraft, L das Symbol der Länge und T das der Zeit, so erhält man also eine dimensionslose Kombination der obigen Größen, wenn V α d β γ µδ = K 0 L0 T0 ist. Ohne Beschränkung der Allgemeinheit kann man eine der vier Zahlen α, β, γ , δ gleich 1 wählen, da jede beliebige Potenz der dimensionslosen Größe auch wieder dimensionslos ist. Wählt man α = 1, so ergibt sich V α d β γ µδ =



 L β KT2 γ KT δ L = K0 L0 T0 . T L4 L2

Durch Gleichsetzen der Exponenten von L, T, K links und rechts erhält man die drei Gleichungen: K:

γ +δ =0

L:

1 + β − 4γ − 2δ = 0

T: Die Auflösung ergibt

−1 + 2γ + δ = 0 . β = 1,

γ = 1,

δ = −1 .

Hiernach ist also die einzig mögliche dimensionslose Kombination von V , d, , µ der Quotient V d = Re . µ

Dimensionslose Beiwerte. Man kann diese Dimensionsbetrachtungen nun noch

weiter ausdehnen, wenn das Geschwindigkeitsfeld und die Kräfte (Normalkräfte und Tangentialkräfte) von Strömungen bei geometrisch ähnlicher Begrenzung, aber verschiedener Reynolds-Zahl ins Auge gefaßt werden. Die Lage eines Punktes in der Umgebung der geometrisch ähnlichen Körper sei durch die räumlichen Koordinaten x, y, z festgelegt; dann sind x/d, y/d, z/d die dimensionslosen Ortskoordinaten. Die Geschwindigkeitskomponenten u, v, w werden mit der Anströmgeschwindigkeit V dimensionslos gemacht, somit sind die dimensionslosen Geschwindigkeiten u/V , . . . Ferner werden die Normal- und Tangentialspannungen p und τ zweckmäßig mit dem doppelten Staudruck V 2 dimensionslos gemacht, so daß man als dimensionslose Spannungen p/V 2 und τ/V 2 hat. Das oben erwähnte Gesetz der mechanischen Ähnlichkeit kann dann auch so ausgesprochen werden, daß für die beiden geometrisch ähnlichen Systeme bei gleicher Reynolds-Zahl die dimensionslosen Größen u/V , . . ., p/ V 2 und τ/ V 2 nur von den dimensionslosen Ortskoordinaten x/d, y/d, z/d abhängig sind. Sind jedoch die beiden Systeme nur geometrisch, aber nicht mechanisch ähnlich, sind also ihre Reynolds-Zahlen verschieden, so hängen

1.3 Reynolds-Zahl

7

die obigen dimensionslosen Größen auch noch von den charakteristischen Größen V , d, , µ der beiden Systeme ab. Aus dem Prinzip, daß die physikalischen Gesetze unabhängig vom Maßsystem sind, folgt aber, daß die dimensionslosen Größen u/V , . . . , p/ V 2 , τ/ V 2 nur von der dimensionslosen Kombination von V , d, , µ abhängig sein können. Die einzige dimensionslose Kombination dieser vier Größen ist aber die Reynolds-Zahl Re = V d/µ. Somit führen unsere Betrachtungen zu dem Ergebnis, daß für die beiden verglichenen geometrisch ähnlichen Systeme, deren Reynolds-Zahl verschieden ist, die dimensionslosen Größen des Strömungsfeldes nur abhängig sind von den dimensionslosen Ortskoordinaten x/d, y/d, z/d und der Reynolds-Zahl Re. Auch für die Gesamtkraft, welche vom Fluid auf einen umströmten Körper ausgeübt wird, ist aufgrund dieser Dimensionsbetrachtung eine wichtige Aussage möglich. Diese Gesamtkraft kommt durch die Normaldrücke und Schubspannungen zustande, welche an der Oberfläche des Körpers angreifen. Sei F die Komponente der Gesamtkraft in einer beliebigen Richtung, so kann man einen dimensionslosen Kraftbeiwert bilden in der Form F /d 2  V 2 . Statt der Fläche d 2 ist es gebräuchlich, eine andere charakteristische Fläche S des umströmten Körpers zu wählen, z.B. die der Anströmungsrichtung dargebotene Stirnfläche, die bei der Kugel gleich π d 2 /4 ist. Der dimensionslose Kraftbeiwert ist somit F /S V 2 . Aufgrund der obigen Überlegungen kann dieser dimensionslose Kraftbeiwert, der das Integral von p/ V 2 und τ/ V 2 über die Körperfläche darstellt, bei geometrisch ähnlichen Systemen ebenfalls nur von der Kombination V , d, , µ, also von der Reynolds-Zahl, abhängen. Die Komponente der resultierenden Kraft parallel zur ungestörten Anströmrichtung wird als Widerstand W und die Komponente senkrecht zur Anströmungsrichtung als Auftrieb A bezeichnet. Die dimensionslosen Beiwerte für den Auftrieb und den Widerstand sind somit, wenn man statt V 2 noch den Staudruck V 2 /2 als Bezugsgröße wählt: A W und cW =  2 . (1.5) cA =  2 2V S 2V S Unsere Überlegungen führen also zu dem Ergebnis, daß die dimensionslosen Auftriebs- und Widerstandsbeiwerte bei geometrisch ähnlichen Systemen, d.h. bei geometrisch ähnlichen Körpern, welche die gleiche Orientierung zur Anströmungsrichtung besitzen, nur von der Reynolds-Zahl Re abhängig sind: cA = f1 (Re);

cW = f2 (Re) .

(1.6)

Es sei an dieser Stelle betont, daß diese wichtige Schlußfolgerung aus dem Reynoldsschen Ähnlichkeitsgesetz in dieser einfachen Form nur Gültigkeit hat, solange Schwerkräfte und elastische Kräfte (bei kompressiblen Fluiden) unberücksichtigt bleiben. Ansonsten kommen in den Beziehungen noch weitere dimensionslose Kennzahlen hinzu. Beispielsweise tritt bei Strömungen von Flüssigkeiten mit freien Oberflächen, bei denen dann die Schwerkraft von Bedeutung ist, als weitere dimensionslose Kennzahl die Froude-Zahl V Fr = √ (1.7) gd

8

1 Einige Grundzüge der Strömungen mit Reibung

auf. Entsprechend ist bei Strömungen mit hohen Geschwindigkeiten, wenn zusätzlich elastische Kräfte aufgrund der Kompressibilität des Fluids auftreten, die Mach-Zahl Ma =

V c

(1.8)

mit c als Schallgeschwindigkeit eine wichtige zusätzliche dimensionslose Kennzahl. Die Bedeutung des durch Gl. (1.6) gegebenen Ähnlichkeitsgesetzes für die ganze theoretische und experimentelle Strömungsmechanik ist sehr groß. Einmal sind die dimensionslosen Beiwerte cA , cW und Re unabhängig vom verwendeten Maßsystem. Die Bestimmung der Funktionen f1 (Re) und f2 (Re) ist in vielen Fällen theoretisch nicht möglich. Für ihre Bestimmung ist man dann auf Versuche angewiesen. Wünscht man z.B. den Widerstandsbeiwert cW eines Körpers, etwa einer Kugel, experimentell zu bestimmen, so hätte man ohne Kenntnis des Reynoldsschen Ähnlichkeitsgesetzes Widerstandsmessungen für die vier unabhängigen Parameter V , d, , µ auszuführen, was ein außerordentlich umfangreiches Meßprogramm bedeuten würde. Bei Beachtung des Reynoldsschen Ähnlichkeitsgesetzes ergibt sich jedoch, daß der dimensionslose Beiwert von Kugeln von verschiedenem Durchmesser d und bei verschiedener Anströmungsgeschwindigkeit V in verschiedenem strömenden Medium mit den Werten  und µ lediglich von der einen Variablen Re abhängig ist. In welch vorzüglicher Weise dieses Reynoldssche Ähnlichkeitsgesetz durch die Versuche bestätigt wird, zeigt Bild 1.3, in dem der Widerstandsbeiwert von längsangeströmten glatten ebenen Platten in Abhängigkeit von der Reynolds-Zahl dargestellt ist. Die gemessenen Widerstandsbeiwerte für Platten ganz unterschiedlicher Länge ordnen sich sämtlich sehr gut auf einer Kurve an. Die in Gl. (1.5) eingeführten dimensionslosen Beiwerte cA und cW bezogen sich auf die Umströmungen von Körpern (z.B. Profilen). Auch die Durchströmung von Körpern (z.B. Rohren, Diffusoren usw.) wird durch dimensionslose Beiwerte charakterisiert. Beispielsweise wird bei Strömungen durch Kreisrohre der Druckgradient dp/dx mit x als Koordinate in Strömungsrichtung durch die dimensionslose Rohrreibungszahl d dp λ=− 2 (1.9) 2 um dx gekennzeichnet. Dabei sind d der Rohrdurchmesser,  die Dichte und um die über dem Querschnitt gemittelte Geschwindigkeit. Bei glatter Innenfläche der Rohre ist λ wieder nur eine Funktion der Reynolds-Zahl Re, wobei diese hierbei mit dem Rohrdurchmesser d und der mittleren Geschwindigkeit um gebildet ist: Re =

um d  um d = . µ ν

(1.10)

Der Verlauf λ(Re) aus zahlreichen Messungen ist in Bild 1.4 dargestellt. Wie im Beispiel der Platte ordnen sich auch beim Rohr die verschiedenen Meßpunkte auf einer einzigen Kurve an. Als Beispiel für die Abhängigkeit eines dimensionslosen Beiwertes von der Reynolds-Zahl und der Mach-Zahl ist in Bild 1.5 der Widerstandsbeiwert von Kugeln

1.4 Laminare und turbulente Strömungen

9

Bild 1.3. Widerstandsbeiwerte von längsangeströmten ebenen glatten Platten in Abhängigkeit von der Reynolds-Zahl (Reibungswiderstand einer Plattenseite), cW nach Gl. (1.5), S = l × b, l: Plattenlänge, b: Plattenspannweite Messungen: ◦ verschiedene Autoren, vgl. H. Schlichting (1982, S. 653)  Z. Janour (1951)

K.E. Schoenherr (1932) Theorie: - - - - - - - - laminare Asymptote nach Gl. (2.10) (Blasius) turbulente Asymptote nach Gl. (2.14) - · - · - · - · asymptotische Entwicklung für laminare Strömung nach Gl. (14.62) Numerik: 2 Lösung der Navier-Stokes-Gleichungen nach S.C.R. Dennis, vgl. A.E.P. Veldman (1976)

nach Messungen von A. Naumann (1953) wiedergegeben. Interessant ist hierbei, daß bei Kugeln in Überschallströmungen der Einfluß der Reynolds-Zahl verschwindet, da dann die von der Reynolds-Zahl stärker beeinflußten Drücke auf der Rückseite zusehends an Bedeutung verlieren gegenüber den Drücken auf der Kugelvorderseite.

1.4

Laminare und turbulente Strömungen Bei der Abhängigkeit der Rohrreibungszahl λ von der Reynolds-Zahl im Bild 1.4 lassen sich deutlich zwei Bereiche unterscheiden. In der doppelt-logarithmischen Auftragung zeigen die Messungen bei kleinen Reynolds-Zahlen eine gradlinige Ab-

10

1 Einige Grundzüge der Strömungen mit Reibung

Bild 1.4. Rohrreibungszahl für glatte Rohre in Abhängigkeit von der Reynolds-Zahl. Definition von λ nach Gl. (1.9). Messungen verschiedener Autoren, vgl. H. Schlichting (1982, S. 611) Kurve 1 nach Gl. (1.14), laminar, nach G. Hagen (1839) und J. Poiseuille (1840) Kurve 2 nach Gl. (2.18), turbulent

Bild 1.5. Widerstandsbeiwert von Kugeln in Abhängigkeit von der Reynolds-Zahl und der Mach-Zahl, nach Messungen von A. Naumann (1953)

nahme von λ mit wachsendem Re. Bei der „kritischen Reynolds-Zahl“ Rekrit = 2 300

(1.11)

1.4 Laminare und turbulente Strömungen

11

Bild 1.6. Farbfadenversuch von O. Reynolds (1883). Strömung im Wasser, sichtbar gemacht

durch einen Farbfaden, nach W. Dubs (1939) a) Laminare Strömung, Re = 1150 b) Turbulente Strömung, Re = 2520

wird dieser Verlauf abrupt unterbrochen. Es kommt zu einer ziemlich steilen Zunahme von λ. Im weiteren Verlauf nimmt λ dann wieder mit wachsendem Re ab, jedoch nicht mehr so steil wie bei kleinen Reynolds-Zahlen und nicht mehr gradlinig in dieser Auftragung. Das unterschiedliche Verhalten der Kurven λ(Re) für Re < Rekrit und Re > Rekrit beruht darauf, daß Strömungen in zwei unterschiedlichen Formen auftreten. Diese Erkenntnis geht auf O. Reynolds (1883) zurück. In seinem berühmten Farbfadenversuch hat er in einer Rohrströmung die beiden unterschiedlichen Strömungsformen nachgewiesen und sichtbar gemacht, siehe Bild 1.6. In eine Wasserströmung wird durch ein feines Röhrchen farbige Flüssigkeit zugeführt. Es bildet sich ein dünner Farbfaden, der bei durchsichtiger Rohrwand in seiner Entwicklung beobachtet werden kann und Hinweise auf das Verhalten der Strömung gibt. Bei kleinen Strömungsgeschwindigkeiten, oder genauer bei Reynolds-Zahlen unterhalb der kritischen Reynolds-Zahl, bildet sich ein etwa geradliniger Farbfaden aus, der parallel zur Rohrachse mit der Strömung mitschwimmt, siehe Bild 1.6a. Es handelt sich um eine Schichtenströmung, bei welcher also Schichten unterschiedlicher Geschwindigkeit nebeneinander strömen ohne starken Austausch von Fluidteilchen quer zur Strömungsrichtung. Man spricht von laminarer Strömung. Erhöht man die Geschwindigkeit in der Rohrströmung, so daß die kritische Reynolds-Zahl überschritten wird, dann ändert sich das Strömungsbild drastisch. Nach Bild 1.6b führt der Farbfaden starke unregelmäßige Querbewegungen aus, die sehr schnell zu einem vollständigen Zerflattern des Farbfadens führen. In diesem Fall spricht man von turbulenter Strömung. Offensichtlich ist die turbulente Strömung durch eine starke unregelmäßige, d.h. zufallsbedingte, Schwankungsbewegung charakterisiert, die der geordneten Grundströmung überlagert ist und für die beobachtete intensive Vermischung quer zur Strömungsrichtung im Rohr sorgt.

12

1 Einige Grundzüge der Strömungen mit Reibung

Auch beim Verlauf cW (Re) bei längsangeströmten ebenen glatten Platten entsprechend Bild 1.3 ist eine kritische Reynolds-Zahl erkennbar. Ihr Wert ist Rekrit = 5 × 105 .

(1.12)

Für Reynolds-Zahlen kleiner als Rekrit ist die Strömung an den Platten laminar, oberhalb von Rekrit gewinnt Turbulenz in der Strömung zunehmend an Einfluß. Die in Bild 1.5 erkennbare drastische Abnahme des cW -Wertes von Kugeln bei kleinen Mach-Zahlen (z.B. Ma = 0,3) ist ebenfalls auf den Übergang von laminarer in turbulente Strömung zurückzuführen. Laminare und turbulente Strömungen erfordern teilweise sehr unterschiedliche Behandlung, ihnen sind daher in diesem Buch getrennte Teile gewidmet. Der Übergang von laminarer in turbulente Strömung wird in einem eigenen Teil abgehandelt. Daraus folgt die Unterteilung dieses Buches in die fünf Teile A bis E: Einleitende Kapitel über Grundlagen (Kapitel 1 bis 5), Laminare Strömungen (Kapitel 6 bis 14), Übergang laminar-turbulent (Kap. 15), Turbulente Strömungen (Kapitel 16 bis 22), Numerische Methoden (Kap. 23).

1.5

Asymptotisches Verhalten für große Reynolds-Zahlen Da viele technisch wichtigen Fluide sehr kleine Viskosität besitzen (z.B. Luft oder Wasser, siehe Tabelle 3.1 in Kap. 3), treten in der Praxis überwiegend Strömungen bei hohen Reynolds-Zahlen auf. Daher ist das asymptotische Verhalten von dimensionslosen Beiwerten, wie beispielsweise in den Bildern 1.3 bis 1.5, bei großen ReynoldsZahlen äußerst wichtig. Die Grenzschichttheorie, das Thema dieses Buches, beschäftigt sich genau mit diesem asymptotischen Verhalten. Mit anderen Worten, die Grenzschichttheorie ist die Theorie zur Ermittlung des asymptotischen Verhaltens von Strömungen für große Reynolds-Zahlen (d.h. Re → ∞). Der Grenzfall Re = ∞ entspricht der Strömung eines idealen Fluids, d.h. eines Fluids mit verschwindender Viskosität. Wirkliche Strömungen bei endlicher, aber sehr großer Reynolds-Zahl werden sich dann von dem Grenzfall nur wenig unterscheiden. Sie können als kleine Störung des Grenzfalls aufgefaßt werden. Im Rahmen der Grenzschichttheorie erfolgt die Berechnung der Strömungsgleichungen durch eine Störungsrechnung, wobei von der Lösung der viskositätsfreien Strömung ausgegangen wird. Wegen der Haftbedingung, die von der viskositätsfreien Strömung im allgemeinen nicht erfüllt werden kann, handelt es sich um eine singuläre Störungsrechnung. Die Grenzschichttheorie ist das ursprüngliche und klassische Beispiel für den Einsatz singulärer Störungsmethoden. Mit dieser Theorie hat L. Prandtl erstmalig eine singuläre Störungsrechnung für eine partielle Differentialgleichung durchgeführt. Inzwischen haben singuläre Störungsmethoden in vielen anderen Bereichen der Physik und Technik Anwendung gefunden, siehe z.B. J. Kevorkian; J.D. Cole (1981). Beim heutigen Stand der Grenzschichttheorie besteht eine Hauptschwierigkeit darin, daß die Lösung für die viskositätsfreie Strömung nicht eindeutig ist und da-

1.6 Vergleich von Messungen mit der reibungsfreien Grenzlösung

13

her die Grenzlösung, von der die Störungsrechnung ausgeht, häufig a priori nicht ausgewählt werden kann.

1.6

Vergleich von Messungen mit der reibungsfreien Grenzlösung Bei Strömungen mit sehr hohen Reynolds-Zahlen kann erwartet werden, daß sie nur wenig vom Grenzfall der viskositätsfreien Strömung abweichen. Dieses soll im folgenden an einigen Beispielen gezeigt werden. Rohrströmung. Im Verlauf λ(Re) von Bild 1.4 strebt λ ganz deutlich für wachsende Reynolds-Zahl gegen null. Wie aus Bild 1.7 hervorgeht, werden die Geschwindigkeitsprofile mit zunehmendem Re immer völliger, bis sich schließlich im Grenzfall Re = ∞ die homogene Geschwindigkeitsverteilung ergeben wird. Prinzipiell könnte man nach dem asymptotischen Verhalten für den hypothetischen Fall fragen, daß bei Überschreiten von Rekrit die Rohrströmung für beliebig große ReynoldsZahlen laminar bliebe. Eine reibungsfreie Grenzlösung für die laminare Rohrströmung gibt es jedoch nicht. Bei der ausgebildeten laminaren Rohrströmung stehen allein Druckkräfte und Reibungskräfte im Gleichgewicht. Trägheitskräfte (proportional zu ) sind nicht beteiligt. Es besteht daher überhaupt keine Abhängigkeit von der Reynolds-Zahl, die auch  enthält. Im Bild. 1.4 ist die Reynolds-Zahl-Abhängigkeit künstlich erzeugt worden. Wie in Kap. 5.2.1 gezeigt wird, gilt für die ausgebildete laminare Rohrströmung

Bild 1.7. Geschwindigkeitsverteilung im glatten Rohr bei verschiedenen Reynolds-Zahlen, nach J. Nikuradse (1932)

14

1 Einige Grundzüge der Strömungen mit Reibung −

d 2 dp = 32 . µum dx

(1.13)

Auch aus der Dimensionsanalyse folgt, daß die angegebene dimensionslose Kombination von dp/dx, d, µ und um eine Konstante sein muß. Durch Erweiterung mit der Dichte  erhält man daraus das Hagen-Poiseuillesche Rohrwiderstandsgesetz für laminare Rohrströmungen λ=

64 . Re

(1.14)

In der doppelt-logarithmischen Auftragung von Bild 1.4 erscheint dieses Gesetz als Gerade mit der negativen Neigung eins. Im Gegensatz zu laminaren Rohrströmungen sind bei turbulenten Rohrströmungen infolge der turbulenten Schwankungsbewegung auch Trägheitskräfte beteiligt, so daß eine echte Reynolds-Zahl-Abhängigkeit auftritt, vgl. auch Kap. 2.4. Platte. Bei der längsangeströmten ebenen glatten Platte strebt der cW -Wert nach Bild 1.3 für große Reynolds-Zahlen gegen null, und zwar sowohl für den turbulenten als auch für den hypothetischen rein laminaren Fall. Die reibungslose Grenzlösung ist daher in beiden Fällen die einfache Translationsströmung (homogene Geschwindigkeitsverteilung). Tragflügel-Profil. Bild 1.8 zeigt eine gemessene Druckverteilung für ein symmetrisches

Profil bei symmetrischer Anströmung im Vergleich zur viskositätsfreien Lösung. Die Unterschiede sind gering, wenn man von der unmittelbaren Umgebung der Hinterkante absieht. Wegen des endlichen HinterkantenWinkels der Profil-Geometrie ergibt die viskositätsfreie Grenzlösung an der Hinterkante einen Staupunkt und damit im Gegensatz zur viskosen Strömung stark ansteigenden Druck. Ähnlich gute Übereinstimmung erhält man für ein gewölbtes NACA-Profil bei α = 8◦ Anstellwinkel nach Bild 1.9. Bei diesem Beispiel gibt es eigentlich unendlich viele reibungsfreie Grenzlösungen. Es wurde jedoch diejenige Lösung gewählt, bei der die Hinterkante nicht umströmt wird. Diese als Kutta-Bedingung bekannte Forderung des glatten Abfließens an der Hinterkante folgt aus den Eigenschaften viskoser Strömungen, bei denen eine Kantenumströmung mit unendlich großer Geschwindigkeit nicht möglich ist.

Bild 1.8. Druckverteilung am Tragflügel-

profil NACA 0012. Meßpunkte bei Re = 1,85 · 106 , Ma = 0,30 nach J. Barche (1979) : reibungslose Strömung (Re = ∞, Ma = 0,30), z.B. nach H. Schlichting; E. Truckenbrodt (1979)

1.6 Vergleich von Messungen mit der reibungsfreien Grenzlösung

15

Bild 1.9. Druckverteilung am Profil NACA 4412 beim Anstellwinkel α = 8◦ , nach R.M. Pinkerton (1936) ◦ Messung, Re = 3 × 106 Theorie, Re = ∞

Bild 1.10. Auftrieb bei der ebenen Strömung um das Profil NACA 4412 nach R.M. Pinkerton (1936) Profil entsprechend Bild 1.9.

Für dasselbe NACA-Profil ist in Bild 1.10 bei gleicher Reynolds-Zahl die Abhängigkeit des Auftriebsbeiwertes cA vom Anstellwinkel α dargestellt. Während die Grenzlösung (Re = ∞) verschwindenden Widerstand liefert (d’Alembertsches Paradoxon), stellt ihre Auftriebskurve bereits eine gute Näherung für die Strömung bei Re = 3 × 106 dar. Die Druckverteilung eines Tragflügel-Profils in schallnaher Strömung ist in Bild 1.11 dargestellt. Sowohl die Messung als auch die Grenzlösung zeigen einen sprungartigen Anstieg des Druckes auf der Oberseite aufgrund eines dort auftretenden Verdichtungsstoßes. Infolge der Reibungseffekte liegt jedoch der Verdichtungsstoß etwas stromaufwärts gegenüber sei-

16

1 Einige Grundzüge der Strömungen mit Reibung

Bild 1.11. Druckverteilung am Tragflügel-

Profil RAE 2822 in schallnaher Strömung nach M.A. Schmatz (1986) Ma = 0,73, α = 2,8◦ ◦ Messung bei Re = 6,5 · 106 nach J. Barche (1979), cW = 0,013; cA = 0,72 . . . . . Grenzlösung, Re = ∞ Theorie für Re = 6,5 × 106 , siehe Kap. 19.2.6.

Bild 1.12. Widerstandsbeiwert von Kreiszylindern in Abhängigkeit von der Reynolds-Zahl

◦ Messungen von C. Wieselsberger, siehe H. Schlichting (1982, S. 17) 3 - - - - - - - - - asymptotische Formel für Re → 0 : cW = 8π Re [ − 0,87 + · · · ] −1 2 mit  = [ln(7,406/ Re)] . Re = V d/ν, cW = 2W/(V bd) - · - · - · - · numerische Ergebnisse von A.E. Hamielec; J.D. Raal (1969) und B. Fornberg (1985) für stationäre Strömung Re = 300: stationär: cW = 0,729 nach B. Fornberg (1985) instationär: cW = 1,32 nach R. Franke; B. Schönung (1988)

1.6 Vergleich von Messungen mit der reibungsfreien Grenzlösung

17

Bild 1.13. Unterkritische Strömung

am Kreiszylinder

: Pheripheriewinkel

A : Ablösungswinkel a) Verteilung der Wandschubspannung b) Verteilung des Wanddrucks cp = 2(p − p∞ )/(V 2 ) ◦ Messung bei Re = 105 , nach E. Achenbach (1968) - - - - - symmetrische Grenzlösung nach Bild 1.14a Grenzlösung nach Kirchhoff-Helmholtz, siehe Bild 1.14b. ner Lage im Grenzfall Re = ∞. Ansonsten stellt die Grenzlösung bereits eine sehr gute Näherung dar. Im Gegensatz zu inkompressiblen reibungslosen Strömungen liefert die Grenzlösung Re = ∞ bei schallnahen Strömungen und bei Überschallströmungen einen endlichen Widerstand. Die in diesen Strömungen auftretenden Verdichtungsstöße sind mit Dissipation verbunden. Die daraus resultierenden Energieverluste haben einen endlichen – wenn auch im schallnahen Bereich nur kleinen – Druckwiderstand zur Folge. Kreiszylinder. Der Widerstandsbeiwert cW = 2W/(V 2 bd) von querangeströmten Kreiszylindern als Funktion der Reynolds-Zahl bei inkompressibler Strömung ist in Bild 1.12 wiedergegeben. Ähnlich wie bei der entsprechenden Auftragung für Kugeln bei Ma = 0,3 in Bild 1.5 ist deutlich ein drastischer Abfall des cW -Wertes bei der kritischen Reynolds-Zahl

Rekrit = 4 × 105

(1.15)

erkennbar. Für unterkritische Reynolds-Zahlen Re < Rekrit ist die Strömung um den Zylinder laminar. Für große unterkritische Reynolds-Zahlen stellt sich etwa ein konstanter Widerstandsbeiwert von cW = 1,2 ein, womit sich möglicherweise ein asymptotischer Zustand für den hypothetischen Fall andeutet, daß die Strömung für beliebig hohe Reynolds-Zahlen laminar bliebe. Eine typische Druckverteilung aus diesem Reynolds-Zahl-Bereich (Re = 105 ) zeigt Bild 1.13. Aus der ebenfalls eingezeichneten Druckverteilung der reibungsfreien Strömung um den Kreiszylinder, die nach Bild 1.14a symmetrisch (Vorder- und Rückseite gleich) ist, geht hervor, daß diese Strömung offenbar als Grenzlösung ungeeignet ist. Es existieren jedoch noch weitere reibungsfreie Strömungen um den Kreiszylinder. Als Grenzlösung kommt eher die bekannte Kirchhoff-Helmholtz-Lösung nach Bild 1.14b infrage. Als besonderes Merkmal hat diese Strömung zwei Unstetigkeitslinien. Diese sogenannten freien Stromlinien verlassen die Zylinder-Kontur beim Winkel A = 55◦ tangential (Brillouin-Villat-Bedingung) und trennen das Außengebiet mit dem Gesamtdruck der Anströmung von dem sogenannten „Totwasser“Gebiet, in dem Ruhe herrscht und der Druck der Anströmung vorliegt. An den freien Stromlinien springt der Gesamtdruck um den Staudruck der Anströmung. Die dazugehörige Druckverteilung ist in Bild 1.13 eingetragen. Durch Integration erhält man für diese reibungslose Strömung einen von null verschiedenen Druckwiderstand mit dem Beiwert cW = 0,5. Dieser Wert weicht recht beträchtlich vom Meßwert cW = 1,2 ab. ZumVerständnis dieses Unterschiedes kann eine Untersuchung von A. Roshko (1967) herangezogen werden. Das wesentliche Ergebnis ist in Bild 1.15 festgehalten. Durch Anbringen einer Trennplatte hinter dem Zylinder

18

1 Einige Grundzüge der Strömungen mit Reibung

Bild 1.14. Grenzlösungen (Re = ∞) für

die inkompressible Strömung am Kreiszylinder a) Symmetrische Strömung b) Lösung nach Kirchhoff-Helmholtz für unterkritische Strömung c) Lösung mit „Ersatzkörper“ für überkritische Strömung

Bild 1.15. Einfluß einer Trennplatte im Nachlauf eines Kreiszylinders, nach A. Roshko (1967).

Re = 14 500, der Übergang laminar-turbulent erfolgt unmittelbar nach laminarer Ablösung

1.6 Vergleich von Messungen mit der reibungsfreien Grenzlösung

19

Bild 1.16. Momentbild der vollständig abgelösten Strömung hinter einem Kreiszylinder, nach L. Prandtl; O. Tietjens (1929, 1931) (1929) (1931)

konnte der Unterdruck auf der Rückseite des Zylinders drastisch reduziert werden, d.h. der Druckbeiwert auf der Zylinder-Rückseite ändert sich dadurch von cp = −1,1 auf cp = −0,5. Dieser Effekt ist dadurch begründet, daß die Strömung bei den hier betrachteten hohen unterkritischen Reynolds-Zahlen ohne Trennplatte trotz stationärer Anströmung gar nicht stationär ist. Vielmehr kommt es zu einer stark oszillierenden Strömung aufgrund einer alternierenden Wirbelbildung auf der oberen bzw. unteren Hälfte der Zylinder-Rückseite. Bild 1.16 zeigt ein Momentbild dieser Strömung. In Tabelle 1.1 nach M.V. Morkovin (1964) sind die verschiedenen Bereiche bei der ZylinderStrömung zusammengestellt. Danach treten im unterkritischen Reynolds-Zahl-Bereich periodische Strömungen auf, deren Frequenz von der Reynolds-Zahl unabhängig ist. Die dimensionslose Frequenz wird als Strouhal-Zahl Sr =

fd V

(1.16)

bezeichnet. Sie hat im unterkritischen Bereich den Wert Sr = 0,21. Die Meßpunkte für diesen Bereich in den Bildern 1.12 und 1.13 sind demnach Mittelwerte periodisch schwankender Größen. Die in Bild 1.16 deutlich erkennbaren Wirbel erzeugen offensichtlich erhöhten Unterdruck auf der Rückseite des Zylinders. Durch Anbringen der Trennplatte wird die periodische Ausbildung der Wirbel unterbunden oder mindestens drastisch reduziert und damit der für den Druckwiderstand maßgebende Totwasserdruck erheblich vermindert. Danach läge der Widerstandsbeiwert einer hypothetisch als stationär und laminar angenommenen Strömung am Kreiszylinder bei hohen Reynolds-Zahlen etwa bei cW = 0,5. Damit käme die in Bild 1.14b dargestellte Kirchhoff-Helmholtz-Lösung mit der freien Stromlinie als Grenzlösung infrage. Diese Vorstellung wurde auch durch numerische Ergebnisse gestützt, vergleiche dazu K. Gersten (1982b) und A.P. Rothmayer (1987). Nach neueren Untersuchungen von B. Fornberg (1987), D.H. Peregrine (1985) und F.T. Smith (1985) scheinen jedoch die Strömungsverhältnisse komplizierter zu sein. Für überkritische Reynolds-Zahlen Re > Rekrit deutet sich ebenfalls ein asymptotischer Grenzwert mit cW = 0,6 (siehe Bild 1.12 und Tabelle 1.1) an. Auch hierfür bietet sich als Grenzlösung wieder eine reibungslose Strömung mit freien Stromlinien entsprechend Bild 1.14c an, vergleiche dazu L.C. Woods (1955) und R.V. Southwell; G. Vaisey (1948). Ein Vergleich der Druckverteilung einer möglichen Grenzlösung nach L.C. Woods (1955) mit Messungen bei Re = 3,6×106 ist in Bild 1.17 wiedergegeben. Obwohl die Übereinstimmung recht gut ist, muß ausdrücklich darauf hingewiesen werden, daß, wie auch aus Tabelle 1.1 hervorgeht, die überkritischen Strömungen um Kreiszylinder periodische Strömungen sind und es sich bei den Meßwerten um Mittelwerte von periodisch schwankenden Druckbeiwerten handelt, während für die Grenzlösung eine stationäre Lösung angenommen wurde.

Reynolds-Zahl Re = V d/ν Strouhal-Zahl Sr = f d/V

Tabelle 1.1. Strömungsbereiche beim Kreiszylinder (inkompressible Strömung)

20 1 Einige Grundzüge der Strömungen mit Reibung

1.6 Vergleich von Messungen mit der reibungsfreien Grenzlösung

21

Bild 1.17. Überkritische Strömung am Kreiszylinder

: Peripheriewinkel

A : Ablösungswinkel a) Verteilung der Wandschubspannung b) Verteilung des Wanddrucks cp = 2(p − p∞ )/(V 2 ) ◦ Messung bei Re = 3,6 × 106 , nach E. Achenbach (1968) - - - - - symmetrische Grenzlösung nach Bild 1.14a Grenzlösung nach L.C. Woods (1955), vgl. Bild 1.14c

Bild 1.18. Druckverlauf am Kreis-

zylinder bei Ma = 4,02. ◦ Messungen bei Re = 1030, gekühltes Modell, nach O.K. Tewfik; W.H. Giedt (1959)

Theorie nach K. Oberländer (1974): - - - - - Grenzlösung (Re = ∞), Lösung für Re = 1030

Bezüglich weiterer Untersuchungen zu Kreiszylinder-Strömungen siehe H. Schlichting (1982), R. Franke; B. Schönung (1988), E. Achenbach (1968, 1971) sowie E. Achenbach; E. Heinecke (1981). Mit zunehmender Mach-Zahl wird – wie bei der Kugel, siehe Bild 1.15 – der Einfluß der Reynolds-Zahl immer geringer, d.h. es überwiegt der Druckwiderstand, vergleiche dazu A. Naumann; H. Pfeiffer (1962). Bild 1.18 zeigt einen Vergleich der Druckverteilungen am Kreiszylinder bei der Mach-Zahl Ma = 4 nach K. Oberländer (1974). Auch hierbei ergeben

22

1 Einige Grundzüge der Strömungen mit Reibung

Bild 1.19. Widerstandsbeiwert von Kugeln in Abhängigkeit von der Reynolds-Zahl Kurve 1: Theorie nach G.G. Stokes (1856), cW = 24/ Re Kurve 2: Theorie nach C.W. Oseen (1911), cW = (24/ Re)[1 + 3 Re /16]

Zur Erweiterung dieser Gleichung für höhere Reynolds-Zahlen vgl. M. Van Dyke (1964b) Kurve 3: Numerische Ergebnisse nach B. Fornberg (1988) Einsetzen instationärer Strömung bei Re = 200, vgl. U. Dallmann et al. (1993) sich nur geringe Abweichungen zwischen Messung bei Re = 1030 und der Grenzlösung. Die ebenfalls eingezeichnete gestörte Grenzlösung wird in Kap. 14.2 behandelt. Nach Bild 1.5 wächst die kritische Reynolds-Zahl wie bei der Kugel mit zunehmender Mach-Zahl, so daß bei Überschallanströmung bis zu Re = 106 unterkritische Bedingungen vorliegen. Die Druckwiderstände sind dann unabhängig von der Reynolds-Zahl und in guter Übereinstimmung mit der Grenzlösung Re = ∞, wie beispielsweise bei W.D. Hayes; R.F. Probstein (1959) gezeigt wird. Kugel. Die Umströmung der Kugel ist der Kreiszylinderströmung sehr ähnlich. Das Widerstandsdiagramm der Kugel nach Bild 1.19 entspricht dem Bild 1.12 für den Kreiszylinder. Wieder läßt sich bei hohen Reynolds-Zahlen der unterkritische und der überkritische Zustand unterscheiden. In Bild 1.20 sind für diese beiden Zustände zwei typische experimentell ermittelte Druckverteilungen dargestellt, vgl. auch E. Achenbach (1972). Bei hohen ReynoldsZahlen treten auch hier Abweichungen von der Axial-Symmetrie und Einsetzen instationärer Vorgänge auf, wie in U. Dallmann et al. (1993) und B. Schulte-Werning; U. Dallmann (1991) ausgeführt wird, vgl. auch E. Achenbach (1974a). Der Einfluß der Mach-Zahl auf den Kugelwiderstand war bereits in Bild 1.5 dargestellt worden. Wie die Kugelumströmung von der Rauheit der Oberfläche abhängt, wurde von E. Achenbach (1974b) untersucht. Diffusor. Abgesehen von der Rohrströmung waren die bisher genannten Beispiele Umströmungen. Als ein weiteres Beispiel für eine Durchströmung soll noch auf den technisch

1.6 Vergleich von Messungen mit der reibungsfreien Grenzlösung

23

Bild 1.20. Druckverteilung an der Kugel, nach Messungen von O. Flachsbart (1927) - · - · unterkritisch, Re = 1,62 · 105 überkritisch, Re = 4,35 · 105 - - - - - symmetrische Grenzlösung

Bild 1.21. Verlauf des Wand-

druckes in einem ebenen Diffusor, AR = 1,6; l/ hE = 6, nach K. Gersten; H.G. Pagendarm (1983) ◦ Messung bei Re = 105 , B = 0,061 Grenzlösung (Re = ∞, B = 0)

äußerst wichtigen Diffusor eingegangen werden. In Bild 1.21 ist für einen ebenen Diffusor die Druckverteilung an der Wand mit der Grenzlösung verglichen. Bei fester Geometrie wird die Diffusorströmung durch zwei dimensionslose strömungsmechanische Kennzahlen charakterisiert. Neben der Reynolds-Zahl Re = umE hE /ν tritt noch die Blockierung (englisch: blockage) 
u (1.17) B = 1− umax E auf als ein Maß für die Ungleichförmigkeit der Geschwindigkeitsverteilung der Zuströmung. Der Index E bezieht sich auf die Einlaufbedingungen. Für die Grenzlösung erreichen beide Kennzahlen ihre Grenzwerte Re = ∞ und B = 0. Die Wanddruckverteilungen der Messung bei Re = 105 und der Grenzlösung haben sehr ähnlichen Verlauf. Die Unterschiede geben die Einflüsse der Viskosität und der Blockierung wieder. Die erwünschte Druckerhöhung im

24

1 Einige Grundzüge der Strömungen mit Reibung

Diffusor wird durch diese Einflüsse verringert, bei optimierten Diffusoren liegt die relative Reduktion der Druckerhöhung etwa bei 10 %.

1.7

Zusammenfassung Bei der Umströmung oder Durchströmung von Körpern kann die Wirkung der Strömung in Druckkräfte (Normalkräfte) und Scherkräfte (Tangentialkräfte) aufgeteilt werden. Wie die Beispiele verdeutlicht haben, besteht für die Druckverteilung an Körpern in Strömungen mit großer Reynolds-Zahl große Ähnlichkeit mit den Druckverteilungen der entsprechenden viskositätsfreien Grenzlösungen. Es liegt daher nahe, von dieser Grenzlösung auszugehen und die in realen, d.h. viskositätsbehafteten, Strömungen gegenüber der Grenzlösung auftretenden Unterschiede durch eine Korrektur der Grenzlösung zu erfassen. Dieses ist der Grundgedanke der Grenzschichttheorie. Naturgemäß kann die viskositätsfreie Grenzlösung nicht viskositätsbedingte Scherkräfte, d.h. Reibungskräfte, liefern, die für die Bestimmung von Reibungswiderstand und Reibungsverlusten (Dissipation) entscheidend sind. Insbesondere diese Kraft zu ermitteln, ist Aufgabe der Grenzschichttheorie. Eines der Hauptprobleme dieser Theorie besteht darin, daß für eine vorgegebene Strömung häufig die Grenzlösung a priori nicht bekannt ist. Das hängt mit der Mehrdeutigkeit der viskositätsfreien Lösung zusammen. Häufig ist der Verlauf der Grenzlösung, beispielsweise aus Gründen der Symmetrie, offensichtlich (turbulente ausgebildete Rohrströmungen, symmetrische Umströmungen dünner Profile, Diffusoren mit mäßigem Druckanstieg). In vielen Fällen muß jedoch die Eindeutigkeit der Grenzlösung durch zusätzliche Bedingungen, beispielsweise durch die Kutta-Abflußbedingung, erzeugt werden (dünne Profile mit kleinem Anstellwinkel). Schwierigkeiten treten dann auf, wenn über die Grenzlösung keine eindeutige Aussage a priori möglich erscheint (Kreiszylinder, Kugel, Profile mit großem Anstellwinkel, Diffusor mit starkem Druckanstieg). Häufig muß auch das Konzept einer hypothetischen Grenzlösung benutzt werden, indem beispielsweise rein laminare oder rein stationäre Strömungen für beliebig hohe Reynolds-Zahlen angenommen werden, obwohl die wirkliche Strömung anderes Verhalten zeigt. Der Widerstand umströmter Körper besteht aus Druckwiderstand (Integral der Druck- bzw. Normalkräfte an der Körperoberfläche) und aus Reibungswiderstand (Integral der Scher- bzw. Tangentialkräfte). Bei stumpfen Körpern, wie z.B. Kreiszylindern und Kugeln, überwiegt der Druckwiderstand. Dieser wird bereits in guter Näherung von der viskositätsfreien Grenzlösung geliefert. Mittels der Grenzschichttheorie können der Reibungswiderstand und viskositätsbedingte Korrekturen des Druckwiderstandes ermittelt werden. Eine weitere Möglichkeit, Grenzlösungen a priori zu bestimmen, besteht darin, den Grenzprozeß Re → ∞ mit einer Variation der betrachteten Geometrie zu koppeln. So läßt sich beispielsweise die Strömung an einer ausgerundeten zurückspringenden Stufe, bei der für endliche Reynolds-Zahlen Ablösung auftritt, aus der Grenzlösung der Strömung an der längsangeströmten ebenen Platte entwickeln, wenn beim

1.7 Zusammenfassung

25

Grenzprozeß Re → ∞ auch die Stufenhöhe gegen null strebt, wobei jedoch die beiden Grenzprozesse miteinander geeignet gekoppelt sein müssen. Bei Strömungen mit Ablösung kann als Grenzlösung häufig diejenige Strömung gewählt werden, bei der infolge der geometrischen Änderung gerade noch keine Ablösung erfolgt (marginale Ablösung). Auf diese neueren Weiterentwicklungen der Grenzschicht-Theorie wird vor allem in Kap. 14 eingegangen.

2 Grundzüge der Grenzschicht-Theorie

2.1

Grenzschicht-Konzept

In vielen technischen Anwendungen treten wegen der geringen Viskositäts-Werte Strömungen mit sehr hohen Reynolds-Zahlen auf. Wie in den Beispielen des vorigen Kapitels gezeigt wurde, stellt daher die Grenzlösung Re = ∞ eine gute Näherung dar. Ein schwerwiegender Mangel dieser Grenzlösung ist jedoch, daß sie die Haftbedingung nicht erfüllt, d.h. bei ihr sind die Geschwindigkeiten an der Wand nicht null, sondern endlich. Die Viskosität muß daher berücksichtigt werden, um die Haftbedingung erfüllen zu können. Sie sorgt für den Übergang der Geschwindigkeit vom endlichen Wert der Grenzlösung in Wandnähe zum Wert null direkt an der Wand. Dieser Übergang erfolgt bei großen Reynolds-Zahlen in einer dünnen wandnahen Schicht, die nach L. Prandtl (1904) als Grenzschicht oder auch Reibungsschicht bezeichnet wird. Wie noch gezeigt wird, ist die Dicke der Grenzschicht um so geringer, je größer die Reynolds-Zahl, d.h. je kleiner die Viskosität ist. Das Grenzschicht-Konzept besagt also, daß Strömungen bei hohen ReynoldsZahlen in zwei, wenn auch ungleich große, Gebiete aufgeteilt werden können. Im überwiegenden Teil des Strömungsgebietes kann die Viskosität vernachlässigt werden, d.h. die Strömung stimmt mit der viskositätsfreien Grenzlösung überein. Man spricht auch von der reibungslosen Außenströmung. Das zweite Gebiet ist die sehr dünne Grenzschicht an der Wand, bei der die Viskosität berücksichtigt werden muß. In der Grenzschicht können nun die beiden, im vorigen Kapitel bereits erwähnten verschiedenen Strömungsformen auftreten, mit anderen Worten, die Strömung in der Grenzschicht kann laminar oder turbulent sein. Man spricht dann von laminaren Grenzschicht-Strömungen oder kurz von laminaren Grenzschichten. Entsprechendes gilt für turbulente Grenzschichten. Die Aufteilung des Strömungsfeldes in die reibungslose Außenströmung und die Grenzschicht bringt, wie wir später noch sehen werden, für die theoretische Behandlung der Strömungen mit hohen Reynolds-Zahlen eine erhebliche Vereinfachung. Durch diese Prandtlsche Idee sind diese Strömungen überhaupt erst der theoretischen Behandlung zugänglich gemacht worden. Bevor wir in den nächsten Kapiteln zur mathematischen Theorie der Grenzschicht kommen, die im Mittelpunkt des vorliegenden Buches steht, mögen in diesem Kapitel die Grundbegriffe der Grenzschicht-Theorie rein physikalisch, ohne Verwendung mathematischer Methoden, kurz erläutert werden.

28

2 Grundzüge der Grenzschicht-Theorie

2.2

Laminare Grenzschicht an der längsangeströmten ebenen Platte In Bild 2.1 ist eine Aufnahme der Strömung längs einer dünnen ebenen Platte wiedergegeben, welche durch Wasser geschleppt wird. Durch Aufstreuen von Aluminiumteilchen auf die Wasseroberfläche sind die Stromlinien sichtbar gemacht worden. Die Strichlänge der Teilchen ist der Strömungsgeschwindigkeit proportional. Man erkennt, daß sich in unmittelbarer Wandnähe eine dünne Schicht befindet, in welcher die Geschwindigkeit wesentlich kleiner ist als in größerem Abstand von der Platte. Die Dicke dieser Reibungsschicht nimmt längs der Platte von vorn nach hinten zu. In Bild 2.2 ist die Geschwindigkeitsverteilung in dieser Grenzschicht an der Platte schematisch dargestellt, wobei die Abmessungen in der Querrichtung stark überhöht sind. An der Plattenvorderkante ist senkrecht zur Platte eine konstante Geschwindigkeitsverteilung vorhanden. Mit wachsendem Abstand von der Plattenvorderkante nimmt die durch Reibung abgebremste Schicht stetig zu, da immer mehr Fluidteilchen von der Abbremsung erfaßt werden. Die Dicke der Grenzschicht δ(x) ist daher eine mit der Koordinate x monoton wachsende Funktion. An dieser Stelle muß ausdrücklich darauf hingewiesen werden, daß der Begriff der Grenzschichtdicke δ künstlich eingeführt worden ist. Der Übergang von der Grenzschichtströmung in die Außenströmung vollzieht sich – jedenfalls bei laminaren Grenzschichten – ganz kontinuierlich, so daß eine genaue Grenze prinzipiell nicht festgelegt werden kann. Da jedoch der Begriff der Grenzschichtdicke sehr anschaulich ist, wird er in der Praxis viel verwendet. Häufig wird willkürlich die Grenze dort festgelegt, wo die Geschwindigkeit einen gewissen Prozentsatz der Außengeschwindigkeit, z.B. 99 %, erreicht hat. Zur Verdeutlichung wird dabei oft ein Index angebracht, z.B. δ99 .

Bild 2.1. Strömung längs einer dünnen ebenen Platte, nach L. Prandtl; O. Tietjens (1931).

Bild 2.2. Grenzschicht an einer längsangeströmten ebenen Platte (schematisch).

2.2 Laminare Grenzschicht an der längsangeströmten ebenen Platte

29

Abschätzung der Grenzschichtdicke. Die Grenzschichtdicke läßt sich für die

laminare Plattengrenzschicht folgendermaßen leicht abschätzen. In der Grenzschicht stehen Trägheitskräfte und Reibungskräfte im Gleichgewicht. Wie in Kap. 1.3 erläutert wurde, ist die Trägheitskraft pro Volumeneinheit gleich u ∂u/∂x. Für eine Platte der Länge x ist ∂u/∂x proportional zu U∞ /x, wenn U∞ die Geschwindigkeit der Außenströmung bedeutet. Damit ist die Trägheitskraft von der Größenordnung 2 /x. Andererseits ist die Reibungskraft pro Volumeneinheit gleich ∂τ/∂y, und  U∞ dies ist bei Annahme laminarer Strömung gleich µ ∂ 2 u/∂y 2 . Der Geschwindigkeitsgradient quer zur Wand ∂u/∂y ist von der Größenordnung U∞ /δ, so daß man für die Reibungskraft pro Volumeneinheit ∂τ/∂y ∼ µU∞ /δ 2 . Durch Gleichsetzen von Trägheits- und Reibungskräften ergibt sich somit die Beziehung µ

2 U∞ U∞ ∼ 2 δ x

oder, aufgelöst nach der Grenzschichtdicke δ:   µx νx δ∼ = . U∞ U∞

(2.1)

Der in dieser Gleichung noch unbestimmt gebliebene Zahlenfaktor läßt sich aus der exakten Lösung von H. Blasius (1908), die in Kap. 6 ausführlich behandelt wird, bestimmen, so daß für die laminare Grenzschicht an der längsangeströmten Platte gilt:  νx δ99 (x) = 5 . (2.2) U∞ Die auf eine Plattenlänge l bezogene dimensionslose Grenzschichtdicke wird dann  δ99 (x) 5 x =√ , (2.3) l Re l wobei Re = U∞ l/ν die auf die Plattenlänge l bezogene Reynolds-Zahl bedeutet. Aus Gl. (2.3) ersieht man, daß die Grenzschichtdicke mit wachsender ReynoldsZahl abnimmt, so daß tatsächlich im Grenzfall Re = ∞ die Grenzschichtdicke verschwindet. Ferner erkennt√man an Gl. (2.3), daß die Grenzschichtdicke mit der Lauflänge x proportional zu x wächst. Verdrängungsdicke. Wie bereits erläutert wurde, ist die Grenzschichtdicke will-

kürlich eingeführt worden. Ein korrektes und auch strömungsmechanisches interpretierbares Maß für die Dicke der Grenzschicht ist die Verdrängungsdicke δ1 . Sie ist definiert durch ∞ U δ1 (x) = (U − u) dy. (2.4) y=0

Dabei ist U die an der Stelle x herrschende Geschwindigkeit am Außenrand der Grenzschicht. Danach müssen die in Bild 2.3 schraffiert eingezeichneten Flächen

30

2 Grundzüge der Grenzschicht-Theorie

Bild 2.3. Verdrängungsdicke δ1 der Grenzschicht.

gleich sein. Die Verdrängungsdicke gibt an, um welchen Betrag die Stromlinien der Außenströmung durch die Bildung der Grenzschicht nach außen verschoben werden (Verdrängungswirkung der Grenzschicht). Bei der längsangeströmten ebenen Platte gilt  δ1 (x) 1,721 x = √ , (2.5) l Re l d.h. die Verdrängungsdicke δ1 beträgt etwa 1/3 der Grenzschichtdicke δ99 . Abschätzung der Reibungskräfte. Ähnlich wie die Grenzschichtdicke läßt sich

auch die Wandschubspannung τw und damit der gesamte Reibungswiderstand der Platte abschätzen. Nach dem Reibungsgesetz von Newton, Gl. (1.2), gilt:
 ∂u , (2.6) τw (x) = µ ∂y w wobei der Index w den Wert an der Wand beschreibt. Mit der Abschätzung ∂u/∂y ∼ U∞ /δ erhält man also τw ∼ µU∞ /δ, und wenn man den Wert von δ nach Gl. (2.1) einsetzt,   τw (x) ∼ µU∞

U∞ = µx

3 µU∞ . x

(2.7) 3/2

Hiernach ist also die Wandschubspannung √ proportional zu U∞ und, was besonders erwähnenswert ist, proportional zu 1/ x. Die Wandschubspannung an der ebenen Platte ist demnach keine Konstante, sondern eine mit x monoton fallende Funktion. Nahe der Plattenvorderkante sind die Schubspannungskräfte besonders groß. Aus der Abschätzung τw ∼ µU∞ /δ folgt, daß die Wandschubspannung umgekehrt proportional zur Grenzschichtdicke ist, d.h. je dünner die Grenzschicht, desto höher die Wandschubspannung. Der Proportionalitäts-Faktor in Gl. (2.7) läßt sich wieder aus der exakten Lösung, siehe Kap. 6, ermitteln. Damit erhält man für den Reibungsbeiwert  τw (x) 0,664 l cf =  2 = √ . (2.8) Re x 2 U∞ Aus dem Verlauf der örtlichen Wandschubspannung τw (x) kann der gesamte Reibungswiderstand durch Integration ermittelt werden. Die einseitig benetzte ebene Platte der Breite b und der Länge l hat den Reibungswiderstand

2.3 Turbulente Grenzschicht an der längsangeströmten ebenen Platte

31

l W =b

τw (x) dx .

(2.9)

0

Mit Gl. (2.8) folgt daraus für den auf die benetzte Fläche S = b × l bezogenen Widerstandsbeiwert 1,328 W = √ cW =  2 . (2.10) Re 2 U∞ × b × l Dieses Widerstandsgesetz ist in Bild 1.3 eingetragen worden. Man erkennt den asymptotischen Charakter dieses Gesetzes. Für Reynolds-Zahlen Re > 104 folgen Messungen sehr gut diesem Gesetz.

2.3

Turbulente Grenzschicht an der längsangeströmten ebenen Platte Wie bereits im Zusammenhang mit Bild 1.3 erwähnt wurde, bleibt in der Realität die Grenzschicht nicht immer über der gesamten Plattenlänge laminar. Nach einer bestimmten Lauflänge x = xkrit (Abstand von der Platten-Vorderkante) wird die Grenzschicht turbulent. Entsprechend Gl. (1.12) beträgt die mit der Lauflänge bis zum Übergangspunkt gebildete kritische Reynolds-Zahl etwa
 Ux Rex krit = = 5 × 105 (Platte) . (2.11) ν krit Bei der Grenzschicht an der Platte hat man daher in Vorderkanten-Nähe zunächst eine laminare Grenzschicht und weiter stromabwärts eine turbulente, wobei die Lage der Übergangsstelle xkrit durch die angegebene kritische Reynolds-Zahl Rex krit bestimmt wird. Obwohl es sich beim Übergang von laminarer in turbulente Grenzschicht (Transition) um einen Bereich endlicher Länge handelt, wird der Einfachheit halber vom Umschlagpunkt gesprochen mit derVorstellung, daß die Transition schlagartig abschließt. Der Zahlenwert von Rekrit ist stark vom Grad der Störungsfreiheit der Außenströmung abhängig. Bei starken Störungen in der Außenströmung treten Werte von Rekrit = 3 × 105 auf, während bei besonders störungsfreier Außenströmung schon Werte bis zu Rekrit = 3 × 106 erreicht worden sind, vgl. dazu Kap. 15. Untersuchungen zum Übergang laminar-turbulent in der Grenzschicht wurden zuerst von J.M. Burgers (1924), B.G. Van der Hegge Zijnen (1924) und M. Hansen (1928) durchgeführt.Am auffälligsten tritt hier der Übergang von der laminaren in die turbulente Strömungsform durch ein plötzlich starkes Anwachsen der Grenzschichtdicke und auch der Wandschubspannung in Erscheinung. In Bild 2.4 ist die dimen√ sionslose Kombination δ99 / νx/U∞ als Funktion der dimensionslosen Lauflänge Rex = U∞ x/ν nach Messungen von M. Hansen (1928) dargestellt. Nach Gl. (2.2) hat diese Kombination bei laminarer Grenzschicht ungefähr den konstanten Wert 5.

32

2 Grundzüge der Grenzschicht-Theorie

Bild 2.4. Die Grenzschichtdicke in Abhängigkeit von der Lauflänge bei der längsangeströmten ebenen Platte, Messungen nach M. Hansen (1928) laminar: Gl. (2.2) turbulent: Gl. (2.12) mit fiktivem Ursprung bei Rex = 1,5 × 105

Die Messungen zeigen für Rex = Rex krit = 3 × 105 ein plötzliches starkes Anwachsen. Wie später in Kap. 18.2.5 gezeigt wird, ergibt sich für die Dicke der turbulenten Grenzschicht an der Platte: δU∞ Rex = 0,14 G(ln Rex ) . ν ln Rex

(2.12)

Dabei ist G(ln Rex ) eine in Kap. 17.1.3 genauer beschriebene, nur schwach von ln Rex abhängige Funktion mit dem Grenzwert eins für ln Rex → ∞. Im hier interessierenden Bereich 105 < Rex < 106 gilt G ≈ 1,5. Die in Gl. (2.12) auftretende Abhängigkeit von ln Rex ist ganz typisch für turbulente Grenzschichten. Es handelt sich um eine asymptotische Formel für große Reynolds-Zahlen. Danach wächst die Grenzschichtdicke mit der Lauflänge x wie δ ∼ x/ ln x für große x. Bei festem x nimmt die Grenzschichtdicke δ mit wachsender Reynolds-Zahl ab, jedoch wegen δ/x ∼ 1/ ln Rex sehr langsam. Die in Bild 2.4 dargestellte Kombination entsprechend Gl. (2.12) zeigt gute Übereinstimmung mit den Messungen von M. Hansen. Da Gl. (2.12) für den Fall gilt, daß bereits von der Vorderkante der Platte an eine turbulente Grenzschicht vorliegt, wurde bei der Eintragung der Kurve nach Gl. (2.12) ein virtueller Ursprung der turbulenten Grenzschicht bei Rex = 1,5×105 angenommen, so daß sich gerade beim Umschlagpunkt Rex = 3 × 105 der Wert der Kombination von etwa 5,0 ergibt und somit ein kontinuierlicher Übergang der Grenzschichtdicke von laminarer zu turbulenter Form erfolgt. In Tabelle 2.1 sind die nach Gl. (2.12) errechneten Grenzschichtdicken für einige typische Fälle von Strömungen in Luft und Wasser angegeben.

2.3 Turbulente Grenzschicht an der längsangeströmten ebenen Platte

33

Tabelle 2.1. Grenzschichtdicke δ und Dicke δv der viskosen Unterschicht am Ende einer

längsangeströmten ebenen Platte bei turbulenter Strömung nach Gl. (2.12) und (2.15) l: Plattenlänge, U∞ : Anströmgeschwindigkeit, ν: kinematische Viskosität U∞ m/s

Luft 2 ν = 15 × 10−6 ms

Wasser 2 ν = 10−6 ms

l m

Re = Uν∞ l

δ mm

δv mm

50 100

1 1

3,3 × 106 6,6 × 106

8 8

0,4 0,2

100 200

5 10

3,3 × 107 1,3 × 108

36 69

0,2 0,1

1 2

2 5

× 106 × 107

17 39

1 0,6

5 10

50 200

2,5 × 108 2 × 109

321 1 122

0,4 0,1

2 1

Reibungskräfte. Wie ebenfalls in Kap. 18.2.5 gezeigt wird, lautet die zu Gl. (2.8)

analoge Formel für den Reibungsbeiwert bei turbulenter Grenzschicht  2 κ cf = 2 G(ln Rex ) , ln Rex

(2.13)

wobei G(ln Rex ) wieder die bereits im Zusammenhang mit Gl. (2.12) erwähnte Funktion ist. Die als Karman-Konstante bezeichnete Größe κ = 0,41 hat für alle turbulente Wand-Grenzschichten eine fundamentale Bedeutung. Sie ist eine universelle Konstante. Nach Gl. (2.13) nimmt der Reibungsbeiwert der turbulenten Platten-Grenzschicht mit wachsender Reynolds-Zahl ab, jedoch extrem langsam, sogar langsamer als jede noch so kleine negative Potenz der Reynolds-Zahl. Unter der Annahme einer turbulenten Grenzschicht von der Plattenvorderkante an ergibt die Integration des Reibungsbeiwertes über die Plattenlänge l den Widerstandsbeiwert für die einseitig benetzte Platte: 2  κ cW = 2 G(ln Re) , (2.14) ln Re wobei die Reynolds-Zahl Re jetzt mit der Plattenlänge l gebildet ist. Diese Funktion ist in Bild 1.3 eingetragen. Auch der Widerstandsbeiwert nimmt mit wachsender Reynolds-Zahl extrem langsam ab. Es sei angemerkt, daß die Funktionen G in den Gl. (2.13) und (2.14) unterschiedlich sind, vgl. Kap. 18.2.5. Viskose Unterschicht. Auf eine Besonderheit von turbulenten Grenzschichten soll

an dieser Stelle hingewiesen werden. Bei laminaren Grenzschichten ist die Grenzschicht der Bereich des Strömungsfeldes, in dem die Viskosität Einfluß hat. Bei turbulenten Grenzschichten ist das anders. Die Einteilung des gesamten Strömungsfeldes erfolgt hierbei in die turbulenzfreie (oder wenigstens sehr turbulenzarme) reibungslose Außenströmung und in die turbulente Strömung, charakterisiert durch eine zufallsbedingte Schwankungsbewegung, innerhalb der Grenzschicht. Da durch

34

2 Grundzüge der Grenzschicht-Theorie

die turbulente Schwankungsbewegung, wie in Kap. 18 gezeigt wird, „scheinbare“ Reibungskräfte auftreten, spricht man bei einer turbulenten Grenzschicht auch von Reibungsschicht. Innerhalb dieser turbulenten Reibungsschicht beschränkt sich der Einfluß der Viskosität auf eine im Vergleich zur Dicke der Grenzschicht sehr kleine Schicht in unmittelbarer Nähe der Wand, man spricht daher von der viskosen Unterschicht oder viskosen Wandschicht. Die turbulente Grenzschicht besitzt daher eine Zweischichten-Struktur. Der überwiegende Teil ist Reibungsschicht nur aufgrund der „Scheinreibung“ infolge turbulenter Schwankungsbewegung, dagegen unbeeinflußt von der Viskosität. In der demgegenüber sehr dünnen viskosen Unterschicht kommen dann die Einflüsse der Viskosität in Form „echter“ Reibungskräfte hinzu. Obwohl auch hier der Übergang zwischen den beiden Schichten fließend ist, wird in der Praxis auch der Begriff der Dicke δv der viskosen Unterschicht verwendet. Wie in Kap. 17.1.2 gezeigt wird, gilt etwa δv 50  , = c x Rex 2f

(2.15)

wobei der Reibungsbeiwert cf durch Gl. (2.13) gegeben ist. Danach wächst δv ∼ ln x sehr langsam mit der Lauflänge. Außerdem vermindert es sich bei festem x mit wachsender Reynolds-Zahl wie δv ∼ ln Rex / Rex . Für das Verhältnis der Unterschichtdicke δv zur Gesamtdicke δ folgt aus den Gln. (2.12) und (2.15) δv ln2 Rex = 680 . (2.16) δ Rex Mit wachsendem Rex wird danach der Anteil der viskosen Unterschicht an der gesamten Reibungsschicht laufend geringer. Zahlenbeispiele für die absolute Dicke der Unterschicht sind in Tabelle 2.1 angegeben.

2.4

Ausgebildete turbulente Strömung im Rohr In Kap. 1 wurde im Zusammenhang mit Bild 1.4 bereits auf die ausgebildete turbulente Strömung im Rohr hingewiesen. Bei diesem Durchströmungs-Problem handelt es sich zunächst nicht um eine Strömung mit typischem Grenzschicht-Charakter. Dennoch hat diese Strömung, wie die im vorigen Abschnitt beschriebene turbulente Reibungsschicht, eine Zweischichten-Struktur mit der turbulenten Kernströmung und der viskosen Unterschicht im Wandnähe. Mit wachsender Reynolds-Zahl nimmt die Dicke der viskosen Unterschicht ab, so daß sich schließlich als Grenzlösung die Strömung mit homogener Geschwindigkeit ergibt. Insofern kann dieses Durchströmungsproblem auch mit den Methoden der Grenzschicht-Theorie behandelt werden.

2.5 Grenzschicht am Tragflügelprofil

35

Rohrreibungszahl. Rohrreibungszahl Die in Bild 1.4 dargestellte Rohrreibungs-

zahl λ ist wie folgt definiert: 4τ w d dp =  2 . 2 2 um dx 2 um

λ=−

(2.17)

Wie im Kap. 17.2.3 gezeigt wird, läßt sich bei glatter Oberfläche ihre Abhängigkeit von der Reynolds-Zahl Re = um d/ν darstellen durch: 

κ λ=8 G(ln Re) ln Re

2 .

(2.18)

Dabei ist G(ln Re) wieder eine mit wachsendem ln Re monoton abnehmende Funktion mit dem Grenzwert 1 für ln Re → ∞. Im praktisch interessanten Bereich 2 300 < Re < 107 liegt ihr Wert etwa bei G = 1,35. Das Reibungsgesetz nach Gl. (2.18) ist in Bild 1.4 eingetragen. Es befindet sich in sehr guter Übereinstimmung mit Meßergebnissen. Dicke der viskosen Unterschicht. Näherungsweise läßt sich auch die Dicke der

viskosen Unterschicht ermitteln. Für sie gilt (siehe Kap. 17) δv ln Re = 122 . d Re G(ln Re)

(2.19)

Danach nimmt, wie bereits erwähnt, die Dicke der viskosen Unterschicht mit wachsender Reynolds-Zahl bis schließlich auf null ab. In Tabelle 2.2 sind einige Zahlenwerte von δv für praktische Beispiele von turbulenten Rohrströmungen mit Luft und Wasser angegeben.

2.5

Grenzschicht am Tragflügelprofil Die in den Abschnitten 2.2 und 2.3 behandelten Grenzschichten an der längsangeströmten ebenen Platte waren insofern besonders einfache Beispiele, als die reibungslose Außenströmung und damit die Grenzlösung die Translationsströmung mit konstantem Druck im gesamten Feld ist. Bei der Umströmung eines beliebig geformten Körpers treten jedoch noch zusätzlich Druckkräfte auf. In Bild 2.5 ist der Verlauf der Grenzschicht an einem Tragflügelprofil skizziert, wobei aus Gründen der Anschaulichkeit die Dicke der Grenzschicht stark überhöht gezeichnet ist. Wie bei der Platte beginnt zunächst an der Profilnase die Entwicklung einer laminaren Grenzschicht. Nach einer entlang der Körperkontur gemessenen Lauflänge xu erfolgt der Übergang laminar-turbulent, so daß für x > xu die Grenzschicht turbulent ist. Die reibungslose Außenströmung liefert infolge der Körpergeometrie am Außenrand der Grenzschicht eine Druckverteilung. Diese Druckverteilung wird der angrenzenden Grenzschicht „aufgeprägt“, d.h. an jeder Stelle x ist der Druck quer zur Wand in

36

2 Grundzüge der Grenzschicht-Theorie

Tabelle 2.2. δv der viskosen Unterschicht in der ausgebildeten turbulenten Rohrströmung

(glatte Oberfläche) nach Gl. (2.19)

Luft 2 ν = 15 × 10−6 ms

Wasser 2 ν = 10−6 ms

um m/s

d m

Re

G

δv mm

3 3 3

0,01 0,1 1,0

2 × 103 2 × 104 2 × 105

1,47 1,38 1,33

3,2 4,4 5,6

30 30 30

0,01 0,1 1,0

2 × 104 2 × 105 2 × 106

1,38 1,33 1,29

0,4 0,6 0,7

0,2 0,2 0,2

0,01 0,1 1,0

2 × 103 2 × 104 2 × 105

1,47 1,38 1,33

3,2 4,4 5,6

20 20 20

0,01 0,01 1,0

2 × 105 2 × 106 2 × 107

1,33 1,29 1,26

0,06 0,07 0,08

Bild 2.5. Entwicklung der Grenzschicht an einem Tragflügelprofil.

der Grenzschicht konstant. Die Druckverteilung am Außenrand der Grenzschicht ist daher identisch mit der Druckverteilung an der Wand. Unterschiede zwischen diesen beiden Druckverteilungen könnten nur durch Stromlinienkrümmung und daraus resultierende Druckgradienten quer zur Hauptströmungsrichtung als Kompensation für Zentrifugalkräfte auftreten. Da bei hohen Reynolds-Zahlen die Grenzschichten extrem dünn sind im Vergleich zum Krümmungsradius der Körperkontur, treten in Grenzschichten Druckgradienten senkrecht zur Wand in erster Näherung nicht auf. Der Druck wird der Grenzschicht von der Außenströmung aufgezwungen und ist nur eine Funktion der Lauflänge x. Im übrigen gelten die bei der Plattengrenzschicht bereits erwähntenAbhängigkeiten: Bei der Grenzschicht-Entwicklung entlang der Kontur nehmen im allgemeinen die Grenzschichtdicke δ(x) zu und die Wandschubspannung τw (x) ab. Die Zunahme der Grenzschichtdicke stromabwärts ist bei turbulenten Grenzschichten größer als bei laminaren. Mit wachsender Reynolds-Zahl, gebildet mit der Anströmgeschwindigkeit V und einer charakteristischen Körperlänge l, nimmt die Dicke der Grenzschicht insgesamt ab bis zum Grenzfall verschwindender Grenzschichtdicke für Re → ∞. Für die Entwicklung der Grenzschicht ist

2.6 Ablösung der Grenzschicht

37

die von der Außenströmung aufgeprägte Druckverteilung von entscheidender Bedeutung. Von ihr hängt beispielsweise die Lage des Übergangs laminar-turbulent ganz wesentlich ab. Wenn der Druck in Strömungsrichtung stark ansteigt, wie das im rückwärtigen Bereich des Tragflügelprofils oder auf der Rückseite von stumpfen Körpern auftreten kann, ist es möglich, daß die Grenzschicht von der Wand ablöst. Dieses äußerst wichtige Phänomen der Grenzschicht-Ablösung wird im folgenden Abschnitt ausführlich behandelt.

2.6

Ablösung der Grenzschicht Um die wichtige Erscheinung der Grenzschichtablösung zu erläutern, betrachten wir die Strömung um einen stumpfen Körper, z.B. um einen Kreiszylinder nach Bild 2.6. Bei reibungsloser symmetrischer Strömung (Bild 1.14a) ist auf der vorderen Hälfte von D nach E eine beschleunigte Strömung mit Druckabfall und auf der hinteren Hälfte von E nach F Druckanstieg und somit verzögerte Strömung vorhanden. Nach dem Ingangsetzen der Bewegung bildet sich im ersten Augenblick, solange die Grenzschicht noch sehr dünn ist, nahezu die reibungslose Strömung aus. Für ein Teilchen in der Außenströmung findet auf dem Wege von D nach E eine Umsetzung von Druck in kinetische Energie statt und auf dem Wege von E nach F die gleiche Umsetzung von kinetischer Energie in Druck. Ein Fluidteilchen, das in unmittelbarer Wandnähe in der Grenzschicht strömt, befindet sich unter der Wirkung des gleichen Druckfeldes, das in der Außenströmung vorhanden ist, da dieses der Grenzschicht aufgeprägt ist. Durch die starken Reibungskräfte in der dünnen Reibungsschicht hat ein solches Grenzschichtteilchen auf dem Wege von D nach E so viel seiner kinetischen Energie eingebüßt, daß diese nicht ausreicht, um den „Druckberg“ von E nach F hinaufzukommen. Ein solches Teilchen vermag in dem Gebiet ansteigenden Druckes zwischen E und F nicht weit vorzudringen. Es kommt dort zum Stillstand und wird durch die Druckverteilung der äußeren Strömung nach rückwärts in Bewegung gesetzt. Die Strömungsaufnahmen in Bild 2.7 zeigen in zeitlicher Reihenfolge

Bild 2.6. Ablösung der Grenzschicht und Wirbel-

bindung am Kreiszylinder (schematisch). A = Ablösungsstelle.

38

2 Grundzüge der Grenzschicht-Theorie

Bild 2.7a–d. Zeitliche Entwicklung der Ablösung auf der Rückseite eines stumpfen Körpers

nach L. Prandtl; O. Tietjens (1931)

diesen Vorgang auf der Rückseite eines abgerundeten Körpers beim Ingangsetzen der Bewegung. Längs der Körperkontur steigt der Druck von links nach rechts an. Die Strömung ist sichtbar gemacht durch Aluminiumflitterchen, die auf die Wasseroberfläche aufgestreut wurden. Die Grenzschicht ist auf den Bildern durch die kurzen Strichlängen der Teilchen gut erkennbar.Auf Bild 2.7a (kurz nach der Anfahrt) hat die rückläufige Bewegung an der Hinterkante gerade begonnen. Auf Bild 2.7b hat sich die rückläufige Bewegung unter beträchtlicher Verdickung der Grenzschicht schon erheblich weiter nach vorn durchgesetzt. Aus Bild 2.7c ist zu sehen, wie sich aus dieser Rückströmung ein großer Wirbel entwickelt hat, der in Bild 2.7d noch größer geworden ist. Dieser Wirbel löst sich dann bald vom Körper ab und schwimmt nach hinten fort. Dabei wird das Strömungsbild auf der Rückseite völlig umgestaltet, und auch die Druckverteilung wird gegenüber der reibungslosen Strömung durchgreifend geändert. Der endgültige Strömungszustand für den Kreiszylinder ist aus Bild 1.16 zu ersehen. In dem durchwirbelten Gebiet auf der Rückseite herrscht ein ziemlich starker Unterdruck, wie die Druckverteilung in Bild 1.13 zeigt. Dieser Unterdruck ist die Ursache für den großen Druckwiderstand des Körpers. Ablösungsbedingung. Die Grenzschicht-Theorie vermag auf dem Wege über den Ablösungsvorgang neben dem Reibungswiderstand auch den Druckwiderstand zu er-

2.6 Ablösung der Grenzschicht

39

Bild 2.8. Grenzschichtströmung in der Nähe einer Ablösungsstelle (schematisch). A = Ablösungsstelle.

klären. Ablösungsgefahr besteht für die Grenzschicht immer in Gebieten mit Druckanstieg, und zwar um so mehr, je steiler der Druckanstieg ist, besonders also bei Körpern mit stumpfer Rückseite. Damit wird jetzt auch verständlich, warum bei dem schlanken Tragflügelprofil in Bild 1.8 die beobachtete Druckverteilung so gut mit derjenigen der theoretischen reibungslosen Strömung übereinstimmt. Hier ist der Druckanstieg gegen das Heck so schwach, daß die Grenzschicht nicht ablöst. Infolgedessen bildet sich kein wesentlicher Druckwiderstand aus, und der gesamte Widerstand besteht zur Hauptsache aus Reibungswiderstand und bleibt deswegen klein. Das Stromlinienbild der Grenzschichtströmung in der Nähe der Ablösungsstelle ist von der Art, wie in Bild 2.8 angegeben. Infolge der Rückströmung in Wandnähe tritt eine sehr starke Verdickung der Grenzschicht ein und damit verbunden ein Abtransport von Grenzschichtmaterial in die Außenströmung. An der Ablösungsstelle verläßt die Stromlinie unter einem bestimmten Winkel die Wand. Die Lage der Ablösungsstelle ist durch die Bedingung gegeben, daß an der Wand der Geschwindigkeitsgradient senkrecht zur Wand verschwindet, d.h. daß die Wandschubspannung τw verschwindet:
 ∂u =0 (Ablösung) . (2.20) τw = µ ∂y w Die Lage der Ablösungsstelle kann nur durch eine genaue Rechnung (Integration der Grenzschicht-Differentialgleichung) ermittelt werden. Der gleiche Ablösungsvorgang, der soeben für die Strömung um einen Kreiszylinder erläutert wurde, liegt auch bei der Strömung in einem sich in Strömungsrichtung erweiternden Kanal vor (Diffusor) (Bild 2.9a). Vor dem engsten Querschnitt herrscht Druckabfall in Strömungsrichtung. Hier liegt die Strömung an den Wänden völlig an wie bei reibungsloser Strömung. Hinter dem engsten Querschnitt ist jedoch die Erweiterung so stark und deshalb der Druckanstieg so groß, daß die Grenzschicht sich von beiden Wänden unter Wirbelbildung abgelöst hat. Die Strömung füllt hier nur noch einen kleinen Teil des Kanalquerschnittes aus. Wird jedoch die Grenzschicht an den Wänden abgesaugt (Bild 2.9b und c), so unterbleibt die Ablösung. Daß der Druckgradient längs der Wand im Zusammenwirken mit der Reibung längs der Wand für den Ablösungsvorgang maßgeblich ist, zeigen die Strömungsaufnahmen in Bild 2.10. Das linke Bild zeigt die Strömung gegen eine senkrecht zum

40

2 Grundzüge der Grenzschicht-Theorie

Bild 2.9a–c. Strömung in einem

sich stark erweiternden Kanal (Diffusor), nach L. Prandtl; O. Tietjens (1931), a Ablösung an beiden Diffusorwänden, b Absaugung der Grenzschicht an der oberen Diffusorwand, c Absaugung an beiden Diffusorwänden

Strom gestellte Wand (ebene Staupunktströmung). Auf der Symmetriestromlinie, die zum Staupunkt führt, herrscht ein starker Druckanstieg in Strömungsrichtung. Eine Ablösung tritt jedoch nicht ein, da hier keine Wandreibung vorhanden ist. Auch an der quergestellten Wand ergibt sich keine Ablösung, da hier in beiden Richtungen die Grenzschicht in Richtung des Druckabfalles strömt. Wird jetzt am Ort der zum Staupunkt führenden Stromlinie eine dünne Wand senkrecht zur ersten Wand eingesetzt (Bild 2.10b), so hat man an dieser jetzt eine Grenzschicht mit einem Druckanstieg in Strömungsrichtung. Infolgedessen löst sich hier die Grenzschicht an der ebenen Wand ab.

2.6 Ablösung der Grenzschicht

41

Bild 2.10a,b. Staupunktströmung, nach H. Föttinger (1939). a Freie Staupunktströmung, ohne Ablösung, b Gebremste Staupunktströmung, mit Ablösung

Die Strömungsablösung ist häufig ziemlich empfindlich gegen geringe Änderungen der Form des umströmten Körpers, insbesondere dann, wenn die Druckverteilung durch die Formänderung des Körpers stark beeinflußt wird. Andere Ablösungsbeispiele. Ein aufschlußreiches Beispiel hierfür sind die in

Bild 2.11 dargestellten Strömungsaufnahmen an dem Modell eines Kraftfahrzeuges (VW-Lieferwagen), siehe E. Möller (1951), H. Schlichting (1954). Bei der eckigen Stirnform (a) des Fahrzeuges erzeugt die Umströmung der ziemlich scharfen vorderen Kante starke Unterdrücke und damit an der Seitenwand einen starken Druckanstieg. Dies führt zur völligen Ablösung der Grenzschicht an der ganzen Seitenwand und damit zu einem breiten Totwasser hinter dem Körper. Der Widerstandsbeiwert des Fahrzeuges mit eckiger Stirnform beträgt cW = 0,76. Bei der abgerundeten Stirnform (b) dagegen werden die starken Unterdrücke an der vorderen Kante vermieden und dadurch eine an der ganzen Seitenwand anliegende Strömung erzielt. Dabei ergibt sich eine sehr beträchtliche Verminderung des Widerstandsbeiwertes auf cW = 0,42. Weitere eingehende Untersuchungen an solchen Kraftfahrzeugen auch bei unsymmetrischer Anströmung sind von W.H. Hucho (1972, 1981) ausgeführt worden. Auch bei der Auftriebserzeugung eines Tragflügels spielt die Ablösung eine wichtige Rolle. Bei kleinen Anstellwinkeln (bis etwa 10 ◦ ) verläuft die Strömung auf beiden Seiten ohne Ablösung, so daß man mit sehr guter Näherung die reibungslose, auftriebserzeugende Strömung erhält, deren Druckverteilung in Bild 1.9 angegeben wurde („gesunde“ Strömung, Bild 2.12a). Mit wachsendem Anstellwinkel entsteht auf der Saugseite des Profiles Ablösungsgefahr, da dort der Druckanstieg steiler wird. Bei einem gewissen Anstellwinkel, der bei etwa 15 ◦ liegt, tritt infolgedessen Ablösung ein. Der Ablösungspunkt liegt ziemlich nahe hinter der Nase. Die abgelöste Strömung (Bild 2.12b) weist ein großes Totwasser auf. Die reibungslose, auftriebserzeugende Strömung ist zerstört worden, und der Widerstand ist jetzt sehr groß. Der Beginn der Ablösung fällt etwa mit dem maximalen Auftrieb des Flügels zusammen.

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2 Grundzüge der Grenzschicht-Theorie

Bild 2.11. Strömung um das Modell eines Kraftfahrzeuges (Volkswagen-Lieferwagen), nach E. Möller (1951). a Stirnform eckig, mit völlig abgelöster Strömung an der ganzen Seitenwand und großem Widerstandsbeiwert, cW = 0,76. b Stirnform rund, mit anliegender Strömung an der ganzen Seitenwand und kleinem Widerstandsbeiwert, cW = 0,42

Bild 2.12. Strömung um ein Tragflügelprofil, nach L. Prandtl; O. Tietjens (1931), a bei „gesunder“ Strömung, b bei abgelöster Strömung

2.6 Ablösung der Grenzschicht

43

Bild 2.13. Tragflügelprofil und Kreiszylinder in einer solchen relativen Größe, daß sie bei gleicher Anströmgeschwindigkeit (parallel zur Symmetrieachse des Tragflügels) gleichen Widerstand haben.

Tragflügel: Kreiszylinder:

Laminarprofil NACA 634 − 021 mit laminarer Grenzschicht. Widerstandsbeiwert cWo = 0,006 bei Rel = 106 bis 107 . Widerstandsbeiwert cW = 1,0 bei Red = 104 bis 105 (Bild 1.12).

Somit hat das Verhältnis von Sehnenlänge des Tragflügels l zu Durchmesser des Kreiszylinders d den Wert l/d = 1,0/0,006 = 167

Grenzschichtablösung kann auch bei mäßigen Anstellwinkeln eines Tragflügels eine Rolle spielen, wenn schallnahe Strömung betrachtet wird. Wie in Bild 1.11 bereits erläutert wurde, bildet sich im allgemeinen auf der Saugseite des TragflügelProfils ein Verdichtungsstoß aus. Bei entsprechender Stärke des Verdichtungsstoßes kann infolge des damit verbundenen Druckanstiegs die Grenzschicht zur Ablösung kommen. Durch den dadurch zusätzlich auftretenden Druckwiderstand kommt es im schallnahen Bereich zu einer drastischen Erhöhung des Widerstandes, was häufig, etwas populärwissenschaftlich ausgedrückt, mit dem Begriff der „Schallmauer“ beschrieben wird. Schließlich möge hier noch ein besonders anschauliches Beispiel dafür angegeben werden, in welch starkem Maße sich der Widerstand eines umströmten Körpers verringern läßt, wenn die Ablösung der Grenzschicht gänzlich vermieden wird und wenn darüber hinaus durch eine geeignete Formgebung für einen sehr geringen Widerstand gesorgt wird. Bild 2.13 zeigt den Einfluß einer günstigen Formgebung (Stromlinienform) auf den Widerstand: Ein symmetrisches Tragflügelprofil und ein Kreiszylinder (dünner Draht) sind in einer solchen relativen Größe gezeichnet, daß sie bei gleicher Anströmgeschwindigkeit gleichen Widerstand haben. Der Kreiszylinder hat einen Widerstandsbeiwert von etwa cW ≈ 1, bezogen auf die Stirnfläche, vgl. Bild 1.12. Das Tragflügelprofil hat dagegen den sehr geringen Widerstandsbeiwert von cWo = 0,006, bezogen auf seine Grundrißfläche. Der angegebene extrem geringe Widerstandsbeiwert des Tragflügels wird dadurch erreicht, daß durch eine besondere Formgebung des Tragflügels die Grenzschicht nahezu über ihre ganze Lauflänge laminar gehalten wird (Laminarprofil); man vergleiche hierzu Kap. 15, insbesondere Bild 15.27.

44

2 Grundzüge der Grenzschicht-Theorie

Unterschied zwischen laminarer und turbulenter Grenzschicht-Ablösung.

Eine besonders auffällige Erscheinung, die mit dem Übergang laminar-turbulent in der Grenzschicht zusammenhängt, tritt bei stumpfen Körpern, wie z.B. Kreiszylinder und Kugel, auf. Aus Bild 1.12 und 1.19 ist ersichtlich, daß für Kreiszylinder und Kugel bei den Reynolds-Zahlen V d/ν etwa 5×105 bzw. 3×105 ein plötzlicher starker Abfall des Widerstandsbeiwertes eintritt. Dieser wurde für die Kugel zuerst von G. Eiffel (1912) festgestellt. Dieser starke Widerstandsabfall ist auf ein Turbulentwerden der Grenzschicht zurückzuführen. Durch das Turbulentwerden der Grenzschicht wird erreicht, daß der Ablösungspunkt sich weiter nach hinten verlagert, da bei der turbulenten Grenzschicht infolge der Mischbewegungen die mitschleppende Wirkung der Außenströmung wesentlich größer ist als bei der laminaren. Infolgedessen verlagert sich nach Turbulentwerden der Grenzschicht die Ablösungsstelle, die bei laminarer Strömung etwa am Äquator liegt, um ein beträchtliches Stück stromabwärts. Dadurch wird das Totwassergebiet hinter dem Körper wesentlich schmaler, und die Druckverteilung nähert sich mehr derjenigen bei reibungsloser Strömung (Bild 1.17). Es tritt mit der Verkleinerung des Totwassers eine beträchtliche Verminderung des Druckwiderstandes ein, die als Sprung in der Kurve cW = f (Re) in Erscheinung tritt. Daß diese Erklärung tatsächlich zutrifft, konnte L. Prandtl (1914) dadurch zeigen, daß er auf die Kugel etwas vor dem Äquator einen dünnen Drahtreif („Stolperdraht“ ) auflegte. Dadurch wird die laminare Grenzschicht schon bei einer kleineren Reynolds-Zahl künstlich turbulent gemacht und in gleicher Weise die Widerstandsverminderung erreicht, die sonst erst bei Erhöhung der ReynoldsZahl eintritt. In Bild 2.14 zeigen Strömungsbilder, bei denen die Strömungen durch Rauch sichtbar gemacht sind, für eine Kugel den unterkritischen Strömungszustand mit großem Totwasser und großem Widerstand und den überkritischen Zustand mit kleinem Totwasser und kleinem Widerstand. Dabei ist der letztgenannte Zustand durch den Prandtlschen „Stolperdraht“ erzeugt worden. Durch diesen Versuch ist sehr überzeugend gezeigt, daß der Sprung in der Widerstandskurve von Kugel und Kreiszylinder nur als ein Grenzschichteffekt verstanden werden kann. Einen grundsätzlich ähnlichen Verlauf des Widerstandsbeiwertes in Abhängigkeit von der Reynolds-Zahl zeigen auch andere Körperformen mit stumpfer abgerunde-

Bild 2.14. Strömung um eine Kugel, nach C. Wieselsberger (1914). a Unterkritische Strö-

mung im unterkritischen Reynolds-Zahl-Bereich, b Überkritische Strömung im unterkritischen Reynolds-Zahl-Bereich. Durch Auflegen eines dünnen Drahtreifens („Stolperdraht“) ist die überkritische Strömungsform erzwungen worden

2.6 Ablösung der Grenzschicht

45

ter Rückseite (z.B. elliptische Zylinder). Mit wachsendem Schlankheitsgrad tritt der Sprung in der Widerstandskurve mehr und mehr zurück. Bei einem schlanken Tragflügelprofil nach Bild 1.8, bei dem keine wesentliche Grenzschichtablösung auftritt, ist infolgedessen auch kein Sprung in der cW -Kurve vorhanden. Der sanfte Druckanstieg auf der Rückseite dieser Körper wird von der Grenzschicht ohne Ablösung überwunden. Wie wir später noch näher sehen werden, hat hierbei der Druckverlauf der Außenströmung einen entscheidenden Einfluß auf die Lage des Übergangs laminar-turbulent. Im Druckabfallgebiet, von der Nase bis etwa zum Druckminimum, ist die Grenzschicht laminar, von dort an im Druckanstiegsgebiet meist turbulent. Sehr wichtig ist hierbei, daß die Ablösung im allgemeinen nur bei turbulenter Strömung in der Grenzschicht vermieden werden kann. Eine laminare Grenzschicht erträgt, wie wir später noch näher sehen werden, nur einen außerordentlich geringen Druckanstieg, so daß sie auch bei sehr schlanken Körperformen meistens zur Ablösung kommen würde. Dies gilt insbesondere auch für die Tragflügelströmung mit einer Druckverteilung nach Bild 1.9. Hier ist die Ablösungsgefahr auf der Saugseite am größten. Die glatte, ablösungsfreie, auftrieberzeugende Strömung ist auch hier immer nur bei turbulenter Grenzschicht möglich. Wir können also zusammenfassend sagen, daß sowohl der geringe Widerstand der schlanken Körperformen als auch der Auftrieb der Tragflügelprofile in der Regel der Turbulenz der Grenzschicht zu verdanken sind. Auf einen besonderen Unterschied zwischen laminarer und turbulenter Grenzschicht-Ablösung soll hier noch hingewiesen werden. Nach Ablösung und Verlassen des Körpers entwickeln sich die Grenzschichten als sogenannte freie Scherschichten weiter stromabwärts und bilden dort die Nachlaufströmung. Im Grenzfall Re = ∞ reduzieren sich die laminaren freien Scherschichten zu Unstetigkeitslinien bzw. -flächen, vgl. Bild 1.14b. Im Gegensatz dazu behalten die turbulenten freien Scherschichten für Re = ∞ endliche Dicke. Wenn sich demnach durch Ablösung turbulente freie Scherschichten bilden, ist die Grenzlösung für Re = ∞ zwar viskositätsfrei, jedoch reibungsbehaftet. Dabei handelt es sich um Scheinreibung infolge turbulenter Schwankungsbewegungen. Instationäre Nachlaufgebiete. Wie bereits in Kap. 1 im Zusammenhang mit der Kreiszylinder-Strömung (Bilder 1.15 und 1.16 und Tabelle 1.1) ausgeführt wurde, bleibt bei Auftreten von Ablösung die Strömung trotz stationärer Anströmbedingungen keineswegs stationär. Damit sind zeitlich veränderliche Vorgänge der mittleren Bewegung gemeint, die im Vergleich zu etwaig vorhandenen turbulenten Schwankungsbewegungen langsam verlaufen. Diese Erscheinung tritt nicht nur beim Kreiszylinder auf, sondern auch bei stumpfen Körpern beliebiger Querschnittsform sowie bei Tragflügeln mit hohen Anstellwinkeln. Dabei kann es hinter dem Körper zu einer regelmäßigen Anordnung rechts und links drehender Wirbel kommen, die als Karmansche Wirbelstraße bezeichnet wird. Der instationäre Charakter des Nachlaufgebietes hat ganz offensichtlich einen erheblichen Einfluß auf den Widerstand des Körpers, vergleiche dazu die Ausführungen zu Bild 1.15. Verständlicherweise ist es äußerst schwierig, im konkreten Fall festzustellen, ob instationäre Strömung auftritt und wie sie a priori bestimmbar ist. Hierzu befindet sich die Forschung noch stark im

46

2 Grundzüge der Grenzschicht-Theorie

Fluß. Es sei deshalb an dieser Stelle nur auf diesbezügliche zusammenfassende Darstellungen hingewiesen, etwa von L. Rosenhead (1931/32), M.V. Morkovin (1964), R. Wille (1966), E. Berger; R. Wille (1972), T. Sarpkaya (1975), W.J. McCroskey (1977), H.W. Försching (1978), D.P. Telionis (1981) und H. Schlichting (1982).

Maßnahmen zur Verhinderung der Ablösung. Die Ablösung der Grenzschicht

ist meist unerwünscht, da sie große Energieverluste mit sich bringt. Es sind deshalb verschiedene Maßnahmen ersonnen worden, um durch einen künstlichen Eingriff die Ablösung der Grenzschicht zu verhindern. Physikalisch wohl am einfachsten ist es, durch Mitbewegen der Wand in Strömungsrichtung die Geschwindigkeitsdifferenz zwischen Wand und Außenströmung und damit die Ursache der Grenzschichtbildung zu beseitigen. Technisch ist dieser Fall im allgemeinen schwierig realisierbar. An einem rotierenden Kreiszylinder ist jedoch von L. Prandtl; O. Tietjens (1931) gezeigt worden, daß diese Maßnahme sehr wirksam ist. Man erhält dabei auf derjenigen Seite, auf der die Bewegungen von Wand und Außenströmung gleichsinnig sind, überhaupt keine Grenzschichtablösung. Ein anderes sehr wirksames Mittel zur Verhinderung der Grenzschichtablösung ist die Absaugung. Hierbei wird durch schmale Schlitze in der Körperwand das verzögerte Grenzschichtmaterial in das Innere des Körpers abgesaugt. Wenn die Absaugung genügend stark ist, kann dadurch die Grenzschichtablösung verhindert werden. Die Grenzschichtabsaugung ist von L. Prandtl bereits 1904 in seiner ersten grundlegenden Grenzschichtarbeit beim Kreiszylinder angewendet worden. Durch Absaugung mit einem Schlitz auf der Rückseite des Kreiszylinders kann dieAblösung nahezu vermieden werden. Als Beispiel für die Wirkung der Grenzschichtabsaugung zeigt Bild 2.9 die Strömung in einem stark divergenten Kanal. Ohne Absaugung ist hier starke Ablösung vorhanden (Bild 2.9a). Wenn die Absaugeschlitze nur auf einer Seite arbeiten, legt sich die Strömung an diese Seite an (Bild 2.9b). Wenn die Schlitze an beiden Seiten in Betrieb sind, füllt die Strömung den ganzen Kanalquerschnitt voll aus (Bild 2.9c). Man erhält dann das Stromlinienbild der reibungsfreien Strömung. Auch beim Tragflügel ist in neuerer Zeit die Absaugung zum Zweck der Vergrößerung des Auftriebes erfolgreich angewendet worden. Durch Absaugung auf dem hinteren Teil der Oberseite wird erreicht, daß die Strömung noch bis zu wesentlich größeren Anstellwinkeln anliegt, als sie es sonst tun würde. Damit wird eine wesentliche Steigerung des Maximalauftriebes erreicht, O. Schrenk (1935). Ablösung der Grenzschicht kann auch durch tangentiales Einblasen in die Grenzschicht vermieden werden. Durch den „Wandstrahl“, der durch einen Schlitz an der Kontur in die Grenzschicht parallel zur Hauptströmungsrichtung eingeblasen wird, kann der Grenzschicht genügend kinetische Energie zugeführt werden, um Ablösung zu verhindern. Nach diesem Prinzip kann der Maximal-Auftrieb erheblich gesteigert werden. Im Prinzip gehört der Vorflügel bei Tragflügeln auch zu den Anordnungen zur Vermeidung der Ablösung. In diesem Fall wird die Druckverteilung am Tragflügel durch die Anwesenheit des Vorflügels derart günstig beeinflußt, daß starke positive Druckgradienten vermieden und damit Ablösungen verhindert werden.

2.7 Übersicht zum folgenden Stoff

47

Eine zusammenfassende Darstellung über die Strömungsablösung und deren Beeinflussung wurde von P.K. Chang (1970, 1976) gegeben.

2.7

Übersicht zum folgenden Stoff Nachdem wir hiermit in kurzen Zügen die wesentlichen physikalischen Grundlagen der Strömungen mit sehr kleiner Reibung und damit der Grenzschicht-Theorie dargelegt haben, soll jetzt im folgenden die rationelle Theorie dieser Erscheinungen aus den hydrodynamischen Bewegungsgleichungen der Fluidströmung mit Reibung entwickelt werden. Wir gliedern dabei unsere Ausführungen so, daß im Teil A zunächst die allgemeinen Navier-Stokesschen Bewegungsgleichungen hergeleitet werden. Aus diesen werden dann im Teil B die Prandtlschen Grenzschichtgleichungen abgeleitet aufgrund der Vereinfachungen, die aus der Kleinheit der Viskosität folgen. Anschließend folgt die Integrationstheorie der Grenzschichtgleichungen für laminare Strömungen. Im Teil C wird das Problem der Turbulenzentstehung (Übergang laminar-turbulent) als Stabilitätstheorie der laminaren Strömungen behandelt. Der Teil D schließlich bringt die Grenzschicht-Theorie der ausgebildeten turbulenten Strömungen. Während die Theorie der laminaren Grenzschicht aufgrund der NavierStokesschen Differentialgleichungen der viskosen Fluide rein deduktiv behandelt werden kann, ist dies bei den turbulenten Strömungen bis heute nicht möglich, da der turbulente Strömungsmechanismus wegen seiner großen Kompliziertheit einer rein theoretischen Behandlung nicht zugänglich ist. Die theoretische Behandlung der turbulenten Strömungen muß sich deshalb auf Versuchsergebnisse stützen und stellt deshalb eine halbempirische Theorie dar. Im Teil E werden die numerischen Verfahren der Grenzschicht-Theorie behandelt.

3 Feldgleichungen für die Strömungen Newtonscher Fluide

3.1

Beschreibung von Strömungsfeldern Es sollen jetzt die Bewegungsgleichungen eines allgemeinen (Newtonschen) Fluids aufgestellt werden. Dabei wird das Fluid als ein Kontinuum angesehen. In einem Kontinuum ist das kleinste betrachtete Volumenelement dV noch immer homogen, d.h. die Abmessungen von dV sind noch sehr groß gegenüber dem mittleren Molekülabstand im Fluid. Bei Gasen ist die Annahme eines Kontinuums erfüllt, wenn die Knudsen-Zahl Kn = 0 / l sehr klein ist, wobei 0 die mittlere freie Weglänge und l eine charakteristische Länge des Strömungsfeldes sind, siehe dazu S.A. Schaaf (1958). Bei einer dreidimensionalen Bewegung ist das Strömungsfeld bestimmt durch den Geschwindigkeitsvektor v = e x u + e y v + e z w (3.1) mit den drei Komponenten u, v, w in einem kartesischen Koordinatensystem mit den Einheitsvektoren e x , e y , e z , ferner durch den Druck p und die Temperatur T . Zur Bestimmung dieser fünf Größen stehen folgende fünf Gleichungen zur Verfügung: Kontinuitätsgleichung drei Impulsgleichungen Energiegleichung

(Erhaltung der Masse), (Erhaltung des Impulses), (Erhaltung der Energie, d.h. erster Hauptsatz der Thermodynamik).

Später wird sich herausstellen, daß zusätzlich auch noch die Impulsmomentengleichung (Drallgleichung) berücksichtigt werden muß, vgl. Gl. (3.14). Zu den genannten allgemeingültigen Bilanzgleichungen kommen noch Transportgleichungen hinzu. Im hier betrachteten Fall von isotropen Newtonschen Fluiden handelt es sich dabei um einen linearen Zusammenhang zwischen den Tensoren der Spannungen und der Verformungsgeschwindigkeiten sowie um das Fouriersche Wärmeleitungsgesetz. Wie sich herausstellen wird, enthalten die damit vervollständigten fünf Bilanzgleichungen noch folgende Stoffwerte, für die die Abhängigkeiten von Temperatur und Druck gegeben sein müssen: Die Zustandsgrößen Dichte (T ,p) und isobare spezifische Wärmekapazität cp (T ,p) sowie die Transportgrößen Viskosität µ(T ,p) und Wärmeleitfähigkeit λ(T ,p). Im folgenden werden zunächst die genannten Erhaltungssätze für Masse, Impuls und Energie aufgestellt.

50

3 Feldgleichungen für die Strömungen Newtonscher Fluide

3.2

Kontinuitätsgleichung Die Kontinuitätsgleichung ist eine Aussage über die Erhaltung der Masse. Sie bringt zum Ausdruck, daß für die Volumeneinheit die Summe der pro Zeiteinheit ein- und ausfließenden Massen gleich der Massenänderung pro Zeiteinheit durch Dichteänderung ist. Dieses liefert für instationäre Strömung eines allgemeinen Fluids: D +  div v = 0 Dt

(3.2)

∂ + div ( v) = 0 . ∂t

(3.3)

oder in anderer Schreibweise

Dabei ist D/Dt die totale oder substantielle Ableitung der Dichte nach der Zeit, die sich nach D ∂ = + v · grad  (3.4) Dt ∂t aus dem lokalen Anteil ∂/∂t (bei instationärer Strömung) und dem konvektiven Anteil (infolge Ortsänderung) v · grad  zusammensetzt. Anhand der Kontinuitätsgleichung kann jetzt der Begriff des inkompressiblen Fluids genauer präzisiert werden, und zwar durch folgende Definition: Für inkompressible Fluide verschwindet die substantielle Ableitung der Dichte nach der Zeit (D/Dt = 0). Aus der Kontinuitätsgleichung, Gl. (3.2), folgt dann sofort, daß inkompressible Strömungen, d.h. Strömungen inkompressibler Fluide, quellenfrei sind. Es gilt: D = 0, Dt

div v = 0

(inkompressibles Fluid).

(3.5)

Konstante Dichte im gesamten Strömungsfeld ist zwar eine hinreichende, jedoch keine notwendige Bedingung für inkompressible Strömungen. Bei Strömungen in Dichteschichtungen, beispielsweise im Ozean, ist die Dichte im Strömungsfeld veränderlich, obwohl jedes Fluidteilchen seine Dichte beibehält.Auf zusammenfassende Darstellungen dazu sei hingewiesen: C.S. Yih (1965), O.M. Phillips (1966). Innere Schwerewellen sind Beispiele von inkompressiblen Strömungen mit ortsveränderlicher Dichte, siehe dazu J. Lighthill (1978), R.R. Long (1972).

3.3

Impulsgleichung Die Impulsgleichung entspricht dem Grundgesetz der Mechanik, wonach Masse mal Beschleunigung gleich der Summe der Kräfte ist. An Kräften sind Massenkräfte

3.3 Impulsgleichung

51

(Gewichtskräfte) und Oberflächenkräfte (Druck- und Reibungskräfte) wirksam. Bedeuten f die Massenkraft pro Volumeneinheit (z.B. f = g mit g als Vektor der Fallbeschleunigung) und P die Oberflächenkraft pro Volumeneinheit, so lautet die Impulsgleichung in Vektorschreibweise: 

D v = f + P . Dt

(3.6)

Dabei bedeutet

D v ∂ v d v = + (3.7) Dt ∂t dt die substantielle Beschleunigung, welche aus der lokalen Beschleunigung ∂ v /∂t (bei instationärer Strömung) und der konvektiven Beschleunigung d v /dt (infolge Ortsänderung) besteht. Für die konvektive Beschleunigung gilt allgemein
 d v 1 2 = grad v − v × rot v . (3.8) dt 2

Es wird dafür häufig die (pseudovektorielle) Abkürzung d v = ( v · grad ) v dt

(3.9)

gewählt. Die Massenkräfte sind als gegebene äußere Kräfte anzusehen. Die Oberflächenkräfte hängen dagegen vom Verformungszustand (Bewegungszustand) des Fluids ab. Die Gesamtheit der Oberflächenkräfte an einem Volumenelement bestimmt einen Spannungszustand 1 . Es besteht jetzt die Aufgabe, einen Zusammenhang zwischen dem Spannungszustand und dem Verformungszustand herzustellen (Transportgleichung). Dieser Zusammenhang kann letztlich immer nur empirisch sein. Allgemeingültige Aussagen kommen aus der Thermodynamik irreversibler Prozesse, siehe dazu die zusammenfassenden Darstellungen von J. Meixner; H.G. Reik (1959), S.R. De Groot; P. Mazur (1962), J. Kestin (1966b) und I. Prigogine (1947). Die weiteren Betrachtungen sind auf isotrope Newtonsche Fluide beschränkt. Alle Gase und viele Flüssigkeiten, insbesondere Wasser, gehören zu dieser Kategorie. Ein Fluid wird als isotrop bezeichnet, wenn der Zusammenhang zwischen den Komponenten des Spannungstensors und des Verformungsgeschwindigkeits-Tensors in allen Richtungen der gleiche ist. Wenn dieser Zusammenhang linear ist, handelt es sich um ein Newtonsches Fluid. Man spricht dann vom Newtonschen oder Stokesschen Reibungsgesetz. Es handelt sich um eine Gleichung für den Impulstransport. Wie in Abschnitt 3.8 ausgeführt wird, enthält diese Transportgleichung nur eine Transportgröße (die Viskosität), solange Relaxationserscheinungen im Fluid nicht auftreten. 1 Der Begriff Oberflächenspannung wird hier ausdrücklich nicht benutzt, da diese zur Be-

schreibung freier Oberflächen von Flüssigkeiten dient, die hier nicht behandelt werden.

52

3 Feldgleichungen für die Strömungen Newtonscher Fluide

3.4

Allgemeiner Spannungszustand verformbarer Körper Um die Oberflächenkräfte zu bestimmen, wird nach Bild 3.1 ein Volumenelement dV = dx ·dy ·dz betrachtet, dessen linker vorderer Eckpunkt die Ortskoordinaten x, y, z hat. An den beiden zur x-Achse normalen Flächen von der Größe dy · dz greifen die beiden resultierenden Spannungen (Spannungsvektoren = Oberflächenkräfte pro Flächeneinheit) an: ∂ p x p x und p x + dx . (3.10) ∂x Der Index x besagt, daß der Spannungsvektor an einem Flächenelement wirkt, das senkrecht zur x-Richtung steht. Analoge Glieder erhält man für die Flächenelemente dx · dz und dx · dy senkrecht zur y-Achse bzw. z-Achse. Damit ergeben sich als Anteile der resultierenden Oberflächenkraft in den drei Koordinatenrichtungen: Ebene ⊥ x-Richtung:

∂ p x · dx · dy · dz ∂x

Ebene ⊥ y-Richtung:

∂ p y · dx · dy · dz ∂y

Ebene ⊥ z-Richtung:

∂ p z · dx · dy · dz . ∂z

Die gesamte aus dem Spannungszustand herrührende resultierende Oberflächenkraft P je Volumeneinheit dV ist daher: ∂ p y ∂ p x ∂ p z P = + + . ∂x ∂y ∂z

(3.11)

Hierin sind p x , p y und p z Vektoren, die noch in Komponenten zerlegt werden können. Diese Zerlegung führen wir so aus, daß wir die Komponenten senkrecht zu jedem Flächenelement, also die Normalspannungen, mit σ bezeichnen und als Index die Richtung dieser Normalspannungen angeben. Die Komponenten in der Ebene des zugehörigen Flächenelementes heißen Tangentialspannungen τ . Sie erhalten einen Doppelindex: an erster Stelle steht, zu welcher Achse das Flächenelement senkrecht steht, und an zweiter Stelle, in welche

Bild 3.1. Spannungen am Volumenelement

3.4 Allgemeiner Spannungszustand verformbarer Körper

53

Achsenrichtung die Spannung τ zeigt. Mit dieser Bezeichnungsweise ist: p x = e x σx + e y τxy + e z τxz p y = e x τyx + e y σy + e z τyz

(3.12)

p z = e x τzx + e y τzy + e z σz . Der Spannungszustand ist also durch neun skalare Größen bestimmt, die einen Spannungstensor bilden. Die Gesamtheit der neun Komponenten des Spannungstensors nennt man auch die Spannungsmatrix: ⎛ ⎞ σx τxy τxz σ = ⎝ τyx σy τyz ⎠ . (3.13) τzx τzy σz Der Spannungstensor und die zugehörige Spannungsmatrix sind symmetrisch; damit ist gemeint, daß die beiden Tangentialspannungen mit Indizes, die sich nur in ihrer Reihenfolge unterscheiden, gleich sind. Wir zeigen dies durch Betrachtung der Bewegungsgleichung an einem Fluidelement. Im allgemeinen kann diese Bewegung in eine Translation und eine Rotation zerlegt werden. Für unseren Zweck braucht nur die letztere betrachtet zu werden. Bezeichnet man die augenblickliche Winkel ˙ ω˙ x ,ω˙ y ,ω˙ z ), so kann man für die Rotation beschleunigung des Fluidelementes mit ω( um die y-Achse schreiben: ω˙ y dIy = (τxz dy dz) dx − (τzx dx dy) dz = (τxz − τzx ) dV . Hierbei bedeutet dIy das Trägheitsmoment des Elementes um die y-Achse. Nun ist das Trägheitsmoment dI proportional der fünften Potenz der linearenAbmessung des Parallelepipeds, während das Volumenelement dV der dritten Potenz proportional ist. Beim Übergang zu einem sehr kleinen Volumenelement verschwindet die linke Seite der vorstehenden Gleichung schneller als die rechte Seite. Somit ergibt sich τxz − τzx = 0 , wenn ω˙ y nicht unendlich groß wird. Analoge Gleichungen erhält man für die übrigen beiden Achsen. Damit ist die Symmetrie des Spannungstensors bewiesen. Aus dem Vorstehenden ergibt sich, daß der Spannungstensor nicht mehr symmetrisch wäre, wenn das Fluid ein örtliches Drehmoment hätte, das dem Volumen dV proportional ist. Dies kann z.B. in einem elektrostatischen Feld auftreten, vgl. I. Müller (1973, S. 32). Wegen der Beziehungen τxy = τyx τxz = τzx

(3.14)

τyz = τzy enthält die Spannungsmatrix Gl. (3.13) also nur sechs verschiedene Spannungskomponenten und ist symmetrisch zur Hauptdiagonalen:

54

3 Feldgleichungen für die Strömungen Newtonscher Fluide

⎛

σx σ = ⎝ τxy τxz

τxy σy τyz

⎞ τxz τyz ⎠ . σz

(3.15)

Aus Gl. (3.11), (3.12) und (3.14) erhält man somit für die Oberflächenkraft pro Volumeneinheit
 ∂τxy ∂σx ∂τxz + + P = e x x-Komp. ∂x ∂y ∂z
 ∂τxy ∂σy ∂τyz (3.16) + + + ey y-Komp. ∂x ∂y ∂z
 ∂τ ∂σz z-Komp. + ez ∂τxz + yz + ∂y ∂z ∂x

   

 Fläche yz

Fläche zx

Fläche xy

Führt man diesen Ausdruck in die Bewegungsgleichung (3.6) ein, so lautet diese, in Komponenten geschrieben:
 ∂τxy ∂σx Du ∂τxz  = fx + + + Dt ∂x ∂y ∂z
 ∂τxy ∂σy ∂τyz Dv = fy +  + + (3.17) Dt ∂x ∂y ∂z
 ∂τyz Dw ∂σz ∂τxz  = fz + + + . Dt ∂x ∂y ∂z Die erste Invariante des Spannungstensors wird „zunächst“ als Druck p bezeichnet: 1 (3.18) p = − (σx + σy + σz ) . 3 Der Vorbehalt „zunächst“ wird in Abschnitt 3.8 ausführlich erörtert werden. Im hydrostatischen Spannungszustand ( v = 0) verschwinden alle Tangentialspannungen. Es bleiben dann nur die Normalspannungen übrig, die unter sich gleich sind und nach Gl. (3.18) mit dem negativen Druck übereinstimmen. Da Messungen zur Bestimmung thermodynamischer Zustandsgrößen (im Prinzip) bei ruhendem Fluid ausgeführt werden, ist der in Gl. (3.18) eingeführte Druck im hydrostatischen Fall mit dem thermodynamischen Druck identisch. Das gilt auch im Fall des strömenden Fluids, falls, wie in Abschnitt 3.8 ausgeführt wird, in der Strömung keine Relaxationen auftreten. Es ist zweckmäßig, von den Normalspannungen den Druck abzuspalten: τxx = σx + p,

τyy = σy + p,

τzz = σz + p .

(3.19)

Damit sind die Spannungen additiv aufgespalten in einen Anteil mit allseitig gleichen Normalspannungen −p und einen Anteil, der davon abweicht (Deviatorspannungen).

3.5 Allgemeiner Verformungszustand strömender Fluide

Die Impulsgleichungen (3.17) lauten dann
 ∂τxy ∂τxx ∂p ∂τxz Du = fx − + + +  Dt ∂x ∂x ∂y ∂z
 ∂τyx ∂τyy ∂τyz Dv ∂p  = fy − + + + Dt ∂y ∂x ∂y ∂z
 ∂τzy ∂τzx ∂τzz Dw ∂p = fz − + + +  Dt ∂z ∂x ∂y ∂z

55

(3.20)

oder in Vektorschreibweise 

D v = f − grad p + Div τ . Dt

(3.21)

Dabei heißt τ der viskose Spannungstensor. Er enthält nur die Deviatorspannungen und ist ebenfalls symmetrisch. Seine Matrix lautet: ⎞ ⎛ τxx τxy τxz (3.22) τ = ⎝ τxy τyy τyz ⎠ . τxz τyz τzz Das System der drei Gleichungen (3.20) enthält die sechs Komponenten des viskosen Spannungstensors. Die weitere Aufgabe ist, diese sechs Spannungsgrößen mit den Verformungsgeschwindigkeiten in Zusammenhang zu bringen und dadurch die drei Geschwindigkeitskomponenten u, v, w bzw. deren Ableitungen auch auf der rechten Seite von Gl. (3.20) einzuführen. Bevor dieser Zusammenhang in Abschnitt 3.6 hergestellt wird, sollen zunächst in Abschnitt 3.5 die Verformungen näher untersucht werden.

3.5

Allgemeiner Verformungszustand strömender Fluide Wenn in einem Fluid eine Strömung stattfindet, wird jedes Fluidelement im Laufe der Zeit zu einem neuen Ort befördert. Während dieser Bewegung werden die Fluidelemente verformt. Da die Fluidbewegung vollständig bestimmt ist, wenn der Geschwindigkeitsvektor als Funktion von Ort und Zeit bestimmt ist, v = v (x,y,z,t), existieren kinematische Beziehungen zwischen den Verformungsgeschwindigkeiten und dieser Funktion. Für ein Fluidelement hängt die Geschwindigkeit der Verformung von der Relativbewegung zweier ihrer Punkte ab. Wir betrachten deshalb zwei benachbarte Punkte A und B wie in Bild 3.2. Infolge des Geschwindigkeitsfeldes wird der Punkt A in der Zeit dt nach A verschoben, wobei s = v dt gilt. Da im Punkt B, der sich im Abstand d r von A befindet, die Geschwindigkeit von derjenigen in A verschieden ist, bewegt sich B nach Punkt B  , der von B um den

56

3 Feldgleichungen für die Strömungen Newtonscher Fluide

Bild 3.2. Verschiebung der Strecke AB in die Strecke A B 

Abstand s + d s = ( v + d v ) dt entfernt ist. Ausführlicher: Wenn im Punkt A die Geschwindigkeitskomponenten u, v, w sind, so hat man im Nachbarpunkt B für die Geschwindigkeitskomponenten nach einer Taylor-Entwicklung erster Ordnung u + du = u +

∂u ∂u ∂u dx + dy + dz ∂x ∂y ∂z

v + dv = v +

∂v ∂v ∂v dx + dy + dz ∂x ∂y ∂z

w + dw = w +

(3.23)

∂w ∂w ∂w dx + dy + dz . ∂x ∂y ∂z

Die Relativbewegung des Punktes B in bezug auf den Punkt A wird also durch die folgende Matrix der neun partiellen Ableitungen des örtlichen Geschwindigkeitsfeldes beschrieben: ⎛ ⎞ ∂u ∂u ∂u ⎟ ⎜ ⎜ ∂x ∂y ∂z ⎟ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎜ ∂v ∂v ∂v ⎟ ⎟. ⎜ (3.24) ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ∂x ∂y ∂z ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎝ ∂w ∂w ∂w ⎠ ∂x ∂y ∂z Es ist zweckmäßig, die Ausdrücke für die relativen Geschwindigkeitskomponenten du, dv, dw nach Gl. (3.23) in folgender Weise anzuordnen: du = (˙εx dx + ε˙ xy dy + ε˙ xz dz) + (ωy dz − ωz dy) dv = (˙εyx dx + ε˙ y dy + ε˙ yz dz) + (ωz dx − ωx dz)

(3.25)

dw = (˙εzx dx + ε˙ zy dy + ε˙ z dz) + (ωx dy − ωy dx) . Es läßt sich leicht zeigen, daß die neu eingeführten Größen die folgende Bedeutung haben:

3.5 Allgemeiner Verformungszustand strömender Fluide

⎞ ε˙ x ε˙ xy ε˙ xz ε˙ = ⎝ ε˙ yx ε˙ y ε˙ yz ⎠ ε˙ ε˙ ε˙ ⎛ zx zy z ∂u ⎜ ∂x ⎜ ⎜
⎜ 1 ∂u ∂v  ⎜ =⎜ + ⎜ 2 ∂y ∂x ⎜ ⎜
 ⎝ 1 ∂u ∂w + 2 ∂z ∂x



∂u 1 ∂w 1 ∂v + + 2 ∂x ∂y 2 ∂x
∂v 1 ∂w + ∂y 2 ∂y
 ∂w 1 ∂v ∂w + 2 ∂z ∂y ∂z


 1 ∂w ∂v − ; 2 ∂y ∂z


 1 ∂u ∂w − ; 2 ∂z ∂x

57

⎛

und ωx =

ωy =

ωz =

⎞ ∂u ∂z ⎟ ⎟ ⎟ ∂v ⎟ ⎟ ⎟ ∂z ⎟ ⎟ ⎟ ⎠

(3.26)


 1 ∂v ∂u − . (3.27) 2 ∂x ∂y

Die Matrix ε˙ ist symmetrisch, so daß ε˙ yx = ε˙ xy ;

ε˙ xz = ε˙ zx ;

ε˙ zy = ε˙ yz

(3.28)

gilt, und ωx , ωy , ωz sind die Komponenten des Vektors der Drehung ω =

1 rot v . 2

(3.29)1)

Der zur Matrix (3.26) gehörige Tensor heißt Tensor der Verformungsgeschwindigkeiten. Für jede der Größen in Gl. (3.26) kann eine kinematische Deutung gegeben werden, was nunmehr geschehen soll. Da wir unsere Aufmerksamkeit auf die unmittelbare Umgebung von Punkt A richten und da hier die Bewegung von Punkt B relativ zu Punkt A interessiert, wollen wir A in den Ursprung legen und dx,dy,dz als die Koordinaten des Punktes B in einem kartesischen Koordinatensystem deuten.Auf diese Weise kann man dieAusdrücke in Gl. (3.25) als Komponenten du, dv, dw der Relativgeschwindigkeit deuten, die lineare Funktionen der Raumkoordinaten sind. Um die Bedeutung der verschiedenen Terme in den Matrizen (3.26) und in den Gleichungen (3.27) zu verstehen, wollen wir sie einzeln nacheinander interpretieren. Volumendilatation. Das Diagramm in Bild 3.3a gibt das Feld der Relativgeschwindigkeiten

für den Fall wieder, daß alle Terme in Gl. (3.26) außer ∂u/∂x verschwinden unter der Annahme ∂u/∂x > 0. Die Relativgeschwindigkeit jedes Punktes B in Bezug auf A ist
 ∂u dx . du = ∂x Das Feld besteht aus Ebenen x = const, die sich gleichförmig mit einer Geschwindigkeit verschieben, die dem Abstand dx von der Ebene x = 0 proportional ist. Ein elementares 1 In der angelsächsischen Litertur wird ω häufig für rot v verwendet, also für die doppelte

Drehung.

58

3 Feldgleichungen für die Strömungen Newtonscher Fluide

Bild 3.3. Verschiedene Formen der Bewegung eines Fluidelementes.

Bild 3.3a. Gleichförmige Dehnung in xRichtung, wenn ∂u/∂x > 0 ist und die übrigen Komponenten von ε˙ verschwinden.

Bild 3.3b. Gleichförmige Schubverfor-

Bild 3.3c. Gleichförmige Verformung, wenn ε˙ xy = ε˙ yx = [(∂u/∂y) +

Bild 3.3d. Starrkörperdrehung, wenn ωz = [(∂v/∂x) − (∂u/∂y)]/2  = 0 ist und die übrigen Komponenten von ε˙ verschwinden. (Das Diagramm ist für ∂v/∂x = −∂u/∂y gezeichnet worden)

(∂v/∂x)]/2 > 0 und die übrigen Komponenten von ε˙ verschwinden. (Das Diagramm ist für ∂u/∂y = ∂v/∂x gezeichnet worden)

mung, wenn ∂u/∂y > 0 und die übrigen Komponenten von ε˙ verschwinden.

Parallelepiped mit A und B an den vertikalen Kanten, das sich in einem solchen Geschwindigkeitsfeld befindet, wird in der Längsrichtung verformt, wobei sich die Seite BC mit wachsender Geschwindigkeit verschiebt. Somit bedeutet ε˙ x die Dehnungsgeschwindigkeit in der x-Richtung für das Volumenelement. In ähnlicher Weise bedeuten die Glieder ε˙ y = ∂v/∂y und ε˙ z = ∂w/∂z die Dehnungsgeschwindigkeiten in der y- bzw. z-Richtung. Es ist nun leicht, die Verformung anzugeben, die ein Fluidelement durch die gleichzeitige Wirkung aller drei Diagonalelemente der Matrizen (3.24) oder (3.26) erfährt. Das Element dehnt sich in alle drei Richtungen aus, und infolge der Längenänderung der drei Seiten ergibt

3.5 Allgemeiner Verformungszustand strömender Fluide sich eine relative Volumenänderung     ∂u dx dt ∂w dz dt − dx dy dz dy + ∂v dy dt dz + dx + ∂x ∂y ∂z e˙ = dx dy dz dt ∂w ∂u ∂v + + = ∂x ∂y ∂z

59

(3.30)

= div v . Bei dieser Verformung bleibt die Form des Elementes, die durch die Winkel der Seiten beschrieben wird, unverändert, da alle rechten Winkel erhalten bleiben. Somit beschreibt e˙ die lokale, momentane Volumendilatation des Fluidelementes. Wenn das Fluid inkompressibel ist, gilt e˙ = 0, wie zu erwarten ist. Für ein kompressibles Fluid ergibt sich aus Gl. (3.2) e˙ = div v = −

1 D .  Dt

(3.31)

Dies bedeutet, daß die Volumendilatation, d.h. die relative Volumenänderung, gleich der negativen relativen Änderung der lokalen Dichte ist. Schubverformung. Das relative Geschwindigkeitsfeld hat eine ganz andere Form, wenn eines der Glieder außerhalb der Diagonale der Matrix (3.24), z.B. ∂u/∂y, nicht verschwindet und z.B. positiv ist. Das entsprechende Feld ist in Bild 3.3b skizziert; es hat eine reine Schubverformung. Der ursprünglich rechte Winkel bei A ändert sich um dγxy = [(∂u/∂y)dy dt]/dy; somit ist die Scherwinkelgeschwindigkeit dγxy /dt = γ˙xy = ∂u/∂y. Wenn beide Ableitungen ∂u/∂y und ∂v/∂x positiv sind, wird der rechte Winkel bei A durch die Überlagerung dieser beiden Bewegungen geändert, wie es in Bild 3.3c dargestellt ist. Es ist klar, daß der rechte Winkel bei A sich um den doppelten Betrag von
 ∂v 1 ∂u + ε˙ yx = ε˙ xy = 2 ∂y ∂x

ändert; dies ist durch die beiden Terme außerhalb der Diagonale in der Matrix (3.26) gegeben. Im allgemeinen beschreiben die drei Terme außerhalb der Diagonale ε˙ xy = ε˙ yx , ε˙ xz = ε˙ zx und ε˙ zy = ε˙ yz die Verformung eines rechten Winkels, der in einer Ebene normal zu derjenigen Achse gelegen ist, deren Index nicht auftritt. Bei dieser Verformung bleibt das Volumen erhalten, und nur die Form des Elementes wird geändert. Starrkörperdrehung. Die Bewegung ist nochmals verschieden, wenn ∂u/∂y = −∂v/∂x

ist, wie in Bild 3.3d dargestellt. Von den vorstehenden Betrachtungen und aus der Tatsache, daß nun ε˙ xy = 0 ist, kann man schließen, daß in diesem Fall der rechte Winkel bei A nicht verändert wird. Dies wird auch aus dem Diagramm klar, das zeigt, daß sich das Fluidelement um den Punkt A dreht. Diese Drehung geschieht ohne Verformung und kann als die Drehung eines starren Körpers beschrieben werden. Die momentane Winkelgeschwindigkeit ist (∂v/∂x)dx dt ∂v ∂u = =− . dx dt ∂x ∂y Man kann nun leicht einsehen, daß die Komponente ωz von 21 rot v in Gl. (3.27), die als die Drehung des Geschwindigkeitsfeldes bekannt ist, die augenblickliche Winkelgeschwindigkeit bei der Drehung als starrer Körper darstellt und daß für diese ωz  = 0 gilt. Im allgemeineren Fall, wenn ∂v/∂x = −(∂u/∂y), ist das Fluidelement in Drehung, und es wird gleichzeitig verformt. Wir können den Term

60

3 Feldgleichungen für die Strömungen Newtonscher Fluide ε˙ xy = ε˙ yx =

als Verformung deuten und ωz =


 1 ∂u ∂v + 2 ∂y ∂x


 ∂u 1 ∂v − 2 ∂x ∂y

als Festkörperdrehung. Aus der Linearität der Gl. (3.23) und (3.25) kann gefolgert werden, daß der allgemeine Fall durch Überlagerung der beiden soeben erwähnten einfachen Fälle erhalten wird. Somit kann man für zwei benachbarte Punkte A und B in einem Fluid mit dem Geschwindigkeitsfeld v (x,y,z) deren Bewegung eindeutig wie folgt in vier Komponenten zerlegen: (a) eine reine Translation, die durch die Geschwindigkeitskomponenten u,v,w von v beschrieben wird; (b) eine Starrkörperdrehung, die durch die Komponenten ωx , ωy , ωz von 21 rot v beschrieben wird; (c) eine Volumendilatation, die durch e˙ = div v mit den linearen Dilatationen ε˙ x ,˙εy ,˙εz in Richtung der drei Achsen beschrieben wird; (d) eine Verformung, die durch die drei Komponenten ε˙ xy , ε˙ xz , ε˙ yz mit gemischten Indizes beschrieben wird. Nur die letzten beiden Bewegungen geben eine Verformung des Fluidelementes, das den Bezugspunkt A umgibt; die ersten beiden geben nur eine Ortsverschiebung. Die Elemente der Matrix (3.26) stellen die Komponenten eines symmetrischen Tensors dar, der als Tensor der Verformungsgeschwindigkeiten bezeichnet wird; seine mathematischen Eigenschaften sind analog zu dem gleichfalls symmetrischen Spannungstensor. Aus der Theorie der Elastizität, vgl. L. Hopf (1927), A.E.H. Love (1952), und aus allgemeinen Betrachtungen der Tensoralgebra ist bekannt, daß man jedem symmetrischen Tensor drei zueinander orthogonale Hauptachsen zuordnen kann, die drei zueinander senkrechte Hauptebenen und damit ein bevorzugtes kartesisches Achsensystem festlegen. In diesem Koordinatensystem ist der Spannungsvektor (bzw. der Verformungsgeschwindigkeitsvektor) zu einer Hauptebene senkrecht zu dieser, d.h. parallel zu einer der Achsen. Bei Wahl eines solchen Achsensystems (Hauptachsen) haben die Matrizen (3.15) oder (3.26) nur ihre Diagonalterme. Wenn man die Werte der betreffenden Komponenten mit einem Querstrich bezeichnet, so haben wir die Matrizen ⎛

σx ⎝ 0 0

0 σy 0

⎞ 0 0 ⎠ σz

⎛ und

ε˙ ⎝ 0 0

0 ε˙ y 0

⎞ 0 0 ⎠. ε˙ z

(3.32)

Wir erinnern daran, daß eine solche Koordinatentransformation die Summe der Hauptdiagonale nicht ändert, so daß man hat: σx + σy + σz = σ x + σ y + σ z

(= −3p)

(3.33)

und ε˙ x + ε˙ y + ε˙ z = ε˙ x + ε˙ y + ε˙ z

(= e˙ = div v ) .

(3.34)

Diese Größen sind Invarianten der Tensoren, wie schon früher angegeben wurde. In zwei solchen Koordinatensystemen (beide mit Strich bezeichnet) treten im Fluid in drei zueinander senkrechten Richtungen Spannungen auf, und die Flächenelemente werden in drei zueinander senkrechten Richtungen verschoben, wie in Bild 3.4a und b angegeben. Dies bedeutet natürlich nicht, daß keine Schubspannungen in anderen Ebenen vorhanden sind oder daß das Element unverformt bleibt.

3.6 Beziehung zwischen Spannungen

und Verformungsgeschwindigkeiten

61

3.4. Hauptachsen für die Spannungen (a) und die Verformungsgeschwindigkeiten (b)

Bild

3.6

Beziehung zwischen Spannungen und Verformungsgeschwindigkeiten Es soll hier nochmals betont werden, daß die Gleichungen, die die Oberflächenkräfte mit dem Strömungsfeld verknüpfen, nur aus der Deutung von Versuchsergebnissen erhalten werden können und daß wir uns hier nur für isotrope Newtonsche Fluide interessieren. Die Betrachtungen des vorigen Abschnittes haben uns die dafür erforderlichen mathematischen Hilfsmittel gegeben, die es gestatten, diese Beziehungen in präziser Form zu geben. Wenn das Fluid in Ruhe ist, gibt es keine Tangentialspannungen, und die Normalspannungen sind gleich dem negativen Druck. Dieser ist identisch mit dem thermodynamischen Druck. Wenn sich das Fluid in Bewegung befindet, bestimmt die Zustandsgleichung immer noch in jedem Punkt den Druck („Prinzip des lokalen Zustands“, vgl. J. Kestin (1966a)). Es war daher zweckmäßig, entsprechend Gl. (3.19) den viskosen Spannungstensor, vgl. Gl. (3.22), einzuführen, da seine Komponenten nur von der Bewegung herrühren und bei Ruhe verschwinden. Nach den Ausführungen des letzten Abschnitts kann man davon ausgehen, daß die Komponenten des viskosen Spannungstensors nur von den Komponenten des Verformungsgeschwindigkeitstensors abhängen und nicht explizit von den Geschwindigkeitskomponenten u, v, w oder von den Komponenten des Drehvektors ωx , ωy , ωz . Das ist identisch mit der Aussage, daß die momentane Translation [Komponente der Bewegung (a)] und auch die momentane Starrkörperdrehung [Komponente der Bewegung (b)] eines Fluidelementes keine Oberflächenkräfte erzeugen außer den schon angegebenen Komponenten des Druckes. Diese Aussage stellt eine präzise Formulierung der lokalen Bedingungen dar, die beobachtet werden, wenn ein endliches Fluidvolumen eine allgemeine Bewegung ausführt, die sich von derjenigen eines äquivalenten Festkörpers nicht unterscheidet. Wir schließen daraus, daß die Komponenten des viskosen Spannungstensors τij nur von den Geschwindigkeitsgradienten ∂u/∂x . . . ∂w/∂z in geeigneten Kombinationen abhängen können. Diese Beziehungen müssen linear sein. Sie müssen unverändert bleiben bei einer Drehung des Koordinatensystems und wegen der Isotropie auch bei Änderung der Achsen. Die Isotropie erfordert auch, daß in jedem Punkt des Feldes die Hauptachsen des Spannungstensors mit den Hauptachsen des Tensors der Verformungsgeschwindigkeiten zusammenfallen. Um dieses Ziel zu erreichen, wird ein beliebiger Punkt

62

3 Feldgleichungen für die Strömungen Newtonscher Fluide

im Feld herausgegriffen und das lokale Koordinatensystem x, y, z so gewählt, daß es mit den drei Hauptachsen des Spannungstensors zusammenfällt. Die Komponenten der Geschwindigkeit in diesem Koordinatensystems seien u, v, w. Hieraus ergibt sich, daß Isotropie nur erhalten werden kann, wenn jede der drei Normalspannungen  τxx ,  τyy ,  τzz nur von denjenigen Komponenten des Verformungsgeschwindigkeitstensors abhängt, deren Richtung mit der eigenen Richtung zusammenfällt, und von der Summe dieser drei Komponenten. Somit erhalten wir die folgenden Ansätze mit Ausdrücken, die nur die örtlichen Ableitungen der Geschwindigkeitskomponenten enthalten:
 ∂u ∂v ∂w ∂u + + τ xx = λ + 2µ ∂x ∂y ∂z ∂x
 ∂u ∂v ∂w ∂v + + τ yy = λ (3.35) + 2µ ∂x ∂y ∂z ∂y
 ∂u ∂v ∂w ∂w + + . τ zz = λ + 2µ ∂x ∂y ∂z ∂z In diesen Gleichungen treten die Größen u, v, w und ωx , ωy , ωz nicht auf, wie vorhin erläutert. In jedem Ausdruck stellt das letzte Glied die lineare Dilatation dar, d.h. eine Formänderung, und das erste Glied die Volumendilatation, d.h. eine Volumenänderung; diese ist gleichbedeutend mit einer Dichteänderung. Der Faktor 2 beim letzten Glied wurde eingebracht, um µ mit der in Kap. 1 eingeführten Viskosität (vgl. Bild 1.1) zu identifizieren. Die Proportionalitätsfaktoren µ und λ müssen in jeder der drei Gleichungen (3.35) wegen der Isotropie den gleichen Wert haben. Man sieht leicht ein, daß ein Vertauschen der drei Achsenpaare der Größen (u,x), (v,y), (w,z) diese Gleichungen invariant läßt, wie es für ein isotropes Medium sein muß. Außerdem ist Gl. (3.35) die einzige Kombination der räumlichen Ableitungen, welche die geforderten Eigenschaften besitzt. Wenn der Leser dies nicht unmittelbar einsehen kann, so möge er den Beweis hierfür aus der Tensorrechnung entnehmen oder aus W. Prager (1961, S. 88). Die Beziehungen von Gl. (3.35) können für ein beliebiges Koordinatensystem neu aufgeschrieben werden, indem man eine allgemeine Drehung mit Hilfe von geeigneten linearen Transformationsformeln anwendet. Wir wollen hier die explizite Rechnung nicht angeben. Sie ist umständlich, wenn sie direkt ausgeführt wird, aber sie wird einfach, wenn dabei die Tensorrechnung benutzt wird. Die hier zutreffenden ausführlichen Formeln findet man in L. Hopf (1927), H. Lamb (1932), A.E.H. Love (1952), während die Darstellung mit Hilfe der Tensorrechnung in W. Prager (1961) zu finden ist. Die Rechnung führt das System (3.35) über in: ∂u τxx = λ div v + 2µ ∂x ∂v (3.36) τyy = λ div v + 2µ ∂y ∂w , τzz = λ div v + 2µ ∂z

3.7 Hypothese von Stokes


 ∂u ∂v + τxy = τyx = µ ∂x ∂y
 ∂w ∂v τyz = τzy = µ + ∂y ∂z
 ∂u ∂w τzx = τxz = µ + . ∂z ∂x

63

(3.37)

Hier ist zur Abkürzung div v benutzt worden. Der Leser sei auf die zyklische Vertauschung der Indizes x, y, z, der Geschwindigkeitskomponenten u, v, w und der Koordinaten x, y, z hingewiesen. Wendet man diese Gleichungen auf die einfache Strömung von Bild 1.1 an, so erhält man Gl. (1.2); damit wird bestätigt, daß die vorstehenden allgemeineren Gleichungen sich auf das Newtonsche Reibungsgesetz reduzieren und eine geeignete Verallgemeinerung darstellen. Hierbei erkennen wir, daß der Faktor µ identisch ist mit der Viskosität des Fluids, die in Kap. 1.2 diskutiert wurde; damit ist nachträglich auch die Berechtigung des Faktors 2 gegeben, der in Gl. (3.35) eingeführt wurde. Die physikalische Bedeutung des zweiten Faktors λ erfordert eine weitere Diskussion. Wir stellen fest, daß er nur für kompressible Fluide Bedeutung hat, da die zu λ proportionalen Terme bei inkompressiblen Fluiden wegen div v = 0 identisch verschwinden.

3.7

Hypothese von Stokes Obgleich das Problem, das wir jetzt diskutieren wollen, schon vor mehr als eineinhalb Jahrhunderten entstanden ist, wird die physikalische Interpretation des zweiten Faktors λ in Gl. (3.35) und (3.36) für Strömungen, bei denen div v nicht identisch gleich null ist, auch heute noch diskutiert. In den Bewegungsgleichungen wird jedoch sein Wert mit Hilfe einer Hypothese von G.G. Stokes (1849) bestimmt. Wir wollen uns hier zunächst noch nicht mit den physikalischen Gesetzen befassen, welche die Hypothese von Stokes begründen. Wir geben hier vorerst nur das Ergebnis; hiernach nehmen wir an, daß zwischen den beiden Materialgrößen die Beziehung besteht: 2 (3.38) 3λ + 2µ = 0 oder λ = − µ. 3 Dies setzt den Wert von λ in Beziehung zur Viskosität µ. Hierdurch wird die Anzahl der Materialgrößen, die das Feld der Spannungen in einem kompressiblen Fluid charakterisieren, von zwei auf eines reduziert und damit auf die gleiche Anzahl wie bei einem inkompressiblen Fluid. Führt man diesen Wert für λ in Gl. (3.19) und Gl. (3.36) ein, so erhält man für die Normalkomponenten des Spannungstensors

64

3 Feldgleichungen für die Strömungen Newtonscher Fluide

∂u 2 σx = −p − µ div v + 2µ 3 ∂x ∂v 2 σy = −p − µ div v + 2µ 3 ∂y

(3.38a)

2 ∂w σz = −p − µ div v + 2µ . 3 ∂z Die Komponenten τxy , τxz und τyz des Spannungstensors bleiben von der Stokesschen Hypothese unberührt, vgl. Gl. (3.37). Obgleich die Gl. (3.38) als reine Hypothese oder gar als ein „Ansatz durch Raten“ angesehen werden muß, so können doch die durch Einführung von Gl. (3.38) entstehenden Bewegungsgleichungen akzeptiert werden, weil sie durch eine ungewöhnlich große Anzahl von experimentellen Bestätigungen teilweise unter extremen Bedingungen nachgeprüft worden sind, wie der Leser nach Beendigung des Studiums dieses Buches einsehen wird. Diese Bewegungsgleichungen stellen eine sehr gute Beschreibung der tatsächlichen physikalischen Vorgänge dar. Die Komponenten des viskosen Spannungstensors stellen diejenigen Spannungen dar, die in einer isothermen Fluidströmung Dissipation verursachen, während weitere Dissipationsanteile in Temperaturfeldern durch Wärmeleitung verursacht werden, vgl. hierzu Abschnitt 3.10. Da ferner der Faktor λ nur in den Normalspannungen τxx , τyy , τzz auftritt, die auch den thermodynamischen Druck enthalten, Gl. (3.19), ist klar, daß die physikalische Bedeutung des Faktors λ mit dem Mechanismus der Dissipation verbunden ist, wenn das Flüssigkeitsvolumen um einen endlichen Betrag geändert wird, und auch mit der Beziehung zwischen dem Spannungstensor und dem thermodynamischen Druck. Es sei an dieser Stelle vermerkt, daß bei einer Proportionalität zwischen λ und µ alle Glieder mit λ als Faktor im Rahmen der Grenzschichttheorie als klein vernachlässigt werden. Wie M. Van Dyke (1962c) gezeigt hat, spielen diese Glieder selbst in einer Grenzschichttheorie zweiter Ordnung noch keine Rolle, vgl. Kap. 14.

3.8

Volumenviskosität und thermodynamischer Druck Wir wollen jetzt zu der früheren allgemeinen Diskussion zurückkehren, ohne dabei die Gültigkeit der Stokesschen Hypothese nach Gl. (3.38) vorauszusetzen. Wir wollen uns aber auf den Fall ohne Schubspannungen beschränken, da deren physikalische Bedeutung und Ursprung klar sind. Wir betrachten deshalb ein Fluidsystem, das einer gleichmäßigen Normalspannung σ auf seiner Begrenzung ausgesetzt ist, z.B. eine Kugel nach Bild 3.5a. Liegt keine Bewegung vor, so ist die Normalspannung entgegengesetzt gleich dem thermodynamischen Druck p. Addiert man bei Bewegung die drei Gleichungen (3.35), so ergibt sich unter Beachtung von Gl. (3.19) 
2 (3.39) σ = −p + λ + µ div v , 3

3.8 Volumenviskosität und thermodynamischer Druck

65

Bild 3.5. Quasistatische Kompression und oszillatorische Bewegung einer kugelförmigen Fluidmasse

was den schon früher erläuterten Tatbestand wiedergibt. Nun wird eine quasistatische Bewegung angenommen, deren Geschwindigkeit klein ist im Vergleich zur Ausbreitungsgeschwindigkeit von Druckstörungen, so daß im kugelförmigen Fluidelement einheitlicher Druck herrscht. Es erhebt sich jetzt die Frage, was diese Beziehung in einem allgemeinen Strömungsfeld bedeutet. Wenn das System quasistatisch und reversibel komprimiert wird, ergibt sich ebenfalls der vorige Fall, weil dann asymptotisch div v = 0 gilt. In einem solchen Fall wird die Arbeit pro Zeiteinheit und pro Volumeneinheit in einem thermodynamischen reversiblen Prozeß, vgl. Abschnitt 3.10, Gl. (3.54), W˙ = −p div v . (3.40) dV Für endliche Werte von div v und bei Kompression, Expansion oder Schwingung mit endlich großen Amplituden besteht Gleichheit zwischen der mittleren Spannung σ und dem Druck −p nur, falls der Koeffizient 2 (3.41) µ = λ + µ 3 identisch verschwindet (Stokessche Hypothese). Wenn dies nicht der Fall ist, besteht keine Gleichheit zwischen  σ und −p. Falls µ = 0, verursacht die oszillatorische Bewegung des kugelsymmetrischen Systems von Bild 3.5b eine Dissipation, auch wenn die Temperatur in dem Gasvolumen konstant bleibt. Das gleiche gilt für Expansion und Kompression um einen endlichen Betrag. Aus diesem Grund wird der Beiwert µ Volumenviskosität genannt: Sie stellt diejenige Eigenschaft dar (analog der normalen Viskosität µ bei Verformung), die verantwortlich ist für die Energiedissipation eines Fluids von gleichförmiger Temperaturverteilung bei einer endlichen Volumenänderung. Die Volumenviskosität stellt somit eine zweite Eigenschaft eines kompressiblen, isotropen Newtonschen Fluids dar, die in den konstitutiven Gleichungen (3.36) auftritt und die zusätzlich zum Beiwert µ gemessen werden muß. Es ist klar, daß µ = 0

erfordert

p = −σ ,

µ  = 0

erfordert

p = −σ .

Die Annahme der Stokesschen Hypothese ist gleichbedeutend mit der Annahme, daß der thermodynamische Druck gleich ist dem Wert der Invarianten „ein Drittel der Summe der Normalspannungen“, auch wenn die Kompression und Expansion mit endlicher Größe geschieht. Darüber hinaus ist dies auch gleichbedeutend mit der Annahme, daß die oszillatorische Bewegung eines großen kugelförmigen Systems reversibel ist, falls sie isotherm ist. Näheres über die Thermodynamik irreversibler Prozesse in einem kontinuierlichen System findet man in Arbeiten von J. Meixner; H.G. Reik (1959), J. Prigogine (1947) und S.R. De Groot; P. Mazur (1962). Um festzustellen, unter welchen Bedingungen die Volumenviskosität eines kompressiblen Fluids verschwindet, muß man experimentelle Untersuchungen ausführen oder die Methoden

66

3 Feldgleichungen für die Strömungen Newtonscher Fluide

der statistischen Thermodynamik heranziehen, die es gestatten, die Transportkoeffizienten aus den Grundlagen zu ermitteln. Die direkte Messung der Volumenviskosität ist sehr schwierig auszuführen, und es gibt hierüber noch keine zuverlässigen Ergebnisse. Die statistischen Methoden für Gase großer Dichte sind noch nicht so weit entwickelt, daß sie eine zuverlässige Einsicht in diesen Problemkreis geben. Vermutlich verschwindet die Volumenviskosität für Gase von sehr geringer Dichte, d.h. unter Bedingungen, bei denen nur binäre Kollisionen auftreten. In dichten Gasen scheint der numerische Wert der Volumenviskosität sehr klein zu sein. Dies bedeutet, daß die Gl. (3.40) auch hier die Arbeitsleistung in einem kontinuierlichen System ohne Schubspannungen ausgezeichnet beschreibt und daß Dissipation bei konstanter Temperatur, auch im allgemeinen Fall, nur durch die deviatorischen Spannungen auftritt. So werden wir auch hier erneut zu der Stokesschen Hypothese geführt und damit zu der Gl. (3.39). Dies gilt nicht für Fluide, bei denen Relaxationsprozesse auftreten infolge lokaler Abweichungen vom chemischen Gleichgewicht, vgl. S.R. De Groot; P. Mazur (1962), J. Meixner; H.G. Reik (1959) und L.D. Landau; E.M. Lifschitz (1966). Solche Relaxationsvorgänge treten z.B. auf, wenn chemische Reaktionen stattfinden, oder in Gasen von sehr komplexer Struktur, wenn ein verhältnismäßig langsamer Energieübergang zwischen den Translations- und Rotationsfreiheitsgraden einerseits und dem Schwingungsfreiheitsgrad andererseits stattfindet. Wenn Relaxationsvorgänge auftreten, ist der thermodynamische Druck nicht mehr gleich dem Drittel der Hauptdiagonalensumme des Spannungstensors. Gelegentlich wird eingewandt, daß die Annahme der Stokesschen Hypothese, d.h. die Annahme, daß die Volumenviskosität des Newtonschen Fluids verschwindet, nicht in Übereinstimmung mit der intuitiven Vorstellung sei, daß eine Fluidkugel, deren Begrenzung schwingt, so daß es eine Folge von Kompression und Expansion gibt (Bild 3.5b), Energie dissipiert. Dies träfe in der Tat zu, wie man aus dem Vorherigen leicht einsieht, weil der dissipative Anteil des Spannungsfeldes unter solchen Bedingungen verschwindet. Man darf jedoch nicht vergessen, daß eine solche Schlußfolgerung nur zutrifft, falls die Temperatur der Gaskugel im ganzen Kugelvolumen während der Schwingung konstant gehalten wird. Normalerweise ist dies nicht möglich. Infolgedessen wird eine oszillierende Gaskugel bald ein Temperaturfeld entwickeln, und es wird Energie dissipiert in Richtung des Temperaturgradienten, vgl. J. Kestin (1966b). Zu den Vorgängen, bei denen die Volumenviskosität eine Rolle spielt, gehören die Schallabsorption (vgl. L.D. Landau; E.M. Lifschitz (1966), J. Meixner; H.G. Reik (1959)) und die Stoßwelle (vgl. F.M. White (1974)). Zur Frage, ob bei einatomigen Gasen die Volumenviskosität verschwindet, sei auf eine Arbeit von C. Truesdell (1954) hingewiesen.

3.9

Navier-Stokes-Gleichungen Werden in die Impulsgleichungen nach Gl. (3.20) die Transportgleichungen (konstitutive Gleichungen) entsprechend Gl. (3.36) und Gl. (3.37) eingesetzt und die Stokessche Hypothese, Gl. (3.38), berücksichtigt, dann ergeben sich die folgenden Bewegungsgleichungen in kartesischen Koordinaten: 

 
Du ∂ ∂p ∂u 2 = fx − + − div v µ 2 Dt ∂x ∂x ∂x 3  
 
∂ ∂w ∂u ∂u ∂v ∂ + + + + µ µ ∂y ∂x ∂z ∂x ∂z ∂y

3.9 Navier-Stokes-Gleichungen

 
Dv ∂p ∂ 2 ∂v  = fy − + − div v µ 2 Dt ∂y ∂y ∂y 3 
 
 ∂ ∂w ∂v ∂u ∂v ∂ + + + µ + µ ∂z ∂z ∂y ∂x ∂y ∂x  
∂p Dw ∂ ∂w 2  = fz − + − div v µ 2 Dt ∂z ∂z ∂z 3 
 
 ∂ ∂w ∂w ∂u ∂v ∂ + + + µ + µ . ∂x ∂x ∂z ∂y ∂z ∂y

67

(3.42)

Diese Differentialgleichungen sind unter dem Namen Navier-Stokes-Gleichungen bekannt. Unter Verwendung der symbolischen Schreibweise lassen sie sich in einer Form angeben, die für beliebige Koordinatensysteme gilt:

 mit

D v = f − grad p + Div τ Dt

(3.43)


 2 τ = µ 2ε˙ − δ div v , 3

(3.44)

wobei δ der Kronecker-Einheitstensor ist (δij = 1 für i = j , δij = 0 für i  = j ). Die obigen Gleichungen wurden zuerst von M. Navier (1827) und S.D. Poisson (1831) aufgrund von Betrachtungen über die Wirkung von intermolekularen Kräften aufgestellt. Später wurden dieselben Gleichungen ohne solche Hypothesen von B. De St. Venant (1843) und G.G. Stokes (1849) aufgrund der auch hier gemachten Annahme abgeleitet, daß die Normal- und Schubspannungen lineare Funktionen der Verformungsgeschwindigkeiten sind, wie es schon früher durch das Newtonsche Reibungsgesetz eingeführt worden war. Da der Stokessche Ansatz für die Reibungskräfte rein empirisch ist, kann man nicht von vornherein sicher sein, daß die Navier-Stokes-Gleichungen die Bewegung eines Fluides richtig beschreiben. Sie bedürfen daher einer Nachprüfung, die nur auf experimentellem Wege möglich ist. Dabei ist allerdings zu berücksichtigen, daß wegen der großen mathematischen Schwierigkeiten, welche diese Gleichungen darbieten, wenige Lösungen dieser Gleichungen bekannt sind, bei denen die konvektiven Glieder in voller Allgemeinheit mit den Reibungsgliedern in Wechselwirkung treten. Aber bekannte spezielle Lösungen, wie z.B. die laminare Rohrströmung und auch die später zu besprechenden Grenzschichtströmungen, stimmen so gut mit den experimentellen Ergebnissen überein, daß die Allgemeingültigkeit der Navier-StokesGleichungen kaum in Frage gestellt ist. Als eine Folgerung aus den Navier-Stokes-Gleichungen läßt sich eine Gleichung für die mechanische Energie herleiten. Werden die Navier-Stokes-Gleichungen für die x-Richtung mit u, die für die y-Richtung mit v und die für die z-Richtung mit w multipliziert und dann die Summe der so gewonnenen Gleichungen gebildet, ergibt

68

3 Feldgleichungen für die Strömungen Newtonscher Fluide

sich die Energiegleichung für die mechanische Energie, die in Vektor-Schreibweise lautet:   D 21 v 2  = v · f − v grad p + v Div τ . (3.45) Dt Nimmt man an, daß für die Volumenkraft f ein stationäres Potential ψ (d.h. ψ ist von t unabhängig) existiert mit f = − grad ψ , dann folgt aus Gl. (3.45):   D 21 v 2 + ψ  = − v grad p + v Div τ . Dt

(3.46)

(3.47)

Wie zu Beginn von Kap. 3 dargelegt, ist zur vollständigen Beschreibung von Strömungsfeldern neben der Kontinuitätsgleichung und den Navier-Stokes-Gleichungen noch die (thermische) Energiegleichung erforderlich, die den ersten Hauptsatz der Thermodynamik zum Inhalt hat. Diese wird im folgenden Abschnitt hergeleitet.

3.10

Energiegleichung Um die Gleichung für die Energiebilanz in einer Strömung aufzustellen, betrachten wir in einem kartesischen Koordinatensystem ein Fluidteilchen der Masse dM =  dV mit dem Volumen dV = dx dy dz und verfolgen es auf seiner Bahn in der Strömung. Nach dem ersten Hauptsatz der Thermodynamik ist die Zunahme der Gesamtenergie DEt (der Index t steht für Totalenergie) in der Zeiteinheit Dt gleich ˙ Dt und der am Element verrichteten der dem Massenelement zugeführten Wärme Q Arbeit W˙ Dt. Es gilt also:   DEt J ˙ ˙ = Q + W . (3.48) Dt s Energieänderung

Wärmestrom

Leistung

Bei DEt /Dt handelt es sich um die substantielle Änderung von Et , die im allgemeinen einen lokalen und einen konvektiven Anteil besitzt, vgl. Gl. (3.4). Wärmezufuhr ist sowohl durch Wärme-Leitung als auch durch Wärme-Strahlung möglich. Bei mäßigen Temperaturdifferenzen ist jedoch die Strahlung im allgemeinen unwesentlich, so daß sie in diesem Buch unberücksichtigt bleibt. Auf zusammenfassende Darstellungen der Strahlungs-Gasdynamik von S.I. Pai (1965), E.M. Sparrow; R.D. Cess (1966), W. Schneider (1968), W.G. Vincenti; S.C. Traugott (1971) sei hingewiesen. Wärmezufuhr könnte prinzipiell auch durch Wärmequellen im Massenelement erfolgen. Derartige Wärmequellen können beispielsweise durch chemische Reaktionen (Verbrennung) oder in Form von Joulescher Wärme in der ElektromagnetoGasdynamik auftreten, vgl. spezielle Literatur dazu: J.A. Shercliff (1965), P.A. Libby;

3.10 Energiegleichung

69

F.A. Williams (1975), F. Bartlmä (1975). Auch diese Wärmequellen werden in diesem Buch nicht berücksichtigt. Die pro Flächeneinheit und Zeiteinheit übertragene Wärme wird durch den Wärmestromdichte-Vektor q (qx ,qy ,qz ) ([ q ] = J/m2 s) gekennzeichnet. Für die zur x-Richtung senkrechten Flächenelemente des Volumenelementes (Bild 3.1) beträgt somit die pro Zeiteinheit eintretende Wärme qx dy dz, dagegen die pro Zeiteinheit austretende Wärme [qx + (∂qx /∂x)dx] dy dz. Hiernach ist die Wärmezufuhr in der x-Richtung für die Zeit Dt: ˙ x = − ∂qx dx dy dz = − ∂qx dV . Q ∂x ∂x Die gesamte Wärmezufuhr ist somit
 ∂qy ∂qx ∂qz ˙ Q = −dV + + ∂x ∂y ∂z oder

˙ = −dV div q . Q

(3.49)

(3.50)

Die Wärmezufuhr ist danach proportional zur Divergenz des WärmestromdichteVektors q . Da die Divergenz ein Maß für die Quellergiebigkeit des betreffenden ˙ strenggenommen auch um einen Vektorfeldes ist, handelt es sich bei dem Term Q Quellterm. Die Gesamtenergie Et besteht im allgemeinen aus drei Anteilen, der inneren Energie dM · e, der kinetischen Energie 21 dM · v 2 und der potentiellen Energie dM · ψ. Es gilt:
 1 dEt = dM · et = dV  et = dV  e + v 2 + ψ . (3.51) 2 Dabei ist e ([e] = m2 /s2 ) die spezifische innere Energie. Damit folgt für die substantielle Änderung der Gesamtenergie 
1 2 D e + 2 v + ψ DEt Det = dV  = dV  . (3.52) Dt Dt Dt Zur Ermittlung der Leistung W˙ betrachten wir zunächst z.B. die von σx am Massenelement pro Zeit Dt verrichtete Arbeit. Nach Bild 3.1 ergibt sich dafür 
 
∂u ∂σx W˙ σ x = dy dz − uσx + u + dx σx + dx ∂x ∂x = dV

∂ (uσx ) . ∂x

Danach ist die gesamte Leistung, die von allen Normal- und Tangentialspannungen am Massenelement des Volumens dV verrichtet wird:

70

3 Feldgleichungen für die Strömungen Newtonscher Fluide

W˙ = dV



∂ ∂ (uσx + vτxy + wτxz ) + (uτyx + vσy + wτyz ) ∂x ∂y  ∂ + (uτzx + vτzy + wσz ) . ∂z

(3.53)

Dabei bedeuten σx , σy , . . . , τzy die Gesamtspannungen nach Gl. (3.13) bzw. Gl. (3.15). In symbolischer Form (Vektor-Schreibweise) läßt sich das auch schreiben als W˙ = dV div (σ v ) . (3.54) Setzt man die Gleichungen Gl. (3.50), Gl. (3.52) und Gl. (3.54) in Gl. (3.48) ein, ergibt sich die Energiegleichung   D e + 21 v 2 + ψ = − div q + div (σ v ) . (3.55)  Dt Die Änderung der Gesamtenergie, d.h. der Summe aus innerer, kinetischer und potentieller Energie, ist gleich der durch Wärmeleitung zugeführten Energie und der von den Oberflächenkräften verrichteten Arbeit. Berücksichtigt man den Zusammenhang zwischen Spannungstensor σ und viskosem Spannungstensor τ , vgl. Gl. (3.19), σ = −δ p + τ ,

(3.56)

dann läßt sich Gl. (3.55) auch wie folgt schreiben: ∂(et ) = − div [(p + et ) v − τ v + q ] . ∂t

(3.57)

Danach läßt sich also die lokale Änderung der Gesamtenergie als Divergenz eines Vektorfeldes identifizieren. Eine derartig formulierte Bilanzgleichung hat, wie man sagt, Divergenz-Form oder streng konservative Form. Die Energiegleichung, Gl. (3.55), läßt sich auch als Bilanzgleichung für die spezifische totale Enthalpie p (3.58) ht = et +  formulieren:

∂p Dht = − div q + + div (τ v ) . (3.59) Dt ∂t Aus Gl. (3.55) für die spezifische Gesamtenergie et läßt sich durch Subtraktion der im letzten Abschnitt hergeleiteten Energiegleichung (3.47) für die mechanische Energie die Bilanzgleichung für die innere Energie gewinnen: 



De = − div q − p div v +  . Dt

(3.60)

3.10 Energiegleichung

71

Dabei heißt  = div (τ v ) − v Div τ

(3.61)

die Dissipationsfunktion. Für kartesische Koordinaten gilt bei Berücksichtigung der Transportgleichungen, Gl. (3.36) und Gl. (3.37), und der Stokesschen Hypothese, Gl. (3.38):  =2 µ





2
   ∂u 2 ∂v ∂w 2 + + ∂x ∂y ∂z
 
∂w ∂v 2 ∂u 2 ∂v + + + + ∂x ∂y ∂y ∂z

 ∂u ∂w 2 2 ∂u ∂v ∂w 2 + + + + − ∂z ∂x 3 ∂x ∂y ∂z

(3.62)

oder  2 = µ 3



    ∂v ∂w ∂u 2 ∂w 2 ∂u ∂v 2 − − − + + ∂x ∂y ∂y ∂z ∂z ∂x

  
∂w ∂v 2 ∂u ∂w 2 ∂u 2 ∂v + + + + + . + ∂x ∂y ∂y ∂z ∂z ∂x




(3.63)

Es sind noch andere Formen der Energiegleichung möglich. Als Bilanz der spezifischen Enthalpie p (3.64) h=e+  lautet sie

Dh Dp = − div q + + . (3.65) Dt Dt Benutzt man den allgemeingültigen Zusammenhang, vgl. J. Kestin (1966a), 

1 − βT Dp Dh DT = cp + Dt Dt  Dt

(3.66)

mit der isobaren spezifischen Wärmekapazität cp ([cp ] = J/kgK) und dem Wärmeausdehnungskoeffizienten
 1 ∂ β=− , (3.67)  ∂T p dann läßt sich die Energiegleichung auch als Bilanz für das Temperaturfeld formulieren: Dp DT cp = − div q + βT + . (3.68) Dt Dt Diese Form der Energiegleichung soll im folgenden bevorzugt verwendet werden.

72

3 Feldgleichungen für die Strömungen Newtonscher Fluide

Schließlich kann wegen T

Dh 1 Dp Ds = − Dt Dt  Dt

aus der Energiegleichung, Gl. (3.65), auch eine Bilanzgleichung für die spezifische Entropie s abgeleitet werden:
 Ds q 1 q  = − div (3.69) − 2 grad T +  . Dt T T T Auf der rechten Seite dieser Bilanzgleichung stehen außer dem Divergenz-Term noch zwei Quellterme, die Entropieproduktion bedeuten. Nach dem zweiten Hauptsatz der Thermodynamik kann die Entropie eines adiabaten Systems ( q = 0 auf der Systemgrenze) nicht abnehmen. Daher sind die Terme /T und −( q /T 2 ) grad T nicht negativ. Wegen Gl. (3.63) folgt daraus, daß die Viskosität µ positiv sein muß. Aus der zweiten Bedingung folgt, daß die jetzt noch einzuführende Wärmeleitfähigkeit λ ebenfalls positiv sein muß. Zur Bilanzgleichung für die Energie muß nun noch eine Transportgleichung hinzukommen, die den Wärmestromdichtevektor q mit dem Temperaturfeld verbindet. Nach J.B. Fourier (1822) gilt für die Wärmeleitung q = −λ grad T ,

(3.70)

wobei die Wärmeleitfähigkeit λ ([λ] = J/msK) eine positive Stoffgröße ist. Damit lautet die Energiegleichung endgültig cp

Dp DT = div (λ grad T ) + βT + . Dt Dt

Für ebene Strömungen ergibt sich daraus in kartesischen Koordinaten:


 ∂T ∂T ∂T ∂ ∂T ∂ ∂T cp +u +v = λ + λ ∂t ∂x ∂y ∂x ∂x ∂y ∂y
 ∂p ∂p ∂p +u +v + βT + ∂t ∂x ∂y

(3.71)

(3.72)

mit der Dissipationsfunktion  nach Gl. (3.62) bzw. Gl. (3.63).

3.11

Bewegungsgleichungen für beliebige Koordinatensysteme (Zusammenfassung) Die Herleitung der Bewegungsgleichungen erfolgte zunächst für das kartesische Koordinatensystem. Durch Verwendung der symbolischen Schreibweise (VektorSchreibweise) können die Bewegungsgleichungen in allgemeingültiger Form wie folgt angegeben werden:

3.11 Bewegungsgleichungen für beliebige Koordinatensysteme (Zusammenfassung)

D = − div v , Dt 
 D v 2  = f − grad p + Div µ 2ε˙ − δ div v , Dt 3 cp

DT Dp = div (λ grad T ) + βT + . Dt Dt

73

(3.73) (3.74)

(3.75)

Es gilt Da ∂a = + v · grad a Dt ∂t

(3.76)


 1 2 ∂ v D v = + grad v − v × rot v . Dt ∂t 2

(3.77)

mit a = , T oder p und

Häufig werden die Operatoren div und grad auch durch den Nabla-Operator ∇ dargestellt, wie z.B. ∇ v ≡ div v , ∇p ≡ grad p. Dieses sind fünf Gleichungen für die fünf Unbekannten: p, T und die drei Komponenten von v . Sie gelten unter folgenden Bedingungen: a) Das Fluid ist ein Kontinuum. b) Der Spannungstensor ist symmetrisch. (Das Fluid hat kein dem Volumen proportionales örtliches Drehmoment, wie es in einem elektrischen Feld möglich wäre.) c) Das Fluid ist isotrop. (Es gibt lokal keine bevorzugte Richtung, d.h. die Hauptachsen von Spannungs- und Verformungsgeschwindigkeitstensor sind gleich.) d) Es handelt sich um Newtonsche Fluide. (Zwischen Spannungs- und Verformungsgeschwindigkeitstensor besteht ein linearer Zusammenhang.) e) Es gilt die Hypothese von Stokes, d.h. die Volumenviskosität verschwindet. (Es dürfen keine Relaxationsvorgänge auftreten, d.h. die Relaxationszeiten für innere Umwandlungsprozesse müssen sehr klein sein gegenüber den Verformungszeiten.) f) Es gilt das „Prinzip des lokalen Zustands“. (In jedem Punkt des Strömungsfeldes gelten dieselben Zustandsgleichungen wie in einem ruhenden System, d.h. lokale und zeitliche Gradienten der Zustandsgrößen gehen nicht in die Zustandsgleichungen ein, vgl. J. Kestin (1968).) g) Der lokale thermodynamische Zustand kann durch zwei Zustandsgrößen beschrieben werden. Wählt man p und T als diese beiden Zustandsgrößen, sind damit Mehrphasenströmungen ausgeschlossen. Ferner bleiben Diffusionsvorgänge unberücksichtigt, da zu deren Beschreibung mehr als zwei Zustandsgrößen benötigt werden. Auf Diffusionsvorgänge wird jedoch in Kap. 11.3 kurz eingegangen. h) Es gilt das Gesetz von Fourier für den Wärmestromdichte-Vektor. i) Wärmequellen (z.B. Strahlung, chemische Reaktionen, Joulesche Wärme) werden vernachlässigt.

74

3 Feldgleichungen für die Strömungen Newtonscher Fluide

Zu den Bewegungsgleichungen gehören folgende Randbedingungen an Wänden: a) Haftbedingung: Die Geschwindigkeitskomponente vt tangential zur Wand verschwindet an der Wand. Es handelt sich um eine empirisch gewonnene Bedingung, die im Rahmen der Kontinuumsmechanik sehr gut erfüllt ist. Einzelheiten zur Haftbedingung, auch aus historischer Sicht, findet man bei S. Goldstein (1965). Bei extrem geringen Gasdichten ist die Haftbedingung nicht mehr erfüllt. Man spricht dann von Gleitströmungen, vgl. S.A. Schaaf; P.L. Chambrè (1958). Die angegebenen Bewegungsgleichungen gelten dafür noch, jedoch sind die Randbedingungen entsprechend zu ändern. b) Normalkomponente der Geschwindigkeit Die Geschwindigkeitskomponente vn normal zur Wand verschwindet im allgemeinen bei undurchlässiger Wand. Sie ist jedoch von null verschieden, wenn die Wand durchlässig ist und Fluid entweder abgesaugt oder ausgeblasen wird, vgl. Kap. 11. Die Normalkomponente der Geschwindigkeit kann auch bei undurchlässiger Wand von null verschieden sein, wenn Stoffübertragungsvorgänge bei Zweistoff- oder Mehrstoffströmungen betrachtet werden. Beispielsweise entspricht Kondensation der Absaugung und Verdunstung dem Ausblasen, vgl. Kap. 11. c) Temperaturfeld Die Vielfalt der Randbedingungen für das Temperaturfeld ist weitaus größer als beim Geschwindigkeitsfeld. Man unterscheidet im wesentlichen folgende Arten von Randbedingungen: Randbedingung erster Art: Vorgabe der Wandtemperatur. Im Kontinuumsbereich nimmt das Fluid an der Wand die Wandtemperatur an. Bei Strömungen stark verdünnter Gase (Gleitströmungen) kommt es jedoch zu einem Temperatursprung, vgl. S.A. Schaaf; P.L. Chambre (1958). Randbedingung zweiter Art: Vorgabe der Wärmestromdichte an der Wand, qw = ( q · n )w mit n als Normaleinheitsvektor der Wand. Randbedingungen dritter Art: Hierbei kann es sich um eine Kopplung von Wandtemperatur und Wärmestromdichte an der Wand handeln. Es können jedoch auch Kopplungsbedingungen mit dem Temperaturfeld innerhalb der Wand sein. Bei den Bewegungsgleichungen handelt es sich um ein System von fünf partiellen Differentialgleichungen für p, T und die drei Komponenten des Geschwindigkeitsvektors v . Um das System zu vervollständigen, müssen noch die Zustandsgleichungen für die Dichte ρ(p,T ) und die isobare spezifische Wärmekapazität cp (p,T ) sowie Beziehungen für die Viskosität µ(p,T ) und die Wärmeleitfähigkeit λ(p,T ) vorliegen. Der außerdem in der Energiegleichung auftretende Wärmeausdehnungskoeffizient β ergibt sich aus der Zustandsgleichung (p,T ) durch partielle Differentiation.

Druck abhängigkeit

Temperatur abhängigkeit

1,188

kg / 3 m

5 · 10−4

2 · 10−3

1

 Kc

1

 K

0,076

9 · 10−4

0,068

Kc

0,809

2 · 10−3

0,891

Kλ

0,696

 Kλ

0,775

Kµ

−1,000

3 · 10−4

−1,000

−βT = K

0,702

6 · 10−4

0,717

Pr

1,048

38,660

35,122

25,850

0,736

200

473

Luft

 Kµ

1,014

25,721

15,307

kJ cp / kgK

λ/ mK

10−3 W

−6 2 ν/ 10 s m

µ/ ms

18,185

20

T /◦ C

10−6 kg

293

T /K

Stoff

2 · 10−4

4 · 10−4

1 · 10−4

1

0,108

0,726

0,633

−1,000

0,696

1,096

56,346

79,556

35,800

0,450

500

773

5 · 10−5

5 · 10−5

−1 · 10−4

1 · 10−4

−7 · 10−5

8 · 10−5

−5 · 10−5

−0,050

−0,226

−1 · 10−4

0,872

−7,239

−9,264 0,924

−0,061

7,00

4,185

598,5

1,004

1001,6

998,2

20

293

0,018

13,47

4,219

561,1

1,792

1791,5

999,8

0

273

Wasser

−5 · 10−5

8 · 10−5

6 · 10−5

5 · 10−5

0,052

0,404

−4,758

−0,200

2,55

4,188

663,1

0,413

403,9

977,8

70

343

0,584

−0,166

−0,153 0,567

−14,690

−0,234

412,28

1,892

130,2

32,43

28372

875

20

293

−19,970

−0,215

1303,6

1,817

131,7

106,29

94489

889

0

273

4886

840

70

343

0,622

−0,199

−8,403

−0,286

80,35

2,081

126,6

5,817

Öl (Shell Voluta 919)

−0,140

−0,308

−1,536

−0,123

0,0074

1,339

82000

0,500

452,2

903,6

200

473

−0,111

−0,454

−1,116

−0,187

0,0050

1,279

72200

0,332

284,6

856,2

400

673

0,257

207,6

808,2

600

873

−0,018

−0,616

−1,301

−0,261

0,0042

1,255

62400

Natrium (flüssig)

Tabelle 3.1. Stoffwerte, Temperaturabhängigkeiten, Gl. (4.30), Druckabhängigkeiten, Gl. (10.26), von Luft, Wasser, Öl, Natrium bei pR = 1 bar

3.11 Bewegungsgleichungen für beliebige Koordinatensysteme (Zusammenfassung) 75

76

3 Feldgleichungen für die Strömungen Newtonscher Fluide

Die genannten Stoffwerte für einige technisch wichtigen Fluide sind in Tabelle 3.1 zusammengestellt, bezüglich Wasser vgl. W. Wagner; R. Kruse (1998). Die Tabelle (für pR = 1 bar) gibt außerdem eine Übersicht über die Änderungen der Stoffgrößen mit der Temperatur. Die Abhängigkeit der Größen µ, λ und cp vom Druck ist im allgemeinen sehr gering und meistens vernachlässigbar. Ferner zeigt diese Tabelle, daß bei Flüssigkeiten hauptsächlich die Temperaturabhängigkeit der Viskosität eine wichtige Rolle spielt. Es sei aber darauf hingewiesen, daß die genannten Änderungen der Stoffgrößen in der Nähe des kritischen Punktes ganz erhebliche Werte annehmen können. Anmerkung (Invarianz gegenüber Galilei-Transformationen) Transformationen, die den Übergang zwischen gleichförmig bewegten Koordinatensystemen beschreiben, heißen Galilei-Transformationen. Diesen gegenüber sind die Navier–StokesGleichungen invariant, solange die (konstante) Geschwindigkeit der gleichförmigen Bewegung sehr klein ist gegenüber der Lichtgeschwindigkeit (klassische Mechanik), vgl. z.B. R.L. Panton (1984).

3.12

Bewegungsgleichungen für kartesische Koordinaten in Index-Schreibweise Um die Darstellung der Bewegungsgleichungen zu vereinfachen, wird für Vektoren und Tensoren in kartesischen Koordinaten häufig die Index-Schreibweise verwendet. Dabei muß die Summations-Regel nach Einstein beachtet werden: Tritt in einem Glied ein Index doppelt auf, dann muß von eins bis drei summiert werden. Der Ortsvektor hat die Komponenten xi , der Geschwindigkeitsvektor die Komponenten ui . Die Bewegungsgleichungen lauten: Kontinuitätsgleichung: ∂ ∂ + (ui ) = 0 . ∂t ∂xi

(3.78)

∂τij ∂ ∂ ∂p (ui ) + (ui uj ) = fi − + ∂t ∂xj ∂xi ∂xj

(3.79)


 ∂uj ∂ui 2 ∂u τij = µ + − δij . ∂xj ∂xi 3 ∂x

(3.80)

Impulsgleichung:

mit

Energiegleichung:

 ∂ ∂p ∂ ∂ ∂p ∂ui ∂T (cp T ) + + uj (cp uj T ) = βT + + τij λ . ∂t ∂xj ∂t ∂xj ∂xj ∂xj ∂xj

(3.81)

Die wohl kürzeste Darstellung der Bewegungsgleichungen ist die streng konservative Form. Sie lautet mit fi = − ∂ψ/∂xi ∂Fj ∂U + = Qj (3.82) ∂xj ∂t

3.13 Bewegungsgleichungen in speziellen Koordinatensystemen mit den Matrizen ⎞ ⎛  U = ⎝ ui ⎠ , et

⎛ ⎞ ⎞ uj 0 ui uj + δij p − τij ⎠ , Qj = ⎝ fi ⎠ , Fj = ⎝ ∂T uj (et + p) − u τ j − λ ∂x 0

77

⎛

(3.83)

j

wobei der viskose Spannungstensor τij durch Gl. (3.22) und die spezifische Gesamtenergie et durch Gl. (3.51) gegeben sind. Auch nach einer allgemeinen Koordinatentransformation von xj auf ξj (xj ) der Form ξ1 = ξ1 (x1 ,x2 ,x3 ) ξ2 = ξ2 (x1 ,x2 ,x3 )

(3.84)

ξ3 = ξ3 (x1 ,x2 ,x3 ) können die Bewegungsgleichungen wieder in eine streng konservative Form gebracht werden. Wie H. Viviand (1974) und M. Vinokur (1974) gezeigt haben, geht dann Gl. (3.82) für Qj = 0 über in ∂Fj∗ ∂U ∗ + =0 (3.85) ∂t ∂ξj mit U∗ =

1 U, J

(3.76)

Fj∗ =

1 ∂ξj Fi , J ∂xi

(3.77)

wobei J die Jacobi-Determinante ist:

      ∂(ξ1 ,ξ2 ,ξ3 )  = J = ∂(x1 ,x2 ,x3 )     

∂ξ1 ∂x1 ∂ξ2 ∂x1 ∂ξ3 ∂x1

∂ξ1 ∂x2 ∂ξ2 ∂x2 ∂ξ3 ∂x2

3.13

Bewegungsgleichungen in speziellen Koordinatensystemen Zylinderkoordinaten

Ortsvektor Geschwindigkeitsvektor

r,ϕ,z v (vr ,vϕ ,vz )

∂ξ1 ∂x3 ∂ξ2 ∂x3 ∂ξ3 ∂x3

       .     

(3.88)

78

3 Feldgleichungen für die Strömungen Newtonscher Fluide

Drehungsvektor

1 rot v 2
 ∂vϕ 1 1 ∂vz ωr = − 2 r ∂ϕ ∂z
 1 ∂vr ∂vz ωϕ = − 2 ∂z ∂r   ∂vr 1 ∂ ωz = 2r ∂r (rvϕ ) − ∂ϕ

(3.89)

∂ 1 ∂(rvr ) 1 ∂(vϕ ) ∂(vz ) + + + =0 ∂t r ∂r r ∂ϕ ∂z

(3.90)

ω =

Kontinuitätsgleichung

Impulsgleichungen


vϕ2 vϕ ∂vr ∂vr ∂vr ∂vr +vr + − + vz ∂t ∂r r ∂ϕ r ∂z

 (3.91)

τϕϕ ∂τrz ∂p 1 ∂(rτrr ) 1 ∂τrϕ = fr − + + + − ∂r r ∂r r ∂ϕ ∂z r


∂vϕ ∂vϕ vϕ ∂vϕ v r vϕ ∂vϕ +vr + + + vz  ∂t ∂r r ∂ϕ r ∂z

 (3.92)

∂τϕz 1 ∂ 1 ∂p 1 ∂τϕϕ = fϕ − + 2 (r 2 τrϕ ) + + r ∂ϕ r ∂r r ∂ϕ ∂z


vϕ ∂vz ∂vz ∂vz ∂vz  +vr + + vz ∂t ∂r r ∂ϕ ∂z

 (3.93)

∂τzz ∂p 1 ∂(rτrz ) 1 ∂τϕz = fz − + + + ∂z r ∂r r ∂ϕ ∂z Energiegleichung
cp

 vϕ ∂T ∂T ∂T ∂T +vr + + vz ∂t ∂r ∂z r ∂ϕ


 1 ∂ ∂T 1 ∂ 1 ∂T ∂ ∂T = λr + λ + λ r ∂r ∂r r ∂ϕ r ∂ϕ ∂z ∂z
 ∂p ∂p vϕ ∂p ∂p +βT + vr + + vz + ∂t ∂r r ∂ϕ ∂z

(3.94)

3.13 Bewegungsgleichungen in speziellen Koordinatensystemen

viskose Spannungen


2 ∂vr − div v τrr = µ 2 ∂r 3  
 vr 1 ∂vϕ 2 τϕϕ = µ 2 + − div v r ∂ϕ r 3 
2 ∂vz τzz = µ 2 − div v ∂z 3 
  ∂ vϕ 1 ∂vr τrϕ = µ r + ∂r r r ∂ϕ
 ∂vz ∂vr τrz = µ + ∂r ∂z
 ∂vϕ 1 ∂vz τϕz = µ + ∂z r ∂ϕ

79

(3.95)

(3.95)

Dissipationsfunktion 


    
   ∂vr 2 1 ∂vϕ ∂vz 2 vr 2 ∂ vϕ 1 ∂vr 2 =2 + + + + r + µ ∂r r ∂ϕ r ∂z ∂r r r ∂ϕ
2
2 ∂vϕ ∂vz 1 ∂vz ∂vr 2 + + + + − ( div v )2 r ∂ϕ ∂z ∂z ∂r 3 (3.96) Divergenz ∂vz 1 ∂(rvr ) 1 ∂vϕ + + . (3.97) div v = r ∂r r ∂ϕ ∂z Natürliche Koordinaten für ebene Strömungen (vgl. Bild 3.6)

Kontur-Krümmung

κ(x) = 1/R(x)

Bild 3.6. Natürliches Koordinatensystem für ebene Strö-

mungen

80

3 Feldgleichungen für die Strömungen Newtonscher Fluide

Koordinaten

x,y

Geschwindigkeitsvektor

v (u,v)

Drehung

ω=

  1 1 1 ∂v ∂ − [(1 + κy)u] (3.98) 2 1 + κy ∂x 1 + κy ∂y

Kontinuitätsgleichung ∂ 1 ∂(u) 1 ∂ + + [(1 + κy)v] = 0 ∂t 1 + κy ∂x 1 + κy ∂y

(3.99)

Impulsgleichungen
 ∂u u ∂u ∂u κ  + +v + uv ∂t 1 + κy ∂x ∂y 1 + κy = fx −

1 ∂τxx 1 ∂ 1 ∂p + + [(1 + κy)2 τxy ] 1 + κy ∂x 1 + κy ∂x (1 + κy)2 ∂y




u ∂v ∂v κ ∂v + +v − u2  ∂t 1 + κy ∂x ∂y 1 + κy = fy −

(3.100)



1 ∂τxy 1 ∂ ∂p κ + + [(1 + κy)τyy ] − τxx ∂y 1 + κy ∂x 1 + κy ∂y 1 + κy

(3.101) Energiegleichung


 u ∂T ∂T ∂T ∂ λ ∂T 1 ∂ ∂T + +v = + λ cp ∂t 1 + κy ∂x ∂y 1 + κy ∂x 1 + κy ∂x ∂y ∂y
 ∂p u ∂p ∂p +βT + +v ∂t 1 + κy ∂x ∂y + (3.102) viskose Spannungen  
2 2 ∂u + κv − div v 1 + κy ∂x 3 
2 ∂v − div v =µ 2 ∂y 3
 κu 1 ∂v ∂u − + =µ ∂y 1 + κy 1 + κy ∂x

 τxx = µ τyy τxy

(3.103)

3.13 Bewegungsgleichungen in speziellen Koordinatensystemen

81

Dissipationsfunktion 2
2 
1 ∂v ∂u + κv + 1 + κy ∂x ∂y 2
 1 2 ∂v ∂u + − κu − ( div v )2 + ∂y 1 + κy ∂x 3

 =2 µ



(3.104)

Divergenz div v =

∂ 1 ∂u + [(1 + κy)v] . 1 + κy ∂x ∂y

(3.105)

Andere Koordinatensysteme

Zu folgenden Koordinaten-Systemen findet man Hinweise in der Literatur: a) Allgemeine orthogonale Koordinaten: M.S. Tsien (1958), b) Sphärische Polarkoordinaten: R.L. Panton (1984) c) Natürliche Koordinaten für axialsymmetrische Strömungen: M. Van Dyke (1962c) d) Oberflächen-orientiertes monoklinisches Koordinatensystem (2 nicht-orthogo˙nale Koordinaten auf der Körperoberfläche und die Oberflächennormale): E.H. Hirschel; W. Kordulla (1981) e) Bewegtes (beschleunigtes und rotierendes) Koordinatensystem: G.K. Batchelor (1974), J.H. Spurk (1997)

4 Allgemeine Eigenschaften der Bewegungsgleichungen

4.1

Ähnlichkeitsgesetze Bevor im nächsten Kapitel auf Lösungen der Bewegungsgleichungen eingegangen wird, sollen zunächst einige allgemeine Eigenschaften dieser Gleichungen besprochen werden. Zunächst soll untersucht werden, welche Einflußgrößen in die Lösungen der Bewegungsgleichungen eingehen. Bezieht man die gesuchten Größen auf geeignet gewählte Referenzgrößen, dann hängen die dimensionslosen Lösungsgrößen nur noch von dimensionslosen Ortskoordinaten und von weiteren dimensionslosen Kennzahlen ab. Sie werden auch Ähnlichkeitskennzahlen genannt. Zwei Strömungen an ähnlichen Geometrien heißen physikalisch ähnlich, wenn alle Ähnlichkeitskennzahlen übereinstimmen. In diesem Fall sind außer den Begrenzungen (Körper) auch die Stromlinien und die Linien konstanten Druckes ähnlich. Die Kenntnis der für ein Strömungsproblem relevanten Kennzahlen ist von grundlegender Bedeutung für die Durchführung von Modellversuchen. Oft wird von dem eigentlichen Objekt, für welches man den Strömungsvorgang zu kennen wünscht, ein geometrisch ähnlich verkleinertes Modell hergestellt und dieses in einem Strömungskanal untersucht. Hierbei erhebt sich dann die Frage nach der physikalischen Ähnlichkeit von Strömungen, d.h. nach den Kennzahlen, und die damit verbundene Frage nach der Übertragbarkeit der Ergebnisse von Modellversuchen auf die Großausführung. Bereits in Kap. 1 war die Frage nach der dynamischen Ähnlichkeit zweier Strömungen, bei welchen Trägheitskräfte und Reibungskräfte wirksam sind, dahingehend beantwortet worden, daß ihre Reynolds-Zahlen gleich sein müssen (Reynoldssches Ähnlichkeitsgesetz). Das dort aus einer Abschätzung der Kräfte hergeleitete Reynoldssche Ähnlichkeitsgesetz soll jetzt nochmals, zusammen mit weiteren Ähnlichkeitsgesetzen, aus den Bewegungsgleichungen hergeleitet werden. Wir gehen von den Bewegungsgleichungen, Gl. (3.73) bis (3.77), aus. Als Referenzgrößen wählen wir eine Bezugslänge l (typische Körperabmessung), eine Bezugsgeschwindigkeit V (z.B. die Anströmgeschwindigkeit) und einen thermodynamischen Bezugszustand, gekennzeichnet durch die Referenz-Temperatur TR und den Referenz-Druck pR . Die dazugehörigen Stoffwerte sind R , µR , cpR , λR und βR . Für die Massenkraft pro Volumeneinheit wird gesetzt f =  g =  g e g ,

(4.1)

wobei e g der Einheitsvektor in Richtung der Fallbeschleunigung ist und g als Konstante angenommen wird.

84

4 Allgemeine Eigenschaften der Bewegungsgleichungen

Es werden folgende dimensionslose Größen eingeführt: x∗ =

x , l

y∗ =

y , l

z z∗ = , l

t∗ =

tV , l

v ∗ =

v , V

p∗ =

p − pR , R V 2

T∗ =

T , TR

∗ =

 , R

µ∗ =

µ , µR

cp∗

cp = , cpR

ε˙ ∗ =

l ε˙ , V

λ λ = , λR

β β = , βR

grad ∗ .. = l grad .. ,

div ∗ .. = l div .. ,

∗

Div ∗ .. = l Div .. ,

(4.2)

∗

rot ∗ .. = l rot .. ,

∗ =

l2 . µR V 2

Der Druck p tritt in den Bewegungsgleichungen nur in Form von Ableitungen auf. Daher ist es zulässig, die Differenz gegenüber dem Referenz-Druck zu verwenden. Werden die dimensionslosen Größen nach Gl. (4.2) in die Bewegungsgleichungen (3.73) bis (3.77) eingesetzt, so ergibt sich: D∗ = −∗ div ∗ v ∗ , Dt ∗ D v ∗ ∗ ∗ Dt ∗ cp∗

(4.3)


 1 ∗ 1 2 ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ Div µ 2ε˙ − δ div v , = 2  e g − grad p + Re 3 Fr

∗ DT ∗ 1 Ec ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ Dp div  . = (λ grad T ) − K Ec β T +  ∗ ∗ Dt Re Pr Dt Re

(4.4)

(4.5)

Dabei sind folgende fünf dimensionslose Kennzahlen aufgetreten: Reynolds-Zahl Froude-Zahl Prandtl-Zahl Eckert-Zahl Isobare Dichteänderungs-Zahl

R V l , µR V Fr = √ , gl µR cpR νR = , Pr = λR aR 2 V Ec = , cpR TR K = −βR TR . Re =

Ferner sind ν=

µ 

(4.6) (4.7) (4.8) (4.9) (4.10) (4.11)

4.1 Ähnlichkeitsgesetze

85

die kinematische Viskosität ([ν] = m2 / s) und a=

λ  cp

(4.12)

die Temperaturleitfähigkeit ([a] = m2 / s), hier im Referenzzustand verwendet. Von den fünf Kennzahlen sind Pr und K reine Stoffwerte, die im allgemeinen noch vom Referenzzustand abhängig sind. Aus den bisherigen Betrachtungen folgt, daß Strömungen um geometrisch ähnliche Körper dann physikalisch ähnlich sind, wenn die fünf genannten Kennzahlen gleich sind. Dabei sind natürlich auch analoge Anfangs- und Randbedingungen angenommen. Nur selten stimmen bei Modellversuch und Großausführung alle fünf Kennzahlen überein. Sind nur einige Kennzahlen gleich, spricht man von partieller Ähnlichkeit. In solchen Fällen bemüht man sich, hauptsächlich die für die zu untersuchende Strömung entscheidenden Ähnlichkeitsgesetze einzuhalten, d.h. die entsprechenden Kennzahlen zur Übereinstimmung zu bringen. Für diejenigen Kennzahlen, die ungleich bleiben, müssen bei der Übertragung der Modellversuchsergebnisse auf die Großausführung entsprechende Korrekturen vorgenommen werden. Dazu muß jedoch die Abhängigkeit der Lösung von diesen Kennzahlen bekannt sein. Hauptaufgabe der Strömungsmechanik ist es daher, die Abhängigkeiten der Lösungen der Bewegungsgleichungen von den Kennzahlen zu ermitteln. In konkreten Fällen können zu den genannten Kennzahlen noch weitere hinzukommen, wenn durch Vorgaben der Anfangs- und Randbedingungen weitere Einflußgrößen ins Spiel kommen. Wird z.B. eine Frequenz f vorgegeben etwa durch einen umströmten Körper, der erzwungene Schwingungen ausführt, dann tritt als weitere Kennzahl die in Gl. (1.16) angegebene Strouhal-Zahl auf. Bei Wärmeübertragungsproblemen ist häufig eine Temperatur-Differenz, z.B. Tw − TR , vorgegeben. Dann ist (Tw − TR )/TR eine weitere Kennzahl. In der Literatur findet man noch andere Kennzahlen, die mit den hier angegebenen zusammenhängen. Die in Gl. (4.5) auftretende Kombination Pe = Re · Pr

(4.13)

heißt Peclet-Zahl. Die in Kap. 1 bereits erwähnte (vgl. Gl. (1.8)) Mach-Zahl hängt mit der Eckert-Zahl wie folgt zusammen: Ec = Ma2

cR2 = Ma2  Kc . cpR TR

(4.14)

Dabei ist die Schallgeschwindigkeits-Zahl  Kc = cR2 /(cpR TR ) wieder eine reine Stoffkennzahl. (Für ideale Gase, d.h. p/ = RT , gilt  Kc = γ − 1 und K = −1) Um die Anzahl der Kennzahlen zu reduzieren, ist es üblich, das asymptotische Verhalten der Lösungen für sehr große oder sehr kleine Werte der Kennzahlen zu untersuchen. Dieses bedeutet in erster Näherung eine Reduktion der Anzahl der Kennzahlen. Die in diesem Buch abgehandelte Grenzschicht-Theorie ist genau eine

86

4 Allgemeine Eigenschaften der Bewegungsgleichungen

derartige asymptotische Theorie, und zwar für den Fall sehr großer Reynolds-Zahlen (Re → ∞). Geht man zur Grenze Re = ∞ über, reduzieren sich die Gl. (4.3) bis (4.5) auf diejenigen für reibungslose Strömungen, und außer den Stoff-Kennzahlen K und  Kc bleiben nur die Kennzahlen Froude-Zahl und Mach-Zahl übrig. Die reibungslosen Lösungen können jedoch nicht die Haftbedingungen an der Wand erfüllen. Sie sind daher für Re → ∞ überall brauchbar mit Ausnahme einer sehr dünnen wandnahen Schicht, der Grenzschicht, deren Berechnung Hauptthema dieses Buches ist. Im Grenzfall Fr → ∞ verschwindet der Einfluß der Schwerkraft, was in vielen Anwendungsbereichen angenommen werden kann, z.B. Flugtechnik, KraftfahrzeugAerodynamik, Strömungen in Verdichtern und Gasturbinen. Wird angenommen, daß Dichte und Viskosität konstant sind (d.h. ∗ = µ∗ = 1), dann ist die Strömung inkompressibel (vgl. Gl. (3.5)), und die Geschwindigkeitsund Druckfelder sind vom Temperaturfeld unabhängig (einseitige Entkoppelung). Diese sind dann im Grenzfall Fr → ∞ nur noch von der Reynolds-Zahl abhängig. Hieran erkennt man die zentrale Bedeutung des Reynoldsschen Ähnlichkeitsgesetzes für die gesamte Strömungsmechanik. Als Lösungen interessieren neben den Feldern für Geschwindigkeit, Druck und Temperatur insbesondere die Wandschubspannung τw und die Wärmestromdichte qw an der Wand. Dafür werden ebenfalls dimensionslose Größen eingeführt: der Reibungsbeiwert τw (4.15) cf = R 2 2 V und bei vorgegebener Temperaturdifferenz Tw − T∞ die Nußelt-Zahl Nu =

qw l . λR (Tw − T∞ )

(4.16)

Bezeichnet man den Ortsvektor mit r , so lautet eine allgemeine Lösung der Bewegungsgleichungen in dreidimensionaler Form v ∗

=

f 1 (r ∗ , Re , Fr , Pr , Ec , K )

p∗

=

f2 (r ∗ , Re , Fr , Pr , Ec , K )

T∗

=

f3 (r ∗ , Re , Fr , Pr , Ec , K )

cf

=

f4 (r w∗ , Re , Fr , Pr , Ec , K )

Nu

=

f5 (r w∗ , Re , Fr , Pr , Ec , K ) .

(4.17)

4.1 Ähnlichkeitsgesetze für Strömungen mit Auftriebskräften

87

4.2

Ähnlichkeitsgesetze für Strömungen mit Auftriebskräften (gemischte erzwungene und natürliche Konvektion) Sind die Auftriebskräfte (∼ 1/ Fr 2 ) für die Strömung von Bedeutung, ist es zweckmäßig, bei den Feldern für Druck und Temperatur nur die Differenz gegenüber den entsprechenden statischen Feldern zu betrachten. Für ein von der Zeit unabhängiges statisches Feld ( v = 0) folgt aus Gl. (3.74) und (4.1) stat g eg = grad pstat .

(4.18)

Wird diese Gleichung von Gl. (3.74) abgezogen, dann erhält man mit p = pstat + pBew

(4.19)

die Beziehung, die nach Umschreiben in dimensionslose Form der Gl. (4.4) entspricht: D v ∗ 1 ∗ ∗ ∗ ∗ = 2 (∗ − stat ) eg − grad ∗ pBew Dt Fr (4.20) 
 1 2 ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ Div µ 2ε˙ − δ div v + . Re 3 Hiernach ist pBew nur der durch die Bewegung des Fluids hervorgerufene Anteil des Druckes. Bei Strömungen mit Auftrieb ist es üblich, nur geringe Abweichungen der Temperatur und des Druckes von den jeweiligen Referenz-Werten zu betrachten. Für die Dichte (T ,p) kann dann eine Taylor-Reihen-Entwicklung um den ReferenzZustand als Näherung für die Zustandsgleichung angesetzt werden:

  ∂ ∂ (T ,p) = R + (T − TR ) + (p − pR ) + · · · . (4.21) ∂T R ∂p R Nun gilt allgemein




∂ ∂p




 T

∂ =γ ∂p

 = s

γ c2

mit

γ =

cp . cv

(4.22)

Damit läßt sich Gl. (4.21) in folgende dimensionslose Form bringen: ∗ (T ∗ ,p ∗ ) = 1 + K (T ∗ − 1) + γ Ma2 p ∗ + · · · . Man erkennt an dieser Gleichung, daß die inkompressible (∗ = 1) einen doppelten Grenzübergang verlangt:  Ma → 0 inkompressible Strömung für g = 0. T → TR

(4.23) Strömung

(4.24)

Der Grenzwert Ma → 0 reicht im allgemeinen für eine inkompressible Strömung nicht aus.

88

4 Allgemeine Eigenschaften der Bewegungsgleichungen

Bei Strömungen mit Auftrieb sind die Mach-Zahlen praktisch sehr klein. Es soll daher im folgenden nur dieser Grenzfall Ma → 0 betrachtet werden. Dann entfallen das Druckglied in Gl. (4.23) und die beiden Glieder proportional zu Ec (wegen Gl. (4.14)) in der Energiegleichung. Aus der reduzierten Gleichung für die Dichte, Gl. (4.23), folgt für das statische Feld ∗ ∗ stat = 1 + K (Tstat − 1) .

(4.25)

Damit lautet die Impulsgleichung, Gl. (4.20): ∗

K D v ∗ ∗ ∗ = 2 (T ∗ − Tstat ) eg − grad ∗ pBew Dt ∗ Fr 
 1 2 ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ Div µ 2ε˙ − δ div v + . Re 3

(4.26)

∗ (r ∗ ) noch vom Ort abhängen, wie beispielsweise in der ErdatmosDabei kann Tstat phäre. Infolge des Grenzüberganges Ma → 0 tritt die Temperatur in der Energiegleichung nur als Ableitung auf. Die Energiegleichung kann daher auch als Gleichung für T ∗ − 1 statt für T ∗ aufgefaßt werden. Bei Wärmeübertragungsproblemen sind vor allem zwei Fälle von besonderer Bedeutung: Die Vorgabe einer Temperaturdifferenz, z.B. Tw − TR , oder die Vorgabe einer Wärmestromdichte qw an der Wand. Bei Vorgabe einer Temperaturdifferenz Tw − TR wird folgende dimensionslose Temperatur T − TR T∗ −1 ϑ= (4.27) = ∗ Tw − T R Tw − 1

eingeführt. Damit lauten Impulsgleichung und Energiegleichung  ∗ − 1 ∗ K (Tw∗ − 1) Tstat ∗ Dv  = ϑ 1− ∗ e g Dt ∗ Tw − 1 Fr 2 
 1 2 ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ Div µ 2ε˙ − δ div v , − grad pBew + Re 3 ∗ cp∗

Dϑ 1 div ∗ (λ∗ grad ∗ ϑ) . = ∗ Dt Re Pr

(4.28)

(4.29)

Werden für die Stoffwerte µ∗ , cp∗ und λ∗ analog zur Dichte auch Taylor-Reihen entsprechend Gl. (4.23) angesetzt, ergibt sich ∗ (T ∗ ) = 1 + K (Tw∗ − 1)ϑ µ∗ (T ∗ ) = 1 + Kµ (Tw∗ − 1)ϑ cp∗ (T ∗ ) = 1 + Kc (Tw∗ − 1)ϑ

(4.30)

λ∗ (T ∗ ) = 1 + Kλ (Tw∗ − 1)ϑ . Zahlenwerte von Kα (α = ,µ,c,λ) findet man für einige Stoffe in Tabelle 3.1.

4.2 Ähnlichkeitsgesetze für Strömungen mit Auftriebskräften

89

Folgender wichtiger Grenzprozeß ist in der Literatur unter der Bezeichnung Boussinesq-Approximation bekannt: Tw → TR ,

V → 0,

Tstat → TR ,

(4.31)

βR (Tw − TR )gl V2

(4.32)

jedoch so, daß Ar =

K (1 − Tw∗ ) Fr 2

=

und ϑstat =

Tstat − TR Tw − T R

(4.33)

endlich bleiben. Die erstgenannte Kennzahl ist der Kopplungsparameter und heißt Archimedes-Zahl. In diesem Grenzfall ist die Strömung inkompressibel, und die Bewegungsgleichungen vereinfachen sich erheblich: div v ∗ = 0 ,

(4.34)

D v ∗ 2 ∗ Div ∗ ε˙ ∗ , = Ar ϑ(1 − ϑstat ) eg − grad ∗ pBew + Dt ∗ Re

(4.35)

Dϑ 1 div ∗ ( grad ∗ ϑ) . = ∗ Dt Re Pr

(4.36)

Formal entsteht dieses Gleichungssystem aus dem System Gl. (4.3) bis (4.5) neben Ma → 0 dadurch, daß alle Stoffwerte konstant gesetzt werden in allen Termen mit Ausnahme des Auftriebterms, in den ein linearer Zusammenhang zwischen Dichte und Temperatur eingeht. Wird statt einer Temperaturdifferenz eine Wärmestromdichte qw an der Wand vorgegeben, dann erhält man formal dasselbe Gleichungssystem. Dabei haben aber ϑ, Ar und ϑstat folgende Bedeutung ϑ =

T − TR , qw l/λR

(4.37)

Ar =

βR gl 2 qw , V 2 λR

(4.38)

Tstat − TR . qw l/λR

(4.39)

ϑstat =

Wieder bleiben diese Größen endlich im Grenzprozeß qw → 0,

V → 0,

Tstat → TR .

(4.40)

90

4 Allgemeine Eigenschaften der Bewegungsgleichungen

Die Kennzahlen Ar and ϑstat sind wieder die Kopplungsparameter. Analog zu Gl. (4.30) ergibt sich qw l ϑ (4.41) ∗ (T ∗ ) = 1 + K λR T R und entsprechendes für die übrigen Stoffwerte. Diese genannten Grenzprozesse werden nach J. Boussinesq (1903) als Boussinesq-Approximation bezeichnet. Jedoch hat sich offenbar A. Oberbeck (1876) schon früher damit beschäftigt, so daß einige Autoren von Oberbeck-BoussinesqApproximation sprechen, vgl. D.D. Joseph (1976), G.P. Merker (1987). Die allgemeinen Lösungen lauten für beide Fälle v = f 1 (r ∗ , Re , Ar , Pr ,ϑstat ) V pBew − pR = f2 (r ∗ , Re , Ar , Pr ,ϑstat ) R V 2 ϑ = f3 (r ∗ , Re , Ar , Pr ,ϑstat ) .

(4.42)

4.3

Ähnlichkeitsgesetze für die natürliche Konvektion Strömungen, bei denen die von Temperaturdifferenzen hervorgerufenen Dichteunterschiede die einzige Bewegungsursache sind, bezeichnet man als natürliche Konvektionsströmungen oder auch als freie Konvektionsströmungen. Bei ihnen entfällt also die Anströmgeschwindigkeit, es existiert a priori keine Bezugsgeschwindigkeit V . Die Ähnlichkeitsgesetze für die natürliche Konvektionsströmungen sollen aus den Bewegungsgleichungen für die gemischte Konvektion als Sonderfall V = 0 hergeleitet werden. Wird als Bezugsgeschwindigkeit νR / l anstatt V gewählt, ergibt sich aus der Impulsgleichung, Gl. (4.26), ∗

D v ∗ Dt ∗

=

∗ ∗ Ga K (T ∗ − Tstat ) eg − grad ∗ pBew 
 + Div ∗ µ∗ 2ε˙ ∗ − 23 δ div ∗ v ∗ .

(4.43)

Als neue Kennzahl wurde die Galilei-Zahl Ga =

Re2 gl 3 = νR2 Fr 2

(4.44)

eingeführt. Sie enthält keine Bezugsgeschwindigkeit. Die beiden Gleichungen (4.26) und (4.43) sind gleichwertig. Beide gelten für gemischte Konvektionsströmungen. Letztere jedoch auch für natürliche Konvektionsströmungen.

4.3 Ähnlichkeitsgesetze für die natürliche Konvektion

91

Auch für Gl. (4.43) lassen sich Boussinesq-Approximationen angeben. Für die Grenzen kleiner Temperaturdifferenzen bzw. kleiner Wärmestromdichten an der Wand erhält man: D v ∗ ∗ = Gr ϑ(1 − ϑstat ) eg − grad ∗ pBew + 2 Div ∗ ε˙ ∗ . Dt ∗

(4.45)

Dabei sind wieder die beiden Fälle zu unterscheiden: Vorgabe einer Temperaturdifferenz Tw − TR : Grenzprozeß: Tw → TR , νR → 0, so daß ϑ=

Tstat → TR ,

T − TR , Tw − T R

(4.46) (4.47)

die Grashof-Zahl Gr = Ar Re2 =

gl 3 βR (Tw − TR ) νR2

(4.48)

und ϑstat nach Gl. (4.33) endlich bleiben. Vorgabe einer Wärmestromdichte qw : Grenzprozeß: qw → 0, νR → 0, so daß ϑ=

Tstat → TR ,

T − TR , qw l/λR

die Grashof-Zahl Gr = Ar · Re2 =

gl 4 βR qw λR νR2

(4.49)

(4.50)

(4.51)

und ϑstat nach Gl. (4.39) endlich bleiben. Die allgemeinen Lösungen lauten formal für beide Fälle gleich: v l = f 1 (r ∗ , Gr , Pr ,ϑstat ) νR (pBew − pR )l 2 = f2 (r ∗ , Gr , Pr ,ϑstat ) R νR2 ϑ = f3 (r ∗ , Gr , Pr ,ϑstat ) .

(4.52)

Dabei sind Gr und ϑstat Kopplungsparameter. Bemerkenswert ist an diesen Grenzfällen, daß hier bereits sehr kleine Viskositäten angenommen werden. Dennoch handelt es sich hierbei im allgemeinen noch nicht um eine Strömung mit Grenzschicht-Charakter. Dieser tritt erst auf, wenn die GrashofZahl sehr groß wird (Gr → ∞). Dann verschwindet häufig auch der Einfluß des Druckgradienten, wie in Kap. 10.5 noch genauer gezeigt werden wird.

92

4 Allgemeine Eigenschaften der Bewegungsgleichungen

4.4

Wirbeltransportgleichung Wie bereits gezeigt, werden Geschwindigkeits- und Druckfelder vom Temperaturfeld unabhängig, wenn Dichte und Viskosität konstant sind und Auftriebskräfte (infolge Gewichts) vernachlässigt werden. Die Strömung ist dann inkompressibel. Die Impulsgleichung kann dafür in eine Gleichung für den Drehungs-Vektor nach Gl. (3.27) 1 rot v 2 umgewandelt werden, vgl. R.L. Panton (1984, S. 327). Sie lautet ω =

Dω = (ω · grad ) v + νω Dt

(4.53)

(4.54)

und wird Wirbeltransport-Gleichung genannt. Danach ändert sich die Drehung eines Fluidteilchens aufgrund von zwei unterschiedlichen Mechanismen, die durch die beiden Terme auf der rechten Seite der Gleichung gekennzeichnet sind. Das erste Glied beschreibt Wirbelstreckungen und Umlenkungen von Wirbellinien. Wirbellinien sind nach Definition stets parallel zum Drehungsvektor und entsprechen Stromlinien im Geschwindigkeitsfeld. Diese durch (ω · grad ) v gekennzeichneten Mechanismen existieren nicht in ebenen Strömungen. Das zweite Glied beschreibt die Diffusion von Drehung infolge der Viskosität. Insofern kann die Viskosität auch als ein Transportkoeffizient für die Drehung interpretiert werden. Bemerkenswert ist, daß die Wirbeltransportgleichung den Druck nicht enthält. Das ist jedoch verständlich, da Normalspannungen keinen Einfluß auf die Teilchen-Drehung haben können. Besonders einfach wird die Wirbeltransportgleichung für ebene Strömungen. In kartesischen Koordinaten lautet sie:
2  ∂ω ∂ ω ∂ 2ω ∂ω ∂ω +u +v =ν + (4.55) ∂t ∂x ∂y ∂x 2 ∂y 2
 ∂u 1 ∂v − . 2 ∂x ∂y In diesem Fall gibt es eine weitgehende Analogie zur Energiegleichung:
2  ∂T ∂ T ∂T ∂T ∂ 2T +u +v =a , + ∂t ∂x ∂y ∂x 2 ∂y 2 mit

ω = ωz =

(4.56)

(4.57)

wobei a die in Gl. (4.12) angegebene Temperaturleitfähigkeit ist. Die jeweiligen Transportvorgänge sind analog. Der Temperaturleitfähigkeit a im Temperaturfeld entspricht die kinematische Viskosität im Drehungsfeld. Für a = ν (d.h. Pr = 1) wären bei gleichen Randbedingungen die Lösungen für Temperatur und Drehung identisch. Durch Elimination des Druckes reduzieren sich die drei Gleichungen (Kontinuitätsgleichung, 2 Impulsgleichungen) für u, v, und p auf zwei Gleichungen für u

4.4 Wirbeltransportgleichung

93

und v. Durch Einführen einer Stromfunktion ψ(x,y) läßt sich die Anzahl der Gleichungen weiter reduzieren. Setzt man ∂ψ ∂ψ u= , v=− , (4.58) ∂y ∂x so ist die Kontinuitätsgleichung von selbst erfüllt. Für die Drehung gilt 1 ω = − ψ 2

(4.59)

und damit ergibt sich die Wirbeltransportgleichung ∂(ψ) ∂ψ ∂(ψ) ∂ψ ∂(ψ) + − = νψ . ∂t ∂y ∂x ∂x ∂y

(4.60)

In dieser Form enthält die Wirbeltransportgleichung nur noch die Unbekannte ψ. Es handelt sich um eine – immer noch nichtlineare – Differentialgleichung vierter Ordnung. Sonderfall ω = konst. Es ist offensichtlich, daß die Strömungen konstanter Dre-

hung (ω = konst) und insbesondere drehungsfreie Strömungen (ω = 0) Lösungen der ebenen Wirbeltransportgleichung sind. Leider erfüllen diese Lösungen, bis auf wenige Ausnahmen, nicht die Haftbedingung an der Wand, so daß sie im allgemeinen keine praktische Bedeutung haben. Die Strömungen konstanter Drehung, zu denen auch die in Kap. 1 behandelte Couette-Strömung gehört, haben im Zusammenhang mit abgelösten Strömungen eine Bedeutung, vgl. G.K. Batchelor (1956). Drehungsfreie Strömungen heißen Potentialströmungen. Diese sind also trotz von null verschiedener Viskosität (viskose Potentialströmungen!) Lösungen der NavierStokes-Gleichungen. Man erhält physikalisch sinnvolle Lösungen aus allen zweidimensionalen Potentialströmungen um ebene Körper, wenn Strom- und Potentiallinien in ihrer Bedeutung vertauscht werden. Es handelt sich dann um Körper mit Absaugen bzw. Ausblasen an der Körperoberfläche, an der jedoch die Haftbedingung erfüllt ist. Häufig läßt sich durch Mitbewegen der Wand die Haftbedingung erfüllen. Das einfachste Beispiel hierfür ist die Strömung in der Umgebung eines rotierenden Kreiszylinders in sonst ruhender Umgebung. Die Potentialströmung mit einer reinen Umfangsgeschwindigkeit ∼ 1/r (Potentialwirbel) ist Lösung der Navier-StokesGleichungen. Näheres hierzu findet man in Arbeiten von G. Hamel (1941) und J. Ackeret (1952). Die viskosen Potentialströmungen liefern eine von null verschiedene Dissipationsfunktion  nach Gl. (3.62), worauf auch J. Zierep (1983) hingewiesen hat. Sie entspricht der Gesamtleistung der Wandschubspannung an der „bewegten“ Oberfläche.

94

4 Allgemeine Eigenschaften der Bewegungsgleichungen

4.5

Grenzfall sehr kleiner Reynolds-Zahlen Bei sehr langsamen Bewegungen oder bei solchen mit sehr großer Viskosität sind die Reibungskräfte erheblich größer als die Trägheitskräfte, da die letzteren in den Geschwindigkeiten quadratisch sind, die ersteren dagegen linear. Man kann dann in erster Näherung die Trägheitsglieder gegenüber den Reibungsgliedern völlig vernachlässigen und erhält somit aus Gl. (4.60) ψ = 0 . (4.61) Dies ist jetzt eine lineare Differentialgleichung, die einer Lösung schon wesentlich besser zugänglich ist als die vollständige Gl. (4.60). Man nennt Strömungen, die Gl. (4.61) erfüllen, schleichende Bewegungen. Das Streichen der Trägheitsglieder im Grenzfall sehr langsamer Bewegung kann mathematisch als zulässig angesehen werden, da hierbei die Ordnung der Differentialgleichung nicht erniedrigt wird und deshalb mit den Lösungen der vereinfachten Differentialgleichung (4.61) noch ebenso viele Randbedingungen erfüllt werden können wie bei der vollständigen Gl. (4.60). Die schleichenden Bewegungen können auch als Lösungen der Navier-Stokes-Gleichungen aufgefaßt werden für den Grenzfall sehr kleiner Reynolds-Zahlen (Re → 0). Lösungen für die schleichende Bewegung nach Gl. (4.61) sind von G.G. Stokes (1856) für die Kugel angegeben worden. Die Stokessche Lösung ist z.B. anwendbar auf das Fallen von Nebeltröpfchen in Luft oder das Fallen von kleinen Kugeln in einem dickflüssigen Öl, wobei die Geschwindigkeiten so klein sind, daß die Trägheitskräfte mit guter Näherung vernachlässigt werden können. Auch die hydrodynamische Schmierungstheorie, welche sich mit den Strömungsvorgängen des Schmieröles in dem sehr engen Schmierspalt zwischen Zapfen und Lager befaßt, geht von den vereinfachten Bewegungsgleichungen der schleichenden Bewegung aus. Wenn auch hier die Geschwindigkeiten nicht klein sind, so sorgen doch die sehr geringen Spalthöhen und die verhältnismäßig große Öl-Viskosität dafür, daß die Reibungskräfte sehr viel größer sind als die Trägheitskräfte. Zusammenfassende Darstellungen der Strömungen bei kleinen Reynolds-Zahlen wurden von W.E. Langlois (1964) und J. Happel; H. Brenner (1973) gegeben, vgl. auch K. Gersten; H. Herwig (1992, S. 233).

4.6

Grenzfall sehr großer Reynolds-Zahlen Für die praktischen Anwendungen von erheblich größerer Bedeutung ist dagegen der andere Grenzfall, daß in Gl. (4.60) die Reibungsglieder wesentlich kleiner sind als die Trägheitsglieder. Da die technisch wichtigsten Fluide Luft und Wasser eine recht kleine Viskosität besitzen, liegt dieser Fall bei einigermaßen großen Geschwindigkeiten meistens vor. Dieses ist der Grenzfall sehr großer Reynolds-Zahlen (Re → ∞). In diesem Fall erfordert jedoch die hieraus resultierende mathematische Vereinfachung der Differentialgleichung (4.60) wesentlich größere Sorgfalt. Es ist nicht erlaubt, die Reibungsglieder, also die rechte Seite der Gl. (4.60), einfach zu streichen. Hierdurch würde die Ordnung der Differentialgleichung von vier auf zwei erniedrigt werden, und deshalb würden mit der vereinfachten Differentialgleichung nicht alle Randbedingungen der vollständigen Differentialgleichung erfüllt werden können. Die hier angeschnittene Frage gehört zu dem wesentlichen Inhalt der Grenzschicht-Theorie. Wir wollen jetzt zunächst erörtern, welche allgemeinen Aus-

4.6 Grenzfall sehr großer Reynolds-Zahlen

95

Bild 4.1. Analogie zwischen der Temperaturverteilung und der Verteilung der Drehung in der Umgebung eines umströmten Körpers, T0 = Tw > T∞ . a), b): Grenzen des erwärmten Gebietes a) für kleine Strömungsgeschwindigkeiten b) für große Strömungsgeschwindigkeiten

sagen über die Lösungen der Navier-Stokes-Gleichungen im Grenzfall sehr großer Reynolds-Zahlen möglich sind. Eine anschauliche Vorstellung von dem Charakter der Lösungen der NavierStokes-Gleichungen für den Grenzfall sehr kleiner Viskosität kann man sich aus der bereits erwähnten Analogie zwischen den Feldern der Drehung und der Temperatur (Gl. (4.55) und 4.57)) verschaffen. Es wird nach Bild 4.1 die Umströmung eines Körpers betrachtet, dessen Wandtemperatur größer als die Umgebungstemperatur T∞ ist. Wegen der Analogie zwischen den Gl. (4.55) und (4.57) darf man erwarten, daß auch die Lösungsfelder für die Drehung ω und für die Temperaturdifferenz T − T∞ ähnlichen Charakter haben. Nun ist aber der Charakter des Temperaturfeldes rein anschaulich einigermaßen klar. Im Grenzfall, in dem die Strömungsgeschwindigkeit gleich null ist (Ruhe), wird sich die erhöhte Temperatur des Körpers auf seine Umgebung nach allen Seiten gleichmäßig auswirken. Auch bei sehr kleinen Strömungsgeschwindigkeiten wird noch die Umgebung des Körpers nach allen Richtungen von der Erwärmung betroffen werden. Wird jedoch die Strömungsgeschwindigkeit gesteigert, so leuchtet anschaulich ein, daß sich das von der Erwärmung betroffene Gebiet mehr und mehr zusammenzieht auf eine schmale Zone in der unmittelbaren Umgebung des Körpers und einen Schweif erwärmten Fluids hinter dem Körper (Bild 4.1). Von dem gleichen Charakter ist nun auch die Lösung der Gl. (4.55) für die Drehung ω. Bei kleinen Geschwindigkeiten (Reibungskräfte groß im Vergleich zu den Trägheitskräften) erhält man die Drehung in der ganzen Umgebung des umströmten Körpers. Dagegen ist für große Geschwindigkeiten (Reibungskräfte klein gegenüber den Trägheitskräften) ein Strömungsfeld zu erwarten, bei dem Drehung nur in einer schmalen Zone entlang der Oberfläche des umströmten Körpers und in einem Schweif hinter dem Körper vorhanden ist, dagegen das ganze übrige Gebiet praktisch drehungsfrei bleibt (vgl. Bild 4.1). Wir erwarten also, daß im Grenzfall sehr kleiner Reibungskräfte, d.h. sehr großer Reynolds-Zahlen, die Lösungen der NavierStokes-Gleichungen so beschaffen sind, daß man das ganze Strömungsfeld aufteilen kann in eine drehungsfreie Außenströmung, die somit den Gesetzen der reibungslosen Strömung gehorcht und als Potentialströmung berechnet werden kann, und eine körpernahe dünne Schicht sowie einen Nachlauf hinter dem Körper, wo die Strömung mit Drehung behaftet ist und somit aus den Navier-Stokes-Gleichungen berechnet werden muß. Nur in dieser Schicht sind die Reibungskräfte wesentlich, d.h. von gleicher Größe wie die Trägheitskräfte. Diese Schicht heißt die Reibungs-

96

4 Allgemeine Eigenschaften der Bewegungsgleichungen

oder Grenzschicht. Diese Idee der Reibungsschicht wurde zuerst von L. Prandtl (1904) zu Anfang dieses Jahrhunderts in die Strömungsmechanik eingeführt und hat sich als sehr fruchtbar erwiesen. Erst durch die Aufteilung des ganzen Strömungsfeldes in die reibungsfreie Außenströmung und die reibungsbehaftete Grenzschichtströmung konnten die großen mathematischen Schwierigkeiten der Navier-StokesGleichungen so weit vermindert werden, daß es möglich wurde, ihre Integration für viele Fälle durchzuführen. Dies bildet den Inhalt der Grenzschicht-Theorie der folgenden Kapitel. Daß im Grenzfall sehr großer Reynolds-Zahlen eine dünne Schicht in Körpernähe existiert, auf die sich die Reibungswirkung hauptsächlich beschränkt, läßt sich in gewissen einfachen Fällen aber auch direkt rechnerisch aus den Lösungen der Navier-Stokes-Gleichungen zeigen. Wir werden darauf in Kap. 5 noch zu sprechen kommen. Der oben diskutierte Grenzfall, bei welchem die Reibungskräfte gegenüber den Trägheitskräften stark überwiegen (schleichende Bewegung, Reynolds-Zahl sehr klein), bringt mathematisch eine erhebliche Vereinfachung, weil sich bei Vernachlässigung der Trägheitskräfte in den Navier-Stokes-Differentialgleichungen ihre Ordnung zwar nicht erniedrigt, sie dabei aber linear werden. Der andere Grenzfall, bei welchem die Trägheitskräfte gegenüber den Reibungskräften stark überwiegen (Reibungsschicht, Reynolds-Zahl sehr groß), ist mathematisch schwieriger als die schleichende Bewegung. Denn würde man einfach in den Navier-StokesGleichungen µ gleich null setzen, so würden sowohl in den ursprünglichen NavierStokes-Gleichungen (3.42) als auch in der Gleichung für die Stromfunktion (4.60) die höchsten Differentialquotienten fortfallen. Bei den so entstehenden Differentialgleichungen von geringerer Ordnung (sog. Eulersche Differentialgleichungen) können dann aber nicht mehr sämtliche Randbedingungen der ursprünglichen vollständigen Differentialgleichung erfüllt werden. Jedoch bedeutet dies nicht, daß die Lösungen einer solchen durch Elimination der Reibungsterme vereinfachten Gleichung ihre physikalische Bedeutung verlieren. Es ist vielmehr möglich zu beweisen, daß diese Lösungen mit der vollständigen Lösung der vollen Navier-Stokes-Gleichung fast überall im Grenzfall der sehr großen Reynolds-Zahlen übereinstimmen. Die Ausnahme ist auf eine dünne Schicht nahe der Wand – die Grenzschicht – beschränkt. Daher kann man sich die vollständige Lösung der Navier-Stokes-Gleichungen als aus zwei Teilen bestehend vorstellen: der sog. „äußeren“ Lösung, die mit Hilfe der Eulerschen Bewegungsgleichung erhalten wird, und einer sog. „inneren“ Lösung oder Grenzschichtlösung, die nur in der dünnen Schicht in unmittelbarer Wandnähe besteht. Die „innere“ Lösung befriedigt die sog. Grenzschichtgleichungen, die aus den Navier-Stokes-Gleichungen durch Koordinatentransformation und Übergang zu Re → ∞ hervorgehen, wie in Kap. 6 gezeigt wird. Die äußere und die innere Lösung müssen dann so miteinander verbunden werden, daß in einem Überlappungsgebiet beide Lösungen gültig sind.

4.7 Mathematisches Beispiel zum Grenzübergang Re → ∞

97

4.7

Mathematisches Beispiel zum Grenzübergang Re → ∞ Da die vorstehenden Überlegungen zu den wichtigsten Grundlagen der Grenzschicht-Theorie gehören, möge der ihnen zugrunde liegende Sachverhalt noch an einem sehr einfachen mathematischen Beispiel erläutert werden, das von L. Prandtl1 angegeben wurde. Wir betrachten die Schwingung eines Massenpunktes mit Dämpfung. Hierfür gilt die Differentialgleichung d2x dx m 2 +k + cx = 0 . (4.62) dt dt Hierbei bedeuten m die schwingende Masse, k die Dämpfungskonstante, c die Federkonstante, x die Entfernung der Masse aus der Ruhelage und t die Zeit. Als Anfangsbedingung sei vorgegeben t =0:

x = 0.

(4.63)

Analog zu den Navier-Stokes-Gleichungen mit sehr kleiner kinematischer Viskosität ν betrachten wir hier den Grenzfall sehr kleiner Masse m, da dann auch in Gl. (4.62) das Glied mit der höchsten Ordnung sehr klein wird. Die vollständige Lösung von (4.62) mit der Anfangsbedingung (4.63) lautet x = A[e−(ct/k) − e−(kt/m) ]

m → 0,

(4.64)

wobei A eine freie Konstante ist, die noch durch eine zweite Anfangsbedingung festgelegt werden könnte. Setzt man in Gl. (4.62) m = 0, erhält man die vereinfachte Differentialgleichung k

dx + cx = 0 , dt

(4.65)

die jetzt eine Differentialgleichung erster Ordnung ist mit der Lösung xa (t) = Ae−(ct/k) .

(4.66)

Durch die spezielle Wahl des zunächst beliebigen Faktors A stimmt diese Lösung mit dem ersten Glied der vollständigen Lösung überein. Sie kann jedoch nicht die Anfangsbedingung (4.63) erfüllen. Sie ist also eine Lösung für große Zeiten („äußere“ Lösung). Für die Lösung bei kleinen Zeiten („innere“ Lösung) läßt sich aus Gl. (4.62) ebenfalls eine vereinfachte Differentialgleichung herleiten. Zu diesem Zweck wird durch „Streckung“ der Zeitkoordinate t eine neue „innere“ Variable t∗ =

t m

(4.67)

eingeführt. Mit dieser lautet Gl. (4.62) dx d2x + k ∗ + mcx = 0. dt dt ∗2

(4.68)

Für m = 0 ergibt sich daraus die Differentialgleichung für die „Innenlösung“ d2x dx +k 2 =0 dt ∗2 dt

(4.69)

1 L. Prandtl, Anschauliche und nützliche Mathematik. Vorlesung Göttingen, WS 1931/32.

98

4 Allgemeine Eigenschaften der Bewegungsgleichungen

mit der Lösung

∗

(4.70) xi (t ∗ ) = A1 e−kt + A2 . Diese Differentialgleichung bleibt trotz der Vereinfachung von zweiter Ordnung. Sie kann die Anfangsbedingung (4.63) erfüllen. Es gilt dann A1 = −A2 .

(4.71)

Die Bestimmung der Konstanten A2 erfolgt durch Anpassung an die „Außenlösung“ entsprechend Gl. (4.66). In einem Übergangsgebiet, d.h. für mittlere Zeiten, müssen die Lösungen nach Gl. (4.66) und (4.70) übereinstimmen. Es muß gelten: lim xi (t ∗ ) = lim xa (t) .

t ∗ →∞

(4.72)

t→0

In Worten besagt die Anpassungsbedingung: Der „äußere“ Grenzwert der inneren Lösung ist gleich dem „inneren“ Grenzwert der äußeren Lösung. Aus Gl. (4.72) folgt sofort A2 = A

(4.73)

und damit für die Innenlösung ∗

xi (t ∗ ) = A(1 − e−kt ) .

(4.74)

Man erhält diese Lösung auch aus der vollständigen Lösung nach Gl. (4.64), wenn man in dieser das erste Glied für kleine t entwickelt und nur das erste Glied der Entwicklung berücksichtigt, also lim e−(ct/k) = 1 (4.75) t→0

setzt. Die beiden Lösungen, Außenlösung nach Gl. (4.66) und Innenlösung nach Gl. (4.74), stellen die Gesamtlösung dar, wenn man jede in ihrem Gültigkeitsbereich verwendet. Bei festem t geht Gl. (4.64) für m → 0 in die Außenlösung über. Man erhält aus den Teillösungen die Gesamtlösung, die für den gesamten t-Bereich gilt (engl.: composite solution), indem man beide Lösungen addiert, wobei jedoch der gemeinsame Teil der Lösungen nach Gl. (4.72) nur einmal berücksichtigt werden darf, also wieder abgezogen werden muß: x(t) = xa (t) + xi (t ∗ ) − ∗lim xi (t ∗ ) = xa (t) + xi (t ∗ ) − lim xa (t) . t →∞

t→0

(4.76)

Nach dieser Vorschrift folgt aus den beiden Einzellösungen die Gesamtlösung nach Gl. (4.64). Eine graphische Darstellung der Gesamtlösung nach Gl. (4.64) ist in Bild 4.2 für A > 0 gegeben. Kurve a entspricht der Außenlösung (4.66). Die Kurven b, c und d entsprechen der Gesamtlösung (4.64), wobei der Wert von m in Richtung von b nach d abnimmt.

Bild 4.2. Lösung der Schwingungsgleichung (4.62) für m → 0. (a) Lösung der vereinfachten Differentialgleichung (4.65), m = 0; (b) (c), (d) Lösungen der vollständigen Differentialgleichung (4.62) für verschiedene Werte m. Für kleine Werte m, Kurve (d), hat die Lösung „Grenzschichtcharakter“.

4.8 Mehrdeutigkeit der Lösungen der Navier-Stokes-Gleichungen

99

Vergleicht man dieses Beispiel mit den Navier-Stokes-Differentialgleichungen, so entspricht die vollständige Differentialgleichung (4.62) den Navier-Stokes-Differentialgleichungen eines viskosen Fluids, die vereinfachte Differentialgleichung (4.65) der Außenlösung den Eulerschen Differentialgleichungen des reibungslosen Fluids und die vereinfachte Differentialgleichung (4.69) der Innenlösung den noch herzuleitenden Grenzschichtgleichungen. Die Anfangsbedingung (4.63) entspricht der Haftbedingung des viskosen Fluids, die von den Lösungen der Navier-Stokes-Gleichungen erfüllt werden kann, nicht jedoch von den Lösungen der Eulerschen Gleichungen. Die Außenlösung entspricht der reibungslosen Außenströmung (Potentialströmung), welche die Haftbedingung an der Wand nicht erfüllt. Die Innenlösung entspricht der Grenzschichtströmung, die von der Viskosität bestimmt wird und nur in einer schmalen Zone in Wandnähe (Grenzschicht oder Reibungsschicht) gilt. Aber erst unter Hinzunahme dieser Grenzschichtlösung wird die Erfüllung der Haftbedingung an der Wand möglich und damit die Gesamtlösung physikalisch sinnvoll. Wir finden also bei diesem einfachen Beispiel nochmals den gleichen mathematischen Sachverhalt bestätigt, den wir schon im vorigen Abschnitt erkannt hatten, daß man nämlich in den Navier-Stokes-Gleichungen den Grenzübergang zu sehr kleiner Viskosität (sehr große Reynolds-Zahl) nicht durch Streichen der Reibungsglieder in der Differentialgleichung ausführen darf, sondern daß man erst in der fertigen Lösung die Reynolds-Zahl sehr groß werden lassen darf. Wie wir jedoch später noch näher sehen werden, ist es nicht erforderlich, für den Grenzübergang Re → ∞ die vollen Navier-Stokes-Gleichungen beizubehalten. Wir werden aus Gründen der mathematischen Vereinfachung in ihnen eine Reihe von Gliedern, insbesondere Reibungsglieder, als klein vernachlässigen können. Wichtig dabei ist jedoch, daß nicht sämtliche Reibungsglieder vernachlässigt werden, da dies die Ordnung der Navier-StokesGleichungen erniedrigen würde.

4.8

Mehrdeutigkeit der Lösungen der Navier-Stokes-Gleichungen Für gegebene Anfangs- und Randbedingungen müssen die Lösungen der NavierStokes-Gleichungen keineswegs eindeutig sein. Hauptsächlich wegen der Nichtlinearität der Differentialgleichungen kann es bei der Variation entsprechender geometrischer oder strömungsmechanischer Parameter zu Lösungsverzweigungen und damit zu mehrdeutigen Lösungen kommen. Dabei können die Lösungen trotz stationärer Anfangsbedingungen auch instationär werden. Beim Übergang von laminarer zu turbulenter Strömung handelt es sich im Prinzip um eine Serie derartiger Lösungsverzweigungen, die zu immer komplexeren Strukturen der Lösungen führen, vgl. dazu Kap. 15. Bei stationären Strömungen kommt es häufig zu mehrdeutigen Lösungen, wenn Strömungsablösung und Rückströmung auftreten. Dabei entspricht oft eine der Lösungen anliegender Strömung, während die andere Lösung eine Strömung mit Ablösung beschreibt. Derartige Mehrdeutigkeiten können auch bei Grenzschichten vorliegen, wie die weiteren Kapitel zeigen werden. Insbesondere wird in Kap. 14 dargelegt werden, daß dabei auch Hysterese auftreten kann.

5 Exakte Lösungen der Navier-Stokes-Gleichungen

Die Aufgabe, exakte Lösungen der Navier-Stokes-Gleichungen zu finden, bereitet im allgemeinen erhebliche Schwierigkeiten. Dies liegt vor allem an der Nichtlinearität dieser Gleichungen, welche verbietet, das Superpositionsprinzip zu verwenden, das bei den reibungslosen inkompressiblen Potentialströmungen so gute Dienste leistet. Trotzdem kann man in einigen Spezialfällen exakte Lösungen angeben, und zwar vor allem dann, wenn die nichtlinearen Trägheitsglieder von selbst verschwinden. Die heutigen Möglichkeiten der Großrechner und die hochentwickelten numerischen Verfahren für nichtlineare partielle Differentialgleichungen erlauben es, auch allgemeine Lösungen für Navier-Stokes-Gleichungen numerisch zu ermitteln, vgl. B.E. Schönung (1990). Die Schwierigkeiten wachsen jedoch mit zunehmenden Reynolds-Zahlen, was mit der besonderen Struktur der Lösung bei hohen ReynoldsZahlen zusammenhängt. Wir wollen in diesem Kapitel einige exakte Lösungen der Navier-Stokes-Gleichungen bei inkompressiblen Strömungen besprechen. Dabei wird sich zeigen, daß die meisten dieser exakten Lösungen im Grenzfall sehr großer Reynolds-Zahlen Grenzschichtcharakter besitzen. Umfassende Übersichten über die Lösungen der Navier-Stokes-Gleichungen sind von R. Berker (1963) und C.Y. Wang (1989, 1991) gegeben worden. Die hier betrachteten Lösungen lassen sich wie folgt einteilen: stationäre ebene Strömungen, stationäre axialsymmetrische Strömungen, instationäre ebene Strömungen, instationäre axialsymmetrische Strömungen. Jede Kategorie kann noch unterteilt werden in Strömungen ohne und mit nichtlinearen Trägheitsgliedern sowie in Durchströmungen und Umströmungen. Die folgenden ausgewählten Beispiele sollen vor allem den Grenzschichtcharakter der Lösungen bei hohen Reynolds-Zahlen aufzeigen.

5.1

Stationäre ebene Strömungen 5.1.1 Couette-Poiseuille-Strömungen Eine besonders einfache Art von Lösungen sind die sog. Schichtenströmungen. Wir verstehen darunter solche Strömungen, bei denen nur eine Geschwindigkeitskomponente vorhanden ist.

102

5 Exakte Lösungen der Navier-Stokes-Gleichungen

Bild 5.1. Couette-Poiseuille-Strömungen zwischen zwei parallelen ebenen Wänden P > 0 Druckabfall in Schlepprichtung P < 0 Druckanstieg in Schlepprichtung

Ist z.B. nur die Geschwindigkeitskomponente u von null verschieden, also v überall gleich null, so folgt aus der Kontinuitätsgleichung sofort, daß ∂u/∂x = 0 ist und somit u nicht abhängig von x sein kann. Für die Schichtenströmungen gilt also: u = u(y);

v = 0.

(5.1)

Aus der Navier-Stokes-Gleichung (3.42) für die y-Richtung folgt dann sofort ∂p/∂y = 0 (p = pBew ist hier bereits nur der Anteil des Druckes infolge der Bewegung). Der Druck ist also nur von x abhängig. Außerdem fallen in der Gleichung für die x-Richtung die konvektiven Glieder sämtlich fort. Es bleibt somit d2u dp =µ 2 . dx dy

(5.2)

Man hat also eine lineare Differentialgleichung, zunächst jedoch für zwei unbekannte Funktionen u(y) und p(x). Da die linke Seite von Gl. (5.2) nur von x abhängen kann, die rechte Seite dagegen nur von y, muß es sich bei den beiden Seiten um eine Konstante handeln. Insofern handelt es sich bei Gl. (5.2) eigentlich um zwei Gleichungen, nämlich dp/dx = C und d 2 u/dy 2 = C/µ. Wird nach Bild 5.1 die Strömung zwischen zwei parallelen Platten mit dem Abstand h und dem Druckgradienten dp/dx betrachtet, wobei die obere Platte sich mit der Geschwindigkeit U bewegt, ergeben sich die Randbedingungen: y=0:

u = 0;

y=h:

u=U.

(5.3)

Die dazugehörige Lösung von Gl. (5.2) lautet: u= oder


 y h2 dp y y U− 1− h 2µ dx h h

(5.4)

5.1 Stationäre ebene Strömungen
 y y u y = +P 1− U h h h mit dem dimensionslosen Druckgradienten
 dp h2 − . P = 2µU dx

103 (5.5)

(5.6)

Die Lösung nach Gl. (5.5) mit P als Parameter ist in Bild 5.1 dargestellt. Für P > 0, d.h. für Druckabfall in Schlepprichtung der oberen Wand, ist über die ganze Kanalbreite die Geschwindigkeit positiv. Für P < 0 können auf einem Teil des Querschnittes auch negative Geschwindigkeiten auftreten, und zwar ergibt sich Rückströmung in der Nähe der ruhenden Wand, wenn P < −1 ist. In diesem Fall reicht für das Fluid in der Nähe der ruhenden Wand die mitschleppende Wirkung der schnelleren Nachbarschichten nicht aus, um den entgegengesetzt der Schlepprichtung wirkenden Druckabfall zu überwinden. Zwei Sonderfälle der allgemeinen Lösung (5.4) seien besonders erwähnt. Der Fall ohne Druckgradient (dp/dx = 0) führt auf y U. h

u=

(5.7)

Diese reine Scherströmung heißt Couette-Strömung, genannt nach dem Franzosen M. Couette, vgl. auch Bild 1.1. Der zweite Sonderfall ist die reine Kanalströmung mit U = 0, sie wird nach dem Franzosen J.L.M. Poiseuille (1846) auch Poiseuille-Strömung genannt. Die allgemeinen Strömungen nach Gl. (5.4) als Kombination dieser beiden Strömungen werden daher als CouettePoiseuille-Strömungen bezeichnet. Die Kanalströmung besitzt nach Gl. (5.4) eine parabolische Geschwindigkeitsverteilung mit der Maximalgeschwindigkeit in der Symmetrieebene umax = −

h2 dp 8µ dx

(5.8)

und mit der mittleren Geschwindigkeit um =

h2 dp 2 Q =− = umax . hb 12µ dx 3

(5.9)

Es ist üblich, den Zusammenhang zwischen Druckgefälle und mittlerer Geschwindigkeit durch die dimensionslose Reibungszahl λ auszudrücken. Diese ist durch −

dp λ  2 = u dx dh 2 m

(5.10)

definiert, wobei 4A = 2h (5.11) UP der hydraulische Durchmesser des Kanalquerschnittes ist (UP ist der benetzte Umfang des Strömungsquerschnittes mit der Fläche A). Wird die Reynolds-Zahl mit der mittleren Geschwindigkeit um und dem hydraulischen Durchmesser dh gebildet, liefert die Kombination von Gl. (5.9) und Gl. (5.10) als Widerstandsgesetz dh =

λ= mit Re =

96 Re

um dh . ν

(5.12)

(5.13)

104

5 Exakte Lösungen der Navier-Stokes-Gleichungen

Die Couette-Poiseuille-Strömungen haben unter anderem bei Gleitlagerströmungen Bedeutung. Auch der Spezialfall verschwindenden Volumenstroms (P = −3) hat praktische Anwendungen, z.B. bei windgetriebenen Strömungen in flachen „stehenden“ Gewässern. Die Couette-Poiseuille-Strömungen sind laminar, solange die Reynolds-Zahl unterhalb einer gewissen Grenze, der sog. kritischen Reynolds-Zahl, liegt. Nach Versuchen beträgt die kritische Reynolds-zahl bei der Couette- Strömung etwa
 hU Rekrit = = 1300 (5.14) ν krit und bei der Kanalströmung etwa
Rekrit =

 um dh = 3000 . ν krit

(5.15)

Für Re > Rekrit werden die Strömungen turbulent. Die turbulenten Couette-PoiseuilleStrömungen werden in Kap. 17.2.2 behandelt.

5.1.2 Jeffery-Hamel-Strömungen (ausgebildete Düsen- und Diffusor-Strömungen) Betrachtet werden ebene Strömungen zwischen geraden, nicht parallelen Wänden nach Bild 5.2. Es handelt sich um eine Erweiterung der Kanalströmung. Während bei dieser die Trägheitskräfte verschwinden, treten bei den Strömungen durch Diffusoren bzw. Düsen Verzögerungen bzw. Beschleunigungen auf. Im Fall einer Quelle bei r = 0 entsteht eine Diffusorströmung (divergenter Kanal), im Fall der Senke eine Düse (konvergenter Kanal). Aus den Navier-Stokes-Gleichungen in Polarkoordinaten, Gl. (3.91), erhält man mit den Ansätzen u(r,ϕ) ϕ = F (η), η = (5.16) umax (r) α für das normierte Geschwindigkeitsprofil die gewöhnliche Differentialgleichung für F (η) F  + 2α Re F F  + 4α 2 F  = 0 (5.17) mit den Randbedingungen F (−1) = 0,

F (0) = 1,

F (+1) = 0 .

(5.18)

Die Reynolds-Zahl Re =

umax rα ν


Diffusor: Düse:

α > 0, umax > 0 α < 0, umax < 0

 (5.19)

ist stets positiv und wegen umax ∼ 1/r von r unabhängig. Die Stromlinien sind die Strahlen durch den Nullpunkt. Die Umfangskomponente der Geschwindigkeit ist also überall gleich null. Die Lösung der Differentialgleichung (5.17) ist von G.B. Jeffery

5.1 Stationäre ebene Strömungen

105

Bild 5.2. Jeffery-Hamel-Strömungen in konvergenten und divergenten Kanälen (a) Geschwindigkeitsprofile in einem konvergenten Kanal (Düse), Öffnungswinkel 2α = −10◦ . exakte Lösung ◦ ◦ ◦ ◦ Schlankkanal-Lösung + + + + Grenzschicht-Lösung − − − Quasi-Poiseuille-Lösung (Parabel-Profil) (b) Geschwindigkeitsprofile in einem divergenten Kanal (Diffusor), Öffnungswinkel 2α = 10◦ . exakte Lösung − − − Quasi-Poiseuille-Lösung (Parabel-Profil)

(1915) und G. Hamel (1916) angegeben worden, es läßt sich F (ϕ) auf elliptische Funktionen zurückführen, vgl. z.B. F.M. White (1974, S. 184). Ohne auf die Einzelheiten der Rechnung einzugehen, sei der Charakter der Lösungen kurz skizziert. In Bild 5.2 ist für den divergenten Kanal α = 5◦ und den konvergenten Kanal |α| = 5◦ eine Schar von Geschwindigkeitsverteilungen bei verschiedenen Reynolds-Zahlen dargestellt. Die Geschwindigkeitsverteilungen sind für den konvergenten und den divergenten Kanal stark verschieden, und sie ändern sich beim letzteren auch stark mit der Reynolds-Zahl, vgl. auch K. Millsaps; K. Pohlhausen (1953). Im konvergenten Kanal (Düse) ist bei der größten Reynolds-Zahl die Geschwindigkeit über ein ziemlich großes Stück in der Mitte nahezu konstant, und erst nahe den Wänden fällt sie sehr steil auf null ab. Sie hat also in diesem Fall ausgeprägten „Grenzschichtcharakter“.

106

5 Exakte Lösungen der Navier-Stokes-Gleichungen

Im divergenten Kanal (Diffusor) erhält man je nach der Reynolds-Zahl sehr stark verschiedene Formen für die Geschwindigkeitsverteilungen. Jedes dieser Profile ist in der Mitte stärker gekrümmt als die Parabel, die für den Kanal mit parallelen Wänden gilt. Die Geschwindigkeitsverteilungen für die beiden größten Reynolds-Zahlen sind dadurch ausgezeichnet, daß sie zwei Gebiete mit Rückströmung besitzen. Die Geschwindigkeitsverteilungen haben vier Nullstellen. Da sich die Wand in jedem dieser Punkte befinden kann, lassen sich für jede Verteilung jeweils zwei verschiedene Strömungen ermitteln, geben diese Verteilungen also beim Öffnungswinkel 2α = 10◦ zwei symmetrische Rückströmungsgebiete und beim Öffnungswinkel von 6,6◦ bzw. 8,0◦ unsymmetrische Verteilungen mit einem Rückströmgebiet. Solche unsymmetrischen Geschwindigkeitsverteilungen werden in Diffusoren tatsächlich beobachtet. Wie aus der Differentialgleichung (5.17) zu ersehen ist, hängen die Jeffery-HamelLösungen von den beiden Parametern α und Re ab. Aus der Lösung F (η) erhält man folgende Ergebnisse: (a) Volumenbeiwert (Breite b)  um 1 V˙ = cV˙ = = F (η) dη , 2rαumax b umax 2 +1

(5.20)

−1

(b) Reibungsbeiwert cf =

2|τw | 2|F  (1)| = , u2max Re

(5.21)

(c) Druckbeiwert (p∞ = p (r → ∞)) cp =

1 p∞ − p(r,η) = [F  (1) − 4α 2 F (η)] , 2 umax /2 α Re

(5.22)

F  (1) p∞ − p(r,1) = . 2 umax /2 α Re

(5.23)

(d) Wanddruckbeiwert cpw =

In Bild 5.3 sind die Ergebnisse für die Düsenströmung mit α = −π/4 dargestellt. Zusätzlich sind die Asymptoten für Re → 0 (schleichende Strömung) und Re → ∞ (Grenzschichtströmung) eingezeichnet. Für diesen Fall (α = −π/4) reduziert sich die Differentialgleichung (5.17) für die schleichende Strömung (Re = 0) auf F  +

π2  F =0 4

(5.24)

mit der einfachen Lösung F (η) = cos(π η/2). Auf den Grenzfall Re → ∞ soll noch etwas ausführlicher eingegangen werden, da an ihm das Grundkonzept der Grenzschicht-Theorie einfach demonstriert werden kann.

5.1 Stationäre ebene Strömungen

107

Bild 5.3. Volumenstrom- und Rei-

bungsbeiwert der Jeffery-HamelLösung für eine Düsenströmung mit dem Öffnungswirbel 2α = −90◦ . Asymptoten: Re → 0, schleichende Strömung: cV˙ = 2/π, cf = π 3 /(4 Re) Re → ∞, Grenzschichttheorie: √ cV˙ = 1, cf = 2 π/(3 Re) Grenzschicht-Theorie. Gesucht werden die Lösungen der Differentialgleichung

(5.17) bei festem α < 0 (Düsen) für große Reynolds-Zahlen Re → ∞. Dividiert man Gl. (5.17) durch Re und bildet dann den Grenzwert Re → ∞, reduziert sich Gl. (5.17) auf F F  = 0 mit der nichttrivialen Lösung F = 1. Diese Lösung erfüllt zwar die Randbedingung auf der Achse (η = 0), nicht jedoch die Haftbedingungen an den Wänden. Die Lösung F = 1 entspricht der reibungslosen Senkenströmung. Sie ist überall gültig bis auf einen dünnen Bereich in unmittelbarer Wandnähe, der Grenzschicht. Dort versagt die Lösung, da die ursprüngliche Differentialgleichung zu stark entartete und in ihrer Ordnung reduziert wurde, so daß von der Lösung nicht mehr alle Randbedingungen erfüllt werden konnten. Für den Wandbereich, die sogenannte Grenzschicht, muß eine weitere Lösung gefunden werden, die die Haftbedingung erfüllt und mit wachsendem Wandabstand in die Lösung F = 1 im Kernbereich übergeht. Dazu wird statt η eine neue gestreckte Koordinate √ ξ = (1 − η) −α Re (5.25) eingeführt. Sie kann als gestreckter Wandabstand aufgefaßt werden. Werden Ableitungen nach ξ mit einem Punkt bezeichnet, lautet die Differentialgleichung für F (ξ ) ... 4α ˙ F = 0. (5.26) F − 2F F¨ − Re Im Grenzfall Re → ∞ reduziert sich die Gleichung auf ... (5.27) F − 2F F˙ = 0 , √ ohne die Ordnung zu erniedrigen. Die Streckung mit dem Faktor −α Re in Gl. (5.25) wurde gerade so gewählt, daß eine Entartung der Differentialgleichung vermieden wird. Zur Gl. (5.27) gehören die Randbedingungen: ξ =0:

F = 0;

ξ →∞:

Es existiert eine analytische Lösung, die lautet:

F = 1, F  = 0 .

(5.28)

108

5 Exakte Lösungen der Navier-Stokes-Gleichungen


F (ξ ) = 3 tanh mit

2

√ F˙ (0) = 2/ 3

ξ √ + artanh 2

  2 −2 3

und F¨ (0) = −1 .

(5.29)

(5.30)

Für ξ = 3,3 gilt F (ξ ) = 0,99. Wird der Grenzschichtrand dort festgelegt, wo die Geschwindigkeit 99 % der Achsengeschwindigkeit besitzt, dann gilt 1 − η99 = √

3,3 −α Re

.

(5.31)

Danach nimmt mit wachsender Reynolds-Zahl die Grenzschichtdicke umgekehrt proportional zur Quadratwurzel der Reynolds-Zahl ab, ein für laminare Grenzschichten charakteristisches Ergebnis. Für den Reibungsbeiwert nach Gl. (5.21) erhält man

cf

√

 Re = 4

−α 3

.

(5.32)

√ Auch die Kombination cf Re ist typisch für laminare Grenzschichten. Schließlich erhält man aus Gl. (5.23) cpw = 1, d.h. die Wanddruckverteilung entspricht der Druckverteilung in der reibungslosen Kernströmung. Mit anderen Worten, die Druckverteilung der reibungslosen Kernströmung wird der Wandgrenzschicht aufgeprägt. Zusammenfassend kann festgestellt werden, daß die Strömung in Düsen (α < 0) bei großen Reynolds-Zahlen eine Schichtenstruktur besitzt. Das Strömungsfeld besteht aus zwei Bereichen: dem überwiegenden Kernbereich mit reibungsloser Strömung und den wandnahen Grenzschichtbereichen, in denen die Viskosität eine Rolle spielt und dafür sorgt, daß die Geschwindigkeit vom vollen Wert der Kernströmung auf den Wert null an der Wand (Haftbedingung) übergeht.√Die Dicke der Grenzschichten und die Reibungsbeiwerte sind proportional zu 1/ Re, tendieren also mit zunehmenden Reynolds-Zahlen gegen null. In beiden Bereichen sind gegenüber den vollständigen Navier-Stokes-Gleichungen vereinfachte Gleichungen zu lösen. Die getrennt ermittelten Lösungen müssen in einem Übergangsbereich aneinander angepaßt werden. Für Diffusoren (α > 0) existieren derartige Grenzschichtlösungen für Re → ∞ nicht. Schlankkanal-Theorie. Nicht alle Lösungen der Jeffery-Hamel-Strömungen be-

sitzen für Re → ∞ Grenzschicht-Charakter. Wie man der Ausgangsgleichung (5.17) ansieht, ist noch ein anderer Grenzwert für Re → ∞ möglich. Es handelt sich um einen doppelten Grenzübergang, bei dem neben Re → ∞ auch noch α → 0 erfolgt, jedoch so, daß das Produkt α Re endlich bleibt. Bei festem Produkt α Re wird mit wachsender Reynolds-Zahl der Öffnungswinkel α kleiner, d.h. die geometrische Konfiguration „schlanker“. Die Ermittlung der Lösungen für diesen doppelten Grenzübergang, bei dem also eine Kopplung von strömungsmechanischen und geometrischen Größen vorliegt, erfolgt mit der sogenannten Schlankkanal-Theorie.

5.1 Stationäre ebene Strömungen

109

Bild 5.4. Jeffery-Hamel-Lösungen für α → 0, Re → ∞ mit α Re = O(1), Schlankkanal-

Theorie - - - - Asymptote [F  (1)]2 = − 43 α Re nach der Grenzschichttheorie

Auch hierbei kommt es durch die Grenzbetrachtung zu einer Vereinfachung der Strömungsgleichung, jedoch ohne Entartung. Im vorliegenden Fall reduziert sich Gl. (5.17) wegen α → 0 zu F  + 2α Re F F  = 0

(5.33)

mit den unveränderten Randbedingungen nach Gl. (5.18). Die Lösungen dieser weiterhin nichtlinearen Differentialgleichung haben keinen Grenzschicht-Charakter, und sie existieren sowohl für Düsen (α < 0) als auch für Diffusoren (α > 0). Es handelt sich jetzt um eine einparametrige Schar von Lösungen mit dem SchlankkanalParameter α Re. In Bild 5.4 ist die Größe [F  (1)]2 dieser Schlankkanal-Lösungen als Funktion von α Re dargestellt, wobei F  (1) nach Gl. (5.21) ein Maß für den Reibungsbeiwert ist. Der Wert [F  (1)] = 4 bei α Re = 0 entspricht der Lösung für den Kanal zwischen parallelen Wänden nach Gl. (5.12). Die Ziffern an der Kurve sind die Reynolds-Zahlen einiger Beispiele aus Bild 5.2. Die Asymptote an die Kurve für α Re → −∞ (Düsen) entspricht der besprochenen Grenzschicht-Lösung. Interessant sind die Lösungen für die Diffusoren (α Re > 0). Bei α Re = 10,3 verschwindet der Reibungsbeiwert, und für α Re > 10,3 erfolgt in Wandnähe Rückströmung. Mit wachsendem α Re nimmt der Volumenstrom der Rückströmung zu, so daß bei α Re = 50,73 der Gesamtvolumenstrom schließlich verschwindet. Die im Bild eingezeichnete Kurve entspricht symmetrischen Lösungen. Für α Re > 10,3 sind jedoch auch unsymmetrische Lösungen möglich, bei denen die Rückströmung nur an einer Wand erfolgt. Bei α Re = 10,3 kommt es daher zu einer Lösungsverzweigung, und für α Re > 10,3 ist die Lösung mehrdeutig. Die Mehrdeutigkeit von Lösungen ist ebenfalls ein charakteristisches Merkmal, das häufig bei Strömungen mit hohen Reynolds-Zahlen anzutreffen ist.

110

5 Exakte Lösungen der Navier-Stokes-Gleichungen

Auch die Energiegleichung führt bei entsprechend gewählten Randbedingungen auf eine gewöhnliche Differentialgleichung und damit auf ähnliche Temperaturprofile. Temperaturverteilungen nur aufgrund der Dissipation wurden von K. Millsaps; K. Pohlhausen (1953) berechnet. Auch ohne Berücksichtigung der Dissipation erhält man bei vom Radius abhängigen Temperaturverteilungen an der Wand (Potenzgesetze) ebenfalls selbstähnliche Temperaturprofile, wie B.L. Reeves; Ch.J. Kippenhan (1962) gezeigt haben. Wegen der Linearität der Energiegleichung lassen sich beide Effekte superponieren. Die Jeffery-Hamel-Lösungen wurden von L.E. Fraenkel (1962, 1963) dazu benutzt, die Strömung in symmetrischen ebenen Kanälen mit schwach gekrümmten Wänden näherungsweise zu berechnen. Störungen der Jeffery-Hamel-Strömungen wurden von W.H.H. Banks et al. (1988) ausführlich untersucht. 5.1.3 Ebene Staupunktströmung Die bisherigen Beispiele betrafen Durchströmungen, bei denen außerdem nur eine Geschwindigkeitskomponente auftrat. Jetzt wird ein einfaches Beispiel einer Umströmung betrachtet, bei der auch beide Geschwindigkeitskomponenten auftreten. Es handelt sich um die ebene Staupunktströmung nach Bild 5.5. Die Geschwindigkeitsverteilung der reibungslosen Strömung (Potentialströmung) lautet U = ax; V = −ay, wobei a eine Konstante bedeutet. Für die dazugehörige Druckverteilung folgt nach der Bernoulli-Gleichung   P0 = P + (U 2 + V 2 ) = P + a 2 (x 2 + y 2 ) , 2 2

Bild 5.5. Ebene Staupunktströmung

5.1 Stationäre ebene Strömungen

111

wenn P den Druck an einer beliebigen Stelle und P0 den Druck im Staupunkt (x = 0, y = 0) bedeuten. Diese reibungslose Strömung erfüllt zwar die Navier-StokesGleichungen, nicht jedoch die Haftbedingungen an der Wand (y = 0). Um auch diese zu erfüllen, muß der Einfluß der Viskosität berücksichtigt werden. Dazu erfolgt jetzt der Ansatz für Geschwindigkeits- und Druckverteilung √ u = Uf  (η) = axf  (η); v = − aνf (η) , (5.34)    2ν P0 = p + a 2 x 2 + F (η) (5.35) 2 a mit der transformierten Koordinate  η=

a y. ν

(5.36)

Da vor allem Strömungen von Fluiden mit kleinen Werten der kinematischen Viskosität ν interessieren, kann die neue Koordinate als ein „gestreckter“ Wandabstand aufgefaßt werden. Durch die Ansätze (5.34) bis (5.36) ist die Kontinuitätsgleichung identisch erfüllt. Aus der Navier-Stokes-Gleichung für die x-Richtung erhält man die folgende gewöhnliche Differentialgleichung für die Funktion f (η), die auch als √ dimensionslose Stromfunktion ψ = x aνf (η) aufgefaßt werden kann: f  + ff  + 1 − f 2 = 0

(5.37)

mit den Randbedingungen η=0:

f = 0, f  = 0;

η→∞:

f = 1.

(5.38)

Diese folgen aus der Undurchlässigkeit der Wand (aus v(x,0) = 0 folgt f (0) = 0) und aus der Haftbedingung (aus u(x,0) = 0 folgt f  (0) = 0). Für große Wandabstände (η → ∞) soll die Geschwindigkeit u(x,η) in diejenige der reibungslosen Strömung U (x,y) übergehen. Das führt wegen Gl. (5.34) zur Bedingung f  (∞) = 1. Da Gl. (5.37) eine Differentialgleichung dritter Ordnung ist, können genau die drei Randbedingungen (5.38) erfüllt werden. Die Bedingung, daß für η → ∞ auch v(x,η) in V (x,y) übergeht, kann daher nicht mehr vorgeschrieben werden. Wie die Lösung von Gl. (5.37) zeigt, ist diese Bedingung tatsächlich nicht erfüllt. Aus Gl. (5.34) folgt √ lim (v − V ) = aνβ1 (5.39) η→∞

mit dem von null verschiedenen Wert β1 = lim [η − f (η)] . η→∞

(5.40)

Infolge des Viskositätseinflusses kommt es demnach im Außenbereich der Strömung gegenüber der reibungslosen Strömung zu einer von der Wand weggerichteten Geschwindigkeit. Man spricht von einem Verdrängungseffekt der Grenzschicht. Danach

112

5 Exakte Lösungen der Navier-Stokes-Gleichungen

verhält sich die Strömung im Außenbereich wie die Potentialströmung, die sich um die Dicke  ν δ1 = β1 (5.41) a von der Wand abgehoben hat. Die Größe δ1 , die in ursprünglichen Variablen durch 1 δ1 = U

∞ (U − u) dy

(5.42)

0

definiert ist, wird deshalb Verdrängungsdicke genannt. Sie ist ein Maß für den Unterschied im Volumenstrom zwischen der reibungslosen und der reibungsbehafteten Strömung, vgl. Bild 2.3. Der damit beschriebene „Verdrängungseffekt“ ist ein typischer Grenzschichteffekt, der mit abnehmender Viskosität verschwindet. Die Integration der Navier-Stokes-Gleichung in y-Richtung führt zu der Lösung F (η) =

1 2 f (η) + f  (η) . 2

(5.43)

Damit erhält man die Druckverteilung auf der Staulinie (x = 0) aus Gl. (5.35) zu P0 = p +

 2 v + aµf  . 2

(5.44)

Für den Gesamtdruck auf der Staulinie g = p + v 2 /2 gilt damit g = P0 − aµf  (η) .

(5.45)

Diese interessante Beziehung besagt, daß der Gesamtdruck auf der Staulinie bei Annäherung an die Wand zunimmt(!). Wegen der Randbedingung f  (∞) = 1 besteht zwischen dem Gesamtdruck (g)außen = g(η → ∞) in großer Entfernung von der Wand (also im reibungslosen Außenbereich) und dem Gesamtdruck im Staupunkt (g)Staupunkt = P0 die Differenz (g)außen − (g)Staupunkt = −aµ .

(5.46)

Bei Messungen des Gesamtdruckes mit Pitotsonden kommt es daher zu einem Meßfehler, d.h. der Gesamtdruck wird zu hoch gemessen, da an den Sonden infolge der Viskositätseffekte in Sondennähe der Wert (g)Staupunkt ermittelt wird, also nicht der eigentlich interessierende Gesamtdruck der Außenströmung, der nach (5.46) etwas kleiner ist. Die Korrektur ist proportional zu µ, also sehr klein bei großen ReynoldsZahlen. Dieser Fehlereinfluß der Viskosität wird in der Literatur als Barker-Effekt bezeichnet, vgl. M. Barker (1922). Die Lösung der Differentialgleichung (5.37) ist zuerst von K. Hiemenz (1911) angegeben worden, weshalb die ebene Staupunktströmung manchmal auch als Hiemenz-Strömung bezeichnet wird. Die Lösung von Hiemenz wurde später von L. Howarth (1935) verbessert. Sie ist in Bild 5.6 wiedergegeben, vgl. auch Tabelle 5.1.

5.1 Stationäre ebene Strömungen

113

Tabelle 5.1. Funktionswerte an der Wand und in großem Abstand von der Wand zur Beschrei-

bung der Staupunktströmungen eben

axialsymmetrisch

η

f

f

f 

η

f

f

f 

0

0

0

1,2326

0

0

0

1,3120

∞

η − 0,648

1,0

0

∞

η − 0,569

1,0

0

Bild 5.6. Geschwindigkeitsverteilungen der ebenen und axialsymmetrischen Staupunktströmungen eben - - - - - axialsymmetrisch, vgl. Abschnitt 5.2.3

Bei etwa η = ηδ = 2,4 ist f  = 0,99, d.h. u = 0,99U . Dort hat also die Geschwindigkeit bis auf 1 % ihren Endwert erreicht. Bezeichnen wir den dazugehörigen Wandabstand y = δ wieder als Grenzschichtdicke (oder Reibungsschichtdicke), so ist   ν ν δ = η99 = 2,4 . (5.47) a a Auch bei dieser Strömung ist also wieder √ die von Viskositätseffekten betroffene Schicht dünn, und zwar proportional zu ν. Der Druckgradient ∂p/∂y ergibt sich √ nach Gl. (5.35) proportional zu a νa, ist also bei kleiner Viskosität ebenfalls sehr klein. Bemerkenswert ist noch, daß die dimensionslose Geschwindigkeitsverteilung u/U nach Gl. (5.34) unabhängig von der Lauflänge x ist. Man spricht in diesem Fall von einer ähnlichen Lösung. Sie hat zur Folge, daß sich die partielle Navier-StokesGleichung auf eine gewöhnliche Differentialgleichung, hier Gl. (5.37), reduzieren läßt. Auch die Grenzschichtdicke δ nach Gl. (5.47), d.h. die Grenze zwischen vis-

114

5 Exakte Lösungen der Navier-Stokes-Gleichungen

kositätsbeeinflußter Grenzschicht und reibungsfreier Außenströmung, ist bei dieser speziellen Strömung von x unabhängig. Die hier gefundene Lösung für die viskose Strömung in der Nähe eines Staupunktes liegt nicht nur bei einer ebenen Wand vor, sondern bei der ebenen Umströmung eines beliebigen zylindrischen Körpers, sofern er im Staupunkt eine stumpfe Nase hat. In solchen Fällen beschränkt sich diese Lösung auf eine kleine Umgebung des Staupunktes, soweit dort die gekrümmte Oberfläche durch die Tangentialebene im Staupunkt ersetzt werden kann. Absaugen oder Ausblasen. Die bisher besprochene Lösung läßt sich auf einfache Weise auf den Fall erweitern, daß die Wand durchlässig ist (poröse Wand) und durch die Wand Fluid ausgeblasen oder abgesaugt wird. Dazu muß in Gl. (5.38) lediglich die Randbedingung für v(x; 0) an der Wand in
 fw > 0 : Absaugen η = 0 : f = fw (5.48) fw < 0 : Ausblasen

abgeändert werden. Die Haftbedingung bleibt nach wie vor bestehen, vgl. aber dazu G.J. Hokenson (1985). Lösungen für verschiedene Werte fw findet man beispielsweise bei K. Gersten et al. (1972). Wie zu erwarten, wird der Verdrängungseffekt durch Ausblasen verstärkt, durch Absaugen jedoch reduziert. Bei der Absaugung fw = 0,54 verschwindet gerade der Verdrängungseffekt (β1 = 0), für fw > 0,54 kommt es zu einer Umkehrung des Verdrängungseffektes, einem „Einsaugeffekt“ (engl.: entrainment). In der genannten Arbeit werden auch die beiden Grenzfälle sehr starken Absaugens und massiven Ausblasens behandelt. Im Fall starken Absaugens (fw → ∞) folgt mit dem Ansatz f (η) = fw +

1 ϕ(ηi ) , fw

ηi = ηfw

aus Gl. (5.37) und (5.38) im Grenzfall fw → ∞ ... ϕ + ϕ¨ = 0 ηi → ∞ : ηi = 0 : ϕ = 0, ϕ˙ = 0;

ϕ˙ = 1 ,

(5.49)

(5.50)

wobei die Punkte die Differentiation bezüglich der abermals „gestreckten“ Koordinate ηi bedeuten. Die Lösung ϕ(ηi ) = ηi − 1 + e−ηi

(5.51)

entspricht der als „asymptotisches Absaugeprofil“ bekannten Geschwindigkeitsverteilung vw y u(x,y) =1−e ν (vw < 0) , (5.52) U (x) die vom Parameter a unabhängig ist(!). Auch im Falle massiven Ausblasens (fw → −∞) läßt sich eine einfache Lösung angeben. Mit dem Ansatz

5.1 Stationäre ebene Strömungen

f (η) = fw − fw ϕ(z),

z=

η −fw

115

(5.53)

reduzieren sich Gl. (5.37) und (5.38) auf

z=0:

(ϕ − 1)ϕ¨ + 1 − ϕ˙ 2 = 0 π ϕ = 0, ϕ˙ = 0; z= : 2

ϕ˙ = 1 .

(5.54)

Punkte bedeuten hier Differentiation nach der „gestauchten“ Koordinate z. Bemerkenswert ... ist, daß in diesem Grenzfall der die Reibungskräfte beschreibende Term f  bzw. ϕ verschwindet und sich damit die Ordnung der Differentialgleichung reduziert. Dadurch wird die äußere Randbedingung nicht für z → ∞, sondern bei dem endlichen Wert z = π/2 erfüllt. Die Lösung von Gl. (5.54) ϕ = 1 − cos z ergibt die einfache Geschwindigkeitsverteilung u(x,y) ay = sin U (x) vw

0≤y≤

π vw . 2a

(5.55)

Im Wandabstand z = π/2 befindet sich die Null-Stromlinie (ϕ = 1, f = 0). Es handelt sich um die Trennstromlinie, die das aus der Wand ausgeblasene Fluid von dem Fluid der Außenströmung trennt. An dieser Stelle weist die Geschwindigkeit eine Singularität auf, die Krümmung ist dort unstetig. Dieses erklärt sich aus der Tatsache, daß Gl. (5.55) einer reibungslosen Lösung entspricht. Trotzdem läßt sich aus Gl. (5.55) die Wandschubspannung zu τw (x) =

µaU (x) µa 2 x = vw vw

(5.56)

berechnen. Bei endlichen Reynolds-Zahlen bildet sich in der Umgebung der Trennstromlinie eine „viskose“ Schicht, in der die Viskosität für einen kontinuierlichen Verlauf der Geschwindigkeitskrümmung über die Trennstromlinie sorgt. Diese viskose „Übergangslösung“ läßt sich auf Funktionen des parabolischen Zylinders zurückführen, wie von K. Gersten et al. (1972) gezeigt wurde. In dieser Arbeit sind auch die Lösungen der Energiegleichung ohne Berücksichtigung der Dissipation angegeben. Danach ist die Temperatur von x unabhängig, d.h. der Fall Tw = const ist identisch mit dem Fall qw = const. Der Einfluß der Dissipation wurde von K. Gersten; H. Körner (1968) untersucht. Bei adiabater Wand bildet sich aufgrund der Dissipation eine Verteilung der Wandtemperatur proportional zu x 2 aus, die sogenannte „adiabate Wandtemperaturverteilung“, die sowohl von der Prandtl-Zahl als auch vom Absaugen bzw. Ausblasen abhängt. 5.1.4 Parabel-Umströmung Die bisher betrachteten Lösungen der Navier-Stokes-Gleichungen waren dadurch gekennzeichnet, daß die Geschwindigkeitsprofile ähnlich waren und sich damit die

116

5 Exakte Lösungen der Navier-Stokes-Gleichungen

Bild 5.7.

Widerstandsbeiwerte der symmetrisch angeströmten Parabel. WD : Druckwiderstand; WR : Reibungswiderstand √ W∞Pl = 1,328bV V lν Lösung der Navier-StokesGleichungen nach R.T. Davis (1972) und E.F.F. Botta et al. (1972) - - - - - Asymptoten

partiellen Differentialgleichungen auf gewöhnliche Differentialgleichungen reduzierten. Bei der symmetrischen Umströmung der Parabel ist eine derartige Reduktion nicht mehr möglich. Daher müssen die partiellen Differentialgleichungen numerisch gelöst werden. Derartige numerische Lösungen von Navier-Stokes-Gleichungen für die symmetrische Parabelumströmung wurden von R.T. Davis (1972) und von E.F.F. Botta et al. (1972) durchgeführt. Als ein Ergebnis dieser Rechnung sind in Bild 5.7 die Widerstandsbeiwerte, aufgeteilt in Druckwiderstand und Reibungswiderstand, als Funktion der Reynolds-Zahl dargestellt. Die Reynolds-Zahl ist dabei mit der Anströmgeschwindigkeit V und dem Krümmungsradius R0 der Parabel im Scheitelpunkt (Staupunkt) gebildet. Die Asymptoten für Re → 0 entsprechen der schleichenden Parabel-Umströmung. Hier interessieren vor allem dieAsymptoten für Re → ∞. In diesem Grenzfall folgt der Druckwiderstand aus der potentialtheoretischen Lösung, die hier entgegen dem D’Alembertschen Paradoxon einen von null verschiedenen Wert liefert, da es sich um einen sich nach hinten ständig erweiternden Halbkörper handelt. Die Asymptote für Re → ∞ beim Reibungswiderstand entspricht der Grenzschichtlösung an der Parabel, auf die in Kap. 14 noch eingegangen wird. Das Bild zeigt deutlich die ausgezeichnete Übereinstimmung zwischen der exakten Lösung der Navier-Stokes-Gleichungen und den asymptotischen Lösungen für Werte der Reynolds-Zahl oberhalb Re > 103 . Die Parabel-Umströmung ist insofern

5.2 Stationäre axialsymmetrische Strömungen

117

vergleichsweise einfach, da der Druck an der Kontur stromabwärts stets abnimmt und daher die Wandschubspannung niemals verschwindet. Es tritt keine Ablösung mit nachfolgender Rückströmung auf. Dieses ist beim folgenden Beispiel anders. 5.1.5 Kreiszylinder-Umströmung Aus den Darlegungen in Kap. 1 ging hervor, daß die Kreiszylinder-Umströmung etwa oberhalb Re = V d/ν > 90 instationär ist. Eine stationäre KreiszylinderUmströmung für den Grenzfall Re → ∞ existiert also in der Realität nicht. Trotzdem wurden die stationären Navier-Stokes-Gleichungen auch für Reynolds-Zahlen Re > 90 numerisch gelöst, wie z.B. von B. Fornberg (1980, 1985) und J.C. Wu; U. Gulcat (1981). Aus diesen Rechnungen erkennt man deutlich, daß sich mit zunehmender Reynolds-Zahl die Gebiete mit endlicher Drehung, die ein Maß für die Viskositätseinflüsse ist, enger an den Körper anschmiegen, also Grenzschichtcharakter annehmen. Die stationären Lösungen streben für Re → ∞ auch einer Grenzlösung zu. Wie in Kap. 1 bereits erwähnt, ist die Kirchhoff-Helmholtz-Lösung der sogenannten freien Stromlinien eine denkbare Grenzlösung. Nach Arbeiten von F.T. Smith (1979a, 1985) scheint jedoch die Grenzlösung nicht so einfach auszusehen.

5.2

Stationäre axialsymmetrische Strömungen 5.2.1 Kreisrohr-Strömung (Hagen-Poiseuille-Strömung) Der ebenen Kanalströmung entspricht bei axialsymmetrischen Strömungen die ausgebildete Strömung durch ein gerades Rohr mit kreisförmigem Querschnitt (Radius R = d/2). Die Rohrachse falle mit der x-Achse zusammen, r sei die radiale Koordinate. Die Geschwindigkeitskomponenten in radialer Richtung und in Umfangsrichtung sind null, die Geschwindigkeitskomponente in axialer Richtung werde mit u bezeichnet, sie ist nur von r abhängig. Der Druck ist in jedem Querschnitt konstant. Damit bleibt von den Navier-Stokes-Gleichungen in Zylinderkoordinaten, Gl. (3.93), lediglich die Gleichung für die x-Richtung übrig. Diese reduziert sich auf
2  d u 1 du dp µ (5.57) + = r dr dx dr 2 mit der Randbedingung (Haftbedingung) u = 0 für r = R. Die Lösung von Gl. (5.57) ergibt die parabelförmige Geschwindigkeitsverteilung
 r2 u(r) = umax 1 − 2 (5.58) R und umax = 2um =


 R2 dp − . 4µ dx

(5.59)

Der Zusammenhang zwischen Druckgefälle und mittlerer Geschwindigkeit um = Q/πR 2 wird durch die dimensionslose Rohrreibungszahl λ ausgedrückt, die durch folgende Beziehung definiert ist:

118

5 Exakte Lösungen der Navier-Stokes-Gleichungen −

λ 2 dp = u . dx d2 m

(5.60)

Aus (5.59) folgt damit λ=

64 Re

(5.61)

mit

um d . (5.62) ν Diese Beziehung ist in ausgezeichneter Übereinstimmung mit Messungen, solange die Reynolds-Zahl unterhalb der kritischen Reynolds-Zahl Rekrit = 2300 liegt. Oberhalb dieses Wertes wird die Rohrströmung turbulent, vgl. Kap. 17.2.3. Eine Erweiterung der einfachen Rohrströmung auf die Strömung in einem schwach divergenten Rohr ist von H. Blasius (1910) angegeben worden. Dabei ergab sich, daß die laminare Strömung nur einen ganz geringen Druckanstieg verträgt, ohne daß Ablösung eintritt. Als Bedingung zur Vermeidung der Rückströmung an der Wand (Ablösungsbedingung) ergibt sich dR/dx ≤ 12/ Re. Eine exakte Lösung der Navier-Stokes-Gleichungen läßt sich auch für das Rohr von konzentrischem kreisförmigen Querschnitt (sog. Ringspalt) angeben, siehe W. Müller (1936). Die Berechnung ausgebildeter Rohrströmungen mit beliebigen Querschnittsformen führt auf die Lösung der Poissonschen Differentialgleichung. Lösungen für unterschiedliche Querschnitte findet man bei R.K. Shah; A.L. London (1978). Re =

5.2.2 Strömung zwischen zwei konzentrischen rotierenden Zylindern Die Strömungen zwischen zwei konzentrischen rotierenden Zylindern, die mit verschiedener, aber konstanter Drehzahl umlaufen, führen ebenfalls auf einfache exakte Lösungen der Navier-Stokes-Gleichungen, vgl. H. Schlichting (1982, S. 88). Da diese Lösungen für kleine Viskositäten keinen Grenzschichtcharakter annehmen, sollen sie nicht weiter betrachtet werden. Lediglich auf zwei Sonderfälle sei hingewiesen. Wenn einer der beiden Zylinder stillsteht, reduziert sich die Lösung im Grenzfall (R2 − R1 )/R1 → 0 auf die schon weiter oben besprochene Couette-Strömung. Im zweiten Grenzfall rotiert der innere Zylinder, während der Radius des äußeren stillstehenden Zylinders gegen unendlich strebt. Es handelt sich um die Strömung am rotierenden Einzelzylinder in ruhender Umgebung. Hierzu gehört die Lösung des Potentialwirbels mit dem Geschwindigkeitsprofil  . (5.63) 2π r Wegen der bewegten Wand ist dieses eines der Beispiele, bei denen eine Potentialströmung auch die Haftbedingung erfüllt. Wie in Kap. 4.4 beschrieben, sind ebene Potentialströmungen auch Lösungen der Navier-Stokes-Gleichungen. Daher läßt sich aus dem Geschwindigkeitsprofil der Potentialströmung nach Gl. (5.63) die Wandschubspannung und damit das auf das Fluid übertragene Drehmoment M ermitteln. Es gilt für einen Zylinder mit der Höhe H , dem Radius R und der Winkelgeschwindigkeit ω u(r) =

M = 4π µH R 2 ω .

(5.64)

5.2.3 Axialsymmetrische Staupunktströmung In ähnlicher Weise wie bei der ebenen Staupunktströmung läßt sich auch für die axialsymmetrische Staupunktströmung eine exakte Lösung der Navier- StokesGleichungen angeben. Ein Fluidstrom trifft senkrecht auf eine Wand und strömt

5.2 Stationäre axialsymmetrische Strömungen

119

längs dieser Wand nach allen Seiten radial ab. Diese Strömung findet man auch wieder in der nächsten Umgebung des Staupunktes von axial angeströmten Rotationskörpern. Wir verwenden die Zylinderkoordinaten r, ϕ, z, jedoch für die Geschwindigkeitskomponenten abweichend von Kap. 3.13 U , V , W (reibungslos) bzw. u, v, w (reibungsbehaftet). Wie man sich leicht überzeugen kann, erfüllt die reibungslose Strömung U = ar ;

V = 0;

W = −2az ;

(5.1)

 2  (U + W 2 ) = P + a 2 (r 2 + 4z2 ) (5.2) 2 2 die Navier-Stokes-Gleichungen, nicht jedoch die Haftbedingungen an der Wand (z = 0). Um auch diese zu erfüllen, muß der Einfluß der Viskosität berücksichtigt werden. Dazu dient der Ansatz √ (5.65) u = Uf  (η) = arf  (η); w = −2 aνf (η) ,    4ν (5.66) P0 = p + a 2 r 2 + F (η) 2 a P0 = P +



mit η=

a z. ν

(5.67)

Für die Funktion f (η) erhält man f  + 2ff  + 1 − f 2 = 0

(5.68)

mit den Randbedingungen η=0:

f = 0, f  = 0;

η→∞:

f = 1.

(5.69)

Bis auf den Faktor 2 im zweiten Glied ist diese Differentialgleichung mit Gl. (5.37) identisch. Für F (η) erhält man F (η) = f 2 + f  . Die Gleichung (5.68) wurde zuerst von F. Homann (1936) gelöst, später auch von N. Frössling (1940). Der Verlauf von u/U = f  (η) ist in Bild 5.6 mit angegeben. Tabelle 5.1 enthält einige wichtige Zahlenwerte. Auch für diese Lösung gilt der Barker-Effekt, jedoch mit −2aµ auf der rechten Seite von Gl. (5.46). Analog zu Gl. (5.47) ergibt sich für die Grenzschichtdicke  ν . (5.70) δ = 2,8 a Durch die Transformation 1 1 η= √ η (5.71) f (η) = √ ϕ(η) 2 2 erhält man statt Gl. (5.68) und (5.69) die Differentialgleichung ... 1 ϕ + ϕ ϕ¨ + (1 − ϕ˙ 2 ) = 0 (5.72) 2

120

5 Exakte Lösungen der Navier-Stokes-Gleichungen

mit den Randbedingungen η=0:

ϕ = 0, ϕ˙ = 0;

η→∞:

ϕ˙ = 1 .

(5.73)

Diese Gleichung wurde in der Literatur häufig gelöst, vgl. Kap. 7.2, für den Fall mit Absaugen oder Ausblasen, d.h. mit der Randbedingung ϕ(0) = ϕw , z.B. von K. Gersten; H. Körner (1968) und von W.E. Stewart; R. Prober (1962). Über die Grenzfälle starken Absaugens und massiven Ausblasens findet man Angaben bei K. Gersten (1973b). In den genannten Arbeiten wurden auch die Lösungen der dazugehörigen Energiegleichung behandelt. Bezüglich der Erweiterung auf den dreidimensionalen Staupunkt sei auf die Arbeit von K. Gersten (1973a) verwiesen. Die Strömung am Rotationsparaboloid wurde von R.T. Davies; M.J. Werle (1972) berechnet. 5.2.4 Strömung an einer rotierenden Scheibe Ein weiteres Beispiel einer exakten Lösung der Navier-Stokes-Gleichungen ist die Strömung in der Nähe einer ebenen Scheibe, die mit konstanter Winkelgeschwindigkeit ω um eine Achse senkrecht zu ihrer Ebene in einem sonst ruhenden Fluid rotiert. Durch die Haftbedingung und die Reibung wird die Fluidschicht in unmittelbarer Nähe der Scheibe mitgenommen und durch die Zentrifugalkräfte nach außen getrieben. Dafür werden wieder neue Fluidteilchen in axialer Richtung an die Scheibe herangeführt und dann auch wieder nach außen abgeschleudert. Es handelt sich hier also um eine dreidimensionale Strömung, welche die Wirkung einer Pumpe besitzt. Eine perspektivische Darstellung der Strömung ist in Bild 5.8 gegeben. Es sind in allen drei Richtungen Geschwindigkeitskomponenten vorhanden, die abweichend von Kap. 3.13 mit u, v, w (mit den Zylinderkoordinaten r, ϕ, z) bezeichnet werden sollen. Zunächst möge die Dicke δ der „mitgerissenen“ Schicht abgeschätzt werden. Für diese Dicke muß eine Beziehung δ = f (ν,ω) bestehen. Nach dem -Theorem der Dimensionsanalysis folgt daraus  ν δ∼ . ω

(5.74)

Die Dicke der durch Reibung in Rotation versetzten Schicht ist also um so geringer, je kleiner die kinematische Viskosität ν ist. Für die Lösung der Navier-Stokes-Gleichungen ist es nun zweckmäßig, den Wan√ dabstand z auf die Größe ν/ω zu beziehen, d.h. als dimensionslosen Wandabstand  ω ζ = z (5.75) ν

5.2 Stationäre axialsymmetrische Strömungen

121

Bild 5.8. Strömung in der

Umgebung einer in ruhendem Fluid rotierenden Scheibe, Geschwindigkeitskomponenten: u-radial; v-azimutal; w-axial.

einzuführen. Mit den Ansätzen u = rωF (ζ );

v = rωG(ζ );

w=

√ ωνH (ζ ) ;

p = p0 + νωP (ζ )

(5.76)

erhält man aus der Kontinuitätsgleichung und den Navier-Stokes-Gleichungen in Zylinder-Koordinaten nach Kap. 3.13 das folgende System von gewöhnlichen Differentialgleichungen: 2F + H  = 0 F 2 + F  H − G2 − F  = 0 2F G + H G − G = 0 P  + H H  − H  = 0

(5.77)

mit den Randbedingungen ζ =0:

F = 0, G = 1, H = 0, P = 0

ζ →∞:

F = 0, G = 0 .

(5.78)

Die Lösung dieses Systems ist zuerst von Th. v. Kármán (1921) näherungsweise erfolgt; später wurden von W.G. Cochran (1934) genauere Werte ermittelt. Diese sind in Bild 5.9 dargestellt, vgl. auch Tabelle 5.2. Es ist hier wieder so wie schon bei der Staupunktströmung, daß zunächst das Geschwindigkeitsfeld aus der Kontinuitätsgleichung und den Bewegungsgleichungen parallel zur Wand ermittelt werden kann und nachträglich die Druckverteilung

122

5 Exakte Lösungen der Navier-Stokes-Gleichungen

Tabelle 5.2. Funktionswerte an der Wand und in großem Abstand von der Wand zur Beschrei-

bung der Strömung an einer in ruhendem Fluid rotierenden Scheibe, nach M.H. Rogers; G.N. Lance (1960) √ ζ = z ω/ν

F

−G 

−H

P

0

0,51023

0,61592

0

0

∞

0

0

0,88446

0,39113

Bild 5.9. Geschwindigkeitsver-

teilungen an einer in ruhendem Fluid rotierenden Scheibe, vgl. Tabelle 5.2

senkrecht zur Wand. Für den Druck gilt 1 P (ζ ) = H  − H 2 . 2

(5.79)

Aus der Lösung geht hervor, daß bei ζ = 5,5 die Umfangsgeschwindigkeit auf 1 % der Scheibengeschwindigkeit abgeklungen ist. Damit gilt für die Schichtdicke  ν . (5.80) δ = 5,5 ω Die Neigung der Stromlinien an der Wand gegen die Umfangsrichtung ist
 ∂u/∂z F  (0) tan ϕ0 = − = 0,828 (ϕ0 = 39,6 ◦ ) . =−  ∂v/∂z w G (0)

(5.81)

Obwohl die Rechnung sich auf eine unendlich ausgedehnte Scheibe bezieht, werden jetzt die Ergebnisse auf eine Kreisscheibe mit endlichem Radius R angewendet. Dieses ist sicherlich zulässig, wenn der Radius R groß ist im Vergleich zur Dicke δ der mitgerissenen Schicht, so daß sich die Randeffekte auf eine zur gesamten Kreisfläche kleine Ringfläche konzentrieren. Es soll das Drehmoment einer solchen Scheibe ermittelt werden. Der Beitrag eines Ringstreifens der Breite dr mit dem Radius r ist dM = −2π rdr rτzϕ . Dabei

5.2 Stationäre axialsymmetrische Strömungen

123

bedeutet τzϕ die Umfangskomponente der Wandschubspannung, vgl. Gl. (3.95). Dies ist nach Gl. (5.76)
 √ ∂v τzϕ = µ = rω νωG (0) . (5.82) ∂z w Für das Drehmoment der einseitig benetzten Scheibe folgt daraus R M = −2π

 π r 2 τzϕ dr = − R 4 νω3 G (0) . 2

(5.83)

0

Es ist üblich, für das Drehmoment von beidseitig benetzten Scheiben den folgenden dimensionslosen Beiwert einzuführen: cM =

2M . ω2 R 5 /2

(5.84)

R2 ω ν

(5.85)

Mit der Reynolds-Zahl Re =

und dem Zahlenwert G (0) = −0,6159 nach Tabelle 5.2 erhält man 3,87 cM = √ Re

.

(5.86)

Diese Formel für den Drehmomentenbeiwert ist in Bild 5.10 als Kurve (1) eingetragen und mit Meßergebnissen von Th. Theodorsen; A. Regier (1944), G. Kempf (1924), W. Schmidt (1921) sowie D. Riabouchinsky (1935, 1951) verglichen. Bis zu ReynoldsZahlen von etwa Re = 3 × 105 ist die Übereinstimmung der Messungen mit der Theorie nach Gl. (5.86) sehr gut. Bei größeren Reynolds-Zahlen tritt Turbulenz ein. Die turbulente Strömung an der rotierenden Scheibe wird in Kap. 20.1.3 behandelt; sie liefert das als Kurve (2) in Bild 5.10 eingetragene Gesetz. Der axial angesaugte und durch Zentrifugalwirkung radial nach außen beförderte Volumenstrom beträgt für eine Seite der Scheibe vom Radius R ∞ Q = 2π R

√ √ u dz = −H (∞)π R 2 νω = 0,885π R 3 ω/ Re .

(5.87)

0

Bemerkenswert ist ferner, daß der Druckunterschied über die Schichtdicke proportional zu νω, d.h. bei kleiner Viskosität sehr klein ist. Der Druck hängt nur vom Wandabstand ab, ist also vom Radius R unabhängig. Wie bereits erwähnt, wirkt die rotierende Scheibe wie eine Pumpe. Das Fluid erfährt in dieser Strömung eine Zunahme des Gesamtdruckes. Für die Zunahme der

124

5 Exakte Lösungen der Navier-Stokes-Gleichungen

Bild 5.10. Drehmomentenbeiwerte einer beidseitig benetzten rotierenden Scheibe.

(1) laminar, nach Gl. (5.86) (2) turbulent, nach Gl. (20.18)

mechanischen Energie in der Strömung ergibt sich ∞  PM =

  2 2 2 p + (u + v + w ) 2π Ru dz 2

0

  ∞  ∞ ν 4 2 2 = π R ω (F + G )F dζ − F 2 dζ . ω Re 4

0

Mit dem Zahlenwert

(5.88)

0

∞ (F 2 + G2 )F dζ = 0,088 0

ergibt sich für Re → ∞

 PM = 0,088π R 4 νω5 = 0,29|M|ω .

(5.89)

Die rotierende Scheibe hat demnach bei hohen Reynolds-Zahlen einen PumpenWirkungsgrad von 29 %. Die Erweiterung auf den Fall homogener Absaugung an der Scheibe stammt von J.T. Stuart (1954) und E.M. Sparrow; J.L. Gregg (1960b). Letztere Arbeit enthält auch den Fall homogenenAusblasens. Der Grenzfall massivenAusblasens wurde von H.K. Kuiken (1971) behandelt. Die Lösungen der dazugehörigen Energiegleichung sind in der Arbeit von E.M. Sparrow; J.L. Gregg (1960b) und im Fall massiven Ausblasens von K. Gersten; W.P. Cosart (1980) behandelt worden.

5.2 Stationäre axialsymmetrische Strömungen

125

Eine Verallgemeinerung des vorliegenden Problems auf den Fall, daß sich das Fluid im Unendlichen mit der Winkelgeschwindigkeit  = sω dreht, wurde von M.G. Rogers; G.N. Lance (1960) behandelt. Dabei stellt sich heraus, daß bei gegensinniger Drehung für s < −0,2 nur bei Anwendung einer homogenen Absaugung physikalisch sinnvolle Lösungen existieren. Eine weitere Verallgemeinerung ist die von G.K. Batchelor (1951) untersuchte Strömung zwischen zwei gegenläufig rotierenden Scheiben; man vergleiche hierzu auch K. Stewartson (1953) und G.L. Mellor et al. (1968). Eine zusammenfassende Darstellung stammt von P.J. Zandbergen; D. Dijkstra (1987). 5.2.5 Axialsymmetrischer Freistrahl Eine interessante ähnliche Lösung der Navier-Stokes-Gleichungen in sphärischen Polarkoordinaten (Kugelkoordinaten) stammt von L. Landau (1944) und H.B. Squire (1951). Es handelt sich um die Strömung des axialsymmetrischen Freistrahles. Wegen der Einzelheiten der Rechnung sei auf die Originalarbeiten oder auf die Darstellungen von G.K. Batchelor (1974) und F.S. Sherman (1990) verwiesen. Ein typisches Beispiel für das Stromlinienfeld ist in Bild 5.11 wiedergegeben. Der Rand des Freistrahls kann als derjenige Ort definiert werden, an dem die Stromlinien minimalen Abstand zur Achse haben. Wie aus dem Bild hervorgeht, ist der Freistrahlrand ein Kegel mit dem halben Öffnungswinkel 0 . Aus einer Integration des Impulsflusses auf einer Kugelfläche um den Ursprung erhält man den Impuls des Freistrahls. Hier soll nur die Lösung für kleine Werte ν angegeben werden. Dafür beträgt der Freistrahl-Impulsfluß 64π ν 2 I˙ = (ν → 0) . (5.90) 3 20 Bei vorgegebenem Impulsfluß I˙ wird danach also der halbe Öffnungswinkel 0 ∼ ν mit abnehmender kinematischer Viskosität kleiner. Bei kleinen Werten ν konzentriert sich die Strömung des eigentlichen Strahles also auf einen kleinen Bereich

Bild 5.11. Stromlinien der axialsymmetrischen Freistrahl-Strömung nach G.K. Batchelor (1967),

0 = 24,6◦

126

5 Exakte Lösungen der Navier-Stokes-Gleichungen

in Achsennähe. Man kann daher für diese Grenze ν → 0 auch von einer Grenzschichtströmung sprechen. Im Grenzfall ν = 0 würde der Impulsfluß I˙ mit unendlich großer Geschwindigkeit, aber mit verschwindendem Volumenstrom Q erzeugt, so daß das Produkt aus Geschwindigkeit und Volumenstrom den gewünschten endlichen Impuls liefert. Diese singuläre Geschwindigkeitsverteilung in Form einer Dirac-Funktion wird durch den Viskositäts-Einfluß zu einer Verteilung endlicher Strahlbreite „verschmiert“. Dabei ist der Radius der eigentlichen Strahlströmung proportional zu ν. Diese Grenzschichtlösung ist in Kap. 12.1.5 ausführlich behandelt. Dabei wird sich herausstellen, daß der Volumenstrom Q des Freistrahls in axialer Richtung linear mit dem Abstand vom Ursprung zunimmt. Am Freistrahlrand wird durch die Wirkung der Viskosität laufend Fluid aus der praktisch ruhenden Umgebung mitgerissen, so daß durch diesen „Mitschleppeffekt“ oder „Einmischeffekt“ (engl.: entrainment) der Strahl sich laufend verbreitert. Das seitliche Ansaugen von Fluid aus der Umgebung ist aus dem Bild 5.11 deutlich erkennbar. Wenn der axialsymmetrische Strahl aus einer Wand austritt entsprechend dem Bild 7.7, dann existiert keine ähnliche Lösung der Navier-Stokes-Gleichungen, die auch die Haftbedingung an der Wand erfüllt, wie K. Potsch (1981) gezeigt hat, vgl. auch W. Schneider (1981). Eine Erweiterung auf Radialstrahlen, bei denen die Ausflußöffnung ein ringförmiger Schlitz ist, wurde von H.B. Squire (1955) beschrieben.

5.3

Instationäre ebene Strömungen Häufig liegen exakte Lösungen der instationären Navier-Stokes-Gleichungen vor, wenn exakte Lösungen für die entsprechenden stationären Strömungen existieren. Der aus der Ruhe erfolgende Anfahrvorgang („Anlaufströmung“) oder das zeitliche Abklingen beim „Abschalten“ der Strömung („Auslaufströmung“) sind Beispiele derartiger instationärer Strömungen. Auch durch periodische Randbedingungen (oszillierende Wand, periodische Bedingungen für Geschwindigkeit oder Druck) ergeben sich instationäre Strömungen. Die im folgenden betrachteten Strömungen zeichnen sich dadurch aus, daß die instationären Anteile des Geschwindigkeitsfeldes von der Koordinate x parallel zur Wand unabhängig sind. Dadurch entstehen so erhebliche Vereinfachungen der Navier-Stokes-Gleichungen, daß in den angeführten Fällen exakte Lösungen angegeben werden können. Wegen ∂u/∂x = 0 und ∂v/∂x = 0 folgt aus der Kontinuitätsgleichung v(t) = vw (t). Entweder liegt ein Fall mit Absaugen (vw < 0) oder Ausblasen (vw > 0) vor, oder die v-Komponente der Geschwindigkeit verschwindet. Wegen der Unabhängigkeit von der x-Koordinate reduzieren sich die Navier-Stokes-Gleichungen damit auf die beiden folgenden linearen Differentialgleichungen
 ∂u ∂ 2u ∂u ∂p  + vw +µ 2 , (5.91) =− ∂t ∂y ∂x ∂y

5.3 Instationäre ebene Strömungen



∂p ∂vw =− . ∂t ∂y

127

(5.92)

Der Druck ist also nur dann von y abhängig, wenn zeitabhängiges Absau- gen oder Ausblasen vorliegt. 5.3.1 Strömung an einer plötzlich in Gang gesetzten ebenen Wand (Erstes Stokessches Problem) Hierbei handelt es sich um eine Anlaufströmung, d.h. um eine Bewegung aus der Ruhe heraus. Es wird die Strömung in der Nähe einer Wand betrachtet, die sich aus der Ruhe heraus plötzlich mit der konstanten Geschwindigkeit U0 in ihrer eigenen Ebene bewegt. Dieses Problem wurde bereits von G.G. Stokes (1856) in seiner berühmten Abhandlung über Pendel gelöst. Da später auch Lord Rayleigh (1911) diese Strömung behandelt hat, wird sie in der Literatur häufig auch als RayleighProblem bezeichnet. Die Wand falle mit der x-Achse zusammen. Da der Druck überall konstant ist, reduziert sich Gl. (5.91) auf ∂u ∂ 2u =ν 2 ∂t ∂y

(5.93)

mit den Randbedingungen t ≤0:

y≥0:

t >0: y=0:

u=0 u = U0

(5.94)

y → ∞ : u = 0. Wie man der Energiegleichung (3.72) entnehmen kann, ist Gl. (5.93) mit der Wärmeleitungsgleichung für eindimensionale instationäre Temperaturfelder T (y,t) identisch. Daher findet man in der einschlägigen Literatur zur Wärmeleitung zahlreiche Lösungen dieser Differentialgleichung, z.B. U. Grigull; H. Sandner (1986) und H.S. Carlslaw; J.C. Jaeger (1959). Die gesuchte Lösung von Gl. (5.93) hat die allgemeine Form u/U0 = f (y,t,ν). √ Nach dem -Theorem der Dimensionsanalysis folgt daraus u/U0 = F (y/ νt ). Tatsächlich läßt sich durch Einführen der dimensionslosen Ähnlichkeitsvariablen y η= √ (5.95) 2 νt für die Funktion u/U0 = f (η) aus Gl. (5.93) die gewöhnliche Differentialgleichung f  + 2ηf  = 0

(5.96)

mit den Randbedingungen f (0) = 1 und f (∞) = 0 herleiten. Die Lösung ist u = erfc η = 1 − erf η , U0

(5.97)

128

5 Exakte Lösungen der Navier-Stokes-Gleichungen

Bild 5.12. Geschwindigkeitsverteilung

in der Nähe einer plötzlich in Bewegung gesetzten Wand (Erstes Stokessches Problem)

wobei 2 erf η = √ π

η

e−η dη 2

(5.98)

0

als Gaußsche Fehlerfunktion (engl.: error function) und erfc η als komplimentäre Gaußsche√Fehlerfunktion (engl.: complimentary error function) oder, bis auf den Faktor 2/ π , als Krampsche Transzendente bezeichnet werden. Die Geschwindigkeitsverteilung ist in Bild 5.12 dargestellt. Die Geschwindigkeitsprofile für verschiedene Zeiten sind zueinander „ähnlich“, d.h. sie können durch Änderung des Maßstabes in der y-Richtung zur Deckung gebracht werden. Die komplimentäre Fehlerfunktion hat etwa bei η99 = 1,8 den Wert 0,01. Unter Berücksichtigung der Definition von δ ist also die Dicke der durch die Reibung mitgenommenen Schicht √ √ δ = 2η99 νt = 3,6 νt . (5.99) Sie ist also proportional der Wurzel aus der kinematischen Viskosität und der Wurzel aus der Zeit. Für große Zeiten strebt δ gegen unendlich, d.h. das gesamte Feld über der Platte nimmt endgültig die Geschwindigkeit der Platte an. Die Wandschubspannung ergibt sich aus (5.97) zu 
 ∂u ν . (5.100) = −U0 τw = µ ∂y w πt √ Sie ist im ersten Augenblick (t = 0) unendlich √ und nimmt proportional zu 1/ t auf null ab. Außerdem ist sie proportional zu ν.

5.3 Instationäre ebene Strömungen

129

Diese Lösung läßt sich einfach auf Fälle erweitern, bei denen die Wandgeschwindigkeit eine beliebige Funktion der Zeit U (t) ist. Da die Differentialgleichung (5.93) linear ist, können aus Lösungen dieser Gleichung durch Superposition neue Lösungen erzeugt werden. Faßt man die gegebene Funktion U (t) als Treppenfunktion mit kleinen Stufen dU auf, setzt sich die Gesamtlösung aus elementaren Lösungen für die eben behandelte Sprungfunktion mit dem Geschwindigkeitssprung dU wie folgt zusammen
 t y u(y,t) = dU erfc √ . (5.101) 2 ν(t − τ ) −∞

Durch die Zeitdifferenz t − τ im Argument der komplimentären Fehlerfunktion wird sichergestellt, daß die Geschwindigkeitsverteilung zur Zeit t nur von den Geschwindigkeiten U (t) abhängt, die zeitlich früher liegen. Durch partielle Integration von Gl. (5.101) folgt die als Duhamelsches Faltungsintegral bekannte allgemeine Lösung t y2 y U (τ ) − 4ν(t−τ ) dτ . u(y,t) = √ e (5.102) (t − τ )3/2 2 πν −∞

Da die partiellenAbleitungen von u sowohl nach y als auch nach t Funktionen sind, die auch Lösungen von Gl. (5.93) sind, lassen sich sofort auch Lösungen angeben, wenn beispielsweise für die Wandschubspannung eine Sprungfunktion oder eine beliebige Funktion der Zeit vorgegeben ist. Eine Erweiterung der betrachteten Strömungen unter Berücksichtigung der Kompressibilität erfolgte von E. Becker (1960). Eine gewisse Verwandschaft zum ersten Stokesschen Problem besteht bei der natürlichen Konvektionsströmung an der vertikalen ebenen Wand, deren Temperatur sich schlagartig ändert, vgl. C.R. Illingworth (1950). 5.3.2 Strömung an einer oszillierenden Wand (Zweites Stokessches Problem) Eine unendlich ausgedehnte ebene Wand möge in ihrer Ebene geradlinige harmonische Schwingungen ausführen. Dieses Problem wurde zuerst von G.G. Stokes (1856) und später von Lord Rayleigh (1911) behandelt. Wegen der Haftbedingung gilt für die Strömungsgeschwindigkeit an der Wand y=0:

u(0,t) = U0 cos nt .

(5.103)

Für diese Randbedingung lautet die Lösung von Gl. (5.93) u(y,t) = U0 e−ηs cos(nt − ηs ) mit

(5.104)

130

5 Exakte Lösungen der Navier-Stokes-Gleichungen

Bild 5.13. Geschwindigkeitsver-

teilung in der Nähe einer oszillierenden Wand (Zweites Stokessches Problem) - - - - - Einhüllende u/U0 = exp(−ηs )

 ηs =

n y. 2ν

(5.105)

Die Geschwindigkeitsverteilung ist also eine Schwingung mit nach außen abnehmender Amplitude U0 exp(−ηs ), wobei die Schicht im Wandabstand y eine Phasennach√ eilung y n/2ν gegenüber der Wandbewegung hat. In Bild 5.13 ist die Geschwindigkeitsverteilung für verschiedene Zeiten dargestellt. Zwei Schichten mit dem Abstand √ 2π 2ν/n schwingen in der gleichen Phase. Diesen Abstand kann man als eine Art Wellenlänge √ der Schwingung ansehen. Die mitschwingende Schicht hat die Dicke δs = 4,6 2ν/n (die Einhüllende u/U0 = exp(−ηs ) der in Bild 5.13 dargestellten Kurven hat bei ηs99 = 4,6 den Wert 0,01). Die Schicht ist demnach um so dünner, je höher die Frequenz und je kleiner die kinematische Viskosität ist. Die Lösung nach Gl. (5.104) und Bild 5.13 stellt bei der analogen Lösung der thermischen Energiegleichung z.B. die Temperaturverteilungen im Erdinneren dar, welche durch die jahreszeitlichen periodischen Temperaturschwankungen an der Erdoberfläche verursacht werden.

5.3.3 Zeitlicher Anlauf der Couette-Strömung Die in Abschnitt 5.3.1 behandelte zeitliche Ausbildung der Reibungsschicht an einer plötzlich in Gang gesetzten Wand läßt sich auch für den Fall lösen, daß der bewegten Wand im Abstand h eine ruhende Wand gegenübersteht. Es handelt sich dann um die zeitliche Entwicklung der Couette-Strömung, wobei sich für große Zeiten die lineare Geschwindigkeitsverteilung von Bild 1.1 ergibt. Die Lösung von Gl. (5.93) für die entsprechenden Randbedingungen kann als folgende Reihe dargestellt werden:

5.3 Instationäre ebene Strömungen

131

Bild 5.14. Zeitlicher Anlauf der CouetteStrömung

u = f (η,ηh ) = erfc η − erfc(2ηh − η) U0 + erfc(2ηh + η) − erfc(4ηh − η) + erfc(4ηh + η) − + × s mit

y η= √ , 2 νt

h ηh = √ . 2 νt

(5.106)

(5.107)

Sie ist in Bild 5.14 dargestellt. Hier sind nur noch die ersten Profile näherungsweise ähnlich (für etwa t < 0,05h2 /ν), nämlich solange die mitgenommene Schicht noch nicht wesentlich von der gegenüberliegenden festen Wand gebremst wird, d.h. solange die Schichtdicke δ nach Gl. (5.99) kleiner als der Plattenabstand ist. Die späteren Profile (t > 0,05h2 /ν) sind nicht mehr „ähnlich“, sie nähern sich asymptotisch der linearen Verteilung des stationären Zustandes. Eine Reihenentwicklung der Lösung, die bei großen Zeiten gut konvergiert, findet man bei R.L. Panton (1984, S. 277). Exakte Lösungen der instationären Couette-Strömung sind von J. Steinheuer (1965) auch für den Fall berechnet worden, daß die im stationären Zustand ruhende Begrenzungswand plötzlich auf eine beliebige konstante Geschwindigkeit gebracht wird. Als Spezialfall ist in diesen Lösungen auch der Fall des plötzlichen Abstoppens der bewegten Wand, d.h. das Abklingen einer Couette-Strömung (Auslaufströmung), enthalten. 5.3.4 Instationäre asymptotische Absaugung Wenn in großem Abstand von der Wand (y = 0) die Geschwindigkeit u(y → ∞,t) = U (t) von null verschieden ist, kann für Gl. (5.91) auch dU ∂ 2u ∂u ∂u + vw = +ν 2 ∂t ∂y dt ∂y

(5.108)

geschrieben werden. Für eine konstante „Außengeschwindigkeit“ U0 vereinfacht sich die Differentialgleichung, und man erhält die einfache Lösung

132

5 Exakte Lösungen der Navier-Stokes-Gleichungen  vw y  u(y,t) = U0 1 − e ν .

(5.109)

Da die Randbedingung für y → ∞ nur bei negativem vw (d.h. bei Absaugen) erfüllt ist, wird Gl. (5.109) das asymptotische Absaugeprofil genannt. Nach J.T. Stuart (1955) existiert für eine beliebige Außengeschwindigkeit U (t) = U0 [1 + f (t)]

(5.110)

eine exakte Lösung von Gl. (5.108) in der Form:   u(y,t) = U0 1 − e−η + g(η,T )

(5.111)

mit

v2 t vw y und T = w . ν 4ν Dabei muß g(η,T ) die folgende partielle Differentialgleichung erfüllen η=−

(5.112)


 ∂ 2g ∂g ∂g  = f (T ) + 4 + 2 ∂T ∂η ∂η

(5.113)

mit den Randbedingungen: η=0:

g = 0;

η→∞:

g = f (T ) .

Die Lösungen von Gl. (5.113) sind von J. Watson (1958) für einige spezielle Funktionen f (T ) mit Hilfe der Laplace-Transformation ermittelt worden. Im einzelnen wurden folgende Außenströmungen untersucht: ungedämpfte und gedämpfte Schwingungen, sprunghafte Änderungen von einem konstanten Wert auf einen anderen. Die beschleunigte bzw. verzögerte Plattenbewegung in ruhendem Fluid mit homogener Absaugung wurde von J. Zierep; K. Bühler (1993) untersucht.

5.3.5 Instationäre ebene Staupunktströmung Oszillierende Wand. Eine einfache Verallgemeinerung der stationären ebenen

Staupunktströmung nach Abschnitt 5.1.3 ergibt sich, wenn die Wand oszilliert. In diesem Fall setzt sich die Gesamtlösung additiv zusammen aus der schon bekannten stationären Lösung und einem periodischen Anteil. Mit dem Ansatz, vgl. Gl. (5.34) bis (5.36), u(x,y,t) = axf  (η) + U0 [g(η) cos nt + h(η) sin nt] √ v(x,y,t) = − aνf (η)    2ν p(x,y,t) = p0 − a 2 x 2 + F (η) 2 a  a η = y ν

(5.114)

erhält man aus den Navier-Stokes-Gleichungen zusätzlich zu Gl. (5.37) das folgende lineare Gleichungssystem für die Funktionen g(η) und h(η)

5.3 Instationäre ebene Strömungen

133

g  + f g  − f  g − kh = 0 h + f h − f  h + kg = 0

(5.115)

mit den Randbedingungen η=0:

g = 1, h = 0;

η→∞:

g = 0, h = 0

und der dimensionslosen Frequenz k = n/a. Die Wandgeschwindigkeit uw (t) = U0 cos nt ist damit eine harmonische Funktion mit der Frequenz n. Da in den Gleichungen (5.115) die stationäre Lösung f (η) enthalten ist, beeinflußt diese den oszillierenden Strömungsanteil. Umgekehrt ist der stationäre Anteil von der Wandbewegung unabhängig. Die Lösungsfunktionen g(η) und h(η) sind von N. Rott (1955), vgl. auch M.B. Glauert (1956a) und J. Watson (1959), berechnet worden. Sie hängen im allgemeinen noch von k ab. Für die Grenzfälle k → 0 und k → ∞ lassen sich einfache asymptotische Lösungen angeben. Im Grenzfall k → 0 folgt aus Gl. (5.115) g=

f  , fw

h = 0.

(5.116)

Diese Lösung kann als quasistationäre Lösung bezeichnet werden. Wird für die Grenzlösung k → ∞ die neue Koordinate    k n n y ηs = η= η= y= 2 2a 2ν δs

(5.117)

eingeführt, so reduzieren sich die Gleichungen für k → ∞ auf g¨ − 2h = 0 ,

h¨ + 2g = 0 ,

wobei die Punkte Ableitungen nach ηs bedeuten. In diesem Grenzfall wird die instationäre Bewegung von der stationären Grundströmung unabhängig. Dazu gehören die Lösungen (5.118) g = e−ηs cos ηs , h = e−ηs sin ηs und damit das Geschwindigkeitsfeld u(x,y,t) = axf  (η) + U0 e−ηs cos(nt − ηs )

(k → ∞) .

(5.119)

Der instationäre Anteil ist also identisch mit der Lösung für die oszillierende Wand nach Gl. (5.104). Die Strömung hat also in dem Grenzfall hoher Frequenz eine Zwei-SchichtenStruktur. Die Dicke der (stationären) Reibungsschicht ist nach Gl. (5.47) δ = √ 2,4 ν/a, die durch die Wandbewegung beeinflußte Schicht hat dagegen die Dicke

134

5 Exakte Lösungen der Navier-Stokes-Gleichungen

√ δs = 4,6 δ/ k, ist also bei hohen Frequenzen erheblich kleiner als die Reibungsschichtdicke δ. Da es sich bei Gl. (5.104) um eine Lösung nach Stokes handelt, wird diese dünne, wandnahe Schicht auch als Stokessche Schicht bezeichnet. Eine Verallgemeinerung dieser Lösung auf beliebige Bewegungen der Wand wurde von J. Watson (1959) angegeben. Wenn die Wand senkrecht zur Ebene der Staupunktströmung oszilliert, entsteht eine dreidimensionale instationäre Strömung, die von W. Wuest (1952) behandelt worden ist. Oszillierende Außenströmung (von x unabhängige Amplitude). Für die Außengeschwindigkeit (5.120) U (x,t) = ax + U0 cos nt

kann wieder der Ansatz (5.114) gewählt werden. Statt Gl. (5.115) erhält man jetzt die um Glieder für die Druckgradienten erweiterte Gleichungen g  + f g  − f  g − kh + 1 = 0 h + f h − f  h + kg − k = 0

(5.121)

mit den Randbedingungen η=0:

g = 0, h = 0;

η→∞:

g = 1, h = 0 .

Das Gleichungssystem (5.121) ist von K. Gersten (1965) für verschiedene Frequenzparameter k berechnet worden. Wieder lassen sich einfache Grenzlösungen angeben. Die quasistationäre Lösung (k = n/a → 0) lautet g = f ,

h=0

(k → 0) ,

(5.122)

die Stokessche Grenzlösung (k → ∞) g = 1 − e−ηs cos ηs ,

h = −e−ηs sin ηs .

(5.123)

Auch diese Strömung hat die schon erwähnte Zweischichten-Struktur. Mit den Kenntnissen über die periodischen Lösungen lassen sich mit Hilfe der Laplace-Transformation auch Lösungen für Außengeschwindigkeiten der Form U (x,t) = ax + U (t) mit einer beliebigen Funktion U (t) ermitteln, vgl. dazu K. Gersten (1967). Oszillierende Außenströmung (Amplitude proportional zu x ). Für die Außen-

geschwindigkeit soll jetzt gelten: U (x,t) = U (x) + U1 (x,t) = ax + εax cos nt .

(5.124)

Die reibungslose Außenströmung pulsiert als Ganzes, d.h. es gilt auch V (y,t) = −ay(1 + ε cos nt).

5.3 Instationäre ebene Strömungen

135

Da die Außengeschwindigkeit aus einem stationären und einem instationären Anteil besteht, wird auch für u, v und p eine derartige Aufteilung vorgenommen in der Form u(x,y,t) = u(x,y) + u1 (x,y,t) v(x,y,t) = v(x,y) + v1 (x,y,t)

(5.125)

p(x,y,t) = p(x,y) + p1 (x,y,t) . Dabei bedeutet der Querstrich der zeitliche Mittelwert über eine Periode, also gilt u1 = v 1 = p1 = 0. Im großen Wandabstand liefert die Navier-Stokes-Gleichung für die x- Richtung ∂U ∂U 1 ∂p +U =− . ∂t ∂x  ∂x

(5.126)

Setzt man Gl. (5.124) in diese Gleichung ein und bildet die zeitlichen Mittelwerte, erhält man: 1 ∂p ∂U1 dU + U1 =− . (5.127) U dx ∂x  ∂x Zieht man diese Gleichung von Gl. (5.126) ab, ergibt sich ∂U 1 ∂p1 dU ∂U1 ∂U1 ∂U1 +U + U1 + U1 − U1 =− ∂t ∂x dx ∂x ∂x  ∂x

(5.128)

als Bestimmungsgleichung für den Druckgradienten ∂p1 /∂x. Auf ähnlichem Wege erhält man für die mittlere Bewegung im Strömungsfeld ∂u ∂v + = 0, ∂x ∂y u

(5.129)

∂ 2u ∂u ∂u dU +v =U + ν 2 + F (x,y) ∂x ∂y dx ∂y

mit ∂U1 F (x,y) = U1 − ∂x




∂u1 ∂u1 + v1 u1 ∂x ∂y

(5.130)

 .

(5.131)

Die Gleichungen (5.129) und (5.130) für die mittlere Bewegung stimmen bis auf die Funktion F (x,y) in Gl. (5.130) mit der Gleichung für stationäre Strömungen überein. Auf Grund der vorhandenen Schwankungsgeschwindigkeiten ist demnach die gemittelte Strömung verschieden von der Strömung, die man bei Fortfall der Schwankungsbewegung bekommt. Dieser Unterschied tritt durch die Zusatzfunktion F (x,y) deutlich in Erscheinung. Er ist eine Folge der Nichtlinearität der Differentialgleichung. Die Zusatzfunktion kann physikalisch als eine zusätzliche eingeprägte Kraft gedeutet werden, ähnlich wie die Reibungskraft einer stationären Strömung. Man spricht daher auch von einer „Scheinreibungskraft“, vgl. dazu auch Kap. 16.2. Zur Bestimmung von F (x,y) müssen die Funktionen u1 (x,y,t) und v1 (x,y,t) ermittelt werden. Diese sind Lösungen des folgenden Gleichungssystems:

136

5 Exakte Lösungen der Navier-Stokes-Gleichungen

∂v1 ∂u1 + = 0, ∂x ∂y

 ∂u1 ∂u1 ∂u ∂u ∂u1 + u +v + v1 + u1 ∂t ∂x ∂y ∂x ∂y

 ∂u1 ∂u1 ∂u1 ∂u1 + u1 + v1 + v1 − u1 ∂x ∂y ∂x ∂y =

∂ 2 u1 ∂U1 ∂U1 ∂U ∂U1 ∂U1 +U + U1 + U1 − U1 +ν 2 . ∂t ∂x ∂x ∂x ∂x ∂y

(5.132)

(5.133)

Wie zu erwarten ist, vereinfacht sich dieses Gleichungssystem ganz erheblich für den Grenzfall hoher Frequenzen n → ∞, wie auch von C.C. Lin (1957) gezeigt wurde. Werden die beiden neuen Koordinaten  n y (5.134) T = nt, ηs = 2ν eingeführt und wird dann der Grenzwert n → ∞ gebildet, reduziert sich (5.133) auf ∂U1 1 ∂ 2 u1 ∂u1 = + . ∂T ∂T 2 ∂ηs2

(5.135)

Von der umfangreichen Gleichung (5.133) sind also nur drei Glieder übriggeblieben, nämlich die lokalen Beschleunigungen und das Reibungsglied. Damit wurde, wie schon bei den früheren Beispielen für Strömungen mit hohen Frequenzen, die Schwankungsbewegung von der mittleren Bewegung unabhängig. Außerdem ist Gl. (5.135) im Gegensatz zu Gl. (5.133) linear. Für eine Außenströmung der Form U (x,t) = U (x) + U (x) cos nt

(5.136)

u1 (x,y,t) = U (x)[cos T − e−ηs cos(T − ηs )] .

(5.137)

erhält man aus Gl. (5.135)

Charakteristisch hierbei ist die vom Wandabstand y bzw. ηs abhängige Phasenverschiebung der Schwankungsgeschwindigkeit u1 (x,y,t) gegenüber der Außenströmung. Aus der Kontinuitätsgleichung (5.132) erhält man die Komponente v1 (x,y,t), die ebenfalls diese typische Phasenverschiebung aufweist. Mit Hilfe von u1 (x,y,t) und v1 (x,y,t) kann nun die Zusatzfunktion F (x,y) nach Gl. (5.131) berechnet werden. Man erhält 1 dU F (x,y) = U F (ηs ) , (5.138) 2 dx wobei F (ηs ) = e−ηs [(2 + ηs ) cos ηs − (1 − ηs ) sin ηs − e−2ηs ]

(5.139)

5.3 Instationäre ebene Strömungen

137

Bild 5.15. Funktion F (ηs ) nach Gl. (5.139) für eine einfache harmonische Schwingung der Außenströmung

eine von der Außengeschwindigkeit U (x) unabhängige universelle Funktion ist. Sie ist in Bild 5.15 dargestellt. Sie nimmt an der Wand ihren größten Wert an. Nach Gl. (5.138) verschwindet für konstantes U die Funktion F (x,y), also der Einfluß der Schwankungsbewegung auf die mittlere Bewegung, wie das vorige Beispiel auch zeigte. Für eine Außenströmung der allgemeinen Form  U (x,t) = U (x) + Uj (x) cos(j nt) (5.140) j =1

erhält man F (x,y) =

1  dUj Uj F (ηsj ) 2 dx

(5.141)

j =1

mit

 ηsj =

jn y. 2ν

(5.142)

Aus Gl. (5.130) folgt für die Staupunktströmung mit u = ax f  (η,k,ε) die Differentialgleichung 1 f  + ff  + 1 − f 2 + ε2 F (ηs ) = 0 2 √ mit ηs = k/2 η und den Randbedingungen Gl. (5.38). Von K. Gersten (1965) wurde diese Gleichung für kleine Werte ε 2 gelöst. Von der Reihenentwicklung der Lösungsfunktion f = f0 + ε2 f1 + · · · wurden die ersten beiden Glieder ermittelt. Auch das entsprechende Temperaturfeld wurde berechnet. Es stellt sich heraus, daß durch die Oszillationen der Außenströmung die gemittelte Wandschubspannung zunimmt, der Wärmeübergang jedoch abnimmt(!).

138

5 Exakte Lösungen der Navier-Stokes-Gleichungen

Auch die oszillierenden Geschwindigkeits- und Temperaturfelder wurden ausführlich untersucht. Die Schwankungen der Wandschubspannung und der Wandwärmestromdichte zeigen im allgemeinen eine Phasenverschiebung gegenüber der Schwankung der Außengeschwindigkeit. Bei sehr hohen Frequenzen eilt die Wandschubspannung um 45◦ vor, während die Wärmestromdichte um 90◦ nacheilt. Besonders bemerkenswert ist, daß der instationäre Anteil proportional zu ε 2 auch Oszillationen mit doppelter Frequenz, d.h. mit 2n, als eine Folge der Nichtlinearität der Navier-Stokes-Gleichungen aufweist. Von K. Gersten (1967) wurde außerdem gezeigt, wie mittels Laplace-Transformation aus der Lösung für die oszillierende Staupunktströmung Lösungen gewonnen werden können für Fälle, bei denen eine stationäre Staupunktströmung durch eine beliebige zeitliche Übergangsfunktion in eine andere, nur wenig verschiedene stationäre Staupunktströmung übergeht (transiente Strömung). 5.3.6 Oszillierende Kanalströmung Ein Beispiel einer instationären Durchströmung ist die Strömung im Kanal, wenn das Fluid durch ein periodisches Druckgefälle in Schwingungen versetzt wird. Dieser Fall kann durch einen hin- und hergehenden Stempel verwirklicht werden. Es wird ein unendlich langer Kanal angenommen, die x-Achse liege in der Kanalmitte. Da der Vorgang von x unabhängig ist, gilt wieder die stark vereinfachte und lineare Gleichung (5.91) mit vw = 0 und der Randbedingung u(y = ±h/2) = 0. Der durch die Stempelbewegung hervorgerufene Druckgradient sei harmonisch −

1 ∂p = K sin nt ,  ∂x

wobei K eine Konstante ist. Wegen der Linearität der zu lösenden Differentialgleichung empfiehlt es sich, eine komplexe Schreibweise zu verwenden, also −

1 ∂p = −iKei nt ,  ∂x

wobei wegen exp(i nt) = cos nt+i sin nt nur dem Realteil eine physikalische Bedeutung zukommt. Setzt man die Geschwindigkeit in der Form u(y,t) = f (y) exp(i nt) an, so erhält man für die Amplitudenverteilung f (y) die Differentialgleichung f  −

K in f =i ν ν

(5.143)

mit der Lösung √   K i nt cosh[y in/ν] u(y,t) = − e 1− . √ n cosh[(h/2) in/ν]

(5.144)

Daraus erhält man recht einfache Ergebnisse für die Grenzfälle sehr kleiner und sehr großer Frequenz.

5.3 Instationäre ebene Strömungen

139

Für kleine Werte n ergibt sich aus Gl. (5.144), wenn man die Reihenentwicklung cosh ϕ = 1 + ϕ 2 /2 + ×s nach dem quadratischen Glied abbricht:
 K h2 2 u(y,t) = − y sin nt 2ν 4

(n → 0) ,

wobei wieder zur reellen Schreibweise übergegangen worden ist. Es handelt sich um den quasistationären Fall, d.h. für langsame Schwingungen hat die Geschwindigkeitsverteilung also gleiche Phase wie der erregende Druckgradient, während die Amplitude parabolisch verteilt ist wie im stationären Fall. Für sehr große Werte n erhält man aus der asymptotischen Formel cosh ϕ → eϕ /2 die Lösung u(y,t) =

K [cos nt − e−ηs cos(nt − ηs )] n

mit

 ηs =

(n → ∞)


n h −y . 2ν 2

(5.145)

(5.146)

Für große Werte n klingt mit wachsendem Wandabstand (h/2 − y) das zweite Glied schnell ab, so daß für größere Wandabstände nur das erste vom Wandabstand unabhängige Glied übrigbleibt. Diese Lösung hat also Grenzschichtcharakter. Im Kernbereich schwingt das Fluid reibungslos mit einer Phasenverschiebung von 90◦ . Wie der Vergleich von Gl. (5.145) und Gl. (5.137) zeigt, handelt es sich um die Stokessche Lösung für eine oszillierende „Außenströmung“. Die Strömung besteht also im Falle hoher Frequenzen aus zwei Schichten: der reibunglosen „Kolbenströmung“ im Kernbereich und der reibungsbehafteten Stokesschen Wandschicht. Aus dieser Lösung folgt für den quadratischen zeitlichen Mittelwert u2 (ηs ) = 1 − 2e−ηs cos ηs + e−2ηs . K 2 /2n2

(5.147)

Bild 5.16. Verteilung des quadratischen zeitlichen Mittelwertes der Geschwindigkeit bei der periodischen Kanalströmung nach Gl. (5.147), u2∞ = K 2 /(2n2 ): zeitlicher Mittelwert der Geschwindigkeit in großem Wandabstand

140

5 Exakte Lösungen der Navier-Stokes-Gleichungen

Diese Verteilung ist in Bild 5.16 dargestellt. Das Maximum liegt nicht in der Kanalmitte (ηs → ∞), sondern innerhalb der Stokesschen Schicht (ηs < 4,6) bei ηs = 2,28. Dieser Effekt wurde bei oszillierenden Rohrströmungen auch experimentell gefunden und wird dort „Annulareffekt“ genannt, vgl. E.G. Richardson; E. Tyler (1929), siehe dazu auch Abschnitt 5.4.2. Dort findet man auch den Hinweis auf die Verwandschaft der hier betrachteten oszillierenden Kanalströmung mit der Kanalanlaufströmung und der Abkling-Strömung bei plötzlichem Abschalten eines Druckgefälles (Kanalauslaufströmung).

5.4

Instationäre axialsymmetrische Strömungen 5.4.1 Zeitlicher Wirbelzerfall Es wurde bereits darauf hingewiesen, daß die Lösung des Potentialwirbels die exakte Lösung der Navier-Stokes-Gleichungen für die Strömung um einen rotierenden Kreiszylinder in ruhender Umgebung darstellt. Der zeitliche Zerfall eines solchen Wirbels infolge der Reibung kann ebenfalls durch eine exakte Lösung beschrieben werden, die von O.W. Oseen (1911) und G. Hamel (1916) angegeben wurde. Wenn der Kreiszylinder zur Zeit t = 0 seine Rotation stoppt, lautet die Verteilung der Umfangsgeschwindigkeit in Abhängigkeit vom Radius r und der Zeit t  r2 0  u(r,t) = (5.148) 1 − e− 4νt . 2π r Diese Geschwindigkeitsverteilung ist in Bild 5.17 dargestellt. Dabei ist 0 die Zirkulation des Wirbels zur Zeit t = 0. Experimentelle Untersuchungen über diesen Vorgang sind von A. Timme (1957) angestellt worden. K. Kirde (1962) untersuchte theoretisch und experimentell den Fall, daß die anfängliche Geschwindigkeitsverteilung des Wirbels von der potentialtheoretischen verschieden ist.

Bild 5.17. Zeitliche Änderung der Geschwin-

digkeitsverteilung in der Umgebung eines Wirbelfadens infolge Viskositätswirkung 0 : Zirkulation des Wirbelfadens zur Zeit t = 0 beim Beginn der Viskositätswirkung, u∞ = 0 /(2π r0 ), r0 ist ein beliebig gewählter Radius

5.4 Instationäre axialsymmetrische Strömungen

141

5.4.2 Instationäre Rohrströmung Analog zu den im vorigen Abschnitt erwähnten instationären Kanalströmungen existieren entsprechende Lösungen auch für das Kreisrohr. Es sei x die Koordinate in Richtung der Rohrachse und r der radiale Abstand von der Rohrmitte. Da ein langes Rohr angenommen wird, ist der Vorgang von x unabhängig. Damit erhält man aus den Navier-Stokes-Gleichungen nach Gl. (3.93) ohne jede Vernachlässigung
2  ∂ u 1 ∂u 1 ∂p ∂u =− +ν + (5.149) ∂t  ∂x ∂r 2 r ∂r mit der Randbedingung u(r = R,t) = 0 (Haftbedingung). Für den harmonisch oszillierenden Druckgradienten −

1 ∂p = K sin nt  ∂x

(5.150)

folgt die Lösung √   J0 (r −in/ν) K i nt 1− u(r,t) = − e . √ n J0 (R −in/ν)

(5.151)

Dabei bedeutet J0 die Bessel-Funktion nullter Ordnung. Für sehr kleine Frequenzen folgt daraus die quasistationäre Lösung u(r,t) =

K 2 (R − r 2 ) sin nt 4ν

(n → 0) .

Für sehr hohe Frequenzen ergibt sich    R −ηs K e cos(nt − ηs ) cos nt − u(r,t) = n r 

mit

(n → ∞)

(5.152)

(5.153)

n (R − r) , (5.154) 2ν also wieder eine Lösung mit einer Zweischichtenstruktur, bestehend aus der reibungslosen Kernströmung und der Stokesschen√Schicht in Wandnähe. In Bild 5.18 ist für eine mittlere Frequenz ( n/νR = 5) das Geschwindigkeitsprofil der oszillierenden Rohrströmung für verschiedene Zeitpunkte einer Schwingungsperiode wiedergegeben. Aus dem Vergleich mit dem darunter angegebenen zeitlichen Verlauf des Druckgradienten erkennt man deutlich die Phasennacheilung der Strömung in der Rohrmitte gegenüber den wandnahen Schichten, vgl. auch M.J. Lighthill (1954). Wie bereits im Abschnitt 5.3.6 erwähnt wurde, konnte der für hohe Frequenzen von der Theorie vorhergesagte Annulareffekt auch experimentell bestätigt werden. Da Gl. (5.149) linear ist, lassen sich die Lösungen von Gl. (5.151) für verschiedene Frequenzen additiv überlagern. ηs =

142

5 Exakte Lösungen der Navier-Stokes-Gleichungen

Bild 5.18. Geschwindigkeitsverteilung einer oszillierenden Rohrströmung für verschiedene Zeitpunkte einer Periode, nach S. Uchida (1956), Druckgradient −∂p/∂x √ = K sin nt, k = R n/ν = 5, c = Kk 2 /(8n) = 3,125K/n

Nahe verwandt mit der oszillierenden Rohrströmung ist die Rohranlaufströmung. Dabei befindet sich das Fluid im unendlich langen Rohr zunächst in Ruhe. Zur Zeit t = 0 wird plötzlich ein zeitlich unveränderliches Druckgefälle dp/dx aufgeschaltet. Unter den Reibungs- und Trägheitskräften bildet sich eine Rohranlaufströmung aus, welche asymptotisch in die Hagen-Poiseuillesche parabolische Geschwindigkeitsverteilung übergeht. Die Lösung dieses Problems ist von F. Szymanski (1932) angegeben worden. Charakteristisch ist, daß zunächst in der Rohrmitte die Geschwindigkeit örtlich nahezu konstant bleibt und die Reibung sich nur in einer dünnen wandnahen Schicht bemerkbar macht. Erst später gelangt die Reibungswirkung bis zur Rohrmitte. Die entsprechende Strömung beim plötzlichen Abschalten eines Druckgefälles („Rohrauslaufströmung“) ist von W. Gerbers (1951) berechnet worden. Die Anlaufströmung im Ringspalt hat W. Müller (1936) angegeben.

5.5

Zusammenfassung Aus dem Studium der exakten Lösungen der Navier-Stokes-Gleichungen sind folgende Ergebnisse festzuhalten, da sie für die weiteren Betrachtungen von Bedeutung sind: 1. Wenn eine Lösung im Grenzfall ν → 0 einer reibungslosen Lösung zustrebt, hat die Lösung für kleine Werte ν Grenzschichtcharakter. In diesem Fall beschränken sich die Reibungseffekte, d.h. die Einflüsse der Viskosität, auf eine dünne Schicht in Wandnähe, die Reibungsschicht oder Grenzschicht. Die Strömung kann als Störung der reibungslosen Grenzlösung aufgefaßt werden. 2. Die Dicke δ der Grenzschicht läßt sich folgendermaßen abschätzen. Der Impulstransport infolge der Viskosität von der Wand über diese Schicht erfolgt mit der Geschwindigkeit UV (ν,δ), für die aus einer Dimensionsbetrachtung UV = ν/δ folgt. Wenn tB eine typische Verweilzeit der Fluidteilchen in dieser Schicht ist, gilt δ = UV tB oder wegen UV = ν/δ √ δ ∼ νtB .

5.5 Zusammenfassung

143

Die Grenzschichtdicke ist also proportional zur Wurzel der kinematischen Viskosität. Die Verweilzeit hängt von der betrachteten Strömung ab, wie z.B. tB = t (plötzlich in Gang gesetzte ebene Platte), tB = 1/a (Staupunktströmung), tB = 1/ω (rotierende Scheibe), tB = 1/n (oszillierende Strömung), tB = r/umax (Düsenströmung). 3. Strömungen mit zwei unterschiedlichen Verweilzeiten tB besitzen eine Zweischichten-Struktur. Ein Beispiel dafür ist die mit hoher Frequenz k = n/a → ∞ oszillierende Staupunktströmung. Neben der im Stationären vorhan√ denen Schicht der Dicke δ ∼ √ ν/a (Prandtl-Schicht) existiert die viel dünnere Stokes-Schicht der Dicke δs ∼ ν/n, in der die von der Viskosität beeinflußten Oszillationen erfolgen. 4. Bei oszillierenden Strömungen erfolgt infolge der Nichtlinearität der NavierStokes-Gleichungen eine Änderung der mittleren Bewegung gegenüber dem Fall ohne Oszillation. Aus demselben Grund treten bei den Oszillationen im Strömungsfeld neben der Grundfrequenz auch Vielfache der Grundfrequenz auf. Bei hohen Frequenzen ist die kinetische Energie der Schwankungsbewegung in Wandnähe besonders hoch, und zwischen den Schwankungen der Wandschubspannung und der Außengeschwindigkeit besteht eine Phasenverschiebung von −45◦ , d.h. die Wandschubspannung eilt der Geschwindigkeit voraus.

6 Grenzschichtgleichungen der ebenen Strömung; Plattengrenzschicht

6.1

Aufstellung der Grenzschichtgleichungen Nunmehr sollen Strömungen bei sehr kleiner Viskosität oder bei sehr großen Reynolds-Zahlen behandelt werden. Ein bedeutsamer Vorstoß in der Behandlung der Strömungen bei großen Reynolds-Zahlen ist 1904 von L. Prandtl (1904) erzielt worden. Prandtl zeigte, in welcher Weise für große Reynolds-Zahlen die Viskosität wesentlich ist und wie man die Navier-Stokesschen Differentialgleichungen vereinfachen kann, um Näherungslösungen für diesen Grenzfall zu erhalten. Die Vereinfachungen, die sich im Fall sehr kleiner Reibungskräfte in den Navier-Stokesschen Gleichungen ergeben, sollen auf einem physikalisch anschaulichen Wege hergeleitet werden. Der Einfachheit halber betrachten wir die ebene Strömung eines Fluids mit sehr geringer Viskosität um einen zylindrischen Körper von schlanker Form, Bild 6.1. Die Geschwindigkeiten sind bis nahe an die Körperoberfläche von der Größenordnung der Anströmungsgeschwindigkeit V . Das Stromlinienbild und auch die Geschwindigkeitsverteilung stimmen weitgehend mit denen der reibungslosen Strömung (Potentialströmung) überein. Genauere Untersuchungen zeigen jedoch, daß das Fluid an der Oberfläche nicht gleitet wie bei der Potentialströmung, sondern dort haftet. Der Übergang von der Geschwindigkeit null an der Wand zur vollen Geschwindigkeit, wie sie in einiger Entfernung vom Körper vorhanden ist, vollzieht sich in einer sehr dünnen Schicht, der sog. Grenzschicht oder Reibungsschicht. Wir haben demnach zwei Gebiete zu unterscheiden, die sich allerdings nicht ganz scharf trennen lassen: 1. Eine sehr dünne Schicht in unmittelbarer Körpernähe, in welcher der Geschwindigkeitsgradient normal zur Wand ∂u/∂y sehr groß ist (Grenzschicht). Hier kommt eine sehr geringe Viskosität µ insofern doch wesentlich zur Geltung, als die Reibungsschubspannung τ = µ ∂u/∂y beträchtliche Werte annehmen kann.

Bild 6.1. Grenzschichtströmung längs einer Wand

146

6 Grenzschichtgleichungen der ebenen Strömung; Plattengrenzschicht

2. Das übrige Gebiet außerhalb dieser Schicht, in welchem keine so großen Geschwindigkeitsgradienten auftreten, so daß die Wirkung der Viskosität bedeutungslos ist. Hier herrscht die reibungslose Potentialströmung. Allgemein läßt sich sagen, daß die Grenzschicht um so dünner ist, je geringer die Viskosität oder, allgemeiner gesprochen, je größer die Reynolds-Zahl ist. In Kap. 5 haben wir auf Grund einiger exakter Lösungen der Navier-Stokesschen Gleichungen gesehen, daß die Grenzschichtdicke proportional der Wurzel aus der kinematischen Viskosität ist: √ δ ∼ ν. Bei den im folgenden in den Navier-Stokesschen Gleichungen durchzuführenden Vereinfachungen wird angenommen, daß diese Grenzschichtdicke sehr klein ist gegen eine noch sogleich näher anzugebende Körperabmessung l: δ l. Die Lösungen der Grenzschichtgleichungen haben somit asymptotischen Charakter für sehr große Reynolds-Zahlen. Wenn als Bezugsgrößen die Anströmungsgeschwindigkeit V und noch eine cha√ rakteristische Körperabmessung l verwendet werden, folgt für die Beziehung δ ∼ ν die dimensionsmäßig korrekte Darstellung δ 1 ∼√ l Re

mit

Re =

Vl . ν

(6.1)

Damit strebt also die Grenzschichtdicke mit wachsender Reynolds-Zahl gegen null. Wir wollen jetzt feststellen, welche Vereinfachungen der Navier-Stokes- Gleichungen sich ergeben, wenn (nur) die asymptotischen Lösungen der Navier-StokesGleichungen für große Reynolds-Zahlen ermittelt werden sollen. Statt des in Kapitel 5 beschrittenen Weges, erst die vollständigen Navier-Stokes- Gleichungen zu lösen und dann die asymptotischen Lösungen für Re → ∞ zu bestimmen, sollen jetzt die asymptotischen Lösungen direkt aus entsprechend vereinfachten Differentialgleichungen ermittelt werden. Bei dem zunächst betrachteten zweidimensionalen Problem nach Bild 6.1 sei zunächst die Wand als eben angenommen. Die x-Achse falle mit der Wand zusammen, und die y-Achse sei senkrecht zur Wand. Wir wollen nun die Kontinuitätsgleichung und die Navier-Stokes-Gleichungen in dimensionsloser Form schreiben. Dabei werden alle Längen auf die bereits eingeführte charakteristische Länge l und alle Geschwindigkeiten auf die Anströmgeschwindigkeit V bezogen. Der Druck wird mit V 2 und die Zeit mit l/V dimensionslos gemacht. Ferner gilt für die Reynolds-Zahl, die nach Voraussetzung sehr groß sein soll, Re =

V l Vl = . µ ν

Damit lauten die Gleichungen in dimensionsloser Schreibweise:

(6.2)

6.1 Aufstellung der Grenzschichtgleichungen

147

Impulsgleichung in x-Richtung: ∗ ∗ ∂u∗ ∂p∗ 1 ∗ ∂u ∗ ∂u + u + v = − + ∗ ∗ ∗ ∗ ∂t ∂x ∂y ∂x Re

1

1

1

δ∗

1 δ∗




δ ∗2

∂ 2 u∗ ∂ 2 u∗ + ∂x ∗2 ∂y ∗2 1

1 δ ∗2

 ,

(6.3)

Impulsgleichung in y-Richtung: ∂v ∗ ∂v ∗ ∂v ∗ ∂p∗ 1 + u∗ + v∗ = − + ∗ ∗ ∗ ∂t ∂x ∂y ∂y ∗ Re δ∗

1

δ∗

Kontinuitäts-Gleichung:

δ∗

1

∂v ∗ ∂u∗ + = 0. ∂x ∗ ∂y ∗ 1 1

δ ∗2




∂ 2 v∗ ∂ 2 v∗ + ∗2 ∂x ∂y ∗2 δ∗

1 δ∗

 ,

(6.4)

(6.5)

Wenn in Gl. (6.3) und (6.4) der Grenzprozeß Re → ∞ vollzogen wird, reduzieren sich diese Gleichungen auf diejenigen der reibungslosen Strömungen und beschreiben bei homogener Anströmung Potentialströmungen. Diese wären bereits die asymptotischen Lösungen, gäbe es nicht noch die Haftbedingung, die bei Potentialströmungen bis auf wenige Spezialfälle nicht erfüllt ist. Die gesuchten asymptotischen Lösungen, die auch die Haftbedingungen erfüllen sollen, werden also nur an der Wand und in Wandnähe von den Potentialströmungen abweichen. Für diese wandnahe Schicht, die besagte Grenzschicht, müssen also andere Gleichungen gelten als diejenigen für reibungslose Strömungen. Da in dieser Schicht die Reibungskräfte eine wichtige Rolle spielen, dürfen in den Gleichungen, welche die Strömung in der Grenzschicht beschreiben sollen, nicht alle Reibungsglieder vernachlässigt werden. Mit dieser Vorstellung soll jetzt die Vereinfachung der Navier-Stokes-Gleichungen für die Grenzschicht erfolgen. Dazu wollen wir die einzelnen Glieder dieser Gleichungen in bezug auf ihre Größenordnung abschätzen. Für die Länge x ∗ und die Geschwindigkeit u∗ gelten die Größenordnung O(1). Dagegen besitzt die Länge y ∗ die Größenordnung der Grenzschichtdicke, also O(δ). Da für Re → ∞, d.h. für δ ∗ → 0, siehe auch Gl. (6.1), die Kontinuitätsgleichung nicht entarten soll, folgt daraus für v ∗ = O(δ ∗ ). Unter den einzelnen Gliedern der Gl. (6.3) bis (6.5) sind die Größenordnungen angegeben. Dabei wurde angenommen, daß die lokalen Beschleunigungen (z.B. ∂u∗ /∂t ∗ ) von der gleichen Größenordnung sind wie die konvektiven Beschleunigungen (z.B. u∗ ∂u∗ /∂x ∗ ). Dies bedeutet, daß sehr plötzliche Beschleunigungen ausgeschlossen werden, wie sie z.B. bei starken Druckwellen vorliegen. Damit nicht beide Reibungsglieder verschwinden, muß der ∗2 ) sein. Dieses ist wiederum das schon Faktor 1/ Re von der Größenordnung O(δ√ ∗ aus Kap. 5 her bekannte Ergebnis δ ∼ 1/ Re nach Gl. (6.1).

148

6 Grenzschichtgleichungen der ebenen Strömung; Plattengrenzschicht

Da die Ordinate y ∗ = O(δ ∗ ) in der Grenzschicht für δ ∗ → 0 extrem kleine Werte annimmt, eignet sie sich nicht zur Beschreibung der Grenzschichtströmung. Deshalb werden die Koordinate y ∗ = O(δ ∗ ) und die Geschwindigkeitskomponente v ∗ = O(δ ∗ ) folgender Transformation unterworfen, die auch als GrenzschichtTransformation bezeichnet wird: √ y∗ y = y ∗ Re ∼ ∗ , δ

√ v = v ∗ Re .

(6.6)

Die neuen Variablen y und v sind wie x ∗ und u∗ von der Größenordnung O(1). Führt man diese Variablen y und v in die Gl. (6.3) bis (6.5) ein und bildet danach den Grenzprozeß Re → ∞, erhält man die Prandtlschen Grenzschichtgleichungen: ∂v ∂u∗ = 0, + ∗ ∂x ∂y

(6.7)

∂u∗ ∂p ∗ ∂u∗ ∂u∗ ∂ 2 u∗ =− ∗ + + u∗ ∗ + v , ∗ ∂t ∂x ∂y ∂x ∂y 2

(6.8)

0=−

∂p∗ . ∂y

(6.9)

Nach Gl. (6.6) wurden die Größen y ∗ und v ∗ mit einer Potenz der Reynolds-Zahl gestreckt. Dabei wurde der Exponent 1/2, also die Wurzel der Reynolds-Zahl, gerade so gewählt, daß beim Grenzübergang Re → ∞ wenigstens das eine Reibungsglied ∂ 2 u∗ /∂y 2 übriggeblieben ist. Die durch den Grenzprozeß erreichten Vereinfachungen der Gleichungen gegenüber dem vollständigen Navier-Stokes-Gleichungen sind beträchtlich. Die drastische Reduktion der Impulsgleichung für die y-Richtung zur Gl. (6.9) besagt, daß der Druck von y unabhängig ist, also in der Grenzschicht in Querrichtung konstant ist. Er kann damit aus dem Druck am Rande der Grenzschicht genommen werden, wo er durch die reibungslose Strömung bestimmt wird. Der Druck wird gleichsam der Grenzschicht von der Außenströmung „aufgeprägt“. Er ist für die Grenzschichtströmung als eine bekannte Funktion anzusehen, die nur von der Längskoordinate x ∗ und der Zeit t ∗ abhängt. Die Anzahl der Unbekannten hat sich um eins verringert. Statt der drei Funktionen u∗ , v ∗ , p ∗ werden jetzt nur noch die Funktionen u∗ , v gesucht. Am Außenrand der Grenzschichtströmung geht die Längsgeschwindigkeit u∗ in die Geschwindigkeit der Außenströmung U ∗ (x ∗ ,t ∗ ) über. Da dort die Geschwindigkeitsgradienten ∂u∗ /∂ y¯ und ∂ 2 u∗ /∂ y¯ 2 verschwinden, reduziert sich Gl. (6.8) auf ∗ ∂p ∗ ∂U ∗ ∗ ∂U + U = − . ∂t ∗ ∂x ∗ ∂x ∗

(6.10)

Wenn man damit den Druckgradient in Gl. (6.8) eliminiert, kann Gl. (6.9) fortfallen. Man erhält dann für die Grenzschicht zwei Gleichungen für die beiden gesuchten Funktionen u∗ (x ∗ ,y,t ∗ ) und v(x ∗ ,y,t ∗ ):

6.1 Aufstellung der Grenzschichtgleichungen ∗ ∗ ∂u∗ ∂U ∗ ∂u∗ ∂ 2 u∗ ∗ ∂u ∗ ∂U = + u + v + U + , ∂t ∗ ∂x ∗ ∂y ∂t ∗ ∂x ∗ ∂y 2

∂v ∂u∗ = 0. + ∗ ∂x ∂y

149

(6.11) (6.12)

Dazu gehören die Randbedingungen: y=0:

u∗ = 0, v = 0

y→∞:

u∗ = U ∗ (x ∗ ,t ∗ ) .

(6.13)

Aufgabe der Grenzschichttheorie (für ebene, inkompressible Strömungen) ist die Lösung des Systems Gl. (6.11) bis (6.13) bei vorgegebener Geschwindigkeitsverteilung der Außenströmung U ∗ (x ∗ ,t ∗ ). Für stationäre Strömungen lautet das System u∗

dp ∗ ∂u∗ ∂u∗ ∂ 2 u∗ = − + v + , ∂x ∗ ∂y dx ∗ ∂y 2 ∂v ∂u∗ + = 0, ∂x ∗ ∂y

y =0:

u∗ = 0, v = 0

y →∞:

u∗ = U ∗ (x ∗ ) .

(6.14) (6.15)

(6.16)

Mit dp ∗ /dx ∗ = −U ∗ dU ∗ /dx ∗ kann der Druckgradient wieder eliminiert werden. Neben der Verringerung der Anzahl der Gleichungen erfolgte eine weitere Vereinfachung in der Impulsgleichung für die Längsrichtung. Gegenüber Gl. (6.3) fehlt in Gl. (6.14) ein Glied. Dieses hat mathematisch weitreichende Konsequenzen. Während das System Gl. (6.3) bis (6.5) elliptisch ist, handelt es sich bei den Gl. (6.14) bis (6.16) um ein parabolisches System. Letzteres hat die sehr angenehme Eigenschaft, daß Einflüsse von der Funktion U ∗ (x ∗ ) auf die Lösungsfunktionen u∗ (x ∗ ,y), v(x ∗ ,y) nur stromabwärts erfolgen können. Wenn also zwei Funktionen U ∗ (x ∗ ) bis zur Stelle x0∗ übereinstimmen und erst für x ∗ > x0∗ verschieden sind, dann sind die beiden dazugehörigen Lösungen für x ∗ ≤ x0∗ identisch. Die numerische Lösung des Systems (6.14) bis (6.16), auf die in Kap. 23 eingegangen wird, kann wegen des parabolischen Typs des Systems in Längsrichtung fortschreitend (engl.: marching procedure) erfolgen. Aus der Herleitung der Prandtlschen Grenzschichtgleichungen geht klar hervor, daß sie und ihre Lösungen von der Reynolds-Zahl unabhängig sind. Erst wenn die Grenzschichttransformation nach Gl. (6.6) rückgängig gemacht wird, √ √ erhält ∗ = f (x ∗ ,y ∗ Re), v ∗ Re = man für die ursprünglichen Geschwindigkeiten u 1 √ f2 (x ∗ ,y ∗ Re) die Abhängigkeit von der Reynolds-Zahl. Es muß nur eine Rechnung durchgeführt werden, die für alle hohen Reynolds-Zahlen gilt.

150

6 Grenzschichtgleichungen der ebenen Strömung; Plattengrenzschicht

6.2

Wandreibung, Ablösung und Verdrängung Aus der Lösung der Grenzschichtgleichungen werden meistens noch die technisch besonders wichtigen Größen Wandschubspannung und Verdrängungsdicke bestimmt, worauf jetzt kurz eingegangen werden soll. Reibungsbeiwert. Als dimensionslose Wandschubspannung wird der Reibungsbeiwert τw (x ∗ ) cf (x ∗ ) =  2 (6.17) 2V

eingeführt. Dafür folgt aus der Grenzschichtlösung
∗ 2µ(∂u/∂y)w 2 ∂u cf (x ) = =√ . 2 V Re ∂y w ∗

(6.18)

Aus dem Geschwindigkeitsgradienten an der Wand (y = 0) ergibt sich also der Reibungsbeiwert. Bei allen laminaren Grenzschichten streben die Reibungsbeiwerte √ mit wachsender Reynolds-Zahl wie 1/ Re gegen null. Eine Ausnahme bildet der Wandstrahl, vgl. Kap. 7.2.7. Ablösungspunkt. Eine besondere Bedeutung kommt dem Fall zu, daß der Rei-

bungsbeiwert den Wert null erreicht. Diese Stelle, an der also die Wandschubspannung verschwindet, wird als Ablösungspunkt bezeichnet. Wie sich noch herausstellen wird, tritt Ablösung im Bereich des Druckanstiegs auf. Während in der Außenströmung nach der Bernoulli-Gleichung dem Druckanstieg ein entsprechender Abfall der kinetischen Energie entspricht, kann das durch Reibung abgebremste Fluid in der Grenzschicht wegen seiner geringeren kinetischen Energie nicht allzu weit in das Gebiet höheren Druckes vordringen. Es weicht dann dem Gebiet höheren Druckes seitlich aus, löst sich dabei vom Körper ab und wird in das Innere der Strömung abgedrängt (Bild 6.2). Dadurch kommt es schließlich dazu, daß das Fluid in Wandnähe, dem Druckgradienten folgend, in umgekehrter Richtung strömt wie die Außenströmung. Als Ablösungspunkt definieren wir die Grenze zwischen Vor- und Rückströmung der wandnächsten Schicht, also
 ∂u =0 (Ablösungspunkt) . (6.19) ∂y y=0 Aus der Herleitung der Grenzschichtgleichungen folgt, daß die Lage des Ablösungspunktes von der Reynolds-Zahl unabhängig ist. Verdrängung. Es fällt bei den Randbedingungen in Gl. (6.13) und Gl. (6.16) auf,

daß am Außenrand der Grenzschicht zwar die Geschwindigkeitskomponente u∗ in diejenige der Außenströmung U ∗ übergeht. Es fehlt jedoch eine entsprechende Bedingung für die v ∗ -Komponente. Tatsächlich geht die v ∗ -Komponente nicht in die entsprechende Komponente V ∗ der Außenströmung über, sondern es verbleibt

6.2 Wandreibung, Ablösung und Verdrängung

151

Bild 6.2. Ablösung der Grenzschicht (a) Umströmung eines Körpers mit Ablösung (A = Ablösungspunkt) (b) Verlauf der Stromlinien in der Nähe des Ablösungspunktes (c) Geschwindigkeitsverteilung in der Nähe des Ablösungspunktes (W P = Wendepunkt)

zwischen diesen beiden Größen eine endliche Differenz, die jetzt ermittelt werden soll. Die Geschwindigkeitskomponenten der Außenströmung, die in dimensionsloser Form mit U ∗ (x ∗ ,y ∗ ) und V ∗ (x ∗ ,y ∗ ) bezeichnet werden sollen, erfüllen die Kontinuitätsgleichung ∂U ∗ ∂V ∗ + = 0. (6.20) ∂x ∗ ∂y ∗ Die Taylor-Reihenentwicklung der Geschwindigkeitskomponente U ∗ (x ∗,y ∗ ) für kleine dimensionslose Wandabstände y ∗ lautet:
∗
2 ∗  ∗2 ∂U ∂ U y ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ U (x ,y ) = U (x ,0) + + ×s . (6.21) y + ∗ ∗2 ∂y w ∂y w 2 Wird auch das Geschwindigkeitsfeld der Außenströmung der Grenzschichttransformation nach Gl. (6.6), hier also nach √ √ y = y ∗ Re; V = V ∗ Re , (6.22) unterworfen, folgt ∂U ∗ ∂V = 0, + ∗ ∂x ∂y
∗
 y ∂U 1 U ∗ (x ∗ ,y) = U ∗ (x ∗ ,0) + . + O √ ∗ ∂y w Re Re Die Differenz der beiden Kontinuitätsgleichungen (6.15) und (6.23) liefert ∂v ∂V ∂U ∗ ∂u∗ − = − ∗ ∗ ∂y ∂y ∂x ∂x

(6.23) (6.24)

152

6 Grenzschichtgleichungen der ebenen Strömung; Plattengrenzschicht

oder nach Integration über die Grenzschichtdicke (wegen v(x ∗ ,0) = V (x ∗ ,0) = 0) d lim (v − V ) = y→∞ dx ∗

∞ [U ∗ (x ∗ ,0) − u∗ (x ∗ ,y)] dy .

(6.25)

0

Dabei wurde auf der rechten Seite die Reihenfolge von Integration und Differentiation vertauscht und nach Gl. (6.24) U ∗ (x ∗ , y ) wegen Re → ∞ durch U ∗ (x ∗ ,0) ersetzt. Gleichung (6.24) liefert auch die Begründung, daß in den Randbedingungen (6.13) und (6.16) die Funktionen U ∗ (x ∗ ,0,t ∗ ) bzw. U ∗ (x ∗ ,0) gemeint sind. Die Grenzschicht ist so dünn, daß sich U ∗ (x ∗ ,y ∗ ) innerhalb der Grenzschicht in asymptotischer Näherung nicht ändert, abgesehen davon, daß bei geraden Wänden (∂U ∗ /∂y ∗ )w wegen der Drehungsfreiheit der Potentialströmungen (∂V ∗ /∂x ∗ = ∂U ∗ /∂y ∗ = 0) verschwindet. Da das Integral in (6.25) positiv ist und mit x ∗ wächst, gilt am Grenzschichtrand v > V . Die Differenz nach Gl. (6.25) wird als Verdrängungsgeschwindigkeit bezeichnet. Die Grenzschicht hat eine Verdrängungswirkung auf die Außenströmung, die jedoch bei großen Reynolds-Zahlen sehr klein ist und im Rahmen der Prandtlschen Grenzschichttheorie vernachlässigt wird. Bei einer Verbesserung der Grenzschichtlösung durch eine Grenzschichttheorie höherer Ordnung, auf die in Kap. 14 eingegangen wird, müßte die Außenströmung infolge der Verdrängungsgeschwindigkeit modifiziert werden. Neben der Verdrängungswirkung existiert noch ein zweiter Effekt höherer Ordnung, die Wandkrümmung. Wie ebenfalls in Kap. 14 gezeigt wird, ist die Wandkrümmung auf die Prandtlschen Grenzschichtgleichungen ohne Einfluß, solange der Krümmungsradius von der Größenordnung der Bezugslänge l ist, also sehr viel größer als die „Grenzschichtdicke“ δ. Strömungen um vergleichsweise scharfe Kanten sind damit ausgeschlossen. Da also die Wandkrümmung keinen Einfluß hat, kann das Koordinatensystem x ∗ ,  y als ein „verbogenes“ kartesisches Koordinatensystem aufgefaßt werden, bei dem die x ∗ -Achse der Wandkontur folgt und die  y -Richtung orthogonal zur lokalen x ∗ -Richtung ist. Die Geometrie des betrachteten Körpers geht also überhaupt nicht in die Grenzschichtrechnung ein, der Geometrieeinfluß erfolgt lediglich auf dem Weg über die Geschwindigkeitsverteilung U ∗ (x ∗ ,t ∗ ) bzw. U ∗ (x ∗ ) an der Wand ( y = 0).

6.3

Dimensionsbehaftete Darstellung der Grenzschichtgleichungen Obwohl für eine mathematisch korrekte Herleitung der Grenzschichtgleichungen die dimensionslose Darstellung erforderlich war, soll jetzt und im folgenden die Grenzschichttransformation rückgängig gemacht werden und wieder die dimensionsbehaftete Darstellung der Grenzschichtgleichungen benutzt werden. Dieses erscheint auf den ersten Blick wenig sinnvoll. Die Rechtfertigung dafür ergibt sich jedoch

6.3 Dimensionsbehaftete Darstellung der Grenzschichtgleichungen

153

aus der Tatsache, daß später Grenzschichten berechnet werden sollen, die zunächst laminar beginnen, dann aber ins Turbulente übergehen. Da jedoch die besprochene Grenzschichttransformation für turbulente Grenzschichten nicht sinnvoll ist, bietet sich eine dimensionsbehaftete Darstellung für beide Strömungsformen in der Grenzschicht an. Aus Gl. (6.11) bis (6.13) ergeben sich die Grenzschichtgleichungen in dimensionsbehafteter Darstellung ∂u ∂u ∂u 1 ∂p ∂ 2u +u +v =− +ν 2 , ∂t ∂x ∂y  ∂x ∂y ∂u ∂v + =0 ∂x ∂y

(6.26) (6.27)

mit den Randbedingungen: y=0:

u = 0,

v = 0;

y→∞:

u = U (x,t) .

(6.28)

In der Außenströmung gilt: ∂U 1 ∂p ∂U +U =− . ∂t ∂x  ∂x

(6.29)

Für stationäre Strömungen vereinfacht sich das Gleichungssystem zu

u

1 dp ∂ 2u ∂u ∂u =− +ν 2 +v ∂y  dx ∂y ∂x ∂u ∂v + =0 ∂x ∂y

(6.30)

(6.31)

mit den Randbedingungen y = 0 : u = 0, v = 0; y → ∞ : u = U (x)

(6.32)

und der Beziehung in der Außenströmung

U

1 dp dU =− dx  dx

.

(6.33)

Obwohl in dieser Darstellung die kinematische Viskosität ν in den Gleichungssystemen explizit auftritt, muß ständig im Auge behalten werden, daß ν trotzdem (wegen

154

6 Grenzschichtgleichungen der ebenen Strömung; Plattengrenzschicht

der Grenzschichttransformation) kein echter Parameter für die Grenzschichtlösung ist. Ein weiterer Schönheitsfehler der dimensionsbehafteten Darstellung ist die Kennzeichnung √ des Außenrandes der Grenzschicht. Während die Kennzeichnung y = (y/ l) Re → ∞ sinnvoll war, da bei festem y das y für Re → ∞ gegen unendlich strebt, ist das bei y nicht mehr gegeben. Eigentlich ist y am Grenzschichtrand eine sehr kleine Größe. Trotzdem soll hier y → ∞ verwendet werden, da damit keine Probleme entstehen, wenn man sich der Bedeutung dieser Darstellung (y sei groß genug, um den Grenzschichtbereich abzudecken) stets bewußt ist. Wandschubspannung. Aus der Lösungsfunktion u(x,y) läßt sich durch Differen-

tiation die Wandschubspannung
τw (x) = µ

∂u ∂y

 (6.34) w

ermitteln. Verdrängungsdicke. Die Gleichung (6.25) lautet in dimensionsbehafteter Form

d(U δ1 ) , dx

(6.35)

 u(x,y) 1− dy U (x)

(6.36)

lim (v − V ) =

y→∞

wobei die Länge

∞  δ1 = 0

Verdrängungsdicke genannt wird, weil sie nach Gl. (6.35) ein Maß für die Verdrängungswirkung ist. Entsprechend Bild 6.3 läßt sich δ1 einfach geometrisch deuten. Da nach Gl. (6.36) die beiden im Bild getönten Flächen gleiche Größe haben müssen, ist der durch das Profil u(x,y) festgelegte Volumenstrom in der Grenzschicht identisch mit demjenigen Volumenstrom, den die um die Verdrängungsdicke δ1 von der Wand abgehobene oder verdrängte Außenströmung mit der Geschwindigkeit U (x) hätte. Stromfunktion. Das System (6.26) und (6.27) von zwei Gleichungen für zwei

Funktionen u und v läßt sich durch Einführen der Stromfunktion ψ auf eine Gleichung

Bild 6.3. Verdrängungsdicke δ1 der Grenzschicht

6.4 Reibungswiderstand

155

für die eine Funktion ψ reduzieren. Dabei gilt u=

∂ψ , ∂y

v=−

∂ψ . ∂x

(6.37)

Mit diesem Ansatz ist die Kontinuitätsgleichung, z.B. (6.27), erfüllt, und aus Gl. (6.26) ergibt sich ∂ψ ∂ 2 ψ ∂ψ ∂ 2 ψ ∂ 3ψ 1 ∂p ∂ 2ψ + − + ν = − , ∂y ∂t ∂y ∂x ∂y ∂x ∂y 2  ∂x ∂y 3

(6.38)

also eine Differentialgleichung dritter Ordnung. Die Randbedingungen lauten dann: (∂ψ/∂y)0 = 0, (∂ψ/∂x)0 = 0, (∂ψ/∂y)∞ = U . Vergleicht man Gl. (6.38) mit der Gleichung (4.60) für die Stromfunktion, die sich aus den vollständigen NavierStokesschen Differentialgleichungen ergibt, so erkennt man, daß infolge der Approximation der Grenzschichttheorie die Ordnung der Differentialgleichung von vier auf drei erniedrigt worden ist. Damit ist auch verständlich, warum für die Grenzschichtgleichung nur drei Randbedingungen, also keine Randbedingung für v am Außenrand der Grenzschicht, vorgeschrieben werden können.

6.4

Reibungswiderstand Aus der Verteilung der Wandschubspannung τw (x) entsprechend Gl. (6.34) läßt sich der Reibungswiderstand in einfacher Weise durch Integration von τw (x) über der Körperoberfläche ausrechnen. Wenn b die Spannweite des zylindrischen Körpers und l seine Länge bedeuten, dann ist der Reibungswiderstand der Oberseite des in Bild 6.4 dargestellten Körpers  WR = b

τw (x) cos ϕ dx ,

(6.39)

wobei die Koordinate x, wie in der Grenzschichttheorie üblich, der Körperkontur folgt. Die Integration ist dabei über die ganze beströmte Oberfläche von der Nase bis zur Hinterkante zu erstrecken. Führt man mit  x die Koordinate in Sehnenrichtung

Bild 6.4. Zur Berechnung des Reibungs-

widerstandes

156

6 Grenzschichtgleichungen der ebenen Strömung; Plattengrenzschicht

ein, so folgt wegen dx × cos ϕ = d x aus (6.39) l WR = b

τw ( x ) d x.

(6.40)

o

Bei dicken Grenzschichten oder beim Auftreten von Ablösung können beträchtliche Verdrängungseffekte auftreten. Dann müßte entsprechend der Grenzschichttheorie höherer Ordnung, die in Kap. 14 behandelt wird, auch die Druckverteilung der Außenströmung modifiziert werden. Diese Abweichung von der zunächst berechneten Druckverteilung führt zu einem Druckwiderstand. Danach ist auch der Druckwiderstand letztlich ein Reibungseffekt. Wegen der Details wird auf Kap. 14 verwiesen.

6.5

Plattengrenzschicht Bevor wir im nächsten Kapitel eine Reihe von allgemeinen Eigenschaften der Grenzschicht-Differentialgleichungen besprechen, möge hier schon ein Beispiel vorweggenommen werden, damit wir mit den Grenzschichtgleichungen sogleich etwas vertrauter werden. Das einfachste Beispiel für die Anwendung der Grenzschichtgleichungen ist die Strömung längs einer sehr dünnen ebenen Platte. Dieser Fall ist als erstes Beispiel zu den Prandtlschen Grenzschichtgleichungen von H. Blasius (1908) in seiner Göttinger Dissertation behandelt worden. Die Platte beginne bei x = 0, erstrecke sich parallel zur x-Achse und sei halbunendlich lang (Bild 6.5). Es werde die stationäre Strömung behandelt mit der Anströmungsgeschwindigkeit U∞ parallel zur x-Achse. In diesem Fall ist die Geschwindigkeit der Potentialströmung konstant, also dp/dx = 0. Die Grenzschichtgleichungen (6.30) bis (6.32) werden demnach u

∂u ∂u ∂ 2u +v =ν 2, ∂x ∂y ∂y

(6.41)

∂u ∂v + = 0, ∂x ∂y

(6.42)

y = 0 : u = 0, v = 0; y → ∞ : u = U∞ .

(6.43)

Bild 6.5. Grenzschicht an der längsangeströmten ebenen Platte

6.5 Plattengrenzschicht

157

Da das ganze System keine ausgezeichnete Länge besitzt, liegt es nahe anzunehmen, daß die Geschwindigkeitsprofile in verschiedenen Abständen von der Vorderkante zueinander affin oder ähnlich sind, d.h. daß sich die Geschwindigkeitsprofile u(y) für verschiedene Abstände x zur Deckung bringen lassen, wenn man für u und y einen geeigneten Maßstabsfaktor wählt. Als Maßstabsfaktor für u bietet sich die Anströmungsgeschwindigkeit U∞ an und als Maßstabsfaktor für y die „Grenzschichtdicke“ δ(x), die mit der Lauflänge x zunimmt. Strenggenommen handelt es sich bei δ(x) nicht um die Grenzschichtdicke, sondern um einen Grenzschichtdicken-Maßstab, der jedoch bis auf einen Zahlenfaktor mit der Grenzschichtdicke übereinstimmt, vgl. Gl. (6.60). Das Ähnlichkeitsgesetz der Grenzschichtprofile schreibt sich also u/U∞ = ϕ(η) mit η = y/δ(x), wobei die Funktion ϕ(η) von x unabhängig ist. Die x-Abhängigkeit von δ(x) läßt sich auf anschauliche Weise wie folgt ermitteln. Die Größe δ ist proportional zur Dicke der durch Reibung, d.h. durch Viskositätseffekte, beeinflußten Schicht. Die Viskosität bewirkt einen Impulstransport ausgehend von der Wand. Die dafür charakteristische Transportgeschwindigkeit UV ist von ν und δ abhängig. Aus Dimensionsgründen gilt daher UV ∼ ν/δ. Die Größe δ(x) hängt nun davon ab, welche wandnahen Fluidteilchen von diesem Impulstransport von der Wand her noch erfaßt werden und welche durch die Translationsbewegung mit der Geschwindigkeit U∞ bereits die Stelle x passiert haben, ohne erfaßt worden zu sein. Die Verweilzeit eines Teilchens mit der Geschwindigkeit U∞ über der Länge x beträgt x/U∞ . Andererseits vergeht beim Impulstransport mit der Geschwindigkeit UV ∼ ν/δ über der Dicke δ die Zeit δ/UV = δ 2 /ν. Durch Gleichsetzen der beiden Zeiten folgt δ 2 /ν ∼ x/U∞ oder  δ(x) ∼

xν . U∞

(6.44)

Dieses entspricht genau Gl. (6.1), wenn dort l durch x und V durch U∞ ersetzt werden. Für die Ähnlichkeitsvariable η ∼ y/δ(x) wird gesetzt  η=y

U∞ . 2νx

(6.45)

√ Die zunächst willkürliche Wahl des Faktors 2 bei δ(x) erweist sich als zweckmäßig, da dadurch die resultierende Differentialgleichung eine besonders einfache Form annimmt. Die Kontinuitätsgleichung läßt sich nach Gl. (6.37) durch Einführen einer Stromfunktion ψ(x,y) integrieren. Wir setzen ψ=



2νxU∞ f (η) ,

(6.46)

wobei f (η) die dimensionslose Stromfunktion bedeutet. Für die Geschwindigkeitskomponenten erhält man dann

158

6 Grenzschichtgleichungen der ebenen Strömung; Plattengrenzschicht

Tabelle 6.1. Charakteristische Kenngrößen für die Grenzschicht an der längsangeströmten

ebenen Platte fw

0,4696

β1 = limη→∞ [η − f (η)]

1,2168

β2 =

∞ 

f  (1 − f  ) dη

0,4696

f  (1 − f 2 ) dη

0,7385

0

β3 =

∞  0

∂ψ ∂η ∂ψ = = U∞ f  (η) , ∂y ∂η ∂y  νU∞ ∂ψ v=− = (ηf  − f ) , ∂x 2x

u=

(6.47)

(6.48)

wenn der Strich bei f die Differentiation nach η bedeutet. Bildet man hier weiter die einzelnen Glieder von Gl. (6.41) so erhält man schließlich die folgende gewöhnliche Differentialgleichung für die Stromfunktion f  + ff  = 0

(Blasius-Gleichung) .

(6.49)

Die Randbedingungen sind nach Gl. (6.43) η = 0 : f = 0, f  = 0; η → ∞ : f = 1.

(6.50)

In diesem Fall hat sich also aus den beiden partiellen Differentialgleichungen (6.41) und (6.42) durch die Ähnlichkeitstransformation (6.45) und (6.46) eine gewöhnliche Differentialgleichung für die Stromfunktion ergeben. Diese ist nichtlinear und von dritter Ordnung. Die drei Randbedingungen Gl. (6.50) sind demnach ausreichend, um diese Lösung vollständig zu bestimmen. Die numerische Lösung dieser Differentialgleichung kann beispielsweise mittels eines Runge-Kutta-Verfahrens durch sog. „Einschießen“ erfolgen. Statt des Randwertproblems wird das Anfangswertproblem mit den gegebenen Werten f (0) = 0, f  (0) = 0 und einem geschätzten Wert f  (0) = fw gelöst. Der Schätzwert fw wird solange geändert, bis die Randbedingung f  (∞) = 1 erfüllt ist. In der Praxis wird diese Bedingung an einer Stelle mit endlichem, aber genügend großen η-Wert befriedigt (hier z.B. η = 5 für eine Abweichung von 1 kleiner als 10−4 ). In Tabelle 6.1 sind einige wichtige Zahlenwerte für die Lösung angegeben. Eine ausführlichere Tabelle findet man z.B. bei L. Howarth (1938). Geschwindigkeitsverteilungen. Die Verteilung

der Längsgeschwindigkeit u/U∞ = f  (η) ist in Bild 6.6 a dargestellt. Die Krümmung in Wandnähe ist sehr gering. Genau an der Wand verschwindet gerade die Krümmung wegen f  (0) = 0,

6.5 Plattengrenzschicht

159

Bild 6.6. Geschwindigkeitsverteilungen in der Grenzschicht an der ebenen Platte, nach H. Blasius (1908) (a) Geschwindigkeitskomponente parallel zur Wand (b) Querkomponente der Geschwindigkeit

was wegen f (0) = 0 aus der Differentialgleichung folgt. Die Querkomponente der Geschwindigkeit in der Grenzschicht nach Gl. (6.48) ist in Bild 6.6 b wiedergegeben. Bemerkenswert ist hierbei, daß am äußeren Rand der Reibungsschicht, d.h. für η → ∞, die Querkomponente von null verschieden ist. Es handelt sich um die bereits in Abschnitt 6.2 erwähnte Verdrängungsgeschwindigkeit. Man findet   νU∞ ν v∞ (x) = β1 = 0,8604 U∞ (6.51) 2x xU∞ mit β1 = lim [η − f (η)] = 1,2168 . η→∞

(6.52)

Reibungswiderstand. Der Widerstand einer Platte ist reiner Reibungswiderstand.

Dieser läßt sich aus vorstehend angegebener Lösung leicht ermitteln. Nach Gl. (6.40) ist der Widerstand einer Plattenseite l W =b

τw (x) dx ,

(6.53)

0

wobei b die Breite und l die Länge der Platte bedeuten. Nun ist die örtliche Wandschubspannung  
 ∂u U∞  U∞ τw (x) = µ fw = 0,332µU∞ , (6.54) = µU∞ ∂y w 2νx νx

160

6 Grenzschichtgleichungen der ebenen Strömung; Plattengrenzschicht

wobei der Zahlenwert für fw der Tabelle 6.1 entnommen wurde. Der Reibungsbeiwert nach Gl. (6.17) mit der Bezugsgeschwindigkeit U∞ ergibt sich daraus zu cf (x) =

τw (x) 0,664 ,  2 = √ Rex 2 U∞

(6.55)

wobei die mit der Lauflänge x gebildete Reynolds-Zahl Rex =

U∞ x ν

(6.56)

verwendet wurde. Durch Kombination von Gl. (6.53) und (6.54) erhält man für den Widerstand einer Plattenseite  W =

fw µ b U∞

U∞ 2ν

l

 dx √ = fw b U∞ 2µlU∞ . x

(6.57)

0 3/2

Der Widerstand der Platte ist danach proportional zu U∞ und zu l 1/2 , also nicht proportional zu l. Dieses hängt damit zusammen, daß die hinteren Plattenteile relativ weniger zum Gesamtwiderstand beitragen als die vorderen, da sie im Bereich der dickeren Reibungsschicht und somit der kleineren Wandschubspannung liegen. Führt man noch in üblicher Weise einen dimensionslosen Widerstandsbeiwert durch die Gleichung W (6.58) cW =  2 2 U∞ bl ein, wobei die benetzte Fläche bl als Bezugsfläche dient, so erhalten wir aus Gl. (6.57) die Widerstandsformel 1,328 cW = √ Re

(6.59)

mit der Reynolds-Zahl Re = U∞ l/ν. Dieses Blasiussche Plattenwiderstandsgesetz gilt für laminare Strömungen, also für Reynolds-Zahlen unterhalb der kritischen Reynolds-Zahl Rekrit = 5 × 105 bis 106 . Das Gesetz nach Gl. (6.59) ist in Bild 1.3 und Bild 18.3 dargestellt. Im Bereich der turbulenten Strömung, die in Kap. 18.2.5 behandelt wird, ist der Widerstand erheblich größer als nach Gl. (6.59). Grenzschichtdicke. Eine Grenzschichtdicke läßt sich nicht eindeutig angeben, da

die Reibungswirkung in der Grenzschicht asymptotisch nach außen abnimmt. Die wandparallele Komponente der Geschwindigkeit u geht asymptotisch in die Geschwindigkeit U∞ der Außenströmung über (die Funktion f  (η) geht asymptotisch gegen 1). Definiert man als Grenzschichtdicke die Stelle, wo u = 0,99 U∞ gilt, so erhält man hierfür η99 = 3,6. Damit hat man für die so definierte Grenzschichtdicke  νx δ99 ≈ 5,0 . (6.60) U∞

6.5 Plattengrenzschicht

161

Verdrängungsdicke. Ein physikalisch sinnvolles Maß für die Dicke der Grenz-

schicht ist die Verdrängungsdicke, die bereits in Gl. (6.36) eingeführt wurde (Bild 6.3). Wir verstehen darunter diejenige Dicke, um welche die reibungslose Außenströmung infolge der Geschwindigkeitsabminderung in der Grenzschicht nach außen abgedrängt wird. Der infolge der Reibungswirkung weniger durchfließende Volumenstrom ist ∞ (U∞ − u) dy , 0

und somit gilt für δ1 die Definitionsgleichung ∞ U∞ δ1 = (U∞ − u) dy 0

oder

∞
δ1 =

1− 0

 u dy U∞

(Verdrängungsdicke).

Mit u/U∞ nach Gl. (6.47) wird    ∞ 2νx 2νx νx  δ1 = [1 − f (η)] dη = β1 = 1,7208 , U∞ U∞ U∞

(6.61)

(6.62)

0

wobei die Definition von β1 nach Gl. (6.52) berücksichtigt wurde. Der Wandabstand y = δ1 ist in Bild 6.6a mit eingetragen. Um diesen Betrag werden also die Stromlinien der Außenströmung durch die Reibungswirkung von der Wand nach außen abgedrängt. Die Verdrängungsdicke ist etwa ein Drittel der in Gl. (6.60) angegebenen Grenzschichtdicke δ99 . Impulsverlustdicke. An dieser Stelle möge auch noch der Wert für die später gebrauchte Impulsverlustdicke δ2 angegeben werden. Der in der Grenzschicht infolge der Reibungswirkung weniger durchfließende Impuls gegenüber der reibungslosen ∞ Außenströmung ist  0 u(U∞ − u) dy, und somit kann eine Impulsverlustdicke definiert werden durch

∞ 2 U∞ δ2

=

u(U∞ − u) dy 0

oder

∞ δ2 = 0


 u u 1− dy U∞ U∞

(Impulsverlustdicke).

Die Ausrechnung für die längsangeströmte Platte ergibt:

(6.63)

162

6 Grenzschichtgleichungen der ebenen Strömung; Plattengrenzschicht

 δ2 =

2νx U∞

∞

 



f (1 − f ) dη = β2 0

2νx U∞

oder mit dem Zahlenwert für β2 nach Tabelle 6.1  νx . δ2 = 0,664 U∞

(6.64)

Energieverlustdicke. Ebenso wie die Impulsverlustdicke wird später auch die

Energieverlustdicke δ3 verwendet. Die in der Grenzschicht infolge der Reibungswirkung weniger durchfließende kinetische Energie gegenüber der reibungslosen ∞ 2 − u2 ) dy, und somit kann auch eine EnergieverlustAußenströmung ist  0 u(U∞ dicke definiert werden durch ∞ 3 U∞ δ3

=

2 u(U∞ − u2 ) dy 0

oder

∞ δ3 = 0


 u u2 1 − 2 dy U∞ U∞

(Energieverlustdicke) .

(6.65)

Die Ausrechnung für die längsangeströmte ebene Platte ergibt:  δ3 =

2νx U∞

∞

 f  (1 − f 2 ) dη = β3

0

 2νx νx = 1,0444 . U∞ U∞

(6.66)

Zur Veranschaulichung der verschiedenen Dicken seien die Beziehungen nochmals zusammengestellt: Verdrängungsdicke: Impulsverlustdicke: Energieverlustdicke:

δ1 = 0,34 δ99 δ2 = 0,13 δ99 δ3 = 0,20 δ99 .

Vorderkantensingularität. Aus Gl. (6.51) und (6.54) geht hervor, daß die Verdrän-

gungsgeschwindigkeit v∞ (x) und die Wandschubspannung τw (x) an derVorderkante x = 0 unendlich werden. Diese Vorderkantensingularität weist darauf hin, daß unmittelbar an der Vorderkante die Grenzschicht-Theorie ihre Gültigkeit verliert. Auf die Behebung dieser Singularität durch eine Theorie höherer Ordnung wird in Kap. 14 eingegangen. Experimentelle Untersuchungen. Messungen zur Nachprüfung der vorstehen-

den Theorie sind zuerst von J.M. Burgers (1924) und B.G. van der Hegge Zijnen (1924) und danach von M. Hansen (1928) ausgeführt worden. Besonders eingehende Messungen sind später von J. Nikuradse (1942) mitgeteilt worden. Dabei

6.5 Plattengrenzschicht

163

Bild 6.7. Geschwindigkeitsverteilung in der laminaren Grenzschicht an der längsangeströmten

ebenen Platte, nach Messungen von J. Nikuradse (1942).

hat sich gezeigt, daß die Ausbildung der Reibungsschicht ziemlich stark beeinflußt wird von der Nasenform der Plattenvorderkante und auch von einem evtl. vorhandenen schwachen Druckgradienten der Außenströmung. Bei den Messungen von J. Nikuradse, die an einer von Luft beströmten Platte ausgeführt wurden, wurde auf diese Umstände Rücksicht genommen. In Bild 6.7 ist nach den Messungen von J. Nikuradse die Geschwindigkeitsverteilung in der laminaren Grenzschicht für verschiedene Abstände von der Plattenvorderkante aufgetragen. Die von der Theorie vorausgesagte Ähnlichkeit der Geschwindigkeitsprofile in verschiedenen Abständen x von der Plattenvorderkante wird von den Messungen gut bestätigt, und auch die Form der gemessenen Geschwindigkeitsprofile stimmt gut mit der Theorie √ überein. In Bild 2.4 wurde bereits die dimensionslose Grenzschichtdicke δ99 U∞ /νx in Abhängigkeit von der mit der Lauflänge x gebildeten Reynolds-Zahl aufgetragen. Solange die Grenzschicht laminar ist, ist dieser dimensionslose Wert konstant, und sein Zahlenwert stimmt nahezu mit dem von Gl. (6.60) überein. Bei größeren ReynoldsZahlen U∞ x/ν bleibt aber die laminare Grenzschicht nicht mehr erhalten, sondern sie wird durch die turbulente abgelöst. In Bild 2.4 ist dies dadurch zu erkennen, daß in der turbulenten Grenzschicht die Grenzschichtdicke wesentlich stärker mit der Lauflänge anwächst als in der laminaren. Nach den Messungen von B.G. van der Hegge Zijnen (1924) und M. Hansen (1928) liegt der Übergang vom laminaren in den turbulenten Strömungszustand bei der Reynolds-Zahl U∞ x/ν = 3 × 105 . Dem entspricht nach Gl. (6.62) eine auf die Verdrängungsdicke bezogene Reynolds-Zahl U∞ δ1 /ν = 950.

164

6 Grenzschichtgleichungen der ebenen Strömung; Plattengrenzschicht

Bild 6.8. Örtlicher Reibungsbeiwert einer längsangeströmten ebenen Platte nach indirekten und direkten Wandschubspannungsmessungen von H.W. Liepmann; S. Dhawan (1951) und S. Dhawan (1953) 2 cf = 2τw /U∞ Theorie: laminar nach Gl. (6.55), turbulent nach Gl. (2.13) oder (18.96)

Neuere Messungen haben gezeigt, daß in einem sehr störungsfreien Luftstrom diese sog. „kritische“ Reynolds-Zahl wesentlich größere Werte haben kann, und zwar bis zu etwa U∞ x/ν = 3 × 106 . Auch das laminare Widerstandsgesetz der ebenen Platte ist einer eingehenden Nachprüfung unterzogen worden. Die örtliche Wandschubspannung kann einmal indirekt nach Gl. (6.34) aus der Steigung des Geschwindigkeitsprofiles an der Wand ermittelt werden. Zum anderen sind aber auch direkte Schubspannungsmessungen mit Hilfe eines kleinen Plattenstückes ausgeführt worden, das beweglich in der Wand angeordnet ist. Das Ergebnis dieser sorgfältigen Messungen von H.W. Liepmann und S. Dhawan (1951) ist in Bild 6.8 dargestellt, wo der örtliche Reibungsbeiwert 2 über der mit der Lauflänge gebildeten Reynolds-Zahl Re = U x/ν cf = τw / 2 U∞ x ∞ aufgetragen ist. Im Reynolds-Zahl-Bereich von Rex = 2 ×105 bis 6×105 ist sowohl der laminare als auch der turbulente Strömungszustand möglich. Letzterer kann in diesem Bereich durch geeignete Maßnahmen (z.B. Stolperdraht) erzwungen werden. Die indirekte und die direkte Schubspannungsmessung sind in vorzüglicher Übereinstimmung. Für laminare √ Strömung wird das Blasiussche Widerstandsgesetz nach Gl. (6.55), cf = 0,664/ Rex , durch die Messungen in ausgezeichneter Weise be-

6.5 Plattengrenzschicht

165

stätigt. Auch für den turbulenten Fall sind die Messungen in guter Übereinstimmung mit der theoretischen Formel nach L. Prandtl, die in Kapitel 18.2.5 behandelt wird. Durch die in den Bildern 6.7 und 6.8 dargestellte völlige Übereinstimmung der theoretischen und experimentellen Ergebnisse für die Geschwindigkeitsverteilung und die Wandschubspannung der laminaren Grenzschicht für die längsangeströmte ebene Platte im Bereich Rex > 5 × 104 ist vom physikalischen Standpunkt die Zulässigkeit der Grenzschichtvereinfachungen eindeutig bewiesen. Wie in Kap. 14 gezeigt wird, sind die Ergebnisse der Grenzschichttheorie auch noch bei kleineren Reynolds-Zahlen durchaus brauchbar.

7 Allgemeine Eigenschaften und exakte Lösungen der Grenzschichtgleichungen für ebene Strömungen Bevor im nächsten Kapitel weitere Beispiele der Berechnung von Grenzschichten behandelt werden, mögen zunächst einige allgemeine Eigenschaften der Grenzschichtgleichungen besprochen werden. Wir wollen uns dabei auf stationäre, zweidimensionale, inkompressible Grenzschichten beschränken. Obwohl die Grenzschichtgleichungen gegenüber den Navier-Stokes-Gleichungen eine erhebliche Vereinfachung darstellen, sind sie wegen ihrer Nichtlinearität mathematisch doch noch so schwierig, daß nur wenige allgemeine Aussagen über ihre Lösungen möglich sind. Wichtig ist zunächst die Feststellung, daß die NavierStokes-Gleichungen vom elliptischen Typus sind, während die Prandtlschen Grenzschichtgleichungen parabolisch sind. Die Grenzschichtvernachlässigungen hatten dazu geführt, daß der Druck quer zur Grenzschicht als konstant angenommen werden kann, während er längs der Wand als von der Außenströmung der Grenzschicht „aufgeprägt“ anzusehen ist und damit eine gegebene Funktion ist. Die hieraus folgende Vernachlässigung der Bewegungsgleichungen senkrecht zur Wand kann physikalisch auch so ausgesprochen werden, daß ein Teilchen der Grenzschicht für seine Bewegung in der Querrichtung weder mit Masse behaftet ist noch eine Verzögerung durch Reibung erfährt. Es ist klar, daß man bei so tiefgreifenden Veränderungen der Bewegungsgleichungen erwarten muß, daß ihre Lösungen einige mathematische Besonderheiten aufweisen. Die starken Vereinfachungen der Grenzschichtgleichungen gegenüber den vollständigen Navier-Stokes-Gleichungen waren die Folge der asymptotischen Grenzbetrachtung Re → ∞. Die Lösungen der Grenzschichtgleichungen sind also umso bessere Näherungen, je höher die Reynolds-Zahlen sind, sofern sie nicht die kritische Reynolds-Zahl (Übergang ins Turbulente) überschreiten. Verallgemeinerungen der Theorie für mäßig große Reynolds-Zahlen werden in Kap. 14 behandelt. Die stürmische Entwicklung der elektronischen Rechenanlagen in den letzten Jahrzehnten und der damit einhergehende Fortschritt bei den numerischen Methoden zur Lösung nichtlinearer partieller Differentialgleichungen haben dazu geführt, daß in der Praxis in großem Umfang die Grenzschichtgleichungen numerisch gelöst werden. Die dafür üblichen numerischen Verfahren werden in Kap. 23 behandelt.

7.1

Wandbindung Die Grenzschichtgleichung lautet, vgl. Gl. (6.30), u

∂u 1 dp ∂ 2u ∂u +v =− +ν 2 . ∂x ∂y  dx ∂y

(7.1)

168

7 Allgemeine Eigenschaften und exakte Lösungen der Grenzschichtgleichungen

Wird diese Gleichung für die Wand (y = 0) spezifiziert, folgt wegen u(x,0) = 0, v(x,0) = 0 die sogenannte Wandbindung
2  ∂ u dp µ = ∂y 2 w dx

.

(7.2)

Man erhält damit also sofort eine Aussage über die zweite Ableitung (Krümmung) des Geschwindigkeitsprofils an der Wand. Es lassen sich auch für die höheren Ableitungen an der Wand Beziehungen herleiten, indem Gl. (7.1) partiell nach y differenziert und danach wieder für die Wand spezifiziert wird. Für die dritte Ableitung folgt danach


∂ 3u ∂y 3

 = 0.

(7.3)

w

Nach Gl. (7.2) ist also die Krümmung des Geschwindigkeitsprofils an der Wand lediglich durch den Druckgradienten bestimmt, und die Krümmung wechselt ihr Vorzeichen mit dem Druckgradienten. In Bild 7.1 sind die Geschwindigkeitsprofile für die beiden Fälle mit Druckabfall oder mit Druckanstieg gegenübergestellt. Für Strömungen mit Druckabfall (beschleunigte Strömungen, dp/dx < 0) ist nach Gl. (7.2) (∂ 2 u/∂y 2 )w < 0 und deshalb ∂ 2 u/∂y 2 < 0 über der gesamten Grenzschichtdicke. Für Strömungen mit Druckanstieg (verzögerte Strömungen, dp/dx > 0) ist (∂ 2 u/∂y 2 )w > 0. Da aber in größerem Wandabstand in jedem Fall ∂ 2 u/∂y 2 < 0 ist, muß in diesem Fall im Innern der Grenzschicht eine Stelle mit ∂ 2 u/∂y 2 = 0, d.h. ein Wendepunkt des Geschwindigkeitsprofils, vorliegen. Hieraus folgt also, daß bei verzögerten Außenströmungen das Geschwindigkeitsprofil einen Wendepunkt besitzt. Dieses hat wichtige Konsequenzen für die Strömungsablösung. Da nämlich das Geschwindigkeitsprofil im Ablösungspunkt wegen der vertikalen Wandtangente (in der y-u-Auftragung) unbedingt einen Wendepunkt haben muß, folgt daraus, daß Ablösung nur bei verzögerter Außenströmung (Druckanstieg) auftreten kann. Das Vorhandensein eines Wendepunktes im Geschwindigkeitsprofil der Grenzschicht ist auch für die Stabilität (Übergang laminar-turbulent) der Grenzschicht von großer Bedeutung, wie in Kap. 15 gezeigt wird.

Bild 7.1. Geschwindigkeitsverteilung in der Grenzschicht und deren Ableitungen, WP: Wendepunkt. (a) Druckabfall (b) Druckanstieg

7.2 Ähnliche Lösungen der Grenzschichtgleichungen

169

7.2

Ähnliche Lösungen der Grenzschichtgleichungen 7.2.1 Herleitung der gewöhnlichen Differentialgleichung Bei dem Beispiel der Grenzschicht an der längsangeströmten ebenen Platte in Kap. 6.4 konnten die Grenzschichtgleichungen (zwei partielle Differentialgleichungen) auf eine gewöhnliche Differentialgleichung reduziert werden. Dieses war möglich geworden, weil es sich um eine sogenannte ähnliche Lösung handelte, bei der die Geschwindigkeitsprofile an verschiedenen Stellen zueinander affin oder ähnlich sind, d.h. durch Wahl geeigneter Maßstabsfaktoren untereinander zur Deckung gebracht werden können. Es soll im folgenden untersucht werden, ob neben der Plattengrenzschicht noch weitere ähnliche Lösungen existieren und für welche Außenströmungen mit den Verteilungen U (x) dieses zutrifft. Diese Fragen sind zuerst von S. Goldstein (1939) und später von W. Mangler (1943) sehr ausführlich diskutiert worden. Wir gehen von den Grenzschichtgleichungen für den ebenen stationären inkompressiblen Fall aus, die nach Gl. (6.30) bis (6.32) lauten: u

∂u ∂u dU ∂ 2u +v =U +ν 2 , ∂x ∂y dx ∂y

(7.4)

∂u ∂v + =0 ∂x ∂y

(7.5)

mit den Randbedingungen y=0:

u = 0, v = 0;

y→∞:

u=U.

Die Kontinuitätsgleichung integrieren wir durch Einführen der Stromfunktion ψ(x,y) mit ∂ψ ∂ψ u= , v=− . ∂y ∂x Damit wird aus Gl. (7.4) ∂ψ ∂ 2 ψ ∂ 3ψ dU ∂ψ ∂ 2 ψ − + ν = U . ∂y ∂x ∂y ∂x ∂y 2 dx ∂y 3

(7.6)

Nun erfolgt eine Koordinatentransformation von den Variablen x,y in die neuen, dimensionslosen Variablen √ x y Re y ξ = , η= = . (7.7) l l δ(ξ ) δ(ξ ) Dabei ist die Reynolds-Zahl Re =

Vl ν

(7.8)

170

7 Allgemeine Eigenschaften und exakte Lösungen der Grenzschichtgleichungen

√ mit der Bezugsgeschwindigkeit V und der Bezugslänge l gebildet. Da y = (y/ l) Re entsprechend Gl. (6.6) der Wandabstand nach der Grenzschichttransformation ist, kann δ(ξ ) als der in dieser Skalierung gemessene Grenzschichtmaßstab (proportional zur Grenzschichtdicke) interpretiert werden. Mit dem Ansatz für die Stromfunktion lUN (ξ ) ψ(ξ,η) = √ δ(ξ )f (ξ,η) Re

(7.9)

folgt dann für die Längskomponente der Geschwindigkeit u(ξ,η) = f  (ξ,η) , UN (ξ )

(7.10)

wobei der Strich die Differentiation nach η bedeutet. Wenn UN (ξ ) mit der Geschwindigkeit U (ξ ) derAußenströmung identifiziert wird, lägen ähnliche Lösungen vor, falls f  (η) nur von η abhinge. Statt der partiellen Differentialgleichung für f (ξ,η) ergäbe sich dann eine gewöhnliche Differentialgleichung für f (η). Die Querkomponente der Geschwindigkeit ergibt sich aus Gl. (7.9) zu
 √ dδ  d ∂f −v(ξ,η) Re = (UN δ)f + UN δ − ηf . (7.11) dξ ∂ξ dξ Führt man jetzt die Ansätze Gl. (7.7) und (7.9) in die Gl. (7.6) ein, ergibt sich für die dimensionslose Stromfunktion f (ξ,η) die Differentialgleichung
  2 UN   2  ∂f  ∂f −f f + α1 ff + α2 − α3 f = δ f . (7.12) V ∂ξ ∂ξ Dabei sind α1 , α2 , α3 die folgenden Abkürzungen 2

α1 =

δ d δ U dU (UN δ), α2 = , V dξ V UN dξ

2

α3 =

δ dUN . V dξ

(7.13)

Da es sich bei Gl. (7.7) um eine formale Transformation handelt, ist Gl. (7.12) zunächst weiterhin eine partielle Differentialgleichung für die Funktion f (ξ,η). In der neuen Form läßt sich jedoch sofort erkennen, wann ähnliche Lösungen entstehen, d.h. wann sich Gl. (7.12) auf eine gewöhnliche Differentialgleichung für die Funktion f (η) reduziert. Wenn die Größen α1 , α2 , α3 Konstanten sind, können Lösungen f (η) gefunden werden, die also von ξ unabhängig sind. Die rechte Seite von Gl. (7.12) verschwindet dann, und die Grenzschichtgleichungen reduzieren sich auf die gewöhnliche Differentialgleichung f  + α1 ff  + α2 − α3 f 2 = 0 .

(7.14)

Bei vorgegebenen Konstanten α1 , α2 und α3 können die Gleichungen (7.13) als Bestimmungsgleichungen für die noch unbekannten Funktionen U (ξ ), UN (ξ ) und

7.2 Ähnliche Lösungen der Grenzschichtgleichungen

171

δ(ξ ) aufgefaßt werden. Die Lösungen dieser drei Differentialgleichungen liefern insbesondere die Verteilungen U (ξ ) der Außenströmungen, für die sich ähnliche Lösungen ergeben. Je nach Wahl der Konstanten α1 bis α3 können folgende zwei Klassen von ähnlichen Lösungen unterschieden werden: A Grenzschichten mit Außenströmungen (U (ξ )  = 0)

Für diese Fälle wird UN (ξ ) = U (ξ ) gesetzt. Damit gilt dann α2 = α3 . Bezüglich α1 sind nun Fallunterscheidungen erforderlich je nachdem, ob α1 positiv, negativ oder null ist. A.1 Keilströmungen (α1 = 1) Wenn α1 positiv ist, kann ohne Einschränkung der Allgemeinheit α1 = 1 gesetzt werden, da bei dem Zusammenhang zwischen α1 und δ nach Gl. (7.13) der Dickenmaßstab δ nur bis auf einen Zahlenfaktor festgelegt ist. Mit α2 = α3 = β folgt dann f  + ff  + β(1 − f 2 ) = 0 (7.15)

mit den Randbedingungen η = 0 : f = 0, f  = 0;

η→∞:

f = 1.

(7.16)

Die Gl. (7.15) ist zuerst von V.M. Falkner; S.W. Skan (1931) angegeben worden, weshalb diese Gleichung auch Falkner-Skan-Gleichung genannt wird. Die Lösungen in Abhängigkeit vom Parameter β sind später von D.R. Hartree (1937) untersucht worden. Wir kommen darauf im nächsten Abschnitt zurück. Wie durch Einsetzen leicht überprüfbar ist, haben die beiden Differentialgleichungen nach Gl. (7.13) 2

δ d (U δ) = 1; V dξ die Lösungen

δ dU =β V dξ

(7.17)

 U = Bξ m ; V

δ=

1−m 2 ξ 2 B(m + 1)

(7.18)

mit dem Zusammenhang zwischen m und β: m=

β ; 2−β

β=

2m . m+1

Dabei wurde der Fall β = 2 ausgenommen. Für ihn gilt  U 1 = B exp(2pξ ); δ = exp(−pξ ) (β = 2, m → ∞) . V Bp

(7.19)

(7.20)

Werden Gl. (7.7) und Gl. (7.18) kombiniert, ergibt sich für die Ähnlichkeitsvariable η die dimensionsbehaftete Darstellung

172

7 Allgemeine Eigenschaften und exakte Lösungen der Grenzschichtgleichungen

Bild 7.2. Verschiedene Potentialströmungen mit U ∼ ξ m an der Wand; m = β/(2 − β); βπ/2 =  halber Keilwinkel bei Keilströmungen

 η=y

m+1 U =y 2 νx

 1 U 2 − β νx

(β  = 2) .

(7.21)

Durch die Wahl der Konstanten B in Gl. (7.18) wird über die Bezugsgeschwindigkeit V verfügt. Mit B = 1 ist V gleich der Geschwindigkeit U an der Stelle ξ = 1, d.h. bei x = l. Da der Ursprung des Koordinatensystems beliebig gewählt werden kann, hätte in Gl. (7.18) statt ξ auch ξ − ξ0 mit einer beliebigen Konstanten ξ0 gesetzt werden können. Das Ergebnis dieser Betrachtungen ist also, daß man ähnliche Lösungen der Grenzschichtgleichungen erhält, wenn die Geschwindigkeitsverteilung U (x) der reibungslosen Außenströmung ein Potenzgesetz ist. Solche Potentialströmungen treten nun tatsächlich bei keilförmigen Körpern auf. Deshalb spricht man von Keilströmungen. Nach Bild 7.2 muß zwischen positiven und negativen Potenzen unterschieden werden. Die schon behandelten Strömungen an der längsangeströmten ebenen Platte (m = 0, β = 0) und in Staupunktnähe (m = 1, β = 1) sind Sonderfälle der Keilströmungen. Bei der Plattengrenzschicht reduziert sich die Falkner-Skan-Gleichung auf Gl. (6.49), bei der Staupunktströmung auf Gl. (5.37). A.2 Keilströmungen in Umkehrung (α1 = −1)

Mit α2 = α3 = −β folgt aus Gl. (7.14)

f  − ff  − β(1 − f 2 ) = 0 . Aus Gl. (7.13) folgen dann U = −Bξ m ; V

 δ=

1−m 2 ξ 2 , B(m + 1)

wobei zwischen β und m wieder Gl. (7.19) gilt. Die Strömung bewegt sich jetzt auf den Ursprung ξ = 0 zu. Bei den Außenströmungen handelt es sich um Keil-

7.2 Ähnliche Lösungen der Grenzschichtgleichungen

173

strömungen, bei denen die Geschwindigkeiten das Vorzeichen gewechselt haben. Derartige Strömungen entstehen auch als Sekundärströmungen an Wänden in der Umgebung von gezogenen Platten (m = −1/2), Freistrahlen (m = −2/3), Wandstrahlen (m = −3/4) oder Senkenströmungen, vgl. S. Haas; W. Schneider (1997) sowie bei Durchströmungen konvergenter Kanäle mit kontourierten Wänden. Es kommt hauptsächlich den beschleunigten Strömungen (m < 0) eine physikalische Bedeutung zu. Bei den verzögerten Strömungen (m > 0) treten stets Geschwindigkeitsprofile mit Rückströmung auf, siehe dazu F. White (1974, S. 284). A.3 Strömung im konvergenten Kanal (Senkenströmung), α1 = 0 Wenn α1 = 0 ist, kann ohne Einschränkung der Allgemeinheit α2 = α3 = 1 gesetzt werden. Damit folgt aus Gl. (7.14)

f  + 1 − f 2 = 0 . In diesem Fall ergibt sich aus Gl. (7.13)  a V U (x) = − ; δ = x; x al

(7.22) 

η=y

y −U = νx x



a . ν

(7.23)

Diese U (x)-Verteilung gehört für a > 0 zur Strömung in einem konvergenten Kanal (Düse) mit ebenen Wänden (Senkenströmung), vgl. Bild 7.2. Mit der Stromfunktion √ (7.24) ψ(x,y) = − νaf (η) erhält man für die Geschwindigkeitskomponenten u = Uf  (η) ;

√ η v = − νa f  (η) . x

(7.25)

Damit ergeben sich zur Gl. (7.22) die Randbedingungen: η = 0 : f  = 0;

η→∞:

f  = 1, f  = 0 .

(7.26)

Dieser Fall kann auch als Keilströmung mit dem speziellen Exponenten m = −1 (β → −∞) aufgefaßt werden. Wird Gl. (7.22) nach η differenziert und f  (η) = F (η) gesetzt, folgt (7.27) F  − 2F F  = 0 mit den Randbedingungen η = 0 : F = 0;

η→∞:

F = 1, F  = 0 .

(7.28)

Diese Differentialgleichung wurde bereits bei den exakten Lösungen der NavierStokes-Gleichungen in Kap. 5.1.2 behandelt. Es läßt sich in diesem Fall eine geschlossene Lösung angeben, vgl. Gl. (5.29). Diese Lösung wurde zuerst von K. Pohlhausen (1921) angegeben.

174

7 Allgemeine Eigenschaften und exakte Lösungen der Grenzschichtgleichungen

B Grenzschichten ohne Außenströmung (U (ξ ) = 0)

Zunächst erscheint es ungewöhnlich, die Grenzschichtgleichungen zu betrachten, wenn keine Außenströmung vorhanden ist. Wir hatten jedoch in Kap. 5 bereits Fälle von Reibungsschichten kennengelernt, die im Grenzfall Re → ∞ (ν → 0) ruhende Außenströmung ergeben: Die Reibungsschichten entstanden dann entweder durch die Bewegung der Wand (rotierende Scheibe, plötzlich in Gang gesetzte oder oszillierende Wand) oder durch Eingabe eines Impulses in Form einer Diracschen Deltafunktion (Freistrahl). In derartigen Fällen reduzieren sich die vollständigen Navier-Stokes-Gleichungen für Re → ∞ wieder auf die Grenzschichtgleichungen. Ähnliche Lösungen ergeben sich dann aus einer Differentialgleichung, die sich mit α2 = 0 (wegen U = 0), α1 = 1 (Festlegen des Dickenmaßstabes δ) aus Gl. (7.14) zu f  + ff  − α3 f 2 = 0

(7.29)

ergibt. Folgende Beispiele sind erwähnenswert: α3 = 0 :

Grenzschicht an der bewegten ebenen Platte (UN = Uw )

α3 = −1 :

Freistrahl (UN ∼ umax , V ∼ K/ν)

α3 = −2 : Wandstrahl (UN ∼ umax , V ∼ KQb /ν 2 ) . In Klammern sind die Bedeutungen der Normierungsfunktion UN angegeben. Es sollte besonders darauf hingewiesen werden, daß die Bezugsgeschwindigkeit V in den beiden letztgenannten Beispielen auch von der Viskosität abhängt, so daß V → ∞ für ν → 0 gilt, worauf in den nächsten Abschnitten noch genauer eingegangen wird. 7.2.2 Keilströmungen Wie im vorigen Abschnitt besprochen wurde, führen die Strömungen an Keilen zu einer wichtigen Klasse ähnlicher Lösungen der Grenzschichtgleichungen. Die Geschwindigkeiten der Keilströmungen gehorchen dem Potenzgesetz U (x) = a x m .

(7.30)

Mit den Ansätzen u = ax m f  (y) = U (x)f  (η) , 
 m+1 m−1  v=− νax m−1 f + ηf , 2 m+1   m + 1 a m−1 m+1 U x =y η=y 2 ν 2 νx

(7.31) (7.32)

(7.33)

ergibt sich für die dimensionslose Stromfunktion f (η) die gewöhnliche Differentialgleichung (7.15) mit den Randbedingungen (7.16). Für den freien Parameter β gilt Gl. (7.19).

7.2 Ähnliche Lösungen der Grenzschichtgleichungen

175

Bild 7.3. Geschwindigkeitsverteilung in der laminaren Grenzschicht der Keilströmung U (x) = ax m . Zwischen m und dem Keilwinkel β (vgl. Bild 7.2) besteht der Zusammen-

hang (7.19)

Einige wichtige Zahlenwerte dieser Lösungen sind im nächsten Kapitel in Tabelle 8.1 angegeben. In Bild 7.3 sind Geschwindigkeitsprofile f  (η) für verschiedene Werte β bzw. m dargestellt. Da diese Lösungen von D.R. Hartree (1937) ausführlich untersucht worden sind, spricht man auch von Hartree-Profilen. Für beschleunigte Strömungen (m > 0, β > 0) erhält man Geschwindigkeitsprofile ohne Wendepunkt, für verzögerte Strömung (m < 0, β < 0) solche mit Wendepunkt. Wichtige Spezialfälle sind die längsangeströmte ebene Platte (m = 0) und die Staupunktströmung (m = 1). Bemerkenswert ist auch √ noch der Fall √ m = 1/3, β = 1/2. Dafür geht Gl. (7.15) durch die Transformation f (η) = 2ϕ(ξ ), η = 2ξ in die Differentialgleichung ϕ  + 2ϕϕ  + 1 − ϕ 2 = 0

(7.34)

für ϕ(ξ ) über. Diese stimmt mit Gl. (5.68) für die axialsymmetrische Staupunktströmung überein. Die Berechnung der Grenzschicht der axialsymmetrischen Staupunktströmung läßt sich demnach auf diejenigen der ebenen Keilströmung mit dem Keilwinkel πβ = π/2 (Rechtwinkel-Keil) zurückführen. Auf einen allgemeineren Zusammenhang zwischen ebenen und rotationssymmetrischen Grenzschichten wird in Kap. 12.1.2 eingegangen. Dem Fall m = −0,091, β = −0,199 entspricht das Geschwindigkeitsprofil mit verschwindender Wandschubspannung (Ablösung). Aus dem kleinen Zahlenwert m = −0,091 erkennt man, daß die laminare Grenzschicht nur eine sehr geringe Verzögerung (sehr kleinen Druckanstieg) erträgt, ohne daß Ablösung auftritt. Von K. Stewartson (1954) liegt eine ausführliche Diskussion der Lösungsmannigfaltigkeit von Gl. (7.15) vor. Danach existiert im Druckanstiegsgebiet (−0,199 < β < 0) neben der Hartree-Lösung eine weitere Lösung, bei welcher das Geschwindigkeitsprofil Rückströmung aufweist, vgl. dazu auch Bild 10.3 und Bild 11.8. Eine ausführliche Diskussion der Lösungen mit Rückströmung für β → 0 findet man bei S.N. Brown; K. Stewartson (1966) und S.N. Brown (1966).

176

7 Allgemeine Eigenschaften und exakte Lösungen der Grenzschichtgleichungen

Die Gl. (7.15) und Gl. (7.16) besitzt eine noch größere Mannigfaltigkeit von Lösungen, wenn Übergeschwindigkeiten in den Geschwindigkeitsprofilen zugelassen werden, vgl. dazu P.A. Libby; T.M. Liu (1967) und F.M. White (1974, S. 280). Nach K. Nickel (1973) können zwar derartige Übergeschwindigkeiten nicht von selbst in der Grenzschicht entstehen, aber sie können beispielsweise durch Einblasen eines Strahles in die Grenzschicht entstanden sein. Ähnliche Lösungen für derartige Wandstrahlen mit Außenströmung wurden von J. Steinheuer (1968b) angegeben. Dabei ergibt sich im Grenzfall verschwindender Außenströmung die einfache Wandstrahlströmung, die in Abschnitt 7.2.7 behandelt wird.

7.2.3 Strömung im konvergenten Kanal Die Geschwindigkeitsverteilung U = −a/x findet man bei der Senkenströmung, vgl. Bild 7.2. Sektoren aus der Senkenströmung können als Potentialströmung in einem konvergenten Kanal (Keil-Düse) aufgefaßt werden. Die Strömung an einer Kanalwand mit der sich bildenden Grenzschicht ist in Bild 7.4 dargestellt. Die dimensionslose Stromfunktion f (η) muß der Gl. (7.22) und den Randbedingungen (7.26) genügen. Durch Differentiation nach η erhält man mit f  (η) = F (η) die Differentialgleichung (5.27), die eine geschlossene Lösung entsprechend Gl. (5.29) besitzt. Danach gilt für das Geschwindigkeitsprofil  
u η 2  2 = f (η) = 3 tanh √ + artanh −2 (7.35) U 3 2   −U y a =y . (7.36) η= x ν xν √ Aus fw = 2/ 3 läßt sich die Wandschubspannung ermitteln. Bei η99 = 3,3 gilt f  = 0,99. Die Grenzschichtdicke   ν ν δ99 = η99 x = 3,3 x (7.37) a a ist proportional zur Koordinate x. Für die Verdrängungsgeschwindigkeit erhält man in diesem Fall nach Gl. (7.25)  √ η y ν v∞ (x) = νa = U η=U , (7.38) x a x also eine negative Größe. Sie bildet jedoch mit der U (x)-Verteilung gerade das radiale Geschwindigkeitsfeld der reibungslosen Senkenströmung. Dabei sind die Linien η = const die Strahlen zum Ursprung (y/x = const). In diesem Beispiel bleibt also die reibungslose Strömung außerhalb der Grenzschicht unbeeinflußt, d.h. es gibt hier keinen Verdrängungseffekt. Wären statt der kartesischen Koordinaten Polarkoordinaten wie in Kap. 5.1.2 verwendet worden, wäre die Umfangskomponente der Geschwindigkeit stets gleich null gewesen. Wie in Kap. 14.2 dargelegt wird, gibt es zur geschickten Darstellung der Verdrängungswirkung von Grenzschichten optimale Koordinaten. Für die Grenzschicht im konvergenten Kanal sind die Polarkoordinaten die optimalen Koordinaten. mit

Bild 7.4. Strömung im konvergenten Kanal (Düse); Senkenströmung

7.2 Ähnliche Lösungen der Grenzschichtgleichungen

177

7.2.4 Trennungsschicht Eine weitere bisher noch nicht erwähnte Strömung ohne Wand, bei der ebenfalls für hohe Reynolds-Zahlen die Grenzschichtgleichungen gelten, ist die laminare Trennungsschicht zwischen zwei Parallelströmungen mit unterschiedlicher Geschwindigkeit. Die Problemstellung ist in Bild 7.5 skizziert: Zwei zunächst getrennte ungestörte Parallelströmungen mit den Geschwindigkeiten U und λU treten von der Stelle x = 0 stromabwärts infolge Reibung miteinander in Wechselwirkung. Es bildet sich die angedeutete Geschwindigkeitsverteilung aus. Bei kleinen Werten der Viskosität ν findet der Übergang von der Geschwindigkeit U zur Geschwindigkeit λU in einer dünnen Vermischungszone statt, in der also die Querkomponente v der Geschwindigkeit überall klein im Vergleich zur Längsgeschwindigkeit u ist. Daher gilt die Grenzschichtgleichung ohne Druckglied. Da keine ausgezeichnete Länge existiert, ergeben sich ähnliche Lösungen. Spezialisiert man daher Gl. (7.30) bis (7.33) für m = 0, so erhält man für f (η) dieselbe Differentialgleichung wie für die Grenzschicht an der längsangeströmten ebenen Platte: f  + ff  = 0 . (7.39) Die Randbedingungen sind jedoch verschieden. Zunächst gilt η → +∞ :

f  = 1;

η → −∞ :

f = λ.

(7.40)

Wählte man als dritte noch fehlende Bedingung f (0) = 0 (d.h. v(x,0) = 0), dann wäre die x-Achse Stromlinie, die zu einer sehr dünnen festen Wand erklärt werden könnte. Dabei bestünde dann das gesamte Strömungsfeld aus zwei getrennten Grenzschichtströmungen: auf der Oberseite die Parallelströmung über einer mit geringerer Geschwindigkeit bewegten Platte und auf der Unterseite die Strömung an einer in ruhender Umgebung gezogenen Platte. Letztgenannte Strömung wird im nächsten Abschnitt behandelt. Eine genauere Analyse zeigt jedoch, daß die x-Achse nicht die Nullstromlinie ist. Nach L. Ting (1959) folgt aus einer globalen Impulsbilanz v∞ = −λ v−∞ . Wegen

(7.41)



νU (f − ηf  ) 2x nach Gl. (7.32) folgt damit als dritte Randbedingung v=−

(7.42)

lim (η − f ) = −λ lim (ηλ − f ) .

η→∞

η→−∞

(7.43)

Bild 7.5. Geschwindigkeitsverteilung in der Trennungsschicht

178

7 Allgemeine Eigenschaften und exakte Lösungen der Grenzschichtgleichungen

Tabelle 7.1. Numerische Ergebnisse für die Strahlrand-Lösung (Trennungsschicht mit

λ = 0), Lage der Trennstromlinie bei η = −0,3740 η →

∞ 0 −0,3740

→

−∞

f

f

f 

η

1

0

0,2392

0,6914

0,2704

0

0,5872

0,2825

0

0

−0,8757

Die numerische Berechnung des Randwertproblems kann wieder als ein Anfangswertproblem erfolgen. Dabei müssen jetzt aber die drei Zielgrößen f (0), f  (0) und f  (0) ermittelt werden, und das „Einschießen“ muß sowohl nach η → +∞ als auch nach η → −∞ erfolgen. Es läßt sich zeigen, daß die Lösung von Gl. (7.39) mit den Randbedingungen (7.40) und (7.43) durch eine einfache Transformation der Koordinate η, die ja in Gl. (7.39) explizit nicht auftritt, auf die vorher bereits diskutierte Lösung, bei der statt (7.43) f (0) = 0 gilt, zurückgeführt werden kann, vgl. J. Steinheuer (1968a) und K. Gersten, H. Herwig (1992, S. 157). Lösungen von Gl. (7.39) für verschiedene Parameter λ wurden von M. Lessen (1950), R.C. Lock (1951) und J. Steinheuer (1968a) angegeben. Aus den Lösungen folgt v∞ ≤ 0 und v−∞ > 0. Danach saugt die Trennschicht von beiden Seiten Fluid an, wobei die Ansaugung aus dem Bereich geringerer Längsgeschwindigkeit stets größer ist. Die Ansaugung ist notwendig, da der Volumenstrom in einem horizontalen Streifen, der hoch genug ist, um die Trennungsschicht zu erfassen, gegenüber dem reibungslosen Geschwindigkeitssprung größer ist, wie auch aus Bild 7.5 hervorgeht. Dieser Einsaugeffekt oder Einmischeffekt (engl.: entrainment), d.h. ein „negativer Verdrängungseffekt“, ist typisch für sogenannte freie Grenzschichten (auch freie Scherschichten genannt), bei denen also eine führende Wand fehlt. Zu ihnen gehört auch die weiter unten behandelte Freistrahl-Strömung. Der Spezialfall der Trennungsschicht mit λ = 0 wird auch als Strahlrand- oder Halbstrahl gezeichnet, weil damit der Übergang in eine ruhende Umgebung beschrieben wird. Aus Gl. (7.41) folgt, daß (nur) in diesem Fall die v-Komponente am oberen Rand null wird, die ankommende Parallelströmung also unbeeinflußt bleibt. Das bedeutet aber, daß die Nullstromlinie, d.h. die Trennstromlinie, mit wachsender Lauflänge immer weiter nach unten verschoben werden muß, da immer mehr Fluid oberhalb der Trennstromlinie verzögert wird. Aus der Tabelle 7.1 geht hervor, daß durch η = −0,3740 die Lage der Trennstromlinie (f = 0) gegeben ist. Das bedeutet  νx yT = −0,529 . (7.44) U Für die Einsauggeschwindigkeit aus der ruhenden Umgebung erhält man mit f (−∞) = −0,8757  νU . (7.45) v−∞ = 0,619 x Von R.C. Lock (1951) wurde auch die Trennungsschicht für den Fall behandelt, daß die beiden Parallelstrahlen außer verschiedenen Geschwindigkeiten auch verschiedene Werte der Dichte und der Viskosität besitzen. Die entsprechende Strahlrandströmung (λ = 0) wurde von D.R. Chapman (1949) gelöst. Sie ist für die Berechnung von abgelösten Strömungen hinter stumpfen Körpern von Bedeutung, vgl. M. Tanner (1973).

7.2 Ähnliche Lösungen der Grenzschichtgleichungen

179

7.2.5 Gezogene Platte Im letzten Abschnitt ist bereits die Grenzschichtströmung an der gezogenen Platte erwähnt worden. Wird nach Bild 7.6 eine ebene Platte in ruhender Umgebung mit konstanter Geschwindigkeit Uw bewegt, so entsteht wegen der Haftbedingung in Wandnähe eine Grenzschicht. Da eine charakteristische Länge fehlt, liegt eine ähnliche Lösung vor. Es gilt wieder Gl. (7.39), jedoch mit den Randbedingungen: η = 0 : f = 0, f  = 1;

η → ∞ : f = 0.

Dabei ist wichtig, daß die gezogene Platte nach Bild 7.6 aus einer Wand austritt. Dieser Wandaustritt legt den Ursprung des Koordinatensystems fest und hat eine ähnliche Funktion wie die Vorderkante einer angeströmten ebenen Platte. Beide ermöglichen erst eine stationäre Lösung in einem ortsfesten Koordinatensystem. Aus der Lösung von Gl. (7.39) ergibt sich: fw = −0,6276; f (∞) = 1,1426. Für die Wandschubspannung folgt daraus  ν τw . (7.46) = 0,44375 − 2 U Uw wx Außerdem liegt wie bei der Trennungsschicht ein Einsaugeffekt (engl.: entrainment) vor mit der Geschwindigkeit  νUw . (7.47) v∞ = −0,808 x Diese Einsauggeschwindigkeit sorgt für den stromabwärts anwachsenden Volumenstrom in der Grenzschicht.

Bild 7.6. Geschwindigkeitsprofil an ei-

ner gezogenen Platte

7.2.6 Freistrahl Ein weiteres Beispiel einer Strömung ohne Außenströmung, auf das sich die GrenzschichtTheorie anwenden läßt, ist die Strömung eines Freistrahles in ruhender Umgebung. Da auch keine begrenzende Wand vorhanden ist, handelt es sich um eine freie Grenzschicht oder freie Scherschicht. Daher rührt auch die Bezeichnung Freistrahl, vgl. Bild 7.7. Die dafür existierende ähnliche Lösung genügt der Gleichung, siehe Gl. (7.29), f  + ff  − α3 f 2 = 0

(7.48)

180

7 Allgemeine Eigenschaften und exakte Lösungen der Grenzschichtgleichungen

Bild 7.7. Geschwindigkeitsprofile des

Freistrahles,  x =x+L a) Parabelformiges Profil am Austritt b) Fiktive Ersatzströmung mit virtuellem Ursprung

mit den Randbedingungen η → −∞ : f  = 0;

η = 0 : f = 0;

η → +∞ : f  = 0 .

(7.49)

Zunächst fällt auf, daß in diesem Beispiel die Differentialgleichung und alle Randbedingungen homogen sind. Dadurch ist f (η) = 0 eine Lösung des Systems. Diese triviale Lösung ist offensichtlich nicht die gesuchte Lösung, so daß noch mindestens eine andere nicht-triviale Lösung als sog. Eigenlösung der Differentialgleichung existieren muß. Dafür muß α3 einen bestimmten Wert, den Eigenwert, annehmen. Integriert man Gl. (7.48) bezüglich η von η → −∞ bis η → +∞, so folgt wegen der Randbedingungen Gl. (7.49) +∞ 

f 2 dη = 0

(1 + α3 ) −∞

und damit der Eigenwert α3 = −1. Die damit festgelegte Gleichung f  + ff  + f 2 = 0 hat die einfache analytische Lösung f (η) = 2 tanh η;

f  (η) = 2(1 − tanh2 η) .

(7.50)

Mit den Konstanten α1 = 1 und α3 = −1 lassen sich aus Gl. (7.13) die Funktionen UN (ξ ), δ(ξ ) und schließlich η aus Gl. (7.7) ermitteln. Man erhält

 ν 1/3 y V x 1/3 UN =3 , η= . (7.51) V Vx x ν Es muß jetzt noch die Bezugsgeschwindigkeit V festgelegt werden. Da zunächst keine vorgegebene Geschwindigkeit für diese Strömung existiert, muß V mit einer für die betrachtete Strömung charakteristischen Größe in Verbindung gebracht werden. Dieses ist bei der Freistrahlströmung der Strahlimpuls. Da der Druck überall im Strömungsfeld gleich ist, muß der Impulsfluß I˙ im Strahl von der Lauflänge x unabhängig sein. Für den auf die Spannweite b bezogenen kinematischen Impuls ergibt sich +∞ +∞   I˙ 2 K= = u dy = 9νV f 2 (η) dη = 48νV . b −∞

−∞

(7.52)

7.2 Ähnliche Lösungen der Grenzschichtgleichungen

181

Besonders bemerkenswert ist, daß die Bezugsgeschwindigkeit K 48ν

V =

(7.53)

von der kinematischen Viskosität abhängt und für ν → 0 gegen unendlich strebt. Die Gleichung (7.53) folgt, bis auf den Zahlenfaktor, auch bereits aus einer Dimensionsanalysis. Mit dieser Bezugsgeschwindigkeit erhält man aus Gl. (7.7), (7.10) und (7.11) für die Geschwindigkeitsverteilung:
2 1/3 K (1 − tanh2 η) u = 0,4543 νx 
Kν 1/3 [2η(1 − tanh2 η) − tanh η] v = 0,5503 x2
1/3 y K . η = 0,2753 2 ν x 2/3

(7.54)

Die „Einsauggeschwindigkeit“ des Strahles beträgt
 Kν 1/3 . v∞ = −0,5503 x2

(7.55)

Der auf die Spannweite b bezogene Volumenstrom Qb (x) =

Q(x) = b

+∞ 

u dy = 3,302(Kνx)1/3

(7.56)

−∞

nimmt infolge des Einsaugeffektes mit der Längskoordinate x laufend zu. Dagegen nimmt die auf die Spannweite bezogene („kinematische“) kinetische Energie E=

1 2

+∞  −∞


5 1/3 K u3 dy = 0,0086 xν

(7.57)

mit der Lauflänge x ab, jedoch so, daß EQb = 0,028K 2

(7.58)

gilt. Als „Breite“ des Freistrahls wird häufig der Abstand der Punkte mit halber Maximalgeschwindigkeit definiert („Halbwertsbreite“). Wegen tanh2 0,881 = 0,5 ergibt sich aus Gl. (7.54) für die halbe Halbwertsbreite y0,5 = 3,20


2 1/3 ν x 2/3 . K

(7.59)

Sie nimmt mit der Lauflänge zu, mit dem Strahlimpuls ab und ist proportional zu ν 2/3 . Dieses letzte Ergebnis ist besonders bemerkenswert, weil sich bisher die Dicken aller Grenzschichten stets proportional zu ν 1/2 ergeben haben. Der Unterschied der Freistrahl„Grenzschicht“ zu üblichen Grenzschichten beruht auf der Tatsache, daß beim Freistrahl keine Geschwindigkeit, sondern statt dessen der Strahlimpuls vorgegeben ist. Daher wird bei der in

182

7 Allgemeine Eigenschaften und exakte Lösungen der Grenzschichtgleichungen

Kap. 6 beschriebenen Grenzschicht-Transformation jetzt auch die Geschwindigkeit u∗ einer Transformation unterzogen. Statt Gl. (6.6) lautet die Grenzschicht-Transformation für den Freistrahl y = y ∗ Rep , u = u∗ Req , v = v ∗ Rer . (7.60) Einsetzen in Gl. (6.3) und Vergleich der höchsten Potenzen von Re ergeben p = r − q;

2p = 1 − q .

(7.61)

Wegen der Unabhängigkeit des Strahlimpulses von der Lauflänge x folgt aus Gl. (7.52) 2q + p = 1

(7.62)

mit den Ergebnissen p = q = 1/3, r = 2/3. Die dargestellte ähnliche Lösung beschreibt das Fernfeld eines Freistrahls. In Bild 7.7a ist die Freistrahlströmung skizziert. Dabei wird davon ausgegangen, daß der Strahl am Austritt aus der Wand etwa das Profil einer ausgebildeten Kanalströmung besitzt, also noch nicht das Profil sehr weit stromabwärts aufweist. Im Fernfeld sind jedoch schließlich ähnliche Profile zu erwarten, da der Einfluß des Strahlanfangs abklingt. Bei der dargestellten ähnlichen Lösung handelt es sich also um eine fiktive Strömung, die jedoch das Fernfeld einer realen Strömung beschreibt. Der Ursprung dieser fiktiven Strömung wird jedoch in der Regel nicht bei x = 0 liegen, sondern im virtuellen Ursprung bei x = −L nach Bild 7.7b. In den Berechnungsformeln muß dann x durch  x = x + L ersetzt werden. Messungen von E.N. Andrade (1939) haben die theoretischen Ergebnisse sehr gut bestätigt. Der Strahl ist bis etwa Re = 30 laminar, wobei die Reynolds-Zahl auf die mittlere Ausflußgeschwindigkeit und die Schlitzhöhe bezogen ist.

7.2.7 Wandstrahl Ein Wandstrahl entsteht, wenn ein Strahl an einer Seite längs einer Wand strömt, während auf der anderen Seite Vermischung mit der ruhenden Umgebung stattfindet, Bild 7.8. Auch dafür existiert eine ähnliche Lösung, die wieder Gl. (7.48) genügt, jedoch mit den Randbedingungen: η = 0 : f = 0, f  = 0;

η → ∞ : f = 0.

(7.63)

Es handelt sich wieder um ein Eigenwertproblem. Zur Ermittlung des Eigenwertes α3 wird

Bild 7.8. Geschwindigkeitsprofile des Wandstrahles,  x =x+L a) Parabelförmiges Profil am Austritt b) Fitkive Ersatzströmung mit virtuellem Ursprung

7.2 Ähnliche Lösungen der Grenzschichtgleichungen

183

Gl. (7.48) von η bis ∞ integriert. Das ergibt f  + ff  + (1 + α3 )

∞ f 2 dy = 0 .

(7.64)

η

Diese Gleichung wird jetzt mit f  multipliziert und dann von 0 bis ∞ integriert. Entsprechend wird Gl. (7.48) mit f multipliziert und dann von 0 bis ∞ integriert. Die Kombination der so entstandenen Gleichungen führt zur Beziehung ∞ (2 + α3 ) ff 2 dη = 0 .

(7.65)

0

Da das Integral positiv ist, folgt für den Eigenwert α3 = −2. Von N.I. Akamnov (1953) und M.B. Glauert (1956b) stammt die folgende implizite analytische Lösung der Gl. (7.48) mit α3 = −2 und den Randbedingungen Gl. (7.63):  √ √ √ 1+ f +f 3f η = ln + 3 arctan √ √ . 1− f 2+ f

(7.66)

Dabei wurde die Funktion f (η) durch f (∞) = 1 normiert. Denn wegen der homogenen Randbedingungen ist die Lösung zunächst nicht eindeutig, da zu jeder Lösung f (η) beliebig viele weitere Lösungen der Form Af (Aη) existieren. Die Funktion f (η) liegt durch diese Normierung im Intervall 0 ≤ f (η) ≤ 1. Wichtige Daten der Lösung sind:  = 2−5/3 = 0,315 fmax

bei η = 2,029;

fw =

2 . 9

(7.67)

Mit den Konstanten α1 = 1 und α3 = −2 lassen sich aus Gl. (7.13) die Funktionen UN (ξ ) und δ(ξ ) und schließlich η aus Gl. (7.7) ermitteln:
 UN ν 1/2 =4 ; V Vx

η=

y x




 V x 1/4 . ν

(7.68)

Es muß jetzt noch die Bezugsgeschwindigkeit V festgelegt werden. Im Gegensatz zum Freistrahl ist beim Wandstrahl der Strahlimpuls nicht mehr unabhängig von der Lauflänge, sondern er nimmt wegen der Wandschubspannung mit wachsendem x ab. Es stellt sich jedoch heraus, daß beim Wandstrahl das Produkt von Strahlimpuls und Volumenstrom eine Konstante ist. Man erhält KQb =


∞ 
∞  128 2 20 ν V = F. u2 dy u dy = 9 9 0

(7.69)

0

Für die von N.I. Akamnov (1953) und M.B. Glauert (1956b) eingeführte Wandstrahlkonstante F gilt  ∞
∞ 32 2 F = ν V = u u2 dy dy . (7.70) 5 0

y

Damit erhält man die folgenden Ergebnisse zur Wandstrahlströmung:

184

7 Allgemeine Eigenschaften und exakte Lösungen der Grenzschichtgleichungen


 F 3 1/4 , νx 5
1/2 F , umax = 0,498 xν τw = 0,221

(7.71)

(7.72)


3 3 1/4 ν x , yumax = 3,23 F

(7.73)


F ν 1/4 , v∞ = −0,629 x3

(7.74)

Qb = 2,51(F νx)1/4 .

(7.75)

7.3

Transformation der Koordinaten 7.3.1 Görtler-Transformation Von H. Görtler (1952b) wurden die Grenzschichtgleichungen, Gl. (7.4) und (7.5), folgender Koordinaten-Transformation unterworfen: 1 ξ= ν

x U (x) dx ;

 ψ(x,y) = ν 2ξ f (ξ,η) .

U (x) η = √ y; ν 2ξ

(7.76)

0

Damit ergibt sich für die dimensionslose „bezogene“ Stromfunktion f (ξ,η) die folgende partielle Differentialgleichung fηηη + ffηη + β(ξ )(1 − fη2 ) = 2ξ(fη fξ η − fξ fηη )

(7.77)

mit der sogenannten Hauptfunktion U  (x) β(ξ ) = 2 2 U (x)

x U (x) dx .

(7.78)

0

Dazu gehören die Randbedingungen: η = 0 : f = 0, fη = 0;

η→∞:

fη = 1 .

Die Daten der Außenströmung treten jetzt nicht mehr in den Randbedingungen auf, sondern nur noch in der Hauptfunktion β(ξ ). Für die Keilströmungen mit U (x) ∼ x m reduziert sich die Hauptfunktion auf die Konstante β = 2m/(m + 1) nach Gl. (7.19), wodurch Gl. (7.77) in die Falkner-Skan-Gleichung, Gl. (7.15), für die ähnlichen Lösungen übergeht.

7.3 Transformation der Koordinaten

185

Ein entscheidender Vorteil, Gl. (7.77) statt Gl. (6.38) für eine Grenzschichtberechnung zugrunde zu legen, beruht auf der Tatsache, daß die im allgemeinen an der Vorderkante auftretende Singularität durch die Transformation nach Gl. (7.76) beseitigt ist und die Koordinate η in erster Näherung das Anwachsen der Grenzschichtdicke in Längsrichtung berücksichtigt, was bei einer numerischen Berechnung große Vorteile bietet. Daher gehen zahlreiche numerische Verfahren zur Berechnung von laminaren Grenzschichten von Gl. (7.77) aus, vgl. z.B. H. Schlichting (1982, S. 188). 7.3.2 von Mises-Transformation Eine bemerkenswerte Transformation der Grenzschichtgleichungen ist von R. von Mises (1927) angegeben worden. Statt der kartesischen Koordinaten x und y werden als unabhängige Variable x und die Stromfunktion ψ eingeführt. Führt man in Gl. (7.1) und (7.5) ∂ψ ∂ψ , v=− u= ∂y ∂x und statt x, y die neuen Koordinaten ξ = x, η = ψ ein, so wird ∂u ∂ξ ∂u ∂η ∂u ∂u ∂u = + = −v , ∂x ∂ξ ∂x ∂η ∂x ∂ξ ∂ψ ∂u ∂u ∂ξ ∂u ∂η ∂u = + =0+u . ∂y ∂ξ ∂y ∂η ∂y ∂ψ Man erhält damit aus Gl. (7.1):
 ∂ ∂u ∂u 1 dp + = νu u . u ∂ξ  dξ ∂ψ ∂ψ Führt man weiter noch den „Gesamtdruck“ 1 g = p + u2 2

(7.79)

ein, wobei der sehr kleine Betrag v 2 /2 vernachlässigt ist, so wird, wenn jetzt wieder x für ξ geschrieben wird, ∂g ∂ 2g = νu 2 . (7.80) ∂x ∂ψ Dabei kann noch  2 [g − p(x)] u=  gesetzt werden. Gleichung (7.80) ist jetzt eine Differentialgleichung für den Gesamtdruck g(x,ψ). Die Randbedingungen sind: g = p(x) für ψ = 0

und

g = p(x) +

 2 U = const für ψ = ∞ . 2

186

7 Allgemeine Eigenschaften und exakte Lösungen der Grenzschichtgleichungen

Das Strömungsbild in der x-y-Ebene erhält man, wenn man von ψ auf y übergeht durch die Gleichung  y=

dψ = u



 2

ψ √ ψ=0

dψ . g − p(x)

Die Gl. (7.80) ist derjenigen für die Wärmeleitung verwandt. Es lautet nämlich die eindimensionale Wärmeleitungsgleichung (z.B. für einen Stab mit T als Temperatur, t als Zeit, x als Längenkoordinate und a als Temperaturleitfähigkeit, vgl. Kap. 3) ∂T ∂ 2T =a 2 . ∂t ∂x

(7.81)

Allerdings ist im vorliegenden Fall keine Linearität vorhanden, denn die an Stelle der Temperaturleitfähigkeit a auftretende Größe νu hängt sowohl von der unabhängigen Variablen x als auch von der abhängigen Variablen g ab. An der Wand mit ψ = 0, u = 0, g = p hat die Gl. (7.80) eine unbequeme Singularität. Die linke Seite wird ∂g/∂x = dp/dx  = 0. Auf der rechten Seite ist u = 0, also ∂ 2 g/∂ψ 2 = ∞. Dies ist für die numerische Auswertung recht störend und steht in innerem Zusammenhang mit der Wandbindung des Geschwindigkeitsprofiles, Gl. (7.2). Eine eingehende Diskussion der Gl. (7.80) ist von L. Prandtl (1938) gegeben worden, der diese Transformation schon lange Zeit vor dem Erscheinen der v. Misesschen Arbeit besessen hat, aber nicht veröffentlicht hatte1 . Die praktische Erprobung der Gl. (7.80) ist von H.J. Luckert (1933) an dem Beispiel der Blasiusschen Plattengrenzschicht ausgeführt worden. Eine Kritik dieser Ergebnisse geben L. Rosenhead; J.H. Simpson (1936). Für die Grenzschicht mit Druckanstieg ist die v. Mises-Gleichung (7.80) von A.R. Mitchell; J.Y. Thomson (1958) mittels eines numerischen Verfahrens integriert worden. Dabei wurde der Singularität an der Wand durch eine geeignete Reihenentwicklung des Geschwindigkeitsprofiles in Wandnähe Rechnung getragen, wobei die Wandbindungen berücksichtigt wurden. 7.3.3 Crocco-Transformation Von L. Crocco (1946) stammt der Vorschlag, statt y die Größe ∂u/∂y als unabhängige Variable zu wählen. Dieses hat den Vorteil, daß dann das Integrationsgebiet endlich ist. Auch hierbei treten jedoch an den Rändern Singularitäten auf, vgl. dazu W. Schönauer (1963).

1 Vgl. die Fußnote bei L. Prandtl (1938) auf S. 79 sowie die Zuschrift von L. Prandtl in der

ZAMM Bd. 8 (1928, S. 249).

7.4 Reihenentwicklungen der Lösungen

187

7.4

Reihenentwicklungen der Lösungen 7.4.1 Blasius-Reihe Die bisher behandelten „ähnlichen“ Lösungen der Grenzschichtgleichungen umfassen nur eine verhältnismäßig enge Klasse von Lösungen. Für allgemeine Grenzschichten mit beliebiger Geschwindigkeitsverteilung U (x) der Außenströmung wurde schon sehr früh von H. Blasius (1908) ein Berechnungsverfahren angegeben, das auf einer Reihenentwicklung der Lösung in Potenzen von x basiert. Man spricht deshalb von der Blasius-Reihe. Dieses Verfahren wurde später von K. Hiemenz (1911) und L. Howarth (1935) weiter ausgebaut. Dabei wird die Geschwindigkeitsverteilung U (x) der Außenströmung als Potenzreihe von x angesetzt, wobei x die längs der Körperkontur gemessene laufende Koordinate ist. Die Geschwindigkeitsverteilung in der Grenzschicht wird dann als eine ebensolche Potenzreihe von x dargestellt, deren Koeffizienten noch Funktionen von der senkrecht zur Wand gemessenen y-Koordinate sind. Dabei ist es L. Howarth gelungen, den Ansatz für die Geschwindigkeitsverteilung in der Grenzschicht so zu finden, daß die von y abhängigen Koeffizientenfunktionen universellen Charakter haben, d.h. unabhängig von den speziellen Daten des umströmten Körpers sind. Dadurch wurde es möglich, diese Funktionen „auf Vorrat“ zu berechnen. Die Ermittlung des Grenzschichtverlaufes für einen vorgegebenen Körper wird dann unter Benutzung dieser ein für allemal tabulierten Funktionen recht einfach, vorausgesetzt daß die Vertafelung dieser Funktionen auf genügend viele Reihenglieder ausgedehnt worden ist. Wegen des hohen Standes der numerischen Verfahren für Grenzschichtberechnungen hat die Berechnung mittels der Blasius-Reihe heute nur noch geringe praktische Bedeutung. Es werden daher nur wenige Ergebnisse mitgeteilt, ansonsten wird auf die ausführliche Darstellung bei H. Schlichting (1965a, S. 145) verwiesen. Für eine symmetrische Körperumströmung sei die Geschwindigkeitsverteilung der Außenströmung durch die Reihenentwicklung U (x) = u1 x + u3 x 3 + u5 x 5 + ×s

(7.82)

gegeben. Die Koeffizienten u1 ,u3 , . . . hängen nur von der Körpergeometrie ab und sind als bekannt anzusehen. Die Kontinuitätsgleichung wird durch Einführen einer Stromfunktion ψ(x,y) erfüllt. Es ist naheliegend, in Analogie zu Gl. (7.76) für ψ(x,y) ebenfalls eine Potenzreihe in x anzusetzen mit Koeffizienten, die von y abhängig sind. Der Reihenansatz erfolgt nun so, daß die von y abhängigen Funktionen nicht mehr von den Koeffizienten u1 ,u3 , . . . der Außenströmung abhängen und damit universell sind. Diese Funktionen wurden von A.N. Tifford (1954) bis zur Potenz x 11 berechnet, vgl. H. Schlichting (1965a, S. 148). Mit diesen Funktionen erhält man für die Wandschubspannung

188

7 Allgemeine Eigenschaften und exakte Lösungen der Grenzschichtgleichungen

√



u3 0,7244 u1
 u2 u5 + 6x 5 0,6347 + 32 0,1192 u1 u1
 u33 u 3 u5 7 u7 0,5792 + 2 0,1829 + 3 0,0076 + 8x u1 u1 u1  + ×s .

τw (x) = u1 νu1 x × 1,2326 + 4x 3

(7.83)

Entsprechende Formeln lassen sich auch für dieVerdrängungsdicke δ1 (x) und weitere globale Grenzschichtkenngrößen angeben. Der Anwendungsbereich der Blasius-Reihe ist dadurch stark eingeschränkt, daß man gerade für die praktisch besonders interessierenden schlanken Körperformen (z.B. Tragflügelprofile) sehr viele Reihenglieder benötigt, mehr als sich mit erträglichem Rechenaufwand vertafeln lassen. Dies liegt daran, daß bei schlanken Körperformen in der Nähe des vorderen Staupunktes die Außengeschwindigkeit zunächst sehr steil ansteigt und sich weiter hinten über eine größere Strecke nur wenig ändert. Eine solche Funktion kann aber nur schlecht durch eine Potenzreihe mit wenigen Gliedern dargestellt werden. Ein weiterer Nachteil der Blasius-Reihe bezieht sich auf die Berechnung des Ablösungspunktes, d.h. des Punktes mit τw = 0. Bei Vorgabe der Funktion U (x) tritt im Ablösungspunkt eine Singularität auf. Wie S. Goldstein (1948b) gezeigt hat, gilt in Ablösungsnähe √ lim τw (x) ∼ xA − x , (7.84) x→xA

wobei xA den Ablösungspunkt kennzeichnet. Die Wandschubspannung strebt also mit vertikaler Tangente gegen null. Eine Fortsetzung der Grenzschichtberechnung über den Ablösungspunkt hinaus ist daher nicht möglich. Das singuläre Verhalten nach Gl. (7.84) ist durch eine Potenzreihe nicht darstellbar. Daher muß die BlasiusReihe bei Annäherung an den Ablösungspunkt ungenau werden. Die Blasius-Reihe ist von L. Howarth (1935) auch auf unsymmetrische Fälle, d.h. U (x) auch mit geraden Potenzen, erweitert worden. Die Klasse der Außenströmungen mit U (x) = U0 − ax n (n = 1, 2, 3, . . .) (7.85) wurde von L. Howarth (1938) und I. Tani (1949) mit Reihenentwicklungen behandelt. Im einfachsten Fall n = 1 ist eine Deutung als Strömung in einem Kanal möglich, der aus einem Teil mit parallelen Wänden (Geschwindigkeit U0 ) und einem daran anschließendem konvergenten (a < 0) oder divergenten (a > 0) Teil besteht. Schreibt man Gl. (7.85) für n = 1 in der Form U (x) = U0 (1 − x/ l), so kann dieses als eine Strömung längs einer ebenen Wand gedeutet werden, die bei x = 0 beginnt und die bei x = l senkrecht auf einer zweiten unendlich ausgedehnten Wand aufsitzt nach der Art der „verzögerten Staupunktströmung“ von Bild 2.10b mit dem Staupunkt bei x = l. Auf Beispielrechnungen wird im Kap. 8 eingegangen.

7.5 Asymptotisches Verhalten der Lösungen stromabwärts

189

7.4.2 Görtler-Reihe Von H. Görtler (1952b, 1957a) wurde eine Reihenentwicklung für die Lösung der Grenzschichtgleichung angegeben, die von der Gl. (7.77) ausgeht. Dabei wird vorausgesetzt, daß die Hauptfunktion β(ξ ) als Potenzreihe von ξ darstellbar ist. Auch hierbei gelingt es, die Lösung in Form von universellen Funktionen zu beschreiben, die von H. Görtler (1957b) vertafelt worden sind. Die Görtler-Reihe zeigt gegenüber der Blasius-Reihe deutlich besseres Konvergenz-Verhalten. Bereits das erste Glied der Reihe gibt eine brauchbare Approximation der Grenzschicht von der Vorderkante bis weit stromabwärts. Dieses erste Glied ist ein Hartree-Profil (β0 = β(ξ = 0)) aus der Familie der Keilströmungen. Auf Beispielrechnungen wird in Kap. 8 eingegangen.

7.5

Asymptotisches Verhalten der Lösungen stromabwärts Im folgenden soll das asymptotische Verhalten von Grenzschichtlösungen weit stromabwärts untersucht werden. Auch hierbei handelt es sich um Reihenentwicklungen der Lösungen, jedoch jetzt für große Werte x. Dabei wird hauptsächlich das führende Glied dieser Entwicklung betrachtet, welches das asymptotische Verhalten der Lösung für x → ∞ wiedergibt. 7.5.1 Nachlauf hinter ebenen Körpern Wie die Beispiele der Trennungsschicht und des Freistrahles zeigten, ist die Anwendung der Grenzschichtgleichungen nicht unbedingt an das Vorhandensein von festen Wänden gebunden. Sie können auch verwendet werden, wenn im Innern der Strömung eine Schicht mit überwiegender Reibungswirkung vorhanden ist. Ein derartiges Beispiel ist auch die Nachlaufströmung hinter einem ebenen Körper nach Bild 7.9. Hier wurde als Körper die ebene Platte der Länge l gewählt. Die beiden

Bild 7.9. Nachlauf hinter einem

ebenen Körper

190

7 Allgemeine Eigenschaften und exakte Lösungen der Grenzschichtgleichungen

Grenzschichten auf der Ober- bzw. Unterseite des Körpers wachsen an der Hinterkante zusammen und bilden weiter stromabwärts ein Nachlaufprofil, dessen Breite mit wachsendem Abstand zunimmt und dessen Dellentiefe abnimmt. Im übrigen ist aber, wie wir sehen werden, die Form der Geschwindigkeitsverteilung im Nachlauf, auch Windschatten genannt, für x → ∞ bis auf einen Maßstabsfaktor unabhängig von der Gestalt des Körpers. Die asymptotische Entwicklung für x → ∞ wurde von W. Tollmien (1931) angegeben. Da die Dellentiefe mit wachsendem x laufend abnimmt, kann für x → ∞ angenommen werden, daß der Geschwindigkeitsdefekt u1 (x,y) = U∞ − u(x,y)

(7.86)

klein ist im Vergleich zu U∞ , so daß man quadratische Glieder von u1 und dem entsprechenden v1 vernachlässigen kann. Da weit stromabwärts der Druck konstant ist, erhält man aus der Grenzschichtgleichung (7.4) durch Einführen von Gl. (7.86) und Vernachlässigung der in u1 und v1 quadratischen Glieder U∞

∂ 2 u1 ∂u1 =ν 2 ∂x ∂y

(7.87)

mit den Randbedingungen y=0:

∂u1 = 0; ∂y

y → ∞ : u1 = 0 .

Es handelt sich jetzt um eine lineare partielle Differentialgleichung. Diese Linearität ist charakteristisch für die Berechnung kleiner Störungen. Die Differentialgleichung ist wie Gl. (7.80) wieder mit der instationären Wärmeleitungsgleichung identisch. Mit dem Ansatz 
−m x y U∞ u1 = U∞ C (7.88) F (η) , η= l 2 νx erhält man für die Funktion F (η) die Differentialgleichung F  + 2ηF  + 4mF = 0

(7.89)

mit den Randbedingungen η = 0 : F  = 0;

η → ∞ : F = 0.

Der noch unbekannte Exponent m (Eigenwert) läßt sich aus einer globalen Impulsbilanz um den Körper nach Bild 7.9 bestimmen. Die rechteckige Kontrollfläche AA1 B1 B wird so weit entfernt vom Körper gelegt, daß auf ihr der ungestörte Druck herrscht und folglich Druckkräfte keinen Beitrag zur Impulsbilanz liefern. Bei der Berechnung des Impulsflusses durch die Kontrollfläche ist zu beachten, daß aus Kontinuitätsgründen Fluid oben und unten ausströmen muß, nämlich derjenige Volumenstrom, der durch den Querschnitt B1 B weniger fließt als durch Querschnitt A1 A. Die Impulsbilanz ist in Tabelle 7.2 angegeben, wobei eintretende Volumenströme positiv

7.5 Asymptotisches Verhalten der Lösungen stromabwärts

191

Tabelle 7.2. Bilanz für Volumenstrom und x-Impuls zur Kontrollfäche nach Bild 7.9

Querschnitt

Volumenstrom

x-Impuls

0

AB A A1

b

0 h

U∞ dy

b

0

−b

B B1

0

h -b u2 dy

u dy

0 h

0

−b (U∞ − u) dy

A1 B1 

h



= Kontrollfläche

h 2 U∞ dy

−b

0



Volumenstrom = 0

h

U∞ (U∞ − u) dy

0

Impulsfluß = Widerstand

und austretende Volumenströme negativ gezählt werden. Dann entspricht der Widerstand gleich dem gesamten Impulsfluß. Damit ergibt sich +∞ W = b u(U∞ − u) dy .

(7.90)

−∞

Dabei dürfen die Integrationsgrenzen statt y = ±h auch y = ±∞ gesetzt werden, da für |y| > h der Integrand in Gl.(7.90) verschwindet. Mit dem Ansatz (7.88) folgt aus Gl. (7.90)
−m  +∞ +∞ x νx 2 W ≈ b U∞ u1 dy = 2bU∞ C F (η) dη . l U∞ −∞

(7.91)

−∞

Da diese Bilanz von x unabhängig sein muß, folgt m = 1/2. Die somit festgelegte Gl. (7.89) (7.92) F  + 2ηF  + 2F = 0 ergibt nach einmaliger Integration F  + 2ηF = 0 mit der Lösung F (η) = e−η . 2

Mit dem Integral

(7.93)

+∞ +∞ √ 2 F (η) dη = e−η dη = π −∞

−∞

folgt aus Gl. (7.91) für den Widerstandsbeiwert cW =

√ 4 πC W  = .  2 U∞ l 2 U∞ bl ν

(7.94)

192

7 Allgemeine Eigenschaften und exakte Lösungen der Grenzschichtgleichungen

Damit lautet die endgültige Lösung für die Defektgeschwindigkeit im Nachlauf eines Körpers mit dem Widerstandsbeiwert cW : u1 (x,y) cW = √ U∞ 4 π




 1 U ∞ l x − 2 − y 2 U∞ e 4xν . ν l

(7.95)

Aus Gl. (7.88) folgt für die halbe Halbwertsbreite der Delle  νx , y0,5 = 1,7 U∞

(7.96)

√ d.h. auch hier ist die Breite der Reibungsschicht proportional zu ν. Bemerkenswert ist, daß trotz der Verbreiterung der Nachlaufdelle der im Nachlauf fehlende Volumenstrom von x unabhängig ist, d.h. daß bei dieser Strömung kein seitlicher Einsaugeffekt (engl.: entrainment) auftritt. Der zur Kompensation seitlich aus der Kontrollfläche austretende Volumenstrom verläßt diese also bereits im Nahfeld des Körpers, jedenfalls nicht mehr im durch die Lösung (7.95) beschriebenen Fernfeld. Diese Lösung ist etwa für x > 3l gültig. Für die Erweiterung dieser Lösung auf kleinere x-Werte vgl. S.A. Berger (1971), S. 237. Die Nachlaufströmungen sind in den meisten praktischen Fällen turbulent, da die Geschwindigkeitsprofile im Nachlauf Wendepunkte besitzen, daher besonders instabil sind und infolgedessen schon bei verhältnismäßig kleinen Reynolds-Zahlen in den turbulenten Strömungszustand übergehen, vgl. Kap. 15. Anmerkung (Strahl in Parallelströmung) Die Nachlauf-Lösung gilt auch für das asymptotische Abklingen einer Freistrahlströmung in einer gleichgerichteten Parallelströmung. Statt des Widerstandsbeiwertes cW erscheint dann ein analog definierter Strahlimpulsbeiwert cµ , und u1 (x,y) hat die Bedeutung einer Übergeschwindigkeit.

7.5.2 Grenzschicht an einer bewegten Wand Bewegt sich ein Körper durch eine ruhende Umgebung nahe einem unendlich ausgedehnten Boden parallel zu diesem Boden (z.B. Bodenfahrzeug, Tragflügel in Bodennähe), bildet sich am Boden eine Reibungsschicht. Diese wurde von E. Beese (1984) ausführlich untersucht. In einem mit dem Körper fest verbundenen Koordinatensystem herrscht sehr weit hinter dem Körper Parallelströmung, da sich der Boden mit der Geschwindigkeit der Anströmung U∞ bewegt. Kleine Abweichungen der Geschwindigkeit von der konstanten Geschwindigkeit U∞ beim Abklingen der Bodengrenzschicht für x → ∞ gehorchen daher wieder der Differentialgleichung (7.87), jetzt jedoch mit den Randbedingungen y = 0 : u1 = 0,

y → ∞ : u1 = 0 .

7.6 Integralsätze der Grenzschicht

193

Mit dem Ansatz Gl. (7.88) erhält man wieder Gl. (7.89), diesmal mit dem Eigenwert m = 1. Die Differentialgleichung F  + 2ηF  + 4F = 0 mit den Randbedingungen η = 0 : F = 0;

η→∞: F =0

hat die Lösung F = Cηe−η , 2

wobei der Faktor C von der Vorgeschichte der Grenzschicht weiter stromaufwärts abhängt. Anmerkung (Beginn der Bodengrenzschicht) Der Beginn einer Bodengrenzschicht unter einem Körper mit Auftrieb läßt sich nach E. Beese (1984) ebenfalls als Störung der Parallelströmung mittels einer zu Gl. (7.87) analogen linearisierten Grenzschichtgleichung, die jedoch dann auch das Druckglied enthält, bestimmen.

7.6

Integralsätze der Grenzschicht In vielen praktischen Fällen interessieren nicht die Einzelheiten des Geschwindigkeitsfeldes innerhalb der Grenzschicht, sondern nur gewisse Integralwerte der Grenzschicht, die zwar noch von der Lauflänge x abhängen, aber „Globalwerte“ bezüglich der y-Abhängigkeiten darstellen. Derartige zur globalen Beschreibung der Grenzschicht geeignete Integralwerte erhält man aus einer Integration der Grenzschichtgleichung bezüglich y über die Grenzschichtdicke. 7.6.1 Impulssatz der Grenzschicht Zur Herleitung des Impulssatzes der Grenzschicht gehen wir von den Gl. (7.4) und (7.5) aus, d.h. wir beschränken uns zunächst auf die ebene, stationäre, inkompressible Strömung. Durch Integration von Gl. (7.4) von y = 0 (Wand) bis y = h, wobei die Schicht y = h überall außerhalb der Grenzschicht liegt, erhält man  h
∂u dU ∂u τw +v −U u dy = − . ∂x ∂y dx 

(7.97)

y=0

Dabei ist für µ(∂u/∂y)w die Wandschubspannung τw eingeführt worden. Nach der Kontinuitätsgleichung kann die Quergeschwindigkeit v ersetzt werden durch v = y − 0 (∂u/∂x)dy, so daß man erhält:

194

7 Allgemeine Eigenschaften und exakte Lösungen der Grenzschichtgleichungen

y


∂u ∂u − u ∂x ∂y

y

dU ∂u dy − U ∂x dx

 dy = −

τw . 

0

y=0

Eine Umformung durch partielle Integration liefert für das zweite Glied h


∂u ∂y

y

 h h ∂u ∂u ∂u dy dy = U dy − u dy , ∂x ∂x ∂x

0

y=0

0

0

so daß man erhält h
2u

∂u dU ∂u −U −U ∂x ∂x dx

 dy = −

τw . 

0

Dieses läßt sich zusammenfassen zu h

dU ∂ [u(U − u)] dy + ∂x dx

0

h (U − u) dy =

τw . 

0

Da in beiden Integralen außerhalb der Grenzschicht der Integrand verschwindet, kann man auch h → ∞ gehen lassen. Wir führen jetzt die schon in Kap. 6 benutzten Größen Verdrängungsdicke δ1 und Impulsverlustdicke δ2 ein durch die Gleichungen ∞ δ1 U =

(U − u) dy

(Verdrängungsdicke)

(7.98)

y=0

und

∞ δ2 U =

u(U − u) dy

2

(Impulsverlustdicke) .

(7.99)

y=0

Im ersten Glied der obigen Gleichung darf die Differentiation nach x und die Integration nach y vertauscht werden, da die obere Grenze h von x unabhängig ist. Somit ergibt sich τw d dU (U 2 δ2 ) + δ1 U = dx dx 

.

(7.100)

Dieses ist der Impulssatz für die ebene inkompressible Grenzschicht. In dieser Form gilt er sowohl für laminare als auch für turbulente Grenzschichten. In der hier gegebenen Schreibweise wurde er zuerst von E. Gruschwitz (1931) angegeben. Er wird bei den Näherungsverfahren für die Berechnung sowohl der laminaren als auch der turbulenten Grenzschicht Verwendung finden, vgl. Kap. 8 und 18.4.

7.6 Integralsätze der Grenzschicht

195

7.6.2 Energiesatz Analog zum Impulssatz ist von K. Wieghardt (1948) ein Energiesatz für die laminare Grenzschicht angegeben worden. Man erhält ihn, wenn man die Bewegungsgleichung zunächst mit u multipliziert und sodann von y = 0 bis y = h > δ(x) integriert. Dies liefert, wenn man sogleich wieder v nach der Kontinuitätsgleichung einsetzt: h  

∂u −u u ∂x ∂y 2 ∂u


y

0

  h 2 dU ∂ u ∂u dy − uU dy = µ u 2 dy . ∂x dx ∂y

0

0

Das zweite Glied läßt sich durch partielle Integration umformen zu h 

∂u u ∂y


y

0

∂u dy ∂x

 dy =

1 2

0

h (U 2 − u2 )

∂u dy , ∂x

0

während die Zusammenfassung des ersten und dritten Gliedes ergibt: h 

 h dU d 1 − uU u (u2 − U 2 ) dy . u dy = ∂x dx 2 dx 2 ∂u

0

0

Formt man auch noch die rechte Seite durch partielle Integration um, so erhält man 1 d  2 dx

∞


∞ u(U − u ) dy = µ 2

2

0

∂u ∂y

2 dy .

(7.101)

0

Auch hier konnte die obere Grenze der Integrale wieder durch y = ∞ ersetzt werden, da außerhalb der Grenzschicht die Integranden gleich null sind. Die Größe µ(∂u/∂y)2 gibt die pro Volumen- und Zeiteinheit durch Reibung in Wärme umgewandelte Energie (Dissipation, vgl. Kap. 3.10). Auf der linken Seite bedeutet (U 2 − u2 )/2 den Verlust an mechanischer Energie (kinetischer Energie), den die Reibungsschicht gegenüber der Potentialströmung erlitten hat. Es ist somit ∞ (/2) 0 u(U 2 − u2 ) dy der Energieverluststrom, und die linke Seite stellt die Änderung des Energieverluststromes pro Längeneinheit in der x-Richtung dar. Führt man die Energieverlustdicke δ3 durch ∞ U δ3 =

u(U 2 − u2 ) dy

3

0

(Energieverlustdicke)

(7.102)

196

7 Allgemeine Eigenschaften und exakte Lösungen der Grenzschichtgleichungen

ein, so erhält man aus Gl. (7.101): d (U 3 δ3 ) = 2ν dx

∞


∂u ∂y

2 dy

(7.103)

0

oder wegen τ = µ(∂u/∂y) 2 d (U 3 δ3 ) = dx 

∞ τ

∂u 2 dy = D . ∂y 

(7.104)

0

Das durch Gl. (7.104) definierte Integral D wird als Dissipationsintegral bezeichnet. Dies ist der Energiesatz für die ebene Grenzschicht bei inkompressibler Strömung. In der Form von Gl. (7.104) gilt er auch für die turbulente Grenzschicht. Man kann nach K. Wieghardt (1948) noch weitere Integralsätze für die Grenzschicht aufstellen, wenn man die Grenzschichtgleichung mit einer beliebigen Potenz un (n = 0, 1, 2 . . .) multipliziert und dann die Integration über die Grenzschichtdicke durchführt. Die Aussagekraft der so gewonnenen Integralsätze nimmt jedoch mit wachsendem n ab, so daß hauptsächlich die beiden genannten Sätze für n = 0 (Impulssatz) und n = 1 (Energiesatz) in der Praxis verwendet werden, vgl. auch A. Walz (1966, S. 78). 7.6.3 Impulsmomentensätze Eine Familie von n Impulsmomentensätzen läßt sich erzeugen, wenn man die Grenzschichtgleichung zunächst mit der Potenz y n multipliziert und dann über die Grenzschichtdicke integriert. Wenn man noch die v-Komponente mittels der Kontinuitätsgleichung eliminiert, ergibt sich ∞ 

∂u ∂u − u ∂x ∂y

0

y

 ∞ dU n ∂u 1 ∂τ n dy − U y dy . y dy = ∂x dx  ∂y

0

(7.105)

0

Der Fall n = 0 entspricht dem Impulssatz. Für n = 1 läßt sich der Impulsmomentensatz auch in folgender Form schreiben: d dx

 ∞



∞ 

u(U − u)y dy + 0


y ∂ (U − u) Uy + u dy dy ∂x

0

1 = 

0

∞ τ dy . 0

(7.106)

7.6 Integralsätze der Grenzschicht

197

In der Anwendung wird dieser Satz manchmal dem Energiesatz bevorzugt, da im allgemeinen das in Gl. (7.106) auftretende Integral über der Schubspannung einfacher bestimmbar ist als das Dissipationsintegral in Gl. (7.104). Für laminare Strömungen gilt für die rechte Seite von Gl. (7.106) einfach νU . Die genannten Integralsätze werden bei den Integralverfahren benutzt, auf die in Kap. 8 und 18.4 eingegangen wird.

8 Näherungsverfahren zur Lösung der Grenzschichtgleichungen für stationäre ebene Strömungen Vorbemerkung. Zur Berechnung der Strömung in der Grenzschicht müssen im

allgemeinen partielle Differentialgleichungen gelöst werden. Dafür stehen heute bereits sehr effektive und genaue numerische Verfahren zur Verfügung, wie in Kap. 23 gezeigt wird. Bei vielen praktischen Problemen ist es jedoch gar nicht erforderlich, die „exakten“ Lösungen der Grenzschichtgleichungen zu ermitteln, sondern es genügt, die Ergebnisse „bis auf wenige Prozent genau“ zu kennen. Mit folgender Überlegung können Näherungslösungen der Grenzschichtgleichungen gewonnen werden. Als Grundlage dienen dabei die in Kap. 7.6 hergeleiteten Integralsätze der Grenzschicht. Diese können als gewöhnliche Differentialgleichungen für die integralen Kenngrößen, wie z.B. Verdrängungsdicke δ1 oder Impulsverlustdicke δ2 , sowie für die Wandschubspannung τw und das Dissipationsintegral D aufgefaßt werden. Zunächst enthält jedoch jede Gleichung mehr als eine Unbekannte, so daß diese Integralsätze nicht ausreichen, die genannten Kenngrößen der Grenzschicht zu berechnen. Um nun weitere Bestimmungsgleichungen zu erhalten, folgt jetzt eine Näherungsannahme: Es wird unterstellt, daß die Geschwindigkeitsprofile alle aus einer bestimmten „Profilfamilie“ stammen, d.h. Profile aus einer vorgegebenen Anzahl von möglichen Profilen sind. Die einzelnen Profile der Profilfamilie unterscheiden sich durch einen oder mehrere Parameter, weshalb von einer ein- bzw. mehrparametrigen Profilfamilie gesprochen wird. Über diese Annahmen ergeben sich Zusammenhänge zwischen den Grenzschicht-Kenngrößen und den Profilparametern, die damit letztlich als einzige gesuchte Funktionen der Lauflänge übrigbleiben. Wieviele Gleichungen zu den Integralsätzen noch hinzugenommen werden müssen, hängt unmittelbar von der Anzahl der Profilparameter ab. Die auf dieser Vorgehensweise basierenden Näherungsverfahren heißen Integralverfahren. Der wesentliche Unterschied zwischen den vielen in der Vergangenheit entstandenen Verfahren besteht in der Vorgabe der Profilfamilien und in der Verwendung der verschiedenen Integralsätze. Im folgenden wird konkret ein Integralverfahren vorgestellt, bei dem eine einparametrige Profilfamilie verwendet wird.

8.1

Integralverfahren Wie bereits erwähnt, unterscheiden sich die einzelnen Integralverfahren hauptsächlich durch die Vorgabe der Profilfamilien. Häufig werden Potenzansätze zur Beschrei-

200

8 Näherungsverfahren zur Lösung der Grenzschichtgleichungen

bung der Geschwindigkeitsprofile gewählt. So wurde in dem ersten Integralverfahren überhaupt ein Polynom 4. Grades verwendet, was unter Berücksichtigung der Randbedingungen letztlich auf eine einparametrige Profilfamilie führt. Dieses erste Integralverfahren basiert auf zwei Arbeiten von Th. v. Kármán (1921) und K. Pohlhausen (1921), weshalb die Integralverfahren häufig auch als Karman-Pohlhausen-Verfahren bezeichnet werden. Hier soll eine andere Profilfamilie ausgewählt werden, die A. Walz (1966) in seinem Integralverfahren verwendet hat. Dabei wird unterstellt, daß das Geschwindigkeitsprofil jeweils lokal einem Hartree-Profil entsprechen soll. Dies wird auch als „lokale Ähnlichkeit“ bezeichnet. Diese Profile sind Lösungen der einparametrigen Falkner-Skan-Gleichung (7.15), stellen damit also eine einparametrige Profilfamilie mit dem Parameter β dar. Das Integralverfahren beruht auf dem Impulssatz entsprechend Gl. (7.100) d τw dU (U 2 δ2 ) + δ1 U = . (8.1) dx dx  Mit der Ähnlichkeitsvariablen nach Gl. (7.21)  y η= , δN (x)

δN (x) =

2νx U (m + 1)

(8.2)

erhält man für die in Gl. (8.1) auftretenden Grenzschicht-Kenngrößen folgende Zusammenhänge mit dem Parameter β: Vedrängungsdicke nach Gl. (7.98):  δ1 = β1 δN ,

∞

β1 =

(1 − f  )dη = lim (η − f )

(8.3)

fw − ββ1 1+β

(8.4)

η→∞

0

Impulsverlustdicke nach Gl. (7.99):  δ2 = β2 δN ,

∞

β2 =

(1 − f  )f  dη =

0

Wandschubspannung:


 ∂u τw νU  =ν = f .  ∂y w δN w

(8.5)

Dabei sind die Größen β1 (β), β2 (β) und fw “(β) Funktionen des Parameters β, wie auch aus Tabelle 8.1 zu entnehmen ist. Die Größe δN ist ein Maß für die Grenzschichtdicke. Sie ist proportional zur Dicke δ99 , wobei der Proportionalitätsfaktor β99 noch von β abhängt, vgl. Tabelle 8.1. Es gilt δ99 = β99 δN .

(8.6)

m = 2/(2 − β) β1 nach Gl. (8.3)

 = ββ22 β2 nach Gl. (8.4)

Es gelten folgende Beziehungen:

F1 = 2β2 fw β2 = (fw − ββ1 )/(1 + β) F2 nach Gl. (8.19a) βD nach Gl. (8.11)

H12 = β1 /β2 βD = (β + 0,5)β3

H32 = β3 /β2 β99 nach Gl. (8.6)

Tabelle 8.1. Kenngrößen der Lösungen der Falkner-Skan-Gleichung (7.15) mit den Randbedingungen (7.16), der sogen. Hartree-Profile.

8.1 Integralverfahren 201

202

8 Näherungsverfahren zur Lösung der Grenzschichtgleichungen

Setzt man die in Gl. (8.3) bis (8.5) gewonnenen Ergebnisse in Gl. (8.1) ein, so folgt:
 d(β2 δN ) β1 β2 δN dU ν + 2+ = f  . (8.7) dx β2 U dx U δN w Diese Gleichung enthält jedoch immer noch zwei Unbekannte, nämlich die Skalierungsfunktion δN (x) und den Parameter β(x). Es wird also noch eine weitere Gleichung benötigt. Hier wird die Wandbindung nach Gl. (7.2) verwendet, die bei Berücksichtigung der Bernoulli-Gleichung für die Außenströmung nach Gl. (6.33) lautet:
2  ∂ u dU ν . (8.8) = −U ∂y 2 w dx Für die Hartree-Profile folgt daraus: fw = −

2 δN dU = −β . ν dx

(8.9)

Bei vorgegebenen Funktionen U (x) stellen Gl. (8.7) und (8.9) zwei Bestimmungsgleichungen für die beiden gesuchten Funktionen δN (x) und β(x) dar. Mit diesen Funktionen lassen sich dann aus Gl. (8.3) bis (8.5) die weiteren GrenzschichtKenngrößen ermitteln. Auch die Energieverlustdicke nach Gl. (7.102)  ∞ β3 (β) = (1 − f 2 )f  dη (8.10) δ3 = β3 δN , 0

oder das Dissipationsintegral U2 D = βD µ , δN

 βD (β) =

∞

f 2 dη

(8.11)

0

und schließlich die einzelnen Geschwindigkeitsprofile lassen sich aus δN (x) und β(x) bestimmen. Statt δN (x) und β(x) zu ermitteln, werden nach A. Walz (1966) zwei neue Funktionen Z(x) und (x) als abhängige Variable eingeführt, die wie folgt definiert sind: δ22 U, ν 
δ2 ∂ 2 u (x) = − 2 . U ∂y 2 w

Z(x) =

(8.12) (8.13)

Die Größe Z(x) hat die Dimension einer Länge und stellt einen Dickenparameter dar, (x) ist dimensionslos und hat die Eigenschaft eines Profilparameters. Für die Hartree-Profile folgt aus Gl. (8.13) (β) = −β22 (β)fw (β) = β β22 (β) ,

(8.14)

d.h. zwischen  und β existiert für die Hatree-Profilfamilie ein fester Zusammenhang. Da also  wie β die Form des Geschwindigkeitsprofils festlegt, wird  auch als Formparameter bezeichnet.

8.1 Integralverfahren

203

Die Gleichungen (8.7) und (8.9) lassen sich jetzt als Bestimmungsgleichungen für die unbekannten Funktionen Z(x) und (x) darstellen: dZ Z dU + (3 + 2H12 ) = F1 () , dx U dx Z dU = U dx

(8.15) (8.16)

mit H12 () =

δ1 β1 = δ2 β2

(8.17)

2τw δ2 = 2β2 fw . νU

(8.18)

und F1 () = Zusammengefaßt folgt daraus dZ = F2 () dx

(8.19)

F2 () = F1 () − [3 + 2H12 ()] .

(8.19a)

mit Für die Hartree-Profile sind die Funktionen F1 (), H12 () und vor allem F2 () in Tabelle 8.1 wiedergegeben. Die Gleichungen (8.16) und (8.19) stellen ein gekoppeltes System von zwei Gleichungen für die beiden gesuchten Funktionen Z(x) und (x) dar, wobei die Kombination (dU/dx)/U vorgegeben ist. Es handelt sich um die Lösung einer gewöhnlichen Differentialgleichung erster Ordnung, deren numerische Lösung wesentlich einfacher ist als die Lösung der partiellen Differentialgleichung für das Geschwindigkeitsfeld. Dieses so formulierte Integralverfahren hat den besonderen Vorteil, daß es für alle Keilströmungen die exakten Lösungen liefert. Der entscheidende Vorteil der Einführung der Funktionen Z(x) und (x) besteht darin, daß die Funktion F2 () einen nahezu linearen Kurvenverlauf zeigt, wie aus Bild 8.1 ersichtlich ist. Wird der Verlauf von F2 () durch die lineare Beziehung

Bild 8.1. Funktion F2 () nach Gl. (8.19a), vgl. auch Tabelle 8.1. ST: Staupunkt; GD: Gleichdruck; AB: Ablösungspunkt

204

8 Näherungsverfahren zur Lösung der Grenzschichtgleichungen

F2 () = a − b

(8.20)

approximiert, ergibt sich aus Gl. (8.19) und (8.16) die Differentialgleichung b dU dZ + Z = a, dx U dx

(8.21)

deren Lösung explizit angegeben werden kann. Man erhält folgende QuadraturFormel    x U (xi ) b a Z(x) = Z(xi ) + [U (x)]b dx , (8.22) U (x) [U (x)]b xi wobei Z(xi ) der Wert von Z(x) an der Stelle xi ist. Für xi = 0 und Z(0) = 0 folgt Z(x) =

a [U (x)]b



x

[U (x)]b dx .

(8.23)

0

Die Bedingung Z(0) = 0 bedeutet, daß die Berechnung der Grenzschicht bei x = 0 entweder mit einem Staupunkt (U (0) = 0) oder mit einer Vorderkante (δ2 (0) = 0) beginnt. Die lineare Approximation von F2 () entsprechend Gl. (8.20) erfolgt nun in zwei Abschnitten: >0: a = 0,441 b = 4,165 (8.24)  x0 ) . (9.34) α(x,x0 ) = π ν(x − x0 ) Als Beispiel für die Anwendung von Gl. (9.18) sei die längsangeströmte ebene Platte mit der Potenzfunktion als Wandtemperaturverteilung Tw (x) − T∞ = bx n betrachtet. Dieses liefert das Ergebnis, vgl. K. Gersten; H. Körner (1968):
 Nu (1 + n) x −1/2 1/2 Pr (Pr → 0) . (9.35) = √ Re ( 1 + n) l 2

Da Nu auf Tw (x) − T∞ = bx n bezogen ist, ergibt sich für n = 1/2 konstante Wärmestromdichte qw , siehe auch Tabelle 9.1.

Eine Übersicht über Lösungen bei kleinen Prandtl-Zahlen findet man bei S.R. Galante; S.W. Churchill (1990).

9.3 Einfluß der Prandtl-Zahl

221

Große Prandtl-Zahlen. Der andere Grenzfall Pr → ∞ wurde schon sehr zei-

tig von M.A. Leveque (1928) gelöst. Die Dicke der Temperaturgrenzschicht δth ist sehr klein gegenüber der Dicke δ der Geschwindigkeitsgrenzschicht. Im Grenzfall Pr → ∞ liegt die gesamte Temperaturgrenzschicht innerhalb des Bereiches, in dem das Geschwindigkeitsprofil noch linear von y abhängt. Der Fall kann auch bei mittleren Prandtl-Zahlen auftreten, nämlich dann, wenn bei schon etwas ausgebildeter Geschwindigkeitsgrenzschicht die Entwicklung einer Temperaturgrenzschicht nach Bild 9.1 an der Stelle x = x0 mit einem Temperatursprung an der Wand beginnt. Wählt man für die Geschwindigkeitskomponenten die Ansätze u(x,y) =

τw (x) y, µ

v(x,y) = −

dτw y 2 , dx 2µ

(9.36)

so läßt sich die so entstandene Energiegleichung (9.13) durch eine Ähnlichkeitstransformation auf eine gewöhnliche Differentialgleichung reduzieren. Führt man die Ähnlichkeitsvariable −1/3 
x  τw τw (x) η=y dx (9.37) 9a µ µ x0

mit der Sprungstelle x0 nach Bild 9.1 ein, ergibt sich für den Standardfall Tw = const die Differentialgleichung d 2T dT = 0, (9.38) + 3η2 2 dη dη deren Lösung sich mittels unvollständiger Gammafunktionen angeben läßt. Die aus Gl. (9.38) resultierende Temperaturverteilung wird Leveque-Lösung genannt. Es sei jedoch eerwähnt, daß Leveque (1928) nur den Sonderfall τw = konst, d.h. v = 0 (vollausgebildete Kanal- und Rohrströmungen) behandelt hat. Insofern ist Gl. (9.37) eine gegenüber dem Fall τw = konst erweiterte Ähnlichkeitsvariable, vgl. M.J. Lighthill (1950. Für die Nußelt-Zahl ergibt sich aus Gl. (9.37) und Gl. (9.38) die Quadraturformel:

Nu


1/3
x −1/3 √ √  αl = 0,5384l = τ τ dx Pr 1/3 w w λ µ2

(9.39)

x0

(Pr → ∞, Tw = const) , wobei 0,5384 = 31/3 / (1/3) gilt. Für die Sonderfälle der längsangeströmten ebenen Platte (τw = 0,332  √ µU∞ U∞ /νx) und der Staupunktströmung (τw = 1,2326 µa 3 x) sind die Formeln in Tabelle 9.1 für x0 = 0 wiedergegeben. Mittels Gl. (9.18) läßt sich damit die Wandwärmestromdichte auch für beliebige Temperaturverteilungen bestimmen, vgl. M.J. Lighthill (1950), H.W. Liepmann (1958) und F.M. White (1974, S. 334). Wie an Hand von Bild 9.3 noch gezeigt wird, stellen die asymptotischen Formeln für Pr → ∞ auch für mittlere Prandtl-Zahlen eine gute Näherung dar.

222

9 Temperaturgrenzschichten ohne Kopplung des Geschwindigkeitsfeldes

Tabelle 9.1. Asymptotische Formeln für den Wärmeübergang an Platte, Staupunkt und Wandstrahl. Der („geheizte“) Wandstrahl hat bei x = 0 die Temperatur T∞

Pr → 0

Pr → ∞
−1/2

Ebene Platte Tw = const

√Nu = √1 π Re

Ebene Platte qw = const

√Nu = Re

Staupunkt V = U (x)l/x

√Nu = Re

geheizter Wandstrahl Tw = const

Nu = 0,629 x l Re3/4

geheizter Wandstrahl qw = const

Nu = 0,629 x l Re3/4

x l

Pr 1/2

√
−1/2 π x Pr 1/2 2 l



2 1/2 π Pr


−1/2

√Nu = 0,339 x l Re


−1/2

√Nu = 0,464 x l Re

Pr 1/3

Pr 1/3

√Nu = 0,661 Pr 1/3 Re


−3/4


−3/4

Pr

Nu = 0,235 x l Re3/4

Pr

Nu = 0,422 x l Re3/4


−3/4


−3/4

Pr 1/3

Pr 1/3

Im Ablösungspunkt versagt wegen τw = 0 die Formel (9.39). Eine Erweiterung des Ansatzes für die Geschwindigkeitsverteilung bis zum quadratischen Glied u(x,y) =

τw (x) 1 dp 2 y+ y µ 2µ dx

(9.40)

kann hierzu eine Verbesserung bringen, vgl. D.B. Spalding (1958). Im folgenden Abschnitt wird auf diesen Sonderfall nochmals eingegangen (für τw = 0 gilt Nu ∼ Pr 1/4 ).

9.4

Ähnliche Lösungen der Temperaturgrenzschicht-Gleichungen Da das Temperaturfeld vom Geschwindigkeitsfeld abhängt, ist eine notwendige Bedingung für das Auftreten ähnlicher Temperaturprofile, daß beim Geschwindigkeitsfeld ähnliche Lösungen vorliegen. In Kap. 7.2 waren die Strömungen behandelt worden, bei denen das Geschwindigkeitsfeld auf ähnliche Lösungen führte. Es stellt sich jetzt die Frage, für welche thermischen Randbedingungen bei diesen Strömungen auch das Temperaturfeld zu ähnlichen Lösungen führt. Wie eine Analyse analog derjenigen in Kap. 7.2 zeigt, ergeben sich ähnliche Temperaturprofile in der Grenzschicht, wenn die Verteilung der Wandtemperatur einem Potenzgesetz gehorcht.

9.4 Ähnliche Lösungen

der Temperaturgrenzschicht-Gleichungen

223

Führt man die dimensionslose Temperaturdifferenz T (x,y) − T∞ TR ξ n mit ξ = x/ l ein und übernimmt aus Kap. 7.2.1 die Ansätze ϑ(η) =

u(x,y) = UN (ξ )f  (η) ,   dδ  1 d −v(x,y) = √ f (η) (UN δ) − UN ηf , dξ dξ Re √ y Re η= , l δ(ξ )

(9.41)

(9.42) (9.43)

(9.44)

so erhält man aus der Impulsgleichung, vgl. Gl. (7.14), f  + α1 ff  + α2 − α3 f 2 = 0

(9.45)

und aus der Energiegleichung (9.13) ϑ  + Pr (α1 f ϑ  − α4 f  ϑ) = 0 .

(9.46)

Dabei haben die Konstanten α1 bis α3 die Bedeutungen nach Gl. (7.13). Für die weitere Konstante α4 gilt 2 UN (ξ )δ (ξ ) . (9.47) α4 = n Vξ Wählt man für Gl. (9.46) die Randbedingungen η = 0 : ϑ = 1;

η → ∞ : ϑ = 0,

(9.48)

folgt aus Gl. (9.41)

Tw (x) − T∞ = TR ξ n . (9.49) Danach ist TR = Tw (x = l) − T∞ . Aus dem Gradienten ϑw an der Wand ergibt sich für die Nußelt-Zahl Nu = qw l/[λ(Tw (x) − T∞ )] Nu ϑ (9.50) =− w . √ δ(ξ ) Re Für die beiden Standard-Randbedingungen gilt: Tw = const : n = 0 qw = const : ξ n /δ(ξ ) = const .

(9.50a)

Ein Vergleich der Gl. (9.45) und (9.46) zeigt, daß für Pr = 1, α2 = 0 und α3 = α4 sowie für entsprechende Randbedingungen gilt: ϑ = 1 − f,

ϑw = −fw .

(9.51)

Dieser Sonderfall wird in der Literatur als Reynolds-Analogie bezeichnet. Sie kann nur bei Gleichdruck auftreten (α2 = 0), also entweder bei der ebenen Platte (α3 = 0) oder beim Wandstrahl (α3 = −2). Im Sonderfall α4 = −α1 läßt sich Gl. (9.46) integrieren mit dem Ergebnis ϑw = 0; d.h. nur im singulären Nullpunkt wird der Strömung Wärme zugeführt.

224

9 Temperaturgrenzschichten ohne Kopplung des Geschwindigkeitsfeldes

Wie in Kap. 7.2.1 können folgende Fälle unterschieden werden: 1. Grenzschichten mit Wand 1.1 Keilströmungen (α1 = 1, α2 = α3 = β , α4 = n(2 − β))

Die Energiegleichung nach Gl. (9.46) lautet dann
 2n f ϑ = 0 ϑ  + Pr f ϑ  − m+1

(9.52)

mit den Randbedingungen nach Gl. (9.48). Wegen U ∼ ξ m und δ ∼ ξ (1−m)/2 nach Gl. (7.18) werden bei den Keilströmungen statt Nu und Re auch die Kennzahlen Nux =

qw x , λ[Tw (x) − T∞ ]

Rex =

U (x)x ν

verwendet. Statt Gl. (9.50) ergibt sich damit  Nux m+1  ϑw (m; n; Pr) . =− √ 2 Rex

(9.53)

(9.54)

Für die Standard-Randbedingung qw = const gilt nach Gl. (9.50a) n=

1−m 2

(qw = const) .

(9.55)

 lassen sich aus Tabelle 9.2 leicht ermitteln. Es gilt Einige Zahlenwerte für ϑw

 aT /2  = − Pr 2aT  = − Pr aT /(1 + bT ) .

 = − Pr Platte,Tw = const ϑw  Platte,qw = const ϑw

Staupunkt

 ϑw

Die Zahlenwerte für die Grenzfälle Pr → 0 und Pr → ∞ entsprechen den Formeln in Tabelle 9.1, die aber teilweise auch aus Gl. (9.33), (9.35) und (9.39) gewonnen werden können. Auch für beliebige Werte m und n lassen sich explizite Formeln in den beiden Grenzfällen angeben, vgl. K. Gersten; H. Körner (1968). Dabei müssen für Pr → ∞ Fälle mit τw  = 0 (fw = 0) und solche mit verschwindender Wandschubspannung (τw = 0, fw = 0) unterschieden werden. Die Abhängigkeit der Nußelt-Zahl von der Prandtl-Zahl ist für die beiden genannten Fälle verschieden. Während für τw = 0 gilt Nux ∼ Pr 1/3 , ergibt sich für τw = 0 die Abhängigkeit Nux ∼ Pr 1/4 . Die letztgenannte Abhängigkeit kann also nicht aus der Formel für Fälle τw = 0 dadurch gewonnen werden, daß dort τw → 0 gesetzt wird. Vielmehr handelt es sich hier um einen doppelten Grenzübergang Pr → ∞, fw → 0, bei dem jedoch die Reihenfolge der beiden Grenzprozesse für das richtige Ergebnis entscheidend ist. In Bild 9.3 sind die örtlichen Nußelt-Zahlen in Abhängigkeit von der Prandtl-Zahl für verschiedene Werte nach Zahlenangaben von H.L. Evans (1962) dargestellt. Es handelt sich um Fälle mit konstanter Wandtemperatur (n = 0). Hinweise auf weitere Lösungen von Gl. (9.52) findet man bei H.L. Evans (1968) und K. Gersten; H. Körner (1968). Da die Energiegleichung (9.13) linear ist, können aus den einzelnen Lösungen für Potenzverteilungen der Wandtemperatur nach Gl. (9.49) durch Superposition Lösungen für beliebige, in Potenzreihen entwickelbare Temperaturverteilungen erzeugt werden.

9.4 Ähnliche Lösungen

der Temperaturgrenzschicht-Gleichungen

225

Bild 9.3. Örtliche Nußelt-Zahl in Abhängigkeit von der Prandtl-Zahl und dem Strömungsparameter m für Keilströmungen nach Gl. (9.54) (U ∼ x m , Tw = const, Vernachlässigung der Dissipation). Gestrichelte Geraden entsprechen den Asymptoten.

Beispiel: Lineare Temperaturverteilung an der Platte ( Pr = 0,7). Für die Verteilung

der Wandtemperatur 
x Tw (x) − T∞ = (Tw − T∞ )x=0 1 − 2 l erhält man mit den Größen nach Gl. (9.54)  (0; 0; 0,7) = −0,414; ϑw

 (0; 1; 0,7) = −0,675 ϑw

die Verteilung der Wandwärmestromdichte Nu =

√ (Tw − T∞ )x=0 qw (x)l = Re λT∞ T∞


−1/2
x x . 0,293 − 0,954 l l

Hierbei wurde die Nußelt-Zahl  Nu mit der Temperatur T∞ gebildet. Die Nußelt-Zahl wie üblich mit der Temperaturdifferenz Tw (x) − T∞ zu bilden, wäre in diesem Beispiel nicht sinnvoll, da diese Differenz bei x = l/2 verschwindet, obwohl der Wandwärmestrom an dieser Stelle von null verschieden ist. Da im allgemeinen Fall qw (x) nicht proportional zu Tw (x) − T∞ ist, sollte die Nußelt-Zahl mit einer Temperatur (z.B. T∞ ) oder mit einer nicht verschwindenden Temperaturdifferenz (hier z.B. mit (Tw − T∞ )x=0 ) gebildet werden. In dem vorliegenden Beispiel wird im Bereich 0,307 < x/ l < 0,5 für (Tw − T∞ )x=0 > 0 der Strömung Wärme entzogen (Wärme geht vom Fluid auf die Wand über), obwohl Tw > T∞ gilt. Die Erklärung dafür ist wie folgt. Da das wandnahe Fluid aus Grenzschichtbereichen weiter stromaufwärts mit höherer Temperatur kommt, hat es Temperaturen angenommen, die in dem genannten Bereich höher sind als die lokale Wandtemperatur. 1.2 Keilströmungen in Umkehrung (α1 = −1, α2 = α3 = −β , α4 = −r(2 − β)) 1.3 Strömung im konvergenten Kanal (α1 = 0, α2 = α3 = 1, α4 = −r)  = −1/f  = −0,866 Beispiel: r Pr = −2: ϑw w

226

9 Temperaturgrenzschichten ohne Kopplung des Geschwindigkeitsfeldes

1.4 Bewegte ebene Platte (α1 = 1, α2 = α3 = 0, α4 = 2r)  = −0,494 Beispiel: r = 0, Pr = 0,7: ϑw

1.5 Wandstrahl (α1 = 1, α2 = 0, α3 = −2, α4 = 4n)

Zahlenwerte dazu findet man in K. Gersten; S. Schilawa (1978) und S. Schilawa (1981). Neben den Lösungen der Energiegleichung für den Wandstrahl ϑ  + Pr(f ϑ  − 4nf  ϑ) = 0

(9.56)

mit den inhomogenen Randbedingungen (9.48) (für qw = const gilt n = 3/4) existiert auch eine „Eigenlösung“ von Gl. (9.56) mit homogenen Randbedingungen η = 0 : ϑ = 0; η → ∞ : ϑ = 0. Zu dieser Lösung gehört der Eigenwert n=−

3 Pr +1 . 8 Pr

(9.57)

Es handelt sich um den „heißen Wandstrahl“, der über die Wand mit der Temperatur Tw = T∞ geblasen wird, vgl. W.H. Schwartz; B. Caswell (1961). 2. Grenzschichten ohne Wand 2.1 Trennungsschicht (α1 = 1, α2 = α3 = 0, α4 = 0)

Mit den Randbedingungen η → ∞ : ϑ = 1;

η → +∞ : ϑ = 0

ist TR in Gl. (9.41) die Temperaturdifferenz der beiden parallelen Strahlen. 2.2 Freistrahl (α1 = 1, α2 = 0, α3 = −1, α4 = 2n)

Wie beim Wandstrahl sind auch hier zwei Fälle zu unterscheiden. Wenn das Fluid auf den beiden Seiten des Freistrahles unterschiedliche Temperatur besitzt, können für n = 0 die Randbedingungen η → −∞ : ϑ = 1;

η → +∞ : ϑ = 0

erfüllt werden. Zusätzlich existiert wieder eine Eigenlösung, die dem „heißen Freistrahl“ entspricht. Für ihn gilt der Eigenwert n = −1/2 mit der allgemeinen Lösung ϑ = (f  )Pr .

(9.58)

Der Eigenwert folgt aus der Forderung, daß die thermische Energie im Freistrahl von der Lauflänge unabhängig sein muß.

9.5

Integralverfahren zur Berechnung des Wärmeüberganges In Kapitel 8 sind die Integralverfahren zur Berechnung der Geschwindigkeitsgrenzschicht dargestellt worden. Dieses bot sich an, wenn man an Näherungslösungen für die Wandschubspannungsverteilung interessiert ist.

9.5 Integralverfahren zur Berechnung des Wärmeüberganges

227

Analog lassen sich auch Integralverfahren zur näherungsweisen Berechnung des Wärmeüberganges entwickeln. Grundlage dazu bildet der Integralsatz der thermischen Energiegleichung. Wird Gl. (9.13) von y = 0 bis y → ∞ integriert, erhält man den thermischen Energiesatz d dx

   qw Tw (x) − T∞ U (x)δT (x) = cp

(9.59)

mit der thermischen Energieverlustdicke ∞ δT (x) = 0

T (x,y) − T∞ u(x,y) dy . Tw (x) − T∞ U (x)

(9.60)

Da Gl. (9.59) analog zum Impulssatz (8.1) aufgebaut ist, liegt es nahe, diese formale Ähnlichkeit auszunutzen, um eine der Gleichung (8.23) entsprechende Quadraturformel zu erhalten. In diesem Sinne definiert man zunächst analog zu Gl. (8.12) und (8.13) folgende Hilfsgrößen: δT2 U, ν 
δ2 ∂ 2 u δT2 dU T (x) = − T . = U ∂y 2 w ν dx

ZT (x) =

(9.61) (9.62)

Entsprechend Gl. (8.19) ergibt sich damit aus dem thermischen Energiesatz (9.59) dZT = FT 2 (T ) dx mit FT 2 =


 U 2δT qw dTw /dx − 1+2 T . µcp (Tw − T∞ ) dU/dx Tw − T∞

(9.63)

(9.64)

Wird jetzt FT 2 durch die lineare Beziehung FT 2 (T ) = aT − bT T

(9.65)

analog zu Gl. (8.20) approximiert, erhält man für ZT (x) die Quadraturformel mit ZT (0) = 0: aT ZT (x) = [U (x)]bT

x [U (x)]bT dx .

(9.66)

0

Die Konstanten aT und bT sind jetzt abhängig von der Prandtl-Zahl und der thermischen Randbedingung. Sie können durch die Forderung ermittelt werden, daß

228

9 Temperaturgrenzschichten ohne Kopplung des Geschwindigkeitsfeldes

Tabelle 9.2. Konstanten in der Quadraturformel (9.66)

Gl. (9.66) für die Plattenströmung und für die Staupunktströmung exakte Ergebnisse liefert. Die so gewonnenen Zahlenwerte aT (Pr) und bT (Pr) sind in Tabelle 9.2 zusammengestellt. Aus der Lösung ZT (x) erhält man für die Nußelt-Zahl:    Nu Ul ZT dU Pr (1 − bT ) , Tw = const : √ (9.67a) aT + = 2 ZT V U dx Re  Nu Pr U ZT l qw = const : √ . (9.67b) = x V Re Erwartungsgemäß liefert das Integralverfahren in der Nähe des Staupunktes umströmter Körper sehr gute Ergebnisse. Dagegen sind die Abweichungen zur exakten Lösung der Temperaturgrenzschicht-Gleichung im Druckanstiegsgebiet und besonders in Ablösungsnähe größer. Dieses ließe sich durch eine andere Wahl der Konstanten aT und bT verbessern, in der Praxis erfolgt jedoch häufig im Druckanstiegsgebiet der Übergang zur turbulenten Grenzschicht, so daß hauptsächlich die laminare Grenzschicht in Staupunktnähe von Bedeutung ist. Anmerkung. In der Literatur wird statt δT (x) bisweilen auch die Größe δL (x) verwendet, die Leitungsdicke genannt wird, vgl. z.B. A.G. Smith; D.B. Spalding (1958). Die Definition lautet

9.5 Integralverfahren zur Berechnung des Wärmeüberganges

229

Bild 9.4. Anschauliche Deutung der Leitungsdicke δL .

δL =

λ(Tw − T∞ ) . qw

(9.68)

Nach Bild 9.4 besitzt δL mit qw = −λ(∂T /∂y)w eine einfache anschauliche Bedeutung. Für 2 U/ν läßt sich wieder eine Quadraturformel eine zu Gl. (9.61) analog gebildete Größe ZL = δL angeben, die wie Gl. (9.66) aussieht. Die dabei auftretenden Konstanten aL und bL hängen in einfacher Weise mit den Konstanten aT und bT aus Tabelle 9.2 zusammen, vgl. K. Gersten; H. Herwig (1992, S. 174). Beispiel: Wärmeübergang am Kreiszylinder

Im Bild 9.5 ist der Verlauf der Nußelt-Zahl über dem Umfang des Kreiszylinders dargestellt. Dabei wurde die empirische Geschwindigkeitsverteilung nach Gl. (8.41), die aus einer gemessenen Druckverteilung gewonnen wurde, zugrunde gelegt. Die Berechnung erfolgte bei der Prandtl-Zahl Pr = 0,7 für den Standardfall Tw = const. Neben der numerischen Lösung der Energiegleichung (9.10) sind auch die Ergebnisse nach dem Integralverfahren, Gl. (9.66), und nach der asymptotischen Formel (9.39) angegeben, wobei die Ergebnisse der Quadraturformel (8.23) für die Wandschubspannung in Gl. (9.39) eingesetzt worden sind. Wenn man von der unmittelbaren Ablösungsnähe absieht, ist die Übereinstimmung sehr gut. Mögliche Einflüsse variabler Stoffwerte werden in Kap. 10.3.2 erörtert.

Bild 9.5. Verteilung der örtlichen

Nußelt-Zahl am Kreiszylinder für Pr = 0,7. Geschwindigkeitsverteilung U (x) nach Gl. (8.41) - · - · - · numerische Lösung Integralverfahren nach Gl. (9.66) - - - - - - Asymptotische Formel (9.39) mit der τw -Verteilung nach der Quadraturformel (8.23). • Messung nach E. Schmidt; K. Wenner (1941), siehe auch H. Schlichting (1982, S. 317), Re = 4 × 104 − 105

230

9 Temperaturgrenzschichten ohne Kopplung des Geschwindigkeitsfeldes

9.6

Einfluß der Dissipation; Verteilung der adiabaten Wandtemperatur Die bisherigen Betrachtungen der Temperaturgrenzschichten waren im wesentlichen unter Vernachlässigung der Dissipation erfolgt. Jetzt soll der Einfluß der Dissipation im Detail behandelt werden. Hierbei spielt die Verteilung der sogenannten adiabaten Wandtemperatur Tad eine wichtige Rolle. Infolge der Dissipation in der Grenzschicht entsteht bei jedem umströmten Körper auch dann eine Temperatur-Grenzschicht, wenn kein Wärmeübergang auf den Körper erfolgt. Ist die Körperoberfläche wärmeundurchlässig, d.h. adiabat, bildet sich infolge der Dissipation eine Verteilung der Wandtemperatur aus, die über der Umgebungstemperatur liegt. Für das Temperaturfeld an einem adiabaten Körper

=

T − T∞ ϑ = V 2 /(2cp ) Ec /2

(9.69)

gilt nach Gl. (9.6) die Energiegleichung u∗


∗ 2 ∂u ∂ 1 ∂ 2 ∂ = + v + 2 ∂x ∗ ∂y Pr ∂y 2 ∂y

(9.70)

mit den Randbedingungen y=0:

∂ = 0, ∂y

y→∞:

= 0.

Aus der Lösung w (x ∗ , Pr) erhält man die adiabate Wandtemperatur Tad − T∞ = w (x ∗ , Pr) . V 2 /(2cp )

(9.71)

Für die beiden Grenzfälle großer und kleiner Prandtl-Zahlen läßt sich die Abhängigkeit der adiabaten Wandtemperatur von der Prandtl-Zahl genau angeben. Kleine Prandtl-Zahlen. Wird in Gl. (9.70) = / Pr gesetzt, folgt




∂ ∂ Pr u +v ∂x ∗ ∂y ∗






∂u∗ + 2 = ∂y ∂y 2 ∂ 2

2 .

(9.72)

Für den Grenzfall Pr → 0 reduziert sich die Gleichung auf ∂ 2 ∂y 2 mit der Lösung


= −2

∂u∗ ∂y

2 (9.73)

9.6 Einfluß der Dissipation; Verteilung der adiabaten Wandtemperatur



  ∞
∗ 2 ∂ ∂u 1 ∂ = =2 d y¯ . Pr ∂y w ∂y w ∂y

231

(9.74)

0

Da also in diesem Grenzfall die konvektiven Glieder verschwinden, wird die durch Dissipation erzeugte innere Energie lokal an die Wand übertragen. Die adiabate Wandtemperatur-Verteilung muß nun (bei Vernachlässigung der Dissipation) gerade diese durch Gl. (9.74) gegebene Wandwärmestromdichte kompensieren. Nach Gl. (9.20) ergibt sich dann für die adiabate Wandtemperatur x Tad (x) − T∞ = 0

λ d g(x,x0 ) × Pr × cp dx0


∞


∂u ∂y

2

 dy dx0 .

(9.75)

0

Da die Verteilung g(x,x0 ) der Standardlösung proportional zu Pr −1/2 ist, gilt schließlich Tad (x ∗ ) − T∞ = Pr 1/2 F (x ∗ ) (Pr → 0) . (9.76) V 2 /(2cp ) Große Prandtl-Zahlen. Wird analog zu Gl. (9.36)

u∗ = τw∗ (x ∗ )y,

v=−

dτw∗ y 2 dx ∗ 2

(9.77)

gesetzt, erhält man aus Gl. (9.70) τw∗ y

1 ∂ 2 ∂ 1 dτw∗ 2 ∂ = − y + 2τw∗2 ∂x ∗ 2 dx ∗ ∂y Pr ∂y 2

(9.78)

und mit der Transformation

(x ∗ ,y) = (x ∗ ,Y ) Pr 1/3 ,

y = Pr −1/3 Y

(9.79)

∂ 2 ∂ 1 dτw∗ 2 ∂ = − Y + 2τw∗2 . ∗ ∗ ∂x 2 dx ∂Y ∂Y 2

(9.80)

die von der Prandtl-Zahl unabhängige Gleichung τw∗ Y

Aus der Lösung w (x ∗ ) folgt dann für die adiabate Wandtemperatur Tad − T∞ = Pr 1/3 w (x ∗ ) V 2 /(2cp )

(Pr → ∞) .

(9.81)

Man erkennt an dieser Formel, daß für große Prandtl-Zahlen selbst bei mäßigen Geschwindigkeiten die Temperaturerhöhung durch Dissipation beachtliche Werte annehmen kann.

232

9 Temperaturgrenzschichten ohne Kopplung des Geschwindigkeitsfeldes

Bild 9.6. Rückgewinnfaktor der längsangeströmten ebenen Platte in Abhängigkeit von der Prandtl-Zahl, Asymptoten nach Gl. (9.88) bzw. nach Gl. (9.89).

Ebene Platte. Mit den Ansätzen

u∗ =

u 1 = f  (η), v = √ (ηf  − f ) , U∞ 2x ∗

y η= √ 2x ∗

(9.82)

nach Gl. (6.45), (6.47) und (6.48) folgt aus Gl. (9.70) die Differentialgleichung 1 

+ f  = −2f 2 Pr

(9.83)

mit den Randbedingungen: η=0:

 = 0,

η→∞:

= 0.

Für die Lösung läßt sich folgende Quadraturformel angeben: 
ξ ∞  Pr  2−Pr [f (τ ) dτ dξ .

(η, Pr) = 2 Pr [f (ξ )] η

Dies ergibt z.B. für Pr = 1:

(9.84)

0

(η,1) = 1 − f 2 (η) .

(9.85)

Für die adiabate Wandtemperatur folgt damit bei beliebiger Prandtl-Zahl r(Pr) =

Tad − T∞ 2 /(2c ) U∞ p

= w (Pr) .

(9.86)

Im Fall der ebenen Platte ist die adiabate Wandtemperatur konstant, d.h. von x unabhängig. Man nennt sie auch Eigentemperatur. Die durch Gl. (9.86) gegebene dimensionslose Temperaturerhöhung einer adiabaten Wand infolge Dissipation wird auch als Rückgewinnfaktor (engl.: recovery factor) bezeichnet, da der Nenner U2 (T )ad = T0 − T∞ = ∞ (9.87) 2cp der Temperaturerhöhung infolge adiabaten Aufstaus eines idealen Gases konstanter spezifischer Wärmekapazität ist. Dabei ist T0 die Ruhetemperatur oder Stautemperatur der Außenströmung. Für Pr = 1 gilt wegen Gl. (9.85) r = 1, d.h. die Erhöhung der Wandtemperatur infolge Dissipation entspricht genau der Temperaturerhöhung infolge adiabaten Aufstaus. Bild 9.6 zeigt den Verlauf von r(Pr) als Funktion der Prandtl-Zahl. Danach ist der Rückgewinnfaktor für Pr < 1 kleiner eins, dagegen für Pr > 1 größer als eins. Entsprechend

9.6 Einfluß der Dissipation; Verteilung der adiabaten Wandtemperatur

233

Bild 9.7. Messung der adiabaten Wandtemperatur einer mit Luft längsangeströmten ebenen Platte nach E. Eckert; W. Weise (1942). Theorie: Pr = 0,72 turbulent: nach Gl. (18.160)

Gl. (9.76) und (9.81) lassen sich Asymptoten angeben. Es gilt nach K. Gersten; H. Körner (1968) r = 0,9254 Pr 1/2 (Pr → 0) (9.88) und nach R. Narasimha; S.S. Vasantha (1966) r = 1,9222 Pr 1/3 −1,341

(Pr → ∞) .

(9.89)

In Bild 9.7 ist die an einer längsangeströmten ebenen Platte bei verschiedenen ReynoldsZahlen U∞ x/ν gemessene Eigentemperatur aufgetragen. Sie stimmt im laminaren Bereich gut mit der Theorie (r = 0,85 für Pr = 0,72) überein. Wie in Kap. 10.3.1, Gl. (10.25), gezeigt wird, hat die Temperaturabhängigkeit der Stoffwerte in diesem Bereich praktisch keinen Einfluß. Beim Übergang in die turbulente Strömung steigt die Eigentemperatur an, vgl. Kap. 18.6. Keilströmungen. U ∼ x m , β = 2m/(m + 1). Mit den Ansätzen

U (x)  u = f (η), V V    m+1  U (x) m + 1 2 f+ ηf v=− (m + 1)x V 2 2

u∗ =

η= 

=

y V 2x m+1 U (x)

 =y

m + 1 U (x) , 2 νx

T − T∞ , U 2 (x)/(2cp )

(9.90)

vgl. Gl. (9.41) bis (9.44), folgt aus Gl. (9.70) die Differentialgleichung 1 

+ f  − 2βf  = −2f 2 Pr mit den Randbedingungen η = 0 :  = 0;

η → ∞ : = 0.

(9.91)

234

9 Temperaturgrenzschichten ohne Kopplung des Geschwindigkeitsfeldes

Aus der Lösung w (Pr ,m) erhält man die adiabate Wandtemperatur bzw. den Rückgewinnfaktor zu Tad − T∞ r(Pr ,m) = 2 (9.92) = w (Pr ,m) . U (x)/(2cp ) Wird also die Temperaturerhöhung infolge Dissipation auf die lokale Geschwindigkeit (bzw. deren Aufstau durch adiabate Kompression) bezogen, erhält man einen von x unabhängigen Wert, d.h. es gilt Tad (x) − T∞ ∼ x 2m . Zahlenwerte von r(Pr ,m) findet man bei K. Gersten; H. Körner (1968). Der Einfluß von m ist sehr gering, so daß der Verlauf in Bild 9.6 in guter Näherung auch für Werte m = 0 gilt, vgl. B. Le Fur (1960). Wandstrahl. Wie sich leicht zeigen läßt, ist die adiabate Wandtemperatur beim Wandstrahl

Tad − T∞ ∼ x −1 . Da für die Maximalgeschwindigkeit umax ∼ x −1/2 gilt, ist der mit der Maximalgeschwindigkeit gebildete Rückgewinnfaktor Tad − T∞ = r(Pr) r= 2 umax /(2cp )

(9.93)

wieder von x unabhängig, vgl. N. Riley (1958). Für Pr = 1 gilt r = 0, d.h. Tad = T∞ . In diesem Fall wird also die gesamte durch Dissipation erzeugte Energie vom Wandstrahl abtransportiert. Für Pr = 0,72 gilt r = 0,0029.

Nußelt-Zahl bei Berücksichtigung der Dissipation. Wird die Dissipation mit-

berücksichtigt, kann Wärmeübergang nur auftreten, wenn die Wandtemperatur von der adiabaten Wandtemperatur abweicht. Da die Energiegleichung linear ist, überlagern sich die Temperaturfelder infolge Dissipation und infolge einer Temperaturdifferenz Tw − Tad . Als Maß für den Wärmeübergang bietet sich daher die folgende Nußelt-Zahl an: qw l Nu = . (9.94) λ(Tw − Tad ) Befindet sich die Wandtemperatur zwischen Umgebungstemperatur und adiabater Wandtemperatur, d.h. T∞ < Tw < Tad , wird auf den Körper Wärme übertragen, obwohl die Körpertemperatur über der Umgebungstemperatur liegt!

10 Grenzschichten mit Kopplung des Geschwindigkeitsfeldes an das Temperaturfeld 10.1

Vorbemerkung Bei der bisherigen Behandlung der Temperaturgrenzschichten war das Geschwindigkeitsfeld vom Temperaturfeld unabhängig, weil konstante Stoffwerte vorausgesetzt worden waren. In diesem Kapitel soll nun der Einfluß variabler Stoffwerte untersucht werden. Bei den Stoffwerten handelt es sich um die Dichte , die Viskosität µ, die isobare spezifische Wärmekapazität cp und die Wärmeleitfähigkeit λ. Im allgemeinsten Fall können sie von der Temperatur und vom Druck abhängen. Infolge der Abhängigkeit der Dichte und der Viskosität von der Temperatur kommt es zu einer direkten Kopplung des Geschwindigkeitsfeldes an das Temperaturfeld. Die Temperaturabhängigkeit der Dichte führt außerdem zu zusätzlichen, in der Impulsgleichung erscheinenden Auftriebskräften im Schwerkraftfeld. Diese Auftriebskräfte allein können bereits Strömungen erzeugen. Diese werden natürliche Konvektion (auch freie Konvektion) genannt. Treten bei der erzwungenen Konvektion, wie sie im vorigen Kapitel behandelt worden ist, noch die Auftriebskräfte infolge der Schwerkraft hinzu, spricht man von gemischter Konvektion. In vielen praktischen Fällen (Strömungen von Flüssigkeiten, Gleichdruckströmungen) reicht es aus, nur die Temperaturabhängigkeit der Stoffwerte zu berücksichtigen. Wenn nur mäßige Wärmestromdichten an der Wand, bzw. nur mäßige Temperaturdifferenzen, betrachtet werden, kann man die Temperaturverläufe der Stoffwerte in guter Näherung durch lineare Funktionen der Temperatur beschreiben. Die Berechnung der Grenzschichten wird damit erheblich vereinfacht und führt zu recht allgemeinen Aussagen über den Einfluß temperaturabhängiger Stoffwerte, wie im folgenden zunächst gezeigt wird. Es folgt dann die Behandlung der natürlichen und der gemischten Konvektion, die auch noch auf einem linear von der Temperatur abhängigen Dichteverlauf beruht. Schließlich werden dann die Grenzschichten kompressibler Strömungen behandelt, bei denen im Prinzip beliebige Stoffwertabhängigkeiten berücksichtigt werden können.

236

10 Grenzschichten mit Kopplung des Geschwindigkeitsfeldes an das Temperaturfeld

10.2

Grenzschichtgleichungen Zur Herleitung der Grenzschichtgleichungen gehen wir von der dimensionslosen Form der Bewegungsgleichungen (4.3) bis (4.5) aus. Für große Werte der ReynoldsZahl Re = R V l/µR teilt sich das Lösungsgebiet in zwei Bereiche auf: die reibungslose Außenströmung und die reibungsbehaftete Grenzschicht. Für den Grenzschichtbereich vereinfachen sich die Bewegungsgleichungen gegenüber den vollständigen Gleichungen. Dazu erfolgt die Grenzschicht-Transformation, vgl. Gl. 6.6., √ √ y = y ∗ Re, v = v ∗ Re . (10.1) Wird nach der Grenzschicht-Transformation der Grenzwert Re → ∞ gebildet, ergeben sich aus Gl. (4.3) bis (4.5) die Grenzschichtgleichungen. Sie sind dann frei von der Reynolds-Zahl und enthalten nur noch die folgenden vier dimensionslosen Kennzahlen: V =√ gl

Froude-Zahl

Fr

Eckert-Zahl

Ec

Prandtl-Zahl

µR cpR νR Pr = = λR aR

dimensionslose thermische Ausdehnung

K

=

V2 cpR TR

(10.2)

= βR TR .

Davon sind die beiden letzten Kennzahlen reine Stoffwerte. Die Froude-Zahl ist ein Maß für den Schwerkraft-Einfluß, während die Eckert-Zahl den Einfluß der Dissipation kennzeichnet. Der Index R bezieht sich auf einen Referenzzustand. Wie bereits in Kap. 6 erläutert wurde, folgt in der Grenzschicht das Koordinatensystem der Körperkontur. Ist an der Stelle x der örtliche Neigungswinkel der Kontur gegenüber der Horizontalen α(x) entsprechend Bild 10.1, gilt gx = −g sin α , gy = −g cos α .

(10.3)

Bild 10.1. Koordinatensystem im Schwerkraftfeld mit dem örtlichen Konturwinkel α gegenüber der Horizontalen

10.3 Grenzschichten mit mäßigem Wärmeübergang (ohne Schwerkrafteinfluß)

237

Damit lauten die Grenzschichtgleichungen für stationäre ebene Strömungen in dimensionsbehafteter Form: ∂(u) ∂(v) + = 0, ∂x ∂y

 ∂u ∂u ∂ dp ∂u  u +v + = −g sin α − µ , ∂x ∂y dx ∂y ∂y
2 

∂u ∂T ∂ ∂T dp ∂T +v +µ = λ + βT u . cp u ∂x ∂y ∂y ∂y dx ∂y

(10.4) (10.5) (10.6)

Bei konstanten Stoffwerten reduzieren sich Gl. (10.4) und (10.5) auf Gl. (6.30) und (6.31), wenn man dort p = pBew als Druck nur infolge der Bewegung auffaßt, vgl. Gl. (4.19). Entsprechend reduziert sich Gl. (10.6) auf Gl. (9.12). Statt Gl. (10.6) wird häufig auch eine andere Form der Energiegleichung verwendet. Mit dem allgemeingültigen Zusammenhang cp

Dh 1 − βT Dp DT = − , Dt Dt  Dt

vgl. Gl. (3.66), erhält man aus Gl. (10.6) die Bilanzgleichung für die spezifische Enthalpie h(T ,p):

2 
 ∂h ∂u ∂h ∂ ∂T dp  u +v +µ . = λ +u ∂x ∂y ∂y ∂y dx ∂y

(10.7)

Es sei besonders darauf hingewiesen, daß über den Schwerkraftterm in der Impulsgleichung (10.5) erstmals die Geometrie des umströmten Körpers durch die Winkelverteilung α(x) in die Berechnung der Grenzschicht eingeht.

10.3

Grenzschichten mit mäßigem Wärmeübergang (ohne Schwerkrafteinfluß) 10.3.1 Störungsrechnung Es wird die Umströmung von Körpern ohne Schwerkrafteinfluß (Fr → ∞) betrachtet. Die Außenströmung habe die Temperatur T∞ . Abweichungen der Temperatur von T∞ treten infolge des Wärmeübergangs an der Wand nur in der Grenzschicht auf. Diese Temperaturdifferenzen sollen zwar klein sein, jedoch so, daß Änderungen der Stoffwerte gegenüber den Referenz-Stoffwerten bei TR = T∞ auftreten. Es sei zunächst angenommen, daß die Stoffwerte nur von der Temperatur abhängen.

238

10 Grenzschichten mit Kopplung des Geschwindigkeitsfeldes an das Temperaturfeld

Am Beispiel der Dichtefunktion (T ) soll beschrieben werden, wie die Temperaturabhängigkeit der Stoffwerte bei der Grenzschicht-Berechnung berücksichtigt wird. Die Funktion (T ) wird an der Stelle T = T∞ in eine Taylorreihe entwickelt:
 d (T ) = ∞ + (T − T∞ ) + · · · . (10.8) dT ∞ Jetzt wird die dimensionslose Temperatur ϑ=

T − T∞ T

(10.8a)

eingeführt. Dabei ist T eine Bezugstemperaturdifferenz. Für die Standardfälle gilt: Tw = const :

T = Tw − T∞

qw = const :

T = qw l/λ∞ .

(10.9)

Für die Dichte ergibt sich dann
(T ) = ∞

T + ··· 1 + K ϑ T∞

mit dem dimensionslosen Stoffwert




K =

d T dT 

 (10.10)

 .

(10.11)

∞

Es wird nun angenommen, daß ε = T /T∞ ein kleiner Wert ist. Für die Grenzschichtlösung folgt jetzt eine reguläre Störungsrechnung mit ε als Störparameter. Analog zu Gl. (10.10) erhält man für die anderen Stoffwerte die Beziehungen: µ(T ) = µ∞ (1 + Kµ ϑ ε + · · · ) cp (T ) = cp∞ (1 + Kc ϑ ε + · · · )

(10.12)

λ(T ) = λ∞ (1 + Kλ ϑ ε + · · · ) . Für einige Stoffe sind die Werte K ,Kµ ,Kc und Kλ in Tabelle 3.1 angegeben. Für die Lösungsfunktionen werden folgende Ansätze verwendet: u(x,y) = u0 (x,y) + ε[K u1 (x,y) + Kµ u1µ (x,y)] v(x,y) = v0 (x,y) + ε[K v1 (x,y) + Kµ v1µ (x,y)] p(x) = p0 (x) + ε[K p1 (x) + Kµ p1µ (x)] ϑ(x,y) = ϑ0 (x,y) + ε[K ϑ1 (x,y) + Kµ ϑ1µ (x,y) + Kc ϑ1c (x,y) + Kλ ϑ1λ (x,y)] .

(10.13)

10.3 Grenzschichten mit mäßigem Wärmeübergang (ohne Schwerkrafteinfluß)

239

Setzt man diese Ansätze in die Grenzschichtgleichungen (10.4) bis (10.7) ein und sortiert nach Potenzen von ε, so ergeben sich bei Vernachlässigung von Gliedern proportional zu ε 2 zwei Gleichungssysteme. Neben dem Gleichungssystem für Grenzschichten mit konstanten Stoffwerten entsteht aus den Gliedern proportional zu ε ein Gleichungssystem, das in erster Näherung den Einfluß der Temperaturabhängigkeit der Stoffwerte beschreibt. Dieses System ist im Gegensatz zum erstgenannten System linear. Daher läßt sich dessen Gesamtlösung aus vier Teillösungen, die jeweils proportional zu den Stoffwerten K bis Kλ sind, additiv zusammensetzen. Aus der Gesamtlösung erhält man schließlich für den Reibungsbeiwert cf

√

Re = F0 (x) +

T [K F (x, Pr , Ec) + Kµ Fµ (x, Pr , Ec)] , T∞

(10.14)

wobei die Funktionen F (x) und Fµ (x) auch noch von der Art der thermischen Randbedingung an der Wand abhängen. Entsprechende Formeln gelten für den Wärmeübergang, wobei auch Glieder proportional zu Kc und Kλ auftreten. Bezüglich weiterer Einzelheiten sei auf die ausführlichen Darstellungen von H. Herwig (1985b) und K. Gersten; H. Herwig (1992, S. 86) hingewiesen. Für ähnliche Lösungen vereinfachen sich Gl. (10.14) und die entsprechenden Wärmeübergangsbeziehungen insofern, als alle Funktionen die gleiche x-Abhängigkeit besitzen, so daß statt der Funktionen F ,Fµ , . . . nur von Pr und Ec abhängige Konstanten ermittelt werden müssen. Die Darstellung nach Gl. (10.14) hat den entscheidenden Vorteil, daß die Effekte der Temperaturabhängigkeit für die vier beteiligten Stoffwerte separiert sind und daher einzeln und unabhängig von den übrigen ermittelt werden können. Ergebnisse der geschilderten Störungsrechnung für Keilströmungen (U ∼ x m ) wurden von H. Herwig (1987) angegeben. Beispiel: Ebene Platte mit konstanter Wandtemperatur

Für die ebene Platte mit konstanter Wandtemperatur bei Pr ∞ = 0,7 ergibt sich nach H. Herwig (1985b): 
  Tw − Tad cf Rex = 0,664 1 + Kµ 0,266 + 0,149 Ec∞ T∞ 
 Tw − T∞ = 0,664 1 + Kµ 0,266 + 0,038 Ec∞ , (10.15) T∞ 
 Tw − Tad Nux = 0,293 1 − Kµ 0,148 + 0,171 Ec∞ √ T∞ Rex
 Tw − Tad + 0,305 Ec∞ + Kλ 0,397 T∞
 Tw − Tad + 0,113 Ec∞ , + Kc 0,103 (10.16) T∞

240

10 Grenzschichten mit Kopplung des Geschwindigkeitsfeldes an das Temperaturfeld r=

Tad − T∞ 2 /(2c U∞ p∞ )

= 0,836[1 + Ec∞ (0,143Kµ − 0,134Kλ − 0,075Kc )] .

(10.17)

Dabei gilt cf = Ec∞ =

2τw (x) 2 ∞ U∞

, Rex =

∞ U∞ x , µ∞

2 U∞ qw (x)x . , Nux = cp∞ T∞ λ∞ (Tw − Tad )

(10.18)

Es ist besonders bemerkenswert, daß bei der Plattenströmung die Temperaturabhängigkeit der Dichte nicht separat, sondern nur in der Kombination mit den Temperaturabhängigkeiten der Viskosität µ bzw. der Wärmeleitfähigkeit λ auftritt. Es gelten die Beziehungen     d(µ) T d(λ) T Kµ = = K + Kµ , Kλ = = K + Kλ . (10.19) dT µ ∞ dT λ ∞ Bei adiabater Wandtemperatur entsprechend Gl. (10.17) folgt aus Gl. (10.15) für den Reibungsbeiwert die einfache Beziehung cf = 1 + 0,149Kµ Ec∞ cfc.p.

(qw = 0) ,

(10.20)

wobei der Index c.p. (engl.: constant property) den Fall konstanter Stoffwerte kennzeichnet. Die Formeln (10.15) bis (10.20) gelten für beliebige Stoffe bei Pr ∞ = 0,7. Bei Gasen wird häufig angenommen, daß es sich um ideale Gase (aus p = RT folgt K = −1) mit konstantem cp (Kc = 0) und konstantem Pr (wegen cp = const folgt λ ∼ µ oder Kλ = Kµ ) handelt. Dann kann die Eckert-Zahl durch die Mach-Zahl ausgedrückt werden, vgl. Gl. (4.14): Ec∞ = (γ − 1) Ma2∞

mit

Ma∞ =

U∞ . c∞

(10.21)

Damit folgt aus Gl. (10.20) cf = 1 − 0,149(γ − 1)(1 − Kµ ) Ma2∞ cf c.p.

(10.22)

r = 0,836[1 − 0,009(γ − 1)(1 − Kµ ) Ma2∞ ] .

(10.23)

und aus Gl. (10.17)

cf

Ist die Viskosität proportional zur Temperatur (Kµ = 1, also Kµ = 0), dann bleiben √ √ Rex , Nux / Rex und r von der Temperaturabhängigkeit der Stoffwerte unbeeinflußt. Bei Luft (γ = 1,4) wird für die Viskosität häufig ein Potenzgesetz
 T Kµ µ = (10.24) µ∞ T∞

mit Kµ = 0,7 angenommen. Dann ergibt sich aus Gl. (10.22) und (10.23) cf cf c.p.

= 1 − 0,018 Ma2∞ ,

r rc.p.

= 1 − 0,001 Ma2∞ .

(10.25)

10.3 Grenzschichten mit mäßigem Wärmeübergang (ohne Schwerkrafteinfluß)

241

Die Änderung des Rückgewinnfaktors r ist danach sehr gering, worauf auch H.W. Emmons; J.G. Brainerd (1942) hingewiesen haben. Die Formel für cf ergibt bis zu Mach-Zahlen von Ma∞ = 3 noch gute Ergebnisse, wie in Bild 10.6 durch Vergleich mit exakten Lösungen gezeigt wird, vgl. auch H. Herwig (1985b). Anmerkung

(Einfluß der Druckabhängigkeit der Stoffwerte)

Hängen die Stoffwerte auch vom Druck ab, läßt sich die geschilderte Störungsrechnung diesbezüglich erweitern. In der Praxis hat meistens nur die Druckabhängigkeit der Dichte eine Bedeutung. Dafür ist dann der Ansatz (10.8) wie folgt zu erweitern: 

 ∂ ∂ (T ,p) = ∞ + (T − T∞ ) + (p − p∞ ) + · · · ∂T ∞ ∂p ∞ 
T − T∞  p − p∞ + · · · , +K (10.26) = ∞ 1 + K T∞ p∞ wobei p∞ der Druck im Bezugspunkt ist. Mit Gl. (4.22) läßt sich die Schallgeschwindigkeit c∞ einführen. In dimensionsloser Schreibweise lautet Gl. (10.26) dann: T − T∞ p − p∞ (T ,p) = 1 + K + γ Ma2∞ . ∞ T∞ ∞ V 2

(10.27)

Danach sind also die Einflüsse der Druckabhängigkeit der Dichte proportional zum Quadrat der Mach-Zahl. Mit diesem erweiterten Ansatz tritt jetzt in der Störungsrechnung der zusätzliche Störpa2 auf. rameter Ma2∞ = V 2 /c∞

10.3.2 Methode der Stoffwertverhältnisse (Temperaturverhältnisse) In der Praxis werden häufig zwei zunächst empirisch entwickelte Methoden angewendet, mit deren Hilfe Ergebnisse, die unter der Annahme konstanter Stoffwerte gewonnen wurden, bezüglich des Einflusses variabler Stoffwerte korrigiert werden können. Es handelt sich um die Methode der Stoffwertverhältnisse und um die im nächsten Abschnitt beschriebene Methode der Referenz-Temperatur. Nach der Methode der Stoffwertverhältnisse lauten die Korrekturformeln:

 cf w µw mµ w m = , (10.28) cf c.p.  ∞ µ∞ ∞ Tw = const : Nu = Nuc.p.




 w µw ∞ µ ∞

nµ


w ∞

n


Pr w Pr ∞

nPr


cpw cp∞

0,5 (10.29)

,

qw = const : Tw − T ∞ = (Tw − T∞ ) c.p.




w µ w ∞ µ∞

kµ


w ∞

k


Pr w Pr ∞

kPr


cpw cp∞

0,5 .

(10.30)

242

10 Grenzschichten mit Kopplung des Geschwindigkeitsfeldes an das Temperaturfeld

Die besondere Form der Gleichungen hat der Methode ihren Namen gegeben. Die Art der Stoffgesetze tritt hierbei explizit nicht auf. Aus den Ergebnissen des vorigen Abschnittes lassen sich die Exponenten sofort ermitteln, wie am Beispiel von Gl. (10.28) für den Fall Tw = const gezeigt werden soll. Wird Gl. (10.12) in Gl. (10.28) eingesetzt, ergibt sich wegen ϑw = 1 cf cf c.p.

= [1 + (K + Kµ )ε]mµ [1 + K ε]m .

(10.31)

Werden die Potenzen in Binomialreihen entwickelt und dabei nur die linearen Glieder berücksichtigt, folgt cf cf c.p.

= 1 + ε[K (mµ + m ) + Kµ mµ ] ,

woraus sich durch Vergleich mit Gl. (10.14) ergibt: mµ =

Fµ , F0

m =

F − F µ . F0

Bei der Methode der Stoffwertverhältnisse handelt es sich also gar nicht um eine empirische Methode. Die Störungsrechnung des vorigen Abschnitts liefert dabei nicht nur die Zahlenwerte der Exponenten, sondern bestimmt auch die Struktur der Korrekturformeln. So folgt beispielsweise zwangsläufig, daß die Temperaturabhängigkeiten der Stoffwerte λ und cp keinen Einfluß auf die Korrektur des Reibungsbeiwertes cf haben. Im allgemeinen sind die Exponenten abhängig von x, Pr ∞ , Ec∞ und von der thermischen Randbedingung an der Wand. Ausnahmen sind die Exponenten von (cpw /cp∞ ). Bei Grenzschichten mit ähnlichen Lösungen entfällt die x-Abhängigkeit. In Tabelle 10.1 sind die Exponenten für die Platten- und die Staupunktströmung angegeben. Dabei wurde die Dissipation vernachlässigt (Ec∞ = 0). Über den Einfluß der Eckert-Zahl auf die Exponenten findet man Angaben bei H. Herwig (1985b, 1987). In Gl. (10.30) sind die Stoffwerte bei der Wandtemperatur Tw c.p. einzusetzen. Man entnimmt der Tabelle, daß im Gegensatz zur Staupunkt-Strömung bei der Plattenströmung die Temperaturabhängigkeit der Dichte, wie bereits erwähnt, separat nicht auftritt. Für die Plattenströmung von Fluiden mit Pr = const und cp = const sind die Korrekturen (10.28) bis (10.30) nur von dem einen Parameter CR =

w µw ∞ µ∞

(10.32)

abhängig, der als Chapman-Rubesin-Parameter bezeichnet wird. Für Pr ∞ → ∞ entfällt die Korrektur des Reibungsbeiwertes, da die Temperaturgrenzschicht sehr dünn gegenüber der Geschwindigkeitsgrenzschicht und daher ohne Einfluß ist. Umgekehrt entfällt für Pr ∞ → 0 der Einfluß der Viskosität auf die Korrektur des Wärmeübergangs, da die Geschwindigkeitsgrenzschicht sehr dünn ist gegenüber der Temperaturgrenzschicht. Weitere Zahlenwerte können den Arbeiten von K. Gersten; H. Herwig (1984) und H. Herwig; G. Wickern (1986) entnommen werden.

10.3 Grenzschichten mit mäßigem Wärmeübergang (ohne Schwerkrafteinfluß)

243

Tabelle 10.1. Exponenten der Stoffwertverhältnis-Methode nach Gl. (10.28) bis (10.30).

Platten- und Staupunktströmung

Anmerkung (Unterscheidung von Heizen und Kühlen?)

Den Korrekturformeln (10.28) bis (10.30) liegt, wie hier gezeigt wurde, im Prinzip eine lineare Abhängigkeit der Stoffwerte von der Temperatur zugrunde. Manchmal werden in der Literatur unterschiedliche Zahlenwerte der Exponenten für „Heizen“ und „Kühlen“ angegeben. Davon wird dringend abgeraten. Es bedeutet, daß die Temperaturabhängigkeit der Stoffwerte durch einen aus zwei Geradenstücken bestehenden Verlauf mit einem Knick im Bezugspunkt dargestellt wird. Es handelt sich dabei um den untauglichen Versuch, in einer prinzipiell linearen Theorie nichtlineare Effekte zu berücksichtigen. Dabei wird an einer Stelle, an der die Formeln besonders genau sein sollten, eine willkürliche Diskontinuität eingeführt.

Häufig werden für die Temperaturabhängigkeit der Stoffwerte (insbesondere von Gasen) Potenzgesetze verwendet. Dann erhält man aus den Gl. (10.28) bis (10.30) die Formeln 
cf Tw m = , cf c.p. T∞
 Tw n Nu = (Tw = const) , (10.33) Nuc.p. T∞
 Tw k T w − T∞ = (qw = const) , (Tw − T∞ )c.p. T∞

244

10 Grenzschichten mit Kopplung des Geschwindigkeitsfeldes an das Temperaturfeld

wobei jetzt aber die Exponenten nicht mehr unabhängig vom betrachteten Stoff sind. Die Verwendung der Formeln (10.33) wird als Methode der Temperaturverhältnisse bezeichnet. Beispiel: Wärmeübertragung in Luft

Bei der Umströmung von Körpern beginnt die Grenzschicht als Staupunktgrenzschicht und durchläuft das Druckabfallgebiet im allgemeinen bis zu einer Stelle mit verschwindendem Druckgradienten, wo die Grenzschicht sich etwa wie eine Plattengrenzschicht verhält. Im anschließenden Druckanstiegsgebiet erfolgt sehr bald entweder eine Grenzschichtablösung oder der Übergang in den turbulenten Zustand. Von H. Herwig (1984) wurde daher vorgeschlagen, für allgemeine Körperkonturen, d.h. für allgemeine Verteilungen U (x), weiterhin die Formeln (10.28) bis (10.30) zu verwenden, wobei für die Exponenten näherungsweise die Mittelwerte aus der Staupunkt- und der Plattenströmung gewählt werden. Bei Luft wie bei allen Gasen wird häufig die Abhängigkeit der Prandtl-Zahl von der Temperatur vernachlässigt. Danach ergäbe sich für Luft (Pr = 0,70) die Korrektur der Nußelt-Zahl zu


 Nu w µw 0,265 w −0,048 cpw 0,5 = (Pr = 0,7) . (10.34) Nuc.p. ∞ µ∞ ∞ cp∞ Der Exponent 0,265 entspricht nicht nur einer Mittelung der Staupunkt- und der Plattenströmung, sondern auch einer Mittelung der Fälle Tw = const und qw = const, die sich in den Exponenten nur geringfügig unterscheiden. Daher gilt Gl. (10.34) näherungsweise für beliebige thermische Randbedingungen. Es ist üblich, für die Stoffgesetze von Luft folgende Potenzgesetze zu verwenden, vgl. auch Tabelle 3.1:  ∼ T −1 , µ ∼ T 0,78 , λ ∼ T 0,85 , cp ∼ T 0,07 . Damit folgt dann aus Gl. (10.34) Nu = Nuc.p.




 Tw 0,02 . T∞

(10.35)

Diese Formel wird durch Experimente sehr gut bestätigt, z.B. von W.M. Kays; W.B. Nicoll (1963) durch Messungen am Kreiszylinder. Danach hat die Temperaturabhängigkeit der Stoffwerte bei Luftströmungen nur einen geringen Einfluß, da sich offensichtlich die Effekte der verschiedenen Stoffwerte gerade kompensieren. Bei T∞ = 20 ◦ C und Tw = 100 ◦ C beträgt die Korrektur weniger als 1 %. Daher war es gerechtfertigt, in Bild 9.5 Wärmeübergangsmessungen in Luftströmungen mit der Theorie für konstante Stoffwerte zu vergleichen.

10.3.3 Methode der Referenztemperatur Hierbei werden die unter der Annahme konstanter Stoffwerte gewonnenen Ergebnisse für cf und Nu formal unverändert beibehalten. Alle darin vorkommenden Stoffwerte werden jedoch bei einer zunächst unbekannten Temperatur, der sog. Referenztemperatur Tr , genommen. Diese Referenztemperatur ist so zu wählen, daß die Ergebnisse für variable Stoffwerte formal durch die Beziehungen für konstante Stoffwerte wiedergegeben werden. Aus den Ergebnissen der Störungsrechnung aus Abschnitt 10.3.1 lassen sich sehr leicht diese Referenztemperaturen Tr ermitteln. Am Beispiel des Reibungsbeiwertes an der ebenen Platte bei Tw = const sei das gezeigt.

10.4 Kompressible Grenzschichten (ohne Schwerkrafteinfluß)

245

Definitionsgemäß soll gelten:  2τw 2 r U ∞

r U ∞ x = 0,664 , µr

wobei r und µr die Stoffwerte bei der Referenztemperatur Tr sind. Daraus folgt   ∞ U ∞ x ∞ µ ∞ 2τw = 0,664 2 ∞ U ∞ µ∞  r µr oder

√
 cf Re r µr 1/2 = . √ ∞ µ∞ (cf Re)c.p.

Wird jetzt analog zu Gl. (10.12) Tr − T ∞ r µr = 1 + Kµ  ∞ µ∞ T∞ angesetzt und nur das lineare Glied der Binomialreihe berücksichtigt, ergibt ein Vergleich mit Gl. (10.15) Tw − T∞ Tr − T∞ = 0,532 + 0,076 Ec∞ T∞ T∞

(Pr = 0,7) .

(10.36)

Die Formel gibt sehr gut die aus der Literatur bekannten empirischen Beziehungen wieder, vgl. F.M. White (1974, S. 590). Es läßt sich sofort einsehen, daß für die Plattenströmung bei Vernachlässigung der Dissipation (Ec∞ = 0) Tr − T ∞ = 2mµ (10.37) Tw − T ∞ gilt, so daß die Referenztemperaturen der Tabelle 10.1 entnommen werden können. Danach ist im Fall Tw = const die Referenztemperatur gleich der Außentemperatur für Pr → ∞ und gleich der Wandtemperatur für Pr → 0. Die Referenztemperaturen sind im allgemeinen für den Reibungsbeiwert und für die Nußelt-Zahl verschieden und hängen auch von der thermischen Randbedingung an der Wand ab.

10.4

Kompressible Grenzschichten (ohne Schwerkrafteinfluß) 10.4.1 Aufgabenstellung und Stoffgesetze Ein ebener Körper werde mit der Geschwindigkeit V angeströmt. Die Berechnung der reibungslosen Strömung ergibt die Verteilungen ue (x) und Te (x) am Außenrand der Grenzschicht. Der Index e (engl.: external, edge) kennzeichnet die Werte

246

10 Grenzschichten mit Kopplung des Geschwindigkeitsfeldes an das Temperaturfeld

am Außenrand der Grenzschicht. Die Aufgabe der Grenzschichttheorie besteht nun darin, die Grenzschichtgleichungen (10.4) bis (10.7) (mit g = 0) für gegebene thermische Randbedingungen an der Wand zu berechnen. Dabei können im allgemeinen Temperaturverteilungen Tw (x) oder Verteilungen der Wärmestromdichte an der Wand qw (x) vorgegeben sein. Spezialfälle sind die Standardfälle Tw = const bzw. qw = const. Gesucht werden die Verteilungen des Reibungsbeiwertes, der adiabaten Wandtemperatur sowie der Nußelt-Zahl bzw. der Wandtemperatur. Über die Stoffgesetze werden folgende Annahmen getroffen: 1. Es werden ideale Gase betrachtet, d.h. es gilt p = RT , 

(10.38)

wobei R die spezielle Gaskonstante ist (für Luft gilt: R = 287 m2 / s2 K). Für den Wärmeausdehnungskoeffizienten nach Gl. (3.67) gilt dann
 1 ∂ 1 β=− = . (10.39)  ∂T p T Dieses ist gleichbedeutend mit K = −1. Ferner folgt daraus Dh DT = cp , Dt Dt

(10.40)

wie der Vergleich von Gl. (10.6) und (10.7) zeigt, vgl. auch Gl. (3.66). 2. Es werden konstante spezifische Wärmekapazitäten angenommen: cp = const,

cv = const,

γ = const .

(10.41)

Aus Gl. (10.40) folgt dann, daß die spezifische Enthalpie proportional zur (absoluten) Temperatur ist: h = cp T . (10.42) 3. Es wird konstante Prandtl-Zahl angenommen: Pr =

cp µ = const. λ

(10.43)

Dieses bedeutet mit Gl. (10.41) eine Proportionalität von Wärmeleitfähigkeit und Viskosität: cp λ = = const. (10.44) µ Pr 4. Es wird angenommen, daß die Viskosität µ(T ) nur von der Temperatur abhängt. Wegen Gl. (10.44) hängt dann auch die Wärmeleitfähigkeit λ(T ) nur von der Temperatur ab. Für das Viskositätsgesetz µ(T ) sind folgende Darstellungen gebräuchlich:

10.4 Kompressible Grenzschichten (ohne Schwerkrafteinfluß)

Sutherland-Formel:

µ = µr




T Tr

3 2

Tr + s . T +s

247

(10.45)

Dabei bedeutet µr den Viskositätswert bei der Referenztemperatur Tr . Die Konstante s ist von der Art des Gases abhängig, für Luft gilt s = 110 K, vgl. auch F.M. White (1974, S. 29). Potenzgesetz:

µ = µr




T Tr

ω

1 ≤ ω ≤ 1. 2

(10.46)

Für Luft wird etwa ω = 0,7 verwendet. Zur Bestimmung von ω sei auf J.F. Gross; C.F. Dewey, jr. (1965) hingewiesen. Lineares Gesetz: Wie sich zeigen wird, vereinfachen sich die Grenzschicht-

gleichungen erheblich, wenn die Viskosität proportional zur Temperatur ist, ω = 1. Deshalb wird gelegentlich das Viskositätsgesetz auch in der Form T µ =b µr Tr

(10.47)

angesetzt. Dabei dient die Konstante b dazu, die Sutherland-Formel Gl. (10.45) oder das Potenzgesetz Gl. (10.46) in der Nähe einer gewünschten Temperatur zu approximieren. Beispielsweise stimmt für  b=

T w Tr + s , T r Tw + s


b=

Tw Tr

ω−1 (10.48)

Gl. (10.47) mit der Sutherland-Formel bzw. mit dem Potenz-Gesetz im Punkt T = Tw überein. Die Werte µr , Tr entsprechen dabei dem Bezugspunkt in der Sutherland-Formel bzw. im Potenzgesetz, der jedoch für Tw  = Tr nicht auf der Geraden nach Gl. (10.47) liegt. Kombiniert man Gl. (10.47) mit Gl. (10.38), erhält man p µ =b . r µr pr

(10.49)

Da in der Grenzschicht der Druck vom Wandabstand unabhängig ist, wird bei dem Viskositätsgesetz nach Gl. (10.47) die Kombination nach Gl. (10.49) eine Funktion nur von der Lauflänge x. Die vier getroffenen Annahmen führen zu einer sehr guten Beschreibung von Luft bei mäßigen Drücken (p  1000 bar) bis zu Temperaturen von etwa T = 500 K. Oberhalb dieser Temperatur kann cp nicht mehr als konstant angesehen werden, vgl. Abschnitt 10.4.6. Entsprechendes gilt für andere Gase.

248

10 Grenzschichten mit Kopplung des Geschwindigkeitsfeldes an das Temperaturfeld

10.4.2 Einfache Lösungen der Energiegleichung Unter den im vorigen Abschnitt getroffenen Annahmen besteht eine besonders einfache Bilanzgleichung für die spezifische Gesamtenthalpie (Totalenthalpie, Index t) 1 1 ht = cp Tt = h + u2 = cp T + u2 . 2 2

(10.50)

Dabei ist Tt die Totaltemperatur. In Gl. (10.50) wurde v 2 /2 gegenüber u2 /2 vernachlässigt, was innerhalb der Grenzschicht zulässig ist. Multipliziert man Gl. (10.5) mit u und addiert die so entstandene Gleichung für die kinetische Energie zur Gl. (10.7), ergibt sich 
 
 
∂ht ∂ µ ∂ht ∂ 1 ∂u ∂ht +v = + 1− µu . (10.51)  u ∂x ∂y ∂y Pr ∂y ∂y Pr ∂y Man entnimmt dieser Gleichung sofort, daß für die reibungslose Außenströmung (µ = 0) ht = const gilt. Für den Außenrand der Grenzschicht folgt daraus 1 cp Te + u2e = hte = cp T0 2

(10.52)

mit T0 als Ruhetemperatur oder Stautemperatur der Außenströmung. Für den Fall Pr = 1 vereinfacht sich Gl. (10.51) erheblich. Es lassen sich dann sofort zwei einfache Lösungen von Gl. (10.51) angeben, die auf A. Busemann (1931) und L. Crocco (1932) zurückgehen (sogen. Busemann-Crocco-Lösungen): 1. Adiabate Wand (Pr = 1).

Die Lösung von Gl. (10.51) lautet hierfür ht = hte = const .

(10.53)

Wird Gl. (10.50) differenziert, ergibt sich wegen uw = 0
 
cp ∂T ∂ht = cp = − qw , ∂y w ∂y w λw und damit erfüllt konstantes ht auch die Bedingung qw = 0 für die adiabate Wand. In diesem Fall ist nach Gl. (10.50) die Temperatur T (u) eine quadratische Funktion der Geschwindigkeit. Es gilt: u2 T0 − T (u) = . T0 2cp T0

(10.54)

Wegen der Haftbedingung (uw = 0) ist die adiabate Wandtemperatur gleich der Ruhetemperatur T0 . Der Rückgewinnfaktor r nach Gl. (9.86) ist also für Pr = 1 stets r = 1.

10.4 Kompressible Grenzschichten (ohne Schwerkrafteinfluß)

249

2. Plattenströmung ( Pr = 1).

In diesem Fall existiert ein linearer Zusammenhang zwischen ht und u in der Form ht − hte u =1− , (10.55) htw − hte U∞ weil die Gleichungen (10.51) für ht und (10.5) für u gleiche Struktur besitzen. Danach ist die Abhängigkeit der Temperatur T (u) von der Geschwindigkeit wieder ein Polynom zweiten Grades:
 T0 − T (u) u u2 T0 − Tw 1− (10.56) = + T0 2cp T0 T0 U∞ mit der als konstant angenommenen Wandtemperatur Tw . Für Tw = T0 reduziert sich diese Formel wieder auf Gl. (10.54) des adiabaten Falles. Wenn die Mach-Zahl der Anströmung (Temperatur T∞ in der Anströmung) Ma∞ =

U∞ U∞ = c∞ cp (γ − 1)T∞

eingeführt wird, läßt sich Gl. (10.56) auch wie folgt schreiben: 
 
 u 2 γ −1 Tw − Tad u T − T∞ 2 Ma∞ 1 − = + 1− T∞ 2 U∞ T∞ U∞ (10.57a) oder
 T − Tw u γ −1 u T ∞ − Tw u Ma2∞ = , (10.57b) 1− + T∞ 2 U∞ U∞ T∞ U ∞ wobei für die adiabate Wandtemperatur
 γ −1 2 Tad = T0 = T∞ 1 + Ma∞ 2

(10.58)

gilt. Bildet man von Gl. (10.57a) die Ableitung an der Wand, ergibt sich
 ∂T (Tw − Tad )λw τw qw = −λw = ∂y w U ∞ µw oder in dimensionsloser Form cf qw l = Re , (10.59) λ∞ (Tw − Tad ) 2 wobei Re = ∞ U∞ l/µ∞ gilt. Dieser einfache Zusammenhang zwischen der Nußelt-Zahl Nu und dem Reibungsbeiwert cf wird Reynolds-Analogie genannt. Sie gilt nur für die Plattenströmung bei Pr = 1, dann jedoch für beliebige Mach-Zahlen. Aus Gl. (10.59) folgt: Nu =

qw > 0, qw < 0,

Tw > Tad : Heizen: Wärme von Wand auf Fluid Tw < Tad : Kühlen: Wärme von Fluid auf Wand.

250

10 Grenzschichten mit Kopplung des Geschwindigkeitsfeldes an das Temperaturfeld

10.4.3 Transformation der Grenzschichtgleichungen Dorodnizyn-Howarth-Transformation

Da sich die kompressiblen Grenzschichten bei kleinen Anströmgeschwindigkeiten (Ma∞ → 0) und geringem Wärmeübergang (T /T∞ → 0, vgl. Gl. (10.10)) auf Grenzschichten mit konstanten Stoffwerten reduzieren, lag es nahe zu versuchen, die Gleichungen der kompressiblen Grenzschichten so zu transformieren, daß sie den Gleichungen der Grenzschichten mit konstanten Stoffwerten möglichst ähnlich oder mit diesen sogar identisch sind. Am Beispiel der Kontinuitätsgleichung (10.4) sei der Grundgedanke dazu erläutert. Durch Einführen der Stromfunktion ψ(x,y) u = ∞

∂ψ , ∂y

v = −∞

∂ψ ∂x

(10.60)

mit der Bezugsdichte ∞ ist die Kontinuitätsgleichung erfüllt. Durch die transformierte Variable y  Y = dy (10.61) ∞ 0

erhält man die von der inkompressiblen Grenzschicht her bekannte Beziehung u=

∂ψ . ∂Y

(10.62)

Die Gleichung (10.61) wird als Dorodnizyn-Howarth-Transformation bezeichnet, vgl. K. Stewartson (1964, S. 29). Die beiden folgenden Transformationen sind Erweiterungen davon. Illingworth-Stewartson-Transformation

Es werden ein lineares Viskositätsgesetz nach Gl. 10.47) und konstante Wandtemperatur Tw = const angenommen. Durch die Koordinaten-Transformation x  x= 0

p e ce ce b dx ,  y= p 0 c0 c0

y 0

 dy 0

(10.63)

erhält man aus den Gl. (10.4), (10.5) und (10.51) das folgende System von Gleichungen, vgl. H. Schlichting (1982, S. 344): ∂ u ∂ v + = 0, ∂ x ∂ y

(10.64)

∂ u ∂ u d ue ∂ 2 u  u + v = ue (1 + S) + ν0 2 , ∂ x ∂ y d x ∂ y

(10.65)

10.4 Kompressible Grenzschichten (ohne Schwerkrafteinfluß)

251

 
2  ∂S ∂S 1 ∂ 2S Pr −1 (γ − 1) Ma2e ∂ 2  u + v = ν0  u + . (10.66) 2 2 2 ∂ x ∂ y Pr ∂ y Pr 2 + (γ − 1) Mae ∂ y  ue Dabei gilt u=

T + u2 /(2cp ) ce ht − hte  u, S = = − 1. c0 hte T0

(10.67)

Die Funktion S( x , y ) ist also die dimensionslose Gesamtenthalpie. Der Index 0 bezieht sich auf den Ruhezustand der reibungslosen Außenströmung, der Index e kennzeichnet die Werte am Grenzschichtrand. Mit c wird die Schallgeschwindigkeit bezeichnet. Zum Gleichungssystem (10.64) bis (10.66) gehören die Randbedingungen:  y=0:

 u = 0,  v = 0, S = Sw (oder: (∂S/∂ y )w = 0 für adiabate Wand)

 y→∞:  u = ue ( x ), S = 0 . Die transformierte Gleichung (10.65) unterscheidet sich von der entsprechenden Grenzschichtgleichung bei konstanten Stoffwerten lediglich durch den Faktor (1+S) beim Druckglied. Es ist bemerkenswert, daß gerade für die beiden im Abschnitt 10.4.2 behandelten Fälle (Pr = 1: S = 0 und d ue /d x = 0) die Reduktion auf die Gleichungen für konstante Stoffwerte exakt gelingt. Dieses gilt jedoch nur bei einem linearen Viskositätsgesetz nach Gl. (10.47). Levy-Lees-Transformation

Diese Transformation kann als eine Erweiterung der Görtler-Transformation, vgl. Kap. 7.3.1, auf kompressible Strömungen unter Berücksichtigung von Gl. (10.61) aufgefaßt werden. Sie lautet x ξ=

e µe ue dx , 0

ue η= √ 2ξ

y  dy .

(10.68)

0

Für die beiden Funktionen u = f  (ξ,η) , ue

ht − hte = S = g(ξ,η) hte

ergeben sich nach der Transformation  
  e    2  ∂f  ∂f (Cf ) + ff + β −f −f = 2ξ f ,  ∂ξ ∂ξ
  
 C  ∂g ∂f u2 1 g +C e 1− − g f  f  + f g  = 2ξ f  . Pr hte Pr ∂ξ ∂ξ

(10.69)

(10.70)

(10.71)

Dabei bedeuten Striche partielle Ableitungen nach η. Für die Funktionen β(ξ ) und C(ξ,η) gilt:

252

10 Grenzschichten mit Kopplung des Geschwindigkeitsfeldes an das Temperaturfeld

β=

2ξ due , ue dξ

C=

µ . e µ e

(10.72)

Die Randbedingungen lauten: η = 0 : f = 0 , f  = 0 , g = gw  (oder gw = 0 für adiabate Wand)

η → ∞ : f = 1, g = 0. Für β = const, C = C(η) und gw = const erhält man aus Gl. (10.70) und (10.71) ähnliche Lösungen. Im Fall konstanter Stoffwerte (C = 1,  = e = ∞ ) reduziert sich Gl. (10.70) auf Gl. (7.77). Wegen Ma∞ → 0 ergibt sich g=

T − T∞ T∞

(10.73)

und u2e / hte → 0, so daß aus Gl. (10.71) für die Variable ϑ= die Gleichung

g T − T∞ = gw Tw − T ∞

(10.74)


 1    ∂ϑ  ∂f ϑ + f ϑ = 2ξ f −ϑ Pr ∂ξ ∂ξ

(10.75)

mit den Randbedingungen η=0:

ϑ = 1,

η→∞:

ϑ =0

(10.76)

folgt. Es handelt sich hier um die Energiegleichung (9.13), die der GörtlerTransformation nach Gl. (7.76) unterworfen worden ist.

Zur numerischen Berechnung kompressibler Grenzschichten werden in der Praxis häufig die Gl. (10.70) und (10.71) statt der Gleichungen (10.4), (10.5) und (10.51) verwendet. DieVorteile sind unter anderem folgende: 1. Für den Start der Rechnung reduzieren sich Gl. (10.70) und (10.71) auf gewöhnliche Differentialgleichungen, d.h. die Rechnung beginnt mit den ähnlichen Lösungen für den Staupunkt oder für die ebene Platte. 2. Die von der wachsenden Grenzschichtdicke herrührende Zunahme des Gebietes der Berechnung wird weitgehend eliminiert. 3. Die Grenzschichtprofile sind glatter, ändern sich in der transformierten Ebene weniger und erlauben dadurch größere Schrittweiten. Auf Einzelheiten wird in Kap. 23 eingegangen.

10.4 Kompressible Grenzschichten (ohne Schwerkrafteinfluß)

253

10.4.4 Ähnliche Lösungen Wenn sich die Grenzschichtgleichungen auf gewöhnliche Differentialgleichungen reduzieren lassen, liegen ähnliche Lösungen vor. Diese Ähnlichkeit kann sich noch auf verschiedene Koordinaten-Ebenen beziehen je nachdem, welche der beiden im vorigen Abschnitt behandelten Koordinaten-Transformationen zugrunde gelegt wird. Damit ergeben sich folgende Möglichkeiten für ähnliche Lösungen: 1. Pr = 1, lineares Viskositätsgesetz

Für diese Strömungen ließen sich die Grenzschichtgleichungen durch die Illingworth-Stewartson-Transformation auf diejenigen für inkompressible Grenzschichten (bis auf den Faktor (1 + S) in der Impulsgleichung) zurückführen, vgl. Gl. (10.64) bis (10.66). Unterzieht man diese Gleichungen für Pr = 1 wie bei inkompressiblen Grenzschichten einer Ähnlichkeitstransformation analog zu Gl. (7.21)   u ht − hte (m + 1) ue , = f  (η), S= = S(η) , (10.77) η = y 2ν0 x  ue hte erhält man das Gleichungssystem f  + ff  + β(1 + S − f 2 ) = 0 , S  + f S  = 0

(10.78) (10.79)

mit den Randbedingungen η=0:

f = 0, f  = 0, S = Sw (oder Sw = 0 bei adiabater Wand)

η→∞:

(10.80)

f  = 1, S = 0 .

Dabei ist, wie früher in Gl. (7.17) und (7.19), als Parameter des Druckgradienten der Außenströmung 2m ue x d 2  = (10.81) β= m+1 ue d x m+1 eingeführt worden. In der transformierten Ebene folgt die Außenströmung wieder einem Potenzgesetz  ue ∼  xm. Die Geschwindigkeitsverteilung ue (x) in der Originalebene ist im allgemeinen keine Potenz mehr. Lediglich für den Spezialfall m = (γ − 1)/(3 − 5γ ) gilt ue ∼ x m , vgl. H. Schlichting (1982, S. 350). Bei adiabater Wand gilt die Lösung S = 0, so daß in diesem Fall die Impulsgleichung (10.78) von der Energiegleichung entkoppelt und identisch mit Gl. (7.15) der inkompressiblen Grenzschicht ist.

254

10 Grenzschichten mit Kopplung des Geschwindigkeitsfeldes an das Temperaturfeld

Bei Wärmeübergang hängen die Lösungen des Systems Gl. (10.78) und (10.79) außer von β noch von dem Parameter Sw = (Tw −T0 )/T0 ab. T.Y. Li; H.T. Nagamatsu (1955) und C.B. Cohen; E. Reshotko (1956) haben Lösungen für eine große Anzahl von Werten der Parameter β und Sw ermittelt. In Bild 10.2 sind die Geschwindigkeitsverteilungen u/ue =  u/ ue = f  (η) und die Energieverteilungen (ht − hte )/ hte = S(η) über dem dimensionslosen Wandabstand für verschiedene Werte β und Sw dargestellt. Die in Bild angegebenen Werte Sw entsprechen der adiabaten Wand (Sw = 0), einer Kühlung (Sw = −0,8; Tw = 0,2T0 ) und einer Heizung (Sw = 1,0; Tw = 2T0 ). Für β < 0 treten zwei Lösungen auf. Bei den mehrdeutigen Lösungen sind in Bild 10.2 diejenigen Lösungen mit dem kleineren fw -Wert durch einen Stern gekennzeichnet. Es fällt auf, daß beim Heizen und bei Druckabfall (β > 0) die Geschwindigkeit in einem gewissen Bereich innerhalb der Grenzschicht größer als die Geschwindigkeit ue der Außenströmung werden kann. Der Grund dafür ist in der starken Volumenzunahme des Fluids infolge der Erwärmung innerhalb der Grenzschicht zu sehen. Das Gas mit der geringeren Dichte wird trotz der verzögernden Viskositätswirkung in der Grenzschicht durch die äußeren Druckkräfte stärker beschleunigt als die Außenströmung. Auf die Energieverteilungen hat der Druckgradient einen viel geringeren Einfluß als auf die Geschwindigkeitsverteilungen, wie aus Bild 10.2 hervorgeht.

Der Zusammenhang zwischen S(η), f  (η) und der Temperatur lautet T ( x ,η) u2 = 1 + S(η) − T0 2cp T0 = 1 + S(η) −

(γ − 1) Ma2e /2 [f  (η)]2 . 1 + (γ − 1) Ma2e /2

(10.82)

x ) im allgemeinen keine ähnlichen Temperaturprofile Danach liegen wegen Mae ( vor, wenn man vom Sonderfall der Platte (Mae = const) absieht. Für den auf den örtlichen Staudruck der Außenströmung bezogenen Reibungsbeiwert erhält man   x  w µw τw (x) fw x d . (10.83) cf = e 2 = √ 2(m + 1)  x dx Ree e µe 2 ue In Bild 10.3 ist fw für verschiedene Werte Sw über β aufgetragen. Es ist zu erkennen, daß eine Änderung von β den Wert fw und damit den Reibungsbeiwert bei Heizung (Sw > 0) viel stärker beeinflußt als bei Kühlung (Sw < 0). Im Bereich negativer β-Werte haben wir zu jedem β wegen der schon genannten Doppeldeutigkeit der Lösungen zwei mögliche Wandschubspannungen. Im Fall der adiabaten Wand (Sw = 0) entspricht dem unteren Zweig der Kurve negative Wandschubspannung, also Rückströmung. Bei Heizung (Sw > 0) können bei genügend kleinen (β −βmin )-Werten beide Lösungen fw < 0 liefern, d.h. eine Rückströmung aufweisen. Bei Kühlung (Sw < 0) können beide Werte fw > 0 sein, also zu einer Strömung ohne Rückströmung gehören. Man sieht auch, daß sich die Ablösung bei Heizung zu geringeren Druckanstiegen verschiebt, vgl. dazu H. Herwig; G. Wickern (1986). Heizen fördert also die Ablösung bei Gasströmungen.

10.4 Kompressible Grenzschichten (ohne Schwerkrafteinfluß)

255

Bild 10.2. Verteilungen der Geschwindigkeit und der Gesamtenthalpie in der kompressiblen Grenzschicht mit Druckgradient (β) und mit Wärmeübergang, Pr = 1, ω = 1. Lösungen der Gl. (10.78) bis (10.80) nach C.B. Cohen; E. Reshotko (1956) (a) Sw = 0,Tw = T0 (adiabate Wand, S = 0) (b) Sw = −0,8,Tw = 0,2T0 (Kühlung) (c) Sw = 1,0,Tw = 2T0 (Heizung)

256

10 Grenzschichten mit Kopplung des Geschwindigkeitsfeldes an das Temperaturfeld

Bild 10.3. Örtlicher Reibungsbeiwert in der kompressiblen Grenzschicht mit Druckgradient (β) und Wärmeübergang (Sw ), Pr = 1, ω = 1. Lösungen der Gl. (10.78) bis (10.80). (a) β < 0 Druckanstieg (b) β > 0 Druckabfall

2. Ma∞ → 0, Vernachlässigung der Dissipation

In diesen Fällen erhält man in der ξ -η-Ebene der Levy-Lees-Transformation ähnliche Lösungen. Zunächst gilt wegen Ma∞ → 0 für die Temperatur der Außenströmung Te = T∞ = const. Wegen S = (T − T∞ )/T∞ folgt /e = T /T∞ = S + 1. Damit reduzieren sich Gl. (10.70) und (10.71) auf (Cf  ) + ff  + β[1 + S − f 2 ) = 0 ,

(10.84)

1 (CS  ) + f S  = 0 . Pr

(10.85)

Dabei gilt für den Viskositätsparameter C je nach Viskositätsgesetz folgendes: 1. Sutherland-Formel nach Gl. (10.45): (T∞ als Referenztemperatur) C(η) = (1 + S)1/2

1 + s/T∞ , 1 + S + s/T∞

(10.86)

2. Potenzgesetz nach Gl. (10.46): (T∞ als Referenztemperatur) C(η) = (1 + S)ω−1 ,

(10.87)

3. Lineares Gesetz nach Gl. (10.47): C = b = const . Geht die Gerade nach Gl. (10.47) durch den Referenzpunkt, gilt C = b = 1. Wird dagegen die Gerade durch den Punkt der Wandtemperatur nach Gl. (10.48) gelegt, gilt

10.4 Kompressible Grenzschichten (ohne Schwerkrafteinfluß)

C=

w µw = CR . ∞ µ ∞

257

(10.88)

In dieser Form wird C als Chapman-Rubesin-Parameter bezeichnet, vgl. Gl. (10.32). Zu dem Gleichungssystem (10.84) und (10.85) gehören wieder die Randbedingungen Gl. (10.80). Für Pr = 1 und C = const geht das System (10.84) und (10.85) in das System (10.78) und (10.79) über, wenn noch die Koordinaten-Transformation √ √ (10.89) η = C η , f (η) = C f (η) durchgeführt wird. Das Gleichungssystem (10.84) und (10.85) wurde für verschiedene Werte β, Pr und ω (nach Gl. (10.87)) von C.F. Dewey Jr.; J.F. Gross (1967) gelöst. Weitere Lösungen findet man für die Plattengrenzschicht (β = 0) u.a. bei W. Hantzsche; H. Wendt (1940), L. Crocco (1941), E. Van Driest (1952), S. Levy (1954) und für die Staupunktströmung (β = 1) z.B. bei J.A. Fay; F.R. Riddell (1958). Beispiel: Staupunktströmung (Pr = 0,7)

Bei der Staupunktströmung verschwindet die Geschwindigkeit u direkt auf der Staupunktstromlinie. Daher entfällt hierbei der Einfluß der Dissipation. In Bild 10.4 ist die bezogene Nußelt-Zahl  qw x µ0 Nux = (10.90) √ λ (T − T )  Rex 0 w 0 0 ue x in Abhängigkeit vom Temperaturverhältnis Tw /T0 für Pr = 0,7 aufgetragen. Für die Staupunktströmung gilt Te = T0 , µe = µ0 , e = 0 . Dabei wurden die beiden Potenzgesetze ω = 1 und ω = 0,7 verwendet. Man erkennt den deutlichen Einfluß des Exponenten ω.

Bild 10.4. Wärmeübergang bei der ebenen Staupunktströmung in Abhängigkeit vom Temperaturverhältnis Tw /T0 (ideales Gas, cp = const, Pr = 0,7) Viskositätsgesetz nach Gl. (10.46), Tr = T0 - - - - - Methode √ der Temperaturverhältnisse nach Abschnitt 10.3.2, (Nux / Rex )Tw ≈T0 = 0,4959. ω = 1: Nu / Nuc.p. = (Tw /T0 )0,0960 ω = 0,7: Nu / Nuc.p. = (Tw /T0 )0,0126

258

10 Grenzschichten mit Kopplung des Geschwindigkeitsfeldes an das Temperaturfeld

Als gestrichelte Kurven sind die Näherungen nach der Methode der Temperaturverhältnisse entsprechend Abschnitt 10.3.2 eingetragen. Sie sind im Bereich 0,5 ≤ Tw /T0 ≤ 1,5 sehr gute Approximationen. Wird das lineare Viskositätsgesetz entsprechend Gl. (10.47) verwendet, wobei Tr = T0 gelten und der Wandwert µw = µ(Tw ) vom Viskositätsgesetz exakt beschrieben werden soll, dann ist b = w µw /0 µ0 = CR identisch mit dem ChapmanRubesin-Parameter. Aus Bild 10.4 geht deutlich hervor, daß bei variablen Stoffwerten die Wärmestromdichte an der Wand qw nicht mehr proportional zur Temperaturdifferenz Tw − T0 ist.

3. Ebene Platte mit Tw = const (Außenströmung mit Index ∞)

Wegen der konstanten Geschwindigkeit ue = U∞ in der Außenströmung der Plattenströmung führen die Gleichungen (10.70) und (10.71) auch bei Berücksichtigung der Dissipation auf ähnliche Lösungen. Im folgenden werden die Fälle adiabater Wand und Plattenströmungen mit Wärmeübergang unterschieden. Adiabate Wand

In Bild 10.5 sind die Geschwindigkeits- und Temperaturverteilungen für verschiedene MachZahlen (Pr = 1, ω = 1) nach Rechnungen von L. Crocco (1941) dargestellt. Da die Viskosität µ proportional zur Temperatur vorausgesetzt wird (ω = 1), ist die Impulsgleichung (10.70)

Bild 10.5. Verteilungen von Geschwindigkeit und Temperatur in der kompressiblen Grenzschicht an der längsangeströmten ebenen Platte bei adiabater Wand, nach L. Crocco (1941); Pr = 1; ω = 1; γ = 1,4

10.4 Kompressible Grenzschichten (ohne Schwerkrafteinfluß)

259

von der Energiegleichung (10.71) entkoppelt. Sie hat also nur eine von der Mach-Zahl unabhängige Lösung. Die Auftragung erfolgt jedoch nicht über der transformierten Koordinate η, sondern über einem geeignet skalierten Wandabstand y. Durch die Umrechnung von η √ auf y U∞ /ν∞ x geht die dazugehörige Temperaturverteilung ein. Aus der Transformation (10.68) folgt  η √  T U∞ = 2 y dη . (10.91) ν∞ x T∞ 0

Mit wachsender Mach-Zahl ergibt sich eine beträchtliche Zunahme der Grenzschichtdicke. Diese ist auf die Volumenvergrößerung infolge der Erwärmung der Grenzschicht durch die Dissipation zurückzuführen. Die Temperaturverteilungen zeigen die Temperaturerhöhungen infolge Dissipation, die bei großen Mach-Zahlen beträchtliche Werte annehmen. Die adiabate Wandtemperatur (auch Eigentemperatur genannt) wird meistens durch den Rückgewinn-Faktor (engl.: recovery factor) r = (Tad − T∞ )/(T0 − T∞ ), vgl. Gl. (9.86), dargestellt. Dieser ist im allgemeinen von der Prandtl-Zahl, von der Mach-Zahl und vom Viskositätsgesetz µ(T ) abhängig. Wie bereits in Abschnitt 10.3.1 erwähnt wurde, kann der Einfluß der Machzahl und des Viskositätsgesetzes auf r vernachlässigt werden, so daß die Kurve in Bild 9.6 näherungsweise auch für die kompressible Plattengrenzschicht gilt. Der Reibungsbeiwert für die adiabate Wand in Abhängigkeit von der Mach-Zahl ist in Bild 10.6 aufgetragen. Für ω = 1 ist die Impulsgleichung, Gl. (10.70), von der Energiegleichung entkoppelt, daher ist der cf -Wert von der Mach-Zahl unabhängig. Für ω = 0,8 nimmt der Reibungsbeiwert mit wachsender Mach-Zahl ab. Die gestrichelten Kurven entsprechen dem Ergebnis der Störungsrechnung nach Abschnitt 10.3.1 entsprechend Gl. (10.25). Bis zu Machzahlen von Ma∞ = 3 stellen sie eine brauchbare Näherung dar. Schließlich ist zum Vergleich noch die Kurve eingetragen, die sich beim linearen Viskositätsgesetz durch den Punkt µw = µ(Tw ) ergibt (Chapman-Rubesin-Parameter).

Bild 10.6. Reibungsbeiwert der längsangeströmten ebenen Platte für adiabate Wand, γ = 1,4, Pr = 1, Ec∞ = 0,4 Ma2∞

Lösungen für ω = 1,0 und ω = 0,8 nach W. Hantzsche; H. Wendt (1940) - - - - - - Lösung √ für ω = 0,8 nach der zu Gl. (10.15) analogen Beziehung cf Rex = 0,664 (1 + 0,168Kµ Ec∞ ) - · - · - · Lösung für ω = 0,8 √ mit dem Chapman-Rubesin-Parameter √ cf Rex = 0,664 CR = 0,664(1 + 0,5 Ec∞ )−0,1

260

10 Grenzschichten mit Kopplung des Geschwindigkeitsfeldes an das Temperaturfeld

Bild 10.7. Verteilungen von Geschwin-

digkeit und Temperatur in der kompressiblen Grenzschicht an der längsangeströmten ebenen Platte mit Wärmeübergang, nach W. Hantzsche; H. Wendt (1940), γ = 1,4; Pr = 0,7; Tw = T∞ . Plattenströmung mit Wärmeübergang

Für die Plattenströmung mit Wärmeübergang sind von W. Hantzsche; H. Wendt (1942) zahlreiche Beispiele gerechnet worden. Einige Ergebnisse für die Geschwindigkeits- und Temperaturverteilungen zeigt Bild 10.7, und zwar für die speziellen Fälle Tw = T∞ . Es handelt sich hier wegen Tw < Tad um Kühlung, d.h. ein Teil der durch Dissipation erzeugten Wärme wird an die Wand übertragen. Dadurch wird die Grenzschichtdicke deutlich geringer als bei adiabater Wand, wie man aus dem Vergleich der Geschwindigkeitsverteilungen in den Bildern 10.5 und 10.7 erkennen kann. Die Temperaturverteilungen zeigen, daß im vorliegenden Fall die maximale Temperaturerhöhung in der Grenzschicht nur etwa 20 % derjenigen bei adiabater Wand beträgt. In Bild 10.8 sind der Reibungsbeiwert und die Nußelt-Zahl in Abhängigkeit von der MachZahl für drei verschiedene Verhältnisse Tw /T0 dargestellt. Als gestrichelte Gerade sind die Ergebnisse entsprechend der Störungsrechnung (Ma∞ → 0, Tw → T0 ) nach Gl. (10.15) und (10.16) eingezeichnet. Diese stellen eine sehr gute Näherung bis zu Mach-Zahlen von etwa 5 und für |(Tw − T0 )/T0 | < 0,5 dar.

10.4.5 Integralverfahren Die in Kap. 8 beschriebenen Näherungsverfahren zur Berechnung inkompressibler Grenzschichten sind auch auf kompressible Grenzschichten erweitert worden. Eine Übersicht über die sehr zahlreichen Verfahren findet man bei H. Schlichting (1982, S. 357).Allen diesen Näherungsverfahren für kompressible laminare Grenzschichten ist

10.4 Kompressible Grenzschichten (ohne Schwerkrafteinfluß)

261

Bild 10.8. Reibungsbeiwert und Nußelt-Zahl der längsangeströmten ebenen Platte mit Wärmeübergang, Pr = 0,75; √ γ = 1,4; Viskosität√nach der Sutherland-Formel (10.45); s = 110 K; T∞ = 218 K; cf o Rex = 0,664; Nux0 / Rex = 0,30 Lösungen nach E.R. Van Driest (1952) - - - - - - Lösungen nach Gleichungen analog zu Gl. (10.15) und (10.16)

gemeinsam, daß sie in der rechnerischen Durchführung wesentlich komplizierter sind als die Näherungsverfahren für inkompressible Grenzschichten. Grundlage bilden wieder die Integralsätze für Impuls, kinetische und thermische Energie. Integralsätze. Die Integralsätze erhält man wie bei inkompressiblen Grenzschich-

ten durch Integration der entsprechenden Bilanzgleichungen. Es entstehen die folgenden drei Integralsätze: Impulssatz: 

dδ2 δ2 due τw µw ∂u δ1 + − Ma2e = = , 2+ dx ue dx δ2 e u2e ∂y w e u2e

(10.92)

mechanischer Energiesatz:   dδ3 δ3 due 2D δh + , 3 + 2 − Ma2e = dx ue dx δ3 e u3e

(10.93)

thermischer Energiesatz: d due (e he ue δh ) + e u2e δh = D + q w . dx dx

(10.94)

262

10 Grenzschichten mit Kopplung des Geschwindigkeitsfeldes an das Temperaturfeld

Dabei wurden die folgenden Dicken für die Grenzschicht eingeführt: δ
δ1 = 0

δ δ2 = 0

δ δ3 = 0

δ δh = 0

u 1−  e ue

 Verdrängungsdicke,

(10.95)


 u u 1− dy e u e  e ue

Impulsverlustdicke,

(10.96)


2  u u 1− dy e u e ue

Energieverlustdicke,

(10.97)


u h − 1 dy e ue he

Enthalpiedicke.

(10.98)

dy

Außerdem wurde das sogenannte Dissipationsintegral definiert:  δ
2 ∂u D= µ dy . ∂y

(10.99)

0

Gleichung (10.92) erhält man aus Gl. (10.4) und (10.5) (mit g = 0) durch Integration über y, wenn die Beziehung für die Außenströmung Ma2 due Ma2e dp 1 de =− e = e dx ue dx e u2e dx

(10.100)

berücksichtigt wird, die aus der Impulsgleichung und der Bedingung T0 = const am Außenrand der Grenzschicht folgt. Entsprechend ergibt sich Gl. (10.93), wenn Gl. (10.5) (mit g = 0) mit u multipliziert und dann über y integriert wird. Schließlich folgt Gl. (10.94) aus der Integration von Gl. (10.7), wenn wieder Gl. (10.100) verwendet wird. Für konstante Stoffwerte und Mae → 0 gehen Gl. (10.92) bis (10.94) in die entsprechenden Integralsätze (7.100), (7.104) und (9.59) über. Die verschiedenen Dicken nach Gl. (10.95) bis (10.97) reduzieren sich auf die Dicken nach Gl. (7.98), (7.99) und (7.102). Für diesen Grenzfall gilt auch δh =

Tw − T∞ δT T∞

( = e = const) ,

(10.101)

so daß für (Tw − T∞ )/T∞ → 0 Gl. (10.94) in Gl. (9.59) übergeht, wenn wegen Mae → 0 das Dissipationsintegral als klein vernachlässigt wird.

10.4 Kompressible Grenzschichten (ohne Schwerkrafteinfluß)

263

Für die adiabate Wand (qw = 0) gilt δh =

γ −1 Ma2e δ3 2

(qw = 0) ,

(10.102)

und damit liefern dann der mechanische Energiesatz und der thermische Energiesatz identische Aussagen. Integralverfahren von Walz für adiabate Wand

Von den vielen existierenden Näherungsverfahren soll hier das Integralverfahren von A. Walz (1966, S. 118) beschrieben werden, und zwar für den Fall adiabater Wand. Dieses Verfahren beruht auf der Verwendung der beiden Integralsätze (10.92) und (10.93). Statt der Variablen δ2 (x) und δ3 (x) werden die neuen Variablen Z(x) = δ2 Re2 =

e ue δ22 , µw

H32 (x) =

δ3 δ2

(10.103)

verwendet. Für diese neuen Unbekannten gehen Gl. (10.92) und (10.93) über in dZ F1 due Z − F2 = 0 , + ue dx dx

(10.104)

dH32 F3 due F4 + H32 − = 0. dx ue dx Z

(10.105)

Die Hilfsfunktionen F1 (H32 , Mae ) bis F4 (H32 , Mae ) sind mit folgenden Annahmen ermittelt worden: 1. Die Geschwindigkeitsprofile wurden so angesetzt, daß bei inkompressibler Strömung die Hartree-Profile möglichst genau approximiert werden. 2. Für das Viskositätsgesetz wird das Potenzgesetz nach Gl. (10.46) verwendet. 3. Für die adiabate Wandtemperatur soll gelten:
 γ −1 Tad = Te 1 + r(Pr) Ma2e , (10.106) 2 wobei r(Pr) dem Bild 9.6 entnommen werden kann, da der Druckgradient und die Temperaturabhängigkeit der Stoffwerte auf den Rückgewinnfaktor r(Pr) praktisch keinen Einfluß haben. 4. Das Temperaturprofil (und damit das Dichteprofil) wird über die erste BusemannCrocco-Lösung (10.54) mit dem Geschwindigkeitsprofil verbunden. Obwohl diese Lösung strenggenommen nur für die Plattengrenzschicht bei Pr = 1 gilt, stellt sie auch bei Druckgradienten und für Pr  = 1 (aber Pr ≈ 1) eine gute Näherung dar, wie zahlreiche Vergleiche mit exakten Lösungen gezeigt haben. Bezüglich der analytischen Darstellung der vier Hilfsfunktionen F1 (H32 , Mae ) bis F4 (H32 , Mae ) sei auf die englische Ausgabe des Buches von A. Walz (1969, S. 264) verwiesen.

264

10 Grenzschichten mit Kopplung des Geschwindigkeitsfeldes an das Temperaturfeld

Für das Berechnungsverfahren müssen die Größen γ , cp , Pr, ω und die Verteilungen ue (x) und Te (x) vorgegeben sein. Daraus lassen sich r(Pr), Mae (x) und Tad (x) ermitteln. Damit können die Hilfsfunktionen F1 bis F4 für gegebene H32 -Werte bestimmt werden. Die Rechnung beginnt bei Z = 0 und je nach Körperform mit dem H32 -Wert der Staupunkt- oder Plattenströmung. Die numerische Lösung des Systems (10.104) und (10.105) von gewöhnlichen Differentialgleichungen erster Ordnung endet am Ablösungspunkt, der durch H32 = 1,515

(Ablösung)

(10.107)

festgelegt ist. Aus der Lösungsfunktion Z(x) erhält man den örtlichen Reibungsbeiwert
 2τw F2 e ue Z −1/2 cf = = . (10.108) e u2e 2 µw Es sei angemerkt, daß das System (10.104) und (10.105) auch für andere abhängige Variable umgeschrieben werden kann. Statt Z und H32 lassen sich beispielsweise auch H21 und H31 verwenden, vgl. U. Ganzer (1988, S. 297). Das Verfahren von Walz, das hier nur für den Fall der adiabaten Wand beschrieben worden ist, ermöglicht auch die Berechnung von Grenzschichten mit Wärmeübertragung. Beispiel 1: Inkompressible Grenzschicht.

Für Mae → 0 vereinfachen sich die Hilfsfunktionen erheblich. Man erhält: F1 F2 F3 F4

= 3 + 2H12 (H32 ) = 2α(H32 ) = 1 − H12 (H32 ) = 2β(H32 ) − H32 α(H32 ) .

(10.109)

Diese Funktionen können der Tabelle 8.1 für die Hartree-Profile entnommen werden. Dabei gilt α = β2 fw und β = β2 βD . Für die Hilfsfunktionen H12 (H32 ), α(H32 ) und β(H32 ) sind von H. Walz (1969, S. 265) analytische Näherungsformeln angegeben worden. Das so formulierte Integralverfahren liefert exakte Lösungen für alle Keilströmungen. Für allgemeine Strömungen erhält man gegenüber der in Kap. 8 beschriebenen Quadraturformel (8.23) genauere Werte in Ablösungsnähe. Beispielsweise ergibt das hier beschriebene Integralverfahren die Lage des Ablösungspunktes für die verzögerte Staupunktströmung nach Gl. (8.37) praktisch in Übereinstimmung mit der exakten Lösung xA / l = 0,12. Beispiel 2: Kompressible verzögerte Staupunktströmung.

Die Einflüsse der Mach-Zahl und der thermischen Randbedingungen auf die verzögerte Staupunktströmung, die für den inkompressiblen Fall in Kap. 8.3.1 behandelt worden ist, wurden von A. Walz (1969, S. 208) mit Hilfe des beschriebenen Integralverfahrens untersucht. In Bild 10.9 ist die Abhängigkeit der Ablösungslage von der Mach-Zahl Ma 0 für den Fall der adiabaten Wand dargestellt. Dabei bezieht sich Ma0 auf den Startpunkt x = 0. Mit zunehmender Mach-Zahl erfolgt die Ablösung früher. Der Einfluß des Viskositätsgesetzes (ω = 0,7 und ω = 1) ist von untergeordneter Bedeutung. Die hier nicht dargestellten Untersuchungen über den Einfluß des Wärmeübergangs bestätigen wiederum, daß Heizen (bei Gasströmungen) die Ablösung fördert.

10.4 Kompressible Grenzschichten (ohne Schwerkrafteinfluß)

265

Bild 10.9. Lage des Ablösungspunktes bei der kompressiblen verzögerten Staupunktströmung bei adiabater Wand nach A. Walz (1969, S. 208), Pr = 0,72; d.h. r = 0,85; γ = 1,4 ω = 0,7 - - - - - - ω = 1,0

Bild 10.10. Laminare Grenzschichten bei kompressibler Unterschallströmung für das Tragflügelprofil NACA 8410 beim Anstellwinkel α = 0◦ und für adiabate Wand. Rechnungen nach

dem Integralverfahren von E. Gruschwitz (1950) für Pr = 0,725, A = Ablösungspunkt (a) Verteilungen ue (x)/V , Te /T∞ und Tad /T∞ (b) Verteilungen der Verdrängungsdicke δ1 , der Impulsverlustdicke δ2 und der Wandschubspannung τw

Beispiel 3: Profilumströmung

Die Ergebnisse einer Grenzschichtrechnung für ein Tragflügelprofil sind in Bild 10.10 dargestellt. Die Berechnung erfolgte in diesem Fall nach dem Integralverfahren von E. Gruschwitz (1950). Es hat für adiabate Wand, für ω = 1, aber beliebige Prandtl-Zahlen Gültigkeit. In der rechnerischen Durchführung ist es einfacher als das Walz-Verfahren, jedoch weniger genau.

266

10 Grenzschichten mit Kopplung des Geschwindigkeitsfeldes an das Temperaturfeld

In Bild 10.10a sind die Verteilungen der Geschwindigkeit und der Temperatur in der Außenströmung für die Saugseite des Profils NACA 8410 beim Anstellwinkel α = 0◦ dargestellt, und zwar für Mach-Zahlen der Anströmung Ma ∞ = 0, 0,6 und 0,8. Außerdem ist der Verlauf der adiabaten Wandtemperatur Tad (x) wiedergegeben. In Bild 10.10b ist der Verlauf der Impulsverlustdicke δ2 , der Verdrängungsdicke δ1 sowie der Wandschubspannung τw längs der Saugseite dargestellt. Der Ablösungspunkt wandert mit wachsender Mach-Zahl nach vorn. Die Impulsverlustdicke und die Wandschubspannung sind in ihrem Verlauf nur wenig von der Mach-Zahl abhängig, während die Verdrängungsdicke δ1 mit wachsender Mach-Zahl beträchtlich zunimmt.

Wechselwirkung von Grenzschicht und Verdichtungsstoß

In dem Beispiel einer Grenzschicht an einem Tragflügelprofil (Bild 10.10) handelt es sich bei Ma∞ = 0,6 um eine reine Unterschallströmung. Bei höheren Mach-Zahlen bilden sich in der reibungslosen Außenströmung örtliche Überschallgebiete aus, eine für schallnahe (oder transsonische) Strömungen typische Strömungssituation. Wenn die Strömung beim anschließenden Druckanstieg die Schallgrenze durchschreitet, geschieht das praktisch immer in einem Verdichtungsstoß. Dabei ändern sich Geschwindigkeit, Druck, Temperatur und Dichte sprunghaft. Da die Grenzschichtdicke bei wachsendem Druckanstieg verstärkt wächst, erfährt die Grenzschicht am Ort des Verdichtungsstoßes eine extrem starke Dickenzunahme. Diese Wirkung ist so groß, daß es zu einer Rückwirkung der Grenzschicht auf die Außenströmung kommt. Diese läßt sich nicht mehr ohne Kenntnis der Verdrängungswirkung der Grenzschicht korrekt ermitteln. Man spricht deshalb von einer Stoß-Grenzschicht-Wechselwirkung oder Stoß-Grenzschicht-Interaktion (engl.: shock-boundary-layer interaction). Diese wird von der bisher betrachteten (einfachen) Prandtlschen Grenzschichttheorie nicht erfaßt. Bei der Verdrängungswirkung der Grenzschicht auf die reibungslose Außenströmung handelt es sich um einen sogenannten Grenzschichteffekt höherer Ordnung. Es sei deshalb in diesem Zusammenhang auf Kap. 14 verwiesen, in dem die Erweiterungen der Prandtlschen Grenzschichttheorie behandelt werden.

10.4.6 Grenzschichten bei Hyperschallströmungen Hyperschallströmungen treten bei Mach-Zahlen oberhalb etwa Ma∞ = 5 auf. Sie sind bei der Umströmung von Raumfahrzeugen, ballistischen Flugkörpern und Hyperschall-Flugzeugen von Bedeutung. Zusammenfassende Darstellungen dieses Sondergebietes der Aerodynamik findet man bei W.D. Hayes; R.F. Probstein (1959), H.W. Dorrance (1962), J. Rotta (1962), R.N. Cox; L.F. Crabtree (1965), J. Zierep (1966), G. Koppenwallner (1988), J.D. Anderson Jr. (1989). Bei der Mach-Zahl Ma∞ = 5 erhält man für die Ruhetemperatur der Außenströmung nach Gl. (10.58) mit γ = 1,4 dem Wert T0 = 6 T∞ , also bei T∞ = 300 K bereits T0 = 1800 K. Bei diesen Temperaturen (und bei niedrigen Drücken, p∞ = 10−4 bar) treten für Luft bereits Abweichungen vom idealen Gasverhalten auf, d.h. Gl. (10.38) gilt nicht mehr.

10.4 Kompressible Grenzschichten (ohne Schwerkrafteinfluß)

267

Das Einsetzen von Dissoziation ist der Grund für dieses „Realgas“- Verhalten. Statt Gl. (10.38) wird die Gleichung p =  RT Z(T ,p) verwendet, wobei Z(T ,p) als Realgasfaktor bezeichnet wird. Schon bei geringeren Temperaturen (bei Luft etwa oberhalb T = 500 K) treten Schwingungen in den Molekülen auf, die ein von der Temperatur abhängiges cp (T ) zur Folge haben. Bei variablem cp ist die spezifische Enthalpie h nicht mehr proportional zur Temperatur T . Unter Hyperschallströmungen versteht man alle Strömungen, bei denen wegen der auftretenden hohen Temperaturen das Gas nicht mehr als ideales Gas konstanter spezifischer Wärmekapazität angesehen werden kann. Dieses ist häufig bei Strömungen oberhalb etwa Ma∞ = 5 der Fall. Folgende Besonderheiten sind typisch für Hyperschall-Grenzschichten: 1. Realgas-Effekte

Durch Molekülschwingungen, Dissoziation und bei noch höheren Temperaturen durch Ionisation treten Realgas-Effekte auf. Tritt Dissoziation auf, wird das Gas häufig als Zweistoffgemisch von Molekülen und Atomen dargestellt. Zu den bisherigen Bilanzgleichungen kommt dann eine weitere Bilanzgleichung für die Konzentration des „Atom-Gases“ als Maß für den Dissoziationsgrad hinzu. Es handelt sich dabei im allgemeinen um sogenannte Nichtgleichgewichtsgrenzschichten mit den beiden Grenzfällen des thermodynamischen Gleichgewichts und der eingefrorenen Strömung. Dabei spielt die Oberflächenbeschaffenheit eine entscheidende Rolle. Die Wand heißt voll-katalytisch, wenn alle Atome an der Wand rekombinieren, während bei einer nicht-katalytischen Wand keine Rekombination erfolgt. Auf diese Probleme wird bei der Behandlung von Zweistoff-Grenzschichten in Kap. 11.3 näher eingegangen. 2. Wärmeschutz

Beim Wiedereintritt von Raumfahrzeugen und Flugkörpern in die Erdatmosphäre treten beträchtliche Wärmeübergänge auf. Daher stehen bei HyperschallGrenzschichten häufig die Berechnung des Wärmeüberganges und seine Reduktion durch geeignete Kühlungsmaßnahmen im Vordergrund, vgl. E.R. Van Driest (1956a). Bei der Schwitzkühlung wird durch die poröse Oberfläche ein (meistens leichtes) Kühlgas ausgeblasen, bei der Ablation erfolgt die Kühlung durch Übergang einer dünnen Schicht der Oberfläche in den flüssigen oder gasförmigen Zustand (Verdunstungskühlung, Sublimationskühlung). In diesen Fällen liegen Zweistoffgrenzschichten (oder Grenzschichten mit mehr als zwei Stoffen) vor, auf die in Kap. 11.3 eingegangen wird. Bei extrem hohen Temperaturen spielt die Strahlungskühlung eine entscheidende Rolle. Hierzu sei auf die zusammenfassenden Darstellungen der Strahlungsgasdynamik von W. Schneider (1968, 1974a, 1976, 1980) und S.I. Pai (1965) hingewiesen.

268

10 Grenzschichten mit Kopplung des Geschwindigkeitsfeldes an das Temperaturfeld

3. Grenzschichteffekte höherer Ordnung

Häufig bildet sich vor dem Hyperschall-Flugkörper ein abgelöster gekrümmter Verdichtungsstoß aus. Hinter diesem ist die reibungslose Strömung nicht mehr drehungsfrei. In diesem Fall muß die Grenzschicht am Außenrand an seine drehungsbehaftete Außenströmung angepaßt werden. Es handelt sich hier um einen der sogenannten Grenzsschichteffekte höherer Ordnung, auf die in Kap. 14 eingegangen wird. Um solche Effekte handelt es sich auch, wenn in Hyperschall-Grenzschichten bei sehr kleinen Dichten (großen Flughöhen) die Haftbedingung nicht mehr gilt (sogen. Gleitströmung) und ein Temperatursprung besteht zwischen der Wandtemperatur und der Gastemperatur an der Wand, vgl. dazu auch Kap. 14. 4. Wechselwirkung von Grenzschicht und Verdichtungsstoß

Bei Hyperschall-Flugzeugen, die also mit aerodynamischem Auftrieb fliegen, hat man es mit vergleichsweise schlanken Konfigurationen zu tun wie etwa bei einem schlanken Keil. Wegen der hohen Mach-Zahl liegt der sich bildendeVerdichtungsstoß sehr nahe an der Kontur. Daher kommt es z.B. an der Vorderkante einer Plattenströmung im Hyperschallbereich zu einer starken Wechselwirkung von Grenzschicht und Verdichtungsstoß, auf die in Kap. 14.3 näher eingegangen wird.

10.5

Natürliche Konvektion 10.5.1 Grenzschichtgleichungen Natürliche Konvektionsströmungen kommen zustande, wenn aufgrund von Dichteunterschieden Auftriebskräfte entstehen, die als „treibende Kräfte“ wirken. Bei konstant gehaltener Dichte kann sich eine natürliche Konvektionsströmung nicht ausbilden. Es handelt sich also um einen Effekt variabler Stoffwerte. Damit liegt hier eine gegenseitige Kopplung zwischen Impuls- und Wärmetransport vor. (Bei erzwungener Konvektion ist diese Kopplung nur einseitig, wenn konstante Stoffwerte unterstellt werden). Die unmittelbare Ursache für das Zustandekommen der natürlichen Konvektionsströmungen ist ein Wärmeübergang durch Leitung über feste, den Fluidraum begrenzende Wände. Als einfaches Beispiel soll zunächst eine senkrechte ebene Platte nach Bild 10.11 betrachtet werden, deren Temperatur Tw oberhalb der Umgebungstemperatur T∞ liegt. Die von der Platte auf das Fluid übertragene Wärme führt zu einer Temperaturerhöhung des Fluids in Wandnähe und wegen der temperaturabhängigen Dichte zu einer Veränderung der Dichte. Nimmt die Dichte mit steigender Temperatur ab, so entstehen in Wandnähe Auftriebskräfte, und wärmeres Fluid steigt längs der Platte auf. Offensichtlich bleibt der Einfluß der Platte auf eine dünne wandnahe Schicht beschränkt, da die zusätzliche innere Energie, die dem Fluid über die Wand zugeführt wird, durch den konvektiven Transport längs der Wand nach oben

10.5 Natürliche Konvektion

269

Bild 10.11. Prinzipieller Grenzschichtverlauf an der geheizten vertikalen ebenen Platte

„abtransportiert“ wird und damit weiter entfernt gelegene Fluidbereiche nicht erreichen kann. Die Dicke δth der „Temperaturschicht“ (Bereich mit T > T∞ ) sei der Wandabstand, bis zu dem die Temperaturerhöhung gegenüber T∞ bis auf einen bestimmten Prozentsatz (z.B. 1 %) abgeklungen ist. Diese Dicke wird mit der Lauflänge x anwachsen. Dies folgt aus einer einfachen Energiebilanz, nach der die gesamte bis zu einer Stelle x über die Wand zugeführte innere Energie durch Konvektion des Fluids mit erhöhter Temperatur über den Querschnitt x = const „fließen“ muß. Mit einer einfachen Dimensionsbetrachtung läßt sich nun zeigen, daß die Dicke der Temperaturschicht um so kleiner ist, je geringer die Viskosität µ ist. Die Strömung hat also Grenzschichtcharakter, vergleichbar mit den Strömungen des Freistrahles und Wandstrahles, bei denen ebenfalls eine Außenströmung fehlte. Grundlage bilden also die Grenzschichtgleichungen (10.4) bis (10.6) für das in Bild 10.1 dargestellte Koordinatensystem, jetzt aber mit Berücksichtigung des Auftriebsterms in der Impulsgleichung. Aus dieser folgt für den statischen Fall (keine Strömung) dpstat = −stat g sin α . (10.110) dx Im weiteren wird ein statisches Feld mit konstanter Temperatur T∞ angenommen, d.h. es gilt stat = ∞ . Für natürliche Konvektionsströmungen bei temperaturgeschichteten Außenfeldern sei auf C.C. Chen; R. Eichhorn (1976), Y. Jaluria (1980, S. 173), und B.J. Venkatachala; G. Nath (1981) hingewiesen. Da den Grenzschichten der Außendruck aufgeprägt wird (∂p/∂y = 0), ergibt sich kein zusätzlicher Druck infolge der Strömung, d.h. es gilt p = pstat . Damit folgt −g sin α −

dp = −( − ∞ )g sin α . dx

(10.111)

Im folgenden sollen nur kleine Temperaturdifferenzen T = Tw − T∞ (bzw. kleine Wandwärmestromdichten qw ) betrachtet werden. Dann kann die Dichtefunk-

270

10 Grenzschichten mit Kopplung des Geschwindigkeitsfeldes an das Temperaturfeld

tion (T ) in eine Taylorreihe entwickelt werden: (T ) = ∞ − β∞ ∞ (T − T∞ ) + · · ·

(10.112)

mit dem Wärmeausdehnungskoeffizienten β∞ = [(d/dT )/]∞ bei der Temperatur T∞ . Bricht man diese Reihe nach dem linearen Glied ab, folgt durch Kombination von Gl. (10.111) und (10.112) −g sin α −

dp = ∞ gβ∞ (T − T∞ ) sin α . dx

(10.113)

Wird für die übrigen Stoffwerte eine analoge lineare Entwicklung verwendet, wie etwa für die Viskosität   T µ(T ) = µ∞ 1 + Kµ ϑ (10.114) T∞ mit ϑ = (T − T∞ )/T und T als charakteristischer Temperaturdifferenz, dann reduzieren sich danach im Grenzfall T /T∞ → 0 alle Stoffwerte auf ihre Werte bei T∞ . Diesen Sachverhalt bezeichnet man als Boussinesq- Approximation, vgl. Kap 4.2. Damit lauten die Grundgleichungen für die natürlichen Konvektionsströmungen ∂u ∂v + = 0, ∂x ∂y u u

∂u ∂u ∂ 2u +v = ν∞ 2 + gβ∞ (T − T∞ ) sin α , ∂x ∂y ∂y

∂T ∂T ∂ 2T +v = a∞ 2 ∂x ∂y ∂y

(10.115) (10.116) (10.117)

mit a∞ = λ∞ /∞ cp∞ . Dabei wurde in der Energiegleichung (10.117) der Dissipationsterm µ∞ (∂u/∂y)2 /∞ cp∞ bereits vernachlässigt. Dieses ist wegen der geringen Geschwindigkeiten bei natürlichen Konvektionsströmungen zulässig. Auf diese Vernachlässigung wird in Abschnitt 10.5.7 kurz eingegangen. Bei der Herleitung von Gl. (10.116) war vorausgesetzt worden, daß β∞ nicht verschwindet. Falls das eintritt (z.B. mit Wasser bei 4 ◦ C), ist eine gesonderte Betrachtung erforderlich. In der Entwicklung (10.112) muß dann das quadratische Glied berücksichtigt werden, vgl. H. Herwig (1985a). Es sei daran erinnert, daß die Grenzschichtgleichungen aus den Navier- StokesGleichungen durch einen Grenzprozeß hergeleitet wurden. Bei den erzwungenen Konvektionsströmungen handelte es sich um den Grenzfall sehr hoher ReynoldsZahlen Re → ∞. Nach der Grenzschichttransformation waren die Grenzschichtgleichungen von der Reynolds-Zahl (d.h. von der Viskosität) unabhängig. Da bei natürlichen Konvektionsströmungen zunächst keine vorgegebene Bezugsgeschwindigkeit existiert, muß statt der Reynolds-Zahl eine für diese Strömungen

10.5 Natürliche Konvektion

271

charakteristische Kennzahl gefunden werden. Diese ergibt sich aus einer Dimensionsbetrachtung zu Gr =

gl 3 β∞ T 2 ν∞

(10.118)

und wird Grashof-Zahl genannt. Dabei ist T eine charakteristische Temperaturdifferenz. Aus diesem Vergleich mit dem Quadrat der Reynolds-Zahl Re = V l/ν folgt eine für natürliche Konvektionsströmungen charakteristische Geschwindigkeit VDN = (glβ∞ T )1/2 ,

(10.119)

positives β∞ T vorausgesetzt. Der Index DN in Gl. (10.119) bedeutet direkte natürliche Konvektion und dient zur Unterscheidung zu einer charakteristischen Geschwindigkeit VI N der indirekten natürlichen Konvektion, die im Abschnitt 10.6 behandelt wird. Die relative Dicke δ(x)/ l der Grenzschicht nimmt mit wachsender Grashof-Zahl ab. Nach der Grenzschichttransformation, die diesen Sachverhalt berücksichtigt, werden die Grenzschichtgleichungen von der Grashof-Zahl unabhängig. Mit der Transformation x , l v v = Gr 1/4 , VDN

x∗ =

y =

y 1/4 Gr , l

ϑ =

T −T∞ T

u∗ =

u , VDN

(10.120)

ergibt sich das Gleichungssystem ∂u∗ ∂v =0 + ∗ ∂x ∂y u∗

∂ 2 u∗ ∂u∗ ∂u∗ = + v + ϑ sin α ∂x ∗ ∂y ∂y 2

u∗

(10.121)

1 ∂ 2ϑ ∂ϑ ∂ϑ = +v ∗ ∂x ∂y Pr ∞ ∂y 2

mit den Randbedingungen y=0:

u∗ = 0,

v = 0,

y→∞:

u∗

ϑ = 0.

= 0,

ϑ = (Tw − T∞ )/T

(10.122)

DieAufgabe besteht also, bei gegebener Körperkontur sin α(x) und dem Wert Pr ∞ sowie der vorgeschriebenen Verteilung der Wandtemperatur Tw (x) das System (10.121) mit den Randbedingungen (10.122) zu lösen. Aus den Lösungsfunktionen u∗ (x ∗ ,y), v(x ∗ ,y) und ϑ(x ∗ ,y) erhält man den Reibungsbeiwert

272

10 Grenzschichten mit Kopplung des Geschwindigkeitsfeldes an das Temperaturfeld

2τw cf = = 2 Gr −1/4 2 ∞ VDN die Nußelt-Zahl Nu =

qw l = − Gr 1/4 λ∞ T




∂u∗ ∂y




∂ϑ ∂y

 ,

(10.123)

w

 (10.124) w

sowie die Einsauggeschwindigkeit am Grenzschichtrand v∞ = Gr −1/4 lim v(x ∗ ,y) . y→∞ VDN

(10.125)

Aus der Grenzschichttransformation (10.120) entnimmt man, daß die Dicke der Grenzschicht √ δ ∼ l Gr −1/4 ∼ ν (10.126) wieder proportional zur Wurzel der kinematischen Viskosität ist. Anmerkung (Vorgabe von qw (x))

Es ist besonders bemerkenswert, daß √ bei Vorgabe der Wandwärmestromdichte qw (x) für die Grenzschichtdicke nicht mehr δ ∼ ν gilt. Dieses hängt damit zusammen, daß in diesem Fall die Bezugsgeschwindigkeit VDN nach Gl. (10.119) selbst von ν abhängt. Dieses ist mit den Strömungen des Freistrahles und des Wandstrahles sehr ähnlich. Bei diesen galt V ∼ ν −1 , vgl. Gl. (7.53), bzw. V ∼ ν −2 , vgl. Gl. (7.69). Da auch bei der natürlichen Konvektionsströmung keine Geschwindigkeit vorgegeben ist, ergibt sich bei vorgegebenem qw die Bezugsgeschwindigkeit VDN ∼ ν 1/4 . Dieses ist erforderlich, um das asymptotische Verhalten der Strömung für große Grashof-Zahlen zu beschreiben, und zwar durch eine Grenzschicht-Transformation, die ein von der Grashof-Zahl unabhängiges Gleichungssystem liefert. Dazu wird für T in Gl. (10.119) formal qwl l −1/4 T = Gr (10.127) λ∞ angesetzt, wobei qwl eine charakteristische Wandwärmestromdichte ist, z.B. diejenige bei x = l. Damit ist nach Gl. (10.120) gewährleistet, daß (∂ϑ/∂y)w von der Grashof-Zahl unabhängig wird. Die Kombination von (10.118) und (10.127) ergibt Gr =

gl 4 β∞ qwl 2 λ∞ ν∞

Gr −1/4 .

(10.128)

Bei vorgegebenem qwl wird als Grashof-Zahl definiert: Gr q =

gl 4 β∞ qwl 2 λ∞ ν∞

.

(10.129)

Wegen Gl. (10.128) besteht zwischen den beiden Grashof-Zahlen nach Gl. (10.118) und (10.129) der Zusammenhang 1/5

Gr 1/4 = Gr q

.

(10.130)

10.5 Natürliche Konvektion

273

Mit dieser Ersetzung führt die Grenzschichttransformation (10.120) wieder auf das Gleichungssystem (10.121). Die Randbedingung für ϑ bei y = 0 lautet jedoch jetzt
 ∂ϑ qw (x) y=0: =− . ∂y w qwl Die Grenzschichtdicke ist in diesem Fall δ ∼ ν 2/5 .

Wandbindung. Spezifiziert man Gl. (10.116) für die Wand, ergibt sich als Wand-

bindung


ν∞

∂ 2u ∂y 2

 = −gβ∞ (Tw − T∞ ) sin α .

(10.131)

w

Danach ist (∂ 2 u/∂y 2 )w < 0 für β∞ (Tw − T∞ ) sin α > 0, d.h. solange die Vertikalkomponente der Hauptströmungsgeschwindigkeit die Richtung der Auftriebskräfte hat. Da am Ablösungspunkt (∂ 2 u/∂y 2 )w > 0 sein muß, kann bei den Lösungen der Gl. (10.115) bis (10.117) keine Ablösung auftreten. In Experimenten werden jedoch Strömungsablösungen bei natürlichen Konvektionsströmungen durchaus festgestellt. Diese können demnach mit Hilfe der vorliegenden Theorie nicht beschrieben werden. Es handelt sich um einen Grenzschichteffekt höherer Ordnung, auf den in Kap. 14 näher eingegangen wird. 10.5.2 Transformation der Grenzschicht-Gleichungen Saville-Churchill-Transformation (Tw = const)

Analog zur Görtler-Transformation bei den erzwungenen Konvektionsströmungen, vgl. Kap. 7.3, wurde für natürliche Konvektionsströmungen (bei Tw = const) eine Koordinaten-Transformation von D.A. Saville; S.W. Churchill (1967) angegeben. Aus dem Gleichungssystem (10.121) folgt mit der Transformation x ∗ ξ = [sin α(x ∗ )]1/3 dx ∗ ,


1/4 3 y[sin α(x ∗ )]1/3 η= 4 ξ 1/4

(10.132)

0

für die Stromfunktion F (ξ,η) mit
3/4 4 ψ (x ,y) = ξ 3/4 F (ξ,η) 3 ∗

∗

(10.133)

und die Temperatur ϑ(ξ,η) = (T − T∞ )/(Tw − T∞ ) das System 4 4 Fηηη + F Fηη − β(ξ )Fη2 + ϑ = ξ(Fη Fξ η − Fξ Fηη ) , 3 3

(10.134)

1 4 ϑηη + F ϑη = ξ(Fη ϑξ − Fξ ϑη ) . Pr 3

(10.135)

274

10 Grenzschichten mit Kopplung des Geschwindigkeitsfeldes an das Temperaturfeld

Dabei gilt für die Hauptfunktion β(ξ ) =

1 1 d[ln sin α(ξ )] + . 2 3 d(ln ξ )

(10.136)

Die Randbedingungen lauten: F = 0 , Fη = 0 , ϑ = 1

η=0: η→∞:

Fη = 0 , ϑ = 0 .

(10.137)

Für β = const reduziert sich das System auf gewöhnliche Differentialgleichungen, d.h. es entstehen ähnliche Lösungen, auf die in Abschnitt 10.5.4 eingegangen wird. Pseudo-Ähnlichkeitstransformation

Wird die y-Koordinate in die Variable η= √



y 2x ∗

x

∗3 Tw (x

∗) − T

T

∞

∗

1/4

sin α(x )

(10.138)

transformiert, erhält man für die bezogene Stromfunktion  −1/4 Tw (x ∗ ) − T∞ f (x ∗ ,η) = 2−3/2 ψ ∗ x ∗3 sin α(x ∗ ) T und für die Temperatur ϑ(x ∗ ,η) =

T (x ∗ ,y) − T∞ Tw (x ∗ ) − T∞

(10.139)

(10.140)

nach I. Pop; H.S. Takhar (1993) das Gleichungssystem f  + [3 + P (x ∗ ) + Q(x ∗ )]ff  − 2[1 + P (x ∗ ) + Q(x ∗ )]f 2 + ϑ
  ∗  ∂f  ∂f = 4x f −f , (10.141) ∂x ∗ ∂x ∗ 1  ϑ + [3 + P (x ∗ ) + Q(x ∗ )]f ϑ  − 4P (x ∗ )f  ϑ Pr
 ∂ϑ ∂f = 4x ∗ f  ∗ − ϑ  ∗ ∂x ∂x

(10.142)

mit den Randbedingungen η=0: η→∞:

f = 0, f = 0, ϑ = 1 f = 0, ϑ = 0.

(10.143)

10.5 Natürliche Konvektion

275

Die Striche bedeuten partielle Ableitungen nach η. Die Wandtemperaturfunktion P (x ∗ ) und die Konturfunktion Q(x ∗ ) sind wie folgt definiert: P (x ∗ ) =

d[ ln{(Tw (x ∗ ) − T∞ )/T }] d( ln x ∗ )

d[ ln sin α(x ∗ )] Q(x ) = . d( ln x ∗ )

(10.144)

∗

Man erkennt sofort, daß sich für konstante Werte P und Q das System auf gewöhnliche Differentialgleichungen reduziert, also auf ähnliche Lösungen führt. Darauf wird in Abschnitt 10.5.4 eingegangen. Wegen dieser Eigenschaft bietet sich diese Form der Grenzschichtgleichungen für die numerische Lösung besonders an, vgl. auch Kap. 10.4.3. 10.5.3 Grenzfall großer Prandtl-Zahlen (Tw = const) Von A. Acrivos (1962) wurde gezeigt, daß im Grenzfall großer Prandtl- Zahlen (mit Tw = const) das Gleichungssystem auf ähnliche Lösungen führt und sich damit geschlossene Formeln für den Reibungsbeiwert und die Nußelt-Zahl ergeben. Dieses läßt sich einfach an dem transformierten System (10.134) und (10.135) zeigen. Mit der weiteren Transformation (  η = η Pr 1/4 , F η) = Pr 3/4 F (η) reduziert sich dieses System für den wandnahen Bereich auf die einfachen gewöhnlichen Differentialgleichungen  + ϑ = 0 , F

ϑ  = 0 , ϑ  + F

(10.145)

wobei die Striche jetzt Ableitungen nach der Ähnlichkeitsvariablen  η bedeuten. Die Randbedingungen lauten:  η=0:  η→∞:

= 0, F  = 0 , ϑ = 1 F  = 0 , ϑ = 0 . F

 (∞) = 0 statt bisher F  (∞) = 0. TatsächBemerkenswert ist die Bedingung F  ∞ (∞)  = 0. Dieses erklärt sich daraus, daß die Grenzschicht im Fall lich gilt F Pr → ∞ aus zwei Schichten besteht, vgl. Bild 10.12b. Das System (10.145) beschreibt nur die wandnahe Schicht. Am Außenrand dieser Schicht ist jedoch die Geschwindigkeit von null verschieden. In der hier nicht beschriebenen äußeren Schicht klingt dann die Geschwindigkeit auf null ab, vgl. H.K. Kuiken (1968a). Die Strömung in der Außenschicht ist also nicht die unmittelbare Folge von Auftriebskräften, sondern sie beruht auf einer „Schleppwirkung“ von der Geschwindigkeit am Außenrand der Wandschicht, vergleichbar mit der Strömung an der bewegten Platte nach Kap. 7.2.5. Es läßt sich also die Wandschicht ohne Kenntnis der Außenschicht berechnen. Man erhält eine ähnliche Lösung, die von der Geometrie sin α(x ∗ ) unabhängig ist.

276

10 Grenzschichten mit Kopplung des Geschwindigkeitsfeldes an das Temperaturfeld

Bild 10.12. Natürliche Konvektion an der geheizten vertikalen ebenen Platte. Verteilungen der

Geschwindigkeit und der Temperatur

Die Lösung des Systems (10.145) ergibt:  (∞) = 0,884 , w = 1,085 , F F

ϑw = −0,540 .

Für die Nußelt-Zahl folgt daraus: Nu =

qw l λw (Tw − T∞ )

= 0,503(Pr Gr)1/4 !

[sin α(x)]1/3 x

"1/4 .

(10.146)

[sin α(x)]1/3 d(x/ l)

0

Anmerkung (Grenzfall sehr kleiner Prandtl-Zahlen)

Für den Grenzfall Pr → 0 läßt sich keine geschlossene Lösung angeben. In diesem Grenzfall besteht die Strömung ebenfalls aus zwei Schichten, vgl. Bild 10.12a. Für die innere wandnahe Schicht kann T = Tw gesetzt werden. Damit ist in dieser Schicht das Geschwindigkeitsfeld von der weiteren Temperaturverteilung unabhängig und sofort berechenbar. Am Außenrand dieser Schicht muß die Schubspannung verschwinden. Aus der Lösung der nichtlinearen Differentialgleichung für die Wand-Schicht folgt die Wandschubspannung. Die Außenschicht ist zwar reibungsfrei (Viskositätseffekte verschwinden), es muß aber immer noch ein gekoppeltes System von nichtlinearen Differentialgleichungen gelöst werden, wobei die Geschwindigkeiten an diejenigen der Innenlösung angepaßt werden müssen. Aus dieser Lösung ergeben sich die Einsauggeschwindigkeit v∞ am Grenzschichtaußenrand und die Wandwärmestromdichte, vgl. z.B. H.K. Kuiken (1969).

10.5.4 Ähnliche Lösungen Wir gehen von dem Gleichungssystem (10.141) und (10.142) aus. Wie bereits in Abschnitt 10.5.2 erwähnt, führen die Bedingungen P = const und Q = const auf

10.5 Natürliche Konvektion

277

Bild 10.13. Natürliche Konvektion am Kreiszylinder für Tw > T∞ . Lage des „unteren Staupunktes“

ähnliche Lösungen. Dieses ist für Tw (x ∗ ) − T∞ = T × (x ∗ )m , P = m; sin α(x ∗ ) = A × (x ∗ )n ,

Q =n

(10.147)

erfüllt. Die Wandtemperatur muß also einem Potenzgesetz gehorchen, wobei die Standardfälle durch m = 0 (Tw = const) und m = 1/5 (qw = const) festgelegt sind. Jedem Wert n entspricht eine bestimmte Körperkontur. Für n = 0 ergibt sich die um den Winkel α geneigte Platte (A = sin α), dem Wert n = 1 (d.h. sin α = x/ l, A = 1.) entspricht die untere „Staupunktströmung“ an einem unten runden Körper, wie z.B. einem Kreiszylinder (l ist der Krümmungsradius), vgl. Bild 10.13. Für Werte n zwischen 0 und 1 wurden die Körperkonturen von I. Pop; H.S. Takhar (1993) ermittelt. Das zu lösende Gleichungssystem erhält dann die einfache Form f  + (3 + m + n)ff  − 2(1 + m + n)f 2 + ϑ = 0 , 1  ϑ + (3 + m + n)f ϑ  − 4mf  ϑ = 0 Pr

(10.148) (10.149)

mit den Randbedingungen (10.143). Aus den Lösungen erhält man die Nußelt-Zahl
 Nu ϑw 1/4 x (m+n−1)/4 = −√ A . l Gr 1/4 2

(10.150)

278

10 Grenzschichten mit Kopplung des Geschwindigkeitsfeldes an das Temperaturfeld

Tabelle 10.2. Natürliche Konvektionsströmung an der ebenen Platte unter dem Winkel α  = 0.

Ähnliche Lösungen des Systems (10.148) und (10.149) mit n = 0

Pr

Tw = const (m = 0) fw

 −ϑw

f∞

→0

1,0700

1 0,8491 Pr 2

0,01

0,9878

0,1

0,8592

0,7

qw = const (m = 1/5) fw

 −ϑw

f∞

1 0,4891 Pr − 2

1,0116

1 1,0051 Pr 2

0,4526 Pr − 2

0,0806

4,8480

0,9354

0,0947

4,4790

0,2302

1,5239

0,8136

0,2670

1,4034

0,6789

0,4995

0,6061

0,6420

0,5701

0,5548

1

0,6422

0,5672

0,5230

0,6070

0,6455

0,4782

7

0,4508

1,0543

0,2752

0,4250

1,1881

0,2509

10

0,4192

1,1693

0,2492

0,3950

1,3164

0,2272

100

0,2517

2,1914

0,1366

0,2367

2,4584

0,1245

→∞

1 0,8245 Pr − 4

1 0,7110 Pr 4

1 0,4292 Pr − 4

1 0,7743 Pr − 4

1 0,7964 Pr 4

0,3909 Pr − 4

1

1

Tabelle 10.3. Natürliche Konvektionsströmung am „unteren Staupunkt“ nach Bild 10.13. Ähn-

liche Lösung des Systems (10.148) und (10.149) mit m = 0 und n = 1. Pr

fw

 −ϑw

→0

0,8716

0,8695 Pr 1/2

0,3864 Pr −1/2

0,01

0,8275

0,0829

3,8322

0,1

0,7440

0,2384

1,2047

0,7

0,6077

0,5236

0,4770

1

0,5777

0,5960

0,4107

7

0,4133

1,1210

0,2141

10

0,3852

1,2452

0,1937

100

0,2332

2,3474

0,1059

→∞

0,7673 Pr −1/4

0,7640 Pr 1/4

0,3326 Pr −1/4

f∞

Zahlenwerte der Lösungen für die ebene Platte (n = 0) mit der Neigung α sind in Tabelle 10.2 und für die „Staupunktströmung“ (n = 1) nach Bild 10.13 in Tabelle 10.3 gegeben. Weitere Zahlenwerte findet man bei I. Pop; H.S. Takhar (1993) für m + n = 0 und bei H. Schlichting (1982, S. 323) für m = n = 0. Spezielle Lösungen des Systems (10.148) und (10.149) wurden auch von K.T. Yang (1960) und E.M. Sparrow; J.L. Gregg (1958) untersucht. Für den Fall konstanter Wandtemperatur kann man auch dem System (10.134) und (10.135) sofort ansehen, daß Körperkonturen sin α ∼ x n auf ähnliche Lösungen führen. In diesem Fall ergibt sich in Gl. (10.134) eine konstante Hauptfunktion β = (1/2) + (n/3), so daß sich das System auf gewöhnliche Differentialgleichungen reduziert.

10.5 Natürliche Konvektion

279

Wie bei erzwungener Konvektion der Freistrahl und der Wandstrahl auf ähnliche Lösungen führten, existieren auch bei der natürlichen Konvektion für den Auftriebsstrahl und den Auftriebswandstrahl ähnliche Lösungen.

Auftriebsstrahl

Infolge einer horizontalen linienförmigen thermischen Energiequelle (in der betrachteten Ebene: einer punktförmigen Energiequelle) kommt es zu einer AuftriebsstrahlStrömung, die in Bild 10.14a skizziert ist. Da dieses Problem keine charakteristische Länge besitzt, wird auch diese Strömung durch eine ähnliche Lösung beschrieben. Sie ist das Analogon zur Freistrahlströmung vgl. Kap. 7.2.6. Während beim Freistrahl der Impuls konstant bleibt, ist beim Auftriebsstrahl die Leistung pro Einheitslänge +∞ ˙ Q ˙b = Q = cp u(T − T∞ ) dy b

(10.151)

−∞

˙ b ] = W/m. Da keine Bezugsgrößen V und T für die Geschwindigkeit konstant, [Q bzw. für die Temperaturdifferenz vorgegeben sind, erhält man diese aus der Bedin˙ konstant bleibt. Damit ergibt sich gung, daß bei der Grenzschichttransformation Q derViskositätseinfluß für V ∼ ν −1/5 und für T ∼ ν −2/5 . Es gelten Gl. (10.148) und (10.149) mit n = 0 und m = −3/5 bei entsprechend geänderten Randbedingungen.

Bild 10.14. Auftriebsstrahl a) und Auftriebswandstrahl an adiabater Wand b)

280

10 Grenzschichten mit Kopplung des Geschwindigkeitsfeldes an das Temperaturfeld

Die Maxima der Geschwindigkeit und der Temperatur auf der Strahlachse und die Strahlbreite ergeben sich zu
˙ 2 2 2 1/5 Qb β g x  umax = 2f (0) , 2 cp2 ν


Tmax − T∞

1/5 ˙4 Q b = ϑ(0) 4 4 ,  cp gβν 2 x 3


δ∼

cp ν 3 x 2 ˙ b βg Q

(10.152)

1/5 .

Die Faktoren 2f  (0) und ϑ(0) sind noch von der Prandtl-Zahl abhängig. Für Pr = 0,7 gilt f  (0) = 0,404, ϑ(0) = 0,373. Zahlenwerte für andere Prandtl-Zahlen findet man bei K. Gersten; H. Herwig (1992, S. 214), vgl. auch K. Gersten et al. (1980). Für Pr = 2 und Pr = 5/9 lassen sich einfache geschlossene Lösungen angeben, vgl. Y. Jaluria (1980, S. 107). Die Auftriebsstrahl-Strömung stellt sich bei allen (direkten) natürlichen Konvektionsströmungen in einiger Entfernung über dem heißen Körper ein. Sie ist vergleichbar mit der Nachlaufströmung bei erzwungener Konvektion. Dabei entspricht ˙ der gesamten, pro Zeiteinheit vom Körper abgegebenen thermischen der Wert Q Energie. Auftriebswandstrahl

Diese in Bild 10.14b skizzierte Strömung entsteht längs einer senkrechten Wand, wenn die Energiequelle an der Vorderkante der Wand angeordnet ist. Auch diese Strömung führt auf ähnliche Lösungen. Dabei kann man bezüglich der thermischen Randbedingung an der Wand die adiabate Wand (qw = 0) oder die Wand mit Wärmeübergang (Tw − T∞ ∼ x −3/5 ) betrachten, vgl. N. Afzal (1980). Im ersten Fall interessiert die adiabate Wandtemperatur, im zweiten Fall der Wärmeübergang. Es ergeben sich dieselben Differentialgleichungen wie beim Auftriebsstrahl, lediglich mit anderen Randbedingungen an der Wand. Ergebnisse für Pr = 0,72 und Pr = 6,7 findet man in der Arbeit von N. Afzal (1980), für große Prandtl-Zahlen in H.S. Takhar; M.H. Whitelaw (1976). 10.5.5 Allgemeine Lösungen Für allgemeine Körperformen muß zur Berechnung der natürlichen Konvektionsströmungen ein System von partiellen Differentialgleichungen gelöst werden. Dabei können das System (10.121) oder die transformierten Systeme (10.134), (10.135) für Tw = const bzw. (10.141), (10.142) bei beliebiger Verteilung Tw (x) zugrunde gelegt werden. Auch für die natürlichen Konvektionsströmungen wurden Integralverfahren entwickelt. Sie verwenden wieder Integralsätze, die aus einer Integration der

10.5 Natürliche Konvektion

281

Gl. (10.115) bis (10.117) über die Dicke der Grenzschicht wie folgt entstehen (vw = 0): d dx

∞ u dy = −v∞ ,

(10.153)

0

d dx

∞ 0

d dx

τw u dy = − + gβ∞ ∞ 2

∞ (T − T∞ )u dy = 0

qw . ∞ cp∞

∞ (T − T∞ ) dy sin α ,

(10.154)

0

(10.155)

Bezüglich der Einzelheiten von Integralverfahren für natürliche Konvektionsströmungen sei auf A.J. Ede (1967) und Y. Jaluria (1980, S. 73) verwiesen. Beispiel: Horizontaler Kreiszylinder

Die natürliche Konvektionsströmung am horizontalen Zylinder mit konstanter Wandtemperatur wurde z.B. von J.H. Merkin (1977) numerisch berechnet. Die Verteilung der Nußelt-Zahl über dem Umfang ist in Bild 10.15 für die Prandtl-Zahl Pr = 0,7 aufgetragen. Zum Vergleich ist die Lösung nach der asymptotischen Näherung entsprechend Gl. (10.146) wiedergegeben. Obwohl diese für den Fall Pr → ∞ gilt, liefert sie auch für Pr = 0,7 gute Ergebnisse. Die Integration der Nußelt-Zahl über die Peripherie liefert die mittlere Nußelt-Zahl Num . Die numerische Lösung für Pr = 0,7 ergibt Num Gr −1/4 = 0,372, wobei der Durchmesser d des Kreiszylinders stets als Bezugslänge dient. Messungen von K. Jodlbauer (1933) mit Luft (Pr = 0,72; 5 × 103 < Gr < 5 × 106 ) ergeben den Zahlenwert 0,395, also befriedigende Übereinstimmung mit der Theorie, wenn man bedenkt, daß die Theorie für konstante Stoffwerte gilt, vgl. dazu auch V.T. Morgan (1975). Von J.H. Merkin (1977) wurde auch die natürliche Konvektionsströmung an horizontalen elliptischen Zylindern berechnet. Bei gleicher konstanter Wandtemperatur und gleicher Oberfläche ergeben die elliptischen Zylinder mit vertikaler großer Achse einen größeren Wärmeübergang als der Kreiszylinder. In der Umgebung des oberen „Staupunktes“ versagt die Lösung, da sie dort endliche Geschwindigkeiten parallel zur Oberfläche liefert, was aus Symmetriegründen nicht möglich ist. In der Realität löst die Grenzschicht vor der höchsten Stelle des Kreiszylinders ab und geht

Bild 10.15. Verteilung der örtlichen NußeltZahl über dem Umfang eines horizontalen Kreiszylinders bei natürlicher Konvektion für Pr = 0,7. Peripherie-Winkel θ zählt vom unteren Staupunkt numerische Lösung nach J.H. Merkin (1977) - - - - - - Lösung entsprechend Gl. (10.146)

282

10 Grenzschichten mit Kopplung des Geschwindigkeitsfeldes an das Temperaturfeld

endgültig in einen Auftriebsstrahl über. Ablösung ist jedoch bei natürlichen Konvektionsströmungen ein Effekt höherer Ordnung, auf den in Kap. 14 eingegangen wird. Weitere Beispiele

Die natürliche Konvektionsströmung an der vertikalen Platte wurde für eine lineare Temperaturverteilung von A. Aziz; T.Y. Na (1984, S. 153) und für eine Temperaturverteilung in Form einer Rampenfunktion (erst linear, dann konstant) von T. Cebeci; P. Bradshaw (1984, S. 273) berechnet.

10.5.6 Variable Stoffwerte Die bisher behandelten natürlichen Konvektionsströmungen kommen nur zustande, weil die Dichte temperaturabhängig ist. Es handelt sich also um Strömungen mit einem variablen Stoffwert. Im Rahmen der Boussinesq-Approximation reichte es aus, nur eine lineare Abhängigkeit der Dichte von der Temperatur im Auftriebsterm zu berücksichtigen. In diesem Abschnitt sollen die bisher vernachlässigten nichtlinearen DichteEffekte sowie der Einfluß der Temperaturabhängigkeit aller anderen Stoffwerte berücksichtigt werden. Dazu wird die in Abschnitt 10.3.1 beschriebene Störungsrechnung angewendet. Danach kann das Ergebnis in Form der StoffwertverhältnisMethode angegeben werden, vgl.Abschnitt 10.3.2. Wenn mit cf c.p. , Nuc.p. und Tw c.p. die Ergebnisse im Rahmen der Boussinesq-Approximation bezeichnet werden, lauten die Korrekturbeziehungen zur Berücksichtigung der einzelnen Stoffwert-Effekte



 cf Pr w mPr w β∞ mβ w λw mλ cpw mc = , (10.156) cf c.p. Pr ∞  ∞ βw ∞ λ∞ cp∞ Tw = const : Nu = Nuc.p.




Pr w Pr ∞

nPr


w β∞ ∞ β w

nβ


 w λw  ∞ λ∞

nλ


cpw cp∞

nc ,

(10.157)

kc .

(10.158)

qw = const : Tw − T∞ = (Tw − T∞ )c.p.




Pr w Pr ∞

kPr


 w β∞ ∞ βw

kβ


 w λw  ∞ λ∞

kλ


cpw cp∞

Im Fall qw = const werden die Stoffwerte mit dem Index w bei den Wandtemperaturen genommen, die sich aus der Rechnung mit der Boussinesq-Approximation ergeben. Die Exponenten wurden von H. Herwig et al. (1985) im gesamten Bereich der Prandtl-Zahlen für die Plattenströmung und für die Staupunktströmung (beide für Tw = const und qw = const) berechnet. Dabei stellte sich heraus, daß sich die Exponenten für diese beiden Strömungen nur unwesentlich voneinander unterscheiden. Daraus kann geschlossen werden, daß die Beziehungen (10.156) bis (10.158) in guter

10.5 Natürliche Konvektion

283

Tabelle 10.4. Stoffwertverhältnis-Methode für natürliche Konvektionsströmungen. Exponen-

ten in den Gl. (10.156) bis (10.158) nach H. Herwig (1984) Tw = const −0,605 −0,637 mPr = 0,5 − 0,305(1 + 1,217 Pr ∞ )

mš
= −0,293; mšŠ = 0,450; mc = −0,368 −0,7 −0,605 nPr = −0,206(1 + 1,415 Pr ∞ )

nš
= −0,070; nšŠ = 0,308; nc = 0,202 qw = const −0,566 −0,66 mPr = 0,505 − 0,189(1 + 1,304 Pr ∞ )

mš
= −0,249; mšŠ = 0,267; mc = −0,516 −0,695 −0,599 kPr = 0,163(1 + 1,360 Pr ∞ )

kš
= 0,054; kšŠ = −0,244; kc = −0,212

Näherung lokal, d.h. von x unabhängig, gelten und damit auch auf mittlere Werte z.B. der Nußelt-Zahl angewandt werden können. Von H. Herwig (1984) sind die gemittelten Exponenten bestimmt worden. Sie sind in Tabelle 10.4 wiedergegeben. Wegen der gegenseitigen Kopplung von Geschwindigkeits- und Temperaturfeld haben alle Stoffwerte einen Einfluß auf den Reibungsbeiwert. Außerdem tritt wegen der nichtlinearen Abhängigkeit der Dichte von der Temperatur jetzt der Wärmeausdehnungskoeffizient β als zusätzlicher „Stoffwert“ auf. Beispiel 1: Wasser und Öle

Annahmen:  = const, λ = const, cp = const, µ(T ), Pr ∞ → ∞ 1.1 Tw = const

Num Nu = = Nuc.p. Num c.p.





  µw −0,21 Pr w −0,21 = . µ∞ Pr ∞

(10.159)

Das entspricht einer Referenztemperatur Tr = T∞ + j (Tw − T∞ )

(10.160)

mit j = 0,21/0,5 = 0,42. Messungen von T. Fujii et al. (1970) an der vertikalen Platte mit Wasser und Ölen (Pr ≥ 5) haben genau den Exponenten −0,21 ergeben. Messungen von R.M. Fand et al. (1977) am horizontalen Zylinder haben die Exponenten −0,25 ergeben, was genau dem Exponenten nPr aus Tabelle 10.4 für Pr ∞ = 7,0 entspricht. 1.2 qw = const



  µw 0,16 Pr w 0,16 Tw − T∞ = = (10.161) (Tw − T∞ )c.p. µ∞ Pr ∞ oder j = 0,32, wenn in Gl. (10.160) wieder Tw aus der Rechnung mit der BoussinesqApproximation genommen wird. Messungen von T. Fujii et al. (1970) an der vertikalen Platte ergaben für den Exponenten den Wert 0,17.

284

10 Grenzschichten mit Kopplung des Geschwindigkeitsfeldes an das Temperaturfeld

Beispiel 2: Luft, Pr = 0,7, Tw = const

Annahmen:  ∼ T −1 , β ∼ T −1 , µ ∼ T 0,76 , λ ∼ T 0,76 , cp = const Num Nu = = Nuc.p. Num c.p.




 Tw −0,074 , T∞

(10.162)

j = −0,074/(0,76/2 − 0,75) = 0,62. Dieses ist in perfekter Übereinstimmung mit Ergebnissen von E.M. Sparrow; J.L. Gregg (1958) für die vertikale Platte. Aus dem Vergleich mit Rechnungen am horizontalen Kreiszylinder, bei denen die korrekten Stoffgesetze verwendet wurden, folgt, daß Gl. (10.162) für Tw /T∞ ≤ 1,4 Ergebnisse liefert, deren Fehler kleiner als 1 % sind, vgl. H. Herwig et al. (1985).

10.5.7 Einfluß der Dissipation Die natürlichen Konvektionsströmungen wurden bisher unter Vernachlässigung des Dissipationseinflusses behandelt. In diesem Abschnitt soll nun untersucht werden, wie weit diese Vernachlässigung gerechtfertigt ist. Der Einfachheit halber wird dieses am Beispiel der vertikalen Platte mit Tw = const behandelt. Wird das Dissipationsglied mitberücksichtigt, lautet die thermische Energiegleichung nach der Grenzschichttransformation (10.120)
 1 ∂ 2ϑ ∂ϑ gβ∞ l ∂u∗ 2 ∗ ∂ϑ = +v + . (10.163) u ∂x ∗ ∂y Pr ∞ ∂y 2 cp∞ ∂y Es entsteht damit die neue dimensionslose Kennzahl gβ∞ l/cp∞ , die neben der Prandtl-Zahl als zusätzlicher Parameter die Lösung beeinflußt. Nach Tabelle 3.1 beträgt bei 20 ◦ C und 1 bar die Kennzahl 8 × 10−6 l/m für Wasser und 3,3 × 10−5 l/m für Luft. Daran erkennt man, daß der Einfluß der Dissipation normalerweise vernachlässigbar ist. Da die Länge l wegen des Übergangs in die turbulente Strömung auch nicht beliebig groß werden kann, ist ein Einfluß der Dissipation höchstens für Gase bei extrem niedrigen Temperaturen (β∞ ∼ 1/T∞ → ∞) denkbar. Die Lösungen der Gleichungen für die vertikale Platte unter Berücksichtigung der Dissipation wurden von B. Gebhart (1962) ermittelt.

10.6

Indirekte natürliche Konvektion Die bisher betrachteten natürlichen Konvektionsströmungen können nicht bei α = 0◦ entstehen, da dann das Auftriebsglied verschwindet. Es kann jedoch auch bei α = 0◦ eine natürliche Konvektionsströmung auftreten, die im folgenden beschrieben wird. Da diese auf indirektem Wege über einen induzierten Druckgradienten zustandekommt, wird sie in Abgrenzung zu dem bisher behandelten (direkten) natürlichen Konvektionsströmungen als indirekte natürliche Konvektion bezeichnet.

10.6 Indirekte natürliche Konvektion

285

Bild 10.16. Indirekte natürliche Konvektion. Entstehung eines Druckgradienten ∂p/∂x in der Grenzschicht durch verminderten statischen Druck über der geheizten Platte

Der physikalische Mechanismus ist in Bild 10.16 verdeutlicht. Bei einem Fluid, dessen Dichte mit steigender Temperatur abnimmt, entsteht an einer horizontalen heißen Platte eine Grenzschichtströmung, wie sie in Bild 10.16 gezeigt ist. Vor der Platte herrscht überall die Temperatur T∞ , so daß wie im statischen Feld eine lineare Druckverteilung mit dem Gradienten ∂p/∂y = −∞ g vorliegt. Über der Platte ist die Temperatur im Grenzschichtbereich größer als T∞ , die Dichte also kleiner als ∞ . Die verminderten Druckgradienten |∂p/∂y| = g < ∞ g führen zu einem verminderten Druck im Grenzschichtbereich. Dadurch entsteht aber ein Druckgefälle in x-Richtung. Dieser induzierte Druckgradient in x-Richtung ist die Ursache für die plattenparallele Strömung, die wie die direkten natürlichen Konvektionsströmungen bei hohen Grashof-Zahlen Grenzschichtcharakter besitzt. K. Stewartson (1958) konnte als erster zeigen, daß auf der Oberseite einer horizontalen ebenen Platte mit Tw > T∞ (vgl. Bild 10.16) eine derartige indirekte natürliche Konvektionsströmung existiert. Da jedoch der Druckgradient ∂p/∂y  = 0 für die Entstehung dieser Strömungen von entscheidender Bedeutung ist, reichen die bisher verwendeten Grenzschichtgleichungen (10.4) bis (10.6) zur Beschreibung nicht mehr aus. Unterzieht man die vollständigen Navier-Stokes-Gleichungen (für α = 0◦ ) und mit Berücksichtigung der Boussinesq-Approximation sowie die Energiegleichung der folgenden Grenzschichttransformation y=

y 1/5 Gr , l

v=

v Gr 1/5 VI N

(10.164)

mit VI N = (gl 1/2 ν 1/2 β∞ T )2/5 ,

(10.165)

286

10 Grenzschichten mit Kopplung des Geschwindigkeitsfeldes an das Temperaturfeld

dann ergeben sich die Grenzschichtgleichungen, mit der die indirekte natürliche Konvektion beschrieben werden kann. Sie lauten in dimensionsbehafteter Form ∂u ∂v + = 0, ∂x ∂y u

∂u ∂ 2u ∂u 1 ∂p +v =− + ν∞ 2 , ∂x ∂y ∞ ∂x ∂y 0 =−

u

(10.166)

1 ∂p + gβ∞ (T − T∞ ) , ∞ ∂y

∂T ∂T ∂ 2T = a∞ 2 . +v ∂y ∂y ∂x

(10.167)

(10.168)

(10.169)

Die Grashof-Zahl ist durch Gl. (10.118) gegeben. Außerdem gilt entweder T = Tw − T∞ oder Gl. (10.127). Die Potenzen in Gl. (10.164) wurden so gewählt, daß nach der Transformation im Grenzfall Gr → ∞ noch folgendes erhalten bleibt: die Kontinuitätsgleichung, ein Reibungsterm in der x-Impulsgleichung sowie die Druck- und Auftriebsglieder in der y-Impulsgleichung. Auch hierbei ist das Geschwindigkeitsfeld vom Temperaturfeld abhängig. Die Kopplung erfolgt über den Druck p, der durch die y-Impulsgleichung mit der Temperatur verbunden ist. Von K. Stewartson (1958) wurde gezeigt, daß das System (10.166) bis (10.169) für die Strömung oberhalb einer heißen Platte (Tw − T∞ = T > 0) auf ähnliche Lösungen führt. Mit der Ähnlichkeitstransformation y = (x ∗ )2/5 η , ψ = (x ∗ )3/5 f (η) , p = (x ∗ )2/5 g(η)

(10.170)

erhält man 3 1 2 f  + ff  − f 2 = (g − ηg  ) 5 5 5 g = ϑ ϑ  +

(10.171)

3 Pr ∞ f ϑ  = 0 5

mit den Randbedingungen η =0: η =∞:

f = 0, f = 0, ϑ = 1 f = 0, ϑ = 0.

(10.172)

10.7 Gemischte Konvektion

287

Die Prandtl-Zahl ist der einzige Parameter. Für Pr ∞ = 0,72 ergibt sich fw = 0,9787 und ϑw = −0,3574, vgl. W.N. Gill et al. (1965). Damit erhält man für den Wärmeübergang Nu =


−2/5 qw l x = 0,357 Gr 1/5 λ∞ (Tw − T∞ ) l

(Pr = 0,72) .

(10.173)

Näherungsformeln für beliebige Prandtl-Zahlen wurden von G. Wickern (1987) angegeben. Auch die Lösungen für die Grenzfälle Pr → 0 und Pr → ∞ findet man bei G. Wickern (1987). Auch für beliebige Potenzgesetze der Wandtemperaturverteilung ergeben sich ähnliche Lösungen. Der Fall Tw − T∞ ∼ x 1/3 entspricht konstantem qw . Dazu findet man ebenfalls Lösungen bei G. Wickern (1987). Statt Gr nach Gl. (10.118) wird dann wieder Gr q nach Gl. (10.129) verwendet, wobei zwischen den beiden Kennzahlen die Beziehung (10.130) besteht. Anmerkung (Freie indirekte natürliche Konvektion)

Wenn eine entsprechende Strömung auch auf der Unterseite der Platte in Bild 10.16 mit der Wandtemperatur T∞ − T vorliegt und die Platte eine endliche Länge besitzt, dann entsteht stromabwärts von der Plattenhinterkante ein horizontaler Freistrahl mit einer antimetrischen Temperaturverteilung. V. Noshadi; W. Schneider (1999) haben gezeigt, daß der Freistrahl im Fernfeld für 0,5 < Pr ≤ 1,47 auf ähnliche Lösungen der Gl. (10.166) bis (10.169) führt. Der analoge axialsymmetrische Fall wurde ebenfalls untersucht. Hierfür existieren Lösungen für Pr > 1

10.7

Gemischte Konvektion Unter gemischter Konvektion versteht man erzwungene Konvektion, bei der auch Auftriebskräfte auftreten und damit zusätzliche Effekte entstehen, wie sie von der natürlichen (direkten und indirekten) Konvektion her bekannt sind. Es handelt sich also um eine Kombination von erzwungener und natürlicher Konvektion. Es sei für die Auftriebsterme wieder die Boussinesq-Approximation zugrunde gelegt. Da die Grenzschichttransformationen für erzwungene und natürliche Konvektion unterschiedlich sind, vgl. Gl. (10.1), (10.120) und (10.164), ist es prinzipiell nicht möglich, eine Grenzschichttransformation so zu finden, daß nach der Transformation die resultierenden Grenzschichtgleichungen von der Viskosität, d.h. von der Reynolds-Zahl oder der Grashof-Zahl, unabhängig sind und auch die Effekte der indirekten natürlichen Konvektion erfaßt werden. Verwendet man die Grenzschichttransformation nach Gl. (10.1), so erhält man im Grenzfall Re → ∞ das dimensionslose System (Ec = 0):

288

10 Grenzschichten mit Kopplung des Geschwindigkeitsfeldes an das Temperaturfeld

∂u∗ ∂v = 0, + ∂x ∗ ∂y u∗

(10.174)

∂p∗ ∂u∗ ∂u∗ ∂ 2 u∗ = − + v + + ϑPI sin α , ∂x ∗ ∂y ∂x ∗ ∂y 2 0 =−

u∗

(10.175)

∂p∗ + ϑPII cos α , ∂y

(10.176)

∂ϑ 1 ∂ 2ϑ ∂ϑ = + v . ∂x ∗ ∂y Pr ∞ ∂y 2

(10.177)

Dabei wurde PI =

Gr glβ∞ T = , V2 Re2

PII =

Gr gl 1/2 ν 1/2 β∞ T = 5/2 V 5/2 Re

(10.178)

gesetzt. Für den Grenzprozeß Re → ∞ sind nun die folgenden beiden Fälle zu unterscheiden: 1. ohne indirekte natürliche Konvektion: Gr ∼ Re2 , damit gilt PII → 0 für Re → ∞, und die y-Impulsgleichung reduziert sich auf ∂p ∗ /∂y = 0. 2. mit indirekter natürlicher Konvektion: Gr ∼ Re5/2 , dann muß das Produkt PI sin α endlich bleiben, d.h. es gilt sin α ≈ α ∼ Re−1/2 . Der Winkel α strebt also mit wachsender Reynolds-Zahl gegen null. Die beiden Parameter PI und PII beschreiben das Verhältnis der verschiedenen Effekte:
 VDN 2 direkte natürliche Konvektion PI = ∼ V erzwungene Konvektion PI → 0 : erzwungene Konvektion PI → ∞ : reine direkte natürliche Konvektion
PII =

VI N V

5/2 ∼

indirekte natürliche Konvektion erzwungene Konvektion PII → 0 : erzwungene Konvektion PII → ∞ : reine indirekte natürliche Konvektion.

10.7 Gemischte Konvektion

289

Bild 10.17. Bereich der möglichen Grenzschichtlösungen bei einer beliebig geneigten ebenen Platte (thermische Randbedingung Tw = const)

Beispiel: Gemischte Konvektion an der beliebig geneigten ebenen Platte

Die Grenzschichtgleichungen (10.174) bis (10.177) sollen jetzt auf die Strömung an einer beliebig geneigten (0 ≤ α < 2π ) ebenen Platte angewandt werden. Das Ziel ist es, die Gesamtheit aller möglichen Grenzschichtlösungen zu erfassen, in der alle Spezialfälle (z.B. reine erzwungene Konvektion oder reine natürliche Konvektion) enthalten sind. Die folgenden Ausführungen stützen sich im wesentlichen auf eine sehr ausführliche Studie von G. Wickern (1987, 1991a, b), in der für die beiden thermischen Randbedingungen Tw = const und qw = const der Impuls- und Wärmeübergang (mit konkreten numerischen Ergebnissen für Pr = 0,72) berechnet worden ist. Da die drei beteiligten Effekte untereinander sowohl „gleichgerichtet“ als auch „gegenläufig“ auftreten können, kommt es in verschiedenen Situationen zu abgelösten Strömungen, wobei sowohl singuläre als auch reguläre Annäherungen an den Punkt verschwindender Wandschubspannung auftreten. Dies führt dazu, daß in dem allgemeinen Lösungsfeld, das durch PI und PII aufgespannt wird, nicht alle Parameterkombinationen zu Lösungen im Rahmen der hier vorliegenden Grenzschichttheorie führen. Bild 10.17 zeigt für die thermische Randbedingung Tw = const den Bereich der möglichen Grenzschichtlösungen. Obwohl die Strömungen mit jeweils nur einem der drei beteiligten Effekte für sich genommen stets selbstähnlichen Charakter haben (und damit mathematisch auf gewöhnliche Differentialgleichungen führen) sind partielle Differentialgleichungen zu lösen, sobald mindestens zwei Effekte beteiligt sind. Die physikalische Erklärung dafür ist, daß sich die drei Effekte unterschiedlich bezüglich der Lauflänge l verhalten und somit bei einer Kombination dann eine charakteristische Länge in das Problem eingeführt wird (z.B. die Länge von der Vorderkante bis zur Ablösestelle). Interpretiert man die Bezugsgeschwindigkeiten der Einzeleffekte als Maß für die „Stärke“ der jeweiligen Effekte, so ergeben sich deren Lauflängen-Abhängigkeiten wie folgt: 1. reine erzwungene Konvektion: V ∼ (l)0 2. reine indirekte natürliche Konvektion: VDN ∼ (l)1/5 3. reine direkte natürliche Konvektion: VI N ∼ (l)1/2 . Diese Aufzählung verdeutlicht, daß bei Vorhandensein aller drei Effekte für l → 0 stets die reine erzwungene Konvektion dominiert, während für l → ∞ stets die direkte natürliche Konvektion überwiegt. Dies ist physikalisch leicht einsehbar, da in der Nähe der Vorderkante (l → 0) einer Platte noch nicht genug thermische Energie übertragen worden ist, um nen-

290

10 Grenzschichten mit Kopplung des Geschwindigkeitsfeldes an das Temperaturfeld

Bild 10.18. Gemischte Konvektion an der geneigten ebenen Platte, Höhenlinien-Diagramm für Tw = const, √Pr = 0,72 nach G. Wickern (1987, 1991b) (a) Linien cf Rex = const √ (b) Linien Nux / Rex = const

nenswerte natürliche Konvektionseffekte zu ermöglichen. Andererseits wächst der Effekt der direkten natürlichen Konvektion mit steigender übertragener thermischer Energie (l → ∞) unbegrenzt an, und zwar stärker als derjenige der indirekten natürlichen Konvektion. Wenn alle drei Effekte vorhanden sind, muß eine Rechnung also stets an der Vorderkante (x = 0) mit der Blasiusschen Lösung für erzwungene Konvektion als Anfangsbedingung beginnen. In Bild 10.18 sind in einem Diagramm mit den Achsen PI sin α und PII cos α alle Lösungen für die Prandtl-Zahl Pr = 0,72 dargestellt. Wie man sich leicht überzeugen kann, bedeuten positive Werte von PI sin α bzw. PII cos α, daß die erzwungene Konvektion durch den jeweiligen natürlichen Konvektionseffekt unterstützt wird, negative Werte bedeuten physikalisch ein Entgegenwirken, was zur Folge hat, daß die Strömung „in Richtung Ablösung“ beeinflußt wird. Stellt man sich anschaulich eine Situation vor, bei der g, β∞ , T , α, ν und V vorgegebene feste Größen sind, so ist die einzige freie Variable in PI und PII die Lauflänge l. Verschiedene Werte von l beschreiben dann die gesuchte Lösung in verschieden großen Abständen von der Vorderkante, so daß die Lauflänge l in dieser Interpretation auch durch die Koordinate x ersetzt werden könnte. In der hier gewählten Vorstellung besteht dann natürlich eine Kopplung zwischen den Parametern. Da PI ∼ l und PII ∼ l 1/2 gilt, liegen alle Lösungspunkte für wachsenden Abstand von der Vorderkante (bei festem g, β∞ , T , α, ν und V ) auf der Kurve PI sin α = C(PII cos α)2 ,

(10.179)

10.7 Gemischte Konvektion

291

also auf einer Parabel. Für die Konstante C folgt in den Bildern 10.17 und 10.18 C=−

U 3 sin α Re3 sin α = . Gr cos2 α gβ∞ T ν 2 cos2 α

(10.180)

Die in Bild 10.18 enthaltenen Höhenlinien gestatten es, die Werte cf Re1/2 (x/ l)1/2 und Nu Re−1/2 (x/ l)1/2 für den Fall Tw = const und Pr = 0,72 abzulesen. Im Ursprung des Diagramms liegt die Blasiussche Plattenlösung mit cf Re1/2 (x/ l)1/2 = 0,664 und Nu Re−1/2 (x/ l)1/2 = 0,293 (vgl. Kap. 6.5 und Kap. 9.4). Die Strömungen in den einzelnen Quadranten des Diagramms haben physikalisch gesehen einen sehr unterschiedlichen Charakter und sollen jetzt im einzelnen beschrieben werden. Quadrant 1: PI sin α > 0,

PII cos α > 0

In diesen Fällen wird die Grundströmung der erzwungenen Konvektion durch beide Arten der natürlichen Konvektion beschleunigt. Für alle Lösungen in diesem Quadranten steigen daher sowohl der Reibungsbeiwert cf als auch die Nußelt-Zahl Nu mit der Lauflänge monoton an. Quadrant 2: PI sin α > 0,

PII cos α < 0

In diesem Quadranten ist die Strömungssituation sehr viel komplizierter. Die Grundströmung wird durch die indirekte natürliche Konvektion zunächst verzögert (PII cos α < 0), durch die direkte natürliche Konvektion aber wieder beschleunigt (PI sin α > 0). Es gibt nun einen Grenzfall, bei dem gerade an einer Stelle auf der Platte die Wandschubspannung τw = 0 erreicht wird, für größere Lauflängen aber wieder Werte τw > 0 gelten. Dieser Fall tritt für Ckrit = 4,4366 ein und stellt die Grenzparabel im Quadranten 2 dar. Rechnungen für C < Ckrit führen zu flacher verlaufenden Parabeln, die physikalisch einer stärker wirkenden indirekten natürlichen Konvektion entsprechen und somit Fälle mit Ablösung darstellen. Die Grenzschichtlösungen zeigen bei Annäherung an die Ablösestelle singuläres Verhalten und können aus diesem Grunde nicht weitergeführt werden. Diese Begrenzung ist in den Diagrammen durch die Linie „singulär“ gegeben. Quadrant 3: PI sin α < 0,

PII cos α < 0:

Beide Arten von natürlicher Konvektion verzögern die erzwungene Grundströmung, so daß es zwangsläufig mit wachsender Lauflänge zur Ablösung kommt. Da auch hier ein singuläres Lösungsverhalten vorliegt, sind alle Rechnungen längs entsprechender Parabeln an der Linie „singulär“ nicht fortführbar. Diese „singuläre Linie“ endet genau auf der vertikalen Achse (α = 90◦ ) Quadrant 4: PI sin α < 0,

PII cos α > 0:

Bei Strömungen in diesem Quadranten wird die erzwungene Grundströmung durch die indirekte natürliche Konvektion beschleunigt (PII cos α > 0), durch die direkte natürliche Konvektion aber verzögert (PI sin α < 0). Aufgrund der bisherigen Überlegungen ist dieser letzte Effekt für große Lauflängen stets dominierend, so daß jede Strömung in diesem Quadranten für l → ∞ zwangsläufig ablöst. Anders als in den Quadranten 2 und 3 ist die Lösung an der Ablösestelle aber vollständig regulär und kann deshalb auch im Rahmen der Grenzschichtnäherungen über den Punkt τw = 0 hinaus fortgesetzt werden. Bild 10.18a enthält daher auch Ergebnisse für negative cf -Werte. Für Einzelheiten der Lösungen sowie für Ergebnisse bei qw = const, die qualitativ denen bei Tw = const entsprechen, sei auf die Originalarbeit von G. Wickern (1987) verwiesen.

292

10 Grenzschichten mit Kopplung des Geschwindigkeitsfeldes an das Temperaturfeld

Anmerkung („Singuläre“ Lösungen)

Untersuchungen an der kühlen horizontalen Platte (Tw − T∞ = T < 0, PII < 0, α = 0◦ ) von W. Schneider et al. (1994) und H. Steinrück (1994) haben gezeigt, daß für diesen Fall die Grenzschichtgleichungen keine eindeutige Lösung besitzen. Daher sind die numerischen Ergebnisse von G. Wickern (1987, 1991a) für die „singulären“ Lösungen im Quadranten 2 mit C < Ckrit und im Quadranten 3 mit Vorsicht zu betrachten, vgl. auch W. Schneider (1995, 2001). Wie P.-Y. Lagrèe (2001) gezeigt hat, lässt sich die Strömung mit einem DreierdeckKonzept darstellen, wie es in Abschnitt 14.4 beschrieben wird.

Weitere Lösungen Erzwungene und indirekte natürliche Konvektionen

Von W. Schneider (1979) wurde gezeigt, daß die gemischte Konvektion an der √ horizontalen Platte auf ähnliche Lösungen führt, wenn Tw (x) − T∞ = T ∼ 1/ x gilt. Für die heiße Platte (T > 0) sind die Lösungen eindeutig. Bei der kühlen Platte treten zunächst zwei ähnliche Lösungen auf. Unterschreitet der Parameter K = gβ∞ T (xν)1/2 V −5/2 einen von der Prandtl-Zahl abhängigen kritischen Wert, existieren keine Lösungen mehr. Bemerkenswert an diesen ähnlichen Lösungen ist, daß sich der gesamte Wärmeübergang auf die (singuläre)Vorderkante konzentriert, während die restliche Platte adiabat ist. Von H. Steinrück (1995) wurde nachgewiesen, daß für K < 0 neben den beiden ähnlichen Lösungen noch unendlich viele nichtähnliche Lösungen existieren, die eine Verbindung zwischen den beiden ähnlichen Lösungen darstellen in dem Sinne, daß sie an der Vorderkante mit der einen ähnlichen Lösung übereinstimmen und stromabwärts schließlich in die andere ähnliche Lösung übergehen. Durch eine geeignete Stabilitätsbedingung läßt sich die Eindeutigkeit der Lösung erzwingen, vgl. auch V. Noshadi; W. Schneider (1998) und W. Schneider (2001). Die Auftriebseffekte in laminaren Wandstrahlen an horizontalen Wänden wurden von S. Schilawa (1981) untersucht. Dabei wurden die Fälle „geheizter Wandstrahl“ und „heißer Wandstrahl“ unterschieden je nachdem, ob der Wärmeübergang an einem Wandstrahl mit Umgebungstemperatur erfolgt oder ob dieser mit einer von der Umgebungstemperatur verschiedenen Temperatur beginnt. In beiden Fällen vergrößert der Auftrieb die Wandschubspannung. Der Wärmeübergang nimmt aufgrund von Auftriebskräften beim geheizten Wandstrahl zu, beim heißen Wandstrahl jedoch ab. Der „gekühlte Wandstrahl“ und der „kühle Wandstrahl“ wurden von F.J. Figuera (1997) untersucht. Dabei führt der thermische Auftrieb zur Verringerung der Wandschubspannung und schließlich zur Strömungsablösung. Deshalb erfordern diese Strömungen den Einsatz einer Wechselwirkungstheorie, wie sie in der Anmerkung am Ende von Abschnitt 14.2 kurz beschrieben ist. Von P.G. Daniels; R.J. Gargaro (1993) wurden horizontale Grenzschichten mit stabiler Temperaturschichtung untersucht. Die gemischte Konvektion an der horizontalen Platte endlicher Länge wurde von W. Schneider (2005) untersucht, und zwar für große Peclet-Zahlen und kleine thermischeAuftriebseffekte. Dabei erfolgt dieAnströmung parallel zur Platte. Der hydrostatische Drucksprung über dem Plattennachlauf induziert eine Potentialströmung, die

10.7 Gemischte Konvektion

293

eine Querkraft (der thermischen Auftriebskraft entgegen) und eine Saugkraft (dem Reibungswiderstand entgegen) zur Folge hat. Für sehr kleine Prandtl-Zahlen lassen sich geschlossene Lösungen angeben. Eine entsprechende Lösung gilt auch für die turbulente Strömung bei großen Reynolds-Zahlen. Erzwungene und direkte natürliche Konvektion

Von E.M. Sparrow et al. (1959) und R.C. Gunness; B. Gebhart (1965) wurden Keilströmungen (ue ∼ x m ) in gemischter Konvektion untersucht. Man erhält ähnliche Lösungen, wenn die Verteilung der Wandtemperatur proportional x 2m−1 ist. Das bedeutet für die Staupunktströmung eine lineare Temperaturverteilung an der Wand, vgl. dazu auch K. Gersten; J. Steinheuer (1967). Wie bei der gemischten Konvektion an der Platte kann es zu Rückströmung kommen, wenn die erzwungene und die direkte natürliche Konvektion entgegengesetzte Wirkungen haben. Der (vertikale) Freistrahl mit Auftriebskräften wurde von S.B. Savage; G.K.C. Chan (1970) und K. Gersten et al. (1980) behandelt. Der Freistrahl beginnt zunächst als reiner „Impulsstrahl“ (d.h. kein Auftriebseinfluß), geht dann aber endgültig in den reinen Auftriebsstrahl über. In der letztgenannten Arbeit wird die Strömung mit Hilfe eines Integralverfahrens behandelt. Dabei kann der Strahlbeginn auch unter einem beliebigen Winkel gegenüber der Vertikalen erfolgen. Der vertikale Freistrahl mit Auftrieb kann auch ohne Anfangsimpuls starten. Es handelt sich dann um die Lösung für das „Linienfeuer“, vgl. K. Gersten et al. (1980). Die gemischte Konvektion im Fernfeld der Nachläufe geheizter oder gekühlter Körper wurde von P. Ehrhard (2001) untersucht. Die gemischte Konvektion an horizontalen Zylindern hat z.B. für die Hitzdrahttechnik Bedeutung, vgl. Y. Jaluria (1980, S. 151) und V.T. Morgan (1975).

11 Grenzschichtbeeinflussung (Absaugen/Ausblasen)

11.1

Die verschiedenen Arten der Grenzschichtbeeinflussung Aus den bisherigen Betrachtungen der Grenzschichtströmungen geht hervor, daß die Randbedingungen, d.h. die Verteilungen der Außengeschwindigkeit U (x) bzw. ue (x) und der Wandtemperatur Tw (x) bzw. der Wandwärmestromdichte qw (x), das Verhalten der Grenzschichten bestimmen. So hatte sich beispielsweise herausgestellt, daß die Lage des Ablösungspunktes entscheidend davon abhängt, wie stark die Geschwindigkeit der Außenströmung verzögert wird. Ferner wurde im vorigen Kapitel gezeigt, daß bei temperaturabhängigen Stoffwerten Kühlen bzw. Heizen die Lage des Ablösungspunktes beeinflussen. Neben diesen „natürlichen“ Möglichkeiten, über die üblichen Randbedingungen die Grenzschichten zu beeinflussen, sind verschiedene Verfahren entwickelt worden, durch künstliche Maßnahmen ein bestimmtes Verhalten der Grenzschichten zu bewirken. Folgende Maßnahmen sind hier zu nennen: 1. Mitbewegen der Wand. Ein optimales Verfahren bestünde darin, die Ausbil-

dung der Grenzschicht überhaupt zu vermeiden. Da sich die Grenzschicht infolge der Geschwindigkeitsdifferenz zwischen der Wand (Haftbedingung) und der Außenströmung ausbildet, läßt sie sich im Prinzip beseitigen, indem man dafür sorgt, daß dieser Geschwindigkeitsunterschied aufgehoben wird. Dies erreicht man, indem man die Wand mit der Strömung mitbewegt. Am einfachsten läßt sich eine mitbewegte Wand bei der Rotation eines angeströmten Kreiszylinders verwirklichen. Bild 11.1 zeigt das Strömungsbild um einen rotierenden Kreiszylinder, der senkrecht zu seiner Achse angeströmt wird. Auf der oberen Seite, wo Strömungsrichtung und Drehrichtung gleichsinnig sind, ist die Ablösung der Grenzschicht völlig vermieden. Das Strömungsfeld ist unsymmetrisch. Die reibungsfreie Außenströmung entspricht der Kreiszylinderströmung mit Zirkulation. Diese Strömung liefert einen Quertrieb (Auftrieb im Bild 11.1), der als MagnusEffekt bekannt ist und z.B. beim „geschnittenen“ Tennisball in Erscheinung tritt. Es ist auch versucht worden, den Quertrieb von rotierenden Zylindern für den Vortrieb von Schiffen praktisch zu nutzen, vgl. die Beschreibung des Flettner-Rotors von J. Ackeret (1925). Bei anderen Körperformen läßt sich allerdings dieses Prinzip nur sehr schwierig technisch verwirklichen, so daß dieses Verfahren kaum praktische Anwendung gefunden hat. Jedoch ist von A. Favre (1938) in einem Modellversuch der Einfluß der mitbewegten Wand an einem Tragflügel eingehend untersucht worden. Hierbei wurde auf einem Teil der Profiloberseite die Wand nach Art eines endlosen Bandes

296

11 Grenzschichtbeeinflussung (Absaugen/Ausblasen)

Bild 11.1. Strömung um einen rotierenden

Kreiszylinder

über zwei Walzen in Bewegung gesetzt, wobei der Rücklauf im Innern des Flügels erfolgte. Diese Anordnung erwies sich als sehr wirksam. Es wurden damit bei großen Anstellwinkeln (etwa α = 55 ◦ ) maximale Auftriebsbeiwerte von etwa cA = 3,5 erzielt. Folgende Untersuchungen über Strömungen mit bewegter Wand sind noch erwähnenswert: a) Die ebene Plattenströmung, bei der sich die Wand wie bei einem endlosen Band bewegt, wurde von J. Siekmann (1962) und J. Steinheuer (1968a) untersucht. Es handelt sich wieder um ähnliche Lösungen, die sogar bei einer der Strömungsrichtung entgegengesetzten Wandbewegung bis zu einer Geschwindigkeit |Uw | < 0,354U∞ existieren. b) Die Grenzschicht an der längsangeströmten ebenen Platte, deren hinterer Teil mit der Strömung mitbewegt wird, ist von E. Truckenbrodt (1952) berechnet worden. c) Bei der Bewegung eines Körpers in Bodennähe entsteht im körperfesten Koordinatensystem eine stationäre Strömung. Am Boden, der sich mit der Anströmgeschwindigkeit bewegt, entsteht in Körpernähe eine Grenzschicht, die von E. Beese (1984) untersucht worden ist und die z.B. für die Kfz-Aerodynamik von Bedeutung ist. d) Für Grenzschichten an bewegten Wänden kann nicht mehr das übliche Ablösungskriterium τw = 0 verwendet werden. Vielmehr gilt dann das sogenannte MRS-Kriterium nach F.K. Moore (1958), N. Rott (1955) und W.R. Sears (1956). Danach tritt der Ablösungspunkt in der Grenzschicht dort auf, wo gleichzeitig u = 0 und ∂u/∂y = 0 gilt. Im Bild 11.2 ist die Strömung an einem derartigen Ablösungspunkt skizziert. 2. Schlitzabsaugung. Bereits in seiner ersten Grenzschichtarbeit hat L. Prandtl (1904) zur Bestätigung seiner grundlegenden Vorstellungen die Grenzschicht künstlich beeinflußt und dabei ganz überraschende Wirkungen erzielt. Bild 11.3 zeigt die Strömung um einem Kreiszylinder bei einseitiger Absaugung der Grenzschicht durch einen schmalen Schlitz. Die Strömung folgt auf derjenigen Seite, an der abgesaugt wird, wesentlich länger der Körperoberfläche, die Ablösung wird hinausgezögert. Infolgedessen wird der Widerstand stark vermindert. Gleichzeitig wird im vorliegenden Fall wegen der Unsymmetrie der Strömung ein Quertrieb erzeugt.

11.1 Die verschiedenen Arten der Grenzschichtbeeinflussung

297

Bild 11.2. Geschwindigkeitsprofile in der Umgebung des Ablösungspunktes bei Grenzschichten an mitbewegten Wänden. MRS-Ablösungskriterium: u = 0 und ∂u/∂y = 0.

Bild 11.3. Strömung um einen Kreiszylinder bei einseitiger Absaugung der Grenzschicht, nach L. Prandtl (1904)

Im Bild 2.9 war die Anwendung der Schlitzabsaugung bei einem stark erweiternden Diffusor demonstriert worden. DurchAbsaugung mit je zwei Schlitzen auf beiden Seiten konnte die Strömungsablösung völlig vermieden werden, vgl. Bild 2.9c. Die Wirkung der Schlitzabsaugung beruht im wesentlichen auf einer Änderung der Geschwindigkeitsverteilung U (x) der Außenströmung. Der üblichen Verteilung aus der reibungslosen Umströmung wird die Geschwindigkeitsverteilung der Senkenströmung überlagert, die von der am Absaugeschlitz befindlichen, praktisch punktförmigen Senke herrührt. Vor dem Absaugeschlitz wird dadurch die Strömung beschleunigt und damit Ablösung vermieden. Hinter dem Schlitz kommt es durch die Senke zwar zu einer Verzögerung der Außenströmung, die Grenzschicht entwickelt sich jedoch hinter dem Absaugeschlitz neu und kann daher größeren Druckanstieg ohne Ablösung überwinden. Die Schlitzabsaugung ist in der Vergangenheit zur Entwicklung von Tragflügeln sowohl zur Verringerung des Widerstands, vgl. S. Goldstein (1948), als auch zur Erhöhung des Auftriebs, vgl. O. Schrenk (1935), E.D. Poppleton (1955), eingesetzt worden. Es sei jedoch hierzu erwähnt, daß bei der Widerstandsverminderung durch Absaugung neben der für die Absaugung benötigten Energie auch der sogenannte Senkenwiderstand berücksichtigt werden muß. 3. Tangentiales Ausblasen bzw. Absaugen. Eine weitere Möglichkeit, Ablö-

sung zu vermeiden, besteht darin, dem energieschwachen Fluid in der Grenzschicht neue Energie zuzuführen. Dieses kann durch tangentiales Ausblasen von Fluid hoher Geschwindigkeit aus dem Innern des Körpers geschehen, wie im Bild 11.4a

298

11 Grenzschichtbeeinflussung (Absaugen/Ausblasen)

Bild 11.4. Verschiedene Anordnungen zur Grenzschichtbeeinflussung a) Ausblasen; b) Absaugen

Bild 11.5. Geschwindigkeitsverteilung in der Grenzschicht unmittelbar hinter dem Schlitz für tangentiales Ausblasen

skizziert ist. Durch die Zufuhr der kinetischen Energie in die Grenzschicht wird die Ablösungsgefahr beseitigt. Die Wirksamkeit von Klappenflügeln läßt sich deutlich verbessern, wenn unmittelbar vor der Klappe tangential ausgeblasen wird, vgl. F. Thomas (1962, 1963), H. Schlichting (1965b). Durch entsprechende Intensivität des Ausblasestrahles kann sogar der potentialtheoritische Auftrieb überschritten werden. Es entsteht Superzirkulation aufgrund des sogenannten Strahlklappen-Effektes (engl.: jet flap effect), vgl. J. Williams (1958). Unmittelbar hinter der Stelle des tangentialen Ausblasens bildet sich nach Bild 11.5 in der Grenzschicht ein Wandstrahl-Profil aus, das am Grenzschichtaußenrand in die Geschwindigkeit U (x) übergeht. Wie bereits im Kap. 7.2.2 erwähnt, hat J. Steinheuer (1968) solche Strömungen untersucht, vgl. auch M.B. Glauert (1958) mit einem Diskussionsbeitrag von K. Stewartson zum Abklingverhalten eines derartigen Wandstrahles bei Gleichdruck. Die Ablösung der Grenzschicht läßt sich auch durch tangentiales Absaugen entsprechend der Anordnung in Bild 11.4b vermeiden. Das energieschwache Fluid in der Grenzschicht wird durch Absaugung entfernt, bevor es zur Ablösung kommt. Hinter dem Absaugeschlitz bildet sich eine neue Grenzschicht, die einen bestimmten Druckanstieg überwinden kann und bei geeigneter Anordnung der Schlitze unter Umständen gar nicht ablöst. Auf dem gleichen Prinzip beruht auch die Wirkung von sogen. GrenzschichtAbscheidern, wie sie z.B. bei Triebwerkseinläufen am Flugzeugrumpf eingesetzt werden. Auch hier wird dafür gesorgt, daß das energieschwache Fluid der Grenzschicht nicht in den Triebwerkseinlauf gelangt.

11.2 Kontinuierliches Absaugen bzw. Ausblasen

299

4. Kontinuierliches Absaugen bzw. Ausblasen. Wenn die Wand porös und da-

mit für das Fluid durchlässig ist, kann die Grenzschicht durch kontinuierliches Absaugen bzw. Ausblasen beeinflußt werden. Durch Absaugen kann die Ablösung vermieden werden, da das energieschwache Fluid aus der Grenzschicht entfernt wird. Umgekehrt können durch Ausblasen die Wandschubspannung und damit der Reibungswiderstand reduziert werden. Ausblasen hat aber seine wichtigste Anwendung bei der sogenannten Schwitzkühlung. Wenn ein anderes Fluid ausgeblasen wird, entsteht eine Zweistoffgrenzschicht, die neben den Feldern für Geschwindigkeit und Temperatur zusätzlich noch ein Konzentrationsfeld aufweist. Durch kontinuierliches Absaugen und Ausblasen wird auch das Stabilitätsverhalten der Grenzschicht und der Übergang ins Turbulente entscheidend beeinflußt. Absaugen wirkt stets stabilisierend auf die Grenzschicht, vgl. dazu die Ausführungen in Kap. 15. Wegen der besonderen Bedeutung des kontinuierlichen Absaugens und Ausblasens für die Grenzschichttheorie sind die beiden folgenden Abschnitte dieser Thematik gewidmet. Einen umfassenden Überblick über die Forschung auf dem Gebiet der Grenzschichtbeeinflussung geben die Bücher von G.V. Lachmann (1961) und P.K. Chang (1976).

11.2

Kontinuierliches Absaugen bzw. Ausblasen 11.2.1 Grundlagen Bisher war stets eine undurchlässige Wand unterstellt worden, was zu der kinematischen Randbedingung vw = 0 führte. In diesem Kapitel sei nun die Wand porös, so daß Fluid abgesaugt (vw < 0) oder ausgeblasen (vw > 0) werden kann. Dabei soll jedoch die Haftbedingung uw = 0 an der (unbewegten) Wand weiterhin gültig bleiben; zu dieser Problematik siehe z.B. G.J. Hokenson (1985). Bei der Herleitung der Grenzschichtgleichungen in Kap. 6.1 hatte sich ergeben, daß die (auf V bezogene) v-Komponente der Geschwindigkeit eine kleine Größe √ von der Größenordnung O(1/ Re) ist. Im folgenden wird angenommen, daß auch die Geschwindigkeit vw diese Größenordnung besitzt. Das hat zur Folge, daß die Außenströmung von vw unabhängig ist (Effekte höherer Ordnung werden in Kap. 14 besprochen). Auch die Grenzschichtgleichungen (6.7) bis (6.9) bleiben unverändert. Lediglich die Randbedingung an der Wand ändert sich. Statt Gl. (6.16) gilt jetzt  y=0:

v = vw (x ∗ ) u∗ = 0, 

mit  vw =

vw (x) √ Re. V

(11.1)

(11.2)

300

11 Grenzschichtbeeinflussung (Absaugen/Ausblasen)

Damit lauten die Grenzschichtgleichungen für konstante Stoffwerte in dimensionsbehafteter Form: ∂u ∂v + = 0, ∂x ∂y

(11.3)

∂u ∂u dU ∂ 2u +v =U +ν 2 , ∂x ∂y dx ∂y
 ∂T ∂ 2T ν ∂u 2 ∂T +v =a 2 + u ∂x ∂y ∂y cp ∂y u

(11.4)

(11.5)

mit den Randbedingungen y=0: u = 0, v = vw (x), T = Tw (x) y → ∞ : u = U (x), T = T∞ .

oder q = qw (x)

(11.6)

Dabei sind die Verteilungen U (x), vw (x) und Tw (x) bzw. qw (x) vorgegeben. Bezüglich des Wärmeüberganges entsteht durch Absaugen oder Ausblasen ein doppelter Effekt. Zum einen wird das Temperaturprofil durch das veränderte Geschwindigkeitsfeld in der Grenzschicht beeinflußt, was die Wärmeleitung an der Wand verändert, zum anderen tritt an der Wand bei vw  = 0 neben der Wärmeleitung auch ein konvektiver Wärmestrom auf. Bei der für den Wärmeübergang maßgeblichen Nußelt-Zahl Nu = qw l/(λT ) muß beachtet werden, daß dabei qw nur den Leitungsanteil qw = −λ(∂T /∂y)w des an der Wand übertragenen Wärmestroms und nicht den gesamten Wärmestrom (Leitung qw und Konvektion cp Tw vw ) umfaßt. Mit Tw ist stets die Temperatur des Fluids bei y = 0 gemeint, von der jedoch unterstellt wird, daß sie mit der Wandtemperatur übereinstimmt. Die Wandbindung (7.2) erfährt jetzt eine Erweiterung:
2  ∂ u dp τw + vw . = (11.7) µ ∂y 2 w dx ν Dennoch folgt weiterhin daraus, daß Druckanstieg eine notwendige Bedingung für Ablösung (τw = 0) ist (der Grenzfall τw = 0, dp/dx = 0, (∂ 2 u/∂y 2 )w = 0 wird in Abschnitt 11.2.4 besprochen). Ebenso erhalten die Integralsätze Zusatzglieder. Der Impulssatz (Gl. (7.100)) lautet d dU τw (U 2 δ2 ) + δ1 U − vw U = , (11.8) dx dx  der Energiesatz (Gl. (7.104)) 2 d (U 3 δ3 ) − vw U 2 = dx 

∞ τ

2D ∂u dy = . ∂y 

0

Dabei gelten die bisherigen Definitionen von δ1 , δ2 , δ3 und D.

(11.9)

11.2 Kontinuierliches Absaugen bzw. Ausblasen

301

Aus einer Integration der Kontinuitätsgleichung erhält man jetzt in Erweiterung von Gl. (6.35): d(U δ1 ) lim (v − V ) = + vw (x). (11.10) y→∞ dx Man erkennt an dieser Beziehung, daß durch Absaugen (vw < 0) im Prinzip die Verdrängungswirkung der Grenzschicht verschwinden kann. 11.2.2 Massives Absaugen (vw → −∞) Durch sehr starkes kontinuierliches Absaugen wird die Grenzschicht sehr dünn. Zur Beschreibung dieser Grenzschicht bietet sich deshalb statt y die gestreckte Wandkoordinate vw (x)y N =− (11.11) ν an. Transformiert man die Grenzschichtgleichungen (11.3) bis (11.5) auf die neuen Koordinaten x, N und bildet dann den Grenzübergang vw → −∞, erhält man das stark vereinfachte System (Vernachlässigung der Dissipation): ∂v = 0, ∂N

(11.12)

∂ 2u ∂u = 0, + 2 ∂N ∂N

(11.13)

1 ∂ 2T ∂T =0 + 2 Pr ∂N ∂N

(11.14)

mit den Lösungen: v = vw (x) < 0 ,

(11.15)

u = U (x)[1 − exp(vw (x)y/ν)] ,

(11.16)

T − T∞ = (Tw − T∞ ) exp(vw (x)y/a).

(11.17)

Es handelt sich hier um rein lokale Lösungen, die von der Vorgeschichte der Grenzschicht nicht abhängen. Die universellen Verteilungen der Geschwindigkeit und der Temperatur werden in diesem Grenzfall massiven Absaugens auch als asymptotische Absaugeprofile bezeichnet. Für die Wandschubspannung erhält man
 ∂u τw (x) = µ = [−vw (x)]U (x), (11.18) ∂y w sie ist also von der Viskosität unabhängig (!). Trotzdem läßt sich formal aus Gl. (6.39) bzw. (6.40) ein „Reibungswiderstand“ ermitteln. Strenggenommen handelt es sich

302

11 Grenzschichtbeeinflussung (Absaugen/Ausblasen)

jedoch nicht um einen Reibungswiderstand, sondern um den sogenannten Senkenwiderstand, den jeder Körper in einer Strömung erfährt, in den eine bestimmte Masse eingesaugt wird, wie sich aus einer Impulsbilanz leicht zeigen läßt, vgl. L. Prandtl; O. Tietjens (1931, Bd II, S. 140). Der Gleichung (11.18) läßt sich entnehmen, daß durch massives Absaugen stets eine Strömungsablösung vermieden werden kann. Für die Wandwärmestromdichte ergibt sich aus Gl. (11.17)
 ∂T qw = −λ = [−vw (x)]cp [Tw (x) − T∞ ]. (11.19) ∂y w Um den gesamten Wärmestrom an die Wand zu erhalten, muß diesem Anteil infolge „Leitung“ (der hier von λ unabhängig ist und in gewisser Weise einer konvektiven Wärmestromdifferenz entspricht) noch der konvektive Anteil vw cp Tw hinzugefügt werden, so daß der Gesamtwärmestrom durch qw ges = vw cp T∞ gegeben ist. Mit Berücksichtigung der Dissipation erhält man für den Rückgewinnfaktor r=

Tad − T∞ =1 U 2 (x)/(2cp )

(11.20)

für alle Prandtl-Zahlen, vgl. auch K. Gersten et al. (1977). Die verschiedenen Dicken der Grenzschicht lauten hierzu δ1 (x) =

ν [−vw (x)]

,

δ2 (x) =

1 ν , 2 [−vw (x)]

H12 = 2,

5 = . 3

H32

δ3 =

5 ν , 6 [−vw (x)]

(11.21)

Auf die Lösung für massives Absaugen bei der ebenen Staupunktströmung wurde bereits im Kap. 5.1.3 hingewiesen. Die Erweiterung dieser Lösungen auf kompressible Strömungen kann man bei K. Gersten et al. (1977) finden, vgl. auch A.D. Young (1948). Obwohl ein Grenzübergang vw → −∞ vollzogen worden ist, handelt es sich strenggenommen immer noch um kleine Absaugegeschwindigkeiten im Vergleich zu einer charakteristischen Geschwindigkeit V der Außenströmung, also z.B. zur Anströmgeschwindigkeit. Es gilt vw = O(1/ Ren ) V

0 p(x) gelten muß. Den Wandabstand der Trennstromlinie, die das ausgeblasene Fluid von dem Fluid der Anströmung trennt, erhält man aus einer Massenbilanz: x yT (x) = − 0

∂ψ = u

x

vw (x  ) dx  . u(x,x  )

(11.32)

0

Die Trennstromlinie ist in diesem Fall der Grenzschichtrand, der also in dem „gestauchten“ Koordinatensystem x,  y einen endlichen Wandabstand besitzt. Beim Übergang der reibungslosen, aber drehungsbehafteten Grenzschichtströmung zur reibungslosen drehungsfreien Außenströmung an der Trennstromlinie besteht kein stetiger Übergang in den Ableitungen der Geschwindigkeiten. Wegen dieser Unstetigkeiten entsteht eine viskose Schicht (eine Art Trennungsschicht) in der Umgebung der Trennstromlinie, die für den stetigen Übergang sorgt. Die Differentialgleichung zur Beschreibung der Strömung in dieser freien Scherschicht ist von der Ausblasgeschwindigkeit vw (x) unabhängig, vgl. K. Gersten; J.F. Gross (1974b). In dieser Schicht erfolgt auch der Übergang von der Temperatur Tw , die in der gesamten Grenzschicht herrscht, in die Außentemperatur T∞ . Aus vielen Beispielen geht hervor, daß für vw → +∞ die Wandwärmestromdichte qw exponentiell gegen null strebt. Daher bietet Ausblasen eine sehr effektive Möglichkeit zur drastischen Reduktion des Wärmeüberganges, was bei der sogenannten Transpirations- oder Schwitzkühlung technisch genutzt wird.

11.2 Kontinuierliches Absaugen bzw. Ausblasen

305

Kombiniertes Ausblasen-Absaugen

Die durch Gl. (11.29) bis (11.32) beschriebene Lösung kann auch in den Bereich des Druckanstieges fortgesetzt werden, wenn die Verteilung vw (x) so beschaffen ist, daß sie an der Stelle des Druckminimums das Vorzeichen wechselt. Dann erfolgt im Bereich des Druckanstiegs entsprechend massives Absaugen. Das nachfolgende Beispiel erläutert die physikalische Situation an der Kreiszylinder-Umströmung. Beispiel: Kreiszylinderströmung mit kombiniertem massiven Ausblasen-Absaugen

Nach Bild 11.7 wird mit der Geschwindigkeitsverteilung vw (ϕ) = vwo cos ϕ (mit vwo > 0) ausgeblasen bzw. abgesaugt.

Bild 11.7. Kreiszylinder mit massivem Ausblasen und Absaugen Schicht I: Grenzschicht (reibungsfrei, drehungsbehaftet) Schicht II: Trennungsschicht (reibungsbehaftet) Schicht III: Außenströmung (reibungsfrei, drehungsfrei)

Das in der vorderen Hälfte ausgeblasene Fluid wird gerade wieder in der hinteren Hälfte abgesaugt. Mit der Außengeschwindigkeit U (ϕ) = 2V sin ϕ erhält man aus Gl. (11.31) die Verteilung des Reibungsbeiwertes cf =

2τw 8ν sin ϕ = vwo R V 2

(11.33)

und durch Integration das Widerstandsgesetz cW =

2W = V 2 2Rb

π cf sin ϕ dϕ = 0

4π ν . vwo R

(11.34)

Da die Strömung nicht ablöst, gibt es keinen Druckwiderstand. Der Reibungswiderstand kann nach Gl. (11.34) beliebig stark reduziert werden. Bei diesem Beispiel handelt es sich also um eine analytische Lösung der Grenzschichtgleichungen für einen umströmten Körper endlicher Abmessung, vgl. K. Gersten (1979).

11.2.4 Ähnliche Lösungen Die im Kap. 7.2 behandelten ähnlichen Lösungen der Grenzschichtgleichungen lassen sich sehr einfach auf Strömungen mit Absaugen bzw. Ausblasen erweitern. Dazu

306

11 Grenzschichtbeeinflussung (Absaugen/Ausblasen)

muß für die gewöhnlichen Differentialgleichungen im allgemeinen lediglich die Randbedingung an der Wand geändert werden. Die dimensionslose Stromfunktion f (η) erhält jetzt an der Wand einen von null verschiedenen Wert fw = f (0). Nach Gl. (7.11) folgt dann für die Ausblasgeschwindigkeit an der Wand: √ d vw Re = − (UN  δ)fw . dξ

(11.35)

Danach gehört zu jeder ähnlichen Lösung eine ganz bestimmte Verteilung vw (ξ ) bzw. vw (x), für die auch bei Ausblasen bzw. Absaugen die Ähnlichkeit der Lösung erhalten bleibt. Dieses betrifft dann auch die ähnlichen Lösungen des Temperaturfeldes nach Kap. 9.4, der kompressiblen Grenzschichten nach Kap. 10.4.4 und der natürlichen Konvektion nach Kap. 10.5.4. Beispiele dazu sollen im folgenden besprochen werden. Keilströmungen

Für die Keilströmungen mit U (x) = ax m folgt aus Gl. (7.32) die Verteilung  m−1 m+1 νa x 2 fw . vw (x) = − 2

(11.36)

Danach bedeutet fw > 0 Absaugen und fw < 0 Ausblasen. Für die Staupunktströmung (m = 1) ergibt sich gerade ein konstantes vw . Das Gleichungssystem, vgl. Gl. (7.15) und Gl. (9.52), f  + ff  + β(1 − f 2 ) = 0 , 1  2n ϑ + f ϑ − f ϑ = 0 Pr m+1

(11.37) (11.38)

mit den Randbedingungen η = 0 : f = fw , f  = 0, ϑ = 1 η→∞: f  = 1, ϑ = 0

(11.39)

ist schon häufig untersucht worden. Bild 11.8 zeigt den Verlauf fw als Funktion von β = 2m/(m + 1) mit fw als Parameter nach K. Nickel (1962). Verschwindende Wandschubspannung ist durch die Linie fw = 0 gegeben. Man erkennt aus Bild 11.8, daß auch bei stark verzögerter Strömung (z.B. β = −1, d.h. m = −1/3) durch entsprechend intensives Absaugen eine positive Wandschubspannung erzwungen werden kann. Man erkennt ferner, daß bei verzögerten Strömungen zwei Lösungen existieren, wobei eine davon Rückströmung (fw < 0) aufweist. Lösungen des Geschwindigkeitsfeldes werden auch von H. Schlichting (1943/44) und H. Schlichting; K. Bussmann (1943) angegeben, ebenso für m = 0 von H.W. Emmons; D.L. Leigh (1954) und J. Steinheuer (1968). Einen Überblick über die Lösungen erhält man von Bild 11.9. In dem β-fw -Diagramm entspricht jedem Punkt eine bestimmte Strömung. Die Lösungen mit fw = 0 sind durch die Grenzkurve gekennzeichnet. Diese endet an der Plattenlösung bei fw = −0,8757. Bei dieser Ausblasintensität hat sich die Grenzschicht von der Platte abgehoben. Die Lösung entspricht genau der Lösung für die Strahlrandströmung nach Kap. 7.2.4 (λ = 0). Die Ausblasgeschwindigkeit vw (x) übernimmt dabei die Funktion der Einsauggeschwindigkeit nach Gl. (7.45). Den Übergang fw → −0,8757 hat D.R. Kassoy (1970) genauer beschrieben.

11.2 Kontinuierliches Absaugen bzw. Ausblasen

307

Bild 11.8. Zusammenhang zwischen der Wandschubspannung τw ∼ fw und der Absaugegeschwindigkeit v ∼ fw für Grenzschichten von Keilströmungen nach K. Nickel (1962).    w  vw τw m+1 ν m+1 ν 2m ,  β = m+1 U = ax m 2 = 2 2 U x fw U x fw U =− U

Bild 11.9. Übersicht über die ähnlichen Lösungen an Keilströmungen mit kontinuierlichem Absaugen bzw. Ausblasen. Unterhalb der Grenzkurve fw = 0 erfolgt in der Grenzschicht Rückströmung

Der rechte Rand von Bild 11.9 entspricht dem massiven Absaugen (fw → +∞), der linke Rand dem massiven Ausblasen (fw → −∞). Letzteres existiert nur für Druckabfall (β > 0). Oberhalb der Kurve fw = 0 (τw = 0) liegen die Lösungen ohne Rückströmung. Man erkennt, daß mit zunehmender Absaugung die Fälle mit fw = 0 zu größeren Druckanstiegen (β → −∞) verschoben werden.

308

11 Grenzschichtbeeinflussung (Absaugen/Ausblasen)

Bild 11.10. Wärmeübergang an der längsangeströmten ebenen Platte (Tw = const) mit kontinuierlichem Absaugen bzw. √ Ausblasen als Funktion der Prandtl-Zahl. Es gilt: vw (x)/U∞ = − ν/2U∞ xfw . a) Geeignete Darstellung für kleine Prandtl-Zahlen b) Geeignete Darstellung für große Prandtl-Zahlen, K = fw Pr 2/3

Für die Strömung an der Platte (m = 0, β = 0, n = 0) ist im Bild 11.10a die Nußelt-Zahl in Abhängigkeit von der Prandtl-Zahl mit fw als Parameter dargestellt. Die Asymptoten für Pr → 0 und für Pr → ∞ sind als gestrichelte Linien eingezeichnet. Ganz offensichtlich ändert sich das asymptotische Verhalten für Pr → ∞ in der Umgebung von fw = 0, d.h. beim Übergang vom Absaugen zum Ausblasen, recht drastisch. Dieses hängt mit dem doppelten Grenzübergang Pr → ∞, fw → 0 zusammen, bei dem es auf die richtige Wahl des Grenzüberganges für die beiden Parameter ankommt. Wie von K. Gersten; H. Herwig (1992, S.√ 358) ausführlich dargestellt wird, erhält man eine adäquate Darstellung der Funktion Nux / Rex = F (Pr ,fw ) für Pr → ∞ und fw → 0 durch einen sogenannten „ausgezeichneten gekoppelten Grenzprozeß“ (engl.: distinguished limit). Bei diesem werden die beiden Grenzübergänge Pr → ∞ und fw → 0 so vollzogen, daß der Kopplungsparameter K = fw Pr 2/3 (11.40) dabei konstant bleibt. Dieser Parameter folgt aus dem sogen. Prinzip des Minimums der Entartung (engl.: minimum of degeneracy), d.h. die Kopplung zwischen Pr und fw muß gerade so erfolgen, daß bei dem (durch die Kopplung entstandenen) einparametrigen Grenzprozeß die sich ergebende Differentialgleichung möglichst wenig entartet, vgl. auch K. Gersten (1982a).

11.2 Kontinuierliches Absaugen bzw. Ausblasen

309

Bild 11.11. Wärmeübergang an der längsangeströmten ebenen Platte (Tw = const) mit kontinuierlichem Absaugen bzw. Ausblasen im doppelten Grenzübergang Pr → ∞, fw → 0, so daß K = fw Pr 2/3 endlich bleibt.

Die daraus folgende Darstellung des Wärmeüberganges ist in Bild 11.10b wiedergegeben. In diesem Bild ist die Lösungsfunktion im Bereich Pr → ∞, fw → 0 völlig „regulär“. Dagegen erscheint in dieser Darstellung der Bereich Pr → 0, fw → 0 singulär. Die Bilder 11.10a und 11.10b beschreiben dieselbe Funktion. Ist man an Prandtl-Zahlen Pr < 1 interessiert, wird man Bild 11.10a bevorzugen, für Pr > 1 dagegen Bild 11.10b. In Bild 11.11 ist der Verlauf der Funktion aus Bild 11.10b für Pr → ∞ in Abhängigkeit von K wiedergegeben. Die gestrichelten Linien entsprechen den Asymptoten für Absaugen (K → ∞) und Ausblasen (K → −∞). Das Ergebnis für K = 0 wurde bereits in Tabelle 9.1 angegeben. Würde man bei endlichem fw zunächst den Grenzprozeß Pr → ∞ durchführen und anschließend den Grenzübergang fw → 0, käme man zu falschen Ergebnissen, da man dann den Asymptoten in Bild 11.11 folgte, die beide für K = 0 fälschlicherweise verschwindenden Wärmeübergang liefern. Anmerkung (Doppelte Grenzübergänge)

Das besprochene Beispiel hat gezeigt, daß bei Zweiparameter-Problemen der doppelte Grenzübergang zu falschen Ergebnissen führen kann, wenn der Grenzprozeß nicht korrekt ausgeführt wird, d.h. die notwendige Kopplung zwischen den Parametern beim Grenzübergang nicht beachtet wird. Daraus ergibt sich die folgende Frage: Da die Prandtlschen Grenzschichtgleichungen aus den vollständigen Bewegungsgleichungen durch einen Grenzprozeß (Re → ∞) entstanden sind, kann auch die Grenzschichttheorie auf falsche Ergebnisse führen, wenn weitere Parameter (z.B. geometrische), die das Verhalten der Grenzschicht mitbestimmen, ihre Grenzwerte erreichen? Leider muß diese Antwort bejaht werden. Es gibt Strömungen, die im Grenzfall Re → ∞ durch die Prandtlsche Grenzschichttheorie nicht mehr ausreichend beschrieben werden. Eine korrekte Durchführung des oben erwähnten ausgezeichneten gekoppelten Grenzprozesses führt in diesen Fällen zu Erweiterungen der Grenzschichttheorie, auf die in Kap. 14 eingegangen wird. Weitere Lösungen der Temperaturgrenzschichtgleichung für Keilströmungen mit Absaugen und Ausblasen findet man bei W.E. Stewart; R. Prober (1962), P.L. Donoughe; J.N.B. Livingood (1955) und K. Gersten; H. Körner (1968). In der letztgenannten Arbeit sind auch variable Wandtemperaturverteilungen (n = 2m) und der Einfluß der Dissipation behandelt worden. Die Temperaturabhängigkeit der Stoffwerte wurde von W.B. Brown; P.L. Donoughe (1951) berücksichtigt. Über den Einfluß der Dissipation findet man Angaben bei K. Gersten; J.F. Gross (1973a). Diffusor-Strömung

Der Außengeschwindigkeit U (x) = a/x (m = −1) entspricht die Strömung in einem divergierenden Kanal (Quellströmung). Ohne Absaugen existiert dazu keine ähnliche Lösung. Mit

310

11 Grenzschichtbeeinflussung (Absaugen/Ausblasen)

einer Absaugeverteilung



1 U (x)ν ∼ (11.41) x x √ erhält man ähnliche Lösungen, solange k ≥ 2 2 gilt, vgl. H. Holstein (1943). Zum Wärmeübergang für diese Strömung findet man Angaben bei K. Gersten; H. Körner (1968). vw (x) = −k

Wandstrahl

In Kap. 7.2 hatten sich ähnliche Grenzschichten ohneAußenströmung ergeben, für die folgende Differentialgleichung (vgl. (7.29)) gilt: f  + ff  − α3 f 2 = 0.

(11.42)

Wir wählen dazu jetzt folgende Randbedingungen: η = 0 : f = fw , f  = 0 η→∞: f  = 0.

(11.43)

Zur Normierung wird noch als Nebenbedingung ∞ f  (η) dη = 1

(11.44)

0

gesetzt. Zu jedem vorgegebenen Wert fw muß nun der Eigenwert α3 so gefunden werden, daß alle Rand- und Nebenbedingungen erfüllt sind. Der Eigenwert α3 ist hier also von der Intensität des Ausblasens bzw. Absaugens abhängig. Für die Ausblasgeschwindigkeit an der Wand gilt nach Gl. (11.35) 
fw V x (α3 −1)/(2−α3 ) vw =− . V 2 − α3 ν

(11.45)

Diese Grenzschicht läßt sich als Wandstrahl-Strömung interpretieren. Für fw = 0 gilt α3 = −2, was dem Wandstrahl an einer undurchlässigen Wand nach Kap. 7.2.7 entspricht. Mit zunehmender Ausblasintinsität (fw < 0) wird α3 größer und erreicht für fw = −0,5 den Grenzwert α3 = −1. Diese Strömung beschreibt den Freistrahl nach Kap. 7.2.6. Die Ausblasgeschwindigkeit vw ∼ x −2/3 übernimmt dann die Funktion der Einsauggeschwindigkeit nach Gl. (7.55). Der Wandstrahl hat sich bei dieser Ausblasstärke von der Wand abgehoben und ist zum Freistrahl geworden. Im Grenzfall massiven Absaugens (vw → −∞, fw → +∞) verschwindet der Wandstrahl vollständig, und es verbleibt lediglich ein Absaugen vw ∼ 1/x aus der ruhenden Umgebung ohne viskose Scherschicht. Einzelheiten der Lösungen kann man bei J. Steinheuer (1966) nachlesen.

11.2.5 Allgemeine Lösungen Für allgemeine Vorgaben von U (x), vw (x) und Tw (x) bzw. qw (x) läßt sich das Gleichungssystem (11.3) bis (11.6) auf verschiedene Art lösen.

11.2 Kontinuierliches Absaugen bzw. Ausblasen

311

In der Vergangenheit erfolgten Lösungen durch Reihenentwicklungen, vgl. R. Iglisch (1944), H. Görtler (1957c), und durch Näherungsverfahren, die auf den Integralsätzen (11.8) und (11.9) basieren, vgl. H. Schlichting (1948). So hat sich ein Näherungsverfahren von R. Eppler (1963) in der Praxis gut bewährt. Von E. Truckenbrodt (1956) wurde ein besonders einfaches Integralverfahren entwickelt, bei dem sich die Grenzschichtberechnung auf die Lösung einer gewöhnlichen Differentialgleichung erster Ordnung reduziert. Im Sonderfall der undurchlässigen Wand geht es in die Quadraturformel Gl. (8.23) über. Ein Näherungsverfahren zur Berechnung des Wärmeübergangs bei Grenzschichten mit Ausblasen oder Absaugen wurde von T.F. Zien (1976) angegeben. Auch für kompressible Grenzschichten wurden Integralverfahren entwickelt, vgl. P.A. Libby; A. Pallone (1954), M. Morduchow (1952) und W. Pechau (1963). Im folgenden soll auf einige Beispiele von Lösungen für Grenzschichten mit Ausblasen bzw. Absaugen eingegangen werden. 1. Plattenströmung mit homogenem Absaugen bzw. Ausblasen

Die Grenzschicht an der längsangeströmten ebenen Platte mit homogenem Absaugen wurde von R. Iglisch (1944) berechnet. Danach beginnt die Grenzschicht direkt an der Vorderkante mit dem Blasius-Profil der Lösung ohne Absaugung (Formparameter H12 = 2,59). Weiter stromabwärts wirkt die Absaugung und führt zu einer Reduktion von H12 . Schließlich wird stromabwärts das asymptotische Absaugeprofil nach Gl. (11.16) erreicht mit H12 = 2 entsprechend Gl. (11.21). Praktisch stellt sich der asymptotische Zustand etwa bei  −vw U∞ x =2 U∞ ν ein (H12 < 2,02). Wie in Bild 11.12 skizziert ist, wächst die Grenzschichtdicke wie üblich mit der Lauflänge an. Bei Erreichen des asymptotischen Zustandes für große x-Werte behält die Grenzschicht eine gleichbleibende Dicke nach Gl. (11.21). Nach K. Stewartson (1957) mündet die Lösung exponentiell in den asymptotischen Wert ein, d.h. eine asymptotische Entwicklung für große x-Werte ist nicht möglich, da gegenüber dem asymptotischen Absaugeprofil der nächste Term einer Näherung exponentiell klein ist. Von besonderem Interesse im Hinblick auf die Widerstandsersparnis durch Laminarhalten durch Absaugen ist das Widerstandsgesetz der Platte mit homogener Absaugung, welches in Bild 11.13 dargestellt ist. Für sehr große Reynolds-Zahlen Re = U∞ l/ν, bei denen der überwiegende Teil der Platte im Bereich der asymptotischen Lösung liegt, ist der Widerstand durch die einfache Beziehung (11.18) gegeben, woraus für den Widerstandsbeiwert folgt cW =

2W 2 bl U∞

=

2 2 l U∞

l τw (x) dx ≈ 2cQ

(11.46)

0

Bild 11.12. Die längsangeströmte ebene Platte mit ho-

mogener Absaugung

312

11 Grenzschichtbeeinflussung (Absaugen/Ausblasen)

Bild 11.13. Widerstandsbeiwerte der längsangeströmten ebenen Platte mit homogener Absaugung cQ = −vw /U∞ : Volumenstrom-Beiwert der Absaugung Kurven (1), (2) und (3): ohne Absaugung (1) laminar (2) Übergang laminar-turbulent (3) voll turbulent

mit dem Absaugebeiwert −1 Q cQ = = U∞ bl U∞ l

l vw (x) dx,

(11.47)

0

für den bei homogenem Absaugen cQ = −vW /U∞ gilt. Der so ermittelte cW -Wert ist also von der Reynolds-Zahl unabhängig, verschwindet also nicht für Re → ∞. Es handelt sich um den bereits erwähnten Senkenwiderstand, den jeder Körper, auch in reibungsloser Strömung, erfährt, der den Volumenstrom Q „verschluckt“ und damit der Strömung den Impulsstrom I˙ = W = QU∞ entzieht. Für kleine Reynolds-Zahlen ist der Widerstand größer, da auf dem vorderen Plattenteil wegen der dünneren Grenzschicht die Wandschubspannung größer ist als weiter hinten. Zum Vergleich ist in Bild 11.13 auch das Widerstandsgesetz der Platte bei turbulenter Grenzschicht ohne Absaugen eingetragen, das später in Kap. 18.2.5 erörtert werden wird. Da Absaugen einen stabilisierenden Einfluß auf die Grenzschicht hat, läßt sich durch entsprechend starkes Absaugen der Übergang vom Laminaren zum Turbulenten unterdrücken. Wie im Kap. 15 gezeigt wird, reicht ein Absaugebeiwert von cQ krit = 1,2 × 10−4 bereits aus, um die Grenzschicht über der gesamten Lauflänge stabil zu halten. Diesem kritischen Absaugebeiwert entspricht die als günstigste Absaugung deklarierte, strich-punktiert eingezeichnete Kurve. Der Bereich zwischen dieser Kurve und der Kurve für die turbulente Grenzschicht gibt den Anteil des Widerstandes an, der durch Absaugung eingespart werden kann. Die relative Widestandsersparnis, bezogen auf den vollturbulenten Widerstand, nimmt mit wachsender Reynolds-Zahl etwas zu. Sie bewegt sich zwischen 60 % und 80 % im Bereich der Reynolds-Zahlen von Re = 106 bis 108 . Experimentelle Untersuchungen von J.M. Kay (1948) haben die theoretischen Ergebnisse von R. Iglisch (1944) bestätigt. Von W. Rheinboldt (1956) wurde die Plattengrenzschicht für den Fall untersucht, daß die Absaugung nur über einer endlichen Länge der Wand erfolgt. Bei homogenem Ausblasen an der Platte kommt es nach der Lauflänge xA = 0,7456

U∞ ν 2 vw

11.2 Kontinuierliches Absaugen bzw. Ausblasen

313

zur Ablösung der Grenzschicht, verbunden mit einer Singularität, wie D. Catherall et al. (1965) und D.R. Kassoy (1973) gezeigt haben. Danach setzt die Ablösung umso eher ein, je stärker ausgeblasen wird. Das Auftreten einer Singularität im Ablösungspunkt deutet darauf ein, daß für diese Strömung die Grenzschichttheorie einer Erweiterung bedarf, worauf wir im Kap. 14 zurückkommen. Ergebnisse zum Wärmeübergang findet man z.B. bei T.-F. Zien (1976). Zu anderen Ausblaseverteilungen haben J.B. Klemp; A. Acrivos (1972) Hinweise gegeben.

2. Tragflügelprofil

Für die symmetrische Strömung (α = 0 ◦ ) um ein symmetrisches Joukowsky-Profil mit homogenem Absaugen über der gesamten Oberfläche wurde die Grenzschicht nach dem Integralverfahren von E. Truckenbrodt (1956) berechnet. Ein Ergebniss ist im Bild 11.14 dargestellt. Man ersieht daraus, daß sich mit wachsender Absaugung der Ablösungspunkt nach hinten ∗ = c √V l/ν > 1,12 überhaupt keine Ablösung mehr eintritt. verschiebt und daß für cQ Q Die Absaugung hat also neben ihrer stabilisierenden Wirkung zur Vermeidung des Überganges laminar/turbulent, auf die im Kap. 15 eingegangen wird, vor allem ihre besondere Bedeutung für das Vermeiden von Ablösung. Daher wurde Absaugen bei Tragflügeln verschiedentlich auch zur Erhöhung des Maximalauftriebs eingesetzt. Dabei erfolgte die Absaugung vorwiegend im schmalen Bereich nahe der Profilvorderkante. Man vergleiche dazu Arbeiten von E.D. Poppleton (1955), C.A. Holzhauser; R.S. Bray (1956) sowie N. Gregory; W.S. Walker (1955). Eine Kombination von Ausblasen und Absaugen zur Reduktion des Widerstandes eines Tragflügelprofiles wurde von J. Wiedemann (1983), J. Wiedemann; K. Gersten (1984) und K. Gersten; J. Wiedemann (1982) angewendet. Im vorderen Bereich, d.h. im Druckabfallgebiet, wurde ausgeblasen, um die Wandschubspannung zu reduzieren, und im Druckanstiegsgebiet wurde abgesaugt, um Ablösung zu vermeiden. Bild 11.15 zeigt als Ergebnis dieser Berechnungen den Widerstand als Funktion desAusblasebeiwertes. Dabei war derAbsaugevolumenstrom nur 1/9 des Ausblasevolumenstromes. Die gestrichelte Linie entspricht der asymptotischen Lösung des massiven Ausblasens (bzw. Absaugens) nach Abschnitt 11.2.3. Man erkennt, daß der Widerstand bei entsprechendem Ausblasen/Absaugen beliebig klein werden kann.

Bild 11.14. Grenzschicht an ei-

nem symmetrischen JoukowskyProfil ohneAnstellwinkel mit homogenerAbsaugung, gerechnet nach E. Truckenbrodt (1956) δ1 Impulsverlustdicke; l  √halber ∗ = c Profilumfang; cQ Q V l/ν reduzierter Volumenstrom-Beiwert der Absaugung; U/V potentialtheoretische Geschwindigkeitsverteilung; A Ablösungspunkt

314

11 Grenzschichtbeeinflussung (Absaugen/Ausblasen) Bild 11.15. Widerstandsbeiwert eines symmetrischen Joukowsky-Profils (4,4 % relative Dicke, Anstellwinkel α = 0 ◦ ) bei kombiniertem Ausblasen und Absaugen nach J. Wiedemann; K. Gersten (1984). vw ∼ dU/dx, QAusbl. = 9,1Q √ Abs. , Asymptote: √cW Re = 8,8/(cQAusbl. Re)

11.2.6 Ausblasen und Absaugen bei natürlicher Konvektion Hierbei handelt es sich um die Lösung des Gleichungssystems (10.115) bis (10.117), jedoch ist jetzt neben der Körperkontur α(x) und der Wandtemperatur Tw (x) auch noch die Ausblasgeschwindigkeit vw (x) vorgegeben. Aufgrund der GrenzschichtTransformation (10.120) handelt es sich jedoch um kleine Geschwindigkeiten $ # vw /V = O Gr −1/4 . Es lassen sich wieder einfache Lösungen für massives Absaugen und massives Ausblasen finden, vgl. J.H. Merkin (1972) und J. Aroesty; J.D. Cole (1965). Ähnliche Lösungen erhält man aus dem Gleichungssystem (10.148) und (10.149) mit der veränderten Randbedingung f (0) = fw  = 0. Für die Ausblasgeschwindigkeit ergibt sich dann  vw =

vw 3 + m + n −1/4 ∗ (m+n−1)/4 Gr 1/4 = − (x ) fw . A √ VDN 2

(11.48)

Von R. Eichhorn (1960) wurde die vertikale ebene Platte behandelt. Für den unteren Staupunkt und für andere Konturformen, die auf ähnliche Lösungen führen, hat J.H. Merkin (1975) Rechnungen durchgeführt. Die natürliche Konvektion mit homogenem Absaugen bzw. Ausblasen wurde für die Platte von E.M. Sparrow; R.G. Cess (1961) und J.H. Merkin (1972) sowie für den horizontal liegenden Kreiszylinder von J.H. Merkin (1975) untersucht.

11.3 Zweistoffgrenzschichten

315

11.3

Zweistoffgrenzschichten 11.3.1 Überblick Bei den bisherigen Betrachtungen war das ausgeblasene Fluid mit dem Fluid der Anströmung identisch. Wenn sich das ausgeblasene Fluid von dem der Anströmung unterscheidet, entsteht eine Zweistoffgrenzschicht. Zum Impuls- und Wärmeaustausch tritt noch ein Stoffaustausch durch Diffusion hinzu. Neben der Geschwindigkeitsgrenzschicht und der Temperaturgrenzschicht bildet sich eine weitere Grenzschicht für die Konzentration (z.B. des eingeblasenen Fluids). Da das Ausblasen von leichten Gasen den Wärmeübergang drastisch reduziert, wird diese Maßnahme in der Praxis als Wärmeschutz (Transpirationskühlung) eingesetzt, vgl. J.F. Gross et al. (1961). Zweistoffgrenzschichten treten auch auf, wenn ein Flüssigkeitsfilm an der Wand verdunstet (Verdunstungskühlung) oder wenn das Wandmaterial selbst schmilzt oder sublimiert (Sublimationskühlung). Wenn festes Wandmaterial in einen anderen Aggregatzustand übergeht, wird der Vorgang auch als Ablation bezeichnet (Ablationskühlung). Es sollen hier ganz allgemein Zweistoffströmungen behandelt werden, bei denen sich durch entsprechende Randbedingungen an der Wand (z.B. Verdunstung) zusätzlich eine Konzentrationsgrenzschicht bildet. Wie in Kap. 10.4.6 bereits erwähnt wurde, treten bei Hyperschallströmungen häufig Zweistoffgrenzschichten auf. Neben den Kühlungsmaßnahmen (Schwitzkühlung, Ablationskühlung) sind es dann hauptsächlich Grenzschichten von Gemischen miteinander reagierender Gase. Mit derartigen Strömungen hat man es beispielsweise bei Dissoziation und Ionisation eines Gases bei hohen Temperaturen oder bei der Verbrennung zu tun. Tritt in der Strömung infolge hoher Temperaturen Dissoziation ein, wird das Gas häufig als Zweistoffgemisch von Molekülen und Atomen dargestellt. Die Konzentration des „Atom-Gases“ ist dann der Dissoziationsgrad. Als Randbedingung geht dabei die Oberflächenbeschaffenheit der Wand ein. Die Wand heißt voll-katalytisch, wenn alle Atome an der Wand rekombinieren, während bei einer nicht-katalytischen Wand keine Rekombination auftritt. Eine weitere Erschwerung entsteht dadurch, daß es im allgemeinen zu einer Kopplung zwischen den drei genannten Grenzschichten kommt, insbesondere zwischen den Grenzschichten von Temperatur und Konzentration. Zusammenfassende Darstellungen über Zweistoffgrenzschichten findet man bei G. Ludwig; M. Heil (1960), R.B. Bird et al. (1960), W. Wuest (1962, 1963) und J.D. Anderson Jr. (1989). 11.3.2 Grundgleichungen Das betrachtete Fluid sei jetzt ein Gemisch aus zwei Komponenten. Die Konzentration der Komponente i (i = 1,2) ist definiert als

316

11 Grenzschichtbeeinflussung (Absaugen/Ausblasen)

ci =

i 

mi V →0 V

mit i = lim

und



ci = 1 ,

(11.49)

i

wobei i die sog. Partialdichte ist. Die Konzentration ci wird in der Literatur auch Massenanteil genannt z.B. bei A. Mersmann (1986, S. 34). An einer betrachteten Stelle kann jede Komponente eine von den anderen etwas abweichende Geschwindigkeit v i haben. Man führt also zur Kennzeichnung des Strömungszustandes eine massenmittlere Geschwindigkeit oder synonym auch Schwerpunktgeschwindigkeit ein. Sie lautet   ci v i oder  v= i v i . (11.50) v = i

i

Diese Geschwindigkeit wird bei einer Messung mit einer Pitot-Sonde (Staurohr) bestimmt. Sie tritt auch in der Impulsgleichung und der thermischen Energiegleichung auf. Für jede Komponente i gilt eine Gleichung der Massenerhaltung (partielle Kontinuitätsgleichung) in der Form div(i v i ) = w˙ i .

(11.51)

Dabei ist w˙ i die durch chemische Reaktion pro Volumen und Zeiteinheit entstehende Masse der Komponente i, [w˙ i ] = kg/m3 s. Für ein Zweistoffgemisch gilt w˙ 1 + w˙ 2 = 0. Durch Summation über alle Komponenten ergibt sich wegen Gl. (11.50) die globale Kontinuitätsgleichung div( v) = 0 (11.52) in der gewohnten Form, vgl. Gl. (3.3). Bei Konzentrationsunterschieden im Fluid kommt es also nach Gl. (11.50) im allgemeinen zu Relativgeschwindigkeiten v i − v der einzelnen Komponenten i in bezug auf die Schwerpunktgeschwindigkeit und damit zu entsprechenden Massenströmen in einem Koordinatensystem, das mit der Schwerpunktsgeschwindigkeit mitbewegt wird. Man erhält den sog. Diffusionsstromdichte-Vektor vi − v ). j i = i (

(11.53)

Kombiniert man Gl. (11.51) bis (11.53), so ergibt sich für eine zweidimensionale stationäre Konzentrationsgrenzschicht (∂j1x /∂x kann in der Grenzschicht gegenüber ∂j1y /∂y vernachlässigt werden) die folgende partielle Kontinuitätsgleichung für die Komponente 1: 
∂j1y ∂c1 ∂c1 +v + w˙ 1 . (11.54) =−  u ∂x ∂y ∂y Das Diffusionsgesetz liefert den Zusammenhang zwischen dem Diffusionsstromdichte-Vektor j 1 und dem Konzentrations- und Temperaturfeld. Bei Zweistoffgemischen lautet das Diffusionsgesetz

11.3 Zweistoffgrenzschichten

α c1 (1 − c1 ) grad ln T ]. j 1 = −D12 [ grad c1 + 

317

(11.55)

Dabei sind strenggenommen zwei Diffusionseffekte vernachlässigt worden, und zwar die Druckdiffusion aufgrund von Druckgradienten, die jedoch in y-Richtung bei Grenzschichten vernachlässigt werden, und die Diffusion durch Volumenkräfte, die allerdings nur wirkt, wenn die einzelnen Komponenten unterschiedlichen Kraftfeldern unterliegen, was beim (hier nur betrachteten) Schwerefeld nicht der Fall ist. Das Diffusionsgesetz (11.55) hat zwei Anteile. Das erste Glied beschreibt die Diffusion infolge von Konzentrationsgradienten. Es wird als Ficksches Diffusionsgesetz bezeichnet und hat seine Entsprechung im Fourierschen Wärmeleitungsgesetz in der Temperaturgrenzschicht. Der Diffusionskoeffizient D12 ist ein Stoffwert und besitzt die Einheit [D12 ] = m2 /s. Zahlenwerte für einige praktisch wichtige Gemische findet man in K. Gersten; H. Herwig (1992, S. 781). Das zweite Glied in Gl. (11.55) beschreibt die Thermodiffusion (auch Soret-Effekt genannt). Danach entsteht ein zusätzlicher Stoffstrom aufgrung von Temperaturgradienten. Es handelt sich also um einen „Kopplungseffekt“ zwischen Wärme- und Stoffübertragung. Der Ansatz erfolgte so, daß der dimensionslose thermische Diffusionskoeffizient  α von der Konzentration weitgehend unabhängig ist und daher für jedes Gemisch als Konstante angesehen werden kann. Es existiert ein weiterer Kopplungseffekt, der bei der Aufstellung der thermischen Energiegleichung berücksichtigt werden muß. Es handelt sich um den sog. Diffusions-Thermoeffekt (auch Dufour-Effekt genannt). Danach entsteht ein zusätzlicher Wärmestrom aufgrund von Konzentrationsgradienten. Das Fouriersche Wärmeleitungsgesetz erweitert sich damit wie folgt:  2  ∂T M q = −λ + (h1 − h2 ) +  j , α RT 1 M 2 1y ∂y M

(11.56)

wobei j1y die y-Komponente des Diffusionsstromdichte-Vektors nach 1 Gl. (11.55) ist. Ferner bedeutet R die spezielle Gaskonstante des Gemisches, M   und M2 sind die Molmassen der beiden Komponenten und M die Molmasse des  = c1 /M 1 + c2 /M 2 . Diese Formulierung gilt für Gemisches, gegeben durch 1/M binäre Gasgemische. Für allgemeine Stoffe siehe z.B. R. Haase (1963, S. 391). Wenn man ein Gemisch von idealen Gasen annimmt, kann der Energiesatz als Bilanzgleichung für die Enthalpie des Gemisches h = c1 h1 + c2 h2

(11.57)

aufgefaßt werden. Man erhält dann insgesamt das folgende Gleichungssystem für ebene, stationäre Zweistoffgrenzschichten:

318

11 Grenzschichtbeeinflussung (Absaugen/Ausblasen)

∂(u) ∂(v) + = 0, ∂x ∂y

  ∂u ∂u dp ∂  u +v µ ∂u + ∂y = −g sin α − dx ∂y , ∂x ∂y
2

  ∂T ∂T dp ∂ ∂T +v = ∂y λ ∂y + βT u dx + µ ∂u cp u ∂y ∂x ∂y   2  M ∂ + α RT D12 h1 − h2 +  1 M 2 ∂y M   ∂c1 ∂ ln T × , + α c1 (1 − c1 ) ∂y ∂y

  ∂c1 ∂c1 ∂c1 ∂ ∂ ln T  u +v α c1 (1 − c1 ) ∂y = ∂y D12 ∂y +  ∂x ∂y +w˙ 1 .

(11.58) (11.59)

(11.60)

(11.61)

Bei Vernachlässigung der Kopplungseffekte (proportional zu  α ) fallen die unterstrichenen Glieder fort. In vielen Fällen sind die Kopplungseffekte vernachlässigbar klein gegenüber den Einflüssen von Diffusion bzw. Wärmeleitung. Es gibt jedoch Ausnahmen. Die Thermodiffusion wird beispielsweise bei der Isotopentrennung ausgenutzt. Der Diffusions-Thermoeffekt kann z.B. bei Mischungen von Gasen mit stark unterschiedlichen Molmassen eine Rolle spielen, vgl. R.B. Bird et al. (1960) und E.M. Sparrow et al. (1964). Im Sonderfall c1 = 0 reduziert sich das System (11.58) bis (11.61) wieder auf das System (10.4) bis (10.6) für Einstoffgrenzschichten. Die spezifischen Enthalpien h1 und h2 der Komponenten sind absolute Werte, d.h. sie enthalten auch ihre Bildungsenthalpien, so daß diese nicht explizit in der Bilanzgleichung für die Energie, Gl. (11.60), auftreten, vgl. J.D. Anderson Jr. (1989, S. 616). Die Stoffwerte eines Zweistoff-Gemisches sind im allgemeinen nicht nur von der Temperatur und vom Druck, sondern auch zusätzlich von der Konzentration abhängig. Sind diese Abhängigkeiten gering, lassen sich wieder allgemeingültige Aussagen finden, wenn die in Kap. 10.3 beschriebene asymptotische Methode eingesetzt wird, vgl. K. Gersten, H. Herwig (1992, S. 360). Die Randbedingungen für die Geschwindigkeit und die Temperatur entsprechen denen bei Einstoffgrenzschichten. Neu hinzu kommen zwei Randbedingungen für die Konzentration. In großem Abstand von der Wand gilt c1 = c1e . Wenn dort nur das Außengas vorhanden ist, gilt c1e = 0. Besonders wichtig ist die Bedingung für die Konzentration an der Wand. Hierzu gibt es verschiedene Möglichkeiten: 1. Einseitige Diffusion. Wenn z.B. die Komponente 1 durch die Wand ausgebla-

sen wird, kann man voraussetzen, daß die äußere Komponente 2 nicht in die

11.3 Zweistoffgrenzschichten

319

Wand eindringt, d.h. daß die Diffusiongeschwindigkeit des Außenmediums an der Wand entgegengesetzt gleich der Ausblasgeschwindigkeit vw an der Wand ist. Dieses führt wegen v 2w = 0 in Gl. (11.53) auf j2w = −2 vw = −vw (1 − c1 ) = −j1w und mit Gl. (11.55) bei Vernachlässigung der Thermodiffusion schließlich auf   D12 ∂c1 vw = − . (11.62) 1 − c1 ∂y w Hierbei ist also auch bei konstanten Stoffwerten das Geschwindigkeitsfeld vom Konzentrations- und Temperaturfeld abhängig. Gleichung (11.62) wird Eckert-Schneider-Bedingung genannt. Dieses ist die Randbedingung für die einseitige Diffusion an halbdurchlässigen Grenzflächen. Als Beispiel sei die Überströmung einer freien Wasseroberfläche (Wasserfilm) genannt. Dann entsteht eine Grenzschicht des Gemisches von Luft und Wasserdampf (feuchte Luft). Verdunstung entspricht dann einer Strömung mit Ausblasen. Umgekehrt bedeutet die Kondensation von Wasserdampf an der Wand eine Absaugung. Der Massenstrom beim Ausblasen beträgt dann m ˙ w = w vw , wobei nicht die Partialdichte 1w , sondern die Dichte des Gemisches eingesetzt werden muß, vgl. Gl. (11.50). 2. Nichtkatalytische Wand. Da in diesem Fall keine Rekombination an der Wand

erfolgt, muß gelten.




∂c1 ∂y



=0

(11.63)

w

3. Vollkatalytische Wand. In diesem Fall erfolgt die chemische Reaktion an der

Wand unendlich schnell. Damit stellt sich die zu den örtlichen Werten von Temperatur und Druck gehörenden Gleichgewichts-Konzentrationen ein: c1w = (c1 )Gleichg. .

(11.64)

Aus den Lösungen des Systems (11.58) bis (11.61) erhält man insbesondere Ergebnisse über den Wärme- und Stoffübergang. Gleichung (11.56) liefert den Wärmeübergang an der Wand. Bei Vernachlässigung der Kopplungseffekte ( α = 0) lautet die Wandwärmestromdichte:   ∂T ∂c1 qw = − λ + D12 (h1 − h2 ) . (11.65) ∂y ∂y w Aus Gl. (11.55) folgt die Diffusionsstromdichte an der Wand:
 ∂c1 . jw = − D12 ∂y w

(11.66)

Analog zur Nußelt-Zahl, die ein dimensionsloses qw darstellt, wird als dimensionsloses j1w die sog. Sherwood-Zahl Sh eingeführt. Es gilt:

320

11 Grenzschichtbeeinflussung (Absaugen/Ausblasen)

Nu =

qw l , λT

Sh =

j1w l , D12 c

(11.67)

wobei c eine geeignet gewählte Konzentrationsdifferenz ist. Anmerkung (Gasgemische im chemischen Gleichgewicht)

Befindet sich das Gasgemisch im chemischen Gleichgewicht, ist die Konzentration c1 (T ,P ) eine gegebene Funktion von T und p. Dann erübrigt sich die partielle Kontinuitätsgleichung für c1 , so daß die Strömung wie eine Einstoffströmung behandelt werden kann. Als Beispiele hierzu sind die Gleichgewichtsströmungen dissoziierender Gase zu nennen. Das Massenwirkungsgesetz liefert dabei die Beziehung für den Dissoziationsgrad c1 = f (T ,p). Daraus folgt in der Grenzschicht ∂c1 ∂T ∂c1 = , ∂y ∂T ∂y so daß für die Wandwärmestromdichte nach Gl. (11.65) gilt
 ∂T , (11.68) qw = − λT ∂y w wobei die totale Wärmeleitfähigkeit   ∂c1 λT = λ + D12 (h1 − h2 ) ∂T w

(11.69)

eingeführt wurde. Zahlenwerte λT für Luft findet man bei C.F. Hansen (1959).

11.3.3 Analogie zwischen Wärme- und Stoffübertragung Nimmt man konstante Stoffwerte an und vernachlässigt die Kopplungseffekte ( α= 0) sowie in der Energiegleichung die Dissipation und den Term infolge eines Konzentrationsgradienten, haben Gl. (11.60) und (11.61) die gleiche Form: ∂T ∂ 2T ∂T +v =a 2 , ∂x ∂y ∂y

(11.70)

∂c1 ∂c1 ∂ 2 c1 +v = D12 2 . ∂x ∂y ∂y

(11.71)

u

u

Die Gleichungen sind für T und c1 identisch, wenn die Lewis-Zahl Le =

D12 Pr = a Sc

(11.72)

den Wert eins hat. Dabei wurde in Gl. (11.71) analog zur Prandtl-Zahl Pr = ν/a die Schmidt-Zahl ν Sc = (11.73) D12 eingeführt.

11.3 Zweistoffgrenzschichten

321

Wegen des gleichenAufbaus der Gl. (11.70) und (11.71) besteht unter den oben genannten Annahmen weitgehende Analogie zwischen Wärme- und Stoffübertragung. Bei analogen Randbedingungen entspricht jeder Beziehung Nu = f (Pr ,x ∗ ) √ Re

(11.74)

Sh = f (Sc ,x ∗ ). √ Re

(11.75)

eine analoge Beziehung

Bei einseitiger Diffusion bedeutet dies wegen der Eckert-Schneider-Bedingung, daß dem Stoffübertragungsproblem ein Wärmeübertragungsproblem mit Absaugen bzw. Ausblasen entspricht. Daher können alle bisher in Kap. 11.2 behandelten Wärmeübertragungsprobleme mittels der Analogie zwischen Gl. (11.74) und Gl. (11.75) auch als Stoffübergangsprobleme interpretiert werden. Von A. Acrivos (1960a, 1962) wurde beispielsweise der Stoffübergang für solche Fälle untersucht, die dem massiven Absaugen bzw. dem massiven Ausblasen entsprechen. Besonders ausführlich wurde der Stoffübergang bei Strömungen untersucht, die auf ähnliche Lösungen führen. Es sei jedoch vermerkt, daß bei Ausnutzung der Analogie häufig die endliche Geschwindigkeit vw vernachlässigt wird, was nur als Näherung gelten kann, vgl. das Beispiel im nächsten Abschnitt. 11.3.4 Ähnliche Lösungen Die sog. Keilströmungen (U ∼ x m ) führen für das Geschwindigkeitsfeld auf ähnliche Lösungen, ebenfalls für das Temperaturfeld, wenn die Verteilung der Wandtemperatur einem Potenzgesetz gehorcht. Diese Ähnlichkeit bleibt auch bei Absaugen bzw. Ausblasen erhalten, wenn für die Verteilung der Ausblasgeschwindigkeit vw ∼ x (m−1)/2 gilt. Da vw (x) in die Eckert-Schneider-Bedingung eingeht, stellt sich die Frage, für welche Verteilung Tw (x) bzw. c1w (x) die Lösung bei einseitiger Diffusion, d.h. unter der zusätzlichen Bedingung (11.62), ähnlich bleibt. Mit den Gl. (7.32) und (7.33) erhält man für die Keilströmungen die folgende Form der Eckert-SchneiderBedingung:
 1 ∂c1 fw = . (11.76) Sc(1 − c1w ) ∂η w Damit führen die Konzentrationsgrenzschichten aller Keilströmungen bei c1w = const auf ähnliche Lösungen. Entsprechendes gilt für die Erweiterungen auf Grenzschichten mit variablen Stoffwerten und auf kompressible Grenzschichten, wobei hauptsächlich die Plattengrenzschicht (oder die Keilströmung bei Überschallströmung mit anliegendem Verdichtungsstoß) und die Grenzschicht am Staupunkt ausführlich untersucht wurden.

322

11 Grenzschichtbeeinflussung (Absaugen/Ausblasen)

Die Stoffübertragung und die Zweistoffgrenzschichten bei natürlicher Konvektion sind u.a. in Y. Jaluria (1980, S. 271) und A. Mersmann (1986, S. 165) behandelt worden. Dabei wird hauptsächlich die Analogie zur Wärmeübertragung ausgenutzt. Beispiel 1: Stoffübergang an der Platte

Wenn näherungsweise die endliche Wandgeschwindigkeit vw vernachlässigt wird, folgt aus der Analogie zur Wärmeübertragung
−1/2 √ x j1w l Sh0 = = Re f (Sc) (11.77) D12 c1w l mit den Grenzfällen für Sc → 0 und Sc → ∞ nach Tabelle 9.1. (Es wurde c1∞ = c1e = 0 angenommen). Berücksichtigt man eine endliche, aber immer noch mäßige vw -Geschwindigkeit, so ergibt sich nach K. Gersten; H. Herwig (1992, S. 358) für die Sherwood-Zahl Sh Sh c1w = 1 − F (Sc) , Sh0 1 − c1w

(11.78)

wobei die Werte der Funktion F (Sc) der Tabelle 11.1 entnommen werden können. Mit Hilfe dieser Formel läßt sich der Fehler abschätzen, der bei Mißachtung der Eckert-ScheiderBedingung entsteht, vgl. auch A. Mersmann (1986, S. 162). Tabelle 11.1. Zahlenwerte der Funktion F (Sc) in Gl. (11.78) nach K. Gersten; H. Herwig

(1992, S. 358) Sc

0

0,1

0,6

0,72

1,0

10

∞

F (Sc)

1,308

0,948

0,766

0,749

0,724

0,610

0,566

Die Erweiterung dieser Formel auf größere Werte c1w /(1 − c1w ) findet man bei A. Acrivos (1962) für Sc = 1 und Sc → ∞. Die Erweiterung auf beliebige Keilströmungen für Sc → ∞ wurde von K. Gersten (1974b) behandelt. Lösungen der Zweistoffgrenzschichten, die durch adiabate Verdunstung eines Kohlenwasserstoff-Films entstehen, wurden von F. Eisfeld (1971) angegeben, wobei variable Stoffwerte berücksichtigt wurden. Die Methode der Referenz-Temperatur (vgl. Kap. 10.3.3) liefert auch bei Stoffübertragungsproblemen gute Ergebnisse, wie Y. Taitel; A. Tamir (1975) gezeigt haben. Das System der drei gekoppelten Grenzschichten (Impuls-, Wärme- und Stoffübertragung) wurde für Verdunstungs- und Sublimationsvorgänge von W. Splettstösser (1975) berechnet. Beispiel 2: Ausblasen eines anderen Gases (Transpirationskühlung)

Wenn zur Transpirationskühlung ein fremdes Gas ausgeblassen wird, liegt eine Zweistoffgrenzschicht vor. Sehr leichte Gase (Helium, Wasserstoff) haben einen besonders guten Kühleffekt. In Bild 11.16 ist die Nußelt-Zahl als Funktion des Ausblasparameters für Ausblasen von Helium an der ebenen Platte in einer Luftströmung nach W. Wuest (1963) dargestellt. Als Vergleich ist auch die Kurve für Ausblasen von Luft (Einstoffgrenzschicht nach Abschnitt 11.2) eingezeichnet. Man erkennt den deutlichen Vorteil des Ausblasens eines leichteren Gases. Für das Ausblasen von leichten Gasen wurde der Einfluß verschiedener Verhältnisse der Molekulargewichte der beiden beteiligten Gase von C.R. Faulders (1961) untersucht. Eine Methode zur Berechnung von Zweistoffgrenzschichten am Staupunkt mit Temperaturabhängigen Stoffwerten wurde von J. Steinheuer (1971) angegeben und auf das Beispiel der Ablationskühlung durch pyrolysierendes Teflon angewendet.

11.3 Zweistoffgrenzschichten

323

Bild 11.16. Einfluß von Ausbla-

sen auf den Wärmeübergang an der längsangeströmten ebenen Platte (Schwitzkühlung) nach J.R. Baron; P.E. Scott (1960). (a) Ausblasen von Helium in Luft (b) Ausblasen von Luft im Luft

Experimentelle Untersuchungen über das Einblasen eines anderen Gases in Überschallgrenzschichten beziehen sich hauptsächlich auf die Ermittlung der adiabaten Wandtemperatur. Beispiel 3: Grenzschicht eines dissoziierenden Gases

Wie bereits erwähnt, wird ein dissoziierendes Gas häufig als Gemisch von einem Molekülgas und einem Atomgas beschrieben. Die Konzentration c1 entspricht dem Dissoziationsgrad. Eine grundlegende Arbeit zur Grenzschicht dissoziierter Luft im Staupunktbereich stammt von J.A. Fay; F.R. Riddell (1958). Auch hierbei handelt es sich um ähnliche Lösungen der Grenzschichtgleichungen. Bild 11.17 zeigt als Beispiel aus dieser Arbeit den Wärmeübergang im Staupunkt als Funktion des Rekombinations-Parameters CR der Wandoberfläche. Wenn dieser Parameter sehr groß ist, liegt Gleichgewicht vor (vollkatalytische Wand). Für kleinere Werte dieses Parameters ist die Lösung von dem katalytischen Verhalten der Wand abhängig. Als strichpunktierte Kurve ist für die katalytische Wand derjenige Anteil des Wärmeüberganges aufgetragen, der durch Wärmeleitung entsteht. Der restliche Anteil des Wärmeüberganges beruht auf der Diffusion entsprechend Gl. (11.56). Zum Vergleich ist auch die Kurve für die nichtkatalytische Wand eingetragen, die bei kleinen Rekombinations-Parametern eine erhebliche Reduktion des Wärmeüberganges zeigt. Ein Integralverfahren für die Nichtgleichgewichts-Grenzschicht an der ebenen Platte wurde von M. Jischa (1982) entwickelt. Grenzschichten dissoziierender Gase sind ausführlich von W.H. Dorrance (1962, S. 69) und P.M. Chung (1965) behandelt worden.

11.17. Wärmeübergang am Staupunkt einer Gasströmung mit Dissoziation in Abhängigkeit vom Rekombinationsparameter CR der Wandoberfläche nach J.A. Fay; F.R. Riddell (1958) Bild

12 Axialsymmetrische und dreidimensionale Grenzschichten

In den bisherigen Kapiteln war die Berechnung von Grenzschichten auf den ebenen Fall beschränkt, bei dem die beiden Geschwindigkeitskomponenten nur von zwei Koordinaten abhängig sind. Dabei war dann in Richtung der dritten räumlichen Koordinate keine Geschwindigkeitskomponente vorhanden. Der allgemeine Fall einer Grenzschicht mit Geschwindigkeitskomponenten in allen drei räumlichen Richtungen, die von allen drei Ortskoordinaten abhängen, ist erheblich komplizierter als eine ebene Grenzschicht. Wesentlich geringer dagegen und kaum größer als im ebenen Fall sind die Schwierigkeiten der Berechnung axialsymmetrischer Grenzschichten. Diese treten bei axial angeströmten Rotationskörpern auf. Dabei kann sogar eine dritte Geschwindigkeitskomponente in Umfangsrichtung auftreten, wenn der Rotationskörper um seine Achse rotiert. Daher enthält dieses Kapitel zwei Abschnitte. Im ersten Abschnitt werden axialsymmetrische Grenzschichten behandelt, und zwar ohne und mit Umfangskomponente, der zweite Abschnitt ist dann den allgemeinen dreidimensionalen Grenzschichten gewidmet.

12.1

Axialsymmetrische Grenzschichten 12.1.1 Grenzschichtgleichungen Es wird die Strömung an einem Rotationskörper betrachtet, der in Richtung der Achse angeströmt wird. Zur Beschreibung der Grenzschicht am Körper wird das in Bild 12.1 dargestellte krummlinige, orthogonale Koordinatensystem verwendet. Die Geometrie des Körpers wird durch die Funktion rw (x) beschrieben. Dabei ist rw (x) der Radius eines Schnittes des Körpers senkrecht zur Achse. Die Koordinate x ist die längs eines Meridianschnittes vom Staupunkt aus gemessene Bogenlänge. Die y-Koordinate steht senkrecht auf der Oberfläche, z ist die Koordinate in Umfangsrichtung. Die Geschwindigkeitskomponenten seien u (parallel zur Wand in Meridianrichtung), v (senkrecht zur Wand) und w (parallel zur Wand in Umfangsrichtung). Die Geschwindigkeit der reibungslosen Außenströmung (Potentialströmung) U (x) wird als bekannt vorausgesetzt. Wieder teilt sich also die Strömung in zwei Bereiche auf, wenn hohe ReynoldsZahlen Re = V l/ν unterstellt werden. Als Bezugslänge l kann z.B. der Krümmungsradius des Körpers im Staupunkt dienen. Werden die für das in Bild 12.1

326

12 Axialsymmetrische und dreidimensionale Grenzschichten

Bild 12.1. Koordinatensystem für axialsymmetrische Grenzschichten, θ = α − π/2

dargestellte Koordinatensystem gültigen Navier-Stokes-Gleichungen nebst Energiegleichung einer analogen Grenzschichttransformation unterzogen, ergibt sich im Grenzfall Re → ∞ das folgende System von Grenzschichtgleichungen in dimensionsbehafteter Schreibweise, zunächst für den Fall ohne Rotation, vgl. dazu E. Boltze (1908) und M. Van Dyke (1962c): ∂(rw u) ∂(rw v) + = 0, ∂x ∂y

  ∂u ∂u dp ∂ ∂u  u +v = −g sin α − dx + ∂y µ ∂y , ∂x ∂y


2  ∂T ∂T dp ∂ ∂u +v λ ∂T + βT u + µ . = ∂y cp u ∂y dx ∂y ∂x ∂y

(12.1) (12.2)

(12.3)

Für den Druckgradienten gilt dp dU = −e U dx dx

(12.4)

mit dem Index e für den Außenrand der Grenzschicht (U (x) = ue (x)). Es ist bemerkenswert, daß gegenüber den ebenen Grenzschichtgleichungen lediglich die Kontinuitätsgleichung eine Änderung erfahren hat, wie der Vergleich mit dem System (10.4) bis (10.6) erkennen läßt. Aus diesem Grunde findet man in der Literatur häufig eine gemeinsame Behandlung von ebenen und axialsymmetrischen Grenzschichten. Dazu wird die Kontinuitätsgleichung in der Form j

j

∂(rw u) ∂(rw v) + =0 ∂x ∂y

(12.5)

geschrieben, wobei j = 1 dem axialsymmetrischen und j = 0 dem ebenen Fall entspricht. Ein besonderer Unterschied gegenüber den ebenen Grenzschichten soll hier hervorgehoben werden. Während bei ebenen Grenzschichten die Geometrie des Körpers

12.1 Axialsymmetrische Grenzschichten

327

in die Rechnung nicht einging, wenn man von dem Auftriebsterm proportional zu sin α absieht, tritt jetzt neben der Außengeschwindigkeit U (x) auch die Geometrie des Körpers rw (x) explizit in dem Gleichungssystem (wenn auch nur in der Kontinuitätsgleichung) auf. In eine Grenzschichtrechnung gehen daher jetzt die folgenden drei Funktionen ein: U (x), rw (x) und Tw (x) bzw. qw (x). Es sei noch angemerkt, daß sich die Grenzschicht auch auf der Innenseite der Körperoberfläche befinden kann, wie etwa bei Grenzschichten in Düsen oder Diffusoren. Dafür gelten dieselben Gleichungen, wie man sich durch einen gleichzeitigen Vorzeichenwechsel von y und v leicht überzeugen kann. Anmerkung (Transversalkrümmung)

Für rw = const reduziert sich das System (12.1) bis (12.3) auf die Gleichungen für die ebenen Grenzschichten. Danach ist die Grenzschicht an einem längsangeströmten Kreiszylinder mit der Plattengrenzschicht identisch. Das System (12.1) bis (13.3) gilt nur, solange die Grenzschichtdicke δ sehr klein ist gegenüber dem Radius, d.h. für δ/rw  1. Dieses ist bei der Zylinderströmung im Bereich der Vorderkante erfüllt. Weiter stromabwärts wird wegen des Anwachsens der Grenzschichtdicke diese Bedingung verletzt. Im Bereich δ/rw = O(1) kommt dann die Transversalkrümmung ins Spiel. Dabei handelt es sich jedoch um einen Grenzschichteffekt höherer Ordnung, auf den in Kap. 14 näher eingegangen wird.

12.1.2 Mangler-Transformation Wegen der geringen Unterschiede zu den ebenen Grenzschichten liegt die Frage nahe, ob sich eine Transformation angeben läßt, mit der die axialsymmetrischen Grenzschichtgleichungen auf die ebenen Grenzschichtgleichungen zurückgeführt werden können. Tatsächlich ist von W. Mangler (1948) eine derartige Transformation angegeben worden. Sie gestattet grundsätzlich, die Berechnung der Grenzschicht an einem Rotationskörper auf die Berechnung der Grenzschicht an einem zugeordneten ebenen (zylindrischen) Körper zurückzuführen. Die Transformationsformeln lauten, wenn l die Bezugslänge bedeutet: 1  x= 2 l

x

rw (x) y, l 0 
l 1 drw  u = u,  v= yu , v+ rw rw dx rw2 (x) dx,  y=

sin  α=

l2 sin α , rw2

(12.6)

 = U, U

T = T .

(12.7)

Unter Beachtung der Beziehungen ∂f r 2 ∂f 1 drw ∂f = w2 +  y ; ∂x l ∂ x rw dx ∂ y

∂f rw ∂f = ∂y l ∂ y

(12.8)

verifiziert man leicht, daß durch die Transformationsformeln (12.6) das System (12.1) bis (12.3) in das System (10.4) bis (10.6) übergeht. Die Grenzschicht an einem Rotationskörper rw (x) mit der potentialtheoretischen Geschwindigkeitsverteilung U (x) kann hiernach also so ermittelt werden, daß man

328

12 Axialsymmetrische und dreidimensionale Grenzschichten

( die ebene Grenzschicht zur Geschwindigkeitsverteilung U x ) berechnet, wobei  = U sein muß und zwischen  U x und x der Zusammenhang nach Gl. (12.6) besteht. Von den Geschwindigkeiten  u,  v der ebenen Grenzschicht kann man dann mittels der Transformationsgleichungen (12.7) auf die Geschwindigkeiten u, v der axialsymmetrischen Grenzschicht übergehen. Beispiel: Axialsymmetrischer Staupunkt

Für diese Grenzschicht gilt, vgl. auch Kap. 5.2.3, rw (x) = x;

U (x) = ax.

(12.9)

Damit wird nach Gl. (12.6)  x=

x3 3l 2

oder x = (3l 2 x )1/3 .

Die Geschwindigkeit am Außenrand der zugeordneten ebenen Grenzschicht ist somit ( U x ) = a(3l 2 )1/3 x 1/3 . Diese ebene Potentialströmung gehört zu den im Kap. 7.2.2 behandelten Keilströmungen mit m = 1/3 und dem Keilwinkel β = 2m/(m + 1) = 1/2. Auf diesen Zusammenhang zwischen der Keilströmung mit β = 1/2 und der axialsymmetrischen Staupunktströmung war bereits im Kap. 7.2.2 hingewiesen worden, vgl. Gl. (7.34).

12.1.3 Grenzschichten an Rotationskörpern ohne Rotation Die numerischen Verfahren zur Lösung der ebenen Grenzschichten lassen sich ohne Schwierigkeiten auch auf axialsymmetrische Grenzschichten anwenden. Die ähnlichen Lösungen wurden von Th. Geis (1955) untersucht. Auch für die axialsymmetrischen Grenzschichten sind Integralverfahren entwickelt worden. Diese basieren wieder auf den Integralsätzen für Impuls, kinetische Energie und thermische Energie. Für Grenzschichten mit konstanten Stoffwerten und bei Vernachlässigung der Dissipation in der Energiegleichung lauten sie: d τw δ2 drw dU + jU2 = , (U 2 δ2 ) + δ1 U dx rw dx  dx

(12.10)

d 2 δ3 drw (U 3 δ3 ) + j U 3 = D, dx rw dx 

(12.11)

d qw δT drw [(Tw − T∞ )U δT ] + j (Tw − T∞ )U = . dx rw dx cp

(12.12)

Die Definitionen von δ1 , δ2 , δ3 und δT sind die gleichen wie bei ebenen Grenzschichten, vgl. Gl. (7.98), (7.99), (7.102), (9.60). Die Gleichungen gehen für j = 0 in die bereits bekannten Integralsätze (7.100), (7.104) und (9.59) über.

12.1 Axialsymmetrische Grenzschichten

329

Ein Integralverfahren für axialsymmetrische Grenzschichten (j = 1) wurde beispielsweise von F.W. Scholkemeier (1949) entwickelt. Auch für diese Grenzschichten läßt sich nach N. Rott; L.F. Crabtree (1952) eine Quadraturformel angeben. Sie lautet: x U δ22 a = 2 b rw2 U b dx. (12.13) ν rw U 0

Wie zu erwarten ist, reduziert sich diese Formel für rw = const auf Gl. (8.23). Die Konstanten a und b können vom ebenen Fall übernommen werden. Wenn man jedoch fordert, daß neben der Plattengrenzschicht (nahe der Vorderkante des axial angeströmten Kreiszylinders) auch die Grenzschicht am axialsymmetrischen Staupunkt korrekt wiedergegeben wird, gelten für  > 0 die Zahlenwerte a = 0,441 und b = 4,19. Für die Wandschubspannung gilt weiterhin Gl. (8.29), ebenso bleiben Gl. (8.12) und (8.16) unverändert. Mit Hilfe der Quadraturformel sind einige Beispiele von F.W. Scholkemeier (1949) sowie von J. Pretsch (1941a) gerechnet worden. Die Berechnung der Grenzschicht an der Kugel sowohl für die potentialtheoretische Druckverteilung (hierfür ergibt sich der Ablösungswinkel etwa bei ϕA = 105 ◦ ) als auch für bei verschiedenen Reynolds-Zahlen gemessenen Druckverteilungen wurde von S. Tomotika (1935) ausgeführt, vgl. dazu die Zusammenstellung von F.M. White (1974, S. 346). Auch bei axialsymmetrischen Grenzschichten können die Transformationen nach H. Görtler (Kap. 7.3.1), Illingworth-Stewartson (Kap. 10.4.3) und Saville-Churchill (Kap. 10.5.2) durch Kombination mit der Mangler-Transformation angewendet werden, vgl. F.M. White (1974, S. 604) und D.A. Saville; S.W. Churchill (1967). Im folgenden sollen einige Beispiele von axialsymmetrischen Grenzschichten besprochen werden. Axialsymmetrischer Staupunkt. Wie im Kap. 5.2.3 gezeigt wurde, handelt es sich hier sogar um eine exakte Lösung der Navier-Stokes-Gleichungen, da in der Impulsgleichung in x-Richtung (in Kap. 5.2.3 steht r statt x) und in der Energiegleichung die in den Grenzschichtgleichungen vernachlässigten Glieder von selbst verschwinden. (Für die Staupunktebene ist das in Bild 12.1 dargestellte Koordinatensystem mit dem in Kap. 5.2.3 benutzten Zylinderkoordinaten-System identisch, wenn x = r und y = z gesetzt wird). Der in der Grenzschichttheorie vernachlässigte Druckgradient ∂p/∂y läßt sich in diesem Fall nachträglich aus der Impulsgleichung für die y-Richtung ermitteln. Das Geschwindigkeitsprofil ist in Bild 5.6 dargestellt. Einige wichtige Zahlenwerte für das Geschwindigkeitsfeld findet man in Tabelle 5.1. Über den Wärmeübergang in Abhängigkeit von der Prandtl-Zahl haben H. Herwig; G. Wickern (1986) Zahlen angegeben, und zwar für konstante und für variable Stoffwerte (Methode der Stoffwertverhältnisse), vgl. auch H. Herwig (1987). Danach gilt für die Prandtl-Zahl Pr ∞ = 0,7:



 w µw 0,270 w −0,075 Pr w −0,384 cpw 0,5 Nu = (12.14) Nuc.p. ∞ µ∞ ∞ Pr ∞ cp∞

mit √ N uc.p. / Re = 0,665,

U = ax, V = al .

(12.15)

330

12 Axialsymmetrische und dreidimensionale Grenzschichten

Bild 12.2. Gemessene Rückgewinnfaktoren r für die laminare Grenzschicht an Kegeln bei Überschallgeschwindigkeit für verschiedene Machund Reynolds-Zahlen, nach G.R. Eber (1952). Vergleich mit der Theorie nach Gl. (9.86), siehe Bild 9.6

Große bzw. kleine Temperaturverhältnisse Tw /T∞ wurden von C.F. Dewey Jr.; J.F. Gross (1967) untersucht, und zwar auch mit Ausblasen. Angaben über Absaugen und Ausblasen mit den Grenzfällen vw → +∞ bzw. vw → −∞ findet man auch bei W.E. Stewart; R. Prober (1962) und K. Gersten (1973a). Schließlich sei auf Angaben über Zweistoffgrenzschichten am Staupunkt von W.H. Dorrance (1962) hingewiesen. Axialsymmetrischer Wandstrahl. Wenn ein axialsymmetrischer Freistrahl senkrecht auf

eine ebene Wand auftritt, entsteht in einiger Entfernung vom Auftreffpunkt ein sich nach allen Seiten radial ausbreitender Wandstrahl. Dieser gehorcht mit rw = x und U = 0 den Gleichungen (12.1) bis (12.3). Es handelt sich wieder um ähnliche Lösungen der GrenzschichtGleichungen, die auf dieselbe gewöhnliche Differentialgleichung führen wie im ebenen Fall, vgl. M.B. Glauert (1956b) und N. Riley (1958). Alle Ergebnisse können daher vom ebenen Wandstrahl übertragen werden. Radialstrahl. Ein Radialstrahl entsteht, wenn z.B. aus einem Hohlrohr durch einen auf dem Umfang befindlichen ringförmigen Schlitz Fluid in den ruhenden Außenraum ausgeblasen wird. Das Fluid strömt dann als axialsymmetrischer Freistrahl radial nach außen. Wieder gilt rw = x und U = 0 in Gl. (12.1) bis (12.3). Auch hierbei ist die Übertragung der Ergebnisse vom ebenen Freistrahl möglich, vgl. auch H.B. Squire (1955). Überschallströmung am Kegel. Solange der Verdichtungsstoß an der Kegelspitze anliegt, gilt rw = αx, U = const. Diese Strömung ist mit der Plattenströmung verwandt und kann mittels der Mangler-Transformation auf diese zurückgeführt werden. So erhält man wie bei der Plattenströmung auch für die adiabate Wandtemperatur einen von x unabhängigen Wert, wie Bild 12.2 zeigt. Der dort dargestellte Rückgewinnfaktor ist auch von der Mach-Zahl unabhängig (für Ma < 5), und die Übereinstimmung von Theorie und Messung ist sehr gut, vgl. auch W. Hantsche; H. Wendt (1941). Weitere Messungen an anderen Kegeln und auch an einem Paraboloid findet man bei B. des Clers; J. Sternberg (1952) und R. Scherrer (1951). Die Zweistoffgrenzschicht am Kegel wurde von W.Wuest (1963) untersucht. Um ähnliche Lösungen der Grenzschichtgleichungen zu erhalten, muß dieselbe Verteilung der Ausblasgeschwindigkeit vw (x) vorliegen wie bei der Platte, d.h. vw ∼ x −1/2 . Düsenströmung. Als Beispiel für eine Grenzschicht auf der „Innenseite“ eines Rotationskörpers sei die Strömung in einer Düse mit Kreisquerschnitt genannt, für die A. Michalke (1962) theoretische und experimentelle Untersuchungen durchgeführt hat.

12.1 Axialsymmetrische Grenzschichten

331

Natürliche Konvektion. Auch hierbei läßt sich die Berechnung der axialsymmetrischen Grenzschicht auf die einer ebenen Grenzschicht durch die Mangler-Transformation zurückführen. Von W.H. Braun et al. (1961) wurden diejenigen Körperkonturen untersucht, die auf ähnliche Lösungen führen, dazu gehört auch der „untere Staupunkt“. Über die Berechnung der natürlichen Konvektion an Rotationskörpern mit vertikaler Achse mittels Reihenentwicklungen und Integralverfahren findet man Angaben bei Y. Jaluria (1980, S. 84). Beliebige Körperkonturen haben F.N. Lin; B.T. Chao (1974, 1976) untersucht, speziell für die Kugel gibt es zahlreiche Arbeiten, z.B. T. Chaing et al. (1964). Von A. Acrivos (1960b) wurde dazu der Grenzfall Pr → ∞ behandelt. Für die mittlere Nußelt-Zahl ergibt sich bei der Kugel mit Tw = const:

Num = 0,589(Gr Pr)1/4

(Pr → ∞),

(12.16)

wobei die Nußelt-Zahl und die Grashof-Zahl mit dem Kugeldurchmesser gebildet sind. Angaben zur natürlichen Konvektion am Paraboloid findet man bei I.C. Walton (1974) und am Kegel bei R.G. Hering; R. J. Grosh (1962).

12.1.4 Grenzschichten an Rotationskörpern mit Rotation Infolge der Rotation des Körpers erzeugt die Haftbedingung an der Körperoberfläche eine zusätzliche Geschwindigkeitskomponente in Umfangsrichtung, die innerhalb der Grenzschicht nach außen auf null abklingt. Die Strömung ist jedoch weiterhin axialsymmetrisch, d.h. unabhängig von der Umfangskomponente z, s. Bild 12.1. Die Grenzschichtgleichungen (12.1) bis (12.3) erweitern sich um die Impulsgleichung in Umfangsrichtung und einige zusätzliche von w abhängige Glieder in den bisherigen Gleichungen. Es gilt: ∂(rw u) ∂(rw v) + = 0, ∂x ∂y


∂u w 2 drw ∂u +v −  u ∂x ∂y rw dx





 ∂ ∂p ∂u + = −g sin α − µ , ∂x ∂y ∂y

∂w uw drw ∂w +v +  u ∂x ∂y rw dx




 ∂ ∂w = µ , ∂y ∂y



 ∂T ∂T ∂ ∂T +v cp u = λ ∂x ∂y ∂y ∂y 
2
  ∂u ∂w 2 ∂p + . +βT u ∂x + µ ∂y ∂y

(12.17)

(12.18)

(12.19)

(12.20)

Dabei sind die unterstrichenen Glieder in den bisherigen Gleichungen als „Kopplungsglieder“ hinzugekommen.

332

12 Axialsymmetrische und dreidimensionale Grenzschichten

Bei der Berechnung dieser Grenzschicht nach einem Integralverfahren tritt zu dem Impulssatz in meridionaler Richtung (x-Richtung) noch der Impulssatz für die azimutale Richtung (z-Richtung) hinzu. Diese beiden Impulssätze lauten (bei konstanten Stoffwerten): U2

dU dδ2x 1 drw 2 τwx 2 +U (2δ2x + δ1x ) + (U δ2x + ww , δ2z ) = dx dx rw dx  ww d τwz (U rw3 δ2xz ) = − . rw3 dx 

Dabei gilt für die Komponenten der Wandschubspannung

 ∂u ∂w τwx = µ ; τwz = µ ∂y w ∂y w

(12.21) (12.22)

(12.23)

und für die Verdrängungs- und Impulsverlustdicken

δ1x

  ∞
∞
u u u = 1− dy; δ2x = 1− dy ; U U U 0

∞
δ2z = 0

(12.24)

0

w ww

2

∞ dy; δ2xz = 0

u w dy , U ww

(12.25)

wobei ww = rw ω die lokale Umfangsgeschwindigkeit ist. Mit Hilfe dieser Impulssätze wurden Integralverfahren von H. Schlichting (1953), E. Truckenbrodt (1954a) und O. Parr (1963) entwickelt. Im folgenden sollen einige Lösungen besprochen werden: Axial angeströmte rotierende Scheibe. Als einfachster Fall einer Grenzschicht an einem rotierenden Körper wurde in Kap. 5.2.4 die in ruhendem Fluid rotierende Scheibe behandelt. Eine Verallgemeinerung dieses Falles ist die rotierende Scheibe (Radius R, Winkelgeschwindigkeit ω), die in Richtung der Drehachse mit der Geschwindigkeit V angeströmt wird. In diesem Fall hängt die Strömung außer von der Reynolds-Zahl Re = ωR 2 /ν noch von dem Drehparameter V /ωR ab, der das Verhältnis von Anströmgeschwindigkeit zu Umfangsgeschwindigkeit darstellt. Dazu gibt es exakte Lösungen von D.M. Hannah (1952) und A.N. Tifford; S.T. Chu (1952) und Näherungslösungen von H. Schlichting; E. Truckenbrodt (1952). In Bild 12.3 ist der aus diesen Rechnungen erhaltene Drehmomentenbeiwert cM = 2M/(ω2 R 5 ) in Abhängigkeit von der Reynolds-Zahl und dem Drehparameter angegeben. Dabei ist M das Drehmoment nur der vorderen Seite der Scheibe. Der Sonderfall V = 0 aus Kap. 5.2.4 ist ebenfalls eingezeichnet. Man ersieht aus Bild 12.3, daß bei konstanter Drehzahl das Drehmoment mit wachsender Anströmgeschwindigkeit V beträchtlich zunimmt. Auf den turbulenten Teil des Diagramms wird in Kap. 20.1.3 näher eingegangen. Drehströmung über festem Grund. Nahe verwandt mit der Strömung an der rotierenden Scheibe ist die Strömung, die an einer ruhenden ebenen Wand entsteht, wenn das Fluid in großer Entfernung von der Wand mit konstanter Winkelgeschwindigkeit kreist, vgl. Bild 12.4. Dieser

12.1 Axialsymmetrische Grenzschichten

333

Bild 12.3. Drehmomentenbeiwert einer axial angeströmten rotierenden Scheibe, nach H. Schlichting; E. Truckenbrodt (1952) und E. Truckenbrodt (1954a). cM = 2M/ω2 R 5 , M = Moment der Vorderseite der Scheibe V = 0: vgl. Bild 5.10

Bild 12.4. Drehströmung über festem Grund. Geschwindigkeitskomponenten: u: radial, v: azimutal, w: axial

Fall ist von U.T. Bödewadt (1940), J.E. Nydahl (1971) und K. Stewartson (1953) behandelt worden. Wie bei der rotierenden Scheibe in ruhender Umgebung tritt auch bei dieser Strömung eine Sekundärströmung auf, jedoch mit umgekehrtem Vorzeichen. Bei den in großem Abstand von der Wand umlaufendem Teilchen besteht Gleichgewicht zwischen der Zentrifugalkraft und dem radialen Druckgradienten. Die in Wandnähe in ihrer Umfangsgeschwindigkeit abgebremsten Teilchen stehen unter dem gleichen nach innen gerichteten radialen Druckgradienten, während ihre Zentrifugalkraft wesentlich abgemindert ist. Auf diese Weise ergibt sich also in Bodennähe eine radiale Einwärtsströmung und aus Kontinuitätsgründen in axialer Richtung eine aufsteigende Strömung, wie sie in Bild 12.4 dargestellt ist. Eine solche in der Grenzschicht entstehende Strömung, deren Richtung von derjenigen der Außenströmung abweicht, wird ganz allgemein als Sekundärströmung bezeichnet. Die vorstehend geschilderte Sekundärströmung kann man sehr deutlich in jeder Teetasse beobachten. Nachdem man die Drehströmung durch starkes Rühren erzeugt hat und dann die Strömung sich selbst überläßt, bildet sich nach kurzer Zeit in Bodennähe eine radiale

334

12 Axialsymmetrische und dreidimensionale Grenzschichten

Bild 12.5. Drallströmung in einem Trichter, nach G.I. Taylor (1950), G: Grenzschicht an der Kegelwand mit Sekundärbewegung zur Spitze hin

Einwärtsströmung aus. Dies erkennt man an dem Ansammeln der Teeblättchen in der Mitte des Bodens der Tasse. Die allgemeine Außenströmung mit kreisförmigen Stromlinien wurde von A. Mager; A.G. Hansen (1952) und E. Becker (1959a) untersucht. Hat die Außenströmung die Form einer Wirbelquelle, entsteht die von G. Vogelpohl (1944) behandelte Grenzschicht. Radialstrahl mit Drall. Wie bereits erwähnt, erhält man einem Radialstrahl, wenn aus einem Rohr durch einen über dem Umfang angeordneten ringförmigen Schlitz ausgeblasen wird. Wenn dieses Rohr rotiert, entsteht der Radialstrahl mit Drall, der von L.G. Loitsianski (1967, S. 217) behandelt wurde. Düsenströmung mit Drall. Die drallbehaftete konvergente Strömung durch eine Kegeldüse nach Bild 12.5 ist von K. Garbsch (1955) behandelt worden. Die potentialtheoretische Kernströmung wird durch eine Senke der Ergiebigkeit Q in der Kegelspitze und einen Potentialwirbel auf der Kegelachse mit der Wirbelstärke  erzeugt. Zwei Spezialfälle dieser Strömung sind auch mit Integralverfahren berechnet worden. Von A.M. Binnie; D.P. Harris (1950) wurde die reine Senkenströmung ( = 0) und von G.I. Taylor (1950) sowie J.C. Cooke (1952) die reine Wirbelströmung (Q = 0) untersucht. Im letztgenannten Fall bildet sich nach Bild 12.5 an der Düsenwand eine Grenzschicht aus, die auch Geschwindigkeitskomponenten in Richtung der Kegelerzeugenden aufweist, während die reibungslose Kernströmung als reine Wirbelströmung nur Umfangskomponenten besitzt. Diese in der Grenzschicht entstehende Sekundärströmung transportiert Fluid zur Kegelspitze hin. Hierzu vergleiche man auch eine Arbeit von H.E. Weber (1956). Rotierende Kugel. Die in Achsrichtung angeströmte rotierende Kugel zeigt einen mit der

Drehung deutlich zunehmenden Widerstand, wie aus Messungen von C. Wieselsberger (1927) und S. Luthander; A. Rydberg (1935) hervorgeht. Dieses hängt mit der Lage des Ablösungspunktes zusammen. Bild 12.6 zeigt den Einfluß der Rotation auf die Ablösung nach Rechnungen von N.E. Hoskin (1955). Bei dem Wert ωR/V = 5 liegt der Ablösungspunkt um etwa 10 ◦ weiter vorn gegenüber dem Fall ohne Rotation. Die physikalische Ursache hierfür ist, daß das in der Grenzschicht mit umlaufende Fluid dem Einfluß der Zentrifugalkraft unterliegt, welche durch das Glied proportional zu drw /dx in Gl. (12.18) beschrieben wird und wie ein zusätzlicher Druckanstieg wirkt. Der Sonderfall einer rotierenden Kugel in ruhendem Fluid wurde von L. Howarth (1951a) und S.D. Nigam (1954) behandelt. Eine Erweiterung auf Rotationsellipsoide stammt von B.S.

12.1 Axialsymmetrische Grenzschichten

335

Bild 12.6. Lage des Ablösungspunk-

tes der laminaren Grenzschicht an einer axial angeströmten rotierenden Kugel, nach N.E. Hoskin (1955)

Fadnis (1954). Die Strömung verhält sich an den Polen wie bei einer rotierenden Scheibe und im Bereich des Äquators wie bei einen rotierenden Zylinder. Es erfolgt ein Zustrom von Fluid an den Polen und ein Abfluß am Äquator, der bei gleichem Äquatorquerschnitt und gleicher Winkelgeschwindigkeit um so größer ist, je schlanker der Körper ist, vgl. auch W.H.H. Banks (1965). Bezüglich der Erweiterung auf andere Rotationskörper mit axialer Anströmung sei auf die Literatur in H. Schlichting (1982, S. 249) verwiesen. Die Anwendung auf kompressible Strömungen erfolgte von J. Yamaga (1956).

12.1.5 Freistrahl und Nachlauf

In Kap. 5.2.5 war der axialsymmetrische Freistrahl als exakte Lösung der NavierStokes-Gleichungen in sphärischen Polarkoordinaten angegeben worden. Dabei hatte sich herausgestellt, daß sich für große Reynolds-Zahlen, d.h. für ν → 0, die Strömung auf einen kleinen Bereich in Achsnähe beschränkt. Da wir nur an dieser „Grenzschichtlösung“ interessiert sind, kann die Beschreibung der Strömung in Zylinderkoordinaten erfolgen. Dabei ist x die axiale Koordinate in Hauptströmungsrichtung (Geschwindigkeitskomponente u), die radiale Koordinate sei r genannt (v als radiale Geschwindigkeitskomponente). Für dieses Zylinderkoordinaten-System lauten die Grenzschichtgleichungen für Strömungen bei Gleichdruck (außerdem ∂ 2 u/∂x 2  ∂ 2 u/∂r 2 ) ∂(ru) ∂(rv) + = 0, ∂x ∂r

 ∂u ∂u 1 ∂ ∂u  u +v = −g + µr , ∂x ∂r r ∂r ∂r


2 ∂T ∂u ∂T 1 ∂ ∂T +v . = λr +µ cp u ∂x ∂r r ∂r ∂r ∂r

(12.26) (12.27)

(12.28)

336

12 Axialsymmetrische und dreidimensionale Grenzschichten

Die Randbedingungen lauten: ∂u ∂T = 0, =0 ∂r ∂r r → ∞ : u = 0, T = T∞ .

r =0:

v = 0,

(12.29)

Gegenüber den ebenen Grenzschichtgleichungen mit Gleichdruck haben sich die Kontinuitätsgleichung und die Glieder für die Reibungskraft bzw. für die Wärmeleitung geändert. Dieses Gleichungssystem beschreibt den axialsymmetrischen Impulsstrahl, Auftriebstrahl und Nachlauf, die im folgenden etwas ausführlicher behandelt werden sollen. Impulsstrahl. Der Strahl tritt aus einer punktförmigen Öffnung aus und ist dadurch charakterisiert, daß sein kinematischer Impuls bei konstanten Stoffwerten

∞ Ka = 2π u2 r dr = const

(12.30)

0

konstant ist. Für das System (12.26) bis (12.28) ergeben sich in diesem Fall ähnliche Lösungen. Mit den Ansätzen
 ν ν F F r , v=γ (12.31) F − , η=γ u = γ2 x η x η x erhält man aus Gl. (12.26) und (12.27) die gewöhnliche Differentialgleichung für F (η) ηF  + F F  − F  = 0

(12.32)

mit den Randbedingungen η=0:

F = 0, F  = 0;

η→∞:

F  = 0.

(12.33)

Die Lösung lautet 4η2 . 1 + η2 Damit ergibt sich für den kinematischen Impuls (siehe Gl. (5.90) mit γ = 1/θ0 ) F (η) =

Ka =

64 2 2 πγ ν , 3

(12.34)

(12.35)

woraus die Lösungen für das Geschwindigkeitsfeld folgen: 1 3 Ka , 8π νx (1 + η2 )2  1 3Ka η 1 − η2 v= , 2 π x (1 + η2 )2  1 3Ka 1 r . η= 8 π νx

u=

(12.36)

(12.37)

(12.38)

12.1 Axialsymmetrische Grenzschichten

337

Für den Volumenstrom im Strahl, der wegen der seitlichen Zuströmung (engl.: entrainment, vgl. Kap. 5.25) mit wachsendem Abstand vom Strahlaustritt zunimmt, erhält man die einfache Formel ∞ Q = 2π ur dr = 8πνx. (12.39) 0

Diese Formel ist mit Gl. (7.56) für den ebenen Strahl zu vergleichen. Für den axialsymmetrischen Strahl hat man also das eigenartige Ergebnis, daß der Volumenstrom vom Strahlimpuls unabhängig ist. Wie man aus den Ergebnissen Gl. (12.36) und (12.38) unschwer erkennt, bleibt ein Strahl mit größeren Ka schmaler als ein Strahl mit kleinerem Ka . Letzterer hat also umfangsmäßig eine größere Einsaugfläche, so daß die Einsaugmenge für beide Strahlen (bei gleichem ν) gleich ist. Der axialsymmetrische Strahl in kompressibler Strömung ist von M.Z. Krzywoblocki (1949) und D.C. Pack (1954) behandelt worden. Bei einem Strahl im Unterschallbereich ist auf der Strahlachse die Dichte größer und die Temperatur kleiner als am Strahlrand. Wenn dem Strahl noch ein schwacher Drall überlagert ist, läßt sich nach H. Görtler (1954) die Entwicklung des Dralls stromabwärts berechnen. Danach nimmt die maximale Umfangsgeschwindigkeit schneller ab als die Geschwindigkeit auf der Strahlachse. Es sei besonders betont, daß der Strahlimpuls nach Gl. (12.30) nur dann konstant ist, wenn sich keine Wände im Strömungsfeld befinden. Wie in Kap. 5.2.5 beschrieben wurde, besteht das gesamte Strömungsfeld aus der eigentlichen achsnahen Strahlströmung und der durch den Einmischeffekt bedingten induzierten Strömung. Wenn nun der Strahl zum Beispiel entsprechend dem Bild 7.7 senkrecht aus einer Wand austritt, führt die Wechselwirkung zwischen der Strahlströmung und der induzierten Strömung zu einer langsamen Abnahme des Strahlimpulses, vgl. W. Schneider (1985). Der Abnahme des Strahlimpulses entspricht die Gesamtkraft auf die Wand, die durch die Verteilung des induzierten Druckes an der Wand entsteht. Die induzierte Strömung ist hier keine Potentialströmung wie beim ebenen Freistrahl, sondern sie ist reibungs- und drehungsbehaftet. Weit stromabwärts verliert die Grenzschichttheorie ihre Gültigkeit, da mit abnehmendem Strahlimpuls der Radius der achsnahen Strahlströmung über alle Grenzen wächst. Es bildet sich ein Rezirkulationsgebiet aus, das in Laborversuchen beobachtet und mittels numerischer Lösung der Navier-Stokes-Gleichungen berechnet worden ist, vgl. E. Zauner (1985) und W. Schneider et al. (1987). Auftriebsstrahl. Über einer „punktförmigen“ Energiequelle (z.B. eine heißer Körper) bildet sich ein Auftriebsstrahl, der im Fernfeld, d.h. in einiger Entfernung über der Energiequelle, zu einer ähnlichen Lösung führt. Der entsprechende ebene Strahl wurde bereits in Kap. 10.5.4 behandelt. Nach Rechnungen von T. Fujii (1963) für konstante Stoffwerte gilt mit der Strahlleistung

∞ ˙ = 2π cp u(T − T∞ )r dr = const , Q

(12.40)

0

 umax = A(Pr)

˙ gβ∞ Q , 2π µcp

(12.41)

Tmax − T∞ = B(Pr)

˙ Q , 2π µcp x

(12.42)

 cp ν 3 1/4 1/2 x . ˙ gβ Q

(12.43)


δ∼

338

12 Axialsymmetrische und dreidimensionale Grenzschichten

Die Faktoren sind noch von der Prandtl-Zahl abhängig. Für Pr = 0,7 gilt A = 0,938 und B = 0,481. Bisher war für den Auftriebsstrahl angenommen worden, daß sein Anfangsimpuls verschwindet. Strahlen, die einen endlichen Anfangsimpuls besitzen und wegen ihrer von der Umgebungstemperatur verschiedenen Strahltemperatur Auftriebskräften unterliegen, sind von J.C. Mollendorf; B. Gebhart (1973) und W. Schneider; W. Potsch (1979) untersucht worden. Diese Strahlen beginnen zunächst als Impulsstrahlen, mit zunehmendem Auftrieb wächst ihr Impulsstrom in Strömungsrichtung, bis sich schließlich die Strahlen asymptotisch wie reine Auftriebsstrahlen verhalten. Auf die zusammenfassenden Darstellungen über Auftriebsstrahlen von J.S. Turner (1973, 1969) sei hingewiesen. Axialsymmetrischer Nachlauf. Mit Hilfe des Gleichungssystems (12.26) bis (12.28) läßt sich auch der Nachlauf behandeln, wie er hinter einem axial angeströmten Rotationskörper auftritt. Die Rechnung verläuft ganz analog wie für den ebenen Nachlauf, vgl. Kap. 7.5.1. Es seien U∞ die Anströmgeschwindigkeit und u(x,r) die Geschwindigkeit im Nachlauf sowie entsprechend Gl. (7.86) (12.44) u1 (x,r) = U∞ − u(x,r) der Geschwindigkeitsdefekt. Dieser ist in großem Abstand hinter dem Körper sehr klein gegenüber U∞ , so daß man quadratische Glieder von u1 vernachlässigen kann. Mit dieser Vereinfachung ergibt sich aus Gl. (12.26) und (12.27) für u1 (x,r) die lineare Differentialgleichung
 ν ∂ ∂u1 ∂u1 = U∞ r . (12.45) ∂x r ∂r ∂r Mit dem Ansatz 
−m x r U∞ u1 = U∞ C (12.46) F (η) , η= l 2 νx erhält man für die Funktion F (η) die Differentialgleichung

(ηF  ) + 2η2 F  + 4mηF = 0

(12.47)

mit den Randbedingungen η=0:

F  = 0;

η→∞:

F = 0.

(12.48)

Aus der Bedingung, daß der Widerstand W = 2π U∞


−m ∞ ∞ νx 2 C x u1 r dr = 8π U∞ F (η)η dη l U∞ 0

(12.49)

0

von x unabhängig sein muß, folgt m = 1. Die so festgelegte Differentialgleichung hat die Lösung 2 (12.50) F (η) = e−η , die mit der Lösung des ebenen Nachlaufes identisch ist, vgl. (7.93). Mit dem Widerstandsbeiwert 2W cW = (12.51) 2 π l2 U∞ und der Reynolds-Zahl Re = U∞ l/ν erhält man dann die Geschwindigkeitsverteilung im Nachlauf π cW l Re − r 2 U∞ u1 (x,r) = (12.52) e 4xν . U∞ 32 x Versuchsergebnisse findet man bei F.R. Hama; L.F. Peterson (1976). Die Erweiterung dieser asymptotischen Lösung auf endliche x-Werte wurde von S.A. Berger (1971, S. 248) beschrieben.

12.2 Dreidimensionale Grenzschichten

339

12.2

Dreidimensionale Grenzschichten 12.2.1 Grenzschichtgleichungen Gegeben sei jetzt ein allgemeiner dreidimensionaler Körper, an dessen Oberfläche sich die Grenzschicht ausbilden soll. Kanten oder extrem starke Krümmungen der Oberfläche seien ausgeschlossen. Zur Beschreibung der Strömung um diesen Körper wird ein orthogonales krummliniges Koordinatensystem nach Bild 12.7 zugrunde gelegt. Die Koordinatenlinien x = const und z = const bilden auf der Oberfläche ein orthogonales Netz. Die yKoordinate steht senkrecht auf der Oberfläche und kennzeichnet den Wandabstand. Die Geschwindigkeitskomponenten seien für dieses x,y,z-System wieder u,v,w. Für dieses Koordinatensystem lauten die sog. Lamèschen Metrik-Koeffizienten hx , hy = 1, hz . Für ein Bogenelement gilt also: (ds)2 = (hx dx)2 + (dy)2 + (hz dz)2 . Diese Metrik-Koeffizienten sind im allgemeinen noch Funktionen von x und z und legen damit das speziell gewählte Koordinatensystem fest. Man kann die Metrik-Koeffizienten ermitteln, indem man das krummlinige x,y,zSystem mit einem geeignet gewählten kartesischen Koordinatensystem X, Y , Z in Verbindung bringt. Dann gilt



2
  ∂X 2 ∂Y ∂Z 2 + + ∂x ∂x ∂x 
2
 2
  ∂x ∂x ∂x 2 −1 = + + , ∂X ∂Y ∂Z

2
  ∂X 2 ∂Y ∂Z 2 2 + + hz = ∂z ∂z ∂z 

2
   ∂z 2 ∂z ∂z 2 −1 = + + . ∂X ∂Y ∂Z

h2x =

(12.53)

(12.54)

Bild 12.7. Orthogonales krummliniges Koordinatensystem für beliebige Körperoberflächen

340

12 Axialsymmetrische und dreidimensionale Grenzschichten

Aus den vollständigen Navier-Stokes-Gleichungen für das so gewählte Koordinatensystem erhält man für große Reynolds-Zahlen nach einer entsprechenden Grenzschicht-Transformation die folgenden Grenzschichtgleichungen in dimensionsbehafteter Schreibweise (ohne Schwerkraft, d.h. g = 0), vgl. z.B. H.-D. Papenfuß (1975): 1 ∂ 1 ∂ ∂ (hz u) + (v) + (hx w) = 0, hx hz ∂x ∂y hx hz ∂z 
 u ∂u ∂u w ∂u 1 ∂hz 2 ∂hx +v + + uw − w  hx ∂x ∂y hz ∂z hx hz ∂z ∂x
 1 ∂p ∂ ∂u =− + µ , hx ∂x ∂y ∂y 
 u ∂w ∂w w ∂w 1 ∂hx 2 ∂hz +v + + uw − u  hx ∂x ∂y hz ∂z hx hz ∂x ∂z
 1 ∂p ∂ ∂w =− + µ , hz ∂z ∂y ∂y

(12.55)

(12.56)

(12.57)




 ∂T w ∂T u ∂T +v + hx ∂x ∂y hz ∂z

 w ∂p ∂ u ∂p ∂T + = λ + βT ∂y ∂y hx ∂x hz ∂z 2  
2
∂w ∂u + . +µ ∂y ∂y

cp

(12.58)

Die bisher verwendeten Grenzschicht-Gleichungen sind Sonderfälle dieses allgemeinen Systems: 1) Für hx = hz = 1, w = 0 erhält man Gl. (10.4) bis (10.6) 2) Für hx = 1, hz = rw (x), w = 0 erhält man Gl. (12.1) bis (12.3) 3) Für hx = 1, hz = rw (x), w  = 0, ∂/∂z = 0 erhält man Gl. (12.17) bis (12.20). Zu diesem Gleichungssystem gehören die folgenden Randbedingungen: y=0:

u = 0, v = vw (x,z),

w = 0,

y→∞:

u = U (x,z),

w = W (x,z),

Aus den Lösungen erhält man insbesondere

  ∂u ∂w τwx = µ , τwz = µ , ∂y w ∂y w

T = Tw (x,z) oder q = qw (x,z) T = Te (x,z).


 ∂T qw = −λ . ∂y w

(12.59)

12.2 Dreidimensionale Grenzschichten

341

Die Richtung der resultierenden Wandschubspannung ist dabei im allgemeinen von der Richtung der Stromlinien amAußenrand der Grenzschicht (d.h. der reibungslosen Außenströmung in Wandnähe) verschieden. Wie man sich leicht überzeugen kann, gilt nach wie vor die Busemann-CroccoLösung (vgl. Kap. 10.4.2), nach der die Gesamtenthalpie in der Grenzschicht für adiabate Wand und Pr = 1 konstant und gleich derjenigen der Außenströmung ist. Ähnliche Lösungen von dreidimensionalen Grenzschichten wurden von V.G. Pavlov (1979) untersucht. Zur Wahl des Koordinatensystems existieren viele Möglichkeiten. Dabei lassen sich zwei Gruppen unterscheiden: 1. Körperangepaßte Koordinatensysteme. Unabhängig von der Umströmung

werden die Koordinatensysteme nur durch die Geometrie des Körpers festgelegt. Werden die Hauptkrümmungslinien der Körperoberfläche als Koordinatenlinien gewählt, sind die Metrik-Koeffizienten in einfacher Weise mit den Hauptkrümmungen der Oberfläche verknüpft, vgl. L. Howarth (1951b), siehe Bild. 12.14. Häufig werden sogar nicht-orthogonale Koordinatensysteme gewählt, wie es in Bild 12.8 für einen Pfeilflügel skizziert ist. Dabei steht die y-Achse weiterhin senkrecht auf der Oberfläche, die beiden Koordinatenlinien auf der Oberfläche bilden jedoch im allgemeinen einen von 90 ◦ verschiedenen Winkel. In diesem Fall muß das Gleichungssystem (12.55) bis (12.58) um Terme erweitert werden, die den Winkel als zusätzliche Größe enthalten, vgl. Kap. 20.2.1 und J. Cousteix (1987b). Körperangepaßte Koordinatensysteme haben den Vorteil, daß sie von Änderungen der Strömung, z.B. durch Variation des Anstellwinkels, unabhängig sind. Andererseits können jedoch in den Metrik-Koeffizienten Singularitäten auftreten, die durch aufwendige Transformationen beseitigt werden müssen, vgl. T. Cebeci et al. (1980b) und T. Cebeci (1987). Auch bei nicht-orthogonalen Koordinatensystemen an rumpfähnlichen Körpern tritt diese Problematik auf, vgl. R. Grundmann (1981), Y.S. Wie; J.E. Harris (1991).

Bild 12.8. Nicht-orthogonales Ko-

ordinatensystem an einem Pfeilflügel

342

12 Axialsymmetrische und dreidimensionale Grenzschichten

2. Strömungsangepaßtes Koordinatensystem. Als Koordinatenlinien auf der

Körperoberfläche werden die wandnahen Stromlinien der reibunglosen Außenströmung und die zugehörigen orthogonalen Trajektorien verwendet, vgl. W.D. Hayes (1951) und L. Prandtl (1961). Nachteilig ist dabei, daß sich bei Änderung des Anstellwinkels auch das Koordinatensystem ändert. Vorteilhaft ist, daß am Außenrand der Grenzschicht die w-Komponente der Geschwindigkeit verschwindet (W (x,z) = 0). Damit gilt dort: ∂U ∂p  ∂hx 2 ∂p U =− ; U = . (12.60) ∂x ∂x hx ∂z ∂z In diesem Fall beschreibt also die w-Komponente die Sekundärströmung, vgl. Bild 12.9. Für ∂hx /∂z = 0 reduziert sich wegen Gl. (12.60) die Gleichung (12.57) auf eine homogene Gleichung für w, die wegen der homogenen Randbedingungen für w die triviale Lösung w = 0 besitzt, d.h. in diesem Fall entsteht keine Sekundärströmung. Nach einem Satz von R. Sedney (1957) gilt ∂hx /∂z = 0, d.h. es treten keine Sekundärströmungen in der Grenzschicht auf, wenn die wandnahen Stromlinien der reibungslosen Außenströmung geodätische Linien der Körperoberfläche sind. Dabei wird eine Kurve auf der Fläche als geodätische Linie bezeichnet, wenn die Flächennormale in allen Punkten der Kurve mit der Hauptnormalen der Kurve übereinstimmt (z.B. sind Großkreise auf der Kugel geodätische Linien). Numerische Verfahren zur Lösung des Gleichungssystems (12.55) bis (12.58) bzw. des erweiterten Systems für nicht-orthogonale Koordinatensysteme wurden u.a. von E. Krause et al. (1969), E. Krause (1973), W.L. Melnik (1982), T. Cebeci (1987) und V. Iyer; J.E. Harris (1990) beschrieben. Obwohl die Gleichungen parabolisch sind, müssen die Richtungen, in denen die Rechnung fortschreitet, sorgfältig gewählt werden. Dabei ist die Einfluß-Zone eines Punktes in der Grenzschicht zu berücksichtigen. Diese ist nach Bild 12.10 durch den Bereich der Grenzschicht festgelegt, in dem alle Stromlinien liegen, die durch die Normale AB (mit dem Punkt P ) verlaufen. Analog befindet sich stromaufwärts von AB die Abhängigkeits-Zone, in der alle Punkte liegen, die auf P einen Einfluß haben. Die numerische Berechnung mittels eines Finite-Differenzen-Verfahrens erfordert ein besonderes Vorgehen, wenn die Sekundärströmung Rückströmung aufweist. Hierbei hat sich das sog. Zickzack-Schema (engl.: Zig-Zag-scheme) nach E. Krause et al. (1969) bewährt, vgl. auch T. Cebeci (1987), siehe auch Kap. 23.

Bild 12.9. Orthogonales Stromlinien-Koordinatensystem, s: Stromlinie am Außenrand der Grenzschicht

12.2 Dreidimensionale Grenzschichten

343

Bild 12.10. Abhängigkeitszone und Ein-

flußzone bei dreidimensionalen Grenzschichten Ab: Abhängigkeitszone E: Einflußzone

Bild 12.11. Ablösungslinie einer

dreidimensionalen Grenzschicht als Enveloppe der Wandstromlinien

Auch bei dreidimensionalen Grenzschichten werden häufig Transformationen der Koordinaten benutzt, die der Görtler-Transformation (7.76) oder der PseudoÄhnlichkeitstransformation (10.138) entsprechen, um das Anwachsen der Grenzschichtdicke im Rechengebiet zu reduzieren, vgl. T. Cebeci (1987). Besondere Bedeutung hat bei dreidimensionalen Grenzschichten die Definition der Ablösung, vgl. die Übersichtsartikel von E.C. Maskell (1955), M.J. Lighthill (1963) und K.C. Wang (1972, 1976), M. Tobak; D.J. Peake (1982), U. Dallmann (1983), H. Hornung; A.E. Perry (1984). Nach E.C. Maskell ist die Ablösungslinie eine Einhüllende (Enveloppe) der Grenzstromlinien (d.h. der Wandschubspannungslinien), vgl. Bild 12.11. Eng verknüpft mit der Ablösungslinie ist die Berandung des sog. Zugänglichkeitsbereiches, der alle Punkte enthält, die durch die Grenzschichtrechnung vom vorderen Staupunkt aus erreicht werden können, vgl. T. Cebeci et al. (1981). Beim Auftreten von Ablösung einer dreidimensionalen Grenzschicht kommt es insbesondere bei stumpfen Körpern im allgemeinen zu drastischen Änderungen der Außenströmung, so daß es Schwierigkeiten bereitet, die reibungslose Strömung zu berechnen. Wegen der komplexen Wirbelstrukturen, die bei der dreidimensionalen Ablösung entstehen, ist auch eine Verdrängungskorrektur, wie sie in ebenen Strömungen möglich ist und in Kap. 14 als Effekt höherer Ordnung beschrieben wird, nicht mehr möglich. In diesem Fall bietet die asymptotische Theorie (Re → ∞) keinen Vorteil mehr gegenüber der Lösung der vollständigen Bewegungsgleichungen, zumal häufig dreidimensionale abgelöste Strömungen dazu neigen, instationär zu werden.

344

12 Axialsymmetrische und dreidimensionale Grenzschichten

Auch Integralverfahren werden zur Berechnung dreidimensionaler Grenzschichten eingesetzt, vgl. H.-W. Stock; H.P. Horton (1985). Hierbei ist auf die Definition der Verdrängungsdicke δ1 (x,z) zu achten. Für die beiden Koordinatenrichtungen in dem System nach Bild 12.9 (d.h. W = 0) werden für  = const die Werte δ1x nach Gl. (12.24) und ∞ w δ1z = dy (12.61) U 0

bestimmt. Daraus läßt sich mit Hilfe der partiellen Differentialgleichung ∂ ∂ [hz U (δ1 − δ1x )] + [hx U δ1z ] = 0 ∂x ∂z

(12.62)

die wirkliche Verdrängungsdicke δ1 (x,z) ermitteln. Für die Verdrängungsgeschwindigkeit am Außenrand der Grenzschicht gilt: lim (v − V ) =

y→∞

1 ∂ (hz U δ1 ). hx hz ∂x

(12.63)

Diese Formel geht für ebene Strömungen (hx = hz = 1) in Gl. (6.35) über. Zusammenfassende Darstellungen über dreidimensionale Grenzschichten findet man bei W.R. Sears (1954), F.K. Moore (1956), H. Schlichting (1961), J.C. Cooke; M.G. Hall (1962), M.J. Lighthill (1963), L.F. Crabtree et al. (1963), A. Mager (1964), E.A. Eichelbrenner (1973), H.A. Dwyer (1981) und J. Cousteix (1986, 1987a, b). Im folgenden werden einige spezielle Beispiele betrachtet. 12.2.2 Grenzschichten am Zylinder Handelt es sich bei der Oberfläche des Körpers um eine abwickelbare Zylinderfläche nach Bild 12.12, gilt hx = 1, hz = 1, so daß sich Gl. (12.55) bis (12.58) stark vereinfachen. Vorgaben sind U (x,z), W (x,z) und Tw (x,z) bzw. qw (x,z). Für w = 0 geht das System dann in die Grenzschichtgleichungen für ebene Strömungen, Gl. (10.4) bis (10.6), über.

Bild 12.12. Koordinatensystem bei dreidimensionalen Grenzschichten an zylindrischen Körpern

12.2 Dreidimensionale Grenzschichten

345

Von Th. Geis (1956b) wurden diejenigen Strömungen untersucht, die auf ähnliche Lösungen führen. Analog zu den Keilströmungen im zweidimensionalen Fall, vgl. Kap. 7.2, sind die Geschwindigkeitsprofile in jeder der beiden Achsrichtungen zueinander ähnlich, wodurch sich das Gleichungssystem auf ein System gewöhnlicher Differentialgleichungen zurückführen läßt. Eine Verallgemeinerung, auch auf kompressible Grenzschichten, wurde von V. Saljnikov; U. Dallmann (1989) angegeben. Dort findet man auch Hinweise auf weitere Literatur. Von H.G. Loos (1955) wurde die Grenzschicht für die Außenströmung U = const,  an x n erfolgte von W = a0 + a1 x untersucht, eine Erweiterung auf U = const, W = A.G. Hansen; H.Z. Herzig (1956). Da diese Außenströmungen nicht drehungsfrei sind, kann es hierbei vorkommen, daß die Geschwindigkeit in der Grenzschicht größer ist als in der Außenströmung. Die Übergeschwindigkeiten rühren von der Sekundärströmung in der Grenzschicht her, welche Fluid aus energiereicheren Zonen herausschafft. Bei diesen Strömungen kann auch der Fall eintreten, daß das Geschwindigkeitsprofil in der Hauptströmungsrichtung zunächst Rückströmung aufweist, daß jedoch die Rückströmung keine Ablösung darstellt, sondern weiter stromabwärts verschwindet. Auch dieses Verhalten läßt sich durch den Energietransport der Sekundärströmung erklären. Man kann an diesem Beispiel erkennen, daß bei dreidimensionalen Grenzschichten die Definition der Ablösung nicht unproblematisch ist, da hier Rückströmung und Wandschubspannung nicht mehr so einfach zusammenhängen wie bei ebenen Grenzschichten, vgl. auch T. Cebeci et al. (1981). Eine Vereinfachung der Berechnung ergibt sich für Außenströmungen der Form: U (x,z) = U0 (x) + U1 (x,z)

U1  U0

W (x,z) = W1 (x,z)

W1  U0 ,

d.h. für eine Außenströmung, die aus einer ebenen Grundströmung und einer schwachen Störströmung besteht. Für letztere können die Differentialgleichungen linearisiert werden, und die Grundströmung ist von der Störströmung unabhängig, vgl. A. Mager (1954, 1955). Die dreidimensionale Grenzschicht an der bewegten Platte wurde von M. Kronast (1992) behandelt. Sie ist für den Bodeneffekt von Kraftfahrzeugen von Bedeutung. Die Dreidimensionalität bei der Plattenströmung kann auch durch die Randbedingungen an der Wand entstehen, z.B. durch entsprechende Verteilungen der Absaugegeschwindigkeit, vgl. K. Gersten; J.F. Gross (1974a), K.D. Singh (1993) und P. Singh et al. (1981), oder der Temperatur bei variablen Stoffwerten. Dreidimensionale Grenzschichten entstehen auch bei der gemischten Konvektion, wenn die Auftriebskräfte nicht in Richtung der Hauptströmungsrichtung wirken, vgl. G.H. Evans; O.A. Plumb (1982a, 1982b). Die natürliche Konvektion an einem geneigten Zylinder wurde von A. Suwono (1980) untersucht.

12.2.3 Grenzschichten am schiebenden Zylinder Als Sonderfall des vorigen Abschnittes ergeben sich die Grenzschichten am unendlich langen schiebenden Zylinder. Für die Außenströmung gilt dann W = W∞ = const, und alle Ableitungen nach der Koordinate z verschwinden. Damit reduzieren sich die Grenzschichtgleichungen auf:

346

12 Axialsymmetrische und dreidimensionale Grenzschichten

∂(u) ∂(v) + = 0, ∂x ∂y

 ∂u ∂u ∂ dp ∂u  u +v + =− µ , ∂x ∂y dx ∂y ∂y

 ∂w ∂w ∂ ∂w  u +v = µ , ∂x ∂y ∂y ∂y
2

 ∂u ∂T ∂T ∂ ∂T dp +v +µ . = λ + βT u cp u ∂x ∂y ∂y ∂y dx ∂y

(12.64) (12.65) (12.66)

(12.67)

Man erkennt, daß Gl. (12.64), (12.65) und (12.67) mit dem System ebener Grenzschichten nach Gl. (10.4) bis (10.6) identisch sind, also unabhängig von der Querströmung. Nach diesem Unabhängigkeitsprinzip kann die Strömung wie eine ebene Strömung vorweg berechnet werden. Danach kann die Geschwindigkeit der Querströmung w(x,y) aus der linearen Differentialgleichung (12.66) ermittelt werden. Diese Gleichung für w ist übrigens die gleiche wie für die Temperaturverteilung, wenn β = 0, Pr = 1 gesetzt und die Dissipation vernachlässigt wird. Der Sonderfall U = U∞ = const entspricht der schiebenden ebenen Platte. Es fallen dann in Gl. (12.65) und (12.67) noch die Druckglieder fort, womit Gl. (12.65) und (12.66) identisch sind, wenn man u durch w ersetzt. Damit gilt w/W∞ = u/U∞ . Das Schieben der Platte hat also somit keinen Einfluß auf die Ausbildung der Grenzschicht. Für die Außenströmung U ∼ x m findet man zahlreiche Ergebnisse bei C.F. Dewey Jr.; J.F. Gross (1967), auch für Ausblasen. Es handelt sich um ähnliche Lösungen. Wichtigster Spezialfall ist die Staulinie mit U = ax. Für allgemeine Außenströmungen U (x) sind Lösungen durch Reihenentwicklungen, vgl. W.R. Sears (1948) und H. Görtler (1952a), und durch Integralverfahren, vgl. L. Prandtl (1945), U. Dienemann (1953) und J.M. Wild (1949), ermittelt worden.Als Beispiel einer solchen Rechnung zeigt Bild 12.13 das Stromlinienbild an einem schiebenden und angestellten elliptischen Zylinder (Achsenverhältnis 6 : 1, Auftriebsbeiwert cA = 0,47). Das Bild zeigt deutlich den Unterschied zwischen den Stromlinien der Außenströmung und den Grenzstromlinien (Wandschubspannungs-Linien) an der Oberfläche. Es entsteht demnach eine Sekundärströmung, durch die die Grenzschichtströmung zum zurückliegenden Ende abgelenkt wird. Die ebenfalls eingezeichnete Ablösungslinie ist, wie bereits weiter oben erwähnt, die Einhüllende aller Grenzstromlinien. Auf ihr gilt τwx = 0, aber τwz = 0, d.h. die resultierende Wandschubspannung verschwindet auf der Ablösungslinie nicht. Der halbunendlich lange rotierende Zylinder in schräger Anströmung ist von L.G. Loitsianski (1967, S. 247) untersucht worden.

12.2.4 Dreidimensionaler Staupunkt Im dreidimensionalen Staupunkt nach Bild 12.14 gilt für die Außenströmung: U (x) = ax, Mit den Ansätzen

W (z) = bz = caz .

(12.68)

12.2 Dreidimensionale Grenzschichten

347

Bild 12.13. Grenzschichtströmung an einem schiebenden elliptischen Zylinder mit Auftrieb, nach J.M. Wild (1949)

Bild 12.14. Koordinatensystem in der Umgebung eines dreidimensionalen Staupunktes. Koordinatenlinien = Hauptkrümmungslinien

u = U (x)f  (η), w = W (z)g  (η), T e ϑ(η) = = ,η = Te 



a e µ e

y  dy

(12.69)

0

ergeben sich die gewöhnlichen Differentialgleichungen:  µ   f + (f + cg)f  − (f 2 − ϑ) = 0, e µe 
µ   g + (f + cg)g  − c(g 2 − ϑ) = 0, e µ e


(12.70) (12.71)

348

12 Axialsymmetrische und dreidimensionale Grenzschichten




µ  ϑ e µ e



+ Pr(f + cg)ϑ  = 0

(12.72)

mit den Randbedingungen η=0:

f = fw ,

η → ∞ : f  = 1,

f  = 0, g  = 1,

g = 0,

g  = 0,

ϑ=

ϑ = 1.

Tw Te

(12.73)

Spezialfälle sind der rotationssymmetrische Staupunkt (c = 1, f = g), vgl. Kap. 5.2.3, und der ebene Staupunkt (c = 0), vgl. Kap. 5.1.3 und Kap. 10.4.4. Im letzteren Fall entspricht die Lösung g(η) der Geschwindigkeitsverteilung entlang der Staulinie eines schiebenden Zylinders, vgl. Abschnitt 12.2.3. Zahlreiche numerische Ergebnisse für den dreidimensionalen Staupunkt für verschiedene Werte c, auch mit Ausblasen (fw  = 0), findet man bei L. Howarth (1951b), E. Reshotko (1958), P.A. Libby (1967), K. Gersten (1973a) und H.-D. Papenfuß (1975). 12.2.5 Grenzschichten in Symmetrie-Ebenen Symmetrie-Ebenen sind dadurch gekennzeichnet, daß w = 0 gilt und alle Ableitungen nach z verschwinden bis auf den Term ∂w/∂z  = 0. Damit vereinfachen sich die Grenzschichtgleichungen ganz erheblich. Aus Gl. (12.55) folgt bei konstantem : u ∂hz ∂v 1 ∂w 1 ∂u + + + = 0. hx ∂x hx hz ∂x ∂y hz ∂z

(12.74)

Man erkennt, daß die Strömung in der Symmetrie-Ebene keineswegs einer ebenen Grenzschicht entspricht. Der letzte Term in Gl. (12.74) ist ein Maß für die Konvergenz bzw. Divergenz der Stromlinien in der Nähe der Symmetrie-Ebene. Die Gleichung (12.57) ist in der Symmetrie-Ebene singulär, aber durch partielle Differentiation nach z ergibt sich bei konstanten Stoffwerten: 

   u ∂ ∂w 1 ∂w 2 1 ∂hz ∂w ∂ ∂w  + u + +v hx ∂x ∂z ∂y ∂z hz ∂z hx hz ∂x ∂z

  ∂ 1 ∂p ∂ 2 ∂w =− +µ 2 . (12.75) ∂z hz ∂z ∂y ∂z Diese Gleichung bildet zusammen mit Gl. (12.74) und der vereinfachten Gleichung (12.56) (w = 0) drei Gleichungen für die drei Größen u(x,y), v(x,y) und ∂w ∂z (x,y). In der Symmetrie-Ebene kann also fast wie bei einer ebenen Grenzschicht die Strömung unabhängig von der Grenzschicht auf dem Rest des Körpers ermittelt werden, vgl. K.C. Wang (1970, 1974a), R. Grundmann (1981), G.H. Schneider; Z. Zhu (1982) und H.-W. Stock (1986). Die im vorigen Abschnitt behandelte StaupunktGrenzschicht kann dafür als Startlösung verwendet werden.

12.2 Dreidimensionale Grenzschichten

349

12.2.6 Allgemeine Konfigurationen Ellipsoide. Zahlreiche Grenzschichtuntersuchungen wurden an angestellten Rotationsellipsoiden und an dreiachsigen Ellipsoiden ohne und mit Anstellwinkel durchgeführt, vgl. z.B. E.A. Eichelbrenner; A. Ondart (1955), W. Geißler (1974a, 1974b), K.C. Wang (1974b, 1974c, 1974d), H.-W. Stock (1980, 1986) und V.C. Patel; J.H. Baek (1985). Der Grund dafür mag unter anderem damit zusammenhängen, daß für die Potentialströmungen um diese Körper einfache analytische Lösungen vorliegen. Bild 12.15 zeigt Ergebnisse für die dreidimensionale Grenzschicht an einem angestellten Rotationsellipsoid. Im Bild 12.15a ist neben den Potential- und Stromlinien der Außenströmung die Ablösungslinie S nach der Theorie mit eingetragen. Bild 12.15b und c geben die Geschwindigkeitsverteilung in der Grenzschicht an verschiedenen Stellen auf einer speziellen Potentiallinie wieder. Neue Experimente für diesen Fall haben H.U. Meier; H.P. Kreplin (1980) mitgeteilt. Rümpfe. Die dreidimensionalen Grenzschichten an Flugzeugrümpfen oder rumpfähnlichen

Rotationskörpern mit Anstellwinkel wurden von Y.-S. Wie; J.E. Harris (1991) und V.C. Patel; D.H. Choi (1980) untersucht. Von T. Cebeci et al. (1980a) wurden Schiffsrümpfe behandelt.

Bild 12.15. Geschwindigkeitsverteilung der dreidimensionalen Grenzschicht an einem Rotationsellipsoid mit dem Achsenverhältnis l/D = 4 beim Anstellwinkel α = 15 ◦ nach W. Geißler (1974a, 1974b) a) System der Potentiallinien und Stromlinien der Außenströmung; S: Ablösungslinie b) Geschwindigkeitsprofile u/V in Richtung der Stromlinien der Außenströmung c) Geschwindigkeitsprofile w/V der Sekundärströmung senkrecht zur Richtung der Stromlinien der Außenströmung : Azimutwinkel  = 0 ◦ : windseitige Symmetrielinie

m (1) (13) (25) (30) (41)

 0◦ 71 ◦ 122 ◦ 141 ◦ 180 ◦

x/ l 0,300 0,322 0,277 0,264 0,254

350

12 Axialsymmetrische und dreidimensionale Grenzschichten

Pfeilflügel. Wegen der großen praktischen Bedeutung ist die dreidimensionale Grenzschicht

an Pfeilflügeln sehr intensiv untersucht worden, vgl. T. Cebeci et al. (1977), D. Schwamborn (1984), J. Cousteix (1987a, b). Beim Entwurf von Flugzeug-Tragflügeln spielt das Verhalten der dreidimensionalen Grenzschicht am Flügel eine entscheidende Rolle. Dabei besteht das Bestreben, zur Reduktion des Widerstandes einen möglichst großen Anteil der Grenzschicht laminar zu halten. Das geschieht durch entsprechende günstige Druckverteilungen mittels Formgebung. Aber auch das Hilfsmittel der Absaugung wird eingesetzt, um die Grenzschicht zu stabilisieren und laminar zu halten. Im schallnahen Bereich kommt der Wechselwirkung von Verdichtungstoß und Grenzschicht eine besondere Bedeutung zu, auf die in Kap. 14 eingegangen wird. Der Beginn der Grenzschichtentwicklung in der Nähe der Anlegelinie (Staulinie) von Tragflügeln wurde von D. Schwamborn (1981) behandelt. Umfangreiche Messungen der Grenzschicht am Deltaflügel wurden von D. Hummel (1986) ausgeführt. Angestellte Kegel in Überschallströmung. Die laminare Grenzschicht an einem angestellten, rotierenden Kreiskegel bei Überschallgeschwindigkeit wurde von R. Sedney (1957) untersucht, vgl. auch A.N. Pokrovskii et al. (1984). Grenzschichten im rotierenden System. Strömungen in rotierenden Systemen interessieren vor allem im Zusammenhang mit Propellern, Hubschrauber-Rotoren und Strömungsmaschinen. Von G. Jungclaus (1955) wurde ein Integralverfahren eingesetzt, E. Grundmann (1976) hat Grenzschichten an gekrümmten rotierenden Zylindern numerisch berechnet. Dabei erwiesen sich die zusätzlich auftretenden Coriolis-Kräfte als äußerst wichtig. Durch sie ist es möglich, daß der Druckgradient senkrecht zur Grenzschicht nicht mehr verschwindet. Die dreidimensionale Grenzschicht an einen rotierenden zylindrischen Flügel ist von L.E. Fogarty (1951), W.R. Sears (1954) und H.S. Tan (1953) untersucht worden. Weitere Untersuchungen an rotierenden Rotorblättern wurden von Ph.J. Morris (1981) und T. Toyokura et al. (1982) durchgeführt.

13 Instationäre Grenzschichten

13.1

Grundlagen 13.1.1 Vorbemerkung Die bisher behandelten Beispiele von Lösungen der Grenzschichtgleichungen sind solche für stationäre Strömungen. Obgleich diese bei den praktischen Anwendungen bei weitem am wichtigsten sind, sollen in diesem Kapitel auch einige Fälle von zeitlich veränderlichen, also instationären Grenzschichten behandelt werden. Bei den instationären Grenzschichten handelt es sich meist entweder um Anfahrvorgänge, d.h. um Bewegungen aus der Ruhe heraus, bzw. um Übergänge von einer stationären Strömung in eine andere oder um periodische Bewegungen. In Kap. 5.3 und 5.4 sind bereits derartige instationäre Strömungen beschrieben werden, für die sich Lösungen der vollständigen Navier-Stokes-Gleichungen angeben lassen. Dabei hatte sich bereits herausgestellt, daß die Lösungen für kleine Viskositäten, d.h. für große Reynolds-Zahlen, Grenzschicht-Charakter besitzen. Infolge der zusätzlichen Variablen t tritt neben l, V und ν als weitere Bezugsgröße eine charakteristische Zeit tR oder eine Frequenz n = 1/tR auf. Aus den vier Größen l, V , ν und tR lassen sich zwei dimensionslose Kennzahlen bilden. Als erste Kennzahl ergibt sich die dimensionslose Bezugszeit tR∗ = tR V / l ,

(13.1)

die bei periodischen Strömungen wegen tR = 1/n identisch ist mit dem Kehrwert der Strouhal-Zahl Sr = nl/V = 1/tR∗ nach Gl. (1.16). Die Wahl der zweiten Kennzahl hängt von der betrachteten Strömung ab. Wie sich in Kap. 5 bereits herausstellte, ergeben sich Vereinfachungen bei den Berechnungen von periodischen Strömungen für sehr kleine Frequenzen (quasi-stationäre Strömung) und für sehr hohe Frequenzen (Stokessche Schicht). Für große Zeiten (d.h. kleine Frequenzen) bietet sich als zweite Kennzahl die im Stationären gebräuchliche Reynolds-Zahl Re = V l/ν an. Für kleine Zeiten (d.h. hohe Frequenzen) tritt jedoch die Kennzahl tR∗ νtR ν = = l2 nl 2 Re  ∗ auf (z.B. folgt aus Gl. (5.105): ηs = y/(l 2tR0 )). ∗ tR0 =

(13.2)

352

13 Instationäre Grenzschichten

Im folgenden wird stets ein körperfestes Koordinatensystem verwendet. Dabei setzt sich die Strömung wieder zusammen aus der reibungslosen, jetzt jedoch instationären Außenströmung und der reibungsbehafteten Grenzschicht. Es werden zunächst nur ebene und axialsymmetrische instationäre Grenzschichten behandelt. Die Geschwindigkeitsverteilung U (x,t) der reibungslosen Außenströmung in Wandnähe wird also wieder als bekannt vorausgesetzt. Anfahrvorgänge von Körpern in ruhendem Fluid verlaufen so, daß unmittelbar nach Beginn der Bewegung im ganzen Feld mit Ausnahme einer sehr dünnen Schicht am Körper die drehungsfreie Potentialströmung herrscht. Die Dicke der Grenzschicht nimmt dann mit der Zeit zu. Dabei ist bei ihrer weiteren Ausbildung wichtig, den Zeitpunkt des ersten Auftretens der Ablösung anzugeben. Wenn Ablösung einsetzt, wird die Außenströmung durch die ablösende Grenzschicht erheblich verändert. Eine saubere Trennung zwischen einer drehungsfreien Außenströmung und der drehungsbehafteten abgelösten Grenzschicht ist dann im allgemeinen nicht mehr möglich, so daß in diesen Fällen die Grenzschichttheorie, die ja von einer klar definierten Schichtenstruktur der Strömung ausgeht, nicht mehr eingesetzt werden kann. Das gilt nicht nur für Anfahrvorgänge von stumpfen Körpern nach dem Einsetzen der Ablösung, sondern für alle instationären Grenzschichten mit deutlicher Ablösung. Im folgenden werden daher nur instationäre Grenzschichten ohne Ablösung oder mit geringfügiger Ablösung (d.h. ohne starke Rückwirkung auf die reibungslose Außenströmung) betrachtet. Bei Anfahrvorgängen wird die Strömung nur bis zum Einsetzen der Ablösung untersucht. Zusammenfassende Darstellungen und Übersichten zu instationären Grenzschichten findet man bei K. Stewartson (1960), J.T. Stuart (1963), N. Rott (1964), E.A. Eichelbrenner (1972), N. Riley (1975), R.B. Kinney (1975), D.P. Telionis (1979, 1981), T. Cebeci (1982) und W. Geißler (1993).

13.1.2 Grenzschichtgleichungen Es werden ebene und axialsymmetrische kompressible Grenzschichten betrachtet. Nach Kap. 3 erhält man die vollständigen Navier-Stokes-Gleichungen für instationäre Strömungen aus denjenigen für stationäre Strömungen durch Hinzufügen weniger Glieder. In der Kontinuitätsgleichung lautet das Zusatzglied ∂/∂t, vgl. Gl. (3.3), in der x-Impulsgleichung ∂u/∂t, vgl. Gl. (3.20), und in der thermischen Energiegleichung (3.72) auf der linken Seite der Gleichung cp ∂T /∂t und auf der rechten Seite βT ∂p/∂t. Analog dazu erhält man die Gleichungen für instationäre Grenzschichten. Sie lauten in dimensionsbehafteter Form: j

j

∂ ∂(rw u) ∂(rw v) + + = 0, ∂t ∂x ∂y

(13.3)

13.1 Grundlagen


cp

∂T ∂T ∂T +u +v ∂t ∂x ∂y

 =



 ∂p ∂p ∂ ∂T +u λ + βT ∂y ∂y ∂t ∂x
2 ∂u . +µ ∂y

353

(13.4)

(13.5)

Sie gelten sowohl für ebene Grenzschichten (j = 0) als auch für axialsymmetrische Grenzschichten (j = 1). Das System (13.3) bis (13.5) geht für stationäre Strömungen in Gl. (10.4) bis (10.6) (j = 0) bzw. in Gl. (12.1) bis (12.3) (j = 1) über. Die Randbedingungen lauten: y=0:

u = 0,

v = vw , T = Tw (x,t)

y → ∞ : u = U (x,t),

T = Te (x,t) .

Die Geschwindigkeit der Außenströmung U (x,t) hängt mit dem Druck in der Grenzschicht wie folgt zusammen:
 ∂p dU ∂U − = e +U , (13.6) ∂x ∂t dx wenn der Schwerkraftterm, vgl. Gl. (13.4), vernachlässigt wird. Wenn noch die Stoffgesetze für ,µ,λ und cp gegeben sind, ist das Gleichungssystem geschlossen, um bei Vorgabe der Funktionen U (x,t), vw (x,t), Te (x,t),Tw (x,t) die Grenzschicht berechnen zu können. Ein numerisches Verfahren (Feldverfahren) zur Lösung der instationären Grenzschichtgleichungen für zweidimensionale Strömungen mit konstanten Stoffwerten wurde von M.G. Hall (1969) angegeben, vgl. auch Kap. 23. 13.1.3 Ähnliche und halbähnliche Lösungen Bei den stationären Grenzschichten hießen diejenigen Lösungen ähnlich, vgl. Kap. 7.2, bei denen sich die zwei unabhängigenVeränderlichen x und y durch eine geeignete Ähnlichkeitstransformation auf eine einzige Variable η zurückführen ließen. Ganz analog spricht man auch bei den instationären Grenzschichtgleichungen dann von ähnlichen Lösungen, wenn sich die drei unabhängigen Veränderlichen x,y und t auf eine einzige Variable zurückführen lassen. Von H. Schuh (1955) und Th. Geis (1956a) wurden alle diejenigen Lösungen angegeben, bei denen die Reduktion auf eine einzige Variable möglich ist, d.h. die von der Form sind: u(x,y,t) = U (x,t)H (η)

mit

η=

y . N (x,t)

(13.7)

Darunter fallen z.B. die Außenströmungen der Form U (x,t) = c x/t oder U (x,t) = c t m . Die ähnlichen Lösungen für die Außenströmung U (x,t) = x/(a + bt) mit den Konstanten a und b wurden von K.T. Yang (1958) berechnet.

354

13 Instationäre Grenzschichten

Gelingt durch eine geeignete Transformation eine Reduktion der drei Veränderlichen x,y,t auf zwei Variable, so spricht man von halbähnlichen Lösungen, vgl. N. Hayasi (1962). Bei Reduktion speziell auf die Variablen y und x/t werden die Lösungen auch pseudostationär genannt, vgl. E. Becker (1962). Für die Außenströmung U (x,t) = U0 − x/(t0 − t) mit den Konstanten U0 und t0 wurde eine solche Lösung von I. Tani (1958) angegeben. Eine größere Klasse von halbähnlichen Lösungen hat H.A. Hassan (1960) behandelt, vgl. auch N. Hayasi (1962). 13.1.4 Lösungen für kleine Zeiten bzw. große Frequenzen Die Grenzschichtgleichungen (13.4) und (13.5) entstehen wie bei stationären Grenzschichten, indem die vollständigen Navier-Stokes-Gleichungen einer Grenzschichttransformation unterworfen werden und anschließend der Grenzwert für ν → 0 (bzw. eine proportional zu ν gebildete dimensionslose Kennzahl → 0) gebildet wird. Wie bereits in Abschnitt 13.1.1 erwähnt wurde, werden bei instationären Grenzschichten unterschiedliche Kennzahlen gebildet je nachdem, ob kleine Zeiten tR oder große Zeiten tR betrachtet werden. Für große Zeiten ist wie im Stationären die Reynolds-Zahl Re = V l/ν die Kenngröße, die für ν → 0 dem Grenzwert Re → ∞ zustrebt. Damit ergibt sich dafür die bekannte Grenzschicht-Transformation, vgl. Gl. (6.6), √ √ y = y ∗ Re, v = v ∗ Re (tR∗ → ∞) . (13.8) ∗ nach Gl. (13.2) verwendet. An Für kleine Zeiten tR wird jedoch die Kennzahl tR0 ∗ = l 2 /νt . Damit lautet die Stelle der Reynolds-Zahl tritt jetzt die Kennzahl 1/tR0 R die Grenzschicht-Transformation für diesen Fall   2 l l2 , v = v∗ (tR∗ → 0) . y = y∗ (13.9) tR ν tR ν

Wird die Zeit t auf tR bezogen (d.h. t ∗ = t/tR ), erhält man für die Impulsgleichung in x-Richtung nach der Grenzschichttransformation und nach dem Grenzübergang ∗ → 0 die folgende dimensionslose Form (konstante Stoffwerte): tR0
 ∗ ∂u∗ ∂U ∗ ∂u∗ ∂ 2 u∗ ∂U ∗ ∗ ∗ ∂u + t + v + tR∗ U ∗ ∗ + . (13.10) u = R ∗ ∗ ∗ ∂t ∂x ∂y ∂t ∂x ∂y 2 Für die Lösung bietet sich ein Ansatz als Potenzreihe in tR∗ an: u∗ (x ∗ ,y,t ∗ ) = u0 (x ∗ ,y,t ∗ ) + tR∗ u1 (x ∗ ,y,t ∗ ) + · · · .

(13.11)

tR∗

Einsetzen in Gl. (13.10) und Ordnen nach Potenzen von liefern sukzessiv die folgenden Differentialgleichungen für die einzelnen Glieder der Potenzreihe: ∂u0 ∂ 2 u0 ∂U ∗ − = , ∂t ∗ ∂t ∗ ∂y 2

(13.12)

∗ ∂u0 ∂u0 ∂ 2 u1 ∂u1 ∗ ∂U − = U − u0 ∗ − v 0 2 ∗ ∂t ∗ ∂x ∂x ∂y ∂y

(13.13)

13.1 Grundlagen

355

mit den Randbedingungen: y=0:

u0 = 0, ∗

u1 = 0 ∗ ∗

y = ∞ : u0 = U (x ,t ), u1 = 0 . Zu den Gl. (13.12) und (13.13) treten noch die Kontinuitätsgleichungen für u0 ,v0 sowie u1 ,v1 . In gleicher Weise können auch die Gleichungen für weitere Glieder der Potenzreihe u2 ,v2 usw. aufgeschrieben werden. Entsprechende Gleichungen lassen sich auch für die Temperatur herleiten. Bemerkenswert ist, daß alle Differentialgleichungen, also auch diejenigen für u0 , linear sind. Gleichung (13.12) besagt, daß für kleine Werte tR∗ in erster Näherung die konvektiven Beschleunigungen, die zu der Nichtlinearität der Gleichungen führen, vernachlässigbar sind, so daß Gleichgewicht zwischen den lokalen Beschleunigungskräften und der Reibungskraft besteht.Außerdem enthält Gl. (13.12) nicht explizit die Variable x ∗ , die also nur als Parameter auftritt. Bei der Lösung u0 (x ∗ ,y,t ∗ ) handelt es sich demnach um eine lokale Lösung vergleichbar mit der Lösung für massives Absaugen in Kap. 11.2.2. Wie sich zeigen wird, führt bei einfachen Geschwindigkeitsverteilungen U ∗ (x ∗ ,t ∗ ) die Gleichung (13.12) auf ähnliche Lösungen. 13.1.5 Ablösung instationärer Grenzschichten In stationären Grenzschichten ist der Ablösungspunkt durch die Stelle verschwindender Wandschubspannung τw = 0 definiert worden. An dieser Stelle bildet sich bei vorgegebener Druckverteilung der Außenströmung eine Singularität aus (die Gradienten dδ1 /dx und dτw /dx werden unendlich, vgl. Gl. (7.84)), so daß eine Fortsetzung der Grenzschichtrechnung über diesen Punkt hinaus nicht möglich ist. Diese Definition kann nicht für instationäre Grenzschichten übernommen werden. Als Ablösungspunkt wird jetzt diejenige Stelle definiert, an der eine Singularität auftritt (z.B. wenn für den Gradient dδ1 /dx → ∞ gilt). An der Stelle mit τw = 0, die sich im allgemeinen mit der Zeit ändert, ist dagegen die Lösung der Grenzschichtgleichung im allgemeinen regulär. Die Lage des Ablösungspunktes bei instationären Grenzschichten kann mit dem sogenannten MRS-Kriterium, das zunächst für stationäre Grenzschichten an bewegten Wänden entwickelt worden ist, vgl. Kap. 11.1 und Bild 11.2, bestimmt werden. In einem Koordinatensystem, das sich mit dem Ablösungspunkt mitbewegt, erscheint die Grenzschicht in der Umgebung des Ablösungspunktes stationär und an einer bewegten Wand, so daß in diesem Koordinatensystem des MRS-Kriterium angewendet werden kann. Es sei jedoch angemerkt, daß die beiden in Kap. 11.1 genannten Bedingungen bei der Berechnung einer instationären Grenzschicht nicht in einfacher Weise kontrolliert werden können, vgl. W. Geißler (1989). Weitere Einzelheiten zur Ablösung instationärer Grenzschichten bzw. zum Auftreten der Singularität findet man bei W.R. Sears; D.P. Telionis (1972), S.F. Shen; J.P. Nenni (1975), S.F. Shen (1978), T. Cebeci (1982), L.L. Van Dommelen; S.F. Shen (1982), P.G. Williams (1982), J.C. Williams III (1982), F.T. Smith (1986) und T. Cebeci (1986).

356

13 Instationäre Grenzschichten

Wie in Kap. 14 gezeigt wird, kann durch Berücksichtigung von Grenzschichteffekten höherer Ordnung das Auftreten der Singularität vermieden werden. 13.1.6 Integralsätze und Integralverfahren Genauso wie für stationäre Grenzschichten lassen sich auch für instationäre Grenzschichten aus den Grenzschichtgleichungen Integralsätze herleiten. Sie lauten für Grenzschichten mit konstanten Stoffwerten und ohne Berücksichtigung der Dissipation: τw ∂ δ2 drw ∂ ∂U (U δ1 ) + (U 2 δ2 ) + δ1 U + jU2 = , ∂t ∂x ∂x rw dx  ∂ 2 ∂ ∂δ1 δ3 drw + (U 2 δ2 ) + (U 3 δ3 ) + j U 3 = D, ∂t ∂t ∂x rw dx  & % ∂U δT qw ∂ δT drw U = (Tw − T∞ )U δT + j (Tw − T∞ )U + ∂t cp ∂x rw dx cp U2

(13.14) (13.15) (13.16)

mit j = 0 für ebene Grenzschichten und j = 1 für axialsymmetrische Grenzschichten. Die Gleichungen gehen für stationäre Grenzschichten in Gl. (12.10) bis (12.12) über. Die Erweiterungen der Integralsätze auf kompressible Strömungen idealer Gase findet man bei H. Schlichting (1982, S. 414). Ähnlich den in Kap. 8 beschriebenen Näherungsverfahren für stationäre Grenzschichten wurden auch für instationäre Grenzschichten entsprechende Verfahren entwickelt. Von H. Schuh (1953), K.T. Yang (1959), L.A. Rozin (1960), M. Holt; W.-K Chan (1975) und M. Matsushita et al. (1984a, 1984b) stammen derartige Integralverfahren, wobei im Verfahren von K.T. Yang auch die Temperaturgrenzschicht mitbehandelt wird. Die Grundlage bilden dabei die Integralsätze (13.14) bis (13.16). Für die Profile der Geschwindigkeit bzw. der Temperatur werden dabei entweder Polynome oder Profile von ähnlichen Lösungen verwendet. Da die Integration über die Grenzschichtdicke die Elimination nur einer Koordinate (y-Koordinate) zur Folge hat, müssen auch bei den Integralverfahren für instationäre Grenzschichten noch immer partielle Differentialgleichungen gelöst werden.

13.2

Instationäre Bewegung von Körpern in ruhender Umgebung 13.2.1 Anfahrvorgänge Die Bewegung eines von Fluid umgebenen Körpers aus der Ruhe heraus wird als Anfahrvorgang bezeichnet. In einem körperfesten Koordinatensystem bildet sich

13.2 Instationäre Bewegung von Körpern in ruhender Umgebung

357

eine zeitabhängige Strömung um den Körper aus. Diese ist zunächst reibungslos. Lediglich in Wandnähe entsteht im zeitlichen Verlauf eine instationäre Grenzschicht. Am Außenrand der Grenzschicht ist eine typische Verteilung der Geschwindigkeit U (x,t) für Anfahrvorgänge: (x)[1 − e−t/tR ] . U (x,t) = U

(13.17)

Dabei ist die charakteristische Zeit tR ein Maß für die Dauer des Anfahrvorganges. Im Grenzfall tR → 0 handelt es sich um die plötzlich in Gang gesetzte Bewegung. Dieser Fall soll zunächst betrachtet werden. Da es sich um einen Fall mit kleinen Bezugszeiten (tR → 0) handelt, kann die Lösung nach Abschnitt 13.1.4 angegeben werden. ∗ (x ∗ ) reduziert sich Gl. (13.12) auf Wegen der Randbedingung y → ∞ : u0 = U die einfache Differentialgleichung ∂ 2 u0 ∂u0 − =0 ∂t ∗ ∂y 2

(13.18)

u0 = f0 (η) = erf η ∗  U (x ∗ )

(13.19)

y η= √ , 2 νt

(13.20)

mit der ähnlichen Lösung

mit

vgl. auch Gl. (5.93) bis (5.98). Danach verhält sich die Grenzschicht an jeder Stelle lokal so wie beim ersten Stokesschen Problem nach Kap. 5.3.1, d.h. wie bei einer plötzlich in Gang gesetzten Strömung an einer ebenen Wand. Die Erweiterung dieser Lösung nach Abschnitt 13.1.4 führt auf den Ansatz     drw  u(x,y,t) dU  U  = f0 (η) + t f (η) + j f (η) . (13.21) (x) dx 10 rw dx 11 U Für die Funktionen f0 (η), f10 (η) und f11 (η) ergeben sich die Differentialgleichungen f0 + 2ηf0 = 0    f10 + 2ηf10 − 4f10 = 4(f02 − f0 f0 − 1)    f11 + 2ηf11 − 4f11 = −4f0 f0

mit den Randbedingungen: η=0:

  f0 = f10 = f11 = 0, f0 = f10 = f11 =0

η → ∞ : f0 = 1,

  f10 = f11 = 0.

(13.22)

358

13 Instationäre Grenzschichten

Ein Maß für die Wandschubspannung sind die Werte √    f0w = 2/ π = 1,128 , f10w = 1,607 , f11w = 0,169 .

(13.23)

Ein weiteres Glied der Entwicklung (13.11) und damit (13.21) wurde von E. Boltze (1908) und S. Goldstein; L. Rosenhead (1936) berechnet. Durch Differentiation von Gl. (13.21) erhält man die folgende Bedingung für verschwindende Wandschubspannung:
 drw   U dU + 0,169j 1,128 + t0 1,607 = 0. dx rw dx

(13.24)

/dx auf.Am Danach tritt in ebener Strömung (j = 0)Ablösung nur bei negativem d U frühesten verschwindet dabei die Wandschubspannung dort, wo der Absolutbetrag /dx seinen größten Wert hat. von d U Im folgenden sollen einige Beispiele diskutiert werden: Halbunendliche ebene Platte. Zunächst verhält sich die Strömung wie diejenige an einer unendlich ausgedehnten Wand nach Kap. 5.3.1 Danach hat zu einer bestimmten Zeit t der  = U∞ ) noch nicht Bereich stromabwärts vom Punkt mit der Koordinate x = U∞ t (hier U  = U∞ = const liefert der wahrgenommen, daß die Platte eine Vorderkante besitzt. Wegen U zweite Term in der Entwicklung (13.21) in diesem Fall keinen Beitrag. Von H.A. Dwyer (1968) wurden die instationären Grenzschichtgleichungen mit den drei abhängigen Variablen x,y und t numerisch gelöst, ebenso von M.G. Hall, siehe D.P. Telionis

Bild 13.1. Wandschubspannung τw (x,t) für die plötzlich in Bewegung gesetzte ebene Platte,

τws (t): .. .. -------

Wandschubspannung für die plötzlich in Bewegung gesetzte Wand nach Gl. (5.100) numerisches Ergebnis nach H.A. Dwyer (1968) Asymptote für U∞ t/x → 0 (Stokes-Lösung) Asymptote für U∞ t/x → ∞ (stationäre Blasius-Lösung)

13.2 Instationäre Bewegung von Körpern in ruhender Umgebung

359

(1981, S. 99). In Bild 13.1 ist die dimensionslose Wandschubspannung τw (x,t) als Funktion √ einer bezogenen Zeit aufgetragen. Auch aus Dimensionsbetrachtungen (wegen τw ∼ ν) läßt sich schließen, daß eine Darstellung durch eine Kurve möglich ist. Die numerischen Ergebnisse liefern den Übergang von der Stokes-Lösung für kleine Zeiten zur Blasius-Lösung für große Zeiten. Kreiszylinder. Bis zum Einsetzen der Ablösung ist die Außenströmung mit der Potentialströmung identisch. Daher gilt (x) = 2V sin x . U R /dx ist im hinteren Staupunkt am größten, es gilt d U /dx = Der Absolutbetrag von d U −2V /R. Die verschwindende Wandschubspannung tritt also zuerst im hinteren Staupunkt auf, und die Zeit bis zum Auftreten verschwindender Wandschubspannung beträgt nach Gl. (13.24) t0 = 0,35R/V . Genauere Rechnungen ergeben t0 = 0,32R/V , vgl. T. Cebeci (1979) und M. Katagiri (1976). In Bild 13.2 ist die Lage der Stelle verschwindender Wandschubspannung über der Zeit aufgetragen. Man erkennt für t > t0 zunächst ein sehr rasches Vorwärtswandern. Die Ablösung, d.h. das Auftreten einer Singularität, erfolgt erst später, d.h. für tA > t0 . Nach L.L. Van Dommelen; S.F. Shen (1982), T. Cebeci (1982), K.C. Wang (1982) und S.J. Cowley (1983) setzt die Ablösung etwa bei tA = 1,5R/V ein, und zwar nicht am hinteren Staupunkt, sondern an der Stelle xA /R = 1,94 (ϕA = 111◦ ). Die Singularität manifestiert sich u.a. durch einen unendlich großen Anstieg der Verdrängungsdicke (dδ1 /dx → ∞) an dieser Stelle. Bild 13.3 zeigt nach Rechnungen von T. Cebeci (1986) den Verlauf des Reibungsbeiwertes cf = 2τw /V 2 und der Verdrängungsdicke δ1 /R über den rückwärtigen Zylinderumfang zur Zeit t = 1,5R/V . Man erkennt deutlich den steilen Anstieg von δ1 bei ϕ = 111◦ . Die Stelle verschwindender Wandschubspannung liegt zu diesem Zeitpunkt bereits bei ϕ = 106◦ . (Nach Auffassung von T. Cebeci (1986) läßt sich jedoch die Grenzschichtrechnung, wenn auch mit großem numerischen Aufwand, über die Zeit t = 1,5R/V hinaus fortsetzen, und erst für t → ∞ bildet sich die vom Stationären her bekannte Singularität bei ϕA = 104,5◦ , vgl. auch J. Cousteix (1986).) Wie in Kap. 14 erläutert wird, erübrigt sich die Frage nach der Singularität, wenn Grenzschichteffekte höherer Ordnung, insbesondere die Wechselwirkung zwischen Grenzschicht und Außenströmung, berücksichtigt werden. Die Ausbildung der Strömung am Kreiszylinder bei Anfahrt aus der Ruhe ist in Bild 13.4 nach Strömungsaufnahmen von L. Prandtl dargestellt. Man sieht aus Bild 13.4a, daß im ersten Augenblick nach der Anfahrt das Strömungsbild der Potentialströmung vorhanden ist. Auf Bild 13.4b hat die Ablösung im hinteren Staupunkt gerade begonnen. Auf Bild 13.4c ist

Bild 13.2. Lage des Ortes verschwindender Wandschubspannung ϕ0 = ϕτw =0 für den plötzlich in Bewegung gesetzten Kreiszylinder, nach T. Cebeci (1979) • Ablösung

360

13 Instationäre Grenzschichten

Bild 13.3. Verteilungen der Wandschubspannung und der Verdrängungsdicke beim plötzlich

in Bewegung gesetzten Kreiszylinder zur Zeit tV /R = 1,5, nach T. Cebeci (1986) √ a Reibungsbeiwert cf V d/ν mit cf = 2τw /V 2 √ b Bezogene Verdrängungsdicke (δ1 /R) V d/ν

der Ablösungspunkt schon weit nach vorn gerückt. Vom Ablösungspunkt entwickelt sich eine Wirbelschicht, die sich bei der weiteren Entwicklung der Strömung aufrollt und zwei konzentrierte Wirbel bildet (Bild 13.4d). Auf Bild 13.4e sind diese beiden Wirbel weiter angewachsen. Später wird dann dieses Wirbelpaar instabil. Die Wirbel werden durch die äußere Strömung mitgerissen und schwimmen mit dieser fort (Bild 13.4f). Es bildet sich schließlich eine unregelmäßige pendelnde Strömung aus mit einer Druckverteilung um den Körper, die stark von der potentialtheoretischen abweicht, vgl. auch M. Schwabe (1943). Die der Grenzschichttheorie zugrunde liegende Aufteilung des Strömungsfeldes in eine wandnahe Grenzschicht und eine reibungslose Außenströmung ist dann nicht mehr möglich. Elliptischer Zylinder. Der Anfahrvorgang von elliptischen Zylindern in Richtung der Halbachse a wurde von W. Tollmien (1931) und H. Görtler (1948) behandelt. Das Maximum von /dx| hängt vom Achsenverhältnis k = b/a ab. Dabei stellte sich heraus, daß |d U /dx|max |d U nur im hinteren Staupunkt liegt, sofern k 2 < 4/3 gilt. Für k 2 ≥ 4/3 liegt die Stelle mit /dx|max bei |d U  1 4 y = 1− , k2 ≥ . b 3 3(k 2 − 1)

/dx|max immer mehr in Richtung auf den Danach rückt für k 2 ≥ 4/3 die Stelle mit |d U Scheitel am Ende der Halbachse b. Für die quergestellte ebene Platte (k 2 → ∞) liegt die /dx|max an der Kante. Die Zeit t0 bis zum Auftreten verschwindender WandStelle mit |d U schubspannung, bzw. der bis dahin zurückgelegte Weg t0 V nach Gl. (13.24), ist in Bild 13.5 als Funktion des Achsenverhältnisses aufgetragen. Der Anfahrvorgang von elliptischen Zylindern mit Anstellwinkel wurde von D.P. Telionis; D.T. Tsahalis (1974) untersucht, siehe auch H.J. Lugt; H.J. Haussling (1974) und D.P. Telionis (1981, S. 129).

13.2 Instationäre Bewegung von Körpern in ruhender Umgebung

361

Bild 13.4. Ausbildung der Wirbel bei der Strömung um einen Kreiszylinder bei Anfahrt aus

der Ruhe, nach L. Prandtl Kugel. DieAusbildung der Grenzschicht bei der plötzlichenAnfahrt einer Kugel aus der Ruhe ist von E. Boltze (1908) berechnet worden. Mit der Geschwindigkeit der Außenströmung

(x) = 3 V sin x U 2 R erhält man für das Auftreten verschwindender Wandschubspannung nach Gl. (13.24) x 3 1 + 1,573t0 V cos = 0 2 R oder im hinteren Staupunkt t0 V /R = 0,42. Durch Erweiterung der Gl. (13.24) durch zwei zusätzliche Glieder der Entwicklung hat E. Boltze den genaueren Wert t0 V /R = 0,39 ermittelt. Die Stelle mit τw = 0 wandert (ähnlich wie beim Kreiszylinder nach Bild 13.2) von ϕ = π aus zunächst schnell und dann langsamer gegen die Stelle ϕ = 110◦ der stationären Strömung, welche erst nach unendlich langer Zeit erreicht wird. In Bild 13.6 sind für ein Zwischenstadium das Stromlinienbild und die Geschwindigkeitsverteilungen angegeben. Dieser Zustand

362

13 Instationäre Grenzschichten

Bild 13.5. Dimensionslose Zeit bis zum Auftreten von verschwindender Wandschubspannung für elliptische Zylinder, die plötzlich in Bewegung gesetzt werden

Bild 13.6. Grenzschicht auf der Rückseite einer Kugel bei ruckartiger Anfahrt zur Zeit tV /R = 0,6, nach E. Boltze (1908)

entspricht der Zeit tV /R = 0,6. In dem geschlossenen Wirbel sind die Geschwindigkeiten sehr gering. Der Geschwindigkeitsgradient und die Drehung sind außerhalb der Trennstromlinie ψ = 0 am größten. Neuere Untersuchungen zur plötzlichen Anfahrt der Kugel findet man bei L.L. Van Dommelen (1987, 1990). Für plötzlich in Bewegung gesetzte angestellte Rotationsellipsoide wurde die Grenzschicht in der Symmetrieebene von T. Wu; S.-F. Shen (1992) berechnet. Anfahrt rotierender Körper. Die zeitliche Ausbildung der Grenzschicht an einer rotieren-

den Scheibe ist von K.H. Thiriot (1950) behandelt worden, und zwar erstens der Fall, daß in ruhendem Fluid die Scheibe ruckartig in gleichförmige Rotation versetzt wird, und zweitens der Fall, daß eine mit dem Fluid mitrotierende Scheibe plötzlich zur Ruhe gebracht wird. Der Endzustand des ersten Falles ist die in Kap. 5.2.4 angegebene Lösung der in ruhendem Fluid rotierenden Scheibe. Der Endzustand des zweiten Falles ist die Lösung der Drehströmung über festem Grund nach Kap. 12.1.4. Der erste Fall wurde auch von S.D. Nigam (1951) untersucht. Der zweite Fall wurde von K.H. Thiriot (1942) verallgemeinert, indem eine mit dem Fluid mitrotierende Scheibe ruckartig auf eine andere, wenig verschiedene, konstante Winkelge-

13.2 Instationäre Bewegung von Körpern in ruhender Umgebung

363

schwindigkeit gebracht wird. Dabei bildet sich endgültig eine stationäre Grenzschicht an der rotierenden Scheibe aus. Die Grenzschicht an einer ungleichmäßig rotierenden Scheibe wurde von E.M. Sparrow; J.L. Gregg (1960a) und das Anwachsen der Grenzschicht am rotierenden Drehkörper von C.R. Illingworth (1954) und Y.D. Wadhwa (1958) berechnet, bezüglich der rotierenden Kugel vergleiche man auch L.L. Van Dommelen (1987, 1990). Die zeitliche Ausbildung der Grenzschicht an einem Kreiszylinder, der plötzlich eine Rotations- und Translationsbewegung startet, wurde von W. Tollmien (1924) untersucht, vgl. auch M.C. Ece et al. (1984). Anfahrvorgänge bei natürlicher Konvektion. Wenn eine vertikale ebene Platte in ruhendem Fluid plötzlich auf eine vom Fluid verschiedene Temperatur gebracht wird, setzt der Anfahrvorgang für die natürliche Konvektion ein. Dieser wurde von S.N. Brown; N. Riley (1973) berechnet, vgl. auch C.R. Illingworth (1950) und D.B. Ingham (1977). Anfahrvorgänge bei endlicher Beschleunigung. Neben der ruckartigen Anfahrt wurden auch Anfahrvorgänge mit endlichen Beschleunigungen untersucht. Es handelt sich dann um Außenströmungen nach Gl. (13.17). In diesem Fall beginnt die Bewegung mit endlicher (x)/tR . Die zeitliche Ausbildung der Grenzschicht für den Fall einer zeitBeschleunigung U unabhängigen Beschleunigung des Körpers wurde bereits von H. Blasius (1908) berechnet. Die Ergebnisse sind denen bei ruckartiger Anfahrt sehr ähnlich, siehe auch H. Schlichting (1982, S. 428). Eine Erweiterung dieser Untersuchungen auf Außenströmungen der Form U (x,t) = (x)t n (n = 0, 1, 2, 3, 4) wurde von H. Görtler (1944) vorgenommen. Dabei entspricht U n = 0 der ruckartigen Anfahrt und n = 1 dem Anfahren mit konstanter Beschleunigung. Ähnliche Untersuchungen stammen von E.J. Watson (1958) und C.Y. Wang (1967). Von C. Sozou (1971) und Z. Zapryanov (1977) wurde der Anfahrvorgang einer rotierenden Kugel, ebenfalls unter der Annahme U (x,t) ∼ t n untersucht.

13.2.2 Oszillation von Körpern in ruhender Umgebung Als Beispiel einer periodischen Grenzschichtströmung wird die Grenzschicht an einem Körper betrachtet, der in einem ruhenden Fluid eine hin- und hergehende Bewegung in Form einer harmonischen Schwingung mit kleinen Amplituden ausführt. Es handelt sich dabei um eine Erweiterung des schon in Kap. 5.3.2 behandelten Problems der Grenzschicht an einer ebenen Wand, die in ihrer Ebene harmonische Schwingungen ausführt. Die Betrachtungen dieses Abschnittes werden zeigen, daß bei Schwingungen eines Körpers mit hohen Frequenzen in zunächst ruhendem Fluid durch die Reibungswirkungen in der Grenzschicht eine stationäre Sekundärströmung ausgelöst wird, welche so beschaffen ist, daß das gesamte Fluid in der Umgebung des oszillierenden Körpers in eine stationäre Bewegung versetzt wird, obwohl die Bewegung des Körpers rein periodisch ist. Diese Erscheinung wird in der englischen Literatur als „streaming“ oder auch „acoustic streaming“ bezeichnet. Effekte dieser Art sind z.B. beim Zustandekommen der Kundtschen Staubfiguren im Spiel. Für die Berechnung der Grenzschicht wollen wir wieder ein körperfestes Koordinatensystem zugrunde legen. Wenn der betrachtete zylindrische Körper in stationärer (x) hat, so ebener Strömung die potentialtheoretische Geschwindigkeitsverteilung U haben wir für die periodische Schwingung mit der Frequenz n als Potentialströmung

364

13 Instationäre Grenzschichten

(x) cos nt . U (x,t) = U

(13.25)

Es gelten dann für die Geschwindigkeitsgrenzschicht die Gleichungen (13.3) und (13.4) mit j = 0,  = const, µ = const, g = 0. Die Rechnungen gehen auf H. Schlichting (1932) zurück, vgl. auch D.P. Telionis (1981, S. 158). Wegen der hohen Frequenz n kann die Lösung in Form einer Entwicklung nach Abschnitt 13.1.4 angesetzt werden. Für die u-Komponente der Geschwindigkeit lautet dieser Ansatz:   (x)[f00 u(x,y,t) = U (ηs ) cos nt + f01 (ηs ) sin nt]

+

&  dU %  U   f10 (ηs ) cos 2nt + f11 (ηs ) sin 2nt + f12 (ηs ) n dx

(13.26)



mit

n y (13.27) 2ν nach Gl. (5.105). Die Terme in der ersten eckigen Klammer entsprechen der Lösung von Gl. (13.12), die in der zweiten eckigen Klammer der Lösung von Gl. (13.13). Der  (η ) sin nt berücksichtigt, daß in der Grenzschicht eine Phasenverschiebung Term f01 s der Schwingung gegenüber der Schwingung der Außenströmung auftreten kann. Be (η ). Gleimerkenswert in dem Ansatz ist das von der Zeit unabhängige Glied f12 s chung (13.13) enthält Produkte der Lösung u0 , u0 . Da diese proportional zu cos nt bzw. sin nt sind, entstehen Produkte der trigonometrischen Funktionen. Wegen ηs =

(cos nt)2 = 1 − (sin nt)2 =

1 1 cos 2nt + , 2 2

cos nt sin nt =

1 sin 2nt 2

folgt der Ansatz mit Schwingungen von doppelter Frequenz und dem stationären Anteil. Für die von ηs abhängigen Funktionen ergeben sich die Differentialgleichungen   f00 − 2f01 =0   f01 + 2f00 =2   2 2   − 4f11 = f00 − f01 − f00 f00 + f01 f01 −1 f10       f11 + 4f10 = 2f00 f01 − f00 f01 − f01 f00

(13.28)

 2 2   f12 = f00 + f01 − f00 f00 − f01 f01 −1

mit den Randbedingungen: ηs = 0 : fi = 0, fi = 0,  = 1, f = 0, ηs → ∞ : f00 i Für die ersten beiden Lösungen ergibt sich

i = 00, 01, 10, 11, 12 i = 01, 10, 11 .

(13.29)

13.2 Instationäre Bewegung von Körpern in ruhender Umgebung  f00 = 1 − e−ηs cos ηs ,

 f01 = −e−ηs sin ηs .

365

(13.30)

 =0 Bei der Randbedingung für ηs → ∞ in Gl. (13.29) war ausdrücklich nicht f12 gefordert worden. Es stellt sich nämlich heraus, daß die Lösung der Differentialgleichung für f12 (ηs )  f12 = e−2ηs − ηs e−ηs (cos ηs + sin ηs ) + e−ηs (sin ηs − 2 cos ηs )

(13.31)

diese Bedingung nicht erfüllen kann. Diese Lösung lautet: 3 1 1  f12 (ηs ) = − + e−2ηs − ηs e−ηs (cos ηs − sin ηs ) 4 4 2 1 + e−ηs (cos ηs + 4 sin ηs ) . 2

(13.32)

Insbesondere gilt 3  f12 (13.33) (ηs → ∞) = − . 4 Nach dem Ansatz (13.26) lautet also die reibungslose Außenströmung statt Gl. (13.25) genauer:   (x) cos nt − 3 U d U . U (x,t) = U 4 n dx

(13.34)

Die Entwicklung der Lösung für große Frequenzen liefert also mit zwei Gliedern am Außenrand der Grenzschicht einen stationären Anteil, der von der Viskosität unabhängig ist, aber mit wachsender Frequenz abnimmt. Der Beitrag des Zusatzterms in Gl. (13.34) ist derart gerichtet, daß das Fluid in Richtung abnehmender Geschwin(x) fließt. digkeit U In Bild 13.7 ist für das Beispiel eines oszillierenden Kreiszylinders das Stromlinienbild dieser stationären Zusatzströmung angegeben. Bild 13.8 zeigt eine Aufnahme von einer Wasserströmung um einen Kreiszylinder, der in einem Tank hin und her schwingt. Die Aufnahme wurde mit einer Kamera ausgeführt, die sich mit dem Zylinder mitbewegt. Die Wasseroberfläche ist

13.7. Stromlinienbild der stationären Sekundärströmung (engl.: streaming) in der Umgebung eines oszillierenden Kreiszylinders, nach H. Schlichting (1932) Bild

366

13 Instationäre Grenzschichten

Bild 13.8. Sekundärströmung in der Umgebung eines oszillierenden Kreiszylinders, nach H. Schlichting (1932)

mit Metallflitterchen bestreut, die bei der langen Belichtungszeit durch ihre Hin- und Herbewegung breite Bänder beschreiben. Die stationäre Strömung nähert sich von oben und unten dem Zylinder und entfernt sich nach beiden Seiten in der Schwingungsrichtung in sehr guter Übereinstimmung mit dem theoretischen Stromlinienbild nach Bild 13.7. Strömungsbilder ähnlicher Art sind auch von E.N. Andrade (1931) angegeben worden, indem er einen Kreiszylinder in stehende Schallwellen brachte und dabei die entstehende Sekundärströmung durch Rauch sichtbar machte. Diese Erscheinung gibt nun eine einfache Erklärung für die Entstehung der Kundtschen Staubfiguren. Bei Schallwellen handelt es sich um Longitudinalwellen, bei denen also die Maxima der Amplituden in den Schwingungsbäuchen liegen, vgl. Bild 13.9. Auf Grund des obigen Effektes erhält man also eine stationäre Zusatzströmung, die in der Nähe der Wand von den Bäuchen zu den Knoten gerichtet ist. In großer Entfernung von der Wand ist natürlich aus Kontinuitätsgründen die Strömungsrichtung entgegengesetzt. Diese stationäre Zusatzströmung ist es nun gerade, welche den Transport von Staub und dessen Anhäufung an den Knoten besorgt. Hiermit wird gleichzeitig auch verständlich, daß für das Zustandekommen der Kundtschen Staubfiguren die Staubmenge von großem Einfluß ist. Ist viel Staub vorhanden, so wirbelt dieser stark auf, und die Hauptmasse gelangt in den Bereich des inneren Stromes, so daß es nicht gelingt, den Staub von den Bäuchen fortzubringen. Ist jedoch nur wenig Staub vorhanden, so überwiegt die Wirkung des Wandstromes, und die Bäuche werden bald staubfrei. Dieser Fragenkomplex ist in der akustischen Literatur eingehend bearbeitet worden, vgl. P.J. Westervelt (1953). Eine entsprechende Untersuchung der Strömung in der Umgebung eines Rotationsellipsoids, das parallel zur Rotationsachse in ruhendem Fluid Schwingungen ausführt, ist von A. Gosh (1961) durchgeführt worden, vgl. auch D. Roy (1961, 1962).

Bild 13.9. Zur Entstehung der Kundtschen Staubfiguren B: Schwingungsbauch, K: Schwingungsknoten

13.3 Instationäre Grenzschichten

bei einer stationären Grundströmung

367

13.3

Instationäre Grenzschichten bei einer stationären Grundströmung Es sollen instationäre Grenzschichten betrachtet werden, bei denen die Außenströmung aus einer stationären Grundströmung und einer dazu überlagerten instationären Strömung besteht. Es soll also gelten: U (x,t) = U (x) + U1 (x,t) .

(13.35)

Ist U1 (x,t) eine periodische Funktion, dann bedeutet U (x) der zeitliche Mittelwert über einer Periode (es gilt U 1 (x,t) = 0). Es kann aber U1 (x,t) auch eine Übergangsfunktion entsprechend Gl. (13.17) sein. In der Praxis wird der instationäre Anteil U1 (x,t) häufig sehr viel kleiner sein als der stationäre Anteil. Das kann zu erheblichen Vereinfachungen bei der Berechnung führen, wie unter anderem in den folgenden Beispielen gezeigt wird. 13.3.1 Periodische Außenströmung Die Lösungen der Gl. (13.3) und (13.4) mit j = 0,  = const, η = const und g = 0 werden ebenfalls in einen zeitlichen Mittelwert und einen periodischen Anteil aufgeteilt: u(x,y,t) = u(x,y) + u1 (x,y,t) v(x,y,t) = v(x,y) + v1 (x,y,t)

(13.36)

p(x,t) = p(x) + p1 (x,t) mit u1 = v 1 = p1 = 0. Setzt man Gl. (13.35) in Gl. (13.6) ein und bildet den zeitlichen Mittelwert, so erhält man
 ∂p ∂U1 dU − = U + U1 . (13.37) ∂x dx ∂x Zieht man diese Gleichung von Gl. (13.6) ab, so ergibt sich
 ∂U1 ∂p1 dU ∂U1 ∂U1 ∂U1 = +U + U1 + U1 − U1 − . ∂x ∂t ∂x dx ∂x ∂x

(13.38)

Auf ähnlichem Wege erhält man aus Gl. (13.4) schließlich für die mittlere Bewegung u(x,y), v(x,y) die Gleichung: u mit

∂ 2u ∂u ∂u dU +v =U + ν 2 + F (x,y) ∂x ∂y dx ∂y

(13.39)

368

13 Instationäre Grenzschichten


 ∂U1 ∂u1 ∂u1 − u1 + v1 , (13.40) ∂x ∂x ∂y vgl. auch Gl. (5.131). Durch das Zusatzglied F (x,y) ist die mittlere Bewegung für die periodische Außenströmung verschieden von der Bewegung für die stationäre Grundströmung. Wie man aus Gl. (13.40) entnimmt, kann F (x,y) erst bestimmt werden, wenn die instationären Anteile u1 ,v1 ,p1 der Strömung bekannt sind. Zu Gl. (13.39) kommen noch die Kontinuitätsgleichung F (x,y) = U1

∂u ∂v + =0 ∂x ∂y

(13.41)

und die üblichen Randbedingungen hinzu. Für die Schwankungsbewegung gelten Gleichungen, die mit Gl. (5.132) und (5.133) übereinstimmen. Wie bereits in Kap. 5.3.5 beschrieben, vereinfacht sich dieses Gleichungssystem ganz erheblich für den Grenzfall hoher Frequenzen, vgl. auch Abschnitt 13.1.4. Für u1 (x,y,t) gilt dann die lineare Gleichung ∂u1 ∂U1 ∂ 2 u1 = +ν 2 , ∂t ∂t ∂y

(13.42)

die der Gl. (5.135) entspricht. Wenn U1 (x,t) = U (x) cos nt

(13.43)

gilt, ergibt sich das Zusatzglied F (x,y) nach Gl. (5.138) und (5.139). Dabei ist die Funktion F (ηs ) in Bild 5.15 wiedergegeben. Zu der Außenströmung der allgemeinen Form  U (x,t) = U (x) + U1k (x) cos knt (13.44) k=1

gehört die Zusatzfunktion


 y dU1k 1 U1k F √ F (x,y) = , 2 dx 2ν/kn k=1

(13.45)

vgl. C.C. Lin (1957). Der Sonderfall U (x) = U (x) in Gl. (13.43) wurde von T.J. Pedley (1972) untersucht. Wie bereits in Kap. 5.5 ausgeführt wurde, besitzt die Grenzschicht bei hohen √ Frequenzen eine Zweischichten-Struktur. Neben der Dicke δ ∼ ν/V ll der zur stationären Grundströmung gehörenden Grenzschicht (Prandtl-Schicht) existiert die √ viel dünnere Stokes-Schicht der Dicke δs ∼ ν/n, in der die vom instationären Anteil der Außenströmung herrührenden Oszillationen erfolgen. Entsprechend der Struktur der Strömung verhält sich auch die Lage der Stelle verschwindender Wandschubspannung (τw = 0). Die Wandschubspannung ist ebenfalls eine oszillierende Größe, so daß die Stelle τw = 0 an der Wand periodisch wandert. Die zeitlich gemittelte Lage ist jedoch im allgemeinen von derjenigen Lage verschieden, die sich bei alleiniger stationärer Grundströmung ergibt.

13.3 Instationäre Grenzschichten bei einer stationären Grundströmung

369

13.3.2 Stationäre Strömung mit schwacher periodischer Störung Wenn die Außenströmung eine Geschwindigkeitsverteilung der Form U (x,t) = U (x) + εU1 (x,t)

(13.46)

mit kleinem Wert ε besitzt, bietet sich eine Potenzreihenentwicklung für die Lösung an: u(x,y,t) = u0 (x,y) + εu1 (x,y,t) + ε 2 u2 (x,y,t) + · · · v(x,y,t) = v0 (x,y) + εv1 (x,y,t) + ε 2 v2 (x,y,t) + · · · . Aus dem Vergleich mit Gl. (13.36) ergibt sich u = u0 + ε 2 u2 ,

v = v0 + ε 2 v 2 .

(13.47)

Die zeitunabhängigen Änderungen gegenüber der stationären Grundströmung sind also von der Größenordnung O(ε 2 ). Setzt man Gl. (13.47) in Gl. (13.39) ein und  das folgende Gleichungsberücksichtigt nur Glieder O(ε2 ), ergibt sich mit F = ε 2 F system für u2 (x,y), v 2 (x,y): ∂u2 ∂v 2 + =0 ∂x ∂y u0

∂u2 ∂u0 ∂u2 ∂u0 (x,y) . + u2 + v0 + v2 =F ∂x ∂x ∂y ∂y

(13.48)

Es handelt sich, wie auch bei den Differentialgleichungen für u1 (x,y,t), v1 (x,y,t) um lineare Differentialgleichungen. Für die Keilströmungen mit Außenströmungen der Form U (x,t) = ax m (1 + ε cos nt)

(13.49)

liegen zahlreiche Untersuchungen vor, vgl. N. Rott; M.L. Rosenzweig (1960) und K. Gersten (1965). Spezialfälle sind die in Kap. 5.3.2 behandelte Staupunktströmung und die von A. Gosh (1961) und S. Gibbelato (1954, 1956) untersuchte Strömung an der längsangeströmten ebenen Platte. Von A. Gosh (1961) und P.G. Hill; A.H. Stenning (1960) sind auch Messungen von instationären Grenzschichten ausgeführt worden. Von K. Gersten (1965) wurde auch der Wärmeübergang ermittelt. Danach ergibt sich auch beim Wärmeübergang eine zeitunabhängige Änderung gegenüber dem stationären Fall proportional zu ε 2 . Jedoch nimmt z.B. bei der Staupunktströmung der Wärmeübergang infolge der Oszillationen ab, während die Wandschubspannung zunimmt.

370

13 Instationäre Grenzschichten

Beispiel: Wandschubspannung an der ebenen Platte

Bei der Außenströmung

U (x,t) = U∞ (1 + ε cos nt)

(13.50)

ergibt sich nach K. Gersten (1965) für den Reibungsbeiwert:   (X) cos nt + f  (X) sin nt] cf (x,t) Rex = 0,664 + ε[f10w 11w  (X) cos 2nt + f  (X) sin 2nt + f  (X)] + ε 2 [f20w 21w 22w

(13.51)

mit

nx . (13.52) U∞ Die von X abhängigen Funktionen findet man bei K. Gersten (1965). Für X = 0 gilt  = (3/2) 0,664; f  = 0; f  = f  = (3/16) 0,664; f  = 0. Man erhält damit f10w 11w 20w 22w 21w die quasi-stationäre Lösung, d.h. die Lösung verhält sich zu jedem Zeitpunkt wie die entsprechende stationäre Lösung mit der momentanen Außenströmung. Das Auftreten des Gliedes proportional zu sin nt bedeutet, daß die Grenzschicht eine Phasenverschiebung gegenüber der Außenströmung erfährt. Das Maximum der Wandschubspannung eilt dem Maximum der Außenströmungsgeschwindigkeit voraus, im Grenzfall X → ∞ beträgt der Phasenwinkel 45◦ . Für X → ∞ stellt sich wieder die Zweischichten-Struktur ein. Außerdem ergibt sich, daß die Amplitude der Wandschubspannungs-Schwingung mit zunehmendem X beliebig wächst. Bei den Lösungen u2 (x,y,t), v2 (x,y,t) ergibt sich ein periodischer Anteil mit doppelter Frequenz und zusätzlich ein von der Zeit unabhängiger Anteil, der die Grundströmung der Grenzschicht ändert, jedoch zum Außenrand der Grenzschicht abklingt. Die in Gl. (13.51) analoge Formel für die Nußelt-Zahl findet man bei K. Gersten (1965). Numerische Ergebnisse zum Geschwindigkeitsfeld proportional zu ε findet man auch bei W. Geißler (1993). X=

Weitere Beispiele. Von W. Geißler (1993) wurde die instationäre Grenzschicht an einem

schwingenden Tragflügelprofil berechnet (Profil NACA 0012 beim mittleren Anstellwinkel von α = 8◦ ). Der Stelle verschwindender Wandschubspannung ist dabei besondere Aufmerksamkeit gewidmet. Von M.H. Patel (1975) wurde die instationäre Grenzschicht an der ebenen Platte untersucht, wenn die Platte einer laufenden Welle ausgesetzt wird. Dabei muß die Wellenlänge sehr viel größer als die Grenzschichtdicke sein. Dieses Problem ist für die Instabilität von laminaren Grenzschichten von Bedeutung, vgl. Kap. 15. Die zeitliche Entwicklung des Wärmeübergangs an der längsangeströmten ebenen Platte wurde von N. Riley (1963) untersucht.

13.3.3 Zeitlicher Übergang zwischen zwei nur wenig verschiedenen stationären Grenzschichten Es werden Strömungen betrachtet, bei denen die Außenströmung nach einer vorgegebenen Übergangsfunktion von einem stationären Zustand in einen neuen eng benachbarten stationären Zustand übergeht. Als Beispiel sei die Außenströmung der Form U (x,t) = U (x)[1 + ε(1 − e−t/tR )] (13.53) genannt. Das Problem ist mit dem im vorigen Abschnitt behandelten sehr verwandt. Wie K. Gersten (1967) gezeigt hat, lassen sich die in ε linearen Lösungen durch eine

13.4 Kompressible instationäre Grenzschichten

371

Laplace-Transformation aus denjenigen für die harmonisch oszillierende Außenströmung bestimmen. Für die Keilströmungen ist dies bei K. Gersten (1967) durchgeführt worden, und zwar auch für das Temperaturfeld. Beispiel: Zeitlicher Übergang von einer Plattengrenzschicht zu einer wenig verschiedenen Plattengrenzschicht

Für U (x) = U∞ in Gl. (13.53) ergeben sich insofern Vereinfachungen, als Anfangs- und Endzustand stationäre ähnliche Lösungen sind. In Bild 13.10 ist als typisches Ergebnis der zeitliche Verlauf der Wandschubspannung τw (x,t) für ε = 0,1 dargestellt. Für tR → ∞, d.h. für x/U∞ tR → 0, ergibt sich die quasi-stationäre Lösung. Dagegen erfolgt bei der Stokesschen Näherung (tR → 0) der Übergang der Wandschubspannung nicht mehr monoton, sondern es kommt zu einem „Überschießen“. Beim Wärmeübergang, der hier nicht gezeigt ist, tritt das Überschießen nicht auf.

Bild 13.10. Verlauf der Wandschubspannung τw (x,t) beim Übergang von einer Plattengrenzschicht in eine nur wenig davon abweichende Plattengrenzschicht, nach K. Gersten (1967)

Für allgemeine instationäre Grenzschichten lassen sich die Lösungen auch als Reihenentwicklungen nach Potenzen von
k k xk ∂ k U 1 ∂ Tw x , (13.54) U k+1 ∂t k Tw − T ∞ U ∂t k angeben, siehe F.K. Moore (1951), S. Ostrach (1955), F.K. Moore; S. Ostrach (1956) und E.M. Sparrow (1958). Wir kommen darauf in Abschnitt 13.4.3 zurück.

13.4

Kompressible instationäre Grenzschichten 13.4.1 Vorbemerkung Kompressible instationäre Grenzschichten sind von wachsendem Interesse. Derartige Grenzschichten treten z.B. in Stoßwellenrohren und ähnlichen in der Thermodyna-

372

13 Instationäre Grenzschichten

mik benutzten Versuchseinrichtungen hinter Stoßwellen oder Expansionswellen auf. Zur Bestimmung des Reibungswiderstandes und des Wärmeüberganges von Tragflügeln, die oszillieren bzw. beschleunigte oder verzögerte Bewegungen ausführen und deren Wandtemperaturen sich möglicherweise mit der Zeit ändern, ist ebenfalls die Kenntnis der instationären kompressiblen Grenzschichten erforderlich. Im folgenden sollen zwei einfache Beispiele instationärer, kompressibler Grenzschichten behandelt werden, und zwar einmal die Grenzschicht hinter einer Stoßwelle bzw. Expansionswelle und zum anderen die Grenzschicht an einer längsangeströmten ebenen Platte in ungleichförmiger Bewegung bei zeitlich veränderlicher Wandtemperatur. Für ein ausführlicheres Studium von instationären, kompressiblen Grenzschichten sei auf die zusammenfassenden Darstellungen von E. Becker (1961), und K. Stewartson (1964) verwiesen. Der Einfachheithalber sei im folgenden ideales Gas mit konstanter spezifischer Wärmekapazität cp und konstanter Prandtl-Zahl Pr vorausgesetzt. Außerdem sei die Viskosität proportional zur absoluten Temperatur (d.h. ω = 1 nach Gl. (10.46)). Die Schwerkraft sei vernachlässigt. Mit diesen Annahmen werden Lösungen der Gl. (13.3) bis (13.5) für j = 0 und den entsprechenden Randbedingungen gesucht. Die Kontinuitätsgleichung (13.3) läßt sich durch Einführen einer Stromfunktion ψ(x,y,t) befriedigen. Die Geschwindigkeitskomponenten ergeben sich dabei zu
 ∞ ∂ψ ∞ ∂ψ ∂Y u= , v= + , (13.55)  ∂y  ∂x ∂t wobei die neue Koordinate

y Y = 0

 dy ∞

(13.56)

als „gleichwertiger inkompressibler Wandabstand“ bezeichnet werden kann, vgl. Gl. (10.61). Der Wert ∞ stellt eine geeignete konstante Bezugsdichte dar. Die Gleichungen (13.55) sind Erweiterungen der Gl. (10.60) auf instationäre Strömungen, wobei Gl. (13.56) wieder die Dorodnizyn-Howarth-Transformation ist. 13.4.2 Grenzschicht hinter einer Stoßwelle Wir betrachten nach Bild 13.11 die Grenzschichtströmung, die sich hinter einer unstetigen Kompressionswelle (Stoßwelle) ausbildet. Der Zustand des ruhenden Gases vor der Stoßwelle sei mit dem Index 0, der Gaszustand hinter der Stoßwelle außerhalb der Grenzschicht mit dem Index ∞ bezeichnet. Die Stoßwelle habe die konstante Geschwindigkeit US . Ferner sei angenommen, daß die Werte der Außenströmung hinter der Stoßwelle von x und t unabhängig sind. Damit werden Rückwirkungen der Grenzschicht auf die Außenströmung, wie sie im Stoßwellenrohr auftreten können, vernachlässigt. Es stellt sich heraus, daß dieses Problem auf ähnliche Lösungen

13.4 Kompressible instationäre Grenzschichten

373

Bild 13.11. Ausbildung der Grenz-

schicht hinter einer Stoßwelle der Geschwindigkeit US

führt, d.h., die Lösungen sind statt von den drei Variablen x,y,t nur von der einzigen Variablen Y η= 
2 ν∞ t −

y = x US

0

 dy ∞

 ' 
x 2 ν∞ t − US

(13.57)

abhängig. Mit dem Ansatz für die Stromfunktion 


 x ψ(x,y,t) = 2U∞ ν∞ t − f (η) US

(13.58)

erhält man für die Geschwindigkeitsverteilung in der Grenzschicht u = U∞ f  (η) .

(13.59)

Für die Temperaturverteilung erfolgt der Ansatz T γ −1 Tw − Tad Ma2∞ r(η) + =1+ s(η) . T∞ 2 T∞

(13.60)

Geht man mit den Ansätzen (13.58) und (13.60) in die Gl. (13.3) bis (13.5) ein, ergeben sich die folgenden gewöhnlichen Differentialgleichungen für f (η), r(η) und s(η):  U∞ f +2 η− f f  = 0 , US
 1  U∞ r +2 η− f r  = −2f 2 , Pr US
 1  U∞ s +2 η− f s = 0 Pr US 




(13.61) (13.62) (13.63)

374

13 Instationäre Grenzschichten

Bild 13.12. Grenzschicht hinter einer Stoßwelle (U∞ > 0) bzw. hinter einer Expansionswelle (U∞ < 0), Reibungsbeiwert cf , Nußelt-Zahl Nu und Rückgewinnfaktor rw in Abhängigkeit von U∞ /US , nach H. Mirels (1956)

mit den Randbedingungen η =0: f = 0, f  = 0, r  = 0, s = 1 η →∞: f  = 1, r = 0, s = 0 .

(13.64)

Gleichung (13.60) ergibt für η = 0 die adiabate Wandtemperatur Tad (auch Eigentemperatur genannt)   γ −1 Ma2∞ rw . Tad = T∞ 1 + (13.65) 2 Die Größe rw wird Rückgewinnfaktor genannt, vgl. Gl. (9.86) und (10.106). 2 erhält man Für den Reibungsbeiwert cf = 2τw /w U∞ cf

√

Re = fw

(13.66)

und für die lokale Nußelt-Zahl Nu =

U∞ (t − x/US ) 1√ qw =− Re sw Tw − Tad λw 2

(13.67)

mit 2 (t − x/US )/νw . Re = U∞

(13.68)

Der Rückgewinnfaktor rw , der Reibungsbeiwert cf und die Nußelt-Zahl Nu sind in Bild 13.12 in Abhängigkeit von U∞ /US für Pr = 0,72 dargestellt. Bei H. Mirels (1956), von dem diese Ergebnisse stammen, findet man Resultate auch für andere Prandtl-Zahlen.

13.4 Kompressible instationäre Grenzschichten

375

Der Parameter U∞ /US ist ein Maß für die Stoßstärke. Der größtmögliche Wert ist U∞ /US = 2/(γ + 1) (unendlich starker Verdichtungsstoß), was für γ = 1,4 den Wert U∞ /US = 0,83 ergibt. Den negativen Werten U∞ /US entsprechen fiktive unstetige Expansionswellen, deren Entstehung durch Konzentration einer in Wirklichkeit kontinuierlichen Verdünnungswelle gedacht werden kann. Im Sonderfall U∞ /US = 0 erhält man das erste Stokessche Problem (vgl. Kap. 5.3.1) der plötzlich in Gang gesetzten ebenen Wand. Wie Bild 13.12 zeigt, sind bei Kompressionswellen der Reibungsbeiwert und die Nußelt-Zahl größer, d.h. die Grenzschichtdicke kleiner, als beim Fall U∞ /US = 0. Bei Expansionswellen gilt das Umgekehrte. Im Sonderfall Pr = 1 gilt s(η) = 1 − f  (η) und damit für alle Werte U∞ /US einfache Formeln für die Nußelt-Zahl (Reynolds-Analogie, vgl. Gl. (10.59)) und den Rückgewinnfaktor: cf Nu = Re , rw = 1 (Pr = 1) . (13.69) 2 Dann ist die adiabate Wandtemperatur also stets gleich der Stautemperatur. Die hier behandelte Grenzschicht hinter einer Stoßwelle konstanter Geschwindigkeit stellt insofern einen einfachen Spezialfall dar, als durch Wahl eines Koordinatensystems, in dem die Stoßwelle ruht, sich das Problem auf ein stationäres zurückführen läßt. Bezüglich allgemeinerer Lösungen hinter Stoßwellen und Expansionswellen sei auf die Arbeiten von E. Becker (1957, 1959, 1961, 1962) und H. Mirels; J. Hamman (1962) verwiesen. 13.4.3 Längsangeströmte ebene Platte bei zeitlich veränderlicher Außengeschwindigkeit und Wandtemperatur Betrachtet werde die kompressible instationäre Grenzschichtströmung entlang einer ebenen Platte, wenn sowohl die Geschwindigkeit der Außenströmung U∞ (t) als auch die Wandtemperatur Tw (t) zeitlich veränderlich sind. Für die Stromfunktion ψ nach Gl. (13.55) und für die dimensionslose Temperaturverteilung ϑ = (T − T∞ )/(Tw − T∞ ) werden folgende Reihen angesetzt:  ψ = ν∞ U∞ x [f0 (η) + ζ1 f1 (η) + ζ2 f2 (η) + · · · ] , (13.70) ϑ = (T − T∞ )/(Tw − T∞ ) = ϑ0 (η) + β1 ϑ1 (η) + β2 ϑ2 (η) + · · · + ζ1 h1 (η) + ζ2 h2 (η) + · · · +

2 U∞ [s0 (η) + ζ1 s1 (η) + ζ2 s2 (η) + · · · ] . 2cp (Tw − T∞ )

(13.71)



Dabei ist Y η= 2x

U∞ x ν∞

(13.72)

376

13 Instationäre Grenzschichten

mit Y nach Gl. (13.56) eine neue, dimensionslose Koordinate, und es gelten die folgenden Abkürzungen

 U˙ ∞ x U¨ ∞ x 2 , ζ2 = , ... ζ1 = U∞ U ∞ U∞ U ∞

 x x 2 T˙w T¨w , β2 = , ... . β1 = Tw − T ∞ U ∞ Tw − T ∞ U ∞

(13.73)

(13.74)

Führt man diese Ansätze in Gl. (13.3) bis (13.5) ein, so ergeben sich für die Funktionen fi (η), ϑi (η) und si (η) mit i = 0, 1, 2 . . . gewöhnliche Differentialgleichungen, deren Lösungen für Pr = 0,72 von S. Ostrach (1955) und E.M. Sparrow; J.L. Gregg (1957) angegeben worden sind. Die Funktionen f0 (η), ϑ0 (η) und s0 (η) sind identisch mit den Lösungen des stationären Problems für die momentane Geschwindigkeit U∞ (quasi-stationäre Lösung). Die weiteren Lösungen geben die Abweichungen von der quasi-stationären Lösung wieder. Für das Verhältnis der Wandschubspannung τw zur Wandschubspannung τws der quasistationären Strömung erhält man: 
  τw x U¨ ∞ x U˙ ∞ =1+ − 1,414 2,555 + ··· . (13.75) τws U∞ U∞ U ∞ U∞ Entsprechend erhält man für das Verhältnis der Wärmestromdichten an der Wand mit Pr = 0,72, vgl. E.M. Sparrow (1958):  qw x T˙w 2,39 =1+ + ··· qws U∞ Tw − Tad S
  U˙ ∞ T∞ − Tad S T w − T∞ − − 0,0448 0,0692 + ··· (13.76) U∞ Tw − Tad S Tw − Tad S mit der adiabaten Wandtemperatur der quasi-stationären Strömung Tad S = T∞ + 0,848

2 U∞ . 2cp

(13.77)

Bei der Benutzung dieses Verfahrens ist zu bedenken, daß die Ausdrücke ζ1 ,ζ2 . . . β1 , β2 . . . für gegebene Funktionen U∞ (t) und Tw (t) im allgemeinen voneinander abhängig sind. Man vergleiche dazu die Arbeiten von H. Tsuji (1953), H.D. Harris; A.D. Young (1967) und J.T. Stuart (1963).

14 Erweiterungen der Prandtlschen Grenzschichttheorie

14.1

Vorbemerkung In den voranstehenden Kapiteln ist bereits verschiedentlich auf Grenzschichteffekte höherer Ordnung hingewiesen worden. Dabei handelt es sich um Effekte, die in den bisher verwendeten Grenzschichtgleichungen nicht berücksichtigt wurden und die jetzt durch eine Erweiterung der Prandtlschen Grenzschichttheorie zu einer Grenzschichttheorie höherer Ordnung erfaßt werden sollen. Mit dieser Erweiterung gewinnt man gleichzeitig auch Aussagen über den Gültigkeitsbereich der Prandtlschen Grenzschichttheorie. Bereits bei der Herleitung der Prandtlschen Grenzschichtgleichungen in Kap. 6 wurde auf die beiden wichtigsten Grenzschichteffekte höherer Ordnung hingewiesen, die Verdrängung und die Wandkrümmung, vgl. Kap. 6.2. Am Außenrand der Grenzschicht geht bei den Prandtlschen Grenzschichtlösungen die v-Komponente nicht in diejenige der Außenströmung über, die entstehende Differenz nach Gl. (6.35) ist die Verdrängungsgeschwindigkeit, durch welche die Außenströmung nach außen verdrängt wird. Außerdem war bereits in Kap. 6.2 darauf hingewiesen worden, daß die Krümmung der Wand, an der sich die Grenzschicht ausbildet, in die Prandtlsche Grenzschichtgleichung nicht eingeht. In diesem Kapitel wird beschrieben, wie die Prandtlsche Grenzschichttheorie systematisch verallgemeinert werden kann und die genannten Effekte höherer Ordnung dabei Berücksichtigung finden. Infolge der Verdrängung kommt es zu einer Rückwirkung der Grenzschicht auf die Außenströmung, die sich entsprechend ändert. Diese Änderung hat wiederum eine Rückwirkung auf die Grenzschicht zur Folge, d.h. es kommt zu einer Wechselwirkung zwischen der Grenzschicht und der Außenströmung. Dabei unterscheidet man zwischen schwacher und starker Wechselwirkung. Bei der schwachen Wechselwirkung liegt die gerade beschriebene Hierarchie vor, die mit der Verdrängungswirkung der Grenzschicht auf die Außenströmung beginnt und sich dann mit den nacheinander folgenden Wirkungen der Außenströmung auf die Grenzschicht bzw. umgekehrt systematisch fortsetzt. Man spricht dann von der Grenzschichttheorie höherer Ordnung im engeren Sinne. Diese gilt nur, solange keine Strömungsablösung, d.h. keine Singularität auftritt. Beim Auftreten einer Singularität (Ablösung) liegt eine starke Wechselwirkung vor, die von der Prandtlschen Grenzschichttheorie in ihrer ursprünglichen Formulierung nicht erfaßt werden kann und deshalb zur Singularität führt. Bei starker

378

14 Erweiterungen der Prandtlschen Grenzschichttheorie

Wechselwirkung müssen die Außenströmung und die Grenzschichtströmung gleichzeitig (simultan) berechnet werden. Ein Beispiel ist die starke Wechselwirkung bei Hyperschallströmungen (Ma∞ → ∞) an schlanken Körpern. Häufig ändert sich die Struktur des Strömungsfeldes infolge starker Wechselwirkung. Statt der Einteilung des Strömungsfeldes in Außenströmung und Grenzschichtströmung liegt im Bereich der starken Wechselwirkung eine Dreischichtenstruktur vor, man spricht deshalb von Dreierdeck-Theorie oder asymptotischer Interaktionstheorie. Charakteristisch ist dabei, daß die reibungsbehaftete Grenzschicht noch in zwei Schichten unterteilt wird. Beispiele für starke Wechselwirkungen dieser Art sind die Strömungen an der Hinterkante einer längsangeströmten ebenen Platte, an Wänden mit deutlichen Vertiefungen (Dellen) oder Erhebungen (Höcker) und an Wänden im Bereich von Verdichtungsstößen. Wie bereits in Kap. 10.4.6 erwähnt wurde, existieren neben Verdrängung und Krümmung noch weitere Grenzschichteffekte höherer Ordnung, die vor allem bei Hyperschallgrenzschichten von Bedeutung sind. Im folgenden werden die Erweiterungen der Prandtlschen Grenzschichttheorie zunächst für inkompressible ebene oder axialsymmetrische Strömungen behandelt. Dann werden die Verallgemeinerungen für kompressible Strömungen bzw. für Hyperschallströmungen dargestellt. Die Behandlung der inkompressiblen ebenen Strömungen soll an einer einfachen geometrischen Konfiguration erfolgen, die alle wesentlichen geometrischen Merkmale besitzt, um allgemeingültige und auf andere Geometrien übertragbare Ergebnisse zu liefern. Es werden nach Bild 14.1 die Strömungen um ausgerundete zurückspringende Stufen betrachtet. Sie sind von den folgenden Größen abhängig: Anströmgeschwindigkeit U∞ , kinematische Viskosität ν, Vorlauflänge L, Länge der Stufe  und Höhe der Stufe H . Daraus lassen sich bei festgelegtem Konturverlauf der Stufe drei dimensionslose Kennzahlen Re = U∞ L/ν, H / und L/ bilden. Für√ eine feste Kennzahl L/ = const enthält das Diagramm mit den Achsenskalen 1/ Re und H / nach Bild 14.1 alle denkbaren Lösungen für abgerundete zurückspringende Stufen. Dabei entspricht der Bereich nahe der H /-Achse der Prandtlschen Grenzschichttheorie, solange H / < (H /)MA gilt, wobei für H / l = (H /)MA die Goldstein-Singularität auftritt. Wie in den folgenden Abschnitten gezeigt wird, läßt sich die Prandtlsche Grenzschicht-Theorie systematisch erweitern, und zwar durch Berücksichtigung schwacher Wechselwirkung für (H /) < (H /)MA (Grenzschichttheorie höherer Ordnung) oder starker Wechselwirkung für (H /) ≥ (H /)MA (DreierdeckTheorie).

14.2

Grenzschichttheorie höherer Ordnung Im Kap. 6.1 wurden die Prandtlschen Grenzschichtgleichungen aus den vollständigen Bewegungsgleichungen durch eine Abschätzung der Größenordnung der einzelnen

14.2 Grenzschichttheorie höherer Ordnung

379

Bild 14.1. Diagramm für Stufenströmungen. Für konstantes Verhältnis /L entspricht jedem

Punkt im Diagramm einer Stufenströmung. MA: Marginale Ablösung

Glieder gewonnen. Man erhält jedoch die Grenzschichtgleichungen auch aus einer allgemeineren Theorie. Um asymptotische Entwicklungen der Lösungen der Navier-Stokes-Gleichungen für große Reynolds-Zahlen zu bekommen, wird eine Störungsrechnung durchgeführt, wobei 1 1 ε=√ (14.1) = U∞ L Re ν

als Störparameter dient. Es ergibt sich ein sogenanntes singuläres Störungsproblem, das zu einer Aufspaltung der gesuchten asymptotischen Entwicklung der Lösung in eine äußere Entwicklung (Außenströmung) und in eine innere Entwicklung (Grenzschichtströmung) führt. Mit Hilfe der Methode der angepaßten asymptotischen Entwicklungen (engl.: method of matched asymptotic expansions) läßt sich daraus die Gesamtlösung ermitteln. Das erste Glied dieser so gewonnenen asymptotischen Entwicklung entspricht gerade den Lösungen der Prandtlschen Grenzschichtgleichungen. Die Fortführung der Störungsrechnung erlaubt jedoch, weitere Glieder der Entwicklung zu ermitteln und damit die klassische Prandtlsche Grenzschicht-Theorie zu erweitern. Man spricht dann von Grenzschicht-Theorie höherer Ordnung. Von besonderer praktischer Bedeutung sind die zweiten Glieder der Entwicklung, die als Korrektur der klassischen Grenzschicht-Theorie aufgefaßt werden können und die sogenannten Grenzschichteffekte zweiter Ordnung liefern. Ausführliche Darstellungen der Grenzschicht-Theorie höherer Ordnung wurden von M. Van Dyke (1969), K. Gersten (1972, 1982a), K. Gersten; J.F. Gross (1976),

380

14 Erweiterungen der Prandtlschen Grenzschichttheorie

Bild 14.2. System natürlicher Koordi-

naten für ebene oder axialsymmetrische Körper

V.V. Sychev et al. (1998) sowie I.J. Sobey (2000) gegeben. In M. Van Dyke (1964b) wird außerdem die Methode der angepaßten asymptotischen Entwicklungen im einzelnen beschrieben. Die wesentlichen Grundgedanken der Methode stammen von L. Prandtl und wurden in Kapitel 4.7 an einem einfachen mathematischen Beispiel plausibel gemacht. Im folgenden wird für ebene und axialsymmetrische inkompressible Strömungen die Theorie zur Bestimmung asymptotischer Lösungen für große Reynolds-Zahlen kurz beschrieben. Hauptziel ist dabei die Erweiterung der Prandtlschen Grenzschichttheorie und die Herleitung der Grenzschichtgleichungen zweiter Ordnung. Bezüglich der Einzelheiten sei auf M. Van Dyke (1962a, 1962c) verwiesen. Grundlage bilden die Navier-Stokes-Gleichungen in natürlichen Koordinaten nach Bild 14.2. Für ebene Strömungen sind diese Gleichungen in Kap. 3.13, vgl. Bild 3.6, angegeben, für axialsymmetrische Strömungen (ohne Geschwindigkeitskomponente in Umfangsrichtung) findet man sie bei M. Van Dyke (1962c). Die Längen werden auf eine geeignete Bezugslänge L, die Geschwindigkeiten 2 bezogen. Die Geometrie des auf U∞ und die Überdrücke gegenüber p∞ auf U∞ Körpers ist durch die Verteilung des örtlichen Krümmungsradius R(x) (entlang eines Meridians) sowie durch rw (x) bei axialsymmetrischen Körpern gegeben. Für die dimensionslose Oberflächenkrümmung gilt K(x) =

L . R(x)

(14.2)

Äußere Entwicklungen. Für die Lösungen der Navier-Stokes-Gleichungen in

natürlichen Koordinaten (für ebene Strömungen Gl. (3.99) bis (3.101) mit  = const

14.2 Grenzschichttheorie höherer Ordnung

381

und fx = fy = 0) werden folgende asymptotische Entwicklungen angesetzt: u(x,y,ε) = U1 (x,y) + εU2 (x,y) + ×s v(x,y,ε) = V1 (x,y) + εV2 (x,y) + ×s p(x,y,ε) = P1 (x,y) + εP2 (x,y) + ×s .

(14.3)

Einsetzen und Ordnen nach Potenzen von ε führen nacheinander auf Systeme von Gleichungen für die Lösung erster Ordnung U1 (x,y), V1 (x,y), P1 (x,y), die Lösung zweiter Ordnung U2 (x,y), V2 (x,y), P2 (x,y) usw. Bis zur Lösung zweiter Ordnung bleiben Glieder proportional ε 2 , d.h. die Reibungsglieder in den Navier-StokesGleichungen, unberücksichtigt. Die Lösungen erster und zweiter Ordnung entsprechen daher reibungslosen Strömungen oder sogar Potentialströmungen, wenn nur Strömungen mit homogener Zuströmung betrachtet werden. Für die Lösung erster Ordnung ergeben sich folgende Randbedingungen: y=0: y→∞:

V1 (x,0) = 0 , U12 + V12 = 1 .

(14.4)

Aus der Lösung der Potentialgleichung U1 (x,y), V1 (x,y) erhält man die Geschwindigkeit an der Wand U1 (x,0) und aus der Bernoulli-Gleichung den Druck an der Wand 1 1 P1 (x,0) = − U12 (x,0) . (14.5) 2 2 Für die Lösung zweiter Ordnung gelten die folgenden Randbedingungen: y=0:

V2 (x,0) =

y→∞:

U22

+ V22

1 j εrw

d [U1 (x,0)rwj δ1 (x)] , dx

(14.6)

= 0,

wobei δ1 (x) die analog zu Gl. (2.4) definierte Verdrängungsdicke ist, vgl. Gl. (14.12). Es gilt j = 0 für ebene und j = 1 für axialsymmetrische Strömungen. Die Lösung der Potentialgleichung liefert wieder die Verteilungen an der Wand für die Geschwindigkeitskomponente parallel zur Wand U2 (x,0) und für den Druck P2 (x,0) = −U1 (x,0) × U2 (x,0) .

(14.7)

Die so gefundenen Lösungen erfüllen im allgemeinen nicht die Haftbedingung an der Wand, sie gelten also nicht in Wandnähe. Sie werden daher „äußere Lösungen“ oder „äußere asymptotische Entwicklungen“ genannt. Innere Entwicklungen. Für die Lösung in Wandnähe erfolgt eine Sonderbehand-

lung. Dazu wird statt des Wandabstandes y eine neue, gestreckte Koordinate N=

y ε

(14.8)

382

14 Erweiterungen der Prandtlschen Grenzschichttheorie

eingeführt. Diese sog. innere Variable wurde gerade so gewählt, daß in dem neuen x,N -Koordinatensystem nicht alle Reibungsglieder in der Theorie erster Ordnung verschwinden. Für die Lösung im wandnahen Bereich (Grenzschicht) werden jetzt ebenfalls asymptotische Entwicklungen angesetzt: u(x,y,ε)

= u1 (x,N ) + εu2 (x,N ) + ×s

v(x,y,ε)

= εv1 (x,N ) + ε 2 v2 (x,N ) + ×s

p(x,y,ε)

= p1 (x,N ) + εp2 (x,N ) + ×s .

(14.9)

Einsetzen in die Navier-Stokes-Gleichungen (in Gl. (3.39) bis (3.100) für ebene Strömungen) und Ordnen nach Potenzen von ε führen auf folgende Gleichungssysteme: (j = 0: eben, j = 1: axialsymmetrisch) Grenzschicht erster Ordnung: ∂ j ∂ j (r u1 ) + (r v1 ) = 0 ∂x w ∂N w u1

∂p1 ∂ 2 u1 ∂u1 ∂u1 + v1 + − =0 ∂x ∂N ∂x ∂N 2

(14.10)

∂p1 =0 ∂N mit den Randbedingungen: N =0:

u1 = 0,v1 = 0

N →∞:

u1 = U1 (x,0) .

(14.11)

Das entspricht genau den Prandtlschen Grenzschichtgleichungen (6.30) und (6.31) bzw. (12.1) und (12.2) (jedoch ohne Auftriebsglied, d.h. für g = 0), wenn diese auf das x,N -System geeignet transformiert werden. Außerdem gilt p1 (x) = P1 (x,0). Aus der Lösung u1 (x,N ) läßt sich die bereits erwähnte Verdrängungsdicke δ1 (x) bilden:  ∞  u1 (x,N ) δ1 (x) = ε 1− dN . (14.12) U1 (x,0) 0

Die Grenzschichtgleichungen erster Ordnung (14.10) enthalten nicht mehr die Reynolds-Zahl. Daraus folgt, daß auch u1 (x,N ) und v1 (x,N ) unabhängig von der Reynolds-Zahl sind. Damit ist auch die Lage des Ablösungspunktes nicht von der Reynolds-Zahl abhängig, solange Effekte höherer Ordnung vernachlässigt werden.

14.2 Grenzschichttheorie höherer Ordnung

383

Grenzschicht zweiter Ordnung: 
 
  ∂ j ∂ cos θ cos θ j r u2 + j u 1 N + =0 r v2 + v 1 N K + j ∂x w rw ∂N w rw u1

∂p2 ∂ 2 u2 ∂u2 ∂u1 ∂u2 ∂u1 + u2 + v1 + v2 + − ∂x ∂x ∂N ∂N ∂x ∂N 2 
∂u1 ∂u1 cos θ ∂ 2 u1 ∂u1 − N v − u =K N + v 1 1 1 +j ∂N 2 ∂N ∂N ∂N rw

(14.13)

∂p2 = Ku21 ∂N mit den Randbedingungen N =0:

u2 = 0,v2 = 0,

N →∞:

u2 = U2 (x,0) − KU1 (x,0)N p2 =

P2 (x,0) + KU12 (x,0)N

(14.14) .

Die äußeren Randbedingungen (d.h. N → ∞) der inneren Lösungen folgen ebenso wie die inneren Randbedingungen (y = 0) der äußeren Lösungen (z.B. Gl. (14.6) für V2 (x,0)) aus der Anpassung von inneren und äußeren Lösungen, vgl. dazu M. Van Dyke (1962a). Das Gleichungssystem (14.13), (14.14) für die Grenzschicht zweiter Ordnung enthält wiederum nicht die Reynolds-Zahl. Es enthält aber die Lösungen der Grenzschichtgleichungen erster Ordnung und ist auch umfangreicher als das Gleichungssystem für die Grenzschicht erster Ordnung, aber es besteht aus linearen Differentialgleichungen. Damit läßt sich die Lösung in Teillösungen aufspalten. Es ist üblich, die Lösung in einen Krümmungsanteil und in einen Verdrängungsanteil aufzuspalten, worauf hier jedoch nicht näher eingegangen werden soll. Infolge der Berücksichtigung der Wandkrümmung in der Grenzschichttheorie zweiter Ordnung tritt ein Druckgradient senkrecht zur Wand auf. Der Druck an der Wand ist daher verschieden von dem Druck, der von der Außenströmung aufgeprägt wird. Durch Integration über der Grenzschicht erhält man für den Druckbeiwert an der Wand: 1 cpw = p(x,0,ε) 2

  ∞ % & = P1 (x,0) + ε P2 (x,0) + K U12 (x,0) − u21 (x,N ) dN + O(ε2 ) .

0

(14.15)

Bei konvexer Oberflächenkrümmung (K > 0) ist der Druck an der Wand größer als der von außen aufgeprägte.

384

14 Erweiterungen der Prandtlschen Grenzschichttheorie

Für die Verteilung des örtlichen Reibungsbeiwertes erhält man unter Berücksichtigung der Grenzschicht zweiter Ordnung:

  1 ∂u1 τw (x) 2 ∂u2 cf = =ε +ε + O(ε 3 ) . (14.16) 2 2 U∞ ∂N N=0 ∂N N=0 Auch die Grenzschicht zweiter Ordnung hat eine Rückwirkung auf die Außenströmung. Für die Berechnung der Verdrängungsdicke zweiter Ordnung sei auf die Arbeit von K. Gersten (1974a) verwiesen. Beispiele Längsangeströmte ebene Platte. Im Fall der √ undurchlässigen längsangeströmten ebenen Platte gilt für die Verdrängungsdicke δ1 ∼ x. Daraus folgt entsprechend Gl. (14.6) die Randbedingung für die Außenströmung zweiter Ordnung

V2 (x,0) =

0,8604 , √ x

(14.17)

wobei die Plattenlänge als Bezugslänge dient. Für die Lösung der ebenen Potentialströmung mit dieser Randbedingung gilt gerade U2 (x,0) = 0. Also ist die Lösung des Systems (14.13), (14.14) die triviale Lösung. Damit verschwindet bei der ebenen Platte der Reibungswiderstand zweiter Ordnung. Anmerkung 1 (Optimale Koordinaten)

Bisher wurden kartesische Koordinaten verwendet. Hätte man statt dessen parabolische Koordinaten verwendet, wäre die Außenströmung erster Ordnung bereits die Summe der hier angegebenen Außenströmung erster und zweiter Ordnung, so daß die Anpassungsbedingung (14.17) für die v-Komponente in parabolischen Koordinaten bereits in der ersten Ordnung erfüllt wäre. Für die Plattenströmung sind daher parabolische Koordinaten sogenannte „optimale Koordinaten“. Optimale Koordinaten hängen von der Geometrie der betrachteten Körper ab, vgl. M. Van Dyke (1964b, S. 144). Beispielsweise sind für die Staupunktströmung kartesische Koordinaten optimal, da die Lösung der Grenzschichtgleichung 1. Ordnung in diesem Fall auch Lösung der vollständigen Navier-Stokes-Gleichungen ist. Anmerkung 2 (Widerstandsbeiwert der halbunendlichen Platte)

In einer kleinen Umgebung der Vorderkante sind die Grenzschichtgleichungen erster Ordnung nicht gültig. Für die Wandschubspannung ergibt sich deshalb wegen τw ∼ x −1/2 mit x → 0 eine Singularität. Tatsächlich muß in einer Umgebung x = O(Re−1 ) die Strömung durch die vollständigen Navier-Stokes-Gleichungen beschrieben werden. Wie A.I. Van de Vooren; D. Dijkstra (1970) gezeigt haben, führt die Integration der Wandschubspannung der vollständigen Lösung zu folgender gegenüber Gl. (6.59) erweiterten Widerstandsformel der halbunendlichen Platte: cW = 1,328 Re−1/2 +2,326 Re−1 +O(Re−3/2 ) , (14.18) vgl. auch A.E.P. Veldmann (1976). Von I. Imai (1957) wurde mit Hilfe einer globalen Impulsbilanz gezeigt, daß der zweite Term in Gl. (14.18) allein aus der Blasiusschen Grenzschicht berechnet werden kann. Es gilt β12 π/2 = 2,326 mit β1 = 1,2168 nach Gl. (6.52). Auf die Erweiterung der Widerstandsformel der längsangeströmten ebenen Platte nach Gl. (6.59) infolge endlicher Länge der Platte (Hinterkanten-Effekt) wird in Abschnitt 14.4 eingegangen.

14.2 Grenzschichttheorie höherer Ordnung

385

Ebene symmetrische Staupunktströmung. Diese Strömung ist von M. Van Dyke (1962b) ausführlich behandelt worden. Es wird angenommen, die Außenströmungen erster und zweiter Ordnung lieferten für die Geschwindigkeit an der konvex gekrümmten Wand (R = L, d.h. K = 1) im Staupunkt (x = 0):

U (x,0) = U11 x + εU21 x + O(ε2 ) ,

(14.19)

wobei U11 und U21 Konstanten sind, die nur von der Geometrie des umströmten Körpers abhängen (bei massivemAbsaugen bzw.Ausblasen hängt U21 auch von vw ab). Bei K. Gersten; H. Herwig (1992, S. 271) sind für einige Geometrien diese Konstanten zusammengestellt. Bei undurchlässiger Wand ergibt sich für den Reibungsbeiwert, siehe H. Schlichting (1982, S. 197),
    1 τw cf = = εx U − ε 1,19133 U − 1,8489 U 1,2326 U + O(ε3 ) 11 11 11 21 2 2 U∞ (14.20) und für den Druckbeiwert  
 pw − p∞ U21 2 x 2 1 − ε 1,8805 √ 1 2 ) . (14.21) cpw = 2 = 1 − U − 2 + O(ε 11 2 U11 U11 U∞ Diese Ergebnisse für den Reibungsbeiwert und den Druckbeiwert sind universell. Die noch einzusetzenden Konstanten U11 und U21 hängen nur von der Körpergeometrie ab. In den bekannt gewordenen Beispielen ist U21 stets negativ. Damit wird in Staupunktnähe von konvex gekrümmten Körpern durch Grenzschichteffekte höherer Ordnung (Krümmung und Verdrängung) der Reibungsbeiwert verkleinert und der Druckbeiwert an der Wand vergrößert. Symmetrisch angeströmte Parabel. Die Grenzschicht zweiter Ordnung für die symmetrisch angeströmte Parabel wurde von M. Van Dyke (1964a) berechnet. Es gilt U11 = 1, U21 = −0,61. Im Bild 14.3 sind für die Reynolds-Zahl Re = U∞ R0 /ν = 100 (R0 ist der Krümmungsradius im Parabelscheitel) die Verteilungen des statischen Druckes und der Wandschubspannung auf der Parabelkontur nach der Grenzschichttheorie zweiter Ordnung dargestellt. Zum Vergleich sind auch die Verteilungen entsprechend der Grenzschichttheorie erster Ordnung (Re → ∞) eingetragen. Beide Druckverteilungen beginnen im Staupunkt bei cp = 1. Die reibungslose Strömung (Re → ∞) ergibt

cp =

1 , 1 + 2x ∗

(14.22)

wobei x ∗ = x  /R0 den dimensionslosen Abstand vom Scheitel der Parabel, gemessen längs der Achse, bedeutet, vgl. Bild 14.3. Für Re = 100 gilt in Staupunktnähe eine Beziehung nach Gl. (14.22), wobei jedoch der Koeffizient 2 durch den Zahlenwert 1,38 ersetzt werden muß, vgl. H. Schlichting (1982, S. 198). Erwartungsgemäß nehmen die Grenzschichteffekte stromabwärts ab, da insbesondere auch die Krümmung abnimmt. Etwa bei x ∗ = 2 sind die Grenzschichteffekte zweiter Ordnung praktisch abgeklungen. Ähnliches gilt für den Reibungsbeiwert, der im Staupunkt am stärksten von den Grenzschichteffekten zweiter Ordnung beeinflußt wird. Vergleiche mit numerischen Lösungen der vollständigen Navier-StokesGleichungen zeigen, daß bei Re = 100 die Grenzschichttheorie zweiter Ordnung praktisch die exakte Lösung liefert, vgl. H. Schlichting (1982, S. 197). Während der Druckbeiwert durch Grenzschichteffekte zweiter Ordnung zunimmt, ergibt sich beim Reibungsbeiwert eine Verminderung. Danach nimmt der Druckwiderstand der Parabel gegenüber demjenigen bei Re → ∞ zu, der Reibungswiderstand dagegen ab. In Kap. 5.1.4 war bereits anhand von Bild 5.7 gezeigt worden, wie gut die Lösung der Navier-StokesGleichungen bis zur Reynolds-Zahl von etwa Re = 100 von der Grenzschichttheorie zweiter Ordnung wiedergegeben wird.

386

14 Erweiterungen der Prandtlschen Grenzschichttheorie

Bild 14.3. Verteilungen des statischen Druckes (a) und der Schubspannung (b) auf der Kon-

tur einer symmetrisch angeströmten Parabel. Die Kurven für Re = 100 entsprechen der Grenzschichttheorie zweiter Ordnung, die Kurven Re → ∞ entsprechen der Theorie erster Ordnung.

1) 2) 3) 4) 5)

cp für die reibungslose Strömung Re → ∞, Gl. (14.22) cp = 1/(1 + 1,38x ∗ ) für Re = 100 √ √ cf Re = 3,486 x ∗ , Staupunkt, Re → ∞ √ √ cf Re = 2,63 x ∗ , Staupunkt, Re = 100 √ √ cf Re = 0,664/ x ∗ , ebene Platte

Weitere ebene Strömungen. Für den ebenen Halbkörper wurden die Effekte zweiter Ord-

nung von L. Devan (1964) untersucht. Die Ergebnisse sind ähnlich denjenigen der Parabel. Weitere Lösungen der Grenzschichtgleichungen zweiter Ordnung liegen insbesondere für solche Strömungen vor, die in der Theorie erster Ordnung auf ähnliche Lösungen führen, vgl. Kap. 7.2. Für die Strömungen mit der Außenströmung erster Ordnung U1 (x,0) ∼ x m haben auch die Grenzschichtgleichungen zweiter Ordnung ähnliche Lösungen, wenn K(x) ∼ x (m−1)/2 und U2 (x,0) ∼ x n gilt. Nähere Angaben über Untersuchungen der Grenzschichteffekte zweiter Ordnung findet man bei M. Van Dyke (1969), K. Gersten (1972, 1982a, 1989a) und K. Gersten; J.F. Gross (1976). Dort findet man auch Hinweise auf Arbeiten zur Grenzschichttheorie zweiter Ordnung unter Berücksichtigung von Grenzschichtbeeinflussung durchAbsaugen oderAusblasen, siehe auch K. Gersten; J.F. Gross (1974b), K. Gersten et al. (1972, 1977), K. Gersten (1979), J. Wiedemann (1983), und von Wärmeübergang, siehe auch F. Schultz-Grunow; H. Henseler (1968), K. Gersten (1982a) und K. Gersten et al. (1991). Der ebene Freistrahl wurde von S.G. Rubin; R. Falco (1968) und K. Mitsotakis et al. (1984) behandelt, der Auftriebsstrahl von K. Mörwald et al. (1986). In der letztgenannten Arbeit wurde auch gezeigt, daß gute Übereinstimmung mit Experimenten nur erzielt werden kann, wenn auch die Temperaturabhängigkeit aller Stoffwerte berücksichtigt wird. Mit der Grenzschichttheorie höherer Ordnung läßt sich für die in Bild 14.1 dargestellten ausgerundeten zurückspringenden Stufen ein gewisser Parameter-Bereich abdecken. Bei festem /L ergibt sich für einen bestimmten Wert H / = (H /)MA aus der Theorie erster Ordnung eine Singularität. Für alle Werte H / < (H /)MA sind die Lösungen im Prinzip für beliebige Reynolds-Zahlen durch diese Theorie bestimmbar. Dagegen versagt diese Theorie

14.2 Grenzschichttheorie höherer Ordnung

387

für H / ≥ (H /)MA . Wie bereits erwähnt, müssen hierfür Methoden der starken Wechselwirkung eingesetzt werden, auf die in den nächsten Abschnitten eingegangen wird. Zuvor soll jetzt noch auf einige weitere Beispiele und Erweiterungen der Grenzschichttheorie höherer Ordnung eingegangen werden. Axialsymmetrische Strömungen. Die axialsymmetrische Staupunktströmung und die axialsymmetrische Strömung am Rotationsparaboloid wurden u.a. von H.D. Papenfuß (1974a,b, 1975) untersucht. Wie bei der analogen ebenen Strömung konnte auch hier durch Vergleich mit numerischen Lösungen der Navier-Stokes-Gleichungen gezeigt werden, daß für Re > 100 (Re mit R0 gebildet) die Grenzschichttheorie zweiter Ordnung praktisch exakte Ergebnisse liefert. Während die Grenzschichteffekte zweiter Ordnung den Wärmeübergang im Parabelstaupunkt vermindern, kommt es beim Paraboloid zu einer Erhöhung des Wärmeüberganges. Von E. Beese; K. Gersten (1979) wurde die Grenzschicht zweiter Ordnung am axial bewegten Zylinder in ruhender Umgebung ermittelt. Auch die Arbeiten über Effekte höherer Ordnung beim axialsymmetrischen Impulsstrahl von K. Mitsotakis et al. (1984) sowie beim Auftriebsstrahl von C.A. Hieber; E.J. Nash (1975) und K. Mörwald et al. (1986) sind hier zu nennen. Effekte der Transversalkrümmung bei natürlicher Konvektion sind von H.K. Kuiken (1968b) untersucht worden. Dreidimensionale Strömungen. Die hier dargestellte Theorie wurde in etlichen Arbeiten auf dreidimensionale Strömungen erweitert. Dabei kann es sich um die Strömung an einem schiebenden ebenen Körper handeln, siehe z.B. K. Gersten; J.F. Gross (1973), K. Gersten et al. (1972), K. Gersten (1977), oder um die Strömung um einen dreidimensionalen Körper, wie z.B. um das dreidimensionale Paraboloid, das von H.D. Papenfuß (1974a, 1974b, 1975) untersucht wurde. Kompressible Strömungen. Die Erweiterung der Grenzschichttheorie höherer Ordnung

auf kompressible Strömungen erfolgte durch M. Van Dyke (1962c). Gegenüber den inkompressiblen Strömungen treten neben der Verdrängung und der Krümmung zwei weitere Effekte zweiter Ordnung auf: der Einfluß der Drehung in der Außenströmung, z.B. infolge von vor dem Körper befindlichen gekrümmten Verdichtungsstößen, und Nichtkontinuumseffekte, worunter man ein Gleiten der Strömung und einen Temperatursprung an der Wand versteht. Die genannten Effekte sind Folge der entsprechenden Randbedingungen am Außenrand (Verdichtungsstoß) einer Überschallströmung bzw. an der Wand. Zahlreiche Beispielrechnungen insbesondere von Überschallströmungen liegen vor. Im Kap. 1, Bild 1.18, war bereits das Ergebnis einer Grenzschichtrechnung zweiter Ordnung am Kreiszylinder nach K. Oberländer (1974) angegeben und mit Meßergebnissen verglichen worden. Weitere Arbeiten an stumpfen Körpern in Überschall- bzw. Hyperschallströmungen stammen von R.T. Davis; I. Flügge-Lotz (1964), T.K. Fannelöp; I. Flügge-Lotz (1965, 1966), H.D. Papenfuß (1975), K. Gersten (1977). Für den Wärmeübergang im Staupunkt eines mit Ma∞ = 4 axial angeströmten Rotationsparaboloids ergibt sich nach H.D. Papenfuß (1975) bei Vernachlässigung des Verdrängungseffektes: qw 1 = 1 + ( 0,236 + 0,514 + 1,092 ) √ .

 

 

  qw∞ Re∞ Krümmung

Nichtkontinuum

Drehung

Dabei wird die Reynolds-Zahl Re∞ mit dem Krümmungsradius im Staupunkt und den Größen der Zuströmung gebildet. Die Berechnung vereinfacht sich erheblich, wenn am Körper massiv abgesaugt wird, vgl. K. Gersten et al. (1977). Der axial angeströmte Kreiszylinder in Überschallströmung wurde von K. Gersten; J.F. Gross (1973b) und A.E. Wehrum (1975) untersucht. Die Verallgemeinerung auf Zylinder beliebiger Querschnitte erfolgte bei V. Vasanta Ram (1975).

388

14 Erweiterungen der Prandtlschen Grenzschichttheorie

Anmerkung (Wechselwirkungstheorie engl.: interacting-boundary-layer theory)

In der Praxis werden häufig die vier hintereinander erfolgenden Rechnungen (Außenlösung erster Ordnung, Innenlösung erster Ordnung, Außenlösung zweiter Ordnung, Innenlösung zweiter Ordnung) durch eine Rechnung ersetzt, wobei die Anpassung der Außen- und Innenlösung iterativ erfolgt. Dabei werden für die Innenlösung (Grenzschicht) vereinfachte Navier-StokesGleichungen verwendet, in denen jedoch alle Glieder, die zu den Grenzschichtgleichungen zweiter Ordnung einen Beitrag leisten, enthalten sind. Diese lauten für ebene (j = 0) bzw. axialsymmetrische (j = 1) kompressible Strömungen: ∂ ∂ (14.23) [(rw + y cos )j u] + [(1 + Ky)(rw + y cos )j v] = 0 , ∂x ∂y

 u ∂u 1 j cos ∂u ∂p ∂τxy  +v + Kuv = − + + 2K + τxy , (14.24) 1 + Ky ∂x ∂y 1 + Ky ∂x ∂y rw ∂p Ku2 = , (14.25) ∂y
cp

∂T ∂T u +v 1 + Ky ∂x ∂y

 =



 ∂ ∂T j cos ∂T λ + K+ λ ∂y ∂y rw ∂y
+ βT

∂p ∂p u +v 1 + Ky ∂x ∂y

 +

2 τxy

µ

(14.26)


∂u τxy = µ − Ku . (14.27) ∂y Bei dieser Vorgehensweise besteht der Nachteil, daß zu jeder Reynolds-Zahl eine eigene Rechnung durchgeführt werden muß. Zusammenfassende Darstellungen dazu findet man bei R.T. Davis; M.J. Werle (1982), H. McDonald; W.R. Briley (1984), T. Cebeci; J.H. Whitelaw (1986) und J.D. Anderson Jr. (1989, S. 339). Wendet man die Wechselwirkungstheorie auf die in Bild 14.1 skizzierten Stufenströmungen an, kann man bei endlichen Reynolds-Zahlen auch für (H /) > (H /)MA Lösungen ohne Ablösung finden. Wie später noch gezeigt wird, gelten diese Gleichungen sogar noch für Lösungen mit Rückströmung, solange die Reynolds-Zahlen groß genug sind und sich die Gebiete mit Rückströmung im Innern der Grenzschicht befinden. Eine Singularität tritt dann nicht mehr auf. Das gilt auch für instationäre Grenzschichten, vgl. Kap. 13. Bezüglich einer theoretischen Begründung der Wechselwirkungstheorie vgl. die Anmerkung am Ende von Abschnitt 14.4. mit

14.3

Hyperschall-Wechselwirkung Im vorigen Abschnitt wurde die Wechselwirkung zwischen Außenströmung und Grenzschicht besprochen. Dabei war unterstellt worden, daß die gegenseitigen Wirkungen jeweils nur schwach waren, so daß Rückwirkungen sich erst in der nächst höheren Ordnung bemerkbar machten. So hatte beispielsweise die Grenzschicht erster Ordnung eine Rückwirkung auf die Außenströmung zweiter Ordnung, also nicht etwa auf diejenige erster Ordnung.

14.3 Hyperschall-Wechselwirkung

389

Bild 14.4. Hyperschallströmung an der längsangeströmten ebenen Platte (a) Induzierte Druckverteilung infolge Wechselwirkung (b) Skizze des Strömungsfeldes

Bei Hyperschallströmungen um schlanke Körper treten häufig sog. „starke Wechselwirkungen“ auf, bei denen also die Außenströmung erster Ordnung bereits von dem Verhalten der Grenzschicht abhängt, deren Verlauf umgekehrt eine Folge der Außenströmung ist. Außenströmung und Grenzschicht (erster Ordnung) bedingen sich also gegenseitig, sie müssen simultan berechnet werden. Diese starke Wechselwirkung soll am Beispiel der Hyperschallströmung längs einer Platte erläutert werden. In Bild 14.4 ist diese Strömung skizziert. Die hohen Mach-Zahlen von Hyperschallströmungen (Ma∞ > 5) haben zwei Effekte zur Folge, die zur starken Wechselwirkung führen. Zum einen ergibt sich mit wachsender Mach-Zahl eine beträchtliche Zunahme der Grenzschichtdicke, wie bereits an Hand von Bild 10.5 erklärt worden ist. Zum anderen wird mit zunehmender Mach-Zahl der Stoßwinkel θ flacher, d.h. die Stoßfront legt sich näher an den Körper an. Die Wandabstände der Stoßfront und des Grenzschichtaußenrandes erreichen also bei steigenden Mach-Zahlen schließlich gleiche Größenordnung. Im folgenden wird ein ideales Gas (γ = 1,4; ω = 1) betrachtet. Wie sich herausstellen wird, folgt der Verlauf der Verdrängungsdicke wieder einem Potenzgesetz der Form δ1 (x) ∼ x n . (14.28) Dabei liegt jetzt jedoch nicht mehr der bei Gleichdruck gültige Exponent n = 1/2 vor. Nach der Theorie reibungsfreier Hyperschallströmungen ergeben sich für schlanke Körper, deren Konturen Potenzgesetzen gehorchen, ähnliche Lösungen, d.h. auch die sich ausbildenden Stoßlinien folgen Potenzgesetzen mit gleichem Exponent, siehe K. Gersten; D. Nicolai (1974). Nach dieser Arbeit ergeben sich folgende Druckverteilungen auf der fiktiven Kontur pe = λ2 (n) Ma2∞ p∞




dδ1 dx

2 ,

(14.29)

wobei der Koeffizient λ (bei festem γ ) nur von dem Exponenten n abhängt. Danach gehorcht auch die Druckverteilung am Außenrand der Grenzschicht einem Potenzgesetz. Dafür ergeben sich ebenfalls ähnliche Lösungen der Grenzschichtgleichungen,

390

14 Erweiterungen der Prandtlschen Grenzschichttheorie

wie bereits in Kap. 10.4.4 erläutert wurde. Diese Lösungen sind u.a. von C.F. Dewey Jr.; J.F. Gross (1967) ausführlich tabuliert worden. Danach ergibt sich bei konstanter Wandtemperatur Tw der Verlauf der Verdrängungsdicke zu  γ −1 CR∞ δ1 (x) Ma2∞ =√ I1 (β,Tw /T0 ) (14.30) √ x 2(2n − 1) Rex∞ pe /p∞ mit T0 als Stautemperatur, vgl. Gl. (10.52). Dabei wurde für die Viskosität ein lineares Gesetz nach Gl. (10.47) T µ = CR∞ , µ∞ T∞

CR∞ =

T∞ µw T w µ∞

(14.31)

verwendet mit dem Chapman-Rubesin-Parameter CR∞ nach Gl. (10.32). Die Gleichungen (14.29) und (14.30) sind zwei gekoppelte Gleichungen für die gesuchten Funktionen δ1 (x) und pe (x). Für die Lösung δ1 (x) nach Gl. (14.28) lautet der Exponent n = 3/4. Damit folgt aus Gl. (14.29) die Druckverteilung pe /p∞ ∼ x −1/2 . Für diese Druckverteilung ergibt sich der Parameter β nach Gl. (10.72) zu β=

γ −1 = 0,2857 γ

(γ = 1,4) ,

(14.32)

vgl. C.F. Dewey Jr. (1963). Damit folgt aus den Grenzschichtlösungen für die adiabate Wand (Pr = 0,7; Tad /T0 = 0,819) der Wert I1 = 1,21, vgl. C.F. Dewey Jr.; J.F. Gross (1967). Mit λ(n = 3/4) = 1,409 nach K. Gersten; D. Nicolai (1974) erhält man schließlich für die Druckverteilung

wobei

3 pe (x) = (γ − 1)λI1 χ  = 0,51 χ, p∞ 4

(14.33)

Ma2  CR∞ χ = √ ∞ Rex∞

(14.34)

der Hyperschall-Ähnlichkeitsparameter ist. In Bild 14.5 ist die infolge starker Wechselwirkung induzierte Druckverteilung nach Gl. (14.33) mit Meßergebnissen verglichen. Dabei ist pe (x)/p∞ über χ 2 < 0,1 1/ χ 2 ∼ x, also über der bezogenen Lauflänge x, aufgetragen. Für etwa 1/ (d.h. χ  > 3) besteht gute Übereinstimmung zwischen Theorie und Experiment. Für 1/ χ 2 > 0,1 liegt nur eine schwache Wechselwirkung vor, die mit der in Abschnitt 14.2 dargestellten Theorie beschrieben werden kann. Es gilt dafür (γ = 1,4; Pr = 0,725) die Beziehung pe (x)/p∞ = 1 + 0,31 χ + 0,05 χ 2 , die ebenfalls in Bild 14.5 eingetragen ist. Der Druck pe (x) wird nach Gl. (14.33) an der Vorderkante (x → 0, χ  → ∞) unendlich. Hier versagt also die Theorie, die auf dem Kontinuumskonzept beruht. Sehr nahe der Plattenvorderkante, also in Abständen von der Größenordnung der mittleren freien Weglänge der Moleküle, gelten nicht mehr die Navier-Stokes-Gleichungen

14.3 Hyperschall-Wechselwirkung

391

Bild 14.5. Induzierte Druckverteilung in Abhängigkeit vom Hyperschall-Ähnlichkeitsparameter χ . Vergleich der Wechselwirkungstheorie mit Messungen, vgl. W.D. Hayes; R.F. Probstein (1959) 1) starke Wechselwirkung: Erweiterung von Gl. (14.33): pe /p∞ = 0,51 χ + 0,76 2) schwache Wechselwirkung: pe (x)/p∞ = 1 + 0,31 χ + 0,05 χ2

und die Haftbedingung. In der Realität sinkt infolge der genannten Nichtkontinuumseffekte der Druck an der Vorderkante wieder ab, vgl. G. Koppenwallner (1988) und J.D. Anderson Jr. (1989, S. 314). Für die Wandschubspannung folgt aus der Grenzschichtlösung im Bereich starker Wechselwirkung:   Rex∞ cf = 0,517 χ . (14.35) CR∞ Eine genauere Analyse der starken Wechselwirkung zeigt, daß sich die beiden Lösungen (reibungslose Lösung für die Hyperschallströmung um schlanke Körper mit Konturen nach Potenzgesetzen und Grenzschichtlösung) bezüglich der Temperatur bzw. Dichte nicht korrekt anpassen lassen. Nach W.B. Bush (1966) besteht das Strömungsfeld hinter der Stoßfront daher aus drei Schichten, weil eine Übergangslösung zwischen den beiden genannten Lösungen das korrekte Anpassen ermöglicht. Bezüglich der starken Hyperschall-Wechselwirkung an anderen schlanken Körpern (Platte mit Anstellwinkel, Kegel ohne und mit Anstellwinkel usw.) sei auf die entsprechende Literatur verwiesen, z.B. W.D. Hayes; R.F. Probstein (1959, S. 363), J.D. Anderson Jr. (1989, S. 315).

392

14 Erweiterungen der Prandtlschen Grenzschichttheorie

14.4

Dreierdeck-Theorie Bei den in Bild 14.1 skizzierten Stufenströmungen versagt die Grenzschichttheorie höherer Ordnung für H / > (H /)MA . Dennoch lassen sich bei endlichen ReynoldsZahlen mit Hilfe der Wechselwirkungstheorie auch für H / ≥ (H /)MA Lösungen bestimmen. Es stellt sich daher die Frage, ob diese letztgenannten Lösungen sich auch mit einer asymptotisch korrekten Theorie ermitteln lassen. Die Frage kann bejaht werden. Die Lösungen können mit Hilfe der asymptotischen Interaktionstheorie – auch Dreierdeck-Theorie genannt – bestimmt werden. Die Grenzschichttheorie höherer Ordnung versagt wegen des Auftretens der Goldstein-Singularität in der Theorie erster Ordnung. Die Dreierdeck- Theorie vermeidet diese Singularität durch einen einfachen Trick. Sie geht von der Blasiusschen Plattenlösung als Grenzlösung aus und betrachtet z.B. die Stufenströmung als Störung der Plattenlösung. Die Geometrie wird also mit der Reynolds-Zahl gekoppelt, und zwar so, daß für Re → ∞ gilt H /L → 0. Der Nullpunkt im Bild 14.1 bildet also den Ausgangspunkt der Störungsrechnung für große Reynolds-Zahlen. Wie die weitere Analyse dieser Störungsrechnung ergibt, besitzt die Strömung im Bereich der Stufe, in dem also die Abweichungen von der Plattenströmung auftreten, eine Drei-Schichten-Struktur nach Bild 14.6. Jede der drei Schichten oder Decks hat eigene physikalische Funktionen innerhalb des betrachteten Interaktionsbereiches und damit eigene Skalierungen bezüglich der Reynolds-Zahl. Dieser Interaktionsbereich habe in Strömungsrichtung die Skalierung Lu = λL Re−nL , L

nL > 0 .

(14.36)

Da Lu / = O(1) gilt, ist damit eine Kopplung zwischen der Geometrie und der Reynolds-Zahl erfolgt. Die Konstante λL wird später noch so festgelegt, daß sich möglichst einfache Gleichungen ergeben. Als zweite Kopplung wird für die Dicke

Bild 14.6. Dreierdeck-Struktur der Strömung in der Umgebung der Stufe

14.4 Dreierdeck-Theorie

393

des Unterdecks δu , für die δu /H = O(1) gilt, angesetzt: δu = λ Re−n , L

n > 0 .

(14.37)

Dabei wird unterstellt, daß sich die Änderung des Geschwindigkeitsprofils infolge Viskosität auf das Unterdeck beschränkt. Das restliche Geschwindigkeitsprofil außerhalb des Unterdecks wird lediglich in y-Richtung verschoben. Daher hat das Mitteldeck lediglich die passive Funktion, die durch Viskositätseffekte im Unterdeck entstandenen Verdrängungswirkungen an das Oberdeck weiterzugeben. Das Oberdeck ist Bestandteil der reibungslosen Außenströmung und hat daher die gleichen Skalierungen in x- und y-Richtung, d.h. seine Dicke ist von der Größenordnung Lu . Da es sich nur um sehr schwache Verdrängungseffekte handelt, kann im Oberdeck der Zusammenhang zwischen Verdrängung und Druckstörung durch das sogenannte Hilbert-Integral beschrieben werden. Für den Referenz-Stördruck wird angesetzt: (p − p∞ )ref = λp Re−np , np > 0 . (14.38) 2 U∞ Die drei zunächst unbekannten Exponenten nL ,n und np in Gl. (14.36) bis (14.38) lassen sich wie folgt bestimmen: (1) Für das Unterdeck wird zunächst eine charakteristische Referenzgeschwindigkeit uref festgelegt. Es wird dafür diejenige Geschwindigkeit gewählt, die am Anfang des Interaktionsgebietes im Wandabstand y = δu herrscht. Da das Unterdeck sehr viel dünner ist als die ankommende Plattengrenzschicht, befindet sich diese Geschwindigkeit in demjenigen Teil des Blasiusschen Geschwindigkeitsprofils, der durch die Tangente an der Wand beschrieben werden kann. Nach Gl. (6.54) gilt daher für die Referenzgeschwindigkeit
 ∂uBl δu uref = , c = 0,332 . (14.39) δu = cU∞ Re1/2 ∂y w L (2) Für das Unterdeck werden folgende dimensionslose Größen eingeführt: xD =

x−L x RenL = , Lu L λL

yD =

y − yK y − yK Ren = , δu L λ

uD =

u u Ren −1/2 = , uref U∞ cλ

vD =

v Lu v λL = Re2n −nL −1/2 , uref δu U∞ cλ2

pD =

p − p∞ p − p∞ Renp = . 2 (p − p∞ )ref U∞ λp

(14.40)

394

14 Erweiterungen der Prandtlschen Grenzschichttheorie

Der Ansatz für vD stellt sicher, daß die Kontinuitätsgleichung erfüllt ist. Setzt man die gewählten Größen in die Impulsgleichung für die x-Richtung ein, ergibt sich: c2 λ2 λL

Re

1−2n +nL




∂uD ∂uD uD + vD ∂xD ∂yD



λp nL −np ∂pD Re λL ∂xD
2  λ2 2n −2n ∂ 2 uD c n −1/2 ∂ uD  L + Re + 2 Re . 2 2 λ ∂yD λL ∂xD

=−

(14.41)

Anmerkung (Parallelverschiebung der y-Koordinate)

Durch die in der Definitionsgleichung für yD enthaltene Parallelverschiebung der yKoordinate entstehen strenggenommen weitere Glieder in Gl. (14.41), die jedoch wegen yK (x)/δu = O(1) in der führenden Ordnung für Re → ∞ verschwinden, vgl. H. Herwig (1981). Durch die Parallelverschiebung gilt auf der Kontur yD = 0.

Aus der Bedingung, daß die Trägheitskräfte, Druckkräfte und führenden Reibungskräfte gleiche Größenordnung haben sollen, folgen für die Exponenten die beiden Beziehungen: 1 − 2n + nL = nL − np , nL − np = n −

1 . 2

(14.42) (14.43)

Damit die Koeffizienten in Gl. (14.41) den Wert Eins erhalten, muß außerdem gelten: c2 λ2

λp , λL

(14.44)

λp c = . λL λ

(14.45)

λL

=

(3) Das Oberdeck „sieht“ (zusätzlich zur Verdrängungskontur der ebenen Platte) eine Verdrängungskontur (x), die sich aus der echten Kontur yK (x) und der Verdrängungsdicke des Unterdecks D1 (x) zusammensetzt: (x) = yK (x) + D1 (x) .

(14.46)

Diese Verdrängungskontur induziert eine Druckverteilung, die mit dem HilbertIntegral +∞  d/d x p − p∞ 1 d x (14.47) = − C 2 U∞ π x − x −∞

14.4 Dreierdeck-Theorie

395

berechnet werden kann. Das „C“ im Integrationssymbol weist darauf hin, daß es sich um den sog. Cauchyschen Hauptwert handelt. Wegen  x /L = O(Lu /L) und D = /δu = O(1) folgt aus Gl. (14.47) +∞  λp λ nL −n 1 dD d xD p = − Re C D n p Re λL π d x D xD −  xD

(14.48)

−∞

und durch Vergleich der Exponenten bzw. Koeffizienten −np = nL − n

(14.49)

λp = λ /λL .

(14.50)

Aus Gl. (14.42), (14.43) und (14.49) folgt für die Exponenten nL =

3 , 8

n =

5 , 8

np =

2 8

(14.51)

und aus Gl. (14.44), (14.45) und (14.50) für die Koeffizienten λL = c−5/4 ,

λ = c−3/4 ,

λp = c1/2 .

(14.52)

Damit erhält man mit D1D = D1 /δu das folgende Gleichungssystem zur Berechnung der Interaktion: ∂uD ∂vD + = 0, ∂xD ∂yD ∂uD ∂uD dpD ∂ 2 uD uD + vD =− + , 2 ∂xD ∂yD dxD ∂yD +∞  dD d xD 1 pD = − C π d xD xD −  xD −∞

(14.53)

(14.54)

(14.55)

mit den Randbedingungen xD → −∞ :

uD = yD

yD = 0 :

uD = 0,

yD → ∞ :

uD = yD − D1D .

vD = 0

(14.56)

Dieses Gleichungssystem (Gl. (14.53) und (14.54)) des Unterdecks stimmt mit dem Gleichungssystem der Prandtlschen Grenzschicht überein, lediglich die Anfangsund Randbedingungen sind verschieden.

396

14 Erweiterungen der Prandtlschen Grenzschichttheorie

Bild 14.7. Parameter-Feld der Stufenströmungen nach Bild 14.1, vgl. P. Schäfer (1995). Definitionen von D und HD nach Gl. (14.60). Getöntes Gebiet: jeweils 2 Lösungen, links der gestr. Linie: Lösungen mit Rückströmung rechts der gestr. Linie: eine Lösung ohne Rückströmung

Eingabedaten sind die Geometriedaten der Wanddeformation. Für das Beispiel der zurückspringenden Stufen nach Bild 14.1 gilt die folgende Konturgleichung: 



     x−L 7 x−L 6 x−L 5 x−L 4 − 70 + 84 − 35 +1 yK = H 20    
 x−L = H × FK (14.57)  oder in Unterdeck-Koordinaten

mit


 yK (x) xD = HD FK δu D

(14.58)

x−L xD = .  D

(14.59)

Damit sind die Lösungen von den beiden Kennzahlen D =

 c5/4 Re3/8 ; = Lu L

HD =

H H c3/4 Re5/8 = δu L

(14.60)

abhängig. Im Rahmen der Dreierdeck-Theorie sind also die ursprünglich drei Parameter L/, H / und Re auf die zwei Parameter D und HD reduziert worden. Zu jeder Lösung, die einem Punkt im Diagramm von Bild 14.1 mit L/ = const zugeordnet ist, entsprechen danach unendlich viele weitere Realisationen für andere Werte L/. Nimmt L/ zu, so muß bei gleicher Dreierdeck-Lösung, d.h. bei gleichem D , auch die Reynolds-Zahl zunehmen. In Bild 14.7 entspricht jedem Punkt eine unendliche Anzahl von Lösungen z.B. für unterschiedliche, aber große Reynolds-Zahlen. Die gestrichelte Linie teilt das gesamte Lösungsgebiet in anliegende Grenzschichten und in Grenzschichten mit Rückströmung ein. Letztere lassen sich berechnen, ohne daß eine Singularität auftritt.

14.4 Dreierdeck-Theorie

397

Anmerkung (Grenzschichten mit Rückströmung)

Das Gleichungssystem (14.53) bis (14.56) muß simultan gelöst werden. Das erfolgt durch eine Iteration. Der naheliegende Weg beginnt mit einer Schätzung der Funktion pD (xD ). Dann können, wie in der Grenzschichttheorie üblich, Gl. (14.53) und (14.54) gelöst werden. Das Ergebnis der „Grenzschichtrechnung“ ist die Funktion DI D (xD ) und wegen Gl. (14.46) schließlich D (xD ). Mittels des Hilbert-Integrals (14.55) kann dann die Schätzung von pD (xD ) überprüft werden. Dieses Iterationsschema versagt, falls die Wandschubspannung τw verschwindet, da dann bei der Lösung von Gl. (14.53) und (14.54) die Goldstein-Singularität auftritt. In diesem Fall führt ein inverses Iterationsschema zum Ziel. Es wird zunächst die Funktion D1D (xD ) geschätzt, dann wird aus Gl. (14.53) und (14.54) die Druckverteilung pD (xD ) berechnet (inverses Grenzschicht-Berechnungsverfahren). Die Inversion des Hilbert-Integrals +∞  dD 1 pD ( xD ) C = d xD dxD π xD −  xD

(14.61)

−∞

liefert dann die Funktion D (xD ) und wegen Gl. (14.46) schließlich D1D (xD ). Die Grenzschichtgleichungen (14.53) und (14.54) sind bei positiver Wandschubspannung vom parabolischen Typ, so daß die schrittweise numerische Lösung in Strömungsrichtung erfolgen kann. Tritt Rückströmung auf, so kommt es zu einem Typenwechsel der Differentialgleichung, dem in der numerischen Lösung Rechnung getragen werden muß. Es haben sich zwei Möglichkeiten als praktikabel erwiesen, vgl. H. Herwig (1982): 1. DUIT (downstream upstream iteration): Die Integrationsrichtung folgt der Strömungsrichtung. Es entstehen zwei Lösungsgebiete (Hauptströmung, Rückströmung), die iterativ angepaßt werden müssen, vgl. P.G. Williams (1975). 2. FLARE (Flügge-Lotz and Reyhner (1968)): Der Konvektionsterm uD ∂uD /∂xD wird im Rückstromgebiet zu null gesetzt.

Besonders bemerkenswert ist die Tatsache, daß in dem getönten Bereich von Bild 14.7 zwei Lösungen existieren, wobei die zweite Lösung stets Rückströmung aufweist. Also auch rechts von der gestrichelten Linie besitzt die zweite Lösung im getönten Bereich ein Rückströmungsgebiet. In Bild 14.8 sind für ein Beispiel im getönten Bereich (HD = 79, D = 50) die Verteilungen von Wanddruck und Wandschubspannung für die beiden Lösungen dargestellt. Beide Lösungen weisen ein Rückströmgebiet auf, das jedoch bei Lösung 2 deutlich weiter ausgedehnt ist. Kehrt man wieder zu der ursprünglichen Darstellung nach Bild 14.1 zurück, ergeben sich aus Bild 14.7 einige zusätzliche Kurven in Bild 14.1. Diese sind in Bild 14.9 gezeigt. Die (gestrichelte) Grenzkurve in Bild 14.7 zwischen anliegenden Grenzschichten und solchen mit Rückströmung entspricht jetzt der Kurve DCA. Die getönten Bereiche in den Bildern 14.7 und 14.9 entsprechen sich einander. Leider werden die Bereiche nahe der H /-Achse von der Dreierdeck-Theorie nicht erfaßt, da, wie bereits erwähnt, die Plattenlösung als Grundlösung dient und daher mit wachsender Reynolds-Zahl auch H / gegen null strebt. Insbesondere kann der mit MA bezeichnete Punkt der marginalen Ablösung nicht erreicht werden. Deshalb wurde für die Umgebung dieses Punktes eine gesonderte asymptotische Theorie entwickelt, die im nächsten Abschnitt beschrieben wird.

398

14 Erweiterungen der Prandtlschen Grenzschichttheorie

Bild 14.8. Verteilungen des Druckes und der Schubspannung an der Wand für Stufenströmungen mit D = 50 und HD = 79, vgl. P. Schäfer (1995). Lösung 1: kurzes Rückströmgebiet Lösung 2: langes Rückströmgebiet

Bild 14.9. Diagramm für Stufenströmungen bei konstantem Verhältnis /L, vgl. Bild 14.1

D−C−A−MA: K−B1 −MA: K−B2 −O: K:

Grenze zwischen anliegender und abgelöster Strömung Linie für Sprung von lokaler zu massiver Ablösung Linie für Sprung von massiver zu anliegender Strömung Lage der Kuspen-Spitze

14.4 Dreierdeck-Theorie

399

Bild 14.10. Stufenströmungen nach

Bild 14.1 bei konstantem Verhältnis /L. Gefaltete Lösungsfläche für den maximalen Druckbeiwert cp max

Für das getönte Gebiet, in dem (mindestens) zwei Lösungen existieren, läßt sich eine anschauliche geometrische Deutung geben. Trägt man die cp max -Werte über der Größe H / für konstante Reynolds-Zahl √ auf, ergibt sich der in Bild 14.9 skizzierte Verlauf. Die Lösungsfläche cp max (1/ Re,H /) besitzt die in Bild 14.10 dargestellte Form mit einer Faltung derart, daß über dem getönten Gebiet mehrere Lösungen existieren. Damit wird auch deutlich, daß es bei Variation des Parameters H / zu einer Hysterese kommt, vgl. Bild 14.9. Im Randpunkt B1 springt die Lösung von einer Strömung mit lokaler Ablösung (kleines Ablösungsgebiet) in eine Strömung mit massiver Ablösung (großes Ablösungsgebiet). Da letztere ebenfalls nicht von der Dreierdeck-Theorie erfaßt wird, ist hierfür auch eine Sonderbehandlung erforderlich, die in Abschnitt 14.6 erfolgt. Die mathematische Theorie, die sich mit gefalteten Lösungsflächen befaßt, ist die sog. Katastrophentheorie, vgl. z.B. P.T. Saunders (1980). Der hier vorliegende Fall mit einer Lösungsfläche nach Bild 14.10 ist eine sog. Kuspe-Katastrophe. Weitere Lösungen der Dreierdeck-Theorie für Stufenströmungen findet man bei F. Sommer (1992) und P. Schäfer (1995). Letzterer hat auch den Wärmeübergang berechnet. Übersichtsartikel zur Dreierdeck-Theorie findet man bei K. Stewartson (1974, 1982), A. Kluwick (1979, 1987, 1991, 1998), A.F. Messiter (1983) und F.T. Smith (1986). Im folgenden sollen einige weitere Anwendungen der Dreierdeck-Theorie behandelt werden. 1. Höcker und Dellen auf der ebenen Platte. Die ebene Strömung an der ebenen Platte, auf der sich Höcker der Höhe H und der Länge  befinden, wurde von F.T. Smith (1973) berechnet, vgl. auch S.A. Ragab; A.H. Nayfeh (1981). Das analoge Problem mit einer Delle (H < 0) wurde von H. Herwig (1981, 1982) behandelt. Von H. Herwig (1983) wurde auch der Wärmeübergang untersucht. Die Lösungsmannigfaltigkeit entspricht der bei der Stufenströmung, wobei auch die verschiedenen Methoden zur Behandlung der Rückströmung zum Einsatz kommen, vgl. auch F.T. Smith et al. (1981). 2. Strömung im Hinterkantenbereich einer Platte endlicher Länge. In einigemAbstand (genau im Abstand O(Re−3/8 ) vor der Hinterkante liegt die Blasius-Lösung der Prandtlschen Grenzschicht vor, vgl. Kap. 6.5. Sehr weit hinter der Platte geht die Strömung in die Nachlaufströmung nach Kap. 7.5.1 über. Im Übergangsbereich hat die Strömung

400

14 Erweiterungen der Prandtlschen Grenzschichttheorie eine Dreierdeck-Struktur. Entscheidend sind wieder die Vorgänge im Unterdeck. Durch plötzlichen Wegfall der Haftbedingung an der Hinterkante kommt es vor der Hinterkante zu einer lokalen Beschleunigung der Außenströmung (Druckabfall) und damit zu einer Erhöhung der Wandschubspannung nahe der Hinterkante. Für den Widerstandsbeiwert der Platte endlicher Länge L folgt daraus: cW = 1,328 Re−1/2 +2,67 Re−7/8 +O(Re−1 ) .

(14.62)

Dieses Gesetz ist in Bild 1.3 eingetragen. Es ist selbst bei einer Reynolds-Zahl von Re = 1(!) in guter Übereinstimmung mit Meßergebnissen, siehe R.E. Melnik; R. Chow (1975). Bezüglich Einzelheiten der Theorie sei auf K. Stewartson (1969, 1974) und A.F. Messiter (1970) verwiesen. Der Koeffizient beim Zusatzterm in Gl. (14.62) wurde wohl erstmalig von C.E. Jobe, vgl. C.E. Jobe; O.R. Burggraf (1974) berechnet. Die Ergebnisse der Dreierdeck-Theorie werden im Vergleich mit numerischen Lösungen der vollständigen Navier-Stokes-Gleichungen auf eindrucksvolle Weise bestätigt, vgl. dazu R.T. Davis; M.J. Werle (1982) und H.C. Chen; V.C. Patel (1987). Die entsprechenden Untersuchungen für schallnahe überkritische Strömungen wurden von R.J. Bodonyi; A. Kluwick (1982) und für Überschallströmung von P.G. Daniels (1974) durchgeführt. Eine Übertragung auf axialsymmetrische Strömungen um schlanke Körper endlicher Länge erfolgte durch R.J. Bodonyi et al. (1985). Anmerkung (Fortsetzung der asymptotischen Entwicklung)

Der sprungartige Wechsel in der Randbedingung für uD an der Hinterkante ist und bleibt eine Singularität im Strömungsgebiet, die durch die Dreierdeck-Theorie nicht beseitigt werden kann. Die asymptotischen Entwicklungen der Dreierdeck-Theorie gelten daher nicht beliebig nahe an der Hinterkante. Um die Hinterkante im Unterdeck existiert ein Gebiet der Größe O(Re−3/4 ) in beiden Koordinatenrichtungen, in dem die vollen NavierStokes-Gleichungen gelöst werden müssen. Der Beitrag aus diesem Gebiet zum cW -Wert ist von der Größenordnung O(Re−5/4 ). 3. Weitere Strömungen an Hinterkanten. Bei angestellten Platten wird für den Anstellwinkel α = O(Re−1/16 ) angesetzt. Die Theorie liefert eine Reibungskorrektur für den Auftrieb, vgl. K. Stewartson (1974), R. Chow; R.E. Melnik (1976). Bei Profilen mit endlichen Hinterkantenwinkeln f wird für diese O(Re−1/4 ) angesetzt, vgl. K. Stewartson (1974) und F.T. Smith; J.H. Merkin (1982). Auch die Strömung an konkaven oder konvexen Ecken läßt sich ähnlich behandeln. Das entsprechende Strömungsproblem bei axialsymmetrischen Körpern wurde von A. Kluwick; Ph. Gittler (1994) untersucht. 4. Ausblasen aus einem Schlitz. Bei der Anwendung der Dreierdeck-Theorie wird für die Schlitzweite und für dieAusblasgeschwindigkeit O(Re−3/8 ) angesetzt, vgl. K. Stewartson (1974) und M. Napolitano; R.E. Messik (1980). 5. Instationäre Strömungen. Die Erweiterung der Dreierdeck-Theorie auf instationäre Strömungen erfolgte durch O.S. Ryzhov; V.I. Zhuk (1980). Von M.-K. Huang; G.R. Inger (1984) wurde damit die Interaktion bei einer oszillierenden Klappe behandelt, vgl. auch W. Schneider (1974b) und P.W. Duck (1984). 6. Dreidimensionale Interaktion. Die dreidimensionale Strömungen an Dellen endlicher Breite wurden von F.T. Smith et al. (1977), R.I. Sykes (1980), O.R. Burggraf; P.W. Duck (1982) und C. Roget et al. (1998) behandelt. Ph. Gittler (1985) betrachtete die gepfeilte Delle. In dieser Arbeit ist auch die Strömung mit Ablösung am schiebenden Flügel untersucht, vgl. auch Ph. Gittler; A. Kluwick (1989).

14.4 Dreierdeck-Theorie

401

7. Natürliche Konvektion. Tritt bei natürlichen Konvektionsströmungen ein „plötzlicher“ Wechsel der Randbedingung auf, kommt es hierbei zu einer Schichtenstruktur in der Grenzschicht. Wegen des Fehlens einer Außenströmung existiert kein Oberdeck. Es handelt sich also um eine Doppeldeck-Theorie. Durch die Verdrängungswirkung des Unterdecks wird im Hauptdeck eine Druckverteilung induziert, weil die Verdrängungskontur der viskosen Unterschicht eine nicht mehr zu vernachlässigende Krümmung aufweist. Es kommt dadurch zu Druckgradienten senkrecht zur Hauptströmungsrichtung und folglich zu einem induzierten Druckfeld. Beispiele sind die natürliche Konvektion an der vertikalen ebenen Platte mit lokaler Wandkonturstörung, vgl. J.H. Merkin (1983) und K. Gersten et al. (1991), sowie die Vorgänge nahe der Hinterkante bei endlicher Plattenlänge, vgl. A.F. Messiter; A. Liñàn (1976). Auch Sprünge in der Wandtemperatur-Verteilung werden in der letztgenannten Arbeit behandelt. Eine starke lokale Absenkung der Wandtemperatur kann zu Rückströmung führen, wie A. Exner; A. Kluwick (1999) gezeigt haben. Interaktionen bei erzwungener Konvektion ohne Außenströmung führen ebenfalls auf eine Doppeldeck-Struktur. Ein Anwendungsbeispiel ist die Wandstrahlströmung an einer konkaven Ecke, vgl. F.T. Smith; P.W. Duck (1977). 8. Kompressible Strömungen. Die Formulierung der Dreierdeck-Theorie für kompressible Strömungen findet man beispielsweise bei K. Stewartson (1974). Durch eine geeignete Transformation läßt sich das Gleichungssystem auf die inkompressible Form, Gl. (14.53) bis (14.56), bringen. Bei Überschallströmungen wird dabei für das Oberdeck das HilbertIntegral nach Gl. (14.55) durch die linearisierte Überschalltheorie mit P =−

dD dxD

(14.63)

ersetzt. Im schallnahen Bereich ist eine gesonderte Behandlung erforderlich, vgl.A.F. Messiter et al. (1971). Die Interaktion in der kompressiblen Plattenströmung im Bereich eines Sprunges der Wandtemperatur wurde von C. Treviño; F. Mèndez (1992) untersucht. Danach kann durch eine starke sprunghafte Erhöhung der Wandtemperatur sogarAblösung (τw = 0) auftreten. Stoß-Grenzschicht-Interaktion

Bei Überschallströmungen sind vor allem die Wechselwirkungen zwischen Grenzschichten und Außenströmungen mit Verdichtungsstößen von großer praktischer Bedeutung. In Bild 14.11 sind zwei wichtige Beispiele skizziert, die Stoß-Grenzschicht-Wechselwirkung bei einem einfallenden Stoß und die Kompressionsrampe (konkave Ecke). Besonders bemerkenswert ist in diesen Beispielen die Tatsache, daß die Interaktion schon vor demAuftreffpunkt des Stoßes bzw. vor dem Eckpunkt der Rampe einsetzt. Mit der Prandtlschen Grenzschichttheorie wären diese Vorgänge nicht zu beschreiben, da bei einer anliegenden Grenzschicht (parabolische Differentialgleichung) mit Überschallaußenströmung (hyperbolische Differentialgleichung) keine Stromaufwirkung möglich ist. Nur durch den Interaktions-Mechanismus ist eine Stromaufwirkung zu beschreiben. Das Wachstum der Grenzschicht erzeugt infolge der Verdrängung einen Druckanstieg, der wiederum ein stärkeres Anwachsen der Grenzschicht zur Folge hat, vgl. auch J. Lichthill (2000). Dieser Wechselwirkungs-Zyklus kann schließlich sogar zur Ablösung führen (selbstinduzierte Ablösung), vgl. K. Stewartson; P.G. Williams (1969). Die Strömung zeigt in der Umgebung des Ablösungspunktes eine universelle Dreierdeck-Struktur, wenn die entsprechende Skalierung gewählt wird. In Bild 14.12 sind die universellen Verteilungen für den Druck und die Wandschubspannung nach K. Stewartson (1974) dargestellt, die auch durch Meßergebnisse gut bestätigt werden, vgl. K. Stewartson; P.G. Williams (1969). Wie in Bild 14.11 skizziert, besteht die Strömung an der Kompressionsrampe aus drei Bereichen: Nach dem Bereich der selbstinduzierten Ablösung folgt der Plateau-Bereich und

402

14 Erweiterungen der Prandtlschen Grenzschichttheorie

Bild 14.11. Skizzen zweier Beispiele für Stoß-Grenzschicht-Interaktion

(a) (b)

Reflexion eines schrägen Verdichtungsstoßes Kompressionsrampe in Überschallströmung

Bild 14.12. Universelle Verläufe des Druckes und der Schubspannung an der Wand bei der freien Interaktion in Überschallströmung, nach K. Stewartson (1974)

schließlich der Bereich des Wiederanlegens. Von O.R. Burggraf (1975) wurden mit dieser Bereichseinteilung Strömungen an Kompressionsrampen berechnet. Gilt für den Rampenwinkel α = O(Re−1/4 ), dann läßt sich der gesamte Interaktionsbereich in Eckennähe durch eine Dreierdeck-Struktur erfassen. Die damit von D. Rizzetta et al. (1978) gewonnenen Lösungen stimmen für Re > 108 gut mit genaueren Rechnungen nach der Wechselwirkungstheorie überein, wie O.R. Burggraf et al. (1979) gezeigt haben. Die freie Wechselwirkung zwischen einem schwachen schrägen Stoß und einer laminaren Grenzschicht in schallnaher Strömung wurde von H.M. Brilliant; T.C. Adamson Jr. (1974) für den Fall ohne Ablösung und von R.J. Bodonyi; A. Kluwick (1977) mit Ablösung untersucht.

14.5 Marginale Ablösung

403

Die Übertragung auf axialsymmetrische Strömungen wurde von A. Kluwick et al. (1984, 1985) und Ph. Gittler; A. Kluwick (1987) vorgenommen. Zusammenfassende Darstellungen stammen u.a. von T.C. Adamson; A.F. Messiter (1980) und J. Delery; J.G. Marvin (1986). Anmerkung (Wechselwirkungstheorie)

Da bei der Dreierdeck-Theorie in der führenden Ordnung die Grenzschichtgleichung gelöst wird, können auch mit der Prandtlschen Grenzschichttheorie Interaktionen berechnet werden. Übersichten darüber findet man bei AGARD (1981), H. McDonald; W.R. Briley (1984), J. Delery; J.G. Marvin (1986). Dabei ist das simultan zu lösende System von Differentialgleichungen jedoch nicht mehr unabhängig von der Reynolds-Zahl, so daß für jede Reynolds-Zahl eine getrennte Rechnung erforderlich wird. Außerdem muß beim Auftreten von Ablösungen für die Grenzschichtgleichungen eine inverse Formulierung gewählt werden (Vermeiden der Goldstein-Singularität), bei der die Verdrängungsdicke vorgegeben und die Geschwindigkeit der Außenströmung gesucht wird, vgl. J.E. Carter (1979) und A.E.P. Veldman (1981). Die Rechtfertigung für ein derartiges Vorgehen lieferte jedoch bisher die Dreierdeck-Theorie. Inzwischen wurde von J. Cousteix; J. Mauss (2005) eine eigene Begründung für die Wechselwirkungstheorie gegeben.

14.5

Marginale Ablösung An Hand von Bild 14.9 wurde gezeigt, daß mit Hilfe der Dreierdeck-Theorie auch Stufenströmungen für H / > (H /)MA berechnet werden konnten. Da diese Theorie jedoch von der Grenzlösung der ebenen Platte (Re−1/2 → 0, H / = 0) ausgeht, sind mit ihr nicht die Grenzlösungen Re → ∞ für endliche Werte H / zu erfassen, also insbesondere nicht Lösungen für H / ≥ (H /)MA , für die bereits die Prandtlsche Grenzschichttheorie wegen Auftretens der Goldstein-Singularität versagte. Es interessieren also insbesondere die Lösungen in der Umgebung des in den Bildern 14.1 und 14.9 mit MA bezeichneten Punktes. Für diesen „Grenzpunkt“ und die Lösungen in dessen Umgebung ist der Begriff „marginale Ablösung“ üblich. Es handelt sich um die asymptotischen Entwicklungen für große Reynolds-Zahlen in der Umgebung des Punktes MA, wobei die Lösung in diesem Punkt die Grenzlösung dieser Entwicklung darstellt. Die Theorie ist ausführlich von K. Stewartson et al. (1982) und A.I. Ruban (1991) beschrieben worden. Es stellt sich heraus, daß die Lösungen wieder eine Dreierdeck-Struktur besitzen. Besonders wichtig ist jedoch die Tatsache, daß die Lösungen nicht mehr eindeutig sind. Marginale Ablösung tritt stets bei Strömungsanordnungen auf, die über einen bestimmten Parameter verfügen. Dieser soll im folgenden Singularitätsparameter S genannt werden. Dieser Parameter muß sowohl Werte annehmen können, bei denen eine einfache Grenzschichtrechnung längs der gesamten Körpergeometrie ohne Auftreten der Goldstein-Singularität möglich ist (anliegende Strömung), als auch Werte, bei denen die Grenzschichtrechnung wegen desAuftretens der Goldstein-Singularität nicht fortgesetzt werden kann. Die Grenze zwischen diesen beiden Möglichkeiten ist durch den „kritischen Wert“ Sk beschrieben. Bei marginaler Ablösung ist die Strömung für Re → ∞ durch diesen Grenzfall gegeben. Die Goldstein-Singularität tritt

404

14 Erweiterungen der Prandtlschen Grenzschichttheorie

Bild 14.13. Wandschubspannungsverlauf für Re → ∞ (Prandtlsche Grenzschichttheorie)

gerade noch nicht auf. Beim hier behandelten Beispiel der Stufenströmungen gilt S = H / und Sk = (H /)MA . Ausgangspunkt für die Theorie marginaler Ablösung ist das Verhalten der Wandschubspannung einer einfachen Prandtlschen Grenzschichtrechnung im Grenzfall S = Sk . Der mittlere Fall in Bild 14.13 zeigt dieses Verhalten. Besonderes Kennzeichen ist der lineare Verlauf der Wandschubspannung vor und nach dem Punkt mit der Koordinate xA mit einem Sprung in der Steigung von τw bei xA . Mit xA wird diejenige Konturstelle bezeichnet, bei der für S = Sk die Wandschubspannung im Grenzfall Re → ∞ null wird. Durch den Sprung von dτw /dx bei xA kommt es in der Umgebung von xA wieder zu einer Interaktion zwischen Außenströmung und Grenzschicht, die sich in einer Dreierdeck-Struktur manifestiert. Wieder liegt eine Kopplung zwischen Reynolds-Zahl und Geometrie vor, und zwar gilt S → Sk ,

Re → ∞,

(S − Sk ) Re2/5 = O(1) .

(14.64)

Die Skalierungen des jetzt vorliegenden Dreierdecks unterscheiden sich im einzelnen von denen des in Abschnitt 14.4 beschriebenen Dreierdecks. Wegen der Einzelheiten sei auf die Originalarbeiten verwiesen. Nach der Formulierung in Dreierdeck-Variablen gelingt es, die Wandschubspannung um die Stelle xA als Funktion von S − Sk darzustellen, und zwar universell und unabhängig von der konkreten Körpergeometrie. Damit kann eine asymptotische Korrektur der Wandschubspannungsverteilung um xA erreicht werden. Bild 14.14 τw (x = xA ) und für zeigt die Wandschubspannung an der Stelle xA in Form von  einige ausgewählte Werte des Singularitätsparameters auch den Verlauf der Wandschubspannung in der Umgebung von xA in Form von  τw ( x ), s. dazu die Bildunterschrift von Bild 14.14. Die gezeigten Verläufe gelten jeweils qualitativ. Die Proportionalitätsfaktoren müssen im konkreten Fall ohnehin durch Rücktransformation in die physikalischen Variablen ermittelt werden. Die Ergebnisse in Bild 14.14 sind universell, also unabhängig von der konkreten Körpergeometrie. Sie sollen in vier Punkten näher erläutert werden: 1. Für S = Sk ist die Wandschubspannung stets positiv, d.h. der Einfluß der Wechselwirkung, die im Dreierdeck erfaßt wird, wirkt ablösungsverhindernd. 2. Ausgehend von einer vollständig anliegenden Strömung treten mit steigendem S −Sk Fälle mit doppeltem Nulldurchgang von τw ( x ) auf. Das bedeutet Ablösung

14.5 Marginale Ablösung

405

Bild 14.14. Theorie der marginalen Ablösung UniverselleAbhängigkeit der Wandschubspannung im Punkt xA vom Singularitätsparameter S Teilbilder: Verlauf der Wandschubspannung in der Umgebung von xA

 x∼

x − xA 1/5 τw Re ,  τw ( x) ∼ Re1/5 , 2 L U∞

Re =

U∞ L ν

a: Beginn der Ablösung b: Ablösungspunkt bei xA c: maximaler Wert des Parameters (S − Sk ) Re2/5

und Wiederanlegen (s. das rechte untere Teilbild in Bild 14.14). Der Fall, bei dem  τw ( x ) gerade an einer Stelle null wird (Punkt a in Bild 14.14) ist mathematisch allerdings nicht besonders ausgezeichnet, physikalisch bedeutet er „beginnende Ablösung (engl.: incipient separation) bei endlichen Reynolds-Zahlen“. 3. In bestimmten (S − Sk )-Bereichen ist die Lösung nicht mehr eindeutig. Es existieren zwei Lösungen. Ein Beispiel einer solchen Doppellösung ist in Bild 14.15 eingezeichnet. In S.N. Brown; K. Stewartson (1983) wird nachgewiesen, daß es für bestimmte (kleine) Parameterbereiche sogar vier Lösungen gibt. 4. Lösungen existieren nicht für beliebig große Parameter S −Sk . Es gibt eine obere Grenze. Da für große Parameter S − Sk eine sog. „massive Ablösung“, vgl. folgenden Abschnitt, vorliegen muß, bedeutet das physikalisch, daß auf diese Weise kein kontinuierlicher Übergang von marginaler Ablösung in den Fall massiver Ablösung existiert! Damit stellt sich nun die Frage, wie der Übergang von einer anliegenden Strömung, die für kleine Werte des Parameters S vorliegt, zu dem Fall massiver Ablösung (der für sehr große Werte von S vorliegen muß) stattfindet, wenn die Theorie marginaler Ablösung keinen kontinuierlichen Übergang gestattet.

406

14 Erweiterungen der Prandtlschen Grenzschichttheorie

Bild 14.15. Stufenströmungen für /L = 0,5 und Re = 107 nach F. Sommer (1992) (a) Schnitt durch die gefaltete Lösungsfläche cp max (H /). A,B1 ,B2 ,S1 ,S2 wie in Bild 14.9

 = B2 (b) Beispiel für marginale Ablösung, H Wechselwirkungstheorie . . . . . . Asymptotische Theorie marginaler Ablösung  = B2 (c) Beispiel für massive Ablösung (Wechselwirkungstheorie), H Rex = U∞ x/ν in den Bildern (b) und (c)

Die einzige Erklärung liegt in einer Faltung der Lösungsfläche, wie sie in Bild 14.9 für den Maximalwert des Druckes an der abgerundeten Stufe skizziert ist. Der obere Teil des Bildes ist die Draufsicht auf das „Lösungsgebirge“ cp max als Funktion von H / und Re−1/2 . Der untere Teil stellt eine Seitenansicht für Re = const dar und verdeutlicht die Faltung des Lösungsgebirges. Im getönten Bereich gibt es mehr als eine Lösung (Faltung des Lösungsgebietes).

14.5 Marginale Ablösung

407

Die Bereiche mit Ablösung liegen rechts von der Kurve D − C − A − MA. Der schmale getönte Bereich zwischen den Kurven C–A–MA und K–B1 –MA liegt auf der oberen Lösungsfläche und gehört zum Bereich der marginalen Ablösung. Von hier gibt es keinen kontinuierlichen Übergang in das Gebiet massiver Ablösung, sondern einen Sprung auf die untere Lösungsfläche, wie der Pfeil S1 im unteren Bild andeutet. Der umgekehrte Übergang, der bei einer Verkleinerung von H / auftritt, führt mit einem Sprung S2 zu überall anliegender Strömung. Da S1 und S2 bei verschiedenen Werten H / liegen, tritt also eine sog. Hysterese im Lösungsverhalten auf. Diese Hysterese existiert aber nur oberhalb einer bestimmten Reynolds-Zahl, wie der obere Teil in Bild 14.9 zeigt. Für wachsende Reynolds-Zahlen tritt im Punkt K erstmals mehr als eine Lösung auf, weil dort die Faltung (der weiterhin glatten, knickfreien) Lösungsfläche beginnt. In der Projektion ist der Winkel zwischen den Kurven 0 − K und MA − K im Punkt K gleich null und wird Kuspe (engl.: cusp) genannt. Die mathematische Theorie, die sich mit gefalteten Lösungsflächen befaßt, ist die sog. Katastropentheorie, s. z.B. P.T. Saunders (1980). Der hier vorliegende Fall ist eine sog. Kuspe-Katastrope.

Dieses soeben qualitativ beschriebene Lösungsverhalten konnte von F. Sommer (1992) durch eine sehr sorgfältig durchgeführte numerische Studie eindrucksvoll bestätigt werden. Dazu wurde die Strömung an einer abgerundeten Stufe betrachtet, deren Form durch das Polynom 7. Grades nach Gl. (14.57) beschrieben wird, s. Bild 14.15. Das Ziel war es, durch Grenzschichtrechnungen bei endlichen Reynolds-Zahlen (die dann keine Goldstein-Singularität aufweisen) das generelle Lösungsverhalten im Bereich der gefalteten Lösungsfläche zu bestätigen. Dazu wurden in den Gleichungen für die Außenströmung und in den Grenzschichtgleichungen alle Terme zusätzlich berücksichtigt, die im Sinne von Abschnitt 14.2 zur zweiten Ordnung gezählt werden. Diese beschreiben Verdrängungs- und Krümmungseffekte. Es wurde aber keine Trennung in erste und zweite Ordnung vorgenommen, sondern ein (gegenüber den Prandtlschen Grenzschichtgleichungen erweitertes) Gleichungssystem verwendet. In diesem tritt die Reynolds-Zahl explizit auf und erlaubt damit Lösungen bei endlichen Reynolds-Zahlen. Die Grenzschichtrechnungen wurden dabei nach der sog. inversen Methode durchgeführt, bei der die Verdrängungsdicke als Randbedingung vorgegeben wird und der Druck berechnet wird, s. dazu z.B. A.E.P. Veldman (1981).  = H / wurde bei festem Verhältnis /L = 0,5 systematisch Die relative Stufenhöhe H variiert. Bild 14.15 zeigt den jeweiligen Maximalwert des Druckbeiwertes, cp max , als charakteristische Größe der Lösung für Re = U∞ L/ν = 107 . Ausgehend von einem niedrigen Wert , bei dem überall anliegende Strömung vorliegt, tritt bei einer Erhöhung von H  bei etwa von H  hat ein kontinuierliches 6,8 × 10−3 erstmals Ablösung auf. Eine weitere Erhöhung von H  = B1 = 7,25 × 10−3 springt die Lösung jedoch auf Anwachsen von cp max zur Folge. Bei H  wiederum einen kontinuierlichen den unteren Zweig und zeigt bei weiterem Anstieg von H (jetzt aber abfallenden) Verlauf. , so bewegt man Geht man nun „rückwärts“ vor, beginnt also bei einem hohen Wert von H  = B1 hinaus zu kleineren sich auf der unteren Lösungskurve, jetzt aber über den Wert H ! Bei H  = B2 = 7,175 × 10−3 springt die Lösung auf den oberen Zweig. Der Werten von H in Bild 14.9 eingezeichnete Hysteresebereich liegt in Bild 14.15a also zwischen B2 und B1 . Im Unterschied zu dem prinzipiellen Verlauf in Bild 14.9 findet in dem berechneten Beispiel der Rücksprung S2 auf eine Lösung mit Ablösung statt. Die Kurve K − B2 − O liegt in dem Beispiel bei Re = 107 also noch rechts von der Kurve C − A − MA.

408

14 Erweiterungen der Prandtlschen Grenzschichttheorie

Die Bilder 14.15b,c zeigen den Verlauf des Reibungsbeiwertes cf für die zwei verschie = B2 . Bild 14.15b aus dem Bereich der marginalen denen Lösungen bei demselben Wert H Ablösung zeigt nur ein kleines Rückströmgebiet, während Bild 14.15c aus dem Bereich der massiven Ablösung wie erwartet ein deutlich größeres Rückströmgebiet aufweist. Bild 14.15b enthält zusätzlich das asymptotische Ergebnis der Theorie marginaler Ablösung, das hier auf die endliche Reynolds-Zahl Re = 107 umgerechnet wurde. Dies zeigt sehr eindrucksvoll, daß das universelle Ergebnis der asymptotischen Theorie (s. Bild 14.14, unteres Teilbild) gut mit den numerischen Ergebnissen für eine bestimmte Geometrie übereinstimmt. Ein weiteres Beispiel für marginale Ablösung tritt bei der Umströmung eines angestellten Tragflügelprofils auf. In diesem Fall dient der Anstellwinkel α als Singularitätsparameter S, vgl. K. Stewartson et al. (1982). Die marginale Ablösung an ebenen schlanken Höckern und Dellen und die Erweiterung auf dreidimensionale Hindernisse wurden von G. Hackmüller; A. Kluwick (1990, 1989, 1991a, 1991b) untersucht. Von A. Kluwick (1989b) wurde auch die marginale Ablösung axialsymmetrischer Grenzschichten behandelt. Mit instationärer, dreidimensionaler marginaler Ablösung, ausgelöst durch auf der Wand angebrachte Störkörper oder durch lokales Strömungsabsaugen, befassen sich S. Braun; A. Kluwick (2004).

14.6

Massive Ablösung Die massive Ablösung ist dadurch gekennzeichnet, daß die Grenzschicht als Ganzes die Wand verläßt und als freie Scherschicht die Grenze zwischen der Außenströmung und einem Ablösungsgebiet (Rückströmgebiet) darstellt. Zunächst einmal muß die Stelle betrachtet werden, an der die Grenzschicht die Wand verläßt. Sie wird als Ablösungspunkt bezeichnet. Massive Ablösung liegt also dann vor, wenn die Dicke der Grenzschicht vor dem Ablösungspunkt klein ist gegenüber den Abmessungen des Ablösungsgebietes senkrecht zur Hauptströmungsrichtung. Das starke Anwachsen der v-Komponente in Ablösungsnähe läßt vermuten, daß die Rückwirkung auf die Außenströmung nicht mehr asymptotisch klein ist. Es liegt damit wieder ein Wechselwirkungsprozeß vor, der mit der Dreierdeck-Theorie zu beschreiben sein müßte. K. Stewartson (1970) konnte aber zeigen, daß der Einsatz der Dreierdeck-Theorie die Singularität nicht beseitigen kann. Es stellte sich heraus, daß der aufgeprägte positive Druckgradient, der in der Dreierdeck-Theorie nur in einem asymptotisch kleinen Gebiet modifziert wird, das entscheidende Hindernis darstellt. Damit entstand aber ein Dilemma: Der positive Druckgradient ist eine notwendige Bedingung für das Zustandekommen der Ablösung, gleichzeitig aber die Ursache für das singuläre Verhalten der Grenzschichtlösung. Den genial einfachen Ausweg aus diesem Dilemma fand V.V. Sychev (1972): In der Umgebung vor dem Ablösungspunkt wird der Druckanstieg als asymptotisch klein angenommen, er existiert also nur für endliche Reynolds-Zahlen. Im Grenzfall unendlicher Reynolds-Zahlen (nur in diesem Grenzfall kann die Goldstein-Singularität auftreten) gibt es unmittelbar vor dem Ablösungspunkt keinen Druckanstieg und damit keine Goldstein-Singularität. Diese wurde also nicht beseitigt, sondern vermieden!

14.6 Massive Ablösung

409

Drei wesentliche Aspekte bestimmen die asymptotisch konsistente Beschreibung von Strömungen mit massiver Ablösung. (1) Im Grenzfall Re−1 = 0 „entarten“ alle (bei hohen Reynolds-Zahlen dünnen) Scherschichten zu Linien. Geht man von der Vorstellung aus, daß die Grenzschicht im Ablösungspunkt die Wand verläßt, so verläßt im Grenzfall Re−1 = 0 eine sog. freie Stromlinie den Körper. Diese trennt die reibungsfreie Außenströmung von dem Rückströmgebiet. Sie ist eine Unstetigkeitslinie, weil die Geschwindigkeiten auf beiden Seiten im allgemeinen verschieden sein werden. Die Grenzlösungen, auf denen die Störungsrechnung für große Reynolds-Zahlen aufbaut, sind also nicht mehr die überall stetigen Potentialströmungen, sondern Lösungen der Potentialgleichung mit sog. freien Stromlinien und angrenzenden „Totwasser-Gebieten“. Bild 14.16 zeigt für einige Geometrien jeweils die beiden unterschiedlichen Grenzlösungen. Die Grenzlösungen der rechten Spalte entsprechen der sog. Theorie der freien Stromlinien nach H. Helmholtz (1868) und G. Kirchhoff (1869). Auf der freien Stromlinie herrscht jeweils konstanter Druck, nämlich derjenige im Totwassergebiet. Im Ablösungspunkt herrscht daher Gleichdruck. Für die Stufenströmung ist die Grenzlösung die Translationsströmung. (2) Im Nahfeld ist die Strömung für Re−1 = 0 durch die Helmholtz-KirchhoffLösung beschrieben. Für Re−1  = 0 muß sie so modifiziert werden, daß ein Druckgradient entsteht, der mit der Dreierdeck-Skalierung des Druckes verträglich ist. Aus der Dreierdeck-Theorie folgt damit, daß sich bei endlicher Reynolds-Zahl der Ablösungspunkt x0 gegenüber dem Abströmpunkt  x0 der freien Grenzstromlinie (bei den Stufenströmungen gilt  x0 = L) stromabwärts verschiebt mit x0 −  x0 = O(Re−1/16 ). Für die Druckverteilung vor dem Ablösungspunkt x0 gilt p − p0 = −c0 (x0 − x)1/2 + O((x0 − x))

(14.65)

für x < x0 mit

und

x → x0

c0 = 0,44c9/8 Re−1/16 ,

(14.66)

wobei c den Wandgradienten der ankommenden Strömungsgrenzschicht beschreibt, vgl. dazu F.T. Smith (1977). Für die Stufenströmungen gilt c = 0,332. (3) Von F. Sommer (1992) wird gezeigt, wie man bei den Stufenströmungen den Verlauf der Kurve KB2 O (Bild 14.9) in der Umgebung des Ursprungs ermitteln kann. Dazu muß eine neue reibungslose Grenzlösung berechnet werden, bei der die freie Stromlinie den Körper bei x0 (also nicht mehr bei xˆ0 ) verläßt. Von H.K. Cheng; F.T. Smith (1982) wurde ein Näherungsverfahren zur Berechnung dieser Grenzlösung angegeben, vgl. auch H.K. Cheng; C.J. Lee (1986). Für die asymptotische Beschreibung der Strömung im sog. Fernfeld, d.h. z.B. in der Umgebung des Wiederanlegepunktes, liegt bisher keine vollständige Theorie vor.

410

14 Erweiterungen der Prandtlschen Grenzschichttheorie

Bild 14.16. Grenzlösungen für Re−1 = 0 (reibungslose Strömungen) linke Spalte: stetige Potentialströmungen rechte Spalte: Lösungen nach der Theorie freier Stromlinien von Helmholtz-Kirchhoff

Beispiel: Kreiszylinder

Die (fiktive stationäre) Strömung am Kreiszylinder bei hohen Reynolds-Zahlen ist ein weiteres Beispiel für massive Ablösung. Am Kreiszylinder gibt es nur einen Winkel, bei dem die freie Stromlinie die Wand tangential verlassen kann, ohne daß stromabwärts ein Druckanstiegsgebiet existiert (Brillouin-Villat-Bedingung, siehe V.V. Sychev (1972)). Dieser Winkel

14.6 Massive Ablösung

411

Bild 14.17. Grenzlösung (Re−1 = 0) für den Kreis-

zylinder nach der Theorie der freien Stromlinien von Helmholtz-Kirchhoff beträgt etwa 55◦ vom vorderen Staupunkt aus. Bild 14.17 zeigt die Grenzlösung (Re−1 = 0). Für große Werte von  x nimmt die freie Stromlinie Parabelform an. In der Umgebung des Ablösungspunktes läßt sich die Strömung durch die Dreierdeck-Theorie beschreiben, wie V.V. Sychev (1972) und F.T. Smith (1977) gezeigt haben. Eine genauere Analyse ergibt, daß die Helmholtz-Kirchhoff-Theorie nur zur Beschreibung des Nahfeldes geeignet ist. F.T. Smith (1979a) schlägt ein asymptotisches Modell vor, bei dem hinter dem Körper ein elliptisches Rückströmgebiet der Länge O(Re) und der Dicke O(Re1/2 ) existiert, das asymptotisch an das Nahfeld des Körpers angepaßt werden kann. Probleme entstehen in der Nähe des stromabwärts gelegenen Scheitelpunktes der Ellipse, an dem die freien Scherschichten als Fortsetzung der abgelösten Wandgrenzschichten zusammentreffen. Für Einzelheiten sei auf die Arbeiten von F.T. Smith (1979a, 1986) verwiesen.

15 Einsetzen der Turbulenz (Stabilitätstheorie)

15.1

Einige experimentelle Ergebnisse über den laminar–turbulenten Übergang 15.1.1 Übergang bei der Rohrströmung Wirkliche Strömungen weichen in vielen Fällen von den in den vorstehenden Kapiteln behandelten laminaren Strömungen erheblich ab. Sie weisen ein besonderes Kennzeichen auf, das man als Turbulenz bezeichnet. Sowohl die Strömungen durch Rohrleitungen und Kanäle als auch die in den Grenzschichten umströmter Körper zeigen bei Steigerung der Reynolds-Zahl eine auffällige Änderung von der laminaren in die turbulente Strömungsform. Dieser Übergang der laminaren Strömung in die turbulente, auch Transition oder Entstehung der Turbulenz genannt, ist für die gesamte Strömungsmechanik von fundamentaler Bedeutung. Am längsten ist diese Erscheinung bei der Strömung durch gerade Rohre und Kanäle bekannt. Bei einem langen, geraden Rohr von konstantem Querschnitt mit glatten Wänden bewegt sich bei kleinen Reynolds-Zahlen jedes Fluidteilchen mit konstanter Geschwindigkeit auf geradliniger Bahn. Wegen der Reibungskräfte strömen die Teilchen in Wandnähe langsamer als diejenigen weiter im Innern. Es herrscht eine wohl geordnete Strömung in nebeneinander angeordneten bewegten Schichten (Laminarströmung), Bild 1.6a. Die Beobachtung zeigt jedoch, daß bei höheren Reynolds-Zahlen diese geordnete Strömung nicht mehr besteht (Bild 1.6b). Es tritt vielmehr eine starke Durchmischung ein, die man nach O. Reynolds (1883) bei der Rohrströmung mit Hilfe eines in die Strömung eingeführten “Farbfadens“ sichtbar machen kann. Solange die Strömung laminar ist, fließen die angefärbten Fluidteilchen als scharf begrenzter “Faden“ durch das Rohr. Sobald aber die Strömung turbulent wird, zerflattert der Farbfaden und läßt das Fluid im Rohr gleichmäßig gefärbt erscheinen. Bei der turbulenten Strömung sind der Hauptbewegung in Richtung der Rohrachse Querbewegungen senkrecht zur Achse überlagert, welche diese Durchmischung besorgen. Durch diese Querbewegung wird ein Impulsaustausch in der Querrichtung verursacht, da jedes Teilchen bei der Mischbewegung seinen Impuls in der Längsrichtung im wesentlichen beibehält. Als Folge hiervon ist bei der turbulenten Strömung die Verteilung der Geschwindigkeit über den Rohrquerschnitt wesentlich gleichmäßiger als bei der laminaren. In Bild 1.5.1 ist für die Rohrströmung die gemessene Geschwindigkeitsverteilung für die laminare und turbulente Strömung dargestellt. Während bei laminarer Strömung die Verteilung der Geschwindigkeit

414

15 Einsetzen der Turbulenz (Stabilitätstheorie)

Bild 15.1. Geschwindigkeitsverteilung im Rohr

(a) turbulent (b) laminar, gleicher Volumenstrom wie a (c) laminar, gleicher Druckgradient wie a

über den Querschnitt parabolisch ist, vgl. Kap. 5.2.1, ist sie bei turbulenter Strömung infolge des Impulsaustausches in Querrichtung wesentlich gleichmäßiger. Bei näherer Analyse einer turbulenten Strömung erweist sich als ihr hervorstechendstes Merkmal, daß in einem festgehaltenen Raumpunkt die Geschwindigkeit und der Druck zeitlich nicht konstant sind, sondern daß diese sehr unregelmäßige Schwankungen wechselnder Frequenz aufweisen, vgl. Bild 15.16. Nur im Mittel über ein längeres Zeitintervall kann die Geschwindigkeit in einem festen Raumpunkt als zeitlich konstant angesehen werden (quasi-stationäre Bewegung). Die quasi-stationäre Rohrströmung, die also eine von der Zeit und vom Ort abhängige Geschwindigkeit besitzt, kann entweder durch den zeitlich gemitteltenVolumenstrom Q oder durch den zeitlich gemittelten Druckgradienten −d p/dx ¯ charakterisiert werden. In Bild 15.1 ist das verdeutlicht. Kurve a zeigt die zeitlich gemittelte Geschwindigkeitsverteilung der turbulenten Rohrströmung. Die beiden anderen Verteilungen entsprechen der laminaren Rohrströmung, und zwar bei gleichem Volumenstrom (Kurve b) bzw. bei gleichem Druckgradienten (Kurve c) wie bei Kurve a. Die ersten systematischen Untersuchungen über die beiden grundverschiedenen Strömungszustände laminar oder turbulent wurden von O. Reynolds (1883) ausgeführt, wobei er u.a. auch den nach ihm benannten Farbfadenversuch durchführte. Er fand dabei das ebenfalls nach ihm benannte Reynoldssche Ähnlichkeitsgesetz, welches aussagt, daß der Übergang von der laminaren in die turbulente Strömungsform immer bei nahezu der gleichen Reynolds-Zahl Re = um d/ν stattfindet, wobei um = Q/A die mittlere Strömungsgeschwindigkeit bedeutet (Q = Volumenstrom, A = Rohrquerschnittsfläche). Der Zahlenwert der Reynolds-Zahl, bei welcher der Übergang eintritt (kritische Reynolds-Zahl), wurde zu etwa
 um d Rekrit = = 2300 . (15.1) ν krit gefunden. Danach sind Rohrströmungen, deren Reynolds-Zahl Re < Rekrit ist, laminar und solche, für welche Re > Rekrit ist, turbulent. Die beiden laminaren Rohrströmungen in Bild 15.1 (Kurve b und c) sind ein und derselben turbulenten Rohrströmung zugeordnet, Werden jedoch durch unterschiedliche Reynolds-Zahlen beschrieben: sie lauten Rep = −(dp/dx) d 3 /32ν 2 und ReQ = um d/ν. Für laminare Strömungen gilt entsprechend Gl. (5.60) und (5.61) Rep = ReQ . Für turbulente Strömungen sind jedoch Rep und ReQ getrennt zu

15.1 Einige experimentelle Ergebnisse über den laminar–turbulenten Übergang

415

betrachten und erlauben die Charakterisierung turbulenter Rohrströmungen bzw. Kanalströmungen, vgl. B.L. Rozhdestvensky; L.N. Simakin (1982, 1984) und P.G. Saffman (1983, 1988). Der Zahlenwert der kritischen Reynolds-Zahl hängt stark von den besonderen Bedingungen des Rohreinlaufes und der Zuströmung ab. Schon von 0. Reynolds wurde vermutet, daß die kritische Reynolds-Zahl um so größer ist, je kleiner die Störung in der Zuströmung ist. Dies wurde durch Versuche von H.T. Barnes; E.G. Coker (1905) und später von L. Schiller (1922) bestätigt, wobei Werte bis zu Rekrit = 20 000 erhalten wurden. V.W. Ekman (1910) gelang es, durch einen ganz besonders störungsfreien Einlauf Rekrit = 40 000 zu erhalten. Dagegen gibt es, wie die verschiedenen Experimente gezeigt haben, einen unteren Grenzwert von Rekrit , der ungefähr bei Rekrit = 2 000 liegt. Unterhalb dieser Reynolds-Zahl bleibt die Strömung auch bei sehr starken Störungen laminar. Mit dem Übergang der laminaren Strömung in die turbulente Strömung ist auch eine auffällige Änderung des Rohrwiderstandsgesetzes verbunden. Während bei laminarer Strömung das Druckgefälle, welches die Strömung treibt, entsprechend der Beziehung Rep = ReQ der ersten Potenz der Durchflußgeschwindigkeit um proportional ist, vgl. Gl. (5.59), ist bei turbulenter Strömung dieses Druckgefälle nahezu proportional dem Quadrat der mittleren Durchflußgeschwindigkeit. Dieser größere Durchflußwiderstand hängt ursächlich mit der turbulenten Mischbewegung zusammen. Diese Änderung des Widerstandsgesetzes mit dem Übergang laminar–turbulent ist aus Bild 1.4 zu ersehen. Eingehende experimentelle Untersuchungen des Übergangs laminar–turbulent der Rohrströmung haben gezeigt, daß in einem gewissen Bereich von Reynolds-Zahlen in der Umgebung der kritischen Reynolds-Zahl die Strömung “intermittierenden Charakter“ hat. Darunter verstehen wir, daß die Strömung zeitweise laminar und zeitweise turbulent ist. Bild 1.5.2 zeigt nach Messungen von J.C. Rotta (1956) den Geschwindigkeitsverlauf in Abhängigkeit von der Zeit für verschiedene Stellen über dem Radius. Aus den Geschwindigkeitsschrieben erkennt man, daß Zeitabschnitte mit laminarer und turbulenter Strömung in unregelmäßiger Folge wechseln. Für Stellen in der Nähe der Rohrmitte ist in den laminaren Zeitabschnitten die Geschwindigkeit größer als der zeitliche Mittelwert in den turbulenten Zeitabschnitten; für Stellen in der Nähe der Rohrwand ist es umgekehrt. Da bei den Versuchen dafür gesorgt war, daß der Volumenstrom konstant blieb, muß man hieraus schließen, daß sich bei intermittierender Strömung jeweils die Geschwindigkeitsverteilung der zugehörigen ausgebildeten laminaren oder turbulenten Rohrströmung (nach Bild 15.1, Kurve b bzw. a) einstellt. Der physikalische Charakter dieser Strömung kann gut durch den Intermittenzfaktor γ gekennzeichnet werden, welcher den Bruchteil der Zeit angibt, in welchem an einer bestimmten Stelle turbulente Strömung herrscht. Es bedeutet also γ = 1 die andauernd turbulente und γ = 0 die andauernd laminare Strömung. In Bild 15.3 ist dieser Intermittenzfaktor für verschiedene Reynolds-Zahlen über der Lauflänge x aufgetragen. Für konstante Reynolds-Zahlen steigt der Intermittenzfaktor mit der Lauflänge stetig an. Die Reynolds-Zahlen umfassen den Bereich von Re = 2 300 bis Re = 2 600 , in welchem sich der Übergang vollzieht. Für Reynolds-Zahlen nahe der

416

15 Einsetzen der Turbulenz (Stabilitätstheorie)

Bild 15.2. ZeitlicherVerlauf der Geschwindigkeit der Rohrströmung im Bereich des Übergangs

laminar–turbulent für verschiedene Abstände r von der Rohrmitte, nach J.C. Rotta (1956) Reynolds-Zahl Rekrit = um d/ν = 2 550 Lauflänge x/d = 322; Geschwindigkeit u(t) in m/s, Zeit in s um = 4.27 m/s

Bild 15.3. Intermittenzfaktor

γ für die Rohrströmung im Bereich des Übergangs laminar–turbulent in Abhängigkeit von der Lauflänge x/d bei verschiedenen Reynolds-Zahlen Re, nach Messungen von J. Rotta (1956) γ = 1: dauernd turbulent γ = 0: dauernd laminar

unteren Grenze dieses Bereiches erstreckt sich die Entwicklung von der laminaren bis zur voll turbulenten Strömung über sehr große Rohrlängen, die Tausende von Rohrdurchmessern zählen. Die hier für das Rohr mit Kreisquerschnitt beschriebenen Vorgänge beim Übergang laminar–turbulent gelten ganz analog auch für die ebene Kanalströmung. Beim Übergang laminar–turbulent handelt es sich um ein Stabilitätsproblem. Dabei liegt die Vorstellung zugrunde, daß die Laminarströmung unter der Einwirkung irgendwelcher kleiner Störungen steht, die bei der Rohrströmung z.B. vom Einlauf herrühren können, Bei kleinen Reynolds-Zahlen, d.h. bei großen Werten ν, ist die dämpfende Wirkung der Viskosität groß genug, um diese kleinen Störungen wie-

15.1 Einige experimentelle Ergebnisse über den laminar–turbulenten Übergang

417

der abklingen zu lassen. Erst bei entsprechend großen Reynolds-Zahlen reicht die Dämpfung der Viskosität nicht mehr aus, so daß die Störungen angefacht werden und damit schließlich den Übergang in die turbulente Strömungsform einleiten. Wie sich noch herausstellen wird, treten bei ebenen Grenzschichten zunächst zweidimensionale Störungen auf, denen im weiteren Verlauf der Transition dreidimensionale Störungen folgen. Stabilitätstheoretische Untersuchungen des parabolischen Geschwindigkeitsprofiles der Rohrströmung, vgl. Kap. 5.2.1, zeigen, daß dieses gegenüber zweidimensionalen Störungen stabil ist. Entgegen den im folgenden Abschnitt behandelten Grenzschichtströmungen setzt der laminar–turbulente Übergang in Rohrströmungen von Beginn an mit dreidimensionalen Störungen ein. 15.1.2 Übergang in der Grenzschicht Im Vergleich zu den Untersuchungen an Rohrströmungen stellte man erheblich später fest, daß auch bei umströmten Körpern die Grenzschicht entweder laminar oder turbulent ist. In diesem Fall ist das gesamte Verhalten der Strömung um den Körper, insbesondere die auf den Körper übertragene Kraft, stark davon abhängig, ob die Grenzschicht laminar oder turbulent ist. Der Übergang laminar–turbulent in der Grenzschicht eines umströmten Körpers wird von vielen Parametern beeinflußt, von denen außer der Reynolds-Zahl die wichtigsten der Druckverlauf der Außenströmung, die Wandbeschaffenheit (Rauheit) und der Störpegel der Außenströmung (Turbulenzgrad) sind. Bild 15.4 zeigt den laminar–turbulenten Übergang in der Grenzschicht eines rotationssymmetrischen Körpers. Die Konzentration von beigefügtem Rauch macht in einem Momentanbild die Strukturentwicklung im Übergangsbereich, auch Transitionsbereich genannt, sichtbar. Der Bereich der laminaren Strömung wird stromab durch rotationssymmetrische Wellen, die so genannten Tollmien-Schlichting-Wellen, abgelöst, die über eine anschließend auftretende charakteristische dreidimensionale Strukturbildung den Übergang zur turbulenten Strömung einleiten.

Bild 15.4. Visualisierung des Transitionsprozesses in der Grenzschicht eines Rotationskörpers, nach F.N.M. Brown (1957)

418

15 Einsetzen der Turbulenz (Stabilitätstheorie)

Längsangeströmte Platte. Ganz entsprechend zum Rotationskörper läßt sich der Übergang laminar–turbulent für die längs angeströmte ebene Platte erkennen. Für die laminare √ Grenzschicht an der Platte wächst nach Kap. 6.5 die Grenzschichtdicke mit x an, wobei x den Abstand von der Vorderkante bedeutet. Der Übergang der laminaren in die turbulente Grenzschicht wurde zuerst von J.M. Burgers (1924), B.G. Van der Hegge Zijnen (1924), später von M. Hansen (1928) und eingehender von H.L. Dryden (1934, 1937, 1939) untersucht. In der Nähe der Plattenvorderkante ist die Grenzschicht zunächst stets laminar, weiter stromabwärts wird sie dann turbulent. Für eine Platte mit scharfer Vorderkante findet in einem normalen Luftstrom der Übergang laminar–turbulent der Grenzschicht in einem Abstand x von der Vorderkante statt, der durch
 U∞ x = 3.5 · 105 bis 106 . Rexkrit = ν krit

gegeben ist, Auch bei der längs angeströmten Platte kann ebenso wie beim Rohr die kritische Reynolds-Zahl heraufgesetzt werden, wenn man für eine sehr störungsfreie Zuströmung (geringen Turbulenzgrad) sorgt. Die experimentellen Ergebnisse sind in der Prinzipskizze von Bild 15.5 zusammengefaßt. Die laminare Grenzschichtströmung wird bei der Indifferenz-ReynoldsZahl Reind von zweidimensionalen, bereits erwähnten Tollmien-Schlichting-Wellen überlagert, die durch die primäre Stabilitätstheorie (vgl. Abschnitt 15.2.2) beschrieben werden. Weiter stromab überlagern sich auf Grund von sekundären Instabilitäten (vgl. Abschnitt 15.3.2) dreidimensionale Störungen, die eine charakteristische – Strukturbildung zur Folge haben. Die –Wirbel werden von Turbulenzflecken (engl.: turbulent spots) abgelöst, die den Übergang zu einer vollturbulenten Grenzschicht-

Bild 15.5. Skizze des laminar–turbulenten Übergangs in der Grenzschicht der längsangeströmten ebenen Platte, nach F.M. White (1974) (1) stabile laminare Strömung (2) instabile Tollmien-Schlichting-Wellen (3) dreidimensionale Wellen und Wirbelbildung (-Strukturen) (4) Wirbelzerfall (5) Bildung von Turbulenzflecken (6) vollturbulente Strömung

15.1 Einige experimentelle Ergebnisse über den laminar–turbulenten Übergang

419

Bild 15.6. Anwachsen eines künstlichen Turbulenzfleckens in der transitionellen Grenzschicht an einer längs angeströmten ebenen Platte. (I) Messungen von G.B. Schubauer; P.S. Klebanoff (1955), aus H.L. Dryden (1956). a) Grundriß, b) Seitenriß eines an der Stelle A künstlich erzeugten Turbulenzfleckens im Abstand von etwa 70 cm vom Entstehungsort. Die Stelle A liegt 70 cm hinter der Plattenvorderkante. α = 11.3◦ , θ = 15.3◦ , δ = Dicke der laminaren Grenzschicht, Anströmgeschwindigkeit U∞ = 10 m/s (1) und (2): Oszillogramm eines Hitzdrahtanemometers beim Durchgang eines künstlich erzeugten bzw. eines natürlich entstehenden Turbulenzfleckens. Zeitintervall zwischen zwei Marken: s/60. (II) Sichtbarmachung nach R. Falco (1980)

strömung einleiten. Bei Rex = Rekrit ist der Transitionsvorgang abgeschlossen, stromabwärts davon ist die Grenzschicht vollturbulent. Untersuchungen von H.W. Emmons; A.E. Bryson (1951/52) und G.B. Schubauer; P.S. Klebanoff (1955) haben ergehen, daß die Turbulenzflecken nach Bild 15.6 unregelmäßig an beliebigen Stellen der Grenzschicht entstehen und in einem keilför-

420

15 Einsetzen der Turbulenz (Stabilitätstheorie)

Bild 15.7. Geschwindigkeitsprofile der Plattengrenzschicht im Bereich des Übergangs

laminar–turbulent, nach Messungen von G.B. Schubauer; P.S. Klebanoff (1955) (1) laminar, Blasius-Profil (2) turbulent, nach Bild 18.5, δ = 17 mm Außengeschwindigkeit U∞ = 27 m/s Turbulenzgrad der Außenströmung Tu = 3 · 10−4

migen Gebiet stromabwärts wandern. Solche Turbulenzflecken erscheinen in unregelmäßiger zeitlicher Folge an verschiedenen, unregelmäßig verteilten Stellen der angeströmten Platte. Wie aus Bild 15.5 zu ersehen ist, tritt der Übergang durch ein starkes Anwachsen der Grenzschichtdicke in Erscheinung. In der laminaren Grenzschicht ist die √ dimensionslose Grenzschichtdicke δ/ νx/U∞ konstant und etwa gleich 5, vgl. Gl. (6.60). In Bild 2.4 ist diese dimensionslose Grenzschichtdicke über der mit der Lauflänge x gebildeten Reynolds-Zahl Rex = U∞ x/ν aufgetragen. Es ergibt sich für Rex ≥ 3 · 105 ein starkes Ansteigen der Grenzschichtdicke. Mit dem Übergang ist auch ein auffälliger Wechsel in der Form der zeitlich gemittelten Geschwindigkeitsprofile verbunden. In Bild 15.7 sind für eine Anströmung mit sehr geringem Turbulenzgrad nach Messungen von G.B. Schubauer; P.S. Klebanoff (1955) die Geschwindigkeitsprofile im Übergangsgebiet dargestellt, welches sich in diesem Fall von etwa Rex = 3 · 106 bis 4 · 106 . erstreckt. In diesem Bereich vollzieht sich eine Umbildung der Geschwindigkeitsverteilung vom Profil der laminaren Plattengrenzschicht nach H. Blasius (1908) (vgl. Bild 6.6a und Bild 6.7) zu demjenigen der voll ausgebildeten turbulenten Plattengrenzschicht, vgl. Kap. 18.2.5. Mit der Umbildung der Geschwindigkeitsverteilung im Übergangsbereich ist eine starke Abnahme des Formparameters H12 = δ1 /δ2 verbunden, die in Bild 15.8 dargestellt ist. Für die Plattengrenzschicht nimmt der Formparameter von H12 = 2,59 im laminaren Bereich auf H12 ≈ 1.4 im turbulenten Bereich ab. Mit dem laminar–turbulenten Übergang ist auch eine starke Änderung des Widerstandes, d.h. in diesem Fall des Reibungswiderstandes, verbunden. Während für

15.1 Einige experimentelle Ergebnisse über den laminar–turbulenten Übergang

421

Bild 15.8. Änderung des Formparameters H12 = δ1 /δ2 für die Platten-

grenzschicht im Bereich des laminar– turbulenten Übergangs nach Messungen von G.B. Schubauer; P.S. Klebanoff (1955), entnommen aus J. Persh (1956) 3/2

die laminare Strömung der Reibungswiderstand W proportional zu U∞ ist, vgl. Gl. (2.7),gilt für turbulente Strömung nach Gl. (2.14) D ∼ (U∞ / ln U∞ )2 . Schlanke Körper. Man hat festgestellt, daß bei der Grenzschichtströmung der

Druckgradient längs der Wand einen beträchtlichen Einfluß auf die Lage des Übergangsbereiches hat. Im Gebiet des Druckabfalls (beschleunigte Strömung) bleibt die Grenzschicht im allgemeinen laminar, während schon ein schwacher Druckanstieg meist sofort den Übergang herbeiführt. Auf diese Weise kann man bei schlanken Körpern (Tragflügel, Stromlinienkörper) den Reibungswiderstand dadurch wesentlich vermindern, daß man das Transitionsgebiet durch geeignete Wahl der Körperform und damit der Druckverteilung möglichst weit nach hinten verschiebt. Dies wird erreicht, wenn man die Stelle der größten Profildicke weit nach hinten rückt. Bei solchen Profilen mit langen laminaren Laufstrecken der Grenzschicht (sog. Laminarprofilen) kann der Reibungswiderstand etwa auf die Hälfte gegenüber normalen Profilen herabgesetzt werden. Auch durch andere Maßnahmen, wie z.B. Absaugung der Grenzschicht, können die Lage der Übergangszone und damit der Widerstand des umströmten Körpers stark beeinflußt werden. Stumpfe Körper. Eine besonders auffällige Erscheinung, die mit dem laminar–

turbulenten Übergang in der Grenzschicht zusammenhängt, tritt bei stumpfen Körpern, wie z.B. Kugeln und Kreiszylindern, auf. Aus den Bilden 1.12 und 1.19 ist ersichtlich, daß für den Kreiszylinder und die Kugel bei Reynolds-Zahlen von etwa Re = V d/ν = 3·105 ein plötzlicher starkerAbfall des Widerstandsbeiwertes eintritt. Dieser starke Widerstandsabfall, der für die Kugel zuerst von G. Eiffel (1912) gefunden wurde, ist auf das Turbulentwerden der Grenzschicht zurückzuführen. Durch das Turbulentwerden der Grenzschicht wird erreicht, daß die Ablösungsstelle sich weiter nach hinten verlagert und somit das Rückströmgebiet wesentlich schmaler wird. Daß diese Erklärung tatsächlich zutrifft, konnte L. Prandtl (1914) dadurch zeigen, daß er

422

15 Einsetzen der Turbulenz (Stabilitätstheorie)

auf die Kugel etwas vor dem Äquator einen dünnen Drahtreif (“Stolperdraht“) auflegte. Dadurch wird die laminare Grenzschicht schon bei einer kleineren ReynoldsZahl künstlich turbulent gemacht und in gleicher Weise die Widerstandsverminderung erreicht, die sonst erst bei Erhöhung der Reynolds-Zahl eintritt. Bild 2.14 zeigt Strömungsaufnahmen mit Rauch für eine Kugel im unterkritischen Strömungszustand mit großem Rückströmgebiet und großem Widerstand bzw. im überkritischen Zustand mit kleinem Rückströmgebiet und geringem Widerstand. Dabei ist der letztgenannte Zustand durch den Prandtlschen ‘Stolperdraht“ erzeugt worden. Durch diese Versuche ist überzeugend gezeigt worden, daß der Sprung in der Widerstandskurve der Kugel nur als ein Grenzschichteffekt verstanden weiden kann, der mit dem laminar–turbulenten Übergang zusammenhängt.

15.2

Grundlagen der Stabilitätstheorie 15.2.1 Vorbemerkung Die Bemühungen, die vorstehend geschilderte auffällige Erscheinung des Übergangs der laminaren in die turbulente Strömung theoretisch aufzuklären, begannen schon im 18. Jahrhundert, führten jedoch erst um 1930 zum Erfolg. Diesen theoretischen Untersuchungen liegt die Vorstellung zugrunde, daß die Laminarströmung unter der Einwirkung irgendwelcher kleiner Störungen steht, die bei der Rohrströmung z.B. vom Einlauf herrühren können, während sie bei der Grenzschicht des umströmten Körpers auch von der Wandrauheit oder von Ungleichmäßigkeiten der Außenströmung verursacht sein können. Die Theorie verfolgt den zeitlichen Ablauf solcher der laminaren Grundströmung überlagerten Störungen, deren Form im Einzelfall noch näher festzulegen ist. Die entscheidende Frage hierbei ist, ob die Störungsbewegung zeitlich abklingt oder anwächst, Klingen die Störungen mit der Zeit ab, so wird die Grundströmung als stabil angesehen, wachsen sie zeitlich an, so ist die Grundströmung instabil, d.h. es ist die Möglichkeit des Überganges in die turbulente Strömungsform gegeben. Es läßt sich auf diese Weise eine Stabilitätstheorie der Laminarströmung entwickeln, deren Ziel die theoretische Berechnung der Indifferenz-Reynolds-Zahl für eine vorgegebene Laminarströmung ist. Der Grundgedanke der Stabilitätstheorie ist die zuerst von O. Reynolds (1894) ausgesprochene Vermutung, daß die Laminarströmung, die als Lösung der Bewegungsgleichungen immer eine mögliche Strömung darstellt, oberhalb einer gewissen Grenze (eben der Indifferenz-Reynolds-Zahl) instabil wird und in die turbulente Strömungsform übergeht. An der mathematischen Begründung dieser Vermutung von 0. Reynolds ist viele Jahrzehnte lang gearbeitet worden, und zwar nach 0. Reynolds selbst zunächst vor allem von Lord Rayleigh (1880–1913). Diese theoretischen Bemühungen waren aber zunächst lange Zeit ohne Erfolg geblieben. Erst etwa 1930 ist das ursprüngliche Ziel, nämlich die theoretische Berechnung einer Indifferenz-Reynolds-Zahl, von L.

15.2 Grundlagen der Stabilitätstheorie

423

Prandtls Mitarbeitern W Tollmien und H. Schlichting in befriedigender Weise erreicht worden. Die experimentelle Bestätigung der Stabilitätstheorie gelang erst etwa zehn Jahre später H.L. Dryden und seinen Mitarbeitern, wobei eine bemerkenswert gute Übereinstimmung zwischen Theorie und Experiment erhalten wurde. Zusammenfassende Darstellungen der Stabilitätstheorie der Laminarströmung wurden von H. Schlichting (1950, 1959), C.C. Lin (1955), R. Betchov; W.O. Criminale (1967), E. Reshotko (1976), L.M. Mack (1977), P.G. Drazin; W.H. Reid (1981) und J.T. Stuart (1986) gegeben, vgl. auch V.V. Kozlov (1985), M.V. Morkovin (1988), H.L. Reed et al. (1996) und H. Oertel Jr.; J. Delfs ( 1996), H. Oertel Jr. ( 2002, 2004). Ein völlig neuer Aspekt der Stabilitätstheorie wurde aus den Arbeiten von R.J. Briggs (1964) und A. Bers (1973) aus dem Gebiet der Plasmaphysik in jüngster Zeit auf strömungsmechanische Stabilitätsprobleme übertragen. Die Übersichtsartikel von P. Huerre; F.A. Monkewitz (1990) und H. Oertel Jr. (1990, 1995) weisen nach, daß die zeitliche und räumliche Anfachung von Störungen im transitionalen Strömungsfeld die Festlegung absolut instabiler Bereiche erfordern.. Es hat sich gezeigt, daß gerade diese Bereiche des Strömungsfeldes für den laminar–turbulenten Übergang und dessen effektive Beeinflussung von besonderer Bedeutung sind. Strömungsmechanische Instabilitäten, die schlagartig einsetzen, wie z.B. in der Nachlaufströmung umströmter Körper, sind absolut instabil. Dabei definieren wir einen absolut instabilen Bereich als den Strömungsbereich, in dem lokal eingebrachte Störungen zeitlich und räumlich angefacht werden und mit fortschreitender Zeit den gesamten absolut instabilen Strömungsbereich beeinflussen, vgl. auch M. Gaster (1962, 1965). Im konvektiv instabilen Bereich werden lokal eingebrachte Störungen stromab geschwemmt und können den ursprünglichen Ort der Störung mit fortschreitender Zeit nicht weiter beeinflussen. Die Instabilitäten der Plattengrenzschicht, die über mehrere diskrete Instabilitäten zur turbulenten Grenzschicht führen, sind konvektiv instabil, vgl. L. Brevdo ( 1993). Dabei werden lokal eingebrachte Störungen stromab geschwemmt, ohne den ursprünglichen Ort der Störung mit fortschreitender Zeit beeinflussen zu können, Damit wird stabilitätstheoretisch eine neue Bereichseinteilung reibungsbehafteter Strömungen festgelegt, die auch für Reynolds-Zahlen oberhalb der IndifferenzReynolds-Zahl Strömungsbereiche absoluter und konvektiver Instabilität unterscheidet, vgl. H. Oertel Jr. (1995, 2002, 2004) und Oertel Jr.; J. Delfs (1996). 15.2.2 Grundlagen der primären Stabilitätstheorie Bei der Stabilitätsuntersuchung der laminaren Strömung wird die Bewegung zerlegt in die Grundströmung, deren Stabilität untersucht werden soll, und in eine überlagerte Störungsbewegung. Für die Grundströmung, die als stationär angesehen werden kann, seien die kartesischen Geschwindigkeitskomponenten U, V , W und der Druck P . Diese Grundströmung ist eine Lösung der Navier-Stokes-Gleichungen oder der Grenzschichtgleichungen. Für die zeitlich veränderliche Störungsbewegung seien die entsprechenden Größen u , v  , w und p  . Für die resultierende Strömung hat

424

15 Einsetzen der Turbulenz (Stabilitätstheorie)

man demnach für die Geschwindigkeit und für den Druck u = U + u ,

v p

= V + v  , w = W + w, = P + p .

(15.2) (15.3)

In den meisten Fällen wird dabei vorausgesetzt, daß die Störungsgrößen klein sind im Vergleich zu den Werten der Grundströmung. Die Untersuchung der Stabilität einer solchen gestörten Bewegung kann nach zwei verschiedenen Methoden ausgeführt werden. Bei der ersten Methode (Energiemethode) wird lediglich die zeitliche Änderung der Energie der Störungsbewegung ermittelt. Aus dem zeitlichen Abnehmen oder Anwachsen der Energie der Störungsbewegung wird auf Stabilität oder Instabilität der Grundströmung geschlossen. Dabei wird eine beliebige Form der Störungsbewegung zugelassen, die lediglich mit der Kontinuitätsgleichung verträglich sein muß. Diese Energiemethode. die hauptsächlich von H.A. Lorentz (1907) ausgebaut wurde, hat nicht zum Erfolg geführt; sie soll deshalb hier auch nicht näher behandelt werden. Bei der zweiten Methode werden nur solche Störungsbewegungen zugelassen, die mit den hydrodynamischen Bewegungsgleichungen verträglich sind, und es wird der zeitliche Ablauf der Störungsbewegung auf Grund dieser Differentialgleichungen verfolgt. Dies ist die Methode der kleinen Schwingungen. Diese zweite Methode hat zum Erfolg geführt, und sie möge deshalb im folgenden etwas eingehender erörtert werden. Wir legen dabei eine zweidimensionale inkompressible Grundströmung und eine ebenfalls zweidimensionale Störungsbewegung zugrunde. Die resultierende Strömung nach Gleichung (15.2) und (15.3) genügt dann den zweidimensionalen NavierStokes-Gleichungen, vgl. Gl. (3.42). Es sei weiterhin die zugrunde gelegte Grundströmung noch insofern besonders einfach, als die Komponente U nur von y abhängig sei, U = U (y), während die beiden übrigen Geschwindigkeitskomponenten verschwinden, V = W = O.1 Eine solche Schichtenströmung liegt in einem Kanal oder einem Rohr von konstantem Querschnitt in genügender Entfernung vom Eintrittsquerschnitt exakt vor. Aber auch die Grenzschichtströmung kann näherungsweise als eine solche Schichtenströmung angesehen werden, da hier dieAbhängigkeit der Grundströmung U von der Längskoordinate x sehr viel geringer ist als von der Querkoordinate y (Parallelströmungsannahme). Für den Druck der Grundströmung P (x,y) muß natürlich auch eine Abhängigkeit von x angenommen werden, da das Druckgefälle ∂P /∂x die Strömung treibt. Die vorgelegte Grundströmung hat also die Form: U (y), V = W = 0, P (x,y). (15.4) Dieser Grundströmung wird eine zweidimensionale Störungsbewegung überlagert, die auch von der Zeit abhängig ist. Für diese sind die Geschwindigkeitskomponenten 1 Wie von G.B. Schubauer; P.S. Klebanoff (1955) gezeigt wurde, besteht Grund zu der

Annahme, daß diese beiden Geschwindigkeitskomponenten in der wirklichen Strömung immer vorhanden sind. Ihre Größe ist in den meisten Fällen vernachlässigbar, aber sie scheinen für den Vorgang des Überganges von der laminaren zur turbulenten Strömung eine wichtige Rolle zu spielen.

15.2 Grundlagen der Stabilitätstheorie

und der Druck

u (x,y,t),

v  (x,y,t),

p  (x,y,t).

425

(15.5)

Damit ist dann die resultierende Bewegung nach Gl. (15.2) und (15.3): u = U + u ,

v = v,

w = 0,

p = P + p .

(15.6)

Die Grundströmung Gl. (15.4) ist voraussetzungsgemäß eine Lösung der NavierStokes-Gleichungen. Aber auch die resultierende Bewegung nach Gl. (15.5) hat die Navier-Stokes-Gleichungen zu erfüllen. Die überlagerte Störungsbewegung nach G1. (15.5) wird als “klein“ angenommen in dem Sinne, daß sämtliche quadratischen Glieder der Störungsbewegung gegenüber den linearen Gliedern vernachlässigt werden. Nähere Angaben über die Form der Störungsbewegung werden im nächsten Abschnitt gemacht. Es ist nun Aufgabe der Stabilitätsuntersuchung festzustellen, ob für eine vorgelegte Grundströmung die Störungsbewegung zeitlich abklingt oder anwächst. Je nachdem bezeichnet man die Grundströmung als stabil oder instabil. Durch Einsetzen von Gl. (15.6) in die Navier-Stokes-Gleichungen der zweidimensionalen, inkompressiblen instationären Strömung G1. (3.42) erhält man unter Vernachlässigung der in den Störungsgeschwindigkeiten quadratischen Glieder
2  ∂u d U ∂u 1 ∂P 1 ∂p   ∂U  +U +v + + = ν + u , ∂t ∂x ∂y  ∂x  ∂x dy 2 ∂v  ∂v  1 ∂P 1 ∂p +U + + = ν v  , ∂t ∂x  ∂y  ∂y ∂u ∂v  + = 0. ∂x ∂y Dabei bedeutet  den Operator ∂ 2 /∂x 2 + ∂ 2 /∂y 2 . Beachtet man, daß die Grundströmung für sich allein die Navier-StokesGleichungen erfüllt (im Fall der Grenzschicht näherungsweise), so vereinfachen sich diese Gleichungen zu: ∂u 1 ∂p  ∂U ∂u +U + v + ∂t ∂x ∂y  ∂x ∂v  1 ∂p  ∂v  + +U ∂x  ∂y ∂t ∂u ∂v  + ∂x ∂y

= ν v  ,

(15.7)

=

ν v  ,

(15.8)

=

0.

(15.9)

Dies sind drei Gleichungen für u , v  , p . Die zugehörigen Randbedingungen verlangen verschwindende Störungsgeschwindigkeiten u und v  an den begrenzenden Wänden (Haftbedingung). Aus den beiden Gl. (15.7) und (15.8) läßt sich der Druck p  noch leicht eliminieren, so daß man dann zusammen mit der Kontinuitätsgleichung zwei Gleichungen für u und v  hat. Gegen die angesetzte Form der Grundströmung nach Gl. (15.4) (Parallelströmungsannahme) könnte im Hinblick auf Grenzschichtströmungen der Einwand erhoben werden, daß die Änderung der Längskomponente

426

15 Einsetzen der Turbulenz (Stabilitätstheorie)

der Geschwindigkeit U mit x und auch die Normalkomponente V vernachlässigt wurden. Von J. Pretsch (1941b) wurde jedoch nachgewiesen, daß die hieraus resultierenden Glieder für die Stabilitätsuntersuchung einer Grenzschicht vernachlässigbar sind, vgl. auch S.J. Cheng (1953). Die nur geringen Unterschiede zwischen den Ergebnissen mit bzw. ohne Parallelströmungsannahme gehen auch aus Bild 15.17 hervor. 15.2.3 Orr-Sommerfeld-Gleichung Der Grundströmung in der z-Richtung mit der Geschwindigkeit U (y) sei eine Störungsbewegung überlagert, die aus einzelnen Partialstörungen (auch Moden genannt) aufgebaut ist, wobei jede Partialstörung eine in der x−Richtung fortschreitende Welle ist. Für die als zweidimensional vorausgesetzte Störungsbewegung kann eine Stromfunktion ψ(x,y,t) eingeführt werden, wodurch die Kontinuitätsgleichung (15.9) integriert ist. Für die Stromfunktion einer Partialwelle der Störungsbewegung wird der Ansatz gemacht:1 ψ(x,y,t) = ϕ(y)ei(αx−βt) .

(15.10)

Eine beliebige ebene Störungsbewegung denkt man sich nach J.B.J. Fourier in solche Partialstörungen zerlegt. Hierbei ist α reell, und es bedeutet λ = 2π/α die Wellenlänge der Störung. Die Größe β ist komplex, β = βr + iβi , und es bedeutet βr die Kreisfrequenz der Partialwelle, während βi (Anfachungsrate) über die Anfachung oder Dämpfung der Welle entscheidet. Ist βi < 0, so wird die Welle gedämpft, und die Laminarströmung ist stabil, während für βi > 0 Instabilität vorhanden ist. Es ist zweckmäßig, neben α und β noch die aus ihnen gebildete Größe c=

β = cr + ici . α

(15.11)

einzuführen. Es bedeutet cr die Wellenfortpflanzungsgeschwindigkeit in der xRichtung (Phasengeschwindigkeit), während wiederum ci über Anfachung oder Dämpfung entscheidet, je nachdem, ob ci positiv oder negativ ist. Die Amplitudenfunktion ϕ(y) der Störungsbewegung ist nur von y abhängig angesetzt worden, da auch die Grundströmung nur von y abhängig ist. Aus G1. (15.10) erhält man für die Komponenten der Störungsgeschwindigkeit 1 Es wird hier die komplexe Schreibweise verwendet. Der physikalisch allein sinnvolle Re-

alteil der Stromfunktion ist also Re(ψ) = eβi t [ϕr cos(αx − βr t) − ϕi sin(αx − βi t)], wobei ϕ = ϕr + i ϕi die komplexwertige Amplitudenfunktion bedeutet.

15.2 Grundlagen der Stabilitätstheorie

u

=

v

=

∂ψ = ϕ  (y)ei(αx−βt) , ∂y ∂ψ − = −iα(y)ϕei(αx−βt) . ∂x

427

(15.12) (15.13)

Setzt man diese in Gl. (15.7) und (15.8) ein, so ergibt sich nach Elimination des Druckes für die Amplitudenfunktion ϕ(y) die folgende gewöhnliche Differentialgleichung 4. Ordnung (U − c)(ϕ  − α 2 ϕ) − U  ϕ = −

i (ϕ  − 2α 2 ϕ  + α 4 ϕ). α Re

(15.14)

Diese Störungsdifferentialgleichung bildet den Ausgangspunkt der Stabilitätstheorie der Laminarströmung. Sie wird zu Ehren von W.M.F. Orr (1907) und A. Sommerfeld (1908) als Orr-Sommerfeld-Gleichung bezeichnet. Dabei sind in Gl. (15.14) dimensionslose Größen eingeführt worden, indem alle Längen auf eine geeignet gewählte Bezugslänge b oder δ (Kanalbreite oder Grenzschichtdicke) und alle Geschwindigkeiten auf die Maximalgeschwindigkeit Ue der Grundströmung (d.h. auf die Geschwindigkeit am Außenrand der Grenzschicht) bezogen wurden. Der Strich bedeutet die Differentiation nach der dimensionslosen Koordinate y/δ oder y/b, und es bedeutet Re =

Ue b ν

oder

Re =

Ue δ ν

die für die vorgelegte Grundströmung charakteristische Reynolds-Zahl. Die Glieder der linken Seite von G1. (15.14) rühren von den Trägheitsgliedern her, diejenigen der rechten Seite von den Reibungsgliedern der Bewegungsgleichungen. Die Randbedingungen sind z.B. für eine Grenzschichtströmung, daß an der Wand (y = 0) und in großem Wandabstand (Außenströmung) beide Komponenten der Störungsgeschwindigkeiten verschwinden. Dies ergibt: y=0: y=∞:

u = v  = 0 : u = v  = 0 :

ϕ = 0, ϕ = 0,

ϕ  = 0, ϕ  = 0.

(15.15)

Der Ansatz (15.10) für die Störungsbewegung fand eine Bestätigung durch H.B. Squire (1933), der zeigen konnte, daß bei dreidimensionalen Störungen eine ebene Strömung erst bei höheren Reynolds-Zahlen instabil wird, d.h. die zweidimensionalen Störungsbewegungen spielen die dominierende Rolle. Das Eigenwertproblem. Die Stabilitätsuntersuchung einer Laminarströmung ist nun ein Eigenwertproblem der Störungsdifferentialgleichung (15.14) mit den Randbedingungen (15.15). Bei vorgegebener Grundströmung U (y) enthält G1. (15.14) vier Parameter, nämlich Re, α, cr und ci . Von diesen ist die Reynolds-Zahl der Grundströmung ebenfalls vorgegeben, ferner ist die Wellenlänge λ = 2π/α der Störungsbewegung als gegeben anzusehen. Die Differentialgleichung (15.14) mit den Randbedingungen (15.15) liefert dann zu jedem Wertepaar α, Re eine Eigenfunktion ϕ(y)

428

15 Einsetzen der Turbulenz (Stabilitätstheorie)

Bild 15.9. Indifferenzkurven einer ebenen Grenzschicht für zweidimensionale inkompressible

Störungen a) “reibungslose“ Instabilität: für Geschwindigkeitsprofile vom Typus (a) mit Wendepunkt W ist die Indifferenzkurve vom Typus (a). Die Asymptoten der Indifferenzkurve (a) für Re → ∞ ergeben sich aus der reibungslosen Störungsdifferentialgleichung (15.16). A: reibungslose Instabilität b) “viskose“ Instabilität: für Geschwindigkeitsprofile vom Typus (b) ohne Wendepunkt ist die Indifferenzkurve vorn Typus (b)

und einen komplexen Eigenwert c = cr + i ci . Dabei gibt cr die Phasengeschwindigkeit der vorgegebenen Störung, während ci durch sein Vorzeichen über die Anfachung (ci > 0) oder Dämpfung (ci < 0) entscheidet. Für ci < 0 ist die betreffende Strömung (U,Re) bei der betreffenden Störung α stabil, für ci > 0 instabil. Der Grenzfall ci = 0 gibt die neutralen (indifferenten) Störungen. Dieser Sachverhalt beschreibt die zeitliche Anfachung der Störungen. Unter der Voraussetzung sich zeitlich entwickelnder Störungen kann man das Ergebnis der Stabilitätsrechnung für eine vorgelegte Laminarströmung U (y) in der Weise darstellen, daß jedem Punkt der α, Re-Ebene ein Wertepaar cr , ci zugeordnet ist. Insbesondere trennt die Kurve ci = 0 die stabilen von den instabilen Störungen. Sie heißt die Indifferenzkurve (Bild 15.9). Von dieser Indifferenzkurve wiederum interessiert besonders die Stelle mit der kleinsten Reynolds-Zahl (Tangente an die Indifferenzkurve parallel zur α-Achse), denn sie gibt diejenige Reynolds-Zahl an, unterhalb welcher alle Partialwellen gedämpft sind, während oberhalb von ihr wenigstens einige angefacht sind. Diese kleinste Reynolds-Zahl auf der Indifferenzkurve ist die theoretische Indifferenz-Reynolds-Zahl oder Stabilitätsgrenze der untersuchten Laminarströmung. Auf Grund der oben besprochenen Versuchsergebnisse über den laminar– turbulenten Übergang erwartet man, daß bei kleinen Reynolds-Zahlen, bei denen die Strömung laminar ist, bei allen Wellenlängen nur stabile Störungen vorhanden sind, während bei größeren Reynolds-Zahlen, bei denen die Strömung turbulent ist, mindestens für einige Wellenlängen instabile Störungen auftreten. Es sei aber schon

15.2 Grundlagen der Stabilitätstheorie

429

hier bemerkt, daß nicht erwartet werden kann, daß die in der angegebenen Weise aus der Stabilitätsuntersuchung erhaltene theoretische Indifferenz-Reynolds-Zahl mit der experimentell ermittelten kritischen Reynolds-Zahl beim Übergang laminar– turbulent übereinstimmt. Denkt man z.B. an die Grenzschichtströmung längs einer Wand, so gibt die aus der Stabilitätsrechnung erhaltene theoretische IndifferenzReynolds-Zahl diejenige Stelle an der Wand an, von welcher aus stromabwärts eine Anfachung einiger Partialstörungen erfolgt. Es dauert aber eine gewisse Zeit, bis durch die Anfachung dieser instabilen Störungen Turbulenz entstanden ist. Bis dahin ist die instabile Störung weiter stromabwärts gewandert. Es ist deshalb zu erwarten, daß die Stelle des beobachteten Übergangs laminar–turbulent immer weiter stromabwärts liegt als die theoretisch berechnete Stabilitätsgrenze oder, mit anderen Worten, daß die experimentelle kritische Reynolds-Zahl größer ist als die theoretische Indifferenz-Reynolds-Zahl. Dies gilt sowohl für die mit der Lauflänge als auch für die mit der Grenzschichtdicke gebildeten Reynolds-Zahlen. Wir wollen uns im folgenden darauf beschränken, die Entwicklung der Stabilitätstheorie zu skizzieren und deren wichtigste Ergebnisse zu referieren, ohne eine umfassende Darstellung anzustreben. Absolute oder konvektive Instabilitäten und räumlich angefachte Wellen. Die auf dem Wellenansatz (15.10) basierende Stabilitätsanalyse ist sehr eingeschränkt, da sie ausschließlich “monochromatische“ Wellen zuläßt, d.h. nur Wellen einer festen Wellenlänge λ = 2π/α. Bei vielen Strömungsproblemen sind die Störungen jedoch im Raum fixiert, Dies hat zur Folge, daß für die Berechnung realistischer linearer Störungen in der Grenzschicht ein angepaßtes Anfangs- und Randwertproblem für das Gleichungssystem (15.7) bis (15.9) gelöst werden muß. Die Analytik der zeitlichen und räumlichen Entwicklung von “Wellenpaketen‘ wurde in der Plasmaphysik in den fünfziger Jahren entwickelt (siehe R.J. Briggs (1964) undA. Bers (1973)). Die Stabilitätsanalyse von R.J. Briggs beruht auf der Untersuchung asymptotischer Lösungen des inversen Laplace-Fourier-Integrals des Wellenansatzes, das die stabilitätstheoretische Lösung des Problems beschreibt. L. Brevdo (1988) hat diesen analytischen Formalismus auf Scherströmungen übertragen. Die analytische Behandlung instabiler Wellenpakete in Grenzschichtströmungen wurde bereits in den sechziger Jahren von M. Gaster (1968, 1975) und M. Gaster; I. Grant (1975) durchgeführt. Dabei steht der physikalische Aspekt der Beeinflussung der Strömung durch eine räumlich lokale und zeitlich begrenzte Störung im Vordergrund. Bewegt sich dabei das Wellenpaket stromab, ist die Strömung konvektiv bzw. räumlich instabil. Ist die zeitliche und räumliche Anfachung jedoch derart, daß sie in jedem Punkt des Strömungsfeldes beobachtet werden kann, bezeichnet man die Strömung als absolut instabil. Die Untersuchung absolut und konvektiv instabiler Bereiche im Strömungsfeld ist besonders wichtig, da im Bereich der absoluten Instabilität aufgrund der Störungsanfachung In jedem Punkt des Strömungsfeldes kein Endzustand formuliert werden kann. Daraus hat H. Oertel Jr. (1990, 1995) die Schlußfolgerung gezogen, daß dies die Bereiche besonders effektiver Beeinflussung der Strömung sein müssen. Inzwischen konnte von R.J. Deissler (1987) gezeigt werden, daß die ebene Kanalströmung absolut stabil, aber konvektiv instabil ist. Die Ausbreitungsgeschwindigkeit der instabilen Wellenpakete wächst mit größer werdender Reynolds-Zahl. Eine umfassende analytische und numerische Untersuchung instabiler Wellenpakete in zwei- und dreidimensionalen Grenzschichten wurde von H. Oertel Jr.: J. Delfs ( 1995, 1997) veröffentlicht. Dabei sprechen wir von einem laminar–turbulenten “Umschlag“ im Strömungsfeld, wenn die Instabilität schlagartig absolut instabil einsetzt, wie z.B. bei der Nachlaufströmung eines

430

15 Einsetzen der Turbulenz (Stabilitätstheorie)

t>>t0

t>>t0

t0 t0

t0 + ∆t

t0 + ∆t

t 0 + 2 ∆t

t0 + 2 ∆t

Grenzschicht, konvektiv instabil

Nachlauf, absolut instabil

Bild 15.10. Ausbreitung instabiler Störungen bei konvektiver und absoluter Instabilität

umströmten Körpers. Dagegen führt die konvektiv instabile Plattengrenzschicht über mehrere Stabilitätsprozesse zur turbulenten Grenzschichtströmung, die wir, wie bereits beschrieben, mit laminar–turbulentem “Übergang“ (Transition) bezeichnen (Bild 15.10).

Allgemeine Eigenschaften der Störungsdifferentialgleichung. Da auf Grund

des experimentellen Befundes die Stabilitätsgrenze ci = 0 bei großen ReynoldsZahlen erwartet wird, ist es naheliegend, die allgemeine Störungsdifferentialgleichung (15.14) dadurch zu vereinfachen, daß man die mit dem kleinen Faktor 1/Re behafteten Reibungsglieder der rechten Seite gegenüber den Trägheitsgliedern der linken Seite vernachlässigt. Man erhält dann die sog. reibungslose Störungsdifferentialgleichung oder Rayleigh-Gleichung (U − c)(ϕ  − α 2 ϕ) − U  ϕ = 0.

(15.16)

Da diese Gleichung von 2. Ordnung ist, können von den vier Randbedingungen G1. (15.15) der vollständigen Störungsdifferentialgleichung jetzt nur noch zwei erfüllt werden. Diese sind entsprechend der reibungslosen Strömung das Verschwinden der Normalkomponente der Störungsgeschwindigkeit an beiden Wänden bei einer Kanalströmung bzw. an einer Wand und in großem Wandabstand bei einer Grenzschichtströmung. Für letztere gilt also y=0:

ϕ = 0;

y=∞:

ϕ = 0.

(15.17)

Die Streichung der Reibungsglieder in der Orr-Sommerfeld-Gleichung bedeutet einen mathematisch sehr schwerwiegenden Eingriff, da hierdurch die Ordnung der Differentialgleichung von vier auf zwei erniedrigt wird und dadurch möglicherweise wichtige Eigenschaften der allgemeinen Lösung der vollständigen Störungsdifferentialgleichung verloren gehen. Es gelten hierfür sinngemäß unsere früheren Betrachtungen in Kap. 4 beim Übergang von den Navier-Stokes-Gleichungen der reibungsbehafteten Strömungen zu den Eulerschen Gleichungen der reibungslosen Strömungen. Die älterenArbeiten zur Stabilitätstheorie knüpfen vorwiegend an die reibungslose Störungsdifferentialgleichung (15.16) an. Auf Grund dieser reibungslosen Störungs-

15.2 Grundlagen der Stabilitätstheorie

431

differentialgleichung (15.16) konnte bereits Lord Rayleigh (1880–1913) einige wichtige allgemeine Feststellungen über die Stabilität laminarer Geschwindigkeitsprofile treffen, die später bei Hinzunahme des Reibungseinflusses in der Störungsdifferentialgleichung bestätigt werden konnten, Satz I: Ein erster wichtiger allgemeiner Satz dieser Art ist das sog. Wendepunktkriterium. Dieses besagt, daß Geschwindigkeitsprofile mit Wendepunkt instabil sind.

Während Lord Rayleigh (1880–1913) lediglich das Vorhandensein eines Wendepunktes als notwendige Bedingung für das Auftreten instabiler Wellen nachweisen konnte, hat viel später W. Tollmien ( 1935) gezeigt, daß das Vorhandensein eines Wendepunktes auch eine hinreichende Bedingung für das Vorhandensein angefachter Wellen ist. Dieses Wendepunktkriterium ist von grundlegenden Bedeutung für die Stabilitätstheorie, da es – unter Vorbehalt einer Korrektur infolge des vernachlässigten Viskositätseinflusses – eine erste grobe Klassifizierung aller Laminarströmungen gibt. Praktisch ist es deshalb von großer Wichtigkeit, weil das Vorhandensein eines Wendepunktes im Geschwindigkeitsprofil unmittelbar mit dem Druckgradienten der Strömung zusammenhängt. Bei Kanalströmungen hat man nach Bild 5.2 im konvergenten Kanal mit Druckabfall sehr völlige Geschwindigkeitsprofile ohne Wendepunkt; dagegen im divergenten Kanal mit Druckanstieg spitze Geschwindigkeitsprofile mit Wendepunkt. Die gleichen Formenunterschiede der Geschwindigkeitsprofile hat man auch in der laminaren Grenzschicht an einem umströmten Körper. Nach der Grenzschichttheorie haben die Geschwindigkeitsprofile im Druckabfallgebiet keinen Wendepunkt, dagegen diejenigen im Druckanstiegsgebiet immer einen Wendepunkt, vgl. Kap. 7.1. Somit ist das Wendepunktkriterium gleichbedeutend mit dem Einfluß des Druckgradienten der Außenströmung auf die Stabilität der Grenzschicht. Für die Grenzschichtströmung bedeutet dies: Druckabfall wirkt stabilisierend, Druckanstieg wirkt destabilisierend. Daraus folgt, daß bei einem umströmten Körper die Lage des Druckminimums von ganz entscheidendem Einfluß auf die Lage des Ortes abgeschlossener Transition ist. Es gilt die einfache Regel, daß in erster grober Näherung die Lage des Druckminimums die Lage des Ortes abgeschlossener Transition bestimmt derart, daß der Ort abgeschlossener Transition nahe hinter dem Druckminimum liegt. Der hier noch vernachlässigte Einfluß der Viskosität auf die Lösung der Störungsdifferentialgleichung ändert an diesem Ergebnis nur wenig. Man bezeichnet die oben besprochene Instabilität der Geschwindigkeitsprofile mit Wendepunkt auch als reibungslose Instabilität, da die laminare Strömung schon instabil ist bei Vernachlässigung des Reibungseinflusses auf die Störungsbewegung. In dem Stabilitätsdiagramm von Bild 15.9 ist die reibungslose Instabilität durch den Typus a der Indifferenzkurve gegeben. Es existiert schon bei Re = ∞ ein gewisser instabiler Bereich von Störungswellenlängen, der zu den kleineren Reynolds-Zahlen hin durch die Indifferenzkurve gegenüber dem stabilen Bereich abgegrenzt wird. Demgegenüber tritt eine viskose Instabilität mit einer Indifferenzkurve vom Typus b in Bild 15.9 z.B. bei den laminaren Grenzschichtprofilen ohne Wendepunkt auf. Für unendlich große Reynolds-Zahlen schrumpft der Bereich der instabilen Störungswellenlängen auf null zusammen, und es existiert nur bei endlich großen

432

15 Einsetzen der Turbulenz (Stabilitätstheorie)

Reynolds-Zahlen ein Bereich instabiler Wellen. Im ganzen ist das Maß derAnfachung bei der reibungslosen Instabilität sehr viel größer als bei der viskosen Instabilität. Die viskose Instabilität kann nur aufgedeckt werden, wenn man die vollständige Störungsdifferentialgleichung (15.14) diskutiert. Sie ist deshalb schwieriger zu behandeln als die reibungslose Instabilität. Die einfachste Grenzschichtströmung entlang einer ebenen Wand ohne Druckgradienten gehört zu dem Typus, bei dem lediglich viskose Instabilität besteht. Sie ist deshalb erst verhältnismäßig spät erfolgreich behandelt worden. Satz II: Ein zweiter wichtiger allgemeiner Satz besagt, daß für neutrale Störungen

(ci = 0) bei Grenzschichtprofilen die Wellenfortpflanzungsgeschwindigkeit kleiner ist als die Maximalgeschwindigkeit der Grundströmung, cr < Ue . Dieser Satz wurde mit gewissen einschränkenden Voraussetzungen ebenfalls schon von Lord Rayleigh (1880–1913) und unter allgemeineren Voraussetzungen später von W. Tollmien ( 1935) bewiesen. Er besagt, daß im Inneren der Strömung für neutrale Störungen eine Stelle existiert, wo U − c = 0 ist. Diese Tatsache ist für die Stabilitätstheorie ebenfalls von fundamentaler Bedeutung. Die Stelle U − c = 0 ist nämlich eine singuläre Stelle der reibungslosen Störungsdifferentialgleichung (15.16). Es wird an dieser Stelle ϕ  unendlich, falls dort nicht gerade U  verschwindet. Man nennt die Schicht y = yK wo U = c ist, die kritische Schicht der Grundströmung. Falls UK  = 0 ist wird in der Umgebung der kritischen Schicht, bei der U − c = UK (y − yK ) gesetzt werden kann, ϕ  unendlich wie (UK /UK )(1/(y − yK )) und damit die x-Komponente der Geschwindigkeit: u = ϕ  ∼

UK · ln(y − yK ). UK

(15.18)

In der kritischen Schicht wird also nach der reibungslosen Störungsdifferentialgleichung die wandparallele Komponente der Störungsgeschwindigkeit u unendlich groß, falls die Krümmung des Geschwindigkeitsprofiles in der kritischen Schicht nicht gerade verschwindet. Diese mathematische Singularität der reibungslosen Störungsdifferentialgleichung deutet darauf hin, daß in der kritischen Schicht der Einfluß der Reibung auf die Störungsbewegung berücksichtigt werden muß. Erst der Reibungseinfluß auf die Störungsbewegung beseitigt diese physikalisch sinnlose Singularität der reibungslosen Störungsdifferentialgleichung. Die Diskussion dieser sog. Reibungskorrektur der Lösung der Störungsdifferentialgleichung spielt bei der Diskussion der Stabilität eine fundamentale Rolle, vgl. auch F.T. Smith (1979b). Aus diesen beiden Sätzen von Lord Rayleigh folgt, daß die Krümmung des Geschwindigkeitsprofiles für die Stabilität der Laminarströmung eine wichtige Rolle spielt. Gleichzeitig ist damit gezeigt, daß man im Hinblick auf Stabilitätsuntersuchungen an die Berechnung der Geschwindigkeitsprofile der Grundströmung recht hohe Genauigkeitsansprüche zu stellen hat: es muß nicht nur U (y), sondern auch noch die zweiteAbleitung d2 U/dy 2 ausreichend genau bekannt sein. Einen Überblick über die Lösungen der Rayleigh-Gleichung vom mathematischen Standpunkt gibt der zusam-

15.2 Grundlagen der Stabilitätstheorie

433

menfassende Beitrag von P.G. Drazin; L.N. Howard (1966), siehe auch P.G. Drazin; W.H. Reid (1981). 15.2.4 Berechnung der Indifferenzkurve und der Indifferenz-Reynolds-Zahl Wir folgen weiterhin der zeitlichen Stabilitätstheorie. Um die Orr-Sommerfeld-Differentialgleichung 4. Ordnung (15.14) zu integrieren, benötigt man ein Fundamentalsystem von Lösungen dieser Gleichung; dieses lautet für y → ∞, wo U (y) = Ue = 1: ϕ2 = e+αy ,  ϕ1 = e−αy ,  ϕ4 = e+γ y  ϕ3 = e−γ y , 

(15.19)

γ 2 = α 2 + i Re(α − β).

(15.20)

mit Da für neutrale Wellen im allgemeinen |γ |  |α|

(15.20a)

ϕ2 die langsam veränderlichen und  ϕ3 und  ϕ4 die schnell veränderist, sind  ϕ1 und  lichen Lösungen. Das Lösungspaar  ϕ1,2 erfüllt für y → ∞ sowohl die reibungslose Störungsgleichung (15.16) (Rayleigh-Gleichung) als auch die Störungsgleichung mit Reibung (15.14) (Orr-Sommerfeld-Gleichung); das Lösungspaar  ϕ3,4 erfüllt nur die Störungsgleichung mit Reibung. Deshalb heißen  ϕ1,2 das reibungslose Lösungspaar und  ϕ3,4 das Lösungspaar mit Reibung. Bei der Ermittlung der allgemeinen Lösung ϕ = C1 ϕ 1 + C 2 ϕ 2 + C 3 ϕ 3 + C 4 ϕ 4 , welche die Randbedingungen Gl. (15.15) zu erfüllen hat, scheiden wegen des Verschwindens von ϕ und ϕ  bei y → ∞ die Lösungen ϕ2 und ϕ4 aus. Denn es gilt ϕ2 , lim ϕ2 = 

y→∞

lim ϕ4 =  ϕ4 .

y→∞

Damit wird diese allgemeine Lösung: ϕ = C1 ϕ1 + C3 ϕ3 ;

(15.21)

sie hat die Randbedingungen ϕ = ϕ  = 0 bei y = 0 zu erfüllen. Da die reibungslose Lösung ϕ1 an der Wand (y = 0) die Haftbedingung nicht erfüllt (ϕ1  = 0) und da in der kritischen Schicht (U − c = 0) sogar ϕ1 → ∞ ist, wie oben erläutert wurde, sind die Beiträge der Reibungslösung ϕ3 an diesen beiden Stellen besonders groß; dies führt dazu, daß an diesen beiden Stellen die gesuchte Partikulärlösung ϕ3 (y) und damit auch die Gesamtlösung ϕ(y) sich stark mit y ändert. Dieser Sachverhalt hat zur Folge, daß zu vorgegebenen Wertepaaren α, Re die Eigenfunktion ϕ(y) und damit auch der Eigenwert c = cr + i ci sowohl analytisch als

434

15 Einsetzen der Turbulenz (Stabilitätstheorie)

auch numerisch nur sehr mühsam zu ermitteln sind. Bei der numerischen Lösung des Eigenwertproblems rühren diese besonderen Schwierigkeiten daher, daß in der OrrSommerfeld-Gleichung (15.14) der höchste Differentialquotient ϕ  mit dem sehr kleinen Faktor 1/Re behaftet ist. Der große Unterschied im Verlauf der Eigenlösungen ϕ(y) in Wandnähe und in der kritischen Schicht nach der reibungslosen Lösung (Rayleigh-Gleichung) und der Reibungslösung (Orr-Sommerfeld-Gleichung) rührt, mathematisch gesehen, daher, daß bei der Vernachlässigung der Reibungsglieder in der Störungsdifferentialgleichung sich deren Ordnung von vier auf zwei erniedrigt. Ein numerisches Verfahren zur Berechnung der Eigenlösungen ϕ(y) der OrrSommerfeld-Gleichung (15.14) für zahlreiche vorgegebene Wertepaare der reziproken Wellenlänge α und der Reynolds-Zahl Re stellt an die Kapazität und die Rechengeschwindigkeit einer Rechenanlage Anforderungen, die Mitte der zwanziger Jahre, als O. Tietjens (1922) und W. Heisenberg (1924) dieses Problem in Angriff nahmen, nicht erfüllt werden konnten. Es blieb deshalb W. Tollmien, der Ende der zwanziger Jahre das Problem erneut bearbeitete, nichts anderes übrig, als sich auf sehr mühsam zu handhabende analytische Verfahren zu beschränken. Diese aufwendigen analytischen Rechnungen, deren Einzelheiten in den Originalarbeiten von W. Tollmien (1929, 1935, 1947) und D. Grohne (1954) zu finden sind, waren aber durchaus erfolgreich. Erst rund 30 Jahre nach der Veröffentlichung der Ergebnisse von W. Tollmien (1929) gelang im Jahre 1962 der entscheidende Durchbruch in der numerischen Lösung der Orr-Sommerfeld-Gleichung in einer Arbeit von E.F. Kurtz; S.H. Candrall (1962); S.H. Candrall (1962), der 1970 in zwei Arbeiten von R. Jordinson (1970, 1971) vertieft wurde. Gewisse wichtige Vorarbeiten waren von M.R. Osborne (1967) sowie L.H. Lee; W.C. Reynolds (1967) geleistet worden. Die besonderen Schwierigkeiten der numerischen Berechnung der Eigenlösungen und der Eigenwerte der Orr-Sommerfeld-Gleichung wurden bald danach in Arbeiten von J.M. Gersting; D.F. Jankowski (1972) sowie A. Davie (1973) nochmals eingehend diskutiert. Über die Schwierigkeiten bei der numerischen Integration der Orr-Sommerfeld-Gleichung wurde auch zusammenfassend in dem Buch von R. Betchov; W.O. Criminale (1967) berichtet. Die neuesten numerischen Integrationsmethoden sind u. a. in H. Oertel Jr.; E. Laurien (2003) beschrieben. An dieser Stelle möge noch darauf hingewiesen werden, daß die Stabilitätsuntersuchung einer Grenzschichtströmung im allgemeinen schwieriger ist als diejenige einer Kanalströmung. Dies liegt daran, daß bei der Grenzschicht einer der beiden Ränder im Unendlichen liegt, während bei der Kanalströmung beide Ränder im Endlichen liegen. Hinzu kommt noch, daß bei der Grenzschicht das Geschwindigkeitsprofil der Grundströmung U (y) keine exakte Lösung der Navier-Stokes-Gleichungen ist, während dies bei der Kanalströmung der Fall ist (z.B. Hagen-Poiseuille-Strömung). Schließlich möge in diesem Zusammenhang auch noch erwähnt werden, daß bei der Herleitung der Orr-Sommerfeld-Gleichung vorausgesetzt wurde, daß die Grundströmung U (y) sich in der Längsrichtung nicht ändert. Dies ist für die Kanalströmung erfüllt, aber nicht für die Grenzschichtströmung. Untersuchungen hierzu wurden u.a. von M.D.J. Barry; M.A.S. Ross (1970), M. Gaster (1974), A.R. Wazzan et al. (1974), A.R. Wazzan (1975), T.L. Van Stijn; A.I. Van de Vooren (1983) sowie F.P. Bertolotti (1991) durchgeführt.

15.2 Grundlagen der Stabilitätstheorie

435

Bild 15.11. Indifferenzkurven für die Störungsfrequenzen βr und die Wellenfortpflanzungsgeschwindigkeit cr in Abhängigkeit von der Reynolds-Zahl für die Grenzschicht an der längsangeströmten ebenen Platte (Blasius-Profil). Theorie nach W. Tollmien (1929); numerische Rechnung nach R. Jordinson (1970). ' βr δ1 cr αδ1 = U∞ U∞

Im folgenden werden zunächst die Ergebnisse der primären Stabilitätstheorie für die inkompressible Plattengrenzschicht dargestellt. Danach werden weitere wichtige Einflüsse auf die Grenzschicht-Instabilität erörtert, wie z.B. der Einfluß des Druckgradienten und des Wärmeüberganges bei temperaturabhängigen Stoffwerten. 15.2.4a Plattengrenzschicht Es wurde zuerst von W. Tollmien (1929) die Stabilität der Grenzschicht an der längsangeströmten ebenen Platte untersucht. Das Geschwindigkeitsprofil der Plattengrenzschicht nach H. Blasius ist in Bild 6.Ga dargestellt. Die Geschwindigkeitsprofile an den verschiedenen Stellen längs der Platte sind zueinander affin, d.h. sie fallen zusammen, wenn man sie über y/δ(x) √aufträgt. Dabei ist δ(x) die Grenzschichtdicke, für die nach Gl. (6.60) gilt δ = 5.0 νx/U∞ . Das Geschwindigkeitsprofil hat einen Wendepunkt an der Wand. Bezüglich des im vorigen Abschnitt erwähnten Wendepunktkriteriums liegt also dieses Profil gerade auf der Grenze zwischen Profilen ohne Wendepunkt, die, reibungslos gerechnet, stabil sind, und solchen mit Wendepunkt, die instabil sind. Die Ergebnisse der Stabilitätsrechnung sind in Bild 15.11 dargestellt. Der Bereich innerhalb der Kurven ist instabil und derjenige außerhalb der Kurven stabil, während die Zustände auf den Kurven selbst die neutralen Störwellen darstellen. Für sehr große Reynolds-Zahlen gehen beide Zweige der Indifferenzkurve gegen null. Die kleinste Reynolds-Zahl, bei welcher noch eine indifferente Störung existiert, ist die Indifferenz-Reynolds-Zahl1 mit 1 In der Stabilitätstheorie wird die Indifferenz-Reynolds-Zahl häufig kritische Reynolds-

Zahl genannt. Weil der Übergang von der laminaren in die turbulente Strömung jedoch in einem Bereich endlicher Länge stattfindet, wird in diesem Buch klar zwischen dem Beginn der Transition (Indifferenzpunkt) und dem Ort der abgeschlossenen Transition (kritischer Punkt) unterschieden, siehe auch Bild 15.5

436

15 Einsetzen der Turbulenz (Stabilitätstheorie)




U ∞ δ1 ν

 = Re1 ind = 520

(Indifferenzpunkt)

(15.22)

ind

Dies ist der Indifferenzpunkt der Plattengrenzschicht. Bemerkenswert ist, daß nach Bild 15.11 nur ein sehr schmaler Bereich von Störungswellenlängen und Störungsfrequenzen instabil wird. Ebenso wie für die Reynolds-Zahl eine untere Grenze existiert, gibt es für die Störungsparameter eine obere Grenze, nach deren Überschreiten keine Instabilität mehr eintritt. Es ergibt sieh nach Bild 15.11 für die obere Grenze der Störungsparameter: cr = 0.39; U∞

αδ1 = 0.36;

βr δ1 = 0.14. U∞

Auffällig ist die recht große Wellenlänge der instabilen Störungen im Vergleich zur Grenzschichtdicke. Die kleinste instabile Wellenlänge ist λmin =

2π δ1 = 17.5 δ1 ≈ 6 δ. 0.36

Der eingehende Vergleich dieser theoretischen Ergebnisse mit Versuchen erfolgt weiter unten. Im Abschnitt 15.1.2 wurde nach älteren Messungen die Lage des Ortes abgeschlossener Transition mit (U∞√ x/ν)krit = 3.5 · 105 bis 106 angegeben. Dies entspricht mit dem Wert δ1 = 1.72 νx/U∞ , nach Gl.(6.62) einer kritischen Reynolds-Zahl von
 U∞ δ1 = 950 (Ort abgeschlossener Transition, kritischer Punkt), ν krit die also wesentlich größer ist als der oben für den Indifferenzpunkt angegebene Wert 520. Der Abstand zwischen Indifferenzpunkt und dem experimentell beobachteten Punkt abgeschlossener Transition wird maßgeblich von der Größe der Anfachung der instabilen Störungen bestimmt. Einen Aufschluß über die Stärke der Anfachung erhält man, wenn man für die Störungsparameter im Innern der Indifferenzkurve die Anfachungsgröße ci = βi /α > 0 ermittelt. Dies wurde für die Plattengrenzschicht zuerst von H. Schlichting (1933) ausgeführt und später von S.F. Shen (1954) wiederholt. Bild 15.12 zeigt die Anfachung der instabilen Störungen für die Plattengrenzschicht in einem großen Bereich von Reynolds-Zahlen nach einer Rechnung von H.J. Obremski et al. (1969). Dabei ergibt sich, daß die maximale Anfachung nicht bei sehr großen Reynolds-Zahlen (Re1 → ∞) liegt, sondern bei mittleren ReynoldsZahlen im Bereich Re1 = U∞ δ1 /ν = 103 bis 104 . Daraus folgt, daß bei einer gegebenen Empfindlichkeit der gewählten Meßmethode der gemessene Indifferenzpunkt grundsätzlich stromabwärts vom theoretischen Indifferenzpunkt im Bereich größerer Anfachung bestimmt wird. Erst Meßmethoden mit höherer räumlicher Auflösung erlaubten die genaue Messung des theoretisch vorherbestimmten Indifferenzpunktes, siehe Bild 15.17.

15.2 Grundlagen der Stabilitätstheorie

437

Bild 15.12. Kurven konstanter zeitlicher Anfachung ci für die Grenzschicht an der längsangeströmten ebenen Platte in einem großen Bereich von Reynolds-Zahlen, nach H.J. Obremski et al. (1969)

Bild 15.13. Stromlinienbild und Geschwindigkeitsverteilung für eine neutrale Welle in der Grenzschicht in der längsangeströmten ebenen Platte (Störung I in Bild 15.12) U (y) = Grundströmung U (y) + u (x,y,t) = gestörte Geschwindigkeitsverteilung Reynolds-Zahl Re1 = U∞ δ1 /ν = 893 Wellenlänge der Störung λ = 40 δ1 Wellenfortpflanzungsgeschwindigkeit cr =  0.35 U∞ δ 2 Intensität der Störungsbewegung 0 u dy = 0.172 U∞ δ

Um eine nähere Einsicht in den Mechanismus der Störungsbewegung zu erhalten, sind von H. Schlichting (1935a) für einige neutrale Wellen auch die Eigenfunktionen ϕ(y) ermittelt worden. Damit wird es möglich, das Stromlinienbild der gestörten Strömung für die neutralen Wellenstörungen zu berechnen. Ein Beispiel hierfür ist in Bild 15.13 angegeben. Später haben J.T. Stuart (1956) und D. Grohne (1972) den Vorgang der Anfachung der instabilen Störungen unter Berücksichtigung der nichtlinearen Glieder zu berechnen versucht. Wesentlich ist hierbei, daß durch das Anwachsen der instabilen Störungen die Grundströmung verzerrt wird. Dies hat zur Folge, daß die Ener-

438

15 Einsetzen der Turbulenz (Stabilitätstheorie)

gieübertragung von der Hauptbewegung (Grundströmung) auf die Nebenbewegung (Störungsströmung) geändert wird, da sie proportional dU/dy ist. Dies wirkt sich dahingehend aus, daß im späteren Stadium die instabilen Störungen nicht mehr proportional exp(βi t) anwachsen, sondern einem endlichen Amplitudenwert zustreben, der überdies unabhängig vom Wert der (kleinen) Anfangsstörung ist. Die experimentelle Bestätigung der vorstehend geschilderten Stabilitätstheorie hat mehr als ein Jahrzehnt auf sich warten lassen. Sie ist jedoch dann von G.B. Schubauer; H.K. Skramstad (1947) erbracht worden, worüber anschließend berichtet wird. Nachdem diese Bestätigung bereits bekannt war, ist die Stabilitätstheorie von C.C. Lin (1945–46) einer Nachrechnung unterzogen worden, wobei sich in allen wesentlichen Punkten Übereinstimmung mit den Ergebnissen von W Tollmien und H. Schlichting ergeben hat Ältere Messungen des Übergangs laminar–turbulent. Mit den vorstehenden

Ergebnissen hat die Stabilitätstheorie zum ersten Male als Stabilitätsgrenze eine Reynolds-Zahl geliefert, die in der gleichen Größenordnung liegt wie die Versuchsergebnisse für die kritische Reynolds-Zahl. Nach den Vorstellungen dieser Theorie sollen kleine Störungen, die in einem gewissen Wellenlängen- und Frequenzbereich liegen, angefacht werden, während Störungen von kleinerer und größerer Wellenlänge gedämpft werden, vorausgesetzt, daß die Reynolds-Zahl oberhalb einer gewissen Grenze liegt. Nach der Theorie sollen langwellige Störungen, deren Wellenlänge gleich einem Mehrfachen der Grenzschichtdicke ist, besonders “instabil“ sein. Es wird dabei angenommen, daß durch das Anwachsen der instabilen Störungen schließlich der Übergang der laminaren in die turbulente Strömung herbeigeführt wird. Der Anfachungsvorgang stellt sozusagen die Verbindung her zwischen der Stabilitätstheorie und dem experimentell beobachteten Übergang. Schon vor den ersten Erfolgen der Stabilitätstheorie hatte L. Schiller (1934) besonders für die Rohrströmung das Übergangsproblem eingehend experimentell untersucht. Hieraus war eine halbempirische Theorie für den Übergang entwickelt worden, die von der Vorstellung ausgeht, daß der Übergang wesentlich durch die endlich großen Störungen verursacht wird, die beim Rohr vom Einlauf herrühren und die sich bei der Grenzschicht in der Außenströmung befinden. Besonders G.I. Taylor (1938) hatte diese Vorstellung theoretisch weiter ausgebaut (1936 - 38). Die Entscheidung zwischen diesen beiden Theorien mußte dem Experiment vorbehalten bleiben. Schon vor der Aufstellung der Stabilitätstheorie war der Übergang an der längsangeströmten ebenen Platte von J.M. Burgers (1924), B.G. Van der Hegge Zijnen (1924) und M. Hansen (1928) eingehend vermessen worden. Dabei hatte sich eine kritische Reynolds-Zahl
 U∞ x Rexkrit = = 3.5 bis 5 · 105 . ν krit ergeben. Bald darauf wurden von H.L. Dryden (1934, 1937) und seinen Mitarbeitern weitere sehr eingehende und sorgfältige Untersuchungen der Plattengrenzschicht

15.2 Grundlagen der Stabilitätstheorie

439

Bild 15.14. Plattenströmung; Entstehung der Turbulenz aus einer anfangs langwelligen Störung, nach L. Prandtl (1933) Das Aufnahmegerät fährt auf einem Wagen mit der Strömung mit, so daß dauernd dieselbe Wirbelgruppe im Gesichtsfeld bleibt, Die Strömung ist durch Aufstreuen von Aluminiumstaub auf die Wasseroberfläche sichtbar gemacht.

angestellt. Dabei wurde insbesondere die örtliche und zeitliche Verteilung der Geschwindigkeit mit Hitzdrahtmeßverfahren sehr genau untersucht. Es gelang bei diesen Versuchen jedoch nicht, die von der Theorie vorausgesagte selektive Anfachung von Störungen nachzuweisen. Etwa um die gleiche Zeit in Göttingen ausgeführte Untersuchungen der Plattengrenzschicht in einem Wasserkanal ergaben jedoch eine gewisse qualitative Bestätigung der Stabilitätstheorie. Bild 15.14 zeigt die Entstehung der Turbulenz aus einer anfangs langweiligen Störung. Die Ähnlichkeit dieser Aufnahme mit dem theoretischen Stromlinienbild einer neutralen Störung nach Bild 15.13 ist unverkennbar. Ein für den Übergang laminar–turbulent in der Grenzschicht sehr wichtiger Parameter ist der “Störungsgrad“ der Außenströmung. Dies war schon frühzeitig aus Widerstandsmessungen an Kugeln in verschiedenen Windkanälen erkannt worden. Dabei hatte sich ergeben, daß die kritische Reynolds-Zahl der Kugel, bei welcher der plötzliche Abfall des Widerstandsbeiwertes mit wachsender Reynolds-Zahl eintritt (Bild 1.19), sehr stark von dem Störungsgrad der Außenströmung abhängt. Der Störungsgrad der Außenströmung kann quantitativ gemessen werden durch den zeitlichen Mittelwert der turbulenten Schwankungsgeschwindigkeiten, wie sie etwa in einiger Entfernung hinter einem Maschengitter auftreten, vgl. Kap. 16. Bezeichnen u2 , v 2 , w 2 diese zeitlichen Mittelwerte für die drei Komponenten der Schwan-

440

15 Einsetzen der Turbulenz (Stabilitätstheorie)

kungsgeschwindigkeit, so versteht man unter dem Turbulenzgrad einer Strömung die Größe  1 2 (u + v 2 + w 2 ) 3 Tu = , U∞ wobei U∞ die Geschwindigkeit der Grundströmung (Geschwindigkeit in der Meßstrecke des Windkanals) bedeutet. Für eine Windkanalströmung ist im allgemeinen in einiger Entfernung hinter den Sieben sog. isotrope Turbulenz vorhanden, d.h. eine turbulente Strömung, für welche die mittlere Geschwindigkeitsschwankung in allen drei Koordinatenrichtungen gleich ist: u2 = v 2 = w 2 . In diesem Falle kann man die Längsschwankung u allein als maßgeblich für den Turbulenzgrad ansehen; somit gilt  u2 . Tu = U∞ Widerstandsmessungen an Kugeln in verschiedenen Windkanälen zeigen eine starke Abhängigkeit der kritischen Reynolds-Zahl von diesem Turbulenzgrad Tu, und zwar wächst Rekrit mit abnehmendem Tu stark an. Für ältere Windkanäle beträgt der Turbulenzgrad etwa Tu = 0.01. Bestätigung der Stabilitätstheorie durch Versuche. Im Jahre 1940 wurde von

H.L. Dryden und seinen Mitarbeitern G.B. Schubauer und H.K. Skramstad im National Bureau of Standards, Washington, erneut ein umfangreiches experimentelles Forschungsprogramm zur Untersuchung des laminar–turbulenten Überganges in Angriff genommen, vgl. H.L. Dryden (1946–1948). Inzwischen hatte sieh die Erkenntnis angebahnt, daß der Turbulenzgrad vermutlich einen entscheidenden Einfluß auf den Übergang hat. Es wurde deshalb für diese Untersuchungen ein Windkanal geschaffen, in welchem durch sehr viele Beruhigungssiebe und durch eine sehr hohe Kontraktion des Versuchsstromes der Turbulenzgrad auf den bis dahin noch nicht erreichten sehr niedrigen Wert von  u2 Tu = = 0.0002 U∞ herabgesetzt worden war. In dieser turbulenzarmen Anströmung wurde die Grenzschicht an der längsangeströmten ebenen Platte sehr eingehend untersucht. Hierbei ergab sich, daß für kleine Turbulenzgrade, Tu < 0.001, die mit der Lauflänge gebildete kritische Reynolds-Zahl, die früher zu Rexkrit = 3.5 bis 5 · 105 gemessen worden war; nunmehr auf
 U∞ x Rexkrit = ≈ 3.9 · 106 , ν krit

15.2 Grundlagen der Stabilitätstheorie

441

Bild 15.15. Einfluß des Turbulenzgrades auf die kritische Reynolds-Zahl der längsangeströmten ebenen Platte, nach Messungen von G.B. Schubauer; H.K. Skramstad (1947)

heraufgesetzt war (Bild 15.15). Darüber hinaus ergab sich, wie aus Bild 15.15 zu ersehen ist, daß mit abnehmendem Turbulenzgrad die kritische Reynolds-Zahl zunächst beträchtlich anwächst, aber dann bei etwa Tu = 0.001 den Wert Rexkrit = 3.9 · 106 erreicht und diesen bei kleineren Turbulenzgraden beibehält. Hiernach existiert also eine obere Grenze für die kritische Reynolds-Zahl der Plattengrenzschicht. Eine früher von A.A. Hall; G.S. Hislop (1938) ausgeführte Messung fügt sich in Bild 15.15 gut ein. Die im folgenden besprochenen Messungen wurden sämtlich bei einem Turbulenzgrad von Tu = 0.0003 vorgenommen. Es wurde der zeitliche Geschwindigkeitsverlauf an verschiedenen Stellen längs der Platte untersucht, und zwar einmal für den normalen Zustand der Strömung (sog. natürliche Störungen) und sodann insbesondere bei künstlich erregten Störungen. Solche künstlichen Störungen von einer bestimmten Frequenz wurden durch ein schwingendes Band erzeugt, das sich in 0,15 mm Wandabstand befand und elektromagnetisch zu Schwingungen angeregt wurde. Die Existenz angefachter Sinuswellen als Vorstufe des Übergangs konnte schon in dem Fall der natürlichen Störungen (ohne Anregung) einwandfrei nachgewiesen werden (Bild 15.16). Unregelmäßige Schwankungen sind bei dem äußerst geringen Turbulenzgrad kaum vorhanden. Aber bei Erreichen des Indifferenzpunktes erscheinen fast rein sinusförmige Schwingungen, deren Amplitude zunächst gering ist, jedoch stromabwärts stark anwächst. Kurz vor dem Ende des Transitionsgebietes treten sehr große Amplituden auf. Die Transition schließt mit dem plötzlichen Aufbrechen der regelmäßigen Wellen ab. Diese Messungen geben auch Aufklärung darüber, warum bei früheren Versuchen diese angefachten sinusförmigen Wellen nicht gefunden wurden. Erhöht man nämlich den Turbulenzgrad, der, wie schon oben angegeben, hier Tu = 0.0003 betrug, auf Tu = 0.01, wie er bei älteren Messungen durchweg vorlag, so zeigt sich, daß der Übergang unmittelbar durch die zufälligen Störungen hervorgerufen wird, ohne daß eine selektive Anfachung sinusförmiger Wellen vorausgeht. Die Existenz von Tollmien-Schlichting-Wellen in natürlicher Transition wurde auch von D. Arnal et al. (1977) experimentell bestätigt.

442

15 Einsetzen der Turbulenz (Stabilitätstheorie)

Bild 15.16. Oszillogramm der u -Schwankungen von zufälligen (“natürlichen“) Störungen in

der laminaren Grenzschicht an einer mit Luft längsangeströmten ebenen Platte. Messungen des laminar–turbulenten Übergangs nach G.B. Schubauer; H.K. Skramstad (1947) Wandabstand: 0.57 mm; Anströmgeschwindigkeit: U∞ = 24 m/s Zeitabstand zwischen den Marken: s/30 Der Pfeil markiert den Ort abgeschlossener Transition

Bei der Untersuchung von künstlichen Störungen wurde ein dünnes Metallband von 0,05 mm Stärke und 2,5 mm Breite in einem Wandabstand von 0,15 mm angebracht und durch einen Wechselstrom und ein magnetisches Feld zu Schwingungen angeregt. Auf diese Weise konnten die in der Theorie vorausgesetzten zweidimensionalen Störungen von vorgegebener Frequenz erzeugt werden. Hierbei ergaben sich sogleich angefachte, gedämpfte und neutrale Störwellen. In Bild 15.17 ist das Ergebnis einer solchen Messung angegeben. Die eingetragenen Punkte (gestrichelte Kurve) kennzeichnen die gemessenen neutralen Wellen. Zum Vergleich ist die theoretische Indifferenzkurve nach W. Tollmien (1929) eingetragen. Die Übereinstimmung ist sehr gut. Bild 15.18 zeigt den Vergleich der linearen Stabilitätstheorie mit experimentellen Ergebnissen. Während für hohe Reynolds-Zahlen eine gute Übereinstimmung von Theorie und Experiment besteht, sind im Bereich der Indifferenz-ReynoldsZahlen und der hohen Störfrequenzen stärkereAbweichungen erkennbarAnfängliche Vermutungen, daß dieses eine Folge der Parallelströmungsannahme ist, haben sich nicht bestätigt, vgl. T. Herbert; F.P. Bertolotti (1987). Auf eine hohe Empfindlichkeit von Meßergebnissen gegenüber den Versuchsbedingungen, besonders im Bereich der Indifferenz-Reynolds-Zahl und der hohen Frequenzen, haben W.S. Saric (1990) und F.P. Bertolotti (1991) hingewiesen. Den Einfluß der kontrollierten Störungen mittels des schwingenden Bandes haben D.E. Aships; E. Reshotko (1990) diskutiert.

15.2 Grundlagen der Stabilitätstheorie

443

15.17. Indifferenzkurven für neutrale Störungsfrequenzen bei der längsangeströmten ebenen Platte. Messungen nach G.B. Schubauer; H.K. Skramstad (1947). Die theoretische Kurve basiert auf den Originalergebnissen nach W. Tollmien (1929) und zeigt aufgrund von Rechenungenauigkeiten eine Indifferenz-Reynolds-Zahl von Re1 ind = 420 im Gegensatz zu Gl. (15.22) Bild

Bild 15.18. Vergleich der theo-

retischen Indifferenzkurve der längsangeströmten ebenen Platte mit Experimenten und der Einfluß der Parallelströmungsannahme, T. Herbert; F.P. Bertolotti (1987)

444

15 Einsetzen der Turbulenz (Stabilitätstheorie)

15.2.4b Einfluß des Druckgradienten Die Grenzschicht an der längsangeströmten ebenen Platte, deren Stabilität gerade behandelt wurde, ist dadurch ausgezeichnet, daß die Geschwindigkeitsprofile in verschiedenen Abständen von der Plattenvorderkante zueinander ähnlich sind, vgl. Kap. 6.5. DieseÄhnlichkeit ist eine Folge des konstanten Druckes derAußenströmung. Bei einem beliebigen zylindrischen Körper dagegen, bei dem der Druckgradient längs der Wand von Ort zu Ort verschieden ist, sind die laminaren Grenzschichtprofile an den verschiedenen Stellen längs der Körperkontur im allgemeinen nicht zueinander ähnlich. Im Druckabfallgebiet hat man Geschwindigkeitsprofile ohne Wendepunkt und im Druckanstiegsgebiet solche mit Wendepunkt. Während bei der längsangeströmten ebenen Platte sämtliche Geschwindigkeitsprofile die gleiche Stabilitätsgrenze besitzen, nämlich Re1 ind = (U∞ δ1 /ν)ind = 520, ist bei einem beliebigen Körper diese Stabilitätsgrenze für die einzelnen Profile sehr stark verschieden, und zwar im Druckabfallgebiet höher und im Druckanstiegsgebiet niedriger als für die Plattengrenzschicht. Um nun für den vorgegebenen Körper die Lage des Indifferenzpunktes zu erhalten, hat man nacheinander folgende Rechnungen auszuführen: 1. Ermittlung der Druckverteilung längs der Körperkontur in reibungsloser Strömung. 2. Berechnung der laminaren Grenzschicht zu dieser Druckverteilung. 3. Stabilitätsrechnung für die einzelnen Grenzschichtprofile. Die Berechnung der Druckverteilung für den vorgelegten Körper ist eine Aufgabe der Potentialtheorie. Für die Berechnung der laminaren Grenzschicht wurden in Kap. 8 Rechenverfahren bereitgestellt, vgl. auch Kap. 23. Der dritte Schritt, die Stabilitätsrechnung, soll jetzt hier näher erläutert werden. Aus der Theorie der laminaren Grenzschicht (Kap. 6) ist bekannt, daß bei der Umströmung eines zylindrischen Körpers die Wandkrümmung im allgemeinen keinen wesentlichen Einfluß auf die Ausbildung der Grenzschicht hat, nämlich solange der Krümmungsradius der Wand sehr viel größer ist als die Grenzschichtdicke. Dies läuft darauf hinaus, daß für die Ausbildung der Grenzschicht an solchen Körpern die Wirkung der Zentrifugalkraft vernachlässigt werden kann und daß die Grenzschicht sich also in gleicher Weise ausbildet wie an einer ebenen Wand unter der Wirkung desjenigen Druckgradienten, wie er durch die reibungslose Umströmung des Körpers gegeben ist. Das gleiche gilt für die Stabilitätsuntersuchung der laminaren Grenzschicht mit Druckgradient. Während bei der längsangeströmten ebenen Platte die Außenströmung der Grenzschicht konstant ist, U∞ = konst, hat man jetzt eine mit der Lauflänge x längs der Wand veränderliche Außenströmung Ue (x), die mit dem Druckgradienten längs der Wand dp/dx durch die Bernoulli-Gleichung zusammenhängt: dUe dp = −Ue . dx dx

(15.23)

Trotz dieser Abhängigkeit der Außenströmung von x kann aber; wie ( 1942) nachgewiesen hat, die Stabilitätsuntersuchung der Laminarströmung mit Druckgradient

15.2 Grundlagen der Stabilitätstheorie

445

Bild 15.19. Oszillogramm der Geschwindigkeitsschwankungen in einer laminaren Grenzschicht mit Druckgradient, nach Messungen von G.B. Schubauer; H.K. Skramstad (1947). Druckabfall wirkt dämpfend, Druckanstieg wirkt stark anfachend und führt zum Übergang laminar–turbulent, Abstand der Meßstelle von der Wand: 0.5 mm, Geschwindigkeit U∞ = 29 m/s, 2 /2 q∞ =  U∞

in gleicher Weise wie bei der längsangeströmten ebenen Platte ausgeführt werden, also mit einer nur von der Querkoordinate y abhängigen Grundströmung U (y). Der Einfluß des Druckgradienten kommt bei der Stabilitätsuntersuchung lediglich in der Form des Geschwindigkeitsprofiles U (y) zum Ausdruck. Schon in Abschnitt 15.2.3 wurde ausgeführt, daß die Stabilitätsgrenze eines Grenzschichtprofiles stark von der Form des Geschwindigkeitsprofiles abhängig ist, und zwar in der Weise, daß Profile mit Wendepunkt eine erheblich niedrigere Stabilitätsgrenze haben als solche ohne Wendepunkt (Wendepunktkriterium). Da nun der Druckgradient die Krümmung des Geschwindigkeitsprofiles maßgeblich beeinflußt nach der Gleichung, vgl. Gl. (7.2),


d 2U µ dy 2

 = w

dp , dx

(15.24)

so ist die starke Abhängigkeit der Stabilitätsgrenze von der Form des Geschwindigkeitsprofiles gleichbedeutend mit einem großen Einfluß des Druckgradienten auf die Stabilität: es gilt, daß laminare Grenzschichten im Bereich des Druckabfall es (dp/dx < 0, dUe /dx > 0, beschleunigte Strömung) erheblich stabiler sind als solche im Bereich des Druckanstieges (dp/dx > 0, dUe /dx < 0, verzögerte Strömung). Der von der Stabilitätstheorie vorausgesagte starke Einfluß des Druckgradienten auf die Stabilität und auf die Anfachung kleiner Störungen konnte von G.B. Schubauer; H.K. Skramstad (1947) sehr gut experimentell bestätigt werden. Bild 15.19 zeigt für die Grenzschicht an einer ebenen Wand mit Druckgradient ein Oszillogramm der Geschwindigkeitsschwankungen. Aus der oberen Hälfte des Bildes ist zu ersehen, daß ein Druckabfall von 10% des Staudruckes die Schwankungen völlig zum Erlöschen bringt, während ein nachfolgender Druckanstieg von nur 5% des Staudruckes die Schwankungen nicht nur stark anfacht, sondern auch sofort den

446

15 Einsetzen der Turbulenz (Stabilitätstheorie)

Bild 15.20. Kurven konstanter zeitlicher Anfachung ci für die Grenz-

schicht zur verzögerten Außenströmung Ue (x) = ax m in einem großen Bereich von ReynoldsZahlen, nach H.J. Obremski et al. (1969) m = βK /(2 − βK ) = −0.048; βK = −0.1

Übergang herbeiführt. (Man beachte den verkleinerten Maßstab der letzten beiden Schriebe!) Für die Stabilitätsuntersuchung der Grenzschicht mit Druckgradient ist es zweckmäßig, den Einfluß des Druckgradienten durch einen Formparameter. des Geschwindigkeitsprofiles zum Ausdruck zu bringen und dabei der Einfachheit halber eine einparametrige Schar von laminaren Geschwindigkeitsprofilen zugrunde zu legen. Ein Beispiel einer solchen einparametrigen Schar von Geschwindigkeitsprofilen, die sogar exakte Lösungen der Grenzschichtdifferentialgleichungen darstellen, sind die von Hartree für die Keilströmung Ue (x) = a · x m ,

(15.25)

berechneten Geschwindigkeitsprofile nach Bild 7.3. Dabei ist m der Formparameter der Geschwindigkeitsprofile, und βK = 2m/(m + 1) ist der Keilwinkel. Für m < 0 (Druckanstieg) haben die Geschwindigkeitsprofile einen Wendepunkt, für m > 0 (Druckabfall) jedoch nicht. Für eine Reihe von Geschwindigkeitsprofilen dieser einparametrigen Schar hat J. Pretsch (1941b, 1942) bereits im Jahre 1941 die Stabilitätsrechnung ausgeführt. Diese Rechnungen sind von H.J. Obremski et al. (1969) wesentlich erweitert worden. Dabei wurde nicht nur die Indifferenz-Reynolds-Zahl (neutrale Störungen), sondern auch die Anfachung der instabilen Störungen ermittelt. Hiernach ergibt sich eine starke Abhängigkeit der Indifferenz-Reynolds-Zahl von dem Formparameter m. In Bild 15.20 ist ein Ergebnis dieser Untersuchungen dargestellt, und zwar die Kurven konstanter Anfachung für die Grenzschichtprofile zur Außenströmung nach Gl. (15.25) mit m = −0.048; dem entspricht der Formparameter βK = −0.1; vgl. auch A.R. Wazzan (1975). In erster Näherung lassen sich die Geschwindigkeitsprofile in laminaren Grenzschichten durch folgende Polynome vierter Ordnung beschreiben;  U (y) = 2η − 2η3 + η4 + η(1 − η)3 Ue 6

mit

η=

y , δ

(15.26)

15.2 Grundlagen der Stabilitätstheorie

447

Bild 15.21. Indifferenzkurven für laminare Grenzschichtprofile mit Druckabfall )( > 0) und Druckanstieg ( < 0).  = (δ 2 /ν)(dUe /dx): Formparameter des Geschwindigkeitsprofiles

wobei für den dimensionslosen Formparameter  aufgrund der Wandbindung (7.2) gilt δ 2 dUe . (15.27) = ν dx Der Formparameter Ahat Werte zwischen  = +12 und  = −12, wobei der letztgenannte Wert dem Ablösungspunkt entspricht. Im vorderen Staupunkt ist  = 7.05 und im Druckminimum  = 0. Es bedeutet  > 0 Druckabfall und  < 0 Druckanstieg. Die Geschwindigkeitsprofile für  < 0 besitzen einen Wendepunkt. Für diese Schar der Geschwindigkeitsprofile ist die Stabilitätsrechnung von H. Schlichting; A. Ulrich (1940) ausgeführt worden. In Bild 15.21 sind die Indifferenzkurven angegeben. Für die Geschwindigkeitsprofile im Druckabfallgebiet ( > 0) gehen für Re → ∞ beide Zweige der Indifferenzkurve gegen Null (wie bei der Plattengrenzschicht,  = 0). Für die Geschwindigkeitsprofile mit Druckanstieg ( < 0) dagegen hat der obere Zweig der Indifferenzkurve eine von Null verschiedene Asymptote, so daß auch für Re → ∞ ein endlicher Wellenlängenbereich von angefachten Störungen vorhanden ist. Die Geschwindigkeitsprofile im Druckabfallgebiet ( > 0) und auch das Profil bei Gleichdruck ( = 0) sind vom Typus der “viskosen“ Instabilität (Kurve b in Bild 15.9), während die Geschwindigkeitsprofile im Druckanstiegsgebiet ( < 0) vom Typus der “reibungslosen“ Instabilität sind (Kurve a in Bild 15.9). Man erkennt aus Bild 15.21, daß für Grenzschichten im Druckanstiegsgebiet der von der Indifferenzkurve umschlossene instabile Bereich von Störungswellenlängen sehr viel größer ist als im Druckabfallgebiet. In Bild 15.22 ist die aus Bild 15.21 sich ergebende Indifferenz-Reynolds-Zahl inAbhängigkeit vom

448

15 Einsetzen der Turbulenz (Stabilitätstheorie)

Bild 15.22. Indifferenz-Reynolds-Zahl der Grenzschichtprofile mit Druckabfall und Druckanstieg in Abhängigkeit vom Formparameter , siehe auch Bild 5.21

Formparameter  aufgetragen1 . Sie ändert sich mit dem Formparameter  und damit mit dem Druckgradienten sehr stark. In Bild 15.20 sind darüber hinaus für ein Geschwindigkeitsprofil mit geringem Druckanstieg, βK = −0.1, die Kurven konstanter Anfachung ci /Ue = konst angegeben. Durch Vergleich mit Bild 15.12 erkennt man, daß durch den schwachen Druckanstieg die Anfachung beträchtlich erhöht wird. Berechnung der Lage des Indifferenzpunktes für einen vorgegebenen Körper. Mit den Ergebnissen von Bild 15.21 und 15.22 läßt sich nun die Berechnung der

Lage des Indifferenzpunktes für einen vorgelegten Körper (ebene Strömung) recht einfach ausführen. Dabei braucht die Stabilitätsrechnung nicht für jeden Einzelfall wiederholt zu werden, sondern sie ist durch das Bild 15.21 ein für allemal erledigt. Mit der als bekannt angesehenen potentialtheoretischen Geschwindigkeitsverteilung Ue (x)/U∞ wird zunächst die laminare Grenzschicht nach dem Näherungsverfahren von Kap. 8 ermittelt. Diese Grenzschichtrechnung liefert auch den Formparameter  nach Gl. (15.27) und die Verdrängungsdicke δ1 in Abhängigkeit von der vom vorderen Staupunkt aus gemessenen Bogenlänge x. Verfolgt man bei einer festgehaltenen Reynolds-Zahl des Körpers U∞ l/ν (l = Körperlänge) die laminare Grenzschicht auf ihrem Wege vom vorderen Staupunkt stromabwärts, so ist kurz hinter dem Staupunkt wegen des starken Druckabfalles die Stabilitätsgrenze (Ue δ1 /ν)ind hoch, aber die Grenzschichtdicke klein. Infolgedessen ist die örtliche Reynolds-Zahl 1 Für  = 0 ist hier Re 1 ind = 645. während in Bild 15.11 der Wert 520 angegeben wurde.

Dies liegt daran, daß in Bild 15.21 für die Plattengrenzschicht mit einer Näherungsfunktion gerechnet wurde, während dem Bild 15.11 die exakte Lösung von H. Blasius zugrunde liegt.

15.2 Grundlagen der Stabilitätstheorie

449

Bild 15.23. Ermittlung der Lage des Indifferenzpunktes in Abhängigkeit von der Reynolds-Zahl Re für einen elliptischen Zylinder vom Achsenverhältnis a/b = 4, l  = halber Umfang, l = 2a, Re = U∞ l/ν, A: Ablösung

Ue δ1 /ν kleiner als die örtliche Reynolds-Zahl (Ue δ1 /ν)ind . Die Grenzschicht ist hier also stabil. Weiter stromabwärts wird der Druckabfall schwächer, und hinter dem Geschwindigkeitsmaximum folgt Druckanstieg. Infolgedessen nimmt die örtliche Stabilitätsgrenze (Ue δ1 /ν)ind stromabwärts ab, während die Grenzschichtdicke und damit auch die örtliche Reynolds-Zahl Ue δ1 /ν zunimmt. An einer bestimmten Stelle wird
 Ue δ1 Ue δ1 = (Indifferenzpunkt). (15.28) ν ν ind Von hier an stromabwärts wird die Grenzschicht instabil. Der nach Gl. (15,28) bestimmte Punkt möge deshalb als Indifferenzpunkt bezeichnet werden. Seine Lage hängt naturgemäß noch von der Reynolds-Zahl der Körperumströmung U∞ l/ν ab, da die örtliche Grenzschichtdicke von ihr beeinflußt wird. Die soeben erläuterte Ermittlung des Indifferenzpunktes in Abhängigkeit von der Reynolds-Zahl läßt sich bequem mit Hilfe des in Bild 15.23 dargestellten Diagrammes ausführen. Dieses bezieht sich auf das Beispiel eines elliptischen Zylinders vom Achsenverhältnis a/b = 4, der parallel zur großen Achse angeströmt wird. Aus dem Verlauf des Formparameters  über x erhält man mit Hilfe von Bild 15.22 den Verlauf der örtlichen Indifferenz-Reynolds-Zahl Re1 ind = (Ue δ1 /ν)ind , die als Stabilitätsgrenze in Bild 15.23 eingetragen ist. Die Berechnung der laminaren √ Grenzschicht hat den Verlauf der dimensionslosen Verdrängungsdicke (δ1 / l) · U∞ l/ν ergeben. Hieraus läßt sich bei einer festgehaltenen Reynolds-Zahl des Körpers U∞ l/ν die mit

450

15 Einsetzen der Turbulenz (Stabilitätstheorie)

Bild 15.24. Symmetrisches Joukowsky-Profil bei verschiedenen Auftriebsbeiwerten

-----·-·-·

Druckverteilung Lage des Indifferenzpunktes Lage des laminaren Ablösungspunktes A

der Verdrängungsdicke gebildete örtliche Reynolds-Zahl Ue δ1 /ν ermitteln durch (  ) Ue δ1 U∞ l U e δ1 U∞ l = . ν l ν ν U∞ Die Kurven Ue δ1 /ν in Abhängigkeit von der Bogenlänge x/ l  sind für verschiedene Werte der Reynolds-Zahl U∞ l/ν ebenfalls in Bild 15.23 eingetragen. Die Schnittpunkte dieser letzteren Kurven mit der Stabilitätsgrenze ergeben die Lage des Indifferenzpunktes (x/ l)ind für die betreffende Reynolds-Zahl1 . In gleicher Weise läßt sich die Lage des Indifferenzpunktes auch für ein Tragflügelprofil ermitteln, wobei außer der Änderung mit der Reynolds-Zahl insbesondere die Abhängigkeit vom Anstellwinkel wichtig ist. In Bild 15.24 ist das Ergebnis für ein symmetrisches Joukowsky-Profil für verschiedene Anstellwinkel bzw. Auftriebsbeiwerte dargestellt. Mit wachsendem Anstellwinkel prägt sieh auf der Saugseite das 1 Wählt man in Bild l5.23 für die Ordinate einen logarithmischen Maßstab, so gehen die (Ue δ1 /ν)-Kurven für verschiedene U∞ l/ν durch Verschiebung parallel zur Ordinatenachse

ineinander über, was für die zeichnerische Ermittlung besonders bequem ist.

15.2 Grundlagen der Stabilitätstheorie

451

Bild 15.25. Lage des Indifferenzpunktes und des Punktes abgeschlossener Transition in Abhängigkeit vom Auftriebsbeiwert und der Reynolds-Zahl theoretischer Indifferenzpunkt, Profil J 0015 ----gemessener Punkt abgeschlossener Transition, Profil NACA 0018 S: Staupunkt M: Druckminimum A: laminarer Ablösungspunkt

Druckminimum immer stärker aus und wandert dabei nach vorn, während es auf der Druckseite sich mehr und mehr abflacht und nach hinten wandert. Dieses hat zur Folge, daß auch der Indifferenzpunkt mit wachsendem Anstellwinkel auf der Saugseite nach vorn und auf der Druckseite nach hinten wandert. Dabei liegen infolge des steilen Druckminimums auf der Saugseite die Indifferenzpunkte für alle ReynoldsZahlen nahe am Druckminimum zusammen, während sie auf der Druckseite, wo das Druckminimum flach ist, weiter auseinander liegen. Man erkennt aus Bild 15.24 deutlich die beherrschende Rolle der Druckverteilung für die Lage des Indifferenzpunktes. Auch bei sehr großen Reynolds-Zahlen rückt der Indifferenzpunkt (und damit auch der Übergangsbereich) kaum vor das Druckminimum, während hinter dem Druckminimum meist sofort Instabilität und damit auch der Übergang eintritt. In Bild 15.25 ist die experimentell ermittelte Lage des Ortes abgeschlossener Transition für ein NACA-Profil eingetragen, das nahezu die gleiche Druckverteilung besitzt wie das Joukowsky-Profil. Man sieht, daß erstens bei allen Reynolds-Zahlen und Auftriebsbeiwerten der Übergang hinter dem Indifferenzpunkt, aber vor dem laminaren Ablösungspunkt liegt, entsprechend der theoretischen Erwartung, und daß zweitens der Gang des Ortes abgeschlossener Transition mit der Reynolds-Zahl und dem Auftriebsbeiwert ebenso verläuft wie beim Indifferenzpunkt. Ergebnisse von weiteren systematischen Berechnungen des Indifferenzpunktes für Tragflügelprofile verschiedener Dicke und Wölbung findet man in einem Bericht von K. Bussmann; A. Ulrich (1943). Für rohe Überschlagsrechnungen kann man hieraus die Regel entnehmen, daß für Reynolds-Zahlen zwischen 106 und 107 der Ort abgeschlossener Transition ungefähr mit der Stelle des Druckminimums zusammenfällt. Aber bei sehr großen Reynolds-

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15 Einsetzen der Turbulenz (Stabilitätstheorie)

Zahlen kann der Ort abgeschlossener Transition doch u. U. etwas vor dieser Stelle und bei kleinen Reynolds-Zahlen erheblich dahinter liegen, besonders wenn der Druckabfall bzw. Druckanstieg nur schwach ist. Andererseits liegt bei allen Reynolds-Zahlen der Ort abgeschlossener Transition vor dem laminaren Ablösungspunkt. Damit ergibt sieh, ausgenommen die ganz großen Reynolds-Zahlen, für die Lage des Ortes abgeschlossener Transition die Eingrenzung, daß er hinter dem Druckminimum und vor dem laminaren Ablösungspunkt liegt. Um wie viel der Ort abgeschlossener Transition hinter dem Indifferenzpunkt liegt, hängt von dem Turbulenzgrad der Außenströmung und der Größe der Anfachung der instabilen Störungen ab, die ihrerseits wieder vom Druckgradienten maßgeblich beeinflußt werden. Eine bemerkenswert einfache Beziehung zwischen der Größe der Anfachung und dem Abstand des theoretisch ermittelten Indifferenzpunktes von dem experimentell ermittelten Ort abgeschlossener Transition ist rein empirisch von R. Michel (1951) gefunden worden (vgl. den Schluß dieses Kapitels). Diese konnte von A.M.O. Smith (1957) auf Grund der Stabilitätstheorie bestätigt werden. Jede instabile Störung, die in der Grenzschicht stromabwärts wandert, erfährt nach Eintritt in den Instabilitätsbereich von Bild 15.21 eine Anfachung, die proportional zu eβi ·t ist oder, wenn βi noch zeitabhängig ist, proportional zu 

e

βi dt

,

(15.29)

wobei das Integral über diejenigen instabilen Störungen zu nehmen ist, welche die Strömung nach dem Eintritt in den Instabilitätsbereich durchläuft. A.M.O. Smith (1957) hat für eine große Zahl von Tragflügelprofilen und Rotationskörpern, für welche Transitionsmessungen vorliegen, den Anfachungsfaktor nach Gl. (15.29) für die Laufstrecke vom theoretischen Indifferenzpunkt bis zum experimentellen Ort abgeschlossener Transition ermittelt. Das Ergebnis ist in Bild 15.26 dargestellt. Die Auswertung der sehr verschiedenartigen Messungen, die sich sämtlich auf einen sehr geringen Turbulenzgrad der Außenströmung und auf sehr glatte Wand beziehen, ergibt, daß der Anfachungsfaktor der instabilen Störungen auf der Laufstrecke durch das gesamte Transitionsgebiet den Wert 

e

βi dt

= e9 = 8103

(15.30)

erreicht. Dieser Befund ist auch durch J.L. Van Ingen (1956) bestätigt worden; vgl. auch eine Arbeit von R. Michel (1952). Später konnte dieser Befund durch die Auswertung einer noch größeren Anzahl von Messungen erneut bestätigt werden, wobei der Anfachungsfaktor etwa e10 = 22026 war, vgl. N.A. Jaffe et al. (1970). Die Länge des Transitionsgebietes kann auch für Grenzschichten mit Druckgradient durch die Differenz der mit der Impulsverlustdicke gebildeten ReynoldsZahlen am Ort abgeschlossener Transition bzw. im Indifferenzpunkt, also durch (U δ2 /ν)krit − (U δ2 /ν)ind , charakterisiert werden. In Bild 15.27 ist nach P.S. Granville (1953) diese Größe in Abhängigkeit von dem mittleren Pohlhausen-Parameter

15.2 Grundlagen der Stabilitätstheorie

453



Bild 15.26. Ermittlung des Anfachungsfaktors exp( βi dt) instabiler Störungen auf dem

Wege vorn theoretischen Indifferenzpunkt bis zum Punkt abgeschlossener Transition, nach A.M.O. Smith (1957)

κ dargestellt. Dabei ist 1 κ= xkrit − xind

xkrit

δ22 dUe x dx. ν

(15.31)

xind

Die herangezogenen Messungen beziehen sich sämtlich auf sehr geringe Turbulenzgrade (Flugmessungen und Messungen in turbulenzarmen Windkanälen). Bild 15.27 zeigt, daß sich die Ergebnisse verschiedener Experimentatoren in befriedigender Weise auf einer Kurve anordnen. Dabei ist für Druckabfall (κ > 0) die Differenz (Ue δ2 /ν)krit −(Ue δ2 /ν)ind erheblich größer als für Druckanstieg (κ < 0). Für Gleichdruck (κ = 0) beträgt der Wert von Re2 krit − Re2 ind etwa 800, und er stimmt gut mit demjenigen für die Plattengrenzschicht bei sehr geringem Turbulenzgrad überein. Man vergleiche hierzu auch E.R. Van Driest; C.B. Blumer (1963). Laminarprofile. Die Stabilitätsrechnungen nach Bild 15.27 zeigen in sehr ein-

drucksvoller Weise den überragenden Einfluß des Druckgradienten auf die Stabilität und den laminar–turbulenten Übergang in völliger Übereinstimmung mit Messungen. Auf diese Tatsache gründet sich die Konstruktion der Laminarprofile. Bei diesen wird eine möglichst große laminare Laufstrecke der Grenzschicht und damit geringer Profilwiderstand durch eine Kontur mit großer Rücklage der größten Dicke erreicht, da hierbei dann das Druckminimum ebenfalls weit hinten liegt. Allerdings kann diese große Rücklage des Druckminimums immer nur für einen gewissen kleinen Anstellwinkelbereich erreicht werden.

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15 Einsetzen der Turbulenz (Stabilitätstheorie)

Bild 15.27. Messungen des Ortes abgeschlossener Transition in Grenzschichten mit Druckgradient, nach P.S. Granville (1953). Differenz der Reynolds-Zahlen des Ortes abgeschlossener Transition Re2 krit = (Ue δ2 /ν)krit und des Indifferenzpunktes Re2 ind = (Ue δ2 /ν)ind in Abhängigkeit vom mittleren Druckgradienten κ nach Gl. (15.31) κ > 0 beschleunigte Strömung, κ < 0 verzögerte Strömung  Ebene Platte, nach G.B. Schubauer; H.K. Skramstad (1943) ⊗ Profil NACA 0012, nach A.E. von Doenhoff (1940) • Saugseite Profil NACA 65(215) − 114, nach A.L. Braslow; F. Visconti (1948) ⊕ Druckseite Profil NACA 65(215) − 114, nach A.L. Braslow; F. Visconti (1948) 2 Profil 8% dick, nach B.M. Jones (1938)  Laminarprofil 14.7% dick, nach J.A. Zalovcik; R.B. Skoog (1945) Die Kreissymbole bezeichnen Messungen in turbulenzarmen Windkanälen, die anderen Symbole Flugmessungen

Messungen an Laminarprofilen sind während des Zweiten Weltkrieges besonders in USA, vgl. J.H. Abbott et al. (1945), in sehr großem Umfang ausgeführt worden, nachdem H. Doetsch (1940) die ersten Meßergebnisse schon 1939 veröffentlicht hatte und schon vorher B.M. Jones (1938) in Flugmessungen auffällig große laminare Laufstrecken festgestellt hatte. Laminarprofile finden heute eine bedeutende Anwendung im Segelflugzeugbau. Grundlegende Untersuchungen von Segelflugprofilen sind von R. Eppler (1969) und F.X. Wortmann durchgeführt worden; letztere wurden als FX-Profile in D. Althaus (1981) zusammenfassend dargestellt. Eine Zusammenstellung von Widerstandsbeiwerten von Laminarprofilen zeigt Bild 15.28. Die Widerstandsersparnisse durch den “Laminareffekt“ betragen im Reynolds-ZahlBereich Re = 2 · 106 bis 3 · 107 etwa 30 bis 50% des Widerstandes normaler Profile. Für sehr große Reynolds-Zahlen, etwa Re > 5 · 107 , geht der Laminareffekt je-

15.2 Grundlagen der Stabilitätstheorie

455

Bild 15.28. Widerstandsbeiwerte von Laminarprofilen und “normalen“ Profilen nach H. Schlichting (1982), S. 511 (I), (II), (III): Widerstandsbeiwerte der ebenen Platte (I): laminar, (II): vollturbulent, (III): Übergang laminar–turbulent

doch wieder verloren, da hier der Übergang am Profil plötzlich nach vorn rückt, was allerdings durch die Stabilitätstheorie erklärt werden kann. Neuere Untersuchungen u.a. von W. Pfenninger (1965) sowie H. K¨orner (1990), G. Redeker et al. (1988, 1990), K.H. Horstmann et al. (1990) haben gezeigt, daß ein transsonischer Laminarflügel für Verkehrsflugzeuge unter bestimmten Voraussetzungen realisierbar ist. Die starken Querdruckgradienten im Vorderkantenbereich eines gepfeilten transsonischen Tragflügels führen zu stark verwundenen Geschwindigkeitsprofilen in der Grenzschicht (siehe Bild 15.50). Dabei kann bei Überschreiten eines kritischen Pfeilwinkels die Komponente des Geschwindigkeitsprofils normal zur Hauptströmungsrichtung instabil werden und zu sogenannten Querströmungsinstabilitäten führen (siehe Abschnitt 15.3.5). Diese setzen im vorderen Bereich des Flügels ein und verursachen bei stark gepfeilten Tragflügeln den laminar–turbulenten Übergang. Empirische Methode. Aus zahlreichen Messungen an Tragflügelprofilen wurde festgestellt, daß am Ort abgeschlossener Transition (Koordinate xkrit ) zwischen den Größen Re2 = Ue δ2 /ν und Rex = Ue x/ν ein fester Zusammenhang besteht. Nach R. Michel (siehe T. Cebeci; P. Bradshaw (1984), S. 189) lautet er:
 22 400 (Re2 )krit = 1.174 1 + Rex0.46 krit . Rex krit

Wird bei der Berechnung einer laminaren Grenzschicht gleichzeitig abgefragt, oh dieser Zusammenhang erfüllt ist, kann die Lage xkrit des Übergangspunktes ermittelt werden. Als Kriterium findet man auch die einfachere Beziehung Re2 krit = 1.535 Rex0.444 krit . Beide Beziehungen

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15 Einsetzen der Turbulenz (Stabilitätstheorie)

gelten für geringen Turbulenzgrad der Außenströmung (Freiflugbedingungen). Für die ebene Platte (Ue = konst) ergibt sich Rex krit = 2 · 106 bzw. Rex krit = 3 · 106 . Zum laminar–turbulenten Übergang einer abgelösten laminaren Grenzschicht (z.B. bei einer Ablöseblase) sei auf C. Gleyzes et al. (1984) hingewiesen.

15.2.4c Einfluß der Absaugung Bereits in Kap. 11 wurde darauf hingewiesen, daß die Absaugung der laminaren Reibungsschicht ein recht wirksames Mittel ist, um den Reibungswiderstand zu vermindern. Die Wirkung der Absaugung ist in ähnlicher Weise stabilisierend wie der im vorigen Abschnitt besprochene Einfluß des Druckabfalles, und die Widerstandsverminderung wird dabei durch eine Vermeidung des laminar–turbulenten Übergangs erreicht. Im einzelnen ist die Wirkung der Absaugung dabei eine zweifache. Erstens wird durch die Absaugung die Dicke der Grenzschicht verringert, und die dünnere Grenzschicht hat weniger Neigung, in die turbulente Strömungsform überzugehen als die dicke. Zweitens aber wird durch die Absaugung auch ein laminares Geschwindigkeitsprofil erzeugt, welches eine höhere Stabilitätsgrenze (Indifferenz-ReynoldsZahl) besitzt als das Grenzschichtprofil ohne Absaugung. Der theoretischen Behandlung ist der Fall der kontinuierlichen Absaugung zugänglich. Eine Reihe von Lösungen für diesen Fall wurde in Kap. 11 angegeben. Eine wichtige Frage im Zusammenhang mit der Laminarhaltung durch Absaugung ist die nach der erforderlichen Absaugemenge. Durch Steigerung der Absaugemenge kann die Grenzschichtdicke beliebig verkleinert werden und damit die ReynoldsZahl Re1 = Ue δ1 /ν unterhalb der Stabilitätsgrenze gehalten werden. Eine große Absaugemenge ist aber unwirtschaftlich, da dann ein wesentlicher Teil der durch die Widerstandsersparnis erreichten Leistungsersparnis für die Absaugeleistung wieder verbraucht wird. Wichtig ist somit vor allem die Frage nach der Mindestabsaugemenge, die für die Laminarhaltung erforderlich ist. Diese Mindestabsaugemenge gibt aber auch gleichzeitig die größte Widerstandsersparnis, die durch Absaugung erreicht werden kann; denn jede größere Absaugemenge gibt eine dünnere Grenzschicht und damit eine größere Wandschubspannung. Eine besonders einfache Lösung der Grenzschichtgleichungen mit Absaugung ergab sich, wie in Kap. 11 gezeigt wurde, für die längsangeströmte Platte mit homogener Absaugung mit der Absaugegeschwindigkeit −vw 1 . Für diesen Fall ist in einiger Entfernung von der Plattenvorderkante die Geschwindigkeitsverteilung in der Grenzschicht und somit auch die Grenzschichtdicke unabhängig von der Lauflänge. Die Verdrängungsdicke dieses asymptotischen Absaugeprofiles hat nach G1. (11.21) den Wert ν δ1 = . (15.32) −vw Um nun auch für die Grenzschicht mit Absaugung den Übergang theoretisch zu untersuchen, wurde zunächst für dieses Profil, dessen Geschwindigkeitsverteilung gegeben ist durch die Gleichung 1 Es bedeutet v < 0 Absaugung, v > 0 Ausblasen. w w

15.2 Grundlagen der Stabilitätstheorie

457

Bild 15.29. für die Grenzschichtprofile an der längsangeströmten ebenen Platte mit homogener Absaugung, nach K. Bussmann; H. M¨unz (1942). 2 Re Dimensionslose Lauflänge ξ = (−vw /U∞ )2 (U∞ x/ν) = cQ x (A): asymptotisches Absaugeprofil (B): Profil ohne Absaugung (Blasius-Profil)

  vw y u(y) = U∞ 1 − e ν , von K. Bussmann; H. M¨unz (1942) eine Stabilitätsrechnung durchgeführt. Diese liefert als Indifferenz-Reynolds-Zahl den sehr hohen Wert
 U∞ δ 1 = 70 000. (15.33) ν ind Die Indifferenz-Reynolds-Zahl des asymptotischen Absaugeprofiles ist also rund hundertmal größer als diejenige der Plattengrenzschicht ohne Druckgradient und ohne Absaugung. Hiernach ist also die stabilisierende Wirkung der Absaugung sehr beträchtlich. Es ist somit gezeigt, daß nicht nur die Verminderung der Grenzschichtdicke die Laminarhaltung bei Absaugung bewirkt, sondern besonders auch die Heraufsetzung der Stabilitätsgrenze für das Geschwindigkeitsprofil mit Absaugung. Die Indifferenzkurve für das asymptotische Absaugeprofil ist in Bild 15.29 angegeben (ξ = 0). Man erkennt, daß nicht nur die Stabilitätsgrenze gegenüber dem Fall ohne Absaugung beträchtlich erhöht ist, sondern daß auch der von der Indifferenzkurve umschlossene Bereich der instabilen Störungswellenlängen gegenüber der Grenzschicht ohne Absaugung sehr stark zusammengeschrumpft ist. Das hiermit erhaltene Ergebnis kann benutzt werden, um die oben gestellte wichtige Frage nach der zur Laminarhaltung erforderlichen Absaugemenge zu beantworten. Unter der vereinfachenden Annahme, daß an der mit homogener Absaugung versehenen Platte das asymptotische Absaugeprofil schon von der Plattenvorderkante an vorhanden ist, ergibt sich eine längs der ganzen Plattenlänge stabile Grenzschicht, falls die mit der Verdrängungsdicke gebildete Reynolds-Zahl überall unterhalb der

458

15 Einsetzen der Turbulenz (Stabilitätstheorie)

Bild 15.30. Indifferenz-Reynolds-Zahl von laminaren Grenzschichten mit Absaugung und mit Druckgradient in Abhängigkeit vom Formparameter H12 = δ1 /δ2

durch Gl. (15.33) gegebenen Stabilitätsgrenze bleibt, somit
 U ∞ δ1 U∞ δ1 < = 70 000, stabil : ν ν ind und wenn man für δ1 den Wert des asymptotischen Profiles nach Gl. (15.32) einsetzt, stabil :

1 (−vw ) . = cQ > U∞ 70 000

(15.34)

Hiernach wäre also Stabilität vorhanden, falls der Mengenbeiwert der Absaugung cQ größer ist als der sehr kleine Wert von 1/70 000 = 1.4 · 10−5 . Hierzu ist jedoch zu sagen, daß aus einer genaueren Rechnung sich voraussichtlich für die Laminarhaltung ein größerer Mengenbeiwert als dieser ergeben wird. Dies rührt daher, daß das asymptotische Absaugeprofil, das hier zugrundegelegt wurde, erst in einem gewissen Abstand von der Plattenvorderkante erreicht wird. Weiter vorn sind andere Geschwindigkeitsprofile vorhanden, und zwar geht das Geschwindigkeitsprofil von dem nahe an der Vorderkante vorhandenen Blasius-Profil ohne Absaugung allmählich in das asymptotische Absaugeprofil über. Die Geschwindigkeitsprofile des „Anlaufes„ haben eine niedrigere Stabilitätsgrenze als das asymptotische Absaugeprofil, und daraus folgt dann auch für die Laminarhaltung über den ganzen Anlaufbereich eine größere Absaugemenge als nach Gl. (15.34). Die von der Theorie vorausgesagten beträchtlichen Widerstandsersparnisse bei Laminarhaltung durch Absaugung sind durch Messungen im Windkanal und durch Flugversuche im wesentlichen bestätigt worden, vgl. M.R. Head (1955), B.M. Jones; M.R. Head (1951) und J.M. Kay (1948). Der Einfluß der Absaugung auf die Stabilitätsgrenze läßt sich zusammen mit demjenigen des Druckgradienten darstellen, wenn man nach Bild 15.30 die Indifferenz-Reynolds-Zahl in Abhängigkeit von dem Formparameter H12 = δ1 /δ2 des Geschwindigkeitsprofiles angibt. Die Indifferenz-Reynolds-Zahlen für die

15.2 Grundlagen der Stabilitätstheorie

459

Grenzschichtprofile der längsangeströmten ebenen Platte mit homogener Absau√ gung (Iglisch-Profile), diejenigen für die Platte mit der Absaugung vw ∼ 1/ x (Bussmann-Profile) sowie auch diejenigen ohne Absaugung, aber mit Druckgradient (Hartree-Profile) fallen gut in einen Kurvenzug zusammen. Für das asymptotische Absaugeprofil ist H12 = 2 und für die Platte ohne Absaugung H12 = 2.59. Den stabilisierenden Einfluß der Absaugung auf das Amplitudenwachstum der Tollmien-Schlichting-Wellen unter verschiedenen Absaugebedingungen haben G.A. Reynolds; W.S. Saric (1986) und W.S. Saric; H.L. Reed (1986) experimentell untersucht. 15.2.4d Einfluß des Wärmeüberganges Wie die nachstehend erörterten theoretischen und experimentellen Ergebnisse zeigen, wirkt bei Gasströmungen ein Wärmeübergang von der Grenzschicht in die Wand (Kühlung) stabilisierend, d.h. ergibt eine Erhöhung der Indifferenz-Reynolds-Zahl, während eine Wärmezufuhr von der Wand in die Grenzschicht (Heizung) instabilisierend wirkt und somit eine Erniedrigung der Indifferenz-Reynolds-Zahl ergibt. Die wesentlichen Züge des Einflusses des Wärmeüberganges von der Wand in das strömende Medium auf die Stabilität der laminaren Grenzschicht lassen sich bereits für den Fall der inkompressiblen Strömung erkennen. Schon sehr frühzeitig sind von W. Linke (1942) einige experimentelle Untersuchungen über den Einfluß des Wärmeüberganges auf den Übergang laminar-turbulent ausgeführt worden. Aus Messungen des Reibungswiderstandes an einer vertikal stehenden und horizontal angeströmten heißen ebenen Platte ergab sich im Bereich der Reynolds-Zahlen ReL = 105 bis 106 infolge der Erwärmung eine beträchtliche Zunahme des Reibungswiderstandes. Hieraus wurde von W. Linke mit Recht geschlossen, daß die Erwärmung der Platte die kritische Reynolds-Zahl herabsetzt und infolgedessen in dem angegebenen Bereich von Reynolds-Zahlen, der ja den Übergangsbereich von laminar zu turbulent darstellt, eine merkliche Zunahme des Reibungswiderstandes zur Folge hat. Mit Hilfe des Wendepunktkriteriums, das im Abschnitt 15.2.3 besprochen wurde, läßt sich einsehen, daß bei inkompressibler Strömung und Tw  = T∞ der Wärmeübergang an der Wand die Stabilitätsgrenze erniedrigt oder erhöht. Der stabilisierende bzw. instabilisierende Einfluß des Wärmeübergangs an der Wand rührt im wesentlichen von der Abhängigkeit der Viskosität µ von der Temperatur T her. Unter Berücksichtigung der Temperaturabhängigkeit der Viskosität ergibt sich bei der längsangeströmten ebenen Platte für die Krümmung des Geschwindigkeitsprofils an der Wand, vgl. Gl. (10.5),
2 

 d U dU 1 dµ = − . (15.35) dy 2 w µw dy w dy w Ist nun die Wand wärmer als das Gas außerhalb der Grenzschicht, Tw > T∞ , so ist der Temperaturgradient an der Wand negativ, (∂T /∂y)w < 0, und weil die Viskosität mit wachsender Temperatur bei Gasen wächst, ist auch dµ/dy < 0. Da der Geschwindigkeitsgradient an der Wand positiv ist, folgt hiermit aus Gl. (15.35):

460

15 Einsetzen der Turbulenz (Stabilitätstheorie)


Tw > T∞ :

d 2U dy 2

 > 0.

(15.36)

w

Bei heißer Wand ist also die Krümmung des Geschwindigkeitsprofils an der Wand positiv. Weiter folgt dann sofort, daß für die heiße Wand innerhalb der Grenzschicht eine Stelle mit verschwindender Krümmung (Wendepunkt) vorhanden ist, wo d 2 U/dy 2 = 0 ist, denn die Krümmung ist bei y → ∞ zwar verschwindend klein, aber negativ. Bei Wärmeübergang von der Wand auf die Strömung ist die Grenzschicht damit nach dem Wendepunktkriterium instabil. Die Wärmezufuhr von der Wand in das vorbeiströmende Gas wirkt also für die Grenzschicht in gleicher Weise instabilisierend wie ein Druckanstieg in Strömungsrichtung, während der Wärmeentzug aus der Grenzschicht stabilisierend wirkt wie ein Druckabfall (vgl. Bild 7.1). Eine numerische Berechnung von T. Cebeci; A.M.O. Smith (1968) für Luft bestätigt die Abnahme der Indifferenz-Reynolds-Zahl für das Einsetzen der Instabilität bei einer heißen Platte, und eine ähnliche Abnahme der Übergangs-Reynolds-Zahl wurde bei den Versuchen von H.W. Liepmann; G.H. Fila (1947) an einer vertikal stehenden längsangeströmten ebenen Platte beobachtet. Da die Viskosität von Flüssigkeiten abnimmt, wenn die Temperatur erhöht wird, sollten die Wirkungen von Heizen und Kühlen gemäß Gl. (15.35) umgekehrt werden. Eine Untersuchung von A.R. Wazzan et al. ( 1968, 1970a, 1970b) mit Wasser bestätigte diese Erwartung. Die Indifferenz-Reynolds-Zahl für das Einsetzen von Instabilität ist in Bild 15.31 für Wände mit verschiedenen Temperaturen zusammen mit der maximalen Anfachungsgröße √ (βi δ1 /U∞ )max und dem Verhältnis der dimensionslosen Verdrängungsdicke δ1 / U∞ /xν∞ zum Wert von 1,721 der ungeheizten Wand dargestellt. Es besteht eine starke stabilisierende Wirkung, wenn die Wandtemperatur von ihrem anfänglichen Wert von 15.6◦ C bis auf 60◦ C erhöht wird, aber weiteres Heizen wirkt dann destabilisierend. Obgleich die dimensionslose Anfachungsgröße für Tw > 60◦ C konstant ist, wächst der dimensionsbehaftete Wert (βi )max umgekehrt proportional zu δ1 . Die Ergebnisse für eine kühle Wand zeigen die bei Flüssigkeiten erwartete destabilisierende Wirkung. Bei der Theorie von A.R. Wazzan kommt der Einfluß des Wärmeübergangs, anders als beim gemittelten Geschwindigkeitsprofil, nur über die Temperaturabhängigkeit der Viskosität zur Wirkung. Eine vollständige Theorie von R.L. Lowell; E. Reshotko (1974) berücksichtigte die Temperatur- und Dichteschwankungen, führte aber zu fast identischen Rechnungsergebnissen. Ein von A. Strazisar at al. (1977) ausgeführter Versuch über die Stabilität bestätigte die vorausgesagte Verschiebung der kritischen Reynolds-Zahl infolge einer geringen Heizung. Werden nur mäßige Temperaturdifferenzen Tw − T∞ betrachtet läßt sich nach H. Herwig; P. Sch¨afer (1992) für die Indifferenz-Reynolds-Zahl folgende für alle Fluide geltende Beziehung angeben:  Reind = (Reind )∞

T w − T∞ 1+ T∞




dµ T dT µ

 ∞

 Aµ (Pr ∞ ) .

15.2 Grundlagen der Stabilitätstheorie

461

Bild 15.31. Einfluß der Wandtemperatur auf die Instabilität und die Verdrängungsdicke der Grenzschicht an einer ebenen Platte im Wasser, nach A.R. Wazzan et al. ( 1970a) Tw = Wandtemperatur T∞ = Wandtemperatur Temperatur der Außenströmung

Die stets negative Funktion Aµ (Pr ∞ ) hängt von der betrachteten Strömung ab. Für die längsangeströmte ebene Platte mit Tw = konst gilt Aµ (Pr ∞ = 8.1) = −1.2. Von P. Sch¨afer et al. (1994) wurde die entsprechende Formel für qw = konst und auch für von der Temperatur abhängige Dichte (T ) angegeben. 15.2.4e Einfluß der Kompressibilität Von den zahlreichen Übergangserscheinungen, denen man bei Über- und Hyperschallgrenzschichten begegnet, wollen wir uns auf die Wirkungen der Mach-Zahl und des Wärmeübergangs an Grenzschichten bei konstantem Druck, die sich an ebenen Platten oder an Kegeln ohne Anstellwinkel ausbilden, konzentrieren. Wir werden zunächst eine Zusammenfassung der wichtigsten Ergebnisse, die mit der Methode kleiner Störungen erhalten wurden, geben und dann zeigen, wie die Theorie einige experimentelle Beobachtungen erklären kann. Viele der wiedergegebenen theoretischen Ergebnisse sind einer ausführlichen Untersuchung der Stabilitätstheorie für kompressible Strömungen von L.M. Mack (1969) entnommen worden. Eine umfassende Übersicht findet sich auch bei L.M. Mack (1984). Die Stabilität der laminaren Grenzschichten bei kompressibler Strömung ist zuerst von D. K¨uchemann (1938) untersucht worden, wobei der Einfluß der Viskosität auf die Störungsbewegung vernachlässigt wurde. Der Temperaturgradient und die Krümmung des Geschwindigkeitsprofils wurde zuerst in der reibungsfreien Untersuchung von L. Lees; C.C. Lin (1946) berücksichtigt. Diese Autoren teilten die Störungen, die von gleicher periodischer Form wie in Gl. (15.10) angenommen wurden, in drei Kategorien ein, die sie Unterschall-, Schall- und Überschallstörung nannten, je

462

15 Einsetzen der Turbulenz (Stabilitätstheorie)

Bild 15.32. Einfluß der Mach-Zahl auf die Phasengeschwindigkeit zweidimensionaler neutraler Störungen und auf die Verdrängungsdicke an wärmeundurchlässigen (adiabaten) ebenen Platten. Außerhalb des schraffierten Bereiches der Unterschallstörungen befinden sich die Überschallstörungen. Die Begrenzungen |1−(cr /U∞ )| = 1/Ma∞ bezeichnen die sonischen Störungen

nachdem, ob die Relativgeschwindigkeit zwischen der Außenströmung U∞ und der Phasengeschwindigkeit cr kleiner, gleich oder größer als die Schallgeschwindigkeit a∞ ist. Insbesondere bewiesen L. Lees; CC. Lin (1946), daß 
 d dU =0 (15.37)  dy dy ys eine hinreichende Bedingung für die Existenz einer instabilen Unterschallstörung ist, vorausgesetzt, daß U (ys ) > U∞ − a∞ gilt. Dieser Satz ist die Erweiterung von Satz I des Abschnitts 15.2.3 auf kompressible Strömungen, und ys ist das kompressible Gegenstück zum Wandabstand des Wendepunktes in inkompressibler Strömung, das bequemerweise als Wandabstand eines „verallgemeinerten„ Wendepunktes bezeichnet werden kann. Mit dem verallgemeinerten Wendepunkt gibt es eine neutrale Unterschallstörung mit cr = cs = U (ys ) und auch eine neutrale sonische stromab laufende Störung, wenn Ma ∞ > 1 ist, mit der Phasengeschwindigkeit cr = c0 = U∞ − a∞ und α = 0. Neutrale Überschallstörungen sind bei gewissen Strömungen möglich, aber für ihre Existenz sind keine allgemeinen Bedingungen angegeben worden. Bild 15.32 zeigt die dimensionslosen Phasengeschwindigkeiten cs /U∞ und c0 /U∞ der neutralen Unterschallstörung und der sonischen Störung als Funktion von Ma∞ für eine Familie adiabatischer Grenzschichten an der ebenen Platte. Die Grenzschichtprofile der Grundströmung, die bei der Berechnung von cs benutzt wurden und die durchgehend in diesem Abschnitt benutzt werden, sind exakte numerische Lösungen der kompressiblen laminaren Grenzschichtgleichungen für Luft, wobei die Viskosität und die PrandtlZahl Funktionen der Temperatur sind, bei einer Stautemperatur der Anströmung von T0 = 311 K mit Ma∞ = 5.1, wobei T∞ = 50 K ist. Bei höheren MachZahlen bleibt T∞ bei 50 K. Diese Temperaturbedingungen sind charakteristisch für Überschall- und Hyperschall-Windkanäle. Da in Bild 15.32 cs > c0 > 0 ist, erfüllen alle Grenzschichten dieser Familie die Bedingungen des erweiterten Satzes und

15.2 Grundlagen der Stabilitätstheorie

463

sind bei reibungsfreien Störungen instabil. Die Verschiebung des verallgemeinerten Wendepunktes nach größeren y/δ mit zunehmendem Ma∞ ist ähnlich der Verschiebung des Wendepunktes mit zunehmendem Druckgradienten in inkompressibler √ Strömung. Bild 15.32 gibt auch die dimensionslose Verdrängungsdicke δ1 U∞ /x ν in Abhängigkeit von Ma∞ für die Familie adiabater Grenzschichten wieder. L. Lees; C.C. Lin konnten beweisen, daß es wie bei inkompressibler Strömung eine einzige Wellenzahl der neutralen Unterschallstörung gibt, vorausgesetzt, daß die Grundströmung relativ zur Phasengeschwindigkeit überall unter der Schallgeschwindigkeit * = (U − cr )/a die * 2 < 1 durch die ganze Grenzschicht, wobei Ma bleibt, d.h. Ma örtliche relative Mach-Zahl ist. Obgleich der Beweis, daß Gl. (15.37) eine hinreichende Bedingung für die Instabilität ist, der gleichen Einschränkung unterliegt, folgt aus umfassenden numerischen Berechnungen, daß Gl. (15.37) offensichtlich auch * 2 > 1. Hingegen zeigte L.M. Mack dann eine hinreichende Bedingung ist, wenn Ma (1965) mittels numerischer Berechnungen, daß es eine unendliche Anzahl von neutralen Wellenzahlen oder Partialwellen mit gleicher Phasengeschwindigkeit cs gibt, * 2 > 1 auftritt. wenn in der Grenzschicht ein Gebiet mit Ma Diese vielfachen Partialwellen sind eine Folge der Änderung der zuständigen Dif*2 < 1 ferentialgleichungen. etwa für die Druckwellen, vom elliptischen Typ bei Ma 2 * > 1. Die Grundstörung ist die gleiche wie zum hyperbolischen Typ für Ma bei inkompressibler Strömung und wurde für inkompressible Strömung erstmals von L. Lees; E. Reshotko (1962) berechnet. Wie aus Bild 15.33 hervorgeht, können bei höheren α-Werten weitere Instabilitätsgebiete entstehen. Diese weiteren Instabilitäten, auch zweite Partialstörungen oder Mack-Moden genannt, haben kein in* 2 in der adiabaten Plattengrenzkompressibles Gegenstück. Mit cr = cs erreicht Ma schicht erstmals den Wert 1 bei Ma ∞ = 2.2, und die obere Grenze des Gebietes der Überschall-Relativströmung liegt bei y/δ = 0,16 bzw. 0,43 und 0,59 für Ma∞ = 3 bzw. 5 und 10. Die vielfachen neutralen Störungen mit der Phasengeschwindigkeit cs sind nicht * 2 > 1. Es gibt auch vielfache neutrale Störungen mit die einzig möglichen, wenn Ma U∞ ≤ cr ≤ U∞ +a∞ . Diese Störungen hängen nicht davon ab, daß die Grenzschicht einen verallgemeinerten Wendepunkt hat. Außerdem gibt es immer benachbarte angefachte Störungen vom gleichen Typus mit Phasengeschwindigkeiten cr < U∞ . Folglich ist die kompressible Grenzschicht gegenüber reibungsfreien Störungen instabil ohne Rücksicht auf irgendwelche Eigenschaften der Geschwindigkeits- und * 2 > 1 vorliegt. Temperaturprofile, solange ein Gebiet Ma Bild 15.33 zeigt qualitativ das Auftreten der durch den Kompressibilitätseffekt hervorgerufenen zweiten Instabilität. Wie es die Theorie von L.M. Mack (1969) voraussagt, verschmelzen die Instabilitätsgebiete der Grundstörung mit der zweiten Instabilität bei wachsender Mach-Zahl. Bemerkenswert ist, daß eine Störung mit gegebener Frequenz aus dem Bereich der zweiten Instabilitäten ohne Wechselwirkung mit der Grundstörung angefacht werden kann. Im Gegensatz zum inkompressiblen Fall sind für Überschall-Mach-Zahlen schräglaufende, also dreidimensionale Grundstörungen instabiler als die in der

464

15 Einsetzen der Turbulenz (Stabilitätstheorie)

Bild 15.33. Stabilitätsdiagramme für Grenzschichten an ebenen wärmeundurchlässigen Platten für verschiedene Mach-Zahlen bei zweidimensionalen Störungen. Qualitative Darstellung der Ergebnisse von L.M. Mack (1969), nach E. Reshotko (1976)

15.2 Grundlagen der Stabilitätstheorie

465

Bild 15.34. Einfluß der Mach-Zahl auf den Anfachungsfaktor der ersten und zweiten Partialstörungen gemäß der viskosen Theorie für Grenzschichten an ebenen wärmeundurchlässigen Platten. nach L.M. Mack (1969) Rex = U∞ x/ν∞ = 2.25 · 106 ψmax = Wellenwinkel größter Instabilität

Stromab-Richtung laufenden zweidimensionalen Störungen. Hier muß also eine allgemeinere Form der Störung als bisher betrachtet werden: u(y) exp [i(α1 x + α2 z − βt)] . u (x,y,z,t) = 

(15.38)

Gleichung (15.38) stellt eine schräglaufende Wellenstörung dar, deren Wellennormale um den Winkel
 α2 . ψ = arctan α1 gegen die x-Richtung geneigt ist. Die nur für kompressible Strömungen existierenden Mack-Moden hingegen sind entsprechend Bild 15.34 immer als zweidimensionale Störungen am stärksten angefacht. Theoretische Untersuchungen von N.M. El-Hady; A.H. Nayfeh (1980), N.M. ElHady (1991) und F.P. Bertolotti (1991) zeigen, daß die Parallelströmungsannahme auf die Anfachung der oben besprochenen schräglaufenden Moden erheblich stärkeren Einfluß als auf die zweidimensionalen Moden hat. Wenn die Mach-Zahl zunimmt, kann man bei der ebenen, wärmeisolierten Platte drei Mach-Zahl-Bereiche mit verschiedenen Instabilitätsmerkmalen unterscheiden. In Bild 15.34 ist das Verhältnis (βi )max /(βi )max , ink als Funktion von Ma∞ , für zweidimensionale zweite Partialstörungen bei Rex = U∞ x/ν∞ = 2.25·106 aufgetragen, wobei (βi )max , ink = 0.00432 U∞ /δ1 der Anfachungsfaktor für inkompressible Strömung bei gleicher Reynolds-Zahl ist. Im ersten Gebiet bis zu ungefähr Ma ∞ ≈ 3.8, vgl. Bild 15.33, sind nur Grundstörungen von Bedeutung. Der maximaleAnfachungsfaktor zweidimensionaler Störungen nimmt stark ab, aber für Ma ∞ > 1 sind dreidimensionale Störungen am meisten instabil. Bei Ma∞ ≈ 3.8 entsteht die instabile Mack-Mode und destabilisiert für 3.8 ≤ Ma∞ ≤ 5.0 so stark, daß sie über alle Grundstörungen dominiert. Der dritte Bereich oberhalb Ma∞ ≈ 5 ist schließlich dadurch gekennzeichnet, daß eine Mach-Zahl-Erhöhung alle Instabilitäten schwächt. Die Grenzen der drei Mach-Zahl-Bereiche hängen von der Reynolds-Zahl ab. Die Mack-Mode tritt jedoch für die adiabate Plattengrenzschicht niemals unterhalb von Ma∞ = 2,2 auf.

466

15 Einsetzen der Turbulenz (Stabilitätstheorie)

Für den Fall mit Wärmeübergang ergibt sich auch bei kompressibler Strömung (Gasströmung) ein sehr starker Einfluß des Wärmeüberganges zwischen der Wand und dem strömenden Medium auf die Stabilität. Einige Ergebnisse hierüber sind in Bild 15.35a ebenfalls für die Plattengrenzschicht bei einer mäßig großen Mach-Zahl (Ma∞ = 0,7) dargestellt. Die Indifferenzkurven für verschiedene Werte des Verhältnisses von Wandtemperatur zu Außentemperatur Tw /T∞ zeigen, daß bei dieser Mach-Zahl ein Wärmeentzug aus der Grenzschicht, Tw < T∞ , die Stabilitätsgrenze stark erhöht, während eine Wärmezufuhr in die Grenzschicht, Tw > T∞ , die Stabilitätsgrenze bezüglich zweidimensionaler Störungen stark erniedrigt. Völlig andere Verhältnisse ergeben sich nach Bild 15.35b für hohe Mach-Zahlen, bei denen eine Kühlung keine Stabilisierung (der zweiten Moden) bewirkt, vgl. L.M. Mack (1969). Für inkompressible Strömungen von Gasen haben wir bereits den destabilisierenden Einfluß einer Heizung (Tw > T∞ ) und den stabilisierenden Einfluß einer Kühlung (Tw < T∞ ) behandelt, vgl. Abschnitt 15.2.4d. Die kompressible Grundströmung verhält sich im Vergleich zur inkompressiblen Instabilität ähnlich. Das Stabilitätsverhalten ändert sich dabei infolge des durch Wärmeübergang stark beeinflußbaren Wendepunktes des Grundprofils. Im Gegensatz zur Grundstörung werden die Mack-Moden durch Kühlung (Tw < Tad ) nicht stabilisiert. Deren Anfachung * 2 = (U − cr )2 /a 2 > 1 beeinflußt. Es wird durch die Ausdehnung des Gebiets mit Ma ist leicht zu erkennen, daß eine Kühlung die lokale Schallgeschwindigkeit a herab* vergrößert. Die Beeinflussung der Mack-Moden durch Kühlung setzt und damit Ma mit Absaugung ist von M.R. Malik; A.A. Godil (1990) diskutiert worden. 15.2.4f Einfluß der Wandrauheit Vorbemerkung. Die in diesem Abschnitt zu behandelnde Frage, in welcher Weise

der laminar–turbulente Übergang von der Rauheit der Wand beeinflußt wird, ist von erheblicher praktischer Bedeutung, jedoch einer theoretischen Behandlung bisher kaum zugänglich. Diese Frage hat insbesondere seit dem Aufkommen der Laminarprofile für die flugtechnische Aerodynamik erhöhte Bedeutung erlangt. Das vorhandene recht umfangreiche Versuchsmaterial umfaßt zylindrische (zweidimensionale) und punktförmige (dreidimensionale) Einzelrauheiten sowie flächenmäßig verteilte Rauheiten. außer der Rauheit gleichzeitig ein Einfluß des Druckgradienten oder des Turbulenzgrades oder der Mach-Zahl vorhanden. Im allgemeinen begünstigt eine Wandrauheit den laminar–turbulenten Übergang in dem Sinne, daß unter sonst gleichen Bedingungen bei rauher Wand der Übergang bereits bei kleineren Reynolds-Zahlen eintritt als bei glatter Wand. Die Rauheit erzeugt in der Laminarströmung im allgemeinen zusätzliche Störungen großer Amplituden. Ergebnisse der nichtlinearen Stabilitätstheorie zeigen, daß dadurch die kritische Reynolds-Zahl verringert wird. Zylindrische Einzelrauheiten. Unter einer zylindrischen (oder zweidimensionalen) Einzelrauheit verstehen wir eine solche von der Art des Drahtes, der quer zur Anströmungsrichtung an der beströmten Wand angebracht ist. Auf Grund von älteren

15.2 Grundlagen der Stabilitätstheorie

467

Bild 15.35. Indifferenzkurven zweidimensionaler Störungen für die laminare Grenzschicht an der längsangeströmten ebenen Platte in kompressibler Strömung mit Wärmeübergang (Gasströmung) (a) Unterschallströmung, Ma∞ = 0.7, nach L. Lees; C.C. Lin (1946), Prandtl-Zahl Pr = 1, Tad = 1.098T∞ (1) Aufheizung der Grenzschicht (Tw > Tad ) erniedrigt die Stabilität (2) wärmeundurchlässige Wand (3) Kühlung der Grenzschicht (Tw < Tad ) erhöht die Stabilität (b) Überschallströmung√Ma∞ = 5.8, nach L.M. Mack (1969), T∞ = 125 K, δν = ν∞ x/U∞

468

15 Einsetzen der Turbulenz (Stabilitätstheorie)

Messungen gibt für diesen Fall S. Goldstein (1936) für die kritische Rauheitshöhe, d.h. also die größte Rauheitshöhe, welche den Übergang noch nicht beeinflußt, die Beziehung an uτ k kkrit = 7. (15.39) ν √ Dabei bedeutet uτ k = τwk / die Schubspannungsgeschwindigkeit mit τwk als Wandschubspannung der laminaren Grenzschicht am Ort der Rauheit. Für die kleinste Rauheitshöhe, bei welcher der Übergang unmittelbar am Rauheitselement stattfindet, geben I. Tani et al. (1940) die Beziehung uτ k kkrit /ν = 15 an, während nach A. Fage; J.H. Preston (1941) uτ k kkrit = 20 (15.40) ν ist. Die angegebenen Zahlenwerte gelten für Drähte von Kreisquerschnitt. Für flache, kuppenartige Rauheiten und Vertiefungen dürften sie erheblich größer, dagegen für scharfkantige Rauheiten kleiner sein. Zu einem empirischen Gesetz, das die Lage der abgeschlossenen Transition xkrit in Abhängigkeit sowohl von der Rauheitshöhe k als auch von der Lage des Rauheitselementes xk wiedergibt, gelangt man nach H.L. Dryden (1953) durch eine Dimensionsbetrachtung. E.L. Dryden fand, daß für inkompressible Strömung alle Versuchspunkte, bei denen die Lage abgeschlossener Transition nicht unmittelbar am Rauheitselement liegt, für die also xkrit > xk ist, sich recht gut auf einem Kurvenzug anordnen (etwa U k/ν ≈ 900), wenn man die mit der Verdrängungsdicke der Grenzschicht am Ort δ1krit gebildete Reynolds-Zahl Re1krit = U δ1krit /ν über k/δ1k aufträgt (Bild 15.36), wobei δ1k die Verdrängungsdicke am Ort des Rauheitselementes bedeutet. Dabei ist in Bild 15.36 auf der Ordinatenachse als zweiter Maßstab auch noch Rexkrit = U xkrit /ν angegeben1 . Mit wachsendem k rückt xkrit näher an das Rauheitselement heran, so daß mit wachsendem k in Bild 15.36 die Geraden von links nach rechts durchlaufen werden. Sobald hierbei der Ort abgeschlossener Transition das Rauheitselement erreicht hat, xkrit = xk weichen die Versuchspunkte von dieser Kurve nach oben ab. Sie folgen. dann der von dem Parameter xk /k abhängigen Geradenschar: k xk U δ1krit = 3.0 , (15.41) ν δ1k k die in Bild 15.36 mit eingetragen ist. Der Einfluß der Rauheit auf den Übergang laminar–turbulent ist bei Überschallströmung wesentlich geringer als bei inkompressibler Strömung. Dies geht aus Bild 15.37 hervor, das sich auf die längsangeströmte ebene Platte bezieht und. soweit es die Messungen im Überschallbereich betrifft sich auf Messungen von P.F. Brinich 1 Zwischen den beiden Reynolds-Zahlen der Ordinatenachse besteht die Beziehung

  U δ1 krit U xkrit = 1.72 = 1.72 Rex krit . Re1 krit = ν ν

15.2 Grundlagen der Stabilitätstheorie

469

Bild 15.36. Einfluß von Einzelrauheiten auf die Transition

a)

b)

Kritische Reynolds-Zahl der laminaren Grenzschicht in Abhängigkeit vom Verhältnis Bauteilhöhe k zur Verdrängungsdicke der Grenzschicht am Ort der Rauheit δ1k für zweidimensionale Einzelrauheiten in inkompressibler Strömung Die Messungen werden durch Gl. (15.41) befriedigend interpoliert Re1 krit = U δ1 krit /ν, √ Rex krit = U xkrit /ν Es gilt Re1 krit = 1.72 Rex krit Der Index 0 gilt für die glatte Platte ----berechnet nach Gl. (15.41) für (Re1 krit )0 = 1.7 · 106 ; p = konst, nach E.G. Feindt (1956)
(Re1 krit )0 = 1.7 · 106 ; p = konst, nach I. Tani • (Rex krit )0 = 1.7 · 106 ; p = konst, nach I. Tani  (Rex krit )0 = 2.7 · 106  p = konst, nach G.B. Schubauer; H.K. Skramstad (1943)  (Rex krit )0 = 6 · 105 ; p = konst, nach I. Tani et al. (1954) ausgefüllte Meßpunkte bedeuten xkrit > xk Druckabfall 2(p1 − pkrit )/U12 = 0.2 bis 0.8, nach Tani et al. (1954) Prinzipskizze des Übergangs laminar–turbulent mit Einzelrauheit (Draht) und Einfluß der Außenturbulenz auf die kritische Reynolds-Zahl Rex krit ohne Außenturbulenz ----mit Außenturbulenz

470

15 Einsetzen der Turbulenz (Stabilitätstheorie)

Bild 15.37. Einfluß einer zweidimensionalen Einzelrauheit auf die kritische Reynolds-Zahl der längsangeströmten ebenen Platte bei kompressibler Strömung, nach Messungen von P.F. Brinich (1954) und R.H. Korkegi (1956) k = Höhe der Einzelrauheit δ1k = Verdrängungsdicke der Grenzschicht am Ort der Rauheit

(1954) stützt, Die mit kreiszylindrischen Rauheiten bei einer Mach-Zahl Ma = 3,1 durchgeführten Messungen liefern in der Auftragung von Bild 15.37 eine Kurvenschar, die in dem schraffierten Bereich liegt, aber noch stark von der Lage des Rauheitselementes xk abhängig ist. Die zum Vergleich miteingetragene Kurve der inkompressiblen Strömung nach Bild 15.38 zeigt, daß bei hohen Mach-Zahlen die Grenzschicht eine wesentlich größere Rauheit „verträgt„ als bei inkompressibler Strömung. Hiernach ist bei Überschallströmung die kritische Rauheitshöhe etwa 3 bis 7 mal so groß wie bei inkompressibler Strömung. Versuche von R.H. Korkegi (1956) bei der noch größeren Mach-Zahl Ma = 5,6 zeigten, daß hier ein Stolperdraht überhaupt keine Turbulenz herbeizuführen vermag. Jedoch scheint das Ausblasen von Luft in die Grenzschicht auch bei Überschallgeschwindigkeit ein wirksames Mittel zu sein, um den Übergang zu erzwingen. Flächenhafte Rauheiten. Zu Übergangsmessungen mit flächenmäßig verteilter

Rauheit liegen bisher nur wenige Ergebnisse vor Erst beim Überschreiten des Wertes der mit der Rauheitshöhe ks gebildeten. Reynolds-Zahl U 1 ks = 120 ν fällt die kritische Reynolds-Zahl stark ab. Dieser Wert bestimmt also die kritische Rauheitshöhe. Oberhalb dieser Grenze hat die Rauheitshöhe einen ebenso großen Einfluß auf die kritische Reynolds-Zahl wie der Druckgradient, vgl. E.G. Feindt (1956). 15.2.4g Weitere Einflüsse Flexible Wand. Es gibt Hinweise, daß die Flexibilität der beströmten Wand Einfluß

auf das Stabilitätsverhalten der laminaren Grenzschicht haben kann. Hierzu seien die

15.2 Grundlagen der Stabilitätstheorie

471

Bild 15.38. Verhältnis der kritischen Reynolds-Zahl einer längsangeströmten ebenen Platte mit einer Einzelrauheit zu diejenigen der glatten Platte, nach H.L. Dryden (1953) Rex krit = U xkrit /ν, k = Rauheitshöhe, δ1k = Verdrängungsdicke der Grenzschicht am Ort der Rauheit Messungen von I. Tani et al. (1940) und J. St¨uper (1956)

Arbeiten von T.B. Benjamin (1960) und M.T. Landahl (1962) erwähnt. Neben den Tollmien-Schlichting-Wellen treten noch weitere Wellen auf, insbesondere elastische Wellen in der Wand, In der Arbeit von G. Zimmermann (1974) sind weitere Arbeiten zu diesem Thema zitiert, siehe auch A.E. Dixon et al. (1994). Oszillierende Außenströmung. Wie der Turbulenzgrad der Außenströmung hat

auch eine regelmäßige periodische Schwankung der Außenströmung einen erheblichen Einfluß auf die Stabilität der Grenzschicht. Auf die zusammenfassenden Darstellungen von R.J. Loehrke et al. (1975) und S.H. Davis (1976) sei hingewiesen. Bezüglich des Einflusses von Schallwellen in der Außenströmung siehe z.B. E. Reshotko (1976). Schwerkraft. Die von der Schwerkraft herrührenden Auftriebskräfte führen zu

den in Kap. 10.5 behandelten natürlichen Konvektionsströmungen. Der Übergang dieser Strömungen in den turbulenten Zustand erfolgt in analoger Weise wie bei den bisher behandelten erzwungenen Strömungen. Wegen der Kopplung zwischen Geschwindigkeits- und Temperaturfeld kommt es jedoch schon bei der primären Stabilitätstheorie zu wellenförmigen Temperaturschwankungen, welche die TollmienSchlichting-Wellen beeinflussen. Hierzu und auch zu den nichtlinearen Effekten existiert eine umfangreiche Literatur; vgl. B. Gebhart (1973), B. Gebhart; R.L. Mahajan (1982) und B. Gebhart et al. (1988). In diesem Zusammenhang sei auch auf horizontale Grenzschichten mit Dichteschichtungen hingewiesen, die z.B. beim Wärmeübergang auftreten, wenn die Abhängigkeit der Dichte von der Temperatur berücksichtigt werden muß. Eine stabile Schichtung liegt vor, wenn die Dichte nach oben abnimmt, und eine instabile, wenn die Dichte nach oben zunimmt. Für die Stabilität geschichteter Grenzschichten ist neben der Reynolds-Zahl die Gradienten-Richardson-Zahl

472

15 Einsetzen der Turbulenz (Stabilitätstheorie)

g d  dy Ri = −
 , ∂U 2 ∂y w vgl. H. Schlichting (1982), S. 520, von Bedeutung. Bei der horizontalen Plattenströmung ist nach H. Schlichting (1935b) für Ri > 1/24 die Grenzschicht stabil.

15.3

Instabilität der Grenzschicht bei dreidimensionalen Störungen 15.3.1 Vorbemerkung Im vorangegangenen Abschnitt haben wir die Grundlagen der primären Stabilitätstheorie entwickelt, die das Einsetzen der zweidimensionalen Tollmien-SchlichtingWellen und deren Anfachung stromab der Grenzschicht beschreiben. In diesem Abschnitt werden wir die sekundäre Stabilitätstheorie ableiten, die das Einsetzen dreidimensionaler Störungen und damit die -Struktur-Bildung im Transitionsbereich, entsprechend der Skizze in Bild 15.5, behandelt. Die primäre Stabilitätsanalyse (d.h. Analyse der Orr-Sommerfeld-Gleichung) geht von der Grenzschichtlösung als Grundzustand aus. Die zweidimensionalen Tollmien-Schlichting-Störwellen leiten stromab den Transitionsprozeß ein. Ganz analog setzt die lokale sekundäre Stabilitätsanalyse den zweidimensional gestörten Grundzustand der instabilen Grenzschicht voraus und beschreibt die Entstehung dreidimensionaler Störungen und deren Entwicklung stromab. Einige experimentelle und numerische Ergebnisse seien vorangestellt, um die strömungsphysikalischen Details des Transitionsprozesses in Ergänzung zu Bild 15.5 zusammenzustellen. Bild 15.5 beschrieb den Transitionsprozeß als Abfolge von Tollmien-Schlichting-Wellen, -Strukturen, Wirbelzerfall und Bildung von Turbulenzflecken als Vorstufen der voll turbulenten Grenzschichtströmung, vgl. H.W. Emmons; A.E. Bryson (1951/52), G.B. Schubauer; H.K. Skramstad (1947), P.S. Klebanoff et al. (1962), L.S.G. Kovasznay et al. (1962), F.R. Hama; J. Nutant (1963), S.A. Orszag; A.T. Patera (1983), T. Herbert (1983), A. Wary; M.Y. Hussaini (1984), P.R. Spalart; K.S. Yang (1987), E. Laurien; L. Kleiser (1989). Eine umfassende Darstellung der Transitionsvorgänge findet sich bei D. Arnal (1984). Die Stabilitätstheorie der „Impulsantwort“ von 1993 zeigt, daß die BlasiusGrenzschicht (Plattengrenzschicht) konvektiv instabil ist und damit ein Transitionsprozeß stattfinden muß, im Gegensatz zu schlagartig einsetzenden Instabilitäten absolut instabiler Strömungen. Die während des Transitionsprozesses beobachteten Phänomene gleichen sich für die Plattengrenzschicht und die ebene Kanalströmung. Bild 15.39 bezieht sich auf

15.3 Instabilität der Grenzschicht bei dreidimensionalen Störungen

473

Bild 15.39. Meßsignale in

verschiedenen Bereichen des Übergangs an der längsangeströmten Platte nach M. Nishioka et al. (1975, 1990)

Messungen von M. Nishioka et al. (1975) im Kanal. Die gemessenen Geschwindigkeitsfluktuationen zeigen im Bereich der primären Instabilitäten das charakteristische Signal der periodischen Tollmien-Schlichting-Wellen. Stromab ist das Meßsignal durch sogenannte Spikes gekennzeichnet, die das Auftreten lokaler Bereiche hoher Scherung, verbunden mit Wendepunktgeschwindigkeitsprofilen, anzeigen. Stromab treten diese Spikes innerhalb einer Periode immer häufiger auf, bis sich schließlich der irreguläre, vollturbulente Bereich entwickelt hat. Die numerischen Simulationsergebnisse zeigen, daß die Größe der Scherung der dreidimensionalen Scherschichten in den Spike-Stadien stark anwächst. Es treten mehrere lokale Maxima auf, die den Scherschichtzerfall und damit den Übergang zur Turbulenz einleiten. Damit verbunden treten Bereiche hoher Scherung in Wandnähe auf, die als „HaarnadelStrukturen“ bezeichnet werden. Bild 15.40 zeigt den gleichen Transitionsvorgang in der Aufsicht, vgl. P.S. Klebanoff et al. (1962). Die periodischen Anfangsstörungen wurden dabei in der Grenzschicht durch ein schwingendes Band mit periodisch angeordneten Abstandhaltern eingebracht. Das Anwachsen der lokalen Fluktuationen stromab ist mit der Ausbildung der skizzierten -Strukturen und im turbulenten Bereich mit der Ausbildung der „Haarnadel-Strukturen“ in Wandnähe verbunden. Den experimentellen und theoretischen Ergebnissen von P.S. Klebanoff et al. (1962), T. Herbert (1983), S.A. Orszag; A.T. Patera (1983) und F.P. Bertolotti (1991) folgend, ist der Transitionsprozeß (bei diskret überlagerten periodischen Störungen) von dem harmonischen bzw. fundamentalen K-Typ (K für Klebanoff) der Transition und dem subharmonischen H-Typ (H für Herbert) entsprechend der gewählten Anfangsstörung gekennzeichnet. Die harmonischen Störungen wurden erstmals von P.S. Klebanoff erzeugt und studiert und heißen daher auch K-Typ-Störungen. Bild 15.41 zeigt die hintereinander angeordneten -Wirbel der von den Tollmien-SchlichtingWellen angeregten, harmonischen K-Strukturen. Dem sind im allgemeinen die versetzt auftretenden -Wirbel der subharmonischen H-Strukturen überlagert. Beide, im Prinzipexperiment getrennten, Transitionsmechanismen bestimmen bei technischen Problemen den Transitionsprozeß. Das Einsetzen dieser dreidimensionalen Störungen läßt sich mit der lokalen, sekundären Orr-Sommerfeld-Stabilitätsanalyse behandeln.

474

15 Einsetzen der Turbulenz (Stabilitätstheorie)

a)

b) 2

instabil

Re x

- Struktur (kleine Re-Zahl)

turbulent

u’ U

y=1,1mm

0,08 Hairpin (große Re-Zahl)

U

0,06 0,04 0,02

x/cm

0 0 0,01 0

108 104 96,5 89 Band

Abstandshalter

-6 -4 -2 0

2 4 z/cm

6

0

Bild 15.40. Entwicklung der dreidimensionalen Störungen in der Plattengrenzschicht

a) b)

Prinzipskizze der - und „Haarnadel“-Strukturen bei wachsender ReynoldsZahl Rex , nach M.R. Head; P. Bandyopadhyay (1981) Schwankungsgeschwindigkeiten, hervorgerufen durch lokale periodische Störungen, nach P.S. Klebanoff et al. (1962)

fundamentaler K−Transitionstyp

subharmonischer H−Transitiontyp

Bild 15.41. Streichlinien der -Strukturen in der Plattengrenzschicht bei harmonischen und

subharmonischen Störungen, nach H. Bippes (1972), W.S. Saric (1994)

15.3.2 Grundlagen der sekundären Stabilitätstheorie Bei der primären Stabilitätstheorie wurden der zweidimensionalen Grundströmung die zweidimensionalen Tollmien-Schlichting-Störwellen überlagert. Die resultierende Bewegung schreibt sich nach Gl. (15.6):

15.3 Instabilität der Grenzschicht bei dreidimensionalen Störungen

uP (x,y,t)

= U (y) + u (x,y,t),

vP (x,y,t)

= v  (x,y,t),

475

(15.42)

wP

=

0,

pP

=

P (x,y) + p  (x,y,t).

Die sekundäre Stabilitätsanalyse behandelt das Einsetzen der dreidimensionalen Störungen. Der theoretische Ansatz geht von der Vorstellung aus, daß die Lösungen der primären Stabilitätsanalyse, im Rahmen einer lokalen Betrachtung, als neue Grundströmung angesetzt werden können und dieser Grundströmung dreidimensionale Störwellen überlagert werden. Die resultierende dreidimensionale Störbewegung hat also die Form: uS = uP + u∗ ,

vS = vP + v ∗ ,

wS = w ∗ ,

pS = pP + p ∗ .

(15.43)

In Gl. (15.42) sind U (y), P (x,y) Lösungen der Navier-Stokes-Gleichungen (z.B. für die ausgebildete Kanalströmung) oder Näherungen für Grenzschichten mit der Parallelströmungsannahme. Die Störgrößen u , v  , p lassen sich mit den Stördifferentialgleichungen (15,7) bis (15.9) berechnen. Mit Einführen der Stromfunktion ψ(x,y,t) nach Gl. (15.12) und (15.13) ergibt sich für die Störgrößen die Orr-SommerfeldGleichung (15.14). Für die Berechnung der dreidimensionalen Störgrößen u∗ , v ∗ , w ∗ , p ∗ aus Gl. (15.43) ist zunächst die Festlegung eines geeigneten Koordinatensystems erforderlich. Indem wir die neue Grundströmung in einem mit der Phasengeschwindigkeit cr der zweidimensionalen Tollmien-Schlichting-Wellen bewegten Koordinatensystem (ξ,y,z) mit (15.44) ξ = x − cr t , beschreiben, gelangen wir zu einem stationären Grundzustand. Unter der lokalen Parallelströmungsannahme V = 0 und bei Vernachlässigung der nichtlinearen Terme der Störgrößen u∗ , v ∗ , w ∗ , p ∗ erhält man nach T. Herbert (1988) und A.H. Nayfeh (1987) aus den drei Impulsgleichungen und der Kontinuitätsgleichung nach Elimination des Druckes p ∗ zwei lineare partielle Differentialgleichungen für die beiden Störgrößen u∗ und v ∗ , die weder w∗ noch p∗ enthalten. Die beiden Differentialgleichungen für u∗ und v ∗ enthalten noch einen Entwicklungsparameter der primären Tollmien-Schlichting-Instabilitäten, der bei geeigneter Normierung die Bedeutung des maximalen quadratischen Mittelwertes der Störungsschwankungen besitzt. Die dritte Geschwindigkeitskomponente w∗ ergibt sich aus der Kontinuitätsgleichung: ∂u∗ ∂v ∗ ∂w ∗ + + = 0. ∂ξ ∂y ∂z Für dreidimensionale Wellenstörungen gilt der Ansatz: ⎫ ⎫ ⎧ ∗ u∗ ⎬ ⎨ ϕ (ξ,y) ⎬ ∗ ∗ v∗ ∼ ψ ∗ (ξ,y) · ei(α z−β t) ⎭ ⎭ ⎩ ζ ∗ (ξ,y) w∗

(15.45)

(15.46)

476

15 Einsetzen der Turbulenz (Stabilitätstheorie)

der mit den Randbedingungen y=0

und

y→∞:

ϕ ∗ = 0,

ψ ∗ = 0,

∂ψ ∗ =0. y

(15.47)

das Eigenwertproblem der sekundären Stabilitätstheorie beschreibt. Das resultierende System der zwei gekoppelten Differentialgleichungen für ϕ ∗ (ξ,y) und ψ ∗ (ξ,y) wird numerisch gelöst. Dabei gibt α ∗ die Wellenzahl der sekundären Störwellen in Spannweitenrichtung an. Auf dieses lineare System mit in ξ periodischen Koeffizienten kann die sogenannte Floquet-Theorie zur Lösung derartiger Differentialgleichungen angewandt werden. Die Eigenfunktionen bestehen demnach aus einer 2π/α ∗ -periodischen Funktion von ξ , versehen mit einem charakteristischen Multiplikator. Der entsprechende Fourier-Reihenansatz lautet nach T. Herbert (1988) ⎫ ⎫ ⎧ +N ⎨ ϕn∗ (y) ⎬ ϕ∗ ⎬  ∗ ψn∗ (y) · ei nα ξ . ψ ∗ ∼ e−i δr ξ · (15.48) ⎭ ⎭ ⎩ ζ∗ ζn∗ (y) n=−N Unter der Voraussetzung reeller Werte des Phasenverschiebungsfaktors δr handelt es sich um die Theorie zeitlicher Anfachung der sich im Experiment stromab räumlich entwickelnden sekundären Instabilitäten. Dabei reicht es, das Intervall 0 ≤ δr leq1/2 zu betrachten (δr = 0: harmonischer Fall, δr = 1/2: subharmonischer Fall). Die Ergebnisse von P.S. Klebanoff et al. (1962) und Y.S. Kachanov; V.Y. Levchenko (1984) zeigen, daß bei genügend großen Störamplituden der primären Tollmien-Schlichting-Wellen die harmonischen und subharmonischen Störungen der sekundären Instabilitäten sich in Phase mit den Tollmien-Schlichting-Wellen stromab bewegen. Daraus resultiert ein maximaler Energietransport von den primären in die sekundären Störwellen, die den dreidimensionalen Transitionsprozeß einleiten. In der mathematischen Beschreibung nach Gl. (15.46) wird das Synchronlaufen von primärer und sekundärer Welle durch ein rein imaginäres β ∗ wiedergegeben. Bild 15.42 zeigt die zeitliche Anfachung der subharmonischen sekundären Instabilität in Abhängigkeit von der Wellenzahl in Spannweitenrichtung. Für kleine Amplituden A der primären Tollmien-Schlichting-Wellen vollzieht sich die Anfachung der sekundären Instabilitäten in einem kleinen Bereich der Wellenzahlen. Mit steigender primärer Störamplitude, z.B. A = 0.01, wächst das Maximum der sekundären Anfachung innerhalb von sechs Perioden der Tollmien-Schlichting-Wellen um zwei Größenordnungen an, verbunden mit einer Verbreiterung des Bandes der angefachten Wellenläufe in Spannweitenrichtung. Im Bild 15.43 ist der Vergleich der von T. Herbert (1988) berechneten Anfachung mit numerischen Simulationsrechnungen von P.R. Spalart; K.S. Yang (1986) dargestellt. Die Ergebnisse zeigen, daß die subharmonische sekundäre Instabilität stärker angefacht ist als die harmonische. Die Unterschiede zwischen den Ergebnissen der Stabilitätstheorie und der numerischen Simulationsrechnung lassen sich durch die unterschiedlichen theoretischen Ansätze erklären, wenngleich die qualitative Abhängigkeit von der Wellenzahl übereinstimmend wiedergegeben wird. Die Ergebnisse

15.3 Instabilität der Grenzschicht bei dreidimensionalen Störungen

477

Bild 15.42. Subharmonische Anfachung der sekundären Instabilität in Abhängigkeit von der Wellenzahl b = −103 α ∗ /Re = −2π103 /(Reλ∗ ), nach T. Herbert (1984) F = 106 α ∗ cr /Re = 106 βr /Re = 124 A = Amplitude der Tollmien-Schlichting-Wellen

Bild 15.43. Subharmonische Anfachung der sekundären Instabilität in Abhängigkeit von der Wellenzahl in Spannweitenrichtung, F = 58.8; Re = 950; A = 0.014 Theorie nach T. Herbert (1988) (a) subharmonisch, (b) harmonisch Numerische Simulation nach P.R. Spalart; K.S. Yang (1986) ◦ subharmonisch, × harmonisch

lassen die Schlußfolgerung zu, daß die subharmonischen Störungen instabiler sind als die harmonischen. Der Nachweis für die Gültigkeit der sekundären Stabilitätstheorie ist in Bild 15.44 durch einen Vergleich mit den Experimenten von P.S. Klebanoff et al. (1962) erbracht.

478

15 Einsetzen der Turbulenz (Stabilitätstheorie)

Bild 15.44. Dimensionslose Verteilung der u∗ -Störungen für √die subharmonische Eigenbewegung F = 124; b = 0.38; Re = 608; A = 0.0122; δν = xν/U Theorie nach T. Herbert (1988) Experiment nach P.S. Klebanoff et al. (1962) (a) ◦ Maximum der Schwankung (b) × Minimum der Schwankung

15.3.3 Grenzschichten an gekrümmten Wänden Grenzschichten an konvexen Wänden (Zentrifugalkraft). Es gibt einige Fälle,

bei denen der laminar–turbulente Übergang durch den Einfluß äußerer Kräfte wesentlich beeinflußt wird. Ein Beispiel hierfür ist die Strömung in dem Ringraum zwischen zwei konzentrischen rotierenden Zylindern. Bei stillstehendem inneren und umlaufenden äußeren Zylinder ergibt sich in dem Zwischenraum eine Geschwindigkeitsverteilung, die vom Wert Null an der inneren Wand auf den Wert der Umlaufgeschwindigkeit der äußeren Wand etwa linear ansteigt. Ein Fluidteilchen aus einer äußeren Schicht widersetzt sich einem Transport nach innen, da seine Zentrifugalkraft größer ist als die eines Teilchens aus inneren Schichten, so daß es wieder nach außen geschleudert wird. Aber auch die Wanderung von innen nach außen wird erschwert, weil die Zentrifugalkraft der Innenschicht kleiner ist als außen und deshalb ein Teilchen aus einer Innenschicht einen „Auftrieb nach innen„ erfährt. Die Querbewegungen, welche das Kennzeichen der turbulenten Strömung sind, werden also im vorliegenden Fall durch die Zentrifugalkräfte erschwert. Somit wirken die Zentrifugalkräfte hier stabilisierend. Bezüglich des Einflusses der Wandkrümmung, der für die technischen Anwendungen recht wichtig ist, ist von H. G¨ortler (1940a) eine Verallgemeinerung des Tollmienschen Instabilitätskriteriums für Wendepunktprofile angegeben worden. Der Tollmiensche Satz, nach dem im Grenzfall sehr großer Reynolds-Zahlen (reibungslose Strömung) an ebenen Wänden Geschwindigkeitsprofile mit Vorzeichenwechsel von d2 U/dy 2 instabil sind, nimmt für gekrümmte Wände die Form an, daß der Vorzeichenwechsel von

15.3 Instabilität der Grenzschicht bei dreidimensionalen Störungen




1 dU d 2U + 2 dy R dy

479

 (15.49)

die reibungslose Instabilität herbeiführt. Dabei bedeutet R den Krümmungsradius der Wand mit R > 0 für konvexe und R < 0 für konkave Wand. Hiernach tritt die Instabilität gegenüber zweidimensionalen Störungen an konvexen Wänden bereits ein kleines Stück vor dem Druckminimum auf, dagegen an konkaven Wänden erst ein kleines Stück hinter dem Druckminimum. Im ganzen ist jedoch dieser Einfluß der Wandkrümmung bei Grenzschichtströmungen, bei denen das Verhältnis δ/|R|  1 ist (δ = Grenzschichtdicke), sehr gering. Für konkave Wände ist eine ganz andere Art von Instabilität gegenüber gewissen dreidimensionalen Störungen erheblich wichtiger; die im folgenden besprochen wird. Grenzschichten an konkaven Wänden. Während bei Grenzschichten an konve-

xen Wänden die Zentrifugalkräfte einen stabilisierenden Einfluß ausüben, der aber zahlenmäßig gering ist, führt bei der Grenzschicht an konkaven Wänden der Einfluß der Zentrifugalkräfte, wie H. G¨ortler (1940b) zuerst gezeigt hat, zu einer Instabilität. Für eine Grundströmung U (x,y), V (x,y) (y = Wandabstand, z = Querrichtung zur Grundströmung in der Wandebene) wird eine dreidimensionale Störungsbewegung angesetzt in der Form u U∞ v U∞ w U∞ p 2  U∞

=

U (x,y) + u (x,y,z);

=

V (x,y) +

=

w  (x,y,z);

=

P (x,y) +

ν v  (x,y,z); δν U∞

(15.50)

ν2 p  (x,y,z). 2 δν2 U∞

Daraus erhält man die Stördifferentialgleichungen (vgl. J.M. Floryan; W.S. Saric (1979, 1982)). ∂u ∂v  ∂w  + + =0 ∂x ∂y ∂z ∂u ∂u ∂ 2 u ∂U ∂U ∂ 2 u u +U + v +V = + ∂x ∂x ∂y ∂y ∂y 2 ∂z2 ∂v  ∂v  ∂ 2 v ∂p  ∂ 2 v ∂V ∂V +U + v +V + 2 Gö2 U u = − + u + 2 2 ∂x ∂x ∂y ∂y ∂y ∂y ∂z   2 2    ∂w ∂p ∂ w ∂w ∂ w +V =− + U + (15.51) ∂x ∂y ∂z ∂y 2 ∂z2 √ Dabei wurden die Spannweiten- und Wandnormalenkoordinaten auf δν = νx/U∞ bezogen, dagegen die x-Koordinate aufgrund der langsamen Stromabentwicklung

480

15 Einsetzen der Turbulenz (Stabilitätstheorie) R λ y

U(y)

δ x z Bild 15.45. Görtler-Wirbel in der Grenzschicht an einer konkav gekrümmten Wand U (y) − Grundprofil δ − Grenzschichtdicke λ − Wellenlänge der primären Störung

auf Re·δν . Als einziger Parameter tritt in dem Gleichungssystem (15.51) das Quadrat der Görtler-Zahl  U ∞ δ ν δν (15.52) Gö = ν R als Maß für den lokalen Krümmungsradius R > 0 der konkaven Wand auf. Obwohl eine Parallelströmungsannahme V = 0 hier nicht zulässig ist, vgl. P. Hall (1982) und J.M. Floryan ( 1991), kann unter der Annahme, daß U , V und P von x unabhängig sind, ein lokaler Wellenansatz verwendet werden: u (x,y,z) = U (y) cos(αz) · eβx v  (x,y,z) = V (y) cos(αz) · eβx p  (x,y,z) = P (y) cos(αz) · eβx w  (x,y,z) = w ∗ (y) sin(αz) · eβx .

(15.53)

Dabei bedeutet die reelle Größe β die räumliche Anfachung (β > 0) oder Dämpfung (β < 0), während λ = 2π/α die Wellenlänge der Störung quer zur Hauptströmungsrichtung darstellt. Die Störungen haben somit die in Bild 15.45 dargestellte Form, wobei die Wirbelachsen parallel zur Grundströmung sind. Im Gegensatz zu den Tollmien-Schlichting-Wellen handelt es sich hier um stehende Wellen. Die Berechnung des räumlichen Anwachsens dieser dreidimensionalen Störungen führt auf ein Eigenwertproblem. Die erste näherungsweise Lösung des zeitlichen Eigenwertproblems wurde von H. G¨ortler (1940b) angegeben. Die Weiterentwicklung der Theorie ist in H. G¨ortler (1955a) dargestellt. F. Schultz–Grunow; D. Behbahani (1973) hat eine genauere Theorie aufgestellt, indem er sämtliche Terme erster Ordnung berücksichtigte. Durch Versuche mit Grenzschichten an umströmten Körpern sowohl mit konvexen als auch konkaven Wänden ist von F. Clauser (1937) und H.W. Liepmann

15.3 Instabilität der Grenzschicht bei dreidimensionalen Störungen

481

Bild 15.46. Messungen des Ortes abgeschlossener Transition (Index krit) an schwach gekrümmten Wänden, nach H.W. Liepmann (1943a, 1943b) (a) kritische Reynolds-Zahl Re2 krit = √ U∞ δ2 krit /ν (b) Görtler-Zahl Gö2 = (U∞ δ2 krit /ν) δ2 krit /R

(1943a, 1945) der Übergang in die turbulente Strömung nachgeprüft worden. In Bild 15.46 sind einige Ergebnisse von H.W. Liepmann wiedergegeben, die sich sowohl auf konkave als auch auf konvexe Wände beziehen. Bild 15.46a bestätigt die theoretische Voraussage, daß für konvexe Wände der Einfluß der Wandkrümmung auf die kritische Reynolds-Zahl gering ist und daß für konkave Wände die kritische Reynolds-Zahl kleiner ist als für konvexe Wände. In Bild 15.46b ist der Parameter √ (U∞ δ2 krit /ν) δ2 krit /R der bis auf einen Faktor mit der Görtler-Zahl übereinstimmt, über δ2 /R aufgetragen. Es tritt der Übergang ein für U∞ δ2 krit ν



δ2 krit > 7. R

(15.54)

Es sei auch auf die experimentellen Untersuchungen von H. Bippes (1972) und A. Ito (1987) hingewiesen. Von H. Görtler ist darauf hingewiesen worden, daß diese Instabilität auch im Bereich des vorderen Staupunktes eines umströmten Körpers auftreten kann. Die Vorbedingung, daß die Stromlinien nach der Seite der zunehmenden Geschwindigkeit konkav sind, liegt hier vor. Die von H. G¨ortler (1955b) und G. H¨ammerlin (1955) für die ebene Staupunktströmung (Bild 5.5) durchgeführten Rechnungen haben zwar instabile Störungen ergeben, jedoch noch keine kritische Reynolds-Zahl als Stabilitätsgrenze. Das gleiche gilt für den Bereich konkav gekrümmter Stromlinien im Bereich des Wiederanlegens abgelöster Strömungen an geraden und gekrümmten Oberflächen. J.M. Floryan ( 1986, 1991) weist bei Vorliegen nichtmonotoner Geschwindigkeitsprofile darüber hinaus auf die Möglichkeit von Görtler-Instabilitäten an konvexen Wänden hin. Sekundäre Instabilitäten der primären Taylor-Görtler-Instabilitäten an konkav gekrümmten Wänden sind experimentell von I. Tani (1962), I. Tani; J. Saka-

482

15 Einsetzen der Turbulenz (Stabilitätstheorie)

gami (1964), I. Tani;Y. Aihara (1969) und F.X. Wortmann (1969) untersucht worden. Eine Übersicht gibt W.S. Saric (1994). Die Theorie der sekundären Taylor-Görtler-Instabilität ist erst in jüngster Zeit entwickelt worden. T. Herbert (1988). M.R. Malik; M.Y. Hussaini (1990), A.H. Nayfeh (1981), K.M. Srivastava (1985), K.M. Srivastava; U. Dallmann (1987) und A.H. Nayfeh; A. Al-Maaitah (1987) haben die stabilitätstheoretischen Voraussagen mit numerischen Simulationsrechnungen des Transitionsprozesses ergänzt. Sie beschränken sich derzeit auf zweidimensionale Grenzschichtströmungen unter Berücksichtigung der konkaven Oberflächenkrümmung. Die Ergebnisse zeigen Anzeichen, daß der sekundär-instabile Transitionsprozeß durch eine Wirbelstreckung der primären Taylor-Görtler-Wirbel mit einer periodisch überlagerten mäanderförmigen Längsstruktur eingeleitet wird. Diese Welleninstabilitäten haben einen ähnlichen Charakter wie die sekundären Instabilitäten bei den klassischen Stabilitätsproblemen von G.I. Taylor (Couette-Strömung mit Krümmung) und von Rayleigh-Bénard (instabile horizontale Dichteschichtung), die ebenfalls eine periodische Längsdeformation, gekoppelt mit einer Wirbelstreckung, aufweisen. 15.3.4 Grenzschicht an der rotierenden Scheibe Die Erweiterung von der zweidimensionalen Grenzschicht als Grundströmung auf die dreidimensionale Grenzschicht wollen wir am Beispiel der rotierenden Scheibe studieren. Bild 5.8 zeigt die Prinzipskizze der dreidimensionalen Grundströmung. Die Instabilität dieser Strömung ist in Bild 15.47 in der Aufsicht nach N. Gregory et al. (1955) gezeigt. Es bilden sich näherungsweise entlang der Stromlinien der Grundströmung in einem Kreisringgebiet Ri < r < Ra stehende Wirbel in der

Bild 15.47. Strömungsaufnahme des

Übergangs laminar–turbulent in der Grenzschicht an einer in ruhendem Fluid rotierenden Scheibe, nach N. Gregory et al. (1955) Drehsinn gegen den Uhrzeiger Drehzahl N = 3200 U/min Scheibenradius 15 cm. In einem Kreisringgebiet (Innenradius Ri = 8.7 cm, Außenradius Ra = 10.1 cm) bilden sich stehende Wirbel aus. Der Innenradius ist die Stabilitätsgrenze mit Rei = Ri2 ω/ν = 1.9 · 105 . Der Außenradius gibt den Abschluß des Übergangs mit Rea = Ra2 ω/ν = 2.8 · 105 wieder.

15.3 Instabilität der Grenzschicht bei dreidimensionalen Störungen

483

Form logarithmischer Spiralen aus. Diese primären Instabilitäten der dreidimensionalen Grenzschichtströmung nennen wir im folgenden Querströmungsinstabilitäten. Der innere Radius Ri des instabilen Kreisringgebietes bezeichnet den Ort des Einsetzens der Instabilität. Der äußere Radius Ra kennzeichnet den Bereich sekundärer Instabilitäten und damit den laminar–turbulenten Übergang in der dreidimensionalen Grenzschicht. Von J.T. Stuart (siehe N. Gregory et al. (1955)) ist auch eine theoretische Stabilitätsuntersuchung dieser Strömung vorgenommen worden. Dabei wurden als dreidimensionale Störungen periodische Ansätze gewählt, welche als Sonderfall die fortschreitenden ebenen Wellen nach Tollmien-Schlichting und die stehenden dreidimensionalen Wirbel nach Taylor-Görtler, die den Einfluß der Zentrifugalkräfte beschreiben, enthalten. Die Ergebnisse sind in qualitativer Übereinstimmung mit dem experimentellen Befund nach Bild 15.47. Neuere Stabilitätsanalysen zeigen, daß die Querströmungsinstabilität in der Grenzschicht der rotierenden Scheibe absolut instabil einsetzt ( R.J. Lingwood (1995, 1996)) und damit einen laminar–turbulenten „Umschlag“ verursacht. Der Transitionsbereich und das Einsetzen der sekundären Instabilitäten sind von Y. Kohama (1987) experimentell bestimmt worden. Die Zentrifugalkraft senkrecht zu den gekrümmten Stromlinien verursacht die sekundäre Geschwindigkeitskomponente, welche die Querströmungsinstabilität verursacht. Diese Sekundärströmung in der Grenzschicht äußert sich durch eine zusätzliche Geschwindigkeitskomponente in Richtung der Wand. Daraus resultieren gegensinnig rotierende stationäre Wirbel, die in Bild 15.48 durch mit Rauch erzeugte Streichlinien sichtbar gemacht wurden. Die Experimente zeigen, daß der Übergang zur turbulenten Strömung in der dreidimensionalen Grenzschicht durch sekundäre Ringwirbel eingeleitet wird, die den primären Querströmungsinstabilitäten überlagert sind, vgl. Y. Kohama (1987). Die Indifferenz-Reynolds-Zahlen für die primären und die sekundären Querströmungsinstabilitäten sind in Bild 15.49 in Abhängigkeit von der Umdrehungszahl N dargestellt. 15.3.5 Dreidimensionale Grenzschichten In Fortsetzung der vorangegangenen Abschnitte, in denen die sekundäre Stabilitätstheorie für zweidimensionale, inkompressible Grenzschichtströmungen, der Einfluß von Krümmungseffekten und das Auftreten von Querströmungsinstabilitäten in einer dreidimensionalen Grenzschicht beschrieben wurden, behandeln wir in diesem Abschnitt den einfachsten Fall der sekundären Stabilitätstheorie für eine allgemein vorgegebene Grenzschichtströmung mit den Geschwindigkeitskomponenten U (y),W (y). Dabei gehen wir wiederum von der Voraussetzung aus, daß am gewählten Ort der lokalen Stabilitätsanalyse die klassische, für die Orr-SommerfeldGleichung erforderliche Parallelströmungsannahme näherungsweise gültig ist. Diese Voraussetzung ist für die Grenzschichtströmung eines Tragflügels großer Streckung erfüllt, auf die wir uns in diesem Abschnitt beschränken.

484

15 Einsetzen der Turbulenz (Stabilitätstheorie)

Bild 15.48. Strömungsaufnahmen des Übergangs in der Grenzschicht einer rotierenden Scheibe, nach Y. Kohama (1987), Ra = 200 mm a) ω = 524 s−1 , b) ω = 199 s−1 Indifferenz-Reynolds-Zahl für das Einsetzen der primären Querströmungsinstabili2 ω/ν = 8.8 · 104 täten Reind = Rind

Bild 15.49. Indifferenz-Reynolds-Zahlen Reind für das Einsetzen der primären (a) und der sekundären (b) Querströmungsinstabilitäten in der Grenzschicht einer rotierenden Scheibe, nach R. Kobayashi et al. (1980)

Querströmungsinstabilitäten sind erstmals durch W.E. Gray (1952) experimentell beobachtet worden. Experimentelle Arbeiten zur Stabilität dreidimensionaler Grenzschichten an gepfeilten Flügeln sind von W.S. Saric; L.G. Yeates (1985) und H. Bippes; P. Nitschke-Kowsky (1987) durchgeführt worden. Die theoretische Formulierung des entsprechenden linearen Stabilitätsproblems erfolgte durch N. Gregory et al. (1955). Über weitere Entwicklungen geben L.M. Mack (1984), H. Oertel Jr.; J. Delfs (1995, 1996) Auskunft.

15.3 Instabilität der Grenzschicht bei dreidimensionalen Störungen

485

y

x

8

z U

QSI

TSI

Bild 15.50. Prinzipskizze der Instabilitäten in der dreidimensionalen Grenzschicht eines Pfeilflügels TSI: Tollmien-Schlichting-Instabilitäten QSI: Querströmungsinstabilitäten

In Bild 15.50 sind die Prinzipskizze des betrachteten Grenzschichtprofils und der Grenzbereich zwischen der primär instabilen und der turbulenten Grenzschichtströmung auf dem Tragflügel dargestellt. Freiflugexperimente zeigen, daß für Tragflügel ohne Pfeilung im Unterschallbereich der im Abschnitt 15.2.4 behandelte TollmienSchlichting-Übergang (TSI) dominiert. Bild 15.50 zeigt auch, daß lokale Störungen auf dem Tragflügel im instabilen Bereich der Grenzschicht zum sofortigen laminar– turbulenten Grenzschichtübergang in Form eines Turbulenzkeils führen. Erst bei Tragflügeln im transsonischen Geschwindigkeitsbereich tritt mit zunehmender Pfeilung aufgrund des zusätzlichen Druckgradienten entlang des Flügels und der damit verbundenen Dreidimensionalität der Grenzschicht die Überlagerung der Querströmungsinstabilität (QSI) ein. Eine dritte Art von Instabilität an der Anlegelinie im Nasenbereich eines Flügels ist von W. Pfenninger (1965) und D.I.A. Poll (1979) experimentell und von P. Hall et al. (1984) theoretisch behandelt worden. Welche Wellen Querströmungsinstabilitäten aufweisen, ist mit Hilfe des Instabilitätsgebietes für feste Reynolds-Zahl im Wellenzahldiagramm 15.51 dargestellt. Die Tollmien-Schlichting-Wellen treten stromab erst bei Überschreiten der kritischen Reynolds-Zahl auf. Man beachte, daß die Reynolds-Zahl in diesem Bereich aber sehr klein ist und damit ein starker, in diesem Fall dämpfender Reibungseinfluß vorliegt. Zum Vergleich ist auch ein Instabilitätsgebiet für das zweidimensionale Geschwindigkeitsprofil U (y), so wie es z. B. bei der ebenen Plattengrenzschicht auftritt, eingezeichnet. Es ist typisch, daß in zweidimensionalen Grenzschichten Instabilitätswellen mit wesentlich größeren Schräglaufwinkeln ϕ = 1/ tan(β/α) als in der dreidimensionalen Grenzschicht existieren. Der charakteristischen Form wegen wird die Indifferenzkurve ωi = 0 im Wellenzahldiagramm für zweidimensionale Grenzschichten auch als Nieren-Kurve bezeichnet. Typisch für Querströmungsinstabilitäten ist ebenfalls das Auftreten von stehenden Störwirbeln. Da die Kreisfrequenz dieser (stehenden) Störwellen ωr = 0 ist, werden sie auch als 0-Hertz-Moden bezeichnet. Ihre Wellennormalen stehen fast senk-

486

15 Einsetzen der Turbulenz (Stabilitätstheorie) β

dreidimensionale Grenzschicht : Querströmungsinstabilität

zweidimensionale Grenzschicht : Tollmien-Schlichting-Instabilität

y

y U

U

ω i =0

W

u,w

α

u

Bild 15.51. Instabile Wellen für Grenzschichten mit und ohne Querströmungskomponente

W (y)

Bild 15.52. Querströmungsinstabilität in einer dreidimensionalen Grenzschicht, Y. Kohama (1987b)

recht auf der Stromabrichtung am Grenzschichtrand. Im Gegensatz zu den GörtlerLängswirbeln rotieren sie gleichsinnig. Diese stehenden Wellen können im Experiment sichtbar gemacht werden und hinterlassen bei einer Visualisierung mit in die Strömung eingebrachtem Rauch eine deutliche Struktur in der Stromabrichtung (siehe Bild 15.52). Die am stärksten angefachten Störwellen sind jedoch instationär und laufen unter großem Winkel ϕ, d. h. quer zur Stromabrichtung x. Bild 15.53 zeigt die Stromlinien der Eigenlösung der stationären Querströmungswirbel des Eigenwertproblems für eine vorgegebene dreidimensionale Grenzschichtströmung. Das Ergebnis ist in guter Übereinstimmung mit D. Arnal et al. (1984) und H.L. Reed (1985). Die Theorie der sekundären Instabilitäten der primären Tollmien-Schlichting-Wellen (TSI) und die Querströmungsinstabilitäten (QSI) in Ergänzung zu den Gl. (15.42) bis (15.48) führt auf die Erweiterung von Gl. (15.42):

15.3 Instabilität der Grenzschicht bei dreidimensionalen Störungen

487

Bild 15.53. Stromlinien der stationären Querströmungswirbel in einem Schnitt längs der Ausbreitungsrichtung der primären Störwellen und senkrecht zur Wand. σr = 1/4, v = V + ε v  , ε = 0.069

uP (x,y,z,t) = U (y) + u (x,y,z,t), vP (x,y,z,t) = v  (x,y,z,t), wP (x,y,z,t) = W (y) + w  (x,y,z,t), pP = P (x,y,z) + p  (x,y,z,t).

(15.55)

Der Index P bezeichnet die Störgrößen der primären Tollmien-SchlichtingInstabilitäten bzw. der Querströmungsinstabilitäten. Die am jeweiligen Ort der betrachteten Störwelle im allgemeinen numerisch berechnete Grenzschichtströmung hat die Geschwindigkeitskomponenten U (y) und W (y). Der Ansatz für die sekundären Tollmien-Schlichting-Instabilitäten bzw. Querströmungsinstabilitäten lautet entsprechend Gl. (15.43) uS = uP + u∗ ,

vS = vP + v ∗ ,

wS = wP + w ∗ ,

pS = pP + p ∗ .

(15.56)

Werden wieder quadratische Glieder der Störgrößen u∗ , v ∗ , w ∗ und p ∗ vernachlässigt, erhält man für diese Störgrößen entsprechende lineare Stördifferentialgleichungen, die man bei T. Herbert (1988), A.H. Nayfeh (1987) und H. Oertel Jr. ( 1995) finden kann. Wieder wird dabei die Koordinate ξ nach Gl. (15.44) verwendet, wobei c entweder die Phasengeschwindigkeit cTS der betrachteten Tollmien-SchlichtingWelle oder die Phasengeschwindigkeit cQS der Störwelle einer Querströmungsinstabilität sein kann. Im Falle einer stehenden Welle gilt ξ = x als Richtung senkrecht zu den Wellenfronten. Dabei sind y die Wandnormalenrichtung und z die auf ξ senkrecht stehende wandparallele Koordinate. Der Wellenansatz für die dreidimensionalen Störungen nach Gl. (15.46) führt mit den gegebenen Randbedingungen wiederum zu einem Eigenwertproblem, das numerisch gelöst werden muß. Dazu sei erwähnt, daß die (schwache) räumliche Anfachung einer primären stationären Querströmungsinstabilität cQS = 0 in die Darstellung der zeitlichen Stabilitätstheorie näherungsweise übertragen werden kann, vgl. A.H. Nayfeh; A. Padhye (1979). Die Sequenz der Momentanstromlinien des gesamten instabilen Strömungsfeldes in Schnitten senkrecht zu den primären Querströmungswirbeln ist in Bild 15.54 dargestellt. Es zeigt sich, daß die sekundäre Störwelle um den primären Querströmungswirbel oszilliert und sich periodisch abschwächt und verstärkt. Diese mit der Stabilitätstheorie berechnete periodische Schwankung ist konsistent mit Hitzedraht-Messungen von W.S. Saric; L.G. Yeates (1985). Sie leitet den laminar– turbulenten Querströmungsübergang in dreidimensionalen Grenzschichten ein ent-

488

15 Einsetzen der Turbulenz (Stabilitätstheorie)

15.54. Momentanstromlinien der sekundären Querströmungswellen in Schnitten längs der Ausbreitungsrichtung der primären Störwellen und senkrecht zur Wand, nach T.M. Fischer; U. Dallmann (1987), ε = 0.069, ε∗ = 0.05 (a), (b), (c), (d): Sequenz einer Periode entlang der primären Querströmungswirbel v = V + ε v  + ε∗ v ∗ Bild

sprechend dem -Wirbelübergang der Tollmien-Schlichting-Instabilitäten in zweidimensionalen Grenzschichtströmungen. Ergänzend zur Stabilitätsanalyse hat sich die direkte Simulation des Transitionsprozesses bis hin zur turbulenten Grenzschichtströmung durch numerisches Lösen der Navier-Stokes-Gleichungen durchgesetzt. In Bild 15.55 sind die Simulationsergebnisse der Tollmien-Schlichting-Transition und der Transition der Querströmungswirbel in einer dreidimensionalen Flügelgrenzschicht der Mach-Zahl M∞ = 0,62 und der Reynolds-Zahl ReL = 26 · 106 dargestellt. Es sind Isoflächen der Drehung ω = ∇ × v gezeichnet. Der Transitionsprozess der Tollmien-Schlichting-Wellen beginnt mit ebenen stromab laufenden Wellen. Es folgt entsprechend der Bild 15.5 die Überlagerung dreidimensionaler Störungen und die Ausbildung von -Strukturen (fundamentaler Transitionstyp). Die -Strukturen sind Bereiche lokaler Scherung und Übergeschwindigkeit in der Spitze. Die -Strukturen sind entsprechend des Bilds 15.41 spannweitig periodisch aufgereiht und bilden mehrere periodisch hintereinander angeordnete Reihen. Mit der Entstehung der -Strukturen ist das Auftreten

15.3 Instabilität der Grenzschicht bei dreidimensionalen Störungen

489

Transition der Tollmien−Schlichting−Wellen TSI

Transition der Querströmungswirbel QSI

Bild 15.55. Laminar–turbulenter Übergang in der kompressiblen Flügelgrenzschicht, M∞ = 0.62, ReL = 26 · 106

hoher freier Scherschichten verbunden. Dies bedingt weit von der Wand abgehobene lokale Maxima der Schubspannung. Im weiteren Verlauf der Transition zerfallen die hohen Scherraten in zunehmend kleinere Strukturen, wodurch schließlich der turbulente Endzustand erreicht wird. Der Zerfall der Scherschichten erfolgt innerhalb von Wellenlängen der Tollmien-Schlichting-Wellen. Die Mechanismen des Transitionsprozesses der Querströmungswirbel sind ähnlich. Man erkennt ebenfalls die Ausbildung der -Strukturen verbunden mit hohen Scherraten und Schwankungen der Störgrößen in den Spitzen. Im Endstadium der Transition zerfallen die -Strukturen innerhalb eines kurzen Abstandes in die turbulente Grenzschichtströmung. Die direkte Strömungssimulation des Transitionsprozesses ermöglicht es, ergänzend zu Transitionsexperimenten nichtlineare Transitionsprozesse, wie den Einfluß

490

15 Einsetzen der Turbulenz (Stabilitätstheorie)

von Anfangsbedingungen, zu untersuchen. Der laminar–turbulente Übergang wird durch Störungen der freien Anströmung, wie Schall oder Turbulenz, beeinflußt. Dabei werden dem Grundzustand der ungestörten Grenzschicht zusätzliche Schwankungen überlagert, die die Anfachung dreidimensionaler Störwellen beschleunigt bzw. verzögert und damit die Ausdehnung des Transitionsbereiches mitbestimmen. Nach H.J. Obremski et al. (1969), M.V. Morkovin (1988) und U. Goldberg; E. Reshotko (1984) wird die Beeinflussung des Transitionsbereiches durch Störungen der Anströmung „Rezeptivität“ genannt. Die Störungen der freien Anströmung bestimmen die Anfangsbedingungen nach Amplitude, Frequenz und Phase. Ergebnisse auf diesem Gebiet wurden von M.E. Goldstein; L.S. Hultgren (1989), W.S. Saric et al. (1994, 2002, 2003) und im AGARDographen AGARD (1994) zusammengefaßt. Überschreitet die Amplitude der Anfangsstörung einen bestimmten Wert, können schwach angefachte Störungen der linearen Stabilitätstheorie übersprungen („bypassed“) werden, und die dreidimensionalen Störungen der sekundären Instabilitäten bzw. die turbulenten Spots werden direkt angefacht. Auf diesen Vorgang hat M.V. Morkovin (1988) erstmals hingewiesen. Über die „Bypass“-Transition, hervorgerufen durch Oberflächenrauhigkeiten bzw. Turbulenzen der freien Anströmung, wurde u.a. von U. Goldberg; E. Reshotko (1984, 1986, 1994) und J.H.M. Fransson et al. (2005) berichtet. Die Theorie dieser nichtlinearen Transitionsmechanismen ist jedoch nicht Gegenstand dieses Kapitels, das sich auf die lokale lineare Stabilitätstheorie der primären und sekundären Instabilitäten beschränkt.

15.4

Lokale Störungen In den vorangegangenen Abschnitten über primäre Instabilitäten ist im Detail erläutert worden, wie auf der Basis monochromatischer Wellenstörungen eine Strömung auf Instabilität untersucht werden kann. Dabei wurde nicht berücksichtigt, daß jede physikalisch realistische Störung als Antwort auf eine räumlich (und in der Regel zeitlich) lokalisierte Anregung erscheint. Da die monochromatischen Wellenstörungen der klassischen primären Stabilitätsanalyse per Definition räumlich unendlich ausgedehnt sind, geben sie die Eigenschaften einer räumlich begrenzten Störung (Wellenpaket) zunächst nicht wieder. Die lokalisierte Störung besteht nach J.B. Fourier vielmehr aus einem Kontinuum von Teilwellen, also einer Wellengruppe. Die hydrodynamischen Instabilitäten stellen Störwellen des Drehungsfeldes dar, und ihre Phasengeschwindigkeit c = ω/α hängt von der Wellenlänge λ = 2π/α ab. Diese sog. disperse Wellenausbreitung führt offenbar dazu, daß ein Wellenpaket, das infolge einer lokalen Störanregung entstanden ist, im Verlauf der Zeit „zerfließt“. Ein ganz wichtiger konzeptioneller Vorteil bei der Betrachtung von Störwellenpaketen anstatt von monochromatischen Einzelstörungen liegt darin, daß mit dem Wellenpaket auch die Störenergie lokalisiert ist. Somit ist es möglich, neben dem

15.4 Lokale Störungen

491

Aufklingverhalten der Störung ebenfalls den Transport (Richtungen und Geschwindigkeiten) der mitgeführten Störenergie zu ermitteln. Diese Wellenpaketdynamik in instabilen Strömungen führt damit fast zwangsläufig auf die folgende Einteilung instabiler Strömungen: Verläßt das (instabile, also Störenergie aufnehmende) Störwellenpaket zeitasymptotisch den Ort der Störungsanregung, so heißt die Strömung konvektiv instabil. Gibt es hingegen instabile Wellenpaketanteile, die am Ort der Störanregung verbleiben (d.h. kein Energietransport), dann heißt die Strömung absolut instabil. Aus der Theorie disperser Wellen ist bekannt, daß die Störenergie mit der Gruppengeschwindigkeit cg = ∂ω/∂α und nicht etwa mit der Phasengeschwindigkeit der Wellen transportiert wird. Dazu ist zu bemerken, daß z.B. in dreidimensionalen Grenzschichten sich nicht nur der Betrag der Gruppengeschwindigkeit und Phasengeschwindigkeit voneinander unterscheidet, sondern auch die Bewegungsrichtung. Auf die Details der mathematischen Beschreibung der Dynamik lokaler Störungen soll hier verzichtet werden. Die Theorie ist im Zusammenhang mit Instabilitäten an Plasmastrahlen von R.J. Briggs (1964) umfassend dargestellt worden. Die Übertragung auf Scherströmungen wurde von M. Gaster (1968) (Wellenpakete), W. Koch (1985), P. Huerre; P.A. Monkewitz (1985, 1990), R.J. Deissler (1987), K. Hannemann; H. Oertel Jr. (1989), H. Oertel Jr. (1990, 2002, 2004), H. Oertel Jr.; J. Delfs (1995, 1996, 1997), und L. Brevdo (1991, 1993, 1995) vorgenommen. Im folgenden wird das Verhalten von dreidimensionalen Wellenpaketen in einer dreidimensionalen kompressiblen Grenzschicht analysiert. Im Gegensatz zur Untersuchung zweidimensionaler Störungen erscheint nun auch die Querwellenzahl β in der Dispersionsrelationsfunktion D(ω,α,β), deren Nullstellen ja gerade durch diejenigen Kombinationen (ω, α, β) bestimmt sind, die Lösungen des Stabilitätseigenwertproblems für komplexe ω, α, β repräsentieren. Es wird die Amplitudenänderung eines Störwellenpakets im ebenen, mit der Gruppengeschwindigkeit (U,W ) bewegten Bezugssystem betrachtet. Die dann beobachtete Frequenz ist ω = ω − α · U − β · W

.

(15.57)

Es müssen diejenigen Wellen gesucht werden, deren Gruppengeschwindigkeitsvektor (∂/∂α,∂/∂β) reell ist. Die komplexe Frequenzfunktion (α,β) ist dabei definiert durch D((α,β),α,β) = 0. Es wird dann die relative zeitliche Anfachung ωi nicht nur als Funktion von U = ∂/∂α, sondern auch über der Gruppengeschwindigkeitsebene (U,W ) aufgetragen. Die Höhenlinie ωi = 0 ist dabei von besonderem Interesse, da sie dasjenige Gebiet der (U,W )-Ebene umschließt, in dem ωi > 0 ist. Dieses Gebiet repräsentiert daher diejenigen Störanteile, die zeitasymptotisch zum Wellenpaket beitragen. Bild 15.56 enthält Diagramme mit den Gebieten relativer zeitlicher Anfachung an zwei repräsentativen Positionen eines Pfeilflügels. Das untere Diagramm der Abbildung zeigt eine typische Kurve ωi = 0, die für eine Position in der Nähe der Vorderkante des Pfeilflügels, d.h. im Bereich der Querströmungsinstabilität, berechnet wird. Das obere Diagramm zeigt die entsprechende Kurve an einer Flügelposition weiter stromab, an der Tollmien-Schlichting-Instabilitäten vorliegen.

492

15 Einsetzen der Turbulenz (Stabilitätstheorie)

W 0.05

TSI

ω’ > 0 i

0 −0.05 0 W 0.05

0.2

0.4

0.6

U Bild 15.56. Gebiete relativer

QSI

0

ωi’ > 0

−0.05 0

0.2

0.4

0.6

U

zeitlicher Anfachung der Tollmien-Schlichting- (TSI) und Querströmungsinstabilität (QSI) in der Gruppengeschwindigkeitsebene (U,W )

Wir erkennen, daß beide Instabilitäten konvektiven Charakter besitzen, denn in beiden Fällen ist der Ursprung (U,W ) = (0,0) nicht im Gebiet ωi > 0 enthalten. Die anwachsende Störenergie wird in beiden Fällen stromab transportiert. Die Tangenten an die Kurven ωi = 0 bestimmen den Winkelbereich, innerhalb dessen auf Dauer die anwachsenden Störungen verbleiben. Im Falle der Querströmungs-Instabilitäten ist der Winkelbereich sehr eng und liegt im Wesentlichen stromab. Man beachte, daß die dazugehörigen Instabilitäten Wellen darstellen, die praktisch senkrecht dazu verlaufen. Hieran erkennt man besonders deutlich den fundamentalen Unterschied zwischen Gruppen- und Phasengeschwindigkeit. Nachdem festgestellt wurde, daß die Querströmungsinstabilitäten konvektiver Natur sind und daß sie stromab einen räumlich ausgedehnten Transitionsvorgang einleiten, sind entsprechende räumliche Wellenpaketanfachungsraten (gmax = [(ωi − αi · √ U − βi · W ) U 2 + W 2 ]max ) für die transsonische Pfeilflügelgrenzschicht berechnet worden. In Bild 15.57 sind die Eigenwerte, Eigenfunktionen und instabilen Bereiche von Wellenpaket-Störungen für Pfeilwinkel von 15◦ bis 25◦ dargestellt ( H. Oertel Jr.; R. Stank (1999)). Die Vermeidung der Querströmungsinstabilität ist wesentlich bei der Entwicklung eines gepfeilten Laminarflügels, da unerwünschterweise der durch sie hervorgerufene Transitionsvorgang schon in unmittelbarer Nähe der Vorderkante beginnt. Mit Hilfe der Methoden der Stabilitätsanalyse kann der Bereich der Auslegungsparameter eines Pfeilflügels bestimmt werden, innerhalb dessen aktive Beeinflussungsmaßnahmen noch nicht benötigt werden (natürliche Laminarhaltung). Einer dieser Parameter ist der Pfeilwinkel. Bei sonst gleicher Anströmung wird es einen kritischen Pfeilwinkelbereich geben, innerhalb dessen der Transitionsvorgang von TSI-dominiert auf QSI-dominiert wechselt.

15.4 Lokale Störungen ωi

y δ 15

-3

10

493

4

akustisches Spektrum

0

10 w^

4 δ

5

ρ^ , T^

kontinuierliches Spektrum

8 -1.0

0.0

v^ 0

ωr

2.0

1.0

QSI-Eigenwerte

0

u^

0.2 0.4 0.6 0.8 Eigenfunktionen

W 0.05 25

15

-0.05 φ -0.15

0

0.2

0.4

0.6

0.8

U

Instabiler Bereich in Abhängigkeit des Pfeilwinkels φ

Bild 15.57. Eigenwerte, Eigenfunktionen und instabile Bereiche der Querströmungsinstabilität in den kompressiblen Grenzschichten von Pfeilflügeln, M∞ = 0.87, Rel = 26 · 107

16 Grundzüge der turbulenten Strömungen

16.1

Vorbemerkung Sehr viele technisch wichtige Strömungen sind turbulent. Man versteht darunter, daß der Hauptbewegung eine unregelmäßige Schwankungsbewegung (Mischbewegung) überlagert ist. Zur Veranschaulichung sind in Bild 16.1a,b,c,d einige Strömungsphotographien der turbulenten Strömung in einem Wassergerinne wiedergegeben. Dabei wurde die Strömung durch ein auf die Wasseroberfläche aufgestreutes Pulver sichtbar gemacht. Die Strömungsgeschwindigkeit ist auf allen vier Bildern die gleiche, während die Kamera sich mit verschiedenen Geschwindigkeiten längs der Kanalachse bewegt. Aus den Bildern läßt sich in einfacher Weise ablesen, ob die Längsgeschwindigkeit der Fluidteilchen größer oder kleiner als die der Kamera ist. Die Bilder geben einen eindrucksvollen Begriff von der Kompliziertheit turbulenter Strömungen. Die der Hauptbewegung überlagerte Schwankungsbewegung ist in ihren Einzelheiten so hoffnungslos kompliziert, daß ihre theoretische Berechnung aussichtslos erscheint. Die von ihr verursachte Mischbewegung ist jedoch für den Ablauf der Strömung und für den Kräftehaushalt von sehr großer Bedeutung. Sie bringt Wirkungen hervor, als ob die Viskosität hundertfach, zehntausendfach oder noch stärker erhöht wäre. Bei hohen Reynolds-Zahlen fließt ständig Energie von der Grundströmung in die großen Turbulenzballen. Die Dissipation der Energie geschieht dagegen überwiegend in den kleinen Turbulenzballen, und zwar in einem schmalen, an die Wand angrenzenden Streifen der Grenzschicht, wie bei P.S. Klebanoff (1955) ausgeführt ist und in den Abschnitten 16.3.3 und 17.1.2 gezeigt wird. Die turbulente Mischbewegung ist maßgeblich für den großen Widerstand der turbulenten Strömung in Rohrleitungen, für den Reibungswiderstand der Schiffe und Flugzeuge und für die Verluste in Turbinen und Gebläsen. Andererseits gibt aber die Turbulenz auch erst die Möglichkeit eines größeren Druckanstieges in Diffusoren oder entlang Flugzeugtragflügeln und Gebläseschaufeln. In einer laminaren Strömung, also ohne Turbulenz, würden diese Strömungen durchweg Ablösung aufweisen und damit nur geringen Druckanstieg beim Diffusor und eine schlechte Wirkung der Flügel und Schaufeln ergeben. In den folgenden Kapiteln sollen jetzt die Gesetzmäßigkeiten der ausgebildeten turbulenten Strömung behandelt werden. Da eine rein theoretische Berechnung der turbulenten Strömung wegen der Kompliziertheit der Schwankungsbewegung bis heute nur in Ausnahmefällen möglich ist, begnügt man sich in der Praxis damit, die zeitlichen Mittelwerte der turbulenten Bewegung zu erfassen.

496

16 Grundzüge der turbulenten Strömungen

Bild 16.1. Turbulente Strömung in einem Wassergerinne von 6 cm Breite, aufgenommen mit verschieden rasch bewegter Kamera. Aufnahme von J. Nikuradse (1929), Wiedergabe nach W. Tollmien (1931). Geschwindigkeit der Kamera: a: 12,2 cm/s; b: 20 cm/s; c: 25 cm/s; d: 27,6 cm/s

Es bestehen jedoch grundsätzliche Schwierigkeiten, Bewegungsgleichungen nur für die mittlere Bewegung aufzustellen. Da die turbulente Schwankungsbewegung mit der mittleren Bewegung stark gekoppelt ist, entstehen bei der Aufstellung der Grundgleichungen für die mittlere Bewegung durch zeitliche Mittelbildung der Navier-Stokes-Gleichungen zusätzlichen Terme, die durch die turbulente Schwankungsbewegung bestimmt werden. Diese zusätzlichen Terme stellen für die Berechnung der mittleren Bewegung zusätzliche Unbekannte dar. Bei der zeitlichen Mittelung der Navier-Stokes-Gleichungen erhält man also – wie noch gezeigt wird – mehr Unbekannte als Gleichungen. Um das System der Bewegungsgleichungen zu schließen, müssen weitere Gleichungen hinzukommen, welche die von der Schwan-

16.2 Mittlere Bewegung und Schwankungsbewegung

497

kungsbewegung herrührenden Zusatzterme mit dem Geschwindigkeitsfeld der mittleren Bewegung in Verbindung bringen. Diese Gleichungen können nicht mehr allein aus den Bilanzen für Masse, Impuls und Energie aufgestellt werden. Vielmehr handelt es sich um Modellgleichungen, in denen der Zusammenhang zwischen Schwankungsbewegung und mittlerer Bewegung modelliert wird. Das Aufstellen dieser Modellgleichungen zur Schließung des Gleichungssystems wird als Turbulenzmodellierung bezeichnet und stellt das zentrale Problem bei der Berechnung der mittleren Bewegung turbulenter Strömungen dar. In den folgendenAbschnitten werden die Grundgleichungen für die mittlere Bewegung turbulenter Strömungen hergeleitet. Da zur Schließung des Gleichungssystems eine Modellierung der turbulenten Schwankungsbewegung erforderlich ist, werden für diese im Abschnitt 16.5 einige wichtige Grundbegriffe zusammengestellt.

16.2

Mittlere Bewegung und Schwankungsbewegung Bei näherer Analyse einer turbulenten Strömung ergibt sich als ihr hervorstechendstes Merkmal, daß in einem festgehaltenen Raumpunkt die Geschwindigkeit und der Druck nicht zeitlich konstant sind, sondern sehr unregelmäßige Schwankungen aufweisen (vgl. Bild 15.15). Die Fluidelemente, die als Ganzes Schwankungen in und quer zur Hauptströmung ausführen, sind nicht etwa die einzelnen Moleküle wie in der kinetischen Gastheorie, sondern makroskopische, mehr oder weniger kleine „Fluidballen“. Bei der Strömung in einem Kanal beispielsweise betragen die Geschwindigkeitsschwankungen zwar nur wenige Prozent der mittleren Geschwindigkeit, aber trotzdem sind sie von ausschlaggebender Bedeutung für den Ablauf der ganzen Bewegung. Man hat sich diese Schwankungsbewegung etwa so vorzustellen, daß gewisse größere Fluidvolumina mit einer Eigenbewegung ausgestattet sind, die sich der mittleren Bewegung überlagert. Aus den Strömungsaufnahmen in Bild 16.1b,c,d sind solche Fluidballen gut zu erkennen. Die Größe dieser Fluidballen, die laufend neu entstehen und wieder zerfallen, gibt die räumliche Erstreckung der Turbulenzelemente. Die Größe der Turbulenzelemente wird bestimmt durch die äußeren Bedingungen der Strömung, also z.B. durch die Maschenweite eines Gleichrichters, durch den das Fluid hindurchgeströmt ist. Einige quantitative Messungen der Schwankungsgrößen werden in Abschnitt 16.5 angegeben. Beim natürlichen Wind treten die Schwankungen als Böigkeit sehr deutlich in Erscheinung, wo sie oft Beträge in der Größenordung von 50 % der mittleren Geschwindigkeit erreichen. Die Abmessungen der Turbulenzelemente des Windes kann man z.B. an dem Wogen eines Getreidefeldes erkennen. Bereits in Kap. 15 wurde darauf hingewiesen, daß es für die rechnerische Behandlung einer turbulenten Bewegung zweckmäßig ist, diese aufzuteilen in eine mittlere Bewegung und eine Schwankungsbewegung. Bezeichnet man den zeitlichen Mittelwert der Geschwindigkeitskomponente u mit  u und die Schwankungsgeschwindigkeit mit u , so gilt für die Geschwindigkeitskomponen-

498

16 Grundzüge der turbulenten Strömungen

ten und den Druck: u= u + u ;

v = v + v;

w=w  + w ;

p=p  + p ,

(16.1 a,b,c,d)

wie bereits in Gl. (15.2) angegeben. Für eine kompressible turbulente Strömung (Kap. 19) hat man außerdem auch Schwankungen der Dichte  und der Temperatur T , somit  =  +  ;

T = T + T  .

(16.1 e,f)

Hierbei werden die Mittelwerte als zeitliche Mittelwerte in einem festgehaltenen Raumpunkt gebildet, also z.B. 1  u= t1

t 0 +t1

u dt.

(16.2)

t0

Die Mittelwertbildung ist über ein so großes Zeitintervall t1 zu erstrecken, daß die Mittelwerte von der Zeit unabhängig sind. Die zeitlichen Mittelwerte der Schwankungsgrößen sind dann nach Definition gleich null:  = 0, v = 0; u

 = 0; w

 = 0; p

 = 0;

T = 0.

(16.3)

Hier und im folgenden wird also zunächst angenommen, daß die mittlere Bewegung von der Zeit unabhängig ist. Man spricht in diesem Fall von stationärer turbulenter Strömung. Auf sogenannte instationäre turbulente Strömungen wird in Kap. 22 eingegangen. Die für den Ablauf der turbulenten Bewegung fundamental wichtige Tatsache ist nun die, daß die Schwankungsbewegung u , v  , w  den Ablauf der mittleren Bewegung  u,  v, w  so beeinflußt, als ob für letztere der Widerstand gegen Deformation scheinbar erhöht ist. Mit anderen Worten, das Vorhandensein der Schwankungsbewegung wirkt sich für die mittlere Bewegung so aus, als ob für diese die Viskosität scheinbar erhöht ist. Diese erhöhte scheinbare Viskosität der mittleren Bewegung steht im Mittelpunkt aller theoretischen Betrachtungen über turbulente Strömungen. Es soll deshalb zunächst unsere Aufgabe sein, Einsicht in diesen Zusammenhang zu bekommen. Für das Folgende ist es nützlich, kurz einige Rechenregeln anzugeben, denen die zeitlichen Mittelwerte genügen. Seien f und g abhängige Variable, deren Mittelwerte gebildet werden sollen, und sei s eine der unabhängigen Variablen x, y, z, t, so gelten die folgenden Regeln:  = f, f ∂ f ∂f = , ∂s ∂s

f + g = f +  g,   f ds = fds .

f · g = f ·  g, (16.4)

16.2 Mittlere Bewegung und Schwankungsbewegung

499

Bevor wir den Zusammenhang zwischen der mittleren Bewegung und den von der Schwankungsbewegung verursachten scheinbaren Spannungen herleiten, möge eine anschauliche Erläuterung der wichtigsten dieser scheinbaren Spannungen mit Hilfe des Impulssatzes gegeben werden. Wir betrachten in einer turbulenten Strömung mit den Geschwindigkeitskomponenten u, v, w ein Flächenstück dA, dessen Normale parallel zur y-Achse sei, vgl. Bild 16.2. In der Fläche dA liegen die Richtungen x und z. Die in der Zeit dt durch dieses Flächenstück fließende Fluidmasse ist dAv dt. Die x-Komponente des Impulses ist somit dAuv dt. Bildet man den zeitlichen Mittelwert für den Impuls, so erhält man für den mittleren Impulsfluß (Impuls pro Zeit) d I˙ = dA · uv. Nach Gl. (16.1) gilt uv = ( u + u )( v + v ) =  u v + uv  +  v u + u v  , und unter Beachtung der Regeln (16.3) und (16.4) ergibt sich uv =  u v + u v  . Damit erhält man für den Fluß in y-Richtung des x-Impulses: $ # u v + u v  . d I˙ = dA ·   Dieser Ausdruck hat als zeitliche Änderung des Impulses die Dimension einer Kraft am Flächenstück dA. Nach Division durch dA erhalten wir eine Kraft pro Fläche, also eine Spannung. Da der Impulsfluß äquivalent ist einer entgegengesetzt gleich großen Schubkraft des Fluids auf diese Fläche, wirkt also auf das zur y-Achse senkrechte Flächenelement eine Schubspannung in x-Richtung. Wir haben somit das Ergebnis, daß durch das Hinzutreten der Schwankungsbewegung zur mittleren Bewegung an dem zur y-Achse senkrechten Flächenelement die folgende zusätzliche Schubspannung in x-Richtung auftritt:  = −u v  . τxy

(16.5)

Wie man leicht zeigen kann, treten auch für die beiden anderen Koordinaten-Richtungen zusätzliche Spannungen (für die y-Richtung eine Normalspannung und für die z-Richtung auch eine Schubspannung) auf, vgl. H. Schlichting (1982, S. 570). Die zusätzlichen Spannungen heißen die „scheinbaren“ Spannungen der turbulenten Strömung, und sie kommen zu den Spannungen der stationären Strömung, wie wir sie bei der laminaren Strömung kennenlernten, noch additiv hinzu. Entsprechende Ausdrücke für die Spannungskomponenten erhält man für Flächenelemente senkrecht zur x- und z-Achse und

Bild 16.2. Impulsübertragung durch die turbulente Schwankungsgeschwindigkeit

500

16 Grundzüge der turbulenten Strömungen

damit einen vollständigen Spannungstensor der turbulenten Scheinreibung. Die Gl. (16.5) wurde zuerst von O. Reynolds (1894) aus den hydrodynamischen Bewegungsgleichungen hergeleitet (vgl. den nächsten Abschnitt), die scheinbaren Spannungen werden daher auch Reynolds-Spannungen genannt.

Daß der zeitliche Mittelwert u v  in Gl. (16.5) einen von null verschiedenen Wert hat, läßt sich anschaulich leicht einsehen. Es werde dazu nach Bild 16.2 die einfache ebene Scherströmung mit  u= u(y),  v =w  = 0 und d u/dy > 0 betrachtet. Die in der Schicht y infolge der Querbewegung von unten her ankommenden Teilchen (v  > 0) kommen aus einem Gebiet mit kleinerer mittlerer Geschwindigkeit  u. Da sie bei der Querbewegung ihr ursprüngliches  u im wesentlichen beibehalten, verursachen sie in der Schicht y ein negatives u . Umgekehrt geben die von oben kommenden Teilchen (v  < 0) in der Schicht y ein positives u . Im ganzen ist also bei dieser Strömung ein positives v  „meistens“ mit einem negativen u gekoppelt und ein negatives v  mit einem positiven u . Somit ist zu erwarten, daß der zeitliche Mittelwert  = −u v  u v  von null verschieden ist, und zwar negativ. Die Schubspannung τxy ist in diesem Fall also positiv und hat somit das gleiche Vorzeichen wie die viskose Schubspannung für diesen Fall  τv = µd u/dy. Man sagt auch, daß in diesem Fall zwischen den Längs- und Querschwankungen der Geschwindigkeit am gleichen Ort eine Korrelation besteht.

16.3

Grundgleichungen für die mittlere Bewegung turbulenter Strömungen In diesem Abschnitt werden der Einfachheit halber zunächst nur Strömungen mit konstanten Stoffwerten betrachtet. Die Erweiterungen für Strömungen mit variablen Stoffwerten folgen im Kap. 19. Aus den Bilanzgleichungen für Masse, Impuls und Energie instationärer, laminarer Strömungen werden jetzt die entsprechenden Grundgleichungen für die mittlere Bewegung stationärer turbulenter Strömungen hergeleitet. 16.3.1 Kontinuitätsgleichung In der Kontinuitätsgleichung, vgl. Gl. (12.55) mit hx = hz = 1, ∂u ∂v ∂w + + =0 ∂x ∂y ∂z

(16.6)

werden die Geschwindigkeiten nach Gl. (16.1) in ihre Mittelwerte und ihre Schwankungswerte aufgeteilt. Die zeitliche Mittelung der Gl. (16.6) erfolgt durch gliedweise Mittelung. Das ergibt wegen ∂u /∂x = 0 usw. ∂ u ∂ v ∂w  + + = 0. ∂x ∂y ∂z

(16.7)

16.3 Grundgleichungen für die mittlere Bewegung turbulenter Strömungen

501

Hieraus folgt zusammen mit Gl. (16.6) auch ∂v  ∂w  ∂u + + = 0. ∂x ∂y ∂z

(16.8)

Sowohl die zeitlichen Mittelwerte als auch die Schwankungen der Geschwindigkeitskomponenten erfüllen also in gleicher Weise die Kontinuitätsgleichung der laminaren Strömung.

16.3.2 Impulsgleichungen (Reynolds-Gleichungen) Es ist das Ziel der nachfolgenden Rechnung, die Bewegungsgleichungen anzugeben, welchen die zeitlichen Mittelwerte der Geschwindigkeitskomponenten  u,  v, w  und des Druckes p  genügen müssen. Die Navier-Stokes-Gleichungen der inkompressiblen Strömung nach Gl. (3.42) schreiben wir in der Form 

 ∂u ∂(u2 ) ∂(uv) ∂(uw) ∂p  + + + + µu, =− ∂t ∂x ∂y ∂z ∂x   ∂v ∂(vu) ∂(v 2 ) ∂(vw) ∂p  + + + + µv, =− ∂t ∂x ∂y ∂z ∂y   ∂w ∂(wu) ∂(wv) ∂(w 2 ) ∂p  + + + + µw . =− ∂t ∂x ∂y ∂z ∂z

(16.9 a)

(16.9 b)

(16.9 c)

Dabei bedeutet  den Laplaceschen Operator. Das Schwerkraftglied fehlt hier, da der Druck bereits der durch die Bewegung des Fluids hervorgerufene Anteil nach Gl. (4.19) ist. Wir führen für die Geschwindigkeitskomponenten und den Druck die Zerlegung in ihren zeitlichen Mittelwert und die Schwankungsgrößen nach Gl. (16.1) ein und bilden sodann in den entstehenden Gleichungen gliedweise die zeitlichen Mittelwerte. Dabei sind die Rechenregeln (16.4) zu beachten. Durch Einführen der Ansätze Gl. (16.1) in die Bewegungsgleichungen (16.9a,b,c) ergeben sich Ausdrücke wie z.B. in Gl. (16.5). Bei der nachfolgenden Bildung der zeitlichen Mittelwerte und Beachtung der Regeln (16.4) bleiben die in den überstrichenen Gliedern quadratischen Glieder ungeändert, da sie schon zeitlich konstant sind. Die in den Schwankungsgrößen linearen Glieder, wie z.B. ∂u /∂t und ∂ 2 u /∂x 2 , fallen bei der Mittelwertbildung wegen Gl. (16.3) fort. Das gleiche gilt für die gemischten Glieder wie z.B. u·u . Stehen bleiben jedoch die in den Schwankungsgrößen quadratischen Glieder; sie haben nach Ausführung der zeitlichen Mittelwertbildung die Form u 2 , u v  . Man erhält somit aus Gl. (16.9) nach Bildung der zeitlichen Mittelwerte das folgende Gleichungssystem, wenn man noch die linken Seiten mit Hilfe der Kontinuitätsgleichung (16.7) umformt und die in den Schwankungsgrößen quadratischen Glieder auf die rechte Seite bringt:

502

16 Grundzüge der turbulenten Strömungen


 ∂ u ∂ u ∂ u   u + v +w  ∂x ∂y ∂z


2  ∂p  ∂u ∂u v  ∂u w  + µ u− + + ∂x ∂x ∂y ∂z
 ∂ v ∂ v ∂ v   u + v +w  ∂x ∂y ∂z
   ∂p  ∂u v ∂v  2 ∂v  w  =− + µ v− + + ∂y ∂x ∂y ∂z
 ∂w  ∂w  ∂w  + v +w    u ∂x ∂y ∂z
   ∂p  ∂u w ∂v  w  ∂w  2 =− + µ w− + + . ∂z ∂x ∂y ∂z =−

(16.10)

Zu diesen Gleichungen kommt die Kontinuitätsgleichung (16.7) hinzu. Die linke Seite von Gl. (16.10) stimmt formal mit den stationären Navier-StokesDifferentialgleichungen (3.42) überein, wenn an Stelle von u, v, w die zeitlichen Mittelwerte dieser Größen geschrieben werden. Dasselbe gilt für die Druck- und Reibungsglieder auf der rechten Seite. Zu diesen sind jedoch noch Zusatzglieder gekommen, welche von der turbulenten Schwankungsbewegung herrühren. Wie man aus dem Vergleich von Gl. (16.10) mit Gl. (3.17) erkennt, können die Zusatzglieder auf der rechten Seite von Gl. (16.10) als die Komponenten eines Spannungstensors aufgefaßt werden. Dieser liefert als resultierende Oberflächenkraft pro Volumeneinheit nach Gl. (3.16): P =


e x
+ ey

 ∂τxy

∂x


+ ez

 ∂τxy ∂τ  ∂σx + xz + ∂y ∂x ∂z

+

∂σy ∂y

+

 ∂τyz

 

∂z

   ∂τyz ∂τxz ∂σ  + + z . ∂x ∂y ∂z

Schreibt man nun nach dem Vorbild von Gl. (3.17) auch Gl. (16.10) in der Form 
∂ u ∂ u ∂ u + v +w    u ∂x ∂y ∂z ∂p  + µ u+ =− ∂x




 ∂τxy ∂τ  ∂σx + + xz ∂x ∂z ∂y



16.3 Grundgleichungen für die mittlere Bewegung turbulenter Strömungen


 ∂ v ∂ v ∂ v   u + v +w  ∂x ∂y ∂z =−

∂p  + µ v+ ∂y





 ∂w  ∂w  ∂w    u + v +w  ∂x ∂y ∂z ∂p  =− + µ w+ ∂z

 ∂τxy

∂x




+

∂σy ∂y

+

 ∂τyz

503



∂z

   ∂τyz ∂τxz ∂σz + + , ∂x ∂y ∂z

(16.11)

so gilt, wie man aus dem Vergleich von Gl. (16.11) mit Gl. (16.10) ersieht, für den Spannungstensor der von der Schwankungsbewegung hervorgerufenen Kräfte ⎞ ⎛ ⎛    ⎞ σx τxy τxz u 2 u v  u w  ⎜ ⎟   ⎠ ⎝τxy σy τyz = − ⎝ u v  v  2 v  w  ⎠ . (16.12)         2 τxz τyz σz u w v w w  des Spannungstensors stimmt mit der aus der Impulsbetrachtung geDer Term τxy wonnenen Größe nach Gl. (16.5) überein. Wie bereits erwähnt, werden die scheinbaren Spannungen auch ReynoldsSpannungen genannt. Entsprechend heißen die Impuls-Gleichungen (16.11) auch Reynolds-Gleichungen. Als Ergebnis dieser Betrachtungen haben wir also gefunden, daß die zeitlichen Mittelwerte der Geschwindigkeitskomponenten der turbulenten Bewegung nach Gl. (16.11) denselben Gleichungen wie die Geschwindigkeitskomponenten einer laminaren Strömung genügen, bei denen jedoch zu den Reibungskräften der laminaren Strömung noch zusätzliche Spannungen hinzutreten, die durch den Spannungstensor Gl. (16.12) gegeben sind. Diese zusätzlichen Spannungen nennt man die scheinbaren Spannungen der turbulenten Strömungen. Sie werden durch die turbulente Schwankungsbewegung hervorgerufen und sind durch die zeitlichen Mittelwerte der quadratischen Schwankungsgrößen gegeben. Da diese Spannungen zu den gewöhnlichen Spannungen einer Strömung hinzutreten und sich in ähnlicher Weise wie diese auf den Bewegungsablauf auswirken, nennt man sie auch häufig die Scherkräfte der turbulenten Scheinreibung. Die gesamten Spannungen setzen sich additiv zusammen aus den gewöhnlichen viskosen Spannungen nach Gl. (3.37) und (3.38a) und diesen scheinbaren turbulenten Spannungen, also z.B.

∂ u σx = −p + 2µ − u 2 , ∂x
 v ∂ u ∂ τxy = µ + − u v  , . . . . ∂y ∂x

(16.13)

Im allgemeinen überwiegen die Spannungen der turbulenten Scheinreibung die viskosen Spannungen bei weitem, so daß man die letzteren in vielen Fällen mit guter Näherung vernachlässigen kann, wenn man von Bereichen in unmittelbarer Wandnähe absieht.

504

16 Grundzüge der turbulenten Strömungen

16.3.3 Gleichung für die kinetische Energie der turbulenten Schwankungsbewegung (k-Gleichung) Für das Verständnis der physikalischen Vorgänge in der turbulenten Schwankungsbewegung und insbesondere bei der Turbulenzmodellierung spielt die Bilanzgleichung für die kinetische Energie der Schwankungsbewegung eine wichtige Rolle. Es handelt sich um die Bilanz der Größe $ 1 1# k = q 2 = u2 + v  2 + w  2 (16.14) 2 2 mit

q 2 = u 2 + v  2 + w  2 ,

(16.15)

weshalb man auch von der k-Gleichung spricht. Diese Gleichung läßt sich aus den Navier-Stokes-Gleichungen herleiten, wie z.B. bei K. Gersten; H. Herwig (1992 S. 769) beschrieben ist. Sie lautet für stationäre Strömungen mit konstanten Stoffwerten:
 1 ∂k ∂k ∂k   u + v +w  Konvektion ∂x ∂y ∂z ⎫ ⎪   ⎪ 

⎪ ⎬ ∂  2  2 ∂ turbulente     =− u p + q v p + q − ∂x 2 ∂y 2 Diffusion ⎪ ⎪ ⎪ ⎭  
∂  − w p + q 2 ∂z 2  2 $ $ ∂ # ∂2 # 2 + +µ k + k + v 2 u 2 2 ∂x ∂y 2 # $ ∂ + 2 k + w 2 ∂z
2    ∂ uv ∂ 2 v  w ∂ 2 w  u +2 + + ∂x∂y ∂y∂z ∂z∂x

⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎬


∂ u ∂ v ∂w  − u 2 + u v  + u w  ∂x ∂x ∂x ∂ u ∂ v ∂w  +u v  + v 2 + v  w ∂y ∂y ∂y  ∂ u ∂ v ∂w  +u w  + v  w + w 2 ∂z ∂z ∂z

⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎬

− ε. Für die Dissipation gilt, vgl. Gl. (3.62),

viskose Diffusion ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎭

TurbulenzProduktion ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎭ 1 Dissipation

(16.16)

16.3 Grundgleichungen für die mittlere Bewegung turbulenter Strömungen

505


 2
 2
 2 ∂u ∂v ∂w  ε=µ 2 +2 +2 ∂x ∂y ∂z
+

∂u ∂v  + ∂y ∂x




2 +

∂u ∂w  + ∂z ∂x




2 +

∂v  ∂w  + ∂z ∂y

2  .

(16.17)

Häufig werden die Terme für die viskose Diffusion und die Dissipation anders zusammengefaßt. Es gilt für die Differenz der beiden Terme µ[. . .] −  ε = µk − ε,

(16.18)

wobei  der Laplace-Operator ist. Die neu eingeführte Größe 
ε = µ
+
+

∂u ∂x

∂u ∂y ∂u ∂z




2 +




2 +




2 +

∂v  ∂x

∂v  ∂y ∂v  ∂z




2 +




2 +




2 +

∂w  ∂x

∂w  ∂y ∂w  ∂z

2

2 2  (16.19)

stellt eine Art Pseudo-Dissipation dar. Leider wird sie in der Literatur häufig zu Unrecht auch Dissipation genannt. Die k-Gleichung beschreibt die Bilanz zwischen vier Beiträgen zum Energiehaushalt der turbulenten Schwankungsbewegung: Konvektion, Diffusion, Produktion und Dissipation. Dabei besteht die Diffusion aus den beiden Anteilen der viskosen Diffusion und der turbulenten Diffusion. Bei den Diffusionsgliedern handelt es sich stets um Gradienten, deren Beiträge also bei einer globalen Bilanz durch die Integration (z.B. über den Strömungsquerschnitt) verschwinden. Wie Gl. (16.17) erkennen läßt, ist die Dissipation  ε stets positiv. In Gl. (16.16) stellt der Dissipationsterm − ε eine „Energiesenke“ dar. Demgegenüber ist die Turbulenz-Produktion in Gl. (16.16) im allgemeinen positiv. Wenn in einer turbulenten Strömung die Terme für Turbulenz-Produktion und Dissipation sehr viel größer sind als die übrigen Beiträge zum Energiehaushalt, spricht man von GleichgewichtsBereichen, da dann näherungsweise Turbulenz-Produktion gleich Dissipation gilt, vgl. Kap. 17 und 18. Es können in turbulenten Strömungen auch Zonen existieren, in denen die Turbulenz-Produktion negativ ist, d.h. in denen Energie von der Schwankungsbewegung in die mittlere Bewegung zurückfließt. (Dieses tritt z.B. beim turbulenten Wandstrahl auf, vgl. Kap. 22.8). Im allgemeinen wird jedoch die durch Konvektion hervorgerufene Änderung der turbulenten kinetischen Energie durch eine „Energiequelle“ (Turbulenz-Produktion), durch eine „Energiesenke“ (Dissipation) und durch Energietransport (Diffusion) kompensiert. Die Dissipation bedeutet eine Umwandlung von turbulenter kinetischer Energie in innere Energie.

506

16 Grundzüge der turbulenten Strömungen

16.3.4 Thermische Energiegleichung Zur Beschreibung des mittleren Temperaturfeldes T(x,y,z) läßt sich aus der thermischen Energiegleichung (3.71) eine entsprechende Gleichung herleiten. Für konstante Stoffwerte lautet sie:
  1 ∂ T ∂ T ∂T cp  + v +w  u Konvektion ∂x ∂y ∂z ⎫
2  ⎬ molekularer 2 2   ∂ T ∂ T ∂ T Wärme=λ + + ⎭ ∂x 2 ∂y 2 ∂z2 transport ⎫
   ⎬ turbulenter ∂v  T  ∂w  T  ∂u T Wärme−cp + + ⎭ ∂x ∂y ∂z transport (16.20)
2

2  ⎫ ∂ v ∂w  2 ∂ u +2 +2 +µ 2 ⎪ ⎪ ⎪ ∂x ∂y ∂z ⎪ ⎪
2
2 ⎪ ⎬ ∂ u ∂ ∂ u ∂w v  direkte + + + + Dissipation ⎪ ∂y ∂x ∂z ∂x ⎪ ⎪ ⎪
2  ⎪ ⎪ ∂ v ∂w  ⎭ + + ∂z ∂y  turbulente + ε. Dissipation Danach gilt für das mittlere Temperaturfeld dieselbe Gleichung wie für laminare Temperaturfelder, jedoch mit zwei Zusatzgliedern. Zunächst tritt neben der molekularen Wärmeleitung eine „scheinbare“ Wärmeleitung aufgrund der turbulenten Schwankungen von Geschwindigkeiten und Temperaturen auf. Die Korrelationen zwischen den Geschwindigkeitsschwankungen und den Temperaturschwankungen # $ führen zu einer „turbulenten Wärmeübertragung“, die durch denAusdruck div v  T  charakterisiert ist. Schließlich tritt zur „direkten Dissipation“, die der Dissipation bei laminaren Strömungen entspricht, noch die „turbulente“ Dissipation  ε hinzu, die bereits in der Bilanzgleichung für die turbulente kinetische Energie, Gl. (16.16), auftrat. Danach geht bei turbulenten Strömungen mechanische Energie auf zwei verschiedenen Wegen in innere Energie über. Bei der direkten Dissipation erfolgt der Übergang aufgrund der Viskosität direkt, bei der turbulenten Dissipation erfolgt jedoch der Übergang indirekt, d.h. auf dem Umweg über die turbulente Schwankungsbewegung, indem mechanische Energie von der mittleren Bewegung zunächst in die turbulente Schwankungsbewegung und dann schließlich in innere Energie übergeht.

16.4 Schließungsproblem

507

16.4

Schließungsproblem Die Gleichungen (16.7), (16.11) und (16.20) werden verwendet, um die zeitlich gemittelten Felder für die Geschwindigkeit v , den Druck p  und die Temperatur T zu berechnen. Die Randbedingungen für die zeitlichen Mittelwerte sind die gleichen wie bei den laminaren Strömungen, also z.B. die Haftbedingung für die Geschwindigkeit an festen Wänden. An den Wänden verschwinden aber auch alle Schwankungskomponenten der Geschwindigkeit und damit auch alle Reynolds-Spannungen. Daher werden auch bei turbulenten Strömungen Schubkräfte an der Wand nur durch die Viskosität erzeugt. Auch für die Temperatur wird in der Praxis meistens angenommen, daß die Wandtemperaturen keine zeitlichen Schwankungen aufweisen. Dieses ist erfüllt, wenn das Produkt cp λ für das Wandmaterial sehr viel größer ist als für das Fluid, vgl. K. Gersten, H. Herwig (1992, S. 461 u. 470). Die Gradienten der Geschwindigkeit und der Temperatur und damit die Schubspannung τ = µ(∂u/∂y) und die Wärmestromdichte q = −λ(∂T /∂y) sind jedoch auch an der Wand zeitlich schwankende Größen, ebenso der Wanddruck. Für die Berechnung der mittleren Geschwindigkeits- und Temperaturfelder turbulenter Strömungen mittels der Gleichungen (16.7), (16.11) und (16.20) ergibt sich eine prinzipielle Schwierigkeit. Die genannten Gleichungen enthalten neben den Unbekannten v , p  und T noch weitere Unbekannte, nämlich die Reynolds-Spannungen, ε. Um eine die Komponenten der Korrelation v  T  und die turbulente Dissipation  Berechnung turbulenter Strömungen zu ermöglichen, muß das Gleichungssystem durch zusätzliche Gleichungen für die genannten zusätzlichen Unbekannten ergänzt, d.h. „geschlossen“ werden. Nun lassen sich für die zusätzlichen Unbekannten, bei denen es sich im wesentlichen um Korrelationen handelt, auch Bilanzgleichungen aufstellen. Die k-Gleichung (16.16) ist ein Beispiel. Sie ist eine Bilanzgleichung für die Summe der Normalspannungen der Reynolds-Spannungen. Entsprechende Bilanzgleichungen existieren auch für alle genannten Korrelationen. Leider treten bei diesen Bilanzgleichungen, wie das Beispiel der k-Gleichung zeigt, weitere Unbekannte zusätzlich auf, nämlich die Geschwindigkeits-Druck-Korrelation v  p  und sogenannte Tripel-Korrelationen v  q 2 = v  (u 2 + v  2 + w  2 ). Durch Hinzunahme der Bilanzgleichungen für zusätzlich auftretende Unbekannte ist danach das Gleichungssystem grundsätzlich nicht zu schließen. Dieses sogennante „Schließungsproblem“ spielt die zentrale Rolle in der Turbulenzforschung. Um den Zusammenhang zwischen den Reynolds-Spannungen und Größen der mittleren Bewegung herzustellen, müssen Modellgleichungen entwickelt werden; man spricht daher von Turbulenz-Modellen oder Turbulenz-Modellierung. Diese werden empirische Elemente enthalten. Dabei können auch die Bilanzgleichungen der Reynolds-Spannungen verwendet werden, wie es z.B. mit der k-Gleichung geschieht, wobei jedoch etwa die Geschwindigkeit-Druck-Korrelationen oder die Tripel-Korrelationen geeignet modelliert werden müssen. Auf die verschiedenen Turbulenz-Modelle wird u.a. in Kap. 17 und 18 eingegangen.

508

16 Grundzüge der turbulenten Strömungen

Um möglichst gute und allgemeingültige Modellgleichungen entwickeln zu können, sind detaillierte Kenntnisse über die physikalischen Vorgänge der turbulenten Schwankungsbewegung erforderlich. Daher sollen im folgenden wenigstens einige wichtige Eigenschaften der turbulenten Schwankungsbewegung angegeben werden.

16.5

Beschreibung der turbulenten Schwankungsbewegung 16.5.1 Korrelationen Der zeitlich schwankende Verlauf der Geschwindigkeitskomponenten in turbulenten Strömungen kann mittels Hitzdrahtanemometrie oder Laser-Doppler-Anemometrie experimentell ermittelt werden. Mit („kalten“) Hitzdrahtsonden können auch die Temperaturschwankungen erfaßt werden. Schwieriger ist die Messung von Druckschwankungen, vgl. W. Nitsche (1994, S. 14) und W.W. Willmarth (1975). Schwankungen des Wanddruckes wurden von R. Emmerling (1973) und A. Dinkelacker et al. (1977) gemessen. Wie bereits die Reynolds-Spannungen, Gl. (16.12), erkennen lassen, kommen den Korrelationen, d.h. den zeitlichen Mittelwerten der Produkte von Schwankungsgrößen, zur Beschreibung turbulenter Strömungen eine besondere Bedeutung zu. Neben den Korrelationen verschiedener Schwankungsgrößen, z.B. verschiedener Geschwindigkeitskomponenten, in demselben Punkt sind auch die Korrelationen derselben Schwankungsgröße zu verschiedenen Zeiten (Autokorrelation) oder an verschiedenen Orten (Raum-Korrelation) von Interesse. In Bild 16.3 ist die von G.I. Taylor (1935) eingeführte normierte Korrelationsfunktion u u2 R(r) =  1  u12 · u22

(16.21)

Bild 16.3. Korrelation der turbulenten Längsgeschwindigkeitsschwankungen u1 in Rohrmitte mit den Geschwindigkeitsschwankungen u2 im Abstand r nach Messungen von L.F.G. Simmons; C. Salter (1938); vgl. auch G.I. Taylor (1936)

16.5 Beschreibung der turbulenten Schwankungsbewegung

509

für eine Rohrströmung dargestellt. Der Punkt mit dem Index 1 befindet sich auf der Rohrachse, der Punkt 2 imAbstand r von derAchse. Die Funktion gibt an, wie stark die Bewegung in einem Punkt (hier die Längsbewegung) diejenige im anderen Punkt beeinflußt. Negative Werte der Korrelationsfunktion bedeuten, daß die Geschwindigkeiten in den beiden korrelierten Punkten im zeitlichen Mittel unterschiedliche Vorzeichen haben, was bei der in Bild 16.3 dargestellten „seitlichen Korrelation“ wegen des zeitlich konstanten Volumenstroms zu erwarten ist. Aus dem Integral von R ergibt sich eine charakteristische Länge der Turbulenzstruktur d/2 L= R(r) dr.

(16.22)

0

Sie wird Integral-Längenmaß oder Makro-Längenmaß genannt. Sie stellt ein Maß für die Größe der einheitlich bewegten Fluidmassen dar und gibt damit eine Vorstellung von der mittleren Größe der Turbulentballen oder Turbulenzelemente (engl.: eddy). Im gezeigten Beispiel ist L ≈ 0,14 d/2. Weitgehende Einsichten in die Strukturen der turbulenten Bewegungen werden durch die Raum-Zeit-Korrelationen vermittelt, bei denen zwei Geschwindigkeitskomponenten an verschiedenen Orten zu verschiedenen Zeiten miteinander korreliert werden, vgl. A.J. Favre et al. (1957, 1958). Durch konditionierte Meßreihen (engl. conditioned oder conditional sampling) lassen sich in turbulenten Scherströmungen deutlich kohärente Strukturen identifizieren, man vergleiche dazu zusammenfassende Darstellungen von A. Roshko (1976), B.J. Cantwell (1981), J.L. Lumley (1981), M.T. Landahl; E. Mollo-Christensen (1986) und H.E. Fiedler (1988).

16.5.2 Spektren und Turbulenzballen Statt die Struktur der Turbulenz durch Korrelationsfunktionen zu beschreiben, kann man auch eine Frequenzanalyse der Bewegung vornehmen. Bezeichnet n die Frequenz und F (n) dn den prozentualen Anteil des quadratischen Mittelwertes der Längsschwankungen u 2 , der auf den Frequenzbereich zwischen n und n + dn entfällt, so liefert F (n) die spektrale Verteilung von u 2 . Definitionsgemäß gilt dann ∞ F (n) dn = 1. (16.23) 0

Mathematisch stellt die Spektralfunktion F (n) die Fourier-Transformierte derAutokorrelation dar. Die in Bild 16.4 dargestellten Spektren wurden von P.S. Klebanoff (1955) in der turbulenten Grenzschicht an einer ebenen Platte gemessen. Der Größtwert von F (n) ergab sich bei dieser Messung etwa bei den kleinsten gemessenen Frequenzen. Zu größeren Frequenzen nimmt dann F (n) bis auf null ab, um die Bedingung (16.23) zu erfüllen. Ein kontinuierliches Spektrum ist ein charakteristisches Merkmal turbulenter Strömungen im Gegensatz zu Spektren mit diskreten Frequenzen bei instationären laminaren Strömungen. Die Darstellung in Bild 16.4 wird häufig auch Energiespektrum genannt, obwohl es nicht die gesamte kinetische Energie k nach Gl. (16.14), sondern nur den Anteil u 2 der Längsschwankungen betrifft. Als Abszisse ist statt der Frequenz n die sogenannte Wellenzahl mit der Dimension 1/Länge aufgetragen. Den verschiedenen Längen werden jetzt anschaulich verschiedene Turbulenzballen mit den entsprechenden Abmessungen zugeordnet. In der Messung nach Bild 16.4 wurden danach Turbulenzballen mit Abmessungen von einigen zehntel Millimetern bis zu einigen Zentimetern vermessen. Die letztgenannten großen Turbulenzballen sind danach die Hauptträger der kinetischen Energie der Schwankungsbewegung. Sie beziehen ihre Energie aus der

510

16 Grundzüge der turbulenten Strömungen

Bild 16.4. Frequenzspektrum

der Längsgeschwindigkeitsschwankungen in der turbulenten Grenzschicht an der ebenen Platte nach P.S. Klebanoff (1955) Kurve 1: F ∼ n−5/3 , Theorie nach A.N. Kolmogorov (1941a) Kurve 2: F ∼ n−7 , Theorie nach W. Heisenberg (1948)

mittleren Bewegung. Durch einen Zerfallsprozeß erfolgt die Weitergabe der Energie auf kleinere Turbulenzballen. Dieser Kaskadenprozeß setzt sich zu immer kleineren Turbulenzballen fort, bis schließlich bei den kleinsten Turbulenzballen die Dissipation, d.h. der Übergang von mechanischer Energie in innere Energie, erfolgt. Bei sehr großen Reynolds-Zahlen besitzen turbulente Strömungen eine lokal-isotrope Struktur der Turbulenz, wie von A.N. Kolmogorov (1941a) gezeigt wurde. Ausgenommen sind nur Gebiete in der Nähe von Wänden und Berandungen. Danach besitzt die turbulente Schwankungsbewegung in einer kleinen Umgebung eines Punktes keine ausgezeichnete Richtung, d.h. sie ist isotrop. Da die Dissipation im Bereich der kleinsten Turbulenzballen erfolgt, kann die Dissipation entsprechend Gl. (16.17) nach A.N. Kolmogorov (1941b) unter der Annahme isotroper Turbulenz berechnet werden. In diesem Falle gilt u 2 = v  2 = w 2 , u v  = u w = v  w = 0,

(16.24)

und für  ε läßt sich vereinfacht schreiben, vgl. J.O. Hinze (1975, S. 219):
 2 ∂u .  ε = 15µ ∂x

(16.25)

Ähnlichkeitsbetrachtungen, die von A.N. Kolmogorov (1941a) und später davon unabhängig von C.F. v. Weizsäcker (1948) und W. Heisenberg (1948) angestellt wurden, erschließen noch weitere Einzelheiten bezüglich der Form der Korrelationsfunktionen für kleine Abstände r bzw. des Spektrums bei großen Frequenzen bzw. kleinen Turbulenzballen. Danach gilt im mittleren Frequenzbereich F (n) ∼ n−5/3 , was durch die Messung in Bild 16.4 gut bestätigt wird. Für sehr große Frequenzen (n → ∞) gilt nach W. Heisenberg (1948) F (n) ∼ n−7 .

16.5 Beschreibung der turbulenten Schwankungsbewegung

511

Die beiden theoretischen Verläufe stellen sich im logarithmischen Diagramm, Bild 16.4, als gerade Linien (1) und (2) dar. Das für das Verständnis der Turbulenz Wesentliche ist, daß die scheinbaren Spannungen hauptsächlich durch die großen Turbulenzelemente von der Größenordnung L erzeugt werden. Infolge der Instabilität der Strömung entstehen nun fortgesetzt Bewegungen kleinerer Abmessungen, bis schließlich in den kleinsten Turbulenzelementen so steile Geschwindigkeitsgradienten ∂u /∂x usw. auftreten, daß hier die Umwandlung in innere Energie stattfindet. Die von der Hauptbewegung durch die scheinbaren Spannungen auf die großen Turbulenzelemente übertragene Leistung, die von der Viskosität unabhängig ist, wird also stufenweise an immer kleinere Turbulenzelemente weitergegeben, bis die Energie dissipiert. Diesem Mechanismus ist es zuzuschreiben, daß bei turbulenten Strömungen der Reibungswiderstand und die Verteilungen der mittleren Geschwindigkeit nur wenig von der Reynolds-Zahl abhängen, obwohl alle Energieverluste durch die Viskosität verursacht werden. Auch die Dissipation nach Gl. (16.17) ist von der Reynolds-Zahl unabhängig. Wegen des Faktors µ könnte der Eindruck entstehen, daß für Re → ∞ die Dissipation gegen null strebt. Dieses trifft jedoch nicht zu. Vielmehr strebt ε einem endlichen Grenzwert zu, während (∂u /∂x)2 für Re → ∞ wie  ε/15ν beliebig große Werte annimmt. Nach A.N. Kolmogorov (1941a) ist die lokalisotrope Turbulenz durch die beiden Größen ν und  ε eindeutig bestimmt. Aus ihnen folgt für die Feinstruktur der Turbulenz als Längenmaß die Kolmogorov-Länge (auch Mikro-Längenmaß genannt) # $1/4 K = ν 3 / ε

(16.26)

tK = (ν/ ε )1/2 .

(16.27)

und als Zeitmaßstab Da der Geschwindigkeitsgradient umgekehrt proportional zum Zeitmaßstab ist, gilt 2 ). (∂u /∂x)2 = 1/(15 tK

16.5.3 Turbulenz der Außenströmung Für Umströmungen von Körpern bei großen Reynolds-Zahlen ist das Auftreten von Grenzschichten ein typisches Merkmal. Statt der bisher behandelten laminaren Grenzschichten sind die Grenzschichten nunmehr turbulent. Im Idealfall besteht also das Strömungsfeld aus den wandnahen turbulenten Grenzschichten und einer reibungslosen Außenströmung, die keinerlei Geschwindigkeitsschwankungen aufweist. In der Praxis ist die Außenströmung jedoch nicht völlig turbulenzfrei. Als Maß für die Intensität der turbulenten Schwankungsbewegung wird der Turbulenzgrad  # √ 1 u 2 + v  2 + w  2 $ 2k/3 3 Tu = = (16.28) U∞ U∞ verwendet. Da der Turbulenzgrad der Außenströmung teilweise beachtlichen Einfluß auf die Grenzschicht ausübt, spielt diese Größe für die Übertragbarkeit von Modellmessungen in Windkanälen auf die Großausführung und auch für den Vergleich von Messungen in verschiedenen Windkanälen eine wichtige Rolle. Daß insbesondere der Übergang laminar-turbulent vom Turbulenzgrad der Außenströmung stark abhängt, wurde bereits in Kap. 15.2.4a berichtet. Ferner werden die Entwicklung der turbulenten Grenzschicht und die Lage der Ablösestelle sowie der Wärmeübergang vom Turbulenzgrad der Außenströmung beeinflußt, vgl. Kap. 18.5.4. Der Turbulenzgrad in der Meßstrecke eines Windkanales wird maßgeblich durch die Maschenweite der eingebauten Gitter und Siebe bestimmt. In einiger Entfernung hinter dem

512

16 Grundzüge der turbulenten Strömungen

Sieb herrscht näherungsweise isotrope Turbulenz. Wegen Gl. (16.24) vereinfacht sich dann Gl. (16.28) zu  u 2 Tu = . (16.29) U∞ Durch Einbau von genügend vielen und feinmaschigen Gittern und Sieben weisen gute Windkanäle Werte von Tu = 0,001 auf, es wurden in Extremfällen auch schon Werte von Tu = 0,0002 erreicht, vgl. G.B. Schubauer; H.K. Skramstad (1947). Eingehende Untersuchungen von G.I. Taylor (1936) und H.L. Dryden (1938) haben ergeben, daß neben dem Turbulenzgrad Tu auch die charakteristische Länge der Turbulenz L nach Gl. (16.22) einen Einfluß haben kann. Den Einfluß von L auf die turbulente Grenzschicht haben H.U. Meier; H.P. Kreplin (1980) untersucht. Sie fanden Höchstwerte der Wandschubspannung, wenn L von der Größenordnung der Grenzschichtdicke war.

16.5.4 Berandung turbulenter Gebiete und Intermittenz Gegenüber laminaren Grenzschichten treten bei turbulenten Grenzschichten zusätzliche Besonderheiten am Grenzschichtrand auf. Dieser ist charakterisiert durch den Übergang von der nicht schwankenden (bzw. schwach schwankenden) drehungsfreien Außenströmung zur turbulenten und damit drehungsbehafteten Grenzschichtströmung. Beim Übergang von nichtturbulenter zu vollturbulenter Strömung spielt die Viskosität eine entscheidende Rolle. Die Dicke der Schicht, in der sich dieser Übergang vollzieht, ist proportional zur KolmogorovLänge K nach Gl. (16.26), vgl. J. Rotta (1972, S. 166) und S. Corrsin; A. Kistler (1955). Der Rand der turbulenten Grenzschicht ist eigentlich eine räumlich und zeitlich stark schwankende Fläche, wie sie in Bild 16.5 skizziert ist. In einem Punkt des Übergangsbereiches wird laminare und turbulente Strömung in unregelmäßigen Intervallen abwechseln. Diese Vorgänge können durch den Intermittenzfaktor γ (x,y) beschrieben werden. Der Wert definiert die Wahrscheinlichkeit, an der Stelle x,y turbulente Strömung anzutreffen. Bei Versuchen beschreibt γ (x,y) denjenigen Bruchteil der Zeit, über den an diesem Ort turbulente Strömung beobachtet wird. Im vollturbulenten Gebiet gilt γ = 1. Bild 16.6 zeigt den Verlauf von γ in einer Grenzschicht über dem Wandabstand. Diese Kurve läßt sich durch 3 4−1 γ (x,y) = 1 + 5,5[y/δ(x)]6

(16.30)

annähern. Entsprechende Verteilungen der Intermittenz findet man auch an Berandungen von freien turbulenten Scherschichten, wie z.B. beim Freistrahl oder im Nachlauf, vgl. Kap. 22.

Bild 16.5. Außenrand einer turbulenten Grenzschicht

Links:

Moment-Aufnahme eines Grenzschicht-Ausschnittes, dessen Erstreckung in xRichtung so klein ist, daß die Zunahme von δR (x) mit x nicht erkennbar ist. Rechts: Verteilung der mittleren Geschwindigkeit und des Intermittenz-Faktors

16.6 Grenzschichtgleichungen für ebene Strömungen

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Bild 16.6. Verteilung des IntermittenzFaktors γ in der turbulenten Grenzschicht an der längsangeströmten ebenen Platte, nach Messungen von P.S. Klebanoff (1955)

Die mittlere Lage des Grenzschichtrandes kann durch den Wandabstand ∞ δR (x) = γ (x,y) dy

(16.31)

0

bestimmt werden. Davon verschieden ist die Grenzschichtdicke δ(x). Sie beschreibt die zeitlich gemittelte Lage eines diskreten äußeren Grenzschichtrandes, der die Grenze zwischen der Grenzschicht und der Außenströmung darstellt. Wie sich herausstellen wird, liefern die meisten TurbulenzModelle für Re → ∞ eine diskrete Grenzschichtdicke δ. Dieses ist grundsätzlich verschieden vom Verhalten laminarer Grenzschichten, bei denen der Übergang zur Außenströmung kontinuierlich erfolgt und daher eine solche Grenzschichtdicke nicht definiert werden kann. Die beiden Grenzschichtgrößen δR und δ sind proportional zueinander. Es gilt etwa δR = 0,78δ. Wie sich später zeigen wird, streben bei glatter Wand δR und δ für Re → ∞ gegen null.

16.6

Grenzschichtgleichungen für ebene Strömungen Wie die laminaren Strömungen besitzen auch die turbulenten Strömungen bei hohen Reynolds-Zahlen Grenzschichtcharakter, d.h. das gesamte Strömungsfeld besteht aus der reibungslosen Außenströmung und einer wandnahen, dünnen turbulenten Grenzschicht. Für diese lassen sich – wie im laminaren Fall – die Grundgleichungen erheblich vereinfachen. Analog zu laminaren Grenzschichten reduziert sich die Impulsgleichung für die y-Richtung auf die Aussage, daß der Druck am Außenrand der Grenzschicht und der Wanddruck übereinstimmen (Vernachlässigung der Krümmungseffekte). Ferner können wieder die Änderungen der x-Impulse bzw. der x-Komponenten des Wärmeflusses in Hauptströmungsrichtung als klein vernachlässigt werden.

514

16 Grundzüge der turbulenten Strömungen

Aus Gl. (16.11) folgt also mit der Grenzschichtnäherung (Re → ∞,  v  U∞ , ∂/∂x  ∂/∂y) für die y-Richtung: 0=−

∂p  ∂(v  2 ) − . ∂y ∂y

(16.32)

Die Integration über die Grenzschichtdicke ergibt: w = pe , p  + v  2 = p

(16.33)

wenn eine turbulenzfreie Außenströmung angenommen wird. In turbulenten Grenzschichten ist demnach nicht der Druck p  über der Grenzschichtdicke konstant, sondern der Ausdruck p + v  2 . Da die Schwankungsbewegung an der Wand und am Außenrand verschwindet, gilt jedoch nach wie vor p w = pe . Damit ergeben sich die folgenden Gleichungen für ebene turbulente Grenzschichten mit konstanten Stoffwerten: v ∂ u ∂ + = 0, ∂x ∂y
 ∂ u ∂ u ∂ dpe   u + v + (τ v + τt ) , =− ∂x ∂y dx ∂y
  ∂ T ∂T ∂ cp  + v u = − (q λ + qt ). ∂x ∂y ∂y

(16.34) (16.35) (16.36)

Dabei wurde gesetzt: τv = µ

∂ u , τt = −u v  , ∂y

(16.37)

∂ T ,qt = cp v  T  . ∂y

(16.38)

q λ = −λ

In der Gleichung für die thermische Energie wurde die Dissipation vernachlässigt. Durch Vergleich mit den Gleichungen für die laminare Grenzschicht, Gl. (6.26), (6.27) und (9.13), stellt man fest, daß beim Übergang von den Gleichungen für die laminare Grenzschicht zu denjenigen für die turbulente Grenzschicht folgendermaßen zu verfahren ist: a) Die Größen u, v und T sind durch die zeitlichen Mittelwerte  u,  v und T zu ersetzen, ebenso p durch pe . b) Die Schubspannung und die Wärmestromdichte bestehen jetzt aus jeweils zwei Anteilen. Der erste Anteil stammt vom molekularen Austausch (Index v für Viskosität, Index λ für Wärmeleitfähigkeit) und wird aus dem zeitlich mittleren Feld wie im Laminaren